К. Я. Лу/угу. Е.В. (Irkяров
ВЫСШАЯ
матЕмвтикв
РУКОВОДСТВО К PEUEHUKI ЗЯйВЧ
Часть 1
Допущено Министерством образования
Российской Федерации
в качестве учебного пособия для студентов
высших учебных заведений, обучающихся
по техническим направлениям
и специальностям
МОСКВА
ФИЗМАТЛИТ
2010

УДК 510
ББК 22.1
Л 84
Лунгу К. Н., Макаров Е. В. Высшая математика. Руководство
к решению задач. Ч. 1. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: ФИЗМАТЛИТ,
2010. - 216 с. - ISBN 978-5-9221-0903-1.
Учебное пособие написано на основе многолетнего опыта чтения лекций
и проведения практических занятий по высшей математике в Московском
государственном открытом университете на различных факультетах. В пособии
большое внимание уделяется решению типовых задач по вычислению пределов,
по построению и исследованию графиков функций, по дифференциальному ис¬
числению. Наряду с большим числом решенных задач, приводятся упражнения
для самостоятельного решения; ко всем главам даны контрольные задания.
Пособие рассчитано на студентов очной, заочной и вечерней форм обучения
факультетов, где математика не является профилирующей дисциплиной.
Допущено Министерством образования Российской Федерации в качестве
учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по
техническим направлениям и специальностям.
ISBN 978-5-9221-0903-1
© ФИЗМАТЛИТ, 2008, 2010
© К. Н. Лунгу, Е. В. Макаров, 2008, 2010

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие		6
Г л а в а I. Системы линейных уравнений		8
§ 1. Метод Жордана-Гаусса		8
§ 2. Метод Крамера		17
§ 3. Метод обратной матрицы		24
§ 4. Ранг	матрицы. Исследование систем		30
Глава	II.	Аналитическая геометрия на плоскости		36
§ 1. Декартовы системы координат. Простейшие задачи		36
§ 2. Полярные координаты		38
§ 3. Линии первого порядка		43
§ 4. Линии второго порядка		49
§ 5. Приведение общего уравнения кривой второго порядка
к каноническому виду		59
Контрольные задания (к главам I и II)		64
Глава	III.	Элементы векторной алгебры		66
§ 1. Понятие вектора. Линейные операции над векторами		66
§ 2. Скалярное произведение векторов		70
§ 3. Векторное произведение векторов		73
§ 4. Смешанное произведение векторов		75
Глава	IV.	Аналитическая геометрия в пространстве		79
§ 1. Плоскость в пространстве		79
§ 2, Прямая в пространстве		84
§ 3. Плоскость и прямая в пространстве		87
§ 4. Поверхности второго порядка		94
Контрольные задания (к главам III и IV)		101
Глава V. Функции	 103
§ 1. Основные понятия	 103
§ 2. Деформация графиков функций		106

4
Оглавление
§ 3. Предел последовательности		112
§ 4. Вычисление пределов функций		117
§ 5. Односторонние пределы	 127
§ 6. Непрерывные функции		129
Глава VI. Элементы высшей алгебры		134
§ 1. Понятие комплексного числа		134
§ 2. Геометрическое представление комплексных чисел. Тригонометри¬
ческая и показательная формы комплексного числа		135
§ 3. Арифметические действия с комплексными числами		137
§ 4. Извлечение корня из комплексного числа	 139
§ 5. Разложение рациональной дроби на простейшие		142
Контрольные задания (к главам V и VI)		147
Глава VII. Дифференциальное исчисление функции одной
переменной		149
§ 1. Определение производной		149
§ 2. Геометрическая, механическая и экономическая интерпретации
производной	 150
§ 3. Связь дифференцируемости с непрерывностью		152
§ 4. Таблица производных и правила дифференцирования		152
§ 5. Дифференциал функции и ее линеаризация		156
§ 6. Производные и дифференциалы высших порядков		158
§ 7. Дифференцирование обратных функций. Дифференцирование
функций, заданных неявно и параметрически		159
§ 8. Основные теоремы дифференциального исчисления		163
§ 9. Применения производной		164
§ 10. Асимптоты	;	 170
§11. Исследование функций на выпуклость, вогнутость и перегиб при
помощи второй производной		173
§ 12. Применение высших производных		174
§ 13. Исследование функций и построение графиков		177
Контрольные задания		185
Глава VIII. Функции нескольких переменных		187
§ 1. Определение функции нескольких переменных		187
§ 2. Предел и непрерывность функции двух переменных		188
§ 3. Частные производные и дифференциал функции двух переменных 191
§ 4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Линеаризация
функций двух переменных		194
§ 5. Частные производные и дифференциалы высших порядков		196
§ 6. Производная по направлению. Градиент		198
§ 7. Формула Тейлора для функций двух переменных	 201

Оглавление	5
§ 8. Экстремум функции двух переменных	 202
§ 9. Наибольшее и наименьшее значения функции	 206
§ 10. Метод наименьших квадратов	 208
Контрольные задания	 210
Список литературы
212

Предисловие
Настоящее учебное пособие написано авторами на основе много¬
летнего опыта чтения лекций и проведения практических занятий по
высшей математике в Московском государственном открытом универ¬
ситете на различных факультетах очной, заочной и вечерней форм
обучения, где математика не является профилирующей дисциплиной.
Авторы поставили перед собой цель — привить студенту умение
грамотно выбрать правильный подход к решению конкретной задачи.
Перед тем как начинать решать любые задачи, имеет смысл позна¬
комиться с теорией по учебникам, список которых указан в конце
книги. Хотя в книге достаточно много теоретической информации,
иногда имеется намек на то, откуда тот или иной факт можно извлечь.
Например, из теорем, приведенных в §8 гл. VII, получается много
других правил (алгоритмов) и формул: правило Лопиталя, необходимые
условия экстремума, формулы Тейлора и др.
Каждый параграф всех восьми глав, как правило, имеет единую
структуру. В начале параграфа даны основные теоретические сведения,
формулировки теорем, их интерпретации, формулы. Затем приведено
достаточное количество примеров, которые позволя^ грамотно выбрать
правильный подход к решению конкретных задач. Решенные в пособии
задачи не только имеют алгоритмический характер, но и способствуют
формированию и развитию у студента аналитико-синтетического стиля
мышления, который должен обеспечить возможность проанализиро¬
вать и решить любую задачу из раздела «Упражнения», помещенного
в конце параграфа.
Отметим отдельные методические особенности настоящего пособия.
В гл. I, наряду с методом Гаусса решения линейных систем, мы приво¬
дим хорошо известный более экономный метод Жордана-Гаусса (мне¬
моническое правило прямоугольника). При этом все системы можно
поместить в одну таблицу Гаусса — компактное средство получения ре¬
шения. В таблице Гаусса удобно найти матрицу, обратную для данной,
определить ранг системы, ранг матрицы, произвести другие действия.
Авторы считают методически оправданным прием введения формул
Крамера (в §2) до понятия определителя. Это должно стимулировать
желание студента узнать, что такое определитель и как он вычисляет¬

Предисловие
7
ся. В §3 гл. II мы строим график специфической функции, заданной в
полярных координатах (пример 3). Цель примера состоит в том, что¬
бы заложить основу понимания многолистных функций комплексной
переменной. Большое внимание уделяется построению графиков функ¬
ций посредством их преобразования, вычислению пределов. Построено
большое количество графиков функций с полным их исследованием.
Некоторые задачи могут быть решены разными способами, и мы
рекомендуем читателю выбрать простейший.
Опыт работы студентов и преподавателей МГОУ с аналогичным
пособием показал целесообразность его создания.
Главы I, III, VI—VIII написаны К.Н. Лунгу, а главы II, IV, V —
Е.В. Макаровым.
Существенному улучшению настоящего издания способствовали
замечания, подсказки и советы профессоров JI.A. Уваровой (МГТУ
«Станкин»), В.И. Михеева (РУДН), А.Б. Будака (МГУ) н особенно
А.А. Пунтуса (МАИ). Всем им авторы признательны и благодарны.

Глава I
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Метод Жордана-Гаусса
1°. Система из т линейных уравнений с п неизвестными в общем
случае записывается так:
Коэффициенты {а^}, г= 1,2, ...ш, jf = 1,2, ...п, и свободные чле¬
ны {bi}> г= 1,2, ...т, — заданные действительные числа. Первый
индекс г в записи а*у обозначает номер уравнения, второй — j — номер
неизвестной.
Решить систему (1) — значит найти все ее решения, т. е. все
такие наборы чисел (х\у x<i, хп)у которые при подстановке во все
уравнения системы превращают их в верные равенства, или доказать,
что решений нет.
Система (1) называется:
—	совместной, если она имеет хотя бы одно решение;
—	определенно совместной, если она имеет только одно решение;
—	неопределенно совместной, если она имеет более одного реше¬
ния;
—	несовместной, если она не имеет ни одного решения.
2°. Две системы называются равносильными, если они имеют оди¬
наковые решения или обе несовместны.
Переход от одной системы к равносильной осуществляется при
помощи множества элементарных преобразований:
ацх 1 -f ai2x2 + ... + а\пХп = Ь\,
а2[Х2 Н- <122^2 + ... 4- а2пХп = &2,
(1)

§ 1. Метод Жордана-Гаусса
9
—	умножение обеих частей любого уравнения на отличное от нуля
число;
—	прибавление к одному из уравнений произвольного другого,
умноженного на любое число;
—	удаление (вычеркивание) из системы тривиального уравнения
Oxj 4- 0а?2 + .. • 4- 0жп = 0;
—	если в системе имеются два или более уравнений с пропорцио¬
нальными коэффициентами, то сохранить нужно только одно из них.
Уравнение Oxi 4- 0x2 4- ... 4- 0хп = Ь, где b ф 0, не имеет решений.
Оно называется противоречивым. Система, содержащая такое уравне¬
ние, сама противоречива, т. е. несовместна.
3°. Один шаг метода Жордана-Гаусса состоит в приведении систе¬
мы (1) к виду
'а\\Х\ +... + a\q_lxq-\ +ai 9+1z4+i + ... + а'1пхп =Ь\,
< a'pixi + ... + a'pq_]xq-i +xq+a'pq+lxq+\ + ... + а'рпхп =Ь'р,	(2)
a'mq-\X<l-1 ~^~amq+lX4+l	атпхп~ Ьт>
в котором одна неизвестная xq сохранена с коэффициентом 1 только
в р-м уравнении, а из остальных исключена. Систему (2) назовем раз¬
решенной относительно неизвестной xqy поскольку ее легко выразить
через остальные неизвестные данной системы.
Для того, чтобы получить систему (2), требуется следующее:
1)	коэффициент арч при xq в уравнении с номером р должен быть
отличен от нуля; в дальнейшем apq назовем ведущим, или разрешаю¬
щим коэффициентом, а р-е уравнение — ведущим уравнением;
2)	р-е уравнение надо разделить на аря\
3)	для получения нулевых коэффициентов при xq в остальных
уравнениях следует из г-го уравнения вычесть ведущее уравнение,
сначала разделенное на apq, а затем домноженное на сця.
Тогда все остальные коэффициенты а^и bi преобразуются по фор¬
мулам
О^. = ay -	,	b[ =	1фр,	зфд.
Эти формулы будем называть формулами Жордана-Гаусса. Расчет
по ним удобно выполнять, пользуясь мнемоническим правилом прямо¬
угольника, наглядно показанным на следующих диаграммах:
а™ —	(din ~	Ь,-

10
Гл. /. Системы линейных уравнений
Смысл диаграмм следующий: новый коэффициент а^ (или Ъ^) по¬
лучается из старого вычитанием из него произведения соседних (по
прямоугольнику) коэффициентов, деленного на противолежащий (раз¬
решающий) коэффициент apq.
4°. На втором шаге сохраним с коэффициентом 1 другую неизвест¬
ную в другом уравнении, исключая из остальных.
Через г (г ^ т) шагов систему (1) можно привести к системе,
состоящей из г уравнений (остальные (т — г) тривиальных уравнений,
если такие были, отброшены) и содержащей г разрешенных неизвест¬
ных. Эти г неизвестных назовем базисными (используя векторную тер¬
минологию, которая появится позже), остальные — свободными, или
независимыми. Основная часть метода Жордана-Гаусса завершена.
Если г = т = пу то система разрешена относительно всех неизвест¬
ных, т. е. однозначно совместна.
Если г < гг, то, выражая базисные (зависимые) неизвестные через
свободные (независимые), получаем «общее» решение системы в соот¬
ветствующем базисе, которое впоследствии следует параметризовать и
из которого можно получать различные частные решения, в том числе
базисное (так называется решение, соответствующее нулевому набору
свободных неизвестных).
Заметим, что «общее» решение определяется неоднозначно, оно
зависит от того, какие неизвестные являются свободными (независи¬
мыми, произвольными), а какие — зависимыми (базисными).
5°. Метод Жордана-Гаусса удобно реализовать в виде таблицы,
которую назовем таблицей Гаусса. Каждый ее блок содержит результат
одного преобразования или одну итерацию. Столбец блока таблицы, со¬
стоящий из нулей и одной единицы, будем называть единичным столб¬
цом. Цель преобразований Жордана-Гаусса — получить г (г ^ га) еди¬
ничных столбцов. Неизвестные, соответствующие единичным столб¬
цам, являются базисными, остальные — свободными. Последний блок
таблицы изображает систему, разрешенную относительно г базисных
неизвестных.
Примеры с решениями
Пример 1. Решить линейную систему
' х\ + 2x2 — Зхз — £4 =	10,
—2xi — 3x2 + 7хз = —23,
2xi 4- 6x2 — 5хз — 5x4 =	18,
k — Х[ 4- Зхз — 4х4 = —11.
Решение. Имеем га = 4, п = 4.
Первый блок таблицы Гаусса данной системы имеет вид («св. ч.»
означает «свободные члены» уравнений системы, вертикальная черта
соответствует знакам равенства):

§ 1. Метод Жордана-Ггусса
11
Х\
Х2
хз
св. ч.
ф
2
-3
-1
10
-2
-3
7
0
-23
2
6
-5
-5
18
-1
0
3
-4
-11
-2
1.	Выполним первую итерацию, т. е. получим первый единичный
столбец, выбирая в качестве ведущего коэффициента ац = 1 (в таб¬
лице он обведен кружком). Для этого над строками таблицы (над
уравнениями системы) выполним следующие действия (они обозначены
справа от таблицы):
1)	первую строку сохраняем (переписываем);
2)	первую строку, умноженную на 2, прибавим 0 ко второй;
3)	первую строку, умноженную на -2, прибавим к третьей;
4)	первую строку прибавим к четвертой.
Получаем второй блок таблицы:
Х\ Х2 ХЗ Х4 св. ч.
1	2-3-1
О	1	ф -2
0	2	1-3
0	2	0	-5
10 t
-3 1з 1-1
-2 1
-1
2.	Приведем к единичному третий столбец, в нем уже имеется один
нуль. Ведущий коэффициент а2з = 1 обведен кружком. Далее:
1)	вторую строку, умноженную на 3, прибавим к первой и запишем
вместо первой строки;
2)	перепишем вторую строку без изменения;
3)	вторую строку, умноженную на —1, прибавим к третьей;
4)	четвертую строку перепишем без изменения.
Эти действия выражаются числами и стрелками, показанными
справа от второго блока таблицы. Третий блок таблицы имеет вид:
XI
х2
хз
Х4
св. ч.
1
5
0
- 7
1
0
1
1
-2
-3
0
Ф
0
-1
1
0
2
0
-5
-1
-5 t -1
3.	Следующая итерация заключается в получении третьего единич¬
ного столбца. Для этого примем в качестве ведущего коэффициента
азг = 1 и выполним следующие действия: третью строку, умноженную
на —5, —1, -2, прибавим к первой, второй и четвертой строкам со¬
ответственно. Третью строку переписываем без изменений. Получаем
четвертый блок:
О	Вычитание в формулах пункта 3° заменяется прибавлением по арифмети¬
ческим соображениям (вычитание есть прибавление противоположного числа).

12
Гл. I. Системы линейных уравнений
XI
Х2
Z3
Х4
св. ч.
1
0
0
-2
-4
0
0
1
-1
-4
0
1
0
-1
1
0
0
0
0
-3
4.	Наконец, последнюю итерацию выполним, выбирая в качестве
ведущего коэффициента ащ = —3. Четвертую строку разделим на —3.
Остальные действия очевидны. Получаем:
хх
Z2
Z3
Хц
св. ч.
1
0
0
0
-2
0
0
1
0
-3
0
1
0
0
2
0
0
0
1
1
5. После четырех итераций получили таблицу, соответствующую
системе, разрешенной относительно всех неизвестных (г = т = п = 4):
ж j	2, Х2 — 2, хз —	3,	—	1.
Запишем это также в виде: X = (—2,2,-3, 1). Система определенно
совместна.
Примечание. Подставьте эти значения неизвестных в данную
систему и убедитесь, что получаются верные числовые равенства.
Пример 2. Решить линейную систему
!—Х\ — 2x2 ~ бхз + 3^4 = — 1,
2х\	5x2	4-	14жз	- 7х4 = 3,
Зх\ 4- 7х2 + 20жз — \0х4 = 4,
- Х2 - 2хз + Х4 = ~1.
Решение. Каждый раз в качестве ведущего будем принимать
простейший коэффициент, т. е. либо 1, либо — 1. Подчеркнем, что цель
преобразований заключается в получении нулей в ведущем столбце.
Как получить нулевые коэффициенты в единичном столбце, видно из
решения примера 1. Для этого ведущую строку надо умножить на над¬
лежащие числа (иногда на 1 или —1) и прибавить к остальным строкам,
не содержащим 0 в этом ведущем столбце. Поэтому ограничимся выде¬
лением в каждом блоке ведущего коэффициента, не комментируя сами
преобразования и не указывая соответствующие числа со стрелками.
Результаты вычислений поместим в единую таблицу Гаусса, которая
имеет следующий вид:

§ 1. Метод Жордана-Гаусса
13
XI
Х2
Z3
Х4
св. ч.
0
-2
-6
3
-1
2
5
14
-7
3
3
7
20
-10
4
0
-1
-2
1
-1
1
2
6
-3
1
0
Ф
2
-1
1
0
1
2
— 1
1
0
-1
-2
1
-1
1
0
2
— 1
— 1
0
1
2
-1
1
Последние две строки удалены как нулевые (они соответствуют триви¬
альным уравнениям).
Из последнего блока таблицы получаем систему
I Х\
[®2
1 2хз 4" х4}
1 - 2хз 4- Х4,
выражающую «почти» общее решение исходной системы. Смысл слова
«почти» заключается в неравноправном участии неизвестных.
Положим хз = а, х\ — /3 (а и /3 — произвольные постоянные или
параметры).
Тогда система	.	_ Л
х\ = -1 — 2а + р,
Х2 = 1 - 2а 4- /3,
хз = а,
кх4 = /?
представляет общее решение системы в параметрическом виде. Все
неизвестные выражены (равноправно) через два параметра а, /3 6 К.
Решения, получаемые из общего при фиксированных значениях
параметров а и /3, называются частными.
Например, при а = 1, /3 = 2 получаем: xj = —1, Х2 = 1, хз = 1,
Х4 = 2.
При а = -1, /3 = 1 получаем х\ = 2, Х2 = 4, хз = —1, х4 = 1. Базис¬
ное решение соответствует нулевому набору свободных переменных:
если а = 0, /3 = 0, то х\ = — 1, Х2 = 1, хз = 0, £4 = 0.
Ответ запишем так:	Х0 = (—1 — 2а + /3, 1 - 2а 4- /3, а,/3),
ХЧ1 = (-1, 1, 1,2), Хч2 = (2,4, —1, 1), Хб = (-1, 1,0,0).
Пример 3. Решить систему уравнений
Х\ 4-	2x2	4-	Зхз 4- Х4 =	1,
3^1 4-	13x2	4-	13жз 4- 5х4 =	3,
Зх[ 4-	7x2	4-	7хз 4- 2^4 =	12,
#1 4-	5^2	4-	Зхз 4- Х4 =	7,
4xi 4-	5x2	4-	6x3 4- Х4 =	19.

14
Гл. I. Системы линейных уравнений
Решение. Вместо таблицы Гаусса будем использовать другую,
более компактную интерпретацию ее блоков. Вертикальная черта в
блоках соответствует знакам равенства в уравнениях системы. Знак ~
(читается «тильда») между двумя соседними блоками означает, что
системы, соответствующие этим блокам, равносильны. Имеем:
/ф 2 3
3 13 13
3
1
\4
7 7
5 3
5 6
1\
3
12
7
19/
/1
2
3
1
1 \
/ 1
2
3
1
1 \
0
7
4
2
0
0
7
4
2
0
0
1
-2
-1
9
0
1 ■
-2
-1
9
0
3
0
0
6
: 3
0
Ф
0
0
2
\0
-3
-6
-3
15 /
:(-3)
\о
1
2
1
“5 /
( единичный столбец второго блока получен в результате умножения первой строки на^
J —3, —3, -1, -4 и последующего прибавления ко второй, третьей, четвертой и пятой I
] строкам соответственно; во втором блоке произвели почленное деление четвертой и Г
V пятой строк на 3 и —3, т. е. сокращение уравнений	)
/10 10
0 10 0
V о 0 2 1
/ 1
0
3
1
~3\
0
0
4
2
-14
0
0
-2
-1
7
0
1
0
0
2
\0
0
2
1
“7/
10 3 1
0 10 0
0 0 2©
-3
2
-7
Вторая и третья строки четвертого блока отброшены как пропор¬
циональные пятой. Заметим, что выделение ведущего (разрешающего)
элемента однозначно определяет действия по обнулению элементов
ведущего столбца, поэтому мы отказались от применения чисел и
стрелок, обозначающих действия над строками блока.
Последний блок изображает систему, состоящую из трех уравнений
(г = 3, т = 5) с четырьмя неизвестными (п = 4). Соответствующая
система приведена к трем базисным неизвестным; разрешая ее относи¬
тельно этих неизвестных, получаем
{х\ = 4 - #з,
Х2 = 2,
Х4 = -7 - 2хз.
Положим хз = а, затем а = 0. Тогда общее р базисное решения
принимают вид соответственно:
Х0 = (4- а, 2, а, -7 - 2а), Хб = (4,2,0, -7).
Заметим, что переменную х% нельзя получить среди свободных
(свободная переменная может принимать любые значения, тогда как
= 2).
Пример 4. Решить систему уравнений
х\ +	хз + 2x4	4-	3x5 - 4x6 =	20,
2xi+	Х2	—	Зхз	4-	Х5 + 2x6 = —13,
Ъх\ —	Х2	+	ХЗ + 2X4	+	6x5	=	20,
, 2xi - 2x2	+	Зхз	4-	2x5 + 2x6 =	13.
Решение. В предыдущих примерах преобразования Жордана-
Гаусса свелись к действиям над уравнениями системы, или строками
таблицы, потому что все ведущие коэффициенты были равны 1. Если

§ /. Метод Жордана-Гаусса
15
же ведущие коэффициенты отличны от 1, то действия над строками
могут вызывать затруднения, и в таких случаях следует пользовать¬
ся формулами преобразования Жордана-Гаусса, т. е. правилом прямо¬
угольника.
С целью экономии места решение этой системы приведем также в
блоковой записи:
/ 1	0	12	3-4
2 ф-3 0	1	2
5-1	12	6	О
V 2 -2	3 0	2	2
/-6 0	3	0	-4	(^6}
2	1-30	1	2
7/2 0	-1	1	7/2	1
\	6 0	-3	0	4	6
/10	12	3-4
2 1-301	2
7 0 -2(2)7	2
V 6 0 -3 0 4	6
1	0	-1/2	0	2/3	1
0	1	-2	0	-1/3	О
5/2 0	-1/2	1	17/6	О
-13/6
-26/3
17/3
(последняя строка пропорциональна первой, поэтому она удалена).
Подчеркнем, что цель наших преобразований состоит в получении
единичных столбцов.
Приведем примеры применения правила прямоугольника в третьем
блоке. При этом одна из вершин каждого прямоугольника должна
совпасть с ведущим элементом а\в = —6, противоположная вершина —
с элементом, подлежащим пересчету:
-6 -
7/2
3
I
- 1
«31=	--
(-6) • 1 _ 7
-6
2 1
-3 -
1
2
13
1	-	7/2
о2 з
= -3
А' —
03 — - ~
3 • 2
-6
13-1
= -2;
2
117
3
Из последнего блока получаем общее решение системы в базисе
(я2,£4,Хб):

16
Гл. I. Системы линейных уравнений
При t\ = 1, t<i = — 1, Ьъ — 2 получаем частное решение Хч =
= (1, -10,-1,-3,2,-5). Базисное решение имеет вид Хв =
= (0, -26/3,0,17/3,0,-13/6).
Пр имечание. Метод Гаусса (усеченный метод Жордана-Гаусса)
допускает получение в очередном блоке таблицы Гаусса столбца, от¬
личного от единичного, т. е. неизвестную не обязательно исключать из
всех уравнений, кроме одного. В этом случае говорят о приведении си¬
стемы уравнений к ступенчатому виду. Это важно в смысле экономии
времени, когда коэффициенты системы «неудобные», особенно, если
система окажется неразрешимой.
Пример 5. Решить систему уравнений
5xi + 12x2 + 19хз 4- 25x4 = 25,
lOxi + 22x2 + 16хз 4- 39х4 = 25,
5xi + 12x2 + 9хз 4- 25х4 = 30,
^ 20xi + 46x2 4- 34хз + 89x4 = 70.
Решение. Нули в столбцах будем получать только под диагона¬
лью соответствующей матрицы.
/ ® 12 19 25
I 10 22 16 39
5 12 9 25
\ 20 46 34 89
12/5 19/5
/ 1
0
0
V0
25 \
( 1 12/5 19/5 5
5 N
25 I
	1 г\>
0
-22 -11
-25
30
0
0 -10 0
5
70/
V0
-2 -42 -11
-30,
5
5 ^
/ 1 12/5 19/5
5
ь\
/2
25/2
0 1 11
11/2
25/2
0
5
0 0 1
0
-1/2
0
-5 )
^ 0 0 0
0
-15/
Последняя строка выражает противоречивое уравнение — система
несовместна.
Упражнения
Методом Жордана-Гаусса решить линейные системы.
1.
3.
(5xi 4-4хзЧ-2х4 = 3,
х 1 — Х2 4- 2хз 4- %4 = 1»
4xi +Х2 4-2хз	=1,
Х\ +Х2 4- Яз 4- Х4 = 0.
xi 4- 2x2 - 4хз =
2xi + Х2 - 5хз = ■
k Xi - Х2 - ХЗ =
{XI +3x2 — 5хз = ■
2X1- Х2 + ЗХЗ =
3xi +2x2 — 5хз =
1,
-1,
-2.
-1,
4,
0.
2.
4.
xi + 2x2 + Зхз + 4x4 = 5,
Х\ + #2 + 2хз 4- 3x4 = 1 >
xi	+	Зхз	+	4x4	=	2,
^ Xi + Х2 + 5хз + 6x4 = 1 •
—5xi — 6x2 + 2хз — 6x4 = 4,
-xi + 3x2 + Зхз - 8х4 = —5,
3xi 4- 7x2 + #з — 2x4 = -7,
-xi - 2x2	=	2.
Х\ — 3X2 + 2хз — 3x4 — 2x5 — 4,
Х\ — Х2 — Хз — Х4 + Х5 =	1,
Х\ +2X2	+	х4	+	3x5 = —6,
3x1—2X2+ Яз — 3X4 + 2x5= 0-

§ 2. Метод Крамера
17
7.
Х[—3^2—5яз+ Х4—	3,
~Ъх [~\~7 Х2~\~ £3 + 1IX4 — 65,
8.
Х\ — 5x2— 8x3+ Х4=	3,
3xi+ Х2 — Зхз—5x4=	1,
Х[~	7хз+2х4=-5,
11 х'2+20x3—9x4= 20.
2xi—6x2 “ЬЗз^з 4" 12x4—	4,
3x1—5x2—4хз— 3x4 ——17.
Решить системы в указанных базисах.
{XI +2X2	-|- Х4+ЗХ5 = ~6,
2x1—4х2 + 4хз-5х4+ £5 = ^-6, в (хз, Х4, Х5).
2xi+3x2+ хз -f Х5=	2
r2xi+x2~ хз — 2x4	+Хб=4,
10. ^ Х1+Х2+ Хз 4- Х4 + Х5 + Хб=1,	в(х!,х2,хз)
Х\+Х2— 2^3 + 3#4 — ^5 + Хб = 8
■f
1. XI
4.
Ответы
1	1	1	_	t	о	15	3	13
1, Х2	^3	»	2»	XI	,	Х2	—	)	Х3	)
4	2	4
Х4 = 2.	3. xi = 2а — 1, ^2 = cv + 1, хз = а.
х\ = 2 — 2а,
Х2 =—2 -fa, л	.	Хб	=(2,—2,1,0),
*э=1+а,	“	базисе	(х,,х2,х3),	^	=	,	2
^ х4 = а
или
' X] = -2-20,
Х2 = Р,
х3 = 3 + /?,
k £4 = 2 4- /3,
5. X = (1,1,1). 6. Система несовместна. 7. X = (14,12,-4,5).
8.	Система несовместна.
9
в базисе (x1.x3.x4),
Х6 = (-2,0,3,2),
X,i = (-4,1,4,3).
, v	( а	17	25	7 а г	5	7 „	11.1	,	1 Л
• л0	=	(а,р,	—	-	— а -	-р,Ъ —	- а	-	-р,—	1- — а +	-р 1,
V	3	12	2	4	2	3	12	2/
X6=(o,0,f5,^).
10. Х0= (— - + — t[ — - t2, 5 — 6i 1 —Йз, — - + - t\ — - t2,t\,t2,ti \ >
\	3	3	3	333	/
Хб= (~i’5’ i'0’0,0)'
§ 2. Метод Крамера
1°. Если в системе (1) число уравнений равно числу неизвестных
(т = п):
(3)
anxi f а 12^2 ~f • .
a2i X] + <222^2 4" • ■
■ • *f Qln'E'n
• • f Oj2ti Xn
W anixl “Ь G,n2x2 f • ■
• • “b Q-nn n

18
Гл. /. Системы линейных уравнений
и система имеет единственное решение, то оно может быть найдено
при помощи формул Крамера
(4)
А
где Д — основной определитель системы (3), который символически
Х\ = —,
А
Х2 = 	 ,
А
записывается так:
Д=
ац
а12 •
а in
а21
а22 •
■■ а2п
ап\
ап2 ■
■ ■ Ann
(5)
а Дь Дг, , Дп получаются из Д, если в нем заменить соответствен¬
но первый, второй, 7г-й столбец на столбец из свободных членов.
Д называется определителем порядка п: он состоит из п строк и
п столбцов.
Сначала рассмотрим определение и вычисление определителей раз¬
личных порядков п.
2°. Если п = 1, то Д состоит из одного элемента (числа) Д = |ац|
(в этом случае вертикальные черточки означают «определитель», а не
«модуль»). По определению |ац| = ац.
Если 71 — 2, то Д —
ац а 12
а 21 0,22
= а\\а\2 — а21«22-
3°. Для указания способа вычисления определителя третьего и
более высоких порядков (см. (5)) введем необходимые понятия минора
и алгебраического дополнения.
Минором Mij элемента	определителя (5) называется опреде¬
литель порядка (п — 1), получаемый из (5) вычеркиванием строки с
номером г и столбца с номером j.
Величина Aij = (—1	называется алгебраическим дополне¬
нием элемента а^.
Например, для определителя третьего порядка
1 -2	3
-4	5	6
О	1 -2
имеем:
1)	ац = 1, Мц =
A[l = (-i)l+[’Mn=-16;
= —10 — 6 = —16,
2)	а\2 = —2, М\2 =
3)	а\з = 3,	М13	=
-4 6
0 -2
= 8, А\2 = (—1)1+2 • М[2 = —8;
-4 5
0 1
= -4, А[$ = (—1)1+3 • Mi3 = —4.
4°. Способ вычисления определителя порядка п выражается сле¬
дующей теоремой о разложении определителя по строке или столбцу
(под линией понимается строка или столбец).

§ 2. Метод Крамера
19
Теорема 1. Определитель порядка п (п ^ 3) равен сумме произ¬
ведений элементов какой-либо линии на их алгебраические допол¬
нения.
Теорема 2. Сумма произведений элементов какой-либо линии на
алгебраические дополнения другой параллельной линии равна нулю.
Например, для определителя из п. 3° воспользуемся разложением
по первой строке. Получаем
Д =
1 -2
-4 5
О 1
= 1 • (—16) + (-2) • (—8) + 3 • (-4) =
= -16 + 16 — 12 = -12.
5°. С теоретической точки зрения при вычислении определителя
безразлично, какую строку или какой столбец взять для разложения.
С практической точки зрения лучше брать ту линию, которая содержит
нулевые элементы, и чем их больше, тем лучше.
Например, для вычисления определителя четвертого порядка
Д =
2	3-14
5	10	0
0	6	0	3
0-8	0-4
лучше брать сначала разложение по третьему столбцу:
Д = -1 . (-1)1+3
Этот определитель третьего порядка разложим по первому столбцу:
= -5 -(-24 + 24) =0.
5
1
0
5
1
0
0
6
-3
= —
0
6
-3
0
-8
4
0
-8
4
Д = -5-
6
-8
6°. При вычислении определителей порядка п ^ 3 могут оказаться
полезными следующие их свойства.
1)	При транспонировании (так называется действие замены строк
столбцами и столбцов строками с сохранением их порядка) значение
определителя не изменяется. Таким образом, строки и столбцы опре¬
делителя равноправны.
2)	Если определитель содержит нулевую линию (т. е. состоящую из
одних нулей) или две параллельные пропорциональные линии, то его
значение равно 0.
3)	При умножении любой линии на произвольное число значение
определителя умножается на это число. Иными словами, общий мно¬
житель элементов некоторой линии можно вывести за знак определи¬
теля.
4)	При перестановке двух параллельных линий значение опреде¬
лителя изменяется на противоположное (определитель меняет знак).

20
Гл. I. Системы линейных уравнений
5)	Значение определителя не изменится, если к элементам про¬
извольной линии прибавить соответственные элементы любой другой
параллельной линии, умноженные на одно и то же число.
7°. Теорема 3 (Крамера). 1) Если для квадратной системы (3)
А ф 0, то она имеет единственное решение, которое определяется
по формулам (4).
2)	Если А = 0 и хотя бы один из определителей Aj Ф 0 {j =
= 1,2,, га), то система несовместна.
3)	Если А = А\ = Дг = ... = Дп = 0, то система (3) неопределен¬
но совместна.
Примечание. В случае 3) решить систему можно методом Жор¬
дана-Гаусса. Вместе с тем ее можно решить также методом опреде¬
лителей. Только формулы Крамера применимы не к системе (3), а к
модифицированной системе (см. пример 4 ниже).
8°. Определители третьего порядка встречаются чаще. Поэтому для
них (и только) покажем два простых правила вычисления.
а)	Правило параллельных линий заключается в следующем. К ис¬
ходному определителю приписываем два первых столбца и составляем
две группы произведений, как указано на диаграмме:
Д =
а2 у 2 ус2 \у
■аъ Уз
:ai
^ = (aib2C3 + Ь\С2аз + с^гЬз) -
аз
\ \
+
- (азЬ2С1 + ЬзС2а\ + сзаг^) - А - В.
Например,
1	чз ^ Y
,4,x3i<4/,
=(-5+о
+
■40)-(0 - 6- 60) = 21.
б)	Правило Саррюса (треугольников) заключается в том, что мно¬
жители произведений, составляющих суммы А и В, образуют фигуры,
показанные на следующей диаграмме:
А	В
= А- В.
Например,
2 Ьх^5
~35^с4
(показана только фигура А).
= (12 - 12 + 30) - (10 + 16 - 27) = 30 + 1 = 31

§ 2. Метод Крамера
21
Примеры с решениями
Пример 1. Решить систему уравнений
Г 2х\ - х2 = 3,
3xi И- 4x2 ~ 7.
Решение.
Д =
2 -1
3	4
= 2- 4 — 3 - (— 1) = 8 + 3-1- 11,
Ai =
3 -1
7 4
= 12 -(-7) = 19, Д2 =
2	-3
3	7
= 14-9 = 5.
19	5
По формулам Крамера: Х[ = —, х2 = —, или X =
Пример 2. Решить систему
( Ъх\	—	2x2	+	хз	=	—10,
< 2х\	+	3x2	—	4хз	=	16,
( ii	-	4x2	+	Зхз	=	—18.
Решение. Имеем:
Д =
3 -2	1
2	3-4
1 -4	3
= 3-
3 -4
-4	3
+ 2-
2 —4
1 3
+
2 3
1 -4
= 3(9 - 16) + 2(6 + 4) + (-8 - 3) = -21 + 20 - 11 = -12,
Д1 =
-10
-2
1
3
-10
1
16
3
-4
= 12,
Д2 =
2
16
-4
-18
-4
3
1
-18
3
= -24,
Аз
3 -2 -10
2 3 16
1	-4	-18
= 36.
Следовательно, х\ = -1, Х2 — 2, хз = —3, или X = (-1,2, -3).
Пример 3. Решить систему
{XI	-	2x2	+	Зхз	=	5,
2xi	+	3x2	—	хз	=	7,
3xi	+	х2	+	2х3	=	10.
Решение. Вычисление следующих определителей основано на
свойствах 2) и 5) из п. 6°. Имеем
II	1-2 3
= 0.
1
-2
3
И
1
-2
3
д =
2
3
-1
1 =
3
1
2
3
1
2
3
1
2

22
Гл. /. Системы линейных уравнений
Стрелка с числом обозначает умножение соответствующей строки на
это число и прибавление результата к указанной стрелкой строке.
Далее:
Ai =
5
-2
3
5
-2
3
5
-2
3
7
3
-1
12
1
2
-it =
2
0
0
10
1
2
10
1
2
10
1
2
= -2-
-2 3
1 2
— +14.
Система несовместна.
Пример 4. Решить систему
{х\	-	2x2	+	Зхз	=	5,
2xi	+	3x2	—	хз	=7,
3xi	“Ь	Х2	+	2хз	= 12.
Решение. Имеем (предлагаем самостоятельно убедиться в этом):
= 0,
= 0.
Система неопределенно совместна. Покажем, как обойтись формулами
Крамера в этом случае.
Если первое уравнение прибавим ко второму, то получаем систему
1
-2
3
5
-2
3
д =
2
3
-1
= 0,
Д1 =
7
3
-1
3
1
2
12
1
2
1
5
3
1
-2
5
Д2 =
2
7
-1
= 0,
Аз =
2
3
7
3
12
2
3
1
12
XI — 2x2 + Зхз	=	5,
3xi + Х2 + 2хз	=	12,
3xi + Х2 + 2хз	=	12
<=►
XI — 2x2 + Зхз =	5,
3xi + Х2 + 2хз =	12.
Не прибегая к методу Жордана-Гаусса, перепишем систему так (это
будет модифицированная система):
Г xi - 2x2 =	5	-	Зхз,
| 3xi + Х2 = 12 — 2хз.
Произвольно объявили хз свободной неизвестной, a xi и хг
ными. Это возможно потому, что
базис-
Д =
1 -2
3	1
Далее,
Д] =
д2 =
5 — Зхз —2
12-2хз	1
1	5 — Зжз
3 12-2x3
= 5 — Зхз + 24 — 4хз = 29 - 7хз,
= 12 — 2хз — 15 + 9хз = —3 + 7x3.

§ 2. Метод Крамера
23
Следовательно, х[ = ——— , Х2 =	3	+	7x3. Система имеет беско-
7	7
нечное множество решений.
29	3
Общее решение имеет вид xi =	а» Х2 =	b а, хз = а, или
Х0 = [ у - а,+а,а) , Хб
Пример 5. Решить систему
{2х[ + 2x2 - хз + Х4	+	4x6	=	О,
XI + 2x2 + 2хз + Зх5 + Хб = -2,
XI — 2x2	+	Х4 + 2x5	=	0.
Решение. Теорема Крамера непосредственно к этой системе не
применима, так как система не квадратная. Тем не менее систему
можно решить относительно трех каких-либо неизвестных, если со¬
ответствующий определитель отличен от нуля. Перепишем систему в
виде
{2x1 + 2x2 — хз = —Ж4 - 4X6,
х\ + 2x2 + 2хз — —2 — 3x5 — ^6,
Х\ — 2x2	= — Х4 — 2x5.
Основной определитель Д =
2	-1
2	2 = 16 ф 0.
-2 0
Вторая (модифицированная) система может быть решена по фор¬
мулам Крамера, если принять в качестве свободных членов выраже¬
ния, стоящие в правых частях уравнений (они содержат свободные
неизвестные, что и оправдывает их название). Рекомендуем проверить
равенства:
Ai = -4 — 10x4 - 18x5	18x6,	А2 = —2 + 3x4 + 7x5 - 9x6,
Д3 = —12 + 2x4 — 22x5 Н" Юхб.
Следовательно,
Ai	1	5	9	9
Х[ = 	 = - - - - Х4 - - Х5 - - Хб,
Д	4	8	8	8
13,7	9
Х2 = —	Х4 + — Х5 — — Хб,
8	16	16	16
3.1	П	, 5
ЖЗ —	“1“	X4	«3^5	Н” ^6
4	8	8	8
(перепишите общее решение в параметрической форме);

24
Гл. /. Системы линейных уравнений
Упражнения
Решить системы уравнений при помощи формул Крамера.
t	( 5х[	+ 3x2 =	8,	9	Г 3xi + 2хг = 8,
| 7xi	— 6x2 =	1.	’	| 6xi + 4x2 = 9.
Г XI — 2x9 — 4	(	^	=
3-	1 9т	4т ~	о’	4.	< Зх, - 5X2 + 2X3 =	о,
\2х,-4х2 =	8.	| х,-5*2+ 3хз = -1-
5.
6.
2^2 - £3 + 2X4 = -3,
Х\ + Х2 + Зхз —	10,
—2х[ +	— Зхз + 2x4 = —12,
3xi + 2x2	—	Х4	=	3.
' 3xi + 2x2 + 2хз + 2x4 = 9,
9xi — 8x2 + 5хз + 10x4 = 16,
5xi — 8x2 + 5хз + 8x4 = 10,
к 6xi — 5x2 + 4хз + 7^4 = 12.
{х\ + £2 + 4x3+ Я4+ Х5+Хб = -1,
3xi -	2X2 ~ Хз	+	2X4 + Х5	-	Хб =	1,
2xi	+ Зхз	—	2x4 + 2x5	+	£б = -3
относительно (х2,#з,Х4).
!х\ —	2x2 — хз	+	2x4 = 7,
2xi —	%2 + Зхз	-	= 5,
3xi —	3x2 + 2хз	+	Ж4 = 10.
Ответы
1.	(1,1).	2.	0. 3.	(2а +	4, а),	(4,0),	(0,-2).	4.	(1,1,1).
5.	(2,-1,3,1). 6.	(1,1,1,1). 7.	х2 = 1	+	^xi	+	хз	+	4-х5,
2	3
112	1	7	0	13	.	7	о г
ха, — - — -х\— -хз— -Х5, Хб = —--0X1— — яз;--Х5.	8. Система
3	3	3	6	3	3	3
несовместна.
§ 3. Метод обратной матрицы
1°. Матрицей размерности тп х п называется таблица, состоящая
из тип чисел или выражений, называемых элементами и расположен¬
ных в m строках и п столбцах:
(ап	а12	аы \
021	а22	а2п	(0)
aml	ат2	&тп /
Можно обозначать А = (а^-)™ j ™=1 или просто (а*Д
Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковые
размерности и элементы, стоящие на одинаковых местах	равны.

§ 3. Метод обратной матрицы
25
Матрица в	называется	нулевой, если все	ее	элементы равны нулю:
/о о	о о\
в	°	°	°	°	.
\о о	о о/
Если число строк 7п матрицы (6) равно числу столбцов п, то такая
матрица называется квадратной.
Элементы	квадратной	матрицы	ац,а22,	•••	, апп	(с	одинаковыми
строковыми и столбцовыми индексами) составляют главную диаго¬
наль. Другая диагональ матрицы называется побочной.
Квадратная матрица Е называется единичной, если все элементы
ее главной диагонали равны 1, а все остальные — нулю:
/1	0	о	0\
FJ = I 0	1	0	0	.
W	о	О	I/
Замена строк столбцами, а столбцов — строками (с сохранением их
порядка) называется транспонированием матрицы.
Обозначение:
(а\\	<121	...	ami\
а'2	022	:::	а.т2 Ь	iAT)T = A-
а>1п	а2п	•••	&тп /
2°. Для матриц определяются три действия: умножение матриц на
число, сложение (вычитание) и умножение матриц.
1)	Произведение матрицы А на число А есть матрица А А, или
АХ, каждый элемент которой равен произведению соответствующего
элемента матрицы А на число А.
Например,
/12\/3	6\
3	0	1	=	0	3	;
V	2 -4 /	\ 6 -12 /
0
1	-3
2)	Суммой А + В (разностью А — В) матриц А и В одинаковой
размерности называется матрица С, каждый элемент которой равен
сумме (разности) соответствующих элементов и bij. Имеем А + В =
= В + А.
Например, (2 — 1 4) + (0 2 5) = (2 1 9);
-1	4	-2 \	/ 5	6 2 \	/	-6	-2	-4
0-1	3 )	- ( 2	-1 3 )	=	(	-2	0	0
4	5	6/	\0	15/	V	4	4	1
3)	Произведение АВ определяется не для произвольных матриц А
и В. Оно имеет смысл только в том случае, когда число столбцов

26
Гл. I. Системы линейных уравнений
А равно числу строк В. При этом А - В есть матрица С, каждый
элемент Cij которой равен сумме последовательных произведений
элементов г-й строки матрицы А на соответствующие элементы
j-го столбца матрицы В\
Cij = di\b\j + ai2b2j 4 ... 4- aikbkj
{к — число столбцов матрицы А и число строк матрицы В).
Например:
/ 1-2 — 2-343-0 11—2-0 — 3-1 \ _ / —4 -2 \
ДО-241-3 — 2- 0 0 • 1 + 1 • 0 + 2 • 1	3	2	)'
-0-
/2-141-0	-2-2+1-1	2 • 3 — 1 • 2	\	/2	-3	4\
=	3-1+0	-3 2+ 0-1	33-0-2	=	3	-6	9	,
\ 0-1—01	-0-2 — 11	0-3+12	/	\ 0	-1	2)
сравнивая АВиВА, видим, что, вообще говоря, АВ ф ВА\
(5 6 7 8 ) * ( 3 4) невыполнимо (число столбцов первой матрицы
не равно числу строк второй);
л	Т>-	(	3 “5>\	(	4	5\/3 - 4 + 5- 2	3-5-5-3\/ 22	0 \
У	2	4 уд -2	3 J ““ у 2-4 — 4-2	2-5 + 4-3 7“^ 0 22 /'
о	л -	(	4	5 \	/3	-5 \	/	3 - 4 + 5-2 4-5-5-4\_/22	0 \
п' А	Д	-2	3 У	Д 2	4У“Д-2-3 + 3.2 2-5 + 3- 4 7“^ 0	22 )
—	это «редкий случай», когда АВ = ВА\
^6 з ) * ( _2 _4^ = ^о о)” произведение двух ненулевых мат¬
риц может быть нулевой матрицей.
3°.	Действия с матрицами обладают следующими свойствами:
1)	А{В	+	С) = АВ +	АС, (А + В)С =	АС + ВС,	{АВ)С =
= А(ВС).
2)	АЕ — ЕА = А (А — квадратная матрица).
Например,
2-3	1	\	/	1 0	0	\	/2-3	1
4	5	6	-	010	=	4	5	6
7	8 —9	/	\	0 0	1	/	\ 7	8-9
1	0 0 \	/2—3	1	\	/2-3	1
010	-	4	5	6	=	4	5	6
0	0 1/	V	7	8-9	/	\ 7	8-9

§ 3. Метод обратной матрицы
27
если А = ^ _j _2 ^ , то А3 - ЗА = (А2 — 3Е)А = в (указание: А2 =
—	А - А, А3 = А2- А).
3)	(АВ)Т = ВТАТ.
Например, в этом можно убедиться на следующих парах матриц:
-(?-)■ -ни)-
11 !)■ Hi)
5°. Квадратная матрица А называется невырожденной, если соот¬
ветствующий определитель (называемый определителем матрицы и
обозначаемый det А) отличен от нуля; если det А — 0, то А называется
вырожденной матрицей.
Матрица, обозначаемая А~\ называется обратной для матрицы А,
если А ■ А~] = А~х ■ А = Е.
Теорема 4, Если А — невырожденная квадратная матрица,
то для нее существует обратная матрица, которая может быть
определена по формуле
А~х =
1
f Ац Л21	А31
Ai2 А22	А32
det А
где Aij — алгебраическое дополнение элемента в det Л (см. § 2,
п. 3°).
6°. Система из тп линейных уравнений с п неизвестными может
быть записана в матричной форме так (согласно определениям произ¬
ведения матриц и равенства матриц):
А-Х = В,
где
/ Х[ >
/М
S2
X =
, в =
\Хп/
\Ьт/
(7)
(8)
Теорема 5. Если (7) — квадратная система (тп = п) и Д =
= det А ф 0, то ее решение может быть определено по формуле
X = А~1- В.
7°. Обратную матрицу можно найти методом элементарных преоб¬
разований Жордана-Гаусса, а вычисления производить в таблице Гауе-

28
Гл. I. Системы линейных уравнений
са. Блоки таблицы Гаусса делятся на две равные части. В левую часть
блока заносятся элементы квадратной невырожденной матрицы А, для
которой надо найти обратную матрицу А~х. Правая часть блока за¬
полняется элементами единичной матрицы той же размерности, что и
А. Выполняя преобразования над строками блока с целью получения
единичной матрицы в левой части таблицы, в правой ее части получаем
искомую обратную матрицу.
Примеры с решениями
Пример 1 (к п. 6°). Решить систему |	~	^	^
Решение. Имеем
А={1 1)’ А = |г ~*\=22’
А\\ =4, Л12 = —2, А2i = +5, А22 — 3,
Д-1 _ 1 ( 4 5\ _ / 2/11 5/22Л
“ 22 I'2 У ~	3/22^1 ■
А~1 В
1	( 4 5\/2\_ 1 ( 4-2 + 5-5\ _ 1 /33\	(Ъ/2\
22 \ 2 Ч {*) ~ 22 1-2-2 + 3- ь) ~	~	\\/2)	■
Получили х\ = 3/2, Х2 = 1/2, или X = (3/2,1/2).
Пример 2 (к п. 6°). Решить систему
( Ъх\ — Х2 4- Зжз = 5,
2х\ ~ Х2 + 4жз = 5,
х\ + 2^2 — Зяз = 0.
Решение.
А =
-(И 4)-
det А =
3 -1
2 -1
1 2
3
4
-3
-10.
Следовательно, А — невырожденная матрица, поэтому она обладает
обратной матрицей А~1.
Вычислим 9 алгебраических дополнений (см. §2, п. 3°):
Ап =
-1
2
4
-3
= -5,
А\2 = —
2
1
4
-3
= ю,
Ai3 =
2
1
-1
2
= 5,
А21 = -
-1
2
3
-3
= 3,
А22 =
3
1
3
-3
= -12,
А23 = -
3
1
-1
2
= -7,
Аз\ =
-1
-1
3
4
= -1,
Аз 2 = -
3
2
3
4
= -6,
А33 =
3
2
-1
-1
= -1.
Согласно теореме 1

§ 3. Метод обратной матрицы
29
Настоятельно рекомендуем проверить равенства А • А 1 =
= А~1 ■ А = Е.
Таким образом, по теореме 5, имея в виду обозначения (8), полу-
чаем
X = (^2) =-—( >0 -12 -б] (Т\ = fi') , т.е. ( ®2 = l!
W 10 V 5	-7	-1	)	W	VI/	1*3=1.
Пример 3(кп. 7°). Найти А \ если
/3-1	3
А =	2	-1	4
V 1	2-3
Решение. В левую часть первого блока таблицы Гаусса заносим
элементы матрицы А. В правую часть блока записываем единичную
матрицу третьего порядка. Переход от одного блока к следующему
осуществляем при помощи формул Жордана-Гаусса. Ведущие коэффи¬
циенты обведены. Рабочая таблица имеет следующий вид:
(3)
-1
3
1
0
0
2
-1
4
0
1
0
1
2
-3
0
0
1
1
-1/3
1
1/3
0
0
0
QZD
2
-2/3
1
0
0
7/3
-4
-1/3
0
1
1
0
-1
1
-1
0
0
1
-6
2
-3
0
0
0
-5
7
1
1
0
0
1/2
-3/10
1/10
0
1
0
-1
6/5
3/5
0
0
1
-1/2
7/10
1/10
Л_,	/	*/2	-3/1°	l/Ю	\
Получили А 1 =	-1	6/5	3/5	)
V	-1/2	7/10	1/10	)
Упражнения
Найти матрицы, обратные для данных матриц.

30
Гл. /. Системы линейных уравнений
Решить системы матричным способом.
( 2х\ + Ъх2 - 5жз = 0,	( —х\ Ъх2 -I- 2яз = 4,
9.	< —Ъх\ + 2x2 + 4а?з = 3,	10.	I	2х\	-I-	Х2	+	Зжз	=	6,
[ —х\ + 2x2 + Зжз = 2.	[	2x2 + жз = 3.
11.
Х2 + 2^3 -	Х4 =	4,
Зх\ — Х2 + 2x4 =	9,
2x2 + 2яз	=	—2,
2х\	+ Зяз +	Х4 =	15.
Ответы
1	/	9	17	11	\
1.	—	(	11	-13	5
76 V 15	3	-7	/
3.	1	f	-6	0	3	V 4. (
15	V	9	-5	-2	)	\ -
9 / 3/19	2/19	\
^ 5/19 -3/19 )
1/2
-1
1/2
-3/10 1/10
6/5	3/5
7/10 1/10
(1/3	1/6	-1/2	0
2/3	-1/6	-1	1/2
-1/3	1/3	1	-1
-1	-1/2	2	1/2
6. —
105
'175	35	-70	0	\
20	7	-12	8
150	42	-62	-17
-10	7	13	3	)
7.	Не существует. 8. Не существует. 9. X
10. Х = (1,1,1). 11. х = (1,2, 3,4).
(-13/31,17/31,5/31).
§ 4. Ранг матрицы. Исследование систем
1°. Обратимся к матрице (6) из §3, п. 1°. В ней фиксируем неко¬
торые к строк и к столбцов. Из элементов, стоящих на пересечениях
этих к строк и к столбцов, можно составить минор (определи¬
тель) Mfc порядка к. Он может равняться нулю или; нет. Наиболь¬
ший из порядков всевозможных отличных от нуля миноров Mfc, где
к = 1, 2,...,min(m, гг), называется рангом матрицы А и обозначается
rank Л. Очевидно, что rank Л ^ min(m, п).
2°. Простейший способ определения ранга матрицы состоит в при¬
ведении ее к ступенчатому виду или к единичным столбцам при
помощи последовательности элементарных преобразований, к которым
относятся:
—	умножение строки на произвольное число, отличное от нуля;
—	прибавление к некоторой строке любой другой строки, умноженной
на любое число;
—	вычеркивание нулевой строки.
Элементарным преобразованиям матрицы соответствуют элементар¬
ные преобразования системы уравнений.
Теорема 6. Элементарные преобразования матрицы не меняют
ее ранг.

§ 4. Ранг матрицы. Исследование систем
31
3°. Между рангом матрицы А и рангом системы уравнений
А ' X = В есть связь, выражаемая следующей теоремой.
Теорема 7. Ранг системы уравнений равен rank А.
4°. Иногда важно знать, совместна или нет система уравнений
А • X = В, не интересуясь самим решением этой системы.
Если к матрице А присоединим столбец В свободных членов систе¬
мы, то получаем расширенную матрицу А.
Теорема 8 (Кронекера-Капелли). Для совместности си-
стемы^ уравнений А X = В необходимо и достаточно, чтобы
rank А — rank А.
4°. Однородной называется система уравнений
d[\x\ + а 12X2 + ..
^ &2\Х\ + «22^2 + •
■	■ “Ь а\пхп — 0,
■	• + а,2пХп = 0,
^ ®ml*El “Ь ®т2^2 “Ь •
■ • Н“ О'тпЗ'п =
Эта система всегда имеет нулевое решение х\ = О, х2 = 0, ..., хп = О,
или Х° = (0,0... ,0). .
В связи с однородной системой возникает вопрос: при каких усло¬
виях она имеет нетривиальное (ненулевое) решение? Ответ выражается
через соотношение т и п в терминах ранга матрицы А, составленной
из коэффициентов системы при неизвестных.
Теорема 9. Если т <п, то система (9) всегда имеет ненулевое
решение.
Теорема 10. Система (9) имеет ненулевое решение, если
rank А < п.
Свойства множества ненулевых решений однородной системы выра¬
жаются теоремой.
Теорема 11. 1) Если X = (жь^г,... ,жп) — некоторое решение
системы (9), то XX (X — произвольное действительное число) тоже
является решением системы (9).
2)	Если X] и Х2 — два различных решения системы (9), то Ai^i +
+ Х2Х2, где Х\ и Х2 — произвольные действительные числа, также
являются решениями системы (9).
5°. Предположим, что однородную систему (9) можно разрешить
относительно г первых неизвестных (г — ранг системы (9)):
' х\ = aiir+ixr+i + ai<r+2£r+2 + •
^ Х2 = a2,r+lZr+i + 0;2,г+2^г+2 +
• * + OL\nXn ,
■ • ”1” OL2nXn ,
k Xf — 1 Xrp^. 1 Oif‘tf‘^-2Xr-\-2 ••
. -\- OirnXn.

32
Гл. /. Системы линейных уравнений
Неизвестные zr+i, яг+2, ■■■» хп являются свободными, и они мо¬
гут принимать произвольные действительные значения. Предположим,
что набор (жг+1,хг+2, ••• .^п) принимает последовательно значения
(1,0,0,... ,0), (0,1,0,... ,0), ..., (0,0,... ,0,1). Этим наборам соот¬
ветствуют частные решения Х\ = (ai,r+i,a2,r+i, ••• iOtr%r+\, 1,0,... ,0),
Х-2	(^1 ,t-\-2i &2,т -J- 2 с • * > С^г,г+2,0, 1,0, ... , 0), ...,	—7» (^Iti »	> ■ ■ ■ >	»
0,0,..., 0,1). Множество этих решений называется фундаментальной
системой решений (9).
Теорема 12 (о структуре общего решения о дно род'
ной системы). Общее решение однородной системы представля¬
ет собой линейную комбинацию решений фундаментальной систе¬
мы
*00 =	^2^2	+ • • • + Cn—rXn-r-t
где сь С2, ..сп_г — произвольные действительные постоянные.
Рассмотрим теперь неоднородную систему
011X1+	ai2£2	+	...+ а\пХп = Ь\,
«21^1+ 0'22%2 + • • • + а2пХп = Ь2,
(10)
Система (9) называется однородной системой, соответствующей неод¬
нородной системе (10).
Теорема 13 (о структуре общего решения неодно¬
родной системы). Общее решение Хон неоднородной систе¬
мы (10) равно сумме Х00 + Хч, где Х00 — общее решение соот¬
ветствующей однородной системы (9), а Хч — некоторое частное
решение системы (10).
Примеры с решениями
Пример 1 (к п. 1°). Дана матрица
/	1	2	3	5	8	\
А =	0	1	4	6	9	.
V	0	0	1	7	10	/
Определить ее ранг.
Решение. Имеем
Mi = | 11 ф 0, М2 —
1 2
0 1
/о, М3 =
12 3
0	1	4
0 0 1
/о.
Миноры более высоких порядков составлять нельзя.
Ответ: rank А = 3.
Пример 2 (к п. 2°). Найти ранг матрицы
А =
3-112
7-121
11	-1	3	0
10 -2 3 3
-8 \
-12
-16
-20 )

§ 4. Ранг матрицы. Исследование систем
33
Решение. После вычитания первой строки из всех остальных (из
последней — с множителем 2) получаем эквивалентную матрицу
1	2
1	-1
)■
Поскольку три строки промежуточной матрицы были пропорциональ¬
ны, то из них можно получить две нулевые строки, которые мы отбро¬
сили.
3	-1
Ясно, что rank А = 2, ибо М2 =
= 4.
Пример 3(кп. 4°). Выяснить, разрешима ли система
Х\ + 2X2 -	£3 + Зж4 —	Z5	=	О,
2x1—	Х2 4-	Зхз + Х\—	Х5	= — 1,
х\ —	4"	хз 4- 2x4	=	2,
k 4xi	4-	Зхз 4- 6x4 — 2x5	=	5.
Решение. Напишем расширенную матрицу и получим в ней как
можно больше единичных столбцов. Каждый раз ведущий коэффици¬
ент обведем кружком:
/1
2
-1
3
-1
0\
( 3
0
1
7 -1
4 \
2
-1
/•"Ч
3
1
-1
-1
rs./
1
0
2 -
-1 0
-3
1
б)
1
2
0
2
1 -
-1
1
2 0
2
\ 4
0
3
6
-2
5/
\ 4
0
3
6 -2
Ч
/
2
0 (
J)
8
0
7\
/ 2
0
-1
8 0
7 '
1
0
2 -
-1
-1
—3
1 ~
5
0
0
15 -1
11
-1
1 -
-1 -
-2
0
-2
1
-3
1
0
10 0
-9
V
2
0 -
-1
8
0
и /
^ 0
0
0
0 0
4
На языке (в терминах) уравнений последней строке соответствует
уравнение Oxi 4- Охг + Охз 4- 0x4 4- Oxs = 4 — это противоречивое урав¬
нение. Однако нас интересует матричная терминология. Напомним, что
А — основная матрица, она расположена левее вертикальной черты.
Последняя ее строка нулевая, значит rank А не может быть больше,
чем 3. А минор порядка 3, не равный нулю, существует:
М3 =
= -5.
В расширенной матрице последняя строка ненулевая. Найдем в ней
минор М4, не равный нулю. Вот он:
7
М4 =
2 0-1;
5 0	0.	11
-3-L- -0_;_ -9
0 0	0,	4
2
0
-1
= 4-
5
0
0
-3
1
0
= -5-4 = -20
(разложили по последней строке). Итак, rank А = 3 < 4 = rank А.
Система несовместна (теорема 6).
2	К. Н.Лунгу, Е. В. Макаров

34
Гл. I. Системы линейных уравнений
Пример 4 (к п. 5°). Решить систему
= 14.
Решение. Решим сначала однородную систему
= 0.
Вычтем из третьего уравнения сумму первых двух. Получим три¬
виальное уравнение, которое отбросим. Затем из второго уравнения
вычтем первое. Получим равносильную систему
{х\+ 2x2 — х3 + Ж4 — 2ж5 = 0,	{х\-\- 2x2	Х3+Х4-2x5=0,
|	4хз	—	2x4	+	4^5 = 0	|	2хз-Х4+2x5 = 0;
Свободным переменным (x2,X3,xs) дадим последовательно значе¬
ния (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1). Получим три частных решения Х\ =
= (-2,1,0,0,0), Х2 = (-1,0,1,2,0), Хъ = (0,0,0,2,1). Они составля¬
ют фундаментальную систему решений однородной системы. Общее
решение однородной системы имеет вид
Х00 = с\Х[ + С2Х2 + С3Х3 =
Для получения общего решения неоднородной системы нужно ка¬
кое-то частное решение. Заметим, что Хч = (2,1,3, —	1)	удовлетворя¬
ет неоднородной системе (откуда взялось это решение-, несущественно).
Тогда
.Yqh = *00 Хч = (— 2cj — С2 + 2, С\ + 1, С2 +3, 2с2 + 2сз — 2, С3 + 1),
где ci, С2, сз — произвольные действительные постоянные (параметры).
Отсюда при различных значениях постоянных ci, С2, сз получаем
различные частные решения исходной системы.
= С! (-2,1,0,0,0) + с2(-1,0,1,2,0) + с3(0,0,0,2,1).
Упражнения
Матричным способом исследовать системы на совместность.
г х\ + 2x2 + Зхз =	2,

§ 4. Ранг матрицы. Исследование систем
35
(2х\ — 3x2 " 8x3 — 6x4 =	1,
4х[ - 3x2 " Юяз	=	5
-4xi 4- 5^2 4 14хз 4- 8х4 = —3.
( 6xi 4* 8x2 2хз 4" 2x4 =	1,
4.	< 4xi - 3x2 4- Зхз - 2х4 =	1,
[ xi - 7x2 + 2хз - 3x4 = -5.
Решить системы тремя способами: при помощи формул Крамера,
методом Жордана-Гаусса и методом обратной матрицы.
8.
xi + 2x2 4 Зхз = О,
2xi + 4x2 4 5хз = ^ 1,	6.
3xj + 5x2 4 бхз =	1-
2xi + 3x2 — Зхз + Х4 = О,
3xi — 2x2 4- 4хз — 2x4 = 3,
2xi + Х2 + 3X4 = 4,
3xi 4- 3x2 - 4хз + 2x4 = 2.
Исследовать системы на совместность,
f 3xi 4- 2хз + Х4 4- х5 = -2,
Xl 4 Х2 4	Хз	4 Х4 + Х5	= —3,
4xi + 2X2 ■+■	ХЗ	+ Х4 + Х5	= -5.
Xl - Х2 — ХЗ - Х4 -h	Х5 =	1,
3xi 4" 2x2	— Х4 4"	Х5 =	О,
2xi “Ь 3x2 — 2хз 3x4 Х5 = 5,
5.
7.
9
2xi + Х2 4 хз = 4,
Xl — Х2 4 Хз = О,
3xi 4 Х2 4 2хз = 5.
r 2xi 4- 4x2	4- 4хз 4-	6х4	=	18,
4xi 4- 2x2	4- 5х3 +	7x4	=	24,
3xi 4- 2x2	4- 8x3 +	5x4	=	13,
^ 2xi 4" 8x2	4" 7хз -1-	3x4	—	6.
10.
, 6xi 4- 4x2 — Зхз 4- Х4 4 3x5 = 11.
Найти общие решения систем, если известно одно частное реше¬
ние Хч.
f2xi-3x2+ ХЗ	+Хб=	6,
x	1 4"2x2 Зхз 4"Х4 4" х5 =-9,
,3xi— хг + 2хз +Х4 — ЗХ5 + Х6= 1, Хч
Х\ —2х2 + 3хз— Х4 -(-2x5	—	—2,
2xi- Х2 — Зхз-2x4	4- Хб = —11,
Х2+Зхз- Х4 + 2Х5+ Хб= -5,
, Зх 1 - 2x2 4- 9хз - 4x4 4- 4xs 4- 4хб = — 18,
xi	-J- хз -J- 2x4 4" 3x5 =	8,
—XI + 3x2	—	3x4	—	Х5	=	—2,
2xi - 2x2 4- Зхз 4- 2x5 = 15,
11.
12.
13.
(1,-2,3,-1,2,-3).
Хч=(1,0,-1,2, 1,-2).
Хч = (2,-1, 1, -2,3).
Ответы
1.	Несовместная. 2. X = (1,2,—1). 3, Неопределенная. 4. Несов¬
местная. 5. X = (5, -4,1). 6. X = (2,1, —1). 7. X = (1,-1,0,1).
8.	X = (2,0,-1,3), det^ = 296. 9. Совместная. 10. Несовместная.
2*

Глава II
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
НА ПЛОСКОСТИ
§ 1. Декартовы системы координат.
Простейшие задачи
1°. Введение координат позволяет решать многие задачи алгебра¬
ическими методами и, обратно, алгебраическим объектам (выражени¬
ям, уравнениям, неравенствам) придавать
геометрическую интерпретацию, нагляд¬
ность. Наиболее привычна для нас пря¬
моугольная система координат Оху: две
взаимно перпендикулярные оси коорди¬
нат — ось абсцисс Ох и ось ординат Оу —
с единой единицей масштаба.
2°. Расстояние между данными точка-
ми Mi(xi,yi) и М2(х2,у£) (рис. 2.1) вы-
числяется по формуле d — d{M\,M2) =
= М\М2 = у{Х2 - Х\)2 + (У2 - у\)2 -
3°. Будем говорить, что точка М(х,у)
делит отрезок М\М.2 в отношении А, ес¬
ли ММ\ : ММ2 = А (рис. 2.2). Если
М\{х\,у\) и М2(х2,У2) — данные точки,
то координаты точки М определяются по формулам
^ _ Х\ + Хх2	_	У1	+	Ху2
х —	,	у	—	.
1	+ А	1	+	А
При А= 1 точка М делит М\М2 пополам и
	*1 +*2 ni _ У1+У2
•ь —	~	> У —	•

§ 1. Декартовы системы координат. Простейшие задачи
37
Примеры с решениями
Пример 1. Отрезок АВ делится точкой С(-3,0) в отношении
АС	2
А = — = - . Найти длину АВ, если задана точка А(—5, —4).
СВ	3
Решение. 1) Для нахождения искомой длины по формуле п. 2°
необходимо знать координаты точки В(х2,У2), которые определим по
формулам п. 3°.
2)	Имеем:
г 2	„	2
-5+-Я2	-4+-У2
-3	=		— ,	0=		— ,
, 2	, 2
1 + -	1 + -
3	3
откуда Х2 = 0, у2 = 6. Итак, В(0,6).
3)	АВ = ^/(0 + 5)2 + (6 + 4)2 = VT25 = 5^5.
Ответ. Ъу/Ъ.
Упражнения
1	р Даны	координаты	вершин	треугольника ABC:	А(2, -5),
В(5,-1), С(—4,3).
1)	Найти длины сторон и определить вид треугольника по углам.
2)	Найти длины медианы ВМ, высоты СН и биссектрисы AD.
3)	Найти площадь треугольника и координаты точек М и D. Сде¬
лать чертеж.
2.	Дан треугольник ABC с вершинами -4(5,5), В( 1,-2), С(-1,2).
1)	Определить вид треугольника,
2)	Найти координаты центра окружности, описанной около тре¬
угольника.
3)	Найти площадь треугольника и угол С. Сделать чертеж.
3.	Даны три последовательные вершины параллелограмма .4(11,4),
В(— 1,1), С(5,7). Определить координаты четвертой вершины.
4.	Даны вершины треугольника А(х\, у\), В(х\,у2), С(х$,у$). Опре¬
делить координаты точки пересечения медиан треугольника.
5.	Отрезок AD разделен на три равные части точками В(0,-1),
С(2, -3). Найти координаты концов отрезка AD.
6.	Отрезок, заключенный между точками Л(0, 2) и £(8,0), разделен
в таком же отношении, в каком находятся расстояния этих точек от
начала координат. Найти координаты точки деления.
7.	От точки j4(1, — 1) до точки В(—4,5) проведен отрезок. До какой
точки нужно его продолжить в том же направлении, чтобы длина его
удвоилась?

38
Гл. II. Аналитическая геометрия на плоскости
Ответы
1.	1) 5, 10, л/97, остроугольный; 2) 6, у, у; 3) S = 24, М(—1,1),
D ^2,	2.	1)	прямоугольный; 2) 0(2,5,1,5); 3) 15, 90°. 3. D( 17, 12).
4.	Q (art + х2 + хз), ^ (j/i + У2 + J/з)^ • 5. (-2,1), (4, -5). 6. (1,6,1,6).
7.	(-9,11).
§ 2. Полярные координаты
1°. Если прямоугольная система координат задается двумя взаимно
перпендикулярными осями координат Ох и Оу, то полярная система
задается одним лучом (например, Ох), который обозначается Or и
называется полярной осью, а точка О — началом полярной оси, или
полюсом. В полярной системе координат положение точки М на плос¬
кости определяется двумя числами: углом tp (в градусах или радианах),
который образует луч ОМ с полярной осью, и расстоянием г = ОМ
точки М от начала полярной оси. Записываем М = М(г, ip). При этом
для точки О: г = 0, ip — любое.
Если поворот от оси От к ОМ совершается против часовой стрелки,
то кр считают положительным (рис. 2.3, а), в противном случае —
отрицательным.
Переменный луч ОМ описывает всю плоскость, если у? изменять в
пределах [0; 27т) или (—7г; 7г].
Иногда есть смысл считать, что ip £ (-00; +00). В таком случае луч
ОМ описывает плоскость бесконечное множество раз (иногда говорят,
что ОМ описывает бесконечное множество плоскостей).
2°. Можно совместить ось Or с лучом Ох прямоугольной системы
Оху, для того чтобы получить связь полярных координат точки М с
прямоугольными (рис. 2.3,6). Имеем очевидные формулы:
£ = rcos<£>, y = r simp.	(1)
Формулы (1) выражают прямоугольные координаты через полярные.

§ 2. Полярные координаты
39
Полярные координаты выражаются через прямоугольные по фор¬
мулам
г = \/х2 + у2, tgip=~ (ху£0).	(2)
х
Формула tgip = - определяет два значения полярного угла ip. Из этих
X
двух значений следует брать то, которое удовлетворяет равенствам (1).
3°. Если в системе Оху привычно иметь дело с функцией у = у(х)
(хотя можно их — х(у)), то в полярной системе Oipr столь же привыч¬
на функция т — г((р).
4°. Построение кривой г = r(ip) выполняется по точкам (чем их
больше, тем лучше) с учетом правильного анализа функции г = г(<р)у
обоснованных выводов о ее свойствах и точности глазомера при прове¬
дении линии.
Примеры с решениями
Пример 1. Построить кривую г = ip (линейная функция).
Решение. Ясно, что ip измеряется в радианах, или <р — число,
иначе г = ip не имеет смысла.
Функция г = ip определена толь¬
ко при <р ^ 0, и (р может из¬
меняться от 0 до +оо. Точки с
полярными координатами (ip, ф) и
{ip + 27Гп, ip + 2тгп) расположены на
одном луче (рис. 2.4).
Таким образом, график линей¬
ной функции представляет собой
спираль с началом в точке О. Эта
спираль — след точки М = М(гу (р)
при неограниченном повороте теку¬
щего (переменного) отрезка ОМ вокруг точки О против часовой
стрелки.
Пример 2. Построить кривую г = 2 sin 3ip.
Решение. Проведем анализ данной функции.
1)	Эта функция нечетна, поэтому можно ограничиться значениями
(р ^ 0, а тогда 0 ^ г < 2.
2)	Поскольку г ( <р +	)	=2	sin	3
(*+j)=2si
sin(3(^+27r)=2 sin 3 <p,
то r = 2sin3ip — периодическая функция с периодом 2тт/3. Можно
предположить, что будет какое-то «повторение» графика (это в самом
деле имеет место, но аналогия с графиком у = sin3x не совсем адек¬
ватная).

40
Гл. II. Аналитическая геометрия на плоскости
3)	Функция г = 2 sin Ъу> имеет смысл, если (р €
. Этот сектор
плоскости обозначен на рис. 2.5 знаком «+». Если же у? £ ( - ; —
О?)’
то 3<р G (7г;27г), а тогда sin3<^ < 0, и
равенство г = 2sin3ip не имеет смыс¬
ла. На рис. 2.5 этот сектор плоскости
заштрихован (изьят из рассмотрения).
4)	Далее рассмотрим промежуток
Ч> €
[0;
и составим таблицу значе¬
ний функции г = 2sin3<£>, 0 ^ (р ^	.
Для того чтобы получить как можно
больше точек (<р,г) искомой кривой,
берем набор табличных значений для
3<р, т.е. как будто мы заполняем сначала третью строку этой таблицы,
а затем первую строку, вторую и четвертую (г = 2sin3<£>).
<р, град
0°
10°
15°
20°
30°
40°
45°
50°
60°
<Л рад
0
тг/18
7г/12
7г/9
7г/6
2тг/9
7г/4
5тг/18
7Г/3
3 <р
0
7г/6
7г/4
7г/3
7г/2
2тг/3
Зтг/4
5тг/6
7Г
г
0
1
у/2
V3
2
V3
у/2
1
0
5)	На девяти различных лучах в промежутке (р €
0;
надо
построить точки на обозначенных в таблице расстояниях. Правда, на
первом и последнем лучах соответствующие точки кривой совпадают
с началом координат. Конечно, мы делаем это весьма приблизительно,
но именно тут точность глазомера даст наиболее эффективный чертеж.
Хорошо при этом иметь под рукой транспортир и циркуль.
6)	Мы получили «лепесток» (рис. 2.6) — это треть графика. Другие
два лепестка расположены внутри углов со знаками «+». Периодич-
2тт
ность сводится к повороту нашего рисунка на угол —, затем повторе¬
нию этого поворота.	3
7)	Полученная трехлепестковая фигура — результат периодично¬
сти. В этом состоит отличие от периодичности функции у = sin3x:
все точки вида (х + 2im,y), п £ Ъ, различны, а здесь из точек вида
(<р+ —п,г) только три различны (при п = 0, п = 1, п = 2), остальные
геометрически совпадают с одной из них (рис. 2.7).

§ 2. Полярные координаты
41
Рис. 2.7
Пример 3. Построить кривую г = 3 cos - .
Решение. 1) Для того, чтобы построить график рассматриваемой
функции, ограничимся плоскостью Оху, на которой 0 < р < 2тг.
37Г
2) Если <р е.
cos - < 0.
0;
, то cos - ^ 0, а если ю е (—\2п), то
3	V	2	/
3) Остается взять табличные значения для - и построить соответ¬
ствующую таблицу:
0
тг/2
Зтг/4
7Г
Зтг/2
W3
0
7Г/6
7г/4
7Г/3
7г/2
т
з
3\/3
3\/2
3
0
2
2
2
4)	Соединяя соответствующие точки, получаем линию (рис. 2.8).
5)	Если бы мы изменяли ip в проти¬
воположную сторону: (р €
2
то
получили бы аналогичную линию; она
обозначена пунктиром.
6)	Для того чтобы получить полную
замкнутую линию — график функции
г — 3 cos - , рассуждаем так.
Нам надо иметь для ip промежуток
длиною в период Т = 67г. Далее,
a)	cos - > 0 при —- < - < -, т. е. <р £
3	2	3	2
Зл/э
2
О /3 *
2 Ч
/
/
у
Рис. 2.8
б)	cos - < 0 при - < -
3	2	3
37Г
< — , т. е. (р е
2
37Г	37Г
~~2~’ Т
37Г # 97Г
~2 ’ 2

42
Гл. //. Аналитическая геометрия на плоскости
в)
г)
37Г .
2
г = 3
7)
От — — до — имеем как раз один период Г = Ь-к.
2	2
~	37Г	37Г
Этот промежуток делим на две половины — —; —
[ 2 2
На первой его половине реализуется полная линия,
cos -, на второй она не определена.
Остается изобразить эту линию на чертеже — это OABCDEO
(рис. 2.9). Угловые координаты этих то¬
чек таковы:
о(^),
С(0), ад, о(^
Реализована эта линия при полутора
полных оборотах текущего радиуса око¬
ло начала координат, или как бы на двух
листах-плоскостях.
Упражнения
1.	Определить расстояние между точками М^З, ^ и iV^4,
2.	Определить полярные координаты точки, симметричной точке
M(p,ip) относительно начала координат.
3.	Найти полярные координаты точки, симметричной точке М(р, <р)
относительно прямой, проходящей через полюс перпендикулярно по¬
лярной оси.
4.	Составить уравнение полупрямой, проходящей через полюс и
образующей с полярной осью угол а.
5.	Составить уравнение окружности диаметра а, если полюс лежит
на окружности, а полярная ось проходит через центр окружности.
6.	Построить линии, заданные полярными уравнениями:
1)	т — 5; 2) г = 1 + cosip\ 3) г = 2 - sin^; 4) г — 3 — sin^cos^;
5)	г = л/8 cos 6) г = у/cos (р ; 7) г = yjsinip — cos ip ; 8) г = \/cos2;
9)	г = i/sin2 ip .
Ответы
1. 5. 2. Mi (ру ip + 7г). 3. Mi (р, 7г — <£>). 4. ip = а. 5. р = а cos </?.

§ 3. Линии первого порядка
43
§ 3. Линии первого порядка
1°. Прямая линия на плоскости отождествляется с множеством
всех точек, координаты которых удовлетворяют некоторому линейному
уравнению. Различают следующие виды
уравнения прямой:
1)	Ах + By + С = 0, где А и В не
равны одновременно нулю, — общее урав¬
нение прямой;
2)	у = kx + b — уравнение прямой
с угловым коэффициентом к\ при этом
к = tga, где а — угол наклона прямой к
оси Ох (точнее, а — угол, на который на-
до повернуть ось Ох против часовой стрелки до совпадения с прямой,
рис. 2.10); b — величина отрезка, отсекаемого прямой на оси Оу\
3)	- + v- = 1 (а ф 0, Ъ Ф 0) - уравне-
а b
ние прямой в отрезках. Здесь а и b суть
отрезки, отсекаемые прямой от осей Ох
и Оу соответственно (рис. 2.11);
4)	х cos <£> + у sin <£> — р = 0 — нормаль¬
ное уравнение прямой. Здесь <р — угол
между положительным направлением оси
Ох и перпендикуляром ОР, \р\ — длина
перпендикуляра ОР (рис. 2.12).
Примечание. Заметим, что одна прямая (один геометрический
объект) может быть задана формально
разными уравнениями. Это означает, что
соответствующие уравнения для одной
прямой должны быть равносильными, а
тогда каждое из них можно привести
(преобразовать) к любому другому (кро¬
ме некоторых исключительных случаев).
В связи с этим отметим соотношения меж¬
ду параметрами различных уравнений:
/	А 1	ъ
к = — — , к = — , cos w =
В	а
у/'а + в2 ’
Р =
у/А2 + В2 ’
С
\/А2 + в2
и пр.
2°. Уравнения конкретных прямых I.
1)	У — 2/о = к(х — х0) — I проходит через данную точку Мо(хо, уо)
и имеет данный угловой коэффициент к (или данное направление а:
tga = к) при условии, что I $ Оу (рис. 2.13);
2)	х — хо = 0 при условии, что I || Оу\

44
Гл. II. Аналитическая геометрия на плоскости
3)	у — У\ = ——— (х — #1) — I проходит через две данные точки
х2 ~~ х\
М\{х\,у\) и М2(х2,у2) при условии, что Х2 Ф Х[ (рис. 2.14, а);
4)	х — х\ =0 при условии, что х2 — х\ (рис. 2.14,6).
У<
1 а
si
б
'Щ(хиу\)
\л/2(х2,г2)
'M2(xhy2)
0 \
X
Х = Х\
3°. Угол в между прямыми 1\: у — к\х + Ь\ и & у ~ к2х + Ь2
определяется через тангенс: tgO = ——— ; стрелка означает, что угол
1 -|- k2k\
в определяется как угол поворота от прямой 1\ к прямой 12.
Отсюда, в частности, следуют признаки параллельности и перпен¬
дикулярности прямых:
/1 || I2 & к\ = fc2l U -L /2 к\ • к2 = — 1, или к2 = —-.
к\
4°. Точка пересечения двух прямых /1 и 12 определяется решением
системы, составленной из уравнений этих прямых:
/ п; . / А\х + В\у + С\ =0,	f у = к\х + Ъ\,
1	2 \ А2х + В2У + С2 = 0	\ 2/ = к2х + Ь2.
5°. Расстояние от данной точки Мо(хо,уо) до данной прямой /:
Ах + By + 0 = 0 определяется по формуле
d(Mo, /) = \Лх9 +	= |aj0 cos <р + у0 sin <р - р\.
v А2 + В2
\С\
В частности, d(0, /) =	1	=	|р|	—	расстояние	от	начала	ко¬
ординат до прямой I.
6°. Пересекающиеся прямые /1 и /2 определяют два смежных угла.
Уравнения биссектрис этих углов имеют вид
А\х + В\у + С[ _ А2х + В2У + &2
yjА\ + В\	yjA\ + в\
Эти биссектрисы взаимно перпендикулярны (предлагаем доказать это).
7°. Множество всех прямых, проходящих через точку Мо(хо,уо),
называется пучком прямых. Уравнение пучка имеет вид у — уо =

§ 3. Линии первого порядка
45
= к(х - хо) или а(А\х + В\у + С\) + fi(A2X + В22/ + О?) = 0 (а, /3 —
произвольные числа, Мо — точка пересечения 1\ и 1%).
8°. Неравенство Ах + By + С ^ 0 (< 0) определяет полуплоскость
с ограничивающей ее прямой Ах + By + С = 0. Полуплоскости при¬
надлежит точка (жо. 2/о), в которой Ах$ + Вуо + С > 0 (< 0).
Примеры с решениями
Зх — 2	2t/	1
Пример 1. По данному уравнению прямой —			— = 1
найти ее
1)	общее уравнение;
2)	уравнение с угловым коэффициентом;
3)	уравнение в отрезках;
4)	нормальное уравнение.
Решение. 1) Приведя к общему знаменателю, получим общее
уравнение прямой (п. 1°) Зх - Ау — 4 = 0.
2)	Отсюда легко получить уравнение прямой с угловым коэффици-
3 1
ентом у — - х — 1.
4
3)	Уравнение	в отрезках	получим из общего	уравнения	Зх — \у = 4
почленным делением	на	свободный член:	—	н——	=	1.
4/3	-1
4)	Для получения нормального уравнения найдем cos<p =
А	3	3.	В	4
= —_	=	-;	sinu?	=	..	=	—	и
у/ А2 + В2	y/STB 5	у/А2	+	В2	5
С	—	4	4	3	4	4
р —	-	= — — = - . Таким образом, -х — -у — -=0 —
у/ А2 + В2	5	5	к	5	5*	5
нормальное уравнение.
Пример 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку
пересечения прямых х + у — 2 = 0 и Зх + 2у - 5 = 0 перпендикулярно
к прямой Зх + 4у - 12 = 0.
Решение. 1) Координаты точки Мо пересечения прямых найдем,
решив систему
{ Зам-*2у = 5	=»■	М«’1>
2)	Угловые коэффициенты перпендикулярных прямых связаны
(п. 3°) так: /сг = — 1/fci. Угловой коэффициент данной прямой равен
к\ = — — = — - (п. 1°). Значит, к2 =	 — = - .
В	4	-3/4	3
3)	Искомое уравнение прямой, проходящей через точку Мо(1,1) и
имеющей угловой коэффициент &2 (п. 2°), запишем в виде у — 1 =
= - (х — 1). Приведем его к общему виду: 4х — Зу — 1 = 0.
3
Пример 3. Дан треугольник с вершинами Л(1,—1), В(—2,1),
<7(3, —5). Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из верши¬
ны А на медиану, проведенную из вершины В.

46
Гл. II. Аналитическая геометрия на плоскости
Решение. 1) Сделаем схематический чертеж (рис. 2.15).
2)	Медиана ВМ точкой М делит отрезок АС пополам, зна¬
чит (п. 3°),
ха + хс 1+3
Хм
Ум
У А + ус _
2
= 2,
= -з,
т.е. М(2,-3).
— 3 — 1
3)	Уравнение ВМ запишем (п. 2°) в виде у — 1 = 	(х + 2),
или у + х + 1 = 0 :
= -1.
2	+ 2
4)	Из условия AN J_ BN следует, что kAN = 1 (п. 3°).
5)	Искомое уравнение имеет вид: у — уо = к(х — хо), или у + 1 =
= 1(*-1).
Ответ, х ~у — 2 = 0.
Пример 4. Дан треугольник с вершинами А(7,0), 5(3,4),
С(2, -3). Найти уравнения стороны АВ, высоты CD, биссектрисы BE,
их длины и угол А. Определить вид треугольника по углам. Описать
треугольник системой неравенств. Сделать чертеж.
Решение. Чертеж построен (рис. 2.16).
2)	\АВ\ = у/(3 - 7)2 + (4 - О)2 = л/42 + 42 = 4л/2	.
3)	Угловой коэффициент кАВ = — 1.
4)	CD 1 АВ =► /cCD = 1,	(CD): у + 3 = \(х - 2);	х	-	у - 5 = 0.
5)	Для составления уравнения биссектрисы BE (п.	6°)	нужно	знать
—	3 — 4
уравнения ВС и АВ. Найдем уравнение (ВС): у — 4 = ——— (х —
-	3) => 7х — у - 17 = 0. Теперь (В£): ж + ^~7 = -	17	^Зх	+
'	V2	V50
+ 0-13 = 0.
6)	Для нахождения высоты CD используем формулу п. 5°:
d{C, АВ) =
1
со
1
см
-8
VI + 1
ч/2
= 4л/2 -

§ 3. Линии первого порядка
47
7)	Длину биссектрисы BE найдем так. Точка Е есть точка пересе¬
чения двух прямых BE и АС. Найдем уравнение АС:
у — 0 = —-—- (х - 7); у = - (х - 7); Зх - Ъу - 21 = 0.
2—7	5
Координаты точки Е найдем как решение системы
( Зх + з/ — 13 = 0,	_	43			4
1 Зх — 5j/ - 21 = 0	=*	х~	у~	i	•
Итак, Е ( —, — - ). Теперь определим расстояние BE:
16VT6
8)	Угол А находим по формуле tg^4 = ——— , где ki = kBc = 7,
1 + k\ кч
—	1 — 7	4	а
/с2 = кВА = — 1. Имеем: tg Л = 	 = - , а тогда Л = arctgf
1	— 7	3
9)	Пусть а, 6, с — стороны треугольника, с — большая из них.
Если а2 + Ь2 = с2, то треугольник прямоугольный, если а2 + Ь2 < с2 —
тупоугольный, если а2 + 62 > с2 — остроугольный, Квадраты сторон
нашего треугольника равны: АВ2 = (3 — 7)2 + (—4 - О)2 = 32, АС2 =
= 52 + З2 = 34, ВС2 = I2 + 72 = 50. Поскольку DC — большая сторона
и АВ2 + АС2 > ВС2, то треугольник остроугольный.
10)	Уравнение (АВ): х + у - 7 = 0. Треугольник ЛВС находится по
отношению к этой прямой в полуплоскости, содержащей точку С(2, -
-3). В этой точке левая часть уравнения равна 2-3-7 =-8 <0. Все
внутренние точки треугольника лежат в полуплоскости х + у - 7 <0.
Уравнение (АС): За: — 5т/ — 21 =0. Подставим в левую часть коор¬
динаты точки £(3,4): 9 — 20 — 21 <0. Внутренние точки треугольника
ABC лежат в полуплоскости Зх — Ъу — 21 <0.
Составим уравнение (ВС): 7х — у — 17 = 0. Внутренние точки тре¬
угольника принадлежат полуплоскости 7х — у - 17 >0 (ибо в точке
А(7,0) имеем неравенство 7 ■ 7 - 0 — 17 > 0).
Под треугольником подразумевается множество точек, лежащих
внутри треугольника и на его сторонах, поэтому мы записываем
нестрогие неравенства:
( х + у - 7
{ Зх - Ъу - 21
17*— у - 17
j
Пр и мер 5. Полярное уравнение г = 	 записать в
2	cos ю — 5 sin ю
прямоугольных координатах.

48
Гл. II. Аналитическая геометрия на плоскости
Решение. Перепишем сначала данное уравнение в виде 2г cos <р —
—	5r sin ф = 7 и используем формулы: г cos<£> = х, г sin (р = у. Получаем
уравнение прямой: 2х — 5у = Ъ.
Упражнения
1.	Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересе¬
чения медиан треугольника, заданного вершинами А(2,5), В(5, —1) и
С{8,3), перпендикулярно к прямой х + у + 4 = 0.
2.	Найти уравнения сторон треугольника, если известны координа¬
ты их середин (2,1), (4,3) и (-2,5).
3.	Составить уравнения сторон треугольника, если известны ко¬
ординаты одной из его вершин (1,3) и уравнения двух медиан
х — 2у + 1 = 0, г/ — 1=0.
4.	Составить уравнения трех сторон квадрата, если известно, что
четвертой стороной является отрезок прямой Ах + Зу — 12 = 0, концы
которого лежат на осях координат.
5.	Найти расстояние от точки М(2, — 1) до прямой, отсекающей
на положительных направлениях осей Ох и Оу отрезки а — 8, Ъ — 6
соответственно.
6.	Даны координаты вершин треугольника ABC: А(—2, —4),
5(2,-1), С(—4,1).
1)	Составить уравнения сторон треугольника, медианы AM,
высоты ВН.
2)	Описать системой неравенств область, принадлежащую треу¬
гольнику ABC.
3)	Найти внутренний угол В треугольника ABC.
4)	Найти координаты точек МиЯ. Сделать чертеж.
7.	Даны координаты трех вершин параллелограмма ABCD: А(4,2),
Б(—1,-2), С(—3,2).
1)	Найти координаты четвертой вершины D и точки пересечения
диагоналей параллелограмма.
2)	Вычислить площадь параллелограмма и длины его высот.
3)	Проверить равенство АС2 + BD2 = 2(АВ2 + AD2). Сделать
чертеж.
8.	Даны уравнения одной стороны ромба х — Зт/ + 10 = 0 и одной
из его диагоналей х + 4у — 4 = 0. Диагонали ромба пересекаются в
точке Р(0, 1). Найти уравнения остальных сторон и диагоналей ромба
и координаты его вершин. Сделать чертеж.
9.	Даны уравнения сторон треугольника: у = х + 2, у = - ^х+1
и точка D(4,2) пересечения его медиан. Написать уравнение третьей
стороны.
10.	Написать уравнения сторон квадрата, две противоположные
вершины которого — точки А(1,3), С{6,-2).

§ 4. Линии второго порядка
49
11.	Составить уравнения всех сторон квадрата, если известно,
что координаты двух смежных вершин квадрата А( 1,4) и £(4,0), а
эершина С находится на оси ординат.
12.	Определить угол между прямой 2х — Зу + 5 = 0 и прямой х = 0.
13.	Дан треугольник с вершинами А(А, 6), £(—3,0), С(2,3). Найти
уравнение биссектрисы AD.
Ответы
1. Зх — Зу — 8 = 0. 2. х + Зу — 5 =	0, х — у + 7	= 0, я + у — 7 =	0.
3.	х + 2у — 7 = 0, х — у + 2 = 0, х — 4у — 1=0.	4.	Зх — 4у — 9 =	О,
Зх — 4у + 16 = 0, 4х + Зу — 37 = 0 (либо Ах + Зу + 13 = 0).
5.	4,4. 6. 1) Зх — 4у — 10 = 0, 5х + 2у — 18 = О, х + Зу + 1 = 0;
2)	Зх - 4у - 10 < 0, 5х + 2у + 18 ^ 0, х + Зу + 1 < 0; 3) В = arctg у ;
4)	М(-1,0), Я(-72/29,-82/29). 7. 1) £>(2,6), 0(1/2,2); 2) 28,
14/л/5, 28/\/4Т. 8. 39х + 37у +	82 = 0, 39х +	37у - 156 =	О,
х + 4у — 4 = 0, х — Зу — 4 = 0,	5х — 7у —	28	= 0; А(—4,2),
£(7/11,39/11), С(4,0), D(-7/11,-17/11). 9. 5х + у - 34 = 0.
10.	х = 1, х = 6, у = —2, у = 3. 11. 4х + Зу — 16 = 0, Зх — 4у — 12=0,
4х -f- Зу + 9 = 0, Зх — 4у + 13 = 0. 12. arctg ^ . 13. 5х — Зу — 2 = 0.
§ 4. Линии второго порядка
К кривым второго порядка относятся следующие четыре линии:
окружность, эллипс, гипербола, парабола. Координаты х,у точек
каждой из этих линий удовлетворяют соответствующему уравнению
второй степени относительно переменных х и у.
Ниже под геометрическим местом точек (сокращенно ГМТ) под¬
разумевается некоторое множество точек плоскости, координаты ко¬
торых удовлетворяют определенному условию. Определения кривых
второго порядка дадим через ГМТ, указывая свойства этих точек.
4.1.	Окружность
Окружностью радиуса R с центром в точке Мо(хо,уо) называется
ГМТ, равноудаленных от точки Мо на расстоянии R.
Каноническое уравнение окружности имеет вид (х - хо)2 +
+ {у- уо)2 = R2-
Примеры с решениями
Пример 1. Составить уравнение окружности, диаметром которой
является отрезок, отсекаемый координатными осями от прямой Зх —
—	2у + 12 = 0.
Решение. На рис. 2.17 изображена прямая Зх — 2у + 12 = 0. Она
пересекает координатные оси в точках А(—4,0), £(0,6).

50
Гл. Н. Аналитическая геометрия на плоскости
У
У;
а
а_ X
Рис. 2.17
Рис. 2.18
1)	Центром окружности является точка Мо(хо>уо) — середи¬
на отрезка АВ. Координаты этой точки определим по формулам
(см. гл. II, § 1): х0 = —— = -2, уо = — = 3, Af0(-2,3).
2)	Радиус R окружности, равный AMq = МоВ, вычисляем, напри¬
мер, по формуле (см. гл. II, § 1):
3)	Каноническое уравнение искомой окружности имеет вид
Примечание. Если в последнем уравнении выполнить обозна¬
ченные действия, то получаем уравнение х2 + Ах + у2 — 6у = 0. Оно
называется общим уравнением окружности. Это неполное уравнение
второй степени относительно переменных х и у.
Эллипсом называется ГМТ, для которых сумма расстояний до двух
фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоян¬
ная. (Данная величина больше расстояния между фокусами.)
Если предположить, что фокусы эллипса расположены в точках
Fi(-c,0), F2(c,0) (с > 0), а данная величина равна 2а, то из его
определения можно получить каноническое уравнение эллипса
При этом а > 0 — большая полуось, Ь > 0 — малая полуось, с —
фокусное расстояние и а2 = с2+62. Точки (а,0) и (-а,0) называют
вершинами эллипса.
Сам эллипс изображен на рис. 2.18. Важными характеристиками
эллипса являются:
—	эксцентриситет е = - (0 < е < 1); если е « 0, то эллипс почти
а
круглый, т. е. близок к окружности, а если е « 1, то эллипс сплющен¬
ный, близок к отрезку [-а; а];
R =
^/(—4+ 2)4 (О —З)2 W4 + 9 =УТЗ.
(х + 2)2 + (у - З)2 = 13.
4.2.	Эллипс

§ 4. Линии второго порядка
51
—	директрисы эллипса —	прямые с уравнениями х	—	± -;
—	расстояния точки	М(х,	у)	эллипса до	его	фокусов	(г\	до	левого,
Г2 до правого), вычисляющиеся по формулам:
г\ = а + ех, гг = а — ex.
Примеры с решениями
Пример 2. Составить уравнение эллипса, симметричного отно¬
сительно координатных осей и проходящего через точки А ^3, - ~ ^
и £	Найти	расстояния от точки А до фокусов. Найти экс¬
центриситет эллипса. Составить уравнения его директрис. Построить
чертеж.
Ж2	2
Решение. 1) Параметры а и b эллипса — + — = 1 найдем,
а2	b!2
подставив в это уравнение координаты точек А и В. Это приводит к
системе
_ 16\2
"-§■/	= 1,
Ь2
_ 12\2
5 )	= 1
или
9
+
256
а2
2562
16
+
144
а2
25b2
1.
После умножения первого уравнения на 16, а второго на —9 и
сложения полученных результатов имеем
256 • 16	144 • 9 rj	««г 12	лллл
	  7,	или 1756 = 2800.
2562	2 Ъ\Р-
Отсюда с учетом Ъ> 0 находим Ъ — 4, а тогда а = 5. ^
Каноническое уравнение эллипса найдено: — + — = 1.
р	25	16
2)	Фокусное расстояние с = у^а2 — Ь2 = \/25 — 16 = 3.
3)	Эксцентриситет равен е =
= - = 0,6.
5
4)	Расстояние от А до фо¬
кусов: г\ = 5 + 0,6 • 3 = 6,8;
г2 = 5 - 0,6 • 3 = 3,2.
5)	Уравнения директрис: х =
= ± —, т.е. £ = -— (левая),
0,6	3
х — — (правая).
Чертеж построен (рис. 2.19).
У1
4
,-5/£
•Vi5,
25
3
V ч
-4
о /у
А
25 X
3
Рис. 2.19

52
Гл. II. Аналитическая геометрия на плоскости
Пример 3. Составить уравнение эллипса, симметричного отно¬
сительно координатных осей, проходящего через точку А(—3, 1,75) и
имеющего эксцентриситет е = 0,75.
Решение. Имеем систему уравнений относительно параметров
а, 6, с = у/а2 — Ь2 :
( — 3)2	1 752
-—— Н—:— = 1 (эллипс проходит через точку А),
^ а2	б2
]	./а2 _ 52	а2 __ ^2
 	 = 0,75, или 	 = 0,5625 (дан эксцентриситет).
'а	а2
Из второго уравнения находим:
=0,5625, т.е.	=0,4375,	или	Ь2 = 0,4375а2.
9	7
Подставляя это в первое уравнение, получим — Н	= 1, а тогда
а2	а2
а =	16,	Ь2 = 7, с2 = 9.
X2	V2
Уравнение эллипса — + — = 1.
16	7
Пример 4. Составить уравнение эллипса с центром в начале
координат и фокусами на оси Ох, если его эксцентриситет равен в,
а прямая, проходящая через его ле¬
вый фокус и точку М0(жо, уо), обра¬
зует с осью Ох угол а.
Решение. 1) Сделаем чертеж
(рис. 2.20).
2)	Каноническое уравнение иско-
X2	у2
мого эллипса есть	b — = 1, и
J а2 б2
задача сводится к нахождению па¬
раметров а и Ь.
3)	Вспомним, что е = - и с2 =
а
= а2 —Ъ2. Как видно, достаточно найти с. Составим уравнение прямой
F\ Мо'.
x-J-с) = р-0	^	_^(х + с) ^
Z0 - (-с)	2/0 - О	Я0 + с	х0 4- с
С другой стороны, по определению, угловой коэффициент прямой есть
тангенс угла наклона прямой к оси Ох, tg а = к. Значит,
с _ Уо — кхр _ уо - хр tg а
к	tga
По найденному значению с определим а = - и Ь2 = а2 — с2.

§ 4. Линии второго порядка
53
Пример 5. Записать в прямоугольных координатах полярное
2
уравнение г = 	.
4	— sin <р
Решение. Сначала перепишем данное уравнение в виде 4г =
= r sin <£> + 2 и воспользуемся формулами (заменами) г = \/х2-\-у2,
т sin(р = у. Получаем: 4у/х2 + ?/2 = у + 2 (у + 2 ^ 0). Далее, возведя
сначала это равенство в квадрат, после преобразований и выделения
полного квадрата получаем: 16(х2 + у2) = у2 + 4 у + 4, 16х2 + 15у2 -
4у = 4, 16х2 + 15
И)’-
64
15 ’
+
(-5)'
ш ш
Получили каноническое уравнение эллипса с центром в точке ^0,
2 8
и полуосями а =
2
VT5
и 6 = — .
15
4.3.	Гипербола
1°. Гиперболой называется ГМТ, для которых модуль разности
расстояний до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть
величина постоянная. (Данная величина меньше расстояния между
фокусами.)
2°. Если фокусы гиперболы расположены в точках Fi(—с,0),
^г(с,0), с > 0, а данная величина равна 2а, то такая гипербола имеет
каноническое уравнение
= 1,
— _ У1
а2	б2
где а2 + 62 = с2.
При этом а — действитель¬
ная полуось, Ь — мнимая полу¬
ось (а > О, b > 0), с — фокусное
расстояние (с > 0) (рис. 2.21).
3°. Прямые с уравнениями
1	Ъ
у = ± - х называются асимп-
а
глотами гиперболы. Величина
е = - (1 < £ < +оо) называется эксцентриситетом гиперболы (при
а
больших £ ветви гиперболы широкие, почти вертикальные, а при е « 1
ветви гиперболы узкие, гипербола приближается к оси Ох).
Расстояния от точки М(х, у) гиперболы до ее фокусов (г\ от левого,
Г2 от правого) равны: г\ = \а + £х\, Т2 = \а — ех\.
Прямые с уравнениями х = ±- называются директрисами гипер¬
болы.

54
Гл. II. Аналитическая геометрия на плоскости
Примеры с решениями
Пример 6. На гиперболе с уравнением
—	— — = 1 наити
16	9
точку М9 такую, что MF\ = 2MF2. Составить уравнения асимптот и
директрис гиперболы. Найти ее эксцентриситет. Сделать чертеж.
Решение. 1) Имеем а = 4, b = 3, с2 = а2 + 62, с = 5. Гиперболу
строим так (рис. 2.22): в прямоугольнике со сторонами х = ±а и у = ±Ь
(т. е. х = ±4, у = ±3) про¬
водим диагонали (это асимп¬
тоты гиперболы, т. е. прямые
1	ь	,	3	v
у = ± - х\ у нас у = ± - х).
а	4
Ветви гиперболы проходят
через точки (4,0),	(-4,0),
приближаясь к асимптотам,
создавая впечатление почти
параллельных линий. Фокусы
F\(—5,0), F2(5,0) считаются
лежащими внутри гиперболы.
2)	Имеем е = -. Искомую точку М(х,у) определим при помощи
4
формулы 7*1 = 2Г2, или
4 + - х
= 2
л 5
4 — -х
"4 +
4
4
4 +
4 + 53 = 2(4- Jx),
-х = -2(а- -х
jj	48	16
Находим х = — и х = — .
5	15
Поскольку М(х,у) лежит на гиперболе
ординаты соответствующих точек
при найденных значениях х:
у2 -
найдем
3
16
;
= 1, ТО
из этого
уравнения
у = ± - у/х2 — 16, и если х = — ,
4	5
то у
“ ±;v(?) -16 = ±г/П5'
если
16
я = —,
15
ТО
,3 // 16 \2	,3	/	3344	,
у =	— I — 16= ± - W-— (это число не существует в
нужном нам смысле).
Получили две точки, удовлетворяющие данным условиям,
Ml (у, gVTl9^ , М2 =	.
3)	Уравнения директрис данной гиперболы: х = ± ^ = ±	.

§ 4. Линии второго порядка
55
X2 у2
Пример 7. На гиперболе — — у = 1 найти точку М(х, у),
такую, что ее расстояние до одной асимптоты в три раза больше, чем
расстояние до другой асимптоты.
Решение. 1) Сделаем символический чертеж гиперболы
(рис. 2.22) и ее асимптот. На нем изображены две различные
возможные ситуации, удовлетворяю¬
щие условиям задачи: расстояние от
точки М до асимптоты fo в три раза
больше, чем расстояние до асимпто¬
ты 1\\ для точки М\ — наоборот.
2)	Уравнения асимптот:
h - у
-х, Зх — 4у = 0;
4
h' у ~ — - х, Зх + 4у = 0.
4
3)	Для точки М\(х,у) имеем d(M\J[) = 3d(Mb/2). По соответству¬
ющим формулам (§ 3, п. 5°) это равенство можно переписать в виде
|3х - 4у\
3 |3х -}- 4у|
|3х — 4у| = 3 |3х + 4у| <=>
у/ З2 + (-4)2	У32Т42
Зх — 4у — 9х + 12у,
Зх — 4у = — 9х — 12у,
4) Так как Mi лежит на гиперболе, то нам надо решить еще
СИСТеМЫ	,	0	9	'22
зу
16	~9
Зх = — 8у	I	Зх	=	—	2у.
2	2
я2	у"1
__ У_ — ]
16	9
Зх = — 8у,
Зх — —2 у.
1,
Из первой находим х =	У	=	Т\/3,	что	соответствует двум
v3
точкам Mi	М[	^	,	—л/З^.
Вторая система решений не имеет.
5) Что касается координат точки М, то предлагаем убедиться са¬
мостоятельно в том, что М [ — , л/3 ), М' [ — ~ , —л/З ).
V V3 /	\	уД	)
Пример 8. Определить координаты точки пересечения двух вза¬
имно перпендикулярных прямых, проходящих через фокусы гиперболы
2	2
— — — = 1, если известно, что точка А(6,-2) лежит на прямой,
16	9
проходящей через ее правый фокус.
Решение. 1) Сделаем чертеж (рис. 2.24) и выпишем параметры
гиперболы. Имеем а = 4, 6 = 3, с =5, F\(—5,0), F2(5,0). Переходим к
вычислениям.

56
Гл. II. Аналитическая геометрия на плоскости
2)	Составим уравнение AF<i по двум точкам:
= у ~ ° => у	= —2(х — 5), или 2х + у —	10 = 0.
6	— 5	— 2 — 0
3)	Составим уравнение прямой F\M, проходящей через F\ перпен¬
дикулярно прямой AF2* Имеем	= — 2, а тогда fcFiM = l/2. Получаем
(F\M): у - 0 = 1/2 (х + 5), или х - 2у + 5 = 0.
4)	Координаты точки М получаются как решение системы
(2lY^0=n0,
\ х — 2у + Ь = 0
4.4. Парабола
Параболой называется ГМТ, для которых расстояние до фиксиро¬
ванной точки, называемой фокусом, равно расстоянию до фиксиро¬
ванной прямой, называемой директрисой. Если фокус параболы рас¬
положен в точке F ,0^, а директриса имеет уравнение х =
то такая парабола имеет каноническое	уравнение у2 =	2рх. При	этом
р	называется параметром	параболы.	Расстояние от	точки М(х,у)
параболы до фокуса F равно г = х -+ ^ (рис. 2.25).
Примеры с решениями
Пример 9. Составить уравнение параболы, симметричной отно¬
сительно оси ОуУ если она проходит через точки пересечения прямой
х - у = 0 и окружности х2 + у2 — Ьу — 0.
Решение. Уравнение искомой параболы должно иметь вид х2 =
= 2ру\ она изображена на рис. 2.26. Найдем точки пересечения данных
прямой и окружности:
/ у = х,
\ х2 + у2 - 6у = 0;
2х2 — Ъх = 0; х\ = 0, хо = 3.

§ 4. Линии второго порядка
57
Получили Mi (0,0) и Мг(3,3). Так как точка М2(3,3) лежит на парабо-
ле, то справедливо равенство З2 = 2р-3=> р = -, и искомое уравнение
параболы есть х2 = 3у.
Пример 10. Составить уравнение параболы, симметричной отно¬
сительно оси Ох, с вершиной в начале координат, если известно, что
парабола проходит через точку А(2,2).
Найти длину хорды, проходящей через точку М(8,0) и наклоненной
к оси Ох под углом 60°.
Решение. 1) Сделаем чертеж (рис. 2.27).
2)	Каноническое уравнение такой параболы имеет вид у2 = 2рх.
Неизвестный параметр р определим из условия прохождения параболы
через точку А{2,2):
22 = 2 • р• 2 =► р= 1.
Итак, уравнение параболы у2 = 2х.
3)	Найдем координаты	точек В\(х\,у\) и	£2(^2,2/2); точки В\
и	В2	лежат на параболе,	поэтому	у2 = 2х\	и щ = 2x2• Из пря¬
моугольных треугольников МВ2С2 и МВ\С\ имеем соответственно:
У2 = (а?2 - 8) tg60° = л/3 (ж2 - 8) и 2/1 = ->/3(8 - ari). Итак, неизвест¬
ные координаты точек В\ и Б2 удовлетворяют системам
/ J/f = 2xi,	Г	у\	=2ж2,
\ У\ = - >/5(8-xi) \ 2/2 = л/3(х2 -8),
решив которые, найдем £1(6, —2л/3)	и Б2 ( —;	~ ). Искомая длина
	\ 3	у/з )
хорды В,* = /(f-e)!+(^+2V3)2 = f .
Ответ. В1В2 = —.
3

58
Гл. II. Аналитическая геометрия на плоскости
Пример И. Уравнение параболы у2 = Ъх записать в полярных
координатах.
Решение. Подставляем в данное уравнение x = rcosv?, у
—	rsinc^. При х > 0, т. е. (р G
5 cos /	/	л\
или г = —-Z (<р ф 0).
sirr <р
7Г ^ 7Г
2 ’	2
, получаем г2 sin2 (р = 5r cos tp,
Упражнения
1.	Составить уравнение окружности, касающейся оси Ох в точке
Л(6,0) и проходящей через точку £(9,9).
2.	На параболе у1 = 32х найти точку, расстояние которой от прямой
Ах + Зу + 10 = 0 равно 2.
3.	Найти уравнение ГМТ, равноотстоящих от окружности х2 + Ах +
+ у2 — 0 и точки М(2,0).
4.	Составить уравнение множества точек, расстояние которых от
точки Л(0,1) в два раза меньше расстояния до прямой t/ — 4 = 0.
5.	В уравнении параболы у = х2 + рх + q найти значения парамет¬
ров р и д, если известно, что парабола проходит через точку А(-1,3)
и ее ось симметрии задана уравнением х = 4.
6.	Найти угол между диагоналями прямоугольника, вершины кото¬
рого находятся в точках пересечения эллипса х2 + Зу2 = 12 и гипербо¬
лы х2 — Зу2 = 6. Сделать чертеж.
Гипербола проходит через точку М ^6,	симметрична
от¬
носительно осей координат и имеет действительную полуось а = 4.
Составить уравнения перпендикуляров, опущенных из левого фокуса
гиперболы на ее асимптоты.
8.	Эллипс, симметричный относительно осей координат, проходит
через точки М(2\/3,\/б) и Л(6,0). Составить его уравнение, найти
эксцентриситет и расстояние от точки М до фокусов.
9.	Составить уравнение параболы и ее директрисы, если парабола
проходит через точки пересечения прямой у = х и окружности х2 +
+ у2 + 6х = 0 и симметрична относительно оси Ох. Построить прямую,
окружность и параболу.
10.	Построить по точкам линию с данным полярным уравнением
при ipe [0, 2п) и найти уравнение соответствующей линии в прямо¬
угольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом
полярной системы, а положительная полуось абсцисс — с полярной
осью:
1)г= 	 	;	2)	г	=		!	;	3)г= 	5	.
1	+ cos (р	2	+	cos <р	3 — cos <р
11.	Написать канонические уравнения следующих кривых второго
порядка, заданных в полярных координатах:
1\ 9 9 Q
1)	г = 	;	2) г = 	;	3)	г	=
5	— 4 cos <р	4	—	5	cos	<р	1	—	cos	<р

§ 5. Канонический вид уравнения кривой второго порядка
59
12.	Составить полярные уравнения следующих линий, заданных
каноническими уравнениями:
X1 V2
1)	— + ^ = 1 (полярная ось сонаправлена с осью Ох, а полюс
находится: а) в левом фокусе, б) в правом фокусе);
X2 У2
2)	— — — = 1 (полярная ось совпадает с осью Ох, а полюс — в
а2 Ь2
центре гиперболы);
3)	(х — R)2 + у2 = R2 (полярная ось совпадает с осью Ох, а полюс
находится: а) в центре окружности; б) в начале координат).
Ответы
1.	(х - 6)2 + (у -	5)2 =	25.	2. М(0,0), Mi (18, -24).	3. z2 - £ = 1.
4.	— + — = 1.	5.	р =	—8; q = —6.	6. arctg - .	7.	у = ± - (# + 5).
34	4	*	3v
8.	~ + — = 1; е	=	—. 9.	у2 = -Зх.	10. 1) у2 =	1 - 2х — парабола;
36	9	2
2)	-(Д+	=	1	-	эллипс;	3)	+		У±_	=	!	_
ш	Ш2	2 2 4	(¥)
эллипс. 11. 1) — +	=	1;	2)	—	+	=	1;	3)	у2	=	6х.	12.	1)	а)	г	=
25	9	16	9	2
= --*6 б) г= — Х* 2) г2=	3)	a)	R	=	Rcos<p,
Ь — О COS V?	О	+	О	COS	ip	£*	cosz	кр	—	1
б) г2 — 2rC0S(£ = i?2.
§ 5. Приведение общего уравнения кривой второго
порядка к каноническому виду
1°. Даны две прямоугольные системы координат Оху и 0\х\у\ со
свойствами (рис. 2.28): оси Ох и 0\Х\, а также Оу и 0\у\ параллельны
и одинаково направлены, а начало 0\ системы 0\х\у\ имеет известные
координаты 0[ = 0{ (а, Ь) относительно системы Оху.
Тогда координаты (х,у) и (x\ty\) произвольной точки М плоскости
связаны соотношениями:
Г X Х[ I flj	Г Х[ X fl,	/q\
\ у = у\ + Ь;	\ 2/1 = у - ь.
Формулы (3) называются формулами преобразования координат при
параллельном переносе осей координат.
2°. Предположим, что прямоугольные системы координат Оху и
имеют общее начало, а ось	Ох\ составляет	с	осью	Ох	угол а
(под а понимается угол поворота	оси Ох\ относительно	Ох).	Тогда

60
Гл. II. Аналитическая геометрия на плоскости
координаты (х, у) и (x\,yi) произвольной точки М плоскости связаны
соотношениями (рис. 2.29):
Г х = X] cos а — у\ sin а,
I у = х 1 sin а + cos а;
г	•	(4)
I xi = xcosa + у sin а,
1 2/1 = —х sin а + у cos а.
Формулы (4) называются формулами преобразования координат при
повороте осей координат.
3°. Общее уравнение второго порядка относительно переменных х
и у имеет вид
Ах2 + 2 Вху + Су1 + Dx + Еу + F = 0.	(5)
Существует угол а, такой что формулами поворота осей на угол а
уравнение (5) можно привести к виду (в нем коэффициент В\ при х\у\
равен нулю)
А\х\ + С\у\ + D\x\ + Е\у\ + F\ = 0.	(6)
При этом
А1 = A cos2 а + С sin2 а + 2В sin a cos а,
С\ = A sin2 а + С cos2 а — 2В sin a cos а,
D\ = D cos а + Е sin а,	(7)
£?1 = — 2) sin а + Е cos а,
Fi =F.
Соответствующий угол а можно найти из уравнения
(С — A) sin a cos а + Б (cos2 а — sin2 а) = 0.	(8)
4°. Уравнение (6) приводится к каноническому виду при помощи
формул параллельного переноса.
Заметим,	что окончательное уравнение может и	не иметь	гео¬
метрического	изображения, что подтверждает, например, уравнение
х2 + у2 + I = 0.

§ 5. Канонический вид уравнения кривой второго порядка
61
Примеры с решениями
Пример 1. Привести к каноническому виду следующие уравне¬
ния второго порядка: 1) &г2 + 4ху + Ъу2 — 56х — 32у + 80 = 0; 2) Зх2 +
+ 10ху + Зу2 — 2х— 14у —13 = 0; 3) х2 — 4ху + 4у2 — 2а: — 6у 4-2 = 0;
4)	х2 + у2-3х+2у = 0; 5) Зя2 - 4ху + 3у2 + 20 = 0.
Построить геометрическое изображение каждого уравнения.
Решение. 1) Этот пример решим достаточно подробно, не прибе¬
гая к формулам (7) и (8).
а)	Выполним поворот осей координат на угол а при помощи первых
формул (4). Имеем последовательно
8(х\ cosa - у\ sina)2 + 4(х\ cosa — у\ sina)(:ri sina + у\ cosa) +
+ 5(#i sina + y\ cosa)2 — 56(#i cosa — y\ sina)—
—	32(x\ sina + y\ cosa) + 80 = 8a:2cos2a — \§x\y\ cosasina+
+ 8y\ sin2 a + 4x\ cos a sina + 4xjyi cos2 a + 4xiy] sin2 a—
—	4 y\ sin a cos a + 5x2 sin2 a + I0x\y\ sina cosa + 5 y\ cos2 a—
-	56(a:i cosa — y\ sina) - 32(x\ sina + y\ cosa) + 80 = 0.
б)	Выделим отдельно слагаемые, содержащие произведение х\у\\
—	\Ъх\у\ sin a cos a + 4x\y\ cos2 a — 4x\y\ sin2 a + lOxi^/i sina cosa.
Ставим условие, чтобы это выражение было тождественно равно нулю.
Это возможно при условии
4	cos2 a — 4 sin2 a — 6 sin a cos a = 0, или 2 tg2 a + 3tga — 2 = 0.
Отсюда находим tga = -2 или tga = ^ . Выберем угол a так, что
tga= Это соответствует тому, что ось Ох\ составляет с осью
Ох положительный	угол a = arctg	-.	Из	равенства	tg	а	= -	нахо-
2	2	.	1	. 2	1
дим: cos а =	-	—	=	—— ,	sin а =	tg а • cos а =	——	,	sin а =	- ,
л/T + tpa	л/5	5	у/Ъ	5
2	4	.	2
cos^ а = - , sin а cos а = - .
5	5
в)	Подставим полученные выражения в последнее уравнение из
п. а). Получаем последовательно (слагаемые, содержащие х\у\, опус¬
каем — их вклад в уравнение равен нулю, чего добились в п. б):

62
Гл. II. Аналитическая геометрия на плоскости
9(х?- — х\) + А{у\- — yi) + 80 = 0.
г)	В круглые скобки добавим надлежащие числа для получения
полных квадратов. После вычитания соответствующих слагаемых при¬
ходим к равносильному уравнению
9 (*'-	) + 4 (У1 _ vs ) = 36'
д)	Для приведения этого уравнения к каноническому виду восполь¬
зуемся формулами параллельного сдвига, полагая
Х2 = Х1~7Ё и т = т~^’
и последующего почленного деления уравнения на 36. Получаем кано-
ническое уравнение эллипса — + — = 1 в системе координат О2Х2У2
(рис. 2.30).
2)	Этот пример решим, используя формулы (7) и уравнение (8).
Имеем: А = 3, В = 5, С = 3, D = -2, Е = -14, F = -13. Уравнение (8)
принимает вид cos2 а — sin а = 0, откуда а = 45°, sin а = cos а =
По формулам (7) последовательно находим: А\ =8, С\ = -2,
а = -4’^ = -4^1 = ~13'
у/2	у/2
В системе координат Ох\у\ исходное уравнение принимает вид
8т2 _ о?/2 - — п - —
1	2/1	V2 1	V2
2/1 - 13 = 0.
После выделения полных квадратов получаем 4	—	-*=г	^
2
Положим Х2 = Х\ —	,	2/2	=	2/1	+	И
у/2	у/2
v/2 1
1 у 1 \ ^
\^Л /ъ
Х45° \ г
\Х \\
V
\Х\
\ \ \ \
\' \
\' \
1 1 N
Рис. 2.31

§ 5. Канонический вид уравнения кривой второго порядка
63
Рис. 2.33
почленно разделим на 4. Получаем каноническое уравнение гиперболы
^	^	= 1, изображенной на рис. 2.31.
3)	Уравнение (8) в данном случае приводится к виду
2tg2 а + 3tga - 2 = 0. Принимаем tga
10
-. По формулам (7)
2 ю
V5	V	5
(х\ — ^ J = 0. Формулы параллельного переноса
приходим к новому уравнению 5у2 — ~^у\ — -т^#1 +2 = 0, или
2	✓	ч	V'^
("-*)-*
ч/5	1
~ Х\ — — ,	t/2	=	2/1	—	—	приводят	к каноническому уравнению
10	v5
параболы у2 — — #2 (рис. 2.32).
15
4)	Для приведения этого уравнения к каноническому виду доста¬
точно составить полные квадраты:
2
3Y , / , i\2 13
*-jj +<»+>) =7-
Получили уравнение окружности радиуса
с центром в точке
Ох
1	) (рис. 2.33).
5)	Соответствующее уравнение (8) имеет вид cos2 а — sin а = 0, а
тогда а = 45°, sin а = cos а = ~ , sin a cos а = - .
у/2	2
Коэффициенты нового уравнения равны: А\ = 1, С\ = 5, Fi = 20.
Само уравнение имеет вид х\ + 5у2 + 20 = 0 и геометрического изоб¬
ат2 у2
ражения не имеет. Оно выражает мнимый эллипс + — = -1.
Упражнения
1.	Найти координаты центра гиперболы у
1х 4- 2
2х-3
2.	Показать, что уравнение х2 + 2ху + у2 + 2я + 2у + 1 = 0 опреде¬
ляет прямую.

64
Гл. II. Аналитическая геометрия на плоскости
3.	Какую линию определяет уравнение 5х2 + 4ху + 8у2 + 8# + 14у +
+ 5 = О2?
2х — 5
4.	Найти координаты вершин гиперболы у = 	.
х -и 3
5.	Найти площадь треугольника, вершина которого лежит в центре
окружности х2 + у2 — 4х — Ъу — 5 = 0, а основанием треугольника
служит вырезанный окружностью отрезок на оси абсцисс.
Привести уравнения к каноническому виду.
6.	6ху + 8у — 12# — 26у +11=0.
7.	9х2 + 24ху + 16у2 + 50х - 100у + 25 = 0.
8.	5а?2 - 6ху + Ъу2 - 32 = 0. 9. 2х2 + Зу2 + 8я - 6у + 11 = 0.
10.	Ъх2 — 4ху + 5у2 + \х — 10у — 319 = 0.
Ответы
1.	(1,5, 3,5). 2. х + у + 1 = 0. 3. Эллипс:	—	+	=	1.
v	'	*	1/4	д/16
4.	(±>/11-3, ±vTT+2). 5. 12. 6. Гипербола: ^	^ = 1.
2	2	19
7.	Парабола:	= 4у2- 8. Эллипс: — + — =1.9. Точка: 2х\ + Зу| = 0.
2	16	4
10.	Эллипс: ^ н—^ = 1.
81	36
Контрольные задания
(к главам I и II)
1.	Следующие системы линейных уравнений решить тремя спосо¬
бами:
’2:ri— X2 + 3#з = — 9,
f о 	о 	 7	^Х1	-	х'2-I-ох-з =-»,
'•{«I:»;:,: *>
{
f2xi—2x2~\-3xq— 0:4+20:5—0,
3) \ х\-2х2~ яз+2я4-3^5=0,	4)
X1 3#2+2^3	X/[	I	3#5—0,
х\ — 2x2 - Зхз = -6;
#i+2#2-3:r3+2:r4-3:r5= 1,
2x1— х2+2хз+3х4+2а:5= 2,
3#1+2#2— #3	+3^5 = 17,
,60:1+3^2—20:3+50:4+40:5=20.
2.	В треугольнике точка М пересечения медиан лежит на оси
абсцисс, две вершины — точки А(2, -3) и В(-5,1), третья вершина С
лежит на оси ординат. Определить координаты точек М и С.
3.	В полярной системе координат составить уравнение окружности
диаметра а, если известно, что полюс лежит на окружности, а полярная
ось проходит через центр окружности.
4.	Через точку А(4, —3) проходит прямая, отсекающая от коорди¬
натного угла треугольник площадью 3. Определить координаты точек
пересечения этой прямой с осями координат.

Контрольные задания
65
5.	Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат в верши¬
нах эллипса ——ь — = 1, а директрисы проходят через фокусы этого
эллипса. 100	64
6.	Привести к каноническому виду уравнение 25х2 - 14ху + 2Ъу2 -
-	64ж - 64у - 224 = 0 и построить его геометрическое изображение.
7.	Даны координаты вершин треугольника Л(—1,0), В(1,4),
С(-5,8). Требуется:
1)	найти вид треугольника по углам;
2)	составить уравнения сторон, биссектрисы AD, медианы BE,
высоты СН\
3)	найти угол А и координаты точек D и Я;
4)	найти площадь треугольника АВС\
5)	описать системой неравенств треугольник ABC, включая его
внутренность.
3	К. Н. Лунгу, Е. В. Макаров

Глава III
ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
§ 1. Понятие вектора. Линейные операции
над векторами
1°. Любые две точки A(x\,y\>z\) и В(х2,у2, *2) пространства, ес¬
ли они упорядочены (например, А является первой, а В — второй
точкой), определяют отрезок вместе с выбранным направлением (а
именно, от А к В). Направленный отрезок называется вектором.
Вектор с началом в Л и концом в В обозначается АВ или а. Дли¬
на вектора, обозначаемая АВ|, АВ или |а|, а, называется также
модулем вектора. Чтобы найти координаты вектора, нужно из
координат конца вектора вычесть одноименные координаты начала:
АВ = {х2 - х\,у2 — У1>*2 — Тогда длина вектора найдется так:
АВ = у/(х2 - х\)2 + (У2у\)2 + (Z2 - Z[)2 .
Векторы, расположенные на одной прямой или на параллельных
прямых, называются коллинеарными.
Два вектора а и Ь называются равными, если они коллинеарны,
имеют одинаковые модули и направления. В этом случае пишут а = Ь,
Равные векторы имеют равные координаты.
Векторы а и b называются противоположными,	если	они	колли-
неарны, имеют одинаковые длины и противоположные направления:
b = —а.
Вектор называется нулевым, если его модуль равен нулю, и обозна¬
чается в или 0.
2°. Линейными называются действия сложения, вычитания векто¬
ров и умножения вектора на число.
1.	Если начало b совмещено с концом а, то	начало	а +	Ъ совпадает
с началом а, а конец — с концом Ь (рис. 3.1).

§ 1. Понятие вектора. Линейные операции над векторами
67
2.	Если начала векторов а и Ь
совмещены, то начало а — Ь сов^
падает с концом 6, а конец а — Ь
совпадает с концом а (рис. 3.2).
3.	При умножении вектора а
на число (скаляр) А длина вектора
умножается на |А|, а направление
сохраняется, если А > 0, и изме¬
няется на противоположное, если
А < 0 (рис. 3.3).
Вектор = — называется ор-
|а|
том, или единичным вектором век¬
тора а, его длина равна единице:
13*1 = 1-
3°. Запись а = {аХу ay,az} = axi + ayj + azk означает, что вектор а
имеет координаты ax,ay,az, или а разложен по базису i,j,k (i,j,k —
орты осей Ох} Оу и Oz пространственной системы координат Oxyz).
При этом
а = |Й| = yjal + a\ +а\ .
4°. Числа cos а = —, cos 3 =	, cos 7 = — называются направ-
|а|	|а|	'	|а|
ляющими косинусами вектора а; а р, 7 - углы между вектором а и
координатными осями Ох, Оу, Oz соответственно. Единичный вектор
еа = {cos a, cos /3, cos 7} — орт вектора а. Для любого вектора справед¬
ливо: cos2 а + cos2 /3 + cos2 7=1.
5°. Линейные операции над векторами, которые заданы своими
координатами, определяются так: пусть а = {aXiaytaz} и b{bx, by, bz}y
тогда a =b b = {аж =Ь bx, ау =t byj az =h bz} и Аа = {Аах, Аау, Aaz}.
Следовательно, при сложении векторов складываются их соответ¬
ствующие координаты, а при умножении вектора на число умножа¬
ются на число все координаты вектора.
6°. Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов
а и 6, устанавливаемое равенством Ь = Аа, может быть записано соот¬
ношениями Ьх = Ааж; Ьу = Аау; = Аа*, из которых следует пропор¬
циональность их координат: — = ^ = —.
Ъх	Ьу	Ьу
Если один из членов какого-нибудь из этих отношений равен нулю,
то и второй член того же отношения должен быть нулем. Геометри¬
чески это значит, что в этом случае оба вектора перпендикулярны
соответствующей координатной оси (например, если ах = Ьх = 0, то
векторы a, b _L Ох).
Рис. 3.1
Я < О Ха а Ха Х> О
Рис. 3.3
з*

68
Гл. III. Элементы векторной алгебры
7°. Система векторов а],а2,...ат называется линейно независи¬
мой, если равенство
Л1 Cl 1 + Л20-2 + ... + А тат — 0	(1)
(Ль Л2,..., Ат — действительные числа) возможно только при Ai =
= А2 = ... = Am = 0. Если же равенство (1) возможно при некотором
нетривиальном наборе (АьАг,... Дт) ф (0,0,то система этих
векторов называется линейно зависимой. Любой вектор линейно зави¬
симой системы линейно выражается через остальные.
Примеры с решениями
Пример 1. Доказать, что треугольник с вершинами в точках
А( 1,2), В(2,5), (7(3,4) прямоугольный.
Решение. Построим векторы, совпадающие со сторонами тре¬
угольника (см. п. 1°): АВ ={1,3}, АС ={2,2}, В(5 ={1,-1} (рис.3.4).
Найдем длины сторон: АВ = ^/1+9 =
= уто, \а<5\ = уД, вб = Jr+l = у/2.
Нетрудно видеть, что АС2 + ВС2 = АВ2.
Следовательно, треугольник ABC прямо¬
угольный с гипотенузой АВ = у/lO и кате¬
тами АС = 2у/2 и ВС — у/2.
Пример 2. Проверить, что точ¬
ки Л(2, —4,3), £(5,-2,9), С( 7,4,6) и
D(6,8, -3) являются вершинами трапеции.
Решение. Составим векторы-стороны
~	с целью обнаружения коллинеарности век-
ИС' ’	торов (в трапеции ВС || AD) (рис. 3.5):
АВ = {3,2,6}, ВС = {2,6, -3}, СЗ = {-1,4, -9}, DA = {-4,-12,6}.
Имеем DA = —2ВС; значит, ABCD — трапеция.
Пример 3. Найти орт и направляющие косинусы вектора
a = {6,-2,-3}.
Решение. Имеем |а| = л/36 + 4 + 9 =7. В соответствии с п. 3°, 4°
_ Гб 2	3	i	-	6
ea	и	направляющие	косинусы	вектора	a:	cosa=
2 ^ /	-	-
cos/3 = — — , cos7 — — - , причем у cos2 а + cos2/3 -f cos27 = \а^\ — 1.

§ 1. Понятие вектора. Линейные операции над векторами
69
Пример 4. Определить точку Ву которая является концом век¬
тора о = {3, -4,2}, если его начало совпадает с точкой А(2, —1,1).
Решение. Пусть точка В имеет коор¬
динаты B(x,yyz) (рис. 3.6). Тогда координа-	-
ты вектора (п. 1°)
АВ = а= {х-2, у- (-1), z-1} = {3, -4,2}.	Рис' 36
Следовательно, ж — 2 = 3;j/+l = -4; 2 — 1=2.
Ответ. В(5, -5,3).
Пример 5. Вектор d = {-9,2,25} разложить по векторам а =
= {1,1,3}, 6= {2,-1, -6} и с = {5, 3,-1}.
Решение. Необходимо найти такие числа х, у, z, что xa-\-yb +
+ zc — сГ, т. е. {ж, х, Зх} + {2у, — у, —6у} + {5z, 3z, — zj = {—9,2,25}.
Имея в виду, что при сложении векторов складываются их координаты
и равные векторы имеют равные координаты, приходим к системе
уравнений
( х + 2у + 5z = —9,
<	х - y + 3z = 2,
[ Зх ~ 6у — z — 25,
из которой
( х = 2,
Ь:-1:
Ответ, d — 2а - ЗЪ — с.
Пример 6. Показать, что система векторов а\ = {2,1,3}, о5 =
= {1,0,—1} и аз = {0,0,1} линейно независима.
Решение. В данном случае равенство (1) имеет вид Ai{2, 1,3} +
+ Л2{ 1,0, — 1} + Аз{0,0,1} = 0, или {2Ai + А2, Aj, 3Ai + A3} = 0. Отсю¬
да получаем систему уравнений
( 2\\ + А2 = 0,
<	Ai=0,
I	3 А1 + Аз =0,
из которой следует, что Ai = 0, А2 = 0, A3 = 0. Это подтверждает
линейную независимость данных векторов.
Пример 7. Показать, что система векторов а\ = {2,1,3},
02	= {1,1, — 1} и аз = {1, —1,9} линейно зависима.
Решение. Равенство (1) равносильно системе уравнений
( 2А | + А2 + A3 = О,
\ Ai + А2 — Аз = О,
[ 3Ai — А2 + 9Аз = 0.
Она имеет ненулевое решение, например, Ai =2, А2 = -3, Аз = -1.
Таким образом, 2а\ — Заг — аз = 0. Отсюда видно, что а"з = 2а\ — З02,

70
Гл. III. Элементы векторной алгебры
т. е. вектор аз линейно выражается через а\ и а~2. Очевидно, что а"г
можно выразить через а\ и 03, а а] — через rij и а~з.
Упражнения
1.	Коллинеарны ли векторы а и 6 и каково отношение их длин:
1)	а={2,-1,1}, Ь={ 4,-2,4};
2)	а = {4,3, —2}, Ь = {8,6, -4}?
2.	Даны вершины А(0,0,0), В(2,-3,5), С(—3,4,—2) параллело¬
грамма ABCD. Найти вершину D.
3.	Написать разложение вектора а = {0, —2,3} по координатным
ортам.
4.	Найти углы, образуемые вектором а = {—2,2,1} с осями коор¬
динат.
5. Вектор 6 = {1,6,1} разложить по векторам ai = {0, 1,— 2},
02	= {1,-1,0} и a3 = {2,-1,3}.
6.	По сторонам оА и ОВ прямоугольника ОАСВ отложены еди¬
ничные векторы т и п. Выразить через тип векторы О А, 0(5, АВ,
если \ОА\ = 3, \ОВ\ = 5.
7.	Какому условию должны удовлетворять три вектора а, 6, с, чтобы
из них можно было составить треугольник?
8.	В треугольнике ABC векторы АВ=с, лб—b и медиана AD—p.
Разложить вектор р по векторам с и 6, вектор 6 по векторам рис.
9.	Дано: АВ = а + 26; В(5 = -4a - 6; CD = -5а - 36. Доказать,
что ABCD — трапеция.
10.	Четырехугольник ABCD есть ромб. Из векторов АЁ, В(?, D(5,
AD, СБ, CD выбрать равные.
Ответы
1.	1) Нет,	М	= -L;	2) да, Щ = -. 2. £>(-5,7, -7).	3. a = (H-2j +
\Ь\	V6	|b|	2
+ 3k. 4. a w	131°49';	/3«40°11'; 7 « 70°32'. 5. 6 =	4aj - 5a2 + 3a3.
6.	ОЛ =	Зга, ОС —	Зга + 5n, ЛБ = 5n — Зга. 7.	a + 6 + с = 0.
8.	1б+ ic, b = 2p — c. 9. Б<? || AD. 10. AB = D(5, B<5 = AD.
§ 2. Скалярное произведение векторов
1°. Скалярным произведением двух ненулевых векторов а и 6
называется число, равное произведению их длин на косинус угла <р
между ними:
аб = |а| ■ |6| cos<£.

§ 2. Скалярное произведение векторов
71
Из АОВВ' (рис. 3.7) имеем OBr = OB cos ip = пр5b = |b|cos^.
(пр-6 — проекция вектора Ь на направление вектора а).
Итак, аЪ = |а| пр^Ь = \Ь\пр^а.
2°. Если а = {ax,ay,az} и Ъ = {bx,bytbz}, то аЬ =	+	ауЬу	+
+ azbz, т. е. скалярное произведение векторов равно сумме произведе¬
ний одноименных координат этих векторов.
При этом аа = а2 = \а\2 (<р = 0); если
же <р = 90°, т. е. а±Ъ, то аЬ = 0, поскольку
cos 90° = 0 (,условие перпендикулярности
двух векторов).
3°. Из определения скалярного произ¬
ведения следует формула для вычисления
угла между двумя векторами:
аЬ 		&х Ьх Н- о,у by -)- q,z bz
COS (p =
N|6| у4 + а2+4^ + ^ + ь|
Примеры с решениями
Пример 1. Перпендикулярны ли векторы р и q, если р =
= {2,0,—3}, q = {3,4,2}?
Решение. Условие перпендикулярности векторов (п. 2°) pq = 0;
в нашем случае
р^=2-3 + 0- 4- 3- 2 = 0 => р -L q.
Ответ. Да.
Пример 2. Найти проекцию вектора га = 2г — 4j + к на направ¬
ление вектора п = 2г — j + 2к.
Решение. Имеем пряга = |ra|cos<£ (п. 1°). Подставив сюда выра¬
жение для cos<£ из п. 3°, получим
тпп 	 mn _ 2 • 2 + (—4)(— 1) -f 1 ■ 2 	 10
m v/22 + (-о2+Ш ¥'
прптп - |то|
|т| |п|
Пример 3. Зная векторы, совпадаю¬
щие с двумя сторонами: ЛБ = {1,2,-1} и
ВС = {2,0,-4}, найти внутренние углы тре¬
угольника ABC.
Решение. Имеем (рис. 3.8)
cos/i = cos(jr-В) =	=
ни
_	1	2	+	02+(-1)(-4)	_
Рис. 3.8
у/\2 + 22 + (-1)2 v/22 +02 + (-4)2
6	=	Л.	=	уДз.
v/Bv/26	v/20

72
Гл. III. Элементы векторной алгебры
При помощи таблиц находим В = п - агссовл/О^З « 123° 10'. Для
нахождения других углов нам понадобится вектор лб, который яв¬
ляется суммой АВ и ВС (§ 1, п. 2°): АС = АВ + ВС, поэтому
АС = {3,2,-5},
cos Л =
cos С =
АВ лб
\лв\
Аб
3 + 4 + 5 _	12	= VT2
л/5л/38 у/ВуМ \/Т9
лб ВС 6 + 0+20 _	13	13
\лс\\вб\	\/38\/2б	vT9\/To >/190
Ответ. 123° 10', 19°29', 37°21'.
Пример 4. Найти координаты вектора я, ес¬
ли х±С[, X-LC2, где cl = {2, -3,2}, С2 = {-1,3,0}
и |я?| = 7.
с2	Решение.	На рис. 3.9 имеем х±с\, xLc^.
Из условий перпендикулярности векторов
(п. 2°) имеем х • с\ = 0; я • С2 = 0. Положим
^ х = {х,2/,г}. Условие задачи перепишем в виде
Рис. 3.9	системы
2s-3y + 2z=0,	\Х~ЪУъ
-Х + Зу =0,	=4- < 2 ~	2У'	=>
х2 + у2 + z2 = 49	92/2	+ 2/2+?2/2 = 49
4
Ответ, х = {±6,±2, +3}.
Упражнения
1.	Найти единичный вектор, перпендикулярной векторам а =
= {1,0,2} и Ь = {0,-1,2}.
2.	Векторы а, Ь, с имеют равные длины и образуют попарно равные
углы. Найти вектор с, если а = г +j, b = j + к.
3.	При каком значении m векторы а = {га, 1,0} и 6 = {3,-3,4}
перпендикулярны?
4.	Найти скалярное произведение векторов За — 2Ь и 5а — 66, если
|а| = 4, |6| = 6 и угол между векторами а и Ь равен -.
5.	В треугольнике ABC, вершины которого лежат в точках
Л(1, 1, — 1), £(2,3,1), С(3,2,1), найти: 1) внутренние углы; 2) длины
сторон; 3) острый угол между медианой BD и стороной АС.
6.	Найти проекцию вектора CD = {—1,4,-9} на направление век¬
тора AD = {4,12, -6}.
7.	Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного
на векторах а = 2?+ / и b = -2j + к.

§ 3. Векторное произведение векторов
73
8.	Вычислить За2 — 2аЬ + 4Р, если а — - , Ь = 6, (а, Ь) = 60°.
3
9.	Доказать, что диагонали ромба, построенного на векторах а и Ъ,
взаимно перпендикулярны.
10.	Вычислить а2 + 3ab — 26с + 10, если а = 4т — ft, Ь = т + 2п,
с — 2га — Зп, га2 =4, n2 = 1 иш!п,
11.	Даны вершины А(0,0,0), £(2,-3,5), С(-3,4, —2) параллело¬
грамма ABCD. Найти координаты вершины D.
Ответы
1.	±	2г	+	2j	+	fcj. 2. с = г + £ или с = ^ (—г + 4j + fc). 3. га = 1.
4,	-96. 5. 1) 76°22', 76°22', 27° 16'; 2) 3, 3, >/2; 3) 49°40', 6. 7. 7. 90°.
8.	143. 10. 113. 11. £>(-5,7, -7).
§ 3. Векторное произведение векторов
1°. Векторы а, Ь и с, приведенные к одному началу, образуют пра¬
вую {левую) тройку при условии: если смотреть из конца вектора с на
плоскость векторов а и 6, то кратчайший поворот от а к b совершается
против {по) часовой стрелки (рис. 3.10).
2°. Векторным произведением ненулевых векторов а и Ъ называ¬
ется вектор с, обозначаемый ахЬ, удовлетворяющий следующим трем
условиям.
1)	ах61аиахЬ1Ь, т. е. вектор а х b перпендикулярен плоско¬
сти векторов а и 6.
2)	Вектор a xb направлен так, что векторы а, b и а х Ь образуют
правую тройку.
3)	\а х Ь\ = |а| • |fe|siny>, т. е. его длина численно равна площади
параллелограмма, построенного на векторах а и Ь (рис. 3.11), таким
образом, \а х Ъ\ = -S'.
Если векторы а и Ь коллинеарны, то под а х b понимается нулевой
вектор: а х Ь = 0 (sin у? = 0).

74
Гл. III. Элементы векторной алгебры
3°. Если известны координаты векторов-сомножителей а =
~ {ах, ау, az}y Ь= {bXiby,bz}, то для отыскания координат векторного
произведения служит формула
by b4
к
az
'z
в которой определитель следует разложить по элементам первой
строки.
Примеры с решениями
Пример 1. Найти площадь треугольника, вершины которого
находятся в точках А( 1,2,3), 23(3,2, 1), С(1,0, 1).
Решение. Найдем координаты векторов АВ = {2,0,—2}, А(5 —
= {0,—2,—2}. Определим координаты векторного произведения АВ х
х АС (рис. 3.12):
АВ х Аб =
г 3
2 О
О -2
0
-2
-2
-2
2
-2
2
0
3
0
-2
+ А;
0
-2
= — 4г + 4 j — 4 к.
Найдем длину этого вектора, которая равна численно площади
параллелограмма S (п. 2°): S = | АВ х АС\ = 4v^3. Площадь треуголь¬
ника равна - 5, т. е. 5д = - • 4л/3 = 2\/3 .
Пример 2. Построить параллелограмм на векторах а = 2j + к и
6	= г + 2fc; вычислить его площадь и высоту, опущенную на а.

§ 4. Смешанное произведение векторов
75
Сделаем чертеж (рис. 3.13). Имеем S = \а х b\. Отдельно вычисляем
векторное произведение:
Следовательно, S =
л/2Г
г j к
0	2 1
1	0 2
4г + j — 2к
= 4г + j - 2fc.
= л/16 + 1+4 = ч/2Т, Л =
Упражнения
1.	Вычислить длины диагоналей и площадь параллелограмма, по¬
строенного на векторах а = к — j и b = i + j + к.
2.	Векторы а, 6, с удовлетворяют условию а + Ь + с = 0. Доказать,
что axb = bxc = cx а.
3.	Даны векторы а= {3,-1,-2} и Ь= {1,2,-1}. Найти координа¬
ты векторных произведений: 1) (2а + Ь) х Ь\ 2) (2а — Ь) х (2а + Ь).
4.	Найти вектор х, зная, что он перпендикулярен к векторам
а ={2,-3, 1} и Ь = {1,—2,3} и удовлетворяет условию x(i + 2j — 7к) =
= 10.
5.	В точках Л(1,-2,8), Б(0,0,4) и С(6,2,0) находятся вершины
треугольника. Вычислить его площадь и высоту BD.
6.	Вычислить площадь треугольника с вершинами Л(2,1,7),
В(5,6,2), С(3, —1,4).
7.	Даны вершины треугольника А(1,—1,2),	Б(5,-6,2)	и
С(1,3, —1). Вычислить его высоту, опущенную из вершины В на
сторону АС.
8.	Вычислить синус угла, образованного векторами а = {2, -2,1} и
Ь = {2,3,6)}.
Ответы
1.	|а + Ь| = |а —Ь| = \/5; S = V6. 3. 1) {10,2,14}; 2) {20,4,28}.
4. £ = {7,5,1}. 5. S = 7у/5; BD = ML. 6. V762 . 7. 5. 8.	.
1	J 3 21
§ 4. Смешанное произведение векторов
1°. Смешанным произведением трех ненулевых векторов а, b и с
называется число, равное скалярному произведению двух векторов,
один из которых — векторное произведение а х 6, а другой — вектор с.
Обозначение: а • Ъ • с = (а х 6) • с. Если а, Ь и с образуют правую тройку,
то а • 6 • с > 0. Если а, b и с образуют левую тройку, то а • 6 • с < 0.

76
Гл. III. Элементы векторной алгебры
Модуль смешанного произведения векторов а, b и с равен объему
параллелепипеда (рис. J3.14), построенного на этих векторах, V =
= \а*Ь-с\. Условие аЬ-с = 0 равносильно тому, что векторы а, Ь
и с расположены в одной плоскости, т. е. компланарны. Имеет место
равенство
а- 6-с =
Ьх
Сх
CLZ
bz
Cz
Объем тетраэдра с вершинами в точках A(x\,y\,z\), B(x2,y2,Z2)>
С(хз,уз,гз)у ^(3:4,2/4,24) можно вычислить по формуле Vt = - |Д|, где
6
А =
х2
хз
Х4
Х\ У2~ У1
УЗ- У\
Х\ УА- У\
Z2 -Z\
*3 ~ Z\
Z4 ~ Z i
О
Рис. 3.14
2°. Условие а • b • с ф 0 равносильно условию линейной независи¬
мости а, Ь и с, а тогда любой вектор d линейно выражается через
них, т. е. d = x- a + y- b + z-c. Для определения х, у, г следует решить
соответствующую систему линейных уравнений.
Примеры с решениями
Пример 1. Найти объем параллелепипеда, построенного на век¬
торах Й{1,2,3}, b{0,1, 1}, с{2,1, -1},
Решение. Искомый объем V = |а-Ь*с). Поскольку
1	2	3
О	1	1
2	1 -1
= -4,
то V = 4.
Пример 2. В точках 0(0,0,0), Л(5,2,0), £(2,5,0) и С(1,2,4)
находятся вершины пирамиды. Вычислить ее объем, площадь грани
ABC и высоту пирамиды, опущенную на эту грань.
Решение. 1) Сделаем схематический чертеж (рис. 3.15).

§ 4. Смешанное произведение векторов
77
2) Введем векторы АВ = {—3,3,0}, АС = {-4,0,4}, АО —
= {-5,—2,0}. Объем пирамиды О ABC (тетраэдра) равен
ч п
-3
3
0
(-84)
VT =
1
-4
0
4
=
6
-5
-2
0
6
= 14.
3) Площадь грани ABC.
АВ х АС
Sabc = -
г j к
-3 3 0
-4 0 4
12г+ 12J+ 12fc
1	3V
4) Объем пирамиды Vt = - Sabc * OZ>, отсюда OD = ——
3	Sabc
= 6\/3.
ЗУГ _
3- 14 _ Л/3
6-л/З 3
Ответ. 14; бл/З;
Упражнения
1.	Показать, что точки А(2,-1,—2), £(1,2,1), С(2,3,0) и
£>(5,0, — 6) лежат в одной плоскости.
Указание. Проверьте условие компланарности векторов.
2.	Дана пирамида с вершинами Л(2,0,0), £(0,3,0), С(0,0,6) и
D(2,3,8). Вычислить ее объем и высоту, опущенную на грань ABC.
3.	Даны три последовательные вершины параллелограмма
Л(1,-2,3), £(3,2,1) и С(6,4,4). Найти его четвертую вершину D.
Указание. Из равенства векторов AD = вб следует, что равны их
координаты.
4.	Определить углы ААВС с вершинами Л(2, —1,2), £(1,1,1) и
С( 0,0,5).
5.	Из вершины квадрата проведены прямые, делящие противопо¬
ложные стороны пополам. Найти угол между этими прямыми.
6.	Даны векторы оА и 0£, причем \оА\ = 2, \ОВ\ = 4, a ZAOB =
= 60°. Определить угол между медианой ОМ треугольника АО В и
стороной оХ.
7. Векторы а и Ь составляют угол 45°. Найти площадь т
эеугольни-
= 5.
ка, построенного на векторах а — 2Ь и За + 26, если |а| =
8.	Вычислить площадь треугольника с вершинами А(7,3,4),
£(1,0,6) и С(4,5, —2).
9.	Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах
а = Зг + 4/, Ь = —Зг + к, с = 2j + 5fc.
10.	Вычислить объем параллелепипеда ОАВСО\ Ai£iCi, в котором
даны три вершины нижнего основания 0(0,0,0), А(2, -3,0) и С(3,2,0)

78
Гл. III. Элементы векторной алгебры
и вершина верхнего основания Bi(3,0,4), лежащая на боковом ребре
ВВ\, противоположном ребру 00\.
11.	Вектор 6 = {14,9,-13} разложить по векторам а\ = {1,5,2},
«2 = {2, —1, -3}, аз = {3,2, —3}.
12.	Показать, что векторы Si = {1,2,1}, а2 = {1, — 1, —3} и
аз = {1,3, -5} линейно независимы, и разложить вектор Ь = {0, 17,8}
по этим векторам.
13. Показать, что векторы а = 7г - 3/ + 2k, b = Ъг — 7j + 8к,
с — i — j к компланарны.
14.	Найти высоту пирамиды, опущенную на грань BCD, если
вершины пирамиды имеют координаты: А(0,0,1), В(2,3,5), С(6,2,3),
£>(3,7,2).
15.	Объем тетраэдра V = 5, три его вершины находятся в точках
А(2,1, —1), Б(3,0,1)> С(2У-1,3). Найти координаты четвертой сторо¬
ны D, если известно, что она лежит на оси Оу.
Ответы
2.	V = 14, h = VT4. 4. /-А = 90°, ZB = ZC = 45°. 5. arccos0,8.
6.	arccos . 7. 50л/2. 8. 24,5. 9. 1^ = 60.	10. V = 52.
11.	b = aj + 2a2 + Заз. 12. 6 = 3aj — 5a2 + 2аз. 14.	-—.
15. Di(0,8,0), £>2(0,—7,0).	17

Глава IV
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Плоскость в пространстве
Г. Всякая плоскость определяется уравнением первой степени
относительно декартовых координат переменной точки плоскости.
Всякое уравнение первой степени относительно декартовых коор¬
динат определяет плоскость.
2°. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку
Мо(хо, уо, zo) перпендикулярно вектору N = {А, Б, С}:
А(х - хо) + В(у - у0) + C(z - z0) = О,
N называется нормальным вектором плоскости (рис. 4.1).
3°. Общее уравнение плоскости
Ах + By + Cz + D = 0.
Примечание. На самом деле в качестве нормального вектора
плоскости можно брать любой вектор, коллинеарный N, координаты
которого наиболее приемлемы для вычислений.
Неполные уравнения плоскости:
1)	если D = 0, т. е. Ах + By + Cz = 0, то
плоскость проходит через начало координат;
2)	отсутствие в общем уравнении плоско¬
сти коэффициента при какой-либо переменной
означает, что нормальный вектор N = {А, В, С}
имеет соответствующую нулевую координату,
т. е. перпендикулярен к этой оси, а плоскость, следовательно, парал¬
лельна этой оси.
Например, если А = 0, то уравнение плоскости имеет вид
By + Cz + D = 0, ее нормальный вектор N = {0, Б, С} и плоскость
параллельна оси Ох (рис. 4.2, а); если В = 0, то N = {А, 0,С} и

80
Гл. IV. Аналитическая геометрия в пространстве
1
1*
в
1
1
1
ж''°
У
плоскость параллельна оси Оу (рис. 4.2,6); если В = С = 0, т.е.
Ах + D = 0, то N = {А, 0,0}±Оху, а плоскость параллельна плоскости
Oyz, т.е. перпендикулярна оси Ох (рис. 4.2, в).
4°. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки
M2{x2,y2,Z2) И Мз(жз,2/з,^з), получается раскрытием
следующего определителя:
х-х\	у-у\	z- zj
Х2 -Х\	У2- у\	Z2 - Z\
%3 -Х\	Уз- У\	Z3 - Z\
= 0.
5°. Уравнение плоскости, отсекающей на координатных осях отрез*
ки а, b, с (рис. 4.3), имеет вид
*+ » + £=i
а Ь с
и называется уравнением плоскости в отрезках.
6°. Если |р| есть длина перпендикуляра, опущенного из начала
координат на плоскость (рис. 4.4), a cos a, cos/3, cos 7 — направляющие
косинусы этого перпендикуляра, то ж cos а + ycos(3 + 2 cos 7 — р = 0
называется нормальным уравнением плоскости.
Общее уравнение плоскости всегда можно привести к нормальному
виду умножением всех его членов на нормирующий множитель
1
^ ~~ ± \/А2 + В2 + С2 ’
где знак перед корнем берется противоположным знаку D.

§ 1. Плоскость в пространстве
81
7°. Расстояние d от точки М\(х\,у\,г\) до плоскости с уравнением
Ах + By + Cz + D = 0 определяется по формуле
d = ^Axi ~^Byi +Czi + D1 = \X{ cos a + y\ cos /3 + z\ cos 7 — p\.
y/A* + B* + C* '	*	'
8°. Угол между плоскостями, заданными уравнениями А\х +
+ В\у + C\z + D[ = 0 и А2Х + В2У + С22 + £>2 = 0, есть двугранный
угол (рис. 4.5), который измеряется углом <р
между нормальными векторами этих плоско¬
стей (см. гл. III, § 2):
n{n2
COS (f = —
|М||^2|	^А\	+	В\	+	С^А\ + В1 + С1
Условие перпендикулярности плоскостей рав¬
носильно условию перпендикулярности их нор¬
мальных векторов: N\N2 = 0, или А\А2 +
+ В\В2 + С1С2 = 0. Условие параллельности
плоскостей совпадает с условием коллинеарно¬
сти векторов N\ и N2:
£l
А2 В2 С2
N1 = А N2,
А\ В\
или —- = —- =
Л.
Примеры с решениями
Пример 1. Построить плоскости, заданные уравнениями:
а)	Зх + 2у + 4z - 8 = 0; б) х - у = 0; в) 2х + Зу — б = 0; г) 2 - 2 = 0.
Решение, а) Данное уравнение приводим к уравнению в отрез¬
ках:
— + У- + - = 1
8/3	4	2
а =
Ь = 4,
г)-
На оси Ох откладываем отрезок а = - (от начала координат), на
Оу — отрезок Ь = 4, на оси Oz — отрезок с = 2. Остается соединить
полученные точки (получаем сечения плоскости координатными плос¬
костями, рис. 4.6, а).
'Ю

82
Гл. IV. Аналитическая геометрия в пространстве
б)	Данная плоскость содержит ось Oz и пересекает плоскость Оху
по прямой х — у = 0, принадлежащей этой плоскости (рис. 4.6, б).
в)	Это неполное уравнение плоскости, параллельной оси Oz. Она
пересекает плоскость Оху по прямой 2х + Зу - 6 = 0. Добавим, что эта
плоскость перпендикулярна вектору N = {2,3,0} (рис. 4.6, в).
г)	Плоскость перпендикулярна вектору N = {0,0,1}, т. е. оси Oz, и
пересекает эту ось в точке (0,0,2) (рис. 4.6, г).
Пример 2. Составить уравнение плоскости, отсекающей на оси
Ох отрезок О А = 3 и перпендикулярной вектору N = {2, -3, 1} .
Решение. По условию точка Л(3,0,0) принадлежит искомой
плоскости. Согласно п. 3° уравнение этой плоскости имеет вид
2(х - 3) — 3(у - 0) + (z - 0) = 0, или 2х - Зу + г — 6 = 0.
Пример 3. Составить уравнение плоскости, параллельной оси
Oz и проходящей через точки (1,0, 1) и (-2, 1,3).
Решение. Уравнение плоскости, параллельной оси Oz, имеет вид
Ах + By + D = 0. Подставив сюда координаты заданных точек плоско¬
сти, получим систему для определения коэффициентов уравнения:
т. е. Ах + 3Ау - А = 0, или х + Зу - 1 = 0.
Пример 4. Установить, что плоскости	с уравнениями	2х +	3у	—
-42+1 = 0 и 5ж-2г/+ 2 + 6 = 0 перпендикулярны.
Решение. Запишем нормальные векторы данных плоскостей:
N1 = {2,3,-4} и N2 = {5,—2,1}. Плоскости перпендикулярны то¬
гда и только тогда, когда скалярное произведение N\ N2 = 0. Имеем
2-5 + 3- (-2) + (-4). 1 =0 (см. п. 8°).
Пример 5. Найти расстояние от точки А(2,3,-4)	до	плоскости
2х + 6 у — 3 z + 16 = 0.
Решение. По формуле п. 7° имеем
Пример 6. Составить уравнение плоскости, проходящей через
точки Mi(l,2,0), Мг(1, -1,2) и Мз(0, 1,-1).
Решение. Согласно п. 4° уравнение искомой плоскости опреде¬
ляется равенством
|2 • 2 + 6 ■ 3 — 3 (—4) + 16|
л/4 + 36 + 9
= 7-.
7
Ответ, d = 7- .
7
х — 1 у — 2 z — 0
0	-3	2=0.
-1 -1 -1

§ 1. Плоскость в пространстве
83
Раскрываем определитель (гл. I) по элементам первой строки:
(х — 1)5 — {у — 2)2 4- я(—3) = 0, или Ъх — 2у — 3z — 1 = 0.
Упражнения
1.	Составить уравнение плоскости, отсекающей на оси Оу отрезок
ОВ = 5 и перпендикулярной к вектору п = {3, —2,4}.
2.	Составить	уравнение	плоскости,	проходящей через основа¬
ния перпендикуляров, опущенных из точки >1(2, 3, —5) на координат¬
ные оси.
Указание. Воспользуйтесь п. 4°.
3.	Написать	уравнение	плоскости,	если известно, что точка
>1(2, 1, —3) является основанием перпендикуляра, опущенного на эту
плоскость из начала координат.
4.	Написать	уравнение	плоскости,	проходящей через точки
>1(2, —1,4) иВ(3,2,—1) перпендикулярно к плоскости x+*/+2z-3 = 0.
Указание. В качестве нормального вектора N- искомой плоскости
нужно взять N = АВ х п, где п = {1,1,2}.
5.	Найти длину перпендикуляра, опущенного из точки М(2,3, —5)
на плоскость Ах — 2у + 5z — 12 = 0.
6.	Найти угол между плоскостью 2х + у — 2г — 3 = 0 и координат¬
ной плоскостью Oyz.
7.	Найти расстояние между параллельными плоскостями х — у +
+ z - 1 = 0 и 2х ~2у -\-2z — 5=0.
Указание. Взять на одной из плоскостей любую точку и применить
формулу п. 7°.
8. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
>1(1,-1,1) и перпендикулярной к плоскостям 2х — у + z — I = 0 и
х + 2у - z + 1 = 0.
Указание. Воспользуйтесь п. 3°, где N = N\ х TV2.
9. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки
4(2,-3,2), В(— 1, —2, -1), С(-3,1,4).
Ответы
1.	Зх — 2у + Az — 12 = 0. 2. 15х + 10*/ — 6z — 60 = 0. 3. 2х + у — 3z —
-14 = 0. 4. 11ж — 7у - 2z - 21 =0. 5.	6.	cosip	=	ip	as	48°11/.
7.	.	8.	х	—	Зу	—	5z	+	1	=	0.	9.	2х	+	Зу	—	2	+	7	=	0.

84
Гл. IV. Аналитическая геометрия в пространстве
§ 2. Прямая в пространстве
1°. Прямую в пространстве можно определить как линию пересече¬
ния двух плоскостей. Система уравнений
Г A\x + B\y + C\z + D\ =0,
\ А2х + В2у + C2z + D2 = 0
задает общие уравнения прямой.
2°. Канонические уравнения прямой
х - хо _ у - уо _ Z — ZQ
определяют прямую, проходящую через точку Мо{х0, уо, ^о) парал¬
лельно вектору I = {ш, п,р}, который называется направляющим век¬
тором прямой (рис. 4.7).
3°.	Параметрические уравнения прямой имеют вид х =	хо	+	mt>
У = Уо	+ nt,	z	=	zo + pt,	где	параметр	t	изменяется в интервале
—оо < t < оо.
4°. Уравнения прямой, проходящей че¬
рез две заданные точки M\(x\,y\,z\) и
M2(x2iy2,z2):
х-х\	у ~у\ __ z - z\
Х2 ~ х\	У2 - У\ z2 “ z\
(если знаменатель какой-либо дроби равен
нулю, то ее числитель тоже равен нулю).
5°. Для приведения общих уравнений
прямой к каноническому виду следует:
—	взять две точки на Прямой, для чего
одной переменной нужно придать два число¬
вых значения и решить систему уравнений
относительно других переменных (или взять
два значения параметра t)\
—	написать уравнения прямой, проходя¬
щей через две точки (п. 4°).
6°. Направляющий вектор I прямой, заданной общими уравнениями
(рис. 4.8)
j А\х + В\у + C\z + D\ = 0,
1 А2с
А 2Х + В2У + C2Z + £>2=0,
имеет вид: I =
i j k
А, В\ Ci
А2 Вг Сг
—	векторное произведение нормальных
векторов Ni = {Ау,В\,С\} и N2 = {А2, В2, С2}.

§ 2. Прямая в пространстве
85
7°. Под углом между двумя скрещивающимися прямыми, заданны¬
ми каноническими уравнениями
х-Х\ _ у-уI _ Z - Z\
ТП[
X - Х2	У — У2
m2
z — Z2
П\	р	1	ТП2	712	Р2
следует понимать угол (рис. 4.9) между направляющими векторами
этих прямых (см. гл. III, § 2). Этот угол можно определить при помощи
косинуса:
l\h
COS (f =	■	*	■	=
7П\ГП2 + П\П2 Н~ Р\Р2
|^| |*2|	\!Ш\ + + Pl \Jml + п2 + ^2
Условие перпендикулярности прямых есть
вместе с тем условие перпендикулярности их на¬
правляющих векторов:
Z|Z2 = о, ИЛИ ТП\7712 + щ П2 + Р\Р2 = 0.
Условие параллельности прямых совпадает
с условием коллинеарности направляющих век¬
торов:
= Л^2, или
7711			711		 р 1
7712	п2	Р2
Примеры с решениями
Пример 1. Привести к каноническому виду общие уравнения
прямой
Г 2х-
\ х-
- Зу — 3z — 9 = 0,
2у + 2 + 3 = 0.
Решение. Канонические уравнения прямой составим по двум
точкам (как в п. 4°). Координаты двух точек прямой найдем по схеме
п. 5°.
1)	Положим, например, z\ = 0 и решим систему
2х — Ъу — 9 = 0,
х — 2у + 3 = 0
х\ = 27, у\ = 15.
Точка Mi (27,15,0) лежит на прямой.
2)	Аналогично, пусть Z2 = -3. Тогда
2ж — 3 у — 0,
х — 2у = 0
Х2 = 0, у2 = 0.
Точка Мг(0,0, —3) также принадлежит прямой.
3)	Запишем уравнения прямой, проходящей через две точки (п. 4°):
z + 3

86
Гл. IV. Аналитическая геометрия в пространстве
Пример 2. Для направляющего вектора прямой
Г 2х — Зу — 3z + 4 = О,
| х + 2у + z — 5 = 0
найти направляющие косинусы.
Решение. Согласно п. 6° найдем направляющий вектор I данной
прямой
г j к
1	= N\ х N2 = 2 -3 -3 = 3?— 5j + 7к.
1	2 1
Найдем
= л/9 + 25 4- 49 = у/83. Теперь (гл. III)
3	о	5	7
cos а = —, cos р = — —=-, cos 7 =	.
л/83	>/83	v/83
Пример 3. Составить уравнения прямой, проходящей через точку
А(—2,3, 1) параллельно прямой
Г х — 2у — z — 2 = 0,
| 2ж + Зу — z + 1 = 0.
Решение. Чтобы записать канонические уравнения прямой
(п. 2°), нам недостает направляющего вектора, который определим по
п. 6° (см. пример 2):
I
i j к
1 -2 -1
2	3-1
Искомые уравнения имеют вид
5г - j + 7к.
. 2/-3
z — 1
-1
Упражнения
1.	Составить уравнения прямой, проходящей через точки
Mi (2,-1,-3) и Мг( 3, 1,-5), и найти ее направляющие косинусы.
2.	Найти угол между прямыми
$ х + у — z — 1=0,	(	х	—	z	+	1=0,
4-1=0 и {
X - у + 2z +
у + 2z — 1 = 0.
3.	Составить уравнения прямой, проходящей через точку
Мо(1,— 3,2) перпендикулярно к прямым
х — 2
t+i
z + 3
3	-2114	-5
4.	Составить уравнения прямой, проходящей через точку
М(3,2, —1) и пересекающей ось Ох под прямым углом.

§ 3. Плоскость и прямая в пространстве
87
5.	Вычислить расстояние между прямыми
х _ у — 3 __ z — 2	х — 3 _ у + 1 	 z — 2
I 2 ~ 1	1	2	1	*
6.	Найти уравнение прямой, проходящей через точку М(2,1, -3) и
образующей с осями координат углы а = 45°, /? = 60°, j = 120°.
7.	Даны две вершины параллелограмма ABCD: С(-2,3, -5) и
D(0,4, -7), а также точка пересечения диагоналей М(1,2,-3,5). Най¬
ти уравнения стороны АВ.
8.	Проверить, лежат ли на одной прямой три данные точки:
А(3,5, -5), В(4,6, -4), С(5, 7, -3).
Ответы
-я? — 2	2/ —Н 1 z + 3	1	/э	2	2
1.		 =  	 = 	; cos а = - , cos р = - , cos 7 = — - .
12-2	3	3	3
2.	arccos(—0,5456). 3. — =	=	z-^l. 4. — = ^ = £±I.
3	8	7	0-2	1
5	5v/30	g	ж - 2 _ у - 1 __ z + 3 у х - 4 _ у - 1 __ z + 2 g J,
6	*	\/2 _	1	_	—3	*	2	~	1	^7*
§ 3. Плоскость и прямая в пространстве
1°. Углом между прямой и плоскостью называется угол
<р ^0 ^	^	^ ^ между прямой и ее проекцией на плоскость.
Пусть 1{т,п,р} — направляю¬
щий вектор прямой, а N {А, В, С} —
нормальный вектор плоскости. Тогда
(рис. 4.10)
cos
(i- =sin<^ =
JV-2
«||(|
Am + Bn + Cp
у/ТП2 +n2 + p2 • у/A2 + В2 + C2
Условие перпендикулярности прямой и плоскости совпадает с уело-
Г* д-t	Л	В	С
вием параллельности	векторов I и N:	— =	—	=	—.
ТП	п	р
Условие параллельности прямой и плоскости совпадает с условием
перпендикулярности векторов I и N: Ат + Вп + Ср = 0.
2°. Координаты точки пересечения прямой х = хо + mt, г/ = г/0 + п£,
2 = го + pt с плоскостью Ах + By + Cz + D = 0 определяются под¬
становкой параметрических уравнений прямой в уравнение плоскости,
нахождением значения параметра t и подстановкой этого значения в
параметрические уравнения прямой.

88
Гл. IV. Аналитическая геометрия в пространстве
3°. Координаты точки пересечения трех плоскостей определяются
решением системы уравнений этих плоскостей:
(А\х -}- В\х C\z -}- D\ = О,
А2Х + В2У + C2Z + £>2=0,
Азх + Взу + Сз* + £>3 = 0.
D
Примеры с решениями
Пример 1. Даны вершины тетраэдра А(2,3, 1), Б(4,1,-2),
С(6,3,7), D(-5, -4,8). Найти:
1)	длину ребра АВ\
2)	угол между ребрами АВ и AD\
3)	угол между ребром AD и плоскостью
АВС\
4)	объем тетраэдра ABCD\
5)	уравнение ребра АВ\
6)	уравнение плоскости АВС\
7)	уравнение высоты, опущенной из D на
АВС\
8)	проекцию О точки D на основание ABC;
9)	высоту DO.
Решение. Условию задачи удовлетворяет построенный чертеж
(рис. 4.11).
1)	А В вычислим по формуле
Рис. 4.11
d = у(х2~Х\)2 + (У2 - У\)2 + (Z2 ~ z\)2 ,
АВ = ^/(4 — 2)2 + (1 -3)2 + (-2- I)2 = VT7.
2)	Угол ip = (АВ, аЗ) вычислим по формуле (гл. III, § 2)
cos if =
ABAD
AS ■ AD I
а)	AB = {2,-2,-3}, AB = y/\7, AD = {-7,-7,7}, AD = 7V3;
б)	AB • AD = -14 + 14-21 =-21;
в)	cos(p = -	^	«	-0,42,	ip	«	180°	-	65°	=	115°.
VT7 ■ 7\/3
jV
90°-0
0
Рис. 4.12
3)	Синус угла 6 между ребром AD
и плоскостью ABC равен косинусу угла
между ребром AD и нормальным векто¬
ром N плоскости ABC (рис. 4.12). Вектор
N коллинеарен векторному произведению
АВхАС (гл. III, § 3).

§ 3. Плоскость и прямая в пространстве
89
а)	АВ = {2, —2, -3}, АС = 2{2,0,3},
АВхАб = 2 •
Принимаем 7V = {—3, —6,2}.
б) AD = 7{-1,-1,1}( sin0 =
г j к
2 -2 -3
2	0	3
= 4 • {—3, -6,2}.
3 + 6 + 2
V3 -7
4) Объем тетраэдра ABCD равен 1/6 модуля смешанного произве¬
дения векторов ^AZ? х Ас) ■ AD (гл. III, § 4).
Имеем: АВ = {2, -2, -3}, Ад = 2{2,0,3}, AD = -7{1,1,-1};
2 -2 -3
2	0	3
1 1 -1
= 2
0	3
1	-1
+ 2-
Искомый объем равен:	=
2-7-22
2	3
1 -1
154
2 0
1 1
= -22.
6	3
5)	Уравнения прямой, проходящей через две точки, имеют вид (§ 2)
X — Хс\	У	—	Vo	Z	—	Zf)	(	л	u	7*	ы
——^ = -—— = 	—; {т,п,р} - направляющим вектор I прямой.
т	п		 р
Принимаем I = АВ = {2, -2, -3}. Тогда
х — 2 _ у — 3 _ z — 1
2	~~	-2 ~~	-3	'
6)	Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки (§1):
(АВ):
Х-Х\ у-у 1 Z-ZI
Х2 -XI У2- У\ Z2 - Z\
%з -х\ уз- У\ Z3 - Z\
= 0.
Имеем
(ABC) :
х — 2 у — 3 z — I
2	-2	-3
2	0	3
= 0,.
или, после раскрытия определителя: Зж 4- 6у - 2z — 22 = 0.
7)	В качестве направляющего вектора I прямой DO можно
взять вектор I = N = N(ABC) = {3, 6, -2} (§ 2),
ж + 5 _ у + 4 г — 8
ИЛИ
(DO>:	3	.
х = —5 + 3£, г/ — —4 + б£, z = 8 -
2«.
8)	Проекция Z) на АБС — это точка О (точка пересечения DO с
ABC). Значения х, у и г, выраженные через параметр £, подставим в
уравнение ЛВС. Найдем значение t и подставим обратно в выражения
для я, у и г (§ 3).

90
Гл. IV. Аналитическая геометрия в пространстве
Получим 3(31 — 5) + 6(61 - 4) — 2(8 •
33
21) - 22 = 0, т = 77, t = — .
7
rr	г	2	38	34	~
Далее ir = — 5 H	= — - , 2/ = —, 2 = — , О
7	7	7	7
2	38	34	\
7 ’ У ’ 7 /
9) Высоту DO можно вычислить как расстояние между D и О, или
как расстояние от D до плоскости, или используя формулу для объема
тетраэдра (§1).
Гоо2 сс2 292
В любом случае получим Н = OD =	=11.
Пример 2. Найти координаты точки Q, симметричной точ¬
ке Р(—6,7,— 9) относительно плоскости, проходящей через точки
4(1,3,-1), В(6,5,-2) и С(0, -3, -5).
Решение. Воспользуемся эскизом задачи (рис. 4.13).
1) Составим уравнение плоскости а = (ЛВС), проходящей
через три точки:
(а) :
х — 1 у — 3
5	2
1	6
г+1
-1
4
= 0.
Подробности опускаем, так как подоб¬
ное действие выполнили в предыдущей зада¬
че. После раскрытия определителя получаем
уравнение (ABC) : 2х — iy + Az + 11 =0.
2) Напишем уравнение прямой I, проходящей через точку Р пер¬
пендикулярно а. Принимаем I = Na = {2, -3,4};
ге + 6 	 j/ — 7 	 z + 9
2	-3	4
или х = -6 + 2t, у = 7 - 3£, z = -9 + 4£.
3)	Определим координаты точки О пересечения I и а. Имеем:
2(-6 + 2t) - 3(7 - 31) + 4(—9 + At) + 11 = 0, 29* = 58, * = 2. После
подстановки t = 2 в параметрические уравнения прямой получаем:
х = 4 - 6 = -2, j/ = 7 — 6 = 1,	2 = -9 + 8 = —1.
4)	Точка 0(—2,1, — 1) делит отрезок PQ пополам, т.е., в част¬
ности, xq = (хР + xQ) : 2, или xQ = 2хо ~ хР. Аналогичные формулы
используем для yQ и zQ. Получаем xQ = —4 + 6 = 2, yQ = 2 — 7 = — 5,
2Q = -2 + 9 = 7.
Ответ. Q(2, -5, 7).
Пример 3. Найти координаты точки Q, симметричной точке
Р(1,3,2) относительно прямой АВ, где 4(1,2, -6), В(7, —7,6).
Решение. 1) Имеем 4£ = {6,-9,12}. Принимаем / = {2,—3,4};
(АВ):
X — 1
2 + 6
или
ж = 1 + 2t, у = 2 — 3£,	2	=	—6 + 4*.

§ 3. Плоскость и прямая в пространстве
91
2)	Уравнение плоскости а, проходящей
через Р перпендикулярно АВ, имеет вид
(рис. 4.14)
(а) :	2(х - 1) - 3[у - 3) + Цг - 2) = 0.
3)	Находим координаты точки О пе¬
ресечения АВ и а: 2(1 + 2t - 1) — 3(2 -
—	3t - 3) + 4(41 — б - 2) = 0, t = 1; ж = 3,
у = -1, г = -2. Итак, 0(3,-1,-2).
4.	Координаты Q вычислим по уже использованным ранее форму¬
лам: xQ = 2х$ — хР. Получаем xQ = 5, yQ = —5, zQ = —6.
Ответ. Q(5, —5, —6).
пределить расстояние от точки Р(—7,-13,10) до
! + 2 Z
Пример 4.
прямой I : х 1
2	1	О
Решение. 1) Через Р проводим плоскость а перпендикулярно I,
принимая iV = I = {—2,1,0}. Получаем (а): -2(ж + 7) + (у + 13) = О,
т. е. 2а; — у + 1 = 0.
2)	Находим координаты точки О пересечения I и а. Выраже¬
ния х = 1 - 2t, у = — 2 + t, 2 = 0 подставляем в уравнение плоско¬
сти: 2(1 - 2£) — (£ — 2) + 1 = 0. Находим сначала t = 1, затем х = —1,
у = -1, z=0, т. е. О(— 1, —1,0).
3)	Искомое расстояние равно
ОР = ^/(—7 + I)2 + (—13 - I)2 + 102 = 2\/83.
Ответ, d = 2\/83 .
Пример 5. При каких значениях В и С прямая
I	25
=	и плоскость Зх — 2у + 5z = 0 перпендикулярны?
Решение. Условие перпендикулярности прямой и плоскости рав¬
носильно условию параллельности их векторов I = {I, В, С} и N =
= {3, —2, 5}. Соответствующие координаты этих векторов должны быть
пропорциональными (§ 3): ^ =
; - 3
Пример 6. Через прямую с общими уравнениями
{
Зх — 2у + 5z -f 3 = 0,
х + 2у - 3z — 11 =0
и начало координат провести плоскость и составить ее уравнение.
Решение. Задачу сводим к построению плоскости по трем точкам
(§ 1, п. 4°). Подставляем z = —2 в исходную систему и решаем ее от¬
носительно х, у. Получаем одну точку М\(3,1, —2) на данной прямой.
Другую точку на этой прямой найдем при z = 6: М2(—1» 15,6). Остает-

92
Гл. IV. Аналитическая геометрия в пространстве
х у z
3	1	—2
-1 15	6
= 0,
ся составить уравнение плоскости по трем точкам:
т. е. 18я — 8 у + 23z = 0.
Пример 7. Составить уравнение плоскости, содержащей точку
М\ (3, 1,0) и прямую	|	.
Решение. Из уравнения прямой известны координаты точки
Мо(4,0,1) на ней и направляющего вектора I = {1,2,3}.
Пусть М(х, ytz) — текущая точка плоскости (рис. 4.15). Тогда
векторы МоМ, МоМь I лежат в одной плоскости, т. е. компланар¬
ны. Условие компланарности векторов (гл. III, § 4) будет искомым
уравнением: МоМ • МоМ\ • I = 0. Имеем: MqМ = {х — 4,у, z - 1},
MoMi = {-1,1,-1}. Уравнение искомой плоскости имеет вид
= 0.
х — 4	у	z — 1
-1	1	-1
1	2	3
Раскрывая определитель по элементам первой строки, упрощаем:
Ъх + 2у - 3z — 17 = 0.
Пример 8. Найти расстояние от точки М\ (х\, уи z\) до прямой
X — XQ
У -2/0 _ z-zq
п	р
Решение. Искомое расстояние можно найти как высоту h парал¬
лелограмма, построенного на векторах (рис. 4.16) М$М\ = {х\ — жо,
2/1 ~yo>z\—zo} и I = {т,п,р}. Площадь параллелограмма, как из-
вестно (гл. III, § 3), равна модулю векторного произведения векторов
MoMi и L
Таким образом, h = -=
41
Сравните с примером 4.
|AfoAfi х i]
14

§ 3. Плоскость и прямая в пространстве
93
Упражнения
1.	Прямая I проходит через точку Мо(2, 1, —-1) и точку пересечения
прямой -—- =	г + 1 с плоскостью х — у + z — 1 =0. Найти
2-17
угол, образованный прямой I с плоскостью х + 2у — 2 + 3 = 0.
g 1 Q	у -	 ^
2. Найти расстояние от точки М(2,3, 1) до прямой 	 = -— =
_ z — 3
-2~'
3.	Найти расстояние между двумя параллельными прямыми
( х + z — 1=0,	( х + z — 1=0,
| y + 2z = 0	и	\	у	+	2z	-	1	=	0.
Указание. Надо на одной из прямых взять точку и найти расстояние
от нее до другой прямой.
4.	Даны вершины тетраэдра:	А(2,	— 1, —4),	В(—1,4, — 1),
С(—2,3,-2), D(3,10, —15). Составить уравнение грани ABC и найти
координаты точки D', симметричной D относительно этой грани.
Найти объем тетраэдра и длину высоты, опущенной из вершины D.
5.	Найти проекцию точки Р(8,5,2) на плоскость, проходящую
через точки А(3, —2, 3), В(4, —2,0) и С(—1,4,3).
6.	Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую
х 4 у + 3	7	yi /л 1 л\
—— =	= у и точку >4(3,1, —2).
7.	Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
л/л о i\	х	у	z	х	+	1	?/	— 3	г-4
Л(4, —3, 1) параллельно прямым - = - = — и 	= 		=	.
6	2	—	3	5	4	2
х + 1
8.	Найти уравнение плоскости, проходящей через прямую	=
= -—- = - и перпендикулярной к плоскости Зх + у — z + 2 = 0.
9.	Треугольник ABC образован пересечением плоскости х + 2у +
+ Az — 8■ = 0 с координатными плоскостями. Найги уравнение средней
линии треугольника, параллельной плоскости Оху.
10.	Найти уравнения прямой, проходящей через точку М(3,1,-2)
х — 1 у + 1 z — 2
и точку пересечения прямой 	 = 		 = 	 с плоскостью
2х — Зу — 5z = 3.
11.	Найти точку JV, симметричную точке М(1,1,1) относительно
плоскости х + у — 2z — 6 = 0.
4п п	х—\	у	+	2	г —5 х —7	2/— 2
12.	Докажите, что прямые —— = 		=	 и 	=	=
z — 1
=	 лежат в одной плоскости, и составьте уравнение этой плоско¬
сти.

94
Гл. IV. Аналитическая геометрия в пространстве
Ответы
1.	arcsin ^. 2. 2\/Т0.3. ^ . 4. z + Зу - 4z - 15 = 0, £>'(-3, -8,9),
V = 26, hB = 3-ч/26. 5. 0(2, 1,0). 6. 8z - % - 222 - 59 = 0. 7. 16x -
- 27j/ + 14z - 159 = 0. 8. ® - 5» - 2z + 11 = 0. 9. - = ^ = — .
2	-1	0
10.	x + 1 = - =	_ и, N(3,3, — 3). Указание. Сначала найдите
4	1-1
проекцию точки М на плоскость. 12. 10ж - 16?/ — 13z + 27 = 0.
§ 4. Поверхности второго порядка
1°. Если в пространстве R3 ввести прямоугольную систему ко¬
ординат Oxyz, то каждая поверхность будет задаваться некоторым
уравнением F(xt у, г) = 0, где (я, ?/, z) — координаты любой точки
поверхности. Если F(x,y,z) — многочлен второй степени относительно
совокупности переменных х, у, 2, то уравнение F(xyy}z) = 0 на¬
зывается уравнением второго порядка, а поверхность, изображаемая
этим уравнением, называется поверхностью второго порядка. Если
поверхность имеет специальное расположение относительно системы
координат (например, симметрична относительно некоторых коорди¬
натных плоскостей), то ее уравнение име¬
ет достаточно простой вид и называется
каноническим уравнением.
2°. Для поверхностей второго поряд¬
ка перечислим канонические уравнения и
приведем эскизы.
1)	Сфера радиуса R с центром в нача¬
ле координат (рис. 4.17):
я2 + У2 + z2 = R2.
Уравнение
(х - Хо)2 + {у - уо)2 + {z - zof = R2
изображает сферу радиуса R с центром в
точке Мо{хо, yoy zo).
2)	Эллипсоид с полуосями а, Ь, с и
центром в начале координат (рис. 4.18):
X2	и2	Z2
—	+	-	+	-	=	1.
а2	Ь2	с2
При a = b = c = R эллипсоид	превращает¬
ся в сферу радиуса R.

§ 4. Поверхности второго порядка
95
3) Гиперболоид однополостный (рис. 4.19):
т2 и2 Z2
-—|- — — — = 1.
а2 Ь2 с2
Сечения гиперболоида горизонтальными плос¬
костями z = h являются эллипсами:
у2
h2
— + = 1 + -
а2 Ь2	с2
Сечения гиперболоида вертикальными плоско¬
стями х = h или у = h являются гиперболами:
у2	z2	_	^	_	h2	а:2	_	z2 ^ h2
b2	с2	а2	а2	с2	62
4) Гиперболоид двуполостный (рис. 4.20):
2	2	2
-f	?L — _	=	-1
а2	Ъ2	с2
Сечения гиперболоида горизонтальными
плоскостями z = h,	|/г|	> с	являются эллипсами:
^	^	=	—	~	1
а2	б2	с2
Сечения гиперболоида вертикальными плоско¬
стями х = h или у = h являются гиперболами:
£
ь2
h2
б2
1.
5) Параболоид эллиптический (рис. 4.21):
Т2	7/2
— + ^ = 2pz.
а2 62
Сечения параболоида горизонтальными плоско¬
стями z = h (h > 0 при р > 0, h < 0 при р < 0)
суть эллипсы:
2 2
^ + »- = 2ph.
а2 Ь2
Сечения параболоида вертикальными плоско¬
стями ж = h или у = h являются параболами:

96
Гл. IV. Аналитическая геометрия в пространстве
2pz.
Рис. 4.22
6)	Параболоид гиперболический (рис. 4.22):
Z2 _ 2/2
а2 Ь2
Сечения параболоида горизонтальными плоскостями z = h суть гипер-
X2	У2
болы 	 — —-— = 1. Сечения вертикальными плоскостями х = h
2a2ph	2b2ph
или у = h являются параболами:
7)	Конус эллиптический с
(рис. 4.23):
у2
вершинои
.2
в начале координат
а* ЬР с2
Если а = Ьу то конус круглый или круговой. Сечения конуса горизон¬
тальными плоскостями являются эллипсами:
— + = —
а2 У2 с2
(при h = 0 эллипс вырождается в точку). Сечения конуса вертикаль¬
ными плоскостями х = h и у = h являются гиперболами:
z2	h2	X2	z2	h2
— — — =	ИЛИ — — — = — — .
с2	а2	а2	с2	Ь2
У_
б2
3°. К поверхностям второго порядка относятся цилиндры, направ¬
ляющие которых — линии второго порядка. Мы ограничимся пере¬
числением цилиндров, направляющие которых расположены в плос¬
кости Оху, а образующие — прямые, параллельные оси Ozy что яв¬
ляется следствием отсутствия переменной z в уравнении поверхности
F{x,у) = 0.

§ 4. Поверхности второго порядка
97
Различают следующие цилиндры:
1)	Эллиптический (рис. 4.24):
х2 и2
-	4 v- = 1.
а2 &
Если а = b = R, то цилиндр — круговой: х2 + у2 = Д2.
2)	Гиперболический (рис. 4.25):
—	- ^ = 1
а2 Ь2
3)	Параболический (рис. 4.26):
у2 = 2рж.
Примеры с решениями
Пример 1 (к п. 2°). Определить тип поверхности и сделать
чертеж: а) х2 - у2 = z2\ б) -2х2 4 2у2 4 z2 = 4; в) 2я2 - у2 + z2 + 2 = 0;
г)	Зу2 -f 2z2 = 6х.
Решение, а) Запишем данное
уравнение в виде у2 + z2 — х2 = 0.
Сопоставив его с 7), определяем, что
это круговой (а = Ь = с) конус с вер¬
шиной в начале координат и осью
вращения Ох (ср. рис. 4.23, на кото¬
ром ось вращения — Oz).
б)	Переписав уравнение поверх-
2	2	2
ности в	виде	— -—|-	—	+	—	=	1,
2	2	4
определим,	согласно 3), что	это одно-
полостный гиперболоид (рис. 4.27).
4	К. Н. Лунгу, Е. В. Макаров

98
Гл. IV. Аналитическая геометрия в пространстве
Рис. 4.29
в)	Переписав уравнение поверхности в виде
2 2
У~ + - =-1,
1 2
определяем, согласно 4), что это двуполостный гиперболоид (рис. 4.28).
2 2
г)	Переписав уравнение поверхности в виде ~ + у = х' 0ПРеДе‘
ляем, согласно 5), что это эллиптический параболоид (рис. 4.29).
Пример 2 (к п. 3°). Определить тип поверхности и сделать
чертеж: а) у2 = 4ж; б) z = х2\ в) у2 + z2 = 4.
Решение, а) Так как в уравнении поверхности отсутствует пере¬
менная г, то это цилиндр с образующими, параллельными оси Ог, и
направляющей — параболой (рис. 4.30) с уравнениями
j у2 = 4х,
ь = о.
б)	Так как в уравнении поверхности отсутствует переменная у, то
это цилиндр с образующими, параллельными оси Ьу, и направляю¬
щей — параболой (рис. 4.31) с уравнениями
f Z = X2,
1	0 = 0.

§ 4. Поверхности второго порядка
99
в)	Цилиндр с образующими, параллельными оси Ох, и направляю¬
щей — окружностью радиуса 2 с уравнениями (рис. 4.32)
Г у2 + Z2 = 4,
\ х = 0.
Пример 3 (к п. 2°,3°). Начертить тело, ограниченное данными
поверхностями: а) 2у = х2 + z2, х2 + z2 = 1; б) z = 0, у + z = 2, ?/ = х2;
в)	z = 6 — х2 — у2, х2 у2 ~ z2 = 0.
Решение, а) Первая поверхность — эллиптический параболоид
X2	Z2
	1	= у, вторая — цилиндр с образующими, параллельными оси
Оу (рие. 4.33).
б)	z = 0 — это координатная плоскость Оху\ у + z = 2 — это
плоскость, параллельная оси Ох\ у — х2 — это параболический цилиндр
с образующими, параллельными оси Oz (рис. 4.34).
в)	Тело ограничено параболоидом и конусом (рис. 4.35).
4*

100
Гл. IV. Аналитическая геометрия в пространстве
Упражнения
1.	Определить тип поверхности и сделать схематический чертеж:
1)	г = 4 — у2\ 2) х2 = у2 + z2\ 3) х = 6 — z2 — у2\ 4) х2 + у2 +- z2 = а2;
5)	Зх2 - у2 + 2z2 = — 1.
2.	Найти уравнения прямой, проходящей через точку М(3,1, -2) и
точку пересечения прямой х = 2t — lt у = t + 2, z = I — t с плоскостью
Зх — 2у + z = 3.
3.	Найти расстояние от точки М(2,0,3) до прямой
Г 2x-y + z= 1,
\ х + ?/ + г = 3.
X “1“ 1
4.	Найти уравнение плоскости, проходящей через прямую —— —
==	и точку М(3,2,-1).
3	—	1
5.	Найти расстояние между параллельными прямыми
х — 1 _ у 	 2+1	x_2/+l_z — 2
~2	- 1 _ 3	2	И	Г	'
6.	Написать уравнение плоскости, проходящей через параллельные
х-1	у-\- 2	z+ 1	х	у— 1	z + 2
прямые 	 = 		 = —— и - — 		 = 	.
3	-5	4	3	-5	4
7.	Написать уравнения прямой, проходящей через точку М(2,1, -3)
и образующей с осями координат углы а = 45°, /3 = 60°, 7 = 120°.
8.	Начертить тело, ограниченное данными поверхностями:
I)	z = 16 — х2 — у2, х2 + (у — 2)2 = 4;
+	*=*■ х=°- *=°
9.	Составить уравнение эллипсоида, осями симметрии которого
служат оси координат, если на его поверхности лежат три точки
4(3,0,0), В(-2, ~,0) и С(0,-1, 4-)-
3	v5
10.	Какую поверхность определяет уравнение z2 +х2 = т(г2 +у2)
при: 1) т = 0; 2) 0 < т < 1; 3) т < 0?
11.	Составить уравнение сферы, если точки М(4, —1,—3) и
N(0,3,-1) являются концами одного из ее диаметров.
12.	Найти уравнения линии пересечения поверхностей z = 2 — х2 —
—	у2 и г = х2 + у2.
13.	Найти координаты центра и радиус окружности х2 + у2 + z2 =
—	100, 2х + 2у — z — 18.
Ответы
1.	1) цилиндр; 2) конус; 3) эллиптический параболоид; 4) сфе¬
ра; 5) двуполостный гиперболоид. 2.	•	3.	у/Ъ.

Контрольные задания
101
4.	х + у + 5z = 0. 5. —14 . 6. 7ж + у — 4z = 9. 7. J = -—- =
7	v"2	1
г 4- 3	ж2 1у2 г2
= 	.9.	h — Н	= 1. 10. 1) ось ординат; 2) конус; 3) начало
координат. 11. (х - 2)2 + (у — 1 )2 + (z + 2)2 = 9. 12. х2 + у2 = 1, z — 1
(окружность). 13. С(4,4,-2); г = 8. Указание. Центр окружности —
это точка пересечения плоскости с перпендикуляром из центра сфе¬
ры на плоскость, а радиус окружности г определяется из равенства
г2 = R2- d2, где R — радиус сферы, ad— расстояние от ее центра до
плоскости.
Контрольные задания
(к главам III и IV)
1.	Даны координаты вершин пирамиды А(0,0,1), £(2,3,5),
0(6,2,3), D(3, 7,2). Требуется:
1)	найти длину ребра АВ, косинус угла между ребрами АВ и АС;
2)	найти площадь грани ABC, длину высоты, опущенной на грань
ЛВС, объем пирамиды ABCD\
3)	найти координаты точки Е, симметричной точке D относительно
плоскости АВС\
4)	найти координаты точки F, симметричной точке D относительно
ребра ВС.
2.	Найти уравнение плоскости, отстоящей на расстоянии 3 от
плоскости Зх - 6у - 2z + 14 = 0.
3.	Составить уравнение прямой, принадлежащей плоскости Oyz и
проходящей через начало координат перпендикулярно прямой
Г 2х — ?/ = 2,
\ y + 2z = -2.
4.	Заданы прямая ~ f = ~~ъ~ И точка ^»^)* Требуется:
1)	составить уравнение плоскости, проходящей через точку М и
прямую;
2)	составить уравнение плоскости, проходящей через точку М пер¬
пендикулярно прямой;
3)	составить уравнение перпендикуляра, опущенного из точки М
на прямую;
4)	вычислить расстояние от точки М до прямой.
5.	Найти расстояние между прямыми:
х = 7 + 2£,
(	х —	7 + 2£,
и	<	у =	— 5 - 3t,
[	z =	2 + £;
г - 1	х+1_у	+	2_г+1

102
Гл. IV. Аналитическая геометрия в пространстве
( х = 2t + 1,
3)	I y = 3t- 1,	и	^
I z = -5	1	1
(2x + y + z-2 = 0,	Г	х
' ^ 2х — у — 3z + 6 = 0	2:
- 2у + z - 4 = 0,
2х + 2у — z — 8 = 0.
6.	Установить вид поверхности:
1)	х2 — 3z = 0;	2) ?/2 + 2z — 4z2 = 3;	3) 2х2 + Зу2 4- 4z2 = 24;
4)	2х2 + Зу2 - 4z2 = 24;	5) 2х2 + Зу2 - 4z2 = 0;
6)	2х2-3у2 = 1;	7) Зх2 - 2?/2 = 0;	8) (х - I)2 + у2 = 5.
7.	Изобразить тело, ограниченное данными поверхностями:
1)	z = у/9 — х2 — у2 и 9z = 2х2 + 2у2\
2)	z	= Зу/х2 + у2 и	г = 10 — х2 — у2\
3)	г	= 1 — 6 [х2 + у2)	и г = 12х + 1;
4)	z	= 5 (х2 + т/2) + 1	и г = 10 — 18у.

Глава V
ФУНКЦИИ
§ 1. Основные понятия
1°. Переменная величина у называется функцией переменной х,
определенной в некоторой области, если каждому значению х из этой
области соответствует одно значение у.
Обозначение функции у = /(я), у = у(х) и т.п. введено Эйлером.
Наглядным представлением функции служит ее график: множество
всех точек плоскости Оху с координатами (х, у), где у = f{x).
2°. Графики основных элементарных функций.
1)	Степенная функция у = ха, где а — вещественное (действи¬
тельное) число. Область определения степенной функции зависит от а:
она определена при всех х > 0, а также при х < 0, если а рационально,
несократимо и с нечетным знаменателем. При а > 0 степенная функция
определена в точке х = 0. Примеры степенных функций и их графиков
(рис. 5.1):
а >0
LL т
~0 * (
%
у — X2	у
а <0
О	х	О
= X3	у—Х1!2	—	у/х	у	=	Х2/3=\/х2	у	=	Х]/3	=	tyx
\1/ Ж	L _L
о
о
о
у= |х| = 2у/х2п	у = х 2= —с
1
о
у=х~3= —	у = х 1/2= —
X*	ХЛ	у/х
Рис. 5.1

104
Гл. V. Функции
2)	Показательная функция у = ах, а > 0.
Эта функция определена на всей числовой оси, она всегда положи¬
тельна; это видно на графике (рис. 5.2).
У = l°g
(0< а <1)
Рис. 5.3
3)	Логарифмическая функция у = logax, а > 0, а ф 1.
Эта функция определена при х > 0 и принимает произвольные
значения у € R. При а > 1 функция возрастающая, при 0 < а < 1 —
убывающая (рис. 5.3).
4)	Тригонометрические функции у = sinx, у = cosx, у = tgx,
у = ctg х.
Функции у = sinx и у = cosx определены для любых х и принима¬
ют значения из отрезка [—1; 1] (рис. 5.4).
Функция у = tgx не определена в точках, где posx = 0, т. е. при
х = - (2k + 1), к = 0; ±1; ±2,.... Прямые х = - (2к + 1) являются
вертикальными асимптотами графика тангенса (рис. 5.5).
Функция у = ctgx не определена в точках, где sinx = 0, т. е. при
х = &7г, к = 0; ±1; ±2,.... Прямые х — к'к являются вертикальными
асимптотами графика котангенса (рис. 5.6).

§ 1. Основные понятия
105
5)	Обратные тригонометрические функции.
Функции у = arcsinx и у = arccosx определены для — 1 ^ х ^ 1 и
принимают значения из [—7г/2;7г/2] и [0;7г] соответственно (рис. 5.7).
Функции у = arctgx и у = arcctg я определены для всех значений
аргумента и принимают значения из [—7г/2; 7г/2] и [0; 7г] соответственно
(рис. 5.8).
3°. Предел функции.
Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки
х = а, за исключением, может быть, самой точки а.
Пределом функции f(x) при стремлении х к а называется число В,
такое, что разность \ f(x) — В\ принимает значения сколь угодно малые
при всех х, достаточно близких к а. В этом случае пишут lim f(x) = В.
х ^ а
Если функция f(x) имеет предел В при х —► оо, то прямая у = В
называется горизонтальной асимптотой графика функции f(x)
(рис. 5.9 и 5.10).
1У
1/м

—
П X
В
О
а х
Рис. 5.9	Рис.	5.10
Если lim f(x) = оо, то прямая х — а называется вертикальной
х—ю,
асимптотой графика функции у = f(x) (рис. 5.9 и 5.10).

106
Гл. V. Функции
Число £2 называется пределом справа, и будем писать В2 =
= lim /(ж), или /(а + 0) = lim f(x), если х стремится к а, оста-
х—ю+О	ж—>а+0
ваясь правее точки х — а, т. е. х > а. Аналогично определяется и
предел слева В[ = lim f(x), или /(а —0) = lim /(я). При этом х
х—>а—0	х—►а—0
стремится к а, оставаясь левее точки ж = а, т. е. х < а (рис. 5.11).
4°. Непрерывность.
Пусть функция у = /(ж) определена в точке жо и некоторой ее
окрестности. Функция /(ж) называется непрерывной в точке жо, если
существует предел f(x) при стремлении
х к ж0, причем lim /(ж) = /(ж0). Ес-
J ( JCJ	I—
ли это условие не выполнено, то точка
жо называется точкой разрыва функ¬
ции '/(ж). Непрерывность функции /(ж)
В2
в точке х = хо равносильна условиям
lim /(ж)= lim /(ж0)=/(жо). Гово
Q	Q	X	X—>Xq~Q	X—>Xq+Q
рят, что функция у — Дж) имеет в точке
Рис*	разрыв первого рода, если существуют
конечные пределы lim /(жо) = /(жо + 0) и lim /(жо) = /(жо — 0),
я—►Хо+0	х—>xq—О
причем
/(х0 + 0) ф f(x0 - 0), или /(хо + 0) = f (х0 - 0) ^ /(х0).
В последнем случае жо называется точкой устранимого разрыва.
Разность /(жо + 0) — /(жо — 0) называется скачком функции в точке
жо. Функция /(ж) имеет в точке жо разрыв второго рода, если хотя бы
один из односторонних пределов функции в этой точке не существует
или равен бесконечности.
Упражнения
1.	Найдите и укажите горизонтальные и вертикальные асимптоты
функций, графики которых приведены на рис. 5.1-5.8.
Построить графики функций.
2.	у = 2*. 3.y = VZ. 4. г/ = 21*1. 5.» = 2-1*1.
6. у = sinx. 7.2/= 3sinx. 8. у = sin2х. 9. у = — .
X
ШСОБ X 4 ^	1
.?/=	. 11. у —.
§ 2. Деформация графиков функций
Под деформацией графика функции у = /(ж) мы имеем в ви¬
ду построение геометрическими методами графика функции у =
= Af(ax + Ь) + В, исходя из графика функции у = /(ж).
Перечислим сначала основные частные случаи.

§ 2. Деформация графиков функций
107
1°. Если Г — график функции у — f(x), то имеют место следующие
свойства.
1)	График функции у = f(—x) симметричен Г относительно оси Оу.
2)	График функции у = —f(x) симметричен Г относительно оси Ох.
3)	График функции у = —f(—x) симметричен Г относительно нача¬
ла координат.
4)	График функции у = f(ax) (а > 0) получается сжатием Г к оси
Оу (т. е. вдоль Ох) в а раз при а > 1 или растяжением от оси Оу в -
а
раз при 0 < а < 1.
5)	График функции у = f(x - а) получается параллельным сдвигом
(переносом) Г на а вправо при а > 0 или на |а| влево при а < 0.
6)	График функции у = Af(x) получается растяжением Г от Ох
(вдоль оси Оу) в а раз при А > 1 или сжатием к оси Ох в — раз при
0< А < 1.	А
7)	График функции у = f(x) + В получается сдвигом Г вдоль Оу
на В вверх при В > 0 или на \В\ вниз при В < 0.
Примечание. Практически параллельный перенос графика в ту
или иную сторону относительно системы координат равносилен пе¬
реносу координатных осей в противоположную сторону относительно
графика.
8)	Для построения графика функции у = \f(x)\ нужно построить
сначала график Г функции у = f{x). Далее ту часть Г+, которая
расположена на и над Ох, надо сохранить, а ту часть Г~, которая рас¬
положена под осью Ох, — зеркально отразить относительно этой оси.
Искомый график состоит из объединения построенных двух частей.
9)	у = /(|я|). Строим часть графика Г функции у = f(x), которая
соответствует х ^ 0. Затем эту часть зеркально отразим относительно
оси Оу. Искомый график состоит из объединения построенных двух
частей.
Ю) у ■— f(u(x)). Главное, что нужно для построения графика слож¬
ной функции у = f(u), где и = и(х), — это умение правильно исполь¬
зовать промежутки монотонности функции и = и(х) и сочетать это с
монотонностью функции у = f(u).
2°. Прежде чем строить график данной функции у = Af(ax + Ь) +
+ В, следует переписать эту функцию в виде у = Af(a(x — а)) + В, где
ь
а = —, и выполнить затем последовательно следующие построения.
а
1)	График Г функции у = f(x).
2)	График Г1 функции у = f(x - а) — сдвиг Г вдоль Ох.
3)	График Гг функции у = f(a(x - а)) = f(ax + b) — сжатие или
растяжение Гь если а > 0 и последующее отражение относительно оси
Оуу если а < 0.
4)	График /з функции у = Afiax + b) — сжатие или растяжение Г2
при А > 0 и отражение относительно оси Ох, если А < 0.

108
Гл. V. Функции
5)	График /4 функции у = Af(ax + Ь) 4 В параллельный перенос
Гз вдоль оси Оу.
\ у‘
. а
л.
0
1 *
Примеры с решениями
Пример	1.	Построить график функции у = ^ х2 4 2х — 1.
Решение. Перепишем	данную функцию в виде у = ^ (ж 4 2)2 - 3.
1)	fj: у = х2 — парабола (рис. 5.12, а)
с вершиной в точке 0(0,0).
2)	Г2:	У	= (я 4- 2)2	—	парабола
(рис. 5.12,6) с вершиной в точке А(—2,0).
3)	Гз- У = ^ (х 4 2)2. Получается из / 2
сжатием в 2 раза к Ох (рис. 5.12,в).
4)	/V у = - (ж 4- 2)2 — 3. Гз опускаем
на 3 единицы вниз (рис. 5.12, г).
Пример 2. Построить график функ-
о	Зх 4 1
ции у = Z	.
2х — 2
Решение. Представим данную функ-
2	1	ГГ
цию в виде у 		h -. Далее строим
последовательно. х~
1)	В качестве Г принимаем график
функции у = - — равнобочная гипербола
х
(рис. 5.13, а).
2)	Л: у =
X - 1
сдвиг гиперболы
на 1 вправо вдоль Ох (рис. 5.13,6).
3)	Г2: у —	-— — отражение Г от-
X - 1
носительно оси Ох (рис. 5.13, в).
Рис. 5.12
4) Г3: у = -
X - 1
—	растяжение Гi в
два раза от оси Ох (рис. 5.13, г).
2	1	1
5)	/4: у  	1	сдвиг Гз вверх на - (рис. 5.13, д).
х - 1	2	2
Пример 3. Построить график функции
2/ = 2sin ^2х +
Решение. Перепишем: ?/ = 2 sin 2 ( я 4 - J — ^ .

м | а
§ 2. Деформация графиков функций
109

110
Гл. V. Функции
1)	Исходим из графика Г функции у = sinx (рис. 5.14, а).
2) Г\ \ у = sin — (-l)j,a = -i.
Г\ получается из Г сдвигом вдоль Ох на	влево (рис. 5.14,6).
3)	Г2\ У = sin ^2х + i ^ = sin2 ^ ^.
Г2 получается из Г сжатием к прямой х = — - в два раза. Волна Г2
4
стала в два раза «гуще», чем Г\ (рис. 5.14, в).
4)	Г3: у = 2 sin ^2х + ^ .
Гз получается из Г2 растяжением вдоль Оу в 2 раза (рис. 5.14, г).
5)	А: у=2sin|2x+ -V - -
2	)
Г4 получается из Гз параллельным сдвигом вдоль Оу вниз на -
(рис. 5.14, д).
Пример 4. Построить график функции у = cos х2.
Решение. Достаточно знать точки пересечения графика функ¬
ции у = cos х2 с осью Ох. Имеем cosx2 = 0 при х ±	+ &7г,
к = 0,1, 2,.... При х = ±y/kiг, к = 1,2, 3,... имеем cosx2 = (-l)fc.
График данной функции изображен на рис 5.15.
Пример 5. Построить график функции у = log2cosx2.
Решение. Область определения этой функции находим из гра¬
фика предыдущей функции: cosx2 > 0 при х €	х ^
€ ) ’ Х ^ ~~2~ ’ ~~ ) И Т* А* ^читываем
монотон¬
ность функции у — log21, а также равенство log21 = 0, log21 < 0
при t < 1 и log2t —> —00 при t -*> 0 (£ > 0). Следовательно, прямые

§ 2. Деформация графиков функций
111
Рис. 5.16
х = ±у
2	k -L 1
	п, к = 0,1,2,..., являются вертикальными асимптотами
2
графика данной функции (рис. 5.16).
Пример 6. Построить график функции у = |log21х — 2| |.
Решение. График функции у = log2 \х\ состоит	из графика	у	=
—	log2x (х > 0) и симметричного с ним относительно	оси Оу	графика
функции у = log2(—х), х < 0 (рис. 5.17, а).
График функции у = |log2|x|| получается из расположенных на и
над Ох ветвей предыдущего графика и отраженных относительно оси
Ох отрицательных его ветвей. Если последний график сдвинем парал¬
лельно себе вправо на 2, то получим требуемый (рис. 5.17, в).
Пример 7. Построить линию, координаты точек которой удовле¬
творяют уравнению |х| — \у\ = 1.
Решение. При х ^ 0 данное урав¬
нение принимает вид \у\ = х — 1. Это
уравнение имеет смысл при х ^ 1 и
изображается двумя лучами: у = х — 1
и у = ~(х - 1). Они образуют пря¬
мой угол. Наличие модуля \х\ в пер¬
воначальном уравнении означает, что
его изображение симметрично относи¬
тельно оси Оу. Итоговое изображение
(рис. 5.18) симметрично относительно
обеих координатных осей.

112
Гл. V. Функции
Упражнения
Построить графики функций.
1- У = Vix - 2)2	•	2. j/ = log2(x -	3).	3. ?/ = |log2(x -	2)|.
4.	j/ = |log2 |х + 11|.	5. у — log2 |х|	+ 1.	6. у = |log2 |х|	+	11.
7.	у = log2(2 + sinx). 8. у = log2(l + sinx).
9.	у = | log2 (1 + sin ж) |.	10. у	= log21 sinx|.	11.7/ =	log2 tgж.
12. у	= |log21 sinx||.	13. у =	2х.	14. у = 2'x'.	15.	у = 2“'xl
16. у	= 2smx. 17. 7/ = sin ж.	18. ?/ = sin2x.	19. ?/ = sin2x.
20. у	= sin2 2x.	21. ?/ = 2x 4-	3. 22. у = |2x	+ 3|.
23.	у	— —|2x + 3|.
Построить линии на плоскости, координаты точек которых удовле¬
творяют уравнениям.
24.	|2/| = х. 25.	[?/[ = х2 — Зх + 2.	26.	\у\ = sinx.
27.	|г/| = log2 ж.	28. |у| = |ж|.	29.	\у -	1| = х - |х|.
30. |х| + \у\ = 1.	31. |х — 1| — |т/ — 2| = 3. 32. |х| — |2/| = 2.
33. |г/| = |tgx|. 34. \у\ = |sinх|. 35. \у\ =log2|sinx|.
1°. Числовой последовательностью называется бесконечное за-
нумерованное множество действительных чисел ai,a2, ...an,.... По¬
следовательностью называется также функция натурального аргумента
ап = /(n), п € N (п — натуральное).
2°. Рассмотрим поведение членов четырех последовательностей:
1)	Члены {ап} сгущаются к числу 1: абсолютная величина разности
§ 3. Предел последовательности
ап= 1 + ^ — , Ьп = п2, Cn = (- l)n-n, dn = (-l)n
п
при условии, что п = 1,2,3,....
Имеем:
п 3	2	5	4	7	6
Ьп: 1,	4,	9,	16,	25,	36,...,
сп •	2,	—3,	4,	—5,	6, ...,
dn :	-1, 1,	-1,	1,	-1,	1, ....
|an — 11 = — становится все меньше и меньше. Это означает, что ап—► 1
п
00.

§ 3. Предел последовательности
113
2)	Члены {Ьп} положительны и неограниченно возрастают: с ростом
п они становятся и остаются больше любого наперед заданного числа.
Это означает, что Ьп —> +оо при п —► оо.
Кратко: lim п2 = +оо.
3)	Абсолютные величины [сп| членов сп неограниченно возрастают,
т. е. \сп\ —► +оо. Это означает, что сп —» оо при п —> оо.
Кратко: lim (-l)n-n = oo.
4)	Члены {dn} ни к чему не стремятся, ни к чему определенному
не приближаются.
Кратко: lim (-1)п не существует.
3°. Число а называется пределом последовательности {ап} при п,
стремящемся к бесконечности, если для любого е > 0 найдется такое
натуральное число N = N{e) (зависящее от е), что при всех п > N
имеет место неравенство \ап — А\ < е. Кратко, при помощи кванторов:
lim ап = А Ve > О 3N = N (е) :	п > N => \ап - А\ < е.
п—►оо
4°. Бесконечные пределы.
Кратко:
lim ап — +оо Ve > О 3N = N (б) :	п	>	N	=>	ап>	е\
Доказательство предложений п. 3°-4° сводится к решению того или
иного неравенства с параметром е относительно п.
5°. Последовательность {ап} называется монотонно возрастаю¬
щей (убывающей) при п> N, если ап+\ > ап (an+i < an).
Последовательность {an} называется ограниченной сверху (снизу),
если существует число М (т), такое, что ап < М (ап > т).
Теорема 1 (о существовании предела). Если последова¬
тельность {ап} монотонно возрастает (убывает) и сверху (снизу) огра¬
ничена, то она имеет предел.
При этом е = 2,7182818284590... « 2,72.
Предел е существует на основании теоремы 1 (можно доказать, что
еп+\ > еп и еп < 3, п £ N).
п—юо
lim ап = -оо Ve > 0 3N = N (е) :	п>	N	=>	ап	<	—е\
lim ап = оо lim \ап\ = +оо.
Теорема 2 (о числе е). Последовательность
имеет предел.
Этот предел обозначается буквой е:

114
Гл. V. Функции
Примечание 1. Имеет место более общая формула:
fin
lim ( 1 + — )	=	eafi.
И)-
Примечание 2. Функция у — ех называется экспоненциальной
(iпоказательной), а логарифмы с основанием е — натуральными:
In ж = loge х.
6°. Вычисление пределов последовательностей основано на их пре¬
образовании, т. е. приведении к «удобным» выражениям, или на приме¬
нении теоремы 2.
Например, вычислим несколько пределов:
2п2 + Згс — 2	(2 + 3/п - 2/п2)	2	(	,
lim 	 = lim 	 	 —L = - используя тот факт,
п^оо 5п2 — тг + 7	n^oo ft- (5 — 1 /тг + 7/п2)	5	V
3	2	1	7	\
что	если	п	—►	оо,	то	-	—►	0,	—	—>	0,	-	—►	0,	—	—►	0).	Данная
п	п2	п	п2	/
дробь	«неконтролируема»,	ибо ее числитель	и знаменатель стремятся
к оо. Вторая дробь получилась после сокращения первой на п2; она
поддается анализу: числитель —► 2, а знаменатель —► 5;
Иш 12”2 + 3™-2 = цт У(12+3/п-2/п2) = Um Л 12+3/п-2/яЛ = Q
п * оо 7п3 + бгг2 — 3 п—юо гг^ (7+6/гг—3/гг3) п—>оо у п 7+б/тг—3/тг2 )
(поскольку второй сомножитель —► 12/7, а первый —► 0);
г 7п3 + бгг2 — 3	/	7	+	б/п — 3/п2 \	,
lim 	 = lim п • 	 	-— I = +оо (поскольку мно-
п-+оо 12п2 + Згг - 2	n-юо у 12 + 3/п-2/п2	)
житель 71 —► оо, а	дробь —► 7/12).
Анализ вычисления этих пределов показывает, что предел рацио¬
нальной дроби при п —► оо легко вычислить после вынесения за скобки
в числителе и знаменателе их старших степеней и последующего
сокращения. Этот же вывод справедлив для иррациональной дроби.
При этом предел рациональной дроби при п —► оо равен: отношению
«старших коэффициентов», если степени числителя и знаменателя рав¬
ны; 0, если степень числителя меньше степени знаменателя; ±оо, если
степень числителя больше степени знаменателя.
При вычислении пределов иррациональных выражений использует¬
ся прием умножения и деления на выражение, сопряженное к данному.
Например,
lim (у/п2 + 3п — 1 — у/п2 — п) = /используем формулу а — b = —	— 1 =
п^оо \	/	(^	а + Ъ )
= Um и* + Зп-1)-(У-п) = Um	4п-1		=
П~>СЮ \J п2 + Згг - 1 + у гг2 - п n~>°° j _(_ зуп _ \/n2 _j_ nyl-l/ri
= lim	+£r	=	—	=2.
n_*°° fi 1 + 3/n -\/n2 +	1	-	l/гг	J	1 + 1

§ 3. Предел последовательности
115
7°. Имеет место сложное равенство
lim qn =
n—►-(-оо
+оо, если q > 1;
1, если <7=1;
О,	если - 1 < q < 1;
не существует, если q = — 1;
оо,	если q < -1.
Чтобы получить данный результат, достаточно брать конкретное
числовое значение q с указанным условием (например, q = 2, q = 1,
9 = -^.9= |. 9 = — 1. 9 = -2).
Например, lim [ Зп + 2 ^	=	цт	(	-	+		-	^	=	+оо,	ибо
п-юс \ 2гг — 1 )	п	*оо	\2	2 (2п - 1) /
и	7	3
qn= ~ ~\	> - > 1 при п > 1;
2	2(2п	—	1)	2
п/2
= lim
72—>00
Пш ( ®!L±J.y
п ►оо \ 7гг - 3 )
5	22
7	7(7гг	-	3)
1/2
( - + 			)
V7 7(7п — 3) /
1/2'
= о,
ибо
< 1 при п ^ 3.
Примеры с решениями
2^	з
Пример 1 (к п. 3°). Доказать, что lim 	 =2.
П-ЮО 71+2
Решение. Если е > 0 — произвольно малое число, то
2тг — 3 0
— 2
< £
71 + 2
2п — 3 — 2п — 4
71 -Ь 2
Этим первоначальное неравенство решено. Оно должно выполняться
при всех п > N — N(e). Остается указать N (N — целое число).
j
— 1 ([а] — целая часть а). Тогда при всех п> N
Принимаем N =
2п — 3
имеем
71 + 2
-2
< е (в частности, если £ = 0,01, то N —
— 1 = 699, в таком случае при п > 699 имеем:
полностью согласуется с определением lim
2тг — 3
71-1-2
2тг — 3
-2
0,01
< 0,01). Это
п—юо п + 2
= 2.
Пример 2 (к п. 4°). Доказать, что lim ——+ 2 = +оо.
п-юо п + 2

116
Гл. V. Функции
Решение. Если е > 0 — произвольно большое число, то
2	п2 — Зтг + 2
п + 2
2п2 — Зп + 2	| п + 2 1
2п2 + 4п	2тг — 7
— 7/1 + 2
-7п- 14
16
16
2п - 7 +
п + 2
> е <= 2 п—7>е<&п>
7 + е
Пусть N =
7 + 1
(например, если е = 106, то берем N
106 + 7
= 500003). Если п> N, то 	 > е. Это согласуется с тем, что
п + 2
v 2гс2 — Зп + 2
lim 	 = +оо.
п-> оо	П + 2
Пример 3 (к п. 4°). Доказать, что lim (—1)пlgn = оо.
71—> ОО
Решение. Если е > 0, то |(—l)nlgn| = lgn > е & п > 10е.
Принимаем N = [10е] (например, если е — 100, то N = Ю100). То¬
гда если п> N, то |(—l)nlgn| > е. Это согласуется с тем, что
lim (— l)nlgn = оо (или lim lgn = +оо).
п—* оо	п—> оо
п+2
Пр и мер 4. Найти lim
Зп — 5
п-юо V Зп + 2
/	\п-/	\п-
Решение. Способ 1. lim ( —)	=	lim	(	1		— )	=
n-юо \ Зп + 2 )	п-юо	у	Зп	+	2	/
)дим выражеО	/	j	X
к теореме 2	— Цт [1	)
«ечание 1) J	п-»оо у Зп + 2 /
Г приводим
= J ние к Т(
[(примечание
-(Зп+2)/7"1
—7(п+2)/(Зп+2)
во внешнем показателе имеем:
'(-’-У,
/	\	п+2	—	—
Способ 2. lim ( ——- )	=	lim	—	—
п-»оо V Зп + 2 )	п->оо /	2
1 + —
V	Зп
п+2
5L =
^ л-f-2
lim
П—УОС
(-=)■
Зп/51 -5(п+2)/Зп
lim
71—ЮО
0+£)
Зп/2'
2(п+2)/Зп
в-5/3
е2/3
= в"7/3.

§ 4. Вычисление пределов функций
117
Упражнения
Вычислить пределы.
t	г	2п2 + Зп - 1	0	г	Зп2 + 7п+11
1. lim — 	.	2.	lim		 —-—.
п-*оо 12п2-7п-8	п-> ОО 2п3 + п — 2
3.	lim f-!2	—V 4. lim
п—юо	\ п + 2	п2-4/	п-+ оо ^/8гг3+4п-7
-	1.	\/тг2+2?т — л/тг2—Зп	,.	2 + Згг .
5.	lim 				.	6.	lim		sin п.
гг—»оо	5	п—>оо гг2 + 5
е + е
7.	lim ——— cos7rn. 8. lim 31//тг. 9. lim
п—юо 3п + 1	п—>ос	п—>оо еп — е~п
I. lim f?a±lYa и. lim (л—i")
п->оо \2п+\ )	П—ОО \ 2п + 3 /
/ \;
lim ( 1 Н	!— )
п->оо у 2п — 1 /
Ответы
1.	2. 0. 3. 1. 4. оо. 5. ^. 6. 0. 7. Не существует. 8. 1. 9. 1. 10. е.
И. 0 12. е.
§ 4. Вычисление пределов функций
1°. Если f(x) непрерывна в точке х ~ ау то lim f(x) = f(a). Если
х—>а
f(x) не определена в точке х = а, то ее следует заменить (если это
возможно) непрерывной функцией g{x), такой, что g(x) = f(x) при
х ф а, и принять lim f(x) = limg'(x) = g(a). Воспользуемся утвер-
х—>а	х—►а
ждением: каждая элементарная функция непрерывна в каждой точке
своей области определения. Вычисление предела lim f(x) начинается с
х—>а
подстановки х = а, т. е. вычисления /(а). Если /(а) — число, то предел
найден.
Например, lim sin х = sin - = 1; lim arctg\/x2—I =arctg\/22-l =
х—иг/2	2	x—>2
= arctg л/3 = —; lim	=	оо	(в	окрестности	точки	x	=	2	чис-
3	x^2 x — 2
литель дроби ограничен, а знаменатель стремится к нулю, тогда
дробь становится сколь угодно большой по абсолютной величине);
,.	sin(7rx/2)—1	sin(7r/2)—1	/	0	\	п
lim ——■ '— = —— = \ 0 У _ неопределенность. Результат
взят в круглые скобки, потому что это не число, а символиче-
°Л
\°/
ски обозначенное арифметически невыполнимое действие, которое и
называется неопределенностью. Что должно быть вместо ( - ), увидим
ниже.

118
Гл. V. Функции
2°. Если lima (ж) =0, то а(х) называется бесконечно малой
х—уа
функцией в окрестности точки а и символически обозначается так:
а(х) = о(1) (читается о малое от 1) при х —> о, или а(ж) ~ 0 при х ~ о
(читается: а(х) приблизительно равна нулю при ж, близких к о).
Например, lim sin# = sin7r = 0, значит, sin ж = о(1) при х —► 7г;
X —>7Г
lim In (1 + t) = In 1 = 0 (запись: ln(l +1) « 0 при £ « 0).
3°. Пусть (3 (ж) = ——. Если lim а(х) = 0 и а(х) ф 0 при хфа,
а (х)	х-*а
то принимаем по определению lim (3 (ж) = оо, и (3(х) называется бес-
х—ю
конечно большой (функцией) в окрестности точки а.
Например, lim (ех —1)-1= lim —— = оо, поскольку lim(ex —1)=0;
х—►()	х —►О ех — 1	х—>0
lim 	1-	 = оо, т. к. lim (2х2 4- Зх — 5) = 0.
х—>1 2х2 + Зх — 5	х—>1
4°. Вычисление пределов дробных функций.
Предположим, что требуется найти lim .
х^а g (х)
Если lim g(x) = g (а) ф 0, то lim	.
х->а	х—ю	g(x) gr(a)
и	,.	2х2 — Зх + 5	2	•	1	—	3-1+5	Л
Например, lim 	 = —	 = 4.
х—>1 у/х + 2xsin7rx V 1 + 2 ■ 1 • sin7r
Если	lim f(x)	=	f(a)	Ф	0, lim g(x) = g(a)	—	0,	to lim	=	oo.
x —>a	x—>a	x—ю	g[x)
T i	i	•	cos	27ГХ	+1	2	,	*	2
Например, lim 	 = - = оо (обе записи - и оо
tg7гх + 4arctgх — —	^	^
правомерны).	х
Если	lim f(x)	=	f(a) = 0,	lim g(x) =g(a) =	0,	to	lim
x—ю	x—ю	x—>a g(x)	\	0 J
т. e. имеем дело с неопределенностью ^ ^ f и ее следует раскрыть. Вот
этому мы научимся в п. 5°-8°.
5°. Алгебраическая (т. е. получающаяся из отношения многочленов)
неопределенность	раскрывается	сокращением	числителя	и	зна¬
менателя дроби на множитель (х — а).
Примечание. Запись lim(х — а) или lim fix) предполагает, что
х—ю	х—ю
х принимает значения, близкие ко, но х ф а.
Например, lim	^ + 2х~ 3 = ( 2	^	= цт	+ 3) = 1+3	=	4
х—> 1	х2 + 5х	- 6	\ 0	/	х—> 1	+ 6)	1+6	*	7-
(здесь мы известным образом разложили многочлены на множители);

§ 4. Вычисление пределов функций
119
lim
х —>2
г3 + 9х2 — Зх — 38
х4- 16
х3 + 9х2-
х3- 2х2
-0)-
Зх—38 I х—2
х^+11х+19
Их2— Зх
Пх2—22х
19х—38
19х—38
► — Цщ	+	ПД + 19)	45
х—>2	+ 2)(х2 + 4)	32
Примечание. Известна теорема Безу: если многочлен Р(х) име¬
ет корень х = о, то Р(х) — (х - а) • Q(x)4 где Q{x) — многочлен степени
на единицу меньше, чем Р(х). При этом Q(x) получается делением
Р(х) на (х — а) уголком или в столбик; именно это деление выполнено
выше.
Отметим, что в последних примерах имеем соответственно f(x) =
х2 +2х - 3 х + 3 /ч	,	л	л/\	я3	+	9х2	—	Зх	- 38
= TTZ	л = “Т7 = при * ^ 1 и = 		 =
хг + 5х — 6 х + 6	х4	—	16
х2 + 11х + 19 /ч	/0
-	/	2..АХ = 8(Х) при х Ф 2-
(х + 2){х1 +4)
Итак, случай отношения многочленов разобран.
6°. Переходим к отношению иррациональных выражений (с ради¬
калами). Обратимся к формулам сокращенного умножения.
Например, lim
v/5F+T -4
= lim
х—>3
х—>3 v^2x +"2 -2
(a — b)(a -f 6) = a2 — 62;	a = \/Ьх + Г, 6 = 4;
(о - 6)(a2 + ab + 62) = a3 — 63; a =	+ 2, 6 = 2;
числитель и знаменатель дроби умножаем на ненулевые выражения
(у/5д+Т-4)(У5ж+Г+4)	ty(2x + 2)2 + 2^+2 + 4
V5x +1+4	(-^2а;+2-2) ($/(2z+2)2 + 2 ^2ж+2 +4^
= lim (I
ж—»3 \
5д+ 1 - 16 у/(2ас + 2)2 +2#2д+~2 +4 \ _
2х + 2 — 8	%/5х + 1 +4	)
j	_	У(2ж + 2)й + 2у^х+~2 +4 \ _ 5	4	+	4	+	4	__	15
х—>3 ^ 2	v/5J+T	+	4	/	™ 2	4	+	4	~~	4
Примечание. По существу в предыдущих пунктах мы уже ис¬
пользовали основные теоремы о пределах.
Если lim / (ж) = А, lim g (ж) = В, то:

120
Гл. V. Функции
4) lim
*“><* g (Ж)
= — (при В ф 0);
В
5)	lim = оо (при А ф О, В = 0).
*-»<* g (х)
Например, lim
■у/Г+Зх — v"2x + 6
2э?-7х- 15
(О-
умножим числитель и знаменатель на выражение,
сопряженное числителю, а знаменатель разложим
на множители, для чего решим уравнение
2ж2—7х—15=0 => ж 1 =5, Х2= — -
=> 2ж2 — 7ж — 15 = (2х + 3)(ж — 5)
		(у/1 + Зх — у/2х + 6) (VI + Зх + \/2х + 6)
х—>5	(х — 5)(2х + 3) (л/1 + Зх + у/2х + 6)
1	+ Ъх — 2х — 6
= lim			,
х—>5 (х — Ъ){2х + 3) (у/\~+ Зх + у/2х + 6)
= lim	1
1
х—>5 (2х + 3) (л/Т + Зх + у/2х + 6)	13	*(4+ 4)
104
7°. Поиск пределов трансцендентных выражений (они содержат
показательную и/или логарифмическую функцию) основан на особых
формулах. Эти формулы доказываются строго, способ доказательства
следует знать — это расширяет кругозор, усиливает убежденность,
уверенность в собственных знаниях. Вот эти формулы:
lim (1 + а)^а = е
а—>0	'
(О
(эта формула называется вторым замечательным пределом, а после¬
дующие являются ее следствиями);
lim 			 = In а (в частности, lim 			 = 1 ) ;
а—>0	ct	у	а—>0	ol	J
log_ (l+o:)	1	{	v	1п(1+а)	Л
lim ——	  = 	 I в частности, lim —^	}- = 1	.
а—>0	а	In	а	\	а—>0	а	/
(2)
(3)
А вот обобщения этих формул (в скобках написаны частные случаи,
когда а = е, loge А = In А).
lim (1 + ma)k^a — emk
а—>0
(га и k — постоянные числа);
- 1
lim
= га In а
Л. ema — 1	\
lim 	 = га ;
\a—>0 a	J
jjm bga(l + шо:) _ m
a—>0	a	In	a
Hm Ml+ma) =
a—>0	a
ТП
(Ю
(20
(30

§ 4. Вычисление пределов функций
121
Похожие примеры доводятся до приведенных формул умножением и
делением данного выражения на надлежащий множитель (постоянный
или переменный).
Примечание. В левых частях формул (1) и (1') имеем неопре¬
деленность нового вида 1°° (И = 1, если А — число, а 1°° -
невыполнимое действие, ибо оо — не число, а символ, позволяющий
придать особый, логически завершенный смысл некоторым пределам).
Все остальные равенства являются раскрытиями неопределенностей
О
вида -.
О
/*-Л2*+1
Например, lim I 		=(1°°)	~	неопределенность.	Перепи-
х-юо у х + 2 /
х-\	ж+2-3	,3	1	1	Г>	о	,	1	2	о
шем: 	=	= 1-	 и заменим 	=а, х=	2, 2х+\=	3;
я+2	х+2	х+2	х+2	о.	а
если х —> оо, то а —► 0. Получаем lim ( - ~	)	=	lim	(1	—3a)2//Q~3=
х—>оо\х + 2/	а—>оо
= lim (1— За)2^а • (1 —За)-3 = lim (1 —За)2^а • lim (1 —За)~3 =е_6-1 = —
а—+0	а—>0	а—>0	е®
(используем формулу (1') с т = — 3 и к = 2);
lim (1 + fcsin x)m/sinx = (1°°) =
х—>0
{пусть к sin х = а; тогда ^
= ^ [ = lim(l+a)m*/e = e"*fc;
и если х —* 0, то a —> 0 J а~*
lim (2х - 3)I/(I~2) = (1°°) =
  Г положим 2х — 3 = 1 + а, при этом х —
1	-~2 = Q + 1; если ^	►	2, то a —> 0	) ~
lim (1 + a)4^a+1 = lim (1 + а)А^а • lim(l + a) = e4;
a—>0	a—>0	a—>0
. 3x + 4
In
lim (2x — 7) [ln(3x + 4) - In 3x1 = lim 	—— = ( ~ \ =
x—>oo	X—>oo	1 у 0 J
2x — 7
(	положим	= 1	+ a (a —► 0); отсюда x	=	1
|	O- _ 7 _	_8	7 _	8—21a I __ 3a	|
К	' ~~	3a	1 ~	3a ’ 2x-7 ~ 8—21q	J
= lim Ml+fO	= lim	l°(l+«)	. lim	8~2i^	= 8f
a—>0 За	a—►()	cl	a—>0	3	3
8-21a
так как по формуле (3) lim -n^ +Q:^ = 1.
a—>0	cl

122
Гл. V. Функции
8°. Пределы тригонометрических выражений. Большинство три¬
гонометрических неопределенностей вида	раскрываются	либо
сокращением дроби на некоторое выражение, не равное нулю, либо
приведением к первому замечательному пределу
lim	= 1	(4)
а—>0 а
или обобщению
1 •	sin та	/л t\
lim 	 = га.	(4')
а—>0 а
Следствиями этих формул являются
arcsin та	tg	та	л.	axctg та	/сч
lim 	 = га, lim —	 = га, lim 			 = га. (5)
а—>0	а	а—>0 ct	а—>0	а
При решении примеров на эту тему будут использованы тригоно¬
метрические формулы преобразования суммы в произведение, формулы
приведения, двойного аргумента и пр.
Например,
Кш = ( о) = lim _J
х—>0 sin5x	\0/ х—
sin Зх -	sin	Зх
	 • Зх lim
Зх	_	х~^°	Зх	Зх	_	3
sin5x r	sin 5а;	х—>0 Ъх
	 • Ъх lim
Ъх	s-*0 Ъх
(дважды использована формула (4) с а = Зх и а = Ъх соответственно);
lim	=	(^	=	lim	2sin2(a:/2)	_	jim	sin(g;/2)	sin(g/2)	_
x—>0 x2	\ 0 / x—>0	x^	x—>0	x	x
= 2 lim -	sin^/'2) . lim - • 8111 (ж/2) = 2 = i
x—>0 2	x/2	x—*0 2	x/2	4	2
(использована формула (4) с	a = x/2);
^ tg x — sin x _ / 0 \ _	sin x (1 / cos x -	1) _
x—>0	x3	\	0	/	x—►O x	x2
i.	sin ж	1 — cos x	1
= lim 	 • lim —	 = -
x—►() x	x—►() re2 cos ж	2
(использованы предыдущий пример, формула lim cos x = 1 и первый
x—*0
замечательный предел);
( -^ = lim ™
\0 ) х—>0
1—cos4x _ / 0\ _	2s\n?2x	•	cos2x	_
х—>0 2x-tg2a; \®) х—2х'
(использовано: lim cos а =1);
а—>0

§ 4. Вычисление пределов функций
123
lim (5ж* ctg3x) = 5 lim х cos^x — f 9. ^ = 5 Jim —. lim
х—►О	х—>0 sin За;	\ 0 /	х-+0	sin За; х—>0
cos За; 5
О	sin За; ж—>0	3
(использовано: lim —— =1);
ос—>0 sin а
lim ^Х arcs*n ^х — ( ^ ) —
х—>0 cos a; — cos3 х \ 0 /
= 21im	х	arcsinЪх	= 2 ^	^	axcsinSx	& = ^
х—>0	cos х	(1 — cos2 х)	ас—>0	sin2 а; х—►<)	Ъх
(использовано: lim arcsina = 1, lim х = 1, lim cosx = 1).
a—>0 a	x—>0 sin x	x—>0
Примечание. Случай x —► а приводится к разобранному подста¬
новкой х — а = t, или х = а + t, при этом t —> 0.
X . X
cos - — sin -
2	2
Например, lim 	^= ( - ). Используем сначала фор-
х—>7г/2	cos а;	\ 0 /
мулу cos /3 — sin /3 = л/2 sin ^ ^ ~	’ затем положим ж = ^ +1, t 0.
Получим
х . х	.	(7Г х \	. t
cos sin -	sin		— sin -
lim 	^	— = \/2 lim 	——— = V2 lim	 —2— =
x—>n/2	cos a;	x—>n/2	cos a;	t—>0	f n , Л
cosU+v
= ^^ = - V2 lim ^1. = ^ Иш ^	^ .
0	/	t—► 0 — sinfc	2 t—>0	t	<	2
'	sin	-	•	cos	-
2	2
9°. Пределы на бесконечности.
Различаем три разновидности пределов lim f(x):
х—юо
1)	х —> +оо (это означает, что переменная х принимает значения,
большие любого наперед заданного положительного числа);
2)	х —> —оо (это означает, что если положим х = —t, или —х =
то t —у +оо);
3)	х —► оо (это означает, что \х\ —► +оо).
Такие пределы можно вычислять подстановкой х = -, - = t. При
t X
этом: если х —> +оо, то t —► +0; если х —► —оо, то £ —> —0; если
ж —► оо, то £ -» 0. Символические действия и (оо — оо) считаются
невыполнимыми, или неопределенностями.

124
Гл. V. Функции
jj	,. х3 4- 2х2 — 3	/оо\	f	х	=	—, t — — 1
Например, lim —		 =	—	=	<	t	х	>	=
х^оо 4я3 — х + 2 \оо )	[я-^оо,	^ О J
1/i3 + 2/t2 -3	l+2t-3t3	1	/	1
= lim —			 = lim 	 = - (замена x = - равносильна
t—0 4/*3-l/* + 2	t^0 4-t2 + 2t3	4	t
вынесению старшей степени числителя и знаменателя за скобки с
последующим сокращением получившейся дроби);
X2 + За; —
lim
X—>00 а;3	5^2
= lim	+ X	*1)		= 0;
-3z + 2	\°°/	г->0°	я? Л	+	Ё _ А + А4)
\	х X2	)
Ит 4х4 + 2z3 — 1 = /оо\ = Цт х'(*+х	*)	=	оо;
х-юо 5х3 + 7х + 9	\ оо /	х->ос ^ Л + _7_ + j4_ \
\	а;2	а;3	/
lim —- 31	д4-	= (	— ^	= lim	—^	1 = - I.
х->ос а; + 2а;2 + Зх4	\	оо)	я-хх> / 1	2	\	3
* V? +	^+	J
10°. Рассмотрим неопределенность вида (оо — оо). Ее надо привести
/о\	(оо\
к неопределенности вида 1-1 или I — I.
Например, lim (	) - (ос - ос) =
= to	—7	= ('«') = Вп, _!_ = 1;
х—7 (z-7)(z + 7)	\0 J i-7i + 7	14
lim ( v х2 + Зх — 1 — х) = (оо — оо) =
1	(%	м
= Иш У+3*-1~У =	=	lim
Х^>+Ж у/х2+ Ъх - \ +x \оо / х->оо / I 2	~
(данное выражение умножили и разделили на сопряженное к нему);
lim (ух2+х — у/х2—х j = (оо—оо) = lim у/х (Vx+1 - Vх— 1 j =
lim v^(z+l-z+l) =	=	lim		7	У*	^=1.
:^+°° y/x + 1 + y/x - 1 \oo ) X >-f-OO f j Г I Г
[ 1/!+ - + у 1_ ~

§ 4. Вычисление пределов функций
125
11°. Рассмотрим теперь неопределенность вида (оо • 0). Ее легко
свести к неопределенности вида	или	с	помощью	соответ¬
ствующих преобразований.
Например, lim	2х sin — = (оо •	0) = a lim	sin(a/2	)	=	f 0 А	_
х-*+ос	2х	х->+ос	а/21	\ 0)
= a lim	= а	(здесь /3 = — ,	при этом ж —► +оо,	a /9 —v	0);
/з-о (3	2х
lim(1 — х)tg= (0-оо) = lim(l -х) ат^х/®- =
х—*\	2	х—>1	cos(7rx/2)
= lim sin - ж - lim <' “»>	■ 'Л _ (°) = s- lim -	=*
X—>1	2	a?—>1	.	/ я	n \	7г/2	\0/	n x—>l	sin[7T (1 — x)	/2]	7Г
Sill I	X I
V 2	2 /
(использовано: lim sin -ж = 1; cos a = sin ( - —a); lim —— = 1;
x—>1	2	\2	J a—>0 sin a
применена подстановка ^ (1 - ж) = a, a —► 0).
Упражнения
1.	В чем состоит замена f(x) на g(x) в п. 6°?
Проверить предельные равенства.
2.	lim х~2	= 0.	3.	lim	=	оо.
£—►2 а^+Зх—1	х—>3	х—3
4 lim	— _ * 5 lim а;2—^
х—>-0	2х	2	х—>4 х2—5х+4	3
6. Um ^+Р~3 = 1.	7. lim	=	-.
х—>1 v4x —2	3	x—i	v8x —2	8
8. lim 	£	= ?. 9. lim V1+mx-ll = ™
x—>0 %/l+3x — 1	3	x—0	x	3
10. lim (l—^)X = 1. 11. lim(l-h Зж)1/1 = e3.
x—>0
2n+1
= -e-4.
12.	lim (sinx)t81	= 1.	13.	lim (-—
x —►тг/2	n—>00 у 1 + П /
14.	lim (cosx)1^	= —	.	15. lim sin4x	=	- .
x—>0	y/e	x—►O sin5x	5
cosx—1	1	tgx2— sinx2	1
16. lim 	=— .	17.	lim	—	= - .
x—►()	3x2	6	x—►O x6	2
sin (x - ^ 'j	ys
18.	lim	=	-I.	19	lira		^^ = ll
X—>Тг/2	_	7Г	X—*-7r/3	1—2	cosx	3
2

126
Гл. V. Функции
20. lim	2x3 —+	1	=	В.	21.	lim + 1 + ^ =-1.
x-kx> 5a;3 + 2a;2 - 1	5	n->oo	yn3	+	n	_	n
22. lim "2-L+"~2 = 1. 23. lim ^2 + 6° =0.
71—>00 77,2 _(_ 1 _J_ n — 2	n—KX) 0,ln3
24. lim f	^—	—	—-— 1	=	-	■	25.	lim	(\/n3 ~ n2 — n)	= — -
x^3 \	x- 3	x2 - 9 )	6	n^oo	V	/3
26. lim	(\Jx2~+	1	—	ж)	=0.	27. lim f—			—^ = - .
x^oo	\	}	x >oo Y 2a;2 - 1 2x + 1 /	4
28.	lim	y/x sin	- = 0.	29.	lim	(n • 2~n)	— 0.
X—* + 00	X	n—t+OO
30. lim	z2(cos--l )	=—0,5.	31. lim sin 2x ctg 3x = - .
Х-ЮО \	X	J	X—3
Вычислить пределы.
32. lim sin^. 33. lim l+cos2*. 34. lim 1	.
x—> 1 sin37ra;	x—>n/2 cosx	x—>oo \ —cosy/x
35. lim	(.	36.	lim	(^±1^	—.
x^oo	\ a; + 2 /	x->oo	\ За; + 2 /	2a;
37. lim 1 ~-g2x	. 38.	lim	( 2-±^- )	_L_ .
x—►тг/Ч sin a; —cos a;	x—►()	\ 2 — л/х *	y/igx
39.	lim (Vx2—Зж+l — x).
x—*oo
40.	lim (x + 2) • [1п(ж2 + 5ж — 1) — 1п(ж2 + 3)1.
x—>oo	L	J
41.	lim ^ + 3^-1 +2	42	^	yjx	+	y/xTT^
x ^oo у a;3 + 5a; — 22 — 1	х-юо	^	+	£
e2x — 3X	,	чЗ/х2	2sin2x	—	1
43. lim 		—. 44. lim (cosa;)3^x . 45. lim
x —>0	x	x —>0	x —>0	tg 3a;
46. lim	x (y/a — 1).	47. lim	ln(* + 2)-ln2	.	48.	lim	V*jz±
X-+OC	X—>0	X	X —► 1	X —	1
1 _	-	sirnrx	/	i	1	n	\
49. lim 	. 50. lim f	 — 	 1.
x > 1 a;2 — 3a; + 2	x->2	y2	-	a;	8	—a;3/
51. lim	^/рГ+*_Г2.	52. lim
x-+0	yjx2 +9 - 3	x^O
53. lim	х3/2(л/х^-\-2	— \/ж5—2 ^ .	54. lim	-	In * /	.
x >oo V	/	x—►() x у 1 — a;
sin x/(x-sin x)
ее v , 7гх	x	—	a	C£5	(	sin#	\
55. lim tg — ■ sin 	. 56. lim [ 	 I
~	Л	X—>0 \ X )
x->a 2ct	2

§ 5. Односторонние пределы
127
Ответы
32.	33.	0.	34.	0.	35. е. 36. е~х>ъ. 37. -2л/2. 38. е. 39. --.40. 5.
3	2
41. 1.	42.	1.	43.	2 - 1пЗ. 44. е~У2.	45.	-	In 2. 46. In о. 47.	-	.	48.	- .
б	3	2	4
49. —7г.	50.	- -.	51.	-.	52.	^ . 53. 2.	54.	1.	55.	— —.	56.	е~'.
3	2	2	тг
§ 5. Односторонние пределы
Под односторонним пределом понимается предел функции f(x)
при стремлении х к а с левой стороны (ж->о-0ф>а:->а и х < а)
или с правой стороны (х^а + 0<=>х—*аих>а).
Обозначим
lim f{x) = f~(a) = /(<z- 0), lim f(x) = f+(a) = f(a + 0)
x—>a—0	x—>a-f“0
—	соответственно левосторонний и правосторонний пределы.
Функция f(x) имеет предел в точке а в том и только в том случае,
когда она имеет равные односторонние пределы в этой точке.
Например, lim е1^х~1^ = 0, так как показатель —5— стремится
х—► 1—0	х-\
к —оо, т. е. е~°° = —= 0;
е+°°
= оо, так как показатель —?— возрастает, оставаясь
х—>1+0	х — 1
положительным, т. е. е+°° = +оо.
Примеры с решениями
Пример 1. Найти lim х ~3з; + 2 = (9. Y
Х^2 \х2-Ьх + Ь\ \0 )
Решение.
Ит (* ~	=	lim (* ~	=	_	1;
х—*2—0 \х — 2\\х — 4|	х—>2 —	\х	—	4|	2
lim (д- 1)(з:~2) = lim {Х	=	-	•
х—*2+0 \х — 2| |я — 4|	х—^2	— 4|	2
Левосторонний и правосторонний пределы существуют, но различ¬
ны. Значит, искомый предел не существует.
Пример 2. Найти lim 3^2+х^/^х_1\
х—> 1
Решение.
{показатель степени по модулю увеличивается,^
а знак его отрицательный; величина, стоящая I _ л.
под знаком предела, уменьшается, оставаясь Г —	*
положительной	)

128
Гл. V. Функции
{показатель степени положителен и неограии-ч
ченно увеличивается; величина, стоящая под I _ ,
знаком предела, неограниченно увеличивается, [	+'°°*
оставаясь положительной	)
Значит, lim	не существует.
X —>1
Пример 3. Найти lim ^	+ 3х~ 5 ^
Решение.
вт f>=Si±a)2	=	fi)!	=	5;
s^l-0 \ <j^X){x + 1) /	\2 J	4
lim «V=Г-V= -•
*-i+o \	+l) /	V2/	4
~	v	(	2x2 + 3x — 5 \	49
Значит, lim 		=	—.
x > 1 \ x2 — 1	/	4
Пример 4. Пусть f{x) = j + /приж>22’ Найдем /(2 + 0)
и/(2-0):
Решение.
/(2 +- 0)	= lim f(x) = lim(2a; +- 1)	=	5;
v	x—>2+0	x—>-2
/(2-0)=	lim /(ж) = lim (—a; + 1)	=	—1.
X—v	X	—
Упражнения
Найти пределы справа и слева функций.
1 f(x) = ПРИ х - °-
2./(х)	= ( х2пРих<3;„ при х —у 3.
J V ;	\ ж +- 6 При X > 3	^
3.	f(x) =	Vsinz при х —> 0.	4.	f(x)	=	—	при	ж	—> 0.
ту „	Iх!
Наити односторонние пределы.
5.	lim	6. lim iL±i .	7. lim	M[zM.
x—►4i0 x — 4	x—►ЗгЬО 9 — x2	x—»-7г/4±0 a; — 7г/4
т	1
8.	lim arcsin -.	9. lim	arccosx.	10.	lim	arctg	.
x—► 1 iO	2	x—► 1 iO	x—>1±0	x— 1
11.	lim 2l/(‘-x).	12.	lim	.	13.	lim	.
x—>1±0	x—>2±0 |x — 2|	x—>0±0	x
14.	lim	I00?.!?-*/4)!.	15. lim ^csin3x.
x—>7t/4±0	(a; — 7r/4|	x—>0±0

§ 6. Непрерывные функций
129
Ответы
1. /+(0) = 0, /-(0) = 1-. 2. ДЗ + 0) = /(3 - 0) = 9. 3. /-(0) не
существует; /+(0) =0. 4. /"(0) = -1; /+(0) = 1. б. ±1. 6. =Foo. 7. ±4.
8.	-. 9. - 10. ±- И. 0; +оо 12. ±4. 13. ±1 14. +оо. 15. 3.
6 2 2
§ 6. Непрерывные функции
1°. Напомним (см. §1), что функция f(x) называется непрерывной
в точке Xq, если выполняются следующие три условия:
1)	функция f(x) определена в каждой точке некоторой окрестности
точки Хо\
2)	функция имеет предел в этой точке: lim f(x) = В\
X—>Хо
3)	этот предел равен f(xо), т. е. lim f(x) = f(xо).
X—*Xq
Нарушение какого-либо из перечисленных здесь условий означает,
что f(x) разрывна в точке хо. Классификация точек разрыва приведена
в § 1.
Определение непрерывности применимо и к функциям, заданным
различными формулами в различных промежутках. Функция, непре¬
рывная в каждой точке интервала, называется непрерывной в этом
интервале. Непрерывность функции в конце отрезка [о, Ь] принимается
как односторонняя:
lim /(х) = /(о),	lim f(x) = f(b).
х—nz-fO	х—>b—0
Ниже будем пользоваться утверждением о том, что каждая элемен¬
тарная функция непрерывна во всех точках ее области определения.
Примеры с решениями
Пример 1. Исследовать на непрерывность функцию
при х < -3;
при — 3 ^ х ^ 4;
при х > 4.
Решение. Функция непрерывна в совокупности промежутков
(—оо, —3) U [-3,4] U (4, -boo) (как состоящая из элементарных функ¬
ций). Проверка непрерывности функции f(x) сводится к проверке
определения непрерывности в точках х = — 3 и х = 4.
f(x) =
х2 + Зх —
х + 2
(х + 2)2
9х + 1
5	К. Н. Лунгу, Е. В. Макаров

130
Гл. V. Функции
а)	х = -3 :	lim f(x) = lim — +-^х—- = —- = 1,
х—>—3—0	х—>—3 х + 2	—1
Лх) = lim (х +2)2=1,
х—► — 3+0	х—> — 3
/(-3) = (-3 + 2)2 = 1.
Функция /(ж) непрерывна при х = —3, а эта точка — точка непре¬
рывности этой функции.
б)	х = 4 :	lim	f(x)	=	lim	(ж	+	2)2	= 36 = /“(4),
х—>4-0	х—>4
lim f(x) = lim(9x + 1) = 37 = /+(4).
х—>4+0	х—>4
Односторонние пределы в точке х — 4 существуют, но не равны,
значит, функция f(x) разрывна в точке х = 4, а эта точка — точка
разрыва первого рода со скачком
<г(/.4) =/+(4)-/"(4) = 37-36 =1.
Пример 2. Исследовать на непрерывность функцию
/(*) =
е1/® при х < 0,
х2 + 7х
х* + 19
4х + 2
х2 — 1
при 0 ^ х ^ 1,
при ж > 1.
Решение. Данная функция непрерывна при х ф0 и х ф 1. Оста¬
ется исследовать ее на непрерывность в этих двух точках.
Имеем:	,,
lim f(x) = lim е Х!х = 0,
х—>-0—0	х —>0+0
lim f(x) = lim —+ lx = 0,
х—>0+0	х—>0 х2 + 19
х = 0 — точка непрерывности f(x). Далее:
lim f(x) = lim х +— = - ,
х—>1-0	х—>1 х2 + 19	5
lim f(x) = lim 	— + 		 = +oo,
x—>1+0	x—>1+0 (x — l)(z + 4)
x = 1 — точка разрыва второго рода f(x). Прямая х = 1 — вертикаль¬
ная асимптота графика (вверх, односторонняя).
Пример 3. Исследовать на непрерывность функцию
г х2 + 7х + 10
/(*) =
П	о
— при х = —2,
4х - 3 при х ^ 2.
V2 — 4
при х<2ухф—2,

§ 6. Непрерывные функции
131
Решение. Исследуем сначала непрерывность в точке х = —2.
Имеем:
lim f(x) = lim
х^-2 К }	х—>—2
х2 + 7х + 10
т?- — 4
-Ф
lim (X + 2)(х + 5) _ _ 3
я—2 (i + 2)(х - 2)	4’
/(~2) = у Ф !““/(*)•
4	х—>—2
ж = —2 — точка устранимого разрыва. Если бы /(—2) было определено
3
числом — -, то /(ж) была бы непрерывна в точке х = —2.
4
А теперь рассмотрим точку х = 2:
lim /(*) = lim х2 + 7х+ю
х—*2—0 ' 4 ’	х—2-0	(х - 2)(х + 2)
lim f(x) = lim (4я - 3) = 5,
x^2+0Jy '	х^2+0Ч	'
= —ОО,
х = 2 — точка разрыва второго рода. Прямая х = 2 — вертикальная
асимптота (вниз, односторонняя).
Пример 4. Исследовать на непрерывность и построить график
функции
( х + 1,5 при х < —2,
f(x) = <	-	при	—	2 ^ ж < 0,
X
^ 2х при х > 0.
Решение. Функция /(ж) определена на всем множестве действи¬
тельных чисел, задана тремя выражениями на различных промежутках
изменения аргумента.
Исследуем непрерывность функции в точках х = — 2 и х = 0:
/(-2-0)= lim (®+1,5) = -0,5; /(-2+0)= lim -=-0,5.
х —>—2—0	х—>—2+0 х
Из условия: /(-2) = —0,5. Значит, /(-2-0) = /(—2+0) = /(—2),
т. е. функция /(ж) непрерывна в точке
ж = — 2. Далее,
/(0 - 0) = lim - = -оо;
х—> —0 X
/(0 + 0) = lim 2х — 0.
х—>+0
Итак, в точке х = 0 функция имеет
разрыв второго рода. В остальных точ¬
ках числовой оси она непрерывна. Пря¬
мая х = 0 — вертикальная асимптота
графика (односторонняя, вниз) (рис. 5.19).
Пример 5. Требуется установить, является ли данная функция
непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумен¬
5*

132
Гл. V. Функции
та; в случае разрыва найти предел в точке разрыва справа и слева и
сделать схематический график функции
/(*)=	xi	=	1,
Х2
Решение. Функция f(x) элементарная, значит, она непрерывна
в любой точке из области определения. В точке х\ = 1 эта функция
определена, значит, она непрерывна.
В точке Х2 = 3 функция не определена, поэтому она разрывна.
Установим характер разрыва. Найдем
lim f(x) = lim 41^3_х^ = оо,
х —>3—0	х—>3—О
так как показатель
3 — х
> +оо, 4+°° = +оо. Прямая х = 3 — право¬
сторонняя вертикальная асимптота вверх.
lim fix) = lim 41^3_х^ = О,
х—>3+0	7	х—>3+0
так как показатель
3	— х
—оо, т.е.
4“°° = — = 0.
4+00
Итак, Х2 — 3 есть точка разрыва второ¬
го рода. Для построения графика следует
знать поведение функции вдали от точки разрыва. Для этого найдем
lim f(x) = lim	=	4°	=	1,	т.е.	для рассмотренной функции
X—>оо	х—>оо
прямая у = 1 является горизонтальной асимптотой графика в обе сто¬
роны (рис. 5.20).
Упражнения
Найти щ
1. lim
ределы.
2. lim
л/зГТТ -2
3. lim
За;4 — 2х + 1
+ 1 у/х — 1	х—>3	х — 3	х->оо	2а;3	—	5а;2
4. lim (cos 2а;)1 ^зш х. 5. lim ^ \/х^ — х2 — \/х^ — х j.
6. lim (sinx)tga:. 7. lim x[In(x+5) — Inx].
X —> 7Г/2	x—>oo
о i. cos x— cos За; n
8. lim 	. 9
. Jim (Izjt
X—>CX) \7 — xj X2
X—>tt/2	.	X	X
sin	cos —
2	2
10. lim 1~cos3'.	11. lim H2x*+*2 + 1).
x—>0 x sin 2a;	x—>oo ln(3a;2 + x + 1)
Исследовать на непрерывность и построить графики функций.
12. у = -М.	13.
X
Г X2, хфО,
у ~ \ 3, х = 0.

§ 6. Непрерывные функции
133
1	Х<	1,	х+1
14 .у={	х-\'	’	15.2/=	2_„	■
Зж, X > 1.	х	2х	2,
Найти и классифицировать точки разрыва функции.
^ /«	^	^ ш	sin а; ^ а	1
У = 1—7 ' 17-2/= 	•	18.	у=-	гтг-
х2 — 4	х	1	+	е1/х
1	ОЛ	Г	1	— ж,	ж >	2,
19. у = cos -	.	20.	2/ =	s	1	,	^	о
*	х	*	\	1	+ ж,	х^2.
Ответы
1. 3. 2.	3. оо. 4. е-2. 5. -I. 6. 1. 7. 5. 8. -4\/2. 9. е_|.
4	3
3
10.	-. 11. 2. 12. х = 0 — точка разрыва первого рода. 13. х = 0 —
4
устранимая точка разрыва. 14. х = 1 — точка разрыва второго рода.
15. х = 3 — точка разрыва второго рода, х = — 1 — точка устранимого
разрыва. 16. х = ±2 — точки разрыва второго рода. 17. х = 0 —
точка устранимого разрыва. 18. х = 0 — точка разрыва первого рода.
19.	х = 0 — точка разрыва второго рода. 20. х = 2 — точка разрыва
первого рода.

Глава VI
ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ
§ 1. Понятие комплексного числа
1°. Комплексные числа появились из необходимости решить любое
квадратное уравнение, в частности, уравнение х2 + 1 = 0.
Обозначим через г символ, квадрат которого равен — 1, т. е. i2 = — 1.
Тогда i = д/—I, г2 = — 1, г3 = — г, г4 = 1, г5 = г, и т.д. Символ i
называется мнимой единицей. Введение мнимой единицы позволяет
решать уравнения, которые раньше были неразрешимы, в частности
квадратные уравнения с отрицательным дискриминантом.
Например, если х2 + 1 = 0, то х = ±г; если (х + 2)2 + 9 = 0, то
(х + 2)2 = -9, а тогда х + 2 = ±3г, или ж = -2 ± Зг.
2°. Числа вида г = а + fa, где а и Ь — действительные числа, а
г — мнимая единица, называются комплексными числами. При этом
а называется действительной частью z (пишут а = Re z)% а Ы —
мнимой частью z, Ь — коэффициент при мнимой единице г (пишут
Ь = Im г).
Числа г = а + Ыи~2=а — Ы называются взаимно сопряженными.
Число z = а + Ьг равно нулю, если а = 0 и Ь = 0.
Два числа 21 = а\ + b\i и z2 = а2 +b2i называются равными, (т. е.
z\ = 22) если а\ = а2 и Ь\ = Ь2.
Упражнения
Решить уравнения.
1. х2 + 4ж + 5 = 0. 2. Зж2 + 2ж + 5 = 0. 3. 2х2 + ix + 1 =0.
4.	Зж2 + 2гж + г = 0. 5. 2ix2 + ж — 1 = 0.
6.	ix2 + 4ж + 2г = 0. 7. ж2 - 4гж + 5 = 0.

§ 2. Геометрическое представление комплексных чисел
135
Ответы
1.	х = —2 i г. 2. х = — — ± - л/14.	3.	=	-, Х2 = —i.
3	3	2
4.	z = -*±л//-1— . 5. а; = »±г^1 + 8г . 6. (2 ± л/б)г. 7. х, = -г,
3	4	v
Х2 = 5г.
§ 2. Геометрическое представление комплексных
чисел. Тригонометрическая и показательная формы
комплексного числа
1°. Число г = а + Ы можно изобразить точкой на плоскости К2 с
координатами (о, 6). При этом действитель¬
ные числа z = а (для них 6 = 0) лежат на
оси Ох, а мнимые числа z — Ы (для них
о	= 0) лежат на оси Оу.
Поэтому ось Ох называется действи¬
тельной осью, а Оу — мнимой осью. Чис¬
лу г = О соответствует начало координат
0(0,0).	Рис.	6.1
2°. Положение точки (а, 6) можно задать также при помощи по¬
лярных координат (tp, г). При этом называется аргументом числа г
и обозначается argг, а г — модулем числа г и обозначается г = \z\
(рис. 6.1).
Имеют место формулы (см. гл. II, § 2)
{а
COS Ф = 			,
sin<p = -=L=.
При этом если z ф 0, то —7г < arg г ^ 7Г (иногда удобно считать, что
О	^ ip < 27г).
Примечание. Для числа z = 0 величина arg г не определена. Это
равносильно тому, что числу г = 0 может соответствовать бесконечное
множество аргументов, т. е. —7г < arg0 ^ 7г.
3°. Приведенные формулы позволяют записывать алгебраическое
комплексное число г = а + 6г в тригонометрической форме:
z—r (cos4- г sin ф) = \z\ (cos (arg z) + г sin (arg z)) .
4°. Приняты обозначения (это формулы Эйлера):

136
Гл. VI. Элементы высшей алгебры
Тогда запись z = гегср = \z\eta-Tgz называется показательной формой
комплексного числа.
Например, для алгебраического числа z = — 3 + 4г имеем:
Любое из этих равенств может быть принято в качестве тригонометри¬
ческой записи комплексного числа z = -3 + 4г, а из первого получаем
показательную запись
Примечание. Ввиду периодичности косинуса и синуса (с перио¬
дом 2тг) принято обозначение Arg z = argz + 2пп <р + 2тгп, где п —
произвольное целое число.
Это означает, что числу z ф 0 сопоставляется бесконечное множе¬
ство аргументов, или тригонометрических углов, как это принято в
тригонометрии.
При этом arg z представляет собой частное значение Argz, получа¬
емое при п = 0; arg z называется главным значением Arg г.
Таким образом,
z = \z\ [cos(Argz) + г sin (Arg z)] = \z\elATSZ = \z\et&rgz.
Например, для числа z — \ — i имеем (рис. 6.3): а = Re z = 1,
6 = Im г = -1, r = y/2 , arg г = arctg (— 1) = — ^ , Arg z = — - + 2ттп,
а = Re z = —3, 6 = Im z = 4, \z\ = V32 + 42 = 5 (рис. 6.2),
arg z = 7Г + arctg
= 7Г — arctg - ,
3
— 3 + 4i = 5 cos
= 5 — cos
_3 + 4г = 5eit7r-arcts<4/3)].
У
Рис. 6.2
Рис. 6.3

§ 3. Арифметические действия с комплексными числами
137
Упражнения
1.	Каждое из данных чисел представить в трех формах — алгеб¬
раической, тригонометрической, показательной — и изобразить точкой
на плоскости:
1)2 — л/Ъг\ 2)3*; 3) -5; 4) -2 +г; 5)-1+\/Зг; 6)г-\/3;
7)—2г; 8)5 + 2г; 9) г - 1;	10) 2 +2г.
2.	Какие множества точек плоскости задаются условиями:
1) Re z =	2)	а	^	Re	z	^ f3у 3) Im z ) 4) Ini z ^ 5, где
а,	/9, 7, 6 — действительные числа?
3.	Изобразите на комплексной плоскости множества точек, задан¬
ных условиями:
1)	\z\ = г; 2) г < |г| ^ В; 3) argг = <р;	4)	у	<	argz	< -0, где
г, R, Ф — действительные числа.
Ответы
2.	1) прямая ж = а\ 2) полоса между прямыми х = а и х = (3, включая
последнюю; 3) прямая у = 7; 4) полуплоскость выше прямой у = 6,
включая последнюю. 3. 1) окружность с центром в 0(0,0); 2) кольцо
между окружностями радиусов г и R, включая внешнюю; 3) луч из
начала координат под углом к оси Ох\ 4) бесконечный сектор между
лучами.
§ 3. Арифметические действия
с комплексными числами
1°. Арифметические действия с комплексными числами, заданными
в алгебраической форме, выполняются как с выражениями, содержащи¬
ми букву г. При этом действие считается выполненным, если результат
имеет вид алгебраического комплексного числа, т. е. а + Ы.
Отсюда следует, в частности, что
(а\ + М) ± (о2 + b2i) = (01 ± а2) + (bi ± Ь2) г,
т. е. сложение и вычитание выполняются «покомпонентно».
Например, (2 + Зг) + (3 — 4г) = 5 — г, (2 + Зг) — (3 — 4г) = — 1 + 7г.
При умножении комплексных чисел следует учитывать, что г2 = — 1,
г3 = —г, г4 = 1:
(а 1 + b\i)(a2 + b2i) = (а\а2 — b\b2) + (a\b2 + 02^1)2.
В частности, произведение двух комплексно сопряженных чисел есть
действительное число:
(а + Ы)(а — Ьг) = а2 + Ь2, т.е. 2-г=|г| , а |г| = ч/г1.
Например,
(2 + Зг)(Э-4г) = 6 + 12 - 8г + 9г = 18 + г,
(2 + Зг)(2 - Зг) = (2)2 - (Зг2) =4 + 9=13.

138
Гл. VI. Элементы высшей алгебры
При делении комплексных чисел приходится умножать числитель и
знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю.
Например,
2	+ Зг _	(2 + Зг) (3 + 4г)	_ 6- 12 + 8г + 9г	_ -6 +	17г _ _ 6_	\_Т_ .
3	— 4г	(3 — 4г) (3 + 4г)	9+	16	25	25	25
2°. Возведение комплексного числа в целую степень удобнее выпол¬
нять в показательной форме (мы используем действия со степенями в
символической форме):
Zn = (retv)n = rneinip.
Из этого равенства следует, что при возведении в целую степень п
комплексного числа:
—	его модуль возводится в эту степень,
—	его аргумент увеличивается в п раз.
Например, найдем (1+г)4. Имеем: |1+г| =л/2, arg(l+i)=arctg 1= - .
/	Л4	4
Следовательно, 1 +г = \/2e^/4^, (1+г)4 = (\/2= 4е7гг =
= 4 (cos 7Г + г sin 7г) = —4.
Примечание. При возведении в степень п можно использовать
формулу бинома Ньютона, но при больших п эта формула громоздка.
Сравним:
(1+г)4 = 1+4г+ — г2+ 1^-?г3 + г4 = 1+4г - 6 - 4г + 1 =-4.
1-2	1-2-3
Упражнения
Выполнить действия.
1.-. 2.—. 3.-^-. 4. (1 + iy/З)3. 5. (3-2г)2.
г	1+г	1	—	Зг	V	У	V
6.	(1+г)3.	7. -—— .	8.	(а	+	6г)3 — (а — bi)3.
4	+ 3 г
Решить системы уравнений (х,у, z € М):
9 j (3 - г)х + (4 + 2г)у = 2 + 6г,
{
(4 + 2г)х — (2 + Зг)у = 5 + 4г.
10
'• { (1ГаУ+р'-и)» = 8. “ { L+U2-(r“), = m
Ответы
1.	-г. 2. -г. 3.	-	+	-г.	4.	-8.	5.	5	-	12г.	6.	-2	+	2г.
5	5
7.	— — — г. 8. 2b(3a2 - b2)i.
25	25

§ 4. Извлечение корня из комплексного числа
139
§ 4. Извлечение корня из комплексного числа
1°. Пусть п ^ 2	— целое положительное число. Если
г > 0,	€ (—7г;7г], к = 0,1,2,..., п — 1, то комплексные числа
и)к = n/pe»(¥>+2for)/n различны и имеют одну и ту же п-ю степень
(см. § 3, п. 2°):
= (^
01(<р+2ттк)/п\П _	i(<p+2nk)	_
re
%ч>
Например, если п — 4, Л = 0,1,2,3,	^	=	ег(7Г/2^,	то
—	^e*(7r/2)fc) = е2/с7Гг = 1. При этом
cjo = 1, u>i = е^/2^ = г, а;2 = е71-* = — 1, с^з = е^37Г/2^г = —г,
и каждое из этих чисел представляет одно из значений у/Х.
2°. Корнем степени п из комплексного числа z ф О называется
каждое комплексное число и, такое, что ип = г. Из п. 1° следует, что
существует множество {и>к} , к = 0, 1,..., п — 1, состоящее ровно из п
различных чисел, таких, что = z.
Эти числа вычисляются по формуле
Uk = у/r ег(<?+27г/с/п), где г —	^	_	argZj
а \/г — известный арифметический корень степени п из положитель¬
ного числа г.
Например, найдем у/i. Имеем: 2 = г, \z\ = 1, argz = -, г = е^71"/2^.
Тогда сOk = yfi = \/Те^7Г/2+2/с7Г^31г, А: = 0, 1,2. Отдельные значения
имеют вид
0,0 = =
7Г .	•	7Г
cos - +г sin -
6	6
и)\ = е^57Г/6^г = cos — +г sin
— + - г;
2 2
57Г _	%/3	1 ^
~6~” "У 2 ’
CJ2 = е^97Г/6^г=е^37Г/2^г= cos — +г sin — =—г.
2	2
Предлагаем убедиться самостоятельно в
том, что Uq — ил\ =	= г (делать это реко-	Рис. 6.4
мендуется в алгебраической форме, возводя в
куб по известной формуле сокращенного умножения).
Примечание. Пусть z ф 0 — данное комплексное число, п —
целое положительное, п > 2. Тогда числа u>k = y/z расположены в
вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса
R = Ч/Щ. Одна из вершин этого многоугольника расположена на
луче, образующем с осью Ох угол - argz.
71

140
Гл. VI. Элементы высшей алгебры
Например, числа \fi являются вершинами правильного треуголь¬
ника UqU\U2 (рис. 6.4).
Примеры с решениями
Пример 1. Даны числа:
(	.	.	( v/зМ
cos I arctg — 1 + г sin (arctg — 1
a) z\ = 2 — i, 6) Z2 = —\П
в)	z^ = -2\/3 (1 - г), r) z4 =
1
14V30
0-2 arctg (>/3/2)i
Требуется записать данные числа во всех формах.
Решение, a) \z\\ =л/4+1 —л/5, arg„,a,ctg(-i)„ar«gI,
arctg ^ ^ + г sin arctg ^ ^
б)	Вычислим cos^arctg и sin ^arctg	Положим arctg =а.
Тогда а£ (О; - ] и te;a= —. Следовательно, cosa=
V	V	2
\/1 + tg2 а
1
1+*
4
sin а—Vl- cos2a =]J~^ • Тогда 22=-\/7^-^г + ^-^ =
‘8 (f-*)]} =
arctg I ——7Г
+ г sin
= -2 - V3 i = V7 |со
= >/7e<(arctg^^_ir).
в) Z3 - -2\/3 + 2\/Зг, |гз| = 2\/6, argZ3 = ж - arctg 1 = —,
4
Z3 = 2л/бе^37Г/4^ = 2y/6 ^cos ^ + zsin
—2 arctg ^ + ^ sin ^—2 arctg ^
Г) Z4 =
14V30
; Z4 при¬
надлежит четвертой четверти: argz4 = —2 arctg ^
так
\/3 i
как — < 1 и поэтому — arctg
Т+И-
Вычислим сначала cos ^2 arctg ^ и sin ^2 arctg	Положим
.	\/3	,	\/3	_	(с\ п ^ т	о	1	“	W2	а
а = arctg — , т. е. tg а = — и а € I 0; - |. Тогда cos 2а =	-— =

§ 4. Извлечение корня из комплексного числа
141
^	1/1	4ч/3	Л	1	у/2	.
Следовательно, гд = ——	-	-		г = —— - —-=ri.
14ч/30 V 7	7	/	98ч/30	49л/5
Пример 2. Для данных предыдущего примера вычислить:
1) —, 2) z|z, 3) z35, 4) i/zi4z3zi.
Z2	V
(-2v/3+2v/3i) (-2 + v/3i)
Решение.	1) £з =	= V 	 M	=
22	Z2z2	(_2_ ч/3*1 f—2 + \/3jJ
_ 4y/3 — 2 ■ 3 — 4\/3i — 2 ■ 3i _ 4y/3 -6 _ 4y/3 +6 .
~~	4	+	3	~	7	7
2)	Z\ ■ г1 = (-2-\/Зг)2(2-г)=(4+4\/Зг-3)(2-г)=(1+4\/Зг)(2-г) =
= 2+4х^+8\/Зг-г=(2+4х/3) + (8л/5-1)г.
3)	zf = ( - 2ч/3 (1 - г))5 = (2л/бе<3,г/4^)5 = 32 • 36л/бе<157Г/4^ =
= 1152л/
4)	Чтобы найти у zi 2^2324, представим сначала подкоренное выра-
жение в показательной форме:
2122*324 =
= л/5е_^агс1б^/2^7е2^агс1;б^/2^2л/б е(37Г/4^-—!—e“2arcts^/2^ =
14\/Зб
= e[3Tr/4-arctg(l/2)]i<
Следовательно, \\z\z3z4 = е^/4^37Г/4 arcts(I/2)+2fc7r]^ г = О,1,2,3.
Упражнения
1.	Данные числа записать во всех формах — в алгебраической,
тригонометрической и показательной:
1) г =	— sin	- + г cos	-	;	2)	г	=	4 + Зг;	3)	г = — 2 +	2у/3	г;
II	(	л
4)	z =	— cos	- + г sin	-	;	5)	г	=	1 — sin а +	г cos а ( 0	< а	<	- 1.
5	5	V	2 /
2.	Найти степени данных чисел:
1) (l-гх/3)60; 2)	;	3) (2 - 2г)7;
3. Найти все значения корней из данных чисел и привести их
геометрические изображения:
1)	v'T^i; 2) У-Г; 3) ^=i; 4) у/2-2у/Ъг.
4.	Вычислить:
1) + 2) 1 1
(3-г)2	(3	+	г)2	(3-г)2	(3	+	г)2'
5. Решить уравнения:
1)	z2 + г = 0; 2) z4 - 16 = 0; 3) z6 - 4z3 + 8 = 0;
4)	(-1 + i)z2 + (7 + 3*)z - Юг = 0.

142
Гл. VI. Элементы высшей алгебры
Ответы О
1.1) Z = е(-W8)*;	2) Z — 5e^rctg(3/4);	3)	z	= 4е(2тг/3)г;
4)	z = е<47Г/5)*;	5) z = д/2(1 - sinа) • е^/4+а/2^. 2.	1)	260;
2)	219 ^1 + гл/З);	3)	210	(1	+	г);	4)	1.	3. 1)
2) ±i±f;	3)	±Ш;	4,	±(Л->).	4.	I)	1;	2)
-	« ч	>/2	.	>/2	\/2	. у/2 . о\	о	о	•	о
5.	1) z\ = —	Ь г — , Z2 		г — ; 2) zi = 2, z2 = 2г, Z3 = -2,
2	2 2 2
Z4 = —2г; 3) zu	6 = у/2 е±7Г ^12+(-2п ^ki (Ат = 0,1,2); 4) z{ = -1 - Зг,
Z2 = -1 - 2г.
§ 5. Разложение рациональной дроби на простейшие
1°. Простейшими дробями называются следующие дроби:
—(I типа),
х — а
А
(II типа, если к > 1 — целое),
(х — а)к
Ах +
*~+Ьа
Ах + В
—Ах + в—	(П1 типа, если D = Ь2 — 4ас < 0),
ах2 + Ьх + с
(IV типа, если к > 1, D < 0).
{ах2 + Ьх + с)к
2°. Рациональной функцией (дробью) называется отношение двух
Р (х)
многочленов: R(x) =	-- } .
Qm(x)
Если степень п числителя Рп меньше степени m знаменателя Qmi
то такая дробь называется правильной. Если степень числителя боль¬
ше или равна степени знаменателя, то дробь называется неправиль-
„ и	1	х2	+	Ъх	—	7	х3 + 2х 1	2
«ом. Например, 	, 	, 	, - , 	 и т. п. —
х — 2 (х — 1)(а: + 2)4 х4 — Зх 1 х х2 2
х — 2 х4 — Зх + 1
*	(х— 1)(х + 2)4
правильные рациональные дроби, а ^—-—-	— ,	,
х Зх — 7 2х х -j- 2х
х2 4- 2
——— — неправильные дроби.
Теорема 1. Каждая неправильная дробь равна сумме многочлена
и правильной дроби.
Этот многочлен называется целой частью дроби и получается де¬
лением числителя на знаменатель, к примеру, «в столбик» («уголком»).
!) Здесь мы указываем не все варианты ответов.

§ 5. Разложение рациональной дроби на простейшие
143
Например,
Зх5 +4х3 +2х — 11 х3 +3х + 7
Зх5+9х3+21х2 Зх2 — 5
—5х3 — 21х2 +2х	—1
-5х3	— 15х -35
-21х2 + 17х +34
Результат запишем в виде
Зх5 + 4х3 + 2х — 1  g _|_ ~ 21х2 + 17х + 34
х3 + Зх + 7	х3 + Зх + 7
Р(х)
3°. Теорема 2. Правильная рациональная функция —— яред-
Q(x)
ставляется единственным образом в виде суммы простейших
дробей.
Разложение правильной дроби на сумму простейших производится
по следующему правилу.
1)	Многочлен Q(x) следует разложить на простейшие множители.
2)	Каждому множителю Q(x) вида (ах + Ъ)к (к > 1) сопоставляется
сумма из к дробей:
ах + Ь (ах + Ь)2	(ах + Ь)к
3)	Каждому множителю Q(x) вида [ах2 + Ьх + с)к (к ^ 1 и0<0)
сопоставляется сумма к дробей вида
С[х + D[	С2Х	+	D2	CfcX	+	Dk
ах2 + Ьх + с	(ах2 + Ьх + с)2	(ах2	+	Ьх	+	с)	Л
4)	Неизвестные коэффициенты числителей вычисляются методом
неопределенных коэффициентов.
Этот метод вытекает из следующих теорем.
Теорема 3. Две рациональные функции равны, если они имеют
одинаковые числители и одинаковые знаменатели.
Теорема 4. Два многочлена равны, если они имеют одинаковые
степени, а их коэффициенты при одинаковых степенях равны меж¬
ду собой.
Теорема 5. Два многочлена одинаковой степени п равны в том
и только том случае, когда они принимают равные значения в
системе из (п+ 1) различных точек.
Примеры с решениями
Пример 1. Разложить на простейшие дроби: 	1	.
(х + 1)(х2 + 1)

144
Гл. VI. Элементы высшей алгебры
Решение. Имеем
1	=	А	Вх + С = А(х2 + 1) + (Вх + С)(х + 1)
(х+\)(х2 + \) ~ х+\	х2+1	(х+	\)(х2 + 1)
Применим теорему 3. Приходим к равенству 1 = Ах2 + А + Бх2 + Бх +
+ Сх + С (знаменатели равных дробей одинаковы). А теперь применим
теорему 4 — приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях
многочленов в правой и левой частях от знака равенства. В правой
части имеем многочлен второй степени. Считаем, что в левой части
имеем тоже многочлен второй степени с равными нулю коэффициен¬
тами при положительных степенях переменной х. Соответствующие
равенства записываем в виде
X2 :	А + В = о, )
х1 :	В + С = 0, > +	=> 2(А + В + С)	= 1
х° :	А + С = 1 J
Ответ. 	!	 = —!	1
(i+1)(а:2 +1)	2(а;+1)	*2	+	1
Пример 2. Разложить на простейшие дроби: 	—=	  .
(я+1) (я+2) (е+З)
Решение. Согласно теореме 2 имеем разложение
	1	 _
(*+ 1)(:г + 2)2(:г + 3)3
= -А. +	_g_	+	.„g	+	_р_ +	. Е- +	. L
*+1	х + 2	(х + 2f	(* + 3)	(х + З)2	(х + З)3
Правую часть этого равенства приводим к общему знаменателю. Со¬
гласно теореме 3 приходим к равенству
1 = А(х + 2)2(х + 3)3 + В(х + 2) (х+ 1)(х + 3)3 +
+ С (х + 1) (х + З)3 + D (х + 1) (х + 2)2 (* + 3)2+
+ Е(х + 1)(* + 2)2(х + 3) + F{x + 2)2(х + 1).
Неизвестные коэффициенты найдем, сочетая теоремы 4 и 5. Сначала
действуем при помощи теоремы 5.
1)	Положим х = — 2 в полученном равенстве. Получаем равенство
1	= —С (все слагаемые правой части, кроме одного, обращаются в
нуль). Отсюда С = — 1.
2)	Положим теперь х = — 1: 1 = 8А. Получаем А = ~ .
3)	Положим х = —3, -2F = 1, F = - ^ .
4)	Положим х = 0: 1 = 108А + 545 + 21C + 36D + 12Е + 4F =>
=> 54В + 36D + 12Е = 16,5. Это уравнение будет использовано ниже.

§ 5. Разложение рациональной дроби на простейшие
145
Для определения остальных коэффициентов (с учетом уже полу¬
ченных) используем теорему 4.
5)	Приравниваем коэффициенты обеих частей при х5 и х4:
х5: 0 = A + B + D^B + D=--.
8
X4 : 0 = 13Л + 12В + С + 1 ID + Е =* 12В + 1 ID + Е = - - .
8
( 54В + 36D + 12Е = 16,5,
6)	Из системы
D = — — , В = 2.
8
Ответ.
	1
(* + 1)(* + 2)2 (х + З)3
В + D —	^	,	находим:	Е	=	-	-
12В + 11£> + £ = —-
8
1	2	1	17	5	1
8	(я + 1) ’ i + 2 (х + 2)2	8(i + 3)	4(х + 3)2	2(х + 3)3'
Примечание. В дальнейших примерах мы опускаем раскрытие
скобок в числителе правой дроби. Поиск коэффициентов при тех или
иных степенях переменной выполняется, как правило, устно.
т-i	о	п	-	2а;4	—	13я3+32а;2	—24х+1
Пример о. Разложить на простейшие дроби:	.
х3—5х2Н-6х
Решение.
1)	Данная дробь неправильная, поэтому сначала выделим целую
2х4 — 1 Зх3 +32х2 —24х +11 х3 — Ъх2 +6х
2х4 —10х3 + 12х2	2х — 3
—Зх3 +20х2 —24х+1
—Зх3 + 15х2 —18х
Ъх2 — 6х + 1
г,	2а;4	—	13а;3 + 32а;2 — 24а; +1	Л 0 Ъх2 — 6а; + 1
Получили 			= 2х — 3 Н	— .
х3 — Ъх2 + 6а;	х3 — 5а;2 + 6а;
2)	Остается разложить на простейшие дробь из правой части этого
равенства, для чего предварительно ее знаменатель разложим на про¬
стые множители.
5х2 - 6х +1	_	А В + С _
х(х — 3)(х — 2) х х — 3 х — 2
__ А(х — 3)(х — 2) + Вх(х — 2) + Са;(а; — 3)
а;(я — 3)(а; — 2)

146
Гл. VI. Элементы высшей алгебры
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях числителей в
правой и левой дробях. Это приводит к линейной системе из трех
уравнений с тремя неизвестными А, В и С.
Дальнейшие примеры с краткими решениями разберите самостоя¬
тельно.
Пример 4.
х	х	__	А	Вх	+	С	_
х3 — 1 (х — 1) (х2 + х + 1) х — 1 х2 + х + 1
___ А(х2 + х + 1) + (Вх + С)(х - 1)
(х — 1)(я2 + х + 1)
х(х + 1)(1 + X + X2) х ас + 1	х2+х+\
А(х + \)(х2 4 х 4 1) 4- Вх(х2 + я 4- 1) + х(х 4- \)(Сх 4- D) = 1.
/
2
А45 = 0,
А-В4С=1,
Л-С = 0;
Ответ.
х
1	х	—	1
3(х — 1) х2 + х + 1
Пример 5.
Имеем:
' х3: Л + В + С = 0,
х2: 2Л + В + С + Р = О,
' х1 : 2А + В + D = 1,
х° : А = 1;
В = -1,
с = о,
£> = -1,
Л = 1.
Ответ.
х(а; -1- 1)(а;2 + х + 1) х	1	х2	+	х	+	1

Контрольные задания
147
Упражнения
Разложить дроби на простейшие.
I	х2 + 2	2	х4	3		!
(х + I)3 (х — 2)	'	(х2	—	1) (х + 2) '	* (х — I)2 (х — 2)
• х5 — х4 — 8	- х4 + 4х3 + 11х2 + 12х + 8 е 1
4.	—		.	5.		5	. о. —	.
х3 — 4х	(х2+2х + 3) (х+1)	х4	+	1
j	х3 + Зх2 + 5х + 7 g	Ъх — 8	g 2х2 — 5х + 1
х2 + 2	х3	—	4х2	—	4х	х3	—	2х2	+	х
jq	2х2+4х—9	х3-2х2+4
(х — 1) (х + 3) (х — 4)	'	'	х3 (х — 2)2
12	2х3 - 10х2 + 10х - 5
х4 — 5х3 + 9х2 — 8х +	4
Ответы
2	112
1.	1				 и	. Указание. Разложение
9	(х + 1)	3	(х	+ 1) (х + \)3	9	(х	—	2)
А , В * С . D 0 п ,	1
имеет вид	1	Н	т Н	. 2. х — 2 +
х+1 (х + 1)	(х+1)	х —2	6	(х	—	1)
1	-	16	-	—	-	—-—„ .4. х2—х + 4 + - +
2	(х+1)	3 (х + 2)	х — 2	х — 1 (х — 1 у
5	5м1	х	—	1	у	А	Вх+С
Н	1	. 5.	1	« . Указание.	1	Ь
х — 2 х + 2	х+1	(х2	+	2х	+	3)	х+1	х2+2х+3
—Cx + D	_ 0£щи^ вид пазЛ0Жения. 6.	—■ —x + s^
(х2+2х+3)	2v/2 X2 + xv/2 + 1
	1— • —х ~	—. Указание, х4 + 1 = (х2 + 1)2 — (хл/2^	=
2л/2 х2 - х\/2 +1	v	'	V /
= (x2 + xV2 + l) (x2-xV2 + l).	7.	х + 3+^ii.	8. 2-~
8-9%/2	8 + 9v/2	g	- +	1	2
в(х + 2 + 2л/2)	8(x+2-2v^)	1	(*-1)
10. -JL_ + _«	n. -i. _ ± + _J_
7	(x — 4)	12 (x — 1)	12 (x + 3)	4x x3 4(x-2)
+ —x—«. 12. —!	^ +
2	(x - 2)2 '	*	(x	-	2)	(x	-	2)2 x2 - x + 1
Контрольные задания
(к главам V и VI)
1. Построить графики функций:
1)	у = |3х - 2|2;	2) у = log(l +sin |);	3)	у	=	|	tg(2x	-	1)|;
4)	у = log^(2 + cosх);	5) у = —-— .
1	+ sin х

148
Гл. VI. Элементы высшей алгебры
2. Вычислить пределы:
х2 — Зх + 2
1) lim
2) lim
4) lim
5) lim
1 х3 х2 — х — 1
\/2х нн~9 — 5
3) lim
-3
/3 -j- х — 2х
yz -2
3. Вычислить пределы:
1ч т 1—cos8x	1—cos3x
1) lim 	;	2)	lim		;
х —>0 ех — 1	х-+0	5х2
1 — 2 cos х
х—►тг/З 27Г — бх
3) lim
4) lim
sin 7х
5) lim
tg X - tg 3
tg6x	x—>3 sinln(4 —x)
4. Исследовать на непрерывность следующие функции, найти точки
разрыва и определить их типы, сделать эскизы графиков:
*" 4 — х, ж < -1,
1) у = 2sin(3x + 2) — 1; 2) у =
3) у =
5,	-1^х<0,
ж2 + 5, х > 0;
л/х2, х < 0,
[ж],	0	<	х	<	3,
4) у =
л/1 + х2, х < 0,
1	+ sinx, 0 < X < 7Г,
2	— cos х, х ^ 7г;
5.	Представить в тригонометрической и показательной формах сле¬
дующие комплексные числа:
1) — 1 + \/Зг; 2) cosa — zsina; 3) — 1 — 2г; 4) —2; 5) 4 — 7г;
6) _L; 7) (3 — 2г)3.
3 -j- г
6.	Найти все значения корней:
1) Vi; 2) ^=7; 3) $27; 4) ^=7; 5)	6) у/у/5-i.
7.	Следующие рациональные функции разложить на сумму про¬
стейших:
х2 — 2х пЧ	1	.о\	4х2 + 1Ц — 3 ш
о
4)
, 2) —
1 — х4	(х	+	I)2	(х2	+	1)
2х3 — 5х -f- 3
х (х3 — Зх2 + 2х) (х3 + Зх2 + 2х)
3)
х3 + 2х2 — :

Глава VII
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 1. Определение производной
1°. Производная непрерывной функции у = /(х) в точке xq опре¬
деляется по следующему алгоритму.
1)	Вычислить уо = f(xo) и у = /(х).
2)	Составить приращение функции Ду = Д/(хо) = /(ж) - f(xо),
соответствующее приращению аргумента Дх = х — хо.
о\	« Ay	A/(xq)	f(x) - /(xq)
3)	Составить отношение приращении — =	—	.
Ах	Ах	X	—	Xq
4)	Найти предел lim ;= lim ^ ^ ~ ^ ^ .
Ах—>0 Ах	х—►хо х — хо
Если предел существует и конечен, то он обозначается /'(хо) и
называется производной функции /(х) в точке хо, а функция у = /(х)
называется дифференцируемой в точке хо.
2°. Если вместо фиксированной точки хо взять переменную величи¬
ну х, то производная у' = /'(х) = lim	=	lim	^	+	Дз^	~	^	—
w Ах—>0 Дх	Ах—О	Ах
будет функцией от х.
Число /'(хо) можно получить также подстановкой х = хо в выра¬
жение для /'(х); это обозначается так: f (хо) = /' (ж) |х=хо.
Например, если у = С (С — константа), то Ду = 0 и у' = С' = 0;
если у =	х,	то	Ду	=	Дх	и, следовательно,	у'	= 1;
если т/ =	cos х,	то Ду	= cos(x+Дх) — cos х = —2 sin ^ • sin ^х+
sin
a y/=(cosx)/= lim — =— lim 	— • lim sinfx-h — 1 = — sinx;
Ax—0 Ax	Ax—0 Ax	Ax—0	\	2	J
,	T
следовательно, (cosx) = — sinx. В частности,
cos'(O) = (cosx)'
= — sinO = 0.
x=0

150 Гл. VII. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Упражнения
Найти по определению производные функций.
1. tgx. 2. у = ах.	3. у = ех. 4. у = х3.	5.	у	=	sinx.
6. у = 1пх. 7. у = х2 + 4х + 2.
§ 2. Геометрическая, механическая и экономическая
интерпретации производной
1°. Выясним геометрический смысл отдельных пунктов определе¬
ния производной, исходя из рис. 7.1, где изображен график Г воз¬
растающей функции, а Ах > 0. Имеем: Ах = АВ, Af(xo) = ВМ,
о) __ вм_ — tga — угловой коэффициент секущей AM, прове¬
денной через фиксированную точ¬
ку А(хо,уо) и переменную точку
М(х,у) = М(х,/(х)). При х хо,
или Ах —> 0, точка М(х,у) при¬
ближается к А вдоль Г, а секущая
AM превращается в касательную
t с угловым коэффициентом tgao
(рис. 7.1):
Ах
У>
Ay
шУ
А
<Г
Уо
В
Л1
ХоЛа ! Д*
О
Хо
Рис. 7.1
tg ao = lim tg a =
Ax—>0
= lim
Д1-+0
A/(*)
Ax
ГЫ-
Вывод. Существование производной /'(x0) равносильно суще¬
ствованию касательной t к Г в точке А(хо,уо), и f'(x0) = tgao есть
ее угловой коэффициент. Уравнение касательной fc имеет вид
(t) : У = Уо + Цх - х0), k = ff(x0).
2°. Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания
А(хо, уо), называется нормалью к кривой Г. Уравнение нормали п
имеет вид
(п) : у = уо - - (я - хо), k = f'{x0).
3°. Если S = S(t) — путь, пройденный материальной точкой М за
время t, то AS = S(t + Д£) - S(£) — путь, пройденный М за время
AS
At, — — средняя скорость движения за время At, а производная
At
AS
Sf(t) = lim — — мгновенная скорость точки М в момент времени t.
' At—о At
4°. Пусть /3(х) обозначает прибыль, полученную в результате вло¬
жения в некоторое производство х денежных единиц (д. ед.). До¬
полнительное вложение h д. ед. изменит (увеличит или уменьшит)

§ 2. Интерпретации производной
151
прибыль на /3(х 4 К) — (3(х). Тогда прибыль на одну д. ед. вло¬
жения равна + h^. При достаточно малом h приходим к
h
(З'(х) = lim ^х	1	(З'(х)	—	коэффициент изменения прибыли,
h—>0 h
показывающий динамику ее изменения; /?'(ж) называется маргиналь¬
ной прибылью, соответствующей затраченной сумме х.
Примеры с решениями
Пример 1. Составить уравнения касательной и нормали к пара¬
боле у = х2 + 4ж 4- 2 в точке А(1, 7).
Решение. Точка А( 1,7) лежит на параболе. Находим у' = 2ж + 4
и у'( 1) = 6. Следовательно (см. п. 1°), уравнение касательной имеет
вид у = 7 + 6(ж — 1), т.е. у = 6ж + 1, а уравнение нормали (см. п. 2°)
у — 7 — - (ж — 1), т. е. х + 6у — 43 = 0.
6
Пример 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку
В(— 1, 2) касательно параболе у = ж2 + 4ж + 9.
Решение. Точка В(—1,2) не лежит на параболе, поэтому способ,
приведенный выше, неприменим. Обозначим через Мо(жо,уо) точку
касания искомой касательной с параболой. Тогда ко = 2жо 4 4 — уг¬
ловой коэффициент этой прямой. Равенство уо = 2 + (2жо 4 4)(жо + 1)
означает, что прямая, касательная к параболе, проходит через точ¬
ки В(—1,2) и Мо(жо,з/о), а равенство уо = ж§ + 4жо 4 9 означа¬
ет, что Мо лежит на параболе. Из этих двух уравнений находим:
Xq + 4жо + 9 = 2 + 2жд + бжо + 4, т. е. х% + 2жо -3 = 0. Отсюда жо = 1
или жо = —3; уо = 14 или уо = 6. Таким образом, точками касания на
параболе могут быть Мо(1,14) или Mq(-3,6). Уравнения касательных
можно составить по двум парам точек В, Мо и В, Mg. Сами уравнения
имеют вид у = -2ж, у = бж + 8.
Упражнения
Составить уравнения касательных и нормалей к данным кривым в
данных точках.
1.7/ — ж3, А(1, 1). 2. т/ = ж2 + 5, А(2,9). 3. y = sinx, А(п, 0).
Составить уравнения прямых, проходящих через данные точки и
касающихся данных кривых.
4.	В(0, —2), у = ж + ж — 1.	5.	В(0,-1), у	=	-ж2	— ж — 2.
6.	£(1,9), у = 2ж2 4 Зж 4 10.
Ответы
1.	Зж — у — 2 = 0, ж 4- Зу — 4 =	0.	2. у = 4ж	+	1,	ж	4 4у — 38 =	0.
3.	у = 7г — ж, у = ж — 7г. 4. у = Зж	—	2. 5. у = —Зж	—	1.	6. у = 7ж 4- 2.

152 Гл. VII. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
§ 3. Связь дифференцируемости с непрерывностью
1°. Напомним: функция, имеющая конечную производную в данной
точке, называется дифференцируемой в этой точке, в противном слу¬
чае — недифференцируемой.
Теорема 1. Если функция дифференцируема в данной точке, то
в этой точке она непрерывна.
Из существования lim — = /'(х) следует, что lim Ду = О
Ах—>0 Да;	Дх—*0
(непрерывность), так как в противном случае /'(х) = ос либо не суще¬
ствует.
2°. Функция, непрерывная в данной точке, не обязательно диффе¬
ренцируема в этой точке.
Например, функция у = |х| непрерывна (см. гл. V, § 1), но не диф¬
ференцируема в точке х = 0, поскольку действия алгоритма с учетом
/	I Дх|
Уо = 2/(0) = 0 приводят к у' = \х\ = lim -—-, а этот предел не
Дх—►() Дя
существует (при Дх > 0 выражение под знаком предела равно 1, а при
Дх < 0 оно равно —1);
функция у = у/х в точке х = 0 непрерывна; она определена
только при х ^ 0, поэтому можно брать только Дх > 0. Имеем
у'(0) = (у/х)' I 0 = lim —— = lim —}== = +00; функция у = у/х
х	Ах —>0 Дд;	Ах —>0 у/Дд:
имеет в точке х = 0 бесконечную производную и потому не дифферен¬
цируема в этой точке. Касательная к графику Г перпендикулярна к оси
Ох (график см. гл. V, § 1).
3°. Функция, дифференцируемая в каждой точке данного интерва¬
ла, называется дифференцируемой в этом интервале. Функция с непре¬
рывно изменяющейся производной (касательной) называется гладкой.
График функции у = \х\ не гладкий при х = 0 (имеет угол).
Упражнения
Установить, дифференцируемы ли функции у = f(x) при х = хо-
1.	у = #5, хо — 0.	2. у = |х — 113, хо = 1.	3.	у = х2/3, хо = 0.
4.	у = х5/3, хо = 0. 5. у = х3/5, хо = 0.
§ 4. Таблица производных
и правила дифференцирования
1°. Дифференцирование основных элементарных функций осу¬
ществляется при помощи следующих формул:
1)	С’ = 0.	2) х'= 1.

§ 4. Таблица производных и правила дифференцирования
153
sur х
4)	(ахУ = ах\па.	12) (arcsinx)' = —=L
у/1 —;
5)	(ex)f = ех.	13)	(arccosx/
у/ 1 — х2
6)	(log0 х)' =	.	14) (arctgx)' = —Ц .
х\п а	1	+	х1
7) (1пх/ = - .	15) (arcctgx/ = — —!— .
х	1	+	X2
8) (sinx)f = cosx.	16) (у/х У = —.
2у/х
9) (cosx)’ = —sinx. 17)	=—"j-
10)	(tgx)' = -L-.	щ(±)' = -
COS X	\ X171 J
xm+l
Формулы 16)— 18) являются частными случаями 3). Все формулы
необходимо знать наизусть.
2°. Функции, составленные из основных при помощи арифметиче¬
ских действий (сложения, вычитания, умножения, деления) и компози¬
ции (функция от функции), дифференцируются по правилам:
1)	(С • f(x))f = С • /'(х) (С - постоянная);
2)	(f(x)±g(x)y = f'(x)±g’(xy,
3)	(f(x) • g(x))' = f'(x) g{x) + f(x) g’(x);
4)	(m] = /'(«?, *(»)-/(»)_?'(») ( в частностИ( (J_V = _ ^ ;
\g(x)J	g2(x)	\g(x)J	g2(x)
5)	если f(u) и и = u(x) — дифференцируемые функции, то произ¬
водная сложной функции (/ [г/(х)])' = f'u [и(х)] • гх'(х).
Примеры с решениями
(во всех примерах найти у')
Пример 1. у = х10 — -х5 + 7.
Решение. Применяем правила 1) и 2), а также формулы 3) и 1):
у' = (х10)' — ^+ (?У = ^Ох9 — ~ • 5х4 + 0 = 10х9 — х4.
Пример 2. у = х + ^ ~ 1 .
у/х
Сначала преобразуем: у = у/х + 1 - х“1//2.
Теперь дифференцируем, используя формулы 1), 16), 3) и правила
1) и 2): у' = -L- + -4= = ^ .
2Va? 2у/х*

154 Гл. VII. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Пример 3. y = 2x cosx.
Решение. Имеем производную произведения (правило 3)) функ¬
ций, содержащихся в формулах 4) и 9): уг — (2х)7 cos х + 2х (cos ж/ =
= 2х 1п 2 cos х — 2х sin х.
гт	A	tg	х — ех
Пример 4. у =
у/х
Решение. Применяем правило 4), формулы 10), 5), 16). Произ¬
водная частного:
( —\	еАу/х- (tg х — ех) —
/ V cos х /	2 Jx
У = 	—•
Пример 5. у — arccos 1 ж.
Решение. Применяем правило 4), частный случай, и формулу 13).
(arccos я)2	arccos2 х • у/1 — х2	у/ 1 —	а;2 ■ arccos2 х
Пример 6. y = anctg^/x.
Решение. Применяем	правило 5), формулы 14)	и 16). Положим
и — у/х.	Тогда у = arctg и,	у'и = —!—, и*	—	——	. Окончательно:
1 + и2	2у/х
у',=	1
2у/х (1 + х)
Пример 7. у = In ^ж + у/х2 + 1 )•
Решение. Положим у = In и, и = ж + л/i2 + 1; и применим прави¬
ло 5). Получаем у' = 	1	[ 1 н	) =	1	.
а; + >/ х2 + 1	\	2у/х2	+	1 /	\/ а; + 1
Пример 8. у = cos In ж.
Решение. Обозначим у = cos гх, и = In ж. Находим у* = — sin In ж х
1	sin	In	£
X - = —	.
X	X
y—t	~	cos2	2а;
Пример 9. у-
tg xz
Решение. Дифференцируем частное двух сложных функций:
/ _ (cos2 2а;)' • tg х2 — (tg х2)' ■ cos2 2х _
У	(tgx2)2	-
2	cos 2а; ■ (-sin 2а;) • 2 tg а;2	Х —-	■ о 2 о 2 о
_	4	'	cos2 х2 __	—	sin	\х	■	sin	2ar	—	2х	cos*	2х
tg2 a;2	sin2	х2

§ 4. Таблица производных и правила дифференцирования
155
Пример 10. у = sin3 х2 ■ arccos у/х.
Решение. Имеем дело с производной произведения сложных
функций:
у' = (sin3 х2)' • arccos у/х + sin3 х2(arccos у/х)' =
_,_3 —2
—	3 sin2 х2 ■ cos х • 2х • arccos Vx
л/1 — sc ■ 2у/х
п -2 2	2	/”	sin3	2:2
= ox sin х • cos х arccos у/х —
2у/х(1 — х)
Примечание. При дифференцировании функций, состоящих из
большого количества множителей, или функций вида у = f(x)s^
рекомендуется предварительное логарифмирование.
гт	1 1	(х	+ 2)2
Пример 11. у=-—\ /
(х — I)3 (х + 5)
Решение. Находим сначала \пу, затем продифференцируем обе
части полученного равенства, причем левую часть 1пу(х) — как
сложную функцию: 1пу = 21п(х + 2) — 31п(х — 1) — 41п(х + 5) и
1,2	3	4	ч/	1	#	«
■»' — 	 —	— 	 ; (1пу) = -у — производная сложной
~У =
у	х	+	2	х	—	1	х	+	5	у
функции. Отсюда у' = 	^		г • ( —			— ).
(х — 1) (я + 5)	\ а; — 2	х-1	х + Ъ )
Пример 12. 2/ = (1+х)*.
Решение.	Берем	логарифм обеих	частей	равенства	у= (1 +х)х:
1	X
1пу = х1п(х +1).	Дифференцируем:	-у* = 1п(х + 1) + 	. Отсюда
у	х	+	1
х
у' = (1 + х)1
1п (х + 1) +
X + 1
Упражнения
Найти производные функций.
1.	у —  	.	2.	у = у/х2 + 4х + 3.
х2 + 1
3. у	=	- \/1 — х2	+	- arcsin х. 4. у =	- In * + - + - arete х.
2	2	4	1-х	2
5. у	=	sinx—CQS:r	.	6. у = - (3 — х) л/1 — х2 — 2х + 2 arcsin х
sinx + cosx	2	v2
* 1 ж + 1	,1	*	2зс—	1	с	tg	-	+ctg -
7. у = - In — - 	- ч—— arctg ——.	8. у = — 	—.
3	\/ х2 — х + 1	л/3	у/3	х
9.	у= sin2g + cos2g .	10. у = KFtgx. 11. у = (cosi)sinI.
1	+ ctg X	1 + tg X
I2.y = x{f~^-	13 .y=^±^.	14 .у=$/Д/^Д.
V	x2 + 1	Vx(x-l)	V

156 Гл. VII. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
15.	у = In	•	16.	у	=	(х2	+	3)^.	17.	y	=	logx2X.
Ответы
I. у'=———о*	У>= —т===== • 3. з/'=л/1 — х2. 4. у'=—-—.
(хЧ I)2	>/*2+4®+3	1-Х4
5.	у' = —-J	6. у' =	*2	.	7.	у'	=	8.	у' =
(smx + cosa;)	у 1 —	—	2х	гг5 + 1
= _2(xcosx+sinq:) 9 J//=_cos2;r. JO. у'= Юх‘6* In 10 ftgxH	 —Y
ас2 sin2 а:	\	cos2	х	J
II.	у' = (cos х)81п х (cos х • In cos х— sm x \ . 12. y' =	3a;	+5 зГ—
\	cosx	J
3 (ж2+1) V #2 + l
13.	y' = - ^ + —		!	1	V	Указание. Jlora-
v'sO*— 1)	\2x	2	(x	—	l) s2 + l/
23
рифмируйте обе части исходного равенства. 14. у' = —.
24 2ух
Указание. Преобразуйте правую	часть исходного равенства.
15.	у' = 	2дс + 3	—— . Указание. Логарифмируйте правую
4 (ж2 + 3# + 1)	3 (х2 + 4)
а- Л	/-2	,
. Указание.
часть равенства. 16. у' = (х2 + 3)^
, 1п (д2 + 3)
х2 + 3	2<у/я
Логарифмируйте обе части исходного равенства. 17. у' = 0. Указание.
Преобразуйте исходное равенство.
§ 5. Дифференциал функции и ее линеаризация
1°. Дифференциалом дифференцируемой функции у = f(x) на¬
зывается произведение ее производной на произвольное приращение
аргумента:
dy = df(x) = f(x)Ax = y'Ax.
Для функции у = х ее дифференциал равен
dy = dx = 1 • Ах = Дж.
Дифференциал аргумента совпадает с его произвольным прираще¬
нием, поэтому дифференциал функции записывают в виде
dy = df(x) = f(x)dx = y'ch.
Например, если у = tgx, то dy =	^	.
cos2 ж
Из определения дифференциала функции можно записать новое,
формальное определение производной:
У’=^, f(X)=*& = ±f(X).
ах	ах	ах
Это обозначение принято в дифференциальных уравнениях.

§ 5. Дифференциал функции и ее линеаризация
157
2°. Из рис. 7.1 видно, что df(xo) = ВС — приращение ординаты
касательной при переходе точки х от xq к xq + Дх. При Дх —> О
дифференциал — бесконечно малая величина. Дифференциал функ¬
ции аппроксимирует приращение функции, т. е. если Дх « 0, то
Д/(х) « с?/(х), или f{x + Дх) — f(x) & /'(х) • dx. Отсюда получаем
приближенное равенство
/(х + Дх) « /(х) + /'(х) • Дх, Дх « О,
которое называется линеаризацией функции /(х) в точке х. Геомет¬
рически это означает замену дуги Г графика функции fix) отрезком
касательной ty что возможно при достаточно малых Дх.
3°. Линеаризацию функции в фиксированной точке хо можно ис¬
пользовать в приближенных вычислениях:
/(х) « /(х0) + /'(хо)(х - х0), X « х0.
Примеры с решениями
Пример 1. Вычислить приближенно значение функции /(х) =
= у/х2 + х + 3 при х = 1,97.
Решение. Принимаем хо = 2. Тогда yQ = /(2) = у/22 + 2 + 3 = 3.
Далее,
5
х=2	6
2у/х2 + х + 3
Так как Дх = х — хо, то Дх = —0,03 и, согласно формуле п. 3°, имеем
л/1,972 + 1,97 + 3 «3+5 (-0,03) = 2,975.
6
Пример 2. Вычислить приближенно увеличение объема ци¬
линдра с высотой Н = 40 см и радиусом основания Я = 30 см при
увеличении радиуса на 0,5 см.
Решение. Объем цилиндра V при постоянной высоте Н и пере¬
менном радиусе х есть функция от х: V=ttНх2. При x=R=30 имеем
У=36000тг. Приращение объема цилиндра заменим его дифференциа¬
лом:
Ду ~dV = 2тгНх • Дх = 2тг • 40 ■ 30 • 0,5 = 1200тг.
Ответ. AV = 12007гсм3, новый объем 372007тсм3.
Пример 3. Найти дифференциал функции у = ех(х2 + 3). Вы¬
числить величину дифференциала в точке х = 0.
Решение. Имеем:
dy = y'dx = (ех(х2 + 3) + 2хех) dx = (х2 + 2х + 3)exdx,
\т=0{
^2/(0) = (х2 + 2х + $)ех\	0	dx	=	3	dx.

158 Гл. VII. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Упражнения
Найти дифференциалы функций.
,	. л+*У/4 1 t
1.	у = In I 	 I — - arctg х.
V, 1 -х J 2
2. у = —	  + In у/1 + х2 + arctg х.
Зх3
о	а . 1 х — а ш	1п	л/ х2 + 1 — х
3.	у = arctg —h m д /	 .	4.	у	=	-	In	,		.
X V х + а 3	у/X2 + 1 + X
Вычислить приращения и дифференциалы функций.
5.	у = 2ж2 — х при ж = 1, Дж = 0,01.
6.	у = х3 + 2ж, х = — 1, Ах = 0,02.
Вычислить приближенные значения.
7.	sin 60° 18'. 8. лУ735. 9. tg46°.	10.	In 1,07.
Ответы
■л i х dx с% j ^	1	т n I	2 a	j j т	2 dx
1, ay = 	. 2. ay — —	dx. 3. ay = 	dx. 4. dy = -
1—x4	x6+x4	x4—а4	Зл/ x2+l
5.	Ay = 0,0302, dy = 0,03. 6. Ду = 0,0988, dy = 0,1. 7. 0,86863.
8.	3,0041. 9. 1,03553. 10. 0,0676586.
§ 6. Производные и дифференциалы
высших порядков
1°. Предположим, что производная у' = f'{x) функции у = /(ж)
есть дифференцируемая функция. Тогда ее производная (;у/)/ называ¬
ется второй производной функции f(x) и обозначается у" = f"(x).
Производные высших порядков определяются последовательно:
у'" — (у")'* yIV = (у'")'* и т-А- Обозначения ^огут быть также:
у(|).у(2),у(3), ••• >у(п)-
Например, если у = я2 + 5а; — 6, то у' = 2х + 5, у" = 2, у'" = 0.
Если у = cos ж, то производную любого порядка этой функции
найдем следующим образом:

$ 7. Дифференцирование обратных функций
159
2°. Дифференциалы высших порядков определяются так:
dny = f(n\x)dxn. Отсюда fn\x) =£*=*-(	\
dxn dx \ dxn~[ /
Например, dn (cos х) = cos ^х + ~2^) ^П'
Упражнения
Найти производные и дифференциалы порядка п е N.
1. у=_!_. 2. е3х. 34. д/i-
ах — Ь	х
5.	ха. 6. In 3^х 4- 1 .	7. sin ах. 8. cos/Зх.
Ответы
I.	у(») = (-1)"	tt""!	2.	у<»>	=	Зпе3х. 3. у' = 1-4-
(ах — 6)n+1	х2
У"= 4’ У(П) = (-1)п3^7- 4. у<»> =
х3	Xn+J	2n ■ VIZn—l
5.	y(") = а(а - 1) ■ ■ • (а - n + \)xa~n. 6.	yW	=	— (- l)n+l	1)!-.
33	xn
7. y(n) = a71 sin ^ax 4- ^ nj . 8. y(n) = /371 cos ^ax 4- n ^ J.
§ 7. Дифференцирование обратных функций.
Дифференцирование функций,
заданных неявно и параметрически
1°. Пусть у = f(x) — функция, определенная и непрерывная на
отрезке [а; Ь] и /(а) = Д /(6) = В. Если различным	значениям х	е	[а; 6]
соответствуют разные значения у е [А; Б]	(или	у	£	то	функ¬
ция у=/(х) обратима, т. е. имеет обратную функцию, обозначаемую
ж=<р(г/). При этом / [<р(у)] = у, а х = <р(у) непрерывна на отрезке [А; Я].
Например, функция у = х2 обратима на каждом из двух лучей
(—ос; 0] и [0;+оо), при этом х = -y/у, у € [0;+оо), и х = у/у,
у е [0; -foe);
у = tgx обратима в интервале ^ ^ или в любом другом
интервале ^ 4- ктг; ^ 4-	,	где	А: — фиксированное целое число,
при этом х = arctg у или х = arctg у 4- ктг, у е ( — ос; +оо).
2°. Если различным значениям х е [а; Ь] соответствует одно зна¬
чение у е [А; 5], то функция у = /(х) имеет несколько обратных
функций.
Например, непрерывная функция у = х2, х 6 (—оо;+оо), имеет две
непрерывные обратные функции х = —^/у и х = ^/у, у е [0; -foe);

160 Гл. VII. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
непрерывная функция у = sin#, ж £ (-ос; 4-оо), имеет бесконечное
множество непрерывных обратных функций х = (— l)n arcsiny 4- 7m,
п е Z, у е [-1; 1].
3°. Если у = /(ж) дифференцируема на отрезке [а; 6] и /'(ж) ф 0, то
обратная функция х = <р(у) также дифференцируема на [А\В] и
= <р'(у) =
/'(*)
Например, пусть у — sin#, же
тогда у' = cos ж, для
7Г # 7Г
2	’ 2
обратной функции ж = arcsiny, у е [—1; 1] имеем
(агоату)/ = а/=1 = —=	1	-=	у.	У е (-1:1);
у cos х	V 1 - sin X V 1 — у
при у = ±1 имеем (arcsiny)'	= lim	1... = -boo, это согласу-
у=± 1	у—>± 1 у/1 — у2
ется с тем, что sin' ^ ^ ^ =
если у = ж3, ж е (-оо, +оо), то у' = Зж2 и у' = 0 при ж = 0, для
обратной функции ж = имеем ж' = ~^= = -+оо при у=0 (у(0)=0).
V	2/2
4°. Если у как функция от ж задается соотношением F(x,y) = О,
то у называется неявной функцией от ж, в отличие от явного способа
задания у = f(x). Производная от у по ж при неявном способе зада¬
ния функции может быть определена дифференцированием выражения
F(x,y) = 0 как сложной функции, считая у функцией от ж; решая по¬
лученное уравнение относительно производной унаходим выражение
производной от неявной функции в виде у' = f(x,y).
5°. Если функция у = у(х) задается параметрически, т. е. при
помощи двух функций ж = x{t) и у = y(i) аргумента t, а ж(£) и y(t) —
дифференцируемые функции, то производную у1 = г/(ж), обозначаемую
еще находим при помощи дифференциалов:
У; = у' = ^	_	y'{t)
х dx dx{t) x'(t)dt x'{t) "
Вторую производную у" = y"2 = можно найти при помощи од¬
ной из двух формул (они основаны на производной сложной функции,
дроби и обратной функции t'x =

§ 7. Дифференцирование обратных функций
161
Примеры с решениями
Пример 1 (к п. 4°). Найти у\ если 10я3 + 4х2у 4- у2 = 0. Найти
также у' при х = —2, у = 4.
Решение. Считаем, что у = у{х). Продифференцируем левую
часть данного уравнения как сложную функцию, приравняем нулю
полученное выражение и найдем у;:
30х2 4- 8ху 4- 4х2у; 4- 2уу' = 0.
		15х^	4
Отсюда у7 = 	-. Подставляя я = — 2, у = 4, получаем
2х2 +1/
Л-2) = -|.
Пример 2 (к п. 4°). Найти у\ если еу-\-ху=е. Найти также г/'(0).
Решение. Дифференцируем обе части данного равенства, имея в
виду, что у = г/(ж) : еуу' 4- у 4- ху1 = 0, откуда находим г/ = — —-— .
+ х
В частности, если х = 0, то у — 1 и г/(0) = — - .
е
Пример 3 (к п. 4°). Для функции у(х), определенной неявно
уравнением уех 4 еу = е 4 1, найти у".
Решение. После двух последовательных дифференцирований
данного уравнения с учетом у = у (ж) получаем
у'ех 4- еху 4- е^г/ = 0
2/"ех 4- е*У +	4-	еху'	4	ev(2/7)2	4	еуу" = 0.
Из второго равенства находим
Уп
2	еху' + еху + еу(у')2
ех +еу
Из первого равенства находим
/	1/ех
у = - ——
с 4еЗ/
и подставляем это в предыдущее равенство. После упрощения получаем
„ _ - 2в2ху (вх + еУ) + в* у (вх 4 еУ)2+ у2еУе2х
У	(ех+еУ)	3
Пример 4 (к п. 5°). Найти у1 и у", если х = arctgt, у = 1п(1 4£2).
Решение. Имеем:	ж*	= —!—,	^ = ——, yf = Ш- =
*	1412	1 412	*	х'
2t 1
= 	 : 	 = 21. При помощи первой из формул для у", находим
l+t2l+t2	т	г	J	х
& = ыл - = т1 • т = -г- = 2(J +*2)-
xt 1
1	4 t2
6	К. H. Лунгу, Е. В. Макаров

162 Гл. VII. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Пример 5 (к п. 5°). Найти у", если х = Int, у — sin21.
Решение. Для определения уп будем использовать вторую фор¬
мулу. Сначала находим: х[ = - , х”2 = - -у , y't = 2 cos 21, у"2 = —4sin2t.
Следовательно,
—	4 sin 2£ ■ - + — -2 cos 2t
y'U = 				 = —4t2 ■ sin 2t -)- 2t cos2£.
Упражнения
изводные у1 =
I.	x3 + у3 — Заху = 0.	2.	яу	=	arctg	-	.	3.	еу	=	я	4-	у.
Найти производные у1 = — .
dx
4.	я = е у = e2t. 5. я = лЛ2 4 1 , У =
* - 1
V^TT"
6.	х = arccos , 1	.	у	=	arcsin	—	—	■	.	7.	у	=	(arctgя)*.
*	л/1	412	v	'
*.2
8.	у = Xх .
Найти производные функций, заданных неявно уравнениями.
9.	я3у3 + 5яу + 4 = 0. 10. х sin у + у sin х = 0.
11.	— ух = 0. 12. х = e“fcsint, у — ег cost.
13.	х = lnt, у = sm2t.
Найти производные любого порядка.
14.	у = еаа\ 15. у = sin ах 4 cos for.
16.	у = хех. 17. у — —!— .	18. у = х
ах + Ъ	х2 — 1
Ответы
о „/ _	1	_	1
I.	у' =	*—2. у' =			HJ-. з. у' = 	!-
ах — у2	х	(1 + х2 + у2)	х	+	у	—	1	ei'	—	1
4.	у' =	—2e3t.	5. у' = -^Ц-.	6. у' = -1 при	t <	0; у' = 1
г (г2 4 1)
при t > 0. 7. yf = (arctg х)х (in arctg аН			 ]. 8. yf =
\	(1	+	x2)	arctg	x	J
= xx2+i(l+2\nx). 9. y' = -3^V+^. 10. y'= -Jycosx + siTiy) .
2x3y + 5x	x cos 1/ +sin x
II. y; = ——. 12* у' = e2*. 13. у' = 2tcos2t. 14.	=	aneax.
x(x — i/lnx)
15. г/п) = an sin + ^ ^ + 6n cos	^	^ . 16. yW = (ж 4- гг) ex.
17. y(n) = _L-l)n^i!	18^	^(n)	=	n!	/	1	 + 	1	A
(ax + b)n+[	2	\(x4l)n+1	(x	—	l)n+1	/

§ 8. Основные теоремы дифференциального исчисления
163
§ 8. Основные теоремы
дифференциального исчисления
1°. Точка хо называется точкой относительного максимума (ми¬
нимума) функции /(ж), если в некоторой окрестности этой точки
имеет место неравенство f(x) < f(xо) (f(x) > f(xо)) при х ф xq. Точки
относительного максимума и минимума f(x) называются точками экс¬
тремума, а значения в этих точках — экстремальными значениями.
На рис. 7.2 изображен график функции с тремя экстремумами.
Теорема 2 (Ферма). Если дифференцируемая функция f(x) име¬
ет экстремум в точке хо, то f'(xо) = 0.
В точке экстремума касательная горизонтальна, а для нее к =
= tga = f(x о) = 0.
Теорема 3 (Ролля). Предположим, что функция f(x) непре¬
рывна на отрезке [а; Ъ\, дифференцируема в интервале (а; b) и
/(а) = f{b). Тогда существует хотя бы одна точка с е (а\Ъ)у в
которой /'(с) = 0.
Такая функция либо постоянная, т. е. f(x) = С, и тогда f'(x) = 0,
х Е [а; 6], либо имеет хотя бы одну точку экстремума се (а,Ь), и тогда
Г(с)= 0.
Теорема 4 (Лагранжа). Предположим, что функция f(x)
непрерывна на отрезке [а; b} и дифференцируема в интервале (а; Ь).
Тогда существует хотя бы одна точка с £ (а; Ъ), такая, что
f(b)-f(a)=f(c)(b-a), или Дс)="^~/— •
о—а
Геометрически теорема 4 означает что на кривой существует хотя
бы одна точка, в которой касательная параллельна хорде АВ, f(c) —
ее угловой коэффициент (рис. 7.3).
Теорема 5 (Коши). Пусть f(x) и g(x) — две функции, непрерыв¬
ные на отрезке [а; Ь] и дифференцируемые в интервале (а; Ь), причем
g\x) Ф 0, х Е (а; Ь). Тогда существует хотя бы одна точка, такая,
что
fib) - Да) = Г (с) и
g(b)-g(a)	g’(c)
6*

164 Гл. VII. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Примеры с решениями
Пример 1. Проверить, справедлива ли теорема Ролля для функ¬
ции f(x) = х2 + 2х + 7 на отрезке [—6;4], и если да, то найти соответ¬
ствующее значение с.
Решение. f(x) = х2 + 2х + 7 непрерывна и дифференцируема на
любом отрезке, в частности, на [—6; 4], и /(6) = /(4) = 31. Значит,
f;(x) = 2х + 2 = 0 при некотором х € (—6; 4). Имеем х = с = — 1.
Пример 2. Найти точку с, о которой идет речь в теореме
Лагранжа, для функции у — х2 + 6х+ 1 на отрезке [— 1; 3].
Решение. Имеем у(—1) = —4, г/(3) = 28, А(—1,-4), В(3,28),
28 + 4
kAB = —— = 8. Нам надо решить уравнение yf = 2х + 6 = 8. Нахо-
3+1
дим х — 1, т.е. с имеет координаты (1,8). Касательная в этой точке
параллельна хорде АВ.
Упражнения
Проверить, справедлива ли теорема Ролля для данных функций
на данных отрезках, и найти соответствующие значения с (если они
существуют).
1. /(*) = \х- 1|, [0;3]. 2. /(*) = УхТТ, [-2;0].
3.	f(x)=x2, [-1;2].
Найти точку с, о которой идет речь в теореме Лагранжа, для
данных функций на данных отрезках.
4.	f{x) = |х| - 3, [-2; 2]. 5. /(*) = х3, * € [-1; 1].
6. /(х) = х2 - 6х + 1, [0; 1].
Ответы
1.-4. Нет. 5. ±-L. 6. -.
л/3	2
§ 9. Применения производной
9.1.	Уравнения касательной и нормали к кривой
В §2 приведены уравнения касательной (t): у = уо + к (х - яо),
к = f'(xо) и нормали (п): у = уо — - (х - хо), к = f (хо) к кривой
к
у = /(ж) в точке А(ж0,2Л>)> Уо = Л^о).
Если кривая задана неявным или параметрическим образом, то уг¬
ловой коэффициент к = /' (жо) нужно искать как производную неявной
или параметрически заданной функции.

9. Применения производной
165
Примеры с решениями
Пример 1. Составить уравнения касательной и нормали к кривой
у = х In я, проведенных в точке с абсциссой х = е.
Решение. Имеем: хо = е, yo = y (е) = е, у' = 1пх+\, к = у'(е)= 2,
(■t)\ у = е + 2{х- е), (п): у = е- ^ (х - е) (см. §2).
1	3
Ответ, (t): у = 2х — е, (п)\ у = — -х -\- -е.
Пример 2. Составить уравнения касательной и нормали к кривой
х2 + 3у2 = 4, проведенных в точке с ординатой у = 1 и отрицательной
абсциссой.
Решение. При у = 1 находим х = -1 и х = 1. В задаче идет
речь о точке А(— 1, 1). Находим у' из уравнения х2 4- 3у2 = 4. Имеем
2х + 6у • у' = 0, отсюда у' = — — , а значит, подставляя сюда х = — 1,
Зз/
у = 1, получаем к — у' — - .
Следовательно, (£): у ~ 1 + ^ (я + 1), (гг): у = 1 - 3(х 4- 1)-
Ответ. (£): у = - ж + - ;	(гг): у = —Зх — 2.
3	3
Пример 3. Составить уравнения касательной и нормали к эллип¬
су х = 4 cos t, у = 3sint, проведенных в точке, получаемой при t = - .
Решение. Имеем: хо = 4 cos - =2, уо = 3 sin - =3 — ; у7 =
3	3	2
dy	3cos £	3	,	,	*	3	7Г	v3
= ~ = 	 = — _ ctg к = — - ctg - = — —. Следовательно,
dx	-4sin t	4	4	3	4
/,ч	3\/3	л/3 / 0ч , v	Зл/З 4	, 0ч
(*): У = —	— (* - 2); (п): у = — + — (а: - 2).
Ответ, (t): у = — — х + 2%/3;	(п): у = -^х —	.
4	л/З	л/3
9.2.	Исследование на монотонность и экстремум
1°. Предположим, что функция f(x) непрерывна в интервале (а; Ь)
и х\ и X2 — любые две точки этого интервала, причем х\ < Х2.
Функция f(x) называется в этом интер¬
вале:
—	возрастающей (неубывающей), если
/(хi) < /(х2) (f{x0 sj /(х2));
—	убывающей (невозрастающей), если
/(х,) > /(х2) (/(хi) ^ /(х2));
—	монотонной, если она либо возрастаю¬
щая (неубывающая), либо убывающая (невоз¬
растающая).

166 Гл. VII. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Например, функция у = х2 в интервале (—оо;0) монотонно убывает,
в (0; ос) монотонно возрастает, в (—ос; ос) не является монотонной
(рис. 7.4).
Теорема 6. Если f (ж) > 0 при х е (а; Ь), то f(x) монотонно
возрастает в этом интервале.
Если f'(x). < 0, х G (а; Ь), то f(x) монотонно убывает в этом
интервале.
2°. Следующие две теоремы выражают достаточные условия для то¬
го, чтобы данная точка хо была экстремальной для дифференцируемой
функции f(x).
Теорема 7. Если при х < хо f'{x) > 0, а при х > хо f'{x) < 0, то
хо — точка максимума функции f(x). Если при х < xq f'(x) < 0, а
при х > хо /4х) > то хо — точка минимума функции f(x).
Точки, в которых производная непрерывной функции равна ос или
не существует, называются критическими. Точки, в которых f'(x) = 0,
называются стационарными.
Если непрерывная функция f(x) имеет экстремум в точке яо, т°
эта точка — критическая для этой функции.
Теорема 8. Если хо — стационарная точка, то при f"(xо) > 0
хо — точка минимума, а при fn(xо) <0 хо — точка максимума.
Примеры с решениями
Пример 4. Исследовать на монотонность и экстремумы функцию
f(x) = х/х2 (х — 1).
Решение. f(x) определена при всех х G М. По формуле произ-
£П \	^	/ i\ , $Г~9 Ьх — 2	'I
водной произведения f 1х) = —— (х — 1) 4- vr = 	; х = - и
3^	3^i	5
х = 0 — критические точки f{x). На верхней оси диаграммы (рис. 7.5)
обозначено распределение знаков f;(x), а на нижней — поведение
функции f(x) согласно теоремам 6 и 7.
Ответ. В интервалах (—оо;0) U	f(x) монотонно возрас¬
тает (/'(я)>0), в интервале ^0; 2
монотонно убывает, х = 0 — точка
максимума с утах
точка минимума с ут\п = —0,6^0,16.
У /
шах
mm
Рис. 7.5
max	mm
Рис. 7.6

§ 9. Применения производной
167
Пример 5. Исследовать на монотонность и экстремумы функцию
у = 2ж3+Зж2-12ж+1. Найти также наибольшее и наименьшее значения
этой функции на отрезке [— 1; 5].
Решение. Находим у' и исследуем ее знак:
у' = 6ж2 + 6ж - 12 = 6(ж — 1)(ж + 2).
Знаки у7 и области монотонности изображены на диаграмме (рис. 7.6);
х = —2, х = 1 — стационарные точки, х = 1 — точка миниму¬
ма, х = —2 — точка максимума. При этом t/min — 2/(+1) = —6,
Утах = У (—2) = 21. Эти значения — экстремальные. Вычислим еще
у(— 1) = 14 и у(5) = 266.
Ответ. Функция монотонно возрастает в (—оо; — 2) U (1; +оо),
убывает в (-2; 1), имеет максимум при х = -2, утах = 21; имеет
минимум при х = 1, 2/min = —6 — наименьшее значение; наибольшее —
3/(5) = 266.
9.3.	Раскрытие неопределенностей
1°. Неопределенности видов - и —.
О оо
Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны и дифференцируемы в
некоторой окрестности точки х = а, кроме, быть может, самой точки а
(при этом а может быть конечным числом или +оо, —оо, оо).
Предположим, что
1)	lim f(x) =	lim g(x)	= 0	или 2) lim f(x)	~ lim g(x)	= oo.
oo‘ ^cl	oo ^a	x—*cl	oo ^cl
P(x)
Правило Лопиталя. Если существует предел lim } = А, то
х^а gf(x)
существует и предел lim = А.
g{X)
Правило Лопиталя позволяет при помощи производных раскрыть
1	\	0	п\	оо
неопределенность: в случае	1) вида	-,	а в случае	1) — вида	—.
О	оо
При необходимости правило Лопиталя можно применить повторно
или несколько раз при соответствующих условиях на f(x) и g (х),
f"(x) и g"(x) и т. д.
gZE 		 J		 j
Например, вычислим пределы: 1) lim 	;	2) lim —— .
х—>0 х	х~*"+00 х2
В первом случае имеем неопределенность вида -, во втором —
вида —. В том и другом случае условия применимости правил Лопи-
оо
таля удовлетворяются. Переход к производным по ходу решения при¬
меров будем отмечать знаком «=». Переходим к вычислениям, замечая
заранее, что во втором примере правило Лопиталя применим дважды.

168 Гл. VII. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
1) цт = (oUiim	=ш*- = i.
х—>0 х	\	0	) х—>0	х'	гг—>0 1
2)	lim 			 = (— ^ = lim — = (— ^ = lim — = + ос.
х—>+оо х2	\оо / х—+оо 2х \оо / х—+оо 2
2°. При помощи правила Лопиталя можно раскрыть неопределен¬
ности других видов: оо — оо, 0 • оо, оо°, 1°°, 0°. Для этого исходные
выражения необходимо приводить к виду .
£(*)
В нижеследующих примерах необходимые преобразования выпол¬
ним по ходу решения. Заметим, что иногда приходится избавляться
от «мешающих» множителей — это делается при помощи теоремы о
пределе произведения.
Примеры с решениями
Пример 6.	Вычислить пределы:	a) lim
х—1
б) lim х3ех; в) lim (cosx)(x~n/2); г) lim(l — sinx)ctg2x.
X——ОО	ГГ	—71-/2	гг—>0
Визуальный обзор указывает на наличие разных неопределенно¬
стей.
Решение.
\ л- ( X	1	\	/	чт х-1пх-х+1
а) lim 	 — 		=	(оо	—	оо)	= lim 	 =
х—1 у х - 1	lnx /	х—1 (х — 1)1пх
0 \	!	1.	Inх + 1 — 1 т	v	J	lnx
= lim 	 = lim х • lim 	 =
0	I	x—> 1	x—\	X—>1	x—1 xlnx + x— 1
7	In x H
X
= l.fgUlim	1/1	=1.
\0 J x-1 lnx + 1 + 1	2
Здесь мы избавились от множителя я, усложняющего производную,
и дважды применили правило Лопиталя.
б) lim х3 • ех = (оо • 0) = lim	^ = lim ——— =
гг—— оо	гг——оо х V оо )	гг——оо _ е~х
lim -®г- =("“")= lim —-— = 0.
ОО ) ГГ—-оо	\ °с / X—-ОО _ е~х
Рекомендуем вычислить этот предел при помощи замены х = — t
(х —> —оо => t —> +оо).

§ 9. Применения производной
169
	 ц Incosx 	 / ОО \	—sinx/cosx	_
х—>7г/2	1	\	ОО	J	х—►7Г/2	1
X — —
2
в)	Найдем предел логарифма выражения, стоящего под знаком
предела. Воспользуемся теоремой о возможности перехода к пределу
под знаком непрерывной функции:
lim ln(cosx):r_7r//2 = lim (х — - ] Incosx = (0- оо) =
х—>7г/2	х—► 7г/2 у	2	J
lim
\ оо J	х—>7г/2 _
= lim sin*. lim (*~i) = (O') A lim	=0.
x—>7г/2	x—^7t/2	cosx	\0/	x^ir/2	sinx
Вывод: искомый предел равен е° = 1.
г)	Этот пример, как и предыдущий, можно решить при помощи ос¬
новного показательно-логарифмического тождества: А = е1пЛ(А > 0).
Следовательно, lim(l — sinx)ctg х = (1°°) = e^°ctg хЫ^1 smx\ для
х—>0
компактности выражений берем отдельно предел показателя:
2	т	ln(l — sinx)	! .	,.	— cos х/(1 — sinx)
lim cos x •	lim	—-—				= 1	• lim		—			=
x—>0	x—>0 sin2x	x —►()	2 sinx cosx
= — lim	1	-/+00-	*<°-
	 _ f +00,
x—►() 2sinx(l — sinx) \ ~00, X > 0.
Получили два различных односторонних предела, следовательно, иско¬
мый предел не существует. Тем не менее зафиксируем односторонние
пределы:
lim (1 — sinx)ctg х = 0, lim (1 — sinx)ctg х = +оо.
х^0+0	х—^0—о
Упражнения
1.	Найти точки, в которых касательные к кривой у — Зх4 + 4х3 -
—	12х2 + 20 параллельны оси абсцисс.
Указание. Найти точки, в которых у' = 0.
2.	Написать уравнения касательных и нормалей к кривой у —
= (х — 1)(я — 2)(х - 3) в точках пересечения с осью абсцисс.
3.	Написать уравнения касательной и нормали к кривой х =	,
3	1
?/= — + — в точке с прямоугольными координатами (2,2).
Указание. х = 2 и у = 2 при t— 1.
4.	Определить интервалы монотонности функций:
1)	у — х2(х — 3); 2) у = (х— 3)у/х\	3)у	—	ех2~Ах\	А)	у	=	х\их.

170 Гл. VII. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
5. Исследовать функции на экстремумы:
1)	у = X (х - I)2 (х - 2)3;	2)	у = (х - 2)
Х
оч х2 — 6х + 13	1 2
3)	у = 	;	4)	у	=	х	In х.
х — 3
Применяя правило Лопиталя, найти пределы.
6 lim x-arctgx	7>lim_e!!^_	8. lim
x—►О	x3	x—>0 cos x — 1	x—>0	x — sin x
9. lim ( —— — V 10. lim (ctgx— 11. lim (x2el/x2\
X—>1 у Inx Inx /	X—>0 у	X /	X—>0 V	/
12.	lim (tga;)2:E_7r. 13. lim x (e1//x — 1). 14. lim (in -
X—>7T/2	'	x—>00 v	'	x—>0+0 \ x
15. lim In# • ln(l — x). 16. lim ( - arctgx
x—>1 —0	7	x	>+oo У 7Г
17.	lim (±E^V/X . |8. lim	(. 19.	lim	.
x—>0 \ x J	x—>0	\ x	J	x >0	lnsin3x
Ответы
1.	x = 0, ж = 1, я = —2. 2. у = 2x — 2, у — -—-; у = —х + 2,
у — х — 2\ у — 2х — 6, у = -—- . 3. 7х — 10у + 6 = 0, 10х + 7у — 34 = 0.
4.	1) (0;2), убывает; 2) (0; 1), убывает; 3) (—оо;2), убывает; 4) (0;е-1),
убывает. 5. 1) ymin(0,23) и -0,76, 2/min(l,4) ~ -0,05, г/тах(1) ~ 0;
2) 2/тах(3,2) = А ; 3) утах(1) = -4, 3/min(5) = 4; 4) 2/тах (е~2) = 4б"2,
16
tfmin(l) = 0. 6. -.7. -2. 8. 2. 9. -1. 10. 0. 11. оо. 12. 1. 13. 1. 14. 1.
3
15. 0. 16. е-2/". 17. tyi. 18.	.	19. 1.
№
§ 10. Асимптоты
10.1.	Вертикальные асимптоты
Напомним (см. гл. IV, § 1), что если х = а — точка разрыва функ¬
ции f(x) и lim f(x) = оо, то прямая х = а называется вертикальной
х—ю
асимптотой графика этой функции.
Примеры с решениями
Требуется определить точки разрыва данной функции, исследовать
их характер, найти вертикальные асимптоты и построить график в
окрестности точки разрыва.

§10. Асимптоты
171
Пример 1. f(x) =
х2 + 5х + 4
х2 — 1
Решение. я = -1 и х = 1 — точки разрыва. Имеем:
lim *2+5*+4 = lim (£±Ш5±*) = _ lf
х—>—1	х2—1 х—►— 1 (х+1)(х-1)	2
lim /(ж) = lim х + 4 = — оо,
х—>\— 0	х—► 1 —0 х— 1
lim fix) — lim	=	-foe.
х—>1+0	х—>1+0 х — 1
Ответ, х = — 1 — точка устранимого разрыва, ж = 1 — точка раз¬
рыва второго рода. График построен (рис. 7.7), х = 1 — вертикальная
асимптота вверх и вниз.
Пример 2. f(x)= —— .
(sin х|
Решение, х = кп} к е Z — точки
разрыва. Рассмотрим отдельно х = 0 и
£ = &7Г, fc ф 0.
lim
х—>0—0 |sinx|
lim —-—
х—>0+0 |sinx|
lim —-—
x-+kir Isinxl
= lim ■
x—>0
= -1,
= 1,
_ kn _ f +oc, при к > 0,
~~	~~ | -оо, при к < 0.
Ответ, x = 0 — точка разрыва пер¬
вого рода со скачком <т(0) = 2; х = Аяг,
к ф 2 — точки разрыва второго рода.
Прямые х = ктг (к ф 0) — вертикальные
асимптоты: вверх при к > 0, вниз — при
к < 0 (рис. 7.8).
Пример 3. f(x)=el/[x(l~x^.
Решение. х = 0 и х = 1 — точки
разрыва,
lim	=	+оо,
х—>0
lim е1/\-х	=	+оо,
х—>1—О
lim е1/^1"*)] =0.
х—>1+0
Ответ. х = 0, х = 1 — точки разры¬
ва второго рода, прямые х = 0, х = 1 —
вертикальные асимптоты (рис. 7.9).
Рис. 7.7

172 Гл. VII. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
10.2.	Наклонные асимптоты. Горизонтальные асимптоты
Прямая с уравнением у = kx + b называется наклонной асимпто¬
той графика функции f(x), если lim [f(x) — (kx + 6)] =0 (возможно
х—юо
X —► +00 ИЛИ X —► —оо).
После деления на х выражения, стоящего под знаком предела, и
перехода к пределу получаем
k = lim , затем b = lim (f(x) — kx).
i-юо X	х—>ос
Горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной
при к = 0 и b Ф оо, т. е. это прямая у = Ъ, если lim f(x) = b.
х—► ОС
Примеры с решениями
Требуется найти наклонные асимптоты графика данной функции,
если они есть.
Пример 4. /(*) = * + 3* .
х1 — 2
Решение.
к = lim	=	lim *3 + 3*1Hi = 1,
х—юс х х-юо х (х2 — 2)
Ъ = lim (/ (х) — kx)	= lim Зх —- = 3,
£—►00	X—ЮО X2 — 2
у = х + 3 — наклонная асимптота.
Пример 5. f(x) = х + у/х.
Решение. Функция определена только приjx ^ 0. Наклонной
асимптоты нет, поскольку
к = lim [ 1 + — ]	=	1,	b = lim у/х = +оо.
х-юо у ^/х у	х—► + оо
Пример 6. /(ж) =	.
у/х
Решение. Данная функция определена при я > 0, поэтому х —> оо
означает # —► +оо;
к = lim	=	lim	=	/"Ри—	=	О,
X—оо Ху/х	V 00 / х-юо	[ вило Лопиталя J
Ь= lim	= lim « =0,
>oo x/x	\	00	/	X—ЮО (л/х)
у = 0 — горизонтальная асимптота (вправо, я —► +оо).

§11. Исследование функций при помощи второй производной
173
Упражнения
Определить точки разрыва функций, исследовать их характер, най-
ти вертикальные асимптоты и построить графики в окрестностях точек
разрыва.
*	cos х	п	2х	+	7Г	«	х2	—	7х	+	6
1 ,у= 	— .	2.	у	=	 	3. у =
7Г
X — —
2
х2 — 1
4.	у =	.	5.	у	= 5(х+2)/(х2 4). 6. у = я ctg гс.
х + 1
Найти наклонные асимптоты функций.
7.	/(ж) = ? + 6х~3x2, g. /(*) = х-х~х.
Jy > i2 — 2i + 13 м '
9. /(*) =	. Ю. /(*) =	.
11.	/(ж) = \/ж2 + Зж - 5 - ж. 12. /(ж) = же*.
Ответы
7.	у = -3. 8. у = ж. 9. у = 1. 10. у = 1. II. у = ^. 12. у = 0.
§ 11. Исследование функций
на выпуклость, вогнутость и перегиб
при помощи второй производной
1°. Дифференцируемая функция /(ж) называется выпуклой {вогну¬
той) в некотором интервале, если ее график расположен ниже (выше)
касательной, проведенной в каждой его точке с абсциссой в этом
интервале.
Теорема 9. Если //;(ж) < 0 при всех	ж € {а\ 6),	то в этом	интер¬
вале /(ж) выпуклая. Если f"(ж) > 0, ж	е {а\Ь)у то	/(ж)	вогнутая	в
(а;Ь).
2°. Точка (жо,уо) графика непрерывной функции /(ж), отделяющая
участок выпуклости от участка вогнутости, называется точкой пере¬
гиба.
Теорема 10. Если /"(ж) < 0 при ж < жо и /"(ж) > 0 при ж > жо и./ш
наоборот, то жо — абсцисса точки перегиба функции /(ж).
Следует из теоремы 9.
Примеры с решениями
Пример 1. Исследовать на выпуклость, вогнутость и перегиб
функцию у = ж3 + Зж2 + 6ж -I- 7.
Решение. Имеем: у' = Зж2 + 6ж + 6, у" = 6ж + 6. Знаки у" указа¬
ны на числовой прямой.

174 Гл. VII. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Ответ. В интервале (—оо; —1) f(x) выпуклая, в интервале
(—1; -boo) f(x) вогнутая, х = -1 — абсцисса точки перегиба (рис. 7.10)
И Упер — у{~ 1) ~ 3.
Рис. 7.10	Рис. 7.11
Пример 2. Исследовать на выпуклость, вогнутость и перегиб
функцию у = \/х 4- 2.
Решение. Надлежит исследовать знак второй производной.
Имеем:	,	0
/		1	tt		—	z
3^/(х + 2)2 ’ У 9з/(х + 2)5 ’
у” нигде не обращается в нуль, но меняет знак в точке х = —2. Знаки
у/; указаны на диаграмме; здесь же указан вид графика (рис. 7.11):
х = —2 — абсцисса точки перегиба, упе? — у(—2) = 0. На (-оо; -2)
функция у вогнутая, на (—2;+оо) выпуклая.
Упражнения
Исследовать функции на выпуклость, вогнутость и перегиб.
1. у = ——— .	2.	у	=	х2е~х.	3.	у	=	х3	—	6х2	+	\	2х	—	7.
(х+ I)2
4.	у = х2 In х. 5. у = (1 4- х2) ех.
Ответы
I. Выпуклая в (-оо; — 1) U (—1; 5); х = 5 — точка перегиба. 2. Выпук¬
лая в ^2 — V2;2 + V2y,x = 2±V2 — точки перегиба. 3. Выпуклая в
(—оо;2); х = 2 — точка перегиба. 4. Выпуклая в (0;е-3/2); х = е“3/2 —
точка перегиба. 5. Выпуклая в (—3; — 1); х = —3,х = —1 — точки
перегиба.
§ 12. Применение высших производных
Г. Запись / е Сп(а — 1\а + 1) означает, что функция f(x) непре¬
рывна в интервале (a-i;a + Z) вместе со всеми ее производными
порядка 1,2, ...п включительно, п е N.
2°. Многочлен степени не выше п
Тп (ж) = Тп (ж; /) = со + ci (х - а) + с2 (х - а)2 + ... + Сп (х - а)71

§12. Применение высших производных
175
называется многочленом Тейлора функции /(ж) с центром в точке
х = а, если его коэффициенты (& = 0; гг) вычисляются по формулам
г / \	г/	/ ч	/"(а)	(а)
Со = f {а) ,С[ = f (а),С2 =	,	с3	=	=
/("> (а)
2!	3!	п!
(гг! = 1 - 2 - 3... гг, читается: тг-факториал).
Теорема 11 (Тейлора). Если / G Cn+l (а — Z;а 4- I), то имеет
место равенство
/(ж) = Тп(ж) + Дп(ж),
где	,	, „
Яп (z) = ^	(а + б(х - а)) ^	_	^п+1	о	<	в	<	1
V	(п+1)!	V
—	остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа. Величина
Rn{x) — бесконечно малая порядка (гг 4- 1) относительно (ж — а) в
окрестности точки а.
При а — 0 многочлен Тейлора называется также многочленом Ма-
клорена. Многочлен Тейлора-Маклорена служит достаточно хорошим
средством приближенного представления функции и широко применя¬
ется в приближенных вычислениях.
3°. Многочлены Маклорена для некоторых из элементарных функ¬
ций имеют следующий вид (рекомендуется получить их и знать).
1)	(1+Z)n =
= 1 4- пх 4-	—— х2 4-	^—— х3 4- • •• 4- пхп~х 4- хп.
1-2	1-2-3
Эта формула называется биномом Ньютона. Множители
_ n(n - 1) ... (п - к 4 1)
n fc!
—	биномиальные коэффициенты — находят широкое применение в
комбинаторике и теории вероятностей.
гр 2	г*% 3	грТь
2)	Тп(х;ех)= \ + х.
’	V '	2!	3!	п!
При этом е* = Гп (ж) 4- Rn (ж), Rn (ж) = 	жп+1, ж е R. Здесь и
(n + 1) !
далее 0 < в < 1.
3)	Тп (ж;sinx) = х - — + — - —	+	(-1)7
'	3!	5!	7!	V	(2п-1)!
При этом
sin х = Тп (х; sin ж) 4- Rn (ж),
гп+1
ж е 1R.
Ятг (ж) = sin ^вх 4- ^ (гг -Н 1)^
(п+1)!
4)	Тп (ж; cos ж) = 1 - - 4- - - - + ... + (-1)
2!	4!	6!	(2п)!

176 Гл. VII. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
При этом
COS X = Тп (х\ cos х) + Rn (х),
Rn	(х) = cos (вх Л- - (n + 1) ] —	,	хеМ.
V 2 V (1+1)!
5)	Г„(*;(1+*)") =
= l+ax + aia.-^x2+ а^-Ша~2)а;з + ,..+ <»(о-1)(а-п+1)ап
1-2	12	3	п\
При этом
(1 + я)а = Тп (я; (1 + х)а) + Rn (х),
Rn(x) =	а[а~ ')-(а-п) (1 + вх)а-п~1 хп+\	— 1	< х < 1.
(гс + 1)!
Примеры с решениями
Пример 1. Вычислить с точностью до 10“3 значение sin20°.
Решение. Имеем
sin 20е
~~ Ш 9 ~ 9	3!	\	9	/	5!	V	9	)
Число членов в правой части следует брать из условия \Rn\ <10 3.
4	/	\	4
Для 71 = 3 имеем
|Дп| - -
<
-(fc+4i)l(0 «КО,
<	0,00063 < 10“3. Следовательно, sin20° = - —	=
9	3!	V	9	/
= 0,342 ± 10“3.
Ответ, sin 20°	0,342.
Пример 2. Многочлен у = х3 — 2х2 + Зх + 5 разложить по целым
положительным степеням бинома х — 2.
Решение. yf = Зх2 — Ах + 3, у;/ = 6х — 4, у,п = 6, yIV = 0. Далее,
у(2) =11, у' (2) = 7, у11 (2) = 8, у'" (2) = 6. Согласно п. 2° можем
писать у — 11 + 7(х — 2) + 4(х - 2)2 + (х — 2)3. Это и требовалось.
Ответ, х3 — 2х2 + Зх + 5 = 11 + 7(х — 2) + 4(я - 2)2 + (я — 2)3.
Пример 3. Написать многочлен Тейлора третьей степени с
центром в точке х = 3 для функции /(ж) = у/1 + х.
Решение. Имеем Хз(х) = со + с\ (х—3) + С2 (х—З)2 + сз (ж—З)3,
/(А?) (*)
где cfc =	^
fc!
. Сначала найдем производные:
х=3
/'(*) =
1
2уТТх
/"(*) =
8^/(1+*):

§ 13. Исследование функций и построение графиков
177
Вычислим теперь с^.
о	*//о\	1	/"(3)	1	(3)	1
со = / (3) =2, ci = /' (3) = -, с2 =	^	,	с3	=	-—— = —.
w	w	4	2!	64	3!	512
Ответ. Тз (ж) =	2 + -	(ж - 3)	- —	(ж — З)2 Н——	(ж - З)3.
v '	4	'	64	512	v '
Упражнения
Написать многочлен Тейлора степени п с центром в точке х = а
для данной функции.
1.	у = л/1 4 ж, п = 4, а = 0.	2. у = v^l + ж , п — 3, а = 0.
3. у = e*\ 71 = 5, а = — 1. 4. у = In ж, п = 5, а = 1.
5.	у = tgx, п = 3, а = 0. 6. у = 			, п = 4, а = 2.
У	-3x42
Ответы
1. 1+*-?- + ^- ^.2. 1+^-^ + А^з.з. i + 1 (*+1) +
2	8	16	32	3	9	81	ее
+ (х+ 1)г (х + I)3 (х + О4 4 х _ I _ (д- О2 + (g - О3 _
2е	3!е	4!е	2	3
_ (х- I)4 fa-0	5	д.. ?!	6 _i + 1(^-2) - — (х-2)2 +
4	5	3	4	16	64
+ — (х- 2)3- -^-(х-2)4.
256	1024
§ 13. Исследование функций и построение графиков
Построению графика данной функции у = /(ж) предшествует пол¬
ное ее исследование, включающее выявление характерных свойств
и особенностей этой функции. К ним относятся: область опреде¬
ления D = £>(/), область изменения E(f), непрерывность, диффе¬
ренцируемость, четность, нечетность, ограниченность, периодичность
функции, ее интервалы знакопостоянства, монотонности, выпукло¬
сти/вогнутости, наличие асимптот (вертикальных, горизонтальных, на¬
клонных). Кроме этого, необходимо определить характерные точки:
разрыва, пересечения графика с координатными осями, точки экстре¬
мума (максимума, минимума), точки перегиба и проч.
Приведем сначала определения тех понятий, которые не встреча¬
лись выше.
Напомним, что функция у = /(ж) называется:
—	четной, если /(-ж) = /(ж), же Д
—	нечетной, если /(—ж) = —/(ж), ж € D\
' — ограниченной сверху (снизу), если существует число М (га),
такое, что /(ж) ^ М (/(ж) ^ га), ж € D;
—	ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу;

178 Гл. VII. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
—	периодической, если существует число Т > О, такое, что
f(x + Г) = /(ж), х е D.
Исследование функции выполняется по определенной схеме, пунк¬
ты которой установим по ходу исследования. Заметим, что если по
некоторым признакам мы не имеем позитивной информации, то соот¬
ветствующий пункт может быть опущен.
Примеры построения графиков
3 (х — 1)
Пример 1. Исследовать функцию у= — 	£ и построить ее
(х + 1)
график.
1) Находим область определения: х Ф —1; D = (—оо; — 1) U
U (— 1; +оо).
2)	Простейшие свойства — четность, нечетность, периодичность,
ограниченность. Таких свойств не обнаруживаем.
3)	Определим точки пересечения графика с координатными осями
и интервалы знакопостоянства функции.
Положим у = 0. Находим х = 1. Положим х = 0 и находим у = —3.
Точки А(\, 0) и В(0, —3) лежат на Ох и
Оу соответственно и на графике функ¬
ции. Знаки f(x) изображены на диа¬
грамме (рис. 7.12).	Рис- 7.12
3 (х — 1)
4)	Исследуем точку разрыва х = — 1. Имеем: lim —		^ = —оо,
х->-1 (х+1 у
х = -1 — вертикальная асимптота вниз.
5)	Исследуем функцию на монотонность и экстремум (рис. 7.13):
/ 	 q (х + I)2 — {х — 1) • 2 (х + 1) 	 q х — 3
V О —	A	Q 1
(х + 1)4	te+1)3
х = 3 — точка max, ymax = у{3) = - . В интервалах (—оо; —1), (3; +оо)
8
функция убывает, а в интервале (— 1; 3) она возрастает.
У -is*—+—-3
-1
у не сущ.	min
Рис. 7.13
не сущ. перегиб х
Рис. 7.14
Везде «не сущ.» означает «не существует».
6)	Исследуем на выпуклость, вогнутость и перегиб (рис. 7.14):
У
// о (х + 1 )^ — 3 (х + 1)^ (х 3) 	 о ^
'	—	:	77И	0 		771 »
(х+1)ь
(Х+1Г

§13. Исследование функций и построение графиков
179
х = 5 — абсцисса точки перегиба, упер = у(5) = -. В интервалах
3
во-
(-оо;—1), (— 1; 5) функция выпуклая, а в интервале (5;+оо)
гнутая.
7)	Исследуем поведение функции на бесконечности и определим
горизонтальные и (или) наклонные асимптоты. Имеем: lim
3	(х — 1) _
-	— (х+1)2
= 0, у = 0 — горизонтальная асимптота в обе стороны.
8)	Результаты исследования поместим в таблицу для компактности:
(-оо;-1)
(-1:3)
(3; 5)
(5; +оо)
не
сущ-
+
не
сущ.
—оо,
верт.
шах,
3
перегиб,
1
В первую строку таблицы заносим точки разрыва, экстремума,
перегиба и интервалы между ними. Во второй строке располагается
информация о ff(x) и ее знаках, в третьей строке — информация
о f"(x) и ее знаках. Третья
строка показывает вид графика
в соответствующих интервалах
и характерные его точки.
9) Построение графика на¬
чинается с построения асимп¬
тот и точек с известными
координатами (рис. 7.15). При¬
ближение графика к асимптоте
должно быть плавным и созда¬
вать впечатление неограничен¬
ного продолжения.
Пример 2. Исследовать
функцию у =
и постро-
Рис. 7.15
Рис. 7.16
х + 2
ить ее график.
1)	х ф -2, х € (—оо; —2) U
U (—2; +оо).
2)	График пересекает ось Ох, если 3 — х2 = 0, т. е. при х = ±\/3,
з
а ось Оу при у = -. Интервалы знакопостоянства обозначены на
рис. 7.16 «волной» знаков функции у ■■
(V3 + х) ^л/З - х)
х + 2

180 Гл. VII. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
3) Исследуем точку разрыва х = —2. Находим односторонние пре-
ДеЛЫ	3-х2	3-х2
1«	О — JU	.	1*	О	JL
lim 	 = +оо,	lim	—	 = —оо;
X—2-0 х + 2	£—>—2+0	х	+	2
х = -2 — вертикальная асимптота вверх и вниз.
и\ ,/ _	-	2х	(х	+	2)	-	3	+	х2	_
(х + 2)2
(Д+1)(:Г^3), Ушш(-З) = 6,
(х + 2)
2/шах (-1) = 2 (рис. 7.17).
// 		—	(2х	+	4) (х + 2)2 + 2 (х2 + 4х + 3) (х + 2) 		2
У	(х	+	2)4	~	(х	+	2)3
перегиба нет, схема выпуклости/вогнутости представлена на рис. 7.18.
Точек
‘У
2 X 1
-ъ ж -2 ^ -1 -V /
• • • ► Vs" ■
шт не сущ. шах х X
6
Рис. 7.17 \
уЩ
не сущ\. - х
/^Г4
у ^ ,
не сущ. х
[-л
Рис. 7.18
Рис. 7.19
6)	Имеем lim 	— = оо. Горизонтальной асимптоты нет.
х ►оо х + 2
Далее, k = lim	=	lim	~—-— = — 1, b = ;lim [f (х) —кх] =
= lim
х—►оо
®-*оо х
3 — х2
+ х I = lim
х + 2	/	х-+оо
я ►оо х (х + 2)
3	— х2 + х2 + 2х
х + 2
2, у = -х + 2	—
уравнение наклонной асимптоты в обе стороны.
7) Таблица:
X
(-оо;-3)
-3
(-3; -2)
-2
(-2;-1)
-1
(-1; +оо)
у'
-
0
+
не сущ.
+
0
-
у"
+
+
+
не сущ.
-
-
-
У
min
6
J
н—
верт. ас.
г
шах
+2
Л
8. График построен (рис. 7.19).
Примечание. Последовательность действий может быть измене¬
на (вертикальные асимптоты можно искать параллельно с горизонталь-

§ 13. Исследование функций и построение графиков
181
не сущ,
не сущ.
не сущ.
Рис. 7.20
Рис. 7.21
ными и наклонными), а некоторые пункты схемы могут быть опущены,
если это не влияет на выводы исследования.
Пример 3. Исследовать функцию у =
г2-1
и построить ее
график.
Укажем основные элементы исследования и приведем график.
1) х ф —1, х Ф 1, т. е. х = —1, х = 1 — точки разрыва.
г2
Ч =/(*)•
(-xY
2) Функция четная, так как / (-х) = ^ к 2}— =
{-хУ - 1
График функции симметричен относительно оси Оу.
3) Нт -±—
х—>1— 0 х2 — 1
—оо, lim
-(-оо, х = 1 — вертикальная
х—► I +0 х2 — 1
асимптота вниз и вверх (х = — 1 — вертикальная асимптота вверх
и вниз, по четности).
— 9'г
4)	у'=		 , х = 0 — точка
(х-1)2(х+1)2
max, ymajc = у(0) = 0 (рис. 7.20, а).
5)	у" = —2 (Зх + 0— Точек пере-
(х- l)3(z+ I)3
гиба нет, схема выпуклости/вогнутости
представлена на рис. 7.20, б.
6) lim
= 1, у = 1
горизон-
х —юс х2 — 1
тальная асимптота. Общий вид функции
показан на рис. 7.21.
Пример	4.	у =	(х — 1) \/х*	(рис. 7.22).
Указание,	у'	=	, Утш =	у ( \ ) = -0,6 ?	^	,	утах = у (0) -
2>ух	\ 5 /	V	25
i ^ = —1,2^0,04. Никаких	асимптот нет.

182 Гл. VII. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Пример5. у = е х — четная, ж е R (рис. 7.23).
у' — -2хе~х , ж = 0 — точка максимума, у" — 2 (2ж2 - 1)
. 1
ж = ±	—	точка
л/2
тальная асимптота.
перегиба, уПер	=	-р	,	у	=	0	—	горизон-
Рис. 7.23
Рис. 7.24
Пример 6. у — 2 sin ж + cos 2ж (рис. 7.24).
Функция определена при ж е R, имеет период 27т: 2 sin (ж + 27т) +
+ cos 2(ж + 27т) = 2 sin ж + cos 2ж.
Исследование на экстремум проводим по такому признаку. Если
жо — стационарная точка и у" (жо) < 0 (у" (жо) > 0), то жо — точка шах
(min).
Имеем: у'=2созж (1-2 sin ж);
0	7Г	37Г
, х\ = - , жг = —;
2 2
1	- 2 sin ж = 0 => sin ж = - , жз = - .
2 6
5тг
Ж4 = — .
6
;
Функция имеет 4 стационарных точки: - ; — ; - ; — .
2	2 6 6
Определим
знак у в них:
уп = —2 sin ж — 4 cos 2ж,
V" (f ) = 2 >0-	»"(у)=6>0,
"(i) = _3<0' >'"(?) = -3<0'
/ 5w \ _ 3
V	6 )~ 2'
2/тах
Функция не имеет асимптот.

§13. Исследование функций и построение графиков
183
Упражнения
Построить графики функций.
1. у = \/х3 — Зх .	2.	у	=	—— .	3.	у	=	х4	— 2х2 + 3.
х + J
Провести полное исследование функций и построить их графики.
16	-	4х	—	12	Л	8
4- у =		г: • 5* у = т	^ • 6- у =
х2(х —4)	(х	—	2)2	х \/ х2 — 4
7.	у = у/\ - х2. 8. у = (2 + ж2) е-х2. 9. у
{:х2 - 1)
1/3 •
Ответы
асимптоты.
(приведены некоторые характерные признаки функций и их графиков)
1-	Утт(1) = - '/Ъ, У = х — асимптота, утах(-1) = ^2, точки перегиба
(-\/3 ,0), (0,0), (л/3 ,0). 2. ymin(0) = х = — у — 0 — асимптоты,
точек перегиба нет. 3. утах(0) = 3, ymin(±l) = 2, асимптот нет, перегиб
в точках =Ь • 4. утах [-) = - — , ж = 0, ж = 4, у = 0 —
л/З	V	3	/	16
g
5.	Утах(4) = 1, 2/пер(5) = -, х = 2, у = 0 — асимптоты. 6. X = -2,
х = 2, у = 0 — асимптоты. 7. Четная, утах(0) = 1, уПеР(±1) = 0.
8.	Четная, ута*(0) = 2, уПер(=Ы) = -. 9. Нечетная, х = ±1 — асимпто-
,	х2—3	„	-	2х	(х2—9)
Дополнительные упражнения
1.	Найти производные данных функций:
1)	у = (х — 1 )2 л/д:2 + 1 ;	2) у = a sin + & cos сot\
3) у = In + д/а2 + х2);	4) у = xsin х;
5)	у = arctg In ж; 6) х2у + arctg - = 0.
2.	Найти вторые производные данных функций:
1)	у = ecosx; 2
sinx
„.Г х = a cos31,	.. Г х = a (sin t — t cos i),
^ \ у = a sin31\	\ У= a(cost + tsint).

184 Гл. VII. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
3.	С помощью правила Лопиталя вычислить пределы:
1)	lim (\пх — у/х)\	2)	lim	х2е~2х\
£—►+00	X	>	+00
2>1
3) Um tgI~ -; 4) lim —1,1 (И-*2)
х—>-0 sinx —х	х—юо	/	7г	\
In ^	— arctg х I
4.	1) Составить уравнения касательной и нормали к кривой у = л/х
в точке Мо(4,2).
2)	Определить угловой коэффициент касательной к кривой х3 +
+ у3 — ху — 7 = 0 в точке Мо(1, 2).
5.	Определить интервалы монотонности функций:
1) У “ ~ ~ г I 2)у = е~х2\	3) у = х\пх.
1 — X1
6.	Исследовать на экстремум функции:
1) у = 4х — х4; 2) у = х2ех!х\
3)	у = х + \Zx^+ а2 ; 4) у = —x2Vx2 + 2.
7.	Найти точки перегиба и интервалы вогнутости (выпуклости)
графиков функций:
1) у = v'z2;	2)	у	=	За;4	—	8а;3	+	6а;2	+	12;	3)	у	=	In	(l +х2).
8.	Найти асимптоты функций:
1) У = -ех/х\ 2) у = 2х Н	—;
X - 1
оч	х2 + Зх + 2 .v	sinx
3)	у =		—;	v	у	=	—.
X + 1	X
9.	Провести исследование и построить графики функций:
1)у= ■■ Z ,3:	2)	у	=	1п(х2	-2х	+	2);
(1 + х)	'
3)	у = х3ег; 4) у = х ~z—^- .
х — 2
Ответы
1.	1)	——0 (Зх	2) au)cosu)t — bcjsincjt; 3)	1	;
4)	+с08а.1пЛ;	5)		1	.	6)	2x>-2 xy*+y
Vх	/	x|l	+	ln	x)	X4 + X2?/2 + X
2. 1) ecos г (sin2 x-cosx); 2) ^-~c°sz) ; 3) -— 	; 4)	.
sinJ x	3a sin t cos4 t	at siir t
3.	1) -oo; 2) 0; 3) -2; 4) -2. 4. 1) x - 4y + 4 = 0; 4x + У - 18 = 0;
2)	—у-. 5. 1) (-оо;—1) и (1;оо) — убывает, (— 1; 1) — возрастает;
2)	(-оо;0) — возрастает, (0;оо) — убывает; 3) (0;е-1) — убывает,
2
(е-1; оо) — возрастает. 6. 1) утах(1) = 3; 2) ymi„ (0,5) = —; 3) экс-
4

Контрольные задания
185
тремумов нет; 4) утах(0) =0. 7. 1) (—оо;0) и (0;оо) — выпуклость;
2)	—	выпуклость,	оо; и (1;оо) — вогнутость, абсциссы
точек перегиба х\ — Х2 = 1; 3) (— 1; 1) — вогнутость, (—оо; — 1)
и (1;оо) — выпуклость, Mi (1,In2), М2 (— 1,In2) — точки перегиба.
8.	1) х = 0, у = -1; 2) х = 1, у = 2х\ 3) х = -1, у = х + 2; 4) у = 0.
13
9.	1) асимптоты х = -1 и у = х - 3, ymin (0) = 0, ymax (-4) = -9 — ,
точек перегиба нет; 2) асимптот нет, ymm(l) =0, точки перегиба
(2,In2) и (0, In2); 3) асимптота у = 0, ymin(-3) « -1, абсциссы точек
перегиба 0 и 3 ± л/3; 4) асимптоты х = 2 и у = х + 1, экстремумов
нет, точек перегиба нет.
Контрольные задания
1.	Найти производные следующих функций:
0	1	+	Зх	о\	2	2
у =	=	;	1) у = coszа: — cosa; ;
V	2 + Зх - 4х2
3)	у = logg (х2 - у/Е + 2); 4) у = (1 + *2)arccosx;
г\	•	/	,	ч	Г	^	=	е*8ш2£,
5)	у cos а: = sin(z + у)\ 6) <	_	t
7)
а:
sin2t;
cos £ +1 sin t
1
у
\Л2 +4
2.	Найти вторые производные следующих функций:
1) у = e-xcos2x; 2) у =	;	3)у=~^\
X6
4)	tg(x + 2у) = \Jх1 + у3; 5) | * ~ ^
6) <
1
X *2 + 4 ’ 7ч ( а: = sin t - t cos t,
/ a: = sin t -
1	\	У	=	cost	+	t	sin	t.
*	t* + 2 ’
3. Под каким углом пересекаются кривые:
1) у = sin а;, у = cosa:, 0 < а: < 7г;	2) у =	у = 2 - х\ 3) у =
а:4 + 2, у = За;2?
4.	Вычислить следующие пределы (по правилу Лопиталя):
„sin 2х ^sin х	ох	о	лх	__ обх
1)	Иш £	£	;	2)	lim			3) lim
х —^0	tgx	x—* I Inx	x—^0 tg5x —x
p2x _ Ъх	ox	_	o3x
4)	lim —-	«	;	5)	lim	л	*	.
x—>0 3 arctg x — sin Зх	x—>0 arcsinx+x

186 Гл. VII. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
5.	Исследовать функции и построить их графики:
1)	У = у/(х- 2)(х2 - 4х + 1);	2)	у	=	^/х(х	+	3)2;
3)„=»-У(^2)2; 4)»=^±1; 5)»=^.
X1	X6
6.	Найти асимптоты и построить графики:
1Ч	Зх3 — х2 + 2х — 1 оч 4х2 — 8 оч 10 + х2
1,!,=	—2^	'•	3)У=1^Т-
7.	Найти наибольшее и наименьшее значения функций на	заданных
отрезках:
1)	У = х2+ - , [1;8];	2)у=	/	+	3	[0;7];
х	х	— 2х -(- 3
3)	У =	f2zo+3) ,	[~3;5];	4) у	= ^(х + 1)3(х + 4), [-6;	2].
х1 + 2х + 5

Глава VIII
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. Определение функции нескольких переменных
1°. Переменная величина г называется функцией переменных
ж,	у, t, ...и, если каждому набору этих переменных соответству¬
ет единственное, определенное значение переменной 2. Пишут
z = /(ж, у,..., и), или z — z(xf у,.... и).
Каждая функция нескольких переменных становится функцией
меньшего числа переменных, если часть переменных зафиксировать.
Например, функции
z = z(xf а, Ь), г = /(ж, у, Ъ), z = /(ж, у, и),
где а, Ь — постоянные (параметры), являются функциями соответствен¬
но одной, двух и трех переменных.
2°. Функция двух переменных 2 = /(ж, у) допускает геометрическое
изображение в виде поверхности в пространстве.
3°. Линией уровня функции двух переменных z = /(ж, у) назы¬
вается множество всех точек плоскости Ожу, для которых данная
функция принимает постоянное значение /(ж, у) = С. Линия уровня
принадлежит области определения функции. Под областью опреде¬
ления понимается множество всех пар (ж,у), для которых функция
z = f (ж, у) имеет смысл.
Например, функция z = х2 + у2 определена
при всех (я, у), т. е. на всей плоскости Оху,
ее линии уровня — окружности ж2 + у2 = С2
(точка при С — 0);
функция z — In(1 — ж2 — у2) определена
только внутри круга ж2 + у2 < 1, ее линии
уровня — тоже окружности ж2 + у2 = С2
(\С\ < 1);	Рис.	8.1

188
Гл. VIII. Функции нескольких переменных
функция г = arcsin - определена при —1 ^ у/х ^ 1 (рис. 8.1),
X
линиями уровня этой функции являются прямые у = kx (—1 < k < 1).
Упражнения
Найти области определения функций (1-9).
1. z =	2,	2.f(x,y)=	,х~‘	.
\/9 — х2 — у2	\/х2	+	у2
3.	2 = 2у + агсвт(ж + 2). 4. г = у/жу.
5.	z = у/у2— 1 Ч-л/1 — а:2 . 6. г = \/ (ж2 + у2 — 4) (9 — ж2 — у2).
7.2 = arccos х + г/ . 8. г = ^/соб(а:2 + у2). 9. 2 = tg ху.
я2 + у2
10.	Дано /(ж,у) = ^ + Найти: 1) /(2,3); 2) /(1, М;
2ху	\	х	/
3)	/(®,-®); 4) /(0,y);5)/Q-,i).
Ответы
1.	Круг х2 + у2 < 9. 2. (ж, у) Ф (0,0). 3. Полоса —3 < ж < — 1.
4.	жу ^ О, I и III квадранты. 5. Две полуполосы: | j^J ^ j’ 6. Кольцо
4	< ж2 +У < 9. 7. «Внешность» двух окружностей с уравнениями
*■;) +(""з) = iи (“+1) +(t,+ i) = ^кр0"ет04'
ки 0(0,0). 8. Объединение колец 2къ — тг/2 ^ ж2 + у2 < 2/гтг -I- тг/2,
к= 1,2,3, — 9. Все точки плоскости, не лежащие на гиперболах
ху = —— , к = ±1, ±2, ±3,.... 10. 1) -; 2) (х + у)2; 3) 0; 4) не суще-
2	12	2ху ;
с\ (х + у)2
ствует; 5) v У} .
2ху
§ 2. Предел и непрерывность
функции двух переменных
1°. Число А называется пределом функции г = /(ж,у) в точке
Мо{хо,уо), если для любого е > 0 существует S = 6(e) > 0, такое, что
для всех точек М(ж, у), отстоящих от Мо на расстояние меньше 6,
выполняется неравенство |/(ж,у) — А\ < е. Употребляются обозначения
Jim f{x, у) = A,	lim /(М) = A,	lim f(x, у) = А.
xyZXyl	Af->Af0	(®,у)->(яо.2/о)
2°. Функция 2 = /(ж, у) называется непрерывной в точке
Мо(хо,уо), если /(жо.уо) = \\mj(xyy).
у—>уо

§ 2. Предел и непрерывность функции двух переменных
189
Точки, в которых не выполняются условия непрерывности, называ¬
ются точками разрыва.
3°. Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, на¬
зывается непрерывной в этой области.
Для функций нескольких переменных, непрерывных в некоторой
точке, имеют место свойства, аналогичные свойствам функций одной
переменной.
В частности, если z = f(x, у) непрерывна в Мо и f(Mo) > 0, то в
некоторой окрестности этой точки f(x> у) > 0.
4°. Область D называется замкнутой, если ей принадлежат все
точки ее границы.
Функция, непрерывная в замкнутой области Д ограничена в этой
области и достигает в ней своих наибольшего и наименьшего значений.
Например, функция z = —!— не определена только в
X2 + у2
точке Мо(0,0)	—	это	точка	разрыва	данной функции, имеем
lim —-— = +оо;
х—о х2 + у2
у—> о
функция z = —-— не определена в точках линии у = х2, каж-
X2 - у
дая точка параболы у = х2 является точкой разрыва; при этом если
{хо,уо) — точка параболы у = х2, то lim —-— = оо, в частности,
X *XQ qn 2 	 --
у—>уо
lim	 = оо, a lim	 = - .
х—>2 х2 — у	х—*2 х2 — у 2
у—Л	у—>2
Примеры с решениями
Пример 1. Вычислить пределы:
a) lim tg(x2 + j/2)-,	6)lim^-^,	в)	lim 	^	.
х~~>0 х2 + у2	х—>0 х2 + у2	х—>0 у/^ — ху — 2
у—>0	у—>0	у—>0
t&(x2 Ч-	х2 у2
Решение. Заметим, что функции —	— и 	— не опреде-
X2 + у2	X2 + у2
лены только в точке (0,0), а ■ х-~	 не определена на координат¬
ную - ху — 2
ных осях х = 0 и у = 0.
а)	Перейдем к полярным координатам х = rcos<p, у = rsincp,
ipe [0,2л"). Тогда х2 + у2 = г2 и (я, у) —> (0,0) влечет г —* 0. Используя
следствие первого замечательного предела, получаем
lim	+	p	= (j) = Ит	=	1.
х—>0	х2 + у2 V 0 У	г—>0 г2
у—> о

190
Гл. VIII. Функции нескольких переменных
б)	Если (ж, у) —► (0,0) по разным лучам у = кху к е R, то
х2 — у2 ( 0 Л 	 |. х2 - к2х2 _ 1 - /с2
lim	=	1^1 = lim
х—*0 х2 + у2 \ 0 / х—>0 х2 + к2х2 1 + А:2
Правая часть этого равенства зависит от fc, а потому предел данной
функции при (х,у) —> (0,0) не существует (предел должен быть един¬
ственным).
в)	Умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателя.
Получаем
lim	—ху	+ 2) = — lim	(у/4 — ху	+ 2) =	-4.
х—»0	— ху	х—►()	V	/
у—► 0	у—►О
Примечание. Из определения непрерывности следует, что
функции
/(*, у) = \ ~S+y? ПРИ {Х' У) Ф (0’ У) И (Х’ У) Ф {Х' 0)’
при (х, у) = (0, у) или (х, у) = (х, 0)
( М;
с,у) = | j ж
,	,	\		—	 при (х,
g{x,y) = \	-	2
^ —4 при (х, у) = (0, (
у) ^ (0,0),
0)
2 _ 2
непрерывны на всей плоскости Оху, а функцию <р(х,у) = ——нель-
X2 + у2
зя доопределить в точке (0,0) так, чтобы она была непрерывной в этой
точке.
Упражнения
Вычислить пределы.
I.	lim*£H.	2.	lim lg(x + у).	3. lim-^^.	4.	lim^.
х—*2	у	х—»3	х—»0	х	х—»0 х
у—>0	у—>-7	у—»0	у—»0
5.	lim (х+у) sin - • cos - .	6.	lim	2(ж l)(y 2)	^	х	+у
8.	lim ж + у .	9.	lim	.	10.	lim	Ml+i}.
X2 -xy + y2	x—0 x2 + y2	X-+\ y/x2 + y2
y—*w	y—► 0	у—
II.	lim 	^	.	12.	lim	*2+2*	+	v2-4y + 5
x-»2 (x - 2)2 + (y + 2)2	x->-I	x + 2у
y-»-2	y->2
Ответы
1.	2.	2. 1.	3.	0.	4.	He существует.	5, 0.	6.	He	существует. 7. 0.
8.	0.	9. 0.	10.	In	2.	11. +oo. 12.	0.

§ 3. Частные производные и дифференциал функции двух переменных 191
§ 3. Частные производные и дифференциал
функции двух переменных
1°. Частными приращениями функции z
переменным ж и у называются разности
/(ж, у) по независимым
Axz = f(x + Дх, у) - /(х, у), Ayz = /(х, у + А у) - /(х, у),
где Аж и А у — приращения независимых переменных ж и у.
Полным приращением функции 2 = f{x>y) называется разность
Az = f(x + Дх,у + Ау) - /(х,у).
В общем случае полное приращение не равняется сумме частных при¬
ращений:
Az ф Axz + Ayz.
2°. Частной производной функции z = /(ж, у) по переменной ж или
у называется предел отношения соответствующего частного прираще¬
ния Axz или Ayz к приращению данной переменной при условии, что
приращение переменной стремится к нулю.
Для частных производных приняты обозначения
, = дг = df(x,y) =fjXiy)= lim	=	lim	+
дх	дх	Ах—*0	Ах	Ах—»0	Ах
f 0е» у)
dz
ду
= f'Jx,y) = lim = lim /(а'у + Лу)-
ду	Ау—>0 Ау	Ау—>0	Ау
3°. При нахождении частной производной (дифференцировании) по
какой-либо переменной поль¬
зуются формулами и правила¬
ми дифференцирования функ¬
ции одной переменной, считая
другую переменную фиксиро¬
ванной, постоянной.
4°. Частная производная z'x
(zy) в данной точке (жо,уо) рав¬
на тангенсу угла наклона ка¬
сательной к кривой, получаю¬
щейся в сечении поверхности
2	= /(ж, у) плоскостью у = уо
(х = хо), z'x(xo,yo) = tga (z!y(x0, уо) = tg/З) (рис. 8.2).
5°. Частными дифференциалами функции 2 = /(ж,у) называются
величины
dxz = z'xdx, dyz = z'ydy, dx = Аж, dy = A y.

192
Гл. VIII. Функции нескольких переменных
6°. Полным дифференциалом функции z = f(x,у) называется вы¬
ражение
dz = dxz + dyZ = z'xdx + z'dy = — dx + — dy.
dx	dy
Полный дифференциал dz представляет собой главную линей¬
ную (относительно Ах и А у) часть полного приращения функции
2	= f(x, У).
Примеры с решениями
Пример 1 (к п. 1°). Найти частные и полное приращения
функции z = х2у при начальных значениях х = 1, у = 2, если Ах = 0,1;
Ау = -0,2.
Решение. Имеем:
Axz ={х + Ах)2 ■ у - х2у = (1 + 0,1)2 • 2 - I2 • 2 = 0,42;
Ayz = х2(у + Ay) - х2у = I2 • (2 - 0,2) - I2 - 2 = -0,2;
Az = {x + Ах)2-{у + Ау) - х2у = (1+0,1)2-(2—0,2) - I2 • 2 = 0,178;
Az ф Axz + Ayz; 0,178 ф 0,42 - 0,2 = 0,22.
Пример 2 (к п. 2°, 3°). Найти частные производные функции
z = 2ху — х ■ tg ху.
Решение. Имеем:
z'x = 2yxy~l - tgxy- х—-—; z' =2xvlnx-x—-—.
cos^ ху	cos^	ху
Пример 3 (к п. 5°, 6°). Найти частные дифференциалы и полный
дифференциал функции z = х2уъ. Найти также значение этих величин
в точке (1,2).
Решение. Имеем:	zfx = 2 ху3, zfy = 3 х2у2. Следовательно,
dxz = 2xy3dx, dyZ = 3x2y2dy, dz = 2xy3dx + 3x y2dy. В частности,
dxz( 1, 2) = 16dxy dyZ = 12dy, dz( 1, 2) = 16dx + 12dy — дифференциалы
независимых переменных совпадают с их приращениями.
Упражнения
Найти частные производные, частные дифференциалы и полные
дифференциалы функций.
1. z = In (х + yjx2 + у2 ) — arctg - .	2. z = хуе~ху2 -f lntg - .
V	/	х	у
3.	2	=	Xy/у - 3	i	(х3у - ху3).
vx	з
4.	z	=	sin - cos	- —	+ ху 1п(х — у).
у х
Найти частные производные функций в данных точках (5-8).
5.	z = у/х2 — у2 в точке (5, —3).	6. л = xctg(у -h 1) в точке (0, 1).

§ 3. Частные производные и дифференциал функции двух переменных 193
7. 2 == xv в точке (1,2).	8.	г	=	в	точке	(2,1).
х-у
9.	Доказать, что функция z — In (х2 4- ху + у2) удовлетворяет усло-
dz dz 0
вию х	Ь у— = *.
дх ду
10.	Найти частную производную по 2 функции трех переменных
и = arctg — .
xz
11.	Показать, что функция z — у/х sin - удовлетворяет уравнению
х
0 dz . 0 dz
2х	h 2у — = г.
дх	ду
12. Показать, что функция z = у In (х2 — у2) удовлетворяет уравне-
1 dz 1 dz	z
нию - 		I- - • — = — .
х dx у dy	у2
13.	и = exyz sin - . Найти — .
x	dy
Ответы
1. dz
2. dz =
+
4 VX2+y2	x2+j/2
y(l - xy2)e~xy2 +
dx +
. 2x
у sin —
У
x2+y2+xy/x2+y2
dx +
x2+y2 J
dy.
ж(1 - 2xy2)e xy2 —
2x
2x
У J
dy.
3.	dz =
dx +
-	4- + ( i^3-3xy2
1
_ 2yfy s/x
dz = [ -	cos -	cos - + — sin	-	sin -	yxxy(lnx + 1)+
L у	у	xx2	у	x
dy.
у
+ у ln(# -	у) Л—1 dx	+ Г	— ~	cos - cos	- —
х — у	-I	L	у2 у	х
— - sin - sin
X у X
У J	L	у-	у
У — Хху+Х Inx + х\п(х - у)	^-1 dy.
х-у J
5.4= 5, 4= ^.6.4 = ctg2, 4 = 0.7.4 = 2, 2; = o.8.z; = -i,
г' = 4. 10. —  	—— . 13. — = xzexyz sin - + - exyz cos - .
y	dz
7 К. H. Лунгу, E. В. Макаров
x2z2 + y2
dy

194
Гл. VIII. Функции нескольких переменных
§ 4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Линеаризация функций двух переменных
1°. Касательной плоскостью к поверхности в точке Ро(хо,уо, zo)
называется плоскость, которой принадлежат все касательные к кри¬
вым, проведенным на поверхности через точку Ро.
Нормалью к поверхности в точке Ро называется прямая, проходя¬
щая через точку касания Ро и перпендикулярная касательной плоско¬
сти.
2°. Если поверхность задается функцией 2 = f(xy у), то уравнения
касательной плоскости t и нормали п имеют вид
(t) : Z-Z0 = /' (х0> уо)(х - х0) + /'(х0, уо)(у - Уо);
(п) • Х ~ Х° = У ~УЪ _ Z - ZQ
/i(®o.yo)	/у(*	о.уо) -1
3°. Если поверхность задана неявно посредством уравнения
F(x,y, z) = 0, то уравнения t и п имеют вид
(*) : F'x(Po)(x - х0) + F'(P0)(y - уо) + F'(P0){z - z0) = 0;
(п) . х ~ х° = У ~Уъ — z ~ zo
F'(Po) F'(P0) F'(Pq) ’
4°. Замена полного приращения функции в данной точке ее полным
дифференциалом называется линеаризацией функции. Геометрически
это означает замену графика функции, т. е. поверхности, касательной
плоскостью. Имеет место приближенное равенство
/0е. у) « f{xо. уо) + ?х(хо, уо)Дя + fy{x0, уо)Ду
при Ах = ж — хо « 0, Ду = у — уо ~ 0.
Примеры с решениями
Пример 1. Составить уравнения касательной плоскости и нор¬
мали к поверхности 2 = 2х2 + у2 в точке Ро(1» —1»3).
Решение. Имеем: z*x = 4х, zfy = 2у\ z*x( 1, -1) =4, ^(1,-1) = —2.
Следовательно,
(£) : 2; = 3 4- 4{х — 1) — 2(у 4- 1), или 4х — 8у — z — 3 = 0;
(П) :	= К±1 = 1^1.
V	4	-2	-	1
Пример 2. Вычислить приближенно 1,083,96.
Решение. Обозначим: z = f(x,y) = ху, хо = 1, уо = 4; тогда
Ах = 0,08, Ау = —0,04.
Имеем: z’x = уху~1, /'(1,4) = 1, z'y = ху\а.х, /£(1,4) = 0,
*о = /(1.4) = 1- Наконец, согласно соотношению п. 4°, получаем
1,083,96 « 1 +4 0,08 = 1,32.

§ 4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
195
Пример 3. Даны функция 2 = f(x, у) = х2 + у2 + 2х + 1 и две
точки A(xq, уо) = А(2, 3) и В(яь yi) = 5(2,02, 2,99). Требуется:
1)	вычислить значение zo функции /(х,у) в точке А и значение z\
в точке В;
2)	вычислить приближенное значение z\ функции в точке В, исходя
из значения zo функции в точке А, заменив приращение функции
дифференциалом, и оценить в процентах относительную погрешность,
возникающую при замене приращения функции ее дифференциалом;
3)	составить уравнение касательной плоскости к поверхности z =
= f(x,y) в точке С(хо,уо, zo).
Решение. 1) Имеем z\(2,02, 2,99) = (2,02)2 + (2,99)2 + 2 • 2,02 +
+ 1 = 18,0605.
2)	Найдем сначала:
zo = f(xо, уо) = 22 + З2 + 2 • 2 + 1 = 18;
f'(x9 у) = 2х + 2, f'(xо, Уо) = /'(2,3) = 2-24-2 = 6;
/' (х, у) = 2у,	/' (х0, уо) = /'(2,3) = 2 • 3 = 6.
Из точки А в точку В придем с приращениями
Ах = 0,02; А у — -0,01.
Теперь применяем формулу п. 4°:
z\ » f{xo,yo) + fx{xo>yo)&x + fy(xo,yo)&y =
= 18 + 6 - 0,02 + 6 • (-0,01) = 18,06.
При вычислении по этой формуле возникает погрешность
J =
2| - Х[
■ 100% =
18,0605- 18,06
*1
18,06
3)	Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке
С(2,3,18) имеет вид (см. п. 2°)
^ — 18 = 6(х — 2) -К 6(у - 3), или 6х — 6у — z - 12 = 0.
Упражнения
1.	Найти относительную погрешность в примере 3 при условии
B(xuyi) = B(2X 2,9).
2.	Найти значение полного дифференциала функции /(х, у) в дан¬
ной точке (хо,уо) при данных Ах и А у, если:
1)	f(x,y) = х + у - у/х2 + у2 , М(3,4), Ах = 0,1,	А у = 0,2;
2)	f(x,y) = exy) М( 1,1), Ах = 0,15, Ау = 0,1;
3)	z = аг + у4, М(1,2), Ах = 0,03, А у = -0,01;
4)	z= -р— , М(2,1), Ах = 0,01, Ау = 0,03.
X2 — у2
7*

196
Гл. VIII. Функции нескольких переменных
3.	Вычислить приближенно:
1) In (Щ53 +	- 1);	2) 1,042'02;
3) (0,96)2(1,02)3;	4) \Л,024	+ 1,983.
х + 3 и
4.	Вычислить приближенно изменение функции z = 		 при
у - Зх
переходе от точки А(хуу) = (2,4) к точке Ао(х\,у\) = (2,5, 3,5).
5.	Найти частные и полное	приращения функции z = ху2 — - в
точке А(3, -2), если	Ах = 0,1 и	Ау = —0,05.	у
6.	Составить уравнения касательной плоскости и нормали к данной
поверхности в данной точке:
1)	2= 1-у/х2 + Зу2- 15, М0(2,-3,2);
2)2=	2XI;2Tt’Mo(1’1’~i)-
У + 2 ху + 1	4
Ответы
1. <5 = 0,2%. 2. 1) 0,08; 2) 0,25е; 3) -0,23; 4) 1/36. 3. 1) 0,005; 2) 1,08;
3)	0,98; 4) 2,933. 4. г(2,4) = -7; Д2 = <fe(2,4) = 3,75; z(2,5, 3,5) =
= -3,25. 5. Д* = 0,45; Ду = 0,57; Д2 = 1,04. 6. 1) 2х - 9у - 8z - 15 =
= 0, — = И±1 = —; 2) z + - = - (х - 1) - - (у - 1), — =
2	-9	-8	4	8	’	2 v ’	1
= у-\_ = z+X/A
-4	-8
§ 5. Частные производные и дифференциалы
высших порядков
1°. Частными производными второго порядка функции г =
= f(x, у) называются частные производные от частных производных
первого порядка:
// _	//	_	д2*	__	д	f	dz\	//	_	d2z	д	f	dz\
хх х2	дх2 дх \ дх /	Эхду	ду	\	дх	/
_	_	d2z	_	д	f	dz	\
дудх дх \ ду ) ' у2 ду2	ду \ ду ) '
Частные производные второго порядка zxy и z"x называются сме¬
шанными.
Аналогично определяются частные производные третьего и более
высоких порядков:
?" = crz
zyx
гтхЪ =	=	±	(
дх3 дх V дх2
д ( d2z \
2	2	=	—		 И Т. Д.
х у ду V дх2 )
Теорема 1. Если смешанные производные zxy и zyx непрерывны,
то они равны между собой.

§ 5. Частные производные и дифференциалы высших порядков
197
Таким образом, результат дифференцирования не зависит от поряд¬
ка дифференцирования.
Например, пусть z = х - ycosxy, тогда: z'x = 1 4- у2 sin ху, z'y =
= -cosху + xysinxy, z"2 = (z'x)'x = y3cosxy, z"2 = (z'yYy = xsinxy +
+ x sin xy + x2y cos xy = 2x sin xy + x2y cos xy, zxy = (z'x)'y = 2у sin xy +
+ xy2 cosxy, ZyX = {z'y)'x = 2y sin xy + xy2 cos xy. Видим, что z”y = z"x.
Далее, г"3' = {z'x2)'x = ~y4 sin xy, z’Jy = {z'xi)'y = -4y3 sin xy - xyA cos xy
И Т. n.
2°. Дифференциалом п-го порядка функции z = f(xyy) называется
дифференциал от дифференциала (п- 1)-го порядка, т.е.
(Tz = d(dn~lz), или dnf(x, у) = d(dn~l f(x, у)).
Если функция г = f(xy у) имеет непрерывные частные производные
второго порядка, то дифференциал второго порядка вычисляется по
формуле
d2z = z'^dx2 + 2 z'xydxdy + z^dy2.
Символически это равенство можно записать в виде
.2
d2z = ( — dx +
( — dx + — dy) 2.
\дх	ду	J
По аналогии, дифференциал n-го порядка можно записать символиче¬
ски в виде
dnz = ( — dx + — dy) z.
V	дх ду J
Примеры с решениями
Пример 1. Найти d2z, если z =
X + у
х-у
Решение. Последовательное дифференцирование данной функ¬
ции дает:
J _ х - у - х - у _	2у	J _ X - у + X + у _ 2х
—	—	Zn,	—	—
(х - у)2	{х	-	у)2 ’ У	(х-	у)2	(х - у)2 ’
4у	J, _ _2 Х + У J! — 4х
Z'U =	.	^2	=
(х - у)3 ху	(х	-	у)3	у	(х	-	у)2
Следовательно,
C?z= . *У dx2 -	dxdy	+	4-	х	dy2	=	4
(x-y)3	(x-y)3	(x-y)3	(s-y)3
Пример 2. Найти dz, d2z и d?z, если z = z5y3.

198
Гл. VIII. Функции нескольких переменных
Решение. Имеем:
dz = d(x5y3) = 5 x4y3dx + 3 xby2dy,
d2z = d(5x4y3dx + 3 x5y2dy) = 20 x3y3dx2 + 30 xky2dxdy + 6 xbydy2,
d3z = d(d2z) = 60 x2y3dx3 + 180 x3y2dx2dy + 90 xAydxdy2 + 6x5dy3.
Упражнения
1.	Найти все частные	производные первого,	второго и третьего
порядков для функции Z —	х3 — х2у — у3.
2.	Найти z'Y, z*Jy, z*Jy2, если z = еху\
3.	Доказать, что:
1)	если z = 2 cos2 (х —	- V то 2 — +	=	0;
\	2 /	dt2	dxdt
ху	c?-z	rt	d2z d2z
2)	если z =	,	то	—	+	2—	+	—	=
dx2	дхду дур x — у
&z	&z_
dxdt	dx2
3)	если z = In (	, to	h
V x	t J dxdt
4.	Найти:
2)d3(*); 3) d2 (arctg -^; 4)d3f^Y
\x + yj	\yJ	\	X/	\x+y/
Ответы
1.	z'x = Ъх2 - 2xy, z'y = -x2 - 3j/2, г"2 = 6x - 2y,	=	-2x,
4 - -бу, = 6, z%y = -2, <;2 = 0,	=	-6.	2.	=	yl2exy\
z‘Jy	=	3/(3	+	xy3)exy3,	z$y2 =	3y4(10	+	lAxy3 +	3x2y6)e<
4.	1)	rf2 (	ХУ	^	_	2(~y2dx2 + Ixydxdy	- x2dy2) , , 2)	d3f-^	_
V	x + у J	(x + y)3	’	V	V	)
= A dxdy2 - - dy3; 3) d2 (arctg	= ^jxydx2 + (у2 - x2)dxdy - xyd^)
у3	у4	\ X J	(x2	+ y2)2
4)	=	—-—\y2dy3-(2xy-y2)dx2dy—(2xy—x2)dxdy2-\-x2dy3\.
\x+yj	{x+y)4
§ 6. Производная по направлению. Градиент
1°. Пусть a = {ax,ay} — некоторый вектор, \a\ = у a2 +a2 — его
модуль (длина). Тогда ах = a cos a, ау — a sin а, где а — угол наклона
а к оси Ох.
Вектор еа = {cosa,sina}	= \ —,	— >	=	—	коллинеарен векто-
11*1	1*1 J	И
ру а и называется ортом, или единичным вектором вектора а, мо¬
дуль еа равен 1.

§ 6. Производная по направлению. Градиент
199
2°. Пусть ^ = f(x,y) — функция двух переменных, имеющая част¬
ные производные в некоторой области D, точка М(х, у) 6 D.
Пусть I — произвольный единичный вектор с началом в точке
М, I = (cos a, sin а). В направлении I на расстоянии А1 берем точку
М\(х + Ах, у + Ау). При этом А1 = у/Ах2 + Ау2.
Разность Aiz = f(x + Ах, у + Ay) — f(x, у) называется приращени¬
ем функции ^ = f(x,y) вдоль направления Z, а предел
—	= lim	—	= lim	f(x + Ax'y + Ay)~f(x>y)
dl	AJ—0	Al	Al^O	Al
называется производной функции z= f{x,y) no направлению l в
точке M(x, у).
Теорема 2. Если f(x,y) имеет непрерывные частные производ¬
ные в точке М(х,у), то
dz	dz	dz	.
—	=	— cos	a +	—	sin a.
dl	dx	dy
3°. Функция ^ = f(xty)t определенная в области D, называется
также скалярным полем в этой области. Вектор
^2 = {s'|} = (4-si}=4?+ziJ
называется градиентом скалярного поля, или градиентом функции
f(x,y)-	^	„
Обозначим через ip угол между вектором I и вектором gradz.
Теорема 3. Имеют место равенства
—	= gradz • I =
dl
gradz
cosy? = npj*grad;z.
4°. Следующие свойства градиента вытекают из теорем 2 и 3.
1)	Производная в данной точке по направлению вектора I имеет
наибольшее значение, если направление вектора I совпадает с направ¬
лением градиента; это наибольшее значение производной равно |gracb |.
2)	Производная по направлению вектора, перпендикулярного к век¬
тору grad г, равна нулю.
3)	Вектор gradz направлен перпендикулярно к линии уровня
f(x,y) = C.
Примеры с решениями
Пример 1. Найти производную функции г = х2 + у2 в точке
М(3,1) по направлению к точке Mi (0,5).
Решение. Имеем: ММ\ = {0 — 3, 5 — 1} = {—3,4},
у/(—З)2 + 42 = 5, cos а = — - , sin а = - .
5	5
ММ I

200
Гл. VIII. Функции нескольких переменных
Ч-иЬ
с» t	dz
Положим I = { — z у z ^ и находим	— .
Имеем: z'x = 2х> z'y = 2у, z^(3,1) =	6, z'y(3y 1) = 2.
Окончательно, — = б(—-]+2-= —2. Знак минус у значения
д1 \	5	/	5
производной dz^' ^ означает, что в направлении I функция убывает.
81
Пр и мер 2. Найти направление	максимального	роста	функции
z = Зх2 — 2у2 в точке М( 1,2). Найти	также наибольшее	из	значений
производных по разным направлениям в точке М.
Решение. Найдем градиент функции z в данной точке (1,2).
Имеем z'x = 6ж, z'x( 1,2) = 6, z'y = -4yt Zy( 1,2) = —8. Градиент данного
поля в точке М(1,2) равен gradz = {6,-8}. Этот вектор указывает на
направление максимального роста z. Наибольшее значение производ¬
ной в (1,2) равно д/62 + (-8)2 = 10.
Пример 3. Даны функция z = arcsin —, точка А(-2,-1) и
-* X<1
вектор а = Зг — 4j. Найти:
1)	gradz в точке А\
2)	производную в точке А по направлению вектора а.
Решение. 1) Для нахождения координат вектора gradz (см. п. 3°)
найдем частные производные
х> =	1	(-Jl\.2x	=	2у и Z1 =	1	.
^ ру ' Х* '	ху/х4-у2	у	sjх4 - у2
Их значения в точке А(—2,—1) следующие:
значит,
^ = -75и7Ш1
2)	Найдем направляющие косинусы	вектора а = Зг	- 4j:
3	3	4
cosa =	—=	- ,	cos в = —	=	sina.
\/9"+Тб	5	5
Тогда (см. п. 2°)
^ = z'x(—2, — l)cosa + z'y(-2,-l)sina =
л/Г5 5 уД5 \	5	J	5vT5
По направлению вектора а функция убывает.

§ 7. Формула Тейлора для функций двух переменных
201
Упражнения
1.	Найти производную функции z = х2 + у2 - Зх + 2у в точке
Мо(0,0) по направлению к точке М\(3,4).
2. Найти производную функции z = ——■	в точке Мо(1, —1) по
у/ X2 + у2
направлению вектора а = {-V2, V2}.
3.	Найти градиент скалярного поля z = 	 в точке Мо(1, 2).
X2 + у2
4.	Найти наибольшую скорость возрастания скалярного поля z =
= 1п(х2 + 4у2) в точке Мо(6,4).
5.	Найти градиент функции и = — , где г = у/х2 + у2.
г3
6.	Найти направление максимального роста функции z = Зх2 +
+ ху — 2у2 в точке (2, 1).
Ответы
1.	-1.	2.	i.	3.	=	!?- ij. 4.
5^ ^ 2	V55/	5	5	25
5 _г(xi + yj)	б, f= (13>_2).
§ 7. Формула Тейлора для функций двух переменных
Пусть z — f(x,y) — функция двух переменных х и у, непрерывная
вместе со своими частными производными до (га+ 1)-го порядка вклю¬
чительно в окрестности данной точки Мо(ауЬ). Тогда, аналогично тому,
как это было в случае функций одной переменной (см. гл. VII § 12),
функцию двух переменных можно представить в виде многочлена
степени потх — а и у — b и некоторого остаточного члена:
/(*, у) = /(а, Ъ) + - df(a, b)+- d2f(a, Ь) + ■ • • + - d”/(a, Ь) +
1!	2!	п!
при этом можно считать, что dx = х — a, dy = у — Ъ.
Многочлен, фигурирующий в этой формуле, называется многочле¬
ном Тейлора функции /(х, у). Он представляет приближенное значение
данной функции в окрестности точки Мо(а, Ь).
Примеры с решениями
Пр имер 1. Составить формулу Тейлора при п — 2 для функции
f(x,y) = ху в окрестности точки Мо(1,1) и вычислить приближенно
М1’02.
Решение. Имеем

202
Гл. VIII. Функции нескольких переменных
Находим сначала частные производные первых двух порядков:
Гх=у-ху~х\ fy = xy- Inx;
/'2 = У{У ~ 1)ху~2; f”y = ху~х + ху~1 ■ у In х; /"2 = ху(\пх)2.
Теперь вычислим значения полученных частных производных в данной
точке (1,1): /'(1,1) = 1; f'y{ 1,1) = 0; /"2 = 0; /",(1,1) = 1; /£(1,1) = 0
и /(1,1) = 1.
Соответствующая формула Тейлора имеет вид
х* = 1 + 1 • {х - 1) + 1 ■ {х - 1 )(у - 1) +	Д2,
ху « 1 + [х - 1) + (х - 1 )(у - 1).
Подставляя	х = 1,1, У = 1,02, я: — 1 =0,1, у - 1	=	0,02, получаем
1,11,02 « 1 +0,1 +0,1 - 0,02 = 1,102.
Упражнения
Составить многочлен Тейлора степени п для данной функции
/(ж, у) в окрестности данной точки Mq (1-4).
1. f(x, у)	= y/l - X2 - у2, п = 2, Мо(0,0).
2-	f(x, у)	= sin ж • sin у, п = 2, Mq ^ ^ ^ V
3.	f(x,y)	— ех+у, п€ N, Mq(0,0).
4.	/(ж, у)	= — ж2+ 2ху + Зу2— 6ж —	2у —	4, п = 2, Мо(—2,1).
5.	Используя формулы Тейлора до членов второго порядка, вычис¬
лить приближенно:
1)	0,952’01; 2) ^07 -л/8^8-
Ответы
l.l-i(^ + Ifl.2.i + i(*-j)	+ i	(#-;)- j	(*-j)	-
3.	1 + (х + у) +	— (х + у)2 +
-2Н)И)+ИУ
2!
+ ... + 1(х + у)». 4. 1 + (х + 2)2 + 2(х + 2)(у - 1) + 3(у - I)2.
п!
5.	1) 0,902. 2) 5,998.
§ 8. Экстремум функции двух переменных
1°. Функция z = f{x,y) имеет максимум (минимум) в точке (хо,уо),
если /(х0,уо) > /(х,у) (/(хо,уо) < f(x,y)) для всех (х,у), достаточно
близких к (хо,уо) и таких, что (х, у) ф (хо,Уо)-
Максимумы и минимумы, называются экстремумами.

§ 8. Экстремум функции двух переменных
203
Точка (хо.Уо) называется критической для функции f(x, у), если
частные производные z'x и z'y в этой точке либо равны нулю, либо не
существуют.
Если z'x = 0 и z!y = 0 в данной точке, то эта точка называется
стационарной.
Теорема 4 (необходимые условия экстремума диф¬
ференцируемой функции). Если функция z = }(х,у) имеет
экстремум в точке (жо,уо), то эта точка стационарная, т.е.
Теорема 5 (достаточные условия экстремума). Пусть
(^о,Уо) — стационарная точка. Обозначим
А _ d2f(xp>yo) Q _ d?f{xo,yQ) g _ d2f{x0,y0)
дх2	дхду	ду2
1)	Если АС - В2 > 0 и А < 0 (С < 0), то (хо,уо) — точка
максимума.
2)	Если АС - В2 > 0 и А > 0 (С > 0), то (хо,уо) — точка
минимума.
3)	Если АС — В2 < 0, то точка (хо,уо) не является точкой
экстремума.
4)	Если АС — В2 = 0, то в точке (жо,уо) функция f(x,y) может
иметь и может не иметь экстремума (в этом случае требуется
дополнительное исследование).
2°. Под условным экстремумом функции z = f(x,y) подразумева¬
ется экстремум этой функции при некотором дополнительном условии,
например, уравнении ip(x,y) = 0.
Необходимый признак условного экстремума дифференцируемой
функции. Если функция z = f{x}y) имеет экстремум в точке (хо,уо)
при выполнении условия ip(x, у) = 0, то в этой точке
где F(x}y) = f(xty) + \(p(x,y) — функция Лагранжа, соответству¬
ющая f{x,y) и ф(х,у) = 0, Л - постоянная величина (множитель
Лагранжа).
Достаточный признак условного экстремума. Если точка
{хо,уо) удовлетворяет системе уравнений (1) и d2F(xo,yo) < 0
(d2F(xQ,yo) > 0), то точка {хо,уо) является точкой условного
максимума (минимума) функции f(x,y) при условии <р(х,у) = 0.
Пример 1 (к п. 1°). Исследовать на экстремум функцию z =
= х3 + у3 — 3 ху.
Решение. Функция определена и дифференцируема при всех
fL(z0,yo) = 0, fy(xo,yo) = 0.
dF(xp,yo) _ q
дх
(i)
Примеры с решениями

204
Гл. VIII. Функции нескольких переменных
1)	Найдем стационарные точки:
Г	4 = За:2 — Зу = 0,	Г X2 - у - О, Г	у	= X2,
\	z'y = Зу2 — Зх = 0	\ у2 — х = 0	^	ж4	—	х = 0.
Имеем две стационарные точки Mi(l, 1) и Мг(0,0).
2)	Проверим достаточные условия:
z"2 = 6х,	z”y = -3,	z"2 = 6 у.
Для М\( 1,1) имеем:
А, =4(1,1) = 6, Вх=4у{ 1,1) = -3,	С,=#( 1,1) = 6.
АХС\ - В\ = 36 - 9 = 27 > 0 и 4i = 6 > 0.
В точке (1,1) имеем минимум и zmin = z( 1, 1) = — 1.
Для Мг(0,0) имеем Аг = О, В^ = -3, Сг = О, А2С2 - В\ = —9. В
точке (0,0) функция z экстремума не имеет.
Пример 2 (к п. 2°). Исследовать на экстремум функцию 2 =
= х2 — ху + у2 + 9х — 6у + 25.
Решение (краткое).
Г	4 =	2х-у + 9 = 0	Г	я =	-4,
\4 =	-х + 2у-6 = 0	\	2/ =	1 ■
_ о // _ _i	г//	_ о.
-2^,2	"»	* 1	"у2	" >
А = 2,	В = -1, С = 2;
АС - В2 = 3 > О, А = 2 > 0;
(-4,1) — точка минимума, zmin = 4.
Пример 3 (к п. 2°). На гиперболе х2 — у2 = 9 найти точку,
наименее удаленную от точки А(0, —3).
Решение. Исследуем на экстремум функцию, выражающую квад¬
рат расстояния точки М(х,у) от точки А(0, — 3):
AM2 = f(x, у) = х2 + (у + З)2,
при условии, что координаты точки М(х, у) удовлетворяют уравнению
гиперболы х2 — у2 — 9 = 0.
Составим функцию Лагранжа:
F(x, у) = х2 + (у + З)2 + Х(х2 — у2 — 9).

§ 8. Экстремум функции двух переменных
205
Координаты точек, в которых функция f(xyy) имеет условный экстре¬
мум, найдем, решая систему уравнений
—	= 2х + 2Хх = 2х(1 + Л) = 0,
дх
^ = 2(у + 3) — 2Ху = 2(у + 3 — Ху),
ду
k х2 - у2 = 9.
з	з^/5
Получаем: Л = — 1, у — —х = ±—^~. Функция f(x,y) может
,, ( 3V5 з\
иметь условный экстремум в двух точках: М\ (	—, — - ] и
М2
(^"’“2)' Пр°ВерИМ для них достаточные условия, для чего
найдем дифференциал второго порядка функции F(xyy) в найденных
точках. Имеем:
=2(1+A), F''y = 0, Fyi = 2(1 — А);
d2F = 2(1 + A)dx2 + 2(1 - A)dy2.
Если А = — 1, то <fF = Ady2 > 0. Следовательно, обе точки
,, / 3^	з\	(3V5	з\
Ml		 ,	И М2 	, — являются точками условного
V	2	2J	\ 2	2)
минимума нашей функции. При этом
/min(*,y) = /(-^,-?) = /(^,-?) = 26, AM = zJ\.
Упражнения
Исследовать функции на экстремум.
1, z = 2ху — Зх2 — 2у2 + 10. 2. z = 4(х — у) — х2 — у2.
з.	^ = х2 + ху + у2 + х + у + 1.	4. z = 4х2у + 24ху + у2 + 32у - 6.
5.	г-хъ-\-х2 — 6ху - 39ж + 18у + 20. 6. z = ху + — + — .
7,	z = е~х2~у2(2х2 + у2).	8. z = 4 - у/(х2 + у2)2 .
Исследовать на условный экстремум функции z = f(xy у) при дан¬
ном условии (9-14).
9.	f(xy у) = х2 + (у - 2)2, х2 у2 4 = 0.
10.	f(xyy) = - + - у х + у - 2 = 0.
X у
и.	f{x,у) = х + у, -7 + ~¥~;=0-
хг у* 2
12.	fix,у) = х2 + у2, £ + |-1=0.
4	3

206
Гл. VIII. Функции нескольких переменных
13.	Дх,у) = ху, 2х + Зу - 5 = 0.
14.	/(х, у) = х2 + у2 ху — 2.
15.	На параболе у2 = 4х найти точку, наименее удаленную от
прямой у = х + 4.
Ответы
1. (0, 0) — шах. 2. (2, —2) — шах. 3. (-1, 1) — min. 4. (—3, 2) — min,
(—4, 0); (—2, 0) — экстремума нет. 5. (5, 6) — min. 6. (5, 2) — min.
7.	(0, 0) — min, в точках (0, ±V) экстремума нет; в точках (±1, 0) —
max. 8. (0, 0) — max. 9. M(±V5, 1) — точка минимума с /тт = л/б.
ю. /mi„ = /(1, 1) = 2. И. /majc = Я-2, -2) = -4. 12. /min = ^ в
точке М0 (^ , ^. 13. /гаах = ^ в точке Mo (^ ,	.	14.	/min	=	2
в точке М0 (\/2, у/2^. 15. /min = /(1,2) =
§ 9. Наибольшее и наименьшее значения функции
При отыскании наибольшего и наименьшего значений функции в
некоторой замкнутой области следует найти все внутренние точки
области, в которых функция может иметь экстремум. Затем надо ис¬
следовать функцию на экстремум на границе области. При этом часто
приходится разбивать границу области на части, заданные различ¬
ными уравнениями. Вычислив значения функции во всех найденных
экстремальных точках, следует сравнить их между собой: наибольшее
(наименьшее) из этих значений и является наибольшим (наименьшим)
значением функции во всей замкнутой области.
Примеры с решениями
Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z = 2х3 - 6ху + 3у2 в замкнутой области, ограниченной осью Оу,
прямой у = 2 и параболой у = ~ при х ^ 0.
Решение. Соответствующая область
изображена на рис. 8.3.
1)	Точки, в которых функция при¬
нимает наибольшее и наименьшее значе¬
ния, могут находиться как внутри обла¬
сти, так и на ее границе. Приравниваем
нулю частные производные — = 6х2 - 6у
В(2, 2)

§ 9. Наибольшее и наименьшее значения функции
207
Решив систему уравнений
Г 6х2 — 6у = 0,
I —6х 4- 6у = О,
найдем две стационарные точки 0(0,0) и М(1,1). Первая из них лежит
на границе области, вторая внутри области. Следовательно, если функ¬
ция z принимает наибольшее (наименьшее) значение во внутренней
точке области, то это может быть только в точке М( 1,1). При этом
*(1,1) = 12.
2)	Исследуем функцию на границе области.
а)	На отрезке О А имеем х = 0. Поэтому на этом отрезке исследуем
функцию z — 3у2, 0 ^ у ^ 2. Это — возрастающая функция одной
переменной у; наибольшее и наименьшее значения она принимает на
концах отрезка О A, z(0,0) = 0, z(0,2) = 12.
б)	На отрезке АВ имеем у = 2 и 0 ^ х ^ 2. Следовательно, на
этом отрезке исследуем функцию одной переменной z = 2х3 - 6х ■ 2 4-
4- 3 ■ 22 = 2х3 — 12х +12, 0 ^ х ^ 2. Ее наибольшее и наименьшее
значения находятся среди ее значений в стационарных точках и на
концах отрезка.
Находим производную zf = 6х2 — 12. Решая уравнение zf = 0, или
6х2 — 12 = 0, находим x\t2 = ±л/2.
Внутри отрезка 0 ^ х ^ 2 имеется лишь одна стационарная точ¬
ка х = \/2; соответствующей точкой отрезка АВ является точка
Q(V2, 2). Итак, наибольшее и наименьшее значения функции z на
отрезке АВ находятся среди ее значений в точках -4(0,2), Q(V2, 2) и
В(2, 2).
в)	На дуге ОБ параболы имеем У = у.
z = 2х3	~ ^ х4 — х3,	0 ^ х ^ 2.
Решаем уравнение z' =	Зх3	—	Зх2 = 0,	или х2(х — 1) = 0 и находим
его корни: х^з = 0 и хг = 1. Таким образом, наибольшее и наименьшее
значения функции у на дуге ОВ находятся среди ее значений в точках
0(0,0), J>(1, 1) и В(2,2).
Следовательно, наибольшее и наименьшее значения функции z =
= 2х3 - 6ху + 3у2	в данной замкнутой	области находятся среди ее
значений в точках	О, Л,	Q,	Р, М,	т. е. среди значений z(0) =
= z(0, 0) = 0, z(A) = z(0, 2) = 12, z(Q) = z(V2, 2) = 12 - 8>/2,
z(B) = z(2, 2) = 4, z(P) = z(l, = -1, z(M) = z(l, 1) =-1.
Наибольшее и наименьшее из них равны соответственно 12 и —1. Они
и являются наибольшим и наименьшим значениями данной функции в
данной замкнутой области:
^наиб = ^(0, 2) = 12, ^наим ~ ^0» 0 =

208
Гл. VIII. Функции нескольких переменных
Упражнения
Исследовать функции на экстремум (1-4).
1.	z = е~(х2+у2\	2. z = ху.
3.z = 2х2 + 3у2 —х — Ту. 4. z	=	“Ь	“г •
а2 62
5.	Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = х2 —
-	2у2 + 4ху — 6х - 1 в треугольнике, ограниченном прямыми х = 0,
у = 0, х + у = 3.
6.	Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = х + у в
круге х2 + у2 ^ 1.
7.	Найти наибольшее и наименьшее значение функции z = /(ж, у)
в области S:
1)	/(я, у) = х2у(2 - х — у\ S: треугольник х = 0, у = 0, у + х = 6;
2)	/(х,у) = ху, 5: круг х^ +у2 ^ 1;
3)	/(ж,у) = 1 -х2-у2, 5: круг	(х -	1)2	+ (у- I)2 ^ 1.
Ответы
1* zmax = *(0,0) = 1.2. Экстремумов нет. 3. zmin = z
=	6,625. 4. zmin = z(0,0) = 0. 5. ^наим(0»3) = —19; £наиб(0*0) —
= -1. 6. гнаим(-^,-^) = -V2; гнаиб(^, ^ = V2.
7.	1) zHaHM(4,2) = -128, zканб (о,	= i; 2) zHaHM ^=
_	1	(sft	\/2	\	1	04	f y/2+2	V2+2\ _	о/'/о.Л
-	~ > 2наиб . —J - - > 3) 2наим	~Y~J -~2[V2 +1],
z наиб	=	2(^2 - 1).
§ 10. Метод наименьших квадратов
1°. Предположим, что при проведении некоторого эксперимента
получено п значений функции у при п значениях аргумента х. Со¬
ответствующие данные экспериментальных наблюдений помещены в
таблице:
X
XI
Х2
S3
Хп
У
У\
2/2
2/3
Уп
2°. По данным таблицы построим точки с координатами (х, у)
(рис. 8.4). Предположим, что эти точки расположены вблизи некоторой
прямой. Требуется найти уравнение у = kx + р этой прямой по методу

§10. Метод наименьших квадратов
209
наименьших квадратов, т. е. коэффициенты к и р должны доставлять
минимум функции двух переменных к и р:
п
S2 = 52(к,р) =^2 {kxi + р - yi)2	min.
г=1
3°. Если 62(к,р) имеет минимум в
какой-либо точке, то частные производ¬
ные этой функции должны быть равны¬
ми нулю:
' ЯЛ2	п
—	= £ 2(кХг - р + Vi)Xi = 0,
dfc г=1
= £ 2(fcxi - р - 2/i) = о.
фэ г=]
Это приводит к системе уравнений от¬
носительно fc и р, которую можно запи¬
сать в виде	,
" 1 fc -Ь В\р = С1,
А2к + Бгр = С2,
где
/ A,J
\ А21
£ xf, В] = J2 xi’ Cl = J2 хгУг’
i=)
i—l
«= 1
A2 = Bu B2 = n, C2 = £ ?/г-
.7-1
Примеры с решениями
Пример 1. Составить уравнение прямой по методу наименьших
квадратов, исходя из данных, приведенных в таблице.
X
1
2
3
5
У
3
4
2,5
0,5
Решение. Определим коэффициенты системы уравнений:
М = XX2 = 39,= J2xi = и, Ci =J2xiyi>
Л2= 11,В2 = 4,С2 = ЕУг = 10.
Из системы уравнений
Г 39fc + 11р = 21,
^ 11 к + 4р = 10
,	26	159
находим: к = — — , р = — .
35	35
^	26	__	159

210
Гл. VIII. Функции нескольких переменных
Упражнения
Методом наименьших квадратов составить уравнение прямой у =
= fcx + p по табличным данным.
X
0,5
0,1
2,0
2,5
3,0
2/
0,62
1,64
3,7
5,02
6,04
2.
X
1
2
3
5
У
0
1
-0,5
-2,5
Ответы
1. у = 2,08х-0,5. 2. у = - —х+—.
35	35
Контрольные задания
I.	Найти и изобразить области определения данных функций:
1) z = у/16 — х2 — у2 ;	2) z = у/9 — 2х2 + 3у2 ;	3) z = х — arcsin у\
4)	z = 	; 5) z = у/х2 ~у;	6) z = у/2Ъ - 5х2 — \Ъу2.
у/ху
2.	Найти полный дифференциал функций в данных точках:
1) z — arcsin(v/S + 2у), (4,1); 2)z = xy, (4,2);
3’)г = \[ч^Ч'	(5’4); 4) 2 = arccos *,	(1,4);
\ х2 + у2	V	2/
5)	z = ln(x2+у2), (3,4).
3.	Доказать, что данные функции удовлетворяют уравнению Ла-
d2z d2z п
пласа —- Н		 = 0:
дх2	ду2
1)	z = 1п(х2 + у2);	2) Z =	1	;	3)	z	=	arctg
\J X1 +уг	X
4.	Найти производную данной функции в данной точке по направле¬
нию данного вектора. Найти также градиент каждой функции в данной
точке:
1)	z — х2 -J- у2 -J- ху, М0(1,2), I = 2%+ /;
2)	z = arctg М0(3,3), Т= (1,-2);
3)	z = arcsin д/х — у, Мо(1, - ), I = (—2,1);
4)	/2®+^ Мо(ЗЛ)) Г=Г-/.
V	2С - 2у

Контрольные задания
211
5.	Найти экстремум данной функции:
1) z — 4х2 + 8ху + 2у2 — Юх + Зу + 1;	2)	z = ху + — + — ;
X у
3)	z = х3 + Зху2 + Ьх + 8у;	4) z = х2у(4 — 2х - у).
6.	Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой
области D:
1)	z — x2 + 2ху, D — треугольник АБС: А(0,0), £(4,0), С(0,6);
2)	z = х2 — 2ху + у2, Z) — прямоугольник ABCD: А(0,0), f?(4,0),
С(4,6), £>(0,6).
3)	z = х2 + у2 — 3ху - 2х — 2у, при х ^ 0, у ^ 0, х + у ^ 5;
2 2
7.	На эллипсе -—|- — = 1 найти точку, наименее удаленную от
4	9
прямой Зх — 4у = 42.

Список литературы
1.	Бугров Я.С., Никольский СМ. Элементы линейной алгебры и аналитической
геометрии. — М.: Наука, 1988.
2.	Бугров Я.С., Никольский СМ. Дифференциальное и интегральное исчисле¬
ния. — М.: Наука, 1988.
3.	Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т. 1 и 2. —
М.: Наука, 1988.
4.	Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. — М.: Наука,
1988.
5.	Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы
математического анализа / Под ред. А.В. Ефимова и Б.П. Демидовича. —
М.: Наука, 1988.
6.	Сборник задач по математическому анализу / Под ред. Б.П. Демидовича. —
М.: Наука, 1983.

Учебное издание
ЛУНГУ Константин Никитович
МАКАРОВ Евгений Васильевич
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
Часть 1
Редактор B.C. Аролович
Корректор Н.А. Лихачёва
Оригинал-макет: Я.В. Жабицкий
Оформление переплета: А.Ю. Алёхина
Подписано в печать 15.11.2007. Формат 60x90/16. Бумага офсетная.
Печать офсетная. Уел. печ. л. 13,5. Уч.-изд. л. 15,9. Тираж 1500 экз.
Заказ № К-1809.
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;
http://www.fml.ru
Отпечатано в ГУП
♦ИПК Чувашия», 428019
г. Чебоксары, пр-т И.Яковлева, 13
ISBN 978-5-9221-0903-1
НИИ
9	755922 109031