УДК 510
ББК 22.11
Л 84
Лунгу К. Н., Макаров Е. В. Высшая математика. Руководство
к решению задач. Ч. 1. — 2-е изд., испр. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. —
216 с. - ISBN 5-9221-0581-7.
Настоящее учебное пособие написано авторами на основе многолетнего
опыта чтения лекций и проведения практических занятий по высшей матема-
математике в Московском государственном Открытом университете на различных фа-
факультетах. Его следует рассматривать как некоторое методическое руководство
по решению наиболее типичных математических задач. Большое внимание уде-
уделяется построению и исследованию графиков функций, вычислению пределов
последовательностей и пределов функций. Авторы предлагают разные способы
решения задач и используют этот прием для ознакомления читателя с большим
количеством действий и выбором простейшего.
Пособие рассчитано на студентов очной, заочной и вечерней форм обучения
факультетов, где математика не является профилирующей дисциплиной.
© ФИЗМАТЛИТ, 2004, 2005
ISBN 5-9221-0581-7	© К.Н. Лунгу, Е.В. Макаров, 2004, 2005

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ..................................	6
Глава I. Системы линейных уравнений .............	7
§ 1. Метод Жордана-Гаусса .......................	7
§ 2. Метод Крамера ...........................	18
§ 3. Метод обратной матрицы .....................	26
§ 4. Ранг матрицы. Исследование систем ...............	33
Глава II. Аналитическая геометрия на плоскости ......	41
§ 1. Декартова система координат. Простейшие задачи .......	41
§ 2. Полярные координаты .......................	42
§ 3. Линии первого порядка .......................	47
§ 4. Линии второго порядка .......................	52
§ 5. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к ка™
ионическому виду ..........................	52
Глава III. Элементы векторной алгебры .............	68
§ 1. Понятие вектора. Линейные операции над векторами .....	68
§ 2. Скалярное произведение векторов ................	72
§ 3. Векторное произведение векторов .................	74
§ 4. Смешанное произведение векторов ................	76
Глава IV. Аналитическая геометрия в пространстве .....	80
§ 1. Плоскость в пространстве .....................	80
§ 2. Прямая в пространстве .......................	84
§ 3. Плоскость и прямая в пространстве ...............	88
§ 4. Поверхности второго порядка ...................	94
Глава V. Функции ...........................	102
§ 1. Основные понятия ..........................	102
§ 2. Деформация графиков функций .................	106
§ 3. Предел последовательности ....................	112
§ 4. Вычисление пределов функций ..................117
§ 5. Односторонние пределы ......................	128
§ 6. Непрерывные функции .......................	130

ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава VI. Элементы высшей алгебры ...............	135
§ 1. Понятие комплексного числа ...................	135
§ 2. Геометрическое представление комплексного числа. Тригоно-
Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа . .	136
§ 3. Арифметические действия с комплексными числами .....	138
§ 4. Извлечение корня из комплексного числа ............	139
§ 5. Разложение рациональной дроби на простейшие ........	143
Глава VII. Дифференциальное исчисление функции одной
переменной .........................	150
§ 1. Определение производной .....................	150
§ 2. Геометрическая, механическая и экономическая интерпрета™
ции производной ...........................	151
§ 3. Связь дифференцируемости с непрерывностью .........	153
§ 4. Таблица производных и правила дифференцирования .....	154
§ 5. Дифференциал функции и ее линеаризация ...........	157
§ 6. Производная и дифференциал высших порядков ........	160
§ 7. Дифференцирование обратных функций. Дифференцирова-
Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически .......	161
§ 8. Основные теоремы дифференциального исчисления ......	165
§ 9. Применение производной ......................	166
§ 10. Асимптоты ..............................	173
§ 11. Исследование функций на выпуклость, вогнутость и перегиб
при помощи второй производной .................	176
§ 12. Применение высших производных ................	177
§ 13. Построение графиков ........................	180
Глава VIII. Функции нескольких переменных ..........	189
§ 1. Определение функции нескольких переменных .........	189
§ 2. Предел и непрерывность функции двух переменных ......	190
§ 3. Частные производные и дифференциал функции двух пере-
переменных ................................	193
§ 4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Линеариза™
ция функций двух переменных ..................	196
§ 5. Частные производные и дифференциалы высших порядков .	199
§ 6. Производная по направлению. Градиент .............	201
§ 7. Формула Тейлора для функции двух переменных .......	204
§ 8. Экстремум функции двух переменных ..............	205
§ 9. Наибольшее и наименьшее значение функции ..........	209
§ 10. Метод наименьших квадратов ...................	211
Список литературы ..............................	213

ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящее учебное пособие написано авторами на основе
многолетнего опыта чтения лекций и проведения практических
занятий по высшей математике в Московском государственном
Открытом университете на различных факультетах очной, за™
очной и вечерней форм обучения, где математика не является
профилирующей дисциплиной.
Авторы поставили перед собой цель — привить студенту уме™
ние грамотно выбрать правильный подход к решению конкрет-
конкретной задачи, для чего по каждой теме приведено достаточное
количество типовых решенных задач с необходимым методиче-
методическим комментарием. Этому же способствуют излагаемые в нача-
начале каждого параграфа основные теоретические сведения (опре-
(определения, теоремы, формулы), необходимые для решения после™
дующих задач. Конечно, перед тем как начинать решать лю-
любые задачи, имеет смысл познакомиться с теорией по учебникам,
список которых указан в конце книги. Хотя в книге достаточно
много теоретической информации, иногда имеется намек на то,
откуда тот или иной факт можно извлечь. Например, §8 гл. VII
состоит только из формулировок теорем, но из них получается
много других выводов и формул: правило Лопиталя, необходи-
необходимые условия экстремума, формулы Тейлора и др.
Для закрепления разобранного материала даются задачи
для самостоятельного решения в соответствующем разделе
«Упражнения». Тематика этих задач в большой степени опреде-
ляется содержанием контрольных работ по высшей математике
для студентов заочной формы обучения. Вместе с тем настоящее
пособие следует рассматривать не как задачник с соответствую-
соответствующей ему полнотой подбора задач, но как некоторое методическое
руководство по их решению, что и отражено в названии.
Отметим отдельные методические особенности настоящего
пособия. Часть из них относится к гл. I. Наряду с методом Гаус-
Гаусса решения линейных систем, мы приводим хорошо известный
более экономный метод Жордана^Гаусса (мнемоническое пра-
правило прямоугольника). При этом все системы можно поместить
в одной таблице Гаусса — компактное средство получения ре-
решения. В таблице Гаусса удобно найти матрицу, обратную для

ОГЛАВЛЕНИЕ
данной, найти ранг системы, ранг матрицы, произвести дру™
гие действия. Авторы считают методически оправданным при-
прием введения формул Крамера (в §2) до понятия определителя.
Это должно стимулировать желание студента узнать, что та™
кое определитель и как он вычисляется. В §2 гл. III мы строим
график специфической функции, заданной полярно (пример 3).
Цель примера состоит в том, чтобы заложить основу понимания
многолистных функций комплексной переменной. Большое вни-
внимание уделяется построению графиков функций посредством
их преобразования, вычислению пределов последовательностей
и пределов функций. Построено большое количество графиков
функций с полным их исследованием.
Многие задачи могут быть решены разными способами, и мы
используем этот прием для ознакомления читателя с большим
количеством действий и выбором простейшего.
Опыт работы студентов и преподавателей МГОУ с аналогич-
аналогичным пособием показал целесообразность его создания.
Существенному улучшению настоящего издания способство-
способствовали замечания, подсказки и советы профессоров Л.А. Уваровой
(МГТУ СТАНКИН), A.M. Касатонова (МГАПИ), В.И. Михеева
(РУДЫ), А.Б. Будака (МГУ) и, особенно, A.M. Пунтуса (МАИ).
Всем им авторы признательны и благодарны.
Авторы.

ГЛАВА I
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Метод Жордана—Гаусса
1°. Система из т линейных уравнений с п неизвестными в
общем случае записывается так:
• . • + атпХп= Ът.
Коэффициенты {а^-}, г = 1, 2,... m, j = 1, 2,... п, и свобод-
свободные члены {Ь^}, г=1,2,...?тг, — заданные действительные чис-
числа. Первый индекс г в записи aij указывает на номер уравнения,
второй — j — номер неизвестной.
Решить систему A) означает найти все ее решения, т. е. все
такие наборы чисел (жх, Ж2, • • •, жп), которые при подстановке
во все уравнения системы превращают каждое из них в верное
равенство, или доказать, что решений нет.
Система A) называется:
—	совместной^ если имеет хотя бы одно решение;
—	определенно совместной, если имеет только одно решение;
—	неопределенно совместной^ если имеет более одного реше™
ния;
—	несовместной^ если не имеет ни одного решения.
2°. Две системы называются равносильными^ если они имеют
одинаковые решения или обе несовместны.
Переход от одной системы к равносильной осуществляется
при помощи множества элементарных преобразований:
—	умножение обеих частей любого уравнения на отличное
от нуля число;
—	прибавление к одному из уравнений произвольного друго-
другого, умноженного на любое число;
—	удаление (вычеркивание) из системы тривиального урав-
уравнения: 0#i + 0^2 + ... + 0хп = 0;

8	СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ	ГЛ. I
— если в системе имеются два или более уравнения с про™
порциональными коэффициентами, то из них сохранить нужно
только одно.
Уравнение 0х\ + 0ж2 + ... + 0хп = ft, где Ъ ф О, называется
противоречивым. Система, содержащая такое уравнение, сама
противоречива, т. е. несовместна.
3°. Один шаг метода Жордана^Гаусса состоит в приведении
системы A) к виду
а[гхг + ... + а[ q^Xq^i +a[ g+iXg+i + ... + а'1пхп = Ь[
ар1хг + ... + a'p^Xq-! +xq+a'pq+1xq+1 + ... + afpnxn = Ъ'р
/	I	I /	i /	i	i /	If
ft" rp_, _J_	_J_ jni'	rp 1	_4_/7	o™ , -i _J—	—L- /7 T* 	 r)
"'ml ^ i • • • i U/mq—lQ~^- TUmg+l 9+1 ~r . . . ~г ^тп^п ^m?
B)
в которой одна неизвестная жд сохранена с коэффициентом 1
только в р-м уравнении, а из остальных исключена. Систему B)
назовем разрешенной относительно xqj поскольку неизвестную
xq легко выразить через остальные неизвестные системы.
Для того, чтобы получить систему B), очевидно, что:
1)	коэффициент apq при xq в уравнении с номером р должен
быть отличен от нуля; в дальнейшем apq назовем ведущим или
разрешающим коэффициентом, а р-е уравнение (р-я строка) —
ведущим;
2)	уравнение с номером р надо разделить на apq;
3)	для получения нулевых коэффициентов при xq в осталь™
ных уравнениях необходимо, чтобы из уравнения с номером г
вычесть ведущее уравнение сначала разделенное на ам, а затем
домноженное на пщ.
Тогда все остальные коэффициенты а^ж hi преобразуются по
формулам
aij = aij - пр3 ' пщ > h = h- Р°пщ , гфр, j Ф q.
Qjpq	(^pq
Эти формулы будем называть формулами Жордана-Гаусса.
Расчет по ним удобно выполнять, пользуясь мнемоническим
правилом прямоугольника, наглядно показанным на следующих
диаграммах:

§ 1	МЕТОД ЖОРДАЫА-ГДУССА	9
4°. На втором шаге другую неизвестную сохраним в другом
уравнении с коэффициентом 1, исключая из остальных.
Через г (г ^ т) шагов систему A) можно привести к системе,
состоящей из г уравнений (остальные (т — r) тривиальных урав-
нений, если такие были, отброшены) и система содержит г раз-
разрешенных неизвестных. Эти г неизвестные назовем базисными
(используя векторную терминологию, которая появится позже),
остальные — свободными, независимыми. Основная часть мето-
метода Жордана-Гаусса завершена.
Если г = m = n, то система разрешена относительно всех не-
неизвестных, т. е. однозначно совместна.
Если г < п, то выражая базисные (зависимые) неизвестные
через свободные (независимые), получаем «общее» решение си-
системы, в соответствующем базисе, которое впоследствии следу™
ет параметризовать и из которого можно получить различные
частные решения, в том числе базисное. Базисным называет-
называется решение, соответствующее нулевому набору свободных неиз-
вестных.
Заметим, что «общее» решение определяется неоднозначно,
оно зависит от того, какие неизвестные являются свободными
(независимыми, произвольными) и какие являются зависимыми
(базисными).
5°. Метод Жордана-Гаусса удобно реализовать в виде таб-
таблицы, которую назовем таблицей Гаусса. Каждый ее блок со-
содержит результат одного преобразования или одну итерацию.
Столбец блока таблицы, состоящий из нулей и одной «1» будем
называет единичным столбцом. Цель преобразований Жордана^
Гаусса — получить г (г < тп) единичных столбцов. Неизвестные,
соответствующие единичным столбцам, являются базисными,
остальные — свободными. Последний блок таблицы изображает
систему, разрешенную относительно г базисных неизвестных.
Примеры с решениями.
Пример 1. Решить линейную систему.
Х\ + 2%2 — Зжз — Х4 = Ю
= -23
= 18
х\ +	Зжз — 4^4 = —11.
Решение. Имеем m = 4, п = 4.
Первый блок таблицы Гаусса данной системы имеет вид
(се. ч. означает «свободные члены» уравнений системы, верти™

10
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
ГЛ. I
кальная черта заменяет знаки равенства):
XI
ф
-2
2
-1
2
-3
6
0
хз
-3
7
-5
3
-1
0
-5
-4
св. ч.
10
-23
18
-11
1. Выполним первую итерацию, т. е. получим первый еди-
единичный столбец, выбирая в качестве ведущего коэффициента
ац = 1 (в таблице он обведен кружком). Для этого над строка™
ми таблицы (над уравнениями системы) выполним следующие
действия (они обозначены справа от таблицы):
1	первую строку сохраняем (переписываем);
2	первую строку, умноженную на 2, прибавим ко второй;
3	первую строку, умноженную на —2, прибавим к третьей;
4	первую строку прибавим к четвертой.
Получаем второй блок таблицы:
-1
2. Превратим в единичный третий столбец, в нем уже имеет-
имеется один «0». Ведущий коэффициент п2з — 1 обведен кружком.
Далее:
1) вторую строку, умноженную на 3, прибавим к первой и
запишем вместо первой строки;
перепишем вторую строку без изменения;
вторую строку, умноженную на — 1, прибавим к третьей;
четвертую строку перепишем без изменения.
Именно эти действия выражаются числами и стрелками, по-
показанными справа от второго блока таблицы. Третий блок таб-
таблицы имеет вид:
-5 1-11 -2
Xi
1
0
0
0
x2
2
1
2
2
хз
-3
®
1
0
xA
-1
^2
-3
-5
св. ч.
10
-3
^2
-1
XI
1
0
0
0
х2
5
1
®
2
хз
0
1
0
0
-7
^2
-1
-5
св. ч.
1
-3
1
-1
3. Следующая итерация заключается в получении третьего
единичного столбца. Для этого принимаем в качестве ведущего

МЕТОД ЖОРДАЫА-ГДУССА
11
коэффициента аз2 = 1, и выполним следующие действия: тре™
тью строку, умноженную на —5, — 1, —2, прибавим к первой,
второй и четвертой строкам соответственно. Третью строку пе™
реписываем без изменений. Получаем четвертый блок:
Х\
1
0
0
0
Х2
0
0
1
0
хз
0
1
0
0
Х4
-2
-1
-1
(-J
Св. Ч.
-4
-4
1
4. Наконец, последнюю итерацию выполним, выбирая в каче™
стве ведущего коэффициента а^А — — 3. Четвертую строку раз-
разделим на —3. Остальные действия считаем очевидными. Полу-
Получаем:
Х\
1
0
0
0
Х2
0
0
1
0
хз
0
1
0
0
Х4
0
0
0
1
св. ч.
-2
-3
2
1
5. После четырех итераций получили таблицу, изображаю-
изображающую систему, разрешенную относительно всех неизвестных (г =
= гв = п = 4):
Х\ = —2, Х2 = 2, Жз = ^3, Х4 = 1.
Запишем это также в виде: X = (—2,2,-3,1). Система одно™
значно совместна.
Примечание. Подставьте эти значения неизвестных в дан-
данную систему и убедитесь, что получаются верные числовые ра™
венства.
Пример 2. Решить линейную систему
— Х\ —
—	7x4 = 3
-	Юж4 = 4
+ Ж4 = —1.
Решение. Каждый раз в качестве ведущего будем прини-
принимать простейший коэффициент, т. е. либо 1, либо — 1. Как полу™
чить нулевые коэффициенты в единичном столбце, известно из
решения предыдущего примера. Подчеркиваем, что цель преоб-
преобразований заключается в получении нулей в ведущем столбце.
Для этого ведущую строку надо умножить на надлежащие чи-

12
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
ГЛ. I
ела (иногда на 1 или — 1) и прибавить к остальным строкам, не
содержащим 0 в этом ведущем столбце. Поэтому ограничимся
выделением в каждом блоке ведущего коэффициента, не ком™
ментируя сами преобразования и не указывая соответствующие
числа со стрелками. Результаты вычислений поместим в единую
таблицу Гаусса, которая имеет вид
Xi
fl)
2
3
0
1
0
0
0
1
0
x2
^2
5
7
-1
2
Ф
1
-1
0
1
хз
-6
14
20
-2
6
2
2
-2
2
2
Ж4
3
^7
— 10
1
^3
-1
— 1
1
-1
-1
св. ч.
-1
3
4
-1
1
1
1
-1
-1
1
Последние две строки удалены как нулевые (они изображают
тривиальные уравнения).
Из последнего блока таблицы получаем систему
{
#2 = 1 — 2^3 + Ж4?
выражающую «почти» общее решение исходной системы. Смысл
слова «почти» объясняется неравноправием участия неизвест-
неизвестных.
5) Положим жз = а, Ж4 = /3 (о и /3 — произвольные постоян-
постоянные или параметры).
Тогда система
представляет общее решение системы в параметрическом виде.
Все неизвестные выражены (равноправно) через два парамет-
параметра а и j3 G R.
Решения, получаемые из общего при фиксированных значе-
значениях параметров а и /3, называются частными.
Например, при а = 1, /3 = 2 получаем: х\ = — 1, Х2 = 1,
ж3 = 1, ж4 = 2.

МЕТОД ЖОРДАЫА-ГДУССА
13
При а = —1, /3 = 1 получаем х\ = 2, ж2 = 4, жз = —1,
Ж4 = 1. Базисное решение соответствует нулевому набору сво-
свободных переменных: если а = 0, /3 = 0, то х\ = — 1, Х2 = 1,
жз = 0, ж4 = 0.
Ответ запишем так: Хо^щ = (—1 — 2а + /3,1 — 2а + /3, а, /3),
Х.аст! = (-1,1,1, 2), Хчаст2 = B,4, -1,1), Хб = = (-1,1, 0, 0).
Пример 3. Решить систему уравнений
Х\
13^2
7ж2
XI
Ж4 = 1
ОЖ4 — <5
2ж4 = 12
«ду 4 — '
ж4 = 19.
Решение. Вместо таблицы Гаусса будем использовать дру™
тую, более компактную, матричную интерпретацию ее блоков.
Подчеркнем, что слово «матрица» заменяет слово «блок». Вер™
тикальная черта в матрицах заменяет знаки равенства в уравне-
уравнениях системы. Знак ~ (читается «тильда») между двумя сосед-
соседними матрицами означает, что системы, соответствующие этим
матрицам, равносильны. Имеем:
(Г) 2 3 1
3 13 13 5
7 7 2
5 3 1
5 6 1
Л
3
12
7
19
2	3 1
7	4 2
1	-2 -1
3	0 0
0 -3 -6 -3
\
15
: 3
1
0
0
0
0
2
7
1
(D
1
3
4
^2
0
2
1
2
-1
0
1
0
9
2
-5 1
(Единичный столбец второй матрицы получен в результате
умножения первой строки — 3, — 3, — 1, ^4 и последующего при-
прибавления ко второй, третьей, четвертой и пятой строк соответ™
ственно. Во второй матрице произвели почленное деление чет-
четвертой и пятой строк на 3 и — 3, т. е. сокращение уравнений.)
1
0
0
0
0
0
0
1
3
4
^2
0
-1
о
о о
^з\
-14
7
2
10 3 1
0 10 0
0 0 2®
1
0
0
0
1
0
1
0
2
0
0
1
4
2
-7
Вторая и третья строки четвертой матрицы отброшены как
пропорциональные пятой. Заметим, что выделение ведущего
(разрешающего) элемента однозначно определяет действия по

14
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
ГЛ. I
аннулированию элементов ведущего столбца, поэтому мы отка™
зались от применения «чисел и стрелок».
Последняя матрица изображает систему, состоящую из трех
уравнений (г = 3, т = 5) с четырьмя неизвестными (п = 4).
Соответствующая система приведена к трем базисным неизвест-
неизвестным, разрешая которую относительно их, получаем:
х\ = 4 - ж3
х2 = 2
Положим жз = «, затем а = 0. Тогда общее, затем базисное
решения принимают вид
Хобщ = D - а, 2, а, -7 - 2а), Хб = D,2,0, -7).
Заметим, что переменную ж 2 нельзя получить среди свобод™
ных (свободная переменная может принимать любые значения,
тогда как Х2 = 2).
Пример 4. Решить систему уравнений:
х\+
— Х2+
+
+
2хъ
= 20
= ^1
= 20
= 13.
Решение. В предыдущих примерах преобразования Жор-
дан а-Гаусса свелись к действиям над уравнениями системы, или
строками таблицы, потому, что все ведущие коэффициенты бы-
были «1». Если же ведущие коэффициенты отличны от «1», то дей-
действия со строками могут вызывать затруднения, и в таких случа™
ях следует пользоваться формулами преобразования Жордана-
Гаусса, т. е. правилом прямоугольника.
С целью экономии места решение этой системы приведем
также в матричной записи:
/1 0 12 3-4
(р-3 0 1 2
-1 12 6 0
\2 -2 3 0 2 2
-6 0 3 0 -4
2 1-30 1
7/2 0-11 7/2
\ 6 0-30 4
20 \
-13
20
13/
13 \
-13
7/2
-13/
/10 12 3-4
2 1-301 2
7 0 -2BO 2
\б 0 -3 0 4 6
20 \
-13
-13/
1 0 -1/2 0 2/3 1
0 1 -2 0 -1/3 0
5/2 0 -1/2 1 17/6 0
-13/6
-26/3
17/3/

МЕТОД ЖОРДАЫА-ГДУССА
15
(последняя строка пропорциональна первой, поэтому она удале™
на).
Приведем примеры применения правила прямоугольника в
третьей матрице. При этом одна из вершин каждого прямо™
угольника должна совпасть с ведущим элементом а\§ = —6, про-
противоположная вершина — с элементом, подлежащим пересчету:
7/2 - 1
з - а
-3-2
Дй - 13
7 _ (-6) • 1 = 7
2	^6	2
а23 — ~^ ""
-6
7 _ 13-1 _ 7 13 _ 17
2	^6	2 6	3
1 - 7/2
Из последней матрицы получаем общее решение системы в ба-
зисе
26
~3~
17
~3~
13
6
2ЖН
— х\-
1Ж
2
, 1
3
17
6
2 /
з1
т. е.
17 5, . 1. 17
Хл = — — — Ъл + — 19 — —
3 2 1 2	6
13
-
При ti = 1,^2 = —1,^з = 2 получаем частное решение Хч =
= A,—10,—1,—3,2,—5). Базисное решение имеет вид Х^ =
= @, -26/3, 0,17/3,0, -13/6).
Примечание. Метод Гаусса (усеченный метод Жордана-
Гаусса) допускает получение в соответствующем блоке таблицы
Гаусса (матрице) необязательно единичных столбцов, т. е. не-
неизвестную не обязательно исключать из всех уравнений, кроме
одного. В этом случае говорят о приведении системы уравне™
ний к ступенчатому виду. Это важно в смысле экономии вре-
времени, когда коэффициенты системы «неудобные» и, особенно,
если система окажется неразрешимой.

16
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
ГЛ. I
Пример 5. Решить систему уравнений
12ж2 + 19ш3 + 25ж4 = 25
22ж2 + Шх3 + ЗЭж4 = 25
\2х2 + 9х3 + 25ж4 = 30
+ 8Эж4 = 70.
Решение. Нули в столбцах будем получать только под
диагональю соответствующей матрицы.
(I
0
0
/ E) 12 19
10 22 16
5 12 9
\ 20 46 34
12/5 19/5
1 11
0@
0 -20
25
39
25
89
21
25
30
70/
5
11/2
0
0
5^
25/2
5
f 1 12/5
0
0
0
0
-2
/1
0
0
U
19/5
-22
-10
-42
12/5
1
0
0
5
-11
0
-11
19/5
11
1
0
5'
-25
5
-30 ,
5
11/2
0
0
5
25/2
-1/2
-15
Последняя строка выражает противоречивое уравнение — систе-
система несовместна.
Примечание. Число г, фигурирующее в методе Жорда-
на-Гаусса, называется рангом системы A). Если ранг системы
равен числу неизвестных (г = п), то система однозначно раз-
разрешима. Если г < в, то система A) может иметь бесконечное
множество решений. В таком случае в качестве базисных неиз™
вестных можно брать какие-либо г неизвестных.
Число различных базисов системы не больше чем С?, где
/^г п(п — 1) ... (п — г + 1)
G' = —	 — число сочетании из п элементов по г.
Упражнения
Методом Жордана-Гаусса решить линейные системы
1.
—х\
7ж2
= 4
	 7
— — i
= 2.
2.
XI
<2ж1
CХ1
+ 3x2 — 5п
— Х2 + 3^
+ 2^2 — 5п
сз = 4
с3 = 0

МЕТОД ЖОРДАЫА-ГДУССА
17
3. <
Х\ — ЗЖ2 + 2жз — 3^4 — 2^5 = 4
Х\ — X2 — Хз — Х4+ #5=1
Х\ + 2^2	+ Ж4 + ЗЖ5 = ^
Ъх\ ~~ 2x2 + жз — Зж4 + 2^5 = 0.
4. <
. <
xi -
ОЖх -j~
2жх -
k Зжх^
xi -
оЖх i
Зж2 — 5:
7ж2 + :
бж2 + 3:
5ж2 - 4:
5ж2- 8
Ж2 — 3
сз +
сз +
сз +
жз +
жя -
ж4
11Ж4
12ж4
ЗЖ4
Ж4 =
5хл -
= 3
= 65
= 4
= -17.
= 3
= 1
-9x4= 20.
Данные системы решить в указанных базисах.
Х\ + 2X2
6.
7.
+ %4 + 3^5 = -6
- 5x4 + ж5 = -6 в
+ Ж5 = 2
1. <
или
2#i + Х2 —
Ж1 + Ж2 +
Х\ + Х2 -
Ж1 = 2 - 2а
ж2 = ^2 +а
ж3 = 1 + а
Ж4 = a
Ж1 = _2 -
ж2=/3
ж3 = 3 + /3
ж4 = 2 + /3
Ж4
же = 4
X® = 1 В
Xq = 8
Ответы
в базисе
Хб =B,-2,1,0),
ХчЛ= @,-1,2,1),
вбазисе(жЬжз,ж4),
Хб =
(-2,0,3,2),
(-4,1,4, 3).

18
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
ГЛ. I
2. X = A,1,1) 3. Система несовместна.
4. X = A4,12, ^45 5) 5. Система несовместна.
a v	/ л 17 19	7 л 11 . 3 . 1
6. Хобщ = а; р-— - —а- -/3; -— + 7а + -
X6=@;0;f;5;-H).
- + — *i - - *2,5 — 6*1 — *з? — - + - *i - -
О	О	О	О	О	О
§ 2. Метод Крамера
1°. Если в системе A) число уравнений равно числу неизвест-
неизвестных (ж = п):
а\пхп = Ъ\
C)
аппхп = Ъп
и система имеет единственное решение, то оно мож:ет быть най-
найдено при помощи формул Крамера
ХЛ = — Х2 = — . . .	X = ^	D)
где А — основной определитель системы C), который символи-
символически записывается так:
Д=
«11
«21
«nl
«12
«22
«п2
«2^
«пп
E)
a Ai5A2r..,An получаются из А, если в нем заменить соответ-
соответственно первый, второй, ..., n-й столбец на столбец из свобод™
ных членов. А называется определителем порядка п: он состоит
из п строк и п столбцов.
Сначала рассмотрим определение и вычисление определите-
определителей различных порядков п.
2°. Если п = 1, то А состоит из одного элемента (числа) А =
= \ац\ (в этом случае вертикальные черточки означают «опре-
«определитель», а не «модуль»). По определению |ац| = ац.

МЕТОД КРАМЕРА
19
Если п = 2, то А =
а12
0,21 Я-22
Пример. Для системы уравнений
- х2 = 3
имеем:
2	-1
3	4
— «21«22-
д =
Ч =
3 -1
7 4
= 2-4-3-(-1) = 8 + 3 + 11,
= 12 - (-7) = 19, А2 =
= 14-9 = 5.
По формулам Крамера: хл — — , ж2 = — или X = [ — , —
11	11	V 11 11
3°. Для указания способа вычисления определителя третьего
и более порядков (см. E)) введем необходимые понятия минора
и алгебраического дополнения.
Минором Mij элемента ац определителя E) называется опре-
определитель порядка (п — 1), получаемый из E) вычеркиванием
строки с номером г и столбца с номером j.
Величина А^ = (^1)*+J"M^ называется алгебраическим до-
дополнением элемента ац.
Пример. Для определителя третьего порядка
А =
-4
имеем:
1) аи = 1,
5 6
1 -2
2) а12 = -2,
3) an = 3, Mi3 =
-4
0
-4
0
6
-2
5
1
= -4,
4°. Способ вычисления определителя порядка п выражается
следующей теоремой о разложении определителя по строке или
столбцу.
Теорема 1. Определитель порядка п (п ^ 3) равен сум-
сумме произведений элементов какой-либо строки или какого-либо
столбца на их алгебраические дополнения.

20
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
ГЛ. I
Теорема 2. Сумма произведений элементов какой-либо ли-
линии (строки или столбца) на алгебраической дополнение другой
параллельной линии равна нулю.
Например. Для определителя из предыдущего примера
воспользуемся разложением по первой строке. Получаем:
Д =
1 -2
-4 5
+ - 12 = -12.
5°. С теоретической точки зрения при вычислении опреде-
определителя безразлично, какую строку или какой столбец взять для
разложения. С практической точки зрения, лучше брать ту ли™
нию (строка, столбец), которая содержит нулевые элементы, и
чем их больше, тем лучше.
Например. Для вычисления определителя четвертого по™
рядка
2 3-14
5 10 0
0 6 0 3
0-8 0-4
лучше брать сначала разложение по третьему столбцу:
Д =
\1+3
5 1
О 6
О -8
5 10
0 6 3
0-8 4
Этот определитель третьего порядка разложим по первому
столбцу:
Д = -5-
= -5 «(-24+ 24) = 0.
6°. При вычислении определителей порядка п ^ 3 могут
оказаться полезными следующие их свойства:
1)	При транспонировании (так называется действие замены
строк столбцами и столбцов строками с сохранением их порядка)
значение определителя не изменяется. Таким образом, строки и
столбцы определителя равноправны. Ниже под линией имеется
в виду строка или столбец.
2)	Если определитель содержит нулевую линию или две па-
параллельные пропорциональные линии, то его значение равно 0.
3)	При умножении любой линии на произвольное число зна-
значение определителя умножается на это число. Или общий мно-
множитель элементов некоторой линии можно вывести за знак опре-
определителя.

МЕТОД КРАМЕРА
21
4)	При перестановке двух параллельных линий значение
определителя изменяется на противоположное (определитель
меняет знак).
5)	Значение определителя не изменится, если к элементам
произвольной линии прибавить элементы любой другой парал-
параллельной линии, умноженные на одно и то же число.
7°. Теорема (Крамера). 1. Если для квадратной системы
C) А ф 0, то она имеет единственное решение и оно опреде-
определяется по формулам D).
2.	Если А = 0 и хотя бы один из определителей Aj ф О
(j = 1, 2,..., п), то система несовместна.
3.	Если А = Ai = A2 = ... = Ап = 0; то система C)
неопределенно совместна.
Примечание. В случае 3 решить систему можно методом
Жордана-Гаусса. Вместе с тем ее можно решить также методом
определителей. Только формулы Крамера применимы не к си™
стеме C), а к модифицированной системе (см. пример 3 ниже).
Пример 1. Решить систему
+ жз	= —10
3x2 ~~ 4жз	= 16
х\ — 4x2 + Зжз	= —18.
Решение. Имеем:
Д =
3
2
1
-2
3
1
-4
= 3 •
з
-4
-4
3
+ 2 •
2
1
-4
3
—и
2
1
3
-4
= 3(9 - 16) + 2F + 4) + (-8 - 3) = -21 + 20 - 11 = -12.
Ai =
-10 -2 1
16 3 -4
-18 -4 3
А3 =
= 12, До =
3 -2 -10
2 3 16
1 -4 -18
3 -10 1
2 16 -4
1 -18 3
= 36.
= -24,
Следовательно, х\ = —1,#2 = 2,жз = ^3 или X = (—]
Пример 2. Решить систему
2хг
Зж2 -
= 5
= 7
= Ю.

22
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
ГЛ. I
Решение. Вычисление следующих определителей основано
на свойствах 2) и 5) из п. 6°. Имеем
Д =
1 -S
2
3
3 -1
1 2
1
1 =
1
3
3
^2
1
1
3
2
2
Стрелка с некоторым числом означает умножение на это число
соответствующей строки и прибавление результата к указанной
стрелкой строке. Далее:
5
7
10
~2
3
1
3
-1
2
1
1 =
5-2 3
12 12
10 12
-1
5-2 3
2 0 0
10 12
= -2-
-2 3
1 2
= +14.
Система несовместна.
Примечание. Определители третьего порядка встречают-
встречаются чаще. Поэтому для них (и только) покажем два простых пра™
вила вычисления.
а) Правило параллельных линий заключается в следующем.
К исходному определителю приписываем два первых столбца и
составляем две группы произведений, как указано на диаграмме:
А =
.«3
>2 Ь2 =(aib2c3
Чх -
А
+
+
= А- В.
В
б) Правило Саррюса (треугольников) заключается в том, что
множители произведений, составляющих суммы А ж В, образу™
ют фигуры, показанные на следующей диаграмме:
А	В
Пример.
а)
О , 2 V
и _
ЧО 2
= (-5 + 0 - 40) - @ - 6 - 60) = 21.

МЕТОД КРАМЕРА
23
б)
= A2 - 12 + 30) - A0 + 16 - 27) = 30 + 1 = 31
2 3
™3ст2
Ч2 Х3
(фигура В не показана.)
Пример 3. Решить систему:
XI
2хг
Зхг
- 2х2 + 3,
+ Зж2 -
+ х2 + 2,
хз = 5
х3 = 12.
Решение. Имеем (предлагаем самостоятельно убедиться
в этом):
Д =
1	-2
3 1
15 3
2	7-1
3	12 2
5 -2
= 0,
= 0, А3 =
7
12
1
2
3
3 -1
= 0,
-2 5
3 7
1 12
= 0.
Система неопределенно совместна. Покажем, как обойтись фор-
формулами Крамера в этом случае.
Если первое уравнение прибавим ко второму, то получаем
систему
х\ — 2х2 + Зжз = 5
х2 + 2х3 = 12
х2 + 2ж3 = 12
2ж2 + Зжз = 5
х2 + 2ж3 = 12.
Не прибегая к методу Жордана-Гаусса, перепишем систему
так (это будет модифицированная система):
{х\ — 2^2 = 5 —
Зж1 + ж2 = 12 -
Принудительно объявили х% свободной неизвестной, а х\ и х2 —
базисными. Это возможно потому, что
Д =
1 -2
= 7, т. е.
0.

24
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
ГЛ. I
Далее,
5-Зжз -2
12 - 2ж3 1
= 5 - Зж3 + 24 - 4ж3 = 29 - 7ж3,
1 5 - Зж3
3 12- 2ж3
= 12 - 2ж3 - 15 + Эж3 = -3 + 7ж3.
29 -
Следовательно, Ж]_ =
бесконечное множество решений.
-3 + 7х3 п
Х2 = 	. Система имеет
или
г>*	29	3
Общее решение имеет вид х\ = — — а, Ж2 = — -
7	7
ж3 =
29
у
3 .	\ v /29 3 Л
Пример 4. Решить систему
+ %4 +
— 2X2
= О
х® = —
= 0.
Решение. Теорема Крамера непосредственно к этой систе-
системе неприменима, так как система неквадратная. Тем не менее
систему можно решить относительно трех каких-либо неизвест-
неизвестных при условии, если соответствующий определитель отличен
от нуля. Перепишем систему в виде
= —2 —
Х\ —
Основной определитель А =
2 2-1
1 2 2 = 16, А ф 0.
1-2 0
Вторая (модифицированная) система может быть решена по
формулам Крамера, если принять в качестве свободных членов
выражения, стоящие в правых частях уравнений (они содержат
свободные неизвестные, что и оправдывает их название). Реко-
Рекомендуем проверить равенства:
Ai = -4 - 10ж4 - 18ж5 - 18жб5 А2 = -2 + Зж4 + 7хБ -
Д3 = -12 + 2хА - 22ж5 + 10ж6.

МЕТОД КРАМЕРА
25
Следовательно,
Хл
1
Ai	15	9	9
	 = — - — - Хл — - Хк — -
А	4 8	8	8
3
—
16
1
7
—
16
11
9
—
16
5
Ж
(перепишите общее решение в параметрической форме)
= (l, 1,-3,-2,1,-1),
Упражнения
Следующие системы уравнений решить при помощи формул
Крамера.
1.
2.
2ж2 = 8
4ж2 = 9.
= 3.
2ж3 + 2ж4 = 9
10ж4 = 16
8x4 = Ю
= 12.
6. <
{Х\+ Х2 + 4жз + Х4+ Ж5+
3xi — 2ж2 — жз + 2ж4 + Ж5 —
= 1
относительно

26
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
ГЛ. I
8. I 2хг - x2
= 7
= 5
= 10.
Ответы
1.A,1). 2.0. 3. Bа + 4,а), D,0), @,-2). 4.A,1,1).
5.B,-1,3,1). 6.A,1,1,1). 7.x2 = l+-Xl + x3+-x5,
2
1121
7 ^	13	7
5 -3*1 - 7я* - Н*Б.
8. Несовместна.
§ 3. Метод обратной матрицы
1°. Матрицей размерности тхп называется таблица, состоя-
состоящая из тп чисел или выражений, называемых элементами и
расположенных в т строках и п столбцах:
\
А =
аи
«21
«12
«22
din
0>2
\flral
F)
Можно писать А = (щЛ17^-, .\ или просто (щЛ.
Две матрицы называются равными, если они имеют одина-
одинаковые размерности и элементы, стоящие на одинаковых местах
(ijj)j равны.
Матрица в называется нулевой, если все ее элементы равны
нулю.
Если число строк т матрицы F) равно числу столбцов п, то
такая матрица называется квадратной.
Элементы квадратной матрицы ац, «22 ? • • • ? ®пп (с одинако-
одинаковыми строчными и столбцовыми индексами) составляют глав-
главную диагональ. Другая диагональ матрицы называется побоч-
побочной.
Квадратная матрица Е называется единичной, если все ее
элементы главной диагонали равны 1, а все остальные — нулю:
/оооо\	/1 о о о'
0 0 0 0
0 0 0 0
о о
о

§ 3	МЕТОД ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ	27
Замена строк столбцами, а столбцов — строками (с еохране™
нием их порядка) называется транспонированием матрицы.
Обозначение:
АТ =
/
<3>11 Q>21 • • • a<ml
Q-12 O22 • • • Ctm2
\CLin Q2n • • • Q>mn J
=А.
2°. Для матриц определяются три действия: умножение мат™
риц на число, сложение (вычитание) и умножение матриц.
1.	Произведение матрицы А на число Л есть матрица Л А или
т4Л, каждый элемент которой равен произведению соответствую-
соответствующего элемента матрицы А на число Л.
2.	Суммой А + В (разностью А — В) матриц А ж В одина-
одинаковой размерности называется матрица С, каждый элемент C{j
которой равен сумме (разности) соответствующих элементов а^-
и bij. Имеем А + В = В + А.
3.	Произведение АВ определяется не для произвольных мат-
матриц А ж В. Оно имеет смысл только в том случае, когда число
столбцов А равно числу строк В. При этом А • В есть мат-
матрица G, каэюдый элемент щ которой равен сумме последова-
последовательных произведений элементов i-й строки матрицы А на
соответствующие элементы j-го столбца матрицы В:
Cij = anhj + Щ2Ь2] + • • • + aikhj
(k — число столбцов матрицы А и число строк матрицы В).
3°. Действия с матрицами обладают свойствами:
а)	А(В + С) = АВ + АС, (А + В)С = АС + ВС, (АВ)С =
= А(ВС);
б)	АЕ = ЕА (А — квадратная матрица);
в)	(ABf = ВТАТ.
Примеры
1. 3
2.	° ° 2 ).(-2) =
\ 1 -3 4 J	^-2 6-8
3.	B - 1 4) + @ 2 5) = B 1 9).

28	СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ	ГЛ. I
4.
5. А-В =
1-2-2-3 + 3-0 1-1-2-0-3-1 \_/ -4 -2
0-2 + 1-3-2-О 0-1 + 1-0 + 2.1/1 3 2
2
3
0
1 '
0
-1 ,
( !
*
V 0
-2
1
3
-2
6.В-А =
2-1 + 1-0 -2-2 + 1-1 2-3-1-2
3-1 + 0 -3-2 + 0-1 3-3-0-2 | =
0-1-0-1 -0-2-1-1 0-3 + 1-2 у у 0 -1 2
Сравнивая А • В и В • Д видим, что, вообще говоря, АВ ф В А.
/l234\/l2\
7. I	I • I	— невыполнимо (число столбцов
\5678/\34/	V
первой матрицы не равно числу строк второй).
8.А-В= ' " ^ 1 ' 4 5
-2 3
3-4 + 5-2 3-5-5-3 \_/ 22 0
2-4^4-2 2-5 + 4-3/ \ 0 22
В-А =
3-4 + 5-2 4-5-5-4
2-3 + 3-2 2-5 + 3-4
Это «редкий случай», когда А • В = В - А.

МЕТОД ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ
29
10 0
0 1
0 0 1
1 О О
0 10
0 0 1
=
2
4
1
-3
5
2
4
7
-3
5
8
l\
6
1
6
^9
8 -9
10.
-произведение двух
А =
2
63/ \ -2 -4 )	\ О О
ненулевых матриц может быть нулевой матрицей.
11.	Проверить равенства А^ — ЗА = (А2 — ЗЕ)А = 0, если
2 1
-1 -2
Указание. А2 = А • А, А3 = А2 - А.
Убедитесь в справедливости свойства в) из п. 3° на следую™
щих примерах.
5 0 3
12.	А= I Л х 	" |, 5= | -в 2 1
1 4 ^2
13. А =
2
1
2
6
4
1
0
-3
-1
з
)
4
0 -2
1
1
3
5
в =
/1 \
2
3
V 4 /
5°. Квадратная матрица А называется невырожденной^ ес-
если ее определитель, обозначаемый det А, отличен от нуля; если
det A = 0, то А называется вырожденной матрицей.
Матрица, обозначаемая А~^, называется обратной для мат™
рицы А, если А • А^1 = А^1 • А = Е
Теорема 1. Если А — невырожденная квадратная матрица^
то для нее существует обратная матрица^ которая может
быть определена по формуле
\
det A
А1г
А12
Ап1
Ап2
х Lin A2n А3п ... Апп/
где Aij — алгебраическое дополнение элемента
(см. п. 3°, § 2).
в det A

30
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
ГЛ. I
6°. Система из га линейных уравнений с п неизвестными
жет быть записана в матричной форме так (согласно определе-
определениям произведения матриц и равенства матриц):
А- X = В,	G)
где
А =
Л
С12п
\ami
CLmn /
/Xl\
X =
В =
(8)
\Хп/	\Ът/
Теорема 2. Если G) — квадратная система (га = п) и А =
= det А ф 0, то ее решение момсет быть определено по формуле
X =
В.
1. Решить систему:
Примеры
= 2
= 5.
3 -I
2 4
= 22,
А~г= -!-
4 5
^2 3
ПОЛУЧИЛИ Х\ = 3/2, Ш2 = V2 или -X" =
2. Решить систему
= +5,А22 = 3,
2/11 5/22\
-1/11 3/22/
4-2 + 5-5
22 \-2-2 + 3-5
Л)-
Ж2
Решение.
А =
det A =
= 5
= 5
= 0.
3 -1
2 -1
2
4
-3

МЕТОД ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ
31
Следовательно, ^4 ^ невырожденная матрица, поэтому она об™
ладает обратной матрицей А~^.
Вычислим 9 алгебраических дополнений (см. п. 3° §2):
-1
2
-1
2
-1
-1
4
~з
3
-3
3
4
= -5, Аи = -
1 -3
= Ю, А13 =
3 3
1 -3
= -1, А32 = -
з з
2 4
= -6,
2 -1
1 2
3 -1
1 2
3 -1
2 -1
= 5,
= -7,
= -1.
Согласно теореме 1
Настоятельно рекомендуем проверить равенства А • А г =
= А~1-А = Е.
Таким образом, по теореме 2, имея в виду обозначения (8),
получаем
1
X =
7°. Обратную матрицу можно найти также методом элемен-
элементарных преобразований Жордана-Гаусса, а вычисления произ-
производить в таблице Гаусса. Блоки таблицы Гаусса делятся на две
равные части. В левой части блока заносятся элементы квадрат-
квадратной невырожденной матрицы А, для которой надо найти обрат™
ную матрицу А~^. Правая часть блока заполняется элементами
единичной матрицы той же размерности, что и А. Выполняя
преобразования над строками блока с целью получения единич-
единичной матрицы в левой части таблицы, в правой ее части получаем
искомую обратную матрицу.
Пример. Найти А, если
А =
Решение. В левую часть первого блока таблицы Гаусса за-
заносим элементы таблицы А. В правую часть блока записываем
единичную матрицу третьего порядка. Переход от одного бло™
ка к следующему осуществляем при помощи формул Жордана-

32
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
ГЛ. I
Гаусса. Ведущие коэффициенты обведены кружками. Рабочая
таблица имеет вид
©
2
1
1
0
0
1
0
0
1
0
0
-1
-1
2
-1/3
7/3
0
1
0
0
1
0
3
4
-3
1
2
-4
-1
-6
A0)
0
0
1
1
0
0
1/3
-2/3
-1/3
1
2
-5
1/2
-1
-1/2
0
1
0
0
1
0
-1
-3
7
-3/10
6/5
7/10
0
0
1
0
0
1
0
0
1
1/10
3/5
1/10
1/2 -3/10 1/10>
Получили А^1 = | -1 6/5 3/5
-1/2 7/10 1/10 j
Упражнения
Найти матрицы, обратные для данных матриц.
2.
5 -3
4.
7.
/3
2
VI
/5
1
3
\8
-1
-1
2
2
7
1
3 \
4 .
-3/
/
1 \
1
-11 .
6 /
Данные системы
5.
8.
/2
8
2
\4
^2
3
5
V0
решить
3
-3
1
-1
6
1
2
5
2
3
-1
6
2
-1
1
-1
1>
1
1
1>
2\
4
7
-1/
. 6.
/3
-4
4
CNI
матричным способом.
7
-9
6
^2 2\
4 4
-3 7
^3 2/

РАНГ МАТРИЦЫ. ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ
33
9. < -
11. <
/ l
5.
/з 7е -V2
2/з -7б
-7з 7з
-1
-72
-1
1
2
Ответы
2.
4.
о\
V2
-1
'3/	2/
/19 Л
19
Vl9 -7l9
7 72 -3/l0
%
-1 75
-72 7lO
7ю^
3/5
7i0;
/175 35 -70
6. —
105
20
V-io
7. Не существует. 8. Не существует.
9. X = Р%ь 17/зъ 5/3i). 10. X = A,1,1).
11. Х = A,2,3,4).
-12
13
О \
8
150 42 -62 -17
3 /
§ 4. Ранг матрицы. Исследование систем
1°. Обратимся к матрице F) из п.1° §3. В ней фиксируем
некоторые к строк и к столбцов. Из элементов, стоящих на пе-
пересечениях этих к строк и к столбцов, можно составить минор
(определитель) М^ порядка к. Он может равняться нулю или
нет. Наибольший из порядков миноров М&, отличных от нуля,
называется рангом матрицы А и обозначается rank A.
2 К.Н. Лунгу, Е.В. Макаров

34
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
ГЛ. I
1
0
0
1
0
2
1
0
2
1
3
4
1
Ф
5
6
7
0,
8 \
9 .
ioj
М3 =
1
0
0
2
1
0
3
4
1
Пример 1. Дана матрица
А =
Определить ее ранг.
Решение. Имеем
Mi = 111 ф О, М2 =
Минор четвертого порядка составлять нельзя.
Ответ: rank А = 3.
Теорема 3. rank A ^ min(ra, п).
2°. Простейший способ определения ранга матрицы состоит в
приведении ее к ступенчатому виду или к единичным столбцам
при помощи последовательности элементарных преобразований.
К ним относится:
—	умножение строки на произвольное число, отличное от ну™
ля;
—	прибавление к некоторой строке любой другой строки,
умноженной на одно и тоже число;
—	вычеркивание нулевой строки.
Элементарным преобразованиям матрицы соответствуют
элементарные преобразования системы уравнений.
Теорема 4. Элементарные преобразования матрицы не ме-
меняют ее ранг.
Пример. Найти ранг матрицы
А =
f з
7
11
Uo
-1
-1
-1
-2
1
2
3
3
2
1
0
3
-20У
Решение. После вычитания первой строки из остальных
получаем эквивалентную матрицу, а из последней умноженную
на 2,
/з -1
4 О
8 О
-8\
-4
2 ^2 ^
\4 0 1-1 -4/
3	-1
4	О
12-8
1 -1 ^4
Поскольку три строки промежуточной матрицы были пропор-
пропорциональны, то из них можно получить две нулевые строки, ко™
торые мы отбросили.

РАНГ МАТРИЦЫ. ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ
35
Ясно, что rank A = 2, ибо М~2 =
3	-1
4	О
= 4.
3°. Между рангом матрицы А и рангом системы уравнений
А • X = В есть связь, выражаемая следующей теоремой.
Теорема 5. Ранг системы уравнений равен rank А.
4°. Иногда важно знать, совместна или нет система уравне-
уравнений А • X = Л, не интересуясь самим решением этой системы.
Если к матрице А присоединим столбец В свободных членов
системы, то получаем расширенную матрицу А.
Теорема 6 (Кронекера^Капеллм). Для совместности
системы уравнений А-Х = В необходимо и достаточно, чтобы
rank A = rank А.
Пример. Выяснить, разрешима ли следующая система:
Х\ + 2^2 —
2х\ — Х2 +
#1 — Ж2 +
4ж1	+
+ 3^4 — ^5 = О
+ Ж4 — ^5 = —1
+ 2X4	= 2
+ 6x4 — 2^5 = 5.
Решение. Напишем расширенную матрицу и получим в
ней как можно больше единичных столбцов. Каждый раз ве-
ведущий коэффициент обведем кружком:
А =
/ 1 2 -1 3 -1
12 О
3 6-2
0
2-1-1
0
0
V 4 О
10
-1 1 -1 -2
\ 2 О -1 8
0\
-1
2
7\
-3
-2
11/
/з
1
1
0
0
1
0
1
2
1
3
7
-1
2
6
-1
G
0
-2
4
-3
2
5
\
/
2 0-18 0
5 0 0 15 -1
-3 1
\ 0 0
0 10
00
7\
11
-9
4/
На языке (в терминах) уравнений, ясно, что получили? По™
следнее уравнение 0х\ + 0^2 + Охз + 0^4 + 0х§ = 4 — проти-
противоречивое уравнение. Нас интересует матричная терминология.
Напомним, что А — основная матрица, она расположена до вер-
вертикальной черты. Последняя ее строка нулевая, значит rank A
не может быть больше чем 3. А минор порядка 3, не равный
нулю, найден. Вот он:
М3 =
2
5
-3
0
0
1
-1
0
0
= -5.

36
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
ГЛ. I
В расширенной матрице последняя строка не нулевая. Най™
дем в ней минор М±, не равный нулю. Вот он:
М4 =
2
5
-3
0
0
0
1
0
-1
0
0
0
7
11
-9
4
= 4-
2
5
-3
0
0
1
-1
0
0
= ^5-4 = ^
(разложили по последней строке.) Итак, rank А = 3 < 4 =
= rank А. Система несовместна (теорема 6).
Упражнения
Матричным способом исследовать на совместность системы.
= 4
= 16
Х1 + Х2 + Зжз + 7^4 =11.
xi + 2ж2 + Зж3 = 2
2х\ + Х2 + 2ж3 = 2
2жх — 3^2 — 8ж3 — 6^4 = 1
= —3.
2.
2x4 =
4.
+
= —5.
Ответы
1. Несовместная. 2. ж = A;2;—1). 3. Неопределенная.
4. Несовместная.
4°. Однородной называется система уравнений
п = 0
n = 0
(9)
+
+ ¦ ¦ ¦ + атпхп = 0.

§ 4	РАНГ МАТРИЦЫ. ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ	37
Эта система всегда имеет нулевое решение х\ = О, Х2 = 0,...,
хп = 0 или Х° = @,0...,0).
В связи с однородной системой возникает вопрос: при каких
условиях она имеет нетривиальное (ненулевое) решение. Ответ
выражается через соотношение тип в терминах ранга матрицы
Л, составленной из коэффициентов системы при неизвестных.
Теорема 7. Если т < п7 то система (9) всегда имеет не-
ненулевое решение.
Теорема 8. Система (9) имеет ненулевое решение^ если
гапкА < п.
Свойства множества ненулевых решений однородной систе™
мы выражаются теоремой.
Теорема 9. 1. Если X = (жх, #2, • • • > хп) — некоторое реше-
решение системы (9), то XX (Л — произвольное действительное
число) томсе является решением системы (9).
2. Если х\ и Х2 — два различных решения системы (9), то
ЛхЖх + А2Ж2; где Х\ и Х2 — произвольные действительные числа,
такэюе являются решениями системы (9).
5°. Предположим, что однородную систему (9) можно раз™
решить относительно г первых неизвестных (г — ранг систе-
системы (9)):
xi =
Xr = a
Неизвестные xr+\, жг+2? • • • ? xn являются свободными, и они мо-
могут принимать произвольные действительные значения. Пред™
положим, что набор (жг+х,жг+25 • • • }хп) принимает последо™
вательно значения A,0,0,... ,0), @,1,0,... ,0), ..., @,0,... ,0,1).
Этим наборам соответствуют частные решения Х\ = (ахг+ь
«2г+Ъ • • • ? QW+b 1,0,..., 0), Х2 = («Xr+25 «2r+25 • • • , «rr+25 0, 1,
0,..., 0),..., Xn^T = (ain, a2n, • • •, «m, 0, 0,..., 0,1). Множество
этих решений называется фундаментальной системой решений
(9).
Теорема 10 (о структуре общего решения однородной
системы). Общее решение однородной системы представляет
собой линейную комбинацию решений фундаментальной систе-
системы
Хоо = СхХх + С2Х2 + . . . + Сп^гХп^г^
где ex, C2, ... ,сте^г — произвольные действительные постоян-
постоянные.

38	СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ	ГЛ. I
Рассмотрим теперь неоднородную систему
.. + а\пхп = Ъ\
............	(Ю)
. • + атпХп = Ът.
Система (9) называется однородной системой, соответствующей
неоднородной системе A0).
Теорема 11 (о структуре общего решения неоднород-
неоднородной системы). Общее решение хон неоднородной системы A0)
равно сумме Хоо + хч, где Хоо — общее решение соответствую-
соответствующей однородной системы (9), йжч~ некоторое частное реше-
решение системы A0).
Решить систему
Х\ + 2Ж2 — Жз + Ж4 — 2^5 = -3
Х\ + 2^2 + Зжз — Х4 + 2^5 = 17
= 14.
Решим сначала однородную систему
Х\ + 2X2 — ^3 + ^4 — 2^5 = 0
Х\ + 2Ж2 + Зжз — Ж4 + 2^5 = 0
2ж1 + 4ж2 + 2ж3	= 0.
Решение. Вычитаем из третьего уравнения сумму первых
двух. Получим тривиальное уравнение, которое отбросим. Затем
из второго уравнения вычитаем первое. Получаем равносильную
систему
!	(	2ж5= 0
Х\ + 2Ж2 + Жз	=0	I Х\ =
Х4 + 2х§ = 0	1 ^4 = 2шз +
Свободным переменным (ж2,жз,Ж5) дадим последовательно
значения A, 0, 0), @,1, 0), @, 0,1). Получаем три частных реше™
ния Хх = (-2,1,0,0,0), Х2 = (-1,0,1,2,0), Х3 = @,0,0,2,1).
Они составляют фундаментальную систему решений однород-
однородной системы. Общее решение однородной системы имеет вид
^оо = С\Х\ + С2Х2 + C3X3 =
= ci(-2,1, 0, 0, 0) + с2(-1, 0,1, 2, 0) + с3@, 0, 0, 2,1).

§ 4	РАНГ МАТРИЦЫ. ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ	39
Для получения общего решения неоднородной системы нуж™
но какое-то частное решение. Заметим, что Хч = B,1,3,-2,1)
удовлетворяет неоднородной системе (вопрос, откуда взялось
это решение, не стоит). Тогда
где ci, C2, сз — произвольные действительные постоянные (па-
(параметры).
Отсюда при различных значениях постоянных ci, с2, сз по-
получаем различные частные решения исходной системы.
Упражнения
Следующие системы решить тремя способами: при помощи
формул Крамера, методом Жордана-Гаусса и методом обратной
матрицы:
i + 2х2 + Зж3 = О
2хг + 4ж2 + 5ж3 = -1
+ 5ж2 + бжз = 1.
+ Х2 + жз = 4
2. { Хг ~~ Х2 + Жз = О
= 5.
+ Зж2 — Зжз + Х4 = О
4ж3 ^ 2x4 = 3
2 + Х2 + 3^4 = 4
2x4 = 2.
6x4 = 18
+ 2ж2 + 5ж3 + 7ж4 = 24
+ 2ж2 + 8жз + 5x4 = 13
+ 8ш2 + 7ж3 + Зж4 = 6.
Исследовать на совместность системы:
+ 2ж3 + Х4 + ж5 = -2
+ х2 + ж3 + Х4 + х5 = -3
+ 2ж2 + жз + Х4 + ж5 = -5.
— Х2 — Жз — Ж4 + #5=1
. ЗЖ1 + 2ж2 - Х4+ Ж5 = О
2 + З 2 + 3 + = 5
= 11.

40	СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ	ГЛ. I
Найти общие решения данных систем, если известно одно
частное решение Хч.
7.
(=1, X4 = A,-2,3,-1,2,-3).
8.
= —11
Ж2+ЗЖ3- Ж4 + 2Ж5+ Жб= -5
= -18, Хч = A,0, -1, 2,1, -
#1	+ Жз + 2Ж4 + ЗЖ5 = 8
9. ^ —Х\ + 3^2	— ЗЖ4 — Ж5 = —2
2х1 - 2ж2 + Зж3	+ 2ж5 = 15, Хч = B, -1,1, -2, 3).
Ответы
1. X = E,-4,1). 2. X = B,1,-1). Ш. X = A,-1,0,1).
4. X = B,0, -1,3), det Л = 296. 5. Совместна. 6. Несовмест-
Несовместна.

ГЛАВА II
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
НА ПЛОСКОСТИ
§ 1. Декартовы системы координат.
Простейшие задачи
1°. Введение координат позволяет решить многие задачи ал-
алгебраическими методами и обратно: алгебраическим объектам
(выражениям, уравнениям, неравенствам) придать геометри-
геометрическую интерпретацию, наглядность.
Наиболее привычна для нас прямо-
прямоугольная система координат Оху: две
взаимно перпендикулярные оси коор-
координат — ось абсцисс Ох и ось ординат
Оу — с единой единицей масштаба.
2°. Расстояние между данны-
данными точками Mi(xi,yi) и M2(x2iy2)
(рис. 2.1) вычисляется по форму-
формуле d = d(MiJM2) = МгМ2 =
Уг
Уг
0
Х2
+
Рис. 2.1
= \/ (Х2 ~
3°. Скажем, что точка М(х,у) делит отрезок М\М2 в отно-
отношении А, если ММ\ : ММ2 = А (рис. 2.2). Если Mi(#i,yi) и
MB) — данные точки, то координаты точки М определя-
определяются по формулам
X =
1 + А
При А = 1 точка М делит М\М2 по-
пополам и
Рис. 2.2
х =
'2/2
Пример. Отрезок AS делится точкой С(—3, 0) в от-
ношении А =
-АС 2
	 = - . Найти длину АВ, если задана точка
СВ	3

42	АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ	ГЛ. II
1.	Для нахождения искомой длины по формуле п. 2° необхо™
димо знать координаты точки В(х2,У2), которые определим по
формулам п. 3°.
2.	Имеем:
уда х2 =
3. АВ =
Ответ.
0, 2/2
\Л° +
5^5.
= 6
5J
-5 +
2
1+ -
3
. Итак,
+ F
+
5@,
4J =
6).
: V
/l25
•4 +
1 +
= 5
2
3
Упражнения
1. Даны координаты вершин треугольника АВ С: АB} —5),
)С()
)()
а)	Найти длины сторон и определить вид треугольника по
углам.
б)	Найти длины медианы ВМ, высоты СН и биссектрисы
AD,
в)	Найти площадь треугольника и координаты точек М и D.
Сделать чертеж.
2. Дан треугольник ABC с вершинами ^4E,5), 5A,-2),
С(-1,2).
а)	Определить вид треугольника.
б)	Найти координаты центра окружности, описанной около
треугольника.
в)	Найти площадь треугольника и угол С. Сделать чертеж:.
Ответы
1. а) 5, 10, л/97? остроугольный; б) 6, —, —; в) М(—1,1),
3 5
D B, - V S = 24. 2. а) прямоугольный; б) 0B,5, 1,5); в) 15, 90°.
§ 2. Полмрные координаты
1°. В полярной системе координат положение точки М на
плоскости определяется двумя числами: углом ср (в градусах
или радианах), который образует луч ОМ с полярной осью и
расстоянием г = ОМ точки М от начала полярной оси. Запи™
сываем М = М (г, ф).

§ 2	ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ	43
Если поворот от оси Or к ОМеовершается против часовой
стрелки, то (р считают положительным (рис. 2.3 а), в противном
случае — отрицательным.
М
у I	я
О	г	О\
а
Рис. 2.3
Переменный луч ОМ описывает всю плоскость, если (р изме-
изменять в пределах [0, 2тг) или (—тг, тг].
Иногда есть смысл считать, что ср Е (^оо,+оо). В таком
случае луч ОМописывает плоскость бесконечное множество раз
(иногда говорят, что ОМ описывает бесконечное множество
плоскостей).
2°. Можно совмещать ось Or с лучом Ох прямоугольной си-
системы Оху для того, чтобы получить связь полярных координат
точки М с прямоугольными (рис. 2.3 б). Имеем очевидные фор-
формулы:
X = Г COS (/9, у = Г 8Ш (f.	A)
Формулы A) выражают прямоугольные координаты через
полярные.
Полярные координаты выражаются через прямоугольные по
формулам
г= л/х2+у2, 1Е1р=У.	B)
X
Формула tg ср = — определяет два значения полярного угла (р.
х
Из этих двух значений следует брать то, которое удовлетворяет
равенствам A).
3°. Если в системе Оху привычно иметь дело с функцией
у = у(х) (хотя можно и х = х(у)I то в полярной системе О(рг
столь же привычна функция г = г((р).
4°. Построение кривой г = г((р) выполняется по точкам (чем
их больше, тем лучше) с учетом правильного анализа функции
г = г (</?), обоснованных выводов о ее свойствах и точности глаза
при проведении линии.
Если функция г = г((р) периодическая, то ее график — за-
замкнутая кривая, в противном случае замкнутость, ограничен-
ограниченность не обязательны.

44
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
ГЛ. II
+ 4я
Рис. 2.4
Пример 1. г = ср (линейная функция).
Ясно, что (р измеряется в радианах, или (р — число, иначе
г = (р не имеет смысла. Функция
г = ср определена только при <р ^
^ 0 и (р может изменяться от О
до +оо. Точки с полярными ко™
ординатами (<?>, (р) и ((f + 2тгп, (р +
+ 2ттп) расположены на одном лу-
луче (рис. 2.4).
Таким образом, график линей-
линейной функции представляет спи™
раль с началом в полярном нача™
ле координат. Эта спираль — след
точки М = М(г^ (р) при неограни™
ченном повороте переменного, те™
кущего отрезка ОМ вокруг точки О против часовой стрелки.
Пример 2. r = 2sin3(p.
Проводим анализ данной функции.
1)	Эта функция определена при (р ^ 0, а тогда 0 ^ г ^ 2.
2)	Поскольку г I ю Л	1=2 sin 3 (ю Л	1=2 sinC<z> + 2тг) =
/	J у з /	V з /	v r y
= 2sin^, то г = 2sin3(/9 — периодическая функция с периодом
2тг/3. Можно предположить, что
будет какое-то «повторение» гра-
графика (это в самом деле имеет ме-
место, но аналогия с графиком у =
= sin3x не совсем адекватная).
3)	Наличие периода Т=— пред-
предполагает, подсказывает, что мож-
можно ограничиться промежутком (р Е
[О, ^] (рис. 2.5).
Но если <р Е ( - , — ), то 3(р Е
о о
3 лШ
(А
3
т
Рис. 2.5
Е (тг52тг), а тогда sin 3^9 < 0, и ра™
венство г = 2 sin 3<?> не имеет смыс-
смысла (г ^ 0). На рисунке мы изобразили результат предваритель-
предварительного вывода. Если ср G — , — ,тог = 2 sin 3(p не определена, а
L о о J
значит, график не реализуется.
Этот угол (бесконечный сектор) заштрихован. Аналогичный
смысл имеют последующие знаки «+» и штриховка.
4) Сначала ограничимся промежутком ср Е 0, — . Под про-
L о J
ме^кутком надо понимать угловой промежуток, т.е. луч ОМ мо™

ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ
45
жет изменяться внутри угла раствора ~~ с вершиной в начале
координат.
5) Остается составить таблицу значений функции г = 2 sin3<?>,
О ^ (р ^ — . Для того чтобы получить как молено больше точек
о
((р^ г) искомой кривой, берем набор табличных значений для 3(^9,
т.е. как будто мы заполняем сначала третью строку этой табли™
цы, а затем первую строку, вторую и четвертую (г = 2sin3<^).
ip, град
4>i РаД
г
0°
0
0
0
10°
тг/18
7г/6
1
15°
тг/12
тг/4
20°
тг/9
7Г/3
30°
7г/6
тг/2
2
40°
2тг/9
2тг/3
V3
45°
тг/4
Зтг/4
V2
50°
5тг/18
5тг/6
1
60°
7Г/3
7Г
0
6)	На девяти различных лучах в растворе (р Е 0, - надо
L о J
построить точки на обозначенных в таблице расстояниях. Прав™
да, на первом и последнем лучах соответствующие точки кривой
совпадают с началом координат. Конечно, мы делаем это весь-
весьма приблизительно, но именно тут точность глаза даст наиболее
эффективный чертеж:. Хорошо при этом иметь под рукой транс-
транспортир и циркуль.
7)	Мы получили «лепесток» (рис. 2.6) — это треть графика.
Другие два лепестка расположены внутри углов со знаками «+».
Периодичность сводится к повороту нашего рисунка на угол — ,
затем повторению этого поворота.
8)	Трехлепестковая фигурка — результат периодичности. В
этом состоит отличие от периодичности функции у = slnSx: все
точки вида (ж + 2тгп, у), п Е Z', различны, а здесь только три из
точек ((р+ — п, г) различны (при в = 0, в = 1,п = 2), остальные
о
геометрически совпадают (рис. 2.7).
0
[ — /' '/
/лиС/ X
/// 7\ X х
#/7 \/ \ i
Ж/ 7 X ^J
Ж X \ ^y
i/x -y\X-^
l /
%
I
/
/
/
Хж
ч 6
\
\
\ ^
^, -Л,
^,
\
i
--""¦"'""""
V--
\
\
-4
2
Рис. 2.6
Рис. 2.7

46
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
ГЛ. II
Пример 3. г =
Анализ. 1) Данная функция — периодическая с периодом бтг:
cos
= cos f — + 2тг J = cos — . Но у нас ср Е [0, 2тг], значит
мы не можем реализовать один период этой функции на одной
плоскости, поэтому кривая будет незамкнутой.
2) Если ip Е 0, — ), то cos — ^ 0, а если <р Е ( — , 2тг 1, то
cos - < 0.
3) Остается брать табличные значения для — и построить
о
соответствующую таблицу:
у/з
г
0
0
3
тг/2
7г/6
зУз
2
Зтг/4
тг/4
Зл/2
2
7Г
7Г/3
3
2
Зтг/2
тг/2
0
4)	Соединяя соответствующие точки, получаем линию
(рис. 2.8).
5)	Если бы мы изменяли (р в противоположную сторону ср Е
Е 0, — — , то получили бы аналогичную линию; она обозначена
пунктиром.
6) Для того чтобы получить пол™
ную замкнутую линию при помощи
функции г = 3 cos — , рассуждаем так.
о
Нам надо иметь для (р промежуток
длиною в период Т = бтг. Далее,
a) cos — ^ 0 при — - ^ — ^ - т.е.
3	2 3 2
I
з1
2
^ у
X
X
'Зл/З
2
0
• —-
/3
•
X
Г_ Зтг Зтг]
L 2 ' 2 Г
Рис. 2.8
cos — < и при - ^ —
3	2 3
Зтг
2
т.е.
в)	От — — до — имеем как раз один период Т = бтг.
\ г^	Г Зтг Зтг \
г)	Этот промежуток делим на две равные части — — , — 1
Г Зтг 9тг\ тт
— , — 1. На первой его половине реализуется полная линия,
= 3 cos — , на второй она не определена.

ЛИНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
47
7) Остается изобразить эту ли-
линию на чертеже — это OABCDEO
(рис. 2.9). Угловые координаты этих
точек таковы:
0 = О
У>
Зл/3
А
з1
"г
Г
\Е
У
В
2
д
о
ь IP
Рис. 2
г
.9
\
\с
г
X
Зтг
Реализована она при двух полных
оборотах текущего радиуса около на™
чала координат, или как бы на двух
листах-плоскостях.
Упражнения
Построить линии, заданные полярными уравнениями:
а) г = 5,	б) г = 1 + cos <?>, в) г = 2 — sin у?,
г) г = 3 — sin(pcos(fj д) г = yocos^, e) r = ^/cos^,
)	/in 99 — cos у?, з) г = -^/cos 2<^, и) г =
ж:) г =
§ 3. Линии первого пормдка
1°. Прямая линия на плоскости отождествляется с множе-
множеством всех точек, координаты которых удовлетворяют некото-
некоторому линейному уравнению. При этом
отличают:
1)	Ах + By + G = 0 — общее урав™
нение прямой;
2)	у = кх + Ъ — уравнение прямой
с угловым коэффициентом fc; при этом
k = tga, где а — угол наклона прямой
к оси Ох (точнее а — угол, на кото™
рый надо повернуть ось Ох против ча™
совой стрелки до совпадения с прямой,
О
Рис. 2.10
рис. 2.10), b — величина отрезка, отсе-
отсекаемого прямой на оси Оу;
3)	— + - =1 — уравнение прямой
а Ь
в отрезках. Здесь а и Ъ суть отрезки,
отсекаемые прямой от осей Ох и Оу
соответственно (рис. 2.11);
4)	х cos (р + у sin (р — р = 0 — нор-
нормальное уравнение прямой. Здесь (р —
Рис. 2.11

48
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
ГЛ. II
угол между положительным направлением оси Ох и перпенди-
перпендикуляром ОР, \р\ — длина перпендикуляра ОР (рис. 2.12).
Примечание. Заметим, что уже одна прямая (один гео™
метрический объект) может быть задана как будто разными
уравнениями. Это означает, что соответствующие уравнения
для одной прямой должны быть равно™
сильными, а тогда каждое из них мож™
но привести, преобразовать к любому
другому. В связи с этим отметим соот™
ношения между параметрами различ-
различных уравнений:
v *Г	j	А т	Ь	А
\	к = — ^ ^ к = — - , cos (р = —
О
Рис. 2.12
sin у? =
В
р =
С
и пр.
/А2 + В2
2°. Уравнения конкретных прямых ?.
1)	у — 2/о = к(х — xq) — ? проходит через данную точку
М"о(ж0,!/о) и имеет данный угловой коэффициент k (или данное
направление a: tga = fc), при условии, что ? ^ Оу;
2)	х — xq = 0 при условии, что ? || Оу;
3)	y^yi = ——— {х^х\)^? проходит через две данные точки
Х2 — XI
Mi(xi,yi) и М(ж2,|/2) ПРИ условии, что Х2 ф х\ (рис. 2.14 а);
4)	х — х\ при условии, что Х2 = х\ (рис. 2.14 б).
\
yi
0
{ \l
\
\
Mx
м2^ьУг)
X
X = Xt
Рис. 2.13
Рис. 2.14
3°. Угол в между прямыми ?\: у = fcix + Ь\ и ?2: 2/ —
определяется через тангенс: tg0 = 2 1 ; стрелка означает,
1 + ^2^1
что угол 6^ определяется как угол поворота от прямой ?\ к пря™
мой ?2.
Отсюда, в частности, следуют признаки параллельности и
перпендикулярности прямых:
?г || ?2
-L ?2
к\ • к2 = -1, или

§ 3	ЛИНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА	49
4°. Точка пересечения двух прямых ?\ и ?2 определяется ре-
решением системы, составленной из уравнений этих прямых:
2 ' \ А + В + С 0
5°. Расстояние от данной точки Mq{xq, уо) до данной прямой
? : Ах + By + С = 0 определяется по формуле
I/!
В частности, d@,?) = ' ' = \р\ — расстояние от начала
координат до прямой ?.
6°. Пересекающиеся прямые 1\ и ?2 определяют два смежных
угла. Уравнения биссектрис этих углов имеют вид
Эти биссектрисы взаимно перпендикулярны (предлагаем дока™
зать это).
7°. Множество всех прямых, проходящих через точку
Мо(жо,уо)> называется пучком прямых. Уравнение пучка имеет
вид 2/ — 2/о = к(х — xq) или а{А\х + В\у + С\) + f3(A2x + В2у +
+ С2) = 0 (а, /3 — произвольные числа, Mq — точка пересечения
4 и ?2).
8°. Неравенство Аж + By + С ^ 0(^ 0) определяет полуплос-
полуплоскость, ограниченную прямой Ах + By + 0 = 0. Полуплоскости
принадлежит точка (жо,2/о)? в которой ^4жо + ?»|/о + ^ > 0 (< 0).
Зж — 2
Пример 1. По данному уравнению прямой ^—^— —
4
% - 1 -,
— —	 = 1 найти ее
2
общее уравнение;
уравнение с угловым коэффициентом;
уравнение в отрезках;
нормальное уравнение.
Решение. 1) Приведя к общему знаменателю, получим об-
общее уравнение прямой (п. 1°) Зж — 4у — 4 = 0.
2)	Отсюда легко получить уравнение прямой с угловым ко-
эффициентом у = -х — 1.
3)	Уравнение в отрезках получим из общего уравнения Зж —
^4у = 4 почленным делением на свободный член: — + -^— = 1.

50
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
ГЛ. II
4) Для получения нормального уравнения найдем cosy? =
А	3	3.	В	4
= -; sin<p = -1=== = -- и р =
4	о,	с-	3	4	4
= -. Хаким образом, -х — -у — - —
5	5	5	5
л/А2 + В2	5
= 0 — нормальное уравнение.
Пример 2. Составить уравнение прямой, проходящей че™
рез точку пересечения прямых ж + |/^2 = 0иЗж + 2|/^5 = 0
перпендикулярно к прямой Зж + 4у — 12 = 0.
Решение. 1) Координаты точки Mq пересечения прямых
найдем, решив систему
2) Угловые коэффициенты перпендикулярных прямых свя-
связаны (п. 3°) так: кч — —1/&1- Угловой коэффициент данной пря™
4
3 *
мой равен кл = — — = — - (п. 1°). Значит к^ = —
F	В	4 V	;	(-3/4)
3) Искомое уравнение прямой, проходящей через точку
MqA; 1) и имеющей угловой коэффициент к^ (п- 2°), запишем
в виде у —I = - (ж — 1). Приведем его к общему виду: 4ж — Зу —
о
Пример 3. Дан треугольник с вершинами АA; — 1),
?(—2;1), СC;—5). Написать уравнение перпендикуляра, опу™
щенного из вершины ^4 на медиану,
проведенную из вершины В.
Решение. 1) Сделаем схемати™
ческий чертеж (рис. 2.15).
2) Медиана ВМ точкой М делит
отрезок АС пополам, значит (п. 3°)
N
ХА +
1 + 3
= 2,
Ум —
Рис. 2.15
2	2
т.е. МB;-3).
3) Уравнение ВМ запишем (п. 2°) в виде: у — 1 =
~т~
(х +
+ 2) или у + ж + 1 = 0
4)	Из условия AN _L BiV следует, что !суш — 1 (п- 3°).
5)	Искомое уравнение имеет вид: у — у о = к(х — xq) или у +
+ 1 = 1(ж-1).
Ответ. ж^у^2 = 0.

ЛИНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
51
Пример 4. Дан треугольник с вершинами АG;0), 5C; 4),
СB; —3). Найти уравнения стороны АВ, высоты CD, биссектри-
биссектрисы BE, их длины и угол А. Сделать
чертеж.
Решение. Чертеж построен
(рис. 2.16).
В
; + у
з-7 4-0
2)	Угловой коэффициент АВ
= -1.
3)	CD ± АВ ^ kCD = I, (CD):
()
у	();	у
4) Для составления уравнения бис-
биссектрисы BE (п. 6°) нужно знать
уравнения ВС и АВ. Найдем уравне-
уравнение ВС: у-4=
(ж - 3)
7ж - у - 17 = 0. Теперь
5) Для нахождения длины высоты CD используем формулу
п. 5°:
, АВ)= 2 " 3 " 7
/Т+1
6) Длину биссектрисы BE найдем так. Точка Е есть точка
пересечения двух прямых BE и АС. Найдем уравнение АС:
у _ о = ^3^° (х - 7); у = - (х - 7); Зх - 5у - 21 = 0.
2 — 7	5
Координаты точки Е найдем как решение системы
{Зх + у - 13 = 0	^	43	4
Зх - 5у - 21 = 0
43
X = — .
9
Итак, Е [ — ,	). Теперь определим расстояние BE:
У о .
ВЕ=\Ц ^ -3
f) Hif1 =
0 =
Жпражненим
1. Даны координаты вершин треугольника ABC: A(^2, —4),
)С()
,),(,)
а) Составить уравнения сторон треугольника, медианы AM,
высоты BiJ

52	АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ	ГЛ. II
б)	Описать системой неравенств область, принадлежащую
треугольнику ABC.
в)	Найти внутренний угол В треугольника ABC.
г)	Найти координаты точек М и Н. Сделать чертеж.
2. Даны координаты трех вершин параллелограмма ABCD:
)()()
,),(,),(,)
а)	Найти координаты четвертой вершины D и точки пересе™
чения диагоналей параллелограмма.
б)	Вычислить площадь параллелограмма и длины его высот.
в)	Проверить равенство AC2+BD2 = 2(AB2+AD2). Сделать
чертеж.
3. Даны уравнения одной стороны ромба х — Зу + 10 = 0 и
одной из его диагоналей х + 4у — 4 = 0. Диагонали ромба пере-
пересекаются в точке Р@,1). Найти уравнения остальных сторон и
диагоналей ромба и координаты его вершин. Сделать чертеж.
Ответы
1. а) Зх - Ау - 10 = 0, 5х + 2у - 18 = 0, х + Зу + 1 =
= 0; б) Зх - 4у - 10 ^ 0, Бх + 2у + 18 > 0, х + Зу + 1 ^0;
в) В = arctg^, M(-l,0), Я(^72/29,-82/29). 2. a) DB,6),
ОA/2,2); б) 28, 14/л/5, 28/л/41. 3. З9ж + 37у + 82 = 0, ЗЭж +
+ 37у - 156 = 0, х + Ау - 4 = 0, х - Зу - 4 = 0, Ъх - 7у - 28 = 0.
А(-4,2), 5G/11,39/11), СD,0), Д(-7/11,-17/11).
§ 4. Линии второго порядка
К кривым второго порядка относятся следующие четыре ли-
линии: окруэтностъ^ эллипс, гипербола, парабола. Координаты ж, у
точек каждой из этих линий удовлетворяют соответствующему
уравнению второй степени относительно переменных х и у.
Ниже под геометрическим местом точек (сокращенно ГМТ)
подразумевается некоторое множество точек плоскости, коор-
координаты которых удовлетворяют определенному условию. Опре-
Определения кривых второго порядка дадим через ГМТ^ указывая
свойства этих точек.
1. Окружность. Окружностью радиуса R с центром в точ-
точке Мо(жо,Уо) называется ГМТ^ равноудаленных от точки Mq на
расстояние R.
Каноническое уравнение окружности имеет вид: (х — xqJ +
+ (г/-уоJ = Д2.
Пример 1. Составить уравнение окружности, диаметром
которой является отрезок, отсекаемый координатными осями от
прямой Зх - 2у + 12 = 0.

ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
53
Решение. На чертеже (рис. 2.17) изображена прямая Зж —
— 2у + 12 = 0. Она пересекает координатные оси в точках
А(-4;0), Б@;6).
1) Центром окружности является
точка Mq(xqj j/o) — середина отрезка АВ.
Координаты этой точки определим по
формулам (см. § 1, гл. II): xq = 	 =
0 + 6
= 3,
Рис. 2.17
2) Радиус R окружности равен
AMq = MqB и вычисляем, например, по
формуле (см. § 1, гл. II):
^9=7li
i? = V(^4 + 2J+@^3J=V4
3) Каноническое уравнение искомой окружности имеет вид:
(х + 2J + (у -ЗJ = 13.
Примечание. Если в последнем уравнении выполнить
обозначенные действия, то получаем уравнение х2 + 4х + у2 —
— Qy = 0. Оно называется общим уравнением окружности. Это
неполное уравнение второй степени относительно переменных х
и у.
2. Эллипс. Эллипсом называется ГМТ, для которых сумма
расстояний до двух фиксированных точек, называемых фокуса-
мщ есть величина постоянная. (Данная величина больше рас™
стояния между фокусами.)
Если предположить, что фокусы эллипса расположены в точ-
точках Fi(—c; 0), i*2(c; 0) (с > 0), а данная величина равна 2а, то из
его определения можно полу-
получить каноническое уравнение
эллипса
х2 у2
— + У- = 1.
а2 Ъ2
При этом а > 0 — большая по™
луось, Ъ > 0 — малая полуось, с
— фокусное расстояние и а =
Сам эллипс изображен на
Рис 2 18	чертеже (рис. 2.18). Важными
элементами, характеристиками
эллипса являются:
— эксцентриситет е = -@<?<1); если е ~ 0, то эллипс
а
почти круглый, т.е. близок к окружности, а если е ~ 1, то эллипс
сплющенный, близок к отрезку [—а; а];

54
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
ГЛ. II
—	директрисы эллипса — прямые с уравнениями х = — - ,
е
а
х = -;
е
—	расстояния точки М{х\у) эллипса до его фокусов (г\ до
левого, Г2 до правого) вычисляются по формулам:
г\ = а + ех^ Г2 = а — ex.
Пример 2. Составить уравнение эллипса, симметрично™
го относительно координатных осей и проходящего через точки
Найти расстояния от точки А до фокусов. Найти эксцентри-
эксцентриситет эллипса. Составить уравнения его директрис. Построить
чертеж.
Решение. 1) Параметры а и Ь эллипса — + — = 1 най-
а2 Ь2
дем, подставив в это уравнение координаты точек А и В. Это
приводит к системе
2
16
5
Ь2
12
5
= 1
= 1
или
А 4-
'4 +
2562
144
2562
= 1
= 1.
После умножения первого уравнения на 16, а второго на ^9
и сложения полученных результатов имеем
256-16 144-9 ,-	i^ri2 oonn
	 — 	 = 7, или 1755 = 2800.
25Ь2	25Ь2	'
Отсюда с учетом Ь > 0 находим Ь = 4, а тогда а = 5.
Каноническое уравнение
х2 у2
эллипса найдено: — + — =1.
25 16
2)	Фокусное расстояние
с = л/а2 - b2 = V25 - 16 = 3.
3)	Эксцентриситет равен
€= - =0,6.
4)	Расстояние от А до фо-
фокусов: г\ = 5 + 0,6 • 3 = 6,8;
г2 = 5 - 0,6 • 3 = 3,2.
5) Уравнения директрис: х = — — , т.е. х = —— (левая),
0,6	3
25 /	ч
ж = — (правам).
3 v	;
Чертеж построен (рис. 2.19).
Рис. 2.19

ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
55
Пример 3. Составить уравнение эллипса, симметрично™
го относительно координатных осей, проходящего через точку
^4(^3; 1,75) и имеющего эксцентриситет е = 0,75.
Решение. Имеем систему уравнений относительно пара™
метров а, Ь, с = л/а2 — Ъ2:
/ 2J 1 752
v ; + —— = 1 (эллипс проходит через точку А)
Ь2
= 0,75, или 	 = 0,5625 (дан эксцентриситет).
Из второго уравнения находим:
ел	еу
1-(-) = 0,5625, т.е. (-) = 0,4375, т.е. Ъ2 = 0,4375а2.
V а /	\ а /
Подставляя это в первое уравнение, получим — + — = 1, а
а2 а2
тогда а2 = 16, Ъ2 = 7, с2 = 9.
х2 у2
Уравнение эллипса — + — = 1.
16 7
3. Гипербола. 1°. Гиперболой называется ГМТ, для кото-
которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек,
называемых фокусами, есть величина постоянная. (Данная ве-
величина меньше расстояния между фокусами.)
2°. Если фокусы гиперболы расположены в точках Fi(—c; 0),
F2(c;0), с > 0, а данная величина равна 2а, то такая гипербола
имеет каноническое урав-
уравнение
где а2 + Ь2 = с2.
При этом а — действи™
тельная полуось, Ъ — мни-
мнимая полуось (а > 0, Ь > 0),
с — фокусное расстояние
(с>0) (рис. 2.20).
3°. Прямые с уравнени-
уравнениями у = ±-х называют-
а
ся асимптотами гипербо-
гиперболы. Величина е = - A<е<+оо) называется эксцентриси-
а
тетом гиперболы (при с ~ 1 ветви гиперболы широкие, почти
вертикальные, а при с ~ оо ветви гиперболы узкие, гипербола
приближается к оси Ох).
Рис. 2.20

56
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
ГЛ. II
Расстояния от точки М(х;у) гиперболы до ее фокусов (г\ от
левого, г2 от правого) равны г\ = \а + вх\ , г2 = |а — sx\.
Прямые с уравнениями х = ± - называются директрисами
гиперболы.
ж2 I/2
Пример 4. На гиперболе с уравнением — — — = 1 найти
точку М такую, что MF\ = 2MF2. Составить уравнение асимп-
тот и директрис гипербо-
гиперболы. Найти ее эксцентриси-
эксцентриситет. Сделать чертеж.
Решение. 1) Имеем
а = 4, Ъ = 3, с2 = а2 + Ь2,
с = 5. Гиперболу стро-
строим так (рис. 2.21): В пря-
прямоугольнике со сторонами
х = ±а и у = ±Ь (т.е. ж =
= ±4, у = ±3) проводим
диагонали (это асимптоты
гиперболы, т.е. прямые у =
Рис. 2.21	= ± - ж; у нас у = ± - ж).
а	4
Ветви гиперболы проходят через точки D; 0), (—4; 0), прибли™
жаясь к асимптотам, создавая впечатление почти параллельных
линий. Фокусы F\{—5;0), 1^E; 0) считаются лежащими внутри
гиперболы.
2) Имеем ? = - . Искомую точку М(х\у) определим при по-
помощи формулы 7*1 = 2f 2 ИЛИ
X
А
-4-
16
5
У\
3

\
4
Х =
\
\ 5 х
16 \Х
5 ^
4+ "
4
= 2
5
:— -X
4
4+ ^
4
= -2
- -х)
4 /
тт	48	16
Находим х = — и ж = — .
5	15
ж2	w2
Поскольку М(х;у) лежит на гиперболе — — — = 1, то
ординаты соответствующих точек найдем из этого уравнения
1 3 /9 л*	48
при наиденных значениях х: у = ± - yxz — 10 и, если ж = — ,
48
то 1/ = ±-4/1 — 1 —16 = ± - v 119, а если х = — , то i/ =
*	4VV5/	5	15	^

ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
57
3 /
-±iV
нужном
/16
I 15.
нам
j ~ 16 = :
смысле).
4
(это число не существует в
]
Получили две точки, удовлетворяющие данным условиям,
Jlf,[«;?
1#	I 48	3
Mo = — : - -
3) Уравнения директрис данной гиперболы: х = ± — , т.е.
х = ± — .
5
х2 у2
Пример 5. На гиперболе — — — = 1 найти точку М(х; у)
такую, что ее расстояние до одной асимптоты в три раза больше,
чем расстояние до другой асимптоты.
Решение. 1) Сделаем символический чертеж: гиперболы
(рис. 2.22) и ее асимптот. На нем изображены две возможные
различные ситуации, удовлетво-
удовлетворяющие условиям задачи: расстоя-
расстояние от точки М до асимптоты ?2
в три раза болвше, чем расстояние
до асимптоты ?±; для точки М\ —
наоборот.
2) Уравнения асимптот:
111 у = - ж, Ъх — 4у = 0;
2- У — — - ж, Зх + 4у = 0.
4
Рис. 2.22
3) Для точки Mi (ж, у) имеем cf(Mi,?i) = 3d(Mi,^2)- По соот-
соответствующим формулам (гл. II § 3 п. 5°) это равенство можно
переписать в виде
|Зж-4г/| _ 3|Зж + 4г/| .Q	. . _ Q .Q	. .
(-4J
Зх-4у = 9х + 12г/,
Зж - 4у = -9х -
Зж = -8у,
Зж = -2у.
4) Так как Mi лежит на гиперболе, то нам надо решить еще
системы
— - У- = 1
16 9
Зх = -8у
— - У- = 1
16 9
Зж = -2у.

58
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
ГЛ. II
Из первой находим х = ± —= , у = =р \/3, что соответствует
двум точкам Mi I — —= ; д/З ), М{ I —; — у/3 |.
V v3 J	\v3	/
Вторая система решений не имеет.
5) Что касается координат точки М1 то предлагаем убедиться
самостоятельно в том, что М [ — ; д/3 ), М; ( — — ; — \/3 J.
\v3 J	V v3	/
4. Парабола. Параболой называется ГМТ, для которых рас-
расстояние до фиксированной точки, называемой фокусом^ равно
расстоянию до фиксированной
прямой, называемой директри-
директрисой. Если фокус параболы рас-
расположен в точке F I - ; 0), а ди-
директриса имеет уравнение х =
= — - , то такая парабола имеет
каноническое уравнение у2 = 2рх.
При этом р называется парамет-
параметром параболы. Расстояние от точ-
точки М{х\ у) параболы до фокуса F
равно г = х + - (рис. 2.23).
Пример 6. Составить уравнение параболы, симметричной
относительно оси Оу, если она проходит через точки пересече-
пересечения прямой х — у = Он окружности
х2 + у2 - 6у = 0.
Решение. Уравнение искомой
параболы должно иметь вид х2 =
= 2ру; она изображена на чертеже
(рис. 2.24). Найдем точки пересе-
пересечения данных прямой и окружное™
ти:
Рис. 2.23
у = х
2х2 - 6х = 0, х = 0, х = +3.
Рис. 2.24
Получили Mi@;0) и М~2(+3;+3). Так как точка ЖC;3) лежит
на параболе, то справедливо равенство 32 = 2р-3^>р= - , и
искомое уравнение параболы есть х2 = Зу.

ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
59
Смешанные задачи
1. Составить уравнение параболы, симметричной относи™
тельно оси Ох, с вершиной в начале координат, если известно,
что парабола проходит через точку АB; 2).
Найти длину хорды, проходящей через точку М(8; 0) и на-
наклоненной к оси Ох под углом 60°.
Решение. 1) Сделаем чертеж (рис. 2.25).
2) Каноническое уравнение такой параболы имеет вид у2 =
= 2рх. Неизвестный параметр р определим из условия про-
прохождения параболы через точку
А()
В2(х2;у2)
Итак, уравнение параболы у2 =
= 2х.
3) Найдем координаты точек
() и Б2(ж2,У2); точки В1
и В2 лежат на параболе, поэтому
у\ = 2х\ и у\ = 2ж2- Из прямо™
угольных треугольников МВ2Х2
и МВ\Х\ имеем, соответственно,
у2 = (х2 - 8)tg60° = лД(х2 - 8)
В
х2 х
Рис. 2.25
= -л/3(8 - xi). Итак,
(	)	(	)	(	)
неизвестные координаты точек В\ж В2 удовлетворяют системам
" Xi)	{ У2 =
I on о \
решив которые, найдем ?»iF;^2v3)n B2{ —; — 1. Искомая
\ 3 V 3 /
длина хорды В\В2 =
28
Ответ. В\В2 = —.
о
2. Определить координаты точки пересечения двух взаимно
перпендикулярных прямых, проходящих через фокусы гипер™
2	2
болы — — — = 1, если известно, что точка ^4F: —2) лежит на
16 9
прямой, проходящей через ее правый фокус.
Решение. 1) Сделаем чертеж (рис. 2.26) и отметим пара™
метры гиперболы. Имеем а = 4, Ъ = 3, с = 5, ^(—5, 0), ^E, 0).
Переходим к вычислениям.

60
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
ГЛ. II
2) Составим уравнение AF2 по двум точкам.
ж^5
(AF2) :
=>у = -2(х - 5) или 2х + у - 10 = 0.
3) Составим уравнение
прямой F\Mj проходящей
через F\ перпендикулярно
прямой AF2- Имеем Ьае2 =
= —2, а тогда кргм — 1/2.
Получаем [F\M) : у — 0 =
АF;-2) = 1/2 (х + 5), или ж - 2у +
+ 5 = 0.
4) М = MFi х AM:
Рис'2'26	х^2у + 5 = 0
3. Составить уравнение эллипса с центром в начале коорди™
нат и фокусами на оси Ох, если его эксцентриситет равен е, а
прямая, проходящая через его ле-
левый фокус и точку Mq(xq; j/q)? °б^
разует с осью Ох угол а.
Решение. 1) Сделаем чер™
теж (рис. 2.27).
2) Каноническое уравнение ис™
х2 у2
комого эллипса есть — + — =1,
а2 Ь2
и задача сводится к нахождению
параметров а шЪ.
3) Вспомним, что е = - и с2 =
2 =
Рис. 2.27
а
= а2 — Ъ2. Как видно, достаточно найти с. Составим уравнение
прямой F\M®:
ж - (-с) _ у ^ 0
У =
I/O
ж0 + с
с)
I/O
ж0 - (-с) 2/0^0
С другой стороны, по определению, угловой коэффициент пря-
прямой есть тангенс угла наклона прямой к оси Ож, tga = к. Зна-
Значит,
т.е.
I/O
= к; отсюда с =
о + с	'	'	к
По найденному значению с определим а = - и Ь2 = а2 — с2.
?
4. Уравнение параболы у2 = Ъх записать в полярных коор™
динатах.

ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА	61
Решение. Подставляем в данное уравнение х = г cos cp, у =
= rsinip. При x ^ 0, т.е. ер Е —-, - |, получаем г sin ip =
5cosy? / / А\
', ИЛИ Г = ,	{(р ^ О).
sm2 -
5.	Полярное уравнение г = 	 записать в прямо™
2 cos (p — 5 sin <?>
угольных координатах.
Решение. Перепишем сначала данное уравнение в виде
2гсов(р — Ъг simp = 7 и используем формулы: г cos у? = ж,
г simp = |/. Получаем уравнение прямой: 2х — Ъу = 7.
6.	Записать в прямоугольных координатах полярное уравне-
2
ние г = 	.
4 — sin <p
Решение. Сначала перепишем данное уравнение в ви~
де 4r = r sin (p + 2 и воспользуемся формулами (заменами)
г = у^ж2 + у2, rsln^) = |/. Получаем: 4^/ж2 + у2 = у + 2
(у + 2 ^ 0). Далее, возведя сначала это равенство в квадрат, по™
еле преобразований и выделения полного квадрата получаем:
Ш(х2+у2) = у2+%+4, 16ж2+152/2-4|/ = 4, 16ж2+15 (у-—\ =
64	ж2	. V ~ 15/	1 п
— , 	2 + ^	тт— = 1- Получили каноническое урав™
I /—- 1
V л/15 /	V 15
нение эллипса с центром в точке @, — ) и полуосями а =
к 8
и о = — .
15
15 /	V15
Упраж:нения
1.	Даны уравнения сторон треугольника: у = х + 2, у =
= —-х + 1 и точка DD;2) пересечения его медиан. Написать
уравнение третьей стороны.
2.	Написать уравнения сторон квадрата, две противополож-
противоположные вершины которого есть точки АA;3), СF; — 2).
3.	Составить уравнения всех сторон квадрата, если извест™
но, что координаты двух смежных вершин квадрата АA;4) и
ВD; 0), а вершина С находится на оси ординат.
4.	Определить угол между прямой 2х — Зу + 5 = 0 и прямой
х = 0.
5.	Дан треугольник с вершинами АD;6), S(—3;0), СB;3).
Найти уравнение биссектрисы AD.

62	АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ	ГЛ. II
6.	Найти угол между диагоналями прямоугольника, верши™
ны которого находятся в точках пересечения эллипса х2 + Зу2 =
= 12 и гиперболы х2 — Зу2 = 6. Сделать чертеж.
7.	Гипербола проходит через точку М I б; 	 1, симмет-
V	2 У
рична относительно осей координат и имеет вещественную по-
полуось а = 4. Составить уравнения перпендикуляров, опущенных
из левого фокуса гиперболы на ее асимптоты.
8.	Эллипс, симметричный относительно осей координат, про-
проходит через точки М B\/3; \/б) и АF;0). Составить его уравне-
уравнение, найти эксцентриситет и расстояние от точки М до фокусов.
9.	Составить уравнение параболы и ее директрисы, если
парабола проходит через точки пересечения прямой у = х и
окружности х2 + у2 + 6х = 0 и симметрична относительно оси
Ох. Построить прямую, окружность и параболу.
10.	Построить по точкам линию с данным полярным уравне-
уравнением при (f E [0, 2тг] и найти уравнение соответствующей линии
в прямоугольной системе координат, у которой начало совпа-
совпадает с полюсом полярной системы, а положительная полуось
абсцисс — с полярной осью:
1)г=	, 2)г=	, 3)г=	.
1 + cos <р	2 + cos (р	3 — cos (p
11.	Написать канонические уравнения следующих кривых
второго порядка, заданных в полярных координатах:
а) г = ^^—^^— , о) г = ^^—^^— , в) г = ^^-^^ .
5^4 cos у?	4^5 cos (р	1 — cos ip
12.	Составить полярные уравнения следующих линий, задан-
заданных каноническими уравнениями:
2	2
а)	— + — =1 (полярная ось сонаправлена с осью ОХ, а
полюс находится в 1) левом фокусе, 2) правом фокусе);
б)	— — — =1 (полярная ось совпадает с осью ОХ, а полюс —
а2 Ъ2
в центре гиперболы);
в)	(х — RJ + у2 = R2 (полярная ось совпадает с осью ОХ, а
полюс находится: 1) в центре окружности; 2) в начале коорди-
координат).
Ответы
1. 5ж + у - 34 = 0. 2. ж = 1, ж = 6, у = -2, у = 3. 3. 4ж +
+ Зу - 16 = 0, Зх - 4у - 12 = 0, 4ж + Зу + 9 = 0, Зх - 4у + 13 = 0.
4. arctg - . 5. 5ж-Зу-2 = 0. 6. arctg -. 7. у = ± - (ж + 5). 8. — +
2л	4	о	ои

5 КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД УРАВНЕНИЯ КРИВОЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА 63
^ = 1; е = — . 9. у2 = -Зх. 10. 1) у2 = 1 - 2х — парабола;
2)
j- = 1 — эллипс; 3) —
= 1 - эллипс. 11. а) — + У- = 1; б) — + ^ = 1; в) у2 = 6ж.
; 25 9	; 16 9	;
12. а) 1) г =
в)
— 3 cos (p
2) г2 -
; 2) г =
16
5 + 3 cos (p
= R2.
; б) г2 =
J COS2 (Z) — 1
5. Приведение общего уравнения кривой второго
пормдка к каноническому виду
1°. Даны две прямоугольные системы координат Оху и
со свойствами (рис. 2.28): оси Ох и О\Х\, а также Оу и
параллельны и одинаково направлены, а начало О\ систе-
системы О\Х\у\ имеет известные координаты О\ = Oi(a, b) относи-
относительно системы Оху.
Тогда координаты (ж, у) и (ж1, 2/1) про-
произвольной точки М плоскости связаны
соотношениями:
{_	( _ _
х-Х1 а 1хг-х а A)
2/ == 2/1 | ^5 I 2/i = 2/ — 0.
Формулы A) называются формула-
формулами преобразования координат при парал™	рис 2 28
лельном переносе осей координат.
2°. Предположим, что прямоугольные системы координат
Оху и Ожхух имеют общее начало, а ось Ох\ составляет с осью
Ох угол а (под а понимается угол поворота оси Ох\ относитель-
относительно Ох). Тогда координаты (ж,у) и
(Ж1?У1) произвольной точки М плоско-
плоскости связаны соотношениями (рис. 2.29):
j
У
b
0

Oi
л м
Vi
I Xi
1
a x x
v^l
\
Рис. 2.29
х = х\ cos a — у\ sin a
у = х\ sin a + 2/i cos a,
Ж! = x cos a + у sin a
l/i = ^ж sin a + у cos a.
B)
Формулы B) называются формулами преобразования коор-
координат при повороте осей координат.

64	АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ	ГЛ. II
3°. Общее уравнение второго порядка относительно перемен™
ных х ж у имеет вид
Ах2 + 2Вху + Су2 + Dx + Ey + F = 0.	C)
Существует угол а такой, что формулами поворота осей на угол
а уравнение C) можно привести к виду (в нем коэффициент В\
при х\у\ равен нулю):
Ахх\ + С1У1 + DlXl + Е1У1 + Fi = 0.	D)
При этом
А\ = A cos2 а + С sin2 а + 2В sin a cos a,
С\ = A sin2 а + С cos2 а ~~ 2В sin a cos а,
В\ = D cos a + E sin а,	E)
Е\ = ^D sin a + Е cos а,
Соответствующий угол а можно найти из уравнения
(С - A) sin a cos a + B(cos2 a - sin2 a) = 0.	F)
4°. Уравнение D) приводится к каноническому виду при по™
мощи формул параллельного переноса.
Заметим, что окончательное уравнение может и не иметь гео-
геометрического изображения, что подтверждает, например, урав™
пение х2 + у2 + 1 = 0.
5°. Примеры. Привести к каноническому виду следующие
уравнения второго порядка: 1) 8х2+4ху+5у2 — 56х — 32у+80 = 0;
2) Зх2 + Юху + Зу2 -2х- Uy - 13 = 0; 3) х2 - Аху + Ау2 -2х-
- 6у + 2 = 0; 4) х2 + у2 - Зж + 2у = 0; 5) Зж2 - 4ху + 3f/2 + 20 = 0.
Построить геометрическое изображение каждого уравнения.
Решение. 1. Этот пример решим достаточно подробно, не
прибегая к формулам E) и F).
а) Выполним поворот осей координат на угол а при помощи
первых формул B). Имеем последовательно
8(ж1 cos а — ух sin аJ + 4(х\ cos а — у\ шкх){х\ sin а + у\ cosa) +
+ Ь{х\ sin а + ух cos аJ — Ш{х\ cos а — у\ sina)^
— 32(жх sin a + 2/i cos а) + 80 = 8Ж]_ cos а — 1бжх cos ayi sin a+
+ 8yi sin a + Axi cos a sin a + Ax\y\ cos a + Ax\y\ sin a^
— Ayi sin a cos a + 5ж1 sin а + Южхух sin a cos а + 5ух cos а^
— 56(ж1 cos а — 2/i sin а) — 32(#i sin a + y\ cos a) + 80 = 0.

5 КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД УРАВНЕНИЯ КРИВОЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА 65
б) Выделим отдельно слагаемые, содержащие произведение
су	су
cos а —4#iyisin а + 1Ш\у\ sin а cos а.
Ставим условие, чтобы это выражение было тождественно равно
нулю. Это возможно при условии
су	су	су
4 cos а — 4 sin а — 6 sin a cos а = 0, или 2 tg а + 3 tg а — 2 = 0.
Отсюда находим tga = ^2 или tga = + - . Выберем угол а так,
что tga = - . Это соответствует тому, что ось Ох\ составляет с
А
осью Ох положительный угол а = arctg - . Из равенств tg a =
• 2	1	2	4	2
sin а = - , cos а = - , sin а cos а = - .
5	5	5
в) Подставим полученные выражения в последнем уравне™
нии из п. а). Получаем последовательно (слагаемые, содержа-
содержащие ж 1|/1, опускаем — их вклад в уравнение равен нулю, чего
добились в п. б):
BЖ1 - У1) - % (Ж1 + 22/i) + 80 = 0,
_ _^ у1) + 80 = 0.
г) В круглые скобки добавим надлежащие числа для получе™
ния полных квадратов. После вычитания соответствующих сла-
слагаемых приходим к равносильному уравнению
д) Для приведения этого уравнения к каноническому виду
воспользуемся формулами параллельного сдвига, полагая
Х2 = Х1~Тъ и У2 = У1!'
и последующего почленного деления уравнения на 36. Получаем
2	2
каноническое уравнение эллипса — + — = 1 в системе коорди-
координат О2Х2У2 (рис. 2.30).
3 К.Н. Лунгу, Е.В. Макаров

66
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
ГЛ. II
2. Этот пример решим, используя формулы E) и уравне™
ние F). Имеем: А = 3, В = 5, С = 3, D = -2, Е = -14, F = -13.
Уравнение F) принимает вид cos2 a —sin2 а = 0, откуда а = 45°,
sin a = cos а = — . По формулам E) последовательно находим:
V2
А = 8, С = -2, D = -iJL,?J = -iJ,F = -13.
В системе координат Ох\у\ исходное уравнение принимает
вид:
16
-
12
-
После выделения полных квадратов получаем 4 I жх — —= ) —
—= I =4. Положим х<2 =
V2
1	3
- -.= , у2 = 2/1 + -/=
V 2	V 2
~~ 12/1
и почленно разделим на 4. Получаем каноническое уравнение
2	2
гиперболы — — — = 1, изображенной на рис. 2.31.
Рис. 2.30	Рис. 2.31
3. Уравнение F) в данном случае имеет вид 2 tg2 a + 3 tg a —
^2 = 0. Принимаем tga = -. По формулам E) приходим к
2	/	\2
новому уравнению оу? — —^ У\— —j= xi+2 = и, или у\ — —= —
v 5	v 5	\	v 5 у
2 /	V5\ A л,
— -^= I #i — — |=и. Формулы параллельного переноса Х2 =
10
2/2 = 2/
приводят к каноническому уравнению
параболы у\ = —^2 (рис. 2.32).
15

5 КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД УРАВНЕНИЯ КРИВОЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА 67
4. Для приведения к каноническому виду этого уравнения
достаточно составить полные квадраты:
с центром в точ-
точтт
Получили уравнение окружности радиуса
ке Ox (->-l) (рис- 2-33)-
-1
Рис. 2.32
Рис. 2.33
5. Соответствующее уравнение F) имеет вид: cos2 o^sln2 a =
= 0, а тогда а = 45°, sin о: = cos а = —= , sin а cos а = - .
V 2	2
Коэффициенты нового уравнения равны: А\ = 1, С\ = 5,
F\ = 20. Само уравнение имеет вид: х\ + 5у2 + 20 = 0 и геомет™
рического изображения не имеет. Оно выражает мнимый эллипс
х2 v2
^ + У- =-1.
4
Упраж:неним
Привести к каноническому виду уравнения:
1.	бху + %2 - Пх - 26у +11 = 0.
2.	9х2 + 24ху + 16у2 + 50ж - Шу + 25 = 0.
3.	Ъх2 - бху + Ъу2 - 32 = 0.
4.	2ж2 + Зу2 + 8ж - 6у + 11 = 0.
5.	8х2 - 4ху + Ъу2 + 4х- 10у - 319 = 0.
1. Гипербола:
Ответы
2
— — = 1. 2. Парабола: х\ = 4г/2-
липе: ^i- + — = 1- 4. Точка: 2x1 + 3|/| = 0. 5. Эллипс: ^
16 4	l z	81
+ ^ =1.
36

ГЛАВА III
ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
§ 1. Понятие вектора. Линейные операции
над векторами
1°. Любые две точки A(xi,yi,zi) и В{х2^У2^2) простран-
пространства, если они упорядочены (например, А является первой,
а В — второй точкой), определяют отрезок вместе с вы-
выбранным направлением (а именно от А к В). Направленный
отрезок называется вектором. Вектор с началом в А и кон-
концом в В обозначается АВ или а. Длина вектора, обозначае-
обозначаемая АВ , АВ или |а|, а, называется также модулем вектора.
Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат кон-
конца вектора вычесть одноименные координаты начала АВ =
= {ж2 — х\] у2 — Ш; Z2 — z{\ . Тогда длина вектора найдется так:
АВ
- Xlf + (у2 -
z2 -
z2
Векторы, расположенные на одной прямой или на параллель-
параллельных прямых, называются коллинеарными.
Два вектора а и Ъ называются равными, если они коллинеар-
ные, имеют одинаковые модули и направления. В этом случае
пишут а = Ь. Равные векторы имеют равные координаты.
Векторы а и Ъ называются противоположными^ если они
кол линеарные, имеют одинаковые длины и противоположные
направления: Ь = —а.
Вектор называется нулевым, если его
модуль равен нулю.
2°. Линейными называются действия
а + Ь	сложения, вычитания векторов и умно-
умножение вектора на число.
Рис. 3.1	1. Если начало Ь совмещено с концом
а, то начало а + Ь совпадает с началом а, а конец — с концом Ь
(рис. 3.1).

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ
69
а-Ъ
2.	Если начала векторов а и Ъ совмещены, то начало а —
— Ь совпадает с концом ft, а конец а — Ъ совпадает с концом а
(рис. 3.2).
3.	При умножении вектора а
на число (скаляр) А длина векто-
вектора умножается на |А|, а направ™
ление сохраняется, если А > О,
и изменяется на противополож-
противоположное, если А < 0 (рис. 3.3).
Вектор eg = — называется
\а
ортом или единичным вектором
вектора а, его длина равна еди™
Х<0
Ха
Рис. 3.2
Ха
Х>0
нице: eg
= 1.
Рис. 3.3
3°. Запись а = {aXjayiaz} = axi + ayj + azk означает, что
вектор а имеет координаты aXiayi az или а разложен по базису
i,j,k(i,j,k — орты осей Ох, Оу и Oz пространственной системы
координат Oxyz). При этом
= \/al
а = \а =
4°. Числа cos a = —^-, cos /3 = —j-, cos 7 = —т называются
|а|	|а|	\а\
направляющими косинусами вектора а; а /3, 7 — углы между
вектором а и координатными осями Ох, Оу, Oz соответственно.
Единичный вектор еа = {cos a, cos /3, cos 7} — орт вектора а. Для
любого вектора справедливо: cos2 a + cos2 /3 + cos2 7 — 1-
5°. Линейные операции над векторами, заданными свои-
своими координатами. Пусть а = {ax;ay;az} и 5E^,5^,5^}. Тогда
а =Ь Ь = {аж ± Ьж; а^ ± Ь^; az ± bz} и Аа = {Ааж, Аа^, Аа^}.
Следовательно, при слоэюенчч векторов складываются их
соответствующие координаты, а при умножении вектора на чи-
число умножаются на число все координаты вектора.
6°. Необходимое и достаточное условие коллинеарности век-
векторов аи!), устанавливаемое равенством Ь = Аа, может быть
записано соотношениями Ъх = Хах; Ъу = Аа^; bz = Aaz, из кото-
которых следует пропорциональность их координат: — = -%- = —.
Ьх by by
Если один из членов какого-нибудь из этих отношений равен
нулю, то и второй член того же отношения должен быть нулем.
Геометрически это значит, что в этом случае оба вектора пер™
пендикулярны соответствующей координатной оси (например,
если ах = Ъх = 0, то векторы а и Ъ1.Ох).

70
ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
ГЛ. III
7°. Система векторов а!, О2,- • • аш называется линейно неза-
висимой, если равенство
... + Amam = 0
(i)
(Ai, A2,..., Am — действительные числа) возможно только при
А]_ = Х2 = ... = Хт = 0. Если же равенство A) возможно при
некотором нетривиальном наборе (Ai, А2,..., Am) ф @, 0,..., 0),
то система этих векторов называется линейно зависимой. Хотя
бы один вектор линейно зависимой системы линейно выражает-
выражается через остальные.
Пример 1. Доказать, что треугольник с вершинами в точ-
точках т4A;2), ВB;5), СC;4) прямоугольный.
Решение. Построим векторы, совпадаю™
щие со сторонами треугольника (см. п. 1°):
АВ = {1;3}, АС = {2; 2}, ВС = {1;-1}
(рис. 3.4).
Найдем длины сторон:
АВ
АС
= \/8,
ВС
Рис. 3.4
гипотенузой
= уТТ1= у/2.
Нетрудно видеть, что АС2+ВС2 = АВ2. Сле-
Следовательно, треугольник ABC прямоугольный с
= \/1о и катетами АС = 2д/2 и ВС = \/2.
Пример 2. Проверить, что точки АB;—4;3),
GG; 4; 6) и DF; 8; —3) являются вершинами трапеции.
Решение. Составим вектор-сто-
вектор-стороны с целью обнаружения коллинеар-
коллинеарности векторов (в трапеции ВС \\ AD)
(рис. 3.5): АВ = {3,2,6}, ВС =
= {2,6,^3}, CD = {^1,4,^9}, DA =
= {^4,^12,6}.
Имеем: DA = —2ВС7 значит, ABCD — трапеция.
Пример 3. Найти орт и направляющие косинусы вектора
{}
Рис. 3.5
Решение. Имеем \а\ = л/Ш + 4 + 9 = 7. В соответствии
с пп. 3°, 4° еа = -I —, — —, — — |> и направляющие косину-
6^2	3
сы вектора a: cos а = -, cosp = —-, cos 7 = —-, причем
у cos2 a + cos2 /3 + cos2 7 = \&а\ = 1-
Пример 4. Определить точку В, которая является кон-
концом вектора а = {3;^4;2}, если его начало совпадает с точкой
А()

§ 1	ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ	71
Решение. Пусть точка В имеет координаты В(х; у; z)
(рис. 3.6). Тогда координаты вектора (п. 1°)
АВ = а={ж-2;у-(-1);г-1}={3;-4;2}. ^	" ^
Следовательно, ж^2 = 3;у + 1 = —4; z —
-1 = 2. Ответ: ЛE; -5; 3).	Рис. 3.6
Пример 5. Вектор d = {—9, 2, 25} разложить по векторам
а = {1,1,3}, Ъ = {2,-1,-6} и с = {5,3,-1}.
Решение. Необходимо найти числа ж, f/, z так, что жа +
+ уЪ + zc = cf, т.е. {ж, ж, Зж} + {2у, —у, ^6у} + {5z, 3z, —z} =
= {—9, 2, 25}. Имея в виду, что при сложении векторов склады-
складываются их координаты, и равные векторы имеют равные коор™
динаты, приходим к системе уравнений
из которой
Ответ, d = 2а — 36 — с.
Пример 6. Показать, что система векторов а[ = {2,1,3},
а2 = {1, 0, —1} и аз = {0, 0,1} линейно независима.
Решение. В данном случае равенство A) имеет вид
Ai{2,1,3} + А2{1, 0, -1} + А3{0,0,1} = 0, или {2Ai + А2, Аь 3Ai +
+ A3} = 0. Отсюда получаем систему уравнений
из которой следует, что Ai=0, А2 = 0, Аз = 0. Это подтверждает
линейную независимость данных векторов.
Пример 7. Показать, что система векторов а[ = {2,1,3},
О2 = {1,1, —1} и а"з = {1, —1, 9} линейно зависима.
Решение. Равенство A) равносильно системе уравнений
2Ai + А2 + А3 = 0
Ai + А2 - А3 = 0
3Ai - А2 + 9А3 = 0.
Она имеет ненулевое решение, например Ai = 2, А2 = —3, Аз =
= — 1. Таким образом, 2d[ — Зо2 — ^з — 0. Отсюда видно, что
щ = 2ai — Зо2, т.е. вектор аз линейно выражается через d[ и а*2.
Очевидно, что О2 можно выразить через а[ и аз? а «1 ~ через «2
и аз.

72	ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ	ГЛ. III
Упражнения
1. Коллинеарны ли векторы а и Ь и каково отношение их
н?
1)а = {2;-1;1}, 6 = {4;-2; 4}.
длин?
2.	Даны вершины А@;0;0), ВB;-3;5), С(-3,4,-2), парал™
лелограмма ABCD. Найти вершину D.
3.	Написать разложение вектора а = {0; ^2; 3} по коорди-
координатным ортам.
4.	Найти углы, образуемые вектором а = {—2; 2; 1} с осями
координат.
5.	Вектор Ъ = {1, 6,1} разложить по векторам а\ = {0,1, ^2},
а2 = {1,-1,0} и а3 = {2,-1,3}.
Ответы
1. 1) Нет, М = * ; 2) да, Щ = *. 2. ?>(-5;7;-7). 3.
;	\Ь\	лД }	\Ь\	2	V ' ' ;
S = Qi^ 2j + 3fc. 4. а « 131°49'; /3 « 40°11;; 7 « 70°32;. 5. Ь =
§ 2. Скалярное произведение векторов
1°. Скалярным произведением двух ненулевых векторов а и
Ь называется число^ равное произведению их длин на косинус
угла (р между ними:
ab = |a| • \Ь\ cos (p.
Из AOBBf (рис. 3.7) имеем СШ; =
В' а — OB cos (р = пр-Ь = |Ь| cos 99. (пр-Ь —
проекция вектора Ь на направление век-
Рис. 3.7	тора а).
Итак, ab = |а|пр-6=
axbx
2°. Если a = {ax;ay;az} и 6 = {b^;^;^^}, то ab = ax
yby + azbZ: т.е. скалярное произведение векторов равно сумме
произведений одноименных координат этих векторов.
При этом аа = а2 = \а\ (угол /с/? = 0), если же Zip = 90°,
т.е. а_1_Ь, то аЬ = 0, (cos 90° = 0) (условие перпендикулярности
двух векторов).

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
73
3°. Из определения скалярного произведения следует форму™
л а для вычисления угла между двумя векторами:
ab	axbx + ауЪу + azbz
COSif =
а
Ь
Пример 1. Перпендикулярны ли векторы р и q, если р =
= {2;0;-3},д>={3;4;2}?
Решение. Условие перпендикулярности векторов (п. 2°)
pq = 0; в нашем случае
fq>= 2-3 + 0 -4-3-2 = 0 ^р _L q.
Ответ. Да.
Пример 2. Найти проекцию вектора т = 2г — 4j + к на
направление вектора п = 2г — j + 2к.
Решение. Пр-m = \т\сон(р (п. 1°). Подставив сюда выра™
жение для cosip из п. 3°, получим:
тп _ тп _ 2-2 + (-4)(-1) + 1-2 _ 10
пр-гв = \т
Ответ. — .
3
- 22
Пример 3. Зная векторы, совпадающие с двумя сторона™
ми АВ = {1;2;—1} и ВС = {2;0;^4}, найти внутренние углы
треугольника ABC.
Решение. Имеем (рис. 3.8):	х^
cos/3 = cos (тг — В) =
АВ ВС
\AB\\BC
1-2 + 0-2 +(-1)(-4)
л/12 + 22 + (-1J V22 + О2 + (-4
6	л/б
Рис.
При помощи таблиц находим В = тг — arccosi/О^З « 123°10/.
Для нахождения других углов нам понадобится вектор АС', ко-
который является суммой АЛ и БС (§ 1, п. 2°), АС = АЛ + ВС,
поэтому АС = {3; 2; ^5},
3 + 4 + 5 _ 12 _ у/п
V6V^8 ~~ л/uV^S ~ л/19 '
6 + 0 + 20	13	13
cos A =
АВ\\АС
cos С =
\ac\\bc\
О90

74	ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ	ГЛ. III
Ответ. 123°10', 19°29', 37°21;.
Пример 4. Найти координаты вектора ж, если х±с± =
= {2; -3; 2}, х±с2 = {-1; 3; 0} и |ж| = 7.
Решение. На рис. 3.9 имеем x_Lci, ж_1_С2-
Из условий перпендикулярности векторов (п. 2°) имеем
х • с\ = 0; х - &2 = 0. Положим х = {ж; у; z}. Условие задачи пе™
решлнем в виде системы
iix	(
с + Зу =0 или
+ у2 + ^2 = 49
х = Зу
^ t/2 = 49,
4
Рис. 3.9
Ответ.
ж =
{±6;
1
±2
3
2 2 9 *
4
;тЗ}.
Упражнения
1.	В треугольнике ABC, вершины которого лежат в точ-
точках А A; 1; —1), В B; 3; 1), С C; 2; 1), найти: 1) внутренние углы;
2) длины сторон; 3) острый угол между медианой BD ж сторо™
ной АС.
2.	Найти проекцию вектора CD = { —1;4; — 9} на направле™
ние вектора AD = {4; 12; ^6}.
3.	Найти угол между диагоналями параллелограмма, по™
строенного на векторах а = 2% + j и Ъ = —2j + k.
4.	Вычислить За — 2аЬ + 4Ь2, если а = - , Ь = 6, (а, Ъ) = 60°.
о
5.	Доказать, что диагонали ромба, построенного на векторах
аиЬ, взаимно перпендикулярны.
6.	Вычислить а2 + ЗаЪ — 2Ьс+10, если а = 4т — nJb = m + 2n,
с*= 2т — Зп, тв2 = 4, п2 = 1 и m 1 й.
Ответы
1. 1) 76°22;, 76°22;, 27O16;; 2) 3, 3, д/2; 3) 49°40/. 2. 7. 3. 90°.
4. 143. 6. 113.
§ 3. Векторное произведение векторов
1°. Векторы а, бис, приведенные к одному началу, образуют
правую тройку при условии: если смотреть из конца вектора с

ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
75
\С
на плоскость векторов а и ft, то кратчайший поворот от а к Ь
совершается против часовой стрелки (рис. 3.10).
2°. Векторным произведением ненулевых векторов а и Ь на-
называется вектор с, обозначаемый а х ft, удовлетворяющий трем
условиям:
1.	ахЬ_1_аиахЬ_1_Ь, т.е. вектор axb
перпендикулярен плоскости векторов а ш Ь.
2.	Вектор а х ft направлен так, что векторы
a, ft и а х ft образуют правую тройку.
3.	|axft| = \a\-\b\ simp, т.е. его длина числен-
численно равна площади параллелограмма^ построен-
построенного на векторах а и ft (рис. 3.11), таким обра™	рис. з.Ю
зом, \а х Ъ\ = S.
Если векторы аи t коллинеарны, то под axb понимается
нулевой вектор: а х Ъ = 0 (sin if = 0).
3°. Если известны координаты векторов^сомножителей а =
= {aXjayjaz}, b = {ЬХ1Ьу^Ьг}^ то для отыскания координат
векторного произведения служит фор™
мула
axb
с = ах Ъ =
3
к
Ъх by bz
Рис. 3.11
в которой определитель следует разло-
разложить по элементам первой строки.
Пример 1. Найти площадь треугольника, вершины кото-
которого находятся в точках АA; 2; 3), ВC; 2; 1), СA; 0; 1).
Решение. Найдем координаты векторов АВ = {2;0;^2},
АС = {0;^2;^2}. Определим координаты векторного произве-
произведения АВ х АС (рис. 3.12):
АВхАС=
2 -2
О -2
j к
О -2
2 О
О -2
= г
0
-2
-2
-2
АВхАС
Рис. 3.12

76
ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
ГЛ. III
Найдем длину этого вектора: АВ х АС = 4л/3 = 5, ко™
торая равна численно площади параллелограмма 5(п. 2°). Пло~
щадь треугольника 5д равна - S, т.е. - • 4уЗ = 2уЗ = Sa-
Ответ. 2\/3.
а + Ь
Пример 2. Построить парал™
лелограмм на векторах а = 2j + km
Ь = i + 2fc и вычислить его площадь
и высоту, опущенную на а.
Сделаем черте^к (рис. 3.13).
Имеем: Sn = а х Ь\. Отдельно вы-
числяем векторное произведение:
Рис. 3.13
Следовательно, S
S	уЛИ
г j к
0 2 1
10 2
= 4г
4г + j — 2fc | = \/1б + 1 + 4 =
Упражнения
1.	Вычислить длины диагоналей и площадь параллелограм™
ма, построенного на векторах а = к — jnb = i + j + k.
2.	В точках АA;-2;8), В@;0;4) и GF; 2; 0) находятся вер-
вершины треугольника. Вычислить его площадь и высоту BD.
3.	Вычислить площадь треугольника с вершинами АB,1, 7),
5E,6,2), СC,-1,4).
Ответы
|й - b| = л/5; 5 = л/б. 2. S = 7л/5;
3. л/762.
§ 4. Смешанное произведение векторов
1°. Смешанным произведением трех ненулевых векторов а,
b и с называется число, равное скалярному произведению двух
векторов, один из которых — векторное произведение а х Ь, а

СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
77
другой — вектор с. Обозначение: a-b-c= (axb) • с. Если а, Ь и с
образуют правую тройку, то а -Ъ • с> 0. Если а, Ъ и с* образуют
левую тройку, то а -Ь • с < 0.
Модуль смешанного произведения векторов а, 6 и с* равен
объему параллелепипеда (рис. 3.14), построенного на этих век™
торах, V = |аЬс?|. Условие а • Ь • с = 0 равносильно тому, что
векторы а, Ьис расположены в одной плоскости, т.е. компла-
компланарны. Имеет место равенство:
а • Ъ • с =
az
Объем
В(Х2^У2) Z<i)
муле Vt =
Д =
Х2
хз
Х4
тет
i A
6
-Х1
-Х\
-Xl
раэдра
, где
2/2 -
2/3 ^
У4-
2/1
2/1
2/1
с вершинами в точках A{x\,yi,z{),
D{ 2/4? 24) момсно вычислить по фор-
2°. Условие а • Ь • с ф 0 равносильно
условию линейной независимости а, 6	Рис. 3.14
и ?, а тогда любой вектор d линейно вы™
ражается через них, т.е. d = x-a + y-b + z-c. Для определе-
определения x,y,z следует решить соответствующую систему линейных
уравнений.
Пример 1. Найти объем параллелепипеда, построенного
на векторах аA; 2; 3), 5@; 1; 1), сB; 1; —1)
Решение. Искомый объем V = |аЬ<? . Поскольку
то
Пример 2. В точках О@; 0;0), ,4E; 2; 0), ВB;5;0) и
СA;2;4) находятся вершины пирамиды. Вычислить ее объем,
площадь грани ABC и высоту пирамиды, опущенную на эту
грань.
Решение. 1) Сделаем схематический чертеж: (рис. 3.15).
1
0
2
2
1
1
3
1
-1

78
ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
ГЛ. III
2) Введем векторы АВ = {-3;3;0}, АС = {-4;0;4}, АО =
= {^5; ^2;0}. Объем пирамиды О ABC (тетраэдра) равен
VT =
-3
\ (-84)
= 14.
В
-4 0 4
-5 -2 0
3) Площадь грани АВ С:
Sabc = -
АВхАС
г
-3
-4
3
3
0
к
0
4
Рис. 3.15
Ш + 12 j + 12fc
1	<W7'
4) Объем пирамиды Vp = - SabC'OD, отсюда OD = ——
3	Sabc
3 • 14	^
Ответ. 14;6л/3; — ¦
Упражнения
1.	Показать, что точки АB;-1;-2), БA;2;1), СB,3,0) и
DE; 0; —6) ле^ат в одной плоскости.
Указание. Проверьте условие компланарности векторов.
2.	Дана пирамида с вершинами ^4B; 0; 0), В@; 3; 0), G@; 0; 6)
и .DB; 3; 8). Вычислить ее объем и высоту, опущенную на грань
ABC.
3.	Даны три последовательные вершины параллелограмма
(;—2;3), 5C; 2; 1) и GF; 4; 4). Найти его четвертую верши™
ну D.
Указание. Из равенства AD = ВС следует, что равны их
координаты.
4.	Определить углы ААВС с вершинами АB; —1; 2),
)С()
)()
5. Из вершины квадрата проведены прямые, делящие про-
противоположные стороны пополам. Найти угол между этими пря-
прямыми.
6. Даны векторы О А и ОВ, причем
ОА
= 2,
ОВ
= 4,
а угол ZAOB = 60°. Определить угол между медианой ОМ
треугольника АОВ и стороной О А.

§ 4	СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ	79
7.	Векторы а и Ъ составляют угол 45°. Найти площадь тре™
угольника, построенного на векторах а — 26 и За + 2Ь, если \а\ =
= \b\ =5.
8.	Вычислить площадь треугольника с вершинами АG;3;4),
5A;0;6)иСD;5;-2).
9.	Вычислить объем параллелепипеда, построенного на век™
торах а = Зг + 4j, Ъ = —Ж + к, с = 2j + Ьк.
10.	Вычислить объем параллелепипеда ОАВСО\А\В\С\,
в котором даны три вершины нижнего основания О@; 0;0),
А{2] ^3;0) и СC; 2; 0) и вершина верхнего основания ?»iC;0;4)
лежащая на боковом ребре ВВ\, противоположном ребру OOi.
11.	Вектор Ь = {14, 9, ^13} разложить по векторам а\ =
= {1, 5, 2}, а2 = {2, -1, ^3}, а3 =^{3, 2, ^3}.
12.	Показать, что векторы а\ = {1,2,1}, 3,2 = {1,-1,-3}
и аз = {1,3,-5} линейш>независимы и вектор Ъ = {0, 17, 8}
разлож:ить по этим векторам.
Ответы
2. V = 14, Н = д/Ii. 4. В = С = 45°. 5. arccosOA 6.
= 4= > ^ = arccos 4= • 7- 50^2- 8- 24'5- 9- V = 60- 10-
VJ	у7
11. Ь = ai + 2a2 + 3a3. 12. Ь = 3ai - 5a2 + 2a3.

ГЛАВА IV
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Плоскость в пространстве
1°. Всякая плоскость определяется уравнением первой сте-
степени относительно декартовых координат переменной точки
плоскости.
Всякое уравнение первой степени относительно декартовых
координат определяет плоскость.
2°. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку
Мо(жо>У(Ь zq) перпендикулярно вектору N{A, Л, С}:
А(х - х0) + В(у - Уо) + C(z - z0) = О,
N называется нормальным вектором плоскости (рис. 4.1).
3°. Общее уравнение плоскости
Ах + By + Cz + D = 0.
Примечание. На самом деле в качестве нормального век-
вектора плоскости можно брать любой вектор, коллинеарный JV,
координаты которого наиболее приемлемы
для вычислений.
Неполные уравнения плоскости:
а)	Если D = 0, т.е. Ах + By + Cz = 0, то
плоскость проходит через начало координат.
б)	Отсутствие в общем уравнении плос™
кости коэффициента при какой-либо пере-
менной означает, что нормальный вектор
N = {A, S, С} имеет соответствующую ну™
левую координату, т.е. перпендикулярен к этой оси, а плоскость,
следовательно, параллельна этой оси.
Примеры: 1) Если А = 0, то уравнение плоскости имеет
вид By + Cz + D = 0, ее нормальный вектор N = {0,1?, О} и
плоскость параллельна оси Ох (рис. 4.2 а).
2) Если В = 0, то N = {Д 0, С} и плоскость параллельна оси
Оу (рис. 4.2 6).

ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ
81
3) Если В = С = О, т.е. Ах + D = 0, то N = {А, 0, 0}±Оху,
а плоскость параллельна плоскости Oyz, т.е. перпендикулярна
оси Ох (рис. 4.2 в).
Рис. 4.2
4°. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точ-
точки Mi(#i,yi,zi), М2{х2,У2,%2) и М3(ж3,1/з,^зM получается рас™
крытием этого определителя:
х — х\
Х2 ~~ Х\
У2 - 2/1
Уз -yi
Z — Z\
z\
= 0.
5°. Уравнение плоскости, отсекающей на координатных осях
отрезки а, 6, с (рис. 4.3), имеет вид
- + 1
а Ь
Z- =1
У
и называется уравнением плоскости в
отрезках.
6°. Если \р\ есть длина перпендику-
перпендикуляра, опущенного из начала координат	рИС- 4.3
на плоскость (рис. 4.4), a cos a, cos/3,
cos 7 — направляющие косинусы этого перпендикуляра, то
х cos а + у cos /3 + z cos 7 — р = 0 называется нормальным урав-
уравнением плоскости.
z ^^	Общее уравнение плоскости всегда
можно привести к нормальному виду
умножением всех его членов на норми-
нормирующий множитель
^0	У	.._	1
Рис. 4.4	где знак перед корнем берется противо-
противоположный знаку С.
7°. Расстояние d от точки Mi(x\JyiJ z\) до плоскости с урав-
уравнением Ах + By + Cz + D = 0 определяется по формуле
, \Ахг + Вуг + Cz\ + D 1	.	Q .	1
a = J	,		 = I x\ cos a + y\ cos p + z\ cos 7 — p | .
л/А2 + В2 + С2

82
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
ГЛ. IV
8°. Угол меэюду плоскостями^ заданными уравнениями
А\х + В\у + C\z + D\ = 0 и А2х + В2у + C2z + D2 = О, есть
двугранный угол (рис. 4.5), который изме™
ряется углом (р между нормальными век™
торами этих плоскостей (см. гл. III, § 2):
N1\\N2\
Условие перпендикулярности плоскостей
равносильно условию перпендикулярно™
сти их нормальных векторов: NiN2 = О
или А\А2 + ВгВ2 + С\С2 = 0. Условие
Рис. 4.5	параллельности плоскостей совпадает с
условием коллинеарности векторов N\ ж N2:
N\ = XN2i или — = — = — = Л.
Пример 1. Построить плоскости, заданные уравнениями
рр	р	,
а) Зх + 2у + 4z - 8 = 0; б) у - z = 0;
)	)
у	; ) у
в) 2х + Зу - 6 = 0; г) z - 2 = 0.
Решение, а) Данное уравнение приводим к виду «в отрез-
отрезках» :
х , у_
8/3 4
- = 1
2
а = - ,
3
= 4, с = 2
На ось Ох откладываем отрезок а = - (от начала коорди-
о
нат), на Оу — отрезок Ъ = 4, на оси Oz — отрезок с = 2. Остается
соединить полученные точки (получаем сечения плоскости ко™
ординатными плоскостями, рис. 4.6 а).
А
z
Рис. 4.6
б) Данная плоскость содержит ось Ох и пересекает плос-
плоскость Oyz по прямой у — z = 0, принадлежащей этой плоскости
(рис. 4.6 б).

§ 1	ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ	83
в)	Это неполное уравнение плоскости, параллельной оси Oz.
Она пересекает плоскость Оху по прямой 2х + Зу — 6 = 0. Доба-
Добавим, что эта плоскость перпендикулярна вектору N = {2,3,0}
(рис. 4.6 в).
г)	Плоскость перпендикулярна вектору N = {0,0,1}, т.е. оси
Oz и пересекает эту ось в точке @, 0, 2) (рис. 4.6 г).
Пример 2. Составить уравнение плоскости, отсекающей
на оси Ох отрезок О А =3 и перпендикулярной вектору N =
= {2,-3,1}.
Решение. По условию точка ЛC,0,0) принадлежит иско-
мой плоскости. Согласно п. 3° уравнение этой плоскости имеет
вид:
2(х - 3) - 3(у - 0) + (z - 0) = 0 или 2х - Зу + z - 6 = 0.
Пример 3. Составить уравнение плоскости, параллельной
оси Oz и проходящей через точки A,0,1) и (—2,1,3).
Решение. Уравнение плоскости, параллельной оси Oz,
имеет вид Ах + By + D = 0. Подставив сюда координаты за™
данных точек плоскости, получим систему для определения ко-
коэффициентов уравнения:
D = -А, В = ЗА,
т.е. Ах + ЗАу — А = 0 или х + Зу — 1 = 0.
Пример 4. Установить, что плоскости с уравнениями 2х +
+ 3t/^4z + l = 0n5x^2|/ + z + 6 = 0 перпендикулярны.
Решение. Запишем нормальные векторы данных плоско™
стей: N\ = {2,3,^4} ж N2 = {5,-2,1}. Если плоскости пер™
пендикулярны, то скалярное произведение JVi N2 = 0. Имеем:
2 • 5 + 3 • (-2) + (-4) «1 = 0 (см. п. 8°).
Пример 5. Найти расстояние от точки АB, 3, —4) до плос-
плоскости 2х + % — 3z + 16 = 0.
Решение. По формуле п. 7° имеем:
d= [2-2 + 6-8 ^3(^4)+ 16[ = 71
V4 + 36 + 9
Ответ, d = 7- .
7
С
7
Пример 6. Составить уравнение плоскости, проходящей
через точки Mi(l,2,0), M2(l,-1,2) и М3@,1,-1).

84	АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ	ГЛ. IV
Решение. Согласно п. 4° уравнение искомой плоскости
определяется равенством
х-1 у -2 z-0
0-3 2
= 0.
Раскрываем определитель (гл. I) по элементам первой стро™
ки:
(х - 1M -(у- 2J + г(-3) = 0 или 5х - 2у - 3z - 1 = 0.
Упражнения
1.	Найти угол между плоскостью 2х + у — 2z ^ 3 = 0 и коор-
координатной плоскостью Oyz.
2.	Найти расстояние между параллельными плоскостями х^
-y + z-l = 0m2x-2y + 2z-5 = 0.
Указание. Взять на одной из плоскостей любую точку и
применить формулу п. 7°.
3.	Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
, — 1,1) и перпендикулярной к плоскостям 2x^y + z^l = 0
+ 2у-г + 1 = 0.
Указание. Воспользуйтесь п. 3°, где N = N\ x^.
4.	Составить уравнение плоскости, проходящей через точки
) () ()
Ответы
1. cos^ = - , (р = 48°11/„ 2. ^ . 3. х - Зу - bz + 1 = 0.
4. 2х + Зу - z + 7 = 0.
§ 2. Прммам в пространстве
1°. Прямую в пространстве можно определить как линию
пересечения двух плоскостей. Система уравнений
f Агх + Вгу + С^ + Вг=0
\ А2х + В2у + C2z + D2 = 0
называется общими уравнениями прямой.
2°. Канонические уравнения прямой
х - хр _ у - уо _ z - zp

ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
85
определяют прямую, проходящую через точку Mo(xq, у0, ^о) па™
раллельно вектору I = {т^п^р}^ который называется направ-
направляющим вектором прямой (рис. 4.7).
3°. Параметрические уравнения прямой имеют вид: х = х® +
+ mt, у = у о + nt, z = zq + pt, где параметр t изменяется в
интервале ^оо < t < оо.
4°. Уравнения прямой, проходящей че™	J
рез две заданные точки Mi(#i,yi,zi) и
M2{x2ly2,z2):
X — Х\
Х2 ^ Х\
2/ — 2/1
Z2 ^
Рис. 4.7
2/2 -2/1
(если знаменатель какой™либо дроби равен нулю, то ее числитель
тоже равен нулю).
5°. Для приведения общих уравнений прямой к каноническо™
му виду следует:
— взять две точки на прямой, для чего одной переменной
нужно дать два числовых значения и решить систему уравне-
уравнений относительно других переменных
(или взять два значения параметра t);
— написать уравнения прямой, прохо-
проходящей через две точки (п. 4°).
6°. Направляющий вектор I прямой,
заданной общими уравнениями (рис. 4.8)
Агх + Вгу + Ciz + Di = 0
А2х + В2у + C2z + D2 = 0,
Рис. 4.8
имеет вид: I =
ъ j k
А1 Вг Сг
А2 В2 С2
вектор™
ное произведение нормальных векторов N\ = {Ai,B\,Ci} и
N2 = {A2,B2,C2}.
7°. Под углом между двумя скрещиваю™
щимися прямыми, заданными канонически-
каноническими уравнениями
х xi 	 у yi 	 z *i
mi	п\	pi
и
X -— Х2 	 t/ — t/2 	 Z -— Z2
ГП2	П2	Р2
следует понимать угол ср между направляю-
направляющими векторами этих прямых (см. гл. III, § 2).	-^ис- ^-^

86	АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ	ГЛ. IV
Этот угол можно определить при помощи косинуса:
hh _	mim2 + П1П2
cos (f =
h\\h	Vmi +n\+p\ \/m\ + n\ + p\
Условие перпендикулярности прямых есть вместе с тем усло-
условие перпендикулярности их направляющих векторов
hh = О ИЛИ Ш1Ш2 + ПгП2 + Р1Р2 = 0.
Условие параллельности прямых совпадает с условием кол-
коллинеарности направляющих векторов:
h = AI2 или — = — = — .
7712	П2	Р2
Пример 1. Привести к каноническому виду общие урав-
уравнения прямой
Г 2х - Зу - 3z - 9 = 0
Решение. Канонические уравнения прямой составим по
двум точкам (как в п. 4°). Координаты двух точек прямой най-
найдем по схеме п. 5°.
1)	Положим, например, z\ = 0 и решим систему
|2*-Э»-9 = 0
\х^2у + 3 = 0
2)	Точка MiB7,15, 0) лежит на прямой. Аналогично, пусть
Z2 = —3. Тогда
Г 2х - Зу = 0
{	0 п =* ^ = 0, у2 = 0.
[ ж — 2у = 0
Точка М~2@, 0,-3) также принадлежит прямой.
3)	Запишем уравнение прямой, проходящей через две точки
(п. 4°):
Л = .К. = ?±з или ? = ^ = i±^ .
27 15	3	9 5	1
Пример 2. Найти направляющие косинусы направляюще™
го вектора прямой
2ж - Зу - 3z + 4 = 0

ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
87
Решение. По п. 6° найдем направляющий вектор I данной
прямой:
к
I = JVi х N2 =
г j
2 -3 -3
1
1
= Зг - 5j
Найдем 111 = ^9 + 25 + 49 = ^83- Теперь (гл. III)
cos a =
V83 '
cos C = —
cos 7 =
Пример З. Составить уравнение прямой, проходящей че™
рез точку А(—2,3,1) параллельно прямой
f ж-2у-2-2 = 0
[ 2ж + Зу - z + 1 = 0.
Решение. Чтобы записать канонические уравнения прямой
(п. 2°), нам недостает направляющего вектора, который опреде-
определим по п. 6° (см. предыдущую задачу):
j к
Т=
Искомое уравнение имеет вид
= Ы- j + Ik.
х+2
-1
Упражнения
1.	Составить уравнение прямой, проходящей через точки
MiB, —1, —3) и М2C,1, —5) и найти ее направляющие косинусы.
2.	Найти угол между прямыми
{х+у-z-l=0	j х-z+l=0
x-y + 2z + l = 0 И I у + 22; - 1 = 0.
V
3.	Составить уравнение прямой, проходящей через точку
МоA, — 3, 2) перпендикулярно к прямым
х — 2	у	z х 2/+1 z + 3
Ответы
1.
2
= - - . 2. cos ш « -0, 5456. 3.
3	^	'	3
, cos а = - , cos /3 = - , cos 7 =
о	о
х-1 ti + 3 z-2
7

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
ГЛ. IV
§ 3. Плоскость и прямая в пространстве
Углом между прямой и плоскостью называется угол
(р
— )
N
между прямой и ее проекцией на плоскость.
Пусть llm^n^p} — направ-
направляющий вектор прямой, а
/	N {^4, В,С} — нормальный
У /f\	вектор плоскости. Тогда
= sin (f =
cos - —
2
n\ ¦ \i\
Am + Bn + Cp
Рис. 4.10
\Jm2 + п2 + р2 • у А2 + Ь
Условие перпендикулярности
прямой и плоскости совпадает с
~* ~* А В С
условием параллельности векторов I и N: — = — = — .
т п р
Условие параллельности прямой и плоскости совпадает с
условием перпендикулярности векторов I и N: Ат + Вп + Ср =
= 0.
2°. Координаты точки пересечения прямой х = х® + mt, у =
= Уо + nt^ z = zq + pt с плоскостью Ах + By + Cz + D = 0 опре™
деляются подстановкой параметрических уравнений прямой в
уравнение плоскости, нахождением значения параметра t и под™
становкой этого значения в параметрические уравнения прямой.
3°. Координаты точки пересечения трех плоскостей опреде-
определяются решением системы уравнений этих плоскостей:
Агх + Вгх + C\z
А2х + В2у
= 0
Задача 1. Даны вершины тетраэдра ^4B, 3,1), ВD11, —2),
СF,3,7), ?>(-5,-4,8). Найти:
)	А
длину ребра АВ;
угол между ребрами АВ и AD;
угол между ребром AD и плоскостью ABC;
объем тетраэдра ABCD;
уравнение ребра АВ;
уравнение плоскости ABC;
уравнение высоты, опущенной из D на ABC;
проекцию точки D на основание ABC;
длину высоты DO.

ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
89
Решение. Условию задачи удовлетворяет построенный
чертеж (рис. 4.11).
1. АВ вычислим по формуле
- хгJ
- У\J
АВ =
2. Угол (р = (АВ, AD) вычислим по
формуле (гл. III, § 2)
AB-AD
\ав\ . \ad\
а)	АВ = {2,^2,^3}, АВ =
AD = {-7,^7,7} = 7{-1,-1,1},
AD = 7лД;
—> —>	Рис. 4.11
б)	АВ • AD = -14 + 14 - 21 = -21;
в)	cos <р = - 21 « -0,42, (р w 180° - 65° = 115°.
3. Угол 0. Синус угла в между ребром AD и плоскостью ABC
равен косинусу угла между ребром AD и нормальным вектором
N плоскости ABC. Вектор N коллинеарен векторному произ-
произведению АВ х АС (гл. III, § 3).
а) АВ = {2, -2, -3}, АС = 2{2,0,3},
г j к
АВ х АС = 2 •
90° -0
N
Рис. 4.12
б)
2 ^2 ^3
2 0 3
Принимаем N = {^3, —6, 2}.
1 + 6 + 2 ^л лл Q ~ f
4. Объем тетраэдра ABCD равен 1/6 модуля смешанного
произведения векторов [АВ х АС] • AD (гл. III, § 4).
АВ = {2, -2, -3}, АС = 2{2, 05 3}, AD = -7{1,1, -1}.
Имеем:
2 ^2 -3
2 0 3
11-1
= 2-
0
1
3
-1
+ 2 •
2
1
3
-1
-3
2
1
0
1
= -22.

90
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
ГЛ. IV
2-7-22
154
Искомый объем равен V =
F	6	3
5. Уравнение прямой, проходящей через две точки, имеет вид
х — х® у -— уо z — .
2):
с	1
; {m, Ti,pj - направляющий вектор
т	п	р
I прямой. Принимаем I = АВ = {2, —2, ^3}. Тогда
— 2 _ у-з _ z-l
(АВ):
-3
6. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки
(§1):
Гр 	 /У»..
Х2 ^ XI
Имеем:
(ABC)
2/ — 2/i
2/2 ^2/:
2/3 -У
х-2
2
2
2 —
= 0.
у-3 z-1
0	3
= 0.
Раскроем определитель. (ABC): Зх + 6у — 2z — 22 = 0.
7. В качестве направляющего вектора I прямой DO можно
брать вектор Г = N = N(ABC) = {3, 6, -2} (§ 2),
(DO):
или
ж = ^5 + 3t, |/ = -4 + 6*, z = 8 - 2*.
8.	Проекция D на ABC — это точка О (точка пересечения
с ABC). Значения ж, у и z, выраженные через параметр
t, подставим в уравнение ABC Найдем значение t и подставим
обратно в выражения для ж, у и z (§ 3).
Получаем 3C* - 5) + 6F* - 4) - 2(8 - 2*) - 22 = 0, 49* = 77,
х-r	г , 33	2	38	34 ^/ 2 38 34 ч
Далее ж = -5+ — = —- у = — z = — , О(— -,—,—).
7	7 * 7	7 v 7 7 7 у
9.	Длину высоты DO можно вычислить как расстояние меж-
между D и О, или как расстояние от D до плоскости, или используя
формулу для объема тетраэдра (§ 1).
Любой случай дает Н = OD = \ — + — + — = 11,
J	V 49 49 49
OD = 11.
зз2
бб2
222

ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
91
Задача 2. Найти координаты точки Q, симметричной с
точкой Р(—6, 7, —9) относительно плоскости, проходящей через
точки АA,3, -1), ВF, 5, -2) и G@, -3, -5).
Решение. Воспользуемся построенным чертежом задачи.
1) Составим уравнение плоскости а =
= (АВС)^ проходящей через три точки:
(а):
х —
5
1
1
У
—
2
6
3
z + l
-1
4
с
= 0.
Q
Подробности опускаем, так как подоб-	Рис. 4.13
ное действие выполнили в предыдущей
задаче. После раскрытия определителя получаем уравнение
(ABC) : 2х - Зу + 4z + 11 = 0.
2)	Напишем уравнение прямой I, проходящей через точку Р
перпендикулярно а. Принимаем I = N = Na = {2, ^3,4};
	 = У^— =	, или х = ^6 + 2?, у = 7 — 3?, z = ^9 + 4t.
2^34'	' ^	'
3)	Определим координаты точки О пересечения I и а.
2(^6 + 2t) - 3G - 3t) + 4(^9 + 4t) + 11 = 0, 29* = 58, * = 2.
После подстановки t = 2 в параметрические уравнения прямой
получаем: ж = 4 — 6 = —2, у = 7 — 6 = 1, z = ^9 + 8 = — 1.
Ответ. О(-2,1,-1).
4)	Точка О делит отрезок PQ пополам, т.е., в частности, xq =
= (хр + xq) : 2, или xq = 2жд — хр. Аналогичные формулы
используем для уд и zq. Получаем xq = —4 + 6 : 2, уд = 2 —
- 7 = -5, zg = -2 + 9 = 7.
Ответ. QB,-5,7).
Задача 3. Найти координаты точки Q, симметричной
точке РA,3,2) относительно прямой
Решение. 1) Имеем: АВ =
= {6, -9,12}. Принимаем: Г= {2, -3,4};
х-1 у-2 z+6
(ЛЯ):
-3
или
Рис. 4.14
ж = 1 + 2t, у = 2 - 3t, 2; = -6 + 4*.
2) Уравнение плоскости а, проходящей через Р перпендику-
перпендикулярно АВ, имеет вид (рис. 4.14):
(а) : 2(х - 1) - 3(у - 3) + 4(z - 2) = 0.

92	АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ	ГЛ. IV
3) Находим координаты точки О — пересечения АВ и а:
2A Ч- 2* — 1) — 3B - 3* - 3) + 4D* -6-2) = 0, *=1:ж =
= 3, у = -1, г = -2.
Итак, ОC,-1,-2).
4. Координаты Q вычислим по уже использованным ранее
формулам: xq = 2xq — хр. Получаем xq = 5, уд = —5, zg = —6.
Ответ. QE,-5,-6).
Задача 4. Определить расстояние от точки Р(—7, —13,10)
„, х-1 у+2 z
до прямой / : 	 =	 = - .
Решение. 1) Через Р проводим плоскость а перпенди-
перпендикулярно I, принимая N = I = {—2,1,0}. Получаем (а):
-2(х + 7) + (у + 13) = 0, т.е. 2х - у + 1 = 0.
2) Находим координаты точки О — пересечения I и а. Выра™
жения х = +1 — 2t, у = — 2 + t, z = 0 подставляем в уравнение
плоскости: 2A — 2t) — (t — 2) + 1 = 0. Находим сначала t = 1,
затем х = —1, у = —1, z = 0, т.е. О(—1, —1, 0).
3. Искомое расстояние равно
ОР = у/(-7 + IJ + (-13 - IJ + 102 = 2>/83.
Ответ. d = 2д/83.
ж _ з
Задача 5. При каких значениях В и С прямая ^-^ =
= у = ^^ и плоскость Зж — 2у + 5z = 0 перпендикулярны?
J5	С
Решение. Условие перпендикулярности прямой и плос-
плоскости равносильно условию параллельности их векторов I =
= {1, S, С} и N = {3, —2, 5}. Соответствующие координаты этих
1	J-?
векторов должны быть пропорциональными (§3): - =
о	— 2
= — . Отсюда В = — - ,С =
5	3	3
Задача 6. Через прямую с общими уравнениями
Г Зж - 2у + 5z + 3 = 0
[ x + 2y-3z- 11 = 0
и начало координат провести плоскость и составить ее уравне™
ние.
Решение. Задачу сводим к построению плоскости по трем
точкам (п. 4° § 1). Подставляем ^ = -2 в исходную систему и
решаем ее относительно ж, у. Получаем одну точку MiC,1,-2)
на данной прямой. Другую точку на этой прямой найдем при

ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
93
z = 6: Мг(—1,15, 6). Остается составить уравнение плоскости по
х у z
трем точкам:
3
-1
=0, т.е. 18ж -8у + 23z = 0.
15 6
Задача 7. Составить уравнение плоскости, содержащей
точку MiC,1,0) и прямую 	 = - = 	.
1	2	о
Решение. Из уравнения прямой известны координаты точ-
точки МоD, 0,1) на ней и направляющего вектора I = {1, 2, 3}.
Пусть M(x,y,z) — текущая
точка плоскости (рис. 4.15). Тог™
да векторы М® М , М® М\, I лежат
в одной плоскости, т.е. компланар™
ны. Условие компланарности век-
векторов (гл. III, § 4) будет искомым
уравнением: М® М • М® М\ -1 = 0
(в левой части равенства имеем смешанное произведение). Име-
Имеем: М® М = {х - 4, у, z - 1}, М® Mi = { —1,1, —1}. Уравнение
искомой плоскости имеет вид
Рис. 4.15
х — 4 у z — 1
-1 1 -1
1 2 3
= 0.
М0Мгх1
Раскрывая определитель по элементам первой строки, получим
искомое уравнение: 5 ж + 2у — 3z — 17 = 0.
Задача 8. Найти расстояние от точки Mi(#i,yi, z\) до пря-
„ х — хо г/ — г/о z ~~ zq
МОИ 	 =	— = 	 .
т	п	р
Решение. Искомое расстоя-
расстояние можно найти как высоту h
параллелограмма, построенного на
векторах (рис. 4.16) М® Mi =
— ixi — Щ-)У\ — V0izi — zo} и I =
= {т^п^р}. Площадь параллело-
параллелограмма, как известно (гл. III, § 3),
Рис. 4.16
равна модулю векторного произведения векторов М®М\ и I.
гр	г-	i S |m0Mix/1
Хаким образом, п = -г=г = -
Сравните с задачей 4.
I

94	АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ	ГЛ. IV
Упражнения
1.	Прямая I проходит через точку MqB, 1, — 1) и точку пе™
„ ж - 3	у	z + 1
ресечения прямой 	 = —^— = 	 с плоскостью х — у +
+ z — 1 = 0. Найти угол, образованный прямой I с плоскостью
ж + 2у-2 + 3 = 0.
2.	Найти расстояние от точки МB, 3,1) до прямой 	 =
3	2
3. Найти расстояние между двумя параллельными прямыми
Указание. Надо взять на одной из прямых точку Mq и
найти расстояние от нее до другой прямой.
4.	Даны вершины тетраэдра: АB, —1,—4), i?(—1,4, —1),
С(—2,3, —2), ?)C,10, —15). Составить уравнение грани ABC и
найти координаты точки D;, симметричной Z) относительно этой
грани. Найти объем тетраэдра и длину высоты, опущенной из
вершины D.
5.	Найти проекцию точки Р(8, 5, 2) на плоскость, проходя™
щую через точки АC, -2, 3), ВD, -2, 0) и С(-1,4, 3).
6.	Составить уравнение плоскости, проходящей через пря™
мую 	 = ^^ = - и точку АC,1, -2).
5	2	л.
7.	Составить уравнение плоскости, проходящей через точ-
точку ЛD, —3,1) параллельно прямым: - = - = 	 и 	 =
6	2	^3	5
3/-3 z-4
Ответы
1. sin<p = — . 2. 2уТй 3. ^ . 4. х + Зу - 4z - 15 = О,
D4-3, -8, 9), V = 26, hn = -^- • 5. ОB,1, 0). 6. 8ж - 9г/ - 22z -
- 59 = 0. 7. 16ж - 27у + 14z - 159 = 0.
§ 4. Поверхности второго порядка
1°. Если в пространстве i?3 ввести прямоугольную систему
координат Охуг^ то каждая поверхность будет задаваться нею>

ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
95
торым уравнением F(x, у, z) = 0, где (ж, у, z) — координаты лю-
любой точки поверхности. Если F(x,y,z) — многочлен степени не
выше второй относительно совокупности переменных ж, у, z, то
уравнение F(x,y,z) = 0 называется уравнением второго поряд™
ка, а поверхность, изображаемая этим уравнением, называется
поверхностью второго порядка. Если поверхность имеет специ™
альное расположение относительно системы координат (напри™
мер, симметрична относительно некоторых координатных плос-
плоскостей), то ее уравнение имеет достаточно простой вид и назы-
называется каноническим уравнением.
2°. Перечислим канонические уравнения поверхностей вто-
второго порядка и приведем их эскизы.
1.	Сфера радиуса R с центром в начале координат (рис. 4.17)
х2 + у2 + z2 = R2.
Уравнение
(х - х0J + (у- у0J + {z- z0J = R2
изображает сферу радиуса R с центром в точке Мд(хд^уд^ zq).
2.	Эллипсоид с полуосями (рис. 4.18) а, Ь, с и центром в на™
чале координат
х2 v2 z2
^T + fe + Т =1'
а2 Ь2 с2
При а = Ь = с = R эллипсоид превращается в сферу радиуса R.
J
V-—I/
/yh
С
Рис. 4.17	Рис. 4.18
3. Однополостный гиперболоид (рис. 4.19)
Рис. 4.19
+	= 1.
а2 Ь2 с2
Сечения гиперболоида горизонтальными плоскостями z = h яв-
являются эллипсами:
б2

96
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
ГЛ. IV
Сечения гиперболоида вертикальными плоскостями х = h или
у = h являются гиперболами:
— — — = 1 — — или — — — = 1 — — .
Ь2 с2	а2	а2 с2	Ь2
4. Двуполостный гиперболоид (рис. 4.20)
а2 Ь2 с2
Сечения гиперболоида с горизонтальными
плоскостями z = h, \h\ > с являются эл™
липсами
х2 у2 Ь2
~& + ? ~ ~& ~
Сечения гиперболоида вертикальными
плоскостями х = h или у = h являются
гиперболами:
у- z2	Ь2 л	х2 z2	Ь2 л
— —— =———1 или ——— =———1.
Рис. 4.20
Ь2 с2	а2	'	а2 с2	Ь2
5. Параболоид эллиптический (рис. 4.21)
2	2
а2 Ь2
Сечения параболоида горизонтальными плоскостями z = h
(h > 0 при р > 0, h < 0 при р < 0) есть эллипсы:
Сечения параболоида вертикальными плоскостями х = h или
у = h являются параболами:
у	К	х
— = 2pz — — или — = 2pz —
Ь2
6. Параболоид гиперболический (рис. 4.22):
г2 у2
Сечения параболоида горизонтальными плоскостями z = h есть
гиперболы
2a2ph 2b2ph
тями х= h и у = h являются параболами:
..2	t2	2
= 1. Сечения вертикальными плоское™
У
h2	х2 о	h2
— и — = 2pz + — .
a2	a2	F Ь2

ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
97
7. Конус эллиптический с вершиной в начале координат
(рис. 4.23):
х2 у2 z2
— + У- - — = о.
а2 Ь2 с2
Если а = Ь, то конус круглый или круговой. Пересечение конуса
горизонтальными плоскостями являются эллипсами:
Рис. 4.21
Рис. 4.22
Рис. 4.23
(при h = 0 эллипс вырождается в точку). Сечения конуса вер-
вертикальными плоскостями х = h и у = h являются гиперболами:
у2 z2	h2	х2 z2	h2
— — — = — — или — — — = — — .
b2 с2	а2	а2 с2	Ь2
3°. К поверхностям второго порядка относятся цилиндры, на-
направляющие которых — линии второго порядка. Мы ограничим-
ограничимся перечислением цилиндров, направляющие которых располо™
жены в плоскости Оху, а образующие — прямые, параллельные
оси Oz , что является следствием отсутствия переменной z в
данном уравнении F(xjy) = 0.
Цилиндры:
1)	Эллиптический (рис. 4.24):
2	2
?_ + IL =1.
а2 Ь2
Если а = b = i?, то цилиндр — круговой ж2 + у2 = В2.
2)	Гиперболический (рис. 4.25):
Х1 - ?. =i
а2 Ь2
3)	Параболический (рис. 4.26):
.2
у = 2рх.
4 К.Н. Лунгу, Е.В. Макаров

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
ГЛ. IV
Рис. 4.24
Рис. 4.25
Пример 1. Определить тип поверхности и сделать чертеж:
а)	х2 - у2 = z2.
Запишем данное уравнение в виде у2 + z2 — х2 = 0. Сопо-
Сопоставив его с п. 1°№7, определяем, что это круговой (а = Ь =
= с) конус с вершиной в начале координат и осью вращения Ох
(ср. рис. 4. 23, на котором ось — Oz).
б)	у2 = Ах.
Так как в уравнении поверхности отсутствует переменная z,
то это цилиндр (п. 3°) с образующими, параллельными оси Oz,
и направляющей — параболой с уравнением (рис. 4.27)
f у2 = 4х
\
в) z = ж2.
Так как в уравнении поверхности отсутствует переменная
то это цилиндр (п. 3°) с образующими, параллельными оси 0
Рис. 4.27
Рис. 4.28
и направляющей — параболой с уравнением (рис. 4.28)
Г	2
= x2

ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
99
г) у2 + z2 = 4.
Цилиндр (см. п. 3° б), в)) с образующими, параллельными
оси Ож, и направляющей — окружностью радиуса 2 с уравнением
(рис. 4.29)
= 0.
д) ^2х2 + 2у2 + z2 = 4.
у2 z2
+
х	у	z
Переписав уравнение поверхности в виде — — + — + — =
= 1, определим (п. 2°, №3), что это однополостный гиперболоид
(рис. 4.30).
Рис. 4.29
Рис. 4.30
е)	2х2 - у2 + z2 + 2 = 0.
тт	X2	у2 . Z2	1
Переписав уравнение поверхности в виде — ^^ + — = — 1,
X	X	А
определяем (п. 2°, №4), что это двуполостной гиперболоид
(рис. 4.31).
ж)	2у2 + 2z2 = 6х.
Рис. 4.31
Рис. 4.32
Переписав уравнение поверхности в виде — +— = ж, опреде-
2 о
ляем (п. 2°, №5), что это эллиптический параболоид (рис. 4.32).
4*

100
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
ГЛ. IV
2. Начертить тело, ограниченное данными поверхностями:
а) 2у = х2 + z2, х2 + z2 = 1.
Первая поверхность — эллиптический параболоид — + — =у,
вторая — цилиндр с образующими,
параллельными оси Оу (рис. 4.33).
б)	z = 0, у + z = 2, у = ж2.
z = 0 — это координатная плос™
кость Огп/; у + z = 2 — это плос-
плоскость, параллельная оси Ох; у =
= х2 — это параболический ци-
цилиндр, с образующими, параллель™
ными оси Oz (рис. 4.34).
в)	z = %-х2-у2, x2+y2-z2 = 0.
Тело ограничено параболоидом
и конусом (рис. 4.35).
Z\\
У =
Рис. 4.33
Рис. 4.34
Рис. 4.35
Упражнения
1.	Определить тип поверхности и сделать схематический чер-
чертеж:
a) z = 4-y2;
б)ж2=2/2 + ^2;
в)	x = 6-z2^y2;
г)	х2 +у2 + z2 = а2;
д)	3x2-y2 + 2z2 = -l.
2.	Найти уравнения прямой, проходящей через точку
МC,1, —2) и точку пересечения прямой ж = 2? — 1, у = t + 2,

§ 4	ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА	101
z = 1 — t и плоскости Зж — 2у + z = 3.
3.	Найти расстояние от точки МB, 0, 3) до прямой
J 2ж - у + z = 1
[ ж + y + z = 3.
4.	Найти уравнение плоскости, проходящей через прямую
х + 1	2/ — 1	2	л т/о о 1 \
-?- = *-у- = — и точку МC, 2,-1).
5.	Найти расстояние между параллельными прямыми
ж — 1	|/	2+1	ж 2/ + 1 2 — 2
2 ~ ~ ~ 3	И 2 ~ 3 ~~ 3
6.	Написать уравнение плоскости, проходящей через парал™
х-1 г/ + 2 z + l х y-l z + 2
лельные прямые 	 =	 = 	 и — =	 = 	.
3-543-54
7.	Написать уравнение прямой, проходящей через точку
МB,1, —3) и образующей с осями координат углы а = 45°, j3 =
= 60°, 7 = 120°.
8.	Начертить тело, ограниченное данными поверхностями:
а)	z = 16-x2-y2, х2 + {у -2J = 4;
б)	4 = 4 + fj' z = c> ж = 0> У = °-
с2	а2 Ь2
Ответы
1. а) цилиндр; б) конус; в) эллиптический параболоид; г) сфе-
сфера; д) двуполостный гиперболоид. 2.	 =	 =	.
3. л/6. 4. х + у + 5z = 0. 5. ^! . 6. 7ж + у - 4z = 9. 7. ^Д =
7	V2
_ у-1 _ ^+3
~~ 1 ~ - 1 '

ГЛАВА V
ФУНКЦИИ
§ 1. Основные понятия
1°. Переменная величина у называется функцией переменной
ж, определенной в некоторой области, если каждому значению х
из этой области соответствует одно значение у.
Обозначение функции у = /(ж), у = у(х) и т.п. введено Эй-
Эйлером. Наглядным представлением функции служит ее график:
множество всех точек плоскости Оху с координатами (ж, у), где
У = f(x)>
2°. Графики основных элементарных функций.
1. Степенная функция у = жа, где а ~~ вещественное (дей-
(действительное) число. Область определения степенной функции
зависит от а: она определена при всех х > 0, а также при х < О,
если а рационально, несократимо и с нечетным знаменателем.
При а > 0 степенная функция определена в точке х = 0. При™
меры степенных функций и их графиков (рис. 5.1).
а >0
7
(У х
у = х2
а <0
\ 1
Го "х
Уь
0
у = х
У\
' х 0
2 = л/х у = X 3
х ^^у 0 ^
= Л/х2 7 = х3 =л/х
Рис. 5.1

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
103
2. Показательная функция у = ах , а > 0.
Эта функция определена на всей числовой оси, она всегда
положительна; это видно на графике (рис. 5.2).
Рис. 5.2
Рис. 5.3
3.	Логарифмическая функция у = logax, а > 0, а ф 1.
Эта функция определена при ж > 0 и принимает произволь-
произвольные значения у Е R. При a > 1 функция возрастающая, при
0 < a < 1 — убывающая.
4.	Тригонометрические функции у = sin ж, у = cos ж, у =
= tgx, у = ctgx.
Функции |/ = sin ж ш у = cos ж определены для любых х и
принимают значения из отрезка [—1,1] (рис. 5.4).
Рис. 5.4
Функция у = tgx не определена в точках, где cos ж = 0, т.е. в
ж = - Bfc + 1), fc = 0; ±1; ±2. Прямые ж = - Bfc + 1) являются
вертикальными асимптотами графика тангенса (рис. 5.5).
/
/
/--
/ 2
/
0
/
/
1 Г")
/ ¦ /
71 / И
2
1
Зте х
2
1
\
2
0
\
\
\
7Т \ 7Т
2 \
\
3tcs
^"
ctgx
\ \2п
\
X
Рис. 5.5
Рис. 5.6

104
ФУНКЦИИ
ГЛ. V
Функция у = ctgx не определена в точках, где sin ж = 0, т.е. в
х = &тг, к = 0; ±1; ±2. Прямые ж = ктг являются вертикальными
асимптотами графика котангенса (рис. 5.6).
5. Обратные тригонометрические функции.
Функция у = arcsinx и у = arccosx определены для — 1 ^
^ х ^ 1 и принимают значения из [—тг/2, тг/2] и [0, тг] соответ™
ственно (рис. 5.7).
Функции у = arctg x и у = arcctg ж определены для всех зна-
значений аргумента и принимают значения из [—тг/2, тг/2] и [0, тг]
соответственно (рис. 5.8).
= arcctg х4
= arctg x
Рис. 5.7
Рис. 5.8
3°. Предел функции.
Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности
точки х = а, за исключением, может быть, самой точки а.
Пределом функции f(x) при стремлении х к а называется чи-
число В такое, что разность \f(x) — В\ принимает значения сколь
угодно малые при всех ж, достаточно близких к а. В этом случае
пишут lim f(x) = В.
Если функция f(x) имеет предел В при х —>• оо, то прямая
у = В называется горизонтальной асимптотой графика функ-
функции /(ж) (рис. 5.9 и 5.10).
Если lim /(ж) = оо, то прямая х = а называется вертикаль-
ной асимптотой графика функции у = /(ж) (рис. 5.10).
Упражнение. Найдите и укажите горизонтальные и вер-
вертикальные асимптоты функций, графики которых приведены на
рис. 5.1-5.8.

ДЕФОРМАЦИЯ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ
105
Число ?»2 называется пределом справа и будем писать 1?2 =
= lim /(ж) или /(в + 0) = Mm /(ж), если х стремится к а,
/(*)
Рис. 5.9
Рис. 5.10
оставаясь правее точки ж = а, т.е. ж > а. Аналогично определя-
определяется и предел слева В\ = lim /(ж) или /(а — 0) = lim /(ж).
ж—>а--0	ж—>а--0
При этом ж стремится к а, остава-
оставаясь левее точки ж = а, т.е. ж < а
(рис. 5.11).
4°. Непрерывность. Пусть функ-
функция у = /(ж) определена в точке xq
и некоторой ее окрестности. Функция
/(ж) называется непрерывной в точке
жо, если существует предел /(ж) при
стремлении ж к жо и этот lim /(ж) =
— f(xo)- Если это условие не выпол-	Рис. 5.11
нено, то точка жо называется точкой
разрыва функции /(ж). Непрерывность функции /(ж) в точке
х = жо равносильна условиям lim /(ж) = lim /(#o) —
0
= /(жо). Говорят, что функция у = /(ж) имеет в точке раз-
разрыв первого рода, если существуют конечные пределы lim =
= /(жо + 0) и lim = /(жо — 0), причем:
ж^жО
или
В последнем случае жо называется устранимой точкой раз-
разрыва. Разность /(ж0+О)^/(жо^О) называется скачком функции
в точке жо. Функция /(ж) имеет в точке xq разрыв второго рода^
если хотя бы один из односторонних пределов функции в этой
точке не существует или равен бесконечности.

106	ФУНКЦИИ	ГЛ. V
§ 2. Деформация графиков функций
Под деформацией графика функции у = /(ж) мы имеем в
виду построение геометрическими методами графика функции
у = Af{ax + Ь) + BJ исходя из графика функции у = f(x).
Перечислим сначала основные частные случаи.
1°. Если Г — график функции у = /(ж), то график функции
1.	f(—x) симметричен Г относительно оси Оу.
2.	—f{x) симметричен Г относительно оси Ох.
3.	—f(—x) симметричен Г относительно начала координат.
4.	f(ax) (а > 0) получается сжатием Г к оси Оу (т.е. вдоль
Ох) в а раз при а > 1 и в - раз при 0 < а < 1.
а
5.	/(ж — а) получается параллельным сдвигом Гнаа вправо
при а > 0 или влево при а < 0.
6.	Af(x), получается растяжением Г от Ох (вдоль оси Оу) в
А раз при А > 1 или сжатием к оси Ох в — раз при 0 < А < 1.
7.	/(ж) + В получается сдвигом Г вдоль Оу на В вверх при
В > 0 или вниз при В < 0.
Примечание. Практически параллельный перенос графи-
графика в ту или иную сторону относительно системы координат рав-
равносилен переносу координатных осей в противоположную сто™
рону относительно графика.
8.	у = |/(ж)|. Для построения этого графика нужно строить
сначала график Г функции у = /(ж). Далее, ту часть F+, ко™
торая расположена над Ох, сохранить, а ту часть Г~, которая
расположена под осью Ох, надо зеркально отразить в эту ось.
Искомый график состоит из объединения построенных двух ча-
частей.
9.	у = /(|ж|). Строим часть графика Г функции у = /(ж),
которая соответствует ж ^ 0. Затем эту часть зеркально отразим
в ось Оу. Искомый график состоит из объединения построенных
двух частей.
10.	у = f[u(x)]. Главное, что нужно для построения графика
сложной функции у = f(u), где и = и(х), состоит в умении пра™
вильно использовать промежутки монотонности функции и =
= и(х) и сочетать это с монотонностью функции у = f(u).
2°. Прежде чем строить график данной функции у =
= Af{ax + Ъ) + В, следует переписать эту функцию в виде у =
= Af (а(ж — а,)) + В, где а = — - , и выполнить затем последова-
последовательно следующие построения.
1.	График Г функции у = /(ж).
2.	График Г\ функции у = /(ж — а) — сдвиг Г вдоль Ох.

ДЕФОРМАЦИЯ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ
107
3.	График Г2 функции у = f(a(x — а)) = f(ax + ft) — сжатие
или растяжение Г\, если а > 0 и последующее отражение в ось
Оу, если а < 0.
4.	График Гз функции у = Af(ax +
+ ft) — сжатие или растяжение Г2 при
А > 0 и последующее отражение в ось
Ож, если А < 0.
5.	График Г4 функции у = ^4/(ах +
+ Ь) + В — параллельный перенос Г%
вдоль оси Оу.
Пример 1. Построим график
2х — 1.
функции у = -х
Решение. Перепишем данную
функцию в виде у = - (х + 2J — 3.
1./11: у = ж2 — парабола (рис. 5.12 а)
с вершиной в точке О@, 0).
2. Г2: у = (ж + 2J — парабо-
парабола (рис. 5.12 6) с вершиной в точке
А(-2,0).
-2 0
3. Гз: у = -
\гз
V
)
0
1 1 в
X
+ 2J. Получается из
сжатием в 2 раза к Ож (рис. 5.12 в).
4. Г4: у = i (ж + 2J - 3. Г3 опускаем
на 3 единицы вниз (рис. 5.12 г).
Пример 2. Построим график
функции у = 2 — ^^— .
2ж — 2
Решение. В качестве Г принима-	Рис. 5.12
ем график функции у = - — равнобокая гипербола (рис. 5.13 а).
X
Г
Ук
Рис. 5.13

108
ФУНКЦИИ
ГЛ. V
2	1
Представим данную функцию в виде у = —	 + - . Далее
строим последовательно.
1.	Г\\ у = 	 — сдвиг гиперболы на 1 вправо вдоль Ох
(рис. 5.13 6).
2.	Г2' у = —	 — отражение Г в оси Ох (рис. 5.13 в).
х — 1
2
3.	Г%: у = —	 — растяжение Г\ в два раза от оси О ж
(рис. 5.13 г).
4. Г4: у= -
X J.
+ - — сдвиг Рз вверх на - (рис. 5.13 д).
0 1
т
Рис. 5.13 (продолжение)
Пример 3. Построим график функции
y = 2sinBx+-}--.
У	V	2/2
Решение. Перепишем: у = 2 sin 2 (х +-) — -.
\	4 /	Л
Исходим из графика Г функции у = sin ж (рис. 5.14 а).
1.Г1:у = 8т(Ж-(-1)),« = -1.
Г\ получается из Г сдвигом вдоль Ох на (— - ) влево.
Рис. 5.14

ДЕФОРМАЦИЯ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ
109
2. Г2: у = sin Bх + -\ = sin2 (ж + -\
Г2 получается из Г сжатием к прямой ж = - в два раза.
4
Волна Г2 стала в два раза «гу-
«гуще», чем Г\.
3.	Г3: у =
Гз получается из Г2 растя-
растяжением вдоль Оу в 2 раза.
4.	Г4: у = 2sinB:z+ -
1
1 4 получается из 1 з па™
раллельным сдвигом вдоль 0|/,
1
вниз на - .
2
Рис. 5.14 (продолжение)
Рис. 5.14 (продолжение)
Пример 4. Построим график функции у = cos ж2.
Решение. Достаточно знать точки пересечения графи-
графика функции у = cos ж2 с осью Ох. Имеем cos ж2 = 0 при
х ± 4 / - + Ьг, к = 0,1, 2,... При х = ±л/Ьг, fc = 1, 2,3,...
имеем cos ж2 = (—1) . График данной функции изображен на
рис 5.15.
Пример 5. Построим график функции у = к^совж2.
Решение. Область определения этой функции находим из
графика предыдущей функции: cos ж2 > 0 при ж

по
ФУНКЦИИ
гл. v
х G
Зтг
, х Е -
и т.д. Учитываем мо™
2 J 2 J7	\ 2 7 2
нотонность функции у = log2 t, а также равенство log2 1 = 1,
Рис. 5.15
log2t < 0 при t < 1 и log2t —)> оо при t —>- 0 (t > 0). Следова-
Следовательно, прямые ж = ±4 /	n, fc = 0,1, 2,... являются вер-
вертикальными асимптотами графика данной функции (рис. 5.16).
Л
Л
Рис. 5.16
Пример 6. Построим график функции у = |log2 |ж — 2||.
Решение. График функции у = log2 |ж| состоит из графика
V
Рис. 5.17
у = log2 х (х > 0) и симметричного с ним относительно оси Оу
графика функции у = Iog2(—ж), х < 0 (рис. 5.17а).

ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
111
График функции у = |log |ж|| получается из положительных
ветвей (ветви, расположенные над Ох) предыдущего графика и
отраженных в ось Ох отрицательных его ветвей. Если послед™
ний график параллельно себе сдвинем вправо на 2, то получим
требуемый (рис. 5.17 в).
Пример 7. Построим линию,
координаты точек которой удовле-
творяют уравнению |ж| — \у\ = 1.
Решение. При х ^ 0 данное
уравнение принимает вид \у\ = х —
— 1. Это уравнение имеет смысл при
х ^ 1 и изображает два луча: у =
= х — 1 и у = — (ж — 1). Они образу-
образуют прямой угол. Наличие модуля \х
в первоначальном уравнении означа-
означает, что его изображение симметрично
относительно оси Оу. Итоговое изображение (рис. 5.18) симмет™
рично относительно обеих координатных осей.
Упражнения
Построить графики следующих функций:
Рис. 5.18
1. У — л/ l Ж — Z) .	L. У — luff о I Ж — о).	О. У — lORo I Ж — Z) .
4. i/ = |log2 |ж + 1||. 5. у = log2 |ж| + 1. 6. у = |log2 |ж| + 1| .
7. i/ = Iog2B+ sin ж). 8. у = Iog2(l+ sin ж). 9. |/ = | log2(l+sinж)
10. у = log2 | sin ж
13. y = 2x.
16. у = 2sinx.
19. у = sin2x.
22. j/= |2ж + 3|.
11. у = log2tgx.
14. y = 2N.
17. у = sin ж.
20. у = sin2 2ж.
12. |/ = |log2 |
15. y = 2~\x\.
18. у = sin2 ж.
21. у = 2ж + 3.
Построить линии на плоскости, координаты точек которых
удовлетворяют уравнениям
24. \у\ = ж.	25. \у\ = ж2 - Зж + 2. 26. \у\ = вшж.
27. \у\ = log2 ж. 28. \у\ = |ж|.	29. |у — 1| = ж — ж
30. |ж| + \у\ = 1. 31. |ж - 1| - |у - 2| = 3. 32. \х\ - \у\ = 2.
Оо. |с/| — bg XI. о*±. |(/| — I Ы11X .	оО. |с/| — А^&2

112	функции	гл. v
§ 3. Предел последовательности
1°. Числовой последовательностью называется бесконеч-
бесконечное, занумерованное множество действительных чисел ai,a2,
... ап,... Последовательностью называется также функция на-
натурального аргумента ап = /(н), п - натуральное, п Е N.
2°. Рассмотрим поведение членов четырех последовательное™
тей:
n	j п , п ()щ n ()
п
при условии, что п = 1, 2, 3,...
Имеем:
п 3 2 5 4 7 6
Ьп: 1, 4, 9, 16, 25, 36,...,
сп: -1, 2, -3, 4, -5, 6, ...,
dn:	-1, 1, -1, 1, -1, 1, ...
1) Члены {ате} сгущаются к числу 1: абсолютная величина
разности \ап — 1| = — становится все меньше и меньше. Это
п
означает, что ап —>- 1 при п —)> оо.
Кратко : lim fl +
n—>-oo \
n
2)	Члены {Ьте} положительны и неограниченно возрастают:
Ьп становятся и остаются больше любого наперед заданного чи~
ела.
Это означает, что Ъп —>¦ +оо при п —>• оо.
Кратко: lim n2 = +оо.
п—>оо
3)	Абсолютные величины \сп\ членов сп неограниченно воз™
растают, т.е. \сп\ —>• +оо. Это означает, что сп —>• оо при п —>• оо.
Кратко: lim (^1)те • п = оо.
п>оо
4) Члены {dn} ни к чему не стремятся, ни к чему определен-
определенному не приближаются.
Кратко : lim (^l)n — не существует.
п—ъ-оо
3°. Число А называется пределом последовательности {ап}
при щ стремящемся к бесконечности, если для любого е > 0 най-
найдется такое натуральное число N = N(e) (зависящее от е), что
при всех п > N имеет место неравенство \ап — А\ < е. Кратко,
при помощи кванторов:
Mm ап = А <^ Уе > 0 3 N = N (е) : п > N => \ап - А < е.

ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
113
4°. Бесконечные пределы.
Кратко:
lim ап = +оо <& Уе > 0 3 N = N (е) : п> N => ап> е;
>оо
О 3 N = N (е) : п > N => ап < ^
lim |an| = +оо.
lim ап = ^
П—>СХ)
lim «^ = 0
Доказательство предложений п.п. 3°-4° сводится к доказа™
тельству того или иного неравенства с параметром е относи-
относительно п.
2п — 3
Пример 1. Докажем, что lim ^^—
^ п + 2
п > - -2.
=2.
Если е > 0 — произвольно малое число, то
п + 2
<
2п - 3 - 2тг - 4
Этим первоначальное неравенство решено. Оно должно выпол-
выполняться при всех п > N = N(?). Остается указать JV (TV — целое
Г 7 1
число). Принимаем N = - — 1 ([а] — целая часть а). Тогда при
всех п > N имеем
< ? (в частности, если ? = 0,01,
то N =
0,01
— 1 = 699, в таком случае при п > 699 имеем:
lim
< 0, 01). Это полностью согласуется с определением
= 2.
о л	т
2. Докажем, что lim
= +оо.
+
Если е > 0 произвольно большое число, то
Зп + 2 1 п + 2 \
4в
- 7
-In - 14
16
2п - 7 +
16
п + 2
7 + е

114	функции	гл. v
Пусть N = [^^1 (Если е = 106, то берем N = Г!2!_±11 =
= 500003). Если п > N , то —	 > е. Это согласуется с
тем, что lim 	 = +оо.
п^оо п + 2
3. Докажем, что lim (^l)n Ign = оо.
п—ь-оо
Если е > 0, то |(-l)nlgn| =lgn>e<^>n> 10е. Прини-
Принимаем N = [10е] (например, если е = 100, то N = 10100). Тог™
да, если n > JV, то |(—l)nlgn| > г. Это согласуется с тем, что
lim (—l)nlgn = оо ( или lim lgn = +оо).
5°. Последовательность {ате} называется монотонно возрас™
тающей (убывающей) при п > N, если an+i > ап {ап+\ < ап).
Последовательность {ап} называется ограниченной сверху
(снизу), если существует число М (т) такое, что ап ^ М [ап ^
^ т).
Теорема 1 (о существовании предела). Если {ап} моно™
тонно возрастает (убывает) и сверху (снизу) ограничена, то она
имеет предел.
Теорема 2 (о числе е). Последовательность < еп = A+- 1 >
имеет предел. Этот предел обозначается буквой е:
/	I \ П
lim A+-) =е.
При этом е = 2, 7182818284590 ... ^ 2, 72.
Предел е существует на основании теоремы 1 (можно дока-
доказать, что еп+\ > еп и еп < 3, п Е N).
Примечание. Функция у = ех называется экспоненциаль-
экспоненциальной (показательной), а логарифмы с основанием е — натураль-
натуральными: In ж = logex.
6°. Вычисление пределов последовательностей основано на
их преобразовании, т.е. приведении к «удобным» выражениям,
или при помощи теоремы 2.
Вычислим несколько пределов.
й2 B + ^ - —
Пример 1. lim 	 = lim 	j
тг^оо Ъп2 — п + 7	тг^оо 19 ( е 1 , •
fb \Ь — — + —
\ п п2
2 (	3	2
= - I используя тот факт, что если п ^ оо, то — —>- 0, — ^0,
5 \	п	п2
1	7	\
— —>- 0, — —>¦ 0 1. Данная дробь «неконтролируема», ибо ее чис-
п	п2	у
литель и знаменатель стремится к оо. Вторая дробь получилась

ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
115
после сокращения первой на п и равна правой; она поддается
анализу: числитель —>• 2, а знаменатель —>¦ 5.
Пример 2. lim
12п2 + Зп - 2
3 2
12+ - - —
3 2
12+
= lim ~~ •
n—>oo n
= lim
2 — 3 n—>oo
= 0 (поскольку вторая дробь —>> — , a
первая —)> 0 ).
Пример 3. lim
7пл
12п2 + Зга - 2
= lim n-
= +ОО
3 2
12+
ть ть
(поскольку дробь —)> — , а множитель п —> оо).
Анализ решения этих пределов показывает, что предел ра-
рациональной дроби при п —> оо легко вычислить после вынесе™
ния за скобки в числителе и знаменателе их старших степеней и
последовательного сокращения. Этот же вывод справедлив для
иррациональной дроби. При этом:
предел
рациональной дроби =
при п —»¦ оо
Пример 4.
отношению «старших коэффициентов», если
степени числителя и знаменателя равны,
О, если степень числителя < степени знаменателя,
оо, если степень числителя > степени знаменателя.
+оо,	если	q > 1
1,	если	q = 1
Mm qn =	0,	если	— 1 < g < 1
не существует,	если	q = — 1
оо,	если	q < — 1.
Чтобы получить данный результат, достаточно брать кон-
конкретное числовое значение q с указанным условием (например,
Пример 5. lim
пьо
- •> Q = - •> Q — ~li Q — ~2).
2	2
¦n + 2\n	r /3 ,	7
. 	 = lim - +
п^оо V 2п - 1 /	п^оо V 2 2 Bп - 1)
= +oo, ибо qn = -
2
7 ^ 3 ^ 1	. 1
	 > - > 1 при п ^ 1.
2Bга-1) 2

116
ФУНКЦИИ
ГЛ. V
те
Пример 6. lira ( 	 | = lira
п—ь-оо V In — 3 /	п—ь-оо
22
7Gп - 3)
, ибо - +
1 7
22
< 1 при п ^ 4.
7 " 7Gn ~~ 3)
Вв1числение следующих пределов основаны на применении
формулы lim(l + cx)ol = e.
тт гт т / Зп — 5 \
Пример 7. lim
n^roo V Зп + 2 /
Способ 1.
кп+2
lim [1-
п—>оо
= lim
те—>оо
+ 2
Зте+2
7(п+2)
Зтг+2
в квадратных скобках получили выражение
1	7
A + а) а с а =	; оно стремится к е,
1	;	Зп + 2
т. к. ск —> 0 при п —> ею. В показателе степени
14 '
7Н
п
имеем:
2
п
1 -
7
—>"
3
= е з =
Зп
¦ 5
Зп
2 \ 2
Зп
Способ 2. lim
п—^оо
Пример 8. lim
п—^оо
( умножим и делим на сопряткенное
/ данного выражения или используем \ =
I	I
I
I формулу: а —- b =
е з
2~
ез
= е з.
п2 + Зп - 1 -
= 2.

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИЙ	117
Упражнения
Вычислить пределы.
2n2 + 3n~l	o r
	.	2. Mm
2п3 + п — 2
. r V2n3 + Зп -
4. Mm \
=
An - 7
6. Mm ±±Ш
п—>оо п2 + 5
8. Mm Зп.
10. Mm
, 2п+ 1
11. Mm (—-Y .	12. Mm fI + —
n^oo V 2те + 3 /	п^оо \	2п -
2п- 1
Ответы
1. i . 2. 0. 3. 1. 4. оо. 5. -. 6. 0. 7. Не существует. 8. 1. 9. 1.
10. е. 11. 0. 12. е.
§ 4. Вычисление пределов функций
1°. Если /(ж) непрерывна в точке х = а, то Mm /(ж) = /(в).
ж—>а
Если /(ж) не определена в точке х = а, то ее следует заменить
непрерывной функцией g(x) (если это возможно) такой, что
g(x) = f(x) при ж^аи принимать Mm f(x) = Mm g(x) = g(a).
х-—>а	ж—>a
Воспользуемся утверждением: каждая элементарная функция
непрерывна в каждой точке своей области определения. Вычис™
ление предела Mm f(x) начинается с подстановки х = а, т.е.
вычисления /(а). Если /(а) — число, то предел найден.
Пример 1. Имеем: Mm sin ж = sin - = 1.
x^l	2
Пример 2. Mm arctgл/х2 — 1 = arctg\/22^l = arctg V3= ^~
x—>2	3
т-r	о т 2ж2-Зж + 5	2-1-3-1 + 5	,
Пример 3. Mm 	:	 = —	:— =4.
x—>1 \fx + 2x sin 7ГЖ д/1 + 2 • 1 • six
sin —— — 1	/ sin — — 1
Пример 4. Mm 	2	 = I —Л	 j = \ _ j — He^
x—±\ л/х — 1	у \/1 — 1
определенность. Результат ( - I взят в круглые скобки потому,
что это не число, а символически обозначенное арифметически

118	функции	гл. v
невыполнимое действие, которое и называется неопределенно-
неопределенностью. Что должно быть вместо ( - 1, увидим ниже.
2°. Если lim а (ж) = 0, то а(х) называется бесконечно малой
функцией в окрестности точки а и символически обозначается
так: о (ж) = оA) (читается о малое от 1), при х —>> а или а(х) ^
~ 0 при х ~ а (читается: а (ж) приблизительно равна нулю при
х близких к а).
Пример 1. lim sin ж = shitt = 0, значит, sin ж = оA), при
X -> 7Г.
П р и м е р 2. lim In (I + t) = In 1 = 0. Запись: ln(l + t) ^ 0,
при t rsj u.
3°. Пусть /3 (ж) = 	. Если lim a (ж) = 0 и a(x) ф 0 при х ф
a (x)	x^a
Ф а, то принимаем lim /3 (ж) = oo и /3(ж) называется бесконечно
большой (функцией) в окрестности точки а.
Пример 1. lim (ex — l)^1 = lim 	 = оо (поскольку
^О	^О ех 1
lim (ех - 1) = 0).
х^°	1
Пример 2. Mm 	 = оо. (limBar + Зж - 5) = 0.
тт от cos 2тгж + 1	2	/ ^
Пример 6. lim 	 = - = оо (обе записи
tg тгж + 4 arctg ж — —
О	/г»
- и оо правомерны).
4°. Вычисление пределов дробных функций. Предположим,
что требуется найти lim LS^l
g (ж)
Если lim / (ж) = / (а) = 0, lim g (ж) = g(cb) = 0, то
х^а	х^а
lim v 7 = - , т.е. имеем дело с неопределенностью - и ее
х^а g(x)\oJJ	F	V 0 /
следует раскрыть. Этому мы научимся в нескольких пунктах.
5°. Алгебраическая неопределенность ( - 1 раскрывается
сокращением числителя и знаменателя дроби на множитель
(ж — а).
Важное замечание. Запись lim (ж — а) или lim/(ж)
х—ь-а	ж--><2
предполагает, что х ф а. Подчеркнем, что пока написан символ
Mm, ж принимает значения близкие к а, но ж ф а.
х^а	ж2 + 2ж-3 /0\ г
Пример 1. lim 	¦	 = ( - = lim
x^l x2 + Бх - 6	V 0 / ж-И
6)

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИЙ
119
Здесь мы известным образом разложили многочлены на мно™
жители.
Пример 2. lim
ж3 + 9х2 ^ Зж ^ 38
х3 - 2х2
Их2 - Зж
11ж2 - 22ж
45
32
1Эж^38
О
Пояснение. Известна теорема Везу: если многочлен Р(х)
имеет корень х = а, то Р(х) = (х — а) • Q(x), где Q(x) — мно-
многочлен степени на единицу меньше, чем Р(х). При этом Q(x)
получается делением Р[х) на (ж — а) уголком или в столбик;
именно это деление выполнено выше.
Итак, случай отношения многочленов разобран.
В связи с п. 1° отметим, что в примере 1 имеем /(ж) =
О. . ~	~	п
	 = ё(х) ПРИ ж / 1, а в примере 2 /(ж) =
х2 + 5ж — 6 х
х3 + 9х2 - Зх - 38 _ ж2 +
+ 19
= g(x) при ж ф 2.
ж4 -16 (ж + 2)(ж2+4)
6°. Переходим к отношению иррациональных выражений
(с радикалами). Нам надо обратиться к формулам сокращен™
ного умножения.
тт	от л/^х + 1-4 / 0 \
Пример Л. lim _ 	 = - =
х^З ^2ж + 2-2 \0/
= lim
- Нт
числитель и знаменатель дроби умножены
на не обращающиеся в ноль выражения
-16
15
4 + 4

120
ФУНКЦИИ
ГЛ. V
Задание. В чем состоит замена f(x) на g(x) в примере 3?
Примечание. По существу, в предыдущих примерах мы
уже использовали основные теоремы о пределах.
Если lim / (х) = Д lim g (x) = ?», то
х^а	х>а
1) lim (/ (ж) ± g (х)) = А±В; 2) lim С ¦ f (x) = С ¦ А;
х^а	х>а
3) lim f(x)-g(x) = A- В; 4) lim
ж^а	х^а
M = - (если В ф 0);
(ж)	В
5) Mm ^ ' = oo (если
x^a g (ж)
Пример 4. lim
2ж2 -7х-1Ъ
умножим числитель и знаменатель
на выразсение, сопряж:енное числителю,
а знаменатель разложим на множители,
для чего решим уравнение
2х2 - 7х - 15 = Bх
-5)
= lim
/1 + Зж - лДхТЩ (VI + Зж + л/2х + 6) _
= lim
lim
(ж - 5)Bж + 3) (VI + Зж + л/2х + 6)
1	1
Bж + 3) (VI + Зж + л/2х + 6)	13 • D + 4)
1
104
Упражнения
Проверить следующие предельные равенства:
1. Mm _ х^2— = 0.

§ 4	ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИЙ	121
7°. Поиск пределов трансцендентных выражений (они содер™
жат показательную и (или) логарифмическую функцию) осно-
основан на особых формулах. Эти формулы доказываются строго,
способ доказательства следует знать - это расширяет кругозор,
усиливает убежденность, уверенность в собственных знаниях.
Вот эти формулы:
A)	lim A + а)« = е (эта формула называется вторым за-
мечательным пределом^ а последующие являются ее следстви-
следствиями).
B)	Нт ^^ =lna; (lim ^—^ = lY
с^О а	\а^0 а	У
C) lim —2*v	>- = -— ; I lim —ь	L =11.
a—>¦()	a	In a \a^0	a	/
А вот обобщения этих формул (в скобках написаны частные
случаи, когда a = е, loge А = ЫА).
к
A;) lim A + mot)oL = е	(га ж к — постоянные числа).
OL—^0
та 	 -|	/	та 	 -i
B;) lim 	 = пг In a ( lim 	 = га
- -Л а	Ха^О а
/о/\ v logn(l + ma)	m	/v ln(l + ma)	\
C ) lim БаХ 	'- = 	 lim —^—	'- = ml.
a^O	a	In а \а^0	а	/
Похожие примеры доводятся до приведенных формул умно™
жением и делением данного выражения на надлежащий множи-
множитель (постоянный или переменный).
Примечание. В левой части формул A) и A;) имеем не-
неопределенность нового вида 1°° A^ = 1; здесь А — число, 1°° —
невыполнимое действие, ибо оо — не число, а некоторый символ,
позволяющий придать особый, логически завершенный смысл
некоторым пределам). Все остальные равенства являются «рас-
О
крытием» неопределенности вида - .
(х- 1 \2ж+1
Пример 1. lim 	 )	= A°°) — неопределенность.
ж^оо V х + 2 /
Перепишем: 	 = 	 = 1 — 	 и заменим 	 = а,
х + 2	ж + 2	х + 2	х + 2
1	2
х — — —2, 2ж + 1 = — — 3; если х —> оо, то а —>> 0. Получаем
,_1х2ж+1 ^	^	^	1	_
:	 | = lim (I—3a)« = lim A—3a)a • A — 3a) =
2	-
= lim A — 3a) ol • Hm A — 3a)^ = e~6 • 1 = — (используем
формулу A;) ст=-3и!; = 2).

122	функции	гл. v
т
Пример 2. lim (I + fcsinx)sin^ = A°°) =
Пусть ksinx = а. Тогда
I am	тк I ,. (л . ч— ть
= { втж = — и 	 = — > = lim A + а) о- = е .
1	к sin ж	a ' - •"
и если ж —^ 0, то a —>- О
Пример 3. ПтBж^3)ж~2 =
ж^2
{Положим 2ж — 3 = 1 + а. Если ж —»> 2, то	1
лтт 4 + а ж	4/ =
а —^ 0. При этом ж = 	; 	 = — + 1
2 ж^2 a	J
= lim (l + a)a+1 = lim A +а)а • limA + а) = е4.
. Зж + 4
In ^—^—
Зж _
Пример 4. lim Bх-7)\Ы(Зх+4)-ЫЗх] = lim
Зж + 4	4
Положим ^^^^ = 1 + а (а —^ 0). Отсюда ж = — ,
Зж	За
2ж_7= А_7=821а	1	За
За	За	2ж - 7 8 - 21а
г 1пA + а)	г 1пA + а) г 8-21а 8
= lim —	 = lim —	 • lim 	 = -
За
8-21а
1	/оч 1. 1пA + а) л
так как по формуле C) lim v ; = 1.
а^О	а
7°. Пределы тригонометрических выражений. Большинство
тригонометрических неопределенностей вида ( - 1 раскрывают™
ся либо сокращением дроби на некоторое выраж:ение, не равное
нулю, либо приведением к «первому замечательному пределу»
/ л\ л- sin а л	r r	r sin та	/,/х
Dj lim 	 = 1 или обобщению lim 	 = т D ).
а^О а	а^О а
sin а

а	а^О а
Следствиями этих формул являются
т arcsin та -,. tgma -,. arete та	/г\
lim 	 = га, lim —^	 = га, lim 	^	 = га. E)
а^О	а	а^О а	а^О	а
а	а^О а	а^^О	а
При решении примеров на эту тему будут использованы три™
гонометрические формулы преобразования суммы в произведе-
произведение, формулы приведения, двойного аргумента и пр.

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИЙ	123
Пример 1. lim
sin 5ж V О
• Зж	lim
Ит	3
smbx	sin5# ж^0 5ж 5
• 5ж	lim
5ж	lim
5ж	х^° 5ж
Использована формула D) с а = Зж и а = 5 ж соответственно.
тт	о т. 1 — cos ж / 0 \ 1.
Пример 2. lim 	 = - = lim
^о ж2	V о / ^о
2 sin2 —
Гр	Гр	Гр	Гр
sin — sin — 1 sin — 1 sin —	о
= 2 lim 	2. . 	2. = 2 Ит I . 	2. .limL 	2. = ? =
ж^О ж	ж	ж^О 2	х_ ж^О 2	ж	4
2	2
Использована формула D) с а = ж/2.
тт	от tg;r —sinsc /0 \ -,. si
Пример i. lim &	= ( - = lim ^
-,. sin ж -,. A^созж)	1 /
= lim 	 • lim	 = - (использован предыдущий при™
ж^О ж ж^О ж2 cos ж	2
мер, lim cos ж = 1 и D)).
ж^О
тт	/IV 1™соз4ж /0\ r 2sin^ 2ж • соз2ж о
Пример 4. lim 	 = ( - = lim 	 = 2.
^О 2rtg2a;	\0/ ж^О 2ж • sb^^
g
Использовано: lim cos а = 1.
0
r i.	Зж -,. созЗж 5 тж	т.	а	1
= 5 lim 	 • lim 	 = - . Использовано: lim 	 = 1.
бшЗж ж^О 3	3	i
Пример 5. lim 5ж • cte3x = 5 lim 	 = (
ж^О	ж^О sin3a;	\
Пример о. ит	(
(
cos ж — cos3 ж \ О
= 2 пт 	 = 2 lim —— • lim 	 • 5 = 10
A	2 )	i	5
2 lim	lim
cos ж A — cos2 ж)	ж^О sin ж ж^О 5ж
/	т arcsina i v	x2	i v	i\
(использовано: lim ^^^— = I, lim	= 1, iimcosx = 1).
a^O а	ж^О sin ж	ж^О
а
Примечание. Случай ж —>> а приводится к разобранному
подстановкой ж — a = t или ж = a + ?, при этом t —>• 0.
ж . ж
cos — — sin —	/ п \
Пример 7. lira 2	2 = ( - ). Используем сна-
Х^И	совж	\0/
чала формулу cos /3 — sin /3 = у2 sin ( — — /3 J, затем положим
V 4 /

1Z4
7Г
X = —
2
lim -
2
+
cos
t,
X
2
с
t
OS
->0.
. ж
sm —
2
ж
Получим
л/9 lim
2
ФУНКЦИИ
sin(i"i
cos ж
sm —
^0 — sint
)
2 t-
V2 lim
f>
sin
sin — •
2
"OS I
t
COS
sin -
2
v2
2
гл. v
t)
)
2
Упражнения
Проверить следующие равенства:
1. lim (l - -\Y = 1.	2. lim(l + Зж) х = e3.
3. lim (sina;)tgs = 1.	4. lim f —- )
5. lim (cos жI/*2 = 4=- 6-lim
ж>0	ye	ж>0
sin 4ж 4
lim (cos ж)	4=- 6-lim
ж—>0	ye	ж—>0 sin5ж 5
sx^l	1
	 = - -
Зж2	6
f- -,. cosx^l	1	от
7. lim 	 = - - .	8. lim
З2	6
sm ж — — 1 п
cos ж	1	-1 л т	\ 3 / v3
1	10 lim ч	7 —
Л i. cos ж	1	-1 л т
9. lim 	 = —1.	10. lim
«. vZL	7Г	-r^^ 1 — 2 cos x	3
8°. Пределы на бесконечности. Вычисление пределов
lim /(ж).
ж^оо
Различаем три разновидности:
1)	х —>> +оо (это означает, что переменная ж принимает значе-
значения большие любого наперед заданного положительного числа);
2)	х —± ^оо (это означает, что если положим х = —t или
—х = t, то t —)> +оо);
3)	ж —>- оо (это означает, что |ж| —>• +оо).
Такие пределы мозсно вычислить подстановкой х = - , — =
= ?. При этом, если х —>> +оо, то t —> +0, если х —>- ^оо, то
t —>> —0, если ж —)> оо, то t —)> 0.
т-г	т г ж3 + 2ж2™3 /оо\
Пример 1. lim 	 = (— 1
ж^оо 4ж3 — х + 2	\оо /

§ 4	ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИЙ	125
1,2
+з+2	. 1 + 2? — 3t3	1 /	1
= lim —	 = lim 	 = - (замена х = - равно™
t-X) _? _ 1 2 t^O 4 -12 + 2t3	4 l	t
t3 t
сильна действию вынесения старшей степени числителя и зна™
менателя за скобки с последующим сокращением получившейся
дроби.)
тт	от	ж2 +3ж - 1	/оо'
Пример 2. lim 	 = —
- ' -' ж3 + 5ж2 ~~ Зж + 2 V оо
lim -
1 _ А А
ж ж2 ж3
Пример 3. lim
Пример 4. lim
5ж3
2 -
ж +
+ 7ж
-Зж-
2ж2 +
+ 9
4
Зж4
looJ
llTYl
/ ОО >
— 1
V оо )
ж4 1
lim
I
3 f 5 + — -
1 —
1 —
/2 3
м
ж4 /
ь —^
Упражнения
Убедиться в справедливости следующих равенств.
. lim	— = -. 2. lim	-^- = —1.
. 	 ..
5ж3 + 2ж2 — 1 5	w-->oo \/n3 + n — n
3. lim I^A^^ = i. 4. lim ^l^L = 0.
w^oo n2 + 1 + n~2	n^oo 0,ln3
9°. Рассмотрим теперь неопределенность вида (оо — оо). Ее
/0\	/оо\
надо привести к неопределенностям вида - или — 1.
\ 0 /	V оо /
Пример 1. lim ( 	 — 	 ) = (оо — оо) =
Р	F	- '7 V ж2 ^49 ж^7/ l	;
2ж	ж	7	/ 0 \
Mm ^^^^^^^^ = 1 - 1 = lim
x - 7) (х + 7) V 0 / х^7 х + 7 14

126
функции
гл. v
Пример 2. lim ( л/х2 + Зж — 1 — х 1 = (оо — оо) =
lim
^	* = ( — = lim
уж2 + Зж — 1 + ж	\оо /	ж^оо
жC--
ж
(данное выражение умножили и разделили на его сопряженное).
Пример 3. lim ( л/х2 + х — л/х2 — х) = (оо — оо) =
ж^+оо \	/
т	/~ ( /—;—г /	т\ т \/х (х + 1 — х + 1) /оо \
= lim л/х Ых + 1 - \/х — 1) = lim v v 	 ; = ^ =
v	7 ж^+сх) у ж + 1 + уж "" 1 \оо /
ж—>+оо
ж V ж
1
= 1.
Упражнения
Убедиться в справедливости следующих равенств.
1. Mm
3. lim
= - . 2. lim
х-3 х2 -9 / 6
я 2
— ^
-ж) = 0. 4. lim f ж3 - ^
7	\221 2
3
_ 1
~ 4 *
10°. Рассмотрим теперь неопределенность вида (оо -0). Ее
/0\	/оо\
легко свести к неопределенности вида I - 1 или ( — 1 с помощью
\ 0 /	V оо /
соответствующих преобразований.
о.
sin —
Пример 1. lim 2х sin — = (оо • 0) = a lim 	— =
ж-->+оо	2х	ж-->+оо ol
2х
( 0 \	г sin/З	/	п а	.
= [ _ = q/ iim —— = а (здесь р = — , при этом х —>• +оо. a
\ 0 /	/3^0 в	2х
Пример 2. lim(l-rc)tg— = @ • оо) = ПтA-ж)
х—>1	2	хtl
= iim sin - х • iim
2
A-х)	2	/0\ 2 г
	т	—\- * = - — - lim
. /7Г 7Г \ 7Г	\0/	7Г CC-^1
I	1
sin I — — — x \ —
1 2 2 / 2
2
7Г (	.
2[ Х)
sin — A — ж)
2 V ;
= -. Использовано: lim sin-ж = 1; cos a = sin ( - -a);
тг	ж^1 2	\2	/
lim 	 = 1; подстановка — A — x) = a (a —> 0).
a^0 sina	'	2 V	;	V	;

ОДНОСТОРОННИЕ ПРЕДЕЛЫ
127
Упражнения
Убедиться в следующих равенствах.
1. Mm y^sin - = 0.	2. lim n • 2~п = 0.
ж—>+оо	ж	п—>+оо
3. lim х2 [ cos — — 1 j = —0,5. 4. lim sin 2x ctg 3x = - .
ж^оо \ x	J	ж^О	3
Вычислить пределы.
1 + cos 2ж
1. Mm
3.
5. lim
ж + 2
2. lim
ж^§ cosx
4. Mm
Зж + 2 / 2ж
v It sin ж — cos ж
6. lim
Деж
7.	lim (л/х2 -Зх + 1-х).
Ж^СХ)
8.	lim (x + 2) • [1п(ж2 + 5ж - 1) - 1п(ж2 + 3)
ж—>oo
9. lim
Зж - 1 + 2
/ж3 + 5ж - 22 - 1
_3_
11. Mm (cosx)a?2 .
10. lim
13. lim
1-е
— Sin 7ГЖ
12. lim
14. lim
ж
sin2s
^ 1
12
2-ж
ж2 - Зж + 2
л/х2 +4-2
^ж^Тэ-з
17. Mm ж2 Vx3 + 2- л/х^ - 2 ) . 18. lim ± In
™ ж3
15. Mm
16. lim
^ o i. , тгж . ж — a
19. lira ter — • sin
- ' - 2a	2
sin ж
on T	/ Sin Ж \ Ж-8П1Ж
20. Mm
ж^0\ x J
Ответы
1. -.2. 0. 3. е. 4. е"б. 5. -2д/2. 6. е. 7. - - . 8. 5. 9. 1.
3	3
10. 2 - 1пЗ. 11. е 2 . 12. - 1п2. 13. -тт. 14. - - . 15. 3 . 16.
. 17. 2. 18. 1. 19. --. 20. е.

128	функции	гл. v
§ 5. Односторонние пределы
Под односторонним пределом понимается предел функции
f(x) при стремлении х к а с левой стороны (х ^ а — О^ж^а
и х < а) или с правой стороны (ж-^о + 0^а;4аиж>а).
Обозначим
lim f(x) = Г (а) = /(а- 0), lim f(x) = /+(а) = /(а + 0).
ж—>а—0	ж—>а+0
Функция f(x) имеет предел в точке а в том и только в том
случае, когда она имеет равные односторонние пределы в этой
точке.
тт	1 тт « т ж2 - Зж + 2 / 0 \
Пример 1. Найдем lim 	 = I - 1.
х^2 \х2 -6ж + 8| \0/
Имеем:
lim ^	^	'- = lim
-2\\х-Ц ж-
( л\( сУ\
\x-2\ |ж-4| ~ x^Yl ^^) \x-A\ 2
Левосторонний и правосторонний пределы существуют, но
различны. Значит, искомый предел не существует.
2+ж
Пример 2. Найдем ИтЗ35.
Имеем:
{показатель степени по модулю
увеличивается, а знак его отрицательный;
величина, стоящая под знаком предела,
уменьшается, оставаясь положительной
{показатель степени положителен и
неограниченно увеличивается: величина,	I ,
/ — ~г СЮ.
стоящая под знаком предела, неограниченно
увеличивается, оставаясь положительной
2+ж
Значит, lim З3^1 не существует.
тт	о тт»	т /2ж2+3ж™5\2	/0\
Пример	S. Найдем lim 	 =	I - 1.
тт	ж-)>1 V х2 — 1 У	V 0 /
Имеем:
( ]j^^jBx + 5)\ _/7\2_49
Ж4™0 V (z^fiix + 1) /	V2/ ~ 4'
lim
оначит, lim
\ j^^Tj(x + 1)
2	2 49
ж2 - 1 /	4

ОДНОСТОРОННИЕ ПРЕДЕЛЫ
129
Пример 4. lim ех^г = 0, так как показатель
ж->4-0	х -
1
стре™
мится к ^оо, т.е. е =
= 0.
Пример 5. lim е33™1 = оо, так как показатель
воз™
растает, оставаясь положительным, т.е. е+ос = +оо.
| ^ж + 1 при ж ^ 2
Пример 6. Пусть /(ж) = <	. Найти
[ 2ж + 1 при ж > 2
/B + 0) и/B-0).
Имеем:
/B + 0)= lim /(ж) = НтBж + 1) = 5;
/B-0)= lim
ж^2
Упражнения
Найти пределы справа и слева функций.
1.
г при х —>- 0.
г/ ч ( ж2 при ж < 3
2. /(ж) = ^	F	при ж -» 3.
1 ж + 8 при ж ^ 3
3.	/(ж) = д/втж при ж —>> 0.
4.	/(ж) = — при ж —> 0.
|ж|
Найти односторонние пределы:
5. lim
ж - 4
6. lim
ж + 3
9^ ж2
7. Mm
7Г
X ^ —
4
8. lim
9. lim arcdgx. 10. lim arcsin™.
°° 1	ж^ ^
11. lim агссоБЖ. 12. lim arctg	. 13. lim 21~x.
cos (ж
V 4
14. lim
ж^2±1
17. lim
- 2
arcsin 3x
15. lim
16. lim
7Г
Ж — —
4
5 К.Н. Лунгу, Е.В. Макаров

130	функции	гл. v
Ответы
1. /+@) = 0, Г @) =1.2. /C + 0) = /C-0) = 9. 3. Г @) -
не существует; /+@) = 0. 4. /~@) = -1; /+@) = 1. 5. ±1.
6. =роо. 7. ±4. 8. ± - . 9. 0; тт. 10. - . 11. - . 12. ± - . 13. 0; +оо.
2	6	2	2
14. ±4. 15. ±1. 16. +оо. 17. 3.
§ 6. Непрерывные функции
1°. Напомним (см. §1), что функция f(x) называется непре-
непрерывной в точке xq, если выполняются следующие три условия:
A)	функция f(x) определена в каждой точке окрестности
точки xq;
B)	функция имеет предел в этой точке: lim f(x) = В;
х—>жо
C)	этот предел равен /(жо), т.е. lim /(ж) = J(xq).
ж>жо
Нарушение какого-либо из перечисленных здесь условий
означает, что f(x) разрывна в точке xq. Классификация точек
разрыва приведена в § 1.
Определение непрерывности применимо и к функциям, за-
заданным различными формулами в различных промежутках.
Функция, непрерывная в каждой точке интервала, называется
непрерывной в этом интервале. Непрерывность функции в кон-
конце отрезка [а, Ъ] принимается как односторонняя:
lim /(я) =/(a),	lim /(я) = /(Ь).
Ниже воспользуемся утверждением о том, что каждая эле-
элементарная функция непрерывна во всех точках ее области опре-
определения.
Пример 1. Функция f(x) задана формулами
f(x) =
Эта функция непрерывна в совокупности промежутков
(—оо, —3) U [—3,4] U D,+оо) (как состоящая из элементарных
функций). Проверка непрерывности функции f{x) сводится к
проверке определения непрерывности в точках ж = -3 и ж = 4.
х2
(ж
9ж
+ 3ж~ 1
ж + 2
+ 2J
+ 1
при
при
при
ж
ж
<
¦3
3
^ ж
4.

НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
131
а) ж = ^3 : lim /(ж) = lim
¦Зх- 1
ж + 2
lim ДЖ)= lim> +2J = 1,
-	1
-	1
= 1,
/(-3) = (-3 + 2J = 1.
Функция /(ж) непрерывна при ж = ^3, а эта точка — точка
непрерывности этой функции.
б) ж = 4: lim fix) = Пт(ж + 2J = 36 =/"D),
ж^40	ж^4
lim fix) = Нт(9ж + 1) = 37 = /+D).
ж^4+0	ж^4
Односторонние пределы в точке х = 4 существуют, но не
равны, значит, функция /(ж) разрывна в точке ж = 4, а эта
точка — точка разрыва первого рода со скачком
a(f, 4) = /+D) - /"D) = 37 - 36 = 1.
Пример 2. Исследуем на непрерывность функцию
№ =
х + 7х
ж2+ 19
2 -1
при ж < О,
при О ^ ж ^ 1,
при ж > 1.
Данная функция непрерывна при ж / 0 и ж / 1. Остается
исследовать ее на непрерывность в этих двух точках.
Имеем:
_1
lim f(ж) = lim е ж = О,
^О0	ж^0+0
= О,
lim fix) = lim
^О+0	ж^О
ж2+ 19
ж = О — точка непрерывности /(ж). Далее
х2 + 7х _ 2
ж2 + 19 ~ 5 5
lim fix) = lim
^10 V У x^l
lim /(ж) = lim
= +оо,
(я-1)(я + 4)
ж = 1 — точка разрыва второго рода /(ж). Прямая ж = 1 —
вертикальная асимптота графика (вверх, односторонняя).
Пример 3. Исследовать на непрерывность функцию.
с2 + 7х + 10	^ о /о
при ж < 2, ж / —2,
/0*0 =
11
2 -4
— при ж = ^z,
4ж — 3 при ж ^ 2.

132
функции
гл. v
Исследуем сначала непрерывность в точке ж = —2.
Имеем:
lim fix) = lim
x^2	x^2
= ( - = h
\0/ x^
= hm
2)(x - 2)
x = —2 — точка устранимого разрыва. Если бы /(—2) было
о
определено числом --, то f(x) была бы непрерывна в точке
х = -2.
А теперь рассмотрим точку х = 2:
г -/ ч г ж2 + 7ж + 10
lim fix) = lim 	 = ^оо,
>20 v	ж^20 (ж2)(ж + 2)
lim /(ж) = lim Dж - 3) = 5,
^2+oJV ; ^2+ov	;
ж = 2 — точка разрыва второго рода. Прямая х = 2 — верти-
вертикальная асимптота (вниз, односторонняя).
Пример 4. Исследовать на непрерывность и построить
график функции
/(*) =
х + 1, 5 при х < —2,
- при - 2 ^ х < О,
2х при ж ^ 0.
Функция /(ж) определена на всем множестве действитель-
действительных чисел, задана тремя формулами на различных промежут-
промежутках изменения аргумента.
Исследуем непрерывность функции в точке ж = ^2иж = 0:
/(_2-0)= Hm (ж + 1,5) = -0,5; /(-2+0)= lim 1=^0,5.
х^20	х^2+0 х
По условию /(-2) = -0,5. Значит, /(-2 - 0) = /(-2 + 0) =
= /(—2), т.е. функция /(ж) непре-
непрерывна в точке ж = —2. Далее,
/(-0) = lim I = -оо;
ж—>—0 ж
/(+0) = lim 2x = 0.
Рис- 5-19
Итак, в точке ж = 0 функция име-
имеет разрыв второго рода. В остальных
точках числовой оси она непрерывна.
Прямая ж = 0 — вертикальная асимп-
асимптота графика (односторонняя, вниз)
(рис. 5.19).

НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
133
Пример 5. Требуется установить, является ли данная
функция непрерывной или разрывной для каждого из данных
значений аргумента; в случае разрыва найти предел в точке раз™
рыва справа и слева и сделать схематический график функции
/(ж) = 43=S, xi = 1, ж2 = 3.
Функция f(x) элементарная, значит, она непрерывна в лю-
любой точке из области определения. В точке х\ = 1 эта функция
определена, значит, она непрерывна.
В точке Х2 = 3 функция не определена, поэтому она разрыв-
разрывна. Установим характер разрыва. Найдем
1
lim fix) = lim 4^-ж = qo
ж^З0	ж^З0
так как показатель
—!— ->> +оо, 4+о° = +оо. Прямая х = 3 —
3 — ж
правосторонняя вертикальная асимпто-
асимптота вверх.
lim J(x)= Hm 43^=0,
У\
так как показатель
—>• ^
т.е.
4+с
= 0.
Итак, Х2 = 3 есть точка разрыва	рис> 5.20
второго рода. Для построения графика
интересно знать поведение функции вдали от точки разрыва.
1
Для этого найдем lim f(x) = lim 43^ж = 4° = 1, т.е. прямая
ж-->оо	ж-->оо
у = 1 является горизонтальной асимптотой графика в обе сто™
роны, рассмотренной функции (рис. 5.20).
Упражнения
Найти следующие пределы.
1. lim
2. Hm
3. lim
ж—>оо
4. Hm (cos 2x) sin2
5. Hm ( \/ж3 — х2 — \/х3 — х
7. Hm ж[1п(ж + 5) — In ж].
6. Hm
7Г
8. Hm
cos ж — cos Зж
ж	ж
z^2" sin — — cos —

134	функции	гл. v
9. lim (^^) !—^. 10. lim '
ж-чоо V 7 - ж / ж2	ж^О ж sin 2ж
11. lim
1пCж2 + х + 1)
Исследовать на непрерывность и построить графики следую™
щих функций.
12. у= JM.
ж2 - 2х - 3
Ответы
1. 3. 2. -. 3. оо. 4. е™2. 5. -i. 6. 1. 7. 5. 8. -4\/2. 9. е.
4	з
10. - . 11. 2. 12. ж = 0 — точка разрыва первого рода. 13. х =
4
= 0 — устранимая точка разрыва. 14. х = 1 — точка разрыва
второго рода. 15. х = 3 — точка разрыва второго рода, х = — 1 —
устранимая точка разрыва.

ГЛАВА VI
ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ
§ 1. Понятие комплексного числа
1°. Комплексные числа появились из необходимости решить
любое квадратное уравнение, в частности уравнение ж2 + 1 = 0.
Обозначим через г символ, квадрат которого равен — 1, т.е.
г2 = —1. Тогда % = у/^1, г2 = —1, г3 = —г, i4 = 1, i5 = г, и т.д.
Символ г называется мнимой единицей. Введение мнимой еди™
ницы позволяет решать уравнения, которые раньше были нераз™
решимы, в частности квадратные уравнения с отрицательным
дискриминантом.
Пример. Если ж2 + 1 = 0, то ж = ±г. Если (х + 2J + 9 = 0,
то (х + 2J = —9, а тогда х + 2 = ±3г или ж = ^2 ± Зг.
2°. Числа вида z = a + ib, где аиб- действительные числа,
а г — мнимая единица, называются алгебраическими комплекс-
комплексными числами. При этом а называется действительной частью
z (пишут а = Re z), а Ьг — мнимой частью z, Ь — коэффициент
при мнимой единице г (пишут Ь = Im z).
Числа z = a + biw~z = a^bi называются взаимно сопряжен-
сопряженными. Число z = а + Ы равно нулю, если а = 0 и Ъ = 0.
Два числа z\ = а\ + 5ii и Z2 = «2 + &2^ называются равными,
т.е. z\ = ^2 если ai = п2 и Ьх = Ь2-
Упражнения
Репгить уравнения:
1. ж2 + 4ж + 5 = 0. 2. Зж2 + 2х + 5 = 0. 3. 2ж2 + гх + 1 = 0.
4. Зж2 + 2гж + г = 0. 5. 2ix2 + ж - 1 = 0. 6. гж2 + 4х + 2г = 0.
7. ж2 - 4гж + 5 = 0.
1. ж = -2 ±г. 2. х = -- ± -
. 6. B ± уо)г. 7. жх =
= —г,

136
ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ
ГЛ. VI
§ 2. Геометрическое представление комплексных
чисел. Тригонометрическая и показательная
формы комплексного числа
1°. Число z = а + гЪ можно изобразить точкой на плоскости
с координатами (а, ft). При этом действительные числа z = a
(для них Ъ = 0) лежат на оси Ох, а мни-
мнимые числа z = Ы (для них а = 0) лежат
на оси Оу.
Поэтому ось Ох называется дей-
действительной осью, а Оу — мнимой
осью. Числу z = 0 соответствует начало
координат О@; 0).
2°. Положение точки (a, ft) можно за™
дать также при помощи полярных коор-
координат ((р,г). При этом (р называется ар™
гументом числа z и обозначается argz,
ь
0
г
i
i
i
i
а
X
рис>
у
аг~ модулем числа z и обозначается г = \z\ (рис. 6.1).
Имеют место формулы (см. гл. II, § 2).
а = г cos (f
b = г sine/?,
При этом, если z ф 0, то —тг < argz ^ тг (иногда удобно
считать, что 0 ^ ср < 2тг).
Примечание. Для числа z = 0 величина argz не опреде™
лена. Это равносильно тому, что числу z = 0 могут соответство-
соответствовать бесконечное множество аргументов, т.е. —тт < argO ^ тг.
3°. Приведенные формулы позволяют записывать алгебра™
ическое комплексное число z = а + Ы в тригонометрической
форме:
z = r (cos (р + г sin <^)) = |z| (cos (arg z) + i sin (arg z)).
4°. Приняты обозначения (это формулы Эйлера):
(cos ip + i sin ip = ег(р
cos <? — г sin ер = е^г
Тогда запись z = re^ =
формой комплексного числа.
cos ф —
или
2г
e*argz называется показательной

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ 137
Пример. Для алгебраического числа z = ^3 + 4г имеем:
а = Re z = -3, Ь = Im z = 4, \z\ = л/32 + 42 = 5 (рис. 6.2),
/ 4 \	4
arg z = тг + arctg I	1 = тг — arctg - ,
г /	4\	/	4 М
— 3 + 4г = 5 cos ( тг — arctg - 1 + г sin ( тг — arctg - 1 =
= 5 — cos f arctg - 1 + г sin I arctg - ) •
Любое из этих равенств может быть принято в качестве три-
гонометрической записи комплексного числа
первого получаем показательную запись
= ^3 + 4г, а из
Примечание. Ввиду периодичности
косинуса и синуса (с периодом 2тт) принято
обозначение Arg z = arg z + 2ттп = (p + 2тт,
где п — произвольное целое число.
Это означает, что числу z ф 0 со-
сопоставляется бесконечное множество аргу-
аргументов или тригонометрических углов, как
это принято в тригонометрии.
Рис. 6.2
При этом argz представляет собой частное значение Argz,
получаемое при п = 0 и argz называется главным значе-
значением Argz.
Таким образом,
z = \z\ [cos (Arg z) + i sin (Arg z)] =
_	iArgz _ Jargz
— aj cs	— ^ o
Пример. Для числа z = 1 — г
имеем (рис. 6.3): а = Re z = 1,
b = Im z = — 1, r = \/2, arg z =
= arctg (—1) = — - , Argz = — - + 2тгп,
4	4
1 — г = \/2 cos [ — - ) + г sin [ — -
L V 4 /	\ 4
0
-1
l-i
Рис. 6.3
Упражнения
Каж:дое из данных чисел представить в трех формах: алгеб-
алгебраической, тригонометрической, показательной.
1J-л/Зг. 2Kг. 3)-5. 4) ^2+i 5) — 1 + л/Зг. 6)г-л/3.
7) -2г. 8M + 2i 9) г - 1. 10J + 21
Каж:дое из этих чисел изобразить точкой на плоскости.

138	ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ	ГЛ. VI
§ 3. Арифметические действия с комплексными
числами
1°. Арифметические действия с комплексными числами, за™
данными в алгебраической форме, выполняются как с выра-
выражениями, содержащими букву г. При этом действие считается
выполненным, если результат имеет вид алгебраического ком™
плексного числа, т.е. а + Ы.
Отсюда следует, в частности, что
(а\ + Ъ\г) ± (а2 + Ъ2г) = (а\ ± а2) + (fti ± b2i),
т.е. сложение и вычитание выполняются «покомпонентно».
Пример.
B + Зг) + C - 4г) = 5 - г, B + Зг) - C - 4г) = -1 + 7г.
При умножении комплексных чисел следует учитывать, что i2 =
= -1, i3 = -г, i4 = 1.
В частности, произведение двух комплексно сопряженных чисел
есть действительное число.
(а + Ы)(а — Ы) = а + Ь , т.е. z -~z = \z\ , a |^| — v^-
Пример.
B + Зг)C - 4г) = 6 + 12 - 8г + 9г = 18 + г,
B + Зг)B - Зг) = BJ - Ci2) = 4 + 9 = 13.
При делении комплексных чисел приходится умножать числи-
числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знамена™
телю.
Пример.
2	+ 3i _ B + Зг) C + 4г) _ 6 - 12 + 8г + 9г _ - 6 + 17г _ _ 6 17 .
3	- 4г	C - 4г) C + 4г)	9 + 16	25	25 25
2°. Возведение в целую степень комплексного числа удобнее
выполнять в показательной форме (мы используем действия со
степенями в символической форме)
Из этого равенства следует, что при возведении в целую степень
п комплексного числа:
его модуль возводится в эту степень,
его аргумент увеличивается в п раз.

§ 4	ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЯ ИЗ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА	139
Пример. Найдем A + i) • Имеем: |l + i| = л/25
arg(l + г) = arctgl = -. Следовательно, 1 + г = \/2ег,
A + г) = ( л/2е 4г) = 4еш = 4 (cos тт + г sin тг) = —4.
Примечание. При возведении в степень п можно исполь™
зовать формулу бинома Ньютона, но при больших п эта форму-
формула громоздка. Сравним,
4 • 3 -2 4 • 3 • 2 «я -4
1-2	1-2-3	~~	~~
Упражнения
Выполнить действия:
1. ±. 2. i^i. 3. —?—. 4. A + iV3K. 5. C - 2iJ.
г	1 + i	1-Зг	V	;	V	;
6. A + if. 7. i^ . 8. (a + 6iK - (a - ЫK.
v	7	4 + 3i	V	7 V	У
Решить системы уравнений (ж, у Е 1?):
f Ci)x + D
{ D + 2г)ж - B + Зг)у = 5 + 4г.
10 { B + г)ж + B-г)у = 6
| C + 2г)ж + C - 2г)у = 8.
ж + уг — 2z = 10
11. { x-y + 2iz = 20
гх + 3iy - A + i)^ = 30.
Ответы
1. -г. 2. -г. 3. i + -г. 4. -8. 5. 5 - 12г. 6. -2 + 2г
5 5
7. ^ - —г. 8. 2bCa2^b2)i
25 25	V	7
§ 4. Извлечение корнм из комплексного числа
1°. Пусть п — целое положительное число, п ^ 2. Если г >
> 0, у? Е (—7г,тг], fc = 0,1, 2,... п — 1, то комплексные числа
ujk = ^/гег п различны и имеют одинаковую n-ю степень

140
ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ
ГЛ. VI
(см. п. 2°, § 3):
Пример. Если п = 4, к = 0,1,2,3,
4
= е"
то
e2k7Ti = 1. При этом
о;0 =
= е2г = г, cj2 = еш = -1, cj3 = е 2 г = -г
и каждое из этих чисел представляет одно из значений д/Т.
2°. Корнем степени п из комплексного числа z называется
каждое комплексное число а;, такое что шп = z. Шз п. 1°следует,
что существует множество, совокупность {ш^} ,fc = 0,l,...n — 1,
состоящая ровно из п различных чисел, таких что ш^ = z.
Эти числа вычисляются по формуле
o;fc = {/re те 5 гДе г = РЬ ^ = arg^5
а у/г — известный арифметический корень степени п из поло™
жительного числа г.
Пример. Найдем у/1.
Имеем: z = г,
= 1, argz = — , г = е2%. Тогда ш^ = yi =
з г? fc = 0,1, 2. Отдельные значения а;^ имеют вид
7*	7Г . . . 7Г	л/3.1.
= е о = cos - + г sin - = — + - г;
6	6 2 2'
5тт .
-Гг 5тт . . .	5тг л/3	. 1 .
= е 6 = cos — + г sin	—	= — ^^	+ - г:
6	6 2	2'
9тг . Зтг .
"ТГг	"Т"г	Зтг ... Зтг
= е о = е 2 = cos — + г sin — = —г.
2	2
Предлагаем убедиться самостоя-
самостоятельно В ТОМ, ЧТО U)q = U)f = UJ2 = i
(делать это рекомендуется в алгеб-
алгебраической форме, возводя в куб по
известной формуле сокращенного
умножения).
Примечание. Пусть z ф 0 данное
комплексное число, п — целое положи-
положительное, п > 2. Тогда числа ш^ = y/z
расположены в вершинах правильного
п-угольника, вписанного в окружность

ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЯ ИЗ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА	141
радиуса R = y\z\. Одна из вершин этого многоугольника рас™
положена на луче, образующем с осью Ох угол — argz.
п
Пример. Числа \fi являются вершинами правильного тре-
треугольника a;oo;ia;2 (рис. 6.4).
Пример. Даны числа:
z\ = 2 — i, Z2 = — л/7 cos ( arctg — J + г sin ( arctg —
L V 2 /	V 5
Требуется:
1)	данные числа записать во всех формах;
вычислить:
2)	^,3L*, 4) 4 5) \/*i*2*3*4-
Решение. 1) Вычисляем:
a) \z\ | = д/4 + 1 = л/5? arg zi = arctg f	1 = — arctg - ,
z\ = V^ cos f — arctg - J + г sin ( — arctg - 1 =
= л/5 [cos (arctg -} - isin farctg -I = \/5e™iarctg 2 .
б) Вычислим cos I arctg — J и sin I arctg — 1. Положим
arctg — = а. Тогда a E ( 0, — j и tga = — . Следовательно,
cos a =
Тогда ^ = -
:3 =
в) ^3 = —2\/3 A — г), |^з| = 2л/б,
= тт — arctg 1 = — ,
принадлежит четвертой четверти: argZ4 = ^2 arctg— Е
9
€ f- - , oV так как - arctg ^ G (- - , 6), — < 1.
V 2 /	2	V 4 / 2

142	ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ	ГЛ. VI
2 arctg — 1 и sin ( 2 arctg — 1. При™
нимаем а = arctg — , т.е. tga = — иаЕ ( 0, - 1. Тогда cos 2а =
= l^tg2a = ^^ = 1 sin2a = 2tga = ^^
l + tg2a 1+з 7'	l + tg2a 1+з
4	4
^	1/1 4^3 Л 1 -
Следовательно, za = 	== - — 	г =
14^30 V 7	7 )
14^30 V 7	1 )	98^30
2) ^ = ^ =
- 2 ¦ 3 - АлДг ^2'Ш _ 4^3 ^6 4^3 + 6 .
4+3	7	7
3)	г| . *1 = (-2- V3iJB^i) = D + 4>/Зг - 3) B - г) =
= A + 4\/Зг) B-г) = 2 + 4>/3 + 8>/^г-г = B + 4>/3) + (8л/3-1)г.
4)	з|=(-2\/3A-г)) =B\/бе"ГМ =32-36л/бе"Г = 1152>/бе"Г*.
5)	Чтобы найти y/ziz^z^z^ представим сначала подкоренное
выразсение в показательной форме:
14V^0
/Зтг
1 /Зтг	+ 1 , oi
7 ^T^arctg7j+2fc'
Следовательно, \Z^i^2^3^4 = е4 ^ 4 arc g 2 /г? г = 0,1, 2, 3.
Упражнения
1. Данные числа записать во всех формах — в алгебраиче™
ской, тригонометрической и показательной1):
a) z = — sin — +г cos - ; б) z = 4 + Зг;
8	8
в) z = —2 + 2\/3i;	г) 2: = — cos - + г sin - ;
5	5
д) z = 1 — sin a + г cos а|0<а< - 1.
2. Найти степени данных чисел:
(^\ 40
1 + г^З \
ГЙ
г) Здесь и в последующих примерах мы указываем не все варианты от-
ответов.

§ 5	РАЗЛОЖЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНОЙ ДРОБИ НА ПРОСТЕЙШИЕ	143
3.	Найти все значения корня из данного числа и привести их
геометрические изображения:
a) tfl^i; б) ^1; в) ^Ц; г) \/2 -
4.	Вычислить:
1 + 1	^L
+	_^	L_
C-гJ C + гJ' C-гJ C + if '
5. Решить уравнение
(-1 + i) z2 + G + Зг) г - Юг = 0.
Ответы
Т' )	iarctgt; в) г = 4е1Р; Г) г = е!Р;
д) г= ^/2(l-sina)-e(f+f)i. 2. а) 260; б)
Ч 4А ± ^ ; в) ±
г)±(д/3-г). 4.—; — . 5. -1 - Зг;-1 - 2г.
; l	;	25 25
§ 5. Разлож:ение рациональной дроби на простейшие
1°. Простейшими дробями называются следующие дроби:
А.	/т	\
^-^ (I типа),
х — а
	 (II типа, если к > 1 — целое),
(х — а)к
Лх + В (III типа, если D = б2 - 4ас < 0),
ах2 + Ьх + с
	Ах + В	 (IV типа, если к > 1, D < 0).
(аж2 + Ьж + с)к
2°. Рациональной функцией (дробью) называется отношение
Р (х)
двух многочленов: R(x) = nl ; .
Qrn(x)
Если степень п числителя Рп меньше степени т знаменателя
Qm, то такая дробь называется правильной.
Например.
1	х2 + Зх - 7	х3 + 2х 1	2
^2J (ж ^1H + 2L' ж4^Зж + 1' ж' ж2+ 2
т.д. — правильные рациональные дроби.
Если степень числителя больше или равна степени знамена-
знаменателя, то дробь называется неправильной.
(ж^1)(ж + 2L	ж^2	ж4^Зж + 1	ж2+ 2
	—	— ,		,		,		 — неправильные
ж2 + Зж - 7	2ж	ж3 + 2ж	ж2 + 20
дроби.

144	ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ	ГЛ. VI
Теорема 1. Каждая неправильная дробь равна сумме мно-
многочлена и правильной дроби.
Этот многочлен называется целой частью дроби и получа™
ется делением числителя на знаменатель в столбик (уголком).
Пример 1.
+2х ^Г
-15х -35
+34
Результат запишем в виде
Зж5 + 4ж3 + 2ж - 1 о 2 с i - 21х<2 + 17ж + 34
ж3 + Зж + 7	ж3 + Зж + 7
3°. Теорема 2. Правильная рациональная функция —^
представляется единственным образом в виде суммы простей-
простейших дробей по следующему правилу:
1)	Многочлен Q(x) следует разложить на простейшие мно-
множители.
2)	Каждому множителю Q(x) вида (аж + Ь) (к ^ 1) сош>
ставляется сумма из к дробей:
Al _|_ 	^Н	 _|_ . . . _|_ 	А±
ах + Ъ (ах + ЬJ	(ах + Ъ)к '
3)	Каждому множителю Q(x) вида (аж2 + Ъх + с) (к ^ 1 и
D < 0) сопоставляется сумма к дробей вида
аж2 + Ьх + с (аж2 + Ьж + сJ	(аж2 + Ьх + c)fc *
4)	Неизвестные коэффициенты числителей вычисляются ме-
методом «неопределенных коэффициентов».
Он, этот метод, вытекает из следующих теорем.
Теорема 3. Две рациональные функции считаются равны-
равными, если они имеют одинаковые числители и одинаковые зна-
знаменатели.
Теорема 4. Два многочлена считаются равными, если они
имеют одинаковые степени, а их коэффициенты при одинако-
одинаковых степенях равны меэюду собой.
Теорема 5. Два многочлена одинаковой степени п равны в
том и только том случае, когда они принимают равные зна-
значения в системе из п+1 различных точек.

РАЗЛОЖЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНОЙ ДРОБИ НА ПРОСТЕЙШИЕ	145
Пример 2. Разложить на простейшие дроби:	.
( )(	)
Решение. Имеем:
1	_ А	Вх + С _ А(х2 + 1) + (Вх + С){х + 1)
(ж + 1H2 + 1) ~ ж + 1	ж2 + 1 ~	(ж + 1)(ж2 + 1)
Применим теорему 3. Приходим к равенству 1 = Ах2 + А +
+ Вх + .В ж + Сх + G (знаменатели равных дробей одинаковы).
А теперь применим теорему 4 — приравниваем коэффициенты
при одинаковых степенях многочленов из правой и левой части
от знака равенства. В правой части имеем многочлен второй сте™
пени. Считаем, что в левой части имеем тоже многочлен второй
степени с равными нулю коэффициентами при положительных
степенях переменной х. Соответствующие равенства записыва™
ем в виде
2(А + В + С) =
Ответ.
Пример 3.	Разложить на простейшие дроби:
1
Решение. Согласно теореме 2 имеем разложение
1
\2 ,
= А ] В ] С	] D ] Е	] F
ж + 1 ж + 2 О + 2J (ж + 3) (ж + 3J (ж + 3K
Правую часть этого равенства приводим к общему знаменателю.
Согласно теореме 3 приходим к равенству
1 = А [х + 2J (х + ЗK + В (х + 2) (х + 1) (х + ЗK +
+ С (ж + 1) (ж + ЗK + +D (ж + 1) (ж + 2J (ж + 3J+
+ Е(х + 1){х + 2J{х + 3) + F(x + 2J(х + 1).
Неизвестные коэффициенты найдем, сочетая теоремы 4 и 5.
Сначала действуем при помощи теоремы 5.
1)	Положим ж = -2 в полученном равенстве. Получаем ра™
венство 1 = —С (все слагаемые правой части, кроме одного,
обращаются в нуль). Отсюда С = — 1.
2)	Положим теперь х = — 1: 1 = 8А Получаем А = - .

146	ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ	ГЛ. VI
3)	Положим х = -3, -2F = 1, F = - -.
4)	Положим х = 0: 1 = 108 А + 54В + 27G + 36D + 12Е +
+ 4.F => 54В + 36D + 12Е = 16, 5. Это уравнение будет исполь-
использовано ниже.
С учетом полученных коэффициентов, для определения
остальных, используем теорему 4.
5)	Приравниваем коэффициенты обеих частей при ж5 и ж4:
х4 : 0 = 13А + 12В + С + 11D + Е ^ 12В + 11D + Е = - - .
8
54В + 38D + 12?^ = 16, 5
6) Из системы < В + D = — -	находим:
4 '
Ответ.
2	1	17
(Ж + zj	о (Ж + о) 4 (^Ж + о)	z (Ж + о)
Замечание. В дальнейших примерах мы опускаем дей™
ствие раскрытия скобок в числителе правой дроби. Поиск ко-
коэффициентов при тех или иных степенях переменной выполня-
выполняются, как правило, устно.
Пример 4.	Разложить на простейшие дроби
2х4 - 13ж3 + 32ж2 - 24ж + 1
х3 — Ъх2 + 6ж
Решение.
1) Данная дробь неправильная, поэтому сначала выделим
целую часть.
х3 - 5ж2+6ж
2ж4-13ж3+32ж2-24ж+1
2ж4-10ж3+12ж2	2ж-3
-Зж3+20ж2-24ж	+1
-Зж3+15ж2-18ж
5х2 -6х	+1
т-г	2х4 - 13ж3 + 32ж2 - 24ж + 1 о о , Ъх2 - 6ж -
Получили ^^^^^^^^^^^^^^^^^ = ах — о +
ж3 — 5ж2 + 6ж	ж3 — Ъх2 + 6ж

РАЗЛОЖЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНОЙ ДРОБИ НА ПРОСТЕЙШИЕ
147
2) Остается разложить на простейшие дроби из правой ча™
сти этого равенства, для чего предварительно ее знаменатель
разложим на простые множители.
5ж2^(
1
г-2)
А
х
В
х - 3
- Вж(ж - 2) + Сх(х - 3)
;)
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях числи™
телей в правой и левой дробях. Это приводит к линейной системе
из трех уравнений с тремя неизвестными А, В и С.
х2 :
х1 : -ЪА - 2В - ЗС = -6
х° : 6А = 1 ^ А = 1/6
2Л + 3G = —
6
2ж4 -
х3 —
-32^-24, + ! =2ж_3+^
28
6ж 3(ж - 3)
Ответ.
9
2(х - 2) '
Примеры с краткими решениями разберите самостоятельно.
Пример 5.
х _	х	_ А	Вх + С _
_ А(х2 + х + 1) + (Вх + С) (ж - 1)
~~	(ж- 1)(ж2 + ж + 1)
х2 : А + В = О
ж0 : Л - С = О
Ответ.
ж3 - 1 3(ж - 1) ж2 ¦
Пример 6.
В	Cx + D
X2 + X + 1
х(х + 1)(Сх + D) =

148	ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ	ГЛ. VI
Имеем:
Ответ.
X3
х2
хх
х°
х(х
:А +
:2Л4
:2Л4
: А =
1
+ 1)(х*
В
-1
-1
1
+
+
3-
3-
ж -
с =
f 1)
= 0
+1
= ;
1
i
ж
в
0 С
D
А
1
X + 1
= -1,
= 0,
= -1,
= 1.
1
Х2 + ж _|_ ! •
Упражнения
Разложить следующие дроби на простейшие.
1. 	^—	.	2.
(ж + 1K (ж -2)
3.	' 	-.	4.
(ж - IJ (ж - 2)
ж4 + 4ж3 + 11ж2 + 12ж + 8
ж3
2ж
ж3
ж3
(ж
+
2
—
2+2ж
Зж2 +
Ж2 +
-5ж +
2ж2 +
2ж2 +
+ 3J
5ж +
2
ж
•4
7
-1)
хь-
ж3
ж4 +
5
ж3 —
(х-
2ж3
ж4^
— 4ж
1 '
x-S
Ах2 -
2ж24
к+ 2)
8
- 4ж
-4ж -9
1) (ж + 3) (ж -
- Юж2 + Юж
4)'
-5
6.
8.
ж3 (ж - 2J	ж4 - 5ж3 + Эж2 - 8ж + 4
Ответы
9	119
1- ^ 	"	 + 	"	2 - 	^ + 	~
9 (ж + 1) 3(ж + 1)	(ж + 1)	9 (ж-:
Указание. Разло^сение имеет вид
А	В	С	D
ж + 1 (ж + 1J (ж + 1K х-2'
16
6(ж-1) 2 (ж + 1) 3(ж + 2)
х- 2 ж - 1 (ж - IJ *
4. х2 - х + л ' 2 ' 5
х х-2 ж + 2
ж + 1 (ж2 + 2ж + ЗJ *
Указание. 	 + 	 + 	7 — общий вид
ж + 1 ж2 + 2ж + 3 (ж2 + 2ж + ЗJ
разложения.

РАЗЛОЖЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНОЙ ДРОБИ НА ПРОСТЕЙШИЕ	149
с 1	х + /2	1	х Д
о.
Указание.
о 2
о» — —
х 8 (х + 2 + 2^2) 8 (ж + 2 - 2^2) *
9. I ¦ Х
х х-1 (х-1)
ю. 33 + 49 37
7 (ж™ 4) 12 (ж-1) 12 (ж+ 3)
4ж ж3 4 (ж - 2)
12. —-	?—=. + -

ГЛАВА VII
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 1. Определение производной
1°. Производная непрерывной функции у = /(ж) в точке xq
определяется по следующему алгоритму:
1)	Вычислить у о = /(жо) и у = /(ж).
2)	Составить приращение функции А у = Д/(жо) = /(ж) —
— /(жо), соответствующее приращению аргумента Аж = ж — жо-
3)	Составить отношение приращений — = Лж°/ =
= /(ж) - /(ж)
о™ 	 Хр*
4) Найти предел lim ^^1 = lim /(ж)'/(жо)
Д^О Ах	x^x
lim	.
Ах	x^xq х — Жо
Если предел существует и конечен, то он обозначается fr(xo)
и называется производной функции /(ж) в точке жо, а функция
у = f(x) называется дифференцируемой в точке жо-
2°. Если вместо фиксированной точки х® допускать перемен™
ную величину ж, то производная у = / (ж) = lim
v f(x +Аж) - fix) r	,
= lim ^^	—^^^ оудет функцией от ж.
А^О	Аж
Число ff(xo) можно получить также подстановкой х = xq в
выражение для ff(x) и обозначить это так: /; (жо) = /; (х) \х=х0 •
Пример 1. Если у = С (С — константа), то Ау = 0 и
у' = (С)' = о.
Пример 2. Если у = ж, то Ау = Аж и, следовательно,
у1 = 1.
Пример 3. Если у = cos ж, то Ay = cos(x + Аж) — cos ж =
о . Аж . / , Аж
= —2 sin — • sin x + —
2	V	2
/ 	 / у
Аж
л sin 		у Л \
= lim — = — lim —Л 2	• lim sin (ж + — | = —sinж.
Аж Аж^О Аж	Аж^О V 2 /
2

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
151
Следовательно, (cosx); = ^sinx. В частности,
cos;0 =
х=0
= -sinO = 0.
Упражнение. Найти по определению производные функ-
функций:
1) tgx, 2) у = ах, 3) у = ех, 4) у = ж3, 5) у = sinx, 6) у = In ж,
7) у = х2 + 4ж + 2.
§ 2. Геометрическая, механическая и экономическая
интерпретация производной
1°. Выясним геометрический смысл отдельных пунктов опре™
деления производной, исходя из рисунка, где изображен график
Г возрастающей функции, а Ах — положительно. Ах = АВ,
Afix®) = BJVL J v 7 = ^^ = tga — угловой коэффициент се™
Ах	АВ
кущей AM, проведенной через фиксированную точку А(х®; уо) и
переменную точку М(х\у) =
= M(x;f(x)). При х —>- х® или
Ах —)> 0 точка М(х;у) прибли™
ж:ается к А вдоль Г, а секущая
AM превращается в касательную
t с угловым коэффициентом tg a®
(рис. 7.1):
уь
tg «о =
tg a =
Ах
Рис. 7.1
Вывод: существование про-
производной /; (xq) равносильно су™
ществованию касательной i к Г в точке А(хо;уоI и ff(x®) =
= tg «о выражает ее угловой коэффициент. Уравнение касатель™
ной t имеет вид
(ж - ж0), к = ;
(*) : У = 2/о +
2°. Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания
А(хо:уоI называется нормалью к кривой Г. Уравнение нормали
п имеет вид
(п) :у = у0- j(x- ж0), к = f(x0).
К
3°. Если S = S(t) — путь, пройденный материальной точкой
М за время t, то AS = iS(t + At) — S(t) — путь, пройденный М
за время At, — — средняя скорость движения за время At, a

152	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ	ГЛ. VII
д о
производная S'(t) = lim — — мгновенная скорость точки М
w At^o At
в момент времени t.
4°. Пусть /3(х) обозначает прибыль, полученную в резуль™
тате вложения в данное производство х денежных единиц (д.
ед.). Дополнительное вложение h д. ед. изменит (увеличит или
уменьшит) прибыль на /3(х + h) ~~ f3(x). Тогда прибыль на одну
д. ед. вложения равна —	—?-^-. При достаточно малом а
h
он \ т в(х-\-h) — в(х) ои \	I-,
приходим к р (ж) = lim v ; v 7 , р (ж) — коэффициент из™
/>0	h
менения прибыли, показывающий динамику ее изменения; /3f(x)
называется маргинальной прибылью, соответствующей затра™
ченной сумме х.
Пример 1. Составить уравнение касательной прямой и
нормали к параболе у = х2 + 4х + 2 в точке ЛA, 7).
Решение. Точка АA,7) лежит на параболе. Находим у1 =
= 2ж + 4 и у1 {!) = 6. Следовательно (см. п.1°) уравнение каса-
касательной имеет вид у = 7 + 6(ж — 1), т.е. у = 6ж + 1, а уравнение
нормали (см. п. 2°): у = 7 — - (ж — 1), т.е. ж + 6у — 43 = 0.
Пример 2. Составить уравнение прямой, проходящей че-
через точку i?(—1, 2) касательно параболе у = х2 + 4х + 9.
Решение. Точка В(—1,2) не лежит на параболе, поэто-
поэтому способ, приведенный выше, неприменим. Обозначим через
Мо(ж(Ы/о) ТОЧКУ касания искомой касательной с параболой. То-
Тогда ко = 2жо + 4 — угловой коэффициент этой прямой и |/о = 2 +
+ Bжо + 4)(жо + 1) — равенство, означающее, что прямая, каса™
тельная к параболе проходит через точки i?(—1,2) и Мо(жо,|/о)?
а уд — жо ~1~ ^жо + 9 — равенство, означающее, что Mq ле^ит на
параболе. Из этих двух уравнений находим: x'q + 4xq + 9 = 2 +
+ 2жд + бжо + 4, т.е. х^ + 2жо ^3 = 0. Отсюда х® = 1 или жо = ^3;
уо = 14 или |/о = б. Таким образом, точками касания на парабо™
ле могут быть MqA, 14) или Mq(—3,6). Уравнения касательных
можно составить по двум точкам АМд и AMq. Сами уравнения
имеют вид: у = ^2ж, у = 6ж + 8.
Упражнения
Составить уравнения касательных и нормалей к данным кри-
кривым в данных точках.
1.у = х3, ,4A,1).
2.	у = ж2 + 5, АB,9).
3.	у = sin ж, у4(тг, 0).

§ 3	СВЯЗЬ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ С НЕПРЕРЫВНОСТЬЮ	153
Составить уравнения прямых, проходящих через данные точ™
ки и касающиеся данных кривых.
4.	В@,-2), у = х2 + х-1.
5.	В@,-1), у = -х2-х-2.
6.	ВA,9), у = 2ж2 + Зж + 10.
Ответы
1. Зж - у - 2 = 0, ж + Зу - 4 = 0. 2. у = 4ж + 1, ж + 4у - 38 = 0.
3. у = тг^ж, у = х — тг. 4. у = Зх — 2. 5. у = —Зж —1. 6. у =
§ 3. Связь дифференцируемости с непрерывностью
1°. Напомним: функция, имеющая конечную производную
в данной точке, называется дифференцируемой в этой точке, в
противном случае — недифференцируемой.
Теорема. Если функция дифференцируема в данной точке,
то в этой точке она непрерывна.
Из существования lim —^ = f (х) следует, что lira Ay = 0
Дж^О Ах	Дж^О
(непрерывность), так как в противном случае ff(x) = oo либо не
существует.
2°. Функция, непрерывная в данной точке, не обязательно
дифференцируема в этой точке.
Пример 1. Найти производную функции у =
ж в точке
х = 0.
Решение. Действия алгоритма с учетом уд = у@) = 0 при-
приводят к у1 = |ж ; = lim	, которой не существует (при Ах >
Дж^0 Дж
> 0 этот предел равен 1, а при Аж < 0, он равен — 1).
Функция у = |ж| не дифференцируема в точке х = 0
(см. § 1 гл. V).
Пример 2. Найти производную функции у = д/ж в точке
ж = 0.
Решение. Функция определена только при х ^ 0, поэтому
Аж молено брать только > 0.
Имеем yf@) = (у/х) | _0 = lim 	 = lim 	 = +оо.
Функция |/ = у^ имеет в точке ж = 0 бесконечную про™
изводную. Считается не дифференцируемой в этой точке. Ка™
сательная к графику Г — перпендикулярна к оси Ох. График
см. 8 1 гл. V.

154	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ	ГЛ. VII
3°. Функция, дифференцируемая в каждой точке данного
интервала, называется дифференцируемой в этом интервале.
Функция с непрерывно изменяющейся производной (касатель™
ной) называется гладкой.
График функции у = |ж| не гладкий при х = 0 (имеет угол).
Упражнение. Установить, дифференцируемы ли функ™
ции у = /(ж) в точке xq:
1) У = &х, х0 = 0; 2) у = \х ^ 1|3, х0 = 1; 3) у = жЗ,
5	3
ж0 = 0; 4) у = жз, ж0 = 0; 5) у = ш5, xq = 0.
§ 4. Таблица производных и правила
дифференцирования
1°. Дифференцирование основных элементарных функций
осуществляется при помощи следующих формул:
)' = 0.	10)(tgaO'= -^-.
COS2 Ж
3)	(xm)f = тхт^г. 12) (arcsina;)' =	.
4)	(ахУ = axlna, 13) (axccosz)' = "* 2
5)	(ехУ = ех.	14) (axctgz)' = —— .
6)	(logax); = 	. 15) (arcctgx)' = —
ж In a
7)	(luxI = -.	16)
17) (M =- —.
— 1 — — —
. Xm J	X
xz
m
Формулы 16)—18) являются частными случаями 3). Все фор-
формулы необходимо знать наизусть.
2°. Функции, составленные из основных при помощи ариф™
метических действий (сложения, вычитания, умножения, деле-
деления) и композиции (функция от функции), дифференцируются
по правилам:
1. (С • f(x)) = С - f'{x) (С — константа, постоянная).

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ И ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 155
4. ( /(*) V _ f'(x)g(x)-f(x)g'(x)
KJLJ
В частности,
~g(x)J	g2(x)
5. Если f(u) и н = гх(ж) дифференцируемые функции, то
производная сложной функции (/ [ti(x)]); = fu [u(x)j • и'{х).
Пример 1. у = х10- ^ж5 + 7.
5
Применяем правила 1 и 2, и формулы 3) и 1): у' — (ж10) —
_ (Iж5)'+ G)'= Юж9- - • 5ж4 + 0 = Юж9 - ж4.
\ 5 /	5
Пример 2. у= v
Сначала преобразуем: у = л/х + 1 — ж™ 2.
Теперь дифференцируем, используя формулы 1), 16), 3) и
правила 1 ж 2: у = 	 + —== = —== .
2^ 2^ 2Д^
Пример 3. y = 2x
Имеем производную произведения (правило 3) функций, со™
держащихся в 4) и 9): у; = BЖ); cos х + 2х (cos хI = 2х In 2 cos x —
— 2х sin ж.
Пример 4. у = -^-—— (правило 4, формулы 10), 5), 16)).
л/х
Производная частного:
I
Пример 5. у = 	 (правило 4, частный случай, и
arccos х
формула 13)).
/ v VT^^J	1	1
(arccos жJ	arccos2 х • л/1 — х2 л/1 — х2 • arccos2 x
Пример 6. у = arctgу/х (правило 5, формулы 14) и 16))
Положим и = у/х. Тог^
Окончательно, у'и = —^^
Положим и = д/ж. Тогда у = arctg гг, у^ =	 , г^; = ^—
x)

156	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ	ГЛ. VII
	\
х + л/х2 + 1) •
Положим, |/ = Inn,, и = х + у'х1 + 1 и применим прави-
/г\ тт	/	1	I 1 I	2х	\	1
ло E). Получаем у = 	,	1 + —,	= /	.
W	х + л/x^Tl \ 2х/х^ТТ J V^TI
Пример 8. у = cos In ж. Обозначим у = cos г/, гх = In ж.
тт / . 1 1 sin In ж
Находим: у = — sin in ж • - = —	.
х	х
cos2 2ж
Пример 9. у =	. Дифференцируем частное двух
сложных функций:
(tg^2J
2 cos 2ж • (- sin 2x) • 2 tg x2 -
Пример 10. |/ = sin3 ж2 • arccos y/
Имеем дело с производной произведения сложных функций:
у1 = (sin3 х2)' • arccos л/х + sin3 ж2(arccos y/x)f =
= 3 sin2 ж2 • cos ж2 • 2ж • arccos л/х —
- х - 2л/х
п * 2 2	2	г~
= 6ж sin ж • cos ж arccos л/х — —
-х)
Примечание. При дифференцировании функций, состоя™
щих из большого количества множителей, или функций вида
у = (f(x))g^ рекомендуется предварительное логарифмирование.
п и	[x + 2f
Пример И. у=-	\ '
()( + )
Находим сначала In у, затем продифференцируем обе части
полученного равенства, причем левую часть In у (ж) — как слож™
ную функцию: In у = 21п(ж + 2) — 31п(ж — 1) — 41п(ж + 5) и - у' =
У
2	3	4 л ч/ 1 ,
; (In у) = - у — производная сложной
I/
; (In у)
ж + 2 х — 1 ж + 5	I/
(ж + 2J	/ 2
функции. Отсюда у1 =
Пример 12. у = A + х)х.
Берем логарифм обеих частей равенства у = A + х)х: \пу =
= х In (ж + 1). Дифференцируем: —у1 = In (ж + 1) + ^-^ . Отсюда
у	х + 1

ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ И ЕЕ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ
157
Упражнения
Найти производные у' следующих функций:
ж2^1
1. у = ^^— .
У ж2 + 1
2. у = л/х2 + 4ж + 3.
.	1 ,	1 + Ж , 1
4:. у = -In	 + - arete ж.
4 1-х 2
5- У=
sin ж — cos х
sin х + cos х
6. у = - C-х) л/1-х2 - 2х + 2
2
arcsin
V2
1	, 2ж - 1
arctg —г=-
X	X
tg - + ctg -
2L
ж
sin2 ж	cos2 ж
'¦tg#
8.	у =
9.	у =
1 + ctg ж 1 ¦
10.	у = 10xt^x
11.	у = (cosx)sma\
12.	i/ =
1. 1/ =
= ^. 5. у1 =
1 — ж4
ж + 2
4ж + 3
- 3. у =
6.
(sin ж + cos жJ
	 2 (ж cos ж + sin ж)
ж2 sin2 ж
= l(Ftga4nlO
1
COS Ж • In COS Ж —
/
. 12. у =
§ 5. Дифференциал функции и ее линеаризация
1°. Дифференциалом дифференцируемой функции у = f(x)
называется произведение ее производной на произвольное при™

158	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ	ГЛ. VII
ращение аргумента
dy = df(x) = f(x)Ax = у'Ах.
Для функции у = ж ее дифференциал равен
dy = d(x) = dx = 1 • Аж = Аж.
Дифференциал аргумента совпадает с его произвольным
приращением, поэтому дифференциал функции записывают в
виде
dy = df(x) = f(x)dx = у1 dx.
Пример. Если у = tg ж то dy = 	.
COS2 X
Из определения дифференциала функции можно записать
новое, формальное определение производной
/ dy w/ ч df(x) d ,( ч
Это обозначение принято в дифференциальных уравнениях.
2°. Из рис. 7.1 § 2 видно, что df(xo) = ВС — приращение ор~
динаты касательной при переходе точки ж от жо к жо + Аж. При
Аж —>- 0 дифференциал — бесконечно малая величина. Диф-
Дифференциал функции аппроксимирует приращение функции, т.е.
если Аж г^> 0, то А/(ж) ^ df(x) или /(ж + Аж) — /(ж) ^ ff(x) • dx.
Отсюда получаем приближенное равенство
/(ж + Аж) - /(ж) + f{x) * Ах, Ах - О,
которое называется линеаризацией функции /(ж) в точке ж. Гео™
метрически это означает замену дуги Г графика функции /(ж)
отрезком касательной прямой t, что возможно при достаточно
малых Аж.
3°. Линеаризацию функции в фиксированной точке жо можно
использовать в приближенных вычислениях
/(ж) ^ /(ж0) + /;(ж0)(ж - ж0), ж - х0.
Пример 1. Вычислить приближенно значение функции
/(ж) = Уж2 + ж + 3 при ж = 1,97.
Решение. Принимаем жо = 2. Тогда у® =/B) =\/22+2+3 = 3.
Далее,
/	2х-
У =
2л/х2 + ж + 3
Так как Аж = ж — жо, то Аж = —0, 03 и, согласно формуле п. 3°,
имеем у/1,972 +1,97 + 3 « 3 + - (-0, 03) = 2,975.

ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ И ЕЕ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ
159
Пример 2. Вычислить приближенно увеличение объема
цилиндра с высотой Н = 40 см и радиусом основания R = 30 см
при увеличении радиуса на 0, 5 см.
Решение. Объем цилиндра V при постоянной высоте Н и
переменном радиусе ж есть функция от ж: V = тгНх2. При х =
= R = 30 имеем V = ЗбОООтг. Приращение объема цилиндра
заменим его дифференциалом
3).
^dV = 2тгНх • Дж = 2тг • 40 • 30 • 0, 5 = 1200тг.
Ответ. AV = 1200тг, новый объем 37200тг см3.
Пример 3. Найти дифференциал функции у = ех (х2
Вычислить величину дифференциала в точке х = 0.
Решение. Имеем:
dy = y'dx = (ех(х2 + 3) + 2хех) dx = (ж2 + 2х + 3)exdx.
dy(O) = (ж2 + 2ж + 3)еж |ж=0 с!ж = Ых.
Упраж:нения
Найти дифференциалы функций:
1
3.
1
= in
2. у =
Зж3
1 + ж\4	1	х
^^ J	arctgж.
+ In \/l + х<2 + arctg ж.
= arctg - + In
ж
! + 1 + ж
Вычислить приращения и дифференциалы функций:
5.	у = 2ж2 — ж при ж = 1, Аж = 0, 01.
6.	у = ж3 + 2ж, ж = -1, Аж = 0, 02.
Вычислить приближенно:
7.	sin60°18'. 8. л/735. 9. tg46°. 10. In 1,07.
Ответы
1. dy =
. 2. dy =
dx. 3. dy =
cfcc. 4.
- 5. Ay = 0,0302, dy = 0,03. 6. At/ = 0,0988,
dy = 0,1. 7. 0,86863. 8. 3,0041. 9. 1,03553. 10. 0,0676586.

160	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ	ГЛ. VII
§ 6. Производные и дифференциалы высших порядков
1°. Предположим, что производная у1 = f'{x) функции у =
= f(x) есть дифференцируемая функция. Тогда ее производная
[у1I называется второй производной функции f(x) и обознача-
обозначается у11 = f"(x). Производные высших порядков определяются
последовательно: у = (yff)\yfv = [у'11I\ ..., и т.д. Обозначения
могут быть также: у^~\у^2\у^\ ..., г/71).
Пример. Если у = ж2 + 5ж-6, то у1 = 2ж + 5, у" = 2, уш = 0.
Если у = cos ж, то производную любого порядка этой функ-
функции найдем следующим образом:
у1 = (cos хI = — sin х = cos f x + — 1 ;
у" = — cos x = cos f x + 2 - 1 ;
yftf = sin x = cos ( x + 3 - 1 ;
V 2 \
V
|/IV = cos ж = cos ( ж + 4 —
у(п) = cos (x + n—\; n = 1, 2,3,...
2°. Дифференциалы высшего порядка определяются так:
dny = fM(x)dxn. Отсюда fM(x) = ^ = —
Пример. dn (cos x) = cos (x +
dx
—
Упражнения
Найти производные и дифференциалы порядка п G N.
! 2.е3х.	3. *2 + 2ж + 3, 4.
1.у
аж — 6
5. жа.	6. In 3^ж + 1. 7. sinax.	8. cos/Зж.
Ответы
1. |/W = (-1)п	—	. 2. у(п) = Зпе3ж. 3. |/ = 1 - —,
= A oy(n) = f^i^3^^ 4 t>) = f 1)^1 l-3-5---Bn-3)
2- •
5. |/W = а(а- 1) • • • (а-п+1)жа"п. 6. j/(n) = — (^)
33
7. уМ = an sin(aa; + - n). 8. y(n) = 0n cos(ax + n - ).

§ 7	ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОБРАТНЫХ ФУНКЦИЙ	161
§ 7. Дифференцирование обратных функций.
Дифференцирование функций,
заданных немвно и параметрически
1°. Пусть у = /(ж) — функция, определенная и непрерывная
на отрезке [a, ft] и /(а) = A, /(ft) = В. Если различным зыаче™
ниям ж Е [ft, ft] соответствуют разные значения у Е [А, I?] (или
I/ Е [В, А]), то функция у = /(ж) обратима, т.е. имеет обратную
функцию, обозначаемую х = (р(у). При этом, / [(р (у)] = у, а
х = ср (у) непрерывна на отрезке [А, В].
Пример 1. Функция у = ж2 обратима на каждом из двух
лучей (—оо,0] и [0,+оо). При этом х = — д/у, у Е [0,+оо) и
ж = д/у> У Е [0,+оо).
Пример 2. у = tg ж обратима в интервале (—-,-) или в
любом другом интервале ( — - + &тг, - + &тг1, где fc — фикси-
\ А	А	/
рованное целое число. При этом, х = arctgy или х = arctgy + fcTT,
у Е (-оо,+оо).
2°. Если различным значениям х Е [ft, ft] соответствует од-
одно значение у Е [Л, S], то функция у = /(ж) имеет несколько
обратных функций.
Пример 3. Непрерывная функция у = х2, х Е (—оо, +оо)
имеет две непрерывные обратные функции х = —у/у и х = у7^,
у G [0,+оо).
Пример 4. Непрерывная функция у = sin ж, ж G
Е (—оо, +оо) имеет бесконечное множество непрерывных обрат-
обратных функций х = (—l)warcsinf/ + тт, nGZ, у G [—1, 1].
3°. Если у = /(ж) дифференцируема на отрезке [a, ft] и
у;(ж) ^ 0, то обратная функция х = (р (у) также дифферен-
дифференцируема на [Д В] к
Пример 5. Пусть у = sin ж, ж Е — - , - . Тогда у1 = cos ж.
L А Л А
Для обратной функции х = arcsiny, у Е [—1, 1] имеем:
/	.	ч/	/	1	1	1	1	,- / 1 1\
(arcsiny) =х = — = — =	= ^— , у Е (-1, 1).
2/ cos ж у1- sin2 ж V! ~ 2/
Если ж = ± - , то (sin ж)'
= cos ж
^ =0. Поэтому
2	2
в соответствующих точках у = ±1 имеем: (arcsiny)'
2/=±1
= +СЗО.
J/=±l
6 К.Н. Лунгу, Е.В. Макаров

162	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ	ГЛ. VII
Пример 6. Пусть у = ж3, ж G (^оо,+оо). Тогда у1 = Зж2
и у' = 0 при х = 0. Для обратной функции х = ^*/у имеем ж; =
= -J= = +оо при |/ = 0 (i/@) = 0).
4°. Если у как функция от х задается соотношением F(x; у) =
= 0, то у называется неявной функцией от ж, в отличие от явного
способа задания у = f(x). Производная от у по ж при неявном
способе задания функции может быть определена дифференци-
дифференцированием выражения F(x\y) = 0 как сложной функции, счи-
считая у функцией от ж; решая полученное уравнение относите ль™
но производной у1, находим выражение производной от неявной
функции в виде у1 = /(ж; у).
Пример 7. Найти у', если Юж3 + 4х2у + у2 = 0. Найти
также уг при х = —2, у = 4.
Решение. Считаем, что у = у(ж). Продифференцируем ле-
левую часть данного уравнения как сложную функцию, прирав™
няем нулю полученное выражение и находим yf:
ЗОж2 + 8ху + 4x2yf + 2yyf = 0.
Отсюда yf =	. Подставляя х = —2, у = 4, получаем
2ж2 + у
Пример 8. Найти у\ если е^ + жу = е. Найти также i/@).
Решение. Дифференцируем обе части данного равенства,
имея в виду, что у = у (ж) : е^у' + (жу); = 0 или еуу' + у + ху' = 0,
откуда находим уг = — —У-— . В частности, если ж = 0, то у = 1
у()
е
Пример 9. Для функции у (ж), определенной неявно урав™
пением уех + еу = е + 1, найти у11.
Решение. После последовательных двух дифференцирова-
дифференцирований данного уравнения с учетом у = у (ж) получаем
у'ех + еху + еуу' = 0
у»е* + eV + еху + еху' + еу(у'J + еуу" = 0.
Из второго равенства находим
„ = _ 2еху1 + еху + еу{у1J
ех
Из первого равенства находим
у = -
ех _|_ еу

§ 7	ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОБРАТНЫХ ФУНКЦИЙ	163
и это подставляем в предыдущее равенство. После упрощения
находим
// = - 2е2ху (ех + еу) + еху (ех + еу) 2 + у2еуе2х
У	(ех +еУK
5°. Если функция у = у(х) задается параметрически, т.е. при
помощи двух функций х = x(t) и у = y(t) аргумента t, a x(t)
и у(?) дифференцируемые функции, то производную у' = у7 (ж),
обозначаемую еще у^., находим при помощи дифференциалов:
j = j =
х
dx{t) dx x'(t)dt xf(t) '
Вторую производную у" = у = —- можно найти при помо™
х dx2
щи одной из двух формул (они основаны на производной слож™
ной функции, дроби и обратной функции t'x = —):
x
Пример 10. Найти у1 и у!\ если х = arctgt, у = ln(l + t2).
Решение. Имеем: x'f = 	, yi = 	, у' = — =
1 +t2	1 + t2	x't
= 	 : 	 = 2t. При помощи первой из формул для у'^2
находим
I& = (у{I • t'x = Bt)' ¦ 1 = -?- = 2A + t2).
xt	j-
1 + t2
Пример 11. Найти f/;, если х = lnt, у = sin21
Решение. Для определения у11 будем использовать вторую
формулу. Сначала находим: х[ = - , х = — — , у[ = 2 cos 2t,
Следовательно,
- 4 sin 2t • - Н	• 2 cos 2t
у1'2 = 	4	f	 = -4t2 • sin2t + 2tcos2t.
Упражнения
Найти производные у' = — :
dx
1. ж3 + v3 — Заху = 0.

164
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
ГЛ. VII
2.	ху = arctg - .
У
3.	еу = х + у.
4.	х = е
6. ж = arccos
7.	у = (arctg x)a
8.	у = хх\
Найти производные любого порядка для следующих функций.
9.	у = еах.
10.	у = sin ах + cos Ьх.
11.	у = жеж.
12.2/ =
ах + 6
ж2 - 1 '
_ х - ay
ax — у2
= у A-х2-у2)
X ( 1 + Ж2 + у2)
Ответы
4. ж =
¦ + i/ — 1
t + i
-1
у = e2t
6.	у1 = — 1, при t < 0 или |/ = 1, при ? > О.
7.	у1 = (arctg ш)ж (In arctg x +	^
у	A + ж2) arctg ж
8.	у1 = жж2
9.	у(п) = апеах.
10.	|/(n) = an sin fax + — ) + bn cos (Ъх + — V
11.
12.
(ах + 6)n+1
2 \ (ж ¦

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 165
§ 8. Основные теоремы дифференциального
исчисления
1°. Точка xq называется точкой относительного максиму-
максимума (минимума) функции /(ж), если в некоторой окрестности
этой точки имеет место неравенство
f(x) < f(x0) (f(x)>f(x0)) при
х ф xq. Точки относительного /(ж)
максимума и минимума называются
точками экстремума^ а значения в
этих точках — экстремальными зна-
значениями.
На рис. 7.2 изображен график
функции с тремя экстремумами.
Рис. 7.2
Теорема 1 (Ферма). Если дифференцируемая функция f(x)
имеет экстремум в точке х®, то /;(жо) = 0.
В точке экстремума касательная горизонтальна, а для нее
k = tga = f'(xo) = O.
Теорема 2 (Роллм). Предположим, что функция f(x) не-
непрерывна на отрезке [щЬ], дифференцируема в интервале (a; ft)
и /(а) = f(b). Тогда существует хотя бы одна точка с Е (а; ft),
в которой ff(c) = 0.
Такая функция либо постоянная, т.е. f(x) = С, и тогда
f'{x) = 0, х Е [a, ft], либо имеет хотя бы одну точку экстрему™
ма cG (щ ft), и тогда /; (с) = 0.
Теорема 3 (Лагранжа). Предположим, что функция f{x)
непрерывна на отрезке [а; Ь] и дифференцируема в интервале
(щЪ). Тогда существует хотя бы одна точка с Е (щЬ) такая,
что f(b) — f(a) = ff(c)(b — а) или
fitc\ = № - f(a) m
b — а
Геометрически теорема 3 означа-
означает что на кривой существует хотя
бы одна точка, в которой касатель-
касательная параллельна хорде АВ, ff(c) —
ее угловой коэффициент (рис. 7.3).
Теорема 4 (Коши). Пусть /(ж) и g(x) — две функции,
непрерывные на отрезке [а; Ь] и дифференцируемые в интервале
(а;Ъ), причем gf(x) /0;iG (a;b). Тогда существует хотя бы
одна точка такая, что
№ - /(а) = Л^
g(b)-g(a) g'{c) '
Пример 1. Проверить, справедлива ли теорема Ролля для
функции f(x) = ж2 + 2ш + 7 на отрезке [^6, 4], и если да, то найти
соответствующее значение с.
J"
с Ь
Рис. 7.3

166	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ	ГЛ. VII
Решение. f(x) = х2 + 2х + 7 непрерывна и дифференциру-
дифференцируема на любом отрезке, в частности на [—6, 4] и /F) = /D) = 31.
Значит, f'{x) = 2х + 2 = 0 при некотором х Е (—6,4). Имеем
X = С = —1.
Пример 2. Найти точку с, о которой идет речь в теореме
Лагранжа, для функции у = х2 + 6ж + 1 на отрезке [—1,3].
Решение. Имеем у(-1) = -4, уC) = 28, А(-1,-4),
5C,28), клв = 	 = 8. Нам надо решить уравнение у1 =
3 + 1
= 2х + 6 = 8. Находим х = 1, т.е. с имеет координаты A,8).
Касательная в этой точке параллельна хорде АВ.
Упражнения
Проверить, справедлива ли теорема Рол ля для данных функ™
ций на данных отрезках и найти соответствующее значение С
(если оно существует).
1./(ж) = |ж-1|, [0,3].
2.	f(x) = s/aT+T, [-2,0].
3.	f(x) = x2, [-1,2].
Найти точку с, о которой идет речь в теореме Лагранжа, для
данных функций на данных отрезках.
4./(ж) = |я|-3, [-2,2].
5.	Дж)=ж3, же [-1,1].
6.	f(x) =x2 -6x + l, [0,1].
Ответы
1.-4. Нет. 5. ci - -= , -—р , С2 -р , ^^ . 6. с( - , — .
§ 9. Применение производной
А. Уравнения касательной и нормали к кривой
В § 2 приведены уравнения касательной (?): у =
+ kix — xo)^ к = ff(xo) и нормали (п): у = уо — - (ж —
к
к = / (ж0) к кривой у = /(ж) в точке А (ж0; |/о), уо = /(^о)-
Если кривая задана неявным или параметрическим образом,
то угловой коэффициент к = ff (x®) нужно искать как производ-
производную неявной или параметрически заданной функции.
Пример 1. Составить уравнения касательной и нормали к
кривой у = ж In ж, проведенных в точке с абсциссой ж = е.

§ 9	ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ	167
Решение. Имеем х® = е, уо — У (е) = е, у; = 1пж + 1, fc =
= У'(е) = 2,
(?): у = е + 2(х - е), (га): у = е- -(х-е) (см. §2).
1	Ч
Ответ, (i): у = 2х — е, (п): у = — - ж + - е.
Пример 2. Составить уравнения касательной и нормали к
кривой ж2 + Зу2 = 4, проведенных в точке с ординатой у = 1 и
отрицательной абсциссой.
Решение. При у = 1 находим ж = -1 и ж = 1. В задаче
идет речь о точке А{—1\ 1). Находим у; из уравнения х2 + Зу2 =
= 4. Имеем 2x+6y-yf = 0, отсюда у1 = — — , а значит, подставляя
32/
сюда ж = —1, |/ = 1, получаем к = yf = - .
о
Следовательно, (t): у = 1 + - (ж + 1), (п): у = 1 — 3(ж + 1).
о
Ответ, (t): у = -ж + - ; (п): у = —Зх — 2.
о	о
Пример 3. Составить уравнения касательной и нормали к
эллипсу х = 4cost, у = 3slnt, проведенных в точке, получаемой
при t = — .
Г
Решение. Имеем: xq = 4cos - = 2, уо = 3sin - = 3^;
о	о	2
У = -j- = —у— =-- ctgt; fc = ^--ctg^ =- — , Следовав
?	4 t	4	4	3	4
/,\ 3\/3 \/3 / с\\ / \	3\/3 . 4 / о\
телыго, (t): у = —	 (х - 2); (га): у = — + -= (х - 2).
2	4	2	уЗ
Упражнения
1.	Найти точки, в которых касательные к кривой у = Зж4 +
+ 4ж3 — 12ж2 + 20 параллельны оси абсцисс.
Указание. Найти точки, в которых у1 = 0.
Ответ, х = 0, х = 1, ж = —2.
2.	Написать уравнения касательных и нормалей к кривой
у = (х — 1)(ж — 2)(ж — 3) в точках пересечения с осью абсцисс.
A — х)
Ответ, у = 2ж ^ 2, у =	 ; у = ^х + 2, у = х — 2;
у = 2ж - б, у = C^ж) .
3.	Написать уравнения касательной и нормали к кривой х =
1+t	3 . 1
= 	, у = — + — в точке с прямоугольными координатами
B; 2).

168
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
ГЛ. VII
Ответ. 7х- 10у + 6 = 0,	у
Указание, х = 2 ш у = 2 при t = 1.
Рис. 7.4
Б. Исследование на монотонность и экстремум
1°. Предположим, что функция f(x) непрерывна в интервале
(а; Ь) и х\ и х2 — любые две точки этого интервала, причем
Х\ < Х2-
Функция f(x) называется в этом ин~
тервале:
—	возрастающей (не убывающей),
если f(xi) < f(x2) (f(xi) ^ f{x2))]
—	убывающей (не возрастающей),
если f(xi) > f(x2) (f(xi) > f(x2));
—	монотонной, если она либо возрас™
тает (не убывает), либо убывает (не воз-
возрастает) .
Например, функция у = ж2 в интервале (^оо; 0) монотонно
убывает, в @; оо) — монотонно возрастает, на (^оо; оо) не явля-
является монотонной (рис. 7.4).
Теорема 1. Если f (х) > 0 при х Е (щ ft), то f(x) монотон-
монотонно возрастает в этом интервале.
Если ff(x) < 0; х Е (а; Ь), пго f(x) убывает в этом интер-
интервале.
2°. Следующие две теоремы выражают достаточные условия
для того, чтобы данная точка х® была экстремальной для диф-
дифференцируемой функции f(x).
Теорема 2. Если при х < х® f {х) > 0, а при х > х® f {х) <
< 0, то х® — точка максимума функции f(x). Если при х < х®
ff(x) < 0, а при х > х® ff(x) > 0, то х® — точка минимума
функции f(x).
3°. Точки, в которых производная непрерывной функции
равна нулю или не существует, называются критическими. Точ-
Точки, в которых ff(x) = 0, называются стационарными.
Если непрерывная функция f(x) имеет экстремум в точке
жо, то эта точка — критическая для этой функции.
Теорема 3. Если х® — стационарная точка, то при
fff(x®) > 0, xq — точка минимума, а при //;(жо) < 0, х® —
точка максимума.
Пример 1. Исследовать на монотонность и экстремум
функцию f(x) = уж2(ж — 1).
Решение. f(x) определена при всех х Е R. По формуле
производной произведения fr(x) = п чгш (ж — 1) +
2 _

§ 9	ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ	169
х = - иж = 0- критические очки f(x). На верхней оси диа™
5
граммы (рис. 7.5) обозначено распределение знаков /;(ж), а на
нижней — поведение функции f(x)
согласно теореме 2.
Ответ. В интервалах (^oo;0)U
(о	\
-;+ooj f(x) монотонно воз- У / О
растает (f(x) > 0), в интервале	max ^ min	X
0; - 1 монотонно убывает, х = 0 —	Рис. 7.5
точка максимума с утах = 0, х = - — точка минимума с ут[п =
= -0,6^0Д6.	5
Пример 2. Исследовать на монотонность и на экстремум
функцию у = 2ж3 + Зж2 — 12ж + 1. Найти также наибольшее и
наименьшее значения этой функции
У^^+ _!	+^-	на отрезке [—1; 5].
Решение. Находим |/; и иссле™
дуем ее знак:
Рис. 7.6	Знаки у1 и область монотонно™
сти изображены на диаграмме
(рис. 7.6); х = —2, х = 1 — стационарные точки, ж = 1 —
точка минимума, х = ^2 — точка максимума. При этом,
2/min = 2/(+1) = -6, I/max = У (-2) = 21. Эти значения —
экстремальные. Вычислим еще у(—1) = 14 и уE) = 266.
Ответ.	Функция	монотонно	возрастает	в
(^оо; —2) U A;+оо), убывает в (—2;1), имеет максимум
при х = —2, |/тах = 21; имеет минимум при х = 1, ymin = ^6 —
наименьшее значение; наибольшее — 2/E) = 266.
Упражнения
1.	Определить интервалы монотонности данных функций:
а) у = х2(х — 3); б) у = (х — 3)д/ж;
в) |/ = еж ^4ж; г) у = ж In ж.
2.	Данные функции исследовать на экстремум:
a)y = x(x-lJ(x-2f; б) у = (х - 2) ^ ;
>.	(ж2 - 6ж + 13)	ч	, 2
в) |/ = -ь—	—L ;	г) у = х Ы ж.
(ж-3)

170	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ	ГЛ. VII
Ответы
1.	а) @;2), убывает; б) @; 1), убывает; в) (—сю; 2), убывает;
г) @;e^1)J убывает.
2.	a) ymin@,23) « ^0,76, ymin(l,4) « -0,05, ymax A) « 0;
б) УтахC,2) = — ; в) утахA) = ~4, f/min = E) = 4; г) утах =
16
= (в) = 4е, j/min(l) = 0.
В. Раскрытие неопределенностей
1°. Неопределенности вида - и — .
0 оо
Пуств функции f(x) и g(x) непрерывны и дифференцируемв!
в некоторой окрестности точки х = а, кроме, быть может, самой
точки а (при этом а может быть конечным числом или +оо,
^оо, оо).
Предположим, что
1) lim f(x) = lira g(x) = 0 или 2) lira f(x) = lim g(x) = oo.
x^a	x^ra	x^ra	x^a
fr(x)
Правило Лопиталя. Если существует предел lim J v ; =
x^a g'(x)
g()
fix)
= А, то существует и предел lim v ; = A.
x^a g(x)
Правило Лопиталя позволяет раскрыть при помощи произ™
водных неопределенность: в случае 1) вида - , а в случае 2) —
оо
вида —.
оо
При необходимости правило Лопиталя можно применить по-
повторно или несколько раз при соответствующих условиях на
f(x) и g'(x), f"(x) и g"(x) и т.д.
Примеры. Вычислить пределы.
1. lim 	. 2. lim 	.
2
ту	0
Б первом случае имеем неопределенность вида - , во вто-
втором — вида — . В том и другом случае условия применимости
оо
правил Лопиталя удовлетворяются. Переход к производным по
!
ходу решения примеров отметим знаком «=». Переходим к вы™
числениям, замечая заранее, что во втором примере правило
Лопиталя применим дважды.

ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ	171
. lim
iim
0 У ж^О (xI
o v еж - 1 /oo\ ! т еж /oo \ ! ,. еж
2. lim 	 = I — I = lim — =( — 1 = lim — = + oo.
ж^+оо x2	Voo / x^+oo 2x Voo / ж^+оо 2
Здесь правило Лопиталя применили дважды.
2°. При помощи правила Лопиталя можно раскрыть неопре™
деленности других видов: оо — оо, 0 • оо, оо°, 1°°, 0°. Для этого
исходные выражения необходимо привести к виду ^ ' .
g(x)
В следующих примерах необходимые преобразования выпол™
ним по ходу решения. Заметим, что иногда приходится избав™
ляться от «мешающих»множителей — это делается при помощи
теоремы о пределе произведения.
Примеры. Вычислить пределы.
3. lim ( ^^ - — V 4. lim
х—^-1 \ ж — 1	In ж /	ж^™о<
(х--)
5. lim (cos ж) 2 . 6. lim(l — sin ж
К	ж^О
Визуальный обзор указывает на наличие разных неопреде-
неопределенностей.
Решение.
от	( X	1 \	/	х	-,.	X ЛИХ — X + 1
о. iim ( 	 — 	 ) = (оо — оо) = lim 	 =
~ 11 V ж — 1 In ж /	ж—>-1 (ж —1Iпж
0\ ! 1. In ж + 1 — 1	1.	т	In ж
- = lim 	 = lim х • lim 	 =
1	ж —
In х Н
1 (
= 1 •
\
- = lim
. О У ж-Я 1пж + 1 + 1 2
Здесь мы избавились от множителя ж, усложняющего произ™
водную, и правило Лопиталя применили дважды.
л 1 •	Я т / /л\	т	х	I оо \ ! т	Зж
4.	lim ж -е = (оо-и) = lim — = 1 — ) = lim ^—^— =
ж^-оо	ж^-оо е^х Voo / ж^-оо — е^х
/ оо \ ! 1.	6ж	/оо\	1.	6	л
= ( — = lim — = ( — = lim ^^^ = 0.
V оо / ж—>>—оо е~"ж V оо / ж—>-—оо — е~~ж
Рекомендуем выполнить этот пример при помощи замены
х = —t (х —>• ^оо =Ф t —> +оо).
5.	Найдем предел логарифма выражения, стоящего под зна-
знаком предела. Воспользуемся теоремой о возможности перехода

172	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ	ГЛ. VII
к пределу под знаком непрерывной функции:
7Г
lim Iii(cgsx) 2 = lim f # _ _ J ln(cosx) = @ • оо) =
Ж У "К	Ж У ~К
sin ж
т	1п(сО8ж)	/ ОО X ! т
= lim —-	~ = — = lim
~_>Д	1	V оо / ~_lZL
-i	" (-V'
= lim slnrc • lim	( )
Ж^Ж	х->— собж	\0/ ж-»-—
Вывод: искомый предел равен е° = 1.
6. Этот пример, как и предыдущий, можно решить при помо-
помощи основного показательно™логарифмического тождества: А =
= еЫА(А > 0). Следовательно, lim A - sinx)ctg2x = A°°) =
lim ctg2 Ж'1пA—sina;)
= еж^°	. Для компактности выражений берем от-
отдельно предел показателя:
— cos ж
т	2 г ln(l —sin#) ! 1 r
lim cos x • lim —^^^	'- = 1 • lim
= — lim
ж^О 2 sin ж cos ж
1	( +ОО, X < О
ж^О 2sina;(l — sin ж) I ^оо X > 0.
Получили два различных односторонних предела, следователь-
следовательно, искомый предел не существует. Тем не менее, зафиксируем
односторонние пределы:
Mm (l^sinx)ctg2a; = 0, lim A - sinx)ctg2x = +oo.
Упражнения
Применяя правило Лопиталя, найти пределы:
1. lim *-arctg^	2>lim ^
cos ж — 1
3. lim 	. 4. lim
ж—>-1 \ In ж In ж
О
5. lim ( cterx — - ). 6. lim ( х2е"%1 ).
ж^о V	х)	ж^о \	у

АСИМПТОТЫ
173
7. lim faxJ*"*.
9. lim fin ±
11. lim
(-
V 7Г
8. lim x
ж—>-oo
(e* -lV
10. lim In ж •
arctgx) . 12. lim
13. lim	ь	.	14. lim ^^^^
\ x J	ж^О Insin3a?
Ответы
1. i. 2. -2. 3. 2. 4. -1. 5. 0. 6. oo. 7. 1. 8. 1. 9. 1. 10. 0.
3
11. e^. 12. He. 13. — . 14. 1.
§ 10. Асимптоты
А. Вертикальные асимптоты
Напомним (см. § 1, гл. IV), что если х = а — точка разры™
ва функции f{x) и lim /(ж) = оо, то прямая х = а называется
вертикальной асимптотой графика этой функции. В следующих
примерах требуется определить точки разрыва данной функ-
функции, исследовать их характер, найти вертикальные асимптоты
и построить график в окрестности точки разрыва.
Пример 1.
Решение, х = —1 и х = 1 —
точки разрыва. Имеем:
-1
lim
х2 + Ъх + 4
х2 - 1
	 = ^оо,
-0 х-1
lim f(x) = lim	 = +оо.
^1+0	^1+0 х-1
lim fix) = lim
^10	^1
Рис. 7.7
Ответ, х = — 1 — точка устранимого разрыва, х = 1 —
точка разрыва второго рода. График построен (рис. 7.7), ж =
= 1 — вертикальная асимптота вверх^вниз.

174
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
ГЛ. VII
Пример 2. f(x) = —;	.
| sin ж |
Решение, х = ктг^ к E z — точки разрыва. Рассмотрим
отдельно х = 0 и х = &тг, fc ^ 0.
lim
^0 |sin. ж|
х
= lim
lim
ж^0+(
lim
| sin ж |
х
Рис. 7.8
0
JL	?С / §ъ 7Г о 111 J[/
j^tt j +oo, при fc > 0
+ 0 1 ^oo, при к < 0.
Ответ, ж = 0 — точка разрыва
первого рода со скачком <т@) = 2, х =
= &тг, fc / 2 — точки разрыва второго рода. Прямые х = кж —
вертикальные асимптоты: вверх при к > 0, вниз — при к < 0
(рис. 7.8).
1
Пример 3. /(ж) = е3^1^).
Решение, ж = Оиж = 1 — точки
разрыва,
lim е х ^ х) = +оо,
1
lim ех2(г^х) =+оо,
0
lim
=0.
Рис. 7.9
Ответ, ж = 0, х = 1 — точки разрыва второго рода, прямые
х = 0, х = 1 - вертикальные асимптоты.
Упражнения
Определить точки разрыва данной функции, исследовать их
характер, найти вертикальные асимптоты и построить график
в окрестности точки разрыва.
-	cos х п	2х + тг о	х2 — 7х + 6
7Г
Ж — —
2
4. у =
5. у = 5
- 4
6. у = ж ctg ж.

§ 10	асимптоты	175
Б. Наклонные асимптоты. Горизонтальные асимптоты
Прямая с уравнением у = кх + Ъ называется на-
наклонной асимптотой графика функции /(ж), если
lim lf(x) — (kx + b)] = 0 (возможно х —>• +оо или х —>•
ж—>оо
—>• —СХ)).
После деления на х выражения, стоящего под знаком преде-
предела, и перехода к пределу получаем
k = lim ^-^ , затем b = lim (f(x) — кх).
ж—>оо х	х—>оо
Горизонтальная асимптота является частным случаем на™
клонной при к = 0, и b ф оо, т.е. это прямая у = ft, если
lim /(ж) = ft.
ж—>оо
Требуется найти наклонные асимптоты графиков данных
функций, если они есть.
Пример 1. /(ж) =
ж3 + Зж2
ж2 -2
Решение.
к = lim ^ ' = Mm
1,
ж (ж2 — 2)
Ь = lim (/ (ж) — кх) = lim 	 = 3,
ж>оо	ж>оо ж2 — 2
у = ж + 3 — наклонная асимптота.
Пример 2. /(ж) = ж + д/ж. Определена только при ж ^ 0.
Указание. Проверить, что к = 1, Ь = lim д/ж = +оо.
ж^+оо
Наклонной асимптоты нет.
Пример 3. /(ж) = _5J? .
Решение. Данная функция определена при ж > 0, поэтому
ж —> оо означает ж —>• +сю,
fc = lim 	 = | — j = Mm —	^7 = (правило Лопиталя) = 0,
ж^оо Х/х \ оо / ж^сх (х/х)
= hm -— = f — ) = hm ^—(j = 0,
ж^оо уж	\ оо / ж^оо (уж)
у = 0 — горизонтальная асимптота (вправо, ж —>• +оо).
Упражнения
Найти наклонные асимптоты функций:
i.f(x)= 92+6;~3"'. 2./(Ж) = ж-1.
ж2 — 2ж + 13	ж

176
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
ГЛ. VII
3. f(x) =
х + sin x
4. /(ж) =
5. /(ж) = л/х2 + Зж - 5 - ж. 6. /(ж) = жеж.
Ответы
§ 11. Исследование функций
на выпуклость, вогнутость и перегиб
при помощи второй производной
1°. Дифференцируемая функция f(x) называется выпуклой
«П»(вогнутой «U») в некотором интервале, если ее график рас-
расположен ниже (выше) касательной, проведенной в каждой его
точке с абсциссой на этом интервале.
Теорема 1. Если //;(ж) < 0 при всех х G [а;Ь), пго в этом
интервале f(x) выпуклая. Если frf(x) > О, х Е (а;Ь), то f(x)
вогнутая в (щЪ).
2°. Точка (жо;уо) графика Г непрерывной функции /(ж), от-
отделяющая участок выпуклости от участка вогнутости, называ-
называется точкой перегиба.
Теорема 2. Если при х < х® /;/(ж) < 0, а при х > х®
fff(x) > 0 или наоборот? то х® — абсцисса точки перегиба функ-
функции f(x).
Следует из теоремы 1.
Пример 1. Исследовать на выпуклость, вогнутость и пе-
перегиб функцию у = ж3 + Зж2 + 6х + 7.
Решение. Имеем: у1 = Зж2 + 6ж + 6,у/; = 6ж + 6. Знаки у11
указаны на числовой прямой.
Ответ. В интервале (—оо;—1) /(ж) выпуклая, в интервале
f —1;+оо) /(ж) вогнутая, ж = —1 — абсцисса точки перегиба
(РИС. 7.10) И уПер = у(-1) = 3.
Пример 2. Исследовать на выпуклость, вогнутость и пе-
перегиб функцию у = \/х + 2.

§ 12	ПРИМЕНЕНИЕ ВЫСШИХ ПРОИЗВОДНЫХ	177
Решение. Надлежит исследовать знак второй производ-
производной. Имеем:
- 2
у" нигде не обращается в ноль, но меняет знак в точке ж = —2.
Знаки у" указаны на диаграмме; здесь же указан вид графика
(рис. 7.11); ж = —2 — абсцисса точки перегиба, упер = у(—2) = 0.
На (^оо; —2) функция у вогнутая, на (—2; +оо) выпуклая.
Упражнения
Исследовать на выпуклость, вогнутость и перегиб:
1.у= (ж^Х) ¦ 2.у = х2е^х.	3. у = ж3-6ж2 +
(ж + 1J
4. у = х2 In ж. 5. у = A + ж2) еж.
Ответы
1.	(-оо; -1) U (-1; 5), «П », упер = E) = ± .
у
2.	B - д/2; 2 + л/2), «П», 2 ± л/2 — точка перегиба.
З.(^оо; 2); B; +оо), «П», ж = 2 — точка перегиба.
4. ( 0; е 2 J ? «П», ж = e 2 — точка перегиба.
), «П».
§ 12. Применение высших производных
1°. Запись / G Сп (а — ?; а + ?) означает, что функция f(x)
непрерывна на интервале (а — ?; а + ?) вместе со всеми ее произ-
производными порядка 1, 2,... п включительно, п Е N.
2°. Многочлен степени не выше п
Тп (х) = Тп (х; f) = co + c1(x-a) + c2(x-aJ + .^ + сп (х - а)п
называется многочленом Тейлора функции /(ж), если его коэф-
коэффициенты Ck = (fc = 0; п) вычисляются по формулам
с0 = / (а), а = Г (а), с2 = ^р , с3 = ^^ ,..., сп = ^±1
(п\ = 1 • 2 • 3 ... п, читается п-факториал).

178	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ	ГЛ. VII
Теорема Тейлора. Если / Е Сп+1 (а — ?;а + ?), то имеет
место равенство
f(x)=Tn(x) + Rn(x)J
где
Rn(x) ~ остаточный член формулы Тейлора в форме Лагран-
эюа. Величина Rn{x) — бесконечно малая порядка п + 1 отно-
относительно (х — а) в окрестности точки а.
При а = 0 многочлен Тейлора называется также многочле-
многочленом Маклорена. Многочлен Тейлора-Маклорена служит доета™
точно хорошим средством приближенного представления функ™
ции и широко применяется в приближенных вычислениях.
3°. Многочлены Маклорена для некоторых из элементарных
функций имеют вид (рекомендуется получить их и знать):
1) A + х)п =
= 1+пх+ ?A^1)Ж2+ n(n-l)(n-2)a,3 + ___ + nxn-i+xn_
1-2	1-2-3
Эта формула называется биномом Ньютона.
пк _ п (п - 1)... (п - к + 1)
Сп~ 	к\
— биномиальные коэффициенты — находят широкое примене™
ние в теории вероятностей.
2	3
-2
) «v^J^	^7 ^[ ••• ^y-
e0x
При этом еж = Tn (ж) + Дп (ж) , Rn (ж) =	^жп+15 х е R.
(п + 1)!
Здесь и далее 0 < 6> < 1.
3) ТЛж;8п1ж)ж	+
; nV '	;	3! 5! 7!	Bп
При этом
sin ж = Гп (ж; sin ж) + i?w (ж),
Rn (ж) = sin (вх +^(п + 1)) ^^ , xg?
; п К '	;	2! 4! 6!	V ; Bп)!
При этом
cos х = Тп (ж; cos ж) + Rn (ж),
Rn (ж) = cos (вх + - (п + 1)) хП+1 f , ж G Д.
5) Гп(х;A + х)а) =

12
ПРИМЕНЕНИЕ ВЫСШИХ ПРОИЗВОДНЫХ
179
= 1 + ах +
а (а — 1) (а — п + 1
71!
При этом
Rn (x) =
а (а — 1) 2
Ь2 Х
+
а (а- 1) (а- 2)
1-2-3
^
fll (I +
—1 < х
Пример 1. Вычислить с точностью до 10 3 значение
sin 20°.
Решение. Имеем:
1/ \ 3 -1 / \ о
....-	i ж 1 i 1 I ж 1
sin ZU = sin - = - — —- + _ _ — ...
9 9 3! V 9 /	5! V 9 /
Число членов в правой части следует брать из условия \Rn <
к 4
4!
sin ( вх + 4 -
< 10 . Для п = 3 имеем |i?n
^ 1 (-) < 0,00063 < 10^3. Следовательно, sin 20° = - -
4! V 9 /	9
1 f 7т\3
3! V 9 / ~ '
Ответ, sin20° ^0,342.
Пример 2. Многочлен у = ж3 — 2ж2 + Зж + 5 разлозсить по
целым положительным степеням бинома ж — 2.
Решение, у1 = Зж2 - 4ж + 3, |//; = 6ж - 4, |///; = 6, yfv = 0.
Далее, уB) = 11, |/; B) = 7, /B) = 8, |///; B) = 6. Согласно
п. 2°можем писать у = 11 + 7(х - 2) = 4(ж - 2J + (ж - 2K. Это
и требовалось.
Ответ. ж3-2ж2 + Зж + 5 = 11 + 7(х- 2) + 4(ж- 2J + (ж- 2K.
Пример 3. Написать многочлен Тейлора третьей степени
с центром в точке ж = 3 для функции /(ж) = л/1 + ж.
Решение. Имеем: Гз(ж) = с® + с\ (ж — 3) + С2 (ж — 3) +
+сз (ж — 3) , где ск =	. Сначала найдем производные:
ж=3
fc!
- 1
, Г(х)=-
/ (^) =	Х , /" (ж) =
2^ГТ^?	4^/A + xf	8^/A + х)
Вычислим теперь с&.
2!
64
3!
512
Ответ. Гз (ж) = 2 + I (ж - 3) - ^ (ж - ЗJ + ± (х _ 3K.

180	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ	ГЛ. VII
Упражнения
Написать многочлен Тейлора степени п с центром в точке
х = а для данной функции.
1.	у = л/1 + ж, п = 4, а = 0. 2. у = ^1 + ж, п = 3, а = 0.
3. у = еж, п = 5, а = —1. 4. у = In ж, п = 5, а = 1.
5. |/ = tgx, n = 3, а = 0. 6. у = ^—^— , п = 4, а = 2.
— Зж + 2
Ответы
1 - ж _ ж2 ж3 _ 5ж4
2	Т 16 ^2™*
2.	1+ ? - ^ + АжЗв
3	9 81
з. I + I (ж + 1)+(?±11! + (?±И! + (?±11!.
е е v	7	2е	3!е	4!е
4 ж^1^ С^1J . (ж ~ ХK _ (ж ~ !L + {Х " 1M
2	3	4	5"
ж
5.	ж — — .
3
6.	- 1 + А (ж _ 2) - А (ж _ 2J+ -^ (ж - 2K^ -?L (ж - 2L.
4 16 V	; 64 v	У 256 V	7 1024 v	J
§ 13. Построение графиков
Построению графика данной функции у = /(ж) предшеству-
предшествует полное ее исследование, включающее выявление характер™
ных свойств и особенностей этой функции. К ним относятся:
область определения D(fI область изменения E(f), четность,
нечетность, ограниченность, периодичность функции, ее интер-
интервалы знакопостоянства, интервалы монотонности, выпуклости^
вогнутости, наличие асимптот (вертикальных, горизонтальных,
наклонных). Кроме этого, необходимо определить характерные
точки: пересечения графика Г с координатными осями, точки
экстремума (максимума, минимума), точки перегиба и проч.
Приведем сначала определения тех понятий, которые не
встречались выше.
Функция у = /(ж) называется:
—	четной, если /(—ж) = /(ж), ж Е D(f);
—	нечетной, если /(—ж) = —/(ж), ж Е D;
—	ограниченной сверху (снизу), если существует число М{т)
такое, что /(ж) ^ М (/(ж) > М), ж G D;
—	ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу;

§ 13	ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ	181
— периодической, если существует число Г > 0 такое, что
f(x + T) = f(x),xeD.
Исследование функции выполняется по определенной схеме,
пункты которой установим по ходу действия. Заметим, что если
по некоторым признакам мы не имеем позитивной информации,
то соответствующий пункт может быть опущен.
Примеры построения графиков.
Пример 1. Исследовать функцию у = —	| и построить
л.	(ж + 1)
ее график.
Решение.
1. Находим область определения: х ф — 1; D = (—оо, — 1)U
()
()
2.	Простейшие свойства — четность, нечетность, периодич-
периодичность, ограниченность и пр. Таких свойств не обнаруживаем.
3.	Определим точки пересечения графика с координатными
осями и интервалы знакопостоянства функции.
Положим у = 0. Находим х = 1.
Положим х = 0 и находим у = — 3.
Точки АA;0) и В@; —3) лежат на
Ох и Оу соответственно и на гра™
фике функции. Знаки f(x) изобра™	Рис. 7.12
жены на диаграмме (рис. 7.12).
4.	Исследуем точку разрыва х = — 1. Имеем: Mm —	1 =
х^-1 (ж + 1)
= — оо, х = —1 — вертикальная асимптота вниз.
5.	Исследуем функцию на монотонность и экстремум
(рис. 7.13):
о
х = 3 — max, i/max = 1/C) = - . В интервалах (—оо, — 1), C, +оо)
8
функция убывает, а в интервале (—1,3) она возрастает.
--1
У
У
п
—•
п
V
У
5
—#—
U
X
у н.с.	min	н.с.	перегиб х
Рис. 7.13	Рис. 7.14
6. Исследуем на выпуклость, вогнутость и перегиб:
// _ _3 (ж + 1K^3(ж + 1J(ж^8) _ 3 ж^5
**	/ i -I \ 6	/ i -1 \ 4 '

182
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
ГЛ. VII
х = 5 — абсцисса точки перегиба, уиер = уE) = - . В интервалах
о
(—оо, —1), (—1,5) функция выпуклая, а в интервале E,+оо) —
вогнутая.
7. Исследование на бесконечности.
Определение горизонтальных и (или) наклонных асимптот.
Имеем: lim —	1 = О, у = 0 — горизонтальная асимптота в
(ж + 1J	У
( )
обе стороны.
8. Результаты исследования поместим в таблицу для ком-
компактности.
X
у1
у"
У
(-оо;-1)
-
-
-1
не
сущ.
не
сущ.
-оо,
верт.
ас.
(-i;3)
+
-
г
3
0
-
max,
3
8
C;5)
-
-
5
-
0
перегиб,
1
3
E;+оо)
-
+
В первой строке таблицы вносим точки разрыва, экстрему™
ма, перегиба и интервалы между ними. Во второй строке —
информация о ff(x) и ее
У к	знаках, в третьей строке —
информация о f"{x) и ее
знаках. Третья строка пока™
зывает вид графика в соот-
соответствующих интервалах и
характерные его точки.
Везде «не сущ.» означа™
ет «не существует».
9. Построение графи™
ка начинается с построе-
построения асимптот и точек с
известными координатами
(рис. 7.15). Приближение
графика к асимптоте долж-
должно быть плавным, оно дол-
должно создать впечатление параллельности, неограниченного про™
должения.
Пример 2. Исследовать функцию у =
ее график.
1. ж^
х + 2
и построить
(-оо,-2) U (-2,+оо).

13
ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ
183
2. График пересекает ось Ох, если 3 — х2 = 0, т.е. при х =
= ±л/3, а ось Ot/ при у = - . Интервалы знакопостоянства обозна-
чены на рис. 7.16 волной знаков
Л	УГ
функции у =	.
ж + 2
3. Исследуем точку разрыва
х = —2. Находим односторонние
пределы
Рис. 7.16
г
lim
= +оо,
lira
>-2-0 ж + 2	ж^-2+0 ж + 2
х = ^2 — вертикальная асимптота вверх^вниз.
4 / _ - 2ж (ж + 2) - 3 + ж2 _ (ж + 1) (ж + 3)
*	(х + 2J	(ж + 2J '
|/min (-3) = 6, Утах (-1) = 2 (рис. 7.17).
к „ _ - Bж + 4) (ж + 2J + 2 (ж2 + 4ж + 3) (ж + 2) _
(рис. 7.18).
6. Имеем: lim
(х-
3 _
= оо. Горизонтальной асимптоты нет.
ж + 2
тт	т /О)	т	3-ж2
Далее, lim ^^^ = lim
-•-- ж	ж^оо ж (ж + 2)
= — 1 (= k), lim I
ж^оо
= Ива
х I = lim
3 - ж2 + ж2 + 2ж
= 2(=Ь), у = -
ж + 2	/ ж^сх)	ж + 2
• 2 — уравнение наклонной асимптоты в обе стороны.
-3
mm	н.с.	max x
Рис. 7.17
7. Таблица.
Рис. 7.18
ж
у'
у"
У
(-оо;-3)
-
+
-3
0
+
min
6
(-3;-2)
+
+
J
не сущ.
не сущ.
+ -
верт. ас.
(-2;-1)
+
г
-1
0
max
+2
(-1;+оо)
-

184
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
ГЛ. VII
8. График построен (рис. 7.19).
Замечание. Последовательность действий может быть из-
изменена (вертикальные асимптоты можно искать параллельно с
горизонтальными и наклонны™
ми), а некоторые пункты схемы
могут быть опущены, если это не
влияет на выводы исследования.
Пример 3. Исследовать
х2 -
и построить
функцию у =
ее график.
Укажем основные элементы
исследования и график.
1.	х ф —1, ж/1, т.е. х = —1,
х = 1 — точки разрыва.
2.	Функция четная, так как
2
= /(*)¦
График функции симметри-
симметричен относительно оси Оу.
__7 lira ^—^— = +оо, х = 1 — верти™
кальная асимптота вниз-вверх (ж = — 1 — вертикальная асимп-
асимптота вверх-вниз, по четности).
— 2х
4. у'= -—	, х = 0 — max, ymax = y@) = 0 (рис. 7.20 а).
Рис. 7.19
6. lira . = —оо,
н.с.
н.с.
У и -1
max
н.с.
п
-1
У\
Рис. 7.20
2 CЖ2 + 1)
(х- IK (х + IK
Рис. 7.21

13
ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ
185
6. lim
= 1? у = 1 — горизонтальная асимптота
ж—>-оо х2 — 1
(рис. 7.20 б). Интервалы монотонности, выпуклости-вогнутости,
точки экстремума и перегиба показаны на рис. 7.20, а общий вид
функции — на рис. 7.21.
Пример 4. у = (х — 1) л/х^ (рис. 7.22).
\т	, Ъх-2	/2\	п г 3Пк~
Указание, у =	, 2/min = 2/ ( - 1 = -0,6W — , 2/тах =
З^ж	V 5 /	у 25
= у@) = 0, у" = 2^±^, упер (-1) = -1,2^04. Никаких
Эуж4	V 5 /
асимптот нет.
У
Рис. 7.22
Рис. 7.23
Пример 5. у = е х — четная, х Е R (рис. 7.23).
х
у" =
\ х = 0 — точка максимума,
—^z — точка перегиба,
Упер
1
1
горизонтальная асимптота.
Пример 6. |/ = 2sinx +
+ cos2x (рис. 7.24).
Определена при х Е Л,
имеет период 2тг: 2sln(x +
+27r)+cos2(x+27r) = 2slnx+
+ cos2x.
Исследование на экстре-
экстремум проводим по такому
признаку. Если xq стационар-
стационар11 () {1' (
Рис. 7.24
ру	q цр
ная точка и у11 (хд) < 0 {у1' (хд) > 0), то хд — точка max(min).

186	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ	ГЛ. VII
Имеем: у1 = 2 cos ж A — 2 sin ж);
cos х = и, х\ = — , %2 = — ;
1	г» •	г*	1	Я"	5?Г
1 — 2 Sin Ж = 0, =Ф* Sin X = - , Х$ = — . Х4 = — •
2 '	6 '	6
Функция имеет 4 стационарных точки: - ; — ; - ; — . Опре-
Определим знак у" в них:
у" = —2 sin х — 4 cos 2ж,
/ 7Г \	1	/ ЗТГ \	Q
2/min (-1=1? Уппп ( — ) = -3,
V Л /	\ Л /
( тг\ _ 3	/5тг\ _ 3
Углах {6)~ 2, Ушах ^ 6 У ~ 2 "
Функция не имеет асимптот.
Упражнения
Провести полное исследование данных функций и построить
их графики.
16
Ответы
Ниже приведены некоторые характерные признаки функ-
функций.
1.	утах I - ) — — — ,ж = 0, ж = 4, |/ = 0 — асимптоты.
\ 3 /	16
о
2.	2/тахD) = 1, УперE) = - , ж = 2, у = 0 ^асимптоты.
3.	х = —2, х = 2, у = 0 — асимптоты.
4.	Утах(О) = 1, четная, упер(±1) = 0.
о
5. Четная, утах@) = 2, ynep(±l) = - .
6. Нечетная, х = ±1 — асимптота, у1 = —	-, уп =
_ - 2х (ж2 - 9)

13	ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ	187
Дополнительные упражнения
1.	Найти производные данных функций.
а) у = (ж — 1) л/х2 + 1; б) у = a sin ut + b cos out;
в) у = 1п(х + л/а2 + xA; г) у = жз1пж;
д) у = arctg In ж;	е) ж2у + arctg - = 0.
х
2.	Найти вторые производные данных функций.
\	гоч т	f\	-*- COS X
а) 2/ = еСО8Ж;	б) у = . ;
sin ж
ж = а cos3 t	J x = а (sin ? — t cos t)
в) <	г) <
I y = asnrt;	I у = a (cost + tsint).
3.	С помощью правила Лопиталя вычислить пределы:
а) lim Aпж —д/ж); б) lim ж2е~2ж.
ч v	tgX - X	ч т
в) lim —2	:	г) lim
In I - - arctg x 1
4.	а) Составить уравнения касательной и нормали к кривой
у = д/ж в точке МоD; 2).
б) Определить угловой коэффициент касательной к кривой
ж3 + у3 - ху - 7 = 0 в точке МоA; 2).
5.	Определить интервалы монотонности функций:
а) у = ^^^ ; б) у = е~ж ; в) у = ж In ж.
6.	Исследовать на экстремум функции:
а) у = 4ж — ж4;	б) у = ж2еж;
в) у = ж + \/ж2 + а2; г) у = ^ж2^ж2 + 2.
7.	Найти точки перегиба и интервалы вогнутости (выпукло™
сти) графиков функций:
а) у = ^2; б) у = Зж4 - 8ж3 + 6ж2 + 12; в) у = In (l + ж2).
8.	Найти асимптоты функций:
1
а) у = -е х ;	б) у = 2ж + —¦- ;
)Ж т оЖ т А	\	S1D. Ж
у = ———; г) у = —.
ж + 1	ж
9.	Провести исследование и построить графики функций:
а) У = ^ з ; б) у = In (ж2 - 2ж + 2);
ч	Зж	\	Ж2™Ж^6
в) у = х6ех;	г) у = ^2 .

188	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ	ГЛ. VII
Ответы
л , (х-1) (Зж2 - х + 2) г,	.
1. а)	 ;	-; б) ашcosut — ошsmut;
уж2 + 1
ж (l + In2 ж)	ж4 + х2у2 + ж
2
ел	\ гпчт / • 9	\ r-\ (I""" COS ж)	\	1
2. а) еСО8Ж 81ГЖ - cos ж); б) ^	—'—: в)
За sin t cos4 t
г)-^1Г-
at sin t
3.	а) -сю; б) 0; в) -2; г) -2.
4.	a) x - Ay + 4 = 0; Ax + t/ - 18 = 0; 6) - — .
5.	a) (—oo;—1) и (l;oo) - убывает, (—1;1) — возрастает;
6) (^oo; 0) — возрастает, @; oo) — убывает; в) (О; е^1) - убывает,
(e; oo) — возрастает.
6.	a) ymax(l) = 3; 6) j/min@,5) = ^; в) экстремумов нет;
г) 2/max@) = 0.
7.	а) (^оо; 0) и @; оо) — выпуклость; б) ( - ; 11 — выпуклость,
\ о /
( ^оо; - ) и A; оо) — вогнутость, абсцисса точек перегиба х\ = - ,
Х2 = 1; в) (—1; 1) - вогнутость, (^оо; —1) и A; оо) — выпуклость,
М\ A;1п2), М (—1;1п2) — точки перегиба.
8.	а) х = 0, у = —1; б) х = 1, у = 2х; в) х = —1, у = ж + 2;
г) 2/ = 0.
9.	а) асимптоты ж = -1и|/ = ж~3, Утт @) = 0, утах (~4) =
1 Ч
= —9 — , точек перегиба нет; б) асимптот нет, ут{п A) = 0, точки
перегиба B; In 2) и @;1п2); в) асимптота у = 0, ут[п (—3) « —1,
точки перегиба @; 0) и C ± уЩ; г) асимптоты х = 2 и у = х + 1,
экстремумов нет, точек перегиба нет.

ГЛАВА VIII
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. Определение функции нескольких переменных
1°. Переменная величина z называется функцией перемен-
переменных ж,у, tj.. .и, если каждому набору этих переменных соот-
соответствует единственное, определенное значение переменной z.
Пишут z = /(ж, у,..., гх) или z = z(x, у,..., и).
Каждая функция нескольких переменных становится функ™
цией меньшего числа переменных, если часть переменных за™
фиксировать.
Например. Функции
z = z(x, а, Ь), z = /(ж, у, Ь), z = /(ж, у, гх),
где а, Ь — постоянные (параметры), являются функциями соот-
соответственно одной, двух и трех переменных.
2°. Функция двух переменных z = /(ж, у) допускает геомет-
геометрическое изображение в виде поверхности в пространстве.
3°. Линией уровня функции двух переменных z = /(ж, у)
называется множество всех точек плоскости Ожу, для которых
данная функция принимает постоянное значение /(ж, у) = С.
Линия уровня принадлежит области определения функции. Под
областью определения понимается множество всех пар (ж,у),
при которых функция z = /(ж, у) имеет
смысл.
Пример 1. Функция z = ж2 + у2 опре-
определена при всех (ж,у), т.е. во всей плоско-
плоскости Оху. Ее линии уровня являются окруж-
окружностями ж2 + у2 = С2.
Пример 2. Функция z = 1пA^ж2^у2)
определена только внутри круга ж2 + у2 <
< 1. Ее линии уровня — тоже окружности
х2 + у2 = С2 (\С\ < 1).	Рис- 8.1
Пример 3. Функция z = arcsin — определена при — 1 ^
х
^ — ^ 1 (рис. 8.1). Линиями уровня этой функции являются
х
прямые у = kx {—I ^ k ^ 1).

190	ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ	ГЛ. VIII
Упражнения
Найти области определения следующих функций:
1.г= „I .	2.f(x,y)= х~1
х2 + у2
3. z = 2у + arcsln(x + 2). 4. z =
5. z = vV~ l+Vl-ж2. 6. z = i/(x2+ у2- 4)(9- х2- у2).
7. z = arccos ——— .	8. z = -\/cos(rc2 + t/2).
ж2 +1/2
9. z = tgxy.
10. Дано/(ж,у)= (*±у1.
2xy
Найти: a) /B,3); 6) /(lA в) /(ж,-ж); г) /@, у); д) /(V).
Ответы
1.	Круг х2 + у2 < 9.
2.	(ж, у) ^@,0).
3.	Полоса -3 ^ х ^ -1.
4.	жу ^ 0, I и III квадранты.
5.	Две полуполосы: <
I 1Ж1 ^ 1-
6.	Кольцо 4 ^ ж2 + у2 ^ 9.
7.	Внешность двух окружностей с уравнениями (х — - 1 +
¦ ( М 1 /^ , 1Л , /^ , 1 Л2 1
+ ('V ~ - I = - и I ж + - 1 + [у + - ) = - с исключенной
\^ 2 У 2 V2/V^2/ 2
точкой О@, 0).
8.	Объединение колец 2ктт — — ^ х2 + у2 ^ 2^тг + - , к =
= 1,2,3,...	2	2
9.	Все точки плоскости, не лежащие на гиперболах ху = — ,
fc = ±l,±2,±3,...	2
10.	а) ^ ; б) ^^ ; в) 0; г) не существует; д) ^±^
12	2ху
^ ; б) ^ ; ) 0; ) е сущесуе; д)
12	2ху	2ху
§ 2. Предел и непрерывность функции двух
переменных
1°. Число А называется пределом функции z = f(x,y) в точ™
ке М"о(жо,уоM если для любого е > 0 существует 6 = 5(е) > 0,

§ 2	ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ 191
такое что для всех точек М(х1уI отстоящих от Mq на расстоя™
ние меньше 5, выполняется неравенство \f(x,y) — А\ < е. Упо-
Употребляются обозначения
lim /(ж, у) = Д lim ДМ) = A,	lim /(ж, у) = А.
l$%	M^M	()()
2°. Функция z = /(ж, у) называется непрерывной в точке
Мо(жо,Уо)> если /(жо,уо) = а^0Яж'У)'
Точки, в которых не выполняются условия непрерывности,
называются точками разрыва.
3°. Функция, непрерывная в каждой точке некоторой обла-
области, называется непрерывной в этой области.
Для функций нескольких переменных, непрерывных в не™
которой точке, имеют место свойства, аналогичные свойствам
функций одной переменной.
В частности, если z = /(ж, у) непрерывна в Mq и /(Mq) > О,
то в некоторой окрестности этой точки /(ж, у) > 0.
4°. Область D называется замкнутой, если к ней присоеди-
присоединить точки ее границы.
Функция, непрерывная в замкнутой области D, ограничена
в этой области и достигает в ней своих наибольшего и наимень-
наименьшего значений.
Пример 1. Функция z = 	 не определена только
х2 + у2
в точке Mo(O,Q). Это точка разрыва данной функции. Имеем:
lim ^^^^ = +оо.
О х2 + у2
Пример 2. Функция z = 	 не определена в точках
ж2 — у
линии у = х2. Каждая точка параболы у = х2 является точ-
точкой разрыва. При этом, если (жо,уо) точка параболы у = ж2, то
lim ^—^— = оо. В частности, lim ^—^— = оо, a lim
x^xq 2	2 2	2
оо, a lim
х2 - у	х^2 х2 - у 2
Пример 3. Вычислить пределы:
\ т tg(x2+w2) r\ r х2 — у2	\ -,.
a) lim -^	^^ , б) lim 	— , в) lim
х^О х2 +у2	х^О х2 + у2	х^О
, )
х2 +у2	х^О х2 + у
T Pi Т —I— II I	7* 	 7/
Решение. Заметим, что функции —	— и 	— не
определены только в точке @, 0), а ху—- не определена на
координатных осях х = 0 и у = 0.
2 я.2
х2 + г/2

192	ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ	ГЛ. VIII
а)	Перейдем к полярным координатам х = г cos ср, у = г sin ip,
(f G [0, 2тг). Тогда х2 + у2 = г2 и (ж, у) —>> @,0) влечет г —>> 0.
Используя следствие первого замечательного предела, получаем
hm —	LJ^ = ( - = hm —— = 1.
ж^О x2 + у2	V 0 / r^O г2
y->0
б)	Если (ж, у) —>- @, 0) по разным лучам у = кх, к G i?, то
2
^2 	 2	/ П \	т1" 	 1е" т^
lim	y =f^I = lim ^^^^^
Правая часть этого равенства зависит от fc, а потому предел дан-
данной функции при (ж, у) —>> @,0) не существует (предел должен
быть единственным).
в) Умножим числитель и знаменатель на сопряженное зна-
знаменателя. Получаем
/ ¦	+ 2)=-
) = -4.
Примечание. Из определения непрерывности следует, что
функции
•	/ 9. . 9\
/(ж, у) =	""
1, (х,у) = @,|/), (ж,у) = (ж,0)
g(^,y) =
-4, (ж,у) = @,0)
непрерывны на всей плоскости Ожу, а функцию ^(ж,у) =
ж2 - I/2
= 	— нельзя доопределить в точке @,0) так, чтобы она была
х2 + у2
непрерывной в этой точке.
Упражнения
Вычислить пределы:
1. Нш ^1.	2. Hm lg(x + у).
ж^2 г/	ж^З
3. lim^^.	4. li
5. lim (ж + 1/ sin - • cos - . 6. lim
ж^01	J х	у	х^1
. 6. lim
у	х^1 (х- IJ + B/ -"
t^2

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ	193
7.
9.
11
11 ТП
Ж—>ОО д*4
1 -I ту|
х	^Q <^2 _|_
. lim -
2
8.
а
г
10.
lim -
lim ¦
lim
ж + |/
t*-xy + y*'
ln(l + ey)
^2 + t/2 '
ж2 + 2ж + у2 - Ау + 5
12. lim
(ж - 2J + (|/ + 2J	ж^^1	х + 2у
2	j/^2
Ответы
1.2. 2. 1. 3.0. 4. Не существует. 5. 0. 6. Не существует.
7.0. 8.0. 9.0. 10. In 2. 11. +оо. 12.0.
§ 3. Частные производные и дифференциал функции
двух переменных
1°. Частными приращениями функции z = /(ж, у) по неза-
независимым переменным ж и у называются разности
Axz = f(x + Ах, у) - f(x, у), Ayz = /(ж, у + Ау) - /(ж, у),
где Ах и А у — приращения независимых переменных х ш у.
Полным приращением функции z = /(ж, у) называется раз-
разность
Az = /(ж + Аж, у + Ау) - /(ж, у).
В общем случае полное приращение не равняется сумме частных
приращений:
Az ф Axz + Ayz.
Пример 1. Найти частные и полное приращения функции
z = х2у при начальных значениях ж = 1, у = 2, если Аж = 0,1;
Ду = -0,2.
Решение. Имеем:
Axz = (ж + АжJ • у - х2у = A + 0,1J • 2 - I2 • 2 = 0,42;
Ayz = х2(у + Ау) - х2у = I2 • B - 0, 2) - I2 • 2 = -0, 2;
А^ = (ж + АжJ • (у + Ау) - х2у =
= A + 0,1J • B - 0, 2) - I2 • 2 = 0? 178;
Az ф Axz + Ayz; 05178 ф 0,42 - 0, 2 = 0, 22.
2°. Частной производной функции z = /(ж, у) по перемен™
ной ж или у называется предел отношения соответствующего
частного приращения Axz или Ayz к приращению данной пере-
переменной, при условии, что приращение переменной стремится к
нулю.
7 К.Н. Лунгу, Е.В. Макаров

194
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
ГЛ. VIII
Для частных производных приняты обозначения
_ dz _ df(x,y) _ w/ ч _
= lim
—---¦
Ах
= lim
-Ах, у) - f(x,y) .
Ах
ду
ду
= lim
= lim
f(x,y
- f(x,y)
Ay Ay—^0	Ay
3°. При нахождении частной производной (дифференцирова-
(дифференцировании) по какой-либо переменной пользуются формулами и пра-
правилами дифференцирования функции одной переменной, считая
другую переменную фиксированной, постоянной.
Пример 2. Найти частные производные функции z =
= 2ху — х • tgxy.
Решение. Имеем:
z'x = 2уху — tg xy — х ¦
— х ¦
cosz xy	*	cosz xy
4°. Частная производная zx (zf) в данной точке (жд, yo) равна
тангенсу угла наклона касательной к кривой, получающейся в
сечении поверхности z =
= /(ж, у) плоскостью у = уq
(ж = ж0), z'x(xo,yo) = tga,
zfy(xo,yo) = tg/З (рис. 8.2).
5°. Частными дифферен-
дифференциалами функции z = /(ж, у)
называются величины
dx^ '^ ZrpdXj ctyZ ^^ Z/.jCty.
6°. Полным дифференци-
дифференциалом функции z = /(ж, у) на-
называется выражение
/	/	dz	dz
ft У —— /7 ^ 1 /7 у — ^ /1Т* 1 ^У /I'll — ™™™„ fl ^ 1 _ ft ОI ft ПГ — /\ ПГ fill —— f\ll
\AJ/^f 	 U>^ АУ I ЪС/'U A/ 	 /C//^p L-C/tX/ I AJqi\JjiJ 		U/tX/ \	\AJ О а Ъ|у«Ду 	 /.........А, &ДУ ft \Jj Li 	 .L........I, О »
Полный дифференциал cfz представляет собой главную ли™
нейную (относительно Аж и Ау) часть полного приращения
функции z = /(ж, у).
Пример 3. Найти частные дифференциалы и полный диф-
дифференциал функции z = ж2у3. Найти также значение этих вели™
чин в точке A, 2).
Решение. Имеем: zx = 2жу3, zfy = Зж2у2. Следовательно,
dxz = 2xy3dx, dyz = Зж2у2йу, dz = 2xy^dx + 3x2y2dy. В част™
Рис. 8.2

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
195
ности, dxz(l,2) = Шж, dyz = 12%, dz(l,2) = Wdx + 12% —
дифференциалы независимых переменных совпадают с их при-
приращениями.
Упражнения
Найти частные производные, частные дифференциалы и
полный дифференциал данной функции.
1. z = In ( х + \/х2 + у2 ] — arctg - .
2. z =
+lntg -.
У
Ш.г = Хл/уЗ^ + 1 (хуху).
у X о
4.	z = sin - cos — — хху + xyln(x — у).
У	х
Найти частные производные первого порядка следующих
функций в данных точках:
5.	z = \/х2 — у2 в точке E, —3).
6.	z = xctg(y + 1) в точке @,1).
7.	z = ху в точке A, 2).
8. z=
ж - 2/
в точке B,1).
. dz =
2. dz =
3. dz=
Ответы
хА + yz -
2
. 2х
dx ¦
2х
2ж

У
\dy.

196	ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ	ГЛ. VIII
4. dz = Г- cos - cos У- + У- sin - sin У - -ухху{Ых + 1)+
L у	у	х х2	у	х
.1/ \ i Ж2/ 1 j i Г х х У
+ ут(х — у) Н	— \ах + \ — — cos - cos - —
х — у J	I у2	у	х
— - sin - sin - — xxyJrl In x + x \n{x — у) — xy dy.
x v x	x — v 1
,5,3
4=7, 4=7-
Л	&	Л
7. 4 = 2, z'y = 0. 8. 4 = -1, 4 = 4.
§ 4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Линеаризация функций двух переменных
1°. Касательной плоскостью к поверхности в точке
Pq(xqj уо, zq) называется плоскость, которой принадлежат все
касательные к кривым, проведенным на поверхности через точ-
точку Ро.
Нормалью к поверхности в точке Pq называется прямая, про-
проходящая через точку касания Pq и перпендикулярная касатель-
касательной плоскости.
2°. Если поверхность задается функцией z = /(ж, у), то урав-
уравнения касательной плоскости t и нормали п имеют вид
(t):z-zo = f^(xOjyo)(x - xQ) + f^(xOjyo)(y - у0);
(n) • x ~ Xo = У ~y° = z ~ Zo
/i(a?o,2/o) fy(xo,yo)	-1
3°. Если поверхность задана неявно посредством уравнения
F{x,y,z) = 0, то уравнения tun имеют вид
(*) : F'x{P0)(x - х0) + F^(P0)(y - уо) + F'z(P0)(z - zQ) = 0;
(п) • х ~ Хо — У ^У° — z ~ Zo
# F?(Po) ~ F^(P0) " Fi(Po) #
4°. Замена полного приращения функции в данной точке ее
полным дифференциалом называется линеаризацией функции.
Геометрически это означает замену графика функции, т.е. по™
верхности, касательной плоскостью. Имеет место приближенное
равенство
/(я,у) ~ /Оо,уо) + fx(xo, 1/о)Аж + fy(xOiуо)Ау
при Ах = х — xq г^ о, Ау = у — уо ~ 0.
Пример 1. Составить уравнения касательной плоскости
и нормальной прямой к поверхности z = 2ш2 + у2 в точке
()

§ 4	КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ	197
Решение. Имеем: z'x = 4ж, z'y = 2у. zfx(l,—l) = 4,
z'A,-1) = —2. Следовательно,
(t) : я = 3 + 4(ж - 1) - 2(у + 1), или 4ж - 8у - 2 - 3 = 0;
(п):	.
V ; 4	^2	-1
Пример 2. Вычислить приближенно 1, 083'96.
Решение. Принимаем z = /(ж,у) = ж^5 жо = 1, t/o = 4,
Дж = 0,08, Ау = -0,04.
Имеем: z'x = ухУ~\ /?A,4) = 1, 4 = ^1пж' /у(М) = °>
z® = /A,4) = 1. Наконец, согласно соотношению п.4°, получаем
1?083'96« 1 + 4-0,08 = 1,32.
Пример 3. Дана функция z = /(ж, у) = х2 + у2 + 2х + 1 и
две точки А(ж0,Уо) = ^B; 3) и В(хъуг) = ВB, 02; 2, 99).
Требуется:
1)	вычислить значение zq функции /(ж, у) в точке ^4 и зна™
чение zi — в точке В;
2)	вычислить приближенное значение z\ функции в точке I?,
исходя из значения zq функции в точке А, заменив приращение
функции дифференциалом, и оценить в процентах относите ль™
ную погрешность, возникающую при замене приращения функ-
функции ее дифференциалом;
3)	составить уравнение касательной плоскости к поверхности
z = f{x,у) в точке С(жО52/о,^о)-
Решение.
1)	Имеем *iB, 02; 2, 99) = B, 02J + B, 99J + 2 - 2, 02 + 1 =
= 18,0605.
2)	Найдем сначала:
z0 = /(ж0, уо) = 22 + З2 + 2 • 2 + 1 = 18;
?(ж, у) = 2ж + 2, fx(xOl у0) = /;B, 3) = 2 . 2 + 2 = 6;
/у(я, У) = 2у, /;(х0, |/о) = /;B, 3) = 2 • 3 = 6.
Из точки ^4 в точку В придем с приращениями
Ах = 0,02; Ду = -0,01.
Теперь применяем формулу п.4°:
= 18 + 6 • 0,02 + 6 • (-0,01) = 18, Об.
При вычислении по этой формуле возникает погрешность
6 =
Zt — Zt
¦ 100% =
18,0605- 18,06
18,06
• 100% = 0,003%.

198	ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ	ГЛ. VIII
3) Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке
СB,3,18) имеет вид (см. п. 2°):
z - 18 = 6(ж - 2) + 6(у - 3) или 6ж - 6у - z - 12 = 0.
Задание. Выполните действия этого примера при условии
) ()
,y) (,;,)
Ответ. 5 = 0,2%.
Упражнения
1. Найти значение полного дифференциала функции /(ж, у)
в данной точке (жо,уо) ПРИ данных Дж и Ду, если:
а)	/(ж,у) = ж + у-v^2 + y2, МC,4), Дж = 0,1 , Ду = 0,2;
б)	/(ж,у) = е^,	МA,1), Ах = 0,15, Ау = 0,1;
в)	z = ж3 + у4,	МA, 2), Дж = 05 03, Ау = -0, 01;
г)	z = ^4 '
^4 '
ж ~~ У
2. Вычислить приближ;енно:
а) 1п(^Т703 + ,у0798-1); бI,042-02;
в) @,96JA, 02K;	г) ^1,024+ 1.983.
3. Вычислить приближенно изменение функции z =
у -Зх
при переходе от точки А(х,у) = B,4) к точке Ao(xi,yi) =
= B, 5; 3,5).
4.	Найти частные и полное приращение функции z = ху2 — —
в точке АC, -2), если Аж = 0,1 и Ау = -0, 05.	У
5.	Составить уравнения касательной плоскости и нормали к
данной поверхности в данной точке:
a)z=J^2 + Зу2 - 15, М0B,-3,2);
г\	х<2 — %ХУ	-л/г /1 1	1 \
б) z =	у ,	M)(L 1, — - ).
Ответы
1. а) 0,08; б) 0,25е; в) ^0,23; г) —.2. а) 0,005; б) 1,08;
в) 0,98; г) 2,933. 3. zB;4) = ^7; Az = dzB14) = 3,75;
zB,5;3,5) = -3,25. 4. Аж = 0,45; Ay = 0,57; Az = 1,04.
5. a) 2x-9y-8z-15 = 0, ^^ = ^^ = ^^ ; 6) z + - =
1
= -(x-1)- 1 (i/ - 1), ?1^ = 1^1 = iLi.
8l	J 2КУ h 1	4	8

§ 5	ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ	199
§ 5. Частные производные и дифференциалы
высших порядков
1°. Частными производными второго порядка функции z =
= /(ж, у) называются частные производные от частных произ-
производных первого порядка:
и _ и _ d2z _ д ( dz \ и _ d2z _ д
Zxx ~ ZX2 ~ -^ ~ ^ [ ^ ) , Zxy ~ дхду ~ 7^
// _ d2z _ д ( dz \ о „ _ d2z _ д f dz
Z'»X3= ^1 = A (&±\z»i2 = А (^|ит<д.
Частные производные второго порядка zxy и z'' называются
смешанными.
Теорема. Если смешанные производные zf^y и zyx непрерыв-
непрерывны, то они равны меэюду собой.
Таким образом, результат дифференцирования не зависит от
порядка дифференцирования.
Пример 1. Пусть z = х — ycosxy.
Тогда: z'x = 1 + y2sinxy1 z1 = —cosxy + xysinxy, z^2 =
= (zfxYx = I/3 cos xVi z = (zyYy = x s^-n xy + x sin xy + x2y cos xy =
= 2xsinxy + x2ycosxy1 zx = (zxYy = 2y sin xy + xy2 cos xy j z1' =
= (zfyYx = 2y sin xy + xy2 cos xy. Видим, что zxy = zyx. Далее,
^	y
и т.д.
2°. Дифференциалом п-го порядка функции z = /(ж, у) на-
называется дифференциал от дифференциала (п — 1)-го порядка,
т.е.
1*), или dnf(Xjy) =
Если функция z = f(xj у) имеет непрерывные частные произ-
производные второго порядка, то дифференциал второго порядка вы™
числяется по формуле
d2z = z'^dx2 + 2z'lydxdy + z'^dy2.
Символически это равенство можно записать в виде
d z = ( — dx + — dy 1 z.
\дх	ду J
По аналогии, дифференциал n-vo порядка можно записать сим-
символически в виде
dnz= ( — dx+ —
\ дх	ду

200	ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ	ГЛ. VIII
Пример 2. Найти d2z, если z = -—-.
х - у
Решение. Последовательное дифференцирование данной
функции дает:
/ _ х - у - х - у _ _ 2у	i _ х - у + х + у _ 2х л
х	{х- уJ	(х -уJ" у	(х- уJ	(х - уJ '
_ _о
Следовательно,
Sz	^4	dxdy + 4	dy
(х - уK	(х - уK	(х - уK
л ydx2 — (х + y)dxdy + zdy2
= 4	.
(ж - уK
Пример 3. Найти dz, d2z и d3z, если z = ж5|/3.
Решение. Имеем:
dz = d(x5|/3) = 5x4|/3dx + 3x5y2dy,
d2z = dEx4y3dx + 3xby2dy) = 20ж3у3с1ж2 + 30x4y2dxdy + 6x5ydy2,
d3z = d{d2z) = 60x2y3dx3 + 180x3y2dx2dy + 90x4ydxdy2 + 6x5dy3.
Упражнения
1.	Найти все частные производные первого, второго и тре™
тьего порядков для функции z = ж3 — х2у — у3.
2.	Найти zJf, 27Г , ^Т2, если z = еж^3.
Ж ' X у' X у '
3.	Доказать, что если
a) ^ = 2cos2 (х- *У то2— + — = 0;
;	V 2/'	at2 feat
2	2	2
2
б) z = ^^ , то — + 2 ^^ + — =
х у	дх2	дхду ду2
^^ , то — + 2 ^^ + — = ^^ ;
х — у дх2 дхду	ду2 х — у
ч 1 / 1 1 \ 6>2Z .	0>2Z I
в) z = In I — — - I, то ^^ + — = — .
V x t / dxdt	dx2 x2
4. Найти:
( xy V fV
. 4 =
ж + у
Ответы
- 2жу, ^ = -ж2 - Зу2, ^'2 =6х- 2у, 4'у = -
z = -6у, ж' = 6, z% = -2, z' = 0, z% = -6.

3	ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ. ГРАДИЕНТ	201
a. zx4 — у e , zx3y — &У {^ i *ьу je , ^Ж2„2 — &У viU '
-i j	Q	ел О f\\ T"j#3
I ZLt*i# —J— лт* oi \рл»
/I \ rl% ( ХУ \ 	 2{^y2dx2 + 2xydxdy — x2dy2)
4. a) a I	J —	/ . xo	i
% + y J	[х + у)л
У J У3	У*
у \ 	 2(xydx2 + (|/2 — x2)dxdy — xydy2)
x) ~	(x2 +y2J	'
— Bxy — y2)dx2dy — Bxy — x2)dxdy2 + x2dy3].
§ 6. Производная по направлению. Градиент
1°. Пусть a = {aXj ay} — некоторый вектор, \а\ = * /a2 + a2 —
его модуль (длина). Тогда ах = a cos a, ay = a sin a, где а — угол
наклона a к оси Ох.
Вектор ea = {cos a, sin a} = < — , — > = — коллинеарен
l И И J	\a\
вектору а и называется ортом, единичным вектором вектора а,
модуль еа равен 1.
2°. Пусть z = /(ж, у) — функция двух переменных, имеющая
частные производные в некоторой области D, точка М(х,у) G Z?.
Пусть ? — произвольный единичный вектор с началом в точ-
точке М, I = (cos a, sin а). В направлении ? на расстоянии А? берем
точку Mi (ж + Аж, у + Ау). При этом А? = у Аж2 + Ау2.
Разность Aiz = f(x + Аж, у + Ау) — /(ж, у) называется при™
ращением функции z = /(ж, у) вдоль направления ?, а предел
Hm
А? А?^0	А?
называется производной функции z = /(ж, у) по направлению ?
в точке ikf(ж,у).
Теорема 1. Если /(ж, у) имеет непрерывные частные про-
производные в точке М(ж,у), то
dz dz	х dz .
— = — coso+ — sin a.
д? дх	ду

202	ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ	ГЛ. VIII
3°. Функция z = /(ж, у\ определенная в области D, называ™
ется также скалярным полем в этой области. Вектор
	i Г dz dz
gradz = < — , —
называется градиентом скалярного поля или градиентом функ-
функции /(ж, у).
Обозначим через ср угол между вектором ? и вектором gradz.
Теорема 2. Имеют место равенства
dz 	i 7 	i		i
— = gradz • ? = gradz • cos w = np^gradz.
dl	l
4°. Следующие свойства градиента вытекают из теорем 1 и 2.
1)	Производная в данной точке по направлению вектора ?
имеет наибольшее значение, если направление вектора ? совпа-
совпадает с направлением градиента; это наибольшее значение про-
производной равно gradz|.
2)	Производная по направлению вектора, перпендикулярно-
перпендикулярного к вектору gradz, равна нулю.
3)	Вектор gradz направлен перпендикулярно к линии уровня
/(ж, у) = С.
Пример 1. Найти производную функции z = ж2 + у2 в
точке МC,1) по направлению к точке Mi@, 5).
Решение. Имеем: ММ\ = {0-3,5-1} = {-3,4},
ММ\ = у (—ЗJ + 42 = 5, cos а = — - , sin а = - .
Положим с=<	, - > и находим — .
I 5 ' 5 J	д?
Имеем: zfx = 2x, zfy = 2y, z'xC,1) = 6, z'yC,1) = 2.
Окончательно, — =6( — -J+2-- = — 2. Знак минус произ™
водной — ' означает, что в направлении I функция убывает.
Пример 2. Найти направление максимального роста
функции z = Зж2 — 2у2 в точке МA, 2). Найти также наибольшее
из значений производных по разным направлениям в точке М.
Решение. Найдем градиент функции z в данной точке
A,2). Имеем zfx = 6x, z'x(l,2) = 6, zfy = -4y, ^A,2) = -8. Гра™
диент данного поля в точке МA, 2) равен gradz= {6, ^8}. Этот
вектор указывает на направление максимального роста z. Наи™
большее значение производной в A,2) равно ^/б2 + (^8J = 10.
Пример 3. Даны функция z = arcsin — , точка ^4(^2, —1)

§ 6	ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ. ГРАДИЕНТ	203
и вектор а = Зг — 4j.
Найти:
1)	gradz в точке ^4;
2)	производную в точке А по направлению вектора а.
Решение. 1) Для нахождения координат вектора gradz (см.
п. 3°) найдем частные производные
Их значения в точке А(—2, — 1) следующие:
значит,
2) Найдем направляющие косинусы вектора а = Зг — 4j
cos а
Тогда (см. п. 2°)
3	3	4
cos а = ,	= - , cos/3 = — - = sin а.
V9 + 16 5	5
1 3,1/4
л/15 5 л/15 V 5 7	5^15 *
По направлению вектора а функция убывает.
Упраж:нения
1.	Найти производную функции z = х2 + у2 — Зх + 2у в точке
Мо(О,О) по направлению к точке ikfiC, 4).
2.	Найти производную функции z = - в точке
/х2 + 2
МоA, — 1) по направлению вектора а = {^
3. Найти градиент скалярного поля z = 	 в точке
2 + 2
х2 + у2
М0A,2).
4.	Найти наибольшую скорость возрастания скалярного поля
z = 1п(ж2 + %2) в точке М0F, 4).
5.	Найти градиент гх = — , где г = ух2 +1/2.

204	ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ	ГЛ. VIII
6. Найти направление максимального роста функции z =
= Зж2 + ху — 2у2 в точке B,1).
Ответы
1.-1. 2.1. З.^Йг =(*;--) = *i-*j. 4.^
5	2	V 5 5 / 5	5	25
. 6./=A3,-2).
§ 7. Формула Тейлора длм функций двух переменных
Пусть z = /(ж, у) — функция двух переменных х и у, непре-
непрерывная вместе со своими частными производными до (п + 1)-
го порядка включительно в окрестности данной точки М"о(а? Ъ).
Тогда, аналогично тому, как это было в случае функций одной
переменной (см. § 12 гл. VII), функцию двух переменных мож-
можно представить в виде многочлена степени потж-аи|/-&и
некоторого остаточного члена:
fix, у) = f(a, Ъ) + I df(a, Ь) + 1 d2f(a, Ъ) + • • • + 1 dnf(a, b) + Rn,
1!	z!	ш
при этом можно считать, что dx = х — a, dy = у — Ъ.
Многочлен, фигурирующий в этой формуле, называется мно-
многочленом Тейлора функции /(ж, у). Он представляет прибли-
приближенное значение данной функции в окрестности точки Мо(а, Ь).
Пример 1. Составить формулу Тейлора при п = 2 для
функции /(ж, у) = ж^ в окрестности точки MqA, 1) и вычислить
приближенно A,1I?02.
Решение. Имеем:
/(ж, у) = /A,1) + df A,1) + i d2/(l, 1) + Д2.
Находим сначала частные производные первых двух порядков:
/;2 = у(у - 1)хУ-2; fly = хУ-1 + хУ-1 -ylnx; fy = ХУAпхJ.
Теперь вычислим значения полученных частных производных в
данной точке A,1): ?A,1) = 1; /?A,1) = 0; /? = 0; ДД1,1) =
Соответствующая формула Тейлора имеет вид
ху = 1 + 1 • (ж - 1) + 1 • (ж - 1)(у - 1) + R2,
т.е.
ху « 1 + (ж - 1) + (ж - 1)(у - 1).

§ 8	ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ	205
Принимая ж = 1,1, у = 1,02, х — 1 = 0,1, у — 1 = 0,02, получаем
AДI'02 и 1 + 0,1 + ОД • 0,02 = 1,102.
Упражнения
Составить многочлен Тейлора степени п для данной функ-
функции /(ж, у) в окрестности данной точки Мо(а, Ь):
1.	/(ж, у) = у/1 ^ж2^у2,	п = 2, М0@, 0).
2.	/(ж, у) = sin ж- sin у,	га = 2
3.	/(ж,у) = еж+^,	веЖ
4.	/(ж, у) = - ж2+ 2жу + Зу2- 6ж - 2у - 4, га = 2, М0(-2,1).
5.	Используя формулы Тейлора до членов второго порядка,
вычислить приближенно:
а) @, 95J'01; б) ^%WI • ^§Ж
Ответы
2. 1-+1-
2 2
3.	1 + (ж + у) + 1 (ж + уJ + • • • + 1 (ж + у)п.
4.	1 + (ж + 2J + 2(ж + 2)(у - 1) + З(у - IJ.
5.	а) 0,902. б) 5,998.
§ 8. Экстремум функции двух переменных
1°. Функция z = /(ж, у) имеет максимум (минимум) в точке
(жсъуо), если /(жо,Уо) > /(ж, у) (Джо,уо) < /(ж, у)) для всех
(ж,у), достаточно близких к (жо,уо) и (ж,у) / (жо,уо)-
Максимумы и минимумы называются экстремумами.
Точка (жо,уо) называется критической для функции /(ж, у),
если частные производные ^ и z1 в этой точке либо равны нулю,
либо не существуют.
Если z'x = 0 и z'y = 0 в данной точке, то эта точка называется
стационарной.
Теорема 1 (Необходимые условия экстремума диф-
дифференцируемой функции). Если функция z = /(ж, у) имеет
экстремум в точке (жо,уоM то эта точка стационарная^ т.е.
/^(жо,уо) = 0, fy(xo,yo) = 0.

206	ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ	ГЛ. VIII
Теорема 2 (Достаточные условия экстремума). Пусть
(жо,Уо) ~~ стационарная точка. Обозначим
д _ d2f(xo,yo) ^ _ d2f(xo,yo) ^ _ d2f(xo,yo)
дх2	дхду	ду2
Если
1)	АС - В2 > 0 и А < 0 (С < 0), то (жо?Уо) "" точка
максимума;
2)	АС - В2 > 0 и А > 0 (С > 0), то (жо?Уо) — точка
минимума;
3)	АС — В2 < 0, то точка (жо,уо) не является экстремаль-
экстремальной;
4)	АС — В2 = 0, то в точке (жо,Уо) функция f{x^y) может
иметь и момсет не иметь экстремума (в этом случае требу-
требуется дополнительное исследование).
Пример 1. Исследовать на экстремум функцию z = ж3 +
3
у	у
Решение. Функция определена и дифференцируема при
всех (ж, у).
1.	Найдем стационарные точки:
Г 4 = Зж2 - Зу = 0	Г Ш2 _ у = о	f у = Ж2
| ^ = Зу2 - Зж = 0 ^ \ I/2 - ж = 0 ^ \ ж4 - ж = 0.
Имеем две стационарные точки Mi(l, 1) и М2@,0).
2.	Проверим достаточные условия:
Для Mi(l, 1) имеем:
Аг = 4;2A,1) = 6, Вг = 4Д1,1) = -3, Сг = ^2A,1) = 6.
AiCi - В\ = 36 - 9 = 27 > 0 и Аг = 6 > 0.
В точке A,1) имеем минимум и zmin = z(l, 1) = —1.
Для М2@,0) имеем А2 = 0, В2 = -3, С2 = 0, А2С2-В| = -9.
В@,0) функция z экстремума не имеет.
Пример 2. Исследовать на экстремум функцию z = ж2 —
- жу + у2 + Эж - 6у + 25.
Краткое решение.
Г а; = -4,
= 2, В = -1, С = 2;
- В2 = 3 > 0, А = 2 > 0;

§ 8	ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ	207
(—4,1) — точка минимума, zmin = 4.
Упражнения
Исследовать на экстремум данные функции.
1.2 = 2ху ~~ Зж2 - 2у2 + 10.
2.	z = 4(ж - у) — х2 - у2.
3.	z = ж2 + ху + у2 + х + у + 1.
4.	2 = 4ж2у + 24жу + |/2 + 32у - 6.
5.	z = ж3 + ж2 - бжу - 39ж + 1% + 20.
Ответы
1. @, 0) — max. 2. B, -2) — max. 3. (-1,1) — min. 4. (-3, 2) —
min, (—4, 0);(—2,0) — нет экстремума. 5. E,6) — min.
2°. Под условным экстремумом функции z = /(ж, у) под™
разумевается экстремум этой функции при некотором допол™
нительном условии, например, (ж, у) удовлетворяют уравнению
(р(х,у) = 0.
Необходимый признак условного экстремума диффе-
дифференцируемой функции. Если функция z = /(ж, у) имеет экс-
экстремум в точке (жо,2/о), при выполнении условия ip(xyy) = 0, то
в этой точке
^^=0, ^1^2=0, <р{хо,уо) = 0,	A)
ох	ду
где Р(х,у) = /(ж,у) + \(р(х,у) — функция Лагранжа, соответ-
соответствующая /(ж, у) и (р{х,у) = 0, А - постоянная величина (мно™
житель Лагранжа).
Достаточный признак условного экстремума. Ес-
Если точка (жо,уо) удовлетворяет системе уравнений A) и
d2F(xQjyQ) < 0 (d2-F(#o,yo) ^ 0M то точка (жо,уо) является точ-
точкой условного максимума (минимума) функции /(ж, у) при уело™
вии (р(х,у) = 0.
Пример 1. На гиперболе ж2 ^у2 = 9 найти точку, наименее
удаленную от точки А@, — 3).
Решение. Исследуем на экстремум функцию, выражаю-
выражающую квадрат расстояния точки М(х,у) от точки А@, — 3),
при условии, что координаты точки М{х,у) удовлетворяют
уравнению гиперболы ж2 — у2 — 9 = 0.
Составим функцию Лагранжа:
F(x, у) = х2 + (у + ЗJ + Х(х2 -у2- 9).

208	ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ	ГЛ. VIII
Координаты точек, в которых функция f{x^y) имеет условный
экстремум, найдем, решая систему уравнений
ЁИ = 2х + 2Хх = 2жA + А) = 0
дх
^ = 2(у + 3) - 2Ху = 2(у + 3 - Ху)
ду
о	о /с"
Получаем: А = —1, у = — - , х = ± — . Функция f{x^y) мо™
жет иметь условный экстремум в двух точках М\{—	, — -)
и М~2(	, — - ). Проверим для них достаточные условия, для
чего найдем дифференциал второго порядка функции F{x1y) в
найденных точках. Имеем:
d2F = 2A + X)dx2 + 2A -
Если A = — 1, то d2F = 4dy2 > 0. Следовательно, обе точки
¦л л- / Зд/5 3 \ 1 /г / 3\/5 3 \
М\у—	•>~~) и -М2{	•>~~) явл
минимума нашей функции. При этом
Упраж:неним
Исследовать на условный экстремум функции z = f(xJy) при
данном условии (р(х7у) = 0.
1. f(X,y) = X2 + (y-2J, Ж2_у2_4 = 0_
2.f(x,y)= i + i,	ж + у-2 = 0.
3./(я, у) = z + i,,	J_ + J_-I=0.
4. На параболе у2 = 4ж найти точку, наименее удаленную от
прямой у = х + 4.
Ответы
1. М(±л/551) — точка минимума с /min = у/б. 2. /min =
= /A,1) = 2. 3. /max = /(-2, -2) = -4. 4. /min = /A, 2) = -L .

§ 9	НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ	209
§ 9. Наибольшее и наименьшее значения функции
При отыскании наибольшего и наименьшего значений функ™
ции в некоторой замкнутой области следует найти все внутрен-
внутренние точки области, в которых функция может иметь экстремум.
Затем надо исследовать функцию на экстремум на границе об™
ласти. При этом часто приходится разбивать границу области
на части, заданные различными уравнениями. Вычислив значе-
значения функции во всех найденных экстремальных точках, следует
сравнить их между собой: наибольшее (наименьшее) из этих зна-
значений и является наибольшим (наи-
(наименьшим) значением функции во всей
замкнутой области.	2<»^1^/^«—-/вB;2)
Пример. Найти наибольшее и наи™	л'
меньшее значение функции z = 2ж3 —
— бху + Зу2 в замкнутой области, огра-
ограниченной осью Оу, прямой у = 2 и па-
параболой у = — при х ^ 0.
Решение. Соответствующая об-	Рис. 8.3
ласть изображена на рис. 8.3.
1) Точки, в которых функция принимает наибольшее и наи™
меньшее значения, могут находиться как внутри области, так и
на ее границе. Имеем: — = 6х2 — 6у; — = ^6х + 6у равны
дх	ду
нулю.
Решив систему уравнений
\ -6х + 6у = 0,
найдем две стационарные точки 0@,0) и МA,1). Первая из
них лежит на границе области, вторая внутри области. Следо-
Следовательно, если функция z принимает наибольшее (наименьшее)
значение во внутренней точке области, то это может быть толь-
только в точке Af A,1). При этом z(l, 1) = 12.
2) Исследуем функцию на границе области.
а)	На отрезке О А имеем х = 0. Поэтому на этом отрезке
исследуем функцию z = 3|/2, 0 ^ у ^ 2. Это — возрастающая
функция одной переменной у; наибольшее и наименьшее значе™
ния она принимает на концах отрезка ОД z@,0) = 0, z@, 2) =
= 12.
б)	На отрезке АВ имеем |/ = 2иО^х^2. Следовательно,
на этом отрезке исследуем функцию одной переменной z = 2ж3 —
- 6х2 + 3 • 22 = 2ж3 - 12ж + 12, 0 ^ х ^ 2. Ее наибольшее и наи-

210	ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ	ГЛ. VIII
меньшее значения находятся среди ее значений в стационарных
точках и на концах отрезка. Находим производную z1 = 6ж2 — 12.
Решая уравнение zf = 0 или бж2 — 12 = 0, находим х\^ =
= ±\/2.
Внутри отрезка 0 ^ ж ^ 2 имеется лишь одна стационарная
точка ж = д/2; соответствующей точкой отрезка АВ является
точка Q(-\/2;2) и zB,2) = 4. Итак, наибольшее и наименьшее
значения функции z на отрезке АВ находятся среди ее значений
в точках ,4@,2), <Э(л/2;2), и ВB,2).
в) На дуге OS параболы имеем у = — ,
2 = 2ж3 -6ж^ +3 ( — ) = ^ж4-ж3, 0 < ж < 2.
Решаем уравнение z; = Зж3 — Зж2 = 0 или ж2(ж™1)=0и на™
ходим его корни: х\^ = 0 и Ж2 = 1. Таким образом, наибольшее
и наименьшее значения функции у на дуге О В находятся среди
ее значений в точках О@, 0), РA, -) и ВB, 2).
Следовательно, наибольшее и наименьшее значения функ™
ции z = 2ж3 — бху + Зу2 в данной замкнутой области находятся
среди ее значений в точках О, A, (J, В, Р, Ж, т.е. среди значений
= 2@; 0) = 0, z{A) = z@; 2) = 12, z(Q) = z(V2; 2) = 12-
гE) = гB;2) = 4, z(P) = z (l; \) = - \ , z(M) =
= z(t;t) = — 1. Наибольшее и наименьшее из них равны соот™
ветственно 12 и — 1. Они и являются наибольшим и наименьшим
значениями данной функции в данной замкнутой области
^наиб = Z(O, 2) = 12, гнаим = Z{1, 1) = -1.
Упражнения
Исследовать на экстремум следующие функции:
1. z = е-^а+У'\	2.z = xy.
3.z = 2x2 + 3y2-x-7y. 4. z = ^ + ^ •
a2 b2
5.	Найти наибольшее и наименьшее значения функции z =
= ж2 — 2у2 + Аху — бж — 1 в треугольнике, ограниченном прямыми
х = 0, у = 0, х + у = 3.
6.	Найти наибольшее и наименьшее значения функции z =
= ж + у в круге ж2 + у2 ^ 1.

10
МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
211
\1
Ответы
= ^@,0) = 1. 2. Экстремумов нет. 3. zn
= Z(\>1) = "М25. 4- ^min = ^@,0) = 0. 5. zHaHM@;3) =
= -19; ^наиб@;0) = -1. 6. ^наим(-у;-у) = -л/2;
(а- а- \
~г~; Т" J
§ 10. Метод наименьших квадратов
1°. Предположим, что при проведении некоторого экспери-
эксперимента получено п значений функции у при п значениях аргумен-
аргумента х. Соответствующие данные экспе-
экспериментальных наблюдений помеще™ У^
ны в таблице.	Уъ
Уп
Л
Уг
X
У
XI
2/1
х2
У2
Уз
хп
Уп
2°. По данным таблицы постро-	х х х
им точки с координатами (ж, у)
(рис. 8.4). Предположим, что эти точ-
ки расположены вблизи некоторой	ис' *
прямой. Требуется найти уравнение у = кх + р этой
по методу наименьших квадратов, т.е. коэффициенты к
жны доставлять минимум функции двух переменных к
прямой
и р дол-
доли р:
S2 = S2(k;p) =
{ +р —
mm.
3°. Если S2(kyp) имеет min в какой-либо точке, то частные
производные этой функции должны быть равными нулю:
/М2
дк
= 0,
Это приводит к системе уравнений относительно к и р, которую
можно записать в виде

212
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
ГЛ. VIII
где
= Z) ХЬ В1 =
Пример. Составить уравнение прямой по методу наимень-
наименьших квадратов, исходя из данных, приведенных в таблице.
X
У
1
3
2
4
3
2,5
5
0,5
Решение. Определим коэффициенты системы уравнений:
М = ?я? = 39, Si = Е^г = И, Cl = Е^гУЬ
Из системы уравнений
j	26
находим: к = — — и
35
ъ	26
Ответ, у = — —
У	35
= 21
= 10
159
—
35
159
— .
35
Упражнения
Методом наименьших квадратов составить уравнение пря-
прямой у = кх + р по следующим табличным данным.
1.
2.
ж
У
0,5
0,62
0,1
1,64
2,0
3,7
2,5
5,02
3,0
6,04
X
У
1
0
2
1
3
-0,5
5
-2,5
1. г/ = 2, 08ж - 0, 5.
Ответы
2. у = - — ж
*	35
—
35

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Бугров Я. С, Никольский СМ. Элементы линейной алгебры и
аналитической геометрии. — М.: Наука, 1988.
2.	Бугров Я.С, Никольский СМ. Дифференциальное и инте-
интегральное исчисления. — М.: Наука, 1988.
3.	Пискунов Н.С Дифференциальное и интегральное исчисления.
Т.1 и2.- М.: Наука, 1988.
4.	Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. —
М.: Наука, 1988.
5.	Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и
основы математического анализа/Под ред. А.В. Ефимова и Б.П. Де-
мидовича. — М.: Наука, 1988.
6.	Сборник задач по математическому анализу/Под ред. Б.П. Де-
мидовича. — М.: Наука, 1983.

Учебное издание
ЛУНГУ Константин Никитович
МАКАРОВ Евгений Васильевич
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА.
РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
Часть 1
Редактор Р.А. Бунатян
Корректор И.А. Лихачева
Оригинал-макет: О.Б. Широкова
ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 07.02.05.
Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 13,5. Уч.-изд. л. 14,0. Заказ № 1885
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;
http://www.fml.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов
i ОАО «Ивановская областная типография»
153008, г. Иваново, ул. Типографская, 6.
E-mail: 091-018@adminet.ivanovo.ru
ISBN 5-9221-0581-7
9 785922 105811