SPRINGER TRACTS IN MODERN PHYSICS
Ergebnisse der exakten
Naturwissenschaften
VOLUME 45
REGGE POLES IN PARTICLE PHYSICS
P. D. B. COLLINS and E. J. SQUIRES
SPRINGER-VERLAG BERLIN HEIDELBERG NEW YORK 1968

П, Коллинз, Ю. Сквайре
ПОЛЮСА РЕДЖЕ
В ФИЗИКЕ ЧАСТИЦ
Перевод с английского
А. И. НАУМОВА
Под редакцией
А. М. БРОДСКОГО
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» МОСКВА 1971

УКАЗАТЕЛЬ ПРОЦЕССОВ РАССЕЯНИЯ
яЛГ (полное сечение) 249, 287, 297, 308 7"р _+. руу* 140
яЛГ -*¦ яЛГ (упругое рассеяние) 35, 63, — A-r- „fi- „Qfi
201, 266, 287, 300, 304 ЕР "* А_^ 263> 296
яЛГ-*-ЛГя 121, 263, 282, 311, 333 ?р-*-Д? 296
Я-р-'-я^л 255, 261, 271, 287, 302, 313, рр-+¦ 22 296
321, 325, 331
Я"р -*-т)л 155, 255, 262, 278, 316, 321,
332 . ооо KN (полное сеченне) 249, 267, 308
Ц Z я4Н2е^СТаЮЩаЯ МЗССа ^ К\ъТ, 333 (УПРУГ°е РаС"ЯНН^ 273'
я+р^ш1Р229966 К-р^Кап 261, 267, 281, 287
я/-^ рЛГ 263, 295, 306, 307 ?« -^ К»р 261 267, 281
л N _*. f Л/ 2Q4 К+р -»- Л°Д 296
я#:Г$2955,306 Й^ЙСЛ6633
я^йрJ5/2б1 f-;:S2?
Я-р-^Л> 263 KN-+K*& 295
Я"р -*¦ Х°К° 263 АР-»- Л+3 301
Я"р -*~ /C+S - 301
яя-*-яя 47, 62, 198, 202
NN (полное сечение) 249, 305, 309 ря -*¦ ря 323
NN-+NN (упругое рассеяние) 141, я К* -»- rt /С* 324
146, 265, 271, 287, 298, 300 /Ср -» /Ср 324
~рр -*¦ лл 261, 283 у А -*¦ уА 327
рл -*- лр 261, 283 7я -*" 7я 328
рр -»- рЛ^* 140, 259 7Р -*¦ *N, KN 330

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода 5
Введение '....'.".. 10
Глава I. ^-матрица 17
§ 1. Введение ' '. '. . . ^ . . . 17
§ 2. Постулаты теории S-матрицы ' 18
§ 3. Символическая запись условия унитарности 21
§ 4. Структура сиигуляриостей амплитуд рассеяния 26
§ 5. Кроссинг и СРГ-теорема 30
§ - 6. Связная четыреххвостка -.»!-.;»» 31
§ 7. Связь между амплитудой рассеяния и измеряемыми величи-
величинами ....... ^ 35
§ 8. Сингулярности связной четыреххвостки 37
§ 9. Скачок иа дву-хчастичиом разрезе i 40
§ 10. Дисперсионные соотношения по одной переменной .... '42
§ 11. Мандельстамовское представление 45
§ 12. Двойная спектральная функция упругого процесса ... 49
Глава II. Парциальные амплитуды и полюса Редже 56
§ 1. Парциальные амплитуды 56
§ 2. Амплитуды с определенной сигнатурой 58
§ 3. Проекция Грибова — Фруассара 59
§ 4. Сингулярности, парциальных амплитуд 61
§ 5. Условие унитарности для парциальных амплитуд и фазовые
сдвиги 65
§ 6. Асимптотическое поведение .и представление Грибова —
Фруассара 68
§ 7. Граница Фруассара 69
§ 8. Аналитическое продолжение по угловому моменту .... 72
§ 9. Преобразование Зоммерфельда — Ватсоиа 74
§ 10. Полюса Редже 80
§ П. Сингулярности парциальных амплитуд при нецелых I . . . 84
§ 12. Преобразование Маидельстама — Зоммерфельда — Ватсона 86
Глава III. Полюса Редже и маидельстамовское представление ... 90
§ 1. Некоторые свойства реджевских функций 90
§ 2. Полюса Редже и маидельстамовское представление .... 97
§ 3. Представление Чью — Джонса 101
§ 4. Представление Хури — Джойса 106
§ 5. Степенное разложение Хури 108
§ 6. Проблемы кинематики частиц с неравными массами .... Ill
§ 7. Дочерние траектории 119
§ 8. Некоторые экспериментальные следствия 121

350 ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава IV. Спин 124
§ 1. Разложение по парциальным волнам для частиц со спином 124
§ 2. Свойства функций d ^ (9) и е ^(9) 126
§ 3. Кинематические сингулярности и дисперсионные соотноше-
соотношения по одной переменной 131
§ 4. Обобщенная проекция Грибова — Фруассара 132
§ 5. Преобразование Зоммерфельда — Ватсона 134
§ 6. Кинематические ограничения на вычеты 136
§ 7. Четность 143
§ 8. Вклад траектории Померанчука 144
§ 9. Применение теоретико-групповых методов к теории Редже 147
Глава V. Природа сингуляриостей в (/"-плоскости . 156
§ 1. Аналитическое продолжение унитариостн . 156
§ 2. Движущиеся сингулярности в ./-плоскости 158
§ 3. Разрезы в комплексной плоскости углового момента .... 159
§ 4. Неподвижные полюса в ./-плоскости . 163
§ 5. Сингулярности в интеграле Грибова — Фруассара и сверх-
сверхсходящиеся соотношения 165
§ 6. Сингулярности Грибова — Померанчука 169
Глава VI. Зашнуровка : 172
§ 1. Гипотеза зашнуровки 172
§ 2. /V/D-уравнеиия 176
§ 3. Неупругие каналы в Af/D-уравнеииях 185
§ 4. Обменные силы 190
§ 5. Некоторые простые примеры зашиуровочиых вычислений 196
§ 6. Новая форма полосного приближения . . .' 201
§ 7. Итерационная процедура Мандельстама 211
§ 8. Некоторые проблемы 214
Глава VII. Теория возмущений и элементарные частицы 217
§ 1. Роль теории возмущений 217
§ 2. Высокоэнергетическое поведение фейнмановских диаграмм 218
§ 3. Граничные вклады 220
§ 4. Пинчевые вклады 224
§ 5. Частицы со спином и реджезация элементарных частиц . . 228
§ 6. Элементарные частицы 23ft
Глава VIII. Обзор экспериментальной ситуации 235
§ 1. Траектории Редже- 235
1. Введение B35). 2. Мезоиные траектории B36). 3. Барион-
ные траектории B41).
§ 2. Полюса Редже и высокие энергии 244
§ 3. Полные сечения при высоких энергиях 24?
1. Полюса Редже и полные сечения B47). 2. Предел Померан-
Померанчука B48). 3. Вклады других траекторий B50). 4. Обработка
экспериментальных данных B51). 5. Дисперсионные правила
сумм для рассеяния вперед B56).
§ 4. Сечения неупругого рассеяния вперед 258;
1. Введение B58). 2. Возможен обмен померанчоном B58).
3. Обмен нестранным мезоном возможен, обмен померанчоиом
запрещен B61). 4. Возможен обмен странным мезоном B63).
5. Возможен обмен барионом B63). 6. Невозможен обмен
никакими известными траекториями B64).

ОГЛАВЛЕНИЕ 351
§ 5. Фаза амплитуды рассеяния вперед • 264
1. Предсказание теории полюсов Редже B64). 2. Эксперимен-
Экспериментальная проверка B65). 3. Другие способы вывода предска-
предсказаний теории Редже B68).
§ 6. Угловая зависимость дифференциальных сечений 269
1. Полюса Редже и дифференциальные сечения B69). 2. я — N-
рассеяние с перезарядкой и р-траектория B71). 3. Рассеяние
п~р -v г\п и Л2-траектория B78). 4. Другие процессы мезон-
нуклонного рассеяния с перезарядкой B81) 5. п± р-рассеяние
назад и_фермионные траектории B82). 6. Обмен пионом при
NN- и AW-рассеянии с перезарядкой B83). 7. Упругое рас-
рассеяние B87). 8. Процессы рождения B95). 9. Реджевские
разрезы B96).
§ 7. Поляризация и спиновые матрицы плотности 301
1. Поляризация и полюса Редже C01). 2. Поляризация в про-
процессе п-р-*-п°п C02). 3. Поляризация в других процессах упру-
упругого jtAf-рассеяния C04). 4. Спиновая структура в WAf-рассеянии
C05). 5. Выражения для матриц плотности через спиральные
амплитуды кросс-канала C06). 6. Матрицы плотности для
процессов nN -*¦ pN и nN -*¦ рД C06).
§ 8. Низкие энергии и интерференция с резонансами прямого
канала 309
§ 9. Прямолинейные траектории и обменное вырождение . . . 316
1. Динамика прямолинейных траекторий C16). 2. Кварковая
модель для траекторий C19).
§ 10. Применение сверхсходящихся соотношений 321
§ 11. Электромагнитные и слабые процессы . 327
Дополнение 331
1. Дочерние траектории, конспирации и О D) 331
2. Нули вычетов 332
3. Разрезы 332
4. Бесконечно растущие траектории 333
5. Правила сумм 333
6. Зашнуровка , 333
Литература 334
Предметный указатель 345
Указатель процессов рассеяния 34S

УДК 530.145 + 539.12
Книга посвящена принципиальным проблемам физики высоких
энергий. Подробно излагается важнейший динамический подход,
применяемый для описания сильных взаимодействий и основанный
на введении в релятивистскую теорию представлений о полюсах
Редже. Авторы дают обзор результатов, опубликованных в много-
многочисленных журнальных статьях.
Ценной особенностью книги является проводимое в ней сопо-
сопоставление теории с данными экспериментов по рассеянию и рожде-
рождению адронов при высоких энергиях.
Книга будет полезной как для физиков, интересующихся
проблемами теории элементарных частиц и принципиальными про-
проблемами физики вообще, так и для аспирантов и студентов, спе-
специализирующихся в различных областях физики высоких энергий.
Редакция литературы по физике
Инд. 2-3-2
*44-71

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Предлагаемая вниманию читателей книга Коллинза и Сквайрса
посвящена в основном обзору различных теоретических представле-
представлений о роли полюсов Редже в физике высоких энергий и анализу резуль-
результатов сравнения теории с экспериментом.
Гипотеза, согласно которой полюса, сопоставляемые стабильным
частицам и резононам с различающимися спинами, но одинаковыми
прочими квантовыми числами, объединяются в релятивистской теории
траекториями Редже (подобно тому, как это имеет место для резонан-
сов при нерелятивистском рассеянии на потенциале юкавского типа),
возникла в начале шестидесятых годов. Она была использована преж-
прежде всего для развития аппарата аналитической теории 5-матрицы,
исходные положения которой изложены в первых двух главах настоя-
настоящей книги. В дальнейшем гипотеза о полюсах Редже стала неотъем-
неотъемлемой частью аналитической теории 5-матрицы, в особенности того
ее физического направления, представители которого сознательно
больше стремятся к наилучшему описанию непрерывно накопляю-
накопляющихся экспериментальных данных, чем заботятся об абсолютной мате-
математической строгости и внутренней непротиворечивости развиваемых
представлений. Общая идеология этого направления лучше всего
отражена в книге Чью [1], который писал: «...поскольку основной
объект теории поддается прямому экспериментальному измерению,
можно делать вид, что находишь решения крайне сложных нелиней-
нелинейных систем, слушая подсказки природы».
Возникающие при использовании гипотезы о полюсах Редже воз-
возможности развития теории сразу вызвали очень живой интерес,
и отношение к этой гипотезе, несмотря на сравнительно короткий
период ее существования, уже имеет весьма бурную историю с перио-
периодами подъема и спада. Важнейшим экспериментальным следствием
указанной гипотезы было заключение о том, что полюса Редже с фак-
фактор изующимися вычетами [2] определяют поведение сечений в кросс-
каналах в пределе высоких энергий, которое в простейшем случае,
когда доминирует одна траектория, должно иметь степенной вид
с показателем, зависящим от передаваемого импульса. В частности,
это приводит к выводу о сужении дифракционного конуса с. ростом
энергии, которое действительно было обнаружено для протон-протон-
протон-протонного рассеяния. Однако дальнейшие эксперименты при высоких

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
энергиях показали, что указанный случай рассеяния является в этом
отношении скорее исключением, чем правилом. Для объяснения
. наблюдаемых фактов оказалось необходимым учитывать несколько
траекторий Редже. При этом используется довольно большое число
параметров, что, конечно, делает результаты сопоставления теории
с экспериментом значительно менее убедительными. Кроме того,
Мандельстам теоретически показал, что в релятивистском случае
на комплексной плоскости углового момента, помимо полюсов, обя-
обязательно появляются движущиеся точки ветвления, что еще больше
увеличивает количество параметров, фигурирующих в теории. В ре-
результате интерес к полюсам Редже в релятивистской теории временно
снизился.
В дальнейшем выяснилось, что с помощью гипотезы о полюсах
Редже удается достаточно удовлетворительно-описать полученную
в последнее время экспериментальную информацию о сечениях неупру-
неупругих процессов, используя, естественно, для каждого из них одни
и те же параметры данной траектории. Поскольку теория полюсов
Редже, являясь составной и весьма существенной частью теории
S-матрицы, пока сохраняет также роль наиболее претенциозной
из всех развивающихся сейчас теорий элементарных частиц, была
проделана большая по объему работа по выяснению теоретических
закономерностей, касающихся полюсов и разрезов на комплексной
плоскости углового момента с учетом спинов частиц и различия в их
массах. Обобщение на этот случай оказалось связанным с известными
трудностями, так как если ограничиваться индивидуальными реджев-
скими траекториями, ¦ то некоторые из кинематических условий,
вообще говоря, не удовлетворяются (например, определенные ампли-
амплитуды рассеяния вперед с переворотом спина не обращаются автома-
автоматически в нуль, хотя это и требуется законом сохранения момента).
Чтобы удовлетворить такого рода условиям, приходится накладывать
некоторые ограничения в виде соотношений, которым должны удовле-
удовлетворять различные траектории и их вычеты, что приводит к конспира-
циям или же к объединению отдельных траекторий в целые семейства
(родительские, дочерние, сестринские траектории или даже траекто-
траектории-предки). Дочерние траектории возникают также из других сооб-
соображений, в частности при объединении реджевского анализа с пред-
представлением Мандельстама или при использовании теоретико-группо-
теоретико-групповых методов. Третья, четвертая и пятая главы данной книги посвя-
посвящены результатам очень большого числа теоретических работ, опуб-
опубликованных по всем этим вопросам и касающихся выяснения общей
природы сингулярностей в плоскости углового момента.
При чтении этих глав может возникнуть представление об извест-
известной противоречивости изложения или даже об отсутствии в некоторых
случаях четкой собственной точки зрения у авторов. Однако подобная
противоречивость является естественной в существующей ситуации
и неизбежна для каждого обзора, учитывающего самые последние

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
достижения данного направления, если, конечно, исключить возмож-
возможность оригинального революционного научного труда, полностью
разрешающего все существующие трудности. Во всяком случае,
проведенная авторами систематизация чисто теоретических работ
по полюсам Редже в физике высоких энергий является значительно
более отчетливой и гораздо более полной, чем в написанных ранее
монографиях [3—5].
Значительное место авторы отводят обсуждению принципа макси-
максимальной аналитичности второй степени и развитию ряда моделей
зашнуровки (бутстрепа) с использованием унитарности, представле-
представления Мандельстама и реджевских траекторий. Однако рассмотренные
модели содержат принципиальные трудности и не могут объяснить,
последние результаты экспериментального анализа на основе реджев-
ской феноменологии. В частности, совершенно непонятным является
отсутствие заметного увеличения ширины резонансов при движе-
движении в сторону высших спинов по линиям Чью — Фраучи. Более
актуальным сейчас является развитие идеи зашнуровки на простой
основе так называемой дуальности, согласно которой высокоэнерге-
высокоэнергетическое реджевское поведение амплитуды рассеяния тесно связано
с низкоэнергетическими резонансами того же канала; эта идея при-
привлекла особое внимание уже после выхода в свет книги Коллинза
и Сквайрса, в которой она только упоминается.
Одной из наиболее интересных является восьмая глава книги,
в которой проводится сопоставление теории с экспериментом. Это
сопоставление подтверждает, как считают авторы, что все сильно
взаимодействующие частицы действительно являются -членами реджев-
реджевских семейств, причем удается нетривиальным образом объяснить
многие данные, касающиеся поведения сечений.
При сопоставлении с экспериментом нельзя не заметить также
определенных противоречий. Часть из них носит ограниченный харак-
характер (например, рассмотренное авторами несоответствие теоретических
предсказаний с данными по поляризации при высоких энергиях)
в том смысле, что такие противоречия всегда присущи каждой живой,
быстро развивающейся, но еще не законченной теории. Однако ред-
жевский подход имеет и более принципиальные трудности. Главной
из них является удивительная линейность траекторий при одинаковом
наклоне порядка 1 Гэв~2 в исследованном интервале значений мандель-
стамовских переменных вплоть до 8 Гзв2. Если ожидаемый по анало-
аналогии с результатами нерелятивистской теории загиб траекторий проис-
происходит при некоторых существенно более высоких энергиях, то это
будет означать, что в области сильных взаимодействий имеется допол-
дополнительный энергетический масштаб. В этом случае, по-видимому,
теряются многие привлекательные стороны аналитической теории
5-матрицы как универсальной замкнутой динамической_схемы. Зна-
Значительна проще и естественнее указанный масштаб 'появляется,
например, в модели тяжелых кварков, связанных некоторыми силами

8 ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
среднего радиуса действия. Гипотеза кварков позволяет разрешить
и другую принципиальную трудность обычной теории Редже —
наличие вырождения траекторий по сигнатуре, которое обсуждается
в восьмой главе книги.
В самое последнее время большое внимание уделяется феноменоло-
феноменологическому анализу, продолжающему общую логику развития реджев-
ской теории в рамках аналитической теории .S-матрицы и основанному
на так называемой модели Венециано [6]. Эта модель является кон-
конкретным воплощением идеи дуальности и существенно использует
прямолинейность траекторий, автоматически включая в себя реджев-
ское асимптотическое поведение. Однако здесь также сохраняются
некоторые из старых трудностей и возникают новые принципиальные
трудности (например, с самого начала нарушается условие унитар-
унитарности, очень трудно ввести ненулевую ширину резонансов и учесть
вклад померанчона, трудно удовлетворить принципу симметрии Мак-
Дауэлла для фермионных траекторий, и т. д.). Еще более услож-
усложнится вся ситуация в аналитической теории S-матрицы, если будут
подтверждены данные, полученные на Серпуховском ускорителе,
которые дают указание на нарушение известной теоремы Померан-
чука [7].
В заключение отметим, что в целом книга представляет большой
интерес для всех, интересующихся развитием теории элементарных
частиц. Правда, ряд вопросов, имеющих непосредственное отношение
к предмету книги, рассмотрен недостаточно подробно или даже опу-
опущен. Например, как указывают сами авторы, отсутствуют резуль-
результаты, касающиеся сингулярностей в комплексной плоскости углового
момента, которые возникают в нерелятивистской [грехчастичной зада-
задаче. Кроме того, не упоминаются интересные исследования по «адрон-
ной спектроскопии», основанные на использовании высших динами-
динамических симметрии типа О D, 2) (см., например, [8]), и т. д. Однако
в рамках ограниченного объема книги авторы сделали очень много.
Прочтение этой книги позволит читателю достаточно подробно озна-
ознакомиться с главными результатами самого обширного (по крайней
мере по числу работ) направления в рассматриваемой центральной
области физики, полученными до выхода в свет западногерманского
издания книги.
Обзор всех изменений, как в экспериментальной ситуации, так
и в развитии теоретических представлений, происшедших с момента
написания книги, читатель может найти в Трудах Киевской между-
международной конференции 1970 г. по физике высоких энергий [9].
А. М. Бродский

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
ЛИТЕРАТУРА
1. Чью Дж., Аналитическая теория S-матрицы, изд-во «Мир», 1968.
2. Г р и б о в В. Н., Помераичук И. Я., Phys. Rev. Letters, 8, 343
A962).
3. Frautschi S., Regge Poles and S-matrix Theory, New York, 1963.
4. Omnes R., Froissart M., Mandelstam Theory and Regge Poles,
New York, 1963.
5. Squires E., Complex Angular Momentum and Particle Physics, New York,
1963.
6. V e n e z i a n о G., Nuovo Cimento, 57A, 190 A968).
7. A 1 1 a n b у J. A., Bushin Yu. В., D e n i s о v S. P., D i d d e n s A. N..
D о b i n s о n R. W., Doskov S. V., Giacomelli G., Go-
rin Yu. P., Klovhing A., Petrukhin A.* I., Proko-
shin Yu. D., S h u v a 1 о v P. S., Stahlbrandt C. A., S t о у a-
n о v a D. A., Paper submitted to the Lund Conference on Elementary Par-
Particles, Lund, 1969; Phys. Letters, ЗОВ, 500 A969).
8. В а г u t А. О., в книге Proceedings of the Symposium on Hadron Spectrosco-
py, Akad. Kiado, Budapest, 1969, and Springer Tracts in Modern Physics,
Berlin, vol. 50, 1969.
9. Труды Киевской международной конференции по физике высоких энергий, 1970-

ВВЕДЕНИЕ
Ватсон еще в 1918 г. [406] предложил рассматривать угловой
момент i как комплексную переменную с целью последующего преоб-
преобразования разложения по парциальным волнам в интеграл вдоль
контура на комплексной /-плоскости. Эту идею упомянул также
в 1949 г. Зоммерфельд [365], однако до работы Редже [346], появив-
появившейся в 1959 г., никто не сознавал, что она может представлять опре-
определенную ценность для физики частиц. Редже показал, что для широ-
широкого класса потенциалов единственными сингулярностями нереляти-
нерелятивистской амплитуды рассеяния в /-плоскости являются полюса,
положение которых зависит от энергии, т. е. I = a (s). Теперь они
называются полюсами Редже, а функция a (s) носит название траек-
траектории Редже. Свой метод Редже использовал для того, чтобы запол-
заполнить существенный (хотя с физической точки зрения и не очень инте-
интересный) пробел, имевшийся в предшествующих доказательствах
представления Мандельстама для потенциального рассеяния. Однако
тот факт, что траектории Редже соответствуют физическим частицам
или резонансам [когда функция a (s) при положительных s принимает
целочисленное значение], а также определяют высокоэнергетическое
поведение амплитуд в кросс-канале, привлек значительное внимание
теоретиков, занимающихся элементарными частицами, и начиная
с 1961 г. данное направление исследований переживало и продолжает
переживать захватывающую и полную противоречий и дискуссий
историю.
Выводы первых исследований казались многообещающими. Весьма
правдоподобное предположение, что при высоких энергиях полное
сечение стремится к константе, привело к заключению о существо-
существовании особой реджевской траектории («померанчона») с квантовыми
числами вакуума и со свойством а @) = 1, которая не соответствовала
ни одной из известных в то время частиц или резонансов. Вскоре
была открыта частица / со спином 2 и массой 1250 Мэе, хорошо укла-
укладывающаяся на эту траекторию.
Была высказана гипотеза о существовании полюса Редже, который
дает основной вклад в сечения при высоких энергиях, приводящая
к интересному заключению о простом степенном поведении дифферен-
дифференциального сечения с показателем, зависящим от передачи импульса.
Такое поведение предсказывает «стягивание» дифракционного пика

ВВЕДЕНИЕ 11
по мере увеличения энергии, что для потенциального рассеяния соот-
соответствует радиусу взаимодействия, который является возрастающей
функцией энергии. Было обнаружено, что для р — р-рассеяния дей-
действительно имеет место такое весьма необычное поведение; казались
удачными и попытки скоррелировать полные сечения упругих про-
процессов с известными частицами. Что касается траекторий, то была
установлена приближенная прямолинейность так называемых кривых
Чью — Фраучи, изображающих зависимость функции Re а от дей-
действительного переменного s.
Тем временем появилось большое количество работ, посвященных
анализу реджевских траекторий в случае потенциального рассеяния.
Кроме того, были предприняты небезуспешные попытки показать,
что теория допускает обобщение на релятивистские амплитуды, под-
подчиняющиеся мандельстамовскому представлению. В общую схему
удалось также включить частицы со спином, когда переменной, про-
продолжаемой на комплексные значения, является полный угловой
момент /.
Введение понятия полюса Редже позволило прояснить различие
между «связанным состоянием», которое лежит на реджевской траек-
траектории, и «элементарной» частицей, которая на траектории не лежит,
а соответствует б-функции при значении /, равном спину частицы.
Это резко стимулировало развитие идеи «ядерной демократии», соглас-
согласно которой все сильно взаимодействующие частицы являются свя-
связанными состояниями, а также развитие гипотезы зашнуровки.
Однако этот первый период бурного расцвета теории и феномено-
феноменологии был весьма кратковременным. Последующие эксперименты,
выполненные в конце 1962 и в начале 1963 гг., показали, что для
всех процессов, кроме р — р-рассеяния, сужения дифференциальных
сечений не наблюдается. Правда, имеющиеся экспериментальные
данные можно было согласовать с теорией посредством введения
нескольких полюсов Редже, но наличие слишком большого числа
подгоночных параметров делало подобную процедуру весьма неубе-
неубедительной. С другой стороны, Мандельстам на основании теоретиче-
теоретических соображений показал, что в случае релятивистского рассеяния
в /-плоскости имеются разрезы, обусловленные наличием третьей
двойной спектральной функции. В потенциальном рассеянии, где
имеет место лишь двухчастичное условие унитарности, подобные
разрезы отсутствуют. Поэтому появилось большое количество работ,
посвященных трехчастичной задаче; в них предпринимались попытки
получить члены с указанными разрезами, но соответствующие иссле-
исследования натолкнулись на множество трудностей. При рассмотрении
частиц со спином было обнаружено также, что элементарные частицы
могут лежать и на траекториях Редже, так как в /-плоскости появ-
появляются дополнительные б-функции, которые могут скомпенсировать
упоминавшиеся выше б-функции. В результате энтузиазм по отноше-
отношению ко всему направлению в целом угас примерно на два года,

12 ВВЕДЕНИЕ
исключение составила лишь небольшая группа преданных ему
физиков.
Позднее, начиная с 1965 г., возрастающее количество эксперимен-
экспериментальных данных, особенно по неупругим процессам при высоких
энергиях, возродило интерес к феноменологии, основанной на полю-
полюсах Редже; с ее помощью удалось успешно систематизировать многие
экспериментальные данные. Стало появляться больше работ и по
теоретическим аспектам, касающимся комплексной /-плоскости; деталь-
детальный анализ вопросов, связанных со спиновыми частицами и с рас-
рассеянием частиц разных масс, привел к введению понятий «конспира-
«конспирации» и «дочерей». Благодаря последним работам прояснилась ситуа-
ситуация с разрезами и неподвижными полюсами, имеющимися в J-пло-
скости, а также проблема реджезации элементарных частиц.
В этой книге предпринята попытка дать обзор теории в ее совре-
современном состоянии, а также показать, сколь хорошо она согласуется
с экспериментальной информацией.
В главе I дается краткое введение в аналитическую теорию S-ма-
трицы и рассматривается принцип максимальной аналитичности первой
степени. Довольно подробно описывается его применение к анализу
двухчастичной амплитуды рассеяния, что приводит к мандельстамов-
скому представлению. Мы надеемся, что эта глава будет доступна
даже тем читателям, которые прежде не сталкивались с подобными
вопросами, и побудит их обратиться к изучению цитируемой лите-
литературы.
, В главе II рассматриваются парциальные амплитуды и соответ-
соответствующие им дисперсионные соотношения и вводятся понятия ком-
комплексного углового момента, полюсов Редже и разрезов. Здесь же
выясняется смысл постулируемого принципа максимальной анали-
аналитичности второй степени.
В главе III мандельстамовское представление объединяется с ана-
анализом полюсов Редже, что позволяет получить некоторые свойства
траекторий и вычетов. Обсуждаются также различные реджевские
представления, которые удовлетворяют мандельстамовским требова-
требованиям аналитичности, и подробно исследуются трудности, возникаю-
возникающие при анализе рассеяния частиц с неравными массами. Выясняются
причины, по которым при попытке согласования мандельстамовской
аналитичности с реджевским асимптотическим поведением приходится
предполагать, что с каждой траекторией связана бесконечная после-
последовательность «дочерних» траекторий, значения которых при s = О
отличаются друг от друга на единицу углового момента. Хотя мы
и не считаем, что аргументы, приводящие к появлению дочерних
траекторий, являются совершенно бесспорными, но несомненно, что
подобные траектории следует искать, и в книге рассматриваются
имеющиеся по этому вопросу экспериментальные данные.
В главе IV впервые вводится спин и подробно развивается форма-
формализм для частиц произвольного спина. При интерпретации экспери-

ВВЕДЕНИЕ 13
ментальных данных необходимо учитывать различные кинематические
особенности амплитуд; для определения их положения используется
спиральная кроссинг-матрица. Рассматриваются также кинематиче-
кинематические ограничения на реджевское представление и вводятся «конспи-
«конспирации», привлечение которых позволяет удовлетворить этим огра-
ограничениям. Приводится краткий анализ возможности применения
в теории Редже теоретико-групповых методов и отмечается, что в слу-
случае нулевого 4-импульса имеет место SO D)-симметрия.
Глава V посвящена дальнейшему исследованию свойств комплекс-
комплексной /-плоскости. В ней предпринимается попытка выяснить, в какой
мере результаты, справедливые для потенциального рассеяния, при-
применимы в теории S-матрицы. Оказывается, что хотя и здесь сохра-
сохраняются некоторые ограничения на возможные сингулярности, но
вследствие наличия третьей двойной спектральной функции в реля-
релятивистской области ситуация является гораздо более сложной. Напри-
Например, в некоторых амплитудах должны присутствовать разрезы и непо-
неподвижные полюса (хотя последние не оказывают влияния на асимптоти-
асимптотическое поведение). В этой главе "доказывается также теорема о факто-
факторизации и выводятся «сверхсходящиеся соотношения».
В главе VI делается попытка установить связь между максималь-
максимальной аналитичностью первой и второй степени и вводится гипотеза
зашнуровки (бутстрепа), на основе которой проводятся довольно
подробные вычисления, связанные с траекториями Редже.
Глава VII занимает несколько обособленное положение — в ней
выясняется, какую пользу при исследовании свойств комплексной
J-плоскости могут принести «старомодные» методы теории возмуще-
возмущений. В частности, предпринимается попытка прояснить аргументацию,
приводящую к разрезам, и различие между «элементарными» части-
частицами и частицами, лежащими на траекториях Редже.
Авторы считают, что все частицы окажутся лежащими на траекто-
траекториях Редже, и эту точку зрения подтверждают доказательства, пред-
представленные в главе VIII, где дается обзор экспериментальной ситуации
в целом. Показано, что все известные частицы с большой степенью
достоверности можно разместить на траекториях, и что эти траектории
приводят к удовлетворительному объяснению экспериментальных
данных, касающихся сечений высокоэнергетических процессов. Уди-
Удивительным образом во всей доступной энергетической области траек-
траектории оказываются прямолинейными, причем между траекториями
противоположной сигнатуры имеется вырождение. Обсуждаются неко-
некоторые возможные способы объяснения такого поведения. Рассма-
Рассматриваются также попытки удовлетворить сверхсходящимся соотно-
соотношениям, учитывая состояния лишь нескольких отдельных частиц.
Глава заканчивается коротким параграфом, посвященным амплиту-
амплитудам электромагнитных и слабых процессов, которым свойственны
некоторые любопытные особенности.

Ц ВВЕДЕНИЕ
Вероятно, требуют пояснения принятые в книге обозначения
и система ссылок. Главы нумеруются римскими цифрами, а параграфы
и уравнения — арабскими; при этом обозначение (II.3.4) отвечает урав-
уравнению 4 в § 3, гл. II. Однако большинство ссылок относится к урав-
уравнениям той же самой главы; в этом случае ради краткости первое
число опускается, так что в пределах главы II указанное уравнение
фигурирует под номером C.4). Мы старались давать как можно боль-
больше перекрестных ссылок, поэтому книгу не обязательно читать после-
последовательно.
Библиография приведена в конце книги, причем работы помещены
в алфавитном порядке фамилий авторов. Конечно, невозможно надеять-
надеяться на то, что в столь обширной и быстро развивающейся области
удастся дать исчерпывающий список первоисточников. Однако мы
стремились включить все существенные работы, что особенно отно-
относится к раббтам, опубликованным после того, как были написаны
более ранние обзоры. Гораздо более полный список литературы вплоть
до конца 1963 г., включающий, естественно, все работы, которые
относятся к периоду становления теории полюсов Редже, в особен-
особенности статьи по потенциальному рассеянию, выходящие за рамки
нашей книги, можно найти в монографии Ньютона [315].
Одно исключение из нашей схемы цитирования сделано для так
называемого «Рукописного проекта Бейтмана» г), этой библии всех
теоретиков, которые занимаются полюсами Редже. К различным
томам этой книги приходится обращаться очень часто, поэтому мы
сократили соответствующие ссылки, так что, например, уравнение 4
из § 3, гл. 2, т. I «Высшие трансцендентные функции» [162] цитируется
как (В1,2.3.4); на подобное же уравнение из «Таблиц интегральных
преобразований» [163] мы ссылаемся как на (Т1,2.3.4).
Имеет смысл остановиться также на двух вопросах математиче-
математического характера. Мы будем очень часто иметь дело с асимптотическим
поведением функций. При этом будут встречаться выражения трех
типов. Запись
A (s, t) ~ ** <s>
означает, что предел
равен отличной от нуля константе (т. е. не зависит от f). Символ
A(s,t)-^V(s
используется в том смысле, что
*) В русском переводе «Высшие траисцеидент.ные функции» [162] и «Таблицы
интегральных преобразований» [163].— Прим. ред.

ВВЕДЕНИЕ 15.
Иногда применяется также обозначение
A (s, *) = 0(*а(8)),
которое соответствует тому, что
lim—^ ' <: const (const не зависит от t).
Другой вопрос связан с многократным использованием термина
«аналитичность». Когда математики говорят, что некоторая функция
«аналитична» в данной области, то они имеют в виду, что в этой области
функция не имеет сингулярностей (т. е. голоморфна). У физиков
существует тенденция использовать этот термин в гораздо более
широком смысле для указания того, что функция имеет лишь изоли-
изолированные особенности типа полюсов или точек ветвления, но не содер-
содержит существенных сингулярностей — ступенек, 6-функций или каких-
либо иных патологических «негладких» участков. Большинство функ-
функций, с которыми мы будем иметь дело, являются (или соответствую-
соответствующее поведение постулируется) аналитическими в последнем смысле,
включая возможность наличия у них изолированных полюсов или
точек ветвления. «Аналитическими» мы будем называть именно такие
функции, сохраняя термин «голоморфные» для случая полного отсут-
отсутствия особенностей (и конечно, под «мероморфными» будут понимать-
пониматься функции, имеющие в данной области лишь полюса).
Нам, очевидно, следует принести некоторые извинения. Пытаясь
учесть самые последние данные, мы вынуждены были использовать
работы, которые во время написания книги существовали лишь в виде
препринтов. В каждом подобном случае мы стремились получить
соответствующее разрешение авторов, но иногда мы могли этого
и не сделать. За подобные упущения, а также за случаи, в которых
мы исказили, не учли или недостаточно оценили подлинную' важ-
важность работы автора, мы можем лишь принести свои извинения.
Например, мы не могли отдать должное SO D)-симметрий, в значи-
значительной степени пренебрегли трехчастичной задачей и весьма кратко
рассмотрели различные приложения. Единственным оправданием
может служить лишь то, что книга и в таком виде имеет объем, зна-
значительно превосходящий первоначально принятый.
Мы рассмотрели только модель полюсов Редже, фактически исклю-
исключив все другие теории, но мы откровенно заявляем, что, по нашему
мнению, в физике высоких энергии эта модель не имеет ни одного
серьезного конкурента. В течение некоторого времени по праву поль-
пользовалась популярностью абсорптивная периферическая модель, и она
несомненно содержит элементы истины. Но пока не найдено ни одного
средства, которое позволило бы включить в ее схему обмен частицами
с высшими спинами. В настоящее время включение в теорию Редже
вклада от абсорптивных поправок ничем не оправдано, хотя не исклю-
исключена возможность того, что некоторая переформулировка проблемы,

16 ВВЕДЕНИЕ
состоящая, вероятно, в учете разрезов, приведет к успеху. Модель
кварков, конечно, ни в коей мере не составляет конкуренции, так
как она исследует проблему совершенно другими методами. Для нас
очевидно, что успешная корреляция между процессами рассеяния
при высоких энергиях и известными частицами, к которой приводит
теория Редже, не является случайной и что гипотеза Редже имеет
гораздо более прочный теоретический фундамент, чем любая другая
из предложенных схем. Мы полагаем, что эта теория и в будущем
сохранит свою ценность, и надеемся, что данная книга успешно обос-
обосновывает нашу точку зрения.
К сожалению, нам пришлось быть не совсем последовательными
в требованиях, предъявляемых к читателю. С одной стороны, мы
попытались изложить теорию 5-матрицы хотя бы в общих чертах
с самого начала; с другой стороны, предполагается знакомство
с 5?/.C)-симметрией и т.д., а в одной из глав — даже с анализом
фейнмановских диаграмм. По-видимому, если только не писать пол-
полную энциклопедию, не существует какого-либо простого способа
преодоления этой трудности. Однако мы стремились по мере необ-
необходимости давать полезные ссылки на вводящие в соответствующую
проблематику работы, а также на оригинальные исследования.
В заключение мы хотим выразить благодарность большому кругу
людей, с которыми имели подробные дискуссии; среди них особенно
следует упомянуть С. Мандельстама (который, как будет видно
из дальнейшего, внес огромный вклад в рассматриваемый предмет),
Дж. Чью (который ввел нас в данный круг вопросов), Э. Лидера,
Р. Филлипса и А. Мартина.
Дургам, Англия П. Коллинз
октябрь 1967 Ю. Сквайре

Глава I
5-МАТРИЦА
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
Несмотря на то, что в течение последнего десятилетия достигнут
значительный прогресс в развитии теории дисперсионных соотноше-
соотношений для аналитической матрицы рассеяния (или, короче, S-матрицы),
пока еще отсутствует общепринятый базис, на основе которого можно
было бы рассматривать явления из области сильных взаимодействий.
Сама теория дисперсионных соотношений еще не завершена, причем
фактически открытым остается даже вопрос, нужно ли свойства ана-
аналитичности просто постулировать, или их можно (а значит и должно)
выводить из некоторых более общих представлений о причинности.
' Мы не видим необходимости вступать в непосредственную поле-
полемику по этому вопросу, хотя в дальнейшем предвзятость нашей точки
зрения будет выступать, вероятно, довольно явственно. Отметим
только, что полюса Редже были введены в физику высоких энергий
именно в рамках теории S-матрицы, и если мы стремимся дать нечто
большее, чем чисто феноменологический анализ, то с необходимостью
приходится использовать эту теорию, зачастую просто угадывая
те результаты, для которых пока не получено формальных доказа-
доказательств. Совершенно очевидно, что такая ситуация гораздо менее
удовлетворительна, чем в теории потенциального рассеяния, где
существует прочный фундамент, и свойства полюсов Редже удается
получить чисто формально. Однако, с другой стороны, полюса Редже
по-настоящему полезны только в релятивистской теории, так как
в потенциальном рассеянии они по существу играют роль лишь некоего
математического курьеза.
В этой главе дается краткий обзор теории S-матрицы в ее совре-
современном состоянии, причем главное внимание обращается на те осо-
особенности теории, которые будут использованы ниже в данной книге.
В начале главы описываются постулаты, лежащие в основе теории
S-матрицы, и вводится определенная символика, применяемая для
записи условия унитарности. После краткого анализа характера
сингулярностей, являющихся следствием постулируемого принципа
«максимальной аналитичности первой степени», более подробно рас-
рассматриваются кинематика и сингулярности связной четыреххвостки
(амплитуды рассеяния для процесса соударения двух частиц, когда
в конечном состоянии имеется тоже только две частицы). Для этой
амплитуды выписываются однократные и двойные дисперсионные
2-6

18 ГЛАВА I
соотношения и показывается, как из необходимости делать в некото-
некоторых интегралах «вычитания» вытекают определенные неоднозначности,
что прокладывает путь введению в гл. II «максимальной аналитич-
аналитичности второй степени». В конце главы демонстрируется методика
вычисления упругой части двойных спектральных функций.
Гораздо более исчерпывающее описание аксиом и диаграммной
техники с большим количеством ссылок можно найти в монографии
Идена и др. [160], а обзор применения теории к динамическим расче-
расчетам содержится в нескольких работах Чью [97, 102, 103, 106]. Полюса
Редже в теории потенциального рассеяния подробно рассматриваются
в ряде книг [17, 315, 368].
§ 2. ПОСТУЛАТЫ ТЕОРИИ S-МАТРИЦЫ
Существует несколько различных способов формулировки посту-
постулатов теории 5-матрицы (см., например, [321, 377]), но, по-видимому,
достаточно принять следующие шесть постулатов.
1. Квантовомеханический принцип суперпозиции.
2. Существование унитарной 5-матрицы.
3. Лоренцевская инвариантность 5-матрицы.
4. Разложимость 5-матрицы, обусловленная конечностью радиуса
сильного взаимодействия.
5. Максимальная аналитичность первой степени, которая требует,
чтобы единственными сингулярностями 5-матрицы были полюса,
отвечающие стабильным или нестабильным частицам, а также осо-
особенности, порождаемые этими полюсами благодаря условию уни-
унитарности.
6. Максимальная аналитичность второй степени, которая требует
возможности продолжения 5-матрицы по угловому моменту в ком-
комплексную плоскость этой переменной, причем допускаются лишь
изолированные особенности.
Из приведенных постулатов первые четыре почти бесспорны,
и вряд ли приходится сомневаться в том, что им должна удовлетво-
удовлетворять любая последовательная теория сильных взаимодействий. В то
же время постулаты 5 и 6 носят весьма дискуссионный характер, но
они составляют основу динамической теории 5-матрицы [102, 103,
106]. Необходимо отметить, что, по крайней мере частично, утвержде-
утверждение 6 следует из постулата 5, так что его не обязательно высказывать
в виде отдельного постулата. Тем не менее, его удобно рассматривать
как независимую аксиому. В этой главе мы рассмотрим следствия,
или ожидаемые следствия, постулатов 1—5, а анализ постулата 6,
касающегося полюсов Редже, отложим до следующей главы.
В постулате 1 содержится следующее требование: если | i|)i )
и | г|з2 ) — физические состояния, то и | г|з3 > = а | гр4 > + b | г?2 )
при произвольных комплексных числах а и Ъ также является физи-
физическим состоянием. В действительности благодаря правилам суперот-

S-МАТРИЦА . 19
бора, таким, как сохранение заряда или барионного числа, это утвер>
ждение не всегда верно, но соответствующие усложнения поддаются
достаточно простому анализу *), так что здесь мы их рассматривать
не будем.
Эксперименты в области сильных взаимодействий ставятся следую-
следующим образом. Прежде всего фиксируют начальное состояние | i > двух
(или, по крайней мере в принципе, большего числа) частиц, затем им
дают возможность провзаимодействовать, и наконец, наблюдают
конечное состояние | / >, в котором находится произвольное число
образовавшихся частиц. Определим элемент 5-матрицы {f \ S \ i )
так, чтобы величина
Pft = \(f\S\ i) I2= <i|5f [/></| 5 | i) B.1)
представляла вероятность обнаружить конечное состояние | / > при
заданном начальном состоянии \ i ). Вследствие постулата 4 и благо-
благодаря тому, что мы пренебрегаем слабыми, но дальнодействующими
силами (такими, как электромагнетизм и гравитация), состояния
\ i ) и | / > с уверенностью можно считать состояниями свободных
частиц.
Постулат 2 требует, чтобы существовал полный ортонормирован-
ный набор состояний свободных частиц | т > (т = 1, 2, . . .). Далее,
вероятность того, что частицы из исходного начального состояния
| i ) перейдут в какое-либо конечное состояние, равна единице, так что
S |</я IS | *> |" = S <* IS* [ m> <m [ S | 0 = <i | S+S | *> = , B.2)
т
где использовано условие полноты
2|m><m|=l. B.3)
Так как это справедливо при любом выборе базисных состояний [ т.),
получаем матричное соотношение
5+5 = 55+ = 1, B.4)
т. е. 5-матрица унитарна.
Состояние одной свободной частицы полностью характеризуется
заданием ее вида t (включая спин), 4-импульса р и спиральности Я,
которая определяется [247] как ¦ проекция спина а на направление
движения:
где р — трехмерный вектор импульса. Спиральность Я принимает
целые или (для фермионов) полуцелые значения, ограниченные нера-
неравенством | X | <; | а |. Поскольку частицы являются свободными
*) Н. P. S t a p p, Lawrence Radiation Laboratory Report UCRL-10843,
1963 (не опубликовано).

20 ГЛАВА I
(мы всегда будем иметь дело лишь с начальными и конечными состоя-
состояниями, не рассматривая состояний взаимодействия), выполняется
ограничение массовой поверхностью
p» = w» = p«_p«. B.6)
Здесь т — масса частицы, р0—ее энергия, причем единицы выбраны
так, что скорость света с=1. Таким образом, состояния можно запи-
записывать в виде | р, t, К).
Примем релятивистскую нормировку
(/?', /', А/ | р, U К) = BлK 2/70б3 (р' -р) бц-бм; B.7)
тогда условие полноты B.3) для состояний одной частицы запишется
в виде .
1 ' = l. B.8)
Используя для набора индексов состояния {/?, t, К} символ Р, можно
обозначить jV-частичное состояние как | Pi: Р2, ..., PN) с соотноше-
соотношением ортонормированности
{Р[ ... P'N> | Pt .. . PN) = П Bя)» 2ро„ б* (р'„-р„) 6NN. B.9)
N
и условием полноты
2 J Р, ... PN) X
Х</>! ...Ря\=1. B.10)
Тогда условие унитарности. B.2) запишется в виде
N
т\) (Р[ ... Р'м-15 | Qt ... Q^) x
X(Qt ... Qw|S*|Pi ... Pm) = {P[ ... Pk-IPt ••¦ Рм), B.П)
где .символ Q = {<7, /, Ji,} обозначает промежуточное состояние час-
частицы с четырехмерным импульсом q.
Условие унитарности имеет решающее значение для развития
теории, но очевидно, что в приведенной записи оно является весьма
громоздким. Был изобретен гораздо более простой способ выраже-
выражения условия унитарности, использующий специфическую диаграмм-
диаграммную запись [219] г).
х) Первоначальный вариант этой работы опубликован в 1962 г.

S-МАТРИЦА . 21
§ 3. СИМВОЛИЧЕСКАЯ ЗАПИСЬ УСЛОВИЯ УНИТАРНОСТИ
В данном параграфе для сокращения записи индексы, указываю-
указывающие тип частицы t и ее спиральность К, будут опускаться. Никаких
принципиальных моментов при этом не возникает, но не следует
забывать, что интегрирование, когда это необходимо, включает также
суммирование по данным индексам. Кроме того, все массы считаются
равными (и обозначаются через т) и рассматриваются лишь стабиль-
стабильные частицы. Эти ограничения будут сняты несколько позже.
Вследствие лоренцевской инвариантности (постулат 3) элемент
5-матрицы обращается в нуль, если не сохраняются энергия и импульс:
{р[... p'w\S\Pi ... рм) = 0 при 2/>=7*=2/>'- C.1)
Таким образом, в условие унитарности B.11) дают вклад лишь те
промежуточные состояния, для которых (Л^т)а<:(У] р)%. Мы отразим
это обстоятельство, используя символику [160, 219, 321], в которой
элементам 5-матрицы сопоставляются кружки:
(Р[... P'N,\s\Pi... Рм)= : 7 s ) : C.2)
N' « К J- . М
[ ... Р'я. | sf | Pt... Рм)» : 1 s+ 1
N' X^_^Z- М
C.3)
Разрешенные промежуточные состояния изображаются в виде
I
~3N \ П d%6+ (qtm2) ' ' !
Bя) ~3N \ П d%6+ (qt- m2) ^ ' ' ! , C.4)
i=l I
где вертикальные черточки на концах линий указывают, что эти
линии присоединяются к кружкам. Наконец, перекрытие частиц
начального и конечного состояний изображается линиями без черточек:
1
: • C.5)
м

22 ГЛАВА I
Таким образом, при Bт)г <. (% р)% <. (Зт)а благодаря сохранению
энергии-импульса в B.11) будут входить лишь двухчастичные состоя-
состояния, а именно
ql - m?) 6+ {q% -ma) (p'lP'2 \ S | q,qz) x
X (<7i?21 Sf | piP2) = (p>; | piPz), C.6)
или в принятых обозначениях
Стабильность частиц исключает появление одночастичных промежу-
промежуточных состояний. При более высоких энергиях, в области
возможны двухчастичные и трехчастичные состояния, поэтому имеем
(О (s+)— + Cs) (s+y- - 0 ,
C.7)
—(s) (sp " + —(s) ^ =
Равенство нулю правой части второго и третьего соотношений обус-
обусловлено ортогональностью
{р'х ... p'n\Pi. ••• Рт) = 0 при пфт.
Аналогичные наборы диаграмм можно составить для более высоких
энергий (см. [160], стр. 189).
Дальнейшее упрощение условий унитарности обусловлено свой-
свойством разложимости (постулат 4). Вследствие короткодействия эле-
элемент 5-матрицы часто можно разложить на несвязные компоненты.
Так, матричный элемент с четырьмя внешними линиями можно раз-
разложить следующим образом:
C-8)
Причина, по которой в кружке ставится знак плюс, поясняется ниже.

S-МАТРИЦА 23
Принципиальное различие между этими двумя членами заключает-
заключается в том, что они содержат разные б-фуцкции, соответствующие сохра-
сохранению энергии-импульса. Первый член описывает движение частиц
без взаимодействия, поэтому сохраняется импульс каждой из них
в отдельности; в то же время второй член, так называемая «связная
часть» 5-матрицы (отсюда и индекс С), соответствует как раз взаимо-
взаимодействию частиц, так что сохраняется только суммарный импульс
Pi. + Рг- Таким образом, вводя для обозначения связной части матри-
матрицу А, можно переписать соотношение C.6) в следующем виде:
= Bл)* 4/701/702б3 (pi - Pl) б3 (pj - р2) +
+1 Bя)*б*(Pi + p»-p'l-p'J (р[р'21 А+1 plPz) C.9)
(множители i и BлL введены для удобства). Отметим, что общепри-
общепринятым является именно такое определение матрицы А; от определе-
определений, принятых в работах [120, 361], оно отличается знаком минус,
который компенсируется множителем —1 в равенстве C.16).
Когда имеется более четырех внешних линий, разложение стано-
становится сложнее, например
OFT
C.10)
Дальнейшие примеры такого типа можно найти в книге Идена и др
[120], стр. 190.
Аналогично для матричного элемента (*г! напишем
где
Подобное же разложение имеет место и для более сложных диа-
диаграмм, причем каждое слагаемое следует умножать на (—1)г, где
/ — число кружков со знаком минус внутри.
Учитывая эти разложения, условие унитарности C.6а) можно
записать в виде
C.13)

24
ГЛАВА I
Производя перемножение и собирая члены одной и той же связности
(с одинаковыми наборами б-функций), получаем
Аналогично, при энергиях, соответствующих C.7), соотношение
О) E+) +
дает
C.15)
Выписывая для этих диаграмм явные выражения, получим, что каж-
каждая замкнутая петля, подобная изображенной на фиг. 1.1, содержит
Фиг. 1.1. Петлевая диаграмма.
Благодаря сохранению энергии-импульса в каждом кружке единственным независимым
4-импульсом является вектор q. Для всей диаграммы в целом имеет место равенство ра =
= Pi + Рг — Рп-
лишь один независимый импульс q и что б-функции вместе со все-
всевозможными коэффициентами i, 2л и т. д., отвечающие сохранению
полного импульса и сохранению импульса в каждой вершине, можно
просто сократить. Таким образом, для каждой диаграммы мы прихо-
приходим к набору более простых правил [321]:
для кружка
= (-\)A±{p[...pN),
C.16)

S-МАТРИЦА 25
для внутренней линии с импульсом q
1 I ' =-2ni6+(^-m2), C.17)
для петли с независимым импульсом
= Т555г(** (ЗЛ8>
Применяя эти правила к особо важному случаю двухчастичного
условия унитарности для четыреххвостки, из C.14) получаем
р! у Pi + 9
с-
Pk-f
или
А+(Pi, Pii P'\i Рг) — A~(pi, р2, р[, р'2) =
- 2ш)« 6+ [(Pl + </J - т*] 6+ [(/72 - ?J -т?) X
, Pz — q, p'v р'2)А~(ри р2, pi + q, pz — q). C.19)
Смысл введения матриц Л вместо 5-матрицы состоит в том, что при
этом исключаются все кинематические б-функции. Каждая матрица А
является функцией совокупности переменных, описывающих входя-
входящие и выходящие частицы:
Однако требование лоренцевской инвариантности матриц А наклады-
накладывает сильные ограничения на эту функциональную зависимость.
Если частицы не имеют спина, то это требование приводит просто
к тому, что матрицы А должны быть функциями инвариантов, образо-
образованных из импульсов р. До конца этой главы мы будем рассматривать
лишь частицы с нулевым спином. Изменения, к которым приводит
наличие спина, рассматриваются в гл. IV, где показано, что почти
все, сказанное здесь, остается справедливым для частиц со спином,
но, к сожалению, возникают некоторые трудности. Спин в рамках
теории 5-матрицы проанализирован в работе Тейлора [383].
Если ввести совокупность инвариантов
то мы будем иметь А = A (su s2, s12, . . ., s^..^), но, конечно, не все
переменные s независимы. Для каждой матрицы А с N внешними

26 ГЛАВА I
линиями существует AN переменных (по 4 компоненты для каждого
из N четырехмерных векторов). Однако все частицы находятся на мас-
массовой поверхности, что дает N условий связи; кроме того, к четырем
соотношениям приводит сохранение полной энергии-импульса и еще
6 ограничений обусловлены инвариантностью относительно вращений
в четырехмерном пространстве. Таким образом, остается лишь 3N — 10
независимых переменных. Для проверки этого результата заметим,
что для одной частицы мы имеем диаграмму Pi q Да , т. е. 3x2 —10 =
= —4 степеней свободы, или четыре условия связи, каковыми
являются равенства /?1(г = /?2ц (ц= 1, 2, 3, 4) для компонент импульса.
Совокупность частиц, соответствующих входящим (или выходя-
выходящим) линиям элемента матрицы Л, называют «каналом». При задан-
заданном входном канале число выходных каналов, конечно, как правило,
ограничено сохранением всевозможных внутренних квантовых чисел
(заряд, изоспин, барионное число и т. д.), которые определяются
сортом частиц. Каналы с одинаковыми внутренними квантовыми чис-
числами называют «взаимосвязанными» [103].
§ 4. СТРУКТУРА СИНГУЛЯРНОСТЕЙ АМПЛИТУД РАССЕЯНИЯ
На основе постулатов 1—4 можно показать, что соотношения уни-
унитарности приводят к появлению у матрицы Л определенных сингуляр-
сингулярностей по различным инвариантам, от которых она зависит. Вывод
этих сингулярностей рассматривается в монографии Идена и др. [160];
здесь мы ограничимся перечислением некоторых результатов без
указаний о наличии строгих доказательств.
Прежде всего существуют полюса, соответствующие одночастич-
ным внутренним линиям. Таким образом, матрица А += х?? имеет
Pi
лолюсвида l/(s12 — /п2), который отвечает диаграмме J^f)—©—fff
т х Рг
[Символ —(+)— на линии указывает просто на то, что она является
частью кружка i+T » а не внутренней линией, входящей
в интеграл условия унитарности и соответствующей, как видно из
C.17), функции —2ш+ (<72 — /п2).] Можно показать, что вычет

S-МАТРИЦА 27
в этом полюсе имеет вид
Наиболее существенно, что этот вычет можно факторизовать, т. е.
представить в виде произведения двух амплитуд Л* и А~. Таким
образом, вклад полюса в амплитуду А+ равен
А+ « —[_ % при s12, близком к т2. D.2)
¦Этот результат справедлив независимо от того, стабильна или неста-
нестабильна частица, хотя диаграмма D.1) может соответствовать физиче-
физическому процессу, конечно, лишь в том случае, если частица с массой т
нестабильна. В противном случае этот полюс отвечает связанному
состоянию.
Еще одним типом сингулярности является точка ветвления, воз-
возникающая на пороге рождения каждой группы частиц, которая может
быть промежуточным состоянием. Так амплитуда ]5L имеет поро-
пороговую точку ветвления, соответствующую диаграмме (-J-)
причем можно показать, что скачок амплитуды на разрезе определяет-
ся диаграммой (-{-) (—) . Этот скачок вычисляется явно
в § 9 данной главы. Этот результат допускает обобщение, и скачок
на разрезе, возникающем благодаря Af-частичному промежуточному
состоянию типа
дается правилами Каткоского [131, 132] в виде
N-l N
DisN [Л] = С
1=1
П I - 2™6+ (tf - m$l №. D.3)
1=1 i=i
Интегрирование здесь проводится по N — 1 независимым петлям /,
образованным N промежуточными линиями. Используя тождество

28 ГЛАВА I
(Р — символ главного значения), приведенное выражение можно пере-
переписать в виде
Disw [Л] = Dis { } Д1 [ffi-] Д ^ №.
Это выражение очень похоже на фейнмановский интеграл для соот-
соответствующей диаграммы; единственное различие состоит в том, что
вместо констант связи в вершинах стоят амплитуды А+ и А~. Положе-
Положение сингулярностеи этих интегралов определяется правилами Лан-
Ландау [2711
<7! = /л? для всех i
и
2 0, D.4)
3
по петле
где а/ — некоторые константы (а/ Ф 0), причем суммирование по ;'
ведется по каждой замкнутой петле. Заметим, что этим способом
получается только ведущая сингулярность соответствующей фейн-
мановской диаграммы; другие сингулярности появляются уже в более
простых диаграммах.
Таким образом, для заданной амплитуды ~~xi<C~ можно
найти минимальный набор сингулярностеи, рисуя все допусти-
допустимые диаграммы (которых существует бесконечное множество) с тем
же числом входящих и выходящих внешних линий, например,
, =LJ
и т. д., и используя для определения положения сингулярностеи
и скачков на разрезах, отвечающих этим диаграммам, правила Лан-
Ландау — Каткоского. Постулат максимальной аналитичности первой
степени (постулат 5) утверждает, что этот минимальный набор исчерпы-
исчерпывает все сингулярности, т. е. что не существует сингулярностеи, отлич-
отличных от тех, которые даются условием унитарности. Если это дей-
действительно так, то задав полный набор полюсов, соответствующих
всем частицам, как стабильным, так и нестабильным, в принципе
можно найти все прочие сингулярности, применяя правила Ландау
и Каткоского, так как в D.3) и D.4) входят только массы частиц.
Однако число частиц, фигурирующих в теории, так же как и их массы,
абсолютно ничем не фиксировано. Предположение о существовании

S-МАТРИЦА . 29
новой частицы приводит просто к тому, что возникает дополнитель-
дополнительный (бесконечный) набор сингулярностей.
Если массы частиц вещественны (т. е. частицы стабильны), то
сингулярности, определяемые правилами Ландау— Каткоского, воз-
возникают при вещественных значениях инвариантов. Например, при
= (Щ +- т2J
.имеется точка ветвления, которая соответствует диаграмме
т Р,
- 4
s Р,
G . Далее, физическая амплитуда процесса
^ Pi
I + 2-> 3 + 4 вычисляется, конечно, при вещественных si2,, но подой-
подойти к действительной оси можно как сверху, так и снизу. При-
Примем +ге-правило, согласно которому в физической области изменения
переменной sa (для любого канала а) физическая амплитуда имеет вид
физ. A+(sa, .. .) = \\тА+ (sa + ie, .. .) (sa вещественно), D.5)
е-»-О
т. е. мы будем всегда подходить к действительной оси сверху, как
это показано на фиг. 1.2. Ясно, что если бы во всех случаях применя-
применялось противоположное правило (—ie), то мы имели бы дело просто
li
Фиг. 1.2. Направление, по которому следует подходить к вещественной оси
переменной s, чтобы получить физическую амплитуду.
Разрез из точки ветвления s = (mt + ">гJ проводится вдоль положительного иаправления
вещественной осн.
с комплексно сопряженными амплитудами, что не привело бы ни
к каким существенным изменениям. Но мы не можем быть уверены
в том,, что не следует использовать какое-то смешанное правило,
согласно которому к одним из разрезов нужно подходить сверху,
а к другим — снизу. Принимается гипотеза, согласно которой имеется
«физический лист» [103, 160] данного инварианта, на котором про-
продолжение на действительную ось сверху приводит к физическим
амплитудам. Существуют определенные надежды, что в конце концов
эту гипотезу удастся доказать.

30 ГЛАВА I
Поскольку А~ комплексно сопряжена А+, физическая амплитуда
физ. A~(sa, .. .) = limA-(sa, — is, ...). D.6)
е-»-0
Массы^ нестабильных частиц имеют отрицательную мнимую часть,
поэтому они не лежат на физическом листе. Следует ожидать, что это
справедливо и для других сингулярностей, которые генерируются
из полюсов, отвечающих нестабильным частицам, условием унитар-
унитарности (см. § 8).
§ 5. КРОССИНГ И СРГ-ТЕОРЕМА
Одним из наиболее важных результатов, полученных на основе
этих принципов, является так называемый «кроссинг». К сожалению,
его не удается строго доказать, так как в настоящее время не выясне-
выяснено, можно ли осуществить необходимое аналитическое продолжение
из одной области изменения переменных в другую, оставаясь на
физическом листе (насколько это оправдано, мы подробно рассмотрим
в § 8). Если такая процедура возможна, то с помощью аналитического
продолжения из амплитуды 4'J^-\jy^ZL? можно получить ампли-
туду 3 ~^~^С^-^~*~ * » где символ 5 относится к античастице частицы 5.
* 5
Очевидно, квантовые числа частиц 5 и 5 имеют противоположные знаки.
Конечно, этим процессам соответствуют разные области изменения
переменных, так как для первой амплитуды должно выполняться
неравенство
а для второй
(напомним, что т^ = т5). Однако тот факт, что обеим этим амплитудам
соответствует единая функция, значения которой в разных областях
связаны аналитическим продолжением, накладывает на их поведение
очень сильные ограничения.
Если обратить направления всех стрелок
т — . _
А- *Х Т *ч у—s~***^ 2.
то область изменения переменных останется прежней, и мы приходим
к выводу о совпадении амплитуд, описывающих процессы I + 2 -*¦
-»-3 + 4 + 5иЗ + 4 + 5->-1 + 2. Это утверждение является част-

S-МАТРИЦА
31
ным случаем СРГ-теоремы, согласно которой S-матрица инвариантна
относительно совместного применения операций обращения времени,
зарядового сопряжения и измене-
изменения знака четности.
§6. СВЯЗНАЯ ЧЕТЫРЕХХВОСТКА
В этой книге часто будет рас-
рассматриваться связная четырех-
хвостка, описывающая простей-
простейший из возможных процессов,
в котором происходит рассеяние
двух частиц в две (не обязатель-
обязательно те же самые). В оставшихся
параграфах данной главы некото-
некоторые из обсуждавшихся выше об-
общих идей будут применены для
анализа этой амплитуды.
Из § 3 нам известно, что среди инвариантов, которые можно
построить из четырехмерных векторов ри р2, рз и pit имеется только
два независимых. Для удобства условимся считать все четыре части-
частицы входящими, как это указано на фиг. 1.3. В любом реальном про-
процессе выходящим частицам будут соответствовать две античастицы.
Из СРГ-теоремы и кроссинга следует, что данная амплитуда описы-
описывает шесть процессов:
. 3 + 4^ Г+ 2;
2 + 4->Ч-3;
2 + 3-^1 + 4.
Фиг. 1.3. Связная четыреххвостка.
I.
II.
III.
1 + 2-
1 + 3-
1 + 4-
Однако процессам I, II и III соответствуют разные области измене-
изменения переменных.
Введем следующие три инварианта:
F.1а)
F.16)
(в каждой формуле второе равенство следует из сохранения энергии-
импульса).
В системе центра масс частиц 1 и 2 четырехмерные векторы можно
выписать явно:
где qsi2 — трехмерный импульс частицы 1 в этой системе, а ?\ — ее
энергия, и т. д. Аналогично, для частиц 3 и 4 имеем
F.26)

32 ГЛАВА I
Ограничения массовой поверхностью требуют, чтобы
/>! = ??-<&, = < F.3а)
Р* = Е\-?«* = п\, F.36)
р\ = Е\-<Г.* = т\ (б.Зв)
и
p\ = E\-ftM = m\. (б.Зг)
В то же время величина
s = (?1 + ?2)" = (?s + ^«)" F-4)
есть квадрат полной энергии в системе центра масс частиц 1 и 2
или 3 и 4 для процесса I. Поэтому процесс I называется s-каналом,
тогда как процесс II — ^-каналом, а процесс III — «-каналом.
Кроме того, из F.1) имеем
или, учитывая F.3),
s=n%-\-ml + 2p1p2. F.5а)
Аналогично,
t = m\ + m\ + 2Plp3 F.56)
и
u^ml + ml + 2pipi. F.5в)
Складывая эти равенства, получаем
s + t + u = ml + n? + ml + ml + 2ml + 2pi(pi + p3 + pt). F.6)
Используя сохранение четырехмерного импульса
Рг + Рз+Pi^—Pi F-7)
и соотношения F.3), приходим к следующему результату:
ml-\-ml = ll. F.8)
Таким образом, как и следовало ожидать, между нашими тремя
инвариантами имеется одно соотношение, так что только два из них
являются независимыми. Однако большей частью бывает удобным
работать со всеми тремя инвариантами, изображая их на диаграмме
Мандельстама [288], которая представлена на фиг. 1.4.
Выразим через введенные инварианты другие физические пере-
переменные. Из F.5а) имеем
Кроме того, используя F.2а), получаем
2 = Pi (Pi+P2) = ?tV~s. F.10)

S-МАТРИЦА
33
Исключая из F.9) и F.10) величину р%рг* приходим к формуле
^ F.11a)
Аналогично этому можно показать, что
m?)f FЛ1б)
ml), F.11b)
H7jm')* FЛ1г)
Таким образом, s определяет энергию каждой частицы в системе
\ X
\ \
\ \
\ \
\ \
\ N
\
\
\
\
/
/
/ /
/ /
/ /
/ /
/ /
\ s
\t/
A
\/
X
/\
/ \
j
/
/
/
/
/
f /
/
x_
/
\
\
\ N
\
\
\
\
\
/ /
/
/
/
/
/
\
\
\
\
-s=Z
s*0
Фиг. 1.4. Мандельстамовская плоскость, на которой указаны переменные
s, t и и.
центра масс. Соответствующие трехмерные импульсы можно найти,
комбинируя F.3а) с F.11а), что дает
и аналогично
] [s - (m, - m2)8]
[s— (m3 — m4J].
F.12а)
F.126)
3—650

34
ГЛАВА I
Из F.56) и F.2а), F.26) получаем
\ + 2EtE3 — 2qsl2q«4 =
-\-2EtE3 — 2qsiZqs3i cos 08f
F.13)
где 9S —угол между направлениями движения частиц 1 и 3 в системе
центра масс, называемый обычно углом рассеяния в этой системе
(фиг. 1.5). Используя F.11а) и F.Ив), получаем
COS о» —
F.14)
так что при заданной энергии s угол рассеяния определяется пере-
переменной t. Имеет смысл отметить, что в случае равенства всех масс
формулы F.12) и F.14) значительно упрощаются и приводятся к виду
F.15)
F.16)
Очевидно, физическая область для s-канала определяет-
определяется неравенствами
(т. е. <&2>0)
— 1<cos6s<1.
Это последнее условие в переменных sat записывается
следующим образом [266, 160J:
1
О
т\
t
1
1
t
О
ml
1
ml
s
ml
0
В случае равных масс оно дает
/о
Фиг. 1.5. Угол
рассеяния 9S
в'системе цент-
центра масс.
причем из F.8) следует, что линия t = — (s — 4m2) отвечает значе-
значению и = 0. Аналогичные условия получаются и для физических
областей t- и «-каналов. На фиг. 1.6 показаны физические области
всех каналов для двух различных комбинаций масс.
В заключение отметим следующее. Мы полагаем, что двухчастичная
амплитуда рассеяния A (s, f) является аналитической функцией пере-

S-МАТРИЦА
35
менных s, t, и, на которые нало-
наложено условие s+ t + " = 2, и что
в соответствующих областях она
определяет физические амплиту-
амплитуды процессов I—III.
§ 7. СВЯЗЬ МЕЖДУ АМПЛИТУДОЙ
РАССЕЯНИЯ И ИЗМЕРЯЕМЫМИ
ВЕЛИЧИНАМИ
Чтобы можно было сравнить
теорию с экспериментом, необ-
необходимо знать, как введенные вы-
выше инвариантные амплитуды рас-
рассеяния связаны с сечениями,
которые измеряют эксперимента-
экспериментаторы.
Элемент S-матрицы, связы-
связывающий начальное состояние 11 )
(полный четырехмерный импу-
импульс/?;) с конечным состоянием |/ >
(полный четырехмерный импу-
импульс pf), можно записать в виде
(pt-
G.1)
Вероятность перехода в единицу
времени в единице объема из со-
состояния | 0 в состояние | /> дается
формулой
X
BяL
X\(f\A+\i)
G.2)
где с квадратом 6-функции мы
обращаемся по обычным прави-
правилам. Если начальное состояние
содержит две частицы с импуль-
импульсами р^и рг, а конечное состоя-
состояние—произвольное число ./V час-
частиц с импульсами р), то при усло-
условии нормировки B.7) мы будем
Фиг. 1.6. Физические области для про-
процессов рассеяния частиц.
а — с равными массами, например ля -¦ яя,
н 6 — с двумя разными массами, например
яле -* яЛГ.
3*

36 ГЛАВА I
иметь
G.3)
В системе центра масс поток падающих частиц равен модулю отно-
относительной скорости, с которой сближаются две частицы, деленному
на нормировочный объем из B.7) [объем равен 2Е1
поток = 4?1?2|у1-у2|0.ц.м. = 4?1?2 3™+3«1. =4<7sl2]/"s. G.4)
Следовательно, сечение рассеяния из состояния | i) в состояние Ц />
дается формулой
вероятность перехода Bя)* Г тт Г <tyj "I
~~ единичный поток 4<?sl2 ~\/l J ¦*¦* L 2p'0i Bя)» J
Х\(р[ ... /?^ | Л+1 Pi/?2> |а б (/?/ — /»!—/»2). G.5)
Если в конечном состоянии имеется только две частицы, четырех-
четырехмерные импульсы которых в системе центра масс равны
Рз = (Ез, qS34) и Pi^(Ei, — qs34),
то мы получим
Проводя одно интегрирование с помощью б-функции, получаем
а = —-Ц^ f ^6(у-8-Еа-Ед\(ш\А+\р,рг>Г. G.7)
{pnpqsi2vs • йз?4
Равенство
j j dQ G.8)
( f dSl обозначает интегрирование по углам, определяющим направ-
направление движения частицы з) позволяет переписать сечение в виде
Дифференциальное сечение соответственно равно
G.10)
или в инвариантных переменных
f«p, G.11)

S-МАТРИЦА 37
так что
? -1л<*<>Г- GЛ2)
Нам потребуется также известное соотношение между полным сече-
сечением и мнимой частью амплитуды упругого рассеяния, т. е. опти-
оптическая теорема. Условие унитарности B.2) дает
= 6/г. GЛЗ)
т
Подставляя сюда G.1), получаем
J
Поэтому, если начальное и конечное состояния совпадают, то
2lm(i\A\ О = Bл)* U б (pi - Рт) | (т \А+1 f > |». G.15)
Сравнение с G.5) показывает, что правая часть соотношения G.15)
пропорциональна сумме сечений, соответствующих переходам из двух-
двухчастичного состояния \i ) = \ Р1Р2) во все другие состояния, кото-
которые допускаются законом сохранения энергии-импульса.
Таким образом,(
с?°лн = -—- Im(i\A\i). 17.16)
г -* все состояния ]п„ -i/j ч II'" \ '
г -* все состояния ]п„
Конечное состояние амплитуды </1А \ i) тождественно начальному
состоянию, поэтому частицы конечного состояния должны двигаться
в направлении вперед, т. е. / = 0, так что
Vs
s, 0). G.17)
На формулы G.10), G.12) и G.17) мы будем часто ссылаться в даль-
дальнейшем.
§ 8. СИНГУЛЯРНОСТИ СВЯЗНОЙ ЧЕТЫРЕХХВОСТКИ
В каждом канале имеются сингулярности, которые требуются
условием унитарности. Таким образом, если существует некоторая
частица массы М, которая имеет те же внутренние квантовые числа,
что и двухчастичная система 1+2, т. е. которая взаимосвязана
с s-каналом, то мы имеем полюс
3
4

38
ГЛАВА I
Кроме того, имеются пороговые
всевозможным порогам рождения
а
ТО
точки ветвления, соответствующие
Т
и т. д.
всех наборов частиц {а, Ь), {с, d, ё) и т. д., взаимосвязанных сдан-
сданным каналом. Положения этих порогов определяются значениями
s = (ща + mb)z, s = (mc + md + те)* и т. д. В случае . стабильных
частиц (масса т вещественна) точки ветвления лежат на действитель-
действительной оси комплексной плоскости переменного s, и мы можем провести
разрезы, идущие вдоль действительной оси из точек ветвления в точ-
точку s = + оо. Это показано на фиг. 1.7, где принято, что ближайший
Im{s) ^
Фиг. 1.7. Физический лист переменной s, на котором указан полюс при Л/3,
соответствующий связанному состоянию, и некоторые пороговые разрезы.
порог, взаимосвязанный с каналом, соответствует системе 1+2. Раз-
Разрезы изображены несколько смещенными вниз, чтобы они не накла-
накладывались друг на друга.
Конечно, мы вправе проводить разрезы вдоль любого направления,
но указанный выбор является наиболее удобным, так как при этом
амплитуда становится эрмитово аналитической. Чтобы получить
физическую амплитуду в области s > (mi + m2)a, необходимо под-
подходить к разрезам сверху, т. е. в соответствии с +?е-правилом (см. § 4)
физ. (s-канал) А+ (s, t) ¦¦
dim A (s-f- г'8, t).
8-J-O
Лист, для которого такое продолжение приводит к правильному резуль-
результату (он показан на фиг. 1.6), является физическим листом. Аналогич-
Аналогично для амплитуды А~ (s, f) правильное граничное значение имеет вид
HmA(s—(8, t).

5-МАТРИЦА
39
Ниже самого близкого порога справедливо равенство А+ = А~, поэто-
поэтому амплитуда А является эрмитово аналитической.
Если существует нестабильная частица массы ц, причем Reц >>
>> mi + m2, то у этой массы имеется отрицательная мнимая часть,
определяемая шириной, которая входит в формулу Б рейта — Вигнера
A(s, *)=•=-
?-jx*
(8.1)
Здесь E = Vs — энергия в системе центра масс, ER = Re p — положе-
положение резонанса, Г — ширина резонанса, g — вычет в полюсе. При
s « sR = Е% имеет место равенство
A(s, t)
s—sR+iERr
(8.2)
(в приближении Г ^ Re fx). Это сдвигает полюс на первый нефизический
лист, как показано на фиг. 1.8. Аналогично, любой порог, связанный
IS.
¦Фиг. 1.8. физический лист, на котором указан полюс нестабильной частицы
с массой (Л и один из порогов с этой частицей.
с рождением частицы массы [i, например порог fx + та, будет лежать
также на нефизическом листе.
Считается, что на физическом листе единственными сингулярно-
стями являются полюса стабильных частиц и пороги, связанные с рож-
рождением только стабильных частиц (мы не рассматриваем аномальные
пороги, возникающие, когда массы частиц удовлетворяют определен-
определенным неравенствам, см. [160]), а все другие, более сложные сингуляр-
сингулярности расположены на нефизических листах. Эти полюса и пороги
возникают в каждом из трех каналов s, t и и; их положение на мандель-
стамовской плоскости показано на фиг. 1.9. Более сложные сингуляр-
сингулярности соответствуют более сложным диаграммам, с большими массами

40
ГЛАВА I
промежуточных состояний, поэтому, в согласии с правилами Ландау —
Каткоского, они должны появляться при более высоких значениях
инвариантов.
Низкоэнергетические сингулярности обычно имеют простую струк-
структуру. Кроме полюсов, вид которых определяется формулой D.2),
ближайшими сингулярностями часто являются двухчастичные пороги;
X
/ /¦
s=/6m2
Фиг. i.9. Сингулярности на мандельстамовской плоскости для амплитуды
рассеяния частиц с равными массами; указаны пороги в каждом'канале, лежа-
лежащие при BтJ, (ЗтJ и DтJ.
для вычисления скачков амплитуды на соответствующих разрезах
можно воспользоваться условием унитарности C.9). Поскольку
в дальнейшем они будут играть важную, роль, получим их в явном
виде.
§ 9. СКАЧОК НА ДВУХЧАСТИЧНОМ РАЗРЕЗЕ
Определим скачок на разрезе по переменной s как
Ds(s, 0=^M+(s, t)-A-(s, t)]=-±r[A(s+, t)-A(s_, t)], (9.1)
где величина s+ = s + is вычисляется чуть выше разреза, а величина
s_ — чуть ниже него. Если рассматривается система частиц с одина-
одинаковыми массами, то в области
BmK<s<C/nJ

S-МАТРИЦА 41
возможно лишь двухчастичное промежуточное состояние и из C.19)
мы имеем
I d*^+ KP + ЯГ^6+ 1(Р-ЯГ-тЦ А*А: (9.2)
Удобно перейти к интегрированию по другой переменной
q->q—p»
что дает
D°(s> 0 = a^i)i j №*(?-"*)&*[(Pi+Pz-W-mVA-A-. (9.3)
В системе центра масс
Pi = (Рои Р) и р2 = (рОг, — р),
так что
Р\ +Pz = (Ан+^02, 0) = (V"s, 0).
Если положить, например,
Я =а (<7о, q)
и принять во внимание первую б-функцию из (9.3), то в аргументе
второй б-функции будем иметь
(Pi + Рг—Я)г—ma = s— 2Vsqo + q% — /na = s— 2V~sq0.
Таким образом,
D (s ')
Воспользовавшись тем, что
окончательно получаем
= -55sVf J "*"*(«,<•)-*-(». О- (9.5)
Связь между f и t* и переменной t будет установлена в § 12.

¦42
ГЛАВА I
Можно сформулировать и более общий результат: амплитуда
перехода из канала а в канал b
Ь п а
I IT
на разрезе, соответствующем каналу п, имеет скачок, который дается
формулой, обобщающей (9.5):
АаЬ (s+, t) - Aab (s_, 0 = 21 qsn f dQnAbn (s+, О A™ (s_, f), (9.6
32яа Л/ s J
где qsn — импульс состояния п.
§ 10. ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ ПО ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
На физическом листе все сингулярности исчерпываются полюсами
и порогами каждого канала, поэтому для любого из каналов s, t или и
они легко определяются с помощью диаграммы Мандельстама, при-
приведенной на фиг. 1.9. При фиксированном вещественном положи-
положительном s сингулярности в ^-плоскости имеют вид, показанный на
фиг. 1.10.
При положительном t имеется полюс, скажем, в точке t = М\,
соответствующий связанному состоянию массы Mt в ^-канале. Кроме
Li.
Физическая
область и-канала
Физическая
о&ласть t - канала
М%
Фиг. 1.10. Сингулярности в комплексной i-плоскости при фиксированном s.
того, имеется разрез, который начинается на ближайшем пороге
^-канала при t0 = (mi + m3J и вдет вправо. Аналогично, мы видим,
что слева существует полюс при и = М\ и порог «-канала при и0 =
= {mi + m4J, который порождает разрез, идущий к и = оо. Посколь-
Поскольку согласно F.8) t = 2 — s — и, эти сингулярности лежат при i =

S-МАТРИЦА
43
2 — s — MZ и /= 2 — s — u0 соответственно. Отметим также, что
хотя физическая амплитуда ы-канала равна
UmA (s, t, u + is),
но вследствие условия F.8) ей соответствует подход снизу к отрица-
отрицательной части действительной оси t. [В этом параграфе и включается
Фиг. 1.11. Контур интегрирования в комплексной f-плоскостн.
в число переменных, которые определяют амплитуду A (s, t, и), но
условие F.8), конечно, по-прежнему означает, что независимы только
две переменные.]
Определим скачки амплитуды при фиксированном s как
Dt (s, 0 = -g- [Л (s, U, и)—A (s, U и)],
Du (s, и) - -д- [Л (s, t, u+) -A (s, /, «_)],
A0.1)
где
t± s=lim(* ± is),
e->-0
причем скачок берется по всем разрезам в плоскости t (или и) при
фиксированном s. В функциях Dt и Du опущена третья, зависимая,
переменная. Вследствие эрмитовой аналитичности
A(s,t*tu)=A*(s,t,u) A0.2)
имеем
Dt (s, t) = At {A (s, t, и)} при t>to,
Du(s, u) — Au{A(s, t, и)} при ы>ы0,
где А< — скачок на разрезе в ^-плоскости, деленный на 2», и т. д.
Далее, если на физическом листе лежат лишь эти сингулярности,
то, воспользовавшись теоремой Коши, можно написать
где контур С показан на фиг. 1.11.

44 ГЛАВА I
Если амплитуда A(s, t, и) достаточно быстро убывает при t
то из A0.4) получаем
где
Справедливость дисперсионного соотношения этого типа может
служить для проверки принципа максимальной аналитичности (посту-
(постулат 5). В той мере, в которой это допускают имеющиеся эксперимен-
экспериментальные данные, установлено, что для некоторых процессов подобные
соотношения согласуются с экспериментом (см., например, моно-
монографию [226], в которой имеется обзор такого рода сравнений для
л — Af-рассеяния).
В общем случае амплитуда убывает на бесконечности не столь
быстро, чтобы для нее было справедливо дисперсионное соотношение
в том виде, как мы его записали. Входящие в A0.5) интегралы расхо-
расходятся, вклады от бесконечно удаленных дуг не равны нулю. Тогда
прибегают к «вычитаниям», т. е. выписывают дисперсионное соотно-
соотношение не для самой амплитуды A (s, t, и), а для функции A (s, t, и) х
xl(* — U) (t—12) . . -{t—tf.iv)]- Пренебрежем на время в выражении
A0.5) полюсными членами от связанных состояний и предположим, что
в некотором формальном смысле имеет место представление
A (s, U и) =4- J 7^TD<(S' '')+1Г J !F=ir
io ¦ «о
в котором, однако, интегралы расходятся. Тогда можно написать
л(8,^«)п (<-<,)-*-п *<;;_';'.и) п ^-'<)-1+
i=l 3=1 }
где выделен вклад от полюсов в точках t = tt. Таким образом,
i=l
+ (член с и), A0.8)

S-МАТРИЦА 45
где FN i(s,t)—некоторая функция переменной s, умноженная
на полином от t степени Л/" —• 1. Итак, если при фиксированном s
то интегралы сходятся и дисперсионное соотношение является кор-
корректным. (Мы не рассматриваем те вычитания, которые могут потре-
потребоваться также для члена с Du). Если функция A (s, t, и) полиноми-
полиномиально ограничена по t, то такая процедура возможна всегда. Однако
в отличие от выражения A0.6) амплитуда A (s, t, и) уже не определяется
полностью функцией Dt (s, f) (и Du)\ Требуется дополнительная инфор-
информация о значениях A (s, t}, и) при / = 1, . . ., N.
Таким образом, требования, чтобы амплитуда удовлетворяла макси-
максимальной аналитичности первой степени, и знания всех ее сингуляр-
ностей, определяемых с помощью правил Ландау — Каткоского, не
всегда достаточно для полного восстановления этой функции. Этих
сведений было бы достаточно, если бы мы знали, что амплитуда
соответствующим образом убывает на бесконечности, но в противном
случае необходимо делать вычитания, которые приводят к появлению
произвольных параметров. В следующей главе мы увидим, как тре-
требование максимальной аналитичности второй степени (постулат 6)
позволяет избавиться от этих неоднозначностей.
§ 11. МАНДЕЛЬСТАМОВСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
В предыдущем параграфе были введены скачки Ds, Dt, Du связ-
связной четыреххвостки по инвариантам s, t и и. Однако максимальная
аналитичность (постулат 5) требует также, чтобы сами эти скачки
имели точки ветвления, так что, например, функция Dt (s, /) должна
иметь разрез как в плоскости s, так и в плоскости и [вспомним усло-
условие F.8I. Можно положить (но, к сожалению, строго пока это не
доказано), что все такие точки ветвления лежат на действительной
оси, и поэтому вдоль этой оси можно снова провести разрезы и напи-
написать для Dt и т. д. простые дисперсионные соотношения.
Определим скачок функции Dt по переменной s как
p,t(s,t) = -^-[Dt(s+,t)—Dt(s-,t)], s>bl(t)>0, A1.1)
и
ptu(t, ") = -^-[Dt («+> t) — Dj (ы_, t)], u>bz(t)>0, (П-2)
так что
oo oo
'* ' ' Я I S" S Я J U" U
bi(i) b2<<)
Эти интегралы берутся по областям переменных s" и ы", в которых
функции psi и ptu при заданном значении t отличны от нуля. Границы

46 ГЛАВА I
этих областей s = bitZ(t) и т. д. рассматриваются в следующем пара-
параграфе.
Аналогично можно написать
1 ™ (s"' ц) fa" I l ?
м +
Подставляя A1.3) и A1.4) в A0.6), получаем
Заметим, что это соотношение, так же как и A0.6), написано при
фиксированном значении s, поэтому во втором и четвертом слагаемых
переменные должны иметь штрихи, которые переходят из знамена-
знаменателей формул A1.3) и A1.4), т. е., согласно F.8),
s±t + u=<s + t' + u' = -2. A1.6)
Переставляя штрихи в четвертом слагаемом и объединяя его со вторым,
получаем
Используя A1.6), это выражение можно упростить и привести к виду
Таким образом, из A1.5) окончательно имеем
Это и есть мандельстамовское представление [288—290]. Хотя A1.7)
получено из дисперсионного соотношения A0.6), в котором s фиксиро-
фиксировано, но из симметрии переменных s, t и и. ясно, что из какого бы
дисперсионного соотношения мы ни исходили, результат будет полу-
получаться тем же самым. Это обусловлено тем, что из A1.1) и A0.1) сле-
следует (зависимая переменная не выписывается)
Pt(s, 0=-^- {4rlA(s+> *+)-A(s-, U)]—^-lA (s+, t-)-A (s_, *_)]} =

S-МАТРИЦА 47
что можно записать двумя разными способами:
-%¦ [Dt (s+, t) -Dt (s_, t)\ или ±- [Ds (s, t+) -Ds (s, t-)].
Общих доказательств того, что амплитуды можно представить в такой
форме, не существует; результаты, полученные в этом направлении
в настоящее время, рассматриваются в монографии [160], к которой
мы и отсылаем читателя.
В следующем параграфе будет показано, как вычисляются «двой-
«двойные спектральные функции» psi, psu, ptu по крайней мере в некоторых
ограниченных областях изменения переменных. В частности, будет
показано, как по Заданным в трех каналах порогам s0, t0 и и0 можно
определить границы двойных спектральных функций. Оказывается,
что существуют минимальные значения переменных s, t и ы, при
которых функции Ds, Dt и Du соответственно отличны от нуля. Напри-
Например, для амплитуды л — л-рассеяния функция psl (s, t) ограничена
двумя кривыми
*=«» + -|- и s = 4se + -Jj-.
Учитывая, что $0 = U = 4m?, q\ = (s/4) — т%, q\ = (#4) — т%,.
получаем границы, показанные на фиг. 1.15. Двойные спектральные
функции могут отличаться от нуля только в нефизических областях
изменения переменных.
Если нам известны двойные спектральные функции, то представле-
представление A1.7) позволяет определить амплитуду при всех s и t. Но снова
встает проблема вычитаний, упоминавшаяся в предыдущем пара-
параграфе. Из A1.1) можно видеть, что если Dt (s, t) ~ tN, то обычно
J-KX3
и pst (s, t) ~ tN. Таким образом, само по себе мандельстамовское
t -*¦ оо
представление определяет амплитуду вообще говоря с точностью до
неопределенного числа произвольных вычитаний по каждой из пере-
переменных s, t и и.
Оказывается, однако, что должна все же существовать некоторая
связь между этим асимптотическим поведением и природой полюсов,
сопоставляемых связанным состояниям и резонансам, фигурирующим
в теории. Например, резонанс в s-канале спина / массы ]^sH и шири-
ширины Г вносит в амплитуду полюс вида [ср. с (8.2)]
А (с л ~ 8 W
где g(s) — вычет в этом полюсе. При малых Г приближенно имеем:
Ds (s, t)mg (s) Pt (cos в.) б (s—sR).
Далее, согласно (В 1,3.9.19),
Pi (cos9s) — (cos93)', />_!.,
COS в<г->-оо

48 ГЛАВА I
а из F.14) имеем
COS 8S —
так что ползаем
D.(s,f)
i-
Следовательно, если асимптотическое поведение по t при всех s огра-
ограничено степенью tl, то самый большой спин, которым может обладать
полюс s-канала, равен /. Но может существовать, конечно, сколь
угодно большое число частиц со всеми спинами <1 /. Это не должно
нас удивлять, так как максимальная аналитичность первой степени
не ограничивает общее число полюсов; она лишь позволяет отыскать
по заданным полюсам все прочие сингулярности.
С другой стороны, было бы весьма удивительно, если бы в дей-
•ствительности все полюса можно было задавать произвольным обра-
.зом. Пусть, например, мы ввели в S-матрицу нейтронный и протонный
полюса. Можно было бы ожидать, что дейтронный полюс возникает
за счет «сил», действующих между этими двумя частицами; при этом
нет необходимости вводить его заранее. Ясно, что такая надежда осно-
основывается на интуитивном представлении о дейтроне как о составной
частице, и эта неэлементарность должна быть следствием теории, а не
каких-то постулатов. В квантовой электродинамике нужно задать
массы и заряды электрона и позитрона, но для позитрония эти харак-
характеристики задавать не следует, так как они могут быть вычислены.
Если же в теорию включить дополнительное требование, чтобы масса
позитрония имела некоторое определенное значение, отличное от
экспериментального, то это несомненно привело бы к противоречию.
Почти столь же несомненно, что и теория сильных взаимодействий,
которая позволяет нам задавать массы и константы связи всех частиц
произвольным образом, также будет противоречивой.
Итак, основная трудность применения теории S-матрицы, исхо-
исходящей из постулатов 1—-5, заключается в том, что нам неизвестно,
какое количество информации, т. е. сколько масс частиц и констант
связи требуется с самого начала ввести в теорию (если в этом вообще
есть необходимость). В нерелятивистской физике, а также, вероятно,
в квантовой электродинамике, мы в состоянии провести различие
между «элементарными» частицами типа электрона и протона и между
¦составными частицами, такими, как атом водорода или позитроний;
но в области сильных взаимодействий установить такое различие
намного труднее, а может быть и вообще невозможно *¦). Очевидно
х) Обзор различных подходов к проблеме нахождения условия «сложности»
частиц в теории поля см., например, в лекции Хагена (С. Н. Hagen в книге
Lectures in Theoretical High Energy Physics, ed. H. Aly, p. 165, London, 1968).—
Прим. ред.

S-МАТРИЦА 49
лишь, что ответ на этот вопрос должен в значительной степени опре-
определяться свойствами S-матрицы, связанными с угловым моментом,
которые рассматриваются в следующей главе.
В заключительном параграфе этой главы будет показано, как
можно вычислить двойные спектральные функции в том случае, когда
справедливо двухчастичное условие унитарности.
§ 12. ДВОЙНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ УПРУГОГО ПРОЦЕССА
Двойные спектральные функции, входящие в мандельстамовское
представление, в большинстве случаев вычислить невозможно. Однако
если для данной амплитуды существует область, в которой имеет
место упругая унитарность, то, воспользовавшись формулой (9.5),
Ф и г.1.12. Двухчастичное условие унитарности с промежуточным состоянием п.
можно определить DB (s, t), а затем, взяв скачок функции Ds по пере-
переменной t, можно иайти и двойную спектральную функцию, по край-
крайней мере для той области изменения s, где справедлива упругая уни-
унитарность [288—290]. В принципе можно было бы использовать форму-
формулу (9.6) для совокупности связанных друг с другом двухчастичных
каналов, но при этом пришлось бы рассматривать сразу несколько
амплитуд, что делает вычисления чрезмерно сложными. Как только
достигаются многочастичные пороги, проблема становится совершенно
необозримой. Имеет смысл, однако, исследовать проблему вычисления
двойных спектральных функций упругих процессов, так как для боль-
большинства амплитуд, с которыми мы будем иметь дело, упругие пороги
являются в то же время ближайшими взаимосвязанными порогами, а это
означает, что граница такой двойной спектральной функции является
и границей полной двойной спектральной функции. Таким образом,
это позволяет определить границу. Кроме того, в некоторых случаях
имеет смысл приближение, в котором вкладом неупругих процессов
в условие унитарности просто пренебрегается; такое приближение
часто используется в гл. VI.
Прежде всего, напишем снова формулу (9.5), которая определяет
скачок, соответствующий диаграмме на фиг. 1.12:
Ds(s, *)= ^Jfy- j dQsA+(s, t')A-(s, t"). A2.1)
Здесь f = t (г7, s), где. z' = cos 0,^ отвечает углу между направления-
направлениями движения частиц, находящихся в состояниях / и п (в системе
4-650

50
ГЛАВА I
центра масс); t" = t(z", s), где 2"^cos0i7l задает аналогичный угол
для состояний inn. Эти углы связаны с углом, соответствующим пере-
переменной t lt = (zs, s)], где zt = cosQif, посредством теоремы сложения
косинусов (см. фиг. 1.13)
cos 0|„ = cos Qtf cos Qfn + sin Qtf sin Qfn cos <p,
или
2" = 2/ + /l- 22V 1 — 2'2cosq>." A2.2)
Подставляя теперь в A2.1) дисперсионное соотношение [A0.6)тдля
каждой из амплитуд [в A0.6) предполагается, что^полюса, сопоста-
Фиг. 1.13. Трехмерные импульсы в системе центра масс и угол рассеяния
8пу (а) и связь между тремя углами 8^, 0г„ и Qnf (б) (угол 8^ отсчитывается|от
оси qf и лежит в плоскости, проходящей через векторы q^ и q;).
вляемые связанным состояниям, отсутствуют; они будут учтены
позднее], получаем
Ds (s> f) ~ 32n2Vj J dlis Lit
X
tl-t
Г1 ?Dt(s-,tz).. . 1
LIT J *,-<' dt* + lT
u0
Du (s_, иг)
u2-u>
где
2. A2.4)
Заменяя далее переменные t и и соответствующими ^косинусами,
1 2Я оо —оо
~ 32^17^^ J ^ J d9LJ *,-«* ^1+ J _ zt-z" ^
получаем
-1
ztt0
A2.5)

S-МАТРИЦА 51
где
Zto = Za(S, t0) И 2uo=2e(s, 2—S —Ыо).
Изменив в A2.5) порядок интегрирования, получим интеграл
по углам
i 2Л
Используя формулу A2.2), можно показать, что он равен
2"_1п
г,—г,*» —У*
где
причем нужно выбрать такую ветвь логарифма, чтобы при — <
<!гв<;1 он был вещественным. Вернемся теперь к переменным t,
используя F.14) и то обстоятельство, что Г для упругого рассеяния
= <7*; в результате окончательно получим
io *o
X [Dt (&., h) + Du (s_, t2)} 2<fiK-1/2 (/, tu U, s) X
X In
где
a t0 — меньшая из величин ^0 и ы0.
Для определения двойных спектральных функций нужно просто
найти скачки функции A2.6). Анализ упростится, если временно не
рассматривать скачок Du, соответствующий ы-каналу, так что функция
Ds (s, f) будет иметь лишь один скачок по переменной t, который
дается двойной спектральной функцией pst (s, f). При этом имеем
п (о t\
J
Теперь pgt (s, i) можно найти, взяв скачок по t левой и правой частей
этого равенства. Скачок правой части возникает из-за того, что
4*

52
ГЛАВА I
1'2
функция К1'2 обращается в нуль. Минимальные значения переменных
ti и tz, входящих в интеграл, равны
i h o»
в результате чего функция К приводится к виду
K(t, *o,*o,e) = (Л)
Таким образом, /С=0 при 2 = 0 или при ^ = 4/0 + /„/^1; характер
изменения этой функции в зависимости от / показан на фиг. 1.14.
Однако следует учесть, что при К — 0 аргумент логарифма в фор-
формуле A2.6) равен единице. Далее
In2=ln|2| + iarg2, A2.9)
поэтому In 1 == 2nni, где число п зависит от выбора ветви логарифма.
Выше отмечалось, что следует выбирать ту ветвь логарифма, которая
Фиг. 1.14. График изменения функции К (t, ta, t0, s) в зависимости от t при
фиксированном s.
вещественна при —l<^zs^ 1, а согласно F.16), z» = 1 соответ-
соответствует значению t = 0, так что / = 0 не является сингулярной точ-
точкой функции К~1/г In (...). Но при увеличении t у аргумента логарифма
появляется ненулевая фаза, которая становится равной 2л при
в этой точке функция Ds (s, /) имеет сингулярность. При более высо-
высоких значениях переменных интегрирования tx и t2 увеличивается
и значение t, при котором К обращается в нуль (при заданном <$),
так что границей двойной спектральной функции будет
l = &(s). A2.10)

S-МАТРИЦА 53
Возьмем в правой и левой частях соотношения A2.8) скачок по пе-
переменной t при t>b(s). Используя формулу
Dis [In (...)] =2я при
которая следует из A2.9), получаем
A2.11)
Интегрирование здесь проводится лишь по той области изменения пере-
переменных ti, tz I> to, в которой функция К (t, tu t2, s) положительна,
так как при К <С 0 скачок по t в A2.8) отсутствует. Конечность обла-
области интегрирования играет важную роль в приложениях, которые
рассматриваются в гл. VI. При выводе A2.11) предполагалось, что ска-
скачок в и-канале отсутствует. Возвращаясь к A2.6) и проводя аналогич-
аналогичные рассуждения, находим
о7пр. ,(s t) _ * Т[ dt< dU Dt (*+, h). Dt (*-, h) + Du (s+, h) Du (s_, t2)
A2.12)
ч, Dt (s+, tt) Du (s_, tj) + Du (s+, tJDt (s_, t2) по 1ЧЧ
X ^4t,tut2,s) * A2ЛЗ)
Эти формулы определяют двойные спектральные функции, отвечаю-
отвечающие упругим процессам в s-канале; их область существования изобра-
изображена на фиг. 1.15. Вычисляя аналогичным способом двойные спек-
спектральные функции упругих процессов в t- и и-каналах, получим
полный набор этих величин, приведенный на фиг^ 1.16. Полученные
результаты являются точными лишь в области s<^Si (и t <C //,
и <С «/), где S/ — ближайший порог неупругих процессов в s-канале.
Конечно, спектральные функции можно вычислить и для s > S/, при-
причем уже имеющиеся выражения служат, по-видимому, хорошим при-
приближением в несколько более широкой области значений s.
В дисперсионных соотношениях A0.6), использованных в форму-
формуле A2.3), мы пренебрегали возможностью существования полюсов,
отвечающих связанным состояниям, т. е. членов, входящих в A0.5). Их
присутствие вносит в A2.12) и A2.13) дополнительный вклад
так что область интегрирования по t-± и t2 должна включать точки
ti = Mit и t2=Mit. При этом граница двойной спектральной функции

Фиг. 1.15. Мандельстамовская диаграмма для rat-рассеяния, на которой ука-
указаны двойные спектральные функции s-канала, соответствующие упругому
процессу.
Границы определяются формулой A2.10) и имеют асимптоты s = 4<п? и / (или и) = 16<пя.
Эти двойные спектральные функции совпадают с полными только в области до в = 16тпя»
Фиг. 1.16. Двойные спектральные функции для упругого rat-рассеяния-
В заштрихованных областях они совпадают с полными двойными спектральными функциями.

S-МАТРИЦА
55
определяется формулой
A2.14)
вместо A2.10).
Условие унитарности A2.1) при помощи диаграмм изображается
следующим образом:
^ С
v , Г40—С-
Сюда входят все допустимые обменные процессы ^-канала с двух-
двухчастичным условием унитарности в s-канале. Возможность вычисле-
вычисления подобных «лестниц» является одним из наиболее ценных качеств
мандельстамовского представления [96, 107, 108]. Конечно, чтобы
можно было пользоваться соотношениями A2.12), A2.13), необходимо
знать функции Dt и Du, но в гл. VI на основе этих соотношений будет
развита некоторая итерационная процедура, позволяющая определять
как скачки, так и двойные спектральные функции.

Глава II
ПАРЦИАЛЬНЫЕ АМПЛИТУДЫ И ПОЛЮСА РЕДЖЕ
§ 1. ПАРЦИАЛЬНЫЕ АМПЛИТУДЫ
В предыдущей главе указывалось, что при анализе вычитаний,,
которые необходимо делать в мандельстамовском представлении, суще-
существенную роль должен играть угловой момент, так как источником
по крайней мере некоторых из расходимостей являются полюса,
соответствующие частицам со спином. В данной главе подробно рас-
рассматривается разложение амплитуды рассеяния по парциальным вол-
волнам. Сначала мы рассмотрим лишь целые значения углового момента;
для бозонов, конечно, только они являются физически допустимыми
значениями, которые определяются правилами квантования. Но потом
мы увидим, что представляет интерес и обобщение первоначального
определения парциальных амплитуд на нефизические значения
момента, отличающиеся от целых чисел и даже комплексные. При этом
мы столкнемся с сингулярностями амплитуд, лежащими в комплексной
плоскости углового момента и связанными с расходимостями мандель-
стамовского представления — с «полюсами Редже» и разрезами..
Мы увидим также, что привлечение принципа максимальной аналитич-
аналитичности второй степени (постулат 6 в гл. I, § 2) решает полностью про-
проблему расходимостей и приводит к тому, что все полюса, сопоставля-
сопоставляемые частицам, соответствуют «полюсам Редже», аналогичным тем,
которые были открыты в теории потенциального рассеяния [346; 347].
В конце концов амплитуду рассеяния удается выразить через ее
сингулярности в плоскости углового момента. Все эти утверждения,,
конечно, зависят от справедливости постулата 6. Основным подтвер-
подтверждением правильности этого постулата служат эксперименталь-
экспериментальные следствия гипотезы полюсов Редже, которые рассматривают-
рассматриваются в гл. VIII.
Начнем с определения парциальных амплитуд. По «парциальным
волнам» можно разложить любой элемент 5-матрицы, но пока мы
ограничимся связной четыреххвосткой, внешние частицы которой
не имеют спина. Изменения, к которым приводит наличие спина, под-
подробно рассматриваются в гл. IV.
Как видно из A.6.14), при фиксированном s инвариант t зависит
только от косинуса угла рассеяния [вследствие A.6.8) это справедлива
и для и], поэтому амплитуду A (s, f), приведенную в гл. I, § 6, можна
записать как A Is, t (zt, s)], где zs = zs(s, f) == cos 0S. Тогда парциаль-

ПАРЦИАЛЬНЫЕ АМПЛИТУДЫ И ПОЛЮСА РЕДЖЕ
57'
ную амплитуду в s-канале можно определить как
Лг(^ = т4г4" J dZsPi(zs)A[s, t(zs,s)] при / = 0,1,2,.... A.1).
J
-1
Здесь Pi (z) — полином Лежандра первого рода 1-го порядка. Множи-
Множитель A6л) введен для того, чтобы упростить двухчастичное условие
унитарности, которое будет обсуждаться в § 5 этой главы.
Благодаря ортогональности полиномов Лежандра (В1,3.12.10)
A.2)"
j
формулу A.1) можно обратить и записать в виде
A [s, t (zst s)] = 16л У, B1 + 1) Ai (s) F
1=0
Очевидно, этот ряд не может сходиться при всех s и. t, так как при
целых / !> 0 функция Pi(zs) является целой функцией от zs (т. е. она
голоморфна — при конечных za не имеет сингулярностей), вследствие
zs(s,l-s-u0)
zsls,2-s-Mi)
Фиг. II.1. Сингулярности в г8-плоскости, соответствующие фиг. 1.10.
чего амплитуда A (s, t), определяемая A.3), не может иметь сингуляр-
сингулярностей по t (или по и). Таким образом, у ближайшей из сингулярно-
сингулярностей по t (или по и) разложение в ряд становится непригодным. На
фиг. 1.10 показаны сингулярности в ^-плоскости при фиксированном s;
используя A.6.14), их можно изобразить в 28-плоскости при фикси-
фиксированном s, что и сделано на фиг. II. 1. Разложение A.3) становится
непригодным или при zs = zs (s, М*), или при za = zs (s, 2 — s—Mt}
в зависимости от того, какая из этих точек расположена ближе. Полю-
Полюса и пороги ^-канала существуют при положительных zt BS> 1), а по-
полюса и пороги и-канала — при отрицательных zs (zs<a—1).

58 ГЛАВА II
§ 2. АМПЛИТУДЫ С ОПРЕДЕЛЕННОЙ СИГНАТУРОЙ
Мы видели, что в 28-плоскости имеются правосторонние сингуляр-
сингулярности, соответствующие сингулярностям ^-канала, и левосторонние
сингулярности, соответствующие сингулярностям и-канала. Однако,
как мы увидим ниже (см. § 8), более удобно работать с амплитудами,
у которых существуют только правосторонние сингулярности. Они
называются «амплитудами с определенной сигнатурой» и строятся
следующим образом. Пусть
R L(s,t), B.1)
где'Ми (s, f) содержит только правосторонние, a AL (s, f)—только
левосторонние сингулярности амплитуды A (s, f). Пользуясь форму-
формулой A.10.5), для этих функций можно написать дисперсионные соот-
лошения по г:
_ ^_^ St. Vs/ 1 (• п. /о f\
i zg (e, to)
i zs (e, S—s—uo)
где t'—t(z', s), а суммирование в B.2) и B.3) распространяется
на все полюса t- и ы-каналов соответственно.
Введем теперь амплитуды с определенной сигнатурой
А± (s, t) = AR [s, t {Zs, s)] ±ALls,t( — za, s)], B.4)
каждая из которых, очевидно, имеет только правосторонние сингу-
сингулярности. Отметим, что при таком определении Л+ (s, t) содержит
четную часть амплитуды A (s, t) по переменной zs, a A~(s, f) —
нечетную часть, хотя сами функции A* (s, t) и А~ (s, t) не явля-
являются ни четными, ни нечетными. [Функция / (х) «четна» по х, если
./ (—х) = f (х), и «нечетна», если / (—х) = — f {х)Л Такое применение
верхних индексов ± совершенно не совпадает с их использованием
в предыдущей главе для обозначения связных частей матриц S или
5f. Ниже индексы ± всегда будут относиться к сигнатуре.
Мандельстамовское представление для амплитуд А± (s, f) является
несколько более сложным, чем в случае A (s, f). He учитывая любых
возможных полюсов связанных состояний, в соответствии с A.10.6)
будем иметь
J %fe«W. B.5)
uo
Обращаем внимание, что в знаменателе второго слагаемого стоит
переменная /, появление которой связано с тем, что zs заменяется на

ПАРЦИАЛЬНЫЕ АМПЛИТУДЫ И ПОЛЮСА РЕДЖЕ 59
—ze. Подставляя в B.5) выражения A.11.3), A.11.4), после некоторых
преобразований получаем
A±(s Л- ! f f Р»< (*• И ±Р«-(«*• И,fc'
Л (s' ''"IP" J J (s'-s)(r-0 "*
Соотношение B.5) можно записать также в виде
А± (s t) =—— \ ' rff B 7)
где
Dt(s,t)=Dt(s,t)±Du(s,t) =
В B.7) ^0 обозначает меньшую из величин t0 и и0. Можно ввести
также скачки по переменной s
Df (s, t) =-1- j P«« («¦<'!> ± P« С-П eft-. B.9)
1- j
Поскольку выбраны амплитуды с определенной сигнатурой, соответ-
соответствующие s-каналу, выписанные соотношения уже не обладают сим?
метрией по переменным s, t и и.
Теперь мы воспользуемся этими дисперсионными соотношениями
для того, чтобы получить другое определение парциальной ампли-
амплитуды A.1).
§ 3. ПРОЕКЦИЯ ГРИБОВА — ФРУАССАРА
Восстанавливая в соотношении B.7) возможные полюса ^-канала,
получаем дисперсионное соотношение
где суммирование в первом и втором членах проводится по полюсам
t- и ы-каналов соответственно. Используя A.6.14), это соотношение
можно записать в виде
1 f *>t(°.n ±, C2)
zs C t0)

60 ГЛАВА II
где
C-3a>
Подставим теперь C.2) в A.1), изменим порядок интегрирования
и проинтегрируем по г', используя формулу Неймана (В1,3.6.29),
C.4)
В результате получим
At (s) ={Ш)-* ^ (gH (s) Qi [zs (s,
± gut (s) Qt [г. (s, S -s-M
j Df(S,OQiB)^ C.5)
(8, to)
(при условии, что интеграл сходится,— иначе нельзя было бы менять
порядок интегрирования). Это выражение известно под названием
представления (или проекции) Грибова — Фруассара для парциальных
амплитуд с определенной сигнатурой [194, 195, 213].
Итак, для парциальных амплитуд с определенной сигнатурой мы
имеем два выражения (для сокращения записи полюса явно не учи-
учитываются)
ОО
J Df^nQt^dz' [из C.5)] C.6)
to)
lPi(z')A±(s,t')dz' [из A.1)], C.7)
—1
где / = 0, 1, 2, ... . Далее, функции Df (s, t) являются скачками
амплитуд Л* (s, t) по переменной t и отличны от нуля только при
Zs>Zs(s, t0); в то же время, как это следует из C.4), скачок функ-
функции Qi(z) равен
C.8)
При 2<—1 И Z> 1

ПАРЦИАЛЬНЫЕ АМПЛИТУДЫ И ПОЛЮСА РЕДЖЕ 61
(/ = 0, 1, 2,...). Поэтому C.6) и C.7) можно объединить в одно
выражение
Лг±Ф=125*~ 1 -dz'Qi(z')A±(stt')t C.9)
Ci или Сг
где контуры интегрирования Ct и С2 показаны на фиг. II.2. Разло-
Разложение по парциальным волнам для амплитуд с определенной сигна-
1Ь-
Фиг. II.2. Контуры интегрирования в комплексной г^-плоскости, соответ-
соответствующие выражению C.9).
турой, соответствующее ряду A.3), имеет вид
Л± (s, 0 = 16я S B/ + 1) Л,* (s) Л (z.). C.10)
г=о
В § 2 отмечалось, что A+(s, t) содержит четную по переменной za
часть амплитуды A(s, f), а А~~ — ее нечетную часть. Далее, согласно
(В1.3.2.Ю),
P( )( l)lP() при целых /, C.11)
поэтому функция Pi (z) является четной или нечетной, в зависимости
от того, четно или нечетно /. Следовательно,
At(s)—Ai(s) при четных /, C.12)
Ar(s)=Ai(s) при нечетных /. C.13)
Соответствующие значения момента часто удобно называть «физиче-
«физическими» значениями / для парциальных амплитуд с определенной
сигнатурой.
§ 4. СИНГУЛЯРНОСТИ ПАРЦИАЛЬНЫХ АМПЛИТУД
Из формулы C.9) очевидно, что парциальные амплитуды Af (s)
имеют такие же пороги nos, как и А± (s, t); эти пороги соответствуют
всем каналам, взаимосвязанным с частицами 1+2, как на фиг. 1.7.
Парциальные амплитуды имеют также полюса тех связанных состоя-
состояний или резонансов, спин которых равен /. Таким образом, Af (s)

62 ГЛАВА II
обладают в s-плоскости правосторонними сингулярностями такого же
типа, как и Л± (s, f), за исключением того, что они не обязательно
содержат все полюса.
Кроме того, существует набор левосторонних сингулярностей,
которые порождаются тем, что сингулярности t- или ы-канала^'сли-
ы-канала^'сливаются с точками ветвления z = ± 1 функции Qt (z).^Например,
если Л± (s, f) имеет в /-канале связанное состояние с полюсом, лежа-
лежащим при 23 = za (s, tp), так что
Dt (s, t) = gp (s) jt6 [za -za (s, tp)], D.1)
то из C.6) мы получаем
Л* <s> = 1Ш Sp (*) Qi l*° (*' h)h D.2)
и Л* (s) имеет точки ветвления при za (s, tp) = ± 1. В более общем
случае для любой сингулярности Л* (s, t) при f = fn парциальные
амплитуды Af (s) имеют точку ветвления при
ii^^ -=±i, D.3)
как это следует из A.6.14).
Рассмотрим два простых примера. Мы знаем, что в случае я — п-
рассеяния парциальные амплитуды A f (s) имеют правосторонние точки
ветвления на порогах, соответствующих двум пионам D/Пя), четырем
пионам A6/Пя) и т. д. Сингулярности f-канала, расположенные при
t = tn, дают точки ветвления при
±1-Х + <44>
(Напомним, что в амплитудах с определенной сигнатурой не содер-
содержится никаких сингулярностей ы-канала, так как посредством опре-
определения B.4) они «загоняются» в f-канал.) Эти точки ветвления возни-
возникают при s = со и s = 4/Пя — tn. В ^-канале сингулярности, конечно,
такие же, как и в s-канале, т. е. представляют собой различные поро-
пороги; поэтому tn = 4/п„, 16/Пя, .... Однако амплитуда п — я-рассея-
ния содержит также резонансные полюса, например р-мезонный полюс
со спином 1, который расположен при
s = ml « B9 — 0,8i) rr&.
Он приводит к появлению правостороннего полюса только в амплитуде
Л± (s). Но левосторонние точки ветвления при s = co и s = 4/п^ — т%,
порождаемые р-мезоном f-канала, имеются у Af (s) при всех /. Обычно
разрезы от правосторонних точек ветвления проводятся вдоль поло-
положительной действительной оси [как в случае Л* (s, f)], а от лево-
левосторонних точек ветвления — вдоль отрицательной действительной
оси, как показано на фиг. II.3.

ПАРЦИАЛЬНЫЕ АМПЛИТУДЫ И ПОЛЮСА РЕДЖЕ
63.
Такая простая картина, которая свойственна кинематике частиц
с равными массами, является, однако, нетипичной. В общем случае
IS.
-\Zm%
Ф и г. II.3. Разрезы в парциальных амплитудах яя-рассеяния.
уравнение D.3) имеет четыре решения: s = 0, s = со и еще два дру-
других. Так, например, в п — Af-рассеянии из|обменного нуклоннога
полюса, соответствующего значению t = М%, возникают точки вет-
ветвления при
s=oo, s = 0, s=[MN — ~^ и
Обычно их соединяют, как показано на фиг. П.4, так что имеется
дополнительный «короткий разрез». Если бы масса пиона была равна
Фиг. II.4. Разрезы в парциальных амплитудах яЛ/-рассеяния, обусловленные
обменом нуклонным полюсом.
массе нуклона, то левый разрез выходил бы из точки s = 3M% и шел
бы в —<х>. Более подробный анализ я — .Af-сингулярностей см. в ра-
работе [226].
Проводя разрезы указанным^выше образом, для парциальных
амплитуд можно записать следующие дисперсионные соотношения:
1 Г
1Г J
s'-s
лев. разр. прав. разр.
Если для каждой сигнатуры ограничиться'«физическими» значениями /,
то мы увидим, что скачок на левом разрезеЪпределяется скачком функ-
функции Qi (z) в C.6). Поэтому, учитывая C.8) и вспоминая, что при
2е -< za (s, t0) функция Df (s, t) равна нулю, получаем
zs(s,«о)
lm[At{s)\=-~ Г Pi (zr) Df (s, t')dz' на левом разрезе. D.6)

64 ГЛАВА II
Вследствие наличия в дисперсионных соотношениях для амплитуд
с определенной сигнатурой дополнительных спектральных функций
[см. B.6)] вклад в скачок на левом разрезе обычно не исчерпывается
выписанной величиной. Этот вопрос подробно рассматривается в § 11.
Однако для физических значений / формула D.6) верна.
Скачки справа определяются скачками функций Л± (s, t), так что
из выражения C.7) получаем
1
Im [Af (s)] = -^ j Pi (zr) Df (s, t') dz' на правом разрезе. D.7)
j
В процессе проектирования на парциальную волну в амплитуду
на пороге вносится кинематический нуль. Из A.6.14) и A.6.12) видно,
что если <7si2 -*¦ 0 или <7s34 -*- О, то za -*- оо. Такая ситуация возникает
на порогах двух каналов
2J и s = sb^
а также в нефизических точках
s = (m1 — mzJ и s = (m3 —
Откладывая обсуждение нефизических точек, свойственных только
рассеянию частиц с неравными массами, до гл. III, мы рассмотрим
здесь пороговое поведение.
Из (В 1,3.9.21)
Qt(z) ~ ar-«+i> D.8)
Z-VOO
имеем
Qz(z)~[<7312(s)<7334(s)]I+i при s-^Sa или s—>sb.
Следовательно, пороговое поведение парциальных амплитуд имеет
следующий вид [отметим, что вследствие равенства dz' = c#7B<7si2<7s34)
в C.6) появляется еще один множитель типа <7si2<7s34]:
Ai is)~ [<7si2 is)<7«4 (s)]1 при s—>sa или s—>sb. D.9)
При этом предполагается, что интеграл C.6) сходится, т. е. что проек-
проекция Грибова — Фруассара определена. В противном случае дока-
доказать, что поведение будет именно таким, невозможно, но общие сообра-
соображения подсказывают, что оно будет иметь такой же вид, как и в задаче
потенциального рассеяния, в которой потенциалы обладают разум-
разумными свойствами [103—105].
Если sa Ф sb, т. е. mi + mz ф т3 + /л4, то указанные нули соот-
соответствуют точкам ветвления при нечетных /, и дисперсионное соот-
соотношение D.5) не справедливо. В следующем параграфе будет показа-
показано, какие поправки следует внести для учета этого обстоятельства.

ПАРЦИАЛЬНЫЕ АМПЛИТУДЫ И ПОЛЮСА РЕДЖЕ
65
§ 5. УСЛОВИЕ УНИТАРНОСТИ ДЛЯ ПАРЦИАЛЬНЫХ
АМПЛИТУД И ФАЗОВЫЕ СДВИГИ
Чрезвычайно удобным является тот факт, что условие унитарности
для парциальных амплитуд записывается в более простой форме,
чем для полной амплитуды. Например, если взять формулу A.9.6)
для двухчастичного скачка и подставить в нее разложение A.3) каж-
каждой из амплитуд по парциальным волнам, то мы получим
2 B/ + 1) [ A? (s+) - A? (s_)] Рг (г,) =
i
2л 1
d<p j dz' 2 B1' + 1) AF (s+) PV (zr) x
= 2i
Vs
-1
E.1)
Здесь z' = cos 9Ь„ — косинус угла между направлениями движения
частиц в состояниях Ъ и п в системе центра масс, a z" = cos 0an —
4 *
S
Чт
Фиг. II.5. Амплитуда рассеяния 1 + 2 -*¦ 3 + 4 через промежуточное состоя-
состояние 5 + 6, т. е. рассеяния a -*¦ Ь через п (а). Трехмерные импульсы и угол рас-
рассеяния 6(,п в системе центра масс (б). Связь между тремя углами Qab, Qbn и Qan
(угол ваЬ отсчнтывается от оси ^s3* н лежит в плоскости, проходящей через
векторы qs34 н qsi2) (в).
косинус угла между направлениями движения частиц в состояниях
п и а (фиг. II.5). Теорема сложения косинусов приводит к соотношению
COS 0a7l = COS 0аЬ COS 0te + sin ®аЪ Sin Qbn COS ф,
или
z" = zsz' + V\— zlVl — z'2cosq>, E.2)
a теорема сложения для функций Лежандра (В 1,3.11.1) дает
Zt! ^Г ^ РТ
Pl(z")=Pi(Zs)Pl(z')
- 1Г
COS mcP'
E.3)
S—650

66 ГЛАВА II
где РТ (г) — присоединенная функция Лежандра первого рода. Исполь-
Используя соотношения ортогональности A.2), (В1,3.12.19) и (В1,3.12.21),
получаем
2я 1
j dtp j dz'Pv(z')Pl^z")^byr^-TPv{zs). E.4)
о -l
Подставляя это выражение в E.1) и проводя многочисленные сокра-
сокращения, будем иметь
A? (S+) - Af (s_) = М ^ А\п (S+) AT (s_), E.5)
или
Ап [A? (s)] = ^5- А\п (s+) AT (s_), E.6)
где Д„ — скачок на разрезе, связанном с двухчастичным состоянием п,
деленный на 2. Отсутствие множителя 16л обусловлено выбором
нормировки в определении A.1).
В частности, в случае условия унитарности для упругого процесса
соотношение E.6) принимает вид
Г|а при s<S/, E.7)
где ра (s) — множитель двухчастичного фазового объема для канала а
ра {s) = 2qaiZlVsi a st — ближайший неупругий порог. Заметим, что
из A.6.12) следует pa(s)<:l при всех s, откуда
|ЛГ(ЮК1 ПРИ s->co. E.8)
В задачах нерелятивистского потенциального рассеяния (см., напри-
например, [410]) парциальная амплитуда ft часто записывается в виде
где 8i (s) — «фазовый сдвиг». Поскольку при вещественных 8г (s)
Ira {h (s)} = Sin2^(s) =q,\fi (s) \\ E.10)
такая форма записи автоматически учитывает нерелятивистское усло-
условие унитарности. Запишем по аналогии
Al (S)-
ifi 7<s) . ... 2i6,(s) ,
F^ ¦

ПАРЦИАЛЬНЫЕ АМПЛИТУДЫ И ПОЛЮСА РЕДЖЕ 67
Эта формула определяет релятивистский фазовый сдвиг и включает
в себя условие унитарности E.7). Дополнительный множитель ]/s
(и неявно входящий коэффициент 16л) является следствием исполь-
использования инвариантной нормировки A.2.7).
Если открыто несколько каналов, то E.6) дает
Im {A? (s)} = 2 Pn (s) &Т (s+) AT (s_) + многочастичные каналы, E.12)
п
где суммирование проводится по всем открытым двухчастичным кана-
каналам. Это условие унитарности может удовлетворяться лишь в том
случае, если фазы б г (s), входящие в E.11), не являются вещественными.
Оптическая теорема A.7.17) дает
. V
Используя A.3) и учитывая, что Рг (cos 0 = 1) = 1 при всех /, получаем
оо
°полв (s) ~ -jsTv's 2 B/+].)Im <л?а (s)>• E-]4)
Таким образом, можно ввести полное парциальное сечение, которое
определяется как
о?олн (s) = __!^ B/ + 1) Im {АГ (s)}. E.15>
состояния (s) = ' ,- Im {Лао (s, 0)}. E.13)
С другой стороны, парциальное сечение упругого процесса, получаемое
в результате подстановки A.3) в A.7.9) и использования соспноше-
ния A.2), равно
|L | АГ (s) p. E.16}
Подставляя E.7) в E.15), получаем, что ниже порогов неупругих
процессов аполн = а?пР, как и должно быть.
Выше отмечалось, что парциальные амплитуды имеют кинемати-
кинематические нули, а иногда и точки ветвления, возникающие в дополнение
к динамическим сингулярностям (см. предыдущий параграф). Часто
желательно избавиться от этих сингулярностей, что можно сделать,
вводя «приведенную» парциальную амплитуду
Rab, ч Al (s) /г 17у
Bl (s)=-( E17)
Для этой функции условие унитарности E.12) записывается в виде
Biь (s+) — В? (s_) = 2i 2 Р? (s) B\n (s+) ВТ (8_)+многочасгичные каналы,
71
E.18)
б*

68 ГЛАВА II
где
Сравнение с E.11) позволяет также написать
E.19)
ВТ (s) = «р[/Й,(д)]»ШЙ,(д) . E<26)
Для Bt (s) справедливы дисперсионные соотношения в форме D.5),
причем в этом случае не возникает никаких кинематических проблем,
которые упоминались в конце § 4. Особенно важную роль это играет,
когда мы отказываемся от требования целочисленное™ /, что впо-
впоследствии и будет сделано: пороговое поведение всегда вносит в A t (s)
нежелательные точки ветвления, но у функции В\ (s) они не возникают.
§ 6. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
ГРИБОВА — ФРУАССАРА
В гл. I, § 11 мы видели, что основная трудность в использовании
мандельстамовского представления заключается в необходимости
делать вычитания, без которых интегралы не определены. Скорее
всего такое соотношение, как C.2) (с опущенными для сокращения
записи полюсными членами, отвечающими связанным состояниям)
*!?-«. (в..,
, to)
для большинства значений s смысла не имеет. Однако если функция
Df (s, t) полиномиально ограничена, т. е.
Df (s, t) ~ гГ(8)-Е<8\ 0 < в (s)< 1, N (s) - целое, F.2)
то в точке z = 0 можно сделать N вычитаний [ср. с соотношением
A.10.8)], в результате чего мы получим
F-3)
где FN l (s, zs) — полином степени N — 1 по переменной zs, причем
интеграл теперь сходится. Тогда из A.1) имеем
при /=0, 1, 2, ... . F.4)

ПАРЦИАЛЬНЫЕ АМПЛИТУДЫ И ПОЛЮСА РЕДЖЕ 69
Далее, в силу соотношения ортогональности A.2),
1
\ J dz.Pi (г.) z« = 0 при М< I.
Поэтому, записывая
и производя разложение по степеням (zs — z')/z', получаем при
N{s)
J
Таким образом,
1 г Г Л'1 ч
4 j * ^z')D* (s'')&' при ' > N w-
Благодаря асимптотическому поведению функции Q; (z) [см. форму-
формулу D.8I этот интеграл существует.
Итак, если мандельстамовское представление полиномиально огра-
ограничено, то высшие парциальные амплитуды полностью определя-
определяются функциями Df (или двойными спектральными функциями). Про-
Произвольные вычитания содержатся лишь в низших парциальных ампли-
амплитудах.
§ 7. ГРАНИЦА ФРУАССАРА
На самом деле условие унитарности накладывает определенные
ограничения на N (s), которые в некоторой области переменной s
являются чрезвычайно сильными [195] (наше изложение следует здесь
лекциям [103]).
Согласно (В1,3.9.1) (см. также [367]),
^)] G.1)
;->оо у /
где
G.2)

70 ГЛАВА II
Поэтому, если интеграл F.5) сходится, то основной вклад в высшие
парциальные амплитуды дают наименьшие значения переменной z',
которые она может принимать в подынтегральном выражении.
-л/
-N
а 5
Фиг. П.6. Периферические взаимодействия: а — налетающая частица, про-
проходя на расстоянии R от мишени, имеет угловой момент qsR; б — перифериче-
периферическое N — ^-взаимодействие, создаваемое обменом пионом.
Другими словами, высшие парциальные амплитуды определяются бли-
ближайшими сингулярностями по t (или и), т. е. силами наиболее дале-
далекого действия,— взаимодействие является «периферическим». Кроме
того, если принять, что ближайшая сингулярность по t (или и) соот-
соответствует значению z = Zn (напомним, что г„ > I, см. фиг. II.I),
то высшие парциальные амплитуды, для которых
L
будут гораздо меньше парциальных амплитуд с /</эфф- Мы можем
ввести радиус действия силы R, такой, что (фиг. II.6)
при s—>оо,
откуда
/? = limTTTFT- G-3)
s-юо Qsl (zn)
Например, при N — TV-рассеянии силы наиболее далекого действия
обусловлены обменом я-мезонами, так что tn = т%., т. е. в соответ-
соответствии с A.6.16) Zn = 1 + m%J2ql, что дает R = Мтп. Вспоминая,
что в нашей системе единиц % — с = 1, мы видим, что радиус взаимо-
взаимодействия равен комптоновской длине волны пиона: R — %/тпс.
Итак, при условии полиномиальной ограниченности амплитуды,
подставляя G.1) в F.5), получаем
Af(s)f(s)e, G.4)
1—уоо
где / (s) — некоторая функция от s. (При этом требуется, чтобы
zn>\. Это неравенство справедливо при всех s>s0, т. е. во всей
области, которая здесь нужна.) Далее, используя G.3) и учитывая,
что qs >V~s/2, имеем
или
(,) > f (s) e~l/Rq» -+ f (s) e-2*/RVs, G.5)
lt 8->-oo

ПАРЦИАЛЬНЫЕ АМПЛИТУДЫ И ПОЛЮСА РЕДЖЕ 71
G.6)
Таким образом, при больших s разложение по парциальным волнам
A.3) можно оборвать на угловом моменте
/ да V~s R In f (s) = с Ys In s,
где с—некоторая константа. Мы видели [см. E.8)], что при всех /
и s имеет место неравенство | At (s) | < 1; поэтому для направления
вперед, используя A.3) и равенство Pi A)=1 при всех /, получаем
с V~7 In s
] A± [s, t (zs= 1, s)] | < const 2 B/+ 1).
Суммируя арифметическую прогрессию, имеем
| А± [s, t (zs= 1, s)] ] < const s In2 s. G.7)
Для углов, отличных от нуля, согласно (BI, 3.9.2) или [367],
где g (za) < 1; поэтому
| А± (s, t) | < const У. ?t±J- < const s3/« In3/* s. G.8)
Присутствие в этих соотношениях логарифмических множителей не
совсем понятно; кроме того, в экспериментально доступной области
энергий логарифмическую зависимость от s чрезвычайно сложно
уловить. Поэтому, предполагая, что подобными множителями можно
пренебречь, из неравенств G.7) и G.8) получаем следующий результат:
G.9)
где W(O<1 при /<0.
Используя далее кроссинг-симметрию, можно утверждать, что
такое же поведение имеет место и при больших t (т. е. za) в области
отрицательных s, а именно:
Л± (s, t) = О (z^<«>) с W(s)<l при s<0. G.10)
Таким образом, мы видим, что по крайней мере при отрицательных s
все парциальные амплитуды, за исключением разве лишь 5- и Р-волн,
определяются функциями Df (s, t), фигурирующими в F.1). В это
выражение может входить только два произвольных вычитания.
Отметим также, что G.9) совместно с оптической теоремой E.13)
дает
аполн (S) ^ SJV(O)-1 ^const.

72
ГЛАВА II
В § 1 упоминалось, что в точках, соответствующих сингулярностям
по t (или и), наиболее близким к физической области s-канала, разло-
разложение в ряд по парциальным волнам A.3) становится непригодным.
Фиг. II.7. Эллипс Лемана.
Область сходимости разложения по парциальным волнам ограничена ближайшей сингуляр-
сингулярностью zn,J
Теперь становится более понятным, почему это происходит. Из асим-
асимптотического вида Pi (zs) при Re/-»- оо [см. (В1,3.9.2), а также [367]]
следует, что
\Pi(za)\<~=-exp{\ Im/-Ree-bReMm9|}f (г.), 0<Re9,<rc.
G.11)
Комбинируя G.11) с G.4), видим, что ряд по парциальным волнам
сходится, если | Im9 |<?(zn) = ar chzn. Это условие определяет
в комплексной плоскости переменной zs эллипс Лемана с фокусами
в точках z = ± 1 и большой полуосью Zn [275] (фиг. 11.7).
§ 8. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ ПО УГЛОВОМУ
МОМЕНТУ
Соотношение F.5) можно использовать для того, чтобы опреде-
определить функцию Af (s) при всех значениях /, даже если они не являются
целыми числами, как это предполагалось до сих пор. Единственными
сингулярностями Qi (z) no / являются полюса при целых отрицатель-
отрицательных значениях этой переменной [см. формулу (В1,3.3.3)]. Поэтому
функция Af (s), определенная указанным способом, голоморфна по /
при Re / > lM (s), где lM (s) — степень роста Df (s, z3) в' формуле
F.2), причем из G.10) известно, что при s-^О имеет место неравен-
неравенство lM (s) <! 1. Следовательно, при всех I, удовлетворяющих усло-
условию Re I > lM (s), соотношение F.5) определяет аналитическое про-
продолжение парциальных амплитуд по /; чтобы подчеркнуть соответст-
соответствующую функциональную зависимость, введем обозначение А± (s, Г)
[не смешивать с А± (s, t)\. Впоследствии мы вернемся к старому обо-
обозначению Af (s) даже для нецелочисленных /.

ПАРЦИАЛЬНЫЕ АМПЛИТУДЫ И ПОЛЮСА РЕДЖЕ 73
Сразу не очевидно, какое преимущество дает данное продолжение,
так как А± (s, l) имеет физический смысл только при целых I, и может
показаться, что в равной степени допустима любая другая мыслимая
интерполяция этой функции по ее значениям в физических точках.
Как мы увидим в следующем параграфе, преимущество выбранного
продолжения заключается в том, что функция А± (s, t), определяе-
определяемая F.5), голоморфна по I при Re I > lM (s) и, согласно G.4),
А± (s, O = 0[e-ie(»»)]. (8.1)
Продолжение с такими свойствами является единственным, что сле-
следует из теоремы Карлсона в теории функций комплексного переменного.
Мы приведем лишь формулировку этой теоремы (доказательство'
см. [388]).
Теорема Карлсона
Если функция / (г) регулярна при Re z ;> 0 и имеет вид О (ek\z I),.
где А<л, причем / (г) = 0 при г = 0, 1, 2, . . ., то / (г) = 0 тож-
тождественно.
Из теоремы Карлсона следует, что нужная нам функция Л± (s, I)
для всех Re I > lM (s) полностью определяется своими значениями,
при целых I. Так, например, если к значениям Л± (s, t), полученным
из F.5) [обозначим их АГФ (s, /)], прибавить некоторую функцию,,
равную нулю при целых I, переходя, скажем, к
А± (s, I) = АГФ (s, /) + / (s) sin я/, (8.2>
то эта новая функция будет осциллировать при /-»оо и тем самым
не будет удовлетворять требованию
А± (s, I) = О (el'lft) при &<я. (8.3)
Таким образом, если на функцию наложить требование, чтобы она.
обладала достаточно хорошим поведением при I -*¦ оо, то наша интер-
интерполяция будет единственной.
Именно стремлением иметь соответствующее поведение при Z -> оо
вызвано введение в § 2 вместо Лг (s) амплитуд с определенной сигна-
сигнатурой Af (s). Если бы в A.1) подставлялось B.3), то, в отличие от пред-
представления C.5), возникло бы слагаемое, которое содержит интеграл
от Qi (г') по отрицательным г'. Далее, согласно (В1,3.3.12),
Qi(-z) = /-*«'QiB); (8.4).
поэтому
A (s, I) = e~inl0 [е-«<ад>], (8.5>
т. е. эта функция не удовлетворяет условию (8.3). К такому же выво-
выводу можно прийти, вводя в приведенное выше соотношение G.1) член
с zn <— 1.

74 ГЛАВА II
Итак, мы видим, что другое определение парциальных амплитуд,
¦а именно A.1), непригодно для интерполяции по /, так как, соглас-
согласно G.11), полиномы Pi (z) не обладают необходимым поведением при
Таким образом, существует тесная связь между расходимостями
в мандельстамовском представлении и возможностью продолжения
по моменту амплитуд рассеяния с определенной сигнатурой. Однако
для того, чтобы исследовать эту связь более детально, необходимо
иметь такое представление Л± (s, t) через Л± (s, t) и z3, которое было
бы справедливо и вне области сходимости ряда по парциальным вол-
волнам, т. е. вне эллипса Лемана. Такое представление можно получить,
используя преобразование Зоммерфельда — Ватсона.
§9. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЗОММЕРФЕЛЬДА — ВАТСОНА
Предположим, что Л± (s, J) является функцией, аналитической
ло / во всей правой полуплоскости, где она имеет только изолирован-
изолированные сингулярности; это позволяет продолжить ее даже левее линии
Re I = lM (s), получая при целых I физические значения. Очевидно,
это чрезвычайно сильное предположение, и в дальнейшем следует
попытаться оправдать его. Если это действительно так, то разложение
[L
Со
Фиг. П.8. Контур Со в комплексной плоскости углового момента.
по парциальным волнам A.3) можно заменить интегралом по контуру
в комплексной /-плоскости, изображенному на фиг. П.8 (подобный
прием использовал Зоммерфельд [365], позаимствовавший его у Ват-
Ватсона [406]):
Л*(«, 0- —it J
С
J
Со
Контур Со выбирается так, чтобы внутри него лежали все положитель-
положительные целые числа и нуль, но не попадала ни одна из сингулярностей
¦функции А± (s, t). Подынтегральное выражение имеет полюс в каж-
каждой точке, соответствующей целому числу п, когда

ПАРЦИАЛЬНЫЕ АМПЛИТУДЫ И ПОЛЮСА РЕДЖЕ
75
Используя соотношение (В 1,3.3.10), согласно которому
получаем, что вычет в этом полюсе равен
(Именно по этой причине, конечно, в (9.1) в качестве аргумента
полинома Pi берется —zs.) В результате, применяя теорему Коши,
получаем (отметим, что обход контура интегрирования по часовой
стрелке дает знак минус)
А± (s, t) = 1бя || B1 + 1) А± (s, I) Pt (zs),
1=0
что и требовалось доказать.
Предположим теперь, что контур Со деформируется в контур Cit
показанный на фиг. П.9, с прямой Re I = Li, параллельной мнимой
оси, и с бесконечно удаленной полуокружностью. Если L4 > lM (s),
-^ [L
О 1
4 5 б
Ф н г. II.9. Второй контур Ci с бесконечно удаленной полуокружностью.
то мы знаем, что при такой деформации контур не будет пересекать
ни одной сингулярности функции А± (s, l), так что интегралы по Со
и по Ci будут равны. Вследствие (8.1) и соотношения
_ 1 ехр {[ Im 0 Re l + (n— Re 9) Im /1
exp {я | Im l\}
/B*O^Г°> (9-3)
вытекающего из G.11), вклад от полуокружности обращается в нуль.
Это означает, что рассматриваемое представление справедливо в более
широкой области, чем эллипс Лемана; фактически область сходимости
не зависит от Im 0 и содержит все z^. I. [Напомним, что, согласно
замечанию, сделанному после формулы G.4), соотношение (8.1) спра-
справедливо, строго говоря, лишь в области s > So', продолжение на дру-
другие значения s указано в гл. III.]

76
ГЛАВА II
При уменьшении L контур будет пересекать сингулярности функ-
функции А± (s, /). Пусть «главной сингулярностью» (т. е. самой правой
в комплексной /-плоскости) является полюс при / = ам (s) с выче-
вычетом рм (s), так что
при
(9.4)
Тогда, обходя этот полюс, как показано на фиг. 11.10, получаем
c2
Рассмотрим сразу же асимптотическое поведение этого выраже-
"~-^^. IL
-3 -2 -/
N
0 I . 2
4 5 6 7
\
\
\
I
I
I
/
Фиг. 11.10. Третий контур Сг, обходящий полюс при ам (s).
ния по переменной zs. Прежде всего выразим Ра (z) через гипер-
гипергеометрические функции (В1.3.2.23):
При z—>оо гипергеометрические функции стремятся к единице,
и если а не равно целому отрицательному числу,
va. (9.7)

ПАРЦИАЛЬНЫЕ АМПЛИТУДЫ И ПОЛЮСА РЕДЖЕ
77
Таким образом, если Re {aM (s)} > —V2, то вследствие неравенства
Re {aM (s)} > L2 (см. фиг. 11.10) основной вклад в асимптотику в фор-
формуле (9.5) дает второе слагаемое, и мы имеем
A±(s, t)
Re{aM(s)>
(9.8)
Поскольку aAf(s) является самой правой сингулярностью в /-пло-
/-плоскости, полученный результат можно отождествить с асимптотиче-
асимптотическим поведением, определяющим сходимость интеграла F.5), т. е.
С другой стороны, если сингулярностью, которая пересекается конту-
контуром при его деформации, является точка ветвления ac (s), то в /-пло-
/-плоскости можно провести разрез, идущий в отрицательном направлении
LL
-1/2\
Фиг. 11.11. Коитур интегрирования, соответствующий выражению (9.10)
(указаны два полюса i и / и два разреза Ci и Сг).
оси Re /, как это показано на фиг. П. 11. В этом случае амплитуда
дается выражением
А± (s, t) = —JgL f B/ + 1) А± (s, I) ^=#- dl, (9.9)
и ее асимптотическое поведение с точностью до логарифмических
множителей имеет вид
A±(s,t), >ZHe<ac<8)>_
Насколько известно, единственными сингулярностями амплитуды
в /-плоскости должны быть, по-видимому, полюса и разрезы. Вслед-
Вследствие соотношения (9.7) вклад от вертикального участка контура
интегрирования можно сделать минимальным, отодвинув его до пря-

78 ГЛАВА II
мой Re / = —V2 (фиг. 11.11). Тогда получим
-Va+too
-l/2-ioo
(по полюсам)
- 2 -^J
i c,
(по разрезам)
Первый член, так называемый «фоновый интеграл», при za -*- оо обра-
обращается в нуль вследствие (9.7), и остается сумма «полюсов Редже»
и «разрезов Редже», которая представляет собой расходящуюся
(по zs или t) часть амплитуды. Как было доказано Редже в его осново-
основополагающих работах [346, 347, 66], в потенциальном рассеянии раз-
разрезы отсутствуют, а имеются только полюса. Однако в случае реля-
релятивистского рассеяния следует ожидать появления также и разрезов.
Причины появления и свойства этих разрезов рассматриваются
в гл. V. В последующей части данной главы мы будем говорить глав-
главным образом о полюсах. Полюса в /-плоскости приводят к тому, что
и амплитуда А± (s, t) в s-плоскости также содержит полюса. Они воз-
возникают при таких значениях s = sR, когда аг- (sH) равно целому числу;
это связано с тем, что sin [яаг (s)]->0 при s-*-sR. Функцию аг (s)
называют «траекторией Редже». Ограничение Фруассара требует,
чтобы для всех траекторий при s ^ 0 выполнялось неравенство
«г («X 1.
Если предположения, которые использовались при выводе (9.10),
правильны, т. е. парциальная амплитуда действительно аналитична
в правой полуплоскости переменной /, имея здесь только изолирован-
изолированные сингулярности, то проекцию Грибова — Фруассара можно про-
продолжить даже левее прямой Re / = lM (s). Если в F.5) подставить
первый член выражения (9.10), то интеграл будет существовать при
Re / > —г/2. Проблема, таким образом, заключается в расходимости
вкладов от полюсов и разрезов. Сконцентрировав для простоты все
внимание на полюсах, заметим, что одиночная траектория Редже
а (s) дает следующий вклад в амплитуду:
% (s, t)=- 16rf [2а (s) + 1] р (s) ^П8)Л(~У • (9.11)
Соответствующий скачок по переменной t можно получить, если
вспомнить, что, согласно (В1,3.2.10),
f — Ра.( — z) sin па при г<1—1,
1т[Ра(г)] = \ ' , (9.12)
V ' [ 0 ПрИ 2> — 1, V '

ПАРЦИАЛЬНЫЕ АМПЛИТУДЫ И ПОЛЮСА РЕДЖЕ 7Э>
так что
D$t (s,t)=\6яа [2а (s) + 1 ] р (s) Pa(S) (г.), г. > 1. (9.13)
Конечно, в действительности D± (s, ?) становится отличным от нуля
не при zs = 1, а в точке гя = zs (s, ?0) (см. фиг. II. 1), но, как будет
показано в гл. III, в области 1 < zs < zs (s, t0) этот скачок компенси-
компенсируется соответствующим членом фонового интеграла. Здесь же нас
интересует лишь поведение при больших г„, благодаря которому и воз-
возникает сингулярность. Если подставить (9.13) в F.5) и воспользоваться
тем, что, согласно (В 1,3.12.4),
то получим
Итак, если использовать соотношение F.5) для продолжения ампли-
амплитуды Л± (s, /) в область, лежащую левее прямой lM (s), то для каждой
траектории будут возникать полюса этой функции по переменной s
при таких s = sR, что a (sR) = /, где / — целые числа. Поскольку
Df (s, t) не имеет полюсов по s, такие сингулярности А± (s, t) может
породить только расходимость интеграла F.5).
Таким образом, мы видим, что гипотеза, согласно которой ампли-
амплитуду рассеяния можно продолжить по угловому моменту, сформулиро-
сформулированная в гл. I в виде постулата 6,- определяет вычитания, необходимые
при написании мандельстамовского представления. Если окажется,
что [ср. с (9.13)]
Dt(s, t)—^Tt(s)^w, (9.16)
то вычитание будет соответствовать полюсу Редже типа (9.11). Этот
полюсной член соответствует вычитательному члену FN~1 (s, zs)
в F.3), который до сих пор был произвольным. В общем случае, конеч-
конечно, в правой полуплоскости углового момента имеется несколько
полюсов и разрезов, и в асимптотике содержится целая совокупность
членов, подобных (9.16). Однако, по крайней мере в принципе, если
имеется достаточно точная информация об асимптотическом поведении
амплитуды, то мы сможем определить последовательно каждую из син-
гулярностей. Выводы, которые отсюда следуют, рассматриваются
более подробно в гл. VI, но уже сейчас очевидно, что произвольные
вычитания более не допустимы. Действительно, предположим, что
в соотношении F.3) мы положили N = 1, что приводит к появлению
произвольной функции F° (s). Эта функция, будучи независимой от t,
дает вклад только в S-волну, т. е. в амплитуду Af- (s), и может быть
записана как F° (s) 6ii0. Аналогично при N = 2 получим полином

SO ГЛАВА И
первой степени по t, который дает вклад только в S- и Р-волны, и т. д.
Таким образом, произвольные вычитания соответствуют дельта-сим-
дельта-символам Кронекера в /-плоскости, и ясно, что подобные члены исклю-
исключаются принятым постулатом аналитичности. Низшие парциальные
волны должны получаться посредством аналитического продолжения
высших парциальных волн, которые уже известны из F.5), и асимпто-
асимптотическое поведение амплитуды должно быть таким же, как и асимпто-
асимптотическое поведение скачка.
С помощью преобразования Зоммерфельда — Ватсона можно также
показать другим способом, почему теорема Карлсона обеспечивает
однозначность интерполяции по значениям при целых /. Действи-
Действительно, предположим противное, т. е. что имеются две функции,
А± (s, /) и Л± (s, /), которые равны при всех целых значениях
1 > 1м (s) и ограничены условием (8.3). Тогда можно построить еще
•одну функцию
A?(s, /)=Л± (s, /) + Л±E'/Г,Лг±E>/)
(lt — некоторое произвольное число), которая при целых / равна
А± (s, t) и также удовлетворяет условию (8.3). Однако если для функ-
функции А± (s, f) совершить преобразование Зоммерфельда — Ватсона,
взяв в качестве ее парциальных амплитуд Л± (s, Z), то дополнитель-
дополнительный полюс при U даст в Л± (s, t) член, который при г->- оо ведет
себя как г'*. Поскольку /t произвольно, такая ситуация невозможна,
и единственный способ избежать ее заключается в том, чтобы поло-
положить А± (s, l±) = Af (s, lt) при всех lt > lM (s). Итак, функция
А± (s, I) единственна.
После этого рассмотрения, носящего математический характер,
в следующем параграфе мы приступим к выяснению физического
смысла максимальной аналитичности второй степени.
§ 10. ПОЛЮСА РЕДЖЕ
Характерный вид траекторий, полученных в теории потенциаль-
потенциального рассеяния, которого можно ожидать также в физике релятивист-
релятивистских частиц (некоторые примеры можно найти в работе [285] г)),
показан на фиг. 11.12; каждая из них дает в А± (s, t) вклад, опреде-
определяемый формулой (9.11). Вспоминая, что четная часть функции
Л (s, t) содержится в Л+, а нечетная — в А~, получаем, что вклад
в физическую амплитуду равен [см. B.4)]
Л (s, t)=- 16я* [2а E) + 1] р E) Ра (~?]??f{Zs) , (ЮЛ)
причем знак плюс или минус выбирается в зависимости от того,
какой функции, Л+ или А~, соответствует траектория, т. е. имеет ли
г) См. также A. Ah-madzadeh, Ph. D. Thesis, University of Cali-
California, UCRI-11096, 1963.

ПАРЦИАЛЬНЫЕ АМПЛИТУДЫ И ПОЛЮСА РЕДЖЕ
81
она положительную или отрицательную «сигнатуру». Поскольку,
согласно (В 1,3.2.10),
Pa(-z)=er***Pa(z)—lsinrta-Qa(z), (Ю.2)
формулу A0.1) можно переписать в более удобном виде
A (s, t) = — 1бя2 [2а (s) + 1] р (s) X
х
Множитель [1 + e-ilta(s'] называется «сигнатурным множителем».
Его присутствие означает, что данная траектория дает полюсный вклад
Высокие энергии
. t-канала
Связан- Резонанса Убывание разового
ные сдвига
состояния
Imfa)
Г
2.
I Reid)
S
Фиг. 11.12. Поведерше типичной траектории.
На верхнем рисунке указан физический смысл отдельных участков ^графика функции Re a.
Предельные значения наиболее высоких траекторий а (±°о) в теории потенциального рассея-
рассеяния равны — 1.
в физическую амплитуду только при чередующихся целых значениях:
при четных / в случае положительной сигнатуры и при нечетных I
в случае отрицательной сигнатуры. Слагаемое с Qa, очевидно, не син-
сингулярно, и так как, согласно A2.8), Qa (г) ~ г"", в асимптотике
оно роли не играет. Однако мы будем продолжать пользоваться глав-
главным образом функциями А± (s, f), обращаясь к A (s, f) лишь в тех
случаях, когда желательно провести сравнение с экспериментом.
6—650

82 ГЛАВА И
Чтобы найти вклад полюса Редже в парциальную амплитуду, под-
подставим (9.11) в C.7) и воспользуемся формулой (В1.3.12.7)
-1
где / — целое, а а —любое число. В результате получим [111]
т. е. (9.15). Свойства функций a (s) и |3 (s) рассматриваются в гл. III;
следует ожидать, что a (s) является вещественно-аналитической
функцией *) от s с точкой ветвления на пороге s0, как это показано
на фиг. 11.12. Поэтому при вещественных s функцию а можно разде-
разделить на вещественную и мнимую части:
a(s)=«R(s)-Hai(s), •
ai(s)=0 при s<so (s вещественно). ^ ' '
Далее, если, как и в предыдущем параграфе, выбрать такое sr, что
(Xr(sr) — I, где I — целое число, и разложить cxr в окрестности
точки Sr:
a(s) = / + aR(sR)(s-SRl)+ ... +taI(sR), A0.6)
то из (9.15) получим
А*®~ *гЫЪ™-ь*Ш ПРИ S~SR- (ia7)
Подставляя s — E2, где Е~ полная энергия в системе центра масс,
и sr = A12, будем иметь
± р
Al ^ ^ (Л1 — ?)
! aR (/И2) 2УИ] -
Это соответствует брейт-вигнеровскому резонансу с массой М
и шириной
г
[ср. с A.8.1)]. При s<s0, когда ar = 0, получаем полюс, соответ-
соответствующий связанному состоянию.
Итак, мы видим, что полюса, отвечающие связанным состояниям
и резонансам, имеют совершенно одинаковую природу. Единственное
различие между ними заключается в том, что первые появляются,
1) Вещественно-аналитические функции часто называют также вещественно
определенными аналитическими функциями.— Прим. ред.

ПАРЦИАЛЬНЫЕ АМПЛИТУДЫ И ПОЛЮСА РЕДЖЕ 83
когда траектория проходит через соответствующие (т. е. четные или
нечетные, в зависимости от сигнатуры) целые значения при s, лежа-
лежащих ниже порога, а последние — при s, лежащих выше порога.
На одной траектории может быть расположено, например, связанное
состояние спина' нуль и резонанс спина два. Раньше уже отмечалось,
что ограничение Фруассара требует, чтобы при s<; 0 для всех траек-
траекторий выполнялось неравенство a (s)-^ 1. Однако при s ;> 0 траек-
траектории могут достигать и более высоких значений углового момента,
причем каждому из чередующихся целых чисел будет соответствовать
частица, а фазовый сдвиг в этих точках будет проходить последова-
последовательно через я/2, Зя/2, .... При уменьшении а в области более
высоких энергий (см. фиг. 11.12) эта функция также принимает все-
всевозможные целочисленные значения, которым отвечают фазовые
сдвиги, проходящие последовательно через . . ., Зя/2, я/2; конечно,
такие точки не соответствуют частицам. Максимальная аналитич-
аналитичность второй степени делает все частицы равноправными: все они
являются составными — стабильный нуклон в такой же степени,
как и нестабильный резонанс N* или стабильный дейтрон, который
всегда считался составным [109, 62, 182, 98].
Таким образом, оказывается, что ответ на вопрос, существуют
ли или нет элементарные (несоставные) частицы, тесно связан со спра-
справедливостью постулата 6. Эта связь рассматривается в гл. VI, VII,
но, по-видимому, если бы удалось установить, что все частицы дей-
действительно лежат на траекториях Редже и что постулат 6 справедлив,
то ни одна из частиц не могла бы считаться элементарной. В гл. VIII
приводятся экспериментальные свидетельства в пользу последнего
утверждения.
Поведение траекторий при s < 0 также очень важно с физической
точки зрения, так как эта область (или ее аналог для кинематики ча-
частиц с неравными массами, см. гл. I, § 6) соответствует физической
области /-канала. В предыдущем параграфе отмечалось, что, соглас-
ноДЭ.П), траектория Редже дает в асимптотическое поведение ампли-
амплитуды вклад
A±(s, /)~/a(s>.
Если а — правая сингулярность в /-плоскости, то эта формула опи-
описывает асимптотическое поведение амплитуды рассеяния в /-канале.
В гл. VIII будет показано, что для нескольких процессов такая связь
между полюсами Редже в s-канале и асимптотическим поведением
в /-канале оправдывается достаточно хорошо. Это обстоятельство
является наиболее сильным подтверждением и вообще основным дости-
достижением теории Редже. Наоборот, выяснение характера асимптотиче-
асимптотического поведения амплитуды рассеяния в /-канале позволяет опреде-
определить сингулярности в /-плоскости при s<0.
Физический смысл различных участков траектории указан на
фиг. 11.12.
6*

84
ГЛАВА II
§ 11. СИНГУЛЯРНОСТИ ПАРЦИАЛЬНЫХ АМПЛИТУД
ПРИ НЕЦЕЛЫХ I
В § 4 рассматривались сингулярности по переменной s, которыми
обладают амплитуды At (s) при целых I, и было показано, что в допол-
дополнение к правосторонним сингулярностям, соответствующим полюсам,
и порогам s-канала, существуют также и левосторонние сингулярности,
обусловленные точками ветвления функции Qt (г) при г = ±1- При
нецелых I левосторонние сингулярности усложняются, так как в этом
случае Qi (г) имеет четыре точки ветвления, и наряду с разрезом
от —1 до + 1 следует провести также разрез между г = —оо и г = —1.
Оба выражения C.9) для проекций на парциальные волны по-преж-
по-прежнему справедливы, но теперь контур С2 должен охватывать всю веще-
-/
.lit
Сг Ct
ф и г. 11.13. Контуры интегрирования в комплексной г8-плоскости, соответ-
соответствующие выражению C.9) с комплексным I (ср. фиг. II.2).
ственную ось z от z = —оо до г = 1 (фиг. 11.13). Из (В 1,3.3.11—12)
следует, что мнимая часть функции Qt (г) [ср. C.8)]
lm{Ql(z)}
\ 2 Pl{
[ smnl-Qi
при
Кг<1,
(—z) при —оо<г<С—1,
A1.1)
так что выражения для Af (s) принимают вид [ср. C.6), C.7)]
со
(
A1.2)
zs(s, to)
1
Pl{z')A±{s,t')dz'-
[
I
-W I «M-z'M^s, t')dz'.
A1.3)

ПАРЦИАЛЬНЫЕ АМПЛИТУДЫ И ПОЛЮСА РЕДЖЕ 85
Однако если вместо Af (s) рассматривать функции Bf (s), опре-
определяемые формулой E.17), то дополнительный разрез по s, возни-
возникающий при z<c— 1, исчезнет. Действительно, из (В1, 3.2.12) имеем
Qj( —㱫е)= — е±{ягдг(г) при г> 1. A1.4)
Кроме того,
(<7.«<7.з4) = е*™ (- <7„а<7й4)"'• A1-5)
Поэтому при t>0, когда вследствие A.6.14) значению s±m соот-
соответствует z±te, получаем выражение
Qi (г ± ie) _ Qi (—г) п6
которое при г<—1 не имеет разреза.
С другой стороны, согласно (В1, 3.2.10), при — 1<г<;1
sinn/.Qj (г ± ie) = -|- [е^я'Рг (г)-Рг (-г)],
но в области — Кг<1 Рi (г) не имеет разреза, так что
(-г) ^
В соответствии й A1.2) имеем
В этот интеграл входят только значения t > 0. В скачок на левом
разрезе дают вклад как скачок функции Qt (zs), так и скачок функции
Df (s, f) в области отрицательных s. Из A1.1) и B.8) получаем
zs(s, to)
/,B)Df(,O^
( —
t', u')±Ptu(W, t')\dz'- Ц-, A1.8)
где и' + ?' +s^ 2, a dz' связано с df соотношением A.6.14).
Областью интегрирования во втором слагаемом является такая
область, в которой при заданном s двойные спектральные функции
не равны нулю. Если воспользоваться формулой (8.4) и учесть, что
взаимная замена f и и' эквивалентна изменению знака /, то получим
zs(s ta)
(lq=<"->p-(''il0*'*s=r' <n-9>

86 ГЛАВА 11
При физических значениях / последнее слагаемое вклада не дает,
и мы снова приходим к D.6). Скачок на правом разрезе возникает
просто из скачков функции Df (s, t), так что из B.8) имеем
оо
Im{fijt(s)}n.p = I^ j [p., (s, f) ± Psu (s, t')] x
. Zs(s, to)
xQpyte—l— A1.10)
Более подробное обсуждение связи между сингулярностями в г-пло-
скостй и сингулярностями по переменным s и t мы отложим до гл. III.
§ 12. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МАНДЕЛЬСТАМА — ЗОММЕРФЕЛЬДА —
ВАТСОНА
Вследствие асимптотического поведения Pt (г), которое дается
формулой (9.7), при перемещении контура интегрирования в область
Re / < —У2 фоновый интеграл начинает преобладать над сингуляр-
сингулярностями правой полуплоскости переменной / при больших za. С дру-
другой стороны, согласно (В 1,3.3.1),
/>а (z) =/>_«_! (г);
поэтому для каждой траектории а мы получаем весьма нежелатель-
нежелательную связанную с ней траекторию —а— 1. Мандельстам [291] пока-
показал, как можно преодолеть эти трудности, и установил, что при боль-
больших zs преобладают все же сингулярности правой полуплоскости,
даже если фоновый интеграл берется вдоль прямой Re / < —V2.
Особенно важно, что это справедливо и для случая, когда внешние
частицы обладают спином (см. гл. IV).
Использованный Мандельстамом [291] прием основан на том,
что, во-первых, A.3) переписывается в виде
с»
А± (s, t) = 16я 2 {B/+ 1) A*(s, I) Pi {zs) +
1=0
-16«S ^(-1)'B0Л± (s, l—L) Q,_1/2(zs). A2.1)
1=0
Очевидно, что первые члены (с / = 0) в дополнительных суммах
равны нулю, но для упрощения записи их удобно сохранить.
Далее, согласно (В1, 3.3.3),
р'(*> l Qi О - ' Q-i-iW n2 о\
sin it/ it cos it/ it cos it/ ' V w

ПАРЦИАЛЬНЫЕ АМПЛИТУДЫ И ПОЛЮСА РЕДЖЕ
87
а полюса функции (cos nl) возникают, конечно, при полуцелых /,
так что над членом, заключенным в A2.1) в фигурные скобки,
можно произвести преобразование Зоммерфельда — Ватсона (9.10).
В результате получим
-l/2+e-ico
A±(s,t) = ? j B/ +
COS nOLi
(по полюсам)
(по разрезам)
J=0
A2.3)
Участок контура, по которому берется фоновый интеграл, выби-
выбирается несколько правее прямой Re / = —/2, чтобы избежать появ-
Фиг. 11.14. Контур интегрирования, соответствующий выражению A2.4)
с сингулярностями в /-плоскости, показанными на фиг. 11.11 (здесь возникают
дополнительные полюса при отрицательных полуцелых значениях углового
момента).
ления полюса у (cos я/). Однако если теперь сдвинуть его влево
до некоторого L <; —V2, как показано на фиг. 11.14, то нужно будет
обойти дополнительные полюса при / = /' = —V2, —3/2, • • ¦ ',

88 ГЛАВА II
поэтому A2.3) примет вид
L+ioo
^ (s,0--g- j Bl+l)A±{s,l)Q-±?p>dl+ 2 +
Ьi i
2 ~16я 2
j
Ь-ioo i
(по полюсам)
-V2 пГ-1/2
3 l'=-L'
(по разрезай)
оо
(~J|)' B/) Л* (s, l-±) Q?_i/2(-Zi), A2.4)
z=o
где V— ближайшее к L полуцелое значение, лежащее справа от него.
Заменяя теперь в четвертом члене правой части индекс сумми-
суммирования Г на /=— Г — */2, получаем
2 (~1Г1 (-2/) Л* (Д. -^-т) Q»-V»(-z»)- C12.5)
Если
Л (s, / — -i) =Л (s, -Z-^-) ПРИ Ц^^ '» A2-6)
т. е. если для полуцелых значений / амплитуда симметрична относи-
относительно точки / = —V2, то выписанный член сокращается с первыми
U — V2 слагаемыми последней суммы, входящей в A2.4). Известно,
что это свойство симметрии имеет место во многих задачах потенциаль-
потенциального рассеяния. Оно будет справедливо также и для сильных взаимо-
взаимодействий, поскольку для соответствующих значений / можно восполь-
воспользоваться представлением Грибова — Фруассара, а затем вывести
необходимое соотношение с помощью (В1,3.3.3). Итак, окончательно
получаем
Л± (s, t) =4rТ° <2/ + !) Л± <s' 0 Q"cos(J2s) dl + S +
L—ioo i
(по полюсам)
+ 2 - 2 t^
i b'+i/2 ¦
(по разрезам)
Преимущество этого представления, содержащего функции
Q_/_i (— zs), по сравнению с (9.10) заключается в следующем.
Поскольку, согласно (В1, 3.2.41),
i 4 | ±) A2.8)

ПАРЦИАЛЬНЫЕ АМПЛИТУДЫ И ПОЛЮСА РЕДЖЕ 89
мы имеем
поэтому первый и последний члены в A2.7) заведомо убывают как
zL для L <С —V2; в то же время член, соответствующий полюсу Редже
I = a,t (s) (или разрезу), по-прежнему дает вклад, который при боль-
больших га ведет себя как з^0^*». Полюса на s-плоскости в этом пред-
представлении соответствуют полюсам функции Q-a-i (—zs), где (—a — 1)
равно отрицательным целым числам. Полюса при полуцелых значе-
значениях ее, появляющиеся в тех случаях, когда cos ясс обращается в нуль,
являются, конечно, ложными. Это очевидно из- того, что мы просто
заменили Яа (—zs)/sin яа выражением
Qa(-Zs) Q-g-i( — ZS)
л cos ясс я cos яа '
в котором полюса сокращаются. При положительных значениях a
эти полюса сокращаются с полюсами функции Г (—a + V2), фигури-
фигурирующей в A2.9). При отрицательных значениях а условие симмет-
симметрии A2.6) приводит к тому, что Р равно нулю.
В следующей главе мы рассмотрим связь между описанными мето-
методами, позволяющими выразить амплитуду через ее сингулярности
в /-плоскости, и мандельстамовским представлением.

Глава III
ПОЛЮСА РЕДЖЕ
И МАНДЕЛЬСТАМОВСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
§ 1. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА РЕДЖЕВСКИХ ФУНКЦИЙ
В этой главе будет показано, как объединить реджевское разложе
ние амплитуды, описанное в гл. II, с мандельстамовским представле-
представлением, введенным в гл. I. Непосредственным следствием такого объеди-
объединения является возможность установить аналитические свойства
функций, связанных с полюсом Редже, т. е. траектории a (s) и вычета
Р (s). Соответствующие результаты весьма сходны с теми, которые
были получены в теории потенциального рассеяния [66] (см. также
[315, 368]).
Используя представление (II.6.5), можно записать [56, 320]
». A.1)
где
оо
Е? (s) = -fi-4- \ Qi (г') Dt (s, Г) df, A.2)
г
a /•"* (s) задается тем же интегралом, но с пределами от t0 до Т. Посколь-
Поскольку функция Ft (s) определена с помощью конечного интеграла, она
должна быть голоморфной при Re / > —1 и иметь простые полюса
при отрицательных целых значениях /, ибо именно таким поведением
обладает Q; (z). Все другие сингулярности At (s) в ^-плоскости воз-
возникают из-за асимптотического поведения подынтегрального выраже-
выражения в A.2) по переменной t (см. гл. II, § 9), и поэтому они будут
содержаться в Et (s). Конкретнее, если
t (S, t) ~ t ,
то, учитывая (Н.12.9)
Qi(z)~rl-\
мы имеем
оо
I
dt=- „„л-, . A-3)
)-I
что дает полюс при / = a (s). С другой стороны, если функция Df (s, f)
не просто полиномиально ограничена, а содержит логарифмические

ПОЛЮСА РЕДЖЕ И МАНДЕЛЬСТАМОВСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 91
множители, то они приводят к появлению точек ветвления по /. В дан-
данной главе все внимание будет сосредоточено на полюсах.
Положение полюса определяется уравнением
[Е? (s)]-1 = 0 при l=--.a(s), A.4)
но так как Ef (s) сингулярна на пороге, удобнее использовать «при-
«приведенную» амплитуду (II.5.17) и написать
iq«tRaJ{EtW*=Q при l=a.(s). A.5)
Соответственно, если воспользоваться теоремой Коши, то вычет
в полюсе, который определяется формулой (II.9.4), равен
щ §(*), A.6)
или, вводя
A.7)
получаем
4 § dl 19.П9ЛГ1 Et (s), A -8)
где интеграл берется по контуру, окружающему точку I — a. (s).
Соотношения A.5) и A.8) позволяют установить аналитические свой-
свойства a (s) и «приведенного вычета» у (s) no s.
Если Re / > Re a^ (s), где ам (s) — самая правая сингулярность
в /-плоскости (см. гл. II, § 9), то интеграл A.2) сходится. Поэтому
функция Ef(s) [<7si2 4s3il~l имеет в s-плоскости сингулярности такого
же типа, как и те, которые рассматривались в гл. II, § 11 при ана-
анализе полной парциальной амплитуды. Эти сингулярности представ-
представляют собой правый разрез при s > s0 и левый разрез, скачки на кото-
которых даются формулами (II.11.10) и (II.11.9). Однако поскольку инте-
интегрирование (в 1.2) ведется не от tQ, а от t= T, левосторонней точкой
ветвления при больших Т будет s ж —Т. Точное положение этой
точки можно найти, подставляя в (II.4.3) tn = Т и выбирая в правой
части знак минус. В качестве Т можно взять сколь угодно большое
число, отодвигая тем самым левый разрез функции Ef (s) как угодно
далеко к —оо. Это означает, что среди сингулярностей функций a (s)
и у (s), возникающих благодаря сингулярностям Ef (s), не содержатся
левосторонние точки ветвления парциальной амплитуды. В этом
можно убедиться и другим способом, замечая, что при Re / > —1
скачок на левом разрезе (ИЛ 1.9) является голоморфной функцией,
и поэтому он не может привести к появлению сингулярностей Ef (s)
в этой области /-плоскости.

92 ГЛАВА III
Таким образом, все имеющие в данном случае значение сингуляр-
сингулярности функции Е? (s) расположены при s>s0. Если теперь продол-
продолжить ее по / в область Re / < Re aM (s), используя для этого про-
процедуру аналитического продолжения выражения A.2), описанную
в гл. II, § 9, то появятся новые сингулярности¦ Ef (s). Однако в s-пло-
скости не будет никаких сингулярностей, не зависящих от I, так как
в противном случае они появились бы скачком при Re / = Re aM (s),
что противоречит теоремам о продолжении функций, двух комплексных
переменных (см. [320]). Единственными новыми сингулярностями
Ef (s) будут сингулярности реджевского типа, которые определяются,
например, A.5).
Далее, согласно теореме о неявных функциях, если [Ef (s)]'1 регу-
регулярна в окрестности точки s = sp, причем / = a (sp) = ар, и если
О, A.9)
то функция a(s) также регулярна в окрестности sp. Действительно,
функцию [Ef (s)] можно разложить в ряд Тейлора относительно
точки sp [93]:
[Е? (s)]-1 = a[a (s) -ap] + b(s-sp) +
+ c[a(s)— ap]* + d(s — spJ+... . A.10)
Если а=?0, то из A.5) мы будем иметь
a(s) = ap— (-|-) (s — sp)+...,
т. е. a(s) аналитична вблизи sp. Однако если а = 0 [т. е. усло-
условие A.9) не выполняется], а сфО, то
так что имеются две траектории, пересекающиеся в точке s = sp,
которая будет точкой ветвления каждой из них. Однако если при
этом и Ъ = 0, то существование точки ветвления не обязательно.
Таким образом, если две траектории пересекаются, то в принципе
может появиться точка ветвления функции a (s), но она появляется
не во всех случаях.
Ниже мы увидим, что в случае фермионов существование указан-
указанных пересечений необходимо для выполнения принципа симметрии
Мак-Дауэлла (см. гл. IV, § 6). Кроме того, было показано, что они
возникают при решении разнообразных задач теории потенциального
рассеяния [285, 11, 402, 404] *). Эти вопросы рассматриваются в рабо-
l) A. Ahmadzadeh, Ph. D. Thesis, University of California
UCRL-11096, 1963 (не опубликовано).

ПОЛЮСА РЕДЖЕ И МАНДЕЛЬСТАМОВСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 93
тах [29, 145]. Поскольку, как показано в гл. VI, «потенциалы», гене-
генерирующие траектории в физике сильных взаимодействий, соответ-
соответствуют смеси притяжения и отталкивания, вполне возможно, что
подобные точки ветвления действительно имеют место [39]. В случае
потенциального рассеяния а может обращаться в нуль только при
I < — 1г (см. [315], стр. 50), поэтому естественно ожидать, что для
a (s) указанные разрезы возникают только при больших по модулю
отрицательных s для высших траекторий. Но если внешние частицы
обладают спином, то, конечно, точки ветвления могут соответствовать
и более высоким значениям J, и, следовательно, появляться при мень-
меньших | s |.
Сингулярности a (s), не считая подобных разрезов, расположены
только в тех точках, где функция [Ef1 (s)]'1 сингулярна, т. е. при
s>s0. Вследствие соотношения A.8) аналогичные замечания справед-
справедливы и для у (s), но свойства вычета р (s), который имеет точки ветвле-
ветвления [<7si2<7s3J', будут, конечно, другими.
И, наконец, можно ожидать, что, кроме тех точек, в которых
траектории пересекаются, a (s) 'и у (s) будут вещественно-аналитиче-
вещественно-аналитическими функциями в плоскости с разрезом от s0 до оо.
Можно также сделать несколько замечаний общего характера
относительно порогового поведения a (s) [56, 382], аналогичных резуль-
результатам, полученным в теории потенциального рассеяния [66]. Рассмот-
Рассмотрим амплитуду, для которой ближайший порог s0 соответствует двух-
двухчастичному упругому процессу. Согласно (II.5.20), приведенная
амплитуда Bt (s), задаваемая формулой (II.5.17), удовлетворяет соот-
соотношению
где p(s)—функция, фигурирующая в (II.5.7), и скачок берется
на разрезе, соответствующем условию унитарности для упругого
процесса.
Функция
Ф (a) (-9ii2)' _ Ф (a) (glti)' е±Ш
cos zil cos nl
при so<.s<CSi, где S/ — первый неупругий порог, имеет такой же
скачок, что и [^(s)]". Таким образом, функция
Y (s, I) ^ cos nl [Вг (s)Г1 + ф (s) (- ?,)» A.11)
при s <z Sj не имеет разрезов. Положение траектории a (s) опреде-
определяется уравнением
[^z(s)]~1 = O при l = a(s), A.12)
или
Y(s, /) = ф (s) (—<7«2)г ПРИ l = a(s). A-13)

94 ГЛАВА III
Если разложить Y(s, l) в ряд по s относительно точки s0, a / —
относительно / = oco^a(so), то, вводя
A.14)
у
1 S
у. —
dY(s,
ds
dY(s,
dl
0
I)
l=ao
s=»o
l=ao
A.15)
s=s0
получим
С другой стороны, из A.13) при s, близких к s0, имеем
что с учетом соотношения (П.5.7) для p(s) дает
Y(s, ао)= — —т=-( — <7ш)а°"г1/2 ПРИ s»s0. A-17)
Поэтому
F(s0, ао) = О, если Оо> —^-, A-18)
и
F(s0, czq) ^> cxd, если ао<—^-- A-19)
Объединяя A.16) и A.17), получаем
a(s) = ao--7=--7
... при ao>-4- (
Для . ao< — V2» разлагая в ряд Y (s, l) = [Y(s, l)]'1, получаем
вместо A.20)
_ (|l) (s_So)+ . .. .
A.21)
Таким образом, из A.20) находим, что при приближении к порогу
сверху
^[ (±)](y+l/ A.22)

ПОЛЮСА РЕДЖЕ И МАНДЕЛЬСТАМОВСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
95
_M1 I s~so
2 /J \ 4
Sn \<XO—1/2
(s s0) -y—,
A.23)
в то время как при приближении к порогу снизу
a(s) = Rea(s).
Наклон траектории на пороге
d Re a (s)
5s
но s>s0
A.24)
при —V2 < a0 < V2 бесконечен, но в случае a0 > V2 он имеет конеч-
конечное значение. Если —V2 < сс0 < О и мы подходим к порогу снизу,,
где a (s) вещественно, то знак
наклона будет противоположен
знаку выражения A.24), так что
в этом случае имеется выступ;
но если а0 > 0, то выступа нет.
На фиг. III.1 приведены некото-
некоторые примеры, иллюстрирующие
характер поведения функции
Rea(s) при переходе траектории
через порог. Более полный ана-
анализ соответствующих вопросов
можно найти в монографии Нью-
Ньютона [315] (гл. 9). Для многоча-
многочастичных порогов фазовый объем
будет другим, и поэтому есте-
естественно ожидать, что поведение
функции Re a (s) при переходе
через порог будет более регу-
регулярным [192]. Эксперименталь-
Экспериментальных подтверждений такого рода
порогового поведения пока не
существует, причем в гл. VIII
будет показано, что если исходить из уже имеющихся данных,
то оно является достаточно гладким, хотя непосредственное
наблюдение траекторий в пороговой области, конечно, невозможно.
На самом деле это и неудивительно, так как известно [403], что в слу-
случае потенциального рассеяния влияние указанных выступов и тому
подобных особенностей столь незначительно, что им можно полностью
пренебречь; можно ожидать, что аналогичный вывод окажется спра-
справедливым и в физике сильных взаимодействий.
S
-^7/г "
Фиг. III.1. Примеры поведения траек-
траекторий, проходящих через порог [315].

96 < ГЛАВА III
Другое характерное пороговое свойство можно получить из соот-
соотношения A.17), если положить в нем /->-—V2. Имеем
-V, -•/- (L25)
и поэтому A.13) принимает вид
2f_ = 2_ (^12)'+1/2g-'"('+1/2)) A.26)
или
1 = exp {[In (qln) - in] (I + V2)}. A.27)
Это уравнение удовлетворяется при 1 = ап для любого а„, такого, что
[1п(О-'т
или
Таким образом, существует бесконечное число траекторий, принимаю-
принимающих при <7ii2 —*- 0 одно и то же значение а = —V2. Подобное сгуще-
сгущение траекторий на пороге обнаружено в работах [218, 145] (см. так-
также [146]).
Основной вывод, который мы хотели бы сделать в этом параграфе,
заключается в том, что если траектории не пересекаются, то a (s)
и у (s) являются вещественно-аналитическими функциями. Это озна-
означает, что можно постулировать следующие дисперсионные соотно-
соотношения:
оо
a (s) = а (оо) + -i- j lms,^}ss') ds' A.30)
so
Я
s0
Пример траектории, удовлетворяющей соотношению A.30), приведен
на фиг. 11.12. Мы предположили, что для a (s) требуется одно вычита-
вычитание. В случае потенциального рассеяния а(оо) всегда равно отрица-
отрицательному целому числу: некоторые траектории начинаются при—1,
другие при — 2 и т. д. Как мы увидим в гл. VIII, в релятивистском
рассеянии ситуация является более сложной, но соотношение A.30)
можно считать вполне приемлемым. Предполагается, что при s->-oo
у (s) обращается в нуль, поэтому вычитания здесь не делаются.

ПОЛЮСА РЕДЖЕ И МАНДЕЛЬСТАМОВСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 97
В гл. V будет показано, что условие унитарности требует положи-
положительности Im a (s), благодаря чему a (s) является функцией Герглотца
[232]. Это означает, что при любом s <; s0 все высшие производные
положительны, так как из A.30)
- „ J (S'_SJ
so
В теории потенциального рассеяния известно [347] (см. также [368]),
что
da(E)
dE
2a-(- 1*
A.33)
где Е = Y~s, a г — радиус рассматриваемого состояния. Если этот
радиус отождествить с радиусом взаимодействия R, то можно ожидать,
что наклон данной траектории будет связан с радиусом взаимодейст-
взаимодействия, порождающего эту траекторию (см. гл. II. § 7) следующим при-
приближенным соотношением:
~~2Г~~ 2M[2a(s
где М — масса соответствующих частиц. Поскольку для большинства
сильно взаимодействующих систем радиусы сил мало отличаются
друг от друга, можно считать, что наклоны различных траекторий
сравнимы по величине. В гл. VIII мы увидим, что это действительно
так.
В следующих параграфах рассматривается влияние аналитических
свойств функций a (s) и 7 (s) на аналитичность всего реджевского
полюсного члена в целом.
§ 2. ПОЛЮСА РЕДЖЕ И МАНДЕЛЬСТАМОВСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
Как говорилось в гл. I, связная четыреххвостка удовлетворяет
мандельстамовскому представлению с двойными спектральными функ-
функциями, не равными нулю лишь в некоторой области с определенными
границами [s = bt (f) и т. д., см. A.11.3) и далее], положение которых
зависит от масс внешних частиц. Расчеты, позволяющие определить
положение этих границ, подробно рассматриваются в гл. I, § 12.
Для амплитуд с определенной сигнатурой мы остановились на пред-
представлении типа (II.2.6). В дальнейшем будет удобно считать, что
амплитуда содержит только одну двойную спектральную функцию
(скажем, р,,г), так как вклады от остальных легко получить путем
перестановки переменных s, t и и. Поэтому из (II.2.6), меняя порядок
интегрирования, получаем следующее мандельстамовское представле-
7—650

98 ГЛАВА III
ние:
оо оо
A±(s t)-—[ ds' С df pst(s'' п О П
A (s, t)- я3 J ds J at (a,_s)(/._0. B.1)
*0 b(s')
С другой стороны, в гл. II предпринята попытка представить
амплитуду в виде суммы полюсов Редже и разрезов с добавлением
некоторого фонового члена, который выбирается так, чтобы при стрем-
стремлении переменных к бесконечности он обращался в нуль по крайней
мере как обратный квадратный корень [см. (II.9.10) или (II.12.7)].
Полюса и разрезы существуют, конечно, в каждом из каналов s, t я и,
но опять-таки в этой главе удобнее работать только с полюсами s-канала
и не учитывать вообще разрезы, так что из (II.9.10) имеем
Л± E, 0 « - S 16я3 [2«* (*) + 1] р, E) ^;1~^ -
-l/2+too
2/ J sin я/
— 1/2—too
или из (II. 12.7)
L+too
f } B/+1)^(S,
L—too
^( 4) B.3)
где (—L') — ближайшее к L полуцелое число, лежащее справа от него.
Преимущество выражения B.3) по сравнению с B.2) заключается
в том, что оно позволяет включить в явном виде все полюса с
Re at (s) > L (отметим, что в общем случае L отрицательно) и сделать
фоновый член обращающимся в нуль сколь угодно быстро (~ tL).
Однако иногда проще использовать выражение B.2).
Эквивалентность B.1) выражению B.2) или B.3) отнюдь не очевид-
очевидна, так как реджевские полюсные члены сами имеют скачки и двойные
спектральные функции, отличные от нуля вне области, которая пред-
предписывается правилами Мандельстама. Чтобы показать это, рассмот-
рассмотрим простой случай я — я-рассеяния, в котором все внешние частицы
имеют одну и ту же массу. В гл. I, § 12 мы видели, что тогда двойная
спектральная функция pst не равна нулю только в области, показан-
показанной на фиг. 1.16. Однако если в B.3) ограничиться одиночным полю-

ПОЛЮСА РЕДЖЕ И МАНДЕЛЬСТАМОВСКОЕ^ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 99
сом Редже, т. е. положить
А% (s, 0 = 16л [2а (s) + 1] р (s) Q-°S;;(~ZS) > B.4)
то это выражение заведомо будет иметь сингулярности в нежелатель-
нежелательной области. Действительно, в предыдущем параграфе показано,
что a (s) является вещественно-аналитической функцией перемен-
переменной s с динамическим разрезом от порога s0, соответствующего
s-каналу и равного в данном случае 4/Пя, до оо (при условии, что две
траектории не пересекаются, так как в этом случае следует включать
вклады каждой из них).
Кроме того, величина
z°=l+-4jf B.5)
имеет полюс в точке ql = O, который приводит к появлению нежела-
нежелательного кинематического разреза у функции Q_a(»)-i ( — zs). Однако
он устраняется, если в соответствии с A.7) положить
s\ B.6)
так чтобы разрез для Q_a(e)_i (—zs) сокращался с разрезом для
(#)«<•> [см. (II.11.6)].
Как было показано, можно ожидать, что этот так называемый
«приведенный» вычет также является вещественно-аналитической
функцией с динамическим разрезом, который начинается на пороге.
В гл. II отмечалось, что преобразование Зоммерфельда — Ватсона
предполагает, что парциальные амплитуды удовлетворяют условию
(П.8.1), которое, однако, справедливо только при ?|>0 [см. (II.7.1)].
Как видно из соотношения (II.4.9), парциальная амплитуда Л± (s, [),
определяемая формулой (П.3.6), имеет на пороге точку ветвления.
Поскольку в этом случае интегрирование в (II.6.5) проводится
по отрицательным zs, парциальная амплитуда вместо (II.7.4) удовле-
удовлетворяет следующему асимптотическому условию:
A±(s, I) ,—' e-**'e-*5<*n) при s<s0.
1—юо
Следовательно, при s<Zs0 преобразование Зоммерфельда — Ватсона
совершить нельзя. Но функция
A±(s, I) s einlA± (s, I)
обладает хорошим поведением при /—> сю, и поэтому при s<Cs0
вместо B.2) можно написать [85, 86]
А± (s, /) = 16л ^ B1 + 1) Л (s, I) Pi (z) =
i
= J!r J B/+ !) Л±<5' f) PlsLtP dl+ полюса P^^e и Разрезы.
7*

100 ГЛАВА Ш
Конечно, при s z> s0 это представление не справедливо. Какую из
амплитуд, Л± (s, /) или Л± (s, /), следует вводить, зависит от того,
как выбирается положение кинематического разреза,— идет ли он
от s0 в положительном или в отрицательном направлении веществен-
вещественной оси.
В соответствии с этим реджевский полюсный член должен содер-
содержать кинематический множитель B.6), чтобы при переходе к отрица-
отрицательным q% разрез по t оставался фиксированным. В противном случае
связь между разрезами по zs и разрезами по t была бы неоднозначной,
так как / ± is может соответствовать z =F *е или г ± ?е, в зависимо-
зависимости от того, положительно или отрицательно q\ в B.5). Лучше всего
это обстоятельство можно отразить, записав
)(^)ri)(^r)r B.7)
где
cos яа (s)
Тогда разрез для функции Q_a(s)_i (—1—^/2^1) при (—1—t/2ql)<C— 1
будет всегда сокращаться с разрезом для функции (—qVt)a(s) при
(qVt)>0, так как, согласно (II. 11.4) и (И. 11.5),
( --f ± »e) Q-ew-i (- z ± is) = D-)"(S> Q-aw-i (z). B.9)
Итак, для функции Лд (s, /)> определяемой выражением B.7),
имеются следующие разрезы:
при фиксированном s
разрез по t от t = О до оо, обусловленный членом (—t)a<-s\
разрез по t от t = 0 до —4q% из A.11.1) при —1 < z <; 1;
при фиксированном ?
разрез по s от s = So до оо из разрезов Г (s) и a (s),
разрез по s от ql — —оо до —//4 из A.11.1) при —1 <! z <; 1.
Однако амплитуда B.3) должна иметь скачок по t только от t0
до оо и скачок по s только от s0 до оо с двойной спектральной функцией,
ограниченной даже меньшей областью, показанной на фиг. 1.16. Оче-
Очевидно, что B.3) согласуется с мандельстамовским представлением
лишь в том случае, если фоновый член имеет такие сингулярности,
которые сокращаются с сингулярностями функции Лд (s, t). Может
показаться, что для этого требуется вмешательство чудодейственной
силы, но не следует забывать, что B.3) является всего лишь частным
случаем разложения амплитуды B.1), и поэтому сингулярности в нем
автоматически должны объединяться попарно. В теории потенциаль-
потенциального рассеяния известно, что амплитуда удовлетворяет мандельста-
мовскому представлению и одновременно обладает реджевским пове-

ПОЛЮСА РЕДЖЕ И МАНДЕЛЬСТАМОВСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДО1
дением, и необходимое согласование обеспечивается там автомати-
автоматически.
Аналогичные трудности возникают и в представлении B.2), где
одиночный реджевский член дает
Ai (s, 0 = - О<*) <*)•« ^"я^Г" , B- Ю)
G(s)= 16rt«[2o(s) + l]Y(s). B.11)
В этом случае несколько сложнее исключить сингулярность в точке
qi = 0, так как при изменении знака аргумента для Ра (z) будет иметь
место соотношение (II.10.2), а не более простое соотношение (П.11.4),
которое справедливо для Qa (z). Однако если воспользоваться форму-
формулой (II.11.4), то при ц\ <с 0 можно написать
B.12)
Таким образом,
при фиксированном s имеется разрез по t от t = —4gf до оо,
при фиксированном / имеются разрезы от q% = 0 до оо и от q\ =
= —t/2 до 0.
В этом случае также необходимо, чтобы вне области, соответствую-
соответствующей мандельстамовскому представлению, сингулярности сокра-
сокращались.
В физике сильных взаимодействий часто возникает естественное
стремление представлять амплитуду просто в виде суммы полюсов
Редже, пренебрегая при этом фоновым членом, так как мы знаем,
что он не играет никакой роли в асимптотике. Однако теперь очевидно,
что необходимо включать хотя бы некоторую его часть, достаточную
для компенсации нежелательных сингулярностей реджевских полюс-
полюсных членов. И конечно, до сих пор лишь предполагалось, что эти
члены можно сделать такими, чтобы они удовлетворяли мандельста-
мандельстамовскому представлению. Нам еще следует показать, что необходимая
согласованность действительно может быть достигнута, особенно
когда кинематика является более сложной, чем в обсуждавшемся
до сих пор случае равных масс.
В нескольких последующих параграфах рассматриваются некото-
некоторые из представлений, предложенных для полюсов Редже,— сначала
(§ 3—5) для кинематики равных масс, а затем и для более общего
случая.
§ 3. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧЬЮ — ДЖОНСА
Чью и Джонс [112] предложили очень простое представление для
полюсов Редже, которое оказалось удобным при динамических вычис-
вычислениях в случае кинематики равных масс. Кяк заметили эти авторы,

102
ГЛАВА III
можно ожидать, что реджевский полюсный член s-канала будет давать
существенный вклад в двойные спектральные функции только вне
области резонансов кросс-канала. Так, если рассматривать фиг. III.2,
то можно думать, что для полюсов Редже s-канала двойная спектраль-
спектральная функция будет отлична от нуля в основном в области t> t\, где
Фиг. III.2. Область, в которой отлична от нуля двойная спектральная функ-
функция для полюса Редже s-канала, входящая в представление Чью — Джонса
(заштрихована), в сравнении с истинными границами, показанными на фиг. 1.16.
Если ft достаточно велико, то границу можно выбрать при sa, внося при этом лишь неболь-
небольшую погрешность.
U — достаточно большое значение, лежащее выше всех полюсов
^-канала. Значение U должно выбираться так, чтобы оно соответство-
соответствовало энергии, при которой поведение в ^-канале становится явно
реджевским, т. е. энергии, равной обычно 2—3 Гэв. При таких значе-
значениях t граница двойной спектральной функции почти совпадает с пря-
прямой s = s0 [см. A.12.10)]. Поэтому представляется вполне разумным
положить для одиночного полюса Редже s-канала
t)Q(t-ti)Q(s-s0), C.1)
где pR (s, t) — двойная спектральная функция, соответствующая
либо B.7), либо B.10). При динамических вычислениях обычно не при-
приходится иметь дело с областью Re а < —V2, поэтому удобно исполь-
использовать выражение B.10), с которого мы и начнем наше обсуждение.

ПОЛЮСА РЕДЖЕ И МАНДЕЛЬСТАМОВСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЮЗ
Согласно B.12), одиночный полюс Редже дает в амплитуду вклад
C-2)
где член с Qa опущен, так как при t>tx он пренебрежимо мал
[см. (II. 12.9)]. При s>s0 эта функция имеет скачок по s
DMs, О-A. {-GE)(-grs> P«
обусловленный разрезами для a (s) и 7 (s)> a также разрезами для
функции Лежандра [см. выводы после формулы B.12)]. Конечно,
для функции C.2) это не единственный разрез по s, но нам требуется
только он. Если теперь в C.3) взять скачок по / в области, соответ-
соответствующей C.1), то, используя (П.9.12), получим
р (s, t) = д8 [g (s) (- <$a(s> pa(s> (- 1 —^-)} e {t-tt) e (s-s0). C.4)
Если подставить это выражение в B.1), то интегрирование по s',
будучи интегрированием вдоль всех разрезов по s у выражения,
заключенного в C.4) в фигурные скобки, сведется просто к изме-
изменению знака скачка Д„, и останется
Л* E, /) - G <s) < - #«•> ± [ Ы1^1** df. C.5)
Если a (s) > 0, то этот интеграл не определен, и чтобы осуществить
аналитическое продолжение по а, следует воспользоваться дисперсион-
дисперсионным соотношением для функции Лежандра [111]
J^i?ldz'. C.6)
1
Эта процедура приводит к определенному вычитанию того же типа,
как и рассмотренное в гл. II, § 9. Таким образом, из C.5) получаем
4-
Отличие соотношения C.7) от C.2) состоит просто в том, что в нем
устранен тот вклад в AR, который соответствует мешающей нам части
двойной спектральной функции от / = —iql до Д. При фиксирован-
фиксированном s этот поправочный член ведет себя асимптотически как t'1,
и поэтому он вполне может содержаться в фоновом интеграле. Исполь-

104 ГЛАВА III
зование такого представления для динамических вычислений рас-
рассматривается в гл. VI.
С другой стороны, для амплитуды с одиночным полюсом Редже
можно предпочесть представление B.3), записав
А± (s, t) =Ai (s, t) + B± (s, t) C.8)
и взяв Лд (s, f) из B.7). В выводах, следующих за формулой B.9),
указаны разрезы для Лд (s, t), и чтобы амплитуда Л± (s, t) удовлетво-
удовлетворяла мандельстамовскому представлению, некоторые из них должны
сокращаться с разрезами для функции ?± (s, f); в то же время
по-прежнему функция В± (s, t) должна стремиться к нулю при t -*- оо
по крайней мере как t'1'*.
Далее, функция B.7)
Ai (s, 0 = г (s) ( -4
при s;>s0 имеет скачок по s, который дается формулой
C.9)
хотя соответствующий разрез для Ar (s,t) no s и не является един-
единственным.
Воспользовавшись затем соотношением B.9), получим следующий
скачок по t этого выражения в области t>0:
р (s, t) = As [ -Г (s) ( - il)a(s) /aw Sin jta (s) Q_e(.)-i ( - 1 -щ ) ] X
X9(s —So)9(O =
= AS [-T(s) (^)a(S>^<s>sin^a(s)Q_a(s)-1 (l+^J] X
xQ(s-so)Qt. C.10)
Конечно, такая граница для двойной спектральной функции еще
не является правильной, но в дальнейшем из нее легко вычесть
часть (см. фиг. III.2)
bi(s')
0-тИ^7 I Т^Т
so 0
C.11)

ПОЛЮСА РЕДЖЕ И МАНДЕЛЬСТАМОВСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЦM
Использование границ, фигурирующих в C.10), позволяет записать
поправочные члены в более простой форме. (В последующих форму-
формулах аргумент у a (s) часто опускается.)
Если подставить C.10) в
D?{s,t) = l-^dt''?pJ2., C.12)
о
то мы получим
-*«г
\ "F/ (~~*'")аРа\~1~~щ)\'
C.13)
Это выражение отличается от C.9) наличием поправочных членов
от дополнительного разреза по t для функции C.10), который вычи-
вычисляется с помощью (П. 11.1).
Аналогично для величины
Dt (s, t) = — \ ds' , j?— C.14)
so
имеем
Df (s, /) = - Г (s) ( - -^)" /« sin mxQ-a^ ( - 1 - -щ) -
— *—SO a
и как C.13), так и C.15) [с учетом C.11)] приводят к представ-
представлению
C.16)

106 ГЛАВА III
Отличие C.16) от B.7) состоит просто в том, что в этом представле-
представлении устранен вклад от лишних разрезов реджевского полюсного члена.
Остается лишь проверить, что последние три члена в C.16) имеют
необходимое асимптотическое поведение. Очевидно, что второй член
в правой части C.16) ~/а(-°°>), а третий и четвертый члены
~/~1, так что достаточно потребовать, чтобы а (—оо) <; —У2-
Как C.7), так и C.16) можно использовать в качестве вклада
в амплитуду от одиночной траектории Редже, который удовлетворяет
мандельстамовскому представлению для кинематики равных масс.
§ 4. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ХУРИ — ДЖОНСА
Недостатком представления Чью — Джонса является то, что
поправочные члены в нем можно записать только в виде некоторых
интегралов, вычисление которых весьма затруднительно. Без явных
численных расчетов фактически невозможно проанализировать харак-
характер вклада в амплитуду, который дает данная траектория Редже.
Несколько раньше независимо друг от друга Хури [262] и Джонс *•)
предложили иной метод. Хотя в некоторых отношениях он и является
менее удовлетворительным, чем метод Чью — Джонса, но зато обла-
обладает тем преимуществом, что с его помощью весьма просто произво-
производится разложение амплитуды по парциальным волнам.
Основная идея этого метода в точности та же. Устраним из ред-
реджевского члена C.2) ту часть, которая соответствует разрезу между
/ = —4<7? и t = tt. С этой целью обратимся к интегральному пред-
представлению функции Лежандра (В1.3.7.11)
при — l<Rea<0, D.1)
о
которое можно переписать в виде
оо
Р„ (z) = injta_ i _е гг-dx, D.2)
nl/2 J (ch*-fz)/2
— СО
или, интегрируя по частям,
pa(z) = -- siniia " e(a+x/2KCshx .,„
Таким образом, можно получить такое представление реджевского
члена C.2), в котором разрез начинается в точке t — tu а именно
A±(s, t)= lGny(s)( — ф)
1 Г e(«+V2>5C sJj
1/2 J (ch x-\-zsf'
s(s)
х) С. Е. Jones, Lawrence Radiation Laboratory Report UCRL-10700
(не опубликовано).

ПОЛЮСА РЕДЖЕ И МАНДЕЛЬСТАМОВСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ Ю7
где
Выражение D.4) определено лишь при Rea<0, но с помощью
формулы D.3) можно получить его аналитическое продолжение
в область Rea>0, аналогичное C.7). В результате получаем
A±(s, t) =
rn[2<x(s)+l]Pg,s,(l+</29j) ! ?(f) ete«»+4zl*shx j I
XL . sirups) у2 J (ch x + zsf'> У
•—ОО
D.6)
В интервале —1 <; Re a < 0 справедливо как выражение D.4), так
и D.6), причем можно показать, что здесь эти выражения совпадают
(см. [262]).
Преимуществом такого представления по сравнению с представле-
представлением Чью — Джонса является то, что проекция амплитуды D.4) или
D.6) на парциальную волну принимает в данном случае особенно
простой вид. Подставляя любое из этих выражений, справедливое
при данном значении а, в формулу (II.1.1) и используя соотношение,
обратное D.3), т. е.
-l/2+ico
(
B1+1) Pt (z) *-('+V2)* dlt D.7)
_v_ioa ' ' cos[jt(Z+i/2)]
получаем
At (s) = - Y (s) (- фГ> еХР{~1^1(;)]?E)}> D-8)
Благодаря асимптотическому поведению Pi (г) при /->-оо, опреде-
определяемому формулой (II.7.-11), разложение амплитуды по парциальным
волнам (II.1.3), которое содержит функцию D.8), будет, очевидно,
сходиться при /</i. Это является следствием исключения вклада
двойной спектральной функции при t < t\, и формула Чью — Джонса
из предыдущего параграфа имеет ту же область сходимости.
Основной недостаток представления Хури — Джонса заключается
в том, что, наряду с правым разрезом по s от s = 4m2 до оо, обуслов-
обусловленным разрезами для a (s) и у (s). имеется также и левый разрез
от 4q% = —ti (т. е. от s = —1\ + 4m2) до —оо, который обусловлен
поведением функции | (s) D.5). Следует ожидать (см. гл. II, § 4),
что такой разрез присутствует только в парциальной амплитуде,
а в полную.амплитуду не входит. Если бы функция А± (s, f), опреде-
определяемая выражением D.4) или D.6), была точной амплитудой, то в сум-
сумме, соответствующей разложению по парциальным волнам, этот раз-
разрез сокращался бы, но так как она является всего лишь приближением,

108 ГЛАВА III
то на полную компенсацию надеяться не приходится. Этот дефект
приводит к тому, что представление Хури — Джонса непригодно
при динамических вычислениях. Однако выражение D.8) для пар-
парциальной амплитуды является весьма поучительным, так как оно
показывает, в чем состоит отличие сил, возникающих за счет обмена
траекторией Редже, от сил, обусловленных обменом (элементарной)
частицей с фиксированным спином. Эти вопросы рассматриваются
в гл. VI.
Аналогичное, но более сложное выражение для амплитуды, в кото-
котором исключен левый разрез, получено в работе [270].
§ 5. СТЕПЕННОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ХУРИ
До настоящего параграфа гипотеза полюсов Редже была тесно
связана с разложением амплитуды по парциальным волнам, т. е. по
функциям Лежандра, а это, как мы видели, приводит к некоторым
трудностям, поскольку угол рассеяния zs зависит как от s, так и от t.
Однако в конечном итоге нас обычно интересуют асимптотические
свойства амплитуды не по zs, a no s или t, и представляется вполне
разумным исходить из степенного разложения по этим инвариантам,
а не из разложения по функциям Лежандра. Возможность такого
подхода продемонстрировал Хури [263, 264]. При этом необходимо
было решить два вопроса: во-первых, существует ли соответствующая
интерполяция коэффициентов степенного разложения и, во-вторых,
можно ли разлагать амплитуду не по zs, a no t.
Запишем вместо разложения (II. 1.3) разложение в степенной ряд
@ 2()
V=0
где v — целое число. Из дисперсионного соотношения (II.2.7)
E.2)
получаем
f. E.3)
Сравнивая это выражение с E.1), находим
оо
с (s, v) = JL J Df (s, t") (t'Tiv+1) df. E.4)
to
Последнее выражение позволяет осуществить продолжение коэффи-
коэффициентов с (s, v) по переменной v на все ее значения, при которых имеет

ПОЛЮСА РЕДЖЕ И МАНДЕЛЬСТАМОВСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ Ю9
смысл интеграл E.4). Сравнивая его с (П.6.5), видим, что он сходится
при всех v, удовлетворяющих неравенству Re v ^- lM (s). Поэтому
функция с (s, v) голоморфна по v в той же области, в которой функция
A (s, l) голоморфна по /. Чтобы продолжить E.4) в область левее
указанной границы, необходимо так же, как это делалось в гл. II,
§ 9, вычесть из Df (s, t) те вклады, которые соответствуют всевоз-
всевозможным правосторонним сингулярностям в . /-плоскости. Предполо-
Предположим для удобства, что разрезов нет, а существуют лишь полюса при
I = аг (s). Используя совместно с (II. 11.1) выражение B.4) для вклада
от полюса Редже, можно написать
Df(s,t) = Df(s, 0
X yt (s) №fiiS) tg nat (s) Q-a.^-t (-zs), |E.5)
где Df (s, t) — вклад от фонового члена, причем его можно выбрать
так, чтобы при t —> оо он обращался в нуль по крайней мере как t~x'-.
Воспользовавшись далее формулой (II. 12.8), разложим функцию
Q-a-i( — z) по степеням г~г\
Q_a_! (z) = g0 (a)z« + ^ (a)z«-2+ . . . + gn (а)г«-2»+ . .. E.6)
и проведем интегрирование в E.4), в результате чего получим
с (s, v) = с* (s, v) - 2 8 [2а* (я) + 1] yt (s) -^Г^ Х
х- Г(-
r(-2af + n) n\
п=0
где св (s, v) — вклад от Df (s, t). Таким образом, каждому полюсу
Редже соответствует последовательность полюсов функции с (s, v),
лежащих при v = at (s), at (s) — 1, at (s) — 2 и т. д.
Для разложения E.1), совершенно аналогично тому, как это
сделано в гл. II, § 9, можно совершить преобразование Зоммерфель-
да — Ватсона, в результате чего получаем
-l/2+ioo
Г( —at+n) J_ .. ..„ , ..<xj-n
W) К*) (О.О)
71=0
Очевидно, что разложение Хури соответствует просто разложению
реджевских полюсных членов в ряд по степеням t. Конечно, если
возникнет необходимость, прямую, вдоль которой берется фоновый
интеграл, всегда можно сдвинуть левее прямой Re v = —V2.

НО ГЛАВА III
Таким образом, каждому полюсу Редже аг (s) соответствует глав-
главный полюс Хури при v = аг (s), приводящий к асимптотическому
поведению ^a*(s\s), и бесконечная последовательность «сопутствующих»
полюсов при v = o&j (s) — л (л = 1, 2, . . .), которые дают в асимпто-
асимпто^1 OO2
тику вклады типа fct^~1> ^jOO—2 и т_ д Приведенные выше рас-
рассуждения можно было бы обратить, и мы получили бы, что каждому
полюсу Хури при v = at (s) соответствует бесконечная последова-
последовательность полюсов Редже при I = a* (s), a4 (s) — 1 и т. д. Однако
при этом, конечно, если включить в E.8) полную последовательность
сопутствующих полюсов, то они будут давать вклады, компенсирую-
компенсирующие друг друга, так, что останется только один полюс Редже при
/ = at (s).
Каждый из членов последовательности, входящий в E.8), имеет
разрез по t от t = 0 до оо, однако точно так же, как в § 3, легко добить-
добиться, чтобы при t <C ti эти разрезы сокращались с сингулярностями
фонового интеграла. Соответствующие вычисления в явном виде
проведены в работе Хури [264]. При практическом использовании
представления E.8) суммирование по п, очевидно, нужно обрывать
на некотором, своем для каждой траектории, значении п = Nif таком,
чтобы при всех s выполнялось неравенство
а* (я) — Nt< — ¦§-,
т. е. чтобы все последующие члены ряда убывали асимптотически
так же, как фоновый интеграл. Тогда основное отличие E.8) от обыч-
обычного реджевского представления будет заключаться в характере его
асимптотического поведения по s. Реджевский полюсный член B.4)
имеет асимптотическое поведение по s, определяемое функцией
cos яа (s)
тогда как в E.8) входит комбинация
cosna(s) K Ча) '
Истинное значение реджевских полюсных членов определяется тем,
что асимптотическое поведение по s задается полюсами t- и ы-каналов,
в то время как вклады полюсов s-канала при больших s обращаются
в нуль. Чтобы удовлетворить этому условию, в случае, когда обры-
обрывается разложение E.8), на поведение функции у (s) необходимо нало-
наложить более жесткие ограничения, чем в случае представления Чью —
Джонса, поэтому последнее обычно более предпочтительно (см. в этой
связи [250]).
Теперь ясно, что вместо разложения по парциальным волнам,
т. е. по zs, при котором возникают полюса Редже, можно использо-
использовать многие другие типы полиномиальных разложений амплитуды,.

ПОЛЮСА РЕДЖЕ И МАНДЕЛЬСТАМОВСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ Щ
выбирая в качестве аргументов таких полиномов различные другие
переменные (лишь бы они зависели от s и t); после этого можно совер-
совершать преобразования, аналогичные преобразованию Зоммерфельда —
Ватсона. Однако усложнение сингулярностей в. комплексной плоско-
плоскости переменной, определяющей порядок полинома (аналогичной
/-плоскости или v-плоскости), и затруднения, связанные с необходи-
необходимостью компенсации сингулярностей в плоскости аргумента (аналога
переменной zs или f), делают подобную процедуру в общем довольно^
бессмысленной. Очевидно, наиболее удобно использовать такую пло-
плоскость (переменной, определяющей порядок полинома), в которой
число полюсов, соответствующих каждой физической частице, мини-
минимально (желательно, чтобы оно было равно единице). Именно такой
и является реджевская /-плоскость. Однако, как будет видно из после-
последующих параграфов, . усложнения, характерные для кинематики
частиц с неравными массами, привели к тому, что некоторые авторы
высказывают сомнения относительно выделенной роли реджевской
плоскости в физике частиц.
§ 6. ПРОБЛЕМЫ КИНЕМАТИКИ ЧАСТИЦ С НЕРАВНЫМИ МАССАМИ
До сих пор в этой главе мы принимали, что все внешние частицы
имеют одинаковые массы, и поэтому q\ и zs связаны с переменными
s и / простыми соотношениями A.6.15), A.6.16). В результате соот-
соответствие между асимптотическим поведением по t и асимптотическим
поведением по zs оказывается очень простым; столь же просто связаны
между собой сингулярности по zs и сингулярности по s и t (см. § 2).
Единственная трудность обусловлена наличием точки ветвления при.
ql = О, которая рассматривается в § 2. Однако если массы частиа
различны, так что имеют место более общие кинематические соотноше-
соотношения A.6.12) и A.6.14), то анализ существенно усложняется. В этом
случае теряется однозначность соответствия между сингулярностями
по zs и по s, а связь между асимптотиками по t и по zs становится в гораз-
гораздо большей степени зависящей от s. Таким образом, возникают две
взаимосвязанные проблемы. Можно ли построить соответствующим,
образом исправленное реджевское представление, аналогичное полу-
полученному в § 3, которое удовлетворяло бы мандельстамовскому пред-
представлению, и если можно, то будет ли при всех s справедливым реджев-
реджевское асимптотическое поведение?
В дальнейшем ради простоты подробно рассматривается лишь,
случай, когда s-канал соответствует упругому рассеянию двух частиц,
с массами т\ и т2, так что т3 = тг и m4 = rn2- Обобщение на случай,
когда все массы не равны между собой, проводится аналогично,,
но является гораздо более трудоемким.
Из A.6.12) имеем

112
ГЛАВА III
где
а из A.6.14)
t
_ Г .
2st
-|
J"
F.2)
F.3)
Основная трудность связана с неоднозначностью соответствия
между q% и s, которая становится явной, если F.1) разрешить отно-
относительно s:
s = i-{2+49f±
или
!}, F.4)
F.5)
где в зависимости от выбора знака в F.4) используется обозначе-
/'КН> F-4i
Фиг. III.3. Зависимость величины $q\ от s, соответствующая двум решениям
уравнения F.4) (пунктирная линия соответствует случаю равных масс).
ние F+ или F— Изменение величины 4ф, как функции от s: показано
на фиг. Ш.З. Порог s-канала находится при
2 = F+(O). F.6)

ПОЛЮСА РЕДЖЕ И МАНДЕЛЬСТАМОВСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЦЗ
Особо следует отметить, что <jf—>о° как при s—>0, так и при
s—>оо, поэтому вклад одиночного полюса Редже B.7)
при s = 0 становится неопределенным. Кроме того, из F.3) следует,
что имеется некоторая область изменения переменной s, а именно
F.(-0<s<:0, F.7)
в которой | zs | <; 1, так что при /->м в точке s = О значения zs
ограничены единицей. Это обстоятельство является достаточно важ-
F+Ы)
Фиг. III.4. Разрезы в s-плоскости при фиксированном (положительном) t
в реджевском члене B.7) в случае кинематики частиц с неравными массами.
ным, так как оно означает, что для рассеяния вперед в ^-канале
(т. е. при s = 0) совсем не очевидно, что асимптотическое поведение
будет обязательно реджевским.
Попытаемся теперь модифицировать выражение B.7) в духе § 3,
так чтобы оно удовлетворяло мандельстамовскому представлению.
При этом окажется, что указанные аномалии в точке s = 0 автомати-
автоматически исчезают.
В случае равных масс разрезы для B.7) приведены в выводах,
следующих за формулой B.9). Когда массы различны, разрезы по t
при фиксированном s, очевидно, не меняются; то же справедливо и для
разреза по s от s — s0 до оо, который обусловлен функциями a (s)
и Г (s). Все различие сосредоточено в разрезе от q\ = —оо до —1/4,
который теперь превращается в два разреза в s-плоскости:
от s = — оо до F+ (—f) и
от s = 0 до F- (—f).
Эти разрезы по s при положительном t показаны на фиг. III.4. Мы
снова будем исходить из двойной спектральной функции C.10)
р (s, t) = As [ -Г(s) (-^-JVsinjtaQ.^ ( 1 +-2^) ] 9 (s-s0) 9 (*),
которая после ее подстановки в C.12) опять дает скачок D±(s,t),
определяемый формулой C.13). Однако если C.10) подставить в C.14),
8—650

114 ГЛАВА III
то вследствие дополнительного разреза по s получим
D±(s, t)=-T(s) (-4)a'asinna
— oo
F-(.-t) ,
ds'. F.8)
Таким образом, окончательно имеем [с учетом C.11)]
О
F+( — О
+т J ^(-'тГ(-о^«(->-^г
_ 11-ds'. F.9)
SO
Последний член, стоящий в правой части F.9), в представле-
представлении C.16) не выписывался. Он соответствует вкладу от той части
фонового интеграла [см. C.8)], которая удовлетворяет мандельста-
мовскому представлению, т. е. от той части B±(s, f), разрезы которой
целиком лежат в области, где отлична от нуля двойная спектральная
функция. Полная функция В- (s, t) задается всеми слагаемыми F.9)
за исключением первого. Член с Вм записан в виде интеграла от скач-
скачка по s просто для того, чтобы напомнить, что при s < So он не может
иметь никаких сингулярностей по s. По построению амплитуда F.9)
удовлетворяет мандельстамовскому представлению, но следует еще
проверить ее асимптотическое поведение, которое всюду должно быть
реджевским, и убедиться в том, что действительно В± (s, t) ~ t~l/*.
Из F.1) и F.3) находим, что при s->- О
«-¦?¦ «но)
и

ПОЛЮСА РЕДЖЕ И МАНДЕЛЬСТАМОВСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ Ц5
поэтому первый член в F.9) при s = О заведомо является сингуляр-
сингулярным. Но так как амплитуда Л* (s, f) удовлетворяет мандельстамов-
скому представлению, она не может иметь сингулярностей при s = О
(если, конечно, нет связанного состояния, которому соответствует
полюс с а @), равным целому числу; но это сингулярности совершенно
иного типа, и здесь они пока не рассматриваются). Таким образом,
какой-то из других членов должен иметь сингулярность, которая ком-
компенсирует сингулярность первого члена. И действительно, сразу
видно, что четвертый член в правой части F.9) сингулярен; ниже
будет показано в явном виде, как происходит необходимая компен-
компенсация. Сначала, однако, рассмотрим асимптотическое поведение
при s Ф 0.
Имеем
A±(s, t) > c1^w + c2r1 + c3^(-«> + c4^(o)-i + c5i-1 + ?, F.11)
где отдельные слагаемые соответствуют различным членам F.9), кото-
которые аналогичны обсуждавшимся в § 3, за исключением того, что
теперь мы не можем установить характер поведения Вм (s, f), а пове-
поведение четвертого члена заранее не очевидно. Чтобы показать, что он
действительно ведет себя как t^w—l, запишем его в виде
тТ
Г (*')
s'—s
о -да/*
При t —> оо
поэтому второй интеграл будет иметь степень по t, на единицу
меньшую, чем первый, так что им можно пренебречь. Запишем пер-
первый интеграл в виде
—да/*
\ J
T J
о
2s>t \ ds'
J
о
где из подынтегрального выражения мы вычли член, определяющий
поведение в точке s' = 0, в которой сингулярно q%\ он включен во вто-
8*

116 ГЛАВА III
рой интеграл и рассматривается отдельно. Опять асимптотика по t
у первого интеграла содержит степень, на единицу меньшую, чем
у второго, так что его можно отбросить. Второй интеграл в F.13)
и является тем «опасным» членом, который мы стремились выделить.
Полюс s' = О подынтегрального выражения сливается с одним из пре-
пределов интегрирования. Рассматривая выражение
/ Д2 \«@) / 2st \ /с 1,14
Ьг) Q-a@)-l(-l—дг) F.14)
с точки зрения обсуждавшихся в § 2 разрезов для функций Лежандра,
находим, что оно имеет лишь один разрез по s (при фиксированном f)
от s = О до —AVt, т. е. от z = —1 до 1. Другой разрез при z <С —1
сокращается благодаря соотношению B.9). Из (II.11.1) следует, что
если бы из-за асимптотики (t фиксировано)
Д2\а@) / 2st\ ,г- Г[ — а@)] . ,ча|@)
-5-) Q-a(o)-i (-1-Ж) ¦Mr[_'Bm+VJ("°
второй интеграл в F.13) не обращался в бесконечность, то он был бы
дисперсионным интегралом для выражения F.14) вдоль его разрезов
по s. Таким образом, в точке s—оо необходимо сделать вычитание,
и мы получим
Д2/*
f ^ / Д»
J (s'-s) (s'-Sj) \ 4s'
2s'*
Следовательно, асимптотическое поведение по ^ интеграла F.12) опре-
определяется асимптотикой по /левой части F.15), которая, как и утвер-
утверждалось выше, имеет вид ?*@)-i. Все отброшенные члены в самом
худшем случае ведут себя как /»@)-2.
В F.11) имеется одна кажущаяся трудность, связанная с тем, что
явно выписанные члены приводят к асимптотическому поведению
функции В* (s, f) вида ipW—i. Напомним, однако, что при сравне-
сравнении B.7) с F.9) получаем
¦ »
r(s') / ЯР
1

ПОЛЮСА РЕДЖЕ И МАНДЕЛЬСТАМОВСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ Ц7
so
Мы знаем, что левая часть этого соотношения ведет себя как t~1>z;
поэтому более плохое поведение, вызываемое различными членами
правой части, должно компенсироваться последним членом, про асим-
асимптотику которого еще ничего не говорилось. Мы уже видели, что,
например, для померанчона, по-видимому, ос @) = 1, так что в любой
амплитуде, в которую дает вклад эта траектория, должна иметь место
указанная компенсация. В таком случае последний член в F.16)
1 У bs{BM(s', t)} .,
so
должен асимптотически вести себя как f*<°)—l, несмотря на то, что
при всех s' подынтегральное выражение ~t~1/z. Поэтому некоторые
авторы [208, 209] высказывают сомнения в возможности согласова-
согласования реджевского и мандельстамовского представлений для тех ампли-
амплитуд, у которых полюс таков, что а @) > V2. В действительности,
однако, нет никаких реальных оснований считать, что необходимая
компенсация действительно невозможна.
Рассмотрим сначала, что происходит в точке s = 0. Первый член
в F.9) сокращается с первым членом левой части F.15), поэтому веду-
ведущая асимптотика определяется вторым членом в F.15), который
не содержит сингулярностей по s и ведет себя как /"(°>. Следовательно,
при s = 0 амплитуда сохраняет реджевское асимптотическое поведе-
поведение, но оно связано не с самим слагаемым"Лд (s, t), а с тем, что имею-
имеющаяся у него сингулярность при s = 0 действительно компенсирует-
компенсируется членом В± (s, t), как это и должно быть.
Разлагая Q-a<o>-i в левой части F.15) в ряд по степеням г~г,
получаем
г' г"
±*_/а@)— 1 _1_-2- Уа@)—2 _L (Q \f)
где c'Js = c4. Выше указывалось, что существуют и некоторые другие
члены, ведущие себя как 2°)~а. Таким образом, наша задача сво-
сводится к построению такой функции Вм (s, f), входящей в F.16), кото-
которая компенсировала бы это поведение, приводя тем самым к асимпто-
асимптотике В (s, t) ~ t~1/2. С другой стороны, поскольку эта'функция ведет
себя как фоновый член, должно выполняться требование
Д..{5дг (s, t)} ~ ^-1/2; F.18)

118 ГЛАВА III
кроме того, Вм (s, f) при s = 0 не может иметь сингулярностей выра-
выражения F.17). Но эти сингулярности, конечно, и не нужны, так как
мы уже знаем, что они сокращаются с сингулярностями Ar (s, t).
Итак, должно выполняться требование
/-1/2 при s=0.
Такое требование, приводящее к отсутствию единообразного
поведения функции Вм (s, t), на первый взгляд представляется
довольно странным. Но, конечно, оно является не более странным,
чем отсутствие единообразия у других членов представления F.9).
В действительности именно это обстоятельство и вынуждает нас обра-
обратиться к столь длинным рассуждениям.
Функция Вм (s, t), удовлетворяющая всем требованиям, может
иметь следующий вид:
SO
1 r AsiT(s)(ql.)Q-Hs)-i(\t/2ql.)(\n+st) ,
(s, t) = — j jrzrs "S ' F-19)
где p @) = a @) — 1. Если p (s) < V2 при всех s, то условие F.18)
выполняется. Этот интеграл можно вычислить так же, как это дела-
делалось при получении представления F.9), из скачка Df (s, f), но с тем
отличием, что теперь подынтегральное выражение имеет дополнитель-
дополнительный полюс при s' = —\lt. При f->oo этот полюс дает вклад типа
^<0)/s, поэтому если Р @) = a @) — 1, то всегда можно добиться того,
чтобы он сокращался с F.17). Однако при s = 0 Вм (s, t) не имеет
сингулярностей. Эти проблемы рассмотрены в работе [323]. Конечно,
функция F.19) не имеет каких-либо особых достоинств; она лишь
показывает, что можно построить член со всеми необходимыми свой-
свойствами. Вопрос о том, выбрала ли природа именно такой способ ком-
компенсации асимптотического поведения фоновым интегралом, должен
решаться экспериментально, и он будет рассмотрен в § 8. В следую-
следующем параграфе рассматривается другой возможный механизм компен-
компенсации за счет введения дополнительных траекторий, известных под
названием «дочерних» траекторий.
Если a (—оо) превышает —1/2, то в осуществлении намеченной
нами программы возникают некоторые трудности, так как в этом слу-
случае необходимо сначала отыскать такую область переменной s (не обя-
обязательно на физическом листе), в которой a (s) < —V2, затем совер-
совершить преобразование Зоммерфельда — Ватсона и, наконец, осуще-
осуществить аналитическое продолжение в нужную область. Насколько
нам известно, за эту задачу никто еще не брался. Имеются также
некоторые формальные проблемы, связанные со сгущением полюсов
на пороге, которое возникает в том случае, когда фоновый интеграл
вычисляется вдоль прямой, сдвинутой левее линии Re / = —V2.

ПОЛЮСА РЕДЖЕ И МАНДЕЛЬСТАМОВСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ Ц
§ 7. ДОЧЕРНИЕ ТРАЕКТОРИИ
В предыдущем параграфе отмечалось, что реджевское асимптоти-
асимптотическое поведение сохраняется даже в точке s = 0, в которой сам ред-
жевский полюсный член становится неопределенным, но имеет место
его компенсация функцией В± (s, t). Вследствие этих усложнений
может показаться, что удобнее работать со степенным разложением
Хури, описанным в § 5, в котором гарантировано единое асимптоти-
асимптотическое поведение по t при всех s. Однако, взглянув на E.8), сразу
же можно увидеть, что трудности, свойственные кинематике неравных
масс, должны появляться и здесь. Они возникают из-за поведения
величины ql при s = 0, которое определяется формулой F.10). Каж-
Каждый из членов суммы по п в E.8) имеет при s = 0 полюс «-го порядка
по s. Как компенсируются эти сингулярности? Существуют две воз-
возможности. Можно обратиться к тем же аргументам, которые были
приведены в предыдущем параграфе, условившись, что сингулярности
компенсируются фоновым интегралом. Такая возможность рассмот-
рассмотрена в работе [1641, но так как при такой компенсации почти несом-
несомненно будет более предпочтительным представление Чью — Джонса
из предыдущего параграфа, то мы здесь не будем воспроизводить
соответствующую аргументацию. Степенное разложение Хури упо-
упоминается в связи с тем, что оно делает совершенно ясным другой
тип сокращения, впервые рассмотренный в работах [187, 188], а именно
сокращение членов, принадлежащих разным траекториям.
Самую правую из траекторий, которые входят в E.8), обозначим
через а0 (s). Тогда, выписывая первые члены суммы по п, получаем
Г[-ао(а)]
о,
G.1)
Второй член, который при s = 0 имеет простой полюс по s, сокра-
сокращается с главным членом второго полюса Редже a±(s), если вычет
в этом полюсе 7i(s) сам имеет полюс при s = 0, а at @) == a0 @) — 1.
В явном виде это требование имеет вид
Yl (S) = __To(O)[2"ojQ) + l]Aa + регуЛярная часть G.2)
вблизи точки s — 0. Потребуем также, чтобы для третьей траектории
a2 (s) вы поднялось требование
a2@) = a0@)-2
и соответствующий вычет имел при s — О двойной полюс. При этом
главный член а2 будет сокращаться с третьим членом а0 и со вторым
членом 0Ц и т. д. Таким образом, требуется существование бесконеч-
бесконечного множества траекторий со все более сингулярными вычетами.

120 . ГЛАВА III
Траектория а± (s) обычно называется первой «дочерью» траектории
ао (s), &2 (s) — второй «дочерью» и т. д. (Этих «дочерей», для которых
характерны сингулярные вычеты, не следует смешивать с сопутствую-
сопутствующими полюсами Хури, см. § 5.)
Таким образом, складывая вклады от родительской и первой
дочерней траекторий, получаем
G (s) {(-tf°M+^-(-t)aoi8)-i+ ... +±@- (-0ai(s)+ ...} , G.3)
где различные множители, входящие в G.1) и G.2), включены в функ-
функции G (s), a (s) и b (s), которые регулярны при s = 0. Разлагая это
выражение в ряд по s в точке s = 0 и производя сокращение сингу-
лярностей типа 1/s, находим
i +...}, G.4)
где cud — некоторые константы. Логарифмический член характерен
для случая неравных масс.
Если отлична от нуля только одна из разностей масс т± — т3
и тг — яг4, то можно показать, что вклад первого сопутствующего
полюса Хури не будет сингулярным, поэтому дочерние траектории
нечетного порядка не требуются — достаточно ввести лишь дочер-
дочерние траектории четного порядка.
Хотя приведенное выше изложение основано на использовании
представления Хури, дочерние траектории можно ввести и для того,
чтобы добиться необходимого сокращения сингулярностей в представ-
представлении Чью — Джонса [191]. Действительно, если, как и прежде,
имеется дочерняя траектория, для которой а4 @) = а0 @) — 1, причем
Г4 (s) = —?- [2ао (я) + 1] Го @) вблизи s = 0,
то наши вычисления, касающиеся поведения при s = 0 [см. соотно-
соотношение F.12) и далее] следует видоизменить, так как один из пределов
интегрирования сливается теперь с двойным полюсом при s = 0.
Тогда, подставляя во второй интеграл, входящий в F.13), вместо
Г (s) функцию Г4 (s) и применяя теорему о вычетах, получим члены,
ведущие себя как /ai@)/s, т. е. члены, имеющие как раз тот вид, кото-
который необходим для компенсации сингулярностей выражения F.16).
Конечно, если на каком-то этапе не учесть вклада в компенсацию
сингулярностей фонового интеграла, то для компенсации сингуляр-
сингулярностей всех членов придется снова ввести бесконечное множество
траекторий со все более сингулярными вычетами.
Столь сложная структура плоскости углового момента, возникаю-
возникающая в том случае, когда не прибегают к компенсации членов типа
i@>-i фоновым интегралом, может вызвать сомнения в согласованности

ПОЛЮСА РЕДЖЕ И МАНДЕЛЬСТАМОВСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 121
реджевского и мандельстамовского представлений. В этой связи
в работах [187—190] предпринята попытка привести дополнительные
доказательства в пользу существования дочерних траекторий, осно-
основанная на анализе свойств уравнения Бете — Солпитера, для кото-
которого, как известно, в рамках теории возмущений можно установить
связь с полюсами Редже (см. гл. VII). Показано, что дочерние траек-
траектории могут возникать как следствие четырехмерной-симметрии урав-
уравнения Бете — Солпитера при s = 0, что было выяснено ранее в рабо-
работе [151]. Сравнительно недавно такого рода дополнительные симмет-
симметрии, появляющиеся при s = 0, рассмотрены с более общей точки
зрения, основанной на инвариантности относительно преобразований
группы О D) [159, 312, 189, 170, 150] и охватывающей также проблему
«конспирации», которая обсуждается в следующей главе. Соответ-
Соответствующие аргументы пока объясняют лишь, почему дочери могут
существовать, но не доказывают необходимость их появления, причем
более экономная компенсация сингулярностей фоновым интегралом
представляется нам не менее удовлетворительной.
§ 8. НЕКОТОРЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ СЛЕДСТВИЯ
Хотя рассмотрение экспериментальных следствий гипотезы полю-
полюсов Редже мы отложили до гл. VIII, но здесь уместно упомянуть
некоторые из свойств, которые вытекают из содержания данной главы.
Следует напомнить читателю, что ради простоты мы ограничивались
амплитудами с определенной сигнатурой, причем учитывалась лишь
одна двойная спектральная функция. Для физических амплитуд
чаще всего необходимо производить перестановку переменных и вклю-
включать сигнатурные множители.
Прежде всего предсказывается, что даже в тех областях, где
на величину zs наложено условие F.7), исключающее на первый
взгляд реджевское асимптотическое поведение, оно все же справед-
справедливо. Хорошо известным примером такого рода служит упругое яМ-рас-
сеяние (принимаемое за s-канал) назад (и = 0), для которого ожи-
ожидается, что амплитуда будет определяться при больших s значениями
N- и N* (А)-траекторий в пЫ(и)-канале, хотя и = 0 —сингулярная
точка (соответствующая нашему s = 0)h \zu |-<1 при 0 .<«.<; AVs.
Эта проблема обсуждалась в ряде работ [46, 47, 120, 375], а общий
анализ реджевских представлений в случае такой кинематики содер-
содержится в работе [209] (правда, кинематика здесь несколько отличается
от нашей, что обусловлено потерей симметрии между переменными
и и t в случае неравных масс в s-канале). Общее описание соответ-
соответствующей подгонки следует отложить до тех пор, пока мы не рас-
рассмотрим спин; оно будет дано в гл. VIII; здесь можно просто отметить,,
что асимптотическое поведение подтверждается достаточно хорошо.
Другая важная проблема связана с существованием дочерних
траекторий. Мы видели, что они должны компенсировать сингулярности

122 ГЛАВА III
родительской траектории в амплитуде данной сигнатуры, т. е. должны
иметь те же квантовые числа, что и родительская траектория. Однако
из определения (II. 10.3) видно, что поскольку мы требуем, чтобы
компенсация имела место не только в А± (s, t), но и в A (s, t), первая
дочерняя траектория, а также все другие нечетные дочерние траек-
траектории должны иметь сигнатуру, противоположную сигнатуре роди-
родительской траектории и четных дочерних траекторий. Таким образом,
при s — 0 родительская траектория содержит сигнатурный множитель
тогда как первая дочерняя траектория имеет множитель
1 _+. ginai(O) _ 1 qr etnao@M
так как at @) = a0 @) — 1. Компенсация будет происходить лишь
в том случае, если первая дочерняя траектория имеет сигнатуру,
противоположную родительской, вторая дочерняя траектория имеет
ту же сигнатуру, что и родительская и т. д. Таким образом, сигнатура
будет чередоваться. Отсюда вытекает важное следствие, что не суще-
существует частицы с нулевой массой и нулевым спином, соответствующей
первой дочери траектории Померанчука.
Нам известны лишь значения дочерних траекторий при s = 0.
Если сделать вполне вероятное предположение, что они идут более
или менее параллельно родительским траекториям, то можно ожидать
большого количества новых частиц там, где дочерние траектории
принимают соответствующие целочисленные значения. Так например,
нуклонная траектория, показанная на фиг. VII 1.3, должна иметь
дочернюю траекторию со спином 3/2~ и с массой около 1700 Мэв, кото-
которая не столь уж сильно отличается от резонанса N* A518). Кроме
того, возможно, что все траектории с положительной четностью
на фиг. VIП.4 являются дочерьми траекторий, изображенных
на фиг. VII 1.3. С помощью прямых методов детектирования какие-
либо другие частицы такого рода могли быть просто не замечены,
но их существование, по-видимому, исключается и чрезвычайно чув-
чувствительными интерференционными методами [46, 47], которые рас-
рассматриваются в гл. VIII, § 8.
В настоящее время не известно ни одной частицы, которую можно
было бы считать лежащей на первой дочерней траектории какой-либо
мезонной траектории, хотя в гл. VIII, § 1 и будет упомянута возмож-
возможность отождествления частицы 6(985) с дочерней траекторией р-мезона.
Поскольку для всех дочерних траекторий a @) <^ 0, возможно,
что эти траектории являются очень пологими, и они никогда не будут
проявляться в виде частиц. Возможно также, что по каким-то причи-
причинам в точках, соответствующих физическим целым значениям,
их вычеты обращаются в нуль. В обоих случаях эти траектории можно
пытаться обнаружить по их воздействию на высокоэнергетическое
поведение сечений соответствующих реакций (эти методы подробно

ПОЛЮСА РЕДЖЕ И МАНДЕЛЬСТАМОВСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 123
рассматриваются в гл. VIII). Трудность здесь состоит в том, что
«неправильная» сигнатура приводит к отсутствию связи мезонных
траекторий (вероятность обнаружить которые таким способом гораздо
больше вероятности обнаружить барионы) с большинством доступных
процессов. Так, например, померанчон, для которого В = Y = I =
= 0, G — +1, должен иметь дочернюю траекторию, которая может
привести к появлению мезона 1~. Если траектория связана, скажем,
с процессами а — а или Ъ — Ъ, то можно было бы надеяться обнару-
обнаружить этот мезон, изучая упругое а — 6-рассеяние. Однако поскольку
в любом эксперименте по крайней мере одна из частиц а и b должна
быть нуклоном (другая может быть л, К и N), а дочерняя траектория
не связана с я — я-рассеянием, так как статистика Бозе исключает
состояние 1~ этой системы с / = 0, и не связана ни с N — N-, ни с
К — /С-рассеянием вследствие G-четности (см., например, [260],
стр. 331), этот метод не приведет к успеху. Первую дочернюю траек-
траекторию можно надеяться обнаружить лишь в процессах двойного
рождения, таких как N + N -*- N* + N*, где ни одна из вершин
не содержит пару частица — античастица. Аналогичные замечания
справедливы и для первой дочерней траектории р-мезона. Большин-
Большинство других траекторий лежат слишком низко, чтобы их дочери были
наблюдаемыми, причем это справедливо и для вторых дочерей всех
траекторий, которые обладают более хорошим поведением. Так как,
кроме того, G-четность запрещает большинство прямых распадов
бозонных дочерних траекторий, то совсем не удивительно, что они
не наблюдались непосредственно в качестве частиц.
В настоящее время единственными свидетельствами в пользу
существования дочерних траекторий являются только чисто теоре-
теоретические соображения.

Глава IV
СПИН
§ 1. РАЗЛОЖЕНИЕ ПО ПАРЦИАЛЬНЫМ ВОЛНАМ
ДЛЯ ЧАСТИЦ СО СПИНОМ
В этой главе мы обобщим предшествующий анализ таким образом,
чтобы он был применим к рассеянию частиц с ненулевым спином.
Очевидно, такое обобщение необходимо для большинства практичес-
ских приложений теории. Как будет видно из дальнейшего, оно
не является тривиальным, так как параллельно с резким возраста-
возрастанием алгебраических трудностей возникает и ряд существенно новых
характерных особенностей. К счастью, в большинстве приложений
спины рассматриваемых частиц невелики, поэтому формализм остает-
остается достаточно простым. Однако весьма поучительно продемонстриро-
продемонстрировать и те изящные методы, которые позволяют развить теорию с пол-
полной общностью. С применениями этих методов в конкретных задачах
мы будем иметь дело в гл. VIII.
Существует весьма обширная литература, в которой идеи, связан-
связанные с полюсами Редже, обобщаются на частицы со спином. В рамках
потенциального рассеяния соответствующую теорию развили Шарап
и Сквайре [90—92), а также Десай и Ньютон [144); эти авторы рас-
рассматривали частицы, каждая из которых имеет спин V2. Релятивист-
Релятивистский случай изучался в работах [78, 79, 205, 206, 267, 292]. Эндрьюс
и Гансон [211 предложили более формальный подход и ввели функции
eJu-. которые определяются и используются ниже. Все эти исследова-
исследования основаны на применении формализма спиральных амплитуд,
развитого Якобом и Виком [247]. Дальнейший прогресс связан
с использованием спиральной кроссинг-матрицы, которая связывает
между собой спиральные амплитуды двух разных каналов. Она была
введена и выписана в явном виде Труменом и Виком [393] и Музини-
чем [310]; в более поздней работе 1123] предложен другой вывод этой
матрицы. Используя эту кроссинг-матрицу, Хара [310] и Уонг [393]
показали в явном виде, как можно полностью выделить кинематиче-
кинематические сингулярности спиральных амплитуд. Стапп [378] получил
аналогичные результаты, используя несколько другие основные
предположения. Общую формулировку теории можно найти также
в недавних работах Мюллера и Трумена [307, 308] и Дрекслера [152].
Более конкретный анализ некоторых феноменологических приложе-
приложений содержится в работах [183—185, 177, 384, 400, 401]. Определен-
Определенный класс кинематических ограничений более подробно изучил Лидер
[272]. В заключение этого литературного обзора отметим, что суще-

спин . 125
ствуют и альтернативные, хотя физически и эквивалентные, методы
«реджезации», использующие вместо спиральных амплитуд «инвариант-
«инвариантные амплитуды»; краткое описание последних методов можно найти
в работах [159, 257, 383].
В этой главе используется формализм спиральных амплитуд Якоба
и Вика [247]. Спиральность частицы A.2.5) определяется как проек-
проекция ее спинового углового момента на направление движения. Она
является инвариантной величиной, поэтому при заданных спираль-
ностях приходящих и уходящих частиц амплитуда рассеяния непо-
непосредственно зависит также от скалярных инвариантов s и t. Таким
образом, если спиральность г-й частицы обозначить через А,*,
то амплитуду можно записать в виде <А,3А,4 \А (s, t) |A,tA,2>. Будем
нормировать эту амплитуду способом, аналогичным случаю частиц
нулевого спина (гл. I), так что дифференциальное сечение, усреднен-
усредненное по начальным спиральностям и просуммированное по конечным
спиральностям, будет даваться формулой [ср. A.7.10)]
^ V. + U 2 KW*(*fllW|». A.1)
где о* — спин г-й частицы.
Разложение по парциальным волнам, аналогичное (II. 1.3), при-
приведено Якобом и Виком [247]; его можно записать в виде
2 BУ + 1) <Я3Я41 Aj (s) I Л.А2> dCv F), A.2)
J=maX(|i|,|V|)
где
А. = А.1-А.2, A.3а)
А,'=А,3 — \К1 A.36)
a db\' F) — матрица вращения, которая подробно рассматривается
в следующем параграфе. Смысл величин А, и А,' становится ясным, если
вспомнить, что в системе центра масс две частицы движутся в проти-
противоположные стороны, так что А, и А,' являются проекциями полного
спина на направление движения до и после столкновения. Поскольку
проекция орбитального момента на это направление равна нулю,
А, и А,' являются фактически и проекциями полных угловых моментов
на направления движения до и после столкновения. Отсюда следует,
что физические значения J должны быть больше максимума величин
А, и А,', что и указано в A.2). Кроме того, сохранение полного углового
момента требует, чтобы в направлении вперед, для которого А, и А,'
являются проекциями полного углового момента на это же направле-
направление, амплитуда обращалась в нуль во всех случаях, кроме А, = А,'.
Это свойство является, конечно, автоматическим следствием нашей
записи, и ниже мы им воспользуемся.

126 ГЛАВА IV
4
При заданном at имеется [] Bстг + 1) спиральных амплитуд. Одна-
t=i
ко не все они независимы, так как инвариантность относительно
пространственного отражения и обращения времени устанавливает
определенные соотношения между ними (будем считать, что эти прин-
принципы инвариантности справедливы для всех рассматриваемых про-
процессов). Из сохранения четности получаем [247]
<-Я3, —K\Aj-(s)\ — Xt, -Я2> =
=Д II (- lH*^*-01» <Я3Я41 A, (s) | Я^), A.4)
где Tjj — внутренняя четность t-й частицы, а из обратимости времени
следует
<Я,Я21 Aj (s) | Я3Я4) - <Я3Я41 Aj (s) | Я4Я2> • A -5)
В дальнейшем часто оказывается удобным воспользоваться этими
симметриями, позволяющими без потери общности рассматривать
лишь амплитуды, для которых
Я>|Я'|. A.6)
В результате некоторые соотношения принимают более простой вид.
Воспользовавшись свойством ортогональности функций d\K', кото-
которое будет сформулировано в § 2 в виде формулы B.3), разложе-
разложение A.2) можно обратить, и в результате для физических значений /,
т. е. для / = Я, Я+1, Я-)-2, ... , получим
1
Это выражение аналогично формуле (П.1.1).
§ 2. СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ d^F) И е^F)
Прежде чем перейти к дальнейшему рассмотрению, необходимо
обсудить свойства функций di^ F), которые входят в A.2). Для упро-
упрощения ссылок мы приведем в этом параграфе все необходимые для
дальнейшего формулы. Кроме того, здесь же мы рассмотрим и связан-
связанные с аТяц F) функции еяц F), которые будут использоваться ниже.
Этот параграф носит полностью математический характер и пред-
представляет собой по существу перечень различных формул.
Функции dip F) определяются и рассматриваются, например,
в книгах Роуза [348] и Эдмондса [161]. Они обладают следующими

СПИН 127
свойствами симметрии:
dU (9) = dLx, _ц (9) = (- lja-Mdk (9) B.1)
и
dkF) = (-l)J+xd? _й(я-9). B.2)-
Эти функции удовлетворяют соотношениям ортогональности
л
(9) d{; (9) sin 9 d9 = bjj, ^j , B.3)
B-4>
2@)=V- B.5>
Аналитические свойства <Йц(9) как функций переменной г = cos 9
можно получить, выражая их через полиномы Якоби P^(z):
^N)l J
-г \I*—м1^
j X
где
,, ц), B.7)
n), B.8)
причем это соотношение справедливо только при М ^- 0. В других
случаях можно воспользоваться свойствами симметрии B.1).
При п, не равном отрицательному целому числу, Р<%> (г) являются
полиномами, поэтому из B.6) следует, что при таких значениях п
функции dip (9) аналитичны по г всюду, за исключением возможных
сингулярностей при z = ±1, которые соотношением B.6) опреде-
определяются в явном виде.
Иногда бывает полезным выразить функции dl^. @) через более
привычные полиномы Лежандра. Это можно сделать, воспользовавшись,
так называемым рядом Клебша — Гордана
& (9) = 2 PJ+X (г) С (JMJ + г; К, - К) С (ЛИ/ + г; ц, - ц)
х=-М
B.9>

128 ГЛАВА IV
совместно с выражением
d? (m( П*"*
u (O)(l)
справедливым при М>0. Формулу B.9) можно использовать и при
значениях J, отличных от целых чисел, если продолжить коэффи-
коэффициенты Клебша — Гордана с помощью их явных выражений, полу-
полученных Вигнером и Рака (см. [90]):
C(J+a, Ь, J + c; d, e) = BJ + 2c+ 1I/2 X
(a+b-c)l(J+c+d+e)\(J+c-d—g)lnVa
J X
-a+b+c+l)\ (J+a—d)\ (J + a + d)l (b — e)\ (b+e)! J
(_ i)v+b+e (j+b + c+d— v)l(J+g^-d+v)\
ol (— a+b + c—v)\ (J+c + d + e— v)l (J + a — b—d — e + v)\'
B.11)
Чтобы проанализировать аналитические свойства й\ц(8) в J-пло-
скости, удобно выразить эти функции через гипергеометрическую
функцию
X 1к\ц-F (-J + M, J + M+l, M-N+l; y(l-z)) B.12)
при M >- 0. Гипергеометрическая функция аналитична по J, так что
положение сингулярностей в J-шюскости ясно из B.12) — оно опре-
определяется множителем, содержащим квадратный корень. Если вспом-
вспомнить, что функция w\ имеет в ay-плоскости простой полюс всякий
раз, когда w становится равным отрицательному целому числу, то мы
увидим, что сингулярности функции d?n возникают при таких целых
значениях J — М, для которых либо
B.13а)
либо
— M<J< — N. B.136)
Значения в B.13а) соответствуют рассеянию из возможного физиче-
физического состояния в невозможное физическое состояние; подобные ампли-
амплитуды мы будем называть «полубессмысленными» (sense-nonsense)
амплитудами [201]. Из B.12) следует, что вблизи полубессмысленного
значения J функция dip. (9) ведет себя как (J — М — пI/а, где п =
= 1, 2, 3, .... Такие амплитуды подробно рассматриваются в § 5
данной главы, а также в гл. V, § 4—6.

спин129
Из B.12), используя асимптотику гипергеометрической функции,
можно установить также вид функций d^n (9) при больших z. Получаем
v"'~ 27+1 l (У —
Г B7+1)!
l(J + M)\ [J — N)l
(-2/-I)!
¦ Q I l
при М>0. Из этого выражения видно, что при Re/>—V2
d^F)~^. B.15)
Исключение составляют полубессмысленные значения /, для которых
di,x ~ 0, или «бессмысленные» (nonsense-nonsense) значения J, для
которых
. diUej-z-'-i. B.16)
Из B.14) следует важное свойство, отмеченное Фоксом и Лиде-
Лидером [178]: в пределе больших z (при Re/> — V2 и вдали от бес-
бессмысленных состояний) главный член «факторизуется» в том смысле, что
B.17)
Обратимся теперь к функциям ёх^ (9), которые нам потребуются
в § 4 и далее. Они связаны с функциями dj.^. (9) аналогично тому, как
функции Qi (z) связаны с Pt (z), и играют по существу ту же роль,
что и Qi (z) в теории частиц с нулевым спином. Эти функции были
впервые введены в явном виде Эндрьюсом и Гансоном [21]. Следует
отметить, что рассматриваемые здесь функции eiy. никак не связаны
с теми функциями, которые используются в работах [205, 206] и кото-
которые являются просто комбинациями двух функций din (9), соответ-
соответствующими состояниям с определенной четностью.
Функции е\ц можно определить посредством выражения, анало-
аналогичного B.6), т. е.
ftrя ГУ + М)! G-M)h72 (i-z\\>.-M2 ^
_д,)| J [-2-) X
H)) BЛ8)
/
при М>0. Добавим д нему свойства симметрии, аналогичные B.1):
eU (9) = (- \)х~»е\ _„ (9) =, (- 1)к~^к (9). B.19)
Функции Ср? (г) в B.18) являются функциями Якоби второго рода.
Согласно (В2,10.8.20), они связаны с функциями Якоби первого рода
9—650

130 ГЛАВА IV
соотношением, аналогичным формуле Неймана (II.3.4):
2 ' Jz — г' п
при п, не равном целому отрицательному числу.
Объединяя B.20) с B.18) и B.6), получаем
B.21)
-1
при целых J ^> M. Это соотношение для частиц со спином играет
ту же роль, что и формула Неймана для частиц с нулевым спином
(ср. гл. II, § 3).
Чтобы установить поведение е?ц (9) при больших z, воспользуемся
связью Q°*> (z) с гипергеометрической функцией
2-1 \-(++) /2+1 \ w
Х
/2+1 \
V 2 /
( + ft + 2,-p^-), B.22)
откуда
Oab / ч _ I (Я + ОI(Я + ЬI /_2^\ -п-а-Ь-1
Объединяя B.23) с B.18), получаем
B.24)
где выбор знака плюс или минус определяется знаком 1т г.
Иногда полезно следующее соотношение между dip и е?ц, анало-
аналогичное (И. 12.2):
Г225
sin л (У — Я) ~ cos л (У— X) cosn(/ —Я)' ^.^;
Ясно, что при построении теории частиц со спином всегда можно
воспользоваться соотношениями B.9), B.10) и сформулировать ее на
основе более привычных функций Pj и Qj. Этот метод используется,
например, в работе [78] при обобщении мандельстамовской формы

спин 131
преобразования Зоммерфельда — Ватсона. Он широко применяется
также в работах [307, 308]. Поскольку получаемые при этом выраже-
выражения являются довольно громоздкими, мы здесь будем пользоваться
.более компактными выражениями, которые получаются в том случае,
когда вводятся функции ei^.
§ 3. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ СИНГУЛЯРНОСТИ И ДИСПЕРСИОННЫЕ
СООТНОШЕНИЯ ПО ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
В гл. II продолжение парциальной амплитуды Лг на комплексные
значения / определялось с помощью дисперсионного соотношения
по переменной t. Чтобы проделать аналогичную процедуру в случае
частиц ненулевого спина, следует прежде всего исключить из ампли-
амплитуды определенные «кинематические сингулярности». Эти сингуляр-
сингулярности по t при фиксированном s возникают вследствие сингулярностеи
функции d%\' @) при 2 = ± 1, которые даются в явном виде выраже-
выражением B.6). Одним из больших преимуществ спирального формализма
является как раз то, чтр при его использовании эти кинематические
сингулярности выступают столь явным образом.
Используя A.2) и B.6), получаем, что пока разложение по пар-
парциальным волнам сходится, функция
¦ s, t) | W =
X (кзК \А (s,t) 11Д2) C.1)
не имеет сингулярностеи в 2-плоскости. Поэтому она аналогична
амплитуде A (s, t) для случая нулевого спина и имеет правый физиче-
физический разрез и левый разрез, возникающий из условия унитарности
в «-канале. Следовательно, для ^-канала можно написать следующее
дисперсионное соотношение (ср. гл. I, § 10):
оо . ею
AH{s, t) = ± J ^TDm(s, t') + -L J -?—DHu(s, u% C.2)
где опущены все вычитательные и полюсные члены, так как они
играют здесь точно такую же роль, что и в гл. II. Мы ввели также
индекс Н, который служит для сокращенного обозначения набора
спиральных квантовых чисел А,ь 12> ^з> ^4-
Следует отметить, что этот метод является наиболее простым
из всех существующих методов, позволяющих определить положение
кинематических сингулярностеи и нулей амплитуды рассеяния. Дру-
Другие методы, использующие, например, инвариантные амплитуды [207],
оказываются чрезвычайно громоздкими, как только значения спинов
9*

132 ГЛАВА IV
перестают быть малыми. Пока, конечно, рассматривались только
сингулярности по t при фиксированном s, но в §6 мы перейдем к ^-кана-
лу и воспользуемся той же процедурой для устранения сингуляр-
ностей по s.
Наличие кинематических сингулярностей у спиральных амплитуд
означает, что анализ, проведенный в гл. III, должен применяться
к таким амплитудам, из которых исключены соответствующие мно-
множители. Отсюда вытекает одно важное следствие для тех случаев, ког-
когда при рассеянии вперед (или назад) при стремлении энергии кросс-
канала к бесконечности величина z не стремится к бесконечности.
В гл. III, § 6 было показано, что в подобных случаях для бесспино-
бесспиновых частиц реджевские формулы по-прежнему справедливы. Приме-
Применяя аналогичный метод к общему случаю, получаем, что кинематиче-
кинематические множители
останутся в указанном пределе конечными и что подстановка z ~ t
будет справедливой только для оставшейся зависимости от z. Это
обстоятельство было подчеркнуто в работах [258, 401]; в гл. VIII,
- § 7 мы рассмотрим случаи, когда оно играет важную роль.
§ 4. ОБОБЩЕННАЯ ПРОЕКЦИЯ ГРИБОВА — ФРУАССАРА
Чтобы получить определение продолженной амплитуды Грибова —
Фруассара, подставим C.2) в A.7) и изменим порядок интегрирова-
интегрирования. Воспользовавшись обобщенной формулой Неймана B.21), полу-
получим
оо
(Х3Х4| A j (s) | A.iA.2> =-- A6л) -i- j dzs {(— l)k~k>DHt(s, i) x
D.1)
при "к >- | к' |. Здесь второй интеграл преобразован в интеграл
по положительным zs с использованием свойств симметрии функций
<&.и (9). Как ив гл. II, наличие во втором слагаемом D.1) множителя
(—1)J препятствует продолжению этого выражения на комплексные
значения /. Заменим поэтому A j (s) двумя амплитудами с определен-

спин !3з
ной сигнатурой Af (s), которые определяются формулой
оо
Af (s) 1кгк2) = A6Л»)-1 j dzs {(- \f-x> Dm (s, t) x
( <)
X (- 1)^' DHU (s, t)el, _v F.) (I^t) (Х-Г)/2 (i+i)a+V)/2 D.2)
при к >• I к' |. Эта формула позволяет продолжить парциальные
амплитуды в область /-плоскости, в которой интегралы сходятся.
Из сравнения D.2) с D.1) видно, что если физические значения момен-
момента являются целыми числами, то Af (s) совпадает с физической ампли-
амплитудой при четных (нечетных) неотрицательных целых значениях J;
если же физические значения момента являются полуцелыми числами,
то Aj (s) совпадает с физической амплитудой при четных (нечетных)
неотрицательных целых значениях J — V2.
Разложение по парциальным волнам A.2) можно записать через
амплитуды с определенной сигнатурой следующим образом [91]:
1A (s, t) | ktk2) - 16я S B/ -Ь 1) {(кзК I № (s) I W X
X dtx- (J, z) + <^41 Aj (s) | ktk2) dly (J, z)} D.3)
при 1>|1'|, где введены функции
d?v (J, z) = d{v F) ± (cos як - sin як) d(, _ v (п-в). D.4)
При выводе формул D.2) — D.4) мы не учитывали проблему вычитаний.
Она решается точно так же, как и в случае нулевого спина (гл. II),
и в результате оказывается, что D.2) дает физическую амплитуду
при всех физических значениях J, для которых интегралы сходятся.
Предположим, что для некоторых s при больших z
A(s,t)<O(zf). D.5)
Тогда из C.1) имеем
Dt(s,t)<O(z?-M), D.6)
где М определяется формулой B.7); поэтому, используя асимптоти-
асимптотическое поведение функций e?v, даваемое соотношением B.24), полу-
получаем, что интеграл сходится при
Re/>a. D.7)
Из D.2), B.18) и B.22) следует, что при к>\к'\ амплитуда
(к3к^ | Л j (s) | ХД.,) имеет неподвижные точки ветвления корневого
типа, которым соответствуют полубессмысленные значения момента
J = k— 1, X —2, Х—3, ..., \к'\ D.8а)
и значения
J=—\k'\ — l, — \к'\ — 2, — |Г| — 3, ..., —к.' D.86)

134 ГЛАВА IV
Однако подобные неподвижные точки ветвления Afu (s) сокра-
сокращаются с точно такими же точками ветвления функций d\\- (J, z)
(см. §2), так что они не приводят к появлению точек ветвления у выра-
выражения, стоящего под знаком суммы в D.3). Важный вопрос о том,
имеет ли это выражение какие-либо неподвижные полюса, мы отло-
отложим до следующей главы.
Отметим, что доказательство существования точек ветвления
^*н (s), обусловленных D.2), справедливо лишь в том случае, если
интеграл в D.2) сходится для некоторого s при подходящем зна-
значении J.
§ 5. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЗОММЕРФЕЛЬДА — ВАТСОНА
Как и в гл. II, § 9, запишем D.3) в виде интеграла по контуру
l)
| A (S, t) | Я±Л2> 2Г J sinn(y
X
dly(J, -z)} E.1)
при X ^- | X' |, где для сокращенного обозначения четырех спираль-
спиральных индексов по-прежнему используется символ И. Контур С охва-
охватывает часть вещественной оси J-плоскости с Re J ^- к. Развернем
теперь контур, как в гл. II, § 9, и сдвинем его влево, чтобы он шел
вдоль линии Re / = — V2 (или чуть правее ее, если физическими
значениями / являются полуцелые числа). Как и в случае нулевого
спина, большая полуокружность при | / | = оо дает нулевой вклад
(подробности см. [78]).
Будем считать для простоты, что единственными сингулярностями
выражения, стоящего в D.1) в фигурных скобках, являются полюса
(вклад от разрезов можно проанализировать точно так же, как
в гл. II, § 9); поэтому получаем
-l/2+too
^ J s!fS x
—1/2—ioo
X [AtH (s) dtx- (J, - z) + AjH (s) dxx- (J, -z)] -
-л S /"ft1 ^?H(s)d±(J, -z)-
Я-1
2 J, -z)J-
2 (J, -z)\, E.2)
J=O(J/2>

спин 135
где Рш (s) — вычет в полюсе функций AfH (s) при J = at (s). Послед-
Последние две суммы в E.2), не имеющие аналога в случае нулевого спина,
возникают" от целых (или полуцелых) значений /, лежащих между
нулем и X — 1, которые не включены в исходное разложение по пар-
парциальным волнам A.2). Ниже выяснится причина, по которой они
записываются в виде отдельных сумм по полубессмысленным и бес-
бессмысленным значениям.
Воспользовавшись формулами B.15), B.16), определяющими пове-
поведение d\\- при больших z, увидим, что первые два члена в E.2) ведут
себя при больших z как z/2 и zaM(s> (а.м — самая правая траекто-
траектория Редже) соответственно, а последний член — как z или z/2,
в зависимости от того, являются ли физические значения J целыми
или полуцелыми. В третьем слагаемом, где суммирование проводится
по полубессмысленным значениям, функция d\x- (J, —z) имеет нули
корневого типа, и поэтому, если AfH конечно при полубессмысленном
значении J, это слагаемое будет отсутствовать. Однако в случае зна-
значений J «неправильной сигнатуры» (например, при целых / это озна-
означает, что для нечетных / сигнатура положительна, а для четных —
отрицательна) вблизи соответствующего значения / (скажем, /0)
А}н может изменяться как (/ — Jo)~1/2> так как подобный вклад
устраняется сигнатурным множителем. Последнее обстоятельство
в дальнейшем будет играть важную роль. Конечно, было бы весьма
желательно, чтобы такие члены обращались в нуль, так как если
у функции dix' исключить нуль корневого типа (/ — /оI/2> то она
будет вести себя как г7» (при полубессмысленных значениях J),
и третье слагаемое в E.2) приведет к асимптотике t^ нереджевского
типа. Эти вопросы рассматриваются в следующей главе.
Принимая, что третье слагаемое в E.2) можно отбросить, получаем
реджевское поведение плюс фоновый член, который имеет вид О (t~1/2)
при целых физических значениях J и О (t~1/2+s) со сколь угодно малым
положительным е при полуцелых физических значениях J.
Следующий шаг заключается в том, чтобы понизить эти степени
переменной z или t, по аналогии с методом Мандельстама в случае
нулевого спина. Это было сделано в работах [78, 152]. Детали этих
вычислений достаточно сложны, поэтому мы не приводим их здесь.
Отметим лишь, что результат также зависит от того, справедливо ли
соотношение симметрии
^Ij-^h.-j-i E.3)
при целых (или полуцелых) значениях / [ср. (П. 12.6)]. Результат
позволяет заменить di^ в E.2), например, комбинацией B.25) функ-
функций елц и е!х,~-ц, отбросив при этом член с е%^\ поэтому при всех
значениях а имеем простое реджевское поведение ?*(s>.

136 ГЛАВА IV
Здесь уместно напомнить об одном важном исключении из полу-
полученного утверждения о справедливости во всех случаях при больших
t реджевской асимптотики М1*, упоминавшемся в конце § 3. Оно
относится к таким массам, для которых при высоких энергиях вели-
величина zs не возрастает. В этом случае нужно использовать процедуру,
описанную в гл. III, § 6, но применять ее следует к амплитуде А
C.1), которая не содержит кинематических сингулярностей. Тогда
из доказательства, приведенного в § 3, следует, что А ~ ta~M. Кине-
Кинематические множители, входящие в C.1), при больших / в точке s = О
ведут себя не как tM (поскольку zs з= 1), а как константы; поэтому
в данном случае истинное поведение будет типа /а~м. Важность этого
обстоятельства мы выясним в гл. VIII, § 7.
§6. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ОГРАНИЧЕНИЯ НА ВЫЧЕТЫ
В § 3 было показано, что при значениях /, соответствующих zs =
= ± 1, спиральные амплитуды Ан (s, t) имеют кинематические син-
сингулярности. Было показано также, что эти кинематические сингуляр-
сингулярности легко устранить. Аналогичные сингулярности возникают
в s-плоскости при значениях s, соответствующих zt = ± 1 (zt —
косинус угла рассеяния в /-канале в системе центра масс). Очевидно,
мы можем определить положение этих сингулярностей и устранить
их способом, аналогичным предыдущему, но применять его следует
к спиральным амплитудам /-канала, а не к спиральным амплитудам
s-канала, которые рассматривались до сих пор.
Соответствующая процедура в принципе достаточно проста. Выра-
Выразим сначала с помощью спиральной кроссинг-матрицы Mhihs спи-
спиральные амплитуды /-канала через спиральные амплитуды s-канала:
AlHt (s, /) =МЩяа (s, /) A*Hs (s, /), F.1)
где Ah( (s, f) — спиральная амплитуда в /-канале, причем теперь
используется обозначение Ahs, а не просто Ан, чтобы подчеркнуть,
что эта величина соответствует спиральной амплитуде s-канала. Для
обозначения совокупности klt к2, к3, А,4 спиральностей s-канала
используется символ Я8, а для обозначения совокупности \it, \i2, \i3, ц4
спиральностей /-канала—символ Ht. Матрица Мщня (s> 0 полу-
получена в работах [310, 393]; она имеет вид
MHtHs (s, t) = dXxVLX (Xi) dxM (%2) dXzV,3 (fo) dUiH (x4), F.2)
где углы %i определяются формулами
' [
cosai=—
_
cos A2—
4 [/ St <7sl2<7*24

СПИН 137
со= . [(s + ml-mj)(<+m§-mf)
4~\/stq33iqtt3
= f-(s + m!-m|) (j+m|-ml)-2m| (m*-m + mf-ml)] g .
Здесь qti3 и <7i24 — импульсы в /-канале в системе центра масс, ана-
аналогичные импульсам в s-канале, введенным в гл. I, § 6. Мы не будем
приводить вывода этого выражения для кроссинг-матрицы; отметим
лишь, что его вид следует из наших исходных постулатов — в част-
частности, решающую роль играет лоренцевская инвариантность.
Кинематические сингулярности амплитуд AsHs в /-плоскости
и амплитуд A'Ht в s-плоскости можно выделить явно с помощью про-
процедуры, описанной в § 3; таким образом, соотношение F.1) позволяет
определить положение и устранить кинематические сингулярности
в s- и /-плоскостях.
Детали вычислений достаточно сложны [228, 399], поэтому мы
приведем здесь лишь окончательные результаты. В дальнейшем ампли-
амплитуды s-канала, не содержащие кинематических сингулярностей
и нулей, мы будем обозначать A (s, f); задача состоит в том, чтобы
установить их связь с амплитудами A (s, t), определяемыми формулой
C.1). За исключением особо оговоренных случаев мы будем считать,
что спиральности всегда располагаются в последовательности к3, kir
%i, kz, и не будем их явно указывать. Отметим, что в случае, когда
физическими значениями / являются полуцелые числа, амплитуды А
могут содержать кинематическую сингулярность при s = 0 в s-пло-
s-плоскости, но она устраняется переходом к до-плоскости, где w = j/^s.
/. Все массы равны: mi = т.
A (s, 0 = (s-4m2)a/2s-e/2i (s, t), F.4>
где
Р = тахб{|(<т4 —<т2|—|<т3 —^Dl+l}, ¦ F.6>
причем
vi = 1 или 0, F.7}
в зависимости от того, является ли 2<тг нечетным или четным,
F.8)
F.9)

138 ГЛАВА IV
а слагаемое тахл {X} обозначает наибольшее четное (нечетное) целое
число, меньшее или равное X при T|=-f-l (т|= — 1). Наконец,
¦щ— внутренние четности соответствующих частиц.
A(s, 0 = {[s-(mi + /«2J] [5-(т,-т2у]}а/28У^-^\АE, t). F.10)
A (s, t) = (s- 4m;I/»* (s- 4т1)У^3-у/2 [(я3Я41Л | ЯА) ±
±(-A.3X4|i|^2>], F.11)
где
«±= — |Я —Г |+max±Tllz |fft+ff2- y(yt + y2) +
}-5-@1 + ^), F.12)
, F.13)
F.14)
FЛ5)
FЛ6)
/К. /п1 = /п2, т3фтк (включая случай, когда, скажем, т^ =
A(s, 0 = (s-4m12)«±/2[s-(/«3f
X [s - (т3 —
Х[(ЯвЯ,4|Д|Я,1Я,2> + < —Я,,, —Я«| Д |Я.!Я.2>], F.18)
где
Р± = р± при y3 = f4 = 0, F.19а)
р± = рт ПрИ 0, = 04=1, F.196)
а
1 при у1 = о2=1, F.20а)
при Vi'-=v2 — 0. F.206)

спин 139
V. Все массы различны; физический спин целый.
A (s, t) = [s- (mt + /n2J]a±/2 [s- (mt - тг?Г±1г X
X [s — (т3+ т4J]р±/2 [s — (ms-mrf^^sv'2 х
X[(hK\A(s,t)\XlXz)±(-X3, — X4\A(s, OIM*)], F.21)
где в дополнение к введенным выше величинам
а± = а± при Vi = vz = 0, F.22a)
а± = ат при У1^и2 = 1, F.226)
и
7 = тах(|Я-Г|, |Я + Я'|). F.23)
IV. Все массы различны; физические значения J полуцелые.
A(s, t) = DsqliZ)a±Jz Dsqhi)b±Jzs^z X
X [<А.зЯ41 A (s, t) | Я.^) ± < — Я,,, - К | A (s, t) | M-2>]> F.24)
где
<6'25)
Из выписанных соотношений следует, что кинематические сингу-
сингулярности и (или) нули могут возникать при s = 0, s = (т\ ± т2J
и s = (m3 rfc /га4J. Точки s = (mi =Ь /«гJ соответствуют физическому
порогу и «псевдопорогу» канала 1 + 2; то же справедливо и для кана-
канала 3 + 4. Поведение на этих порогах, определяемое приведенными
выше выражениями, соответствует обычному пороговому поведению
парциальной амплитуды [см. (П.4.9)], орбитальный момент которой
принимает наинизшее значение, допустимое для рассматриваемого
спирального состояния.
Кинематические сингулярности и нули этих амплитуд будут воз-
возникать также в парциальных амплитудах, а значит (за некоторыми
возможными исключениями, которые описываются ниже) и в вычетах
полюсов Редже. Поэтому многие авторы выделяют их из вычетов
в виде явных множителей. Однако за исключением, может быть, точки
s = 0, эти сингулярности лежат вне физической области ^-канала
(где как раз используется реджевекая полюсная формула), и поэтому
ясно, что без дальнейших предположений относительно свойств
«приведенного вычета» (т. е. вычета с выделенным кинематическим
множителем) подобная процедура является, хотя и небесполезным,
но вовсе не обязательным упражнением. Тем не менее иногда при-

140 ГЛАВА IV
нимается, что по крайней мере в некоторой части физической области
изменение вычета определяется в основном кинематическими эффек-
эффектами, так что приведенный вычет остается приблизительно постоян-
постоянным. Однако при этом необходимо проявлять осторожность, так как
подобная процедура легко может ввести в заблуждение. В частности,
следует отметить, что физические величины (которые зависят не толь-
только от самих спиральных амплитуд, но и от величин им комплексно
сопряженных) не являются аналитическими функциями переменных
s и /. Поэтому может случиться так, что определенная физическая
величина, соответствующая /-каналу, будет оставаться конечной,
если ее выразить через спиральные амплитуды /-канала и затем про-
продолжить в нефизическую точку, и будет обращаться в бесконечность,
если ее выразить через спиральные амплитуды s-канала с последую-
последующим аналогичным продолжением. В таком случае предположение
о появлении соответствующего «пика» сечения может оказаться лож-
ложным. Подобный пример рассматривается в работе Лина [279], где
указывается, что для процесса рр -*¦ pN* при s = 0 в некоторых
спиральных амплитудах s-канала возникают бесконечности. Но гра-
граница физической области /-канала этого процесса {рр -*¦ pN*) при
/-> оо приближается к s = 0 (см. гл. VIII, § 3), поэтому можно было
бы думать, что будет иметься пик физического сечения в окрестности
направления вперед. Однако, как указывает Лин, эти физические
бесконечности обусловлены кроссинг-матрицей, которая в действи-
действительности при всех физических s и / ограничена (в физической области
углы %t являются физическими), так что они не могут определять
поведение сечения, и было бы ошибкой включать их в явном виде
в вычеты.
Точки ветвления по s играют важную роль, обеспечивая, в част-
частности, равенство фаз вкладов определенного полюса Редже во все
спиральные амплитуды в физической области кросс-канала. Это про-
происходит потому, что фазовый множитель iM~Nt который входит,
например, в B.14), сокращается с аналогичными множителями,, воз-
возникающими из-за разрезов по s при отрицательных значениях этой
переменной. Проще всего в этом убедиться, работая со спиральными
амплитудами /-канала, которые, очевидно, в физической области этого
канала не имеют кинематических разрезов.
Выше, перед формулой A.4), упоминалось, что сохранение угло-
углового момента приводит к появлению нуля амплитуды /-канала при
s = 0, который входит явным образом в парциальное разложение
в /-канале. Однако это не приводит, вообще говоря, к появлению нуля
данной спиральной амплитуды s-канала (если он не принадлежит
к корневому типу), а лишь к некоторому линейному соотношению
между спиральными амплитудами s-канала. Следовательно, рассмат-
рассматривая такие нули, удобно иметь дело непосредственно со спиральными
амплитудами /-канала, которые связаны с предыдущими кроссинг-
матрицей (в физических приложениях фактически требуются, конечно,

СПИН 141
как раз спиральные амплитуды /-канала). Для получения подобного
нуля амплитуды естественно потребовать, чтобы вычет любой дающей
в нее вклад траектории также имел необходимый нуль. Однако если
нуль не соответствует точке ветвления, то по крайней мере в некото-
некоторых случаях эта процедура может оказаться неверной — нуль может
возникать за счет взаимной компенсации при s = 0 вкладов в рас-
рассматриваемую амплитуду, даваемых двумя или большим числом
траекторий, хотя каждый вклад в отдельности ни с чем не сокра-
сокращается. Такая возможность в связи с проблемой AfAf-рассеяния впер-
впервые рассмотрена в работе Волкова и Грибова [397]; она подробно
исследована Лидером [272] и носит название «конспирации». Эта
идея мотивируется тем, что кинематический нуль в вычете, необхо-
необходимый в отсутствие конспирации, через посредство теоремы факто-
факторизации оказывает воздействие на другие амплитуды, благодаря чему
вклад данной траектории оказывается нулевым даже в том случае,
если это не диктуется кинематическими причинами. Факторизуемость
вычетов полюсов Редже s-канала, выраженных через спиральности
t-канала, следует из известной их факторизуемости, когда они выра-
выражены через спиральности s-канала, и из явного вида кроссинг-матри-
кроссинг-матрицы F.2).
В работе Лидера [272] подробно анализируется форма ограничений
для произвольных спинов и масс; он различает следующие три воз-
возможных способа, посредством которых можно удовлетворить этим
ограничениям: «уклонение», при котором вычеты обладают соответ-
соответствующими нулями и компенсирующих траекторий не требуется;
«конспирация», при которой конечная совокупность траекторий с раз-
различными квантовыми числами устроена так, что при одновременном
их рассмотрении эти траектории удовлетворяют необходимым огра-
ограничениям; и, наконец, «дочерние траектории», образующие бесконеч-
бесконечный набор траекторий с одинаковыми квантовыми числами. Лидер
показал, что всегда возможно нетривиальное уклонение (т. е. укло-
уклонение, при котором связь не обращается тождественно в нуль). Таким
образом, введение какого-либо рода конспирации не является совер-
совершенно необходимым, хотя, как будет видно из дальнейшего, их отсут-
отсутствие в некоторых случаях приводит к весьма неприятным следствиям.
Эти вопросы рассматриваются в § 9 данной главы и в отдельных пунк-
пунктах гл. VIII, где выясняется, как можно экспериментально установить
существование конспирации, а также приводятся дополнительные
ссылки на литературу.
Парциальные амплитуды содержат пороговые множители полной
амплитуды, т. е. степени величин s — (тг ± /п2J и s — (т3 ± /п4J,
яо, кроме того, в них входят и пороговые множители, имеющиеся
в проекции D.2). Из выражения для этой проекции видно, что в допол-
дополнение к пороговым множителям функции Ая (s, t) амплитуды AHJ (s)
содержат также множитель (<7si2<7s34)<7~*'. В результате оказывается,
что показатель степени, например у величины qsiz, равен наименьшему

142 ГЛАВА IV
значению орбитального момента /, совместному с заданными значе-
значениями полного момента J и спиральностей начального (т. е. 1 + 2>
состояния.
Отметим, что на физических порогах на парциальные амплитуды
накладываются также некоторые дополнительные ограничения, обу-
обусловленные вкладом орбитального момента / = 0 и имеющие вид.
соотношений между пороговыми значениями различных амплитуд
[256]. Поскольку эти ограничения справедливы в точке, лежащей вне
области, где осуществляется интерполяция с помощью полюсов Редже
(т. е. s -< 0), не ясно, следует ли их учитывать при феноменологиче-
феноменологическом анализе. Они использовались лишь в одном случае, а именно
в работе [184], в которой показано, что эти ограничения могут, по-ви-
по-видимому, оказывать некоторое влияние в физической области (см-
гл. VIII, § 6, п. 8).
Еще одним источником возникновения кинематических множите-
множителей в вычетах является требование конечности полубессмысленнойг
амплитуды, упоминавшееся в § 5. В гл. V, § 6 мы увидим, что на самом
деле оно относится только к амплитудам с «правильной сигнатурой».
Этот термин применяется для амплитуд с положительной (отрицатель-
(отрицательной) сигнатурой при четных (нечетных) J, если физические значения /
являются целыми числами, и соответственно при J — 72, если физи-
физические значения J — полуцелые числа. Ниже используется также
термин «неправильная сигнатура», смысл, которого очевиден. Так
как, согласно D.8), при полубессмысленных значениях J имеется
точка ветвления корневого типа, то при J та Jo, где Jo — полубес-
полубессмысленное значение J, соответствующее правильной сигнатуре,
вычет будет вести себя как (J — ^оI/2- Чтобы описать поведение вблизи
точки J = — Jo — 1» к которому приводит свойство симметрии E.3),
некоторые авторы включают также множитель (J + Jo + II/2. Сле-
Следует заметить, однако, что это свойство симметрии устанавливает
связь между амплитудами с противоположными сигнатурами, поэтому
такой дополнительный множитель появляется лишь в том случае,
когда полубессмысленная амплитуда с неправильной сигнатурой так-
также обращается в нуль (в гл. V, § 6 мы увидим, что это, по-видимому,
не так).
Наконец, отметим, что теорема о* факторизации (гл. V, § 1) также
накладывает ограничения на вычеты. При всех допустимых значениях
А,г- она позволяет написать
P*3*4*i*2 = 7*3*47*1*2- F- 26)
Объединим это соотношение с известным нам фактом, что полубес-
полубессмысленная связь в случае правильной сигнатуры содержит множи-
множитель (J — /0I/2- Тогда из аналитичности физической и бессмысленной
амплитуд при J = Jo получим, что одна из них должна содержать
множитель J — Jo, Таким образом, если траектория Редже прини-
принимает значение J, соответствующее правильной сигнатуре, при кото-

спин 143
ром имеются как физическое, так и бессмысленное состояния, то
с одним из них она связана не будет, осуществляя тем самым опре-
определенный «выбор» между бессмысленной и физической ситуациями.
В настоящее время вопрос о том или ином характере траектории дол-
должен решаться экспериментально (см. гл. VIII, § 6, п. 4).
§ 7. ЧЕТНОСТЬ
Поскольку четность сохраняется в сильных взаимодействиях,
во многих приложениях теории полюсов Редже удобно вводить ампли-
амплитуды с определенным значением этого квантового числа. С этой целью
рассмотрим состояния
ф -• | JM, - XIt - Я.2»,
G.1)
где % и т|2 — внутренние четности частиц / и 2, a v равно 0 или V2»
в зависимости от того, являются ли физические значения J целыми
или полуцелыми. Эти состояния являются собственными состояниями
оператора четности, удовлетворяющими уравнениям
Р | JMk,M>± = ± (- ly-^JMX^)^ G.2)
где использовано соотношение D1) из работы Якоба и Вика [247].
Матричные элементы сохраняющего четность оператора А между
введенными состояниями с определенной четностью равны
1 А | JMXJ^i - AМХ^.Л | А | JMXfa) ±
). G.3)
Знак плюс здесь соответствует положительной или отрицательной
четности, в зависимости от того, является ли 7 — v четным или нечет-
нечетным числом, а знак минус соответствует в каждом случае противо-
противоположной четности. Напомним далее, что амплитуды с определенной
сигнатурой являются физическими, если положительные (отрицатель-
(отрицательные) сигнатуры соответствуют четным (нечетным) значениям J — v
[см. замечания после формулы D.2)]. Таким образом, можно ввести
следующие амплитуды с определенной сигнатурой E) и четностью (Р):
+ PS(—l)аз+а*-"ЛзЛ4 X
X < — **,, — X4|i4f|W, G.4)
где, например, значения 5 = + 1 и Р = + 1 соответствуют ампли-
амплитуде с положительной сигнатурой и с положительной четностью.
Важным свойством амплитуд с определенной четностью в случае
бозон-фермионного рассеяния является обобщенный принцип сим-
симметрии Мак-Дауэлла, установленный первоначально для Л^

144 ГЛАВА IV
сеяния [2871. Из вида спиральной кроссинг-матрицы (рассматривае-
(рассматриваемой в предыдущем параграфе) следует, что спиральные амплитуды
имеют точку ветвления корневого типа при s = 0. Поэтому удобно
использовать переменную
w = VT, G.5)
причем характер точки ветвления таков, что одна из амплитуд, входя-
входящих в правую часть G.4), при замене w-*- — w изменяет свой знак.
Таким образом, это отражение связывает амплитуды с противополож-
противоположной четностью. В частности, имеем [2281
5Р %- ~р (- w) \ a.ta.2>. G.6)
Это соотношение приводит к интересным следствиям для фермион-
ных траекторий Редже (т. е. для таких траекторий, которые являются
физическими при полуцелых значениях J). Во-первых, поскольку
разные четности соответствуют разным траекториям, для фермионной
траектории a (w) не является четной функцией переменной w, и поэто-
поэтому обладает точкой ветвления при s = 0 (если ее рассматривать как
функцию s = w2). Во-вторых, если существуют физические состояния
как с той, так и с другой четностью, то траектория принимает поло-
положительные значения J и при положительных и при отрицательных
значениях w и, следовательно, имеет вид, показанный, например,
на фиг. VIII.7.
§ 8. ВКЛАД ТРАЕКТОРИИ ПОМЕРАНЧУКА
В соответствии с границей Фруассара, амплитуда упругого рас-
рассеяния частиц с нулевым спином с увеличением t He может расти
быстрее, чем t1 (с точностью до логарифмических множителей). Дан-
Данные, согласно которым полные сечения стремятся к постоянным зна-
значениям, навели на мысль о существовании траектории, принимающей
в точке s = 0 максимальное допустимое этим условием значение, т. е.
а. @) = 1,— так называемой траектории Померанчука, или померан-
чона. Чтобы не возникло противоречия с теоремой Померанчука,
соответствующая частица должна обладать. нулевыми квантовыми
числами (кроме спина).
Было показано [2281 при тех же по существу предположениях, что
такая же граница справедлива и для частиц со спином, так что и в этом
случае траектория Померанчука (если она вообще существует) пре-
преобладает в тех процессах высокоэнергетического рассеяния, для
которых возможен обмен соответствующей частицей в кросс-канале.
Хара [2291 предпринял попытку доказать независимость от спи-
ральностей, т. е. от спина, вклада померанчона в полное сечение
рассеяния двух частиц. Как будет видно из дальнейшего, в этой работе
имеется одно недоказанное предположение, но тем не менее имеет

спин 145
смысл изложить ход рассуждений. Мы приведем здесь его в упрощен-
упрощенной форме, следуя изложению статьи [307].
Мы хотим рассмотреть упругое рассеяние в ^-канале, поэтому
потребуем, чтобы частицы / и 2 и частицы 3 и ?были одинаковыми.
Для этих двух типов частиц мы исполь-
используем символы / и 3 соответственно
(фиг. IV. 1).
Поскольку мы хотим проанализиро-
проанализировать влияние обмена померанчоном в
s-канале, необходимо рассматриватьлишь
амплитуды s-канала с PC = + 1.
Для таких амплитуд имеем
{ЯД41 A (s, t) IЯ3Я3) = , ._, , л,
_\ 1 к v /j_ Ф нг. IV.1. Упругое рассея-
= (Я^ | A (s, t) | — Я3,—Я3>. (8.1) ние в ^-канале.
(В этом параграфе все равенства относятся только к вкладу померан-
чона, т. е. для полной амплитуды они справедливы лишь в пределе
?-»-оо.)
Запишем кроссинг-соотношение амплитуд ^-канала с амплитудами
s-канала при s = 0:
а' (о, о | йГз>=2 d&n Dг) 4^ (-г)
X (Я&ъ (~) йЦ-з (А) (ЯД, | А* @, t) | Я3Я3), (8.2)
где, как и в § 6, для явного обозначения каналов используются
индексы t и s, а для спиральностей ^-канала — символ (i. Подставляя
(8.1) в (8.2) и используя свойства симметрии функций di», получаем
х
@, 01 №) = 2 <*&» (-5-) 4^ (т-
ч
X ^-1з,а A) ^Х», (т)
= <ц^з | ^f @, t) | jitiis) ( - 1)^-^. (8.3)
Воспользуемся теперь сохранением углового момента [или аналогом
формулы C.1)] для амплитуд ^-канала при s = 0. Благодаря4(8.3) это
приводит к двум условиям
Щ — М* = \i{ — Цз, (8.4а)
Hi — М* = Щ — Из» (8.46)
10-650

146 ГЛАВА IV
откуда следует _
111 = 11!, (8.5а)
Из=(Гз- (8.56)
Переходя теперь с помощью кроссинг-соотношения из /-канала
в s-канал и воспользовавшись этими равенствами, получаем
(Aji | А9 (О, /) | аД,> = (Wi | А* @, t) 1Х3К3). (8.6)
Однако если | Xt — A.t | и | Я,3 — Л3 | не являются четными чис-
числами, то вклады померанчона в эти две амплитуды имеют противо-
противоположные знаки. Отсюда следует, что связь померанчона с состоя-
состояниями, для которых хотя бы одна из этих величин нечетна, должна
быть равна нулю. Единственной альтернативой является «конспи-
«конспирация», которая в данном случае требует, чтобы существовала еще
одна траектория, принимающая при s = О значение a (s) = 1. Эту
возможность мы рассматривать не будем.
Введем теперь упоминавшееся выше недоказанное предположение,
согласно которому с траекторией Померанчука в точке s = О связаны
только состояния с | Я.!'— Я.! | <; 1 и | К3 — Я-з | <; 1. Поскольку
a. (s) = 1 при s— О, все другие состояния при этом значении s являются
бессмысленными. На этой основе Хара [229] высказал свое пред-
предположение. Однако при а = 1 померанчон имеет неправильную сигна-
сигнатуру, и следовательно, нет оснований считать, что он не связан с бес-
бессмысленными состояниями (см. гл. V, § 6). Таким образом, это пред-
предположение не доказано, так что результат, который будет получен
ниже, может оказаться неверным. Следует отметить, однако, что
если спины рассматриваемых частиц не превышают V2, то это пред-
предположение не требуется, поэтому, например, в случае iWV-системы
соответствующие результаты будут заведомо справедливыми.
Приняв, где это необходимо, сформулированное выше предполо-
предположение, сразу же получим, что допустимы лишь значения спираль-
спиральностей, удовлетворяющие равенствам
^i =^i, (8.7а)
Я.8 = Я.8. (8.76)
Как показал Хара [229], а также в более ранней работе Пайерлс
и Трумен [327], эти соотношения приводят к независимости амплитуд
при высоких энергиях от спиральностей. Чтобы доказать это, запи-
запишем (8.2) с учетом (8.5) и (8.7):
А1 @, /) [ ^з> = а^цА.Д, <|*1|*8 | А' @, t) | |1!|1з> =
- 2 *Ь* (-г) С. (т) *&¦ (-г) V.3 A) х
Я-1Я-3
X (А-!*-, | Л5 @, t) | Х3Х3). (8.8)

спин 147
Умножим обе части (8.8) на d^1i-i (я/2)с(^цз(я/2) и просуммируем
по fit и ц3. Используя ортогональность функций d, сразу получим,
что при всех (х и Я
I А1 (О, О | щцз) = (Я-Л | As @, /) | Я.3Я.3), (8.9)
что и требовалось доказать.
§ 9. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕТИКО-ГРУППОВЫХ МЕТОДОВ
К ТЕОРИИ РЕДЖЕ
Мы уже останавливались на двух, на первый взгляд совершенно
различных, проблемах, касающихся поведения траекторий Редже
при s = 0. Существуют определенные трудности, связанные с кине-
кинематикой неравных масс, которые обсуждались в гл. III. Там было
намечено два разных пути их преодоления: можно потребовать, чтобы
фоновый член обладал вполне определенными свойствами или чтобы
существовали бесконечные последовательности дочерних траекторий,
компенсирующие сингулярности своих родительских траекторий
(а также сингулярности друг друга) при s = 0. Кроме того, как было
показано в § 6, кинематические ограничения на амплитуды рассеяния
частиц со спином требуют, чтобы для некоторых из них вычеты траек-
траекторий обращались в нуль при s = 0 (уклонение) или чтобы вклады
траекторий взаимно компенсировались (конспирация).
Оба эти явления, по-видимому, можно связать с дополнительной
симметрией, которой обладает связная четыреххвостка при s = 0.
В сравнительно недавних работах было предпринято несколько
попыток сформулировать эти симметрии на соответствующем теоре-
теоретико-групповом языке, чтобы проанализировать проблему в целом
с некоторой единой точки зрения. Кроме того, ряд авторов полагает,
что с точки зрения теории групп более естественным решением про-
проблемы ограничений, возникающих в точке s = 0, является введение
гипотез о существовании дочерних траекторий и конспирации, а не
гипотез компенсации сингулярностей за счет фонового члена или
уклонения, поскольку последние гипотезы явно не учитывают допол-
дополнительную симметрию в этой точке.
Как будет видно из дальнейшего, совершенно бесспорных аргу-
аргументов в пользу такого подхода в настоящее время не существует,
но ввиду чрезвычайного изящества теоретико-групповых методов,
а также потому, что они могут оказаться весьма важными с точки
зрения дальнейшего развития теории, мы здесь кратко на них оста-
остановимся. К сожалению, полное изложение аппарата теории представ-
представлений комплексной неоднородной группы Лоренца потребовало бы
весьма много места и увело бы нас слишком далеко от основной темы,
поэтому мы ограничимся лишь кратким описанием, но дадим ссылки
на работы, в которых можно найти все необходимые подробности.
10*

148 ГЛАВА IV
Ознакомиться со свойствами группы Лоренца можно по работам Виг-
нера [409] и Бриттина и Барута [70].
¦ Постулат 3 из гл. I требует, чтобы S-матрица была инвариантна
относительно преобразований Лоренца. Это должно быть справедли-
справедливым прежде всего в физической области данного канала, но если вос-
воспользоваться аналитичностью (постулат 5) и теоремой Холла — Уайт-
мана [222], необходимое обобщение которой дано Стаппом [377],
то мы увидим, что инвариантность должна иметь место и в нефизи-
нефизической области, причем для ее формулировки необходимо обратиться
к комплексным преобразованиям Лоренца. Таким образом, 5-матрица
должна соответствовать некоторому представлению комплексной неод-
неоднородной группы Лоренца (или группы Пуанкаре) 5$.
Разложение по парциальным волнам в физической области s-кана-
ла, которое проводилось в гл. II, § 1 и в гл. IV, § 1, соответствует
тому, что амплитуда представляется через базисные элементы непри-
неприводимого представления группы ?$ с
P* = {Pi + Pzy = s>0, (9.1)
где Р2 — собственное значение одного из операторов Казимира этой
группы. Матрицы вращений dix- являются представлениями «малой
группы» для s > 0, т. е. трехмерной группы вращений 50 C) [или
ее универсальной накрывающей SU B)], причем под «малой группой»
понимается группа преобразований, оставляющих инвариантным пол-
полный 4-импульс
Р* = (р» + Рт) (9-2)
(в данном случае вращений). Согласно теореме Петера — Вейля, мат-
матричные элементы неприводимых представлений группы SO C) [точнее
SU B)] образуют полный базис, через элементы которого можно
представить любую функцию, квадратично интегрируемую на груп-
групповом многообразии. Таким образом, в данном случае функции dlxr
с J = 0, 1,2, ... или V2, 3/г. • • •. использованные в A.2), обра-
образуют полный базис для разложения произвольной функции, для
которой ряд по парциальным волнам сходится.
Основное преимущество разложения по парциальным волнам
Заключается в том, что амплитуда Аа (s, t) при этом разбивается
на две части, одна из которых определяется свойствами симметрии
и содержится в di\>, а другая имеет динамическую природу и содер-
содержится в Ан (s). Значение / определяется другим оператором Кази-
Казимира группы *?, собственные значения которого равны sJ (J + 1).
Конечно, для разложения амплитуды можно использовать любой
другой полный набор функций, но лишь при указанном выше разло-
разложении мы получаем преимущества, связанные с инвариантностью
S-матрицы по отношению к группе SO C).
При реджезации амплитуды мы исходим из ее разложения в физи-
физической, области s-канала по парциальным волнам, связанным с груп-

спин 149
пой 50 C); затем проводим преобразование Зоммерфельда — Ватсона,
позволяющее выразить амплитуду через комплексные значения /,
и наконец, используя аналитичность 5-матрицы по s и t, продолжаем
полученное выражение [например, (П.9.10) или E.2)] в другую область
этих переменных, в частности в физическую область /-канала, которая
нас и интересует, если полюса s-канала определяют асимптотическое
поведение в /-канале. Однако при Р2 = s << 0 для группы Пуанкаре
малой группой будет уже не 50 C), а 50 B, 1) [или ее универсальная
накрывающая SU A, 1)]. Вигнер [408] показал, что существует
четыре различных класса представлений группы ф, которые харак-
характеризуются разными собственными значениями оператора Казимира
Р2 и имеют различные малые группы:
1. Времениподобное Р2 >- 0; малая группа 50C).
2. Пространственно-подобное Р2 < 0; малая группа 50B, 1).
3. Изотропное Р2 = 0 и Р^ Ф 0; малая группа Е B).
4. Нулевое Р2 = 0 и Р^ = 0; малая группа 50 C, 1). [Здесь
Е B) — евклидова группа в пространстве двух измерений.]
Представления группы 50 B, 1) были изучены Баргманом [54];
с точки зрения полюсов Редже они обсуждались в работах [21, 67, 68,
220, 259, 359]. Оказывается, что существует четыре семейства уни-
унитарных представлений:
а) основная серия: Re / = — V2, — оо < Im / < оо;
б) дополнительная серия: — V2 < Re J < 0, Im / = 0;
в) скаляр: / = 0;
г) дискретная серия: / = 0, 1,2, ... или — V2, V2, 3/2, • • • •
Согласно теореме 9 Баргмана, которая является аналогом исполь-
использовавшейся выше теоремы Петера — Вейля, любую функцию, квад-
квадратично интегрируемую на групповом многообразии, можно разло-
разложить по матричным элементам представлений из основной серии
и по матричным элементам представлений с Re J > — 72, принадле-
принадлежащих дискретной серии. Дискретная серия дает слагаемые, соот-
соответствующие бессмысленному каналу и ограниченные условием
/<Л1=гтах(А„Я'). (9.3)
Если контур интегрирования сдвинуть от Re J = — V2 к Re / =
= М — V2, то такие слагаемые с J < М сократятся с членами основ-
основной серии. (Подробности см., например, в работе Бойса [67]. Отметим
также, что мы не касаемся здесь вопросов, связанных с сигнатурой.)
Таким образом, окончательно имеем
М—l/2+ioo
AH(s,t)=—^ J djJJny_X)AUs)dl,,(zs), (9.4)
М—1/2—ioo
где 2S — косинус угла рассеяния в s-канале, который в области s < 0
является, конечно, нефизическим (zs > 1). Амплитуда рассеяния
квадратично интегрируема на групповом многообразии лишь в том

150 ГЛАВА IV
случае, если
AH(s,t)=O(r1/2), (9.5)
и очевидно, (9.4) есть не что иное, как преобразование Зоммерфель-
да —' Ватсона E.2) для амплитуды, у которой отсутствуют сингуляр-
сингулярности при Re / > — V2. Совершая обратное преобразование Зом-
мерфельда — Ватсона, мы вернемся к обычному разложению ампли-
амплитуды по парциальным волнам A.2). При достаточно больших по модулю
отрицательных s условие (9.5), по-видимому, будет выполняться,
но с ростом s должны появляться динамические сингулярности Редже.
Соответствующие им функции уже не будут квадратично интегри-
интегрируемыми на групповом многообразии, поэтому, прежде чем можно
будет использовать теоретико-групповое представление, в них сле-
следует сделать вычитания. Принимая обычную связь между асимпто-
асимптотическим поведением амплитуды и ее сингулярностями в «/-плоскости,
в итоге мы получим выражение, в точности подобное формуле E.2).
Таким образом, представление амплитуды в виде разложения
по «парциальным волнам» группы SO B, 1) эквивалентно преобразо-
преобразованию Зоммерфельда — Ватсона. Такой способ его воспроизведения
не лишен известного интереса, хотя ничего особенно нового он не дает.
Однако если s равно нулю, то в качестве малой группы нужно
использовать третью или четвертую из перечисленных выше групп,
в зависимости от значения импульса Р^. Поскольку
S/7^ = m? и S/^ = mf, (9.6)
условие
P2^'Z(Pi^+P2l,J = 0 (9.7)
и
означает, что равенство
о . (9-8>
возможно лишь в том случае, когда mi = m2. Вообще, если для како-
какого-нибудь импульса Р2 лежит на массовой поверхности, то вектор Р„.
может равняться нулю лишь при условии, что т4 = т2 и т3 = /и4-
Обычно связная четыреххвостка имеет всего две степени свободы,
которые обозначаются через s и t, но для того, чтобы удовлетворить
условиям (9.6) и (9.8), когда т4 = т2 (и пг3 = /л4), необходимо ввести
три степени свободы. Именно поэтому в данном случае в качестве
малой группы и выступает группа SO C, 1) [или ее универсальная
накрывающая SL B, С)], которая соответствует более широкой сим-
симметрии. (Представления группы SO C, 1) даны в работах [68, 358,
3911.)
Дополнительная степень свободы, возникающая при равных мас-
массах, проявляется в том, что унитарные представления основной серии
группы SO C, 1) несут не одно квантовое число (как /, употребляв-

СПИН 151
шееся выше), а нумеруются собственными значениями двух операторов
Казимира: /0, принимающего дискретный ряд значений (/„ =
= 0, 1, 2, ... или 72, 3/2, . . .), и ст, который является чисто мни-
мнимым (— i оо <с а <с i oo). Соответствующее разложение по парциаль-
парциальным волнам записывается в виде
ТМ —М+гоо
Ah (s = 0, t) = бяя' 2 2 ( ~"~2^") I ^ст (/о — ^Мз'г' (s) dfe'»
ТТ' ja=—TM —U—газ
(9.9)
где SrkT- — матрицы вращений для группы S0C, 1), а Л$г—соот-
Л$г—соответствующие «парциальные» амплитуды. Кроме того, Тм — т\п(Т', Т),
причем | aj — a3 I^T^aj + o^. | ст2 — сг41 <: 7" < a2 + a4 (здесь сим-
символы а обозначают спины частиц, и их не следует смешивать
¦с переменной интегрирования). Необходимые подробности можно
найти в работах [68, 139, 140], обозначениям которых мы следовали,
за исключением того, что мы использовали символ Т вместо /, чтобы
избежать путаницы с полным угловым моментом. Те же результаты
получил Толлер [391], который вместо (/0, о) применял обозначения
(М, X).
Выписанное выражение играет важную роль, если предположить,
что а является той естественной переменной, по которой следует
вводить полюса и разрезы, соответствующие тем частям амплитуды,
которые при s = 0 не являются квадратично интегрируемыми по груп-
групповому многообразию. Правдоподобность этого предположения осно-
основана на аналогии с тем, как в (9.4) вводились полюса Редже и раз-
разрезы по / при s <с 0. В результате получаем следующее выражение,
соответствующее E.2):
ЛнE = 0, 0 = (9.9)+2 3*Г'(Ш/;-а?(/о. 0)]d&Hz.), (9-10)
ТТ' г
в которое входят вклады от полюсов при о = аг (/0, s = 0) и где
.g?T' (t) — вычет в г-м полюсе с соответствующим множителем (мы
не рассматриваем разрезы, но их, конечно, можно включить обычным
способом). Между слагаемыми с разными Т, V имеются определенные
соотношения,. которые позволяют исключить это суммирование,
а асимптотическая форма функций d не зависит от Т и Т" и имеет вид
Такие полюса в a-плоскости Толлер назвал «лоренцевскими полюсами»,
а в работах [139, 140] они именуются «полюсами Толлера», так что
процесс продолжения по а можно назвать «толлеризацией» (хотя вряд
ли следует использовать эту терминологию). Толлер предположил,
что именно эти лоренцевские полюса являются основными динами-

152 ГЛАВА IV
ческими сингулярностями. Чтобы установить их связь с полюсами
в /-плоскости, необходимо разложить функции drvr- по матричным
элементам dw группы SO B, 1). Эта задача [которая, конечно,
эквивалентна разложению представлений SL B, С) по представле-
представлениям SU A, 1)] была решена в работах [14, 358]. Вычисления являют-
являются довольно сложными, но оказывается, что каждому лоренцевскому
полюсу соответствует семейство траекторий, значения которых при
s = 0 отличаются на единицу:
а„@) = а(/0, 0) —п—1. (9.11)
При этом, как и в случае дочерних траекторий и конспирации, вычеты
в точке s = 0 при п Ф 0 сингулярны.
Такимобразом, если принять, что имеется лишь один лоренцевский
полюс, то это приводит к существованию дочерних траекторий и кон-
конспирации. Однако возникающие здесь конспирации относятся к более
общему типу по сравнению с конспирациями, введенными Волковым
и Грибовым [397], которые упоминались выше в § 6. В то время как
эти авторы рассматривали лишь конечное число траекторий с несин-
несингулярными вычетами, здесь имеются бесконечные последовательности
дочерних траекторий, и для данной амплитуды возможно существо-
существование бесконечного числа семейств траекторий, принимающих участие
в конспирации. Следует отметить, однако, что появление подобных
дочерних траекторий предсказывается только в случае т^ = т^
пг3 = яг4, тогда как соответствующие аргументы, основанные на
использовании аналитичности (см. гл. III), требуют выполнения
неравенства mi Ф тг (и т3 Ф т4, чтобы получить дочерние траекто-
траектории всех порядков). В этом случае 50 C, 1) уже не будет группой
симметрии амплитуды, хотя никто не запрещает нам, конечно, посту-
постулировать, что в спектре траекторий проявляется более высокая сим-
симметрия, чем в самой амплитуде.
Наоборот, если взять один полюс Редже, то он будет соответство-
соответствовать бесконечной последовательности лоренцевских полюсов, или,
с точки зрения а-плоскости, бесконечный набор лоренцевских полю-
полюсов может свернуться так, что останется всего один полюс Редже.
Как было подчеркнуто в работе [170], это, конечно, не означает, что
снимается требование равенства нулю вычетов отдельных (т. е.
не участвующих в конспирации) траекторий Редже для некоторых
амплитуд. Однако поскольку мы допускаем также возможность укло-
уклонения (компенсация фоном, а не за счет дочерних траекторий), мы
не в состоянии опровергнуть точку зрения, противоположную Тол-
леру, согласно которой первичными являются полюса Редже, а наи-
наиболее естественным — объединение всех лоренцевских полюсов
в отдельные полюса Редже. Так как физические частицы сопоставляют-
сопоставляются отдельным полюсам Редже, в отсутствие дополнительных аргументов
наиболее правдоподобной представляется как раз эта точка зрения.

СПИН 153
В случае неравных масс указанную симметрию можно обнаружить
лишь за пределами массовой поверхности, так как только там Р^
может обращаться в нуль. Именно поэтому при анализе порождения
дочерних траекторий столь полезным оказывается, как упоминалось
в гл. III, уравнение Бете — Солпитера, представляющее собой модель,
которая формулируется вне массовой поверхности. Дополнительная
симметрия при Р^ = 0 в действительности была замечена уже давно,
а именно в 1954 г., Виком [407] и Каткоским [130]. При использовании
уравнения Бете — Солпитера обычно осуществляется аналитическое
продолжение на мнимые значения энергии, в результате чего сим-
симметрия SO C, 1) переходит в SO D). Многие более поздние работы
изложены на языке группы SO D), который обладает тем преиму-
преимуществом, что позволяет избежать трудностей, связанных с некомпакт-
некомпактностью группы SO C, 1), хотя такое продолжение по энергии может
приводить к некоторым трудностям.
Домокош и Шураньи [151] показали, что параметр п, характери-
характеризующий неприводимые представления SO D), можно использовать
для нумерации семейств траекторий (дочерних последовательностей)у
причем дочери соответствуют так называемым «анормальным» реше-
решениям уравнения, открытым вновь в работе Фридмана и Вонга [188].
Хорошую библиографию по анормальным решениям уравнения Бете —
Солпитера можно найти у Наканиши [311]. Дальнейшему анализу
связи между лоренцевскими полюсами и реджевскими семействами
посвящены работы Домокоша [150], Фридмана и Вонга [189] и Фин-
кельстейна и Вонга [170], а естественный способ появления лорен-
цевских полюсов в инвариантных (а не в спиральных) амплитудах
указали Дьюранд [159], Тейлор [381] и Джонс и Скадрон [257]. Урав-
Уравнение Бете — Солпитера и некоторые другие модели рассматривались
также в работах [121, 122, 379].
Конечно, даже в случае равных масс симметрия возникает только
в одной точке (s = 0), так что возможны два разных подхода к вопросу
о способе продолжения из этой точки. В одном из них [140, 316] при-
принимается, что полюса обладают симметрией SO C, 1) при всех s,
и поэтому данный лоренцевский полюс в а-плоскости при о = а (/„, s)
будет приводить к бесконечной последовательности параллельных
траекторий
an(s) = a(j0, s) — n— 1, л = 0, 1, ..., (9.12)
где п — номера разных дочерних траекторий. С другой стороны, так
как симметрия «нарушается» при s Ф 0 (или всюду на массовой
поверхности, когда Ш\ Ф т2), то можно ожидать, что при удалении
от точки симметрии соответствующая инвариантность окажется поте-
потерянной. Домокош [150] применил методы теории возмущений для
оценки отклонения (9.12) от точки симметрии. Вычисления, выпол-
выполненные Каткоским [134] (см. также [135]) на основе уравнения
Бете — Солпитера, показывают, что поведение дочерних траекторий

154 ГЛАВА IV
может резко отличаться от поведения родительской траектории.
Характер продолжения из точки s = 0 рассматривался также
в работе Бали и др. [41]. В ней показано, что резкий переход при
Рр = 0 от инвариантности SO B, 1) к SO C, 1) свойствен только
связной четыреххвостке, которая обладает аномально малым (в неко-
некотором смысле) числом степеней свободы. В случае же трех или боль-
большего числа частиц в начальном и конечном состояниях этих проблем
не возникает, так как подобного изменения числа степеней свободы
здесь не происходит. В других работах этих же авторов [42, 43] пока-
показано, кроме того, что использование методов Толлера, которые при-
приводят сразу к преобразованию Зоммерфельда — Ватсона, т. е. не тре-
требуют аналитического продолжения парциальных амплитуд кросс-
канала, придает однозначный смысл понятию реджевского поведения
многочастичных амплитуд. До этих работ было неясно, как в подоб-
подобных задачах наилучшим способом выбрать переменные. Весьма пре-
претенциозный подход, применяющий методы Толлера для «реджезации»
внутренних симметрии, предложен в работе [357].
Чрезвычайно примечательным является следующее обстоятельство.
Для релятивистского рассеяния описанные теоретико-групповые мето-
методы воспроизводят аналитически продолженное преобразование Зом-
Зоммерфельда — Ватсона. В то же время аналогичных методов, пригод-
пригодных в случае нерелятивистского рассеяния, не существует, хотя здесь
прямо может быть доказано существование необходимого аналити-
аналитического продолжения. В нерелятивистском рассеянии, конечно,
не существует кросс-канала, но можно ожидать, что ему соответствует
пространственно-подобная область изменения переменных. Во вре-
мениподобной области малой группой для группы Галилея по-преж-
по-прежнему является 50 C), откуда и возникает обычное разложение по пар-
парциальным волнам, но в пространственно-подобной области малой
группой будет Е B) [245] (см. также [354]), которая не имеет пред-
представлений, соответствующих фоновому интегралу. Поэтому в данном
случае теория групп не может дать те же результаты, что преобразо-
преобразование Зоммерфельда — Ватсона. В весьма полезном обзоре Леви —
Леблона [278] высказывается мнение, что это набрасывает тень
ла уместность релятивистского анализа, основанного на 50 B, ^-сим-
^-симметрии, свойственной кросс-каналу.
Природа может либо стремиться к полному использованию сим-
симметрии при s == 0, прибегая к конспирациям и дочерним траекториям,
либо пренебрегать этой свободой, компенсируя сингулярности за счет
фонового члена и уклонения. Кажется вполне очевидным, что этот
вопрос является динамическим вопросом и не может быть решен
одними лишь теоретико-групповыми методами. В настоящее время
наиболее серьезными представляются те теоретические аргументы
в пользу симметрии, которые даются моделью траекторий, основан-
основанной на уравнении Бете — Солпитера, но и эти аргументы являются
все же весьма слабыми. Домокош [150] показал, что обычные S-матрич-

спин 155
ные модели для траекторий, подобные N/D-методу (рассматриваемому
в гл. VI), включающие продолжение двухчастичного условия унитар-
унитарности на массовую поверхность ниже точки s = 0, исключают исполь-
использование такого числа переменных, которого было бы достаточно для
существования дополнительной симметрии. Чтобы получить сим-
симметрию в теории, сформулированной на массовой поверхности, необ-
необходимо учитывать связь с многочастичными каналами, которым
не свойственно внезапное изменение числа степеней свободы. В урав-
уравнении Бете — Солпитера частично содержится связь с подобными
каналами, чем, наверное, и объясняется его способность порождать
дочерние траектории. Поэтому для пиона, являющегося скорее всего
связанным состоянием трехчастичных (или более высоких) каналов,
существование дочерних траекторий будет, возможно, более вероят-
вероятным, чем для р-мезона, возникающего главным образом в двухчастич-
двухчастичных каналах. При современном состоянии знаний динамики ни одну
из этих возможностей предпочесть, по-видимому, нельзя.
После того как установлена такая теоретическая неопределен-
неопределенность, остается надеяться лишь на то, что в скором времени появятся
решающие экспериментальные данные, которые помогут выяснить,
существуют ли в действительности дочерние траектории и конспира-
конспирации. К сожалению, однако, получение этих данных может оказаться
очень сложным делом. Некоторые из способов, позволяющих отыски-
отыскивать дочерние траектории, обсуждались в гл. III, § 8, а в гл. VIII
будут рассмотрены и другие методы, с помощью которых можно про-
проверить, имеются ли дочерние траектории и конспирации.
В работе [15] приводятся определенные данные, дающие отрица-
отрицательный ответ на этот вопрос. В гл. VIII, § 6, п. 1 подробно рассмат-
рассматриваются причины, по которым обмен р-мезонной траекторией может
объяснять ход дифференциального сечения яЛ/-рассеяния с переза-
перезарядкой, имеющего минимум при / = — 0,6 (Гэв/сJ, интерпретируемый
как исчезновение связи р со спиральной амплитудой <00 \ А1 \ -\ >
при сср (t) = 0. В упомянутой работе установлено, что в случае полю-
полюса Толлера вида
ар@, /) = ар@+1 . (9-13)
[см. (9.12)] эта связь в нуль не обращается, и чтобы получить необхо-
необходимый спад сечения, требуется взаимная компенсация двух полюсов
Толлера. При этом другой полюс может или обладать значением
/0 = 1 [заметим, что полюс (9.13) имеет /0 = 0], или соответствовать
совершенно иной траектории р'. Предсказание указанного хода сече-
сечения является одним из основных достижений однополюсной модели
Редже; в то же время этот результат не удается получить с помощью
полюсов Толлера, что следует рассматривать как серьезную трудность
основанной на них теории. Такой же по существу вывод сформулиро-
сформулирован в работе [313], где анализируется процесс п~р -*¦ цп с точки
зрения обмена траекторией А2 (ср. гл. VIII, § 6, п. 3).

Глав а V
ПРИРОДА СИНГУЛЯРНОСТЕЙ В У-ПЛОСКОСТИ
§ 1. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ УНИТАРНОСТИ
В этой главе рассматривается характер сингулярностей парциаль-
парциальных амплитуд в /-плоскости и выясняется, какие мы можем наложить
на них ограничения. Так, например, будет показано, почему в опре-
определенных моделях единственными движущимися сингулярностями
являются полюса и отчего это не справедливо для общего случая.
Будет показано также, -что присутствие частиц с высшими спинами
накладывает на скачки определенные интегральные ограничения
(сверхсходящиеся соотношения). Кроме того, мы докажем, что
в /-плоскости имеются разрезы, и увидим, что благодаря им у неко-
некоторых амплитуд возникают неподвижные полюса.
Многие из положений данной главы опираются на условие уни-
унитарности для канала, в котором совершается разложение по парци-
парциальным волнам, т.. е. в нашем случае для s-канала. Мы начнем с дока-
доказательства справедливости условия унитарности, которое в своей
первоначальной форме было сформулировано для физических значе-
значений /, также и для аналитически продолженной амплитуды. Рас-
Рассмотрим сначала случай бесспиновых частиц и предположим, что
существует одноканальная область упругого рассеяния so<s<Sj,
в которой, согласно (П.5.7), условие унитарности записывается в виде
Im Bt (s) = [qslzqs3i]1 P (s) | Bj(s)J|» A.1)
при s0 < s < S/ и целых значениях / >- 0. При этом мы исключили
из амплитуды пороговый множитель [qsl2 <7«зЛ', введя в соответствии
с (П.5.7) функцию
lAl(s). A.2)
Запишем условие унитарности sQ<.s<.Sj в следующей эквива-
эквивалентной форме:
Bf (s) - Bf* (s)* = 2i [qJiZq33i]1 P (s) B% (s)*.Bt (s). A -3)
Из A.1) следует, что это соотношение справедливо при значениях /,
равных чередующимся целым числам, т. е. четным числам в случае
знака плюс и нечетным в случае знака минус. Видно также, что обе
его части являются аналитическими функциями переменной /, кото-
которые могут иметь только изолированные сингулярности и удовлетворя-

ПРИРОДА СИНГУЛЯРНОСТЕЙ В ./-ПЛОСКОСТИ 157
ют условиям ограниченности, требуемым теоремой Карлсона. Из этой
теоремы следует, что A.3) справедливо при всех значениях /, на
которые можно продолжить функцию.
Ясно, что подобное обобщение условия унитарности аналогичным
способом можно получить и для задач, включающих несколько свя-
связанных каналов, а также для частиц с ненулевым спином. Во всех
случаях соответствующее условие унитарности, записанное в виде
аналитического соотношения по /, справедливо при любых значени-
значениях этой переменной, на которые можно продолжить парциальную
амплитуду.
Из условия унитарности сразу же вытекает два важных результа-
результата. Во-первых, если в точке, где Ima = 0, вычет траектории Редже
не обращается в нуль, то она не может пересекать ось / при вещест-
вещественных s, лежащих выше порога. Например, для одноканального
случая частиц без спина это следует из A.3), так как если бы на
вещественной оси лежал полюс, то правая часть этого соотношения
имела бы двойной полюс. Поскольку непосредственно за физическим
порогом для траекторий Редже Ima>0 (это является по существу
следствием отсутствия резонансных полюсов на физическом листе
s-плоскости — см. гл. II), часто предполагается, что неравенство
Ima >- 0 выполняется при всех s, лежащих выше порога. Такое пред-
предположение оправдывается во всех рассмотренных потенциальных
моделях. .
Другим следствием условия унитарности является «факторизация»
вычетов полюсов Редже в многоканальной задаче [202, 216]. В общем
виде этот результат был доказан Шарапом и Сквайрсом [89]. Рассмот-
Рассмотрим 5-матрицу для N взаимосвязанных каналов, которые открыты
в некоторой энергетической области sN < s < sN+l. Обозначив ее через
Sjy (/, s), будем иметь следующее условие унитарности:
Sjv (J, s) Sk (/*, s) = 1, sN<s<sN+u A.4)
где знак f означает эрмитово сопряжение. Перепишем A.4) в виде
S(J) С°"' '
det S^ (J*, s)
sN<s<sN+i, A.5)
где в числителе стоит матрица, образованная из алгебраических допол-
дополнений матрицы Sjv.
Далее, неравенство Сильвестра1) утверждает, что ранг произве-
произведения двух матриц не меньше суммы их рангов минус число строк.
Применяя его к произведению Sjr и cofS^, получаем
k ^&.I], A-6)
*) См., например, Ф. Р. Г а н т м а х е р, Теория матриц, М., 1967,
стр. 78.— Прим. ред.

158 глава v
где символ г [. . .] обозначает ранг матрицы, стоящей в скобках. Если
не рассматривать возможность полного совпадения двух траекторий
Редже, то полюса у Sjy будут простыми, так что, согласно A.5), нули
у det Sn будут также простыми и S^ будет иметь ранг N — 1. Таким
образом, в полюсе A.6) дает
^l. A.7)
Исключая тривиальный случай нулевых вычетов, из A.7) и A.6)
получаем, что матрица вычетов имеет ранг 1, т- е. все ее миноры
второго порядка равны нулю:
PijPft* = PizP.7ft- A-8)
Это позволяет положить
Р^ = 7*7/. A-9)
так как вследствие инвариантности по отношению к обращению вре-
времени S-матрица должна быть симметричной.
В работе [261] показано, что в области высоких энергий главные
вклады от сингулярностей других типов в «/-плоскости также факто-
ризуются в указанном выше смысле. Тем самым экспериментальное
подтверждение теоремы о факторизации еще не будет означать, что
высокоэнергетическое поведение определяется полюсами.
§ 2. ДВИЖУЩИЕСЯ СИНГУЛЯРНОСТИ В /-ПЛОСКОСТИ
В этом параграфе выясняется, что можно сказать полезного о при-
природе сингулярностей парциальных амплитуд, которые возникают,
скажем, при J = ос (s), где траектория ос (s) отличается от константы.
Из свойств аналитических функций двух переменных следует, что
функция ос (s) аналитична по s всюду, за исключением некоторых точек,
в которых она может обладать изолированными сингулярностями.
Будем считать, что на физическом листе амплитуда рассеяния
Л (s, t) равномерно ограничена при всех s некоторой степенью пере-
переменной t, допустим
\A(s,t)\ = O(\tf"). B.1)
Это предположение необходимо для того, чтобы было справедливо
мандельстамовское представление. Из него следует, что входящий
в проекцию Грибова — Фруассара интеграл будет сходиться при
Re J > Jм, и поэтому на физическом листе при всех s
. B.2)
Записывая «решение» уравнения J = a(s) в виде
s=sa(J) B.3)

ПРИРОДА СИНГУЛЯРНОСТЕЙ В J-ПЛОСКОСТИ
и двигаясь вдоль решения, соответствующего физическому листу, от
значения J с Re J <; Jм к значению J с Re J > /^, получаем, что-
вследствие B.2) оно покидает физический лист, т. е. должно про-
проходить через один из разрезов по s.
Положение этих разрезов по s и их происхождение проанализи-
проанализированы в гл. II, § 4 и 11. Напомним, в частности, что скачки на левом
разрезе задаются конечными интегралами от функций, аналитических
по J (за исключением тех точек, где они имеют неподвижные сингу-
сингулярности). Отсюда следует, что сингулярности не могут покидать
физический лист переменной s, переходя через левые разрезы (мы не
рассматриваем одно возможное исключение из этого правила, кото-
которое может существовать в том случае, если имеется точка ветвления,
в процессе движения изменяющая свой характер и перестающая
быть точкой ветвления как раз там, где она переходит через левый
разрез).
На том участке правого разреза, где справедлива упругая унитар-
унитарность, можно воспользоваться соотношением A.3) для установления
связи между значениями амплитуды на нижнем и верхнем берегах
разреза. При этом нетрудно показать, что сингулярность может поки-
покинуть физический лист только при условии, что она является полюсом.
В противном случае из соотношения A.3) вытекало бы, что любая
сингулярность, лежащая на втором листе, должна существовать и на
первом листе. Таким образом, получен чрезвычайно полезный резуль-
результат: в той области, где при всех значениях энергии справедлива упру-
упругая унитарность, единственными движущимися сингулярностями
в /-плоскости являются полюса. Такая ситуация имеет место, напри-
например, в потенциальном рассеянии.
Очевидно, этот результат можно распространить и на тот случай,
когда некоторое конечное число двухчастичных каналов связано»
между собой (конечно, при условии, что в каждом канале амплитуда
равномерно ограничена некоторым полиномом). При этом, однако,
не удается доказать невозможность такого движения точек ветвле-
ветвления, при котором они пересекают правый разрез в областях, где
имеет место неупругая унитарность, включающая трехчастичные (или
более высокие) промежуточные состояния. Наоборот, были построены
определенные модели потенциального рассеяния с трехчастичными
состояниями, в которых такие точки ветвления как раз появляются
(см. работу Драммонда [157], где можно найти дальнейшие ссылки).
Кроме того, как мы увидим ниже, можно показать, что они возникают
и в релятивистских процессах рассеяния.
§ 3. РАЗРЕЗЫ В КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ УГЛОВОГО МОМЕНТА
Ввиду простоты вкладов от полюсов Редже в амплитуду при высо-
высоких энергиях по сравнению с вкладами от разрезов (см. гл. II, § 9),
а также вследствие того, что большинство простых моделей не при-

160
ГЛАВА V
водит ни к каким разрезам, естественно было надеяться, что разрезы
отсутствуют, хотя бы в физически интересных областях /-плоскости.
При феноменологическом анализе обычно используются только полю-
полюса (некоторые случаи, в которых принимались во внимание и разрезы,
рассматриваются в гл. VIII, § 6, 7), и до сих пор не существует сколь-
сколько-нибудь убедительных экспериментальных данных, подтверждаю-
подтверждающих существование разрезов. Однако, как показал Мандельстам [294],
на самом деле разрезы должны присутствовать, появляясь и в физи-
физически интересных областях, по причинам, рассматриваемым в послед-
последнем параграфе данной главы. Здесь мы рассмотрим разрезы, возни-
^ кающие в определенном приближении
и являющиеся по существу ложны-
ложными, так как они полностью компенси-
компенсируются другими вкладами в точное вы-
выражение для амплитуды. Анализ этих
ложных разрезов оправдывается тем,
что их положение на /-плоскости
тождественно положению истинных
разрезов, и, кроме того, они появляют-
появляются в некоторых проблемах, возникаю-
возникающих в приближенных динамических
расчетах (например, гл. VI, § 7).
Рассмотрим условие унитарности
в t-канале для полной амплитуды
A (s, t), оставив в нем только вклад
от двухчастичного промежуточного
состояния (фиг. V.1). Мы вычислим
вклад от такой диаграммы в двойную
спектральную функцию, воспользовавшись унитарностью в ^-канале.
Этот расчет аналогичен вычислениям, проводившимся в гл. I, § 12,
за исключением того, что теперь s- и ^-каналы поменялись ролями.
В результате получим
U
л»)
•фиг. V.I. Диаграмма условия
"унитарности, приводящая к раз-
разрезам Амати — Фубини — Стан-
геллини.
f
K1/2 (s, Si, H, t)
C.1)
тде для упрощения записи оставлен только вклад от скачка по s.
Для амплитуд ЛA) и ЛB) предполагается реджевское полюсное
поведение, поэтому оио должно быть справедливо также для скачков
Dl^ и Z?s2\ т. е. при больших t
DpfaQ-TisOfM. C.2)
Тогда при больших t имеем
t)
(s,

ПРИРОДА СИНГУЛЯРНОСТЕЙ В ./-ПЛОСКОСТИ 161
Из C.3) видно, что при больших t поведение функции р^упр (s, t)
соответствует непрерывной суперпозиции полюсов Редже, т. е. раз-
разрезу. Положение правосторонней точки ветвления ac(s) определяется
формулой
ас (s) = max [at (st) + a2 (s2) — 1 ] C.4)
при условии, что 2ssx + 2ss2 -f- 2sts2 — s2 — s\ — si!> 0.
Принимая, что при s-<0 выполняется неравенство daj(s)/ds>0
(см. гл. Ill, § 1), сразу же получаем определенные ограничения
на функцию ac(s). При s<0 имеем
ac(s)>a1(s) + a2@)—1, C.5а)
ac(s)>a1@)-f a2(s)—1. C.56)
Кроме того»
ac@) = ai@)H-a2@)-l. C.6)
Далее, если положить At = Аг и воспользоваться для at —a2 = a.
линейной аппроксимацией, а именно
a (s) = a @)+ sa'@), C.7)
где
o'@)>0, C.8)
то получим
(|)l. C.9)
Из C.6) видно, что если только одна из траекторий принимает
значение J = \ при s = 0 (вследствие существования границы Фруас-
сара она не может иметь здесь более высокое значение — см. гл. II,
§ 7), то при этом s разрез будет начинаться в той точке, в которой
лежит другой полюс. Далее, согласно C.9), разрезы имеют тенден-
тенденцию к менее крутому наклону, чем полюса. Это позволяет предполо-
предположить, что в сечениях при высоких энергиях их вклад при больших
углах будет, по-видимому, более существенным, чем вблизи направ-
направления вперед.
Описанное выше поведение итерации двухчастичного условия
унитарности было замечено многими авторами. Оно приводит к опре-
определенным трудностям, например при использовании в динамических
расчетах диаграмм с одночастичным обменом, в особенности если
промежуточная частица имеет единичный или более высокий спин
(см. гл. VI, § 7). На возникновение кажущихся разрезов в /-плоскости
при такого рода итерации впервые указали Амати, Фубини и Стан-
геллини [19].
Совершенно ясно, что аргументы, которые привели нас к существо-
существованию разрезов в плоскости углового момента, являются скорее всего
неверными, так как они основываются на использовании двухчастич-
двухчастичного условия унитарности в ^-канале в области больших t. Действи-
11—650

162
ГЛАВА V
V/
тельно, Мандельстаму [293] удалось доказать, что эти разрезы сокра-
сокращаются с аналогичными членами, возникающими от многочастичных
промежуточных состояний. Подробности весьма сложного доказатель-
доказательства можно найти в оригинальной работе [293], а также в гл. VII;
здесь же мы отметим лишь один суще-
существенный для дальнейшего пункт это-
этого доказательства. Рассмотрим фейн-
мановскую диаграмму, показанную на
фиг. V.2. При больших t и фиксиро-
фиксированных значениях других инвариантов
эта диаграмма ведет себя как t~x (об-
(общий анализ высокоэнергетического
поведения фейнмановских диаграмм
дан в гл. VII). Этот результат не зави-
зависит от числа «перекладин» лестницы
и остается справедливым даже в том
случае, если суммирование лестни-
лестницы дает связанное состояние или
полюс Редже, т. е. вычет в полюсе
Фиг. V.2. Фейнмановская диаг-
диаграмма, ведущая себя как t~l.
в2-плоскости при больших t также ведет себя как t~x. Соединим теперь
диаграмму фиг. V.2 с аналогичной диаграммой, используя трехчастич-
ную унитарность в s-канале; в результате мы получим диаграмму
фиг. V.3. Расписывая интеграл условия унитарности, получаем, что
SI A-
1Г
/ч
—— Я
п
Фиг. V.3. Фейнмановская диаграмма,
которая ведет себя как t'1, хотя ее
двухчастичный скачок в f-канале обла-
обладает поведением типа f"^a~
Фиг. V.4. Фейнманов-
Фейнмановская диаграмма с тре-
третьей двойной спектраль-
спектральной функцией, ведущая
себя как t~l.
при больших t эта диаграмма также ведет себя как i~x. Следовательно,
она не имеет движущихся сингулярностей в /-плоскости. Однако
из предыдущего анализа следует, что вклад в фиг. V.3 от двухчастич-
двухчастичного условия унитарности в /-канале (которому соответствует сечение
диаграммы вдоль линии АВ) ведет себя как /<Н-а(«)—if Где а — спин
частицы, соответствующей фиг. V.3, a s2 — максимальное значение
переменной s2 в интеграле условия унитарности для ^-канала, причем
принимается, что в результате суммирования лестницы возникает
траектория Редже a (s2). Этот результат показывает, что в условии

ПРИРОДА СИНГУЛЯРНОСТЕЙ В ./-ПЛОСКОСТИ J63
унитарности для /-канала двухчастичный интеграл должен компен-
компенсироваться определенными вкладами от многочастичных состояний.
Отметим, что здесь рассматривается случай, который несколько про-
проще обсуждавшегося выше (фиг. V.1), так как мы считаем, что А%, опре-
определяется обменом элементарной частицей, а не вкладом полюса Редже,
как в формуле C.2). Однако изложенное доказательство в той же
степени применимо и к фиг. V.I.
Оказывается, что зависимостью типа t~y при больших t обладает
не только диаграмма фиг. V.2, но и более сложные диаграммы, одна
I I I 1П\
Фиг. V.5. Фейнмановская диаграмма, которая приводит к мандельстамовским
разрезам.
из которых изображена на фиг. V.4. Однако при объединении двух
таких диаграмм в одну посредством унитарности для s-канала
(фиг. V.5) асимптотическое поведение типа t*1 нарушается, причем
имеются достаточно веские основания считать, что такие диаграммы
приводят к разрезам в /-плоскости [294]. Как упоминалось выше, эти
разрезы начинаются там же, где и разрезы, связанные с вкладами
в диаграмму фиг. V.3 от двухчастичного условия унитарности для
/-канала. Отметим, что решающим отличием диаграммы фиг. V.5 от
диаграммы фиг. V.3 является то, что она дает вклады во все три спек-
спектральные функции.
В § 6 мы укажем причины, которые позволяют считать, что такие
разрезы действительно существуют.
§ 4. НЕПОДВИЖНЫЕ ПОЛЮСА В ./-ПЛОСКОСТИ
В этом параграфе мы попытаемся выяснить, при каких условиях
из парциальной амплитуды можно исключить возможные неподвиж-
неподвижные полюса в /-плоскости. Рассмотрим сначала случай частиц с нуле-
нулевым спином, когда в некоторой области переменной s выполняется
условие упругой унитарности, и примем, что разрезов нет. Восполь-
Воспользовавшись вещественной аналитичностью функции В (I, s), положим
B±(l*,s + iB)* = B±(l,s—i&), D.1)
где s вещественно, причем из соображений удобства Bt (s) записывает-
записывается как В (I, s). Подставляя это равенство в A.3), получаем
Я* (/, s + «в) — В± (/, s — »в) —
]' P (s) B±(l,s- re) B± (/, s+ia) D.2)
11*

164 ГЛАВА V
при s0 <C s <C Sj. Из этого соотношения сразу же следует, что В (/, s)
не может иметь в /-плоскости ни одного неподвижного полюса, так
как иначе возникал бы двойной полюс в правой части равенства при
всего лишь простом полюсе в его левой части.
Рассмотрим теперь случай, когда одноканальная упругая область
отсутствует, а при s0 << s < S/ открыто конечное число (л) двухчастич-
двухчастичных каналов с нулевым спином. Тогда D.2) заменяется матричным
соотношением (см. гл. II; более подробно формализм для много-
многоканальных задач обсуждается в гл. VI)
В±(/, s + ie) —B±(/, s —ie) = 2iB±(/, s + ie)piB±(/, s — ie), D.3)
где В — квадратная матрица порядка л, элемент Ви которой пред-
представляет собой амплитуду рассеяния из канала i в канал /, а рг —
диагональная матрица, содержащая необходимые фазовые объемы.
Предположим, что В± имеет неподвижный полюс при некотором
постоянном значении / = а с вычетом р (s). Тогда из D.3) следует
равенство
0(s + ie)P(s—fe) = O, D.4)
но при л >- 2 отсюда нельзя заключить, что Р = 0. Таким образом,
в этом случае просто исключить неподвижные полюса не удается.
Однако даже в многоканальной задаче неподвижные полюса не
могут лежать на вещественной оси /. В этом легко убедиться, обраща-
обращаясь непосредственно к условию унитарности, записанному в виде
B±(l, s)-B±(/*, s)t = 2iB±(/*, sfpt&V, s), D.5)
где f обозначает эрмитово сопряжение. Если существует полюс при
вещественном значении 1 = а, то для его вычета это соотноше-
соотношение дает
p(s)pf(s) = O, D.6)
откуда уже можно сделать вывод
P(s)=O. D.7)
В той области /-плоскости, где имеются разрезы, все предыдущие
рассуждения теряют силу. Такие разрезы можно разделить на два
класса. К первому из них относятся неподвижные разрезы в /-пло-
/-плоскости, которые возникают в случае частиц со спином (см. гл. IV,
§ 4). Они идут вдоль вещественной оси / от / = —ат до / = от — 1,
где ат — максимальный полный спин в каком-либо из взаимосвя-
взаимосвязанных каналов. В этом случае вместо D.6) имеем
p1(s)p|(s) = O, D.8)
где индексы 1 и 2 введены для того, чтобы различать, подходим ли мы
к вещественной оси / сверху или снизу. Отсюда мы уже не можем
получить тождество Р = 0, поэтому в области, где имеются разрезы,

ПРИРОДА СИНГУЛЯРНОСТЕЙ В /-ПЛОСКОСТИ 165
мы не можем исключить существования неподвижных полюсов даже
на вещественной оси /.
Хотя формальное доказательство отсутствия неподвижных полюсов
в рассмотренных случаях становится непригодным, все же нет ника-
никаких оснований считать, что они действительно существуют. Крайне
маловероятно, чтобы амплитуды рассеяния на самом деле имели
неподвижные полюса в /-плоскости — как на вещественной оси /,
где они связаны с неподвижными разрезами, так и при Im / Ф 0.
Перейдем теперь к последней причине, благодаря которой возможно
появление неподвижных полюсов, а именно к движущимся точкам
ветвления в /-плоскости. Оказывается, что в данном случае действи-
действительно имеются неподвижные полюса, связанные с движущимися
точками ветвления. В возможности существования такого полюса
в некоторой точке J==J0 можно убедиться, считая, например, что
при всех s, при которых справедливо условие унитарности, разрез
проходит через / = /0. С другой стороны, можно рассматривать
такую точку ветвления в s-плоскости, так как доказательство, исполь-
использующее, например, соотношение D.2), неприменимо, если при опре-
определенном значении / движущийся разрез полностью перекрывает
разрез, обусловленный упругой унитарностью. Причины, по которым
в некоторых случаях действительно может иметь место подобная
ситуация, рассматриваются ниже.
§ 5. СИНГУЛЯРНОСТИ В ИНТЕГРАЛЕ ГРИБОВА — ФРУАССАРА
И СВЕРХСХОДЯЩИЕСЯ СООТНОШЕНИЯ
Согласно (В1,3.3.3), вблизи значений /, равных отрицательным
целым числам, справедливо равенство
яР<2) <5Л>
т. е. функция Qi (z) имеет в /-плоскости полюса, расположенные при
/ = —1, —2, —3 и т. д. и имеющие полиномиальные вычеты. Таким
образом, если интеграл Грибова — Фруассара (II.3.6), определяю-
определяющий парциальную амплитуду A (I, s) в случае рассеяния двух бес-
бесспиновых частиц, существует вплоть до Re / = —1, то В (/, s) име-
имеет неподвижный полюс при / = —1. Единственное исключение,
к которому мы еще вернемся, связано с тем, что вычет в этом полюсе
может обращаться в нуль.
С другой стороны, в предыдущем параграфе мы установили, что
если в /-плоскости нет разрезов, то неподвижный полюс при / = —1
существовать не может. Отсюда мы делаем вывод, что где-то справа
от линии Re / = —1 интеграл должен расходиться при всех s, т. е. дол-
должен существовать по крайней мере один полюс Редже в области Re / >
> —1 при всех значениях s. Этот результат хорошо известен в теории
потенциального рассеяния (см., например, [315, 368]), где показано,

166 ГЛАВА V
что если потенциал ведет себя в начале координат как 1/г, то при
стремлении энергии к бесконечности главная траектория Редже стре-
стремится к —1, оставаясь все время в области Re / >- —1.
Если вычет в полюсе при / = —1 обращается в нуль, то приведен-
приведенные выше рассуждения становятся неприменимыми. В теории потен-
потенциального рассеяния это происходит, когда в потенциале коэффициент
члена 1/г равен нулю и потенциал ведет себя в начале координат как
г°; в этом случае при s -*- оо главная траектория Редже удовлетворяет
условию a (s) -*- —2. Общее условие, при выполнении которого вычет
обращается в нуль, можно получить из E.1) и (II.3.6); оно имеет вид
Dt(s,t)dzs = O. E.2)
'о
Соотношение такого типа носит название «сверхсходящегося» соот-
соотношения. Оно должно выполняться для всех s из области сходимости
интеграла.
Весьма поучителен другой вывод соотношения E.2). Предположим,
что при значениях s, лежащих в некоторой области, сингулярности
при Re / >- —1 отсутствуют. Тогда амплитуда A (s, t) удовлетворя-
удовлетворяет условию
с некоторым положительным е. Запишем теперь для A (s, t) диспер-
дисперсионное соотношение по t. Благодаря E.3) вычитаний не требуется,
поэтому имеем [ср. A.10.5)]
'о "о
Но асимптотика E.3) должна быть справедливой также для Dt и Z)u;
поэтому при больших t получаем
ОО ОО
A (s, 0 -> —j [-±. j D, (s, Г) Л' —L f ?)„ (s, ы') du'] ->
оо
1 1— 1 I* -*
E.5)
если член, стоящий в квадратных скобках, не равен тождественно
нулю. Сравнивая E.3) и E.5), мы видим, что именно этот последний
случай и реализуется, и таким образом мы получаем
JD7(s, t')dtf=O, E.6)
'о
т. е. соотношение E.2) для амплитуды с отрицательной сигнатурой.

ПРИРОДА СИНГУЛЯРНОСТЕЙ В /-ПЛОСКОСТИ 167
Причина, по которой первый вывод дает некоторую дополнитель-
дополнительную информацию, а именно сверхсходящееся соотношение для обеих
сигнатур, а не только для отрицательной сигнатуры, заключается
в том, что при этом выводе используется условие унитарности, кото-
которое исключает возможность существования неподвижных полюсов.
Если снять это условие (которое, как мы видели, не обязательно
выполняется при наличии движущихся разрезов), то на выводе соотно-
соотношения E.6) из E.3) это не скажется. Однако при этом мы не получим
соотношения E.2) для амплитуды с положительной сигнатурой, так
как неподвижный полюс при / = —1 у амплитуды с положительной
сигнатурой не дает вклада в полную амплитуду. Это связано с тем,
что для интеграла по / с «неправильной» сигнатурой сигнатурный
множитель равен нулю [под «неправильной» понимается положитель-
положительная (отрицательная) сигнатура для нечетных (четных) значений / или
соответствующее обобщение этого определения на случай частиц
со спином].
Можно, конечно, пойти дальше и снять «барьер» при Re / = —2,
потребовав, чтобы при интегрировании в формуле Грибова — Фруасса-
ра полюс при / = —2, возникающий благодаря функции Qt, имел
нулевой вычет. Вообще ясно, что если выполняется условие
при целом положительном N и произвольном положительном е, то
nD±(s,t)dt = O, E.8)
где л = 0, 1, . . . , N — 1,^,а знак должен соответствовать «правиль-
«правильной» сигнатуре (положительный для четных п и отрицательный для
нечетных л). Если имеются разрезы, то соотношения E.8) с «непра-
«неправильной» сигнатурой могут нарушаться.
Хотя в принципе возможно, что выполнение сверхсходящихся
соотношений E.8) является всего лишь делом случая, Мандельстам
[297] высказал предположение, что в действительности они могут
удовлетворяться при всех значениях N. Обоснования (эксперимен-
(экспериментальные и теоретические) этой гипотезы рассматриваются в гл. VIII,
а здесь мы обратимся к случаю частиц со спином, где удается строго
доказать применимость некоторых сверхсходящихся соотношений.
Начнем анализ с аналога второго из методов, рассмотренных выше.
Воспользуемся тем, что величина
<mv>/2E
удовлетворяет дисперсионному соотношению (IV.3.2) с фиксирован-
фиксированным s. Таким образом, при больших t в отсутствие каких-либо сверх-

168 ' ГЛАВА V
сходящихся соотношений
t*>~1. E.10)
Но теперь из существования границы Фруассара (гл. II, § 7) следует,
что если Я>2, то должны иметь место некоторые сверхсходящиеся
соотношения. В более общем случае, если при больших 11 | посту-
постулируется реджевское поведение
| A (s, t) | ЯД2) ~ ta(s\ E.11)
где a (s) — главная траектория Редже s-канала, то во всей области,
в которой при любом s выполняется неравенство
Я— l>a(s), E.12)
будет справедливо сверхсходящееся соотношение. На практике поведе-
поведение a (s) обычно устанавливается путем использования информации
об известных частицах и связанных с ними траекториях (см. гл. VIII).
Вид сверхсходящихся соотношений для частиц со спином очень
близок к виду соотношений, записанных выше для случая частиц
с нулевым спином, а именно
^tnD?t(s,t)dt = Q, E.13)
to
где п равно нулю или любому целому числу, меньшему к — 1 — a (s).
Знак плюс или минус выбирается в зависимости от того, нечетно
или четно п.
Другой вывод соотношения E.13), использующий проекцию Грибо-
Грибова — Фруассара, требует некоторой осторожности. Отметим прежде
всего, что если это соотношение можно продолжить до необходимого
значения J, то в отсутствие сверхсходящегося соотношения полубес-
полубессмысленная амплитуда будет вести себя как (J — Jq)~1/2, а бессмыс-
бессмысленная — как (J — /о)- Но корневые сингулярности в полубес-
полубессмысленных точках на самом деле в точности компенсируются соот-
соответствующими множителями функции dju,-, и поэтому в подынтеграль-
подынтегральном выражении (IV.5.1) сингулярностей нет. Однако, как указывалось
в гл. IV, § 5, в полубессмысленных точках (J = Jo) амплитуды дол-
должны иметь нуда, так как в противном случае они будут содержать
степени tJ* с постоянным показателем. Для амплитуды с неправиль-
неправильной сигнатурой существование такого нуля обеспечивается сигнатур-
сигнатурным множителем, но для амплитуд с правильной сигнатурой снова
требуется сверхсходящееся соотношение.
Мы закончим этот параграф следующим замечанием. Сверхсходя-
Сверхсходящиеся соотношения, справедливые для определенных амплитуд рас-
рассеяния частиц со спином, вряд ли будут выполняться для некоторых
их приближенных «выражений». Ситуация здесь полностью аналогич-

ПРИРОДА СИНГУЛЯРНОСТЕЙ В ./-ПЛОСКОСТИ 169-
на той, которая встретилась нам в § 3 при обсуждении компенсации
разрезов. Рассмотрим, например, диаграмму, изображенную на.
фиг. V.2. Как указано в § 3, при больших t она ведет себя как t'1.
Если предположить, что в лестнице имеется связанное состояние,,
и продолжить амплитуду как функцию s2 до соответствующего ему
полюса, то вычет, который является амплитудой рассеяния для этой
частицы, будет стремиться по-прежнему к нулю при | t \ -*¦ оо, при-
причем по закону t'1 (или еще быстрее). С другой стороны, если записать
дисперсионное соотношение по t и ограничиться в условии унитар-
унитарности для ^-канала только вкладом от одной частицы, то обычные-
фейнмановские правила дадут поведение типа t0 (см. гл. VII), где
а — спин связанного состояния (здесь принимается, что все линии,
диаграммы соответствуют частицам с нулевым спином). Такое поведе-
поведение компенсируется вкладами от многочастичных промежуточных
состояний.
§ 6. СИНГУЛЯРНОСТИ ГРИБОВА — ПОМЕРАНЧУКА
Обратимся теперь к одному явлению, которое тесно связано с содер-
содержанием предыдущего параграфа, а именно к сингулярностям Гри-
Грибова — Померанчука [217]. Здесь мы также рассмотрим сначала
простой случай бесспиновых частиц с равными массами. Скачок
продолженной парциальной амплитуды на левом разрезе дается
выражением (П. 11.9), причем, как уже отмечалось выше, входящие
в это выражение интегралы сходятся при всех значениях I. Отсюда
следует, что сингулярности скачка Im {В (I, s)}Jip в /-плоскости,
совпадают с сингулярностями подынтегрального выражения, т. е.
с сингулярностями Qi (так как при всех конечных I функция Рг голо-
голоморфна по /). Согласно E.1), это означает, что единственными сингу-
сингулярностями являются полюса при целых отрицательных значениях
переменной I. Сигнатурный множитель, имеющийся в (II. 11.9),
уничтожает эти полюса в амплитудах с правильной сигнатурой, так
что они будут появляться только при целых отрицательных /, соот-
соответствующих неправильной сигнатуре. Далее, в противоположность
ситуации, которая имела место в § 5, в данном случае вычеты в этих
полюсах для некоторой области значений s можно точно вычислить.
Это является следствием того факта, что при вычислении вычета
интеграл от третьей двойной спектральной функции р<и берется вдоль
контура, на котором s постоянно. При подходящем выборе значения &
интеграл можно выразить через ту часть упругой двойной спектраль-
спектральной функции, для которой известно точное выражение (см. гл. I, § 12).
В частности, в этой области ptu не меняет своего знака, и поэтому
вычет в, полюсе при / — —1 отличен от нуля. Аналогично можно-
убедиться, что и другие вычеты в общем случае не равны нулю.
В этом пункте мы сталкиваемся со следующей трудностью: скачок
Im {В* (s)}n.p среди прочих сингулярностей имеет неподвижный

170 ГЛАВА V
полюс при / = —1, но если в /-плоскости нет разрезов, то функция
Bf (s) такой полюс содержать не может. Таким образом, существуют
две возможности:
1) в /-плоскости имеются разрезы;
2) функция В* (s) содержит сингулярность некоторого сложного
типа, не нарушающую условия унитарности и такую, что скачок
на левом разрезе имеет необходимый полюс.
Природа сингулярности, которая требуется во втором случае,
исследовалась в работах [369, 27]. Эта сингулярность представляет
¦собой точку ветвления в /-плоскости, которая меняет свой характер
•с изменением s, т. е. имеет вид (/ + 1)F<S>. Все подробности читатели
могут найти в цитированных работах. (Отметим, что такая сингуляр-
сингулярность относится обычно к «существенно» особым точкам, но обладая
всеми их плохими качествами, она по существу является все же точ-
точкой ветвления, так что, строго говоря, эта терминология к ней непри-
неприменима; см. например, [388].) Дальше подобными точками мы занимать-
заниматься не будем, так как оказалось, что реализуется первая возможность.
Чтобы убедиться в этом, следует обобщить приведенное выше
¦обсуждение на случай частиц со спином. Как и в предыдущем пара-
параграфе, неподвижные сингулярности Im {В (J, s)},n.p расположены
теперь при значениях J = ат — п, где ат — большее из чисел at +
+ a2 и a3 + a4. В некоторых случаях эти сингулярности могут быть
корневыми, т. е. могут иметь вид (J — Jo)~1/z, а не (У — Л), но это
не меняет рассуждений, так что для простоты мы по-прежнему будем
называть их полюсами. Они будут появляться также только в амплиту-
амплитудах с неправильной сигнатурой. Хотя для общего случая произвольно-
произвольного спина не существует основанного на условии унитарности доказа-
доказательства равенства нулю вычетов в этих полюсах, но вероятнее всего
это действительно так, что и было явно показано Шарапом [88] для
¦случая рассеяния двух спинорных частиц.
Если теперь принять, что разрезы в ./-плоскости отсутствуют,
т. е. принять вторую из указанных выше возможностей, то наличие
этих сингулярностей будет приводить к асимптотическому поведению
типа Ьат~1. Это поведение несовместимо с границей Фруассара, если
ат > 1, неприемлемо, по-видимому, при ат = 1 и заведомо не согла-
согласуется с достижениями реджевской феноменологии в остальных слу-
случаях. Отметим, что сингулярность такого типа не компенсируется
нулем сигнатурного множителя. Подобное противоречие с существо-
существованием границы Фруассара впервые было замечено в работе Ази-
Азимова [30].
Таким образом, остается лишь одно из возможных решений про-
проблемы, а именно, что в плоскости углового момента существуют раз-
разрезы. Они должны быть такими, чтобы снимался запрет на появление
у амплитуд с неправильной сигнатурой неподвижных полюсов при
J = ат — 1, ат — 2 и т. д. Поскольку благодаря сигнатурному

ПРИРОДА СИНГУЛЯРНОСТЕЙ В ./-ПЛОСКОСТИ 171
множителю неподвижный полюс при значении J, соответствующем
неправильной сигнатуре, не дает вклада в асимптотическое поведение
полной амплитуды при высоких энергиях, никакого противоречия
с существованием границы Фруассара здесь не возникает.
Как мы знаем из гл. IV, § 5, присутствие неподвижных полюсов
приводит к тому, что полубессмысленная связь для амплитуд с непра-
неправильной сигнатурой не обязательно обращается в нуль. Следовательно,
при прохождении данной траектории через значение J, отвечающее
неправильной сигнатуре, она не обязательно осуществляет «выбор»
между «физическим» и «бессмысленным» состояниями.
В заключение отметим, что приведенное доказательство существо-
существования разрезов является убедительным лишь в том случае, если
справедливы постулаты об аналитичности. Другими словами, было
показано, что если в ./-плоскости нет разрезов, то эти постулаты
внутренне противоречивы. Азимов [30] рассматривал это обстоятель-
обстоятельство как доказательство того, что некоторые из исходных постулатов
(в частности, предположение о равномерной степенной ограниченности
амплитуды) являются неверными. Однако, как мы видели в § 3 данной
главы, вполне возможно, что существуют необходимые разрезы; поэто-
поэтому придерживаться столь пессимистической точки зрения не обяза-
обязательно. Мандельстам [294] установил, что аргументы, запрещающие
появление разрезов типа рассмотренных в § 3, становятся непри-
неприменимыми, когда рассматриваются более сложные диаграммы.
Он доказал, что сингулярность Грибова — Померанчука, возникаю-
возникающую для определенного набора диаграмм, можно устранить, переходя
на другой лист комплексной У-плоскости, т. е. доказал, что по крайней
мере для этого класса диаграмм должен существовать разрез. В гл. VII,
где исследуются различные классы фейнмановских диаграмм, приве-
приведены дополнительные аргументы, подтверждающие существование
разрезов. Поэтому вполне разумно предположить, что трудность,
отмеченная Азимовым, снимается существованием разрезов, которые
тем самым следует учитывать при феноменологическом анализе экспе-
экспериментальных данных. К этим вопросам мы вернемся в гл. VIII.
Дальнейшие подробности, касающиеся связи между сингулярно-
стями Грибова — Померанчука и разрезами в ./-плоскости, а также
природы сингулярностей на других листах ./-плоскости, можно найти
в работах [254, 299], к которым мы и отсылаем читателя.

Глава VI
ЗАШНУРОВКА
§ 1. ГИПОТЕЗА ЗАШНУРОВКИ
Если заданы полюса амплитуды, соответствующие связанным
состояниям и резонансам, и их константы связи, то, используя макси-
максимальную аналитичность первой степени, которая рассматривалась
в гл. I, с помощью условия унитарности можно найти все остальные
сингулярности. В частности, для связной четыреххвостки можно
определить двойные спектральные функции. Однако никаких видимых
ограничений на число и характер полюсов не имеется, хотя по анало-
аналогии с потенциальным рассеянием представляется вполне правдоподоб-
правдоподобным, что существование некоторых частиц, например нейтрона
и протона, с необходимостью приводит к другим полюсам, типа дей-
тронного, являющимся связанными ..или резонансными состояниями
исходных частиц. Такая неоднозначность проявляется в виде неопре-
неопределенных вычитаний в мандельстамовском представлении, которое
рассматривалось в гл. I, §11.
Определенные возможности для разрешения этой трудности откры-
открывает гипотеза о максимальной аналитичности второй степени, введен-
введенная в гл. II. Она требует, чтобы амплитуда при низших значениях
углового момента, при которых могут возникать неоднозначные
вычитания (как было показано, благодаря существованию границы
Фруассара это может происходить только в S- и /'-волнах), получалась
в результате аналитического продолжения по I высших парциальных
волн. Поскольку высшие парциальные волны полностью определяются
двойными спектральными функциями, это означает, что ими опреде-
определяются и все парциальные волны.
Таким образом, согласно максимальной аналитичности первой
степени, задание полюсов полностью определяет двойные спектраль-
спектральные функции, а максимальная аналитичность второй степени утверж-
утверждает, что по известным двойным спектральным функциям можно пол-
полностью определить все полюса. Совершенно ясно, что здесь имеется
чрезвычайно сильное условие самосогласованности. Действительно,
если в амплитуду добавить некоторый произвольный полюс, то через
максимальную аналитичность первой степени он породит целую сово-
совокупность новых сингулярностей, т. е. новых вкладов в двойные
спектральные функции. Благодаря максимальной аналитичности вто-
второй степени вероятнее всего эти вклады приведут к существованию
еще одной совокупности полюсов, которые в свою очередь будут давать

ЗАШНУРОВКА 173
новые вклады в двойные спектральные функции, и так далее до бес-
бесконечности. Этот процесс никогда не прекратится, если на каком-то
этапе не будет достигнута самосогласованность и в амплитуду не будет
входить истинный набор полюсов, приводящий к существованию этих
и только этих полюсов.
Теперь возникает вопрос, какой набор (или какие наборы) частиц
может удовлетворять этому условию самосогласованности. Если
в реальном мире сильно взаимодействующих частиц справедлива
максимальная аналитичность первой и второй степени, то ясно, что
все уже открытые частицы должны принадлежать этому набору.
Вероятнее всего он содержит бесконечное число частиц, хотя многие
из них столь нестабильны, что обнаружить их невозможно. Но суще-
существуют ли другие наборы гипотетических частиц, которые удовлетво-
удовлетворяли бы нашим постулатам? Наложенные ограничения являются столь
жесткими, что такая возможность представляется невероятной, хотя
в настоящее время нет никаких принципов, которые позволили бы
исключить ее со всей строгостью. Таким образом, мы приходим
к предположению (см., например, работу Чью [98]), которое состав-
составляет содержание гипотезы «зашнуровки».
Гипотеза зашнуровки. Единственным набором частиц (полю-
(полюсов), который согласуется с принципами максимальной анали-
аналитичности первой и второй степени, является реально существую-
существующий набор сильно взаимодействующих частиц, обнаруженных
в природе.
Происхождение термина «зашнуровка» связано, конечно, с обще-
общеизвестной истиной, согласно которой невозможно «вытащить себя за
шнурки собственных ботинок»,— истиной, которая представляет собой
одно из проявлений требования самосогласованности. В своей перво-
первоначальной форме идея состояла в том, что в некоторой амплитуде
может оказаться приближенно самосогласованной одна частица,
которая будет тем самым зашнуровывать сама себя (например, р-мезон
в я— я-рассеянии). Но если говорить строго, то в глобальную про-
процедуру зашнуровки необходимо включать все частицы.
Следует подчеркнуть, что здесь вводится не какой-то новый посту-
постулат, а лишь некоторая гипотеза, касающаяся следствий наших шести
постулатов. К сожалению, решение соотношений унитарности требует
решения бесконечной системы зацепляющихся нелинейных сингуляр-
сингулярных интегральных уравнений, так что гипотезу в ее полной формули-
формулировке проверить невозможно. Для ее проверки следовало бы «одним
махом» решить всю проблему сильных взаимодействий в целом. Вместо
этого было предпринято множество попыток, в различной степени
увенчавшихся успехом, целью которых было доказательство, что
условию самосогласованности приближенно удовлетворяет некоторая
малая совокупность частиц, конечная система уравнений для которой
может считаться почти не связанной с остальными уравнениями
полной системы. Эти попытки носят название «зашнуровочных вычис-

174 ГЛАВА VI
лений». При таком количестве приближений ни о какой решающей
проверке гипотезы не может быть и речи. Однако на этом пути было
получено довольно большое число определенных результатов,' что
позволяет встать на оптимистическую точку зрения, согласно которой
гипотеза может оказаться правильной.
Эта глава посвящена обсуждению зашнуровочных вычислений,
основанных на использовании двух главных методов: iV/D-метода
для парциальных амплитуд и мандельстамовской итерации. Соответ-
Соответствующая литература весьма обширна, и мы отсылаем читателя к дру-
другим обзорам (например, [395, 412]), где рассматриваются вопросы,
не затронутые в этой книге.
Естественно, что при любой попытке расчета связанных или резо-
резонансных состояний на основе сил, которые, как считается, порождают
их, необходимо вводить предположение, что эти частицы являются
полюсами Редже. Однако подобных вычислений, подчеркивающих
аспекты проблемы, связанные с полюсами Редже, имеется не так уж
много. Здесь мы сконцентрируем внимание именно на таких вычисле-
вычислениях, которые выявляют важность полюсов Редже в динамике зашну-
ровки; в частности, будет рассмотрено полосное приближение.
Но прежде чем это делать, следует сказать несколько слов о взаимо-
взаимосвязи постулатов, на которых основывается наш анализ,— в частно-
частности, о соотношении между максимальной аналитичностью первой
и второй степени. Как мы видели в гл. II, § 6, предполагая, что макси-
максимальная аналитичность первой степени приводит к мандельстамов-
скому представлению, можно доказать максимальную аналитичность
второй степени всюду, где определена проекция Грибова— Фруассара,
т.е. при l>lM(s). Указывалось также, что граница Фруассара,
которую требует условие унитарности в кросс-канале, приводит
к ограничению
/m(s)<1 при s<0. A.1)
Это ограничение удается несколько продолжить в сторону положи-
положительной области s-канала, отвечающей упругим процессам [45, 342].
В действительности при некоторых разумных предположениях относи-
относительно области неупругих процессов Проспери [342] показал, что
амплитуда мероморфна (имеет только полюса) при I > 1 для всех
значении s. Кажется вполне правдоподобным, что этот результат удаст-
удастся доказать строго. Таким образом, произвольные вычитания остаются
только в S- и Р-волнах.
Однако Мартен [300] продвинулся дальше. Он показал, что, при-
привлекая кроссинг-симметрию, можно определить даже эти S- и Р-волны.
С помощью довольно длинных рассуждений он показал, что если две
амплитуды A (s, t) и A' (s, i) в области переменной s, где выполняется
упругая унитарность в s-канале, имеют одинаковые двойные спек-
спектральные функции, то они могут отличаться только вычитательными

ЗАШНУРОВКА 175
членами по /. Таким образом,
N
A (s, t) - A' (s, t) = 2 Pn (s) *я A.2)
при всех s. При s < 0 граница Фруассара приводит к тому, что
Р„ (s) = 0 для всех л > 1. Но s < 0 содержит конечную область пол-
полной области аналитичности разности A (s, f) — A' (s, t) [так как
имеется область s < 0, где ни A (s, t) ни A' (s, /) не могут иметь син-
гулярностей], поэтому функция р„ (s) должна равняться нулю всюду..
Итак,
A(s, t)-A'(s, O = Po(s) + Pi(s)^. A.3)
Аналогично, если мы имеем область, в которой справедливо условие
упругой унитарности для ^-канала, то могут существовать только
произвольные вычитания по s, и поэтому
A(s,t)-A' (s,t) = yo(t)+yi(t)s. A.4)
Сравнивая A.3) и A.4), имеем
где а, Ъ, с и d — некоторые константы. Но согласно условию унитар-
унитарности для парциальных волн s-канала
\A'O(S)\ И |Л0E) |< 1, \A'1(S)\ И 1^(8) |<1 A.6>
даже при больших s, поэтому
р0(s)<const и Pi(s)<S^L* . A.7)-
Следовательно, в A.5)
Поскольку ниже всех порогов амплитуды A (s, t) и A' (s, t) имеют
вещественную область значений, а должно быть вещественным, так
что
Im {Ло (s)} = Im {A'o (s)} при всех s, A.8)
но так как в упругой области s-канала 1ггГЛ определяет амплитуду А
[см. (II.5.7)] (возникающая при этом неопределенность в знаке рас-
рассмотрена Мартеном [300]), то
а = 0.
Другими словами, если амплитуда рассеяния имеет чисто упругие
области в обоих каналах и если известны точные выражения для двой-
двойных спектральных функций в сколь угодно малой полосе одной упру-
упругой области, то вычитания будут полностью определены и никакого
произвола в амплитуде не будет. Отсюда, конечно, не следует возмож-

176 ' ГЛАВА VI
ность аналитического продолжения амплитуды в область /^ 1, но
зато мы знаем, что парциальные волны с / = О, 1 полностью опреде-
определяются высшими парциальными волнами.
Здесь еще предстоит большая работа, но вполне возможно, что
максимальную аналитичность второй степени в конце концов удастся
вывести из максимальной аналитичности первой степени. Если это
подтвердится, то гипотеза зашнуровки будет иметь гораздо более
сильную формулировку, а именно: единственным набором частиц,
который согласуется с максимальной аналитичностью первой степени,
является реально существующий набор сильно взаимодействующих
частиц, обнаруживаемых в природе.
В следующем параграфе мы приступим к обсуждению аппарата,
применяемого для решения уравнений, возникающих при зашнуровке.
§ 2. W/D-УРАВНЕНИЯ
Af/D-уравнения, предложенные Чью и Мандельстамом [113], состав-
составляют основу метода, наиболее часто используемого при зашнуровоч-
ных вычислениях. По своей значимости они близки к уравнению Шре-
дингера нерелятивистской квантовой механики.
Рассмотрим амплитуду рассеяния двух бесспиновых частиц A (s, /),
которая обсуждалась в гл. I и II. Как мы видели в гл. II, § 11, приве-
приведенная парциальная амплитуда s-канала, определяемая форму-
формулой (I I.5.7)
может быть представлена в виде
? B-2)
Эта амплитуда имеет разрезы двух типов: правые, к которым приводит
условие унитарности в s-канале, и левые, которые возникают из-за
сингулярностей в кросс-канале. Поэтому для нее можно записать сле-
следующее дисперсионное соотношение [ср. (П.4.5)]:
* <*> =i f ^2i « +i 1 i=?M*<. B.3,
So —oo
где s0 — ближайший порог, a sL — начало левого разреза. Для про-
простоты здесь принято, что / — вещественное (но не обязательно целое)
число, так что скачок на разрезах равен просто удвоенной мнимой
части. При комплексных / в B.3) Im {5f(s)} следует заменить функ-
функцией As {Bf (s)}, т. е. скачком на соответствующих разрезах по s
(деленным на 2t). Однако из соображений удобства мы будем по-преж-

ЗАШНУРОВКА 177
нему записывать все соотношения так, словно рассматриваются только
вещественные значения /.
Предположим, что на правом разрезе при So^s^St (sj — порог
неупругого канала) для амплитуды справедлива упругая унитарность,
так что, согласно (II.5.18),
Im {Bt (s)} = pi (s) | Bt (s) |2 при s0 < s < Sj. B.4)
Основная суть принимаемого приближения заключается в пренебре-
пренебрежении всякой связью с неупругими каналами. Считая таким образом,
что sr—»oo, запишем соотношение B.3) в следующем виде:
Bt (s) = Bt (s) + -±- j -~j Pl (sr) | Bt (s') |«, B.5)
где
ifi=^2t*.. B.6)
Из соотношения B.5) видно, что
так как, согласно (II.7.4),
Bt(s)-*Bf(s), B.7)
1-+ОО
B.8)
lУОО У I Ч '
Предполагая, что скачок на левом разрезе известен, можно рас-
рассматривать B.5) как интегральное уравнение для амплитуды Bf (s)
при заданной функции В\ (s). Идея заключается в том, чтобы левый
разрез рассматривать в качестве «силы» или «потенциала», причем,
накладывая условие унитарности, мы как бы решаем задачу рассеяния
на заданном потенциале. Действительно, в случае нерелятивистского
рассеяния на юкавском потенциале ближайший, участок левого раз-
разреза будет равен просто потенциалу (т. е. первому члену борновского
приближения). Решая уравнения только с этим разрезом, мы не полу-
получим точного решения задачи, так как в более отдаленные участки лево-
левого разреза дает вклад и упругая двойная спектральная функция, кото-
которая содержит правосторонние сингулярности. Однако Люминг [286]
показал, что решение будет достаточно точным, если для левого раз-
разреза воспользоваться вторым борновским приближением; в случае
же слабой связи может оказаться пригодным и первое борновское
приближение. Аналогия между рассеянием на юкавском потенциале
и таким подходом к зашнуровочным вычислениям подробно описана
в монографиях [180, 3221, а также в лекциях Чью [103]. Решение урав-
уравнения упростится, если предварительно его линеаризовать, произведя
12—650

178 ГЛАВА VI
разбиение
где числитель Nt (s) имеет левые разрезы, а знаменатель Di (s) — пра-
правые разрезы амплитуды B*(s), т. е.
Im {Ni (s)> = Im {В? (s) Di (s)} = bt (s) D, (s), s < sb. B.10)
Здесь
6г (s) = Im {B? (s)}, s < sb, B.11)
a
Im {D, (s)} = iV, (s) Im {^rr} = - JV, (s) , p± ' \/ , s > s0,
или, согласно B.4),
Im {Di(s)}——pi(s)Ni(s), s> s0. B.12)
Отметим также, что, согласно B.1) и B.9),
Bi(s)-ffi{s)- sinfii(s) pl(Sh { *'
причем Ni (s) вещественно при s > s0; поэтому функция D/ (s) должна
иметь фазовый множитель ехр{ — ?6j(s)}. Мы хотим написать для
Ni(s) и Di(s) дисперсионные соотношения с обычной нормировкой
Ni(s)—>0 и Dtis)-*! при s->oo. B.14)
Воспользовавшись методом Винера—Хопфа (см. [387], стр. 429),
выразим функцию Dt (s) через ее фазу, Pi полюсов в точках Sn и Mi
нулей в точках sji на физическом листе:
Д -?? П ? Г
? ?& {Г .
i=i 3=1 so
B.15)
Такая форма записи гарантирует-, очевидно, что фазовый множитель
у Dt (s) равен ехр {—i8j (s)}. Мы считаем, что бг (s) -*- const, так что
в интеграле необходимо сделать одно вычитание. Если N i (s) не содер-
содержит полюсов, то все полюса амплитуды соответствуют нулям знаме-
знаменателя Dt (s) — либо связанным состояниям на физическом листе
в точках s = Sji, либо резонансам на нефизйческом листе.
При s -*- оо
D;(s) ~sM'~p'+Itfi'(oo)~fi'C|))], B.16)
но так как мы выбрали нормировку B.14), то разность фаз на пороге
и на бесконечности должна быть равна
8,(оо) —8,(во) = я(Р,—Af,). B.17)
Этот результат согласуется с теоремой Левинсона [277].

ЗАШНУРОВКА 179
Поскольку фаза определена с точностью до слагаемого, кратного л
мы вправе положить, как обычно,
6l(s0) = nMl, B.18)
где Mi — число связанных состояний, и поэтому
ОгE)~5я-1б<(~>-р< B.19)
и
61(оо)=яР1. B.20)
Учитывая, что функция Di(s) содержит полюса, входящие в B.15),
и что ее мнимая часть определяется формулой B.12), можно написать
следующее дисперсионное соотношение:
B.21)
где через ytl обозначены вычеты в полюсах. Так как в качестве у и
и Su можно взять произвольные числа, то очевидно, что функция
В\ (s) не определяет полноетью знаменатель Di(s). Эта неоднознач-
неоднозначность носит. название КДД-неоднозначности (по начальным буквам
фамилий Кастильехо, Далица и Дайсона [84]), а полюса называются
КДД-полюсами. КДД-полюса являются нулями амплитуды, и вблизи
каждого из них в точке, положение которой зависит от Ni (s), а также
от уи и s,(, лежит нуль знаменателя D? (s), соответствующий полюсу
амплитуды (частице). Таким образом, КДД-полюса вводят в парци-
парциальные амплитуды частицы с произвольными массами и с произволь-
произвольными константами связи.
Мы видели, что при достаточно больших /
B?(s)->B?(s)->0 B.22)
[см. B.8)], поэтому
6; (С») -> б,
и связанные состояния отсутствуют (Mi = 0). Тем самым из теоремы
Левинсона B.17) следует, что при достаточно больших /
Р,->0
и КДД-неоднозначность не возникает. С другой стороны, мы требуем,
чтобы выполнялась максимальная аналитичность второй ^степени,
согласно которой низшие парциальные волны можно получить
в результате аналитического продолжения высших парциальных волн.
Ниже будет приведено доказательство Мандельстама [293], согласно
которому решение iV/D-уравнений, не содержащее КДД-полюсов,
допускает подобное продолжение, и поэтому можно сделать вывод,
что в наших амплитудах КДД-полюса отсутствуют. Однако мы поль-
пользовались приближением упругой унитарности. В действительности
12*

180 ' ГЛАВА VI
упругий канал связан с другими каналами, и ситуация с теоремой
Левинсона является гораздо более сложной; в следующем параграфе
будет показано, что даже максимальная аналитичность второй степени
не запрещает появление в некоторых каналах КДД-полюсов. Однако
если бы не было этих усложнений и если бы удалось экспериментально
установить, что
то это доказывало бы, что максимальная аналитичность второй сте-
степени справедлива и все частицы являются составными. КДД-полюса
соответствуют элементарным частицам.
Принимая, что КДД-полюса отсутствуют и используя B.10) и B.12),
получаем следующие дисперсионные соотношения для Ni (s) и Dt (s):
1 Г -^-^(s')^(s'), B.23)
oo
D^s) = 1 -4- j ¦?-,Pi (s') Nt (s1). B.24)
Эту систему двух интегральных уравнений можно решить подстанов-
подстановкой одного из них в другое. Подставив уравнение B.23) для Ni (s)
в B.24) [113], получим
so
Выполняя интегрирование по s', будем иметь
Dt (s) = 1 + ± j kt (a, s") h (sT) Di (s") ds", B.26)
где
80
Функцию ki (s, s") легко вычислить при целых значениях Z, но этот
метод не приносит большой пользы при продолжении амплитуды по
угловому моменту. Удобнее следовать процедуре, предложенной
Урецким [396] и Мандельстамом [293]. Введем функцию
Cl(s) = Nl(s)-Bf- (s)D,(s), B.28)
которая не имеет левого разреза, так как
1га {В,ь (s)} = ^g?p при s < sL. B.29)

ЗАШНУРОВКА
Далее, поскольку Bf(s) не имеет правого разреза, имеем
Im{C,(s)} = — Bf (s)Im(Di(s)} при s>s0, B.30)
поэтому дисперсионное соотношение
™i^>ds' B.31)
«о
дает
= # W ft W -i f ^
eo
Подставляя сюда выражения B.24) для Di(s) и B.12) для Im {Ог (s)},
окончательно получаем
JV, (s) = Bf (s) + ¦ -1 j ^(^l5(S) p/ (s') JV, (s') ds\ B.33)
SO
Уравнение B.33) [или B.26)] является интегральным уравнением
Фредгольма (см., например, [364]), при условии, что его ядро квад-
квадратично интегрируемо, т. е. при условии, что
B.34)
s'—3
SO
\ ds'pi(s')\B?(s')\z<z oo B.35)
*o
(более полный анализ дан в работе Мандельстама [293]).
Как указывалось выше, вследствие конечности области интегри-
интегрирования в (II. 11.9) функцию Bf- (s) можно аналитически продолжить
по I всюду, кроме целых отрицательных значений этой переменной,
при которых имеются полюса. Нижняя граница по I определяется
поведением кинематического множителя рг (s) вблизи порога, где
функция Bf- (s) конечна, что приводит к условию Re / > —3/2, но
в большинстве случаев возникает более жесткое ограничение, обуслов-
обусловленное поведением Bf- (s). В частности, если Bf- (s) ~ sP—1'1, то B.35)
будет удовлетворяться только при Re I > 2р — 1. Верхняя граница
по I определяется асимптотическим поведением по s функции рг (s),
которое накладывает требование /<; 1; таким образом, необходимо,
чтобы выполнялись неравенства
max
{2p-l, -|-}<Re/<l. B.36)
Решением несингулярного интегрального уравнения является функ-
функция, мероморфная по любому заданному параметру, если только ядро
аналитично по этому параметру. Поэтому в области B.36) решение

182 ГЛАВА VI
уравнения B.33) будет мероморфной функцией по I. Эта область
является весьма узкой, но Мандельстам показал также, что если
решить аналогичные уравнения для
то мы придем к области
n + max{2p—1, — -|} <Re / +
причем различные функции Bf (s)/(ql)n связаны друг с другом процеду-
процедурой аналитического продолжения. Таким образом, iV/D-уравнения
дают решения, удовлетворяющие максимальной аналитичности второй
степени.
Единственными полюсами функции Bt (s) являются нули ее зна-
знаменателя Dx (s). Решая B.24) при всех значениях I, получаем в неяв-
неявном виде траекторию Редже a (s), которая находится из уравнения
Da(sR)(sR)=-0, B.37)
где sR—положение полюса.
Разлагая DL (sR) в ряд в точке I = a (sR), получаем
(s) « "а (8Д) (SR) при s « sR. B.38)
dDt (s)
s—st
Сравнивая это разложение с (II.9.15) и учитывая (III.1.7), находим
аEя)-1_ . B.39)
(я)
dl
S=SR
Разлагая Dt (s) относительно s = sR и используя B.12), получаем
5s „=»н
при s « sH. Если s>s0, то это дает обычную формулу Брейта—Виг-
нера для ширины резонансного полюса, расположенного в точке ER:
¦р_ р (s) ^ (s)
ERD\ (s) ^-*l;
[D( (s) отрицательно, так что Г положительно — ср. (II.10.7)]. Как
и следовало ожидать, ниже порога s0, где p;(s) = O, имеется полюс
связанного состояния. Сравнивая B.41) с (II.10.7), получаем
7 (ян) _ Na (sr) /о 42)
а'(«я) D'(sR) K • ;
(во всех случаях штрих означает производную d/ds).

ЗАШНУРОВКА 183
Таким образом, определяя путем решения уравнения B.33) числи-
числитель Ni (s) и находя затем с помощью соотношения B.24) знаменатель
Di (s), мы получаем траекторию Редже и вычет, причем их аналитиче-
аналитические свойства совпадают с теми, которые описаны в гл. III, § 1 [382].
При s = оо функция D( (s) нормирована на единицу, поэтому нуль,
определяющий асимптотическое значение траектории а (оо), можно
получить только в том случае, если D( (s) имеет неподвижную сингу-
сингулярность по Л В ядре интегрального уравнения B.33) присутствуют
неподвижные сингулярности, обусловленные полюсами функции Q(
по / при / = —1, —2, .... Они расположены при целых отрицатель-
отрицательных / и порождают фредгольмовские полюса по / функции Ni (s),
положение которых определяется характером решения [112]. Таким
образом, в отличие от потенциального рассеяния, где значениями
траекторий на бесконечности должны быть целые числа [291], в данном
случае траектории имеют следующее поведение [250]:
. a(s) = a(ooL-?^+.-- при s->oo, B.43)
S
где а(оо) определяется динамикой, [причем для высших траекторий
а(оо)> —1.
Кроме того, из B.24) и B.33) с учетом^Оа (sH) = 0 имеем
ds'
У (sr) _
Г/2 44)
поэтому если только моменты подынтегральных выражений не удо-
удовлетворяют каким-то специальным условиям, можно ожидать, что
у (s) ~ sa' (s) ~ — при s—»оо, B.45)
где на последнем этапе использовано B.43). Такое поведение и было
обнаружено у решений рассматриваемых уравнений (см. § 6 данной
главы).
Прежде чем решать уравнения, необходимо найти вклад левого
скачка, а это можно сделать несколькими разными способами.
Одно из выражений можно получить из соотношения (II. 11.9),
которое приводит к следующему скачку на левом разрезе:
Ь (а)
j
а (в)
*0

184 ГЛАВА VI
и мы получаем
tfw-4 ? Ш*'- <2-47>
Другое выражение получается в результате подстановки выражения
(П.2.8) для Df(s, t) в A1.11.7), что дает
= _L_ (г [р* <5% п± р«и (*'. п л,+р«и (<', «о ± р*»("f. n du,i x
^&- B-48)
Скачок амплитуды на правом разрезе Bf (s), очевидно, равен
¦^ j Ipst (s, t") ± psu (s, П] Qi [zt (s, t")] Y^+i, s > s0, B.49)
так что, вычитая его вклад из B.48), находим
1 (* Г Гл /ч' /*М -4- л /ч' ta\ 
^ ГО, г.Л«. ^ , г. s . * Т ...
^L. jj" [>»(*'.цО±р*»(ц'. Hj QMMs^-)] du,dr>
Еще один из возможных способов заключается в том, чтобы, вос-
воспользовавшись формулой (II. 11.3), записать
j l™{Q[Z(sn]}V(st")^; B.51)
где V± (s, t) — амплитуда Л± (s, <) без той ее части, которая дает
вклад в правый разрез. Этот вопрос рассматривается подробнее в § 6.
Все приведенные выражения являются, конечно, точными, и они
предполагают, что двойные спектральные функции известны полно-
полностью. Наша цель состоит в том, чтобы с помощью ^/D-уравнений вычис-
вычислить вклад от одной части двойных спектральных функций (соответ-
(соответствующей упругому s-каналу) при условии, что их другие части зада-
заданы; при этом, очевидно, необходимо делать некоторые приближения.
Несколько примеров вычислений такого рода приведено в последних
параграфах данной главы.
До сих пор мы принимали, что упругая унитарность справедлива
при всех s > s0. He говоря уже о том, что для многих целей это при-
приближение является довольно грубым, вследствие плохого поведения

ЗАШНУРОВКА 185
Bf- (s) при больших s оно часто приводит к интегральным уравнениям,
которые не являются уравнениями Фредгольма. Поэтому необходимо
найти способ, который позволил бы включить в наши уравнения
и неупругие каналы.
§ 3. НЕУПРУГИЕ КАНАЛЫ В iV/D-УРАВНЕНИЯХ
Существует несколько методов включения в JV/D-уравнения связи
с неупругими каналами. Если все открытые при данной энергии
каналы являются двухчастичными, то условие унитарности (II.5.7)
просто заменяется на (II.5.12), и мы имеем
Im {Bf (s)} = S РГ (s) ВТ (S+) S?° (s_). C.1)
n
Это условие можно записать в матричной форме [58]:
AтВг)«ь = (ВГ-рг-В0«ь, C.2)
где pi (s)— диагональная матрица
C-3)
C.4)
В этих матрицах строки и столбцы соответствуют всевозможным;
каналам.
Далее,
(ImB03= -{Im(Bz)-(Bf-ВО-1}^, C.5)
или, используя C.2),
AтВ,K = -бвЬр? (s) в (s-sa), . C.6)
где so —порог в канале a [pf (s) = 0 при s<:sa]. Тогда, записывав
B^ND1, C.7)
или
?>; (S) = У* iv I {1*1 (Ь) fab — ^

186 ГЛАВА VI
где Df (s) — матрица, составленная из алгебраических дополнений
матрицы Dj (s), т. е.
DD = detD,
и рассуждая так же, как в § 2, окончательно получаем
D?(s)--=8ab—i- j P°(SJ^ (S)&', C.9)
sa
tf? (s) = Bf»6 (s) +SJf afV)-*?1» _a ,_,ч
n sa
т. е. уравнения, соответствующие B.24) и B.33).
Из C.8) видно, что траектория a (s) определяется уравнением
det{Da(Sfi)(sB)} = 0. C.11)
Разделяя det D при вещественных s на вещественную и мнимую части
det {D;} = Л;д (s)-+-iAn (s), C.12)
лолучаем соотношение, соответствующее B.40):
) C.13)
{штрих снова означает d/ds), так что полная ширина будет равна
;а парциальные ширины различных каналов можно определить из
выражения для числителя.
Как и следовало ожидать, траектория, задаваемая уравне-
уравнением C.11), появляется во всех взаимосвязанных каналах (имеющих
одинаковые квантовые числа), но ее вычеты-для разных каналов раз-
различны. Некоторые примеры вычислений, использующих этот форма-
формализм, приведены в § 5 данной главы. Общему анализу проблем, касаю-
касающихся применимости многоканального формализма, посвящена рабо-
работа Варнока [405].
Однако если неупругие каналы содержат более двух частиц, то
использование условия унитарности становится чрезвычайно слож-
сложным (см. гл. I, § 4). Вместо этого мы пытаемся найти метод пара-
параметризации вкладов от неупругих процессов, позволяющий- простым
способом модифицировать одноканальные уравнения.
В одном из таких методов, предложенном Фруассаром [194],
используются соотношения (II.5.15), (П.5.16), которые позволяют

ЗАШНУРОВКА 187
ввести следующий параметр неупругости:
-ПОЛЯ /_\ |m rn±/
п /„ч _ °l (S) Im {В1 (
"W 0™>(s) |B±(S)|2
Следовательно,
C.15)
"^^^ (ЗЛ6)
используя это выражение в формуле B.12), приходим к следующим
вариантам предыдущих уравнений:
(ЗЛ7)
Nt(s) = В?(s) +1 j B^(S3_^(S) P* (О^ (*')^^ («') ds'- C-18)
so
Поскольку при всех s>s0 числитель Ni(s) по-прежнему веществен,
фаза D[ (s) равна фазе амплитуды, но так как при s>Si сдвиг фазы
5г (s) становится комплексным [см. (II.5.12) и далее], он уже не будет
тождествен фазе амплитуды. Очевидно,
А^г (s) = 1 при
Ri (s) > 1 при s > si.
Этот метод очень прост, но поскольку ожидается, что Ri (s) -*- оо при
5-voo, при высоких энергиях уравнения становятся неопределен-
неопределенными, и трудности с расходимостями, упомянутые в предыдущем
параграфе, здесь только усугубляются.
Более изощренный метод предложили Фрей и Варнок 1196] (см.
также [129]). Положим
, rii (s) exp [2id? (s)]—1
В]: (s) = к-—П ' C.19)
гдё_^сдвиг фазы разделен на вещественную и мнимую части (при
вещественных s):
б; (S) = 6; (s) -f- j6; (s), C.20)
причем
Лг(8) = е~2в'(8). C.21)
Таким образом,
г|г (s)= 1 при so<;s<;sj,
а когда амплитуда становится чисто неупругой,
r\i(s)->0.
Снова положим
Bl (S) -

188 ГЛАВА VI
но припишем знаменателю Dt(s) фазу ехр[ —1? (s)], а не фазу
амплитуды, так что Ni(s) будет иметь разрез при s>sj. Из C.19)
имеем
fi(s)D(s) D<s) ;
C.22)
выделяя в этом выражении вещественную и мнимую части, получаем
Im {JVI(s)} = 1-^j^'Re (D,(s)} при s>Sj C.23)
Im {D, (s)} = ^g Re {Nl (s)} при s > s0. C.24)
Используя последнее соотношение, получаем уравнение, соответствую-
соответствующее B.24):
H^8^*- <3-25>
so
По аналогии с B.28) введем функцию
С, (s) . ^ (s) - BtDl (s) - [i- J bnWWjWMA'] Dz (s). C.26)
Эта функция не имеет левого разреза, в то время как для ее мнимой
части на правом разрезе, используя C.23), получаем
Im {Ct (s)} =—Вг (s) Im {D, (s)} при s > s0, C.27)
где
oo
Вг (s) = B, (s) + — J 2рг (s,) -pzzs i C.28)
si
a P — символ главного значения. Таким образом, из C.26) имеем
d (s) = N: (s) - Вг (s) Вг (s) -11"^D: (s), C.29)
а из C.27) совместно с C.24) находим
^1 f
- it J
so
Подставляя C.25) в правую часть C.29) и сравнивая возникающее
при этом соотношение с C.30), после некоторых преобразований
окончательно получаем
Nt (s) =Вг (s) +1 JB|(<;i?lWg^ Ni (s-) ds', C.31)
So

ЗАШНУРОВКА 189
где
Как и прежде, решая уравнения C.31) и C.25), можно определить
траектории Редже и их вычеты, если функции В\ (s) и t\t (s) заданы
в качестве исходных данных. Полезно выразить параметр г\г (s) через
скачок амплитуды Bf (s), обусловленный неупругими процессами.
Записывая (II.5.18) в виде
Im {В? (s)} = р, (s) | Bf (s) |2 + Im {Bj (s)} C.33)
и подставляя выражение C.19) для Im{B*(s)} и Bf (s), после неко-
некоторых вычислений получаем
f}]Vs. C.34)
Однако если взаимодействие в неупругих каналах является интен-
интенсивным, то как метод Фруассара, так и метод Фрея — Варнока сталки-
сталкиваются с определенными трудностями. Действительно, предположим,
что рассматривается двухканальная задача, сформулированная на
языке многоканального формализма C.7), так что
Если связь между двумя каналами полностью отсутствует, то мы будем
иметь одноканальные решения, скажем
7Г-« ^22=
1 *
C.36)
Предположим теперь, что между каналами существует слабая связь,
которая характеризуется некоторым параметром X, так что
?>ii «=?>, +О (X»),
а недиагональные элементы NiZ, D12 и т. д. порядка X. Тогда в области,
где Dt или D2 не обращается в нуль,
Если в случае X = 0 функция D2 имеет нуль при s = sp, а функция Dt
нуля не имеет, то числитель и знаменатель выражения C.35) в этой
точке также имеют нули. Но в случае X Ф 0 эти нули не совпадают,
и для Вц в окрестности точки sp мы получим расположенные вблизи
друг от друга нуль и полюс, хотя достаточно интенсивных сил в кана-
канале 1, которые могли бы породить этот полюс, нет. Он соответствует
фактически КДД-полюсу амплитуды Вц. Этот факт был замечен
в работах [370, 27, 44]. Отсутствие КДД-полюсов является, конечно,

190 ГЛАВА VI
камнем преткновения для учета неупругих каналов с помощью мето-
методов Фруассара и Фрея — Варнока. В методе Фрея — Варнока ука-
указанный полюс соответствует обращению в нуль параметра T]z(s).
Это приводит к тому, что интегральное уравнение C.31) перестает
быть уравнением Фредгольма, причем можно показать, что решение
сингулярного интегрального уравнения содержит КДД-полюс [26,
44, 252]. Аналогично при использовании метода Фруассара для такого
полюса Ri (s) ->• оо.
Это не означает, однако, что мы не можем провести различия
между элементарными частицами и частицами динамического проис-
происхождения. Утверждение, согласно которому ни в одном из каналов
не может быть КДД-полюсов при больших I, остается в силе, и решение
при малых I по-прежнему можно получить продолжением решения,
соответствующего большим I. Джонс и Хартл [252] продемонстриро-
продемонстрировали, каким образом при уменьшении I в амплитуде возможно появле-
появление КДД-нуля из неупругого разреза. В этом случае теорема Левинсо-
на непригодна в качестве критерия, позволяющего выяснить, являют-
являются ли частицы составными. Однако Аткинсон и др. [26] показали, что
если диагонализовать амплитуду рассеяния с помощью подходящей
матрицы преобразования Ог:
/Sft ...0\
RD
#22
то при выполнении максимальной аналитичности второй степени
собственные фазовые сдвиги (фазовые сдвиги диагональной амплитуды
BD) уже не будут удовлетворять критерию существования КДД-полю-
КДД-полюса. За его нарушение в случаях, упомянутых выше, ответственна
исключительно матрица преобразования Ог. Однако поскольку при
бесконечной энергии открыто бесконечное число каналов, теорема
Левинсона не может служить достаточно удобным критерием для
проверки максимальной аналитичности.
§ 4. ОБМЕННЫЕ СИЛЫ
Как указывалось выше, левый разрез, основной вклад в который
обусловлен сингулярностями кросс-канала, соответствует «силе», или
потенциалу, нерелятивистского рассеяния, а решение JV/D-уравнений
во многих отношениях аналогично решению уравнения Шредингера
для задачи рассеяния. Таким образом, полюс в ^-канале, соответ-
соответствующий обмену одной частицей, как на фиг. VIA, а, приводит
к силе, которая может породить полюс в s-канале, как на фиг. VI. 1, б.
Здесь привлекается хорошо известная аналогия между юкавским
потенциалом и обменом скалярным мезоном. Как было показано

ЗАШНУРОВКА
191
в работе [61], амплитуда рассеяния на юкавском потенциале удовлетво-
удовлетворяет мандельстамовскому представлению с одной двойной спектраль-
спектральной функцией (pst, если s — канал рассеяния, а сингулярности по t
задают потенциал), причем для решения можно воспользоваться
N/D-методом [286]. Обсуждение этих вопросов увело бы нас слишком
далеко в сторону; подробный анализ читатель может найти в моно-
монографиях [103, 180, 322]. Эта аналогия была расширена и послужила
Фиг. VI. 1. Полюс, обусловленный одночастичным обменом в ^-канале (а),
который обеспечивает часть взаимодействия, необходимого для порождения
полюса в s-канале (б).
основой приближенной схемы для описания частиц [35, 36]; она полу-
получила дальнейшее развитие в работах [168, 169].
Однако для нас в этом параграфе важно прежде всего то, что одно-
частичный обмен в ^-канале соответствует первому борновскому при-
приближению, а процессы многочастичного обмена — высшим борнов-
ским приближениям. На основании анализа, проведенного в гл. II,
§ 7, можно ожидать, что более далекие многочастичные сингулярно-
сингулярности в силу малости радиуса их действия играют сравнительно незна-
незначительную роль. В дальнейшем об одночастичном обмене мы не совсем
точно будем часто говорить как о «потенциале». Более строгое опре-
определение «потенциала» дается в § 7 данной главы, где обсуждаются
приближения, улучшенные по сравнению с одночастичным обменом.
(Употребляемый здесь термин «обмен» не следует смешивать с «обмен-
«обменными потенциалами», которые соответствуют сингулярностям «-кана-
«-канала. Поскольку мы всегда имеем дело с амплитудами определенной"
сигнатуры, специально их рассматривать нет необходимости.)
Простейшей диаграмме с одночастичным обменом соответствует
связанное состояние, скалярная (нулевой спин, положительная чет-

] 92 ГЛАВА VI
иость) частица в /-канале, что дает следующий вклад в амплитуду:
y±(s,t)=7^zrr D.1)
где т — масса связанного состояния, g — вычет в полюсе. Очевидно,
такой член не содержит сингулярностей по s, и поэтому не может
давать вклада в первый разрез парциальной амплитуды. Однако
поскольку он приводит к скачку по t вида
DY±(s,t) = ng8(m^-t), D.2)
«го вклад в левый разрез отличается от нуля. Действительно, под-
подставляя D.2) в B.46) и ограничиваясь для простоты кинематикой
равных масс, получаем
^ J) D.3)
а подстановка в (II. 11.7) дает
Аналогично можно аппроксимировать резонанс со спином lt (напри-
(например, р со спином единица):
в приближении малой ширины (Г —> 0) это дает
s, t) =я B/(+1) г (?m)l*P
D-7)
где фп — значение величины $ при t = т*.
Решения ./V/D-уравнений с такими потенциалами рассматриваются
в следующем параграфе,, но здесь следует отметить следующее. Выше
принималось, что обмен происходит посредством частицы с некоторым
фиксированным спином, по крайней мере предполагалось, что при про-
продолжении функции V± (s, t) из точки t = m2 в достаточно хорошем
приближении спин остается фиксированным. С точки зрения посту-
постулатов об аналитичности было бы более последовательным принять
во внимание реджевскую природу промежуточных частиц и изменение
спина с изменением t. Кроме того, необходимо отметить, что для частиц
со спином может возникнуть некоторая неопределенность потенциалов.
Действительно, воспользовавшись для определения В\> (s) формулой
B.51), мы видим, что D.1) дает по-прежнему D.4), но D.5) уже не при-

ЗАШНУРОВКА 193
водит к D.7), за исключением случая lt = 0. Если положить в D.5)
lt = 1 и Г = 0, то
V (S, I) —m2_t 2 ' К*-°)
Рассмотрим, например, амплитуду я —я-рассеяния, для которого
«-'¦=?¦ D.9)
Тогда D.8) принимает вид
Слагаемое с —1 в D.10), не зависящее от t, дает вклад только в 5-вол-
ну, а остальная часть приводит к результату, совпадающему с D.7).
При этом чем выше спин промежуточной частицы, тем большим ока-
оказывается расхождение. Подобные аномалии рассмотрены в работах [4,
374]. Все различие состоит в том, что в D.6) множитель Pt A -f- s/qf),
зависящий от углового момента, вычисляется при фиксированном
значении t, равном /п2, а в D.10) его функциональная зависимость
от t сохраняется. Чью [104] показал, что использование реджевского
представления из гл. III, § 4 позволяет устранить эту трудность.
Если исходить из D.5), то одна частица с фиксированным спином lt
дает в f-канале вклад только в ^-ю парциальную волну (снова прини-
принимаем Г = 0):
тогда как представление Хури —Джонса (III.4.8) приводит к выра-
выражению (при замене s на t и наоборот)
Если для траектории а(/), принимающей при t = m* значение lt,
выбрать линейное приближение
a(t)=lt + a'.(t-m% D.13)
где а' —наклон траектории, то получим
, -у (/) ( — <7?)а<0 exp { — [lt—a (/)] g (/)}
Если считать также, что в | (t) [см. (III.4.5) со взаимной заменой s и t]
то приближенно можно положить
13—650

194 ГЛАВА VI
что дает
a'(tr& — t)
Функция y(t), определяемая формулой (Ш.2.6)
может очень быстро изменяться, так как она содержит множитель,
зависящий от t. Предпочтительнее ввести функцию, которая имела бы
необходимую точку ветвления при gj = O и в то же время обладала
бы поведением функции $(t). Для этого положим
DЛ6>
и подберем константу qj так, чтобы y @ была медленно меняющейся
функцией. Тогда получим
^Ч1)"(#Р"- D17>
Сравнивая эту формулу с D.11), видим, что различие между вкладами
в lt-ю парциальную волну от полюса Редже и от элементарной
частицы заключается в том, что они содержат соответственно кон-
константу
8
16л.
и выражение (которое Чью назвал «формфактором»)
Если у (t) — медленно меняющаяся функция переменной t, то различие
сосредоточено в основном в множителе
Чтобы оценить его, необходимо знать q\. В работе [115] приведены
аргументы в пользу того, что
(напомним, что sx — значение переменной s, при котором устанавли-
устанавливается реджевское асимптотическое, поведение). Согласно A.6.12),

ЗАШНУРОВКА 195
поэтому имеем
Потенциал можно найти, подставляя D.17) в разложение по парт-
циальным волнам
К* (s, 0 = 16л S B/г + 1) Vft if) Ph [zt (t, s)] D.19)
(которое сходится при s<.Si) и используя B.51). Интегрирование
в B.51) проводится только по отрицательным t, а мы знаем, что при
t <С 0 для всех траекторий a (t) <с 1. Таким образом, каждое сле-
следующее физическое значение углового момента lt (напомним, что
физическими значениями являются чередующиеся целые числа —
четные или нечетные, в зависимости от сигнатуры траектории),
т. е. каждая следующая частица на траектории, дает вклад, примерно
в (8)~2 раз меньший, чем вклад предыдущего физического значения.
Таким образом, обмен траекторией обычно более или менее экви-
эквивалентен обмену частицей с низшим спином, лежащей на этой траек-
траектории, а частицы с высшими спинами дают пренебрежимо малый
вклад. Для р-траектории наинизшая физическая парциальная волна
соответствует спину lt == 1, причем сила оказывается очень близкой
к силе, порождаемой обменом частицей с фиксированным спином
и определяемой выражением D.7) (см. [126]). Однако для высших
спинов выражение D.7) заведомо не справедливо. Теперь становится
понятным, почему обмен я-мезоном обычно приводит к очень важной
силе, несмотря на то, что траектория этой частицы расположена
довольно низко. Выясняется также отмеченная выше неопределен-
неопределенность, заключающаяся в том, что потенциал, определяемый форму-
формулой D.5), содержит слагаемые, которые в кросс-канале дают вклад
в низшие парциальные волны, что не согласуется с D.7). Когда про-
происходит обмен траекторией, ее высшие спиновые компоненты также
порождают аналогичные дополнительные вклады, но они практически
гасятся формфактором D.18) и обычно несущественны.
Интересно отметить также, что в случае обмена померанчоном
по крайней мере для верхнего участка области интегрирования в B.51)
можно ожидать, что a (t) > 0. Так как низшей (и тем самым домини-
доминирующей) парциальной волной в D.19) является при этом 5-волна
с lt = 0, то V^, (t) в D.12) будет отрицательным, т. е. сила — отталкива-
тельной. Это обстоятельство подчеркнул Чью [105], который показал,
что «радиус» отталкивания для данного процесса, задаваемый величи-
величиной, обратной его логарифмической производной по t при t= 0, будет,
по существу равен ширине дифракционного пика для этого процесса
при высоких энергиях. Такое отталкивание является гораздо более
дальнодействующим, чем большинство обменных сил притяжения,
и оно полностью подавляет участок Р-траектории, соответствующий
спину 2.
13*

196
ГЛАВА VI
§ 5. НЕКОТОРЫЕ ПРОСТЫЕ ПРИМЕРЫ
ЗАШНУРОВОЧНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ
Удовлетворить всем требованиям, которые предъявляются полной
зашнуровкой, чрезвычайно сложно. Реально можно рассчитывать
лишь на создание каких-то приближенных методов, в рамках которых
окажется возможным провести вычисления, не слишком исказив
при этом физическую сущность проблемы. Но здесь возникает труд-
трудность, связанная с отсутствием всякой уверенности в качестве выбран-
выбранного приближения, так как априори поправки могут оказаться гораздо
Фиг. VI.2. Скалярный мезои массы т, порождаемый в s-канале в виде свя-
связанного состояния двумя другими такими же мезонами (а); «потенциал», созда-
создаваемый соответствующими полюсами в /- и u-каиалах (бив).
более значительными, чем учтенные эффекты. Но для начала мы попы-
попытаемся выяснить, чего можно достигнуть, используя некоторые заве-
заведомо грубые приближения.
В качестве совсем простого примера, иллюстрирующего, каким
образом можно попытаться проверить гипотезу зашнуровки, пред-
представим себе простейший из всех мыслимых миров сильно взаимодей-
взаимодействующих частиц, удовлетворяющих всем аксиомам,— мир, в котором
имеются частицы только одного сорта. Эти частицы должны быть
Мезонами с нулевым спином, так как в случае высшего спина почти
наверняка генерировались бы частицы с более низкими спинами.
Кроме того, частица должна быть скалярной (а не псевдоскалярной,
как пион), и ее барионное число, так же как и все остальные аддитив-
аддитивные квантовые числа, должно быть равно нулю. Все это приводит
к. тому, что разрешена трехчастичная вершина. В приближении упру-
упругой унитарности, которое обсуждалось в § 2, мезон можно рассматри-
рассматривать как связанное состояние двух других таких же мезонов,
(фиг. VI.2, а). Как следует из результатов § 4, источниками силы,
необходимой для порождения подобной частицы, в первом приближе-

ЗАШНУРОВКА 197
нии являются соответствующие полюсные члены в t- и «-каналах
(фиг. VI.2, бив).
Тогда из D.1) с учетом вкладов как t-, так и ы-каналов с сигнатурой
± получаем
J
или
где т — масса мезона, a g — вычет в полюсе. Для частиц рассматри-
рассматриваемого типа статистика Бозе запрещает состояния с нечетными
значениями углового момента, поэтому амплитуда с отрицательной
сигнатурой А~ (s, t) тождественно равна нулю. С точностью до коэф-
коэффициента 2 выражение E.1) приводит к тем же функциям bt (s) и В\ (s),
что и формулы D.3) и D.4). Их можно подставить в JV/D-уравнения
B.26) и B.23) или B.33) и B.24), решить эти уравнения и посмотреть,
имеет ли функция D для 5-волны, т. е. Do (s), нуль при s = /п2, соответ-
соответствующий диаграмме фиг. VI.2, а. Вычет g является свободным пара-
параметром, и его можно подгонять до тех пор, пока такой нуль не появит-
появится. Эта процедура фиксирует величину g, но если бы нам действительно
удалось породить частицу, то вычет в возникающем таким образом
полюсе (скажем, g'), определяемый формулой
4с=Ш ,• <5-2>
г=о
был бы также равен g. В действительности численные расчеты [124]
показали, что для выполнения условия Do (nfi) = 0 необходимо
положить g/m2 = 16,5, но при этом g'/tn2 — 105. (Отметим, что кон-
константа ц/т? безразмерна. Абсолютную шкалу масс, конечно, невоз-
невозможно ввести — в теории 5-матрицы имеют смысл только отношения
масс.) Очевидно, в этом случае зашнуровка не работает.
Исходная связь довольно велика, поэтому можно было бы ожи-
ожидать, что необходимую поправку будет давать член порядка g2, соот-
соответствующий двухчастичному обмену, но на самом деле этого не про-
происходит [125]. Величина расхождения оказывается очень большой,
поэтому можно с полной уверенностью сказать, что вселенная, состоя-
состоящая только из скалярных мезонов (являющихся единственным сортом
сильно взаимодействующих частиц; наряду с ними могут, конечно,
существовать лептоны и т. д.), не может удовлетворять нашим посту1-
латам об аналитичности. Соответствующая полевая теория с лагран-
лагранжианом взаимодействия (см., например, [63], стр. 241)
Х! = Хц,3, E.3)
перенормируема, и ее решения, по-видимому, должны содержать
КДД-полюс при s = /п2, соответствующий диаграмме фиг. VI.2, а.
Доказательство невозможности существования такого гипотетического
мира является одним из незначительных преимуществ зашнуровкй
по сравнению с теорией поля. J

198 ГЛАВА VI
Рассмотрев ситуацию, в которой мы и не надеялись на успешное
применение зашнуровки, попробуем теперь исследовать почти столь
же простой случай, а именно р-мезон в л — я-рассеянии. Поскольку
л — л-рассеяние кроссинг-симметрично, то можно думать, что в пер-
первом приближении амплитуда рассеяния представляет собой просто
сумму р-полюсов в s-, t- и ы-каналах. В свете аргументов, приведенных
в предыдущем параграфе, вклад в силу от резонанса / спина 2 являет-
является, по-видимому, пренебрежимо малым. Возможные же резонансы а
и г в S-волне, существование которых пока окончательно не доказано,
вероятнее всего также приводят к незначительным эффектам, что
связано с малостью их спина.
Одно из усложнений по сравнению с предыдущим расчетом связано
с необходимостью работать с полным изотопическим триплетом (л+,
л°, л~), а не просто с отдельными пионами. Мы принимаем, что муль-
типлет вырожден по массе, т. е. имеет место изоспиновая инвариант-
инвариантность, поэтому более удобно рассматривать состояния с определен-
определенным значением изоспина, а не физические состояния. Однако такой
процесс, как
л+л+—> л+л+,
в котором участвуют чистые состояния с / = 2, является кроссинг-
процессом по отношению к рассеянию
описываемому комбинацией амплитуд с / = 0, 1, 2. Это обстоятельство
легко учесть, если использовать изоспиновую кроссинг-матрицу,
которая для л — л-рассеяния имеет вид [113]
It 0 1 2 /8
= | 4- 4- —?-|1
1
3
1
3
1
3
1
1
1
2
1
~ 2
5
3
5
~~ 6
1
6
где /s — изоспин в s-канале и т. д. Поэтому, вспоминая, что р имеет
спин 1, в приближении малой ширины для силы, обусловленной
обменом р-мезоном в t- и ы-каналах, из D.7) получаем
+^). E.5)
Здесь использовано соотношение Брейта — Вигнера между шириной
и вычетом в упругом резонансном полюсе [см. B.40)] и произведена
замена gtfp на Ттр (Г —ширина р).

ЗАШНУРОВКА
Теперь можно использовать это выражение для решения N/D-урав-
нения. Однако здесь возникает трудность, связанная с тем, что
rlts , sins _ '
и ядро уравнения B.33) не является квадратично интегрируемым
[см. B.36)]. Источником этой трудности служит предположение о спра-
справедливости упругой унитарности при всех s, и один из способов
избежать ее состоит в том, что интеграл просто обрезается на некотором
значении s (скажем, si). Тогда получаем
Ni (s) =• Bf (s)-\ I — ; pj (s') Ni (s')ds' E.7)
я J s s
«0
и аналогичное уравнение для Di (s).
Сделанное предположение заключается в том, что упругая уни-
унитарность справедлива приближенно вплоть до su но точный смысл
обрезания, как эффекта, обусловленного неупругостью, совершенно
неясен. Плохо также, что в уравнениях появляется новый параметр
Si, и если его выбор сильно влияет на вид решения, то зашнуровка
становится совершенно неубедительной.
На самом деле в первоначальных расчетах Захариазена [411]
обрезание вводилось другим способом. При этом использовалось пер-
первое детерминантное приближение Бейкера [32], в котором просто
полагается, что
Nl(s) = Bf1(s), E.8)
и в уравнении B.24) для Di (s) делается вычитание в -некоторой
точке sa, причем принимается]
так что уравнение принимает вид
л м — 1 s~s° ? Piis^Nijs') . , ,,. as
ui W - x — J (s'_S)(s'_sa) Л • E-y)
Дополнительная степень по s в знаменателе обеспечивает сходимость
интеграла, а точка sa, в которой делается вычитание, является новым
свободным параметром. В качестве sa Захариазен выбрал начало левого
разреза функции Bf (s) (т. е. положил s,, = sL); он исходил из того,
что при таком выборе Bf (s) = Bn (s) вблизи sL, как это и должно быть
в случае, когда доминирует р-мезон кросс-канала. В результате
р оказывается самосогласованным, если его масса тр = 350 Мэв
(см. поправку к работе Захариазена [411]), а ширина Г = 300 Мэв,
в то время как экспериментальные значения этих величин равны:
тр = 750 Мэв, Г = 110 Мэв.

200
ГЛАВА VI
Было выполнено много других приближенных расчетов (например,
[33, 34]), но точное решение Л7?>-уравнений с обрезанием не приводит
к самосогласованным результатам. Если в качестве исходной массы
промежуточного р-мезона взять ее экспериментальное значение
и.положить s± = 200 mf,, то чтобы получить правильное положение
полюса р-мезона, необходимо в качестве исходной ширины взять
Г = 2,25 /пя(« 320 Мэв), но тогда вычисленная ширина оказывается
слишком большой [126, 390]. Из вида кроссинг-матрицы E.4) сразу
',4
12
1.0
3 0,8
О
?0,6
0.4
0.2
л
—
-
—— '
-
у
i
-/50
400
-50
Фиг. VI.3. р- и Р-траектории, порождаемые в результате обмена р-мезоном
с физическим значением массы и с шириной Г = 2,25тп (st = 200 mjx).
Эти значения выбраны так, чтобы вычисленная масса р-мезоиа была правильной, но тогда
его ширина оказывается слишком большой.
следует, что сила, обусловленная обменом р-мезоном в канале с Is = 0,
вдвое больше силы, обусловленной обменом в канале c/s= 1. Следо-
Следовательно, в этом канале имеется траектория, расположенная выше
р-мезонной, которую, по-видимому, можно отождествить с Р. Однако
Р не входит в число исходных частиц, участвующих в зашнуровкё,
поэтому добиться самосогласованности невозможно. Траектории, полу-
полученные путем таких расчетов, показаны на фиг. VI.3.
Более претенциозные расчеты, по-прежнему учитывающие только
обмен полюсом с фиксированным спином, но зато включающие несколь-
несколько двухчастичных каналов, были выполнены в работах [413] (с исполь-
использованием детерминантного приближения) и [199] [на основе уравнения
E.7)]. В последней работе включены каналы п — л, л — <о и КК
и учтен обмен частицами р, К* и ф. В качестве исходных ширин брались
их экспериментальные значения, а параметр s± подгонялся так, чтобы
получить правильное положение полюса р-мезона. Однако эта про-
процедура приводит к слишком пологим траекториям и к большим значе-
значениям вычисленных ширин, причем соответствующие результаты почти
совпадают с результатами одноканальных расчетов. Резюмируя, еле-

ЗАШНУРОВКА 201
дует сказать, что хотя силы, обусловленные обменом р-мезоном, велики,
но зашнуровать самого себя он не способен.
По-видимому, более удачным примером вычислений такого рода
оказалась взаимная зашнуровка N и N*, предложенная Чью [99]
и подробно развитая в работах [6, 199]. Она заключается в том, что»
при я — Af-рассеянии обмен нуклоном в кросс-канале nN приводит
к силам, порождающим N*, тогда как обмен резонансом N* порождает
нуклон N. При этом вычисленные ширины гораздо лучше, чем в случае
р-мезона, однако ' результаты сильно зависят от обрезания, которое
фиксируется тем, чтобы теоретическое положение полюса совпадало-
с экспериментальным значением массы. Решающим критерием успеш-
успешности или несостоятельности такого рода вычислений является, оче-
очевидно, высокоэнергетическое поведение. Во всяком случае эти вычис-
вычисления резко противоречат результатам более поздних работ, в которых,
определялись фазовые сдвиги я — Af-рассеяния. Оказалось, что чуть,
выше порога фазовый сдвиг Рц-волны отрицателен, но примерно^
при 180 Мэв он обращается в нуль, при энергии около 600 Мэв при-
принимает, вероятно, значение 90° (роперовский резонанс), а затем стано-
становится почти постоянным. Однако теорема Левинсона B.17) в приме-
применении к описанным выше вычислениям утверждает
6,@0) — 8j(so) = — я,
и фазовый сдвиг заведомо не будет изменять свой знак. Таким образом,
представляется более вероятным, что нуклон в действительности
является КДД-полюсом в я — N-канале, но связанным состоянием
в каком-то другом канале или каналах. Эта проблема рассматривается
в работе [28], где можно найти соответствующие ссылки.
§ 6. НОВАЯ ФОРМА ПОЛОСНОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ
Из результатов вычислений, описанных в предыдущем параграфе,
совершенно ясно, что если рассматривать обмен полюсом с фиксиро-
фиксированным спином при учете одного или небольшого числа двухчастичных
каналов, то такая процедура является весьма неудовлетворительной-
даже в качестве приближенной схемы зашнуровки. Однако при этом,
делаются столь существенные упрощения, что подобный вывод,
не должен разочаровывать.
Имеются два основных способа улучшить расчеты, привлекая полу-
полученные выше сведения о полюсах Редже. Во-первых, на их основе
можно более точно описать сами полюса, сопоставляемые частицам,
и осуществить необходимое аналитическое продолжение из одной
области изменения переменных в другую. В предыдущем параграфе
полюса, полученные в результате вычислений, были полюсами Редже,.
чего нельзя сказать об исходных полюсах; однако было бы полезно,
так сформулировать проблему, чтобы кроссинг-симметрия выступала
в более явной форме. Другая характерная особенность полюсов Ред-

202 ГЛАВА Vj
же — тот факт, что в них определенным образом отражаются вычита-
вычитания, необходимые в случае расходимости амплитуды,— дает способ,
с помощью которого можно проанализировать неупругость. Действи-
Действительно, следует ожидать, что высокоэнергетическое поведение ампли-
амплитуды, например в s-канале, определяется самыми правыми полюсами
Редже t- и и-каналов, благодаря чему эти полюса должны каким-то
образом отражать появление все большего и большего числа открытых
леупругих каналов.
Новая форма полосного приближения, развитая Чью и Джонсом
[112] на основе более ранней работы Чью [100], представляет собой
.некоторую расчетную схему, которая была создана с учетом обоих
указанных обстоятельств. Название «новая форма полосного прибли-
приближения» указывает на его отличие от более ранней модели, основанной
на использовании упругих двойных спектральных функций. Однако
это более старое приближение совсем недавно получило новое развитие
.и в следующем параграфе мы его рассмотрим. Вычисления в рамках
лового полосного приближения проводились для я — я-рассеяния; при
дальнейшем анализе мы будем использовать те упрощения, которые
возникают в случае кинематики равных масс и в случае внешних
частиц с нулевым спином.
Метод исходит из разбиения амплитуды на три слагаемых:
A(s, t)^As(s,t) + At(s, t) + Au(s, t), . F.1)
хде вклады от полюсов и двухчастичных порогов s-канала содержатся
ъ As (s, t) и т. д. Таким образом, используя терминологию, введен-
введенную в § 4 данной главы, можно сказать, что величина
Vs (s, t) = Al(s,t) + Au(s, t) F.2)
лредставляет собой «потенциал», порождающий полюса в s-канале.
Приближение состоит в том, что каждое слагаемое записывается
,в виде
'Ztt), F.3)
где A) (s, t) —вклад /-го полюса ^-канала, причем суммирование про-
проводится по всем полюсам, которые выходят в правую полуплоскость
переменной lt. Таким образом, мы пренебрегаем возможностью суще-
существования в правой полуплоскости переменной lt каких-либо других
сингулярностей. Требуется, чтобы каждый из таких полюсных членов
•содержал только один полюс Редже и никаких других полюсов, хотя
в него и входят пороговые точки ветвления ^-канала. Кроме того,
эти члены следует строить таким образом, чтобы
A){s, t)—>0 при t-*oo, F.4)
так как при больших t в них должны преобладать полюса s- и и-кана-
и-каналов, но не полюса f-канала. Мы требуем также, чтобы амплитуда
удовлетворяла мандельстамовскому представлению, и поскольку при-

ЗАШНУРОВКА
203
нято указанное выше разбиение, этому представлению должно удовлет-
удовлетворять и каждое слагаемое в отдельности. Подобные члены описаны
в гл. III; примем для них представление Чью — Джонса, которое,,
согласно (II 1.3.7), для полюса ^-канала имеет вид
паj
5г) _± ?
t) n J
F.5)
-*«?
Первое слагаемое в правой части соответствует полюсу Редже, а все-
всевозможные пороги ^-канала содержатся в функциях а ({) и G (t).
\
Фиг. VI.4. Мандельстамовская диаграмма для нового полосного приближе-
приближения, на которой указаны полосы (заштрихованы) и правильные границы двой-
двойных спектральных функций.
Жирной точкой обозначена двойная спектральная функция, соответствующая упругому
рассеянию в s-каиале.
Если G (t) убывает на бесконечности достаточно быстро, то это выра-
выражение стремится к нулю при t-*- oo и удовлетворяет мандельстамов-
скому представлению с двойной спектральной функцией, границами
которой являются линии s = st и i = *o- Учитывая сигнатуру полю-
полюсов, получаем следующий полный вклад:
A) (s, t) = Я? (s, 0 + (- 1)'* Я (и. 0. F-6)
где двойная спектральная функция второго члена имеет границы
t = t0 и и = «1- Включая набор таких полюсов для каждого канала,
мы приходим к мандельстамовскому - представлению с границами
спектральных функций, показанными на фиг. VI.4. Удобно (но не обяза-

204 глава vi
тельно) положить s± = tt = Uu тогда области, в которых различные
двойные спектральные функции отличны от нуля, не перекрываются.
Описанное приближение имеет один очевидный дефект, связанный
с тем, что мы пренебрегли «углами» двойных спектральных функций,
такими, как s^Si, t<Ltu а также внутренними областями, например
s >> s±, t > t\. Тем не менее это приближение, по-видимому, достаточно
хорошо описывает наиболее существенные свойства амплитуд рас-
рассеяния, проявляющиеся в экспериментах. Речь идет о том, что наряду
с ближайшими порогами в каждом канале существуют резонансные
полюса. Кроме того, при высоких энергиях (s > s4) пики вблизи
направлений вперед и назад (t = 0 и и = 0 для s-канала) определяются
полюсами кросс-канала. Любое представление, которое правильно
отражает эти две характерные черты, является хорошим приближе-
приближением к экспериментально измеряемой амплитуде. Это и может служить
оправданием полосного приближения. Но, конечно, нет никакой уве-
уверенности, что это приближение будет справедливо и в соседних нефи-
нефизических областях, где, согласно предположению, двойные спектраль-
спектральные функции имеют весьма специальный вид, причем это предположе-
предположение совершенно необходимо с точки зрения возможности реальных
вычислений.
Таким образом, получена амплитуда, которая по построению удов-
удовлетворяет принципам максимальной аналитичности первой и второй
степени. Чтобы осуществить зашнуровку, нужно просто удовлетворить
условию унитарности; для этого мы снова попытаемся использовать
N/D-yравнения. Первый шаг заключается в построении из A (s, t)
амплитуд с определенной сигнатурой в s-канале. Как мы знаем, двой-
двойная спектральная функция, соответствующая вкладу F.5), опреде-
определяется выражением (III.3.4)
р5, (s, 0 = At {4-G (t) (-cftfw Рат ( -1—щ) } 9 (ssi) Э (t-U).
F.7)
Подставляя это выражение в (II.2.6) и производя некоторые преоб-
преобразования, получаем
Л* (s, 0 = As± (s, t) + Vs± (s, /), F.8)
где
A8± (s, t) = 2 Я!1 (s, t) ± (- l)Ia R?1 (s, t), F.9)
2
Vs* (s, 0 = S P (/., h) Gj @ (-
-49?

ЗАШНУРОВКА 205
sin па/(f)
si
причем
Выписывая эти формулы, мы включили изоспиновую кроссинг-
матрицу для я — я-рассеяния. Кроме того, вследствие кроссинг-сим-
кроссинг-симметрии каждый полюс в /-канале должен содержаться и в ы-канале,
что позволяет просто сложить вклады от этих полюсов.
Проекцию Bj (s) функции Vs± (s, t) на парциальную волну можно
получить из B.51). При этом легко убедиться, что она будет содержать
не только ожидаемый левый разрез, но также и правые разрезы
амплитуды при s>si. Правый разрез при so<.s<isi содержится
в AV (s) — проекции функции As± (s, t) на парциальную волну.
Однако As± (s, t) будет давать вклад и в левый разрез при s < —tt -f-
+ 4т%, так как эта функция дает вклад в Df (s, t) при t > tt. Вос-
Воспользовавшись соотношением (III.3.5), будем иметь
Df (s,0 = 2 G«(s)(-^)a'(s) Pai(.)(-l—4f), F.11)
и из B.46) получаем
™L7lZT*? FЛ2)
где
4.= —<1 + 4яй.
Таким образом, функция
Bf(s) = B!r'(sL-Br(s) F.13)
содержит весь левый разрез амплитуды Bf (s) (по крайней мере
в полосном приближении), а также правый разрез при s>Si.
Итак, мы хотим удовлетворить условию унитарности в области
So<s<;s1. В принципе можно включить сколь угодно много двух-
двухчастичных каналов, но мы временно сосредоточим все внимание только
.на одном, а именно на л — я-канале, так что будет иметь место упру-

206 ГЛАВА VI
гая унитарность. Как и прежде, положим
но теперь Ni (s) содержит все разрезы функции /?f (s), в том числе
и правый разрез при s> su a D,(s) —только разрез при So^s^s^
связанный с условием унитарности. Таким образом, вместо B.12)
получаем соотношение
Im {D,(s)} = -Pl(s)Nl(s) при so<s<Si. F.15)
Если справедлива максимальная аналитичность второй степени, причем1
существенным является только один канал, то можно показать, что
КДД-полюсов по-прежнему не будет [251], и имеет место следующее
¦дисперсионное соотношение [ср. B.24)]:.
Функция
C,(s) = tf,(s)-B?(s)D,(s), F-17)
соответствующая функции B.28), имеет только правый разрез при
Sq^s^S!, на котором
Im {Сг (s)> = -В\ (s) Im {Д (s)}, F.18)
и мы получаем почти такое же уравнение, как B.33):
Nt (s) = ВЬ (s)±±] ^ (S;!f (S); PiX?) Nt(s') ds'. F.19)
Единственное его отличие состоит в том, что теперь область интегри-
интегрирования конечна, и по виду уравнение.полностью совпадает с E.7).
По сравнению с B',33) оно обладает тем преимуществом, что теперь
не возникает никаких проблем, связанных с квадратичной интегри-
интегрируемостью ядра. В отличие от E.7) уравнения F.16) и, F.19) являются
точными (при сделанных предположениях), причем st теперь не пара-
параметр обрезания, а точка, а которой область упругой унитарности
переходит в область реджевского поведения. Приближение состоит
в том, что переход из одной области в другую осуществляется скачком.
Однако мы платим за это преимущество тем, что функция В\ (s) при-
приобретает логарифмическую особенность при su которая содержится
в первом члене выражения F.10). Наличие такой сингулярности в гра-
граничной точке области интегрирования означает, что интегральное
уравнение F.19) не является уравнением Фредгольма. Сингулярность
возникает благодаря тому, что мы сшиваем фазовые сдвиги при s < sir
определяемые упругой унитарностью, с фазовыми сдвигами при s > slf
задаваемыми асимптотическим поведением.

ЗАШНУРОВКА 20Т
В области ниже s4 мы имеем
sin2 бг (s) = рг (s) Im {Bf (s)}, F.20>
а в точке s± на фазовый сдвиг, накладывается условие
sin«e,(s1)=xpi(s1)Im{B?"(s1)}, F.21).
где Im {BY (sJ} задается формулой
(f) ( - 1 —^-) , F.22>
вытекающей из F.10). Ясно, что для существования решения необ-
необходимо, чтобы выполнялось неравенство
9l (Sl) Im {ВГ^Хи F.23>
которое играет роль ограничения, накладываемого условием унитар-
унитарности в s-канале на вклады полюсов /-канала. При выполнении этого-
условия можно.показать [101, 389], что интегральное уравнение может
быть решено, если совершить определенное преобразование, устра-
устраняющее сингулярную часть. При этом как Nt (s), так и Dt (s) будут
иметь сингулярность в точке s±, обладая в ее окрестности поведением
i- F-24)
но в отношении этих функций N/D сингулярность сокращается,
и в амплитуде Bf (s) она не содержится. Оказывается, что, несмотря
на сингулярность, уравнение F.19) может быть решено численными
методами, использующими обычные способы перехода к обратной
матрице [255].
Эти уравнения были решены для случая, когда в каждом из каналов
имеется только р-мезонная траектория [128]. При этом реджевские
функции a (t) и 7 @ соответствующим образом параметризовались
и функция Bi" (s) определялась из F.10), F.12) и F.13). Заметим, что
в этих формулах интегрирование проводится только по отрицатель-
отрицательным t, так что нам нужны значения функций a (t) и v (t) только при
t <; 0, где они вещественны (в предположении, что траектории не пере-
пересекаются). Затем решались уравнения F.19) и F.16), и из B.37) и B.42)
находились теоретически вычисленные функции a (t) и 7 (*)¦ Пара-
Параметры подгонялись до тех пор, пока входные и выходные данные
не совпадали. Результаты оказались не очень чувствительными

208
ГЛАВА VI
по отношению к выбору si} так как уменьшение Si увеличивает потен-
потенциал в F.10) и сужает область интегрирования в F.16) и F.19), бла-
благодаря чему происходит определенная компенсация. Если взять s±
очень большим, то траектории станут пологими, что приведет к боль-
большим теоретически вычисленным ширинам, а из-за расширения области
интегрирования в F.16) траектории сблизятся. [Ni (s) положительно,
поэтому увеличение Si уменьшает значение s, при котором функция
Dt(s) равна нулю.]
При Si = 200 тя р-траектория
ар @ = 0,
F.25)
оказывается самосогласованной (фиг. VI.5), но теоретически вычис-
вычисленная траектория не проходит через точку I — 1, т. е. не порождает
Р на выходе
^
р на выходе
as
-200 -150
sp на входе
-Ю0 -50
sdnj)
50
¦Фиг. VI.5. Самосогласованная р-траектория при s4 = 200mit (порождается
также Р-траектория) [128].
р-частицу. [Напомним, что a (t) и у (t) можно сделать самосогласован-
самосогласованными только при t< 0, так как В? (s) не зависит от значений t > 0.]
Сразу за порогом траектория a (t) изменяет свое направление; если
учесть дисперсионное соотношение (II 1.1.30), то это означает, что
выше порога Im {a (f)} должно быть большим.
Как указывалось в предыдущем параграфе, силы, возникающие
за счет обмена р-мезоном, приводят к существованию Р-траектории,
и было бы непоследовательным не включать в наши вычисления
наряду с р также и Р. Но если учесть Р, то приходится иметь дело
с дальнодействующим. отталкиванием, которое создает эта частица.
На первый взгляд кажется, что это отталкивание не может иметь
места, или хотя бы, что оно должно компенсироваться каким-то другим
вкладом в обмен с / = 0. Действительно, так как мы выбрали двойные
спектральные функции, равные нулю вне полос, изображенных
на фиг. VI.4, то Df (s, t) можно разложить в сходящийся при s0 < s <
< Si ряд по парциальным волнам, и если воспользоваться проекцией

ЗАШНУРОВКА
209
Грибова — Фруассара, то получим
X
Im {Alf
Pi. П+4
2<7?
F.26)
Поскольку в случае упругой унитарности в полосе ^-канала функция
Im {Ait (t)} должна быть положительной, очевидно, Bj (s) также
будет положительно, по крайней мере при s s« 0. Но в случае обмена
Фиг. VI.6. Траектории с / = 0, вклю-
включая две гипотетические траектории, не
достигающие правой полуплоскости пере-
переменной /, но создающие силы притяжения.
померанчоном Р это не так, и для корректности полосного прибли-
приближения необходимо существование некоторого положительного вклада,
отличающегося от вклада Р (или аналогичного ему Р'). Его могли бы
давать траектории, которые не выходят в правую полуплоскость пере-
переменной I, подобные показанным на фиг. VI.6. Так как такие траектории
не проявляются ни физически, ни при расчетах такого типа, вводить
их непосредственно не имеет смысла, но Чью и Теплитц [116] пока-
показали, как можно включить их влияние посредством «нормировки»
потенциала. Для этого нужно просто вычесть из Р-потенциала Vp (s, f)
величину Vp @, t), а затем обратно добавить вклад Vp @, t) в каждую
14—650

210 ГЛАВА VI
получающуюся парциальную волну. Таким образом,
F-27>
Значения Im {At (t)} можно сделать согласованными в s-, t- и u-кана-
лах, что обеспечит положительность функции Bj (s). Эта процедура
использовалась [126] для обеспечения самосогласованности р- и Я-тра-
екторий, но полученные результаты лишь незначительно отличались
от результатов, к которым приводит обмен только р-мезоном, так
как нормированный вклад померанчона Р очень мал. Никаких при-
признаков появления вторичной Р'-траектории обнаружено не было. Еще
одна проблема состоит в том, что вследствие большого вклада померан-
померанчона Р в амплитуду при больших s часто трудно удовлетворить при
низших значениях / ограничению F.23), которое накладывается усло-
условием унитарности. Это связано с большой величиной вычетов само-
самосогласованных частиц р и Р.
В другой работе [39] рассматривался /СК-канал, причем учитывался
обмен частицами К* и ер, но результаты оказались очень похожими
на одноканальный случай. Можно сделать общее заключение, что
в рамках нового полосного приближения траектории, соответствующие
физическим частицам р и Р, не зашнуровываются сами по себе. Кроме
того, хотя здесь и удается получить самосогласованные траектории,
но они обладают целым рядом дефектов: имеют малый наклон, не под-
поднимаются до достаточно больших / и тем самым не порождают физи-
физических частиц, имеют большие вычеты, отвечающие частицам со слиш-
слишком большими ширинами, и (в случае Р) требуют весьма произвольной
«нормировки».
Нормировка фактически может оказаться совершенно не право-
правомерной, так как в приведенном выше доказательстве, согласно кото-
которому обменные силы с / = 0 должны быть положительными, пред-
предполагается справедливость упругой унитарности при t0 ¦< t ¦< tit тогда
как на самом деле она имеет место только при t9<C t <C tj, где для
я — я-рассеяния //= 16/пя2. Двойные спектральные функции в дей-
действительности не равны нулю в пределах границ, указанных
на фиг. VI.4, а именно они 'задают истинный предел области сходи-
сходимости разложения по парциальным волнам функции D* (s, t), исполь-
использованный в F.26). Область, отмеченная на фиг. VI.4 точкой, содержит
упругую двойную спектральную функцию s-канала, которая, по опре-
определению, не входит в потенциал, но дает вклад в Df (s, t), где она
соответствует неупругим процессам в /-канале. Таким образом, нет
никаких оснований считать, что знаки у Df (s, t) и Bj (s) должны

ЗАШНУРОВКА 211
быть одинаковыми (в потенциальном рассеянии в случае сильной связи
они оказываются разными [125]).
С другой стороны, если серьезно отнестись к существованию оттал-
отталкивания, то окажется, что комбинация р-траектории, дающей притя-
притяжение, с Р-траекторией, дающей отталкивание, приводит к бессмыс-
бессмысленным решениям N/D-yравнений, поскольку мы получаем резонанс-
резонансные полюса на физическом листе [126]. Это справедливо также в случае
потенциального рассеяния, где комбинация потенциалов притяжения
и отталкивания при использовании первого борновского приближения
и iV/D-метода приводит к столь же бессмысленным результатам.
Поскольку полное решение задачи рассеяния гарантирует, что все
резонансы лежат на нефизических листах, это может происходить
только вследствие неприменимости первого борновского приближения
для левого разреза. Борновский ряд является по существу разложе-
разложением по константе взаимодействия, и очевидно, что в случае отталки-
отталкивания знаки членов ряда будут чередоваться, в результате чего первое
борновское приближение будет давать слишком сильное отталкивание.
Чью [105] показал, что померанчон, отражающий то обстоятельство,
что при высоких энергиях открывается множество каналов, связанных
с я — я-системой, должен приводить к уменьшению теоретически
вычисленных ширин, так как резонанс, сильно связанный с такими
каналами, проводит меньшее время в своем распадном канале.
На языке М/1)-уравнений это означает, что дальнодействующее оттал-
отталкивание, обусловленное померанчоном, уменьшает значение функ-
функции iV вблизи порога, а следовательно, и ширину низкоэнергетических
резонансов, но в то же время не очень значительно влияет на поло-
положение нуля функции D, которое определяется более короткодействую-
короткодействующими силами, создаваемыми р-мезоном. Таким образом, очень важно
правильно учитывать отталкивание, обусловленное померанчоном;
кроме того, в релятивистском рассеянии необходимо иметь некоторый
эквивалент борновского разложения, применяемого в нерелятивистских
задачах. Все это обеспечивает итерационная процедура Мандельстама.
§ 7. ИТЕРАЦИОННАЯ ПРОЦЕДУРА МАНДЕЛЬСТАМА
«Старая» форма полосного приближения, предложенная Чью
и Фраучи [108], использует для вычисления двойной спектральной
функции соотношение A.12.11), которое мы вывели в гл. I, § 12:
ТГ.—П
p*(')pr(f)
Р>,о= = [t*1dfr:r. G.i)
Р К' ' I6ji«?.Vs J J ' 2 К1'* (t, h, t2, s) V '
(Отметим, что в случае амплитуд с определенной сигнатурой скачка
Du не существует, поэтому соотношение A.12.12) неприменимо.)
Производя разбиение амплитуды, аналогичное F.8),.
A±(s, t) = As±(s, t) + Vs±(s, t), . G.2)
14*

212 ГЛАВА VI
где
As±
л
a F±s(s, Л — остальная часть амплитуды, и используя (II.2.8), мы
можем записать
ij*q^ (S,ft, G.4)
s ft- ! ff Pynps(s',r)
где Dj (s, t) — скачок по t функции Vs± (s, /). Уравнения G.1)
и G.4) составляют основу итерационной процедуры для вычисления
pynps (Sj ^ Считая, что ?>Г (s, ft известно, из G.1) мы можем опре-
определить функцию рупр* (s, t), подставляя которую в G.4), получим
новое значение Df (s, t) и т. д. Благодаря конкретному виду функции
К. и конечности области интегрирования в G.1), для определения
pynps (S) fy ПрИ заданном значении t (например, tx) нам необходимы
только значения Df (s, t) при t ¦< tx, причем в G.4) входит также
только область t < tx. Таким образом, зная скачок Df (s, t) для
я —л>рассеяния в области U < t < 16 т%, где pyaps (s> t) обращается
в нуль (см. фиг. VI.4), мы можем определить py°Ps (s, t) при t<^.64m%.
Подставляя эту функцию в G.4), мы найдем Df (s, t) вплоть до зна-
значения t = 64/Пл, что позволяет нам, используя G.1), определить
pynps (s> t) no t = 256/Пл и т. д. В этом и состоит мандельстамовская
итерация [288—290].
При указанных вычислениях возникает трудность, связанная с тем,
что функция As± (s, t), задаваемая формулой G.3), в общем случае
не становится малой с ростом s. Действительно, подставляя полюс
Редже /-канала a (t) в Dj (s, t), получаем
Dj(s, ft-s0^
для~некоторого t = tu и подстановка этого выражения в G.1) дает
pynps(s, t)~s2aiil)~l.
После п итераций (при достаточно больших t) функция р будет
вести себя, как
ртяр'(в,0~«2"в(ад-я-
Мы уже указывали на это явление в связи с разрезами Амати —
Фубини — Стангеллини в гл. V, § 3, где было установлено, что про-
проблема возникает из-за предположения о справедливости упругой уни-
унитарности при больших s. На самом деле должны происходить некоторые
сокращения, обусловленные вкладами многочастичного условия уни-
унитарности, которые устраняют указанное поведение и приводят к тому,
что pynps (s, f) обращается в нуль при s -*- оо. Однако подобные сокра-
сокращения весьма трудно включить в полосное приближение.

ЗАШНУРОВКА 213
Чтобы обойти эту трудность, недавно была предложена следующая
модификация условия унитарности G.1):
где g (s) = 1 при
но g(s)—>-0 при s—>oo.
Было показано [295, 38], что итерационная процедура с таким обре-
обрезанием приводит к полиномиально ограниченной по / функции
pynps (Sj ^г поэтому можно надеяться получить в области полосы
s-канала реджевское асимптотическое поведение по /. Вычисляя
с помощью уравнений G.5) и G.4) функцию Df (s, /) при достаточно
больших значениях /, получим
Dt(s,t)—>G(s)t w, G.6)
t—yoo
где, согласно F.11),
( ) — п (s) YJaJsj+Tf' ^ ' '
Поэтому
In | Df (s, /) | = In | G(s) | + Re {a (s)} In /, G.8)
arg {Dt (s, t)} = arg {G(s)} + Im {a (s)} In /. G.9)
Таким образом, установление соответствия между функциями In \ Dt \
и arg (Dt) и функцией In /, позволяет определить a (s) и 7 (s)-
Подобные методы были использованы в работе [69] (где применялась
другая процедура обрезания) и в более поздней работе [37] для вычис-
вычисления р- и Р-траекторий в я — я-рассеянии. При этом использовался
потенциал, создаваемый обменом р-мезоном с фиксированным спином
(в работе [69] учитывался также обмен /-мезоном). Полученные траек-
траектории были гораздо лучше, чем при использовании A^/D-метода и пер-
первого борновского приближения для левого разреза, а именно не требо-
требовалось больших исходных ширин для того, чтобы вычисленные траек-
траектории имели правильное положение и поднимались несколько более
круто. Один из результатов работы [37] представлен на фиг. VI.7.
Однако траектории все же слишком пологи, а теоретически вычислен-
вычисленные ширины слишком велики (~ Зпгя в работе [37]), хотя последний
недостаток можно исправить, добавляя вклад от Р. При вычислении
траекторий этим способом требуется большая точность численных
методов, и может оказаться более удобным использовать iV/D-уравне-
ния, но применить итерационный метод для вычисления «углов» двой-
двойных спектральных функций (т. е. области s < st и / <с /t на фиг. VI.4).
При этом в левый разрез будет входить, например, третье или четвер-
четвертое борновское приближение для обмена полюсом Редже. Зная эту
часть двойной спектральной функции, благодаря кроссинг-симмет?

214
ГЛАВА VI
рии мы получаем сведения и о неупругих процессах в s-канале. Соот-
Соответствующий вклад в парциальную амплитуду Bf (s) можно ввести
в уравнения, используя метод Фрея — Варнока и соотношение C.34)
(см. § 3). Однако осуществление такой программы потребует чрезвы-
чрезвычайно большой затраты труда, особенно если включаются несколько
каналов.
2,0 -
15
0,5
a
100 200 300 400
-200 -100
Ф и г. VI.7. р- и Р-траектории, получающиеся в результате обмена р-мезоном
с фиксированным спином и с шириной 1,1 тп (s4 = 400 /пя) [37].
§ 8, НЕКОТОРЫЕ ПРОБЛЕМЫ
Выше были описаны недостатки полосного приближения, связанные
с тем, что оно приводит к плохим количественным результатам.
Но в рамках полосного приближения остаются еще некоторые почти
непреодолимые трудности, которые имеют совершенно иную природу.
По-видимому, наиболее серьезная из них заключается в следующем.
Если амплитуда удовлетворяет дисперсионному соотношению
dt'
(8.1)
to
(при больших s, лежащих выше резонансов s-канала, где можно
надеяться на сходимость интеграла), то можно ожидать, что при
удалении от пика, соответствующего рассеянию вперед, она будет
убывать как
A±(s, /)~4-- (8.2)
Однако на самом деле, как мы увидим в гл. VIII, § б, экспери-
эксперименты с полной определенностью свидетельствуют о том, что ампли-

ЗАШНУРОВКА 215
туда убывает значительно быстрее, а именно ее поведение лучше
аппроксимируется выражением
Л* (s, t) ~ еы при 0 > t > — 1 (Гэв/сJ, (8.3)
которое переходит в
Л± (s, 0 ~ е-° ^ при t < — 1 (Гае/с)». (8.4)
Последнее выражение соответствует наиболее быстрому спаду, допу-
допускаемому аналитичностью и унитарностью [ЗОН. Такое поведение тре-
требует, чтобы функция Df (s, t), фигурирующая в (8.1), удовлетворяла
бесконечному числу условий, наложенных на ее моменты. Предпри-
Предпринимались попытки [127] объединить подобное поведение с полосным
приближением, но при конкретных расчетах требуется гораздо более
тонкий подход к этой проблеме.
Еще одна трудность, возможно связанная с предыдущей, заклю-
заключается в следующем. Имеются довольно надежные экспериментальные
данные (см. гл. VIII, § 1), свидетельствующие о том, что траектории
поднимаются до весьма высоких значений Re а, в случае барионов,
по-видимому, даже до 19/2, чему соответствует масса частицы 3230 Мэв.
Если траектория a (t) удовлетворяет дисперсионному соотношению
типа (III.1.30), то она может подниматься лишь до тех пор, пока
Im {a (t)} не пройдет через свой максимум по t. Но так как двойная
спектральная функция пропорциональна Im {a (t)} [см. F.7)], то это
означает, что двойная спектральная функция должна оставаться
большой вплоть до некоторого значения t > C230J Мэв2, которое
лежит далеко за пределами ширины полосы, ожидаемой в наших урав-
уравнениях.
Одна из возможностей "обеспечить столь высокий подъем траекторий
состоит в том, что динамика определяется частицами с большими
массами. Можно было бы предположить, что наблюдаемые частицы
с малыми массами являются на самом деле связанными состояниями
системы из двух или трех кварков, и поэтому, согласно соображениям,
приведенным в § 3, в амплитудах содержатся КДД-полюса (см., напри-
например, [372], а также гл. VIII, § 9). Но тогда основной вклад в двойную
спектральную функцию должна давать область t да 4М% (МQ — масса
кварка), и очень трудно объяснить резкий спад пиков сечения, соот-
соответствующих рассеянию вперед и назад. В этом случае можно ожидать
зависимости типа
A(s,t) 1—т. (8.5)
Другой механизм заключается в том, что траектория меняет свой
характер, когда при увеличении энергии открывается еще один канал
с более высоким порогом. Если во всех случаях a (s) -*- — оо при
л-»- — оо, как это предположил Мандельстам [297], то при опреде-
определении динамики траекторий очень важно учитывать связь с другими
каналами (этот вопрос рассматривается также в гл. VIII, § 9). Асимп-

216 ГЛАВА VI
-готическое поведение B.43) и B.45) входит в одноканальные расчеты,
а динамическая схема, включающая лишь весьма небольшое число
каналов, может быть справедливой в лучшем случае только для огра-
ограниченного участка траектории.
В последних двух параграфах этой главы описаны модели зашну-
ровки траекторий, использующие полосное приближение. В литера-
литературе было высказано, конечно, множество других предположений,
которые мы за отсутствием места не можем подробно рассмотреть.
Интересный метод, опирающийся на более ранние исследования [94,
95], развит в работе [186]. Он позволяет, используя условие унитар-
унитарности, получить интегральные уравнения непосредственно для ред-
жевских параметров. Некоторые результаты для случая потенциаль-
потенциального рассеяния приведены в работе [227]. В более поздних работах
[1—3] предложены методы отыскания реджевских параметров, основан-
основанные на записи S-матрицы в виде суммы полюсов Редже, на которую
затем накладывается требование кроссинг-симметрии.
Мы не затронули многие другие вопросы. В частности, возникают
проблемы, связанные с существованием внутренней изоспиновой сим-
симметрии SU B), частичной симметрии SU C), которая включает стран-
странность и нарушается столь регулярным образом, а также предполагае-
предполагаемых динамических симметрии типа SU F). Всем этим вопросам посвя-
посвящено много исследований, в которых, однако, динамика обычно деталь-
детально не разрабатывается — просто пытаются выяснить, правдоподобно
ли существование таких симметрии с точки зрения наблюдаемых
мультиплетов и кроссинг-матриц соответствующих этим симметриям
групп [87, 133]. Полюса Редже в этих расчетах обычно не вводятся,
и мы ограничимся тем, что опять отошлем читателя к обзорам [395,
412], а также к более поздним работам по SU F) [80, 83] и к имею-
имеющейся там библиографии.
Несмотря на указанные выше трудности, гипотеза зашнуровки
сохраняет свою привлекательность. Частично это связано с тем, что
если наши постулаты об аналитичности правильны, то какая-то схема
такого рода должна существовать, а частично с тем, что зашнуровка
подтверждается множеством качественных результатов. Совершенно
очевидно, что исследованные до сих пор простые динамические модели
потребуют значительного усовершенствования и усложнения, прежде
чем их многообещающие особенности смогут превратиться в твердо
установленные факты. Но главные соображения, которые особенно
подчеркнул Чью [103], заключаются в следующем. Поскольку теория
S-матрицы тесно связана с экспериментально измеряемыми величи-
величинами, которые она должна объяснить, эта теория будет продолжать
развиваться при условии, что мы по-прежнему будем вводить в нее
всю доступную нам экспериментальную информацию. В гл. VIII
мы увидим, что полюса Редже сводят воедино огромное количество
такой информации; поэтому не приходится сомневаться, что их необ-
необходимо будет включать в любую будущую динамическую схему.

Глава VII
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ
§ 1. РОЛЬ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
В предыдущих разделах указывались причины, позволяющие счи-
считать, что свойства амплитуд рассеяния при высоких энергиях опре-
определяются полюсами Редже и разрезами Редже кросс-канала. Однако*
приведенные там аргументы имели косвенный характер, поскольку
действительное существование таких полюсов и разрезов не было
подтверждено никакими конкретными расчетами. Конечно, точные
вычисления провести невозможно, поэтому приходится либо прибегать
к определенным приближениям (как в гл. VI), либо рассматривать
«модели», которые отражали бы хотя бы некоторые характерные осо-
особенности реальной ситуации. Мы уже ссылались на одну из таких
моделей — на теорию нерелятивистского потенциального рассеяния,
в рамках которой впервые появились многие идеи, рассматриваемые-
в этой книге. Здесь в качестве несколько более реалистической модели
физики фундаментальных частиц мы рассмотрим разложение в ряд
теории возмущений в лагранжевой теории поля. С формальной точки
зрения (если пренебречь проблемами расходимостей) это разложение
удовлетворяет аналитичности первой степени и постулату кроссинг-
симметрии, а также релятивистски инвариантно. Вопрос о совместности
теории возмущений с максимальной аналитичностью второй степени
мы отложим до § 5 данной главы..
Общее введение в лагранжеву теорию поля и в методы формального'
решения ее задач по теории возмущений выходит за рамки этой книги,
и мы будем считать (только в данной главе), что читатель знаком,
с основными понятиями, в частности с описанием отдельных членов
ряда теории возмущений посредством фейнмановских диаграмм. Напом-
Напомним, что лагранжева теория поля исходит из некоторого набора
полевых операторов, которые описывают определенный набор «элемен-
«элементарных» частиц. В лагранжиан входят только эти операторы, и каж-
каждая линия фейнмановской диаграммы соответствует одной такой элемен-
элементарной частице.
Как мы увидим, отдельные фейнмановские диаграммы обычна
не обладают реджевской асимптотикой по t, а ведут себя как tN (In t)M,
где N и М — некоторые постоянные (т. е. не зависят от s). Поэтому
интересно выяснить, каким образом при суммировании бесконечных
последовательностей подобных членов может возникнуть реджевское
поведение [т. е. **(»>]. Ниже будет .показано, как в /-плоскости могут

:218 глава vii
появляться всевозможные сингулярности, упоминавшиеся выше,—
полюса Редже, разрезы Редже и неподвижные сингулярности Гри-
Грибова — Померанчука. Но даже если считать, что исходная модель
справедлива, то результаты можно, конечно, рассматривать в лучшем
случае лишь как некоторые наводящие соображения, так как мы огра-
ограничиваемся вполне определенными классами диаграмм и предполагаем,
что можно менять порядок суммирования бесконечной последователь-
последовательности членов и перехода к пределу при больших t. Тем не менее резуль-
результаты служат полезным дополнением к прежней аргументации, осно-
основанной на использовании условия унитарности, так как в общем
случае отдельная фейнмановская диаграмма содержит часть вклада
от большого числа диаграмм условия унитарности и включает в явном
виде некоторые из эффектов многочастичного условия унитарности.
Нас интересует только предельный случай больших t, что, как будет
видно из дальнейшего, приводит к значительному упрощению вкладов
от отдельных фейнмановских диаграмм и позволяет провести множе-
множество формальных суммирований.
Высокоэнергетическое поведение ряда теории возмущений рассмат-
рассматривалось в работах [223, 224, 336—338, 385, 386]. Ранний обзор по этим
вопросам можно найти в монографии [318], а более лоздний и весьма
исчерпывающий — в монографии [160].
В дальнейшем мы ограничимся обсуждением взаимодействия типа
Ф3, т. е. взаимодействия, при котором в вершине сходятся только
три частицы. Некоторые результаты, относящиеся к взаимодействию
Ф4, приводятся в цитированных выше работах. В этом случае возни-
возникает, как правило, весьма аномальное поведение, что легко объяснить,
так как взаимодействие Ф* соответствует нерелятивистскому сингу-
сингулярному потенциалу.
, § 2. ВЫСОКОЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ
ФЕЙНМАНОВСКИХ ДИАГРАММ
Вклад в амплитуду A (s, f), вносимый любой фейнмановской диаг-
диаграммой, содержащей только частицы с нулевым спином, можно запи-
записать в виде
1 = ]
г=1
где qr — 4-импульсы внутренних линий, kt — совокупность незави-
независимых импульсов петель (так что все qr являются линейными комби-
комбинациями ki и внешних импульсов), причем для простоты мы выбрали
все массы равными. Удобно воспользоваться тождеством Фейнмана
ГлГ-1 B-2)

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ "ЧАСТИЦЫ 219
и переписать B.1) в виде
(здесь и в дальнейшем слагаемое ie опускается). Интегралы по k можно
вычислить в явном виде [1171, и в результате / примет вид. интеграла
по переменным а, причем подынтегральное выражение будет функцией
всех а и скалярных инвариантов, которые можно образовать из внеш-
внешних 4-импульсов. В частности, для четырехточечной функции (т. е. для
амплитуды рассеяния двух частиц в две) результат можно записать
в следующем виде:
J
о
где
m = n —2/>0. B.5)
Если g (а) ^ 0, то подынтегральное выражение в B.4) при боль-
больших t ведет себя как t'm. Следовательно, если в области интегриро-
интегрирования по a g (а) Ф О, то и сам интеграл будет обладать таким же пове-
поведением. Однако область интегрирования по а вблизи точки, в которой
g (а) = 0, может давать вклады, медленнее убывающие с ростом t.
Ясно, что такие доминирующие при больших t вклады можно получить
лишь в том случае, если контур интегрирования по а невозможно
деформировать с целью избежать попадания на него точки, в которой
g (а) = 0. Это может происходить по двум причинам:
1) если g (а) = 0 на границе области интегрирования по а;
2) если g (а) = 0 в некоторой внутренней точке контура интегриро-
интегрирования по а, которая при t ->¦ оо соответствует пинчу, т. е. зажимается
сингулярноСтями подынтегрального выражения, благодаря чему кон-
контур не удается деформировать так, чтобы на нем не лежала эта точка.
Доминирующие асимптотические вклады, возникающие вследствие
первой причины, носят название «граничных» вкладов, а обусловлен-
обусловленные второй причиной —«пинчевых» вкладов. Граничные вклады появ-
появляются на всех листах амплитуды, тогда как для пинчей характерно
то, что они возникают только на вполне определенных листах. Так,
на одном листе амплитуды две сингулярности могут подходить к точке
g (а) = 0 с разных сторон контура, а на другом листе — с одной
стороны. Во втором случае эти сингулярности не препятствуют такой
деформации контура, при которой указанная точка на нем устраняется.
Как и следовало ожидать, граничные вклады легче поддаются
анализу, поэтому полезно ввести определенный класс фейнмановских
диаграмм, которые обладают тем свойством, что на физическом листе
они не имеют пинчевых вкладов. С этой целью определим «пленарные»
диаграммы. Планарная диаграмма — это такая фейнмановская диаг-
диаграмма, которую можно нарисовать на плоскости без каких-либо пере-

220
ГЛАВА VII
сечений внутренних и внешних линий, причем при обходе диаграммы
по часовой стрелке внешние линии должны располагаться в последо-
последовательности ри р2, Pi, Рг (фиг. VII. 1, а). Вследствие последнего
ограничения диаграмма, которая планарна, когда мы рассматриваем
большие t = (pi + р3J при фиксированном s == (pi + Р2J (что мы
Рз.
У
Фиг. VII.1. Фейнмановская диаграмма, которая является планарной, если
рассматривать фиксированное s и большие t, и «непланарной» при фиксирован-
фиксированном s и больших и.
здесь и делаем), может стать непланарной, если нужно рассмат-
рассматривать большие и при фиксированном s, и наоборот (простой пример
такого рода приведен на фиг. VII. 1).
Можно показать [160], что для планарных диаграмм функция g (a),
входящая в B.4), является суммой произведений переменных а1,
каждый член которой имеет положительный коэффициент. Отсюда
следует, что при положительных а нули g (а) отсутствуют, а так как
на физическом листе не возникает необходимости в деформации кон-
контура, то пинчевые вклады в планарных диаграммах не появляются.
§ 3. ГРАНИЧНЫЕ ВКЛАДЫ
Рассмотрим сначала лестничные диаграммы для s-канала, пока-
показанные на фиг. VI 1.2. Эти диаграммы аналогичны случаю нерелятиви-
нерелятивистского рассеяния на юкавском потенциале [61] (см. также [322]),"
Фиг. VII.2. Лестничные диаграммы в s-канале.
поэтому можно ожидать, что они будут приводить к похожим резуль-
результатам, т. е. будут обладать реджевским поведением. Это было
доказано посредством прямого вычисления парциальной амплитуды
в s-канале на основе уравнения Бете — Солпитера [274]. Здесь мы пока-
покажем, как возникает такое поведение, путем анализа высокоэнергети-
высокоэнергетического поведения фейнмановских диаграмм.

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ 221
Если фейнмановские параметры (которые мы выше записывали
просто как а) обозначить для перекладин лестницы через а(, а для
ее сторон через рг, то для диаграммы 2/г-го порядка.B.4) примет вид
Ясно, что коэффициент при t обращается в нуль, если какое-либо
из at является граничной точкой а* = 0; доминирующий вклад дает
¦Фиг. VII.3. Приведенная диаграмма, которая дает такой же главный вклад,
как и фиг. VII.2.
окрестность точки, в которой все а* близки к нулю. Таким образом,
Если при больших t оставлять только главный член, то интегриро-
интегрирования по а теперь можно выполнить в явном виде [336], и мы по-
получаем
, p, s)]"-i
C.3)
Выражение в квадратных скобках совпадает с выражением, которое
получается для диаграммы фиг. VII.3, содержащей п — 1 петель.
Единственное отличие заключается в том, что степени d и С пони-
понижаются на единицу, и это выражение соответствует фактически свер-
свернутой диаграмме фиг. VI 1.3, вычисляемой с двумерными (а не с обыч-
обычными четырехмерными) векторами q. Из формы диаграммы фиг. VII.3
или из прямых вычислений [336] следует, что квадратная скобка
имеет вид \К (s)]", где К (s) — феинмановский интеграл для отдель-
отдельной петли (вычисленной в двух измерениях), так что окончательно
получаем

222
ГЛАВА VII
где
1_ Г
~ 16я2 J
C.5)
Сложим теперь главные вклады всех лестниц; и будем считать,
что при этом получается главный вклад суммы всех лестничных
диаграмм. Тогда будем иметь
оо
'лестн rZj JKZT\)\
n=l
'лести s 4 '
где
C.6)
C.7)
Таким образом, мы получили реджевское поведение с траекторией,
которая стремится к —1 при | s \ -*- оо или g2 -*¦ 0. Мы видим, что
a (s) является вещественно аналитической функцией переменной s,
имеющей правый разрез, который начинается на физическом пороге.
Для иллюстрации прямых методов вычисления траекторий путем
суммирования диаграмм теории возмущений мы опишем метод Оме
[318], который позволяет определить вид траектории в пределе слабой
связи. Первая диаграмма на фиг. VI 1.2 (т. е. диаграмма с одночастич-
ным обменом) дает в парциальную амплитуду s-канала следующий
вклад [см. (II.1.1)]:
или
(ЗЛО)
В окрестности точки / = — 1 это дает
Попытаемся теперь найти такую функцию Ai(s), которая стреми-
стремилась бы к Af (s) при g!~0 и удовлетворяла бы условию унитар-
унитарности
Im At (s) = p (s) Аг {s)* Аг (s). C.12)
Такой функцией является
*^жи^+т{*+т?Ш+--}1 <злз>

. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ
223
где мы произвели разложение
и где
Im a (s) = ts—-k~? P (s).
Из последнего выражения получаем формулу
C.14).
C.15>
2ds'
_?1
16п
[в' («-—
которая, как легко видеть, совпадает с C.8) и C.5).
Из C.16) или из C.8) и C.5) следует, что вблизи порога разложение-
a (s) по степеням константы связи непригодно. Но это не должно нас
/^/перекладин
М перекладин
Фиг.
I
VII.4. Фейнмановская диаграмма, которая ведет себя как t~3 In t при:
больших t для всех значений М и N.
удивлять, так как в гл. III, § 1 мы видели, что на пороге функция a (s)
не аналитична по s.
В литературе имеется целый ряд результатов, относящихся к более
сложным диаграммам. Для вычисления главного вклада в зависимость
от t были развиты специальные методы [59, 165, 166, 3391. Было пока-
показано [223, 385, 386], что все пленарные диаграммы ведут себя как.
Г" (In t)m, где п и т — целые числа (п >- 1, т >- 0), и были сформу-
сформулированы общие правила для определения я и т. Но эти правила
очень сложны, причем целый ряд «исключений» требует большой
осторожности, так что мы не будем их здесь приводить. Полезность
этих правил ограничена тем, что обычно нас интересует суммирование
бесконечного набора диаграмм, а для этого (см. выше) необходимо-
знать коэффициент у главного члена. Однако существует важный
класс диаграмм, для которых такая информация не обязательна.
Одна из диаграмм такого рода показана на фиг. VII.4—для нее;
правила дают асимптотику, пропорциональную выражению t~3 In t.
Поскольку выражение не зависит от М и N, такое поведение остается
справедливым и после суммирования по М и N (даже если формальное

224
ГЛАВА VII
суммирование лестниц приводит к резонансам). В частности, как
указано в гл. V, из диаграмм такого рода мы не получаем реджевских
разрезов на физическом листе.
Было показано (подробности можно найти в монографии [160]),
что реджевское полюсное поведение, полученное выше для лестничных
диаграмм, остается справедливым и в том случае, если в сумму вклю-
включается гораздо более широкий класс диаграмм, так как другие диаг-
диаграммы дают в вычет и в траекторию вклады более высокого порядка.
Кроме того, в работах [224, 340] описанные методы использовались
для анализа процессов рождения. И здесь для определенного класса
диаграмм получено реджевское поведение. В этих работах рассмат-
рассматриваются также сингулярности функций a (s) и |5 (s).
§ 4. ПИНЧЕВЫЕ ВКЛАДЫ
Как и следовало ожидать, анализ пинчевых вкладов оказывается
гораздо более сложным, чем анализ граничных вкладов, и никаких
N перекладин
"Фиг. VII.5. Фейнмановская диаграмма с пинчевым вкладом на нефизическом
листе.
общих правил, позволяющих определить поведение непланарных диа-
диаграмм при больших t, пока не сформулировано. Было показано, однако,
что при суммировании определенного |класса таких диаграмм возни-
возникают разрезы в плоскости углового момента.
Чтобы проиллюстрировать это положение, рассмотрим сначала
диаграмму, показанную на'фиг. VI 1.5. Так как эта диаграмма планар-
ная, то она содержит только граничные вклады и ведет себя при
больших t как t~2 In t. Однако в1гл. V, § 3 мы видели, что если сум-
суммирование по N дает траекторию Редже, то скачок диаграммы
фиг. VI 1.5 в двухчастичном /-канале, просуммированный по N, будет
содержать вклад реджевского разреза. Было показано, что на физи-
физическом листе этот разрез отсутствует, поэтому он должен лежать
на листе, на который можно попасть, переходя через разрез двухчастич-
двухчастичного условия унитарности в /-канале. Здесь мы попытаемся выяснить,
каким образом этот реджевский разрез возникает в теории возмущений.

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ
225
Рассмотрим сначала диаграмму типа фиг. VI 1.5, соответствующую
низшему порядку теории возмущений, т. е. диаграмму, изображенную
на фиг. VI 1.6. Для этой диаграммы имеем
D.1)
Запишем эту функцию в виде
. D.2)
Мы видим, что g (а) обращается в нуль там, где pt или |52 равно
нулю (эти точки являются граничными), а также там, где либо
либо
D.3)
D-4)
(эти точки граничными не являются). Однако из общего выражения
B.4) следует, что там, где g (а) обращается в нуль, в пределе t -> оо
д
г
осг
Фиг. VII.6. Простейший пример диаграммы типа фиг. VII.5.
возникает сингулярность. Очевидно, она не может зажимать контур,
если t лежит на физическом листе, так как в этом случае все фейнма-
новские параметры положительны (это пример общего правила, выпол-
выполняющегося для планарных диаграмм). Но нормальный порог соответ-
. ствует граничным сингулярностям по а4 и а2; поэтому, переходя
через нормальный порог на второй лист, мы деформируем контуры
переменных а. В результате на этом листе сингулярности будут зажи-
зажимать контур. Чтобы вычислить.главный вклад в поведение по t, запи-
запишем фейнмановский интеграл в виде
= const \ dx \ dy \ dzt dz2 \ d&t d8 dy x
j j j b
x l(xy+z&) t + d (sA, 6lV)]-8,
D-5)
15—650

226 ГЛАВА VII
где
<4-7>
D.8)
причем мы воспользовались тем, что главный вклад обусловлен окре-
окрестностью точки, в которой Pi и р2 равны нулю.
Интегрирования по х и по у в D.5) можно выполнить в явном виде,
после чего мы получим логарифмическую функцию. Выбирая главное
Фиг. VI 1.7. Приведенная диаграмма, соответствующая фиг. VI 1.6.
значение логарифма, будем иметь величину, соответствующую физиче-
физическому листу, для которой интеграл ведет себя как t~z. Другие ветви
логарифма приводят к дополнительным членам вида
т. е.
/ ~ const Г» In t J ***%L*La D.10)
Ясно, что последний интеграл в D.10) соответствует диаграмме
фиг. VI 1.6 без линий, отвечающих фейнмановским параметрам а1?
а2» Pi. Рг.-т- е- диаграмме фиг. VI 1.7. Как и прежде, эту диаграмму
следует вычислять в пространстве двух измерений [из-за степени d
в знаменателе выражения D.9)]. Вклад диаграммы фиг. VII.7 удобно
переписать в виде интеграла по инвариантам [156]. В данном случае
это легко сделать, и мы получим
С dsldsiK(s1) n
где К (s) и К (s, Su sz, t) — функции, определяемые соответственно
формулами C.5) и A.12.7).
Теперь этот анализ можно распространить на случай лестницы
с произвольным числом перекладин. При этом возникнет важное отли-
отличие, связанное с тем, что в общем случае в знаменателе выражения D.9)

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ
227
мы получаем множитель ггг2 . . .zN, а не ztzz. Это означает, что In /,
входящий в D.10), заменяется на (In f)N~\ а коэффициент соответ-
соответствует теперь фейнмановской диаграмме фиг. VI 1.8, вычисляемой
Фиг. VII.8. Пример приведенной диаграммы высшего порядка, соответствую-
соответствующей фиг. VII.7.
в пространстве двух измерений. Очевидно, этот коэффициент, записан-
записанный в форме D.11), имеет вид
J Kl<* (e, s1; sj, t) (H-m*) '
Численные множители таковы, что после суммирования по N мы
получаем асимптотическое поведение типа
const I —n-—^—^ ,
J К (S, 8}, S%, t) (Sj — /П2)
D.13)
где
D.14)
Этот результат полностью согласуется с вкладом от разреза Амати —
Фубини — Стангеллини, рассмотренного в гл. V, § 3 (напомним, что
все это происходит, естественно, не на физическом листе).
of4 Л^
Фиг. VII.9. Фейнмаиовская диаграмма, которая после суммирования лестни-
лестницы дает реджевский разрез на физическом листе.
Чтобы получить разрезы на физическом листе, следует обратиться
к непланарным диаграммам типа показанной на фиг. VI 1.9. Анализ
15*

228 глава vii
этих диаграмм очень похож на проведенный выше анализ, за тем
исключением, что о^ на фиг. VI 1.6 заменяется теперь выражением
(сцаз—СС2СС4). которое может иметь нуль на физическом листе,
т. е. при положительных а. Свернутая диаграмма оказывается точно
такой же, как в предыдущем случае (а именно, совпадает с фиг. VI 1.8);
таким образом, мы получаем вклад D.13) и на физическом листе.
Отметим, что из нашего анализа не следует невозможность компен-
компенсации вкладов от разрезов аналогичными вкладами, обусловленными
другими наборами диаграмм. Однако такая компенсация крайне мало-
маловероятна, и, как мы видели в гл. V, § 6, присутствие некоторых разре-
разрезов является обязательным, так как в противном случае существо-
существование сингулярностей Грибова — Померанчука вступает в противо-
противоречие с границей Фруассара.
§ 5. ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ И РЕДЖЕЗАЦИЯ
ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ
До сих пор при обсуждении теории возмущений мы считали, что
все частицы имеют нулевой спин. Многие из полученных выше резуль-
результатов допускают обобщение, но доказательство становится гораздо
более сложным, так как числители фейнмановских интегралов теперь
содержат степени переменной t, благодаря которым при. рассеянии
частиц со спином в отсутствие сверхсхрдящихся соотношений, при-
приводящих к компенсации, траектории стремятся к пределам, располо-
расположенным выше —1.
Наиболее интересной особенностью, возникающей при рассмотре-
рассмотрении теории возмущений для частиц со спином, является предположе-
предположение, что истинная элементарная частица в результате учета некоторых
дополнительных фейнмановских диаграмм может оказаться «реджезо-
ванной». Чтобы понять это утверждение, следует четко представлять
себе, что в данном контексте понимается под «элементарной частицей».
До сих пор мы принимали, что в физике сильных взаимодействий
все частицы располагаются на траекториях Редже (это является частью
постулируемого принципа максимальной аналитичности второй степе-
степени).; поэтому в принципе их характеристики можно вычислить, зная
двойные спектральные функции. Однако возможно, что некоторые
ИЗ частиц не лежат на траекториях Редже, а соответствуют КДД-полю-
сам, которые содержатся в определенных парциальных амплитудах.
Такие частицы не будут входить в двойные спектральные функции.
Ясно, что существование частицы такого рода не влияет на аналити-
аналитически продолженную парциальную амплитуду (так как она однозначно
определяется амплитудами Aj (s) с физическими значениями J, превы-
превышающими любое произвольное число); поэтому при значении J, соот-
соответствующем элементарной частице, продолженная амплитуда не будет
совпадать с физической амплитудой. Таким образом, амплитуда
в этой точке не аналитична — она содержит дельта-образный вклад.

-ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ 229
Как указано в § 1 данной главы, в лагранжевой теории поля
«элементарными» являются также частицы, которые входят в лагран-
лагранжиан посредством соответствующих полевых операторов, а следова-
следовательно, которым отвечают линии фейнмановских диаграмм. Таким
образом, если, например, частица А является элементарной и если
она связана с двумя другими элементарными частицами В и С, то в раз-
разложение по теории возмущений будет входить диаграмма, показанная
на фиг. VII. 10, которая дает вклад только в парциальную волну
Фиг. VI 1.10. Фейнмановская диаграмма, которая приводит к 6-образной син-
сингулярности в парциальной амплитуде s-канала.
с J = оА, где оА — спин частицы. С другой стороны, если А не
является элементарной частицей, а состоит из Б и С и т. д., то такой
фейнмановской диаграммы не существует, и полюс, сопоставляемый
частице А, будет возникать из суммы диаграмм ВС —*- .ВС-рассеяния,
продолженной в точку, где лежит этот полюс.
Ясно, что в случае элементарной частицы диаграмма фиг. VI 1.10
дает в парциальную амплитуду неаналитический вклад вида 6/<тл.
Следовательно, существование такой частицы приводит, как правило,
к нарушению условия максимальной аналитичности второй степени.
Поскольку для лагранжевой теории поля характерно существование
хотя бы одного какого-то элементарного поля, то, казалось бы, такая
теория должна противоречить максимальной аналитичности; если бы
амплитуды на самом деле обладали реджевским асимптотическим
поведением, а все частицы располагались бы на траекториях Редже
(см. гл. VIII), то это говорило бы о несогласии теории поля с экспе-
экспериментом.
Согласно предположению Гелл-Манна и Голдбергера [2041, воз-
возможно, что сумма некоторых других диаграмм дает дельта-образный
член, в точности компенсирующий вышеупомянутый вклад типа 8Ja ,
в результате чего он заменяется траекторией Редже. Если это действи-
действительно так, то различить «элементарную» и «неэлементарную» частицы;
используя асимптотическое поведение' амплитуд, окажется невоз-
невозможным.
Чтобы показать, как конкретно это может происходить, рассмотрим
случай рассеяния векторной частицы на спинорной [204, 206]. Тогда
диаграмма фиг. VII. 10 при больших t будет вести себя как i°. Учтем
теперь диаграммы, аналогичные диаграммам, приведенным в § 3, кото-*

230
ГЛАВА VII
рые показаны на фиг. VII.11. Диаграмма фиг. VII.11, а при больших /
ведет себя как /-1, а диаграмма фиг. VII.11, б— как /° In /. Следо-
Следовательно, мы видим, что разложение, которое после суммирования
могло бы приводить к реджевскому поведению, не может начинать-
начинаться с диаграмм фиг. VII.11, а и б. Однако диаграммы фиг. VII.10
и фиг. VII.11, б обладают подходящим поведением, позволяющим
им быть первыми членами такого разложения. Если диаграммы более
высоких порядков также обладают подходящим поведением, чтобы
быть членами необходимого разложения, то кажущееся нереджевское
Фиг. VII.11. Лестничная диаграмма для рассеяния векторной частицы на
спинорной.
поведение фиг. VI 1.10 в точности компенсируется и заменяется пове-
поведением реджевского типа. Анализ членов высшего порядка весьма
сложен, но исследование членов низшего порядка показало, что они
обладают требуемым поведением. Однако этот метод является чрез-
чрезвычайно громоздким, поэтому дальнейшие подробности мы здесь
не приводим — читатель может найти их в цитированных работах.
Мы обратимся теперь к более изящному методу, предложенному Ман-
дельстамом [296].
§ 6. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ
Как было показано в предыдущем параграфе, элементарная частица
со спином а дает в любую амплитуду, в которую она может входить,
дельта-образный вклад 8Ja. Такие сингулярности могут возникать
также следующим образом. Рассмотрим парциальную амплитуду при
значении /, для которого некоторые из спиральных состояний могут
оказаться «бессмысленными» (см. гл. IV)- Очевидно, при вычислении
физических амплитуд с таким значением J этими «бессмысленными»
спиральными состояниями следует пренебречь. Однако для всех других
значений J такие спиральные состояния нужно учитывать, и если
их вклад не будет автоматически обращаться в нуль при рассматривае-
рассматриваемом физическом J, то продолженная в эту точку амплитуда не будет
совпадать с физической амплитудой. Следовательно, необходимо уста-
установить, воздействует ли полубессмысленная связь на амплитуду, соот-
соответствующую переходам между физическими состояниями.
Чтобы проанализировать этот вопрос, вспомним, что функция eJv»
входящая в проекцию Грибова — Фруассара, при значениях J, близ-

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ 231
ких к полубессмысленному значению /0, ведет себя как (J — Jo)~l/2-
Но таким поведением не может обладать амплитуда, на которую
наложено условие унитарности, и оно заменяется поведением типа
(J — JoI/2 (см. гл. V, § 5). Отметим, что мы рассматриваем здесь
только амплитуды с правильной сигнатурой (появление дельта-образ-
дельта-образного вклада в амплитуде с неправильной сигнатурой нас не интере-
интересует), поэтому полубессмысленная связь обращается в нуль так, как
это описано в гл. IV и V. Предположим, однако, что продолженная
парциальная амплитуда вычисляется с помощью разложения по теории
возмущений, в которое входит эффективный «потенциал» (этот термин
введен в гл. VI). Потенциал представляет собой проекцию на пар-
парциальную волну интеграла от скачка амплитуды A (s, t) на левом
разрезе, поэтому его вид не ограничивается условием унитарности.
Таким образом, можно ожидать (из проекции Грибова — Фруассара),
что потенциал будет вести себя как
(s\Vj\n)~ Ь , F.1а)
(j —Jo)
F.16)
(s | Vj | s> ~ const F.1 в)
для полубессмысленной, бессмысленной и физической амплитуд соот-
соответственно. В качестве примера потенциал можно аппроксимировать
простейшей диаграммой с одночастичным обменом. В случае рассея-
рассеяния векторной частицы (спин 1) на спинорной частице (спин 72)
такой диаграммой является диаграмма, показанная на фиг. VII.11, а.
При больших t она ведет себя как №, что соответствует неподвижной
сингулярности в F.1) при J = V2 (при наибольшем в этом случае
полубессмысленном значении).
Здесь следует подчеркнуть, что внешние частицы со спинами V2 и 1
мы рассматриваем как элементарные частицы; в противном случае,
как мы видели в гл. V, § 3, поведение f-'*, а следовательно, и беско-
бесконечность в F.1) при значении J = V2, компенсировались бы другими
вкладами в потенциал. В случае элементарных частиц, однако, пред-
представляется невероятным, чтобы происходила какая-то компенсация
такого рода, и в дальнейшем мы будем считать, что она не имеет места.
Запишем теперь формальное разложение в ряд теории возмущений
(по Vj) для амплитуды, соответствующей переходу из физического
в физическое состояние. Его можно представить в следующем ввде [79]:
n)(n\AJ\s)], F.2)
где индекс пп обозначает «небессмысленное» состояние, т. е. в первом
члене бессмысленные состояния не включаются в число промежуточ-
промежуточных состояний, в соответствии с чем суммирование во втором члене
в F.2) проводится только по бессмысленным состояниям. В каждом

232 ГЛАВА VII
члене суммы в F.2) множитель с V ведет себя как (J — Jo)~1/2, а мно-
множитель с А — как (J — JoI/2, и поэтому произведение является конеч-
конечным, но оно не равно нулю. Таким образом, в случае элементарных
частиц бессмысленные состояния оказывают влияние на продолжен-
продолженную амплитуду, соответствующую переходам из физического в физи-
физическое состояние; эта амплитуда не равна физической амплитуде,
которая совпадает с (s \ AJnn \ s).
Теперь нужно выяснить, при каких условиях разность между физи-
физической амплитудой в точке J = Jo и продолженными амплитудами
может в точности соответствовать б-функции элементарной частицы,
т. е. когда имеет место равенство
//0" = <s|X/|s>. F.3)
Такое поведение представляется невероятным; и действительно, оно,
как правило, не возникает, но в некоторых случаях оказывается
все же возможным.
Чтобы убедиться в этом, остановимся сначала на происхождении
различия между AJnn и AJ в обычных вычислениях N/D-типа. Ясно,
что левые разрезы этих амплитуд тождественны, т. е. они имеют
одинаковые «потенциалы». Для амплитуды AJ. условие унитарности
включает все спиральные состояния, но, как мы видели, при J = Jo
связь с бессмысленными состояниями в точности равна нулю. Таким
образом, единственное различие между двумя амплитудами возникает
из-за того, что при заданном левом разрезе и заданном условии уни-
унитарности решение неоднозначно — оно обладает КДД-неопределен-
ностью, т. е. в функции D (или N) могут появиться дополнительные
полюса. Фактически происходит следующее. Если рассматриваются
только физические состояния, то амплитуда AJ при произвольном
значении J, являющаяся решением iV/D-уравнений без КДД-полю-
КДД-полюсов, будучи продолженной в точку J = Jo, оказывается решением
с КДД-полюсами. Здесь мы имеем пример проявления свойства, кото-
которое упоминалось в гл. VI, § 3: существование или отсутствие КДД-
полюса в данной амплитуде определяется связью с другими каналами.
КДД-полюса появляются потому, что в задаче со связанными кана-
каналами в бессмысленных каналах имеются полюса Редже, которые при
слабом потенциале лежат в окрестности точки J = Jo, а при возра-
возрастании связи удаляются от J = Jo. Если бессмысленные каналы явно
не учитываются, то такие полюса Редже отсутствуют, и их следует
вводить в физические каналы в виде КДД-полюсов. Число необходи-
необходимых КДД-полюсов равно числу бессмысленных каналов, имеющихся
при рассматриваемом значении J.
Заметим далее, что на физических порогах парциальные амплитуды
должны удовлетворять различным пороговым условиям. Эти условия
накладывают ограничения на параметры элементарных частиц или
КДД-полюсов, которые можно ввести. Мандельстам [296] указал,
что в определенных случаях эти параметры определяются однозначно,

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ 233:
т. е. при заданном левом разрезе существует единственная амплитуда,,
содержащая не более одного КДД-полюса (или элементарной частицы),,
которая удовлетворяет пороговым условиям. Тогда соотношение F.3)
выполняется и обе его части совпадают с этим единственным решением.
Подобная ситуация возникает, например, в задаче рассеяния
частиц со спинами V2 и 1 (см. выше), когда рассматривается рассеяние
в s-канале, как это показано на фиг. VII. 11. В этом случае нас инте-
интересует состояние с положительной четностью и с J = V2; таких
состояний имеется три — два физических и одно бессмысленное.
В (/, 5)-представлении,- где / — орбитальный момент, a S — полный:
спин, имеем:
физические состояния
бессмысленное состояние
l=-U S = ±.
Чтобы исключить кинематическую сингулярность при s = О, перей-
перейдем к переменной w = Уs. Обобщенный принцип симметрии .Мак-
Дауэлла (гл. IV, § 7) устанавливает связь между значениями ампли-
амплитуд при отрицательных w и значениями амплитуд с противоположной
четностью при положительных w. Последних имеется также три::
физические состояния
1 = 2,
1 = 0,
бессмысленное состояние
1 = 0,
s=
s =
s =
та |<м
1
2 '
3
"'
Пороговые условия должны удовлетворяться при w = ± 2 т (здесь,
мы считаем, что обе частицы имеют массу т). Так как два физических,
состояния с положительной четностью имеют / = 1, то при w = 2 т
амплитуды трех соответствующих переходов будут иметь простой нуль,,
т. е. будут обладать поведением w — 2 т. Это дает три пороговых
условия. В случае физических состояний с отрицательной четностью
мы получаем: для амплитуды перехода между состояниями с / = 2'
поведение (w + 2 /лJ вблизи w = —2 т; для перекрестного члена,
поведение w + 2 т; для амплитуды перехода между состояниями
с I = 0 никаких условий не возникает. Таким образом, здесь также
имеется три условия.

234 ГЛАВА VII
Если амплитуды нормированы так, что кинематические сингуляр-
сингулярности при w = 0 отсутствуют, то на бесконечности они будут иметь
постоянное асимптотическое поведение. Таким образом, в трех ампли-
амплитудах, соответствующих переходам между физическими состояниями,
будет содержаться три неизвестных вычитательных константы. Ясно,
что при заданном левом разрезе удовлетворить шести пороговым усло-
условиям, имея только эти три параметра, в общем случае невозможно.
Однако если добавить КДД-полюс, то мы получим три дополнительных
параметра (положение полюса и факторизованный вычет), которые
соответствуют массе и константам связи элементарной частицы. Тогда
мы будем иметь шесть параметров на шесть условий и получим един-
единственное решение. Отметим, что это утверждение не зависит от свойств
левого разреза; значения шести параметров определяются, конечно,
левым разрезом, но если он задан, то параметры находятся однозначно.
Отсюда следует, что в рассматриваемом случае соотношение F.3)
выполняется; дельта-образные вклады сокращаются, и решение обла-
обладает реджевским поведением. Это подтверждает результаты, сформу-
сформулированные на основе анализа низших порядков теории возмущении.
К счастью, такое поведение (которое сильно затрудняло бы реше-
решение вопроса о том, каким образом можно экспериментально установить,
существуют ли элементарные частицы или нет) в общем случае не обна-
обнаружено. Оно несправедливо для рассеяния частицы спина 0 на частице
спина 1, а также в кросс-канале рассмотренного выше процесса
(т. е. в канале спин 1 + спин 1 —*- спин V2 + спин V2). Конечно,
неоднозначность амплитуд сама по себе еще не доказывает непригод-
непригодность соотношения F.3), но его нарушение в этих случаях можно
доказать, просто посмотрев на ряд теории возмущений. Правда, утверж-
утверждая это, мы считаем, что если соотношение F.3) несправедливо в неко-
некотором порядке теории возмущений, то оно несправедливо и вообще;
при этом отбрасывается возможность рассматривать F.3) в качестве
условия «самосогласованности» для констант связи. В работе [5]
приведен анализ, аналогичный описанному выше, для случая частиц
с произвольными спином и массой, и рассмотрены условия, при
которых решение единственно, т. е. имеет место реджезация.
Итак, мы обнаружили, что если элементарные частицы действи-
действительно существуют, то для какой-то определенной амплитуды они могут
не давать ожидаемого степенного поведения с постоянным показате-
показателем, но в других амплитудах они обязательно будут проявляться
именно таким способом. Приводит или не приводит данная «элемен-
«элементарная» частица к подобному поведению определенной амплитуды,
можно найти методом Мандельстама, обобщенным в работе [5].
Мы стоим на той позиции, что следует принять принцип «максимальной
аналитичности», и поэтому считаем, что элементарных частиц не суще-
существует. До сих пор нет ни одного аргумента в пользу противоположной
точки зрения, тогда как наша позиция, как будет видно в гл. VIII,
подтверждается большим количеством экспериментальных данных.

Глава Vlll
ОБЗОР ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ СИТУАЦИИ
§ 1. ТРАЕКТОРИИ РЕДЖЕ
/. Введение
В этой главе дается обзор экспериментальной ситуации с точки
зрения представлений о полюсах Редже и т. д., которые рассматри-
рассматривались в предыдущих главах книги. Нас будет интересовать главным
образом, насколько хорошо можно описать существующие экспери-
экспериментальные данные на основе предположения, что высокоэнергетиче-
высокоэнергетическое поведение амплитуд рассеяния определяется полюсами Редже.
Однако сначала мы должны рассмотреть имеющиеся в настоящее время
сведения о свойствах траекторий Редже в области, где они проходят
через физические значения /, проявляясь в виде связанных состояний
или резонансных состояний. В дальнейшем мы будем использовать
как термин «частица», так и термин «состояние» в применении к связан-
связанным состояниям или к резонансам.
Как мы видели в гл. II, § 10, траектория соответствует физической
частице, когда она проходит через чередующиеся целые или в случае
фермионов полуцелые значения / при положительных s. Таким образом,
траектория Редже объединяет частицы, спины которых различаются
на две единицы, но которые обладают одинаковыми остальными кван-
квантовыми числами. Энергетическое расстояние между двумя такими
частицами зависит от наклона траектории; если воспользоваться аргу-
аргументами, основанными на анализе потенциального рассеяния, согласно
которым величина da. (s)/ds связана с «радиусом» состояния, и следо-
следовательно, с радиусом сильных взаимодействий (см. гл. III, § 1),
то можно ожидать, что наклон по порядку величины равен 1 Гэв~2,
что соответствует радиусу около 1O~1S см. По-видимому, это согла-
согласуется с экспериментальными данными, как в области s > 0, так
и в области s << 0 (см. ниже).
Поскольку большинство полностью отождествленных резонансов
(т. е. резонансов, для которых однозначно определены все квантовые
числа) имеют массы самое большее в несколько Гэв, неудивительно,
что многим траекториям сопоставлено лишь одно физическое значе-
значение /. Было обнаружено также несколько траекторий, которые про-
проходят через два или даже большее число физических значений, причем
предполагается, что некоторые из них поднимаются до весьма больших
значений /. Конечно, нет никаких оснований считать, что данная
траектория не может повернуть прежде, чем она пересечет более чем
одно физическое значение, и действительно, как мы видели в гл. VI,

236
ГЛАВА VIII
в некоторых распространенных моделях зашнуровки, например в тео-
теории потенциального рассеяния, траектории изменяют свое направле-
направление очень быстро. Однако в действительности труднее всего объяснить
тот факт, что в широком интервале энергий траектории прямолинейны.
2. Мезонные траектории
Рассмотрим сначала хорошо установленные мезонные траектории.
При этом удобно воспользоваться схемой классификации, основанной
на группе симметрии SU C), согласно которой все надежно установ-
установленные мезоны можно объединить в «нонеты», каждый из которых
МЕЗОННЫЕ НОНЕТЫ 1)
Таблица 1
JP
o-
1-
2+
0+
1 +
Частицы
К (К)
п
п'
р
К* (К*)
ш
Ф
At
Kv (KB)
/¦
•По
Кл(Кл)
Е
G
+
+
+
+
г
с
+
—
+
+
4-
1
V2
0
0
1
Va
0
0
1
о2
0
1
0
1
о8
0
Квадрат
массы, Гэв*
0,018
0,248
0,301
0,918
0,593
0,796
0,614
1,039
1,70
1,99
1,57
2,29
1,01
1,10
1,16
1,74
1,65
2,03
а@)
0,58 2)
0,45 з)
0,34*)
1,0 (Р)
0,73») (Р')
а'@)
1,00 8)
0,313)
0,35*)
0,12 3)
1,50 3)
1) Данные взяты из таблиц Розенфельда и др. [34 9]. Значения масс указаны для нейт-
нейтральных членов изоспииовых мультиплетов, а значения С — также для нейтральных членов
мультиплетов с /si,
2) См. [2371.
3) См. [345], решение 1.
1) См. ГЗЗЗ], елучай 2.

ОБЗОР ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ СИТУАЦИИ
237
состоит из SU (З)-октуплета и SU (З)-синглета. Три наиболее досто-
достоверных нонета, которые соответствуют физическим частицам при зна-
значениях Jp, равных 0", 1~, 2+, приведены в табл. 1; там же указаны
два менее достоверных нонета 0+ и 1+.
Было показано, что эти мезоны, по крайней мере 0~, 1~ и 2+,
достаточно хорошо размещаются по SU (З)-октуплетам, но ситуация
осложняется наличием смешивания между изосинглетным членом
октуплета и синглетным SU (З)-состоянием. Особенно важную роль
/ 2
s=M2, Гзвг
Фиг. VIII. 1. Диаграмма Чью — Фраучи для мезонов.
Значения масс частиц взяты из таблиц Розенфельда и др. [349], причем траектории прове-
проведены для тех случаев, в которых известна величина а @) (см. табл. 1).
играет это смешивание для частиц q> и ю, а также для частиц / и /'.
Экспериментальные основы SU C) обсуждаются в работах [276, 210],
к которым мы и отсылаем читателя. Если частицы лежат на траекто-
траекториях Редже, то можно построить так называемую «диаграмму Чью —
Фраучи» [ПО], отражающую зависимость Re {a (s)} от s. Такая диа-
диаграмма приведена на фиг. VIII.1; соответствующие кривые построены
с учетом значений а @), указанных в табл. 1, которые будут обосно-
обоснованы в последующих параграфах.
Если считать, что ниже порога наклон траекторий положителен,
как это должно быть, когда траектории не пересекаются (см. гл. III,
§ 1), то при s < 0 для нонета 0~ будем иметь a (s) < 0. Это означает,
что для большинства процессов вклады таких траекторий в амплитуду

238 ГЛАВА VIII
высокоэнергетического рассеяния в кросс-канале будут малыми
по сравнению с вкладами от других, более высоко лежащих мезонных
траекторий; поэтому при феноменологическом анализе они обычно
играют незначительную роль. Но это не противоречит тому, что с точки
зрения порождаемых сил такие траектории могут оказаться очень
существенными (см. гл. VI, § 4). Кроме того, иногда имеются ограни-
ограничения, благодаря которым, скажем, пион (имеющий а @) лишь немного
меньше нуля) не будет давать вклада в амплитуду данного процесса
в направлении вперед. Эти ограничения имеют большое значение,
и мы их подробно рассмотрим в § 6 и 7.
Траектории нонета 1~, в особенности р-мезонная траектория, изу-
изучены очень хорошо, и при феноменологическом анализе во многих
случаях, в частности для неупругих процессов, они весьма существен-
существенны. Но самые высокие траектории принадлежат нонету 2+, и во все
те процессы, в которых они могут принимать участие, эти траектории
дают обычно наиболее весомый вклад. В частности, траектории / и /'
имеют квантовые, числа вакуума, поэтому они оказывают влия-
влияние на высокоэнергетическое поведение всех упругих процессов.
В § 3 будет показано, что если амплитуды рассеяния при высоких
энергиях действительно определяются полюсами Редже кросс-канала,
то траектории, которые являются ведущими при s = 0, должны обла-
обладать квантовыми числами вакуума, и именно по этой причине Чью
и Фраучи [109] высказали предположение о существовании траекто-
траектории такого типа. Обычно она называется траекторией Померанчука,
или «померанчоном» (и иногда обозначается символом Р), так как
Померанчук [341] доказал несколько теорем о высокоэнергетическом
поведении, для истолкования которых оказывается достаточным пред-
представления о реджевских полюсных членах.
Как видно из фиг. VIII.1, очень правдоподобно, что траектория
/ является ведущей [т. е. имеет наибольшую величину а @)], 'поэтому
естественно отождествить / с померанчоном. Этот вопрос рассматри-
рассматривается в § 3. Траектории 2+ принимают значение J = 0, По-видимому,
при отрицательных s, где они не могут соответствовать частицам, так
что в этих точках вычеты должны равняться нулю.
Ближайшие «партнеры» трех достоверных нонетов будут возникать
при значениях Jp, равных 2~, 3~ и 4+ соответственно, но полностью
отождествленных частиц, которые могли бы играть роль этих членов
реджевских семейств, не установлено. Однако в работе [172] построено
распределение «недостающих масс» в реакции
л~ + р'—*-р+ (недостающая масса)"
путем измерения энергии отдачи протона. Это распределение обна-
обнаруживает сложную структуру, и помимо р и Л2, являющихся един-
единственными 'из перечисленных выше частиц, которые могли бы порож-
порождаться в этой реакции, обнаружено большое количество других пиков.

ОБЗОР ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ СИТУАЦИИ
239
Полученные пики нумеровались в порядке возрастания массы, а затем
строился график зависимости этих номеров от квадрата массы. Оказа-
Оказалось, что точки ложатся на прямую линию (фиг. VIII.2), поэтому
весьма заманчиво рассматривать всю фигуру как диаграмму Чью —
Фраучи, а прямую — как пару наложенных друг на друга траекторий
Редже с противоположными сигнатурами, приписывая частицам спины,
указанные на фигуре. Следует подчеркнуть, однако, что помимо слу-
случаев р и А 2, никаких прямых данных в пользу принятого (или же како-
какого-либо другого) сопоставления частицам спинов не существует,,
хотя гипотеза о больших зна- !
чениях спинов позволяет объ-
объяснить малость ширин выс-
высших состояний, наблюдав-
наблюдавшихся в работе [172]. Пик R,
несомненно, является не прос-
просто отдельным пиком, а вероят- е
но, содержит три резонанса. §
Другие данные, подтверждаю- ^
щие существование нестран- §•
ных частиц в области энергий, §
исследованной в работе [172], ^
рассматриваются в работе
[210].
Если прямая на фиг. VIII.2
действительно соответствует
диаграмме Чью — Фраучи, то, 0 1 2 3 4 5 а
как мы указывали в гл. VI, Мг,Гэвг
в рамках динамических теорий
возникают определенные труд-
трудности. Основную особенность
этого графика — отсутствие
кривизны — трудно понять
сточки зрения гипотезы зашнуровки, где «масштаб» энергий обычно при-
принимается равным примерно 1 Гэв. Заметим, что экстраполяция прямой
дает а. @) = 0,45, и чтобы она проходила через значение ар @), ука-
указанное .в табл. 1, необходимо приписать ей небольшую кривизну. Эта
кривизна имеет требуемый знак, так как из гл. III, § 1 мы знаем, что
А
г
/
V
Фиг. VIII.2. График зависимости номера
пика от квадрата массы [172].
Прямую можно интерпретировать как траекто-
траекторию a (s) = 0,45 + 1,05s.
(д)
ds*
> 0 при s < s0,
если две траектории (с одинаковыми квантовыми числами) не пере-
пересекаются, а никаких признаков такого пересечения не обнаружено.
Ниже будут приведены еще некоторые аргументы в пользу приближен-
приближенной прямолинейности траекторий, проходящих через несколько физи-
физических значений /, а в § 9 будут указаны возможные причины такого
поведения.

240 ГЛАВА VIII
Другая замечательная особенность графика фиг. VIП.2 заклю-
заключается в отсутствии какого-либо влияния сигнатуры — траектории
¦с противоположными сигнатурами почти полностью совпадают. Напом-
Напомним (см. гл. II, § 2 и 10), что силы, порождающие траектории с поло-
положительной сигнатурой, определяются суммой сингулярностей
t- и «-каналов, а траектории с отрицательной сигнатурой — их раз-
разностью. Это означает, что в рассматриваемом случае значительных
«обменных сил» не существует, т. е. в дисперсионное соотношение
с фиксированным s существенный вклад дает только один скачок
Dt (s, t). Интересно, что модель кварков (см. § 9) может весьма
просто объяснить обе эти особенности фиг. VIII.2.
Пять предполагаемых нонетов и более высокие нестранные члены
соответствующих им реджевских семейств, обнаруженные в работе [172],
исчерпывают почти все достаточно достоверные мезоны, которые поме-
помещены в таблицы Розенфельда и др. [3491. Остаются только частицы
б (965), ВA210), яA640) и /САA800), но все они не вполне достоверны
(свойства этих частиц рассматриваются в обзоре [210]). Особый инте-
интерес представляет б-мезон, хотя ни одно из его квантовых чисел, кроме
/ == 1, в настоящее время не известно.
Как указывалось в гл. III, § 8, реальных доказательств,.подтверж-
доказательств,.подтверждающих существование мезонных «дочерних» траекторий, не имеется.
Первая дочерняя траектория должна иметь противоположную по отно-
отношению к родительской траектории сигнатуру, но те же квантовые
числа, причем ее угловой момент при s = 0 на единицу меньше углового
момента родительской траектории. Мезон б, проявляющийся при энер-
энергии около 965 Мэв в виде небольшого горбика в спектре эффективных
масс [172], в настоящее время является единственным претендентом
на роль дочернего бозона. Приблизительно такое положение занимает
первая дочерняя траектория р-мезона, которая должна иметь Jp = 0+
и положительную G-четность [188]. Было бы очень интересно выяснить,
проявляются ли дочерние траектории в виде частиц (а их, конечно,
пытаются найти), но, как указывалось в гл. III, § 8, получение данных,
подтверждающих их существование, по-видимому, связано с большими
трудностями.
Конечно, отсутствие таких частиц еще не означает, что представ-
представление о дочерних траекториях является неверным, так как считать,
что дочерние траектории должны быть похожими на родитель-
родительские, вовсе не обязательно (см. гл. III, § 8). Они могут оказаться,
например, очень пологими, и поэтому никогда не достигнут физических
значений/, или, наоборот, они могут иметь практически тот же наклон,
что и родительские траектории, но их вычеты, при физических значе-
значениях / обращаются в нуль. И в том и в другом случае можно надеяться
обнаружить дочерние траектории только в качестве полюсов кросс-
канала, определяющих высокоэнергетическое поведение. Однако
по причинам, упоминавшимся в гл. III, и таким способом обнаружить
их далеко не.просто.

ОБЗОР ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ СИТУАЦИИ
241
НИЗШИМ СПИНОМ V2
^1 X.U_1,U Ч_ ili.li_»
Существует
1ИЯ С / = 3/2, 13
3. Барионные траектории
Обратимся теперь к барионным траекториям, причем сначала
мы рассмотрим те из них, которые имеют нулевую странность. Такие
траектории возникают в виде резонансов в я — Af-рассеянии и поэтому
изучены весьма подробно. Имеются две достоверные траектории
с / = V2, на одной из которых лежит частица с
а на другой — частица с низ-
низшим спином 3/2"
еще одна траектория
для которой низшее физичес-
физическое значение спина равно 3/2+.
На фиг. VII 1.3—VIП.5 пока-
показаны эти траектории вместе
со своими партнерами по груп-
группе SU C). Низшие состояния
отождествлены однозначно,
т. е. для них известны все
необходимые квантовые чис-
числа, а высшие состояния наб-
наблюдались в виде пиков с пра-
правильными значениями изоспи-
на, но их спины и четности не
определены. Как и мезоны,
/л
3
//
2
4
7
г
4
3
2
i
г
4рА
У
%4
у
1
3 4 5
Мг, Гэвг
8
Фиг. VIII.3. Траектории бариоиного ок-
туплета а (положительные четность и сиг-
сигнатура).
Черными кружками обозначены твердо установ-
установленные частицы, белыми кружками — состояния, ,
для которых известен только изоспнн /. Нук-
Нуклонная траектория приближенно описывается
формулой a. (s) = — 0,39 + 1,01s.
барионы размещаются на диаг-
диаграммах в точках, соответ-
соответствующих их массам, в том слу-
случае, если принять, что траекто-
траектории прямолинейны. При этом
снова частицы удивительным
образом располагаются как
раз там, где прямолинейные траектории Редже принимают физические
значения спина; поэтому кажется вполне вероятным, что сопоставляе-
сопоставляемые частицам спины, указанные на фиг. VIII.3—VIII.5, являются
правильными. В § 8, где обсуждается работа [47], приводятся аргу-
аргументы, подтверждающие в некоторых случаях такое сопо-
сопоставление.
Хорошо известно, что нуклон является членом SU (З)-октуплета,
а Л C—3 резонанс) — членом декуплета. Более проблематичным
является сопоставление октуплету другой траектории с / = V2. Для
траекторий странных частиц были обнаружены некоторые высшие
члены семейств, но общая ситуация здесь далеко не ясна. SU (З)-синг-
леты показаны на фиг. VII 1.6. Дальнейшие подробности, касающиеся
различных состояний, можно найти в обзорах [167, 309], а также
в статье [3491. Если сопоставить частицам спины, указанные на
16—650

/ 2
3 4 5 6
Мг, Гэв*
8 9 Ю
Фиг. VI11.4. Траектории барионного октуплета у (отрицательные четность
и сигнатура).
Траектория ЛГ приближенно описывается формулой ос (s) = — 0,46 + 0,88s.
Ж
2
I?
т
15

Ж
У
- ^
V
V/
А
у)
•
V
У/
/
У/
у
О 1
5 6
Мг, Гэвг
Ю U 12
Фиг. VIII.5. Траектории барионного декуплета б (положительная четность,
отрицательная сигнатура).
Траектория А приближенно описывается формулой a (s) = 0,15 -J- 0,90s.

ОБЗОР ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ СИТУАЦИИ
243
фиг. VI11.3—VI11.6, то окажутся охваченными почти все известные
барионные резонансы. Единственными важными исключениями
являются Рц- и некоторые 5-волновые состояния я — ЛГ-системы.
Наклоны всех этих траекторий примерно такие же, как и для
мезонов, т. е. равны приблизительно 1 Гэв~2, причем в весьма широком
интервале энергий кривизна траекторий не обнаружена. Это тем
более удивительно, что естественной переменной для фермионных
траекторий является l^s (см. гл. IV, §7), тогда как на всех графиках
изображена зависимость a. (s) от s. Принцип симметрии Мак-Дауэлла
[287] требует, чтобы существо-
существовали две траектории а4 (l^s)
и а2 (l^s), которые встре-
встречаются в точке V^s = 0. На
траектории а4 лежат физиче-
физические частицы со спином /
и с четностью (—lO/2, а на
траектории а2 — частицы со
спином / и с четностью
(—1)J+1''2, причем эти траек-
траектории удовлетворяют соотно-
соотношению
п
г
9
г
1
3
г
i
г
А
lZ
'У у
Y/
У/
4 5
Гзвг
Фиг. VIII.6. Траектории бариоиных син-
глетов у (отрицательные четность и сигна-
сигнатура) и Р (отрицательная четность, положи-
положительная сигнатура).
Траектория у приближенно описывается форму-
формулой a (s) = — 0,70 + 0,95s.
= a.2{—Vs) 012345678
при 5>0.
Эта проблема рассматри-
рассматривалась в работе[356] и в более
поздней работе [142], где было
предложено записывать тра-
траекторию в виде
что связывает состояния V2+ с состояниями V2~ и т. д., как показано-
на фиг. VIII.7 (см. также [120] и § 6 данной главы). Однако боль-
большинство требуемых состояний не известно, причем нет ни одного-
состояния, которое соответствовало бы декуплетам. Возможно, конеч-
конечно, что для всех физических значений при ]/~s<Z 0 вычет обращается
в нуль, и поэтому никаких частиц не возникает. Но если константа В
в A.1) не очень мала, то мы не получим прямолинейных траекторий,
а если она мала, то минимуму a (l^s) будет очень резким. Эта пробле-
проблема еще не решена.
Основной вывод этого параграфа заключается в том, что по суще-
существу все известные частицы удается классифицировать, объединив
SU C) с прямолинейными траекториями Редже. Ввиду огромного
количества учитываемых таким образом состояний, подобная класси-
классификация представляется удивительно простой. Однако аргументы
16*

244
ГЛАВА VIII
все же не настолько убедительны, чтобы принимать ее безоговорочно,
и, возможно, через несколько лет общая картина будет выглядеть
совершенно иначе.
Фиг. VIII.7. Одна из возможных форм траекторий барионного октуплета а,
связывающих его с состояниями 1/2~ и 6/2"~.
Известные состояния "/.- имеют слишком большие массы, чтобы их можно было поместить
иа какую-то простую кривую, связывающую две области переменной V1T.
§ 2. ПОЛЮСА РЕДЖЕ И ВЫСОКИЕ ЭНЕРГИИ
В гл. П,§ 9 было обнаружено, что существует непосредственная
связь между сингулярностями амплитуды в /8-плоскости и ее асимп-
асимптотическим поведением по t, примером чему является соотношение
(П.9.8). Это дает еще один способ отыскания сингулярностей в /„-пло-
/„-плоскости: исследовав поведение амплитуды при больших t в физической
области /-канала, можно определить a. (s) при s sg 0. (В дальнейшем
в этой главе мы будем считать, как это обычно принято в физике высо-
высоких энергий, 4tos — квадрат энергии, а —t — квадрат передаваемого
импульса.) Воспользовавшись кроссинг-симметрией, можно иначе ска-
сказать, что поведение амплитуды при больших s дает сведения о сингу-
лярностях в /^-плоскости при t -^ 0. Если рассмотреть еще рассеяние
назад, т. е. при и < 0, то мы можем, конечно, определить и сингу-
сингулярности по Ju.
В предыдущем параграфе мы видели, что имеется несколько траек-
траекторий Редже, которые лежат довольно высоко. С другой стороны,
в гл. V было показано, что разрезы соответствуют обмену по крайней
мере двумя полюсами (хотя это, конечно, не означает, что они лежат

ОБЗОР ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ СИТУАЦИИ 245
в /«-плоскости ниже указанных выше траекторий). Поэтому есте-
естественно сначала попытаться описать экспериментальные данные при
высоких энергиях только с помощью полюсов. Если разрезы также
играют существенную роль, то мы это, очевидно, обнаружим, так как
тогда нам не удастся получить таким способом адекватное описание
рассматриваемых явлений.
Прежде всего необходимо решить, обмен какими частицами может
происходить в кросс-канале данного процесса при заданных ограни-
ограничениях на квантовые числа. В результате будут определены допу-
допустимые траектории. После этого амплитуда представляется в виде
суммы вкладов от этих траекторий, т. е. для бесспиновых частиц
в виде
A(s, t)-=^Tt(t)Pailt)(zt), B.1)
где
Г,- (/) = 16я* [2а,- (О + 1] ft </) ' ^ПС7(Г ' B-2)
и делается предположение, что такое представление даст хорошее
описание экспериментальных данных. В последующих параграфах
мы рассмотрим возможные способы проверки этого предположения,
имея в виду, естественно, что траектории и вычеты являются свобод-
свободными параметрами, которые можно изменять для достижения необхо-
необходимого согласия теории с экспериментом. Но как только мы опреде-
определим траекторию Редже путем подгонки одной амплитуды, то эту же
траекторию нужно будет использовать и при подгонке всех других
амплитуд, так как она является общей для всех процессов. Аналогично
на вид вычетов накладываются условия, вытекающие из теоремы
о факторизации и кинематических ограничений, которые обсужда-
обсуждались в гл. IV, § 6.
Сначала мы сделаем наиболее простое предположение, а именно
примем, что для всех полюсов Редже функции a, (t) и у (t) ниже порога
вещественны. Такое предположение согласуется с большим количе-
количеством экспериментальных данных, но при этом возникают некоторые
противоречия, которые в дальнейшем могут нас вынудить отказаться
от него или от какого-то другого из сделанных допущений.
Прежде чем перейти к сравнению теории для высоких энергий
с экспериментом, важно постараться выяснить, что понимается под
высокой энергией. Этот вопрос имеет два аспекта, один из которых
тривиальный, а другой нетривиальный.
Тривиальный аспект состоит в том, что функция Ра (zt), входя-
входящая в B.1), обычно заменяется своим главным членом при боль-
больших zt. Для этого, очевидно, необходимо, чтобы zt было велико.
Согласно формуле (В1, 3.2.23), можно записать следующее разложе-
разложение:
...], B.3)

246 ГЛАВА VIII
и так как константы а и Ь одного порядка, указанную замену можно
провести, если
zt > 1. B.4)
В случае частиц с равными массами это приводит к требованию
поэтому для направления вперед, где t — О и q\ = — ma (m — масса
участвующих в данном процессе частиц), должно выполняться условие
sym*. B.5)
Аналогично в случае, когда массы частиц не равны, мы получаем
условие
s > т\, B.6)
где mi — масса наиболее тяжелой частицы. Здесь имеется, конечно,
одно осложнение, достаточно подробно рассмотренное в гл. III и свя-
связанное с тем, что вблизи точки t = О вследствие расходимости qt ред-
жевский полюсный член сам по себе может не доминировать. Если
для компенсации этой сингулярности используются дочерние траек-
траектории, то величина второго члена в разложении, соответствующем B.3),
будет определяться параметром, который характеризует несингуляр-
несингулярную часть первой дочерней траектории. Кроме того, если наклоны
родительской и дочерней траекторий не равны, то в разложении будут
присутствовать некоторые логарифмические члены, как в (II 1.7.4).
С другой стороны, если компенсация достигается за счет фонового
интеграла, как в выражении (III.6.9), то условие B.6), которое спра-
справедливо для реджевского полюсного члена при t = О, будет, по-види-
по-видимому, справедливо и для полной амплитуды в этой точке. В каждом
из этих случаев сохраняется нормальное реджевское асимптотическое
поведение.
Нетривиальная проблема заключается в том, чтобы решить, при
какой энергии данный полюс Редже начинает преобладать над другими
полюсами, которые лежат более низко, и над фоновым интегралом.
Относительная роль двух траекторий (скажем, 1 и 2) приблизительно
определяется величиной
Ti @
Г2 «(,)
Поэтому очевидно, если 1\ и Г2 одного порядка, то соответствующее
требование снова сведется к тому, чтобы zt было большим, и мы полу-
получим условие B.6). Но при этом принимается, что Г характеризует
величину связи. Мы знаем, что на самом деле Г (t) имеет точку ветвле-
ветвления на пороге, и в гл. VI, § 4 мы записали вычеты в виде
р (t) = у (t) (q*t)aW ^ v (О
Это было сделано потому, что у (f) имеет только динамические сингу-
сингулярности и является безразмерной величиной. Постоянный множи-

ОБЗОР ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ СИТУАЦИИ 247
тель qt выбирается так, чтобы у (t) не очень сильно зависело от t.
Подставляя это выражение в B.7), для отношения вкладов получаем
r2(t)(s/2<4J(> ( }
где
fJjJ i=l, 2. B.10)
Если принять, что Г является разумной характеристикой связи, то
данная траектория будет доминировать в том случае, если
5>9|., /=1,2. B.11)
Таким образом, это условие и является критерием, определяющим
понятие высокой энергии. Следовательно, энергетический масштаб
задается величиной^., а не массами, входящими в B.6). Стало обще-
общепринятым, следуя работе [221], для всех траекторий полагать
<7?«mfc« 1 Гэв*, B.12)
где tnN — масса нуклона. Мы уже указывали, что это — энергети-
энергетический масштаб в физике сильных взаимодействий, определяемый
наклонами траекторий. Теперь же мы получаем дальнейшее подтверж-
подтверждение, основанное на скорости изменения вычетов. Поскольку наклоны
траекторий определяют массы частиц с низшими спинами, между
условиями B.5) и B.11), по-видимому, должна существовать какая-то
более глубокая связь.
Поскольку траектория не доминирует над фоном до тех пор, лока
не удовлетворяется условие ,B.11), это дает грубый способ проверки
правильности выбора B.12). Как мы увидим ниже, экспериментальные
данные свидетельствуют о том, что реджевское асимптотическое пове-
поведение устанавливается к моменту, когда энергия достигает значения
в несколько Гэв, поэтому наша оценка приблизительно правильна.
В § 8 мы рассмотрим попытки связать области низких и высоких
энергий, записывая амплитуду в виде суммы резонансов прямого
канала и реджевских полюсных членов кросс-канала.
§ 3. ПОЛНЫЕ СЕЧЕНИЯ ПРИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЯХ
/. Полюса Редже и полные сечения
Полное сечение аполн (s) рассеяния двух частиц 1 и 2, усредненное
по спинам, связано с сечением упругого рассеяния вперед «оптической
теоремой»
B v)i B I) Ba2 + 1 Г1 Х
x 2 lm{('ki%2\A(s,0)\KiX2)} C.1)

248 ГЛАВА VIII
[ср. A.7.17)]. Таким образом, имеется линейное соотношение между
полными сечениями и вычетами амплитуды /-канала в полюсах Редже,
причем в него не входит никаких перекрестных членов. Благодаря
этому, а также вследствие простоты кинематики и отсутствия затруд-
затруднений, связанных со спином, полные сечения поддаются простому
анализу на основе представления о полюсах Редже [394].
Из B.1) и (Н.Э.17) имеем
Im {A (s, t)} a Ds (s, 0=J 1бя2 [2а, (*) + 1J р, (*) />в|@ (*). C-2)
что вместе с B.8) дает
Х[2аг@+1]7г@(-^-)а'(°. C-3)
где мы положили Sq = 2q*. Поэтому из C.1) получаем
стполнE) ^
где в Gt(t) включены все множители, входящие в C.1) и C.3). Сле-
Следует отметить, что так как в лабораторной системе импульс частицы 1
(частица 2 мишень) равен
In 12
I Рлаб | =
то в хорошем приближении при высоких энергиях (s ^
в асимптотике C.4) вместо s/s0 можно использовать величину
Поскольку
^1 лаб = ^" (s — "Л —
вместо s/s0 можно использовать также ?Лаб- Во всех экспериментах,
которые мы будем рассматривать, частицами мишени являются нукло-
нуклоны, так что т2 я* 1 Гэв, и если рЛаб измеряется в Гэв/с (или ?Лаб в Гзв),
то такая замена соответствует выбору s0 та 2 Гае2, как в B.12).
Имеются пять процессов, данные для которых поддаются анализу
такого рода; это NN-, NN-, KN-, KN- и лN-рассеяние. Каждый
из этих процессов может наблюдаться в двух изоспиновых состоя-
состояниях, поэтому всего мы имеем десять экспериментально измеряемых
полных сечений.
2. Предел Померанчука
Полные сечения обладают одним важным экспериментальным свой-
свойством: при s —*- оо они становятся, по-видимому, постоянными. Такое
поведение иллюстрирует фиг. VIП.8, на которой приведены имеющиеся

ОБЗОР ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ СИТУАЦИИ
249
PI
p
,^
pn
PP
7У
f
-}
}
Cn-
— —
1—
-
"^
^ -
— —
=
==-
—-.
данные. Не исключено, конечно, что ход сечений в пределе высоких
энергий носит степенной характер с небольшим показателем, т. е. сече-
сечение пропорционально s8, где е та 0 (из границы Фруассара следует,
что е.^0), или же этот ход является логарифмическим. Данные для
космических лучей, соответствующие более высоким энергиям, чем
ге, которые достигнуты в ускорителях, подтверждают почти полное
постоянство сечений [328], и мы пока
будем считать, что дело обстоит имен-
именно так.
Отсюда сразу следует, "что глав-
главными сингулярностями в /-плоскости
должны быть сингулярности при
Re J = 1. Таким образом, если мы
считаем, что высокоэнергетическое по-
ведение определяется полюсом Редже,
то, как это вытекает из C.4), нужно
потребовать, чтобы существовала тра-
траектория с а @) = 1. Далее, поскольку
полные сечения, естественно, положи-
положительны, то эта траектория должна да-
давать во все упругие амплитуды вклады
одного знака. Следовательно, она
должна иметь С = Р — +1 (см. ниже)
и 5 = 5=7 = 0. Кроме того, так
как нет ни одной физической сильно
взаимодействующей частицы с единич-
единичным спином и с нулевой массой, траек-
траектория должна иметь положительную
сигнатуру. Как мы упоминали в § 1,
именно к таким выводам пришли Чью
и Фраучи [109] в 1961 г. Но в то время
не было известно ни одной частицы, которая могла бы лежать на такой
траектории, и они смело постулировали ее существование. Эта частица
была названа «померанчоном», так как еще в 1958 г. Померанчук
1341] рассмотрел некоторые следствия (теоремы Померанчука), выте-
вытекающие из постоянства полных сечений при высоких энергиях. Тео-
Теоремы Померанчука удовлетворяются автоматически, если считать, что
все упругие процессы при высоких энергиях определяются траекто-
траекторией, соответствующей померанчону. Вследствие квантовых чисел,
свойственных траектории Померанчука, ее иногда называют «вакуум-
«вакуумной» траекторией.
Одна из целей, которую преследует теория Редже, заключается
в том, чтобы установить связь между состояниями частиц и высоко-
энергетическим поведением в кросс-канале; поэтому не совсем хорошо
начинать с того, что главный член просто «постулируется». Однако
это предположение сразу же привело к некоторым важным следствиям
62
58
54
50
46
30
26
22
18
14 4 б 8 (о a D F m'Wl2
Импульс, Гэв/с
Фиг. VIII.8. Графики зависи-
зависимости полных сечений от импуль-
импульса падающих частиц в лабора-
лабораторной системе [280].
Имеющиеся более поздние данные по
этим процессам при высоких энергиях
подтверждают показанное на рисунке
поведение.

250 ГЛАВА VIII
(не все из которых, как мы увидим, подтвердились), и в частности,
¦оно стимулировало поиски частиц со спином 2 + и с квантовыми числами
померанчона. Отметим, что Jp = 2+ есть наименьшее значение J,
при котором траектория Померанчука может проявляться в виде
физической частицы, так как, принимая da/dt >0 в области t <; 0,
получаем, что траектория принимает значение J = 0 при отрицатель-
отрицательном t. Поиски быстро увенчались успехом, и был открыт резонанс /
с массой 1254 ± 12 Мэв. Однако, как будет видно из дальнейшего,
мы не можем с полной уверенностью считать, что f и Р лежат на одной
и той же траектории.
Выражая результаты через константы связи траектории Померан-
Померанчука, получаем, что десять наблюдаемых полных сечений стремятся
к одной из трех величин: _
стполн (MV) = аполн (ЫЩ = (yPjj)*, C.5)
Ё. C-7)
причем каждое из соотношений выполняется для обоих значений
изоспина. Здесь мы включили все появляющиеся множители в у и вос-
воспользовались теоремой о факторизации.
Было предложено и несколько других объяснений постоянства
•асимптотического поведения полных сечений, основывающихся на пред-
представлении о неподвижных сингулярностях при J= 1. Так, например,
Оме [318] предположил, что существует неподвижный разрез, начи-
начинающийся при J = 1 [это приводит к тому, что полное сечение ведет
себя как (In s)]; в другой его работе [319] предполагается, что у амп-
амплитуды с положительной сигнатурой имеется неподвижный полюс
при J = 1 (как указывалось в гл. V, § 4, такой полюс может возни-
возникать в том случае, если в ./-плоскости есть соответствующие разрезы).
На данной стадии эти предположения представляются весьма про-
произвольными, и их мотивировку мы откладываем до § 6, п. 7.
3. Вклады других траекторий]
Прежде чем рассматривать отклонения от предела Померанчука,
-следует проанализировать ограничения, которые накладываются сох-
сохранением четности и инвариантностью по отношению к зарядовому
сопряжению на вклады всевозможных полюсов Редже. Рассмотрим
сначала инвариантность по отношению к зарядовому сопряжению
для процесса 1 + 2 -*- 1 + 2. В /-канале_ мы выберем аэбственные
состояния оператора С, т. е. состояния | П ) ± | 11) и | 22) ± | 22),
с С = ±1 соответственно. Отсюда следует, что траектории с С = +1
дают одинаковые вклады в амплитуды рассеяния 12 и 12, тогда как
траектории с С = —1 дают в эти амплитуды вклады противоположных
знаков.

ОБЗОР ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ СИТУАЦИИ
251
Для рассеяния 0~ мезонов на барионах два мезона имеют С = Р =
= (—1)J, и поэтому будут давать вклад только траектории с С = Р =
= У, где & — сигнатура. Оказывается [12, 360, 398], что это свой-
свойство имеет место и для любой траектории, которая дает вклад в усред-
усредненную по спину амплитуду нуклон-нуклонного рассеяния вперед.
Этот результат является, по-видимому, случайным и обусловлен свой-
свойствами нуклон-нуклонной крос-
кроссинг-матрицы.
Учитывая данные, приведенные
в § 1, мы видим, что для подгонки
десяти полных сечений с помощью
высоколежащих нонетов 0~, 1~ и2+
подходят только следующие траек-
траектории: /( = Р?), /', Аг, р, со, ф.
Как указывалось выше, вклады
этих траекторий в десять процес-
процессов зависят от их значений С,
а также от значений их изоспинов.
Используя изоспиновую кроссинг-
матрицу (общий анализ изоспино-
вых кроссинг-матриц можно найти
в работе [55]), легко получить
вклады, приведенные в табл. 2.
Заметим, что в действительности эта
таблица представляет собой три отдельные таблицы. Поэтому не нуж-
нужно думать, что из нее следует, например, что вклад р-мезона в niV-pac-
сеяние связан каким-то простым образом с его вкладом в /(W-pac-
сеяние. Даже относительные знаки вкладов в процессы nN, KN и NN
не обязательно являются правильными. Однако, что касается знака,
то обычно считается (в качестве предварительного предположения),
что вычеты имеют такой же знак, как и в физическом полюсе, т. е. при
t == т2, где т — масса соответствующей физической частицы. Этот
знак определяется из условия унитарности, и знаки, приведенные
в табл. 1, соответствуют такому соглашению.
Процесс
п-р
п+р
к-р,
К-п,
К+Р,
К+п,
рр
рп
рр-
рп
Таблица 2
Вклады траекторий
f + f
f + f
f+Г
f+f
f + Г
f+f
+P
—P
+р+со+<р + Л2
—р + ш+ф— Л2
—p—со—<р+Л2
+р—со— <р—А2
Относительные знаки вкладов извест-
известных траекторий Редже в десять доступных
измерению полных сечения. Если Р ие сов-
совпадает с f, то он будет входить в таблицу
точно так же, как / и /'.
При
4. Обработка экспериментальных данных
обработке экспериментальных значений полных сечений
в нашем распоряжении имеется 6 значений а @), соответствующих
траекториям }, /', Аг, р, со, ср (даже если мы не отождествляем Р cf),
причем для каждой из них имеются три параметра ^вязи, т. е. три
константы связи траектории с состояниями NN, КК и гаг. Неуди-
Неудивительно поэтому и, по-видимому, не так уж существенно, что значе-
значения полных сечений удается подогнать так, чтобы они совпадали
с экспериментальными данными. Однако эта процедура все же не сов-
совсем тривиальна, так как, образуя соответствующие комбинации из сече-

252 ГЛАВА VIII
ний, можно выделить вклады некоторых отдельных траекторий. Отме-
Отметим, в частности, что в следующие три комбинации
Д (лр) = а™*11 (п-р) — аполн (п+р), C.8)
А (К+р) — А (К+п) = [аполп (К+р) ~аполн (К~р)\ —
— [ап°лп (К+п) — аполн (К~п)], C.9)
А (рр) — А (рп) г [аполн (рр) — апол* (рр)] —
_ стполн (-„¦)] C.10)
входит только вклад р-мезона; поэтому энергетическая зависимость
этих трех комбинаций должна определяться одним и тем же значением
ар @). В действительности-вторые разности, заключенные в квадратные
скобки, в C.9) и C.10), экспериментально измерены не очень точно, но
разность сечений п+р- и я~/?-рассеяния известна с достаточной точно-
точностью и она дает хороший способ проверки степенной зависимости,
предсказываемой теорией Редже. Согласие является превосходным,
причем обработка результатов по методу наименьших квадратов при-
приводит к значению [281]
ар@)» 0,56 ±0,15. C.11)
Чтобы уменьшить число параметров, некоторые авторы восполь-
воспользовались предсказаниями SU C)-симметрии. Наиболее полный анализ
такого рода был проведен Баргером и Олссоном [49]. В их работе
использовались траектории нонетов 1" и 2+, а также траектория поме-
ранчона Р, который не отождествлялся с f. Нарушение SU (З)-сим-
метрии учитывалось путем предположения, что аф @) отличается
от а0 @) = аш @). Для констант связи использовались предсказания
точной SU (З)-симметрии; исключение составляли константы связи
померанчона, которые брались в качестве свободных параметров. Экспе-
Экспериментальные данные по сечениям представлялись в виде сумм и раз-
разностей этих величин
— ап0ЛН(ЛВ), C.12)
Л C.13)
Согласно нашему предыдущему анализу, в ААВ дают вклад только р,
шиф, так что имеются два значения а @) и четыре константы связи,
рассматриваемые в качестве параметров. Этими четырьмя константами
связи являются одна константа связи с мезонами, константа связи
мезонного октуплета с барионами, а также отношение f/d и некото-
некоторый параметр, который задает связь мезонного синглета с барионами.
На фиг. VIII.9 приведены типичные кривые, подогнанные под экспе-
экспериментальные данные при импульсах, превышающих примерно 5 Гэв/с.
Ясно, что эти кривые совпадают с экспериментальными данными в пре-

в 10 12 /4 16
РлаЬ>Гэв/°
18 20
25
20
1 '5
JL
J_
_L
J L
_L
8 Ю 12 /4 /6 Id 20
20
\
j
6 в Ю /2 /4 /6 18 20
РлаЬ>Гэв/с
Фиг. VIII. 9. Экспериментальные данные и теоретические кривые для рг
стей полных сечений Д (АВ) = спот(АВ) — ааоя"(АВ) [49].

254 ГЛАВА VIII
делах ошибок эксперимента. Найденные значения параметров равны
ар @) = 0,48 ± 0,05, C.14)
-J-=— 2,0±0,7, C-15)
0,2<аф@)<0,4. C.16)
Приведенное здесь отношение f/d соответствует «усредненной по спи-
спинам» связи, поэтому оно не поддается простому сравнению с другими
предсказываемыми значениями/Неравенства аф @) < ар @) следовало
ожидать, так как 1Щ > тр.
При теоретической обработке значений. 2 нужно учитывать только
вклады нонета 2+ и померанчона Р, так что всего имеется девять сво-
свободных параметров [а @) нонета 2+, три константы связи померанчона
и пять параметров, соответствующих связи нонета 2+]. Варьируя
эти параметры, можно добиться удовлетворительного согласия с экспе-
экспериментальными данными. Для отношения f/d, отвечающего связи
октуплета 2+ с барионами, получено значение
-?-= —0,20 ±0,06, C.17)
а величины a/@) = ay@) = a^2@) оказались равными
а2+@)^0,39 ±0,24. C.18)
Эти значения в какой-то мере зависят от предположений, которые
делаются относительно связей; дальнейшие подробности можно найти
в работе Бартера и Олссона [49].
Комбинирование SU C) с обменом полюсом Редже приводит к неко-
некоторым соотношениям между полными сечениями, которые не удается
вывести ни из одной из этих теорий, рассматриваемых в отдельности.
Так, например, можно получить соотношения Джонсона — Траймана
[249]
Д (/С» = 2А (К°р) = 2А (яр) C.19)
и соотношения Фройнда [193]
Д (рр) = 5Д(я/г) = -т- А (рп). C.20)
Причина, по которой данная модель симметрии дает больше резуль-
результатов, когда она используется совместно с теорией полюсов Редже,
а не просто применяется непосредственно к амплитуде, заключается
по существу в том, что в первом случае симметрия применяется к трех-
трехточечным функциям (т. е. вершинам), а не к четыреххвосткам. Таким
образом, SU C) с чистой /-связью плюс модель полюсов Редже дает
соотношения Джонсона — Траймана, для вывода которых другим
способом приходится постулировать для амплитуд симметрию типа
SU F) (см. монографии [82, 212], в которых дается обзор унитарных
симметрии).

ОБЗОР ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ СИТУАЦИИ 255-
Мы не будем здесь рассматривать подробнее эти проблемы, так
как на самом деле указанные соотношения выполняются не очень
хорошо, и, вообще говоря, доказательства, подтверждающие справед-
справедливость SU (З)-симметричных связей, почти отсутствуют. Анализ Бар-
Бартера и Олссона, описанный выше, показал, что SUC) в комбинации
с теорией Редже согласуется с экспериментальными данными, но эти
данные не определяют однозначно величин, фигурирующих в SU C)-
симметрии, — значения некоторых из параметров могут изменяться
в довольно широкой области.
В качестве примера другого метода обработки данных по полным
сечениям упомянем анализ, выполненный Хёгаасеном и Фриском х),
которые использовали только траектории р, со, А2, f ( = Р) и /'
и не прибегали ни к каким предсказаниям SU C)-симметрии. Для а @)'
брались следующие значения:
а, @)= 1,00, C.21>
ар@) = 0,57, C.22).
аЛ2@) = 0,40, C.23)-
а/. @)= 0,50, C.24)
аш@) = 0,52. C.25>
Последние четыре значения берутся из результатов обработки данных,
по другим процессам. Значения для р и Л2 надежно определяются
из данных по процессам л~р -*- п°п и л~р -*- цп соответственно-
(см. § 4 данной главы), но значения для f и со можно получить лишь
весьма приблизительно. Используя эти значения, Хёгаасен и Фриск:
получили превосходное согласие со всеми имеющимися данными.
по полным сечениям в области импульсов налетающих частиц, пре-
превышающих 6 Гэв/с.
В работе [75] полные сечения обрабатывались в рамках модели,
полюсов Редже, в которой допускалось отклонение аР @) от единицы.
К наилучшим результатам приводило значение
аР@) = 0,925 ±0,008. Г3.26)
Обоснованием такого подхода служило стремление удовлетворить раз-
различным соотношениям между сечениями, которые следуют из модели
алгебры токов для универсальной связи полюсов Редже [76], не тре-
требуя при этом, чтобы хотя бы некоторые из сечении были возрастающими:
функциями энергии. Указанное значение <хР гарантирует асимпто-
асимптотическое уменьшение всех полных сечений. Эта модель интересна тем,,
что она приводит к определенным соотношениям между мезон-барион-
ными и барион-барионными процессами, но так как некоторые ее пред-
предсказания, например упоминавшиеся выше соотношения Фройнда,,
Н. Н о g a a s о n, Herceg Novi Lectures 1966 (не опубликовано).

256 ГЛАВА VIII
резко противоречат эксперименту [53], мы здесь не будем рассматри-
рассматривать ее подробнее (см. по этим вопросам более позднюю работу [314]).
Здесь уместно отметить, однако, что существующие данные, включая
даже эксперименты с космическими лучами, не приводят однозначно
к равенству аР @) = 1 (см. также § 6, п. 8 данной главы).
5. Дисперсионные провала сумм для рассеяния вперед
До сих пор мы занимались обработкой экспериментальных данных
по полным сечениям, соответствующих интервалу значений лаборатор-
лабораторных импульсов примерно от 5 до 20 Гэв/с. Интересно также выяснить,
насколько хорошо предсказываемые значения согласуются с экспери-
экспериментом вне этой области. Если учитывать вклады резонансов прямого
канала, то для более низких энергий согласие оказывается чрезвычайно
хорошим вплоть до лабораторных импульсов 2—3 Гэв/с. Обсуждение
этих очень интересных результатов мы отложим до § 8. При более
высоких энергиях экспериментальные данные отсутствуют, но кое-
что можно сделать, используя дисперсионные соотношения для рас-
рассеяния вперед. Они связывают амплитуду рассеяния с интегралом
от ее мнимой части в направлении вперед, который в свою очередь
можно связать с интегралом от полного сечения. Зигот интеграл берется
по всей физической области энергий вплоть до бесконечности, и его
можно вычислить, воспользовавшись экспериментальными данными,
имеющимися до определенного значения энергии, а дальше — ред-
жевской полюсной формулой.
Впервые этот метод был предложен в работах Айджи [242, 243],
где было показано, что кроме померанчона должна существовать по
крайней мере еще одна траектория с а @) > 0 и с квантовыми числами
вакуума (ни /, ни /' в то время не были известны). В цитированных
работах используется амплитуда
где v — энергия пиона в лабораторной системе s-канала, которая
связана с s соотношением
(М — масса нуклона), причем единицы выбраны так, что масса пиона
равна единице. Тогда из оптической теоремы C.1) имеем
) 2 +р)]. C.28)
Обозначив вклад померанчона в /+(v) через /+p(v), получим, что
если кроме померанчона нет других траекторий с а @) > 0 и с кван-

ОБЗОР ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ СИТУАЦИИ 257
товыми числами вакуума, то разность
f+(v) = f+(v)-f+i»
стремится к нулю как некоторая отрицательная степень v. При этом
мы не учитываем, что в /-плоскости возможны другие сингулярности.
Таким образом, функция /'+(v) должна удовлетворять одномерному
дисперсионному соотношению без вычитаний. Учитывая нуклонный
полюс и используя тот факт, что s- и ы-каналы связаны кроссинг-сим-
кроссинг-симметрией, получаем
Г <v)~L
C-29)
Айджи положил в этом правиле сумм v = 1 и пришел к явному проти-
противоречию, которое он объяснил наличием второй траектории с'кванто-
с'квантовыми числами вакуума и с а @) > 0. В более поздней работе [243] он
рассматривал также значения t, далекие от направления вперед, и при
анализе учитывал две траектории (обозначаемые Р и Р') с квантовыми
числами вакуума и с а @) > 0. Оказалось, что согласие с эксперимен-
экспериментальными данными достигается в том случае, если
. а?7@)«0,5. C.30)
Теперь, когда мы знаем о существовании 2+-мезонов / и /', можно
отождествить Р' с /' (если Р отождествляется с f). В противном случае
предполагаемый мезон Р' обусловливает эффекты как /, так и /'.
Значение аР- @), полученное в работе [243], согласуется с рассмотрен-
рассмотренным выше значением, полученным в результате непосредственного
анализа, но ни один из этих методов не является достаточно надежным,
поэтому придавать особое значение такому совпадению скорее всего
не следует.
В качестве второго применения этого метода рассмотрим разность
амплитуд п~р- и я+р-рассеяния вперед, в которую, как мы видели,
из всех принимаемых во внимание траекторий дает вклад только р-ме-
зонная траектория. В работе [238] выписано дисперсионное соотношение
для этой величины, причем ниже 20 Гэв используются эксперимен-
экспериментальные данные для аполн (я~р) — аполн (я+р), а выше 20 Гэв — ред-
жевское полюсное выражение с р-траекториеЙ. Вкладом области интег-
интегрирования выше 20 Гэв пренебрегать нельзя, причем для него полу-
получается значение
ар@)«0,6, C.31)
которое согласуется с результатом, полученным из экспериментальных
данных в области ниже 20 Гэв [см. C.11) и C.14)].
В работе [244] дисперсионное соотношение для разности амплитуд
п~р- и я+р-рассеяния вперед проанализировано на основе предполо-
17—650

258 :ГЛАВА vin
жения, что в области '—1 <С а @) <с ар @) отсутствуют траектории,
которые могли бы давать вклад в эту величину. Авторы использовали
метод, аналогичный тому, который применялся выше при анализе
амплитуды /+ (v). Получающееся при этом правило сумм согласуется
с имеющимися в настоящее время экспериментальными данными,
но достигнутая точность не является достаточной для того, чтобы
можно было говорить об окончательной проверке. В § 7 будет пока-
показано, что наличие поляризации в яЛЛ-рассеянии с перезарядкой свиде-
свидетельствует о том, что в этой области существуют другие траектории
(или сингулярности какого-то другого типа).
§ 4. СЕЧЕНИЯ НЕУПРУГОГО РАССЕЯНИЯ ВПЕРЕД
/. Введение
Если поведение амплитуд при высоких энергиях определяется
полюсами Редже, то амплитуда рассеяния вперед для процесса, пока-
показанного на фиг. VIII.10, будет вести себя при больших s как s8"4^,
где ai3_2i (t) — главная траектория Редже, которая может взаимо-
•g^ / действовать с частицами 1 и 3~, а также
с частицами 2 и 4, a tf — значение t для
рассеяния вперед (zs=l). Согласно A.6.14),
Т *t=— (mi~mi)s(ml ~ mi) + О (~) , D.1)
т. е.
rS \ // > 0. D.2)
Фиг. VIII. 10. Процесс Аналогично этому, для рассеяния назад,
1 + 2-*3 + 4. которое является рассеянием вперед для
процесса 1 + 2 —> 4 + 3, при больших s
ожидается поведение sai4-32(u'\ где и, —значение и при z3= — 1,
т. е., как это следует из A.6.14),
_
\ S /
Очевидно, неупругие процессы подразделяются согласно тому, какие
из траекторий являются разрешенными, поэтому их удобно сгруп-
сгруппировать по этому признаку.
2. Возможен обмен померанчоном
Простейшими примерами этого класса процессов являются процессы
упругого рассеяния, которые мы рассматривали выше. Однако суще-
существуют и некоторые другие случаи, в которых разрешен обмен поме-
померанчоном Р ( = /?) и /'-мезоном, и для таких процессов амплитуда

ОБЗОР ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ СИТУАЦИИ - 259
рассеяния вперед по-прежнему будет вести себя как s1. Это предска-
предсказание теории Редже замечательно тем, что «дифракционное рассея-
рассеяние» (т. е. результат перехода частиц из упругого канала в многочис-
многочисленные неупругие каналы), которое обычно рассматривается в качестве
доминирующего вклада в упругое рассеяние при высоких энергиях,
не может иметь места в случае неупругого рассеяния, и с этой точки
зрения следовало бы ожидать, что при возрастании энергии все ампли-
амплитуды неупругого рассеяния вперед должны спадать по сравнению
с амплитудами упругого рассеяния.
При сравнении с экспериментом мы не можем использовать ампли-
амплитуду рассеяния вперед — приходится рассматривать полное сечение,
так как оно является единственной величиной, которая измерена
в интересующих нас случаях. Для неупругих процессов аналог опти-
оптической теоремы, который позволил бы установить связь их полного
сечения с амплитудой рассеяния вперед, отсутствует. Однако, согласно
модели полюсов Редже, дифференциальное сечение, выраженное
не через угол, а через /, ведет себя при больших s как
-gl~ const.s20^-2. D.4)
Чтобы убедиться в этом, достаточно подставить в A.7.12) представ-
представление Для амплитуды B.1).
Далее, основной вклад в полное сечение вносит лишь малая область
значений / вблизи t = 0, причем эта область почти не зависит от энер-
энергии (см. § 6). Поэтому полное сечение данного неупругого процесса
имеет вид?
a~const-s2a<°>-2. D.5)
Символ а мы используем для обозначения полного сечения данного
неупругого процесса; в предыдущем параграфе аполн обозначает полное
сечение всех процессов, которые могут происходить при заданном
начальном состоянии.
Таким образом, если доминирует померанчон, то мы получаем
const. D.6)
Этот результат великолепно подтверждается измерениями [20, 60],
выполненными для реакций
pp-^pN*t D.7)
где рассматривались изобары N* с массами 1238, 1400, 1520, 1690
и 2190 Мэв. Соответствующие результаты приведены на фиг. VI 11.11.
Мы видим, что сечение рождения N* A238) падает с ростом энергии,
как этого и следовало ожидать, так как такой изобар имеет / = 3/2,
и Р не может давать вклада в процесс его рождения. В то же время
сечения для других резонансов, которые все имеют квантовые числа
нуклона (за исключением спина), оказываются постоянными.
17*

260
ГЛАВА VIII
Таким образом, ситуация здесь вполне удовлетворительна для ред-
жевской модели, и следует надеяться, что дальнейшие эксперименты
подтвердят ее. Заметим, что если бы, наоборот, такое поведение
4,0
2,0 -
0,8 -
§ 0.4
I
Ь
1 as
оа\-
ав
0,4
¦ \
t
-
t
-
t
-
t
i\ i
1
p+p—
f
p+p^
i
P+T-*
i
p+p-+j
I
¦i
p+
p+
i
P+
i
i
1
Ы*№6)
i i l
N*0410)
1
i i
i i
1 1
* \
1 1 1
¦
to so
Импульс, Гзв/с
30
Фиг. VIII.11. Зависимость сечения рождения изобар в процессе рр-*¦ N*p
от импульса в лабораторной системе [240].
неГимело"места, то мы вынуждены были бы сделать один из двух, в рав-
равной мере неудовлетворительных, выводов. Либо по каким-то причинам
связь Р с состояниями 1+2 отсутствует, хотя ни одно из известных
квантовых !чисел ее не запрещает, либо траектории Померанчука нет,
и объяснить дифракционное рассеяние с помощью полюсов Редже
вообще невозможно.

ОБЗОР ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ СИТУАЦИИ 261
Довольно интересное, хотя и достаточно умозрительное применение
идеям этого параграфа нашел Моррисон [305]. Он отметил, что зави-
зависимость от изменения начальной энергии для реакции Nn ->- N -f- (лр)
в окрестности резонанса А2 (яр) свидетельствует о наличии неко-
некоторого вклада, обусловленного обменом померанчоном. Поскольку
для А2 такой обмен невозможен, Моррисон предложил считать, что
вблизи Az существует также резонанс с / = 1 и с /р = 1+ или 2~.
Грибов [215] указал, что очень интересно было бы получить инфор-
информацию о зависимости от изменения энергии для процесса, подобного
nN -*- O+N, где О+ — мезон с Jp = 0+ (если таковой существует).
Померанчон не может взаимодействовать с состоянием яО+, но разрез,
соответствующий двойному обмену померанчоном, связан с этим состоя-
состоянием, и при высоких энергиях он должен давать основной вклад в сече-
сечение. В противоположность другим процессам такого типа (для кото-
которых при достаточно высоких энергиях должны доминировать вклады
от разрезов), сечение этого процесса не должно резко убывать с ростом
энергии (ср. п. 6 данного параграфа и § 6, п. 9).
3. Обмен нестранным мезоном возможен, обмен померанчоном
запрещен
Для процессов этого класса главными являются траектории ноне-
нонетов 1 ~ и 2+, так что в соответствии с D.5) мы ожидаем, что при высоких
энергиях полное сечение будет вести себя как s~", где п близко к еди-
единице или меньше единицы, если принять во внимание наклон траек-
траектории [a (t) < а @) при t<zO]. Моррисон [303, 304] проанализи-
проанализировал большое число полных сечений, которые попадают в этот класс,
и в большинстве случаев значения п совпали с ожидаемыми.
Рассмотрим теперь более подробно конкретные примеры процессов
этого класса, причем сначала мы остановимся на процессах рассеяния
с перезарядкой. В действительности, если учесть изоспиновую инва-
инвариантность, они связаны с упругим рассеянием. Эту связь устанавли-
устанавливают следующие соотношения:
А (п-р -* п°п) = ^f И (я+р -> п+р) - А (п-р _> п-р)], D.8)
А (К~р -> К°п) = [А (К~р -+ К~Р) — А (Кгп -> К~п)], D.9)
А (К+п -> К°р) = [А (К+Р -* К+р) - А (К+п -> К+п)], D.10)
А (рр -^>~пп) = [А(рр-+рр) — А(рп-+рп)], D.11)
А (рп -* пр) = [А{рр-+ рр) — А(рп^ рп)]. D.12)
Эти соотношения выполняются для каждой спиральной амплитуды
при всех s и t. В случае мезон-барионного рассеяния при t = 0 имеется
только амплитуда для рассеяния без переворота спина (слагаемое,
соответствующее рассеянию вперед с переворотом спина, равно нулю

262 ГЛАВА VIII
вследствие сохранения углового момента — см. гл. IV, § 3). Поэтому,
воспользовавшись соотношениями D.8) — D.10), мы можем сразу же
установить связь между мнимой частью амплитуды рассеяния вперед
с перезарядкой и полными сечениями упругого рассеяния. Так, напри-
например, из D.8) и C.1) следует
Im {А (п~р ->п°п, s, *= 0)} = qaJ/s [аполн(я+ р, s) —аполн (лгр, s)].
D.13)
Отметим, однако, что в случае нуклон-нуклонного рассеяния вперед
с перезарядкой амплитуда с двойным переворотом спина, т. е. ампли-
амплитуда <72,— V2 | Л | — V2, V2), не обязательно равна нулю; поэтому
для такого процесса мы не можем установить связь между мнимой
частью амплитуды рассеяния вперед с перезарядкой и полным сече-
сечением.
Благодаря соотношениям типа D.13) измерение величины Im Л
для амплитуды рассеяния с перезарядкой при t = 0 не дает нового
способа'проверки теории Редже, независимого от методов, рассмотрен-
рассмотренных в предыдущем параграфе. Однако экспериментально измеряется
дифференциальное сечение, которое является не просто некото-
некоторой функцией полного сечения, а пропорционально величине
| Re Л |а + | Im Л |а. Соответствующие данные проанализированы
в работе [237] (см. также приведенную там библиографию), в которой
осуществлялась подгонка с помощью простого обмена реджевской
траекторией р-мезона (см. предыдущий параграф). Было получено
хорошее согласие теории с экспериментом в интервале значений
импульсов от 4 до 18 Гэв/с для значений ар @)
ар@) = 0,58 или 0,57 ±0,01. D.14)
Эти различные результаты связаны с тем, что для линейной экстра-
экстраполяции в точку t = 0 использовались экспериментальные данные из
области 0 < — t < 0,28 (Гэв/сJ или из области 0 <—t < 1,0 (Гэв/с)*
соответственно. Такие значения превосходно согласуются со значе-
значениями C.11), C.22) и C.31), полученными из анализа полных сечений,
что говорит о совпадении (в пределах экспериментальных ошибок)
энергетической зависимости вещественной и мнимой частей ампли-
амплитуды, как это и предсказывается теорией Редже. Мы еще коснемся
этого вопроса в следующем параграфе, при обсуждении фаз ампли-
амплитуд. Между прочим, этот результат подтверждает изоспиновую инва-
инвариантность при высоких энергиях.
В качестве второго примера процессов данного класса рассмотрим
реакцию
п~р—>г\п. D.15)
В этом случае квантовые числа таковы, что из известных нам траек-
траекторий (см. § 1) может давать вклад только Л2. В работе [333] проана-
проанализированы соответствующие данные и показано, что для сечения,

ОБЗОР ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ СИТУАЦИИ 263
экстраполированного в область рассеяния вперед, хорошее согласие
достигается, если aAi @) берется в пределах от 0,25 до 0,40. Этот
и предыдущий процессы более подробно рассматриваются в § 6.
В рассматриваемый класс процессов входят также реакции типа
PN-+VB, D.16)
где Р — псевдоскалярный мезон, V — векторный мезон и В — барион.
Для таких процессов возникает явление, описанное в конце гл. IV,
§ 5, поэтому их анализ играет особенно важную роль. Для рассеяния
вперед в s-канале угол zt не пропорционален s, а равен единице. Поэто-
Поэтому ожидается, что при высоких энергиях амплитуды рассеяния вперед
в ^-канале (zs = 0), включающие обмен спиральностью М, будут
вести себя как sP~M, а не s*. Легко показать [258], что для траекторий
с еР = Р (ЗР — сигнатура) в ^-канале возможны только амплитуды
сМ>0, тогда как в случае & = —Р имеются члены с М = 0. При-
Примером может служить процесс
nN-+pN, D.17)
где этот механизм приводит к тому, что преобладает я-траектория,
а не ш-траектория, хотя первая лежит ниже. В § 7 показано, что
анализ распределения продуктов распада р-мезона уже в какой-то
мере подтверждает такое поведение.
4. Возможен обмен странным мезоном
Типичными) процессами этого класса являются
тгр->АК° или 2°/С°, D.18)
К~р—*Ая° или 2+я--и т. д., D.19)
~рр—>ЛЛ и т. д. D.20)
Поскольку странные мезоны тяжелее самых легких нестранных мезо-
мезонов, принадлежащих тому же октуплету, их траектории лежат более,
низко, и сечения процессов этого класса должны убывать с ростом
энергии быстрее, чем сечения процессов класса 3. Это подтверж-
подтверждается данными, приведенными в докладе Моррисона [304]: сечения,
ведут себя как s~n, где л « 2. Однако для большинства процессов
этого класса имеющиеся данные являются недостаточно точными.
5. Возможен, обмен бар ионом
Примерами процессов этого 'класса"'[являются процессы мезон-ба-
рионного рассеяния назад, для которых ожидается, что в ы-канале
доминируют барионные траектории. Здесь сразу возникает вопрос,
лежит ли нуклон на траектории Редже или'он является ^элементарной»
частицей (в смысле, указанном в гл. VII). Интуитивно чувствуется,

264 ГЛАВА VIII
что если уж нуклон не «элементарен», то маловероятно, чтобы элемен-
элементарной была какая-либо другая сильно взаимодействующая частица.
Если бы нуклон был элементарной частицей, то в парциальную ампли-
амплитуду входил бы член типа 8ji/z и амплитуда рассеяния назад вела бы
себя как s1'2. В противном случае амплитуда должна обладать пове-
поведением saN<0), где aN @) <С V2, как это можно заключить из наклона
траектории.
В работе [120] проанализированы данные по п±р-рассеянию назад
в интервале значений импульсов от 4 до 10 Гэв/с. Существование двух
изоспиновых состояний позволяет разделить вклады нуклонной
и А-траекторий, и в результате было получено
aN@)«— 0,34. D.21)
Это свидетельствует, по-видимому, о том, что нуклон лежит на траек-
траектории Редже. Попутно подтверждается вывод, сделанный в гл. III,
§ 8, что реджевская формула справедлива и в том случае, когда при
больших s угол zu стремится не к бесконечности, а к единице. Неко-
Некоторые интересные особенности этого процесса рассматриваются в § 6.
6. Невозможен обмен никакими известными траекториями
Существуют некоторые процессы, которые в принципе возможны,
но в которые не может вносить вклад ни одна из известных траекторий.
Примером может служить реакция К~р -*¦ К°Е°, для которой тре-
требуется траектория со странностью 2. Вполне возможно, что в таких
процессах доминируют разрезы. Так, в упомянутом примере разрез,
обусловленный двойным обменом К*-мезонами и начинающийся при
ас@) = 2алс*@)-1, D.22)
возникал бы при значении —0,4 и давал бы, вероятно, главный вклад.
Однако до сих пор во всех реакциях такого типа не было обнаружено
ни одного случая, который соответствовал бы резкому убыванию
сечения с ростом энергии. Когда будет набрана более хорошая стати-
статистика, окажется возможным установить верхние пределы для вкладов
от разрезов.
§ 5. ФАЗА АМПЛИТУДЫ РАССЕЯНИЯ ВПЕРЕД
/. Предсказание теории полюсов Редже
Замечательное свойство теории Редже (которое, как будет пока-
показано ниже, является более общим, чем сама теория) заключается
в том, что она предсказывает однозначное соотношение между фазой
амплитуды и степенью ее энергетической зависимости. Так, если пове-
поведение некоторой амплитуды определяется траекторией a (f), и если
a (t) вещественно при физических t > 0, то при высоких энергиях

ОБЗОР ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ СИТУАЦИИ 265
амплитуда ведет себя как s0^'), а фаза амплитуды определяется форму-
формулой
18 cosna@± 1 ' ^ >
где знак плюс или минус выбирается в зависимости от того, положи-
положительна или отрицательна сигнатура. Эта формула вытекает из ред-
жевских формул (II. 10.3) или (IV.5.2). В гл. IV, § 6 мы указывали,
что в физической области s-канала кинематические разрезы не нару-
нарушают этих формул.
Для траектории Померанчука а @) = I, поэтому предсказывается,
что в пределе высоких энергий амплитуда рассеяния вперед является
чисто мнимой. На самом деле измерения, выполненные для
nN- и AW-рассеяния, говорят о том, что амплитуда не является"чисто
мнимой, но это и не удивительно, так как в § 3 мы видели, что при
достижимых в настоящее время энергиях другие траектории дают
в амплитуду вклады, соизмеримые с вкладом померанчона.
2. Экспериментальная проверка
Баргер и Олссон [49] использовали значения параметров, полу-
полученные ими при обработке данных по полным сечениям (см. § 3),
и вычислили отношение вещественной части амплитуды упругого рас-
рассеяния вперед к ее мнимой части. Фиг. VIII. 12 иллюстрирует, в какой
степени их предсказания согласуются с экспериментальными значе-
значениями отношения для процессов п±р-, рр- и ря-рассеяния. Уточненные
данные [176] указывают на небольшое расхождение в случае яр-рас-
яр-рассеяния при высоких энергиях, но неопределенность, возникающая
в процессе подгонки, такова, что этому расхождению вряд ли стоит
придавать большое значение. Для других процессов эксперименталь-
экспериментальных данных не имеется.
Здесь стоит подробнее остановиться на различии между п+р-
и я~р-рассеянием. Из табл. 2 и из формулы E.1) следует неравенство
Re А (я+р —> п+р, s, 0) < Re А (п~р —> п~р, s, 0). E.2}
Так как экспериментально установлено [174], что обе эти величины
отрицательны, то
| Re А (я+р —> я+р, s, 0) | > Re А {п~р —> п~р, s, 0) |. E.3)
Но для полных сечений (см. фиг. VIII.8) мы имеем
аполн (п~р) > аполн (п+р); E.4)
поэтому, объединяя E.3) с E.4), получаем
— Re А (п+р -+¦ я+р, s, 0) —Re Л (ягр -+¦ л~р, s, 0) ,,- ,-ч
Im А (п+р -» п+р, s, 0) -^ Im А {ягр -»- ягр, s, 0) " * '

E
I"
a:
-0,1
-0,2
-0,3
-0,4
0
-о,'
-0,2
-0,3
-«4
Р.Гзв/s-
8 10 /2 /4 /6 78 20
8
/0 /2 /4 /6 И 20 22
Ю /2 D /б /8 20
Фиг. VIII.12. Экспериментальные данные и теоретические кривые для отношения веществен-
вещественной и мнимой частей амплитуд рассеяния вперед для процессов: а — п*р и б — рр,рр,рп,
рп [49].
Пунктирные кривые соответствуют пределам ошибок, возникающих в процессе подгонки полных сечений.
Экспериментальные данные: / — Тейлора и др., 2 — Беллеттини и др., 3 — Фолей и др. [176], 4 — Кирил-
Кирилловой и др.

ОБЗОР ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ СИТУАЦИИ 267
Данные, приведенные на фиг. VIII. 12, по-видимому, противоречат
этому неравенству, но ошибки таковы, что в настоящее время нельзя
говорить об этом с полной определенностью. Ясно, что более точные
оценки вещественных частей этих амплитуд представляли бы огромный
интерес.
По существу тот же вопрос можно изучить, рассматривая прямо
амплитуду рассеяния с перезарядкой п~р -+¦ п°п. Считая, что ее пове-
поведение определяется р-мезонной траекторией, имеем
о _ Re А {ягр -+¦ поп, s, 0) _ irt nap @)
*— Im А {игр -*- яоя, s, 0) ~ Щ -~2~' &*>
или, воспользовавшись формулой C.11),
/?»1,25. E.7)
Таким образом,
s, *)|<=o
*-я«л,в,0)]. E.8)
Правую часть этого равенства можно оценить с помощью формул
C.1), D.8) и значений полных сечений п~р- и я+р-рассеяния. Полу-
Полученное таким способом значение левой части E.8) хорошо 'согласуется
с экспериментальными данными [49].
Из эксперимента известно, что
(уполн (К~р) > аполн (К~п) и аполн (К+р) > аполн (К+п),
откуда следует, что вычеты траекторий р и Аг должны иметь знаки,
указанные в табл. 2. Далее, из D.9), D.10) и E.1) следует, что вклады
р и Л 2 в вещественные части амплитуд рассеяния с перезарядкой
для .'процесса К+п -*- К°р входят с одним знаком, а для процесса
К~р -*¦ К°п они частично компенсируют друг друга. Поэтому можно
ожидать, что вещественная часть амплитуды в первом случае будет
больше, чем во втором. К сожалению, экспериментальные данные
для процесса К+п -*~ К°р отсутствуют; для процесса К~р ->• К°п
имеется всего один результат, соответствующий импульсу 9,5 Гэв/с,
который свидетельствует о том, что вещественная часть амплитуды
мала, как это и должно быть [48].
Имеется один случай, а именно лр-рассеяние с перезарядкой,
в котором возникает определенная трудность, связанная с предска-
предсказываемым значением фазы. Согласно изоспиновой инвариантности,
амплитуда рассеяния вперед без переворота спина связана с раз-
разностью полных сечений рр- и рл-рассеяния соотношением D.12).
Далее, из эксперимента известно, что примерно при 3,7 Гэв/с эта
разность меняет знак, т. е.
ополн (рр) ^ аполн (рл) E.9)

268 ГЛАВА VIII
для импульсов налетающих частиц ^ 3,7 Гэв/с. Такое поведение
нетрудно объяснить, используя данные табл. 2. Для этого требуется
лишь, чтобы вклады р и А2 при импульсе налетающих частиц, равном
3,7 Гэв/с, были равны. При более высоких импульсах будет домини-
доминировать р-мезон, так как его траектория расположена выше [см. C.8)
и текст ниже формулы D.15)]. Вклад А2 при более высокой энергии
определен недостаточно точно, но он согласуется с таким поведением
(см. [49]).
Благодаря тому, что р и А2 имеют разные сигнатуры, их вклады
в вещественную часть амплитуды пр-рассеяния с перезарядкой входят
с одинаковыми знаками, а в мнимую часть — с противоположными
знаками. Таким образом, в области достаточно низких энергий ампли-
амплитуда рассеяния с перезарядкой будет в основном вещественной.
Поскольку мнимая часть уже известна из данных по полным сечениям,
это позволяет получить нижний предел для сечения рассеяния вперед
с перезарядкой. Этот предел является именно нижним, так как в случае
процесса с перезарядкой может иметь место двойной переворот спина.
В работе [233] указывается, что такой нижний предел примерно
в 60 раз превышает экспериментальное значение сечения при 8 Гэв/с.
В более поздней работе [234] кроме упоминавшихся траекторий была
учтена также траектория р' с квантовыми числами р-мезона. В резуль-
результате удалось согласовать все экспериментальные данные вплоть
до 3 Гэв/с при выборе для аР' @) значения
cv@)» — 0,63. E.10)
В этой работе отмечается также, что с равным успехом можно исполь-
использовать и траекторию А'2 (с квантовыми числами Л2-мезона).
В этой связи уместно отметить, что на основе простых моделей
ожидается существование нескольких различных траекторий с одними
и теми же квантовыми числами. Однако вследствие влияния сигнатуры
они должны быть удалены друг от друга на две единицы углового
момента [а не на одну единицу, как это требуется для р'-мезона
в E.10)]. Например, в простой потенциальной модели мы получаем
траектории, которые стремятся к чередующимся целым числам. Суще-
Существует и другое решение проблемы — р'-траекторию можно рассмат-
рассматривать как проявление разреза в /-плоскости. Другие данные в пользу
существования р' (в качестве траектории Редже или некоторого
приближения к вкладу разреза) приведены в § 7 данной главы.
3. Другие способы вывода предсказаний теории Редже
Как отмечалось выше, предсказание теории полюсов Редже о суще-
существовании однозначной связи между фазой амплитуды и показателем
степени ее энергетического поведения можно получить и не используя
явно эту теорию. Чтобы убедиться в этом, допустим лишь, что
амплитуда A (s, t) удовлетворяет дисперсионному соотношению по s

ОБЗОР ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ СИТУАЦИИ 269
И ЧТО
lmA(s, t)
1т Л (s,
с некоторым вещественным а. Число вычитаний, которые необхо-
необходимо делать в дисперсионном соотношении, зависит от а. Предпо-
Предположим, например, что 0<а<;1; тогда можно ограничиться одним
вычитанием и записать дисперсионное соотношение в виде A.10.8)
пр. лев.
разр. разр.
где символ Р означает, что берется главное значение следующего
за ним интеграла. Подставляя E.11) и E.12) в E.13) и используя
формулы (Т2, 15.2.28) и (Т2, 14.2.5)
р1= —^-^tgita, E.14)
S —~ S
oo
2. j_^l_s'a-i=_sa-lcosecn(a_l.) E.15)
0
при s>0, получаем
Re{^is' 0} >— Cfctgna + cosecna]. E.16)
5** s—yoo
Объединяя эту асимптотику с E.11), получаем соотношение E.1).
Очевидно, это доказательство можно воспроизвести и для других
значений а.
Таким образом, мы видим, что согласие предсказываемого значе-
значения фазы с экспериментальными данными подтверждает степенное
поведение E.11) и E.12) и дисперсионное соотношение для ампли-
амплитуды, но не затрагивает другие аспекты теории Редже.
§ 6. УГЛОВАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СЕЧЕНИЙ
/. Полюса Редже а дифференциальные сечения
Вклад одиночного полюса Редже в амплитуду рассеяния имеет вид
, F.1)
где Г (t) — произведение вычета р (t) на кинематические множители.
Зависимость Р (/) от t не известна и для каждой траектории имеется

270
ГЛАВА VIII
много различных функций р (t) (некоторую связь между ними уста-
устанавливает теорема о факторизации), поэтому подгонка дифферен-
дифференциальных сечений является гораздо более сложным процессом, чем
в случае полных сечений.
Обычно из вычетов выделяются всевозможные кинематические
множители, хотя мы и видели в гл. IV, § 6, что никаких серьезных
оснований для такого выделения нет. При этом надеются, что в
представляющей интерес области
изменения инварианта t приве-
приведенный вычет будет приблизи-
приблизительно постоянным, но мы уви-
увидим, что эта надежда не всегда
оправдывается. До сих пор не
достигнуто общего соглашения
о наилучшем способе параметри-
параметризации функции р (f), что затруд-
затрудняет сравнение результатов, по-
полученных в работах разных ав-
авторов.
Имеет смысл указать на две
характерные черты, присущие
формуле F.1). Во-первых, она
предсказывает «стягивание» угло-
углового распределения при возра-
возрастании энергии, и во-вторых,
вследствие нулей функции Г (t)
в физической области в угловом
распределении возникают «про-
«провалы». Чтобы разобраться в пер-
первой проблеме, рассмотрим об-
0,4 0J5
-tjrse/c)'
Фиг. VIII. 13. Экспериментальные
данные по дифференциальным сечениям
процессов п~р и п+р при разных энер-
энергиях и подгоночные кривые [332, 345].
рр
ласть i « 0 и запишем
Тогда получим
AR (s, t) =
F.2)
F.3)
Мы видим, что если Г (t) изменя-
изменяется медленно [это справедливо,
конечно, лишь в том случае, если s0 в F.1) выбрано подходящим обра-
образом], то спад амплитуды в зависимости от квадрата переданного
импульса (равного —t) будет экспоненциальным. Кроме того, неза-
независимо от поведения Г (t), скорость этого спада увеличивается по мере
роста энергии, т. е. при возрастании энергии дифракционный пик
рассеяния вперед сужается. Этот результат является весьма неожи-

ОБЗОР ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ СИТУАЦИИ 271
данным. Он означает, что «размеры» области рассеяния при возра-
возрастании энергии неограниченно увеличиваются (по логарифмическому
закону), но при этом она размазывается, так что сохраняется посто-
постоянство полного сечения. Такой вывод резко стимулировал развитие
теории Редже после того, как экспериментально было замечено, что
дифракционный пикрр-рассеянйя, по-видимому, действительно сужает-
сужается. Однако более поздние измерения [173] показали, что в высоко-
высокоэнергетической области рр-рассеяния это поведение выражено не столь
явно и что в случае других процессов доказательства подобного суже-
сужения отсутствуют. Самые последние из имеющихся эксперименталь-
экспериментальных данных приведены на фиг. VIII. 13—VIII. 136.
Отсутствие сужения для большинства процессов упругого рассе-
рассеяния привело к тому, что многие физики вообще отказались от модели
полюсов Редже. При этом они руководствовались скорее эмоциональ-
эмоциональными, чем рациональными соображениями, так как из изложенного
в § 3 ясно, что при достигнутых в настоящее время энергиях в высо-
высокоэнергетическое рассеяние дают вклад несколько траекторий, тогда
как аргументы, приводящие к сужению, справедливы лишь в той
области, где рассеяние адекватно описывается одной траекторией.
Таким образом, отсутствие сужения хотя и несколько уменьшает
привлекательность модели, но не заставляет от нее отказываться.
Для упругого рассеяния общая ситуация оказывается весьма слож-
сложной, поэтому прежде чем перейти к рассмотрению попыток более
точного описания экспериментальных данных, мы сначала остановим-
остановимся на тех случаях, в которых достаточно учесть только одну траек-
траекторию.
2. я — N-рассеянае с перезарядкой а р-траекторая
Простейшим из всех имеющихся процессов является рассеяние
п~р ->¦ п°п. В ^-канале этой амплитуды (процесс NN ->¦ пп) имеется
два независимых вычета р-мезонной траектории, а именно ее вычеты
в @0 | А1 | ++) и @0 [ А1 \ -\—>. Для удобства сравнения мы будем
пользоваться здесь обозначениями работы [237], записывая диффе-
дифференциальное сечение рассеяния л~р -*- л°п в виде
T(t), F.4)
где
F.6)
здесь <о — энергия пиона в лабораторной системе, а = а (t) — траек-
траектория р-мезона и &± (f) — два независимых вычета с выделенными

0,4- 0,6
-Ufa/с)'
ОА "Об"
-ЦГэв/сТ
¦Ф и г. VIII. 13а._Экспериментальные данные по дифференциальным сечениям
процессов рр и рр при разных энергиях и подгоночные кривые [332, 345].

-i, (Гэв/сI
0,2 0.4 0,6
~ПГ1
Oj5 1,0
0,2 Ofi 06
-t,<n*/cf
Фиг. VIII.136. Экспериментальные данные по дифференциальным сечениям процессов /(+р и К~Р
при разных энергиях и подгоночные кривые [332, 345].

274
ГЛАВА VIII
кинематическими сингулярностями. Множитель a2 (t), стоящий в F.6)
перед &I (t), обусловлен тем, что / = О является полубессмысленным
значением для амплитуды <00 | А1 \ -\—> (см. гл. IV, § 6). Ниже
мы рассмотрим другое выражение для V (t).
1000
X
I
100
10
0,1
t 3,07
±3,67
4 4,83
ties
Ф 13,50
% 18,20
x 10,00
Гзв/с
t
f
i i i i
0,5
1,5
t
Фиг. VIII.14. Дифференциальные сечения процесса л~р -*¦ п°п при различ-
различных значениях импульса налетающих пионов [366].
Пунктирные кривые проведены по данный более раииих работ для 5,9, 9,8, 13,3 и 18,2 Гзе/с.
На фиг. VIII.14 приведены имеющиеся в настоящее время экспе-
экспериментальные данные [366]; ясно, что они содержат большое количе-
количество информации. На фиг. VIII.15 представлены графики функции
da/dt (я~р ->¦ п°п) в зависимости от In © при различных значениях t.
В соответствии с F.4) эти графики должны быть прямыми линиями
с наклонами, равными 2а (t) — 2 [множитель, заключенный в F.4)
в квадратные скобки, при не очень больших t пренебрежимо мал;

ОБЗОР ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ СИТУАЦИИ
275
в других случаях, рассматриваемых ниже, он учитывается]. Тот факт,
что наклоны линий на'фиг. VIII.15 при возрастании t становятся
более крутыми, свидетельствует о наличии сужения. Пунктирные
линии на фиг. VIII.15 дают наклоны, которые ожидаются в случае,
-t=opt
500
800
500
i
воо
500
1000
500
800
50О
ЗОО
Фиг. VIII. 15. Зависимость In (daldt) от In <о для процесса л~р —>- л°п [237].
Пунктирные линии соответствуют наклону 2« @) — 2. Сплошные линии — подгоночные
кривые для In (da/dt), полученные с a (t) = 0,57 + 0,91*.
когда наклон траектории равен нулю, т. е. a (t) = а @) = 0,57.
Для значений a (f) хорошее приближение дает линейная траектория
a(/)-a@) + te'@)f F.7)
что иллюстрирует фиг. VIII.16, на которой значения a (t), вычислен-
вычисленные согласно F.7), сравниваются со значениями a (t), полученными
непосредственно из фиг. VIII. 15. Наилучшие значения a @) и a (f)
18*

276
ГЛАВА VIII
Таблица 3
ЗНАЧЕНИЯ ПОДГОНОЧНЫХ ПАРАМЕТРОВ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
СЕЧЕНИЯ РАССЕЯНИЯ п-р—> поп [237]
Интервал значе-
значений со, Гэв
5,9—18,2
5,9-18,2
Интервал
значений — t
(Гзв/сJ
0-0,28
0—1,0
а@)
0,58±0,01
0,57±0,01
а' @),
(m/c)-a
1,00±0,11
0,91±0,06
Rea (m|)
(линейная
экстраполя-
экстраполяция)
1,16±0,07
1,10±0,04
приведены в табл. 3; в рассматриваемой области они немного зависят
от энергии и передаваемого импульса. На фиг. VIII.16 указаны также
значения функции a (t), полученные в более ранней работе [334],
где использовалась параметризация Пигнотти [3.35], при которой
накладывается требование, чтобы траектория проходила через точку,
соответствующую физическому р-мезону, и имела а (оо) = — 1 (см.
гл. V, § 7). В результате такой подгонки возникают траектории, более
кривые, чем этого требуют экспериментальные данные.
Из табл. 3 и фиг. VIII. 16 видно, что если интерполировать значе-
значения a (t) при t <С 0 прямой линией и продолжить эту прямую до J = 1,
то она пройдет вблизи массы р-мезона. Таким образом, имеется заме-
замечательная корреляция между физическим р-мезоном и эксперимен-
экспериментальными данными, представленными на фиг. VIII.14. Эта корреля-
корреляция едва ли является случайной, и она весьма убедительно подтверж-
подтверждает модель полюсов Редже. Отметим, что наличие незначительной
кривизны траектории на фиг. VIII. 16 и тот факт, что при / — 1 экстра-
экстраполированная прямая не совсем точно проходит через точку t = т%,
ни в коей мере не являются недостатками теории Редже. Более того,
как мы указывали выше, существование столь прямолинейных траек-
траекторий является довольно неожиданным (к этим вопросам мы еще вер-
вернемся в § 9).
Рассмотрим теперь зависимость дифференциального сечения от t.
На фиг. VIII.16а приведена кривая V (t), определяемая формулой F.6),
которая лучше всего соответствует экспериментальным данным. Она
имеет две интересные особенности: провал для рассеяния вперед и еще
один провал при t да — 0,6 Гэв/с. Оба эти провала нетрудно объяснить
на основе формулы F.6), не учитывая зависимость вычетов b± (t) от t.
Если предположить, что Ь- больше, чем Ь+, то множитель ta? (t)
будет иметь в точности такой вид, который необходим для того, чтобы
возникал провал при t = 0, а также при t та — 0,6 Гэв!с, где согласно
приведенным выше результатам a (t) « 0. Такое поведение является
примером второй характерной особенности, которая свойственна тео-
теории Редже и которая упоминалась в начале этого параграфа. Впервые
на нее указал Фраучи [181]. Отметим, что мы здесь привлекаем неза-

-1ft-
-1,5
-),0 -0,5 - 0
ЦГэв)г
Ф н г. VIII. 16. р-мезонная траекторня, получен-
полученная в работе [237] (А), н траекторня, полученная
в результате подгонкн [332] с применением фор-
формулы Пнгноттн (В).
2 Н
0,1 42 0,3 0,4 0,5 Ofi OJ Ofi
/)г
Ф н г. VIII.16а. Значения V(t)/V(O), полу-
полученные нз экспериментальных данных [336],
н подгоночная кривая [237], упоминаемая
в тексте.

278 ГЛАВА VIII
висимую информацию; выше a (t) определялось исключительно по из-
изменению энергии, а ее абсолютное значение при заданном t не исполь-
использовалось. На фиг. VIII.16а представлены результаты обработки экспе-
экспериментальных данных [237] для функции V (t), полученные в пред-
предположении b± (i) = b± @) и b-/b+ = 13. Однако авторы работы [237]
указывают, что если, как это обычно считается, основной вклад в элек-
электромагнитные формфакторы дает физический р-мезон, то на самом деле
отношение b-/b+ не может оставаться постоянным, так как при t =
= т.% оно должно принимать значение, приблизительно равное 3.
Аналогичное объяснение существования провала дается в работах
[23, 24].
В этом рассмотрении мы пока не учитывали одну возможность,
упоминавшуюся в гл. V, § 4. Амплитуда рассеяния NN ->• яя при
полубессмысленном значении / = 0, соответствующем неправильной
сигнатуре (т. е. амплитуда @0 | А~ (NN -*¦ яя) | V2, —V2), где индекс
минус у А~ отвечает сигнатуре), содержит неподвижный полюс; этот
полюс может возникать и в вычете траектории р-мезона, в точке, где
она принимает значение ар = 0. Если это действительно так, то полюс
компенсирует нуль, обусловленный множителем ар, поэтому приведен-
приведенное выше объяснение провала в дифференциальном сечении становится
непригодным. Анализ, проведенный в гл. V, не дает никаких указаний
на то, содержится ли на самом деле в вычете этот полюс, или он отсут-
отсутствует. Но даже если такой полюс возникает, то он, вероятно, в опре-
определенном смысле является «слабым», так как его происхождение свя-
связано с наличием третьей двойной спектральной функции. Таким обра-
образом, вполне правдоподобно, что в любом случае приведенное выше
объяснение провала (и аналогичное объяснение других провалов, еще
один пример которых рассматривается ниже) в основном является
правильным.
Итак, мы видим, что экспериментальные данные, относящиеся
к яЛ^-рассеянию с перезарядкой, по-видимому, очень хорошо описы-
описываются полюсом Редже р-мезона с удивительно прямолинейной траек-
траекторией и с отношением'функций Ь+ и Ь_, которое приближенно посто-
постоянно в области 0 > t > — 0,7 Гэв/с. Однако когда мы перейдем к ана-
анализу поляризации в этом процессе, мы увидим, что такая подгонка
удовлетворительна не во всех отношениях.
3. Рассеяние я~р -»- г\п и А ^-траектория
Филлипс и Рарита [333] провели аналогичный анализ процесса
п~р ->~ "(\п, в который из всех известных мезонов может давать вклад
только Л2. В этом случае также наблюдается явное сужение дифрак-
дифракционного пика, причем экспериментальные данные в области импуль-
импульсов, превышающих примерно 3 Гэв/с, хорошо описываются реджевской
фррмулой. На фиг. VIII. 17 приведена зависимость a (t) от t, получен-

ОБЗОР ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ СИТУАЦИИ
279
ная экспериментально в работе [333], и кривые, соответствующие
следующим четырем подгоночным формулам:
1- а@ = а@), F.8)
2. а (/) := а @) + ta' @), F.9)
V FЛ0)
{формула, предложенная Пигнотти [335]), причем учитывались два
разных варианта:
За. а(оо)=0, 36. а(оо)=— 1.
Наилучшие значения параметров и соответствующие значения х2 х)
приведены в табл. 4, где для сравнения указаны также ожидаемые зна-
значения Хожид (равные числу данных минус число параметров).
1,0
0,5
7
2
-—За
36
1 1 1 1
1
1
1
1
1
1
1
ь 1
1
1
1 1
/
\
>
1
-0,5
1,(Гэв/с)г
0,5
Фиг.
VIII. 17. Кривые зависимости a (t) от t (Лг-траектории), полученные
в результате обработки данных по рассеянию Л~р -*¦ r)°/i [333].
Мы видим, что в случае линейной подгоночной формулы наклон
Л2-траектории гораздо меньше наклона р-траектории. Одной из при-
причин этого является, по-видимому, отсутствие для рассматриваемого
процесса провала в дифференциальном сечении, аналогичного провалу
в сечении рассеяния л~р -*• л°п. Это означает, что траектория аА2 (t)
не должна проходить через нулевое значение, так как в противном
х) Эта величина используется при обработке экспериментальных данных
с помощью метода оценки достоверности гипотезы, носящего название критерия
X2-— Прим. ред.

280
ГЛАВА VIII
случае существовал бы провал, обусловленный обращением в нуль
амплитуды кросс-канала с переворотом спина при том значении i,
для которого аАг (t) = 0.
Таблица 4
ЗНАЧЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ДЛЯ ПРОЦЕССА п~р —> т\°п [333]
^Формула
1
2
За
36
а@)
0,25+0,02
0,34±0,03
0,40+0,04
0,35±0,03
а'@)
0,35+0,08
1,19±0,56
0,46±0,11
X2
39,9
21,4
18,8
20,4
ЛОЖИД
28
27
27
27
В работе [24] предлагается способ, позволяющий получить более
крутой наклон траектории за счет различия в свойствах вычетов.
Чтобы понять этот способ, напомним, что амплитуда /-канала с пере-
переворотом спина (-{— | Л' | 00 > имеет вычет, который обладает поведе-
поведением типа ]/^а в окрестности значения а = 0, так как при этом значе-
значении а амплитуда является полубессмысленной. Используя теорему
о факторизации, мы можем записать этот вычет в виде
а вычет, отвечающий амплитуде перехэда из физического в физиче-
физическое состояние, в виде
Множитель j/"a" естественно включить в y+L чтобы амплитуда пере-
перехода из физического состояния в физическое (Н—\- | А1 (п~р -+-
->-т)п) | 00 > не обращалась в нуль при a = 0. Это означает, что при
a = 0 траектория «выбирает» физическое состояние_(тогда^на не будет
связана с бессмысленной амплитудой рассеяния NN-+- NN, так как
соответствующий ей вычет равен vf-Vf-)- Другая возможность для
траектории заключается в том, что при a = 0 она «выбирает» бессмыс-
бессмысленное состояние; при этом т?ь» Vя"» 7ЯЯ и т- Д- должны иметь множи-
множитель V^a. Отметим, что если бы для р-мезона была выбрана эта вторая
возможность, то обе спиральные амплитуды рассеяния п~р ->• я°л
при a = 0 обращались бы в нуль. Это означало бы, что при учете
только р-траектории провал в дифференциальном сечении доходил
бы до нуля, и чтобы избежать противоречия с экспериментальными
данными, пришлось бы привлечь дополнительный вклад, создаваемый
фоном,
В случае Аг ситуация несколько иная, так как этот мезон имеет
положительную сигнатуру. Поэтому вычет Л2-траектории во всех

ОБЗОР ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ СИТУАЦИИ 28Г
амплитудах при a (t) = О должен равняться нулю, так как не может
существовать связанного состояния с t < 0 [нуль нужен для того,
чтобы скомпенсировать полюс, возникающий благодаря множителю
(sin яа)-1 в реджевской формуле]. Состояние с отрицательным /носит
название, «призрака», а его устранение с помощью нулевого вычета:
называют «убийством призрака». Если Л2 «выбирает» физическое состо-
состояние при a (t) = О, то чтобы ввести в р++ множитель а, необходимо-
потребовать существования в каждой функции у (t) дополнительного-
множителя Vol. Тогда р+_ ~ а3'2, и тем самым предсказывается про-
провал в сечении при а = 0. Однако если траектория «выбирает» бес-
бессмысленное состояние, то мы сразу же получим р++ ~ а и Р+- ~ Ка>-
так что для компенсации полюса (sin яа)-1 при а = 0 не требуется
никаких дополнительных множителей (как мы видели в гл. IV, § 2,.
функция dix- в полубессмысленном случае содержит множитель Va)..
В этом случае не будет провалов даже в тех точках, где траектория
аА2 @ проходит через нуль. Устраняя это ограничение, мы тем самым;
получаем большую свободу при описании экспериментальных данных.
4. Другие процессы мезон-нуклонного рассеяния с перезарядкой
Кроме п~р -*• п°п и л~р —»- г\п имеется еще два процесса этого*
типа, при которых требуется обмен траекторией с / = 1 в /-канале,
а именно, процессы К~р -»- К°п и К+п ->- К"р. Данные о втором из них
можно получить лишь из рассеяния /(-мезонов на дейтронах, и они
имеются только в области низких энергий, но относительно первого
процесса имеется довольно обширная экспериментальная информация.
Арбаб и др. [24] проанализировали одновременно три процесса: п~р -»-
->¦ п°п, п~р ->¦ цп и К~р -*• К°п (в последний дают вклад как р-, так
и Л2-траектории), причем были рассмотрены три возможных варианта:
1) р и Л 2 «выбирают» при а = 0 физическое состояние;
2) р «выбирает» физическое состояние, а А2 — бессмысленное-
состояние;
3) р и Л 2 «выбирают» бессмысленное состояние.
Для всех трех вариантов достигнуто хорошее согласие с экспери-
экспериментом (в 12 случаях) с помощью линейных траекторий. Оказалось,
что параметры р-траектории не очень чувствительны по отношению
к тому, какая из трех возможностей выбирается, причем во всех
случаях их значения близки к значениям, полученным выше. Однако-
параметры Л2-траектории, особенно ее наклон, изменяются в широких
пределах. В частности, во втором и третьем случаях удается получить,
гораздо больший наклон, чем прежде. Показано, что если у некоторых
вычетов допустимы некинематические нули (см. ниже в этом парагра-
параграфе), то даже в первом случае допустим наклон
ал2 @) « 0.85 (Гэв/с)-2.

282 ГЛАВА VIII
Дальнейшие подробности читатель может найти в работе [24]. Однако
из этого анализа ясно, что необходимо проделать еще большую экс-
экспериментальную работу, прежде чем можно будет окончательно
установить параметры Л2-траектории (включая вопрос о том, какое
состояние она «выбирает»— физическое или бессмысленное).
Рарита и Шварцшильд [344] показали, что р- и Л2-траектории,
полученные в результате анализа этих процессов, не могут объяснить
экспериментальные данные по /С+/г-рассеянию с перезарядкой при
2,3 Гэв/с, и, по-видимому, необходимо учитывать какой-то другой
вклад (они использовали гипотетический р'-мезон).
5. я±р-рассеянае назад и фермионные траектории
Интересным процессом, в котором участвует фермионная траекто-
траектория, является я±р-рассеяние назад. Предполагается, что здесь долж-
должны доминировать полюса Редже ы-канала (яЛ^->яЛ0- Превосходный
анализ этой проблемы проведен в работе [120]. Экспериментальные
данные имеют следующие две характерные особенности:
1) пик л+/7-рассеяния назад на порядок больше пика я~р-рассе-
яния назад;
2) сечение я+р-рассеяния имеет резкий провал при
«^-0,2 {Гэв/с)*. F.11)
Обе эти особенности нетрудно объяснить с помощью траекторий N
и Л. Поскольку связь нуклонной траектории является гораздо более
сильной, то учитывая, что эта траектория не дает вклада в я~р-рас-
сеяние назад, мы сразу приходим к указанному соотношению между
величинами пиков. Существование провала связывается с кинемати-
кинематическим множителем, возникающим, когда нуклонная траектория при-
принимает значение aN = —V2. Этот механизм полностью аналогичен
упоминавшемуся выше механизму, который приводит к провалу в диф-
дифференциальном сечении яА/'-рассеяния с перезарядкой (за исключением
того, что здесь участвует только одна связь), причем справедливы
те же замечания относительно возможности компенсации нуля непо-
неподвижным полюсом, который содержится в амплитуде при / = —V2
(это значение соответствует неправильной сигнатуре). Однако мы пред-
предполагаем, что такая компенсация или не происходит, или же она дает
«почти нуль».
Вследствие принципа симметрии Мак-Дауэлла (см. гл. IV, § 7)
нужно включать вклады траектории при обоих значениях + Vи>
и для возникновения провала необходимо, чтобы при и =
= — 0,2 (Гэв/сJ
а( + Уи)жа(-Уи)жО. F.12)
Это свидетельствует о том, что в каком-то приближении траекторию
можно считать четной функцией по ]^и, что, по-видимому, подтвержда-

ОБЗОР ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ СИТУАЦИИ
283
ется анализом расположенных на ней физических частиц (см. § 1
и фиг. VIII.7). Дальнейшие подробности, касающиеся обработки экс-
экспериментальных данных, см. в работе [120].
6. Обмен пионом при NN- и NN-рассеянии с перезарядкой
Имеются некоторые случаи, в которых угловая зависимость диф-
дифференциальных сечений не вполне понятна; к ним относятся процессы
NN- и А/'А/'-рассеяния с перезарядкой, т. е.
п-^п + р F.13)
р~-\-р—*~п + п. F.14)
Модель полюсов Редже требует, чтобы при высоких энергиях эти
процессы определялись обменом траекториями р и А2. Вполне вероят-
вероятно, что это так и есть, но в то же время совершенно очевидно, что
гр
1,5
S
у
г
\рп
Чл
>—i—Ь
0,2
1^,Гзв/с
0,4
0,5
0,6
Фиг. VIII.18. Дифференциальные сечения рр- и рл-рассеяния с перезарядкой
при 8 Гэв/с в зависимости от ~]/—t (чтобы выделить область малых значений t).
Кривая / соответствует вкладу обмена реджезованным пионом, а кривые 2 я 3 являются
подгоночными кривыми, полученными в работе [331] при использовании обмена пионом
и р-траекторией при учете конспирации.
при доступных в настоящее время энергиях (до 8 Гэв) объяснить экспе-
экспериментальные данные с помощью этих двух траекторий не удается.
Как мы видели, в случае яЛ^-рассеяния с перезарядкой необходимы
большие вклады с переворотом спина, которые действительно даютр
и Л 2. Однако для рассеяния вперед амплитуды с переворотом спина
должны, конечно, обращаться в нуль. Поэтому трудно объяснить нали-
наличие резкого пика дифференциального сечения для рассеяния вперед,
экспериментально обнаруженного для процессов F.13) и F.14). Соот-
Соответствующие данные при энергии 8 Гэв приведены на фиг. VIII. 18.
Еще одной траекторией, которая может давать вклад в рассматри-
рассматриваемые процессы, является пионная траектория. Поскольку масса

284 глава viii
пиона очень мала, отрезок траектории, получаемый в результате
экстраполяции из точки t = m?, соответствующей физической частице,
в точку t = О, является чрезвычайно коротким. Так как нам извест-
известна, кроме того, константа nAf-связи, мы можем достаточно точно пред-
предсказать вклад. Этот вклад показан на фиг. VIII. 18, где видно, что соот-
соответствующая кривая лежит гораздо выше экспериментальных точек
(кроме значений t, близких к нулю, где благодаря кинематическим
множителям вклад пионной траектории обращается в нуль). Таким
образом, пион также не может объяснить поведение дифференциаль-
дифференциального сечения, а никаких других известных траекторий, которые*могли
бы подходящим образом интерферировать с вкладом пиона, не суще-
существует (В имеет неправильную фазу). Выход из этого положения
указал Филлипс [331], который воспользовался представлением
о конспирации (см. гл. IV, § 6 и 9). Если кинематические ограничения
удовлетворяются за счет конспирации пионной и некоторой другой
траектории, то вовсе не обязательно, чтобы при t = 0 весь вклад пиона
обращался в нуль, и возникает возможность описания эксперименталь-
экспериментальных данных. Поскольку это один из немногих случаев, когда понятие
конспирации, по-видимому, может оказаться действительно полезным,
имеет смысл рассмотреть доказательство Филлипса несколько более
подробно.
Процессы NN и WN описываются пятью независимыми спиральны-
спиральными амплитудами, которые удобно обозначать как
F.15)
Эти амплитуды связаны с дифференциальным сечением соотношением
Пион дает вклад только в А2 и Ak, причем этот вклад равен
А2 = Aj — -3^- ![+еп —77гРп@ (у-)"^0. F.17)
где s0 —обычный масштабный множитель (который, как и в § 2,
принимается равным 2 Гэв2), а р„—вычет. Так как константа
яЛГ-связи равна g2« 14, то
4я2 « „ /da*(f)\ ... /с ю\
(b.lb)
т
Эти вклады одинаковы для процессов NN и NN.

ОБЗОР ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ СИТУАЦИИ
285
Поскольку амплитуда Л4 описывает процесс с переворотом спи-
ральности, то при t = 0 она должна обращаться в нуль. Если
конспирации нет, то этому условию можно удовлетворить, положив
fc(t)=tbl, F.19)
где Ь%—некоторая не равная нулю константа. Это, конечно, приво-
приводит к тому, что А2 также обращается в нуль, и мы получаем вклад,
показанный на фиг. VIП. 18, который резко противоречит эксперимен-
экспериментальным данным. Как мы знаем, при учете р и А2 это противоречие
может лишь усилиться.
Попытаемся теперь построить такую конспирацию, которая гаран-
гарантировала бы обращение в нуль амплитуд Ak и Аъ, описывающих про-
процессы с переворотом спиральности, но которая разрешала бы ампли-
амплитуде А2, не обязательно обращающейся в нуль, оставаться конечной.
Дополнительная траектория, участвующая в конспирации, должна
иметь квантовые числа пиона (за исключением четности); поэтому если
эта траектория выходит в правую полуплоскость переменной /,
то она должна порождать физические частицы при JPG = 0+~, 2+~
и т. д., причем при t = 0 она должна совпадать с пионной траекто-
траекторией, т. е.
• оя@) = ое@), F.20)
где индекс с обозначает траекторию, участвующую в конспирации.
В действительности при полной конспирации требуется, чтобы суще-
существовали и более низко расположенные траектории, но при нашем
анализе ими можно пренебречь. Филлипс показал, что если, не учиты-
учитывать вкладов, малых при t = 0, то вклад в амплитуду от траектории,
участвующей в конспирации, можно записать в виде
A3
4я 2sinjiac(/)
( — т
1
— т
— 1
где b\(t) — вычет, а
F.21)
F.22)
Поэтому при ? = 0 амплитуды А±, А3 и А5 автоматически обращаются
в нуль. Конспирация между вкладами F.17) и F.21), необходимая
для равенства нулю амплитуды Л4 при t = 0, требует, чтобы выпол-
выполнялось соотношение F.20) и условие
ас@)^@)=-^@). F.23)
Принимая, что траектории являются линейными, т. е.
an(t) = ac(t) = (t-m%)a', F.24)

286 ГЛАВА VIII
где а' = тдга, полагая
^^«« F.25)
и принимая, что Ь\ (t) — постоянная, значение которой определяется
условием F.23), мы можем достаточно хорошо описать эксперименталь-
экспериментальные данные. Поскольку траектории я и с дают одинаковые вклады
в процессы рп- и до-рассеяния, чтобы получить две разные кривые,
приведенные на фиг. VIII.18, необходимо учесть также р-мезон, пара-
параметры которого частично определяются в процессе обработки данных
по яЛ^-рассеянию с перезарядкой. Приведенные подгоночные формулы,
которые получил Филлипс, содержат 4 свободных параметра: Я, и v,
а также два параметра, определяющие вычет р-траектории. Можно
учесть вклад и Л2-мезона, но его параметры частично определяются
в процессе обработки данных по рассеянию п*р —>-т\п, и результаты
говорят о том, что вкладом этой траектории можно пренебречь. Ясно,
что если бы параметризация была более гибкой, то подгоночные фор-
формулы можно было бы улучшить, но при таком большом количестве
приближений и при столь малом числе экспериментальных данных
эта процедура не имеет реального смысла. Существенно то, что конс-
конспирация позволяет успешно описать экспериментальные данные, а без
ее включения добиться этого простыми средствами не удается.
Описанная подгонка имеет две существенные особенности. Во-пер-
Во-первых, вычет я-траектории вблизи точки t = О должен быстро изме-
изменяться [в формуле F.25) Я, я^ 1]. В результате вклад пиона в низшие
парциальные волны s-канала уменьшается, что аналогично действию
абсорбтивных поправок. Это обстоятельство чрезвычайно интересно,
так как описание процессов, определяемых обменом пионом, является
основным достижением абсорбтивной периферической модели (см. рабо-
работу [246] и приведенную в ней библиографию); в то же время было
не ясно, как связать это достижение с моделью полюсов Редже, так
как вклад полюса Редже в амплитуду рассеяния вперед обращается
в нуль. Однако, как мы увидим в п. 8 данного параграфа, представ-
представляется более естественным описывать абсорбтивные эффекты посред-
посредством реджевских разрезов.
Другая особенность, которую следует отметить, заключается в том,
что траектория, участвующая в конспирации, не порождает легкого
0+-мезона, поскольку, как видно из F.21), ее связь при ас (t) = О
обращается в нуль, т. е. если применять терминологию гл. IV, § 5,
эта траектория «выбирает» бессмысленное состояние. С другой сторо-
стороны, подгонку можно обеспечить и в том случае, когда связь не обращает-
обращается в нуль, но тогда траектория должна быть очень пологой, поэтому
•она также не может породить физическую частицу, во всяком случае
физическую частицу малой массы. Филлипс показал, что траектории,
не обладающие этими особенностями и тем самым приводящие к суще-
существованию частицы 0+~ малой массы, не могут удовлетворительно

ОБЗОР ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ СИТУАЦИИ
объяснить эксперимент. Таким образом, даже если рассмотренная конс-
конспирация правильно описывает экспериментальные данные по процес-
процессам NN- и AW-рассеяния, поиски подобных частиц являются безна-
безнадежным делом, и, естественно, что ни одна из них не "обнаружена-
7. Упругое рассеяние
Помимо рассмотренных выше случаев, в которых мы стремились,
выделить вклады одной или двух траекторий, было предпринято
несколько попыток описать различные процессы упругого рассеяния,.
для которых точные данные получены вплоть до весьма высоких энер-
энергий. Однако это преимущество почти полностью сводится на нет из-за
того, что приходится учитывать большое число траекторий, поэтому
в более поздних работах старались обрабатывать сразу несколько
процессов.
_ Имеются данные, касающиеся л*/?-, л±п-, К^р-, /С*"-, рр-, рп-,
рр- и /«-рассеяния, однако для процессов, в которых мишенью явля-
является нейтрон, необходимую информацию можно получить лишь путем,
вычитания результатов, соответствующих рассеянию на дейтронной
и протонной мишенях, и учета необходимых поправок на многократное
рассеяние (см., например, [200]), а это не всегда можно сделать с доста-
достаточной точностью. Таким образом, в основном обрабатываются данные
по полным сечениям и упругим дифференциальным сечениям п±р-,.
/С±/'-. рр- и /J/J-рассеяния, а также по процессам с перезарядкой:
п~р —*- п°п и К~р -*- К°п. Для большей части этих процессов имеются:
данные по крайней мере до 29 Гэв/с."
Согласно табл. 2, должны использоваться следующие траектории:
л±/>: /, f, р;
К±р, РР, рр: f, f, р, а), ф, Л2.
Очевидно, здесь имеется большое число параметров, поэтому для каж-
каждого значения дифференциального сечения упругого рассеяния можно
получить согласие множеством различных способов. Однако после
того, как параметры р-траектории найдены из данных по лМ-рас-
сеянию с перезарядкой, а вклад Л2-траектории в какой-то мере опре-
определен данными по /Ср-рассеянию с перезарядкой, можно надеяться,
что все остальные величины удастся определить с не очень большим,
произволом. Поскольку вклады со и ф во всех случаях имеют одинако-
одинаковую структуру, причем предполагается, что связь ф невелика, обычно ф
не учитывают, включая в а> все малые эффекты, к которым она приводит.
Кроме того, как показали Филлипс и Рарита [332], р и Л2 дают чрез-
чрезвычайно малые вклады в процессы рр и pp. Таким образом, основная;
задача, которая ставится при обработке данных по упругому рассе-
рассеянию, заключается в том, чтобы попытаться определить вклады /, f

288 ГЛАВА VIII
и (о (в дальнейшем мы принимаем, что f и f соответствуют Р и Р'
соответственно).
Траектории обычно задаются с помощью простых выражений F.9)
или F.10). Ввиду того, что определяемые экспериментально траекто-
траектории являются почти прямолинейными, такие двух- или трехпараметри-
ческие выражения можно применять во всей области переменной t,
в которой обычно обрабатываются данные, т. е. при — 1 < / <
~< 0 (Гэв/сJ. Для всех процессов должен использоваться, конечно,
один и тот же набор параметров траекторий.
С вычетами дело обстоит сложнее. Во-первых, в них необходимо
ввести.различные множители типа а (/), a (t) -+¦ I и т. д., чтобы «убить
призраков» и обеспечить равенство нулю полубессмысленной связи
при разных отрицательных целых (и нулевом) значениях а. Как мы
видели, это приводит к некоторой неопределенности, так как заранее
не известно, «выбирает» ли траектория физическое или бессмысленное
состояние. Во-вторых, экспериментальные данные, приведенные
на фиг. VIII.13, свидетельствуют о том, что дифференциальные сече-
сечения упругих процессов убывают экспоненциально. На самом деле
в указанной выше области переменной i (при заданном значении s)
эти сечения обычно можно описать с помощью формулы
A(st t)=Aoeat. F.26)
Выражение F.3), соответствующее одиночному полюсу Редже, содер-
содержит экспоненциальный множитель, однако он зависит только от а'
и связан с сужением дифракционного пика при возрастании энергии.
Дифференциальное сечение, по крайней мере для рр-рассеяния,
в доступной нам области энергий действительно несколько сужается.
Однако ни в одном из случаев ни этим, ни каким-либо другим спосо-
способом (например, потребовав, чтобы траектория проходила через связан-
связанные с ней физические частицы), не удается получить такие значения а',
которые соответствовали бы значениям параметра а, необходимым для
описания сечения с помощью формулы F.26). Поэтому нужный нам
экспоненциальный спад приходится приписывать вычетам. Поскольку
подобный спад является наиболее существенной характеристикой кри-
кривых, приведенных на фиг. VIII. 13, эта процедура, при которой за
основное свойство амплитуды рассеяния становится ответственной наша
параметризация, является, очевидно, совершенно произвольной, так
как весь предшествующий анализ не содержал никаких указаний
на возможность такого экспоненциального поведения вычета. В самом
деле, на основе дисперсионного соотношения для у (f) (III. 1.3I) можно
ожидать, что при больших отрицательных значениях t вычет изме-
изменяется как lit. Таким образом, обычно используется следующая пара-
параметризация вычетов:
Г (*) =
где f (а) содержит различные множители, в которые входят указанные
выше функции а.

ОБЗОР ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ СИТУАЦИИ 289
Кроме того, теорема о факторизации накладывает определенные
ограничения на параметры вычетов, соответствующих различным
процессам, и учет этих ограничений может привести к ряду трудностей.
Так, например, выше было показано, что в амплитуды рр- и рр-рас-
сеяния траектории f, f и А2 дают одинаковые вклады, а траектории р
и © — вклады противоположного знака. Поэтому разность дифферен-
дифференциальных сечений рр- и рр-рассеяния обусловлена интерференцией
между суммой вкладов от р' и <о и суммой вкладов от f, f и Аг. Все
подробности читатель может найти в превосходной статье Лидера
и Сланского [273], посвященной полюсам Редже в NN- и Л/ТУ-системах,
а здесь мы просто выпишем один из результатов этой работы:
da I da
\
dQ \-p dQ
= 1Г 2 2 (l-ctg-5-na»tgi-na^)r«r^sa'+aJ. F.27)
i—f,f',M i=p,<B
В этой формуле выражение в скобках обусловлено сигнатурными мно-
множителями, а Г,- — вычеты t-й траектории в данной амплитуде ^-канала
(все прочие несущественные множители включены в Г4). Величина Rtj
учитывает другие амплитуды /-канала; благодаря теореме о фактори-
факторизации для спиральных амплитуд ее можно записать в такой форме
с вещественным Ru (если а* и E,- вещественны при ^<0).
Далее, в экспериментах при высоких энергиях найдено, что при-
примерно при t = — 0,15 (Гэв/сJ левая часть F.27) изменяет свой знак,
являясь отрицательной при t < — 0,15 (Гэв/сK. При таких значениях t
сигнатурный множитель должен быть положительным (мы не рассмат-
рассматриваем возможность чрезвычайно резко изменяющихся траекторий,
что полностью противоречило бы другим данным). Таким образом,
при малых t один из вычетов должен изменять свой знак. Это происхо-
происходит в той области, где преобладание вклада f над вкладами Аг и f
достаточно велико, поэтому вполне допустимо считать, что изменять
свой знак должно Гр или Га, или Гу. Далее, экспериментальные
данные при высоких энергиях по каждому из сечений da/dQ | рр
и da/dQ |?p в отдельности исключают возможность изменения зна-
знака Г/. Кроме того, как это следует из теоремы о факторизации, если Гр
в процессе NN -*- NN принимает нулевое значение, то вычет р-траек-
тории в процессе NN -*- яя должен обращаться в нуль при этом зна-
значении t. Однако, как мы видели выше, такая возможность исключается
данными по яЛ^-рассеянию с перезарядкой. Следовательно, мы при-
приходим к выводу, что изменение знака обусловлено вкладом #>-траек-
тории и что rw проходит через нуль при некотором малом значении t.
Чрезвычайно важно попытаться получить какое-то подтверждение
(или опровержение) этого результата. С этой целью Лидер и Сланский
[273] предлагают исследовать определенные величины, характеризу-
19—650

290
ГЛАВА VIII
ющие-JViV- и NN -системы, которые позволяли бы эффективно выделить
©-траекторию и поэтому вблизи t = 0 обращались бы в нуль. Для
подобной проверки необходимо или измерять коэффициенты спиновой
корреляции (параметры триплетного рассеяния), или же точно опре-
определять разности второго порядка, например величину
da
dQ
ftfo
dQ
da
dQ
da
pn
которая зависит только от w-траектории. К сожалению, такие измере-
измерения пока не проведены. Однако этот результат в какой-то степени
подтверждается тем, что аналогичный эффект наблюдается для
/С±р-рассеяния:
но
da
da I da
dQ \к-р < ~dQ
K+p
К+р
при
при t« 0,
—0,2 (Гэв/сJ
Он также объясняется тем, что вычет ©-траектории для этого процесса
проходит через нуль, причем теорема о факторизации требует, чтобы
Гш, kn становилось равным нулю в той же точке, где и Г,», м„. Одна-
Однако этот эффект может возникать и за счет того, что в случае, когда аа
проходит через нуль, ее связи «выбирают» бессмысленное состояние.
Аналогичное изменение знака свойственно также сечению я±р-рас-
сеяния вблизи t «s — 0,05 (Гэв/сJ; его можно объяснить, считая, что
вычет р-траектории обращается в нуль.
На первый взгляд кажется нежелательным постулировать обраще-
обращение вычета в нуль, так как известно, что в простой одноканальной
потенциальной модели вычет не может обращаться в нуль [315].
Однако в случае релятивистского рассеяния это ограничение, по-види-
по-видимому, необязательно; кроме того, при наличии многих каналов вычеты
могут проходить через нуль даже в потенциальных моделях [141].
Некоторые ограничения накладывает также теорема о факториза-
факторизации, которая приводит к определенным соотношениям между ампли-
амплитудами разных процессов. Обозначим, например, вычеты данного
полюса Редже в амплитудах ^-канала
и в аналогичных амплитудах процесса NN—*-KK через р++, Р+1,
Р+^ и р^Е соответственно. Тогда, согласно ^теореме о факторизации,

ОБЗОР ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ СИТУАЦИИ 291
будем иметь
„х~У„~У ' F.28)
P++=Y++Y*,.
что приводит к соотношению
Щ-=1шг- F-29)
Это ограничение было учтено при обработке соответствующих данных,
и оказалось, что оно, по-видимому, не противоречит эксперименталь-
экспериментальным результатам.
После этих замечаний общего характера рассмотрим более подроб-
подробно процедуру обработки данных. Наиболее исчерпывающий анализ
проведен в работах Филлипса и Рариты [332] и Рариты и др. [345],
результаты которых мы приводим ниже. В первой из этих работ про-
проводится совместный анализ процессов я±р и /С±р-рассеяния, а во вто-
второй — я±р-, рр- и рр-рассеяния. В этих работах имеется подробная
библиография. Однако авторы не учитывали AW-рассеяния с переза-
перезарядкой, что было сделано в другой работе [171].
Для описания процессов я±р и /С±р-рассеяния используются
амплитуды А и В [362], которые связаны с экспериментально изме-
измеряемыми величинами соотношениями
l(S t)-L(^\[(i —\а\ DMhP+st
„поли (s) = 1^
sine Im (AB*)
где MN — масса нуклона, р—импульс мезона в лабораторной системе,
а Р — поляризация, которая определена в § 7 данной главы. Вклады
траекторий параметризуются следующим образом:
)f\: (
где | — сигнатурный множитель:
Ч1' <6-32)
19*

292
ГЛАВА VIII
El—энергия мезона в лабораторной системе, а Ео — константа, задаю-
задающая масштаб энергий, которая выбирается равной 1 Гэв. Вычеты
записываются в виде
ct =
ч г
F.33a)
F.336)
C0eci'aBa+l) для f, f\ A2,
Co [A + G) eci' - бе*»'] Ba + 1) для p, <o;
для /, f, Az,
, для p, со.
Поэтому в случае p и ю они могут изменять свой знак, что необ-
необходимо для объяснения описанного выше эффекта. Согласно F.29),
параметры, характеризующие вклады траекторий в nN- и KN-pac-
сеяние, связаны соотношением
At(nN) Bt(nN) ~Г°е • {v.ot)
Поэтому в случае Ft — 0 5?/C)-симметрия предсказывает, что Fo — 1
для f и f и Fo = 0,5 для р. Для траекторий используется параметри-
параметризация Пигнотти, т. е. формула F.10). В результате получается несколь-
несколько различных решений, зависящих от способа объяснения изменения
знака дифференциального сечения (см. выше). В табл. 5 приведено
Таблица 5
ЗНАЧЕНИЯ ПОДГОНОЧНЫХ ПАРАМЕТРОВ ДЛЯ я±р- и /С±р- РАССЕЯНИЯ
(РЕШЕНИЕ 1 ИЗ РАБОТЫ [332])
f
г
р
А,
ЙЗ
о
S
1,00
0,50
0,54
0,32
0,52
о
S
0,34
0,34
0,65
0,80
0;60
«<
6,55
19,6
2,45
3,34
5,99
еч
2,51
4,04
5,6
2,16
10,5
0,
0,
о
14
17
«о
-7
-101
56
-31
,5
,9
,2
0
8
1
1
С4
1
«О
,51
,1
,64
,76
"=>
0,31
0
0
0
,901
,279
,527
-0,23
-1,61
0,01
0
0
С!
,50
,86
аз
0,90
оДно из таких решений, полученное в предположении, что Ар и Аш
в соответствующих точках изменяют свой знак. На фиг. VIII.13
видно, что получается достаточно хорошая подгонка. Предсказания
5?/C)-симметрии для f и р оправдываются чрезвычайно хорошо,
но для f согласие является менее удовлетворительным. Наклоны
траекторий f и f оказываются гораздо меньшими, чем наклоны других
траекторий.
В более поздней работе [345] принимается несколько иная пара-
параметризация, а именно, такая, что при использовании прямолинейных

ОБЗОР ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ СИТУАЦИИ 293
траекторий F.9) их вклады при а = — 1 обращаются в нуль:
Г Сое^сс(сс+1) для f, /',
'~1 С0[A+С2)е^-С2](а+1) для р; {
) для /, /'
) для p. (
Для рр и рр-рассеяния пять амплитуд F.15) параметризуются сле-
следующим образом (такая параметризация была предложена в работе
[360]):
(§^), А=1,...,5, F.36)
где
Г2 = - Г4 = --^^ ф?г, F.37)
Эти амплитуды связаны с" физическими величинами соотношением
F.16), а также соотношениями
В вычеты Гй уже включены требования теоремы о факторизации,
и их можно выразить через две функции Ьх и Ьг (что облегчает срав-
сравнение с параметрами яЛ^-рассеяния):
F-39>
которые в свою очередь параметризуются следующим образом:
(a + l)l1/2 для f, /',
F'40)
для

294
ГЛАВА VIII
Множитель I — t/t0 используется для того, чтобы обеспечить измене-
изменение знака у вычета со-траектории. Тогда, согласно теореме о факто-
факторизации,
Для f, f
где
и е^
Одно из решений приведено в табл. 6. Степень расхождения между
Таблица 6
ЗНАЧЕНИЯ ПОДГОНОЧНЫХ ПАРАМЕТРОВ ДЛЯ я±р-, рр- и /Гр-РАССЕЯНИЯ
ПРИ <о = — 0,13 (решение 1 из работы [345])
f
f
p
1
0
0
0
о
s
,0
,73
,58
,45
?.?
81-
0
1
0
0
,12
,50
,94
,31
7
16
1
¦ Гэв
4
,23
,35
,47
t.
2
0
0
in
,36
,44
,20
15,2
q?
-3,69
-3,52
17,6
с
9
3
0
in
I
,38
,86
,34
3
5
3
eq
ЧЭ
,80
,04
,94
2
1
1
eq
«
,09
,06
,85
-16,4
ft
??
4,47
данными этой таблицы и значениями, приведенными в табл. 5, дает
некоторое представление о больших неопределенностях в определении
параметров. Наклон f-траектории резко уменьшается, тогда как f-
траектория имеет большой наклон, что позволяет приписать провал
и второй максимум в дифференциальных сечениях я^-рассеяния нулю
функции a.f. Ограничения, накладываемые теоремой о факторизации,
по-видимому, согласуются с существующими данными по поляриза-
поляризации, но эта проверка является не очень точной. Результаты находятся
также в разумном согласии с правилами сумм, рассмотренными в § 4.
То обстоятельство, что точка /'-траектории, отвечающая физической
частице, лежит столь высоко, означает (если описанная подгонка
правильна), что в рассматриваемой области энергий сечения еще очень
далеки от своих асимптотических значений. В работе [345] предсказы-
предсказываются асимптотические значения
NN
^°л?н=14,5жб,
аполн=7,3жб,
которые следует сравнить со значениями, приведенными на фиг. VIII.8.
Этим объясняется также, почему сужение дифракционного пика являет-
является столь малым. Траектория f будет доминировать лишь тогда,
когда будут достигнуты энергии, гораздо более высокие, чем те, кото-
которые имеются в настоящее время. Небольшое сужение, наблюдаемое

ОБЗОР ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ СИТУАЦИИ 295
при рр-рассеянии, обусловлено частичной компенсацией вкладов
от f- и со-траекторий. Как указано в § 3, п. 2, вследствие отсутствия
этого сужения одно время считалось, что траектория Померанчука
является очень пологой или что объяснить дифракционное рассеяние
¦с помощью Редже невозможно.
Все эти результаты, очевидно, следует рассматривать с известной
осторожностью, так как пока отсутствуют достаточно хорошие данные
по поляризации, остается довольно большой произвол, причем мы зна-
знаем, что в случаях, когда возможен обмен только одним полюсом, име-
имеются определенные трудности. Но тем не менее с помощью небольшого
числа полюсов Редже удается экономно описать огромное количество
экспериментальной информации, что уже само по себе является весьма
-обнадеживающим.
8. Процессы рождения
Вообще говоря, имеющиеся экспериментальные данные по угловым
распределениям в процессах рождения резонансов не настолько точны,
чтобы их можно было использовать для проверки модели полюсов
Редже или для проверки возможности конспирации. Тем не менее
этот вопрос рассматривается в нескольких работах, и нет никакого
¦сомнения, что в будущем, их появится гораздо больше.
Вонг [401] составил весьма полезную таблицу вкладов полюсов
Редже в различные процессы рождения (хотя, как мы указывали
в гл. IV, § 6, явное включение всех кинематических сингулярностей
в вычеты, как это сделал Вонг, является, по-видимому, ошибочным;
кроме того в этой работе не учтены некоторые кинематические огра-
ограничения). Фраучи и Джонс [184] исследовали процессы
обращая особое внимание на природу кинематических ограничений
на вычет пионной траектории, которая, согласно предположению,
должна доминировать в этих процессах. Они получили хорошее согла-
согласие с экспериментальными данными и обнаружили, что поведение
вычета можно полностью объяснить с помощью только «кинематиче-
«кинематических» эффектов. Этот последний результат противоречит выводам
более ранней работы C84], в которой учитывались не все пороговые
¦ограничения.
В ряде работ [57, 184, 235] рассматривается характер возможных
конспирации в процессах рождения векторных мезонов. В частности,
было отмечено [57], что если в Л/'Л/'-рассеянии имеет место пионная
конспирация, то из теоремы о факторизации следует, что в процессах
типа яМ-»-рД, nN-*-fA и КМ-*-К*& существует провал, соответ-
соответствующий рассеянию вперед. Экспериментальные данные не позво-
позволяют непосредственно проверить это утверждение, но параметризация,
использованная в работе [184] для описания этих процессов (см. вы-
выше), по-видимому, подтверждает существование такого провала.

296
ГЛАВА VIII
Имеется несколько неупругих процессов, которые можно удовле-
удовлетворительно описать с помощью обмена только р-мезоном, используя
полученную выше р-траекторию и постоянные приведенные вычеты.
Эти процессы указаны в табл. 7. В каждом случае для подгонки изме-
Таблица 7
НЕКОТОРЫЕ НЕУПРУГИЕ ПРОЦЕССЫ, СЕЧЕНИЯ КОТОРЫХ ОБРАБАТЫВАЛИСЬ
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПОЛЮСОВ РЕДЖЕ
Процесс
л+р ->¦ я.0А++ A238)
зх+р-*-ЗХОД++ A238)
л+р ->¦ A tp
К+р ->¦ /С°Д++ A238)
п+р _>. :гОД++ A238)
п+р ->¦ шД++ A238)
Энергия, Гэв
4; 8
4; 8
4; 6
3; 3,5; 5
2,8; 3,5; 4
2,4; 2,9; 4
— t, (Гэв/СJ
0<-*<0,8
0<-*<0,8
0<-*<1,0
0<-*<1,0
0<-*<1,0
0< — *<1.0
Литература
[269
[81
380
351
351
351
нения энергии и передаваемого импульса служит только один пара-
параметр. В работе [352] проанализированы также довольно скудные экс-
экспериментальные данные по процессам рр->- ЛЛ, 2Л и 22; при их
обработке учитывался обмен /С*-мезоном с траекторией ак* (t) да
да 0,4 + 0,7 t.
9. Реджевские разрезы
Хотя имеются все основания считать, что в плоскости углового
момента существуют разрезы (см. гл. V и VII), до сих пор большин-
большинство экспериментальных данных удавалось успешно описать с по-
помощью одних только полюсов. Однако нет никаких причин считать,
что полюса всегда должны преобладать, поэтому в тех случаях, когда
простая подгонка с помощью полюсов Редже представляется неудов-
неудовлетворительной, возникает искушение воспользоваться разрезами.
К сожалению, при учете вклада от разреза вводится большое коли-
количество свободных параметров. Кроме того всегда можно, конечно,
представить разрез в какой-то конечной области в виде некоторой
суперпозиции полюсов, поэтому влияние разреза трудно отличить
от эффектов, к которым приводит введение дополнительных полюсов.
Согласно (II.9.10), вклад разреза в амплитуду имеет вид
(s,t)= J
(фон)
F.42)
где g (I, s) определяется скачком на разрезе. Если принять, что при
ас функция g (I, s) регулярна, то асимптотический вклад разреза будет

ОБЗОР ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ СИТУАЦИИ
равен
Л±E, t) - const (JL)^-^—. F.43).
Он отличается от вклада полюса логарифмическим множителем,
но, конечно, разные модели для g (I, s) приводят к разному поведению
(см., например, [318]). Как было показано в гл. V, § 3 и в гл. VI,.
§ 4, разрез, возникающий в результате обмена двумя траекториями
а4 (t) и а2 (/), определяется выражением (V.3.4), т. е.
ае (t) = max [a, (t,) +a2 (tz) - 1], F.44)
а в случае я одинаковых траекторий а (/) в соответствии с (V.3.9)
получаем
(^). F.45)
Таким образом, если а —траектория Померанчука (f), причем, как
обычно, принимается af @) = 1, то получаем
а?@) = 1 F.46>
при всех я, а при п-*- оо наклон вклада от разреза стремится к нулю:
а? (?) -*¦ О- Из этих результатов следует, что хотя вследствие логаг
рифмического множителя полюс Померанчука может еще преобладать
над а? при t = 0, но при t<Z. 0 это утверждение уже не справедливо,
причем при бесконечном числе разрезов совсем не очевидно, что f пре-
преобладает даже при t = 0. Аналогично этому, в случаях, подобных яЛ^-
рассеянию с перезарядкой, рассмотренному выше, где не может проис-
происходить обмен померанчоном и где должна преобладать р-траектория,
также можно ожидать, что. будут существовать разрезы, обусловлен-
обусловленные обменом комбинацией р -j- nf, который приводит к такому же сгу-
сгущению разрезов при ар @). Таким образом, возможно, что при обра-
обработке данных по сечениям, рассмотренной в § 3 и 4, в действитель-
действительности использовалась зависимость s^*0', характерная для таких раз-
разрезов. Кроме того, вполне возможно, что трудности, возникающие
в процессе подгонки дифференциальных сечений, в частности аномаль-
аномально малый наклон Р-траектории в табл. 1, указывает на то, что мы
имеем дело с влиянием разрезов. Однако тогда очень трудно понять,
почему наклоны р- и Л2-траекторий оказываются столь большими,
так что к подобной аргументации следует относиться с некоторой
осторожностью.
Перси и Серторио [343] предприняли попытку выяснить, насколь-
насколько хорошо можно описать данные по полным сечениям я±р-рассе-
яния, если привлечь разрезы. Рассматривалась разность
2 (яр) = аполн (я+р) — аполн (я~р),
что позволило исключить вклад р-мезона (см. табл. 2), причем, соглас-
согласно моделям, описанным в § 3, значения величины 2 можно подогнать,

298 ГЛАВА VIII
используя только / и /'. Было найдено, что удовлетворительное согла-
согласие с экспериментальными данными можно получить, объединяя раз-
разрез с /'-траекторией (что не вызывает особого удивления). Однако
величина ас @) выступала в качестве произвольного параметра, и ее
различным значениям невозможно сопоставить обмен каким-либо
определенным набором траекторий. Отметим, что если бы /-траектории
не было и преобладали бы подобные разрезы, то полное сечение асимп-
асимптотически стремилось бы к нулю.
Один из способов, позволяющих избежать трудности, связанной
с бесконечным числом разрезов, возникающих при аг @) (для любой
траектории г), заключается в том, чтобы считать af @) меньшим еди-
единицы. В § 3 мы заметили, что столь же приемлемым является, по-ви-
по-видимому, значение af @) = 0,93. Тогда, как было отмечено [373], если
а,@) = 1-е, F.47)
то разрез, возникающий в результате обмена комбинацией r+nf,
в линейном приближении начинается при
. F.48)
При возрастании п мы получаем серию траекторий точек ветвления
с уменьшающимися наклонами, пересекающих также ось углового
момента все ниже и ниже, как это показано на фиг. VIII.19. Таким
образом, при значениях t, близких к нулю, всегда доминирует полюс,
но при достаточно больших | t | существенными становятся разрезы.
Этим можно объяснить, почему определяемые при t < 0 наклоны
меньше наклонов, к которым приводит анализ семейств полюсов Ред-
же, показанных на фиг. VIII.2—VIII.6 (см. табл. 1); в действитель-
действительности при t < 0 наблюдается эффект излома траектории, показанный
на фиг. VIII. 19, который был отмечен в работе Сриваставы [373].
Еще одно возможное применение разрезов было обнаружено в ра-
работе [241]. В ней отмечается, что дифференциальному сечению рр-рас-
сеяния на 90° свойственно разрывное поведение [13]:
da
dt
90°
f Ciexp(-3,29<?§) при <7§<3,40,
~\ C2exp(- 1,51?I) при <т5>3,40. ( '
Здесь С\ и C2 — некоторые константы, а qs — импульс в системе цент-
центра масс, измеряемый в Гэв/с, причем предполагается, что в области
малых значений ql основную роль может играть /-траектория, тогда
как поведение в области ql > 3,40 (Гэв/сJ определяется разрезом,
который возникает в результате обмена двумя /'-мезонами. Отметим,
что так как
cos ee=l+-^r, F.50)

ОБЗОР ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ СИТУАЦИИ
299
то угол 9 = 90° отвечает значению
9?= о"»
F.51)
и, следовательно, большим значениям ф соответствуют более отрица-
отрицательные значения t. В работе [241] предполагается, что разрывное
поведение обусловлено тем, что из-за сигнатурного множителя (П. 10.3)
вклад /-траектории обращается в нуль при значении t, для которого
а/ (t) = — 1; из F.49) и F.51) следует, что это должно происходить
Фиг. VIII. 19. Траектории полюса и разрезов в случае, когда для померанчона
аР @) =1—8 [337].
Ведущая сингулярность в области отрицательных t описывается кривой abode,.., тогда как
при положительных t по-прежнему доминирует полюс.
при t ш — 6,8 (Гэв/сJ. Подобное утверждение справедливо, конечно,
лишь в том случае, когда при этом бессмысленном значении, отве-
отвечающем неправильной сигнатуре, вычет не содержит полюса. Полагая
о/= l + a't,
F.52)
мы приходим к требованию а' = — 0,29 (Гэв/с)*, которое находится
в разумном согласии с другими значениями этой величины (см. табл. 1).
В работе [241] удалось довольно хорошо описать экспериментальные
данные в окрестности точки разрыва, однако при этом не принимались

300
ГЛАВА VIII
во внимание усложнения, обусловленные спином и т. д. Эти вопросы
авторы собираются рассмотреть в следующей своей работе х).
Разрывное поведение дифференциального сечения является, по-ви-
по-видимому, одним из составных элементов более общего явления. Хотя
формула
^- = Лое°' F.53)
справедлива для упругого яр- и рр-рассеяния [175, 230], а также для
многих процессов рождения [20]; примерно до t = — 1 (Гэв/сJ, но при
N
Фиг. VI 11.20. Абсорбтивные поправки к обмену пионом в Л^-рассеянии.
более высоких передаваемых импульсах спад сечения становится
менее резким [324, 325], и для его описания лучше подходит формула
^ F.54)
Она соответствует наиболее быстрому убыванию, которое допускается
аналитическими свойствами амплитуды рассеяния и постоянством (или
почти постоянством) полных сечений [301], и вполне вероятно, что
удастся выяснить связь этого поведения с сингулярностями в У-пло-
У-плоскости. Максимумы амплитуды, соответствующие рассеянию вперед
и назад, являются гораздо более резкими, чем этого можно было
бы ожидать на основе простой периферичности, т. е. доминирования
полюсов кросс-канала. Дальнейший анализ зависимости вкладов раз-
разрезов от t проведен в работе Ансельма и Дятлова [22], в которой пред-
предлагается также способ, позволяющий получить поведение типа F.54).
Разрезы привлекались также [138] для объяснения поляризации
в процессе лЫ-рассеяния с перезарядкой (этот вопрос мы рассмотрим
в следующем разделе). Естественно прибегать к разрезам и во всех
тех случаях, когда при объяснении процесса особенно успешным
оказывается учет абсорбтивных поправок к одночастичному обме-
обмену [246]. Примером такого рода служит амплитуда AW-рассеяния
с перезарядкой, поведение которой, как указывалось в п. 6 данного
параграфа, можно было бы объяснить поглощением пиона, тогда как
с помощью полюсов Редже его удается описать, только прибегая
к пионной конспирации. Обычную картину типа изображенной на
фиг. VIII.20, соответствующую абсорбтивным поправкам, наиболее
') См. Huang K-, Pinsky S.( Phys. Rev., 174, 1915 A968).—
Прим. ред.

ОБЗОР ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ СИТУАЦИИ 301
естественно интерпретировать как обмен комбинацией я + nf и т. д.,
поскольку / (и, конечно, другие траектории) определяет взаимодей-
взаимодействие в начальном и в конечном состояниях. Однако пока не удалось
облечь эту идею в более конкретную форму (см. [214]).
Маловероятно, чтобы в течение обозримого промежутка времени
удалось получить достаточно хорошие экспериментальные данные,
которые позволили бы провести надежное разделение вкладов полюсов
и разрезов в тех случаях, когда возможны и те и другие. В связи с этим
Филлипс [330] высказал предположение, что, вероятно, наиболее про-
просто обнаружить разрезы в амплитудах таких процессов, для которых
невозможен обмен ни одной из известных частиц (см. § 4, п. 6). Приме-
Примерами служат процессы с двойной перезарядкой, такие как
для которых наиболее высокими сингулярностями в /-плоскости
являются, по-видимому, разрезы, обусловленные обменом р + К*
и К* + К* соответственно. Используя значения ар @) = 0,58
и ак* @) да 0,4 и опуская логарифмические множители, получаем
Интересно выяснить, можно ли проверить такие предсказания.
Таким образом, хотя мы и знаем, что разрезы должны присут-
присутствовать, но в настоящее время не имеется ни одного убедительного
экспериментального доказательства их существования.
§ 7. ПОЛЯРИЗАЦИЯ И СПИНОВЫЕ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ
/. Поляризация и полюса Редже
Если в процессе двухчастичного рассеяния начальные частицы 1 и 2
не поляризованы, то поляризация частицы 3, перпендикулярная пло-
плоскости рассеяния, дается формулой [247]
Zj [(аз+^з) (аз—^з+1I Im [(^з —1> ^4 I ^ I XiX2) (Х3Х^ \ А | Х^Х2)*]
Р =:
G.1)
Из этой формулы следует, что поляризация может возникать лишь
в том случае, если спиральные амплитуды обладают некоторой раз-
разностью фаз. Фаза вклада отдельного полюса Редже в физической
области кросс-канала определяется исключительно сигнатурным мно-
множителем, так что она одинакова для всех спиральных амплитуд (см.
гл. IV, § 6). Поэтому поляризация может возникать только за счет
интерференции вкладов от двух полюсов Редже. Отсюда сразу следу-

302
ГЛАВА VIII
ет, что в модели полюсов Редже при высоких энергиях все поляриза-
поляризации стремятся к нулю. Это утверждение сохраняет свою силу даже
в том случае, когда включаются вклады разрезов, хотя при этом
скорость, с которой поляризация стремится к нулю, может заметно
уменьшаться.
2. Поляризация в процессе я~р
Чувствительный способ проверки предсказаний, касающихся поля-
поляризации, дает анализ процесса л~р -*¦ п°п, поведение дифференциаль-
дифференциального сечения которого хорошо описывается, как мы видели, с помощью
однбй р-траектории. Из сказанного выше следует, что р-траектория
дает нулевую поляризацию. Однако экспериментально измеренная
поляризация заведомо не равна нулю, причем она не проявляет замет-
заметной тенденции к уменьшению
с ростом энергии (хотя ошиб-
ошибки опытов довольно велики).
Наилучшие из имеющихся
экспериментальных данных
приведены на фиг. VIII.21.
о/
30
го
' ю
5
5 5,9 Гэв/с
i 11,2 гэв/с
0,1
0,2
0,3
Усредняя экспериментальные
значения по области 0,04 -<
<—/<0,24 (Гэв/сJ, полу-
получаем
<Р (/)> = ( 16 ±3,5)%
при 5,9 Гэв/с, G.2)
Фиг. VIII.21. Экспериментальные значе-
значения коэффициента поляризации Ро (t) при
5,9 и 11,2 Гэв/с [64].
при 11,2 Гэв/с. G.3)
В настоящее время не ясно,
чему следует приписать эту
поляризацию. В чисто полюсной реджевской модели в дополнение
к р необходимо ввести еще хотя бы одну траекторию. Наиболее очевид-
очевидным кандидатом на эту роль является траектория с квантовыми чис-
числами р-мезона, например р'-траектория, которую мы уже упоминали
в § 5, п. 2. Если параметры этой траектории выбрать так, чтобы она
как можно меньше искажала формулы для дифференциального сече-
сечения, полученные при учете только р-мезона, то поляризация будет
иметь знак, наблюдаемый на опыте [234]. Вычет р'-траектории можно
подобрать так, чтобы он согласовывался с экспериментом при какой-то
одной энергии, но если считать, что в интересующей нас области тра-
траектории приблизительно параллельны, то значение ар> @), которое
дается формулой E.10), приводит к следующей зависимости поля-
поляризации от энергии:
Р (s) « const .s~ae+at>', G.4)

ОБЗОР ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ СИТУАЦИИ 303
т. е.
Р (s) « const-s-2. G.5)
Экспериментальные данные, по-видимому, не подтверждают такое
быстрое уменьшение поляризации с ростом энергии, хотя следует
отметить, что вследствие больших ошибок они не исключают полностью
подобное поведение. Заметим, что р' не может быть дочерней траекто-
траекторией р-траектории, так как дочерняя траектория должна иметь про-
противоположную сигнатуру, и поэтому при t = 0 (где ар- = ар — 1)
ее вклад должен иметь ту же фазу.
Хотя предсказание G.5) основывается на весьма сомнительном
значении ар» @), определяемом формулой E.10), ясно, что никакой,
другой траектории, обладающей квантовыми числами р-мезона и лежа-
лежащей гораздо выше его траектории, существовать не может, так как
в противном случае она наблюдалась бы в виде физической частицы.
Поэтому отсутствие быстрого уменьшения поляризации с ростом энер-
энергии, если оно действительно имеет место, требует учета каких-то дру-
других эффектов.
Некоторые возможности уже рассмотрены в литературе. В работе
[138] предполагается, что ответственным за эти эффекты является
вклад разреза, возникающего в результате обмена комбинацией
р + /. Поскольку при t < 0 точка ветвления ас (t) расположена выше
полюса ар (t), т. е.
ac(t)>ap{t) при *<0 G.6>
(см. гл. V, § 3), множитель s~ap+a<:, входящий в выражение для поля-
поляризации, будет возрастать с энергией. Конечно, истинное поведение,,
получаемое в любой заданной области энергий, очень сильно зависит
от того, какой «вес» имеет вклад разреза, т. е. от скачка на нем, кото-
который является функцией не только t, но и J. Ясно, что это дает большую
свободу, и если учитывать вклад разреза, то при согласовании с экс-
экспериментальными данными не возникает никаких трудностей. Напри-
Например, в работе [118] получены подгоночные формулы для всех данных
по яЛ^-рассеянию и для поляризации в процессе рассеяния с переза-
перезарядкой.
Третьим возможным источником наблюдаемой поляризации являет-
является то, что где-то ниже порога a (t) и (или) р (t) становятся комплекс-
комплексными. Как мы видели в гл. III, § 1, для этого требуется совпадение
двух траекторий. Если допустить такую возможность, то также можно
осуществить хорошую подгонку к имеющимся в настоящее время
экспериментальным данным [40]. Заметим, что любая поляризация,
полученная с помощью этого метода, не должна зависеть от
энергии.
Отметим, наконец, что некоторые авторы, следуя Филлипсу [329],
рассматривают возможность объяснения поляризации для данного

.304
ГЛАВА VIII
процесса на основе интерференции между резонансами прямого канала
и вкладом р-траектории. К этому вопросу мы еще вернемся в § 8.
Итак, наличие поляризации в яЛ/'-рассеянии с перезарядкой можно
объяснить множеством различных способов, не нарушая по существу
согласие с другими экспериментальными данными для процесса лМ.
Чтобы выбрать одну из этих возможностей, потребуются точные изме-
.рения при высоких энергиях.
3. Поляризация в других процессах упругого nN-рассеяния
Другие имеющиеся данные по яЛ/'-рассеянию гораздо лучше описы-
:ваются в рамках простой модели полюсов Редже. Как мы видели
0 0,1 0,2 0,3 0,4 Q5 06 0,7 0,8
SflY
0,7 0,8
Ф н г. VIII.22. Поляризация в упругом п~р- н л+р-рассеяннн прн разных
значениях импульса в лабораторной системе [158] и соответствующие подго-
подгоночные кривые [119].
-в §6, п. 2, р-траектория дает большое слагаемое, соответствующее рас-
рассеянию с переворотом спина, а отсутствие провалов в дифференциаль-
дифференциальных сечениях я±р-рассеяния вперед исключает возможность боль-
большого вклада с переворотом спина от / и f. Поэтому следует ожидать,
что поляризация возникает в основном из-за интерференции между
.вкладом р с.переворотом спина и вкладом / + /' без переворота спина.

ОБЗОР ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ СИТУАЦИИ 305
Тем самым предсказываются противоположные знаки поляризаций
для процессов я+р- и я~р-рассеяния и изменение знака поляризации
при значении t, близком к тому, для которого ар (/) = 0 (принимая,
что именно это равенство является источником провала в дифферен-
дифференциальном сечении рассеяния с перезарядкой, см. § 6, п. 2). Обе эти
характерные особенности наблюдаются в экспериментах. На фиг. VIII.22
теоретические кривые [119] сравниваются с наилучшими из имеющихся
экспериментальных данных [65]. Некоторые из полученных в послед-
последнее время данных не были известны авторам и поэтому не учитывались
при этом сравнении, так что, по-видимому, можно добиться лучшего
согласия. Однако ввиду дополнительных эффектов, необходимых для
объяснения поляризации в процессе рассеяния с перезарядкой, на дан-
данной стадии дальнейшая деятельность в этом направлении вряд ли име-
имеет смысл.
4. Спиновая структура в NN-рассеяниа
Поляризационные и спиновые свойства NN-спстеыы чрезвычайно
разнообразны, однако в настоящее время имеется лишь небольшое
количество пригодных для анализа экспериментальных данных при
высоких энергиях. Эти вопросы подробно рассмотрели Лидер и Слан-
ский [273], которые высказали ряд предположений по проверке тео-
теории Редже. В частности, они указали, что соответствующие измерения
позволили бы проверить теорему о факторизации.
Кроме того, было отмечено [272], что если объединить кинемати-
кинематические ограничения на амплитуды (в частности, равенство нулю ампли-
амплитуд рассеяния вперед с переворотом спина) с теоремой о факторизации,
то мы получим, что все возможные вклады полюсов Редже в амплитуды
с двойным переворотом спина [Аъ в F.15)] для рассеяния вперед долж-
должны быть равны нулю. Поскольку непосредственных кинематических
причин, приводящих к такому поведению, не существует, этот резуль-
результат является довольно странным и весьма неудовлетворительным; для
его объяснения недавно было высказано предположение о существова-
существовании «конспирации» (хотя возможность удовлетворить кинематическим
ограничениям с помощью конспирации впервые рассматривалась
в гораздо более ранней работе Волкова и Грибова [397]). Как упоми-
упоминалось в гл. IV, § 6 и 9, вместо того, чтобы удовлетворять кинемати-
кинематическим ограничениям при t = 0 посредством некоторых соотношений
между значениями вычетов отдельных траекторий в этой точке, можно
воспользоваться взаимной компенсацией нескольких траекторий.
Так как эти траектории могут иметь разные квантовые числа, их вкла
ды в амплитуду Л5 для рассеяния вперед не обязательно взаимно унич
тожаются, поэтому указанная выше трудность устраняется. Лидер [272
рассмотрел возможные типы конспирации и подробно проанализиро
вал несколько конкретных случаев, включая NN- и Л/Л/'-рассеяние.
Возможность я-конспирации мы рассмотрели в § 6, п. 6 данной
главы.
20—650

306 ГЛАВА VIII
5. Выражения для матриц плотности через спиральные
амплитуды кросс-канала
Для процессов рождения мезонных и барионных резонансов теория
полюсов Редже в значительной мере предсказывает форму спиновой
матрицы плотности конечного состояния, а следовательно, корреляцию
его продуктов распада. Якоб и Вик [247] получили формальные выра-
выражения для спиновой матрицы плотности s-канала через спиральности
этого же канала. Практические расчеты значительно упрощаются
благодаря работе [211], где спиновая матрица s-канала выражена через
спиральные амплитуды /-канала. Если начальное состояние не поля-
поляризовано и конечный спин частицы 3 не известен, то спиновая матрица
плотности частицы 4 дается выражением
{т | р41 т) = N_ S <mX21 Л* (s, /) \K3K){ml21 A' (s, /) |X3A,±>*, G.7)
где < | A* (s, /) | > — спиральная амплитуда /-канала, а N определяется
так, что
Spp4=l. G.8)
С помощью выражения G.7) можно перейти от реджевского выра-
выражения для спиральных амплитуд /-канала прямо к матрице плотности,
а следовательно, к угловым корреляциям продуктов распада неста-
нестабильных частиц. Дальнейшие подробности читатель может найти
в работе Готфрида и Джексона [211]. Результаты сильно зависят от чет-
ностей и сигнатур траекторий, дающих вклад в данный процесс,
и предоставляют хороший способ проверки теории. Однако соответ-
соответствующие данные в необходимой области энергий только начинают
появляться.
6. Матрицы плотности для процессов яЛ/->-рЛГ и яЛ/->-рЛ
В качестве иллюстрации рассмотрим пример [258], обладающий
несколькими интересными особенностями, а именно, процессы
nN—>pN G.9)
и
лЛГ->рД, G.10)
для которых выполнены измерения в области импульсов пиона от 2,5
до 8 Гзв/с [302].
В эти процессы могут давать вклады траектории со, А2 и я, причем
так как ш и Л2 расположены более высоко, они должны преобладать
над л. Однако экспериментально измеренная матрица плотности в обла-
области, близкой к t = 0, имеет свойства, к которым приводит я-траекто-
рия (poo = Pi, -1 = 0 и Re рю= 0), и лишь при больших t она прини-
принимает вид, который следовало ожидать в случае вкладов от со и Л2
(р00 = Repio = 0). Чтобы объяснить это поведение, отметим прежде

ОБЗОР ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ СИТУАЦИИ 30?
всего, что оператор четности, действуя на начальное состояние яр
(в ^-канале), дает
P\JMlO) = (-l)J+i\JM, — Щ, G.11)
где к — спиральность р-мезона. Отсюда следует, что состояние с К = 0
является собственным состоянием оператора четности с собственным
значением (—l)J+1. Поэтому его связь с ю- и Л2-траекториями равна
нулю, и они дают вклад только в амплитуды с Я= ± 1. Далее, для
рассеяния вперед в s-канале {t = 0) имеет место эффект, рассмотрен-
рассмотренный в гл. III, § 6 и гл. IV, § 3 и связанный с тем, что при возраста-
возрастании s величина zt стремится не к бесконечности, а к единице. Поэтому,
как указывалось в гл. IV, § 3, данная траектория Редже при t = 0
в области высоких энергий будет обладать поведением типа sa<°>-x'.
Таким образом, при t = 0 вклады <о и Л2 ведут себя приближенно как
s-o,5 а вклад я — как s°. Для любого значения энергии имеется неко-
некоторая переходная область значений t, в которой поведение s^w-*-
заменяется на sP-W (размеры этой области, уменьшающиеся с ростом s,
оценены в работе [258]), так что мы получаем естественное объяснение
наблюдаемого поведения матрицы плотности р-мезона.
Чтобы считать это объяснение убедительным, а доводы в пользу
поведения амплитуды рассеяния вперед типа s»"*- — решающими,
необходимо получить дополнительные экспериментальные данные, осо-
особенно в области высоких энергий. Ситуация осложняется тем, что веро-
вероятно вклад я-траектории вблизи направления вперед усиливается
в любом случае, так как реальная физическая частица лежит почти
при t = 0, т. е. значение ал @) является очень близким к нулю,
а в этой точке имеется полюс, обусловленный нулем функции sin яая
(в теории полюсов Редже так формулируется тот факт, что данная точка
находится вблизи физического полюса, существующего при t = тЬ).
В вычете, соответствующем конечному состоянию pN, имеется кинема-
кинематический множитель t, который компенсирует этот полюс, однако,
как показал Роджерс х), если существует подходящая пионная конспи-
конспирация, то этот множитель t не возникнет. В этом случае близость пион-
ного полюса вполне может объяснить доминирующую роль я-траекто-
я-траектории вблизи направления вперед при доступных в настоящее время
энергиях.
В работе [326] проанализированы данные по процессу п~р -*- р~р
при 8 Гэв/с с использованием я- и (о-траекторий. При этом проведена
подгонка параметров, описывающих вычеты, но кинематические мно-
множители в явном виде не выделялись, так что результаты работы не до-
допускают простой интерпретации в описанной выше форме.
Совершенно ясно, что эта область исследований является весьма
обширной, и здесь предстоит проделать большую теоретическую и экс-
экспериментальную работу.
Т, W. Rogers, частное сообщение, 1967.
20*

36 г.
1
1
28
25
а
Резонанса: масса (изоспин)
I I I
г
Рлаб,
I.
20
18
Фиг. VIII.23. Сравнение экспериментальных данных по полным сечениям процессов п~р,
я+р (а) и К±р, К^п (б) при низких энергиях с предсказаниями на основе подгоночной проце-
процедуры, проведенной в работе [49] при высоких энергиях с использованием 5СУC)-связей [50].

ОБЗОР ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ СИТУАЦИИ 309
§ 8. НИЗКИЕ ЭНЕРГИИ И ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ С РЕЗОНАНСАМИ
ПРЯМОГО КАНАЛА
Как мы выяснили в § 3—7, полюса Редже кросс-канала могут
хорошо описывать амплитуды рассеяния при высоких энергиях вбли-
вблизи направлений вперед и назад. Согласно сказанному в § 2, под «высо-
«высокими энергиями» понимаются энергии, превышающие несколько гига-
электронвольт, и типичные подгонки с помощью полюсов Редже
используют данные из области примерно от 5 до 20 Гэв. Но что про-
происходит в области более низких энергий? Очевидно, здесь нет основа-
основания пренебрегать фоновым членом и низколежащими траекториями
по сравнению с высоколежащими траекториями. В действительности,
как мы знаем, в низкоэнергетической области любого заданного канала
имеется тенденция к доминированию резонансов с низшими массами,
которые невозможно представить в виде суммы полюсов Редже кросс-
канала.
Бартер и Олссон [50] использовали подгоночные параметры, полу-
полученные ими ранее 149] при обработке сечений в области рлав = 6 —
— 20 Гэв/с (см. § 3 данной главы), для экстраполяции сечений вплоть
до импульсов около 1 Гэв/с. Соответствующие результаты приведены
на фиг. VIII.23 и фиг. VIII.24, где видно, что достигнуто вполне
удовлетворительное описание экспериментальных данных. В случае
kN- и ММ-рассеяния, когда сечения известны с высокой точностью,
наблюдаются некоторые колебания экспериментальных точек отно-
относительно предсказываемой кривой, причем их можно скоррелировать
с массами различных резонансов прямого канала.
Это наводит на мысль, что амплитуду следует записывать в виде
суммы главных полюсов Редже кросс-канала и фона, состоящего
только из резонансов прямого канала. Это представление соответ-
соответствует тому представлению, которое мы использовали при динамиче-
динамических расчетах в гл. VI, § 6, где амплитуда записывалась в виде суммы
полюсов Редже в каждом канале. Однако при образовании такой
суммы необходимо соблюдать известную осторожность, так как
на самом деле мы используем два эквивалентных способа представле-
представления амплитуды и имеется опасность учесть один и тот же вклад дваж-
дважды. В одном из способов амплитуда разлагается в ряд по парциальным
волнам s-канала, а затем это разложение выражается через резонансы
плюс нерезонансный фон. В другом способе делается преобразование
Зоммерфельда — Ватсона для разложения амплитуды по парциаль-
парциальным волнам ^-канала, т. е. амплитуда представляется в виде суммы
главных полюсов Редже в ./(-плоскости и реджевского фонового инте-
интеграла. Затем делается предположение, что если к главным реджевским
сингулярностям добавить резонансы, то мы получим для амплитуды
хорошую подгоночную формулу. Такая формула будет справедлива
в том случае, если почти весь реджевский фон задается резонансами,
или, другими словами, если почти вся нерезонансная часть амплитуды

310
ГЛАВА VIII
обусловлена полюсами Редже. Заметим однако, что если бы мы пе,ре-
шли в левую полуплоскость переменной Jt, то при этом вошли бы и те
сингулярности, которые возникают за счет резонансов s-канала.
Но в правую полуплоскость Jt эти резонансы не дают вклада, поэтому
140
120
100
80
60
40
- М
- i
T
f
' 4
-
• x x " X $'"
— x
X
1 1 1
\pp
Г"—
x/>/7
III)
0
5 4
Рла6,Гэв/с
Фиг. VIII.24. Сравнение экспериментальных данных по полным сечениям
процессов рр, рп,~рр п~рп при низких энергиях с предсказаниями на основе под-
подгоночной процедуры, проведенной в работе [49] при высоких энергиях с исполь-
использованием 5О'C)-связей [50].
если мы включим только самые правые полюса Редже, то ни один
из эффектов не будет учтен дважды.
Вклады резонансных полюсов интерферируют с реджевским членом,
однако эта интерференция играет существенную роль лишь в тех
случаях, когда вклады разных типов сравнимы по величине. Хейнц
и Росс [231] предположили, что интерференция между вкладами пря-

ОБЗОР ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ СИТУАЦИИ 311
мого и перекрестного каналов может оказаться полезной в качестве
метода, позволяющего определять спины резонансов. Они использова-
использовали этот метод для исследования амплитуды упругого я+р-рассеяния
назад, которое описывалось посредством различных резонансов изо-
спина 3/2, интерферирующих с нуклонным полюсом фиксирован-
фиксированного спина (т. е. не с полюсом Редже) кросс-канала.
Позднее Бартер и Клайн [46, 47] предприняли попытку проанали-
проанализировать с помощью этого метода амплитуду п"/?-рассеяния назад,
представляя ее в виде суммы вкладов реджевских семейств Na, Afv
и Дб в прямом канале и траектории Редже А8 в кросс-канале. Как
уже отмечалось в § 1, все резонансы очень хорошо ложатся на прямо-
прямолинейные траектории Редже. Для Дв использовалась траектория
Rea(l/"u) = 0,15 + 0,9«, (8.1)
которая была получена в результате анализа установленных членов
семейства этого резонанса. Затем в соответствии с A.7.10) сечение
записывалось в виде
^| « = Q)l«, (8.2)
причем резонансы дают следующий вклад:
. „ 0) у «|«|Г| <-!)"№+'/,) (Т для А
и
Суммирование здесь проводится по всем резонансам с массами Ми
ширинами Гг, спинами Jt и четностями (—II'; хг —«упругость» резо-
резонанса, которая изменяется в пределах от 1 (чисто упругий резонанс)
До 0 (полностью неупругий резонанс). В работе учитывались все изве-
известные резонансы вместе с некоторыми пиками более высоких масс
в сечениях, которые интерпретировались так, как это показано
на фиг. VIII.3—VIII.5. Где это возможно, использовались экспери-
экспериментальные значения упругости; в тех случаях, когда эта величина
не известна, она играла роль подгоночного параметра. Полученные
результаты приведены на фиг. VIII.25, из которой видно, что интер-
интерференция между двумя вкладами в амплитуду может превосходно
объяснять осцилляции экспериментальных данных. Наличие в фор-
формуле (8.3) множителя (—1)г» означает, что знаки интерференционных
членов зависят от четности состояний, поэтому в большинстве слу-
случаев четности резонансов определяются однозначно. Но значения Jt
определить не удается, так как подгонкой фиксируется только множи-
множитель хг (/г + V2), а упругости высших резонансов малы. Нет никакой
гарантии, конечно, что сумма амплитуд в (8.2) будет удовлетворять
условию унитарности, однако в действительности вследствие малой

312
ГЛАВА VIII
упругости максимальные значения резонансных членов составляют
лишь малую часть унитарного предела, и никаких трудностей не воз-
возникает.
Бартер и Клайн [47] обработали также экспериментальные данные
по я;+р-рассеянию, но в этом случае изоспиновые множители приводят
1000
500
зе(ЗЭ50)=0,01
двC550) = OJ003
Фиг. VIII.25. Согласование теоретических кривых с экспериментальными
данными по упругому я~р-рассеянию назад [47].
Стрелки указывают положения резонансов прямого канала, принадлежащих реджевским
семействам Дд, Na и N .
к тому, что резонансы прямого канала доминируют над вкладом кросс-
канала, по крайней мере при значениях импульсов примерно до
4 Гэв/с, хотя и возможен обмен каждой из траекторий Na, Ny и Да.
Позднее Дикмен [147] показал, что для дифференциального сечения
я;~/?-рассеяния назад можно получить такое же хорошее совпадение,
как в описанном выше случае [46, 47], используя только резонансы
и полностью пренебрегая траекторией Редже кросс-канала, если
несколько изменить значения некоторых ширин и упругостей. Поэтому

ОБЗОР ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ СИТУАЦИИ 313
исследование Бартера и Клайна [46, 47] следует рассматривать в каче-
качестве некоторого средства, позволяющего выяснить природу резонан-
сов, а не как доказательство существования интерференции с реджев-
ским членом, хотя мы знаем, конечно, что кросс-канал дает опреде-
определенный вклад. Вероятно, существует опасность учесть некоторые
эффекты дважды, так как при описании с помощью полюсов Редже
экспериментальных данных при высоких энергиях, даже в области
6—20 Гэв/с, неизбежно в неявном виде включаются определенные
эффекты, связанные с прямым каналом.
Интерференционный метод применялся также для анализа ампли-
амплитуд яр-рассеяния вперед [51]. Как было показано в § 3 и 4, из всех
известных полюсов кросс-канала только р-мезонный полюс дает
вклад в величину
А (яр) = ополн (я"р) — ополн (п+р)], (8.4)
и в дифференциальное сечение doncPe3aP/df рассеяния п~р—>п°п.
В работе [51] использовалась та же модель и эти величины записы-
записывались в виде
А(яр)= ' 1т[ЛрезE, 0) + ЛреджE, 0)], (8.5)
0)|«, (8.6)
где в Лредж входит вклад только р-траектории, а Лрез содержит резо-
нансы Na, Ny и Дб, показанные на фиг. VIII.3 —VIII.5. Соответст-
Соответствующие кривые, полученные при значении
ар@) = 0,58 ±0,01,
приведены на фиг. VIII.26—VIII.28. Они хорошо описывают откло-
отклонения от результатов, к которым приводит только обмен р-траекторией.
Однако Хофф [239] показал, что при таких низких энергиях ход сече-
сечения danePe3aP/d/ столь же хорошо может быть описан и с помощью
одной лишь суммы резонансов прямого канала. Этот способ пригоден
при всех t, лежащих вне области провала дифференциального сечения
при t « —0,6 (Гэв/сJ, рассматриваемого в § 6, который Фраучи [181]
объяснил тем, что в этой точке ар (t) обращается в нуль. Неизвестно,
можно ли таким же способом объяснить экспериментальные данные
при гораздо более высоких энергиях [24], при которых по-прежнему
имеется провал, однако в § 10 будет показано, что существуют опре-
определенные правила сумм, ограничивающие вклад нереджевского типа.
Как указывалось в § 7,. поляризацию в процессе я~р-рассеяния
с перезарядкой невозможно объяснить одним лишь обменом р-траек-
р-траекторией, и Логан и Серторио [2821 предприняли попытку описать ее на
основе интерференции между р-траекторией и резонансами. Учитывая
только состояния No,, Ny и Да, показанные на фиг. VII 1.3—VIII.5,

314
ГЛАВА VIII
авторы сумели получить формулы, хорошо описывающие данные
по поляризации при 6 Гэв, но при более высоких энергиях они пред-
предсказали резкое уменьшение поляризации. Такое поведение связано
с тем, что при этих энергиях р-траектория может интерферировать
40 г
30 \
20
рлад
\LA
№М1бВЗ)Ш29) NB216) ДB452) NB635) АB850)
lL
i ill 1 iT I I LU I
I i i Hi i и
J L
Ф и г. VIII.26. Зависимость разности полных сечений Д (яр) = 0полн (л~р) —
— (jItoih (л+р) от импульса в лабораторной системе для значений импульса от
0,7 до 4,2 Гэв/с [51].
Сплошные линии — теоретические подгоночные кривые, пунктирные линии — вклад от
обмена р-траекторией.
только с «хвостами» резонансов. В действительности вследствие малых
упругостей высших резонансов наиболее существенный вклад дают
резонансы средней энергии. Филлипс [329] также успешно использо-
использовал модель такого рода для описания экспериментальных данных
при 6 Гэв.
Трудность, свойственная этим моделям, состоит в том, что при воз-
возрастании энергии экспериментально измеренная поляризация, по-види-

t , t , t, ,t t
<st{rfp) -
3,5 < Рла$ < 7,0 Гзв/с
2,2
ДС2850) NC030) AC230) NCb5O)
t ¦ t ¦ ,t ,t
3,5 4,0 4,5 5,0 ' 5,5 6,0 6,5
7,0
Фиг. VIII.27. To же, что на фиг. VIII.26, но для Фиг. VIII.28. То же, что на фиг. VIII.26, но для
значений импульса от 1,5 до 6 Гэв/с. значений импульса от 3,5 до 7,0 Гэв/с.

316
ГЛАВА VIII
о,з
0,2
мому, не уменьшается, хотя ошибки слишком велики, чтобы об этом
можно было говорить с полной уверенностью. Некоторые из возмож-
возможных объяснений такого поведения рассматриваются в § 7. Здесь
мы отметим работу [1431, в которой предполагается, что траектории,
приведенные на фиг. VIII.3—VIII.5, будучи продолженными в область
более высоких значений J, порождают члены реджевских семейств
с большими массами, так что даже при очень высоких энергиях р-траек-
тория может интерферировать с близлежащим резонансом, давая
тем самым поляризацию. В этом слу-
случае изменение поляризации с энер-
энергией очень сильно зависит от того,
насколько меняются упругости
резонансов по мере подъема вдоль
траектории. Дисей и др. [143]
приняли некоторую модифициро-
модифицированную форму экспоненциального
спада упругости Xj с ростом энергии,
которая приводит к результатам,
показанным на фиг. VIII.29. Однако
путем выбора подходящей моди-
модификации этого спада, вероятно, мож-
можно объяснить почти любое поведе-
поведение поляризации.
Процесс п~р-+г\п при высо-
высоких энергиях определяется только
полюсом Редже А2, поэтому в от-
отсутствие интерференции с каким-то
другим вкладом поляризации также
не будет. Логан и Серторио [283] на основе своей модели, упоминав-
упоминавшейся выше, предсказали поляризацию. Эта поляризация вскоре бу-
будет измерена для проверки их предсказания.
0,1
-о,/
в
I
i Т
Я*
•"
¦
<
$5,9Гэ8/с
41
———
,ггзв/с
' 11,2
;в,2
0,1
0,2 0,3 0,4
-*,(Гзв/сI
0,5
Фиг. VIII.29. Зависимость поляри-
поляризации Ро от передаваемого импульса.
Сплошные линии — наилучшие подгоноч-
подгоночные кривые для экспериментальных дан-
данных при 5,9 н 11,2 Гэе/с, пунктирная
линия — предсказываемая кривая при
18,2 Гэв/с [143].
§ 9. ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ ТРАЕКТОРИИ И ОБМЕННОЕ ВЫРОЖДЕНИЕ
/. Динамика прямолинейных траекторий
Мы уже несколько раз отмечали, что траектории Редже как при
t > 0, так и при t < 0 оказываются более прямолинейными, чем этого
можно было ожидать на основе простых моделей зашнуровки или
вообще на основе любой динамической схемы, в которой масштаб
массы равен примерно 1 Гэв.
Предлагаемое ниже объяснение такого поведения в области t > 0
связывает его с тем, что при возрастании энергии вмешиваются неупру-
неупругие состояния. Идея заключается в том, что высшие резонансы более
правильно рассматривать как связанные или резонансные состояния

ОБЗОР ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ СИТУАЦИИ
317
неупругих каналов. Чтобы выяснить, насколько оправдана такая
точка зрения, представим себе одноканальную задачу с порогом
в точке s = Si и с частицами нулевого спина и предположим, что силы
приводят к траектории типа а% (фиг. VIII.30). Тогда будет существо-
существовать одно связанное состояние с J = 0 и два резонансных состояния
при J — 1 и J = 2 (мы не учи-
учитываем здесь сигнатурный эф-
эффект, который приводит к ус-
усложнению, не затрагивающему
существа рассматриваемого
вопроса). Представим себе,
кроме того, другую однокана-
одноканальную задачу, в которой имеет-
имеется частица спина 3 и частица
спина 0, а порог лежит в точ-
точке s = s2 > s±. Пусть силы
таковы, что в этой задаче воз-
возникает траектория а2, порож-
порождающая резонанс с / = 0, т. е.
С J = 3, как ЭТО показано на ф.-и г VIII.30. Поведение траекторий Ред-
фиг. VIII.30. СОСТОЯНИЯ С J =? же при включении связи между двумя
= 0, 1,2, лежащие на траекто- каналами,
рии а2, являются бессмыслен-
бессмысленными состояниями и никакой 'роли )в дальнейшем анализе не играют.
Пусть теперь между двумя этими одноканальными системами имеется
связь, т. е. существует одна двухканальная система. В случае слабой
связи траектории почти не изменяются, но при увеличении связи
наступит такой момент, когда траектории обмениваются своими
«хвостами» и перестают пересекаться (см. [315], стр. 88), в результате
чего состояние с / = 3 оказывается лежащим на той же траектории,
что и состояния с У = 0, 1, 2 (т.е. на пунктирной траектории а3
на фиг. VII 1.30). Исходная траектория а2 превращается тогда в траек-
траекторию, подобную а4. Проводя траектории а3 и а4, мы воспользовались
результатом, который следует из вариационного принципа и согласно
которому связь между дополнительными состояниями должна приво-
приводить к уменьшению энергии, по крайней мере энергии связанного
состояния. Отметим, что строгого запрета на «пересечение» траекторий
выше порога нет, так как они имеют разные мнимые части (Im at ф
Ф Im a2) и поэтому в комплексной ./-плоскости на самом деле не встре-
встречаются. Таким образом, при слабой связи траектории пересекаются,
а их «переброс» происходит лишь в том случае, когда связь становится
достаточно сильной.
Очевидно, можно представить себе, что описанная выше ситуация
повторяется бесконечное число раз со все более высокими порогами
и приводит к отсутствию спада траектории. Так например, можно счи-
считать, что первым резонансом, лежащим на Л/'-траектории, является

318 ГЛАВА VIII
состояние л — Д3/2, следующим — в основном состояние л — Д7/2
и т. д. Модель такого рода рассмотрел Каррудерс [82].
Наблюдаемое отсутствие кривизны траектории в области t <C О
должно быть связано с этим явлением, хотя с динамической точки
зрения такая связь является довольно неясной (отметим, что отсут-
отсутствие кривизны не следует из эксперимента, однако с помощью почти
прямолинейных траекторий данные описываются гораздо лучше,
чем в том случае, когда требуется, чтобы они на бесконечности стре-
стремились к—1, —см., например, §6, п. 2). Мандельстам [297] высказал
Фиг. VIII.31. Борнов- Фиг. VIII.32. Диаграм-
ская диаграмма, ведущая ма, ведущая себя при
себя при больших t больших I как t~2.
как t'1.
предположение, что подобное поведение можно рассматривать в каче-
качестве естественного следствия отсутствия элементарных частиц. Чтобы
убедиться в этом, напомним, что борновское приближение для двух-
двухчастичной амплитуды, соответствующее, например, диаграмме, пока-
показанной на фиг. VIII.31, при больших t ведет себя как Ш. Это является
причиной, благодаря которой в отсутствие каких-либо «сокращений»
ведущая траектория Редже стремится к —1 при t-*-—оо. Однако
если одну из внешних линий заменить двухчастичным состоянием,
то борновское приближение (фиг. VIП.32) будет вести себя как t~*,
и для ведущей траектории мы получим а (—оо) = —2. Продолжая
эту процедуру, мы естественным образом придем к представлению
о ведущей траектории, которая при t-*-—оо стремится к —оо.
Облечь эту аргументацию в какую-то более приемлемую форму
вееьма непросто, однако недавно Стек [376] предложил чрезвычайно
интересную модель, в рамках которой он предпринял попытку пост-
построить нуклон из пары я — N и учесть, что внешний нуклон является
также связанным состоянием системы л — N. Это приводит к нукло-
нуклону, являющемуся состоянием nnN, которое в свою очередь рассмат-
рассматривается в качестве внешнего нуклона, и т. д. Можно надеяться,
что такая итерационная процедура приведет в конце концов к связан-
связанному состоянию Nco, которое будет очень близким к реальному нукло-
нуклону. Точный смысл этой процедуры неясен, однако Стек показал, что
формфактор состояния Nco спадает экспоненциально, т. е. удовлетво-
удовлетворяет бесконечному числу сверхсходящихся соотношений. Ясно, что

ОБЗОР ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ СИТУАЦИИ 319
такое поведение имеет непосредственное отношение к траекториям,
для которых a (t) -*- —оо при t-*- —оо.
Были рассмотрены [253, 265] некоторые следствия, вытекающие
из существования траекторий, которые при t-*- ±oo стремятся к бес-
бесконечности. Ясно, что такое поведение в принципе возможно, но ни
один из механизмов, который мог бы приводить к нему, не объясняет,
почему траектории оказываются линейными функциями перемен-
переменной t. Было отмечено [73], что благодаря центробежному барьеру,
обусловленному орбитальным моментом, состояния, лежащие на линей-
линейных траекториях, по мере возрастания t распадаются на другие состоя-
состояния со все большим трудом. Их динамика должна определяться кана-
каналами, в которых они являются скорее связанными состояниями, чем
резонансами.
2. Кварковая модель для траекторий
Любая кривая является приближенно прямолинейной, если рас-
рассматривать достаточно малый ее участок. Поэтому кажущуюся прямо-
прямолинейность естественно объяснять тем, что динамический масштаб
энергий гораздо больше нескольких гигаэлектронвольт, т. е. разме-
размеров той области, в которой исследуются траектории. Очевидным,
хотя и весьма умозрительным, примером теории такого рода является
кварковая модель, в которой адроны считаются состоящими из «квар-
«кварков» [203] *) (общий анализ кварковых моделей и подробную библио-
библиографию можно найти в обзорных работах [136, 371]). Для наших целей
основное свойство кварков состоит в том, что они являются тяжелыми
частицами (Mq > 5 Гэв); в этой модели мезоны рассматриваются
в качестве связанных состояний кварка и антикварка, а барионы —
в качестве связанных состояний трех кварков. «Потенциальная энер-
энергия» взаимодействия между кварками, необходимая для того, чтобы
получить нужные энергии связи, должна быть чрезвычайно большой
(мы пользуемся языком теории потенциального рассеяния; предпо-
предполагается [306], что эта теория может служить для приближенного
описания связанных состояний, но для наших целей ее язык пригоден
независимо от этого). При подходящем радиусе действия (~10~1Я см)
такой потенциал вполне может порождать траекторию типа показан-
показанной на фиг. VIII.2. В конце концов подобные траектории загибаются,
но можно ожидать, что до этого они пройдут через большое число
связанных состояний (т. е. связанных по отношению к порогу кана-
канала qq).
Еще одной характерной особенностью этой модели является то,
что она объясняет отсутствие какого-либо «сигнатурного» эффекта,
по крайней мере для мезонов. Чтобы убедиться в этом, заметим, что
прямое взаимодействие между парой q — q может быть вызвано обме-
х) См. также Zweig G., Preprint CERN, Geneva, 8182/TH.401,
8419/TH.412, 1964.

320 ГЛАВА VIII
ном мезонами (отметим, что при этом получается потенциал с правиль-
правильным радиусом действия). Однако в результате обмена в ы-канале воз-
возникают обменные силы, причем соответствующие частицы имеют
квантовые числа пары qq (барионное число У3). С другой стороны,
известно, что такие /частицы не могут иметь массу, меньшую, чем
примерно 5 Гэв, поэтому обменные силы являются чрезвычайно корот-
короткодействующими, что объясняет их малое влияние. Отсутствие
обменных сил, которое приводит к перекрытию траекторий с проти-
противоположными сигнатурами, называют иногда «обменным вырож-
вырождением».
Отметим, что такое поведение в кварковой модели прямо противо-
противоположно ситуации, возникающей в обычных теориях зашнуровки, типа
рассмотренных в гл. VI. В этих теориях принимается, что р-мезон
является преимущественно состоянием системы пп, тогда как Л2
не может содержать никакого вклада шт (распад А2-+яя запрещен
по G-четности). Поэтому Л2- и р-траектории имеют здесь совершенно
разное происхождение, и их вырождение представляется слу-
случайным.
Однако в кварковой модели также имеются свои трудности. Кроме
очевидного затруднения, связанного с тем, что кварки не наблюдались
экспериментально (правда, если их масса значительно больше 5 Гэв,
то непонятно, как их можно обнаружить даже в космических лучах),
возникают некоторые проблемы с барионными состояниями и с отсут-
отсутствием четырех- или пятикварковых состояний, которые должны быть
связанными гораздо более сильно, чем трехкварковые состояния
(по крайней мере в простых моделях). Возникают определенные труд-
трудности и на более глубоком уровне. Так, например, совершенно непонят-
непонятно, почему простая кварковая ^модель адронов не нарушается пол-
полностью из-за влияния примесей низших пороговых состояний (эта
проблема рассматривается в работе [372]). Однако эта модель имеет
ряд достижений, в частности в объяснении разности масс, слабых
и электромагнитных свойств адронов и данных по рассеянию при
высоких энергиях (см. обзоры [136, 371], в которых приведена соот-
соответствующая библиография).
Отметим, что кварковая модель рассеяния при высоких энергиях
не противоречит модели полюсов Редже; объединив их путем реджеза-
ции амплитуд qq- и ^-рассеяния, по-видимому, можно получить
определенную пользу. Проведены некоторые исследования в этом
направлении [10, 248].
Некоторые авторы распространяют предположение об обменном
вырождении также и на связи, принимая, что р- и Л2-траектории
имеют одинаковые вычеты (эта идея применена в работе [25], в которой
можно найти библиографию по данному вопросу). Однако подобное
равенство вычетов, имеющее некоторый смысл в качестве исходного
предположения, никак не вытекает из рассмотренной выше кварковой
модели. Чтобы убедиться в этом, оценим в рамках этой модели связь

ОБЗОР ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ СИТУАЦИИ 321
р (и А2) с каналом КК- Это можно сделать, вводя взаимодействие,
которое приводит к рассеянию qq ->¦ КК и qq-^KK (фиг. VIII.33),
проводя вычисления для двухканальной (qq и КК) задачи и выделяя
вычет р-полюса в амплитуде рассеяния qq —*- КК (подробности такого
рода расчетов см. в работе [372]). Наиболее дальнодействующее взаимо-
взаимодействие в /-канале обусловлено обменом кварком (фиг.-VIII.33, а),
тогда как не известно таких частиц, которые приводили бы к одно-
частичному обмену в ы-канале (фиг. VIII.33, б). Однако радиус дей-
действия сил, возникающих в результате возможного обмена системой
(кварк + мезон), не очень отличается п
от радиуса действия сил, обусловлен-
обусловленК
ных обменом одним кварком; поэтому
маловероятно, чтобы силы /-канала
в сколько-нибудь значительной сте- g
пени доминировали над силами ы-кана- -*—
ла. Возможно, что силы, соответствую- а б
щие диаграммам, показанным на Фиг. VIII.33. Силы наиболее
фиг. VIII.33, почти не изменяют масс далекого действия _для процес-
связанных состояний и поэтому не сов qq ->- КК (а) и qq -*¦ КК (б),
влияют на обменное вырождение траек-
траекторий, однако вычеты двух траекторий будут примерно совпадать
лишь в том случае, когда одна из диаграмм на фиг. VIII.33 домини-
доминирует. Анализ процессов п~р -*- п°п, цп дает некоторые намеки на то,
что предположение о наличии обменного вырождения в действитель-
действительности неприменимо к вычетам (см. § 6, п. 4).
§ 10. ПРИМЕНЕНИЕ СВЕРХСХОДЯЩИХСЯ СООТНОШЕНИЙ
В гл. V, § 5 мы показали, что интегралы от определенных простых
спектральных функций должны равняться нулю. Де Альфаро и др.
[16] высказали предположение, что эти простые спектральные функ-
функции можно аппроксимировать вкладами от низколежащих частиц
и резонансов, получая тем самым соотношения между массами и кон-
константами связи этих состояний. Никаких убедительных доводов,
свидетельствующих о том, что при этом будет получено хорошее при-
приближение, не существует. Наоборот, множество данных свидетель-
свидетельствует о несостоятельности этого метода, однако он прост и быстро
приводит к результатам, поэтому естественно, что он привлек боль-
большое внимание. При соответствующих модификациях, которые будут
упомянуты ниже, он может давать вполне разумные результаты, обра-
образуя в действительности фундамент определенной динамической моде-
модели, поэтому мы кратко рассмотрим его здесь.
Заметим прежде всего, что полученные выше сверхсходящиеся
соотношения имеют вид интегралов от скачков амплитуд /-канала
по переменным s и и. Чтобы выразить эти скачки с помощью связан-
21—650

322 * ГЛАВА VIII
ных состояний и резонансов s- и ы-каналов, следует перейти в эти
каналы. Для перехода к спиральным амплитудам кросс-канала
в некоторых случаях удобнее применять не метод, использующий
кроссинг-матрицу [393], а прямой метод, предложенный в работе [317].
Подставим после этого в скачки амплитуды набор связанных состоя-
состояний и резонансов и будем считать, что всеми остальными вкладами
можно пренебречь. Если для простоты заменить вклады резонансов
б-функциями (многие авторы предпочитают использовать формулу
Брейта — Вигнера, что, по-видимому, предпочтительнее), то при всех
t, меньших некоторого t0, мы получим соотношения вида
2 CiRid%i,> \.zt (ti s — т?)] = 0, ' (Ю-1)
i
где суммирование проводится по заданному набору состояний со спи-
спинами G{ и массами тг. Коэффициент Rt является вычетом в полюсе
(произведением двух констант связи), а Сг — коэффициент, возникаю-
возникающий из кроссинг-матрицы. Хотя это явно и не указано, но подразуме-
подразумевается, что сумма в A0.1) наряду с состояниями s-канала содержит
и состояния ы-канала.
Отметим сразу же, что удовлетворить соотношению A0.1) в задан-
заданном интервале значений t с помощью конечного числа состояний невоз-
невозможно, если только ему не удовлетворяют каждая в отдельности
группы состояний с одинаковыми спинами и массами (исключение
составляют состояния с a = 0, которые не должны иметь одинаковые
массы, так как djj0 (z) является константой, не зависящей от z). Эти
выводы получены в работе [355], в которой постулируется, что каждая
пара состояний с одинаковыми массами и спинами должна удовлетво-
удовлетворять сверхсходящимся соотношениям. Однако в природе такие пары,
по-видимому, не встречаются.
Фубини [198] и Клейн [268] рассмотрели возможность насыщения
сверхсходящихся соотношений с помощью бесконечного числа состоя-
состояний. В общем случае будут иметь место сверхсходящиеся- соотноше-
соотношения для всех возможных процессов рассеяния, в которых участвуют
эти состояния, поэтому ясно, что данная проблема чрезвычайно слож-
сложна, и мы не будем здесь ее рассматривать.
Многие авторы сконцентрировали свои усилия на анализе сверх-
сверхсходящихся соотношений вблизи t = 0, принимая без каких-либо
колебаний, что состояния с разными спинами и массами компенси-
компенсируют друг друга. Одно из возможных оправданий этой процедуры
предложили Фрамтон и Тейлор [179], которые отметили, что если
вместо соотношений вида
оо
\ lmA(s, t)ds = O, A0.2)
so

ОБЗОР ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ СИТУАЦИИ 323
выполняющихся при всех t, рассматривать эквивалентную им беско-
бесконечную последовательность соотношений
lmA{s, O)ds = O, A0.3)
so
\ Im —rr(s, O)ds — O, (Ю.4)
J dt v ' ' y '
so
A0.5)
so
и т. д., то в первое соотношение будут давать вклады резонансы
со спином а ^> 0, во второе — резонансы с а ^> 1, а следующее —
с(т>2ит. д. Авторы доказывают, что в то время как для насыще-
насыщения A0.3) может оказаться достаточным состояний с низшими мас-
массами (которые имеют небольшие спины), то для насыщения других
соотношений будут требоваться, вероятно, также и состояния с более
высокими массами. Заметим, что в приведенных соотношениях для
простоты выписан вклад только от разреза по s; в общем случае
мы будем иметь сумму вкладов от разрезов по s и по и (см. гл. V, § 5).
Простым примером, впервые рассмотренным Де Альфаро и др. [16],
является,рл-рассеяние в s-канале. В /-канале спиральные амплитуды
имеют Я = 0, 1,2, и существуют три изоспиновых состояния с / =
= 0, 1, 2. В случае 1 = 0 доминирует померанчон, поэтому при
t = 0 мы не имеем сверхсходящихся соотношений (хотя они и будут
при t < 0). При / = 1 доминирует р-траектория, для которой оср @) «
ж 0,5, так что будет существовать сверхсходящееся соотношение для
амплитуды с Я = 2 (поскольку оср @) — Я fa —1,5 <; —1). При 1 = 2
не известно ни одной траектории с а @) > 0, но вклад двух р-полю-
сов приводит к разрезу, который при t = 0 начинается в точке ае (t) «
л? 0. Принимая, что эта точка лежит несколько ниже нуля, мы будем
иметь еще три сверхсходящихся соотношения: при Я = 2 соотноше-
соотношения для нулевого и первого моментов (так как ас @) — Я < —2) и при
Я = 1 соотношение для нулевого момента. Если даже ас @) не меньше
нуля, то эти соотношения выполняются достаточно хорошо, поскольку
выше значения J = 0 вклад от разреза, по-видимому, является малым.
В рассматриваемой задаче u-канал совпадает с s-каналом, причем
из вида кроссинг-матрицы следует, что одно из четырех указанных
выше сверхсходящихся соотношений тождественно удовлетворяется
за счет взаимного уничтожения разрезов по s и по и. В остальных
трех случаях вклад разреза по и в точности такой же, как вклад раз-
разреза nos. Отметим, что если не учитывать неподвижный полюс в ампли-
амплитуде с неправильной сигнатурой, обусловленный третьей двойной
спектральной функцией (см. гл. V, § 5), то разрезы по s и по и следует
21*

324 ГЛАВА VIII
рассматривать каждый в отдельности, и в данной задаче мы получим
четыре сверхсходящихся соотношения.
Фрамтон и Тейлор [179] провели анализ насыщения трех сверх-
сверхсходящихся соотношений, соответствующих правильной сигнатуре,
посредством мезонов л, со, Ai и Az (они дали также список литературы
по более ранним исследованиям). Для Im A (s, 0), т. е. для соотно-
соотношений типа A0.3), получены удовлетворительные результаты, но для
высших производных они оказываются неудовлетворительными.
Были изучены [18, 31, 355] сверхсходящиеся соотношения для
амплитуд рассеяния мезонного октуплета на барионном октуплете,
возникающие из-за отсутствия высокой траектории Редже, которая
соответствует представлению размерности 27 группы SU C). Джонс
и Скадрон [257] изучили, кроме того, процессы
(барионный октуплет) —(мезонный октуплет) —»¦
—> (барионный декуплет) — (мезонный октуплет)
и
(барионный декуплет) — (мезонный октуплет)—*•
—> (барионный декуплет) — (мезонный октуплет).
Упомянутая выше неадекватность подгоночной процедуры (в лите-
литературе имеется много других примеров такого рода) привела к раз-
различным предложениям с целью получения более приемлемых резуль-
результатов. Так, например, была предпринята попытка 17] получить согла-
согласие с рассмотренными выше ря-соотношениями путем разбиения обла-
области интегрирования на два интервала, причем при s < sN функция
Im А аппроксимируется состояниями прямого канала, а при s >¦ sN —
с помощью реджевской полюсной формулы. В результате сверхсходя-
сверхсходящиеся соотношения принимают вид
"IV ов
j Im Лрез (s, t) ds + J Im Лредж (s,t)ds = O A0.6)
(здесь также не явно входят вклады от разреза пои). В Лредж была
учтена только р-траектория, и при правильном выборе sN и параметров
полюса Редже р-мезона было получено хорошее согласие для трех
сверхсходящихся соотношений в широкой области значений t при
использовании состояний л, р, Ai и Аг. Аналогичным образом удалось
осуществить подгонку сверхсходящихся соотношений для родствен-
родственных с точки зрения SU C) процессов
(-10.7)
A0.8)

ОБЗОР ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ СИТУАЦИИ 325
Рубинштейн (частное сообщение) указал, что такой метод позволяет
также получить удовлетворительное согласие для сверхсходящихся
соотношений таких процессов, соответствующих неправильной сиг-
сигнатуре.
В аналогичном духе выполнены работы Долана и др. [148, 149],
рассматривающих амплитуды, которые не удовлетворяют сверхсходя-
сверхсходящимся соотношениям, но которые можно привести к виду, удовлетво-
удовлетворяющему этим соотношениям, вычитая из них вклады ведущего полю-
полюса Редже (следуя методу, предложенному в работах [242—244], на кото-
которые мы ссылались в § 3, п. 5, а также в работе [284]). Другими сло-
словами, рассматривается величина A (s, t) — /[&*&* ^ ^ где
Лредш (s, f) — сумма вкладов ведущего полюса Редже, такая, что
при подходящих предположениях относительно других сингулярно-
стей в] /-плоскости Л — ^р""" удовлетворяет сверхсходящемуся
соотношению, т. е.
[lmA(s, /)-1тЛредж(з, t)]ds = O. A0.9)
«о
Затем выбирается определенное значение s — sN, такое, что при
s>sN справедливо приближение Л=Лред>к, и следовательно,
j Im A (s, t) ds = { Im A**** (s, t) ds, A0.10)
siV SN
а при s<CsN амплитуду А можно записать в виде суммы небольшого
числа состояний прямого канала, т. е.
«JV SN
j Im A(s, 0 ds = J Im Лрез (s, t) ds. A0.11)
so e0
Объединяя A0.9) —A0.11), получаем
J Im Л1*3 (s, t) ds = J Im A™'* (s, t)ds. A0.12)
Заметим, что если сама амплитуда Л удовлетворяет сверхсходяще-
сверхсходящемуся соотношению, то ему будет удовлетворять и величина Avewat
и A0.12) становится эквивалентным соотношению A0.6).
Долан и др. [148, 149] применили этот метод для анализа яЛГ-рас-

326 ' ГЛАВА VIII
сеяния с перезарядкой. Вычисляя интеграл
j lmAve3{s, t)ds
«о
при различных значениях t и выбирая в качестве Лред>к вклад
р-траектории, авторы предсказали для нее параметры, находящиеся
в превосходном согласии с параметрами, которые были получены
путем обычного анализа процессов при высоких энергиях с помощью
полюсов Редже. Применяя данный метод к амплитудам обеих сигна-
сигнатур, авторы показали в явном виде, что соотношения, соответствую-
соответствующие неправильной сигнатуре, не выполняются. Этого можно избежать,
предполагая, что в амплитуде с неправильной сигнатурой имеется
неподвижный полюс при / = 0. Было показано, что этот неподвиж-
неподвижный полюс не входит в вычет р-траектории, и следовательно, объясне-
объяснение провала в дифференциальном сечении тем, что р-траектория прини-
принимает значение оср = 0, остается в силе. Вовсе не очевидно, что такое
требование о существовании неподвижного полюса согласуется с упо-
упомянутым выше результатом Рубинштейна, но поскольку авторы рас-
рассматривают другие процессы, это обстоятельство не является серьез-
серьезным противоречием.
Важно отметить, что в двух описанных выше методах приближение
с помощью резонансов прямого канала и с помощью полюсов Редже
используется в разных областях, поэтому трудностей, связанных
с двойным учетом некоторых эффектов, не возникает. В этом состоит
отличие данных методов от неправильной процедуры, использовавшей-
использовавшейся в литературе, которая состояла в том, что амплитуду записывали
в виде
A (s, t) = Лрез (s, *) + Лредж (s, t), A0.13)
делали предположение, что величина A (s, t) — ЛреджE, t) удовлетво-
удовлетворяет сверхсходящемуся соотношению, и в результате получали
1тЛрезE, t)ds = O. A0.14)
so
Очевидно, что это соотношение противоречит соотношению A0.12),
Основным источником допускаемой здесь ошибки является то, что
если для сверхсходимости амплитуды A (s, t)' достаточно вычесть
из нее реджевские члены, то значит они уже содержат большую часть
величины Лрсз (s, t) (и наоборот), благодаря чему разбиение A0.13)
оказывается несправедливым [52].
Мандельстам [298] высказал предположение, что можно развить
динамическую схему для вычисления траекторий Редже, используя

ОВЗОР ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ СИТУАЦИИ 327
для описания области низкоэнергетических резонансов (в прямом
канале) и высокоэнергетического поведения (в кросс-канале) один
и тот же класс траекторий. Потребовав затем, чтобы удовлетворялись
сверхсходящиеся соотношения типа рассмотренных выше [148, 149],
можно получить для траекторий и вычетов определенные условия
самосогласованности. В настоящее время эти исследования находятся
в предварительной стадии.
§ П. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ И СЛАБЫЕ ПРОЦЕССЫ
До сих пор мы рассматривали исключительно адроны, но соответ-
соответствующие идеи можно применить также и к частицам, участвующим
только в слабых взаимодействиях (в число которых мы включаем здесь
и электромагнитные взаимодействия). Хотя экспериментов пока
очень немного, но эти процессы имеют некоторые
интересные особенности, которые в последнее вре-
мя привлекли внимание.
Рассмотрим прежде всего комптоновское рас-
сеяние
уА-^уА A1.1)
в s-канале, где А — какой-то адрон. Чтобы опре-
делить поведение амплитуды этого процесса при
больших s (малых f), необходимо обратиться к ред-
жевскому разложению в /-канале, т. е. в канале
процесса
W —>ЛЛ. (Н.2) Ф и г. VIII.34. Об-
. , мен UP-мезоном в
Фотон имеет только два спиральных состояния ±1, процессе yN -*-
так что существуют только два значения разности ->¦ WN.
спиральностей фотона к, а именно к = 2 и к = 0.
При J = 1 двухфотонное состояние с к = 2 является бессмыслен-
бессмысленным состоянием, поэтому независимо от спиральностей А и А для
устранения неподвижного полюса (или квадратного корня из полю-
полюса), имеющегося при J — 1, необходимо, чтобы для амплитуды с пра-
правильной (т. е. с отрицательной) сигнатурой выполнялось сверхсходя-
сверхсходящееся соотношение. Примером такого сверхсходящегося соотношения
является правило сумм Дрелла — Херна [154] для комптоновского
рассеяния на протонах.
Важно отметить, что эти сверхсходящиеся соотношения не обяза-
обязательно выполняются при приближенных расчетах. Так, например,
необходимость компенсации неподвижного полюса вытекает из усло-
условия унитарности, поэтому если вычислять амплитуду в низшем поряд-
порядке по е2, когда унитарность не выполняется, то неподвижный полюс
может существовать. Такой неподвижный полюс рассматривался

328 ГЛАВА VIII
в работах [71, 72, 363], в которых исследовался случай, когда фотон
заменяется частицей, связанной с изовекторным током, например
промежуточным векторным бозоном W (в предположении, что он
существует). Если этот векторный бозон считать элементарной части-
частицей, то обмен им (фиг. VIII.34) будет давать в амплитуду вклад, про-
пропорциональный дельта-символу б л. Тогда на основе алгебры токов
можно заключить, что в амплитуде содержится неподвижный полюс
при J = 1 [137, 197]. Если все частицы рассматривать как элементар-
элементарные, то из аргументов, приведенных в гл. VII, следует, что непод-
неподвижный полюс при J = 1 входит в амплитуду, вычисленную в бор-
новском приближении. Было показано [71, 72], что если слабое взаимо-
взаимодействие учитывается только в низшем порядке, то (по крайней мере
в некоторых определенных моделях) неподвижный полюс остается
и в том случае, когда сильные взаимодействия учитываются точно.
Если элементарный ЩТ-бозон заменить составной частицей (напри-
(например р-мезоном), то дельта-символ исчезает, вместе с ним исчезает
и неподвижный полюс [353]. Не совсем ясно, что будет с неподвижным
полюсом, если W оставить элементарной частицей, но учесть неэле-
неэлементарность адронов, однако маловероятно, чтобы такой полюс дей-
действительно входил в амплитуды рассеяния (даже в низшем порядке).
Если рассматривать амплитуду не в низшем порядке (по слабому
взаимодействию), а брать ее точное выражение, то все неподвижные
полюса должны превратиться в движущиеся, т. е. в полюса Редже.
Из границы Фруассара следует, что при t^.0 они должны иметь
Reo<l, A1.3)
поэтому для точных амплитуд, по крайней мере в области t <L 0, соот-
соответствующие сверхсходящиеся соотношения (например, упоминавше-
упоминавшееся выше правило сумм Дрелла — Херна) будут заведомо выполняться.
Траектория такого движущегося полюса будет иметь вид
где g — константа слабого взаимодействия, так что в любом конечном
порядке по g2 амплитуда содержит неподвижный полюс при J = \.
Эти «слабые траектории», по-видимому, не проявляются в виде частиц,
поэтому если они существуют, то являются непонятными объектами,
заслуживающими дальнейшего исследования.
Добавочным следствием существования неподвижных полюсов
в полубессмысленных амплитудах является то, что посредством
механизма, описанного в гл. VII, § 6, они будут приводить к сингу-
лярностям типа дельта-символа в физических амплитудах.
Отметим, что выше мы не рассматривали неподвижных полюсов,
обусловленных третьей двойной спектральной функцией. Они соот-
соответствуют неправильным значениям сигнатуры и не влияют на асимп-
асимптотическое поведение амплитуды.

ОБЗОР ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ СИТУАЦИИ 329'
Вернемся теперь к нашей физической задаче, т. е. к комптоновскому
рассеянию обычных фотонов, в которой должна доминировать траек-
траектория Померанчука. Имеется некоторое сомнение, однако, относи-
относительно того, справедливо ли это и для рассеяния вперед (при t — 0).
Чтобы проверить это, рассмотрим для простоты процесс
уп—>уп, A1-5)'
который описывается двумя спиральными амплитудами s-канала
A | А3 | 1 > и A | Аа ] — 1 >. Они связаны со спиральными ампли-
амплитудами ^-канала посредством спиральной кроссинг-матрицы, кото-
которая в данном случае имеет очень простой вид:
A|Л8|1) = (|Л'|1-1>, A1.6)
<1|Л8|-1) = <|Л'|П>. A1.7)
Для рассеяния вперед в s-канале амплитуда A \ Аа \ — 1) равна
нулю (вследствие сохранения углового момента, как это показана
в гл. IV, § 3), так что в этом направлений дает вклад только ампли-
амплитуда (\ А* | 1 — 1). Однако для этой амплитуды % = 2, и при J — I
она является полубессмысленной. Поэтому, принимая, что полубес-
полубессмысленная связь обращается в нуль (это действительно так, если
мы пренебрегаем третьей двойной спектральной функцией), мй полу-
получаем, что при У = 1 эта амплитуда равна нулю. Отсюда следует, что
вычет траектории Померанчука при af (t) = 1, т. е. при / = 0 (в обыч-
обычном предположении), также равен нулю. Таким образом, если не учи-
учитывать третью двойную спектральную функцию^ то траектория Поме-
Померанчука не дает вклада в рассеяние вперед, и полное сечение -рт-рас-
сеяния (связанное с амплитудой рассеяния вперед оптической тео-
теоремой) при возрастании энергии стремится к нулю. Этот результат
справедлив и для комптоновского рассеяния на частицах со спи-
спином V2 [361].
Как мы видели, третья двойная спектральная функция означает
наличие в амплитуде с неправильной сигнатурой неподвижного полю-
полюса при / = 1 (который сам по себе из-за сигнатурного множителя
вклада в асимптотическое поведение не дает). Однако этот полюс может
содержаться в вычете траектории Померанчука, которая тем самым
может доминировать в амплитуде рассеяния вперед, благодаря чему
полное сечение будет стремиться к постоянному значению. Было
бы весьма странно, однако, если бы столь простой процесс, как комп-
тоновское рассеяние, определялся при высоких энергиях эффектами»
обусловленными третьей двойной спектральной функцией. Дальней-
Дальнейший анализ этих вопросов проведен в работе [308].
Адер и др. [8] и Фраучи и Джонс [183] рассмотрели фоторождение
я- и /С-мезонов, которое, очевидно, сходно с процессом рассеяния
N *¦ VB, рассмотренным в § 6. Однако фотон не может иметь нуле-

330 ГЛАВА III
вой спиральности, поэтому подавление рассеяния вперед, обуслов-
обусловленное кинематикой частиц с неравными массами, свойственно всем
амплитудам фоторождения. Учитывая, кроме того, кинематические
множители s-канала, которые содержат t, и теорему о факторизации
(см. гл. VI, § 6), мы получим, что в отсутствие какой-либо конспира-
конспирации -это приводит к резким провалам в предсказываемых сечениях,
соответствующим рассеянию вперед (впервые это отметили Дрелл
и Саливан [155]). Очевидно, хорошие экспериментальные данные
по этим процессам при гораздо более высоких энергиях, чем те, кото-
которые используются в настоящее время, могли бы подтвердить суще-
существование хотя бы некоторых конспирации. В упоминавшейся выше
работе Фраучи и Джонса [183] подробно рассматриваются следствия,
к которым приводят эти конспирации (см. в этой связи также [9, 225]).
Если нет пионной конспирации, то наилучшие из имеющихся данных
по процессу рассеяния ур ->- ат+л, по-видимому, не согласуются
с моделью полюсов Редже.
Было рассмотрено также фоторождение со-мезонов [153] и фоторож-
фоторождение со-, ф- и р°-мезонов [174].

ДОПОЛНЕНИЕ
После того, как была завершена рукопись этой книги, наше вни-
внимание привлекло довольно большое количество работ по теории Редже,
на которых мы здесь очень кратко остановимся. Хорошие обзоры
по последним достижениям этого направления сделали Берточчи
и Онес на Международной конференции по физике высоких энергий
(Гейдельберг, 1967); они опубликованы в Трудах этой конференции.
1. ДОЧЕРНИЕ ТРАЕКТОРИИ, КОНСПИРАЦИИ И О D)
Аллисон и др. [415] привели некоторые данные, свидетельствую-
свидетельствующие о том, что резонанс S (965 Мэв) не является частицей со спином
0+ (как это требуется, если он является первой дочерней траекторией
р-мезона, см. гл. VIII, § 1, п. 2).
Расчеты показывают [425], что природа дочерних траекторий,
получаемых в результате решения уравнения Бете — Солпитера,
сильно зависит от используемого потенциала и что они обладают
весьма специфическими свойствами. Отклонение от симметрии при
удалении t от нулевого значения может быть большим и нерегулярным.
Подтверждено [420] существование пика в сечении процесса
ур -*- п+п, соответствующего рассеянию вперед, для объяснения
которого требуется, по-видимому, пионная конспирация (см. гл. VIII,
§ 11, а также [420]). Был сделан обзор [428] множества процессов
такого рода (включая рассеяние пр-+ рп, рассмотренное в гл. VIII,
§ 6, п. 6) с точки зрения пионной конспирации. Дана классификация
подобных конспирации на основе О D)-симМетрии [445]. Показано
[417], что р'-траектория, которая вводится для объяснения поляри-
поляризации в яЛГ-рассеянии с перезарядкой (см. гл. VIII, § 7, п. 2), в ампли-
амплитуде без переворота спина при t = 0 должна иметь нулевой (или очень
малый) вычет, так как в противном случае будет нарушаться правило
сумм для рассеяния вперед без переворота спина (гл. VIII, § 3, п. 5).
Такое поведение было бы естественным, если бы р'-траектория была
некоторой частью конспирации (связанной с В, но не с р). К сожале-
сожалению, экспериментальные данные пока не настолько хороши, чтобы
к этому выводу можно было относиться с полным доверием.
Проведены дальнейшие исследования [437, 441, 443] по использо-
использованию лоренцевских полюсов для описания амплитуд рассеяния
при высоких энергиях. В результате было показано, что для объяс-
объяснения эффектов, которые могут быть удовлетворительно описаны
с помощью одного полюса Редже, требуется привлекать более одного
лоренцевского полюса. Был сделан [429] полезный обзор, посвящен-
посвященный разложению «по малым группам», и рассмотрена [435] комплекс-

332 ДОПОЛНЕНИЕ
ная группа вращений. Проведен [436] анализ кинематических сингу-
лярностей и пороговых условий.
Мандельстам [438] показал, что многие результаты, являющиеся
следствием гипотезы частичного сохранения аксиального тока, выте-
вытекают из кинематических ограничений на пионный вычет при t = 0.
2. НУЛИ ВЫЧЕТОВ
Природа нулей у вычетов, которая связана с тем, «выбирает»
ли траектория физическое или бессмысленное состояние, и соответ-
соответствующие им провалы в сечениях (см. гл. VI, § 6 и гл. VIII, § 6) рас-
рассмотрены несколькими авторами [421, 422, 426]. Было показано [439],
какую помощь при решении этих вопросов могут оказать правила
сумм при конечных энергиях; в частности, была рассмотрена природа
связи Л2-траектории в процессе п-р-*-г\п (см. гл. VIII, § 6, п. 3).
Проанализирован [424] процесс n±N -*¦ p±N с точки зрения опре-
определенных комбинаций амплитуд, в которые из всех известных траек-
траекторий может давать вклад только со-траектория. Было получено
хорошее согласие с опытом, однако результаты не подтверждают
предположение, что эффект «пересечения» дифференциальных сечений
процессов рр-*- рр и рр -*- рр [см. текст ниже формулы (VIII.6.27)]
обусловлен изменением знака у вычета со-траектории. К аналогичным
выводам приводит анализ процесса ур-*- п°р [417]. В этом случае для
объяснения пересечения используются более низкие траектории.
3. РАЗРЕЗЫ
Проведен общий анализ свойств реджевских разрезов [444]. Было
рассмотрено [427] вычисление вкладов разрезов и даны ссылки на дру-
другие исследования по этому вопросу. Изучен [419] способ, позволяющий
с помощью разрезов так экранировать действие неподвижных полюсов
в ./-плоскости, чтобы они не нарушали условие унитарности
(см. гл. V, § 4); было показано, что основным при этом является то,
чтобы скачки на разрезах были сингулярными и чтобы в граничных
точках они обращались в нуль. Шварц [446] исследовал два типа двух-
двухчастичных реджевских разрезов: разрезы первого типа, возникающие
в том случае, когда обе обмениваемые частицы реджезованы, и раз-
разрезы второго типа, возникающие, когда одна частица является полю-
полюсом Редже, а другая — обычным полюсом в t-плоскости. Он показал,
что в задаче с частицами неравных масс для экранировки действия
неподвижных полюсов в /-плоскости на разрез, соответствующий
двухчастичному условию унитарности, требуется разрез второго
типа. Было показано [431], что если померанчон рассматривать в каче-
качестве неподвижного полюса (см. гл. VIII, § 3, п. 2), то механизм экра-
экранировки для него работать не будет. Это делает крайне маловероятным,
что померанчон на самом деле является неподвижным полюсом. Было

ДОПОЛНЕНИЕ 333
высказано [434] чрезвычайно интересное утверждение: если для ампли-
амплитуд рассеяния с полюсами Редже в промежуточных состояниях спра-
справедливо обычное условие унитарности типа (V.1.3), то все траектории
Редже должны иметь один и тот же наклон.
Сквайре [448] привел доказательства в пользу того, что в упругом
рассеянии разрезы могут доминировать, но в неупругом рассеянии,
где их действие эквивалентно абсорбтивным поправкам к модели
полюсов Редже, вклады разрезов малы.
4. БЕСКОНЕЧНО РАСТУЩИЕ ТРАЕКТОРИИ
Гольдберг [432] показал, что наблюдаемое поведение реджевских
вычетов приближенно согласуется с экспоненциальной формой, тре-
требуемой [253] для траекторий, которые стремятся к бесконечности
{см. гл. VIII, § 7, п. 1). Рассмотрено [422] влияние отсутствия степен-
степенной ограниченности амплитуды при а > оо на теорему Мартена,
которая устанавливает максимальную скорость убывания амплитуды
рассеяния с ростом передаваемого импульса при фиксированной энер-
энергии (гл. VIII, § 6, п. 9). Баргер и Клайн [416] использовали новые
данные по я±р-рассеянию назад и получили результаты, близкие
к рассмотренным в гл. VIII, § 6, п. 3.
5. ПРАВИЛА СУММ
Многие авторы применяли правила сумм при конечных энергиях
для определения различных реджевских параметров. В частности,
были исследованы [4181 /-, /'-, р-, со- и Л2-траектории в системе KN.
Олссон показал [442], что если для определения параметров р-траек-
тории воспользоваться значениями разности сечений А (пр) при низ-
низких энергиях, то результаты согласуются с теми, которые получаются
при обработке этих же сечений при высоких энергиях.
6. ЗАШНУРОВКА
Рассматривались правила сумм при конечных энергиях в рамках
полузашнурованных моделей [413, 433].
Коллинз и др. [423] подчеркивают трудности, возникающие при
попытке примирить прямолинейность траекторий Редже с динами-
динамикой зашнуровки, рассмотренной в гл. VI. Авторы указывают, что
если гипотеза зашнуровки верна, то ширины высших резонансов
на мезонной диаграмме, представленной на фиг. VIII.2, являются,
по-видимому, слишком малыми, чтобы эти резонансы могли лежать
на р (Л2);траектории.
П. Коллинз
Ю. Сквайре
.Январь 1968

ЛИТЕРАТУРА
1. A b b e W. J., К a u s P., N a t h P., S г i v a s t a v a Y. N.. Phys.
Rev., 140B, 1595 A965).
2. A b b e W. J., К a us P., Nath P., Sri vast a va Y. N.. Phys.
Rev., 141, 1513 A966).
3. A b b e W. J., К a u s P., Nath P., S г i v a s t a v a Y. N.. Phys.
Rev. 154, 1515 A967).
4. A b e r s E., T e p 1 i t z V. L., Nuovo Cimento, 39, 739 A965).
5. A b e r s E., T e p 1 i t z V. L., Phys. Rev., 158, 1365 A967).
6. Abers E., Zemach C, Phys. Rev., 131, 2305 A963).
7. Ademollo M., Rubinstein H. R., V e n.e z i a n о G.,
V i г a s о г о М. A., Nuovo Cimento, 51, 227 A967).
8. A d e r J. P., С a p d e v i 1 1 e M., S a 1 i n Ph., Nucl. Phys., B3, 407
A967).
9. A d 1 e r S. L., G i 1 m a n F. J., Phys. Rev., 152, 1460 A966).
10. A h m a d z a d e h A., Phys. Letters, 22, 96 A966).
11. A h m a d z a d e h A., Burke P. G., Tate C, Phys. Rev., 131,
1315 A963).
12. A h m a d z a d e h A., Leader E., Phys. Rev., 134B, 1058 A964).
13. А к e r 1 о f C. W. et al., Phys. Rev. Letters, 17, 1105 A966).
14. Akyeampong D. А., В о у с е J. F., R a s h i d M. A., Trieste
preprint, IC/67/61, 1967.
15. А к у e a m p о n g D. А., В о у с е J. F., R a s h i d M. A., Phys. Let-
Letters, 25 B, 336 A967).
16. de Alfaro V., Fubini S., Rossetti C, Furl an G., Phys.
Letters, 21, 576 A966).
17. de Alfaro V., Regge Т., Potential Scattering, Amsterdam, 1965
(см. перевод: де Альфаро В., Редже Т., Потенциальное рассеяние, изд-во
«Мир», 1966).
18. А 1 t а г е 1 1 i G., В и с с е 1 1 a F., Gatto R., Phys. Letters, 24Br
57 A967).
19. A m a t i D., Fubini S., Stanghellini A., Phys. Letters,
1, 29 A962).
20. Anderson E. W., et al., Phys. Rev. Letters, 16, 855 A966).
21. Andrews M., Gunson J., Journ. Math. Phys., 5, 1391 A964).
22. А н с е л ь м А. А., Дятлов И. Т., Phys. Letters, 24B, 479 A967).
23. Ar b a b F., С h i и С. В., Phys. Rev., 147, 1045 A966).
24. А г b a b F., Bali N. F., Dash J. W., Phys. Rev., 158, 1515 A967).
25. А г n о 1 d R. C, Talk at the Symposium on Regge Poles Held at Argonne
National Laboratory (Dec. 1966), Argonne report 1966.
26. A t к i n s о n D., D i e t z K., Morgan D., Ann. Phys., 37, 77 A966).
27. A t к i n s о n D., С о n t о g о и г i s A. P., Nuovo Cimento, 39, 1082„
1102 A965).
28. Atkinson D., H a 1 p e r n M. В., Phys. Rev., 150, 1377 A966).
29. А з и м о в Я. И., А н с е л ь м А. А., Ш е х т е р В. М., ЖЭТФ, 44,
1078 A963).

ЛИТЕРАТУРА 335.
30. Азимов Я. И., Phys. Letters, 3, 195 A963).
31. В a b u P., Gilman F. Т., Suzuki M., Phys. Letters, 24B, 65
A967).
32. Baker M., Ann. Phys., 4, 271 A958).
33. В a 1 a z s L. A. P., Phys. Rev., 128, 1939 A962).
34. В a 1 a z s L. A. P., Phys. Rev., 129, 872 A963).
35. В a 1 a zs L. A. P., Phys. Rev., 137B, 1510 A965).
36. В a 1 a z s L. A. P., Phys. Rev., 139B, 1646 A965).
37. Bali N.. Phys. Rev., 150, 1358 A966).
38. В a 1 i N. F., Chew G. F., Chiu S.-Y., Phys. Rev., 150, 1352:
A966).
39. В a 1 i N. F., Chiu S.-Y., Phys. Rev., 153, 1579 A967).
40. В a 1 i N. F., Chiu S.-Y., Haymaker R. W., Tan. C.-L, Phys.
Rev., 161, 1450 A967).
41. В a 1 i N. F., Ball J. S., Chew G. F., P i g n о t t i A., Phys-.
Rev., 161, 1459 A967).
42. В a 1 i N. F., Chew G. F., Pignotti A., Phys. Rev., 163, 1572
A967).
43. В a 1 i N. F., Chew G. F., Pignotti A., Phys. Rev. Letters, 19„
614 A967).
44. В a n d e г M., Coulter P. W., Shaw G. L., Phys. Rev. Letters,
44, 230 A965).
45. В а г d а к с i К., Phys. Rev., 127, 1832 A962).
46. Barger V., С line D., Phys. Rev. Letters, 16, 913 A966).
47. Barger V., С 1 i n e D., Phys. Rev., 155, 1792 A967).
48. Barger V., Cline D., Phys. Rev., 156, 1522 A967).
49. Barger V., Olsson M., Phys. Rev., 146, 1080A966).
50. Barger V., Olsson M., Phys. Rev., 148, 1428A966).
51. Barger V., Olsson M., Phys. Rev., 151, 11 A966).
52. Barger V., Phillips J. N., Phys. Letters, 25B, 351 A967).
53. В а г g e г V., D u г a n d L., Phys. Rev., 156, 1525A967).
54. В а г g m a n n V., Ann. Math., 48, 568 A947).
55. В а г u t A. O., U n a 1 В. С, Nuovo Cimento, 28, 112 A963).
56. В а г u t A. O., Z w a n z i g e г D. E., Phys. Rev., 127, 974 A962) (см,
перевод в сборнике «Теория сильных взаимодействий при больших энер-
энергиях», ИЛ, 1963).
57. Le В е 1 1 а с М., Phys. Letters, 25B, 524 A967).
58. В j о г k e n J. D., Phys. Rev. Letters, 4, 473 A960).
59. В j о г к е n J. D., W u T. Т., Phys. Rev., 130, 2566 A963).
60. В 1 a i г I. M., et al., Phys. Rev. Letters, 17, 789 A966).
61. Blankenbeckler R., Goldberger M. L., Khuri N. N.,
Trieman S. В., Ann. Phys., 10, 62 (I960) (см. перевод в сборнике
«Теория сильных взаимодействий при больших энергиях», ИЛ, 1963).
62. Blankenbeckler R., Goldberger M. L., Phys. Rev., 126,
766 A962).
63. Боголюбов Н. Н., Ш и р к о в Д. В., Введение в теорию кванто-
квантованных полей, М.— Л., 1957.
64. В о п a m у P. et al., Phys. Letters, 23, 501 A966).
65. В о г g h i n i M. et al., Phys. Letters, 24B, 77 A967).
66. В о t t i n о A., L о n g о n i A. M., R e g g e Т., Nuovo Cimento, 23,
954 A962) (см. перевод в сборнике «Теория сильных взаимодействий при
больших энергиях», ИЛ, 1963).
67. В о у с е J. F., Journ. Math. Phys., 8, 675 A967).
68. В о у с е J. F., Delbourgo R., Salam A., Strathdee J.
Trieste preprint IC/67/9, 1967.
69. Bransden B. B>, Burke P. G., Moffat J. W., M о о г h о и -
se R. С, Morgan D., Nuovo Cimento, 30, 207 A963).

336
ЛИТЕРАТУРА
70.
71.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
78.
79.
80.
-81.
82.
«3.
-84.
85.
«6.
«7.
.88.
89.
90.
91.
92.
93.
94.
95.
96.
97.
98.
99.
100.
101.
102.
103.
104.
105.
106.
107.
108.
В г i t t i n W. E., В а г u t A. O. (Eds.), Lectures in theoretical physics,
VII A; Lorentz group. University of Colorado Press, 1965.
В г о n z a n J. В., G e г s t e i n 1. S., Lee B. W., L о w F. F., Phys.
Rev. Letters, 18, 32 A967).
В г о n z a n J. В., G e г s t e i n I. S., Lee B. W., L о w F. F., Phys.
Rev., 157, 1448 A967).
"" "" " Phys. Rev., 164, 1841 A967).
H а г t e J.,
Phys. Letters, 24B, 61 A967).
J., Horwitz L., N e'e m a n Y.,
L., Ne'e man Y., Phys. Letters, 22,
Ann. Phys., 26, 44 A964).
Squires E. J., Ann. Phys.,
J. M.,
J. M.,
В г о w e r R. С,
Buccella F., Со 1 о ее i M.,
Cabibbo N.. KokkedeeJ.J
Nuovo Cimento, 45, 275 A966).
Cabibbo N.. Horwitz
336 A966).
Calogero F., Charap
Calogero F., Charap
25, 325 A963).
Calogero F., Charap J. M., Squires E. J., Proceedings of
Sienna Conference, 1963.
С a p p s R. H., Phys. Rev., 150, 1263 A966).
Caprasse H., Stremnitzer H., Nuovo Cimento 44A, 1245
A966).
Carruthers P., Introduction to Unitary Symmetry, New York, 1966.
Carruthers P., Phys. Rev., 154, 1399 A967).
L., Dalitz R. H., Dyson F. J., Phys. Rev., 101,
С a s t i 1 1 e j о
453 A956).
С h a 1 1 i f о ur J. L.,
С ha 11 if о ur J. L.,
Chan, Hong-Mo,
Cimento, 33, 70 A964).
Eden R. J., Nuovo Cimento, 27, 1104 A963).
Eden R. J., Phys. Rev. 129, 2349 A963).
De Celles P. C, Pa ton J. E., Nuovo
Charap
Charap
Charap
Charap
Charap
Cheng H.
Cheng H.
Cheng H.,
127, 1387 A962).
M:, Niiovo Cimento, 31, 452 A963).
M., Squires E. J., Phys. Rev.,
M., S q u i f e s E. J., Ann. Phys., 20, i45 A962).
M., Squires E. J., Ann. Phys., 21, 8 A963).
M., Squires E. J., Ann. Phys., 25, 143 A963).
Phys. Rev., 130, 1283 A963).
Sharp D., Ann. Phys., 22, 481 A963).
Sharp D., Phys. Rev., 132, 1854 A963).
С h e w~G. F., Rev. Mod. Phys., 33, 467 A961).
Chew G. F., S-matrix Theory of Strong Interactions, New York. 1962.
Chew G. F., Rev. Mod. Phys., 34, 394 A962).
Chew G. F., Phys. Rev. Letters, 9, 233 A962).
Chew G. F., Phys. Rev., 129, 2363 A963).
Chew G. F., Phys. Rev., 130, 1264 A963).
Chew G. F., в книге Jacob M., Chew G. F., Strong Interaction Physics,
New York, 1964.
Chew G. F., в книге Strong Interaction Physics; the 1965 Les Houches
Lectures, (eds. de Witt B. S., Jacob M.), New York, 1965.
Chew G. F., в книге Progress in Theoretical Physics. Supplement (Extra
number; Commemoration issue for 30th anniversary of Meson Theory by
Dr. H. Yukava), 1965.
Chew G. F., Phys. Rev., 140B, 1427 A963).
The analytic S-matrix, New York, 1966 (см. перевод в сбор-
сильных взаимодействий при больших энергиях», ИЛ,
Chew G. F.,
нике «Теория
1963).
Chew G. F.,
Chew G. F.,
F г a u t s с h i S. C, Phys. Rev. Letters, 5, 580 A960).
F г a u t s с h i S. C, Phys. Rev., 123, 1478 A961) (см.
перевод в сборнике «Теория сильных взаимодействий при больших энер-
энергиях», ИЛ, 1963).

ЛИТЕРАТУРА , 337
109. Chew G. F., F r a u t s с h i S. C, Phys. Rev. Letters, 7, 394 A961).
110. Chew G. F., Frautschi S. C, Phys. Rev. Letters, 8, 41 A962).
111. Chew G. F., Frautschi S. C, Mandelstam S., Phys. Rev.,
126, 1202 A962) (см. перевод в сборнике «Теория сильных взаимодействий
при больших энергиях», ИЛ, 1963).
112. С h e w G. F., Jones С. Е., Phys. Rev., 135B, 208 A964).
113. Chew С. F., Mandelstam S., Phys. Rev., 119, 467 A960). (см.
перевод в сборнике «Новый метод в теории сильных взаимодействий»,
ИЛ, 1960).
114. Chew G. F., Mandelstam S., Nuovo Cimento, 19, 752 A961).
115. С h e w G. F., T e p 1 i t z V. L., Phys. Rev., 136B, 1154 A964).
116. Chew G. F., Teplitz V. L., Phys. Rev., 137B, 139 A965).
117. С h i s h о 1 m J. S. R., Proc. Cambridge Phil. Soc, 48, 300 A952).
118. С h i u С. В., F i n k e 1 s t e i n J., Nuovo Cimento, 48A, 820 A967).
119. С h i u С. В., Phillips R. J. N.. R a r i t a W., Phys. Rev., 153,
1485 A967).
120. С h i u СВ., Stack J. D., Phys. Rev., 153, 1575 A967).
121. Chung V., Snider D. R., Phys. Rev., 162, 1639 A967).
122. Chung V., Wright J., Phys. Rev., 162, 1716 A967).
123. Cohen-Tannoudji G., Morel A., Navelet H.f Ann. Phys.
(USA), 46, 239 A968).
124. Collins P. D. В., Phys. Rev., 136B, 710 A964).
125. Collins P. D. В., Phys. Rev., 139B, 696 A965).
126. Collins P. D. В., Phys. Rev., 142, 1163 A966).
127. Collins P. D. В., Phys. Rev., 157, 1432 A967).
128. Collins P. D. В., Teplitz V. L., Phys. Rev., 140B, 663 A965).
129. С о u 1 t e г P. W., Scotti A., Shaw G. L., Phys. Rev., 136B,
1399 A964).
130. С u t k о s k у R. E., Phys. Rev., 96, 1135 A954).
131. С u t k о s k у R. E., Journ. Math. Phys., 1, 429 A960).
132. С u t k о s k у R. E., Rev. Mod. Phys., 33, 446 A961).
133. С u t k о s k у R. E., Phys. Rev., 131, 1888 A963).
134. Cutkosky R. E., Proceedings of the Rochester Conference on Theoreti-
. cal Physics, 1967.
135. Cutkosky R. E., Deo В. В., Phys. Rev. Letters, 19, 1256 A967).
136. Dalitz R. H., в книге High Energy Physics, the 1965 Les Houches
Lectures (eds. de Witt B. S., Jacob M.), New York, 1966.
137. Das hen R., Gel 1-Mann M., Phys. Rev. Letters, 17,340A966).
138. De L a n e у V. M., Gross D. J., M u z i n i с h I. J., T e p 1 i t z V. L.,
Phys. Rev. Letters, 18, 149 A967).
139. Delbourgo R., Salam A., Strathdee J., Phys. Rev., 164,
1981 A967).
140. Delbourgo R., Salam A., Strathdee J., Phys. Rev. Letters,
25 B, 230 A967).
141. Desai B. R., Phys. Rev., 138B, 1174 A965).
142. Desai B. R., Phys. Rev. Letters, 17, 498 A966).
143. Desai B. R., Gregorich D. Т., Ramachandran R., Phys.
Rev. Letters, 18, 565 A967).
144. Desai B. R., Newton R. G., Phys. Rev., 129, 1437A963).
145. Desai B. R., Newton R. G., Phys. Rev., 129, 1445 A963).
146. Desai B. R., S a k i t а В., Phys. Rev., 136B, 226 A964).
147. D i k m e n F. N.. Phys. Rev. Letters, 18, 798 A967).
148. D о 1 e n R., Horn D., Schmidt C, Phys. Rev. Letters, 19, 402
A967).
149. D о 1 e n R., Horn D., Schmidt C, Phys. Rev., 166, 1768 A968).
150. D о m о k о s G., Phys. Rev., 159, 1387 A967).
151. Do mo k os G., Suranyi P., Nucl. Phys., 54, 529 A964).
22-6150

338 ЛИТЕРАТУРА
152. Drechsler W., Nuovo Cimento, 53A, 115A968).
153. Drechsler W., Phys. Letters, 23, 272 A967).
154. D r e 1 1 S. D., H e a r n A. C, Phys. Rev. Letters, 16, 908 A966).
155. D r e 1 1 S. D., Sullivan J. D., Phys. Rev. Letters, 19, 268 A967).
156. D r u m m о n d I. T., Nuovo Cimento, 29, 720 A963).
157. D r u m m о n d I. T., Phys. Rev., 140, 1368 A965).
J58. D u r a n d L., Talk at the Symposium on Regge Poles Held at Argonne
National Laboratory (Dec. 1966), Argonne report, 1966.
159. D u r a n d L., Phys. Rev. Letters, 18, 58 A967).
160. Eden R. J., Landshoff P. V., Olive D. I., Polkinghor-
ne J. C, The Analytic S-matrix, London, 1966.
161. Edmonds A. R., Angular Momentum in Quantum Mechanics, Prince-
Princeton, 1957 (см. перевод в сборнике «Деформация атомиых ядер», ИЛ, 1958).
162. Е г d е 1 у i A. (Ed.), The Bateman manuscript project, Higher trarisce-
dental functions, 3 Volumes, New York, 1953 (см. перевод: Бейтмеи Г.,
Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции, т. 1—3, М., 1965—1967).
163. Е г d е 1 у i A. (Ed.), The Bateman manuscript project, Tables of integral
transforms, 2 Volumes, New York, 1953 (см. перевод: Бейтмеи Г., Эрдейи А.,
Таблицы интегральных преобразований, т. 1,2, изд-во «Наука», М., 1969—
1970).
164. Fearing H, W., Stanford University preprint. Daugther trajectories and
the Regge formula for the scattering of unequal mass particles, 1967.
165. F e d e r b u s h P. G., G r i s a r u M. Т., Ann. Phys., 22, 263 A963).
166. F e d e r b u s h P. G., Grisaru M. Т., Ann. Phys., 22, 299 A963).
167. Ferro-Luzzi M., Rapporteur's talk in Garnjost (Ed.). Proceedings
of the XIIHh International Conference on High Energy Physics, 1967.
168. F i n k e 1 s t e i n J., Phys. Rev., 145, 1185 A966).
169. F i n k e 1 s t e i n J., Phys. Rev., 154, 1596 A967).
170. Finkelstein J., Wang J. M., Lawrence Radiation Laboratory
report, UCRL-17500, 1967.
171. Flores-Maldonado V., Phys. Rev., 155, 1773 A967).
172. F о с а с с i M. N. et al., Phys. Rev. Letters, 17, 890 A966).
173. Fo 1 e у К- J. et al., Phys. Rev. Letters, 10, 376 A963).
174. Fo 1 e у К. J., Phys. Rev. Letters, 14, 862 A965).
175. F о 1 e у К. J-, Phys. Rev. Letters, 15, 45 A965).
176. Fo 1 e y. K. J. et al., Phys. Rev. Letters, 19, 193 A967).
177. Fo x G. C, Phys. Rev., 157, 1493 A967).
178. Fox G. C, Leader E., Phys. Rev. Letters, 18, 628 A967).
179. F r a m p t о n P. H., Taylor J. C, Nuovo Cimento, A49, 152 A967).
180. F r a u t s с h i S. C, Regge Poles and S-matrix Theory, New York, 1963.
181. F r a u t s с h i S. C, Phys. Rev. Letters, 17, 722 A966).
182. Frautschi S. C, Gell-Mann M., Zachariasen F., Phys.
Rev., 125, 2204 A962) (см. перевод в сборнике «Теория снльиых взаимодей-
взаимодействий при больших энергиях», ИЛ, 1963).
183. Frautschi S. С, Jones L., Phys. Rev., 163, 1820 A967).
184. Fr a u t s с h i S. C, Jones L., Phys. Rev., 164, 1918 A967).
185. Fr a u t s с h i S. C, Jones L., Phys. Rev., 167, 1335 A968).
186. Frautschi S. C, Kaus P., Zachariasen F., Phys. Rev.,
133B, 1607 A964).
187. F r e e d m a n D. Z., Wang J.M., Phys. Rev. Letters, 17, 569 A966).
188. Freed man D. Z., W a n g J. M., Phys. Rev., 153, 1596 A967).
189. Fr e e d m a n D. Z., Wang J. M., Phys. Rev. Letters, 18, 863 A967).
190. F r e e d m a n D. Z., Wang J. M., Phys. Rev., 160, 1560 A967).
191. Fr e e d m a n D. Z., Jones С E., Wang J. M., Phys. Rev-., 155,
1645 A967).
192. Fr e u n d P. G. O., Phys. Letters, 3, 123 A962).
193. Freund P. G. O., Phys. Rev. Letters, 15, 929 A965).

ЛИТЕРАТУРА 339
F г о i s s a r t M., Nuovo Cimento, 22, 191 A961).
Froissart M., Phys. Rev., 123, 1053 A961) (см. перевод в сборнике
«Теория сильных взаимодействий при больших энергиях», ИЛ, 1963).
F г у е G., W а г п о с k R. L., Phys. Rev., 130, 478 A963).
F u b i n i S., Nuovo Cimento, 43, 475 A966).
F u b i n i S., Lectures on «Current algebra and sum rules», 1967.
F u 1 с о J., Shaw G. L., Wong D., Phys. Rev., I37B, 1242 A965).
Galdbraith W. et al., Phys. Rev., 138B, 913 A965).
G e 1 1 - M a n n M., Proceedings of the 1962 CERN Conference on High
Energy Physics, 1962.
G e 1 1 - M a n n M., Phys. Rev. Letters, 8, 263 A962).
G e 1 1 - M a n n M., Phys. Letters, 8, 214 A964).
G e 1 1 - M a n n M., Goldberger M. L., Phys. Rev. Letters, 9,
275 A962) см. также Erratum, Phys. Rev. Letters, 10, 39 A962).
G e 1 1 - M a n n M., Goldberger M. L., Low F. E., Marx E.,
Zachariasen F., Phys. Rev., I33B, 145 A964).
G e 1 1 - M a n n M., Goldberger M. L., Low F. E., Singh V.,
Zachariasen F., Phys. Rev., I33B, 161 A964).
Goldberger M. L., Grisaru M. Т., MacDowell S. W
Wong D. Y., Phys. Rev., 120, 2250 A960).
Goldberger M.L., J о п е s С. Е., Phys. Rev. Letters, 17, 105 A966).
Goldberger M. L., Jones C. E., Phys. Rev., 150, 1269 A966).
Goldhaber G., Rapporteur's talk in Garnjost (Ed.). Proceedings of
XHIth International Conference on High Energy Physics, 1967,
Gottfried K-, Jackson J. D., Nuovo Cimento, .33, 309 A964).
Go u r d i n M., Unitary Symmetries, Amsterdam, 1967.
Грибов В. Н., ЖЭТФ, 41, 677 A961).
Грибов В. Н., Ядерная физика, 5, 138 A967).
Грибов В. Н., Proceedings of the Rochester Conference on Theoretical
Physics, 1967.
Грибов В. Н., П о м е р а н ч у к И. Я-, Phys. Rev. Letters, 8, 343
A962).
Грибов В. Н., Померанчук И. Я-, Proceedings of the 1962
CERN Conference on High Energy Physics, p. 522, 1962.
Грибов В. Н., Померанчук И. Я., Phys. Rev. Letters, 9, 238
A962).
G u n s о n J., Journ. Math. Phys., 6, 827, 845, 852 A965).
Hadiioannou F. Т., Nuovo Cimento, 44, 185 A966).
H a d j i о a n n о u F. Т., Phillips R. J. N.. R a r i t a W., Phys.
Rev. Letters, 9, 183 A962).
Hall D., W i g h t m a n A. S., Kgl. Danske Vidensk. Selsk.- Mat.-Fys.
Medd., 31, No. 5 A957). ,
H a 1 1 i d а у I. G., Nuovo Cimento, 30, 177 A963).
H a 1 1 i d а у I. G., P о 1 k i n g h о r n e J. C, Phys. Rev., 132, 2741
A963).
H a 1 p e r n M. В., Phys. Rev., 160, 1441 A967).
Hamilton J., в книге Strong Interactions and High. Energy Physics
(Ed. Moorehouse R. G.), London, 1964.
Hankins D., Kaus P., Pearson C. J., Phys. Rev., I37B, 1034
A965).
Hara Y., Phys. Rev., 136, 507 A964).
H a r a Y., Phys. Letters, 23, 696 A966).
H a r t i n g D. et al., Nuovo Cimento, 38, 60 A965).
Heinz R. M., R о s s M. H., Phys. Rev. Letters, 14, 1091 A965).
H e r g 1 о t z A., Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig, Math. Naturw.
Kl. 63 A911).
Hogaason H., Frisk A., Phys. Letters, 22, 90 A966).
22*

340 ЛИТЕРАТУРА
234. Н б g a a s о n N.. Frisk A., Phys. Letters, 22, 516 A966).
235. Hogaason N.. Salin Ph., Nucl. Phys., B2, 657 A967).
236. Hohler G., Baa eke J., Qiesecke J., Zovko N.. Proc.
Roy. Soc, A289, 500 A965).
237. H б h 1 e r G., Baa eke J., Schaile H., S о n d e r e g g e r P.,
Phys. Letters, 20, 79 A966). S
238. Hohler G., E b e 1 G., Qiesecke J., Zs. f. Phys., 180, 430 A964).
239. H о f f Q. Т., Phys. Rev. Letters, 18, 816 A967).
240. Van Hove L., Rapporteur's talk in Garnjost (Ed.). Proceedings of the
XHIth International Conference on High Energy Physics, 1967.
241. Huang K., Jones С. Е-, T e p 1 i t z V. L., Phys. Rev. Letters, 18,
146 A967).
242. I g i K., Phys. Rev. Letters, 9, 76 A962).
243. I g i K., Phys. Rev., 130, 820 A963).
244. Igi K., Matsuda S., Phys. Rev. Letters, 18, 625, 822 (E) A967).
245. Inonu E-, Wigner E. P., Nuovo Cimento, 9, 707 A952).
246. Jackson J. D., Rev. Mod. Phys., 37, 484 A965).
247. Jacob M., Wick G. C, Ann. Phys., 7, 404 A959).
248. James P. В., Logan R. K., Phys. Letters, 25B, 38 A967).
249. Johnson К., Т r i e m a n S. В., Phys. Rev. Letters, 14, 189 A965).
250. Johnson K., Phys. Rev-, 135B, 214 A964).
251. Johnson K-, Nuovo Cimento, 40, 761 A965).
252. Johnson K-, H a r t 1 e J. В., Phys. Rev. 140B, 90 A965).
253. Johnson К., Т e p 1 i t z V. L., Phys. Rev. Letters, 19, 135 A967).
254. Johnson К., Т e p 1 i t z V. L., Phys. Rev., 159, 1271 A967).
255. Johnson K-, Tiktopoulos G., Journ. Math. Phys., 7, 311 A966).
256. Jones H. F., Nuovo Cimento, 50, 814 A967).
257. Jones H. F., S с a d г о n M. D-, Nucl. Phys., B4, 267 A967).
258. Jones H. F., Phys. Rev., 163, 1523 A967).
259. J о os H., в книге Lectures in Theoretical Physics, Vol. 7A (Ed. Brit-
Britten W. E. and Barut A. O.), University of Colorado, 1964.
260. К a 1 1 ё n G., Elementary particle physics, Reading, Mass., 1964 (см. пере-
перевод: Челлен Г., Физика элементарных частиц, М., 1966).
261. Kawai Т., Nuovo Cimento, A50, 176 A967).
262. Khuri N. N.. Phys. Rev., 130, 429 A963).
263. Khuri N. N.. Phys. Rev. Letters, 10, 420 A963).
264. Khuri N. N.. Phys. Rev., 132, 914 A963).
265. Khuri N. N.. Phys. Rev. Letters, 18, 1094 A967).
266. К i b b 1 e T. W. В., Phys. Rev., 117, 1159 A960).
267. Kibble T. W. В., Phys. Rev., 131, 2282 A963).
268. Klein S., Phys. Rev. Letters, 18, 1074 A967).
269. К rammer M., M а о r U., Nuovo Cimento, 50 A, 963 A967).
270. Kretzschmar M., Nuovo Cimento, 32, 1405 A964).
271. Ландау Л. Д., ЖЭТФ, 37, 62 A959).
272. Leader E., Phys. Rev., 166, 1599 A968).
273. Leader E., S 1 a n s k у R. С, Phys. Rev., 148, 1491 A966).
274. L e e B. ,W., Sawyer R. F., Phys. Rev., 127, 2266 A962).
275. Lehman H., Nuovo Cimento, 10, 579 A958) (см. перевод в сборнике
«Проблемы современной фнзнкн», вып. 3, 1959).
276. Leitner J., An Experimental Review of SUC), Syracuse preprint, 1966.
277. Levinson N.. Kgl. Dansce Vidensk. Selsk., Mat.-Fys. Medd., 25,
No. 9 A949).
278. Levy-Leblond J.-M., Nuovo Cimento, 45, 772 A966).
279. L i n K. Y., Phys. Rev., 155, 1515 A967).
280. Lindenbaum S. J., в книге Proceedings of the 1965 Oxford Inter-
International Conference on Elementary Particles, (Rutherford Laboratory), 1966.
281. Logan R. K-, Phys. Rev. Letters, 14, 414 A965).

ЛИТЕРАТУРА 341
282. Logan R. К., Sertorio L., Phys. Rev. Letters, 17, 834 A966).
283. Logan R. K., Sertorio L., Nuovo Cimento, A52, 1022 A967).
284. Логунов А. А., Соловьев Л. Д., Тавхелидзе А. Н.,
Phys. Letters, 24B, 181 A967).
285. Lovelace С, Masson D., Nuovo Cimento, 26, 472 A962).
286. L u m i n g M., Phys. Rev., 136B, 1120 A964).
287. Ma с Do well S., Phys. Rev., 116, 774 A959).
288. Mandelstam S., Phys. Rev., 112, 1344 A958) (см. перевод в сбор-
сборнике «Новый метод в теории сильных взаимодействий», ИЛ, 1960).
289. Mendelstam S., Phys. Rev., 115, 1741 A959) (см. перевод в сборнике
«Новый метод в теории сильных взаимодействий», ИЛ, 1960).
290. Mandelstam S., Phys. Rev., 115, 1752 A959) (см. перевод в сборнике
«Новый метод в теории сильных взаимодействий», ИЛ, 1960).
291. Mandelstam S., Ann. Phys., 19, 254 A962) (см. перевод в сборнике
«Теория сильных взаимодействий при больших энергиях», ИЛ, 1963).
292. Mandelstam S., Nuovo Cimento, 30, 113 U963).
293. Mande
294. М а п d e
295. Mande ____., ..--..,
«Теория сильных взаимодействий при больших энергиях», ИЛ, 1963).
296. Mande
297. Mande
stam S., Nuovo Cimento, 30, 1127 A963).
stam S., Nuovo Cimento, 30, 1148 A963).
stam S., Ann. Phys., 21, 302 A963) (см. перевод в сборнике
stam S., Phys. Rev., 137B, 949 A965).
stam S., в книге 1966 Tokyo Summer Lectures in Theoretical
Physics, Ed. Takeda G. and Fujii A.), Part II. New York, 1966.
stam S., Phys. Rev., 166, 1539 A968).
stam S., Wang L.-L., Phys. Rev., 160, 1490 A967).
298. Mande
299. Mandelstam S., Wang
300. Martin A., Phys. Rev. Letters, 9, 410" A962).
301. M a r t i n A., Nuovo Cimento, 37, 671 A965).
302. Miller D. H. et al., Phys. Rev., 153, 1423 A967).
303. Morrison D. R. O., Phys. Letters, 22, 528 A966).
304. Morrison D. R. O., Review of Inelastic Two-body Reactions, Paper
given to the Stony Brook Conference, April 1966, CEPN preprint TC/Physics
66-20, 1966.
305. Morrison D. R. O., Phys. Letters, 25B, 238 A967).
306. Morpurgo G., Physics, 2, 95 A965).
307. Mueller A. H., True man T. L., Phys, Rev., 160, 1296 A967).
308. Mueller A. H., T r u e m a n T. L., Phys. Rev., 160, 1296 A967).
309. Murphy P. G., Rapporteur's talk in Garnjost, Proceedings of the XHIth
International Conference on High Energy Physics, 1967.
310. M u z i n i с h I., Journ. Math. Phys., 5, 1481 A964).
311. N a k a n i s h i N., Phys. Rev-, 138B, 1182 A965).
312. N a k a n i s h i N., Progr. Theor. Phys., 37, 618 A967).
313. N a t h L. M., Nuovo Cimento, 52, 944 A967).
314. N e" e m a n Y., R e i с h e r t J. D., Phys. Rev. Letters, 18, 1226 A967).
315. Newton R. G., The Complex j-plane, New York, 1964.
316. О a kes R. J., Phys. Letters, 24B, 154 A967).
317. О d о r i с о R., Nuovo Cimento, 51A, 1021 A967).
318. О e h m e R., в книге Strong Interactions and High Energy Physics (Ed.
Moorhouse R. G.), London, 1964.
319. Oehme R., Phys. Rev. Letters, 18, 1222 A967).
320. Oehme R., Tiktopoulos, Phys. Letters, 2, 86 A962).
321. Olive D. I., Phys. Rev., 135B, 745 A964).
322. Omnes R., Froissart M., Mandelstam Theory and Regge Poles,
New York, 1963.
323. Omnes R., Leader E., On the Removal of Singularities in the Regge
Asymptotic Behaviour, Cambridge preprint, 1967.
324. О r e a r J., Phys. Rev. Letters, 12, 113 A964).
325. О r e a r J. et al., Phys. Rev. Letters, 15, 309 A965).

342 ЛИТЕРАТУРА
326. Paciello M. L., Pugliese A., Phys. Letters, 24B, 431 A967).
327. Peierls R. F., True man T. L., Phys. Rev., 134B, 1365 A964).
328. Perkins D. H., Proceedings of the International Conference of Theore-
Theoretical Aspects of Very High Energy Phenomena (CERN, Geneva), 1961.
329. Phillips R. J. N.. Nuovo Cimento, 45, 245 A966).
330. Phillips R. J. N.. Phys. Letters, 24B, 342 A967).
331. Phillips R. J. N.» Nucl. Phys., B2, 657 A967).
332. Phillips R. J. N.. Rartta W-, Phys. Rev., 139B, 1336 A965).
333. Phillips R. J. N., R а г i t a W., Phys. Letters, 19, 598 A965).
334. Phillips R. J. N.. R а г i t a W., Phys. Rev. Letters, 14, 502 A965).
335. P i g n о t t i A., Phys. Rev. Letters, 10, 416 A963).
336. Polkinghorne J. C, Journ. Math. Phys., 4, 503 A963).
337. Polkinghorne J. C, Journ. Math. Phys., 4, 1393 A963).
338. Polkinghorne J.C., Journ. Math. Phys., 4, 1396 A963).
339. Polkinghorne J.C., Journ. Math. Phys., 5, 431 A964).
340. Polkinghorne J.C., Nuovo Cimento, 36, 857 A965).
341. Померанчук И. Я., ЖЭТФ, 34, 499 A958).
342. Р г о s р е г i G. M., Nuovo Cimento, 26, 541 1965).
343. Purse у D. L., Sertorio L., Phys. Rev., 155, 1591 A967).
344. Rarita W., Schwarzschild B.M., Phys. Rev., 162, 1378 A967).
345. Rarita W., Riddell Jr. R. J., С h i u СВ., Phillips R. J. N.,
Phys. Rev., 165, 1615 A968).
346. Regge Т., Nuovo Cimento, 14, 951 A959).
347. Regge Т., Nuovo Cimento, 18, 947 A960) (см. перевод в сборнике «Тео-
«Теория сильных взаимодействий при больших энергиях», ИЛ, I960).
348. Rose М. Е., Elementary Theory of Angular Momentum, New York, 1957.
349. R о s e n f e 1 d A. H. et al., Rev. Mod. Phys., 39, 1 A967).
350. Rodgers T. W., Cambridge thesis, 1967. -
351. Roy D. P., Nuovo Cimento, 40A, 513 A965).
352. R о у D. P., Phys. Rev., 146B, 1218 A966).
353. Rubinstein H. R-, Veneziano G., Virasoro M. A.,
Phys. Rev., 167, 1441 A968).
354. Ryder L. H., Nuovo Cimento, 52, 879 A967).
355. S a k i t а В., W a 1 i W. C, Phys. Rev. Letters, 18, 31 A967).
356. Sakmar J. A., Phys. Rev., 135B, 249 A964).
357. Salam A., Strathdee J., Phys. Rev. Letters, 19, 39A967).
358. Sciarrino H.,' Toller M., Journ. Math. Phys., 8, 1252 A967).
359. Sertorio L., Toller M., Nuovo Cimento, 33, 413 A964).
360. Sharp D. H., Wagner W. G., Phys. Rev., 131, 2226 A963).
361. Shepherd H. K., Phys. Rev., 159, 1331 A967).
362. Singh V., Phys. Rev., 129, 1889 A963).
363. Singh V., Phys. Rev. Letters, 18, 36 A967).
364. Smithies F., Integral Equations, London, 1962.
365. Sommerfeld A., Partial Differential Equations in Physics, New York,
1949, p. 282 (см. перевод: Зоммерфельд А., Дифференциальные уравнения
в частных производных физики, ИЛ, 1960).
366. Sonderegger P. et al., Phys. Letters, 20, 75 A966). ,
367. Squires E. J., Nuovo Cimento, 25, 242 A962) (см. перевод в сборнике
«Теория сильных взаимодействий при больших энергиях», ИЛ, 1960).
368. Squires E. J., Complex Angular Momentum and Particle Physics,
New York, 1963.
369. Squires E. J., Phys. Letters, 7, 363 A963).
370. Squires E. J., Nuovo Cimento, 34, 1751 A964).
371. Squires E. J., Proceedings of the 1966 Universities Summer School
in Physics (Ed. Priest T. W-, and Vick L. L. J.), London, 1967.
372. Squires E. J., Watson P. J. S., Ann. Phys., 41, 409 A967).
373. S г i v a s t a v a Y., Phys. Rev. Letters, 19, 47 A967).

ЛИТЕРАТУРА 343
374. S г i v a s t a v a Y. N.. N a t h P., Phys. Rev., 142, 982 A966).
375. Stack J. D., Phys. Rev. Letters, 16, 286 A966).
376. Stack J. D., Phys. Rev., 164, 1904 A967).
377. S t a p p H. P., Phys. Rev., 125, 2139 A962).
378. Stapp H. P., Phys. Rev., 160, 1251 A967).
379. Swift A. R., Phys. Rev. Letters, 18, 813 A967).
380. Sundaram A., Sridhar R., Nuovo Cimento, 50A, 969 A967).
381. Taylor J. C, Regge Poles in Invariant Amplitudes and Families of
Traectories, Oxford preprint, 1967.
382. Taylor J. R., Phys. Rev., 127, 2257 A962).
383. Taylor J. R., Journ. Math. Phys., 7, 181 A966).
384. Thews R. L., Phys., Rev., 155, 1624A967).
385. Tiktopoulos G., Phys. Rev., 131, 480 A963).
386. Tiktopoulos G., Phys. Rev., 131, 2373.A963).
387. Titch marsh E. C, Theory of Fourier Integrals, London, 1937 (см.
перевод: Титчмарш Е. К-, Введение в теорию иитегралов Фурье, М., 1948).
388. Т itchmarsh E. С, The Theory of Functions, 2nd Edition, London,
1939 (см. перевод: Титчмарш Е. К., Теория функций, М., 1951).
389. Т е р 1 i t z V. L., Phys. Rev., 137B, 136 A965).
390. T e p 1 i t z D. C, T e p 1 i t z V. L., Phys. Rev., 137B, 142 A965).
391. Toller M., Nuovo Cimento, 37, 631 A965).
392. Toller M., Nuovo Cimento, 53A, 671 A968).
393. T г u e m a n T. L., Wick G. C, Ann. Phys., 26, 322 A964).
394. U d g а о n k a r В. М., Phys. Rev. Letters, 8, 142 A962).
395. Udgaonkar В. М., в книге High Energy Physics and Elementary Par-
Particles, Vienna, 1965. ,
396. U г e t s k у J. L., Phys. Rev., 123, 1459 A961).
397. Волков Д. В. Грибов В. Н., ЖЭТФ, 44, 1068 A963).
398. Wagner W. G., Phys. Rev. Letters, 10, 202 A963).
399. Wang L.-L. C, Phys. Rev., 142, 1187 A966).
400. Wang L-L. C, Phys. Rev. Letters, 16, 756 A966).
401. Wang L.-L. C, Phys. Rev., 153, 1664 A967).
402. W а г b u г t о n A. E. A., Nuovo Cimento, 32, 122 A964).
403. W а г b u г t о n A. E. A., Phys. Rev., 137B, 993 A964).
404. Warburton A. E., Nuovo Cimento, 37, 266 A965).
405. W a r n о с k R. L., Nuovo Cimento, 50A, 894 A967).
406. Watson G. N.. Proc. Roy. Soc, 95, 83 A918).
407. Wick G. C, Phys. Rev., 96, 1124 A954).
408. W i gner E. P., Ann. Math., 40, 159 A939).
409. W i g n e г Е. Р., в книге Group Theoretical Concepts and Methods in
Elementary Particle Physics (Ed. Gursey F.), New York, 1964.
410. W u T.-Y., О h m u г а Т., The Quantum Theory of Scattering, p. 6,
New Jersey, 1962 (см. перевод: Ту-Ю By, Омура Т., Квантовая теория
рассеяния, М., 1969).
411. Zachariasen F., Phys. Rev. Letters, 7, 112, 268 (E) A961).
412. Zachariasen F., Lectures given at the Pacific International Summer
School in Physics, Honolulu, Hawaii, 1965.
413. Zachariasen F., Zemach C, Phys. Rev., 128, 849 A962).
414. Ademollo M., Rubinstein H. R., Veneziano G., V i -
rasoro M. A., Phys. Rev. Letters; 19, 1402 A967).
415. Allison W. W. M. et al., Phys. Letters, 25B, 619 A967).
416. В a r g e r V., С 1 i n e D., Phys. Rev. Letters, 19, 1295 A967).
417. В a r g e r V., D u r a n d L., Phys. Rev. Letters, 19, 1295 A967).
418. Borgese A., Colocci M., Lusignoli M., Restigno-
1 i M., V i ol i n i G., University of Rome preprint n. 130, 1967.
419. В г о z a n J. В., Jones С. Е., Phys. Rev., 160, 1494 A967).
420. В u s с h h о r n G. et al., Phys. Letters, 25B, 622 A967).

344 ЛИТЕРАТУРА
421. Chi u СВ., Chu S.-Y., Wang L. L., Phys. Rev., 161, 1563 A967).
422. Chiu СВ., С h u n g-I. Tan, Phys. Rev., 162, 1701 A967).
423. Collins P. D. В., Johnson R. C, Squires E. J., Phys. Let-
Letters, 26 B, 223 A968).
424. Contigorous A. P., Tran Thanh Van J., Phys. Rev. Let-
Letters, 19, 1353 A967).
425. С u t к о s к у R. E., Deo В. В., Phys. Rev. Letters, 19, 1345 A967).
426. Drechsler W., CERN preprint Th. 841.
427. Dunne S. A., Phys. Rev. Letters, 19, 1299 A967).
428. D u r a n d L., Phys. Rev. Letters, 19, 1563 A967).
429. Feldman G., Matthews P. Т., Phys. Rev., 168, 1587 A968).
430. F i 1 t h u t h H. (Ed.), Proceedings of the Heidelberg International Confe-
Conference on Elementary Particles, Amsterdam, 1968.
431. F inke Is tein J., Chung-I. Tan, Phys. Rev. Letters, 19, 1061A967).
432. Goldberg H., Phys. Rev. Letters, 19, 1391 A967).
433. Gross J. D., Phys. Rev. Letters, 19, 1303 A967).
434. Hwa R., Phys. Rev., 162, 1708 A967).
435. I v e r s о n G. I... Nuovo Cimento, 51, 289 A967).
436. Jackson J. D., H i t e G. E., Phys. Rev., 168, 1587 A968).
437. Komy S. R., Samiullah M., M a h a n t a U., Nuovo Cimento,
55A, 423 A968).
438. Mandelstam S., Phys. Rev., 168, 1884 A968I"
439. M a t s u d a S., I g i K-, Phys. Rev. Letters, 19, 928 A967).
440. M i t t e г Р. К-, Phys. Rev., 162, 1624 A967).
441. N w а с h u к u CO., Samiullah M., Shah К. Т., Trieste inter-
internal report 24/1967; 15/1967.
442. О 1 s s о n M. G., Phys. Rev. Letters, 19, 550 A957).
443. R a s h i d M. A., Samiullah M., Trieste preprint IC/67/65, 1967.
444. Rothe H., Phys. Rev., 159, 1471 A967).
445. Sawyer W., Phys. Rev. Letters, 19, 137 A967).
446. Schwa rz J., Phys. Rev., 162, 1671 A967).
447. S e r t о r i о L., Toller M., Phys. Rev. Letters, 19, 1146 A967).
448. Squires E. J., Phys. Rev. Letters, 26B, 461 A968).

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Амати — Фубини — Стангеллини раз-
разрезы 160, 161, 212
Аналитическое продолжение по / 72
Аномальные пороги 39
Анормальные решения 153
Асимптотическое поведение амплитуд
48, 68, 77, 99, 108
парциальных амплитуд 70, 73
Барионные траектории 241, 263
Бессмысленные состояния 129, 146,
168, 171, 230, 233, 286, 290 .
Бете — Солпитера уравнение 121, 153,
154, 155, 220, 331
Борновское приближение 177, 191,
211, 213, 318
Брейта — Вигнера формула 39, 82,
182, 186, 198
Вниера — Хопфа метод 178
Возмущений теория 217
Времени обращение 31, 126, 158
Вычеты в полюсах Редже 76, 271,
286, 331
— — — — аналитические свойства
90, 96, 183, 303
— — — — приведенные 91, 139,
270
— — — — факторизация, 141, 142,
-s 157, 280, 289, 290, 305
Вычитания 44, 47, 68, 79, 96, 172, 174
Герглотца функции 97
Грибова — Фруассара проекция 59,
68, 165
— — — для спиральных амплитуд
132
Двойная спектральная функция 47,
49, 97, 102, 172, 203
граница 49, 54, 203
Двухчастичный скачок 40
Дейтронный полюс 48
Детерминантное приближение 199
Джонсона — Траймана соотношения
254
Дисперсионные соотношения для a (s)
и Р (s) 96
— — — парциальных амплитуд 63,
68
— — — спиральных амплитуд 131
— — по двум переменным 45
— — по одной переменной 42
Дифракционное рассеяние 259, 270,
295
Дочерние траектории 119, 121, 141,
147, 152, 154, 155, 240, 303, 331
— — Сигнатура 122, 303
Зарядовое сопряжение 250
Зашнуровка 172, 196, 2Q4, 216, 333
Зоммерфельда — Ватсона преобразова-
преобразование 74, 99, 149, 154
— для спиральных амплитуд
134
Инварианты 25, 29
— для четыреххвостки 31
Интерференция траекторий с резонан-
сами прямого канала 303, 309
Канал 26
Карлсона теорема 73, 80
Каткоского правила 27, 40, 45
Кварковая модель 215, 240, 319
КДД-полюса 179, 189, 190, 197, 201,
206, 215, 228, 232, 234
Кинематика частиц с неравными мас-
массами 111
Кинематические ограничения 136, 289,
290, 305, 332
— сингулярности и их устранение
131, 136, 233

346
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Клебша — Гордаиа коэффициенты 128
ряд 127
Комптоиовское рассеяние 327
Конспирации 121, 141, 146, 147, 152,
154, 284, 295, 305, 307, 330, 331
Кроссинг 30, 71, 174
Кроссинг-матрица изоспииовая 198,
200, 205, 251
— — спиральная 124, 136
Ландау правила 28, 40, 45
Левиисоиа теорема 178, 179, 180, 190,
201
Лежаидра функции второго рода 60
— — — — асимптотическое поведе-
поведение no I 69
по z 64, 89
при 1= — п 72, 165
— — скачок на разрезе 60, 84
— — первого рода 57, 81
— — — — асимптотическое-поведе-
асимптотическое-поведение по ? 71, 72, 76
по г 47
— — — — скачок на разрезе 78
Лемаиа эллипс 72
Лоренца группа 147
— — малые группы 148
— — операторы Казимира 148, 151
Лореицевская инвариантность 18, 21,
25, 137, 148
Лореицевские полюса 151, 331
Мак-Дауэлла симметрия 143, 233, 243,
282
Максимальная аналитичность второй
степени 18, 79, 172, 174, 190
первой степени 18, 28, 172, 174
Маидельстама — Зоммерфельда —
Ватсойа преобразование 86, 135
Маидельстамовская итерация 174, 211
— плоскость 33
Маидельстамовское представление 45,
' 97, 113
Массовая поверхность 20, 150, 155
.Мезоииые траектории 236
Мезон скалярный 190, 191, 196
Неупругость в WD-уравиеииях 185
Нормировка 20
iV/D-метод 154, 174, 176, 197, 199, 200,
204, 206
Обмен барионом 263
Обменное вырождение 240, 320
Обменный потенциал 190, 208, 240, 320
Оптическая теорема 37, 67, 247
Парциальные амплитуды 56
— — дисперсионные соотношения 63
— — для малых групп 148, 331
— — пороговое поведение 64, 141,
232
— — приведенные 67, 85, 176
— — при наличии спина 125, 133
сингулярности 61, 84, 139, 158
— — соотношение симметрии 88, 135
— — с определенной сигнатурой 60,
133
Плаиариые диаграммы 219
Полнота 19, 20
Полосное приближение «новое» 201
—.— «старое» 211
Полубессмыслеииые амплитуды 128,
133, 135, 142, 168, 171, 230, 274, 278,
280, 328, 332
Полюса в s-плоскости 26, 39, 172
— — — факторизация вычетов 27
— лореицевские 151, 331
— неподвижные 156, 163, 169, 278,
326, 327, 329
— нестабильных частиц 30, 39, 82
— Редже 10, 78, 80, 97, 159
— сопутствующие ПО
Поляризация 291, 300, 301
Помераичои 10, 117, 122, 123, 195,
209, 211, 249, 256, 258, 292, 294, 328
— вклад в амплитуду 144, 248, 254
Пороги 27, 40, 139
Пороговое поведение a (s) 94
амплитуд 64, 139, 141, 142, 332
Потенциал в динамических вычисле-
вычислениях 177, 190, 202, 231, 319
Призраки 281, 288
Провалы в дифференциальных сечени-
сечениях 270, 276, 279, 282, 332
Псевдопороги 139
Пуанкаре группа 148
Радиус взаимодействия 70, 97, 195,
235, 319
Разложимость 18, 22
Разрезы в /-плоскости 78, 156, 159,
170, 224, 264, 296, 303, 332
Сверхсходящиеся соотношения 156,
166, 321, 333
Связность 23
Сечение дифференциальное 36, 269
— парциальное 67

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
347
Сечение полное 37, 71, 247, 291
— при наличии спина 125, 284, 291
— связь с амплитудами 35, 36, 125,
247, 284, 291
Сигнатура 58, 240
— дочерних траекторий 122
— неправильная 123, 135, 142, 167,
278, 282, 326, 328, 329
— правильная 135, 142, 167
Сигнатурный множитель 81
Силы в зашнуровочных вычислениях
177, 190
Симметрия О D) 121, 153, 331
— SU C) 216, 236, 252, 254, 255
— SU F) 216, 254
Сингулярности в s-плоскости 26
— граничные 219, 220
— Грибова — Померанчука 169
— левосторонние 62
— пинчевые 219, 220
Система центра масс 32
— — — угол рассеяния 34, 50, 65
Скалярный мезон 190, 191, 196
Скачки на левом разрезе 63, 85, 169,
177, 181, 183, 190, 192
Спин 124, 305
Спиновая матрица плотности 306
¦ Спиральность 19, 125
Спиральные амплитуды 124
— — кинематические сингулярно-
сингулярности 124, 131, 332
Сужение пика в рассеянии вперед- 9,
270, 271, 275, 288, 295
Условие унитарности для упругого рас-
рассеяния 40, 49, 156, 160, 163, 177
— — символическая запись 21
Фаза амплитуды рассеяния вперед 264
Фазовый сдвиг 66, 187, 201, 206
Факторизация реджевских вычетов 141,
142, 157, 280, 289, 290, 305
Фейнмановские диаграммы 162, 169,
217
— — высокоэнергетическое поведе-
поведение 218
Физический лист 29, 38
Фоновый интеграл 78, 86, 100, 103,
109, 114, 135
— — и компенсация сингулярностей
100, 118, 119, 121, 147, 152, 154
Формфакторы 194, 278, 318
Фоторождение 329
Фруассара граница 69, 144, 168, 172,
174, 328
Функции dj^ 126
Хури —Джонса представление 106,
1 эо
Хури полюса 110
— степенное разложение 108
Теорема СРТ 30
Точки ветвления в s-плоскости 27, 38
Траектории барионные 241, 263
— мезонные 236
— Редже 10, 78, 80, 157, 235, 316,
333
— — аналитические свойства 90, 95,
183, 303
— — асимптотическое поведение 166,
183, 216
наклон 95, 97, 233
— — пороговое поведение 94
— — — сгущение 96
прямолинейные 193, 236, 239,
241, 316, 333
Частицы составные И, 48, 83, 180
— элементарные И, 48, 83, 180, 228,
230, 234, 263, 328
Четность 126
— спиральных амплитуд 126, 143
Четыреххвостка связная 31
— — сингулярности 37
Чью—Джонса представление 101,
203
Чью — Фраучи кривые И, 237, 239
Эрмитова аналитичность 38
Уклонение 141, 147, 152, 154
Условие унитарности 20
— — аналитическое продолжение
156
— — для парциальных амплитуд 65,
156, 163, 177, 185
Юкавский потенциал 177, 190
Якоби полиномы второго рода 129
— — первого рода 127