Р. БИШОП
КОЛЕБАНИЯ
Перевод с английского
М. Ф. ДИМЕНТБЁРГА
и К. В. ФРОЛОВА
под редакцией
Я. Г. ПАН О В НО
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1968

531
Б 67
УДК 534.1
VIBRATION
Based on six lectures delivered at
the Royal Institution, London
in December 1962
R.
BY
D. BISHOP
Kennedy Professor, Head of the
Mechanical Engineering Department and
Fellow of University College London
CAMBRIDGE
AT THE UNIVERSITY PRESS
1965
Колебания. Р. Е. Бишоп, Перевод с английского, Главная
редакция физико-математической литературы Изд-ва «Наука»,
1968 г., 161 стр.
Книга написана по материалам лекций, прочитанных
автором для молодежи, и содержит популярное, но в то же время
достаточно строгое изложение физических основ о колебаниях
механических систем без привлечения математического анализа. В
книге широко используются примеры из повседневной жизни, а
также демонстрации законов колебаний механических систем на
специальных лабораторных установках. Рассматриваемые в книге
законы и явления свободных, вынужденных, параметрических
колебаний и автоколебаний связываются с современными
проблемами вибраций турбин, судов, самолетов, автомобилей и т. п.
Рисунков 54, фото 34, 1 табл.
2-4-2
176-67

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода 5
Предисловие автора 7
Глава I. Колебания: друг или враг? 9
§ 1.1. Колебания вокруг нас 9
§ 1. 2. Отношение инженера к колебаниям 12
§1.3. Характер колебательных процессов 18
§ 1.4. Влияние колебаний на человеческое тело ... 23
§ 1. 5. Сопротивление металлов вибрациям 27
§ 1.6. Колебания твердого тела , 31
Глава П. Способность совершать свободные колебания . . 35
§ 2.1. Природа свободных колебаний 35
§ 2.2. Частоты свободных колебаний 39
§ 2.3. Собственные формы колебаний 43
§ 2.4. Затухание свободных колебаний 45
§ 2.5. Свободные колебания в технике 50
§ 2. 6. Некоторые более сложные вопросы 52
Глава III. Вынужденные колебания 56
§ 3.1. Резонанс 56
§ 3.2. Гашение вынужденных колебаний 60
§ 3.3. Кинематическое возбуждение 62
§ 3.4. Вибрации валов 65
§ 3.5. Вибрации узлов конструкций 68
§ 3.6. Общий случай периодического возбуждения . . 71
§ 3.7. Случайные колебания 74
Г л а в а IV. Самовозбуждающиеся колебания 80
§ 4.1. Простой пример самовозбуждения колебаний . . 81
§ 4.2. Флаттер 83
§ 4.3. Ограничение амплитуды автоколебаний .... 90
§ 4.4. Некоторые автоколебательные системы .... 92
§ 4.5. Самовозбуждение колебаний тел в потоке
жидкости 97
3

Глава V. Удары и волны 102
§ 5.1. Нестационарные колебания 102
§ 5.2. Медленное и мгновенное действие
нестационарного возбуждения 107
§ 5.3. Свободные волны напряжений 110
§ 5.4. Вынуждаемые волны напряжений 114
§ 5.5. Ультразвуковые колебания и волны 117
Глава VI. Сложные колебания 123
§ 6.1. Постоянные и переменные характеристики . . 123
§ 6.2. Постоянство характеристик систем 127
§ 6.3. Сухое трение 129
§ 6.4. Ограничение амплитуды автоколебаний .... 132
§ 6.5. Жесткость, зависящая от времени 134
§ 6.6. Заключение 139
Предметный указатель 142

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Автор этой небольшой книги, профессор Лондонского
университета Р. Бишоп, известен многими исследованиями
в области механики. Несколько лет назад он выступил пе-
ред учащейся молодежью с циклом публичных лекций,
посвященных проблемам механических колебаний.
Впоследствии эти лекции послужили основой популярной книги,
изданной в Англии в 1965 году; ныне вниманию советских
читателей предлагается перевод этой интересной книги.
Важность и сложность основной темы книги —
общеизвестны. Едва ли не во всех областях современной техники
перед инженерами возникают многочисленные и
ответственные задачи борьбы с опасными колебаниями, а
иногда — задачи полезного применения колебательных
процессов. Книга Р. Бишопа эффектно демонстрирует
исключительное разнообразие этих задач. В то же время автор
подчеркивает внутреннее родство внешне различных
явлений и с большой легкостью (но всегда с должными
основаниями) переходит от колебаний клапанов автомобильного
двигателя к «змееобразным» колебаниям огромных
нейлоновых емкостей, служащих для перевозки жидких грузов
морским путем, от тряски кофейника на плите — к
действию взрывной волны на высотные сооружения и т. д.
Разъясняя сложные вопросы, автор умело пользуется
аналогиями и привлекает сведения и факты из самых
далеких областей человеческого знания. Вот наугад взятые
образы, которые можно встретить в этой книге:
антисейсмическое строительство, менуэт Гайдна, веревка для
сушки белья, перископ подводной лодки, библейский пророк
Иеремия, флаттер самолета, оперетта «Микадо» и т. п.
и т. д.
Таков стиль этой книги. В расчете на молодого
читателя автор не только выбирает яркие примеры, но и
стремится к предельно простым и физически понятным
5

приемам рассуждений и обходится без всяких
математических выкладок. Выразительные фотографии и чертежи
придают книге особенную наглядность и доходчивость.
Можно надеяться, что читатель оценит и юмор автора
книги и признает, что мягкая шутка порой может
способствовать углубленному пониманию самых серьезных
вещей. Остроумные эпиграфы к каждой главе книги
оживляют изложение, хотя и не всегда удается проследить их
прямую связь с текстом.
Имеются основания думать, что эта книга окажется
интересной не только для начинающих; многие лица,
включая искушенных специалистов в области теории колебаний,
найдут здесь немало новых конкретных фактов и
неожиданных сопоставлений, способных дополнительно обогатить
знания в области, которой посвящена книга.
Преподаватели механики, вероятно, заинтересуются описанными в
книге несложными и очень наглядными
демонстрационными установками.
Переводчики книги проделали трудную работу,
стремясь донести до читателя особый стиль и образность языка
оригинала. Стихотворные тексты (здесь есть и такие!)
перевел поэт В. Рогов.
Я. Г. Пановко
Ленинград, январь 1967 г.

ПРЕДИСЛОВИЕ
Но если эта похвала
Меня в гордыне вознесла,
То правда знак мне подала,
Что в похвале — крупица зла.
У. С. Гильберт
Трудно отказаться от приглашения прочесть
рождественские лекции в Королевском институте. Это — не
обычные лекции, которые приходится читать преподавателю
университета. Рождественские лекции предназначаются в
основном для молодежи, и читать нх весьма интересно; при
этом существует традиция сопровождать такие лекции
(а они читаются уже 133-й год) большим количеством
иллюстраций и демонстрационных опытов1).
Передо мной сразу встал вопрос о выборе темы. Тема
«колебания» показалась мне не менее подходящей, чем
любая другая. Колебания — это такая тема, которая
представляет большую практическую важность для инженеров
и позволяет строить лекции исключительно на простых
демонстрациях и опытах. Но когда я начал писать то, что
было произнесено мною во время лекций, возникли
некоторые затруднения. Печатный текст весьма отличается от
устного изложения, а простое описание опытов служит
лишь суррогатом действительной их демонстрации. Одно
дело заявить, что собака может слышать ультразвук, и
совсем другое дело — продемонстрировать это на живом Мэ-
ге, восторженном английском доге.
Какой же смысл в хлопотном деле создания книги?
Причина заключается в том, что инженеры до сих пор еще
слишком мало заботятся о том, чтобы разъяснять другим
суть своей профессии. Инженер получает удовлетворение
от того, что создает изделия и обеспечивает их надлежащее
действие. Он пытается найти правильный курс между
опасностью беспочвенных рассуждений, с одной стороны,
х) Вместе с моими помощниками я показывал такие
иллюстрации и опыты в среднем один раз через каждые две минуты в
течение всего курса лекций, имевшего общую продолжительность
около семи с половиной часов; это количество иллюстраций
является обычным для таких лекций.
7

и опасностью неукоснительной, но бесплодной преданности
научной строгости,— с другой. Я надеюсь, что эта книжка,
в которой рассмотрен один довольно ограниченный — хотя
и жизненно важный — круг вопросов технической
механики, иллюстрирует, что под этим подразумевается.
При подготовке этой книги, а также лекций,
положенных в ее основу, мне помогали многие лица. Их
сотрудничество выразилось в печатании рукописи, изготовлении
чертежей, фотографировании, демонстрации опытов,
обсуждении рукописи, изготовлении деталей установок,
предоставлении оборудования и кинопленок и т. д. и чрезвычайно
облегчило мою задачу.
Всем этим моим друзьям я приношу свою
благодарность.
Р. Е. Д. Бишоп

Глава I
КОЛЕБАНИЯ: ДРУГ ИЛИ ВРАГ?
Ведь «Англия ждет» — оборву мысль мою —
Могуч, но затаскан девнз,
Доставай все, что будет потребно в бою,
Для битвы скорей нарядись.
Льюис Кэррол
В 1807 году знаменитый д-р Томас Юнг опубликовал
лекции, прочитанные им в Королевском институте. В них
он высказывает сожаление по поводу того, что в то время
отношение к исследованиям колебаний и звука «является
в высшей степени непонятным и несправедливым. Эти
явления связываются исключительно с вопросами музыки,
а их изучение принято считать простым развлечением».
Мы должны отнестись к нашей теме весьма серьезно.
Однако прежде чем начинать изложение, прислушаемся к
другому высказыванию Томаса Юнга: «...многие явления,
относящиеся к теории звука и колебаний, столь
примечательны и занятны, что труд их исследователя будет
сторицей вознагражден тем удовлетворением, которое он при
этом получит». В конце концов, мы тоже можем
предвкушать некоторые «просто развлечения».
§ 1.1. Колебания вокруг нас
После минутного размышления мы сможем указать
несколько возможных причин такой резкости Томаса
Юнга. Дело в том, что он был не только выдающимся
физиком, но и крупным врачом своего времени, и поэтому,
говоря о колебаниях, мог иметь в виду и человеческий
организм. В конце концов, наши сердца бьются; наши легкие
колеблются при дыхании; мы дрожим, когда нам холодно;
иногда мы храпим; мы можем слышать и разговаривать
благодаря колебаниям наших барабанных перепонок и
голосовых связок. Световые волны, которые позволяют нам
видеть, имеют колебательную природу. Когда мы ходим,
наши ноги совершают колебания. Мы не можем даже
9

правильно произнести слово «вибрация» (vibration) без
того, чтобы кончик нашего языка не колебался. Но это
еще далеко не все. Колеблются даже атомы, из которых мы
состоим. Не будет преувеличением сказать, что навряд
ли имеется такая область науки, в которой это явление не
играло бы важную роль.
Может показаться довольно грубым такое смешение
дрожания от холода и биений сердца, с одной стороны, со
световыми волнами и колебаниями атомов,— с другой.
В самом деле, иногда трудно сказать, какие процессы
представляют собой колебания, а какие — нет. Являются
ли, например, морские приливы своего рода колебаниями?
Стремясь ответить на такого рода вопросы, мы вряд ли
придем к плодотворным результатам. Однако если
расширительно толковать термин «колебания», то сразу
становится очевидным, что многие события повседневной жизни
обладают необычайной цикличностью. Мир, в котором мы
живем, удивительно склонен к колебаниям.
Цель настоящей книги, однако, заключается не в
обсуждении колебательных явлений во всей их общности,
а в рассмотрении тех колебательных процессов, с
которыми приходится сталкиваться инженерам. Ограничимся
механическими колебаниями (вибрациями) и не будем
затрагивать даже такие знакомые всем вопросы, как
переменный ток в электрических цепях или колебания
температуры воды в отопительных системах. Но и после такого
ограничения темы остается весьма обширный круг
вопросов, и для того, чтобы его сузить, наложим три
дополнительных ограничения. Во-первых, не будем касаться
методов исследования — ни экспериментальных (например,
вопросов измерения вибраций), ни теоретических.
Во-вторых, будем, по возможности, избегать обсуждения
смежных проблем, таких как звук, шум и физиологические
аспекты вибрации; все эти проблемы являются интересными
н практически важными, но сколько-нибудь подробное их
описание здесь привело бы к чрезмерной расплывчатости
изложения. Наконец, нам придется опустить ряд
подробностей и даже некоторые объяснения. Это совершенно
неизбежно в тех случаях, когда мы сталкиваемся с вопросами,
являющимися объектами постоянного исследования. Но
даже когда это не так, представляется неразумным
посвящать значительную часть целой главы какой-либо одной
частной задаче.
10

Может показаться, что большие затраты времени на
изучение такого простого явления, каким являются
колебания, должны быть непродуктивными: в конце концов,
это всего-навсего движение «из стороны в сторону».
Конечно, можно представить себе более сложные примеры,
когда колебательное движение накладывается на
движение твердого тела, например, когда птица машет крыльями
в полете. Но все же не следует ли честно признать, что
изучение колебаний из-за узости темы является довольно
скучным делом? Это законный вопрос, и ответ, несомненно,
был бы утвердительным, если бы мы собирались изучать
лишь само движение, не касаясь вызывающих его причин.
Но если мы начнем выяснять, почему происходят
колебания, то часто нам будут встречаться интересные, а
иногда и неожиданные, явления. Нет ничего проще
качающегося маятника и разобраться в его движении можно без
труда. Автомобиль колеблется из-за неровностей дороги,
а также потому, что работает его двигатель; в этом случае
явления более сложны, но вряд ли намного более трудны
для понимания. Когда мы нажимаем на кнопку
электрического звонка, прерыватель начинает совершать
колебательное движение (даже если звонок работает от батареи
постоянного тока). Очевидно, что пульсирующая сила,
приводящая прерыватель в движение, возникает только
благодаря этому движению. В этом случае отсутствует
приложенное извне периодическое возмущение, но тем не
менее происходит колебательное движение, так что задача
становится несколько интереснее. Хотя устройство
электрического звонка кажется несложным для понимания,
принцип его действия не так прост, как это представляется
на первый взгляд.
Быть может, эти примеры не производят большого
впечатления. Рассмотрим теперь более впечатляющий пример.
На фото I *) запечатлен вид Такомского моста (штат
Вашингтон, США) во время его знаменитых колебаний.
Колебания были вызваны ветром постоянной силы и привели
к тому, что эта прекрасная конструкция полностью
разрушилась всего лишь через несколько месяцев после
окончания ее строительства. Этих колебаний никто не предвидел,
и причина их возникновения в течение некоторого
времени оставалась неясной. Ни один инженер-строитель не захо-
) Все фото помещены между стр. 128 и 129.
11

тел бы повторить столь дорогую ошибку проектирований,
так что эта катастрофа явилась объектом весьма
тщательного изучения.
Не часто колебания выглядят так эффектно, как
колебания Такомского моста, однако известен ряд других
интересных случаев, один из которых изображен па фото П.
Несколько лег назад английские инженеры высказали
мысль о возможности дешевой перевозки нефти по морю
в мягких емкостях («нейлоновых нефтяных баржа к»).
Практика подтвердила экономическую целесообразность
этого предложения. Нефть накачивается в длинный
нейлоновый резервуар и придает ему форму колбасы.
Благодаря относптельно низкому удельному весу нефти емкость
может плавать; на фотографии над поверхностью моря
видна лишь верхняя часть емкости. Буксирный пароход
тянет такую емкость в направлении ее продольной оси. Все
это кажется довольно простым, но прежде чем был
достигнут успех, пришлось решить несколько интересных и
необычных проблем проектирования. Одной из наиболее
интересных оказалась проблема колебаний. Было
обнаружено, что если не принять надлежащих мер
предосторожности, то емкость совершает чрезвычайно сильные
колебания: вместо того, чтобы послушно следовать за буксиром,
она подобно змее предпочитает двигаться зигзагом.
Мы начинаем понимать, что исследование колебаний
иногда представляет собой весьма сложную и чрезвычайно
интересную задачу. К сожалению, это такое дело, в
котором ставки могут оказаться высокими; иногда вопрос о
колебаниях может стать вопросом жизни или смерти.
§ 1.2. Отношение инженера к колебаниям
В наше время на исследование различных типов
колебаний затрачиваются большие средства. В некоторых
случаях, когда колебания желательны, исследования ведутся
с целью их регулирования. Чаще задача заключается в
выяснении причин возникновения колебаний и в их
предотвращении, если это возможно. Рассмотрим вкратце
некоторые из обстоятельств, которые инженер учитывает при
решении вопроса о том, будет ли роль колебательных
процессов существенной для проектируемого объекта.
Мы уже видели, что колебания механических систем
не всегда являются вредным сопутствующим фактором.
12

Напротив, во многих случаях они полезны и могут быть
существенно важными. Пусть, например, инженер должен
вытащить пробку из бутылки. Если эта пробка притерта
плотно, то он будет делать то же, что и любой другой —
уменьшать силу трения, препятствующую движению,
путем поворачивания пробки в обе стороны. При этом он
использует колебания, которые в данном случае, несомненно,
полезны.
В продаже имеются стиральные машины, принцип
работы которых основан на возбуждении колебаний. Можно
привести много примеров, когда механические вибраторы
используются для перемешивания; например, зубной врач
может перемешивать амальгаму при помощи специального
вибратора. С другой стороны, вибрация может быть
использована и для сепарации, в вибрационном сите и
других сортирующих машинах. При заливке опалубки бетон
гораздо лучше заполняет наиболее удаленные части
объема, если заставить вибрировать бетон с помощью
специального возбудителя, как это обычно и практикуется в
строительстве.
Многие полезные колебания вообще не связаны с
внешним периодическим возбуждением, например, колебания в
часах и метрономах. Один из способов транспортировки
зерна основан на том, что его заставляют «подскакивать»
на вибрирующем конвейере.
Иногда вибрации используются в лечебной практике.
Существуют, например, машины, предназначенные для
удаления опухолей путем массажа. Высокочастотные
вибрации также нашли себе ряд применений, часто довольно
удивительных. Например, при помощи вибраций зубной
врач может, если это потребуется, высверлить в зубе
отверстие квадратной или треугольной формы.
Переходя к вредным действиям вибраций, мы вновь
обнаруживаем ряд проблем, относящихся к человеческому
телу. Инженеры проводят обширные работы,
направленные на обеспечение нормального состояния человеческого
организма. Многие из этих исследований, начиная от
создания искусственных легких и кончая борьбой с качкой
морских судов, связаны с колебательными процессами.
В последние годы возник чрезвычайный интерес к очень
точному воспроизведению звука. Инженеры непрерывно
работают над повышением качества записывающей и
воспроизводящей аппаратуры. Этот пример иллюстрирует
13

более общий факт — проблема связи в целом ставит
большое число задач о колебаниях.
Инженеры часто обеспокоены теми нарушениями
нормальной работы аппаратуры, которые возникают из-за
вибраций.
В качестве примера можно привести автомобиль. При
некоторых числах оборотов двигателя возникают
колебания зеркала заднего вида, и из-за этого изображение
оказывается нечетким. Интересным, хотя и несколько
отдаленным аналогом этой не очень важпой проблемы
является проблема колебаний перископов подводных лодок
(к ней мы вернемся позднее). Электронную аппаратуру
самолетов п ракет часто приходится устанавливать на
специальные «антивибрационные» амортизаторы для того,
чтобы колебания частей самолета или ракеты не повлияли
на ее работу. Вибрации режущего инструмента не
позволяют токарю добиться точной и чистой обработки детали на
станке. Конечно, можно привести и другие примеры.
Если гайка навернута на болт, находящийся под
действием переменной нагрузки, то возможно ослабление
соединения. Весьма простые опыты показывают, что
надлежащим образом подобранная вибрация может привести к
ослаблению даже самой плотно посаженной гайки (часто это
а)
Рис. 1.
происходит за несколько секунд). Поэтому в
ответственных болтовых соединениях двигателей (например, в
узлах крепления крышек подшипников) используют
корончатые гайки и гайки с продольными прорезями, которые
стопорятся при помощи шплинтов (рис. 1, а и б). Вообще,
существует ряд устройств, предотвращающих
самооткручивание гаек; одно из них показано на рис. 1. в. Стяжные
муфты, которые используются в тросах подвески лодок,
14

всегда должны стопориться тем или иным способом. Один
из способов заключается в том, чтобы дополнительно
соединить муфту с концами тросов проволоками, которые
натягиваются при малейшем ослаблении соединения.
Сборщик двигателей или такелажник должны уделять
подобным деталям большое внимание, так как раскрытие
подшипника или разъединение двух частей троса могут
привести к серьезным последствиям.
Правильная работа многих машин зависит от точности
форм и размеров деталей. Существенно важную роль,
например, может играть точность профилей зубчатых колес.
Если возникают вибрации, то скорость износа деталей
может значительно увеличиться, и в результате ухудшится
работа машины. Вращающаяся шторка камеры для
высокоскоростной киносъемки иногда приводится в движение
при помощи системы зубчатых колес. Если эта установка
в процессе работы испытывает вибрации, то может
произойти сильны]! износ зубьев колес зубчатой передачи, и
нарушится необходимая точность процесса киносъемки.
Заметим, что небольшие ошибки в геометрии деталей (в
данном случае такими деталями являются зубчатые колеса)
могут в свою очередь явиться причиной появления
вибраций.
При колебаниях в конструкции возникают переменные
напряжения, и при достаточно интенсивных колебаниях
эти напряжения могут привести к разрушению; именно
это случилось с Такомским мостом [см. фото 1], Такой
эффект можно продемонстрировать, возбудив достаточно
интенсивные вибрации куска хрупкого материала с низкой
прочностью при растяжении. Если сильно потереть в
продольном направлении стеклянную трубку мокрой тряпкой,
то в трубке возникнут продольные колебания, которые
могут вызвать ее разрушение.
Разрушение деталей при весьма интенсивных
вибрациях — это хотя и нежелательное, но понятное явление.
К сожалению, разрушение может наступить и по-иному.
Несомненно, что самым неприятным следствием вибрации
может явиться усталость металла, армированной
пластмассы или какого-либо другого конструкционного
материала. Такой тип разрушения обычно столь же
катастрофичен, сколь и неожидан. Зачастую усталостное разрушение
играет весьма коварную роль, так кат; обычпо ему пе
предшествуют какие-либо сигналы о надвигающейся опасности:
15

деталь, успешно работавшая в режиме вибраций в течение
некоторого промежутка времени, затем внезапно ломается.
Несмотря на многолетние исследования, причина этого
явления до сих пор полностью не выяснена.
Явление усталости металла легко наблюдать, если
поочередно изгибать металлическую полосу в
противоположные стороны до тех пор, пока она не сломается. Эта полоса
легко выдерживает несколько циклов изгиба, но через
некоторое время ее способность к сопротивлению
исчерпывается. Явление усталостного разрушения связано с
наличием высоких местных напряжений, причем во многих
случаях такие высокие напряжения, по-видимому,
неизбежны. Усталость может возникнуть, например, в точке
поверхпости, по которой перекатываются шарики с
большой нагрузкой (как это имеет место в подшипниках
качения) ; при прохождении каждого шарика возникает
импульс напряжения, так что эта проблема в некотором
смысле является проблемой колебаний.
Опасность усталостного разрушения стимулирует
борьбу с вибрациями станков в большей мере, чем
необходимость точной механической обработки. Современные
резцы допускают быструю обработку металла, но их
твердость и сопротивляемость износу достигаются лишь ценой
понижения выносливости.
Некоторые примеры усталостных разрушений
показаны на фото III. На фото III, а виден вал, разрушившийся
вследствие крутильных колебаний, на фото III, б
—разрушившаяся пружина клапана автомобильного двигателя;
на фото III, в показано разрушение коленчатого вала
автомобиля. Все эти три разрушения были вызваны
вибрациями. При тщательном изучении изломов можно заметить,
что во всех случаях поверхность металла имеет
характерную зернистую структуру. Тот факт, что усталостное
разрушение начинается в зоне высоких напряжений, хорошо
иллюстрируется фотографией III, а: разрушение началось
в углу шпоночной канавки, где, как известно, имеет место
концентрация напряжений.
У всех деталей, показанных на фото III, разрушение
было мгновенным. Это вообще характерно для усталостного
разрушения, и поэтому последствия усталостного
разрушения могут быть весьма серьезными. На фото IV, а показан
ротор воздушного осевого компрессора реактивного
двигателя; при работе он вращается со скоростью порядка
16

10 000 оборотов в минуту. Поток воздуха в компрессоре
может вызвать вибрации одной или нескольких лопаток,
причем после разрушения хотя бы одной лопатки удары ее
обломков о другие лопатки могут повлечь разрушения и
остальных лопаток (фото IV, б). Поэтому вопрос о
предотвращении вибраций лопаток газовых турбин имеет
чрезвычайно серьезное значение.
В некоторых случаях последствия вибраций являются
весьма серьезными и драматичными. Но это бывает не
всегда. Трпдцать лет назад наблюдалось много случаев
разрушений коленчатых валов, но в наши дни такие
разрушения происходят относительно редко, во всяком случае
в автомобилях с пробегом менее ста тысяч миль. Эта
проблема уже решена. Известны также и неприятности,
связанные с вибрациями лопаток компрессоров; разработаны
моры, которые должны исключить возможность катастроф
тина изображенной на фото IV, б. Развитие техники —
связано ли оно с принципиально новыми проектами, или же
с улучшением (в каком-то смысле) характеристик
существующих машин — может выдвинуть новые проблемы
вибраций, но эти проблемы застанут врасплох лишь
недальновидного инженера. Вообще говоря, безопасность
нарушается лишь в случаях появления нового, ранее неизвестного
вида колебаний, как это имело место при разрушении Та-
комского моста.
Лишь в немногих из крупных отраслей
промышленности отсутствуют свои хорошо известные проблемы
вибраций. Компетентные инженеры хорошо знакомы с
вибрациями, и там, где накоплен некоторый опыт, серьезные
случаи аварий или выхода из строя машин или других
сооружений почти не имеют места. Однако такое
накопление опыта добывается лишь ценой непрерывных
исследований и требует расходования значительных средств. В
некоторых отраслях промышленности признается
необходимым вести систематическое изучение проблем вибрации и
иногда для этого создают даже специальные
централизованные организации. Например, в судостроении считают
чакой путь наиболее подходящим для решения
специфичных для этой области сложных проблем вибраций.
Тем не менее, усталостные разрушения ни в коей мере
не являются редкими. Они вполне обычны для такпх
деталей, разрушение которых не приводит к серьезным
последствиям. Дело здесь заключается просто в том, что в этих
17

случаях не окупились бы расходы, затраченные на
предотвращение разрушений (если вопрос не сводится к
привлечению более квалифицированных конструкторов). Почти
в любом гараже можно найти много подтверждений
сказанному.
§ 1.3. Характер колебательных процессов
Вполне возможно, что наиболее скучной является эта
часть книги, где обсуждается вопрос о том, что же такое
колебательный процесс. Поэтому рассмотрим этот вопрос
вкратце, заметив прежде всего, что в основном колебания
есть просто движение «в одну и другую сторону».
На рис. 2 изображена электрокардиограмма,
показывающая изменение во времени пульса автора этой книги.
Кривая имеет необычную, но периодически
повторяющуюся форму, причем длительность одного цикла
составляет примерно 0,78 сек. Таким образом, период пульса
равен 0,78 сек; впрочем, инженер предпочел бы сказать, что
частота колебаний составляет 1,28 цикла в сек, поскольку
на одну секунду приходится 1,28 цикла колебаний.
Частота __ это одна из наиболее важных характеристик, которую
L
¦*»^
JL
в К^
**шя
*^^Г^
Jl А
л pw^
\-.
^
I
L
\_
L
I
X
*
гг.
\
_^
J
KJ
1
ч>
Рис. 2.
должен знать инженер, изучающий любую практическую
задачу о колебаниях.
Очевидно, что кривую, изображенную на рис. 2, трудно
сравнить с кривой, показанной на рис. 3, описывающей
движение точки некоторой деревянной балки, колебания
которой возбуждались вибратором. Трудность эта связана
со значительным различием форм двух таких кривых.
Оказывается, однако, что любая регулярно повторяющаяся
кривая (типа изображенной на рис. 2) может быть
получена путем наложения (суперпозиции) подходящего
набора синусоидальных кривых; кривая, изображенная на
рис. 3, почти чистая синусоида. Таким образом, синусоида
18

играет особо важную роль, и необходимо познакомиться
с характеристиками синусоидального движения.
Максимальное отклонение от среднего значения называется
Амплитуда
WWWWWWF
Период
Рис. 3.
амплитудой, а время, в течение которого происходит пол
ный цикл, периодом (рис. 3).
а)
Рис. 4.
Рассмотрим в качестве примера кривую изменения
пульса, изображенную на рис. 2. Если наложить друг на
друга шесть синусоид, изображенных на рис. 4, а (каждая
19

из них имеет свою частоту и амплитуду), то получится
более сложная кривая (рис. 4, б). Используя все большее
число составляющих (а в рассматриваемом случае их
потребуется очень много), эту кривую можно
последовательно приближать к кривой, показанной на рис. 2 (последняя
нанесена здесь штриховой линией). Обратный процесс
(нахождение синусоидальных составляющих данной сложной
о)
Рис. 5.
периодической кривой) называют гармоническим
анализом. Гармонический анализ играет чрезвычайно важную
роль в технических задачах, так как часто составляющие
говорят нам больше, чем сама заданная сложная кривая.
В наше время практический гармонический анализ
выполняется при помощи электронных анализаторов.
Более важный пример гармонического анализа
колебательного процесса показан на рис. 5 (в этом случае
анализ осуществляется проще и быстрее). На рис. 5, а
показана кривая «прямоугольного» колебательного процесса,
а на рис. 5, б три ее первые гармонические составляющие.
Если сложить только эти три составляющие, то получится
достаточно хорошее приближение к исходной кривой
(см. рис. 5, в).
20

Идея гармонического анализа чрезвычайно удобна, так
как позволяет свести изучение характеристик
колебательного процесса к определению характеристик простых
синусоид. Поэтому мы будем заниматься главным образом
этими простейшими кривыми; в случае необходимости мы
сможем образовать с их помощью и более сложные
кривые.
Здесь нет необходимости подробно рассматривать
свойства синусоид. Их легко найти в учебниках; во всяком
случае для нас важно лишь помнить, что из этих простых
кривых приятного вида можно составлять более сложные
кривые колебательных процессов.
На рис. 6 показаны участки двух кривых. Мы не будем
заниматься их сложением, так как они описывают два
различных процесса: кривая 6, а определяет изменение
давления в легких, а кривая 6, б — соответствующий объем
воздуха. Естественно, что эти две кривые имеют одинаковый
период (а следовательно, и одинаковую частоту),
поскольку они определяют связанные между собой процессы;
Рис. 6.
частота составляет примерно 0,13 цикл/сек. Кривые эти
несколько сдвинуты по горизонтали одна относительно
ДРУГОЙ.
Такой сдвиг называется разностью фаз. Хотя разность
фаз определяется расстоянием, измеряемым вдоль оси
времени, удобнее сопоставлять ее с величиной периода.
Поэтому мы скажем, что кривая 6, б отстает от кривой
6, а приблизительно на четверть периода.
21

Несовпадение фаз иногда играет решающую роль.
Электрический звонок, о котором говорилось выше, просто
не смог бы работать, если бы сила, действующая со
стороны электромагнита на прерыватель, находилась в одной
фазе с перемещением прерывателя. Это обстоятельство
часто не учитывают при элементарных объяснениях
принципа работы таких звонков.
б)
Рис. 7.
На рис. 7, а показаны две синусоиды с одинаковыми
амплитудами и незначительно различающимися частотами.
Предположим, что они определяют две составляющие
одного процесса, так что общий эффект определяется путем
наложения этих кривых. Результат такого наложения
показан на рис. 7, б, и обнаруживает явление «биений».
Расстояние (по оси времени) между точками А и В
определяет то время, по прошествии которого число циклов
колебаний большей частоты будет на единицу превышать число
циклов колебаний меньшей частоты. Чем меньше разность
частот двух составляющих, тем больше длина интервала
АВ. В этом состоит основа метода для чрезвычайно точных
измерений малых разностей двух близких частот; так
работают некоторые измерительные приборы, где для
контроля «формы» колебаний применяются вспышки
стробоскопических ламп, управление которыми также основано
на принципе биений.
Обычно, и это естественно, понятие колебаний
связывают с изменяющимися во времени перемещениями.
Однако для понимания причин вибраций, необходимо также
рассматривать изменяющиеся во времени силы.^Все
определения, принятые для виброграмм перемещений,
справедливы и для виброграмм силы, давления, объема и т. д.;
22

можно, например, говорить об амплитуде и частоте
колебаний давления (рис. 6). Изменения силы также могут иметь
характер биений. На рис. 8 представлена
экспериментальная виброграмма вертикальной силы, возникающей при
поперечном обтекании жидкостью горизонтально
расположенного жесткого цилиндра, совершающего
синусоидальные колебания в вертикальном направлении. Колебания
l/l/vW\/\/\/\/ww\M/^^
Рис. 8.
имеют характер биений и, следовательно, сила содержит
две составляющие, частоты которых почти равны между
собой. Биения возникли из-за того, что частота вертикаль-
пых колебаний цилиндра была близкой к частоте
переменной силы, действующей на неподвижный цилиндр (как мы
увидим ниже, тело, погруженное в поток жидкости, может
оставлять за собой волновой след, колеблющийся из
стороны в сторону подобно хвосту золотой рыбки).
§ 1.4. Влияние колебаний на человеческое тело
Прежде чем перейти к подробному обсуждению
природы колебаний и связанных с ними проблем, необходимо
иметь некоторые представления о выносливости тел, т. е.
об их способности выдерячивать вибрации. Особое значение
имеют два вида объектов, подверженных действию
вибраций и иногда требующих специальной защиты — это
человеческое тело и металлические детали. Вопрос о том,
насколько велика выносливость этих тел, открывает
неограниченное поле для исследований, поэтому здесь мы
имеем возможность лишь поверхностно коснуться этой
проблемы.
Начнем с человеческого тела. Во-первых, ясно, что
человеческое тело в целом может выдерживать весьма
большие амплитуды перемещений, если изменения
направления движения происходят не слишком часто. Было бы
утомительно очень долго подниматься, а затем опускаться
в лифте, но это было бы безболезненно. На этом основании
можно сказать, что амплитуда вибраций сама по себе не
23

опасна. Из повседневного опыта известно, однако, что
с увеличением частоты проблема может стать более
серьезной. Это может подтвердить каждый, кто подвержен
морской болезни.
Когда океанский лайнер испытывает килевую качку,
пассажиры первого класса (которые находятся недалеко
Заметно ощутит
весь на ощутимы-оиозыба-
"шроз&ажднщееМстдие
Вызывают неприятное
20 40
Частот, цинл/сек
Рис. 9.
от середины корабля) испытывают лишь небольшие
неудобства, поскольку они совершают вертикальные
колебания малой амплитуды. Пассажиры второго класса
(находящиеся в носовой части) совершают колебания с той же
частотой, но с большей амплитудой; уже по одной этой
причине путешествие во втором классе может быть менее
комфортабельным, чем в первом классе. Другими словами,
при одинаковой частоте колебаний человеческое тело
«предпочитает» меньшие амплитуды (и путешествие в
первом классе).
Сказанное можно грубо обобщить посредством кривых,
показанных на рис. 9. Это семейство кривых относится к
24

вертикальным колебаниям тела в целом; использование их
оказалось полезным в аналогичных проблемах
железнодорожного транспорта. Конечно, эти кривые являются
приближенными и не могут дать полной картины. Во-первых,
имеются существенные различия между различными
людьми; кроме того, чувствительность человека к вибрациям
зависит до некоторой степени от положения тела и от
способа воздействия вибраций на тело. Наконец, иногда также
играет роль психологический фактор.
Кроме того, при заданной амплитуде колебаний
человеческое тело не обязательно предпочитает низкие
частоты, как это должно было бы следовать из кривых,
изображенных на рис. 9. Существуют определенные области
неприятных частот (эти области несколько отличаются друг
от друга для разных лиц). Например, человек, сидящий в
кресле, совершающем вертикальные колебания, остро
реагирует на частоту около 5 герц. Нарушение нормального
состояния человека на этой частоте связано с
интенсивными колебаниями плечевого пояса. Причина
существования неприятных частот станет более понятной в
дальнейшем; вкратце она объясняется тем, что некоторые части
тела имеют сравнительно малое сопротивление внешнему
возбуждению данной частоты.
Серьезное внимание этой проблеме должны уделять
самолетостроители и инженеры-железнодорожники.
Бессмысленно создавать дорогие воздушные лайнеры, если
пассажиры найдут их невыносимо тряскими (или, даже,
если пассажирам это покажется).
В результате сотрудничества между инженерами,
физиологами и психологами-экспериментаторами оказалось
возможным собрать обширную и полезную для
промышленности информацию. К сожалению, систематическое
изучение всевозможных эффектов, оказываемых
вибрацией на человеческий организм, является очень трудоемким
делом.
Хотя биологическое действие вибраций на человека
зависит от ряда факторов — направления и места
приложения нагрузки, интенсивности и продолжительности
действия вибрации, наиболее важной характеристикой является
частота.
Заметим сразу, что колебания в диапазоне частот
приблизительно от 18 до 18 000 цикл)сек (герц) являются
слышимыми.
25

Человеческое ухо, по существу, является замечательно
тонким прибором для распознавания колебания (хотя
некоторые его свойства нелегко объяснить). Оно может,
например, легко отличить синусоидальные колебания от
колебаний той же частоты, но с прямоугольной формой
волны,—последние являются более резкими.
J Частота (герц) \
Ю~} / Ю 100 103 /О* Ю5 /О6
1*
1
Голобонружение
Нарушение восприятия сообщений
Повреждение слуха
Осязаются чел о Зек ом
Голобонружение и неустойчивость
Уначибание
Дыхание затруднено, доль 6
туловище *
Нарушение зрительных восприятии
теплоаое действие иповрежОе-
ние нлетон
ШШ 1
1 Ж
1 ^ ' 1
Щ i
1 "' '?» "¦¦IHIII"! ¦ ' I «ill 1>ТЛ Г1 iSl
„ Шум "оэ/7юсГгг)абЛ(/ц.е означает бабрацию ооз&ушного
происхождения.
Таблица дает некоторое представление о биологических
эффектах, которые можно ожидать при возбуждении в
человеческом теле колебаний с различными частотами. Эта
таблица, однако, не может быть рекомендована для
ответственного применения, отчасти по причине ее
неопределенности, о которой уже упоминалось выше в связи с рис. 9,
а отчасти потому, что некоторые биологические эффекты
вообще не имеют определенной связи с частотой (такие
эффекты были исключены из таблицы).
Необходимо, конечно, знать не только возможности
человеческого организма, но и характеристики
вибраций.
Например, в самолете источниками вибраций могут быть
двигатели, конструкция самолета или атмосфера, в
которой самолет движется. Хотя никаких жестких правил
установить здесь невозможно, некоторое представление
о том, что можно ожидать, дает следующая таблица;
известно, что все эти источники имеют достаточную интен-
26

сивность, чтобы причинять неудобства пассажирам
самолета.
Поршневые двигатели от 20 до 10 000 герц
и выхлопы
Турбореактивные двига- от 60 до 40 000 герц
тели
Аэродинамический шум от 150 до 40 000 герц
при высоких скоростях
Турбулентность и поры- от 0 до 5 герц
вы ветра
Вибрации, сопровожда- от 1 до 40 герц
ющиеся
деформированием всей конструкции
Реактивные и ракетные двигатели, применяемые в
авиации, причиняют беспокойство людям во всем звуковом
диапазоне частот.
Из приведенных выше замечаний видно, что здесь
невозможно подробно рассмотреть биологическое действие
вибраций. Но если читателем получено некоторое
представление о тех явлениях, которые происходят с человеком при
действии вибраций, то мы будем считать свою цель
достигнутой и сможем перейти к рассмотрению действия
вибраций на металлы.
§ 1.5. Сопротивление металлов вибрациям
Более ста лет назад наблюдательный Стендаль писал
в своих «Записках туриста»: «Крупной рысью проезжал
я городок Шарите, как вдруг, словно в наказание за то, что
я все утро думаю о повреждениях, которым подвержено
железо, ось моей коляски неожиданно сломалась... Я
внимательно осмотрел структуру железа в месте излома оси;
железо стало крупнозернистым, видимо потому, что ось
служит уже давно».
В те времена инженеры уже сознавали, что металл
может иногда «изнашиваться», и подобно Стендалю, они
замечали, что поломка наступает внезапно, а металл в
месте излома имеет любопытную «зернистую» структуру,
показанную на фото III.
Представление об «износе» железа противоречило
ранее известным данным о его поведении в неподвижных
конструкциях. Поломки осей железнодорожного
подвижного состава привлекли внимание к этому парадоксу; оси
27

разрушались в процессе работы при нагрузках
значительно более низких, чем статические разрушающие нагрузки.
На рис. 10 показана одна из таких осей. Вес
поддерживаемого осью вагона стремится изогнуть ось, как показано
на рисунке. Это приводит к растяжению металла в
верхней части оси и к сжатию — в нижней части. При
вращении оси фиксированная точка на ее поверхности
подвергается переменному циклу
напряжений: растягивающие
напряжения — разгрузка — сжимающие
напряжения — разгрузка и снова
растягивающие напряжения. Этот
цикл представлен на рис. 11.
После нескольких
предварительных исследований по проблеме
прочности железнодорожных осей
немецкий инженер Вёлер
(занимавшийся испытаниями
материалов при изгибе в условиях
вращения по схеме нагружения,
соответствующей рис. 10) провел
первое систематическое изучение
явления усталости. Он установил,
что если амплитуда
знакопеременных напряжений лишь незначительно меньше статических
разрушающих напряжений, то требуется всего несколько
циклов, чтобы наступило разрушение. Но если амплитуду
Растяжение Растяжение
Q,8pad
\ 77777777/,
Сжатие
Растяжение
Рис. 10.
напряже
ния от сит-
стбуют
Сжатие х Сжатие
Рис. И
знакопеременного напряжения уменьшать, то число
циклов, необходимых для доведения материала до разрушения,
возрастает. Эта тенденция сохраняется до тех пор, tiok.j
уровень знакопеременных напряжений не уменьшается
до величины, равной примерно 7з или ]U от максимально
28

выдерживаемого материалом статического напряжения;
при этом уровне знакопеременных напряжений
долговечность испытываемого образца оказывается бесконечной.
^исло цикл об до разрешения
Рис. 12.
Указанное предельное напряжение назвали «пределом
выносливости» материала. Характер изложенных
результатов иллюстрируется рис. 12.
Во многих технических применениях материал
подвергается растяжению-сжатию не около среднего нулевого
уровня, а нагружается переменным напряжением,
накладывающимся на статическое напряжение. Такому
напряженному состоянию подвержены, например, лонжероны
1
. Аострянная\
щтаоляющщ
(соеднее ,
нзпряжен ие)\
А?плит//оа переменной
составляющей напря
женил бП
5ремя
Рис. 13.
крыльев самолетов. Характер изменения напряжений во
времени показан на рис. 13. Установлено, что в этом
случае с возрастанием постоянной составляющей напряжения
уменьшается то значение переменной составляющей,
которое соответствует неограниченной долговечности. Кривая,
изображенная на рис. 14, иллюстрирует совместное
влияние обоих факторов.
29

Часто статическое напряжение в какой-либо детали
определяется эксплуатационной нагрузкой, тогда как
переменная составляющая возникает вследствие
нежелательных вибраций в системе, например, в лонжероне крыла
самолета или рукоятке машинки для стрижки газонов,
показанной на фото V. Ясно, что когда вес и размеры
являются определяющими критериями при проектировании
Ill
111
ill
111
^ Up eдел дыно ели б ости
Мопушемое
статическое
напряжение
Среднее напряжение
Рис. 14.
конструкции, уровень среднего напряжения в детали
должен быть как можно более близок к ее статической
прочности и, следовательно, весьма важно обеспечить
возможно меньшие значения переменных составляющих
напряжения, которые обусловлены вибрацией.
Усталость наступает в результате многократных
повторений циклов. Поэтому она не является следствием
именно вибраций, и возникает даже при нерегулярном
повторении циклов изменения напряжения, причем число
циклов в заданном интервале времени также не играет роли
(по крайней мере, при обычных условиях). Дело в том, что
число циклов напряжения, необходимых для разрушения,
обычно велико, п вибрация является лишь способом
достижения нужного для разрушения (большого) числа циклов
в относительно короткий промежуток времени.
Хотя усталостные разрушения могут произойти
неожиданно, не следует думать, что они наступают без всякого
предупреждения. Если деталь может быть подвергнута
тщательному осмотру, то по мере приближения
усталостного разрушения признаки повреждения становятся
заметными. На поверхности детали, приближающейся к
усталостному разрушению, появляются мелкие трещины,
30

хотя в случае высоких значений переменной
составляющей напряжения степень предупреждения о близком
разрушении очень невелика. Следовательно, в тех случаях, где
возможно усталостное разрушение, дефектоскопия
(обнаружение трещин) оказывается делом огромного значения.
Авиамеханик всегда должен быть внимательным к
признакам появления «волосных» трещин и пропуск хотя бы
одной из них является серьезным нарушением
дисциплины.
§ 1.6. Колебания твердого тела
Из всех разнообразных видов колебаний наиболее
интересными для рассмотрения являются описанные ниже
колебания, при которых тело не испытывает существенных
деформаций. За отсутствием лучшего термина назовем
такие колебания «качкой».
Наиболее очевидной причиной «качки» тела является
действие некоторой внешней силы. Представьте себе
небольшую лодку, находящуюся на поверхности моря. Если
на лодку набегают волны (например, от проходящего мимо
корабля), то она начинает совершать медленное движение
вверх и вниз. Обычно при таком движении лодка не
скрипит, и поэтому ясно, что она деформируется
незначительно.
Такое движение допустимо назвать «колебаниями
твердого тела».
Этот особый вид движения «твердого» тела фактически
используется в технике. Механизм, установленный в
носовой части специального небольшого судна — типа
буксира,—может вызвать килевую качку «твердого» судна.
Если при этом судно движется вперед, то его можно
использовать как эффективный ледокол.
Тело человека при подъеме и спуске в лифте
также подвергается «качке». Это движение безболезненно,
поскольку оно связано лишь с незначительной
деформацией.
Можно указать и другие примеры качки: игловодитель
швейной машины практически не деформируется при его
возвратно-поступательном движении; также можно
считать абсолютно твердыми поршни двигателей внутреннего
сгорания или лотки виброгрохота. Во всех этих
примерах колеблющееся тело не имеет жесткого крепления к
31

основанию и оно колеблется в результате того или иного
внешнего воздействия.
Ниже мы установим условия, при которых
колеблющиеся тела можно считать достаточно жесткими. Однако
из повседневного опыта мы и так знаем, что такие
движения возможны; кратко рассмотрим их последствия,
имеющие историческое и техническое значение. Если центр
масс некоторого тела — или системы тел — колеблется, то
согласно законам механики эти колебания обусловлены
действием на систему переменной во времени силы. С
другой стороны, это означает, что система, центр масс
которой колеблется, должна развивать переменную силу,
действующую на окружающую среду.
Рассмотрим, к какому выводу приводит это
утверждение в частном случае недеформируемой системы. Нетрудно
исследовать колебательную систему, представляющую
собой свободное твердое тело, возбуждаемое
каким-либо внешним источником, как в рассмотренных выше
случаях.
Но это не единственная возможность возникновения
колебаний,— система может возбудиться сама. Обычно
невозможно сбалансировать детали поршневого двигателя так,
чтобы его центр масс оставался неподвижным во время
работы. Другими словами, при работе двигателя в нем
возникают вибрации и переменные силы, которые действуют
на крепежные болты.
Это обстоятельство является одним из основных
источников аварий в технике, связанных с вибрациями. У
первых паровых машин веса шатуна и поршня иногда
превышали тонну. При возвратно-поступательном движении
поршня вдоль цилиндра вблизи машины возникали
интенсивные колебания. Пока рабочие скорости этих машин
были невелики, вибрации можно было удерживать на
приемлемом уровне. Но скорости постепенно возрастали и
поэтому впоследствии силы инерции стали неприятностью.
Возникла необходимость уравновешивать машины, или,
другими словами, так изменять распределение масс
движущихся частей машины, чтобы движение центра масс
было минимальным.
Движение центра масс может и не быть необходимым
следствием геометрии системы, даже при отсутствии
деформации; оно может быть вызвано случайностью. Это
хорошо известно тем, кто сушит свое белье в центробежной
32

сушилке. Если при загрузке белье распределено плохо, то
могут возникнуть ужасные вибрации. В этом случае ротор
не испытывает существенных деформаций (хотя его опоры
деформируются).
Рассмотрим короткий толстый вал, подобный
показанному на фото VI. Так как изготовить что-либо с абсолютной
точностью невозможно, то центр масс вала не совпадает
в точности с его геометрическим центром. Вал,
показанный на фотографии (он был изготовлен для
демонстрационной модели), имеет пару дебалансных винтов, с
помощью которых можно получить существенное смещение
центра масс от оси вращения. Концы этого вала
опираются на шариковые подшипники и могут свободно
перемещаться в горизонтальных направляющих, так что вал
удерживается лишь от вертикального движения. При
вращении вал колеблется в горизонтальной плоскости без
деформаций, причем перемещения обоих концов находятся
в одной фазе. Если подшипники вала сделать
неподвижными, то на них будут действовать горизонтальные
переменные силы.
Если один из двух винтов вывернуть из отверстия и
переставить в диаметрально противоположное отверстие, то
будет иметь место колебательное движение, при котором
концы вала находятся в «противофазе», т. е. когда один
конец вала перемещается в одном направлении, а другой
в противоположном. Указанный характер движения также
находится в соответствии с законом механики, который
утверждает, что для колебательного вращения твердого тела
вокруг центра масс требуется действие внешнего
переменного момента.
Если винты установлены с противоположных сторон
короткого жесткого ротора, и его концы могут
поворачиваться, то геометрическая ось совершает колебания, так
как ротор стремится удержать неподвижной главную ось
инерции.
В целях устранения переменных сил (это необходимо
для устранения вибрации ротора) ротор должен
балансироваться на балансировочном станке, который позволяет
так распределить массу ротора, чтобы главная ось инерции
ротора совпадала с его геометрической осью. Некоторые
роторы (например, роторы гироскопов) требуют весьма
точной балансировки. Большинство роторов обычного
применения, подобных тем, которые применяются в
2 Р. Бишоп
33

пылесосах, также тщательно балансируются перед их
установкой в машину.
Вообще с подобными колебательными движениями
связано немного проблем. Эти проблемы, как правило, легко
распознаются и часто вибрации могут быть значительно
уменьшены путем разумной балансировки. К сожалению,
механические колебания представляют собой более
сложное явление, чем описанное выше, так как обычно нельзя
пренебрегать деформацией деталей машин. Поэтому далее
нам придется думать также о деформациях.

Глава II
СПОСОБНОСТЬ СОВЕРШАТЬ СВОБОДНЫЕ
КОЛЕБАНИЯ
В наши дни распространено странное мнение,
что всему следует обучать на лекциях... Я не
знаю ничего такого, что лучше всего усваивается
на лекциях, за исключением материала, который
надо сопровождать показом опытов.
Д-р Сэмюэлъ Джонсон
Хорошо известно, что в ряде случаев тело, получившее
некоторое возмущение, после этого совершает колебания.
Хотя такие свободные колебания сами по себе обычно не
представляют особенного интереса для техники,
знакомство с ними необходимо, поскольку их косвенная роль
чрезвычайно важна. Дело в том, что поведение системы при
свободных колебаниях характеризует ее «динамическую
индивидуальность», которая определяет поведение
системы при всех других условиях,
§ 2.1. Природа свободных колебаний
После того как по струне рояля ударит один из
молоточков, струна продолжает «сама по себе» совершать
колебания — свободные колебания. Такие колебания
возможны благодаря тому, что струна обладает двумя свойствами.
Во-первых, она имеет массу, и поэтому при своем
движении может накапливать кинетическую энергию. Второе
свойство также является весьма обычным — это
способность струны накапливать потенциальную энергию при
отклонении ее от состояния равновесия.
Точно так же обычный маятник может совершать
колебания благодаря тому, что, во-первых, его гиря
обладает массой и, во-вторых, при подъеме гири относительно
своего низшего положения она накапливает
потенциальную энергию.
Позднее мы коснемся вопроса о вибрациях самолетов.
Может показаться, что хотя самолет имеет достаточную
массу, конструкция его является достаточно жесткой, так
2* 35

что мало вероятно, чтобы в ней накапливалась энергия за
счет изменения формы (деформации). В
действительности, однако, с точки зрения инженера, занимающегося
динамикой, современный самолет представляет собой нечто
в роде летающей «медузы». На фото VII показано правое
крыло воздушного лайнера VG-10 при статических
испытаниях на изгиб (т. е. при таких испытаниях, когда
крыло не вибрирует). Под действием нагрузки конец крыла
заметно переместился, но тем не менее крыло при этих
условиях еще далеко от того состояния, при котором
возникают повреждения. Подобно этому корабли, здания,
машины, люди и вообще все тела могут накапливать энергию
за счет изменения формы. Так как все тела обладают еще
и массой, то после тех или иных начальных толчков они
могут совершать свободные колебания.
Для наших целей лучше всего изучить свободные
колебания какой-либо очень простой системы. Подвешенная за
один конец часть велосипедной цепи может служить
идеальным объектом такого исследования, поскольку она
наглядно иллюстрирует основные черты свободных коле*
баний.
Пусть свободно висящая цень первоначально
находится в состоянии покоя. Свободные колебания можно
вызвать, если отклонить цепь каким-либо образом и затем
отпустить, или если резко ее ударить. При этом мы должны
соблюдать правило, согласно которому боковые
перемещения любой точки цепи должны быть малыми — в данном
случае малыми но сравнению с длиной цепи. Причина
такого ограничения не должна здесь пас отвлекать; она
разъяснится позднее, в гл. VI. Но это ограничение едва ли
является стеснительным, потому что, в конце концов,
амплитуды колебаний точек конструкции редко оказыва-
ются сравнимыми по величине с размерами самой
конструкции (если речь идет, как и в данном случае, о
колебаниях, связанных с изменением формы).
Что же происходит с цепью? Точное описание
свободных колебаний затруднительно, однако легко видеть, что
они обладают следующими свойствами:
1. Развитие движения во времени зависит от того, как
оно началось.
2. Движение постепенно затухает.
3. При своем движении цепь не имеет какой-либо
определенной формы; с течением времени форма цепи изме-
36

йяегея (однако в конце движения колебания часто
характеризуются более или менее отчетливой формой).
4. Совершенно невозможно указать «частоту»
колебаний (с течением времени, однако, движение может
принять определенную частоту).
На этом закончим описание свободных колебаний,
возникающих после того как цепь получила начальное
смещение или начальный импульс в виде удара. Эти колебания
кажутся хаотическими, но мы убедимся, что их
рассмотрение без труда можно упорядочить.
Наше первое наблюдение показывает, как этого
добиться. Если мы позаботимся о том, чтобы надлежащим
образом задать начальные условия движения, то окажется
возможным совершенно изменить характер движения цепи
с точки зрения особенностей, отмеченных в пи. 3 и 4:
удается получить колебания цепи с неизменной формой и
с определенно]! частотой. Проще всего это можно
продемонстрировать следующим способом.
Подвесим цепь к кулисному мехами шу,
изображенному на рис. 13. При вращении кривошипа точка подвеса
перемещается в
горизонтальном направлении по
синусоидальному закону. Если при
этом можно регулировать
скорость двигателя, приводящего
механизм в движение, то нам
удается изменять частоту
колебаний точки подвеса. При
очень низких частотах цепь
просто перемещается из
стороны в сторону, сохраняя
более или менее
вертикальное положение (фактически
это и есть условие «качки»,
о которой говорилось в конце
первой главы). Однако при
возрастании частоты
наступает момент, когда цепь
начинает интенсивно раскачиваться с частотой, равной
частоте возмущающего движения; форма цепи для этого стучая
изображена на рис. 16, а. Эти колебания не являются
свободными, поскольку мы приводим цепь в движение.
Поэтому не будем пока останавливаться на причине столь интен-
37
Рис. 15.

сивных колебаний. Здесь для нас интересно другое. Если
внезапно остановить двигатель (а следовательно, и точку
подвеса), то последующие свободные колебания будут
совершенно не такими, как при случайно заданных
начальных условиях. В рассматриваемом опыте свободные
колебания будут затухать, но при этом все время б^дет
сохраняться форма и частота колебаний цепи. Иными словами,
характер движения с течением времени остается
неизменным.
/!)
/ I /\
а) б) в) с)
Рис. 16.
Возникает естественный вопрос: существуют ли другие
значения частоты начального возбуждения, для которых
имеет место такой характер движения? Нетрудно показать,
что существует целый ряд таких частот. При несколько
более высокой частоте колебаний механизма можно
возбудить весьма интенсивные колебания, во время которых
цепь принимает форму, показанную на рис. 16, б. После
резкой остановки точки подвеса такие колебания
постепенно затухают, также сохраняя при этом свою частоту и
форму. При еще более высокой частоте можно получить
форму цепи, изображенную на рис. 16, в. Такого рода
колебания можно получать и при дальнейшем увеличении
частоты, хотя для одном и, той же цепи становится все
труднее сделать опыт достаточно наглядным.
Мы показали, таким образом, что цепь обладает рядом
форм свободных колебаний; их также называют
собственными формами. Каждой собственной форме соответствуют
определенная частота и скорость затухания колебаний.
38

Такой более упорядоченный способ изучения движения
цепи вполне можно согласовать с нашими наблюдениями
над свободными колебаниями, возникающими после удара
по цепи или после придания ей какого-либо начального
отклонения. В :vrnx случаях более сложное движение
является просто результатом наложения (или, как говорят,
суперпозиции) колебаний с различными формами,
имеющими свои частоты и скорости затухания. Относительная
доля каждой формы колебаний в юбщем движении
определяется начальными условиями, при которых возникли
свободные колебания.
Человеческое ухо весьма чувствительно к затуханию
таких свободных колебаний, частоты которых лежат в
звуковом диапазоне. Отчасти именно благодаря этому мы
можем различать звуки музыкальных инструментов. Когда
мы нажимаем на клавиш рояля, то молоточек ударяет по
струне, и последняя совершает свободные колебания,
которые постепенно затухают. Если записать звучание
струны на магнитофонную ленту и затем прослушать запись,
пустив ленту в обратном направлении, то мы услышим
соответствующую ноту, однако интенсивность звучания
будет постепенно возрастать, а затем звук резко оборвется.
Характер звучания в этом случае не таков, как у рояля 1).
Собственные частоты системы (вообще любой
системы, не обязательно висящей цепи), ее собственные формы
и скорости затухания являются, можно сказать,
характеристиками системы, поскольку они не связаны с какими бы
то ни было внешними воздействиями. Ввиду важной роли,
которую играют эти характеристики, мы рассмотрим
каждую из них в отдельцости.
§ 2.2. Частоты свободных колебаний
Мы видели, что висящая велосипедная цепь имеет ряд
собственных частот. Это относится и к машинам, к
конструкциям, и вообще ко всем объектам. Все системы могут
1) В этом отношении интересен менуэт Гайдна из
неопубликованной сонаты ля-мажор. Мелодия этого замечательного
произведения более или менее одинакова в «прямом» и «обратном»
направлениях. Если записать на магнитофонную ленту исполнение
этого менуэта, а затем прослушать запись в «обратном»
направлении, то можно легко узнать ту же мелодию, хотя она прозвучит
как сыгранная на аккордеоне.
39

совершать колебания с одной или несколькими
собственными частотами.
Если ударить по клавишу «ля» средней октавы рояля,
то мы услышим звук с частотой 440 циклов/сек. В
действительности это есть лишь частота преобладающих
колебаний, поскольку струны рояля совершают, кроме того,
дополнительные малые колебания по другим формам с
частотами 440X2, ХЗ, Х4... цикл/сек. Отчасти именно
благодаря этим «обертонам» мы имеем возможность отличать
звук рояля, скажем, от звука фагота.
Первые (низшие) собственные частоты висящей
велосипедной цени не имеют такого равномерного
распределения, как собственные частоты струны рояля (хотя
распределение высших частот и стремится к равномерному).
Постоянства разностей значений соседних частот вообще
ни в коей мере не является правилом. Так, для
изображенного на фото VII самолета VG-10 был найден
следующий ряд последовательных значений собственных частот
антисимметричных колебаний: 1,85; 2,56; 2,92; 3,96;
4,28;... цикл/сек. Вообще возможны случаи, когда
система имеет пару близких или даже одинаковых собственных
частот (представьте себе, например, колебания
конического маятника в двух взаимно перпендикулярных
плоскостях, проходящих через точку подвеса).
Если в начальный момент форма системы совпадает
с одной из собственных форм, то при последующих
свободных колебаниях эта форма и соответствующая ей частота
не изменяются, хотя колебания и затухают. Все это можно
продемонстрировать на висящей цепи. Оставим пока в
стороне вопрос о затухании одночастотных колебаний и
займемся исследованием собственных частот и форм.
Подвесим груз на резиновом шнуре, оттянем его вниз и
отпустим. Груз будет совершать
возвратно-поступательное движение в вертикальном направлении, причем это
движение практически имеет одну форму. Последнее
обстоятельство объясняется тем, что колебания по другим
формам, связанные с искажениями формы резинового
шнура, имеют высокие частоты и быстро затухают.
Система имеет, таким образом, одну ярко выраженную форму
собственных колебаний, и поэтому особенно удобна для
эксперимента.
Прежде всего можно заметить, что частота
вертикальных колебаний не зависит от амплитуды. Это обстоятель-
40
\

ство не является для нас новым: мы уже видели, что при
свободных колебаниях цепи, соответствующих одной из ее
собственных форм (а следовательно, при уменьшении
амплитуды) частота не изменялась. Однако, хотя мы не
можем изменить частоту путем варьирования амплитуды,
этого изменения можно достичь, если изменить саму
систему. Оказывается, что увеличение массы груза,
подвешиваемою на шнуре, приводит к снижению частоты
колебаний. Наоборот, частоту можно увеличить, повысив
жесткость подвески (например, прикрепив дополнительный
шнур).
Эти результаты носят общий характер. Увеличение
массы системы приводит к снижению, а увеличение
жесткости — к возрастанию всех ее собственных частот; при
этом различные частоты изменяются в различной степени.
«Жесткость» струны рояля связана с ее натяжением.
Поэтому когда настройщик хочет повысить тон какой-либо
струны (т. е. увеличить собственные частоты), он
увеличивает ее натяжение. Однако если «жесткость» системы
пропорциональна ее массе (примером может служить
математический маятник), то увеличение массы не приводит
к изменению собственной частоты. Изменение массы или
жесткости представляет собой изменение наиболее
важных характеристик системы, поэтому, как и следовало
ожидать, собственные частоты (и, разумеется,
собственные формы) окажутся, вообще говоря, другими.
Располагая достаточной информацией относительно
распределения масс и жесткостей системы, можно
рассчитать собственные частоты этой системы. Для инженера
этот вопрос иногда является наиболее важным. В тех
случаях, когда конструкции допускают большое
разнообразие типов деформаций (примером могут служить
авиационные конструкции), такой расчет может оказаться
весьма трудоемким.
Вопрос о том, зачем необходимо знать собственные
частоты конструкции, машины пли какой-либо другой
системы, мы рассмотрим позже. Мы увидим, что не
обязательно знать все частоты и что интерес представляют лишь
те частоты, значения которых лежат в некотором
диапазоне; во многих случаях достаточно лишь знать низшие
частоты.
Если «системой» является кристалл (типа тех, которые
используются в проигрывателях), то наиболее важную роль
А[

играют частоты порядка многих тысяч цикл/сек.
Наоборот, у машин и конструкций в целом значения наиболее
важных частот, как правило, гораздо ниже — в
большинстве случаев не выше 50 цикл/сек и редко более
500 цикл/сек.
На практике значения низших собственных частот
систем могут быть весьма малыми. Например, бельевая
вере пка, подвешенная на двух столбах, может в случае
достаточного провисания совершать свободные колебания
с частотой один-два цикла в секунду. Колебания такого
типа были обнаружены осенью 1959 г. у проводов линии
электропередачи, пересекавшей реку Северн (см. фото
VIII); частота этих колебаний была весьма низкой —
около 7в цикл/сек. Провода диаметром 43 мм, протянутые
над рекой, были прикреплены к двум большим пилонам,
расстояние между которыми превышало 1,6 км. Было
обнаружено, что когда ветер дул с небольшой силой, но в
определенном направлении, возникали столь интенсивные
низкочастотные колебания проводов, что эти провода,
номинальное расстояние между которыми составляло 8,2 м,
входили в соприкосновение, вызывая короткое замыкание
в системе электропередачи. (Была найдена вероятная
причина этих колебаний, и в дальнейшем их удалось
предотвращать путем покрытия тросов тонкой пластиковой
лентой: благодаря этому изменялась геометрия поверхности,
обтекаемой воздушным потоком.)
Колебания проводов над рекой Северн не представляют
собой свободных колебаний, поскольку в этом случае
пассивная система находилась под действием внешнего
источника энергии—ветра. Однако характерно, что при
решении этой: проблемы инженерам, как обычно, потребовалась
информация относительно значений собственных частот
системы, близких к частоте наблюдавшихся колебаний.
Сделаем, наконец, еще одно замечание относительно
частот свободных колебаний. Такова природа пещей, что
у всех конструкций средняя «густота» распределения
собственных частот увеличивается с ростом номеров
соответствующих форм колебаний. Это утверждение не
противоречит отмеченному выше свойству велосипедной цепи,
согласно которому распределение ее собственных частот
с ростом номера форм стремится к равномерному. Дело
в том, что указанное свойство цепи относится лишь к
рассмотренным выше колебаниям в плоскости наименьшей
42

Жесткости. Но, кроме того, цепь может накручиваться и
изгибаться в плоскости наибольшей жесткости; отдельные
ее звенья также могут деформироваться сложным образом.
Все колебания этих типов связаны с деформациями
материала и поэтому имеют высокие собственные частоты; они
и располагаются в промежутках между ранее
рассмотренными равномерно распределенными частотами колебании.
§ 2.3. Собственные формы колебаний
Как показывает опыт с велосипедной цепью, частоты
свободных колебаний системы тесно связаны с
соответствующими собственными формами. В примере со струной
рояля колебаниям с частотой 440 цикл/сек соответствует
форма с одной полуволной; колебаниям с частотой
880 цикл/сек — форма с двумя полуволнами и т. д.
(рис. 17).
ш
ЯерЗоя форма, Вторая форма, Третья (рорщ
час/пот&Шцикл/сеп часротпШцикл/сек час/гота 1320ц'ж/сек
Рис. 17.
Форма, соответствующая низшей частоте колебаний
маятника, очевидна — при таких колебаниях маятник
практически остается прямолинейным. Вторая форма
более сложна— маятник изгибается по одной полуволне, и
его колебания происходят с гораздо более высокой
частотой. Существуют и другие формы колебаний с большим
числом полуволн и соответственно с еще более высокими
частотами. На рис. 16 изображено несколько первых
собственных форм «маятника» особого вида — однородной
висящей цепи; эти формы можно определить из
эксперимента с велосипедной цепью.
Струна рояля и маятник — это простые системы, и их
собственные формы нетрудно рассчитать. Собственные
формы колебаний зданий, деталей машин и т. п. объектов
43

техники гораздо сложнее. На рис. 18 показано несколько
собственных форм колебании самолета YC-10; эти формы
соответствуют частотам, которые были указаны выше. На
практике собственные
Пердая антисимметричная
(popva,
^ac/'i^a/jj иинл/сен
частоты и формо1
колебаний нового самолета
определяют как
расчетным путем, так и из
экспериментов.
Собственные формы
колебаний системы
(каждая из которых
соответствует одной
собственной частоте)
обладают интересным
свойством. Любая
возможная конфигурация
системы может быть
представлена в виде
суперпозиции некоторого
числа таких
конфигураций, каждая из которых
соответствует одной
собственной форме
колебаний. Таким
образом, если задать
системе некоторую
статическую деформацию, а
затем освободить ее,
то возникнут
свободные колебания по всем
соответствующим
формам; каждое из таких
колебаний будет
происходить с
соответствующей собственной частотой независимо от остальных
движений. Мы уже высказывали это положение, когда
рассматривали поведение велосипедной цени; оно
показывает, каким образом сложный характер движения в целом
согласуется с простым характером колебаний по
отдельным формам.
Если система имеет две или большее число близких по
величине собственных частот, возникает трудность в пра-
Спорзя антисимметричная
форт,
частота2,56иинл/сеп
/ретья антисимметрична}'
форма
частота 2,92цинл/сеп
Четвертая
антисимметричная форма
частота 3,96и а мл/се п
Пятая антисимметрична
форма
частота 4,28цикл/сб1.
Рис. 18.
44

вильном определении соответствующих собственных форм.
Это связано с тем, что чем ближе значения собственных
частот, тем труднее различать формы колебаний.
Конический маятник может совершать свободные колебания в
одной плоскости (скажем, плоскости х), а также в
перпендикулярной к ней плоскости у. Вполне правильно считать
колебания в каждой из этих двух плоскостей
совершающимися но собственным формам. Ясно, однако, что маятник
может совершать колебания и в любой друюй плоскости,
причем такое движение можно представить в виде
суперпозиции колебаний в плоскостях х и у. Короче говоря,
любая комбинация двух собственных форм также является
собственной формой. Эта своеобразная ситуация возможна
и в авиационных конструкциях.
Выше отмечалось, что одним из условий
существования свободных колебаний является накопление телом
энергии при выведении его из состояния равновесия. При
изменении состояния тела, например, при увеличении его
температуры, изменится и этот процесс накопления
энергии. В результате система будет иметь другие собственные
частоты и формы. При полетах со сверхзвуковыми
скоростями самолеты заметно нагреваются вследствие трения
о воздух («кинетический нагрев»), и в результате их
собственные формы и частоты колебаний изменяются. В
ближайшие годы этому вопросу, весьма важному для
самолетостроителей, несомненно, будет уделено большое
внимание.
§ 2.4. Затухание свободных колебаний
Мы уже указывали одну характерную особенность
свободных колебаний: такие колебания затухают. Этот эффект
объясняется наличием трения; иногда его называют
демпфированием. Звук колокола слышен в течение длительного
времени после удара, так как в материале нет
значительных сил трения, которые привели бы к рассеянию
механической энергии за счет ее перехода в тепловую энергию,
а рассеяние энергии за счет излучения звуковых волн
происходит весьма медленно. С другой стороны, если
раскачать кузов автомобиля, а затем отпустить его, то колебания
быстро затухнут. Это объясняется действием специально
установленных демпферов. Когда колеса автомобиля
наезжают на препятствие, пружины подвески резко сжима-
45

ются. Если бы демпферы отсутствовали, то кузов
раскачивался бы после этого в течение долгого времени, пока
энергия постепенно бы не рассеялась. Как правило, в
конструкциях с малым трением (таких, как колокол) следует
ожидать более интенсивных колебаний, нежели в
конструкциях с высоким уровнем рассеяния энергии.
Мы увидим, что для некоторых систем вопрос о наличии
или отсутствии трения играет весьма существенную роль.
Иногда инженерам приходится
бороться с трением в конструкциях.
Например, в некоторых приборах
применяются упругие шарниры, ч
которых желательно добиться
возможно меньшего рассеяния
энергии. Одна из возможных
конструкций такого шарнира изображена на
рис. 19 (штрих-пунктиром
показана ось шарнира).
Рассеяние энергии имеет место
в любой колебательной системе.
Известно, например, что при
вибрациях самолета часть энергии
рассеивается в панелях обшивки за счет трения в
заклепочных соединениях. Конструкции зданий должны
обладать значительным демпфированием; это обстоятельство
Истинное
значение
Рис. 19.
Рис. 20.
чрезвычайно важно с точки зрения поведения здания при
землетрясении.
Иногда, если это особенно желательно, можно
искусственно вводить трение; так, например, на автомобилях
устанавливают демпферы колебаний. Прибор, стрелка
которого безостановочно колеблется около положения,
соответствующего истинному показанию (кривая а на рис. 20),
46

доставляет нам больше, чем простое неудобство. Поэтому,
чтобы стрелка пришла в это положение достаточно быстро
(кривая б), вводится демпфирование. Чрезмерно сильное
трение является столь же вредным, как и недостаточное
трение, поскольку в этом случае стрелка перемещается в
положение отсчета слишком медленно (кривая в).
Существует много способов искусственного введения
трения в систему. Это может быть осуществлено, например,
электрическим способом, однако возможны и чисто
механические методы демпфирования. Вот некоторые из них:
1. Вязкое трение в жидкости. Простым примером
является гидравлический демпфер, который состоит из поршня,
перемещающегося в цилиндре; трение возникает при
перетекании жидкости (часто вместо жидкости используется
воздух) в тонком зазоре между поршнем и стенкой
цилиндра. В некоторых других устройствах используются
лопасти, движущиеся в масле или в силиконовой жидкости.
2. Материалы с высоким уровнем рассеяния энергии.
При ударе по «колоколу», изготовленному из
специального сплава меди и марганца, вместо звона слышится глухой
стук. В амортизирующих юпорах часто используют резину;
это отчасти связано с ее высокими демпфирующими
характеристиками. Лопатки компрессоров газовых турбин
иногда изготавливают из волокнистых полимерных материалов,
обладающих значительным внутренним трением.
3. Демпфирующие покрытия панелей. Существуют
такие вещества, что если нанести их на поверхность
металлической панели, то при ударе по панели вместо
характерного для металлов звука слышен глухой стук.
4. Сухое трение, возникающее при взаимном
скольжении поверхностей в процессе вибрации. Этот способ
используется, например, в некоторых компрессорах газовых
турбин, где осуществлено шарнирное крепление лопаток
к ротору. Кроме того, в некоторые пружины с целью
демпфирования вставляются пучки металлической проволоки.
5. Слоистые конструкции. Панели, состоящие из
тонких металлических листов, разделенных тонким слоем вяз-
коупругого материала, обладают хорошими
звукоизолирующими свойствами.
6. Пенопластовые или резиновые прокладки. Яйцо или
электрическую лампочку, тщательно упакованные в
подходящий материал, можно без всякого риска бросать с
большой высоты на твердый пол.
47

г
±=r
\А
Таким образом, существует два типа демпфирования:
искусственно вводимое демпфирование и демпфирование,
связанное с естественными силами трения. Если
искусственно вводимое трение в некоторых случаях допускает
разумную теоретическую оценку, то естественное трение, как
правило, не поддается расчету
и должно определяться
экспериментально.
Выше мы вкратце
рассмотрели вопрос о том, что такое
демпфирование и как оно
возникает.
Выясним теперь какое
влияние оказывает демпфирование
на колебания системы, в
частности, на частоты и формы
свободных колебаний.
На рис. 21 изображен
крутильный маятник. Свойства его
сходны со свойствами массы,
подвешенной на резиновом
шнуре, в том отношении, что эта
система имеет ярко выраженную
низшую собственн\ю форму
колебаний, причем низшая
собственная частота достаточно
далека от ближайшей соседней собственной частоты. Тяжелый
металлический диск А подвешен па тросе В так, что он
может совершать крутильные колебания вокруг своей оси.
Снизу к диску прикреплена «рубашка» С, которую можно
частично погружать в кольцевую масляную ванну D,
перемещая последнюю в вертикальном направлении. При
поднятой ванне D демпфирование крутильных колебаний
диска А значительно больше, чем при опущенной ванне.
Опустив ванну Д закрутим маятник и затем отпустим
его. После этого возникнут медленно затухающие
свободные колебания диска А. Будем отмечать звуковым
сигналом окончание каждого цикла. Если в процессе этого
эксперимента поднять ванну D, то мы заметим, что наступает
резкое затухание колебаний, однако заметных изменений
частоты сигналов не обнаруживается. Другими словами,
введение интенсивного рассеяния энергии оказывает
незначительное влияние на частоту.
Рис. 21.
48

Для исследования влияния демпфирования на
собственные формы колебаний можно видоизменить опыт с
висящей велосипедной цепью. Подвесим к изображенному на
рис. 15 кулисному механизму вторую цепь на расстоянии
25—50 мм от первой. Эту вторую цепь мы опустим в
глубокий стеклянный сосуд с жидким парафином, оставив
первую цепь по-прежнему в воздухе. Через стеклянные
стенки сосуда можно наблюдать две цепи, одна из которых
демпфирована гораздо сильнее другой.
Изменяя скорость вращения мотора, приводящего в
движение кулисный механизм, мы убеждаемся, что при
некоторой скорости вращения достигается максимальная
интенсивность колебаний обеих цепей, хотя колебания цепи
в воздухе происходят с большей амплитудой. Если теперь
резко остановить мотор, то обе цепи будут совершать
свободные колебания. При этом можно видеть, что формы
обеих цепей одинаковы и не изменяются в процессе
колебаний. (Частоты колебаний цепей также одинаковы,— к
этому мы подготовлены после эксперимента с крутильным
маятником. Разумеется, колебания цепи, погруженной в
сосуд с жидким парафином, вследствие сильного трения
затухают гораздо быстрее.) Таким образом, мы приходим
к выводу, что увеличение демпфирования не приводит
к существенным изменениям частоты или формы свободных
колебаний.
Приведенные результаты, относящиеся к роли
демпфирования, носят общий характер; наши эксперименты
служат лишь наглядными иллюстрационными примерами. На
основании этих результатов возникают следующие
интересные и весьма важные соображения. Мы показали, что
увеличение трения не приводит к заметным изменениям
частот и форм свободных колебаний. Мы не показали,
правда, что эти изменения малы и в том случае, когда трепие
вводится в систему, первоначально лишенную трения. Тем
не менее, можно предположить, что это действительно так,
и теория подтверждает это предположение.
Поэтому исследование свободных колебаний вначале
удобно проводить без учета трения. Рассматривается
воображаемая система, в которой свободные колебания никогда
не затухают. Однако собственные формы и
соответствующие частоты свободных колебаний воображаемой системы
можно принять за собственные формы и собственные
частоты действительной системы (системы с трением).
40

Такой подход оказывает неоценимую помощь при
практических расчетах колебаний ') благодаря тому, что
усложнения, связанные с учетом трения, уже не препятствуют
определению собственных частот и форм. Расчетчик,
вычисливший эти характеристики для воображаемой системы,
знает, что они не должны значительно отличаться от тех
частот и форм колебаний, которые наблюдались бы в
реальной системе, где имеется трение.
Основываясь на идее использования воображаемой
системы без трения, можно подвести итог полученных
результатов. Частоты и формы свободных колебаний системы
определяются величиной и распределением масс и жестко-
стей; каждой собственной форме соответствует
определенная собственная частота. В любой реальной системе можно
возбудить свободные колебания с частотой и формюй,
близкими к найденным частоте и форме свободных колебаний
воображаемой системы (небольшие различия этих
характеристик связаны с наличием трения).
§ 2.5. Свободные колебания в технике
Свободные колебания — это хорошо известное явление.
Иногда инженеры производят измерения свободных
колебаний, обычно с целью получения информации
относительно собственных форм и частот, а также скоростей
затухания колебаний. Такие измерения производят, например,
при летных испытаниях головных образцов самолетов,
причем начальное возмущение создается взрывом небольших
зарядов. Другой, более распространенный способ
заключается в резком перемещении ручек управления.
В прошлом, когда жизнь была проще, чем в наше время,
свободные колебания самолета при наземных испытаниях
иногда возбуждались путем быстрого снятия статической
нагрузки. При помощи натянутой веревки крыло
выводилось из положения равновесия; затем веревка перерезалась,
и можно было наблюдать свободные колебания.
!) Читатель заметил, быть может, что этот подход
представляет ценность и в логическом отношении, так как устраняет
необходимость точного определения таких понятий, как «частота» и
«форма» несинусоидальных (затухающих) колебаний. Это один из
гох вопросов, которых мы тщательно избегали; теперь мы видим,
что он представляет скорее теоретический, чем практический
интерес.
50

Ниже мы рассмотрим Колебания фабричных труб,
которые иногда возникают под действием ветра.
Экспериментальные данные о свободных колебаниях трубы,
изображенной на фото IX, получены в результате измерения
колебаний, вызванных действием небольших ракет, укрепленных
в верхней части трубы.
В ряде случаев после затухания свободных колебаний
в системе сохраняются постоянные колебания,
вызванные какой-либо другой причиной. Автомобильный
двигатель раскачивается при его включении или выключении.
Такие колебания связаны с пуском и остановкой
двигателя; в процессе работы двигателя они отсутствуют
(стационарными колебаниями мы займемся в следующей главе).
Такие же свободные колебания могут возникать при
изменениях скорости: так, автомобильный двигатель может
начать раскачиваться в результате резкого увеличения
скорости вращения вала. Вообще, одной из основных причин
возникновения свободных колебаний машин является
изменение режима их работы. Обычно, однако, эти колебания
не представляют большого интереса, так как вследствие
демпфирования они быстро затухают.
В следующей главе мы увидим, что у гибких валов
существуют некоторые опасные скорости, при которых
вращение сопровождается изгибом вала. При разгоне таких
валов до рабочих скоростей они должны проходить через
эти опасные скорости. Как и в случае с автомобильным
двигателем, изменение скорости вращения вызывает появление
свободных колебаний вала. Вибрации крупного ротора
турбогенератора весьма опасны, поэтому вопрос о темпах
прохождения этих опасных скоростей при разгоне и остановке
ротора подвергается тщательному изучению.
Приведенные примеры показывают, почему свободные
колебания как таковые могут привлекать внимание
инженеров. Мы уже отмечали, однако, что этот тип движения
имеет более фундаментальное значение. Частоты, формы
и коэффициенты затухания свободных колебаний
фактически характеризуют «динамическую индиврщуальность»
системы. Поэтому если мы располагаем достаточной
информацией относительно этих характеристик системы, то
можно надеяться, что удастся предсказывать поведение
системы в различных условиях; при отсутствии такой
информации мы вообще не сможем дать никаких оценок. Именно
этим вопросам посвящена большая часть данной книги.
51

Такая «индивидуальность» динамических
характеристик может быть проиллюстрирована многими способами,
например, при помощи эффектного опыта с «поющей
трубой». Будем держать в вертикальном положении кусок
водопроводной трубы, нижний конец которой закрыт
металлической сеткой. Если в течение некоторого времени
нагревать сетку спиртовой горелкой, а затем эту горелку убрать,
то рассматриваемое устройство начнет звучать. Это
звучание не представляет собой случайный шум, а имеет
вполне определенный характерный тон. Таким образом,
труба и находящийся в ней воздух обладают некоторыми
собственными вибрационными характеристиками,
определяющими высоту этого тона, т. е. обладают своего
рода «индивидуальностью». Если мы интересуемся
поведением гудящей водопроводной трубы, то необходимо
исследовать эти характеристики и определить собственные
формы и частоты колебаний.
Все это выглядит несколько таинственно. Дело же
заключается в том, что динамическая индивидуальность
системы в значительной степени определяет ее поведение
при возбуждении колебаний. Механические системы ведут
себя так, как если бы они стремились непрерывно
совершать свободные колебания по собственным формам с
соответствующими собственными частотами. В нормальных
условиях это невозможно из-за наличия трения, однако при
действии некоторого возбуждения колебания будут
поддерживаться. Как мы увидим, здесь имеются две
возможности: система может либо пшучать возбуждение извне,
либо сама обеспечивать необходимое возбуждение за счет
стремления совершать свободные колебания с собственной
частотой.
§ 2.6. Некоторые более сложные вопросы
При первом чтении может показаться, что приведенное
описание процесса свободных колебаний достаточно
сложно и что навряд ли возможны более сложные явления.
Но явления в действительности могут быть еще сложнее,
хотя те вопросы, которые мы еще не рассматривали,
можно трактовать лишь как подробности. Вкратце рассмотрим
эти подробности.
Мы видим, что существуют три основных фактора,
определяющих процесс свободных колебаний систем,—
52

Масса, жесткость и демпфирование (в самом широком
смысле этих слов). Все эти характеристики могут изменяться
под влиянием многочисленных причин. Например,
инженеры-кораблестроители сталкиваются с остожненпями при
исследовании качки судов и вибрации их корпусов, так как
жидкость, обтекающая судно, вызывает увеличение массы
[I коэффициента затухания системы1). Подобная картина
наблюдается и в случае жидкости, налитой в сосуд;
например, плескание топлива в баках может чрезвычайно
усложнить расчеты колебаний ракеты. Сейчас пет необходимости
вдаваться в подробности математического исследования
таких задач; этот вопрос весьма сложен.
Если колебательная система обладает гироскопическими
свойствами, то возникают необычные эффекты при
свободных колебаниях. Подобные эффекты можно
проиллюстрировать при помощи маятника, изображенного на рис. 22.
Плечо маятника А с укрепленным на его нижнем конце
игрушечным гиростатом С висит на короткой нити В. Если
гиростат С не вращается, то маятник может качаться в
одной вертикальной плоскости, проходящей через точку
подвеса. Если же гиростат вращается, то и плоскость
качаний также поворачивается2).
Прибор, изображенный на рис. 23, может помочь нам
разобраться в этом явлении. Электродвигатель В,
установленный на вращающейся платформе С, приводит во
вращение тонкий диск А, вырезанный из чертежной бумаги
(на рисунке он виден сбоку). Если А и С вращаются в
направлениях, указанных стрелками, то диск изгибается так,
как показано сплошной линией на рисунке. Если изменить
направление вращения платформы С, то диск изогнется
по форме, изображенной штриховой линией. Поэтому если
платформа С совершает крутильные колебания
относительно своей вертикальной оси, то форма изгиба диска
циклически изменяется, причем эти колебания
совершаются относительно оси, перпендикулярной плоскости
чертежа. Таким образом, рассматриваемый эффект связан
') Это увеличение можно рассмотреть с других позиций; мы
коснемся этого вопроса в гл. IV.
2) Это легче всего продемонстрировать, если к гиростату
подвесить снизу воронку с сухой солью. Кристаллы соли будут
оставлять след, который особенно хорошо заметен на листе черной
бумаги.
53

с осью, перпендикулярной к обеим осям вращения-
именно поэтому он и является столь неожиданным. С этим
эффектом связаны повороты плоскости гиромаятника при
его колебаниях. р
Два других осложняющих фактора связаны с
влиянием трепня. Во-первых, при очень большом трении
некоторые из приведенных выше простых результатов
становятся неверными. В отом случае частоты и формы свободных
1
Рис. 22.
Рис. 23.
колебании заметно изменяются под действием трения и
уже нельзя считать, что они будут такими же, как и в
системе без трения. Показать это на опыте нелегко,
поскольку при столь сильном трении колебания быстро затухают
с>то означает в свою очередь, что наблюдения произвести
затруднительно, а также что необходимо углубиться в
смысл понятий «частота» и «форма колебаний» для закона
движения, существенно отличающегося от
синусоидального.
Еще более серьезным является другое осложнение,
связанное с влиянием трения. До сих пор мы предполагали
основываясь на довольно грубом опыте, что вызываемое
трением затухание колебании каждой из собственных
форм происходит независимо от колебании всех остальных
форм. Но это предположение не всегда справедливо (хотя
54

его трудно опровергнуть точным экспериментом).
Существует, например, косвенное указание на тот факт, что силы
трения, возникающие при свободных колебаниях
конструкции самолета, приводят к взаимному влиянию
собственных форм. Это означает, что если бы мы каким-то образом
задали конструкции начальную деформацию,
соответствующую одной из собственных форм, то последующие
свободные колебания усложнились бы вследствие
возбуждения других форм. Указанное обстоятельство весьма
усложняет изучение колебаний в практических задачах; к
счастью, оно редко играет заметную роль.

Глава III
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Нет такой плохой книги, в которой не было
бы чего-либо хорошего.
Сервантес
Теперь мы имеем возможность провести различие
между разными видами колебаний. Прежде всего мы начнем с
рассмотрения так называемых «вынужденных колебаний»,
возникающих в колебательной системе, когда она
подвержена действию переменной силы. Существенной
особенностью возбуждения является то, что оно остается
неизменным независимо от того, вибрирует или не вибрирует
механическая система, к которой это возбуждение
приложено.
§ 3.1. Резонанс
Рассмотрим синусоидальную переменную силу с
некоторой определенной частотой. Если эта сила приложена к
механической системе, то система будет колебаться по
синусоидальному закону с той же частотой. Совпадение
часто! изменения силы с частотой колебательного
процесса характерно для вынужденных колебаний.
Колебательное движение, которое мы рассматривали в
конце первой главы, тоже является примером
вынужденных колебаний. Переменная сила плавучести,
действующая на небольшой корабль, и неуравновешенная сила
короткого ротора также вызывают колебания с частотой,
равной частоте возбуждения. Почему же следует особо
выделять «качку»1)? Дело в том, что возмущающая сила
вызывает при «качке» значительные перемещения, когда
1) Слово «камка» (shaking) выше было употреблено в
следующем смысле. Судно, поршневой двигатель и ротор (см. § 1.6)
колебались с частотой, меньшей первой отличной от нуля
собственной частоты. В этом случае имело место движение тела как
твердого (целого), т е. по формам колебаний, не связанным с
деформированием.
56

ее частота существенно ниже частоты срооодпых
колебаний системы, которые сопровождаются
деформациями
Если но небольшой лодке нанести удар молотком, то
это приведет к вибрациям с собственной частотой, хотя
эти вибрации будут быстро затухать. Низшая собственная
частота таких вибраций значительно выше частоты, с
которой лодка свободно качается на волнах. К примеру
с коротким ротором, показанным на фото VI, мы
вернемся позже, в § 3.4.
Если поддерживаются колебания с собственной
частотой, то они оказываются особенно значительными. Если
частота возмущающей силы равна, или почти равна,
собственной частоте системы, то следует ожидать
интенсивных колебаний, называемых резонансом. Отличие
вынужденных колебаний, о которых упоминалось выше (в гл. I),
от вынужденных резонансных колебаний определяется
отношением частоты возбуждения к низшей собственной
частоте системы.
Установка, показанная на фото X, представляет собой
простую конструкцию из соединенных между собой
металлических стержней, образующих модель рамного
строительного каркаса. Небольшой электродвигатель,
установленный на этой модели, вращает диск, несущий
неуравновешенную массу. Если постепенно увеличивать угловую
скорость электродвигателя, то будут возникать
последовательно резонансы первой, второй, третьей... форм
колебаний. Это может быть легко продемонстрировано
проектированием тени каркаса на экран; каждый резонанс
сопровождается размыванием тени от соответствующей части
каркаса. С точки зрения строительной техники эта
конструкция чрезвычайно проста, однако даже для такой
конструкции расчет собственных частот и основных форм
весьма трудоемок, и становится необходимым
применение больших электронных вычислительных машин; в
противном случае задача оказалась бы весьма громоздкой.
Пока скорость двигателя мала, каркас совершает слабые
вынужденные колебания. Но когда частота возбуждения
становится близкой к собственной частоте, появляется
возможность возникновения резонанса. Именно в этом и
состоит характерная черта такого вида движения.
Чтобы достичь практического совпадения собственной
частоты системы с частотой возбуждения, мы постепенно
57

изменяем последнюю. Однако резонанс был бы возможен и
при изменении собственной частоты, хотя это потребовало
бы некоторого изменения самой системы; это можно
продемонстрировать с помощью колеблющегося камертона,
установленного над открытым концом длинной тонкой трубки,
частично заполненной водой. В этом опыте колеблется
воздушный столб над поверхностью воды и соответствующим
подбором уровня воды в трубке можно достичь совпадения
собственной частоты с частотой возбуждения — т. е.
частотой колебаний камертона. При совпадении частот звук
камертона значительно усиливается. Ниже мы увидим,
как иногда пользуются этим способом достижения
резонанса.
Вынужденные колебания могут возникать в самых
разнообразных условиях. Например, вибрации кормовой части
корабля вызываются гидродинамическими силами, которые
возникают, когда лопасти гребного винта проходят
вблизи обшивки корабля.
Совершенно иной источник возбуждения имеет место
в ковшовой турбине. Такая турбина представляет собой
хорошо сконструированное водяное колесо с ковшами
определенной формы, расположенными по ее ободу; струя
воды в направлении касательной к ободу турбины
(обычно с очень большой скоростью) воздействует на
турбину и приводит ее во вращение, причем каждый ковш
испытывает периодические удары. Если частота ударов
струй или частота какой-либо из составляющих этой
далеко не синусоидальной силы совпадает с собственной
частотой ковша, то могут возникнуть интенсивные
вибрации, грозящие разрушением. Один или два раза такие
случаи имели место в действительности.
Резонансные колебания являются одной из причин
поломки лопаток турбомашин, где в установившемся режиме
движения каждая лопатка проходит какое-нибудь
определенное положение через точно установленные промежутки
времени. Если, например, лопасть гидротурбины получает
повторяющиеся через определенные интервалы времени
импульсы, то в результате резонанса лопасть может
сломаться.
Вынужденные колебания имеют заметную амплитуду
обычно только вблизи резонанса. Это обстоятельство
может быть весьма полезным. На фото XI показан
пассажирский самолет VC-10 в процессе резонансных испытаний.
58

К соответствующим точкам самолета присоединены
вибраторы, частота колебаний которых плавно изменяется.
Когда частота колебаний вибратора оказывается равной
собственной частоте, наступает резонанс и становятся
заметными вибрации исследуемых частей самолета. Поэтому в
резонансном режиме частота вибратора (известная) равна
собственной частоте и, измеряя перемещения различных
точек конструкции, можно определить соответствующую
форму колебаний. Испытания самолета VC-10
проводились в диапазоне частот от 0 до 100 цикл/сек; при этом
в диапазоне частот от 0 до 25 цикл/сек было обнаружено
около 30 собственных форм колебаний.
На рис. 24 приведен график, полученный по данным
стендовых резонансных испытаний. По горизонтальной
§
§1
§|
11
II
II
I!
I
A
ii
1
\
J\
/г
^i
?-,
i
i\
\
X
6 8
Частота (ципл/сеп)
Рис. 24.
Ю
оси отложена частота возбуждения, а по вертикальной
оси — амплитуда колебаний; каждый пик на графике
соответствует совпадению частоты возбуждения с собственной
частотой конструкции.
Из-за разных причин случается, что проведение и
анализ резонансных испытаний крайне осложняется.
Поэтому результаты, представленные в виде кривой рис. 24,
по всегда надежны. Одна из причин этого заключается
в том, что собственные частоты самолета лежат близко
друг к другу и было бы совершенно невозможно (без
особых предосторожностей) возбудить одну форму колебаний
59

независимо от других. Кроме того, распределение
демпфирования в самолете таково, что колебания одной формы
создают демпфирующие силы, которые стремятся
возбудить другие формы. И, наконец, третье обстоятельство
практического характера состоит в чрезвычайной
трудоемкости испытаний. Так, для испытаний, приведенных но
фото XI, регистрация показаний осуществлялась
посредством 150 приборов, размещенных на самолете, причем эти
показания записывались прп каждом последовательном
увеличении частоты на 5%.
Имеется много других способов использования
резонанса, кроме резонансных испытаний, причем большинство
таких способов значительно проще резонансных испытаний.
Например, впброгрохот монтируется на пружинах,
подбором которых регулируется его резонансное состояние.
Подводя итог сказанному выше, отметим, что
переменная сила возбуждает колебания той же частоты. В случае
совпадения этой частоты с собственной частотой
наступает резонанс и колебания становятся интенсивными.
Детальное изучение явления (особенно, если исследуемая
система имеет две или более близкие собственные частоты)
может оказаться весьма сложным.
§ 3.2. Гашение вынужденных колебаний
Мы видели, что резонансные вынужденные колебания
иногда могут быть полезными, а иногда безусловно
вредными. Рассмотрим раму, показанную на фото X, и
представим себе, что она является опорой какой-нибудь
машины. Если строитель установит большую
неуравновешенную машину на такую рамную опору, то, как мы уже
видели, могут возникнуть резонансные колебания. Ясно, что
если конструктор знает собственные частоты конструкции
и частоту возбуждения, создаваемого машиной, то он
может предвидеть возможность возникновения резонанса.
Следовательно, определение собственных частот
конструкций имеет важное значение. Сказанное является
аргументом в пользу расчета собственных частот, но зачем нужно
определять собственные формы колебаний? Ответ
заключается отчасти в том, что оба расчета обычно ведутся
одновременно, а отчасти в том, что интенсивность
резонансных колебаний зависит от расположения источника
колебаний по отношению к собственной форме колебаний.
60

Можно ожидать, что чем выше рассеяние энергии в
конструкции, тем менее интенсивны резонансные
колебания при заданном уровне возбуждения.
Демонстрационная модель, показанная на фото X, не более чем схема
конструкции, и надо полагать, что в случае реального
стального строительного каркаса кирпичное заполнение
весьма существенно увеличило бы демпфирование и,
следовательно, уменьшило бы колебания1). Благодаря этому
многие сооружения, казалось бы, находящиеся па краю
катастрофы, оказываются жизнеспособными.
В некоторых реальных сооружениях рассеяние
энергии весьма мало, например, в подвесных мостах. В этом
случае совсем малая переменная сила может вызвать
опасные резонансные колебания. Так, солдатский «шаг на
месте» иногда применяется для возбуждения колебаний при
испытании мостов новой конструкции; конечно, при этом
необходима большая осторожность. Обычно даже
небольшой отряд солдат, подходя к мосту, прекращает
маршировку и идет не в ногу. Если ритм солдатских шагов
совпадает с собственной частотой моста, то возможно даже его
разрушение. Такой случай в действительности имел место
в 1831 г. в Манчестере, когда 60 человек разрушили Брау-
тонский подвесной мост через реку Ирвель. Аналогичный
случай имел место также в 1868 г., когда в Чатаме рухнул
мост на опорах при прохождении отряда Британской
морской пехоты. Но наиболее трагическая катастрофа
произошла в 1850 г., когда Анжерский педвеспой мост был
разрушен батальоном французской пехоты численностью
500 человек. Разрушенный мост увлек людей за собой в
ущелье, и погибло 226 человек.
Для гашения нежелательных резонансных колебаний
существует два различных метода. Первый метод состоит
в «отстройке» системы путем такого изменения
собственных частот, чтобы они не совпадали с частотой
возбуждения или, наоборот, путем изменения частоты возбуждения;
второй метод заключается в специальном увеличении
демпфирования системы (третья возможность, о которой
мы будем говорить позже, состоит в том, что интенсивные
колебания «переносят» в те места, где они не могут
причинить повреждений). Из этих двух методов обычно
наиболее эффективен первый, хотя его не всегда удается
1) Заполнение существенно изменило бы и собственные
частоты.
61

осуществить, поскольку возбуждение может иметь
широкий диапазон частот, как, например, в случае
автомобильного двигателя. Поэтому жизненно необходимы
практические методы расчета собственных частот систем
с целью правильного выбора массы и жесткости системы.
Здесь едва ли уместно поднимать чисто теоретические
вопросы, но одна весьма счастливая особенность
большинства систем достойна упоминания. Только очень большое
демпфирование способно заметно изменить резонансные
частоты по сравнению с теми значениями, которые
соответствуют случаю полного отсутствия демпфирования. Но
при большом демпфировании интенсивные колебания мало
вероятны и поэтому на практике расчет существенных
резонансных частот не отличается от расчета собственных
частот системы без трения.
В тех случаях, где отстройка от резонанса невозможна,
применяются демпферы. Наиболее широко известен
демпфер "Ланчестера, присоединяемый к коленчатым валам
автомобилей. Демпфер, присоединенный к колебательной
системе, конечно, изменяет ее параметры; к этому
вопросу мы еще вернемся. Демпфер Ланчестера представляет
собой простое устройство, вращающееся вместе с валом
как жесткое тело; когда возникают крутильные
колебания, он рассеивает их энергию за счет трения. Выбор
точки крепления демпфера имеет большое значение, так как
если его поместить в «узле», который (подобно середине
аккордеона) неподвижен, то демпфер не будет колебаться
(и следовательно, не будет поглощать энергию)
независимо от интенсивности колебаний самого коленчатого вала.
Отсюда следует важность определения собственных форм
колебаний.
§ 3.3. Кинематическое возбуждение
Если точка подвеса маятника совершает колебания в
горизонтальной плоскости, то маятник раскачивается с
частотой, равной частоте колебаний точки подвеса. Такое
возбуждение колебаний называется «кинематическим
возбуждением».
Некоторые небольшие предметы, установленные на
автомобиле, испытывают интенсивные колебания, если
даже незначительные вибрации от двигателя передаются
на корпус автомобиля. Как мы уя\е отмечали, таким ко-
62

лебаниям может быть подвержено зеркало заднего вида.
Масса зеркала мала по сравнению с массой автомобиля,
поэтому мало вероятно, чтобы колебания зеркала
повлияли на динамику всего автомобиля; мы можем принять
это утверждение в качестве рабочей гипотезы. Другими
словами, можно считать, что движение точки опоры
зеркала не зависит от вибраций зеркала.
Вынужденные колебания, которым подвержено
зеркало, могут носить резонансный характер; в этом случае
даже малые колебания крепления зеркала приводят к его
интенсивным колебаниям. Этот резонанс весьма
нежелателен; он наступает в тех случаях, когда частота
собственных колебаний закрепленного на автомобиле зеркала
совпадает с частотой колебаний точки его крепления.
Предположение о независимости движения точки опоры
от колебаний самого тела может быть принято и в
отношении измерительных приборов, регистрирующих колебания
корпуса автомобиля. Однако подобное предположение
несправедливо, если масса прибора, регистрирующего
колебания, настолько велика, что влияет на исследуемое
движение.
На фото XII показан ручной прибор для измерения
вибраций. Длина консольной упругой пластинки может быть
изменена и, следовательно, может меняться собственная
частота колебаний пластинки. Предположим, что
пластинка в процессе измерений совершает интенсивные
колебания, когда ее длина соответствует низшей собственной
частоте, например, 15 герц. Это означает, что частота
колебаний обследуемой точки также равна 15 герц. Конечно,
необходимо, чтобы прибор был бы значительно меньше
колебательной системы, к которой он присоединен1). В
рассматриваемом примере собственная частота
колебательной системы специально настраивается на измеряемую
частоту возбуждения.
Клапаны автомобильного двигателя закрыты под
действием предварительно поджатых пружин. Когда клапан
открывается, его пружина сжимается еще больше.
Поскольку клапан периодически открывается и закрывается,
можно считать, что пружина подвержена кинематическому
возбуждению. Если такие колебания станут резонансными,
1) Этот прибор основан на принципе резонансного
кинематического возбуждения, хотя во многих приборах резонансный
режим не используется.
63

то произойдет «перенапряжение» пружины. Известны
случаи столь интенсивных колебаний пружин, что
происходил даже «отскок» клапанов и разрушение пружины
(фото III, б).
Кулисный механизм, изображенный на рис. 15,
иллюстрирует ряд особенностей кинематического возбуждения.
В § 2.4 рассматривался случай такого возбуждения, когда
две одинаковые цепи соединены с водилом кулисного
механизма. При этом одна из цепей погружена в вязкую
жидкость и, следовательно, демпфирована, а другая
свободно висела в воздухе. Возбуждение свободных
колебаний путем резонансного кинематического возбуждения
цепи и его последующего резкого устранения основано на
том обстоятельстве, что форма резонансных колебаний
почти совпадает с собственной формой.
Конечно, на самом деле движения не являются
вполне независимыми. Даже малая масса оказывает
некоторое обратное воздействие на большую массу, которая
возбуждает колебания первой. В действительности
кинематическое возбуждение возможно, когда ни одна из масс
не мала. Предположим, например, что гребной винт
корабля приводится в движение паровой турбиной. Скорость
вращения турбины выше, чем скорость вращения гребного
винта; эта разница скоростей создается посредством пары
зубчатых колес, находящихся в зацеплении и
установленных в корпусе редуктора. Если одно из зубчатых колес
изготовлено неточно или слегка перекошено относительно
вала, то при вращении системы возникнут крутильные
колебания валов. Эти колебания накладываются на
вращение с постоянной скоростью, обеспечивающее
поступательное движение судна. Такие колебания уже
рассматривались выше, и легко понять, что развитие интенсивных
колебаний возможно в резонансном режиме. Именно в
системах такого рода (хотя чаще на суше, чем в море) и
имели место поломки, показанные на фото III, а.
Средства устранения нежелательных резонансных
явлений при кинематическом возбуждении оказываются
точно такими же, как и при силовом возбуждении; мы просто
рассматриваем две точки зрения на одну и ту же
проблему. Во-первых, мы можем применить расстройку частот
путем изменения параметров и, во-вторых, увеличить
демпфирование. Пример второго средства можно
заимствовать из житейской практики: расплескивание кофе и*
64

чашки, стоящей на столе вагона поезда, является
наглядным результатом кинематического возбуждения. Однако
если в чашку положена ложка, то вследствие образования
завихрений должна происходить существенная потеря
колебательной энергии жидкости. Поэтому теоретически кофе
из чашки не должно выплескиваться. Впрочем ряд
тщательных лабораторных исследований, проведенных с целью
подтверждения этого вывода, потерпел неудачу.
§ 3.4. Вибрации валов
Длинный тонкий вал, показанный на фото XIII, может
совершать свободные поперечные колебания (подобно
струне рояля) с гораздо более низкой частотой, чем
короткий ротор большого диаметра, показанный на фото
VI. Ротор весьма массивен и трудно себе представить, что
он мог бы колебаться подобно струне. Длинный и тонкий
вал невозможно изготовить абсолютно прямым; поэтому
он оказывается неуравновешенным, центры тяжести его
сечений не совпадают с геометрическими центрами и при
вращении возникают колебания, подобные колебаниям
короткого вала большого диаметра (см. § 1.6). Но теперь с
увеличением скорости вращения вала частота колебаний,
обусловленных его неуравновешенностью, может
приблизиться к первой собственной частоте и пройти ее.
Когда угловая скорость вращения и, следовательно,
частота изменения сил инерции неуравновешенного вала
приблизится к собственной частоте (в нашем примере —
к низшей собственной частоте), наступит резонансное
состояние. Другими словами, система возбуждается с
частотой, которую она имеет при свободных колебаниях. Вал
остро реагирует на такое совпадение и начинает сильно
вибрировать. То же происходит при совпадении угловой
скорости вращения вала с любой из его собственных
частот. Форма, которую принимает ось вала, зависит от
собственной частоты, с которой совпадает скорость
вращения. Скорости вращения, совпадающие с собственными
частотами вала, называются критическими скоростями;
формы колебаний, соответствующие нескольким первым
критическим скоростям, близки к показанным на рис. 17 *).
1) Ряд критических скоростей (до дюжины и более) можно
наглядно продемонстрировать, если в качестве вала использовать
пружинную спираль длиной порядка одного метра.
3 Р. Бишоп
65

Стационарный турбогенератор, вырабатывающий
электроэнергию — это исполин, один лишь ротор которого
весит более 70 тонн. Чтобы обеспечить частоту тока 50 герц,
паровая турбина вращает ротор, подобный показанному на
фото XIV, с угловой скоростью 3000 об/мин (в США, где
частота тока в сети равна G0 юрц, скорость ротора
составляет 3G00 об/мин). На рис. 25, а показан чертеж
довольно большого ротора генератора переменного тока
ю
Рис. 25.
весом 59 тонн1). Этот генератор вырабатывает 350
мегаватт электроэнергии при частоте в 50 герц. Первые
три вычисленные формы колебаний показаны на
рис. 25, б.
Точный расчет опасных критических скоростей
оказывается нелегким, но ответственным делом, так как при
пуске турбогенератора ротор должен проходить через одну
или две из них. Если наступит критическое состояние и
ротор разрушится, то убытки могут составить сотни
тысяч фунтов стерлингов в дополнение к угрозе
человеческим жизням.
1) Это примерно восемь ненагружснных лондонских
двухэтажных автобусов.
66

В будущем электроэнергия будет вырабатываться без
таких машин,— непосредственно из тепловой энергии, т. е.
без механических систем с движущимися частями. Хотя до
этого еще далеко, поскольку проблема экономической
эффективности пока не решена, однако, когда наступит это
время, отпадет одна из неприятнейших и потенциально
наиболее опасных среди всех проблем вибраций.
Интенсивные колебания ротора генератора могут быть
уменьшены посредством балансировки ротора. Для
безопасности балансируемый ротор помещается в яму со
специальным ограждением. Такая яма используется также
при прочностных испытаниях ротора на действие
центробежных сил (при скоростях, превышающих рабочее число
оборотов). На фото XIV показан ротор генератора
переменного тока в балансировочной яме с тяжелой
откидывающейся крышкой. Все приборы и пульт управления
размещены в отдельном помещении, находящемся на
некотором расстоянии от ротора.
В процессе балансировки к поверхности вала надежно
крепятся небольшие уравновешивающие грузы. Величины
и места расположения этих дополнительных масс
определяются расчетом по данным измерений вибраций.
Теоретически возможно разогнать вал почти до первой
критической скорости, чтобы уравновесить его при легко
осуществимых измерениях вибраций вблизи этой скорости.
Далее можно плавно пройти через первую критическую
скорость и достичь второй критической скорости.
Соответствующая методика балансировки позволяет избежать
колебаний ротора на второй критической скорости без
нарушения эффективности мероприятий, обеспечивающих
защиту от колебаний на первой критической скорости. Затем
можно переходить к третьей скорости и т. д. Однако
методы практической балансировки роторов генераторов до сих
пор являются предметами активных исследований, и
проблема не настолько проста, как это может показаться с
первого взгляда.
При современных испытаниях роторов генераторов
средней величины, отсоединенных от паровых турбин,
производится уравновешивание при первой критической
скорости. При этом можно ожидать устранения вибраций
не только при первой критической скорости, но и тех
вибраций, которые могут быть существенными на второй и
третьей критических скоростях.
3* 67

§ 3.5. Вибрации узлов конструкций
Собственные формы и собственные частоты системы
являются характеристиками всей данной системы. Если
изменить размеры маховика, укрепленного на валу, то
частоты и формы колебаний всей системы, в которой
маховик является лишь частью, также изменятся. Поэтому
может показаться несколько странным, что представляют
интерес колебательные свойства отдельно
рассматриваемых частей системы.
Однако в действительности это не так странно.
Рассмотрим, например, самолет, формы и частоты колебаний
которого можно установить с помощью стендовых
испытаний, о чем мы упоминали выше. Основной интерес
представляют динамические характеристики самолета в
воздухе, но испытания приходится проводить на земле. Поэтому
необходимо обеспечить соответствующее опирание
самолета, т. е. характеристики опор должны быть такими, чтобы
не допустить существенного влияния установки на
результаты испытаний. Установлено, что это требование
выполняется, если самолет установлен на мягких пружинах —
обычно при испытаниях понижают давление в пневмати-
ках. Самолет в воздухе, т. е. лишенный опор, можно
рассматривать как часть системы, содержащей самолет и
те опоры, которые имеются при резонансных испытаниях
на земле.
Иногда чрезмерные резонансные колебания можно
ограничить посредством дополнительных устройств,
называемых «виброгасителями». Предположим, что машина
испытывает чрезмерно большие, недопустимые вибрации
некоторой определенной частоты и эти колебания требуется
устранить. Этого можно достичь путем таких изменений
параметров системы, чтобы изменилась ее собственная
частота. Можно выбрать другой вариант, заключающийся в
присоединении к системе специального устройства, которое
будет тем или иным образом гасить чрезмерные колебания.
В этом случае первоначальную систему можно
рассматривать как часть вновь образованной системы.
Идея поглотителя колебаний может быть очень
наглядно проиллюстрирована с помощью установки, показанной
на фото XV. Электродвигатель А вращает
неуравновешенный кривошип В, который возбуждает колебания детали С.
Колебания этой детали, вызываемые присоединенным к
68

ней кривошипом, создают периодические деформации двух
пружин, показанных на фотографии. Тонкий стержень D
с небольшим грузом на его верхнем конце представляет
собой съемную часть, которая может быть закреплена в
небольшом отверстии детали С. Стержень D с грузом и
является гасителем колебаний. Если стержень с грузом
отсутствует, то колебания детали С очень хорошо заметны. Но
если стержень D присоединен к детали С, как это
показано на фотографии, то деталь остается почти неподвижной,
в то время, как стержень интенсивно колеблется. Здесь
предполагается вполне определенная скорость вращения
двигателя, и положение груза D выбрано таким образом,
чтобы «гаситель» работал в режиме резонанса.
Следовательно, «настроенный» таким образом гаситель
эффективен только на одной частоте.
Пожалуй, теперь гасители колебаний применяют не так
широко как прежде. Иногда их присоединяют к
коленчатому валу двигателя внутреннего сгорания; интересный
пример применения гасителей относится к звездообразным
авиационным двигателям времен второй мировой войны.
Эти гасители выполнялись в виде массивных роликов,
имевших возможность перемещаться в кольцевых пазах, на
конце коленчатого вала. Значительные перемещения
роликов в своих пазах не опасны, напротив, эти перемещения
дают весьма желательный эффект, поскольку колебания
коленчатого вала уменьшаются. Гасители колебаний
применяются в некоторых типах стиральных машин для
уменьшения колебаний всей машины; они используются
также в электрических машинках для стрижки волос с
целью предотвращения чрезмерных вибраций,
передаваемых на руку парикмахера.
На фото XVI показана линия электропередачи; здесь
можно видеть небольшие подвески в форме гантели,
которые установлены на каждой линии, на расстоянии немного
большем метра по обе стороны от опорных изоляторов. Это
устройство называется поглотителем колебаний Стокбрид-
жа, и по назначению аналогично демпферу Ланчестера,
устанавливаемому на коленчатых валах. Такой поглотитель
увеличивает рассеяние энергии при колебаниях линий. Как
мы увидим ниже, ветер может возбуждать колебания
линий с небольшой амплитудой и довольно высокой частотой.
Эти колебания совершенно отличны от колебаний линии
над рекой Северн (см. фото VIII) и возникали бы гораздо
69

чаще, если бы не поглотители, которые гасят колебания
линий у их концов; поглотители закрепляются на опорных
изоляторах в точках максимума натяжения.
Вынужденные колебания этих небольших дешевых демпферов
неопасны. Таким образом, здесь мы снова имеем дело со случаем,
когда система усложняется для изменения ее
колебательных свойств.
Теперь мы начинаем понимать, что собственные
частоты и формы колебаний имеют огромное значение в
технике. Поэтому еще раз бегло вернемся к этим понятиям,
помня, что собственные частоты и формы колебаний
определяют в предположении, что демпфирование отсутствует. При
свободных колебаниях системы без трения любая данная
ее часть совершает вынужденные колебания, хотя ко всей
системе возбуждение не приложено. Возбуждение
колебаний части системы поддерживается теми другими частями
системы, от которых мысленно отделена данная часть.
Другими словами, рассмотрение всей системы, совершающей
свободные колебания, как совокупности отдельных ее
частей, тесно связано с поведением этих частей при
вынужденных колебаниях.
Авиационный поршневой двигатель эффективно
работает только при достаточно высоких скоростях, тогда как
воздушный винт, который приводится во вращение от этого
двигателя, эффективен при относительно низких скоростях.
Поэтому между винтом и двигателем устанавливается
редуктор. Система, состоящая из авиационного двигателя,
редуктора и винта, может быть подвержена крутильным
колебаниям. С этим обстоятельством считались в те времена,
когда в качестве привода применялись поршневые
двигатели. Собственные частоты этой системы должны
определяться расчетом, а расчеты, естественно, невыполнимы, пока
характеристики всей системы недостаточно известны.
Представляя систему разделенной на две части — винт и
двигатель с редуктором,— изготовители этих элементов
могли выполнять независимые расчеты вынужденных
колебаний. После этого можно определить собственные
частоты и формы колебаний всей системы в целом. В
отдельных случаях может оказаться более удобным определить
одну часть характеристик расчетом и экспериментально
определить другую.
Значение идеи о разделении сложной системы на
отдельные элементы при анализе колебаний вряд ли можно
70

переоценить. Вернемся на время к ковшовой турбине.
Каждый ковш турбины получает периодические удары от
струи воды, и поэтому может потребоваться определение
его низшей собственной частоты. Каждый ковш надежно
крепится болтами к несущему колесу и становится
заманчивым предположение, что ковш «жестко» соединен с
колесом и воспользоваться этим для расчета собственных
частот. Однако, мы уже знаем, что при некоторых частотах
колесо вовсе не является жестким и само может
совершать свободные колебания.
Прежде чем производить какие-либо расчеты системы,
необходимо четко определить систему, а также
сформулировать условия на границе между системой и окружающей
ее средой. В то время как формулировка граничных
условий проста для тела, совершающего колебания в пустоте,
она может оказаться в действительности трудной для тел,
совершающих колебания в других средах, даже в воздухе.
Ужо по одной этой причине инженеры должны думать не
только о вынужденных колебаниях всех систем, но также
и о вынужденных колебаниях элементов этих систем.
§ 3.6. Общий случай периодического возбуждения
В этой главе мы обычно подразумевали, что
переменное возмущение, «возбуждение», изменяется по закону
синуса. Хотя такое допущение часто близко к
действительности, оно не всегда достаточно. Возбуждение может быть
периодически повторяющимся, но не синусоидальным (как
в случае возбуждения ковша в ковшовой турбине), либо
вообще иметь нерегулярный характер. Здесь мы
рассмотрим первый из этих возможных случаев.
Прежде чем исследовать проблему регулярно
повторяющегося (т. е. периодического) несинусоидального
возмущения, следует указать еще на один объект, в котором
возникают такие возмущения. Этот объект настолько
широко используется, что нет смысла подчеркивать важность
задачи.
На рис. 26 показана схема механизма двигателя
внутреннего сгорания. Кривошип А может вращаться так, как
показано на чертеже. Посредством шарнира он соединен с
шатуном В, который в свою очередь соединен с поршнем
С. При вращении кривошипа А поршень перемещается
внутри цилиндра D из одного крайнего положения в
71

Другое. Из сказанного ясно, что постоянная скорость
вращения кривошипа будет определять постоянную частоту
колебаний поршня. Другими словами, колебания поршня,
безусловно, будут периодическими. Однако эти колебания
не будут синусоидальными. Даже для механизмов, у
которых отношение длины шатуна В к длине кривошипа А
достаточно велико, форма графика перемещений поршня
С будет лишь приближаться к форме синусоиды.
Отсюда следует, что любая сила, которая связана с
движением поршня (такой силой является сила инерции или
"^^^— с
Рис. 26.
сила давления поршня на поршневой палец,
удерживающий поршень на шатуне), также будет периодической, но
не синусоидальной. Как мы увидим в гл. VI, в
повседневной жизни встречается много других примеров
переменных сил такого вида.
Периодическое возбуждение более общего вида не
требует привлечения принципиально новых идей. Они
приводят лишь к ненужным усложнениям. В § 1.3 было
показано, что периодическая несинусоидальная функция может
быть представлена в виде суммы синусоид (гармоник),
каждая из которых имеет свою частоту и амплитуду. Это
также относится к рассматриваемому здесь
периодическому возбуждению; его можно рассматривать как
возбуждение от нескольких синусоидальных сил, действующих
одновременно, причем некоторые из этих колебаний могут
приводить к резонансным состояниям.
Интересные следствия вытекают из возможности
проявления так называемого «избирательного резонанса». Так,
закон колебаний системы может совершенно отличаться от
закона возбуждения этих колебаний. Рассмотрим,
например, кривую на рис. 27, а и будем считать, что она
представляет переменную силу. Несимметричная форма
графика этой силы достаточно точно воспроизводится суммой
72

трех синусоидальных составляющих, как показано на рис.
27, б. Каждая из таких составляющих вызывает свои
вынужденные колебания, которые могут иметь различные
амплитуды (см. рис. 27, в). Можно видеть, что колебания,
соответствующие средней частоте, близки к условию
резонанса. Но если сложить ординаты всех трех кривых,
показанных на рис. 27, в, то мы получим периодическую
кривую (рис. 27, г)
описывающую общее
движение системы. При этом
форма полученной
кривой имеет малое
сходство с вызвавшей ее
кривой возбуждения.
В действительности
ситуация даже более
сложна, чем описано
выше, поскольку
теоретически любая из
составляющих возбуждения
может привести систему
к резонансу любой
формы; в самом деле, нет
основания сомневаться
в том, что две или более
гармоник возбуждения
могут привести систему
к резонансу с
различными формами. Это может
быть
продемонстрировано с помощью
установки, показанной на фото
XVII. Электродвигатель
А вращает кулачок В,
который поочередно
периодически замыкает
контакты
переключателя. В момент замыкания контактов конец велосипедной
цепи С перескакивает с одного электомагнита D на
другой. При этом конец цепи подвергается кинематическому
возбуждению «прямоугольной формы» с частотой,
определяемой угловой скоростью электродвигателя. Такое
возбуждение содержит гармоники, частота которых в 3, 5,... и
73

т. д. раз больше основной частоты, как мы видели на
рис. 5. Если медленно изменять угловую скорость
электродвигателя, то можно получить форму колебаний цепи,
подобную рис. 16, б, с частотой в три раза большей частоты
переключения контактов. Другими словами, та гармоника
возбуждения, частота которой в три раза выше основной
частоты возбуждения, может возбудить вторую форму
резонансных колебаний цепи.
§ 3.7. Случайные колебания
Если измерять давление в какой-либо точке
турбулентного потока газа (например, в теплообменнике), то
окажется, что оно изменяется во времени весьма
нерегулярным образом (см. типичную кривую, изображенную на
Рис. 28.
рис. 28, а); подобная кривая получается также при
изображении профиля неровной дороги. Случайные колебания
(флуктуации) давления могут вызвать колебания
элементов конструкции, например, трубы, а неровность дорог
служит одним из источников кинематического возбуждения
колебаний автомобилей. При изучении такого рода
движений (а они являются весьма распространенными) обычно
трактуют колебания как вынужденные, поскольку
возбуждение не зависит от того, приводит ли оно к возникновению
колебании, или нет.
Прежде чем рассматривать колебания, вызванные
такого рода возбуждением, необходимо подумать о том, как
описать самый возмущающий процесс. Как правило, кри-
74

вые типа изображенной на рис. 28, а с большим трудом
поддаются точному определению и имеют весьма сложный,
нерегулярный характер. В связи с этим возникает
вопрос: какие разумные попытки должен предприняв
инженер в целях снижения вибраций, вызываемых таким
возбуждением. На практике при подобных расчетах
пользуются методом осреднения.
Первая очевидная осредненная характеристика
процесса — это его среднее значение, т. е. средняя высота кривой.
Однако хотя эта характеристика и доставляет некоторую
информацию о процессе, она не позволяет уловить процесс,
связанный с интенсивными колебаниями относительно
среднего значения. Указанный недостаток преодолевается
путем использования понятия «среднего квадрата
отклонения от среднего значения». Для этого средняя высота
кривой процесса вычитается из значений ординат кривой; в
результате получается кривая отклонений от среднего
значения. Если теперь все эти отклонения возвесли в квадрат и
осреднить, то получим другую важную характеристику
процесса—средний квадрат отклонения; для краткости будем
называть ее средним квадратом.
Вполне возможно, что кривые, изображенные на
рис. 28, а и б, имеют одинаковые средние значения и
одинаковые средние квадраты, но тем не менее эти кривые
существенно различаются с точки зрения их «растянутости»
во времени. На помощь приходит представление о
«частоте» (хотя и не очевидно, что в данном случае оно является
уместным). Средний квадрат можно представить как
результат осреднения по составляющим процесса, имеющим
все частоты, лежащие в некотором диапазоне. Это значит,
что можно построить кривую (типа изображенной на
рис. 29), площадь под которой равняется среднему
квадрату; такая кривая называется графиком спектральной
плотности процесса. Различие процессов, изображенных на
рис. 28, а и б, отражается в различии их спектральных
плотностей; значения спектральной плотности второго из отих
процессов сосредоточены в области более низких частот.
Для описания случайного возбуждения удобно
пользоваться такими характеристиками, как среднее значение и
спектральная плотность. Хотя эти характеристики
доставляют далеко не полную информацию о процессе, на
практике даже их измерение сопряжено со значительными
трудностями. (Например, участок кривой, в пределах
75

Которого производится осреднение, должен быть достаточно
длинным, и необходимо выяснять, какое именно значение
длины обеспечит достаточную точность.)
Изложенный способ возможен не только для описания
возбуждения, но и для описания процесса вынужденных
колебаний. Поведение системы при возбуждении определя-
Средний квадрат
отклонения от среднего
значения
Частота
Рис. 29.
ется (как и следует ожидать) ее частотами и
собственными формами колебаний, а также интенсивностью
демпфирования. Чем меньше трение, тем выше уровень колеба-
а)
^Период свободных
колебаний автомобиля
Длина этого интербала (если он существует) зависит
пт динамических характеристик подвески автомобиля
Рис. 30.
ний системы; при этом система отоирает и усиливает те
составляющие спектра возбуждения, частоты которых
близки к частоте собственных колебаний системы.
Колебательный процесс имеет вид, изображенный на рис. 30, б. Коле-
76

бательная система «отфильтровывает» значительную часть
составляющих возмущающего процесса и реагирует на
частоты возбуждения, близкие к ее собственным частотам.
Это обстоятельство отражено в характере спектральной
плотности вынужденных колебаний. Вблизи значений
частоты, близких к собственным частотам системы,
спектральная плотность вынужденных колебаний имеет резкие
максимумы.
До сих пор мы не только избегали некоторых вопросов
теории, но и пошли на одно серьезное переупрощение; дело
в том, что кривые рис. 28, описывающие возбуждение,
никогда в точности не повторяются. Это вполне понятно в
случае эксперимента с измерением давления, поскольку
неограниченно долгий контроль течения жидкости
невозможен. Что же касается поверхности дороги, то никакие
два участка не могут быть абсолютно одинаковыми.
Именно по этой причине инженеры используют статистические
методы и исследуют вероятностные характеристики
колебательного процесса. Простые рассуждения, которыми мы
до сих пор пользовались, справедливы лишь в том случае,
коеда участок записи процесса является вполне
«представительным» или, в терминах теории вероятности, когда
процесс «эргодичен».
Теперь мы должны представить себе уже не одну
«реализацию» возбуждения (рис. 28, а или б,), а бесконечное
семейство («ансамбль») всех возможных кривых.
Изображенная на рис. 28, а кривая давления при постоянном
режиме работы может представлять элемент ансамбля, типа
изображенного на рис. 31, а; все нерегулярности величины
давления носят более или менее постоянный или, как
говорят, «стационарный» характер. G другой стороны,
возбуждение с изменяющимися статистическими
характеристиками называется «нестационарным» (или, еще лучше,
эволюционирующим). Типичный ансамбль реализаций
нестационарного процесса изображен на рис. 31, б. Мы
могли бы, например, получить запись нестационарного
процесса, если бы проводили эксперимент по измерению
пульсаций давления при переменном режиме работы
теплообменника (например, при его пуске). При действии
стационарного возбуждения возникают стационарные колебания,
а при действии нестационарного возбуждения —
нестационарные колебания. Колебательный процесс может быть
эргодическим лишь в случае стационарного возбуждения.
77

Отмстим два различных способа осреднения при
определении «средних значений» и «средних квадратов».
Первый способ — это осреднение по одной реализации (о нем
мы говорили выше); второй способ — это осреднение «но
ансамблю». Это значит, что можно определить
спектральную плотность, скажем, в 10.30 утра в следующий четверг,
произведя осреднение по всем возможным результатам
измерений, проведенных в этот момент. Инженера обычно
Рис. 31.
интересуют результаты именно второго спосооа
осреднения, тогда как на практике осреднение чаще всего
осуществляется по первому способу.
Без сомнения, читатель уже почувствовал, что мы
подошли к большой и сложной в математическом отношении
проблеме. Следует добавить, что случайный характер
колебаний вносит дополнительные трудности в исследование
вопросов, рассмотренных в разделах 1.4 и 1.5. Так,
например, до настоящего времени не вполне ясны законы,
определяющие разрушение металлов в условиях случайного
нагружения.
Бесспорно, что в будущем случайные колебания
подвергнутся весьма серьезному изучению. Такие колебания
доставляют неприятности, например, в случае, когда
дрожание стрелки не позволяет точно определить показания
приборов, определяющих химический состав, или когда при
проигрывании старой граммофонной пластинки слышно
«шипение» (случайные флуктуации давления).
Практическая проблема случайных колебаний
возникает в связи с эксплуатацией вольфрамовых нитей
электрических лампочек накаливания. Эти тонкие нити работают
78

в тяжелых условиях (частые включения и выключения,
высокие значения силы тока, необходимые для создания
достаточной освещенности). Неудивительно поэтому, что
долговечность таких нитей может резко уменьшиться, если
лампы эксплуатируются в условиях вибраций, например,
вблизи судовых двигателей, на автомобиле, велосипеде или
самолете. Поэтому проектирование нитей ламп
накаливания связано со значительной исследовательской работой и
в ряде случаев требует проведения эксплуатационных
испытаний.
К сожалению, случайные колебания представляют и
потенциальную опасность. Рассмотрим, например, шум
реактивного двигателя. Основная часть спектра этого шума
лежит в диапазоне частот 100—1000 цикл/сек и где-то
в этих пределах располагается плохо выраженный
максимум. На фото XVIII изображены усталостные трещины на
нижней поверхности обшивки руля высоты самолета. Под
фюзеляжем самолета был закреплен подвесной ракетный
двигатель, который иногда запускался во время летных
испытаний. Реактивная струя двигателя была направлена
вниз и назад и находилась на достаточном удалении от
рулей высоты, однако, тем не менее, интенсивное
акустическое излучение струи привело к возникновению
усталостных повреждений. Если бы такие повреждения возникли
в конструкции герметической кабины пассажирского
самолета, что, разумеется, недопустимо, то последствия могли
бы оказаться катастрофическими.
Сильные землетрясения могут вызывать ужасные
последствия — разрушения больших зданий и плотин. В
настоящее время не представляется возможным в точности
предсказывать вид колебательного процесса при
землетрясении, и в связи с этим возникает ряд трудностей при
проектировании крупных сооружений в сейсмически активных
районах. Некоторые из проведенных за последние годы
исследований основаны на описании землетрясений при
помощи теории нестационарных случайных процессов.
В том, насколько сложна проблема случайных
вибраций, можно лишний раз убедиться, если вспомнить, что
любая небольшая деталь электрооборудования самолета или
ракеты склонна к усталости. Эта проблема — одна из
наиболее сложных проблем, стоящих перед инженером,
занимающимся созданием машин.

Глава IV
САМОВОЗБУЖДАЮЩИЕСЯ КОЛЕБАНИЯ
Нелегко найти человека, который проучился бы
три года, не рассчитывая на вознаграждение.
Конфуций
Следующий вид колебаний — это
«самовозбуждающиеся» колебания, или «автоколебания»; они отличаются от
вынужденных колебаний тем, что в этом случае при
отсутствии колебаний отсутствует и возбуждение.
Мы можем рассматривать эту ситуацию с двух точек
зрения. Внешние силы, действующие на систему,
определяются теперь движением самой системы. Но этим
свойством обладают внутренние силы при свободных
колебаниях, поэтому система ведет себя так, как если бы
внешние силы приводили к увеличению сил инерции, сил
трения и упругих сил.
С другой стороны, можно заметить, что для
самовозбуждения необходим источник энергии; колебания
поддерживаются за счет извлечения энергии от этого источника.
Какие же свойства определяют способность системы так
регулировать отбор энергии от источника, чтобы в системе
возникли колебания? Такими свойствами являются
динамические характеристики — собственные частоты и формы
колебаний и коэффициенты затухания, определяющие
«динамическую индивидуальность» системы. Утверждение,
согласно которому достаточно располагать источником
энергии, чтобы самовозбуждение колебаний стало возможным,
носит весьма общий характер. Именно с общностью этого
свойства автоколебательных систем и связана важная роль
колебаний такого типа, а также то обстоятельство, что во
многих случаях эти колебания сложны и непонятны.
Каждое явление автоколебаний связано с тем или иным
физическим процессом, природа которого не всегда может быть
полностью ясна,
80

§ 4.1. Простой пример самовозбуждения колебаний
Во многих случаях самовозбуждение колебаний
возникает вследствие взаимодействия системы с потоком
жидкости, доставляющим энергию, необходимую для
поддержания колебаний системы. Примером служит система,
изображенная на фото XIX. Поток воздуха, создаваемый
вентилятором, обтекает деревянный стержень,
подвешенный на пружинах. Стержень совершает колебания в
вертикальной плоскости, перпендикулярной к направлению
потока, и постепенно эти колебания становятся весьма
интенсивными.
Для объяснения этого явления необходимо подробно
изучить характер течения воздуха относительно стержня.
Заметим, что поперечное сечение стержня имеет форму
полукруга, плоская сторона которого обращена к
набегающему потоку. Предположим, что вследствие каких-то
причин стержень начал двигаться вверх; скорость этого
движения может быть сколько угодно малой. С точки зрения
воображаемого наблюдателя, расположенного на стержне,
поток будет направлен несколько вниз; течение должно
иметь такой характер, как показано на рис. 32. Давление
Рис. 32.
в турбулентной области, показанной в нижнем правом углу
рисунка, близко к атмосферному. Что же касается области
непосредственно над стержнем, то здесь поток воздуха
ускоряется и, как можно показать, давление несколько
ниже атмосферного. В результате на стержень будет
действовать сила, направленная вверх.
81

Подобная ситуация возникает в простом опыте,
изображенном на рис. 33. Если в обычной воронке продувать
воздух в направлении, показанном стрелкой, то шарик для
настольного тенниса не будет падать, несмотря на
действие силы тяжести. Это объясняется ускорением воздуха
в той кольцевой области, где шарик расположен наиболее
близко к поверхности воронки; в ре-
Ч\ зультате давление над шариком
\Д уменьшается.
1 Вернемся к стержню
полукруглого сечения. Мы видим, что при коле-
11 баниях поток воздуха создает допол-
1 нительную силу, направление
которой совпадает с направлением
скорости стержня; если бы стержень дви-
1' гался в противоположную сторону, то
и дополнительная сила сменила бы
свое направление на
противоположное. В рассматриваемом случае
аэродинамическая сила, по существу,
компенсирует трение в колебательной
Рис. 33. системе. Если работа, совершаемая
этой силой за один цикл колебаний,
превышает энергию, рассеиваемую в
системе за один цикл вследствие трения, то колебания
будут возрастать, и этот процесс может быть остановлен лишь
посторонними обстоятельствами (в частности, вследствие
разрушения!). В таких случаях говорят, что система
динамически неустойчива или, более кратко, но менее точно,
просто неустойчива.
Следует добавить, что приведенное объяснение
причины возникновения колебаний стержня является весьма
упрощенным. Рассмотренное явление, как и большинство
явлений, связанных с движением жидкости, более сложпо,
чем это может показаться на первый взгляд. Однако ип-
женеры должны знать, что откровенно приближенные
теории, как правило, гораздо более полезны, чем усложненные
теории с большими претензиями на «точность». Мы знаем
Питти Синг (героиня оперетты «Микадо»), у которой
Ее тонкий вкус,
Я сказать боюсь,
Весьма с болезнью схож,
о
82

Современные инженеры в своей деятельности должны
преодолевать эту болезнь.
Полукруглый стержень — это всего лишь игрушка, но
она вводит нас в курс вполне реальной проблемы
«галопирования» линий электропередачи. При некоторых
метеорологических условиях' провода линий
электропередачи, протянутые между пилонами, иногда колеблются с
весьма большими амплитудами и низкими частотами.
Такое явление наблюдалось, например, в северных областях
Северной Америки, когда в морозные зимы провода
покрывались льдом и поперечное сечение проводов
приобретало такую форму, что под действием ветра возникали
автоколебания. Это галопирование напоминает
упоминавшиеся в гл. II колебания линий передачи, пересекавшей
реку Северн, однако рассматриваемые колебания имеют
иную природу: провода, протянутые над рекой Северн,
были свободны от каких бы то ни было наростов.
Исходя из высказанных выше соображений
относительно компенсации сил трения возбуждением, можно
ожидать, что стержень, изображенный на фото XIX,
раскачивается с соответствующей частотой собственных
колебаний. Но стержень имеет несколько собственных форм
низкочастотных колебаний, а движение происходит лишь
по одной из них; стержень может совершать колебания
вдоль оси, параллельной потоку, или перемещаться вдоль
собственной оси, или поворачиваться относительно своего
центра таким образом, что когда один из его концов
поднимается, другой конец опускается. Таким образом, при
изучении возможности самовозбуждения колебаний
необходимо иметь в виду, что система может «выбрать» любую
из своих форм собственных колебаний, включая и
комбинации этих форм. Неудивительно поэтому, что
неизвестные виды автоколебаний, как правило, не удается заранее
точно предвидеть.
§ 4.2. Флаттер
Существует много способов самовозбуждения
колебаний; некоторые из таких процессов значительно сложнее,
чем в рассмотренном только что примере. Это
объясняется тем, что не всегда, хотя и в большинстве случаев,
самовозбуждение можно трактовать просто как устранение
трения. Эффективные значения массы и жесткости системы
83

также могут претерпевать изменения, но эти изменения
более сложны, чем в системе, где просто изменены масса
или жесткость. Измененные эффективные значения массы
и жесткости по-прежнему определяют собственные частоты
и формы, но роль этих последних обычно не столь проста,
как в случае колебаний, рассмотренных в гл. П.
Колебания стержня полукруглого сечения,
изображенного на фото XIX, называют колебаниями системы с одной
степенью свободы. Это означает, что движение
совершается по одной форме, и соответствующее перемещение
системы «стержень — пружины» можно охарактеризовать
одной переменной величиной, например, отклонением
центра тяжести стержня от своего среднего положения.
Рассмотрим теперь такой тип автоколебаний, которые могут
существовать лишь в случае возбуждения более чем одной
степени свободы. В этом случае все положения, которые
принимает система в процессе колебаний, могут быть
описаны лишь при помощи более чем одной переменной
величины.
Как и в предыдущем примере, автоколебания
вызываются потоком жидкости, но их бесспорная практическая
роль вряд ли нуждается в специальных пояснениях. На
фото XX показана прежняя демонстрационная модель, но
стержень полукруглого сечения заменен моделью профиля
крыла. Длинная гибкая опора позволяет крылу
перемещаться вверх и вниз как жесткому целому (таким же
образом движется и стержень полукруглого сечения); это
движение соответствует первой степени свободы. Движение,
соответствующее второй степени свободы — это поворот
крыла вокруг своей оси, сопровождающийся деформацией
тонкой листовой пружинки; при таких колебаниях
изменяется наклон крыла относительно набегающего потока.
Система имеет и другие степени свободы (так, крыло
может перемещаться параллельно потоку), но они не играют
существенной роли. При достаточно высокой скорости
потока крыло совершает вертикальные колебания, и
одновременно происходят изменения угла наклона крыла
относительно набегающего потока (угла атаки). Это
—пример классического флаттера —- движения, происходящего с
двумя степенями свободы.
Колебания с двумя степенями свободы, которые
возбуждались у рассмотренной модели, могут (хотя, к
счастью, это происходит не всегда) возбуждаться и у крыльев
84

самолета1). Флаттер может возникать также у лопастей
вертолетов и лопаток турбомашин. На практике явление
флаттера служит объектом обширных исследований;
условие отсутствия флаттера часто является одним из
основных требований при проектировании.
Мы видели, что в рассмотренной системе
автоколебания происходили по двум формам. В авиационных
конструкциях иногда наблюдается такой флаттер, при котором
в движение вовлекается и большее число форм колебаний.
Однако, прежде чем перейти к более широкому описанию
явления флаттера, рассмотрим подробнее колебания
системы, изображенной на фото XX.
Отклонения рассматриваемой системы от равновесного
состояния, соответствующие двум степеням свободы,— это
поступательное перемещение и поворот профиля.
Предположим, что оба эти отклонения изменяются во времени по
синусоидальному закону с одинаковой частотой, причем
поворот опережает поступательное перемещение на
четверть цикла. Тогда при движении профиля вверх
передняя кромка располагается выше задней кромки
(положительный угол атаки), а при движении профиля вниз —
ниже ее (отрицательный угол атаки). В первом случае
вертикальная составляющая силы, действующей на профиль
со стороны потока, направлена вверх, во втором случае —
вниз. Таким образом, поток воздуха приводит к
«раскачке» колебаний профиля2). Движение профиля
схематически изображено на рис. 34. Внимательное рассмотрение
колебаний, показанных на фото XX, показывает, что при
флаттере действительно имеет место указанная разность
фаз. Таким образом, рассматриваемая система
неустойчива.
Описанный механизм флаттера связан с тем
обстоятельством, что поворот профиля приводит к появлению
аэродинамической силы, стремящейся изменить величину
поступательного перемещения, тогда как поступательное
!) В реальных крыльях самолетов движение, соответствующее
одной из этих форм, связано с изгибом крыла, а движение,
соответствующее второй форме,— с кручением крыла; поэтому такой
флаттер называют изгибно-крутпльным. (Прим. перев.)
2) Читатель может самостоятельно убедиться в том, что если
бы поворот и поступательное перемещение были в одной фазе, то
воздушный поток в пределах каждого цикла в равной мере
способствовал бы и противодействовал развитию колебаний.
85

перемещение не вызывает аэродинамических сил, которые
стремились бы изменить величину поворота. В этом
состоит основная особенность, характерная не только для
рассматриваемой задачи, по и вообще для классического
флаттера «связанных» систем. Математически этот факт
выражается н несимметрично» тл связей между колебаниями
различных форм.
Не следует, однако, думать, что все самолеты настолько
склонны к флаттеру, что в любой момент могут упасть па
Напрадление доздушнпго потопа
Рис. 34.
землю. Действительно, первые годы развития авиации
были омрачены авариями, вызванными флаттером, однако с
тех пор всегда принимаются тщательнейшие меры по
предотвращению таких катастроф.
Возникновение флаттера связано с «выбором формы
флаттера», для которой выполняются определенные
соотношения между амплитудами и фазами колебаний,
соответствующих различным степеням свободы. Условие
возникновения флаттера зависит от скорости потока1).
Предположим, что скорость изменяется. От скорости потока зависит
величина энергии, получаемой системой за один цикл
колебаний, и величина энергии, рассеиваемой за цикл
вследствие внутреннего и аэродинамического демпфирования.
Когда отношение этих величин энергии становится равным
единице, в системе могут установиться колебания постоянной
амплитуды; соответствующая скорость самолета
называется критической скоростью флаттера. Каждой из
возможных форм флаттера соответствует своя критическая
скорое гь, и все расчеты флаттера проводятся с целью
удостовериться, что наименьшая из критических скоростей с
достаточным запасом превышает максимально возможную
скорость полета.
]) Л также от плотности и температуры воздуха.
86

Даже если расчет предсказывает возможность
возникновения флаттера в условиях эксплуатации, то еще не все
потеряно. Существуют, вообще говоря, три пути борьбы с
флаттером.
Первый способ основан на таком изменении
характеристик системы, при котором достигается независимость
колебании, соответствующих различным степеням
свободы, причем демпфирование всех этих различных форм
колебаний положительно. Так, можно добиться того, чтобы
поворот осп профиля, изображенного на фото XX,
относительно продольной оси сечения слабо зависел от
вертикального перемещения оси. Для этого нужно, чтобы ось
занимала определенное положение, а распределение
массы по сечению профиля удовлетворяло определенному
условию.
Другой способ заключается в увеличении собственных
частот конструкции за счет увеличения отношений
жесткость/масса отдельных ее частей. Этот способ основан на
том, что энергия, получаемая системой при флаттере за
один цикл колебаний, почти не зависит от частоты, тогда
как энергия, рассеиваемая за один цикл, пропорциональна
частоте. Поэтому у данного самолета частота колебаний
при флаттере не может превышать некоторого
определенного значения.
Два рассмотренных метода обычно используются в
практике самолетостроения; эти методы носят довольно
специализированный характер, и мы не будем больше их
затрагивать. Третий метод борьбы с флаттером,
вызываемым аэродинамическими силами, не всегда эффективен,
однако мы рассмотрим его подробнее, так как он часто
используется для устранения других видов автоколебаний.
Этот метод заключается в демпфировании системы.
Увеличивая трение в системе, склонной к флаттеру
(т. е. увеличивая энергию, рассеиваемую за один цикл
колебании заданной амплитуды), можно, как правило,
повышать критическую скорость системы. Колебания системы,
изображенной на фото XX, можно было бы подавить,
увеличив трение в подшипниках (например, погрузив их ч
масло); фактически эта демонстрационная установка
работает лишь благодаря тому, что при ее изготовлении были
приняты тщательные меры по снижению сил трения.
Подобная ситуация имеет место почти во всех случаях:
самовозбуждение обычно удается предотвращать путем
8/

демпфирования системы тем или иным подходящим
способом. Трудности самолетостроителей были бы не столь
велики, если бы требования аэродинамики не диктовали
характерную форму самолетов: из-за этого инженеры не
могут вводить достаточное демпфирование в необходимых
местах. Однако некоторые виды автоколебаний могут
подавляться таким способом; позднее мы вернемся к этому
вопросу.
Интересно сопоставить этот последний метод
подавления автоколебаний с рассмотренными ранее методами
борьбы с вынужденными колебаниями. Лучший способ
устранения вынужденных колебаний — это изменение
собственной частоты системы в ту или иную сторону
(отстройка от резонанса); увеличение демпфирования в этом
случае является лишь паллиативом. Возникает
естественный вопрос — чем должен руководствоваться инженер при
выборе того или иного метода в каждом конкретном
случае? Ответ на этот вопрос зависит от частоты колебаний.
Если она все время совпадает с частотой какого-либо
внешнего возмущения, то колебания являются
вынужденными, и следует воспользоваться отстройкой от резонанса.
Если же частота колебаний не определяется в такой мере
внешними факторами (при этом во многих случаях близка
к собственной частоте), то имеют место автоколебания,
и отстройка окажется менее эффективной, чем
демпфирование.
Известно большое количество типов флаттера
самолетов. Некоторые из них довольно сложны, например, у
самолетов со стреловидными крыльями. Строго говоря, при
флаттере вибрирует вся конструкция самолета, однако при
классификации типов флаттера можно это обстоятельство
не учитывать, сосредоточив внимание на тех частях
конструкции самолета, колебания которых играют
преобладающую роль. Один из первых типов флаттера, с которым
пришлось столкнуться в практике,— это довольно простой
антисимметричный флаттер рулей высоты, при котором
рули колеблются в противофазе, как ножницы.
Должно быть очевидным, что расчеты критических
скоростей флаттера составляют существенный этап
проектирования самолета; без этих исследований вылет самолета
недопустим. Быть может, проблема флаттера потребовала
от инженеров больше сил и средств, чем все остальные
проблемы механических колебаний вместе взятые. Созда-
88

ние каждого нового самолета связано с необходимостью
решения проблемы флаттера, причем, как следует из
сказанного выше, трудности решения этой проблемы
возрастают с увеличением скоростей полета. Отметим также, что
полеты со сверхзвуковыми скоростями и скоростями, при
которых достигается «тепловой барьер», ставят перед
инженерами-самолетостроителями дополнительные
трудности. Сложные проблемы вибраций возникают также при
создании ракет и космических кораблей; многие из этих
проблем связаны с самовозбуждением колебаний.
Можно убедиться, какую важную роль играет разность
фаз между обобщенными координатами (в
рассматривавшемся примере — между перемещением и поворотом) при
флаттере системы с двумя степенями свободы. Сопоставим
рис. 35 и 34. На рис. 35 изображена последовательность
Положение 1 $ с—и
^ ^с-Г>С===::^
Направление пот от жидкости 7
относительно профиля
Рис. 35.
положений, занимаемых стабилизирующей лопастью,
предназначенной для ослабления качки морских судов. В этом
случае «перемещение» возникает вследствие качки судна,
а поворот задается специальным двигателем, который
управляется чувствительным устройством, установленным на
судне.
Многие лица, от которых можно было бы ожидать
лучшего понимания, разделяют нелепое поверхностное
мнение о том, что прогресс достигается за счет совместной
работы «чистых» ученых, подающих идеи, и инженеров,
проводящих эти идеи в жизнь. Хороший исследователь
флаттера должен принимать серьезные решения, выступая
в роли и физика, и математика, и инженера; даже для
простого количественного описания деформаций самолета
необходимо тщательно овладеть сложными математическими
методами. Быстрый прогресс в любой отрасли техники —
и не только в исследовании флаттера — возможен лишь
89

При условии, что исследователи могут переходить не
вполне четкую границу между «чистой» и «прикладной»
наукой, может быть, даже ие отдавая cede в этом отчег.
§ 4.3. Ограничение амплитуды автоколебаний
В рассмотренных до сих пор примерах автоколебаний
амплитуда движения не влияет на причины
самовозбуждения колебаний. Это означает, что в таких случаях
существует постоянное стремление к росту амплитуды, и если
оно не будет ограничено, то колебания станут весьма
интенсивными, и конструкция может полностью
разрушиться. Многие разрушившиеся конструкции служат
памятниками автоколебаниям, хотя практика показывает, что
полное разрушение наступает далеко не во всех случаях.
Сухое трение в дверной петле может вызвать скрип
двери. В этом случае мы имеем дело с
самовозбуждающимися колебаниями, поскольку дверь все время движется в
одном направлении; тем не менее здесь вовсе не
происходит какого бы то ни было неограниченного роста
колебаний, который приводил бы к поломке петли. Движение
смычка по скрипичной струне вызывает ее автоколебания,
однако струна вовсе не рвется. Если в системе, показанной
на фото XIX, погрузить нижние концы пружин в сосуды
с маслом, то под действием потока воздуха стержень по-
прежнему будет раскачиваться, но уже не так интенсивно,
как прежде. Другими словами, амплитуду этих
автоколебаний тоже удается ограничить. Возможно, что полностью
погрузив пружины в масло, мы смогли бы вообще
предотвратить самовозбуждение колебаний.
Ограничение роста амплитуды автоколебаний
свидетельствует о том, что в процессе увеличения амплитуды
влияние факторов, приведших к самовозбуждению
колебаний, снижается и в конце концов падает до нуля. В
результате достигается стационарное состояние,
характеризуемое равенством значений энергии, потребляемой и
рассеиваемой системой за один цикл колебаний. График
колебательного процесса имеет вид кривой, показанной на
рис. 36; изображенная здесь кривая представляет собой
запись поперечных перемещений четырехколесной
тележки, полученную в эксперименте, относившемся к
«виляющим» колебаниям при движении по рельсу.
90

То обстоятельство, что рост интенсивности
автоколебаний во многих случаях ограничен, еще не позволяет нам
игнорировать такие колебания, так как они могут, тем
не менее, приводить к неприятным и опасным
последствиям.
С другой стороны, автоколебания ограниченной
амплитуды могут быть полезны. В качестве примеров укажем на
автоколебания в скрипке (и вообще в духовых и струнных
инструментах), а также в таких устройствах, как
электрический звонок и часы.
Если самовозбуждение колебаний вызвано такими
причинами, существование которых не зависит от амплитуды
Рис. 36.
колебаний, то автоколебательный процесс можно
математически описать при помощи линейных
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Мы не
будем здесь разъяснять точное значение этого термина;
укажем лишь, что уравнения такого типа сравнительно
просты (хотя в случае системы с большим числом
степеней свободы вычисления могут быть достаточно
громоздкими). Если же причины самовозбуждения зависят о г
амплитуды колебаний, то естественно ожидать, что
математическое описание процессов будет более сложным. В
таких случаях дифференциальные уравнения системы
нелинейны, и их решение связано с рядом принципиальных
математических трудностей.
Сказанное вовсе не означает, что инженеру всегда
приходится заниматься математическими исследованиями
задачи об автоколебаниях ограниченной амплитуды. Как
правило, задача инженера состоит в том, чтобы вообще
исключить возникновение колебаний. При решении этой
задачи он может пользоваться линейной теорией,
основанной на рассмотрении начальной стадии возникновения
колебаний; в этих случаях исследование, проводимое с
учетом дополнительных факторов, ограничивающих рост
амплитуды автоколебаний, представляет лишь
академический интерес.
91

Значение предыдущего опыта с системой,
изображенной на фото XIX, состоит в следующем. Наливая масло в
сосуды, мы ограничиваем амплитуду автоколебаний. При
малых амплитудах влияние масла невелико: в начале
процесса колебаний всего один-два витка пружины
погружаются в масло. Однако при возрастании амплитуды
колебаний число погруженных витков увеличивается, и
демпфирующее влияние масла сказывается все в большей степени.
Если бы задача состояла в полном предупреждении таких
колебаний за счет демпфирования, то следовало бы
изучить трение во всей системе прп малых колебаниях (а не
только трение в сосудах с маслом). После этого можно
было бы предсказать, возможно ли самовозбуждение вообще.
Строго говоря, свойства системы, изображенной на
фото XIX (когда в сосуды налито масло), при больших
колебаниях отличаются от свойств той же системы при малых
колебаниях. Дело в том, что при интенсивных колебаниях
изменяется одна из характеристик системы — а именно,
рассеяние энергии, причем увеличение сил трения
непропорционально росту амплитуды колебаний. Система имеет
«переменные характеристики»; этим вопросом мы
займемся позднее, а здесь укажем лишь, что во многих случаях
ограничение амплитуды автоколебаний можно считать
второстепенным явлением, не представляющим
непосредственного интереса. Прямое исследование автоколебаний
как задачи о системе с переменными характеристиками
обычно весьма затруднительно; к счастью, такая
постановка задачи далеко не всегда необходима для инженера.
§ 4.4. Некоторые автоколебательные системы
Для самовозбуждения колебаний системы необходим
источник энергии, а также некоторый физический канал
отбора энергии от источника и превращения ее в энергию
колебаний. В настоящей главе мы больше не будем
учитывать влияния факторов, ограничивающих амплитуды
колебаний. Другими словами, мы будем заниматься лишь
«линейными» задачами о возникновении автоколебаний;
то обстоятельство, что рост амплитуды этих колебаний в
конце концов ограничивается, нас интересовать не будет.
Прежде всего, однако, рассмотрим одип вопрос,
связанный с рассеянием энергии. Сила трения (сопротивления),
действующая, скажем, на лезвие ножа, разрезающего па-
92

Сило
тения
Скорость
скольжения
току, может быть представлена зависимостью,
характеризуемой прямой А на рис. 37. Чем выше скорость, тем
больше сила сопротивления; при изменении направления
движения изменяется и направление силы, препятствующей
движению лезвия. Такого рода зависимость, по-видимому,
характерна для сил трения в простых механических
колебательных системах. Рассеяние энергии есть, так сказать,
свойство системы, характеризуемое углом наклона графика
скорость — сила трения (подобного прямой А на рис. 37).
В настоящей главе мы
рассмотрим примеры
таких автоколебательных
явлений, которые могут
быть объяснены (пусть
хотя бы и грубо) исходя
из предположения о
«вязком» трении,
характеризуемом прямой А.
Однако
самовозбуждение колебаний может
возникать из-за трения
совершенно другого
типа. Прямые В
характеризуют трение между двумя твердыми сухими
поверхностями. Как и в предыдущем случае, сила трения меняет
свое направление с изменением направления движения,
однако здесь величина этой силы практически постоянна;
иногда зависимость силы сухого трения от скорости более
точно определяется зависимостью типа штриховой кривой
С, показанной на рис. 37. Здесь существенно то, что
трение, определяемое зависимостями типа В и С, не
соответствует системе с постоянными характеристиками. Сила
трения не может быть охарактеризована единым
параметром, присущим системе (в случае вязкого трения таким
параметром является коэффициент пропорциональности
между силой трения и скоростью). Сейчас это
обстоятельство представляется мало существенным, однако в гл. VI
мы убедимся, что оно играет важную роль. Выше мы уже
упоминали некоторые автоколебательные системы с сухим
треняем (скрипящая дверная петля и струна скрипки).
Вернемся к системам, автоколебания которых могут быть
исследованы исходя из предположения о вязком трении.
В рассмотренных выше примерах источником энергии
Рис. 37.
93

служил поток жидкости. Однако это ни в коей мере не
означает, что взаимодействие с потоком жидкости
является единственно возможной причиной самовозбуждения
колебаний. Другой тип автоколебаний иллюстрируется
установкой, изображенной на рис. 38. Ролик, укрепленный нч
конце гибкой металлической полосы, опирается на ленту
из стекловолокна. При
увеличении скорости
движения ленты
наступает такой момент,
когда ролик начинает
интенсивно «вилять» из
стороны в сторону.
Аналогичные явления
иногда наблюдаются и у
Рис. 38. электрокаров для
перевозки мешков с почтой
на железнодорожных станциях. Как показывают
наблюдения над установкой, колебания, несомненно, происходят
по двум степеням свободы. Однако можпо показать, что в
случае ролика с податливой шиной движение существенно
усложняется.
Как показывает фото XXI, рассматриваемая проблема
не столь уже несерьезна, как это можно было бы
заключить на основании приведенных выше примеров. При
проектировании шасси некоторых самолетов возникают
серьезные трудности вследствие опасности автоколебаний
носового колеса. Пути окончательного решения этой
проблемы до сих пор не вполне ясны. Поступление энергии,
необходимой для возникновения автоколебаний,
обеспечивается за счет кинетической энергии движущегося
самолета; грубое представление о характере движения дает
демонстрационная установка, изображенная на рис. 38.
К этой проблеме близка проблема «виляния» прицепов,
буксируемых автомобилями. Движение такого типа
имитируется игрушечной собакой, показанной на фото XXII.
Устройство с вибрирующим валом, изображенное на
фото XTII, может быть приспособлено для демонстрации
автоколебаний. Заменив стальной вал другим валом,
имеющим высокий коэффициент внутреннего трения
(например, стержпем, плотно вставленным в металлическую
трубку), можно коренным образом изменить поведение
системы. Как и прежде, при разгоне вала вначале дости-
94

гается первая критическая скорость. Однако колебания не
исчезают и при дальнейшем увеличении скорости
вращения, причем форма оси вала независимо от величины
скорости вращения продолжает соответствовать первой
собственной форме.
Укажем прежде всего, что необходимая для колебаний
энергия поступает от двигателя. Что же касается
механизма, который превращает эту энергию в энергию
колебаний, то он может быть найден в тех дополнительных си-
чах трения, которые возникают на поверхности
вращающегося вала. Поверхности контакта трутся друг о друга,
и при этом возникают силы трения, значительно большие,
чем в материале однородного стального вала. Заметим, что
рассматриваемые здесь колебания не связаны с наличием
каких-либо неправильностей формы или
неуравновешенности вала. Мы здесь не будем углубляться в причины
неустойчивости такого вида; заметим лишь, что вовсе
необязательно было рассматривать систему с сухим трением:
такой же эффект можно было бы получить, если бы
удалось создать вал с большим вязким трением.
Следует заметить, что в рассмотренном только что
примере неустойчивость возникает не столько вследствие
возрастания внутреннего трения, сколько за счет увеличения
отношения между коэффициентами внутреннего и
внешнего трения (т. е. трения об окружающую среду). Путем
достаточного увеличения внешнего трения можно вновь
добиться устойчивого вращения ротора с плотно надетой
трубкой.
Каждый хороший инженер знает, что никогда не
следует поддаваться панике под влиянием теоретических
соображений: технический прогресс часто требует
определенной смелости, а теория порой оказывается в роли
Иеремии1). С другой стороны, было бы неразумно абсолютно
игнорировать предсказания теории — в конце концов, она
для того и существует, чтобы предсказывать факты.
Рассмотрим поэтому вопрос, который может причинять
инженерам немало хлопот.
Вернемся к ротору, изображенному на рис. 25, и
расскажем о проблеме, с которой могут столкнуться
инженеры.
1) Иеремия — библейский пророк, предвещавший беды п
несчастья. (Прим. перев.)
95

На стальном роторе турбогенератора закреплены
медные полосы, которые вставляются в продольные пазы
ротора и тщательно покрываются изоляцией. Во время
вращения могут возникать силы сухого трения между
полосами и стенками пазов. Если под действием этих сил
громадный ротор турбогенератора будет вести себя таким
же образом, как и рассмотренный выше вал с насаженной
трубкой, то вследствие усталости материала может
произойти разрушение ротора. Действительно, первая
критическая скорость ротора турбогенератора соответствует
примерно тысяче оборотов в минуту; при числе оборотов
3000 об/мин угловая скорость ротора близка ко второй
критической скорости и, следовательно, система недалека от
областей возможной неустойчивости. При поломках
роторов куски металла весом до нескольких тонн разлетаются
на десятки метров, нередко пробивая толстые кирпичные
стены. Разумеется, перспектива в этом вопросе далеко не
так мрачна, как может показаться с первого взгляда, но все
же остается много оснований для размышлений.
Некоторые поезда при движении по рельсам начинают
интенсивно раскачиваться. Попытки объяснить причину
этого сложного явления всегда вызывали дискуссии, и в
середине пятидесятых годов был даже объявлен
международный конкурс на решение этой задачи1). Для
инженера-расчетчика раскачивающийся поезд представляется
сплошным кошмаром; здесь приходится иметь дело с
большим числом неизвестных (и притом изменяющихся) же-
сткостей, масс, зазоров и коэффициентов трения, причем
сущность обстоятельств, приводящих к колебаниям, до сих
пор полностью не выяснена.
Не вдаваясь в подробности этой удивительно сложной
задачи, рассмотрим поведение модели «железнодорожного
экипажа», изображенной на фото XXIII. Модель ходовой
части состоит из двух двухосных тележек, которые
катятся на колесах с резиновыми «шинами» по наклонным
металлическим рельсам; к тележкам прикреплены пружины,
оказывающие сопротивление повороту тележек
относительно вертикальных осей. При достаточно высокой
скорости прямолинейное движение экипажа становится
неустойчивым, и реборды колес начинают ударяться о боко-
1) Конкурс не дал результатов, и, учитывая его условия, этого
следовало ожидать.
96

вые поверхности рельсов. Этот процесс является,
по-видимому, автоколебательным, поскольку на систему не
действуют никакие периодические внешние возмущения;
источником энергии служит движущийся экипаж.
Грубое описание явления может быть получено на
основании изучения сил, возникающих вследствие местных
деформаций колес и рельсов в точках контакта. Эти силы
определяются примерно такими же математическими
выражениями (хотя и в несколько необычной форме), как
и силы вязкого трения. Модель ведет себя как
«несимметричная» система; в этом отношении ее поведение сходно
с поведением профиля, изображенного на фото XX.
Критическая скорость движения экипажа, соответствующая
возникновению неустойчивости, может быть увеличена за
счет повышения жесткостей подвесок, препятствующих
повороту тележек относительно вертикальных осей;
демпфирование колебаний поворота не дает существенных
результатов.
§ 4.5. Самовозбуждение колебаний тел в потоке жидкости
Мы уже привели ряд примеров колебаний твердых
тел, возникающих при обтекании тел потоком жидкости.
Вообще говоря, жидкость может протекать и не снаружи,
а внутри конструкции: известны, например, случаи
вибраций труб нефтепроводов; резиновый шланг, по которому
протекает вода, начинает иногда беспорядочно
раскачиваться. Рассмотрим некоторые другие примеры
автоколебаний, возникающих при действии потока жидкости
на тела.
На фото XXIV показана высокая стальная дымовая
труба, не имеющая кирпичной обкладки. Подобные
стальные дымовые трубы обходятся значительно дешевле
кирпичных (при одинаковых размерах) и обладают рядом
других преимуществ. После установки показанной на
фотографии трубы выяснилось, что под действием ветра она
начинает раскачиваться, причем эти колебания вызываются не
отдельными порывами, а ветром постоянной силы.
Причина колебаний заключалась в флуктуациях давления,
возникавших вследствие периодического отрыва вихрей; отрыв
происходил поочередно с противоположных сторон трубы,
и после своего возникновения эти колебания
«самоподдерживались».
4 Р. Бишоп
97

У некоторых других дымовых труб описанное явление
отрыва вихрей приводило к возникновению колебаний
другого типа: ось трубы сохраняла вертикальное положение,
а оболочка «дышала», изменяя форму своего поперечного
сечения. Это — волнующее зрелище.
Явление поочередного отрыва вихрей от
противоположных сторон препятствия, обтекаемого воздушным потоком,
послужило объектом большого числа исследований, но еще
не получило полного объяснения. Однако в настоящее
время с очевидностью установлено, что след за
обтекаемым телом периодически перемещается из стороны в
сторону.
Описанное выше явление раскачивания дымовых труб
гораздо сложнее, чем это может показаться после простого
объяснения. Прежде всего следует указать, что
раскачивание возникает, когда частота отрыва вихрей близка к
первой собственной частоте колебаний трубы. Такое движение
грубо можно трактовать как вынужденные резонансные
колебания. Однако в действительности процесс является
автоколебательным, так как колебания трубы (после того
как они начались) до некоторой степени определяют
частоту отрыва вихрей.
Один из способов борьбы с раскачиванием дымовых труб
заключается в укреплении этих труб при помощи
растяжек; на растяжках желательно ставить демпфирующие
приспособления. Такой способ был применен и для трубы,
показанной на фото XXIV. Разумеется, колебания дымовой
трубы можно демпфировать и другим способом — выложив
ее кирпичной кладкой. Однако в рассматриваемой
проблеме особенно интересно, что бороться с колебаниями можно
совершенно иным способом, а именно — устраняя механизм
возникновения возмущающей силы. Как видно из фото
XXV, на стенках трубы можно укрепить геликоидальные
насадки, которые настолько изменяют распределение
вихревых зон, что стенки освобождаются от какого-либо
регулярного возбуждения.
Отрыв вихрей слуяшт причиной ряда интересных
вибрационных явлений. Если, например, при движении
подводной лодки в погруженном состоянии перископ начнет
раскачиваться подобно дымовой трубе, то изображение в
перископе становится расплывчатым. Однако в этом случае
положение дел сравнительно простое, поскольку поток
жидкости имеет определенное направление относительно
98

лодки; колебания можно устранить, поставив специальную
«разделительную пластинку» (рис. 39).
Известен случай, когда в стальном цилиндрическом
резервуаре с водой возникли волны большой амплитуды. Это
движение было вызвано ветром, сопровождавшимся
отрывом вихрей от наружной поверхности резервуара.
Провода линий электропередачи колеблются под
действием ветра также вследствие отрыва вихрей. Эта проблема
весьма серьезна, так как
в местах крепления про- —— Разделительна*
водов к опорам возника- ^ ^—^ пластинка
ют значительные
усилия, которые могут при- ^
водить к усталостным
разрушениям. Устра- —*-~
нить механизм отрыва
вихрей не представляет- **"
ся возможным, посколь- Рис. 39,
ку любой выступ на
поверхности провода
приводит к образованию коронного разряда (такой разряд
очень красив ночью, но вызывает большие потери
электроэнергии). Мы уже упоминали эту проблему; на фото XVI
показаны демпферы, назначение которых состоит в том,
чтобы не допустить усталостного разрушения проводов в
местах их крепления к опорам.
Однако наиболее широкую известность, безусловно,
приобрели автоколебания Такомского моста. Этот мост
простоял всего несколько месяцев и разрушился осенью
1940 г. На фото I показан вид моста во время колебаний.
Вихри отрывались от несущей конструкции проезжей
части, имевшей сечение в форме горизонтально поставленной
буквы I. После длительных исследований мост был
воздвигнут вновь с конструктивными изменениями,
относившимися, в частности, к формам поверхностей, обдуваемых
ветром (демпфирование играло второстепенную роль).
Таким способом удалось устранить механизм, который
приводил к образованию возмущающих нагрузок.
Естественно, что инженеры-строители с очень большим
вниманием отнеслись к Такомской катастрофе; подобная
авария вряд ли повторится в ближайшее время. Это не
означает, однако, что можно совсем забыть о колебаниях
висячих мостов под действием ветра. Интересный случай
99

таких колебаний (в несколько ином виде) имел место при
постройке пилонов моста через реку Ферт-оф-Форт.
На фото XXVI показан северный пилон моста.
Строительство этого пилона проходило без происшествий до тех
пор, пока он не был доведен до высоты порядка 120 м. На
этой стадии строительства сооружение, ранее
выдерживавшее действие ветра со скоростями до 130 км/час, начало
раскачиваться при умеренном ветре, имевшем скорость
30—50 км/час; эти колебания затрудняли проведение работ
па вершине пилона. Когда была достигнута полная высота
сооружения, составляющая 150 м, амплитуда колебаний
верхней части превосходила один метр при частоте около
XU цикл/сек. Эти колебания вызывали раскрытие
горизонтальных соединений между нижними сварными
секциями.
Путем устаповки демпфирующих растяжек удалось
существенно (до 15 см) снизить амплитуду колебаний и тем
самым обеспечить возможность нормального ведения
строительных работ. Затем к верхней части сооружения были
подвешены вспомогательные лестницы, необходимые для
монтажа основных тросов моста. Установка этих лестниц
оказала демпфирующее воздействие, причем настолько
сильное, что пилон уже не раскачивался даже после
снятия растяжек. Расчеты показали, что явление колебаний
отдельно стоящего пилона была чисто временным; эти
колебания возникли лишь при весьма специальных
условиях обтекания пилона ветром, а у полностью законченного
моста такие колебания оказались невозможными.
Прогресс в области создания новых конструкций
турбореактивных двигателей лимитируется рядом факторов,
и в том числе способностью лопаток компрессора работать
при тяжелых условиях пагружения. Лопатки компрессора
подвержены различного рода вибрациям. Один из видов
вибрации — так называемый «срывной флаттер» — это
явление, сходное по своей природе с эффектом, показанным
на рис. 32 (регулярный отрыв вихрей здесь не играет
роли) . И вообще создание плавного течения жидкости из
области низкого давления в область высокого давления (а в
этом и состоит назначение компрессора) — задача
достаточно сложная, так как жидкость вместо того, чтобы
спокойно течь по предназначенным для нее каналам,
обнаруживает тенденцию отрываться от поверхностей, образуя
при этом зоны с беспорядочно движущимися вихрями.
100

Условия течения газа в компрессорах, приводящие
к возникновению вибраций лопаток, до сих пор не вполне
ясны. Однако с достаточной уверенностью можно считать,
что увеличение трения в материале лопаток должно
оказывать благоприятный эффект. Поэтому для увеличения
трения в местах крепления лопаток предусматривают
демпфирующие приспособления; иногда лопатки специально
изготовляют из волокнистых полимерных материалов (вместо
обычно используемых высококачественных сплавов).
Известны случаи самовозбуждения прецессионных
колебаний гибких высокоскоростных роторов, установленных
на подшипниках скольжения. Возникновение этих
автоколебаний связано с особой ролью масляной пленки
подшипников, а источником энергии служит двигатель ротора;
однако механизм такого рода неустойчивости до сих пор не
вполне ясен. Подшипники скольжения обладают целым
рядом преимуществ, и во многих случаях не могут быть
заменены подшипниками других типов. Однако
длительные прецессионные изгибные колебания ротора, подобного
изображенному на фото XIV, возникающие вследствие
неустойчивости движения в масляном слое, могут
представить серьезную опасность. Добавим, что с такого рода
неустойчивостью можно бороться, лишь опираясь на
практический инженерный опыт.
На фото XXVII показан кофейник медицинской школы
Университетского колледжа. Если этот кофейник, имеющий
несколько закругленное основание, поставить на горячую
плиту, то он начинает раскачиваться. Источником энергии
здесь служит нагревательный элемент, а энергия
поступает в форме тепла. Для объяснения указанного явления
потребовалось бы рассмотреть процессы, происходящие
в жидкости внутри кофейника (отметим, что жидкость
необязательно должна кипеть — кофейник раскачивается и
в том случае, когда жидкость имеет невысокую
температуру) . Таким образом, кофейник не только позволяет
приготовлять превосходный кофе, но и служит примером,
иллюстрирующим сложность физических процессов,
приводящих к самовозбуждению колебапий. Кроме того, возможно
огромное множество других путей самовозбуждения
колебаний.

Глава V
УДАРЫ И ВОЛНЫ
Образование — изумительная вещь, но хорошо
время от времени помнить, что невозможно
изучить все то, что достойно изучения.
Оскар Уайльд
Любое «вечное» периодическое возбуждение, даже
сложной формы, как на рис. 2, может быть разложено на
ряд синусоидальных составляющих (гармоник).
Колебания, создаваемые каждой из этих гармоник, можно
исследовать аналогично тому, как это описано в гл. III.
Естественно возникает вопрос: «Что будет с системой в случае
непериодического возбуждения?». Так, например,
землетрясение может разрушить дом в течение короткого промежутка
времени.
В этой главе мы рассмотрим колебания систем,
возбуждаемых непериодическими силами. Следовательно, мы
столкнемся, в частности, с проблемой «удара» (очень
важной в технических приложениях). Поскольку при
действии удара продолжительность возмущения ограничена, и
вызванные ударом колебания с течением времени
затухают, то такие колебания принято называть
нестационарными.
Некоторые нестационарные колебания можно строго
рассматривать с помощью представлений об упругих
волнах, распространяющихся в материале системы. Как мы
увидим, эти понятия в принципе не противоречат
понятиям о вибрациях, которые мы изучали, а иногда дают более-
ясную картину происходящих явлений.
§ 5.1. Нестационарные колебания
Характеристики системы, совершающей свободные
колебания, имеют весьма важное значение при анализе систем,
находящихся под воздействием нестационарного
возбуждения. При ударе по гонгу колотушкой, обшитой кожей,
колотушка находится в контакте с гонгом лишь в течение
102

короткого промежутка времени. После этого в гонге
возникают свободные колебания, и он издает хорошо известный
нам звук. Свободные колебания гонга имеют различные
собственные формы, каждая пз которых обладает своей
частотой. Колебания этих различных форм постепенно
затухают вследствие внутренних сил трения в материале гонга
(гонг подвешен таким образом, что демпфирование в
опорах мало), а также вследствие излучения энергии в форме
звука. Несколько иной звук будет получен, если по гонгу
ударить не обтянутой кожей колотушкой, а деревянной
палкой. Свободные колебания в этом случае будут иными,
поскольку интенсивность колебаний, соответствующих
разным формам, будет отличаться от первого случая.
Виды нестационарных колебаний, встречающихся в
технике, многочисленны и разнообразны. Подвеска
автомобиля, например, подвержена нестационарным колебаниям при
торможении или ускорении его хода. Такие же колебания
возникают при ударе двери об упор.
Если здание расположено близко к центру взрыва, то
взрывная волна может его разрушить; однако анализ
действия взрывной волны выходит за пределы темы данной
книги. С другой стороны, если здание находится на
достаточном расстоянии, то оно может испытать лишь сотрясение.
Когда атомная бомба была взорвана над Японией в конце
второй мировой войны, это чудовищное оружие разрушило
большое число сооружений, по — удивительное
исключение — многие высокие трубы оказались неповрежденными.
На фото XXVIII показан город Нагасаки, снятый
с точки, над которой разорвалась бомба (около одной мили
в стороне от центра группы заводских труб). На фото
видны несколько труб, которые выстояли, несмотря на общее
опустошение вокруг них. Причина этого обстоятельства
будет ясна из последующего изложения.
Нестационарные колебания, обусловленные взрывной
волной, внешне мало похожи на колебания транспортных
средств, возникающих в них, например, при проезде через
мост. Предположим, что таким транспортным средством
является автомобиль, масса которого пренебрежимо мала по
сравнению с массой моста. Конструкция моста подвержена
действию постоянной силы (весу автомобиля),
передвигающейся по мосту. Ясно, что под действием этой нагрузки
мост будет прогибаться, причем место наибольшего
прогиба будет меняться, поскольку автомобиль не стоит на месте.
103

Однако если через мост проходит паровоз, то он
увеличивает общую массу системы, в которой устанавливаются
колебания. Это значительно осложняет анализ (в данном
случае вопрос дополнительно осложняется тем, что мост
испытывает регулярно повторяющиеся удары локомотива
вследствие специфики его ведущего механизма).
Самолеты подвержены нестационарным нагрузкам.
Наиболее наглядным примером является удар, получаемый
самолетом при его первом соприкосновении с землей при
посадке. Аналогичное возбуждение имеет место в случаях,
если самолет испытывает действие порыва ветра или
пролетает через область турбулентной атмосферы.
Как мы видели, ротор, подобный показанному на рис.
25, а, приводится во вращение паровой турбиной,
совершающей 3000 об/мин, чтобы получить переменный ток со
стандартной частотой 50 герц. Часть роторной системы,
показанной на рисунке, представляет собой большой
электромагнит с северным и южным полюсами. Электрический
ток, питающий этот электромагнит, подводится к ротору
через контактные кольца. Ротор вращается внутри статора,
представляющего собой стальную конструкцию с
установленными в ней электрообмотками. В этих обмотках
образуется электрический ток, который затем подается в линию
передачи. При внезапном изменении электрической
нагрузки на статор (и, как крайний случай,— при коротком
замыкании) вращающийся магнит подвергается действию
нестационарного крутящего момента. Этот крутящий
момент, изменение которого во времени зависит от характера
изменения нагрузки, создает внезапное кручение вала, что
в свою очередь приводит к крутильным колебаниям
турбины относительно ротора. Эти колебания накладываются
на движение, обусловленное стационарной рабочей
скоростью вращения ротора.
В последние несколько лет инженеры изучают
проблемы непериодических нагрузок, выясняя как
действительный характер нагрузок, так и их влияние на динамику
системы. Интенсивность этих исследований постоянно
возрастает,— ведь даже поверхностное представление об
апериодических переменных силах, возникающих в судах,
самолетах, автомобилях, мостах и других инженерных
сооружениях, подчеркивает значительность проблемы.
Так много примеров, где возникают нестационарные
возбуждения! Как же мы сможем изучить все это? Теперь
104

уже нельзя ограничиться рассмотрением «стандартного»
синусоидального возбуждения, и, очевидно, всякое обобщение
будет более затруднительным. Поэтому давайте сделаем
несколько простых опытов.
Мы видели, что процесс нестационарных колебаний
состоит из двух этапов: на первом этапе действует
возбуждение, а на последующем, втором этапе происходят
свободные колебания
системы. Здесь мы ограничимся
рассмотрением только
таких систем, которые
совершают колебания основной
формы. В этом случае
свободные колебания
являются просто одночастотными
затухающими колебаниями
(очень близкими к
собственной частоте системы).
Учитывая, что
систематическое изучение
нестационарных колебаний
достаточно сложно, грубо
оценим, какие явления будут
иметь место, если
изменить свойства системы,
определяющие процесс
свободных колебаний. На
основании предыдущего изложения можно утверждать, что
частота, форма колебаний и демпфирование весьма важны
и для других колебательных явлений в системе. Ясно, что
характеристики свободных колебаний являются
определяющими на втором этапе нестационарного процесса, но
возможны случаи, когда они также важны в течение и первого
этапа (т. е. когда на систему действует нестационарное
возбуждение).
На рис. 40 приведена принципиальная схема части
демонстрационной установки. Установка состоит из возду-
хонагиетательного патрубка А, к соплу которого
присоединена камера В. Впереди камеры размещен маятник,
представляющий собой металлический стержень, на одном
конце которого укреплена пластинка С. При открытии
затвора камеры струя воздуха действует на пластину и
раскачивает маятник. Частоту свободных колебаний плас-
Рис. 40.
105

тины С можно уменьшать, присоединяя к верхнему концу
маятника (над точкой подвеса) некоторую
дополнительную массу. При установившейся скорости подачи воздуха
и заданном режиме открывания затвора камеры амплитуда
колебаний маятника определяется величиной
дополнительной массы. Необходимо отметить три следующих
вывода, вытекающих из этого опыта:
1) инерционность маятника возрастает с
присоединением к маятнику дополнительной массы над точкой его
подвеса; 2) допустимо считать, что аэродинамические
силы, действующие на пластину, остаются более или менее
одинаковыми независимо от наличия дополнительной
массы, присоединяемой к верхнему концу маятника; 3) хотя
длительность аэродинамического импульса остается более
или менее неизменной и определяется скоростью работы
затвора, но отношение этой длительности к собственному
периоду колебаний маятника изменяется с
присоединением массы (потому что период колебаний существенно
изменяется). Эти три обстоятельства мы должны учитывать
при анализе нестационарных (переходных) нагрузок.
В прошлом транспортировка чувствительных приборов
ставила перед инженерами ряд проблем, например, таких,
как перевозка по железной дороге большой радиолампы
с предъявлением к железной дороге неразумно
осложняющего задачу требования «беречь от удара». Один из
возможных путей решения задачи состоит в специальной
упаковке транспортируемого объекта в прочный брезентовый
г.гешок с подвеской его на мягких пружинах внутри
деревянного контейнера. Если контейнер случайно упадет, то
система упаковки внутри контейнера получит весьма
большие деформации, поскольку пружины подвески мягкие и
этим обеспечивается некоторая защита перевозимого
объекта. Учитывая это, инженеры выбирают параметры системы
упаковки, следуя соображениям, отмеченным в связи
с рис. 40. В частности, задают очень низкую частоту сво
бодных колебаний системы, расположенной внутри
контейнера; тогда деформащги самого транспортируемого
объекта оказываются незначительными.
При другом широко распространенном способе
транспортировки чувствительные приборы упаковываются в
легко деформируемый материал (например, пенопласт).
Эффективность этого метода может быть легко
продемонстрирована. Так, например, даже при сильном ударе о сто-
106

ну не удается разбить электрическую лампочку (илияйцо),
упакованную надлежащим образом в мягкий полистерол.
Еще более впечатляющая демонстрация может быть
выполнена с падающим грузом. Если груз весом в два
килограмма упадет с высоты около одного метра, то он
способен повредить кусок толстого дерева и, очевидно,
излишке спрашивать, не побеспокоил ли груз того, кто решился
положить свою руку на стол под падающий груз. Но этот
же груз может упасть па руку, не причиняя боли, если
рука лежит на столе под резиновой губкой, толщиной,
скажем, 10—12 см, В этом маленьком опыте мы не только
изменили продолжительность действия возмущающей
нагрузки и первую собственную частоту системы,
подверженной удару, но также весьма существенно изменили
демпфирование системы. Это особый фактор, который
также необходимо учитывать при анализе нестационарных
колебательных режимов.
§ 5.2. Медленное и мгновенное действие
нестационарного возбуждения
Теперь мы начинаем понимать, что проблема
нестационарного возбуждения в принципе оказывается довольно
сложной. Одна из наших забот связана с тем, что трудно
найти метод для обобщения результатов. Однако
некоторые обобщения возможны на основании данных о
продолжительности действия нестационарной нагрузки. Здесь мы
оставим в стороне вопросы возможных изменений системы
для ослабления эффекта ударной нагрузки, а рассмотрим
лишь влияние скорости, с которой ударная нагрузка
действует на систему.
Вначале рассмотрим случай «медленного» приложения
нестационарной нагрузки — без резких скачков.
Предположим, что заметное изменение нагрузки происходит за
время значительно большее, чем основной период
свободных колебаний системы. В таком случае можно считать,
что отклонения системы происходят так, как если бы сила
была приложена статически. Насколько важен этот вывод
для технических приложений, можно показать на простом
примере из области транспортного строительства.
Предположим, что автомобиль движется с постоянной
скоростью по прямой дороге, а затем входит в закругление,
потом выходит из него и вновь движется по прямому
107

участку пути. При входе автомобиля в закругление
внезапно возникает боковая сила инерции, стремящаяся
свернуть автомобиль с дороги. Иначе говоря, автомобиль
неожиданно отклоняется в сторону и возникают его
колебания на рессорах; эти колебания будут постепенно
затухать. Выйдя из закругления, автомобиль вновь начинает
совершать боковые колебания, но в этом случае они
происходят относительно нового положения равновесия и
возникают в результате внезапного исчезновения боковой
силы инерции.
Все это причиняет некоторые неудобства (хотя,
конечно, водители инстинктивно стремятся уменьшить этот
эффект, несколько меняя линию движения). По этой
причине на поворотах трассы делается постепенный переход от
дуг окружностей к прямым участкам посредством
«переходных» кривых. Нарастание боковой силы от нуля до ее
максимального значения в этом случае происходит более
медленно. Если время, в течение которого происходит
возрастание силы, может быть сделано во много раз большим
по сравнению с основным периодом колебаний
движущегося автомобиля, то водитель не будет ощущать колебаний, а
лишь почувствует медленные изменения положения
автомобиля относительно его подвески.
С -Дуга о нежности ^s^ §
S = f/рямолинейный участок ^4v.
Т Переаодная придал ^>
Рис. 41.
Если каждый поворот автотрассы образуется дугой
окружности и двумя переходными кривыми, то изменение
кривизны оказывается настолько незначительным, что
становится незаметным на аэрофотоснимках. Довольно
крутой поворот сделан на Донкастерской окружной
автотрассе, но тем не менее он представляет собой достаточно
плавную линию, изображенную на рис. 41. Даже в этом
случае различие между дугами окружностей и
переходными кривыми весьма незначительно.
Если автомобиль проезжает через препятствие, то его
колеса совершают вертикальное движение определенной
108

продолжительности. Эти колебания не передаются
непосредственно на пассажира благодаря податливости шин л
рессор. Можно сказать, что колеса подвергаются
нестационарному возбуждению. Под действием этого
возбуждения рессоры деформируются, что приводит к свободным
колебаниям автомобиля и подпрыгиванию пассажиров вверх
и вниз1). Здесь вновь возникает вопрос о «медленной» и
«внезапной» нагрузке. Если автомобиль медленно
проезжает через горбатый мост, то эго не помешает беседе
пассажиров. Но еслп автомобиль имеет большую скорость и
очень быстро переезжает через такой мост, то последствия
частично зависят от того, когда в последний раз пассажиры
принимали пищу; это уже не медленное возбуждение.
Другим крайним случаем нагружения,
противоположным «медленному», является кратковременное
приложение нагрузки. В этом случае сила действует настолько
быстро, что весь процесс нагружения заканчивается
значительно раньше, чем выполняется полный цикл
свободных колебаний системы основной частоты. Иногда такой
случай нагружения называют «импульсной» нагрузкой.
Из законов механики следует, что приобретаемое под
действием силы количество движения системы равно
импульсу силы. После приложения импульса в системе
устанавливаются свободные колебания с начальной
скоростью, которая была сообщена системе импульсом.
Свободные колебания постепенно затухают, чем и
завершается процесс. За короткое время действия нагрузки система
почти не деформируется, и максимальное перемещение
достигается лишь позже, уя^е в процессе свободных
колебаний. Возможно, именно по этой причине сохранились
после атомного взрыва показанные на фото XXVIII
дымовые трубы.
Как мы увидим ниже, особенности действия
мгновенной нагрузки требуют особого метода изучения проблем;
естественно, что этот метод основан на анализе волновых
процессов. Оставляя на время «медленные» и «быстрые»
нестационарные процессы, бегло отметим прежде всего
следующую проблему, имеющую важное практическое
значение. Поскольку эта проблема не относится к случаям
«медленной» или «мгновенной» нагрузки, то нетьзя
1) Однако этп колебания быстро затухают благодаря
демпферам. Еслп с автомобиля снять демпферы, то пассажиры б\дут
ощущать медленно затухающие качания.
109

принять упрощающих предположений и даже вообще
невозможно предсказать форму возбуждения.
Речь идет о важной проблеме землетрясений и их
воздействия на сооруя^ения в сейсмических районах
(например, таких, как страны, окружающие бассейн Тихого
океана). Антисейсмическое строительство приобрело недавно
особенное значение потому, что Япония — промышленная
страна с высокой плотностью населения и ограниченными
запасами ископаемого топлива — приняла решение о
расширенной программе строительства атомных
электростанций. Япония подвержена сильным землетрясениям,
поэтому конструкция и оборудование атомной
электростанции должны быть спроектированы тщательно и притом
так, чтобы предупредить опасность действия
радиоактивности на людей в случае возникновения землетрясения в
районе электростанции.
§ 5.3. Свободные волны напряжений
Один или два раза мы уже сталкивались с
проблемами, лежащими на границе между исследованиями
вибраций и исследованиями других смежных вопросов.
Каждый раз мы ненадолго останавливались у этой границы и
вновь возвращались к исходной проблеме. Теперь мы
подошли к границе, которую надо пересечь.
Рассмотрим нестационарные колебания в системе, где
необходим учет более чем одной формы колебаний.
Хорошим примером может служить длинная веревка для
сушки белья, один конец которой закреплен неподвижно, а
другой удерживается в руке. Если свободный конец
натянутой веревки очень медленно поднимать и опускать, то
вся веревка также будет медленно подниматься и
опускаться; такие движения мы называли в I главе «качкой»;
когда рука останавливается, движение веревки
прекращается, дополнительные колебания не появляются; впрочем,
длинную веревку очень трудно перемещать настолько
медленно, чтобы в ней не возникли эти колебания.
Предположим теперь, что движение руки совершается
несколько быстрее, чем в первом случае. При этом
возбуждаются колебания веревки и когда рука
останавливается, веревка продолжает совершать свободные колебания
как первой, так и высших форм. Таким образом, можно
заставить колебаться веревку, почти точно по первой фор-
110

ме, если перемещать ее конец вверх и вниз с частотой,
приблизительно равной ее первой собственной частоте, а
затем мгновенно прекратить движение конца веревки.
Такой же прием мы применяли в разделе 2.1. И таким же
способом (теоретически) можно возбудить колебания
веревки второй, третьей и т. д. форм.
Посмотрим теперь, что произойдет, если свободному
концу веревки сообщить быстрое отрывистое движение,
длительность которого во много раз меньше периода
первой формы колебаний веревки. Мы могли бы ожидать
возникновения свободных колебаний веревки нескольких
форм (возможно, и очень высоких). На самом же деле
оказывается, что возбуждение, сообщаемое веревке,
наблюдается в виде «волны», бегущей вдоль веревки. Волна
достигает закрепленного конца веревки и, отражаясь от
него, вновь возвращается к руке, где снова отражается
и т. д., до тех пор, пока окончательно не затухнет под
действием внутренних сил трения веревки.
Описанное явление достойно внимания. Мы видим, что
быстрое отрывистое движение конца веревки создает
волну, бегущую попеременно из конца в конец веревки. Но
мы также знаем, что в веревке возникают свободные
колебания различных форм. Хотя представления о
наложении этих колебаний не особенно просты, но в чем мы
можем быть уверены, так это в том, что они содержат
большое число высших форм. Визуально наблюдать волны
высоких форм колебаний затруднительно.
Остановимся на выборе способа наблюдения
описанного явления. Для этой цели необходима низкочастотная
система, имеющая несколько собственных частот и такие
геометрические размеры, чтобы можно было бы ясно
видеть процесс движения. Такой демонстрационной моделью
может служить вертикально подвешенная к потолку
длинная стальная полоса, поперек которой на равных
расстояниях закреплены балки, как показано на рис. А2. Балки
могут отстоять друг от друга па расстоянии около 0,3 м
и иметь примерно вдвое большую длину. На концах балок
размещены дополнительные массы для увеличения сил
инерции при поворотах полосы. Такая металлическая
полоса может служить маятником крутильных колебаний.
С его помощью можно наблюдать, как начальное
закручивание основания полосы передается вверх, отражается и
вновь передается вниз.
Ш

о
о
О
О
о
о
Рпс. 42.
Представление движения в виде бегущей волны
значительно проще довольно сложного представления через
формы колебаний, и было бы неразумно пренебрегать им.
В частности, оно справедливо при двух следующих особых
условиях. Первое из них состоит в том, что граница сис-
стемы, вдоль которой бежит
волна, весьма далека от
источника вомущений. Второе
заключается в том, что
система должна быть достаточно
«вязкой» для гашения волны,
прежде чем она достигнет
удаленной границы. При этих
условиях возврат весьма
слабой отраженной волны не
осложнит картины изучаемого
явления. Для выполнения
этих условий в случае
бельевой веревки ее длина должна
составлять несколько миль;
тогда, дернув за ее свободный
конец, можно наблюдать бегущую волну, которая никогда
не возвратится. Конечно, хорошо известен и другой
весьма наглядный опыт с камнем, падающим в пруд.
Небольшие волны, возникающие в результате падения камня,
постепенно ослабевают, пока совсем не исчезнут, так и не
достигнув берега, и следовательно, не возвращаются в
точку падения камня. В подобных случаях можно говорить
о «свободных волнах», возникающих в результате
начального возмущения.
Когда мы начинаем обдумывать явления этого вида, мы
сталкиваемся с множеством новых понятий. Некоторые из
них относятся к «волнам знания» («волнам информации»).
Так, почти без сомнений можно указать на идею о
передаче информации посредством волны. Бельевую
веревку (как и маятник крутильных колебаний) можно также
сделать передатчиком сведений в виде деформаций.
Довольно впечатляющую иллюстрацию такой передачи
информации можно получить с помощью длинной
спиральной пружины, подвешенной к высокому потолку и
спускающейся вниз к полу. К свободному концу пружины
подвешен какой-либо предмет. Если этот предмет взять в руку и
затем быстро передвинуть вверх на некоторое расстояние,
42

скажем, на 30 см, то по пружине будет передаваться
«информация» о том, что предмет находится в положении,
куда его поместили. Предмет будет оставаться
неподвижным до тех пор, пока волна, распространяясь по пружине,
не отразится от потолка и не возвратится обратно. При
достаточном удалении предмета от границы он так ff
останется неподвижным.
Такое представление о передаче информации
подсказывает пное объяснение причины предохранения
предметов, упаковываемых в пенопласт. Когда пакет падает, то
импульс удара, возникающего на поверхности упаковки,
не достигает упакованного объекта, так как волна
деформации затухает в результате большого демпфирования.
«Информация» может быть передана волной в форме
напряжений. Если по одному концу упругого стержня
ударить молотком, то возникающая при этом деформация
передается па его другой конец. Предположим, что
стержень имеет коническую форму и сделан из хрупкого
материала, плохо сопротивляющегося растяжению. Если
ударить по такому стержню у основания конуса, то
возникающая при этом волна будет распространяться по
стержню (как волна сжимающих напряжений) к
вершине конуса; достигнув вершины, волна отразится (в виде
волны растягивающих напряжений) и пойдет обратно к
основанию стержня. Эти напряжения могут привести к
разрушению стержня.
Аналогичные явления могут быть хорошо
проиллюстрированы с помощью монет, уложенных в ряд на дне
гладкого желоба. Если 20 помещенных в желоб монет
касаются друг друга, и одну из них вынуть и ударить
ею по остальным монетам, то окажется, что с заднего
конца вылетает последняя мопета. Если сделать то же с
двумя монетами, то с заднего конца желоба вылетят две
монеты и т. д. В этом опыте можно считать, что монеты
представляют собой модель упругой волны,
распространяющейся по линии уложенных монет от ударяющей к ударяемой.
В некоторых случаях естественно возникает мысль о
барьере. Предположим, например, что г, цехе установлен
тяжелый молот. Всякий раз, когда молот падает, у его
основания возникают свободные волны, Пттт волны создают
готрясеппе других машин или могут вызывать другие
неприятности. Существуют ли какие-нибудь пути
ограничения свободной волны и предотвращения ее
распространена

ния? Легко показать, что желаемый результат может быть
получен, если машина установлена на соответствующие
виброизоляторы. Однако т га дающий молот не только
вызывает сотрясение грунта, но и создает свободные волны,
передаваемые по воздуху. Можно ли их устранить? Этот
вопрос связан с важной проблемой звукоизоляции.
Несомненно, что в ближайшие годы вопросы прикладной
акустики приобретут особое значение.
Как мы уже видели, на волновых представлениях
основан определенный способ рассуждений, позволяющий
перейти к углубленному изучению темы. Таков, например,
вопрос об отражении волн, хотя он был опущен при
рассмотрении колебаний. При определенных условиях форма
волны, распространяющейся в упругой среде, изменяется.
Кроме того, отдельные волны легче передаются на
поверхности тела, чем внутри него. Ясно, что распространение
свободных волн в твердых телах и жидкости представляет
очень большую тему
§ 5.4. Вынуждаемые волны напряжений
Выше мы рассмотрели интересные эффекты,
проявляющиеся при распространении упругих волн в удлиненных
телах, т. е. телах, размеры которых велики по сравнению
с упругими перемещениями. Эти эффекты особенно
наглядны, если закрепленная граница упругого тела далека
от источника возмущения и если внутреннее
демпфирование тела настолько велико, что упругая волна гасится
прежде, чем она отразится от закрепленной границы к
источнику возмущения. Как мы увидим ниже,
представления о распространении упругих волн имеют еще более
важное значение.
Вернемся еще раз к примеру с длинной веревкой,
закрепленной одним концом. Предположим, что свободный
конец веревки подвержен небольшим регулярным
повторным встряхиваниям. Если веревка достаточно длинна и
возникающие в ней колебания эффективно
демпфируются, то колебания веревки можно наблюдать только
вблизи ее свободного конца. Возникающая при этом волна
распространяется по веревке от подвижного конца, но
благодаря демпфированию затухает, не достигая закрепленного
конца. Это явление аналогично распространению звука на
114

открытом воздухе: источник звука создает колебания
воздуха, распространяющиеся от источника в пространство
в виде волн. Однако если удалиться достаточно далеко от
источника, звук становится неслышным вследствие
существенного его ослабления в трехмерном пространстве и
затухания, вызываемого малыми силами трения.
Описанные явления можно назвать «вынуждаемыми
волнами»; терхмин «вынуждаемые» применяется потому,
что в этом случае возмущение имеет неограниченную
продолжительность и является периодическим. Кроме
особенности, состоящей в механизме передачи звуковых
волн, вынуждаемые волны, в сущности, весьма обычны.
Так, например, вибрирующая машина в цехе возбуждает
колебания фундамента. Ясно, что эти колебания
представляют собой вынуждаемые волны, которые
передаются от машины к фундаменту и увеличивают уровень
шума. Один из возможных способов снижения уровня этого
шума основан на применении специальных
виброизолирующих опор, устанавливаемых между машиной и
фундаментом, как показано на фото XXIX.
Те, кто плавал под водой в озере, могли заметить, что
шум двигателя моторной лодки очень отчетливо
передается под водой на большие расстояния. Наилучший способ
обнаружения подводных лодок основан на улавливании
этих звуковых волн. Чтобы скрыть место расположения
подводной лодки, необходимо устранить излучение
звуковых волн вибрирующего двигателя в воду. При
конструировании машин подводных лодок прикладываются
огромные усилия по предотвращению распространения звуковых
волн (вынуждаемых волн) подводных лодок.
Мы уже видим, что представление о свободных волнах
не сводится к представлению о свободных колебаниях сразу
нескольких высших форм. При изучении вынуждаемых
волн мы, в сущности, рассматриваем вынужденные
колебания. Но это вынужденные колебания особого рода:
их частота гораздо выше основной собственной частоты
данной колебательной системы. Точнее говоря, частота
колебаний превосходит все собственные частоты системы
и, следовательно, в этом случае нет форм, которые могут
попадать в резонанс. Однако в практически одинаковой
близости к резонансу одновременно находится множество
форм, что приводит к локальной деформации системы в
зоне действия возбуждения.
По

Следует помнить, что под «вынужденными
колебаниями» мы понимаем движение, вызванное таким
возмущением, существование которого не зависит от того, может
или не может это возмущение сообщить системе
движение. Иными словами, в этом случае возмущение не
зависит от того, колеблется ли или нет возбуждаемая система.
Это возбуждение не обязательно должно быть
гармоническим, оно также может иметь и случайный характер.
Все сказанное справедливо и для вынуждаемых волн.
Сильный шум, например, может вызвать вибрации
конструкции, расположенной на некотором удалении от
источника шума. Это иллюстрируется на фото XXX, где
показана разрушенная нервюра самолетного крыла. Шум
реактивных двигателей, действуя на поверхность хвоста
самолета, возбудил его вибрации. Такое случайное
возбуждение создало вынуждаемые волны, передаваемые
конструкциям самолета. Это и привело к усталостному
разрушению нервюры вследствие возникших в ней
напряжений.
Исследование вынуждаемых случайных волн еще
только начинается. Если имеется возбуждение подобное
тому, которое вызвало повреждение, показанное на фото
XXX, то в самолете возникают случайные вынуждаемые
волны, которые распространяются в нем от точки
приложения возмущения. Если волны вызывают повреждения,
то обычно они происходят где имеются резкие изменения
формы детали. Поэтому можно определенно утверждать,
что повреждения связаны с отражением вынуждаемых
волн напряжений. Возникает вопрос, подчиняются ли
вынуждаемые волны тем же законам, что и свободные?
Отвечая на этот вопрос, отметим, что, вообще говоря,
вынуждаемые волны подчиняются тем же правилам, что
и свободные, но при этом существует одно
принципиальное различие между этими двумя видами волн. Если
вынуждаемая волна возникает в результате какого-либо
синусоидального возмущения, то частота колебаний
соответствует собственной частоте. Следовательно, хотя
вынуждаемые волны могут отражаться и преломляться так же,
как и свободные волны, они обладают некоторыми
свойственными им особенностями. Одна из них (эффект Доппле-
ра) заключается в том, что звук, создаваемый движущимся
источником, имеет различную высоту (частоту) в
зависимости от того, приближается ли наблюдатель к источнику
116

или удаляется от него. Тон свистка локомотива для
неподвижного наблюдателя меняется, когда поезд
проносится мимо него.
В следующем параграфе мы рассмотрим один частный
случай, когда частота вынуждаемых волн может иметь
важные последствия. Как мы увидим, при высокой
частоте волна передает большую энергию.
§ 5.5. Ультразвуковые колебания и волны
Мы видели, что представление о нестационарное™,
естественно, привело к понятию «свободной волны». Кроме
того, мы также установили, что возмущение, вызывающее
волну напряжений, может быть синусоидальным,
следовательно, возмущение создает синусоидальные колебания во
всех точках тела, по которому распространяется волна
(«вынуждаемая волна»).
Рассмотрим теперь вопрос об использовании этих
волн, главным образом в жидкостях и твердых телах.
Совсем недавно инженеры получили новое техническое
средство — «ультразвук». Ультразвуковые волны в
принципе не отличаются от слышимых звуковых волн, но
имеют более высокую частоту. Колеблющаяся поверхность
передает энергию колебаний воздуху, а воздух передает эту
энергию в виде вынуждаемой волны. Когда волна
достигает наших ушей, то мы воспринимаем ощущение звука,
вызванного вибрирующей поверхностью, если частота
колебаний лежит в пределах от 18 до 18 000 герц. Если
вибраторы создают волны более высоких частот, то хотя их
природа, в сущности, такая же, как и «слышимых» волн,
мы не можем их слышать, и поэтому по аналогии они
называются ультразвуковыми. Ультразвуковые волны
обладают рядом замечательных свойств; одно из них
заключается в том, что они могут передавать существенно
большую энергию из одной точки в другую по сравнению с
обычными звуковыми волнами.
Известно, что в полете летучие мыши для ориентации
пользуются отражением ультразвуковых волн,
создаваемых специальными органами, которые могут колебаться с
частотой до 70 000 герц. Их уши реагируют на такую
высокую частоту, и поэтому летучая мышь, издавая
ультразвуковые волны, может слышать их отражение от
препятствий, возникающих на пути ее полета.
117

Собаки также могут слышать некоторые
ультразвуковые волны. ДопустихМ, что человек дует в свисток Галь-
тона1), создающий волны с частотой, превышающей
18 000 герц; в то время как стоящий рядом другой человек
услышит только слабое шипение, собака может услышать
свист на расстоянии до полутора километров.
Ультразвуковые волны можно сделать более «проникающими» по
сравнению с обычными звуковыми волнами в том смысле,
что они легче образуют направленный пучок, подобно
лучу света от карманного электрического фонарика. Эта
способность концентрации волн в один луч
увеличивается с ростом частоты. В то время как радиорепродуктор
колеблется с частотой нескольких сотен герц, и эффек-
1ивность его излучения одинакова во всех направлениях,
колебания кристалла, частота которых может превышать
миллион герц, создают ультразвуковые волны, которые
могут образовывать прямолинейные лучи, подобные
световым лучам. Как и световые лучи, ультразвуковые лучи
могут отражаться плоским зеркалом (или
фокусироваться вогнутым) без большой потери мощности. В сущности,
звуковые и ультразвуковые волны подчиняются всем
обычным законам волнового движения. Им, так же как и
световым волнам, свойственны, например, отражение,
преломление, дисперсия, интерференция и дифракция.
Однако продемонстрировать и использовать указанные
свойства ультразвуковых волн значительно легче, чем
обычных звуковых волн, так как длина ультразвуковой
волны во много раз меньше обычных звуковых волн;
поэтому для экспериментов можно применять весьма малые
зеркала, линзы, дифракционные решетки и так далее.
Как мы увидим ниже, ультразвуковые волны имеют
некоторые совершенно неожиданные и полезные
особенности. Но прежде всего поставим вопрос, как могут быть
созданы эти волны, имея в виду, что для этого необходимо
возбудить колебания некоторой поверхности с частотой
по крайней мере 18 000 герц?
Получение ультразвуковых волн возможно чисто
механическим путем, например, с помощью свистка Галь-
1) Короткая цилиндрическая трубка, закрытая с одного конца,
предназначенная для получения высоких тонов (от 3000 до
30 000 герц), которые могут плавно изменяться при плавном
изменении длины трубки с помощью микрометрического винта.
A/рим. перев.)
118

тона; к другим механическим приборам, посредством
которых можно создать ультразвуковые волны, относятся
сирены и камертоны, применяемые для настройки
музыкальных инструментов. Однако в настоящее время
механические возбудители ультразвуковых волн нигде не
применяются, поскольку они не настолько эффективны и
удобны, как специальные электромеханические приборы.
Наиболее распространенный тип возбудителя основан
на явлении «магнитострикции»; физические размеры
соответствующего металлического тела изменяются при
действии на него магнитного поля. Простейшим
ультразвуковым генератором такого типа является
обыкновенный никелевый стержень, колеблющийся с первой
резонансной частотой под действием переменного
магнитного поля, образуемого переменным током фиксированной
частоты, протекающим через витки катушки, внутри
которой находится стержень. Такой возбудитель имеет узел
посередине длины и максимальную амплитуду
продольных перемещений на концах стержня, один из которых
будет представлять собой излучающую поверхность.
Амплитуда колебаний излучающей поверхности может быть
около 0,01 мм. Наиболее распространены магнитострик-
ционные преобразователи с частотным диапазоном от
5000 до 50 000 герц. Существенно более высокие частоты
можно получить на основе пьезоэлектрического эффекта,
с помощью специального кристалла, вырезанного падле-
жащим образом. Кристалл, который обычно представляет
собой маленькую прямоугольную пластинку из кварца
или кусочек титаната бария, изменяет свои размеры под
действием приложенной к нему разности потенциалов.
Кристалл соответственно закрепляется и затем в нем
возбуждаются резонансные колебания под действием
переменного напряжения, прикладываемого к его
поверхности, которая посеребрена для обеспечения электрического
контакта. Кристаллические генераторы ультразвуковых
колебаний удобно применять в диапазоне частот о г
250 000 до 2 000 000 герц.
Иногда применяются кристаллические генераторы, в
которых кристалл подвержен не резонансному, а
нестационарному возбуждению. В этом случае на кристалл
последовательно подаются электрические «импульсы»
высокого потенциала. Один такой импульс создает в кристалле
«звучание», подобное колокольному звону весьма высокой
119

частоты. Затем колебания затухают в результате
излучения энергии в пространство от поверхности
кристалла в виде нестационарной ультразвуковой волны
напряжения," и в меньшей мере в результате демпфирования.
Когда колебания полностью затухнут, на кристалл
подается следующий электрический пмпульс. В
действительности все это происходит весьма быстро,— в Велико-
Г'ритании принята основная частота 50 импульсов в
секунду.
Теперь мы знаем, как получить луч переменного
напряжения, который может быть либо в виде
повторяющегося синусоидального сигнала ультразвуковой частоты,
либо в виде ряда последовательных импульсов, каждый
из которых имеет ультразвуковую частоту. Такие
направленные лучи имеют широкое применение, причем самым
важным является, пожалуй, навигация. Волны
генерируются аппаратурой, установленной на судах, и излучаются
в море. Отражаясь от подводных препятствий, от дна
моря, или от других судов, волны затем вновь возвращаются
к аппаратуре; посредством измерения времени
определяют расстояние, которое проходит ультразвуковой луч.
Таким образом, мы пользуемся ультразвуком точно так же,
как и летучие мытаи. Эхолот также применяется для
обнаружения косяков рыбы.
Еще раз вернемся к ротору генератора переменного
тока, показанного на фото XIV; он изготовлеп путем
механической обработки стальной поковки. Напряжения,
возникающие в роторе при его вращении, весьма велики,
и поэтому было бы весьма опасным допустить скрытые
трещины или раковины в теле ротора. Для исследования
неоднородности таких поковок перед их обработкой
пользуются ультразвуковыми волнами; волны отражаются
трещинами и другими неоднородностями и доставляют
пенную информацию о внутренних скрытых дефектах
металла.
Оказывается, что мощность, передаваемая волной
заданной амплитуды через единицу площади,
пропорциональна квадрату частоты. Поэтому ультразвуковые волны
могут передавать значительно большую мощность через
площадку в одни квадратный дюйм, чем звуковые волны.
Мощность, передаваемая лучом ультразвука, может быть
сконцентрирована путем фокусировки, например,
направлением волны вдоль перевернутого рупора или конусооб-
120

разного куска металла. Таким путем можно получить
весьма мощные высокочастотные колебания, которые
могут быть использованы для проведения ускоренных
усталостных испытаний.
Эти колебания имеют некоторые примечательные
особенности. Например, ультразвуковой генератор в
сочетании с металлическим конусообразным фокусирующим
стержнем может играть роль «сверлильной машины». Для
этого к вершине конуса прикрепляется достаточно
прочный металлический стержень. Если добавить абразивную
пасту, то благодаря продольным колебаниям этот стержень
проходит сквозь очень прочные материалы, такие как
стекло или инструментальная сталь. Этим методом
одинаково легко просверлить как квадратное, так и круглое
отверстие, поскольку «сверло» не вращается.
Попытки фокусировать луч ультразвука в жидкости
привели к ограниченным успехам. Слишком высокая
концентрация энергии приводит к ее повышенному
рассеянию в результате процесса кавитации. В жидкости
содержится большое число пузырьков газа, и при кавитации
эти пузырьки быстро растут и лопаются. Весь процесс
кавитации сложен, его эффект приводит к появлению
внутри жидкости точек с очень высоким давлением. Не только
ультразвук приводит к образованию кавитации жидкости;
кавитация обычно происходит в гидравлических машинах,
особенно на поверхностях судовых гребных винтов.
Можно полагать, что процесс кавитации — это как бы
попытка жидкости препятствовать установлению в ней
напряжений.
Значительная локализация областей высокого
давления обладает как некоторыми весьма полезными, так и
некоторыми неудобными свойствами. Если эти области
находятся недалеко от поверхности, то они приводят к
разрушению металла. Действительно, из-за этой причины
происходят повреждения поверхности мощного
помещенного в воду ультразвукового генератора. С другой
стороны, это разрушительное свойство можно использовать для
получения эмульсий таких жидкостей как масло и вода,
которые обычным путем не смешиваются. Кроме того,
кавитация убивает бактерии, и поэтому ультразвук можно
применять для стерилизации. Наконец, кавитацией
можно воспользоваться в процессе плавки алюминия,
поскольку процесс плавки обычно нарушается в результате
121

Окисления; кавитация с помощью ультразвуковых
колебаний позволяет производить пайку алюминия.
Некоторые из упомянутых эффектов иллюстрируются
при помощи фото XXXI. Магнитострикционный генера-
юр А погружен в воду п создает устойчивый
ультразвуковой луч, который отражается от плоской поверхности
(«зеркала») В и затем поступает на вогнутую
поверхность («рефлектор») С; рефлектор С фокусирует луч в
точке на поверхности жидкости, налитой в сосуд,
установленный непосредственно под рефлектором. Можно
легко показать, насколько узок луч пугем медленного
вращения зеркала В; луч не достигнет рефлектора С до тех
пор, пока не будет тщательно установлен угол зеркала В.
Мы видели, что фокусировка ультразвукового луча в
жидкости может приводить к процессу кавитации. В
данном случае вследствие кавитации возникает небольшой
фонтанчик на поверхности воды, как это показано на
фото.
Имеется много других применений ультразвуковых
волн. Ультразвуковая терапия помогает страдающим
ревматизмом. Зубные камни могут быть удалены врачом с
помощью ультразвукового вибратора; металлические
детали, опущенные в растворитель, могут быть весьма
эффективно очищены, если их подвергнуть облучению.
Ультразвук применяется даже для ускорения процесса
брожения при изготовлении винно-водочных изделий.

Глава VI
СЛОЖНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Нельзя понять, почему спящий не может
слышать собственный храп.
Марк Твен
Благодаря определенным свойствам большинства
колебательных систем, оказалось возможным
классифицировать следующие типы колебаний: свободные колебания,
вынужденные колебания, автоколебания и т. и. В
значительной степени мы пользовались этими типами, как
основой при построении изложения. Имеются, однако, такие
колебания, которые нельзя отнести ни к одному из
рассмотренных нами типов; постараемся понять, в чем тут
дело. Вкратце это объясняется либо тем, что свойства
колебательных систем подвергаются изменениям с течением
времени, либо тем, что их конфигурация существенно
меняется в процессе колебаний. Например, когда ребенок
раскачивается на качелях, то поднимая и вытягивая ноги
и наклоняясь вперед и назад, он систематически меняет
распределение своей массы.
§ 6.1. Постоянные и переменные характеристики
Собственная частота колебаний маятника в довольно
широких пределах практически не зависит от амплитуды,
при условии, что амплитуда колебаний невелика.
Подсчитав, например время 50 полных колебаний и поделив
результат на 50, мы сможем с хорошей точностью
определить период колебаний, а следовательно, и частоту. Если
маятник1) совершает колебания с небольшим углом
отклонения (примерно менее 30°), мы обнаружим весьма
малые расхождения в результатах, с какой бы величины
угла мы не начинали подсчет. Однако если начальный
угол отклонения составляет 60е или более, то мы заметим,
что частота колебаний уменьшается с увеличением угла.
1) Для такой демонстрации хорошей моделью может служить
велосипедное колесо с грузок, присоединенным к его ободу.
123

Указанную зависимость можно паглядно представить
очень простыми графиками. Прямая А па рис. 43
соответствует элементарным формулам теории колебании. Она
показывает, что частота свободных колебаний простой
спстемы не зависит от амплитуды колебаний. Напомним,
что пменно такие оцепки мы получали на протяжении
всей книги. Но теперь на примере с простым маятником
мы обнаруживаем, что
зависимость амплитуды от
частоты колебаний
определяется крпвой типа В.
Кривая В изогнута в
левую сторону, но легко
найти системы, амплитудно-
частотные характеристики
которых изогнуты вправо
(см. кривую С). Примером
такой системы является
изображенный на рис. 44
плоский упругий стержень
с грузом на конце,
совершающий изгибные колебания; увеличение деформации
стержня приводит к уменьшению его эффективной
свободной длины.
Низшая собстВбннгл частот
Рис. 43.
Рис. 44.
Эти две простые системы позволяют превосходно
проиллюстрировать, как применяют инженеры теорию
колебаний. Теория, устанавливающая зависимость А,
становится все менее точной по мере роста амплитуды
колебаний. Но инженер в подобных случаях, как правило, не
очень обеспокоен недостатком точности. Вообще говоря,
если колебания достигают опасных значений, то этот
факт имеет лишь академический интерес. Откровенно
говоря, для инженера-механика или инженера-строителя
осложнения, связанные с отклонениями истинных кривых
424

типа В и С от приближенной прямой А, часто являются
скорее воображаемыми, нежели реальными. Однако
нельзя распространять этот вывод на все случаи. Иногда в
природе изменение характеристик колебательных систем
имеет принципиальное значение. Врач не может
рассчитывать, что сердце человека является колебательной
системой с постоянными характеристиками.
Обратимся теперь к другой задаче того же вида.
Рассмотрим случай, когда частота умеренных колебаний
существенно отличается от
частоты очень малых коло- [ ¦ —
баний. Если стеклянный \ 7
брус, поперечное сечение \ /
которого показано на ^^^^v^-^^
рис. 45, раскачивается на *7777///////ffirf7/S//////////
твердой поверхности из
стороны в сторону таким Рис- 45.
образом, что сначала
движение происходит относительно одной точки опоры, а
затем относительно другой, то в этом случае частота
свободных колебаний при умеренных амплитудах будет
существенно меньше, чем в случае весьма малых амплитуд. Если
брус слегка наклонить влево и затем качнуть его, то
возникнут колебания, по мере затухания которых частота
будет постепенно возрастать. Кривая D на рис. 43
приближенно характеризует этот процесс.
Рассмотрим, почему кривые А, В, С, D, на рис. 43
различны. Если масса подвешена на обыкновенной пружине
(или, лучше, на резиновом шнуре) и совершает
вертикальные колебания, то кривая достаточно близка к
прямой А. Если бы не было трения, то колебания имели бы
строго синусоидальную форму. Если взять более жесткую
пружину, то снова получим вертикальную прямую типа
А, но сдвинутую вправо.
Объяснение поведения других кривых на рис. 43
начнем с кривой С, как наиболее простой. Как указывалось
выше, чем больше отклонение массы от своего
равновесного положения, тем больше упругая восстанавливающая
сила, которая стремится вернуть груз в исходное
положение (см. систему па рис. 44). Дело обстоит так, как будто
система с грузом в положении равновесия отличается от
системы, в которой груз смещен, так что жесткости в этих
двух случаях различны; напомним, что жесткость в
125

значительной мере определяет собственную частоту — чем
больше жесткость, тем больше собственная частота.
Подробное исследование колебательного движения системы
показывает, что даже при отсутствии демпфирования
график колебаний отличается от синусоиды. Сказанное
относится и к колебаниям маятника с большими
амплитудами и к качаниям стеклянного бруса.
Возвращаясь к системе, схема которой приведена на
рис. 45, заметим, что здесь не столько жесткость, сколько
сама система меняется за время одного периода
колебаний. В одной половине периода работает левая опора, во
второй — правая, и, следовательно, характеристики
системы в самом деле не остаются постоянными.
Возвращаясь теперь к маятнику и к соответствующей
ему кривой В, отметим, что объяснение причин ее
отклонения от прямой должно быть несколько более
подробным. Наиболее простое объяснение заключается в том,
что при больших амплитудах перемещения маятника
становятся «не малыми», т. е. соизмеримыми по порядку
величины с размерами всей системы.
Когда мы говорим, что маятник колеблется, мы имеем
в виду изменения угла отклонения маятника в
вертикальной плоскости и поэтому мы должны выражать
«жесткость» системы через этот угол. Оказывается, что сила,
которая стремится вернуть маятник в исходное
вертикальное положение, зависит не столько от утла между
маятником и вертикальной осью, сколько от синуса этого
угла. Для малых углов синус угла и сам угол
приблизительно равны между собой, и поэтому в системе
возникает восстанавливающая сила, пропорциональная
отклонению маятника. Но при больших отклонениях эта
величина меньше значения, которое она имела, если бы она
была пропорциональна углу1). По этой причине маятник
является системой, жесткость которой не является
постоянной, а зависит от перемещения.
Во всех рассмотренных выше примерах переменной
характеристикой являлась жесткость системы. На
практике пружины иногда специально изготовляют таким
образом, чтобы получить жесткость, изменяющуюся с
изменением перемещения. Принципиально возможно, что
вместо жесткости изменяется масса; впрочем, в технике
1) Следует напомнить, что для положительных значений 9
sin 0 меньше, чем 8.
126

эти случаи менее важны. Наконец, в любой реальной
системе присутствует трение (в той или иной форме),
которое также может быть постоянным или переменным.
Напомним схему демпфирования стержня, изображенного
на фото XIX; в результате заполнения маслом
металлических цилиндров, окружающих нижние пружины, эффект
демпфирования при больших амплитудах
непропорционально увеличивается. Поэтому, строго говоря, свойства
системы при больших амплитудах колебаний отличаются
от свойств системы при малых амплитудах.
§ 6.2. Постоянство характеристик систем
Величина массы и ее распределение, демпфирование
и жесткость в системе с постоянными характеристиками
считаются неизменными при теоретическом анализе
колебаний. При этом не принимается во внимание, например,
зависимость жесткости пружины от времени или от
амплитуды. Иными словами, на основании свойств упругости
считается, что восстанавливающая сила, действующая
между двумя любыми точками системы, всегда
пропорциональна величине относительного перемещения этих
точек. Принимается также, что трение носит вязкий
характер, т. е. сила демпфирования, препятствующая
взаимному перемещению двух точек системы, пропорциональна
относительной скорости движения этих точек. Здесь мы
не рассматриваем силы трения, которые скачкообразно
меняются с изменением направления движения, как это
имеет место при сухом трении.
На основе указанных допущений о постоянстве
характеристик, можно говорить о некоторых основных
свойствах систем, о которых, кстати, мы уже ранее говорили:
система с постоянными характеристиками имеет свои
собственные частоты и формы свободных колебаний.
Если на такую систему действует синусоидальное
возбуждение, то движение системы также следует закону
синуса с частотой, равной частоте возбуждения (хотя фазы
этих процессов обычно не совпадают). Закон
вынужденных колебаний зависит только от характеристики
системы и от частоты возбуждения; энергия колебательно-
ю движения (при заданном виде возмущающего
процесса) зависит только от энергии возбуждения. При этом
движение является абсолютно устойчивым. Если прило-
127

женная сила является периодической функцией, но не
имеет синусоидальной формы, то она может быть
разложена на синусоидальные составляющие. Можно считать,
что каждая синусоида (гармоника) вызывает
определенное синусоидальное движение, и полпое движение
системы представляется суммой этих гармоник.
Наконец, при неустойчивом движении системы с
постоянными характеристиками колебания имеют
тенденцию к неограниченному росту. Но, как мы упоминали в
параграфе 4.3, в этом случае теория не позволяет
определить предельные значения амплитуд.
Изучение колебаний, как и вообще всех задач
механики, должно основываться на эксперименте. Но, как мы
уже видели, некоторые виды колебаний слишком опасны,
чтобы их можно было бы допустить; поэтому важна
возможность их теоретического предсказания. Это налагает
чрезвычайно большую ответственность на расчет, и
поэтому инженеры уделяют столь большое внимание
теоретической стороне анализа колебаний. Часто требуется
расчетным путем определять собственные частоты и формы
свободных колебаний, амплитуды вынужденных
колебаний, критические скорости и условия неустойчивости.
Вообще говоря, существенный успех в расчетах реальных
конструкций может быть достигнут только в
предположении о постоянстве характеристик.
Одна из трудностей расчета колебаний (даже в
предположении о постоянстве характеристик) — это
исключительно большое количество данных, которыми надо
располагать для детального описания конкретных систем.
Так, для адекватного представления движения самолета
необходимо иметь не менее 50 характеристик массы,
50 характеристик трения и 50 характеристик жесткости
для каждого значения скорости полета и плотности
воздуха. Методика расчета усложняется, и поэтому
приходится прибегать к использованию электронных
вычислительных машин. Общее количество операций,
выполняемых машинами, было бы непосильным для человека.
Имеется специальная область высшей математики —
матричная алгебра, которая позволяет наиболее успешно
выполнять указанные расчеты. Именно поэтому
математическая теория матриц получила весьма широкое
распространение в последние двадцать лет. Одна из
наиболее известных классических работ по теории матриц была
128

шпнгТт^1>^АТПкЛ^Т.На Р6Ке Такома НеРР0УС (штат
Вашингтон, США) Вскоре после ввода в эксплуатацию мост
начал интенсивно раскачиваться под действием ветра и затем
рухнул (стр. 11).
Ч wTu II. Шанхая эластичная нефтяная емкость, движущаяся
при оуксировке зигзагообразно (стр. 12).
i Заказ 2923

Фото III. Примеры усталостных разрушений (стр. 16;. а) Вал диаметром
о0,8 лш; разрушение вызвано крутильными колебаниями, накладывавшимися
на вращение с высокой скоростью, б) Пружина клапана автомобильного
двигателя, в) Коленчатьш вал автомобильного двигателя.

IV. ГоП'1'
ьолшреееора авиационного туроореаь'ишною двигателя
б) Последствия усталоеiмоги разрушения лопатки
Ь
(C/ip 16) a) l'oi.-l» и Сбире.

Фото V Рукоятка садового" инструмента после долгой и чялчолоп жизни.
Разрушение вызвано усталостью. На постоянные изгибающие напряжения от
действия на рукоятку сил веса накладываются переменные напряжения,
возникающие в результате работы двигателя и вращения режущею
инструмента и приводящие к разрушению (см. стр. 30)
Фото \ТГ Часть демонстрационной установки, в которой короткий вал
большого диаметра опирается на подшипники, допускающие небольшие
горизонтальные перемещения. Грузики, установленные на поверхности вала,
вызывают колебания вала при его вращении с помощью ременной передачи
(см. стр. 33).

Фото VH. Статические испытания'крыла воздушного лайнера на изгиб.
Деформации находятся в допустимых пределах, и после разгрузки^ крыло
разогнется (стр. Щ.

^^Щ^ЫьйЬф*^^^
Фото iVIEI Линия электропередачи, пересекающая реку Северн
Расстояние между пилонами превышает 1,0 к и Колеоаппн проводов,
вызванные действием вегра, бывают столь интенсивными, что jth провода
соприкасаются (стр 42).

Фото IX. Труба, колеблющаяся при горении небольших ракет,
установленных на ее вершине. Таким путем можно было и?учить поведение дымовой
трубы при ее свободных колебаниях (см стр. 51).
Ф о г о X Простая рама подверженная вынужденным колебаниям при
вращении установленного на ней небольшого электрического могорчика
(изменением сьиросги вращения мотора у ажио возбудить резонансные колебания
отдельных форм) (см. пр. 57).

Ф о т о^ XI. Стендовые резонансные испытания самолета новой
конструкции. Конструкция волбуждается управляемыми вибраторами, частота
которых контролируется. Формы резонансных колебаний определяются с
помощью щупов, перемещаемых по конструкции (см сгр. 58),

Ф о I о VII Прибор для намерения вибраций с упругой пластикой, зффек-
швнан мина которой меняется Прибор устанавливается на виорир\ющ\ю
noBepxiiociK и длина ynpyi ой пластинки изменяется до тех пор. пока в пен не
во шикнут интенсивные резонансные колебания. Длина мратои пластинки
проградуирована в единицах частоты (см. стр (И)
XIII Тонкий вал, в котором возникают илгионые колебания при его
проходе через критическую скорость (см. стр. 65).

Фото XIV. Рогор генератора, установленный на подшипниках в
[испытательной яме. Тяжелая крышка откинута. Приводной двигатель закрыт дальней
сгенкой. Предпринимаются болылие предосторожности, когда роторы такого
гипа разгоняются при испытаниях до рабочих скоростей и выше. Было бы
весьма опасно, если бы при вращении такого ротора в нем возникли интенсивные
колебания (см. стр. 67),

Ф о т о XV. Деталь С демонстрационной установки либо испытывав"!
интенсивные колебания при вращении неуравновешенного кривошипа В с постоянной
угловой скоростью, либо эти колебания устраняются. Вращение осуществляется
электродвигателем А Колебания возникают, если «1аситель» D снят, но если
<ааситель» D установлен, колебания не развиваются. В том случае, когда
гаситель D установлен, интенсивные колебания развиваются в самом гасителе,
в то время как деталь С почт неподвижна (см стр 68—69)
Фото XVI. Гасители Стокбриджа, имеющие форму гантели, присоединенные
к линиям электропередач вблизи изоляторов. Если поглотители снять, ветер
может вызвать значительные колебания, ив точках максимальных напряжении
у опор возможно возникновение усталостных разрушений (см. стр. 69).
Фото XVII. Длинная цепь С, точку подвеса которой можно раскачивать из
стороны в сторону посредством электромагнита D, частота колебаний
регулируется изменением числа оборотов электродвигателя А, приводящего во вращение
кулачок В. Возбуждение может вызывать резонансные колебания цепи
основной формы (см. стр. 73).

- У Ш^^^^^Шу^&^^^:
о
IE/
ФотоХУШ. Усгаюсгная трещина в обшивке руля высоты самолета
Повреждение вызвано шумом сгруи ракетного ускорителя Струя находилась на
достаточном удалении от хвостовой части" самолета, усталостное повреждение
объясняется акустическими пульсациями давления (стр. 79).

Ф о г о Х1\ Деревянный стержень полукруглою сечения, подвешенный на
прчжинач и обращенный плоской поверхностью к вентилятору. После
включения вентилятора стержень начинает совершать колебания в вертикальном
направлении, интенсивность этих колебаний постепенно возрастает (стр. 81).
Ф о 1 и XX М.ы^лиП^ифиЛп *Млн„1« ьиишиа допускает перемещения, связанные
с изгибом С1ержня, и поворот профиля относительно стержня После
включения вентилятора профиль начинает совершать поступательные колебания н
вертикальном направлении и одновременно колебания поворота относительно
(ни стержня Эти колебания постепенно становятся все более и более
интенсивными (стр. 84).
3 Заказ Хв 2923

'*' '/• ..V. **'¦$ 1$!
Й2^
Ч$??щ
ШШ1ШШ:Шт
B^^''?' *
¦ ¦ *4 * *> awe -?*$ Шшь
Фото XXI. Зигзагообразный след носового колеса самолета, потерпевшего при посадке
аварию вследствие «шимми» (стр. 94).

Фото XXII Игрушечная собака. Когда ее ведут на поводке, она
изгибается в шарнирах, имитируя движение нейлоновой эластичной
плавучей емкости, изображенной на фото II (стр. 94).
Фото XXIII Модель желеюдорожпого экипажа, которая при
превышении определенного значения скорости движения по рельсам начинает
раскачиваться (стр. 96).

Фото ХХЛУ Стальная дымовая труба, погорая раскачивалась при не очень
сильном ветре вследствие отрыва вихрей Колебания были устранены при
помощи растяжек, которые видны на снимье (cip. 97;.

Фото YXV. Геликоидальные насадки,
укрепляемые пальтовой трлое, нредотврхщают раскачпва-
ние гр>Г)ы при вегре. Эти насадки илменнют
процесс о rpi.ma вихрей с подзетреннои стороны тр>бы
(сгр 98).
Фото WVT Северный ппл<чт Mocia Форт Роад.
раскачивавшийся во время сфоигельпва до iex
пор, пока не были подвешены вспо-Moi акмьные
лестницы (cip 100).

^
Фото XXVII. Кофейник со слегка закругленным основанием
имеющий обыкновение медленно раскачиваться на горячей плите
(стр. 101).
Ф о го XXVIII Картина разрушений в городе Haiacann вблизи места изры-
ва атомной Оомоы Обратите внимание, что дымовые тр\бы выдержали
воздействие ударной волны, тогда как остальные здания обр\ шились (cip ЮН)

Ф о го К.ХЛК Мощ п.гй мегаллорежущий станок, установленный па вибро-
толпрующих опорах. Установка промежуточных опор между станком и
полом позволяет уменьшить передачу упругих волн от станка (см. стр. И5).

Фото ХХ.Х. Остатки нервюры самакма Vera юг гное разрушение вы-
шано шумом, который создает упругие волны в самолетной конструкции
(см. стр. НО)
Фот Х\\Л Ма тенький фошанчпк воды, вызванный
фокусировкой ультразвукового луча в воде Генератор высокочасготных
колебаний А создает волну, которая отра/ьается плоскостью В и
фокусируется рефлектором С (см. стр. 122).

написана тремя инженерами (по заказу
Исследовательского комитета по аэрснавтике). профессиональные
интересы которых относились к области изучения флаттера
самолета
Вычисления упомянутого типа весьма распространены
и жизненно важны в технике. Допущение о постоянстве
характеристик хорошо согласуется с требованиями
большинства практических задач и было бы крайне
неразумно fo всех случаях обращаться к громоздкому
математическому аппарату, описывающему системы с
переменными характеристиками.
Тем не менее использование всякой теории
неизбежно связано с некоторыми специфическими трудностями.
Проблема состоит не просто в точности вычислений, а
скорее в другом. Мы никогда не можем быть уверены в том,
что не пренебрегли чем-то весьма существенным. Конечно,
нет систем с абсолютно постоянными характеристиками,
но имеется ряд систем, которые даже приближенно нельзя
рассматривать как системы с постоянными
характеристиками. Поэтому возникает вопрос: не теряем ли мы нечто
существенное, принимая допущение о постоянстве
характеристик? Рассмотрим теперь поведение систем с
переменными характеристиками, которое не охватывается
теорией, описывающей системы с постоянными
характеристиками.
Если ни одно из отмеченных выше обшпх свойств
систем нельзя считать достоверно известным, то наша
задача существенно усложнится. Здесь мы не имеем
возможности фронтального наступления на теорию колебаний и
поэтому ограничимся несколькими весьма простыми
примерами. Если, например, мы будем уточнять понятие
«форма колебаний», то вскоре окажемся в затруднении.
Поэтому рассмотрим несколько простых примеров, в
которых наблюдаются неожиданные физические явления.
На нынешнем уровне знаний совершенно невозможно
дать систематическое изложение этой стороны общей
теории колебаний.
§ 6.3. Сухое трение
Уже один или два раза мы упоминали об эффекте
сухого трения и указывали, что системы с таким
трением должны быть отнесены к системам с переменными
5 Р. Бишоп
129

характеристиками, поскольку сила трения резко меняет
свое направление при изменении направления
скольжения (см. рис. 37).
Такое свойство сил трения часто является причиной
самовозбуждения колебаний. Действительно, если силы
вязкого трения почти всегда стремятся подавлять
автоколебания, то сухое трение может вызывать их, как мы
видели это на примере дверных петель и колебаний
скрипичной струны.
Иногда можно наблюдать тряску велосипеда при
включении переднего тормоза. Источником энергии,
необходимым для поддержания колебаний, в этом случае
является движение самого велосипеда. Механизм
преобразования энергии движущегося велосипеда в энергию
колебаний может быть установлен лишь при изучении
физических явлении, происходящих на трущихся
поверхностях тормозной колодки и обода колеса. Тряску можно
существенно уменьшить путем небольшого изменения
положения тормозной колодки. Дать полное объяснение
природы вибраций велосипеда или колебаний скрипичной
струны довольно трудно. Но мы все же попытаемся
достичь некоторого успеха с помощью устройства,
показанного на put. 46. Прикрепленный к пружине деревянный
брус лежит на бесконеч-
К Л Л Л ? нои ленте из наждачной
[VVVv| бумаги. При движении
ленты деревянный брус
совершает колебания.
Причина этих колебаний
заключается в том, что
Рис 46 сила трения между
бруском и лентой
оказывается более интенсивной
при меньших значениях скоростей скольжения, чем при
больших. Это иллюстрируется той частью кривой С на
рис. 37, которая находится ближе к вертикальной оси.
Скорость ленты всегда превышает скорость бруса, поэтому
направление скольжения остается неизменным. Но когда
брус движется в направлении движения ленты, скорость
его скольжения меньше, чем в случае, когда брус
перемещается в противоположном направлении. При колебаниях
возникает переменная составляющая силы трения,
направление которой совпадает с направлением скорости колеба-
130

ний. Поэтому и возникают условия возникновения
неустойчивых колебаний.
На рис. 47, а показано поперечное сечение вала,
свободно вращающегося в подшипнике, из которого удалена
Рис. 47.
смазка. Направление вращения вала показано стрелкой.
Допустим теперь, что во время вращения вал коснулся
стенки подшипника. Возникающая при этом сила сухого
трения Р (см. рис. 47, б) заставляет вал обкатываться
внутри подшипника
(направление силы всегда совпадает
с направлением касательной
в точке соприкосновения вала
и подшипника). При
достаточно высоких скоростях
вращения возникает
интенсивная вибрация, которую
можно устранить лишь
введением в подшипник небольшого
количества смазки.
Самовозбуждение колеба- Рис. 48.
ний сухим трением
проявляется во многих формах. На рис. 48 показан обыкновенный
ролик, который катится на конических поверхностях
(подобные скосы имеются в ободах колес железнодорожных
вагонов). При медленном скатывании вниз но наклонным
рельсам ролик ведет себя вполне благопристойно; ника-
кий особых явлений при качении ролика по
горизонтально расположенным рельсам также не возникает. Но при
вкатывании ролика вверх по наклонным рельсам он
начинает описывать медленные зигзагообразные движения нп
колее. Если наклон рельсов возрастает еще больше, то при
5* 131

достаточном увеличении скорости зигзагообразные
движения не только сохранятся, но станут интенсивными.
Объяснение этого явления следует искать в явлении
буксования ролика, которое возникает в месте контакта
ролика и рельса и подчиняется законам сухого трения.
§ 6.4. Ограничение амплитуды автоколебаний
Изменения собственной частоты в зависимости от
амплитуды, о которых мы упоминали в начале этой главы,
служат весьма простым примером влияния переменных
характеристик. Для расширения рассматриваемого
круга вопросов вернемся к задачам, затронутым в
разделе 4.3.
Напомним, что амплитуда колебаний стержня,
возбуждаемого потоком воздуха (фото XIX), ограничивалась при
заполнении маслом цилиндров, в которых установлены
нижние пружины. При больших деформациях пружин
в масло погружается значительное число витков, и
демпфирование системы непропорционально резко
увеличивается ъ ростом амплитуды. Закон автоколебаний
выражается кривой, подобной изображенной на рис. 36;
амплитуда колебаний возрастает от нуля и достигает
установившегося значения; результирующая форма графика
колебательного процесса более или менее близка к
синусоидальной
Если стержень вывести в крайнее положение и затем
предоставить самому себе, то возникающие при этом
свободные колебания не возрастают, а уменьшаются до той
же самой конечной величины. Говорят, что достигается
«предельный цикл» колебаний. На основании подробного
изучения колебаний можно прийти к выводу, что
частота колебаний близка к собственной частоте, и закон
колебаний достаточно близок к гармоническому.
Когда нижние чашки заполнены маслом (фото XIX),
г ила трения является непрерывной функцией амплитуды.
Система достигает определенной амплитуды колебаний
благодаря «отрицательному трению», связанному с
отрывом потока за обтекаемым стержнем. Но когда амплитуда
колебаний превысит это определенное значение,
демпфирование становится положительным; в этом случае
влияние сил трения в масле превышает влияние сил
воздушного потока.
132

При колебаниях по предельному циклу обтекаемого
потоком стержня он обладает определенным количеством
энергии. Так как при этом амплитуда колебаний
постоянна, то и количество энергии в среднем остается
постоянным. Кроме того, стержень передает часть энергии
воздушного потока маслу. Величина этой энергии,
передаваемой за один период колебаний, мала по сравнению со
средней величиной энергии колебаний; поэтому можно
считать, что колебания стержня по своему характеру близки
к свободным колебаниям. Однако это не всегда имеет
место. Существует важный класс колебательных систем,
у которых обмениваемая за один цикл энергия велика по
сравнению со средней энергией колебательной системы.
Такой вид колебаний возникает, если потереть пальцем
надутый игрушечный воздушны]"! шар. Для шара
предельный цикл будет весьма коротким и его частота
определится не динамическими свойствами системы, а физикой
процесса обмена энергии. Движения такого вида
называются релаксационными колебаниями. Они распознаются
по характерной для них форме графика 1). Некоторые
явления при вибрациях режущих инструментов станков могут
быть объяснены с позиций теории релаксационных
автоколебаний.
Колебания в режиме предельных циклов широко
распространены. Характерными примерами являются скрип
дверной петли и качка железнодорожного вагона. Эти
колебания по своей природе самовозбуждающиеся и они
нарастают до тех пор, пока не достигнут предельного цикла.
Большое значение предельных циклов состоит в том, что
они обычно легко поддаются наблюдению, так как
начальное отклонение быстро приводит систему к предельному
состоянию. Это имеет место, например, в случае колебаний
железнодорожного вагона. Но, к сожалению, предельные
циклы также сложны, и поэтому дальнейшее изложение
проблемы окажется трудным для понимания. Поэтому
закончим настоящий раздел, заметив, что затронутые здесь
проблемы являются важным предметом научных
исследований.
1) Термин «релаксационные колебания» иногда используется
р, более широком смысле. Его применяют, например, б случае
любых колебаний, график которые имеет более или менее угловатую,
в частности, «пилообразную» форму. Даже колебания регулятора
хода часов рассматриваются как релаксационные.
133

§ 6.5. Жесткость, зависящая от времени
Мы уже сталкивались с любопытными явлениями,
которые возникают при изменении демпфирования. У
систем, упомянутых в предыдущих разделах, характеристики
демпфирования зависели от деформаций системы. Вполне
естественно, что и жесткость системы может изменяться в
процессе колебаний; один или два таких примера были
описаны во введении к данной главе. Теперь мы
рассмотрим случай, когда жесткость системы зависит не от
перемещения (или деформации), а от времени. Любопытно,
что для систем, которые мы рассмотрим, можно признать
или не признать зависимость жесткости от времени (это
определяется способом рассмотрения).
Ротор синхронного генератора, показанный на рис.
25, а, является, по сути дела, вращающимся магнитом с
южным и северным полюсами. Эти полюсы
располагаются на диаметрально противоположных сторонах сечения
ротора и отделены друг от друга продольными пазами,
прорезанными в металле. В пазах размещаются обмотки,
которые образуют замкнутые цепи таким образом, что
протекающий в обмотках ток создает магнитное поле,
К сожалению, простым вращением постоянного магнита
получать столь интенсивные магнитные поля невозможно.
На рис. 49 показало поперечное сечение вала
генератора переменного тока мощностью 120 мегаватт после
того, как изготовлены пазы, но до монтажа обмоток.
Обмотки тщательно изолируются и укладываются в пазы, а
затем закрываются специальными крышками, которые
удерживают их в пазах при вращении ротора. Эти
обмотки достаточно солидны, чтобы выдержать большие токи1).
На концах пазов, там, где проводники переходят из
одного паза в следующий, монтируются специальные
концевые конусы, предохраняющие обмотки от разрыва во
время вращения ротора. Проектирование и изготовление
этих конусов требует большого искусства.
Одна из продольных плоскостей симметрии
(горизонтальная плоскость на рис. 49) является плоскостью
максимальной изгибиой жесткости ротора; в этой плоскости
расположены полюсы ротора. Перпендикулярная ей
плоскость значительно ослаблена пазами ротора и поэтому
') Ротор, к которому относится рис. 25, а, рассчитан на ток
до 29 000 ампер на одну обмотку.
134

является плоскостью минимальной жесткости. Как мы
увидим, быстрое вращение вала подобного типа связано
с определенными осложнениями и при определенных
условиях может даже оказаться шасным. Эти осложнения
Рис.49.
обусловлены различием между изгибными жесткостями.
Ротор, изображенный выше на рис. 25, а, имеет мощность
350 мегаватт и изготовлен не в полном соответствии с
рисунком. Поперечное сечение ротора скорее соответствует
рисунку 50, на котором видно, что пазы изготовляются
не только для обмоток, но и прорезаются на стороне
полюсов, т. е. там, где обмоток нет. Чтобы напряженность
магнитного поля, возбуждаемого током обмоток, не
слишком ослаблялась такой конструкцией полюсов,
дополнительные пазы заполняют стальными полосами.
Попытаемся теперь объяснить, почему приходится прибегать к
таким сложным операциям: прорезать дополнительные
пазы, а затем снова их заполнять стальными полосами.
Прежде всего заметим, что, вообще говоря, роторы
современных генераторов делаются длинными для увели-
135

чения выходной мощности. (Роторы должны быть как
можно большими по своим размерам, но увеличение
диаметра недопустимо, так как приводит к появлению высо-
. 650 MW
Рис. 50.
ких напряжений от центробежных сил.) На рис. 51
приведены сравнительные размеры поковок роторов
электрических машин, которые применялись после второй
мировой войны. Валы становятся существенно тоньше; как мы
видели, это означает, что их критические скорости стали
ниже, и в динамическом отношении роторы стали более
«чувствительны», чем раньше. Другими словами,
инженеры должны изучить мало знакомые особенности
поведения валов.
Допустим, что тонкий стальной вал испытывается на
машине, подобной той, которая изображена на фото XIII.
При этом поверхность вала обработана так, что форма
поперечного сечения соответствует рис. 52. В данном
случае необходима установка, которая позволяет
испытывать вращающийся вал как в горизонтальном, так и в
вертикальном положениях. Когда вал надежно смонти-
136

роватт в своих подшипниках, он имеет две частоты
собственных колебаний, соответствующих максимальной и
минимальной жесткостям вала.
Если этот вал расположен вертикально и набирает
скорость, то его поведение отличается от поведения круг-
€=?Е
ЕЙЕ^
^Ш
120 МП
200MW
В
в
«SE
•ЕЕ
350MW
СШЩ_
3^
^звд
500MW
Гис. 51.
лого вала. Спокойное вращение продолжается лишь до
тех пор, пока скорость вращения не приблизится к
низшей из первой пары упомянутых собственных частот. Как
и следовало ожидать, па этой
скорости вращения возникнут
вынужденные резонансные колебания
(обусловленные либо небольшим дебалан-
сом, либо небольшим искривлением
вала, либо той и другой причинами
вместе), и вал начинает стучать в
свои упоры. Если скорость вращения
будет возрастать, то дребезжание и
грохот не прекращаются до тех пор,
пока вал не пройдет через вторую
низшую собственную частоту
(определяемую другим значением изгибиой жесткости). Между
двумя указанными значениями критических скоростей
вращения существует область неустойчивости, и вал
вращается спокойно только те этой области. Сказанное
выше иллюстрирует рис. 53.
137
Рис. 52

Нарезание пазов па стороне полюсов роторов мощного
турбогенератора отчасти применяется для того, чтобы
уменьшить опасность неустойчивого состояния ротора
между двумя собственными частотами. Кроме того,
установлено, что переменная жесткость вращающего ротора
вызывает другие виды вибрации машины.
Спорость брошена?
Рис. 53.
Прежде чем продолжить рассмотрение вопроса,
вернемся к вертикальному валу, поведение которого
отражают кривые рис. 53. В этих результатах нет ничего
слишком необычного, и было бы странно, если бы они были
иными. В то время как неподвижный наблюдатель может
утверждать, что жесткость вала меняется дважды в
течение каждого полного оборота вала, наблюдатель,
вращающийся вместе с валом, сделал бы вывод о неизменности
характеристик. В системе, как мы видели, возможны как
вынужденные резонансные колебания (вследствие
небольших технологических погрешностей), так и неустойчивые
свободные движения. Кроме того, вынужденные
колебания обладают еще одним весьма любопытным свойством;
они весьма чувствительны к величине угла между
плоскостью, в которой расположен дефект вала
(изгиб или дисбаланс) и плоскостью его максимальной
жесткости.
Демонстрационный вал, поперечное сечение которого
показано па рис. 52, при вращении в горизонтальной
плоскости ведет себя несколько иным образом. У такого вала
возникают дополнительные резонансные колебания при
скорости вращения, составляющей половину значения
средней резонансной скорости вращения вала,
расположенного вертикально. При вертикальном положении вала
его вес действует вдоль осп вращения, в то время как при
138

Скорость дращени?
Рис. 54
горизонтальном вращении направление силы тяжести
перпендикулярно к оси вращения.
Предположим, что вес действует перпендикулярно к
оси вращения вала. Тогда сила тяжести, действующая в
вертикальной плоскости, с точки зрения неподвижного
наблюдателя, будет неизменной (напомним, что такой
наблюдатель будет видеть
изменения жесткости). В то
же время наблюдатель,
вращающийся вместе с
валом, увидит вал с
постоянными характеристиками,
но воспримет силу тяжести
как поперечную нагрузку,
вращающуюся с угловой
скоростью вала, по в
обратном направлении.
Плоскость «вращающейся силы
тяжести» за период обращения дважды совпадает с
плоскостью максимальной жесткости. Пик, соответствующий
половине резонансной скорости, показан на рис. 54.
Существует, однако, простой прием, при помощи
которого можно заставить проницательного вращающегося
наблюдателя поверить, что система имеет переменные
характеристики. Для этого достаточно смонтировать
около вала два поперечных ограничителя таким образом,
чтобы изгпбные колебания происходили в единственной
плоскости. С какой бы позиции мы теперь пи^посмотрим иа
гал, мы придем к убеждению, что колебания в указанной
плоскости должны определяться жесткостью, которая
претерпевает два цикла изменения за время каждого оборота
вала. И пусть теперь читатель не считает, что мы ушли
от более сложного анализа, если мы скажем, что в
действительности протекающие процессы оказываются куда более
сложными, чем случаи, приведенные па рис. 53 и 54.
§ 6.6. Заключение
Колебания систем с переменными характеристиками
представляют собой большую и сложную проблему. Здесь
мы ограничились рассмотрением простейших систем:
(а) — с жесткостью, зависящей от перемещения; (б) —
трения, зависящего от перемещения, и (в) — жесткости,
139

зависящей от времени. Это тишь поверхностное
знакомство с проблемой, хотя и здесь имеются интересные
явления, которые выходят за пределы наших возможностей
изучения.
Такая сложность действующих сил вынуждает нас при
анализе движения систем с переменными
характеристиками отдельно рассматривать каждую частную задачу,
и классифицировать колебания оказывается нелегко.
Применительно к техническим объектам можно
сформулировать следующие, по-видимому, достаточно общие
свойства.
В системах с постоянными характеристиками
гармоническое возмущение вызывает гармонические колебания.
1} системах с переменными характеристиками это, вообще
говоря, не так: колебательный процесс в системе может
содержать составляющие с частотами, лежащими выше
или ниже частоты возбуждения. Кроме того, возможны
случаи, когда гармоническое возбуждение системы
вызывает резонанс одной из таких составляющих: это весьма
опасно. Бывают также случаи, когда гармоническое
возбуждение может вызвать в системе два вида колебаний;
выбор того или иного вида определяется предысторией
движения системы. Далее, при определенных условиях
возможны неустойчивые вынужденные колебания; это
означает, что в действительности вынужденные колебания
отсутствуют. Вот почему само значение слова
«неустойчивые» требует четкого смыслового определения. Могут
возникать автоколебания и с ограниченной амплитудой.
Закон таких колебаний может быть почти синусоидальной
формы и может быть весьма далек от синусоиды.
В технике обычно допустимо принимать
предположения о постоянстве характеристик. Более того, инженеры
иногда вынуждены делать такие допущения. Испытания
самолета па резонанс, при которых он подвергается
вибрации на стенде и наблюдается движение отдельных точек,
не всегда дают результаты, согласующиеся с
теоретическими расчетами, основанными на предположении о
постоянстве характеристик. Однако решен ire задачи с
учетом изменений жесткости или рассеяния энергии в
конструкции самолета было бы делом чрезвычайно трудным.
В то же время инженер должен помнить, что в ряде
задач переменность характеристик является
существенной особенностью системы, с которой он имеет дело. По-
140

этому бессмысленно, например, апализировать движение
регулятора хода часов, полагаясь на предположение о
постоянстве характеристик, и надеяться получить при
этом содержательные результаты.
В настоящей книге мы показали отношение инженера
к механическим колебаниям. Для инженера проблемы
колебаний являются вопросом, требующим постоянного
серьезного изучения, и если какой-либо инженер этим
пренебрегает, то это целиком лежит на его (пли чьей-то
еще) ответственности.
И хотя инженеру подвластны машины, созданные
человеком, он не должен забывать о колебаниях в природе,
с тем, чтобы представить себе, какими прекрасными и
одновременно сложными могут быть колебательные
системы. Ни один инженер не смог бы создать что-либо
подобное сердцу — изумительной и удивительной вибрационной
машине. В человеческом теле нет машин с
вращающимися роторами, поэтому любой орган, выполняющий роль
насоса, должен совершать возвратно-поступательные
движения. Непрерывно действуя в течение всей жизни
человека, сердце поддерживает себя, по крайней мере
частично, результатами своего же собственного действия. Но
строго говоря, оно не остается из года в год неизменным,
так как процесс поддержания сердечной деятельности
неизбежно и постепенно меняет само это колебательное
устройство.
Совершенно очевидно, копечно, что чем внимательнее
вглядываться в физический процесс, тем этот процесс
оказывается сложнее. Искусство инженера состоит (по
крайней мере отчасти) в том, чтобы знать момент, когда
следует приостановить изучение явлений и начать
овладевать ими.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автоколебания 80, 133
— релаксационные 133
Амплитуда автоколебаний 132
— вибраций 24
— гармонических колебаний 19
Анализ гармонический 19
Балансировка роторов 67
Биения 22
Вибрации ротора 33
—, их биологическое действие
25, 27
—, их устранение 33
Виброгаситель 68
«Виляние» колес 94
Возбуждение внешнее 25
— кинематическое 62
— колебаний в человеческом
теле 26
— нестационарное 104
— периодическое 71
— случайное 74
Волны информации 112
— звуковые 114
— непрерывно возбуждаемые
114
— свободные 110
— ультразвуковые 117
Генератор ультразвуковой
121
Грузы уравновешивающие 67
Демпфер 62
Демпфирование 45, 105
Звонок электрический И
Импульс аэродинамический 106
— электрический 119
Информация 112, ИЗ
Кавитация ультразвуковая 75,
77, 121
Качка 31
Колебания антисимметричные
39
— валов и роторов 33, 65, 95, 104
— висящей цепи 36, 37
— вынужденные 56
— дымовых труб 51, 97, 98
— затухающие 45
— зеркала заднего вида
автомобиля 14, 63
—, их гашение 61, 68
— крутильные 70, 111
— лопаток турбомапшн 16, 17,
58, 100, 101
— маятника с гиростатом 53, 54
— мостов при движении
пешеходов 61
— па закруглении дороги 107
— на неровной поверхности
дороги 76, 109
— нестационарные 102
— нефтяных нейлоновых
емкостей 12
— периодические 72
— перископов подводных лодок
14, 98
— проводов линий
электропередачи 42, 69
— самовозбуждающпеся 80
— самолетных конструкций 79,
83, 116
— свободные 35
— случайные 74, 79
— струн рояля 41, 43
— тел в потоке жидкости 23, 42,
81, 97
— тела человека 23
— ультразвуковые 117
Механизм кулисный 37
142

Нагрузки импульсные 109
— непериодические 104
— нестационарные 104
Напряжение 28
Напряжения знакопеременные
28
— предельные 29
— статические 29
Поглотитель колебаний G9
Предел выносливости 29
Противофаза 33
Разность фаз 21
Разрушение деталей
усталостное 15, 30
— мостов при колебаниях 57,
59, 72
Распространение упругих волн
114
Резонанс 57, 59, 72
Силы аэродинамические 106
— демпфирующие 60, 80
— инерции 32, 80
— упругие 80
Система с одной степенью
свободы 84
Скорость критическая ротора 65
флаттера 86
«Труба поющая» 32
Удар 102, 106
Усталость 15, 28
Фаза гармонических колебании
21
Флаттер 83. 86
Форма колебаний 22
Формы собственные 39
Центр геометрический 33
— масс 32
Цикл предельный 132
Частота колебаний 18, 25
— низшая 22, 44, 48
— собственная 39, 57, 62, 63
Шум авиационных реактивных
двигателей 27, 79
Эффект Допплера 116
Эхолот 120

Р. Бишоп
КОЛЕБАНИЯ
Мм 1968 г., 144 стр. с илл. ?0 стр.
Редактор И А. Маркизой
Техн. редактор А. А Благовещенская
Корректоры Е< А. Белгщпая, О. А. Бутусова
Сдаиг в набор 22/V 1967 г Подписано к печати 23/XI 1967 г.
Бумага 84xlOSV«- Физ печ л. 5,125
Условн печ л. 8,61 Уч -изд. л 8,51.
Тираж 26000 9кз Зак № 2923.
Цена книги 45 коп.
Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-математической литературы
Москиа, В-71, Ленинский проспект, 15
2-я типография издательсгва «Наука».
Москва, Шубинский пер., 10