Физика элементарных частиц. Сильные взаимодействия - Померанчук И.Я.

Author: Померанчук И.Я.
Tags: ядерная, атомная и молекулярная физика физика физика элементарных частиц
Year: 1972
Similar
Физика элементарных частиц. Электромагнитные и слабые взаимодействия
Физика элементарных частиц
Кинематика элементарных частиц
Text
                    ШШОМЕРАНЧУК
Собрание
научных
трудов

И. Я. ПОМЕРАНЧУК
Собрание научных трудов
в трех томах
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
МОСКВА 1972

И. Я. ПОМЕРАНЧУК
Собрание научных трудов
ш
ФИЗИКА
ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
МОСКВА 1972

УДК 539.12.01
Физика элементарных частиц. Сильные взаимодействия.
Т. III. Померанчук И. Я. Собрание научных трудов
в трех томах. Изд-во «Наука», 1972.
В собрание трудов выдающегося советского физика-тео-
физика-теоретика академика И. Я. Померанчука вошли почти все его
научные статьи, опубликованные в различное время в оте-
отечественных и зарубежных периодических изданиях. Работы
И. Я. Номеранчука охватывают широкий круг физических
вопросов, они содержат важные результаты в таких разде-
разделах современной физики, как физика элементарных частиц и
ядерная физика, теория ядерных реакторов и теория твердых
тел и жидкостей.
В III том водили статьи по теории сильных взаимодейст-
взаимодействий элементарных частиц.
Издание представляет значительный интерес для науч-
научных работников в области физики, инженеров-фшиков,
а также преподавателей, студентов и аспирантов физических
специальностей вузов.
РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ:
В. Б. БЕРЕСТЕЦКИЙ (ответственный редактор),
Б. Л. ИОФФЕ, И. Ю. КОБЗАРЕВ, Л. А. КОНДРАТЮК,
Л. Б. ОКУНЬ
2-3-7
20-БЗ-27-72

ИСААК ЯКОВЛЕВИЧ
ПОМЕРАНЧУ К

I
ПЕРИФЕРИЧЕСКИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
80
ИЗЛУЧЕНИЕ ПРИ СТОЛКНОВЕНИИ
БЫСТРЫХ НЕЙТРОНОВ С ПРОТОНАМИ1
Совместно с И. М. Шмушкевичем
Характер углового распределения рассеянных нейтронов при
упругих столкновениях их с протонами в случае большой скорости
относительного движения существенно зависит от того, являются
ли силы, действующие между этими частицами, обычными
силами или обменными [1]. В самом деле, в системе координат,
связанной с центром инерции, дифференциальное поперечное
сечение рассеяния имеет вид:
11 e-ik°rV*s dx
TPF
dQkt, A)
где k0 и kx — начальный и конечный волновой вектор относитель-
относительного движения частиц. В случае обычных сил интеграл, входящий
в это выражение, заметно отличается от нуля при условии
|k1-ko|^4-<*o, B)
где а — величина порядка радиуса действия сил. Последняя часть
неравенства B), являющегося условием применимости борновского
приближения, означает, что рассеяние происходит, в основном, на
очень малые углы, не превышающие величины
1 ДАН СССР, 1949, 64, 499. (Представлено академиком А. Ф. Иоффе 6 де-
декабря 1948 г.).

В случае же обменных сил, характеризующихся потенциаль-
потенциальной энергией вида г
V=U(t)I, D)
где / — оператор перестановки местами протона и нейтрона (т. е.
замены г на —г), рассеяние, как легко убедиться, будет происхо-
происходить в основном на углы, близкие к 180°, it небольшом интервале,
также определяемом соотношением C). При атом иместо B) мы по-
получим
\К + К\~±. E)
Изменение же волнового вектора в результате столкновения
|kx-k0|^2A:0. F)
Таким образом, при обменном взаимодействии изменение волно-
волнового вектора, а следовательно, и скорости сталкивающихся час-
частиц гораздо больше, чем при обычных силах. Но большее измене-
изменение скорости протона в результате столкновения означает большее
изменение производной от дипольного момента за время столкно-
столкновения и, следовательно, большую интенсивность излучения. Мы
можем поэтому ожидать, что поперечное сечение рассеяния с из-
излучением при обменном взаимодействии (существование которого
можно, по-видимому, считать экспериментально установленным
[2]) будет значительно больше, чем при обычных силах. Подтвер-
Подтвердим это расчетом, принимая для потенциальной энергии выраже-
выражение, даваемое уравнением D).
Рассматривая взаимодействие между частицами при большой
скорости их относительного движения как малое возмущение, для
матричного элемента перехода с излучением имеем
тт _ у Н0пНп1 /7ч
у 7
noi — Zae —е * ^ '
п 0 п
Здесь в каждом члене суммы один из множителей в числителе есть
матричный элемент взаимодействия протона с полем излучения,
а второй — энергии взаимодействия между протоном и нейтро-
нейтроном. Производя вычисления в системе координат, связанной с
центром инерции, и пренебрегая всюду импульсом кванта Их, для
1 Для дальнейших выводов несущественен выбор такого сравнительно прос-
простого вида потенциальной энергии, не учитывающего, в частности, зависимо-
зависимости V от спинов частиц.

единственных не равных нулю матричных элементов получаем:
kl = k0 - -f ; (8)
tfOII = j <r***Ve 2 dx ^ \ U (r) е-^адг dt = # ^^
kl i ^
и = kx + -g- ;
Кроме того,
- En = EL- En =
Подставляя (8) и (9) в выражение для дифференциального попереч-
поперечного сечения
и производя в нем суммирование по обеим поляризациям и интегри-
интегрирование по всем углам вылета кванта, имеем
На основании E) можно считать к±^^ к0. Принимая далее во вни-
внимание A) и D), мы получаем следующую связь между сечениями
упругого рассеяния и рассеяния с излучением
rf3 d,
Зя со he Мгс1 е
Из различия в угловом распределении упругого рассеяния при об-
обменном и обычном взаимодействии и из сравнения B) и F) мы
видим, что сечение рассеяния с излучением в случае обменных сил
больше, чем при обычных силах в отношении

которое при больших скоростях может быть значительно больше
единицы. Через Vo в A3) обозначена энергия -jri 20 Мэв.
Полное поперечное сечение рассеяния с излучением можно
оценить, взяв из опыта величину полного поперечника для упру-
упругого рассеяния. При этом заметим, что испускаемые при столкно-
столкновении кванты будут, в основном, обладать энергией, не превос-
превосходящей величины
М
Следовательно, для полного сечения с излучением квантов всех
энергий, больших некоторой /шх, по порядку величины имеем
E
Согласно экспериментальным данным [3], при энергии нейтронов
Z?=90 Мэв ос = 0,083 А0~2*см2. Принимая Тшг = 1 Мэв, получаем
а ~ 108 см2. A6)
При рассеянии быстрых нейтронов ядрами сечение будет больше
еще в Z раз. При энергии нейтронов Е = 90 Мэв, согласно данным
тех же авторов [3], поперечное сечение упругого рассеяния нейт-
нейтронов в свинце ае = 4,53-Ю4 см2. Следовательно,
а с-0,5-10~25 см2. A7)
В азоте и кислороде ае равно 0,656-104 и 0,765 А0~и см2.
Соответственно этому а порядка 10~27 см2.
Сечение рассеяния с излучением, по-видимому, возрастает с ро-
ростом энергии. Тяжелые частицы, а именно протоны с очень боль-
большой энергией, порядка нескольких миллиардов электрон-вольт,
имеются в составе космических лучей, приходящих из мирового
пространства. Если при столкновениях таких релятивистских про-
протонов с ядрами азота и кислорода, находящихся в верхних слоях
атмосферы, имеет место обменное взаимодействие, то это должно
сопровождаться рождением аномально большого количества
фотонов и, следовательно, рассмотренные процессы могут играть
существенную роль в образовании мягкой компоненты космиче-
космических лучей. Расчет в этом случае, однако, становится невозмож-
невозможным из-за отсутствия релятивистского уравнения для тяжелых
частиц.
Ленинградский Получено 28 ноября 1948 г.
физико-технический институт
А кадемии наук СССР
ЛИТЕРАТУРА
1. G. С. Wick. Z. Physik, 1933, 84, 799;
2. /. Hadley, С. Leith, H. Jork E. Kelly, С. Wiegand. Bull. Amer. Pnys.
Soc, 1948, 23, 15.
3. L. /. Cook, E. M. McMillan, J. M. Peterson, D. C. Sewell. Phys. Rev.,
1947, 72, 1264.

81
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
ПОД ДЕЙСТВИЕМ ОБМЕННЫХ СИЛ1
Совместно с И. М. Шмушкевичем
Как было указано в нашей работе [1], наличие обменных сил
между нейтроном и протоном должно приводить к значительному
возрастанию интенсивности излучения фотонов при столкнове-
столкновениях между этими частицами. Для соответствующего поперечного
сечения а была установлена следующая связь с сечением упругого
рассеяния:
а~ 4я he lg йа>1 Me* °e* W
Оценка этого сечения для рассеяния быстрых нейтронов на
ядрах различных элементов производилась с помощью эксперимен-
экспериментальных данных для ае.
Мы хотим указать, что, строго говоря, соотношение A) справед-
справедливо, как это следует из самого вывода, лишь для столкновений
между нейтроном и протоном. При столкновениях же с тяжелыми
ядрами налетающая частица (нейтрон или протон) может испы-
испытать несколько столкновений с отдельными нуклонами перед тем
как выйти из ядра. Это число столкновений — R/1, где R — ра-
радиус ядра, а I — длина свободного пробега налетающей частицы
в ядре. По порядку величины R = г0Л1/з[2] и 1~-^- —~~з~~^~-
Следовательно, -= — Л1/з, r0 ж 1,5-10~13 см, а ах для оценки
1 го
мы можем заменить на сечение упругого рассеяния нейтронов
протонами2, которое при энергии нейтронов Е = 90 Мэв равно
0,083-10~24 см2 [3]. Поэтому частица с энергией в несколько
сот мегаэлектронвольт может испытать несколько столкновений
в тяжелом ядре.
Имея в виду, что дебройлевская длина волны частицы, при со-
соответствующей энергии, мала по сравнению с расстоянием между
1 ДАН СССР, 1950, 70, 33. (Представлено академиком А. Ф. Иоффе 25 октяб-
октября 1949 г.).
2 Здесь, так же как в A) и во всех формулах для сечения в [1], следует брать
примерно половину этого упругого сечения, учитывая, что обменные силы
составляют приблизительно половину всех сил, действующих между про
тоном и нейтроном. Для порядковых расчетов это не очень существенно.

частицами в ядре, мы оценим интенсивность излучения, рассмат-
рассматривая классически движение налетающей частицы И1.
Для нейтрона, влетающего с большой скоростью V в ядро,
имеется значительная вероятность (примерно 1/2) Щ)И первом же
столкновении с ядерным протоном передать благодаря обменным
силам, почти весь свой импульс протону. Интенсивность возникаю-
возникающего при этом излучения в интервале частот dco получится из ра-
работы [1, формула A2I умножением на //со и делением на dae:
dr-4r^-rofdco^^^d,, B)
Получившийся быстрый протон, аналогичным образом, благо-
благодаря обменному эффекту, может при последующем столкновении
с нейтроном передать последнему свой импульс. При этом также
произойдет излучение с повышенной интенсивностью (по сравне-
сравнению с излучением, имеющим место при обычном взаимодействии).
Пренебрегая эффектами, связанными с образованием вторичных
медленных протонов (их импульс порядка к/а <^ Мэв) можно счи-
считать, что в каждый момент времени имеется только один быстро
движущийся заряд или ни одного.
Фурье-компонента векторного потенциала возникающего при
этом излучения [51
-f-°°
\ ev W е;[и'-*-г@] dt. C)
Рассматривая излучение в наиболее эффективной части спект-
спектра, т. е. фотоны с энергией не большей, чем ^VqE (или, что то
же, с частотами, удовлетворяющими неравенству сот<^ 1, где т —
время столкновения), мы можем при вы ислении этого интеграла
пренебречь той его долей, которая приходится на время столкно-
столкновений. Тогда получим
?Ъ± "•>*¦"•'¦ D)
Здесь сумма берется по всем столкновениям, при которых про-
происходит изменение скорости заряда, т. е. протона. Это изменение
обозначено через Avm. Столкновения нейтрона с нейтроном и про-
протона с протоном в G) не учитываются; последнее — в силу квадру-
польности соответствующего излучения, интенсивность которого
в рассматриваемой нерелятивистской области значительно меньше
дипольного. В D) в знаменателе под знаком суммы пренебрежено
также членом x«v по сравнению с со {v <^ с). Для интенсивности
излучения в интервале частот dec и элементе телесного угла dQx
получаем
где п — единичный вектор в направлении х.
10

Пренебрегая диссипацией энергии быстрой частицы, будем
считать скорость ее v постоянной. Тогда Avm = ± V и tm = xm/V,
где хт — путь, проходимый быстрой частицей до m-го столкно-
столкновения.
Рассмотрим сначала излучение длинных волн, частота которых
удовлетворяет условию
В этом случае во всех членах суммы D) е т~*'Гт ^ 1 и
2 Avm = vK0H — vna4. G)
т
Таким образом, если первоначально в ядро попадает быстрый
нейтрон и вылетает также нейтрон, то никакого излучения фото-
фотонов с энергией
происходить не будет. Если же вылетает протон, то vHa4 = 0, а
Vkoh = V. Подставляя это в G) и затем в E), деля последнее на
Йсо и умножая на поперечное сечение попадания нейтрона в ядро,
которое по порядку величины совпадает с сечением упругого рас-
рассеяния нейтрона сге, мы, после интегрирования по всем направле-
направлениям вылета фотона, снова возвращаемся для длинноволновой
части излучения к результатам, полученным в [1]
, 2 е2 Е dm ,Q,
Усреднение по различным возможностям вылета нейтрона или
протона дает еще дополнительный фактор порядка 1/2, который,
впрочем, согласно сделанному ранее примечанию, должен быть
введен ив A). Такой же результат, конечно, получается и для столк-
столкновений протонов с ядрами.
Для фотонов же с энергией
при усреднении квадрата модуля суммы в E) по различным воз-
возможным столкновениям в ядре возникает дополнительный множи-
множитель, равный примерно среднему числу столкновений, испытывае-
испытываемых быстрой частицей в ядре 1. Последнее, как уже было указано,
невелико и потому, по порядку величины, формулу A) можно счи-
1 Так как R только в 2—3 раза больше, чем /, то мы не уточняем вопроса о том,
что именно должно стоять в знаменателе правой части неравенства A0), R
или Z, для справедливости последнего утверждения.
11

тать верной и для столкновений быстрых нейтронов или протонов
с ядрами.
Недавно сообщалось о наблюдении интенсивного излучения фо-
фотонов при столкновениях с ядрами быстрых протонов, полученных
в циклотрона 16]. Рассматриваемый нами мехапизм образования
фотонов, хотя и приводит к эффективным сечениям, по-видимому,
меньшим, чем наблюдаемые, тем не менее должен, возможно, учи-
учитываться при анализе соответствующих экспериментов.
Интересно еще сравнить потери энергии быстрой частицы при
столкновениях с излучением и при упругих столкновениях. Энер-
Энергия, теряемая в среднем при одном столкновении на излучение:
(И)
потеря же энергии при упругом столкновении порядка Vo =
= Н2/Ма2. Отношение этих потерь
Зя Не Мс* V Ко "
Хотя эта величина даже при энергии Е = Мс2 много меньше еди-
единицы (порядка 3%), но важно, что с ростом энергии она растет
и при ультрарелятивистских скоростях потери энергии на излу-
излучение могут стать существенными.
В заключение отметим одно свойство рассматриваемого излу-
излучения. Вектор изменения скорости заряда при всех столкновени-
столкновениях, обусловленных обменными силами, имеет всегда почти одно и
то же направление, совпадающее с направлением скорости быстрой
частицы г.
Поэтому излучение, сопровождающее такие столкновения, бу-
будет иметь в каждом направлении вполне определенную поляриза-
поляризацию, совпадающую с поляризацией излучения диполя, колеблю-
колеблющегося в направлении движения частицы. При этом угловое
распределение интенсивности излучения при столкновениях ней-
нейтронов с протонами, а для малых частот также при столкновениях
нейтронов или протонов с ядрами будет иметь вид:
±L-. gin3 ft <ffix do. A3)
1 Следовательно, можно сделать следующее заключение об интенсивности
длинноволнового излучения, возникающего благодаря обменным силам при
кратковременном облучении какой-либо мишени пучком нейтронов. Именно,
если обозначить через L длину, которую нейтроны проходят прежде
чем затормозиться, то интенсивность излучения с длиной волны большей,
чем Lc/v (см. [6]; при этом предполагается, что L/v много больше времени
облучения), будет пропорциональна квадрату общего количества нейтронов,
попавших на мишень за время облучения. Однако существующие интенсив-
интенсивности нейтронных пучков, по-видимому, недостаточны для того, чтобы этот
эффект был наблюдаем.
12

Для частот же, определяемых неравенством A0), в случае столкно-
столкновений нейтронов или протонов с ядрами для получения интенсив-
интенсивности излучения нужно выражение A3) помножить еще на величи-
величину порядка Rll.
Академия наук СССР Получено 19 октября!949 г.
ЛИ ТЕРАТУРА
1. И. Померанчук, И. Шмушкевич. ДАН СССР, 1949, 64, 499. (Собр. тру-
трудов, № 80.)
2. Г. Бете. Лекции по теории ядра, 1949, стр. 19.
3. L. J. Cook, E. M. McMillan, J. M. Peterson, D. С. Sewell. Phys. Rev.,
1947, 72, 1264.
4. R. Serber. Phys. Rev., 1947, 72, 1114.
5. Л. Ландау, Е. Лифшиц. Теория поля, 1949, гл. IX, § 66.
6. В. /. Mayer, H. F. York, R. BJorklung. Bull. Amer. Phys. Soc, 1949,
24, 2, 19; 1949, 24, 4, 36.

82
ОБМЕННЫЕ СТОЛКНОВЕНИЯ БЫСТРЫХ НУКЛОНОВ
С ДЕЙТРОНАМИ. Il
Рассматриваются эффективные сечения обменных столкновений быстрых
нуклонов с дейтронами. При рассмотрении используются экспериментальные
данные о столкновениях свободных нуклонов. Показывается, что влияние свя-
связи частиц в дейтроне и применение принципа Паули дают возможность экспе-
экспериментально установить спиновую Зависимость обменных сил при сопостав-
сопоставлении сечений обменных столкновений нуклонов с дейтронами и со свободными
нуклонами.
§ 1. Введение
Полученные в последнее время экспериментальные данные от-
относительно рассеяния быстрых нейтронов (п) протонами (р) дока-
доказывают существование обменных сил [1, 21, действующих между
нейтроном и протоном, причем в интервале энергий 100—300 Мэв
эти силы составляют заметную долю всех сил, примерно равную
половине для энергии 90 Мэв, Из опытов по рассеянию п — р
в области больших энергий, проведенных до сих пор, нельзя,
однако, установить спиновую зависимость обменных сил, так как
эффективное сечение рассеяния неполяризованного пучка нейтро-
нейтронов неполяризованной водородной мишенью определяется суммой
сечений рассеяния, вызываемых силами, зависящими от спина и
не зависящими от него. Раздельное определение этих сечений воз-
возможно в случае рассеяния нуклонов под действием обменных сил
на дейтроне. В этом случае параллельность спинов нейтрона и про-
протона в дейтроне в известных условиях сильно уменьшает вероят-
вероятность рассеяния, сопровождающегося обменом спинов.
Комбинируя данные по рассеянию быстрых нуклонов на про-
протонах и на дейтронах, можно установить зависимость от спина об-
обменных сил. Рассмотрение рассеяния быстрых нуклонов на дейтроне
может быть проведено на основании данных по обменному рас-
рассеянию п — р. При этом не нужно пользоваться теорией возму-
возмущения, которая, по-видимому, не может быть применена даже при
энергиях порядка 100—300 Мэв [3, 41.
Не пользуясь теорией возмущения, можно вычислить рассея-
рассеяние нуклонов на дейтроне, если учесть, что расстояния частиц в
дейтроне велики по сравнению с теми расстояниями от дейтронной
1 ЖЭТФ, 1951, 21, 1113.
14

частицы, на которые должна сблизиться быстрая падающая час-
частица, для того чтобы произошло рассеяние. Это же обстоятельст-
обстоятельство можно сформулировать и так: полное сечение п—d столкнове-
столкновения, которое равно 12 • 10~26см2 при 90 Мэв [51 и примерно равно 5,5 •
• 10~26 см2 при 260 Мэв [6, 71, мало по сравнению с «площадью дейтро-
дейтрона», равной примерно я (Ь,2/тг) = 6-10~25 см2 (е — энергия связи
дейтрона). Если считать, что полное сечение р — d столкновений
при тех же энергиях имеет тот же порядок величины, что и пол-
полное сечение п — d, то сходное условие имеет место и при столкно-
столкновениях р — d. В этих условиях динамическое взаимодействие па-
падающей быстрой частицы с нуклонами, входящими в состав дей-
дейтрона, не может сильно отличаться от взаимодействия со свободной
частицей. Вычисление рассеяния нуклонов в дейтроне сводится к
определению интерференции рассеянных волн от разных нукло-
нуклонов в дейтроне, с учетом при этом связи частиц в дейтроне и принци-
принципа Паули в применении к одинаковым частицам. Так как скорость
налетающего нуклона велика по сравнению со скоростью частиц в
дейтроне, то продолжительность столкновения значительно мень-
меньше времени, в течение которого заметно меняется расстояние меж-
между частицами в дейтроне. Амплитуда рассеяния каждой дейтронной
частицей берется из опытных данных по столкновениям нуклонов.
Недавно (после окончания этой работы) такая программа была при-
применена к анализу неупругих п — d столкновений [8], имея своей
целью выяснение п — п рассеяния. Однако особенно простые ре-
результаты получаются, если рассматривать спиновую зависимость
обменных столкновений, приводящих к реакциям:
п + d = р + (п + л), (I)
р + d = п + (р + р), (II)
и отбирать случаи, когда импульс, передаваемый дейтронным ча-
частицам, не очень велик.
В первой реакции быстрый нейтрон превращается в быстрый
протон и возникают два нейтрона, имеющие энергии порядка 1—
10 Мэв. Во второй реакции быстрый протон превращается в быст-
быстрый нейтрон, и образуются два протона с энергиями того же по-
порядка. Для этих случаев малой передачи импульса эффективное
сечение обменного столкновения свободных нуклонов не зависит
от угла [1, 2], и поэтому интерференция рассеянных волн в дейтроне
может быть легко описана, если мы введем псевдопотенциал (ана-
(аналогично тому, как это делается при рассеянии медленных нейтро-
нейтронов протонами [9,10]).
^f0b(ri-r2)P, A)
где Р — оператор обмена пространственных координат и а0 —
амплитуда обменного рассеяния свободных нуклонов при углах
(в системе центра инерции), близких к 180°. Если импульсы, пере-
передаваемые от быстрого нуклона к дейтронным частицам, не малы
15

(ниже будет дана количественная оценка малости передаваемых
импульсов), то а0 должно быть функцией от этого изменения им-
импульса, причем вид этой функции может быть получен из рассмот-
рассмотрения сечений свободных обменных столкновений. Амплитуда рас-
рассеяния а0 зависит от спинов сталкивающихся частиц.
| ъ? Если мы ограничиваемся малыми углами рассеяния быстрой
частицы, то вклад сил, пропорциональных (sxn) (s2n) (n —
единичный вектор по направлению линии, соединяющей два
нуклона), будет пропорционален s^. Такой результат мгновен-
мгновенно получился бы при применении теории возмущения к потен-
потенциалу
F(r)(Sln)(s2n). B)
Малым передаваемым импульсам соответствуют в этом случае
фурье-компоненты потенциала B)
n)trivd*r, C)
в которых можно пренебречь qr в показателе. Но тогда C) сводит-
сводится к
'(r)d3r. D)
Не пользуясь теорией возмущений, можно прийти к такому же
выводу, если мы напишем в системе центра инерции общий вид за-
зависимости амплитуды рассеяния от спиновых матриц при к ->- к'
(см., например, [11] г)
, к _ k')(s2, к - к') + d(sx [кк']) (s2 [kk'l) +
ъ, lk-k']]lsa,lk-k']]), E)
где a, fo, c, d, /, g — функции от импульса сталкивающихся нук-
нуклонов до (hk) и после^(/1к') столкновения. Вйтом^случае, когда к'
близко к к, E) переходит в следующее выражение:
ч = а' + Ъ'*±82. F)
Это есть общий вид амплитуды обменного столкновения при ма-
малых углах рассеяния падающего нуклона.
При обменном рассеянии п — р дифференциальное сечение рав-
но [12]
d<s т2 о 4лй2 / , '. Т, ч 2 /Г7Ч
^=l6^FS —I? +bs&) ¦ G)
Усреднение производится по начальным, суммирование по конеч-
конечным спинам:
do/do = | а' |2 + 31V |2. (8)
1 Здесь не написаны члены типа: (s^) (sxk') (s2k) (sak'). Они при к' -* к могут
быть записаны в виде E).
16

Только сумма | а' |2 + '6 j V |2 определяется из сечения обменного
рассеяния свободных нуклонов. Раздельное определение а' и t',
по крайней мере, для малых передаваемых импульсов может быть
получено из рассеяния нуклонов на дейтроне. Если связать s^ с
/01 \
оператором перестановки спинов I sx = . ~
и так далее
= 2Ps(l,2)-l,
то A) записывается в следующем виде:
(9)
A0)
Таким образом, часть обменных сил, не связанная с обменом спи-
спинами, представлена а, а часть, сопровождающаяся обменом спина-
спинами, пропорциональна Ъ. Раздельное определение а и Ъ дает возмож-
возможность установить спиновую зависимость обменных сил. Бете [13]
указал на спиновую зависимость интерференционных членов в
п — d столкновениях, однако при рассмотрении сечения п — d
столкновения, происходящего не только под действием обменных
сил и не только на углы, близкие к я, соотношения получаются
значительно более сложными, чем встречающиеся в нашем случае
и, кроме того, требуют знания дейтронной ^-функции внутри об-
области действия ядерных сил, о чем сейчас мало что известно.
§ 2. Общее выражение для сечения
Определим эффективное сечение для обменного столкновения,
при котором быстрый нуклон изменил свой импульс от ftk до Тгк\
а вместо дейтрона возникли два одинаковых нуклона с импульсами
Hq-L и hq2. Волновая функция до столкновения имеет вид
-~ {е*.ф0 (г2 - тА) х A, 2 А) - №Ф0 К - тА) X B, 1 А)},
где Фо — координатная волновая функция основного состояния
дейтрона, % — спиновая функция; 1, 2 относятся к двум одинако-
одинаковым частицам. % B, 1 А) описывает состояние, в котором I л А
находятся в дейтроне.
Конечная волновая функция
где Ф„, нормированная согласно условию:
17

есть координатная функция, описывающая относительное движе-
движение двух частиц с импульсом относительного движения g. Воз-
Возмущением является взаимодействие типа A) между падающей ча-
частицей и А:
— е*-*'**\а-\-Ы\(Л2)\Л\>(хх -г2)хB, 14)}*-*<к-к'.w«>*. A1)
Заметим, что (И) представляет собой амплитуду рассеяния, по-
получаемую без учета принципа Паули и затем должным образом
антисимметризованную. Производим интегрирование по коорди-
координатам гь г и г2, г в соответствующих частях A1)
к - к' = 2f, гх - r2 = r, d3rx d*r2 = д?гх d*r,
f e-itt r1+r^2ifr1 ^ _. eitrQ^ f e-it, rl+r^2ifr2 ^3Гг = e-itrQ
Вместо (И) имеем
\ ^ '' [a + bPs {A\)\ % A, 24) -
- e-«' [a + ЬР6 (Л2)] xB, lА)) Фо. A2)
Возводя A2) в квадрат, получаем эффективное сечение
o'irwsM2;
означает модуль интеграла, входящего в A2).
Законы сохранения дают
_ ПЧ'* , **Я\ , ^ (к - к'--qiJ
S в A3) обозначает суммирование по конечным спиновым состоя-
состояниям, усреднение происходит по начальным состояниям. Связь
между g ж q1mq2
'
2m 4m ' m '
g = 1/2(q1-q2).
Если конечное состояние двух одинаковых нуклонов имеет
полный спин единица (триплет), то Ф^ — нечетная функция отно-
относительных координат. Она не содержит s-волны и поэтому пред-
представляет собой функцию свободного движения,, так йак?нуклоны
18

с энергиями порядка 1 —10 Мэв взаимодействуют только в s-co-
стоянии
Ф(я = -~(е^- <?-№). A6)
В конечном синглетном состоянии двух нуклонов содержится
s-волна, для которой нельзя пренебрегать взаимодействием ча-
частиц. Так как в рассматриваемых условиях длина волны Ilg боль-
больше радиуса действия ядерных сил г0, то s-волну можно взять для
двух нейтронов в следующем виде [14]:
(плоская и сходящаяся волны [15]), а0— постоянная, характери-
характеризующая взаимодействие двух одинаковых нуклонов, аналогично
тому, как а = ]/ тг/h характеризует систему п — р в триплетном
состоянии при малых энергиях. В случае р — р необходимо брать
Ф^ с учетом также кулоновского поля. Синглетная волновая
функция является четной функцией координат. Так как синглет-
ные и триплетные конечные состояния нуклонов 1,2 не интерфери-
интерферируют друг с другом, то
f A8)
Вместо интегрирования по qx можно интегрировать по g (при задан-
заданном к')
dsq± = d*g. A9)
Определим теперь соотношение синглетных и триплетных со-
состояний. Прежде всего ясно, что Ps (Al) и Ps (A2) всегда приводят
к триплетному состоянию, так как нуклон 1 B) при таком обмене
попадает в спиновое состояние нуклона А, которое относилось к
триплетному состоянию B^4, \А) нуклонов. Поэтому Р& (А, 1)%{1,2А)
есть триплетная функция 1, 2 нуклонов. Этот результат легко
видеть и непосредственным образом. Пусть у нуклона 1 спиновое
состояние было a (\iz = 1/2), тогда до столкновения спиновые
состояния х A?2 А) были
(Mz)d = 1; х = aia2<*A; (Mz)d =0, х = сц КРа + °u
Действие Ps (Ai) дает соответственно
X - ала2аг == аАх{, X = «л (a2Pi + ai%
% = aA р2рх = аА xir B0)
19

Мы получили триплетные спиновые функции по отношению к
нуклонам 1,2. Поэтому член, пропорциональный 6, в A2) записы-
записывается так:
^' 1^р^гФ';^Ф0. B1)
При этом мы использовали нечетность Ф# и в качестве %F взяли
соответствующую спиновую функцию B0).
Член, пропорциональный а, дает переходы в триплет и синг-
лет, так как х A* А2)у % B, А1) являются триплетными функ-
функциями нуклонов (Л, 2) и (А, 1), и будучи разложенными по функ-
функциям нуклонов 1,2, содержат и триплетное, и синглетное состоя-
состояния 1,2. Если Ф^ = Ф^, то используя четность Ф^, имеем
2 УТяй* „ С ^* j^-itr^ i..^ 2A) - хB, \А)\. B2)
Соответственно для Ф^
^, 2А) f ХB, 1А)]. B3)
Разность %, стоящая в B2), для трех дейтронных спиновых со-
состояний равна:
^2а1ал =0, Mz == 1;
° Ы + №) * atP2
Поэтому полная сумма переходов в Е, усредненная по М (дейтрон),
согласно A3) и A8) записывается следующим образом:
2d°r т- S- 4- (*+2> ia
При рассмотрении переходов в триплетное состояние необходимо
сложить вклады от а и Ь. Сумма х> стоящая в B3), равна:
Мг = 1, axa2aA + a2axaA = 2aA x[; B5)
Mz = 0, ^л + ^л .^^ + К)а
У^ %'v B6)
B7)
20

При сложении B1) и B7), используя B0) и деля на 3, получаем
B8)
Сумма B4) и B8) дает сечение
2+4-
а |2 + | а |2 + | Ъ |2] К ф[г е~** Фо d3r *} . B9)
Отметим, что при 6 = 0 (силы, не связанные с обменом спинами)
переходы в триплет имеют вес, в три раза больший, чем переходы
в синглет, в согласии со статистическим весом триплетных C)
и синглетных A) состояний.
§ 3. вероятность рассеяния на заданный угол
Определим теперь дифференциальное сечение, при котором не
задается состояние относительного движения двух медленных ну-
нуклонов, а фиксируется только изменение импульса быстрого нук-
нуклона, т. е. задается только угол рассеяния быстрого нуклона. [Та-
[Такое сечение могло бы представить особый интерес в случае реак-
реакции п-\-й = р-\-{п-\-п), так как здесь легко можно фиксировать
направление вылета быстрых протонов.]
Интегрирование по g может^быть легко проведено следующим
образом/В интеграле по g главную роль играют энергии относи-
тельногодвижения, малые по сравнению с Ео = h2k2/2m, если
мы рассматриваем малые / = | к — k' | / 2, это непосредственно
следует из 'быстрого убывания \ Фёе~иг GHd3r с возрастанием g.
Для доказательства этого утверждения рассмотрим, как ме-
меняется / при изменении g
к2 = (к - 2fJ + 2/2 + 2g2 + 2а2, 2fk = З/2 + g2 + а2, fk = fzk.
Так как к очень велико, то fz мало
f = fz + f\ ~ Ц - 2fzk + Zfl + g2 + a2 = 0.
При изменении g от нуля до gOi fz меняется на величину (при по-
постоянном /х), равную
Для определения эффективного значения ?Макс вычислим сред-
среднее значение энергии относительного движения в случае, напри-
21

мер, синглетных состояний, считая / постоянным
-ifr
J* COS f Г Фо t/3r
Ф* cos fr H cos fг Фо d3r
I Фо Г2 cos2 f r cPr
Здесь H — оператор Гамильтона двух одинаковых нуклонов.
Если ird <§: 1, то Eg равно е + Дм, где Дм — разность потенци-
потенциальных энергий р — р и п — р систем, усредненная по волновой
функции дейтрона, Дм — портдка 3—5 Мэв.
?Ъ21т~8 + Дп~5 — 7 Мэв.
Д/2 оказывается порядка
т (е + А^)
д/,
в -]- Аи
|- Аи
(считая энергии Ео могущими удовлетворив этому условию; это
достигается при Ео >> 100 Мэв).
В этих условиях A/z мало по сравнению с /х, равным-у,
если 9 ^>-^- . При еще меньших 9, exp (ifг) вообще можно за-
заменить на единицу (весь эффект обменных столкновений происхо-
происходит в силу ортогональности Фо и Ф^). Поэтому |&'| можно по-
положить равным к, если мало отклонение быстрого нуклона после
0
столкновения от направления падающего нуклона. Если же / ве-
велико, к' можно заменить на его значение, получающееся в случае
столкновения свободных нуклонов.
Учитывая нечетность
Рассмотрим i -g^ d*g | \ Q)g e~iir Фо d3r
этот интеграл равен
C0)
22

1 /j тши.'шется из-за тождественности двух нуклонов, имеющих от-
мпппгльный импульс g. Воспользуемся теперь полнотой функций
<l\, по отношению к нечетной функции sin frO0
C1)
Производим аналогичное преобразование с Ф^ и приходим
к выражению:
+ 2 (abm + аЩ $ | Фо |2 sin2 fr d3r} . C2)
Если угол'рассеяния 6 очень мал, так что выполнено условие
C3)
C2) переходит в следующее выражение:
/W = 2|a|2do\ C4)
В этих условиях обменные столкновения происходят только под
действием той части обменных сил, которая не сопровождается об-
обменом спинами. Если а = 0, то при углах 9-^0 сечение стремится
к нулю.
Пусть условие C3) не выполнено, но / еще не так велико, чтобы
в C2) использовалась ^-функция дейтрона внутри области дейст-
действия ядерных сил, где она неизвестна. Тогда интегралы, входящие
в C2), могут быть вычислены, и сечение оказывается равным
+ 2ab* + 2a*b] (l - у- arctg -^-)j do'. C5)
Эта формула применима при выполнении условия
C6)
где Ео — энергия падающего нуклона в Мэв.
Экспериментальное исследование сечений в области примени-
применимости C5) или C4) могло бы выяснить спиновую зависимость об-
обменных сил, сопровождающихся малой передачей импульса
(углы в системе центра инерции п—/?, близкие к я). Величина сече-
сечения C4), проинтегрированного по углам, удовлетворяющим усло-
условию C3), равна 2А0г™см*, если Ео ж 270 Мэв [2] и Ъ = 0:
C7)
23

При интегрировании C5) по углам в пределах C6) получаем при
этой же энергии величину порядка 2-10~26 см?:
J C5) do' «| а |2 4я D0/До). C8)
Сечение C8) необходимо измерить с точностью порядка 5%, так как
в этих условиях оно менее чувствительно к спиновой зависимости,
чем в условиях C3). С уменьшением энергии C7) и C8) меняются
приблизительно как 1//?0.
Когда frd ^> 1, можно заменить в первом приближении cos2fr
и sin2 fr на V2. C2) переходит при этом в эффективное сечение для
обменного столкновения двух свободных нуклонов
do'D1 а |2 + 4 | Ъ |2 + 2ab*+ 2a*b) = W[3/4 \а + Ъ |«+ Ч* \а —Ъ |2] =
= do013/41а + Ъ\* +41а - Ъ |2], C9)
do0 — телесный угол в системе центра инерции г п — р.
Найдя а и Ъ из опытов с самым малым углом рассеяния быстро-
быстрого нуклона (превращающегося из п в р, или наоборот) можно ис-
использовать C2) для вычисления форм-фактора основного состоя-
состояния дейтрона:
Fdo' = do' {31 а + Ъ |2+ | а - Ъ |2— [21 а |2 + 41 Ъ |2 + 2аЪ* +
2a*b) J | Фо |2
cos 2fr d3r}. D0)
В заключение я хочу поблагодарить проф. Л. Ландау, А. Миг-
дала и И. Шмушкевича за интересные дискуссии по поводу этой
работы.
Академия наук СССР Получено 29 декабря 1950 г.
Примечание при корректуре. После сдачи в печать настоящей статьи,
появилось краткое сообщение о том, что при обменном столкновении п + d -*
—> р + (п + л), происходящем под действием нейтронов с энергией 270 Мэв,
выход быстрых протонов в направлении падающих нейтронов значительно
меньше, чем в случае обменных пр столкновений (J.B. Cladis, /. W. Had-
ley, В. /. Moyer. Bull. Am. Phys. Soc, 1950, 25, 6). Это, по-видимому, озна-
означает, что а мало по сравнению с Ь. В таких условиях всякое обменное столк-
столкновение сопровождается обменом спинами.
Недавно столкновение быстрых нейтронов с дейтронами было рассмотрено
Бете и Глюкштерном (Л. L. Gluckstern, H.A. Bethe, Phys. Rev., 1951, 81,
761) при помощи некоторого конкретного потенциала взаимодействия. По-
Полученные ими результаты не обладают той общностью, которая достигнута в
нашем сообщении.
1 а + Ъ — амплитуда обменного рассеяния в том случае, когда спины пир
параллельны, а — Ь —- когда они антипараллельны.
24

ЛИТЕРАТУРА
1. /. Hadley, Е. Kelly, С. Lettk, Е. Segre, С. Wiegand, Н. York. Phys.
Rev., 1949, 75, 351.
2. E. Kelly, C. Leith, E. Segre, C. Wiegand. Phys. Rev., 1950, 79, 96.
3. R. S. Christian, E. W. Hart. Phys. Rev., 1950, 77, 441.
4. R. S. Christian, H. P. Noyes. Phys. Rev., 1950, 79, 85.
5. L. Cook, E. McMillan, J. Peterson, D. Sewell. Phys. Rev., 1949, 75, 7.
6. R. Fox, C. Leith, L. Wouters, K. R. MacKenzie. Phys. Rev., 1950, 80, 23.
7. /. De Juren. Phys. Rev., 1950, 80, 30.
8. G. F. Chew. Phys. Rev., 1950, 80, 196.
9. Г. Бете. Физика ядра, ч. 2, ГТТИ, 1948, стр. 112.
10. Е. Fermi. Ricerca scient., 1936, VII—И, 13.
11. L. Wolfenstein. Phys. Rev., 1949, 76, 541.
12. Л. Ландау, Е. Лифшиц. Квантовая механика. ГТТИ, 1948, стр. 468.
13. F. De Hoffman. Phys. Rev., 1950, 78, 216.
14. Г. Бете, Р. Вечер. Физика ядра, ч. I. ОНТИ, 1938, стр. 53.
15. Л. Ландау, Е. Лифшиц. КЕантовая механика. ГТТИ, 1948, стр. 481.

83
ОБМЕННЫЕ СТОЛКНОВЕНИЯ БЫСТРЫХ НУКЛОНОВ
С ДЕЙТРОНАМИ1
При экспериментальном исследовании обменных столкновений
быстрых нуклонов с дейтронами появляется возможность выясне-
выяснения зависимости обменных сил от спина.
Рассмотрим реакции
п + d -+ р + (п + п), A)
в том случае, когда направление быстрого нуклона после столкно-
столкновения совпадает с направлением быстрого нуклона до столкнове-
столкновения. Нуклоны в скобках являются медленными частицами, с
энергиями порядка нескольких Мэв. быстрые нуклоны предпола-
предполагаются имеющими энергии порядка 100Мэв и выше. Если направ-
направления движения быстрых нуклонов до и после столкновения мало
отличаются, то медленные нуклоны имеют полный импульс почти
равный нулю. При этом оказывается запрещенным переход в
триплетное состояние (пп) или (рр), так как оно является нечет-
нечетным, а исходное состояние дейтрона четное. Возможны только пере-
переходы в синглетное состояние одинаковых медленных нуклонов, в
котором сумма спинов равна нулю. В дейтроне сумма спинов рав-
равна единице, поэтому переход в синглетное состояние может про-
произойти только тогда, когда при обмене координатами не происхо-
происходит обмен спинами. В самом деле, при обмене спинами медленный
нуклон, который получился при обменном столкновении, всегда
будет иметь спиновое состояние медленного нуклона до столкно-
столкновения.
Для реакций A) это означает всегда триплетное состояние для
(пп) или (рр).
Если записать амплитуду обменного (я, р) рассеяния в виде
(а' + Ъ'8А) Р = (а + bPs A, 2)) Р B)
(Ps A,2) — оператор обмена спинами, под оператором обмена Р
понимается обмен координатами), то к синглетному состоянию мо-
может привести только член, пропорциональный а. В этом выводе не
используется теория возмущения, так как можно сопоставить ве-
1 ДАН СССР, 1951, 78, 249. (Представлено академиком А. И. Алихановым
7 февраля 1951 г.).
26

роятности реакций A) с вероятностью обменного (л, р) столкнове-
столкновения, не опираясь на теорию возмущений.
Таким образом, экспериментальное исследование эффектив-
эффективных сечений реакций A) при указанных выше условиях дает осо-
особенно простую возможность установить соотношение между а и Ъ
в B).
Согласно * в реакции
при энергии нейтронов, равной 270 Мэв, выход быстрых протонов в
направлении падающих нейтронов был значительно меньше, чем
в случае обменных (я, р) столкновений. Это, по-видимому, озна-
означает, что в B) а мало по сравнению с Ъ или вовсе отсутствует, т. е.
при всяком обменном столкновении в этих условиях происходит
обмен спинами.
Академия наук СССР Получено В февраля 1951 г.
1 /. В. Cladis, /. W. Hadley and В. J. Moyer. Bull. Am. Phys. Soc, 1950,
25, No. 6, 6.

84
О ПРЕВРАЩЕНИИ ЗАРЯЖЕННОГО те-МЕЗОНА
В НЕЙТРАЛЬНЫЙ МЕЗОН ПРИ СТОЛКНОВЕНИИ
С ПРОТОНОМ И ДЕЙТРОНОМ1
Совместно с В. Б. Берестецким
Произведен расчет эффективных сечений превращения заряженного я-
мезона в нейтральный при столкновениях с водородом и дейтерием. Показано,
что зависимость сечений от энергии существенно различна при разных типах
взаимодействия мезонов с нуклонами. Сравнение теоретической формулы для
углового распределения с опытом позволит проверить правильность представ-
представления об одинаковой четности нейтрального и заряженного я-мезонов.
1. Ввиду того, что как заряженные я-мезоны, так и нейтраль-
нейтральные мезоны (мы будем называть их тс°-мезоны) сильно взаимодей-
взаимодействуют с нуклонами, должны иметь место заметные эффекты не-
кулоновского рассеяния зх-мезонов «а нуклонах и рассеяния с
превращением заряженных я-мезонов в нейтральные по схеме:
я~ + Р -*¦ и + я0 или я+ + п ->¦ Р + я0-
Такие процессы, по-видимому, экспериментально уже обнаруже-
обнаружены в недавно опубликованной работе [1], в которой наблюдались
внезапно обрывающиеся пути быстрых я-мезонов.
В настоящей работе произведен расчет эффективного сечения
превращения я-мезона в нейтральный при столкновении со сво-
свободным нуклоном и дейтроном на основе мезонной теории. Этот
расчет относится к процессам, происходящим с я-мезонами, ки-
кинетическая энергия которых не превышает их энергии покоя.
Выводы, относящиеся к я-мезонам таких энергий, можно уже в
настоящее время сравнивать с опытными данными. Некоторые ре-
результаты, относящиеся к сравнению эффективных сечений в водо-
водороде и дейтерии, носят более общий характер, не связанный с при-
применением мезонной теории и теории возмущений.
Для формулировки теории необходимы сведения о спине и внут-
внутренней четности мезонов. Мы примем, что спин как я-мезона, так и
я°-мезона равен нулю. Для нейтрального мезона спин единица ис-
исключается фактом распада его на два фотона [2]. Дальнейшие све-
сведения можно получить из анализа данных по захвату я~-мезонов в
дейтерии и водороде. Они сводятся к следующему [3]. а) Наблюда-
Наблюдается захват медленного я-мезона дейтроном без вылета других ча-
частиц (я~~ + d -»- 2п). б) Вероятность захвата медленного я-мезона
1 ЖЭТФ, 1951, 21, 1313. Краткое изложение результатов этой работы было
опубликовано в ДАН СССР A951, 77, 803).
28

дейтроном с вылетом я°-мезона весьма мала (хотя она не мала в во-
водороде). Из а) однозначно следует, что если спин заряженного я-ме-
зона есть нуль, то его внутренняя четность противоположна чет-
четности нуклона1; б) дает основание заключить [4], что внутренние
четности я0- и я-мезона совпадают, а также, что спин тс-мезона не
может быть отличен от нуля.
2. Таким образом мы будем считать мезонное поле псевдоска-
псевдоскалярным и можем записать оператор взаимодействия его с нукло-
нуклоном в виде
V = 92G + ± (aVF + Pl -g-) (p, = фТ5; Pi - - Те), A)
где
G = g (тФ + т+Ф+) + Va (g° + 2%) фо,
Здесь g и / - постоянные, определяющие взаимодействие нуклона
с заряженным я-мезоном, a g°, g', /°, /' — с нейтральным мезоном
[взаимодействие нейтрона с я°-мезоном определяется постоянной
(g° + g')/2 или (/° + f )/2, а протона (g° - g')/2 или (/° - f )/2I;
г — оператор превращения нейтрона в протон, а т+ — протона в
нейтрон; xz = + 1 для нейтрона и — 1 для протона (tz = t+t —
— rth). Ф— поле заряженных я-мезонов, а Фо — я°-мезонов:
Ф =
IF V r
где ak, Ък, ck — операторы поглощения, a at, bjj", cf[ — испуска-
испускания, соответственно, положительных, отрицательных и нейтраль-
нейтральных мезонов, &к — импульс, Ек — энергия.
Мы ограничимся такими энергиями мезонов, когда нуклоны
можно считать нерелятивистскими. Тогда, переходя от уравнения
Дирака для нуклонов к уравнению типа Паули, мы из A) получим
следующий оператор взаимодействия:
pr I <re - OF) = Vm + Ve'+ Vй (Р = dFldt). B)
1 Мы здесь условно считаем внутренние четности протона и нейтрона одина-
одинаковыми. Тогда мезонное поле должно описываться псевдоскаляром. Бели
внутренние четности нейтрона и протона различны, то мезонное поле ска-
лярно. В обоих случаях взаимодействие имеет одинаковый вид A). Абсо-
Абсолютная внутренняя четность я-мезона, а следовательно, и четность нейт-
нейтрона относительно протона может быть установлена по поляризации фото-
фотонов, на которые распадается нейтральный мезон.
29

Здесь М — масса наклона, |li — масса я-мезона. В B) отброшены
также члены порядка \х/М относительно выписанных. Учет их
вряд ли имеет смысл в первом приближении теории возмущений,
так как поправки того же порядка дадут следующие члены разло-
разложения по постоянным g и /.
3. Первый член в B) V^ линеен относительно Fh6,h поэтому
по отношению к нему превращение я в я0 есть процесс второго по-
порядка, проходящий через промежуточные состояния. Второй и
третий члены V^ и F<3> квадратичны — они вызывают прямые
переходы в первом приближении теории нозмущений. Рассмотрим
превращение лг-мезона в я°-мезон на водороде в различных вари-
варианта* взаимодействия.
а) II с е в д о с к а л я р н а я связь1 (f - 0). При этом
достаточно учесть второй член в B). Первый дает результат бо-
более высокого порядка отнЪсительно \х/М. Ввиду малости отдачи
на протоне, мы будем пренебрегать изменением энергии мезона
при превращении (Е содержит и энергию покоя). Матричный
элемент превращения лг-меяона с импульсом ftk ь л°-мезон с им-
импульсом UW
(Так как x+xz + т/г+ = 0, то сюда не входит g'\ под т+ здесь под-
подразумевается соответствующий матричный элемент, равный еди-
единице для перехода р -*- п).
Дифференциальное сечение
D)
и полное сечение
G = An(ggO/lic*y(\il2M)\ D')
б) Псевдовекторная связь (G =¦ 0). Здесь мы
учтем как V^\ так и F<2>. Хотя VW содержит в знаменателе А/,
он может дать эффект, сравнимый с VM при малых энергиях ме-
мезона Е — [хс2 — [дг2 (fx/4iW) — 5 Мэб\ FB> дает матричный элемент,
подобный C):
^iT^V E)
Для VW мы должны рассматривать два промежуточных состоя-
состояния: 1) тс" + р -* Щ 2) тГ + р -^ тГ + р -}- л°. Если пренеб-
пренебречь энергией отдачи в сравнении с энергией мезона, то разность
энергий начального и промежуточного состояний равна в первом
случае Е и во втором —Е. Получаем
a)x\ F)
1 Этот случай рассмотрен в работе [5].
30

где <з — матричный элемент оператора Паули (в F) использовано,
что т2т+ - т+т, =• х+ и (ка)(к'а) = кк' + г Ikk'la). Из E), F)
получаем для дифференциального сечения
и для полного течения
и) Смешанная с в я з ь (/ = g° =¦- g' = 0). В этом слу-
случае следует учесть VW и F<3) из B). Первый дает выражение, по-
подобное F):
Ш (?)' Т
Из (8) и (9)
В случае g =¦-¦- /° =- /' = 0 результаты (8) — A0) сохраняются с
заменой g ->¦ /; /° ->¦ g°; g' ->• /''.
Сравнение этих результатов с экспериментальными данными
могло бы помочь установить тип взаимодействия. Уже полные
сечения различно зависят от энергии в различных вариантах свя-
связи. Угловые распределения также существенно отличны. В слу-
случае а) [формула D)] имеет место сферическая симметрия. Для
случая б) [формула G)] характерно отсутствие симметрии относи-
относительно плоскости д =- я/2. В случае б) [формула G)] при малых
энергиях распределение зависит от знака /' по отношению к /°
(это не противоречит симметрии теории относительно нейтронов и
протонов; для процесса п+ -f rt -*¦ р 4- я0 соответствующая фор-
формула будет отличаться заменой /' на —/')•
Величину сечения можно оценить, использовав данные об об-
образовании нейтральных и заряженных я-мезонов у-лучами в во-
водороде. Она дает значение f2lhc в случае псевдовекторной связи и
g2 / u \2 1 „
Т~ \~MF 6~В сл>чае псевдоскалярной связи (и такого же по-
порядка значения для /°, /' или g°, g'). 1 огда, в случае псевдовектор-
псевдовекторной связи (при импульсах — \хс)
\2 1 ^
U
31

в случае же псевдоскалярной связи
Большая величина последнего сечения (а ^> я (ft/|icJ) указывает
на невозможность применения теории при псевдоскалярной связи.
4. Перейдем к рассмотрению превращений при столкновении
с дейтроном. При этом оператором взаимодействия будет сумма
выражений B), взятых для первого и второго нуклонов.
а) Псевдоскалярная связь. Аналогично C), по-
получим
7 **° ^Р Ы<**-**> + <e*w*)m, A1)
где индексы у скобки означают матричный элемент этого операто-
оператора, соответствующий переходу из начального @) в конечное
(q) состояние. Так как начальное состояние нуклонов (дейтрон) яв-
является антисимметричным относительно зарядовых координат, а в
конечпом состоянии оба нуклона нейтроны, то
т+ = 1/j/T; %t = - 1//2. A2)
Введя еще относительные кофдинаты нуклонов р — rt — г2
и обозначив
к — к' = 2х, A3)
получим
Здесь введено обозначение
/* = -р~- ^; (Р) (в* ± е-^) ^о (Р) (^Р), A5)
где г|}0 — волновая функция дейтрона, а г|)д — двух нейтронов в ко-
конечном состоянии.
б) Псевдовекторная связь. Аналогично E) и
A1), для матричного элемента F<2> полечим
/- A6)
Для вычисления матричного элемента Т7^1) во втором прибли-
приближении необходимо провести суммирование по промежуточным со-
состояниям относительного движения нуклонов. Существенный
вклад будут давать состояния с относительным импульсом поряд-
ка~Нк/2 при к^$>а, либо ~ а при малых Л, где Va — радиус дей-
дейтрона. Поэтому разность энергий начального и промежуточного
состояний будет отличаться от Е (в случае промежуточного состоя-
состояния 2т?) или от — Е (в случае 2р -}¦ я" ^ л°I1а величину, не боль-
большую, чем Й2А2/4М или Й2а2/Л/. Мы пренебрежем этой величиной
по сравнению с Е. Тогда сумма по промежуточным состояниям све~
32

дется к разности матричных элементов, связывающих начальное
и конечное состояния, от произведения операторов, написанных в
различном порядке *. Иначе говоря, сумма будет иметь вид
матричного элемента типа (индексы относятся к нуклонам):
(Мг + М2) (L, + L2) - (L, + L2) (M± + М2).
Поскольку оператор Мг коммутирует с L.z и т. д., то это выражение
сводится к
(M.L, - Ь,Мг) + (M2L2 - L2M2),
т. е. в этом приближении каждый нуклон независимо производит
поглощение и испускание (как и в случае операторов V&) и
Таким образом мы получим
yg. = (-I)'/
[k'k] faxU4*^1 + ОгЧеКт*)}ог A7)
Здесь первый член дает переходы без изменения спинового состоя-
состояния двух нуклонов, второй при ms = ± 1 (ms — проекция спина
дейтрона на направление fk'k]) также не меняет спинового состоя-
состояния, а при ms —• 0 приводит к переходу из триплетного в синг-
летное состояние. A7) можно переписать в следующем виде:
(/т. + /+би,о)}. A8)
в) С м е ш а и н а я с в я з ь. В тех нее приближениях, ана-
аналогично (8), (9) и A6)-A8)
Е -
1
(и аналогичные выражения с заменой g на /).
5. Па основании выписанных выше матричных элементов мы
можем дать выражения для дифференциальных сечений прев-
превращения лг-мезона с импульсом Йк в я°-мезон с импульсом
Йк' и с превращением дейтрона в два нейтрона с относительным им-
импульсом Тщ, причем величина д определяется сохранением энергии:
к1—к'K
2
-W = Ж - ^Г - 4М + 8 + (^о - ^ <? + (Л^п -
B1)
где [х0 — масса л°-мезона, Мп — нейтрона, Л/р — протона, е —
энергия связи дейтрона.
1 Более подробно этот вопрос будет рассмотрен в отдельной статье.
2 И. Я. Померанч>к, т. III 33

а) Псевдоскалярная связь:
da - (lE
б) Г1 с е в д о в е к т о р и а я с и я :t ь:
)}|| B3)
в) С m e in a ii и а я с в я з ь:
Входящие сюда интегралы /+ могут быть вычислены при |х— (
^ 1/г0, где г0 — радиус действия ядерных сил. В этом случае
существенна область, где нам известна волновая функция дейтрона
Р/р. B5)
Волновая функция двух нейтронов, входящая в /"", должна быть
антисимметрична (тринлетное состояние), а в /+ симметрична
(синглетное состояние). Так как нуклоны при небольших энерги-
энергиях взаимодействуют только в s-состоянии, то в первом случае
к во втором случае
1*
где б — фаза рассеяния нейтрона на нейтроне. С такими волновы-
волновыми функциями:
[* ?] B8)
{sin 26 (arctg *±1 + arctg
4-cos 28,, 4+(w + y)Va« , ..[sin26,..
Ш +I2~
4+ (x-
— A - cos 26) (arctg ^±5 + arctg ^=^)]}. B9)
34

Изучение характера распределения нейтронов по энергиям и
углам могло бы дать сведения о взаимодействии двух нейтронов
(постоянная б).
Все полученные результаты сохраняют силу и для процесса
я+ + d ->• 2р -f- л° (с заменой /' на — /' и gr на — g'). Лишь б
формулах B6) — B9) следует учесть кулоновское взаимодействие
двух протонов. Мы не будем, однако, останавливаться на
этом.
6. Дифференциальное сечение превращения при произволь-
произвольном конечном состоянии нуклонов получится из формул B2) —
B4) интегрированием по (dq)
^ C0)
Это интегрирование нетрудно провести е том случае, когда /±
заметно отлично от нуля только для области значений д, малой по
сравнению с допускаемой B1). Если разность импульсов л~ и л°-ме-
зонов h (k — к') мала по сравнении; со средним импульсом частиц
в дейтроне h | к — к' | <^ Йа, то в i± можно произвести разложение
по степеням и р, и получившиеся интегралы быстро уменьшаются,
как только h2q9'IM оказывается заметно больше, чем е. Если ки-
кинетическая энергия мезонов много больше е, то из допускаемого
B1) интервала значений q фактически используется только малая
часть. Те же соотношения имеют место и при Й|к — к'| ^> а.
Б этом случае главную роль при интегрировании no (dq) играют q,
лежашие вблизи q0 - Их, причем ширина эффективной области
q около q0 — порядка а. Этому соответствует энергетическая ши-
ширина порядка У~%2к2а2/М9 опять-таки малая по сравнению с ки-
кинетической энергией мезонов. В этих условиях можно интегриро-
интегрирование по (dq) проводить, не учитывая B1), и считать к' постоян-
постоянным.
Тогда, воспользовавшись условием полноты системы функ-
функций \|:Q, получаем
4 \^ I21 ei*p ± e"iw I2
При значениях х ^ 1/г0 можно воспользоваться B5), тогда
-. C2)
Заметим, что в тех случаях,когда в интегралах /±и \ |/±|2(<iq
играют роль только большие расстояния (это имеет место при
малых углах, когда можно разложить c™Q в ряд), следует применять
исправленную нормировку волновой функции [6], отличающуюся
от B5) множителем }^3/2.
2* 35

Из B2)—B4) получим в различных случаях связи:
/о/.
Во всех трех вариантах связи сечения обращаются в нуль (точ-
(точнее, уменьшаются в г1\\с 2 раз) для сличая вылета л°-мезона в на-
направлении первичного я-мезоиа. Эт<) свойство связано с одинако-
одинаковой четностью обеих частиц и может служить для проверки этого
предположения.
Академия наук СССР Получено 27 февраля 1951 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Я. Bradner, В. Rankin. Phys. Rev., 1950, 80, 916.
2. Л. Д. Ландау, ДАН СССР, 1948, 60, 207.
3. L. Aamodt, J. Hadley, W. Panofsky. Phys. Rev., 1950, 80, 282.
4. Б. Л. Иоффе, А. П. Рудик, Я. М. Шмушкевич, ДАН СССР, 1951, 77,90.
5. R. Е. Marshak, A. S. Wightman. Phys., Rev., 1949, 76, 114.
6. Я. А. Смородинский. ДАН СССР, 1948, 60, 217.

85
К ТЕОРИИ ЗАХВАТА я-ЧАСТИЦ В ДЕЙТРОНЕ1
Установлено отношение вероятностей процессов: р + я~ —> п + я0 и
d + я"—»/г + /г + я° без использования мезонной теории. То же самое про-
проделано для отношения вероятностей радиационного захвата: р + я" —» п +
+ у, d -f- я" —* п + /г + у.
Показано, что точное измерение отношения количества я0 в р и в d мо-
может дм'п, 11о;!можпост|| определить четность и спин л и я0. Указана общая связь
между процессами с участием медленных мезонов в водороде и дейтроне.
Недавно проведенные опыты по захвату я-частиц в водороде
и дейтроне [1] дают возможность установить спин и четность я- и
л°-частиц [2—7], сравнивая вероятности реакций, происходящих в
водороде и дейтроне. Количественное сопоставление этих реакций
производилось в [5—71. Такое сравнение не может быть достаточ-
достаточно обоснованно проведено на основании мезонной теории с ис-
использованием теории возмущений [5, 6], так как я-частицы сильно
взаимодействуют с нуклонами, и поэтому методы обычной теории
возмущений, по-видимому, не могут быть полностью применены.
Однако для целей относительного сравнения эффектов в водороде
и доитропо можно использовать полуфеноменологические методы,
шшм'пеммо ниже." Для процесса D) такое рассмотрение было ча-
частично проведено и |7].
При захвате я"" в водороде происходят процессы:
я" + р -* п -\- у, A)
я" + р -> п + я0, B)
в дейтроне имеют место реакции:
я" + d —i> п + п, C)
n- + d-*n + n + 4, D)
я" + d —> п + п + я0. E)
Последние данные о массах я-и я°-частиц Ш делают реакцию E)
энергетически возможной. Согласно экспериментальным данным
[1] реакции A) и B) имеют рдинаковую вероятность, а в дейтроне
ЖЭТФ, 1952, 22, 129.
37

реакция C) вдвое более вероятна, чем D). Реакция E) не наблю-
наблюдалась. Можно показать, что в D2, H2 частица успевает сначала по-
попасть на свою /С-оболочку, а лотом уже захватиться протоном или
дейтроном [7,8]. Поэтому мы в дальнейшем будем рассматривать за-
захват я-частицы только с ее А-оболочки. Существование реакции
C) в этих условиях исключает скалярную частицу [2—4]. Малая
вероятность реакции E) легко объясняется, если я-ч*астица псев-
псевдоскалярная [1] и имеет спин, равный нулю. В дальнейшем мы
будем считать, что я и я0 имеют спин нуль (для я0 на это указыва-
указывает распад на два фотона [9]).
Рассмотрим залват я-частиц с вылетом нейтрального мезона.
Пусть я и я0 имеют одинаковую четность, т. е. обе скалярные или
обе псевдоскалярные. В случае водорода речь идет о захвате по-
покоящейся относительно нуклона я-частицы, так как скорость ее
на А-оболочке мала. Учитывая одинаковую четность, мы можем
феноменологически описать захват в водороде, используя псев-
псевдопотенциал [10] I взаимодействия между я-частицей и нуклоном,
взятый в виде
U = ад (г — R), F)
где постоянная а связана с вероятностью реакции B):
^ G)
(б) справедливо только для достаточно медленных частиц. Одина-
Одинаковая четность я и я0 означает, что обе частицы взаимодействуют
с нуклоном, находясь в 5-состоянии (при малых энергиях). Так как
S-функция стремится к постоянному пределу, не равному нулю,
когда импульс стремится к нули», можно считать а не зависящей от
импульса нейтрального мезона р. В дейтроне я-частица захваты-
захватывается движущимся нуклоном, поэтому псевдопотенциал F)
может быть неприменим. Так как скорость нуклонов в дейтроне
мала, то можно разложить L в ряд по степеням Р/Мс, где Р —
импульс нуклона. Вместо F) мы будем иметь
]
(9)
Полагая ах, a2ub того же порядка, что и а, можно ограничить-
ограничиться только первым членом. В дальнейшем можно будет убедиться
в том, что отброшенные члены не вносят с собой ничего существен-
существенно нового в смысле правил отбора, запрещающих реакцию E).
Сопоставляя мезонные процессы в дейтроне и водороде, происходя-
происходящие под действием медленных мезонов, надо иметь в виду упро-
упрощающее обстоятельство, которое можно разъяснить на примере
захвата с испусканием я0. Захват я"" и испускание я0 в водороде
38

осуществляется одним и тем же нуклоном. В дейтроне возможен
лплват л~ протоном, а испускание л° нейтроном. Однако эта воз-
возможность мало меняет вероятность захвата, учитывающую захват
и испускание одним протоном. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим
вклад в амплитуду вероятности захвата смешанных переходов с
участием протона и нейтрона. Выражение для амплитуды вероят-
вероятности можно взять, пользуясь теорией возмущений, но не огра-
ограничиваясь только первым неисчеаающим приближением. Начнем
со второго приближения (первого неисчезающего). Операторы вза-
взаимодействия наклонов с я- и зт°-мезонами записываем в следующем
виде:
А = Af A) -t+ A) + Л/B)т+B), (Ю)
B = L A) + L B) + T A) т3 A) -f T B) x8 B).
Амплитуда вероятности равна
SAUiBUf BA
E. — E,
t
где
E. — E, ^ A E. — Et
-e-e(t. A1)
При суммировании по t1 is. 12 главную роль играют состояния двух
нуклонов с энергиями e/t и ett, малыми по сравнению с \ic2. Со-
Состояния, не удовлетворяющие этому условию, имеют быстро ос-
осциллирующую г|)-функцию, которая делает малыми матричные
•uicmchtu. 11ри этом существенна малая энергия связи дейтрона
г 1!,17 Мае, благодаря чему в его основном состоянии-ф-функ-
ци>| по содержит нпметного числа фурье-компопент с большими
импульсами. Пренебрегая в/,, е/2 и е, а также р212\л [1], произ-
производя суммирование по промежуточным состояниям и исключая
зарядовую координату, приходим к выражению
¦±\ift ILA)- LB)] % = Уг\$ЪA) %, A2)
где
r ML-LM ТМ
где *ф/, г|^0 — конечная и начальная волновые функции двух нук-
нуклонов (включая и спиновые функции): г]^ A,2) = — "ф/ B,1)>
я|?о A»2) - ^0 B,1). Смешанные переходы не вошли ввиду коммути-
коммутирования операторов, относящихся к различным частицам.
Аналогичные вычисления дают L в водороде. Таким образом,
в этом приближении переход от И к D происходит согласно пра-
39

вилу: протонный оператор L без изменения переносится на слу-
случай D, согласно A2); ]/~2 связан с нормировкой.
В следующих приближениях теории возмущении приходится
иметь дело с испусканием виртуальных мезонов, которые затем
снова поглощаются. В дейтроне добавочно к протону появляются
переходы, в которых мезон испускается одним нуклоном, а пог-
поглощается другим. Однако в дейтроне расстояние между частицами
больше комптоновской длины волны п-мезона. Поэтому смешан-
смешанные цепочки могут происходить только с нерелятивистскими ме-
мезонами. Можно думать, что в интегралах по импульсам виртуаль-
виртуальных мезонов в несмешанных цепочках главную роль играют им-
импульсы, большие чем цс, аналогично тому, как это имеет место
при вычислении магнитных моментов нуклонов. Вследствие этого
магнитный момент дейтрона с хорошей степенью точности равен
сумме моментов пир. Поэтому смешанные цепочки в дейтроне долж-
должны дать малый вклад в амплитуду вероятности. В дальнейшем мы
будем пользоваться A2) вместе с (9). Эффективный матричный эле-
элемент захвата согласно (9) и A2) равен
УЪЫ^Ъ A4)
Здесь г есть гр — гп, движение центра тяжести отделено, к —
волновой вектор нейтрального мезона, к определяется из соотно-
соотношения
М*с +^Г + "Ж+^лГ = ((Ая^ М с
q — волновой вектор относительного движения нейтронов. Со-
Согласно [11 (\хп — |ляо)с2 = 5,ЗЛ/э#, поэтому волновой вектор нейт-
нейтрального мезона мал. eikrf2 можно разложить в ряд по степеням
Лгвф/2:
Лгэф
JL Л/ 5t JL Л/ -Р L
2а ~ У 2е М У АИ 5 '
так как в соответствии с A5) Епо ~ 1 Мэе.
В нулевом приближении A4) равно нулю, так как спиновые
функции i))/ и г|H совпадают, поэтому ajr, — нечетная триплетная
функция [2—41. Переход является запрещенным. В следующем
приближении A4) оказывается равным
~аГ kr «^-«-^
В качестве триплетной функции можно взять плоскую волну, так
как в ней не содержится s-состояния, для которого только и суще-
существенно взаимодействие двух нейтронов. Отсюда находим вероят-
вероятность захвата с испусканием нейтрального мезона данной энергии
3i 12 Н2 <*
40

Отношение N полных вероятностей испускания нейтрального
зона в дейтроне и водороде равно
Л/ — & л/~~*~ 2^ Т ( \ — —
Л = (|ля — М с2 — е — (Afn — М р) са;
где ?'н — Рн/2[х. Численно JV ~ 10~3 при % = 1. Величина Лг
мало изменится, если вместо а рассмотреть весь ряд (9), так как
каждый член этого ряда не содержит спина нуклонов. Поэтому
переход остается запрещенным под действием я2, Ъ и всех осталь-
остальных чдепои ряда, содержащих четные степени Р. Так как а2, Ъ
и остальные коэффициенты того же порядка, что и а, то вклад чле-
членов ряда типа я2, b оназывается малым ввиду малости PlMc и
р/\хг. Иод действием а± происходит испускание нейтрального ме-
мезона в р-состоянии. В этом случае запрет снимается. Однако от-
отношение эффектов, вызванных а и аг, по порядку величины равно
к ^JwL|^iL!?l35^ PhaV№ B0)
а\ ,2а Р р а
Даже если й/ах — и /Л7, а не порядка единицы (других безразмер-
безразмерных параметров нет), B0) велико по сравнению с единицей. Поэто-
Поэтому A9) справедливо с точностью порядка 5—10% и основано толь-
только па предположении об одинаковой четности л и я0 и спине у них,
ранном пулю. В этом случае реакция E) оказывается очень резко
ламргщппмж. Отметим,'что расчеты, основанные на мезонной тео-
теории (и норном иоисчсаающем приближении), дают для Л значение,
точно совпадающее с A8) 10].
Рассмотрим теперь случай, когда яил° имеют спин нуль, но
противоположную четность. Псевдопотепциал обязан теперь вклю-
включать спин нуклонов. В первом приближении по отношению к ско-
скоростям нуклонов и мезонов можно написать
U = [aks + 6Ps] Лб (г - гр), B1)
где s — спиновый вектор Паули.
Необходимость рассматривать одновременно аи b в B1) вызва-
вызвана тем, что в случае разных четностей я и я0 орбитальные моменты
я и я0 различны. Если я"~ имеет момент нуль, то я0 должно быть в
р-состоянии (/ и более высокие моменты не имеют практического
значения). В этом, случае испускание я0 пропорционально относи-
относительной скорости я0 и нуклона в конце процесса, т. е. TflMc
г— Кк1\л — ftk/u. Если я0 испускается в s-состоянии, то поглоще-
поглощение я~ происходит из ^-состояния. я"~ находится в ^-состоянии от-
41

носйтелыю дейтрона, но относительно движущегося нуклона в кон-
конце процесса л~ может находиться в ^-состоянии, причем относи-
относительная скорость я и нуклона будет равна (Р -f hV)IMc ~ YIMc.
Необходимость учета обоих случаев приводит к выражению B1).
В применении к дейтрону удобно преобразовать B1) так:
U -> {1/2 (ак + ЬР, Sl + s2) + 1/2 (як + fcP, sx - s2)} e^l\ B2)
Sjl -j s2 дает переходы в триплетное состояние двух нейтронов,
s, — s2 — в синглетное. Отсюда получаем матричные элементы
перехода в триплетное и синглетное состояния:
sin (qr~
B3)
Здесь ctg г] — — ссо/а, &0 — постоянная системы двух нейтронов
в .v-состоянии, аналогичная о. в дейтроне, ехр (/кг/2) заменяется на
единицу в отличие от A4). Отношение вероятности захвата в дей-
дейтроне к вероятности захвата в водороде вместо A8) имеет вид:
,M}, B4)
B5)
% — то же, что и в A8).
Полагая е0 =-- е, находим
N > КГ1. B6)
Таким образом, в случае различных четностей вылет л° в дейтро-
дейтроне, хотя имеет меньшую абсолютную вероятность, чем в водороде,
тем не менее оказывается в 100 раз более вероятным, чем в случае
одинаковых четностей г. Этот вывод находится в согласии с рас-
расчетами [6] на основе мезонной теории. В B1) не учитываются чле-
члены, пропорциональные более высоким степеням 14 Мс и р/[хс.
Их действие мало по тем же причинам, какие имели место в слу-
случае одинаковых четностей.
1 Можно сказать, что такой переход является запрещенным уже в водороде.
В дейтроне не возникает существенно нового запрещения.
42

Сравним теперь захват с вылетом квантов в Н и D. Вводим со-
соответствующую функцию U:
U^ = (а + bsn) eitrPd (r — гр), A7)
гдеп — единичный вектор, могущий быть построенным при помо-
помощи единичного вектора поляризации у-кванта j и волнового век-
вектора кванта f. Если бы л-частица была скалярная, то Ъ = 0. Для
псевдоскалярной же частицы а =- 0. Как будет видно из дальней-
дальнейшего, почти все у-лучи в дейтроне имеют энергию, близкую к мак-
максимально возможной. Поэтому величину / можно считать постоян-
постоянной. Считывая малость скоростей частиц в дейтроне по сравнению
со скоростью света, приходим к B7). Вероятность у-захвата в Н:
4ж B8)
Преобразуем V аналогично B2)
Ъ s^\ eitrvb (г - тр). B9)
Последний член дает переход в синглетное состояние. Вероят-
Вероятность захвата в дейтроне с испусканием у-квантов, имеющих часто-
частоту, лежащую в интервале с?со, равна
Получающийся спектр у-лучей идентичен полученному в [6]. Пол-
Полная вероятность радиационного захвата может быть получена сле-
следующим образом. dWy очень быстро падает, когда ЙсомаКс—^
становится больп!е, чем е. Поэтому п]зи интегрировании по всем
волновым векторам относительного движения нейтронов главную
роль играют такие д, которым отвечают малые отличия /от/макс =
= /0. Поэтому можно заменить всюду / на /0. Так как вероятность
больших /0 — / ничтожно мала, то ограничения, накладываемые
законом сохранения энергии, не существенны, и поэтому можно
интегрировать по д, ничем себя не ограничивая. В таком случае
полнота функций Ф^, Фд непосредственно дает
¦ C0>
Подставляя Фо = j/"a/2jte""ar, находим
arCtg
wp
43

ЛY =-¦ Wn/Wp всегда меньше единицы и заключено в пределах
C2)
C2) также согласуется с результатами расчетов [5,6] на основе ме-
зонной теории.
Сопоставляя A8), B6) и C2) с известным] [11 отношением
у-кваптов к я°-мезонам в водороде (Wy!VVno)p zz. 1, обнаруживаем
большой запрет вылета я0 в дейтроне в случае одинаковых четно-
стей я и я0 и спина нуль у них. Только в этом случае интенсивность
я0 падает в 103 раз. Если спин у л равен единице (или больше), то
сложение этого спина с моментом дейтрона всхчда может дать раз-
разрешенный переход, приводящий к вылету л°. Отсутствие я0 в дей-
дейтроне [11 является весьма существенным показателем того, что
я"- и я°-мезоны имеют спин нуль и обладают одинаковой четностью.
Спин два у я~ и я0 исключается по тем же причинам, что и едини-
единица. Полученный вывод о спинах и четностях не основан на мезон-
ной теории с использованием теории возмущений и может быть
изменен только в том случае, если окажется, что количество
л°-мезонов в D соответствует B0), а не AН). Чрезвычайно желатель-
желательно экспериментальное выяснение этого числа.
В заключение благодарю Б. Иоффе, А. Рудика и II. Шмушкеви-
ча за интересные дискуссии при проведении этой работы.
Академия наук СССР Получено 3 мая 1951 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. W. К. Н. Panofsky, R. L. Aamodt J. Hadley. Phys. Rev., 1951, 81, 565.
2. E. L. Feinberg. J. Phys., 1941 5, 177.
3. B. FerrettU Report on Intern. Conf. Low Temperatures and Fundamen-
Fundamental Particles. Cambridge, 1946, стр. 75.
4. S. Tamor. Phys. Rev., 1950, 79, 221 (A).
5. S. Tamor, R. E. Marshak. Phys. Rev., 1950, 80, 766.
6. В. Иоффе, Л. Рудик, И. Шмушкевич. ДАН СССР, 1951, 77, 403.
7. К. Brueckner, R. Serber, К. Watson. Phys. Rev., 1951, 81, 575.
8. A. S. Wightman. Phys. Rev., 77, 521 A950).
9. Л. Ландау. ДАН СССР, 60, 207, 1948.
10. Г. Бете. Физика ядра, ч. 2, ГТТИ, 1948, стр. 112.

86
ЗАХВАТ «-ЧАСТИЦ В ДЕЙТРОНЕ1
Захват я-частиц в водороде [11 и дейтроне дает указания относи-
относительно спина я~ - и я°-частиц и их взаимной четности. Важность это-
этого обстоятельства делает желательным сопоставление дейтронных
и водородных реакций, не использующее теории возмущений в
применении к мезоиной теории [2,3]. Такое сопоставление оказы-
оказывается возможным благодаря малости отношения энергии связи
дейтрона г к покоящейся энергии \хпс2 частиц.
Малость скорости нуклонов в дейтроне по сравнению со ско-
скоростью света также существенна при феноменологическом рассмот-
рассмотрении реакций в дейтроне. Так как имеет место процесс
л,- + D-*n + n A)
(я~ из /<-оболочки [4,5]), исключающий скалярную лГ-частицу
[6, 7], то в дальнейшем предполагается, что я~, я0 имеют спин О,
причем я" — псевдоскалярная. Отбрасывание высших спинов
основано на малой вероятности реакции
n- + D-*n + n + n<>. B)
Отношение вероятности испускания я0 в дейтроне к аналогич-
аналогичной вероятности в водороде равно в случае одинакрвых четностей
я, я0:
Зтс У ^н Л^ d
'№ — x*)'!*x<dx
4" (^с2 ~ №* -е ~
При х - 1 N ж 10.
1 ДАН СССР, 1951, 80, 47- {ЩецспщвЦО ЯКЗДещиком Л. Д. Ландау
J0 июля 195* г.).
45

Если четности п~ и я0 различны, то C) заменяется на следующее
выражение:
16 Л[ || ( , (/ + /)
Ух D)
х
2~
сс0 — постоянная тш-системы в синглетном состоянии, аналогич-
аналогичная постоянной а в яр-системе (г|>функция ww-системы удовлетво-
удовлетворяет условию г|O\|: = — а0 при г, равном радиусу действия лп-
ядерных сил).
Согласно D), Лг ^> 10, если е0 = t и А/ - 1. Таким образом,
разница между C) и D) дает возможность установить взаимную
четность я", л°-мезонов. Существование у л, л° высших спинов
сделало бы непонятным появление запрета для испускания л°,
который следует из [1].
Применение того же метода к испусканию уштнтов
тс -\-D~>n + n + 4
приводит к следующему значению для отношения вероятности ис-
испускания 7-квантов в дейтроне и водороде:
/•«¦?-, 0,4<iV<0,8.
Главную роль играют у-кванты с энергиями, близкими к верх-
верхнему энергетическому краю спектра. C), D) и E) согласуются с
результатами, полученными согласно мезонной теории в [2, 3].
Академия наук СССР Получено 15 мая 1951 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. W. К. Я. Panofsky, R. L. Aamodt, J. Hadley. Phys. Rev., 1951, 81, 565»
2. S. Татпот, R. E. Marshal*. Phys. RevM 1950, 80, 766.
3. Б. Иоффе, А. Рудик, И. Шмушкевич. ДАН, 1951, 77, 403.
4. A. S. Wightman, Phys. Rev., 1950, 77, 521.
5. K. Brueckncr, R. Serber, K. Watson. Phys. Rev., 1951, 81, 575.
6. E. L. Feinberg. J. Phys., USSR, 1941, 5, 177.
7. S. Tamor. Phys. Rev., 1950, 79, 221 (A).

87
ОБМЕННЫЕ СТОЛКНОВЕНИЯ БЫСТРЫХ НУКЛОНОВ
С ДЕЙТРОНАМИ. II1
Получено эффективное сечение для обменных столкновений быстрых нук-
нуклонов с дейтронами, при которых заданы импульсы медленных нуклонов. По-
Показана возможность анализа спиновой зависимости обменных сил при экс-
экспериментальном изучении таких столкновений.
В работе [1] (далее цитируется как I) было получено общее вы-
выражение для эффективного сечения обменного столкновения быст-
быстрого нуклона с дейтроном [формула B9), I]. Там же было получено
эффективное сечение для рассеяния быстрой частицы на задан-
заданный угол. Сохраняя те же обозначения, что и в I, определим эф-
эффективное сечение для переходов в состояние с заданными значе-
значениями импульсов медленных нуклонов hqx и hq2. Для этого пере-
переходим от dsk'd3g к dsq± dsq2 и вместо Ф' подставляем 1A6), I],
а вместо Ф2 функцию [ср. I, A7)]:
^ ] A)
Интегралы, входящие в [B9), И, оказываются равными
, Ц - г-) [arc* X±i- «rt, 1=L _ 4. l4?f±f ]}. C)
+ ±,
Уничтожая энергетическую 6-функцию интегрированием по
углу между q2 и к, получаем эффективное сечение
}. D)
ЖЭТФ, 1952, 22, 624.
47

Если энергии двух медленных нуклонов одинаковы, то согласно B)
переходы в триплетное состояние отсутствуют. Этот результат по-
получен при пользовании дейтропной функцией вида }/ra/2n(l/r)e"ar,
что является законным при не слишком больших энергиях
Ег, Е2 (меньших, чем примерно 15—20 Мэв). Отсутствием оди-
одинаковых энергий при переходе в триплетное состояние также мож-
можно воспользоваться для экспериментального установления спино-
спиновой зависимости обменных сил. Если на опыте обнаруживаются
расцепления, при которых q1 ¦=- q2, то это означает, что a =f=0.
Отметим увеличение сечения, когда q -> 0. Это вызвано взаимодей-
взаимодействием медленных нуклонов в конечном состоянии, проявляющем-
проявляющемся в членах с фа;<ой. B) и C) не учитывают кулоновского отталки-
отталкивания в случае двух медленных протонов. Оно, однако, не очень
существенно при энергиях относительного движения, больших чем
4—5 Мэв. Таким образом, в «случае обменной реакции: п + d —
= Р + (ni + и2), (л) применимо, когда Е (тг^, Е (п2) < 15—20 Мэв.
Когда падающая частица — протон р + d = п + (рх -f- p2), об-
область применимости D) суживается со стороны малых энергий от-
относительного движения, точное рассмотрение которых требует
введения кулоновских ^-функций [2].
В общем случае простой анализ D) затруднителен ввиду слож-
сложности распределения, получающегося при переходах в синглет-
ное состояние. Формулы, однако, сильно упрощаются в некото-
некоторых предельных случаях.
Пусть Ег^>Е2 и Ег^> е. При выполнении этих неравенств сле-
следует ожидать в первом приближении перехода от D) к рассеянию
свободным нуклоном. В следующем приближении возникнет эф-
эффект связи частиц в дейтроне.
Разложим D) в ряд по степеням qt/qb пользуясь * [C) и
A7) И,
,
E)
В силу законов сохранения
= qi-q2)
2m 2m •" 2m
. ft2 (g\
+ 6) /gx
q2) = к (q^ + q2\i2) = ql + q\ + qxq2 + a2.
1 При этом мы считаем, что | а0 | —- порядка или меньше а.
48

Сумма векторов q2 + q2 оказывается почти перпендикулярной
вектору к, так как ql и q2 малы по сравнению с к; отсюда
При интегрировании по fil7 в членах первого приближения по
l/ql в E), в соответствии с G), следует положить
1 Qt/Qi
5 \
5
—1
Производя интегрирование по обоим азимутальным углам и по
[А1? получаем дифференциальное сечение для образования двух
нуклонов с энергиями Ег и Е2:
(ад^ац^,'^, [3|a + bi' + |fl-'
(9)
Интегрируем это выражение по Е2 для определения интегрального
сечения образования второго нуклона с любыми энергиями, счи-
считая Ег заданным (в интеграле по Е2 главную роль играют Е2 по-
порядка е):
doW (Е±) = я [3 | а + Ъ |2 + | а - Ъ |2] ^/^0. A0)
Это есть, в соответствии с [C9), I], эффективное сечение для обмен-
обменного столкновения двух свободных нуклонов, при котором пере-
передается энергия Ег.
В следующем приближении по отношению к 1/gJ, da [согласно
E)] отличается от doW на следующую величину (в качестве поляр-
полярной оси при интегрировании по |я выбираем к):
+ 3-igarcsin Jl_\+2\b\* + ab* + a*b\. A1)
Интегрированием A1) по Е2 от 0 до Е2 ^> е определяем допол-
дополнительное по отношевию к do^ (E-^ сечение, при котором Ех за-
задано, а Е2 меняется от 0 до Е2:
a|^ (in -* + б)
Вычитая da^) из da = doW + do&\ можно, пользуясь A0) и
A2), найти а и Ь\ поэтому опыты по определению энерге-
49

тического й углового распределения Двух медленных нейтронов
в реакции п + d =• р + (и + '0 или двух медленных протонов в
реакции р + d — ri -{- (р -\- р) могут, также быть использованы
для спинового анализа обменных сид. Отметим, что do^2) по по-
порядку величины равна i 10~27 см2 [<{, 2] и меняется примерно
как 1/EQ.
Согласно A1) в \da^(qly q2) главную роль играют Е2, близ-
близкие к верхнему пределу. Это вызвано конкретным видом
функции Фо. Поэтому полный интеграл по Е2 в пределах от 0 до
очень больших Е2 не может быть вычислен, так как он требует зна-
знания фурье-компонент Фо в области больших волновых векторов,
т. е. внутри области ядерных взаимодействии.
Отметим, что формула (9) имеет очень простой смысл. Распре-
Распределение по Е2 соответствует распределению кинетических энер-
энергий внутри дейтрона при Фо— г е~аг. Если при обменном столк-
столкновении первая частица получила энергию Ег ^> 8, то обе сталки-
сталкивающиеся частицы после столкновения имеют скорости, большие
по сравнению со скоростью второй «дейтропной» частицы. Естест-
Естественно, что в этих условиях после столкновения вторая частица дви-
движется с теми же скоростями, что и в дейтроне.
В общем случае, когда Ег •— Е2~г, приходится пользоваться
громоздкой формулой D). Следует, однако, иметь в виду, что изу-
изучение столкновений п -{- d в этих условиях представляет допол-
дополнительный интерес, так как дает возможность определить постоян-
постоянную а0 у системы п — п.
Академия наук СССР Получено 8 сентября 1951 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. И. Я. Померанчук. ЖЭТФ, 1951, 21, 1113. (Собр. трудов, № 82.)
2. /. D. Jackson, J. M. Blatt. Rev. Mod. Phys., 1950, 22, 77.
1 Если | a | ~ | 6

О СТОЛКНОВЕНИЯХ я-МЕЗОНОВ С ДЕЙТРОНОМ
Совместно с В. Б. Берестецким
При столкновении jc-мезонов с дейтроном может происходить
рассеяние их, а также превращение их в нейтральные мезоны.
Сечения рассеяния и превращения в нейтральный мезон вычисля-
вычислялись [1] при помощи теории возмущений при различных возмож-
возможных типах связи jr-мозошт с нуклонами. Ряд данных о характере
взаимолействия мезонов с нуклонами, в особенности зависимость
от спина, может быть проанализирован путем сравнения данных
рассеяния (и превращения в нейтральный мезон) в водороде и дей-
дейтерии. Теоретическое рассмотрение при этом не требует предполо-
предположений о малости взаимодействия.
Мы применим пол> феноменологический метод, применявший-
применявшийся ранее [2] к задаче о рассеянии быстрых нейтронов дейтронами и
захвате л-мезонов дейтроном. Пусть я-мезон сталкивается с про-
протоном. Будем считать известной амплитуду рассеянного мезона
(заряженного или нейтрального) при заданном угле рассеяния.
Если мезон имеет спин 0, то амплитуда рассеяния должна быть
скаляром; амплитуда же, соответствующая вылету нейтрального
мезона, должна быть скаляром, если внутренние четности заря-
заряженного и нейтрального мезонов одинаковы, и псевдоскаляром,
если они противоположны.
Из этого требования мы может определить характер возможной
зависимости амплитуды от спина нуклона. Именно:*
1) амплитуда рассеяния
ил = а + Ьсг, A)
где а — скаляр (являющийся, вообще, функцией углов), а — опе-
оператор спина, Ь — псевдовектор, причем
Ь = Ьок х к', Aа)
где Ъо — скалярная функция углов, кик' — начальный и конеч-
конечный импульсы мезона.
Такую же структуру имеет выражение для амплитуд превра-
превращения я-мезона в нейтральный ип* при одинаковой четности
ип. = А + Во. A6)
1 ДАН СССР, 1951, 81, 1019. (Представлено академиком Л. Д. Ландау 25
Октября 1951 г.)
51

В случае же различной четности
и& = са, B)
где с — вектор (также зависящий от углов).
Соответствующие сечения для столкновений с водородом, усред-
усредненные по ориентациям спина нуклона, равны:
Ся = |а|2 + |Ь|2 = за+о6, бяо = |4|2 + |Б|2 = бА+<зБ, C)
Рассмотрим теперь столкновение отрицательного я-мезона с
дейтроном, приводящее к превращению его в нейтральный мезон.
Поскольку процесс происходит только за счет взаимодействия с
протоном, то амплитудой рассеяния будет
р
>' (Р) г*"" Т M>z> (р) (dp), D)
где р/2 — радиус-вектор протона (в системе центра инерции дей-
тона); tyD (p) —волновая функция дейтрона; \|о (р)— волновая функ-
функция двух нейтронов, образовавшихся в результате столкновения.
Приведем выражение для сечения, усредненного по спиновым
состояниям нуклонов и суммированного по состояниям двух нейт-
нейтронов (последнее выполняется тем же методом, как в [1]):
где
F±=4- 5 *ь (р) ^(k"k0 f ±
Если воспользоваться для \|)d выражением
где —дт энергия связи дейтрона, то
d . / . 1 \ 2а
2a • w
Аналогично в случае различных четностей мезонов
или
Отметим существенное отличие случаев одинаковой и различ-
различv
ной четности я и д°-мезонов. При к', близком к k, <v F)стре-
5?

мйтся к 0, ибо Aа) В =¦ Бок X к', а ( агс g J = 1, в то время
\ X / х—О
D- 2 -
как Crt# = -g-бло.
Если существует связанное состояние системы двух нейтронов
(динейтрон), то возможно образование его в результате столкнове-
ния. При этом система нуклонов должна перейти из триплетного
в синглетное состояние для того, чтобы, в соответствии с принци-
принципом Паули, два нейтрона могли находиться в ^-состоянии.
Соответствующее сечение
й2В2
где а„о есть а5 или аяо, а --^ энергия связи динеитрона.
Рассеяние л-мезона происходит как на нейтроне, так и на про-
протоне. Поэтому амплитуда рассеяния:
i(kk/) ^ >~i<k~k/)
Здесь 1/„ — амплитуда рассеяния на нейтроне, i|? (p) — конечное
состояние нейтрона и протона. Просуммированное по состояниям
движения нейтрона и протона сечение рассеяния имеет следующий
вид:
с* = <за + °ь + з'а + а'ь + [ k^ak, | arctg |к^к ' X
X ( ГОа<За COS Se + -3- ГЗЪОЪ COS 6b J , A1)
где <та + я'ъ — сечение рассеяния на нейтроне, 5а — разность
фаз величин а и а', аналогично бь.
В работе [3], посвященной аналогичному разбору рассеяния
я-мезона на'дейтроне, не учтено наличие двух типйв рассеяния нук-
нуклонами (отвечающих амплитудам а и Ь).
Для упругого рассеяния:
D-+D 16а2 / . |к-.к'|\2
* = (arctg Ч1)
а cos ба + А (сь + о'ъ + 2 V ЪАь cos вь)]. A2)
Академия наук СССР Получено 25 октября 1951 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. В. Берестецкий И. Померанцу к. ДАН, 1951, 77, 803; (Собр. трудов,
№ 84). В. Берестецкий, И. Шмушкевич. ЖЭТФ, 1951. 21, 1321.
2. Я. Померанчук. ДАН, 1951, 78, 249 (Собр. трудов, № 83); ЖЭТФ, 1951,
21, 1113 (Собр. трудов, № 82); <?. i?. СУи?м;. Phys. Rev., 80, 196 A950).
3. S. Fernbachy Т. 4. Green and К. М. Watson. Phys» Rey., 1951, 82, 980.

89
ОБ ИСПУСКАНИИ у-КВАНТОВ БОЛЬШОЙ ЭНЕРГИИ
ПРИ СТОЛКНОВЕНИЯХ БЫСТРЫХ НЕЙТРОНОВ
С ПРОТОНАМИ1
Совместно с И. М. Шмушкевичем
Фоторасщепление дейтрона хорошо исследовано как теорети-
теоретически [1], так и экспериментально [2] при энергии у-квантов до
20 Мдб. Полное поперечное сечение этого процесса с учетом по-
поправок на нормировку волновой функции дейтрона [3] дается сле-
следующей формулой [4]
а = 1,78-10~26 (т"1)8/2 см\ A)
где у — отношение энергии кванта /и<> к энергии связи дейтрона г.
Так как при выводе этой формулы используется волновая функция
е'аг
дейтрона"фд = N (Л — нормировочная постоянная), верная
лишь вне радиуса действия ядерных сил, то A) справедливо толь-
только при энергии f-квантов, не превосходящей 10—15 Мэв. С ростом
энергии у-квантов в матричном элементе перехода становятся су-
существенными малые расстояния между частицами в дейтроне,
для которых приближенная ^-функция дает явно завышенные
е-аг
значения ( = ос, а точная г|)-функция должна оставаться
конечной). Поэтому можно было бы ожидать, что при большой
энергии ^-кванта сечение фоторасщепления дейтрона будет мень-
меньше того, которое следует из A).
Однако опубликованные данные [5], касающиеся фоторасщеп-
фоторасщепления дейтрона при энергии у-квантов 200 и 250 Мэв, противоречат
этому заключению. Измеренное при этих энергиях полное сече-
сечение реакции
y + d-+n + p B)
оказалось в 5—6 раз больше того, которое получается из формулы
A), и скорее даже растет с энергией, а не падает (при энергии
у-кванта 200 Мэв сечение равно (9,5 ± 30%) 10~2 см2, а при
энергии 250 Мэв а = A3 ± 40%) 109 см2). Интересно поэтому
оценить поперечное сечение обратного процесса, т. е. сечение ис-
испускания ^-квантов большой энергии при столкновениях нейтро-
1 ДАН СССР, 1952, 87, 385. (Представлено академиком JI. Д. Ландау 25 сен-
сентября 1952 г.)
54

на с протоном г. Спектр этого излучения, кроме линии, отвечаю-
отвечающей образованию дейтрона, будет иметь еще непрерывную часть,
верхняя граница которой должна отстать от упомянутой линии на
величину энергии связи дейтрона.
При помощи принципа детального равновесия нетрудно полу-
получить следующее соотношение между сечением образования дейтро-
дейтрона с испусканием у-кванта и сечендем фоторасщепления дейтрона:
| (T + d-»P + n), C)
где Е — энергия относительного движения сталкивающихся нук-
нуклонов. Ограничиваясь только такими столкновениями, в резуль-
результате которых нуклоны переходят в триплетные состояния 2, мы
можем также определить спектр Y~KBaHT0B> испускаемых при
столкновениях нейтронов с протонами, вблизи верхней границы,
этого спектра. Это можно сделать при помощи тех же рассужде-
рассуждений, которые позволяют найти энергетическое распределение я+-ме-
зонов, образующихся при столкновениях протонов с протонами
[7] (при энергии д+-мезонов, близкой к максимально возможной).
Действительно, при испускании у-квантов с энергией, близкой
к максимально возможной, в матричном элементе перехода будет
играть роль только 5-волна нуклонов конечного состояния. Это
обусловливается тем, что волновая функция исходного состояния
нуклонов с высокой энергией очень сильно осциллирует, и поэтому
в матричном элементе перехода существенна область очень ма-
малых расстояний, в которую вносит вклад только 5-волна конечно-
конечного состояния. Поэтому, чтобы получить сечение do {р + п ->/>' +
+ л' + у)» отвечающее испусканию у-кванта с энергией, близкой к
максимально возможной, нужно сечение образования дейтрона
а (р + п ->• у + d) умножить на элемент фазового пространства, от-
отвечающего относительному движению нуклонов в конечном состо-
состоянии, и на отношение | i|)f @) |2/|i|)d@) |2
Здесь f — волновой вектор относительного движения нуклонов
в конечном состоянии, i|)f @) — волновая функция этого состоя-
состояния при г = 0 и i|)d @) — волновая функция дейтрона при г = 0.
Вблизи верхней границы спектра зависимость сечения da (p + п—>
->• р' + п'-\-у) от энергии испускаемого 7-кв&нта определяется, в
основном, множителем | i|)f @) | 2 /\% @) | 2.
1 Поперечное сечение для испускания у-квантов малой энергии при столк-
столкновениях быстрых нейтронов с протонами получено в F).
2 Последнее необходимо для того, чтобы можно было связать сечение процес-
процесса р 4: п --* р' + п' + y с сечением р + п —* d + Y*
55

Обозначая через 60 фазу 5-волны конечного состояния и учи-
учитывая, что ctg б0 = — а//, имеем
2л sin2бо 2л /tr4
°)
Поэтому полное сечение испускания у-квантов большой энергии,
связанного с образованием дейтрона и с той частью непрерывного
спектра, которая примыкает к верхней границе и отвечает пере-
переходам нуклонов в триплетные состояния, определится следующим
выражением:
Учитывая E) и производя интегрирование по / от нуля до та-
такого его значения, которое соответствует энергии относительного
движения Я2/2/ М, равной ~ 30 Мэв, найдем, что интеграл, стоя-
стоящий в фигурных скобках F), равен приблизительно единице. Ис-
Используя экспериментальные данные для сечения фоторасщепления
[5] (относящиеся к энергии у-кванта, равной 200 Мэв), получим,
что
a ~ б-Ю9^2. G)
Это сечение составляет заметную долю (~ 10%) от сечения ре-
реакции />+р~>л + р + я+. При сопоставлении этих сечений ну-
нужно, конечно, учесть, что энергия относительного движения Е,
равная 200 Мэв, соответствует энергии нейтронов в лабораторной
системе (в которой протоны до столкновения покоятся), приблизи-
приблизительно равной 400 Мэв. При такой энергии протонов (точнее, при
энергии 380 Мэв) сечение реакции р-\-р->~р-\-п-\-л+ равно
приблизительно 7 • 10~28 см2 [8]. Если принять во внимание столк-
столкновения между п is. р, сопровождающиеся излучением у-квантов
большой энергии с переходом нуклонов в синглетное состояние,
то это еще несколько увеличит полное сечение рассматриваемого
процесса.
Отметим, что, согласно [5], кривая распределения испускае-
испускаемых у-квантов должна падать с уменьшением энергии у-квантов
(так как / при этом растет). Однако при дальнейшем уменьшении
энергии у-квантов это спадание должно при некоторой энергии
смениться возрастанием, так как при малой энергии у-квантов со-
соответствующее сечение растет с уменьшением энергии как 1/Йсо.
В этом отношении спектр у-квантов при столкновениях пер дол-
должен отличаться от спектра я-мезонов, образующихся при столк-
столкновениях двух нуклонов.
Далее, так как даже при энергии 200 Мэв нуклоны остаются не-
нерелятивистскими (v/c<C 1), то основную роль как при фоторас-
фоторасщеплении дейтрона, так и при рассматриваемом испускании у-кван-
тов играют дипольные переходы. Но при испускании ^-квантов с
56

энергией, близкой к максимально возможной, изменение диполь-
it ого момента системы всегда имеет направление, приблизительно
совпадающее с направлением первоначальной скорости сталки-
сталкивающихся частиц. Поэтому интенсивность излучения вблизи гра-
границы спектра (так же как и при малых частотах [6]) под заданным
углом ф к направлению начальной скорости должна быть пропор-
пропорциональна sin2 ft. При этом излучение должно быть поляризова-
поляризовано так же, как излучение, испускаемое линейным осциллятором,
колеблющимся вдоль оси, имеющей направление начальной ско-
скорости сталкивающихся частиц.
А кадемия наук СССР Получено 2 августа 1952 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Н.А. Bethe, R. Peierls. Proc. Roy. Soc, 1935, А 149, 176.
2. G. R. Bishop, С. Н. Collie et al. Phys. Rev., 1950, 80, 211; в этой работе
имеются ссылки на предыдущие экспериментальные работы по фоторас-
фоторасщеплению дейтрона.
3. Я. А. Смородинский. ДАН, 1948, 60, 217.
4. А. И. Ахиезер, И. Я. Померанчук. Некоторые вопросы теории ядра,
1950.
5. W. S. Gilbert, J. W. Rose. Bull. Amer. Phys. Soc, 1951, 26, N 8, 18.
6. И. Я. Померанчук, И. М. Шмушкевич. ДАН, 1949, 64, 499 (Собр. тру-
трудов, № 80).
7. К. Brueckner. Phys. Rev., 1951, 82, 598; К. М. Watson, К. А. Вт-
eckner. Phys. Rev., 1951, 83, 1.
8. 5. Passman, M. M. Block, W. W. Havens. Phys. Rev., 1951, 83, 167.

90
ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ РАССЕЯНИЯ
«МЕЗОНОВ НА ДЕЙТРОНАХ1
Совместно с В. Л. Иоффе и А. П. Рудиком
Рассмотрим упругое рассеяние л-мезонов на дейтронах на угол 0.
Соответствующие этому процессу дисперсионные соотношения
существенным образом отличаются от дисперсионных соотношений
для рассеяния л-мезонов на свободных нуклонах: во-первых, дис-
дисперсионные соотношения зависят от поляризации дейтронов; во-
вторых, в случае пренебрежения кулоновским взаимодействием
имеется лишь одно дисперсионное соотношение для суммы ам-
амплитуд рассеяния положительных и отрицательных л-мезонов.
Обозначим через Dm (со) и Ат (со) действительную и мнимую
часть амплитуды рассеяния л-мезонов с энергией со тта дейтронах,
имеющих проекцию спина на направление движения л-мезонов,
равную т. Воспользовавшись связью мнимой части амплитуды рас-
рассеяния на угол нуль с полным сечением Ат (со) = (к/Ап) ат (со)
(где к2 = со2 — |li2, fx — масса мезона) и применяя обычную мето-
методику получения дисперсионных соотношений [1, 2], имеем
D (а) _
т
Для определения вклада от области 0 ^ со' ^ fx используем
следующее выражение для Ат (со'), легко получающееся из [1]:
г Л / I /р\
где Мт (со', f) — матричный элемент, соответствующий захвату
л-мезона дейтроном в состоянии т с образованием двух тождест-
тождественных нуклонов с импульсом относительного движения, равным f
Мт (©', f) = (/2 g/M) (Ф^к'^ (к', р) i|)f>. B')
Здесь Фт — волновая функция дейтрона, i|)f— волновая функция
двух тождественных нуклонов в конечном состоянии, g — кон-
константа связи л-мезонов с нуклонами, М — масса нуклона, г0 —
энергия связи дейтрона.
1 ЖЭТФ, 1956, 31, 712.
58

Функция Fv (k', p) равна sin (k'p/2) в случае триплетного со-
состояния двух образующихся нуклонов и cos (k'p /2) — в случае
синглетного состояния. Проводя интегрирование по со', имеем
f V '
Вообще говоря, 5 есть функция от f, определяемая законами
сохранения. Однако, учитывая то, что матричный элемент сущест-
существенно отличается от нуля лишь в области / ~ /с/2, мы будем в даль-
дальнейшем считать (о ж fx2/2M — е0. Далее, так как малым изменени-
изменениям со' соответствуют большие изменения /, распространим сумми-
суммирование по f до бесконечности. Воспользовавшись полнотой си-
системы функций я|)г, имеем
21 Mm I2 = ¦%¦ к2 {«т, \ vlF? dp + 6mo J vlF*. dp] , D)
где ф0 (р) — координатная часть волновой функции дейтрона.
Вычисление второго члена в выражении C) проводится следу-
следующим образом:
/ + е0) | Мт |« = -gl 2 <Ф«а1кЛ*1 > X
X <% (Ha.kFi - ajLFiH) Фто>, E)
где 4if — гамильтониан взаимодействия двух нуклонов. Общий
его вид (без учета тензорных сил) следующий:
(р) (ст^ + 3) - i
3) - V^. (P) (cTiO-2 - 1)} P12.^ F)
Здесь /2/М — оператор кинетической энергии, Ut и C/s — потен-
потенциальные энергии в триплетном и синглетном состояниях, Ut и
Us — обменные энергии, Р12 — оператор перестановки частиц.
Вычисление с гамильтонианом F) суммы E) и подстановка ре-
результатов в A) приводит к следующим дисперсионным соотно-
соотношениям х:
для дейтронов, поляризованных параллельно (антипараллель-
но) падающему пучку
кр „ , 1 . к* ? и'5+1 (со') rf
1 Обратим внимание на то, что при получении G') и G") нами не был исполь-
использован конкретный вид координатной части волновой функции дейтрона.
59

для дейтронов, поляризованных перпендикулярно к падаю-
падающему пучку
lgg; (Г)
и*
Полученные дисперсионные соотношения для рассеяния я-ме-
зонов на дейтронах, помимо константы g, содержат некоторые эф-
эффективные значения потенциальной энергии взаимодействия двух
нуклонов в различных состояниях и от этих значений существенно
зависит величина полюсного члена для дейтронов, поляризованных
перпендикулярно к падающему пучку.
Авторы выражают признательность акад. Л. Д. Ландау за
ценные обсуждения.
Академия наук СССР} Получено 26 июня 1956 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. М. L. Goldberger. Phys. Rev., 1955, 99, 979.
2. Б. Л. Иоффе. ЖЭТФ, 1956, 31, 853.

91
О ПЕРИФЕРИЙНЫХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯХ
ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ1
Совместно с Л. В. Окунем
Периферийное взаимодействие сильно взаимодействующих элементарных
частиц феноменологически адекватным образом описывается современной ме-
зонной теорией. Для выделения вклада периферийного взаимодействия пред-
предлагается определять из экспериментальных данных амплитуды тех или иных
процессов, соответствующие большим орбитальным моментам, так как боль-
большие орбитальные моменты отвечают большим прицельным параметрам столк-
столкновения. Сравнение этих найденных из опыта амплитуд с теоретически вы-
вычисленными амплитудами позволяет найти ряд важных величин, характери-
характеризующих сильные взаимодействия элементарных частиц; к этим величинам
относятся перенормированные константы взаимодействия я-мезонов с нукло-
нуклонами и гиперонами, перенормированные константы взаимодействия двух
я-мезонов, я-мезона и /?-мезона и др.
1. Введение
Исследование существующих мезонных теорий показало, что
«наивное» распространение этих теорий на очень малые области
пространства (г <^ 10~18 см) приводит к серьезным противоре-
противоречиям [1]. Возможно, что для разрешения этих противоречий пона-
понадобится пересмотр основ квантовой механики и (или) теории отно-
относительности. Тем ни менее, есть все основания думать, что сущест-
существующие теоретические представления вполне достаточны для
описания физических явлений, происходящих на больших рас-
расстояниях (г ^> 10~13 см). Анализу сильных взаимодействий, про-
происходящих на таких больших расстояниях, и посвящена данная
работа.
При столкновении двух частиц (например двух нуклонов),
разделенных расстоянием г ]> 1/|л, где \i — масса я-мезона (мы
пользуемся системой единиц, в которой h = с — 1), взаимодей-
взаимодействие между ними определяется свойствами мезонных облаков,
окружающих эти частицы, и практически не зависит от свойств
внутренних областей, которые окружены этими облаками. Нук-
Нуклоны как бы касаются друг друга своими периферийными облас-
областями. Большое число физиков-теоретиков понимало (см., напри-
например, [2]), что современная мезонная теория в состоянии феномено-
1 ЖЭТФ, 1959, 36, 300; Nucl. Phys., 1959, 10, 492.
61

логически описать это периферийное взаимодействие. Однако для
того чтобы воспользоваться этим обстоятельством, необходимо
уметь выделить вклад периферийного взаимодействия. Получен-
Полученные до сих пор экспериментальные данные о взаимодействиях
элементарных частиц лишь в слабой степени определяются под-
поддающимся расчету периферийным взаимодейггнием. Исследован-
Исследованные до сих пор явления существенным образом зависели от харак-
характера взаимодействия на малых расстояниях, которое в настоящее
время не может быть рассчитано.
Недавно рядом авторов (Чу, Мпрднчик, Тейлор, Урецкий,
Цифра и др. [3]) был предложен метод, позволяющий выделить
вклад, обусловленный обменом одним пиртугии.пым мезоном. По
существу метод Чу заключается и том, что функция, описываю-
описывающая угловое распределение исследуемого процесса, экстраполи-
экстраполируется в нефизическую область значений | cos 0 | ^> 1. Можно по-
показать (и это будет видно' из дальнейшего), что при некотором
значении | cos 0 | > 1 экстраполированное угловое распределение
определяется одномезонной амплитудой, пропорциональной g2,
где g — перенормированная константа взаимодействия я -мезона
с нуклоном. Сравнивая значения, полученные путем экстраполя-
экстраполяции экспериментальных данных но // - /;-р<к'сеяиию и фоторож-
фоторождению я-мезонов, с соответствующими теоретическими величина-
величинами, Чу и др. смогли определить величину #.
Ниже предлагается другой метод, который также позволяет,
анализируя экспериментальные данные, мыделить вклад перифе-
периферийного взаимодействия. Этот метод оснонлн на том хорошо из-
известном факте, что две частицы, имеющие большой относительный
орбитальный момент Z, эффективно взаимодействуют между собой
на расстоянии ~ ZX, где X — длина волны частицы, так как про-
проникновению на меньшие расстояния препятствует центробежный
барьер. Отсюда Следует, что для исследования периферийного
взаимодействия нужно выделить из экспериментальных данных,
относящихся к тому или иному процессу, ту часть, которая опре-
определяет амплитуду процесса при достаточно больших значениях L
Возможность выделить и теоретически описать периферийное
взаимодействие основана на том, что две частицы или системы ча-
частиц, разделенные достаточно большими расстояниями, эффек-
эффективно обмениваются между собой минимально возможным числом
мезонов. Так, рассеяние я-мезона нуклоном на больших расстоя-
расстояниях определяется обменом двумя я-мезонами, рассеяние нуклона
на нуклоне определяется обменом одним я-мезоном и т. д. Это по-
позволяет, рассматривая, например, рассеяние нуклона на нуклоне,
описывать его при достаточно больших Z в рамках одномезонного
приближения, пренебрегая обменом двумя, тремя и большим чи-
числом я-мезонов, а также вкладом других мезонов и барионных пар,
учитывая его в перенормированной константе взаимодействия.
Подчеркнем, что ограничиться в этом случае одномезонным чле-
членом можно, несмотря на то, что константа взаимодействия значи-
62

KMii.no больше единицы (g2l4n ~ 15). Параметром разложения,
как* будет видно ниже, служит величина, пропорциональная
(g2/4jx) е~^хи, которая при достаточно больших I значительно
меньше единицы. В некотором весьма академическом смысле од-
номезонное приближение при больших I является даже более точ-
точным, чем однофотонное приближение в электродинамике, так как
е2/4л = const, а (#2/4я) е~^4 -> 0 при I ->¦ оо.
Предлагаемый нами метод анализа по орбитальным моментам
позволяет не только находить величину константы g или ей подоб-
подобных констант, но устанавливать соотношения между различными
физическими величинами (например, фазами рассеяния), харак-
характеризующими тот или иной процесс.
В разделе 2 с помощью простой модели дано обоснование пред-
предлагаемого метода. Разделы 3—6 посвящены рассмотрению тех
экспериментов, в которых могло бы быть изучено периферийное
взаимодействие элементарных частиц. В разделе 3 рассмотрены
опыты с участием нуклонов и я-мезонов. В разделе 4 рассмотрены
опыты с участием странных частиц. Раздел 5 посвящен взаимо-
взаимодействию фотонов с сильно взаимодействующими частицами.
В разделе 6 кратко рассмотрены опыты с участием лептонов. Раз-
Раздел 7 посвящен сопоставлению тех данных, которые могли бы быть
получены из различных опытов.
2. Модельное рассмотрение
Для пояснения предлагаемого нами метода рассмотрим взаи-
взаимодействие двух одинаковых скалярных частиц, обменивающихся
между собой нейтральными скалярными мезонами. Мы не будем
учитывать очевидную симметрию амплитуды, обусловленную то-
тождественностью частиц. Такой весьма далекий от реальности при-
пример позволит нам не рассматривать детали, связанные *со спино-
спиновой и изотопической зависимостью амплитуды.
Выясним, как ведет себя при больших I вклад одномезонного
приближения по сравнению с двухмезонным. Выясним также, на-
насколько существенным в одномезонном приближении является
учет зависимости вершинных частей и гриновой функции вирту-
виртуального мезона от q2.
Амплитуда, соответствующая обмену одним виртуальным ме-
мезоном (диаграмма 1), равна
Здесь к — импульс одной из сталкивающихся частиц в системе
центра инерции; q2 = — | q | 2 = —2к2 A — cos 6), 6 — угол
рассеяния; \i — масса виртуального мезона. Безразмерная функ-
функция /A), пропорциональная квадрату перенормированной кон-
константы взаимодействия, зависит от к2 и не зависит от д.
03

Ограничиваясь одним виртуальным мезоном, которым обмени-
обмениваются две частицы, мы вместе с том учитываем все виртуальные
цепочки, дающие вклад в гринону функцию виртуального мезона
и в каждую из вершинных частей. Это обстоятельство отражено в
выражении для а^ множителями d (q2) и а (д2), соответственно.
Заметим, что a (u,2) -- d (\i2) = 1. Ha диаграмме 1 и на последую-
последующих диаграммах блоки, содержащие все возможные виртуальные
процессы, обозначены кружками. В дальнейшем мы будем назы-
называть такие блоки узлами.
Вклад одномсзонной диаграммы 1 в амплитуду рассеяния
в состоянии с орбитальным моментом, равным Z, легко полу-
получить, если воспользоваться хорошо известным разложением в ряд
по полиномам Лежандра
из которого следует
A)
(COS 0)
2k $ 1 + J12/2/C2 — cos 9
\ 2/t2 ) '
где Qi — хорошо известные полиномы Лежандра второго рода.
(Аналитическое выражение Qt см. [4]. Таблицы Qt см. [5].) Заме-
Заметим, что при I ^> k/\i ^> 1
Qi A + [х2/2/с2) ~ У
При /с/[г <^ 1 вместо экспоненциальной зависимости имеет место
степенная
\1 "Г 2/сЗ j B/ + 1)!! \\i ) "
Оценим теперь вклад при больших Z двухмезопной амплитуды,
соответствующей диаграмме 2. Считая, что при больших I основ-
основную роль играют особенности, связанные с мезонными функция-
функциями Грина, пренебрежем зависимостью остальных членов от р и q
и вынесем эти члены за знак интеграла. В результате имеем
где f№ — безразмерная функция от к2. Объединяя знаменатели и
производя замену переменной интегрирования, получаем

V N
J N
JJF
^/V
12
15
Рис. 1—20
3 И. Я. Помсранчук, т. III

к к
25
N
27
N
J6
V
N
38
3d
Рис. 21 —

Заменим теперь в интеграле по dtp интегрирование по действитель-
действительной оси р° интегрированием по мнимой оси (см. по этому поводу
[6,7]). В этом случае знаменатель становится знакопостоянным, и
мы имеем
(»)_ /BW dx I д
о о
где t* = | p | 2 + pQ2.
При I ^>k/\i^>l воспользуемся асимптотическим видом функ-
функции Qi и, выполнив интегрирование, получим
Таким образом, мы видим, что двухмезонная амплитуда при боль-
больших / :н;('11(м1D1ци,'1.!|ын) мала но сравнению с одномезонной ам-
амплитудой. Гм>.1г<> подробный анализ двухмезонной амплитуды при
больших / будет дан и другой работе. Здесь же мы хотели бы толь-
только отметить, что при вычислении вклада при больших I сходимость
интегралов по импульсам виртуальных частиц всегда гарантиру-
гарантируется наличием в подынтегральном выражении Pt (cos 0). Так, в
рассмотренных выше интегралах ^эф ~ \ikll.
Очевидно, что вклад трехмезонной амплитуды при больших I
A^> к/\х^>1) должен убывать, как ехр {—3\il]k}. В случае к/\i <C
< 1 вместо экспоненциальной малости возникает малость типа
2~2i-2 дЛЯ двухмезонной амплитуды и 3~2' — для трехмезонной.
. Вернемся теперь к одномезонной амплитуде. При выводе фор-
формулы для одномезонной амплитуды мы считали а (д2) = 1 и d (q2) =
= 1, пользуясь тем, что в интеграле существенны значения q2 ~
~ [г2. Покажем теперь законность этого приближения. Восполь-
Воспользовавшись спектральным разложением гриновой функции [8] и
вершинных частей [9], имеем
где
Ограничиваясь членами, линейными по S^ получим
Величина т равна минимальной сумме масс частиц, в которые
может перейти мезон. Для я-мезона, например, т = Зтп, для К-
3* 67

мезона т — 2тл + тк. Для скалярного мезона мы имели бы т —
= 2[г. Поэтому при l^>k/\i^>i поправочные члены, пропорцио-
пропорциональные е~2^к, экспоненциально малы по српшкчшю с Qt A +
+ (х2/2/с2) ~ е~^к. Вклад, обуглоилгнпми множителями a2 (q2)
и d (g2), оказывается того же иорлдкп, что и нкллд, обусловленный
обменом двумя и большим числом мезонов. В случае виртуальных
я-мезонов этот вклад того же порядка, что и вклад, обусловленный
обменом тремя я-мезоилми. Легко убедиться, что учет членов вто-
второго и третьего порядка но <S\ не изменит этого заключения.
Учет изотопических и спиновых переменных, существенных
при рассмотрении конкретных процессов, несколько модифициру-
модифицирует, но не изменит по существу полученных ш.ппе результатов.
3. Взаимодействие я-мезонов и нуклонов
Рассеяние нуклонов нуклонами. Подроб-
Подробное рассмотрение этого вопроса будет изложено в другом месте 1.
Поэтому ниже мы остановимся только на основных вопросах.
Периферическое взаимодействие нуклонов, как ясно из пре-
предыдущего, описывается одномезопной амплитудой
\ (п'ч г и \ а' ^ d (Ц2) __
р2 __ м2
соответствующей диаграмме 3. Здесь g — перенормироваиная
константа взаимодействия я-мезона с нуклоном, q = к — к',
р = к + к'\ к и к' — 4-импульсы одной из частиц соответственно
до и после рассеяния. Множители and характеризуют отличие
вершинной части и мезонной функции Грина при д2 < 0 и р2 < О
от их значений при q2 = р2 = [г2.
С помощью написанного выше выражения для М мы можем вы-
вычислить амплитуды рассеяния с данным значением полного момен-
момента, аналогично тому, как это было сделано выше для рассеяния ска-
скалярных частиц. Оценки, проведенные с помощью различных моде-
моделей, показывают, что при энергии в несколько десятков Мэв
/"-фаза рассеяния нуклона нуклоном должна хорошо описываться
полученной таким образом формулой.
Как известно [11], в нерелятивистском приближении амплиту-
амплитуда рассеяния нуклона нуклоном может быть представлена в виде
a + Р (cTi + <г2) п + т (otiOl) (a2n) + б (^т) (<г2т) + г (а^) (o2l),
где а, . . ., е — скалярные функции угла рассеяния, а п, 1, т —
орты, направленные соответственно по [kk'], k — к', к + к'.
Вычисление фаз нуклон-нуклонного рассеяния с помощью одномезонного
потенциала см. также в работе [10].
68

Амплитуда М содержит все члены этого выражения, кроме второго:
в одномезонном приближении |3 = 0. Это означает, что спин-ор-
спин-орбитальное взаимодействие не содержится в одномезонном прибли-
приближении и в эффективном потенциале [12] нуклон-нуклонного взаи-
взаимодействия должно спадать с расстоянием по крайней мере как
ехр (—2\хг).
Если экспериментально выделить член, пропорциональный |3,
и определить его вклад в амплитуды при больших Z, то это позво-
позволит найти величину двухмезонной диаграммы 4. Заметим, что в
одномезонном приближении спиновая зависимость амплитуды рас-
рассеяния нуклона нуклоном сложнее, чем спиновая зависимость рас-
рассеяния антинуклона нуклоном или гиперона нуклоном, так как
в последних случаях отсутствуют обменные силы и связанная с
ними антисимметризация амплитуды.
Рассеяние нуклонов нуклонами позволяет установить величи-
величину ц\ при :>том, имея позможиость вычислить различные фазы и
срапниная их с данными опыта, можно установить надежность
результатов. Таким образом, в предлагаемом методе имеется
критерий, позволяющий в каждом конкретном случае оцени-
оценивать точность результатов, не прибегая к дополнительным
оценкам.
Рассеяние антинуклонов нуклонами.
Несмотря на различие в величине сечений и характере взаимо-
взаимодействия нуклона с нуклоном и антинуклона с нуклоном фазы рас-
рассеяния антинуклонов нуклонами при больших I также должны опи-
описываться одномезонной диаграммой (диаграмма 5). При этом фазы
рассеяния р + п -»¦ р + п и h + р -*¦ п + р должны равняться
с обратным знаком фазам рассеяния р + р ->• р + р (или п + п —>
->¦ п + п) в тех состояниях, в которых эти последние процессы
могут иметь место. Фазы взаимодействий р — р и h — п должны
равняться с обратным знаком фазам р — п взаимодействия, при-
причем вновь должна быть принята во внимание дополнительная сим-
симметрия системы двух нуклонов, отсутствующая в системе нуклон —
антинуклон. Отметим, что одномезонная амплитуда рассеяния ан-
антинуклона имеет только один член типа х1х2 (oj) (<T21). Отсюда,
в частности, следует, что между амплитудами с Г = 0и Г = 1
при больших I существует соотношение
ат^о = —Зат==1.
Дифракционное рассеяние, обусловленное неупругими про-
процессами при взаимодействии нуклона с антинуклоном, может
сильно затруднить выделение вклада одномезонной амплитуды.
Рассеяние я-м езонов нуклонами. Рассеяние
я-мезонов нуклонами при больших I будет определяться двухме-
аонной диаграммой 6, так как соответствующая одномезонная ди-
диаграмма запрещена (в силу псевдоскалярное™ я-мезона невоз-
невозможен переход п ~> 2я).
69

Как показали Ли и Янг [13], переход в вакууме любого четного
числа я-мезоноз в любое нечетное число я-мезонов запрещен в силу
инвариантности лагранжиана сильных взаимодействий относитель-
относительно комбинированного преобразования: вращения в пространстве
изотопического спина и зарядового сопряжения. Поэтому в рас-
рассеяние я-мезонов нуклонами могут дать вклад только диаграммы,
описывающие обмен четным числом я-мезонов.
Как видно из диаграммы 6, фазы яУУ-рассеяния при больших I
определяются вкладом двух узлов: узлом рассеяния я-мезона на
я-мезоне и узлом рассеяния я-мезона на нуклоне, связанных дву-
двумя виртуальными я-мезонами.
Образование я-м езонов при столкнове-
столкновении я-м езонов и нуклонов с нуклонами.
В процессе рождения мезонов мезонами (я + N -> N + 2я) узел
рассеяния я-мезона я-мезоном, упомянутый выше, входит в одно-
мезопную диаграмму 7. В этом случае анализ по угловым момен-
моментам сложнее, так как в конечном состоянии имеется три частицы.
Каждому данному моменту j0 сталкивающихся я-мезона и нукло-
нуклона отвечает набор моментов jt и j2, характеризующих относитель-
относительное движение я-мезонов и движсчше нуклона, соответственно.
Диаграмма 7, как легко видеть, определяет амплитуды перехода,
соответствующие большим значениям j2. Поэтому эксперименталь-
экспериментальное определение этих амплитуд позволило бы найти величину рас-
рассеяния я-мезона я-мезоно^. Изучая при этом зависимость ампли-
амплитуды от j\ — относительного момента двух я-мезонов, можно уста-
установить, в каком орбитальном состоянии эти я-мезоны взаимодей-
взаимодействуют сильнее всего. Выполнение такой программы потребует,
однако, накопления большого числа экспериментальных точек.
Возможно, что более простым явится анализ по моментам j2 тех
случаев, когда два я-мезона вылетают с примерно равными импуль-
импульсами.
В зависимости от того, какое значение j\ является преобла-
преобладающим, вылетающие я-мезоны будут находиться в изотопическом
состоянии Т = 1 (нечетные jx) или Т = 0,2 (четные jj. Другой
диаграммой, вклад которой при больших I мал по сравнению с
вкладом диаграммы 7, но велик по сравнению с остальными ди-
диаграммами, является двухмезонная диаграмма 8. Для этой диаг-
диаграммы большим моментом, по которому следует проводить анализ,
является, как легко видеть, момент одного из я-мезонов (рассеян-
(рассеянного) относительно системы нуклон + второй я-мезон (рожден-
(рожденный).
Аналогичным образом могут быть проанализированы процес-
процессы рождения большего числа я-мезонов. Так например, процесс
я + N ->- 4я + N (диаграмма 9) может дать сведения об узле,
содержащем 6 мезонных концов.
Амплитуда образования при столкновении нуклонов N +
-{-N-^N + N + n при больших моментах относительного дви-
движения двух нуклонов в конечном состоянии определяется одно-
70

мо.чоппой диаграммой 10, содержащей кроме вершины NNn так-
также исршину рассеяния я-мезона нуклоном.
Л а метим, что при исследовании того или иного неупругого
процесса анализ по орбитальным моментам следует делать доста-
достаточно далеко от порога этого процесса, так как вблизи порога им-
импульс, передаваемый нуклону, не может быть малым.
4. Взаимодействие странных частиц
с я-мезонами и нуклонами
Переходя к процессам с участием странных частиц, следует
подчеркнуть, что предлагаемый нами анализ сильно затрудняется
для таких процессов, в которых существен обмен /^-мезонами.
Ih'o, и основном, связано с том, что масса if-мезона более чем в три
|ш;ш пропышпот мжту л мс:ишп. »)то обстоятельство затрудняет
ипнммчшр шсипдп А мпюпон от вклада таких диаграмм, в которых
параллельно шфтуплмшп А'-шчюнлой линии идут одна или две
я-мо:н>ш1ыл линии. Лоэтому ниже мы будем рассматривать только
такие процессы, для которых амплитуды, отвечающие большим Z,
обусловлены обменом только я-мезонами.
Рассеяние гиперонов нуклонами. Диаграм-
Диаграммы 11 и 12 отвечают рассеянию на нуклонах при больших мо-
моментах 2- и Н-гиперонов, соответственно. Диаграмма 13 отвеча-
отвечает процессу 2 + i\T-> Л + iV, а диаграмма 14 — процессу рас-
рассеяния на нуклонах Л-гиперонов. В последнем случае одномезон-
ная диаграмма запрещена, так как вершина ЛЛя изотопически
неинвариантна. Для всех этих процессов можно установить соот-
соотношения, аналогичные тем, которые получаются для рассеяния
нуклонов и антинуклонов. Амплитуды рассеяния антиШперонов на
нуклонах при больших I просто связаны с амплитудами рассея-
рассеянии гиперонов. Отметим, что вид амплитуды процесса 2 + N->¦
-*• Л + N определяется относительной четностью 2-й Л-гипе-
Л-гиперонов.
Рассеяние К-м езонов нуклонами. В рассея-
рассеянии ЛГ-мезонов, как и в случае рассеяния я-мезонов, одномезон-
ная диаграмма оказывается запрещенной в силу псевдоскалярно-
сти я-мезонов, и при больших моментах определяющей является
двухмезонная диаграмма 15. Эта диаграмма аналогична диаграм-
диаграмме 6 и отличается от последней тем, что в ней вместо узла я — я-
рассеяния имеется узел рассеяния Х-мезона на я-мезоне. Поэтому
представляет большой интерес прямое сравнение фаз при больших
I процессов я + Л/'-^я + ^и К + N -> К + N. Заметим, что
при больших I фазы рассеяния if-мезона на нуклоне (диаграмма
16) также определяются узлом ккКК.
Образование К-и езонов и образование
я-м езонов К-и е з о н а м и. Узел взаимодействия пкКК,
имеющийся в диаграмме рассеяния if-мезонов нуклонами, входит
также в ряд других диаграмм. В частности, он имеется, хотя и при
7J

других значениях импульсов в ходя щи х_ частиц, в диаграмме 17,
описывающей процесс я -| N ->• К -| К \ N. Анализ этого по-
последнего процесса следует проводить аналогично анализу реак-
реакции я + TV ->• я + я | TV, рассматривая относительное движе-
движение if-мезонов, с одной стороны, и движение их центра тяжести
относительно нуклона, с другой."Большие моменты этого послед-
последнего движения обусловлены диаграммой 17. Тот же узел ппКК
содержится в одномезонных диаграммах 18 и 19, описывающих
рождение я-мезонов if-мезонами и ./?-мезонами: К + N —>• К +
+ я -f- Nn К -\- N —>• К -\- N + п. Соответствующие двухмезонные
диаграммы 20 и 21 аналогичны диаграмме 5 и отличаются от нее
верхним узлом (ппКК вместо яяяя). Рождение /f-мезонов при
столкновении нуклонов N + N ->• N + Л B) + ^ описывается
при больших I диаграммой 22, аналогичной диаграмме 10, описы-
описывающей рождение я-мезонсгв.
5. Взаимодействие фотонов с мезонами и барионами
Рассеяние фотонов нуклонами. Фазы комп-
тоновского рассеяния у + N ->• у + N при больших I определя-
определяются диаграммой 23. На существование этой диаграммы указал
Лоу [14]. Узел пуу, входящий в эту диаграмму, описывает, как лег-
легко видеть, распад я°-мезона на два у-кванта. Таким образом, из-
измерение фаз комптоновского рассеяния фотонов нуклонами при
больших I было бы эквивалентно измерению времени жизни я°-ме-
зона. Заметим, что фазы рассеяния, определяемые диаграммой 23,
равны по величине для протона и нейтрона и имеют противопо-
противоположные знаки.
Фоторождение я-м е з о н о в. Периферийное рож-
рождение заряженных я-мезонов описывается диаграммой 24. В этом
случае, в силу обобщенной теоремы Уорда для взаимодействия бо-
бозонов с реальными фотонами [15] диаграмма 24 тождественно равна
диаграмме 25, в которой вершина упп и функция Грина виртуаль-
виртуального мезона неперенормированы. Таким образом, измерение ампли-
амплитуд процессов T + W-^ft+Af При больших I позволяет найти в
чистом виде узел ziNN.
Отметим, что вклад диаграммы 25 отличается для протона и
нейтрона только знаком. Процесс, обратный фоторождению,—-
излучение фотонов при захвате я-мезонов нуклонами — также опи-
описывается диаграммой 25, если рассматривать ее справа налево.
Фоторождение пары я-мезонов (у + N -> 2я + N) при боль-
больших моментах движения этой пары относительно нуклона описы-
описывается диаграммой 26, содержащей узел уяяя. Другой диаграм-
диаграммой, которая будет давать вклад при больших моментах одного из
мезонов относительно пары нуклон + второй мезон, является ди-
диаграмма 27. Узел ynnn, содержащийся в диаграмме 26, входит в
одномезонную диаграмму 28, описывающую испускание тормоз-
тормозного излучения я-мезоном при рассеянии его на нуклоне. При
72

тормозном излучении на больших прицельных параметрах (боль-
(большие I) основной вклад дает именно диаграмма 28, так как обычное
«сопровождающее» тормозное излучение в силу псевдоскалярно-
сти я-мезона описывается двухмезонной диаграммой 29, и его
вкладом при больших I можно пренебречь. Отметим, что испуска-
испускание тормозного излучения может сопровождаться перезарядкой
я-мезонов.
Фоторождение К- м е з о н_о в. Диаграмма 30, опи-
описывающая фоторождение пары К + К, содержит узел утсКК,
который ^ожет быть определен, если изучать процесс у + N -+•
->• К + К + N. Тот же узел входит в диаграммы 31 и 32, описы-
описывающие тормозное излучение при рассеянии Х-мезонов и if-ме-
зонов нуклонами. Отметим, что испускание тормозного излучения
может сопровождаться перезарядкой if-мезонов.
Рассеяние электронов нуклонами и о б-
j) л :i о и а и и с» :> л е к т р о и а м и я-м е з о н о-в и К-м езо-
н о и. Рассмотренные ныше узлы при иных значениях 4-импульсов
соответствующих частиц входят в диаграммы, описывающие взаи-
взаимодействие электронов с нуклонами. Как известно, амплитуда рас-
рассеяния электронов нуклонами содержит два слагаемых, одно из
которых пропорционально т3, а другое — изотопический скаляр.
Как указал Гольдбергер [16], первому из этих слагаемых соот-
соответствует диаграмма 33, и второму диаграмма 34. Узлы уяя и уяяя,
входящие в эти диаграммы и отвечающие виртуальным фотонам
с k2 =f= 0, входят также в диаграммы, описывающие процессы обра-
образования я-мезонов электронами: e + JV->e-f я + ^ие + Л^->
->• е + 2я + N (диаграммы 35 и 36). __
Диаграмма процесса e + N-^-e-^N-^K+K аналогична
диаграмме 36 и отличается от нее тем, что узел уяяя заменен на
узел улКК.
Взаимодействия с участием нейтрино.
При столкновении электронов с протонами возможен процесс
?~ + Р -+ п + v, обусловленный слабым р-распадным взаимодей-
взаимодействием. Если анализировать угловое распределение нейтронов в
этом процессе по угловым моментам, то оказывается, что при
больших моментах основную роль играют амплитуды, обусловлен-
обусловленные диаграммами 37 и 38. В эти диаграммы входят узлыяет [17] и
яяет [18], первый из которых обусловлен аксиально-векторным
взаимодействием, а второй — векторным. При столкновении энер-
энергичных электронов с протонами возможно также образование ги-
гиперонов, например е~ + р -v Л + v. Диаграммы 39 и 40, описы-
описывающие этот процесс, содержат узлы Kev и Knev. Как узлы я^
и яя^, так и узлы Kev и Knev могут быть измерены независимым
образом путем измерения распадов я-^-г + v, я-^я + e + v,
К —» е + v, К ->- я + ? + v. Все сказанное в этом разделе отно-
относится и к столкновениям (i-мезонов с нуклонами.
73

6. Сопоставление различных процессов
В табл. 1 перечислены рассмотренные ныше процессы и узлы
сильных взаимодействий, которые могут быть определены при ис-
исследовании этих процессов. Цифры 1, 2, 3 указывают число вир-
виртуальных мезонов, связывающих между собой узлы в соответству-
Таблица 1
Процесс.!.!
TV + TV — TV + TV
TV + TV-^TV + TV
я + УУ-*я + TV
я + TV -* 2я + TV
N -fTV-^TV + TV+я
2 +TV ~* 2 + TV
E 4- ЛГ—* S + TV
2-(-TV->A + TV
A + N —> A + TV
2 + 7V-^ 2 + 7V
2_|_TV->X + TV
/г + TV ->л: + TV
K + N-+K + N
n + N->K + K + N
K + N~> K+ я +ЛГ
N + N-+N +A + K
у _|_ ту -~* y -)- TV
^-(-А^^я + ^
Y + TV -> 2я + AT
4-\-N->K + K + l\
я + N -*tc + y+TV
K + N-* К -)-<y+W
e + N->e + N
e + N-^v + N
Узлы
1,1
1,1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
6
1
1
в
1
г
1
1
д
l
e
1
1
2
ж
1
,?
2,2
2,2
2
1,2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
и
2
1,2
2
2
1
1
1
1
м
2
и
2
2
о
2
1
1
3
Р
1
1
с
2
га
3,3
3,3
2
2
3
Л
а
К
Е Е
/f
А
в
Л
Z Л
Е Б
А
к
д е
К
1
X
е >>
ж
к
л1 К К
N N
3
е ))
К
л л
и
Jt Я Л"
X
Л К
я
N Л
Л Л
К Л М
/77
74

ющих диаграммах. Так, например, в строке, соответствующей
процессу я -f N —* 2я + N, цифра 1 стоит на пересечениях со
столбцами, соответствующими блокам NNk и яяяя, и отвечает
диаграмме 7, в которой эти два узла связаны одним виртуальным
я-мезоном. Для этого же процесса цифра 2 отвечает диаграмме, в
которой узлы яяяя и tiktlNN связаны двумя мезонами. Покажем
на примере одномезонных диаграмм, каким образом могут быть
сопоставлены между собой узлы, определенные из различных про-
процессов.
Узел NNk (перенормированная константа) может быть незави-
независимым образом определен из процессов N -\- N —> N + N> N +
+ N N + N^y + N—^n + N, поскольку эти процессы не со-
содержат других неизвестных узлов. Зная узел NNn, можно опре-
определить и другие узлы:
Таблица 2
Узел
яяяя.
NNnit
2Ля
ЕЕя
nziKK
nNKA
Можно определить из процесса
я + TV
TV+TV
2"+TV
E + TV
K + N
TV 1 TV
т 1. TV
T + TV
K+N
-*2n + N
-+A + N
-+E+N
^TC + n + N
->K + K + N
_^T _(_ K + N
^y + K + N
Примечание
Независимо из трех различ-
различных процессов
При определении узла из одномезонной диаграммы мы, как
легко видеть, получаем его значения для того частного случая,
когда один из концов узла соответствует виртуальному я-мезону.
Аналогичным образом (см. табл. 1) из двухмезонных диаграмм
могут быть определены узлы, имеющие два виртуальных я-мезон-
ных конца. В ряде случаев один и тот же узел может быть найден
как из одномезонной диаграммы, так и из двухмезонной (или трех-
мезонной) диаграммы (например узел тягш)- Это позволяет уста-
установить величину узла при таких значениях импульсов входящих в
него мезонов, которые соответствуют нефизической области. В свя-
75

зи с этим уместно еще раз подчеркнуть, что одни и те же узлы, по-
полученные из одномезонных и двухмелонных диаграмм, имеют раз-
различные численные значения импульсов входящих в них частиц.
Выше мы рассматривали амплитуды различиых процессов при
орбитальных моментах Z^>1. Разумеется, экспериментальное оп-
определение амплитуд с очень большими I практически невозмож-
невозможно. Однако в случае нуклон-нуклонного рассеяния оказывается,
что при малых энергиях уже при I = 3 экспериментальную ам-
амплитуду можно описать периферийным одномезонным взаимодей-
взаимодействием. Характеристики экспериментального углового распреде-
распределения нуклонов в процессе я + N —> 2я + N указывают на то,
что периферийное одномезонное взаимодействие может быть в
этом случае также весьма большим и явится определяющим уже
при не очень больших L Таким образом, экспериментальное иссле-
исследование перечисленных выше процессов и получение необходимых
для предлагаемого анализа данных может в ряде случаев оказать-
оказаться возможным уже в сравнительно близком будущем.
Заметим, что соотношения, аналогичные тем, которые суще-
существуют между различными процессами с участием нуклонов, будут
иметь место и для процессов, в которых нуклон заменен дейтро-
дейтроном или более сложным ядром. В частности, сравнивая рассея-
рассеяние на ядрах нуклонов и гиперонов, можно найти отношение кон-
констант взаимодействий я-мезонов с нуклонами и гиперонами.
В заключение уместно подчеркнуть, что все сделанные выше
заключения о периферийном взаимодействии не зависят от харак-
характера взаимодействия сильновзаимодействующих частиц на малых
расстояниях. Они нз зависят, в частности, от того, является ли
я-мезон элементарной или составной частицей.
Авторы благодарны за обсуждение и полезные замечания
В. Б. Берестецкому, Н. Н. Боголюбову, А. Ф. Грашину, Б. Л.
Иоффе, Л. Д. Ландау, А. П. Рудику, К. А. Тер-Мартиросяну,
И. М. Шмушкевичу.
Авторы признательны проф. Чу, приславшему препринт своей
работы.
Л кадемия наук СССР Получено 20 сентяб я 1958 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Л. Д. Ландау, И. Я. Померанчук. ДАН СССР, 1955, 102, 489 (Собр.
трудов, № 60); И. Померанчук. Nuovo Cim., 3, 1186, 1956 (Собр. трудов,
№ 65); И. Я. Померанчук, В. В. Судаков, К. А. Тер-Мартиросян,
Phys. Rev., 1956, 103, 784 (Собр. трудов, № 66); Е. С. Фрадкин.
ЖЭТФ, 1955, 28, 750; G. К a I I e n, W. Pauli. Kgl. Dansk. Vid. Selskab.
Mat.-Fys. Medd., 1955, 30, 7.
2. Taketani et al. Suppl. Progr. Theoret. Phys., 1956; 3. G. С h e w. Proc.
Rochester Conf., 1957 (см. также В. Т. Хозяинов. ЖЭТФ, 1954, 27, 445).
76

3. G. Chew. Preprint; G. Chew. Proc. Geneva Conf., 1958.
4. M. M. Рыжик, И. С. Градштейн. Таблицы интегралов, сумм, рядов и
произведений. М., Гостехиздат, 1951.
5. Tables of Associated Legendre Function. N. Y., Columbia, Univ. Press,
1945.
6. F. Dyson. Phys. Rev., 1949, 75, 1736.
7. Л. Д. Ландау, А. А. Абрикосов, И. M. Халатников. ДАН СССР, 1954,
95, 497.
8. Н. Lehmann. Nuovo cimento, 1954, 11, 342.
9. R. Karplus, С. Sommerfield, E. Wichmann. Phys. Rev., 1959, 114, 376.
10. S. Otsuki, R. Tamagaki, W. Watari. Доклад на Второй Женевской кон-
конференции по мирному использованию атомной энергии, 1958.
И. Л. Oehme. Phys. Rev., 1955, 98, 216; Wolfenstein. Annual Rev.
Nucl. Sci., 1956, 6; перев. УФН, 1957, 62, 71; Л. Пузиков, P. Рындин,
Я. Смородинский. ЖЭТФ, 1957, 32, 592.
12. S. Okubo, R. Marshak. Ann. Phys., 1958, 4, 166.
13. Т. D. Lee, С. N. Yang. Nuovo Cimento, 1956, 3, 749.
14. /''. Low. Proc. Geneva Conf., 1958.
15. //. //. I/омеранчук. ДЛИ СССР, 1955, 100, 41 (Собр. трудов, № 59).
16. М. Goldhcrgcr. Uov Mod. Phys., 1958, 30, 465.
17. M. Goldbergcr, S. Treiman. Phys. Rev., 1958, 110, 1178.
18. R. Feynman, M. Gell-Mann. Phys. Rev., 1958, 109, 193.

92
О СТОЛКНОВЕНИИ НУКЛОНОМ
С БОЛЬШИМИ ОРБИТАЛЬНЫМИ МОМЕНТАМИ1
Совместно с Л. Д. Га.шпчпым, Л. Ф. Гришиным и 7>. Л. Иоффе
Вычисляется часть амплитуды рассеяния нуклона на нуклоне при боль-
больших орбитальных моментах I ^> 1, которая обусловлена обменом двумя мезо-
мезонами. С помощью дисперсионных соотношений устанавливается связь такой
амплитуды с рассеянием реальных мезонов нуклонами. Применяемый метод
справедлив, когда кроме условия / ^> 1 выполняется также неравенство
l[i/p ^> 1 (ц — масса мезона, р — импульс нуклона в системе центра
инерции).
1. Введение
В работе Окуня и Померанчука [1] было показано, что при
столкновении нуклонов с большими орбитальными моментами иг-
играют роль только такие взаимодействия, которые осуществляются
обменом одним мезоном и, следовательно, фазы соответствующих
амплитуд рассеяний можно вычислить теоретически 2. В такой об-
общей форме это утверждение бесспорно, поскольку оно основано
только на общефизических соображениях о том, что по мере по-
повышения орбитального момента играют роль все большие и боль-
большие прицельные параметры. Однако для того чтобы это утвержде-
утверждение перестало быть чисто академическим и приобрело практиче-
практическую ценность, нужно показать, что, уже начиная со сравнительно
небольших значений моментов, фазы рассеяния с хорошей точно-
точностью могут быть получены из одномезонного приближения.
Оценка точности одномезонного приближения может быть по-
получена путем вычисления следующего приближения по «степени
периферийности столкновения» — двухмезонного приближения,
когда сталкивающиеся нуклоны обмениваются двумя мезонами.
В настоящей работе такие вычисления проводятся в следующих
предположениях.
1. Значения орбитальных моментов, для которых вычисляют-
вычисляются фазы, велики: I ^> 1.
2. Для заданного I энергии нуклонов ограничены сверху нера-
неравенством 1% ^> 1, где g = |х/р, \1 — масса я-мезона, р — импульс
нуклона в системе центра инерции.
1 ЖЭТФ, 1959, 37, 1663; Nucl. Phys., 1960, 17, 181.
2 Литературные ссылки на предшествующие работы приведены в [1].
78

Второе предположение имеет простой физический смысл —
квазиклассический прицельный параметр r0 = ll/\i^> 1/ji, т. е.
это предположение является условием периферийности столкнове-
столкновения. Другими словами, только при выполнении этого условия име-
имеет смысл классификация взаимодействий по «степени периферий-
периферийности» с малым параметром разложения.
Излагаемая методика позволяет получить для двухмезонных
фаз главную часть асимптотического разложения по малому пара-
параметру 1/L (/?), который при малых энергиях (?2 >, 1) равен 1/Z, a
с увеличением энергии возрастает до 1/Z? (при ?2 <С !)• Идея вычис-
вычислений состоит в том, что при указанных предположениях среди
виртуальных мезонов, которыми обмениваются нуклоны, основную
роль играют мезоны с физическим соотношением между энергией
и импульсом со2 — к2 = [х2, но не физической энергией со = 0 и
передаваемым импульсом q2 = 4[i2.
Амплитуда рассеяния нуклона на нуклоне выражается через
амплитуду рассеяния таких я-мезонов на нуклонах, а последняя
может быть точно вычислена с помощью дисперсионных соотно-
соотношений для рассеяния я-мезона на нуклонах при фиксированной
передаче импульса. Кроме этой амплитуды отдельно учитываются
члены, соответствующие первому приближению теории возмуще-
возмущений (с перенормированной константой g2) в рассеянии мезона на
нуклоне. Хотя эти члены обращаются в нуль при со = 0, вклад их
из-за наличия полюса при малых значениях со = \12/2т оказы-
оказывается сравнимым по величине и противоположен по знаку с вкла-
вкладом от членов, вычисляемых из дисперсионных соотношений.
2. Фазы рассеяния при больших орбитальных моментах
Матрицу рассеяния и фазы рассеяния нуклона на нуклоне мо*
жно выразить через интегралы от амплитуд М B?, cos 0), соответ-
соответствующих различным спиновым состояниям (Е = Ym* + Р2 — пол-
полная энергия, Э — угол рассеяния в системе центра инерции, спи-
спиновые и зарядовые индексы не выписываются):
+i
IUm{E)= J P[m)(cos0)M(#,cos0)dcos0, B.1)
где Р\т) — присоединенные полиномы Лежандра. Ограничимся
рассмотрением интеграла B.1) с т = 0 (для т = 1 и т = 2 рас-
рассуждения проводятся аналогично).
Вычисляя интеграл B.1) при больших Z, удобно использовать
аналитические свойства амплитуды рассеяния по cos 0 (или, что
то же самое, по квадрату передаваемого импульса) при фиксиро-
фиксированной энергии в системе центра инерции. Дисперсионные соотно-
соотношения по квадрату передаваемого импульса могут быть получены
методом, полностью аналогичным тому, который был исполь-
79

зован Мандельстамом [2] для случая рассеяния я-мезонов на ну-
нуклонах. Для рассеяния нуклон — нуклон :>тот метод менее обо-
обоснован, чем для рассеяния я-ме:иш нуклон и подкрепляется,
помимо интуитивных соображений, лишь анализом первых при-
приближений теории возмущений. Нужно отметить, однако, что (как
будет ясно из дальнейшего) для наших выводов не нужна полная
дисперсионная формула, а важно лишь расположение первой
(ближайшей) особенности, относительно которой вряд ли могут
быть сомнения.
Действуя аналогично [2], запишем амплитуду рассеяния нук-
нуклон — нуклон в виде (см. [3]).
BяL Т (рь ft; ра, р2) б (ft + р2 — р[ - р2) =
= 1~ш\ d**dV (p'ix+p'*y% (р\) й* (А). <- А I Г (Ли И, 4v (у)) | А>
или
Т (Ри Ръ Ръ Рг) - i -^Ё \ d*xe* <*\-*1 *'* п[Х (р[) щ (р2) X •
B.2)
X <( — Pi
Здесь ft, p2, pi, pi — 4-импульсы нуклонов до и после столкнове-
столкновения, и (pi), и (рг) — спиноры для конечного состояния, ц (х) —
правая часть уравнения Дирака для нуклонов (метрика + 1, —1,
-1, -1).
Как обычно [4,5], вместо амплитуды рассеяния введем функцию
М (Рг,РиРъ Pz)i определяемую запаздывающим антикоммутатором
М (ft, д; р2, а) - * ^ \ #хе* ^"^ ** 9 (^0) X
X бр,(pi) 6V (pi) <( - а | {Л* (тг) , Лv ( - -|-)} | А^> • B.3)
Функция М (р1? ри Рг» Рг) разбивается на дисперсионную
D (Pi, pi; р2, Рг) и абсорбционную Л (рх, pi; p2, р^) части
Af (А, Ръ Ръ А) = ^ (А, А5. Рг, pi) + *А (Ри Ръ Ръ pi), B.4)
возникающие при подстановке в B.3) 6 (х0) в виде 9 (х0) =
= (х/2) (е (х0) + 1). Абсорбционная часть выражается как
А (Ри Ръ Ръ А) = -4i (А, А; Рг, Рг) + -^г (Рь А5 Рг, pi); B.5)
Лг (Ри Ръ Ръ Рд = 2я3 (m*/E) S ^ (pi) bv (pi) X
n
X <- Pi I %@) I n> <n | t|v @) | P2> б (рп -р[ + Рг), B.6)
^2 (ft, Pi; A, A) = 2л3 (m2/?) S «H* (A) 6» (A) X
n
X <- Pi I ^v @) I в><я I тн»(О) | p2> б (pn - ft + Pl),
80

где \rt) — физическое состояние с 4-импульсом рп и суммирова-
суммирование ведется по полной системе состояний с заданным 4-импульсом
и числом тяжелых частиц (равным нулю).
Выражение для амплитуды рассеяния Т (рх, р[\ р2, р'2) через
дисперсионную и абсорбционную части имеет тот же вид B.4) с
той лишь разницей, что величина А2 входит с противоположным
знаком. Для реального рассеяния нуклон — нуклон в системе
центра инерции Е[ — Ег = 0; Е2 — Ег = 0, тогда как Еп > 0.
Отсюда следует, что для реального процесса абсорбционная часть
равна нулю и функция М (р±, р[\ р2, р2) совпадает с амплитудой
рассеяния. Заметим, что А2 отличается от Аг перестановкой пере-
переменных 1-го и 2-го нуклонов после рассеяния. М (pl9 pi; р2> pi)
является, кроме спиновых и зарядовых переменных, функ-
функцией двух инвариантов (рг + р2J = 4?2 и q2 = (р'г — ргJ =
= - 2р2 A- cos 6).
Дисперсионные соотношения по qz при постоянном Е2 можнб
получить, действуя методом Гольдбергера [4] и интегрируя по q2
выражение для абсорбционной части, следующее из B.3). Это дает 1
если Im ф > 0. Соотношение B.7) записано в символической фор-
форме: в действительности B.7) должно иметь место для каждой неза-
независимой спиновой (зарядовой) амплитуды.
В сумме по промежуточным состояниям B.6) удобно выделить
одномезонное состояние. Тогда оставшиеся члены суммы будут
начинаться с двухмезонного состояния, так что для них р\ > 4|х2.
С учетом этого B.7) перепишется в виде
4У-2 41А8
где г2 = (р'2 — рхJ = —2р2 A + cos 6), т(ах) и т(а2) — матрицы изо-
изотопического спина 1-го и 2-го нуклонов, g2 — перенормированная
константа связи зт-мезонов с нуклонами (g2 = 14, 5), v — двух-
компонентные спиноры. В B.8) функции Аг (Е, q'2) и А2 (Е, q'2)
определяются соотношениями B.6), в которых суммирование по
1 Дисперсионные соотношения записаны без дополнительного вычитания.
Вычитаемый член в нашем случае не играет роли, поскольку при I > О
он обратится в нуль после подстановки B.7) в B.1) и интегрирования
по cos 6.
81

промежуточным состояниям начинается с двухмезонного состоя-
состояния. При интегрировании Аг (Е, г/'2) мы выразили ф через г2 =
= Am2 — 4?2 — ф\ в такой записи явно видна антисимметрия
амплитуды рассеяния.
Величина 2iAx (E, q2) (и соответственно 2iA2 (E, q2)) может
быть определена как скачок в амплитуде рассеяния, возникающий,
когда q2 пересекает сверху действительную ось в точке, лежащей
правее (левее) точки ф ~ 4 и2 (ф — —4 (u2 -f- P2))- Это утвержде-
утверждение непосредственно следует из B.8), если учесть, что B.8) (или
B.7)) определяет амплитуду рассеяния в верхней полуплоскости
комплексной плоскости ф. Аналитическое продолжение в ниж-
нижнюю полуплоскость следует проводить, пересекая отрезок дейст-
действительной оси — 4 (и2 + р2) < ф <^ 4[х2, где амплитуда не име-
имеет особенностей (кроме полюсов).
Для вычисления фаз рассеяния подставим B.8) в B.1). При
этом интегрирование полюсного члена в B.8) определит вклад в
фазы рассеяния за счет одномезонного приближения. Для синг-
летной амплитуды одномезонное приближение дает (индекс т =
= 0 будем опускать)
( 4 ) B-9)
где А,т = 1 для четных I (изотопический спин Т = 1) и А,т = —3
для нечетных I (Т = 0)nQt (t) — функция Лежандра второго рода
=-И-!=?-
Поправки к одномезонному приближению возникают за счет
подстановки в B.1) двух последних членов в B.8) и с учетом соот-
соотношения Qi (t) = (—l)l+1 Qi (—t) оказываются равными
- q'2l2p2) 1Лг (E, g'2) + (- i)l+l A2 (E, OL B-11)
Вычисления интегралов IUm (E) для m = 1 n m = 2 приводят
к выражениям, аналогичным B.9) и B.11), с той лишь разницей,
что вместо функций Qi (t) возникают функции (t2 — II!* (?[x) и
(t2 — 1) Qi. Чтобы убедиться в этом, достаточно подставить
B.8) в B.1) и учесть равенства (мы считаем, что / ]> 1)
1
2
¦*• V •*• ^ рB) (f'\ fiff /f2
A J t — t
-1
82

Вклад члена А2 в B.11) равен вкладу от члена Аг. Этот вывод
непосредственно следует из того факта, что в синглетном состоя-
состоянии при Т ~ О А2 = Аг и амплитуда содержит только нечетные
I, а при Т = 1 А2 = —-4Х и амплитуда содержит только четные I.
Поэтому
оо
^ $ Л (Я, <Z'2). B.12)
Используем теперь условие 1^>1. При больших Z функция
Qi A + 22/2) быстро убывает с ростом z: если z^>l, то (?j A +
+ s2/2) ~2Г*<1+1\ если Же z< 1, но Zz > 1, то <?, A + z2/2) - <Ttz.
Будем считать, что, кроме условия I ^> 1, выполнено также усло-
условие 1Ъ> 2^> 1, ^ = (х/р (при | < 1). Тогда в интеграле B.12) будет
играть роль малая область интегрирования вблизи нижнего пре-
предела. Воспользуемся следующим выражением для функции
Ql (t) (см. [6], формула F.777))
Qt W = /я г((/+»/!) ехр {"~ (Z + j)ln [^ + V^1^]} X
B.13)
и разложим экспоненту и гипергеометрическую функцию в ряд в
окрестности t0 = 1 + 2?2, (Ai = ? — t0):
Qi(t) =
I (^ + l)«o (A'J "Id
После подстановки B.14) в B.12) интеграл /*2) сводится к
оо
B.15)
где
+ 1 для ?>>1. ^'^
Нетрудно проверить, что члены разложения в квадратных скоб-
скобках в B.14) при больших L вносят малый вклад в интеграл B.15)
(порядка 1/L), так что наше разложение оправдано и B.15) имеет
точность порядка 1/L.
83

Покажем теперь, что при больших L для получения B.15) нет
необходимости в использовании полного дисперсионного соотно-
соотношения B.7), а достаточно лишь, чтобы на комплексной плоскости
ф внутри эллипса, проходящего через точку ф — 4[х2 + к2 (кон-
(константа и2 ^> 4jx2/L) и имеющего фокусы в точках ф = 0 и ф =
= —4|л2/?2, не существовало других особенностей, кроме полюсов
Рис. 1
и особенностей на вещественной оси при ф > 4[х2 и q2 ^
<! —4[х2 A + |). Для доказательства преобразуем интеграл
B.1), воспользовавшись соотношением
5
-4Р»
B.1')
и деформируем контур С (показан на рис. 1 пунктиром) в контур
Сг + С[ + С2. Дугу в комплексной области выберем в форме упо-
упомянутого выше эллипса и будем расширять эллипс до тех пор, пока
он не коснется ближайшей особой точки в комплексной области.
Если при этом эллипс будет касаться точки на правой полуоси
ф = 4[х2 + х2, то B.1') можно записать в виде
7
- 4р2)] dg2 + fQt (l + ^±^) f B.11')
ЛМ(?, g2) = М(Е, q2 + ie)— М(Е, ф - ie) == 2^Л (Е, д2),
что эквивалентно B.9), B.11) с точностью до последнего слагаемого
(f—некоторая плавно меняющаяся функция р2 и I). По сравнению
с интегралом по берегам разреза (q2 > A\x2) это слагаемое имеет
84

дополнительный малый множитель
?ч н—w~
и при больших I его можно не учитывать.
Как следует из B.15), нас должны интересовать значения ам-
амплитуды А1 (Е, ф) при q2 — i\i2 ~ i\i2/L <^ 4[x2. В этом случае
в сумме по промежуточным состояниям B.6) остается только одно
двухмезонное состояние, поскольку следующее состояние —
Зя-мезона — соответствует минимальному д2, равному 9jx2, а со-
состояния с нуклон-антинуклонными парами лежат еще дальше.
Таким образом, выражение для Аг (Е, qz) приобретает вид
йу (ft) <-ft | т|ц(О) | Ль a; &2,(J> x
X <&lf а; Аа, Р | riv @) | р2> б (А* + А:2 - д), B.17)
где fcx и fc2 — 4-импульсы двух Jt-мезонов , находящихся в зарядо
вых состояниях а и р, q — р\ — р±.
Матричные элементы, входящие в B.17), просто связаны с ин-
инвариантным матричным элементом /аз (р, р'\ к, к') рассеяния
мезона на нуклоне (со — энергия мезона)
^(A)<-Pi|THt(O)l*i,a; *,, Р> =-^/«з(А, А5 К - К), B.18)
У @10J
п* (Рг) <ЛЬ а; /с2, р | t|v @) | р2> = /а3 (р2, р2; — *ь *г),
У 0)i0J
причем [7—10]
/аи (Р, р'\ — Аь Л2) = /ар (р', р; Аь — А2). B.19)
Подставляя B.18) в B.17), получим
" ^ ^а^ ^2' ^2; "" *ь А2) X
B.20)
Интеграл в B.20) записан в явно инвариантной форме (так
как dk/co — инвариант). Анализировать его удобно в той системе
координат, в которой у времениподобного 4-вектора q есть только
временная составляющая. В этой системе сох = со2 = д/2, кг =
= —к2 = к, к = У?2/4—|га — М-/^1/2,так что компоненты вектора
к малы. Легко видеть, что, если положить кг = д/2 + А; А2 =
= q/2 — А, то и в других интересующих нас системам координат,
например в системе центра инерции нуклонов, компоненты векто-
вектора А являются малыми порядка \i/L^2. Поэтому, при вычислении
85

/аэ в первом приближении по 1/L можно пренебречь 1 к, положив
просто кх = к2 = д/2. Это приближение незаконно лишь для тех
членов в /ар, которые испытывают резкие изменения в интервале
О < к ^ |л/?1/2. Матричный элемент /а|3 (р1? рь А: | д/2, к —q/2)
можно рассматривать как функцию двух инвариантов v — {рг +
+ Pi) (к 4- ?/2)/2, #2 и записать
р (Рь Pi; А -| <7/2, Л - д/2) = п (a) [?а3 (v, ?2) +
(М- у/2) МаЭ (v, ?2I гг (Pl')f B.21)
где La3 и Маз ~ скалярные функции своих аргументов. (Для
/аэ (?2i Р'г5 — № + ?/2)i — (^ — g/2)) имеет место аналогичное вы-
выражение.) Член, пропорциональный q, может быть отброшен в
силу равенства
п (р[) qu (Pl) = п (р[) (pi - Pi) и (Pi) = 0. B.22)
Будем считать сначала, что /ар достаточно медленная функция
к, так что можно пренебречь к и положить кг — к2 = q/2. Тогда
v - v0 = BPl + q) (q/2)/2 = 0, g2 = 4jx2, откуда
/аз (Рь Pi, Я/2, - Я/%) = »(А) Ьа3 @,4[х2) м (Pl), B .23
и, как следует из B.19), L^ @,4jx2) действительно. Подставляя
B.23) в B.20) и интегрируя по кх и к2 (в системе координат, в ко-
которой q = 0), находим
Аг (Е, д2) = К/2Я) /?2/4(ла-1 и (Pi') iaP @,4[х2) гг (рх) х
;(p2). B.24)
Мы получили хорошо известный результат [11], что в точке ветв-
ветвления абсорбционная часть амплитуды, которая в данном случае
совпадает с мнимой частью2, пропорциональна \^q2 — 4?i2.
Кроме членов, достаточно медленно меняющихся вблизи точ-
точки v = 0, ф = 4[х2, в /ар есть члены, в которых положить v = 0,
ф = 4|л2 можно лишь при очень больших, практически не ин-
интересных значениях L. Это полюсные члены, соответствующие
однонуклонному промежуточному состоянию в амплитуде
рассеяния мезон — нуклон и описываемые первым приближе-
приближением теории возмущений с перенормированной константой g2.
1 Хотя компоненты вектора к имеют малость ~ 1/L ^% но погрешность, кото-
которая возникает при пренебрежении ими, будет порядка ~ 1/L, поскольку
линейные по к члены обратятся в нуль при интегрировании по углам.
2 Абсорбционная часть перестает совпадать с мнимой частью, когда при изме-
изменении аргументов Е, q2 мы пересечем линию особых точек (не считая линии
q2 = 4)ы2). Ближайшей такой линией является линия ф — 4jx2 + \i*/p2, ко-
которая соответствует обращению в нуль всех четырех знаменателей в прос-
простейшей четырехвершинной диаграмме [12].
86

Полюсный член в /ар имеет вид *
/раЗ (Pi, Pi'» fel,— *2) = ?*« (Pi) lT5 (Pi + &1 — т
+ Т5 (Pi + Л2 — m)'1 Т5т,з^а] м (Pi) = — ?2й (pi
2 + ^Г1 ТрЪ] kit (Pi). B.25)
Поскольку /pap содержит в числителе малый множитель 1с, то,
казалось бы, этот член вообще можно было бы опустить. Однако
B.25) имеет полюс, расположенный весьма близко к точке к = О
(на расстоянии \x2j2m от нее; см. B.27)). Поэтому интегралы с по-
полюсными членами требуют корректного вычисления. Чтобы убе-
убедиться в этом, рассмотрим интерференционный член, когда вме-
вместо одной из амплитуд берется полюсный член, а вместо другой —
постоянная B.23). В этом случае оба члена в квадратных скобках
в B.25) дадут равные вклады и, например, для одного из интерфе-
интерференционных членов мы получим
X и (р2) б (кг + к2 — q). B.26)
В системе координат, в которой q = 0, синглетная часть B.26)
может быть записана как (нормировка спиноров йи = 1, члены
~ q2/4m2 отброшены)
-S- и-«.%!»» б (9 - 2«M (А) Ьаа @,4^) и (л). B.27)
При переходе от B.26) к B.27) мы учли, что в выбранной нами си-
системе координат энергии 1-го нуклона до и после столкновения
равны соответственно Ех = — д/2, Ег = q/2. Входящие в интеграл
B.27) компоненты импульса рх являются чисто мнимыми при
q/2 < т. Поэтому, если мы направим ось z по направлению чисто
мнимого вектора рь то скалярное произведение крх будет равно
крх = кгрх = i Ут2 — ?2/4 /д2/4 — \х2 cos d »im ]/V/4 — И-2 cos ^
и после интегрирования б-функции интеграл B.27) примет вид
г — пЩ — 2imx
4 ^ I1 2m
1 В обозначениях мы следуем работе [13] у\— 1.
87

Из B.28) видно, что при весьма малых q2/A — \х2 <§: (\i/2mJ\i2
вклад полюсного члена будет пропорционален (r72/4 — V?)%li и,
как и следовало ожидать, после подстановки в B.15) окажется
в L раз меньше вклада основного члена B.24). Но в B.15) столь
малые #2/4 — \х2 играют основную роль лишь для очень больших
орбитальных моментов, когда L >, Bт/\iJ. Этот случай не пред-
представляет, конечно, никакого практического интереса. Наоборот,
интересен случай L <^ Bга/иJ. Тогда для основной области ин-
тегрирования в B.15) ф/\ — \х2 ^> (\i/2mJ\i2 и B.28) сводится к
— Dя/д)W/4 — и2. Используя B.27) и B.28), мы приходим
к выводу, что при L <^: Bm/\iJ интерференционный член B.26)
дает после подстановки в B.15) вклад того же порядка по 1/L, что
и основной член B.24) и будет отличаться от него лишь множите-
множителем порядка g2 (\i/m) ~ 1 (если считать, что Ьаа @,4u,2) ~ 1/|л).
Таким образом, для вычисления Аг (Е, q2) матричный элемент
/ар следует представить в виде суммы полюсного члена B.25) и
остальной части матричного элемента /ар = /ар — /рар, которую
достаточно вычислить в точке v = 0 и ф = 4(л2. Для уточнения ре-
результата в/ар мы учтем также первый член разложения х по v и
к. Вычисления мы будем проводить в четырехмерной форме, не-
p'v
У
X
Рис. 2
посредственно вычисляя скачок в амплитуде рассеяния AM (E, q2) =
= 2iAx (E, q2) и подставляя его в B.15). Поэтому переведем
сделанные нами выводы на привычный язык диаграмм.
В двухмезонном приближении амплитуда рассеяния нуклон —
нуклон подсчитывается с помощью диаграмм, изображенных на
рис. 2, а, б. Заштрихованная область на этом рисунке означает
совокупность всех диаграмм с двумя внешними нуклонными и дву-
двумя мезонными линиями. Амплитуду рассеяния, соответствующую
диаграммам рис. 2, с точностью до членов, не имеющих скачка
при q2 > 4[х2 (т. е. несингулярных в окрестности q2 — 42
Результат интегрирования произведения этого члена на полюсный будет
иметь малость — [i/m, а не L'1 и численно может оказаться существенным.
88

можно записать так:
М (Е, cos 6) = (m/2ni) j d^kf^ (plt px + g; k + q/2, к - q/2) x
X fan (ft, P. - g; - Л - q/2, -k + g/2)[(& + g/2J - ц2] X
-\1*}-\ B.29)
где амплитуда рассеяния мезонов на нуклонах /ар должна быть
вычислена, как было указано выше. Коэффициент V2 введен в
B.29) в связи с тем, что в амплитуде рассеяния мезонов на нукло-
нуклонах /а/з учитываются как диаграммы, в которых сначала поглоща-
поглощается мезон с импульсом к -f- q/2 в состоянии а, а потом испуска-
испускается мезон с импульсом к — q/2 в состоянии |3, так и диаграммы с
обратным порядком поглощения и испускания, что приводит к
удвоению всех диаграмм для рассеяния нуклон — нуклон. Как
следует из выражения B.20), в B.29) должны входить значения
функций Грина мезонов на массовой поверхности к\ = к\ = \х2.
Поэтому вместо функций Грина мезонов мы подставили их сво-
свободные значения.
Сделаем теперь замечание о роли рассеяния мезона мезоном.
Как следует из B.20), /ар является точной амплитудой рассеяния
мезонов нуклонами с учетом рассеяния мезона — мезоном, так что,
например, диаграммы типа изображенной на рис. 3 входят в /ар.
На первый взгляд кажется, что при подстановке этой диаграммы в
ч*>
4 Ь
Рис. 3 Рис. 4
правую и левую части рис. 2 мы ошибочно учтем диаграмму рис. 4
дважды. На самом деле вклад диаграммы рис. 4 вблизи точки осо-
особенности ф = 4[х2 действительно удваивается, поскольку особен-
особенность чможет возникнуть (т. е. мезонные линии могут стать реаль-
реальными) как слева, так и справа от точки рассеяния мезона мезоном1.
Из-за наличия рассеяния мезона мезоном амплитуда рассеяния мезона нук-
нуклоном имеет особенность при д2 = 4)ы2 и вблизи этой точки (при к = 0) про-
пропорциональна а -|- ib Y^q2 — 4[Х2. Такая особенность могла, казалось бы,
привести к возникновению поправочных членов порядка Ь~^2. В теории воз-
возмущений можно увидеть, что таких поправок на самом деле не возникнет.
Из B.20) тот же результат может быть получен, если учесть B.19) и дейст-
действительность коэффициентов а и Ь.
89

3. Использование дисперсионных соотношений
для рассеяния мезонов на нуклонах
В настоящем разделе мы вычислим амплитуду рассеяния мезо-
мезонов на нуклонах /ар (рь р1 + q; к + #/2, к — q/2) при малых к
и q2 = 4(х2 путем аналитического продолжения амплитуды рассе-
рассеяния из физической области. Рассмотрим разность между ампли-
амплитудой рассеяния и полюсным членом /а^ =- /ар — /рар. Запишем
/ар в форме B.21) и разложим по стсноплм /с, ограничиваясь ли-
линейными по к членами
+ (dZaP(v, V)/5v)v=0 [Pl* + ^-] + Ша? @,4^2). C.1)
Члены, пропорциональные kq, обращаются в нуль при инте-
интегрировании по к, поскольку в системе координат, где q = 0, инва-
инвариант kq — 0. Поэтому C.1) принимает вид
fafi = I aP @,V) + Plk (dl afl (v, 4ц2)/^)и=0 + ШаР @,4^2). C.2)
Квадраты всех внешних 4-импульсов, входящих в C.1), равны
их значениям для свободного движения: pi = /?i2 = тг, к\ = к\ —
= [г2 и в этом смысле /а^ является матричным элементом рассея-
рассеяния реальных мезонов на нуклонах. Однако значения энергии
этих мезонов и передаваемого импульса не являются физическими
в физических системах координат. В самом деле, из равенства
v0 = 0 следует, что в брейтовской системе координат, в которой
сумма импульсов нуклона до и после рассеяния равна нулю рх +
+ Pi = 0, полная энергия мезона со = 0. С другой стороны, квад-
квадрат передаваемого импульса ф = ql — q2 = 4|i2 положителен,
тогда как в реальных процессах рассеяния он всегда отрицателен.
Это значит, что интересующая нас амплитуда рассеяния мезонов
на нуклонах не может быть получена непосредственно с помощью
экспериментальных данных по рассеянию мезонов на нуклонах
и нам4 придется воспользоваться аналитическим продолжением
амплитуды на значения со = 0, ф — 4|л2.
Выясним сначала зависимость C.2) от изотопических перемен-
переменных. Функции Z/ap (v, q2) и Map (v, q2) можно представить в сле-
следующем виде:
?a3 (v, g2) = 6a3LW (v, q2) - ;eaPYTTL<*) (v, q2),
C.3)
M*z (v, q*) = 8^МЫ (v, g2) - ie^ M(« ( %
где
г B) у it т \ L /г т \ /Q /Л
L = — (Zv, — LJ) = -^- (/v3 — ^1), W*^)
90

M<» = -i (М+ + М_) = i (Л/, + 2MZ),
МB) = I (М+ - М_) = | (М, - МО,
где L+, Af+ (L_, Af_) — матричные элементы рассеяния п+ (я~)-
мезонов на протонах: Ьг, Мг и L3, M3 — матричные элементы
рассеяния мезонов на нуклонах соответственно в состояниях с
полным изотопическим спином 1/2 и 3/2.
Как следует из B.19), Z/l\ Z/2), AfA\ М<2> обладают простыми
свойствами симметрии при замене v ->- —v:
LA) (v, g2) = Lw (-v, g2), LB) (v, g2) = -L^ (-v, g2),
v, g2) = -MA)*(-v, g2), MB) (v, g2^ - MB)*(-v, g2).
Из o6inrro 111»1|);1>кчч1ия дли мнимой части амплитуды рассея-
рассеяния нетрудно усмотреть, что при v = 0 и д2 < А\х2 мнимая часть
величин L(i) и М^ должны обращаться в нуль г. Отсюда и из C.5)
следует, что
р ^0 + к (,
C.6)
Стоящие в правой части C.6) величины можно выразить через
их значения при физических энергиях с помощью дисперсионных
соотношений по энергии при фиксированном квадрате передава-
передаваемого импульса д2. Вопрос о том, при каких д2 имеют место такие
дисперсионные соотношения исследовался в ряде работ [14—16].
Авторов этих работ интересовали, однако, лишь отрицательные
д2, которые осуществляются в реальных процессах. Обоснование
дисперсионных соотношений при д2 ]> 0 и, в частности, в интере-
интересующей нас точке д2 = 4|Л2 может быть проведено без труда. За-
Запишем матричный элемент рассеяния мезонов на нуклонах в брей-
брейтовской системе координат как функцию энергии мезона в этой
системе со и передаваемого импульса д2 в следующем виде [17]:
/сф К Я2) = * S d*x exp {i [cot - nr /wa - \i2 + g2/4]} 0 (x0) X
[;> (x/2), U (- x/2)l A>. C.7)
Здесь 7*a (x) — нуклонный ток, n — некоторый единичный вектор.
Компоненты импульсов нуклона и мезона в брейтовской системе
1 Мнимая часть амплитуды рассеяния мезона на нуклоне оказывается отлич-
отличной от нуля лишь для таких энергий мезона, при которых может возникнуть
реальное состояние системы мезон + нуклон (это в брейтовской системе
координат соответствует энергиям со > coi = (m\i + g2/4)/(m2 — q2/^)^2) или
реальное состояние системы двух мезонов. Как легко видеть, последнее
обстоятельство приводит к возникновению мнимой части амплитуды рассея-
рассеяния при q2 > 4|л2, причем при д2 —> 4(Х2 мнимая часть стремится к нулю
пропорционально у^дЗ — 4ц2.
91

координат в общем случае имеют вид:
Рх = {0, 0, j/^/2}, pi - {0, 0, - К ч/2},
к, = {кх, kv, -JA7/2}, к\ = {кх, ку, 1/^/2}
или, если ввести единичный вектор л в плоскости х, у:
то
к, = {п
Ч2/2}
(kx — импульс падающего мезона, ki — рассеянного А^ — —&2).
Величина v = кг (р + р')/2 связана с энергией со соотношением
v = о> Y^m2 + q2/4.
Как известно, трудность в обосновании дисперсионных соотно-
соотношений на основе формулы C.7) состоит в том, что при аналити-
аналитическом продолжении /ар (со, q2) в комплексную плоскость со при
значениях со2 <С |я2 — q2/i корень в экспоненте в C.7) оказыва-
оказывается чисто мнимым и все выражение расходится при интегрирова-
интегрировании по г. Очевидно, что при ф ^> 0 (что как бы эквивалентно умень-
уменьшению массы мезона) доказательство проходит даже легче, чем
для случая рассеяния вперед. В частности, при ф = A\i2 экспо-
экспонента в C.7) приобретает совсем простой вид exp [m (t — nr)] и
аналитичность /аз (^ Ф) в верхней полуплоскости а) и, следова-
следовательно, существование дисперсионных соотношений следует не-
непосредственно из исчезновения запаздывающего коммутатора то-
токов при t2 — г2 < 0 и t < 0.
Дисперсионные соотношения удобно писать не для величин L
и М, а для матричных элементов рассеяния мезонов на нуклонах
без переворота спина / (со, q2) и с переворотом спина ер (со, д2).
Связь величин / и ер с L и М получается из соотношения
п (р') [L(i) (<d, q2) + k±M{i) (со, q2)] и (р) =
= v'* l/(i> (со, q2) + to [kxkj <p(i) (со, q2)] v, C.8)
где vr и v — двухкомпонентные спиноры, описывающие спиновое
состояние начального и конечного нуклона в его системе покоя,
а — двухрядные матрицы Паули. Выражая и (р) и и (р') через
двухкомпонентные спиноры и (пи = 1), находим связь между
L, М и /, ф в брейтовской системе
/(i) (со, q2) = J L(i)(co, g») + «M(i) (со, q\
ФA> = ^2^М({)(@,92), C.9)
92

где Е — энергия нуклона в брейтовской системе Е = ]/"#г2 + q2/4,
9 9
q2 = —g .
Матричные элементы /(i> (со, g2), ф(*> (со, д2) могут быть выра-
выражены через амплитуду рассеяния (с переворотом спина и без не-
него) в системе центра инерции мезона и нуклона. Если инвариант-
инвариантный матричный элемент C.8) записать в системе центра инерции
как 1
йс {рс) [L(i) (сос, д2) + КМ^ (сос, д2)] ис (рс) =
= :?c_±i!V* [ff (о)с, д2) + ia [klckx'c] ^ (сос, д2)] и (ЗЛО)
(индекс с обозначает систему центра инерции) и учесть, что
и M(i) являются инвариантами, то связь между /с, q>c и /, ср лег-
легко найдется после того, как мы выразим /с и срс через L жМ и вос-
yoMoi (Л.1.)). В результате получается [10]
e, Ч) y ч
+ т) h We, Ч) y ч Е(Ее+т) Х
X Ф<{>К, д2)] , C.11)
+ 4т (/+
причем энергия мезона в системе центра инерции Ес связана с
энергией в брейтовской системе соотношением 2
Е(о = (Ес + сос) сос - ^2 - Ч2/4. C.12)
При энергиях мезонов в системе центра инерции порядка B -f-
~- 3) (я, которые будут играть роль в дисперсионных соотношени-
соотношениях, мы можем с хорошей точностью (~ (\х/тJ) заменить C.11)
приближенными выражениями
)
Для амплитуд /с,т (^>с» 92)> фс,т (<»С7 Ф), соответствующих
заданному значению полного изотопического спина Т = 1/2 и 3/2,
1 Множитель (Ес + wc) /m в правой части C.10) введен для того, чтобы
величины /с и фс точно равнялись амплитудам рассеяния.
2 Отметим, что, как следует из C.12), в интересующей нас точке о = 0 и
ф = — 4|х2, сос также равно нулю, т. е. брейтовская система совпадает с
системой центра инерции. Это обстоятельство можно, конечно, усмотреть
и непосредственно из явного выражения для компонент импульсов нук-
нуклона и мезона в брейтовской системе.
93

имеют место известные разложения по полиномам Лежандра [10]
/с т К, ?») = -L 2 К* + 1) ехР {21?>Ъ К)} + I ехр {2*б? (сос)} -
-BZ+l)]Pz(l-q2/2/4 C.14)
Фс т (о)с, g2) =-^ Sl^xp {2*б? (сос)} - ехр {2ЙЛ К)}] Рг A - q2/2/e2),
где 6;+ (сос) и б/_ (сос) — фазгл рассеяния с изотопическим спином
Т и полными моментами ; --- I -\- xj2 ъ ] — I — г/2 соответствен-
соответственно, Рь (х) = dPt (x)/dx.
Дисперсионные соотношения для функций /(i) (со, q2) и
<p(i) (со, q2) имеют вид
Re[/A) (со, q2)] - Re [/A) (co0, q2) - #> (со0, q2)} =
= — (or — со?) \ со aco — 2-^-т— ,
л 0/ wJ (со'2 - со2) (со'2- со2)
Re l7B) (со, q2)] - ~ Re [/B) (coo, q2) - /?> (co0, g2)] =
<x>
= — со (со — co^) \ c&'j)' » (o.lo)
я ° J (со'2 — со2) (со'2 — со2)
где сох — энергия, начиная с которой могут осуществляться состо-
состояния мезон + нуклон сох = (пцх — q2/4)/(m2 + q2/4)Va (энергия,
соответствующая со1? в системе центра инерции мезона и нуклона
равна \х), со0 — некоторая фиксированная энергия. В последних
двух соотношениях C.15) нет необходимости делать вычитание,
поскольку амплитуда рассеяния с переворотом спина должна убы-
убывать с энергией, как и всякая амплитуда неупругого процесса [18].
Отсюда следует, что фс при больших энергиях достаточно быстро
падает и интеграл будет сходиться без дополнительного улучшаю-
улучшающего сходимость вычитания.
Входящие в C.15) значения /р1} и /р2) легко вычисляются, ес-
если выражение для полюсного члена B.25) записать в виде
gV* {- о) [2?со + ^ + Ч2/2 + 2?co-^-q2/2 J6a^ ~
Г 40 j G) 1 ,
— leafr TY ^— 2fifi) _ ^2 _ q2/2 -f 2Ea> + \a* + q2/2 J ^
94

2m
-^ —qa/2 ~" 2?co + ^ + q2/2
= v'* {№ К <72) Sa3 - ^a3YrY/<,2) (со, ?2) + ** [кхЫ] X
X [<p<p (@, g2) 6a3 - 18аЭ,Ттф(р2) (со, g2)]} i;. C.16)
Выразим в вычитательном и интегральном членах в C.15) / и
Ф через амплитуды рассеяния в системе центра инерции и в каче-
качестве со0 выберем пороговую энергию |ы в этой системе (т. е. соо =
= (д1 в брейтовской системе). Тогда, после подстановки /рХ) и
/р2) из C.16), дисперсионные соотношения для интересующих нас
величин /A\ /B) и фB) приобретут вид
U-a*.
с ^
с ^со ™ (со'2 — со2) (со'2 - со2)
)/2 - CD2) '
ФB) (со, g2) = —\d* —. со'
c
13 полюсных членах в правой части C.17) мы пренебрегли ма-
малыми поправками порядка (\ь/тJ и опустили знак Re в левой ча-
части C.17), так как нас будут интересовать значения со, близкие к
нулю, ид2 = 4|л2, где амплитуда действительна. В интегральных
членах C.17) мы перешли к интегрированию по энергии мезона
в системе центра инерции сое, так что нижний предел интегриро-
интегрирования оказался равным \х.
Вычисление правой части C.17) и, в частности, значения ам-
амплитуды в нефизической области, может быть проведено на основе
следующих соображений (ср. [19, 10]. При фиксированном q2 фи-
зически осуществимые состояния начинаются с (ос min = Yv? + Ч2/^>
так что область от о>с = \л до о>с = сос min является нефи-
нефизической. Однако, если мы воспользуемся разложением ампли-
амплитуды рассеяния по полиномам Лежандра C.14), то легко увидим,
что значение фаз рассеяния 6j (coc) всегда будет браться при фи-
физических значениях кс ^> 0 и нефизичность будет заключаться
лишь в нефизических значениях cos 0C: | cos 0С | > 1. Аналити-
Аналитическое продолжение полиномов Лежандра Р{ (cos 0C) на значения
95

I cos Эс | У> 1 известно и, следовательно, вычисление интеграла в
правой части C.17) будет вполне корректным, если только при
аналитическом продолжении /с (сос, q2) и фс (сос, q2) no q2 мы не
выйдем за пределы той области, в которой это аналитическое про-
продолжение законно.
Для задачи рассеяния мезонов на нуклонах в теории возмуще-
возмущений показано [20], что ближайшая особенность к точке ф = 0, от
которой мы начинаем аналитически продолжать / (со, д2)иф (со,д2),
лежит при ф — 4 |Л2, так что мы можем ожидать, что аналити-
аналитическое продолжение возможно при ф <С 4|Л2. Эта особенность со-
соответствует рассеянию мезона па нуклоне через промежуточное
двухмезонное состояние и имеет характер точки ветвления типа
|( — q2. Но, как известно, ряд по степеням х для функций
типа A — х)Ч* является абсолютно сходящимся в точке х = 1 и
дает правильное (равное нулю) значение функции. Это позволя-
позволяет нам распространить аналитическое продолжение и на точку
ф = 4\i2 и, следовательно, значения /с (сос, 4|Л2), фс (сос, А\х2)
можно получить путем аналитического продолжения /с (сос, д2),
Фс (юс> ф) при малых ф. Члены, содержащие особенности при та-
таком аналитическом продолжении, должны обратиться в нуль. Это
последнее обстоятельство согласуется с замечанием, сделан-
сделанным в сноске 7 к разделу 2, где было показано, что члены
пропорциональные j/4|i2 — д2, дают малый вклад порядка 1/L,
который в нулевом приближении может быть отброшен1.
Из всего изложенного следует, что мы сможем вычислить пра-
правую часть C.17), если запишем амплитуды рассеяния в виде C.14),
фазы рассеяния возьмем из эксперимента, а полиномы Лежандра
Рг (cos Эс) аналитически продолжим на значения cos 0С = 1 +
Для практических целей в разложении C.14) достаточно учесть
только три фазы 81? б3 и 833- Зависимость этих фаз от энергии возь-
возьмем согласно фазовому анализу Орира [21]
в, = 0916&с/|х9 б3 = - 0,11&с/[л, ctg 633 =<|i/ftc)8 (8,05 - 3*8со*) со*,
со* = Ес + (ос — т.
Вычисление дает
/(ц, V) 0,70/fi,
(ц, V) = 0,70/fi, !Ь±? ff (ц, V) = 0,
= - 0,23/,, C.18)
С
V
с
1 Заметим, что, поскольку в мнимой части амплитуды рассеяния члены, име-
имеющие точку ветвления ф = 4(i2, строго равны нулю при q2 <] 4^i2, то при
аналитическом продолжении Im/c(co^ д2) (или Imcpc(coc, ^r2)) вплоть
до q2 = 4jx2, эти члены вообще не скажутся. Проведенное в тексте
рассуждение важно лишь для членов Re/^ (co0, q2) в C.15).
96

= - 0,047/ц",
4^ 0 <K 4r Im Ф?> К- V) =
Складывая C.18) со значениями "полюсных членов (при g2 =
= 14,5), имеем
^7B) К 4^) U = g(- 0,0085 + °-f - 2^) = 0,0041 g ; C.19)
ФB) @,4(я2) = 0,0126)p2//w|xa.
Отсюда, испольмуя C.9), получаем для входящих в C.6) величин
ZA) @,4A*) - 1,2^/w, CZ(v, 4\i2)/dv)^Q = 0,029^2/^2,
MB) @,4^2) - -0,025?2/^2. C.20)
Обсудим точность полученных нами результатов. Как следует
из C.19), C.17) в вычислении главного члена Z^)@,4 |Jt2) основной
вклад (свыше 80%) дает вычитание полюсного члена /рХ) (о)о, 4|л2),
который вычисляется точно. Вклад интегрального члена в /A>
C.17) меньше 10%, поэтому та неопределенность, которая может
возникнуть на счет неточного вычисления его при больших энер-
энергиях (фактически интеграл сходится уже при энергиях сос ~
—2,5|я и неопределенность в нем, по-видимому, не превышает 10%),
не превосходит 1% в LA). Вклад вычитательного члена fcl) (\i, 4|л2)
в JjQ) составляет около 25%. Основную роль в его вычислении
играет Р-фаза, поскольку при фиксированном q2 и кс ->¦ 0 члены,
обусловленные Р фазой, не стремятся к нулю. Учет ?)-фазы соглас-
согласно данным Мухина и Понтекорво [22] в неблагоприятном случае
изменяет f<P (|я, 4|л2) на 7%. Неточность в /сХ) (|л, 4|х2) в основом
проиетекает из-за того, что функция /сХ) (fi, q2) имеет особенность
типа ]/4(А2 — q2 (см. сноску на стр. 89) и вычисление/^ (\i, 4|x2) путем
аналитического продолжения по q2 лишь S-, Р- и D- амплитуд не
является достаточно хорошим. Можно думать, что /? (|л, 4|л2) мо-
может содержать ошибку ~ 25% и, следовательно, величина
ZA) @,4 |л2) определена с точностью ^5—7 %. При этом предполага-
предполагается, что рассеяние мезона мезоном не является аномально боль-
большим и сингулярная часть /^ (|л, ф) не содержит большого коэф-
коэффициента. Такое предположение может не выполняться, если рас-
4 И. Я. Померанчук, т. III 97

сеяние мезона мезоном имеет резонанс при малых энергиях
В этом случае для оценки точности/?1} (|Л, 4|Л2) нужно привлекать
более высокие фазы. Оценка, полученная на основании /?-фазы,
ввиду отсутствия данных по более высоким фазам и возможным
погрешностям опыта [22], может оказаться не вполне точной.
Члены dLW/dv и МB> значительно меньше IJV и поэтому ошиб-
ошибка в их вычислении практически не скажется на дальнейших ре-
результатах. Основная ошибка здесь возникает за счет неточного
вычисления интеграла от мнимой части ф?2) (озс, q2) при больших
энергиях и может, по-видимому, доходить до 15—20%.
Подстановка в B.28) /„;* в виде fp0L{i -|- /ар приводит к сумме
нескольких членов, между которыми, как показывает вычисление
(см. [23]), происходит сильное сокращение (другими словами, ес-
если вместо /аз подставить первое приближение теории возмуще-
возмущений, то получится грубо неверный результат). Такая компенсация
/раз и /аз сильно увеличивает роль погрешностей при определе-
определении величины L @, 4|л2). Конкретные вычисления двухмезон-
ных фаз и сравнение их с одномезонными будет произведено в
следующей работе [23].
Академия наук СССР Получено 12 июня 1959 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Л. Б. Окунь, И. Я. Померанцу к. ЖЭТФ, 1959, 36, 300 (Собр. трудов,
№ 91).
2. S. Mandelstam. Phys. Rev., 112, 1344, 1958.
3. Я. Lehmann, К. Symanzik, W. Zimmerman. Nuovo cimento, 1, 205, 1955.
4. M. Goldberger. Phys. Rev., 1955, 99, 979.
5. В. Я. Файнберг, E. С. Фрадкин. ДАН СССР, 1956, 109, 50.7.
6. И. М. Рыжик, Я. С. Градштейн. Таблица интегралов. Гостехиздат, 1951.
7. A. Salam. Nuovo cimento, 1956, 3, 424. A. Salam, W. Gilbert. Nuovo
cimento, 1956, 3, 607.
8. Б. Л. Иоффе. ЖЭТФ, 1956, 31, 583.
9. E. С. Фрадкин. ЖЭТФ, 1956, 31, 515.
10. R. Я. Capps, G. Takeda. Phys. Rev., 1956, 103, 1877.
11. R. J. Eden. Proc. Roy. Soc, 1952, A210, 388.
12. R. Karplus, С M. Sommerfield, E. Я. Wichman. Phys. Rev., 1959,
114, 376 ; Я. Д. Ландау. ЖЭТФ, 1959, 37, 62.
13. R. P. Feynman. Phys. Rev., 1949, 76, 749, 769.
14. Я. Я. Боголюбов, Б. В. Медведев, М. К. Поливанов. Вопросы теории
дисперсионных соотношений. Физматгиз, 1958.
15. Я. /. Вгстеттапп, R. Oehme, J. G. Taylor. Phys. Rev., 1958, 109, 2178.
16. Я. Lehmann. Nuovo cimento, 1958, 10, 579.
17. Я. Я. Боголюбов, Д. В. Ширков. Введение в теорию квантованных по-
полей, Гостехиздат, 1957, стр. 404.
18. И. Я. Померанчук, ЖЭТФ, 1956, 30, 423 (Собр. трудов, № 106);
Л. Б. Окунь, И. Я. Померанчук. ЖЭТФ, 1956, 30, 424 (Собр. трудов,
№ 107).
19. М. L. Goldberger. Proc. Sixth Annual Rocherster. Conf., N. — Y., 1956.
20. К. Symanzik. Progr. Theor. Phys., 1958, 20, 690.
21. /. Orear. Phys. Rev., 1955, 100t 288.
22. А.И. Мухин, Б. М. Понтекорво. ЖЭТФ, 1956, 31, 550.
23. А. Д. Галанин, А. Ф. Грашин, Б. Л. Иоффе, И. Я. Померанчук.
ЖЭТФ, 38, I960, 475 (Собр. трудов, № 93).

§3
РАССЕЯНИЕ НУКЛОНА
НА НУКЛОНЕ В ДВУХМЕЗОННОМ ПРИБЛИЖЕНИИ
ПРИ БОЛЬШИХ ОРБИТАЛЬНЫХ МОМЕНТАХ1
Совместно с А. Д. Галаниным, А. Ф. Грашиным и Б. Л. Иоффе*
С помощью метода, развитого авторами ранее [1], вычисляется амплиту-
амплитуда рассеяния нуклона на нуклоне в двухмезонном приближении при больших
орбитальных моментах. Конкретные вычисления [производятся для синглет-
ной амплитуды в не релятивистском приближении при не очень больших ор-
орбитальных моментах 1 <^ I<^4m2/\i2 (т — масса нуклона, \i — мезона). Ре-
Результаты вычислений показывают, что уже F я G фазы при энергии нуклонов
в лабораторной системе Ешб ^ 200 Мэе с хорошей точностью могут быть по-
получены из одномезонного приближения. Этот вывод может оказаться сущест-
существенным для фазового анализа рассеяния нуклонов.
1. Вычисление двухмезонной амплитуды
В предыдущей работе [I]2 было показано, что для вычисления
амплитуды рассеяния нуклона на нуклоне в двухмезонном при-
приближении при больших орбитальных моментах достаточно знать
амплитуду рассеяния мезонов на нуклонах /ар. Эту последнюю
амплитуду, согласно формулам B.25, I), C.1, I), C.6, I), C.20, I),
написать так:
/', | 'Г, к | '/А А"
(А-0/2)f
A.1)
где а = 1,2; рх = 0,025, р2 = —0,029.
Подставим A.1) в B.29, I). Опустив слагаемое, квадратичное
по /аэ (оно даст в фазы рассеяния вклад, содержащий дополни-
дополнительный множитель 1/L, где L определено B.16, I)), получим
= ё; [тг 5° ~ т в* + x?xfB* + C + 2Ti1)T(a2))в* +
] A.2)
1 ЖЭТФ, 1960, 38, 475.
2 Далее ссылки на [1] будут отмечаться как I.
99

ГДо
-> 2m ? Г (йРг
?1 = -rM.FP
* I
9/2J
i (к + 7/2)
gm»
(* - ?/2)
/Г' "г,)
г,)
pa f A
(k
/2K ! 2р,(Л
(A
Я m2 С
4 i )
/2И \2Р-,(к- 7/2)|
С
) {{k + ql2f + 2pi (A'+ ?/2)] [(A + 9/2)* - 2p2(A
A {k, q) = [(k - ql2f - n2] [<ft + ql2f - у?\~\
Вводя, как обычно, фейнмановский па])аметр х, запишем ?оввиде
Во = ^dx^k [к* - ^2 | q4\ - qk (I - 2-01-2, A.3)
О
w =(йр14<?1/р1)(йз>а-9г/2,8). A.4)
Интеграл по d4A в A.3) расходится на бесконечности, но вклад
от больших импульсов является аддитивной константой, не за-
зависящей от д2, и его можно не учитывать. Конечное слагаемое вы-
выделяем, дифференцируя предварительно A.3) по \i2, затем интег-
интегрируя по d*k и выполняя обратное интегрирование по |i2. Интег-
Интегрируя, наконец, по dz, получим сингулярную часть интеграла в
виде
Во = - w
arctg
s =Vl-
A.5)
A.6)
При этом для корня A.6) мы выбираем ту ветвь, которая в физи-
физической области положительна. В этом случае на верхнем берегу
разреза s = —i\s\.
В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением лишь синглет-
ной амплитуды в нерелятивистском приближении и только для
этого случая будем вычислять матричные элементы типа A.4).
Разложив w по степеням р2/т2 и подставив cos 0 = 1+ 2|2, по-
получим с точностью до квадратичных членов включительно х
w = 1 + (р2/2т2) A — cos 0) = 1 — е2; 8 = \i/m.
A.7)
1 Обратим внимание на то, что ближайшие поправочные члены к выписанным
в A.7), в данном случае/?4/т4, отсутствуют. Аналогичные сокращения имеют
место в матричных элементах A.16), A.23).
100

Разложив теперь A.5) по степеням s и оставляя главный член,
получим окончательно
Во^= — яA -82).5/2. A.8)
Для интегрирования в Вг введем два фейнмановских парамет-
параметра х1 и х2 (учтем, что 2ргд = —q2, 2p2q = q2):
^ •+¦¦¦)- (i-9)
(А*2АДK I V 7
о о
p ,-. — qr/2 f qj\ - p^, Д =: — g2/* — pa^2 + u2(l - r2);
многоточием обозначен аналогичный член с заменой р1 на р2.
Интегрируя но с/4&, получим
1 1 -л-2
В, - w ^d:>; ^ dxl-g-, Ь* = u^ + es(l- га) - 4e*A - я») .rt x
x(l-%-^). A.10)
Сделав замену хх = A — ег/ — z)/2, x2 = ег/ и проинтегрировав
по dz, получим
г 7 Т g i^e//) ]/Г=Г1Г- dyf A-11)
о
где
a2 = S2 + g (! _ 2s2) j, _|_ [1 __ g2 A _ 6.2)j ^2^ A.12)
При малых s2 в A.11) играют роль малые значения г/, поэтому
arctg [A — гу) У~\ — s2/a] можно заменить на зх/2 (в Приложении
показано, что при этом мы получим точное значение сингулярной
части интеграла A.11)). После этого интеграл легко вычисляется,
причем верхний предел дает несингулярное в окрестности s2 =0
слагаемое, которое может быть отброшено. Далее, разложив ре-
результат по степеням s2 и е2 и подставив A.7), получим
В, = - ~ (l + 18*) [s - | In (e + 2s)] . A.13)
Интеграл Вг соответствует уже рассмотренному в разделе 2 рабо-
работы [1] интерференционному члену, а его скачок на разрезе совпа-
совпадает с B.28, I),
Как уже отмечалось [1], при вычислении фаз мы будем интере-
интересоваться такими случаями, когда в эффективной области интегри-
интегрирования в B.15, I) | 2s | ^> 8 (что соответствует L <^ 4т?г2/ц2), по-
поэтому члены типа In (е + 2s) мы не разлагаем по степеням s. Так как
в физической области s ^> 0, то аргумент логарифма в A.13) не
обращается в нуль. Однако на другом листе римановой поверхно-
поверхности, где s < 0, этот аргумент обращается в нуль и, следовательно,
101

на этом листе имеется особая точка при 4s2 = fi2/m2 или ф = 4ц2—
Интеграл В2 запишем в виде
1 1—х%
_ * С
где величины р, А определены A.9), а многоточие означает анало-
аналогичный член с заменой />2 на /?,. Дифференцируя Л1 по [г2 и интег-
интегрируя затем по d4/c, получим
ДJ
2 ? + А
где
= (SPl+a I Га | MPl) (Uprt | Та | WPt).
С точностью до членов, квадратичных по р2//п2 и е2 включительно,
имеем
Дальнейшие вычисления не содержат каких-либо трудностей.
Опуская несингулярные в окрестности s2 = 0 слагаемые, исполь-
используя A.7) и A.16) и обозначая
A в«) - 28%, A.17)
получим
|[| ] A.18)
Переходим теперь к вычислению интегралов J33 и J34> которым
соответствует четвертый порядок теории возмущений. Вводя че-
четыре фейнмановских параметра и интегрируя по d4fc, получим
B «i - l)
X
102

где
h = р2хх + рхя2 — q(Xl-- x2
h! = p2xx — pxx2 — q (xx + z2 + x8 — &4)/2,
A = jx2 (ж, + s4) - ?2 A - 2^ - 2.r2)/4.
Учитывая, что с точностью р2/т2, е2, числитель в A.19) можно
записать в виде (ср. A.22))
(uV2-q | h | иР2) (uPl
преобразуем В3 следующим образом:
X [Г (^i + x2f + 82 fe + s4 - 4 A - 52) a:3x4) +
Произведя замены переменных
^i = (»У + e^)/2, ^2 = — % + e
и проинтегрировав по dz, получим
l/e у
A — гу) Vi — s2
0 0
Л? - .v2 + «A — 2^2) у + ?2^2 - [р2/тгс2 + 82 A - 52)] о:2
(/'."'.= 1+ла///'а).
Тик ;кс, кпк при иычислсчши Л, и /?2, заменим в подынтегральном
выражении арктангенс на я/2 и проинтегрируем по dx:
l/e
X \ , 2 2 \ arc sin f
о
a\ = s2 + 8 A — 2s2) г/ + #2г/2.
При p2/m2, s2 <^ 1 можно разложить арксинус в ряд (учитываем
два члена), после чего интегрирование по dy и последующее диф-
дифференцирование по Е2 дает для | s \ 2 <^ 1:J
_8fl + |e2>)ln(e
A.21)
103

Для вычисления 54 нужно точнее знать числитель в A.20):
{uP2-q | /V | uVz) (aPx+q | h' | uPl) = m2 (xx — oc2J wi |- //A^.r^a, A.22)
Произведя замену переменных
x2 = A — x3 — 'r4 — ez)/2, .r3 = (I —
и проинтегрировав по tfz, получим
\ It 1 ?//
1 1 ' *
о о
^ - T + ^i — i:J aSi - T
b^ = s2 + e A — 2.92) у — \p*Im2 + e2 A — s2)] y2 + A — s2) x2.
Вычисление 54 (см. Приложение) приводит в нерелятивист-
нерелятивистском приближении к следующему результату:
v)
= у 1 + 452/^2, l = plp. A.26)
Ветвь корня A.26) определена аналогично A.6) с разрезом от
s2= —?>2/4 до —оо. Характерной особенностью этой части алшли-
туды является наличие второй особой точки при и = 0, что соот-
соответствует q2 = 4ji2 (I + ^2/4) с особенностью вида
При ^2/4 <^ 1 вторая точка находится в окрестности первой точки
(s2 — 0), а при |2—> оо отодвигается от первой на бесконечно боль-
большое расстояние; поэтому члены в A.25), сингулярные только во
второй точке, дадут вклад в фазы лишь для случая |2/4 ^ 1/L.
В связи с этим при вычислении таких членов произведено разло-
разложение по |2, что обеспечивает вычисление фаз с ошибками < 1/L
(см. Приложение). Последнее слагаемое в A.25) является един-
единственным членом во всей двухмезонной амплитуде, дающим вклад
в Im//2), поэтому оно вычислено точно для любых s2 ^ 0, так как
эффективной областью интегрирования по \s\ для 1т/(г2) явчяет-
ся уже окрестность второй точки | s \ = |/2.
Подставляя A.8), A.13), A.18), A.21) и A.25) в A.2), получим
для сингулярной части синглетной амплитуды следующее
104

выражение (| s | 2 <С 1, | и | 2 << 1):
МB) (*2) = - gj? {V + eq In (е + 2s)
. 3-2A,t
+ 8
<4-27>
cQ = ((x - IJ + G/2 - a - a2)e2 + X, (e2 + 2P)/3,
Cl = a - 1 + (a/2 - 2) e2 - Хт (в2 -|> P)/3,
где А,т — собственное значение оператора x^Ta^. При вычислении
амплитуды учтены поправки первого порядка от разложения по
степеням е2 и р2/т2' — е2/?2.
2. Вычисление двухмезонных фаз
Для вычисления двухмезонных синглетных фаз нам осталось
проинтегрировать амплитуду рассеяния по | s \ вдоль разреза, ис-
используя соотношение B.15, I) для каждой из входящих в A.27)
функций.
Учитывая, что скачок функции s на разрезе As = —2i | s |,
получим для вклада в It от этой функции
И, = - in-42Qi A + 2|2) Ь~\ B.1)
Подставляя в B.15, I) скачок функции In (e -Ь 2s). равный
—li arctg B | s | /е), получим для соответствующего вклада в //:
оо
lln (е -t- 2s)] j = - A6|а/я) ^, A + 2?2) J е-Ы»1« arctg B | в |/в) \s\&\*\.
B.2)
Интеграл B.2) вычисляем, продифференцировав его сначала по 8:
i I <rW arctg (ifl) , s | d |, | = _ 4.Y\ + - ^l, x
0
где Ф (ey"L/2) — интеграл вероятности. Если мы ограничим-
ограничимся рассмотрением не слишком больших орбитальных моментов, то
параметр ? = e]/L/2<^l. При любых энергиях для этого доста-
достаточно ограничить I неравенством
B.4)
105

Разложив теперь B.3) по степеням ?, получим после обратного
интегрирования по 8
[In (8 + 2s)h = - 4?а<?! A + 2?2) L~i [1 - 2я-'/.? +...]. B.5)
Заметим, что оба выписанных в B.5) члена легко получить
прямо из B.2), разложив арктангенс по степеням е/2 | s\, однако
следующие члены разложения по ? получить таким образом уже
нельзя, так как-интегралы от каждого отдельного члена будут рас-
расходиться.
Для члена s/(e + 2s), разложив по степеням е/2| s|, получим
первый член разложения но ?:
B.6)
При интегрировании оставшихся членов рассмотрим отдельно
две области интегрирования: 0 ^ \s ^ |?/2 (от первой особой точ-
точки до второй) и |s| > |/2 (после второй точки). Для функции
[In {2Es + еи) — In El A + и)]/Еи
в первой области имеем
а Ev Ш El(l + v) ~~~~ Ev аГС Xg ~^Г" ~~ Ev \ 2 2J5 | * | "+" * ' ')
B.7)
Первый член разложения по е/2 |s| дает вклад в /f:
* f
/Г/8
U ««•&. B.8)
Во второй области интегрирования
^ 11п(8|1 + 2
B.9)
Объединив вклады от первого члена разложения B.9) и от второго
члена в B.7), получим
4n-V«g8e2TI/l(l - р2/т2) Qt A + 2?2). B.10)
В B.10) мы подставили Е2 = 1 + р2/тп2 и учли члены первого по-
порядка по р2/т2.
106

Последнее слагаемое в амплитуде A.27) является единствен-
единственным, дающим вклад в Im /j2). Для него разрез начинается только
во второй точке х, поэтому мы не можем использовать формулу
B.15, I), полученную для начальной точки t = 1 + 2?2. Для на-
начальной точки Jg = 1 + 2?2 A + ?2 /4), которая соответствует
и = 0 (q2 = 4ц2 A + Е2/4)), совершенно аналогично можно по-
получить формулу
оо
J^ I2, B.11)
Подставляя ifvyi — s2^^i/u']/rl + ?2/4 в B.11), получим для
соответствующего вклада в /z:
— s2]l= 2ll3 (nL)'1г Qt (h). B.12)
Учитывая B.1), B.5), B.6), B.10) и B.12), получим для двух-
мезонного синглетного интеграла /;:
CtTYb ~W jrT. *2 I 1м8 j
B.13)
где
d2 = 2c2 - 4са - (l - -|
¦ф (z) = z^-
Подставляя численные значения для а, р и е2 = 0,0223, имеем
г0 = 0,06 + 0,01^, dx = 0,6 - 0,03^ + 0,6Я? A - />2/2m2) ^ B),
d2 = - 0,7 + p2/w2 + Xt A,4 — 2p2/3w2). B.14
(лшглотныо фазы рассеяния связаны с интегралами It следую-
следующим образом:
р Re It = 2 sin 25j ж 4бь р Im /j = 2 A — cos 2б|) ж 46?.
Отсюда следует, что для больших орбитальных моментов (когда
|6/| <^ 1) двухмезонная фаза б|2) = (em/4?) Re/J2) пропорциональ-
Интересно отметить, что этот результат не связан с использованным нами
приближением (разложение по 1/L) и справедлив даже для точной амплиту-
амплитуды рассеяния, т. е. вклад в Im // дают значения t ^ ^,
107

па квадрату одномезонной фазы б/1*, так как lml[l) = 0v а квадрат
«полной» фазы FjJ ^[б^]2.
Полученные результаты B.13), B.14) показывают, что проис-
происходит сильная компенсация вкладов от теории возмущений (диа-
(диаграммы четвертого порядка) и членов, полученных с помощью
дисперсионных соотношений (содержащих и и fi). Кроме того, вза-
взаимно компенсируются члены, содержании* |^| и f}2 (в конечный ре-
результат входит их лилейная комбинация \\ - р5, р2)^ в резуль-
результате чего часть амплитуды рассеянии мг:юпа на нуклоне /аР
(см. A.1)) дает незначительный нклпд и B.\'Л).
Формула B.13) является главной частью асимптотического раз-
разложения по параметру ML (см. раздел 2 работы 111) и поэтому
ее точность должна быть, вообще говоря, порядка ML. 13 резуль-
результате указанной выше компенсации в главном члене роль следую-
следующего члена асимптотического разложения может возрасти. Для
грубых оценок по порядку величины можно пользоваться полу-
полученной формулой и в тех случаях, когда параметр разложения
не очень мал, 1/L ^ 1.
Отношение двухмезонных фаз к одшшегшнмм
>p
]^
2,5
—0,08
0,02
-3-10-3
10-3
-10-*
10
—0,15
—6
3
4
0,04
• 10-3
• 10-3
• io-4
/i0
—0,2
0,1
—0,02
0,01
—3.10-3
90
0,25
—0,04
0,04
—7.IO-3
16(
~o,
-0,
05
1
015
360
—0
0
—0
,1
,25
,035
650
—0,08
В таблице приведены значения б^/б^, вычисленные для не-
некоторых I и ?, согласно формулам B.13) и B.9, I). Мы видим, что
с хорошей точностью можно пользоваться одномезонной lD фазой
для энергий 2?лаб ^ 40 Мэв и одномезонными гР и гС фазами для
^лаб ^150 Мэв. Приведенные оценки по порядку величины дол-
должны быть справедливы и для триплетных фаз. Отсюда следует,
что при фазовом анализе рассеяния нуклонов для .Едаб ^ 150 Мэв
все фазы, соответствующие I ^ 3, можно считать одномезонными,
а из опыта определять лишь S-, Р- и Д-фазы.
3. Заключение
Полученные нами результаты означают, что уже при неболь-
небольших орбитальных моментах фазы упругого рассеяния нуклонов
нуклонами определяются одномезонным взаимодействием. Это
обстоятельство может быть существенным при проведении фазо-
фазового анализа нуклонных соударений, поскольку (как было уже
108

отмечено 12,3]) нет необходимости считать при этом все учитывае-
учитываемые фазы ^произвольно варьируемыми параметрами. Если для
заданных Г!ц Е двухмезонные амплитуды B.13) оказываются зна-
значительно меньшими одномезонных B.9,1), то с достаточным основа-
основанием можно учитывать соответствующие фазы в одномезонном при-
приближении. Отсутствие в данный момент полного опыта по нуклон-
нуклонному рассеянию не дает, по-видимому, возможности сде-
сделать однозначный фазовый анализ экспериментальных данных.
Наилучшие из имеющихся данных по рассеянию р — р с энер-
энергией 310 Мэв дают восемь наборов фаз [4], из которых только
два имеют фазы с большими Z, совпадающими с одномезонными.
Несомненно, что использование одномезонного «хвоста» в преде-
пределах, указанных в настоящей работе, должно облегчить фазовый
анализ.
Результаты этой работы существенно основывались на исполь-
использовании дисперсионных соотношений при передаваемых импуль-
импульсах, близких к 4иА Хотя нет оснований сомневаться в примени-
применимости дисперсионных соотношений в этих условиях, тем не менее
экспериментальная проверка полученных результатов могла бы
пролить свет на область применимости дисперсионных соотно-
соотношений. Так как мы рассматривали только синглетное рассеяние,
то, естественно, мы не получили полного матричного (по спинам)
оператора рассеяния, отвечающего двухмезонному обмену. Однако
вычисления для триплотттых состояний не представляют принципи-
принципиальных трудностей и произведены Грашипым и Кобзаревым [6].
Во всех приведенных выше рассуждениях мы вели разложение
по степеням 1/L, оставляя лишь первый неисчезающий член, так
что точность нашего результата должна быть порядка 1/L. Не-
Нетрудно нидоть, однако, что основные формулы B.12, I) и B.20, I)
Пудут иметь моего при значительно меньших ограничениях на
но.чичину о|)Г)итл;п»ного момента. Для их применимости достаточ-
достаточно выполнения неравенства
(•/о) Д*я |а>1,
обеспечивающего возможность пренебречь в сумме по промежуточ-
промежуточным состояниям в А1 (Е, q2) трехмезонными состояниями. Форму-
Формула B.21, I) при этом сохранится. В этом случае, конечно, нельзя
ограничиться вычислением /ар в точке со = 0 и q1 = 4ц2, a необ-
необходимо знать амплитуду рассеяния мезонов на нуклонах в неко-
некоторой конечной области вокруг точки со = 0, q2 = 4 uA Поэтому
падача аналитического продолжения амплитуды рассеяния мезо-
мезонов на нуклонах существенно усложнится. Если бы, однако, та-
такое аналитическое продолжение было осуществлено, то можно бы-
было бы получить достаточно точные выражения для двухмезонных
фаз рассеяния нуклонов нуклонами при еще меньших I. При этом
надо подчеркнуть, что такое расширение иа малые I существенно
109

основывается на результатах Мандельстама [5], в то время как
полученные в этой работе результаты в сущности осноз/ары толь-
только на том, что: 1) ближайшая особая точка (кроме одномезонного
полюса) лежит при д2 = 4 |х2; 2) вблизи q2 = 4\i2 нет цикаких дру-
других особых точек (кроме q2 = A\i2 (I + ?2/4)).
В результате сильной компенсации главных члспов, о которой
говорилось выше, погрешности в определении LA) @, 4|i2) = a
(раздел 3 работы [1]) могут сильно изменить (например, в два раза)
окончательные данные о двухме:и)ппих фазах, приведенные в
таблице. Однако, если отношение 6/ /6/ , например, меньше 10%,
то эти погрешности ие гмогут изменить им иода о том, что в данном
случае фаза рассеяния в основном определяется одпомезонным
взаимодействием.
Рассеяние нуклонов нуклонами, обязанное двухмезонному об-
обмену, оказалось возможным выразить через рассеяние я-мезонов
нуклонами и, таким образом, установить связь между этими
различными процессами. Это обстоятельство не случайно. Если
окажется возможным проведение вычисления с малыми Z, то нук-
лон-нуклонное рассеяние будет выражаться через амплитуды
рассеяния мезонов нуклонами, амплитуду процесса л + п -> 2л;+
+ п и т. д.
Авторы выражают свою признательность Л. Д. Ландау за мно-
многочисленные дискуссии, а также В. Б. Берестецкому, Л. Б. Оку-
Окуню, А. П. Рудику, Я. А. Смородинскому, К. А. Тер-Мартиросяну,
И. М. Шмушкевичу за р#д полезных замечаний.
ПРИЛОЖЕНИЕ
1. Вычисление^!. Для вычисления интеграла Вг введем вспомо-
вспомогательную функцию
О
(П.1)
_ 2s2) у + [! _ &2 A _ 2)] 2
Искомый интеграл равен значению этой функции при и = 0, которое можно
записать в виде
l @) = Вг (оо) - Г дВ}№ йщ (П.2)
J ди
(П.З)
о
J С ydy
о
ЭВг (и) 1 f
h и2 4- 2 A — еу) VI — s*
(П.4)
110

Рассмотрим аналитические свойства функций (П.2), (П.З), (П.4) по пе-
переменной s2.\ Исходный интеграл был аналитической функцией на всей плос-
плоскости с разрезом от s2 = 0 до —оо (что соответствует q2 ^ 4ji2, t ^ 1 + 2?2).
В интеграле (р.З) появилась дополнительная особая точка s2 = 1 (q2 = 0),
поэтому для (EL3) необходимо сделать второй разрез от s2 = 1 до + оо (q2 ^
< 0, t <; 1). Интеграл (П.4) как функция переменной У\ — s2 аналитичеы
в правой полуплоскости, а как функция s2 — на всей плоскости с разрезом
от s2 = 1 до +оо, так как мы положили У1 — s2 > 0 при s2 < 1. Посколь-
Поскольку при вычислении фаз нужно интегрировать по разрезу s2 ^ 0 (q2 ^ 4ц2),
то вклад от второго слагаемого в (П.2) тождественно исчезает и его можно не
учитывать. Оставшийся интеграл вычисляется элементарно. Таким образом»
изложенный способ позволил нам точно выделить из исходного интеграла
A.11) сингулярное слагаемое, дающее вклад в B.15, I), «испортив» при этом
поведение функции в другой области, которая не входит в последующее ин-
интегрирование B.15, I).
2. Вычисление Вл. Интеграл Ва, которому соответствует фейнма-
новский график четвертого порядка, изображенный на рисунке, обладает,
в отличие от предыдущих интегралов, той особенностью, что подынтегральная
функция его параметрического представления A.20) сингулярна для любых
вещественных q2. Это приводит к тому, что вещественная ось для интеграла
•#4 (#2)> рассматриваемого формально при любых комплексных значениях
д2, является особой линией. Однако прямыми вычислениями мы покажем,
что функцию Вл можно аналитически продолжить из физической области на
iu'io плотность с рпарепом от q2 = 4 [i2 до -)- оо, что соответствует аналити-
аналитическому продолжению, использованному в разделе 2 работы 11]. При этом
Диаграмма для интеграла
она будет совпадать с исходным фейнмановским интегралом лишь в верхней
полуплоскости. Для вычисления фаз нам нужна именно эта функция, и мы
не будем вводить для нее особого обозначения.
Для вычисления оставшегося в A.24) интеграла по двум параметрам вве-
введем функцию
/ (u) = \dy ^ dx-1- arctg VE^U , (П.5)
о о
Ъ\ = s2 + 8 A — 2s2) у — [р2/гп2 4- б2 A — s2)] у2 + A — s2) & — *'0.
111

Искомый интеграл равен значению / (и) при и = 0:
f Ф) = f (ос) -^-^-du, (П.6)
О
/ 1-е у 1/?
— zy)) — \nR]dy, (П.7)
#2 =r s2 -t- к (i - - 2а-2) у - [р*/т? 4 е2 A — *2)] ?/2 — Ю,
\W)
о о
+ A — s'2) х2 + 2Еуи + /г2 7-г. (П.8)
Подынтегральное выражение в (П.7) сингулярно по-прежнему на всео
вещественной оси, поэтому при последующем интегрировании по dy нужнй
считать s3 вещественным, а результат интегрирования аналитически про
должать в нефизическую область. Подынтегральное выражение в (П.8) син-
сингулярно уже лишь для s2 < 0 (q2 ;> 4/л2), т. е. второе слагаемое в (П.6) яв-
является аналитической функцией на всей плоскости с разрезом от s2 = 0 до
— оо. После интегрирования по х (П.8) имеет вид
У*
3/ (") * I" «^ . У1-»Щ-гу)
~ТГ = 1/1-^73 ) — arc *8 ^ • (П-9>
о
fl2 = i-2 _|_ g^ A __ 2s2) -(- [Л7 — /?2//tt3 — 83 A — S2)] y2 + 2^2/1/ + U2.
Из этого интеграла выделим сингулярное на разрезе слагаемое, вводя
еще один вспомогательный параметр аналогично тому, как это сделано в
(П.1), (П.2):
т± ..^.ос) Г_,_/л.. (П10)
о
+ 2 A — еу) г' /1 — s-i \'Чу, u,v^0. (П.12)
Второе слагаемое в (П. 10) можно не учитывать, так как оно является ана-
аналитической функцией для Re s2 < 1 (Re q2 > 0). В оставшейся сингулярной
112

части (ТТД1) появилась дополнительная особая точка s2 = 1 и второй разрез
от s2 = 1 др + оо (q2 < 0). Подставим теперь (П.10), (П.И) в (П.6) и проин-
проинтегрируем rio du. На верхнем пределе интеграл расходится, но зависимость
от s2 исчезает^ поэтому нужно оставить лишь вклад от нижнего предела. Та-
Таким образом, Сингулярная часть, дающая вклад в B.15, I), имеет вид
о Jr—2
А VI —s j
1п
[ /Г2 __ р2/т2 __ е2 A __ S2)] уЗ _ /0.
Оставшийся в (П. 13) интеграл по dy вычисляется точно, так как после
интегрирования по частям и уничтожения ирраццрнальностей в знаменателе
интеграл приводится к элементарному:
2p2/m2 -f е2 е — liplm
In
Здесь обозначено:
/•', 2 B^/m* 1 к-) ( У I — 52 + 1 — s2) + AT2, F2 = 6 A + 2 У1 — s2),
A'i =- | A I e (t — 2^
Корень К выбран так, что он положителен в физической области, а разрез
направлен от s2 = —12/4 до —оо (q2 > 4jia (I + ?2/4)). При этом функция
(П. 14) аналитична на всей плоскости с указанным разрезом. Оставляя лишь
слагаемые, сингулярные при s2 < 1 (q2 > 0), получим
/ (ос) = ^ yj—s t- Kl ln (- Kl) + K*ln к^- (пл5>
Аналогично вычисляем второе слагаемое в (П. 13):
1 V-
8
0
Къ
- -2"—In К2 + К* In A/е + К2) — "W2* + 2ра Ь B^5 + JT) —
113

ln [2Ws + s A - 2S'-)] + J± + «!- In
-у" ^ {2
(? — e)} — -y- In {B? — VE* — plm*) [ К \/ E* — p'-
A - 2s"-)] + гК (К -| e)} + ^.Г In
где обозначено W2 = ?2 — P2. Опустив слагаемые, несингулярные при s2 <
< 1, а также последнее слагаемое, сингулярное при W = 0 (что соответствует
ф = 4т2), и сложивс(П.15), получим окончательно сингулярную часть исход-
исходного интеграла (для 4jAa <J q2 < 4m2);
2 /ПГР
- TpT + «2 In (^2 -?r + 8- + eJf ) - — In {2 (fi |
Ill — р-'/нъ-') X
X [К YE2 — р2/т2 + &Е A —2s2)] + &К (К — е)}*- (П.16)
2
— -~- In {2 (E — /JSr-8 — p2/^) [ЛГ V^2 — ^/w2 + еЯ A —
Характерной особенностью функций / (s2) и В± (б2), получающейся из
/ (s2) путем применения некоторого дифференциального оператора (см. A.24)),
является наличие двух особых точек: точки s2 = 0 (q2 = 4 ц2) и второй точки
s2 = —?а/4, которая соответствует значению К = 0 (д2 = 4ц,2 A + &2/^))«
При ?2/4 <^ 1 вторая точка находится в окрестности первой, а при ?2 —»" оо
отодвигается от первой на бесконечно большое расстояние. Очевидно, что чле-
члены, сингулярные только во второй точке, дадут вклад при интегрировании
в B.15, I) только при ?2/4 ^ 1/L, так как для них разрез начинается при \s*\ =
= ?а/4 и по сравнению с членами, сингулярными в первой точке, они после
интегрирования будут иметь дополнительный множитель ехр (—|2L/4).
В связи с этим такие слагаемые в (П.16) можно разложить по степеням ?2 и оста,
вить главные члены разложения. При этом точность фаз будет определяться
параметром ?а ехр (—g2L/4), исчезающим при ?2 -* 0 (большие энергии) и
при ?а —> сю (малые энергии). Наибольшая погрешность будет в промежуточ-
промежуточной области ?а/4 ^ 1/L, где этот параметр принимает максимальное значение
4/2,1L ж 1/L. Но даже в этой области разложение по I2 обеспечивает такую
же точность, как используемое нами асимптотическое разложение по 1/L.
Кроме того, нужно учитывать лишь первый член разложения по степеням К2,
аналогично тому, как мы учитывали лишь первый член разложения по степеням
s2. Учитывая эти замечания, упростим три последних слагаемых в (П.16),
114

после чего получим в нерелятивистском приближении для \s2\ ^ 1, \К\2 <^ в2
(П17>
Ближайшие поправочные члены к (П.17) при этом исчезают, а наибольшие
из оставшихся имеют вид КЪ*1Р*, К (р/т)ЧР2. Действуя на (П.17) дифферен-
дифференциальным оператором 2 (\/АЕ) (см. A.24)), получим формулу A.26).
Академия наук СССР Получено 12 июня 1959 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. А. Д. Галанин, А. Ф. Грашин, Б. Л. Иоффе, И. Я. Померанчук.
ЖЭТФ, 1959, 37, 1663 (Собр. трудов, № 92).
2. А. Ф. Грашин. ЖЭТФ, 1959, 36, 1717.
3* М. Moravcsik, P. Cziffra, M. MacGregor, H. Stapp. Bull. Amer. Phys.,
Soc, 1959, 4, 49.
4. H. Stapp, T. Ypsilantis, N. Metropolis. Phys. Rev., 1957, 105, 302.
5. S. Mandelstam. Phys. Rev., 1958, 112, 1344.
6. А.Ф. Грашин, И.Ю. Кобэарев. ЖЭТФ, 1960, 38, 3.

94
О ПРОЦЕССАХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ Т-КВАНТОВ
С НЕСТАБИЛЬНЫМИ ЧАСТИЦАМИ1
Совместно с И. М. Шмушкет те. и
В работе рассматриваются различные неупругие процессы при столк-
столкновениях быстрых частиц с ядрами, которые не сопровождаются возбуж-
возбуждением ядер. Амплитуды этих ft юцессов имеют при q2 = О (q2 обозначает
квадрат переданного ядру 4-имнульса) полюс, связанный с обменом вирту-
виртуальным фотоном. Этоприводит к тому, что при достаточно малых значени-
значениях q2 обмен фотоном дает больший вклад в амплитуду, чем обмен сильно-
взаимодействующими частицами. В результате* можно связать сечение рас-
рассматриваемого процесса при небольших пиачошшх (f1 с сечением взаимо-
взаимодействия ^-кванта с падающей частицей. При гшдшшмх :шсчоииях q2 nE^>
^> т (Е обозначает энергию падающей частицы в лабораторной системе
координат, а т-ее массу) энергия родившихся частиц ш, вычисленная в
их системе центра, ограниченна условием w2 — m'2<2# Vе!2-
Соотношение между сечениями упомянутых выше реакций эквивалент-
эквивалентно соотношению, следующему из рассмотрения реакций методом Вайцшке-
ра — Вильямса, и получено в настоящей работе коварипггпым образом. Об-
Обсуждаются условия применимости полученного соотношения, в частности,
для описания процессов с участием сильновзаимодействующих частиц. Оце-
Оценивается вклад процессов, происходящих в кулоновском поле ядра, в пол-
полное сечение взаимодействия падающей частицы с ядром. Подробно рассмат-
рассматриваются некоторые процессы, происходящие в кулоновском поле ядра:
тормозное излучение л или if-мезонов, превращение одного jt-мезона в два
я-мезона, переход Л-частицы в 2°-частицу.
1. Введение
Рассмотрим реакцию образования одной или нескольких ча-
частиц при столкновении быстрой частицы а с ядром N и будем счи-
считать, что ядро отдачи не возбуждается и не испытывает никаких
превращений:
а + N-+N + А, A.1)
где А обозначает набор родившихся частиц.
1 Nucl. Phys., 1961, 23, 452. Перевод В, И. Захарова.
116

Среди диаграмм, описывающих этот процесс, есть график,
.представленный на рис. 1. Жирные линии на этом графике соот-
соответствуют ядру, Р1 и Р2 обозначают импульсы ядра до и после
столкновения, р — импульс падающей частицы и q = Рг — Р2 —
импульс виртуального фотона, соответствующий множителю ilq2
в матричном элементе. Благодаря этому множителю вклад рас-
рассматриваемой диаграммы имеет полюс при q2 = 0 и велик при до-
достаточно малых значениях ф. Диаграммы, отвечающие обмену
я-мезоном между ядром и остальными частицами, не имеют по-
полюса при q2 = 0. Следовательно, при достаточно малых значе-
значениях: д2,
q2<ml A.2)
можно пренебречь вкладами всех диаграмм, кроме представлен-
представленной на рис. 1. Условие справедливости этого приближения будет
количественно сформулировано ниже (см. формулы B.4) и C.6)).
Обозначая энергию родившихся частиц в их системе центра
через w и массу частицы а — иг, имеем
w2 = - (р + qf = m2 — q2- 2qp. A.3)
Так как рассматриваются реакции, для которых w2 — т2 не
мало по сравнению с ml, то, вследствие предположения A.2),
членом q2 в правой части равенства A.3) можно пренебречь. То-
Р
Рис. 1
гда из соотношения A.3) следует, что в системе координат, где
частица а покоится до столкновения,
w2 — т2 п /ч
<?°= 2т ' W
Обозначая скорость и энергию ядра до столкновения через V и
Ех соответственно, находим, что в той же системе координат из
равенства Р\ = (Рх — qJ следует
A.5)
В рассматриваемых условиях величиной q2/2Et в правой части
A.5) можно, очевидно, пренебречь и, следовательно,
до=\ц. A.6)
117

Обозначая параллельную и перпендикулярную по отношению к
V составляющие вектора q как q ид соответственно
имеем
Ф = q\ + Ч\-Ч1 = <i\ + <rl(UV* - 1) - q\ \ \(w*-m*)/2p}\ A.8)
где р—импульс падающей частицы а в лаПорлторпой системе коор-
координат (Р3 — 0). Следует отметить, что соотношение A.6) может
быть записано в ипвариаптпой форме
= 0, A.9)
где U^ — вектор 4-скорости ядра
?^'= р^!М. A.10)
Следовательно, равенство A.6) имеет место в произвольной систе-
системе координат, если через V обозначить скорость ядра в этой си-
системе.
Из соотношения A.8) гнаходим, что максимальное зпачение
w при заданном ф равно
^тах-т2 = 2р1/"^7 A.11)
Из этого равенства следует, что если энергия Е падающей ча-
частицы достаточно велика, то величина сможет быть большой, если
даже ф очень мало и удовлетворяет уравнепию A.2) или более
сильному ограничению.
С другой стороны, при достаточно малых ф (в пределе при ф =
== 0) правая часть диаграммы, представленной на рис. 1, соответ-
соответствует матричному элементу образования частиц А при взаимо-
взаимодействии фотона с частицей а
Ч + а-*А. A.12)
Следовательно, сечение ас процесса A.1) может быть при
этих условиях просто связано с сечением ар фотопроцесса A.12).
Таким образом, изучение различных процессов при взаимо-
взаимодействии очень быстрых частиц с ядром, сопровождающихся ма-
малой передачей импульса ядру, может служить средством для опре-
определения сечений взаимодействия 7-квантов с нестабильными ча-
частицами г.
В разделе 2 настоящей статьи выводится общее соотношение
между течениями "процесса A.1) и соответствующего фотопроцес-
фотопроцесса A.12). Как само соотношение, так и его вывод, аналогичны,
конечно, полученным в работе [21 за исключением двух пунктов.
Аналогичные идеи высказываются в С1атье[1], которая была получена после
завершения настоящей работы.
118

Амплитуда рассматриваемых процессов имеет полюс, связанный с
обменом фотоном при q2 = 0. Хотя этот полюс не лежит в физиче-
физической области реакции, он может находиться сколь угодно близко
к йей при достаточно больших значениях энергии падающей ча-
частицы.
Следовательно, вычет в этом полюсе определяет величину
амплитуды при достаточно малых q2. Амплитуда же процессов,
рассмотренных в работе [2],имеет полюс при q2 = —ml, т. е. на
конечном расстоянии от физической области. Другое отличие свя-
связано с векторными свойствами фотонов и калибровочной инвари-
инвариантностью электромагнитных взаимодействий.
Соотношение между сечениями процессов, которое будет по-
получено в настоящей статье должно по существу совпадать с ре-
результатом, полученным на основе хорошо известного метода Вайц-
зекера — Вильямса [3J. Ковариантный способ получения этого
соотношения 21 возможно, представляет самостоятельный инте-
интерес тем более, что он может привести к более определенным крите-
критериям применимости результатов, особенно для процессов с уча-
участием сильно взаимодействующих частиц.
В разделе 3 вычисляется вклад процессов, происходящих в
кулоновском поле ядра, в полное сечение взаимодействия падаю-
падающей частицы с ядром, причем учитывается экранирование поля
ядра электронами. В разделе 4 подробно рассматриваются следую-
следующие реакции:
1. Тормозное изучение я- или if-мезонов в поле ядра (рис. 2)
n+N-*N + п + у, K + N-+N+K + y. A.13)
2. Переход при взаимодействии с ядром одного я-мезона
в два (рис. 3)
я + N -> N + ях + я2. A.14)
3. Переход Л-частицы при взаимодействии с ядром в 2°-части-
цу (рис. 4)
A + JV->iV + 2°. A.15)
1 Согласно сообщению Я. А. Смородинского, эта проблема рассматривалась
также А. Б а да л ян.
119

2. Вывод основной формулы и обсуждение метода
Пренебрегая вкладами всех диаграмм за исключением представ-
представленной на рис. 1, получаем для матричного элемента S-матри-
S-матрицы, соответствующего процессу A.1)
< А, Р, | S | р, Л> = - I Bя)* (^У
B.1)
где ExvlE2 — энергия ядра до и после» столкшжеиия, Е — энер-
энергия падающей частицы а,/ П(л)/ь где* /, m-JKi для фер-
миона и fi — V2 #i Для борона, в то время как соотнетствующие
множители для родившихся частиц считаются включенными под
знак произведения, и /а — аналогичный множитель для падающей
частицы. Полный 4-импульа частиц, образующих набор А, обо-
обозначен через Q. G^uRp представляют собой вершинные функции,
соответствующие левой и правой частям диаграммы.
Из калибровочной инвариантности теории следует, что
- 0, B.2)
= 0. B.3)
В дальнейшем для того чтобы не рассматривать распределение
заряда внутри ядра, мы ограничим возможные значения ф усло-
условием
g2<^i B.4)
которое является более сильным, чем условие A.2). Для таких
значений q2
G^ - -iZe (iV + P%v). B.5)
Равенство B.5), строго говоря, справедливо только для ядер
со спином 5 = 0. Если s Ф 0, то выражение для вершины G^ бу-
будет содержать дополнительные члены, которые, однако, будут со-
содержать в качестве сомножителей компоненты вектора q. Эти до-
дополнительные члены будут, следовательно, пренебрежимо малы,
и равенство B.5) может быть также использовано и в случае
01
1 Если, например, s = 1/2, то
+ -i- ftfii (gTll - y^q) Uh
где X — аномальный магнитный момент ядра. Очевидно, что
G* ^ " ш{Pl»+P*^{U2Ul) + it {ж +х)а* &* -т^ui
120

Согласно равенствам B.3), B.5) и A.10) имеем
GyMy. = —liZeP^ = —ШеМи^Я^. B.6)
Тот ф&кт, что величина Р2\*. не входит в уравнение B.6) и U^ удов-
удовлетворяет условию A.9), аналогичному соотношению B.2) в пре-
пренебрежении членами ~ ф (см. A.5)), соответствует тому, что в
рассматриваемых условиях отдача ядра несущественна и ку-
лоновское поле ядра может рассматриваться как внешнее. Исполь-
Используя затем соотношения B.3), A.9), A.6) и A.7), получаем
V - Rq/q0) =
= I?o A - УГГ1 {(Vq) (VR) - qR} = B.7)
- - l'/oA - Va)V.pi {A - У»)Ч|| + q±}R.
Согласно формуле B.3)
q,tR = Ч,|Кц =go«o-qxRx. B.8)
где R == R,, + Rx и R,, = (RV) R/F2, как и в равенстве A.7)
и, подставляя B.8) в B.7), получаем
7/ /? — _ (i _ 1/2у/2 » V1 q-L ± /о Q
Эта формула справедлива в любой системе координат (V обо-
ииачаот скорость ядра в соответствующей системе). Однако раз-
дг.>н^1ио исличины Г/,ь/?ц, на два члена в формуле B.9) не является
1НММГП1НИГГГ-КИ иипдришгптым, то есть ни один из этих членов не
является иннариантом. Ныборсм, следовательно, определенную
систему координат, именно такую, где частица а покоится до
столкновения (р = 0), как наиболее удобную. В дальнейшем соот-
соответствующие величины в этой системе координат будут обозна-
обозначаться как V, q0, Ro. Тогда 1 — V <^ 1 (так как в лабораторной
системе координат частица а, по предположению является ультра-
ультрарелятивистской). Далее, согласно равенствам A.8) и B.4), вели-
величины q± и г/0 A — V2I'2 имеют одинаковые предельные значения,
равные ткА~Ч\ Если предположить, что эти величины одного по-
порядка малости и что компоненты R^ представляют собой величи-
величины одного порядка в системе координат, где частица а покоится
до столкновения, то первый член в соотношении B.9) содер-
Произведение нового множителя 1/2М и нормировочных множителей
1^г = (M/EiI^2 и /У2 = (MIE\)la для ядра (которое в данном случае являет-
является фермионом) равно (AEiE2)"^% что точно совпадает с нормировочным
множителем для ядра со едином нуль, который учитывался в формуле B.1).
121

жит дополнительный малый множитель A — F2I/2 и может быть
отброшен г.
Так как это пренебрежение во всяком случае справедливо, ко-
когда q± =/= 0 и скорость V достаточно близка к едипице, то мы по-
получаем
Gpi?^ = 2iZeE1q1liA/q{). B.10)
Так как мы иптересуемся величиной амплитуды процесса A.1)
при малых q2, то в медленно меняющихся функциях можно поло-
положить ф ~ 0. Согласно равенству A.К) можно считать, что q±_ =
= 0, V = 1 в аргументах функций /?0 и И± и правых частях соот-
соотношений B.9) и B.10). Принтом выражепие* 7?,^ определяет ам-
амплитуду фотопроцесса A.12), причем квант распространяется в на-
направлении вектора V и имеет энергию q0 в системе координат, где
р = 0; е — единичный вектор поляризации кванта. Дифферен-
Дифференциальное сечение фотопроцесса dap определяется формулой
B.И)
где dV = П(д)(й3р|/BяK), q{) — импульс фотона в системе коор-
координат, где р = 0 (см. формулу A.4)), / — тот же множитель, что
и в равенстве B.1), величина ga равна яг, если частица а—фермион,
и равна V2i если а—бозон (ga = Efa см. B.1)).
С другой стороны, для дифференциального сечения процесса
A.1) имеем согласно B.1)
п
p-
где Р[ — импульс ядра в системе, где р = 0. Принимая во внима-
внимание соотношения B.10) и B.11) и замечая, что
dsP2 = d*q = q±dq±dq ц dtp = -у dq\dq fl dy B.13)
и что
dw2 /о ,* /ч
1 Выражение U^R^ может быть разделено на две части инвариантным образом
и записано как
V*it = "" pRlpU +(UR + ^W^^'
Принимая во внимание уравнения A.9), B.3) и A.6), легко показать, что в
системе координат, где р = 0]
pR F*
122

в системе координат где р = 0 (мы должны здесь использовать эту
систему координат, так как все величины в правой части равенства
B.10) выражены в этой системе), получаем
где мы пренебрегли отличием величин EJEX и У от единицы;
d(Jp (w, ф)-—дифференциальное сечение процесса A.12), отвечаю-
отвечающего кванту, поляризованному в направлении азимутального
угла ф, ос = е2/4я. Переходя в равенстве B.15) от переменной gj_ к
ф и прецебрегая различием между р и Е, получаем окончательно с
помощью равенства A.8):
, Z20L dw2 1 Го f w2—'m2\a"l , „, , , ч /о . ~ч
da< = -*г&=я v Iя ~ {~~ш~) Jdq d(fd3»{w>ф)•BЛ6^
Интегрируя по углу ф и обозначая опять проинтегрированное се-
сечение через do0, находим
— т2
где* dap (м;) обозначает дифференциальное сечение фотопроцесса,
ус])ОД11ошюе по различным поляризациям.
Так как мы положили q± ¦= 0 в выражениях для i?0 и Rjli т0
первый член & равенстве B.9) не зависит от азимутального угла ф,
а второй член пропорционален cos ф. Если не пренебрегать пер-
первым членом, то при подстановке B.9) в B.8) получаем после ин-
тогрирошшии но ф вместо B.17)
B.18)
где йй обозначает инвариантный элемент фазового объема
— Q)t B.19)
а. B.20)
Хотя множитель m2>{w2> — т?IЕ* мал, мы удерживаем в уравне-
уравнении B.18) второй член в фигурных скобках. Из равенства B.9)
следует, что учет этого члена имеет значение только, если величина
q± мала и удовлетворяет условию q± < q0 (I —- У2). Иными слова-
словами, при фиксированном значении q2 второй член в формуле B.18)
можно опускать всегда за исключением тех случаев, когда w2 —
— т? отличается от своего максимального значения и>\ v —
111 З.Х
— т2 = 2ЕуГA2 на величину порядка 2EY<l2m2lE2- Тем не менее
из уравнений B.9) и A.8) следует, что даже если q± = 0, выраже-
123

ние G^R^/q2 содержит множитель A — V2)~'^ -- Elm. Следова-
Следовательно, при достаточно больших энергиях вклад в полное сечение
кулоновского взаимодействия представляется важным даже в
случае q± = 0.
Следует отметить также следующее обстоятельство. Замена
q2 на нуль в аргументе функции R^ допустима в том случае, если
выполнено условие A.2). Величина тп фигурирует в этом нера-
неравенстве на том основании, что масса я мезона является наи-
наименьшей среди всех масс сильно взаимодействующих частиц. Это
неравенство приводит к меньшим ограничениям, чем соотношение
B.4) и по этой причине не принималось до сих пор во внимание.
Ио если мы рассматриваем процесс столкновения с ядром частиц,
обладающих только электромагнитными и слабыми взаимодей-
взаимодействиями, условие, аналогичное неравенству A.2), является глав-
главным. Так, для процессов, сопровождающих взаимодействие
электронов или [х-мезонов с ядрами (например, тормозное излуче-
излучение), должно быть выполнено условие
q2 < те B.21)
или соответственно
(f<^ml B.22)
Для электронов условие B.21) является всегда более сильным,
чем B.4). Что касается [х-мезонов, то ограничение B.4) не являет-
является очень существенным, хотя и может оказаться более сильным.
Если выполнено условие B.22), то соотношения, аналогичные
B.16), B.17) или B.18), остаются справедливыми, если даже не-
неравенство B.4) имеет обратный знак. И :>том случае следует толь-
только заменить Z на 7л1 (д2), где d {(j1) — зарядовый формфактор ядра.
Данные об этом формфакторе могут быть получены из эксперимен-
экспериментов по упругому рассеянию электронов ядрами. Для процессов
с участием сильно взаимодействующих частиц такая замена ока-
оказывается бесполезной. Как будет показано в разделе 3, ограниче-
ограничения на величину q2, связанные с учетом сильных взаимодействий,
оказываются, во всяком случае, не менее сильными, чем усло-
условие B.4).
Формулы, выделенные в этом разделе, сопадают но существу
с результатами, полученными в работе [3], причем различие сво-
сводится к тому, что здесь они получены в дифференциальной форме,
в то время как в работах [3] найдены соотношения для сечений,
проинтегрированных по спектру псевдофотоиов (по q2 и wl в наших
обозначениях). Следует отметить, что ограничение на величину
q2 в форме B.21) в настоящей работе получено исходя из требова-
требования о возможности замены q2 в аргументах вершинных функций
Rj^ и Ro значением, отвечающим реальному фотону. В хорошо из-
известных статьях, цитированных выше, неравенство B.21) следует
из принципа неопределенности, ^ограничивающего возможность
применения полуклассического метода, использованного в этих
статьях.
124

3. Вклад в полное сечение взаимодействия
релятивистской частицы с ядром от процессов,
происходящих в кулоновском поле ядра
Пренебрегая вторым членом в фигурных скобках в равенстве
B.18), интегрируя это равенство по всем переменным, за исключе-
исключением q2 и и;2, и обозначая результат как ас (g2, w2) dq2dw2y имеем
ma \2"| . .
-} J. C.1)
Пусть w0 является пороговой энергией рассматриваемого фото-
фотопроцесса A.12). Тогда, принимая во внимание равенства A.8) и
A.11), получаем для пределов интегрирования по w2 и ф
2 2
lVm\n ~ Wq,
C.2)
Просуммируем C.1) по всем неупругим процессам A.1), возмож-
возможным при данном значении w. Тогда для дифференциального сече-
сечения 0с (g2, w2) dq2dw2 имеем выражение, которое отличается от
пр*авой части C.1) только заменой сгр (w) на о(р (w) — полное се-
сечение взаимодействия ^-кванта с частицей а. Интегрируя получен-
полученное соотношение по w2:
в[ (q2) dq2 =dg» j в[ (q2, w2) dw2 = ^ If X
"o, min
a/-: V<t>\m* C.3)
J (//r //r) ' r/2 ^ ^—j
^0, min
где i^o.min — наименьшее пороговое значение w для неупругих
процессов. Если бы мы приняли во внимание второй член в фигур-
фигурных скобках в равенстве B.18), то его вклад после интегрирова-
интегрирования по w2 был бы пренебрежимо мал.
Если предположить, что, начиная с некоторого значения w,
равного е, сечение ор (w) остается постоянным при росте w, то
можно вычислить величину olc (q2). Заменяя в формуле C.3) низ-
низший предел интегрирования на 8 и предполагая, что 2
^> е2 — т2, получаем
е 1г (е2 —
Интересно сравнить величину этогй сечения с сечением чисто
ядерного взаимодействия oN (q2) dq2. Предположим опять, что в
125

пределе больших энергий Ё суммарное сечение неупругих процеб-
сов становится постоянным и равным геометрическому сечению
пт^Аг1\ Тогда для величины d^ (q2) при малых ф имеем по по-
порядку величины
= ~^. C.5)
где q — среднее значение переданною ядру импульса при столк-
столкновении, например, релятивистских л-моиолом с ядром. Предпо-
Предполагая, что Op ^ a/nia, находим мл сравнения соотношений C.4) и
C.5), что сечения а[ (q2) и alN (g2) становятся ранными нри
^ C-6)
Рассмотрим такие энергии, что (In 22? ]/qVeV* (е2 — т2)I^ ж 1,
хотя 2i? ]/g2/(e2 — т2) "> I. Предполагая, что q ж B — 3) тп, по-
получаем из равенства C.6), что даже для тяжелых ядер вклад про-
процессов в кулоновском поле ядра становится доминирующим только
при очень небольших значениях \/qz, ранных, по порядку ве-
величины, 10—15 Мэв/с. Это приводит, конечно, к тому, что опре-
определение сечения взаимодействия у-кв^нтов с нестабильными ча-
частицами из экспериментрв по взаимодействию этих частиц с
ядрами представляет собой очень трудную экспериментальную
задачу.
Оценим, наконец, вклад кулоповского иол я ядра в полное се-
чение. Для этого проинтегрируем C.4) по д2 от q^m — {(?2 —
— т2)/2Е}2 (см. C.2)) до (/шах = п&А*1к Тогда получаем
C.7)
/3 (82 _ /?г2)
t
Если даже мы предположим, что ор (и) постоянно для w ^> е, то
ас растет пропорционально In2 E только до энергий, ограничен-
ограниченных условием
(е2 _ т2)/2Е > 1/а0, C.8)
где
а0 = l/meaZ1/s. C.9)
Если
(е2 _ т*)/2Е < 1/а0, C.10)
то начинает играть роль экранирование электронами заряда ядра.
Заменяя при интегрировании равенства C.4) низший предел на
1/а2,, мы получаем в этом случае
ос = бр In S—ггivn I" 1/—  5 • C.11)
126

Если 8 представляет собой величину порядка нескольких я-мезон-
ных масс, то из равенства C.10) следует, что экранирование про-
проявляется только при энергиях Е ^> 1013 эв. Если положить Е —
= 1012 эв, Z = 70, сГр = a/mli то с помощью равенства C.7) на-
находим
ас « 40 мб. C.12))
4. Применение к некоторым кэнкретным прэдесеам
Для процесса тормозного излучения A.13) имеем
Яр = Щ*е*, D.1)
где е„ — вектор поляризации излучаемого фотона. Импульс фо-
фотона будет в дальнейшем обозначаться к, а импульс мезона после
излучения —р'. Тензор М^ отвечает вершинной части с двумя
мезонными и двумя фотонными линиями (см. правую часть диа-
диаграммы на~рис. 2). Для того чтобы написать общее выражение
для Afyv, построим четыре ортогональных вектора [41 n(i> из векто-
векторов р, р', q, к, имея в виду, что #2^=0. Прежде всего введем 4-век-
торы
K = k + q, t = k-q, Р = р + р>. D.2)
Тогда 4-векторы
^ = ^ - К» (Kt)lK\ Р^ = Pj, - К» (РК)!К* - tp (Pt')lt'\
Л/р, = ie^pPlKxtp D.3)
iimim'ii' с. шчстором А" образуют искомую систему векторов. Следо-
iiii'I'imii.iio, /!/,,„ movltt Г)М11, Т1[)(*дстпплеп в следующей форме:
<l/i» ='% 1>„ (»>2, l\ <f) /^V,k). D.4)
Условия qpMpv и Mpiv^v = 0, которые следуют из калибровоч-
калибровочной инвариантности, приводят к ряду соотношений между величи-
величинами fcjfc. Окончательно, для М^ получаем
сг {q^ — ^q/q) [ +
D.5)
Величины аи а2, си с2, с3 представляют собой функции тех же ин-
инвариантов, что и bik. Так как к^е^ = 0, то
Rp = ах (Р'е) Р'р + а2 (Ne) N^ + сх (Р'е) (?1г - krfikq). D.6)
127

Подставляя равенство D.6) в B.9) и полагая везде, где возможно,
ф = О, имеем
, Z2ot dw*
я и;2—m2
q2 (Г 9 /u>2 —m2\'-a'
V g2 - —o-f— )
D.7)
где dop — дифференциальное сечение эффекта Комптона на
я- или if-мезонах
В соотношениях D.7) й D.8) было выполнено интегрирование
по азимуту вектора t. Как уже упоминалось в разделе 2 (см. об-
обсуждение после формулы B.20)), в основной области изменения
ф и w2 вторым членом в соотношении D.7) можно пренебречь.
Измерение сечения тормозного излучения п рассматриваемых ус-
условиях позволило бы определить сечение комптоно некого рас-
Тг ^ m (w2 — m2)
сеяния на я-или А-мезонах, и и:ше])спис при q±<^—hrui
позволило бы определить второй член в фигурной скобке в равен-
равенстве D.7).
При вычислении вклада в величину /?0 = ~ p^R\x третьего
члена в соотношении D.6), который содержит множитель q^ —
—ky.q2/kq, мы пренебрегли членом q[X. Так как в первоначаль-
первоначальном выражении U^R^ члены в i?^, пропорциональные д^, не дают
вклада, то может показаться, что третий член в равенстве D.6)
должен быть целиком опущен. Такое заключение, однако, невер-
неверно, поскольку D.6) подставляется в уравнение B.9) в уже преоб-
преобразованном виде, когда каждый из члепов содержит явным обра-
образом малый множитель 1 — V2 или qL. Следовательно, н других
множителях (в частности в q^ — k\Xq*/kq), мы должиы положить
q2 — 0. Если с самого начала выбрать в качестве исходного вы-
выражение U^F\x, где Fjx = Цу. + q2f[*., то из условия F^q^ — 0 сле-
следует, что др.Дх = — 1. После этого легко получить, что
« - q'lQo A - У)* = - q0 A - 7«)'/« - q^lq, A - V^'K
При условии, что gx <q0 A — F2) вторым членом можно пренеб-
пренебречь, и мы получаем
ОД* = - ?о A - П4' = A - УГ* 4v.Pv.lm,
т. е. тот же результат, что и при подстановке в B.9) q^ вместо F^.
128

Для процесса A.14) я + N -*¦ N + пх + яа вершинная часть
Rp является псевдовектором. Пусть рг и р2 обозначают импульсы
родившихся я-мезонов. Тогда из векторов q, p, р±, р2у удовлетво-
удовлетворяющих уравнению q + р = pi~\- p2, можно построить только
один независимый псевдовектор N^ = 1г^^ар^р19рг<5. Он удов-
удовлетворяет условию qyN\L ¦— 0.
Мы можем, следовательно, считать, что
Rv = a(w\t\q*)NVi, D.9)
где t = рг — р. Для рассматриваемого процесса формула, свя-
связывающая сечения реакций я+Л^->-Л^ + я1 + Я2 и у + я ->•
->• я2 + я2, совпадает с B.17). Так как N^pp = 0, то в этой форму-
формуле нет члена, аналогичного второму члену в соотношениях B.18)
или D.7). Дифференциальное сечение dop реакции у + л ->* % +
+ ^2» усредненное по поляризациям и проинтегрированное по
азимуту вектора ?, следующим образом связано с формфактором
a (w\ t\ 0)
dCo = —t^ 7-5 ^o Ля. D.10)
p 128л (w2 — m2J v ;
Остановимся теперь на процессе A.15) Л + N -> N + 2°.
Выполняя над амплитудой этой реакции те же преобразования,
которые привели от формулы B.9) к B.18), получаем
Усрпдшш ;»'го соотношение по различным направлениям спина
Л-частицы и суммируя мо шшрпнлшшим спина 2°-частицы, име-
имеем
где мы учли соотношение между временем жизни х 2°-частицы
по отношению к распаду 2° ->¦ Л + 7 и величиной | RjJ2
\ «w т А (т% — т\)
_^_ = Ais^ л; |R^|2 DЛЗ)
Черта над \ Ro |2 и | RjJ 2 означает усреднение и суммирование по
спинам начального и конечного состояний соответственно. Для
того чтобы оценить вклад, связанный с кулоновским полем в^пол-
5 И. Я. Помераычук, т. III 129

ное сечение перехода Л в 2° при столкновении Л-частиц с яд-
ядром, проинтегрируем D.12) по ф в пределах от #min = (^е — т2\)/
/BЕJ до gmax = т,пА~2/з'<, вторым членом в фигурных скобках в
равенстве D.12) можно при этом пренебречь. В результате инте-
интегрирования получаем
_ Ifa&fm». 2т В
Распад 2° -> Л + У представляет собой Л/, или Ех переход (в за-
зависимости от относительной четности Л и 2°-частиц). Поэтому
можно оценить время т, используя формулу для вероятности ди-
польного перехода 1/т = 2/3 (т^ — гпхK\л2 и принимая естествен-
естественное предположение, что величина \i дипольного момента перехо-
перехода заключена в пределах аЧ*/тп и сСЧт^. Тогда при Е ж 1010 эв
и Za = 1/2 получаем следующую оценку: 0,4 мб < ас < 20 ле5.
Уравнение D.14) имеет место, если
"?~^ , D.15)
когда несущественно экранирование кулоновского поля ядра
электронами. Полагая при больших энергиях нижний предел ин-
интегрирования по д2 равным l/al (см. C.9)), находим
В лабораторной системе координат величина q2 связана с углом
0 между направлением вылета 2°-частицы и импульсом Л-час-
тицы
g* = (ml - т\I2Е + E2Q\ D.17)
Подставляя это выражение в равенство D.12) и вводя элемент
тедесного угла dQ = 2n0d0, получаем следующую формулу для
углового распределения родившихся 2°-частиц
m-_m- чгу + е»)»^' DЛ8)
где
130

Величины х и 0Х можно легко выразить через формфакторы вер-
вершинной части Ry.. Записывая последнюю в форме
Д^^Г^иа), D.20)
мы можем определить наиболее общий вид Г^, удовлетворяющий
условию B.3). Если четности РА и Рц частиц Л и 2° одинаковы, то
IV = - i {a (g«) ^ + ОТд!!'тА Гц) + Ь (<72) (Т^ - ?Гц)} . D.21)
Если РА = —Pz, то
IV = Т5 {«(q2) (я* - 'ms+mA ти) + ь(?2)(v? - <?Ц • D-22)
Как это следует из инвариантности сильных взаимодействий
по отношению к операции зарядового сопряжения, формфакторы
a (q2) и Ъ (д2) в обеих этих формулах представляют собой действи-
действительные величины и совпадают, за исключением тривиальных мно-
множителей, с матричным элементом <2° | j^ @) | Л>, где /ц (х) —
эрмитовский оператор тока.
В обоих случаях РА = Р% и РА = —Р% имеем
D.23,
Для 0! можно получить следующие выражения:
( —i
2 (mE—
, если РА=-
Условие применимости полученной формулы сводится для рас-
рассматриваемого процесса к следующему неравенству
^. D.25)
Так как 9Х <^ 92 <^ mJEA1!; то уравнение D.18) содержит
только один неизвестный параметр т. Поэтому время жизни 2°-
частицы может быть определено путем измерения сечения перехо-
перехода Л-частицы в 2°-частицу для углов вылета 0, меняющих-
меняющихся в пределах 0г <^У0 <^ mJEA*1*, или полного сечения процесса
ас (см. уравнения D.14) или D.16)) при условии малой передачи
импульса ядру (g2 <^ mlA^).
5* 131

Мы благодарим профессора О. Пиччиони за интересные об-
обсуждения проблем, затронутых в настоящей работе во время 9-й
Международной конференции по физике высоких энергий, прохо-
проходившей в Киеве в 1959 году.
Мы благодарим также В. Б. Берестецкого, В. Н. Грибова,
И. Т. Дятлова за обсуждения, полезные замечания и интерес к
нашей работе.
Институт теоретической Получено 25 июля 1960 г.
и экспериментальной физики, Москва
Физико-технический институт
Академии наук СССР, Ленинград
ЛИТЕРАТУРА
1. M.L. Good, W.D. Walker/ Preprint.
2. G. F. Chew, F. E. Low. Phys. Rev., 1959, 113, 1640.
3. G. Weizsacker. Z. Phys., 1934, 88, 612; E. Williams. Phys. Rev., 1934, 45,
729.
4. R. E. Prange. Phys. Rev., 1958, 110, 240.

95
ОБ ОБРАЗОВАНИИ ПУЧКОВ я-МЕЗОНОВ
БОЛЬШОЙ ЭНЕРГИИ1
Совместно с Ю. П. Никитиным и И. М. Шмушкевичем
Вычислено сечение образования быстрых я+-мезонов при столкновениях
протонов высокой энергии с ядрами, в результате которых ядру передается
малый импульс. В таких условиях основную роль во взаимодействии играет
обмен виртуальными фотонами. Поэтому рассматриваемое сечение опреде-
определяется с помощью существующих экспериментальных данных о сечении фото-
фотообразования я+-мезонов на протонах.
Пучки быстрых jt-мезонов получаются в настоящее время на
протонных ускорителях благодаря взаимодействию первичных
протонов с ядрами. Если эти протоны имеют энергию El порядка
30—40 Бэв, то, как будет показано ниже, для генерации jt+-мезо-
jt+-мезонов с энергией еь ^ 0,4—0,5 Еь существенную роль играет ме-
механизм, связанный с действием кулонова поля ядра. Речь идет о
реакции
р +N-+N + n + n+, A)
в которой ядру N передается малый импульс. Если выполняется
условие
9«<цМЛ B)
где д2 = (Р — Р')г, Р и Р' — 4-импульсы ядра до и после столк-
столкновения, А — атомный вес ядра и \i — масса я-мезона, то, как
показано ранее [1], в амплитуду процесса A) основной вклад вно-
вносят графики, связанные с обменом виртуальными фотонами (см.
рис. 1). В этих условиях дифференциальное поперечное сечение
процесса A) da можно определить по методу Вайцзекера — Виль-
ямса, используя имеющиеся экспериментальные данные о сече-
сечении фотообразования я-мезонов на нуклонах. Исходя из связи
между этими сечениями (см. [1], формула B.17)), имеем
, Z4 dw2 dq2 Г 2 / м?2—m2 \2"|
ds = —i^r^ -ф? [q - (~^Г~) Гр (а = /l37)' C)
Здесь Z — заряд ядра; EL — энергия налетающего протона в
лабораторной системе координат (лаб. с); т — масса протона;
w — энергия образующихся в реакции нейтрона и я+-мезона (или
ЖЭТФ, 1961, 41, 963.
133

протона и я°-мезона) в С-системе, т. е. в системе центра масс
(с.ц.м.) этих частиц; dop — дифференциальное поперечное се-
сечение фотоп^оцесса
у -\ р -+-п + я+, D)
которое мы запишем следующим образом:
dep = 2пвр (со, 9С) sin 0cd0c, E)
где 0С — угол между импульсами я-мезона и у-кванта в С-систе-
ме, а со — частота в И7-системе, т. е. в той системе координат, в
которой покоится протон до столкновения.
Р
Рис. 1
Принимая во внимание, что w2 = т2 + 2иш, проинтегрируем
C) по q2 в пределах между
*min '
ш2 — т* \2
2EL )
тсо
Обозначая получившийся результат через on(Ei, co,0c)dcosin0cd0c,
имеем
оп (Еи со, Вс) dco sin 0cd0c = 2Z2a | 21n
^Gp(co,0c)sin0cd0r. F)
Заметим, что в силу условия B) и того, что со2 — т2<^2Еь 1Л/2,
допускаемые значения со ограничиваются условием
Для того чтобы получить энергетическое и угловое распреде-
распределения я-мезонов в лаб. с, перейдем, прежде всего, в F) от 0С и
со к другим переменным гь и 0/, — энергии и углу вылета (от-
(отсчитанного от направления импульса первичных протонов)
образующегося я-мезона в лаб. с.
134

Из законов сохранения, относящихся к процессу D), следует,
что
cos 0 = Um + со) е — та)]|— -^ \i2j I g(o, (8)
где ей g — энергия и импульс образующегося л-мезона в
Й^-системе, а 0 — угол между импульсами л-мезона и у-кванта в
этой же системе. С другой стороны,
L L-^Lcos0). (9)
Из (8) и (9) имеем
Учитывая G), вторым слагаемым в знаменателе получивше-
получившегося выражения для е можно пренебречь. Действительно,
PL /~ m 2EI ^2^ тАЧ> 2ЕА^ ^ К '
Кроме того, в числителе A0) можно пренебречь слагаемым [
так как во всяком случае е > (х. Следовательно, с достаточно хо-
хорошей точностью
. A2)
Рассмотрим теперь те я-мезоны, которые в лаб. с. вылетают под
малыми углами к направлению первичных протонов, имея при
итим очсчп» большую энергию еь, составляющую заметную долю
иноргми /*'/,. Кик мы сейчас увидим, эти я-мезоны и в ^-системе
будут к пгмоипом ролятинистскими, т. е. для них e~g^|x.
Иринимпя :>то но нпимапио, ил (9) и A2) получаем
со = meL/(EL - eL) [I - (pL/EL) cos 0]. A3)
Отсюда при заданном гь для минимальной частоты (omjn
(соответствующей 0 = я) имеем
Минимальное значение е, соответствующее comin, оказывается,
согласно A2), равным тгь/2Еь. Поэтому сделанное раньше пред-
предположение о том, что е^ [х, выполняется для тех я-мезонов, энер-
энергия которых в лаб. с. е^ удовлетворяет условию
eL^ 2[iELIm=e1. A5)
С другой стороны, для максимальной частоты (отах из A3) сле-
следуют также значения со (сощах = 2еьЕ2ь/т(Еь — еь)), кото-
135

рые при интересующих нас больших гь всегда много больше (отах,
определяемого соотношением G). Поэтому в F) интегрирование
по со должно производиться в пределах от comin до сотах = |х?д/
/тАЧ*. При этом условие comin < comax определяет верхний предел
для 8l, возможный при выполнении условия G):
EL EL
(8b)max = l+m/2comax = i . тм'/./2цЯг = Ч' {Щ
Таким образом, рождение быстрых я-мезонов с энергией
El ^ 2\iEJm на кулоновском поле ядра возможно только при
достаточно большой энергии Еь налетающих протонов
EL^mA1/3l(l + 2\x!m). A7)
Обозначим через V скорость С-системы относительно W-системы
и через v — скорость образующегося я-мезона в С-системе:
У = 1^ , у = V (со - v?l2m? - (х*/(со + V?l2m). A8)
Тогда
[^]/[^] A9)
С той же точностью, с какой было получено соотношение
A3), имеем
cos9c » fcos9 - -2_ 1 /fl - _« cos^el = 1 - -^{2 + ^) .
B0)
Далее,
ЯЛ - /(^ - m*)K - fi2) cos 9L = me. B1)
Отсюда, учитывая A2) и A5), получаем
L
Следовательно, для малых 0l (9l<^ 1), которые только и суще-
существенны для рассматриваемого процесса, имеем
2тсо Л eL \ т2
^] B3)
136

Максимально возможный угол 8™ах (Ejt, гь) вылета я-мезонов с
энергией еь, допускаемый соотношением G), оказывается поэто-
поэтому равным
- %) - ? . B4)
Формулы B0) и B3) позволяют произвести в F) переход к пере-
переменным гь и 0l, в результате чего находим
со
/ м \21 6? + т2/етЕт
-1 + [—- VpK 6с) Т о <Мйг- B5)
Здесь со и 0С определяются при заданных еьи 0^ формулами B0)
и B3), a dQL =¦ 2nQLdQL.
Для получения энергетического распределения образующих-
образующихся я-мезонов удобнее сразу в F) перейти с помощью B0) от
переменной 6С к еь и проинтегрировать получившееся выражение
по со в пределах, определяемых формулами G) и A4). Тогда по-
получим
<°тах
On (EL, <е7) deT — deL ^ оп (со, 0С) sin 0C .-gj2- dco=
"min
"max
со \*1х
X ^5p @), tfc) ( Z -[ J . (ZO)
Имеющиеся данные о сечении фотообразования я-мезонов на
нуклонах удобно представить в виде
ор(со, 0С) = Л(со) + B(co)cos0c + C(co)cos20o, B7)
где А (со), 3 (о)) и С (со) — известные из экспериментов величины
(см. [2], где собраны данные о фоторождении я+-мезонов для энер-
энергии у-квантов, меньшей 1 Бэв). С учетом B0) это дает возможность
провести численное интегрирование в B6) и получить энергети-
энергетический спектр я-мезонов с энергией еь, лежащей в интервале от
2|х Еь/т до Еь/{1 + тгАЧ2\\,Еь) (см. A5) и A6)), и вылетаю-
вылетающих в узком конусе с углом раствора 0?ах (Еь, ?ь) (см. B4)).
Результаты вычисленного таким способом сечения оп(Еь,&ь)
для ядер с Z = 82 и А = 207 (РЬ) и для значений энергии
первичных протонов EL = 20, 30, 40 Бэв при различных значе-
значениях 8l содержатся в табл. 1.
137

Таблица 1
Сечение а„
KL, Бее
20
30
40
0,30
131
194
226
0,35
59
108
129
0,40
15
30
50
0,50
0,02
1,9
5,3
По поводу этих вычислений заметим следующее. Частота о),
соответствующая резонансу C/2, 3/2) порядка 2|х. Поэтому, если
comin ^2 |х, то область резонанса попадет внутрь интервала ин-
интегрирования в B6). Согласно A4) это будет иметь место, если
Основной вклад в интеграл для оп (El, &l) будут тогда вно-
вносить частоты со, близкие (omin. Поэтому, если дополнительно
к B8) будет выполняться условие
>1, B9)
то при существенных значениях со будет большим и первый мно-
множитель в подынтегральном выражении, B6) (логарифмический
член велик). При выполнении условий B8) и B9) можно ожидать,
что рассмотренный механизм, связанный с действием кулонова
поля ядра, будет вносить заметный и может быть даже основ-
основной вклад (т. е. превышающий вклад, связанный с чисто ядерными
взаимодействиями) в сечение образования быстрых я-мезонов.
Для я-мезонов с энергией еь, удовлетворяющих условию B8),
неравенство B9) сводится к следующему:
Еь/2тА1/з^>1. C0)
Выполнение условия B9) существенно еще и по следующим
причинам. При переходе от C) к F) мы заменили неравенство
B), являющееся условием применимости C), точным равенством,
определяющим верхний предел интегрирования по q2. Возникаю-
Возникающая из-за этого неточность будет незначительной, если аргумент
логарифма в квадратных скобках F) (Ощах/со будет много больше
единицы. Поэтому и для оп (Е^, еь) соответствующая ошибка бу-
будет малой при выполнении условия B9).
При энергии первичных протонов El, равной, например,
30 Бэв, и энергии образуемых я-мезонов el = 0,4Z?l = 12 Бэв вы-
выполняется условие B8) и (Omax/(omin ж 2,5. Поэтому можно ду-
думать, что при этих условиях рассмотренный механизм вносит
138

Таблица 2
EL, Бэв
<
Сечения
20
0,146
1,09
0
2
30
,395
,54
и о,
0
3
40
,656
,88
Ю-27 см2
50
5,05
60
6,08
75
7,38
существенный вклад в образование я-мезонов соответствующей
энергии, вылетающих под углами, не превышающими примерно
2° (см. формулу B4)). По-видимому, этот механизм будет оста-
оставаться существенным в области энергии я-мезонов гь ^ 0,4 Еь, ко-
которая с ростом El будет составлять все большую долю энергии.
В первой строке табл. 2 даны значения сечения оп (EL), кото-
которые получены в результате численного интегрирования ап (El,Sl)
по гь в пределах, определяемых A5) и A6):
«2
C1)
Но нторой строке этой таблицы приведены данные, показываю-
показывающие зависимость от El сечения on{Ei), отвечающего образованию
в реакции A) я-мезонов с любыми импульсами, при которых вы-
выполняется условие B). Это сечение соответствует я-мезонам, ко-
которые в л.с. могут иметь не только большую, но и малую энергию
(еь < 2\xEJ™<)- Величина этого сечения получается заменой в
Рис. 2
F) дифференциального поперечного сечения 2яар(<а, 0с) sin Ocd0c
на полное сечение реакции D) сгр (са) с последующим численным
интегрированием по со в пределах от щ — \i (I -f- \x/2m) (энерге-
(энергетический порог реакции D))'до о)тах, определяемого формулой G)
Z2a
Г91 ®тах
|21п—
. C2)
139

Сечения оп (El, eL) и ап (El) могут быть вычислены с помо-
помощью существующих экспериментальных данных только для энер-
энергии первичных протонов El <C 40 Бэв. Энергии El, большей
40 Бэв, соответствует, согласно G), (отах, которая при А = 207
превышает 1 Бэв. Соответствующих данных для сечения фотопро-
фотопроцесса D) ор (со, 6С) при энергии у-квантов, большей 1 Бэв, пока
нет. Сечение же оп (El) может быть с хорошей точностью вычислено
и при El <C 40 Бэв. Это обусловлено тем, что основной вклад в
интеграл в правой части C2) обязан сравнительно низким часто-
частотам, отвечающим резонансу (8/2, 3U)-
В недавно опубликованной работе [3] Дрелл пришел к за-
заключению, что выход я-мезонов очень большой энергии должен
быть выше на электронных ускорителях, а не на протонных, уже
при энергии у-квантов (возникающих при тормозном излучении
электронов) и протонов El = 25 Бэв. Но, оценивая сечение обра-
образования быстрых я-мезонов при столкновениях протонов с яд-
ядрами, Дрелл исходил из результатов, основанных на статистичес-
статистической модели. Однако применимость статистических расчетов веро-
вероятности процессов, в которых почти вся энергия сталкивающихся
частиц передается одной частице, вызывает, по-видимому, наи-
наибольшие сомнения. С другой стороны, сечение фотообразования
я-мезонов на ядрах вычислялось Дреллом в полюсном прибли-
приближении, т. е. только с учетом графиков, изображенных на рис. 2
(на котором X и (п) соответствуют ядру в начальном и конечном
состояниях). В применении к процессам с участием ядер закон-
законность такого приближения вызывает особые сомнения (см. заме-
замечания Гелл-Манна [4] по поводу работы Дрелла), так как возмож-
возможно, что ближайшая особенность по величине передаваемого ядру
импульса в амплитуде таких процессов связана не с (х-массой
я-мезона, а с меньшей величиной 1/R = \i/A4* (R — радиус
ядра).
Академия наук СССР Получено 25 апреля 1961 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. И. Я. Померанчук, И. М. Шмушкевич. Nucl. Phys., 1961, 23, 452 (Собр.
трудов, № 94).
2. Г. Бете, Ф. Гофман. Мезоны и поля, т. 2, ИИЛ, 1957, Я. Н. Bingham,
А. В. Clegg. Phys. Rev., 1958, 112, 2053; F. P. Dixon, R. L. Walker.
Phys. Rev. Lett, 1958, 1, 459.
3. S. D. Drell. Phys. Rev. Lett., 1960, 5, 278.
4. M. Gell-Mann. Proc. 1960 Annual Internat. Conf. High Energy Phys.
Rochester, Univ. Rochester, 1960, p. 641.

II
ДИФРАКЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ
96
ОБ УПРУГОМ РАССЕЯНИИ
ЯДРАМИ БЫСТРЫХ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ1
Совместно с А. Ахиезером
Рассматривается рассеяние быстрых частиц, могущих поглощаться яд-
ядрами. Картина рассеяния эквивалента дифракции заряженных волн от аб-
абсолютно черного шарика. Выведенные формулы являются обобщением диф-
дифракционного рассеяния быстрых нейтронов для случая заряженных частиц.
Бор, Пайерс и Плачек и Бете [1] показали, что упругое рассе-
рассеяние быстрых нейтронов ядрами должно происходить, главным
образом, на малые углы. При этом предполагается, что коэффи-
коэффициент прилипания нейтронов, длина волны которых считается
малой по сравнению с размерами ядра, равен единице для при-
прицельных параметров, меньших, чем радиус ядра, и равен нулю,
если прицельный параметр больше радиуса ядра. Таким образом,
анизотропное рассеяние обусловлено поглощением нейтронов,
попадающих на поверхность ядра; его можно рассматривать как
дифракцию нейтронов от абсолютно черного шарика.
Естественно возникает вопрос о влиянии ядерного взаимодей-
взаимодействия на рассеяние быстрых заряженных частиц, также могущих
поглощаться ядрами. Такими частицами могут быть протоны,
а-частицы, дейтроны и другие, употребляемые при ядерных реакци-
реакциях; необходимо только, чтобы, попадая на поверхность ядра, части-
частицы захватывались им и образовывали составное ядро. К числу рас-
рассматриваемых частиц можно отнести также медленные мезотроны,
если предположить, что они интенсивно захватываются ядрами 2.
1 ЖЭТФ, 1946, 16, 396; J. Phys. USSR, 1945, 9, 471.
2 Недавние экспериментальные результаты Росси [2] по распаду медленных
(нерелятивистских) мезотронов указывают на то, что медленные отрицатель-
отрицательные мезотроны не успевают распасться из-за захвата их ядрами.
141

Исследованию рассеяния быстрых заряженных частиц, силь-
сильно поглощающихся ядрами, посвящена настоящая статья. Если
рассеяние быстрых нейтронов аналогично дифракции света от
абсолютно черного тела, то в данном случае речь идет о дифрак-
дифракции заряженных лучей от абсолютно черного заряженного
шара.
Будем исходить из следующей формулы, определяющей амп-
амплитуду рассеянной волны [3, 4]:
/ (в) = 2?Г S (Р - 1) B« + 1) Рп (cos 9), A)
где к — волновой вектор падающих частиц вдали от ядра,
(—1)П+1РП — отношение расходящейся к сходящейся волне с момен-
моментом п\ в случае отсутствия ядерного поглощения |3n = e2li]n, x\n —
вещественная фаза, определяющая асимптотическое поведение
радиальной волновой функции частицы. При наличии поглоще-
поглощения рп связана с вероятностью образования составного ядра;
именно, доля частиц с моментом /г, которые поглощаются ядром,
равна
С» = 1 - I Рп Г
(?п называется коэффициентом прилипания частиц с моментом п).
Полный поперечник для всех процессов, связанных с образо-
оо
ванием составного ядра, равен 5t =2B/2-f 1)лЛ,2?п.
о
Если кинетическая энергия падающих частиц на поверхности
ядра w > О достаточно велика, то можно считать ?п —> 1; для
отрицательных iv, достаточно больших по абсолютному значению,
Сп = О К
Критическое значение углового момента п0, отделяющего поло-
положительные и отрицательные значений w, равно
__ p
n° "" IT V x ~~ 7?F
где if? — радиус ядра, ? — энергия падающей частицы, X — ее
длина волны (вдали от ядра), Ze — заряд ядра. Будем считать
энергию падающих частиц достаточно большой, так что по^>1,
и предположим, что ?п — 1 при «<пеи ?п = 0, если п > п0.
Ясно, что определение п0, отделяющего значения коэффициента
прилипания ?п = 1 от ?п =¦- 0, имеет смысл с точностью до ве-
величины порядка единицы.
1 Бете [3] полагает, что для справедливости этих утверждений в применении
к нейтронам достаточно считать | w \ > 1Мэв.
142

В случае п ^> п0 $п= е2г\ где г\п — фаза на бесконечности в
кулоновом поле, равная, как известно, [4]:
r)n = argT(n + l + ia), *=-%- B)
(и — скорость падающих частиц вдали от ядра).
Приведем значения п0 для нескольких значений энергии. Для
протонов высота потенциального барьера в конце периодической
системы составляет около 12 Мэв. При энергии протонов в 15 Мэв
п0 = 4; для Е = 24 Мэв п0 = 8. Для а-частиц высота барьера в
конце периодической системы равна примерно 25 Мэв. При энер-
энергии а-частиц Е = 30 Мэв п0 = 9, при Е = 40 Мэв п0 = 16. Для
мезотронов с энергией Е =- 80 Мэв п0 = 6 (конец периодической
системы). Для легких ядер значения энергии, при которых по^>1,
значительно уменьшаются (для протонов при Е = 15 Мэв в этих
условиях п0 ж 9; для а-частиц с энергией ? = 30 Мэе п0 ж 22;
для мезотронов получаются прежние значения).
Перепишем теперь формулу для / @), использовав сделанные
предположения о |Jn:
а "•
/(9) = у/X 2 Bл + 1)Лг(соз в) -
п=1
оо
- i iX 2 B» + I)(e2i"« - 1) Pn (cos в). C)
Пв
Мы предполагаем здесь, что ?п резко меняется, как было сказано
ныше, при п =•- ^г0. Можно считать, что роль промежуточных чле-
членов с п ~ п0 незначительна, если только п0 достаточно велико.
Однако ^тим не исчерпываются условия применимости формулы
C). Так как п0 определяется неточно, то при изменении п0 на
единицу амплитуда рассеяния должна незначительно меняться.
Отсюда вытекают условия | Рп (cos в) — Рп+Х (cos 0) | <^ | Рп (cos 0) |
и I Чп — Лп^11 ^hnl- При больших углах рассеяния замена
п0 на п0 + 1 приводит к изменению амплитуды рассеяния на
величину порядка самой амплитуды. Поэтому углы рассеяния!
как видно из первого неравенства, должны быть малыми по срав-
сравнению с единицей. Из второго неравенства следует а <^ п0.
В применении к нейтронам вторая сумма в C) равна нулю.
Пользуясь известной формулой [51:
Bп +1) Рп (х) = Р'^г (х) - Р;_х (х),
можно в этом случае представить / @) в виде:
/нейтр (в) = у *Х [P^t (COS 0) - Р'^ (COS в)].
143

Используя далее асимптотическую формулу
Рп (cos 9) = ( ^г-5-Y/f cos 17 л + ~) 6 - 4-1 ,
п ч ' \ я/г sm 0 / [д 2 / 4 J *
справедливую при выполнении условия 10] 2Bи Ч- 3) sin 0 ^> 1,
и замечая, что бесселева функция J1 (z) при z ^> 1 равна
(—) *z-*/«sinf z — ~Л, получим при 0 < 1 г:
) = «-^/1(гго0). D)
Такой формулой определяется, как известно из оптики, ди-
дифракция от шара радиуса R. Поперечник упругого рассеяния
нейтронов равен, как легко видеть, площади тени ядра пЕ2. Та-
Такое же значение имеет полный поперечник неупругого рассеяния
нейтронов. Зти результаты, относящиеся к нейтрощш, были
получены в [Я.
В случае заряженных частиц, применяя формулу Стерлинга к
вычислению т}п, получим следующее выражение для ?2iiV
ешп = n2la, n>lf 71>а.
оо
При 0=^=0 2 B^ + ^) ^n (cos в) суммируется к нулю, по-
этому этот ряд можно вычесть из C); получим
оо
/ @) = - Щ. 2 Bп + 1) п«*Рп (cos 0). E)
п0
Ряд E) не сходится в обычном смысле, но тем нелыенее суммируется.
Расходимость обусловлена ролью малых углов в кулоновском
рассеянии. Если умножить амплитуду рассеянной волны в куло-
новом поле на 1 — cos 0, то получится всюду конечная величина.
Полезно поэтому преобразовать ряд E), умножив его предвари-
предварительно на 1 — cos 0 и использовав формулу [5]:
Bп + 1) хРп (х) = (п + 1) Рп+1 (х) + пРп-г (х),
оо
A - cos 0O@) = - -|-2re2iot lBn +1) Рп ~ (» +1) ^i - пРп^] =
+ S [Bл + 1) п1а - (п + If - (п + if+»a) Рп (cos 0)}.
1 Заметим, что формула D) справедлива также при сколь угодно малых
углах G.

Выражение в квадратных скобках в последней сумме с точностью
до lln2 равно — BiaJn2ia, поэтому иредыдущую формулу можно
представить в виде:
(9)
A - cos 9) / (в) - -у" {^ia+1 (Рщ - Рщ-i) - 2ianSiaPno -
п0
В области применимости асимптотической формулы для по-
полиномов Лежандра (грубо говоря, при п0В ^> 1) и для достаточно
малых а, а<^ло9, первое слагаемое в F) играет главную
роль.
Как было показано выше, излагаемый метод справедлив для
малых углов рассеяния. Легко видеть, что при G <^: 1 и п J> 1
Рп (cos 0) ж JQ (пд). Заменяя в F) сумму интегралом no n
(для этого необходимо, чтобы а <^ и0; это условие выполнено),
получим?
( n2i0L+l Г
/ (9) = iX (-Y- Jx (тго0) + ^ [йояГ/в (по9) +
-iJo (Z) dzj} . F')
n0
Интеграл, входяший в F), можно назвать дифракционным интег-
интегралом рассматриваемой задачи.
Рассмотрим несколько предельных случаев. Если /го9 ^> \ и
и а <^ ио9, то дифракционный интеграл можно оценить интегри-
интегрированием по частям, он равен приближенно
B/n)Vs (fto9Jia~ sin (пов —.-г"
и
„2ia+l
/го9>1, a<^09.
Эта формула при а = 0 переходит в приведенную выше формулу
D) для амплитуды /Нейтр (9). В этих условиях рассеяние заря-
заряженных частиц только фазой отличается от рассеяния нейтронов.
Величина же эффективного сечения совпадает с нейтронной.
Если п0 9 <^ 1, то дифракционный интеграл может быть вы-
вычислен при любых а. Пользуясь формулой [6]:
1 m "\
145

получим *
оо оо по0
z*««-i/e B) dz = ^ z2ia-i/0 (z) dz - \ z** -Vo (z) =
no0
2ia Г A — ia)
о
При п0 0 <^ 1 /0 (z) в последнем интеграле монгно заменить еди-
единицей, поэтому
по9
Амплитуда рассеяния имеет вид
9л#* —2ialn
^ 2
|^ (8)
Второе слагаемое представляет собой амплитуду кулоновского
рассеяния.
Резюмируем полученные результаты в применении к ядрам с
а <^ 1. Для углов рассеяния 6 <^—-— мы получаем кулоновское
рассеяние; при — >>0^>—~^— дифференциальное сечение рас-
рассеяния не зависит от углов 0, наконец, при гсо6 ^> 1 амплитуда
рассеяния только фазой отличается от амплитуды рассеяния
нейтронов. Рассмотрим теперь ядра с a ^> 1 2. Предположим, что
0 <с 2а/и0. Пользуясь асимптотической формулой для Jo (z),
справедливой при z ^> 1, перепишем дифракционный интеграл в
виде [мы можем пользоваться асимптотическим разложением
/0 (з), так как в наших условиях играют роль z ~ 2a ^> 1]:
yy\ \ «*-«/*)}dz.
no9
Интеграл можно вычислить по методу «перевала» 141. Легко ви-
видеть, что интеграл от второго слагаемою значительно превосходит
интеграл от первого слагаемого. Производная показатели г обра-
обращается в нуль при z0 = 2a. Для применяемости метода необхо-
необходимо прежде всего выполнение условия 2а ^> п0 0. Раскладывая
показатель в ряд по степеням z — z0 и сохраняя член, пропор-
1 Интегралы имеют смысл, если считать а комплексной величиной с беско-
бесконечно малой отрицательной мнимой частью.
2 Для протонов с энергией в 15 Мэв в конце периодической системы
Z -fvMc* ,
V W ~ масса протона).
146

циональный (z — s0J, получим
if * Ba In 2a—2a-j--^-J f
) e
S 4/9 V/. i
z**-V0(z)dz = у D) Ba)
В полученном интеграле область существенных значений по
порядку величины равна |/<х. Метод «перевала» можно применять
при выполнении условия }Лх<^з0, т. е. aj>l. Формула F')
приобретает вид
/ @) = «X [пГ +1 ^1 + Щ_ „f /0 („о0) _ 2J. е—0»
В рассматриваемом случае третье слагаемое значительно пре-
превосходит первые два и представляет собой амплитуду рассеяния
в кулоновском поле при а ^> 1:
/
e-ln 2a-|-l) =
a>l, 2a>no6. (9)
В том случае, когда ос^-1, можно воспользоваться форму-
формулой G) для амплитуды рассеяния. Мы получаем в этих условиях
дифракционное рассеяние.
Таким образом для ядер с а ^> 1 резерфордовское рассеяние
имеет место для углов рассеяния, меньших, чем а/п0. Для углов
рассеяния, больших, чем а/п0, мы получаем дифракционное рас-
рассеяние, аналогичное рассеянию быстрых нейтронов.
Заметим, что при a ^> 1 и 0ж— формулы G) и (9) не пере-
переходят друг в друга. Кулоновское рассеяние в У а превышает диф-
дифракционное рассеяние. Отсюда следует, что при 0 ~ 2а/п0 про-
происходит резкое изменение эффективного сечения рассеяния. При-
Причина этого заключается в изменении интервала эффективных зна-
значений п при переходе угла рассеяний 8 через значение 2а/п0.
Ширина области интегрирования по п при 8 < 2а//г0 по по-
порядку величины равна n0Ya, при 0 > 2а/п0 эффективный интер-
интервал п составляет лишь поа, т. е. в У а раз меньше. Легко видеть,
что резкое изменение эффективного сечения в а раз происходит
в интервале углов лорядка 1/}/~а от угла 2а/п0, отделяющего об-
области кулоновского и дифракционного рассеяний.
Приведем формулу для отношения эффективного сечения рас-
рассеяния, отнесенного к единице телесного угла a @), к соответ-
соответствующему реэерфордовскому сечению
cos Ba lg Л)+
(A) sin Ba lg А)} |« + 12/а0 (А) +
(A) cos Ba lg А) - Фа (A) sin Ba lg А) |8}, A0)
147

где
Фа (А) + iYa (A) = J z««-i/0 (z) dz, A = п0 6.
А
В предельных случаях а <^ 1 иа^>1 имеем
3F)
4
«и (9) **
б F) nOQ*
«в (в)
«в (в)
«я (в)
а (в)
бр (У)
Поб ,
а)
б)
•2
а<? 1:
1
а>1:
— <
^ 2 Va
По
Из приведенных формул следует, что упругое рассеяние про-
протонов, а-частиц, дейтронов и других легких ядер при больших
энергиях только в области очень малых углов следует формуле
Резерфорда. При углах, больших, чем Yalno(a<^^) или а/т?0
(а ^> 1), вместо обычного кулоновского рассеяния мы имеем рас-
рассеяние того же типа, что рассеяние быстрых нейтронов — сечение,
в среднем, обратно пропорциональное кубу угла рассеяния, а не
четвертой степени по Резерфорду. Рассеяние на большие углы ста-
становится более вероятным из-за наличия поглощающего ядра.
Средний угол рассеяния оказывается значительно большим, чем в
чисто кулоновском случае.
В заключение авторы приносят искреннюю благодарность
проф. Л. Д. Ландау за интерес к работе.
Физико-технический институт Получено 28 февраля 1945 г.
Академии наук УССР
Академия наук СССР
ЛИТЕРАТУРА
1. G. Placzek, H. Bethe. Phys. Rev., 1940, 57, 10?2 А.
2. К. Rossi, N. Nelson. Phys. Rev., 1942, 62, 417.
3. H. Bethe. Phys. Rev., 1940, 57, 1132.
4. N. Mott, H. Massey. Theory of Atomic Collisions. Oxford, 1933.
5. H. Bethe. Handb. Phys., 1933, XXIV/1, 273.
6. E. Whittaker, G. Watson. A Course of Modern Analysis. 4th ed., Cambrid-
Cambridge, 1927.
7. M. Born. Optik, Berlin, 1933; Л. Ландау и Е. Лифшиц. Теория поля,
стр. 153.

97
ИЗЛУЧЕНИЕ y-KBAHTOB ПРИ СТОЛКНОВЕНИИ
БЫСТРЫХ «МЕЗОНОВ С НУКЛОНАМИ1
Совместно с Л. Д. Ландау
Для определения тормозного спектра f-лучей, возникающего при столк-
столкновениях я-частиц большой энергии^с нуклонами или ядрами, достаточно
знания волновой функции а|) я-мезона вне нуклона. Исходя из предположе"
ния, что нуклон «череп» по отношению к я-мезонам, находится внешняя ф-фун-
кция в ниде суммы плоской волны и полны, дифрагированной от черного шари-
шарика. При помощи этой функции определяются сечения излучения у-квантов,
возникающих при дифракции я-мезонов и при их захвате нуклонами. При
больших энергиях я-мезонов дифференциальные сечения в области малых уг-
углов достигают очень больших значений. Выясняется влияние на испускание
у-квантов размеров я-мезона. При этом в формулы для излучения вводится
формфактор я-мезона. Экспериментальное исследование тормозного у-спект-
ра я-мезонов могло бы дать возможность определения этого формфактора.
Сильное взаимодействие между я-мезонами больших энергий
и нуклонами приводит к большой вероятности таких столкновений
между ними, при которых я-частица и нуклон объединявшей в
сильно возбужденную короткоживущую систему [1], распадающу-
распадающуюся далее на несколько мезонов и, возможно, некоторое число
нуклонных пар. Такой ход столкновений я-мезонов с нуклонами
не может быть описан методами теории возмущений, поскольку
он отвечает случаю очень сильного взаимодействия. В этих усло-
условиях нуклоны (или пары) представляют собой по отношению к
я-мезону черное тело, радиус которого R определяет сечение я/?2.
Волновая функция я|? я-мезона вне /f, очевидно, будет представ-
представлять собой суперпозицию плоской волны и волны, дифрагиро-
дифрагированной от «черного» нуклона. Оказывается, что в релятивистских
условиях знание я|? во внешней области достаточно для точного
вычисления тормозного излучения у-кваитов почти любой энер-
энергии, если эти кванты летят в направлении, мало отличающемся
от направления падающей я-частицы. Положение здесь напоми-
напоминает то, которое встречается при тормозном излучении электро-
электронов на кулоновых силах, когда в крайних релятивистских усло-
условиях излучепие осуществляется на больших расстояниях от ядра.
Физическая причина таких явлений одна и та же и заключается в
том, что законы сохранения при излучении требуют все меньших
передач импульса от излучающей частицы посторбннему телу.
1 ЖЭТФ, 1953, 24, 505.
149

Излагаемая ниже теория может быть применена не только
к «черному» нуклону (или ядру), но и к «серому», только частич-
частично поглощающему мезоны. Мы сначала рассмотрим первый слу-
случай как более простой.
Волновое уравнение для частицы со спином 0 (я-мсзон [21) вне
нуклона (ядра) с требуемой точностью имеет вид (Й — 6 = 1):
Применяем к A) теорию возмущений, считая правую часть
малой и заменяя там яр наг|:0, равную сумме начальной плоской и
расходящейся дифрагированной волн:
Ищем решение в виде ряда
р'
где
(сумма берется по направлениям f).
Компонента Ф, отвечающая испусканию заданного кванта,
равна
Су = $G (r, r')^-]/^(jVO0)e-«''dT', C)
где G — функция Грина уравнения B),
/>'* = (Я-/)*-,Л D)
Испускание ^-квантов может происходить либо при поглоще-
поглощении л-мезона с последующим вылетом многих частиц, либо при
дифракционном рассеянии я-мезонов. Начнем рассмотрение со
второго случая, при котором в конце процесса имеется у-квацт и
рассеянный я-мезон, а нуклон (ядро) получает небольшую от-
отдачу.
Функция G, входящая в C), должна учитывать дифракцию
около нуклона, поэтому она равна [3]
Интегрирование по s может производиться, например, по той
части плоскости, перпендикулярной вектору г — г' и проходя-
проходящей черев нуклон, которая находится «вне» нуклона (рис. 1).
Дополняя область интегрирования по s внутренностью нуклона,
150

получаем
где G1 имеет вид E) с тем отличием, что область интегрирования
лежит внутри нуклона.
Подставляем первый член F) в C)
Для нахождения дифракционного излучения необходимо
определить поток дифрагированных частиц, сопровождаемых
у-квантами. Для этого нужно найти Ф при г-> оо. Тогда G) упро-
упрощается
-W*'(JV) Оу-И'Ут' = (jPlff!! [фое~^+№Aт', (8)
if!!! [eW(JV) ОуУт = lff!!
Вместо Фо подставляем f3]
Второй член представляет дифракцию в исходном состоянии
л-мезона (расходящаяся волна). Вектор р, перпендикулярный р,
лежит в плоскости, проходящей через нуклон, и удовлетворяет
условию р2 ^ Я2.
Рис. 1 Рис. 2
Первый член в (9) дает нуль в силу законов сохранения. Вме-
Вместо (8) имеем
/2n/Qr
151

При вычислении A0) использовано условие малости углов 6 меж-
между f и р и 6' между р' и р. 6 и 6' — двумерные угловые векторы
Перейдем теперь к вычислению члена, содержащего Gx
2е
(?!, рассматриваемое как функция г', отлично от нуля только в
области геометрической тени по отношению к направлению г, т. е.
в заштрихованной области рис. 2. Поскольку нас интересуют точки
г, лежащие в пределах узкого дифракционного конуса, эти г' ле-
лежат там, где падающая волна еще не дошла до ядра и потому еще
не искажена дифракцией. Поэтому здесь Фо совпадает с плоской
волной е{Рг\ Пользуясь (G) и E), имеем при г-> оо
2е
щи ii JPf\r'~s'l+*(P -f.i")
¦^ eip'rP' \\-—ррз^ ds'dx' =
s' перпендикулярен р' и по величине меньше или равен /?', где
R' — сечение взаимодействия дифрагированной я-частицы с
нуклоном (В' может и не совпадать с В).
В A2) входит фурье-компонента дифрагированной волны в ко-
конечном состоянии
1 о/ ^i (I ре^—/ (е- — е) | /?р
/fi |/-|p-f| R | рв' — / (в' — в) |
Складывая A0) и A3), находим Фр> (г—>• оо)
{ Я/i A Р'У + /6 | R) jpf ,
/Q
-/(y-e)|y) jp i
—/(V —8)| /^—|р — f | J *
Поток дифрагированных частиц на единицу телесного угла равен
(Здесь множитель 2р' появляется при вычислении потока частиц
спина 0.) Деля его на плотность потока падающих частиц
2р и умножая на число состояний кванта, получаем дифференци-
152

альное сечение испускания кванта частоты /, сопровождаемого
я-частицей
Е' ё*
JP
jP
в' — / (G' — в) |
2dfdQd&. A5)
Отметим, что A5) может быть также получено при рассмотре-
рассмотрении радиационных переходов из начального состояния, взятого
в виде плоской и расходящейся дифрагированной волны, в ко-
конечное состояние, описываемое плоской и сходящейся 141 диф-
дифрагированной волной (впереди у которой тень).
При вычислении A0) и A3) главную роль играли расстояния
от нуклона порядка
1 1
Г°Ф~Я_|Р' 1 f| - p-p'-i + tfiwp) •
Воспользуемся законом сохранения энергии для преобразова-
преобразования р — р' — /
A6)
Из A6) следует, что при? ^> \i и # < р/Е гэф ^> Е/р2 ^> И,
что оправдывает пренебрежение областью внутри «нуклона» в
этих условиях. Заметим, что нуклон «черен» только при Е ^> \х.
Выражение для вероятности излучения A5) было получено на
основании волнового уравнения A), в котором взаимодействие
я-частицы с электромагнитным полем рассматривается так, как
если бы я-частица была точечной. Между тем сильное взаимодей-
взаимодействие я-частицы с нуклонным фоном должно приводить к «раз-
«размазыванию» заряда я-частицы по некоторой области, имеющей
размеры порядка или меньшей, чем 1/jx. При выполнении условия
A6) все излучение осуществляется на большом расстоянии от
ядра. Поэтому влияние электрических размеров я-частицы на
испускание квантов должно в некоторых условиях привести к
появлению в A) и во всех последующих формулах «формфактора»
я-частицы F. Он является функцией от инвариантной частоты
кванта в системе покоя я-частицы:
Если Е ^> (д, Э <^ 1, то
153

Когда аргумент F, мал, то F =¦ 1. При больших значениях
аргумента F—>0. При введении F следует подчеркнуть следую-
следующие три обстоятельства.
1) Излучение не зависит от деталей, характеризующих столк-
столкновение я-мезона с ядром. Существенно только знание if-функции
на большом расстоянии от ядра; поэтому ядро не может
оказать серьезного влияния на свойства нуклонного вакуума,
окружающего я-частицу, и, следовательно, в излучении прояв-
проявляется структура невозмущенной я-частицы.
2) В случае дифракционного излучения необходимо, чтобы
инвариантные частоты кванта в системах покоя падающего и ди-
дифрагированного мезонов мало отличались друг от друга. Это при-
приводит к условию
jj2 JIT"- = jj2 <^1'
При малых углах вив' имеем]
'jg — (в — WJE' — Qi2/ | ЕЕ')
A9)
3) Даже при выполнении A9), по-видимому, необходимо, что-
чтобы в процессе дифракции я-мезоны не испытывали очень больших
ускорений; в противном случае эти ускорения могут повлиять
на «форму» частицы. Математически это означает зависимость F
от инварианта рр' — [г2 = ЕЕ' — рр' — [г2, при малых значе-
значениях кототого F является функцией только от инвариантной час-
частоты. Таким образом, введение формфактора, относящегося к я-
частице, испытывающей небольшие ускорения, налагает условие
2ЕЕ' г 2ц2 ^
Отсюда и из A9) следует
При этом форм фактор оказывается зависящим от /б2:
F =- F (?/92/2[х2). B06)
Когда A9) удовлетворено, но B0) не имеет места, то входит более
сложный форм фактор (по отношению к процессу излучения, при
котором я-частица испытывает заданное ускорение).
Если A9) не выполнено, то простое понятие форм фактора те-
теряет смысл. Вместо него в формулы для интенсивности излучения
войдет более сложная величина, связанная с двумя инвариантны-
инвариантными частотами кванта и учитывающая влияние ускорения, т. е.
содержащая инвариант B0).
154

Таким образом, при выполнении условий A9), B0) вместо A5)
получаем
Е'
№'
p_|
jp
B1)
Так как р — /^ p', то аргумент бесселевой функции, входя-
входящей во второй член B1), равен |р'6' + /в ji?r и при R' — R сов-
совпадает с аргументом бесселевой функции, входящей в первый
член. Поэтому, если R == W, то имеет место более простое выра-
выражение ДЛЯ Со (j):
#.4 E' ё>
(J) = -в- тт
е' + id i
jp'
я— IP' Ml +j»'-Ip-«|
B2)
Наиболее lui^uiiyjo j)ojii> играк/г малые 6 и 6', при которые B2)
существенно упрощается
я* Е
X
iPy
/в Р
(в — в')'1
+ в*
B3)
Здесь также использовано >слогие ?, i?' ^» ц. Если же i? =j= В',
то при малых вив' B1) дает
Е'
R)
ip Д' в> /i (i E'Q' + /е | д') |2
(!»»/?») 1-0* ^ |Я'в' I
B4)
Суммируя B3) по поляризациям, получаем
л е* 1 Е' J? (I ^'в'
°° "~ 1? ~~ё~п \?Г~
(в, 6'-6) 1
'V2 а ~г
(в — в'J в
B5)
Первый член в B5) обязан поляризации jx — fpf] / EfQ, вто-
второй j2 — [f !pf]| / /?/29. Формулу B5) можно переписать также
следующим образом:
2 д2Ц!1^Л
d —IL3LA-
а° "" я2 Е /
о
'(e, е-е')
B6)
155

Для получения спектрального состава излучения необходимо
проинтегрировать B6) по всем 6 и 9'. В общем виде это приводит
к сложным выражениям.
Рассмотрим сперва столкновение я-частицы с тяжелыми яд-
ядрами, когда можно считать R большим по сравнению с 1/}г, что
приводит к существенным упрощениям. Если Э и 9' малы по срав-
сравнению с \л1Е, \i/E', то фигурная скобка п B6) равна
B7)
Таким образом, при 0 <^ \xlИ, |0 — 0' | <^ ц/?\ Oq равно
4^Л ^ B8)
Если R ^> 1/[д, тосравненде B6) и B8) показывает, что в интегра-
интеграле по 9 и 9' главную роль играют такие 9 и 9', при которых J\
можно заменить его средним значением
Это среднее значение получается при замене быстро осциллирую-
осциллирующего множителя cos2 (| ?"9' -f /01R — Зя/4) на V2. При этом
d — JL ELJL
а° ~" яз 1ГТ \Efw
ЕЕ' (9, 6 - в')ЕЦв-вГ ) /ооч
Вводим вместо вив' переменные s и tj:
e = ^-8 = -i-8; в'-в=-^-Ч=^Ч> C0)
при помощи которых B9) приобретает следующий вид:
1 \2
) x
При интегрировании по s и т) основную роль играют s и r\ ~ 1.
При этом \Е'Ь' + /в | /? /^ \iB ^> 1, что и оправдывает исполь-
использование асимптотического разложения Уг. Кроме того, согласно
C0) и A6) все излучение определяется областью вне ядра. Про-
Производя интегрирование по s и rj, определяем сечение испускания
квантов данной частоты в том случае, когда F можно положить
156

равным единице:
2а
6 W = ITТ — ЦТ ) s-БТ Icth2a"
о
Таким образом эффективное сечение испускания жестких
7-лучей, вызванных дифракцией n-частиц, пропорционально
радиусу ядра Р, т. е. медленно растет с увеличением атомного
номера (~ АХ1*). Согласно C2) испускаемый спектр имеет прос-
простую зависимость от частоты. Угловое распределение квантов да-
дается формулой B9).
Определим еще полную энергию, излученную при столкнове-
столкновении, полагая F = 1. По порядку величины она равна
Е
~df = 1,15еа-|-?. C3)
Полное сечение испускания квантов с частотой, большей /, рав-
равно (F =¦¦ 1):
Е
^ (| 4) i). C4)
Если -4 /^ 1, то /? ^ 1/jjl и в общем случае интегрирование B6) по
углам затруднительно.
В переменных ь ж г\ B6) имеет вид:
Когда fQB <^ 1, то B6) упрощается
d е* Е' №J\(E'Q'R)
е/2
'
7T \T~i 1 ' П Т
VI2" + е7 Ьг + (е " е/) J Е' Е'2 L^2" + (е - е'JJ
Это выражение при малых / (/ <^ Е) совпадает с классическим
излучением, возникающим при «внезапном» изменении импульса
я-частицы вследствие дифракции. В таких условиях соблюдается
общая связь между сечениями упругих и иеупругих столкнове-
столкновений [5]. Интегрируя C6) по всем направлениям фотона 0 и
157

полагая F = 1, находим полное сечение испускания квантов
частоты / любых направлений при заданном угле дифракции 0',
когда / <С Е:
(Тб'/2) У1 |-(Т20/2/4)
C7)
Интегрируя C6) по всем углам дифракции при заданном на-
направлении кванта 6, определяем сечение испускания квантов час-
частоты /, сопровождающихся произвольно дифрагированными
я-частицами:
Производим интегрирование C7) по всем углам дифракции 9'
и получаем полное сечение испускания фотонов частоты / (/ <^. Е)
C9)
Основную роль здесь играют Ъ ~ 1, т. е. углы дифракции поряд-
порядка 1/v- Если 2]xR ^> 1, то из C9) следует C2).
Когда / ~ Е, то формула C5) (F = 1) при интегрировании по
углам 0 и 8' дает следующее выражение для полного сечения ис-
испускания кванта частоты /:
Полная потеря энергии, связанная с дифракционным излуче-
излучением, согласно D0) равна
D1)
Интегральное сечение испускания квантов с частотой, боль-
большей /, равно
Е
(in _|. + 4) 91 (|i Д). D2)
158

Если \iR ^> 1, то выражения D0), D1) и D2) переходят в C2), C3)
и C4).
Обратимся теперь к излучению, сопровождающему захват
Jt-частицы нуклоном (ядром),— его можно назвать излучением
остановки. Для определения вероятности этого процесса необ-
необходимо найти поток я-частиц на нуклон, когда на бесконечности
имеется квант. Это требует значения ФР' при г = R. Но волны
Рис. 3
на поверхность нуклона приходят из области, лежащей перед
нуклоном (рис. 3), где G и Фо равны
G= 4я^-г'| . Фо = ^'
Поэтому
F С б!Р'|г-г'|
ф , (г -> R) = ;_ е (jp) е*(Р-М-')^т' ^
\D4)
/>' — Iр — f!
Отсюда находим поток частиц
Ал (jp)* яД , |2
Доля ого пп поток падающих частиц 2р и суммируя по f, находим
дифференциальное сечение при заданной поляризации j
о0с (j) dfdQ = -^ Л- pj^l'^rf fdfd*. D5)
Так как 9 мало, то D5) упрощается
Суммируем по поляризации
D7)
Если / <^ /?, то D7) соответствует классическому «остановочному»
излучению, возникающему при внезапной остановке заряда, ког-
когда время его остановки мало.
159

Проинтегрированное по / > /мин и 6 ^ 6макс сечение при
F = 1 равно
(%^)(?) <48>
В отличие от дифференциального излучения, в котором глав-
главную роль играют углы 9 порядка 1/у, в «захватном» излучении
основное место занимают значительно большие углы. Однако при
Э^> y~2\x2>/Ef, в соответствии с B0а, б), формфактор может на-
начать существенно ограничивать интенсивность излучения. По-
Поэтому полная вероятность «остановочного» излучения с учетом
конечных размеров Jt-частицы получится при интегрировании
D7) от F=l до0~/2[х2/?/
ч
*L in 1- = _L e*R4n2 Ji- . D9)
Если / ~ Е, то D9) верно только по порядку величины. Срав-
Сравнивая D9) с D2) или C4), мы видим, что остановочное излучение
несколько больше дифракционного. Полная излученная энергия
при остановочном излучении в рассматриваемых условиях равна
по порядку величины
Е
e2R2 tlnJLdf = e2R2E. E0)
о
Следует отметить, что хотя интегральные сечения излучения
7-квантов малы по сравнению с яЛ2, дифференциальные сечения
излучения на малые углы быстро растут и при углах порядка
\i/E достигают очень больших значений, когда Е растет.
Если 0 = р.//?, то «остановочное» излучение имеет дифферен-
дифференциальное сечение, равное согласно D7),
^-T- <«>
Когда Е/\л = ]Л4л;/е2 ^ 40, дифференциальное сечение оказы-
оказывается равным
л'-^т E2)
и соответствует ядерным сечениям.
К рассмотренному здесь остановочному излучению, вызван-
вызванному захватом я-мезона нуклоном или ядром, следует добавить
излучение, обязанное возникающему движению нуклона или
ядра как целого, а также у-излучение от вторичных мезонов и ну-
нуклонов, возникших при захвате первичного я-мезона. ^-излучение
160

от движения нуклона или ядра относительно мало ввиду большой
массы нуклона или ядра как целого. Что касается у-из лучения
от вторичных частиц, то, во-первых, эти частицы распределены в
сравнительно широком телесном угле [6], а, во-вторых, их энер-
энергия значительно меньше энергии первичной частицы, и поэтому
даже в направлении, совпадающем с направлением одной из вто-
вторичных частиц, интенсивность у-излучения будет малой по срав-
сравнению с интенсивностью излучения в направлении, близком к
направлению первичной я-частицы.
Академия наук СССР Получено 17 января 1953 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Э. Ферми. Усп. физ. наук, 1952, 46, 71; Progr. Theor. Phys., 1950, 5, 570.
2. R. Durbln, H. Loar, ./. Steinberg er. Phys. Rev., 1951, 83, 646.
D. Clark, A. Roberts, R. Wilson. Phys. Rev., 1951, 83, 649.
3. Л. Ландау и E. Лифшиц. Теория поля, 2-е изд. ГИТТЛ, 1948, стр. 168.
4. Л. Ландау и Е. Лифшиц. Квантовая механика. ГИТТЛ, 1948, стр. 481.
5. A. Nordsieck. Phys. Rev., 52, 1937, 62.
6. Л. Д. Ландау. Изв. АН СССР, сер. физ. 1953, 17, 51.
6 И. Я. Померанчук, т. III

98
О ВНЕШНЕЙ (ДИФРАКЦИОННОЙ) ГЕНЕРАЦИИ ЧАСТИЦ
ПРИ ЯДЕРНЫХ СТОЛКНОВЕНИЯХ1
Совместно с Е. Л. ФеипЯср.'ом
1. При больших энергиях ядерно-активных частиц (/?> 109 эв)
возникают условия, в которых возможна генерация новых час
тиц через посредство своеобразного механизма, заслуживающего,
на наш взгляд, внимания.
Рассмотрим взаимодействие быстрой частицы с ядром (или-
с другой частицей), сопровождающееся ее поглощением (приво-
(приводящим к какой-либо ядерной реакции). Пусть длина волны час-
частиц мала по сравнению с размерами ядра (или другой частицы).
В таком случае неизбежным результатом поглощения является
возникновение дифрагированной волны.
Обычно считают, что этот эффект проявляется только как
упругое рассеяние. Однако связанное с таким рассеянием изме-
изменение движения заряда вызывает излучение у-квантов (например,
при поглощении я-мезонов ядрами).
Очевидно, что подобное дифракционное рассеяние ядерно-ак-
ядерно-активных частиц (нуклонов, Jt-мезонов) должно сопровождаться ис-
испусканием Jt-мезонов, а может быть и нуклонных пар. Так как
при этом генерация новых частиц осуществляется частицей, не
проникающей внутрь ядра, то этот процесс можно называть так-
также внешней генерацией.
Импульс, передаваемый в таком процессе ядру, относительно
мал (как мы увидим, порядка или менее чем |лс, где (л — масса
мезона, с — скорость света), вследствие чего ядро не возбужда-
возбуждается, и поэтому в процессе генерации практически не должно воз-
возникать медленных нуклонов. Генерируемая частица должна иметь
направление, близкое к направлению первичной частицы, причем
если ливень возникает при взаимодействии отдельной частицы с
ядром, то характерным признаком подобного механизма являет-
является отсутствие второго, «обратного, конуса частиц.
2. Энергетический порог рассматриваемого процесса связан
прежде всего с требованием, чтобы процесс происходил вне ядра.
Пусть, например, нуклон массы М и энергии Е генерирует ме-
мезон энергии е и массы |i. Импульс, передаваемый ядру в продоль-
1 ДАН СССР, 1953, 93, 439. (Представлено академиком Л. Д. Ландау
26 сентября 1953 г.)
162

ном направлении, если считать углы разлета малыми, равен:
Минимальное значение g ц достигается при е ж -^ Z?, когда
Мс2
оно равно (Jtc —-тг—. Обратная величина дц определяет размеры
эффективной области, участвующей в излучении. Эта область
лежит вне ядра радиуса R, если хотя бы для одного измерения,
например для продольного, имеет место соотношение
. A)
Это достигается при минимальном дц, когда
И >Мс*^-ПжЛ1Шс2. B)
Таков энергетический порог рассматриваемого процесса, ког-
когда образующийся мезон уносит энергию е х -jz- E. Если, счи-
считая все частицы релятивистскими, искать порог для образования
мезонов большей энергии, е ~ Е, то порог будет выше:
E^>Mc*-^R^ АШс2 — . C)
В случае генерации п частиц пороги B) и C) возрастают в п раз.
Условие A) по существу выражает требование, чтобы ядро
участвовало в процессе как целое. Такой процесс можно рассмат-
рипать и и рамках теории возмущений, когда поглощение в ядре
мало и дол о сводится к интерференции волн, рассеянных отдель-
отдельными нуклонами ядра, например, как при фотогенерации мезоновг.
Однако теория возмущений, если и применима, то только в обла-
области медленных, нерелятивистских мезонов. Поэтому мы ею не
пользуемся и считаем, наоборот, ядро сильно поглощающим,
как черное тело. Для допустимости этого необходимо, чтобы
полный передаваемый ядру импульс q был мал по сравнению с
обратной толщиной d эффективно поглощающего слоя ядра («скин-
слой»), qd <^ й.
Для оценки d нужно пояснить, что именно следует называть
«поглощением», приводящим к возникновению дифракции и
последующей дифракционной генерации. Пока речь идет об уп-
упругом дифракционном рассеянии, «поглощением» будет любое
взаимодействие первичной частицы, выводящее ее из состояния с
данным начальным импульсом р0. Если же речь идет о дифрак-
дифракционной генерации, при которой ядру передается импульс д, то
1 Е. L. Feinberg. J. Phys. USSR, 1941, 5, 177.
6* 163

под «поглощением» нужно понимать процесс неупругого соуда-
соударения, при котором первичная частица теряет импульс q, т. е.
нужно считать
qd (q) < h. D)
Нас будут, как увидим, интересовать процессы, при которых
q ~ [лс. В области релятивистских энергий можно, по-видимому,
считать, что при сближении двух нуклонов на расстояние по-
порядка hj\xc происходит передача импульса не менее чем \ic. По-
Поэтому и d нужно полагать равным ///[хс. Следовательно, должно
быть
- E)
Таким образом, полный, передаваемый импульс практически
совпадает с поперечным.
3. Оценка величины эффективного сечения, ввиду отсутствия
теории взаимодействия быстрых частиц, встречает значительные
трудности. В качестве наводящих соображений используем вы-
выводы, получаемые при применении теории возмущений к процессу
излучения (процесс дифракции на черном теле при этом трак-
трактуется феноменологически). Воспользовавшись, например, мето-
методикой, развитой Л. Д. Ландау и И. Я. Померанчуком, будем на-
налагать условия A) и E) на величину передаваемого импульса,
т. е. отбирать дифрагированные волны, при которых передается
достаточно большой импульс. При этом получаются следующие
оценки: частицы разлетаются под углом порядка Мс2/Е относи-
относительно первоначального направления нуклона. Поперечное сече-
сечение имеет порядок (g — константа псевдоскалярной связи):
Теория возмущений здесь заведомо неверна. Однако указанный
порядок величины сечения F) можно получить и из более общих
соображений. В системе отсчета, в которой первичная частица
вначале покоится, она приобретает импульс порядка q± ~ \ic.
Ее скорость при этом будет v~(-Jnr )с<^с- . Между тем, эффек-
эффективное излучение частиц будет происходить лишь при у2 ~ с2.
Это объясняет появление множителя (\л/МJ. Что касается ли-
линейной зависимости от радиуса ядра, то она является общей для
дифракционных процессов такого рода и связана с тем, что отби-
отбираются достаточно большие передаваемые импульсы.
Из приведенных рассуждений следует, что для генерации ме-
мезонов мезонами (М = \i) эффект должен быть больше, чем при
генерации нуклонами, а для легких ядер близок к геометриче-
геометрическому сечению (отличие в множителе А~^а и, может быть, в число-
числовых множителях).
164

4. Сечение обычной генерации, связанной с попаданием пер-
первичной частицы в ядро, пропорционально Аг1*. Сечение же ди-
дифракционной генерации пропорционально А1/*. Поскольку, кроме
того, и энергетический порог растет с 4, рассмотренный эффект
должен быть относительно существеннее для легких ядер.
5. Процессы дифракционного возбуждения могут иметь место
и в других случаях.
Пусть, например, происходит столкновение двух ядер. Если
энергия падающего ядра настолько велика, что длина волны
много меньше радиусов ядер, то наряду с процессом прямого
соударения, приводящим к полному развалу ядер, должна про-
происходить связанная с этим «поглощением» первичного потока ди-
дифракция, сопровождающаяся передачей малого импульса ядру в
целом.
Если передан импульс q± ^ \хс, дц < \icfA1/*, то могут осу-
осуществиться возбуждение и внешний, дифракционный развал
одного из ядер (или обоих). При этом возможен не полный развал
ядер, а разделение его на другие ядра. Не исключено, что подоб-
подобным образом можно понять наблюдавшиеся в фотопластинках
случаи, когда при столкновении быстрых ядер в космических лу-
лучах одно из них либо вовсе не разваливается, либо делится на 2
или 3 ядра.
Академия наук СССР Получено 8 мая 1953 г.

99
ИЗЛУЧЕНИЕ ФОТОНА, СОПРОВОЖДАЮЩЕЕСЯ ЗАХВАТОМ
БЫСТРОГО ПРОТОНА ЯДРОМ1
Совместно с А. И. Лхиелером
1. Поглощение быстрого протона ядром выбывает возмущение
падающей протонной волны, благодаря чему может произойти
излучение фотона (дифракционное излучение). Однако более
существенным является излучение фотона, сопровождающееся
непосредственным поглощением протона. Это излучение, которое
может быть названо излучением остановки, аналогично рассмот-
рассмотренному в [1] излучению фотонов, сопровождающемуся поглоще-
поглощением я-мезонов нуклонами или ядрами. В настоящей заметке мы
определим сечение излучения остановки в случае протонов, пред-
предполагая, что протон описывается уравнением Дирака и что ядро
является абсолютно черным.
2. Для определения сечения интересующего нас процесса
нужно найти поток протонов, падающих на ядро, в предположе-
предположении, что на бесконечности* имеется фотон. Будем исходить из
уравнения Дирака для протона в поле фотона А^ = ^L_ g-i(kr-«>o
с энергией о, импульсом к и поляризацией е^ (нормировочный
объем считаем равным единице)
-^ +1») t = -p=- w^'ty A)
и заменим в правой части этого уравнения г|э плоской падающей
протонной волной uvex^-Ei\ где ир — спинорная амплитуда плос-
плоской волны с импульсом р и энергией Е. Таким образом мы полу-
получим неоднородное уравнение для -ф = Ф (т)еХЕЧ, где Е1 = Е — со
и Ф (г) удовлетворяет уравнению 2
у -?- - Г*Е' +т^Ф (г) = -^
Найдя из этого уравнения Ф (г) на поверхности ядра, мы
сможем определить поток протонов, падающих на ядро, когда на
бесконечности имеется фотон. Плотность этого потока равна
1 ДАН СССР, 1954, 94, 821.
2 Мы пользуемся хевисаидовои единицей заряда и считаем с = h = 1.
166

а интересующее нас дифференциальное сечение излучения оста-
остановки связано с 7 соотношением
, __ /я/?2
где v — скорость протонов и d29 — телесный угол, в котором ис-
испускается фотон.
Решение уравнения B) имеет вид
Ф(г) = - -^ JGo(r, г')уеег№ирA*г', D)
где Go (r, r') — функция Грина для уравнения Дирака в случае
свободного неограниченного пространства [2]
1 / <) \ eV|r-r'|
Используя E), получим
х еЧР-Wdh' = ^=- [iY(p - k) -
е*(Р-к)г
-Г4Я' - w] Ye«p p,(p,_|p_k|)' F)
(ii последнем ны|)пжо11ии использовано предположение о малости
угла между к м ри условие Е ^> т).
Плотность потока протонов равна
^ If(" k)
+ m] T4YP [*Y (P - k) — Г*Е' - m] yeup. G)
Используя соотношение
ui>= ~2Ё (—' YP + UE + m) r4^p,
перепишем G) в виде
— k) - TiE' - m] \e [i\p —
(8)
167

Просуммировав (8) по поляризациям фотонов и используя C),
получим следующее выражение для дифференциального сечения
излучения остановки:
d6 = -777Z^ " ГГГо ПГ S ~ CF" -t" -T7-3- I —~ tO"H tt'O. /g\
Первое слагаемое в фигурных скобках определяет излучение
остановки для частиц без спина [1], а второе обусловлено спином
протона. Мы видим, что отличие между излучением остановки
для частицы без спина и частицы со спином проявляется только
в области больших частот. Необходимо, однако, иметь в виду, что
в области больших частот протон нельзя рассматривать как точеч-
точечный заряд, так как при этом благодаря взаимодействию протона
с мезонным вакуумом должно оказываться «размазывание» про-
протона. Влияние размеров протона в некоторых условиях приводит
к появлению формфактора F, зависящего от инвариантной час-
v i Ею — кр
тоты фотона1
] Г 1\ 2Е ^ 2т* D ) p J '
Протон можно рассматривать как точечный при малых аргумен-
аргументах этой функции, когда со <^Ё— и 0<^1/ „ .
Сечение излучения остановки с учетом формфактора протона
имеет вид
- (И,
Интегрируя do по Э, найдем спектральный состав излучения
йEш. Не учитывая формфактора, получим следующее выражение
для do^:
u~co - 2jt l
причем в качестве верхнего предела при интегрировании по Э
мы взяли 0т х 1/ -^р» , так как при больших 0 формфактор
может сильно уменьшить интенсивность излучения. При со ~ Е
A2) верно только по порядку величины.
Заметим, что экспериментальное изучение излучения останов-
остановки может дать важные сведения о формфакторе протона.
1 При этом мы считаем размеры протона порядка
168

3. Выражение для da может быть получено также из уравнения
второго порядка
(? - т>) ф «lie A v -§*- + -| TvT^v^, A3)
где Fv[l — тензор электромагнитного поля, если заменить в пра-
правой части A3) i|) на е*(Рг~#О ир и воспользоваться функцией Грина
для скалярного уравнения
Заменяя член -^- TvTV^V^ на ~о~ PTvT^v^» можно учесть
аномальный магнитный момент протона, равный (р — 1)~*г- Вза-
Взамен (9) мы получим при этом следующее выражение для do:
A4)
В заключение мы хотим выразить благодарность акад.
Л. Д. Ландау за интерес к работе и за ценную дискуссию.
Академия наук СССР Получено 30 ноября 1953 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Л. Д. Ландау, И. Я. Померанчук. ЖЭТФ, 1953, 24, 505 (Собр. трудов,
№ 97).
2. А. И. Ахиезер. ДАН, 1954, 94, 651.

100
ПОЛУФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОБРАЗОВАНИЯ
я-МЕЗОННЫХ ПАР y-КВАНТАМИ БОЛЬШИХ ЭНЕРГИЙ1
При больших энергиях у-квантов возникает возможность по-
построения полуфеноменологической теории образования я-мезон-
ных пар у-квантами, аналогичной теории испускания у-квантов
я-мезонами, развитой в [1]. Дело в том, что ядра (включая и
протоны) можно считать черными шариками по отношению к
я-мезонам большой энергии. Это является следствием интенсив-
интенсивного взаимодействия между я-мезонами и ядрами. Используя
«черноту» нуклонов, можно определить волновую функцию г|)
я-мезонов вне ядра как сумму плоской и дифрагированной волн.
Если рассматривать процессы рождения пар, при которых углы
между я+, я~ и квантом малы, то вероятность такого акта пол-
полностью определяется волновой функцией if» я-мезона вне ядра
(отметим, что только такие углы практически важны). Таким обра-
образом, можно все точно сосчитать, за исключением одного множите-
множителя (см. A3)), который включает в себя взаимодействие я+ и я"",
а также отражает влияние конечных размеров я-частиц (форм-
фактор). Сравнение выводов теории с экспериментом позволит
определить этот множитель и тем самым получить ценные для
теории сведения о взаимодействии я+- и я~-частиц и об их
размерах.
Матричный элемент процесса: у —>¦ я+ + я~ имеет вид 2
2jt V*.* Цс#Цс.
j—поляризация кванта.
и а|J являются суммой плоской и сходящейся волн [2]
Аналогично я|?2.
Интегрирование по sx (s2) производится по кругу радиуса Д,
перпендикулярному рх (р2) и проходящему, например, через
1 ДАН СССР, 1954, 96, 265.
2 П= С= 1.
170

центр нуклона (ядра); Ег — энергия я+; Е2 — энергия я~;
равно сечению всех неупругих столкновений я-мезона с ядром
(большинство из них приводит к интенсивным «звездам», сопро-
сопровождающимся взрывными ливнями типа Ферми [3] — Ландау
[4]).
Рассмотрим сперва часть A), включая Ф2 и Ф2. Запишем эти
функции следующим образом:
(соответственно Ф2).
Получающееся выражение имеет вид:
^) X
epip-г
Ш f ^~w v 1 Г Ш Ш л rmft | я! С I *m ft \
X
2
x {q2_pl_iR)™+qp_pl_ie) ¦ D)
Вводим qz — проекцию q на направление f и перпендикуляр-
перпендикулярную к f часть g:
оо
dq2X
Интегрирование по qz может быть проведено, замыкая контур
интегрирования большой полуокружностью и находя вычеты.
Для упрощения при этом используем, что /— рх— р2 х -ц—— —> и
(т — масса я-частицы). В результате получаем:
i^s2 (jg) dg i(p2s2z+PlsJz) _i(g,S2_Sl) /fix
2 + 2 w
(здесь можно f — p2 заменить на рх, так как 52z мало).
Выразим slz, используя перпендикулярность sx и рх:
«iz=—-^-. Pi=A — (l—-T-V) + klf f kx = 0, k±^pv
Pl / \ ^Z7! /
G)
171

Пользуясь G) и аналогичным выражением для s2z, преобразу-
преобразуем F) [51:
iepm
ds,ds2dg -
= е
^ \ J?j?L * =
пи
Переходим теперь к интегралам, содержащим либо Фх,
либо Ф3:
— e-{P^r (jVO*) — (jVe-b*) Фг] йт =
Пользуемся теперь (З):
Pi С Г
z>i(q',r-s2)
' —
?'2 - p2 __ fe
Преобразуем интегралы по Sj и s2, учитывая G):
^
= 2я-?-/1(&#), k-kt + Ь,.
В соответствии с этим переписываем A1):
172
(9)
A0)
A1)
A2)

Складывая (8) и A2), находим полный матричный элемент пе-
перехода М, так как член, не содержащий Ф1 и Ф2, исчезает в силу
законов сохранения.
При вычислении (8), A2) главную роль, играли расстояния
до ядра порядка PiPjm2f, если кг ~fe2 ^ т. Это проще всего
можно увидеть из B) (см. также [1]). Таким образом, пользование
^-функциями, взятыми вне ядра, законно.
Определяем теперь эффективное сечение процесса:
Появление множителя F вызвано тем, что взаимодейстие я-
меэонов с ^-квантами может не соответствовать взаимодействию
точечной частицы, как это имеет место в A). Далее возможное
существование сильного (в частности, неэлектромагнитного) вза-
взаимодействия я4-- и я~-частиц друг с другом может привести к то-
тому, что значение -ф-функции, описывающей систему я+, я™, при
совпадении координат я+ и л" будет сильно отличаться от произ-
произведения я|) (rx)i|? (r2), аналогично тому, как у заряженной частицы
|%@I2 отличается от |х(°°)|2 на множитель [е2яв*/°—I]'1.
(Влияние этого эффекта на образование электронно-позитронных
пар было рассмотрено А. Д. Сахаровым [6].) Множитель типа
*у ' • может появиться и в наших выражениях. Аналогично [1],
влияние всех изложенных выше обстоятельств приводит к появ-
появлению в матричном элементе дополнительного множи-
толя F.
Следует подчеркнуть,что выделение множителя /"возможно толь-
только и силу больших расстояний от ядра, играющих роль в нашей
задаче.
Влияние возможных конечных размеров я-частиц и их взаи-
взаимодействия содержится в F, который является функцией от трех
инвариантов:
1 о Eif — pif 1 о E2f — р2? j — рф2 +
coj есть частота кванта в системе покоя я+, о>2 — частота кванта
в системе покоя п ; I = -у-1—%•» гДе и — скорость я-частиц в систе-
ме центра тяжести я+ и я~.
В наиболее важном случае, когда рг ~ /?2, кг ~ к2 ^ т, все
инварианты оказываются порядка единицы, и можно думать, что
F по порядку величины равно единице.
Интеграл, входящий в (8), оказывается особенно простым при
mR ^> 1, т. е. для ядер в середине и конце таблицы Менделеева.
Поэтому этот случай заслуживает отдельного рассмотрения.
173

При mR ~ 1 из (8), A2), A3), A4) можно сделать следующие
выводы: 1) полное сечение пропорционально e2R2 и не зависит от
энергии; 2) эффективная область углов равна т/р; 3) распре-
распределение по энергиям довольно размытое.
Академия наук СССР Получено 5 марта 1954 г.
Л И Т Е VA Т У I' Л
1. Л. Ландау, И. Померапчук. Ж.')ТФ, 1953, 24, Г>05 (Собр. трудов, № 97).
2. Л. Ландау, Е. Лифшиц. Теория поля, 2-е изд., 1948, стр. 168.
3. Э. Ферми. Усп. физ. наук, 46, 71 A952); Progr. Theor. l'hys., 5, 570 A950).
4. Л. Ландау. Изв. АН СССР, сер. физ., 1953, 17, 51.
5. И. Н. Рыжик, И. С. Градштейн. Таблицы интегралов, сумм, рядов
и произведений, 1951; Г. Н. , Ватсон. Теория бесселевых функций,
1949, стр. 190.
6. А. Д. Сахаров. ЖЭТФ, 1948, 18, 631.
174

101
ОБРАЗОВАНИЕ я-МЕЗОННЫХ ПАР Т-КВАНТАМИ
В СЛУЧАЕ ТЯЖЕЛЫХ ЯДЕР1
Полуфеноменологическая теория образования Jt-мезонных пар
у-квантами была сформулирована ранее 2. В том случае, когда
радиус ядра велик по сравнению с комптоновской длиной я-ме-
зона:' R ^> 1/т, матричный элемент перехода (формула (8)) 2 мо-
может быть существенно упрощен.
Если ввести в формулу (8) 2 новые переменные s = Sl "Г ,
а = s2 — s1? то эффективные значения а оказываются порядка или
меньше3 1/т. Поэтому при mR J^> 1 можно производить интег-
интегрирование по s и or независимо в следующих пределах: s2 ^ Д2,
а2 < оо. В новых переменных формула (8) 2 имеет вид
iepm
A)
Складывая A) и A2) 2, получаем матричный элемент М:
П Г Q.h-ki) 2jkx 2jk2
(k2 __
Эффективные значения к ~ l/R <^ m, тогда как кг, к2 мо-
могут быть порядка т. Поэтому (к = кг + к2) кх ж — к2. Исполь-
Используем это для упрощения B):
Когда кх х —к2, инварианты, входящие в сечение в фор-
формуле A3) 2, выражаются следующим образом:
w 2^i m2 ' да m2 ' l ~" w le W
Таким образом, множитель F в формуле 2 A3) не зависит от к и
1 ДАН СССР, 1954, 96, 481.
2 И. Я. Померанчук. ДАН, 1954, 96, 265 (Собр. трудов, № 100).
3 Й= с= 1.
175

от направления b, что дает возможность произвести интегрирова-
интегрирование дифференциального сечения по этим переменным. Диффе-
Дифференциальное сечение равно:
(к, ь, *0 —? -5- Л № Щ^Г dhdk IF <<*
) к*. E)
dfc = kdkdyk, dh = hdbdifb.
F — симетричная функция своих аргументов.
Усредняя по поляризациям кванта, находим:
е2 #2 /? (&Д) Ei (/ — Ei) dEi
de(k, b, ^=^4- ll Д^+уу ЬЧЬЛIF|«. F)
Интегрируем теперь F) по к и <рь, получаем
do (b ЕЛ = e*R* E^-E,)dE, ШЬ , ,
Формулы E), F) и G) дают возможность определить из опыт-
опытных данных |,Р|2 и тем самым получить сведения о взаимодействии
я+- и я~-частиц друг с другом, а также о их размерах.
Остающееся интегрирование по Ех и Ъ может быть произведе-
произведено, только полагая, что F = 1. При этом получается следующее
выражение:
При z ~ 80—90 образование пар под действием чисто куло-
новских сил оказывается всего лишь в несколько раз меньшим,
чем (8). Поэтому в этих условиях необходимо учитывать наряду с
(8) часть, обязанную кулонову полю.
В заключение следует отметить невозможность превращения
виртуально родившейся пары Jt+ и тг при их взаимодействии друг
с другом в два л°-мезона. Это связано с законом сохранения за-
зарядовой четности. Квант зарядово-нечетен. Система из двух л°-
мезонов зарядово-четна. Так как ядро выполняет только функции
черного тела, то его следует при этом считать зарядово-четным.
Таким образом, процесс у ->- 2я° в рассматриваемых условиях не
может иметь места. Так как образование пар (я+ я"")- и 2я°-мезо-
нов, не сопровождающееся возбуждением ядра, практически мо-
может иметь место только при помощи механизма, разобранного в
этой работе, то закон сохранения зарядовой четности приводит к
выводу, что сечение процесса у ->• 2я° должно быть при / ^> т
очень малым по сравнению с сечением процесса у ->- я+ + я~-
176

Выводы: 1. Сечение (образования я+ я~)-пар, не сопровож-
сопровождающееся возбуждением ядра в экстремрелятивистских усло-
условиях, не зависит от энергии кванта и оказывается пропорциональ-
пропорциональным Rz (~ Аг1*). По порядку величины интегральное сечение
равно ~ R2.
2. Процесс у ->-2 л° имеет малую вероятность по сравнению с
процессом у ->¦ Jt+ + л"".
3. Распределение по величине к дается F). Эффективные
к - 1/Д.
4. Эффективные Ъ связаны с «размерами» Jt-частиц и свойства-
свойствами их взаимодействия.
Академия наук СССР Получено 5 марта 1954 г.

102
ОБ ИЗЛУЧЕНИИ y-KBAHTOB, СОПРОВОЖДАЮЩЕМСЯ
ПОГЛОЩЕНИЕМ БЫСТРЫХ ПРОТОНОВ ЯДРАМИ1
Совместно с А. И. Лхиезером
Поглощение быстрых протонов ядрами может сопровождаться
излучением фотонов, обусловленным двумя механизмами. С
одной стороны, поглощение протона ядром вызывает дифракци-
дифракционное возмущение протонной волны, могущее приводить к излу-
излучению (дифракционное излучение) [1]; с другой стороны, излу-
излучение может вызываться непосредственным поглощением протона
(излучение остановки) [2]. Более существенным является второй
механизм. В настоящей заметке мы хотим оценить роль аномаль-
аномального магнитного момента протонов в излучении остановки, учет
которого в [2] произведен неточно.
Будем предполагать, что для оценки излучения остановки про-
протон можно описывать уравнением Дирака с аномальным магнит-
магнитным моментом [а':
(Tv9/&rv — tervX — ф/TvTp^vp + /га) я|) = 0, A)
здесь Fvp = dAp/dxv — dAvjdx9 — тензор поля и А„ — вектор-
векторный потенциал, равный А„ = Bo))-1'/*ev ехр {—i (kr — Ы)}
(ev — единичный вектор поляризации, со — частота, к — волно-
волновой вектор фотона; мы пользуемся системой единиц, в которой
с = h = 1). Так как е <^ 1, то в членах, содержащих электро-
электромагнитное поле, можно заменить я|) на *ф0 = uei{^r~Et\ где и —
спинорная амплитуда плоской падающей протонной волны с им-
импульсом р и энергией Е. Таким образом, мы получим неодно-
неоднородное уравнение для г|) = Ф (г) еЧЕ'*, имеющее вид
— т4^' + т)Ф = B<d)-V. (iee + 2\i'ke) Фо (г) *ikr, B)
где
Е' = Е - со, а = ТЛ (v = 1, 2, 3,4), Фо (г) = ие**.
Найдя из этого уравнения Ф(г) на поверхности ядра, которое
предполагается абсолютно черным по отношению к падающим
протонам, можно определить поток протонов, поглощаемых яд-
ядром, когда на бесконечности имеется один фотон. Плотность это-
1 ЖЭТФ, 1956, 30, 201.
178

го потока определяется формулой
а сечение излучения остановки равно
do = (jnR2/u) Bя)~3 GJd(od20, C)
где v — скорость протонов, d?Q — телесный угол, в котором испус-
испускается фотон.
Решение уравнения B) имеет вид
Ф (г) = - B'.>)-V. jj Go (г, г') {iee + 2\i'ke) <г**'Ф0 (г') dr\ D)
где Go — функция Грина для уравнения Дирака [1]:
~ ^E' - т
Используя E), можно показать, что Ф (г) определяется
формулой
и что поток равен
- I Р - k I
X YP И (Р - к) Y - Е'Гь - m] [iee + 2\i'k e] [ipy - ?Т4 - ^1}. F)
Производя суммирование по поляризациям фотона при помо-
помощи формулы
2 еа • еЬ = аЬ — Г2 (ак) (Ьк),
е
где а и b — матричные векторы, представим / в виде
S tlM()Pi + Sp) V - PPi(Я'Т* + i»)l X
X [2ц'к + ie) [- i (pn) (nY) + ?t4 - m] [2p'k + ie}}, F')
где
n=k/A, 26= (Е-к)*-т?-(р-к)\ Е' = Е-к, Pl = p-k.
Дифференциальное сечение излучения остановки равно
2ц'2 -^- (т2 + />282J - швA' -^- (т2 + р292)} Й26. G)
179

Первое слагаемое в квадратных скобках G) определяет излу-
излучение остановки для частиц без спина [3], а второе обусловлено
спином протона. Последние два слагаемых определяют излуче-
излучение, вызванное наличием аномального магнитного момента про-
протона.
Мы видим, что влияние спина и аномального магнитного мо-
момента протона на излучение остановки существенно только в
области больших частот. Следует, однако, иметь в виду, что в
области больших частот протон нель.ш, строго говоря, рассмат-
рассматривать как точечный заряд, так как при dtom, благодаря взаимо-
взаимодействию протона с мезонным вакуумом, должно сказываться
«размазывание» протона, учет которого в некоторых условиях
может быть произведен введением формфактора F, зависящего
от инвариантной частоты фотона *:
\_2Е \ т2 /то
Сечение излучения с учетом формфактора протона определяется
произведением G) на | F |2.
Выражаем искреннюю благодарность В. Барьяхтару и
С. Пелетминскому за помощь, оказанную ими при выполнении
ряда вычислений.
Физико-технический институт Получено 29 апреля 1955 г.
Академии наук УССР
Академия иаук СССР
ЛИТЕРАТУРА
1. А. Ахиезер. ДАН СССР, 1954, 94, 651.
2. Л. Ахиезер, и И. Я. Померанчук. ДАН СССР, 1954, 94, 821 (Собр.
трудов, № 99).
3. Л. Д. Ландау, И. Я. Померанчук. ЖЭТФ, 1953, 24, 505 (Собр. тру-
трудов, № 97).
1 Мы считаем, что размеры протона порядка 1/га0 (т0 — масса мезона).

103
НЕУПРУГИЕ ДИФРАКЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ
ПРИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЯХ1
Совместно с Е. Л. Фейябергом
1. Введение
Настоящая статья представляет собой обзор ряда теоретиче-
теоретических работ различных авторов [1—10], опубликованных в течение
двух последних лет. Объединяемые общей физической идеей,
эти работы посвящены, однако, довольно различным конкретным
явлениям. В обзоре дается дальнейшее развитие теории как в на-
направлении изучения других конкретных явлений, так и по линии
обобщения и улучшения самого метода.
Мы рассмотрим явления, происходящие в процессе столкнове-
столкновения частиц высокой энергии, в основном — более 108 эв (в некото-
некоторых случаях характерные черты данного явления проявляются
только при энергиях выше 1012 эв). Мы, однако, надеемся, что по-
подобные явления могут иметь место при любых энергиях. Мы имеем
в виду неупругие столкновения, электромагнитное тормозное
излучение, фоторождение пар я-мезонов, расщепление быстрых дей-
дейтронов и т. д. Рассматриваемые процессы объединяет то обстоя-
обстоятельство, что все они связаны с дифракцией частиц на мишени,
причем эта мишень играет роль «третьего тела». Таким телом мо-
может быть, например, «макроскопическое» скопление других
частиц (тормозное излучение электрона в среде, в частности, в кри-
кристаллической решетке; электромагнитное излучение, сопровож-
сопровождающее дифракцию я-мезона на ядре и т. Д;). Следует подчерк-
подчеркнуть, что энергия при этом считается достаточно большой, так
чтобы длина волны оказывалась много меньше чем, соответствен-
соответственно, постоянная решетки, радиус ядра и т. д. Несмотря на это ди-
дифракционные явления оказываются крайне существенными. Эта
особенность прежде всего требует пояснения.
Формальная основа настоящего исследования определяется
следующими соображениями, которым, как мы полагаем, до сих
пор не уделялось внимания. Когда энергия участвующих в про-
процессе частиц растет, угол их разлета уменьшается. Это приводит
к уменьшению продольной компоненты q\\ импульса q, передавае-
передаваемого «третьему телу» (кристаллической решетке, ядру, и т. д.).
При достаточно"больших энергиях q\\ может стать меньше обрат-
1 Nuovo Gim., 1956, Suppl., № 4, 652. Перевод М. С. Маринова и И. С. Цу-
кермана.
181

ной величины характерных размеров «третьего тела» (расстояния
между атомами или радиуса ядра R). Другими словами, при до-
достаточно высокой энергии будет выполняться одно из следующих
условий:
9||Я<<1> A)
или
?цЛ<1. Aа)
Согласно соотношению неопределенности :>то означает, что эффек-
эффективный радиус существенной в задаче области пространства, рав-
равный (при Тг = с = 1)
гпф = 1/9 п. B)
становится очень велик по сравнению с а или Л, какой бы малой
ни была длина волны (сравните дифракцию рентгеновых лучей на
решетке при скользящем падении или дифракцию света на крае
лунного диска и т. д.). При тормозном излучении электрона такая
область может содержать много атомов; в случае соударения с яд-
ядром она будет включать все ядро как целое.
Отмеченная особенность по-разному проявляется в различ-
различных процессах и различным образом используется при их теорети-
теоретическом описании.
Существенно, с одной стороны, что кроме обычно учитывае-
учитываемого «третьего тела» равную роль играют другие частицы среды,
и взаимодействие со всеми ними происходит одновременно. Таким
образом, процесс в среде будет отличаться от такого же процесса
на изолированном теле. Это оказывается особенно важным для
чисто электромагнитных процессов: тормозного излучения элек-
электрона в кулоновском поле ядра и т. д. (ср., однако, параграф
4.3 настоящей статьи).
С другой стороны, если мы имеем дело с явлением, в котором
во всей рассматриваемой области имеется только одно тело (на-
(например, ядро), то рассеивающее действие этого тела на другие
частицы, принимающие участие в процессе, должно быть извест-
известно только на больших расстояниях. Процесс является «внешним»
по отношению к телу. И это действие можно описывать феномено-
феноменологически, используя, например, формулы дифракционной теории
или какие-либо данные о поведении рассеиваемых частиц вдали
от ядра (излучение фотона я-мезоном, взаимодействующим с яд-
ядром, и т. д.).
Рассмотрим проблемы первого типа. Электрон с энергией Е
(его масса покоя m и импульс р) испытывает тормозное излучение
(импульс фотона к); переданный ядру импульс q имеет две компо-
компоненты, причем поперечная компонента, qx, по величине порядка
m (это можно видеть из того факта, что угол разлета частиц, уча-
участвующих в процессе, оказывается по величине порядка или мень-
меньше q±/p ~ m/E); а продольная, q ц, для нулевого угла разлета равна
w^T) C)
182

(пока рассмотрение ведется по порядку величины, это выраже-
выражение для q\\ справедливо не только для 0 = 0, но и для всей суще-
существенной области углов 9 ~ т/Е).
Движение электрона и кванта через всю область простран-
пространства, простирающуюся по р на длину 1/ду — 2Е (Е— к) /т2к, суще-
существенно сказывается на излучении. При этом следует отметить по
крайней мере следующие явления.
1. При больших Е (или соответственно малых /с), достаточных
для выполнения условия Aа), на тормозное излучение частицы,
движущейся вдоль некоторой кристаллографической оси кри-
кристалла, будут совместно (когерентно) влиять все ядра, располо-
расположенные в пределах сечения с размерами 1/#ц; число таких ядер
равно
ЛГ1 D)
Это означает, что аффективный :ш]шд рассеивающего центра будет
равен N^Ze вместо Zc>, и сечение процесса будет пропорционально
Л^ф, т. е. возникнут максимумы тормозного излучения интерфе-
интерференционной природы.
2. При движении в аморфной, а также в кристаллической среде
в случае достаточно больших Е или достаточно малых к электрон
может на длине Ilq ц претерпеть достаточно большое число рассея-
рассеяний, что выведет его за пределы угла порядка т/Е. При этом про-
процесс излучения нарушится. Таким образом, тормозное излучение
в среде должно падать, когда энергия превосходит некоторое боль-
большое значение.
3. Оба эффекта должны сказываться на процессе образования
электронных пар практически при тех же условиях, поскольку
взаимодействия компонент пары с третьим телом имеют те же
характерные черты.
4. Для мягких фотонов тормозного излучения может про-
проявиться отклонение коэффициента преломления среды У г от
единицы. На достаточно большом пути гЭф = 1/дц дополнитель-
дополнительная фаза фотона, равная
(/i-ljftr,*, E)
может возрасти настолько, что на этом участке не будет выполнена
когерентность, и весь процесс рассеяния нарушится.
5. Вернемся теперь к ядерным взаимодействиям, для которых
наиболее важно не действие среды, а тот факт, что процесс является
внешним по отношению к ядру.
Если частица, способная провзаимодействовать с ядром, уда-
ударяет в него, она может испустить фотон (когда она электрически
заряжена) или я-мезон (в частности, если частица является нукло-
нуклоном). Например, когда заряженный я-мезон (с энергией Е и мас-
массой покоя [г), падающий на ядро, испускает фотон с импульсом
183

/с, то для нулевых углов разлета (пренебрегая отдачей ядра)
?« 2Е(Е-к) • (Ь)
Если ? велико или /с соответственно мало, так что выполняется
неравенство Aа), то существенная в задаче область пространства
становится много большой размеров ядра. Ядро при этом дей-
действует как целое, а обрпзонаиие киалта протекает на больших
расстояниях от ядра.
Этот процесс можно пояснить и другим нутом. Возможность по-
поглощения я-мезона ядром означает также, что должна иметь место
дифракция я-мезона на ядре. 13 ходе этой дифракции мезон при-
приобретает некоторый поперечный импульс отдачи, равный q± ^
ж р0, и при достаточно больших углах 0 это приводит к испуска-
испусканию фотона.
В области высоких энергий'можно считать, что дифракция вы-
вызывается наличием «черного шара». Если длина волны мезона до-
достаточно мала, можно при этом воспользоваться кирхгофовским
приближением дифракционной теории.
6. Совершенно так же можно дать полуфеноменологическую
трактовку фоторождения я-мезонных пар.
7. Нуклон высокой энергии Е (с массой покоя М) при взаимо-
взаимодействии с ядром может испустить я-мезон с энергией Еп\ при
этом для малых углов
q |, = fE*-M* - Y(E-En)*-M*-
2E(E—En) ' 2E.
•n
В случае выполнения условия Aа) появляется возможность внеш-
внешнего образования я-мезонов. При этом следует феноменологиче-
феноменологически учитывать рассеяние нуклона, а также мезона.
8. Дифракция должна иметь место, когда быстрое нереляти-
нерелятивистское ядро, например, дейтрон, сталкивается с ядром мишени.
При этом налетающее ядро приобретает поперечный импульс,
в результате чего может происходить его расщепление (совершен-
(совершенно независимо от расщепления, вызываемого электростатическим
полем ядра), которое можно назвать дифракционным или внешним
расщеплением. Например, для дейтрона с кинетической энергией
Е (энергию связи обозначим через ed) и в предположении равен-
равенства энергий вылетающих протона и нейтрона (правильность этого
допущения подтверждается последующими вычислениями) мы
имеем
^jf4. (8)
В этом случае условие Aа) может удовлетворяться даже при энер-
энергиях выше нескольких Мэв.
184

Во всех процессах E) — (8), в которых ядро действует как целое,
характерной чертой является то, что оно и поперечный импульс вос-
воспринимает также как целое. Предполагая, что д = Yq2± -f q\ ~q±
не очень велико, а именно, q±<i \i (такое соотношение прак-
практически нужно для рассмотрения ядра с резким краем), мы можем
получить, что энергия, передаваемая ядру с атомным весом Л,
равна '
2
2МА ^^ 2МА А ' К*}
т. е. так мала, что ядро, испытывая некоторую отдачу, как пра-
правило, не разрушается.
9. Еще один пример приложения того же принципа можно
обнаружить, рассматривая любые столкновения быстрых нуклонов
с ядрами, при которых происходит разрушение ядра и образуются
новые частицы. Н .тгом случае (п интервале энергий 109 — 1012 эв)
часто пытаются исследовать процесс каскадного размножения
в ядре. Однако оказывается, что фактически даже рассмотрение
последующих столкновений возможно только при достаточно
больших углах разлета частиц и энергиях отдачи нуклонов. В про-
противном случае налетающая частица взаимодействует одновременно
со всеми внутриядерными нуклонами, расположенными на ее пути,
т. е. со всем «туннелем».
2. Электромагнитные явления,
сопровождающие ядерные столкновения
2.1. Испускание фотонов в ходе дифракции и при захвате мезо-
мезонов [1]. Рассмотрим электромагнитные процессы, сопровождающие
столкновения быстрых заряженных я-мезонов с ядрами, причем
будем считать, что импульс мезонов достаточно велик, а длина
волны мала по сравнению с радиусом ядра R.
Правильно включить ядерные взаимодействия в теоретические
расчеты невозможно. Оказывается, однако, что испускание элек-
электромагнитного излучения, сопровождающее ядерное соударение,
можно подробно изучить на основе характерных особенностей
процесса столкновения, описанных выше.
В общем случае процесс обусловливается испусканием поля,
сопровождающего мезон, когда он рассеивается или поглощается
ядром. Поэтому, по крайней мере для квантов малых энергий, их
спектр имеет форму dk/k, а вероятность испускания отличается от
вероятности основного процесса коэффициентом е2^ 1/137 (и мно-
множителями, логарифмически зависящими от энергии).
При этом подразумеваются два типа взаимодействий для я-
мезонов: с электромагнитным полем и с полем ядерных сил (элек-
(электромагнитное взаимодействие с ядром можно не учитывать).
Возможность довольно полного и достаточно строгого расчета
в случае взаимодействия первого типа обусловлена тем, что можно
185

использовать теорию возмущений, в то время как для взаимодей-
взаимодействий второго типа рассмотрение ведется вне рамок этого прибли-
приближения (в чем и состоит существо метода).
Действительно, вне ядра мы можем записать волновую функ-
функцию я-мезона с учетом влияния ядра. Допустим, например, что
ядро ведет себя по отношению к я-мезолам, как черное тело (что
справедливо, как показывает эксперимент, уже при Е ~ 2 ¦—-
-4-3-Ю9 эв). Тогда псевдоскалярная шимншаи функция я-мезона
будет являться суперпозицией начальной плоской волны и волны,
образовавшейся при дифракции на шаре. Согласно формуле Кирх-
Кирхгофа для дифракции (pR ^> 1) мы имеем
(s)
причем интегрирование ведется по сечению ядра, перпендикуляр-
перпендикулярному импульсу я-мезона р. В подынтегральном выражении пло-
плоская волна содержит импульс, отличающийся от р. Это связано
с тем фектом, что я-мезон испытывает ускорение при дифракцион-
дифракционном рассеянии на ядре (причем рассеяние, в свою очередь, является
следствием всех процессов «поглощения» я-мезона, под которыми
мы подразумеваем любые процессы, выводящие я-мезон из на-
начального состояния с импульсом р). Этого ускорения оказывается
достаточно, чтобы привести к' электромагнитному излучению я-ме-
я-мезона, если только последний получает в системе координат, в кото-
которой он первоначально покоился, поперечный импульс q±^ fx.
Разлагая волновую функцию % в ряд Фурье и выделяя члены
с Q± ~ I1! можно оценить величину сечения процесса. Более пол-
полную теорию можно построить, либо используя теорию возмуще-
возмущений при рассмотрении перехода мезона под действием поля излу-
излучения из состояния A0) в состояние
(SO
(плоская волна плюс сходящаяся волна, причем интегрирование
ведется по сечению ядра, перпендикулярному импульсу р'), либо
записывая уравнение для г|) в присутствии квантованной электро-
электромагнитной волны с вектор-потенциалом А:
)==JLaVi|). A2)
i
При этом вместо г|) подставляется выражение
ф = % ехр (— iEvt) + 2 ехр (- iEp4) %> A3)
р'
186

и используется функция Грина (учитывающая наличие черного
шара) получающегося уравнения для ify в виде
г /г г/ч _ охр (ip' 1 г - г' 1) р^С exp (ip' 1 г — s |) exp (ip' | г' - s |) , „
UV'1>— 4я|г —г'| 2яО \г — 8\4л\г' — в\
A4)
(интегрирование ведется по сечению ядра, перпендикулярному
вектору г — г'). Таким способом мы приходим к выражению для
волновой функции вылетающего я-мезона с импульсом р', сопро-
сопровождающегося фотоном с импульсом к.
При вычислении сечения-процесса возникает вопрос, можно
ли считать я-мезон точечной частицей. Если предположить точеч-
ность л-мезона, то его дифракционное рассеяние ядром с радиу-
радиусом R, приводящее к испусканию кванта с импульсом к, будет
иметь сечение, содержащее и качество множителя некоторую функ-
функцию от безразмерного параметра 91 (\*>Щ, стремящуюся при \iR ^>
>1 к величине O,56/fx7{. Для таких \iR ^> 1 (А ^> 1) мы имеем
о* W-2.&- ^^ - 2,3^ Se^L. A5)
При этом полная излученная энергия равна
J kod (к) dk ж 2ER2e2& (цД). A6)
Совершенно так же можно вычислить сечение излучения при погло-
поглощении я-мезона ядром. Это есть такое излучение, которое сопро-
сопровождает я-мезонный ток, направленный внутрь ядра. Сечение
процесса, проинтегрированное по частотам к ^> кт\п и углам
вылета фотона 0 < 0тах, равно
Принимая во внимание релятивистские эффекты, можно предста-
представить влияние формфактора я-мезона на излучение фотонов в виде
множителя
кЕ (В2 + ц2/?
•-'(¦
A8)
Мы можем, следовательно, надеяться, что в будущем детальное
экспериментальное исследование описанного выше электромаг-
электромагнитного излучения сможет обеспечить нам возможность опреде-
определения такой важной величины, как формфактор я-мезона.
Полная излученная энергия для процесса, обусловленного за-
захватом, как оказывается, имеет величину порядка e*R2E, а се-
сечение особенно велико при испускании фотонов под малыми угла-
углами. Действительно, при 0 = \х1Е сечение процесса захватного из-
187

лучения равно
(Е-к)
Ал П \ \i ) Ек
и при E/\i ~ 40 составляет R2 (Е — к)/Ек, что по порядку вели-
величины равно ядерным сечениям. Процессы, аналогичные рассмот-
рассмотренным выше, для случая начальных частиц со спином V2 были
исследованы в работах [2]. В них, в частности, была получена ди-
дифракционная формула Кирхгофа для частиц со спином половина.
fis 2.2. Фоторождение jt-мезонных нар на ядре [3]. Процесс, рас-
рассмотренный выше, имел качественные характеристики, порядок
величин которых можно было предсказать. Изучение этого про-
процесса дало возможность получить точные формулы и, более того,
развить метод, применимый к ряду других процессов. Так, в работе
[3] исследовался процесс, указанный в заголовке этого параграфа,
причем действие ядра, рассматриваемого по отношению к я-мезо-
нам как черное тело, учитывалось путем описания образующихся
я-мезонов с помощью уравнения A1). Поэтому мезон-ядерное
взаимодействие трактовалось точно (в основном предположении,
что ядро является абсолютно черным).
Полученное для сечения процесса выражение оказывается до-
довольно сложным. Однако в случае тяжелых ядер, когда их радиус
велик по сравнению с длиной волны я-мезона, формулы значи-
значительно упрощаются. Сечейие образования пары я-мезонов с им-
импульсами рх и р2 фотоном с импульсом к имеет вид
где
х = кх + к2, Ь = 4" (к. - кх), Е1 - Vpl + ц2.
Здесь кь к2 — двумерные векторы, перпендикулярные импульсу
фотона, к\ <sg; fe2, /c22<^S к2. При выводе B0) я-мезон считался точеч-
точечным; в противном случае в этой формуле появляется множитель,
имеющий смысл формфактора рассматриваемого процесса. Учет
сильного я+я~-взаимодействия также дает дополнительный мно-
множитель в этой формуле.
Интегрирование выражения B0) по всем % и значениям Ь,
меньшим некоторого Ьтах, дает следующее распределение по
энергии:
B0a)
188

полное сечение равно
Ц2 + &2 \ ,.2 ]
Ж~ I -м ,.*таХ 1 +—Г^Г, 1 I- B06)
Неточечность я-мезона существенна при больших Ьтах.
Нд основе равенств B0) — B06) можно сделать следующие
выводы:
1) сечение образования я+я~-пар, не сопровождаемое воз-
возбуждением ядра, в ультрарелятивистском случае не зависит от
энергии фотона;
2) сумма поперечных импульсов я+- и я~-мезонов (х. = кх + к2)
по порядку величины равна 1/R. Распределение по этой величине
дается выражением B0);
3) эффективное значение Ь, равное 1/2 (к2 — кх), зависит от
«размеров» элементарных частиц и от их взаимодействий.
Следует подчеркнуть, что тот же процесс с образованием двух
нейтральных мезонов запрещен сохранением зарядовой четности:
у-квант является по отношению к заряду нечетным, а я-мезоны —
четными (ядро действует как черное тело и поэтому должно рас-
рассматриваться как четная частица). Таким образом, сечение про-
процесса у ->- 2я° при больших энергиях много меньше сечения ре-
реакции у ->• я+ + я"".
Помимо случая, когда оба мезона уходят на бесконечность,
может иметь место процесс, в котором при поглощении у-кванта
на некотором расстоянии от ядра образуется виртуальная пара
я-мезонов, причем один из них уходит, а второй поглощается яд-
ядром с образованием «звезды» (т. е. с разрушением ядра). Теория
такого процесса была развита Ю. А. Вдовиным[4], который для
порядка величины сечения получил (при R ^> l/\i) оценку
(е2/10) jR (Vfx). Важной чертой этого процесса является факт уно-
уноса большей части энергии у-кванта одним мезоном (а именно, тем,
который освобождается в реакции). Указанный автор исследовал
также образование «звезд» фотоном в случае, когда оба^ виртуаль-
виртуальных я-мезона, образовавшиеся на большом расстоянии от ядра,
захватываются им. Такой механизм образования «фотозвезд» имеет
сечение а ~ e2R4n (fc/jx) (в случае точечных я-мезонов).
3. Чисто электромагнитные процессы
3.1. Тормозное излучение электронов в кристаллической ре-
решетке [5]. Впервые возможность одновременного действия всех
атомов кристаллической решетки на тормозное излучение была
указана Е. Дж. Вильямсом [11]. Однако этот автор дал только
оценку, которая, как теперь выяснилось, привела его к невер-
неверному заключению о том, что тормозное излучение должно падать
при очень больших энергиях из-за регулярного расположения
атомов. Критерий возникновения этого эффекта, данный им без
189

каких-либо комментариев, не был подтвержден дальнейшим ис-
исследованием. Позднее Ферретти [12] рассматривал влияние кри-
кристаллической решетки гораздо более тщательно. Однако эти ре-
результаты также не являются количественными, и они не подтвер-
подтверждаются результатами, излагаемыми ниже.
В статьях М. Л. Тер-Микаэляна [Г>] рассматривалось тормоз-
тормозное излучение релятивистского электрона, проникающего в кри-
кристаллическую решетку (для простоты рассматривалась кубиче-
кубическая решетка) с данным направлением относительно кристаллогра-
кристаллографических осей. Использовалась обыкновенная теория возмуще-
возмущений (практически вычисления проводились методом Вайцзеке-
ра — Вильямса, как и в работе Ферретти, однако те же формулы
были получены в системе отсчета, в которой решетка покоится).
Потенциал кристалла является суммой потенциалов экраниро-
экранированных полей ядер. Важно учесть тепловые колебания атомов.
Легко видеть, что эффективное сечение для испускания фотона
в процессе, в котором решетка получает импульс q, отличается
в этом случае от сечения для изолированного атома интер-
интерференционным множителем
где имеется в виду сумма по мгновенным положениям ядер, тг.
Усреднение по тепловым колебаниям приводит этот множитель,
как обычно в теории рассеяния рентгеновских лучей на кристал-
кристаллах, к виду
AWV311 - ехр(- 2М)\ + ехр(- 2М) \^exp(iqri0)^ B1)
Здесь JVx, N2j N3 — числа атомов вдоль различных осей; 2М =
= фи2, где и2 — средний квадрат теплового смещения атома;
Г|0 — вектор равновесного положения ?-го атома. Соответственно
сечение разлагается на «аморфную часть», которая пропорцио-
пропорциональна полному числу атомов в кристалле (iV\, N2, N3), и «ин-
«интерференционную часть». Аморфное сечение излучения меньше
сечения для изолированного атома, умноженного на число ато-
атомов, причем разница зависит от температуры и для некоторых
элементов может быть порядка 10—20%. С увеличением темпе-
температуры эта разница уменьшается. Эта часть излучения не зависит
от начального направления движения электрона.
Интерференционная часть имеет более сложную структуру.
Tatf как поперечная компонента импульса, передаваемого ядру,
всегда велика {q±~m), то ядра, расположенные в плоскости,
перпендикулярной движению электрона, не дают интерференции,
в то время как ядра, расположенные вдоль пути электрона, вносят
вклад в этот эффект. Более точное, чем в формулах A) и C), рас-
рассмотрение дает для энергии, при которой этот эффект является
190

существенным, величину
Е -^ am 8 , 137
^ V
Здесь v = 108а, где а — постоянная решетки; 8 = к/Е — доля
начальной энергии электрона, излученная в виде фотона. При
v ~ 3 и'е ~ V2 это дает Е ^ 50 Мэв. Для более высоких энергий
(или для более мягких квантов) это сечение возрастает пропор-
пропорционально квадрату эффективного числа атомов А^Эф, расположен-
расположенных вдоль пути электрона. В работе [51 исследовались условия по-
появления интерференционного максимума, был рассчитан случай
кристалла произвольной толщины, были даны условия примени-
применимости полученных формул и излучалась зависимость от началь-
начального направления движения электрона, Например, интерферен-
интерференционная часть тормозного и.ч.иучотшн электронного пучка с угло-
угловыми размерами 0, нронмкпющего в решетку вдоль одной из ее
осей, деленная на полное число атомов решетки, равна
при условии, что Bл /а) У и1 = Эгпах>0>0т1п= (е/A— е)) am (m/2E).
Здесь (Гц н — обычное сечение Бете—Гайтлера, р ^ a0Z~^ — ра-
радиус экранирования атома. Интерференционное излучение падает
при 0 < 0min. Для вольфрама 0тах = 2,4° при Т = 0, 0тах =
=4,8° при дебаевской температуре W. Так как np/a^Bjt/v) Z~V»— 1.
то для достаточно малых 0 интенсивность излучения может
во много раз превышать интенсивность для изолированного атома.
Существенно, что интеграл по всем углам дает как раз такую
же интопсинпос/гь, кдк для тормозного излучения на изолирован-
изолированном атоме. Поэтому и случаи пучка электронов, проникающего
сквозь достаточно толстый поликристалл, эффект кристалличе-
кристаллической структуры исчезает. Таким образом, действие решетки со-
состоит в формировании острого и узкого максимума за счет неко-
некоторого уменьшения фоновой интенсивности.
3,2. Эффект многократного рассеяния в тормозном излучении
электронов [6]. В случае аморфной среды, когда не возникает ин-
интерференции, при достаточно высоких энергиях появляется дру-
другое важное явление: на тормозное излучение влияет многократ-
многократное рассеяние электронов атомами среды (в случае кристалла
это явление играет менее значительную роль [51). Эта возмож-
возможность была указана в работе [6]. В этой работе были также даны
оценки и приближенные формулы для предельных случаев при
классическом рассмотрении тормозного излучения (этот подход
справедлив при излучении мягких фотонов, к <^Е, и дает оценку
эффекта в целом), а также до некоторой степени и при квантовом
рассмотрении. Более строгая классическая количественная теория
191

этого эффекта и в особенности его квантовое рассмотрение ока-
оказалась очень сложной. Это было сделано А. Б. Мигдалом [71.
Его результаты подтверждают, в частности, результаты класси-
классического приближенного рассмотрения.
Если во время движения сквозь существенную область с разме-
размерами (fl ~ 2Е (Е — к)/т2к (см. формулу ('Л)) частицы претерпе-
претерпевают многократное рассеяние, достаточной для того, чтобы откло-
отклонить их на угол 0 ~ га//?, то процесс излучения нарушается. Сред-
Средний квадрат угла рассеяния па этом пути (принимая для оценки
roff
где Es = УЧя-137 т^2\}Мэв,ф L — радиационная длина (в см)
для данной среды. Если^вз ^ (т/ЕJ, т. е. если
^Мщ B4)
то интенсивность излучения должна падать. Даже для жестких
квантов, А; «г^» эта формула дает
Для свинца L ^:0,5 см,, для воздуха при нормальных условиях
L х 3«104 см. Соответственно сечение тормозного излучения дол-
должно быть меньше, чем обычно принимается, для энергий Е ]>
^>2«106эвдля свинца и при2?>10п эв для воздуха. В случае более
мягких квантов этот эффект проявляется при более низких энер-
энергиях. При заданной энергии Е эффект проявляется для фотонов
с импульсом
т. е. для свинца при к < 4-Ю {Elm) E. Например, электрон
с энергией Е ~ 5-Ю10 эв даст в свинце небольшое число фотонов
с импульсом к < 0,01 Е ~ 5-Ю8 эв.
Более последовательная оценка в области применимости клас-
классического рассмотрения (к <^J E) показывает, что в отличие от
обычной формулы Бете—Гайтлера
?
A91Z-A) dk B7)
(п — число атомов среды на единицу объема, Z — атомный номер
элемента, г0 = е2/т — классический радиус электрона), интен-
192

сивность описывается равенством
г— Е А
kdk^h
для
Таким образом, сечение тормозного излучения при высоких
энергиях падает как 1/?\ в то время как спектр фотонов ведет себя
как dl/k — dkl}[k. При достаточно высоких энергиях электроны
и позитроны превращаются в проникающую компоненту. Как
отмечалось выше, то же самое справедливо и для рождения пар
фотонами. Поэтому фотоны также становятся проникающими.
Этот результат получен путем рассмотрения классического
уравнения для энергии, испускаемой при частоте со = к в эле-
элемент телесного угла dQ электроном, движущимся по траектории
dl - -^3- k-dhdil | j Invl cxp |i(kr-o)<)l*|2, B9)
—oo
где r = r (t) и v = v (t) — радиус-вектор и скорость электрона,
заданные как функции времени t, n — единичный вектор распро-
распространения фотона, k = con. Классическое приближение к формуле
Бете—Гайтлера получается, если положить г = vt, и v меняется
внутри некоторой области размером а от одного постоянного зна-
значения \х до некоторого другого v2 (результирующая формула
справедлива для фотонов с длиной волны X ^> а). В частности, при
v2 = 0 получается излучение остановившейся частицы. Однако в
среде благодаря многократному рассеянию скорость v меняется
все время вокруг vb а потом вокруг v2. Достаточно рассматривать
как флуктуирующие только те компоненты скорости, которые пер-
пондикулиртгы к vt и, соответственно, к v2. Их квадраты растут
пропорционально примени. Например, в случае испускания излу-
излучения, направленного вдоль начального движения частицы,
kvx (—оо) = кь\ (—оо), фаза при —oo <C t <С 0 будет содержать,
в среднем, выражения вида UmI 9~6s(^) — 1 I со* вместо кг —
— cof = со* (ь\ — 1), где 9S (*) — угол многократного рассеяния.
Для kufil "^ 2к A — ut) возникает существенный член и, благо-
благодаря быстрым флуктуациям подынтегрального выражения, dl
(по формуле B9)) падает. Истинное значение интенсивности дол-
должно получаться путем усреднения выражения для dl по попереч-
поперечным компонентам скорости. В работе [6] вместо усреднения dl
усреднялась только фаза. Это приводит к оценке, даваемой ф-лой
B8). Однако позднее точные вычисления, использующие очень
красивый метод, были выполнены при Е ^> т А. Б. Мигдалом
[7J, которому удалось дать квантовую теорию этого явления.
Усредняя формулу B9) для dl по рассеяниям в классическом
случае, Миг да л преобразует его, выразив его среднее значение
через фурье-компоненты вероятности данного значения скорости
7 И. Я. Помсранчук, т. Ill 193

Wk (фурье-компоненты возникают от экспонент в формуле B9)).
В пространстве угловых переменных W\ удовлетворяет уравне-
уравнению типа Фоккера — Планка. Решая это уравнение, Мигдал по-
получает
s -
-J , Q = Ann (Zrof (In 191 Z-V.) A - у2). C°)
Здесь {d/}0 — излучаемая энергия, вычисленная при пренебре-
пренебрежении рассеянием (классическое приближение к формуле Бете —
Гайтлера), Ф (s) — табулируемая функция
sin sx
гтч / \ о Г / ч cos sx -f si
ф (s) - 3s J exp (— sx) ^Ъ^
0
oo
+ 2is2 J exp (- sx) sllsxx dx - 6ns2. C0a)
0
При 5 ->¦ oo (рассеянием можно пренебречь) Ф (s) -> A—48/7 54)
и мы приходим к формуле B7): при s -> 0 Ф E) -> 6^; результат
отличается от формулы B8) числовым множителем порядка еди-
единицы. Эта полная формула показывает, что в свинце для фотонов
с импульсом к = V2 E отклонение от формулы Бете—Гайтлера до-
достигает 50%, если Е = 3-Ю12 эв.
Квантовое рассмотрение, необходимое в области к ~ Е, го-
гораздо сложнее. Благодаря рассеянию излучающая частица не опи-
описывается волновой функцией, и вводится матрица плотности. Автор
получает для нее кинетическое уравнение, которое он последова-
последовательно решает. Результат в основном подтверждает классическое
рассмотрение, однако содержит некоторые специфические особен-
особенности.
3.3. Эффект поляризации среды [8]. В работе [8] было показа-
показано, что указанное выше рассмотрение влияния многократного
рассеяния на тормозное излучение должно быть дополнено уче-
учетом поляризации среды. Фактически отличие скорости фотонов
от единицы должно быть принято в расчет. Это можно сделать,
введя в B9) общий множитель У г и положив
к = У*Гсоп C1)
вместо к — con. Здесь можно принять, что диэлектрическая про-
ницаемость среды 8 имеет вид
e==l_i^?l. C2)
WO}2 V '
194

Это означает, что эффект существен для наиболее мягких
кшштом. Поэтому классические формулы работают удовлетвори-
удовлетворительно. Модифицировав B9) указанным образом и усреднив фазу
подынтегральной функции по возможным рассеяниям, замечаем,
что кроме члена, обусловленного рассеянием, сом 1 —-r0;(/)V
фаза содержит другой член, (ot(y е — l)xzBnnZe2/m<.o)t. Если
второй член превосходит первый (низкие частоты), то поляриза-
поляризация играет доминирующую роль. Результаты работы [8] можно
суммировать следующим образом.
1. Если энергия электрона не превышает некоторого крити-
критического значения
1 /
у
(для конденсированной среды, для элементов середины или конца
периодической системы ^крит ~ Ю4 Мэв ~ 1010 эв), многократное
рассеяние не может дать заметного эффекта, так как поляризация
среды доминирует. Для различных частотных областей имеем
следующие случаи. Если
со;
то
-, / AnnZe2' E
У 7^~ т '
C
Зя L \ т
, C4)
т. е. влиянием среды можно пренебречь, и справедлива формула,
которая является классическим аналогом формулы Бете — Гайт-
лера (и совпадает с ней при к <^Е). Если
(для частот со ^ \fAnnZe2/m приближенная формула C2) не
справедлива), то
2. Если энергия электрона возрастает и становится Е ^ р
то возникает область частот, в которой многократное рассеяние
играет основную роль, а именно для
Е ( ^ \2 1
FZ- = (Os C6)
выполняется формула B8). Для Е ~^Е0 = m2L (EJmJ область,
определяемая равенством C6), покрывает почти всю высокоча-
7* 195

со
стотную часть Спектра, за исключением интервала Ё — Ёо
<СЕ, где еще выполняется формула Бете—Гайтлера. Для (о<^сор
снова справедливо равенство C5), для (о J$> coiS справедливо ра-
равенство B7).
В целом ситуация может быть схематически изображена на
рис. 1, на котором масштаб не выдержан с количественной точ-
точностью; на самом деле о)р<- К. Интересной особенностью влияния
i fdV,
I
i/I- const.
среды является исчезновение так называемой инфракрасной ка-
катастрофы. Поэтому при экспериментальной проверке радиацион-
радиационных поправок, вычисляемых обычно для различных процессов
и сильно зависящих от инфракрасной катастрофы, следует учи-
учитывать присутствие среды.
4. Ядерные явления
4.1. Испускание мезонов нуклонами в процессе дифракцион-
дифракционного рассеяния [9]. Этот процесс отличается от рассмотренных
ниже тем, что он не может быть рассчитан количественно с такой
же точностью из-за отсутствия последовательной мезонной тео-
теории и неприменимости теории возмущений. В этом случае теория
возмущений может дать не более, чем неопределенное указание
на возможный порядок величины сечения.
Условие Aа) при использовании равенства G) дает энергети-
энергетический порог эффекта. Если мезон забирает небольшую часть энер-
энергии (порядка {\х/М) Е), то это условие имеет вид
Al/>M. C7)
В противоположном случае, если энергия мезона того же порядаа,
что энергия нуклона, это условие принимает вид
Е>^А'ЬМ, . C8)
196

t. e. порог значительно возрастает. В случае образования несколь-
нескольких меломон порог возрастает пропорционально ил числу. Отли-
Отличительной особенностью такого процесса будет отсутствие так
называемого «второго конуса», образовавшиеся мезоны будут дви-
двигаться (в системе центра масс) только вперед.
При определении поперечного сечения мы должны учитывать
тот факт, что этот процесс нельзя считать вызванным взаимодей-
взаимодействием с ядром в целом, если поперечная компонента передавае-
передаваемого импульса достаточно велика, точнее если она превосходит
обратное расстояние между нуклонами в ядре. Это расстояние
можно считать равным 1/[х. Поэтому мы должны ограничиться
областью q <C \i. В этом случае скорость, приобретаемая нукло-
нуклоном (в его системе покоя), мала: v ~ \i/M. Соответственно процесс
испускания мезошж не может быть очень интенсивным. В самом
деле, применяй (таким же образом, как1 п пулктс 2.1) теорию воз-
возмущений и принимая пеендоскалнрпую связь нуклонов с псевдо-
псевдоскалярными мелопами, мы получаем для испускания одного ме-
мезона:
Здесь g — константа связи, а0 — геометрическое сечение ядра.
Даже для g2 ~ 10—20 эффективное сечение меньше, чем сг0. Бла-
Благодаря величине порога и в соответствии с C9) это явление дол-
должно быть сравнительно более ощутимо в случае легких ядер.
Так как мезонные взаимодействия — сильные, можно предпо-
предположить, что аналогичный процесс возможен и для рождения я-ме-
нопоп при дифракции я-мезонов на ядрах. В этом случае малость
массы мелоиа благоприятна для процесса.
4.2. Дифракционное расщепление дейтрона. Расчет этого про-
процесса можно выполнить последовательно, несмотря на то, что за-
закон взаимодействия нуклонов не известен с определенностью.
Необходимо знать только волновую функцию дейтрона. Эта функ-
функция определенно известна только для расстояний между нейтро-
нейтроном и протоном, превышающих радиус ядерных взаимодействий,
1/ц. Поэтому детальные расчеты возможны только для некоторых
процессом, для случаев передачи небольших импульсов, q <^J \i. Ис-
Исследование было выполнено для дейтронов с кинетической энер-
энергией в интервале от 50 до 170 Мэв, в этом случае ядро можно счи-
считать непрозрачным. Для того чтобы оценить сечение, поступим
следующим образом. Рассмотрим волновую функцию дейтрона, ис-
испытывающего, как целое, дифракцию на черном шаре, изобра-
изображающем ядро мишени (здесь следует учитывать конечные раз-
размеры дейтрона, благодаря этому в расчеты входит волновая функ-
функция его внутреннего движения, ср (| гр — гп |)). Выделяя в этой
функции случаи рассеяния с передаваемым моментом q, доста-
достаточно большим для расщепления дейтрона, т. е. q ~ \i, мы полу-
197

чаем для величины сечения оценку а ~ Rtid, где R — радиус
ядра мишени; Rd — радиус дейтрона. Таким образом, а — того
же порядка величины, что сечение срыва, и много меньше геомет-
геометрического сечения, л (R + RdJ. Принимая R <^ R + Rd (это
предположение не имеет фундаментального значения, в настоящее
время рассматривается более общий случай), мы можем исполь-
использовать теорию возмущений. Можно показать, что сечение дифрак-
дифракционного расщепления, в результате которого нейтрон приобре-
приобретает импульс Рп, а протон — импульс Рр, имеет вид
do (Pn, РР) = 2я|< №п ^ | U | ^ > |2 S (Е - Ео), D0)
где я|?р") и 1|э$Г* — волновые функции нейтрона и протона, опре-
определяемые формулой (И), ipd — волновая функция дейтрона,
дифракционно рассеянного как целое, U — оператор, описы-
описывающий взаимодействие протона с нейтроном. Ограничиваясь
той частью всех процессов, которая соответствует q <С [х, мы при-
принимаем, что ядро мишени имеет резкую границу, подставляем дей-
тронную функцию ф — ехр [— а | гр — гп ||, а = yrMed , и считаем
U б-функцией от расстояния между протоном и нейтроном. По-
Последнее упрощение возможно, так как относительная скорость
нуклонов в конечном состоянии мала, того же порядка, что их
скорость внутри дейтрона. Таким образом, расщепляясь из-за
слабого толчка, дейтрон дает протон и нейтрон с теми же угловыми
и энергетическими распределениями, что и в случае реакции сры-
срыва. Фактически в обоих случаях эти распределения определяются'
распределениями внутри дейтрона. Однако в противоположность
реакции срыва в рассматриваемом случае как протон, так и нейтрон
получаются путем очень простого процесса. Сечение равно
^ D1)
Здесь gmax — наибольшее значение передаваемых импульсов,
разрешенное вышеуказанным условием. Полагая #тах ~ Щ псн
лучим g ~ RRd.
Для экспериментальной проверки этих результатов необхо-
необходимы измерения на совпадениях. Можно однако упомянуть, что
все эксперименты по определению выхода протонов всегда давали
для сечения реакций срыва неразумно большие значения. Напри-
Например, группа экспериментаторов [13], не обращавших внимания на
описанный здесь процесс, находила из эксперимента удивительно
большую величину радиуса ядра, т. е. R = г0АЧ*сг0 х A,6—1,7)-
.10~13 см. Представляется вполне вероятным, что на эти экспери-
эксперименты сильно влияло в действительности дифракционное рас-
расщепление.
Мы хотели бы отметить, что подобное дифракционное расщеп-
расщепление возможно также для некоторых других ядер, если энергия
198

актишщии дли соответствующей реакции достаточно низка. Так как
этот процесс имеет чисто кинематическую природу и определяется
поперечными компонентами импульса (в частности, это можно ви-
видеть по независимости сечения от энергии дейтрона), то ситуация
не меняется при переходе к релятивистским энергиям дейтрона
(для этого случая ядро вновь становится непрозрачным).
Рассмотренный процесс исследовался независимо одним из
антороп (В. Ф.) и А. И. Ахиезером и А. Г. Ситенко.
О. Столкновение нуклона с ядром. Как уже отмечалось (па-
(параграф 1, формула (9)), благодаря большому размеру существен-
существенной области может случиться, что столкновение быстрого нале-
налетающего нуклона (или я-мезона) с нуклонами или ядром с обра-
шжпииом я-мо:юпоп нельзя рассматривать как совокупность по-
следоиптельпых етолкиомений. Несколько более детальная оценка
ноклиыниот, что подобная каскадная схема справедлива, только
если частицы, родившиеся в столкновении двух нуклонов, разле-
разлетаются изотропно в их системе центра масс, и поэтому если в ла-
лабораторной системе угол порядка УМ/Е, а энергия отдачи превос-
превосходит примерно 100 Мэв на нуклон. Для меньших углов и мень-
меньших энергий отдачи в каждом акте столкновения участвуют много
рдгееипптощих центров. По-видимому, имеется экспериментальное
уклшише [14] против такой схемы последовательных столкнове-
столкновений не только при очень высоких энергиях, когда применима тео-
теория Ферми—Ландау, но также и при энергиях порядка 1010 —
1011 ов.
5. Заключение
ОГм'уждпшпиесн лышо результаты — это, конечно, только при-
примеры ршшинпемого метода. Этот метод может быть распространен
на различные другие явления (это фактически выполняется в на-
настоящее время). В частности, рассматривалось образование пар,
сопровождающее дифракцию частицы на ядре, а также некоторые
другие эффекты. В некоторых случаях оказалось разумным счи-
считать ядро частично проницаемым. Поведение рассеянной частицы
I» сущеггнешгой области может быть представлено в более общем
пиде, чем тот, который следует из формулы Кирхгофа и т. п. Все
:>тм и другие аналогичные возможности заслуживают дальнейшего
рассмотрения.
Академия наук СССР
ЛИТЕРАТУРА
1. Л. Д. Ландау и И. Я. Померанчук. ЖЭТФ, 24, 505, 1953 (Собр. трудов,
№ 97).
!>. А. И. Лтиезер. ДАН СССР, 94, 651, 1954. А. И. Ахиезер и И. Я.
Померанчук. ДАЩСССР, 94, 821, 1954 (Собр. трудов, № 99).
J99

3. И. Я. Померанчук. ДАН СССР, 96, 481, 625, 1954 (Собр. трудов, № 100—
101).
4. Ю. А. Вдовин. Некоторые процессы взаимодействия гамма-квантов
высокой энергии с я-мезонами и нуклонами. М., канд. диссерт., 1955.
5. М. Л. Тер-Микаэлян. ЖЗТФ, 1954, 25, 280, 290.
6. Л. Д. ЛандаупИ. Я. Померанчук. ДЛ11 СССР, 1<)Г>:{, 92, W,\b, 735 (Собр.
трудов, № 51 — 52).
7. А. В. Мигдал. ДЛИ СССР, 1ОГИ, %, 4U.
8. Л/. Д. Тер-Микаэлян. ДЛИ СССР, 1!).Vi, 94, ЦЩ.
9. И. Я. Померанчук и 7i. Л. ФсииСн'рг. ДЛИ СССР, 1953, 93, 439 (Собр.
трудов, № 98).
10. Е. Л. Фейнберг. ЖЭТФ, 1<)Г)Г), 2«, 1>^.
11. Е. J. Williams. Kg!. Dansko Vidonsk. Srlsk., Maf.-fys. Medd., 1935,
13, 276.
12. B. Ferretti. Nuovo cimento, 1950, 7, 118.
13. G. P. Millburn, W. Birnbaum, W. E. Crandall, L. Schechtcr. Phys. Rev.,
1954, 95, 1268, W. Heckrote. Phys. Rev., 1954, 95, 1279.
14. И. Л. Розенталъ, Д. С. Чернавский. УФН, 1954, 52, 185; 1955, 55, 121.

104
ДИФРАКЦИОННЫЕ ЯВЛЕНИЯ ПРИ СТОЛКНОВЕНИЯХ
БЫСТРЫХ ЧАСТИЦ С ЯДРАМИ1
Совместно с А. И. Ахиезером
1. Введение
Поглощение, которым может сопровождаться рассеяние нук-
нуклонов ядрами, вызывает, как известно, добавочное возмущение
пуклопиой падающей полны и приводит к дополнительному упру-
. тому рассеянию нуклонов, по считанному с образованием составно-
составного ядра.
Сильное поглощение частиц имеет место в области больших
энергий, когда длина волны частицы значительно меньше радиуса
ядра. В этих условиях ядро ведет себя по отношению к падающим
на него частицам как черное или как полупрозрачное тело, и уп-
упругое рассеяние частиц, связанное с возможностью их поглоще-
поглощении ядрами, аналогично дифракции света от черного (или полу-
полупрозрачного) тела. Такое дифракционное рассеяние быстрых ча-
частиц поглощающими ядрами в наиболее чистом виде проявляется
в случае быстрых нейтронов — частиц, не обладающих зарядом.
Однако оно может происходить в несколько модифицированном
виде также и в случае быстрых заряженных частиц, например
протонов. В :>том случае, в отличие от нейтронов, мы имеем дело
с дифракцией наряженных лучей [10].
Дифракционным упругим рассеянием не исчерпываются явле-
явления, связанные с поглощением частиц. Если частица обладает
зарядом, то дифракционное рассеяние может сопровождаться
излучением фотона г. Такое дифракционное излучение фотона мо-
может иметь место, например, в случае протонов, поглощаемых яд-
ядрами. Но гораздо более важное значение имеет это явление для
заряженных я-мезонов, рассеиваемых ядрами или отдельными
нуклонами, ввиду сравнительно небольшой массы я-мезонов.
я-мезоны больших энергий сильно взаимодействуют с нукло-
нуклонами, и это взаимодействие приводит к большой вероятности таких
столкновений между ними, при которых я-мезон и нуклон объеди-
объединяются в сильно возбужденную короткоживущую систему, рас-
распадающуюся далее на несколько мезонов и, возможно, на несколь-
несколько нуклонных пар. Нуклон при этом представляет собой, по от-
отношению к я-мезону, черное тело (шарик), радиус которого R
определяется сечением поглощения я-мезонов аа = яй2.
1 УФЫ, 1958, 55, 593.
201

Дифракционное излучение фотона я-мезоном или другой за-
заряженной частицей не следует смешивать с излучением фотона,
связанным с непосредственным поглощением этой частицы ядром.
Такое излучение, которое мы будем называть излучением останов-
остановки, оказывается во многих случаях более вероятным, чем дифрак-
дифракционное излучение [1].
Процессом, в некотором смысл о обратным тормозному излу-
излучению, является образование пары частиц фотоном. Если, напри-
например, тормозное излучение фотона электроном в кулоновском поле
ядра представляет собой переход электрона из одного состояния
с положительной энергией в другое состояние также с положитель-
положительной энергией, сопровождающийся испусканием фотона, то обра-
образование электронно-позитронной пары фотоном в кулоновском
поле ядра можно рассматривать как переход электрона из состоя-
состояния с отрицательной энергией в состояние с положительной энер-
энергией, сопровождающийся поглощением фотона. Такой процесс
образования пары частиц фотоном не требует, однако, обязательно
наличия кулоновского поля ядра. Он может происходить также
в присутствии нейтральной частицы (или нуклона), обладающей
свойством поглощать отдельные компоненты пары. И частности,
может происходить образование фотоном я-мезошшх пар в при-
присутствии поглощающего мезоны нуклона или образование фото-
фотоном протонно-антипротонных пар в присутствии поглощающего
ядра. Этот процесс можно назвать дифракционным образованием
пар [21.
Дифракционное образование мезониых и пуклоиных пар мо-
может происходить также при столкновении быстрой ядерно-актив-
ядерно-активной частицы (мезона, нуклона) с ядром [3J.
До сих пор мы говорили о дифракционных явлениях, происхо-
происходящих при рассеянии точечных частиц. Специфическими особен-
особенностями должно отличаться дифракционное рассеяние слабо свя-
связанных сложных частиц, таких, как дейтрон. В этом случае помимо
чисто упругого рассеяния дейтронов, аналогичного дифракцион-
дифракционному рассеянию точечных частиц, должно происходить еще диф-
дифракционное расщепление дейтронов [15—17]. Действительно, бла-
благодаря малой энергии связи дейтрона сравнительно небольшое
изменение его импульса при дифракционном рассеянии может
привести к расщеплению дейтрона, происходящему вдали от
ядра.
Наряду с реакцией срыва (stripping) дифракционное расщеп-
ленией дейтрона приводит к освобождению нейтрона и протона,
т. е. увеличивает выход нейтронов и протонов, возникающих при
столкновении быстрых дейтронов с ядрами.
Чрезвычайно существенной особенностью указанных дифрак-
дифракционных процессов является то, что все они протекают вдали от
ядра. Это связано с тем, что при больших энергиях частиц законы
сохранения требуют малых передач импульса ядру, а малые пере-
передачи импульса соответствуют большим прицельным параметрам.
202

Рассмотрим, например, дифракционное излучение фотона я-
менопом. При больших энергиях я-мезонов мы имеем здесь такое
же положение, как и в случае тормозного излучения фотона элек-
электроном в кулоновском поле ядра. С ростом энергии электрона
уменьшается импульс, передаваемый ядру, и поэтому в релятиви-
релятивистской области, когда этот импульс очень мал, излучение происхо-
происходит на больших расстояниях от ядра. Так как этот вывод осно-
основывается только на законах сохранения, то он, естественно, остает-
остается справедливым не только для тормозного излучения на кулонов-
ских силах, но и в случае дифракционного излучения.
Аналогичная ситуация имеет место и при дифракционном об-
образовании пар, а также при дифракционном расщеплении дейтро-
дейтронов — все эти процессы связаны в области больших энергий
с малыми передачами импульса ядру и поэтому происходят вдали
от ядра.
Н облж'ти Пол мних анергий частиц и малых углов рассеяния
сущес/гиует общая снизь между вероятностью неупругих процес-
процессов и амплитудой упругого рассеяния. (Одной из иллюстраций
этой связи является вывод формулы Бете — Гайтлера для вероят-
вероятности тормозного излучения фотона ультрарелятивистским элек-
электроном в кулоновском поле ядра в случае малых углов рассея-
рассеяния — см. п. 9.) Поэтому для исследования различных дифрак-
дифракционных процессов в области больших энергий фактически
достаточно знания амплитуды упругого рассеяния, которая опре-
определяется поведением волновой функции частицы вдали от рассе-
ивателя (ядра).
Волновая функция частицы вдали от ядра имеет вид супер-
суперпозиции плоской падающей волны и волны, дифрагированной от
ядрп (черного или полупрозрачного). Последнюю можно найти
оптическим методом с помощью принципа Гюйгенса. Поэтому воз-
возможно построение полуфеттомепологической теории дифракцион-
дифракционных явлений в области больших энергий, основанной на приме-
применении обобщенного, принципа Гюйгенса.
Изложению основных результатов такой теории и посвящена
настоящая статья [ср. 14].
2. Упругое дифракционное рассеяние
Начнем с рассмотрения простейшей задачи о дифракционном
рассеянии нейтральных точечных частиц поглощающими ядрами,
которые мы будем считать абсолютно черными.
l'r Дифракционное рассмотрение справедливо только для быстрых
частиц, длина волны которых X мала, по сравнению с радиусом
ядра /?. В этих условиях рассеяние происходит на малые углы,
порядка $ ^-. Поэтому мы можем ограничиться рассмотре-
рассмотрением движения частиц в плоскости, перпендикулярной волновому
вектору К падающей частицы.
203

Свободное движение частиц в этой плоскости описывается вол-
волновой функцией
где L — нормировочная длина, хи*р — проекции волнового век-
вектора и радиус-вектора частицы на плоскость, перпендикулярную
К. Волновая функция падающих частиц имеет иид: \р0 = L~l.
Рассмотрим теперь, к чему прииодит ппличие ядра. Оно, оче-
очевидно, поглощает все те частицы, д-'in которых прицельный пара-
параметр р меньше R. Если ввести величину 12 (р), равную
[О при р^ R,
Q(pH A)
то можно сказать, что дифракционная картина, обусловленная на-
наличием поглощающего ядра, будет соответствовать разложению
функции W = Q (р) г|H по волновым функциям свободного дви-
движения г|)х:
гГ=Щ|>)ф0 = 2М>х, B)
а именно, коэффициент ак в этом разложении будет представлять
собой амплитуду вероятности рассеяния, при котором попереч-
поперечная составляющая волнового вектора частицы равна х.
Вероятность дифракционного рассеяния, при котором попе-
поперечная составляющая волнового вектора х лежит в интервале
dx, связана с ах соотношением
а соответствующее дифференциальное сечение рассеяния будет
^. C)
Так как функции г|;х образуют полную ортонормированную си-
систему, удовлетворяющую условиям нормировки
J ^х (Р) Фх' (Р) ^Р = вкх',
то из B) следует, что
ах= J ^kQ(p)^Mp=
Подставляя сюда A), получим
а* - ~" ? М • ^ '
где Jx{x) — функция Бесселя. Величину к можно связать с углом
рассеяния О:
х = К sin Ь ~ К®
204

(так как дифракционное рассмотрение справедливо только при ма-
малых углах рассеяния, то мы заменили sin ft на ft). Замечая еще, что
dx К2do, где dox= 2jtftdft — элемент телесного угла, в котором
рассеивается частика, найдем согласно C) окончательно известное
выражение для дифференциального сечения дифракционного рас-
рассеяния
jUKRft) /e.v
do. E)
Полное сечение упругого дифракционного рассеяния равно
do = я/?2. F)
Так как сечение поглощения частиц черным ядром также равно
«„= л//а, G)
то интегральное сечение всех процессов, включающих как рассея-
рассеяние, так и поглощение, будет
<т* = <Уе + оа = 2яД2. G')
Коэффициент разложения ак можно связать с амплитудой рас-
рассеяния /(ft):
и сечением упругого рассеяния
dee = |/Wdo. (9)
Из D') следует, что
В (8) фазовый множитель выбран равным i, так как при таком
выборе справедлива оптическая теорема, согласно которой ин-
интегральное сечение всех процессов взаимодействия частиц с ядром
связано с амплитудой упругого рассеяния на нулевой угол соот-
соотношением [25]
at =4яХ1т/@). A0)
Чтобы получить это соотношение, будем исходить [25] из сле-
следующего общего выражения для амплитуды рассеяния в цент-
центрально-симметричном поле:
= 1~ 2 B*+ !)(&-1)^1 (cos О),
205

где |Зг — отношение амплитуд расходящейся и Сходящейся волн
с моментом I и Рг (cos d) — полиномы Лежан/ра. В отсутствии
поглощения величина |3j равна по модулю едднице
где \)i — вещественная величина, определяющая изменение фазы
иа бесконечности у волны с моментом I. Ilpti наличии поглощения
модуль Р/ меньше единицы.
Интегральное сечение упругого раесоииин равно
J
о
Подставляя сюда вместо / (д) выражение A1) и используя формулу
2л \ I Pi (cos Ф) I2 sin ftd® == o. , . ,
*J Ac -4- 1
0
получим
оо
бе-як22 B/ |-l)|ft-l|2. A2)
Для определения сечения поглощения частиц нужно найти поток
частиц S в направлении к рассеивающему центру (началу коорди-
координат):
о = -тл— hm г2 \ гЬ -^- гЬ —?— do.
1Ш Г-+оо J\ дГ дГ I
где m — масса частицы и г|э — ее волновая функция. Вместо г|)
мы можем сюда подставить асимптотическое выражение волновой
функции при больших г
оо
ф ~ ei;cz + -jL eUr/ (d) « -gjp- 2 (— 1)' Bi + 1) (e~hr —
_ (_ 1)' Pj e**') p( (cos ^.)_
В результате мы получим
Разделив это выражение на плотность потока падающих ча-
частиц, равную kh/m, найдем сечение поглощения частиц
-IPd2)- A3)
206

Сложил сочеийА tfe и tfa, получим полное сечение для всех про*
цессон
ао
*t = °е\у оа = 2яХ2 2 B/ + 1) A - Re Pi). A4)
Замечая, что
легко представить сг^ в виде A0).
3, Учет полупрозрачности ядра
В области больших энергий длина свободного пробега частиц
в ядерном вещество может стать сравнимой с размерами ядра.
Если Ъ — сродное значение сечении рассеяния нейтрона отдель-
отдельными нуклонами, то длина свободного пробега нейтрона в ядер-
ядерном веществе L может быть определена по формуле
?=^--g, A5)
где R = г0А1!* (г0 = 1,2-10"3 см) — радиус ядра и А — массо-
массовое число. При энергии нейтронов Е ~ 100 Мэв сечение рассеяния
5 ж 8,3'10~26 см2 [9].- Если взять А = 100, то мы получим L ^
^ 4,5-10~13 см и R = 6-Ю"3 см. Таким образом, в области энер-
энергий порядка 100 Мэв длина свободного пробега нейтронов в ядер-
ядерном веществе становится сравнимой с размерами ядра. В этих
условиях ядро уже нельзя рассматривать как абсолютно черное
тело, а необходимо считать полупрозрачным [9]. Ядерное веще-
вещество при таких энергиях можно характеризовать коэффициентом
поглощения
1
где п — плотность частиц в ядре и а — среднее значение сечения
рассеяния падающей частицы (нейтрона) ядерными нуклонами
o^±(Zanp+(A -Z)ann)
(апр и апп — сечения рассеяния нейтрона протоном и нейтрона ней-
нейтроном) х. Поскольку плотность частиц в ядре спадает от центра
к периферии ядра, то Ъ является функцией точки. Среднее значение
коэффициента поглощения равно
7 __ ЗАв
0 —
1 Эти величины имеют, конечно, качественный характер.
207

Из приведенных выше оценок следует, что в области энергий Е —
~ 100 Мэв для тяжелых ядер (А ~ 200) среднее значение коэф-
коэффициента поглощения составляет 6ж2,4-1(А12 см.
При исследовании рассеяния нуклонов ядрами нужно учиты-
учитывать не только поглощение, но и преломление пуклонной волны
в ядерном веществе. Поэтому ядерное веще/nm следует характе-
характеризовать комплексным коэффициентом поп/ощения В, веществен-
вещественная часть которого равна Ь, а мнимая чпп ь // связана с коэффи-
коэффициентом преломления. Если v — коэффициент преломления, то
Ь' = 2 (v — 1) А',
где К — волновой вектор падающей частицы и
В = Ъ — i (v — 1) К.
A6)
Покажем теперь, как следует учитывать полупрозрачность
ядра при исследовании дифракционных явлений.
Так как длина волны падающей частицы предполагается малой
по сравнению с размерами ядра, то прохождение нуклонов через
ядро можно сравнивать с распространенном пуклонной волны
в веществе с комплексным коэффициентом поглощения В [9, 8].
Направление распространения волны совпадает при этом с на-
направлением движения частицы, которое мы можем считать прямоли-
прямолинейным. Выбирая направление движения частицы в качестве оси
х и обозначая путь, пройденный в ядре, через 2s, получим следую-
следующее выражение для отношения амплитуды пуклонной волны по
Рис. 1
выходе частицы из ядра к амплитуде падающей волны:
8
— J B(x)dx
А = е °
Интегрирование в экспоненте производится здесь в интервале @, 5),
а не @, 2s), так как речь идет об амплитуде нуклонной волны,
а не об ее интенсивности, пропорциональной | А |2. При этом
фаза волны учитывается правильно, так как формула для Ъ' со-
содержит добавочный множитель 2.
208

Величиной А мы должны, очевидно, замелить Q (р) при р < Л.
Замечая, что х = |Л*2 — р2 (см. рис. 1), можно представить
Q (р) в виде
ОО ОО
— J В(г) -p-dr — j /r2-p^B'(r)dr
QB(p) = ^ р Г = е о . A7)
Верхний предел в экспоненте положен равным бесконечности,
чтобы учесть диффузность края ядра.
Для резкого края ядра
В' (г) = Бб (г - Я)
и Q (р) приобретает вид
e'BVR2'p2 ПРИ Р<л> /18)
1 при р > Я.-
Входящую и выражение для 12 (р) экспоненту можно вычислить,
если задаться зависимостью плотности ядерных частиц от рассея-
рассеяния до центра ядра. Обычно принимается [8], что распределение
плотности определяется формулой
A9)
где п0 — плотность частиц в центре ядра и d — толщина диффуз-
0,2 0,4 0,6 0,6 1,0 1,2 ?4
Рис. 2
ного края ядра. При таком предположении экспонента приобре-
приобретает вид [8].
Bdx = 2RB0 J dv Yv* - I2 sec /г21^1 = 2RBoh A, 6), B0)
где Bo — значение В в центре ядра, | = ~, v = ~, б = -^. На
рис. 2 представлен вид функции h (?, б) для различных значений
б [8].
209

Определим теперь сечение упругого дифракционного рассеяний
нейтронов ядрами. Используя указанные выше/формулы D) и A7),
получим следующее выражение для амплитуды рассеяния:
— e р }Jo№)l>di>, к = КЪ. B1)
Если считать, что ядро имеет редкий крнй, то справедлива фор-
формула A8) и
R
/ (О) = iK J A - <гв ^«^) /0 (хр) prfp, <Z - 0: B2)
О
В предельных случаях большого и малого поглощения эта
формула сильно упрощается'
SinfxR
Полное сечение упругого рассеяния равно
p. B3)
Считая край ядра резким, мы получим отсюда в случае силь-
сильного поглощения [9]
2 2
0 °
-г
VR (Ь2 + 6/2)} ^-Ьй sin VR — (Ь2 - Ъ'г
B3Г)
Интегральное сечение для всех процессов (рассеяния и погло-
поглощения) может быть определено с помощью оптической теоремы
[10]
ot = 4яХ Im / @).
При резком крае ядра и в случае сильного поглощения эта
формула дает
et = 2яД2 {1 - (Ь2+2ь/2)/?2 [Ь2 - Ь'2 + BЬЬ' + VR (Ь2 + Ь'2)) X
X e-bR sin Ь'Л - [b2 - Ь/2 + Ь'Л (Ь2 + Ь/2) ^~bR cos VR]}. B4)
Заметим, что поскольку граница ядра всегда размыта, то фор-
формулы B3'), B4), выведенные в предположении резкости границы,
справедливы, строго говоря, если d <^g Л.
210

4. Влияние кулоновского поля ядра
Выясним теперь^ какое влияние оказывает кулоновское поле
ядра на дифракционное рассеяние заряженных частиц. Будем
сперва предполагать ядро абсолютно поглощающим и имеющим
резкую границу. Тогда, если р^йи энергия частицы Е превос-
превосходит высоту кулоновского барьера Ев = -^-, то величина
Q (р) будет по-прежнему равна нулю. Если же параметр столкно-
столкновения р будет больше i?, то частица будет рассеиваться так же,
как и в чисто кулоновском поле точечного ядра. Поэтому при р ]> R
мы можем положить
где т] ((>) ~ фала на бесконечности в кулоновском поле ядра,
рапная при КН ^г> 1
х\ (р) == п In Кр, п = w
v — скорость частицы на бесконечности).
Таким образом, для учета в дифракционных явлениях кулонов-
кулоновского поля ядра, предполагаемого абсолютно черным, нужно
считать Q (р) равным
О при р<Д,
при р>Л <25>
В случае полупрозрачного ядра это выражение должно быть
заменено, согласно A7) на
R'
- Г Уг*-?* B'(r)dr
Ов(р)= е р при p<i?', B6)
е*ъЮ при р>/?',
где под R' следует понимать некоторый эффективный радиус взаи-
взаимодействия, несколько превышающий радиус ядра.
Если ширина диффузности края ядра мала по сравнению с ра-
радиусом ядра, то справедлива формула A8) и поэтому
е' при p<jR>
при р>я.
Определим теперь сечение упругого рассеяния заряженных то-
точечных частиц поглощающим ядром, которое мы будем предпола-
предполагать абсолютно черным. Найдем прежде всего амплитуду рассея-
211

ния. Подставляя в D) вместо Q (р) выражение B5), получим
- QZ (р)> = -iK ] e2iMP)Jo (*р) Pd?> B8)
R
где /0 (#) — функция Бесселя.
Интегрируя по частям, можно представить это выражение
в виде [10]
оо
/ (ф) = iX { if'm ^в _|_ jreft-2m-2 С /l (?) g»ind?j f B8')
где Zo = Zi?>l.
Дифференциальное сечение рассеяния связано с / (д) соотно-
соотношением
<?ав = |/(Ф)|»«*о = св(Ф)<*о,
где
|ДЛ^ ^ J f B9)
1
Рассмотрим некоторые предельные случаи. Если п <^ ?, то
Первое слагаемое в последнем выражении описывает дифракцион-
дифракционное рассеяние частиц абсолютно черным ядром, а второе — рас-
рассеяние, обусловленное кулоновским полем ядра. Мы видим, что
при п <^ 1 интерференция между обоими видами рассеяния отсут-
отсутствует.
Отметим, что при R = 0 второе слагаемое в C0) переходит в
сечение резерфордовского рассеяния точечным ядром.
Легко показать [10, 25], что при п <^ 1 и углах рассеяния
Ф^Y^IyijIq главную роль играет кулоновское рассеяние, а при
углах \^^>|/^/Z0 — дифракционное рассеяние. Таким обра-
образом, величина ~]/г2п/10 при п <^ 1 разграничивает области углов
с разными законами рассеяния.
Если п ^> 1, то при углах Ф^-т"" главную роль играет куло-
новское рассеяние, а при углах ^^>~i дифракционное рас-
рассеяние.
212

Ссчонио рассеяния в разных областях углов определяется сле-
следующими формулами
C1)
Заметим, что при п <^ 1 амплитуда кулоновского и дифрак-
дифракционного рассеяния совпадают по порядку величины при # —
~ У~2п/10. Если же п ^> 1, то эти амплитуды при # ~ 2п/10 не
совпадают, причем отношение амплитуд кулоновского и дифрак-
дифракционного рассеяния по порядку величины равно ]/7г. Равен-
Равенство амплитуд имеет место при i() — -^— и лишь при больших
углах амплитуда дифракционного рассеяния становится больше
амплитуды кулоновского рассеяния. При О у— происходит рез-
резкое уменьшение сечения рассеяния по порядку величины в п раз.
Так как сечение дифракционного рассеяния в среднем обратно
пропорционально кубу угла рассеяния, а не четвертой степени,
как это имеет место при рассеянии в чисто кулоновском поле, то
можно сказать, что, благодаря наличию поглощающего ядра, рас-
рассеяние на большие углы становится более вероятным. В силу этого
средний угол рассеяния оказывается значительно большим,
чем в случае кулоновского рассеяния.
5. Принцип Гюйгенса
И предыдущих пунктах мы видели, что для определения сече-
сечений упругого рассеянии с учетом дифракционных эффектов
фактически достаточно знания дифракционной картины в плоско-
плоскости, перпендикулярной импульсу падающих частиц. Однако этой
картины непосредственно уже недостаточно для определения
сечения дифракционного излучения фотонов заряженными ча-
частицами, а также сечениями дифракционного образования пар,
так как для вычисления соответствующих матричных элементов
требуется знание волновых функций частиц. Но при больших
энергиях частиц, которыми мы интересуемся, существенны малые
передачи импульса ядру, т. е. большие прицельные параметры.
Поэтому для вычисления матричных элементов достаточно знания
волновых функций частиц вне ядра, в области волновой зоны.
В этой области волновые функции могут быть найдены с помощью
оптического принципа Гюйгенса, который мы теперь и сформу-
сформулируем.
Принцип Гюйгенса устанавливает связь между значением вол-
волновой функции в некоторой точке г и значениями волновой функ-
функции на замкнутой поверхности S, окружающей эту точку.
218

может быть сформулирован следующим образом:
Рассмотрим прежде всего частицы со спином нуль. Принцип
Гюйгенса для скалярного уравнения х
= О
C2)
где р лежит на поверхности S (ds — элемент этой поверхности).
Мы будем всегда в дальнейшем выбирать в качестве S плос-
плоскость, проходящую через центр ядра и перпендикулярную им-
импульсу р падающей частицы (см. рис. 3).
Предположим сначала ядро абсолютно черным. Тогда интег-
интегрирование в C2) должно производиться по плоскости S за выче-
вычетом круга радиуса R. Пусть волновая функция падающих частиц
имеет вид
Подставляя это выражение под знак интеграла в C2) и интегрируя
по всей плоскости S, включая площадь крута радиуса R, мы по-
получим, очевидно, функцию if>p (r). Поэтому принцип Гюйгенса
в случае абсолютно черного ядра можно сформулировать в виде
C3)
где Q (р) определяется формулой A) и интегрирование произво-
производится по всей плоскости S.
Р
W///A
Рис. 3
Интеграл, входящий в это соотношение, представляет собой
расходящуюся дифрагированную волну, амплитуда которой очень
мала в области тени за ядром (эта область обозначена на рис. 4
через (+)).
1 Мы пользуемся здесь и в дальнейшем системой единиц, в которой с = h =
= 1; р обозначает импульс частицы.
214

I In больших расстояниях от ядра функцию i|) (r) можно пред-
стани'п» п виде
где
in С
(р' — импульс рассеянной частицы). Эта величина представляет
собой, очевидно, амплитуду упругого рассеяния. Она совпадает
с полученным ранее иным способом выражением D), если поло-
положить L — 1.
Формула C3) дает возможность учесть полупрозрачность и
кулоновское поле ядра. Для итого следует заменить под знаком
интеграла C3) величину И ({)) на ?2/{ (р):
Мы обозначили здесь волновую функцию через if»^ (r) для того,
чтобы подчеркнуть, что на больших расстояниях от ядра она пред-
представляет собой суперпозицию плоской падающей и расходящейся
дифрагированной волны.
Такой асимптотикой, как известно [26, 27], должна обладать
волновая функция частицы, исчезающей в процессе рассеяния.
В частности, в процессе тормозного излучения такой асимпто-
асимптотикой должна обладать волновая функция начального состояния.
Если в процессе рассеяния частица возникает, то ее волновая
функция должна асимптотически на больших расстояниях от
ядра иметь вид суперпозиции падающей плоской и сходящейся
сферической волн.
Заметим, что характер этой асимптотики допускает простую
физическую интерпретацию. Если разложить плоскую волну
на сходящиеся и расходящиеся волны, то в функции начального
состояния при г -> оо только сходящиеся волны будут иметь
амплитуды, не зависящие от природы рассеивателя, расходя-
расходящиеся же волны будут полностью определяться силовым полем
рассеивателя. Это соответствует тому, что частицы в начальном
состоянии падают на рассеиватель. Аналогичным образом в функ-
функциях конечного состояния при г ->¦ оо только расходящиеся волны
могут иметь амплитуды, не зависящие от природы рассеивателя,
сходящиеся же волны должны определяться силовым полем рас-
рассеивателя.
Приведем необходимое для дальнейшего выражение для вол-
волновой функции, дифрагированной от ядра и описывающей части-
частицу, возникающую в результате рассеяния:
№ (г) = <*>' + 2-?^ {1 - ?# (р) ±^ dp. C6)
215

Эта функция отличается от \f)p+) тем, что под знаком интеграла
здесь входит не eiplr-pl,a e~iplr~pl, кроме того, сюда входит не QZB,
a Qв . На больших расстояниях эта функция представляет собой
суперпозицию падающей плоской и сходящейся сферической
волн (с учетом полупрозрачности и кулоиоиекого ноля ядра).
Легко убедиться, что область тени для функции ifp"* лежит
перед ядром, как изображено на рис. Л (оПлж'/п, (—)).
Выражениями C5) и C6) формулируется обобщенный принцип
Гюйгенса для скалярных частиц. Сформулируем теперь принцип
Гюйгенса для частиц со спином, равным полони не И].
Покажем, что для монохроматических сиииорпмх поли, удов-
удовлетворяющих уравнению Дирака
где т — масса частицы и уг — матрицы, удовлетворяющие усло-
условиям
имеет место соотношение
д
) ) p\mE C7)
где p = Y~E2 — m2 и n — единичный вектор в направлении внепп
ней нормали к S.
Преобразуем для этого поверхностный интеграл в объемный
и воспользуемся тем, что
Правая часть C7) приобретает при этом вид
X i|> (г') dv' = - ± [ (Ar + f) ^Jj- ^(r') dr',
HO
1
Поэтому
216

Соотношение C7) представляет собой принцип Гюйгенса для
спинорных ноли.
Перепишем C7) в виде, аналогичном C3). Пусть на абсолютно
черное ядро падает спинорная волна
где i/p — спинорная амплитуда, удовлетворяющая условию нор-
нормировки
= 1.
Тогда принцип Гюйгенса C7) дает
где интегрирование производится но всей плоскости 5, перпен-
перпендикулярной р и проходящей через центр ядра. Это выражение
можно переписать в виде
C8)
Второе слагаемое в последней формуле представллет собой дифра-
дифрагированную около ядра волну. На больших расстояниях от ядра
¦ф (г) имеет вид суммы плоской и расходящейся сферической волн
где
C9
Эта величина представляет собой амплитуду упругого дифрак-
дифракционного рассеяния частиц со спином V2. Дифференциальное се-
сечение упругого рассеяния связано с / (й) соотношением (9).
Просуммируем квадрат модуля / (Ь) по конечным состояниям
спина частицы и усредним по начальным состояниям. Это может
быть сделано с помощью формулы
В результате мы получим следующее выражение для сечения уп-
упругого дифракционного рассеяния спинорных частиц абсолютно
черным ядром [И]
sin2 4") | ^{1 ~ Q (p)} /o (pp sin d)pip Г рЧ°- D0)
217

Это выражение отличается множителем 1 — i;2/&2 от сечения рас-
рассеяния скалярных частиц.
Если в формуле C8) заменить Q (р) на Qj?(p), то мы получим
формулировку принципа Гюйгенса для гпинорпмх наряженных
частиц, в которой учитывается как тюлунронрлчмогп», так и ку-
лоновское поле ядра:
г) = и^ —^\[ !l ) j4|
D1)
Асимптотически при больших г эта функция представляет
собой суперпозицию падающей плоской и расходящейся дифраги-
дифрагированной сферической волн.
Аналогично D1) можно написать также выражение для вол-
волновой функции г|)(~) (г), представляющей собой на больших рас-
расстояниях от ядра суперпозицию падающей плоской и сходящейся
дифрагированной сферической волн:
\ с* ( я \ /Нр1г-р1 .
!><->(г) = мр^рг - --LJ(Y? ^ Т4я,„) J—^ {1 ^ й*л {v)} vnl/pdp.
D2)
Такого типа функцией должно описываться конечное состояние
протона в процессе дифракционного излучения фотона протоном,
а также состояния протона и антипротона в процессе дифракцион-
дифракционного образования фотоном пар протон — антипротон.
6. Дифракционное излучение фотонов я-мезонами
Мы перейдем теперь к рассмотрению дифракционных процес-
процессов, в которых участвуют фотоны. Начнем с рассмотрения дифрак-
дифракционного излучения фотона скалярной заряженной частицей я-ме-
зоном [1]. Этот процесс можно исследовать с помощью теории воз-
возмущений, считая возмущением взаимодействие между я-мезоном
и электромагнитным полем.
Если пользоваться «точными» волновыми функциями частицы,
то, как известно, излучение фотона представляет собой эффект
первого приближения теории возмущений. При исследовании тор-
тормозного излучения фотона электроном в кулоновском поле ядра
такими функциями являются волновые функции электрона в куло-
кулоновском поле ядра, относящиеся к непрерывному спектру. В рас-
рассматриваемом нами случае «точными» функциями являются функ-
функции вида C5) и C6), учитывающие как дифракцию'волн около
поглощающего ядра, так и его кулоновское поле.
Матрица рассеяния первого приближения имеет, как известно,
вид [27]
№

где/\л (х) — оператор плотности тока частицы и А^(х) — оператор
потенциала электромагнитного поля. Для скалярных частиц плот-
плотность тока связана с оператором поля соотношением [27]
D3)
Мы будем рассматривать сопровождаемый излучением фотона пе-
переход я-мезона из состояния с импульсом р и энергией Е в со-
состояние с имульсом р' и энергией Е'. Волновые функции этих
состояний согласно результатам п. 5 имеют вид
- -щ- V1 - п (р» т^г Ч' D4)
w = -^ш {^ ^-^г^1-^ «•»
Первая функция представляет собой при г -> оо суперпозицию
плоской падающей и сферической расходящейся волн, а вторая —
суперпозицию плоской и сферической сходящейся волн. Такая
асимптотика соответствует исчезновению частицы в начальном и
появлению частицы в конечном состояниях.
Функции нормированы таким образом, чтобы в единичном объ-
объеме находился один мезон (по этой причине перед плоской волной
1
стоит множитель
|В качестве А^{х) нужно подставить в выражение S^ потен-
потенциал, соответствующий излучению фотона. Если обозначить через
со, ки^ частоту, импульс и поляризацию фотона, то
А», (х) = *!L <r*(кг-«о D5)
у 2со
(нормировочный объем предполагается равным единице).
Замечая, далее, что ток, связанный с переходом грр (г) —> г^Т* (г),
равен согласно D3)
получим после интегрирования по t следующее выражение для
матричного элемента перехода:
t6 (E-Ef - оо),
где
^ J (г) (вV) ф?+) (г) Н^г. D6)
219

Вероятность перехода в единицу времени равна
w = 2л | C/w |2 б (Е — Е' — о).
Умножая это выражение на './*?* и Уп l)allmi ^ функцию иитег-
рированием по энергии меаона и конечном состоянии, получим,
после деления на плотность потока мезонов в начальном состоянии
v = -?- , дифференциальное сечение излучения фотона я-мезоном:
Г W"rfM°'' D7)
где doY и do' — элементы телесных углов, в которых лежат к и р\
При вычислении входящего, сюда интеграла следует иметь
в виду, что, как было разъяснено в предыдущих пунктах, дифрак-
дифракционное рассмотрение законно только в области малых углов рас-
рассеяния. В рассматриваемом случае должны быть малыми угол
между импульсами я-мезона в начальном и конечном состояниях
и угол между импульсом фотона и начальным импульсом л.~ме:юна.
При этих условиях интеграл от произведения дифрагированных
волн в D7) (вторые слагаемые в D4) и D4')) обращается в нуль.
Действительно, области тени в функциях ^^(г) и \f>p+) (r) при
малых углах не перекрываются. Поэтому дифрагированные функ-
функции отличны от нуля в разных областях (не заштрихованных на
рис. 4) и интеграл от их произведения равен нулю.
Далее обращается в нуль интеграл от произведения плоских
волн, так как такой интеграл отличается от нуля только в том
случае, если р — р' — к = 0, но это условие не может, очевидно,
выполняться из-за передачи импульса ядру. Таким образом, ин-
интеграл в D7) сводится к
М = J ц?>* (г) (eV) 4+) (r) e-^dr =
-Й (P)) (eV) e-W+Vr dpdrj . D7')
Используя соотношение
М 2я 1
\ -— е^Ч* = , D8)
J г р р—д ' v ;
можно переписать М в виде
м = T^qfWS e"i(p'+k)p {1 ~
220

By дом считать ядро абсолютно черным заряженным шариком.
Воспользовавшись выражением B5) для Q (р) и учитывая малость
углов между р, кир', получим следующее выражение для М [11]:
М - ( ер'
>' — IP —
где # и #' — двумерные угловые векторы, определяемые с помощью
соотношений
Просуммированное но поляризациям фотона сечение дифрак-
дифракционного излучения равно [11]
4я3 р
2т
1 J
О
о
12 t
XЛОг|| + ч |р)dp|2(Т-1^+-Т-Л_)а^dgrf,,, E0)
где |Л — масса мезона и
Выяслим тоисрь условия применимости этой формулы. Оценим
для этого область эффсчггшшых расстояний от ядра, вносящих ос-
основной вклад в интеграл М.
Из формулы D8) следует, что эффективными в D7') являются
расстояния порядка
1
Воспользовавшись законом сохранения энергии, можно предста-
представить это выражение в виде
г
ГеГГ ~ к fa* + ^^,2) ,
где \i — масса я-мезона. Отсюда следует, что если Е ^> \i и Ф ^
^ \i/E, то reff^> E/\i2 ^> /?. Это оправдывает пренебрежение обла-
областью внутри ядра или нуклона. Заметим, что нуклон можно счи-
считать черным при Е ^> |л.
Выражение для сечения дифракционного излучения получено
нами в предположении, что я-мезон является точечной частицей.
221

Между тем Сильное взаимодействие л-меаойа с нуклокным фоном
должно приводить к «размазыванию» заряда л-мезона по области,
имеющей размеры порядка или меньшие чем 1/fi. При выполнении
условия reff ^> R излучение происходит на больших расстояниях
от ядра. Поэтому влияние электрических «рдлмерон» л-мезона
на излучение фотона должно в ;>тих углопилх приводить к появле-
появлению формфактора л-мезоиа f1]. !)тот формфактор, который мы.
будем обозначать через Fn, иилжтсп (функцией инвариантной
частоты фотона в системе покоя л мгшнш
F. = F.(-«2-J*-) . E2)
Если Е >> |л, * << 1, то
(&%) E2')
При малых значениях аргумента формфактор равен единице;
при больших значениях аргумента он стремится к пулю.
При введении формфактора необходимо иметь в виду сле-
следующие обстоятельства [1]:
1) излучение фотона не зависит от деталей, характеризующих
столкновение л-мезона с ядром. Существенным является только
знание волновой функции л-мезона вдали от ядра; поэтому ядро
не может оказать серьезного влияния на свойства нуклонного ва-
вакуума, окружающего л-мезон и, следовательно, в излучении про-
проявляется структура невозмущенной частицы;
2) в случае дифракционного излучения необходимо, чтобы инва-
инвариантные частоты фотона в системах покоя, связанных с падающим
и дифрагированным мезоном, мало отличались друг от друга. Это
приводит при малых углах к условию
3) необходимо, наконец, предполагать, чтобы в процессе ди-
дифракции мезоны не испытывали слишком больших ускорений, так
как в противном случае это ускорение сможет повлиять на фор-
форму л-мезона. Отсюда можно заключить, что введение формфак-
формфактора налагает условие
2ЕЕ1
Это условие вместе с условием E3) показывает, что для введения
формфактора должны выполняться неравенства
222

При «том формфактор будет зависеть только от соф2:
<55)
Если условие E3) не выполнено, то простое понятие форм-
фактора теряет смысл и вместо него в формулы для интенсивности
излучения будет входить более сложная величина, связанная
с дну ми инвариантными частотами фотона и учитывающая влия-
имо ускорения, т. е. содержащая еще инвариант
ЕЕ'Ьп
(О2
2ЕЕ'
Таким образом, при выполнении условий E3), E3'), E4) се-
ч<ч!и<> инлучопин должно вместо E0) определяться следующей фор-
формулой |1/11I
lUi^\\-Yx\\R) f
+ 41
4-Г
X
E6)
Полагая здесь и = 0, мы получим чисто дифракционное излу-
излучение [1] (без формфактора)
4_V
Если жо положить /? -- 0, то, учитывая формулу
E7)
мы получим известное выражение для сечения излучения фотона
ультрарелятивистским jt-мезоном в кулоновском поле ядра (при
малых углах рассеяния) [28]
Мы видим таким образом, что обобщенный принцип Гюйгенса,
справедливый, строго говоря, при R ^> X, приводит к правильному
значению сечения излучения фотона в чисто кулоновском поле
точечного ядра (R = 0) в области ультрарелятивистских энергий
и малых углов рассеяния. Это связано с тем обстоятельством, что
при малых углах рассеяния излучение происходит вдали от ядра,
823

а в этой области волновые функции практически могут быть опре-
определены из рассмотрения дифракционной картины с помощью прин-
принципа Гюйгенса.
Так как излучение происходит вдали от я/фа, то при вычисле-
вычислении матричного элемента М можно с самого начала пользоваться
асимптотическими выражениями для функций ^р(г) и ^"^(г)
при г ->¦ оо
где/+ (р) и/" (р') представляют собой, очевидно, амплитуды упру-
упругого рассеяния мезонов. Вычислив М с такими функциями, полу-
получим с учетом формфактора Рл следующее выражение для сечения
излучения фотона [7]:
& p'
4я3 р
г
•?*** E9)
Это выражение показывает, что сечение излучения фотона по су-
существу определяется амплитудой упругого рассеяния (и, конечно,
формфактором мезона).
Сравним сечение излучения E0) с сечением упругого рассея-
рассеяния мезонов. Представив последнее в виде
где
oo
F0)
мы видим, что
Таким образом, сечение излучения отличается от сечения упругого
рассеяния множителем
Подчеркнем еще раз, что соотношение F1), связывающее сече-
сечения упругого рассеяния и рассеяния с излучением фотона, спра-
справедливо при ультрарелятивистских энергиях и малых углах рас-
рассеяния. Далее мы увидим, что соотношение такого же типа спра-
справедливо и для частиц со спином у.
Перейдем теперь к определению спектрального распределения
дифракционного излучения. Проинтегрируем для этого E6) по %
224

и К). Коли предполагать, что формфактор не отличается от еди-
единицы» то п результате интегрирования мы получим [11]
X
F3)
"'ДО
В предельном случае п <^ 1 это сечение имеет вид суммы сече-
сечения чисто дифракционного излучения (do\ (со)) и сечения тор-
мойного инлучония п нулоиоиском поле протяженного ядра
(da; (со))
daY (о)) = da? (со) + dcij (со), п << 1, F4)
где
оо
e2 p' dw n2
Интегрирование п последней формуле производится от неко-
некоторого минимального значения qm = ^F, , определяемого из
законов сохранения. В случае полного экранирования поля ядра
электронами в качестве нижнего предела следует взять qm =
= Z1/«mt,/137|x(me — масса электрона). При этом величина
rfdiRrfm) не будет зависеть от со. Интегральное сечение излучения
фотона с частотой, большей со, будет равно в этом случае
<66>
а полная потеря энергии частицей определится формулой
Е
U codaY (со) =4гЕ
О
8 И. Я. Померанчук, т. III 225

В предельном случае R\i ^> 1 (для тяжелых ядер) приведенные
выражения сильно упрощаются:
id/ ч 2,3 e2R p' du)
у * ' ' 4я \i p со '
йог ((о) — If'^., -^- In-"'f/. •—¦ •
При полном экранировании ноли ядра электронами интеграль-
интегральное сечение излучения фотона с частотой, превосходящей со, равно
Е
2,3 е2Я /, . о , л2 , 137 \/. Е
A + 2'41етln :XJn
F9)
Приведенные формулы для сечения излучения выведены в пред-
предположении абсолютно черного ядра. Для того чтобы учесть полу-
полупрозрачность ядра, нужно, как уже разъяснялось ранее при фор-
формулировке принципа Гюйгенса, пользоваться функций Qb (p)
вместо Q (р). Если ядро можно считать имеющим резкую границу,
то Qb (p) определяется формулой A8).
В этом случае результат замены й (р) на Qb (р) сводится к за-
замене в F3) величины RJ\ B\iRq)Jq на
2\xR2 J A - e~BR v~') Jo B\xRqy) ydy.
о
Мы не будем рассматривать более подробно это выражение.
7. Излучение фотона,
связанное с поглощением я-мезона ядром или нуклоном
Наряду с дифракционным излучением фотона я-мезоном, про-
проходящим вдали от ядра, существует второй механизм излучения,
связанный с непосредственным захватом я-мезона нуклоном или
ядром. Такое излучение мы будем называть излучением оста-
остановки [1].
Для определения вероятности излучения остановки нельзя
пользоваться методами обычной теории возмущений, так как в
конечном состоянии я-мезон поглощается ядром. Поэтому нахож-
нахождение этой вероятности требует специального рассмотрения. Оно
может быть проведено следующим образом [1].
Будем исходить из уравнения
— Д + |л2) я|) = — 2^AViJ), G0)
226

описывающего состояние я-мезона (вне ядра) при наличии элек-
электромагнитного поля А. В качестве А мы возьмем потенциал, соот-
соответствующий излученному фотону с волновым вектором к, часто-
частотой о и поляризацией е и определяемый формулой D5). Так как
заряд е<^1, то в члене, содержащем электромагнитное поле,
можно заменить я|э на волновую функцию падающего я-мезона:
Таким образом, мы получим неоднородное уравнение для опреде-
определения функции яр = Ф (r)e~iE'f, Е' —¦ Е — со
(- Е'ъ + ji2 + А) Ф (г) = — ie _eiL e*№K G0')
у Ео)
Замечая, что функция Грина уравнения (р'2 + Л) Ф (г) — О
имеет вид
eiP'\r-r'\
G(pO
получим, используя D8), следующее решение G0')
ie ею С ,гР'|г-г'|
ф (г) = у=^ \
4я у Еы J | г — г' |
ie ер // .
G1)
Найдя Ф (г) на поверхности ядра, которое мы будем предпола-
предполагать абсолютно черным, можно определить поток я-мезонов, по-
поглощаемых ядром, когда на бесконечности имеется один фотон.
Этот поток определяется формулой D3) (без множителя ё) и равен
(р' — |р — к!J '
Разделив его на плотность потока падающих я-мезонов, равную
и — —- . и суммируя по поляризациям фотона, найдем дифферен-
дифференциальное сечение излучения остановки
еа О2 Е = со / ЕсоО2 \ г/со
— /?2 ^ (Н
причем по тем же соображениям, которые были приведены при
рассмотрении дифракционного излучения, мы ввели формфактор
я-мезона Fn( 2ц ) (^ ~ угол между к и р).
8* 227

Если со <^.Е, то это выражение соответствует классическому ос-
остановочному излучению, возникающему при внезапной остановке
заряда, когда время остановки мало.
Проинтегрировав G2) по частотам со, превосходящим некото-
некоторую минимальную частоту wm, и по углам, меньшим некоторого
максимального значения flv, получим
'4S1- G3)
В отличие от дифракционного излучении, и котором главную роль
играют углы'О1 порядка \i/E, в излучении остановки область эффек-
эффективных углов гораздо больше, но при Ф]>1/ -4— формфактор
может значительно уменьшать сечение. Поэтому для получения
полной вероятности излучения остановки с частотой фотона,
превосходящей сот, нужно проинтегрировать G2) по Ф при Fn = 1
от $ = 0 до # ~ У^щ- и по ® от Ww до Е:
Сравнение этого выражения с F9) показывает, что остановоч-
остановочное излучение несколько больше дифракционного.
Полная излученная энергия равна [1]
Е
adc% = e*№E. G5)
При столкновении быстрого я-мезона с нуклоном или ядром
наряду с излучением фотона может происходить также образова-
образование электронно-позитронной пары. Сечение такого процесса по
порядку величины в 1/а = 137 раз меньше сечения излучения
фотона. Однако рассмотрение этого эффекта представляет опреде-
определенный интерес, так как регистрация фотонов может оказаться
более сложной, чем регистрация пар. Мы приведем здесь оконча-
окончательный результат для интегрального сечения дифракционного
образования электронно-позитронных пар в случае тяжелых ядер,
когда \xR :> 1 [23]
1п ИG6)
где те — масса электрона.
Кроме дифракционного образования электронно-позитронной
пары я-мезоном, может происходить также образование таких
228

пар при поглощении я-мезона ядром. Этот процесс можно назвать
остановочным образованием пары. Сечение процесса определяется
формулой [23]
8. Дифракционное образование фотоном тс-мезонных пар
Перейдем теперь к рассмотрению дифракционного образования
фотоном я-мезонных пар [2, 12, 7]. При больших энергиях фотонов
образование пары происходит на больших расстояниях от ядра,
поэтому мы, так же как и при рассмотрении дифракционного
излучения, можем в качестве волновых функций я+- и я~-мезонов
взять функции, получаемые с помощью принципа Гюйгенса и
учитывающие как поглощение мезонов ядрами, так и кулоновское
поле ядра.
Пользуясь теорией возмущений, легко получить следующее
выражение для матричного элемента образования фотоном пары
я+ и я~:
М± = ie Y4
где k, со, e — волновой вектор, частота и поляризация фотона
•ф+ и я|э_ — волновые функции я+- и я"-мезонов. Так как обе эти
частицы образуются в результате процесса рассеяния, то асимп-
асимптотически на больших расстояниях от ядра функции я|э+ и я|э_
должны представляться суммами плоской падающей и сходящейся
сферической волн. Согласно C6) функции с такой асимптотикой
имеют следующий вид:
¦¦«-
Легко убедиться, что главную роль в интеграле М± играют боль-
большие расстояния, порядка reff ^р~ ^> R. Иными словами, об-
образование пары происходит вдали от ядра. Поэтому при вычис-
вычислении матричного элемента М+ можно сразу пользоваться асимп-
асимптотическими выражениями для \|э+ (г) и я|э_ (г), справедливыми
при г ->¦ ос:
р_ (г) = гр=-
229

Здесь /+ (р+) и /_ (р_) — амплитуды упругого рассеяния я+- и
я~-мезонов, определяемые общей формулой B8)
оо
/+ (Р+) = *Р+ S A - Qb (Р)} Л (Р+Ор) Р Ф,
1 G9)
/_ (Р_) = ip_ J {1 - пЪ2 ((•)} /„ (/>_%) р dp.
О
Предполагая ядро абсолютно черным, мы должны положить здесь
+2 @ при
И" (Р) = (
где
Л + (р) =
Если | п± |<^ 1, то мы получим в области ультрарелятивист-
ультрарелятивистских энергий и малых углов рассеяния следующее выражение
для М±:
М± = ie
+ e V&i'pjjtf -j^r {^r [/0 Bfxi?g) +
[JoB|*Лд) + 2ЦВД BjjД?) Inр+Л]}, (80)
где | и tj определяются соотношениями
Р_
и
Усредненное по поляризациям фотона с учетом формфактора
мезона сечение образования пары равно [27,12]
(Jo №Щ + tyRqJi {^Щ in P.R) +
х
(81)
230

Первое слагаемое в этой формуле определяет сечение чисто
дифракционного образования пар (da4.),-a второе — сечение обра-
образования пар в кулоновском поле ядра (da%). Интерференция между
обоими механизмами при образовании пары при п <^ 1 отсутствует.
Полагая Fn =[1 и интегрируя по | и г\, получим при \iR J> I
следующие выражения для da% и da%.:
2е2/г2 ,, ч -, Г Jo B^Я?) / ч , (82)
—71- е A - е) ete \ ^—5 ф (g) dg ^°^
е
— e)dte ^ ^з Ф(?)^9
где
48A-8H) '
8 =
Максимальные значения ?max =s Лтах определяются характером
взаимодействия мезонов с ядром, а величина gmm — законами
сохранения.
Интегральные сечения а+ и а+ равны
a e2i?2
| ш— vi -Г Smax; -I" 14_^ [ ,
(83)
9
Мы видим, что сечение дифракционного образования пары я+
и я"", не сопровождающегося возбуждением ядра, в крайне реля-
релятивистском случае не зависит от энергии фотона и оказывается
пропорциональным квадрату радиуса ядра. По порядку величины
оно равно
4—ж Л». (83')
При больших Z сечение образования пары я+ и лГ под действием
кулоновского поля ядра всего лишь в несколько раз меньше се-
сечения 0°+.
Полученные соотношения справедливы для абсолютно черного
ядра. Полупрозрачность ядра уменьшает упругое рассеяние, а
следовательно, и сечение образования пар. Соответствующие фор-
формулы, однако, очень сложны, и мы их здесь не приводим.
Заметим в заключение, что виртуально родившаяся пара я+
и я~ не может 'превратиться в два я°-мезона [2]. Это связано с зако-
законом сохранения зарядовой четности. Действительно, система,
231

состоящая из двух я°-мезонов, зарядово-четна, а фотон — заря-
дово-нечетен. Что же касается ядра, то оно выполняет только функ-
функции черного тела, и должно считаться зарядово-четным. Поэтому
процесс у -> 2я° не может иметь места в рассматриваемых усло-
условиях, т! е. при 2? ^> (х, и в предположении, что ядро является аб-
абсолютно черным. Отсюда " следует, что вероятность процесса
у -> я+ + я"" значительно больше вероятности процесса у -> 2я°.
До сих пор мы рассматривали дифракционное образование
я-мезонных пар фотоном. Однако дифракционное образование
я-мезонных, а также и нуклоштых пар может иметь место и при
рассеянии ядром быстрых я-мезопов и нуклонов (с энергиями
?Г>109 эв) [3]. Такие частицы сильно поглощаются»ядром, в ре-
результате чего возникают дифрагированные волны. Дифракционное
же рассеяние может сопровождаться испусканием я-мезонов,
а возможно, и нуклонных пар. Так как при этом генерация новых
частиц осуществляется частицей, не проникающей внутрь ядра,
то этот процесс можно назвать внешней генерацией.
Импульс, передаваемый в таком процессе ядру, относительно
мал, порядка или меньше fx (fx — масса мезона); поэтому ядро не
возбуждается, и в процессе генерации не должно возникать мед-
медленных нуклонов. Возникающие частицы должны в основном дви-
двигаться вдоль направления скорости первичной частицы.
Если первичная частица с массой М генерирует мезон с энер-
энергией Е, то ее энергия должна значительно превосходить величину
A*f*M2/\i. По порядку величины сечение образования пары состав-
составляет
где g — константа псевдоскалярной связи.
9. Дифракционное излучение фотонов
частицами со спином 1/18.
Дифракционное образование фотоном нуклонных пар
Перейдем теперь к рассмотрению дифракционного и остановоч-
остановочного излучения фотона частицей со спином х/2 [4]. Такой процесс
может иметь место в случае протонов, рассеиваемых и поглощае-
поглощаемых ядрами. Мы будем предполагать, что протоны подчиняются
уравнению Дирака? причем вначале не будем учитывать аномаль-
аномального магнитного момента протона.
Для определения сечения дифракционного излучения фотонов
протонами можно воспользоваться тем же методом, с помощью ко-
которого изучалось дифракционное излучение фотонов я-мезонами.
При этом волновую функцию протона в начальном состоянии
следует взять, как было разъяснено в п. 5, в виде D1), а волновую
функцию конечного состояния в виде D2). Ядро будем предпола-
предполагать абсолютно черным заряженным шариком.
232

Матричный элемент, соответствующий излучению фотона,
может быть записан в виде
- Er - о),
где
и р и р — импульсы протона в начальном и конечном состояниях'
В релятивистском случае, который мы рассматриваем, главную
роль играют малые углы между рикирир'. При этом выражение
для C/fw сильно упрощается:
/0(|?* + р'*'|р)рф X
X
где п = р/р, п' = р/р, / = р — /с, /' = р' + Л, а двумерные угло-
угловые векторы виФ' определяются соотношениями
р' = (p'n) n + Р'Ъ\ k = (kn) n + к$.
Дифференциальное сечение излучения фотона равно
где v — скорость падающего протона.
Усредняя сечение излучения по ориентациям спина протона
в начальном состоянии и суммируя по ориентациям спина в конеч-
конечном состоянии, получим [11]
2
X
/ Ъ | I \ I \Ъ ~i I/ I w sJi A /Q/\
где
При п <^ 1 это выражение приобретает вид
= daY -f- dsy,
где
Л \2
^ л 2 )
2рр> A + ?2) A _f- г]2) J со "*""¦» v^"/
233

Величина doy представляет робой сечение дифракционного излу-
излучения, a day — сечение излучения в кулоновском поле ядра.
Таким образом, при п <^ 1 процессы дифракционного излуче-
излучения и излучения в кулоновском поло но интерферируют и соответ-
соответствующие им сечения складываются.
Сравнение выражения для ddy с выражением E7) для сечения
дифракционного излучения фотона скалярной частицей показы-
показывает, что в defy по сравнению с E7)J входит добавочный член
# Р'
4я* р
Мы видим, что влияние спина сказывается только в области
больших частот. Однако при этом частицу (протон) нельзя, строго
говоря, рассматривать как точечную и необходимо учитывать ее
«размазанность», обусловленную взаимодействием протона с ме-
зонным вакуумом. Как мы видели в предыдущих пунктах, влия-
влияние размеров частицы в некоторых условиях приводит к появле-
появлению формфактора Fp, зависящего от инвариантной частоты
JL(?co-pk).
Предполагая, что размеры протона порядка l/(jt (\i — масса
мезона), мы можем рассматривать протон как точечную частицу
только в том случае, если — (Еа> — рк) <^ 1, т. е. если со <^~~ Е.
С учетом формфактора протона выражение (84) должно быть ум-
умножено на | Fp \ 2.
Проинтегрированное по углам сечение излучения do® без фак-
фактора | F9 |2 равно
где dor?0 — сечение дифракционного излучения фотона частицей
со спином нуль.
Мы считали ядро абсолютно черным. «Серость» ядра может
быть учтена заменой множителя . Jx(mR|| + т)|) в (85)
выражением
Rhn 5 A - erCb-^v-DiOcR/i^) J0(mR\% + 4\z)zdz. (85')
i
234

Отметим, что независимость сечений от деталей диффузности
края ядра имеет место только в том случае, если передаваемый
ядру импульс не превосходит по порядку величины 1/|х. Поэтому
диффузность края ядра в процессах с участием нуклонов имеет
более важное значение, чем в процессах с учетом я-мезонов.
Положив в (85') радиус ядра R равным нулю, мы получим фор-
формулу Бете — Гайтлера для сечения тормозного излучения фотона
протоном в чисто кулоновском поле ядра в области ультрареляти-
ультрарелятивистских энергий и малых углов рассеяния
вн __ fW I
1+rf
+ 2pp> A + WA + t,2) | со
To обстоятельство, что, используя при вычислении day вол-
волновые функции протона, определяемые обобщенным принципом
Гюйгенса, мы получаем в области больших энергий и малых углов
рассеяния правильную формулу Бете—Гайтлера, связано с тем,
что излучение фотона происходит вдали от ядра, где волновые
функции практически могут быть заменены своими асимптотиче-
асимптотическими представлениями.
Сечение излучения фотона в области больших энергий и малых
углов рассеяния фактически определяется амплитудой упругого
рассеяния. Легко связать сечение излучения фотона с сечением
упругого рассеяния dae. Положив
можно представить day в виде [13]
^ = «е а + ч
Интегрируя doy по углам | и т], найдем спектральное распре-
распределение излучения:
[aA2q) ±_ ln(g + ]IT?)
- 1 + -gr -р== Ь (q + Vi+Щ Я dq, (88')
где q = -у-1| + ЦI и минимальное значение q определяется из
/ПО)
законов сохранения: qQ = ,д„, .
235

Наряду с дифракционным излучением фотона протЬном может
происходить процесс дифракционного образования фотоном пар
протон—антипротон [22]. Матричный элемент этого процесса
равен
& \ ^ d\r,
где <фр") и <фр") — волновые функции протона и антипротона с им-
импульсами pup'. Так как обе эти частицы образуются, то асимпто-
асимптотически на больших расстояниях от ядра функции г|)^") и г|)р~)
должны иметь вид суммы плоской и сходящейся волн.
Мы приведем здесь только результат вычисления сечения обра-
образования пары в случае малых углов между рикир'ики ультра-
ультрарелятивистских энергий частиц, Е, Е' ^> т(т — масса протона);
ядро предполагается абсолютно черным [22]:
(89)
где | и t| связаны с р и р' соотношениями
р = (рх) х + т|, р' = (р'и) х + mt|;
х = -j-, |х = т)х = 0;
(do и do' — телесные углы, в которых лежат р и р').
10. Остановочное излучение фотонов частицами
со спином 7г
Рассмотрим теперь излучение фотонов, сопровождающееся не-
непосредственным поглощением быстрых протонов ядрами [5, 6].
Будем по-прежнему предполагать, что для оценки вероятности
излучения остановки протон можно описывать уравнением Ди-
Дирака, однако теперь мы будем учитывать аномальный магнитный
момент протона \i'
1?ХА ^'TT^ + т
\ ф = 0.
Здесь FvP — тензор электромагнитного поля и iv — потенциал
поля, связанный с излучением фотона к. Так же, как и при рас-
рассмотрении излучения остановки в случае я-мезона, мы заменим

в членах, содержащих поле, г|э на tyQ = uel (p^-ei)^ где и — спинор-
ная амплитуда падающей протонной волны. Таким образом мы
получим неоднородное уравнение для г|э = Ф (r)e~iE't1 имеющее вид
(V -^ - ПЕ' + т) Ф = -J= (tee + 2fi'/ce) Фо (г) е-**
где
Е' = Е — со, Фо (г) == /^irP, й = г^.
Найдя из этого уравнения Ф (г) на поверхности ядра, которое мы
предполагаем абсолютно черным, можно определить поток прото-
протонов, поглощаемых ядром, когда на бесконечности имеется один
фотон. Плотность этого потока определяется выражением
а сечение излучения остановки равно
, s __ /я/?2 со2 da d2e
где v — скорость протонов и сЮ — элемент телесного угла, в кото-
котором испускается фотон.
Решение уравнения для Ф (г) имеет вид
Ф (г) = - -у^ J Go (г, г') (iee + 2\х'ке) ег^Ф0 (г') dv\
где Go (г, г') — функция Грина уравнения Дирака
Используя это выражение, получим
Ф (г) = —1=- [i (р - k) y - Е'уь - т] [iee + 2\i'ke] x
X и , , ,„, к|) •
Приведем результат вычислений дифференциального сечения
излучения остановки [6]
7 S ^2 dto V1 ( 9 Г / \ Л9 i Ю2
(х'2 -^ (т2 + р292) - тер' -J- (m2 + p292)] <PQ. (90)
Здесь первое слагаемое в квадратных скобках определяет из-
излучение остановки для частиц со спином нуль, а второе обуслов-

лено спином протона. Последние два слагаемых связан^ с наличием
аномального магнитного момента протона.
Мы видим, что влияние спина и аномального магнитного момен-
момента существенно только в области больших частот/При этом, как
уже отмечалось, выше, протон нельзя, строго говоря, рассматри-
рассматривать как точечный заряд, и'необходимо учитывать формфактор
протона Fp.
Сечение излучения с учетом формфактора протона определяется
произведением (90) на | Fp | 2. Ноличипп Fp является функцией
инвариантной частоты фотона
[(?1)] <90'>
Отметим в заключение, что изучение излучения фотона прото-
протоном так же, как и я-мезоном, тможет дать важные сведения о форм-
факторах частиц, т. е. об их структуре.
11. Дифракционные явления
при рассеянии быстрых дейтронов ядрами
Мы рассматривали до сих пор дифракционные явления, в ко-
которых участвовали точечные частицы. Как указывалось во вве-
введении, специфическими особенностями должно отличаться ди-
дифракционное рассеяние слабо связанных сложных частиц, таких,
например, как дейтроны.
Помимо чисто упругого рассеяния дейтронов, аналогичного
дифракционному рассеянию точечных частиц, в случае дейтронов
должно иметь место еще дифракционное расщепление, происхо-
происходящее вдали от ядра [15—17]. Этот эффект обусловлен малой энер-
энергией связи дейтрона, благодаря чему сравнительно небольшое
изменение импульса дейтрона при рассеянии может привести к его
развалу.
Дифракционное рассеяние и расщепление дейтрона может быть
исследовано аналогично исследованию дифракционного рассеяния
точечных частиц.
Пусть на ядро падают дейтроны с волновым вектором К. Дви-
Движение центра инерции дейтрона в плоскости, перпендикулярной К
(ось z), описывается функцией
где хирд- проекции волнового вектора рассеянного дейтрона и
радиус-вектора центра инерции дейтрона на плоскость, перпенди-
перпендикулярную х (нормировочную длину мы предполагаем здесь и в
дальнейшем равной единице). Падающим дейтронам соответствует
волновая функция
23&

Для исследования дифракции дейтронов нужно, кроме движе-
движения центра инерции, учитывать еще относительное движение ней-
нейтрона и протона в дейтроне.
Связанное состояние дейтрона описывается функцией
где /?д — радиус дейтрона.
Относительное движение нейтрона и протона, освобождающихся
в результате расщепления, может быть описано функциями
где М — импульс относительного движения частиц иа= —1/а —
— if —- длина рассеяния нейтрона протоном в 5-состоянии (предпо-
(предполагается, что взаимодействие между нейтроном и протоном имеет
место только в S-состоянии; сумма плоской и сходящейся сфери-
сферической волн соответствует рождению частиц). Функции q)f (r)
вместе с функцией ф0 (г), описывающей связанное состояние си-
системы, образуют полную систему ортонормированных функций,
удовлетворяющих соотношению
Фо {г) Фо (г') + ) ф; (г) «pf (г') -^г = б (г - г').
Так как дейтрон представляет собой слабо связанную систему,,
в которой нейтрон и протон проводят большую часть времени вне
области действия ядерных сил, то картина дифракции дейтронов
на абсолютно черном ядре определяется разложением функции
описывающей дейтрон при наличии поглощающего одра, по пол-
полной системе функций -фк (рд)ф0 (г), г|)< (рд)фг (г). При этом мно-
множители Q (рп) ^йп и 2 (рр) == Йр, где рп и рр — проекции ра-
радиус-векторов нейтрона и протона на плоскость, перпендикуляр-
перпендикулярную оси z учитывают «исчезновение» дейтрона как целого, если по
крайней мере одна из частиц, т. е. нейтрон или протон, попадает
в сферу действия ядра.
Коэффициенты 4Х и 4Х^ этого разложения
Т = 2 ^хфх (Рд) Фо (О + 2 A*t% (Рд) <Pf (Г)
X X, f
имеют смысл амплитуд вероятности дифракционного рассеяния и
дифракционного расщепления дейтрона,
239

Так как функции tyx и ф/ образуют ортонормировании^ системы
функций, то
а* = JJ Фо (г) ф» ((>„) ^п^p^o (рд) ф<> (О ФД л> (91)
AKt = JJ ф? (г) i|? (Рд) <2nQ,^0 (,,„) Фо ('О Фд {fr- (91')
Амплитуда упругого рассеяния связана с Лх Соотношением (8).
Ее можно представить в «идо
/ (О) = I*|2 — arctg ^
(92)
- 2я V aFCtg
|2g-x|
Легко убедиться на основании (91), что амплитуда рассеяния
на нулевой угол равна
f @) = lisr й ф^(г) {со*+ ^"" ^^ фд dr> (92/)
где
Зная эту величину, можно найти полное сечение всех процес-
процессов взаимодействия дейтрона с ядром, а именно: упругого рассея-
рассеяния, дифракционного расщепления, реакции срыва протона и
нейтрона и, наконец, поглощения дейтрона ядром. Это полное се-
сечение связано с/ @) соотношением at — 4яХ Im/ @), где X — длина
волны дейтрона.
Подставляя в (92') выражение для ф0 (г), можно показать, что
о, = 4л/?* {l - J -f- arctg -L ^L dl\, (93)
0
R „
Гдер==-_ . ПрИ р-+сю суммарное сечение, как и следовало
ожидать, равно
at = 2nR2, p->oo.
С учетом членов порядка 1/р сечение а* равно
а, = 2л/?2 + лЯЯд, Л > Дд. (93')
При любом значении р имеют место соотношения
240

где <тп и о$ — сечения срыва нейтрона и протона, аа — сечение
поглощения\)беих частиц ядром ж ад — сечение дифракционного
расщепления.
12. Сечения упругого рассеяния и
дифракционного расщепления дейтронов.
Сечения реакций срыва при высоких энергиях
Приведем выражения для сечений различных процессов взаи-
взаимодействия быстрых дейтронов с ядрами [17].
Дифференциальное речение дифракционного упругого рассея-
рассеяния быстрых дейтронов при р ^> 1 в предположении, что ядро
является абсолютно черным, равно
dse = 2лR* {(&. arctK ?j ^Р- | -1- /х (х') /0 (х')} &е\ х' < р,
где х' = *R. (95)
Интегральное сечение упругого дифракционного рассеяния при
р ^> 1 равно
ае = пД2 + ^ A - In 2) ДДд, Лд > Л. (95')
Дифференциальное сечение дифракционного расщепления дей-
дейтрона связано с АХ{ соотношением
Продиолагдя, чтд ядро является абсолютно черным, и считая
р ^ 1, получим следующее выражение для полного сечения ди-
дифракционного расщепления дейтрона:
оя = -5.BIn2 -4-)ДДя, ЛЯ<Л, Х<ЛД. (96)
Распределение продуктов расщепления до энергиям в этих же
предположениях имеет следующий вид:
/ ч 3 Г. , 2м
(и) = 11 +
, 2м . и \
+ т-i—5- arcsin - —
)AД,K , (97)
Как указывалось выше, помимо упругого рассеяния и дифрак-
дифракционного расщепления дейтрона возможны^также реакции срыва
нейтрона и протона, а также поглощение обеих частиц ядром.
241

Рассмотрим прежде всего реакцию, в результате которой ней-
нейтрон освобождается, а протон поглощается ядром. Этот процесс
можно описать волновой функцией W = й^о (р/фо (г), где
ф0 (г) — волновая функция основного состояния дейтрона, tfH (рд) —
часть волновой функции, описывающая движение донтра тяжести
дейтрона в плоскости, перпендикулярной импульсу падающего
дейтрона.
Разложив "V в интервал Фурье л<> функциям е~гкГп (гп — ра-
радиус-вектор нейтрона), найдем амплитуду ^вероятности ац (*р)
того, что нейтрон будет обладать нолпоиым ргктором к, а протон
будем находиться в точке гр:
Интегрируя | ак (гр) |2 по dpp в пределах от рр = О до рр — R,
найдем дифференциальное сечение срыва, при котором волновой
вектор нейтрона лежит в интервале dk [21]
\'ak (pp) |2 dpp =
где йр = Q (рр).
Полное сечение срыва равно [21]
оп = Ц dPp drn B - | Яр I») | Qn |* ф^ (г). (98')
Разлагая 1 — | Q (p) |2 в интеграл Фурье
где Jx (x) — функция Бесселя, найдем
Li?E] (99)
В предельном случае больших р эта формула переходит в фор-
формулу Сербера
^=яД^-, ДД<Я. (990
Зависимость ап от р представлена на рис. 5. В случае свинца
р = 4,2 и формула (99) дает ап = 3,2 -10~25 еж2, в то время как
формула Сербера дает ап = 2,7 -105 см2. При р = 1
бп = 5,8.10-2в еж2 и а; = 6,
Формулой (99) определяется также сечение срыва протона ар.
Чтобы найти распределение освобождающихся нейтронов по энер-
242

гиям, нужно проинтегрировать (98) по перпендикулярным состав-
составляющим вектора к:
X
A00)
где х — проекция ректора к на плоскость, перпендикулярную р0.
Используя полноту функций егКРп и раскладывая | Qn |2, | Qp |2
в интегралы Фурье, получим окончательно
kz
'-¦?
A00')
где Ко (Q .— модифицированная функция Бесселя, 2?0 — энергия
падающего дейтрона и М — масса нейтрона.
.ТТТ",
2 ?68/0/7
Рис. 5
В предельном случае р ^> 1 эта формула переходит в формулу
Сербера
A01)
Определим теперь сечение поглощения дейтрона аа. Так как
243

то, используя (93) и (99), мы получим
-|- arctg A.I^idg. A02)
б
При р ;>> 1
(-; ТТЛ?2 TT 5- (iC\9'\
Учтем теперь влияние кулоновского поля ядра на рассеяние
и расщепление дейтрона. Для этого нужно заменить в- формулах
(91), (91') Q (рр) на Q% (pP).
Если ядро считать по-прежнему абсолютно черным, то диффе-
дифференциальное сечение упругого рассеяния дейтронов, энергия кото-
которых значительно больше высоты кулоновского барьера, опреде-
определится следующей общей формулой:
arctg-fc $ e*«p>/e(*p) pdp -«^(R)}, A03)
R
где x= jBTO. При этом предполагается, что ^
Приведем некоторые асимптотические формулы [17].
Если /г<<1 и 1 <^р <^lo = KR, то
T7
Таким образом, в случае «<^1и l<^p<^Z0 чисто кулонов
ское рассеяние имеет место только в области углов ф <^ ^2/г .
/о
В области углов У2п <^ д <^ -р" Рассеяние дейтронов носит та-
•¦о
кой же характер, как и дифракционное рассеяние нейтральных
частиц. Наконец, в области углов -р-<#<1 в дифракционном
рассеянии дейтронов проявляется их пространственная структура.
244

Если h 2> 1 и п <0^ р <^ 10, то
sin2
Л sin2 (ZoO — -г-) 9« 9™
Таким образом, в этом случае область чисто кулоновского рассея-
рассеяния расширяется по сравнению с предыдущим случаем вплоть до
углов порядка 2п/10. При ft ~ -^- происходит резкое уменьшение
сечения рассеяния по порядку величины в п раз. В интервале
2л о. 2р „ у
углов -г- <ч ^ <^ -j— рассеяние дейтронов носит характер дифрак-
дифракционного рассеяния точечных нейтральных частиц. Простран-
Пространственная структура дейтрона проявляется в области углов
Если, наконец, 1 <^ р <^ п <^ Zo, то
. •<¦?.
doe)
Мы видим, что в этом случае область кулоновского рассеяния про-
простирается не до углов 2п/10, а до углов порядка 2р/10. Область
дифракционного рассеяния точечных частиц вообще исчезает.
Конечные размеры дейтрона начинают сказываться при углах
j_
порядка 2р/10. В интервале углов 2р//0<=^'в|<^2(я3л2/?4) 5 /h —
сечение убывает, как I/ft6, а затем изменяется, как I/ft.
Перейдем теперь к рассмотрению расщепления дейтона.
Полное сечение расщепления дейтрона с учетом кулоновского
взаимодействия имеет вид
где (Уд — сечение чисто дифракционного расщепления, определяе-
определяемое формулой (96), ас — сечение расщепления, обусловленного
кулоновским полем ядра, и а' — часть сечения расщепления, обу-
обусловленного интерференцией дифракционного и кулоновского
рассеяния.
245

Сечение ас определяется формулой
PZ.
где zm ^г-, а б' — формулой
а' = АлП2рЧ\е[ ]-^- — \ (;irelK- -J Vj -^- 2/шг-«»-з x
x
Если p 5> 1, то интерференционным слагаемым можно пренеб-
пренебречь, так как области, в которых эффективны оба процесса рас-
рассеяния, практически не перекрываются.
При р ^> 1 и п <С 1 сечение ас имеет вид
4п-^5-, /г<1. A08)
(Это выражение было получено Данковым с помощью теории воз-
возмущений [19, 20].)
При п ^> 1 сечение стс равно
^п^. A09)
В этом случае ас ^> ад, в то время как при п <^ 1 справедливо
обратное неравенство ас <^ ад.
Приведем, наконец, формулы, учитывающие «серость» ядра
по отношению к падающим на него дейтронам.
Обозначим через В = Вп -{- Вр = Вг — iB2 комплексный ко-
коэффициент поглощения дейтронов ядерным веществом (Вп и Bv —
комплексные коэффициенты поглощения нейтрона и протона).
Тогда, еслл можно пренебречь диффузностью края ядра, то в слу-
случае большого поглощения частиц (| Вп |2 Я2 J^> р, | Вр |2 R2 ^> р)
полное сечение всех процессов и сечение упругого рассеяния и
дифракционного расщепления дейтрона определяются следующими
формулами:
я, A10)
246

В случае малого поглощения (| Вп \2R2 << р, | Вр \ 2R2 <С р)
справедливы формулы
Re (SnSP) Да In JL , а? = -—
A11)
где а? — полное сечение всех процессов взаимодействия быстрой
точечной частицы с ядром, комплексный коэффициент поглощения
которого равен сумме комплексных коэффициентов поглощения
нейтрона и протона и о°е — сечение упругого рассеяния точечной
частицы ядром с таким жо коэффициентом поглощения.
Академия наук СССР
ЛИТЕРАТУРА
1. Л. Ландау, И. Померанчук. ЖЭТФ, 1953, 24, 505 (Собр. трудов, № 97).
2. И. Померанчук. ДАН СССР, 1954, 96, 265, 481 (Собр. трудов, № 100,
101).
3. И. Померанчук, Е. Фейнберг. ДАН СССР, 1953, 93, 439 (Собр. трудов,
№ 98).
4. А. Ахиезер. ДАН CCCR, 1954, 94, 651.
5. А. Ахиезер, И. Померанчук. ДАН СССР, 1954, 94, 821 (Собр. трудов,
№ 99).
6. А. Ахиезер, И. Померанчук. ЖЭТФ, 1956, 30, 201 (Собр. трудов, № 102).
7. К). Вдоеин. ДАН СССР, 1955, 105, 947.
8. С. Porter. Phys. Rev., 1955, 99, 1400.
9. S. Fernbach, R. Serber, T. Taylor. Phys. Rev., 1949, 75, 1352.
10. А. Ахиезер, И. Померанчук. ЖЭТФ, 1946, 16, 396 (Собр. трудов, № 96).
11. А. Ситенко. ДАН СССР, 1956, 109, 1119.
12. А. Ситенко. ЖЭТФ, 1956, 31, 348.
13. А. Ситенко. ЖЭТФ, 1957, 32, 1506.
14. Е. Фейнберг. УФН, 1956, 58, 193.
15. R. Glauber. Phys. Rev., 1955, 99, 1515.
16. Е. Фейнберг. ЖЭТФ, 1955, 29, 115.
17. А. Ахиезер, А. Ситенко. ЖЭТФ, 1957, 32, 794.
18. R. Serber. Phys. Rev., 72, 1947, 1008.
19. S. Dancoff. Phys» Rev., 72, 1947, 1017.
20. С Mullin, E. Guth. Phys. Rev., 1951, 82, 141.
21. А. Ахиезер, А. Ситенко. ЖЭТФ, 1957, 33, 1040.
22. А. Ситенко, Л. Роаенцеейг. ЖЭТФ, 1957, 32, 383.
23. Е. Рабинович, ЖЭТФ, 1957, 32, 1583.
24. В. Lippmann, J. Schwinger. Phys. Rev., 1950, 79, 481.
25. А. Ахиезер^ И. Померанчук. Некоторые вопросы теории ядра. Гостех-
издат, 1951.
26. Л. Ландау, Е. Лифшиц. Квантовая механика. Гостехиздат, 1948.
27. А. Ахиезер, В. Берестецкий. Квантовая электродинамика. Гостехиз-
Гостехиздат, 1954.
28. R. Christy, S. Kusaka. Phys. Rev., 1941, 59, 414.

Ill
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
ПРИ АСИМПТОТИЧЕСКИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЯХ
105
К ТЕОРИИ ОБРАЗОВАНИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ
В ОДНОМ АКТЕ1
Как известно [1, 2], взаимодействие между нуклонами и мезо-
мезонами, ответственными за специфические ядерные силы, весьма
велико. Это в первую очередь относится к я-мезонам [3. 4], кото-
которые показывают сильное взаимодействие с нуклонами. Вследствие
этого применение мезонной теории к описанию взаимодействия
нуклонов с я-мезонным полем наталкивается на огромные труд-
трудности, так как теория возмущений в этом случае почти никогда
не применима (за исключением, может быть, области малых энер-
энергий). Неприменимость теории возмущений особенно очевидна при
больших энергиях, когда главную роль играют такие столкнове-
столкновения, в результате которых образуется сразу несколько или много
частиц (взрывные ливни).
Этот вывод сразу получается, если учесть, что я-мезоны (как
заряженные, так и нейтральные) являются псевдоскалярными
частицами [5, 6], имеющими энергию взаимодействия с нуклонами
следующего вида:
U =
Постоянная g2jhc не является малой по сравнению с единицей,
и поэтому под действием первого члена процессы с рождением
в одном акте многих частиц имеют большую вероятность, так как
отношение вероятности образования п частиц к вероятности об-
образования п — 1 частиц должно быть порядка g*/frc. Под действием
члена с / это обстоятельство выступает еще сильнее, так как взаи-
1 ДАН СССР, 1951, 78, 889. (Представлено академиком А. И. Алихановым
12 апреля 1951 г.)
248

модействие растет с увеличением энергии [7]. Таким образом, рас-
рассмотрение столкновений нуклонов друг с другом или с л-мезона-
ми при больших энергиях сталкивающихся частиц требует ме-
методов, в корне отличающихся от теории возмущений.
Недавно Ферми [8] обратил внимание на возможность приме-
применения методов статистической механики и термодинамики к опи-
описанию ядерных столкновений при больших энергиях. Эта возмож-
возможность является непосредственным следствием интенсивного вза-
взаимодействия сталкивающихся частиц друг с другом. Ферми счи-
считает, что энергия сталкивающихся частиц выделяется в малой
области, в которой затем устанавливается статистическое равнове-
равновесие, при котором вероятности различных состояний пропорцио-
пропорциональны статистическим весам. Выбирая этот объем равным
п_ао_Р---—^_ j —^ A)
(М — масса нуклона, \i — масса я-мезона, W — энергия в системе
центра инерции), Ферми получает возможность рассчитать веро-
вероятность образования ливней как функцию числа частиц и массы
этих частиц при разных начальных энергиях. (Полное сечение для
всех процессов принимается Ферми равным л (h/\icJ *.)
Однако выбор Q в виде A) представляется неправильным в наи-
наиболее интересной области релятивистских энергий, когда каждое
столкновение сопровождается образованием нескольких или мно-
многих частиц. Каждая возникшая частица (нуклон, зх-мезон или ка-
какая-нибудь другая сильно взаимодействующая частица) так же
сильно взаимодействует с остальными частицами, как это делают
первичные сталкивающиеся частицы. Поэтому, если выбрать Q
и соответствии с A), то в области, имеющей размеры порядка ра-
радиуса взаимодействия частиц, равного Н/\хс (полное сечение о
порядка (Й/|хсJ и не зависит от энергии частиц или их индиви-
индивидуальности), окажется много частиц. Все эти частицы будут сильно
взаимодействовать друг с другом, и поэтому незаконно применять
выражения, относящиеся к статистическим весам и термодинами-
термодинамическим формулам идеальных газов, как это сделано в [8]. Вместо
этого следует считать, что каждая образующаяся частица про-
продолжает сильно взаимодействовать с остальными, в результате
чего число частиц будет сильно расти. Система при этом сильно
возрастает в своих размерах, расширение во всех направлениях
должно происходить со скоростью порядка скорости света. Так
должно продолжаться до тех пор, пока не наступят плотности ча-
частиц настолько малые, что среднее расстояние между частицами
будет больше )Лз ж У^2/^х2с2, так как У^а есть величина порядка
радиуса взаимодействия. После этого частицы будут разлетаться,
¦ По-видимому, такая величина сечения несколько велика. Данные косми-
космических лучей скорее указывают на сечение, равное (ft/fxc)*.
249

не взаимодействуя друг с другом. Окончательным критическим
плотностям и-
If) B)
может отвечать различное число частиц TV, т. v. различный объем
В отличие от A), Q не только но падает с ростом энергии, а даже
растет с возрастанием числа частиц и лишю, т. о. с ростом N.
Вероятности Р (N) различных чисел N могут быть получены
с помощью C) и формулы A3) в [8]:
K4jt \'/з 1
[N I3
учитывает неразличимость л+, л", л° между собой. При этом рас-
рассматривается случай Л^ ^> 1, а также наиболее вероятная комби-
комбинация, когда Nn+ = Nn- = Nno. В D), кроме того, предполагается
отсутствие нуклонных пар, а также, что все частицы являются
предельно релятивистскими. _
Р достигает максимума цри N, равном
E)
где е порядка нескольких сот мегавольт, W — энергия в лабора-
лабораторной системе координат, W ^> Мс2.
Таким образом, среднее число частиц в ливне должно возра-
4
стать пропорционально \^W% а не YW\ как это получается
в [8].
Формула E) применима к случаю лобового удара, когда вся
энергия сталкивающихся частиц превращается в большое коли-
количество новых частиц. Если столкновение не лобовое, то число час-
стиц будет существенно меньше, чем согласно E). В случае звез-
звезды, которая наблюдалась в [9], W = 3-Ю13 эв. Так как, однако,
у этой звезды в системе центра инерции не достигнута полная изо-
изотропия в распределении частиц по направлениям, то она отно-
относится, по-видимому, к столкновениям с большими прицельными
параметрами, для которых N должно быть значительно меньше N.
Вводя в рассмотрение температуру системы в момент достиже-
достижения ею критической плотности B), легко видеть, согласно E), что
эта температура будет порядка е, т. е. меньше, чем Мсг. Поэтому
даже при сколь угодно больших энергиях конечные температуры
перед окончательным разлетом оказываются малыми по сравнению
250

с теми, при которых происходит интенсивное парообразование
нуклонов. Поэтому р звезде [9] не следует ожидать нуклонных пар,
в отличие от вывода, сделанного в [8].
Следует отметить в развитие вывода, сделанного в [8], что при
каждом столкновении антинукона с нуклоном с подавляющей ве-
вероятностью ' должна происходить аннигиляция нуклонной пары
с превращением этой пары в я-мезоны. Это вызвано тем, что ста-
статистический вес состояния, в котором нет нуклонной пары, велик
по сравнению со статистическим весом состояния, в котором со-
сохранился антинуклон. Независимо от начальной энергии, число
нуклонных пар в взрывных ливнях всегда должно быть очень мало
по сравнению с числом я-частиц. По аналогичным причинам число
мезонов со значительно большей массой, чем у я, должно быть
также мало. Средняя энергия частиц в таком ливне в системе цен-
центра инерции должна но .чанисеть от начальной энергии и быть по-
порядка в.
У ли и пой, но иьшнанных лобовыми ^столкновениями, число
частиц будет значительно меньше, чем N, причем такой ливень
должен состоять из двух ливней, каждый из которых развивается
около одной из сталкивающихся частиц. Объединение двух стал-
сталкивающихся частиц в одну систему может осуществиться только
при лобовых_или почти лобовых соударениях. Однако даже тогда,
когда N <^N,' средняя энергия частиц в каждом из двух ливней
должна быть порядка е в системе координат, в которой полный
импульс всех частиц ливня равен нулю. В этой же системе частицы
распределены изотропно по направлениям.
Я хотел бы поблагодарить проф. Л. Д. Ландау и проф. Я. Б.
Зельдовича за интересные дискуссии по вопросам, рассматривае-
рассматриваемым в этом сообщении.
Академия паук СССР Получено 1 апреля 1951 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. G. Wentzel. Rev. Mod. Phys., 1947, 19, 1.
2. В. Паули. Мезонная теория ядерных сил, 1947, стр. 75.
3. К. A. Brueckner. Phys. Rev., 1950, 79, 641.
4. /. Ashkin, A. Simon, R. Marskak. Progr. Theor. Phys., 1950, 5, 634.
5. L. Aamodt, J. Hadley, W. Panofsky. Phys. Rev., 1950, 80, 282.
6. S. Tamor, R. E. Marshak. Phys. Rev., 1950, 80, 766.
7. H. W. Lewis, J. R. Oppenheimer, S.A. Wouthuysen. Phys. Rev., 1948,
73, 127.
8. E. Fermi. Progr. Theor. Phys., 1950, 5, 570.
9. /. /. Lord, J. Fainberg, M. Schein. Phys. Rev. 1950, 80, 970.

106
ИЗОТОПИЧЕСКАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ
И РАССЕЯНИЕ АНТИНУКЛОНОВ НУКЛОНАМИ1
За последнее время были получены доказательства изотопиче-
изотопической инвариантности взаимодействия нуклонов с нуклонами.
В связи с обнаружением антипротонов2 становится Целесооб-
Целесообразным установление следствий из изотопической инвариантности
взаимодействия нуклонов с ант'инуклонами. Такие расчеты могут,
в частности, дать воможность проверить и самую гипотезу об изо-
изотопической инвариантности взаимодействий нуклонов (нейтро-
(нейтронов п, протонов р) и антинуклонов (антипротонов р, антинейтро-
антинейтронов п). Рассмотрим столкновения, при которых не возникают ме-
мезоны:
1) Р + Р "*" Р + Р (УпРУгое рассеяние антипротонов протонами);
2) р + и ->• р + п (упругое рассеяние антипротонов нейтронами);
3) р + р -*¦ п -\- п (превращение протона и антипротона в ней-
нейтрон и антинейтрон);
4) п + л ->¦ h + п (упругое рассеяние антинейтронов нейтро-
нейтронами);
5) п + Р ->- п + Р (упругое рассеяние антинейтронов протона-
протонами);
6) h + п->- р + р (превращение антинейтрона и нейтрона в ан-
антипротон и протон)
Зарядовая симметрия, если пренебречь электромагнитными си-
силами, дает: аг = а4; а2 = а5; <т3 = ав-
Таким образом, остаются процессы 1, 2 и 3.
Напомним, что все участвующие в реакциях частицы имеют
изотопический спин Т = 11г и следующие проекции изотопическо-
изотопического спина, Т9:
р п р п
1/ 1/ 1/ 1/
/2 — /2 — /2 /2-
Система нуклон—антинуклон имеет, вообще говоря, два изотопиче-
изотопических состояния: с Г = 1 и Т = 0. Если обозначить амплитуды
рассеяния в этих состояниях соответственно через / и g, то легко
1 ЖЭТФ, 1956, 30, 423.
* О. Chamberlain, E. Serge, С. Wiegand, Г. Ypsilantis Phys. Rev., 1955, 100,
947.
252

видеть, что дифференциальные сечения реакций 1—3 следующим
образом выражаются через / и g: ох = ХД I / + ё I 2> °ъ = I / I 2»
<тз = 741 / - g \2.
Отметим, что / и g суть комплексные функции начальных и
конечных импульсов частиц и их спинов. Таким образом три сече-
сечения выражаются через три независимые величины: модули ампли-
амплитуд | / | и | g | и их относительную фазу. Из этого следует, что нет
равенств, связывающих эти сечения.
Однако при рассеянии антинуклонов нуклонами большой энер-
энергии можно считать, что | / — g \ <^ | / |. Дело в том, что а3 — се-
сечение своеобразного неупругого процесса (двойная перезарядка).
Такой «неупругий» процесс должен иметь вероятность, значитель-
значительно меньшую, чем вероятность «истинно» неупругих процессов.
Рассматривая нуклоны и антинуклоны как серые тела (частным
случаем будут черные тела) радиуса р ~ 10~13 -см, мы получим
упругое сечение (преимущественно дифракционного типа) порядка
неупругого (т. е. порядка алиигиляционного). Поэтому из того,
что процесс р + р ->- п + п охватывает малую долю всех неупру-
неупругих процессов, следует, что его сечение мало по сравнению с упру-
упругим рассеяниемр +р-+р+р(р + п->р + п), а это означает
выполнение неравенства | / — g \ <^ | / |.
Опираясь на этот результат, получаем аг = а2, т. е. равенство
дифференциальных сечений упругого рассеяния антипротонов
протонами и нейтронами. Применяя это равенство к углу 0° и
помня связь мнимой части амплитуды с полным сечением ot,
находим at (р + р) ~ #* (р + и)- Вместе с равенством упругих
сечений это означает равенство полных сечений аннигиляции при
столкновении антипротона (антинейтрона) большой энергии с про-
протоном и нейтроном.
В заключение благодарю Л. Д. Ландау за интересную дискус-
дискуссию.
Академия наук СССР Получено 26 ноября 1955 г.

107
ИЗОТОПИЧЕСКАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ
И СЕЧЕНИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ я-МЕЗОНОВ
И НУКЛОНОВ ВЫСОКОЙ ЭНЕРГИИ С НУКЛОНАМИ1
Совместно с Л. 1>. Окунем
В работе [1] были рассмотрены следствия из изотопической ин-
инвариантности при рассеянии антинуклонов нуклонами. При этом
был использован тот факт, что сечение перезарядки при'столкно-
при'столкновении антинуклона с нуклоном много меньше сечения других
неупругих процессов. При рассеянии я-мезонов и нуклонов ана-
аналогичные результаты справедливы лишь при таких энергиях
сталкивающихся частиц, при которых с большей вероятностью
идут неупругие реакции (рождение мезонов).
При рассеянии протонов возможны следующие реакции:
1)р-\-р-*~р-\-р (упругое рассеяние протонов протонами),
2)р-{-п-*р-\-п (упругое рассеяние протонов нейтронами),
3)р-^п-*-п+р (обменное рассеяние протонов нейтронами).
Аналогичным образом могут быть написаны реакции рассея-
рассеяния нейтронов.
Дифференциальные сечения этих реакций следующим образом
выражаются через амплитуды рассеяния в состояниях с Т = 1 и
Т = 0: аг = |/| 2, <т2 = 74 I / + 8 I 2> сга = V* I / — ЙГI 2- Извест-
Известно, что при малых энергиях (~ 108 эв) | / | ^> | g |, что, в частно-
частности, приводит к значительному сечению обменного рассеяния при
этих энергиях (<у2 = (Т3). При больших энергиях (^ 109 эв) обмен-
обменное рассеяние р + п ->• п + Р составляет малую часть всех не-
неупругих процессов, так как при таких энергиях с большой веро-
вероятностью идут процессы рождения я-мезонов. При этом полные
сечения упругих и неупругих процессов примерно равны; это
связано с тем, что мы имеем дело с рассеянием на «сером», «полу-
«полупрозрачном» теле, когда в весьма широких пределах изменения
непрозрачности упругое рассеяние имеет в основном дифракцион-
дифракционный характер. Следовательно, сечение сг3 должно быть малым по
сравнению с ох и <72. Отсюда получаем, что | / — ? I ^ |/ I» т- е.
ах « сх2; (Т3 « 0.
Используя связь между упругим и полным сечениями, получаем,
что полные сечения рассеяния протонов и нейтронов на протонах
(нейтронах) равны между собой:
<*t (Р + п) = ot (р + р).
1 ЖЭТФ, 1956, 30, 424.
254

Это означает также и равенство соответствующих неупругих се-
сечений.
Аналогичным образом может быть рассмотрено и рассеяние
я-мезонов высокой энергии нуклонами. Возможны следующие
реакции упругого рассеяния и перезарядки я-мезонов на прото-
протонах: A) я+ + Р ->¦ я+ + Р; 2) я0 + р->я°+ р; 3) л°+р ->¦ я+ + и;
4) я" -j- Р -*- я~ + Р5 5) я~ + р ->• я0 + га. Аналогично могут
быть написаны реакции с нейтронами. Все эти реакции идут через
каналы с изотопическим спином Т = 3/2ж Т = 1/2. Их дифферен-
дифференциальные сечения выражаются через амплитуды / и g, соответ-
соответствующие Т = 3/2, Т = г/2, следующим образом: сгх = | / 2;
<т2 = 7* I 2/ + g |2; огз - <уъ = 7э ! / - ^ 12; ст4 = v9 I / + 2g \
Известно, что при малых (—108 эв) энергиях я-мезонов сечения
рассеяния я+- и я~-ме:юиов па протонах существенно различны.
При больших анергиях (ij10tt дв) сечение перезарядки
я" -|- р ->• я° -| п должно быij> мало по сравнению с полным се-
сечением иеуируги* процессов и, следовательно, по сравнению с се-
сечением упругих процессов. Как и при рассеянии нуклонов, это
связано с тем, что при таких энергиях интенсивно идут неупругие
процессы, и мы имеем дело с рассеянием на весьма «сером» теле,
когда упругое рассеяние имеет в основном . дифракционный ха-
характер и по порядку величины равно неупругому. Из этого следу-
следует, что | / —- g\<^\f\, т. е. f ~ g. Отсюда получаем [2]
ах х а2 ж а4 ж | / |2; сг3 = огб ^ 0.
Таким образом, при высоких энергиях дифференциальные
сечения упругого рассеяния я+-, я"-, я°-мезонов протонами (ней-
(нейтронами) равны между собой. Рассматривая рассеяние на угол 0°,
получаем для полного сечения at (я+ + Р) ~ ^t (я~ + р) ~
— Ot (я°г|- р). Это означает, что и соответствующие полные не-
улругис сечения равны между собой.
Академия наук СССР Получено 26 ноября 1955 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. И. Я. Ломеранчук. ЖЭТФ, 1956, 30, 423 (Собр. трудов, № 106).
2. К. М. Watson. Phys. Rev., 1952, 85, 852.

108
РАВЕНСТВО ПОЛНЫХ СЕЧЕНИИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
НУКЛОНОВ И АНТИНУКЛОНОВ ПРИ БОЛЬШИХ
ЭНЕРГИЯХ1
Исходя из дисперсионных соотношений, показывается равенство полных
сечений взаимодействия частиц и античастиц при больших энергиях.
Из дисперсионных соотношений для упругого рассеяния на угол
нуль нуклонов на нуклонах [1] можно установить, что полные
сечения взаимодействия нуклонов и антинуклонов должны быть
одинаковыми при достаточно больших энергиях.
Рассмотрим, для определенности, рассеяние на угол нуль
протонов и антипротонов на протонах. Соответствующее диспер-
дисперсионное соотношение для амплитуды рассеяния, усредненной по
спинам, имеет вид:
( §) D_(M)
P 7 'dE' г c+(E')
4яа J p' I E' — E
p' I E' — E ~т~ E' + E
, /2 P2 , P2 \ idE' Г gj.(g') 9_(E>) 1. ...
"Г р.2 М2_ц2/2м — Е + 4я2 J /)' L ?'—fi ~т~ Е' + Е У v '
о
/2 p2
\ p2 t idE' Г g^(E/) i 6-(?') l
4^2 j p' L ^' + ^ ^ ^' — ^ J"
+ .
Здесь Z>+ (E) — вещественная часть усредненной по спинам ам-
амплитуды упругого рассеяния протона энергии Е покоящимся
протоном, D_ (E) — вещественная часть амплитуды упругого
рассеяния антипротона энергии Е покоящимся протоном; <х+ (Е)—
полное эффективное сечение рассеяния протона с энергией Е,
(Т_ (Е) — полное эффективное сечение рассеяния антипротона
1 ЖЭТФ, 1958, 34, 725.
256

с энергией Е. В области от 0 до М or+ (E) есть аналитическое про-
продолжение функции <т+ (Е) из области Е ^> М\ <у_ (E) аналитиче-
аналитическое продолжение а_ (Е) на «нефизическую» область Е < М.
Когда энергия Е стремится к бесконечности, <т+ (Е) и о_ (Е)
стремятся к постоянным значениям а+ (^о) и а_ (оо). Этот факт
является простым следствием того, что все сильные взаимодейст-
взаимодействия экспоненциально стремятся к нулю при больших значениях
прицельного параметра р (при этом совершенно несущественно,
какой вид имеет предэкспоненциальный множитель). Если бы мы
захотели рассматривать слабое электромагнитное взаимодействие
протона и антипротона с протоном, то, учитывая экранирование
на больших расстояниях заряда протона мишени атомными элек-
электронами, мы так же получили бы постоянное полное сечение при
достаточна больших эиоргиях. Правда, при этом такое постоянное
с(»ч(Ч1 ио было бы достигнуто только при энергиях порядка
Е ~ l\P/rne* ~ 10м м. Пели же, однако, не учитывать слабые
электромагнитные взаимодействия, то с точностью до величины
порядка е2 In (E/M) полное сечение должно достигать постоянного
значения уже при энергиях порядка 1010 эв. Устремляя энергию Е
к бесконечности и оставляя наибольшие члены, находим из A)
и A)'
.м
м
~ L Е'—Е + Е'+Е \ '
D- W = -щ- Ю- №) - D+ (МЛ
м
, Р2 ? dE' г б_ (Ef) в+ (Er) "I v«^
' 4я2 J p' [ E' — E ~*~ E' + E \' \ '
M
Обратимся к входящему сюда интегралу от М до оо. Начиная
с некоторой энергии е, оба сечения а+ и о_ можно считать по-
постоянными и равными своим предельным значениям при Е = оо,
т. е. (Т+ (оо) и а_ (оо). Поэтому мы имеем (Е ^> еI
1 Напомним, что интеграл берется в смысле главного значения в точке Е' =
= 2?. То же относится к особенности при Е = М (где ог_ обращается в со
по закону 1/и, v — скорость). При рассмотрении этой особенности необхо
димо рассматривать вместе интервал от нуля до М и от М до 8.
9 И. Я. Померанчук, т. Ill 257

)l
Когда Е ^> е, выражение C) оказывается асимптотически равным:
H-5+(^)l D)
(предполагая а_ (->э) Ф ог+ (~>о)). Интеграл от М до Е в наших
условиях пропорционален Е: .
Объединяя C), D) и E), получаем из B), B'):
[3, (ос)-
о
+ ^г[а+(ос)-а_(оо)Цп4}. F')
Мы видим, что при сг+ (оо) ф а__ (оо) главный член, определяю-
определяющий D+ (E), D_ (E) растет быстрее, чем Е, будучи пропорциональ-
пропорциональным Е In {Е/е). Этот результат противоречит экспериментальному
убыванию взаимодействий на больших расстояниях. Напишем
258

общее выражение для амплитуды упругого рассеяния А @) на
угол нуль. Ради простоты мы не будем учитывать спин, принимая
во внимание, что орбитальные квантовые числа I очень велики при
больших энергиях, и замена I на I + 1, которая возникает при
учете спина, ничего не меняет в последующих рассуждениях.
При больших энергиях, когда 1^> 1, имеем
где т]/ — фаза с орбитальным моментом I. Большим I отвечает ква-
квазиклассический прицельный параметр 1/Е. Когда 1/Е становится
много больше радиуса взаимодействия р (р-порядка комптоновской
длины волны я-мезона), ц1 экспоненциально убывает с ростом I.
Отсюда следует, что в G) эффективным верхним пределом является
величина порядка Ер. (Этот результат не зависит от формы пред-
экспоненциального фактора во взаимодействии.)
Так как модуль e2vul — 1 не превосходит 2, то модуль А @)
по порядку величины равен:
| А @) | ^ СЕр\ С~1. (8)
Отсюда следует, что Д+ (Е) не может содержать членов, пропор-
пропорциональных [с?+ (оо) — а_(оо)] Е In (Е/е). Это означает равенство г
М*>) = м~). (9)
Таким образом, полное эффективное сечение антипротона и
протона одинаково при больших энергиях. Учитывая, что при энер-
энергиях в несколько сот миллионов вольт эти сечения сильно отли-
отличаются (а_ значительно больше, чем а+ [4, 5]), мы приходим к вы-
выводу, что при больших энергиях следует ожидать очень значитель-
значительной энергетической зависимости либо у одного из этих сечений,
либо у обоих.
Равенство, аналогичное (9), должно иметь место и для предель-
предельных значений сечений нейтронов на протонах ап (оо) и антиней-
антинейтронов <т- (оо) на протонах:
5й(ос) = Зп(оо). A0
Пользуясь статистическими соображениями и изотопической
инвариантностью 16], можно установить равенство ап (оо) и а+ (оо)
соответственно сг- (сх) и cl (°°). Следовательно, при больших
энергиях протон, нейтрон, антипротон и антинейтрон должны
иметь одинаковые предельные эффективные сечения.
Аналогичные соображения имеют место также и для К-ие-
зонов, т. е. К+, К~, К0, ^°-мезоны должны иметь при достаточно
больших энергиях (~ 1010 эв, если не учитывать электромагнит-
Иной вывод равенства (9) указан Б. В. Медведевым и Д. В. Шишковым.
9* 259

ные взаимодействия) одинаковые полные эффективные сечений.
Аналогично, я+- и лг-мезоны должны иметь одинаковое сечение
при Е ->¦ оо [7]. Применяя наш вывод к гиперонам, устанавливаем:
1) Л и анти-Л (Л) имеют одно и то же сечение ал (оо);
2) 2+, 2", 2°, 2+, 2", 2° имеют при Е --> х> одно и то же сече-
сечение as (оо);
3) В~, Е°, Е", Е° имеют одно и то же сочсние as (оо).
Отметим также, что из B), B') и (9) следует, что при больших
энергиях D+ (E) и D__ (E) в своих главных частях, пропорциональ-
пропорциональных Е, отличаются только знаком. Отсюда, вместе с (9), следует,
что дифференциальное эффективное сечение упругого рассеяния
нуклонов и антинуклонов на нуклонах на угол нуль одинаково
при Е —> оо.
В заключение я хотел бы поблагодарить Н. Н. Боголюбова,
Б. Л. Иоффе, Л. Д. Ландау, Б. В. Медведева, Д. В. Ширкова и
И. М. Шмушкевича за интересные дискуссии по поводу этой ра-
работы.
Академия наук СССР Получено 24 октября 1957 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. В. Я. Файнберг, Е. С. Фрадкин. ДАН СССР, 1956, 109, 507.
2. Б. Л. Иоффе. ЖЭТФ, 1956, 31, 583.
3. Ф. М. Купи. Вестн. Ленингр. ун-та, 1957, № 10, серия физики и хи-
химии, стр. 21.
4. О. Chamberlain, D. F. Keller, E. Segre, II. М. Steiner, С. Wiegand,
Т. Ypsilantis. Phys. Rev., 1956, 102, 1637.
5. В. Cork, G.R. Lambertson. 0. Piccioni, W. A. Wenzel. Phys. Rev.,
1957, 107, 248.
6. И. Я. Померанцук. ЖЭТФ, 1956, 30, 423 (Собр. трудов, № 106).
7. Л. В. Окунь, И. Я. Померанчук. ЖЭТФ, 1956, 30, 424 (Собр. трудов,
№ 107).

109
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ ЗАВИСИМОСТИ СЕЧЕНИЙ
ПРИ БОЛЬШИХ ЭНЕРГИЯХ1
Совместно с В. В. Верестецким
Рассматриваются в полюсном приближении процессы превращения двух
частиц в три частицы и двух частиц в четыре частицы в области больших
энергий. В той области энергий, в которой полное сечение упругого рассея-
рассеяния не зависит от энергии, сечение процесса превращения двух частиц в три
не убывает с ростом энергии. Сечение процесса превращения двух частиц в
четыре логарифмически растет с энергией. Этот результат приводит к пред-
предположению о том, что сечение упругого рассеяния при очень больших энерги-
энергиях стремится к нулю.
1. Существующие в настоящее время данные о столкновении
частиц при высоких энергиях делают естественным представление
о том, что полное эффективное сечение стремится с возрастанием
энергии к постоянному пределу. Этот предел порядка 1/(х3, где
1/ji — комптоновская длина волны зт-мезона. Одновременно с пол-
полным сечением стремится к постоянному пределу и сечение дифрак-
дифракционного упругого рассеяния. Что касается от-
отдельных неупругих процессов (образование лив-
ливней с данным числом частиц), то естественно
считать, что сечение каждого из них должно
стремиться к нулю с ростом энергии, поскольку
возможное число образующихся частиц неогра-
неограниченно растет с ростом энергии, и постоянное
полное сечение должно распределяться между
все большим числом конкурирующих процессов.
Однако такая простая картина, возможно,
не оправдывается. Мы проведем приближенно рис. 1
вычисления эффективных сечений неупругих
процессов. Эти вычисления приводят к сущест-
существенно другому асимптотическому поведению сечений. Делаемые
нами приближения не обоснованы строго, и поэтому результаты
не могут претендовать на полную убедительность. Но они пока-
показывают, что ситуация при высоких энергиях может быть суще-
существенно более сложной.
2. Рассмотрим процесс превращения двух частиц в три:
Pi + Gi -*¦ Р2 + 4% + &2» например образование я-мезона при
ЖЭТФ, I960, 39, 1078; Nucl. Phys., 1961, 22, 629.
261

столкновений мезона с нуклоном или нуклона с нуклоном. Ам-
Амплитуда этого процесса А может быть представлена в виде
A = g» (Ра) № (Pi) т=У + А\ t = (Pl - р2)\ A)
Здесь первое слагаемое представляет собой полюсный член, соот-
соответствующий диаграмме рис. 1, А' — остальная часть амплитуды,
g — постоянная связи нуклона с я-мсюлом, А1 — амплитуда
рассеяния я-мезона частицей qv (я-меноиом или нуклоном).
Мы вычислим сечение рассматриваемого процесса при малых
передачах импульса-(порядка \х), ограничиваясь только полюсным
членом [1]. Представляется естественным думать, что поскольку
А' определяется особенностями при t ^> 4(х2, отброшенные члены
не могут компенсировать полностью вклада полюсного члена в се-
сечение. Поэтому при малых t вклад полюсного члена должен дать
правильный порядок величины сечения. Более строгий подход
к вопросу мог бы состоять в исследовании амплитуды процесса
при больших значениях орбитальных моментов I ^> p/\i (где р —
импульс падающих частиц в системе центра инерции). Можно
думать, что в таких случаях доминирующее взаимодействие будет
связано с обменом одним мезоном (что соответствует полюсному
члену). Иначе говоря, парциальные сечения с большими значения-
значениями I будут определяться только рассматриваемой нами полюсной
диаграммой [2].
Подчеркнем, что полученные таким образом парциальные се-
сечения выражаются через реальные сечения упругого рассеяния,
определяемые амплитудой Alt и являются существенно положи-
положительными величинами. Если взять сумму парциальных сечений с I
от pl\a до оо, то полученная таким образом часть сечения будет по
порядку величины совпадать с тем результатом, который получит-
получится, если вычислить сечение при помощи только полюсного члена
амплитуды и проинтегрировать его по t в пределах до ~ (х2.
Заметим, что такое рассмотрение не совпадает буквально с
«полологическим» подходом Чу и Лоу [1], который приводит к от-
отрицательному значению сечения и связан с экстраполяцией сече-
сечения в нефизическую область t = (х2. Мы же не выходим из пределов
физической области t < 0. Так как, однако, мы отходим от массо-
массовой поверхности виртуального мезона на величину < 2jn2, а осо-
особенности по массам в функции Грина мезона расположены при
значениях, превышающих 9(х2, то можно думать, что отброшенные
члены не скажутся на порядке величины эффекта.
Ограничиваясь первым членам в A), мы придем к следующему
выражению для дифференциального эффективного сечения:
s=(Pi+ ?iJ, sx = (q2 + k2f, t = (Pl- p2J,
/2 - (g»/4ji) 0V2MJ = 0,08,
262

где М — масса нуклона, \i — масса я-мезона, а — сечение упру-
упругого рассеяния мезона на частице ql (ql = т2).
При большой энергии сталкивающихся частиц (s 5^> М2) малая
передача импульса | t | <J \л? возможна, если sx лежит в пределах
C)
Действительно, t можно выразить через s, sx и угол Ф между рх
и р2 в системе центра инерции
t = т2 + Sl _ 2 [1 s + 1 (Sl - М2) + \ 5 (s± - М2J]1/г X
X [{s + i (m2 - М2) + \ 5 (д/г2 - М2J] Чг +
+ 2cos# [is_-iEl + M2) + {.-1 (Sl - Ж2J]72 X
X [~ s - | (М2 + т2) + | 5 (М2 - т2J]1/2. D)
При s 2^> М2 требование малости t (\ t \ <^. \i2) может выполняться
лишь при s1<^s. Если при этом s2 2> M2, то выражение D) прини-
принимает после разложения вид
t = - Mhlls* - s№/4, E)
из которого и следует C).
Формула C) определяет область, в которой можно считать
оправданным наше полюсное приближение. Если sx^>M2, то диф-
дифференциальное сечение B) можно записать в виде
Считая аг постоянным и интегрируя в пределах, определяемых
неравенством C), получим для сечения рассматриваемого процесса
Формула G) справедлива как для процесса с испусканием
я°-мезона, так и для я+-мезона.
Чу и Лоу [1]?получили аналогичный результат, но с коэффи-
коэффициентом в М2/(х2 раз большим по сравнению с E) (см. также [3]).
Это связано с тем, что они интегрировали по st до значений ~ .s,
что соответствует передачам импульса | t \ ~ М2. Нам представ-
представляется, что такое увеличение области требует дополнительного
обоснования, так как роль отброшенных (неполюсных) членов
в амплитуде может оказаться большой.
Мы видим, что сечение неупругого процесса образования ливня
составляет величину ~ 1 мбн, не убывает с ростом энергии и со-
составляет конечную долю сечения упругого рассеяния.
263

3. Рассмотрим вопрос о спектре энергий возникающего я-ме-
зона и об его угловом распределении. Для этого учтем, что про-
процесс n-\-n-*n + n + n мы свели к процессу упругого рассея-
рассеяния Jt-мезона на нуклоне. При больших энергиях системы я + п
упругое рассеяние характерно тем, что преобладающая доля всех
актов упругого рассеяния осуществляется при малых углах
рассеяния, которым отвечают передачи импульса в этом процессе
t' = {qx — g2J порядка или меньше \i2:
С другой стороны, при интегрировании B) по Sj главную роль
играют большие st. Выясним следствия, к которым приводят усло-
условия
. * = Й2 + KY > т\ (8)
В лабораторной системе координат, в которой рх = 0, имеем
Г = 2т2 - 2q±q% = 2m2 - 2 (ЕгЕ2 -
^ 2/п2 — 2 [ЕгЕ2 - VE] - т2 \ Ц
ЕХЕ2 - 9^^. (9)
При выводе этого соотношения мы считали угол 012 между q± и q2
малым, так как в противном случае было бы нарушено условие
малости t'.
Из (8) и (9) следует
2, т2 (Ег - Ег)*1ЕгЕг ^ «х2. AЭ)
Ег — Е2 практически равно энергии образующегося я-мезона со2
ввиду малости энергии отдачи нуклона (| ? | ~ \i2). Поэтому второе
равенство A0) переходит в следующее:
пРвЪ/Е^Ег-щ)^]*. A1)
Это эффективно означает, что со2 ограничено следующим верхним
пределом:
(о2 <^ \iEilm
(этот результат можно увидеть также и из C)).
Обратимся теперь ко второму условию (8)
5Х = т2 + (х2 + 2q2k2 = т* + (X2 + 2 (й>а - (\2к2) > т\ A2)
В силу неравенства \t | = | (рх — р2J | ^ (х2, в лабораторной
системе координат следует (так как (р10 — р20J ^ (|х2/2 МJ <^
<^ (х2), что | р21^ fx. Это есть импульс промежуточного мезона.
Таким][образом, поперечный импульс «падающего» промежуточ-
промежуточного мезона порядка иди меньше [х. В силу свойств упругого рас-
264

сеяния таким тке должен быть по гюрядку величины и поперечный
импульс «рассеянного», т. е. генерированного мезона к2. Таким
образом, к2 практически летит по направлению ql5 если его энер-
энергия велика по сравнению с [х. Учитывая это, получаем
- и? (i - у е
Здесь fl/,^2 — угол между к2 и q2. Вводя двумерные угловые векторы
14i 11421 A ~ 4~ $
мы видим, что в силу первого неравенства A0) величина
%гя% ^ I/ У 12 М/ь а ®кгяг I k21 > будучи поперечным импульсом
возникшего мезона, удовлетворяет условию | k21 6/с2д^ М*.
Двумерный вектор в/с2д2 определяется обычным образом
Возвращаясь к A2), переписываем его следующим образом:
Sl ж ma + ^2^i/oJ + #i«2 t92Ml + 0^iga + 26,2gi вм,1,
A2a)
Для того чтобы 5Х было велико, мы имеем единственную возмож-
возможность
так как наибольший вклад из членов с углами дает Ег(й2дкг91 ^
^ [х2Я1/(оа, что по порядку величины совпадает с членом \izE1/ay2.
Таким образом, s± ~ \х2Ег/(хУ2, Остюда и из формулы D) следует
энергетическое распределение возникших Jt-мезонов в области
постоянного a (sx) = const:
Asxdsx = J?do32/oJ. A3)
Резюмируя, мы приходим к следующим характеристикам рас-
рассматриваемой части процесса и + га-^га + и + л;: 1) поперечные
импульсы всех частиц в конце процесса порядка (х; 2) генериро-
генерированный л-мезон имеет малую энергию по сравнению с энергией
падающей частицы. Энергетическое распределение дается форму-
формулой A3).
Очевидно, что все эти свойства не зависят от природы падаю-
падающей частицы, т. е. в равной степени относятся к процессам
я4-га~>-я + я + гс, K + n-+-K + n + n1Y + n-+Y+ п+п.
Принципиально возможный путь экспериментального исследова-
исследования рассмотренных выше процессов мог бы состоять в выделении
265

случаев, Ь которых угловое и энергетическое распределений fco8-
никающих частиц соответствуют упругому рассеянию падающей
частицы на частице с массой порядка массы я-мезона.
4. Рассмотрим теперь процесс превращения двух частиц в
четыре: рг + qx -> р2 + кг + q2 + k2. При тех же предположе-
предположениях, о которых было сказано выше при рассмотрении перехода
двух частиц в три, мы можем выделить определенную часть сече-
сечения, определяемую полюсным членом амплитуды. Таких «полюс-
«полюсных» процессов будет два типа. Во-первых, «одноструйный» про-
процесс, изображаемый диаграммой рис. 2. В ней верхний блок опре-
определяется амплитудой неупругого процесса превращения двух ча-
частиц в три. И, во-вторых, «двуструйный» процесс, изображаемый
диаграммой рис. 3.
Амплитуда двуструйного процесса в полюсном приближении
имеет следующий вид:
А =
A4)
где Ах и А2 — амплитуды соответствующих процессов упругого
рассеяния. Если t = (рх — р2 — кгJ мало (| t | ^ [г2), то мы можем,
как и ранее, считать, что сечение определяется амплитудой A4).
Таким образом, получим следующее выражение для дифферен-
дифференциального сечения процесса:
[s* - 2(m2
(т
* -
— 2 (М2
X сх
ril) s + (M*
A5)
Рис. 2
Рис. 3
где sx = (g2 + ifc2J, 52 = (p2 + ^iJ. Интегрирование по t мы
вправе, как и ранее, распространять на область 111 <! |Л2. При этом
значения sx и s2 должны быть ограничены областью
si4 < V?s-
Формулу A6) легко получить, так же как C). Для этого доста-
достаточно при вычислении t заменить р2 на рг + къ т. е. в формулах D)
266

заменить st 4: М* на ^ + s2 Ei ^ ^2> 52 >* ^f2)- Выражение A5)
принимает вид
7 11 / • / ч SlS2(lSlds?
Обсудим вопрос об угловом и энергетическом ряопределениях
возникающих частиц. Будем характеризовать наш процесс сле-
следующими инвариантами:
к = (?i — ?2J; *1 = (К + ^2J; h = (pi — р2J;
*2 = (*i + РзJ; t = (дг - q2 - k2J.
В силу свойств матричных элементов Ах и А2 имеем
Условие 1121 ^ [i2 дает (в системе координат, в которой рх = 0)
1*21 = 2рхР2 - 2т2 - 2т {Ym? + Y>\- m) ~ P^< ^2, I p21 ^ |i. A8)
Для ^ получаем выражение, аналогичное (9):
| ^ | ж та (#! - E2flE1E2 + ExE2tfqiqt < pi2, ^^в^, < fi2;
(Ei — E2J ^2 ^_ (on -r "j^; "*~ ^ 2 ,0 1 ^ ^ Л_Е AQ\
E\E*i E\ (E\ — 0I — 0J) ^^ ' rn
Мы видим, что Z?2 близко к /?!, поэтому A8) дает для поперечного
импульса q2j_ (q2j^ направлено перпендикулярно к qt) оценку
q2±~E1%iqt^\i. B0)
Полюсное приближение, которым мы пользуемся, наклады-
накладывает на t ограничение: t ^ (х2. Вводя вектор R = /с2 + ^2' ^2 == 5i>
получаем
t = (q1 — RJ = m2 + sx — 2qxR = m2 + ^ — г^^о + 2дхК =
- те2 /д
= m* -\-s1-2E\+2 Ve\ — m% VE\ - st + 2 {E1 (E1 - До) +
+ Ve\ - m* [VRl-s1-R\ - VrI - si +
J^Z - VEf^Ti) = - Д2
-sJ - 2 [Ф(^, ^) - Ф(Eu Ro)], B1)
Д2 = VEl-m> [V 02-Sl - /Я2 -Sl-flaJ > 0,
Ф (Elt Ro) = VEl-m? VrI-Si - EtR0.
267

Определим производную от Ф по Ro
так как Sj ^> m, a Ro <С AY Таким образом, Ф (Еи Е^) больше, чем
Ф (Ег, 7?0) при /?0 <СЕг. Поэтому все три члоиа, входящие в B1),
имеют одинаковый знак. Отсюда из условия ] t | ^ \х2 находим
ограничение на А2 и, следовательно, на Н±:
I k2l + чи |^i. B2)
Вместе с A9) это дает
|k2l|~co29Ml^. B3)
Таким образом, виртуальный мезон к2 имеет поперечный импульс
порядка |л. Отсюда, наконец, следует (на основании A8), B2)), что
поперечный импульс мезона кг также порядка (х:
Формулы B0), B3), B4) дают эффективную область углов,
под которыми летят все образующиеся частицы. Поперечный им-
импульс каждой частицы по порядку величины равен |л. Все частицы
(кроме нуклона отдачи р.2) летят под малыми углами по отношению
к падающей частице. Энергетическое распределение возникших
мезонов кг и /с2, проинтегрированное по их углам, определяется
распределением по ^ и s2 (при постоянных о1 и а2):
s^dsidsi. B5)
s2 связано с частотой со2 следующим образом:
S2 = (Д + к±У = М2 + у? + 282@! - р2к!.
Так как на основании A8) получаем | р21 ^ [х ^ Е2 ~ mi то S2
приобретает простой вид: s2 ~ 2т(о1 (когда s2 ^> т2).
Что касается sx = (к2 + д^2, то, аналогично A2а), оно выра-
выражается следующим образом:
si —
Условие sts2 <C l*>2s дает (ох <i co2. На основании B5) получаем
энергетическое распределение возникших мезонов:
(Ox d(ot • (О23 dco2; (x]< (Oi < ш2, (х < со2 < \iEjm
(последнее условие есть следствие A6)).
При вычислении A7) мы не учли обменной диаграммы, в кото-
которой мезонные линии кг и к2 на рис. 3 обмениваются местами.

Полученные выше результаты показывают, что интерференцион-
интерференционными членами, возникающими из-за наличия полюсных членов
соответствующих диаграмме рис. 3 и обменной по отношению
к ней, можно пренебречь. Действительно, в амплитуду А, соответ-
соответствующую диаграмме рис. 3, входят величины s± и s2, равные по
порядку величины \12Е1/оу1 и 2тжо2. В амплитуду А^с\ соответ-
соответствующую обменной диаграмме, входят аналогично Si и 52, равные
[12Е1/ы2 и 2т(хУ1. При больших энергиях каждый матричный
элемент упругого рассеяния, входящий в А и А^с\ пропорциона-
пропорционален своему параметру s (амплитуда упругого рассеяния я-мезо-
нов на нуклонах в наиболее существенной дифракционной обла-
области при а = const имеет вид s-J (?х), соответственно s2f (t2)). По-
Поэтому А пропорционально 5Х52 ~ 0J/0)!, а А^ пропорционально
s[s2 ~ o>i/co2. Так как сс^ =f= со2, то пренебрежение интерферен-
интерференционными членами не может изменить порядка величины сечения.
Проинтегрируем A7) по области A6), считая вх и сг2 постоян-
постоянными. Это дает для сечения процесса с учетом обменной диаграммы
и изотопических состояний образующихся л;-мезонов
Результат формулы B6) показывает внутреннюю противоре-
противоречивость концепции постоянства полного и упругого сечений при
больших энергиях. Исходя из постоянства сечения упругого рас-
рассеяния и полного сечения, мы пришли к логарифмическому росту
сечения рождения двух мезонов. Вывод о возможной противоре-
противоречивости предположения о постоянстве сечения упругого рассеяния
был получен также независимо другим путем Грибовым [4].
5. Аналогичным образом мы можем грубо рассмотреть и про-
процессы произвольного множественного рождения частиц. Ампли-
Амплитуды таких процессов содержат полюсные диаграммы типа, изо-
бтзаженного на рис. 4, где из каждого узла выходит произвольное
число частиц1. Диаграмме рис. 4 соответствует амплитуда
где Ах и А2 — амплитуды неупругих процессов, происходящих
при столкновении промежуточного мезона с частицами дг и р±.
Суммируя сечения, соответствующие различным неупругим про-
процессам, придем к следующему выражению:
йъ (s) — a ($i) в (s2) SiV~2 dsx ds2, B7)
где а является полным сечением. Формула B7) содержит то же
внутреннее противоречие, что и A7). Предположение о постоян-
постоянстве сечения а приводит после интегрирования его к пропорцио-
1 Такой процесс при энергии 9 Вэв был рассмотрен Дреминым и Чернав-
ским [5].
269

нальности сечения логарифму s. Отметим, однако, что формула
B7) обладает меньшей достоверностью, чем A7), так как кроме
диаграммы рис. 4 надо учесть большое количество обменных диа-
диаграмм, и трудно сделать оценку соответствующих интерференцион-
интерференционных членов и вычислить коэффициент в формуле B7). .Рассмотре-
.Рассмотрение «многоструйных» процессов типа изображенного на рис. 5
приводит к аналогичным противоречиям а ~ (In s)N, где N —
число «струй».
Рис. 4 Рис. 5
Если отбросить предположение о постоянстве сечения, то A7)
и B7) можно рассматривать как интегральные уравнения, кото-
которым должны удовлетворять сечения a (s). Они удовлетворяются,
если сечение убывает с ростом энергии, причем достаточно весьма
медленного (лишь несколько быстрее, чем (In s)'1) убывания сече-
сечения. К этому же выводу приводит и исследование, проведенное
Грибовым [4]. Отметим при этом, что возникающие ливни в этих
условиях обладают специфическим распределением по sx и s2i
а именно, основная их часть имеет одну из масс (Ysi или YS2>
всегда малой и от s не зависящей, а другая масса при этом оказы-
оказывается порядка s. Такое распределение существенно отлично от да-
даваемого статистико-термодинамической теорией Ферми и Ландау,
в которой каждая масса (в среднем) пропорциональна s^*.
6. Вопрос о том, какие выводы надо сделать из полученных
выше результатов, нельзя считать вполне ясным. Возможно, что
они указывают всего лишь на неприменимость сделанного нами
приближения, т. е. выделения полюсного члена и пренебрежения
остальными, хотя мы не видим в настоящее время серьезных осно-
оснований для этого. Если же сделанное приближение разумно и если
можно считать, что ядерные взаимодействия сохраняют и при
больших энергиях свойство экспоненциального убывания при рас-
расстояниях, превышающих 1/ji, то единственным выходом нам пред-
представляется вывод о том, что полное и упругое сечения взаимодей-
взаимодействия стремятся к нулю при неограниченном возрастании энергии.
Существующие экспериментальные данные, по-видимому, сви-
свидетельствуют о том, что в широком интервале'больших энергий
270

сечения постоянны. Это, однако, не противоречит выводу об
асимптотическом падении сечений. Дело в том, что полученные
нами выражения для сечения A7) содержат малый численный
множитель х. Поэтому не исключена возможность, что эффекты,
связанные! с рассмотренными нами процесссами, могут сказаться
только при сверхвысоких энергиях. (Коэффициент в B7), как было
отмечено выше, мы не смогли определить.) Авторы не могут скрыть
испытываемого ими чувства удивления от того, что коэффициенты,
составленные только из чисел, могут приводить к возникновению
новых асимптотических областей. Для понимания физики, свя-
связанной с падением сечений при высоких энергиях, было бы крайне
желательно увидеть наглядно (например, на диаграммах) меха-
механизм, ответственный за это явление, если, конечно, оно реально.
П .чпключ(чгио мы хотим выразить благодарность В. Н. Грибо-
иу, Л. Д. Лнндпу, П. If. Мслмшкону, Л. Б. Окуню и И. М. Шмуш-
тчшчу ни шгтрггш.ш обсуждении, снизанные с этой работой.
паук СССР Получено 25 мая 1960 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. G. F. Cheiv, F. E. Low. Phys. Rev., 1959, 113, 1640.
2. JI. l>. Окунь, И. Я. Померанчук. ЖЭТФ, 1959, 36, 300 (Собр. трудов,
№ 91).
3. В. Bondgnori, F. Selleri. Nuovo cimento, 1960, 15, 464.
4. N. Gribov. Nucl. Phys., 1961,22, 246.
5. И. М. Дремин, Д. С. Чернавский. ЖЭТФ, 1960, 38, 229.
1 Следует еще раз подчеркнуть, что малость коэффициента связана с ограни-
ограничением области интегрирования пределом | t \ < \х2. Нельзя априори считать
исключенным, что область | t \ > [д,2 изменит значение коэффициента.

110
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ
ПРОЦЕССОВ АННИГИЛЯЦИИ И УПРУГОГО РАССЕЯНИЯ
ПРИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЯХ1
Совместно с В. II. Г рабочим
Показано, что сечения" ряда аннигиляционных процессии по могут убы.
вать быстрее, чем некоторая степень энергии в противоречии с предсказанием
статистической теорией. Этот вывод следует из дисперсионных соотношений и
предположения, что спектральные функции имеют степенной порядок роста.
В этом выводе существенную роль играет вопрос о возможности или невоз-
невозможности компенсации полюсного члена по переданному импульсу вкладом
от разрезов. В случае отсутствия компенсации сечения этих процессов убы-
убывают не быстрее НЕ и фазы при I > р/т экспоненциально убывают (нормаль-
(нормальная периферия). В этом случае следует ожидать максимума в дифференциаль-
дифференциальном сечении упругого рассеяния л+-и/?+-мезонов на протонах при углах, близ-
близких к 180°. Величина максимума не стремится к нулю с ростом энергии. Ком-
Компенсация полюсного члена требует, чтобы существенную роль играли фазы
/ — —» оо, что влечет за собой резкие изменения в угловом распределении.
Р
1. Введение
Рассмотрим вопрос о том, как может зависеть от энергии пол-
полное сечение процессов аннигиляции нуклона и антинуклона в два
я-мезона:
р + р -> я+ + я~, р + р -> я0 + я0,
тг + /г->я++я-, д + /г->я° + я° A)
п + р -> я0 + я0,
при очень больших энергиях. Амплитуда этих процессов имеет вид
а+(к1~к2) Ъу B)
где &!, к2—импульсы (четырехмерные) возникающих я-мезонов.
Вводим обычные переменные 5, t, и и для аннигиляционного ка-
канала:
t = (Pi + Ю2 = (h + к2)* = AEl« Apl
s = (Pi- ktf ж - Щ A - cos Эс), C)
м = (Pi - k2J x — 2pl A + cos 9f),
1 Nucl. Phys., 1962, 33, 516 (Русский текст см. Преп шнтИТЭФ—61—15, M.,
1961). *
272

Где р! й р2 — четырехимпулЬсы Нуклонов, Ёс — энергия частицы
в системе центра инерции (ц.и.), рс — импульс в этой же системе,
Эс—угол между мезоном кг и нуконом рх в системе ц.и.
Напишем представление Мандельштама [1] для функции Ь
при заданном t (т. е. заданной энергии в ц. и.) по переданному им-
импульсу от нуклона к мезону (т.е. по углу Эс, входящему в s и и)
_ g* , I A2(t,u')du' I Ai(t,s')di'
— m? * J и' — и ^ J s' - s e W
Это выражение написано без вычитаний, так как для дальнейшего
явный вид дисперсионных соотношений с вычитаниями не понадо-
понадобится. Мы будем в дальнейшем исследовать только Ь, однако это
но означает Никаких предположений о соотношении Ъ та. а, так
как п дальнейшем нами будет исследована только невозможность
взаимной компенсации b w a w дифференцальном сечении анниги-
аннигиляции при / ->- vj. Последнее очевидно, так как дифференциальное
сечение, усредненное по спинам нуклонов, имеет вид
ig- = j a + m& Р Н- | & |2p2sin2 ec. E)
Мы видим, что D) содержит независящий от энергии (t) полюсной
член, являющийся только функцией от и, т. е. от 2pl A + cos 0СJ~
ж /??62, где 0—угол между/?! и к2, отсчитываемый от я. Если бы этот
полюсной член не мог компенсироваться до нуля при t->- oo, то
полное сечение о любого процесса A) падало бы не быстрее, чем
1// ~ 1//?/,, где Ei,—лабораторная энергия быстрого нуклона.
()гмешм, что при статистико-термодинамическом рассмотрении
|2, ,'1| асимптотика процессом A) приводит к сечениям падающим,
как ехр [— \ t/Eu) (t'o порядки массы мезона), т. е. быстрее
любой обратной степени t. Таким образом, асимптотика, опреде-
определяемая только полюсным членом, приводит к зависимости а от
t ^ 2Eijn совершенно иного типа, чем получаемая в статистиче-
статистической картине. Однако полюсной член в D) может в принципе
компенсироваться вкладом от разреза по и, «работающим» также
при малых и, т. е. при малой величине 2pl A + cos Эс). Разрез
по s «работает» при малых s = — 2pl (I — cos 0C). При больших
энергиях можно думать, что вклады от этих двух разрезов не пере-
перекрываются друг с другом. Один (и разрез) дает эффект вблизи
0с = я, другой E разреа) вблизи 0С = 0. В недавней работе Гелл-
Манна и Захариасена [4] сделана гипотеза о том, что двумерное
манделыптамовское представление для Ъ не имеет вычитательных
членов. В этом случае полюсней член не компенсируется и а
для процессов A) падает не быстрее l/EL. Целый ряд важных
следствий из отсутствия вычитаний был сделан в [4J.
273

2. Эффект вычитаний
В дальнейшем мы рассмотрим, как отражается на асимптотике
существование конечного числа вычитаний в дисперсионных соот-
соотношениях для Ь. Для этого удобно рассмотреть парциальные вол-
волны с большими орбитальными моментами I.
Согласно D) амплитуда 1-й парциальной волны равна (мы
здесь отвлекаемся от усложнений, связанных со спином):
F)
где Qi — полином Лежандра второго рода. Так как I ^> 1, то вхо-
входящие в F) интегралы сходятся, хотя мы использовали C), в ко-
котором нет вычитаний. В дальнейшем мы будем исходить из сле-
следующей связи между числом вычитаний и порядком роста Ъ при
s, t, и ->- оо [5]: если число вычитаний по s равно N3 + 1, по
tNt + 1 и по uNu + I jj
| b (t, s) | < sN* tNt I Ъ'и (s\ 0|, \b'u (s, t) I < C;
\b(t,u)\^tNtuNu\b's(t,u)l \b'8(t,u)\^C;
| b (u, s) | < uNu sNs [b't (u, s) |, | b't (m, s) I < C. G)
Очевидно, что Nt, Nc, Nu по самому смыслу конечные числа.
В соответствии с [5] числам Nt, Nu и N8 отвечает N8 + 1,
Nu + 1 и Nt + 1 вычитаний по переменным t, и, s.
2.1. Случай ^ = 0
Пользуясь G), мы сейчас определим, какие возможности суще-
существуют для компенсации первого члена в F) вкладом от разрезов.
Ясно, что если Аг и А2 при t —> оо конечны (т. е. Nt = 0), то вооб-
вообще полюсной член в D) и F) «выживает» при t ->- оо. В самом деле,
Qi Г1 + -~rl~exP(— lV^/Pc)i ^>>1, -^y^1» откуда следует:
L 2рс J /?с
/4 !?)"•• *•¦*¦-
X
-m-^] 1/PC
о
274

V° 1/
L
г—
/ Pc
[m + \i
u0
oo
0
Ix dx
['
и 2рс(т +
luQ
N
m -\- \iJ 1 u dx
Uo J Щ
у 1т '
Так как ¦¦ "*" ^' ^1, to (8) становится меньше g2Qi 1 H—^- ж
^i ^2 охр (— ml/pc) при Z ^ p(./^. Начиная с таких Z остается только
иклад от полюсного члена (нормальная периферия). Записывая
иол поо сочонш» A) п ни до суммы но парциальным сечениям
б = 2б«B* + 1) (9)
и оставляя только I >pj\i, мы приходим к неравенству
t. A0)
Асимптотике A0) соответствует а ^ l/iS'L» Еь~+ °°, a do/dO либо
не зависит от энергии при 0срс = const, либо даже растет с ростом
Ei,1. Такое поведение мы называем «выживанием» полюсного
члонл, хотя наряду с ним имеются и другие члены, которые при
предположении об убывании Ъ [4] сводятся к совокупности диа-
диаграмм нида
дающих вклад, пропорциональный
Г(и)С(и)Г(и). (И)
Фазы парциальных волн в соответствии с A0) при I > pQ/m падают
экспоненциально. Весь процесс не определяется фазами, у кото-
которых 1т/рс ->¦ оо, когда рс ->¦ оо (нормальная периферия).
1 Исключая изолированные значения рс9с, где da/dO может обращаться в
нуль.
275

2.2. Случай Nt=j= О
Разобранный только что случай характерен наличием не более
одного вычитания по t. Отметим, что Аг и А2 должны быть при
этом конечны при t -> оо во всей области изменения t как в фи-
физической, так и в нефизической области.
Пусть теперь Ni =f= 0. Тогда оценка (8) превращается в сле-
следующую (см. аналогичное рассмотрение но другому поводу у
Фруассара [5]).
Значение Z, при которых вклад от каждого разреза,
входящего в F), оказывается меньше, чем glQt 1 -|- -^_- |у оп.
L
ределяется так (с логарифмической точностью):
—) X
A2)
Отсюда получаем
Таким образом, в этом случае можно «закомпенсировать» полюс-
полюсной член до l\i/pb ~^ ОС) при El ->• °о (отсутствие нормальной пери-
периферии). Из A3) следует, что средний угол между нуклонами и
р
я-мезонами будет порядка Ml ~mjNtpc In -~- , т. е. падает
быстрее, чем в нормальной ситуации.
Для полного сечения процессов A) в этом случае мы имеем в
соответствии с A0)
оо 21т
2
276

Таким образом, уже при Art = 1 Ъ может падать значительно бы-
быстрее с ростом EL, чем при Nt = 0, а именно:
N — \ ч -*> const _ const ,, гv
1+
Хотя с увеличением TV/ допускается все более быстрое падение а
при увеличении EL, тем не менее это падение никогда не является
статистическим, согласно которому
Можно сказать, что статистическая асимптотика требует N t = °°,
что делает само введение дисперсионных соотношений как мини-
минимум неясным.
Когда полюсной член не компенсирован до нуля (случай
Nf = 0), то парциальные амплитуды с I > р/т начинали экспо-
экспоненциально убывать и не играли роли согласно A0). Сейчас мы
покажем, как возможность полной компенсации полюсного члена
при t -> эо требует, чтобы в полной амплитуде процессов A) су-
существенную роль играли орбитальные моменты 1т/рс->°о при
t — > ос. При этом отдельные парциальные волны очень малы (тем
меньше, чем больше число вычитаний), но уменьшение их с ростом
тем медленнее, чем больше Nt. В этом смысле слова мы имеем дело
со своеобразным «дальнодействием». Для доказательства этих
утверждений напишем одномерное дисперсионное соотношение по t
при и = const в физической области (и <С 0) [1]
Г Imb(*'f u)dt' . g2 ,Aa,
Это соотношение написано без вычитаний, так как мы рассматри-
рассматриваем ситуацию, когда 6-^0, когда t ->¦ оо. Мы предполагаем, что
в физической области Ъ (?', и) ->- 0, | f | -> оо, что означает ком-
компенсацию полюсного члена как в аннигиляционном канале, так
и в упругом канале для рассеяния назад я+-мезонов на протонах
я+ + р ->- я+ + р. Так как Ъ (?, и) должно иметь полюс при
и = т2, то соотношение A6), во всяком случае, не может быть
продолжено из физической области (и < 0) за точку и = т2.
Если A6) прекращается при и — иъ то это происходит потому,
что интеграл, входящий в A6) при и^>ии равен оо. Для этого
нужно, чтобы Im b (f, и) при и ^> и± либо не стремился к нулю
при |?'|->-;>о, либо падал так медленно, что не обеспечивал
сходимость интеграла. Разложим Im Ъ (t, и) по шаровым функциям
Im Ь = 2 Bl + 4) b"t pi (cos 0c), A7)
1
= \ \\mb\t, 2р\ A — cos 9С)] Рг (cos 9P) d cos 9C. A8)
277

Пусть в физической области Im Ъ удовлетворяет неравенству
| Im Ъ | ^ (а = const),
тогда
A9)
Величина Im Ъ при и < (т -| цJ рд:итгаотся в сходящийся
ряд по шаровым функциям [6].
Когда 0 < и <; (т + \i) 2, мы имеем
/. хУп
-Ц=ерс , поэтому
Используя A9), находим, обрывая сумму по I на некотором I =
B0)
Если °\m~r-r) ^i (нормальная периферия), то
c<>nst
Когда v^>2, Imb->-0 при /?с -> с» и дисперсионное соотно-
соотношение A6) оказывается справедливым в нефизической и вплоть до
и = (m + \i) 2. Это, однако, невозможно, так как мы заведомо
знаем, что при и — т2 Ъ должно иметь полюс (при любом ?!).
Таким образом, наличие полюса в точке и = т2 и обращение в
ноль а и Im Ъ при t -> оо совместимо только тогда, когда Zo (m +
+ ц)/рс ->- оо (/-> оо). В этом случае Im Ь в нефизической об-
области согласно B0) перестает падать с ростом t при некотором
значении и — и±1 заключенном в интервале
0 < щ < т2,
и начиная с этого значения щ A6) нужно заменить на дисперсион-
дисперсионное соотношение с вычитаниями.
278

Таким образом, мы видим, что компенсация полюсного члена
в обоих каналах (упругом и аннигиляционном) возможна только
в том случае, если экспоненциальное падение фаз начинается толь-
только при Imlpc-*- оо, когда рс-+- оо.
Несмотря на то, что приведенное доказательство непосредст-
непосредственно неприменимо к случаю, когда полюсной член компенсиру-
компенсируется только в одном из каналов, например, в канале рассеяния
вблизи Э = я, очевидно, что для такой компенсации также необ-
необходимо, чтобы падение фаз начиналось только при 1т/рс ->- оо
при pc-v оо. Если же фазы начинают убывать экспоненциально
при конечных lmlpc при рс-> оо, то дифференциальное сечение
реакций
р + п+ —> р -|- я+, р Н- я0 -> р + я0,
р -f- тс ^ п -f- я0, р -\- я0 ^ п -f- я+,
п + зг-*п + пг, /*^-я°->л + я° B2)
не стремится к нулю при больших энергиях в области углов Э ~
~ п — mIE. В этом случае дифференциальное сечение упругого
рассеяния do/dO имеет следующий характер как функция угла
рассеяния при больших, энергиях.
В области малых углов do/dO -v оо, в области больших углов,
близких к я, do/dO-*- const. В области же углов, близких к я/2,
do/dO, по-видимому, стремится к нулю. Последнее видно из сле-
следующего рассуждения.
Разлагая амплитуду рассеяния по полиномам Лежандра и
учитывая, что
/W @) = о, pik @) = ?i=iH (-1,\
получим
с к—о
Поскольку C2fe аналитическая функция к и /ОТ\„ ^—т-
больших к, то в сумме B3) из-за наличия (— l)fc должно быть су-
существенно только несколько первых членов. Поэтому
Аналогичное рассмотрение можно применить к ряду других ре-
реакций. В частности, к реакциям
р + р -> п + п, B5а)
N + N-+2 + A, 2 + Л, 2 + 2, B56)
n + N~>2 + K. . B5в)
279

Можно показать, что селения этих реакций также не стремятся к
нулю экспоненциально при больших энергиях, в случае если дис-
дисперсионные интегралы требуют не больше одного вычитания (фазы
убывают, начиная с конечных 1т/рс), стремятся к нулю не быст-
быстрее, чем НЕ.
Заметим, что сечение реакций B5а) и B56) меняется при пе-
переходе от Nt = 0 к Nt = 1 не столь существенно, как в A5). При
Nt = 1 они ведут себя как 1/Е3.
Можно привести также примеры реакций, для которых при
предположении, что существенны конечные 1гп/рс, дифференциаль-
дифференциальное сечение назад или вперед не стремится к пулю. Такими явля-
являются, в частности, реакции:
Т + Р —> Р + зх°,
Отметим также, что при этом предположении Aт/рс конечно) диф-
дифференциальное сечение обменного упругого рассеяния (т. е. рас-
рассеяния на 180°) не стремится к нулю.
В заключение мы хотели бы поблагодарить Л. Д. Ландау,
Л. Б. Окуня и И. М. Шмушкевича за полезные дискуссии, а также
Г. Н. Адельсона-Вельского, ,Е. М. Ландиса и Л. Д. Фаддеева за
обсуждение ряда математических вопросов.
Физико-технический институт Получено 28 августа 1901 г.
Академии наук СССР, Ленинград
Институт теоретической
и экспериментальной физики, Москва
ЛИТЕРАТУРА
1. S. Mandelstam. Phys. Rev., 1958, 112, 1344.
2. Е. Fermi. Progr. Theor. Phys., 1959, 5, 570.
3. Л. Ландау. Изв. АН СССР, серия физическая, 17, 51 A953).
4. М. Gell-Mann, F. Zachariasen. Phys. Rev., 1961, 123, 1065.
5. M. Froissart. Phys. Rev., 1961, 123, 1053.
6. H. Lehmann. Nuovo cimento, 1958, 10, 579.

Ill
КОМПЛЕКСНЫЕ ОРБИТАЛЬНЫЕ МОМЕНТЫ
И СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СЕЧЕНИЯМИ
РАЗЛИЧНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЯХ1
Совместно с В. Н, Грибовым
В последнее время выяснилась связь аналитических свойств
амплитуд как функций углового момента и их асимптотического
поведения при больших энергиях s [1,2]. Было предположено,
что асимптотическое поведение амплитуд рассеяния любых частиц
и дифракционной области определяется движущимся полюсом
/ (t) парциальной волны в аннигиляциогшом канале [3—6]. Из
этого предположения следует ряд важных характеристик сильных
взаимодействий при больших s. В частности, удалось установить,
что амплитуда упругого рассеяния сильно взаимодействующих
частиц должна иметь вид / (t) s#0 (s, t — обычные мандельста-
мовские переменные). При этом полное сечение постоянно, если
/ @) принимает максимально возможное значение, равное 1 [7].
Сечение упругого рассеяния должно медленно стремится к нулю
A/ln s). Дифракционный конус должен сужаться с энергией, что
соответствует рассеянию на системе, прозрачность и радиус ко-
которой растет с энергией [3]. Такое поведение, по-видимому, со-
согласуется с недавно полученными экспериментальными данными [8].
До сих пор обсуждались только свойства/(t) [2—6]; в частности,
подчоркиинлось, что / (/) одинаково для разных реакций. Мы пока-
покажем, что соотношения унитарности при комплексных /, получен-
полученные одним из нас [21, приподнт к большому количеству соотноше-
соотношений для функций / (t), соответствующих различным реакциям.
Частным случаем этих соотношений являются простые связи
между полными сечениями взаимодействия различных частиц при
больших энергиях s: Gab/oac = OdbIodc, где аАв — полное сече-
сечение взаимодействдя частиц А и В при s-> 00. Например
A)
Таким образом, используя, что Gnn ~ 40 мбн, опн ~ 25 мбн,
получим, что Опп ^ 16 мбн.
Для вывода этих соотношений напишем условие унитарности
для амплитуд парциальных волн в аннигиляционном ^-канале
1 ШЭТФ, 1962, 42, 1141; Phys. Rev. Lett., 1962, 8, 343.

при 4(л2 < t < 16|х2; \х — масса зх-мезона. Выбор этого интерва-
интервала и избранность я-мезона обусловлены только тем, что точное
условие унитарности мы умеем писать лишь в этой области. Для
простоты рассмотрим бесспиновые частицы — я- и if-мезоны.
Пусть /у, gj и hj —^амплитуды парциальных волн реакций
я + я ->• я + я, К-\-К->п + пяК | К -* К \ К в состоя-
состоянии с определенным изотопическим сиимом (каждому изотопиче-
изотопическому состоянию соответствует свое / (/)). Тогда условие унитар-
унитарности имеет вид [2]
-2Г (/i - U*) = ~^ fifi; -fir ^ ~ Й*) = " tiff,
где к, (о — импульс и энергия я-мезона
©=4-/*, k=^-vt^w.
Если разрешить эти соотношения относительно /j,
то видно, что все амплитуды имеют одновременно полюс при та-
таком / (t), при котором (Л/со) /J* = 1/2 i. При /, близких к / (t),
имеем
Подставляя E) в D), получим
Отсюда следует, что вычеты этих амплитуд гяя, г^к и г#те удов-
удовлетворяют простому соотношению г2Кп — гккглгъ- Это соотношение
в точности соответствует связи между вероятностями различных
процессов в том случае, если они идут через один брейт-виг-
неровский уровень. Так как гяя, гкк и гпК являются аналитически-
аналитическими функциями t, то это соотношение справедливо при любых t.
Полное сечение при больших энергиях определяется полюсом
в состоянии с изотопическим спином, равным нулю, и связано с
г @) соотношениями
^ гкк @) G)

(m — масса #-мезона). Отсюда а„к — въп$кк- Если бы мы рас-
рассмотрели бесспиновые частицы я, А, В и С, то таким же точно обра-
образом мы получим соотношение вида
Гг.п'ГпА = ГВп'ГВА ~ ГСп'ГСА>
откуда следуют соотношения типа B).
Такие же соогиошения справедливы и для дифференциальных
сечений упругого рассеяния.
Как показывает дьгалышй анализ, наличие спина нуклона не
меняет соотношения между сечениями, полученного для бесспи-
бесспиновых частиц. К сожалению, ни одно ил приведенных выше соот-
соотношений не допускает в настоящее время прямой эксперименталь-
экспериментальной проверки из-за нестабильности всех сильно взаимодействую-
взаимодействующих частиц кроме нуклона.
Однако, если привлечь в рассмотрение ^-кванты, то тем же спо-
способом получим соотношение между полным сечением взаимодейст-
взаимодействия у-кванта с нуклоном, полными сечениями взаимодействия нук-
нуклона с нуклоном и у-кванта с у-квантом
Оуу — может быть определено из эксперимента по взаимодействию
у-квантов с кулоновским нолем ядра 1. Последнее при малых от-
отдачах ядра отделимо от чисто ядерного взаимодействия.
Перечислим ряд других следствий, которые вытекают из тех
же соотношений унитарности.
1. До сих пор мы рассматривали процессы, асимптотика кото-
|>ы\ определялись полюсом, имеющим, по терминологии Чу и
Ф])«учи, кшштоиые числа шшуумд. Если бы мы рассмотрели про-
процессы, асимптотики которых определяются другими полюсами,
то, используя условие унитарности, можно получить большое коли-
количество соотношений между их амплитудами. Например, при опре-
определенных условиях возникают соотношения между величинами
амплитуд процессов я~ + р ->• я0 + п, у + N ->• я + N, у +
+ я ->• 2я (последний наблюдаем из процесса я ->• я + зх на
кулоновском поле'ядра).
2. Спиновые структуры амплитуд различных процессов оказы-
оказываются тесно связанными друг с другом. Например, все поляриза-
поляризационные эксперименты в нуклон-нуклонном, я-нуклонном и
К-пуклонном рассеяниях выражаются через один параметр.
• 3. Интересные вопросы возникают, если распространить ука-
указанные выше соотношения на ядра 2. При этом возникает большое
количество наблюдаемых соотношений, область применимости ко-
1 Авторы благодарны Л. Б. Окуню, обратившему их внимание на такую
возможность.
2 Мы благодарны А. А. Анисовичу и Б. Л. Иоффе, обратившим наше вни-
внимание на эти вопросы и их специфические особенности.

Topbix, однако, не вполне ясна из-за наличия аномальных порогов
у амплитуд7 ядерных процессов.
Отметим следующее обстоятельство: согласно G) вычет в по-
полюсе парциальной волны яя-рассеяния гпп — 1/12 я2 ж 10~2, так
как Опп — 1/цЛ Авторы чувствуют, что возникающая здесь ма-
малость, как это ни странно, связана с медленностью изменения ва-
вакуумного / (t), поскольку мнимая часть / (/) [/" (t)] в области t ^>
^> 4[г2 пропорциональна гяя (/), если /" (/) мало [10]. (/ (t) заметно
меняется при изменении / на шмшчипу порядка т2 ж 40[х2 [5, 8].)
В заключение мы хотели бы поблагодарить Я. Азимова,
В. В. Анисовича, И. Т. Дятлова, Б. J1. Иоффе, И. Ю. Кобзарева,
JI. Б. Окуня и А. П. Рудика за многочисленные интересные дис-
дискуссии. Мы благодарны С. Ч. Фраучи, М. Гелл-Маппу, Ф. iJnxa-
риасену, Дж. Ф. Чу и С. Мандельстаму за присылку препринтов
их работ.
Институт теоретической Получено 26 февраля 1962 г.
и экспериментальной физики
Академии наук СССР, Москва
Физико-технический институт
Академии наук СССР, Ленинград
ЛИТЕРАТУРА
1. Т. Regge. Nuovo cimento, 1959, 14, 951; 1960, 18, 947.
2. В. Н. Грибов. ЖЭТФ, 1961, 41, 1962.
3. В. Н. Грибов. ЖЭТФ, 1961, 41, 667.
4. G. F. Chew, S. С. Frautschi. Phys. Itev. Lett., 1961, 7, 394.
5. S. С. Frautschi, M.Gell-Mann, F. Sachariasen. Phys. Hew, 1932,126, 2204.
6. Г. Домокош. Препринт ОИЯИ. Дубна.
7. М. Froissart. Phys. Rev., 1961, 123, 1953.
8. Ю.Д. Баюков, Г. А. Лексин, Я. Я. Шалимов. ЖЭТФ, 1961, 41, 1025;
G. Cocconi, A.N. Diddens, E. Lillethun, G. Manning, A. E. Taylor,
T. G. Walker, A. M. WetherelL Phys. Rev. Lett., 1961, 7, 450.
9. О. Личчиони. Тр. IX Международной конференции по физике высоких
энергий. Киев, 1959; /. Pomeranchuk, I. Shmushkevich. Nucl. Phys.,
1961, 23, 452 (Собр. трудов, № 94).
10. В. Н. Грибов, И. Я. Померанчук. ЖЭТФ, 1962, 43, 308 (Собр. трудов,
№ 112).

112
О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ
АМПЛИТУДЫ УПРУГОГО РАССЕЯНИЯ
ПРИ БОЛЬШИХ ЭНЕРГИЯХ1
Совместно с В. II. Грибовым
Показывается, что мнимая часть амплитуды рассеяния Лг (s, t) в канале
где s является энергией в нефизической области переданных импульсов t > О,
положительна и имеет все производимо но t большими нуля вплоть до своей
нерпой особенности, определяемой кривой Ландау t = t0 (s). Отсюда для полю-
полюса 1'иджо с наибольшим Re /следует и этом интервале t, что dl/dt > 0. Иссле-
Исследуется зависимость / (t) от t при t —> 4ц,2 (формулы A3а) и A36)). Проводится
доказательство того, что при t > 4|л2 кривая / (t) в плоскости I уходит в верх
нюю полуплоскость. Все эти результаты получены без предположения о су-
существовании гамильтониана. Обсуждаются различные возможности для зави-
зависимости / от t при % —» oq. Проводится дискуссия вопроса о том, являются ли
полюса, соответствующие «элементарным частицам», непрерывными функ-
функциями /. В Приложении доказывается, что при вычислении спектральной плот-
плотности р (s, t) условием пренебрежения всеми особешюстями в /-плоскости, кро-
кроме полюса с максимальным Re /, является условие s (t — 4ц2) ^> и.4.
Развитие теории сильных взаимодействий в последние годы
происходило, п основном, по линии изучения аналитических
пюйстн лммлитуд [наличных процессов, как функций энергии и пе-
редпмпого импульса. Оснопиым достижением в этой области являет-
является открытое Мапдолъотамом Ц| двойное представление для ам-
амплитуд процессов превращения двух частиц в две.
Представление Мандельстама, в частности, дало возможность
подойти к более детальному изучению вопроса об асимптотиче-
асимптотическом поведении амплитуды рассеяния при больших энергиях.
При таком изучении выяснилось [2], что обычная дифракци-
дифракционная картина рассеяния при больших энергиях не может быть
простым образом согласована с представлением Мандельстама.
Простым образом согласовывалась дифракция с медленно падаю-
падающим сечением. Одновременно, благодаря работе Редже [3], выяс-
выяснилось, что в нерелятивистской теории амплитуда рассеяния при
больших переданных импульсах является быстро меняющейся
функцией вида / (t) s1^ (t — энергия, s — переданный импульс).
При этом I — I (t) — положение полюса амплитуды парциальной
волны, как функции момента Z.
1
ЖЭТФ, 19G2, 43, 308; Nucl. Phys., 1962, 38, 516.
285

С помощью представления Мандельстама удалось показать [4J,
что амплитуды парциальных волн в теории поля также являются
аналитическими функциями момента I и могут иметь полюса [5].
Асимптотическое поведение амплитуды рассеяния в области боль-
больших переданных импульсов при этом может иметь тот же вид, что
и в нерелятивистской теории. Однако и релятивистской теории
область отрицательных энергий t и больших переданных импуль-
импульсов s является одновременно физической областью другой реакции
при большой энергии s и конечном лередл"немом импульсе t (об-
(область «дифракционного пика»). Таким обрмзом возникает возмож-
возможность, что асимптотическое поведение амплитуды рассеяния при
больших энергиях имеет вид / (t) sl^K Такое поведение существен-
существенно отличается от обычного дифракционного рассеяния. Как было
подробно обсуждено в [6], оно соответствует рассеянию на системе,
радиус которой растет с энергией. Это асимптотическое поведение
обсуждалось также в недавней заметке Чу и Фраучи [7].
В этой работе мы сначала (раздел 1) установим некоторое точное
свойство мнимой части амплитуды рассеяния, справедливое при
любой энергии. Затем (раздел 2) подробно обсудим возможное
поведение I (t) —положения полюса парциальной волны в зави-
зависимости от t. В разделе 3 покажем, что экспериментальное изуче-
изучение сечения рассеяния я-мезона на нуклоне на большие углы и
сечения двухмезонной аннигиляции позволяет судить, является
ли положение полюса парциальной волны, соответствующего ней-
нейтрону, непрерывной функцией момента. На существование такой
возможности было указано в заметке Чу и Фраучи |7].
1. Общие свойства мнимой части амплитуды
упругого рассеяния
Покажем, что мнимая часть амплитуды рассеяния Аг (s, t) в
канале, где s является энергией в нефизической области передан-
переданных импульсов t ^> 0, положительна и имеет все положительные
производные, вплоть до первой особенности, определяемой кри-
кривой Ландау t = t0 (s). При s ->• оо t0 (s) -> 4u,2 (\i — масса я-ме-
я-мезона).
Запишем Ах (s, t) в виде суммы по парциальным волнам и не
будем сначала учитывать спиновые переменные
Аг (8, 0 = S а'п («) B» + 1) Рп B), A)
z = l+ 2st/[s2 - 25 (ml + ?nl) + (ml - m9;J}. B)
В силу условия унитарности
ап~
286

Ряд A) равномерно сходится вплоть до первой особенности
Аг (s,t). Доказательство этого основано на том, что при t^>0, т. е
при z ]> 1
Pn(z)>0, (За)
N
Рп (z) = Zj Bл — 4/с + 3) Pn-2/c+i B) > 0, C6)
где iV = п/2 при я четном, ./V = (п + 1)/2 при п нечетном. Диф-
Дифференцируя A) произвольное число раз и используя C), мы при-
приходим к заключению, что Аг (s, t) положительно и имеет все поло-
положительные производные в области t ^> 0 вплоть до первой особой
точки.
Рассмотрим теперь амплитуду упругого рассеяния я-мезона
на нуклоне. В системе центра масс она может быть записана в виде
где к1? к2 — импульсы я-мезонов до и после рассеяния; к\ = к\ =
= к2. Разложение /х (s, t) и /2 E, t) по парциальным волнам имеет
вид
оо
/i (s- О = -г S l/n+ W 2 (га + 1) + /„- (*) 2»] Р„ (z), Eа)
П=0
оо
/ (s f) = *!? (f - — f +) Р' (z) E6)
где /n-j- — амплитуды парциальных волн с орбитальным моментом
п и полным моментом соответственно (п + V2) и (/г — V2).
Так как в силу условия унитарности Im fn± ^> 0, то, повто-
повторяя изложенные выше соображения, мы придем к заключению,
что Im/X E, t) — мнимая часть амплитуды рассеяния без переворота
спина положительна и имеет все положительные производные в
нефизической области 0 < t <C t0 (s).
Легко получить соответствующее утверждение для упругого
рассеяния частиц с произвольными спинами. Если амплитуду рас-
рассеяния / рассматривать как матрицу относительно спиновых пе-
переменных, то можно показать, что
F)
I JS
гДе fsi — амплитуда рассеяния без изменения орбитального и
спинового момента в состоянии с полным моментом /, орбиталь-
орбитальным моментом I и суммарным спином S. Im/sj ^> 0, и поэтому
Im F (z) обладает описанными выше свойствами. Для того чтобы
убедиться в правильности F), достаточно записать матричный
387

элемент / между состояниями с проекциями спина Хъ Х2 и Я-i.,
в виде
<К ?\f\K К> = 2 C(SU S2t S'\ Хъ Я4)СEЬ S2, S; Хи Х2) х
H'SS'
mm'
X С (,?'., Г, /; |i - т', то') С E, /, /; ц - ю, ,,,) YVm. (p') x
Если в этом выражении положить Kt - Xh Л2 = Я2 и просум-
просуммировать его по Хг ж Х2, то, учит1>пшя ортогональность коэффици-
коэффициентов Клебша — Гордона, получим F).
Мы подробно остановились на столь простой теореме потому,
что будем пользоваться ею ниже, а также потому, что она может
быть полезна при анализе возможных асимптотических поведений
амплитуды рассеяния. Следует отметить, что выражение для ам-
амплитуды рассеяния, полученное Ловласом [8], противоречит этой
теореме и потому неправильно.
2. Движение полюса парциальной волны
в комплексной I плоскости
В [6] было предположено, что асимптотическое поведение ам-
амплитуды рассеяния при больших энергиях определяется по
аналогии с нерелятивистской теорией [3] полюсом амплитуды
парциальной волны в канале, где переданный импульс является
энергией. Для случая рассеяния я-мезопа на я-ме;юне это асим-
асимптотическое поведение имеет вид
A, (s, t) = / (t) SW>, / (*) = %Р1 + Ч (t - 4^)-'»« r0 (*). G)
Здесь l0 (t) — положение полюса парциальной волны fl (t) в
канале t, r0 (t) — вычет парциальной волны в этом полюсе.
Рассмотрим более подробно свойство функции /0 (t). В силу
положительности Ах (s, t) и ее первой производной / (t) > 0 и
dl0ldt^>0 в интервале 0<?<4uA При дальнейшем обсужде-
обсуждении мы будем предполагать, что особенностями // (t) в плоскости
I, зависящими от t, могут быть только полюса. Правдоподобность
такого предположения подробно аргументирована в [5]. Тогда
плоскость I может быть разделена на две части линией Re I = v
так, что при Re I ^>'v ft (t) имеет только полюса. v< 1, если мы
считаем, что асимптотика амплитуды рассеяния имеет вид G).
Для того чтобы выяснить поведение l0 (t) в окрестности t =
= 4[г2, воспользуемся условием унитарности, которому, как по-
показано в [4,5], должна удовлетворять амплитуда парциальной
волны в канале t при 16 \i2 ^> t ^> 4 \i2:
(l/2i) Ui (t) - f% @1 = (*/<o) fi (t) fi* (t). (8)
288

// (t) при четных I совпадает с обычными парциальными волнами
симметричной части амплитуды рассеяния л-мезона на я-мезоне.
Величина /(Г\ являющаяся интерполяцией парциальных волн
антисимметричной части, обладает аналогичными свойствами, но
мы ею интересоваться не будем.
В силу условия унитарности (8), /г (t) не может иметь полюса
на вещественной оси при t ^> 4ji2, поэтому при t ^> 4ji2 функция
l0 (t) должна стать комплексной
Найдем общее выражение функции, удовлетворяющей (8) и
имеющей полюс вблизи вещественной оси при I = l0 (t). Эта зада-
задача эквивалентна задаче нахождения общего выражения для пар-
парциальной волны вблизи резонанса (формулы Брейта — Вигнера).
Повторяя обычные рассуждения, приводящие к формуле Брейта—
Вигнера, получим, что
/ — _5L jP2i1]i о L U4/ ' "U4/ _ 11 /q\
!l — 2ik » ' » ' '^ --1" '^ ' ' V '
где r\i (t) —- вещественно при вещественном I и не имеет полюса
при I = l0 (t).
Как показано в [4J, при t ->¦ 4ji2, ft (t) — (t — A\i2I. Если при
фиксированном I =j= lQ Dji2) стремить t к 4ji2, то для того, чтобы
fi (t) стремилось к нулю, как (t — 4ji2)z, необходимо, чтобы
т1г(О-^ + Т(^-4[х2/+1/2. A0)
Поэтому при малых t — 4ji2 можно e2ir]l опустить и fi (t) напи-
ать в виде
lT / — /о@ •
Для того чтобы при Z, близких к l0, fi вело себя, как (t — 4[г2) ,
необходимо, чтобы
Z0'(*) = a(*-4u2)'»(()+4 A2)
Предполагая, что точка t = 4jx2 является изолированной осо-
особой точкой функции Zo (t), мы, очевидно, можем с помощью форму-
формулы Коши по мнимой части 10' восстановить вещественную часть
Го (t) в окрестности t = 4ji2. При этом получим, обозначая
10 И. Я. Померанчук, т. III 289

К (t) = Я, + 2 с» (* - V)w - a W- *)UV' , A3a)
n==o
+ V2» ^ + V2 He P^bfto целому числу,
Ь + 72>0;
X+V*
*o @ = Л + S cn (* - V)n - ¦? 0 - ^8)X+l/i In Du2 - 0, A36)
A, + V2 — целое, arg D|ы2 — /) = 0 при * < 4|i2; Л. + !/2 > 0.
Формула A1) позволяет легко показать, что и и формуле A2)
больше нуля. Действительно, продолжая A1) в область t <C 4jx2,
получим, что вблизи t = 4|ы2 вычет в полюсе
г (t) = 2jia (t — 4|ы2)\ A4)
Отсюда положительная функция / (t), входящая в G), равняет-
равняется /= 2|ысшГ B К + 1)/Г2 (Я + 1), т. е. a ]> 0 и, следовательно,
полюс при t ^> 4fi2 уходит в верхнюю полуплоскость.
Для дальнейшего чрезвычайно существенно понимать, остает-
остается ли полюс в верхней полуплоскости при любых вещественных
t ^> 4(л2, как это имеет место в нерелятивистской теории [3]. Для
этого необходимо выяснить, может ли он пересечь вещественную
ось при t ^> 4|ы2. Поскольку, в силу унитарности, при веществен-
вещественных In tft (t) не может обращаться в бесконечность, то пересечение
полюсом вещественной оси возможно только, если одновременно
вычет в полюсе обращается в нуль.
Для того чтобы понять, что означает такая возможность, рас-
рассмотрим ft (t) при вещественных Z, как функцию t. При Z, близких
к X, fi (t) имеет полюс в плоскости t при t, близком к 4fi2. Для того
чтобы выяснить поведение этого полюса в плоскости t, нужно ре-
решить уравнения A3а) или A36) относительно t. Если % + V2 >
> 1, то в первом правом приближении положение полюса опре-
определяется условием
I = X + Cl(t- 4^),
т. е. t — 4(i2 = (I — %I сг. Если Я + г1г <С 2» то в следующем
приближении мы получим
t _ 4u« - i=± + _iL_ /AzlLY+1/' . A5)
Cl ' CiCOSJth \ Ci I V ;
При обходе особой точки I = X сверху (I = X + is) мы полу-
получим, что (X — Z)x+1/«/Cl = ?-**<x+1/«) (I — Х)^Чсх при I > X, т. е,
t — 4u2 =
290

В силу положительности а и q полюс уходит в нижнюю плоскость,
пересекая вещественную ось справа от точки t = 4fi2 (рис. 1);
это означает, что полюс уходит на нефизический лист плоскости
t. При обходе точки I = X снизу (Z = X — ie) полюс уходит в
верхнюю полуплоскость, но также на нефизический лист.
Если Х + Ч2> 2, то нужно учесть с2 (t — 4fx2J, что не из-
изменяет результата, так как этот член не имеет особенности при
t = 4fx2. Если 0 < X + х/2 < 1, то
V.)
л W(b+J
¦ COS ЯЛ)
Полюс в этом случае также обходит справа особую точку t = 4fx2,
т. е. уходит на нефизический лист. Если X + V2 — целое, то фор-
формула A36) приводит к тем же результатам.
Таким образом, тот факт, что при вещественном t > 4[x по-
полюс в плоскости I (рис. 2) уходит в верхнюю полуплоскость (а > 0),
приводит к тому, что при вещественном г>Яполюс в плоскости t ухо-
уходит на нефизический лист. Если l0 (t) при увеличении t не пересе-
пересекает оси, то особенность ft в плоскости t при любом вещественном
I находится на нефизических листах, т. е. амплитуды парциальных
волн при целых и нецелых I обладают одинаковыми аналитически-
аналитическими свойствами (не имеют комплексных особенностей). В нереляти-
нерелятивистской теории [3] это свойство имеет место благодаря эрмитово-
сти гамильтониана при вещественном I.
Если полюс при некотором I = X' (рис. 2) пересекает вещест-
вещественную ось, то в плоскости t полюс выходит на физический лист
при t = tr (рис. 1). Так как при достаточно большом Z, определя-
определяемом числом вычитаний в дисперсионном соотношении по s, ft (t)
не имеет комплексных особенностей (см. [4,5]), то при некотором
Ч
17Л
\
V
РИС. 1. Ci, С2> t = t0 (I) РИС. 2. Cl, C2, / = /О @
при вещественном / при вещественном t
I — X" полюс должен уйти на нефизический лист плоскости t
(рис. 1), и, следовательно, при некотором t = t" в верхнюю полу-
полуплоскость плоскости I (рис. 2).
Отметим, что если в интервале X' < I < X" содержится I =
— 2тг, то тот факт, что физическая парциальная /2п @ не имеет
комплексных особенностей не очевиден и является результатом
сложных компенсаций.
10* 291

До сих пор мы рассматривали полюс, определяющий асимпто-
асимптотическое поведение Аг (s, t) в области дифракционного пика и яв-
являющийся, по предположению, первым в том смысле, что I =
= l0 (t) при t <^ 4(li2 имеет наибольшее значение по сравнению с
другими полюсами. Если бы мы рассмотрели другие полюса 1г (t),
то мы, очевидно, пришли бы к заключению, что они ведут себя
так же, как и l0 (t) в окрестности / 4\г, если Я$ = l^ D[i2) ^> v.
В формулах A3а) и A36) пришлось бы только заменить X на Я*.
Мы не смогли бы, однако, доказать, что :>ти лолтоса при t ^> 4|i2
уходят в верхнюю половину плоскости /, поскольку эти полюса не
дают существенного вклада в Лг (s, t). Мы смогли бы только убе-
убедиться в том, что если требуется, чтобы ft (/) при вещественных I
не имела комплексных особенностей, то все полюса при t ^> 4[i2
должны уйти в верхнюю половину плоскости I и оставаться там.
В связи со сказанным выше кажется чрезвычайно привлека-
привлекательной гипотеза о том, что полюса /z (t) при t ^> 4[i2 и ReZ ^>
^> — V2 могут находиться только в верхней половине плоскости I.
Следствия этой гипотезы было бы чрезвычайно интересно иссле-
исследовать. Одним из таких следствий является следующее. Рассмот-
Рассмотрим свойства l0 (t) в комплексной плоскости /. <)та функция имеет
особенности на вещественной оси / ^> 4иЛ Она не может иметь осо-
особенностей, связанных с левым разрезом функции /z (t) {t <^ 0)
по той причине, что скачок /г (t) на левом разрезе вообще не имеет
особенностей [5]. Вообще говоря, l0 (t) может иметь особенности
при таких значениях t, которые не являются особыми точками
fi (t). Такими точками могут являться те значения t, п]>и которых
lQ(t) совпадает с положением какого-нибудь другого полюса (пе-
(пересечение полюсов).
Поведение l0 (t) при t —>¦ оо существенно ограничивается тем
услЬвием, что sl°W не имеет существенной особенности на беско-
бесконечности в комплексной плоскости с разрезом t ^> 4ц2. Это озна-
означает, что Re l0 ограничена. Re l0 < с определяется числом вычи-
вычитаний в представлении Мандельстама. Это условие приводит к
тому, что | l0 (t) | < В | t \q при | t | -^ оо, q < 1. Последнее оз-
означает, что для l0 (t) можно написать дисперсионное соотношение,
требующее не больше одного вычитания. Если мы, кроме этого,
предположим, что пересечение особенностей не происходит, т. е.
l0 (f) имеет особенности только на вещественной оси t ^> 4|ы2,
то мы придем к дисперсионному соотношению вида
Отсюда, при предположении, что l'o' (t) — ImZ0 (t) ^> 0 (полюс
находится в верхней полуплоскости) следует, что при t <^ 4[х2
все производные l0 (t) больше нуля.
Поскольку не существует связанного состояния двух я-мезо-
нов с моментом I = 2, то 10 D (i2) < 2. Поэтому l'o @)< [I D[i2) —
292

— I @)]/4 \x2 ^ 1/4jo,2, так как / @) предполагается равным еди-
единице. Следовательно, показатель в экспоненте, определяющий угло-
угловое распределение внутри дифракционного пика [6], удовлетво-
удовлетворяет неравенству: yt In (s/4\i2) <^ (t/4\i2) In (s/4 \i2) (y = Zo @)).
Другим следствием формулы A6) является тот факт, что если
Го' (t) ->- 0 при t-*~ оо, так что \l"(t)dt/t <^ оо, то lo(t) при ?-^ + оо
стремится к постояному пределу
— полюс «замерзает» при t—^ + оо. Отметим, что в нереляти-
нерелятивистской теории полюс ведет себя именно таким образом, если по-
потенциал на малых расстояниях имеет вид гк (к ^> — 2, & не равно
четному числу) и значение, к которому стремится l0 (t), равняется
С " dt'
—3/2 — к/2. Если \ 10 (f) —j- == оо, то l0 (t) при t -> оо стремит-
стремится к — оо — полюс уходит. Такое поведение l0 (t) в нерелятивист-
нерелятивистской теории имеет место в случае, если потенциал на малых рас-
оо
стояниях имеет вид ^ cnr2n, т. е. г = 0 не является особой точкой
потенциала и малые расстояния не играют роли в рассеянии.
В заключение этого раздела обсудим поведение l0 (t) при t < 0,
не предполагая справедливости A6). Если при t < 0 l0 (t) продол-
продолжает уменьшаться с уменьшением t, то имеются следующие воз-
возможности поведения l0 (t) и, следовательно, асимптотики A (s, t)
и Аг (s, t) при s-> оо.
1. lo(t)-^C^O при t-+—оо. А E, t) стремится к бесконечно-
бесконечности при любом конечном t.
2. l0 (t) проходит через нуль при некотором конечном t = tx.
Если при этом вычет в полюсе при t = tx не обращается в нуль,
то для того чтобы физическая амплитуда ^-рассеяния не имела
полюса при t = tx (это означало бы существование частицы с мни-
мнимой массой), необходимо, чтобы она не совпадала с /г (t) при 1 = 0.
Для того чтобы это могло быть, необходимо, чтобы, по крайней
мере, вещественная часть A (s, t) не убывала при s -> оо и любом t.
Если бы A (s, t) стремилась к нулю при s-> оо, то мы могли бы
написать дисперсионное соотношение по s без вычитаний и показать,
что амплитуда ^-рассеяния совпадает с /0 (t). Если сравнить пове-
поведение 10 (t) в этих двух случаях с возможными поведениями Zo (t)
в нерелятивистской квантовой механике, то мы придем к заключе-
заключению, что в первом случае взаимодействие на малых расстояниях
имеет сингулярность, не имеющую нерелятивистского аналога,
поскольку полюс замерзает при I ^> 0, а во втором оно должно,
по крайней мере, иметь б-образный характер.
3. Если l0 (t) проходит через нуль так, что при t = tx вычет
в полюсе обращается в нуль, то A (s, t) при достаточно большом t
293

может убывать при $->¦ ос сколь угодно быстро. Этот случай соот-
соответствует тому, что малые расстояния не играли роли в рассеянии
даже с большой энергией. Отметим, что в нерелятивистской кван-
квантовой механике вычет в полюсе не может обращаться в нуль. По-
Поэтому этот случай тем более не имеет нерелятивистского аналога.
3. Являются ли полюса,
соответствующие «элементарным» частицам,
непрерывными функциями I
В недавней заметке Чу и Фраучи было укмаапо на экспери-
экспериментальную возможность выяснения вопроса о том, являются ли
свойства полюсов, отвечающих «элементарным» частицам, теми же,
что у полюсов, обусловленных связанными состояниями нереляти-
нерелятивистской квантовой механики. Мы хотим несколько более подроб-
подробно обсудить этот вопрос.
Рассмотрим амплитуду рассеяния я-мезона на нуклоне. Инва-
Инвариантная амплитуда рассеяния имеет вид
(k + iejb(ut), . A7)
&i» &2 — четырехмерные импульсы я-мезона до и после рассеяния.
Квадрат энергии в системе центра масс мы обозначали через и, t —
переданный импульс, связанный с углом рассеяния соотношением
t = - -i- и [и2 — 2и (т2 + ii2) + (т2 - ji2J] A - z).
Для анализа амплитуд парциальных волн удобно амплитуду
рассеяния в системе центра масс записать в двухкомпонентной
форме D):
h(u,t) + i(a[kuk2])k-2f2(u,t). A8)
/i {и, 0» /2 (u> 0 просто связаны с функциями а (и, t) и Ъ (и, t) и
обладают, как функции 5, теми же аналитическими свойствами:
/2 = i я1(и> - mf - ix2\ [a - (w + m) 6],
; д - Zf2 = - ±- я-1 Км; + тJ - [г2] [а + (w - т) Ь] ,
w = Yu- Разложение Д (и, t) и /2 (w, t) по парциальным волнам
отличается от Eа) и E6) только заменой s на и.
Если воспользоваться дисперсионным соотношением по 5,
то аналогично тому, как было сделано в [4], можно ввести парци-
парциальные волны с комплексными I. Если для /ь 2 (и» 0 написать
дисперсионные соотношения по /, например с одним вычитанием
в виде
(а г\-1 (и 0^4- z
(«, z)-/1>2(u, 0) + —
294

то легко показать, что
оо
рп {и) = fn+ (u)(n + l)+ fn- (и) п = -^- [ Qn (z) /i1} (и, z) dz +
OO
Л f*
\fn\z)Ji (u,z)dz, (ZUa)
4 5
/f
^ 5 Qn(z)zdz J /f (^^)^il, B06)
где (^n B) — функции Лежандра второго рода. При п = 0 и п = 1
формулы соответственно B0а) и B06) не имеют места. Если не-
необходимо большее число вычитаний, то B0а) и B06) имеют место,
начиная с больших значений п.
Формулы B0а) и B06) позволяют ввести аналитические функ-
функции F'lz (и), Hi' (и), совпадающие с B0а) и B06) при четных и не-
нечетных п (см. [4,5]). Явные выражения для Fr и Яр получатся,
если в B0а), B06) заменить Qn (z) на Qt — функцию Лежандра
второго рода, определенную при любых I и (— 1)п заменить соот-
соответственно на + 1. Повторяя рассуждения из [4,5], легко убе-
убедиться, что Ff, Hf удовлетворяют тому же условию унитарности,
что и Fn, Hn, при вещественных I. Ff и Hi1 обладают всеми теми
же свойствами, что и парциальные волны с комплексными I для
бесспиновых частиц, рассмотренные в [4, 5].
Выражения для функций Д (и, z) и /2 (иу z) через функции
Ff- (и) и Нf1 (и) можно записать в виде
/Г (U, Z) = 4" 2 F" (U) I1 ± (~ !)"] Рп B) +
t ai?°° dipt (и)
п=1
ft (и, z) = -i- 2 я^ (и) [1 ± (-1)»] р;(
где f^ (u, 2), f^(u, z) — симметричные и антисимметричные части
295

}х (и, z) и /2 (и, z); m1, m2 определяются числом вычитаний,
ai >mi> a2 > m2-
Мы привели эти формулы для того, чтобы возможно более чет-
четко поставить вопрос, сформулированный в названии параграфа.
Парциальная волна fx-(u) имеет полюс при и ¦--- т2, соответствую-
соответствующий нуклону. Этот же полюс имеют функции 1<\ (и) и Н1 (и).
Если при аналитическом продолжении но / функций FJ и Hi
к точке 1 = 1, где формулы B()а) и B06), нообще говоря, не при-
применимы, эти величины совпадают с истин и мм и парциальными вол-
волнами, то можно утверждать, что 1\ и }1Ь должны иметь при фик-
фиксированном I полюс по и при и ----- и (/) такой, что и A) = т2.
В этом случае мы можем говорить, что нуклопнмй полюс ншшстся
непрерывной функцией I. Если при аналитическом продолжении
по I к точке I = 1 функции Fi и Щ не совпадают с истинными
парциальными волнами, тб они могут не иметь полюса, соответ-
соответствующего нуклону, и в этом случае можно сказать, что нуклон-
ный полюс не является непрерывной функцией I.
Непрерывная зависимость полюса от I естественна, если полюс
соответствует связанному состоянию (центробежный барьер изме-
изменяет энергию связи). В применении к полюсу, обусловленному
частицей, которая мыслится как элементарная, такая зависимость
кажется несколько неожиданной, однако поскольку понятие эле-
элементарности при наличии сильных взаимодействий не имеет точ-
точного смысла, то возможно> что все частицы в одинаковой степени не
элементарны и соответствующие им полюса непрерывно зависят от I.
Вопрос о том, зависят ли полюса непрерывно от /, может быть
решен экспериментально. Это связано с тем, что если в некотором
интервале изменения и амплитуда /2 (и, z) стремится к нулю при
z ->¦ + оо, а Д (и, z) растет медленнее, чем z, то при таких и диспер-
дисперсионное соотношение для /2 {и, z) можно написать без вычитаний,
а для /х (и, z) с одним вычитанием. При этом формулы B0а) зт B06)
справедливы при п = 1,т. е. при аналитическом продолжении по
I F\ и Hi совпадают с F± и Нг в этом интервале и. В силу анали-
аналитичности по и они совпадают и при любых и и, следовательно, по-
положение нуклонного полюса непрерывно меняется с I.
Интервалом изменения и, в котором /2 (и, z) и Д (и, z) обладают
указанными свойствами, может оказаться интервал и < 0. При
s -^ оо и и < 0 мы попадаем в физическую область рассеяния на
большие уш1ы я-мезона на нуклоне (s — энергия). При s —> — оо мы
попадаем в физическую область двухмезонной аннигиляции (t —
энергия). Легко убедиться в том, что если дифференциальные
сечения обеих этих реакций соответственно при s—>-oo, u = const
и t—> оо, и — const стремятся к нулю, то f± и /2 обладают ука-
указанными выше свойствами и, следовательно, нейтронный полюс
непрерывно зависит от Z.
Аналогично можно рассмотреть другие процессы и сделать за-
заключение о полюсах, соответствующих другим элементарным час-
296

тицам. Такими процессами являются, в частности, процессы, пе-
перечисленные в [9].
Подчеркнем, что даже если положение нейтронного полюса
является непрерывной функцией I и дифференциальные сечения
аннигиляции и рассеяния на большие углы стремятся к нулю, то
это не означает, что
/Г (и, *) ~ sln<">, ft(u,s)~ sln ^ B2)
при 5 —>- oo и и < 0, где 1п (и) — положение нейтронного полюса,
поскольку при Re I < 0 функции F\ и Н\ могут иметь неполюсные
особенности.
Если предположить, что мнимая часть 1п (и) при и ^> (т +
+ |ыJ больше нуля и справедливо дисперсионное соотношение
вида A6), то легко получить неравенство для 1п (и) в физической
области и < 0, используя тот факт, что при этом все производные
1п (и) больше нуля. Так как не существует стабильной частицы с
/ — 3 и барионным числом, равным единице, то 1п [{т + [х) 2] < 3.
Следовательно, 1п (и) < 2/Bm\i + u2) < l/m\i. Поскольку 1п ^> О,
то I'n < l/m\i и при и < т2. Отсюда 1п @) = — т/\л + 1-
В заключение мы благодарим И. Ю. Кобзарева, Л. Б. Окуня
и К. А. Тер-Мартиросяна за многочисленные интересные дискус-
дискуссии результатов этой работы.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Рассмотрим вопрос о вычислении спектральной функции р (s, t), исходя
из асимптотического вида А1 (s, t) в форме
Для этого необходимо вычислить разность Лг (t + iO) — Аг (t — Ю) при
t > 4[л2. Исходя из G), A3а) и A36), легко получить при X + 7г» не равном
целому числу
р ^ s* [sl« С-4^Х+1/*- *-*« С«-4Юх+1/«]. (П.1)
Когда (t — 4[А2)л+1/21п 5<^ 1, (П.1) переходит в
р = const .[*(* — 4[л2)]^ V't — 4р.2 In s. (П.2)
Я, — значение самого правого полюса при t = 4[л2. Пусть при Хг <^ X есть сле-
следующий полюс. Тогда вклад в р, обязанный этому полюсу, будет аналогично
(П.2) равен
const- [s(i —4^)]Хг Yt — 4jia In s. (П.З)
Сравнивая (П.2) и (П.З), мы видим, что в то время, как условием отбрасыва-
297

йия всех особенностей в Ах (и А), кроме 1-Х, является s ^> |Д при вычис-
вычислении р возникает совершенно иное условие:
s (t — 4[х2) > и.4. (П.О
При t — 4jAa = const • ja2 (П.4) сводится к s ^> |л2. Условие (П.4) очевидно
означает, что асимптотический полюсный режим определяет р только тогда,
когда вклад в р дает большое число особенностей Ландау, как этого и следо-
следовало ожидать. Аналогичный результат получаотся и при X + 7г, равном це-
целому числу.
Институт теоретической Получено 3 марта 1932 г.
и экспериментальной физики
А кадемии наук СССР, Москва
ЛИТЕРАТУРА
1. S. Mandelstam. Phys. Rev., 1958, 112, 1344.
2. В. Б. Берестецкий, if. Я. Ломеранчук. ЖЭТФ, 1960, 39, 1078, (Собр.
трудов, № 109); В. Я. Грибов. Nucl. PhyS., 1961, 22, 246.
3. Т. Regge. Nuovo cimento, 1959, 14, 951; 1960, 18, 947.
4. В. Я. Грибов. ЖЭТФ, 1961, 41, 1962.
5. В. Я. Грибов. ЖЭТФ, 1962, 42, 1260.
6. В. Я. Грибов. ЖЭТФ, 1961, 41, 667.
7. G. F. Chew, S. С. Frautschi. Phys. Rev., Lett., 1961, 7, 394.
8. G. Lovelace. Preprint.
9. V. N. Gribov, 1. Ya. Pomeranchuk. Internat. Gonf. on Theoretical Aspects
of Very High Energy Phenomena, GERN, 1961, p. 376, Nucl. Phys., 1962,
33, 516 (Собр. трудов № 110).

113
НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ
ИЗ ГИПОТЕЗЫ ДВИЖУЩИХСЯ ПОЛЮСОВ
ДЛЯ ПРОЦЕССОВ ПРИ БОЛЬШИХ ЭНЕРГИЯХ1
Совместно с В. Н. Грибовым, Б. Л. Иоффе и А. П. Рудиком
Недавно [1] на основе гипотезы о том, что поведение амплитуд
упругого рассеяния при больших энергиях определяется крайним
правым полюсом в комплексной Z-плоскости, был получен ряд
соотношений между асимптотическими значениями полных сече-
сечений различных процессов. Здесь мы получим эти соотношения с
помощью теории матрицы реакции (Д-матрицы) в аннигиляци-
онном канале и укажем на некоторые следствия, вытекающие из
указанной гипотезы.
1. Следуя [1], рассмотрим парциальные амплитуды в анниги-
ляционном канале Т\ъ (t), где I — орбитальный момент (вообще
говоря, комплексный); i, k — начальные и конечные состояния;
t — квадрат полной энергии. Ограничимся случаем двухчастич-
двухчастичных начальных и конечных состояний и бесспиновых частиц.
Тогда, вводя статистический вес р в определение Г-матрицы и R-
матрицы (см., например [2]): Т = лр1/»Гр|/»> Rr == jtpV«flpV«f
получаем (опуская индекс I и штрих при Т' и R')
A - Ш) Т = R. A)
В области ниже порогов всех реальных процессов р чисто мнимо
и A) принимает вид
A + R) Т = R. B)
Решая уравнение B), имеем
-(-1){+йладл, C)
где А -~ детерминант матрицы 1 -\- R, a MiK — миноры Л. Для
установления связи между амплитудами различных процессов в
аннигиляционном канале воспользуемся известным из теории де-
детерминантов соотношением
MihMUi - MimMlk = ANiklm, D)
где Niklm — детерминант, полученный из А вычеркиванием строк
?, I и столбцов /с, т.
ЖЭТФ, 1962, 42, 1419.
299

Асимптотическое поведение амплитуд рассеяния при больших
энергиях выражается через значения Tik вблизи полюса. Тогда
А стремится к нулю как А — I — l0 (t) и Tik х — (— 1)г+кМщ/А.
Используя D), получим
Tik'Tim = Tlk/Tlm == Tk/Vmj E)
т.е. отношение Tik/Tim одинаково для любых начальных состоя-
состояний i. Используя связь между амплитудами в аннигиляцион-
ном канале вблизи полюса I = l0 (t) и амплитудами в ка-
канале рассеяния при больших энергиях, с помощью E) можно ана-
аналогично тому, как это было сделано в [1], установить соотноше-
соотношения между амплитудами различных реакций при больших энер-
энергиях.
2. Рассмотрим неупругое рассеяние с образованием в конеч-
конечном состоянии двух частиц, по крайней мере одна из которых не-
нестабильна. Для конкретности ограничимся случаем рассеяния
нуклонов нуклонами с образованием пион-нуклонного резонанса
N* в состоянии с изотопическим спином Т = 1/2 (например, ре-
резонанс D*/2 с массой тп* = 1,51 Бэв или резонанс Fbt% с массой пг* =
= 1,69 Бэв). Будем считать, что несмотря на наличие в конечном
состоянии нестабильной частицы, модифицирующей представле-
представление Мандельстама, поведение амплитуд при больших энергиях
по-прежнему определяется крайним правым полюсом в /-плоско-
/-плоскости. (Учет спиновой зависимости яе_ меняет вывода — см [3].)
Тогда, как нетрудно видеть, система N + N* может переходить в
«квазивакуумные» состояния с изотопическим спином Г = О,
полным моментом / = 0, 2, 4, ... и положительной четностью.
Среди этих состояний есть такое состояние, движущийся полюс
которого l0 (t) определяет полное и упругое сечения при больших
энергиях.
Отсюда следует, что амплитуда f(s, t) процесса N + N->
->¦ N + N* при больших эгнергиях должна иметь вид [4]
f(s,t) = r(t)S^\ г,@) = 1 F)
и сечение этого процесса пропорционально
а ~ const/ [с + In E/4 т2)}. G)
Функция г (t) пропорциональна значению вычета парциальной
амплитуды в аннигиляционном канале в точке полюса I = /0 (t).
Если принять, что г (t) при малых t существенно меняется в интер-
интервале 0 < t <: а, то константа с ж а/10 @).
Из G) видно, что сечения подобных неупругих процессов будут
медленно убывать с энергией. Из экспериментальных данных [5—7]
можно оценить константу с для iVTV-рассеяния. Эта константа ока-
оказывается довольно большой [7]: cnn-*nn^^^, так что при энергиях
вплоть до Ядаб ^ 50 -г-100 Бэв сечения упругих и неупругих
300

процессов, идущих по аннигиляционному каналу через «квази-
«квазивакуумные» состояния, практически постоянны.
Экспериментальные данные по TVW-рассеянию [5] показывают,
в согласии со сказанным выше, что в области энергий 10—27 Бэв
имеется заметное сечение рождения резонансов Ds/2 и Рь/2. При
этом не наблюдается рождения резонанса P»/t с изотопическим
спином Т = 3/2, что в рассматриваемой теории обусловлено от-
отсутствием «квазивакуумных» состояний в аннигиляционном кана-
канале для этого процесса. Если не считать это совпадение теории с
экспериментом случайным, то оно служит аргументом в пользу
несущественности в данной схеме видоизменения представления
Мандельстама в аномальных случаях.
В связи с этим отметим важное с экспериментальной точки
зрения обстоятельство. Поскольку сечения рождения резонансных
состояний в процессах, идущих по аннигиляционному каналу через
«квазивакуумные» состояния, практически не падают с ростом
энергии, то появляется возможность поисков этих резонансов в
реакциях при больших энергиях. Очевидно, что такие резонансы
будут эффективно рождаться как при рассеянии вперед, так и
при рассеянии назад.
3. Рассмотрим рассеяние нуклонов ядрами. Сделаем предполо-
предположение, что в таких аномальных случаях, когда все входящие час-
частицы стабильны, несмотря на видоизменение представления Ман-
Мандельстама, поведение амплитуд при больших энергиях определя-
определяется крайним правым полюсом в Z-плоскости и, кроме того, имеет
место соотношение E).
Одним из следствий этого предположения является следующее
соотношение между полными сечениями нуклона на ядре Gna нук-
нуклона на нуклоне Gnn и ядра на ядре Gaa пРи больших энергиях:
Обычная зависимость сечений от атомного номера Gna ~ ^2/%
Gaa ~ -42//з не удовлетворяет этому соотношению. Физически
это, возможно, объясняется тем, что в рассматриваемой теории
радиус нуклона логарифмически растет с ростом энергии и
при достаточно большой энергии становится больше радиуса
ядра.
Не исключено, что в рамках этой физической картины при
больших энергиях имеет место закон Gna — -4» Gaa — -42? не про-
противоречащий соотношению (8) (это соображение принадлежит
И. Ю. Кобзареву). Энергии, начиная с которых нарушается закон
>¦ -42/% в настоящее время оценить трудно.
Институт теоретической Получено 21 марта 1962 г.
и экспериментальной физики
Академии наук СССР, Москва
301

Примечание при корректуре C мая 1962 г.). Резонансы ?8д и Fb^ при боль-
больших энергиях должны эффективно рождаться как при AW-тбассеянии, так и
при я^-рассеянии. Как следует из E), отношение дифференциальных сече-
сечений рождения такого резонанса bNN- и nJV-рассеянии равро отношению диф-
дифференциальных сечений упругого NN- и я^-рассеяния: /
ЛИТЕРАТУРА
1. В. Н. Грибов, И. Я. Померанцу к. ЖЭТФ, 1902, 42, 1141 (Собр. трудов
№ 111).
2. Л. Я. Dalitz, S. F. Tuan. Ann. Phys., 1960, 10, 307.
3. В. Я. Грибов, И. Я. Померанчук. ЖЭТФ, 1962, 43, 308 (Собр. трудов
№ 112).
4. S. F. Frautschi, M. Gell-Mann, F. Zachariasen. Phys. Rev., 1962, 126,
2204.
5. Ю.Д. Баюков, Г. А. Лексин, Я. Я. Шаламов. ЖЭТФ, 1961, 41, 1025.
6. G. Cocconi, A. N. Diddens, E. Lillethun, G. Manning, A. E. Taylor,
Т. G. Walker, A. M. Wetherell. Phys. Rev. Lett., 1961, 7, 450.
7. Ю.Д. Баюков, П. Г. Виргер, Г. А. Лексин, Д. А. Сучков. ЖЭТФ,
1962, 43, 339.

114
СПИНОВАЯ СТРУКТУРА
АМПЛИТУД МЕЗОН-НУКЛОННОГО
И НУЙЛОН-НУКЛОННОГО РАССЕЯНИЯ
ПРИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЯХ1
совместно с В, Н. Грибовым
Недавно было показано [1] существование соотношений между
амплитудами различных процессов при высоких энергиях, кото-
которые следуют из предположения, что асимптотически эти процессы
обусловливаются одним полюсом Редже [2, 3].
15 этой заметке мы рассмотрим вакуумный полюс [3] в амплиту-
амплитуда л мезон-нуклонного и нуклон-нуклонного рассеяний, имея в
ниду проанализировать их спиновую структуру и соотношения
между ними. Напишем общее выражение для амплитуд мезон-
нуклонного (G) и нуклон-нуклонного (Я) рассеяний D):
G = a + bq, q = 1U(ki+k[I A)
// г - #, (,, t) -[- Я2 (в, t) (Td)p + ТB)А0 + #3 <5'') (ТA)Р) (ТB)*) +
I Я4 (s, t) (T^TAV) (T^2)TB)A) + Я6 (s, t) rfVe^ B)
Р = Чг (Р% + А), к = Vi (A + PiY
!1д|м'1. /f|, /t'i; рр ра; pi, Ра — импульсы мезонов (в A)) или нукло*
шш (и B)) г.оотиотг/гшчшо до и после рассеяния. Так как мы ин-
TujHicyi'MCii шисуумным полюсом, который определяет интересуюг
1цио нас амплитуды при больших su малых i, то эти амплитуды яв-
являются единичными матрицами в изотопическом пространстве.
Легко видеть, что члены Нй и Н6, содержащие у6, не могут генери-
генерироваться вакуумным полюсом и поэтому асимптотически малы.
Таким образом, при больших s и малых t амплитуда нуклон-нуклон-
нуклон-нуклонного рассеяния содержит только три инвариантные функции. Так
как вакуумный полюс входит только в симметричную по отноше-
отношению к замене s на и [3] часть амплитуды, то эти же выражения опи-
описывают рассеяние античастиц на нуклонах. Как и в случае бес-
Спиновых частиц, рассмотрим разложение амплитуд по парциаль-
парциальным волнам в аннигиляционном канале.
Для амплитуды мезон-мезонного рассеяния имеем обычное
выражение
/(«,<) = 2B; + i)f) (*) Pi (z/)- C)
ЖЭТФ, 1962, 42, 1682; Phys. Rev. Lett., 1962, 8, 412.
303

Для разложения амплитуд двухмезонной аннигиляции и нуклон-
антинуклонного рассеяния мы будем пользоваться спиральными
амплитудами [5]
2, Х21Н | Х[, ХгУ = 2 B/ + 1) < ^2, ^1 "' I К Ц> d[ _х> . (zh), D)
д ч J' 2 2
где 2/, Zg, zh — косинусы углов рассеяния для соответствующих
процессов в аннигиляционном канале. Введенные таким образом
парциальные волны в интервале 4|я2 << t <^ 10 (л2, r/i,e (x—масса
я-мезона, удовлетворяют обычным соотношениям унитарности
E)
= ~co~
Первое из соотношений E) справедливо, если рассеиваемый ме-
мезон является я-мезоном.
Используя явный вид спиральных амплитуд <]G|A/, X} и
<Х2? ^2 I -^ I ^i» ^i> через инвариантные функции с известными ана-
аналитическими свойствами, можно показать, что спиральные пар-
парциальные волны являются аналитическими функциями / и удов-
удовлетворяют обобщенным условиям унитарности, которые отличают-
отличаются от E) заменой [6] f] -> /J*, g) -» g]*,
В силу этого все спиральные амплитуды имеют вакуумный полюс,
и вычеты в этом полюсе связаны соотношениями [1]:
г D Хъ | Х[, X,) П = г D Х2) г (Х'и Хг). F)
Используя аналитичность парциальных амплитуд по / и переходя
от суммы к интегралу по /, аналогично случаю бесспиновых частиц,
легко прийти к выводу, что наши амплитуды при больших 5 и ма-
малых t определяются вакуумным полюсом.
Используя соотношение между вычетами F) и явный вид d^v B)
[5] при больших z, легко убедиться, что матрица нуклон-антинук-
лонного рассеяния <Х2, Х2 \ Н \ Хь Xx>, умноженная на амплитуду
804

мезон-мезонного рассеяния /, является прямым произведением
матриц двухмезошюй аннигиляции <|G|A<i,^i> и<|С|Я2, Я2>.
Такой результат естествен, если сама амплитуда нуклон-антинук-
лонного рассеяния в форме B) пропорциональна прямому произве-
произведению спиновых матриц двухмезонной аннигиляции, а так как
совокупность спиральных амплитуд однозначно определяет инва-
инвариантные функции Hi (s, t), то, переходя к каналу рассеяния,
можно написать:
[Нг + Н ) ) )
= (a h b^p) (a + Ьч(Щ. G)
Если рассмотреть рассеяние if-мезона на нуклоне, то матрица нук-
лон-нуклонного рассеяния точно таким же образом выражается
через матрицу Х-мезон-нуклонного рассеяния и амплитуду рассе-
рассеяния .ff-мезона на /С-мезоне /#
= {ак + Ьк^р) (ак + ЬкТB)/0- (8)
Выражения для амплитуд рассеяния /яя, //fK, /„iv, /kn и fN^, отве-
отвечающие вкладу вакуумного полюса и учитывающие соотношения
F), G), можно записать в виде
/яя = Г2 («) В (s), fKK = Г| (О Z) (s),
fKK = гк
(относительно /Я]у см. [7]), где
Эти выражения напоминают те, которые получались бы, если
бы мы рассмотрели фейнмановские диаграммы, отвечающие обмену
одним мезоном, функция Грина которого имеет вид D (s), а осталь-
остальные множители в (9) сопоставили бы вершинам.
Отметим некоторые следствия формул (9).
1. При t = 0 из (9) следует соотношение между полными сече-
сечениями типа Ц]: g^-Gnn = or^iv» GkkGnn = ^"kn-
2. Точно такие же соотношения имеют место для усредненных
по спинам дифференциальных сечений упругого рассеяния.
3. Пользуясь вещественностью абсорбционных частей всех
инвариантных функций, входящих в A) и B), можно показать,
что все входящие в (9) величины Tt (t)Yk (t) вещественны. Отсюда
305

следует, что в мезон-нуклонном и нуклон-нуклоннЬм рассеянии
при больших энергиях исчезает поляризация. Если/бы мы учиты-
учитывали наряду с вакуумным полюсом и другие полюсы, поляризация
была бы обусловлена интерференцией ближайшего полюса с ва-
вакуумным. Это обстоятельство придает особый ^интерес экспери-
экспериментам по изучению поляризации при высоких/энергиях.
4. Спиновые корреляции между части цам# в нуклон-нуклон-
ном и нуклон-антину к лонном рассеянии отсутствуют.
5. Поворот спина поляризованных частиц или мишеней при
заданном t одинаков в JtiV-, KN-, NN- и iWV-рассеяииях. (Включая
рассеяние Л-гиперонов на нуклонах, можно показать, что поворот
спина нуклонов мишени должен быть тем же самым.) Проверка это-
этого результата явилась бы одной из решающих проверок всей кон-
концепции движущихся полюсов.
В заключение мы хотим поблагодарить В. Б. Берестецкого,
JI. Б. Окуня, И. И. Левинтова и И. М. Шмушкевича за полезные
обсуждения.
Институт теоретической Получено 5 апрели 1962 г.
и экспериментальной ершики
Академии наук СССР, Москва
ЛИТЕРАТУРА
1. В. И. Грибов, И. Я. Ломеранчук. ЖЭТФ, 1962, 42, 1141 (Собр. трудов,
№ 111): M. Gell-Mann. Phys., Rev., Lett., 1962, 8, 263.
2. Т. Regge. Nuovo cimento, 1959, 14, 951; 1960, 18, 947.
3. В. Н. Грибов. ЖЭТФ, 1961, 41, 66; 1961, 41, 1962; G. F. Chew, S. F.
Frautschi. Phys. Rev. Lett., 1961, 5, 580; 1961, 7, 394; S. C. Frautschi,
M. Gell-Mann, F. Zachariasen. Phys. Rev., 1962, 126, 2204; S. C. Fra-
utschi, G. F. Chew, S. Mandelstam. Preprint.
4. M.L. Goldberger,Y. Nambu,R. Oheme. Ann. Phys. 2, 226, 1957.
5. M. Jacob, G. С Wick. Ann. Phys., 1959, 7, 404.
6. В. Н. Грибов. ЖЭТФ, 1961, 41, 1962; ЖЭТФ, 1962, 42, 1260.
7. S. С. Frautschi, M. Gell-Mann, F. Zachariasen. Phys. Rev., 1962,126,2204.

115
ПОЛЮСА РЕДЖЕ И ОСОБЕННОСТИ ЛАНДАУ1
Совместно с В. Н. Грибовым
Показано, что при энергии Yt = Yh, равной любому двухчастичному
порогу, происходит сгущение бесконечного числа полюсов Редже на линии
Re/ = — 1/г. Этот результат, в частности, означает, что инвариантная ампли-
амплитуда рассеяния двух бесспиновых частиц при t, равном любому двухчастич-
двухчастичному порогу, не может с ростом s убывать быстрее, чем l^Ys. Последнее
утверждение есть следствие унитарности и аналитичности. Доказательство
факта сгущения полюсов требует использования конечности радиуса взаимо-
взаимодействия при заданной энергии. Доказывается, что взаимодействие, совмес-
совместимое с унитарностью и аналитичностью в нерелятивистском предельном
случае, не может быть отталкивательным на всех расстояниях.
Известно, что амплитуда рассеяния 2 как функция энергии t
и переданного импульса s имеет особенности при пороговых значе-
значениях этих переменных и на кривых Ландау [1,2]. Замечательным
свойством особенностей Ландау является то, что пороговое зна-
чопио одной из переменных, например t, есть линия в плоскости
,v и /, к которой стремится бесконечное число кривых Ландау,
мидп другим переменная s стремится к бесконечности. С дру-
гпй rmpom.i, и иоглодшч) время выяснилось, что асимптотическое
нонодппио амплитуды рассеяния при больших s определяется
аналитическими свойствами амплитуд парциальных волн fi(t)
как функций момента I в канале, где j/V является энергией [3].
Возникает вопрос, как проявляется сгущение кривых Ландау
при пороговых значениях t в поведении особенностей амплитуд
как функций момента Z. Ниже будет показано, что при энергии
t = t{, соответствующей любому двухчастичному порогу, происхо-
происходит сгущение бесконечного числа полюсов на линии Re I = —1/2.
Мы приведем также аргументы в пользу того, что при энергии, со-
соответствующей порогу образования п частиц, должно происходить
сгущение бесконечного числа полюсов на линии Re I = — г/2 —
3B)
1 ЖЭТФ, 1962, 43, 1970; Phys. Rev. Lett., 1962, 9, 238.
2 Термин «амплитуда рассеяния» мы используем ради краткости. Все даль-
дальнейшее имеет место для любой инвариантной амплитуды превращения двух
частиц в две.
307

Этот результат, в частности, означает, что инвариантная ам-
амплитуда рассеяния при t, равном любому двухчастичному порогу,
не может с ростом s убывать быстрее, чем s~x-2. Последнее утверж-
утверждение об ограничении на скорость убывания амплитуды есть след-
следствие только унитарности и аналитичности./ Доказательство
факта сгущения полюсов требует использования конечности ради-
радиуса взаимодействия при заданной энергии.
Несмотря на сгущения полюсов, удастся вычислить асимптоти-
асимптотику абсорбционной части амплитуды рассеяния при /, близком к
4 |х2 (|х — масса я-мезона). При этом вклад от полюсов, сгущаю-
сгущающихся на линии Re I — — г/2, оказывается осциллирующим даже
при t <^ 4 |х2. Осцилляционное поведение абсорбционной части
для амплитуд, которые в s-канале описывают упругое рассеяние,
противоречит условию унитарности в s-канале, поскольку из это-
этого условия следует, что абсорбционные части этих амплитуд поло-
положительны при 0 ^ t<^4 |x2 [4]. Отсюда с необходимостью следу-
следует, что амплитуда парциальной волны в ^-канале в этих случаях
обязана иметь хотя бы один полюс на вещественной оси справа от
линии Re I = — V2 ПРИ малом положительном 4 pi2 — t. Этот
результат можно рассматривать как чисто теоретический аргумент
в пользу необходимости существования вакуумного полюса. С
точки зрения нерелятивистской квантовой механики наличие по-
полюса при Re I ^> — г/2 означает, что потенциал не может являться
всюду отталкивательным (J urdrqJ^>0 [5]). Сделанное выше ут-
утверждение означает, что взаимодействие, совместимое с унитар-
унитарностью и аналитичностью, в этом смысле должно являться притя-
гивательным.
Рассмотрим амплитуду парциальной волны ft (t) для рассея-
рассеяния одинаковых бесспиновых частиц. При Z, расположенном в
комплексной Z-плоскости правее всех особенностей fu имеет место
соотношение [6]
-4- \
где Ах E, t) — абсорбционная часть амплитуды по каналу 5;
Qi (х) — функция Лежандра второго рода. Отсюда при t ->• 4 \i2
{t _
Z ф - Bn + 3)/2, л = 0,1,...
Парциальная волна ft (t) при таких t = 4 pi2 -f б удовлетворяет'
соотношению унитарности
-й-l/i С) -/*¦ @1 = -?- /»W /«•(*)• C)
308

Из этого соотношения следует, что фг (t) = (k/io) ft (t) при веще-
вещественных I по модулю меньше единицы. С другой стороны, сог-
согласно B), фг (t) пропорционально (t — 4 [x2)z+1/2.
Если формула B) справедлива вплоть до Z, расположенных левее
линии Re I = — 1/2, то ф/ (t) при достаточно малом t — 4 [х2
может стать сколь угодно большой. Это означает, что интеграл B)
должен потереть смысл при Re I > —г/2, т. е. Аг (s, 0 при t =
= 4 (х2 не может убывать с ростом s быстрее, чем l/|/"s. Поэтому
Ф; (?) должна при ? —>- 4 |х2 иметь особенности не левее линии Re I =
-— — г/2. Предположим, что при Re I !> —2/2 имеется только конеч-
конечное число полюсов в точках кп. Тогда ф^ (t) может быть записано
в виде
где rn (t) — вычет в полюсе (гп ~ (t — 4 \л2)х^12 [4]), б — про-
произвольное число больше нуля. Тогда ц>г (t) не имеет особенностей
при Re I !> — 1/2 и благодаря введению в D) множителя е~5(*-х)
экспоненциально убывает при Re Z->- оо. При этом фг (^) может
быть записано в виде B), где вместо Аг нужно подставить А1 =
= Аг — А-41? где АА\ — вклад от рассматриваемых полюсов.
Интеграл, содержащий &Аг, в качестве нижнего предела вместо
4 |х2 будет иметь величину, пропорциональную t — 4 |х2. Так как
сумма
коппчна при t->• 4 (х2, то в силу условия унитарности <pz (^) так-
жп коппчпо п|)и пшцостпонпых Z. С другой стороны, $г приобретает
"ид
** - ъ - ^1 —г=^т^ -~5("Хп) - х (D (t -
гДе X @ ~~ аналитическая функция Z, имеющая при Re l большем,
чем максимальное значение Re A,n, представлениеХвида
Если число полюсов Хп конечно, то функция % (I) может быть
продолжена в полуплоскость Re Z <^ — г/2, так как вся линия
Re I = —1/2ине ^заполнена "особенностями. В этой полуплоскости
Ф/-> оо, когда t -> 4 [х2. Это противоречит конечности cpj. Отсюда
309

мы приходим к заключению, что Аг (s, 4ц,2) также не может убывать
быстрее,чем l/j^s, и, следовательно, <Pj (t)9 в противоречии с ее
определением, должно иметь особенности не леве^ линии Re I =
= — 1/2. Это означает, что <pt (t) не может иметь конечного числа
полюсов при Re I > — 1/2 и t ->- 4ц,2. Легко показать, что этот
вывод не изменится, если q>j (t) имеет еще конечно^ число точек
ветвления при Re I !> — х/2.
Таким образом, мы приходим к выводу, что cpf (t) должно при
t ->- 4 |х2 иметь бесконечное число особенностей вблизи линии
Re I = - V,.
Легко видеть, что та же ситуация возникает при любом двух-
двухчастичном пороге. Для этого достаточно рассмотреть амплитуду
любой реакции, в которой в начальном или конечном состояниях
присутствуют частицы, обусловливающие этот двухчастичный по-
порог, поскольку все амплитуды, связанные условием унитарности,
имеют общие полюса. Инвариантная парциальная амплитуда fab
перехода двух частиц в две пропорциональна к1ак{, где ка, кь —
относительные импульсы в начальном и конечном состояниях. Ог-
Ограниченная по модулю амплитуда, аналогичная ф,
и, следовательнд, при соответствующем пороговом t (ka ->• 0 или
кь -*• 0) мы сталкиваемся с тел* же явлением. Интересно отметить,
в этой связи, что поскольку в теории с выключенным электромаг-
электромагнитным взаимодействием ввиду насыщения ядерных сил должны
существовать атомные ядра со сколь угодно большой массой по-
порядка тА, то двухчастичные пороги будут при сколь угодно боль-
большом t. Это означает, что инвариантная амплитуда Аг при сколь
угодно большом t ^ B тАJ не может убывать быстрее l/Vs.
Рассмотрим ситуацию вблизи многочастичных порогов. Для
этого можно рассмотреть парциальную амплитуду превращения
двух частиц впс моментом Z, входящую в условие унитарности
для упругой амплитуды. Такая амплитуда вблизи порога рожде-
рождения пропорциональна
п
/ ^ \21 1/2
Ограниченная по модулю амплитуда, аналогичная сраЬ, равняется
YkJab Y^bt гДе Гь — фазовый объем состояния п частиц, про-
пропорциональный
п
I (Зп-5)/2
310

Отсюда ограниченная амплитуда пропорциональна
Мы думаем, что такая зависимость приведет к появлению бесконеч-
бесконечного числа особенностей на линии ReZ = — C п — 5)/2 при t—>¦
—> B^i) 2 и это будет отражать сгущение кривых Ландау при
t = Bт|J и5-> со. В этой связи нам кажется, что гипотеза Пре-
дацци и Редже [7] о симметрии Z-плоскости относительно линии
Re I =—г/2, при которой указанное явление невозможно, по-види-
по-видимому, не осуществима при учете неупругих процессов, так как в
ней не видно, каким образом проявляется в Z-плоскости сгущение
кривых Ландау при многочастичных порогах.
Для более детального исследования структуры особенностей
на линии Re Z = — х/2 при ?-> 4 |х2 воспользуемся не зависящим
от энергии граничным условием для волновой функции, которое
имеет место в нерелятивистской области t ->- 4 |i2 для взаимодей-
взаимодействия, экспоненциально спадающего с расстоянием. Это гранич-
граничное условие, обычно используемое для целых Z, мы будем анали-
аналитически продолжать по Z. Волновую функцию в области вне вза-
взаимодействия запишем в виде
г|), = j\ (кг) + i% (к) Н™ (кг), E)
где
}ч (х) = |/ Ц- /v (х\ А<« (х) = УЩ- Я« (х),
v = I + х/2; /v (^), Мг) (д:) — функции Бесселя и Ханкеля. Обо-
Обозначая (n|)vA|>v)r=R через )Cv, получим, пользуясь соотношением
W = TEXri<+"h-U, F)
ЧТО
фv == — Л sin jtv/(l — ^-i7tvA), G)
Л = [/v (kR) - Xv/V (Ari?)]/[/lv (АД) - Xv/-v (ft«)] • (8)
При к ->¦ 0 (v =f= 0, +1, +2, ...) имеем
Xv не зависит от энергии. Отсюда следует, что при малых к вели-
величина Л быстро осциллирует вдоль линии Rev = 0 и быстро меня-
меняется по модулю при незначительном отклонении от линии.
Поэтому фу должно иметь бесконечное число полюсов.
Рассмотрим более подробно область v <^ 1. Если множитель
при (ЛДJу разложить в ряд по степеням v, то линейный член в
311

этом разложении можно исключить, переопределив /?. Тогда
Л =.?2v(l + TV2), A0)
где х = ка, а — переопределенный радиус. Для того, чтобы уст-
устранить е i3TV в знаменателе G), рассмотрим область 2<^4р,2.
Тогда уравнение для определения положения полюсов имеет вид
1 ¦/7 о ,
<T-2v =1-1- yv2, х = иа, х = [/4[х г,
— vt == tv2 + 2wm, т = Jn.x2, /г — 0, h I,... A1)
Отсюда
vn ~ — 2*птг/т + 4л2лат/т3. A2)
Итак, мы получили бесконечйое количество комплексно-сопряжен-
комплексно-сопряженных полюсов. Так как г ->¦ — оо, то при у ^> Q полюса находятся
левее линии Rev = 0. Отметим, что в нерелятивистской квантовой
механике для произвольного потенциала у ^ 0, так как при Re v ^>
> 0 и t < 4(i2 не может быть комплексных полюсов [8]. Случай
у = 0 соответствует потенциалу, растущему па малых расстоя-
расстояниях быстрее г~2.
В дальнейшем мы будем предполагать, что у ^> 0. Формулы
G) и A2) позволяют вычислить асимптотическое поведение А1 (s, t)
при малых t — 4 |х2 и больших s. Аг (s, t) содержит вклад от ко-
конечного числа полюсов, расположенных правее линии Rev =
= 0, которым мы не будем интересоваться. Обозначая вклад от
полюсов, расположенных левее линии Re v ~ 0, через Аг (s, t),
получим
*iс,о = - 4-V^ X 've^v
где | = In (sa2). Мы использовали в A3) приближенное выражение
для cpv, применимое при v <^ 1, поскольку, как будет видно ниже,
при больших |, в интеграле A3) играют роль только малые v.
Замыкая контур интегрирования слева и вычисляя вычеты,
получим, опуская члены порядка 1/т2, 1/У~т1- по сравнению с еди-
единицей:
?-1) n sin 2я« -L. A4)
Рассмотрим теперь случай \ ^> т3, тогда в сумме A4) существен
один член и
Хг = 4я« \/~Щ-± ехр ^ sin 2я 4- • A5)
812

Мы получили, таким образом, осциллирующее поведение Жг.
Следствия из этого результата уже были обсуждены вначале.
При этом обсуждении мы отмечали, что взаимодействие, кото-
которому отвечает в нерелятивистской квантовой механике отталкива-
отталкивание, противоречит аналитичности и унитарности. Вместе с тем
любое сколь угодно малое притяжение согласуется с унитарностью
и аналитичностью, поскольку, как можно показать, при любом
сколь угодно малом притяжении имеется при t = 4 \iz полюс на
вещественной оси при 1^> — 1/2 [9]. При уменьшении взаимодей-
взаимодействия положение полюса при t = 4 р,2 стремится к I = — х/2.
Интересно отметить также, что рассмотренные комплексно-со-
комплексно-сопряженные полюса уходят на — оо в плоскости Z, когда взаимо-
взаимодействие стремится к нулю. В этом можно убедиться, вычислив
величину у, входящую в A0), пользуясь теорией возмущений,
справедливой при малых значениях потенциала. При этом легко
показать, что у = g~4, где g2 = —\urdr. Отсюда следует, что
асимптотическое выражение для амплитуды рассеяния A5) имеет
тождественно равное нулю разложение по степеням g2.
До сих пор мы обсуждали комплексно-сопряженные полюса при
Re v ^> 0. Возникает вопрос, каким образом формула G) содержит
возможность наличия полюсов на вещественной оси, если Л =
= .av D \i2 — t)* равна нулю при Re v > 0 и бесконечности при
Re v < 0. Очевидно, что положение таких полюсов cpv при t =
— 4 р,2 совпадает с полюсами av при t = 4 \х2 и нулями av при
v <^ 0. Из этих соображений легко получить формулу для vn (t)
нблизи t = 4 р,2. Если это сделать при vn D \i2) > 0, то мы полу-
получим результат, совпадающий с полученным в [4]. Для полюсов с
vM (\ fr) Р„ < 0, полагая av = pn (v — |3П) и подставляя в G),
.поит ИО1СПИПТ1., что <|\, (/) и moot полюс при
Если — |3П равно целому числу, то
vM (*) = Р„ + р;1 D^2 - tfn in
Сравнивая A6) и A7) с [4], видим, что характер отхода от ве-
вещественной оси определяется только модулем v. Отметим, что,
согласно A7), отход полюса при v = 0 возможен только, если
Рп1 = 0, что означает обращение в нуль вычета.
В заключение мы хотим поблагодарить Я. И. Азимова, В. Б. Бе-
рестецкого, И. Ю. Кобзарева, Л. Б. Окуня, В. М. Шехтера и
Й. М. Шмушкевича за полезные обсуждения.
Институт теоретической Получено 3 июля 1962 г.
и экспериментальной физики, Москва
Физико-технический институт им. А. Ф. Иоффе
Академии наук СССР, Ленинград
313

ЛИТЕРАТУРА
1. L. D. London. Nucl. Phys., 1959, 13, 181.
2. R, Karplus, С M. Sommerjield, E. H. Wichman. Phys. Rev., 1958, 111,
1187.
3. T. Hegge. Nuovo Cim., 1959, 14, 951; 1960, 18, 947.
В. Н. Грибов. ЖЭТФ, 1961; 41, 667, 1962; G. F. Chew, S. C. Frautschi.
Phys. Rev. Lett., 1961, 5, 580; 1961, 7, 394; R. Blanckenbecler, M.L.Gold-
berger. Phys. Rev., 1962, 126, 766; S. C. Frautschi, M. Gell-Mann, F.Za-
chariasen. Phys. Rev., 1962, 126, 2204; S.C. Frautschi, G. F. Chew, S.Ma-
ndelstam. Preprint, 1962.
4. В. Н. Грибов, И. Я. Померапчук. ЖЭТФ, 1962, 43, 310.
5. Т. Regge. Nuovo Cim., 1960, 17, 951.
6. В. Н. Грибов. 7КЭТФ, 1961, 41, 1962.
7. Е. Predazzi, T. Regge. Nuovo Cim., 1962, 24, 518.
8. Т. Regge. Nuovo Cim., 1959, 14, 951.
9. Т. Regge. Nuovo Cim., 1960, 18, 947.

116
ОГРАНИЧЕНИЕ СКОРОСТИ УБЫВАНИЯ
АМПЛИТУД РАЗЛИЧНЫХ ПРОЦЕССОВ1
Совместно с В. Н. Грибовым
В последнее время выяснилось, что асимптотика амплитуд
A (s, t) превращения двух частиц в две при больших энергиях и
фиксированном переданном импульсе t определяется особенностя-
особенностями амплитуд парциальных волн /z (t) как функций момента I в
канале, где t является энергией [1 — 5]. Если ft(t) имеет в качестве
самой правой особенности полюс Редже при I = I (t), то инвариант-
инвариантная амплитуда ведет себя как sz<*>. В случае упругих процессов
при малых t таким полюсом является вакуумный полюс, который
при t =* О имеет I @) = 1. С увеличением переданного импульса
У— 11( t) может стать отрицательным. При этом создается впечат-
впечатление, что при достаточно большом отрицательном t амплитуда
может убывать с ростом s сколь угодно быстро.
Мы покажем сейчас, что в релятивистской теории амплитуды
парциальных волн ft (t) имеют при любом t особенности при Re I >
> — 1 и, следовательно, амплитуда A (s, t) ни при каком t не может
падать быстрее, чем 1/5. Это заключение справедливо для амплитуд
любых двухчастичных процессов. Причиной существования та-
таких особенностей является наличие у релятивистской амплитуды
трех мипдельстпмонских спектральных функций, приводящих
к пояьлению особенностей вблизи отрицательных целых L Эти
особенности, по-видимому, являются полюсами, сгущающимися в
этих точках, т. е. сами точки являются существенно особыми.
Для доказательства этих утверждений рассмотрим выражение
для амплитуды парциальной волны [2]:
A)
z = 1 + 2s/(t - 4ji2);
для простоты рассматривается случай тождественных частиц с мас-
массой [г. Если Re I > i0, где 10 определяется максимальным числом
вычитаний, то, как показано в [6], величина Ф^ (t) = fi (t) (t —
— 4 \i2)-1 как функция t удовлетворяет диверсионному соотноше-
1 ЖЭТФ, 1962, 43. 1556; Phys. Lett., 1962, 2, 239.
315

нию вида
4^2
где
в* (О
Первый интеграл в C) берется по линиям типа АС, А'С (см. рису-
рисунок); второй интеграл, присутствующий только в релятивистской
теории, берется по линиям типа abed, a'd' в области, где мандель-
стамовская спектральная функция р (s, и) отлична от нуля. Дис-
Дисперсионное соотношение B) понимается в том смысле, что сделано
необходимое число вычитаний. Все дальнейшее основано на том
факте, что функция Лежандра Qt (s) имеет полюса при всех отри-
отрицательных целых Z.
Несмотря на наличие полюсов у Qi (z), из формулы A) не сле-
следует, что парциальная амплитуда ft (t) имеет полюса в этих точ-
точках. Это обусловлено тем, нто представление ft (t) в форме A)
справедливо только при Re I ^> т, где т — показатель степени,
определяющей поведение A (s, t) при больших s. Если т > — 1,
то интеграл не имеет смысла при отрицательных целых Z, и во-
вопроса не возникает. Если т <^ — 1, то вычет в полюсе при I —
= — п — 1 равен — \ Рп (z) A± (s, t) dz. Еслигг=2й; + 1 (к — целое),
то этот вычет равен нулю в силу теоремы Коши для функции Рп (z)A
при п ^> — (т + 1). Если п = 2/с, то вычет, вообще говоря,
не равен нулю, но полюс парциальной волны при таких I полностью
компенсируется множителем Q-i-\ (— z) + Q-i-i (z) в выраже-
выражении амплитуды A (s, t) через парциальные волны [7]. Если бы мы
316

рассматривали антисимметричную амплитуду, то четные и нечет-
нечетные I поменялись бы местами.
В релятивистской теории ситуация иная, поскольку Qt (z)
входит, согласно C), также в выражение для скачка (Pj (t) на
левом разрезе. Как уже отмечалось ранее [6], выражение C) для
АФг (t) имеет смысл при любых комплексных Z, поскольку оно
определяется интегралами по конечной области от аналитических
функций Рх и Qi. Поэтому АФ; в релятивистской теории, вообще
говоря, имеет полюса при отрицательных целых Z.
Рассмотрим вопрос о том, не могут ли вычеты в этих полюсах
обращаться в нуль. Поскольку вычет Qi (z) в полюсе I — — п — 1
равен кРп (z), то для того чтобы вычеты во всех полюсах обраща-
обращались в нуль, необходимо, чтобы интеграл
Pn(z)p(s,u)dz
равнялся нулю при всех п. Если учесть, что z0 < 1, то для этого
необходимо, чтобы р (s, и) = 0. Легко убедиться, что вычет в по-
полюсе при I = — 1 также не может обращаться в нуль, по крайней
мере, в некотором интервале tp» котором линия abed (см. рисунок)
расположена в области, где мандельстамовская спектральная
функция положительна (такая область всегда существует вблизи
границы существования р (s, и)). Отметим, что в случае рассеяния
тождественных частиц АФг не имеет особенностей при четных от-
отрицательных Z, так как р (s, и) — симметричная функция z. Если
учесть, что при рассмотрении дисперсионного соотношения B)
и условия унитарности как уравнения, определяющего Фг (t),
поток па лоном разрезе ДФ/ играет роль неоднородности задачи
(иимипллоптон иотолциллу), то из изложенных соображений сле-
дупг, что лмилитудл Ф/ @ и moot особенности при отрицательных
цолых /, по крлпной моро, и некотором интервале t.
Для того чтобы лыислшъ, что именно происходит с Ф/ (t) при
этих Z, обратимся к дисперсионному соотношению B). Если мы
будем продолжать это уравнение в область Re I < 10 вдоль веще-
вещественной оси, то оно будет изменяться, если при движении в пло-
плоскости I мы при некоторых t встречаемся с особенностями. Предпо-
Предположим сначала, что этими особенностями являются движущиеся
полюса Редже. Тогда, если при некотором t = t' мы впервые встре-
встречаем полюс Фг (t) на вещественной оси при I = Г', Re I <^ 10, то
в плоскости t при I = V на физическом листе появляется полюс в
точке t = t'. При этом к дисперсионному соотношению B) прибав-
прибавляется член вида г l(t — t'). Если при дальнейшем изменении I мы
сталкиваемся при различных t с несколькими полюсами, то к дис-
дисперсионному соотношению B) прибавляется несколько членов и
оно имеет вид
317

Как уже отмечалось ранее 16], полюса могут появляться только на
правом разрезе, так как ДФ/ (t) — аналитическая функция I.
В действительности в силу условия унитарности они могут по-
появляться при t > 4 [г, только если их вычеты одновременно об-
обращаются в нуль.
Пусть теперь I ->- — 1. Тогда ДФ/ -> оо, и если сумма по полю-
полюсам содержит конечное число членов, то Ф^ (t) —> со при любых t.
Однако в силу условия унитарности Ф^ (t) ограничено по мо-
модулю при t ^> 4 \i2. Поэтому полюсов должно быть бесконечное
количество для того, чтобы они могли сократить вклад от левого
разреза. Более того, полюса должны заполнять всю реальную ось
при t <^tr (см. рисунок) так, что расстояние между полюсами
должно стремиться к нулю. В противном случае вклады от полю-
полюсов и от левого разреза будут обладать различными аналити-
аналитическими свойствами и не мог^т компенсироваться. Это озна-
означает, что при данном t <^t', при I -*¦ — 1 мы должны встретить в
плоскости I сколь угодно много полюсов в малой окрестности
Z= -1.
Отсюда следует, что I = — 1 является существенно особой
точкой Ф; (t) при t<C,t'. Очевидно, что. эта существенно особая
точка существует при любом t, поскольку ее положение не
зависит от t при ?<[?'.
Рассмотрим теперь, не изменится ли ситуация, если в плоскости
/ в промежутке — 1 < I < 10 на вещественной оси имеются другие
особенности, кроме полюсов Редже. Если такой особенностью яв-
является точка ветвления, положение которой не зависит от энергии
t, то ограничение на асимптотику A (s, t) будет еще более сильным.
Аналитические свойства Ф/ (t) как функции t в этом случае не
меняются. Изменяется только условие унитарности для I левее
точки ветвления.
Условие унитарности, записанное в форме [2]
^ [ф, _ ф;.] =|ф, (о ф;. (t - v)', E)
справедливо при любых I, но левее точки ветвления оно не озна-
означает, что Ф^ ограничено по модулю, так как Фь* не равно Ф{ из-
за наличия разреза в I плоскости. Однако из соотношения унитар-
унитарности E) следует, что Ф; не может быть не ограничено на обоих
берегах разреза. Если Фг -*¦ оо на одном берегу, то на другом
берегу оно должно равняться + (ы/2Ис) (t — 4 \i2)'1. Если мы
рассмотрим I на том берегу разреза, где Ф/ конечно, то все изло-
изложенные выше соображения остаются без изменений вместе с вы-
выводом о существовании существенно особой точки вблизи I = — 1.
Если в указанном промежутке мы встречаемся с точкой ветвле-
ветвления, положение которой зависит от t, то по крайней мере при
t < tr ограничение на асимптотику А E, t) будет еще более силь-
сильным. Здесь не рассматривается этот вопрос подробно, поскольку
318

мм по понимаем, каким образом в плоскости I могут возникать
)\нижущиеся разрезы [6].
В заключение мы хотим поблагодарить В. Б. Берестецкого,
М. Гелл-Манна, С. Мандельстама, Л. Б. Окуня, М. Фруассара и
К. А. Тер-Мартиросяна за полезные обсуждения.
Институт теоретической Получено 9 августа 1962 г.
// оксперименталъней физики, Москва
Физико-технический институт им. А. Ф. Иоффе
Академии наук СССР, Ленинград
ЛИТЕРАТУРА
1. Т. Regge. Nuovo cimento, 1959, 14, 951; 1960, 18, 947.
2. В. Н. Грибов. ЖЭТФ, 1961, 41, 667, 1962.
3. G. F. Chew, S. Frautschi. Phys. Rev., Lett., 1961, 7, 394.
4. S. C. Frautschi, M. Gell-Mann, F. Zachariasen. Phys. Rev., 1962, 126,
2204.
5. R. Blankenbecler, M. L. Goldberger. Phys. Rev., 1962, 126, 766.
6. В. Н. Грибов. ЖЭТФ, 1962, 42, 1260.
7. S. Mandelstam. Preprint, 1962.

117
О ПРОЦЕССАХ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫХ
ФЕРМИОННЫМИ ПОЛЮСАМИ РЕДЖЕ1
Совместно с В. Н. Грибовым и Л. В. Окунем
Рассматривается я/У-рассеяние при высоких энергиях и углахf близ-
близких к 180°. Предполагается, что рассеяние в этих условиях описывается
фзрмионными полюсами Редже. Приводится простое доказательство того,
что амплитуда определяется парами комплексно сопряженных полюсов
Редже. Исследуются поляризационные явления в случае одной и двух
пар полюсов. Рассмотрены три типа соотношений (кроссинговые, факто-
ризационные и изотопические) между сечениями различных процессов,
обусловленных одними и теми же полюсами Редже.
1. Введение
Исследование процессов рассеяния мезонов на нуклонах на
большие углы при высоких энергиях представляет значительный
интерес с точки зрения проверки гипотезы полюсов Редже в силь-
сильных взаимодействиях. Оно обсуждалось с этой точки зрения в це-
целом ряде теоретических работ [1—4]. Кроме проверки гипотезы,
исследование рассеяния на большие углы позволяет выяснить,
являются ли известные барионы элементарными частицами или
членами реджевского семейства.
В работе [4] было обнаружено, что фермионные полюса Редже,
определяющие асимптотику рассеяния на большие углы, облада-
обладают свойствами, существенно отличающими их от бозонных полюсов
Редже. Полюса, соответствующие состояниям с противоположной
четностью, оказываются комплексно-сопряженными в физичес-
физической области рассеяния. Поэтому асимптотика рассеяния на боль-
большие углы определяется не отдельными полюсами Редже, а парами
комплексно-сопряженных полюсов. Это явление обсуждалось в
ряде работ [4,5].
В этой работе мы приведем простое доказательство указанных
выше свойств фермионных полюсов, не опираясь в отличие от
работ [4, 5] на довольно громоздкие разложения по парциальным
амплитудам, а в духе принципа соответствия, рассматривая асим-
асимптотические амплитуды, отвечающие полюсам Редже, как «реджи-
зованные» полюсные фейнмановские амшштуды. Далее мы ис-
исследуем сечение и корреляции поляризаций в случаях, когда
асимптотика определяется одной или двумя парами комплекс-
1 ЖЭТФ, 1963, 45, 114.
320

мо-сопряженных полюсов, и рассмотрим соотношения между раз-
различными процессами, обусловленными одной и той же парой полю-
полюсов Редже, возникающие благодаря тому, что полюса имеют
определенную сигнатуру, изотопический спин и вычеты в них
факторизуются.
2. Реджизация фершюнного полюса
Рассмотрим Jt/V-рассеяние, обусловленное фермионным полю-
полюсом Редже. Обозначим 4-импульсы сталкивающихся я-мезона и
нуклона кг и рх, а разлетающихся: к2 и р2. 4-импульс реджиона
обозначим q (см. рис. 1). Амплитуду nN — рассеяния, которую
обычно записывают в виде *
L, A)
где к = 1/2 (&! + &2), удобнее переписать в виде
Л/ = й2(а -\-bq)u{. B)
Из соотношения q = р — к, где р = г/2 (рг + р2) следует, что
а = А + тВ, Ь = — В.
Отметим, что скалярные функции а и Ь, так же как А и В,
заиисят только от инвариантов s, t и и
s (Pi -I- к{)\ / (Pl - /?,)*, и ,- (Pl - k2f = q\ C)
В работе одного из авторов [4] было показано, что фермионные
полюса представляют собой комплексно-сопряженные пары, от-
отвечающие состояниям с данным моментом /и различной четностью.
!)то доказательство использовало спиральное представление и
было нисколько громоздким. Полученное в [4] выражение для
нклпдп и амплитуду одного полюса с определенной четностью
(плюс или минус) может быть написано в виде
М± = f±fi2 (р2) [ q _ Ь |/ м1 w1(p1), D)
где
Выражение D) очень естественно с точки зрения перехода от обыч-
обычных полюсов фейнмановской теории возмущений (см. рис. 1) к
-г» тт а А- т
полюсам Редже. При этом переходе в выражении —-^—j в
числителе т заменяется на массу реджиона — У и, а знамена-
1 Мы используем единицы h = с = 1 и обозначения Фейнмана:
11 И. Я. Померанчук, т. III • 321

тель, не обращающийся в бесконечность при нефизических /,
включается в /-+..
Выражение (q + ]/"и), входящее в D), имеет простой физи-
физический смысл. Действуя на состояние системы я + N в системе
центра масс u-канала, это выражение отбирает состояния с опре-
определенной четностью. Действительно, в системе центра масс и-
_ - _ / 1 0\
канала (q +Уи) = "j/^гг (у4 + 1) = 2 Yu\ а а) и поэтому в
двухкомпонентной форме амплитуды М+ и 7kf_ имеют вид
M+~f+VH(l.i), . E)
м ~f УН ( ара Pai ^ (б)
lV1- J~V U[ Е + т ' E + ml' W
Амплитуда F) отличается от E) тем, что в ней начальное и конечное
состояния имеют другую четность из-за псевдоскалярных мно-
множителей арх и ар2. Так как по предположению /+ и /_ таковы, что
М+ и М_ содержат вклад от состояний с одним и тем же определен-
определенным моментом, то четности этих состояний противоположны. Под-
Подчеркнем, что в отличие от выражения (q + \/ и) фейпмановские
числители (q -f- т) и у5 (q + т) Тб = — {Я — т) в обычных по-
полюсных членах, хотя и «зеркальны по четности», но определенной
четностью не обладают,,давая, например, как s-, так и р-рас-
сеяние.
Итак, мы показали, что вклад одного фермионного полюса с
определенной четностью имеет вид D). Однако это выражение
Рис. 1
для одного полюса при_любых / (u, s) имеет особенность при
и = 0, из-за наличия |/ и. Существование такой особенности про-
противоречит мандельстамовским аналитическим свойствам амплитуд
а и Ь, входящих в B). Поэтому амплитуда М не может определять-
определяться только одним полюсом, а должна иметь вид:
G)
322

где
При этом необходимо, чтобы либо /+ — /_, либо каждая из них
содержала корневую особенность при и = 0, причем таким об-
образом, что
/+= /(/«,*), f_ = f(-Vu,s). (9)
Первая возможность, которую мы не будем рассматривать, отве-
отвечает вырождению по четности. Если имеет место вторая возмож-
возможность, то fu должно быть пропорционально 1/]/и при и -> 0.
Поведение типа У и означало бы обращение М в ноль при и -> 0,
для чего нет никаких оснований. Запишем /i_ обычным образом
через вычеты (t\l_ (и)) и положение полюсов Редже (/ _ (и))
J sin яа_
где a+ = 7+ — 1/2, а индексы е и о обозначают соответственно
четную (even) и нечетную (odd) сигнатуру.
Из G) — (9) и A0) — (И) следует, что
а+ = а(Уп), а__ = а(—У~п); A2)
г+ = г (У и), г_ = г (— Уи). A3)
Так как абсорбционные части амплитуд а и Ъ в выражении B),
равные
должны быть вещественны при и <С (т -\~ \хJ, то при и < 0
a+ = a!, r+ = r*_. A6
Таким образом, рассмотренные выше простые соображения при-
приводят к выводу о существовании комплексно-сопряженных полюсов
и к асимптотической амплитуде JtiV-рассеяния, полученной в [4]
и осциллирующей с ростом энергии s.
11* 323

3. Сечение и спиновые корреляции
в *cjV-рассеянии при высоких энергиях
Для вычисления сечения и поляризационных эффектов удобно
величины /4.0 записать в виде
A7)
-?- (-И-НЦ ИХ)
Здесь \х и v — соответственно действительная и мнимая части ком-
комплексного орбитального момента а
a± = p±iv. A8)
Величина R соответственно в случае положительной и отрицатель-
отрицательной сигнатуры имеет вид
(ch rtv* cos п\1I/г ' V '
где г —модуль комплексно сопряженных вычетов г±
г± = гв±«*. B0)
В силу того, что 0&4- и Гц. являются комплексно сопряженными,
понятие четности полюса Редже теряет смысл и необходимо ус-
условиться, какую амплитуду мы будем называть/+и какую/_ и соот-
соответственно, что такое а+ и <х_. Мы будем пользоваться следующим
определением. Величины f± иа± прим>0 определены. Их значе-
значение при и <С0 определяется условием, что особая точка и = 0
обходится сверху и -+ и -\- is (г ^> 0), так что У и = i Y— и*
Входящая в выражение A7) величина X является, в отличие от
величин fx, v, г и ф, функцией не только и, но и 5, и равны
где величина \f>e'°, зависящая от сигнатуры, определяется соотно-
соотношениями
Запишем амплитуду М G) при s^>u, m2 в системе центра инер-
инерции 5-канала в двухкомпонентном виде
М = щ (fqg + fu Уи) их~гУи Ф; [fqan + fu] ф1. B3)
324

' {дось
П =- [Ш X П2]
|[mxm]| •
Фиксируем поляризацию нуклона до и после рассеяния, соот-
соответственно, в направлении единичных векторов ?х и ?2, тогда
<Pip Фк = -|-
= -g- (I + S2a)pT.
B4)
Для дифференциального сечения рассеяния при фиксированных
поляризациях имеем, используя стандартную фейнмановскую нор-
нормировку:
где
4л \ i l r
+ JF3[(g1n)(g2n)^gll
1 ¦ * l
4 ^ Z
1 ¦ * 1
4 " и
+ (?2n)] +
/-/*) = fi2 cos *b.
- Ul) = Л^ sin ri
B5)
B6)
B8)
B9)
Mr'in yi'invuiHTii BГ>) по спиновым состояниям нуклона до рассеяния
и иросуммиршнпъ но ого состояниям после рассеяния, то получит-
получится ш.флжгнис для дифф(фD1циил1>пого сечения
dO
dO
2аГ
Следует подчеркнуть, что сечение C0) монотонно меняется с изме-
изменением энергии s.
Величина F2 определяет поляризацию нуклона отдачи при рас-
рассеянии я-мезона на неполяризованной мишени. Степень поляри-
поляризации равна
P = -?j- = thnv. C1)
Это выражение также 'не осциллирует с ростом энергии г.
1 В работе [4] при вычислении поляризации была допущена ошибка, на кото-
которую внимание авторов обратил М. П. Рекало, рассматривавший вопрос о
фермионных полюсах в фоторождении я-мезонов (см. ЖЭТФ, 1963, 9, 672)
325

Величины F3 и F4 определяют корреляции поляризаций на-
начального и конечного нуклонов и осциллируют с изменением энер-
энергии переданного импульса, так как X = к (s, и), согласно формуле
B1).
При не слишком больших энергиях, доступных на современных
ускорителях, вклад комплексно-сопряженных пар полюсов с
меньшим значением Re/, чем у главной пары, может оказаться не
пренебрежимо малым. Поэтому имеет смысл выяснить поведение
сечения при учете двух пар полюсов.
В случае двух пар полюсов с одинаковой сигнатурой
/± = д, Д(±v>^-Xl) + л/ *"-**** C2)
и, следовательно, величины F^ входящие в B5), согласно B6) —
B9), равны
F1 = R\chjivi + R\chnv2 + RXR2 \e2 *' "* cos-j- (кг — A,2 —
— Pi + Pi) + e cos -y fa — Я2 + fix — H2)J»
C3)
[ — (v+ve) л
e2 cos -—- (Л.1 — Я2 —
e 2 *
C4)
e 2 cos -y (A,! + A,2 —
- I*i + Ы + e % cos -|- (Ях + K + Vi- P*)\
C5)
4 = R{ sin лАа + R\ sin я^2 + ЙД [e 2 "' "* sin -|- (A,x + Я,2 —
— Pi + Ы+е sin-^-(Яа+ X2 +|ii — HS)J
C6)
Из-за наличия интерференционных членов, пропорциональных
RiR^ характерные осцилляции с энергией и переданным импульсом
испытывают не только поляризационные корреляции Fs и FA, но
и само дифференциальное сечение (/\) и поляризация (F2). Это
обстоятельство весьма существенно, так как экспериментальное
обнаружение осцилляции в дифференциальном сечении проще, чем
в корреляции поляризаций.
326

Из вида R и К (см. A9) — B2)), а также из того факта, что от-
отсутствует возможность независимым образом определить на опыте
величины г и ф (см. B6)— B9)) следует, что, измеряя яТУ-рассея-
ние, невозможно определить сигнатуру отдельной пары фермион-
фермионных полюсов.
Рассмотрим теперь вопрос о возможности определения знака
сигнатуры в случае, когда имеются две пары полюсов. Выражения
C3)— C6) получены в предположении, что сигнатуры обеих пар
полюсов одинаковы. В случае, если сигнатура первой пары полюсов
положительна, а второй пары — отрицательна, следует, согласно
A7), в C3) — C6) заменить |i2 ->- fi2 — 1. Если, наоборот, сигнату-
сигнатура первой пары отрицательна, а второй положительна, то \i± —>-
->¦ fix — 1. Легко видеть, что в этих двух случаях возникают про-
противоположные знаки при интерференционных членах /?Х7?2 (ар-
(аргументы как cos, так и sin отличаются на я). Однако так как знаки
не могут быть независимым образом определены, то эти два слу-
случая в действительности неотличимы друг от друга. Очевидно, одна-
однако, что оба эти случая отличаются от двух других случаев, когда
сигнатуры двух пар полюсов одинаковы. (Переход от одинаковых к
противоположным сигнатурам приводит к замене sin ^± cos в вы-
выражениях C3) — C6).)
Таким образом, мы приходим к выводу, что щ опыте возможно
определение относительной сигнатуры двух пар фермионных полю-
полюсов, а определение абсолютной сигнатуры одной пары фермионных
полюсов невозможно. В этом отношении фермионные полюса пол-
полностью аналогичны бозонным полюсам. Исключением являются
лишь полюса (типа Рг, со0, р°), сигнатура которых определяется
относительно сигнатуры полюса Р, последняя же независимо
определяется оптической теоремой, в силу которой она должна
быть положительной.
В заключение этого параграфа отметим, что приведенные выше
выражения могут быть справедливы только при таких и, которым
отвечают значения [л, большие — 1. В окрестности а = — 1 должно
происходить сгущение полюсов Редже, полностью аналогичное рас-
рассмотренному в работе [6]. Это приводит, в соответствии с C0), к
тому, что сечение da/dO не может убывать при фиксированных и
с ростом s быстрее, чем l/s 2.
Имеющиеся в настоящее время экспериментальные данные [7]
относятся к энергиям я-мезонов ^ 5 Бэв.
4. Различные соотношения между различными процессами
Так же, как и в случае бозонных полюсов, гипотеза о фермион-
фермионных полюсах Редже приводит к большому числу соотношений меж-
между сечениями различных процессов. Простейшим примером таких
соотношений являются соотношения между амплитудами пря-
прямой и кроссинговой реакции, например, яТУ-рассеянием и двух-
мезонной аннигиляцией нуклона и антинуклона. Эти реакции
327

Таблица 1
1. я+ЛГ->
2. K+N-*
3. я+ЛГ-,
4. K+N-*
5. K+N->
6. K+W-+
7. K+iV->
8. K.+N ->
9. я+iV-,
10. n+N->
И. К+ЛГ-,
Пары сопряженных
N+я
S+я
/V+т]
Л+я
2+т)
Л+г)
к+лг
E+K
2+К
Л+К
7V+K
\[ N+N->
2: s+tv-^
з: n+n-*
4: iV+iV -+
5: л+л^-^
6Г Л+TV-^
7 Г N+N-*
8Г Ё+ЛГ-*
9Г 2+/V->
ю: л+лг->
ИГ N+N-*
реакций
я+я
К+я
Я+Т]
Я+Г)
К-+Я
K+^V
к+к
к+к
я+К
я+К
К+К
Тип полюса
Редже
А или N *
/V или А
N
N
N
N
Л или 2
Л или 2
Л или 2
2
Барионный полюс
со странностью
* Д—обозначает траекторию барионного резонанса с изотопическим спином
следует сравнивать в условиях, когда яЛ^рассеяние происходит
на углы, близкие к 180°, а в аннигиляции малы углы между нукло-
нуклоном и тем из мезонов, который в рассеянии был вторичным (малые
углы между частицами 2 и 4,на рис. 2). В этих условиях амплитуды
аннигиляции и рассеяния равны для полюсов с четной сигнатурой
и имеют противоположные знаки для полюсов с нечетной сигнату-
сигнатурой (Re не меняет знака, R0 меняет знак). Выражение для сечения
двухмезонной аннигиляции имеет тот же вид, что и сечение рассея-
рассеяния и описывается выражениями B5) — B9) и C3) — C6) с той
только разницей, что интерференционные члены RXR2 в C3) — C6)
меняют знак, если полюса 1 и 2 имеют разные сигнатуры. Анало-
Аналогичные равенства между сечениями имеют место для реакций, пере-
перечисленных в табл. 1 (at = CFi', a2 = а2', ...). Частицы в первом
столбце табл. 1 выписаны в порядке, отвечающем рис. 2, а,
частицы во втором столбце — рис. 2, б.
328

Указанные в третьем столбце таблицы полюса Редже опреде-
определяют асимптотику в условиях, когда s — велико, а и — мало, где
* = (Pi + Рь) 2> а и = (Рз — Pi) 2.
В табл. 1 перечислены реакции только с участием мезонов со
спином 0 (я, К, т]), к которым применимы формулы B5) — B9).
Разумеется, аналогичные соотношения имеют место для рождения
векторных мезонов (со, р, К*) и барионных резонансов. В какой
мере эти соотношения должны нарушаться из-за нестабильности
этих частиц, в настоящее время неясно.
Другой тип соотношений основан на факторизации вычетов
[8, 9]. Рассмотрим три реакции, изображенные на рис. 3. Частицы
А и В — фермионы, частицы а и Ъ — бозоны. Вклад в амплитуды
этих трех процессов от одного полюса Редже с определенной чет-
четностью имеет вид D). Если величины, соответствующие /+ в D),
обозначить для этих реакций через /+, gt и h±, то для /+, g+и h±
имеет место формула A0) — A1) с одинаковым а+. Вычеты г/+, rg^y
и rh+ в силу условия унитарности удовлетворяют соотношению
П± • rh± = rj±- C7)
При и<0 вычеты г+ и г_, так же как и в я#-рассеянии, комплексно
сопряжены, т. е.
rf± = г,е±<ф+, rg± = v***, rh± = гье***. C8)
Тогда из соотношения C7) следует, что
rrrh==r|, 2ф? = ер, + фЛ. C9)
Если теперь /+. g± и h± записать в форме A7), то из C9) следует,
что -
RfRh = Щ, %, + К = 2к8. (Щ
Причем Xh kg, Xh согласно B1) одинаково зависят от s, так как ве-
величины \х и v одинаковы для трех реакций. Выражения для сече-
329

ний каждой из трех реакций имеют вид B5) — B9), откуда следу-
следует, что
а поляризации Р согласно C1) во всех трех реакциях одинаковы.
Если рассмотреть большее число процессов, идущих через одну
пару нуклонных полюсов (N — полюс), то можно получить соот-
соотношения типа
JL = _»_ = 3_, D2)
аз аз Зб
где индексы указывают номера реакций в табл. 1.
Третьим типом соотношений, которые возникают при гипотезе
о полюсах Редже, являются изотопические соотношения, возникаю-
возникающие благодаря тому, что полюса Редже имеют определенный
изотопический спин.
Рассмотрим, например, JtTV-рассеяние. Если главной является
пара полюсов с Т — г/2 (нуклонные траектории), то отношение
сечений рассеяния лГр —>- п~~р и zi+p -> я+р должно стремить-
стремиться к нулю при s -> оо, — и ^ т2. Если же главной является пара
полюсов с Т — 3/2 (Д — траектории), то это отношение должно
стремиться к 9. Эти и другие соотношения для яТУ-рассеяния при-
приведены в табл. 2. Исследуя экспериментально эти соотношения,
можно установить, какие из траекторий являются главными.
Удобным способом экспериментальной проверки соотношений
между различными Jt/V-сечениями может служить сравнение между
собой данных по рассеянию одного и того же пучка я-мезонов на
водородной и дейтериевой мишени. Так, например, отношение
<jp/od Для .л~-мезонов должно стремиться к нулю с ростом энергии
для iV-полюса и к 9/10 в случае Д-полюса. Для рассеяния /^-ме-
/^-мезонов соответствующие соотношения приведены в табл. 3.
Таблица 2
Реакция
Я+71 -» 71Я+, Я~р -г>рЯ~
ТС~П -* ЛЯГ, Л+р -» рЛ+
я+п —> ря°, я~р -» /гя°
Полюс
N
0
2
1
д
9
1
2
Таблица 3
Реакция
К+р->рК+, К°п->пК*
KQp-+?iK+, K+n--*pK°
К<>р-*рК°, К+?г->лК+
Полюс
А
1
1
0
1
1
4
330

Отметим, что рассеяние назад К -мезонов должно идти за счет
полюса Редже со странностью S = +1. Барионных состояний с
S = +1 на опыте не обнаружено. Это обстоятельство может слу-
служить указанием на то, что и при отрицательных и «спин»-состоя-
иий с S = + 1 будет меньше, чем «спин»-состояний с S = —1, оп-
определяющих рассеяние назад 7?-мезонов. Это означало бы при
s -> оо сечение рассеяния К~- и if °-мезонов назад было бы ма-
мало по сравнению с сечением рассеяния назад К+- и /?°-мезонов.
Другим проявлением того же явилась бы асимметрия в угло-
угловом распределении /^-мезонов в аннигиляции нуклонов. Так, на-
например, в реакции р + р -> К" + К+ отрицательные /?-мезоны
должны вылетать преимущественно в направлении р, а К+ — в
направлении р, поскольку (Ти/ст? -> 0. Аналогичные соображения
были высказаны недавно Айзенбергом [10] на основе полологиче-
ской модели одночастичного обмена. Следует отметить также
следующие соотношения между сечениями:
с5ю/б9->0» если М^<Мл, aa/(Ji—> const, всегда,
^io/69->const» если М^>^л, б4/C!-> const, если ^jv>|^a,
б8/а9 ~> const, всегда, ^/бх—^О, если ^лг^М-а-
То же относится к а3, аб и а6.
Изотопические соотношения являются в известном смысле более
общими, чем кроссинговые или факторизационные соотношения,
рассмотренные выше, так как они не зависят от деталей динамики,
а являются выражением лишь той гипотезы, что при больших
;птргиях в s-канале амплитуда определяется состояниями с опре-
дплпииым изотопическим спином в w-канале. При этом совсем не
nfiM.tjmvii.iin, чтобы :)тим состояниям отвечал один изолированный
шmiщг. Роджр. Aпот11о11кч1ии будут теми же, даже если структура
осоГмшиогп'й и / плоскости Пудит Полое сложной (например, не-
несколько полюсов или ршфшш). С :>той точки зрения проверка
изотопических соотношений представляет первостепенный интерес.
11одтверждение на опыте того факта, что при высоких энергиях
«работают» состояния w-канала с определенным изотопическим
спином явилось бы серьезным аргументом в пользу того, что ам-
амплитуды при высоких энергиях определяются состояниями — и-
канала с малыми энергиями, равными Yu, так как известно, что
при малых энергиях вырождение по изотопическому спину отсут-
отсутствует. Те же соображения относятся не только к ^-каналу, но и
к ^-каналу (бозонным состояниям) х.
Авторы благодарны В. Б. Берестецкому, И. Ю. Кобзареву и
М. П. Рекало за полезные обсуждения.
Институт теоретической и экспериментальной физики Получено
12 апреля 1963 г.
1 Вопрос о роли изотопического спина в кросс-канале рассмотрен недавно
в [11].
331

ЛИТЕРАТУРА
1. G. Chew, S. Frautschi. Phys. Rev. Lett., 1961, 7, 394.
2. S. Frautschi, M. Gell-Mann, F. Zachariasen. Phys. Rev., 1962, 126, 2204.
3. В. Грибов, И. Померанцук. ЖЭТФ, 1962, 43, 308 (Собр. трудов, № 112).
4. В. Грибов. ЖЭТФ, 1962, 43, 1529.
5. Т. Kinoshita. Preprint CERN, 62—33; V. Sin$h. Pre >rint UCRL—10416.
6. В. Грибов, И. Померанцу к. ЖЭТФ, 1962, 43, 1556 (Собр. трудов,
№ 116).
7. Yu. D. Bayukov, N. G. Birger, G. A. Leksin, D. A. Suchkov, Ya. Ya.
Shalamov, V. A. Shebanov. Proc. High. Energy Phys. Conf., Gene-
Geneva, 1962, p. 588.
Ю. Д. Баюков, Г. А. Лексин, Д. А. Сучков, В. А. Шебанов, Я. Я. Ша-
ламов. ЖЭТФ, 1961, 41, 62.
L. W. Jones, К. W. Lai, M. L. Perl, S. Ting, F. Cook, B. Cork, W.
Holley. Proc. High. Energy Phys. Conf., Geneva, 1962, p. 591.
B.A. Kulakov, M. F. Lykhacheu, A. L. Lyubimov, Ya. A. Matulenko,
I. A. Savin, V. S. Stavinski. Proc. High. Energy Phys. Conf., Geneva,
1962, p. 584.
8. F. Gribov, I. Pomeranchuk. Phys. Rev. Lett., 1962, 8, 343 (Собр. трудов,
№ 111)/
9. M. Gell-Mann. Phys. Rev. Lett., 1962, 8, 263.
10. У. Eisenberg. Phys. Rev. Lett., 4963, 10, 60.
91. L. L. Foldy, R. F. Peierls. Phys. Rev., 1963, 130, 1585.

118
ОСОБЕННОСТИ ПАРЦИАЛЬНЫХ ВОЛН ВБЛИЗИ j = 1
И ПОВЕДЕНИЕ АМПЛИТУДЫ УПРУГОГО РАССЕЯНИЯ
ПРИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЯХ г
Совместно с В. Н. Грибовым и К, А. Тер-Мартиросяном
В последние годы было обнаружено, что поведение амплитуды
упругого рассеяния при высокой энергии — A (s, t) (при s —> оо)
может быть связано с особенностями [1—3] парциальных ампли-
амплитуд fj (t) как функций углового момента /. Упругое рассеяние ана-
анализировалось в предположении, что основной вклад вносит ваку-
вакуумный полюс [4—6], траектория которого a (t) при t = О прохо-
проходит через точку / = 1. Гипотеза о существовании двигающихся
полюсов в /-плоскости и, в частности, вакуумного полюса пред-
представляется естественной, так как амплитуда fj (t) (при целых физи-
физических значениях jf) имеет на нефизических листах ^-плоскости
резонансы, положение которых зависит от /. Эти состояния приво-
приводят к полюсам fj (t) в /-плоскости. До последнего времени не было
оснований считать, что в /-плоскости существуют кроме полюсов
другие движущиеся особенности. Недавно Мандельстам [7] привел
соображения в пользу того, что в релятивистской теории могут
возникать движущиеся точки ветвления вследствие существования
особенностей в /-плоскости при целых отрицательных значениях
/ 18| и их смещения [9] для частиц со спином. Эти новые особен-
особенности гпотиетстпуют порогам образования резонансных состояний
(реджиомоп) с отрицательными орбитальными моментами L =
« 1, 2,.. .
Их можно рпссмлтришш» как продолжение на комплексные
апачония / точек ветвления, которые при целых физических /
расположены [10] на нефизических листах ^-плоскости и отвечают
порогам образования резонансов с физическими значениями L.
Наличие движущихся точек ветвления, обнаруженных Мандель-
стамом, нельзя считать строго доказанным. Тем не менее аргумен-
аргументы в пользу их существования являются достаточно убедительны-
убедительными. Поэтому необходимо изучить следствия, вытекающие из пред-
предположения Мандельстама. При этом мы будем исходить из гипоте-
гипотезы о существовании вакуумного полюса, траектория которого
a (t) проходит через точку / = 1 при t — 0 : а @) = 1. В настоя-
настоящее время мы не видим других разумных и достаточно простых
возможностей для получения постоянного сечения при 5—* оо.
Среди особенностей обнаруженных Мандельстамом, для асимп-
асимптотики амплитуды наиболее существенны те, положение которых
1 Phys. Lett., 1964, 9, 269. Перевод А. Б. К^йдалова.
333

7 — Jn @ не зависит от масс частиц, где
jn(t) = na(t/n*)-n + l. A)
Эти особенности соответствуют образованию тг-реджионов с траек-
траекторией a (t). Замечательным свойством этой формулы является то,
что положение особенности при п —> оо определяется только вели-
величиной а @). Если а @) < 1, то при п —> оо /п —> —°°> если же
а @) ]> 1, то jn —> +оо. В первом случае вест точки ветвления рас-
расположены слева от полюса и не существенны в асимптотике, во
втором случае амплитуда должна расти при данном t с ростом s
быстрее любой степени s. Последнее, очевидно, недопустимо. Та-
Таким образом, даже независимо от теоремы Фруассара [11] необхо-
необходимо, чтобы а @) ^ 1. Только в случае а @) = 1 (отвечающем
вакуумному полюсу) точки ветвления существенны для асимпто-
асимптотического поведения. В этом случае точки ветвления сгущаются к
/ = 1 при t —> 0 и формула A) при малых t принимает вид
4
как это было показано Амати, Фубини, Стангеллини [12] (см. так-
также [13]).
Сгущение особенностей при / = 1 может иметь прямое отноше-
отношение к данным, полученным недавно Фоли и др. [14], обнаружив-
обнаружившим неуниверсальность хода дифференциальных сечений и отсут-
отсутствие сокращения дифракционного конуса в упругом рассеянии
jt+, лг, К~ и р на протонах. В случае, когда асимптотика амплиту-
амплитуды определяется не одной, а рядом особенностей, необходимо,
чтобы были выполнены специальные условия для того, чтобы обес-
обеспечить универсальное поведение сечений. Анализ особенностей B)
показывает, что эти условия, вообще говоря, не выполнены в
указанных выше экспериментах [14].
В настоящей заметке приведены результаты анализа этих осо-
особенностей, основанного на использовании многочастичных членов
условия унитарности в ^-канале, продолженных в комплексную
/-плоскость.
При определенных предположениях о характере этого аналити-
аналитического продолжения можно прийти к следующим выводам (мы не
обсуждаем здесь сам метод аналитического продолжения).
В первую очередь'подтверждается вывод Мандельстама [7] о
наличии особенностей fj (t) в /^плоскости в точках, указанных вы-
выше. Другие особенности, обнаруженные Мандельстамом, типа
/ = a [(Yt — МО2] — 1» при малых t оказываются на нефизических
листах /-плоскости (связанных с особенностями A))ги не ока-
оказывают влияния на асимптотику A (s, t).
Показано, что особенности A) с данным п имеют следующий
характер:
/;@ = cn(/-7nJn-3in;(/-:/,) C)
при /-*/д.
334

Наличие этих особенностей радикально меняет аналитические
свойства амплитуды fj (t) в ^-плоскости. Помимо разрезов, связан-
связанных с порогами образования обычных частиц, в J-плоскости по-
появляются точки ветвления при
* = tf\
где tf^ — решение уравнения / = jn (?), a jn (t) определяется фор-
формулами A) или B) (если / -> 1, то а'^п)= п (/ — 1)). Получено, что
скачки б/у (t) на разрезах, соответствующих этим особенностям,
имеют структуру, аналогичную обычным условиям унитарности.
Скачок 6n/j (t) на тг-реджионной особенности определяется вполне
определенными интегралами от произведения амплитуды образо-
образования тг-реджионов над разрезом на ее значение под разрезом.
Так как положение ^п) всех особенностей A) — C) в ^-плоскос-
^-плоскости при / = 1 совпадает друг с другом (и с полюсом t = ?j1}), то
точка /' = 1 в /-плоскости оказывается особой при любом t.
Положение точек ветвления B) и полюса при t <C О указано на
рис. 1. Для однозначного определения функции fj (t) все точки
ветвления должны быть соединены разрезом с точкой J? = 1, как
это указано на рис 1. Важно знать, является ли парциальная вол-
волна fj (t) вещественной на действительной оси рис. 1, левее точки
1 = h W или, иначе говоря, кончается ли разрез левее этой точки.
Если разрез не кончается, то полюс будет, вообще говоря, распо-
расположен на разрезе (в некотором интервале t). Такая ситуация (по-
(полюс на разрезе) заведомо запрещена в случае порогов образования
обычных частиц. Реджионные условия унитарности, по-видимому,
тикжс :п111рп1цин)т существование полюса на разрезе. В результате
J-плоскость
Рис. 1
функция /j 00 является вещественной при 7<*72@- Мы не
смогли показать это в общем виде. Однако главные члены fj (t)
(которые можно вычислить) обладают этим свойством при ма-
малых t.
Возможность вычисления этих главных членов fj (t) возни-
возникает из-за того, что при малых t полюса и точки ветвления в /-
плоскости (рис. 1) близки друг к другу. Поэтому основной вклад
дает процесс образования гс-реджионов следующего типа: сначала
две частицы образуют однореджионное состояние, этот реджион
335

затем распадается на два, два превращаются в три реджиона и т. д.
Таким процессам отвечают реджионные диаграммы, изображенные
на рис. 2, которые аналогичны диаграммам для функции Грина
частицы в теории поля со взаимодействием Хц>д. Реджионные усло-
условия унитарности позволяют сопоставить каждой из этих диаграмм
определенную величину. Проблема суммирования вклада всех
диаграмм типа изображенных на рис. 2 может быть решена с по-
помощью уравнений Швингера — Дайсона, которые в нашем случае
имеют вид
/HO = -fP(*). * = -1рг~> «' = «'@),
Г1 (х) = х - 1 + 2 (х),
- х,х2 (х - 1)} [j^f ДР (xi) ДР (х2) dx±dx2, D)
где
Здесь g2 — вычет вакуумного полюса (при t = 0), а г — вещест-
вещественная константа, отвечающая переходу одного реджиона в два *.
W
Рис. 2
Это уравнение может быть легко проанализировано в различных
предельных случаях. Так C(х) = {— 1/[а + Ып (ein/x)]}, если
х —> 0 и р (ж) = Л/# при ж—> оо. В промежуточной области оно
может быть решено численно. Подстановка fj (t) полученного из
D) в интеграл Редже — Зоммерфельда — Ватсона позволяет
определить асимптотику амплитуды при малых t.
1 При написании уравнения D) возникает неоднозначность типа указанной
Далитцем и др. [15]. Однако можно показать, что эта неоднозначность не
меняет общих результатов, указанных ниже.
ЗЭ6

В случае упругого рассеяния частиц «а» на частицах «Ь» эта
асимптотическая форма амплитуды имеет вид
АаЬ (s, t) ~ gagb [if0 &x) - xf0 (?т)], E)
где gavi gb — константы связи частиц а и Ъ с вакуумным полюсом,
| = In — , s0 — некоторая постоянная, а т = —a't — пропор-
пропорциональна квадрату переданного импульса. Кроме того, /0(^) =
= \ ехр (— \хх) ЛР (х) dx — универсальная функция, одинаковая
о
для всех процессов упругого рассеяния (при малых t). Она имеет
следующие предельные значения:
А, ?т<<1
отсюда
— 5 «г» ь I /o l?T; 1 •
Из этой формулы и формулы E) следует, что между полными сече-
сечениями взаимодействия и дифференциальными сечениями упругого
рассеяния различных частиц существуют обычные [16] соотноше-
соотношения факторизации (типа оппокк = gIk). Согласно формуле E)
отношение вещественной части амплитуды к мнимой есть величина
порядка т при 1% <С 1 и порядка 1/| при |т > 1.
Используя асимптотику E) можно вычислить полное сечение
упругого рпссоиния оеи величину среднего значения квадрата пе-
рсдпииого импульса <т> и зависимость парциальных волн в s-
книало а (|>, ?) от прицельного параметра р и энергии. Эти вели-
величины имеют в основном те же свойства, что и в случае одного по-
полюса Редже: ав1~
при р^а'-,^
Характерным отличием полученного нами поведения амплиту-
амплитуды A (s, t) при высоких энергиях E) от случая одного полюса
Редже является то, что мнимая часть E) обращается в нуль при
некотором значении ?т он а0, где а0 — величина порядка единицы.
В связи с этим daet/dt должно иметь минимум при т = ¦—-. Этот
минимум при исследованных в настоящее время энергиях, по-
видимому, находится вне области применимости рассмотренной
здесь теории.
Так как при малых t все процессы образования реджионов
идут путем образования одного вакуумного реджиона (в промежу-
промежуточном состоянии), то спиновая зависимость амплитуд рассеяния
337

частиц со спином при высоких энергиях такая же, как и в случае
одного полюса Редже.
Точность утверждений, сформулированных выше, существенно
зависит от того, кончается ли разрез на рис. 1 левее точки /2 или
нет.
Если разрез кончается в этой точке, то асимптотика, например
1т Aab (s, t) (с учетом поправок), имеет следующую структуру
~ Im Aab (s, t) ~ gagbf0 Цт) |-[т/г (?т) f т2/2 (?т) + ... + O (*3«»-i),
F)
где функции Д, /2 и т. д. уже не являются универсальными,
оE^(°)-1) — вклад других особенностей, расположенных на конеч-
конечном расстоянии слева отточки/ = 1. Таким образом, для полных
сечений (т. е. для Im A (s, 0)) мы имеем ту же точность, что и
в случае чисто полюсной асимптотики.
Если разрез не кончается в точке j = j2 (t), то асимптотика
амплитуды содержит поправки порядка 1/| даже при т =0. Это,
конечно, очень не утешительно с точки зрения возможностей су-
существующих ускорителей. Проверка теории в этом случае требует
существенно больших энергий (порядка сотен Гэв).
Однако, даже в этом случае положение существенно улучшает-
улучшается, если рассматривать другие (неупругие) процессы: перезаряд-
перезарядку, фоторождение, рассеяние л и К на нуклонах назад и т. д. Более
подробно эти вопросы будут рассмотрены отдельно. Отметим
здесь лишь следующее. Полные сечения таких процессов, которые
могут проходить за счет обмена состояниями с одними и теми же
квантовыми числами, должны убывать с ростом энергии, как одна
и та же степень энергии.
Проверка этого утверждения, по нашему мнению, является
первоочередной задачей экспериментальных исследований на сов-
современных ускорителях.
Если разрез в /-плоскости кончается при / = /2 (t) (что в на-
настоящее время представляется более вероятным), то проверка
теории может быть проведена на существующих в настоящее время
ускорителях также при исследовании упругого дифракционного
рассеяния. Для этого необходимо получить подробные данные об
упругом рассеянии (рр или zip и т. д.) в области малых t ^ \i2,
где \i — масса пиона. Эти данные должны быть такими, чтобы ме-
меняя независимо величины т и | = In — , можно было в выраже-
So
иии для дифференциального сечения, которое следует из формул
E)F)
отделить члены порядка т от основного члена. Здесь Да (?, т) ~
— gagbfo (?т) /i (ST)- Для этого необходимо получить значения do/dx
338

в большом числе\ точек в области т ^ |ш2 с точностью, по-
видимому, на порйдок большей, чем достигнутая в настоящее
время.
Все результаты, приведенные выше, относятся к случаю, когда
константа г не обращается в нуль. Эта константа является значе-
значением функции г (t) при t = 0. Может случиться, что при t = 0
г (t) стремится к нулю линейно по t : г (t) ~y?, где у = const.
В этом случае мы не можем получить явного выражения для асимп-
асимптотики амплитуды A (s, t). Однако можно показать, что даже в
этом случае точка j = 1 продолжает оставаться особой и асимпто-
асимптотика остается пропорциональной s. Однако универсальность асим-
асимптотики А (s, t) теряется даже в области малых t.
Если t не мало —t ^> (J,2, то приведенные выше соображения о
специальной роли полюсных диаграмм неправильны, хотя при
очень больших t всегда существенна особенность при 7=1. В
этом случае поведение амплитуды при высоких энергиях может
быть получено в «академическом» пределе 5 —In (in — )^>1.
При этом асимптотика имеет вид
1 a Is t) - Vl{t) I ф2 {t) 4-
a Is t) I 4
is aks,z)- ^ ln2 ? н ^ ln3 ? i ... ,
где функции cpx (t), ф2 (t) ... неизвестны и, вообще говоря, не уни-
универсальны.
Возвращаясь к практически важной области несверхвысоких
энергий можно заметить следующее. Скачок парциальной волны
вблизи ] = 1 может оказаться быстро убывающей функцией t.
В этом случае асимптотика при не очень высоких энергиях и боль-
больших t может определяться не особой точкой при j = 1, а другими
особенностями, расположенными левее. Не исключено, что в этих
условиях вклад вакуумного полюса в асимптотику амплитуды
А E, t) опять окажется наиболее существенным.
Возможность убывания скачка при / = 1 может быть обуслов-
обусловлена, например, следующими причинами:
1) если величины типа g и г быстро убывают с ростом t, то двух-
реджионный обмен будет давать вклад второго порядка малости, а
трехреджионный — третьего порядка и т. д., по сравнению с од-
нореджионным обменом;
2) скачок парциальной волны около f = 1 может оказаться
малым из-за знакопеременное™ скачков на различных реджион-
ных особенностях (которая, как можно показать, фактически име-
имеет место).
Эти соображения могут иметь отношение к экспериментальным
данным о /тр-рассеянии на большие углы [17], из которых следует,
что при больших t имеет место сильное сокращение дифракцион-
дифракционного конуса. Однако нам не удалось доказать, что какая-либо
из указанных возможностей фактически реализуется.
339

Авторы благодарны Я. И. Азимову, А. А. Ансельму, Г. С. Да-
Данилову, И. Т. Дятлову и Ю. А. Симонову за интересные обсуж-
обсуждения.
Физико-технический институт им. А. Ф. Иоффе Получено
Академии наук СССР, Ленинград 12 марта 1964 г.
Институт теоретической
и экспериментальной физики, Москва
ЛИТЕРАТУРА
1. Т. Regge. Nuovo Cim., 1959, 14, 951; 1960, 18, 947.
2. В. Я. Грибов. ЖЭТФ, 1961, 41, 667.
3. М. Froissart. La Jolla Conf., 1961 (unpublished).
4. В. Н. Грибов. ЖЭТФ, 1961, 4Д, 1962.
5. G. F. Chew. S. Frautschi. Phys. Rev. Lett., 1961, 7, 394; 1962, 8, 41.
6. S. C. Frautschi, M. Gell-Mann, F. Zachariasen. Phys. Rev., 1962, 126,
2204.
7. S. Mandelstam. Nuovo Cim., 1963, 30, 1113, 1127, 1148.
8. В. Н. Грибов, И. Я. Померанчук. ЖЭТФ, 1962, 43, 1556;
Phys. Lett., 1962, 2, 239'(Соб). т »удоп, № 116).
9. Я. Азимов. ЖЭТФ, 1962, 43, 2321.
10. G. F. Chew, (частное сообщение).
И. М. Froissart. Phys. Rev., 1961, 123, 1053.
12. D. Amati, S. Fubini, A. Stanghellini. Phys. Lett., 1962, 1, 29.
13. Й. А. Вердиев, О. В. Канчели, С. Г. Матинян, А. М. Попова, К. А.
Тер-Мартиросян. ЖЭТФ, 1964, 46, 1700.
14. К. J. Foley, S. J. Lindenbaum, W. A. Love, S. Ozaki, J. J. Russel,
C. L. Yuan. Phys. Rev. Lett., 1963, 10, 376, 543; 1963, 11, 425, 503.
15. R. Dalitz, F. Dyson, L. Cdstellejo. Phys. Rev., 1956, 101, 453.
16. В. Н. Грибов, И. Я. Померанчук. ЖЭТФ, 1962, 42, 1682; Phys. Rev.
Lett., 1962, 8, 343 (Соб ). трудов, № 114).
17. G. Cocconi, V. Т. Cocconi, A. D. Krish, J. Orear, R. Rubinstein, D. Scarl,
W. F. Baker, E. W. Jenkins, A. L. Read. Phys. Rev. Lett., 1962, 11,
499.
Замечание к работе «Особенности парциальных волн вблизи ; = 1 и пове-
поведение амплитуды упругого рассеяния при высоких энергиях» (Phys. Lett.,
1964, 12, 153).
Наше письмо (Phys. Lett., 9, 269 A964)) содержало некоторые резуль-
результаты исследования движущихся точек ветвления в комплексной /-плоскос-
/-плоскости и их влияния на асимптотику амплитуды упругого рассеяния. Эти резуль-
результаты существенно зависят от поведения амплитуды образования реджионов
вблизи соответствующего реджионного порога. В письме предполагалось,
что эта амплитуда* постоянна около порога. Теперь у нас существуют серьез-
серьезные основания считать, что эта амплитуда существенно меняется вблизи
порога. Если это утверждение правильно, то оно меняет характер реджион-
ных точек ветвления и асимптотику амплитуды упругого рассеяния. Резуль-
Результаты, относящиеся к положению особенностей, особенностям, зависящим от
масс, которые уходят на другие листы, и к реджионным условиям унитарно-
унитарности,— не меняются.

119
ДВИГАЮЩИЕСЯ ВЕТВЛЕНИЯ В ./-ПЛОСКОСТИ
И РЕДЖИОННЫЕ УСЛОВИЯ УНИТАРНОСТИ х
Совместно с В II. Грчэовым и К А Тер-Мартиросяном
Двигающиеся точки ветвления в /-плоскости исследованы на основе ана-
анализа многочастичных членов условия унитарности в ^-канале. Использовано
определенное предположение о виде аналитического продолжения этих чле-
членов на комплексные /. Показано, что при этом в /-плоскости возникают точки
ветвления парциальной амплитуды /; (t), отвечающие порогам образования
двух или нескольких реджионов с орбитальным моментом относительного дви-
движения,'равным — 1.
В случае двух бесспиновых частиц в промежуточном состоянии парци-
парциальная волна имеет особенность при отрицательных целых значениях орби-
орбитального момента. Как было обнаружено ранее, эти особенности смещаются
вправо, если частицы в промежуточном состоянии имеют спин, отличный от
нуля. Точки ветвления в /-плоскости возникают в результате распростра-
распространения этого смещения на всю редкевскую траекторию. Этот механизм [появ-
[появления точек ветвления был указан Мандельстамом-на примере фейнмановских
диаграмм определенного класса. Наличие этих точек ветвления / = /n (t),
1'Д° In @ ~ nr* (t/n2) — п + 1, существенно изменяет аналитические свой-
< тиа f\ (t) и / плоскости, приводя к появлению в этой плоскости точек ветвле-
ветвлении, при t tn (/), гдо tti (}) - рошоиие уравнения / == /n (t).
Нычислопп 1ЮЛИЧИШ1 скачка b\7>) fj (t) амплитуды/j (t) на особенности t =
" 'n (/)» отвечающей порогу обрааои.шия п реджионов (реджионные условия
унитарности). Показано, что этот~скачок имеет вид, сходный с обычным усло-
условием унитарности, причем 6^Vi @ определяется произведением амплитуд Nj,n
образования п реджионов, определенных над и под разрезом, проведенным в
г-плоскости от точки t = tn (/). Величина скачка 6^n)/i (t) амплитуды fj (t)
на разрезе, связанном с точкой ветвления t = tn (/), вычислена при t -* tn (/).
Показано, что она имеет вид [t — tn (;)]n ~ [j — /n (t)]n~2. Это означает,
что особенность / = /n (t) имеет логарифмический характер, т. е. вблизи нее
/,• (t) ж Ап + Вп [/ — /n (^)]n~2 In [/ —/п (*)], где Ап и Вп не имеют особен-
особенностей при / = /п (t).
Полученные результаты могут быть использованы для анализа асимпто-
асимптотики амплитуды дифракционного рассеяния в области небольших значе-
значений величины ф = —t переданного импульса.
1 Ядерная физика, 1965, 2, 361; Phys. Rev., 1965, 139, 184.
341

1. Введение
В последние годы было выяснено, что асимптотика амплитуды
упругого рассеяния А (s, t) при s —> оо может определяться осо-
особенностями [1—3] парциальных амплитуд fj (t) как функции угло-
углового момента /'. Анализ асимптотики основывался на гипотезе о
вакуумном полюсе [4—6], траектория которого ос (t) при t — О
проходит через точку / = 1. Предположение о наличии двигаю-
двигающихся полюсов у fj (t), в частности вакуумного полюса, было
естественным, поскольку при целых физических / амплитуда fj (t)
имеет на нефизических листах ^-плоскости полюса, отвечающие
резонансным состояниям, положение которых зависит от /. Эти
состояния и приводят к полюсам fj (t) в /-плоскости.
До последнего времени не было видно причин, в силу которых
можно было ожидать появления, в /-плоскости каких-либо иных
движущихся особенностей, кроме полюсов. Однако недавно Ман-
дельстам [7] привел соображения в пользу того, что в релятивист-
релятивистской теории могут возникнуть двигающиеся точки ветвления на
базе особенностей при целых отрицательных значениях / [8] и их
смещения [9] для частиц со спином. Эти особенности отвечают по-
порогам образования нескольких ревонансных состояний (реджио-
нов) с целыми отрицательными орбитальными моментами L —
= —1, —2, .... Их можно рассматривать, как продолжение на ком-
комплексные j точек ветвления, которые при целых физических /
расположены на нефизических листах ^-плоскости и которые соот-
соответствуют порогам образования нескольких резонансов г с физи-
физическими значениями L.
Наличие движущихся точек ветвления, рассмотренных Ман-
дельстамом, нельзя считать строго доказанным. Однако его аргу-
аргументация [7] настолько серьезна, что нам представляется необ-
необходимым подробно исследовать эти точки ветвления и их влияние
на асимптотику.
Настоящая работа является первой частью этого исследования.
Точки ветвления были получены Мандельстамом на основе анализа
асимптотик некоторого класса диаграмм теории возмущений. Из
его работы [7] видно, что они связаны с многочастичными проме-
промежуточными состояниями. Поэтому изучение этих особенностей
требует анализа многочастичных условий унитарности, аналити-
аналитически продолженных в область комплексных /. Задача получения
этого аналитического продолжения встречает значительные труд-
трудности и в настоящее время не решена.
В настоящей работе использовано определенное предположе-
предположение о форме этого аналитического продолжения вблизи тех зна-
значений /, которые являются особыми для амплитуды fj (t). Для
понимания структуры этого аналитического продолжения рас-
рассмотрим члены условия унитарности (для Im /j (t)), отвечающие
1 Дж. Чу, частное сообщение.
342

образованию в промежуточном состоянии двух частиц, одна из ко-
которых имеет спин а, не равный нулю (и массу М). Они могут быть
записаны в виде
W2,ji2) Г(/ — m-f-l)l 4.
Здесь fjm (t) — спиральная парциальная амплитуда образования
указанных двух частиц, р = р (t, М2, \i2) — импульс их относи-
относительного движения. Как было замечено Азимовым [9], это выра-
выражение имеет полюс при т = }' -{- 1, в частности при j = о — 1 (за
счет полюса Г-функции). Вблизи этого, самого правого полюса
оно имеет вид
1 2p(t,M^\JL*) /jq (*) /jg (*)
Г Bб) уТ / + 1-3 '
С другой стороны, вклад от найденной Мандельстамом точки
ветвления в условие унитарности для Im fj (t) представляется
(как видно из его работы [7]) в виде
it|i») dh (i)
где p (t, tv ji2) — импульс относительного движения в промежу-
промежуточном состоянии частицы и пары частиц, имеющих полюс Редже
при I = a (ty). Сравнивая два последних выражения, мы видим,
что точка ветвления получается в результате интегрирования по
массе /j г-- М2 состояния пары частиц, имеющего переменный спин
а а (/,). !)то обстоятельство можно понимать как то, что азимов-
сиая псиГн1111ин"Т1. имеет место вдоль всей траектории Редже.
]Л\\ приведенного сравнения можно попять, что именно сущест-
существенно для исследовал ил точек ветвления в многочастичных членах
условия унитарности. Нужно~знать ту часть этих членов, которые
содержат амплитуды образования трех частиц при га, близких к
/ -f 1, и при орбитальном моменте пары, равном m и близком к
своему полюсному значению I = m = а (?х). Сходная ситуация
имеет место в случае образования не трех, а большего числа час-
частиц. Соответственно этому в работе предложен и использован для
исследования особенностей в /-плоскости способ аналитического
продолжения условий унитарности на комплексные /, отвечающий
форме A) ответа. Мы не утверждаем, что этот способ является точ-
точным в общем случае, однако он правильно отражает механизм об-
образования точек ветвления амплитуды /; (t), обнаруженных Ман-
Мандельстамом и поэтому, по-видимому, точно воспроизводит сингу-
сингулярную в /-плоскости часть fj (t).
С помощью предлагаемого способа аналитического продолже-
продолжения можно найти положение точек ветвления и их характер. Бу-
Будем рассматривать для простоты лишь те точки ветвления, которые
343

возникают на основе вакуумного полюса. Элементарный анализ,
проведенный ниже, показал, что при t ^> 16 [х2 в /-плоскости име-
имеется большое число особенностей, положение части которых за-
зависит от величин \х масс частиц. Однако при t < 16 \i2 на физичес-
физическом листе /-плоскости остаются лишь особенности / — jn (t), где
jn(t) = na(t/n*)-n + i, дг-2,3,4 B)
(или смещенные влево по отношению к jn на целые четные числа),
положение которых зависит лишь от траектории полюса. Эти осо-
особенности были замечены Амати, Фубини и Стангеллини [10] (см.
также [И]).
Двигающиеся точки ветвления в /-плоскости приводят к тому,
что парциальная амплитуда /;- (t) при фиксированном / как функ-
функция t имеет на физическом листе кроме обычных пороговых осо-
особенностей точки ветвления t = tn (/), положение которых зависит
от /. Каждая из них является порогом образования определенного
числа гг-реджионов. В работе находятся условия унитарности,
определяющие величины скачков fj (t) на этих особенностях. Эти
«реджионные» члены условия унитарности имеют вид, аналогич-
аналогичный обычным в том смысле, что определяются интегралами от
произведения амплитуды образования нескольких реджионов над
разрезом на значение этой же амплитуды под разрезом (связанным
с данной особенностью).
2. Многочастотные члены условия унитарности
Для получения реджионных особенностей парциальных ам-
амплитуд нам придется провести анализ многочастичных членов
условия унитарности. Будем рассматривать парциальную ампли-
амплитуду четыреххвостки, поделенную на к\5 = G4 t — И^У Для того,
чтобы при продолжении на комплексные / она была веществен-
вещественной ниже порога t — 4 \i2. Обозначим ее через fj (t)\ всюду \i —
масса частиц (которые мы считаем в дальнейшем тождественными).
Пороговые особенности амплитуды /;- (t) при t = tn = (n\i2),
где п = 2, 3, 4 ... , указаны на рис. 1. Обозначим через /}n) (t)
значение этой амплитуды после обхода в ^-плоскости рис. 1 осо-
особенности tn = (n[i)\ а через Anfj (t) = A/20 Uj (*) — /Г (t)) —
ее скачок на соответствующем разрезе. Условие унитарности опре-
определяет величину этого скачка в виде
;xn (t; rn+) f${n (t; тп_) Pj;xn («; xn) dxn. C)
Здесь /j; i (t\ xn+) — амплитуда перехода двух частиц в п час-
частиц, 'кп — угловые моменты, хп — энергии, характеризующие
(помимо / и t) состояние п частиц, a pj;^, (t;xn) — статистический
вес этого состояния. Через f?\ (t; тп-) обозначено значение
344

fj; % (*» tn+) после обхода в ^-плоскости особенности при t = (n\iJ
и изменении знака бесконечно малых мнимых добавок к энер-
энергиям тп.
Состояние системы п частиц можно определить [12—18], раз-
разделяя частицы произвольно на группы и определяя величины энер-
энергий, угловых моментов и спиральностей этих групп. Например,
состояние четырех частиц можно определить, разбив их произ-
произвольно на две пары и определяя величины:
ПмяскостЬ t
25р.1
Рис. 1
1) Z1? m1? tx — орбитального момента, его проекции и квадрата
tx полной энергии первой пары в системе ее центра инерции; про-
проекцию момента т1 удобно определить на направление суммарного
импульса р обеих частиц этой пары (определенного в общей с.ц.и.);
такую проекцию обычно называют спиральностью;
2) Z2, га2? t2 — те же величины для второй пары; здесь т2 —
проекция момента Z2 на направление того же импульса р; в этом
случае спиральностью будет не т2, а —т2;
l\) jut поличипы полного момента и квадрата полной энер-
энергии псих четырех чистиц.
Поэтому мри //, h мод К„ и C) следует понимать совокупность
чисел /х, т1ч /2, т>>, л иод т„ энергий tx и t2, т. е.
/;;*п (^ тп) = //Лтл^тп* (^; ^ь t2).
Рассмотрим подробнее состояние с п = 4 и соответствующий
член условия унитарности. Для п = 4 величина pj; x4 (t\ т4) имеет
вид
РЛ
4!
где
р (t; h, h) = jy^ [<2 - 2< (h + ^ + (^ - *2)*]
?=-. D)
E)
1 В дальнейшем мы будем рассматривать промежуточные состояния с образо-
образованием тождественных частиц — я-мезонов,— не учитывая при этом
изотопических переменных. В связи с этим в D) введен множитель 1/4!
Вопросы, связанные с тождественностью частиц и симметрией по отноше-
отношению к их перестановкам, подробно рассмотрены ниже.
345

— импульс относительного движения центров инерции обеих пар
частиц, кх — р (tx; а2, \х2) и к2 = р (t2; ji2, \i2) — величины импуль-
импульсов частиц в первой и второй парах, а
X
BZi + 1) Г (/! — Wl + 1) B/а+1)Г(/2-та+1) ff.v
А Г (/!-f-,/tl + 1) г(/3 + тз+1) ' l°^
Этот вид статистического веса Pj;x4> в частности появление в D)
множителя Bj (A,4), есть результат выбора определенной норми-
нормировки [17] амплитуд /j;xt. Именно величины fj; x4 связаны с ампли-
амплитудой А (р, кх, к2; р0) образования четырех частиц с определен-
определенными значениями импульсов через интегралы вида [15, 17]
fj-M (*; h, t2)= J A (p, k1? k2; p0) PUmx (щ) х
X Рш2 (П2) Pj;ml+m2 (n0) ЙП^ПаЙПо,
где n0 = Ро/Ро5 пг -~ ki/ki, i =¦- 1,2. Эти интегралы содержат при-
присоединенные полиномы Лсжанд])а 1)im (n) r 7>/,n (z) охр (шг Ф)
вместо нормированных шаровых функций Угт (п), отличных от
них на множитель
[B1 + 1) Г (I - т + 1)/Г (I + т + I)]1/,.
Если бы амплитуды/j; x4 были определены через шаровые функции,
то при продолжении в область комплексных /, 1Х и Z2 (которое бу-
будет ниже использовано) они имели бы корневые особенности по
этим переменным чисто кинематической природы, обусловленные
полюсами Г-функций.
Из вида D) р,-. х4 можно также заметить, что при определении
' I- Z./2
амплитуд /j; х4 были выделены множители кгг = B/4^ — \х2)г ,
где i = 1,2. Сумма по Х^ и интеграл j dxn в C) при п = 4 озна-
означают
оо lt оо 1г Aи2—2\ЬJ ^!г-[ъУ
T4=2 S S S
Амплитуда /7-; х4 (^ ^i» ^2) удовлетворяет условиям унитарности
не только в t-, но и в t±- и ^-каналах; последние отвечают взаимо-
взаимодействию образующихся пар частиц с моментами 1г или 12. В t2-
канале условие унитарности (двухчастичное) имеет вид
346

где через fj; \x(t\ t*i\ t2) обозначена величина амплитуды fj. x (t; t±, t2)
после обхода в ^-плоскости особенности при tx = 4[x2. fix Aг) —
парциальная амплитуда рассеяния двух образующихся частиц.
Она удовлетворяет условию унитарности такого же вида:
которое можно также записать в виде
\ л 2/c2/l+1
-i- \DU (О - D4? (h)] = \ 1_ , (9)
если ввести обозначение
/i,(<i) = -i/0j,(*i); A0)
множитель х/2 в (9) возникает из-за тождественности частиц.
Учитывая равенство (8) и такое же условие унитарности по t.2-
каналу, замечаем, что /7-; xt можно записать в виде
/ (tt n- G^(t]tuh)
где Gj,x4 не имеет особенностей при t± = 4(х2 и при t2 = 4ц,2. Точно
ак же
так же
Подставляя A1), A2) и D) в интеграл C), G) и замечая, что в
силу (9)
запишем правую часть C) при п = 4 в виде, аналогичном исполь-
использованному Мандельстамом 17]:
gj;X4№ *i» ^ С^(<; *i, fa) 2p (f; fi, h)
Du(h)Dh(h)t^
где С2 и Cx — контуры, указанные х на рис. 2, 3.
Поясним общий принцип введения квантовых чисел и форму
условия C) унитарности на случаях п = 6 и п = 8 (нечетные чис-
347

ла пу кроме п = 3, в дальнейшем не будут нас интересовать).
Состояние шести частиц можно определить, задавая, кроме / и t>
величины угловых моментов и энергий какой-либо четверки и
О Д
у р
пары частиц. Обозначим их через Z12? m12, t12 и /3
б
р
*з. Для опре-
опреб
р ц р 12? 12 12 » Д р
деления состояния четырех частиц необходимо, как это было сде-
сделано выше (для п = 4), разбить их на две пары и определить кван-
квантовые числа Z1? mu tx и Z2, m2, t2 каждой пары. Поэтому в случае
п = 6
Яв = {Zi/%, l2m2, Z12m12,1ътъ\, т6 = {tu t2, tl%, Z3}.
Состояние восьми частиц можно определить, разбив их на
две четверки и определяя, кроме / и t, квантовые числа 1121 т12,
^12 и ^34» ^34» ^34 обеих четверок чагстиц. Кроме того, следует задать
квантовые числа Zo, raa, ta (а = 1, 2, 3, 4) тех пар частиц, из ко-
которых состоят первая и вторая четверки. Другой способ описания
состояния восьми частиц можно получить, разбив их на группы из
шести и двух частиц и определяя /; t и квантовые числа Z123, m128,
t123 шестерки и Z4, m4, ?4 — пары частиц. Кроме того, для описания
fVt-2/tJ
Рис. 2
Плоскость tf
Рис. 3
состояния шести частиц (в их с.ц.и.) следует ввести еще те же кван-
квантовые числа, что и в случае п = 6, т. е. Х6 и т6. Амплитуды fy. х„ и
/J;x8 можно записать аналогично (И) в виде
t9)
5; ь.:
(lla)
причем Gj;xe и Gj-\8 не имеют особенностей при ta = 4(х2, где а =
1, 2, 3 или а = 1, 2, 3, 4. Используя нормировку этих амплитуд
1 Как заметил авторам Я. Азимов, подынтегральная функция в отдельном
члене суммы по А,4 в A4) не может быть записана в виде единой аналитиче-
аналитической функции во всей области изменения <j и и. Однако для нас это не су-
существенно, так как величину, стоящую в правой части A4), мы определяем
следующим образом. Будем полагать, что сначала в A4) проводится сум-
суммирование по всем значениям угловых моментов (по Х4 = l\m\, hm2)i а пос~
ле этого полученная функция (которая уже будет аналитической по tx и t2)
интегрируется по комплексным контурам Сх и С2-
348

такую же, как в случае п = 4, получим для р;-; хв значение
Pi; к = б| Вз Wi* mi2' ^з) Bi^m^ l2m2) X
2р(г; fa», *зJ/?(*12; fa, *2JJff 2fr 2^
Поэтому для /г = 6 условие унитарности C) имеет вид
Дв/i(*) = 2Чвг^в'«B7F)Д *«л" асоЧ^Хм х
2; fa,
dta = dtx
где
Интегрирование по ^12 в A6) производится в пределах
(#' + 4/sJ < «1. < (<Vl - <заJ. A7а)
а по t±, t2, ts — по контурам, подобным Сх и С2 рис. 2, 3, окружа-
окружающим точку ta — 4(х2 до точек (расположенных, как на рис. 2, 3,
на обоих берегах разреза):
по t3 до *3 = (*1/2 - W
но t2 до г2 = {1ъ-ф-2\1)\ A76)
по /, До tx --{t1*- t^-tf)\
IJ общем случив п|)()и:пи).||кмого четного числа частиц 2/г усло-
условие унитарности C) может бьгть записано в виде совершенно таком
же, как A4), A6):
¦ G G ^2п^
Дап/i (О = S (S)» ^ (^п) B^ i ^ - (Тп) Г" ^П dTn, A8)
С" П2)|в(Ц
а=1
где ifj; п— произведение (w—1) множителей вида 2р (tab; ta, tb)/tdt> —
по одному на каждое соединение двух групп частиц с энер-
энергиями ta, tb в группу с энергией tab. Точно так же В) (Х2п)
есть произведение (п — 1) множителей F) — по одному на каждое
такое соединение. Интегрирование \ dxn по всем переменным ta,
сп
Къ, tabc и т- Д- производится по области типа A7а), A76), отвеча-
отвечающей законам сохранения, причем интегралы по ta (по энергиям
349

пар частиц) берутся не по отрезкам вещественной оси, а по конту-
контурам, подобным рис. 2, 3, окружающим эти отрезки и обходящие
точки ta = 4|х2.
3. Трудности аналитического продолжения
в ./-плоскость
Условие унитарности A4), A6) или A8) записано для целых
значений /. Продолжение его в область комплексных / представля-
представляет собой сложную задачу, решение которой требует знания анали-
аналитических свойств амплитуд fj-\n неупругих процессов.
Рассмотрим, для определенности, четырехчастичный член A4)
условия унитарности. Даже в том случае, когда аналитические
свойства амплитуд /j; х, = fy, iimu hm2 таковы, что при целых 11т1
и 12т2 возможно построить однозначно их аналитическое продол-
продолжение в /-плоскость, возникает следующая трудность *. Так как
величина тх + т2 в сумме A4) — A7) изменяется от 0 до оо, про-
пробегая все целые значения, то функция Г [/ + 1 — (т1 + иг2)],
входящая множителем в коэффициент Bj (A,4) F) в правой части
A4), имеет полюса при всех целых положительных значениях /.
Эти полюса никак не проявлялись бы, если бы амплитуды /j; x4
(или Gj; x4) имели непосредственное физическое значение для всех
целых /, так как при этом Gj; x4 должны были бы быть равными
нулю для всех тех целых /, для которых | т1 + т2 | > / + 1.
Однако аналитическое продолжение в /-плоскость (как ампли-
амплитуд fj (t), так и /j;xn) требует, во всяком случае, введения сигнату-
сигнатуры. Иначе говоря, аналитическое продолжение fj-ixmii2m2 имеет
смысл физической амплитуды только при четных или только при
нечетных /. Поэтому при целых / «чужой» сигнатуры (нечетных
Рис. 4
для положительной сигнатуры и четных для отрицательной) функ-
функция /j;x4 = Gyt\JDixDi%BB обязана обращаться в нуль.
Более детальный анализ некоторых диаграмм теории возму-
возмущений показывает, что парциальная амплитуда /j; х4, соответству-
соответствующая этим диаграммам, в точках «чужой» сигнатуры действитель-
1 Авторы благодарны Я. И. Азимову, Г. С. Данилову и И. Т. Дятлову, об-
обратившим их внимание на это обстоятельство.
350

но не равна нулю. Она, например, отлична от нуля для случая
тех диаграмм Фейнмана, которые, будучи рассматриваемы как
амплитуды образования двух частиц со спинами Z1? /2 (и массами
ti2 и й[2), имеют отличную от нуля спектральную функцию р (s, и).
Одна из таких диаграмм указана на рис. 4, а (в случае же диаграм-
диаграммы рис. 4, б, которая имеет отличную от нуля лишь спектраль-
спектральную функцию р (s, t), амплитуда //: xt обращается в нуль не только
при всех целях /, для которых / + 1 ^ I mi + ^2 I» но и в том
случае [17], если / и т = т1 + т2 — не целые числа, но их раз-
разность | т1 + т2 | — 7 — 1 — целое положительное число).
Таким образом, в виде A4) (с суммой G) по т1 и га2, распростра-
распространенной от — оо до оо) условие унитарности заведомо не может
быть продолжено в область комплексных /, так как правая часть
A4) при этом будет иметь бесконечное число полюсов при всех
целых положительных значениях ]= п «чужой» сигнатуры1.
Чтобы обойти эту трудность, попытаемся определить анали-
аналитическое продолжение на комплексные / правой части A4) не в
виде суммы по целым lxmx, L2m2i как в G), а в виде контурных ин-
интегралов по этим переменным.
4. Аналитическое продолжение
трехчастичного условия унитарности
Чтобы не загромождать изложение, поясним сначала способ
перехода к контурным интегралам по I и т на примере члена усло-
условия унитарности, отвечающего образованию трех бесспиновых
частиц в промежуточном состоянии. Полагаем, что две из этих
частиц образуются в состоянии с определенным угловым моментом
/ и спиральностью т. Соответствующий член условия унитарности
для fj (t) имеет вид, аналогичный A4):
Аз/,- @=22 2 If Bi ^ т' 0; °) ТГ \dtix
1 т-
L, m,
____
причем контур Сх — точно такой же, как на рис. 3, но оканчива-
оканчивается в точке tx -— (fl* — jiJ. При записи A9) было учтено, что
произведение В j Gj; imGj-t \ш не изменяется [18] при замене тна —га,
оо -\-1 оо оо
т. е. что сумму 2 2 можно записать в виде 2 2 S ' гДе
/=Э ш=—' ш=0 1=т
1 Это противоречит тому хорошо известному факту, что парциальная ампли-
амплитуда fj (ф) не имеет никаких особенностей в правой части /-плоскости.
351

штрих над знаком суммы означает, что член с т = 0 берется со
множителем V2. Для амплитуды /;-; ^ = /?, im {t\ *i) образования
трех частиц (см. рис. 7) в A9) было подставлено значение, анало-
аналогичное A1):
i)G{)D{) B0)
и для Di (t^) использовано соотношение (9).
Для аналитического продолжения правой части A9) на ком-
комплексные 7 попытаемся записать сумму по Z, т в виде контурных
интегралов:
оо оо
XI о xV XI ^ ^ dm С dl
/m
м
tg
tg [я (/ —
Контуры L и М указаны на рис. 5, 6; контур L охватывает точки
I — т, т + 1, ... , контур М охв'атывает не только полюса 1/tg пт
(при m = 0, 1, 2 ... ; член ст = 0 воспроизводится правой частью
B1) без множителя V2; однако этот член совершенно не существен
для дальнейшего), но также и полюса функции Г (/ — т + 1)/
/Г (/ + т + 1), входящей в Вj Aт, 00). Последнее необходимо для
того, чтобы интеграл B1) не имел особенностей при сколь угодно
больших положительных целых у, при которых полюса функции
Г (/ + 1 — т), указанные кружками на рис. 6 (в точках т =
= 7 + 1 + v, v =0, 1, 2,...), совпадают с полюсами 1/tg пт.
Попытка продолжения A9) непосредственно в виде суммы по
целым I, m соответствует записи B1) с таким контуром ЛГ, кото-
который не охватывает полюса Г (/ + 1 — т) (см. рис. 6). При этом
интеграл B1) будет иметь указанные выше особенности — полюса
при целых /, так как при / —» п особенности Г (/ + 1 — т) и 1/tg пт
будут сжимать контур М'.
/77 т+2
л .4..
Плоскость I
Рис. 5
J+T
Плоскость т
Рис. 6
Отметим, что благодаря тому, что контур интегрирования М
по т в B1) охватывает полюса Г (/ + 1 — лг), запись условия уни-
унитарности A9) в виде B1) неоднозначна. Действительно, если 1/tg пт
в B1) заменить на 1/tg пт + % (j; Im), где % (/; Im) — любая
1 Добавление в B1) аналогичного слагаемого к 1/tg [я (I — т)\ величину
интеграла A9), B1) не изменяет.
352

функция у; lm, не имеющая особенностей внутри контуров L, М
на рис. 5, 6, то интеграл B1) изменится х за счет вклада полюсов
функции Г (у + 1 — т). Функцию % (у; 1т) фактически необхо-
необходимо учитывать в правой части B1), причем вид ее однозначно
определяется условием ограниченности роста интеграла B1) в
комплексной /-плоскости. Для получения явного вида % (у; 1т)
необходимо знать аналитические свойства функций в правой части
A9) в плоскостях переменных у, h т. Нас, однако, в дальнейшем
будет интересовать лишь особая часть интеграла B1) как функ-
функции /. Поэтому возможность (или необходимость) добавления
X (у; 1т) к ctg лт ниже мы не будем учитывать, полагая, что мно-
множитель [1 + X (Л I™) tg ятга]|/2 включен в A9) в определение функ-
функций Gr, im.
Продемонстрируем как из A9), B1) следует та особенность
fj (t), которая быда обнаружена Мандельстамом [7]. Предполо-
Предположим, что при I = a (tx) функция Dt (tx) обращается в нуль, т. е.
0i&) = -[l/ga('i)H*-a('i)l B2)
при I —> а (?х). Это соответствует полюсу Редже амплитуды пяти-
хвостки (рис. 7) в канале t± (рис. 8) и отвечает обычному виду ам-
амплитуды A0) упругого рассеяния
= *•(<!)/[*-<*&)] B3)
— вкладу от полюса Редже (рис. 9).
Как ясно из рис. 5, интеграл B1) по I имеет полюса по перемен-
переменной т в точках т = а (^), a (?i) — 1, a (?i) — 2,... (указанных
кроетиками па рис. 6) из-за совпадения в A9), B1) нулей
Itfbi (/ ///)] с нулями Dt (?j). При последующем интегрировании по
шнооПходимо учитыиатьити полюса. В частности, полюса функции
Г (у | 1 - т) могут при изменении у в комплексной плоскости
совпасть с этими полюсами. 1)хр приведет к тому, что двойной
Рис. 7
интеграл B1) по I и т будет иметь полюса в у-плоскости в точках
У = ее (tx) - 1 - К
где к = 0, 1,2,...
Рассмотрим наиболее правую особенность интеграла A9),
B1) в у-плоскости, соответствующую к = 0. Подставляя B2) в A9),
B1), легко вычислить сингулярную часть интегралов по I и /п,
12 И. Я. Померанчук, т. III 353

возникающую за счет полюсов (крестики на рис. 5 и 6) подынте-
подынтегральных функций при т = a (h), I = a (h):
J_ dl Gj; lmGflm Bl + 1) Г (/ - m + 1)
2* )
ч
2 Bа -Ь 1) Г (а - т + 1) „ 3' ат 3>,а?ч '
rfm ^j; am^jfam Bа 4 1) Г (а — т \ 1) Г (/— т + \) __
tg Tim a (ti) — т Г (а -|- т |- 1) Г (/ +- m -f 1)
J
я2С Gi
a'l r' aa j; aa
где
Ba
Д2
ГBа + 1) Г(/' + а + 1) tgrta(li)
— функция, не имеющая особенностей в области a =j= 0, jf + 1 ^^
я^а(^), существенной в дальнейшем.
Пользуясь этим результатом, запишем интересующую пас син-
сингулярную часть Дд/j (?) в виде
2 С
зГ J
2?
B4)
где для краткости вместо Gj;aa записано G;;a.
Заметим, что величина Gj; a имеет смысл амплитуды перехода
двух частиц в реджион и частицу. Действительно, если процесс
образования трех частиц рассматривать как идущий через вир-
виртуальное реджионное состояние, то ему естественно сопоставить
диаграмму рис. 8 и величину
М*«Т^ШёЫ, B5)
где N'j; a — амплитуда рождения реджиона и частицы.
С другой стороны, при I ->a (tx) амплитуда /j; x3 как раз имеет,
согласно B0) и B2), вид B5) с Nj](X = —^Gj;a. Поэтому, если в
правую часть B4) ввести амплитуду
tfi:a = A(/,a)gGi;a, B6)
отличную от Nj-t<x лишь на стандартный множитель Л (/, ос), то
константа g (t^ распада реджиона на две частицы в промежуточ-
промежуточном состоянии вообще выпадает из правой части выражения
для Дд/j (t)
2 1 С N3;*N№* 2р(*.ь> И df
-з\
354

Нетрудно заметить, что после интегрирования по tx правая
часть B7) оказывается сингулярной функцией переменной /. Точ-
Точка ветвления по j интеграла B7) возникает в результате совпадения
нуля знаменателя с особенностью р (t; tu \i2) при t± = (txf* — \iJ
(с верхним пределом интеграла по ^), т. е. при j — a [(ft* —
— fxJ] — 1. Эта точка ветвления была обнаружена Мандельстамом
[7] (вопрос о характере этой особенности подробно рассмотрен в
работе Симонова [19]).
В заключение этого раздела обсудим следующий вопрос. Мы
обнаружили лишь одну точку ветвления, возникающую за счет
полюса Редже в амплитуде взаимодействия одной лишь пары час-
частиц (обозначим их через 2 и 2). Ясно, что точно такие же точки
ветвления должны возникать из-за полюсов Редже в амплитудах
взаимодействия частиц 2, 3 или 2, 3. Однако при нашей записи
условия унитарности в виде A9), B1), при которой состояние трех
частиц характеризуется в частности моментом Z и спиральностью
т пары частиц 2 и 2, этих особенностей не видно.
Для понимания ситуации заметим, что аналогичный вопрос
возникает и при целых /, если мы захотим найти вклад в трехчас-
тичное условие унитарности от реальных физических резонансных
взаимодействий не только частиц 2, 2, но и 2, 3 и 2У 3. Ясно, что
если мы выбрали в качестве переменных момент и спиральность
одной из пар, например Z12, w12, частиц 2, 2, то резонанс в состоя-
состоянии этой пары со спином s12 проявится лишь в определенных чле-
членах суммы по Z12 и /п12, в тех, для которых Z12 — s12, — s12 <^ т12 ^
<12
Остальные резонансные взаимодействия проявятся в том, что
сумма по Z12 окажется расходящейся, если энергию частиц 2, 3
или 2, >i стремить к комплексным значениям, отвечающим ее
ршюнангнмм значениям. Это ясно, хотя бы из того, что запись
услоиий унитарности и нидо суммы по Z12 соответствует разложению
амплитуды образования трех частиц в ряд по переменным ?13 и t23
при фиксированных t, tl2. При-этом особенности по ?13 и t23 (резо-
нансы) должны проявляться в виде расходимости суммы.
Вместо исследования расходимости сумм удобнее найти вклад
от всех резонансов, переписывая условие унитарности всеми воз-
возможными (в данном случае тремя) способами, и результаты сло-
сложить. Эти соображения полностью относятся и к случаю, когда мы
интересуемся вкладом полюсов Редже в амплитудах взаимодейст-
взаимодействия той или иной пары частиц в промежуточном состоянии в осо-
особую часть величины A3fj;>.3.
Таким образом, в случае тождественных частиц, для учета
вклада от всех трех взаимодействий пар 2, 2\ 2, 3 и 2, 3, правую
часть B7) следует помножить на 3. При этом множитель 2/3! в
правой части B7) заменится на единицу.
12* 355

5. Аналитическое продолжение
четырехчастичных членов условия унитарности
Будем строить аналитическое продолжение четырехчастичных
членов A4) условия унитарности в форме, аналогичной B1), за-
заменяя в A4) суммирование по А,4 (т. е. по lim^ 12ш2) интегрирова-
интегрированием. Чтобы это сделать, запишем сумму G) по А,4 в виде
2 -2 2' 2 2 +2 S 2 2 . B8)
txmJtfYiz тп1т2>0 Zi=mi 1г=т2 ттцХ), m2<0 /1=771! 12==—т2
где так же, как и в B1), учтено, что выражение в A4) под знаком
суммы по Я4 не изменяется [18] при замене тг, т2 одновременно на
—т1 и —т2.
Формулы, полученные далее для четырехчастичного случая,
будут иметь для нас реальное, а не иллюстративное (как в трех-
частичном случае) значение. Поэтому следует учесть, что ампли-
амплитуды /j; ь4 = /,-; 1хтьШг в0 всяком случае не могут быть продолже-
продолжены как функции 1г и 12 со всех целых значений 1г и 12 и необходимо
ввести сигнатуру по этим переменным. В дальнейшем как по 11ч
так и по /2 нас будет интересовать лишь вакуумный полюс, кото-
который имеется только в состоянии с положительной сигнатурой.
Поэтому будем рассматривать ту часть сумм B8), в которых 1г и
12 — четные числа. При этом сумму, например, по 1Х и т1 в первом
члене в B8) можно представить в виде
оо оо оо оо со оо
2 2 = 2 ' 2 н 2 2
mt>0 *1=:четн, /t>mi m1=o, 2, 4... /i=mi, mH-2... тп!=1, з, 5... /i=mi+l, тп,+ з...
или, при переходе к контурным интегралам, как в B1), запишем
в виде
dmi С dh, J f dmi Г dh
_J__ f dmi Г
DiJ J ctg V2 ЯШ] J
M h
J g / J tg 1/2 я (Ji — mi) + DiJ J ctg V2 ЯШ] J ctg 1/2 я (/i — mi) '
Mi L\ Mi hx
B9)
где Мг и Lx — контуры такие же, как на рис. 5 и 6.
Как мы видели выше (в предыдущем разделе), особенность
всего интеграла возникает от значений Z, близких к т. Во втором
члене величина 1г всегда по крайней мере на единицу больше тг.
Учитывая это, можно заметить (если провести с этим членом все
те же действия, что ниже проведены для первого), что этот член
имеет особенность по /, смещенную в /-плоскости на единицу влево,
по сравнению с особенностью первого члена. Такие особенности
нас интересовать не будут и поэтому второй член в B9) мы вовсе
опустим. Точно так же можно не учитывать и весь второй член в
B8), так как (как показано подробно в Приложении 1) он не при-
приводит к особенностям, существенным в дальнейшем.
356

Таким образом, запишем условие унитарности A4) в виде
dmi { dh С dm у
M
2*
4!
tg
X
X
) )
C0)
где множитель Bj(lxmu l2m2) был определен выше (см. F)), конту-
контуры Li и L2 совпадают с контуром рис. 5, а контур М2 включает
особенности функции Г (/ + 1 —¦ mi — т2), которая содержится в
Bj (liJUi, l2m2) (рис. 10).
Повторяя рассуждения предыдущего раздела, мы придем к
заключению, что после интегрирования по !ь 12 и /п2, которое сле-
следует провести с учетом полюсов Редже по 1г и 12 (т. е. нулей
Dit(ti) и] Di2 (t2) при 1г = a {ti), l2 = a (t2)), подынтегральная
функция в интеграле по Шх будет иметь полюса в точках:
1) т»1 = 0,2,4,... — из-за нулей tg 1/2 пт^
2) /Tii = a (^), a (Zi) — 2, ... и т. д., возникающие от интегри-
интегрирования по li;
3) ян = / + 1 — а (^) + к (к = 0, 1, 2) — от интегрирования
по Z2 и т2.
Механизм появления этих полюсов совершенно аналогичен
рассмотренному подробно в предыдущем разделе. Они возникают
при учете полюсов функции Г (/ +1 — тх — т2), которая со-
содержится множителем в коэффициенте F).
Плоскость т2
Плоскость mf
art,1-2 \(tf)
М,
z) j+d~c*(t2)
Рис. 10
Рис. 11
Все эти особенности указаны на рис. 11. Контур интегрирова-
интегрирования Мх обязательно должен быть выбран так, чтобы полюса третье-
третьего типа находились внутри контура, как это указано на рис. И.
В противном случае правая часть C0) будет иметь особенности
(полюса) при сколь угодно большом / за счет совпадения полюсов
третьего типа с особенностями ctg V2 тип^ Следует отметить, что
возможность прибавления функции % к ctg 72 пт, обсуждавшаяся
357

в предыдущем разделе, здесь имеет место как для ctg V2 ятх, так и
ctg V2 ят2.
Последнее интегрирование в C0) по контуру Мг рис. 10 при-
приводит к особенности из-за совпадения полюсов второго и третьего
типов при следующих значениях /: / = а (^) + a (t2) — 1 + ку
к = 0,1,2, ...
Если траектория a (t) при некотором t=ml проходит через физи-
физическое значение (например, a (ml) = 0), то последняя формула
отвечает азимовскому смещению [9] особенности при / = —1 [81.
Однако в том случае, когда амплитуда образования частицы
удовлетворяет мандельстамовскому представлению, известно [9],
что число к может иметь лишь значения: к = 0, 2, 4 ... в силу
свойств симметриир (s, и) по отношению к замене s на и. Если сим-
симметрия такого типа имеет место и для амплитуд образования ред-
жионов, то коэффициенты при особенности будут равны нулю при
нечетных к. Если думать, что это в действительности имеет место,
то можно, воспользовавшись неоднозначностью аналитического
продолжения (добавление %), написать последнее так, чтобы явно
фигурировали только четные к. Это можно сделать, например,
заменив ctg V2 Jiwii, ctg 1/2 nm2 на выражение sin [V2 я (/ —
— mi — m2)]/sm V2 nnti sin V2 nm2 sin V2 я/, которое в остальном
не хуже исходного. В дальнейшем мы так и будем поступать.
Нас будет интересовать лишь самая правая особенность, отве-
отвечающая к = 0. Особую часть интегралов по игь нг2, Zi, l2 вычислим
точно так же, как это было сделано в предыдущем разделе, исполь-
используя для Z)it(*i) и Di*(t*) вблизи полюса значение B3):
dmi С dm2 С dh С dh
Mi
С dm2 С dh С dh
J sin1/2nm2 j tg х/г я (/i — mi) j tg х/г я (Z2 —
Мг Lj L2
26 (Zimi, hmz) Г (/' + 1 — mi — mz) sin 2/г я (/ — mi —
X [/1 — a(«i)][Za — a{h)] Г (/ + 1 + mi + m2) sinVa«/
A2 0"; «i, «2) = — sin(V2rt/)rB/+l) зтA/2яа1)ГBа1 + 1) Х
2(X2+1
sin (V2 яа2) Г Bа2 + 1)
— функция, не имеющая особенности в области значений ;, близ-
близких к ах + а2 — 1 (oci = а (^), а2 = а (?2)). Через fc [hm^ l2m2)
в интеграле обозначены все множители в F), кроме
Г(/ + 1 - щ - /яа)/Г(/ + 1 + ^i +
причем
ft (cw, a^) = Bах + 1) Bо2 + 1)/Г Bах + 1) Г Bа2 + 1).
358

Отсюда для сингулярной части C0) получим
.-, m 1 1 С jf Г rf, Ni; a,g, С' *'. «') ^f.,., № «ь '«) 2p(t; h, fa)
A4/j @ = 2fEF ) *2 ) dh /+l_a(«i)-a(h) ?E '
C1)
причем
aia2 (*; txt2) C2)
имеет смысл амплитуды образования двух реджионов. Последнее
можно заменить, рассматривая процесс образования четырех час-
частиц как идущий через два виртуальных реджионных состояния
(рис. 12). Его амплитуда в области 1г —> ось 12 —> ос2 будет иметь
вид fy, к с- Л^-: aia2 (/]_ai)(/2_a2) ftft. гДе ^Vj; aia2 — амплитуда пе-
перехода двух частиц в два реджиона.
Согласно (И) и B3), Nj'.*^ = gxg2 Gj- aia2, т. е. Nj; aia2 лишь на
множитель (стандартно зависящий от tx, t2 и j) отличается от ам-
амплитуды Л^;а1а2. Следовательно, как и в трехчастичном случае,
константы gi и g2 распада обоих реджионов на частицы вовсе вы-
выпали из ответа C1). Это обстоятельство является общим свойством
релятивистской теории, в которой «реджионы» выступают как
реальные частицы.
При записи C1) был учтен тот факт, что четыре частицы можно
тремя различными способами сгруппировать в две пары с опреде-
определенными hnii и 12т2. Поскольку все частицы тождественны, то
(так же как и в трехчастичном случае) все способы дают один и тот
же вклад, и поэтому в C1) был введен множитель 3. При этом вмес-
вместо коэффициента 22/4! в C0), в C1) появился множитель V2 =
\\ • Ч%1\\. Множитель V2 (в 31) соответствует тождественности обоих
роджионон.
Рис. 12
Интеграл C1) имеет несколько типов особенностей. Интеграл
по tx по контуру d (рис. 3), который мы обозначим через Ф7- (tu t2)
при фиксированном t2, может иметь особенности, если нуль зна-
знаменателя в C1) совпадает с краями интегрирования tx = 4jx2 и
h = {?lz — И2J» Иначе говоря, условиями возникновения осо-
особенности этого интеграла будут
/ + 1=аD^2) + а(^2) C3)
359

; + l = a[(*1/2-4/2J]+a('2). C4)
При втором интегрировании по t2 особенности интеграла Ф7- (?, t2)
могут совпасть либо с краями t2 — {t^2 — 2(лJ и t2 = 4|i2 инте-
интегрирования, либо сжать с двух сторон контур С\ интегрирования.
Поэтому особенности первых двух типов интеграла C1) вида
аФЛ', к)
будут определяться г условиями
/ = 2аD[х2)-1, C5)
• ; = a[^2-2lxJ] + aDlx2)-l. C6)
Наибольший интерес представляют особенности третьего типа,
потому что при уменьшении t и переходе к области отрицательных
t только эти особенности и останутся в /-плоскости. Положение
этих особенностей определяется тем значением ;, при котором
два решения t2 = 4+) и t2 = 4~} уравнения C4) относительно t2
совпадают. Условием этого совпадения является обращение в
нуль производной по t2 от правой части C4)
а' (*2) = а' [(*1/; - #¦)»] (№ - 1). C7)
Это уравнение имеет, во всяком случае, решение
йг = t1!*/2, C8)
подстановка которого в C4) определяет положение соответствую-
соответствующей особенности
/ = /2(*) = 2а(*/4)-1. C9)
Вопрос о возможности других решений требует специального ис-
исследования свойств траектории a (t).
Можно убедиться в том, что существует такой путь движения в
/-плоскости (от области больших значений у, где А4/у не имеет осо-
особенностей), при котором два решения 4+) и 4 * действительно
сжимают контур С2 в ^-плоскости при ;, стремящемся к значению
C9). При t = 16 fx2 все три особенности C5), C6) и C9) функции
&dj @ совпадают. При уменьшении t и прохождении через точку
t = 16[x2, особенности C6) и C9), двигаясь в /-плоскости, обходят
друг друга. Мы покажем в' Приложении 2, что функция fj (t) не
имеет особенностей C5), C6) при t < 16[х2, если разрез от особен-
1 Кроме этих точек, величина C1) имеет особенности также и в комплексно-
СО]
360
сопряженных точках.

мости C9) в /-плоскости проведен влево вдоль вещественной осп
(особенности C5), C6) оказываются на другом листе, связанном
с этим разрезом). Более подробно вопрос о движении особенностей
C5), C6) и B) при изменении / рассмотрен Симоновым [19].
Вычислим скачок б у/у (t) функции /у (t) на интересующем нас
разрезе на особенности C9) в /-плоскости. Поскольку особенности
/у @ не совпадают с особенностями /у (t), то
8АЛ @ = а,- ^ I/, (t) - if (t)] = 1 в,/,- (*).
Поэтому достаточно найти величину скачка интеграла C1)
-
Последний возникает оттого, что две особенности t2 =
функции Фу (*, ff),
D0)
и 4 *
D1)
подходя в плоскости t2 к контуру С2 (рис. 2), различным образом
деформируют его, в зависимости от способа обхода в /-плоскости
(рис. 13) точки / = /а (t) (пока мы не будем учитывать члены в
S/ обусловленные зависимостью от / самих амплитуд Nyt au tt2 и
a.; (см. об этом в следующем разделе).
Рис. 13
Рис. 14
Вычисляя скачок интеграла D0), получим для b?fj(t) следую-
следующее значение (см. рис. 14-—16):
6^(*)= J Д,2Ф;(^
D2)
где 4+) — та из двух особых точек функции D1), которая при / <
<2 (и /, близком к/2) имеет положительную мнимую часть. Здесь
361

*» ^2) — скачок интеграла D1) на контуре, проведенном
4) 4)
между точками 4+) и 4-) (т- е. разность его значений с обеих сторон
контура, поделенная на 2i). Этот скачок с точностью до множителя
21 равен величине интеграла D1), взятому по контуру С\, окружа-
окружающему в отрицательном направлении (соответственно рис. 3)
точку t\ = t\, в которой знаменатель в D1) обращается в нуль:
-4Г
M4>
X
х
tf* 2a'
2a'
D)
D3).
Это значение удобно символически записывать в виде
А Л 1 Я
- a ft) - a
предполагая, что контур интегрирования в комплексной ^-плос-
^-плоскости выбран так, что аргумент б-функции, принимая веществен-
вещественные значения, проходит через нуль. Такая запись значения D3)
удобна (хотя и необязательна) для дальнейшего. Таким образом^
J-J-u
JPhc. 15
Плоскость
переменной х2- tf -^
Рис. 16
величину скачка fj(t) на двухреджионной особенности можно
представить в виде
X
D4)
362

где, как уже было сказано, 4+) и 4 ) — корни уравнения C4),
которое можно рассматривать как результат двух условий: j -\-
М — a (tj) — а (t2) = О, р (t; tu t2)=0. (Второе равенство более
правильно было бы писать в виде ft* = t^2 -f- t'l*).
В этих условиях амплитуду Nj;aiaz нельзя считать постоянной
(несмотря на то, что при / —> /2 области интегрирования по tx и t2
стремятся к нулю), так как при/? = р (t, tx, t2) -> 0 Nj- aitt2 имеет
пороговую особенность вида Nyt a,a2 = CjpL. Здесь L — j — ax —
— a2 — минимальное значение орбитального момента орбитального
движения двух реджионов. В интеграле D4) величина L = —1 и,
следовательно,
D5)
т. е. стремится к бесконечности при р —> 0.
Следует отметить, что амплитуда образования двух частиц
Nj; ilh (t1} ць \х2) (а не двух реджионов) при р -> 0, в силу условий
унитарности, не может стремиться к бесконечности как Пр. Ее
правильное пороговое поведение определяется [8] формулой
где к = р B, jiii ^2)? причем fxi и ц2 — массы двух реальных час-
частиц. При L = У — ^i —¦ h = —1? и при /с -» 0 амплитуда
iVj-; itit (t, (ii, fx2) стремится к константе, а не к 1/&. Компенсирующий
множитель к21л1 ~ i/k (при L ~ —1) в знаменателе возникает от
суммирования диаграмм с двумя частицами (с массами fii и \х2) в
промежуточном состоянии. Каждая из этих диаграмм имеет осо-
особенность при к = 0т т. е. при f/2 = fii + fx2.
В случао амплитуды образования двух реджионов соответст-
соответствующая компенсация множителя pL (t, tl4 t2) могла бы произойти
только за счет многочастичных промежуточных состояний. Однако
вклад таких состояний содержит интегрирование по энергиям
групп частиц, образующихся в промежуточном состоянии, и имеет
особенность только при реальных порогах (^ = 16fx2, 36fx2 и т. д.).
Поэтому они не могут компенсировать особенность при ?1* = ф +
+ 4'\ гДе *i и t2 — произвольные энергии групп частиц в конечном
состояний.
Подставляя iV7-; aia2 в интеграл D4) в виде D5), вычислим ин-
интеграл по *i и t2 при У —» 7г @- Для этого, полагая tx = J/4 t +#i>
t2 = V4 t + x2, разложим величины a (tx) и a (?2) в ряды
a {h) - a (-i") + a'*i + T-**' * = 1, 2,
и подставим значение х1г определенное из условия
7 - /2 @ = fe + я8) a' + 4" (^ + ^2)«%
363

p(t; h, t2) =
- x2J - 2t (xt
При этом получим (см. рис. 14—16)
где
D6)
8 гя' /а'
не зависит от / при / —> /2 @- Если бы величина Cj при ; —> ;2 не
имела особенностей (что мы до сих пор предполагали), то из D6)
следовало бы, что fj (t) при / -* /2 @ имеет логарифмическую осо-
особенность вида
U(t) = A- B??f In (/ - /, Щ. D7)
В следующем разделе будет показано, как можно учесть осо-
особенности Cj. Ввиду того, что D7) при / —» /2 @ стремится к беско-
бесконечности, учет особенности Cj существенно изменит характер осо-
особенности fj (t).
Наличие этой (и других аналогичных) особенности кардинально
меняет аналитические свойства fj (t) в ^-плоскости. Помимо разре-
разрезов, указанных на рис. 1 и связанных с порогами образования,
обычных частиц в ^-плоскости должна, очевидно, появиться точка
ветвления логарифмического типа при t = t2 (;), где t2 (j) —¦ реш*>-
Пл ос ноетд t
7, |^
Рис. 17
ние уравнения / = /2 @- Поэтому, кроме разрезов, указанных на
рис. 1, для однозначного определения fj (t) в ^-плоскости следует
провести также разрез, указанный на рис. 17, от точки t = t2(j).
Полагая в D7) при малых t, что /2 (t) х 1 -\- V2 a'o t, легко заме-
заметить, что скачок S/2)/i (О Н& этом разрезе отличается от 6/2)/i@
лишь знаком:

Поэтому, зная величину 8jfj (t), можно восстановить амплитуду
/, (t) при помощи дисперсионного интеграла
if %%(*')<»' ! j? ^fj{t')dt>
) +
) t'-t
Ш
! j? ^fj{t')d
1Г J t'-t
m
16V2
Для учета в ^-плоскости не только двухреджионной, но и всех
многореджионных (трех, четырех и т. д. реджионных) особенно-
особенностей, в D9) следует включить добавочные члены вида1
1
я
6. Условие унитарности из двухреджионной особенности
До сих пор при изучении особенностей fj (t) мы не учитывали
того, что амплитуды Nj-t a и Nyt aia2 образования реджионов, входя-
входящие в Дд/j или А4/7, сами могут иметь особенности в тех же точках,
что и fj (t). Фактически, в силу условий унитарности, эти особен-
особенности должны присутствовать во всех амплитудах.
Покажем, что учет этого изменяет полученное ранее значение
Sjf. (t) = —6PV/ (*) и приводит к тому, что точное условие уни-
унитарности, определяющее величину скачка 8tfj (t) амплитуды fj (t)
на двухреджионной особенности t = t2 (j) в ^-плоскости имеет вид
4
41
\
41
^Nj-,^ х
41
X 2ру б (/ + 1 - a (t±) - а (^), E0)
ГДе N,+;ata% = ^iie; ata2 (^ *1 ^) = #?«,„, (^ ^, ^, *,) - аМПЛИ-
туды образования двух реджионов на обоих берегах разреза t ^>
\>t2 (j) (см. рис. 17). Необходимо подчеркнуть, что обе величины
N.+. a a и Л7^.-. a , входящие в эту формулу, определены на одном и
том же физическом листе ^-плоскости (по отношению к порогам
образования обычных частиц) в противоположность формуле D4),
содержащей амплитуды Nyfata2 на нефизическом листе.
1 Из B) следует, что при вещественном / особенность t = t^ появляется на
физическом листе (см. рис. 1) f-плоскости лишь для таких /г, для которых
/^0) > /, где До) - jn [BлнО2] = я [а (V) - 1] + 1, причем 1 < a Djx2) < 2.
365

Соотношение E0) можно понимать как двухреджионное усло-
условие унитарности в следующем смысле. Точка ветвления t = t2 (/)
выходит на физический лист ^-плоскости из-под разреза, идущего от
t = 16[х2, и при уменьшении / (вдоль вещественной оси от больших
значений, при которых fj (t) не имеет особенности t = t2 (/)
на физическом листе) движется так, как указано пунктиром на
рис.17. Поскольку особенность при t = t2 (]) можно рассматривать
как пороговую особенность, отвечающую образованию двух ред-
реджионов, то соотношение E0), правая часть которого содержит
амплитуды N.±. а^ = N.. ^(t + te; *i, t2) образования двух ред-
реджионов на обоих берегах разреза, связанного с этрй же особен-
особенностью, совершенно аналогично обычному условию унитарности.
Чтобы не утомлять читателя большим количеством индексов,
дадим доказательство формулы E0) в символически-операторном
виде. Состояние четырех частиц будем характеризовать кван-
квантовым числом v, включающим величины угловых моментов и спи-
ральностей 1хтх и 12т2 двух пар частиц и их энергий t[/2 и 4/г-
Нам понадобятся условия унитарности для амплитуд перехода
двух частиц в две и в четыре fj (t) и fj. v = /,-. ixm,Um2 (t\ tx, t2) и
для амплитуды перехода четырех частиц в четыре fj; w'. Амплитуды
/j-v и /j;Vv будем записывать в виде, аналогичном A0) и A1):
/г W = ¦ ЯУ;","' , , , . E1)
Здесь Hjtv4- (так же, как и Gj») не имеет особенностей на двухчас-
Рис. 18
тичных порогах по беременным tx, t2Rt1, t2. При этом можно ввести
величину М. , nponopEEOi альную //y;vo>v*
где
а. = и (ф, I = 1, 2
(v0? Vq — состояния с /{ = т{ = а (^); Ц = пц = а (/!)), которая
будет иметь смысл амплитуды перехода двух реджионов с массами
t[l2 и ф в два реджиона с массами t^2 и гЦш (рис. 18).

В этих обозначениях четырехчастичные условия унитарности
для амплитуд fj,fj-v и /j. vv* могут быть записаны в следующем
ииде:
4г №+ - ^4>) = (<№^4>)- E3а)
_i_(G.+ _ Gf) = (Gi+1># <4>) = (G<4)I>#;+), E36)
4- (#,-+ - #j4)) = (#J+l>#j4)), E3в)
где
/± = /-bje, e>0, e->0.
Здесь через
(GjVjGj ) = 2V' (Gjv*rjy,'Gfa*)
обозначена символически правая часть C1), C2). Точно так же через
(Сда<-4)) - 2V. (GjvTjsHy, v-v), (Я,Т,-Я}4)) = 2V" (ЯУ; vv^ryv^; v^v')
обозначены такие же интегралы, в которых G;V' и G^v заменены на
Ну, w' и #j; V'V. Величина Fjv содержит все сингулярные множители,
входящие в C1).
Вычисляя скачок по / от обеих частей равенств E3) на особен-
особенности j = /2 {t), получим
i- 6i/; = (Gi-bTd) + FС^,-+С<4)), . E4a)
4- 6,G;. = F',-бГ^}4)) + (вСД>#}4)), E46)
-1- fij^ = (Я; - 6Г,Я<4)) + F#,1>Я?>), E4b)
где /^ = у -f- ie означает, что величины в правой части берутся
на верхнем или нижнем берегу разреза (см. рис. 13), соответствую-
соответствующего особенности / = /2 (t). Вторые члены в правых частях этих
равенств являются как раз теми скачками интегралов вида C1),
один из которых (первый в правой части равенства E4а) был вы-
вычислен выше в D4).
Сравнивая второй член в правой части E4а) с D4) и C2),
'замечаем, что х
X б (Zi — ах) б {тх — и2) б A2 — ос2) б (т2 — а2).
1 Запись правой части этой формулы через 6-функции означает символически,
что в выражении вида A4) вместо сумм по 1и т1 и /2, т2 следует рассмотреть
лишь один член с /х = т1 = а (^); 12= ш2= п (^2M а вместо множителя
Bj (Я4), входящего в A4); надо подставить единицу.
367

Равенство E4в) является уравнением относительно 8 у #/, сравни-
сравнивая его с E3в), рассматриваемым как уравнение относительно Н^,
о/ •*¦* J" — 2i "*"*•' ~^~ \лл ]тх ]"*~лл) /> W*-v
замечаем, что решением уравнения E4в) будет
Я и i тт ят* и \ I %.а\
• су . ОjJLl j = yil j-Ol jil j+\ W^)
(так как при применении оператора 2iHj-bYj к обеим частям E5)
полученное уравнение тождественно совпадает с E4в) при усло-
условии E6).
Равенство E6) является условием унитарности для амплитуды
E2) перехода двух реджионов в два реджиона. Точно так же, срав-
сравнивая E5) с E46), замечаем^ что
-cjr- 6jGj = (Gj- д Tj H j+). E7)
Подставляя это значение в E4).и учитывая второе равенство E3а),
получим
—-б /• = (С1 fiF'f- ^ E8^
Это равенство является, согласно D4), тем условием унитарности
E0), которое требовалась доказать.
Умножая обе части E7) на величину Л"(/; а^) gx g*% a E6) —
на (Ag1g2) (A'gig2) и используя наши обозначения,* замечаем, что
эти равенства являются условиями унитарности для амплитуд
C2) и E2) перехода двух частиц в два реджиона и двух реджионов
в два реджиона. Совершенно аналогично E0) их можно предста-
представить в виде
6N- =— \ dt'2 {dt2p{t'tvt<l) -
Л • Г* . Г* А* Г* Г* /V -Г* _ X 2' ^
t
3\ aiaz, axa2 Z J Zl
х м. . »м\ .. . ,ь (/ +1 - <н - <4), F0)
0\
где Nf и М/ отличны от Nj, Mj знаком мнимой добавки к /. Форму-
Формулы E0), E9) и F0) позволяют определить характер особенностей
амплитуд fj (t), Nj и Mj при j-*fo(t).
368

Подставляя в правые части этих формул (при tt —> V4 t и 12
—» V4 0 амплитуду TVy в виде
ЛГ, = Cj/p {t; tu t2)
(см. D5)) и аналогично (при ; — аг — а2 = —1 и / — ах - а2
= -i)
МГ, «,«„ »;«, = ^/Р (*, h, t2)P(ty tv Q,
получим
Из первого равенства следует, что
откуда
Иэ второго и третьего равенств получаем
Вг
V3
^ ^ ~ ,1-ft In (/-/«) + ^J
где 4, v и /0 не имеют особенностей при / —> /2 (Q.
7. Трехреджионные и многореджионные состояния
Полюса Редже амплитуды /^;х4 (см. рис. 12) перехода двух
частиц п ч(ггм[ю ло моментам /t и 12 пар образующихся частиц
возникли как результат нзлимодейотвия этих пар частиц. Как было
обнаружено в предыдущем, раздоло, в результате этого же взаимо-
взаимодействия в плоскости углового момента возникают точки ветвления
типа D7). Нетрудно заметить, что учет новых особенностей ампли-
ТУД /;; >ч — /j; umuhmt по переменным 1Х и 12 в интегралах типа C0)
приведёт к серии точек ветвления при / — /n (t), где ]n(t) определено
в B). Из этой формулы следует, что точка ветвления становится
комплексной при t = B\игJ. Поэтому следует ожидать, что п-я
точка этой серии связана 2тг-частичным условием унитарности или,
точнее, что она появится в ^-плоскости (при уменьшении / от боль-
больших значений вдоль вещественной оси) с нефизического листа (см.
рис. 1), обусловленного образованием 2п частиц.
Поэтому естественно для изучения тг-й особенности B) рассмат-
рассматривать 2д-частичное условие унитарности A8). Однако до перехода
к общему случаю нам придется кратко остановиться на шестичас-
тичном (трехреджионном) условии унитарности A6). Рассмотрим
его аналитическое продолжение на комплексные /. Если это про-
продолжение записать в виде контурных интегралов вида C0) по
1/413 И. Я. Померанчук, т. III 369

liml9 l2m2, Ji2/fti2> ^3^3 и учесть полюса Редже по 1и 12 и Z3, то при
вычислении особой части интеграла возникает лишь следующее от-
отличие от рассмотренного выше двухреджионного случая (см. раз-
раздел 5).
Для возникновения особенности существенны две Г-функции,
входящие в В; G1277г12, 1ВЩ) и Bilt (limu l2m2) в A5):
Г (/ + 1 — m12 — т8), Г (Zia + 1 — mi — Щ).
Особенность Д6/7- @ возникает от следующих точек в контурных
интегралах по 1\ти h2, тп12 вида C0):
1г = mi[= a (*i), 12 = т2 = а (t2)f Z3 = т3 = а ($3)
При этом для сингулярной части интеграла получается выражение,
аналогичное C1):
dtn , 2р (t; /]2, h) '
где iVj; a ai2 — амплитуда образования трех реджионов в состоянии
с моментом Z12 одной пары из них, равным а (?х) + a (t2) — 1.
Она связана с величиной G/;a сц2 (?; ^а? ^12)» определенной согласно
A1а) соотношением
#i; «a«t2 = Л 0't г12» аз) Л (Z12; a^) gjg2g3 G;. a-taI2 («; ^t ^12)* Fb)
При выбранной в A6) нормировке перед интегралом фактически
появляется множитель 23/6!, который содержится в A5). Однако
следует^ учесть, что в этом случае кроме 6!/23«3! = 15 способов
распределения шести частиц по трем парам с определенными зна-
значениями угловых моментов существует еще три способа группиров-
группировки двух из трех реджионов в пару с определенным Z12. Поэтому
коэффициент 23/6! следует еще умножить на 3«6!/23-3!, что и дает
в F1) множитель 1/2 (отвечающий тождественности двух реджио-
реджионов, образующих состояние с заданным Z12).
Особенности интеграла F1) обусловлены нулями знаменателя
подынтегрального выражения, не зависящего от t12. Поэтому бу-
будем считать, что интегрирование по tiz выполнено (в пределах
(*i* + йгJ < t12 < {t4% — tff), а интегрирование по ta, а = 1, 2, 3,
производится по контурам Св, указанным в A6) в пределах A7).
Особенность интеграла возникает при совпадении нуля знамена-
знаменателя с краями интегрирования. В случае совпадения нуля знаме-
знаменателя с нижним пределом 4fi2 одной из переменных tt возникнут
370

особенности типа C5), C6), положение которых зависит от масс
частиц. Эти особенности нас не будут интересовать, потому что,
как показывает анализ, так же как и в двухреджионном случае,
при малом t они оказываются на нефизических листах /-плос-
/-плоскости.
Особенность, не зависящая от масс частиц, возникает от сов-
совпадения нулей знаменателя с верхней границей интегрирования
по ta, которая определяется условием
X (*ь *», h, t) = tf + #' + й* - th = 0. F2)
Чтобы интеграл F1) реально имел особенность в /-плоскости,
необходимо, чтобы при каждом последующем интегрировании осо-
особенности предыдущего интеграла сжимали бы контур интегриро-
интегрирования.
Рассматривая последовательно интегралы по tu t2 и t3, можно
заметить, что для этого необходимо (как и в случае более простого
интеграла C1)), чтобы знаменатель в F1)
? (*i, *«, h; j) = j + 2-a (h) - a (t2) - а (*8) F3)
имел экстремум при условии F2). Поэтому положение особеннос-
особенности может быть определено из условия абсолютного экстремума
функциi
П = ? Сь **. **; /) - Н (h, *», ^3; t), F4)
условия
2^3^) = 0 F5)
и условия F2). Условие экстремума приводит к соотношениям
a' (ta) - №й\ а = 1, 2, 3.
Обозначим через t0 решение этого уравнения; тогда из требова-
требования % = 0 получим tf0 = 2/9^ откуда из условия F5) для поло-
положения особенности / = /3 (t) следует значение B) с п = 3.
Найдем скачок б|Аз/; = (V2 i) tijfj(t) на этой особенности (при
t > 0, / <С h U))i не учитывая пока особенности Nj;«., а„. Совер-
Совершенно аналогично D2) получим
ej8)/j(*)= S А^3)(^з)*з, F6)
где А^3Ф;-3) — скачок интеграла
% (tJs) = -T\ -2TJ-2T / + 2-a(*,)-a(fe)-a(«,) Уз('а,*) (Ь7)
14 И. Я. Померанчук, т. Ill 37t

на контуре в г3-плоскости, проведенном между его двумя особен-
особенностями 4 * и 4 } (особенность 4+) более правая; при / <^ /3 (О она
уходит в верхнюю полуплоскость, если /, уменьшаясь, обходит
точку У = /з сверху). Через /3 (ta; t) в F7) обозначена величина
полного фазового объема системы трех частиц с массами tl/z, фу
ф и с энергией fk
2р (t, tu, h) 2p («и, *,, *2) At
,4*W'* 12
нерелятивистское значение которого (при % —> 0) пропорциональ-
пропорционально х2.
Положение особенностей 4^ и 4-) интеграла F7) определяется
как решение уравнения F5) при тех значениях t± и t2, при которых
величина Ц (^; ;) имеет экстремум на верхнем пределе интегри-
интегрирования, т. е. при % (ti\ t) = 0. Иначе говоря, значения ?i =
= h{t, t3) и t2 — t2 (t, t3), которых следует подставить в F5), могут
быть найдены из уравнений
причем параметр Лагранжа X определяется из условия
% (к, h, h; t) = 0.
Скачок интеграла F7) на контуре между 4+) и 4-) может быть
вычислен так же, как ранее (раздел 5) был вычислен скачок ин-
интеграла E1). Подставляя его значение в F7), получим для
F9)
где 4+) и 4-) определяются при данном i3 (ПРИ t ~^> 0 и j < /2 @)
как два решения уравнений
Эти уравнения определяют также и значение tlt существенное
в F9).
372

Проводя рассмотрение, аналогичное проделанному в предыду-
т.ем разделе, получим при учете особенности Nj.t<Xia2 трехреджион-
ное условие унитарности в следующем виде:
Для вычисления характера особенности при j —> ;3 @ учтем,
что в области ^—>1/9 t, t^ —> V9 t и^—> V9 t-> существенной при
7 -*7з (О В интеграле G0), величины р (^2; tu t2) и jd (^, t12, t3)
обращаются в нуль. При этом пороговое поведение амплитуд
Nj;aa<x12 имеет вид, аналогичный D5)
Подставляя Nj; a , а12 в этом виде в G0) и вычисляя интеграл при
/ —> /3 @» получим
6f /j (t) = л (/ - /з) С;С> 53 = я (/ - /з) ?8,.
где В9 — некоторая постоянная. Отсюда
/j (t) = Аъ + Въ (j - 73) In (/ ~ 7а).
где fi3 = BsCjbCj^, Особенность Cj при / ~ 7з в этом случае учиты-
учитывать не нужно, так как вклад от этой особенности при / —> 7з
стремится к нулю. . — . -
Перейдем к общему w-реджионному случаю. Если число реджио-
нов больше трех, то необходимо учитывать следующее. Как уже мы
подчеркивали несколько раз, для получения вклада от данной
особенности необходимо рассмотреть все способы группировки
частиц (и групп частиц) в состояния с определенными угловыми
моментами и затем сложить полученные результаты. До сих пор,
рассматривая тождественные частицы, мы получали от всех таких
конфигураций одинаковые вклады и поэтому дело сводилось к
умножению правой части условий унитарности на определенное
число.
Начиная] с четырехреджионного случая, появляются груп-
группировки реджионов разных типов, вклад которых различен. В че-
тырехреджионном случае возможны две различные группировки
реджионов (см. раздел 2), которые соответственно приводят к
14* 373

появлению двух разных членов в реджионном условии унитар-
унитарности. Один из них содержит амплитуду N {jl^ls^ l\.%&i&*\ ^З4аза4)
образования четырех реджионов в состоянии с определенными
моментами двух пар из них: l12 = a (?x) + а (t2) — 1, /34 = а (*з) +
+ а (?4) — 1? ^ ДрУг°й — амплитуду N G/123&49 ^123^12^3» ^12^1^2)
образования этих же реджионов в состоянии с определенным
угловым моментом пары Zi2 = а (?j) + а (t2) — 1 и моментом трой-
тройки реджионов ZX23 = а (ti) + а (t2) -+- а (t3) — 2. С ростом числа
реджионов число разных конфигураций растет.
Условие унитарности для скачка fj (t) на и-реджионной осо-
особенности t — tn G) имеет вид
&t fj @ = 2j (я/2 к) \ Nj+; nt k Nj-; n,kX
к J
X П —>ab'iи Ь бО") пЛпХ ' G1)
a, b ab ^*/
где через Nj; п>н обозначен к-& тип амплитуды процесса образова-
образования п реджионов, отвечающий, определенной группировке их в
состояние с заданными значениями угловых моментов Za, lb {t^ и
ti!2 — энергии этих состояний). Полный скачок 6jn) fj (t) равен
сумме 6Г'Л fj (t) по всем типам таких группировок. Множитель
1/2V* является результатом умножения исходного коэффициента
2п/Bп)! в A8) на число способов распределения частиц и реджио-
реджионов [Bп)\ I 2" п\] (га! / 2Vfc), .при которых может осуществляться
данная конфигурация. Здесь B/г)! 12пп\ — число способов рас-
распределения 2п частиц по п парам, а п\ /2V/C — число способов груп-
группировки п реджионов в данную конфигурацию.
Величина v^ зависит от вида конфигурации и может быть легко
найдена BVfc есть число перестановок реджионов, в результате кото-
которых вид конфигурации не изменяется). Например, в четырехред-
жионном случае для первой из двух указанных выше конфигура-
конфигураций v1 = 3, а для второй v2 = 1. Через Qn обозначена величина,
аналогичная F4):
п
Положение тг-реджионной особенности в /-плоскости определя-
определяется аналогично двух- и трехреджионным случаям из условия
экстремума функции
п
| |п — I \п — ^Ыпч гДе Хп — ^Л *а — ь
a==l
при условии %п = 0 ж Qn = 0.
374

Как легко убедиться, решением этих уравнений будет
ta = tin2, a = 1, 2, ..., п,
а для положения п-й особенности следует значение B):
]n(t) = па (tin2) — п + 1.
Функция S (Цп) в G1) имеет такой же символический смысл,
как и в трех- и двухреджионных случаях (как в G0) или в E0)),
так как интегрирование в G1) производится по комплексным кон-
контурам. Первое интегрирование в G1) по tx при фиксированных
энергиях t2, t^...^tn всех остальных реджионов приводит к под-
подстановке значения подынтегральной функции в точке, в которой
?Л*ь h,...,tn\ /) = о. G2)
Пределы tP и 4+) второго интегрирования (по t2, при фиксирован-
фиксированных t3, tA,...,tn) являются двумя решениями G2), в которое под-
подставлено значение tx из равенства
Пределы последующих интегрирований в G1) по t3, tiy...,tn,
например по tt при фиксированных ti+1, ti+2, ...?^n? определяются
как пара решений 4^} = fV^ (^t+ii •••, tn; t) уравнения G2) относи-
относительно tu в которое значения tu t2, ..., ^_i подставлены из равенств
Ж-П==Я-ЙГ; fc = l,2,...,i-l, G4)
а параметр К определен из G3). Как несложно проверить, в облас-
области / —> /п уравнение G2) действительно имеет пару комплексно-
сопряженных корней t\^\
Пользуясь этими правилами, легко определить зависимость
Sjn) fj (t) от j в области / <^ jv, ] -> jn (т. е. найти характер особен-
особенности /п).
Вблизи особенности пределы интегрирования по всем ta, tab,
tabc, ..., по энергиям отдельных реджионов, сжимаются (совпадая
при ; = уп), и все импульсы относительного движения р (tab; tatb)
стремятся к нулю. Пороговое поведение амплитуд Nj;rlyk в этих
условиях имеет вид
N* *. к = IT A ll П] ! , ч •
аЬ W
а, Ь
Вынося Cjmk за знак интеграла, мы придем к интегралу вида
X
375

Интеграл по энергиям tabtabc,... пар и групп реджионов при
фиксированных значениях масс реджионов t^ t2, ...,?n может быть
легко вычислен. Он содержит (п — 2) интегрирования по этим
энергиям (например, одно интегрирование в трехреджионном слу-
случае, два в четырехреджионном и т. д.), и (п — 1) множителей
1/р (tab, ta'i tb)- Области интегрирования по всем энергиям tab,
*аьс>--- стремятся к нулю при f/2-> 2 **1% и каждая из них —
а=1
п
величина порядка fl* — 2 *«*• Величина каждого из импульсов
а=1
п
порядка (t1/2 — 2 4/а) 2 • Поэтому интегрирование по относи-
тельным энергиям дает величину
а=1
где ап — величина, не имеющая особенностей при ta = tin2. При
этом G1) можно записать в виде
X
a=l
n
где было учтено, что энергии всех реджионов изменяются при
/ —» /п в малой области вблизи ta = ^/w2, и поэтому величины #а =
= ^а—tin2 малы по сравнению с ta. Через Ап обозначена некоторая
постоянная, значение которой для дальнейшего несущественно.
Легко видеть непосредственно из последнего значения 6jn)/y (О»
п
что в области вблизи особенности величины сс2а и ( 2 ха) одного
порядка малости, порядка ;n — j (скачок 6jn)/j @ отличен от нуля
лишь в области / <^ /п). Учитывая это, пренебрегая при / ^^ /п
членами более высокого порядка, чем xl, и вычисляя интеграл по
Хц получим
V, о = ^ет U-г S ^ + (/. - л](м)Л П -^.
va / • L a=i J а=2
a=l
где
37а

Учитывая сказанное и подставляя хх = — 2 ха-> запишем
п а=1
2 ^а в виде
а=1
п п п
()
а=1 ^а=2 ' а=2 а>а'>2
Производя над переменными #а линейное преобразование
ха = 2 Лаа'Ра'» легко подобрать коэффициенты т]аа' так, чтобы
а'=2
п
форму 2 хаха' привести к главным осям:
п
Учитывая, что
2 2 хаХа> = — 2ра= f S й, гДе Ра = 1Ъа-
а=2 а=2
п _ п п
а=2 а=2 а=2
где Dn — детерминант произведенного выше линейного преобра-
преобразования, и, записывая пределы интегрирования по ?а, получим
V <*> \k - / - S 5.1 (n">/2 = ««»
-(v-;-5V)A . •
a=3
где Вп и J5n — некоторые коэффициенты1.
1 Они отличны друг от друга лишь на числовой множитель
-a-»»,v.
4)Vi
Г V 2 V/2
I1- / uaj
a=3
377

Так как &\n)fj (t) = — 6<-n)/; (*), то при / -> jn (t) имеем 67/7- =
- л?п (/ - /n)"-2, и если n > 3, то fs (t) = Лn + Bn (j - jn)n~2 x
Xln(/ —/n), где Лп не имеет особенности при j->/n.
Таким образом, вблизи w-реджионной особенности сингуляр-
сингулярная часть fj (t) тем меньше, чем больше п.
В заключение нам хочется выразить искреннюю признатель-
признательность Я. И. Азимову, А. А. Ансельму, Г. С. Данилову, И. Т. Дят-
Дятлову, Ю. А. Симонову за интересные дискуссии и ряд важных за-
замечаний по вопросам, рассмотренным в настоящей работе.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Покажем, что второй член в сумме B8), в котором т1 и т2 имеют разные
знаки, не приводит к особенностям/j (t)y существенным для асимптотики амп-
амплитуды. Запишем его в виде интегралов B9), C0) по контурам Lx, L2 и Ml9
М2 — типа указанных на рис. 5, 10, 11. Его вклад будет отличен от C0) лишь
знаком 7п2, т. е. определится после интегрирования по lv и 12 интегралом вида
dm2 Г (/ + 1 — пц — m2)
п ал п ал » v11)
Г dmi Г
) tg 72Я/Л1 ) '
My Мг
где через т2 обозначена величина | ma|-
Контур М2 на рис. 10 был проведен так, что включал полюса Г-функции,
для того чтобы совпадение их с нулями tg Va пт2 (при сколь угодно большом
/) не приводило к особенности интеграла C0) по т2. В случае A.1) полюса
Г-функции расположены в точках
т2 = т1 — j — .1 — л, п = 0, 1, 2..., A.2)
которые при увеличении / смещаются не вправо, как в C0), а влево. Поэтому
п]~и достаточно большом / они не могут совпасть с нулями tg l/i nm2 (при
т2 = 0, 2, 4...) и контур М2 следует провести так, чтобы эти полюса (указан-
(указанные кружками на рис. 10) были вне контура. Напоминаем, что особенность
интеграла C0) возникла от совпадения в C0) в плоскости т2 полюса Г-функ-
Г-функции с нулем Dlz (t2) (при Z2 = m2).
Если и полюса Г-функции и нули ВШг (?2) расположены вне контура М2,
то от такого совпадения особенность интеграла A.1) не возникнет. Поэтому
интеграл (П.1), в отличие от C0), не имеет особенности при т1 = а (^), т2 =
= а (г2) и / — т1 + т2 + 1 = 0.
Отметим, что интеграл A.1) может иметь особенности другого типа, воз-
возникающие от совпадения полюзов Г-функции и нулей tg 7з п>™>2. В резуль-
результате последующего интегрирования но f, и t2 при этом возникают особенности
вида / = а [(^2 — 2ц,J] — 1 — п (п = 0, 2, ...), которые для асимптотики
амплитуды не существенны. Эти особенности зависят от массы частиц и при
t < 16 \i2 уходят через разрез, связанный с особенностью / == f2 (t), на нефизи-
нефизический лист (аналогично особенностям вида C5), C6), рассмотренным
в работе).
Авторы благодарны Я. Азимову, обратившему их внимание на рассмот-
рассмотренный здесь вопрос.
378

ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Покажем, что при малом t вклад от четырехчастичного члена условия уни-
унитарности в fj (t)
V — t
B.1)
не имеет особенностей C5), C6).
Подставляя D5) в C1), а C1) в этот интеграл, опуская для простоты в
C1) множитель -Cj (t) CW (t) и меняя порядок интегрирования, получим
/j @ — 2! ) 2i ) 2i )' + 1 — a (*i) —
oo
1 С ' 'Чг t
B.2)
B.3)
Контуры С^ и Cg (рис. 19, 20) отличаются от изображенных на рие. 2, Зтем,
что они продолжены до оо.
Функция F (t; ^, i2) имеет особенности при txjz = tx[z + Цг, tt == 0, f2 = 0.
Если Re f12/2> Re ^2, то особенность t[f2=ti/2 — f^2 функции F (t; tlt t2) отсут-
ствует на физическом листе плоскости, изображенной на рис. 19, так как
Плосмостд
Плоскость t2
Рис. 19
Рис. 20
точка tx, для которой Re ^2 < 0, находится под разрезом, проведенным на
рис. 19 влево от особой точки tx = 0. Поэтому при Re t^2 = Re t^z особен-
особенность интеграла по tt
dtx F (t\ tu t2)
возникнет только при таких /, ^ и ^2, при которых нуль знаменателя, появля-
появляющийся на разрезе tx > 4(х2 и деформирующий контур С\ интегрирования,
379

совпадает с точкой fj = 0. Эта особенность, определяемая условием
т. е. при / = ос (<2), появляется на разрезе плоскости t2, деформирует контур
(как это указано на рис. 20) и, доходя до линии Re t^* = Re t1'2, не приводит
к особенности интеграла B.2)
Это означает, что особенность этого интеграла возникает лишь от области
малых (или комплексных) t2, t2<^ t. Так как t мало, то величина t^2 = fl2 —
— t<l* также мала (или, если не мала, то комплексна). В обоих случаях массы
частиц не могут войти в выражение, определяющее положение особенности.
Фактически особенность интеграла, B.2), B.4) возникает от точки tx = t2 =
= Vi*.
Физико-технический институт им. А. Ф. Иоффе Получено
Академии наук СССР, Ленинград 23 января 1965 г.
Институт теоретической
и экспериментальной физики, Москва
ЛИТЕРАТУРА
1. Т. Regge. Nuovo Gim., 1959, 14, 951; 1960, 18, 947.
2. В. И. Грибов. ЖЭТФ, 1961, 41, 1962.
3. М. Froissart. Proc. La Jolla Gonf., 1961.
4. В. H. Грибов. ЖЭТФ, 1964, 41, 667.
5. G. F. Chew, S. С. Frautschf. Phys. Rev. Lett., 1961, 7, 394.
6. S. С Frautschi, M. Gell-Mann, F. Zachariasen. Phys. Rev., 1962, 126,
2204.
7. S. Mandelstam. Nuovo Cim., 1963, 30, 1113, 1127, 1143.
8. В. Н. Грибов, И. Я. Померанчук. ЖЭТФ, 1962, 43, 1556. Phys. Lett.,
1962, 2, 239 (Собр. трудов, № 116).
9. Я. Азимов. ЖЭТФ, 1962, 43, 2321.
10. D. Amati, S. Fubini, A. Stanghellini. Phys. Lett., 1962, 1, 29.
11. Й. А. Вердиев, О.В. Канчели, С. Г. Матинян, А. М. Попова, К. А,
Тер-Мартиросян. ЖЭТФ, 1964, 46, 1700.
12. М. И. Широков. ЖЭТФ, 1960, 39, 633.
13. A.J. Mac-Farlane. Rev. Mod. Phys., 1962, 34, 41.
14. G. С. Wick. Ann. Phys., 1962, 18, 65.
15. K. A. Ter-Martirosyan. Rept. on High Energy Phys. Conf. Geneva, 1962.
16. К. А. Тер-Мартиросян. ЖЭТФ, 1963, 44, 341.
17. A. M. Popova, K.A. Ter-Martirosyan. Nucl. Phys., 1964, 58, 107.
18. M. Jacob, G. С Wick. Ann. Phys., 1959, 7, 404.
19. Ю. А. Симонов. ЖЭТФ, 1965, 48, 242.

120
НА КАКИХ РАССТОЯНИЯХ
ПРОИСХОДИТ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
ПРИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЯХ?1
Совместно с В. Н. Грибовым и Б. Л. Иоффе
Выяснить, на каких расстояниях происходит упругое или неупругое
рассеяние при высоких энергиях, можно, исследуя экспериментально испус-
испускание мягких квантов, сопровождающих данный процесс рассеяния. При
этом, если окажется, что область применимости обычных формул сопровож-
сопровождающего излучения уменьшается с ростом энергии налетающей частицы 8,
то это будет означать, что эффективные продольные расстояния, на которых
происходит взаимодействие, при высоких энергиях растут с ростом 8.
Введение
Одним из интересных вопросов физики высоких энергий явля-
является вопрос о том, на каких расстояниях происходит взаимодей-
взаимодействие в процессах упругого и неупругого рассеяния при высоких
энергиях. Чтобы сформулировать проблему, а также четко опре-
определить, что мы понимаем под «расстоянием», рассмотрим какой-
нибудь конкретный случай, например упругое рассеяние at-ме-
зонов на нуклонах. Амплитуда упругого рассеяния зт±-мезонов
на протонах может быть записана в виде
F+ (<7\ //, q, p) = i\dti^e-WW») (р' | Т [j+ (|) , / ( I)]
~6(ф(|), ф* (-!)][„>, A)
где q, q' и p, pf — начальные и конечные импульсы я-мезона и
протона, /j- (х) — я±-мезонный ток. Под расстояниями (интерва-
(интервалами времени), на которых происходит взаимодействие,' мы будем
понимать область значений | х | (или времени t), дающих сущест-
существенный вклад в интеграл A). Такое определение области взаимодей-
взаимодействия вполне соответствует физической картине, поскольку, как
видно из A), можно считать, что падающий мезон «вошел» в об-
область взаимодействия в точке — #/2, а рассеянный «вышел» из
точки х/2.
Рассмотрим сначала рассеяние вперед. Будем работать в лабо-
лабораторной системе. В этом случае, записав экспоненту в A) в виде
охр i {е (t — or) — [(е2 — [X2I/2 — е] х) B)
1 Ядерная физика, 1967, 2, 768.
381

e — энергия я-мезона, ось х направлена по его импульсу), не-
нетрудно увидеть следующее: чтобы амплитуда рассеяния при вы-
высоких энергиях линейно росла с ростом е (что соответствует по-
постоянному сечению рассеяния), необходимо, чтобы в интеграле A)
существенную роль играла область малых пространственно-вре-
пространственно-временных интервалов t — х ~ 1/е. Таким образом, в случае ампли-
амплитуды упругого рассеяния вперед при е -»¦ оо эффективная область
взаимодействия стремится к поверхности светового конуса
t — r->0.
Стремление t — г к нулю может, однако, происходить по-раз-
по-разному. Первая возможность состоит в том, что при t — г —>• О как
t, так и г стремятся к нулю (или к постоянному пределу) и при
больших энергиях играют роль малые (или конечные) расстояния.
В этом случае, поскольку х мало, в выражении для экспоненты
B) можно пренебречь членом [(е2 — \i2I^ — е] х ж — (\i2/2e) x
X х ->¦ 0, и, следовательно, амплитуда рассеяния вперед при высо-
высоких энергиях не должна зависеть от массы рассеивающейся ча-
частицы. Другая, в некотором смысле противоположная, возмож-
возможность заключается в том, что при t — г —>• 0 как t, так и г доста-
достаточно быстро стремятся к бесконечности (пропорционально 8
или как eY с положительным и не малым значением у) и при боль-
больших энергиях играют роль большие, растущие с ростом энергии
продольные расстояния. При х, растущих пропорционально е,
членом [(е2 — ц,2I/* — е] х ж — (ц^е) х в B) уже пренебречь
нельзя, т. е. амплитуда рассеяния при высоких энергиях должна,
вообще говоря, зависеть от массы рассеивающейся частицы. Эта
вторая возможность представляется весьма интересной, посколь-
поскольку наличие растущих пропорционально 8 продольных расстояний
приводит к любопытной физической картине, в которой, например,
при весьма высоких энергиях (е >> 1013 эв) размеры области взаи-
взаимодействия будут превышать размеры атома. Таким образом, мож-
можно было бы выделить наиболее интересную с точки зрения физиче-
физических выводов вторую возможность, если бы удалось выяснить, за-
зависит ли амплитуда рассеяния при высоких энергиях от масс
рассеивающихся частиц.
У авторов нет теоретических аргументов в пользу той или иной
возможности. Хотя рассмотрение диаграмм теории возмущений
говорит скорее в пользу того, что нет оснований ожидать отсут-
отсутствия зависимости амплитуды рассеяния от масс рассеивающих-
рассеивающихся частиц при высоких энергиях, но, поскольку мы не знаем, ка-
какая совокупность диаграмм существенна при высоких энергиях,
этот довод нельзя считать достаточно убедительным. Рассматри-
Рассматривая чисто формально математические выражения для матричного
элемента в A), нетрудно построить как такие примеры, в которых
была бы существенна область малых расстояний, так и такие,
в которых основную роль играли бы продольные расстояния, ли-
линейно растущие с ростом е.
Вопрос о том, существенны ли во взаимодействии при высоких
382

энергиях расстояния х — е/[х2, можно, однако выяснить экспе-
экспериментально при энергиях, достижимых на современных ускори-
ускорителях, и целью настоящей заметки является обратить внимание
на такую возможность. Выяснить, зависит ли амплитуда рассеяния
при высоких энергиях от масс рассеивающихся частиц, можно,
изучая дифференциальное сечение рождения мягких квантов,
сопровождающих данный процесс. В самом деле, излучение
а
V
Излучение мягких квантов при рассеянии я-мезонов на нейтронах
Нижние цунктирнь е — нейтронные, верхние пунктирные — пионные, вол-
волнистая — фотонная линии
мягких квантов происходит в основном до и после процесса рассея-
рассеяния за счет диаграмм, изображенных на рисунке (случай а). При
этом сечения испускания таких квантов будут выражаться через
амплитуды рассеяния при значениях квадратов масс внешних ли-
линий
(q - kf = \l* - 2qk, {qf + kf = ^ + 2q'k
(к — импульс кванта). Если к мало, но q'k велико {q'k > ja2,
что возможно при больших е), то появляется возможность выделить
зависимость амплитуды рассеяния от масс рассеивающихся час-
частиц. В следующем разделе будут выведены соответствующие форму-
формулы и показано, при каких энергиях квантов поправки за счет ис-
испускания квантов из «ящика» (случай б начрисунке) еще несуще-
несущественны.
Все сказанное выше основывалось на рассмотрении амплитуды
рассеяния вперед. Рассматривая амплитуду рассеяния F (е, А)
на ненулевой угол как функцию 8 при фиксированном квадрате
передаваемого импульса Д = (рг — /?J, можно получить те же
выводы. В самом деле, работая в*брейтовской системе координат,
экспоненту в A) можно записать в виде
exp i {e (t — пг) — пг [(е2 — fx2 + A/4)v* — e]},
C)
где п — некоторый единичный вектор. Из C) видно, если только
Д/4 не близко к е2, то зависимость амплитуды от Сможет возник-
возникнуть лишь в случае, когда r~e/jx2 (при этом, правда, если А столь
велико, что амплитуда убывает с ростом е, то нельзя уже утверж-
383

дать, что t — г— 1/е). Аналогичные выводы можно получить и для
амплитуд неупругих двухчастичных процессов, например для
амплитуды перезарядки я~ + р -»- я0 -\- п.
Сечения излучения мягких квантов
Рассмотрим сначала простейший с теоретической точки зрения
случай — рассеяние я±-мезонов на нейтроне. Матричный элемент
М^ процесса я^ + тг—^я^ + тг + у удобно записать в виде сум-
суммы двух членов М^ = М^ + М$\ причем М^ отвечав вкладу
всех диаграмм, в которых квант испускается я-мезоном до или по-
после рассеяния (случай a), a M^ соответствует совокупности диа-
диаграмм случая б с испусканием кванта из «ящика», а также диаграм-
диаграммам, в которых квант испускается нейтроном до или после рассея-
рассеяния. Лоу I1] показал, что М^ * может быть записан в виде
$> = ± [- -Ц F + № - 2qk, ц», s1? Д) +
+ -^+(ц«, \1>-+2д'к, s, Л)], D)
где верхний знак относится к рассеянию я+-, а нижний — я"-
мезонов, s = (q + pf, sx = (q + p — кJ и F± (jij, \i\, s, A)
— амплитуда рассеяния л^-мезонов на нейтроне, рассматривае-
рассматриваемая как функция четырех инвариантов: квадратов масс началь-
начального и конечного пионов, s и А. Выражение D) является точным и
следует из теоремы У орда без каких-либо приближений.
Выберем теперь энергию фотона о такой, чтобы, несмотря на
малость со, величины 2qk и 2q'k были порядка (х2 или больше.
Тогда, если мы при этом сможем выбрать значения о так, чтобы
член М$ был мал, то сечение испускания таких фотонов будет
выражаться через значения амплитуды яга-рассеяния вне массо-
массовой поверхности, причем отход от массовой поверхности может
быть сделан достаточно большим. Для того чтобы убедиться в том,
что это возможно и найти область допустимых значений о, вычис-
вычислим член нулевого порядка в разложении М^ по степеням о
(обозначим его М$). Мы включим в М$ также члены, возникаю-
возникающие от разложения по к величины sx в D), и в дальнейшем будем
понимать под М^ выражение D) с заменой % ->¦ 5. М$ легко на-
находится по методу Лоу [1] и записывается в виде
т+тЦ^- ^
384

В E) амплитуда лтг-рассеяния записана как
F = п (р') Ти (р) = п (р') [М + Va (q+q')N]» (p), F)
m — масса нуклона, %п — аномальный магнитный момент нейтрона^
хп = —1,91. Оценивая матричный элемент М^е^ (^ — поля-
поляризация кванта), находим, что при У\ Д | <^ 8
В то же время различные члены в фигурных скобках в E) имеют
порядок F/m, (to/qk) F или F/s и ими можно пренебречь, если
*></[Л~| и qk<^m УТЩ.
Допустим теперь, что в амплитуде рассеяния при высоких
энергиях существенны не растущие (или медленно растущие)
с ростом энергии расстояния. Тогда амплитуда рассеяния не за-
зависит от \л] и |Ы2, и членами в квадратных скобках в E) также мож-
можно пренебречь. Нам остается теперь только предположить, что
члены более высоких порядков в разложении по степеням о> не
превосходят членов первого порядка. Такое предположение озна-
означает, что в разложении по степеням о диаграмм с испусканием
кванта из «ящика» (случай б) при высоких энергиях параметром
является величина о, а не есо, т. е. что эффективный размер обла-
области, из которой происходит испускание кванта, не растет с ростом
е. Считая, что и в испускании квантов из «ящика» играют роль не
растущие с 8 расстояния, мы приходим к условию оД <^ 1, где
R — эффективный размер области, из которой происходит испус-
испускание кванта (по-видимому, можно считать, что R ^ l/\i) г.
Более точно можно рассуждать следующим образом. Как по-
показано Лоу [1], члены в квадратных скобках в E) точно сокращают-
сокращаются с членами первого порядка, возникающими от разложения ^
(см. D)) по степеням qk и qyk. Если при больших 8 расстояния х в B)
растут каке\ то члены второго порядка по степеням qk и q'k
1 В классической теории амплитуда испускания кванта при рассеянии про-
пропорциональна
Разбивая интеграл по t на три интеграла: от —оо до —т/2, от —т/2 до
т/2 и от т/2 до оо, где т — время * столкновения (j = е\6 (г — Yt) при
| 11 >т/2) легко видеть, что амплитуде испускания кванта из «ящика» отве-
отвечает в классике амплитуда, описываемая интегралом
т/2
-т/2
В этом выражении зависимость от энергии кванта ю содержится только в
экспоненте, так что параметром разложения при малых ю является величи-
величина ©Л.
385

будут иметь порядок
причем
где т0 — некоторая масса. Условие малости этих членов по срав-
сравнению с основным членом М^е^, следовательно, будет qk <^
<Cwo (г/гпоI-у. При у = 1 (растущие пропорционально е расстояния)
мы имеем qk<^ml, т. е. допустим лишь малый отход от массовой по-
поверхности. При у = О qk <^ тог, и условие за счет этих членов ока-
оказывается весьма слабым. Таким образом, в том случае, когда ам-
амплитуда рассеяния не зависит от \i2, т. е. эффективные расстояния
не растут пропорционально е, матричный элемент процесса я^ +
-fn-^rt^ + n+Y описывается обычной формулой для сопро-
сопровождающего излучения
для любых достаточно больших значений эффективных масс \i\ =
— \i2 — 2qk и fxl = [i2 + 2g'/c, если только выполнены условия
о)</|ДТ, в*<т/[дТ, д'к<^тУЩ, о>Д<1. (8)
С помощью G) легко найти дифференциальное сечение данного
процесса, выразив его через дифференциальное сечение упругого
рассеяния с заданной передачей импульса. После возведения М^
в квадрат, суммирования по поляризациям и интегрирования по
азимутальному углу между направлениями вылета кванта и ней-
трона отдачи (фиксирован угол между направлениями вылета
кванта и рассеянного мезона 0', т. е. величина \il = \л2 + 2q'k)
находим:
Та
где
А' = [е«A - cosey + Д A - cos 6')(l -
е' — энергия рассеянного я-мезона, е' = е + А/2т, ^2 = И»2
+ 2g>u' (членами порядка |х2/е2A — cos 0') пренебрежено).
В случае не очень больших передаваемых импульсов | А |
<< те' (но| А | >> \х2) и не очень малых углов0' (е2 A — cos 0')
386

I A |) выражение (9) упрощается:
—ивл - dA — 4я ffll -p- un
Вместо спектра по )г| можно получить также спектр по \х\. Интег-
Интегрирование дает
^ = е A — cos 0), \il = [x2 — 2аж.
При
е, е'2A—cos0)>>|A|
вместо A1) имеем
а^>кзл — — ^д аа 4л ©2 * и2 •
Оценим величину сечения излучения квантов в интересующей нас
области эффективных масс. Пусть, например, нас интересует об-
область \il > а(х2, где а — некоторое число порядка 5—10. В ре-
вультате интегрирования A0) по ^2 и со получим
причем величина со^ох должна быть выбрана так, чтобы во всей
области интегрирования были выполнены неравенства (8). Числен-
Численно, при е —10 Гэв, а ~ 5, "/"] А | ~ 1 Гэв, сотах = 100 ikfotf,
получаем ^аИЗл — 5-10 dapacc-
Рассеяние я+-мезонов на протонах с испусканием мягкого фо-
фотона может быть рассмотрено аналогичным образом. Единствен-
Единственное отличие состоит в том, что в матричном элементе теперь при-
присутствуют члены, соответствующие испусканию кванта протоном
до и после лЛ р-рассеяния. Матричный элемент для сопровождаю-
сопровождающего излучения при я± /^-рассеянии имеет вид
387

и то время как следующий член в разложении по степеням ш запи-
записывается как
м?' -
а
где М'ц, определено согласно E) (с заменой хп-> хр = 2,79). Ес-
Если в A4) вклад членов, соответствующих испусканию у-квантов
протоном, будет значительно больше вклада первых двух членов,
когда у-квант испускается мезоном, то интересующий нас эффект
окажется практически ненаблюдаемым. Вклад этих членов имеет
порядок
р'е ре УЩ
р'к рк mm '
в то время как
(q'elq'k) - (qe/gk) ~ УЩ/qk (при |/Тл|<е).
Поэтому мы должны потребовать, чтобы было qk ^ /по или
гA— cos 9) ^ ш, т. е. следует изучать только у-кванты, вылетаю-
вылетающие под небольшими углами к направлению падающего (или рас-
рассеянного) я-мезона.
Отметим, что в случае излучения у-кшштов при jt''^-рассея-
jt''^-рассеянии неравенство coi? — co/jx <^J 1 возникает непосредственно из
требования, чтобы можно было изучать только влияние изменения
эффективной массы я-мезона, а влияние изменения эффективной
массы протона было несущественным. Для этого нужно потребо-
потребовать, чтобы (р — /сJ — пг2 и (р' + &J — пг2 было значительно
меньше тех квадратов масс ЗЯ2, на которых заметно меняется
функция Грина протона. Беря в качестве ЭД2 величину (пг + \хJ,
приходим к условию о <^ \i. Другое условие возникает из-за то-
того, что в матричный элемент М? вошел дополнительный по срав-
сравнению с E) член, содержащий производную амплитуды рассеяния
по квадрату переданного импульса Д. Если принять, что dFldk —
—(aim2) F, причем, согласно экспериментальным данным [2],
а ~ 5, то вклад этого члена будет порядка а| А |3/2/га4. Таким об-
образом, кроме (8) возникают еще два условия, ограничивающие
применимость наших формул:
4к~Чк<?±щ {{qh^nm). A6)
Считая эти условия выполненными, найдем дифференциальное
сечение процесса я^ + р—^я+ + р + у при фиксированном угле
388

0' между направлениями вылета кванта и рассеянного мезона
со2 б' 1 м'2 и'
- -шг) - -5Г cos 9'] + 4
fL_ cos
B' - Л')±2вЛ' ^Щ , A7)
AJ 1 -У.
Верхний знак относится к я+-мезону, нижний — к я~-мезону.
При | А | <^ т2 A7) переходит в
Спектр по juii имеет вид
A9)
d 1 Г, , Д« n , A n . A2w2 . А2гг . А2 1-У2
В = — 1 Н «-cos 0 Н cos 0 + -7—7-5- + о ч 9 + / 9 9
w L m 8 '"е 4т"б2 ' 2/?i362 ' 4m282 J
При | А | <^ т2 A9) переходит в A8) (заменой djLi2-^ — d\il).
Приведем еще формулы для эффективного сечения излучения
мягких квантов, сопровождающих процесс перезарядки я" +
+ р -+ Я° + П.
Матричный элемент нулевого порядка по со имеет вид
<•. д>. B0)
тогда как матричный элемент первого порядка имеет ту же струк-
структуру, что и матричный элемент в упругом яр-рассеянии A5), за
исключением коэффициента при члене дТ/д&, который теперь рав-
равняется 2 [р^ — рц \р'Щ /(р^I. Условия применимости формул в
1 5 И. Я. Померанчук, т. III 389

случае перезарядки следующие:
e, a(qk) /[T[<m28. B1)
Дифференциальное сечение излучения оказывается равным
С^изл = <Ьперезар ^ ^Г -J1 [l — cos 9 ~~ 1 ~~ в*A - cos в)* J '
Заключение
Выше было показано, что выяснить, зависит ли амплитуда рас-
рассеяния от масс рассеивающихся частиц, т. е. растут ли достаточно
быстро с розтэм энергии е эффективные продольные расстояния, на
которых происходит взаимодействие, можно путем изучения сече-
сечения рождения мягких квантов (с энергией порядка от одного до
нескольких десятков мегаэлектронвольт), сопровождающих дан-
данный процесс. В случае рассеяния пионов на нуклонах лучше
всего исследовать реакцию я^ + тг-^я^ + гс + Т, изучая рас-
рассеяние я-мезонов на дейтронах и отбирая такие случаи, когда про-
протон в дейтроне не приобретает заметного импульса (в этом случае
вероятность испускания протоном укванта с о> ^ 10 Мэв будет
весьма мала *). Сечение излучения таких квантов следует ожи-
ожидать порядка 5-10 dapaco ГД§ <2арасс — дифференциальное се-
сечение упругого рассеяния при заданной величине передаваемого
импульса. Можно думать, что если при высоких энергиях зависи-
зависимость амплитуды рассеяния от массы пиона не исчезает, то при
изменении \i\ = \i2 + 2q'k в интервале от \х2 до fO \i2 следует ожи-
ожидать относительного (по сравнению с теоретическими формулами)
изменения сечения на несколько десятков процентов. При этом
совпадение экспериментальных данных с теоретическими форму-
формулами (9) — A3) означало бы, что амплитуда рассеяния при высо-
высоких энергиях не зависит от массы пиона, т. е. эффективные рас-
расстояния не растут быстро с ростом энергии 2. Отличие же экспери-
экспериментальных данных от теоретического предсказания можно было
бы трактовать двояко: либо амплитуда рассеяния при высоких
энергиях зависит от массы пиона, т. е. эффективные расстояния
при упругом рассеянии быстро растут с ростом энергии, либо бы-
быстро растет с ростом энергии эффективная область, из которых про-
происходит испускание 7~квантов.
1 Матричный элемент испускания у-кванта протоном в дейтроне М^ должен
быть порядка A/ю) (а2/р2) (р/т), где р — импульс протона, а = (тго)^г
средний импульс протона в дейтроне, е0 — энергия связи дейтрона (мы
считаем, что а2 ^ р2). Принимая, что р2/2тгг— со, получаем М^ ~(ео/(о)Х
Х(т(о)~^2 и при (д ^ 10 Мэв М^р меньше или порядка М^ (формула E))«
Если исключить маловероятную возможность сильной компенсации членов,
содержащих зависимость от ц2 в М^ и членов с растущим с энергией
эффективным радиусом области испускания квантов в
390

Изучение этой реакции на протоне менее удобно с теоретической
точки зрения, поскольку интересующее нас сопровождающее из-
излучение я-мезона в значительной степени маскируется большим
излучением за счет протона. Это обстоятельство либо требует
большей точности эксперимента, либо ограничивает возможный
интервал изменения энергий кванта, т. е. \i\ (что, в конечном
итоге, опять-таки требует большей точности эксперимента).
Интересно было бы при яр-рассеянии выяснить, зависит ли
амплитуда рассеяния при больших энергиях от массы протона.
Для выяснения этого вопроса необходимо, однако, эксперимен-
экспериментально определить вклад аномального магнитного момента в сече-
сечение реакции jtt + р -> я^ + р + у и, кроме того, знать из опыта
отдельно обе инвариантные части М и N в амплитуде яр-рассея-
яр-рассеяния F). Теоретическое рассмотрение этого вопроса может быть про-
проведено, следуя работам [1] и [3].
При испускании мягких квантов, сопровождающих процесс
перезарядки тСр ->¦ я°тг, вероятность излучения квантов интере-
интересующих нас энергий заметно больше, чем при упругом рассеянии:
<йхизл ~ 5 • 10~3 йогперезар- Неудобством здесь, конечно, является
малое сечение самого процесса перезарядки.
Институт теоретической Получено
и экспериментальной физики, Москва 28 мая 1965 г.
Фивико-технический институт им. А. Ф. Иоффе
Академии наук СССР, Ленинград
ЛИТЕРАТУРА
1. F. Low. Pbys. Rev., 1958, 110, 974.
2. A'. Brandt, V. Т. Coccont, D. R. О. Morrison, A. Wroblewski, P. Fleury,
G. Kayas, F. Muller, C. Pelletier. Phys. Rev. Lett., 1963, 10, 413.
3. И. Я. Померапчук. ДАН СССР, 1955, 100, 41 (Собр. трудов, № 59).
15*

121
О ПОЛНОМ СЕЧЕНИИ
АННИГИЛЯЦИИ ЭЛЕКТРОННО-ПОЗИТРОННЫХ
ПАР В АДРОНЫ ПРИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЯХ1
Совместно с В. Н. Грибовым и В. Л. Иоффе
Исследуется асимптотическое поведение полного сечения процесса е+
—¦ адроны при высоких энергиях. Показано, что при больших Е имеем а ~
-~ constM2, где Е — энергии е+ие"в с. ц. и.
В работе Бьеркена [1] была сделана попытка найти асимптоти-
асимптотическое поведение полного сечения процесса е+ + е~ -* адроны
(в первом приближении по е2) при| высоких энергиях на основе
кварковой модели. В настоящей работе мы попытаемся решить эту
проблему, основываясь на соотношениях коммутации между ком-
компонентами j0 и ji электромагнитного тока адронов и свойствах
спектральных функций представления Челлена — Лемана. Пол-
Полное сечение процесса е+ + е~ -> адроны может быть записано в
виде
а@) = -^р(?«), A)
где р определяется через матричные элементы тока /^ (х) следую-
следующим образом:
S <° I h (°) I »><» IU @)! °> BлL б (Рп -Ч) = (ffrtv - <72V) P (?2), B)
п
q = р+ + р_, р+ и р. — импульсы е+ и е~~, q = 4Е2, Е — энер-
энергия е+ (или е~) в с.ц.и.
Будем исследовать поведение р (q2) при больших q2 ]> 0.
Из B) при |i = 0, v = i (i = 1, 2, 3) следует
4 J <7оР (?2) d?o = J dq0 J fc«' < 01 [/0 (x), /, @)] 10) =
О -с»
= 2я^da»-«q« <01 [/„ (x), /, @)] | О)*. =„. C)
Формула (З) связывает интеграл \dq2p(q2) с одновременным
коммутатором токов [2, 3]. Вычисляя одновременный коммутатор,
1 Ядерная физика, 1967, 6, 587.
392

в =
покажем, что \dq2p(q2) квадратично расходится и, следователь-
следовательно, p(q2) -> const при q2 —> со.
Рассмотрим сначала случай, когда ток /^ является током заря-
заряженных фермионов. Как показал Швингер [4], входящий в C) одно-
одновременный коммутатор можно вычислить, рассматривая ток
/V (х) как предел произведения операторов я|) (х) и я|) (#'), взятых
в точках хих', разделенных бесконечно малым пространственным
интервалом г2 — (х — х'J. При этом
<01 [Jo (х), h @)] 10>%=9 = i lira Sp (eG(+) (- в)) -§- б (х), D)
«$ (е) = /0 11|>в (|) ^
Подставляя D) в C), получаем
\ dfp (дг) = -х-l
•' ° ?0
Запишем G(+) (— е) в виде представления Челлена — Лемана [5]
оо
Gi+) (г) = J [G<+) (e, x) 4l (х«) + Д1+) (е, х) л2 (х2I dx2, G)
0
где 6?о+) (б, х) и Ао+) (е, х) — свободные функции Грина частиц с
массой х, причем
(/Г, (j:) — функция Макдояальда).
Подставляя G) и (8) в F), получаем *
ОО ' ОО
Р ('/*) dq* = lim -A- J xWru (х«) ^2 (хе) = lim -^ J % (>«2) d*2- (9)
(Согласно «Неману [5],
поскольку в E) а|) являются неперенормированными операторами.
Таким образом, }p(q2)dq2 расходится квадратично.
1 (д)()тношо11и>[ подобного рода в теории нейтрального векторного мезона рас-
рассматривались Соколовым [6].
393

Пусть теперь ток ;V является током заряженных бозонов со
спином нуль. В этом случае вместо D) мы имеем1
<01 [;,(*), U @)] 10> = - 2* lim [д(+) (еа) + Ае* Щ&Щ -щ S (х),
(И)
A2)
Повторяя те же рассуждения, что и выше, мы приходим к вы-
выводу, что так же, как и в фермионном случае, \ p(q2)dq2 квадра-
квадратично расходится.
Ясно, что введение в ток любого числа частиц со спином 0
или V2 не изменит этого результата.
Правая часть D) получена путем коммутации гейзенбергов-
гейзенберговских операторовг|). Это соотношение можно, однако, получить из
более общих соображений.
Действительно, предположим, что
<01 [t|? (хь t), /0 (х3, t)] % (х2, t) 10> = Л (хх — х8) С (хх - х2, *),
где С (х, t) — некоторая функция. Тогда, интегрируя по х3,
получаем
- х2у t) = <01 [< (хь 0, Q] Ь (Х2, *) 10> =
где Q — оператор заряда. Отсюда, используя соотношение
[\|? (zi) % (я2), ]'о (х3)] = [ф* (хх), /0 (х3)] г|5Э (а:2) + г}? (^i)!^^), /o(^3)]
легко прийти к формуле D).
Отметим, что вопрос об асимптотическом поведении р (q2)
можно связать с проблемой собственной массы фотона. Рассмот-
Рассмотрим поляризационный оператор, обусловленный сильновзаимо-
действующими частицами в первом приближении по е2. Как впер-
впервые замечено Джонсоном [2], корректное выражение для поляри-
поляризационного оператора имеет вид
п^ (?) = TV* (g) - —b^AAi \ p (?2) M\ A3)
где
IV (q) - i\ &xe** <01 T {/V (x), /v @)} 10>. A4)
1 Приведенное в работе Швингера [4] выражение для одновременного комму-
коммутатора в бозонном случае неправильно, так как при его выводе не было уч-
учтено, что и в этом случае необходимо вводить в ток малую нелокальность е.
394

Последний член в A3) осуществляет вычитание квадратично рас-
расходящейся массы фотона и делает П^ калибровочно и реляти-
релятивистски инвариантным. В том случае, когда ток /V обусловлен фер-
мионами, из A4) с помощью формального разложения в ряд теории
возмущений следует выражение npv(g) через вершинную часть
Г\х (&i, ki — q; q) и функции Грина G {к)
То, что выражение A5) не является калибровочно инвариантным
при произвольном обрезании, хорошо известно. Если вычислять
A5), интегрируя сначала по к1о, а затем по кь что, по сути дела,
предписывается правилами вычисления Г-произведения, то это вы-
выражение будет также релятивистски неинвариантным.
В силу градиентной инвариантности из A3) следует
± qAi J P (q) dq\ A6)
С другой стороны, используя обобщенное тождество Уорда
9tJV(*i, *i -?;?) = G-1 (h) - G-* (h - q), A7)
из A5) получаем
= -g-Jp(g«)dg«. A8)
Подставляя в A8) разложение Челлена — Лемана для функций
Грина G), получаем квадратично расходящийся интеграл. Вы-
Выполняя интегрирование по к10 и оставляя члены, содержащие выс-
высшую степень расходимости, имеем
$ A9)
Таким образом, мы видим, что из условия A6) вытекает соотно-
соотношение, аналогичное (9). ч
Возвращаясь к формуле (9), отметим, что при ее выводе молча-
молчаливо предполагалось, что неперенормированная функция Грина
G = Z2Grenимеет смысл. Однако если22 = 0, то выражения, стоя-
стоящие под знаком предела в D) — F), равны нулю при любом ко-
конечном е. *
Для того, чтобы придать смысл этим соотношениям, будем
считать, что сильные взаимодействия обрезаются при доста-
достаточно больших импульсах порядка Л. При этом Z2 будет функ-
функцией Л : Z2 = Z2 (Л), интегрирование по х2 в спектральном
представлении функции Грина G) будет производиться до х2 —
— Л2 и G (кг) ^ Go (кг) при к\ J^> Л2. Пространственно-подобный
395

вектор е осуществляет обрезание электромагнитной вершины
Гц(&!, к2, q) при пространственных импульсах к1? к2 — Л6 — 1/е.
Условие градиентной инвариантности приводит к соотношению ме-
между Л и Ле: Л ^ Ле.
Действительно, в противном случае Л ^> Л? при импульсах
в области между Ле и Л левая часть A7) равна нулю, в то
время как правая отлична от нуля. При Л ^ Ле — 1/е входя-
входящий в (9) интеграл
л*
|1(х2)^2(хе)~Л'~1/е2
(рассмотренный выше случай Z2 =?= О соответствует Л <^ Ле).
Поэтому случай Z2 = 0 не отличается от случая Z2 ф 0.
Мы показали, что при е —>0 \ р {q2) dq2 — 1/е2. Покажем теперь,
что отсюда вытекает асимптотическое поведение р (q2) -> const
при q2 —>- оо, т. е., что при фиксированном е верхний предел L2
г2
в интеграле \ р (q2) dq2 должен быть порядка Ле.
Допустим противное, т. е. что L2 ^> Л?. Из A5), A6) и имею-
имеющего место в с.ц.и. равенства
следует, что значения q2 ^> Ле могут возникать лишь при к( ^»
> Л' или к\ > К\. Но при к\ > М^ Л2 или к\ > А! ^ Л2
T\i (къ k2;q) превращается в свободную вершинную функцию. Так
как в функциях Грина спектр виртуальных масс ограничен зна-
значениями х2 < Л2, то в р (q2) — Im П (q2) не могут войти значения
к\ или к\ J> Ле и, следовательно, L2 — Л?.
Мы приходим, таким образом, к выводу, что асимптотическое
поведение полного сечения аннигиляции е+ -\- е~ в адроны при
больших энергиях должно иметь вид а — const/52, т.е. должна
иметь место такая же зависимость от Е, как, например, в слу-
случае процесса1 е+ + ё~ -** \i+ + (^""[3].
Все проведенное выше рассмотрение непосредственно может
быть применено к исследованию зависимости полной вероятности
1 Интересно отметить, что при этом перенормировка электрического заряда
за счет адронов
логарифмически расходится.
396

адронных распадов промежуточного TF-бозона от его массы М
(при больших М). При этом следует вывод о том, что при больших
М отношение полных вероятностей адронных и лептонных распа-
распадов не зависит от М, т. е. не должно быть мало.
Выражаем глубокую благодарность И. Б. Хрипл овичу за
полезное обсуждение.
Институт теоретической и экспериментальной физики,
Москва
Физико-технический институт им. А. Ф. Иоффе
Академии наук СССР, Ленинград
ЛИТЕРАТУРА
1. /. D. Bjorken. Phys. Rev., 1966, 148, 1467.
2. К. Johnson. Nucl. Phys., 1961, 25, 431.
3. S. Okubo. NuovoCim., 1966, 44Л, 1015.
4. /. Schwinger. Phys. Rev. Lett., 1959, 3, 296.
5. H. Lehmann. Nuovo Cim., 1954, 11, 342.
6. B.B. Соколов. Ядерная физика, 1966, 3, 765.

122
ФОРМУЛА ОРИРА КАК СЛЕДСТВИЕ ВЕТВЛЕНИЙ
В ./-ПЛОСКОСТИ1
Важным достижением теории комплексных моментов, развитой
в последние годы [1,21, является установление связи между особен-
особенностями парциальной амплитуды t канала ф (у, t) в плоскости комп-
комплексной переменной /-углового момента и асимптотикой амплитуды
рассеяния Т (s, t) при высокой энергии, при s ^> m2. Эта связь
Т (s, t) = { Ф (/, t) т| (/) eiinvm» _|L A)
приводит к тому, что особой точке ф (/, t) при / = 7о(О соответ-
соответствует асимптотический ход Т (s>t) вида Т (s,t) — (s/m2)^.
Через т] (/) = i — ctg —^- обозначен сигнатурный множитель, опре-
определяющий фазу амплитуды4 (рассматриваем кроссинг-симмет-
кроссинг-симметричную часть амплитуды, не изменяющуюся при замене s^u).
Полюсу ф (/, t) = , _^ * ' . в /-плоскости соответствует ред-
жевская асимптотика Тх (s, t)—г (t) r\ (a) (slm*)*®. Мандельстам
[3] на примере графиков Фейнмана некоторого класса показал,
что полюс при / = a (t) приводит к серии точек ветвлений пар-
парциальной амплитуды в точках /n (t) = па (tin7) — п + 1. Особо
интересная ситуация возникает в случае, если в природе сущест-
существует полюс, траектория которого при t = 0 имеет наибольшее,
совместимое с теоремой Фруассара [4], значение а @) = 1. Для
него при малых ?, a (t) = 1 -f а' @) t, причем [5] а' @) >0. Такой
полюс с квантовыми числами вакуума приводит к постоянной ве-
величине полных сечений взаимодействия частиц Ош =•—Im T(s, 0)
при s->- сю. Точки ветвления / = /n (t), генерированные этим
вакуумным полюсом при t <^ 0 (в физической области рассея-
рассеяния в 5-канале) расположены правее полюса
1 Эта статья является изложением неопубликованной работы И. Я. Поме»
ранчука, выполненной им осенью 1966 г. незадолго до смерти. Статья
написана К. А. Тер-Мартиросяном.
398

и сгущаются при п -> оо к / = 1 (рис. 1). Вклад их в асимптоти-
асимптотику амплитуды A), пропорциональный (s/ma);n^, может быть сколь
угодно велик при ? =f= О, ?<0, по сравнению с реджевским
членом — (s/m2)aV\
Исследование многочастичных членов условия унитарности
в /-канале [6] позволило в общем виде подтвердить вывод [3] о
наличии точек ветвлений в /-плоскости. Оказалось [6], что они
логарифмического типа, т. е. вблизи них <р (/, t) х Ап +
+ Bn(jn - /)»-»In (/ - /п (*)), т. е. скачок бпФ = -А- [<р (/ + ix, t) -
— ф(/ — *т> 01 амплитуды на разрезе, связанном с ними (проведен-
(проведенном на рис. 1 влево от ; = /п)есть ^п ф 0\ *) = л>Вп (jn — /)п~2, где
Вп = ^п "~2 ' ^—|^ — некоторый коэффициент
(Nx и Л^2—
2 ^—|
амплитуды образования в ^-канале п реджионов из двух частиц,
а С =
При достаточно большом ^ = ln-^ вклад /г-го ветвления A):
1 4°
n(«t ^) = — f 6nq> (/, *) Tj (j) е*Ч/ определяется областью /, близ-
ких к /п» поэтому, подставляя приведенное значение
бпФ (/. 0, получим: r^-Sfghc/-) expff.f/rel ^,Cn@ =
= (l)n-W1Ar2. Это значение следует сравнить с вкладом полюса Редже
Рис. 1. Положение точек вет-
ветвления и разрезов в /-плоско-
/-плоскости при <0
у1- плооко&тЬ
<x(t)
-х-
л
—
Как видно в задачу о рассеянии при вы-
вы^1, важную роль играет параметр х =
сокой энергии, при
•= т?, где т = - '()
Область очень малых f, в которой х ^ 1 (т. е. х ^ 1/|), можно
условно называть дифракционным конусом. Внутри него вклад
полюса Редже — е~х велик (если х = |т совсем г мало) или —
величина того же порядка, что и вклад ветвлений (—егх1п). В об-
области вне конуса при х ]> 1 вклад полюса Редже экспоненциально
389

мал по сравнению с вкладом ветвлений. Однако с ростом п —
номера ветвления (во всяком случае, при я— |т) экспонента е~^п
перестает расти, а предэкспоненциальный множитель в Тп быстро
убывает — если Сп1{а')п~г не растет. Поэтому при большом ?т
в суммарном вкладе полюса и всех ветвлений г
оо /\Н—1
п=1 ^ п'п-
важна лишь сравнительно узкая область больших значений п.
Для вычисления суммы предположим, что при больших п
= С± (t, n) е-а^^п, Сг (t, n) ^ const,
/г-п\ (а')
где a (t, п) = а0 (t) + In nie, »если CJ(a')n — е~а°п при больших
п. Превратим сумму по wb интеграл и вычислим его методом
перевала 2
T{s,t) = -^{i --т-щ) \
О
C)
Точка перевала п = п0 определяется условием f'(n0) = 0, т. е.
nQ=y -2— действительно велико при достаточно большом |г
(мы всё время полагаем, что г невелико, но ?т > 1). Разлагая
имеем
т. е.
1 При существенных в A) /, близких к ]п = 1, множитель л (/) можно запи-
сать в A) в виде оператора r\ =i — -у (/ — 1) == i — -^- ~^г , действующего
на (m2/s)T ($, t), и вынести за интеграл.
2 Вычисления аналогичны проведенным в работе [7]. В этой работе, однако,
авторы использовали графики Фейнмана, вклад [3] которых, фактически,
не имеет точек ветвлений в /-плоскости.

При ?т>1 интеграл действительно имеет острый максимум при
п = п0, т. е. z = 0. Вынося Сх (t, z) при z = 0 за интеграл, полу-
получим
= ^ Со @ [i - -J-^-
D)
Величина t — —сс'(О)? пропорциональна квадрату поперечной со-
составляющей импульса образующейся частицы после рассеяния
t = —р^7 х = a'@)p2j_ (все время речь идет о небольших углах
рассеяния). Поэтому найденной амплитуде отвечает дифферен-
дифференциальное сечение вида
da
dt
T(s,t)
-4 Vaa' @) In 8/m2
E)
Распределение почти такого же вида было найдено недавно Ори-
ром [81 чисто эмпирически. На основе данных о рр-рассеянии
в области Ет0 — 12—30 Гэв при не малых переданных импуль-
сах и больших энергии LyJ он получил
ж 0,16 Гэв/с.
dt
где
1п-
Inc. 2. Характер углового рас-
распределения при ]зыгоких энер-
энергиях
^т ^ 1 — область дифракционного
конуса; ?т > 1 — орировская об"
ласть; 1 — идеализированная плав-
плавная кривая; 2— реальная кривая.
В области 5т<1 осцилляции возни-
возникают па счет интерференции вкла-
вкладов полюса и точек ветвления раз*
личных порядков, в области ^ > 1
осцилляции Ансельма—Дятлова [10]
/ 2 afr
Если а0 мало, т.е. а — а0 + -х- 1П -т~ имеет значение около
единицы, то B), C) дает почти такое же значение F)Теор =
= 1/4 Yаа! @) In slm%. Действительно, при ?лаб с~ 20 Гэв% In —s— =
= in
i3,5 и если а' @) » 0,4, то (Ь)теор - 1/D-1,2) ж 0,2.
Отметим, что вместо дополнительного убывающего множителя 1/5
в формуле Орира теория приводит к множителю \flns/m2 в экс-
пене нте.
Таким образом, учет вклада ветвлений существенно изменяет
характер углового распределения: вместо реджевского, быстро
401

спадающего с ростом г распределения внутри конуса, в области
очень малых т^Г1/? —г е-2х^ мы получаем вне конуса при
?т > 1 гораздо медленнее убывающее распределение орировского
типа E) рис. 2.
Теоретическая формула E) приводит к выводу о сужении кону-
конуса орировского распределения, так как 6Теор убывает обратно
пропорционально У^Ыя/пг2- Представляется очень интересным
обнаружить это сужение на опыте. Для этого, по-видимому, тре-
требуются энергии, большие, чем мы сейчас располагаем — порядка
200-1000 Гэв.
Примечание. Рассматривая этот же вопрос уже после смерти Исаака
Яковлевича, Анс,ельм и Дятлов [10] заметили, что существенна знакопере-
менность скачка 6пф парциальной амплитуды на разрезе, связанном с тг-ым
ветвлением, т. е. следует учесть, что в B) Cn~ (—IO1. Введя этот множитель
в C), они получили, вычисляя C) методом перевала, амплитуду, отличную от
D), дополнительным, медленно осциллирующим множителем вида
где /0 — некоторая фаза, a tg <р = я/а0. Кроме того, вместо величины а в
экспоненте в D) у них появился множитель 2л ctg <р/2 (равный ^ 2л при
ао <^ п)- Возможно, что именно осцилляции такого типа наблюдались недав-
недавно Аллаби и др. [11] в опытах по рр-рассеянию. На рис. 2 они указаны пунк-
пунктиром.
ЛИТЕРАТУРА
1. Т. Regge. Nuovo Cim., 1951, 14, 951; 1960, 16, 947.
2. В. И. Грибов. ЖЭТФ, 1961, 41, 1962; 41, 667.
3. S. Mandelstam. Nuovo Cim, 1963, 30, 1113, 1121, 1148.
4. М. Froissart. Phys. Rev., 1961, 123, 1053.
5. В. Н. Грибов, Я. Я. Померанчук. ЖЭТФ, 1962, 43, 308. (Собр. трудов,
№ 112).
6. В.Н. Грибов, И. Я. Померанчук, К, А. Тер-Мартиросян. Ядерная
физика, 1965, 2, 361. (Собо. трудов, № 119).
7. S. Fubtni, A. Stangellini. Phys. Lett., 1962, 1, 29.
8. /. Orear, Phys. Rev. Lett.,1964, 12, 112; 1965, 13, 190.
9. G. Cocconi et al. Phys. Rev., 1965, 138B, 165.
10. А. А. Ансельму И. Т. Дятлов. Ядерная физика, 1967, 6, 591, 603; Phys.
Lett., 1967, 24В, 479.
И. /. W. Allaby et al. Phys. Lett., 1966, 23, 389.

123
ОГРАНИЧЕНИЕ НА СКОРОСТЬ РОСТА СЕЧЕНИЙ
СЛАБЫХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ1
Рассмотрены ограничения ни скорость роста с энергией сечений слабых
взаимодействий. При получении ограничений используется дисперсионное
соотношение, условие унитарности и общий характер угловой зависимости
сечений. Из рассмотрения амплитуды рассеяния вперед следует, что сечение
слабого взаимодействия может стать порядка ад;юнных сечений A/mjy) при
энергиях Ys > l/GmN ~~ М14 эв. Ил рассмотрения производной амплиту-
амплитуды по переданному импульсу следует более сильное ограничение:
1. Постановка задачи
Существующая теория слабого взаимодействия имеет смысл
только в первом приближении теории возмущений. Хорошо из-
известно, что при большой энергии такое приближение непримени-
неприменимо. Это легко проверить'на примере реакции v + e-> v + *¦ изо-
изображенной на рис. i.
Рис. 1
Гамильтониан слабого взаимодействия, ответственного за та-
такой процесс, имеет вид
(Ф A ^a (I + Т5) *e)- ^
г. Ядерная физика, 1970,11. В этой статье излагается результат, который был
получен И. Я. Померанчуком незадолго до смерти. Работа докладывалась
им на семинаре, но опубликована не была. Статья написана В. Н. Грибо-
Грибовым и В. М. Шехтером при участии И. М. Шмушкевича и была опублико-
опубликована уже после смерти И. Я. Померанчука.
403

Если пренебречь массой электрона, то все частицы становятся
двухкомпонентными, и отличной от нуля оказывается лишь одна
спиральная амплитуда /-y2-v2, -Va-Vz- В этом смысле частицы, описы-
описываемые двухкомпонентными спинорами, подобны скалярным ча-
частицам, рассеяние которых определяется одной амплитудой. Вво-
Вводя обычные переменные s = (рг + р2J, t = (рг — р[J, и =
= (pi — р2J, принимая условие нормировки спиноров пи =
= 2т и опуская спиральные индексы, получаем
/ve = 4[/2to. B)
Если рассматривать рассеяние антинейтрино, описываемое
рис. 1, с заменой v на v, то здесь отлична от нуля лишь спиральная
амплитуда /y2-i/2, i/2-v2- На языке инвариантов s, t, и переход от
ve- к ve-рассеянию дается преобразованием s <-> и, t <-> t. Поэтому
Ьв = 4 Y'2Gu = - 4 /2G E + t). C)
Из B) следует, что при большой энергии дифференциальное
сечение рассеяния нейтрина на электроне, поляризованном парал-
параллельно импульсу нейтрино, становится постоянным
dt
и
1 2G*
16л
Отсутствие в D) зависимости от t приводит к тому, что в рассея-
рассеянии оказываются существенными большие переданные импульсы.
С ростом s область допустимых значений t увеличивается. В ре-
результате возрастает и полное сечение
ave=— s. E)
С другой стороны, как это видно из B), в первом порядке по сла-
слабому взаимодействию ve-рассеяние является чисто ^-волновым.
Поэтому сечение не может превосходить унитарный предел
Вместо F) можно пользоваться эквивалентным ему неравенством
/v<. | ^ 16 я, откуда сразу следует условие для s
*<2/2я/С. G)
Неравенство G) удовлетворяется при энергиях в с.ц.и. {Ys)i
не превышающих 900 Гэв. Принято не обращать внимание на чис-
численные коэффициенты и считать, что унитарный предел достигает-
достигается при s ~ 1/G, т. е. уТ~ 300 Гэв,
Таким образом, существующая теория слабого взаимодействия
заведомо неприменима, начиная с энергий порядка /^
404

При таких энергиях, как это следует из E), сечение все еще мало:
Gve — G — 10~2 см2. Это означает, что хотя слабое взаимодей-
взаимодействие стало уже сильным в том смысле, что парциальная амплиту-
амплитуда достигла своего унитарного предела, радиус этого взаимодей-
взаимодействия все еще мал. Поэтому высокие парциальные волны в рассея-
рассеянии не участвуют, и полное сечение невелико. Диаграммы высших
порядков, типа изображенной на рис. 2, конечно, могут приводить
к слабому дальнодействию, однако эффективно такое дальнодей-
дальнодействие роли не играет, ибо при отсутствии нейтральных токов вер-
вершина Д, описывающая vv-рассеяние, мала даже по сравнению с G.
Говоря о радиусе слабого взаимодействия, мы будем иметь в виду
радиус той же части, которая существенна для рассеяния.
Возникает вопрос, может ли вообще слабое взаимодействие
стать полностью подобным сильному, с тем, чтобы слабые сечения,
например, для ve-рассешгия стали порядка
\1т%, что характерно дли адропных процессов?
Такая постановка попроси представляется ра-
разумной, потому что в области энергий свыше
1012 эв, где теории нет, радиус слабого взаимо-
взаимодействия может возрасти, в результате чего
амплитуда станет существенно зависеть от t.
При этом в реакции будет участвовать много
парциальных волн, каждая из которых, конеч-
конечно, не превосходит унитарного предела. Таким
образом, проблема состоит в том, может ли ра-
радиус слабого взаимодействия стать большим. Рис. 2
Ответить на этот вопрос мы не в состоянии
до тех пор, пока не будет построена последова-
последовательная теория слабого взаимодействия. Проблему, однако, можно
сформулировать иначе. Допустим, что при увеличении s радиус
слабого взаимодействия действительно становится большим. При
какой энергии это может произойти, хотя бы в принципе?
В этой работе делается попытка установить нижнюю границу
для такой энергий. Идея состоит в использовании дисперсионных
соотношений для амплитуды рассеяния, которые позволяют уста-
установить связь между процессами при малых и больших s. В разделе 2
будет показано, исходя из дисперсионного соотношения для ам-
амплитуды рассеяния вперед, что слабое взаимодействие может
стать подобным сильному при такой энергии, что s !> oJG2, где
ах — величина порядка адронных сечений. Если ох — 1/т%,
то здесь |/$]>1О14э0. В разделе 3 рассматриваются ограниче-
ограничения, которые могут быть получены с помощью дисперсионного со-
соотношения для производной амплитуды по передаваемому импуль-
импульсу. В этом случае ограничение на s оказывается более сильным:
) ^
405

так что
Это означает, что сечения слабого взаимодействия могут стать ре-
реально большими очень не скоро. В случае ve-рассеяния, например,
приведенному значению s соответствует энергия нейтрино в лабо-
лабораторной системе, превышающая 1026 эв. В разделе 4 содержится
несколько замечаний по поводу утверждений, сделанных в разде-
разделах 2 и 3.
2. Дисперсионное соотношение для рассеяния вперед
Рассмотрим кроссинг-симметричную амплитуду
/E, о=4[/^<*' *)+***мт = 4" и** (*> *)+^ ^ ы- A0)
Напишем для нее дисперсионное соотношение, сделав вычитание
в точке s = 0,
(И)
Здесь 50 — то значение s, при котором амплитуда / (s, t) становит-
становится комплексной из-за наличия реальных промежуточных состоя-
состояний. Согласно B) и C), в первом порядке теории возмущений
/@,*) = —2/2G*.
Положим теперь в A1) t = 0. В нашем приближении / @, 0) =
= 0, но на самом деле это равенство роли не играет. Существенно
лишь то, что при s ^ 1/G амплитуда / (s, 0) невелика: / E, 0) < 1.
Следовательно, не должен быть большим и дисперсионный интег-
интеграл. По оптической теореме:
1ш / (*', 0) = 4" [ove (О + а;е (*')]j= s'e (*'), A2)
так что дисперсионный интеграл сходится, если только при s' ->oo
сечение а ($') не растет. Предположим, что начиная с некоторого
значения s' = 5Х сечение a (s') становится порядка сечений силь-
сильного взаимодействия. Из сказанного в предыдущем разделе ясно,
что st ^> -g-. Для простоты можно положить a (s' >> s±) = ax =
= const, считая ог— 1/т%. (Если ог слегка растет, то ограниче-
ограничение на 5Х окажется еще более сильным. Если же ах убывает, скажем,
обращается в нуль, начиная cs2> su то все изменение сведется
к замене в получаемых выражениях s± на s^Jis^ — sx)).
406

Разбивая область интегрирования на две части s' < sx и s'
sx, получаем для s <^ sx
Рассмотрим значение 5'— 1/G. В этом случае как / E, 0), так и
вклад в интеграл от области s' <! s имеет порядок единицы. Такой
же порядок поэтому должно иметь и остающееся выражение в
правой части A3). Из-за положительности вклада от области s']>
^>s можно пренебречь вкладом от s' < s± и писать
A4)
откуда
Jt A5)
Это означает, что слабое взаимодействие может сравняться с
сильным не ранее, чем при энергии ~1014 эв. Полученное условие
достаточно жестко само по себе. Однако далее будет показано,
что его можно сделать еще более сильным.
3. Ненулевые переданные импульсы
Дополнительное ограничение возникает вследствие того обсто-
обстоятельства, что при малых s амплитуда является медленной функ-
функцией полинома, тогда как в случае больших s она должна быстро
меняться при изменении t. Первое утверждение вытекает из
формул B) и C), согласно которым в области применимости су-
существующей теории слабого взаимодействия
*'%г) A6)
Это соответствует тому, что при не слишком больших энергиях
ve-рассеяние содержит только S- и Р-волны, в то время как ve-
рассеяние является чисто ^-волновым.
Что касается очень больших значений 5, при которых радиус
слабого взаимодействия становится большим, то здесь следует
ожидать появления дифракционной картинй обычного типа.
В этом случае дифференциальное сечение существенно меняется при
изменении t на величину ?Эф, имеющую порядок обратного квад-
квадрата радиуса взаимодействия. Покажем, что при достаточно
большом сечении рассеяния^этот радиус не^может быть слишком
мал, т. е. tQQm ограниченоч сверху.
Сечение упругого рассеяния можно записать в виде
407

или, используя оптическую теорему,
Оупр>*эф32/16Л, A8)
откуда
гэф < 1 бязупр/з2 < 16я/а. A9)
Чтобы получить условие непротиворечивости неравенства A8) при
больших s и малости выражения A5) при s ^ 1/6?, воспользуемся
дисперсионным соотношением A1) для / (s, t), продифференци-
продифференцируем его по t и положим t = 0. Тогда
df (*, t) j = rf/(O,t)
So
rm/(s''0)- B0)
Последнее слагаемое возникло в результате дифференцирования
1/ (*' + 0 E' + 5 + *).
Рассмотрим равенство B0) при s — 1/G. В этом случае, как
следует из A6), область s'<«b интегралах дает вклад порядка
G. Такой же порядок имеют df (s, t)/dt и df @, t)/dt, которые,
впрочем, в первом приближении по G взаимно сокращаются.
Поэтому вклад в дисперсионные интегралы B0) от области s' ^> s
также должен быть мал (~ G). Поскольку-^г Im/(«', ^)|<=
то подынтегральное выражение в области s' ]> s положительно.
Если опустить второй интеграл, а в первом ограничиться областью
s' > 5Х ^> 1/6?, то все выражение только уменьшится. Поэтому
В области, где слабое взаимодействие становится сильным,
можно воспользоваться соотношением A9), в соответствии с ко-
которым
4 Im / (s\ t) |(=0 ~ -±- s'g (s') ^ ^р. . B2)
эф
При более строгом выводе коэффициент 1/16я заменяется на 1/32я
(см. следующий раздел). Полагая теперь, что для s' ^> s± сечение
велико, так что a (sf) = аг — 1/т%, получаем из B1)
При s — 1/6? отсюда следует неравенство (8).

4. Заключительные замечания
При выводе неравенства (9) были использованы: дисперсион-
дисперсионное соотношение, условие унитарности, а также то обстоятельство,
что угловая зависимость амплитуды должна быть разной в облас-
областях, где взаимодействие слабое или сильное. В результате оказы-
оказывается, что слабое взаимодействие может сравняться с сильным
за счет увеличения эффективного радиуса только при сверхвысо-
сверхвысоких энергиях порядка 1016 эв.
Сделаем теперь несколько замечаний.
1. Все рассуждения в работе относились к частному случаю
ve-рассеяния, однако по существу они носят общий характер
и применимы к любым процессам слабого взаимодействия.
В частности, не играет роли предположение об отличии от нуля
только одной спиральной амплитуды. При ненулевых массах
другие спиральные амплитуды, хотя и отличны от нуля, но вплоть
до значений s ^ 1/G они остаются меньше или порядка единицы.
Поэтому, подобно рассмотренной выше амплитуде, они могут
достичь величины порядка адронных амплитуд лишь при энер-
энергиях, удовлетворяющих неравенствам (8) и A5).
2. Соотношение A5) было получено в первом порядке по сла-
слабому взаимодействию. Не учитывалось то обстоятельство, что
диаграммы типа рис. 2 имеют особенность при малых t. Сингуляр-
Сингулярная часть такой диаграммы конечна и с точностью до численного
коэффициента ее вклад в кроссинг-симметричную амплитуду
/ (s, t) имеет вид {К <^ G)
GKtHn t. B4)
При t = О вклад от этого выражения в dfldt обращается в нуль,
так что диаграммами типа рис. 2 действительно можно пренебречь.
В более общем случае рассеяния лептонов с ненулевой массой
к B4) может добавиться слагаемое типа
GRmH\n t. B5)
Его. вклад в df/dt обладает логарифмической особенностью при
t = 0, тогда как в рассуждениях предыдущего раздела считалось,
что df/dtt=0 мала. Чтобы обойти эту трудность, можно усреднить
dfldt по некоторой области около ?Эф — 1/ог, не переходя к слиш-
слишком'малым значениям t. Тогда вклад от B5) оказывается пренеб-
пренебрежимо малым, и все рассуждения раздела 3 сохраняют силу.
3. Приведем более строгий вывод ограничения снизу на
Im/(s, t)\ts=01- Напишем разложение для амплитуды по пар-
парциальным волнам:
/(*,*) = 16*2 B*+ 1)^1A +-T-). B6)
1 Этот вывод предложен Е. И. Малковым.
409

Из B6) следует
A Im / (s, t) | ,=„ = i^- 2 B/ f 1) Z (Л 1) Im a,. B7)
Надо найти минимум B7) при заданном значении о
6r=-^T"SB/ '" 1Iшбг< B8)
i
и условии
О < | ах |2 < Im a/ < 1. B9)
Нетрудно видеть, что такой минимум имеет место, если для малых
I вплоть до некоторого I = L все аг принимают максимальное зна-
значение, равное 1, тогда как при больших I все а\ равны нулю.
Переходя от суммирования к интегрированию, находим из B8)
значение L
0 = J^LL\ C0)
S
после чего в B7)
d т , , ч, ^ 16л L2 sg2 /ъл\
-зг Im'<»''> I'=¦•>—-2- = w C1)
Неравенство C1) представляет собой искомое ограничение для
первой производной при t = 0. Аналогичное рассуждение позво-
позволяет получить ограничение и для более высоких производных
амплитуды (при условии п<^ L)
a,

СПИСОК НАУЧНЫХ РАБОТ
1936—1941
О свойствах металлов при очень низких температурах. Совм. с Л. Ландау.
ЖЭТФ, 1937,7, 379; Phys. Zs. Sowjet., 1936, 10, 649.
Рассеяние света светом. Совм. с А. И. Ахие.чсром и Л. Ландау, Nature, 1936,
138, 206.
Когерентное рассеяние у-лучей ядрами. Совм. с А. И. Ахиезером. ЖЭТФ,
1937, 7, 567; Phys. Zs. Sowjet, 1936, 10, 649.
О рассеянии медленных нейтронов в кристаллической решетке. ЖЭТФ, 1937,
8, 894. Phys. Zs. Sowjet., 1938, 13, 65.
Критическое поле у сверхпроводников малых размеров. ЖЭТФ, 1938, 8, 1096.
Максимальная энергия, которую могут иметь на поверхности земли первич-
первичные электроны космических лучей из-за излучения в земном магнитном
поле. ЖЭТФ, 1939, 9, 915; J. Phys. USSR, 1940, 2, 65.
О влиянии магнитного поля на электропроводность монокристаллов висмута
при низких температурах. Совм. с Б. Давыдовым. ЖЭТФ, 1939, 9, 1294;
J. Phys. USSR, 1940, 2, 147.
О конце трека мезотрона в камере Вильсона. Совм. с А. Мигдалом. ДАН
СССР, 1940, 27, 652; Phys. Rev., 1940, 57, 934.
Теплопроводность парамагнитных диэлектриков при низких температурах.
ЖЭТФ, 1941, 11, 226; J. Phys. USSR, 1941, 4, 356.
О теплопроводности диэлектриков при температурах больше дебаевской.
ЖЭТФ, 1941, 11, 246; J. Phys. USSR, 1941, 4, 259. \
О поглощении звука в диэлектрике. ЖЭТФ, 1941, И, 455; J. Phys. USSR,
1941, 4, 529.
Рождение мезонных пар при аннигиляции позитрона. J. Phys. USSR, 1941,
4, 277.
Рассеяние мезонов мезонами. J. Phys. USSR, 1941, 4, 277.
Ядерные реакции внутри звезд. J. Phys. USSR, 1941,%4, 285.
т еплопроводности диэлектриков. Phys. Rev., 1941, 60, 820.
1942—1946
О теплопроводности диэлектриков при температурах меньших дебаевской.
ЖЭТФ, 1942, 12, 245; J. Phys. USSR, 1942, 6, 237.
Теплопроводность диэлектриков при высоких температурах. ЖЭТФ, 1942,
12, 419; J. Phys. USSR, 1943, 7, 197.
Зависимость поглощения звука в диэлектрике от частоты и температуры.
J. Phys. USSR, 1943, 7, 266.
Кулоновекие силы и строение нейтрона. ДАН СССР, 1943, 41, 162.
Спектр мягкой компоненты в воздухе при больших энергиях. Совм. с А. Кир-
пнчевым. ДАН СССР, 1943, 41, 19.
411

К теории переходных эффектов в космических лучах. Совм. с А. Кирпичевым.
ДАН СССР, 1944, 42, 396.
К теории поглощения инфракрасных лучей в кристаллах, обладающих цент-
центром симметрии. ЖЭТФ, 1943, 13, 428; J. Phys. USSR, 1943, 7, 262.
Экранирование эффективных сечений для тормозного излучения и образова-
образования пар с помощью экспериментальных значений атомформфактора.
Совм. с А. Кирпичевым. ДАН СССР, 1944, 45, 301.
Рассеяние мезонов, сильно взаимодействующих с нуклонами. ДАН СССР,
1944, 44, 13.
О теплопроводности солей в методе магнитного охлаждения. Совм. с А. Ахие-
зером. J. Phys. USSR, 1944, 8, 216.
О тепловом равновесии между спинами и решеткой. Совм. с А. Ахиезером.
ЖЭТФ, 1944, 14, 342; J. Phys. USSR, 1944, 8, 206.
К интерпретации экспериментальных данных о больших лавинных ливнях
ЖЭТФ, 1944, 14, 252; J. Phys. USSR, 1944, 8, 17.
Излучение быстрых электронов в магнитном поле. Совм. с А. Арцимовичем.
ЖЭТФ, 1946, 16, 379; J. Phys. USSR, 1945, 9, 267.
О максимальной энергии, достижимой в бетатроне. Совм. с Д. Д. Иваненко.
ДАН СССР, 1944, 44, 343.
Об уровнях энергии систем с Z > 137. Совм. с Я. Смородинским. J. Phys.
USSR, 1945, 9, 97.
О теплопроводности висмута. Совм. с А. Ахиезером. ЖЭТФ, 1945, 15, 587.
Об упругом рассеянии ядрами быстрых заряженных частиц. Совм. с А. Ахие-
Ахиезером. ЖЭТФ, 1946, 16, 396; J, Phys.. USSR, 1945, 9, 471.
О рассеянии нейтронов с энергией несколько градусов в жидком гелии П.
Совм. с А. Ахиезером. ЖЭТФ, 1946, 16, 391; J. Phys. USSR, 1945, 9, 461.
Излучение релятивистских электронов в магнитном поле. Изв. АН СССР, се-
серия физическая, 1946, 10, 316.
1947—1951
О рассеянии медленных нейтронов в кристаллах. Совм. с А. Ахиезером.
ЖЭТФ, 1947, 17, 769; J. Phys. USSR, 1947, И, 167.
Обобщение предельного Х-процесса и неоднозначность в устранении бесконеч-
бесконечностей квантовой теории элементарных частиц. ЖЭТФ, 1947, 17, 667; Phys.
Rev., 1949, 76, 298.
К теории резонансного рассеяния частиц. Совм. с А. Ахиезером. ЖЭТФ,
1948, 18, 603.
О рефракции нейтронов. Совм. с А. Ахиезером. ЖЭТФ, 1948, 18, 475.
О движении посторонних частиц в гелии II. Совм. с Л. Д. Ландау. ДАН СССР,
1948, 59, 669.
О флуктуациях ионизационных пробегов. ЖЭТФ, 1948, 18, 759.
Введение в теорию нейтронных мультиплицирующих систем (реакторов)
Совм. с А. И. Ахиезером. Отчет ИТЭФ, М., 1947 (См. Собр. Трудов, №27).
Правила отбора при аннигиляции электронов и позитронов. ДАН СССР,
1948, 60, 213.
Некоторые вопросы теории ядра. Совм. с А. Ахиезером. М., Гостехиздат,
1948, 1950.
Влияние примесей на термодинамические свойства и скорость второго звука
в гелии П. ЖЭТФ, 1949, 19, 42.
Замечание о рассеянии частиц с нулевой энергией. ЖЭТФ, 1948, 18, 1146.
Время жизни медленных позитронов. ЖЭТФ, 1949, 19, 183.
Излучение при столкновении быстрых нейтронов с протонами. Совм. с И. М.
Шмушкевичем. ДАН СССР, 1949, 64, 499.
К определению неэлектромагнитного взаимодействия между электронами и
нейтронами. Совм. с А. И. Ахиезером. ЖЭТФ, 1949, 19, 558.
О р-распаде нейтрона. Совм. с В. Б. Берестецким. ЖЭТФ, 1949, 19, 756.
Электромагнитное излучение под действием обменных сил. Совм. с И. Шмуш-
Шмушкевичем. ДАН СССР, 1950, 70, 33.
К теории жидкого Не3. ЖЭТФ, 1950, 20, 919.
412

Обменные столкновения быстрых нуклонов с дейтронами I. ЖЭТФ, 1951, 21,
1113.
Обменные столкновения быстрых нуклонов с дейтронами. ДАН СССР, 1951,
78, 249.
О превращении заряженного я-мезона в нейтральный мезон при столкнове-
столкновении с протоном и дейтооном. Совм. с В. Б. Берестецким. ДАН СССР, 1951,
77, 803; ЖЭТФ, 1951, 21, 1313.
К теории образования многих частиц в одном акте. ДАН СССР, 1951, 78/, 889.
Захват я-частиц в дейтроне. ДАН СССР, 1951, 80, 47.
О столкновении я-мезонов с дейтроном. Совм. с В. Б. Берестецким. ДАН
СССР, 1951, 81, 1019.
Теплопроводность полностью ионизированного газа ти высоких температу-
температурах. Совм. с В. Б. Берестецким и Б. Л. Иоффе, 1951 (Собр. Трудов, т. 1,
стр. 345).
1952-1956
К теории захвата я-частиц и дейтроне. ЖЭТФ, 1952, 22, 129.
Обменные столкновения быстрых нуклонов с дейт юнами П. ЖЭТФ, 1952, 22,
624.
Об электронах, образующихся при захвате ц-мезонов на атомные уровни.
Совм. с Б. Л. Иоффе. ЖЭТФ, 1952, 23, 123.
О спектре jx-мезоводорода. Совм. с А. Д. Галаниным. ДАН СССР, 1952, 86,
251.
Об испускании -у-квантов больших энергий при столкновении быстрых: нейт-
нейтронов с протонами. Совм. с И. М. Шмушкевичем. ДАН СССР, 1952, 87,
385.
О парамагнитной дисперсии. Совм. с А. И. Ахиезером. ДАН СССР, 1952,
87, 917.
Излучение у-квантов при столкновении быстрых я-мезонов с нуклонами. Совм.
с Л. Д. Ландау. ЖЭТФ, 1953, 24, 505;С ERN Symposium, 1956, v. 2, p. 159.
О внешней (дифракционной) генерации частиц при ядерных столкновениях.
Совм. с Е. Л. Фейнбергом. ДАН СССР, 1953, 93, 439.
Пределы применимости теории тормозного излучения электронов и образова-
образования пар при больших энергиях. Совм. с Л. Д. Ландау. ДАН СССР, 1953,
92, 535.
Электропно-лавипныо процессы при сверхвысоких энергиях. Совм. с Л. Д.
Ландау. ДАН СССР, 1953, 92, 735.
Излучение фотона, сопронождающееся захватом быстрого протона ядром.
Совм. с А. И. Ахиезером. ДАН СССР, 1954, 94, 82^.
Перенормировка массы и'заряда в ковариантпых уравнениях квантовой тео-
теории поля. Совм. с А. Д. Галаниным и Б. Л. Иоффе. ДАН СССР, 1954,
98, 361.
Полуфеноменологическая теория образования я-мезонных пар у-квантами
больших энергий. ДАН СССР, 1954, 96, 265.
Образование я-мезонных пар v-квантами в случае тяжелых ядер. ДАН
СССР, 1954, 96, 481.
Об асимптотике функций Грина нуклона и мезона в псевдоскалярной теории
со слабым взаимодействием. Совм. с А. Д. Галаниным и Б. Л. Иоффе.
ЖЭТФ, 1955, 29, 51.
Обобщение теоремы Уорда на случай конечных длин волн света у частиц со
спином^О. ДАН СССР, 1955, 100, 41.
О точечном взаимодействии в квантовой электродинамике. Совм. с Л. Д.
Ландау. ДАН СССР, 1955, 102, 489. а^
Об излучении Y-квантов, сопровождающемся поглощением быстрых'протонов
ядрами. Совм. с А. И. Ахиезером. ЖЭТФ, 1956, 30, 201.
Равенство нулю перенормированного'заряда в квантовой электродинамике.
ДАН СССР, 1955, 103, 1005.
О перенормировке мезонного заряда в псевдоскалярной теории с псевдоска-
псевдоскалярной связью. ДАН СССР, 1955, 104, 51.
413

Об обращении в нуль иеренормированного мезонного заряда в псевдоскаляр-
псевдоскалярной теории с псевдоскалярной связью. ДАН СССР, 1955, 105, 461.
Решение уравнений псевдоскалярной мезонной теории с псевдоскалярна й
связью. ЖЭТФ, 1955, 29, 869.
Образование ц-мезонной пары при аннигиляции позитрона. Совм. с В. Б.
Берестецким. ЖЭТФ, 1955, 29, 869.
Равенство нулю перенормированного заряда в электродинамике и в мезон-
мезонной теории. Nuovo Cim., 1956, 3, 1186.
Изотопическая инвариантность и рассеяние антинуклонов нуклонами. ЖЭТФ,
1956, 30, 423.
Изотопическая инвариантность и сечения взаимодействия я-мезонов и нук-
нуклонов высокой энергии с нуклонами. Совм. с Л. Б. Окунем. ЖЭТФ, 1956,
30, 424.
Теория резонансного поглощения в гетерогенных системах. Совм. с И. И. Гу-
ревичем. Международная конференция по мирному использованию атом-
атомной энергии. Женева, 1955, Изд-во АН СССР, 1955, стр. 557.
Равенство нулю перенормированного заряда в теориях поля с точечным взаи-
взаимодействием. Совм. с В. В. Судаковым и К. А. Тер-Мартиросяном.
Phys. Rev., 1956, 103, 784.
Корреляционные явления при захвате /sT-мезонов. Совм. с В. Б. Берестец-
Берестецким. ЖЭТФ, 1956, 31, 350.
Дисперсионные соотношения для рассения я-мезонов на дейтронах. Совм. с
Б. Л. Иоффе и А. П. Рудиком. ЖЭТФ, 1956, 31, 712.
О числе различных типов Я-мезонов. Совм. с Б. Л. Иоффе и Л. Б. Окунем.
Nucl. Phys., 1956—1957, 2, 277.
Замечание о числе различных типов К-мезонов. Nucl. Phys., 1956—1957.
2, 281.
Неупругие дифракционные процессы при высоких энергиях. Совм. с Е. Л.
Фейнбергом. Nuovo Cim., 1956, 3, Suppl. N 4, 652.
1^957—1961
О возможном дипольном моменте перехода у А-частиц. Совм. с Б. Л. Иоффе.
ДАН СССР, 1957, ИЗ, 1251.
Равенство полных сечений взаимодействия нуклонов и антинуклонов при
больших энергиях. ЖЭТФ, 1958, 34, 725.
О взаимодействии S-гиперонов с нуклонами и легкими ядрами. Совм. с
Л. Б. Окунем и И. М. Шмушкевичем. ЖЭТФ, 1958, 34, 1246.
Об определении четности #-мезона. Совм. с Л. Б. Окунем. ЖЭТФ, 1958,
34, 997.
О возможности формулировки теории сильновзаимодействующих фермионов»
Cobm.Jc А. А. Абрикосовым, А. Д. Галаниным, Л. П. Горьковым,
Л. Д. Ландау и К. А. Тер-Мартиросяном. Phys. Rev., 1958, 111, 321.
Дифракционные явления при столкновениях быстрых частиц с ядрами. Совм.
с А. И. Ахиезером. УФН, 1958, 55, 593.
Функции Грина в мезонных теориях. Совм. с А. А. Абрикосовым, А. Д. Га-
Галаниным, Б. Л. Иоффе и И. М. Халатниковым. Nuovo Cim., 1958, 8, 782.
Об устойчивости фермиевской жидкости. ЖЭТФ, 1958, 35, 524.
Изотопический эффект в остаточном электрическом сопротивлении металлов.
ЖЭТФ, 1958, 35, 992.
О взаимодействии между электронами проводимости в ферромагнетитах. Совм.
с А. И. Ахиезером. ЖЭТФ, 1959, 36, 859.
О периферийных взаимодействиях элементарных частиц. Совм. с Л. Б. Оку-
Окунем. ЖЭТФ, 1959, 36, 300; Nucl. Phys., 1959, 10, 492.
В-взаимодействие и формфактор нуклона. Совм. с В. Б. Берестецким. ЖЭТФ,
1959, 36, 1321.
О столкновении нуклонов с большими орбитальными моментами. Совм.
с А. Д. Галаниным, А. Ф. Грапшным и Б. Л. Иоффе. ЖЭТФ, 1959, 37,
1663; Nucl. Phys., 1960, 17, 181.
414

Рассеяние нуклона на нуклоне в двухмезонном приближении при больших
орбитальных моментах. Совм. с А. Д. Галапяным, Л. Ф. Грашиным и
Б. Л. Иоффе, ЖЭТФ, 1960, 38, 475.
О пределах применимости теории переходного излучения. Совм. с Г. М. Га-
рибяном. ЖЭТФ, 1959, 37, 1828.
Об асимптотической зависимости сечений при больших энергиях. Совм. с
В. Б. Берестецким. ЖЭТФ, 1960, 39, 1078; Nucl. Phys., 1961, 22, 629.
К теории рассеяния медленных нейтронов в ферми-жидкости. Совм. с А. И.
Ахиезером и И. А. Ахиезером. ЖЭТФ, 1961, 41, 644.
О процессах взаимодействия у-квантов с нестабильными частицами. Совм.
с И. М. Шмушкевичем. Nucl. Phys., 1961, 23, 452.
Фазовый анализ р — р-рассеяния при энергии 95 Мэв. Совм. с В. А. Боро-
Боровиковым, И. М. Гельфандом и А. Ф. Грашиным. ЖЭТФ, 1961, 40, 1106.
Об электромагнитном взаимодействии нейтрального векторного мезона. Совм.
с И. Ю. Кобзаревым и Л. Б. Окунем. ЖЭТФ, 1961, 41, 495.
Об образовании пучков я-мезонов большой энергии. Совм. с Ю. П. Никити-
Никитиным и И. М. Шмушкевичем. ЖОТФ, 1961, 41, 963.
1962-1966
Асимптотическое поведение процессов аннигиляции и упругого рассеяния
при высоких энергиях. Совм. с В. II. Грибовым. Nucl. Phys., 1962, 33,
516; Internat. Conf. on Theoretical Aspects of Very High Energy Pheno-
Phenomena, CERN, 1961, p. 376; Препринт ИТЭФ — 61 —15, Москва, 1961.
Комплексные орбитальные моменты и соотношения между сечениями различ-
различных процессов при высоких энергиях. Совм. с В. Н. Грибовым. ЖЭТФ,
1962, 42, 1141; Phys. Rev. Lett., 1962, 8, 343.
О некоторых свойствах амплитуды упругого рассеяния при больших энер-
гиях.Совм. с В. Н. Грибовым. ЖЭТФ, 1962, 43, 308; Nucl. Phys., 1962, 38,
516.
Некоторые следствия из гипотезы движущихся полюсов для процессов при
больших энергиях. Совм. с В. Н. Грибовым, Б. Л. Иоффе и А. П. Руди-
ком. ЖЭТФ, 1962, 42, 1419.
О рассеянии медленных нейтронов в ферми-жидкости. Совм. с А. И. Ахиезе-
Ахиезером. Nucl. Phys., 1963, 40, 139.
Спиновая структура амплитуд мезон-нуклонного и нуклон-нуклонного рассе-
рассеяния при высоких энергиях. Совм. с В. Н. Грибовым. ЖЭТФ, 1962,
42, 1682; Phys, Rev. Lett., 1962, 8, 412.
Полюса Редже и особенности Ландау. Совм. с В. Н. Грибовым. ЖЭТФ, 1962,
43, 1970; Phys. Rev. J,ett., 1962, 9, 238; Ргос. Int. Conf. High Energy Phys.
Geneva, 1962, p. 543.'
Ограничение скорости убывания амплитуд различных процессов. Совм. с
•В. Н. Грибовым. ЖЭТФ, 1962, 43, 1556; Phys. Lett., 1962, 2, 239; Ргос.
Int. Conf. High Energy Phys. Geneva, 1962, p. 522.
О процессах, определяемых фермионными полюсами Редже. Совм. с В. Н.
Грибовым и Л. Б. Окунем. ЖЭТФ, 1963, 45, 114.
Особенности парциальных волн вблизи / = 1 и поведение амплитуды упруго-
упругого дтссеяния при высоких энергиях. Совм. с В. Н. Грибовым и К. А. Тер-
Мартиросяном. Phys. Lett., 1964, 9, 269.
Замечание к работе «Особенности парциальных волн вблизи / = 1 и пове-
поведение амплитуды упругого рассеяния при высоких энергиях». Совм. с
В. Н. Грибовым и К. А. Тер-Мартиросяном. Phys. Lett., 1964, 12, 153.
Некоторые следствия из унитарной симметрии для процессов с участием
со-, ф- и /°-мезонов. Совм. с В. Л. Иоффе и И. Ю. Кобзаревым. ЖЭТФ,
1965, 48, 375.
Двигающиеся ветвления в /-плоскости и реджионные условия унитар-
унитарности. Совм. с В. Н. Грибовым и К. А. Тер-Мартиросяном, ЯФ, 1965, 2;
361; Phys. Rev., 1965, 139, 184; «Вопросы физики элементарных частиц»,
415

Ереван, 1964, стр. 167; «XII Международная конф. пофиз. высоких энер-
энергий». Атомиздат, 1966, т. I, стр. 363.
Структура /-плоскости вблизи /= 1 и дифракционное рассеяние при высоких
энергиях. Совм. с В. Н. Грибовым и К. А. Тер-Мартиросяном. Препринт
ИТЭФ № 238, Москва, 1964.
«Теневая Вселенная» и нейтринный опыт. Совм. с Л. Б. Окунем. Письма
ЖЭТФ, 1965, 1, 28; Phys. Lett., 1965, 16, 338.
Электромагнитные разности массбарионов и SU (б)-симметрия. Совм. с А. Д.
Долговым, Л. Б. Окунем и В. В. Соловьевым. Ядерная физика, 1965,
1, 730; Phys. Lett., 1965, 15, 84.
На каких расстояниях происходит взаимодействие при высоких энергиях?
Совм. с В. Н. Грибовым и Б. Л. Иоффе. Ядерная физика, 1965, 2, 768.
О возможности экспериментального обнаружения зеркальных частиц. Совм.
с И. Ю. Кобзаревым и Л. Б. Окунем. Ядерная физика. 1966, 3, 1154.
О полном сечении аннигиляции электронно-позитронных пар в адроны при
высоких энергиях. Совм. с В. Н. Грибовым и Б. Л. Иоффе. Ядерная фи-
физика, 1967, 6, 587.
Формула Орира как следствие ветвлений в /-плоскости (собр. трудов, № 122).
Ограничение на скорость роста сечений слабых взаимодействий. Ядерная фи-
физика, 1970, И, 852.

СОДЕРЖАНИЕ
I
ПЕРИФЕРИЧЕСКИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
80. Излучение при столкновении быстрых нейтронов с протонами
(Совместно с И. М. Шмушкевичем). 1949 5
81. Электромагнитное излучение под действием обменных сил. (Со-
(Совместно с И. М. Шмушкевичем), 1950 9
82. Обменные столкновения быстрых нуклонов с дейтронами. I 1951 14
83. Обменные столкновения быстрых нуклонов с дейтронами. 1951 . 26
84. О превращении заряженного я-мезона в нейтральный мезон при
столкновении с протоном и дейтроном. (Совместно с В. Б. Берес-
тецким). 1951 28
85. К теории захвата я-частиц в дейтроне. 1952 37
86. Захват я-частиц в дейтроне. 1951 45
87. Обменные столкновения быстрых нуклонов'с дейтронами. II. 1952 47
88. О столкновениях я-мезонов с дейтроном. (Совместно В. В. Верес-
тецким). 1951 51
89. Об испускании уквантов большой энергии при столкновениях
быстрых нейтронов с протонами. (Совместно с И. М. Шмушке-
Шмушкевичем). 1952 w 54
90. Дисперсионные соотношения для рассеяния я-мезонов на дейт-
дейтронах. (Совместно с Б. Л. Иоффе и А. П. Рудиком). 1956. . . 58
91. О периферийных взаимодействиях элементарных частиц. (Сов-
(Совместно с Л. Б. Окунем). 1959 61
92. О столкновении нуклонов с большими орбитальными момента-
моментами. (Совместно с А. Д. Галаниным, А. Ф. Гришиным и Б. Л.
Иоффе). 1959 78
93. Рассеяние нуклона на нуклоне в двухмезонном приближении
при больших орбитальных моментах. (Совместно с А. Д. Галани-
ным, А. Ф. Грашиным и Б. Л. Иоффе). 1960 99
94. О процессах взаимодействия у-квантов с нестабильными части-
частицами. (Совместно с И. М. Шмушкевичем). 1961 116
95. Об образовании пучков я-мезонов большой энергии. (Совмест-
(Совместно с Ю. П. Никитиным и И. М. Шмушкевичем). 1961 133
417

II
ДИФРАКЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ
96. Об упругом рассеянии ядрами быстрых заряженных частиц.
(Совместно с А. Ахиезером). 1945 141
97. Излучение уквантов при столкновении быстрых я-мезонов с
нуклонами. (Совместно с Л. Д. Ландау). 1953 - 149
98. О внешней (дифракционной) генерации частиц при ядерных
столкновениях. (Совместно с Е. Л. Фейнбергом). 1953 .... 162
99. Излучение фотона, сопровождающееся захватом быстрого протона
ядром. (Совместно с А. И. Ахиезером). 1954 166
100. Полуфеноменологическая теория образования я-мезонных пар
у-квантами больших энергий. 1954 170
101. Образование я-мезонных пар у~квантами в случае тяжелых
ядер. 1954 • 175
102. Об излучении т-квантов, сопровождающемся поглощением быст-
быстрых протонов ядрами. (Совместно с А. И. Ахиезером). 1956 . 178
103. Неупругие дифракционные процессы при высоких энергиях.
(Совместно с Е. Л. Фейнбергом). 1956 181
104. Дифракционные явления при столкновениях быстрых частиц
с ядрами. (Совместно с А. И. Ахиезером). 1958 201
III
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ -
ПРИ АСИМПТОТИЧЕСКИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЯХ
105. К теории образования частиц в одном акте. 1951 248
106. Изотопическая инвариантность и рассеяние антинуклонов ну-
нуклонами. 1956 252
107. Изотопическая инвариантность и сечения взаимодействия я-ме-
я-мезонов и нуклонов высокой энергии с нуклонами. (Совместно с
Л. Б. Окунем). 1956 254
108. Равенство полных сечений взаимодействия нуклонов и антинук-
антинуклонов при больших энергиях. 1958 256
109. Об асимптотической зависимости сечений при больших энер-
энергиях. (Совместно с В. Б. Берестецким). 1960 261
НО. Асимптотическое поведение процессов аннигиляции и упруго-
упругого рассеяния при высоких энергиях. (Совместно с В. Н. Гри-
Грибовым). 1962 272
111. Комплексные орбитальные моменты и соотношения между се-
сечениями различных процессов при высоких энергиях. (Совме-
(Совместно с В. Н. Грибовым). 1962 281
112. О некоторых свойствах амплитуды упругого рассеяния при
больших энергиях. (Совместно с В. Н. Грибовым). 1962. . . 285
113. Некоторые следствия из гипотезы движущихся полюсов для
процессов при больших энергиях. (Совместно с В. Н. Грибовым,
Б. Л. Иоффе и А. П. Рудиком). 1962 299
418

114. Спиновая структура амплитуд мезон-нуклонного и нуклон-нук-
лонного рассеяния при высоких энергиях. (Совместно с В. Н.
Грибовым). 1962 ,403
115. Полюса Редже и особенности Ландау. (Совместно с В. Н. Гри-
Грибовым). 1962 307
116. Ограничение скорости убывания амплитуд различных про-
процессов. (Совместно с В. Н. Грибовым). 1962 315
117. О процессах, определяемых фермионными полюсами Редже.
(Совместно с В. Н. Грибовым и Л. Б. Окунем). 1963 320
118. Особенности парциальных волн-вблизи / = 1 и поведение ам-
амплитуды упругого рассеяния при высоких энергиях. (Совмест-
(Совместно с В. Н. Грибовым и К. А. Тер-Мартиросяном). 1964 . . . 333
119. Двигающиеся ветвления в j-плоскости и реджионные условия
унитарности. (Совместно с В. Н. Грибовым и К. А. Тер-Мар-
тиросяном). 1965 341
120. На каких расстояниях происходит взаимодействие при высо-
высоких энергиях? (Совместно с В. И. Грибовым и Б. Л. Иоффе).
1965 381
121. О полном сечении аннигиляции электронно-позитронных пар в
адроны при высоких энергиях. (Совместно с В. Н. Грибовым и
Б. Л. Иоффе). 1966. . 392
122. Формула Орира как следствие ветвлений в /-плоскости. 1966 398
123. Ограничение на скорость роста сечений слабых взаимодейст-
взаимодействий. 1966 403
Список научных работ 411

ИСААК ЯКОВЛЕВИЧ ПОМЕРАНЧУК
Собрание научных трудов
Том III
Физика элементарных частиц
Сильные взаимодействия
Утверждено к печати
Отделением ядерной физики
Академии наук СССР
Редактор Л. А. Кондратюк
Редактор издательства Л. В. Кудрявцева
Художественный Редактор Н. Н. В л а си к
Технический редактор Л. Н. Золотухина
Сдано в набор 25/11-1972 г. Подписано к печати 23/VI 1972 г.
Формат COXSOVie. Бумага JNTe 1. Усл. печ. л. 26,о7.
Уч.-изд. л. 26,94. Тираж 2700. Тип. зак. 395. Т-1Я051
Цена 2 p. i2 к.
Издательство «Наука» , 103717 ГСП,
Москва К-62, Подсосенский пер., 21
2-я типография издательства «Наука».
Москва Г-99, Шубинский пер., 10