05Я41
Р-49
Риз П.Л4.
Расчет на динамическую
прочность ВИНТОВ ДА» ГАЗОВЫХ
ТУРБИН
V
ШУ
МИНИСТЕРСТВО АВИАЦИОННОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ СОЮЗА ССР
ЦЕНТРАЛЬНЫЙ АЭРО-ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
—V	им. проф. Н. Е. Жуковского
ТЕХНИЧЕСКИЕ ОТЧЕТЫ
РАСЧЕТ НА ДИНАМИЧЕСКУЮ ПРОЧНОСТЬ
ВИНТОВ ДЛЯ ГАЗОВЫХ ТУРБИН
П. М. Риз
Ж8
ВФ
ТЕХНИЧЕСКИЕ ОТЧЕТЫ
п. м. риз
РАСЧЕТ НА ДИНАМИЧЕСКУЮ ПРОЧНОСТЬ ВИНТОВ
ДЛЯ ГАЗОВЫХ ТУРБИН

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ
В работе дастся анализ источников возбуждений, вызывающих колебания
лопастей винтов для газовых турбин, и излагается метод динамического расчета
на прочность и расчета на флаттер.
ВВЕДЕНИЕ
Специфические условия работы винтов для газовых турбин заставляют изменить
ребования к прочности и пересмотреть методы расчета на прочность, разработанные
Гля винтов к поршневым двигателям.
В настоящей статье не рассматриваются вопросы расчета на статическую проч-
юсть, составляющие содержание специальной статьи другого автора 1.
Первым вопросом, подлежащим решению, является вопрос о сравнительном зна-
(ении задачи обеспечения динамической прочности в общей проблеме прочности
|инта.
На первый взгляд представляется, что винты для газовых турбин находятся
, условиях, благоприятных для динамической прочности, так как для них отсутствуют
интенсивные возбуждения со стороны мотора, столь характерные для поршневых дви-
ателей; можно было бы думать, что при проектировании винтов к газовым турби-
ам допустимо довольствоваться расчетом на статическую прочность, оставляя мини-
мальные запасы прочности на долю динамических факторов.
Однако такое предположение является только частично правильным. Вал винта
озбуждается все же высокочастотными импульсами со стороны двигателя, менее интен-
йвными, чем у поршневого двигателя, но все же достаточно опасными.
Приходится считаться и с аэродинамическими возмущениями; особенно утрожаю-
тими становятся последние в случае соосных винтов, эти возмущения также харак-
ерны своей высокой частотой.
Вследствие указанных соображений мы считаем необходимым для винтов к газо-
ым турбинам проведение частотного расчета, причем с особым вниманием к опреде-
ению высоких частот.
Большие скорости потока относительно лопасти винта к газовой турбине,а также
^метившиеся тенденции делать лопасти значительно более тонкими, чем раньше,
следовательно, и менее жесткими на кручение, заставляют нас исследовать также
опрос о том, насколько существенна здесь опасность флаттера.
Естественно, что намечающийся объем расчета на динамическую прочность опрс-
еляется, во-первых, частотным расчетом, приспособленным к определению высоких
астот и, во-вторых, расчетом на флаттер. Обычные методы расчета винтов предпола-
аются известными2.
турбинам и лопаток компрес-
Пожалостин. Вибрации и динамическая прочность винтов. Труды ЦАГИ
1 С. А. Тумаркин. Статический расчет лопастей винта к газовым
эров.
2 П. М. Риз и А. И.
fe 609, 1947 г.
г.лиотт 1

§ 1. ОБЗОР ИСТОЧНИКОВ ВОЗБУЖДЕНИЯ
Основным источником вибраций в компрессорах и турбинах является неравномер-
ность потока, связанная с прохождением подвижных лопаток вблизи неподвижных
направляющих лопаток, а также прохождение подвижных лопаток на малых расстоя-
ниях друг относительно друга в компрессорах противоположного вращения. Аэродина-
мические импульсы вызывают изгибные колебания лопаток, симметричные формы из-
гибных колебаний лопаток вызывают в свою очередь крутильные колебания вала дви-
гателя. Через редуктор эти крутильные колебания передаются на вал винта с умень-
шенными амплитудами (коэфициент уменьшения равен передаточному числу), но с не-
изменной частотой. Крутильные колебания вала винта в свою очередь передаются на
лопасти, вызывая симметричные формы изгибных колебаний лопастей винта.
Таким образом, мы имеем следующую схему передачи возбуждений: прохожде-
ние лопатки перед препятствием симметричные изгибные колебания лопаток -^кру-
тильные колебания вала двигателя^крутильные колебания вала винта-^симметричные
изгибные колебания лопастей винта.
Частота возбуждений доходит при этом до лопастей винта без изменений.
Легко подсчитать эту частоту: число колебаний за оборот вала двигателя будет
равно числу импульсов, получаемых отдельной лопаткой; оно равно числу неподвиж-
ных направляющих лопаток, если последние являются источником нарушения равно-
мерности потока, в случае же движения лопаток навстречу друг другу, оно равно
удвоенному числу лопаток в том кольце, мимо которого проходит данная лопатка.
Значительно сложнее обстоит дело, если аэродинамические силы вызывают не-
симметричные колебания лопаток. Эта форма колебаний лопаток вызывает изгибные
личина изгибающего
колебания вала двигателя с той же частотой.
Очень сложным и мало изученным является вопрос о пе-
редаче изгибных колебаний через редуктор. Механизм пере-
дачи здесь очень сложен, существенную роль играют люфты
между зацеплениями; с точки зрения математического описа-
ния редуктор является нелинейным звеном в нашей системе,
а вследствие этого он передает возбуждения па вал винта
с искаженной частотой, причем эта частота может зависеть от
амплитуды колебаний.
Изгибные колебания вала винта в свою очередь переда-
ются на лопасти, вызывая в них изгибные колебания несим-
метричных форм.
Следует отметить еще одно важное обстоятельство: мо-
жет иметь место случай, когда колебания вала передадутся
на опоры и вызовут поступательные колебания всей винтомо-
торной группы в целом перпендикулярно оси вала; пусть эти
колебания происходят с некоторой угловой частотой р. Как
видно из фиг. 1, инерционные силы, действующие на лопасть,
дают растягивающие и изгибающие компоненты, причем ве-
компонента зависит от углового положения лопасти (угол р на
фиг. I).
Элементарный подсчет дают изменения изгибающих импульсов по времени по
закону
д
A sin pt cos w t== [sin (/? —|- <o) t-f- sin (p — <o) t].
Следовательно, на лопасти винта передаются изгибающие импульсы с „комбина-
ционными частотами р -J- <о и р — <о. Причем'частота р — о> может быть сравнительно
низкой.
Аналогичное утверждение можно, разумеется, высказать и относительно лопаток
турбин и компрессоров.
Естественный вопрос о том, какие же формы колебаний лопаток вызываются
аэродинамическими силами в каждом конкретном случае, решается соотношением
частот аэродинамических возбуждений, с одной стороны, и собственных частот системы
„вал—облопаченные диски", с другой стороны.
Симметричные и несимметричные формы имеют различные частоты и возбуждаются,
разумеется, те, частоты которых ближе к частоте аэродинамических импульсов.
Характер аэродинамических импульсов, направленных непосредственно на лопасть
винта, очевиден; в случае прохождения перед крылом частота возбуждений соответ
ствуетг удвоенному числу оборотов, при наличии соосных винтов каждая лопасть _за
4
один оборот дважды встречает все лопасти другого винта и, таким образом* число
возбуждений лопасти за один оборот винта равно удвоенному числу лопастей в винте,
движущемуся навстречу данному.
При передаче колебаний на опоры следует иметь в виду указанную выше воз-
можность появления комбинационных частот.
Возбуждающим фактором являются также жироскопические силы.
Рассмотрим случай виража с угловой скоростью 2. Наиболее невыгодным для
прочности является случай, когда вектор угловой скорости виража 2 перпендикулярен
направлению полета. Кориолисово ускорение, действующее на каждый элемент лопасти,
/<= 2[Sw(l] направлено по полету, где <о0— вектор окружной скорости в данном сечении
(w0) = or, где ш—угловая скорость вращения винта).
Так как угол ф между векторами Q и w0 меняется при постоянной угловой ско-
рости вращения винта, по закону ф=(о£, а (К)= 2 (Q)(®'0)sin !>, то и в момент изгибаю-
щих сил, создаваемых кориолисовым ускорением, меняется с временем по закону:
Р = РО sin <оЛ
Таким образом, частота возбуждений равна угловой скорости винта.
Случай неравномерного вращения, представляющий известный интерес для винтов
к поршневым двигателям, мы здесь не обсуждаем, так как неравномерность во враще-
нии винта к газовым турбинам значительно слабее. Итоги этого обзора удобно пред-
ставить табл. 1.
. Мы рассмотрим
§ 2. ДЕМПФИРОВАНИЕ ПРИ ВЫСОКИХ ЧАСТОТАХ ВОЗБУЖДЕНИЙ
Чтобы оценить опасность источников вибраций, описанных в предыдущем пара-
графе, следует учесть демпфирующие свойства лопастей в потоке
в этом параграфе демпфирование
аэродинамическими силами, а так-
же демпфирование внутренними
силами, действующими в самой
лопасти; такое демпфирование мы
назовем гистерезисным.
Механизм аэродинамического
демпфирования хорошо известен.
Пусть на элемент лопасти с хор-
дой b набегает поток, скорость
которого ®'о (фиг. 2); на элемент
действует подъемная сила
изгибные колебания сообщают эле-
менту лопасти дополнительную
ди
скорость —, где «— перемеще-
ние за счет деформации изгиба, или, что равносильно, сообщают
скорость в противоположном направлении. Как видно на чертеже,
шится на величину Да, причем
потоку такую же
угол атаки умень-
.	1 ди
Да --------
®'о dt
дсУ к
а в силу этого подъемная сила уменьшится на величину &а.
Уменьшение подъемной силы эквивалентно появлению добавочной силы, направ-
ленной в сторону, противоположную движейию при колебаниях изгиба.
дс
Очевидно, что мы будем иметь демпфирование в том случае, если	0, на
„	дсу
срывных режимах <^0 и поток оказывает на изгибные колебания действие, про-
тивоположное описанному выше.
Аэродинамические силы увеличивают изгибные деформации. Амплитуды колеба-
ний резко возрастают, наступает так называемый срывной флаттер. Естественно, что на-
личие срывных режимов всегда представляет угрозу прочности винта.
5
В расчете на прочность мы вводим так называемый интегральный коэфициент
аэродинамического демпфирования
R дс
, 1
р
(1)
S?mFj4r)dr
о
где /—безразмерная форма колебаний при изгибе; эта формула дает некоторое сред-
нее значение величины, определяющей аэродинамическое демпфирование по лопасти.
Если возбудить колебания формы / и затем устранить внешние силы, то h будет лога-
рифмическим декрементом затухания. Размерность h взята 1'сек; удобно ввести также
безразмерный коэфициент h, определив его как
2Л
h = —,
Р
где р—частота колебаний, соответствующая форме /(г).
Методы определения этих величин будут даны ниже; мы укажем только, что
амплитуда колебаний конца лопасти при резонансе
Дет
а = ~=—,
h
где аст — отклонение конца лопасти при статическом воздействии максимума возмущаю-
щей силы. Разумеется, чем меньше h, тем
нансе.
(2)
(3)
больше амплитуда колебаний при резо-
дсу
Из формулы (1) видно, что при —
не меняется с изменением номера тона, так
и в знаменателе, входят
В самом деле
сохраняющем знак, порядок величины h
как в интегралы,
величины /2, а остальные
факторы не
стоящие
зависят от
в числителе
номера тона.
к
, 1
Л==-2-Р
К
о
и, таким образом,
Pm
min
дс
bw^
,, max
2 рт
bw.
d±v
'° да
F
1 р
2

с инженером
Мы перейдем теперь к вопросу о гистерезисном демпфировании.
Чтобы ориентироваться в порядке величин, мы провели совместно
Н. Н, Чернышевым замеры амплитуд и поглощаемых мощностей при высокочастотных
возбуждениях. Здесь мы приводим только окончательные данные для Агист, где в со-
ответствии с формулой (3) полагаем йГИст =	•
На графике фиг. 3 приведены величины у -- для двух стержней постоянного
^ГИСТ
сечения:
1) Д-2 — стержень прямоугольного сечения из дураля. Размеры I = 140 см, b — 5 см,
8 = 0,3 см\
2) Д-З— стержень прямоугольного сечения из дураля. Размеры I = 100 см, b = 5 см,
8 = 0,2 см.
Суммарный коэфициент демпфирования получается сложением коэфициентов аэро-
динамического и гистерезисного демпфирования
ГИСТ >
и соответственно
h—Ааэр -f- hгист •
6
Представляет интерес еще один безразмерный коэфициент, который также харак-
теризует демпфирующие свойства по отношению к различным частотам возбужде-
ний, это
W
: U.
Здесь W—мощность возбуждения, ns — число колебаний в секунду; U— максимум по-
тенциальной энергии деформации стержня.
График фиг. 4 дает значение р для тех же стержней.
§ 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТ И ФОРМ КОЛЕБАНИЙ ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ЛОПАСТИ,
ЖЕСТКО ЗАДЕЛАННОЙ У КОМЛЯ
В этом параграфе мы излагаем методы частотного расчета, переработанные и до-
полненные для того, чтобы удовлетворить изменившимся требованиям к расчету по
сравнению с тем, что имеет место при расчете винтов к поршневым двигателям.
Эти изменения преследуют две цели:
1) дать простые методы определения частот и форм колебаний высоких тонов1;
2) с большей точностью определить влияние центробежных сил.
По поводу пункта 2 необходимо дать некоторые пояснения. В растянутых стерж-
нях жесткость по отношению к изгибным колебаниям можно рассматривать как скла-
дывающуюся из двух частей: жесткости в узком смысле слова, которой обладает не-
вращающийся стержень, и условной дополнительной жесткости, создаваемой при де-
формациях изгиба растягивающими силами.
У обычных винтов к поршневым двигателям растягивающие силы повышают ча-
стоту невращающегося винта на 20—40%. Винты к газовым турбинам имеют меньшую
собственную жесткость, а числа оборотов, по крайней мере у некоторых конструкций,
настолько велики, что при определении частоты эффект растяжения центробежными
силами может стать решающим.
Все изложенное в этом параграфе дословно применимо к задаче определения
частот и форм изгибных колебаний лопаток компрессоров и турбин.
1 Мы пользуемся при этом результатами, полученными М. Э. Липской в работе: „Определение вы-
соких собственных частот винтовых лопастей и турбинных лопаток".
7
Мы приводим без вывода основные уравнения свободных изгибных колебаний
попасти1 без потока
{Ely")" = - PmFy-f-Pm<o2
4- Fy sin2aol = О
и граничные условия: при г=0; у—у' — О; r=R-, Ely" = {EIy )' = 0.
Полагая У—aft/) sin pt, где f(r)—безразмерная форма колебания, причем/(/?)=1,
мы будем иметь:
-|-F/sin3a0 = 0
Frdr
{EIf")"-p^mFf -praa>2
или, интегрируя 4 раза с учетом граничных условий,
/=рЧ[/1+«>24[Л = о,
где 4 и /2—интегральные операторы, имеющие следующее значение:
г г	RR
0 0	г г
-|-F/sin2a0 dr*.
г г	R R /Г R
0 0	г	г
Интегральное уравнение можно преобразовать к уравнению Фредгольма:
R	R
f{r)=flM кг (г, s)/(s) ds — со2 J К-, (г, s) f(s) ds.
о	о
где Ki(x, s)—функция Грина для задачи поперечного изгиба, К2{х> s)—функция Грина для
задачи продольного изгиба._
Мы получаем однородное интегральное уравнение с двумя параметрами р и си.
Очевидно, что при всяком фиксированном и> получается бесчисленное множество соб-
ственных значений р, т. е. частот колебаний.
При изменении си меняются значения р, таким образом, в плоскости р, си (или
в плоскости р2, ю2) получается бесчисленное множество кривых, которые мы будем
называть кривыми собственных значений.
Определим точки пересечения этих кривых с координатными осями.
Определение точек пересечения с осью р мы получим, положив со=О. Таким обра-
зом, мы придем к задаче определения частот невращающегося винта.
Для определения точек пересечения с осью си мы, во-первых, положим р=0, во-
вторых, мысленно обратим все центробежные силы, представив их не растягиваю
щими, а сжимающими лопасть, формально это сведется к изменению знака „ш2“ в ин-
тегральном уравнении.
Мы найдем отсюда бесчисленное множество собственных значений со, физический
смысл которых очевиден: это такие угловые скорости, при которых обращенные цен-
тробежные силы вызывают потерю устойчивости. Естественно по аналогии с обычной
терминологией в теории устойчивости называть эти угловые скорости критическими.
Результаты можно изобразить следующей формулой:
где
Ь-' _ (Fo)n
Кп~---------
1 Вывод см. в работе П. М. Риза и А. И. Пожалостина: „Вибрации и динамическая прочность вин-
тов". Труды ЦАГИ № 609. 1947 г.
или
Р 2	’ со ' *	'
(Ро)„	шп	~~
(а)л
Мы приводим далее, схему для определения величин (р0)„ и <о„.
Описание расчетной схемы
Расчет базируется на решении уравнения изгибных колебаний невращающейся
лопасти, жестко заделанной во втулке, с последующим внесением поправок, учиты-
вающих влияние скручивания вала и влияние центробежных сил.
Определяются собственные частоты изгибных колебаний при наличии указанных
факторов. В соответствии с этим расчетная схема распадается на следующие этапы:
1.	Определяются собственные частоты изгибных колебаний невращающейся ло-
пасти без учета скручивания вала:
а)	частота и форма колебаний основного тона в плоскости наименьшей жест-
кости;	>
б)	частота и форма колебаний второго тона в плоскости наименьшей жесткости
и в плоскости наибольшей жесткости;
в)	из асимптотических формул находятся частота и форма колебаний третьего
тона в плоскости наименьшей жесткости.
2.	Определяется частота основного тона колебаний в плоскости наименьшей жест-
кости с учетом скручивания вала.
3.	Определяются коэфициенты влияния центробежной силы.
4.	Строятся диаграммы резонансных чисел оборотов 1.
I этап
Производятся следующие вычисления: методом последовательных приближений
решается уравнение
a a	r г
подстановкой в правую часть уравнения вместо /(г) произвольно выбранной функции,
например, Д11 (г)=г2.
ПРИМЕЧАНИЕ. Здесь н в последующих схемах при пользовании методов последовательных
приближений за исходное приближение можно принимать форму колебаний, определенную для
какого-либо ранее рассчитанного винта.
При выполнении действий, указанных интегральным уравнением, будет найдена
некоторая функция f^(r), выпаженная через р2. Уравнение является однородным урав-
нением, и функцию, удовлетворяющую этому уравнению, можно умножить на любую
постоянную. Можно воспользоваться этим для того, чтобы потребовать выполнения
дополнительного условия:
Из этого условия можно определить частоту р, требуя, чтобы
Найденная функция /|Г)(г), предварительно нормированная и приведенная к единице,
подставляется в правую часть уравнения и определяется Д1)(г).
Из условия Д11 (1) = 1 определяется р2 и т. д.
Нормирование (приведение к единице) предполагает умножение значений функции
1
для каждого сечения на постоянный множитель	•
Процесс продолжается до тех пор, пока fn ’ (г) не будет практически совпадать
с ДйДг) и Рп не будет совпадать с Рп-1.
i См. сноску 2 на стр. 3.
9
Обычно для этого бывает достаточно вычислить два—три приближения. Вычисле-
ния сводятся в таблицы по форме табл. 1 и 2. Лопасть делится на равные промежутки
Дг—0,05.
а а	, ,
									Таблиц	а 2
Г	ZS1’		о Ft^ Рт	1 J (4) d7 Г	1 J(5)d7 Г		J6) (?Г	Г Г (8)d7 а	F J (9) Л7 а	/гприв
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
										
За исходное приближение удобно принимать функцию ф, найденную для какого-
либо ранее рассчитанного винта.
Частота определяется из условия ф(1)=1.
Вычисления сводятся в таблицы по форме табл. 3—4. Лопасть делится на про-
межутки Дг=0,1.
Таблица 3										
г	Фо=^®	Ът?	Рт	1 J(4)dF Г	1 J(5)rf7 Г	ei2	(6) (7)	/ (8) dr a	/ (9)rfr a	Ф1
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
									T а б л и ц	a 4
г	Ф1	?mF	Рт ^’Ф1	1 J(4)rf7 Г	1 f (5)d7 F	ei2	(6) (7)	/ (8)rf7 a	/ (9)rf7 a 10	Ф2
1	2	3	4	5	6	7	8	9		11
										
10
11 эта п
Частота и форма колебаний второго тона в плоскости наименьшей жесткости.
Ищется функция Д2> опять-таки методом последовательных приближений, исходя
из того же уравнения. За исходное приближение для функции /<2 можно принять
/«> = Р(1 —1,25г),
либо соответствующую форму колебаний любой другой лопасти.
Функция J™, предварительно нормированная, подставляется в правую часть урав-
нения; в результате интеграции находится функция содержащая множителем р2.
Известно, однако, что если не заботиться о выполнении условия ортогональ-
ности (равенство нулю интеграла по всей лопасти, взятого от произведения площади
сечения на плотность и на значения собственных функций основного и второго тона
в этом сечении), то функции, определяемые из интегральных уравнений, прибли-
жаются к т. е. к форме колебаний основного тона.
Поэтому выражение для формы колебаний второго тона задается в виде
/P=712)+4/<l),
где коэфициенг Ах определяется из условий ортогональности по формуле
л _ _ «____________
Л1— 1
а
Из условия нормирования/<2) (1) = 1 определяется значение частоты рх. Далее про-
цесс продолжается; определяется /г2’, затем /22>=Л2)~ЬА/(1)> затем /?2 и т. д., до тех пор,
пока fn\r) не будет практически совпадать с /Pli (г) и рп с рп-\.
111 эта п
Частоты третьего и четвертого тонов определяются из соотношений:
где
-
а
Форма колебаний определяется следующей асимптотической формулой:
7» = ~8 " 1----Ksin Рпе + sh V Рпе)(cos Vpnt — ch Vpnt) —
V (pmF)3EI
— (cos /д, e + ch Vpn e) (sin Vpn t — sh //?„ 0],
где
r 	К 
a	a
Для частот выше четвертой следует еще вносить поправку на влияние инерции
вращения, что осуществляется посредством следующей формулы:
= “__________________________
Рп	R	R
t[PmFPndr + fPnlI(f^dr
а	а
11
Для определения частот в поле центробежных сил требуется вычисление коэфи-
циентов knJ. которое производится по следующей формуле:
R г
а а
-
JPmFndr
а
Флаттер винта на больших скоростях
Изучение явлений флаттера винта на больших скоростях является необходимой
задачей, так как современные самолеты имеют скорость полета, соответствующую
большим числам М.
Винту приходится работать еще при больших числах /И, так как скорость потока,
набегающего на лопасть, зависит как от скорости полета, так и от угловой скорости
вращения винта.
W =	4- Г3,
где W—результирующая скорость винта,
и — угловая скорость вращения винта,
V—скорость полета,
г—радиус сечения лопасти.
Поэтому часто у современных винтов лопасть работает в околозвуковой, а ча-
стично в сверхзвуковой области.
Это приводит к необходимости учитывать эффект сжимаемости, так как измене-
ние числа М существенно влияет на аэродинамические характеристики профиля винта,
на положение центра давления, на наклон кривой cy=f(a).
Проводившийся до сих пор расчет на флаттер не учитывал эффекта сжимаемости,
поэтому применение его для винтов, работающих на больших скоростях, не давало
точного ответа на поставленную задачу — определения критической скорости флат-
тера.
В основу настоящего расчета был принят метод, разработанный Пархомов-
ским Я. М. и Поповым Л. С., для определения критической скорости флаттера крыла
на больших скоростях.
W
Так как величина числа Л4= - - (где W — результирующая скорость винта,
а — скорость звука) влияет на аэродинамические характеристики профиля — на положе-
ние центра давления (хц.д) и на наклон кривой cy—f(a.), — то все Они определялись как
функции числа М:
dcv
хц.д = /(Л4),
а следовательно, и функции от V, шин, так как
а	а	а
В связи с этим
—-2L =У(/И)=/(о), К, п) является функцией числа М или функцией
угловой скорости со и режима работы винта X. При проведении настоящего расчета
в отличие от предыдущего приходится задаваться не только режимами работы винта
V к V
Dns
(здесь V — скорость
полета, D — диаметр винта, ns — число оборотов
в секунду, и — угловая скорость вращения винта), но и для каждого режима X, зада-
ваться диапазоном угловых скоростей шре>к, и для каждого сореж и данного X опреде-
лять критическую угловую скорость шкр.
Истинное сикр, соответствующее данному режиму X, определяется пересечением
биссектрисы координатного угла с кривой, дающей зависимость <икр = f (wpe>K) (фиг. 5).
Центр давления с увеличением числа М передвигается назад, что приводит
к изменению величины момента от аэродинамических сил и существенно сказывается
на величине <окр
12
Покажем как изменяется величина момента аэродинамических сил при центре
давления, расположенном в произвольной точке. Для этого воспользуемся выраже-
нием момента аэродинамических сил относительно середины хорды:
Mc=^-pb*W20 од
1 ае
W^~dt
1
1 Ь~х‘
dt ] ’
где 0 — угол закручивания лопасти, а х{ — координата центра жесткости. Здесь мы
рассматриваем колебания в плоскости наименьшей жесткости.
Перейдем теперь от момента относительно середины хорды к моменту относи-
тельно центра давления. Момент относительно центра давления будет равен:
ЛГц.д — ЛД хц.д :-----------т" р b~ UZq
1 д 0 / 1 X. 1 диу
W,~dt\2b~ Xi) ~W~0~dt
— Хц. д яр b Wo
1 до
1 дпу
Wo dt
> f \	*ц. д \ ,	д 6 Г /1
Д4Ц. д = яр^ UZqO ( --£ —)~Нр &2 W 0,25 Г — b - xt
/ 3 х, XI „ duv / хц. „ X
---г)\~^ь	I0’25--------Ь~) •
Теперь перейдем к моменту относительно центра жесткости:
т = Мц. д - (хц. д — Xt) qy = яр b* W* ----------------, _р
\ т'	U /
д 6 [	/1 X /3 х, X I	^uv /" хц д X
+ яр W w [0,25 b - xQ - хц. д	- яР Го Q0,25----------------------- J Д-
dcv „Г 1 д 6 f 3 х. 1 dtiv
+ (х — хц. д) р b Wo I 6 Д- —	— b — xj —
или
13
и, следовательно,
д С ml
д а
где
JL (х,- — хц. д) .
о а.
Диференциальные уравнения колебаний винта в потоке будут:
[Eliiy]" = — pm Fiiy + pm Fx, 6 -|-p b UZa —
1 d0 / 3
1 duy
W~dl
Frdr Д- Fuy sin2 a0
4- pm “2
4- (4 — /]) (cos2 a — sin3 a) 6 4~ ^Xt uy sin2 a0
Из этих уравнений методом Галеркина мы определим критическую скорость
флаттера. (См. сноску 1 на стр. 3).
Описание расчета
1. Задаемся режимами работы винта К, И для каждого данного X задаемся
несколькими wp<!>K.
14
ОПЕЧАТКА
Стр.	Строка	Напечатано	Должно быть	По чьей вине
15	7 сверху	...	dr -|- (cos2a0 — R — Sin4) Pm (/2-/1)?ЗДг, 0	Автора
2. Для каждого X и каждого шреж определяются коэфициенты:
Л
О
/?
п22 = /0Г(Т')2^
О
R R	R
bn = J (/')2 J Р« Frdr2 — sin2 % J Pm Ff2 dr,
Or	0
R
1 f dcv
0
R	R	R
&2i = — J f xe f pm FrdF 4- sin2 a0 J pm Ffyx, dr,
Or	0
R
1 f dcmi
о
t/r,
R
Ci2 = c21= J pm Ffq x9dr,
0
R
CU=~SFPdr,
О
R
c22 ~ ,f Pm/pf2 dr,
0
R
1 f de,,
dn=^^-d-'tbf2dr,
о
R
1 i dcmi
d"=-2}~d^bnf4
0
dr,
R
If dcmi
“5Tp',2'1t
О
где	+r3'
15
3) Для заданных X и о>ре}К определяем коэфициенты:
= ^11 С22	С12 С21>
= — сп </28 — c22dn -J- с12 d21 4~с21 di2,
*2	^11^22 ^22 ^11 4~ ^21 ^12 Ч~ ^"12 ^214“ ^11 ^22 ^12^21>
^1 — ai2 ^11 4~ а11 ^22>
Z?2 =	Ь22 4- б?22 Ь11	^21 ^12	^12 ^21>
^-1 ~~ ^11 ^22»
^2 ~ Яц ^22 4~ ^11 ^221
^3~ ^11 ^22 - ^21 ^12>
а затем коэфициенты L, М и N биквадратного уравнения:
£1 = В1С2£>2-Л1^-Д2£3, К^В^^-А^-В^,
M=B1CiD1-{- В. Ct Z?2 — 2Л1D, D2 - B* E2.
4.	Решается биквадратное уравнение
£o>44-/W<o24-AZ = 0.
Меньший корень этого уравнения дает значение о>кр.
5.	Строим графики зависимостей <икр от шре1к для каждого X и определяем истин-
ное значение <икр как точку пересечения биссектриссы координатного угла с кривой
wKP=/(wpe)K) (фиг. 5).
6.	Г1о найденным значениям шкр и X определяем критическую скорость полета Ркр.
Из проделанных по этой схеме расчетов выяснилось, что сверхзвуковые винты
безопасны в смысле флаттера при симметричных профилях (в частности, ромбовидных).
Для дозвуковых винтов критические скорости близки к эксплоатационным и за-
пас прочности по отношению к флаттеру незначителен.
ВЫВОДЫ
1)	Лопасть винта для газовых турбин подвергается высокочастотным возбужде-
ниям и поэтому обычный частотный расчет должен быть дополнен определением
высоких собственных частот (до 4 — 5 тона).
2)	Если лопасть винта работает в дозвуковом или околозвуковом потоке, то для
нее существенна опасность флаттера. Расчет на флаттер проводится с учетом влияния
эффектов сжимаемости на основании эмпирически определяемых характеристик.
3)	Лопасть, работающая в сверхзвуковом потоке, не подвергается опасности
флаттера (при значениях М, достижимых в настоящее время).
Отв. редактор М. Л. Лурье
Объем 2j/4 печ. л., 42 880 зн. в печ. л.
Корректор А. В. Титова
Учетно-издательских листов 2,4
Тип. ЦАГИ. Зак. № 654