В. А. Садовничий
1 А. С. Подколзин
студенческих
олимпиад
по математике

В. А. САДОВНИЧИЙ.
А. С. ПОДКОЛЗИН
Задачи
студенческих
олимпиад
по математике
/Пг^
m
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1978

51
С l'i
УДК 510
Библиотека
мате*
:
5'20Q3
20^03—107 г,, rtjj Главная гсяакцпя
t —- ——21-/8 ^фнаико-ма тематической литературы
053@2) 78 издательства «Наука», 1978
ОГЛАВЛЕНПЕ
Предисловие •
Глава I. Студенческие олнашнад-л в сузах A iyi->) . ,
Математический анализ .........
Графики G). Многочлены (8). Послочовательностп
и пределы A1). Непрерывность A7).
Дифференцирование A9). Интегрирование B5). Ряды C2).
Дифференциальные уравнения C8). Уравнения и ис-
равепства (W).
Алгебра . . . .
Матрицы а определители ('м). Системы уравнений,
группы, поля, линейные пространства D9).
Теория чисел и комбинаторика
Геометрия
Теория вероятностей ....
Глава II. Задачи Всесоюзные студенческие отмпаад
(П тур)
Олимпиада 1975 года
Олимпиада 1976 года.
Олимпиада 1977 года
Глава III. Задачи студенческих конкурсов и другие задачи
Решения, указания и отпеты
Дополнение. Обозначения и основные сведения о
математических понятиях, встречающихся и тексте
Математический анализ ^ , .
Теория множеств A59). Метрические пространства.
Открытые и замкнутые множества A61).
Топологические пространства. Открытые и замкнутые
множества AСЗ). Графики A64). Многочлены A66).

Последовательности п пределы AG8).
Непрерывность A70). Дифференцирование A71).
Интегрирование A73) Ряды A77). Дпфферспцпалыше
уравнения A81). Уравнения и неравенства A82).
Алгебра 183
Матрицы и определители A83). Системы уравпе-
ппй, группы, поля, линейные пространства A8G),
Теория чисел и комбинаторика 195
Геометрпя 197
Теорпя вероятностей . . 200
Снисок обозначений . . . . . 203
Список сокращений вузов, встречающихся в тексте . . . 206
ПРЕДИСЛОВИЕ
В последние годы большое распространение, как одна
из форм активизации научного творчества студентов,
получили студенческие олимпиады и конкурсы
но-математике. Предлагаемые на таких олпмипадах задачи носят
нестандартный характер н требуют от студента не только
прочных знаннй но программе, но н изобретательного,
творческого подхода; как правило, они иллюстрируют в
упрощенной форме ту или иную глубокую
математическую идею.
Вместе с тем, несмотря па обилие и разнообразие
материала, до сих пор отсутствует сколько-нибудь полный
и общедоступный сборник предлагавшихся на этих
олимпиадах задач.
Предлагаемый читателю сборник задач в какой-то
мере мог бы восполнить указанный пробел. Оспову
сборника составляют задачи математических студенческих
олимпиад, проводимых в различных вузах страны (I тур),
задачи Московских городских студенческих олимпиад
(II тур), задачи Всесоюзных олимпиад «Студент и
научно-технический прогресс» по секции математики,
некоторые задачи Международных студенческих олимпиад, а
также задачи конкурсов и устных экзаменов механико-
математического факультета Московского университета.
Мы полагаем, что данный сборник будет полезен
широкому кругу читателей, интересующихся строгими
математическими доказательствами и неожиданными идеями, и
в первую очередь студептам различпых вузов,
аспирантам, преподавателям, школьникам старших классов,
учителям школ, всем интересующимся математикой.
В дополнении «Обозначения и основные сведения
о математических понятиях, встречающихся в тексте»
5

собраны основные обозначения, определения,
утверждения, формулы, которые могут встретиться в тексте, а
также введены их общепринятые обозначения (см. также
список обозначении). Этот материал может оказать
помощь при усвоении условий задач и их решении н может
служить исходным при ознакомлении с соответствующим
j-аздслом математики по специальным руководствам.
В главе I «Студенческие олимпиады в вузах (I тур)»
приведены задачи математических олимпиад московских
вузов; все задачи с нечетными номерами приведены с
полными решениями или подробпыьга указаниями,
задачи же с четными номерами приведены без решении и
предлагаются для самостоятельного решения читателю.
В главе II «Задачи Всесоюзных студенческих
олимпиад A1 тур)» приведены задачи Всесоюзных олимпиад.
Па этих олимпиадах вузы были разбиты на секцпп
(в зависимости от программ по математике в этих вузак),
причем студенты первых курсов и студенты старших
курсов соревновались отдельно. Все это и указано в
тексте после номера задачи. Все задачи главы II приведены
с решениями.
Наконец, в главе II1 «Задачи студенческих конкурсов
н другие задачи» мы приводим ряд интересных и не очень
громоздких задач студенческих конкурсов, Международ-
пых олимпиад, устных экзаменов и т. и. Здесь- также
задачи с нечетными номерами приведены с решениями.
В I н III главах задачи сгруппированы но
тематическому принципу: в рамках каждой темы авторы
стремились размещать их приблизительно по возрастанию
сложности.
Авторы приносят свою глубокую благодарность всем
коллективам, проводившим олимпиады и вузах,
коллективу механико-математического факультета МГУ,
который организовал и провел ряд городских и Всесоюзных
олнмпнад, участникам математических олимпиад.
Мы особо хотим поблагодарить профессора МГУ
10. А. Казьмина, доцентов А. В. Михалева и 10. В. Не-
стеренко за полезное обсуждение условии и решении
ряда- задач, участника и победителя многих олимпиад сту-
депта механико-математического факультета МГУ С. Ко-
нягпна, с которым обсуждался замысел сборника.
В. Л. Садовничий, А. С. Подколзип
Глава 1
СТУДЕНЧЕСКИЕ ОЛИМПИАДЫ В ВУЗАХ (I ТУР)
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Графики
1. (МТИЛП, 1977 г.) Построить график функции
у = Urn sin-r'£.
2. (МАИ, 1976 г.) Нарисовать график функции
Щ" —(='D *+COS X)
3. (МАМИ, 1977 г.) Построить график функции
[|х|> 1*1 при хфО,
1^ = \\ при х = 0.
4. (МНИХ, 1977 г.) Построить график функции
.. г
и = Inn .
а-»-|-эо 1 ■+- х" — е
5. (МЭСН, 1975 г.) Построить график функцип
у = lim ГЛ + х" + (Х-/2)'1.
6. (МИИГЛиК, 1977 г.) Построить график функции
_ х2
v~ \*\W*'
7. (СТАНКИН, 1977 г.) Построить график функцип
у = cos Barccosx).
8. (МНИТ, 1977 г.) Построить график функции
у = tg Carctgx),
7

0. (MAMIIj 1975 г.) Построить график функции
у = lim(x—l)aictgxn«
П-УОО
10. (СТЛНКИН, 1977 г.) Показать, что функция
V = A + —Г возрастает при х>0, п построить (при х>0)
ее график.
11. (МИНХ, 1976 г.) Построить график функции
у = а* (*>0).
12. (МИИГЛ, 1976 г.) Построить график функции
«
dt.
t
i
13. (МЭИС, 1977 г.) Построить кривую, заданную
уравнением
£3 + IIs — Зху — 0.
Многочлены
14. (МТсхнИ, 1976 г.) Доказать, что многочлен
р (я) = 1 + -77 +|гг + • • • + ~т пс пмеет кратных корней.
15. (МЛМИ, 1975 г.) Найти мпогочлеп наименьшей
степени, принимающий максимальное значение 6 при
j=l n мннимальпос значение 2 iijni х = 3.
16. (МГН, 1977 г.) Каким условиям должны
удовлетворять числа р, q, чтобы трехчлен х3-\-рх-{-q обращался
в нуль при трех различных действительных значениях
аргумента .г?
17. (МИИХ, 1975 г.) Доказать, что всякий ненулевой
многочлен с положительными коэффициентами,
являющийся четной функцией, всюду вогнут и имеет только
одну точку экстремума.
18. (MII1IX, 1975 г.) Доказать, что любой мпогочлен
нечетной степени п ^ 3 имеет хотя бы одну точку
перегиба.
19. (СТЛНКИН, 1976 г.) Доказать, что ни для одного
мпогочлеиа р{х) с целыми коэффициентами не могу г
выполняться равенства рG) = 5; рA5) = 9.
20". (МАДИ, 1976 г.) Дан многочлен р(х) = х" +'
+ aix" -f-... -j- an с целыми коэффициентами, причем
8
р@) и рA) суть целые нечетные чпсла. Доказать, что
р(х) не имеет целых корней.
21. (МШИ, 1976 г.) Пусть р(х)—целочисленный
многочлен, принимающий значение, равное 5, в ияти
целых точках. Доказать, что р(х) не имеет целых корней.
22. (МИЭТ, 1975 г.) Мпогочлен с целыми
коэффициентами называется примитивным, если все его
коэффициенты не пмеют общего простого делителя. Доказать, что
произведение примитивных многочленов есть
примитивный многочлен.
23. (Мех.-мат., 1976 г.) Многочлен p(z) — z" +
+ a\Zn~l -f-... -f-o„ с коэффициентами из поля Р
называется линейно проводимым над Р, если его можно
представить в виде
p(z) = (Ьо2 + Ь,)(Сп2"-1 + ..-) (Ьо=^0),
где Си Ь, е Р. Найти вероятность qn того, что случайно
выбранный полином p(z)n-u степени над Z2 линейно
приводим над Z2. Иайтн lim qn.
?1->оо
24. (МИСнС, 1977 г.) Каждому многочлену р ставится
в соответствие число О(р) так, что
1) D(atpi + CL2P2) =aiD{p,) + a2D(p2);
2) D(PlP2)=D(pi)po(l/2) + р.A/2H(р2),гдеК1,а2-
произпольпые действительные числа.
а) Доказать, что D(p) =ср'([/2) (с — константа).
б) Заменим в определении D многочлены р на любые
функции /, пепрерывпые па отрезке [0, 1]. Доказать, что
в это.м случае D (/) =0 для всех таких /.
25. Пусть р(х) — многочлен степени п и р(я)^3=0,
р'{а) £= 0,..., р"-1' (а) ^ 0, р"" (а) > 0. Доказать, что
действительные корнп уравнения р(х) = 0 не превосходят а.
26. (MIICuC, 1975 г.) Доказать, что ураоненпе
хп — р{х), где р(х) — многочлен (п— 1)-й степени с
положительными коэффициентами, имеет единственный
положительный корень.
27. (МИИХпГП, 1976 г.) Доказать, что если все
корпи многочлена р(х) = а^хп + а\Хп~{ + ... -\-ап с дейст-
вительнымн коэффициентами действительны, то его
последовательные производные р'(х), р"(х), ..., p(H_I)(.r)
гоже имеют лишь действительные корпи (ао^О).
28. Пусть многочлен р(х) имеет только
действительные корни. Доказать, что если а — кратный корень р'(х),
то р(а) =0.
9

29. (МИЭМ, 1975 г.) Дано <•„+■£ + ...+ ^гу = 0.
Доказать, что многочлен с0 + С\х -f-... +с„х" имеет
хотя бы один действительный корень.
30. (МИНХ, 1975 г.) Доказать, что для всякой
совокупности действительных чисел ао, а\,...,аа и любой
точки х = х0 существу ет такой многочлен степени п,
что ри) (х0) = a~(s = 0, 1, ..., п). Выразить
коэффициенты этого многочлена через числа ая.
31. (Мех.-мат., 1977 г.) Пусть р\(х),...,р,{х)—
многочлены степенен пи ..., пг. Доказать, что если
I I ^ Г (Г — 1)
«1 + ... + тгг < , то многочлены р\,...,рг
линейно зависимы.
32. (МНСпС, 1977 г.) Пусть р,(х),..., ря(х) —
многочлены степени пе выше (и— 1)-й. Доказать, что
определитель Вронского для этих многочленов есть
постоянная величина.
33. (МЭ11С, 1976 г.) Доказать, что если все корни
многочлена p(z) = a,jz" + ... +«„ лежат в верхней
полуплоскости, то и все кориц его производной находятся
в верхней полуплоскости.
34. (МИРЭА, 197G г.) Пусть p{z) — многочлен.
Доказать, что корни многочлена p'(z) лежат в выпуклом
многоугольнике, натянутом на корпи многочлена p(z).
35. (МФТИ, 1977 г.) Доказать, что многочлен
V B-1' — ^)k — 2*h п t-1
2d I- делится на xn^1-
36. (ЛЮСИ, 1977 г.) Доказать, что если при х-+оо
функция rf(.i) ->■ со. а ее производная ф'(#) ->-0, то ц>{х)
не представима в виде отношения двух многочленов.
37. (Л1ех.-мат., 1977 г.) р(х) = с„.г" + - • • + с0 —
многочлен с действительными коэффициентами, причем сР = (J
A =g р ^ п — 1) и с, ф 0 при / ф р. Доказать, что если
р(х) имеет п различных действительных корней, то
с» I • сР ■ 1 < 0.
38. Доказать, что если последовательность
многочленов степени не выше и равномерно сходится на
интервале (д, Ь), то предел — многочлен степени не выше п.
39. (Мех.-мат., 1975 г.) Пусть f(x) — произвольный
многочлен с комплексными коэффициентами. Доказать,
что существует такая постоянная с, .что для любого мно-
10
гочлена р (х) с целыми коэффициентами число различных
целых корней многочлена j{p{x)) не превосходит
deg/? -f- с, где dcg/) — степень многочлена р(х).
Последовательности и пределы
40. (МВТУ, 1977 г.) Найш х, если
lim
,1975
J
n-*ocnx-{n—l)x l'J76"
41. (МЭИС, 1977 г.) Дано Sl = ] X Sa+l = | 2+^.
Доказать, что последовательность {Sn} имеет предел,
и найти этот предел.
42. (Л1ФИ, 1976 г.) Вычислить пределы:
1) lim /cos у cos-| ... cos —);
2) lim sin2 (л 1 rn% + n).
n-+oo
43. (МИНХ, 1975 г.) Доказать, что последовательность
2| 2 -f- у, 2 -| p, ... пмсет предел, и найти этот предел.
" ~2
44. (ДШНХ, 1977 г.) Доказать, что последовательность
Л "п—1 + 3
fli = 0, ап = - имеет предел, п найтп этот предел.
45. (МАТИ, 1977 г.) Рассмотрим отрезок АВ.
Последовательность точек {М„} строится следующим образом:
М\ — А, Мп — В, каждая точка 71/п+1 является серединой
отрезка, соединяющего точки Л/„_1 и М„. К какой точке
отрезка А В стремится последовательность {71/„}?
46. (МИНХ, 1976 г.). На гиперболе ху — 1 взяты
точки Ап и 5„ с абсциссами —^-г- и " (п = 1, 2, 3, ...)
II -f- 1 П Х I J 7 /
Обозначим Мп центр окружности, проходящей через
точки Л„, Вп н вершину ишерболы. Наптц предел {Л/,,} при
/г-> оо.
47. (МАДИ, 1976 г.) На йти предел
11

48. (МФТИ, 1977 r.J Найтп предел последовательности
к
2 1
Г
fe=n« '
49. (УДН, 1076 г.) Существует лп Iim sin я, где п —
П-»оо
патуральное число?
50. (МТИЛП, 1977 г.) Найти предел
lim
П-»-оо
— |Б1П f- Е1П + ••• + ИИ" •
, п I n ' » ' "У
51. (МИСиС, 1976 г.) Вычислить
(«,1'п п2/эт «n'n \
52. (МИНХ. 1976 г.) Функция f{x) непрерывна и
положительна на отрезке [0, 1]. Доказать, что
!£/'(T)'D)-'(T)-»p(f'"/«
. . , &
53. (МАИ, 1977 г.) При каких действительных а п Ъ
сходится последовательность: х0 — а, х\ = 1 -f bx0, ...
..., .r„+i = 1 + bx„, ...?
54. (MOIill, 1976 г.) Показать, что множество
A л "*
-гг± -к—г—: \ (пеЛ) имеет своими предельными точ-
2 2/i + l J '
ками только 0 п 1.
55. (Мсх.-мат., 1975 r.J Последовательность' {.г,,}
(п = 1,2,...) определяется следующим образом: х\ = х —
некоторая точка отрезка [0,1]; если п ^ 2, то#п = -jXn-i
1 -'- г '
при четном и и я„= ^~"~ ПР" нечетном п. Сколько
предельных точек может быть у этой последовательности?
56. Является ли точка х = 0 предельной точкой
последовательности хп=\ «sin»?
57.. (МИЭТ, 1975 г.) Вычислить
У /23— 1 £3JzJ_  — 1 \
в™^2' + 1 3^ + 1 ••' rfi+if
12
58. Последовательность {хп} такова, что х\ > 0,
^n+i = yI^" + ~]при п ^ 1. Доказать, что существует
limxn, и найти этот предел.
59. (МОИ, 1975 г.) Числовая последовательность ва-
дана соотношение*] u\ = b, u,,+ i = ип -f- A — 2а) ип + а2
(и^1). При каких значениях a a b последовательность
{ц„} сходится? Чему равен предел?
60. (МИЭИ, 1975 г.) Последовательность {#„} задана
соотношениями Хо = 1/3, хп = 0,5a.-n_i — 1 Найти Нш хп.
61. (МВТУ, 1975 г.) Доказать, что предел
последовательности
хй > 0, *п+1 = " V " * ' {а > 0)
ожп -J- a
существует, п найти его.
62. (MIICuC, 1977 r.J Пусть*й+1 = 4B*>|+-^-)
(а>0, z0>0).
а) Доказать, что последовательность {хк} имеет
предел, и вычислить его.
б) Обозначим zh разпость между Хь и пределом
последовательности п предположпм, что ъ\ =И= 0. Доказать, что
при всех А" ^= 1 будут выполняться неравенства:
^ п ^ 2 ^ *
г/, ^ ui z/i+i <. "з 2fci "ft+i <-. я7^ z'<"
Га
63. (МЭИ, 1977 г.) Пусть ах = 1, ак = А(о4_, + 1)'.
Вычислить lim П A-| 1.
64. Найти бесконечное произведение
JL A iZ 2a" +1
2 ' 4 ' 115'' * 22"
65. (МАИ, 1976 r.) Пусть {.г„} — последовательность
такая, что х0 = 25, х„ = arctg xn-i. Доказать, что опа
имеет предел, и найти этот предел.
66. (МАТИ, 1976 г.) Пусть х\, Х2, ...— все
положительные корни уравнения tg х = х, расположенные в
порядке возрастания, Чему равен lim (xn—xn-i)'t
13

67. (МИСиС, 1975 г.) Найти предел
последовательности: [/1 == х, 7/n+i = asin уп («3* 1), где |а| *£-л/2 и х —
действительное.
68. (ЫФТР1, 1975 г.) Доказать, что уравнение
х = cos х имеет единственный корень х0 и что
последовательность {хп} тацая, что Xi ~ 20, хп = cosa^-i (n > 2)
СХОДИТСЯ К Хо.
69. Найти \im n sin Bлеп\).
70. (МАДи"976 г.) Найтп
lim Him cos2fl (л/?г!.г)\.
71. (МФТИ, 1977 r.) Последовательность {.г„}
определяется рекуррентно: х„ = sinx„-i для п = 2, 3,...; х\ —
любое чцело из интервала @, я). Доказать, что хп ~ у —
при п-у со.
72.'(МАДИ, 1976 г.) Пусть а > Ь > 0. Определим
последовательности:
ах = ^^~, bx = ]/сЬ, ?2 = "' ~ bi, Ь.г = ]/«А, ...
°л + К г
• • ■) an+i — —^~2—~> Ъп+1 = у апЪп, ...
Доказать, что пределы этих последовательностей
существуют и равны.
73. (МФТИ, 1976 г.) Пусть lim хп = я, lim yn = Ъ. До-
казать, что последовательность
_ a-J.V,, + ГгУп-1 + • ■ • -г г„Ю
Zn- -
сходятся к аЪ.
74. В трехмерном пространстве заданы
последовательности точек {А„}, {Вк}, {С*}, {A,}, {Е,}, причем точки
Аь+и Sft+i, Ch+i, Dk+i, Ek+i являются серединами отрезков
АкПь, BhCh, CkDk, DhEk, EhAh соответственно. Доказать, что
в/е пять последовательностей сходятся к некоторой
точке О.
75. (Л1ИЭМЬ_1976 г.) На сторонах треугольпика папн-
саны три числа а\ , ail), al3l). Эти числа стирают и вместо
каждого пишут среднее арифметическое соседних (так
14
fl) B) 2 * 3 (t)
что вместо (t\ пишут а\ = гг"*— » вместо яг пишу г
B) e(l', + eV) М) B) 4" + 4"
«2 = -^——i вместо из ' пишут 4 = г~"
С полученными числами проделывают то же самое и т. д.
Доказать, что lim а\п) существует (i = 1, 2, 3) и равен
я<1>-1_„<1) J./.U)
°. + 4" + °з
3 '
76. (МГШ1, 1975 г.) Пусть р — простое число; а а Ь —
целые числа, а2 + аЪ — b2^0 (mod/?), v0 = a, V\ = b,
fiiti = "n-i + "» (n;^l). Доказать, что
последовательность {t;„(uiod/>)} чисто периодическая и ее период ие
зависит от чисел а и Ь.
77. (Мех.-маг., 1977 г.) Пусть а\, Яг,
•••—последовательность различных натуральных чисел, пе меньших 2.
Доказать, что из нее можпо выбрать
подпоследовательность aiit au,... такую, что a,-ft > '&.
78. (МИЭМ, 1975 г.) Дана последовательность
положительных чисел {ап}. Доказать, что lim I -— ) >£•
79. Дана система положительных чисел {alh} (j.k —
= 1,2,...), причем liin fl,A= + oo для любого /'. ДЪка-
fc-*ot>
зать существование такой последовательности {Ь,) (/; =
= 1,2,,..), что
Limb* = + 00, lim-^- = 0 (/ = 1,2,...).
fe->» k-*x aik
80. (СТАНКИН, 1976 г.) Известно, что
последовательность {bn} сходится. Может ли последовательность
{с„}, где с„ = n{b,t— t„_i), стремиться к оо?
81. (УДИ, 1977 г.) Вычислить предел
11511 2* — (ьо-чи— •
82. Пусть число s > — 1 фиксировано. Найти
lim ! '—.
15

S3. (ЫИИТ, 1977 г.) Пусть [х] — наибольшее пелпе
число, не превосходящее х ц {х} = х—[х]. Наши
lim{B+j/3)"|.
84. (Мех.-мат., 1977 г.) Пусть {/„} —
последовательность действительных чисел, причем
lim Wn-^-'Wa = а + р;
lim ^"/я-1/я+1=аР (|«|<|PD.
Доказать, что
lim—^- = а.
7i - 'ТО ' II -j- I
85. (МИЭП, 1975 г.) Последовательность {#„} удов-<
лстворяет условию 0 =£ хт+п ^ х„ + хт для всех т а п.
Доказать, что последовательность |—М сходится.
86. (Мех.-мат., 1976 г.) Дана определенная па всей
прямой действительная, дифференцируемая,
периодическая с периодом 1 функция /(•£), причем в любой точке
х справедлива оценка \f{x) | < 1. Рассмотрим следующее
отображение ирямой р: х—*-х-\-f (х). Доказать, что
п —1
lim Д- + Р Ы + Р (р Ш + ■ - ■ + р{р (". ■ ■ Р (=0 ■ ■.))
существует и не завнепт от х.
87. (Мех.-мат., 1У7С г.) Доказать, что
88. (Мех.-мат., 1975 г.) Последовательность {Ап}
определяется условиями
А2
Л0=1, Л„+1 = .1„--1щ- (п^О)'.
Вычислить Л1975 с относительной погрешностью не более
1% (требуется дагь ответ, а не оценку ошнбкп).
1С
Непрерывность
89. (МТИГШ, 1977 г.) Привести пример функции,
испрерывнои ири всех действительных значениях х, кроме
я = 0, ±1, ±2, ±у,±3, ±-д-, ...,±п, ±-,...,
где функция имеет бесконечный разрыв.
90. (МАДИ, 1976 г.) Можно ли утверждать, что
квадрат разрывной функции есть разрывная функция?
91. (МИЭМ, 1977 г.) Функция f(x) равномерно
непрерывна на @, +00)- Можно ли утверждать
существование пределов lim/(x), lim /(ж)?
к-»4-° в-»-4-ов
92. (МИНХ, 1977 г.) Функция j(x) непрерывна при
з-^О и liiu / (а:) = с. Доказать, что J(x) ограничена
X->-f-=o
на [0, -f-oo).
93. (МИИТ, 1976 г.) Существует ли функция,
значение которой конечно в каждой точке отрезка [0, 1], но
не ограниченная в любой окрестности любой точки этого
'»/ отрезка?
^ 94. (МИНХпГП, 1976г.) Пусть /{х,у) = я^*£_у)г'
^, Показать, что lim (lim (/ (х, у))\ = lim (Iim(/(;r, i/))\ = 0
'4N к—0 \v->0 J V-0 \x-f0 I
п тем не менее lim f(x, у) не существует.
»—0
95. (УДИ, 197С г.) Доказать, что функция {(х, у),
непрерывная по каждой переменной х н у в отдельности
ц монотонная но у, непрерывна по совокупности
переменных.
96. (МНИТ, 1975 г.) Доказать, что если функция
непрерывна па отрезке и имеет обратную функцию, то она
монотонна па этом отрезке.
97. (МИНХ, 1976 г.) Функция f(x) определена и
непрерывна на окружности. Доказать, что найдутся две
диаметрально противоположные точки а и Ъ тагше, что
На) = /(b).
98. (МИСИ, 1977 г.) Доказать, что Ух «= ^ — arctgz
и j/2 = — являются эквивалентными бескопечно малыми
величинами при я—»--f-oo.
I —COS X " '
99. (МИХМ, 1976 г.) Найти lira \ i + zV.
Бибиис-г-:- и-титута j ** '
СвДОВДИЗ&П, А. С ПОД1ИЙ18«И'Ч I II
. -л.1 осо I
Н)
2 В. А

100. (МИИХиГИ, 197E г.) Найти предел
,. I. пх \Ux
x-r+х \ «-а: г * /
101. (МАИ, 1976 г.) Найти предел
Inn — .
х->+0 l/sin г
102. (МИХМ, 1977 г.) Вычислить lim*jAI —х + sin х.
103. (МЭСИ, 1977 г.) Определить Лиц таким образом,
чтобы имело место равенство
lim (Vi - *? - Ъх - u) = 0.
w /лип in— wi. i- sin(ex—1) —(es,n*_ 1)
104. (МАИ, 19// r.) Найти lim ^—^ -J-.
x->0 Mn "*■*
105. (М11ЭТ, 1977 r.) Вычислить
|;m 'g(tgar) — sin (sin .r)
x-0 1ё * — sin л
106. Функции /(а:), #(г) заданы на всей оси и
существуют последовательности {.rj, {yh} такие, что
равномерно на всей оси lim f (x -f xh) = g(x) + Л,
lim / (x + i/fc)=g (a-) + fi, где Л, fi — постоянные. Дока-
зать, что если }(х) ограничена, то А = В.
107. (МИЭИ, 1975 г.) Функция /(*) определена на
полуоси [0, + со) и равномерно непрерывна на ней.
Известно, что lim/ (х + п) = 0(п — целое) для любого х^0.
71->-{-оо
Доказать, что i lim f(x) = 0.
108. Функция /(х) определена на интервале (а, Ь)
н удовлетворяет условию /(?.2i + A — АJ2) < ty(*i) +
+ A —л)/(-гг) для любых «i, .г2е(я, 6) п для любого X
такого, что 0 < Л < 1. Доказать, что f(x) непрерывна
па (а, Ь). Верно ли то же самое, если вместо интервала
(я, Ь) взять отрезок [а, Ь]>
109. (МИУМ, 1976 г.) Пусть А — кольцо всех
функций, непрерывных на [а, Ь], /с.4 — собственный идеал
18
этого кольца. Доказать, что если /|, ..., /„е/, то
существует точка хц^[а, Ь] такая, что fi(xo) =0 для каждого
i=l, п.
110. (МИИТ, 1976 г.) Пусть функция/(.г) непрерывна
на [0, 1] и /@)=/A)=0. Доказать, что существует
функция g{x), непрерывная и с выпуклым вверх
графиком такая, что g{0) =g(l) "=0 11 g(x) ~^f{x) на всем
отрезке [0, 1].
111. (МГПИ, 1975 г.) Существует ли непрерывная
действительная функция, определенная па отрезке [0, 1],
принимающая каждое значение нз отрезка [0,1] в
континууме точек?
112. (МГПИ, 1976 г.) Существует ли непрерывное
отображение отрезка [0, 1] па квадрат [0, 1]Х[0, 1]
такое, что прообразом каждой точки квадрата служат ровно
две точки отрезка?
113. (Мех.-мат., 1976 г.) Пусть Е — подмножество
отрезка [0,1] и /(.г)—действительная непрерывная
функция на Е. Доказать, что ее можно доопределить во всех
остальных точках отрезка [0, 1] так, чтобы она
оставалась непрерывной на Е.
Дифференцирование
114. (МФИ, 1977 г.) Доказать, что выражение 5 =
- у" 3 (у"\2 I /
— —, "9~^~1 не изменится, если заменить у на 1/г/.
115. (МТИПП, 1977 г.) При движении лодки в
спокойной воде сопротивление среды вызывает замедление,
пропорциональное скорости движения. Моторная лодка
движется в момент остановки мотора со скоростью
200 м/мпн. а через 1/2 минуты уже со скоростью 100 м/мпн.
С какой скоростью она будет двигаться через 2 минуты?
116. (МАДИ, 1977 г.) Пусть
/(*,!/) =
ху *г + yg при хг + у*^0,
0 при х — у — 0.
Справедливо ли равенство
дЧ (г. »/) _ д"Цх. и
дх ду ду дх
10

117. (СТЛНКИН, 1976 г. J Пусть
... . , sin За; , sin 5т . sin 7x
f (x) = sm а: -| 5 ' 5 ' Т~'
Показать, что /'(л/9) = 1/2-
118. (МАДИ, 1976 г.) Оцеппть абсолютную погреш*
пость приближенной формулы tg х « х -f- -^ при \х\ ^0,1.
119. (СТЛНКИН, 1977 г.) Нантп производную
десятого порядка при х = 0 ог функции у — a:2cos2г.
120. (МЭСИ, 1975 г.) Построить функцию,
дифференцируемую в точках х\ = U, #2=1, хз = 4 и разрывную
в остальных точках.
121. (МИСнС, 1976 г.) Пусть f(x)l = (I + x\Ux при
х > 0. Доказать, что
/(х) = е + Ах-{-Вх2 + о(х2) при х-* + 0.
Найти /1 п В.
122. Функция /(.г) определена па всей осп п
обладает следующим свойством: f(x -f- Ac)— f(x) =A(x)Ax-{-
+ a(.r, Ax) (— 00 < x < + 00), где |ce(x, Ax) | ^ C|A.z|3,
f = const. Доказать, что /(x) = Ax -\- В, А = const,
В = const.
123. (MUCH, 1977 г.) Пусть /(.r) — почетная,
дифференцируемая па (— oo, -f- со) функция.
а) Доказать, что f (г) —четная функция.
б) Верно ли обратное утверждение?
124. (МИФИ, 11375 г.) Пусть /(.г) — четная функция,
он ре именная на отрезке [—а, а] п имеющая в точке
х=0 все производные. Доказать, что все производные
нечетного порядка этой функции нрн х = 0 раины пулю.
125. (МИСИ, 1977 г.) Пусть /(х)—четная, дважды
непрерывно дифференцируемая функция, причем /"@) ф
ф 0. Доказать, что точка х = 0 является точкой
экстремума этой функции.
126. (МТскстИ, 1977 г.) Пусть f(.v) дважды дпффе-
ренцнр\сма на @, oo), lim / (х) ~ 0 и |/"(.г)| ^1 при
0 < .г < со. Доказан., что lim /'(.г) = 0.
127. (МПСпС, 1975 г.) Пусть функция /(.г)
дифференцируема на отрезке f0, J] и /'@) /'A)<0. Доказать, что
на интервале @, I) найдется такая точка с, что //(с)=0.
128. (М.')СИ. 1976 г.) Функция /(.г) дифференцируема
на отрезке [а, Ь]. При переходе через точку | е (я, Ь) про-
20
пзводнал f'Jx) мепяет знак п /'(tj = 0. Доказать, что
существуют такие а, |3е[я, Ь], а<Ср\ что /(Р)—/(ее) =0.
129. Фупкция /(.г) ил1еет на нолуоси @, + оо)
непрерывную производную, /@) = 1, |/(я)|<;е-* при всех
х ^ 0. Доказать, что существует такая точка x0l что
/'(*<>) =-*-
*•.
130. Пусть функция f(x) дважды дифференцируема
па всей осп и ограничена. Доказать, что найдется точка
Хо, в которой /"(.г0) = 0.
131. (УДИ, 1976 г.) Пусть функппя f(x)
дифференцируема на сегменте [xi, X2], причем 0 < Xi < х%. Доказать,
что
1
Tf ** | = /(Е) —е/'(Ю.
где ; <= (.п. х2).
132. (МГПП. 1975 г.) Пусть функция /(.г)
непрерывно дифференцируема на интервале (а, Ь). Верно ли, что
для любого 0 е (а, Ь) обязательно найдутся такие
Zi.a^e (а, Ь), что
х2 ^l
133. (МЭСИ, 1977 г.) Функция ф(х) дифференцируема
п удовлетворяет условию (f'(x) = F((f(x)), где F{x)
имеет производные всех порядков. Доказать, что функция
<j(.r) также имеет производные всех порядков.
134. (УДИ, 1977 г.) Пусть /(i)eC'(o, b) н
существует последовательность чисел Со, Ci,..., с„ такая, что
^ с? ф 0 п ^ сг/(,) (х) s= 0. Доказать, что тогда /(.г) е
i (I i=--0
EC"(fl,fl).
135. (МИСИ, 1977 г.) Известно, что у = /(.г) имеет
наклонную асимптоту и f"(x) > 0. Доказать, что график-
функции у = f(x) приближается к этой асимптоте сверху.
136. (МПСиС, 1975 г.). Функция f(x) непрерывно
тфференцпруема п выпукла вверх на полуоси @,+ со).
Известно, что lim f(x) существует н конечен. Доказать,
что lim/'(.г) = 0.
137. "(СТЛНКИН, 1976 г.) Непрерывная функция f(x)
называется выпуклой, если для любых а и b Д—5—) ^
21

\
s^2"(/(rt) v /(b))- Доказать, что если f(x) выпукла, то
«) /("' ~'„' + ап )>-}(/К)-!-•••+/Ю);
б) /Ыр^Л>^ ptf (а,), если Pl>0, 2/>i = Ь
138. (.МИНХиГП, 1976 г.) Всегда ли произведение
двух вогнутых функций есть вогнутая функция?
39. (ВМК МГУ, 1976 г.) Пусть функция /: (a, b)-*R
непрерывно дифференцируема, и пусть для любых хну
из (а, Ъ) существует единственная точка z такая, что
—— — = /'(z). Доказать, что /(х)—либо строго вы-
пуклая, либо строго вогнутая функция.
140. (МИЭМ, 1977 г.) Функция f(x) дифференцируема
на отрезке [0,1], причем выполнены условия: /@) =0,
\/'(х) | < К\/(х) |. Доказать, что /(х) н= 0.
141. (МИРЭА, 197С г.) Пусть /(.г) - бесконечно
дифференцируемая на (— оо, -f- oo) функция такая, что
1) существует L > 0: \}'"'(x)\^L для всех ie
«= ( — °°, + °°), raeLV;
2) /A/п)=0дляп=1,2,3,...
Доказать, что }(х) е== 0.
142. Функция f(x) дифференцируема 1р + 1 раз на
интервале (а, Ь) и имеет непрерывную на [а, Ь]
производную порядка 2р; на концах отрезка она обращается
в пуль вместе со своими производными до р-то порядка
включительно. Доказать, что на интервале (а, Ь)
найдется точка | такая, что /l2p+1)(l) = 0.
143. (МИЭТ, 1976 г.) Пусть
. . ( .г2 sin—, хФО,
I 0, х = 0,
и функция /(х) дифференцируема в точке х = 0.
Доказать, что функция f(q>(x)) имеет в точке х = 0
производную, равную П.
144. (МИЭИ, 1975 г.) Справедлива ли формула
коночных приращений Лагранжа для функции
/(■0 =
1
я sin— при
X
L
при х — 0?
х^0,
22
145. "(МШГГ, 1976 г.) Сколько раз дифференцируема
в нуле функция
и \ _ f xhs\n(i/x), x^O,
П)~\0, х = 0,
ц сколько ее производных непрерывны в нуле?
146. (МИСпС, 1977 г.)
/(х) = (е" ПРИ Х>°'
[ 0 при as^O.
Доказать, что f(x) бесконечно дифференцируема.
147. (МИЭТ, 1977 г.) Пусть ](х) дважды
дифференцируема. /@)=/A)=0 и min/(a)= —1. Используя
»elo,ii
формулу Тейлора, доказать, что max f" (x) ^ 8.
148. (МНХМ, J976 г.) Функция 1(г,у) имеет
непрерывные частные производные. Известно, что /@,0) =_0
и при x2+t/2<5 |grad/| < 1. Доказать, что /A, 2) «S |'5.
149. (МФТИ, 1976 г.) Автомобиль начинает
движение в пункте А и заканчивает его в пункте В. Расстояние
S между этими пунктами он проходит за время Т.
Доказать, что в некоторый момент его ускорение по абсолют-
нон величине оудет не меньше чем ^-
150. (МФТИ, 1977 г.) Функция j(x), определенная
на [0, + °°), продолжается на всю ось по формуле
/(*) =
[ 1(х) ПРИ 2^=0,
п
2j Я;,/(— kx) ирн x<^0.
fc=i
Доказать, что коэффициенты ah можно выбрать так,
чтобы для любой функции }(х) е с7"_1[0, -f- со) функция
/(.г) была п — 1 раз непрерывно дифференцируема на
всей оси.
151. (МФТИ, 1976 г.) Пусть /(.г) бесконечно
дифференцируема на интервале (—а,а), и пусть
последовательность fn)(x) сходится равномерно на (—а,а). Пусть
lim/,n)@) = 1. Найти lira/'"'(ж).
152. Функция f(x) определена на всей осп, имеет
производные всех порядков н |/("' (х) — /("_,'(r) | < 1/п2
для любого х. Доказать, что lira/1 л(х) = сех, с = const.
23

153. (ВМК МГУ, 1970 г.) Пусть /(z)" — бесконечно
дифференцируемая функция, отображающая [0, +°°) на
@, 1], причем (— 1 )*/'*'. W> 0 для к = 0, 1, .... хеа
J 4 (х\
е [0, +°°)- Пусть g(x)— -Доказать, что тогда
(-l)V"(z) >0.
154. (Мех.-мат., 1976 г.) Пусть f(x\, л:,,)—гладкая
функция. Сколько существует производных порядка
к от /?
155. (УДН, 1977 г.) Фупкцпя р{х) порождает цикл
порядка п, если р(х) = р"" (х) п р(д:) гй= р(*>(л:) при
А- < и. Доказать, что для любого натурального п
существует функция, порождающая цикл и-го порядка.
156. (МФТИ, 1976 г.) Доказать тождество
157. Функция f(x) имеет производные всех порядков
на интервале (—i,i); в точке х — 0 все они
отличны от 0. Пусть для 0<|я|< 1 и натурального п
написана формула Тейлора
/(*) = / @) + Г @) х + ... + f[~^ *"-' + ^р. *",
где 0 < 6 < 1. Найти lim 6.
а-—A
158. (Мех.-мат., 1975 г.) Фупкцпя /(z) бесконечно^,
дифференцируема на интервале (а,Ь), причем /ln)(-r) s^ 0
при всех п = 0,1,2,... Пусть #о^(а, й). Может лн ряд
Тейлора функцпп /(.г) в точке хо расходиться при всех
х ф х?.
159. (Мех.-мат., 19/7 г.) Функция f(x) определена
п дифференцируема на @, + °°); Я — действительное.
Доказать, что фупкцпя /'(#)+Я/(#) не убывает тогда
и только тогда, когда не убывает /'(.г)^и.
160. Па отрезке [с, Ь] задана функция }(х),
обладающая производными всех порядков, равная пулю на
бесконечном мпожестве точек и пе равная _тождествеппо
нулю пи на каком отрезке. Доказать существование такой
монотонной последовательности точек (с„},что \1{п){сп) |->
i-*-oo при и-*- оо.
161. (Мех.-мат., 1977 г.) Пусть /: /?"->/?'
удовлетворяет условиям:
24
а) для каждого х = {х\, ..., хи] из /?" существует
lim /<*>-'<°> дУ(д1,...,,,);
/-Ч-о '
б) Г(«ж + Ру)=а^(а-)+рУ(у);
в) существует Л/ > 0 такое, что [/(я) — /(у) | <
Л/ ||/- у ||.
Доказать что f(x) =/@) -f- V(x) -f-o(||z||) при х-*-0.
Интегрирование
162. Что больше:
я
Г esin'xdx или -^?
и
163. (МФТИ, 1977 г.) Найти положительную
дифференцируемою на [0, -f-оо) функцию f(x), если известно,
х
что при замене независимой ' переменной 6 = J / @ с"
о
она переходит в функцию е~ъ.
164. (МВТУ, 1975 г.) Доказать, что функция у =
х
= ех' i c~pdl является монотонно возрастающей. Какому
о
дифференциальному уравнению первого порядка она
удовлетворяет? С каким начальным условием?
165. Функция f(x) интегрируема па [0,1], причем
\ f (x) dx ^> 0. Доказать, что существует отрезок [а, Ь] с
о
cz [0, 1], на котором }(х) > 0.
166. (МИПХ, 1975 г.) Обнаружить неточности в
следующей цепи рассуждений: интегрируя но частям в
интеграле \ C0SX dx (—.— = и, cos x dx = dv, du — — cos„r dx,
1 J sin x I sin x sin2 a:
i-' = sina:), будем иметь
■" cos x , I . , Г • ens r ,
I ——dx — -. sin x 4- \ sin t . „ ax =
J siliar sin i J sin^a;
1 "I" J sin:r 'J sin* TJ sin a:
откуда 0=1 = 2 = ... = п.
25

167. (МИПХиГП, 1976 г.) Вычислить площадь,
ограниченную кривыми
\х2 -f У2J = 2о2 (s2 - jf), а8 4- У2 2* о-2.
168. (МИСИ, 1975 г.) Дано параметрическое уравне-
ние эллипса: х = 2cos ф, у = sin ф, а = 2, Ь = 1
—полуоси. Зная, что р2 = х2 ^-у2, студент вычисляет площадь
эллипса так:
/ я/2 \ П/2
S =» 4 (у f р2Лр I = 2 f Dcos2 ф 4 sin2 ф) Ар = ■§-."
Известно, однако, что S = лаЬ = 2л. В чем ошибка
студента?
169. (МЭИ, 1977 г.) Найти кривую, для которой
площадь Q сектора, ограниченного самой кривой г = г(ф)
и полярными радиусами ф = 0, ф = ф1, вычисляется по
формуле Q = у r2 (ф,)-
170.(МЭИ, 1977 г.) Точка А находится внутри
окружности радиуса а на расстоянии b от центра. Вычислить
площадь, ограниченную геометрическим местом
оснований перпендикуляров из А на касательные к окружности.
171. (МТИПП, 1977 г.) Вычислить массу земной
атмосферы (землю считать шаром радиуса /?0), если
плотность ее вещества меняется по закону y(/t) = ■yjer'"',
где h—расстояние от поверхности Земли.
172.(ВТУЗ —ЗИЛ, 1977 г.) Найти цсптр тяжести
тонкостенной оболочки, имеющей форму параболоида
вращения г = 1 — {х2 4 У2) (х2 4 У2 ^ 1) •
173. (МИИТ, 1977 г.) Определить объем тора (тела,
полученного вращепнем круга радиуса Е вокруг не
пересекающей его оси). Расстояние от центра круга до оси
равно d.
174. (МИНХвГП, 1976 г.) Вычислить объем тела,
я Угг + у» , _ п
ограниченного поверхностями z = с cos ^—=—, г — и,
у = х tg а, у = х tg (J, где а > 0, с > 0, 0 < а < р < 2л.
175. (МТИПП, МГИ, 1975 г.) Пространственное тело
Т, состоит из всех точек, находящихся на расстоянии,
не большем к, от данного выпуклого многогранника S.
V (г)
Пусть V(r) —объем этого тела. Найти lim ——.
r-*-J-» f
26
176. (МОПИ, 1976 г.) Найти j(-l)[xW
177. (МТекстИ, 1977 г.) Вычислить
1
\^f-dx (а>0,й>0).
о
178. (МИЭИ, 1975 г.) Доказать формулу Фруллапи
и
ею
Г / (*) л
если f(x) — непрерывная функция и \ -j- ax сходится
А
при всех А > 0.
179. (МАДИ, 1977 г.) Известно, что если f(x)
монотонна
о
Найти предел
и Г / (х) dx сходится, то \ / {х) dx = lim h V / (nh).
предел
|н;Ч1 - о(гфт + TT? + - + Г775Г"!"-)-
со
180. (МАДИ, 1977 г.) Вычислить интеграл Г xdx ,
о +:
V 1 л2
если известно, что Z* ~^~~ ~о~'
п=1
» 2Л
181. (МИЭМ, 1976 г.) Доказать, что ] sin Л/ж > 0.
о
182. (МИФИ, 1975 г.) Функция 1(х) непрерывна на
отрезке [0,1]. Доказать, что
я л
\ xf (sin z) dx = у \ / (sin x) dx.
и и
183. (МФТИ, 1977 г.) Пусть j(x) непрерывна па [о, Ь]
,1 г, + г., \^ I (.г,) + /U2)
п удовлетворяет соотношению /I—^—1^* 2 "'
27

Доказать, что
/(•ф)(*-а)<|/(*)«ь< t(a)V{h) (b-°)-
а
184. (МИИТ, 1970 г.) Доказать, что если f(x) и g{x)
непрерывны и обе либо возрастают, либо убывают на
[0, 1], то
1 1 1
\f(x)g(*) dx> j/{х) их j£[х) clx.
5 и о
185. Функция f(x) непрерывна п поло?кнтельна па
-J-00
всей осп. Известно, что J е-"-3-1/ (х) clx ^ 1 при всех t,
—оо
ь
Доказать, что при всех а п 6 (а <С Ь) J / (л:) с/ж ^ —^ \- 1.
а
186. Функция /(.г) имеет непрерывную первую
производную на отрезке [0, 1 ]. Доказать, что
1 /1 i
j | / (.т) | clx < max I J | /' (x) | dx, j / (a) <fe
0 \0 0
187. Доказать, что для непрерывно дифференцируо-"
мой па [а, Ь] функции /(д.)
ь
max | /' (х) | > Tr4-ri \ | / {х) I Лг, если / (о) = / (Ь) = 0.
а
188. (МИЭМ, 1976 г.) Пусть /(.г) непрерывно
дифференцируема па [0,1] и /A) —/@) = I. Доказать, что
1
|(/'(.г))Ыг>1.
о
ОО
189. (МГМИ, 1977 г.) Доказать, что J -
dx
0 ,.+x»)(l+iB)
пе зависит от величины а.
190. (МЭИС, 1970 г.) Пусть f(x, у) —
дифференцируемая в единичном круге функция и /@,0) = 0, Доказать,
28
191. (МФТИ, 1976 г.) Пусть интеграл j" /(ж)dx схо-
+°°
днтся и равен J. Доказать, что интеграл \ fix ^~)^х
также сходится и равен J.
192. (МИЭМ, 1975 г.) Доказать, что если функция
оо
f(x) непрерывна при х ^ 1 и интеграл J xf (x) dx cxo-
1
•о
дится, то сходится и интеграл J / 'x) dx.
1
193. (МИИТ, 1976 г.) Существует лп функция, непро-
рывная и положительная на [0, + °о) такая, что ] f(x)dx
о
сходится, но /(х) не стремится к 0 при z->- + oo?
194. Фунвдия ](х) неотрицательна и имеет первую
производную на полуоси х ^ 0, |/'(х)|^2, причем
=0?
\ f{x)dx сходится. Следует ли отсюда, что lim / (х)
195. (МВТУ, 1977 г.) Исследовать па сходимость
интегралы:
оо оо
xdx
&) и+^Х' с> W
+ х2 cos2 х'
/ '°
196. (МГИ, 1977 г.) Функция f(x) поочередно
принимает на интервалах [0,12), [12,22),..., [(л—1J,л2)
значения 1 п —1. Доказать существование предела
i
lim — \ / [х) dx и найти его.
1-»оо ' J
о
197. (МФТИ, 1977 г.) Исследовать на сходимость ин-
-оо
f вх
J 1 -f j.a bin2 л
a»
теграл

198. (MIIIIT, 1977 г.) Функция f(x) определена, нр-
прерывна и строго положительна на отрезке [0, 1]. Найти
lim ( \ ) f(x)dx ] .
199. (УДИ, 1977 г.) Вычислить предел
lim f|/(.t)|Pdr , где /(л)еСЮ, 1].
р—+°° \о j
200. (МГИ, 1975 г.) Доказать, что уравнение
а
о ч '
имеет корень а, лежашнй на интервале E0, 100).
201. Пусть непрерывная функция f(x) такова, .что
J xnj (х) dx = 0 при всех n^N. Показать, что f(x)
в
на отрезке [о, Ь] обращается в нуль по крайней ы£ре
Л + 1 раз.
202. (МГПП, 1976 г.) Доказать, что если для
непрерывной на (--°о, +°°) функции f(x) выполняется
I /(/) c7f =s 0, то f(z) периодична.
к
203. (МИИТ,1975 г.) Существует лп функция }(х)
па отрезке [0,2], удовлетворяющая следующим условиям:
/ непрерывно дифференцируемая па [0, 2],/@) =/B) —
I О I
1. !/'(*) 1<1,
\f{x)dx
<1?
I« I
204. Пусть функция f(x) непрерывна на [0,1], {хк} —
последовательность точек отрезка [0, 1], причем если
(я, Ъ) cz [0, 1] и Nn(a, b) —число точек из множества
{.ri,..., хп}, попавших в интервал (а, Ь), то lim - NH (я, b) =
= b — а. Доказать, что
п I
lim 4" 2/Ы= \l{x)dx.
SO
205. (МИЭМ, 1977 г.) Доказать, что если /еС2[0,1],
то
lira n
и ft=o \ '
/П)-/@)
206. (МИЭМ, 1976 г.) Пусть Р(х,у) и Q(x,y)
-функции класса С1 на всей плоскости. Известно, что
\ Р {х, У) dx + Q{z\ У) cty = 0 по полуокружности у =
= J/o H- ]'№ — (ж — хоJ, причем хо, j/o, R — любые.
Доказать, что Р(х, j,)e=0 и *££-2> = 0.
207. (УДИ, 1977 г.) Функция /(.г) непрерывна на
[а, Ь\, и для любого сегмента
I*
имеет место неравенство
§f(x)dx
а, р] (а ^ а < р < Ь)
<Л/|Р-а|' 6(Л*,б-
положительные константы). Доказать, что /(а:) = 0 па
[0,Ь].
208. (МЭИ, 1977 г.) Пусть функция f(x,y)
непрерывна вместе со своими вторыми производпымп в круге
В радиуса R, причем j \ (/«Л,, — (f*yY) dxdy <0 для
'е
любого подмножества Е Е В. Доказать, что f(x, у) не
достигает максимума и минимума внутри круга В.
209. (МФТИ, 1977 г.) Пусть ч — простая замкнутая
кривая с непрерывной кривизной, ограничивающая
выпуклую область D. Вцедем функцию р(х, у), равную
кратчайшему расстоянию от точки (х, у) до кривой, взятому
со внаком минус, если (х, у) е D, и со знаком плюс, если
(х, у)ФБ. Доказать, что при достаточно малых а > 0
J J Р (х. У) dx dy = -j- ла3.
|Р|<а
210. (МИСпС, 1976 г.) Доказать формулу Пуассона
1
( f / {ах + by+cz) ds*= 2л J / (и У а? + б2 + с2) du,
s —1
где S — поверхность сферы х2 + у2 -f- г2 = 1.
2^1. (МФТИ, 1976 г.) Пусть у(х, у, z) u if (ж, у, г) —
дважды непрерывно дифференцируемые в области
Si

1/2 •< г •< 2 (г = ~\!х2 -f У2 + z2) фупкппи. Доказать, что
поток вектора grad q X grad ф через сферу г = 1 ранен
нулю.
С X dY — У dX
212. (МНСпС, 1976 г.) Вычислить Ср А-а + У* '
с
где X = ax + by, Y = cx + dy, ad—be ф О, С — простой
замкнутый контур, окружающий начало координат.
213. (МФТИ, 1976 г.) Вычислить интеграл
\\\\ е^Лх-хк1х^х^х.^х 4,
где {Ах, х) = 2j aaxixj — положительпо определенная
квадратичная форма, a D — область (Ах, х) ^ 1.
Ряды
214. (МА'Ш, 1977 г.) Привести пример расходящегося
знакочередующегося ряда, общий член которого стремится
к пулю.
215. (МИФИ, 1975 г.) Построить пример сходящегося
со
ряда ий„ с положительными членами, у которого ап ф
фо(\~1п).
216. Привести пример такого сходящегося ряда
СО го
2i an, что ряд 2j an In n расходится.
П=1 71=1
го
217. Привести пример такого сходящегося ряда 2 апу
11=1
эо
что ряд 2 ап расходится (о„ — действительные числа)'.
218. (МИРЭА, 1976 г.) Существует ли сходящийся
оо ос
РЯД 2 ап> Для которого ряд 2j a«<+1 Расходится для
71=1 п=1
всех к = 1, 2, 3,...?
219. Последовательность {Ь„} (я = 1, 2, ...) такова,
что 6„ > 0 и liin bn = -f оо. Построить последователь-
П~*О0
пость {о„} такую, что а„ ^ 0, 2fln < °°> 2 апЬп = + оо.
п=1 п=1
32
220. (МИОТ, 1977 г.) Пусть ряд 2 ап сходится
п=1
и а,, > 0. Доказать, что существует последовательность
b\ ^ bz ^ ... ^ Ьп ^ ... такая, что Нпт Ьп = оо и рЯд
71-»оо
2 аФп также сходится.
п=1
221. (Мех.-мат., 1976 г.) Привести пример такой
последовательности натуральных чисел {»;,}, что
V 1 ^ V '
, — <С ~>°, /, — = оо-
ft=l к h=l "h
оо
222. (МГИ. 1976 г.) Доказать, что ряд 2 ~irz РаС"
11=1 Л | П
ходнтся.
оо
223. (МИПСН, 1977 г.) Сходится ли ряд 2£ „« _\n J
П=1
со
224. (МШИ, 1977 г.) Сходится ли ряд 21 ПГ7|?
71=2
22.x (МИРЭА, 1976 г.) Исследовать па сходимость ряд
ос
2 я„,где О] = 1, о„+] = cosfl,,.
71— I
226. (МТИЛП, 1977 г.) Исследовать сходимость ряда
оо
71=1 ^ '
227. (МИРЭА, 1977 г.) Исследовать на сходимость ряд
ос
V _!_ где ,г„ — положительные корни ypaBnenim.r=tg.r,
,~ 4'
занумерованные в порядке возрастания.
228. (МИРЭА, 1977 г.) Исследовать на сходимость
оо
V 1
положительный ряд - —, где хп — положительные
корпи уравнения х = lg }'x, занумерованные в порядке
возрастания.
оо
229. (МФТИ, 1977 г.) Рассмотрим ряд У £111.
71=1
Разобьем Д'-ю частичную сумму этого ряда на два
3 В. А. Са ишничнй, Л С По «келлш 33

слагаемых
с V4 sin п с4- . с—
п-1 "
где Sjy и Stf — суммы соответственно положительных
и отрицательных членов. Доказать, что существует Hi» —?
JVT-»cxjb jy
и найти его.
230. (МТекстН, 1977 г.) Пусть ряд 2С ап расходится,
ос
а„~>0 и Sn = ai+ff2+- • •+(!„. Доказать, что ряд ^ -J2
Л"
и=1 ч
расходится.
231. (МЭИ, 1975 г.) Дан ряд 2йи(я„>0). Пусть
существует
iim ; "; = g.
Доказать, что при q > 1 ряд сходится, а при g < 1 —
расходится.
232. (МЛДИ, 1975 г.) Исследовать сходимость ряда
1 2+]А2-} 2+]/2-1 2 + Г2 +
+ |/ 2 - ]/ 2 + У г + V2 + ...
233. (МГПИ, 1075 г.) Пусть число а > 0, {/?„} —
числовая последовательность, причем рп ~> 0, рп+[ ^ р„- До-
казать, что ряд Л г сходится.
234. (МИФИ, 1975 г.) Последовательность {.г,,} с
положительными членами монотонно возрастает и ограни-
со
чепа. Доказать, что ряд У, [^ ~— ] сходится.
эт=1
00
235. (УДИ, 1976 г.) Сходится ли ряд Z и~\ где
71=1
щ => 1, «j = 2, ип = и„~2 + un-i при п ^ 3?
34
236. Доказать, что последовательность
fln = i^ + 2-1T+---+-Lr-lDn
имеет предел, заключенный между 0 п 1/2.
237. (МАДИ, 1976 г.) Найти сумму ряда V ^1.
ею
238. (МИЭТ, 1977 г.) Вычислить V 2«-1
239. (УДИ, 1977 г.) Найти сумму ряда
!<-*-'1.A-^}
240. (МАДИ, 1976 г.) Найти
л4 л" л"
1 ~*~ 24-4! "*" 2*-8! ~"~ 212-121 + ■ • •
~Т л4 л» л'г '
2! + 24-С! + 2»-Ю! +2'2.1Н + ■"
241. (МНСиС, 1977 г.) Доказать, что при р> 1
оо
п~\(п + i) \ «
оо
242. (МТНЛП, 1975 г.) Известно, что V _L = ill.
п=1
оо
Найти сумму ряда 2, h,,~ l)r
243. (МАДИ, 1975 г.) Доказать равенство
\ x~xdx = 2l n~"•
о »-1
244. (Мех.-мат., 1975 г.) Вычислить сумму ряда
ос
I ^rjj с точностью до 0,01 (требуется дать
ответ, а не оценку ошибки),
8* 35

о/" /л i in-r \ п V C0fln
24о. (Мех-мат., 19/5 г.) Вычислить сумму 2d t _ 2
246. (МИСИ, 1977 г.) Найти сумму ряда
1-3.с2+о.г4-7т6+.. .+ (_1)"B«+]).г2"+- ■.
247. (MUCH, 1976 г.) Разложить
1
(i-r*-;(i-rO(i-.-*4Kii--ts) i
в степенной ряд.
248. (МАДП, 1977 г.) Функция
/(z) = (l-^)(l_^z)(l-^2)... (\q\ <1)
разлагается в степенной ряд /(с) = А0-\-A\z-{-A2z2-{-~..,
Определить коэффициенты Ап этого разлогксння из
функционального уравнения /(г) = A — qz)f(qz).
249. (МИ11СП, 1977 г.) Определить область
сходимости ряда
71- 1
250. (МТекстИ, 1977 г.) Иантп область сходимости
ряда
v (jrY
-^ \sinn '
71=1
251. (МЛДИ, 1977 г.) Пусть ср(.г) определена для по- I
ложнтельных значений х, причем при достаточно боль- I
ших х может быть представлена рядом
где «o,ai действительны. Доказать, что ряд <рA) +
+ срB) + ... сходится тогда и только тогда, когда
оо = а\ = 0.
252. (МНРЭЛ, 1977 г.) Сходится ли равномерно на
(_оо, +оо) ряд
оо
—I V ' Bн)Г
36
253. (МЛДИ, 1977 г.) Косконечный d обоих шшрап-
ленних ряд
...+/" (а:) + /' (*) - / (f) Ч ■ J / (/) Л J- J" Л, f / (О Л+ ■ •.
и и о
равномерно сходится к функции g(x), причем g@) =2.
Найти g(x).
254. (МЭНС, 1976 г.) Показать, что ряд 2* ТТ^
И— 1
сходится при £ ^ 0 и расходится при а; < 0. Пусть
f(x) = 2d Г+~*' Показать, чго /(.г) непрерывна прп
i^Ou дифференцируема ирп х > 0.
оо
255. (МГ1П1, 1977 г.) Сгепенпой ряд ^ я£лг* имеет
l=U
периодические с некоторого места коэффициенты.
Доказать, чго на некотором невырожденном ингерпале он
совпадает с рациональной функцией. Верно ли обратпоо?
256. (МФТИ, 1970 г.) Доказать, что фупкцпя f(x) —
DO
— 22 ahxh рацоопальпа тогда и только тогда, когда су-
fc=U
ществуют постоянные с0,С|,...,с„ такие, что для всех
г/г, больших некоторого //го, выполнено
СиЯ,„ -f- С\атл\ -f-.., -f- cnam+n = 0.
257. (СТАНКИН, 1977 г.) Разложить в ряд Фурье
функцию
= S1H
arcsm
V
258. '(.МЛДИ, 1975 г.) Как следует продолжить
интегрируемую в @, л/2) функцию на интервал (—л, л),
чтобы ее разложение в ряд Фурье имело вид
00
2 Ъп sin Bл - 1) х?
"оо
259. (МИЭТ, 1975 г.) Вычислить сумму ряда ^^г1-
37

Дифференциальные уравнения
260. (ВТУЗ —ЗИЛ, 1977 г.) Нарисовать на
плоскости Оху интегральные кривые уравнения
d# _ а2-'-У* __ t
dx 2
261. (МИНСП, 1977 г.) Дано уравнение y'^-.JJLy
Какой должна быть функция ц(х/у), чтобы общим
решением данного уравнения было У — i—:—-,'■
262. (МИНСП, 1977 г.) Найти f(x, у),'если
h = х2у + х, f'u = 4р -г у.
263. (МИСиС, 1976 г.) Известно, что /'(sin2 .г) =
= cos2j- -f Ig2.г. Найти /(•<) при U <C x < 1.
264. (М1ШТ, 1977 г.) Нарисовать на плоскоеru Оху
интегральные кривые дифференциального уравнения
siu I/' = II.
265. (МАДИ. 1У77 г.) Доказать, что
дифференциальное уравнение кривых второго иорядка имеет вид
1(</'Г2Т = о.
266. (МНЭП, 1975 г.) Доказать, что для уравнения
2/'=2( ху в начале координат нарушается теорема
единственности решения.
267. (МГЦ. 1976 г.) Имеет ли дифференциальное
уравнение у' — у — е~х* решения, стремящиеся к нулю
как при .с-*—оо, так и нрн x-»--f-oo, п сколько таких
решений?
26»S. (М;>И. 197Г) г.) Дано линейное
дифференциальное уравнение
y' + a(x)y = f(x) fce @,-foe)), fl(x)>c>0.
Доказать:
а) Из ограниченности /(х) следует ограниченность
решения.
б) Если /(.г)->0 при z->--f-oot то у(х)-*~0 при
х—*■ -f- оо.
269. Может ли функция a:2 sin .г быть решением на
интервале .(—а, «) (а > 0) уравнения у"_+р(х)у'±^
38
"Т"Я(Х)У — 0 с коэффициентами, непрерывными на этом
интервале?
270. (МИХ.М, 1975 г.) Может ли функция у — 1 —
— coax быть'на интервале (—я,а) решением уравнения
?/" + /»(•*") У' + 9 (х) У — О- гле колффицпенты р(х), q(x)
являются функциями, непрерывными на этом интервале?
271. (МГП, 1975 г.) Доказать, что все решения урав-
нения у = -, 5 а ограничены на всей оси их.
272. (МАМП, 1975 г.) Функция #(.г) удовлетворяет
дифференциальному уравнению
,_4.(<lll4l, + 1)+-±i]5)
п начальному условию (/@) — 0. Доказать, что при
любом х > 0 имеет место неравенство О <С у(х) <С .г.
273. (МИСиС, 1977 г.) Найгп необходимые п
достаточные условия гого, чтобы уравнение у" + р(т)у' +,
+ 9(.z)i/ = 0 имело линейные независимые решения yj
н (/г. для которых т/г = (</iJ-
274. (МИОМ, 1977 г.) Пусть Wp(y) = dot ||с„||, где
O^iJ^p, Сц=у{1+}'. Показать, что функцпя у е
ёС2^/?) удовлетворяет у[)авненпю ТГР((/) = 0 тогда
и только тогда, когда она является решением некоторого
однородного литкч'пюго дифференциального уравнения
иорядка р с постоянными коэффициентами.
275. (МИСП, 1977 г.) Решить дифференциальное
уравнение
*' = 27^7-
276. (МПСИ, 1976 г.) Найти решения
дифференциального уравнения
У2 + (У'K - УУ'= 0.
277. (МИЯТ, 1975 г.) Выпалить через элементарные
функции и пптегралы от них общее решение
дифференциального уравнения у" — я у' — у — 0.
278. (МАМИ, 1975 г.) Решить урнгшепио
УУ" = У' + -£•
279. (Мех.-мат., 1976 г.) Доказать, что уравнение
у' i=i у2 -f- .г с начальным условием у @) = 0 не имеет
решения на интерпале (О, 3).
39

280. Функции f(x,y), /i/(z. у) непрерывны на всей
плоскости; /„(я, у) всюду положительна; j(x.y)
периодична по £ с периодом ш, т. е. f(x -f- ш, у) = f(x, у) (ю > 0).
Доказать, что уравнение у' = f{x,y) не может иметь более
одного периодического решения с периодом о>.
281. Пусть у = ц>{х) —определенное па отрезке [я, Ь]
решение уравнения ~ = ^'■^■, где Р(х,у), Q(x.y) —
многочлены второй степени, причем Q(x, ф(.г')) Ф0 прп
же [а, Ь]. Доказать, что прямая, не касающаяся нп в
одной точке графика у=<р(х), не может пересекать эту
кривую более чем в трех точках.
282. (МПЯМ, 1075 г.) Доказать, что уравнение
rly агл -\- Ьх2уг + сху3
d* 2лл — jc3!/ -\- г/4
не имеет замкнутой интегральной кривой, охватывающей
начало координат.
Уравнения и неравенства
283. (МАДИ, 1976 г.) Доказать тождество
2arclgz -f arcain 7_ ,а = л при х~^> 1.
284. (МАМИ, 1973 г.) Доказать, что
arctgy -;-arclg-^ -f ••• -f-arclg-^j = arctg-^-p
285. Пусть функция f(x) непрерывна на всей оси,
причем f(f(x))=x. Доказать, что существует точка
Ха, в которой 1(х0) = х0.
286. (МИЭИ, 1975 г.) Пантп число действительных
корней уравнения
хе-* + е~* -f-1 х2 - 1 = 0.
287. (МФТИ, 1977 г.) Сколько действительных корней
имеет уравнение ех = ах2 в зависимости от параметра а?
288. (МЛМИ, 1977 г.) Найти все такие
положительные а, чтобы уравнение.х = \ogax нмело решение в
действительных числах.
289. (MATH. 1976 г.) Определить число
действительных корней уравнения
sin х = х/8.
40
290. (МАДИ, 1976 г.) Сколько действительных корней
имеет уравнение sinz-f- | sin ж | = 0,12л?
291. (УДН, 1976 г.) Определить количество
действительных нулей функции
j{x) = 2<?2-*V - 3** + 5я2 — 1) — 2е - 5.
?п ь
292. (МГИ, 1975 г.) Доказать, что уравнение 2d ~ТГ =0
не имеет действительных корней.
293. (Мех.-мат., 1977 г.) Функция }(х), определенная
п
при х > 0, задана соотношением /(£) = __ а££а,(а,—
различные действительные числа). Известно, что один
из коэффициентов а, отрицательный, а другие
положительны. Доказать, что {(х) имеет не более 2
положительных корней.
294. (МГПН, 1976 г.) Решить функциональное
уравнение f(x) — /Bа:) в классе непрерывных функций.
295. (МИИТ, 1977 г.) Найти ограниченную в точке
х = 0 функцию, удовлетворяющую уравнению
/(•0-у/D) = *2-
296. (МИИТ, ЦO7 г.) Найти функцию,
удовлетворяющую уравнению / (х) — у /1 у] = х — хг и ограниченную
на любом конечном отреЗке.
297. (МЭИ, 1975 г.) Найти все дифференцируемые
функции, удовлетворяющие функциональному уравнению
П*-\ У) i-fWfW
298. (МИИГА, 1977 г.) Найти все непрерывные
функции f(x), удовлетворяющие соотношению /(-£1 + 2*2) =
== f(xl)f(x2) Для ЛЮбыХ Х\ И Х2.
299. (МГПН, 1975 г.) Пусть а =И= ±1 —действительное
число. Найти функцию j(x), определенную при х ф 1
и удовлетворяющую уравнению /( _ [ 1 = я/(£) -f q (j),
где ф(х)—заданная функция, определенная при х ф I.
300. (МШИ, 1975 г.) Решить па полуоси х > 0
функциональное уравнение j{xn) =af(x), где а
—фиксированное действительное число, п — натуральное число.
41

801. (МНИТ, 1977 г.) Пел иомошп таблиц найти
решение уравнения
г* sin- = 2х — 1977
г
305. (МИПС11, 1977 г.) Доказать неравенство х>
>lu(l +х). где л;>0.
306. (МФТИ, 197E г.) Доказать неравенство 1+2 In .г^
,<х2 (.г>0).
307. (МГЦ, 1977 г.) Доказать неравенство
е>> 1+1иA+а).
308. (Мех мат., 1977 г.) Доказать неравенство
<;—= при х > 0, х ф{.
а; — J I r.
309. (МНИХ, 1975 г.) Доказать неравенство
<1п—<£ , где0<п<т.
310. (МИСиС, 1977 г.) Доказать неравенство
<—Т^ {афЬ).
en — fb e-
Ь
311. (МЭНС, 1970 г.) Доказать: <?"*■+№ < ре*> + <7ея»
для любых xlt сг2 и таких р 3* 0, д'^О, что /> + g = 1.
312. Доказать, что при целом п > О выполняется
е ^ . i
1-1 2^
1| + г)
1
)
с точностью до 0.01.
302. (МФИ, 1977 г.) Даны три пункта Л. В. Г, причем
/^ABC — W н ЛВ = 200 км. Из п. Л к и. # выхошг
автомобиль, движущийся со скоростью 80 км/ч, а из
н. В к и. С — поезд со скоростью 50 км/ч. В какой момент .'
времени (от начала движения) расстояние между поездом J
н антомобнлем будет минимальным?
303. (Л1Т11ЛП, 1977 г.) Найти последовательные
целые числа, между которыми содержится выражение
6A —1.001-1000).
304. (МТекстИ, 1977 г.) Доказать, что sin х>^д: При
0<я<4-.
42
313. (ВМК МГУ, 197G г.) Найти минимальное р
и максимальное а такие, что II -\— I <1 е ^ 11 +—
для всех целых п.
314. (М11ЭН, 1975 г.) Дока.-«пгь неравенство Т^«
[х + у\"
> \^~) ' № * > 0. У ^ 0, гс ^ 1.
315. (МППМ, 1977 г.) Доказать неравенство (—-] ^
^ сор а: при 0<^|з:|<;—.
316. (МИСиС, 1977 г.) Доказать неравенство
J 1 l-** J 1 1—яг»
о о
317. (МИХМ, 1977 г.) Доказать неравенство
] f (l - е г ) < f e-^rf*< У2 A - е-«').
о
318. (МТИЛП, 1977 г.) Доказать, что
Щ2 trm*<*>-
319. (MAMIT. 1975 г.) Найти наибольшее и
наименьшее значения функции z = х2 + у2 — ху в области
|х| + М<1.
320. (МИХМ, 19/6 г.) Найти наименьшее значение
фуПКЦПН .rf—... Л7, Iipil УСЛОВИИ Г| +... + ЛГ,, = 1.
321. {МГПИ, 1977 г.) Найти множество всех таких
действительных ее, что для любых положительных хну
выполнено неравенство
Х^ U +
a i/oc—i
322. (МИФИ, 1975 г.) Функция /(*, у) имеет
локальный минимум в точке (ха; у0) па каждой примой, иро-
хотнщей через ату. точку. Будет ли }(х, у) пметь
локальный минимум в (.го; #о)?
43

323. (МИЭМ, 1977 г.) Дана последовательность
непрерывных па [а, Ь\ функций (pi, ф2, ..., причем
ь
1 (р^, (х) dx — 1. Доказать, что можно найти помер N
v числа ci, C2,..., си такие, что
N
Д Са = 1,
/.= 1
шах
.V
V
,Cj.<Ps(a:)
> 100.
324. В треугольнике Т, определенном неравенствами
|.r + f/| ^ 1, У ^ 0, задана функция ](х,у), имеющая
dl df
непрерывные частные производные-^- и —, причем для
любой точки (х,у)еТ выполнены условия: a) grad j{x,y) Ф
^I^N^I" Докааать' 4r"
niax | }(х, у) К max \ f (х, 0}|.
(x,l/)eJ — !<»«!
323. (Мех.-маг., 1976 г.) Доказать, что при а> b > 1
выполплетгя яь > b" ■
326. (Мсх.-мат., 1975 г.) Фупкпия f(x) непрерывна
п положительна на полуоси [0, +°°) " /(я)-»-0 при
х-*--\-оо. Всегда ли можно найти такую пару точек
х\, z2e [0, +°°), что
1*1-*,|>17£Г). {<7ТЙ"<2?
327. (МИПГА, 1977 г.) Доказать, что для любого
числа е>0 можно указывать такое натуральное число
и, что
sin ч 2 \<-t'
I
АЛГЕБРА
Матрицы и определителя
328. (МФИ, 1077 г.) Доказать, что матрица А = (а Ь\
удовлетворяет уравнению
X* - (а + d)X + (ad ~ bc)E = 0,
где
HI ")■
329. (МФИ, 1977 г.) Найтп матрицу X:
1 1 I ... 1
0 1 1 ... 1
о о 1 ... 1
,0 о 0,
1
1 2 3 ... п
0 1 2 ... п-
0 0 1 ... п-
,0 0 0... 1
0
0
10
1
0
-10
0
1
о
0
.0
1
0
330. (МТИЛП, 1977 г.) Пантп все матрицы второго
порядка, квадрат которых равен пулевой матрице.
331. (МПИГА, 197G г.) Показать, что для матрицы
Л размера 10 X 10
сЫ(А-КЕ) =Хш-10-10.
332. (МГ1Ш, 1976 г.) Пусть Лп = (J J)" = ||а()(л)|1.
"\2 (")
Доказать, что существует предел отношения flaj („> • и
вычислить этот предел при п-*-оо.
333. (МФТИ, 1976 г.) Рассматриваются
действительные симметрические магрины второго порядка с
собственными значениями ).\ ц Аг. Пантп наибольшее и
наименьшее значения, которые может принимать элемент а^.
ЗЗ'ь (МГ1П1, 1975 г.) Вычислить матрицу
333. (MTckctII, 1977 г.) Найти максимальное зпаче-
ние определителя третьего порядка, у которого два
элемента равны ч. а остальные 1 или — 1.
336. (МИХМ, 1976 г.) Пусть
/(*)■
1
3 — х 5 — 3*а
ic* — 1 Ъх» — l
З.г-3 — 1
7*s — 1
Доказать, что найдется число с @ < с <С 1) такое, что
/'(*).= 0.
337. (МИНГЛ, 1977 г.) Пусть Л—матрица размера
пХп, причем яч- = ij. Вычислить /'@), где f(x) =>
~det{Ax-{-E).
43

338. (МФТИ, 1977 г.) Найти матрицу X(t) из
уравнения X(t) = ЛХ{1) — X{t)A, A'@) = В, где
^-(_"i). *-(-' i>
339. (МИФИ, 1075 г.) В матрице А столбцы являются
попарно ортогональными векторами. Доказать, что
абсолютная величина определителя матрицы А равна
произведению длин векторов-столбцов.
340. (МАИ, 1976 г.) Найти предел
1
4 о э
1, I, о,
•)•
(Л71 -
£)). г;
342. Числа Фибоначчи а{ определяются условиями
ai — 1, я2 = 2, а„+2 = а„ -f- а„+1 при и ^ 1. Доказать, что
1 1
1 1 1
— 111
О
о
I 1 1
— 1 1
343. (УДИ, 1977 г.) Доказать, что прп я^З и С\\^=0
-In
ип)
Ln2
г"-2
1 11
-21
с... с„
11
21
11
71 1
С1»1
С2т,
с1л
ст,
712 I | 11 "ИЛ |
344. (МФИ, 1976 г.) Найти сумму всех определителей
порядка п, в каждом па которых в каждой строке и в
каждом столбце один элемент равен 1, а остальные пулю.
Сколько всего таких определителей?
46
345. (МИФИ, 1975 г.) Доказать, что определитель
1 2 ...1974 1975
2» За ...1975* 1976*
Зз 43 ...1976s 11769
19731975 1!>761975... 1976
1975
1976
1975
не равен 0.
346. (МАДИ, 1976 г.) Пусть а, В, v— корни уравнения
хг + рх -|- Я — 0. Вычислить
« Р
Y а
В y
Y
Р
а
347. (УДИ, 1977 г.) Вычислить определитель Р„ =
= (letdl/jjl), где рц= 1, если i делит /', и р« = 0, если
i не делит /'. Найти значение определителя @я =
.= det(||<7„||), где qt) — число общих делителей i a /.
348. (МИИТ, 1976 г.) Доказать, что модуль
собственного значения матрицы не превосходит суммы модулей
ее элементов.
349. (МОИИ, 1976 г.) Доказать, что если в
определителе D п-го порядка все элементы равны 1 или — 1, то
при п ^ 3
\D\ ^ (п-1)(л-1)!.
350. (МЭИ, 1977 г.) Пусть матрица А размера пХп
имеет вид
'а I
а 1 Q
• t
о
Найти сумму элементов первой строки матрицы Ат, гдо
га ^ п.
351. (Мех.-мат., 1976.) Доказать, что для любого
натурального п найдется матрица А такая, что
'1 2 3... 1976'
0 12... 1975
Ап = 1 0 0 1 ... 1974
,0 0 0...1
47

352. (M1IXM. 1975 г.) Пусть Е — единичная матрица,
А, В, С — квадратные матрицы того же порядка, что
и матрица Е. Выяснить, какие из равенств ВАС = Е,
АСВ = Е, CAB = Е, ВСА = Е, СВА = Е имеют место
всегда, а какие не всегда, если ABC = Е.
353. (МАИ, 1977 г.) Дана невырожденная матрица
А порядка пХп. Можно ли для всяком матрицы А'
порядка п X п найти матрицу )' порядка п X п такую, чтобы
выполнялось равенство X = AYA~l—A~]YA?
354. (МИИГАнК, МЭИ С, 1975 г.) Доказать, что не
существует таких матриц А и В, что АВ — ВА —Е (Е —
единичная матрица).
355. (МАИ, 1976 г.) Доказать, что если у квадратной
матрицы А порядка и X п все элементы, лежащие на
главной диагонали, равны 0, то ее можно представить в виде
А = ВС — СВ, где В, С — квадратные матрицы порядка
пХп.
356. (МИЭ1Т, 1975 г.) Пусть А — квадратная
матрица порядка и. Доказать, что если А2 = Е, то сумма
рангов матриц А-\-Е и А — Е рЬвпа и (Е — единичная
матрица).
357. (Мех.-мат., 1977 г.) Пусть X и Во —
действительные матрицы размера пХ.п. Определим по индукции
последовательность матриц В,-= В,-|Х — A'B,_i.
Доказать, что если А' =В„!, то X = 0.
358. (МИЭМ, 1977 г.) Дана квадратная матрица
А = HfljjH порядка р + q, причем atl = 0 при 1 ^ г, / ^ р
и при р -f- 1 =S i, j ^ p + q. Доказать, что если >. — ее
собственное значение, то (—К) — тоже собственное
значение.
359. (Мех.-мат., 1977 г.) Пусть G — группа
невырожденных матриц порядка п X п над R, II cG — подгруппа
ее, состоящая из симметрических матриц. Доказать, что
существует собственный вектор, общий для всех
матриц нз Н.
360. (Мех.-мат., 1976 г.) Найти необходимое п
достаточное условие на матрицу А для того, чтобы
существовал Iim An.
361. (Мех.-мат., 1975 г.) Квадратпая матрица А
такова, что в каждом ее столбце есть ровно два ненулевых
элемента: диагональный, который больше 1, и некоторый
недиагональный, равный 1. Может ли матрица А быть
вырожденной?
<8
362. (Мех.-мат., 1976 г.) Пусть А' и Г —матрицы
порядка п X п. Если их рассматривать как элементы В"",
то Тг(АГ) будет билинейном формой на В. Доказать
ее симметричность и найти ее индексы энерцпп.
363. (Мех.-мат., 1975 г.) Пусть Л, В —действительные
симметрические матрицы одного порядка. Доказать, что
Тг(ЛВЛВ) ^Тг(Л2В2), где Тг(Л/)—след матрицы М.
Когда имеет место равенство?
304. (Мех.-мат., 1977 г.) Пусть яо, «ь ..., a,.-i — целые.
числа. Доказать, что de(j«ft|[ @ *£ к, t^n—l) делится
а—1
на П *1. -
• 1
365. (Мех.-мат., 1977 г.) Ап = det(|| (i,/) II ки*»), где
(i,j) —наибольший общий делитель i ц /'. Найти Ап.
Системы уравнений, группы, поля,
линейные пространства
366. (МВТУ, 1977 г.) Исследовать совместимость
и найти решение системы уравнений:
' C — 21) Xl + B — к) х2 + х3 = Я,
. B-l)x1+B-X)xl + xs=l,
xl + x2 + B-l)x3=L
367. (МИЭМ, 1976 г.) Доказать, что система
уравнений
-хх = flj^! -r ... +аыхп,
— Хп — (Inl^l "Т • • • "Г annxni
где ац — целые числа для всех i,j, имеет единственное
решение хл = х2 = ■ ■. — хп — 0.
368. (МОПИ, 1976 г.) Известно, что для элементов
Hi, и27 fI, v2 группы G выполняются равенства: U\V\ =
= Viiii = u2v2 = v2u2, l,r\' — ' = r ?' ~ t'a2 = ei где
Pu P2 — взаимно простые натуральные числа. Доказать,
\ ЧТО U] = «2, ^1 = V2.
369. (МИСнС, 1977 г.) Векторное пространство А
называется алгеброй, если в нем помимо сложения векто-
,< ров и умножения нх на скаляры определено еще умноже-
4 В, А Садовничий, А, С. Подколзин «

Hue векторов со свойствами: a (ft r)=(a ft) с, а (Ь ' с) —
= tub ас, (ft с) а --= Ь a -f- сс«, (Х«) ^6 — «с (л£>) —
>=л(«с6), где а, ft. с е Л, Хе Я. Делители н\ля
—такие векторы афо, Ьфо, что а<>Ъ=о. Доказать, что в
конечномерной алгебре без делителей пуля каждое из
уравнений ах= Ь и ос~а^Ь, где «^о, имеет и при том
только одно решение.
370. Функции /|(а) и j-i{x) определены на интервале
(а, ft) и действительны, причем для любых постоянных
С\ и с2 функция ci/i(jc)+C2/2 (•*■") «е меняет знак на
(a, ft). Доказать, что /i и /г линейно зависимы.
371. (МИЭМ, 11O0 г.) Пусть }х(х), ..., }п(х) —
действительные функции на отрезке [a, ft], линейно
независимые над нолем действительных чисел. Доказать, что
существует множество точек а\, ..., ап на [«, ft], для
которых del (||/,(я,) ||) Ф0.
372. (УДП. 1976 г.) Доказать, что если размерность
суммы двух линейных подпространств пространства R"
на единицу больше размерности и^ пересечения, то
сумма совпадает с одним из них, а пересечение — с другим.
373. (Мех.-мат., 1976 г.). Доказать, что если
характеристика ноля положительна, то любой гомоморфизм
аддитивной группы поля в мультипликативную переводит
все элементы поля в единицу.
374. (Мех.-мат., 1976 г.) Пусть / — конечномерное
векторное пространство и /, 1\, ..., 1к — линейные функ-
ft h
ционалы на /, причем ker Z Э П ker lt. Тогда J = 21cih-
375. (Мех.-мат., 1976 г.) Пусть Я — ассоциативное
кольцо. Известно, что если х" = 0 для некоторого хеЛ
и натурального и, то х = 0. Доказать, что если х\.. .хп =»-
= 0, то и ха,\}...х^Л) = 0 для любой подстановки о.
ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ И КОМБИНАТОРИКА
376. (МИНГАиК, 1975 г.) Найти lim -^- где v(ra) —
число простых множителей натурального числа п.
377. (МТехнИ, 1975 г.) Используя формулу Тейлора,
доказать иррациональность числа е.
378. (МАДИ, 1977 г.) Целыми точками пространства
называются точки с целочисленными координатами х, у, z.
50
Сколько целых точек лежит на плоскости х 4- у -f- 2 = п;
а) в замкнутом положительном октанте [х 5s 0, у 13= 0,
г^О)? б) в открытом октанте (х > 0, //>> 0, z > 0)?
379. (Мех.-мат., 1976 г.) Плоская фигура G
называется строго выпуклой, если для любых ее точек a. h все
точки интервала (a, ft) являются внутренними для G.
Через aG обозначим фигуру, получаемую из G путем
гомотетии в а раз с центром в начале координат. Доказать,
что существует замкнутая, ограниченная, строго выпуклая
фигура G, для которой существуют сколь угодно
большие а такие, что на границе aG имеется но крайней
мере [ice] точек с целочисленными координатами.
380. (МГПП, 197G г.) Доказать, что при любом целом
к > 0 уравнение а2 + ft2 = ck имеет решение в целых
положите.!ьных числах.
381. (МГПП, 1975 г.) Доказать, что для любого
натурального п справедливо неравенство н2/2 < ф(к)о(н) <
< п2, где <г(п) — число натуральных чисел, меньших п
и взаимно простых с и (функция Лйлера), а а(п)
—сумма натуральных делителей числа п.
382. (МЗИС, 1977 г.) Доказать, что? 2~гуЗ — число
иррациональное.
383. (УДИ. 1976 г.) Пусть п >2- целое число. До-
VII
казать. что ^ —=—, где суммирование проводится по
всем целым q и р взаимно простым п таким, что 0 < р <
■< q ^ п. р + 7 > п.
38'i. (МГПП, 1977 г.) Доказать, что у числа Н...1
1У77
не может быть 365 различных делителей.
385. (Мех.-мат., 1977 г.) Доказать, что любое целое
число можно представить в виде суммы пяти кубов
целых чисел.
386. (МППГЛнК. 1977 г.) Какое минимальное
количество умножений необходимо для получения произведения
2.197b;) Предполагается возможным запоминание любого
количества промежуточных' результатов.
387. 10 студентов решили образовать из своего состава
спортивные команды со следующими условиями: 1)
каждый может записаться в любое число команд; 2) ни одна
команда пе должна целиком содержаться в другой или
совпадать с ней (частичное совпадение возможно).
Каково при этих условиях максимально возможное число
команд и по скольку человек они содержат.
4* 51

388. (ВМК МГУ, 197С г.) Пусть S„ - множество всех
подстановок натуральных чисел {1, ..., п). Определим
па Sn метрику: при о, те5„ d(a, т) = JL 1ст@ ~~ т@1
Какие числовые зиачеиня может принимать d(a, т)?
ГЕОМЕТРИЯ
389. (МПНХиГП, 1970 г.) Док азать, что длина
отрезка, соединяющего цептр эллипса с произвольной его
точкой, заключена между большой и малой полуосями этого
эллипса.
390. (МАДИ, 1975 г.) Найти стороны прямоугольного
треугольника, имеющего при данной площади S
наименьший периметр.
391. (МННСП, 1977 г.) На отрезке [0, 1] задана
функция у = х2. При каком положении точки t сумма
площадей S\ и S2 имеет наименьшее и паибольшее значения
(рис, 1)?
392. (МИХМ, 1977 г.) Оконная пиша имеет форму
прямоугольника, на который опирается полукруг.
Периметр ниши равен D. При
нпшп ее
па и
большей.'
393. (МГМП, 1977 г.)
Два коридора шириной а
и Ь пересекаются под
прямым углом. Определить
наибольшую длину
лестницы, которую можно
перенести горизонтально из
одного коридора в другой.
394. (МИХМ. 1976 г.)
Цистерна представляет
собой ннлнпдр с
припаренным к нему конусом. Нан-
ойразующнмн конуса 90°. Поверх-
При какой высоте цшшид-
ка^он ширине
площадь будет
Рис. 1.
бол ып и и угол. между
ность цистерны равна S (м2)
ра емкость цистерны будет наибольшей?
395. (MATH, 1977 г.) Какой сектор следует вырезать
пз круга радиуса /?, чтобы из оставшейся части можно
было свернуть воронку наибольшей вместимости?
52
396. (МЭИ, 1977 г.) Прямоугольный лист бумаги
сложен так, что один из его углов лежит па
противоположной стороне. Как следует сложить этот лист, чтобы длина
сгиба была наибольшей? наименьшей?
397. (МФТИ, 1976 г.) На эллипсе -^-+ -fj-=l панти
такую точку {хо\ J/o), чтобы площадь треугольника,
ограниченного касательной к эллипсу в этой точке и осями
координат, была наименьшей.
398. (МИИСП, 1977 г.) Пангп уравнение касательных,
проведенных из точки D; —1) к эллипсу -g—1—g- = 1 •
399. (СТЛНКПП, 1977 г.) Написать уравнепие
касательной к нараболе у = х2 в точке, ближайшей к
точке Л/о B; 1/2).
400. (МТИЛП, 1976 г.) Доказать, что семейства
гипербол х2 — у2 = а и ху — Ь образуют ортогональную
сетку, т. е. кривые этих семейств пересекаются под
прямыми углами.
401. (МАДИ, 1976 г.) Найти точку пересечения
общих касательных двух окружностей, центры которых
совпадают с точками B; 5) и G-д-; 10-^-1, радиусы
соответственно раины 3 и 7.
402. (МЭИ, 1977 г.) Две вершины треугольника
зафиксированы, а третья двигкстся так, что один из углов
при основании треугольника остается вдвое больше
другого. Какую линию описывает третья вершина?
403. (МТИПП, 1977 г.) На плоскости даны точки А
и В. Панти уравнение геометрического места точек,
отстоящих от А на расстоянии вдвое большем, чем от В.
404. (МТИЛП, 1975 г.) Отрезок ЛВ длппы 3 скользит
своими концами по координатным осям (точка А по
оси Оу, В — по оси Ох). Какую кривую описывает
точка С, находящаяся на расстоянии 1 от точки /1?
405. (МИИСП, 1977 г.) Найти уравнение кривой
У = /(-г), зная, что площадь Sabc, заключенная между
осью Оу, этой кривой и перпендикуляром, опущенным
из любой точки кривой на ось ордпнат, равна 1/3
площади прямоугольника OBCD (рис. 2).
406. (МОПИ, 1976 г.) Даны эллипс и прямая. Какую
кривую описывают середины хорд, лежащие на полярах
с полюсами на данпой прямой?
407. (МПТУ, 1977 г.) Найти уравнение
геометрического места оснований перпендикуляров, опущенных из
53

вершины параболы уг — — 'tax на касательные к этой
параболе.
408.-(МАИ, 1077 г.) Папгп расстояние от точки D; 0)
до кривой у2 — 2.г = 0.
409. (МНИТ, 1977 г.) Найти расстояние от параболы
У
г до прямой .г
= 0.
410. (МФТИ, 1977 г.) Найти кратчайшее расстояние
от эллипса — -'- -=д- = 1 до
Гис.
прямой 2.г -(-[/ = 5.
411. (МОСП, 1976 г.)'
Круг радиуса г катится без
скольжения но окружности
х2 + у2 = /?2 (Л>г), оста-
иаясь внутри нее.
Траектория некоторой точки М
окружности катящегося круга
называется гипоциклоидой.
Доказать, что при г = — В
гипоциклоида превращается
в отрезок прямой.
112. (МНСиС, 1976 г.)
Стороны треугольника
заданы уравнениями п,.г -}- Ь,у + С\ = 0, где i — 1,
зать, что площадь треугольника
Дока-
Да
I Д,Д
|"!-Х) Г
где Л
ь3
и Л, — алгебраическое дополнение элемента с,.
413. (МГМИ. 1977 г.) На листе бумаги нарисован
график у = sin х. Лист свернут в цилиндрическую
трубку, так чю совмещены все точки, абсциссы которых
отличаются на 2л. Доказать, что все точки графика
синусоиды при этом лежат в одной плоскости.
114. (MATH. 1976 г.) Из точки вне эллипсоида
проводятся к нему всевозможные касательные. Доказать,
что все точки касания лежат в одной плоскости.
415. (М11ХМ. 1977 г.) П тетраэдре SABC через каждое
ребро и середину противоположного ребра проведена
плоскость. Доказать, что все эти плоскости имеют общую
точку; обозначив эту точку К. выразить вектор SK
через век юры ИЛ = н, SB = bt SC — с,
416. (MTexnll. 1977 г.) Доказать, что расстояние h
между параллельными прямыми можно выразить фор-
- 1 I '"i '- '\> I
мулоп h = ... 1 где гх — вектор, ндущин из точки
I ' 2 I
на одной прямой в точку на другой прямой, а г2 —
вектор, параллельный данной прямой.
417. (МИСиС, 1977 г.) На плоскости заданы точки
Л[, ..., Л„. Пусть О— геометрический центр тяжести
этой системы точек. Доказать, что множество точек У1
плоскости, для которых ^ \MAh\i = C1 гдеС>Ги =
I п II
= ^L |ОЛА|2.есть окружность с центром в точке О п ра-
1» к п
диусом Н = ) ~ ".
418. (МИСИ, 1977 г.) Три вектора <К\. ОВ и ОС
удовлетворяют условию
а\ х ов + ов х Ы: + ос х ол = о.
а) Доказать, что векторы ОЛ, ОВ и ОС компланарны.
б) Точки Л, В. С лежат на одной прямой.
419. (МЛДП. 1977 г.) Пз одной точки проведены три
некомн.танарных вектора «, о, с. Доказать, что плоскость,
проходящая через концы эти\ векторов,
перпендикулярна к вектору «..о Ь с с а.
420. (МИСиС, 1970 г.) И пространстве задана
шестерка векторов: а, Ь, с, х, у,г. Доказать тождество
(а, Ь, с) {х, у. z) =
к/, jc) (я, у) {и, z)
10, -г) (*, У) Ф< z)
| С. X) <С, у) (С, Z)
421. (МФТИ, 1976 г.) При каком необходимом и
достаточном условии система уравнении
[« У х п Ь у — с,
\b у х — а -, у -- d
имеет решенпе? Найти все решения этой системы. Здесь
х.у—неизвестные,и,Ь,с,d— данные векторы, причем «2тУ
422. Доказать, что плоскость нельзя покрыть
непересекающимися окружностями конечных, отличных от нуля
радиусов,
55

423. (Мех.-мат., 1977 г.) Можно ли накрыть всю
плоскость конечным числом внутренностей парабол?
424. (МИРЭА, 1976 г.) Доказать, что прямая не может
быть представлена в внле объединения попарно
непересекающихся интервалов конечной длины.
425. (МЭИС, 1976 г.) Доказать, что отрезок [—1, 1]
нельзя разбить на два равных непересекающихся
множества (два множества, лежащие на прямой, считаются
равными, если они переводятся друг в друга движением
прямой).
426. (МЭИС, 1976 г.) Доказ ать, что круг нельзя
разбить на два равных непересекающихся множества (два
множества точек плоскости считаются равными, если они
переводятся друг в друга параллельным переносом).
427. (МИ9М, 1975 г.) Задано отображение плоскости
в себя, при котором расстояние между любыми двумя
точками сохраняется. Доказать, что образом плоскости при
этом отображении является вся плоскость.
428. (МИЭМ, 1977 г.) Существует ли непрерывное
взаимно однозначное отображение сферы на часть
плоскости?
429. (МГГШ, 1976 г.) Па плоскости даны отрезок АВ
и точка СФЛВ. Найти фигуру Ф:
Ф= [М:9(М,С)=р(М,АВ)},
где р(Л/, С) — расстояние между М и С, р(Л/. АВ) —
кратчайшее расстояние от М до точек отрезка АВ.
430. (ВМК МГУ, 1976 г.) Пусть А — некоторая
ограниченная плоская фигура, каждая окрестность которой
имеет ненулевую площадь. Можно лп двумя взаимно
ортогональными прямыми разделить А на четыре
равновеликие части?
431. (УДП, 1976 г.) Установить взаимно однозначное
соответствие между точками замкнутого и открытого
кругов радиуса 1.
432. (МГГШ. 1976 г.) Через точку С пересечения
диагоналей выпуклого четырехугольника, вписанного в
окружность, проведена хорда А В: \АВ\ = \СВ\. Пусть
прямая АВ пересекается с противоположными сторонами
четырехугольника в точках /1/, Л', а с продолжениями
сторон—в точках Р, Q. Доказать, что \CM\ = \CN\,
\CP\ = \CQ\.
433. В окружность единичного радиуса вписан
правильный Л-угольник. Найти произведение длин всех его
56
диагоналей, проведенных из одной вершины (считая
прилегающие стороны).
434. (МИИГА, 1976 г.) Доказать, что если
композиция произвольных трех гомотетии плоскости с центрами
в трех фиксированных точках А, В, С имеет
неподвижную точку, то точки А, В, С лежат на одной прямой.
435. (Мех.-мат., 1976 г.) Пусть Л — пекоторое
множество на прямой, все точки которого являются
изолированными. Доказать, что А представляется в виде
пересечения открытого и замкнутого множеств.
436. (МГПИ, 1977 г.) Разделим данную окружность
на р конгруэнтных частей и обозначим через МР
множество точек деления. Число вершин любой замкнутой
ломаной со назовем ее порядком; через [<»] обозначим
множество ее вершин. Ломаную m назовем р-правилыюй.
если ее звенья имеют одинаковую длину п [oi] S МР.
Две ломаные ом и о>2 назовем идентичными, если [o)i] =
= [<"г]. Д-'я каких р верно утверждение: любые р-пра-
иильные и идентичные ломаные одного порядка к =£S p
конгруэнтны тогда н только тогда, когда 1 ^ к ^ р — 2?
437. (Мех.-мат., 1977 г.) Пусть Mt{xu у,), ...
..., Л/„(ж„, уп) —точки па плоскости такие, что у\ > 0, ...
.... [/* > 0, yk+\<0, ..., */,. < 0. Па оси абсцисс
расположено п + 1 точек .li, ..., Л„т1 так, что для каждой
точки А,
где /-.М,А,оо — угол между A,Mi и положительным
направлением оси абсцисс (лежит между 0 п л). Доказать,
что множество {Л/,, ..., Л/..} симметрично относительно
оси абсцисс.
438. (Мех.-мат., 1976 г.) Доказать, что выпуклое тело
в R" объема V можно заключить в параллелепипед
объемом га! V.
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕН
439. (МФИ, 1976 г.) В жюри из трех человек два
члена независимо друг от друга принимают правильное
решение с вероятностью р, а третий член для вынесения
приговора бросает монету. Окончательное решение выно-
57

сится большинством голосов. Жюри из одного человека
выносит справедливое решение с вероятностью р. Какое
из этих жюри выносит справедливое решение с большей
вероятностью?
440. (МФИ, 1077 г.) С 1789 по 1060 г. сменилось 3-3
президента США. Какова вероятность того, что какие-то
двое из них имели общий день рождения?
441. (МФИ, 1977 г.) Имеется 10000000 монет, причем
у одной из них герб с обеих сторон, а остальные монеты
обычные. Наугад выбранная монета бросается 10 раз,
причем при всех бросаниях она выпадает гербом кверху.
Какова вероятность того, что была выбрана монета с
двумя гербами?
442. (МФИ. 1977 г.) В лотерее продано 100 билотоп
по 30 коп. Разыгрываются '\ денежных приза: 10 рублей,
3 рубля. 2 рубля и 1 рубль. Каково математическое
ожидание чистого выигрыша для человека, купившего 2
билета?
443. (МФИ, 1977 г.) Три шахматиста участвуют в
круговом турнире по следующей схеме: сначала играют
А и В. затем победитель играет с С, новый победитель
играет с побежденным в предыдущем турнире и т. д.
Турнир считается законченным, если кто-либо победит
два раза подряд.
а) Какова вероятность победы каждого из
шахматистов, если все они одинаково искусны?
б) Какова вероятность каждого участника победить,
если первую партию выиграл .1?
444. (МФИ. 1977 г.) Город состоит из п кварталов;
в п, из них живет но а, жителей (п\ + нг + ... + и* = ")•
С Помощью случайной выборки без возвращения
отобраны г кварталов и в каждом из них подсчитано число
жителей. Пусть х\ хг — соответствующие числа жителей.
Вычислить математическое ожидание и дисперсию
величины т\ -f- ... + з;.
'ifi?>. (МФИ, 197G г.) Из озера при первом улове
вылавливают « рыб. Каждая из пойманных рыб метится
красным пятнышком и выпускается обратно в озеро. При
втором улове было выловлено г рыб. Первый и второй
улопы независимы, число рыб в озере между уловами
неизменно н равно Л".
Пайти ]>х(к) —вероятность того, что второй улов
содержит ровно к меченых рыб. Пайтн .V, при которой
рх(к) максимально.
f.8
440. (МФИ, 1976 г.) X и Г — две случайные
независимые величины, равномерно распределенные па (—b, b).
Найти вероятность того, что уравнение I2 + tX + Y = 0
имеет действительные корни. Найти предел этой
вероятности при Ъ—*- °о.
447. (Мех.-мат.. 1'.176 г.) Па шахматной доске размера
пХп рисуется случайный прямоугольник, составленный
из нескольких квадратов. Найти вероятность того, что
прямоугольник является квадратом.
448. (МФИ. 1977 г.) Числа 1.2 , п перемешаны
и расположены в случайном порядке. Какова вероятность
р», что хотя бы одно число окажется на своем месте?
449. (Мех.-мат., J976 г.) Найти вероятность q,L того,
что случайно выбранный определитель с элементами из
поля Z2 порядка п отличен от нуля. Доказать, что
существует Гпн qn = q > 0.
И-*-ос
450. (Мех.-мат., 1976 г.) В шаре радиуса R = 10
имеется шаровая полость радиуса г = о с центром в центре
шара. С какой вероятностью траектория частицы,
попавшей в шар, пройдет через внутреннюю полость?
Е.9

ЗАДАЧИ ВСЕСОЮЗНЫХ
СТУДЕНЧЕСКИХ ОЛИМПИАД (II ТУР)
ОЛИМПИАДА 1975 ГОДА
451. A, 2 и 3 секции, 1 курс). Найти расстояния от
каждой из точек @; 4) и @; 6) до параболы У =-ттг
(расстоянием от точки до параболы называется расстояние
от этой точки до ближайшей точки параболы).
452. A секция, 1 и 2—6 курсы). Какое наибольшее
число пулей может иметь па ( — оо, -f-oo) функция
1\х) = -L ске 1 где ак действительны и различны, а ск
h=l
действительны п пе равны пулю одпоиременпо?
453. A ц 2 секции, 1 курс). Что больше:
Й(«~яг)™-т'
п=| ч '
454. A секция, 1 о 2—6 курсы). Провести через центр
правильного пятиугольника такую прямую, чтобы сумма
квадратов расстояний от вершин пятиугольника до этой
прямой была наименьшей.
455. A секция, 1 курс). Дана числовая
последовательность аи 02,..., причем для любого if > 1
подпоследовательность а( j (п = 1,2,...) стремится к 0. Верно
ли, что я„-*-0-при >?->-f-oo? ([.г]—см. па стр. 203.)
45G. A н 2 секции, 2—6 курсы). Судет ли ряд
оо
i —т- е~* равпомерио сходится па [0, +оо)?
457. A и 2 секции, 2—6 курсы). Найтп
л" л4 л1'-'
1 + "^Г т- 7JT + ~\Щ + • • •
SI 71 11! 151
ео
458. (I срктшя, 2—6 курсы). Вычислить
J | ch jc — 0,1ft)
_.-\3
с относительной погрешностью пе более 20% (требуется
дать о гнет, а пе оценку ошибки).
459. B п 3 секции, 1 курс). Нарнсопать храфш;
функции /(.с) = sinC arcsinx). ^
460. B секция, 1 курс). Иантп
Jim ai"clg(a: — In x-sin .r).
3i-»-|-oo
461. B н 3 секции, 2—С курсы). Найти центр тяжести
полушара.
462. B и 3 секции, 2—6 курсы). Построить график
функции
х
/И= J Sin (/«)£//.
и
463. C секция, 1 курс). Дан шар радиуса /?. Каков
наибольший объем прямого кругового цилиндра,
вписанного в этот шар?
464. C секция, 2—6 курсы). Известно, что х-\-е" —
= у + е". Верно лн, что sin .r = sin у?
465. C секция, 2—6 курсы). Нарисовать на плоскости
Оху интегральные кривые (графики решений) уравнеиия
ОЛИМПИАДА 1976 ГОДА
-566. A н 3 секции, 1 курс). Пусть ф—взаимно
однозначное отображение плоскости на себя, переводящее
каждую окружность в окружность. Доказать, что ф
переводит любую прямую в прямую.
467. A секция, 1 курс). Построить непрерывное
взаимно однозначное отображение полуинтервала на
некоторое подмножество точек плоскости такое, что обратное
к нему отображение разрывно.
468. A секция, 1 курс). Пусть Л, В—матрицы
размера пХп, Е — единичная матрица размера пХи и
Е — А В — обратимая матрица. Доказать, что Е — В А —
тоже обратимая матрица.
С1

469. A секции, 1 KJ'tw)- Доказать, что для всех
х е (U, л/2] имеет мест неравенство
(sin.r)-2<Z-2+l_ *
■il
470. A секция, I курс). Доказать, что уравнение
хь + «J + ^'3 + с = 0, где ы, Ь, с — действительные
числа ц с *¥= 0, имеет но крайней мере два комплексных, не
действительных корня.
471. A и 2 секции, 2—G курсы). Пусть непрерывно
дифференцируемая на полуоси х "^ 0 функция 'f(x)
удовлетворяет условиям:
а) Ш£1|^.1 дЛя всех О 0 (с > 0);
' | ах \ л-
R
б) -jfUf ПI dx -> 0 прп /т -> оо.
о
Доказать, что /(.г) ->0 прп х-> + °°.
472. A секция, 2—0 курсы). Пусть А и В — матрицы
размера пХп и матрица С = ЛВ—ВЛ иерестанопочна
с матрицами А а В. Тогда некоторая степень матрицы
С равна нулю.
473. A секция, 2—G курсы). Пусть p(z) и q(z) —
многочлены ненулевой степени с комплексными
коэффициентами. Доказать, что если для любого комплексного
и- .многочлен p(w) = 0 тогда и только тогда, когда
§(«") = U, и p(w) = 1 тогда и только тогда, когда (](w) =
«= J. то многочлены p[z) и q{z) равны.
474. A секция, 2—E курсы). Найти предел
lim V <=JL.
475. A секция. 2—0 курсы). Иаптп наибольшее
возможное число иериоднческнх решении, отличных от
констант, с попарно несоизмеримыми периодами, которые
может иметь уравнение вида у'(I) + "@2/@ = b(l), где
функции a(t) и b(t) непрерывны.
470. B секция, 1 курс). Найти все дифференцируемые
функции f{x), определенные на (— оо, -f-oo),
обладающие свойством: для любых х и у (х ф у)
62
прп некоторых фиксированных а ^3= О, Р ^ О таких, что
а + ?= 1.
477. B секция, 1 курс и 3 секция, 2—G курсы). Пусть
Л — квадратная матрица размера п X п. Е — единичная
матрица размера иХи и (Е -\- А)'" = (). Доказать, что
тогда Л — невырожденная матрица.
478. B секшш, 1 курс). При каких натуральных п
можно построить на интервале @, 1) непрерывную
функцию, принимающую каждое свое значение ровно п раз?
Построить примеры таких функции дтя тех ?г, для
которых это возможно.
479. B и 3 секции, 1 курс). Функция j{x) определена
па [О, 1] и монотонно не возрастает (т. е. f(x) ^}(у)
при у ^ х). Доказать, что для любого а е @,1)
а I
f / (.r) dx < а \ / (х) dx.
'о о
480. B сектшя, 2—Г) курсы). Для каких действитель-
ос
пых х сходится ряд 2l sin («л)?
11=II
481. B секция, 2—0 курсы). Найти все определенные
на действительной осп дважды дифференцируемые
функции /(.г) такие, что f'(x)j"(x) =0 для каждого х.
482. B секция, 2—6 курсы). Пусть А — матрица
размера и X п. Доказать, что существует такая матрица В
размера и X н, что ABA = A.
483. B секция, 2—6 курсы). Пусть N есть тело,
ограниченное плоскостью Оху н графиком непрерывно
дифференцируемой функции 1{х,у), f(x,y)^0,
обращающейся в нуль в точках, лежащих вне круга х2 -(- у2 ^ 1,
и только в них. Показать, что существует пара
параллельных плоскостей, перпендикулярных плоскости Оху.
которые делят на три равные по объему части тело М
и высекают равные по площади фигуры.
484. C секция, 1 курс). Сколько существует
многочленов вида хъ -\- ах2 -\- Ъх -+- с таких, что множество их
корней есть {я, Ь, с}?
485. C секция, 1 курс п 2—6 курсы). Пусть S —
окружность. Для любых двух точек х, у е S обозначим
л (.г, у) длину кратчайшей из двух дуг окружности S
с концами в точках х и у. Существует ли отображение ср
окружности S в трехмерное пространство такое, что для
любых точек х, у <= S выполняется равенство "/. (х, у) •=
63

= р(ср(ж), ф(г/))? Здесь р(Л, R) — расстояние между
точками А и В трехмерного пространства.
486. C секция, 1 курс). Окружность единичного
радиуса катится по верхней стороне положительной ветви
гиперболы у = 1/.т. Будет ли линия, которую описывает
центр окружности, ветвью какой-либо гиперболы?
-487. (о секция, 2—G курсы). Для каких действнтель-
ТО
ных х сходится ряд „_ cos (пх)?
A- 1
488. C секция, 2—6 курсы). Функция /(.г) пе
убывает па [0, -f-°o) и для любого Г > 0 интегрируема
на
ГО, Т], причем li"i — \f(t)dt — c. Доказать, что
lim j (x) = с.
ОЛИМПИАДА 1977 ГОДА
481). A и 2 секции, I курс). Доказать, что если при
любом h f{x) Ф f(x + h) не более чем в миллионе
точек х, то f(x) =. const, за исключением не более чем
500 (ЮО точек х.
490. A секция, 1 курс). Пусть 0 < а < 1 н монотонно
возрастающая последовательность иоюжителышх чисел
{р*} удовлетворяет условию рк'рь+\ ->я ^ а при к-уоа.
Доказать, что последовательность {</*}: <7i = 0, qh —
г—т- : при к > 1 имеет предел, и панти
Ph --I-(a-9*-l)Pft
этот предел.
491. A секция, I курс и 2 секция, 2—6 курсы). Пусть
р(х) = хп -\- а„- ,.£"-' + ... -f flo — м ногочлен с дейс гви-
тельными коэффициентами. Доказать, что среди любых
различных целых чисел Ь\, ..., b„, Ьп+[ наймется такое Ь,,
что \p(b,)\ ^ п\/2".
492. A секция, 1 курс). Пусть f(x, у) — билинейная
функция такая, что из /(я, Ь) =0 следует f(b, а) = 0.
Доказать, что либо для любых a, b /(о, b) = /(frt a),
либо для любого а /(«, а) = 0.
493. (I секция, 1 курс). Члены числовой
последовательности {«„} определены соотношениями: а\ = 1,
*-■■•-. V (">')•
вп =
04
1
" «1
"i
' in-1I
i "г
(«-2I
Доказать, что
а"= 2(ln^)"+T + °(un2)"-1J
при п-> оо.
494. A секция, 2—6 курсы). Доказать, что если
функция и{х) непрерывно дифференцируема на полуоси х > 0,
и(х) = 0 при г^ 1п сходится интеграл J x(u' (x))"dx, T0
о
J (h) = j ц' (ж + Л) («(а: + А) — ы (ж)) я\г -> 0
при h->0-\-. (При доказательстве можно использовать
неравенство Буняковского
' h \ 2 Ь ft
j / (*) g (x) Лг) < j /2 (x) dx j £г (j:) dx
\a J a a
для непрерывных на [a, b] функций f n g.)
493. A секция, 2—6 курсы). Известно, что ряд
^ —- сходится, где сп 2э= 0. Доказать, что сходится ряд
п=1
-с ?о
й= 111=1
496. A секция, 2—6 курсы). Пусть f(x, у) *= о.г2 +
'+ 2/?.Г(/ + су2, где а, Ь, с — действительные, причем
D = ас — Ь2 > 0. Доказать, что существуют целые числа
и, 1', не равные одновременно нулю, такие, что
1,(„,,)КD£).
497. A секция, 2—6 курсы). Пусть функция f{x)
определена при — R < х < R и lim/(.t) = °°. Точку
\—>R
x = U назовем полюсом функции f(x), если существует
натуральное п такое, что {х — R)"j(x) может быть
доопределена по непрерывности (слева) в точке х = R,
а доопределенная таким образом на (— R, R] функция
в- точке х = R имеет левосторонние производные всех
порядков, причем ее формальное разложение в ряд Тей-
5 В. А. Садовничий А. С. Подкол-шн 6о

лора по степеням (х — R)k сходится к (х — R)n1(x)
для х е (R — 6, R) при некотором 6 > 0. Пусть ряд
2£ flft#' имеет радиус сходимости, равный 1. Если точка
к i ' °°
а = 1 является полюсом для J (х) = 2 «ь-с i то ah не
i 1
стремится л 0 при Л-хэо.
498. A секция, 2—6 к\рсы). Найти все
действительные числа с такие, что для любого натурального га
га" — пелое чи( ю.
49-Я. B секция, 1 курс). Доказать, что абсолютная
величина значения к-й производной функции y = cos3x
3ft -' 3
в произвольной точк^1 х не превосходит :—.
4
500. B секция, 1 курс). Пусть Мп — множество
матриц размера п Хп с действительными коэффициентами,
п
Тг(Л) —2j аа — след матрицы А = Но,-:". Доказать, что
i !
если 'Tv(АХ) = 0 для всех 1е.1/„. то А = 0.
501. B секция. ] курс). Дано уравнение х3 + ах2 +
-}-Ьл; + г =• 0. Найти псе действительные значения а и Ь
такие, что го уравнение имеет не более двух
положительных корней при вс( х действительных значениях с.
502. B сскнпя. I курс). Найти наименьшее значение,
которое принимает ни целых .т, у, не равных
одновременно ну но,' ныра;.ачто | 5.Г2 + 11.П/ — 5i/2|.
503. B и ''» скипи, 2—G курсы). При каких г все
частичные суммы ряда
л
-^-j- r cos .1 ; л2соб2.г + г3 cos \х -f- r4cos8x4- ...
неотрицательны т ш всех -т?
504. B секпия. 2—6 курсы). Пусть А—квадратная
матрица размера и X га. Доказать, что
где /1Л — матрица размера (га — 1) X (га — 1)',
полученная из А вычеркиванием Л-й строки и Л-го столбца.
505. B секция, 2—6 курсы). Доказать, что если
непрерывно дифференцируемая на всей плоскости Оху
«IУ кция /( У) удовлетворяет уравпеншо -^ + f-щ; = 0,
то 1(х, у) есть константа.
66
506. B секция, 2—6 курсы). Найти а такое, что
Сузь
ществует предел Mm (г — 1)" I —— c!t, и пычпе шть этот
предел.•
507. C секция, 1 курс). Дан эллипс 4.г2 -\- у2 = 5.
Найти уравнение параболы, которая касается этого
эллипса в точках х —%.. UJr^. — 1 ч £ = J/ = — 1.
508. C секция, 1 курс)/А — \\а{,\\ — матрица размера
3X3. Известно, что для любого I flii>2|«i;-|. Доказать,
? i
что определитель матрицы А не равен пулю.
509. C секция, 1 курс). Найти
lim-
;(fC0Sa)
И Ш - . , .
K-,Q SHI (SHI х)
510. C секция, 1 курс). Пусть Р — точка, лежащая на
гиперболе ху — 4, и Q — точка эллипса х2 + 4(/2 = 4.
Доказать, что расстояние от Р до Q не меньше 1.
511. C секция, 2—С курсы). Пусть A — [q с Ь где
а, Ь, с — действительные числа. Найти все такие а, Ь, с,
что некоторая степень Ап матрицы А (га — натуральное)
имеет вид I 0 t I
512. C секция, 2—6 курсы). Найти функцию у = /(.£'),
являющуюся при х > 0 решением дифференциального
уравнения .ту' -f- У + 2.гг/ = 1 и принимающую в точке
х = 1 значение 1.
513. C секция, 2—6 курсы). Найти площадь части
эллипса —г- + q = 1) расположенной ниже параболы у =
~ 32 * -
514. C секция, 2—6 курсы). Вычислить
71
lira -L flnfl +4=)dx..
6«

Глава III
ЗАДАЧИ СТУДЕНЧЕСКИХ КОНКУРСОВ
И ДРУГИЕ ЗАДАЧИ
515. Установить взапмпо однозначное соответствие
между отрезком [О, 1] и интервалом @, 1).
516. Доказать, что если А —счетное множество точек
плоскости, то А представимо в виде /4iD^2, где
пересечение А\ с каждой прямой, параллельной оси абсцисс,
а также пересечение Ач с каждой прямой, параллельной
еси ординат, содержат конечное число точек.
517. Существует ли такое континуальное семейство А
подмножеств натурального ряда, что для любых двух
подмножеств х и у, входящих в А, выполнено либо
х £ у, либо у Е а?
518. Можно ли расположить па плоскости континуум
букв Т различных .размеров так, чтобы они не
пересекались друг с другом?
519. Доказать, что для любого конечного семейства
{Atj}iiJmI подмножеств множества В выполнено
U П U {{АЛ\А,к)\}А'ц\}Аи) = В, где А'и = В\А„.
lei jS:ii,ei
Верно ли это для любого бесконечного семейства {-4,}?
520. На плоскости нарисовано п точек. Игра состоит
в том, что двое по очереди соединяют какую-либо пару
точек кривой линией, на которой ставится новая точка.
При этом линии не должны пересекаться и из каждой
вершины должно выходить не более трех линий.
Выигрывает тот, кто проведет последнюю линию.
а) Доказать, что игра кончается.
б) Найти оптимальную стратегию при п = 2.
в) Найти оптимальную стратегию для произвольного п.
521. Пусть А\, .... Ап — подмножества множества Е.
Доказать, что наибольшее возможное число различных
подмножеств Е, которые можно получить, применяя
68
к множествам /1i\/12. Л2Ч А3 А \'А\ операции
объединении, пересечения и дополнения (до Е), равно
2К 2 > l 2 ' (»>2).
522. Сосчитать с ошибкой не более чем в три раза
число существенно различных (с точностью до поворотов
и симметрии) позиций, которые .могут возникнут!, при
игре в «крестики-нулики» на квадрате .4X3 (ходы
делаются но очереди; игра заканчивается, если три
крестика или три нулика оказались на одной вертикали,
горизонтали или диагонали).
523. Существует ли такое множество А
последовательностей натуральных чисел, имеющее мощность континуум,
что для любых {«„}, {i„)e/l п любого натурального
с неравенство \и,„—Ь„\ < с выполнено лишь для
конечного числа пар («/, /г)?
524. Пусть {/?„} (п = I, 2, ...)—строго
возрастающая последовательность натуральных чисел, а ф(п) —
число членов этой последовательности, не превосходящих
п. Доказать, что если ф(") ~ г— при и->оо1 то
оо оо
к -I ' V„ „ [ 'п
525. Доказать, что для всякого отображения /
множества рациональных чисел Q в себя найдутся три би-
екции ц\, <[2, фз 1Ы Q с Q, удовлетворяющие равенству
/ = ф| + Ц 2 + фя-
526. Пусть а, Ь, с, й — четверка действительных чисел.
Образуем из нее новую четверку \h — я |, \с — Ь\, \d — с |,
\а — d|. Далее будем повторять ту же процедуру.
Может ли случиться так, что ни на каком шаге не
получится четверка нулей?
527. Пусть Т\ = (A'i, I[) и Тч = (А72, 2г) —два
топологических пространства, a g — отображение A'i в AV
Тогда g называется открытым, если из того, что А е Zi,
следует, что #(Л)е22, замкнутым, если из того, что
Л'е21, следует, что g(A') e^2. Существует ли
непрерывное отображение Т\ в Т%, не являющееся ни открытым,
ни замкнутым?
528. На множестве .V натуральных чисел введем
топологию, объявив открытыми множествами 0, Л' и
множества, дополнения до которых конечны. Описать все

непрерывные действительные функции на этом
типологическом пространстве.
529. Какие множества на прямой могут быть
непрерывными образами множества М точек плоскости, у
которых по крайней мере одна из координат рациональна?
530. Найти все непрерывные действительные
функции, определенные на всей прямой, переводящие любое
открытое множество в замкнутое.
531. Будем считать Землю идеально гладким шаром.
Рассмотрим множество А всех точек .г на поверхности
Земли, которые обладают свойством: если на х пройти
К) км на север, затем 10 км на запад и. наконец. К) км
на юг, то окажешься снова в точке х. Является ли
множество А замкнутым?
532. В метрическом пространстве Я = (X. р)
построить открытый шар 0(.т, г) = {//: р(.г. у) <С г} и
замкнутый шар К (г, /■) = {у. р(.г, у) ^ г} с общим центром
и равными радиусами такие, что замыкание О (.г, г)
не совпадает с К(х, г).
533. Существует лп полное метрическое пространство
и последовательность вложенных друг в друга замкну-
тых шаров, имеющих пустое пересечение?
534. Пусть (М, р) — связное метрическое
пространство. Для произвольных множегтв А cz М, В cz M
положим
р(Л, В) = inf р(г,у).
а- \
■: И
Доказать, что если р(Л, В) > 0 для любых двух
непересекающихся замкнутых множеств .4 с .1/, 'В cz .1/, то
пространство (-¥, р) компактно.
535. Пусть L — нормированное пространство. Может
лп существовать ограниченное (т. е. целиком
содержащееся в некотором шаре) замкнутое подмножество L,
не являющееся компактным?
536. Пусть L—подпространство (т. е. замкнутее
линейное многообразие) линейного нормированного
пространства N, не совпадающее с ^V. Тогда для любого
заданного е > 0 найдется в Л' такой элемент у с нормой,
равной единице, что |!'r—i/'!>1— в для всех igL.
537. Пусть Я — комплексное гильбертово
пространство, А — положительный (т. е. (Af, /) ^ 0 для любого
/еЯ) ограниченный оператор. Доказать, что А =» А*,
где А* — сопряженный оператор и тем самым А
симметрический (самосопряженный) оператор.
70
538. Еслп функционал р(х], заданный на линейном
npocipauciBe L, удовлетворяет свойствам
я) Р{* + У) ^Р(х) +Р(У) Д-Г'я любых х, y^L,
С) р\ах) = ар{х) для побых i6Lna>0,
то при любом деист вш ел ьном а р(ах) ^ ар(а-).
Докажите это.
539. Существует ли оператор в гильбертовом
пространстве // такой, что его область значений, т. о.
множество /?i= [Л]} (/е//), но замкнута, но замыкание НА
совпадает с //?
540. Задан чиненный обратимый оператор /1.
Доказать, что для любого j£=/?', ||.r|| = J, сушосгпут
число i из множества {± 1, ..., ± п} такое, что ||Л'.т|| ^ 1/и.
Доказать, что константа \/п не улучшаема. Доказать,
что еслп 5с {± 1, ± п}—собственное
подмножество, то для любого е > 0 существуют А и х такие, что
IIЛ'.Hi < е для вс'-х i e S.
541. На отрезке [0, 1] заданы п пз-мерпмых множеств
Аи An, ..., Ап таких, что сумма их мер больше, чем п — 1:
и(Л,) +|1(Л2) +... + и(Л„) >п-1.
п
Дока" пь, что пересечение П Ai имеет меру, которая
i=i
больше пуля.
542. Пусть р— неотрицательная счетно-аддитивная
функция (мера), определенная па борелевскнх
множествах бесконечномерного гильбертова пространства //. Пусть
для любого открытого множества G cz II рF) >0 и
для любого /е// и борелевсьчи'о множества F cz II
!•(/ + F) = |i(/''). Доказать, что дчя любой такой меры
р мера любого непустого шара бесконечна.
543. Пусть Е— измеримое множество па [0,1),
ц(Е) > 0. Найти меру множества С:
G = {;ге[0,1): g«eZ, у^Е такие, что х = {чу}},
где {а} —дробная часть числа а.
544. Пусть G — группа, a,b^G, о3 = с, 1г"~х = е,
aba = ba2b. Доказать, что тогда b = е. Здесь е — единица
группы, п — некоторое натуральное число.
545. Пусть р — простое число, G — группа всех
комплексных корней из единицы степени рп, где п =
= 0,1,2,..., // — конечная группа такая, что существует
гомоморфизм группы G на группу Н. Доказать, что
//={1}.
71

546. Выяснить, существует ли не тождественно
равное нулю решение функциональною уравнения
A + 4x)JBx) = 2f(x + 2.t2), определенное н
аналитическое в окрестности пуля.
547. Доказать, чго при а, Ь ^ 1 выполняется
неравенство
absZeT-1 +bhib. \
548. Найти максимум функции х\ -\- х2-\- хз на
множестве таких точек (х\, х2, хъ) е Ня, что х\х2хз — 1)
О < х, ^ h, 0<x2^h, 0 < х2 < /г, где /г > 1.
54'Э. Доказать, что если р(х)—многочлен с
действительными коэффициентами н а < fi, то на отрезке [ее, fi]
не выполняется тождественно равенство p(siii:r) = cos£.
550. Пусть два многочлена р и q с действительными
коэффициентами принимают целочисленные значения
в одних и тех же точках. Доказать, что р — q либо р + q
есть константа.
551. Пусть f(x) —многочлен с целыми
коэффициентами, неразложимый в произведение многочленов низшей
степени с целыми коэффициентами. Может ли уравнение
/(•О — " иметь кратные комплексные корни (не
действительные)?
552. Дана функция /(.т) еС""[0, I]. Известно, что ни
одна из функции /""(-О прп А; = 0, I т — \ не
принимает нулевого значения на отрезке [0,1], а |/(""(.г) | ^ Л/
при всех ze [0,1]. Доказать что
шах 1/И1>^Л-
553. Доказать, что для функции
ОС
f(x)~ 2j e_" cos n2jc
ряд Маклорена сходится лишь в одной точке .г = 0.
554. Пусть функция /(.г) непрерывна и выпукла на
луче [о, + °о), причем ——*■ -\- --о при х->-оо. Доказать,
с»
что J sin/(.r) (ic сходится.
и
555. Вычислить lim \гп \ —СПЕх ndx.
П—х J_ A + X*)
72
556. Нантп sup I — J p (х) In p (х) dx 1
по всем
положительным непрерывным функциям р(х),
удовлетворяющим условиям:
-| ос "Ь00
]' p{x)dx= 1, |' хгр (х) dx = г2 (г >0—const).
•—ПС — IX)
557. Доказать, что существует такая константа с, что
для любой непрерывно дифференцируемой в н-мерном
пространстве R'\ абсолютно интегрируемой по R"
функции /(.г), х = (х\,..., х„), все частные производные первого
порядка которой ограничены, имеет место неравенство
B4|»|/(a)|<c(siip|v/HI)"/(n+IY.fl/HI^
»<=яп лед"
'(Л
l/Cn+l)
Найти наименьшую такую константу с.
558. Доказать, что функция /(г), аналитическая в
круге |г|< 1, непрерывная при |z|^ 1 н принимающая
действительные значения на окружности |z| = 1, есть
тождественная константа: /(г) = с, се/?.
5
550. Пусть ф(г) = 2 "Г- Дока:,ать' что <рA + И) =^ 0
71=1 "
для любого действительного t.
5G0. Пл точки, находящейся на расстоянии 0,1 от
центра круга радиуса 1, вылетают во все стороны частицы,
отражающиеся от окружности по закону «угол падения
равен углу отражения». Нарисовать геометрическое
место частиц, прошедших путь 2.

РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ И ОТВЕТЫ
1. При 0<|sinx|<l i/(j) = 0; при |sin.-r|=l y(jr]|^ 1,
пли
у(х)= ' ПРИ ' -]Г I-1™, и 0,11,12,...,
[О в протпыюм случае.
График j/(x) 1ыоГ>1»ал:ен на рис. 3.
I
1
I1.
J.7
~z
У.
/
1
и 0
г
i
я
1
Лг j
Рис. 3.
Рис. 4.
A — In г) .,„
3. При г > О /П =-:'' = ednv)/*, /'(., ■) -^ х{'\
Г1рл.т-»-0 f(x)-*0; на @, ё) f[x) возрастает до
максимального значения е,/е п на (е, + ос) убывает, стремна к 1
График f(x) изображен на рис. 4.
74
S. Рассмогрим поведение у(х) на различных промеж>тках:
1) Ог£х< 1:
у-шу 1 + ^-(х)=1нп(, - +W'v) = i-
2) х = I: у = ^_мп "J 1 + 1 -'-D~)" I-
II 1< х < 2: »/ =■ Jim з "} 1 +—-,—=• г.
4) г = 2: у = lim I l-r2"-2 = 2.
5), > 2: „-Hm-jTl (-) f (-) + 1=--.
6) — К г < 0: J/ = 1.
7) —2 <^ г г^ —1 — предел не сущссшует.
8) х < — 2: г/ = *2'2.
7. Фипщпя J/= со?B arrcos .т) определена при —1
*4
Ж
1
-1
Рис. 5.
При всех значениях а, удовлетворяющих этому неравенству,
у = cosB arccos х) = 2 cos?(arccos г) — 1 — 2х1 — 1.
1);
9. Прпг>1 lim (х — 1) arctg ги _
прп х = 1 lim (г — 1) arctg xn — 0;
прп |*| < 1 lim (г — 1) aictg*" = 0;
прп г ^ —1 lim (г— 1) arctgхп не существует.
График изображен па рпс. 5
М. Имеем у = ех ,L х, так что прп х-+■ + 0 i/(ji-»1—;
у(х) ->-+ оо при х-*- + оо. у'(х) = (In х + l)*5" и прп 0 < х < 1/е
у'{х) < 0; при х > 1/е !/'(*) > 0, так что х = 1/е — точка мп-
75

нпмумв. у"{х) = x*{l/x + (In х + \J) > 0 при i > О — функция
строго вогнутая. График ее jказан па рис. 6.
Viic. 7.
13. В полярной системе координат уравнение имеет вид
3 j\u 2ф __ з si„ 2ф
г — ■
2 sin3 ф -(- сы? ц>
] 2 B — sin 2ф) cos
('-тГ
Так как г ^ 0, то для ф имеем три возможных промежутка: О ^С
^ £. Зл л л
*?: Ч- *^ 2 ' ~4~ < ч' *^ л- "__:r^lf< — "T"- Так как при замене
Ф ни
■ ф выражение для г не изменяется, кривая симметрична
относительно оси ф = —. При U =s: ir <-£- возрастает от 0 до
3 Л Л
мри — -77- < ф < — — г во.11
1 2
(—х).
(растает от О I (р = — -s-j до
При ф -> — ■
1 J-o(l)
кривая
г = — -
имеет
1
'(ф-.-f)"
е.
I
2со^ф — -yj
1 2 cos(
асимптоту. определяемую уравнением
или у = — A +х). Кривая изображена
на риг. 7.
15 Гак как /A) = р'C) =0, то р' (.г)- многоччен степени
//~» " ''.V' ~ многочлен степени не меньшей, чем 3. Положив
РЛ] = if -- 1) (^ - 3) = Л (л^ - Ах +3), из условий р" (х) | т_, <
<^и и^р U) I-V—з > 0 получим А > 0. Далее получим р.(г) =
= Л(± 2л* + Зх)+В, откуда />A)-=-| Л + В = 6 и рC) =
= Л = 2. Следовательно, В = 2 и Л = 3. Окончательно, р(х) =
70
17. Пусть р(х) = a„i" +... + по, о,- > 0, п р(х) — р(~ х).
Тогда 9 (л") =/»(ж) — р (—г) = 2a i„r г - + ... + 2я1.г: ЕЕ О,
т, е. <72i+i = 0 ч />(х) содержит лишь четные степени х; п — 2т.
Тогда //(г) = 2тв2г..я2,"_| + ■•• +2а2х = 0 при а; = 0; p"(z) =
= 2тBт — i)aimx2m-2-\-... + 2п2 > 0, откуда и вытекает вогву-
тосп. графика р[х); единственная точка экстремума х = 0.
19. Пусть такой многочлен существует, тогда рG) = пс7" +
-f- a,7n_' + ... + а„ = 5, рAо) = a015"+... + an = 9; вычптая
одно равенство из другого, полупим число а0A5"—7'')+...
... + e,,_iA5—7) =-i, где левая часть делится на 15—7 = 8, а
правая не делится на 8 — противоречие.
21. Имеем р(х) =Ь+ {.г — г,) ... (г — is)<i{r), где хи ...
..., х$— целые точки, в которых значение многочлена р(х) равно о.
Предположим, что для целою числа , 0 р(хц) = 0; тогда
(.т0 —хх) ...(х0 — xb)q(xts) =—5, причем л.„ — i„ ..., г0 — г5
—различные целые числа, делящие (—5). С долгой стороны, —5 имеет
всего 4 различные целых делителя: 1, —1, 5 и —о — противоречие.
23. Число многочленов p(z) = z" + а1гп~1 + ... + «„ над Z2
равно числу наборов из 0 и 1 длины п, т. е. 2". При я„ = '» р(г) =
= z(zn~' + a\zn~2 + ... + Яп-i), т. е. линейно приводим, и число
таких р(г) равно 2"_|. При а„ = 1 р(г) линейно приводим тогда
и только тогда, когда он делится на z + 1, т. е. когда р( —1)=0
п число единиц в наборе «i, «2 «n-i четно. Очевидно, число
четных наборов длины п — 1 равно числу нечетных и равно 2"-2, так
2"—2 _■_ ■>'!— I з
что дп = ^ = — (л > 1).
25. Пользуясь формулой Тейлора при х = а, перепишем
многочлен р(х) в виде
Р (ж) = р (я) +
, , , . , . , . ifn(*)(x-«I , , //">(») (г-■■)"
+р' (а) (г — а) + ... + у{ -г ... -f ^] .
(Остаточный член равен нулю, так как всюду р'"+,,(л) = 0.) При
i>jb силу условий на p(i,(a) написанное равенство дает р(л:)>
> 0, что п означает отсутствие корней, превосходящих а.
27. Достаточно доказать, что все корин р (г) действительны.
Пусть а, <....< а, — корни р(х) п kt,..., к, — ах кратности;
к, + ... + к, == п. Если /г, > 1, то я,- — корень p'(j) кратности
кг — 1, так что сумма кратностей корней р'(.т), ^одсржащи^сн
среди чпеел я,, ..., а„ равна (к{ — 1) + ... + (*'« — 1) = « — »■
Многочлен р'[х) пмеет, кроме того, денствптсп.пме ьпрнн 6,-, где о, :
< 6[ < Я(+1 (i = 1, ..., s— 1)— не менее s — 1 ьорнп, а так как
(и —s)-f-(s— 1)= п— 1, то других корней у р'(х) нет, п все
корни р'(х) действительны.
я 7 "+1
29. Рассмотрим р {х) = С(рс +—— + ... -\ ГСТ- По условию,
рA) = 0; кроме того, р@)= 0. Поэтому с\щесгп\ет а0е @, 1)
такое, что р'(х0) = 0, но р (х) совпадает с многочленом с0 + с,х + ...
... + спх".
77

/
31. Если хотя бы один из р, (х) — нулевой мноючлотт, то
утверждение верно. Предположим, что все pt(x) ненулевые: Кслп все
и, различны, то пусть без ограничения общности п/<л2<...
... < пг; тогда п. > i — 1 и л, + .. .+nf^ 2—■ Поэтому
существуют i и /: щ = nj = и при i # /, т. е. p.(j-) = яг" + ..., р,(г) =
= Ьх" + ..., где я Ф 0, 6 ф 0 Пусть ? О) = р. (х) — -^-pj (х).
Система р,(л:), ..., р,_,(.т), 9(з-), Pi+iW, ..., Pi (а-), ..., pr(r) линейно
зависима топа и только тогда, когда линейно зависима исходная
система, причем сумма степепей входящих в нее многочленов
меньше, чем П] + ... + п,. Продолжая описанный процесс до
получения нулевого многочлена, убеждаемся в линейной зависимоепГ
исходной системы.
п
33. Пусть р (:) = с0 Д (; — Ьи), где Im Ь„ > 0. Тогда р (z) =
lr-\
-Ь^^^Й^^^ при,**».
k=\ ' >< ft-l h k=i h
Если lmz* < 0, io z* Ф b„ n p(z*) ^= 0. Кроме того,
Im (z» — bh) < U, Im .„_ , > 0, так что lm I V „. _ > 0 и
^ z* — b ^0, откуда и получаем p'(z*)=£0. Следовательно, все
ft I ~ h
корни />'(*) лежат в верхней полуплоскости.
35. Имеем
" ft
-1.1A-*)= V £_+„(,"),
те. п ц
_]пA-*)*= V -^-+оСг").
ft=i
По
— 1иA — хJ = — 1нA— Bх — х2))=.
„ у ^-54; + 0(Bя_ж2)ЭТ) д у {2х-^» ои
h=l ft=l *
Вычитая эти равенства почленно, получим, что данный мпогочлен
есть о(.т"), т. о. он делится па xn+i.
37. Имеем р">-"(.г) = о0 + а2х2 + ... + оп_р+1г"-р+>, где
°o = {p-l)\cp_v a2= 2, ср+г...
••••"*- j! cp+f-ii-"
Так как между любыми двумя нулями функции ее производная об-
7»
ращается>в нуль в некоторой точке, то р'р_1'(х) имеет (п — р +1)
различных^ действительных корией, а р^Цх) — {п — р) корней,
причем мелшу каждыми двумя соседними корнями p^'>{j) лежит
корень р(,,~\(.г). Пусть cp_i и cp+i очного знака; без ограничения
пбщности буд^м считать, что Cj,_!> 0, crj-i>0. Тогда в некоторой
окрестности гички х = 0 многочлен р<^-"(.г) убывает слева от
х = 0 и возрастает справа от х = 0, причем р^'@) =0. Если
pif'(j-) не нмееУ других корпей, то всюду р'р-Ч(з-) > р(р~п @) =
— яо > ", что невозможно. Пусть х0 — корень р1р)(х), соседний с
х = 0. -Тогда на олрезке между 0 и х0 р^~1>(х) ^ а > U. чю
противоречит существованию корня р(р_,'(.г) на агом отрезке.
т т
39. Пусть/(г) = Д(г — е.), тогда /(р(<0)=П U''^ — aiY,
i- 1 _ i 1
пусть Я; , ..., я. — все различные целые я,-, тогда целые корни
/(р(*) суть целые корпи уравнений р(.т) ";i,-..,/'(') "/г-
Пусть p(i) = ЪпХп + ... + 6о; тогда число пелых корней
уравнения p(^) = ni не превосходит п. Если х0 — .noooii целый корень
птего уравнения и xi — целый корень уравнения р(.«) -nt.{i Ф 1),
то р(г() — р(.г0) «=» (i| —аг0) д = °г. — ",-,, так что х, — хс делит
«. —я. и число целых корней уравнении р(х) = ",- .не iijicbocxo-
дпт чпела делптелей о — of # Таким образом, число целых
корней f(p(x)) не превосходпт и + с, где с —число различных целых
делителей чисел я^.— п^. 1
41. Пусть S„ < 2. Тогда S„j i. очевидно, то'же меньше 2. Так
как х + 2 > х2 при 0 < г < 2. то S„ _i ^ • 5„ Поэтому {S„} огра-
нпчепа сверху и монотонно возрастает. Обозначив ее предел S,
получим S = t,S-|-2. пли S2= S + 2. откуда либо S = —1, либо
S = 2. Первый стучаи невозможен, так что S = 2.
43. Если предел Л существует, то он удовлетворяет соотноше-
1
нию Л=2-г —р, откуда Л = 1 + 12. Оно.'.пачпм л-й член
рассматриваемой последовательности 1 + |2 + 6„. Тогда
Л„ A-1^2)
6„
Jn+1
п при |6„| < 1 имеем
I6
1-'
„1
ак
>2^6Г
1-Г2
1 2
что 16 „
?
<1Г|6п
< 1/2"
tiHir
Но в, = 1 — 12. |8,|<1/2, так что 16„ < 1/2" и |8„|-*0 прп
ге-»-оо, откуда и вытекает, что предел А действительно с}ществуег
и равен 1 + 1'2.
45. Индукцией по л легко проверить, что точка Мя отстоит от
1 I 1 \"-'\
точкп А на -о-1 1 — I —■ ~2~ I I длины отрезка АВ
ее I). Таким образом, {М„} стремшел к точке С отрезка АВ.
отстоящей от А на ~з" '•
ооозпачнм
73

47. Имеем
я (-» г J) (" г 2) 2,1 п + 1 + 2 (« , 1')'
" " nJ-l п+з/
iSM* + i)(*-r^ г - а- £ k ■ ыт-
, * , 1 * «,1, ___!__ *
Т2(-. + 1) + 2 (я -f 2) ~ 4 ~ (« + 1) + 2 (и + 1) + 2(п+2)-* Т
При л -*- оо.
49. Предположим, что Hm sin n существует. Тогда sin(n + 2) —
11-*эо
— sin я -»- 0, но sin (п + 2) — sin п = 2 sin 1 cos (и + 1), откуда
cos n ->■ 0 upn n-foo. Далее, sin 2n = 2 sin n cos n -»- 0. так что
sin 2/i -«■ 0. Следовательно, lim sin л = 0 п liru cos и = 0, что не-
П-.Х П-+Х
возможно в силу sin2 п + cos- и = 1.
51. Имеем
п п
УГ\ *>Чп 1 ж-1 9'/"
1_ "V 2'
**. \ - п *d 1
'=1л + — »=11 + —-
'г ~ т
id
In 2
oi 'n .j 1 'n 1 -j-
Прп г ^2 - = 2»-')/" " j ^2(i~1)-/". 2_>2(i-i)/n,
так что-1^- = о8' «Pn lt e jLzi, _LJ искомый предел равен,
"*" hi
1
I» *
таким образом, I 2xdx = —!_.
J In 2
53. Индукппей по n легко установить, что
*„= 1 + b + Ь* + ... + Ь" -f Ьп« =
ь"-1 1 I 1 \
1
Рассматриваемая последовательностьсходится к . __ ,: 1) прп |Ь|>1
1
п любом а, а также 2) прп любом Ъ Ф 1 п а — _ ■ в прочих
случаях она расходится.
3"
= Л,+:--4
--1-W
Имеем
\1 I 1
м-
так что {-г2,)} —>■ 1/3 п {.T2n+i} —»■ 2/3, т. е. данная
последовательность имеет вве предельные точки: 1/3 п 2/3.
щ
вве предельные точки: J/
— и Vn А3—1 тт (А — 1)(А-* + fc + 1)
о*. Имеем J | r= I I —■ , ,
1-2.....(п—1) jrfcs-f-fc-fl _ 2 "IT А-8 + *-М
3-4-....(и + 1) £4 A*— А-г1 я (л + 1) ^ А* - Л + 1
Но (/с + IJ—(А + 1) + 1 = А2 + fc + 1, так что, сокращая
одинаковые сомножители в числителе и знаменателе, последнее пропзве-
2 я2 + я -|- 1 2 я2 -|- « -г- 1
денпе преобразуем к виду „ (,( _;_ ^ _2-Г 1 =~3 „* f n '
что стремится к 2/3 прп я -»-«>.
Г»9. Имеем "n+i = "„ + (un —оJ, откуда u„ + i^ u„. Еслп
предел А существует, то А = А + (А — аJ и А — а. Поэтому как
только для некоторого i u,- > а, так все mj при ; > i тоже больше
я ц предел не существует. Квадратный трехчлен 1'^,+ A — ~а) "п +
+ а2 не превосходит а прп а — lsS|unsSa, откуда а — 1 ^ b ^
^ п. Омратяо, при о — I ^ м„ ^ а получаем, что un + i^ ",, ^
;> с — 1, u„ + i = ип -f. («„ — а)^ ^ и„ + (с — Ни) = о. Потому
при а — 1 ^ Ь < я последовательность ограничена сверху ц имеет
пределом число я.
Л(.'2 + Зч)
61. Еслп предел А существует, то,-1=—.j ... , д—, откуда Л =
а;2 + Зп
=) а. Пусть х$< о, п уже доказано, что з-,'< я, тогда -т-5 > 1,
Л.2 + 3,Л2
т. е. гп+, > г„. Имеем *n+i =giH Зг2 . п = ^ ('Ю' г^е Т@==-
-г (Й^J- Но «р' (;) = 3 з^ feГ > ° прп г * "■
о > z > 0, так 4Tor^+J= ф(г^) < ({■(«) = п. Таким образом, при
х\<а последовательность {.г,,} монотонно возрастает и сходится
к }а. Аналогично устанавливается, что при rj > о
последовательность монотонно убывает и сходится к тому же пределу. Прп х{)-= а
существование предела очевидно.
"/ 1\ "о-1-! п А
63. Легко заметить, что ]J 11 + — = J [ -i-I— = -2—
/i=l V hi ft=i <lh «1
+ 1
/i=l \ я/ ft=l '^ rtl
Индукцией по n: an = n + n(n — 1) + ... + я(п — 1) ...2 +
+ n (« — 1) ... 2-1, так что искомый предел равен
/ 11 1 \
^ Е А. Садовничий. А. С. Подколзнн 81

С5. Пусть [/(г) = arclgr. При т = 0 ;/(.<) = 0; щт/х "> О
у'{х) = 1/(j:2+ 1) < 1. так что при .г > О у (.г) < а. Пштому
последовательность {.г,,} монотонно убивает; для какого «
г» > 0, так чго существует lim{x„} = а. Переходя к пределу в
юотношении Xn + i = arctg хп (что bojmoh.tio в силу п/прерывно-
EiII ;/(х) на (—оо, +ио)). имеем о = aivtgo. откуда а =4 0.
A7. Достаточно рассмотрен, случаи л ^ 0. При .г =£ 0 искомый
предел ранен О. Пусть .г .> 0. 1->лп ч «С 0, ю, в.шн пес ледова тель-
носгг., соогветстпмощ.мо —« (обозначим ее {з„}),/будем иметь
г„ = (—1) "~li/„. Поэтому достаточно рассмотреть а ^ 0. При
О ^ а ^1 имеем ;/„ ^ 0, у „ , [= и sin ;/„ ^ ;/„, т. е. ^редел
существует и может быть найден н.ч уравнении у = о sin ;/; он равен 0.
При 1 < я=g: я/2 уравнение ;/ = a sin // имеет ненулевое
решение I/*. Легко проверить, что при .т < //* последовательность {;/„}
монотонно возрастает и стремится к ;/*. оставаясь меньше, чем у*,
а при х > ;/*— стремшся к ;/*, монотонно убывая. Таким образом,
Jimj/n = у* при а > I; lim уп = 0 при — 1 ^ а < 0; при
а <С — 1 предел не суще<тв\ег.
С9. Имеем 2л„,! = 2л„! (l f I j.^--;....+^-L_ + д^,
ГДеЛ"+1 = ^Т2)Г' 0<tJ<1' T- e- 2.-Mle = 2n.V + Ji- +
+ 01 -^j-J, где Л' —целое; я sinBne/i!) = га sin I _,_ . +01 ~т)) =
/2л ' | \\
— п ■ , . -J- о , . I !, что стремится к 2л при п -*■ оо.
71. Очевидно. г„ —>- 0 и монотонно убывает Имеем
1 _ 1 _ 1
Sill2 .t ■ , / ,2
■^ .Ц^ф+с^,))
~~ + ~+0A)'
хл—1
иди 4г-= -у- Jr -~+Уп. где j/n -0. Отсюда -L = J_ + i=J+
3 V4
— ^ i/h —' 0 как последовательность средних арифметических.
н
3
Отсюда —^_>Ь что и требовалось.
132
73ЛПусть in" a + an, Уп = Ь + Р«, где а„,р\-»-0 при
к -*■ оо. Тогда
+ °.j + «.P»-i + -+«nfa =flfc + eTrnn + bYgo + vC).
1 n
\
Докажем, что -y^1', y^\ v[t3) стремятся к 0 ври п —> со. По е >0
найдем такое по, что при и > п0, ||3„|<е. Тогда] уп [<
<
+ е. Выберем Л' Tai;, чтобы при к > Л' первое
слагаемое было меньше е. Тогда | у',1' | < 2к при п > Л'.
Аналогично доказывается, чтоу^ -*■ О.Так как {а,,} —ограниченная иосле-
довате.чыгосгь, то для некоторого с имеем |а„|< с. Тогда 11„ |^
<clP.I+---+lP»Uo,llCu|p,il_>ft
75. Имеем | «(i"+1) - ^"+1) | - LJ _J_I; обозначив Ь<,п)=»
= «У" - «W, 4П) = 4П) - "з"'■ ьзП) = 4'° ~ Q'Г'• получим, что
Ь^ -* 0 при п-*- оо. Далее, так как
e«»+i) + «Oi+П + flC«+D = fl(») + «О» + ef») = of/» + 4» + a^)=.l.
TO
4») = -i- (л + bW_ Ь^) и lim a<»> - 4"'l-
77. Очевидно, достаточно доказать, что число таких I, что я,- >
>• I. бесконечно. Пусть это но так, т. е. начиная с некоторого N
выполняется a,- s£ S. Пусть max(tf,) = М. Рассмотрим числа я,,
02, ..-. amax(W, N)" Ка:кдое пз ш[х не превосходит max (M, Л'),
причем все они различны и каждое iu больше единицы, огкуда и
вытекает противоречие.
79. Рассмотрим возрастающую последовательность Н|< »?2<...
такую, что при 1 ^ / ^ т и k > nm aju > т2, и положим
bk= т при пт-\-1^ к ^ nm+i. Тогда при т^ j и ит+1^А:<
bh
< nm+i Ьц/ffj» < т/т2 = 1/т, так что li m — = 0. С другой
к->°о jh
стороны, очевидно, lim b* = оо.
ft->oe
6*
83

81. Заметил, чго k3+6k2+Wc +5 = (к + 1) (к + 2) (к -j/з) - 1,
т. е. рассматриваемая cjM.ua есть /
_ V (-L - 1 \ .= 1 ' -1 ' -L - * J
Sn ~ M [ kl (к -г 3)! ) Т 21 ^ 31 (л -г 1)!
I 1
1"~+Ж (я -г 3)! '
т. е. 5n-.l+4-+i- = 4-
83. В разложении B + 1 '3 )" = V С* (I 3 )ft 2n-ft выделим
с\мму Л„ членов, соответствующих четным /с, и сумму_В„ членов
с нечетным к, т. е. B+}3)п = .4,,+А..- Очевидно. B—13) "= Л„ —
— fl„, причем Л„> В„ и /1„—/?„-* О, отсюда Вп/Лв-*-1. Так пак
Л „—целое, то В„ с ростом и должно все менее и менее отличаться
от целого числа, т. е. {В,,} = Вп — [В„] -*■ 1, отсюда получаем, что
{Ап + В„} = {Вп} — 1.
J- (х 1
85. Имеем0^ —^ j:, (и =. 1, 2, 3, ...). Следовательно, i —f
я I я J
ограничена и существует точная конечная нижняя грань
а= iiif { —[• Пусть е > 0, тогда существует номер т такой, что
а^-^-^а-г Представив произвольное натуральное п в
т 2
виде н = qm + г, где г е {0, I, ..., т — 1}, найдем лп= xqrn+r ^
Ss -Till + . . . + J-Ш Т *Г (/* 111 Т^ *Г] ; S^ ; —
n qm -у r qm + г
/га 5m -j- г n '* \ 2 / jm -p /" л 2
+ —• Так как 0 ^ r ^ i« — 1, то xr ограничено некоторой
константой с и при я > -Z- 0s^ — < __, а тогда a sS — <
е и 2 н
< a -J—— + -т— = a-f e, так что Пш — = а.
2 2 n*jo n
87. Пусть — < a < -у, г = [ла|- Представим еп = N^ -jj
в виде
П—Г Я 11 -г С 2" г I , ее
_J u\ ** к\ JU u\ +d , A-l — A!
= ^i + 5. + S» + St + 6>
84
Имеем
-fc+i _ пп+ь _ n {n + fr) (n + k _ d
x(-^)-(-a^)>-"+-J"-^-.+ .m
при 1 ^ к ^ г, так чю рассматриваемое отношение стремится к 1
при п-»-оо и S3 = S2 + о(^г) при м-*оо. Используя, например,
формулу Сшрлцнга, нетрудно оценить далее S\, St. Ss и покааать,
что Si = o(£2), S4 = оE'2), 5'5 = иF'2), откуда и б^дот вытекать
требуемое утверждение.
I n
89. Например, у = 1 ctg пх \ + | ctg —
91. Пусть е > 0. Тогда в силу равномерной непрерывности /(j)
найдется lai.oe 6 > 0, чю для любых х, у > 0 при |а; — j/| < 6
имеет место |/(.т) —/({/)|<е. В частности, ло "верно дли любых х, у
из 6-окрестноегн нуля, и по критерию Коши lim/(.r) существует.
Примером равномерно непрерывной на @, +°°) функции, для
которой не существует lim/(.r), является /(.г) = sin х.
я—-1
93. Такой ф\вкцией /(.г) является, например, функция,
равная 0 для любого иррационального х, а для рационального х, нред-
Р
ставленного в виде несократимой дроои —, равная q.
95. Рассмотрим произвольную точку (х0; у0). По заданному
е > 0 выберем 6| > 0 так, чтобы при \у — у0\ ^ 6| выполнялось
|'(г-о. !/о) —f(xo, i/)l<e/2. Затем в силу непрерывности функции
по х выберем 62 > 0 так. чтобы при \х — а;0| ^ 62 выполнялось
!/(£, ;/о±б|)—f(x0.y0 ± 6|) | < е/2. Без ограничения общности
предположим, что f(x, у) монотонно возрастает по ;/. Тогда
при \х — х0\ ^62, \у — уо\ < 6| имеем f{x, у„ — 6,) < j{x, у) <
^ f{x, J/0 + 61), причем
\f(x, j/o ±61) — f{xB, уи)\ <
< |/(г, j/o±6|) — /(.го, i/o±6,)| + |/(^о, !/о±6|) — /(.то, г/о) ] < е,
откуда |/(.г, у)—}{х0, уи)\<е и /(.т, г/) неирерывна в точке
(хв; ;/о) по совокупности переменных.
97. Пусть положение точки на окружности задается углом (р
(—оо < ф <С + оо) (г. е. каждой точке соответствует бесконечно
много значений ф); тогда функция / есть /(ф) и неирерывна.
Рассмотрим #(ф) = /(ф + л) — /(ф). Имеем #(ф + я) = /(гр + 2л) —
— /('Г + л) = /(гг) — /(ф + л) = #(<[)• " по теореме о среднем
ф\нкция #(ф) обращается в 0 на oipwue [ф, ф + л] в некоторой
точке <j*: /(ф* + л) = /(ф*), что и требовалось.
99. Имеем
1
1 — СОВ X
limO+zV) =lim
(l + лт)'
1
1 — cos .г
-M.(i + *v)
lim -—: lim
R.i

101..Имеем
1 sillj;
Vl - (i - * + о (*)) - 1 Л -/l--£.+«» (**)J
^ ' -^ ^ 1 y-J-all r )
что стремится к 1 при .i-* + 0.
103. Имеем liui (/(j.) — (/.ж + u)) = 0, ошуда ?- ■=> lira
(в данном случае К = —1), р = liui(/(.i) — Я.д) (в данпом случае
ц = 0).
105. Имеем
,.з / ,.з \
tg х = х- ~з" " г ° (•»' Ъ »К (tg 7 ■= t« U + -у 1 о (а-з) I =
,л гз 2 я-3
■= 37 + "-Г + о (я,3) + V = я - - "у- г3 + «Ф'). sina; = r— ^ + о (а;3),
/ =г3 \ а-3 а' а:3
sin (gin л') = bin я — -т + о (х3) I = а; — -тг + о (л;3) — -тг ■»= аг — " +
+ о (.<3), т. е. ]!m tg(,r)~""(gi",) - Нш ^^ - 2.
107. Пусть е>0 Выберем 6 » 0 так. чтобы при \х— т/| <б
(.г, т/3* 0) выполнялись |/(.г) — /(//) | < е/2. Пусть {п ак] —
конечное множество точек отрезка [0, 1] такое, чго для каждого
jr е [0, I] найдется такое i. что \х — г,| <С 6. Тогда для любого
з-^ U существует натуральное п такое, что \x-xi— и| <6 прп
некотором i. Пусть |/(л,- 4- п) |< е/2 при л ^ Л' и для всех 2 =
= 1 к. Тогда лрп х ~> N + 1 для некоторого ie {1, ..., А-}
имеем \х — х,- — п\ < 6. где п 3*/V, откуда |/(t) | s=: |/(ii+ ") 1 +
+ l/(r) — f(x' + ") I < f, так что f(x) ->6 при z-► +00.
109. Предположим, что для функции /[, ...,/,,<=/ iai;oii ючкн
не существует. Очевидно, l\, ..., /,*; Е /, /j (г) + ... + /^ (a) e /,
причем g(x) = ]\ (х) + ... + 1п(х) не обращается в 0 на [о, Ь].
Тогда функция ilg(x) непрерывна, так что для любой функции h (x)
h (т) , й (г)
из А имеем h (г) ='£3 8 (х) е /, поо -гт-т е /. Это противоречит
тому, что идеал / собственный.
86
ill. Пусть /@ — четпая периодическая функция с периодом 2,
причем
( 0 при 0<t<l/3,
/@ = 1 линейна па [1/3, 2/3),
1 1 при 2/3</<1.
Гаггмотрим функцию 'i(i), опредсис-нную на [0, 1] н такую, что
?(<■)"= 4-/W +ЦТ2') ^Г/(;,," •■■ т™ ь'и'« 1/('I<
^ 1, то ряд .сходится равномерно и '((г) непрерывна, причем 0^
"и "ч "д
^ ц(х)^ 1. Пусть у=у -т>Т т^г ■--, где «,• cyib 0 лпоо 1,
a a =(fii, (/3, о5, ...) — произвольная пш ледова ie.ni.Hoc гь ил 0 и 1.
*>а '>/! '>п
„„ '-"я -"г -"г г,.
Ooo.iiia'iiiM л - = -тг- - ттг г —г .... I игда нетрудно проверить,
чго <[ (.ти) = 7/, так чго атычетше ;/ принимается в континууме
точек (ибо различных ниипрпк « — кои гннуум).
113. Пусть ли е И чй'. Тогда рассмотрим 1 im /(/•) = .!,
зс—.v0; v=K
1 i 111 /(с) =В и для /(i i) выберем проплвппьное вначение
к->\|»; ■'
из [А, В]. При .тц<^= £,' рассмотрим точку re £', для которой |г —т |
минимально (любую, если п\ две), и иочожим /(i„)= /(.г). Дои-j-
жем. чю /(т) непрерывна на /•,'. Пусть j„e/? и е > 0. Выберем
б > 0 так, что при \х — .„| <6 и i 1= £,' выполнено \f(x)— /(.rn) | <
< е/2. Пусть | с*— а-ol < 6/1 Если з* t= Л', то |/(г*)— /(.т^ | < е/^;
ее
ли х* S Л'\^, го Пш /(т)>/(г0) — f/2, lim / (r) <
= к
\--'ж*; хС-Е
sg/(!„)+Е/2, так чго |/(_»_*) — /(г«) | ^ е/2 < е. Если, наконец,
а* <£ Ё то существует зд е £ такое, что |.г* — j,| < 6/2 п /(г*) —
— /(xi), но |г, — хи| < 6- откуда снова |/(j:*) — j(xu) |< е'2 < е.
11Г» Ответ, v = 12."i м/мин.
117. Имеем
/ я \ я я Ьп
со--у- =
j л 2п 7л 1 2л 1_к 1_
— - 2 cos — cos - fj- ; ct • -у = "T" -г cos 9 cos g — 2
111). Разлагая в ряд со* 2jt, получим
2'-г4 24хя 2в.т8 28.('" 21лг,а
2В-КН 91с 121
A0) _/ 411 _ Г_ Izl r2 i
У - 8! 10! 2 л + ••-
откуда
2".101
уAйЧо) = Чг = 23040-
87

189. Имеем
оо 1 ее
Г £ = Г <И . Г <**
= Jx+ J*-
Сделаем в первом интеграле замену х = 1/у; тогда
j _Г *К
1 J a + y*){i + y-aY
Г/ 1 г* \ вх _ Г rfr
1 ч ■ 1
что не зависит от а.
191.
1
В каждом пз пнгегралив делаем замен> переменной х——= t.
Имеем х - '+1,/М~4 при я > Г), х - i ] Ji+ 4 при х < О, I. е.
— оо —оо
-{-•х> 4"°°
Интеграл \ /(/) —=====. dt сходится, если сходится \ i(t)dt (no
-ТС ОО
признаку Лиеля). О iсюда пол> чаем, что /j и /2 сходятся и
■—ос
193. В качестве такой ф\нкшш можно взять, наиример.
функцию е~х + Л(.г), где Л(.г)—ф\нкцня, равная нулю вне отрезков
Г I I I
А:— -ту, &+~£Г\(к = 2, 3, ...), равная единице при л; = 2, 3, ... и
линейная на отрезках к — -ту, к\ и А, А- 4 ~уу .
96
1
195. а) Положим |+j4 .c^T^=f (*)■ тшда прп лп < я:
1 j
s£ n(n + 1) имеем , , . . , ,. ■ .,— < / И ^ -т-р-;—п ?.—;
1 + Л* (я -f- I}4 COS2 £ 1 -[- (лп) COS2 X
тогда
n("+i) n(n+t) n(n-)-n
ЯП 51A ПП
uo
J 1 -t- л4 (и + 1)' cos2 £ J lg j;fl + n((;i + l)(
0 0
, f *(«**) л_
~Y\ tg2* -f 1 + Л4 (n T- lj* у, + n4 („
+ 1}4
Суммируя по п, паходнм
^ > i + n*m+i^ J "■ ^o yi + л***
откуда видно, что иите] рнл сходится.
б)
I l + x2cos2/ ^ "j ^ ' T- e- "IlrerPa-i расходится.
о к
197. Сходимость интеграла эквивалентна сходимости ряда
dt
dt
У Г dJL = V Г
*Л J l + *asinax -J J i + (.
Члепы a„ эгого ряда оцениваю гея
л л
J 1 + (л(«+ i))asin'/ <Й,,<] 7+
и и
по
л л/2 ос
Г__^__ =2 Г rft - 2 Г dy
J 1 -t- b' sina г J 1 + 62 sin2 г J l + (b* + 1) y2
о и о
Огпола л, ~ гп~аП, т е. интеграл сводится при a > 2 и
расходится при a sg 2.
' Р. Л. Садоыш'Шй, Л. С. Подкол.11111 97

121. Имеем при х > 0:
/ (ж) = е х
- " + ?- + о (ж')
" -г - + о 1**> ( х я-2 1 [х \2\
=е (! - Т + М х* + °(*2>) = ^ - Т"г + Меж2 + °(г2)-
е 11
откуда Л = — ~2 , В = ~~2д~ е.
123. Дифференцируя почленно равенство /(—.г) = — j(x),
получаем /'(— х) = f'(x). В обратную сторону утверждение неверно,
В чем легко убедиться, взяв, например, )(х) = ж -f-1.
125. Имеем /(— *) = /(ж), — /'(—■*) =/'(*). откуда /'@)=0.
Далее, по формуле Тейлора / (я) = /@)-| tj—#2 + о («2), откуда
видно, что при /"@) > 0 точка х = 0 есть точка локального
минимума а при /"(U) <Г U — точка локального максимума.
127. Пусть /'@)> 0 (случай /'@)"< 0 сводится к птому случаю
заменой /(ж) на —f(x). Тогда /'A) < 0. Так как f(x) непрерывна
на [0, 1], то существует точка х0 е [0, 1], где /(а.) достигает
максимального значения; покажем, что х0 е @, 1). Так как /(.г) =
=/@) +/'@)if + c(j), где /'@)>0, то /(х)>/@) для
достаточно малых положительных х и х0 Ф 0. Аналогично, х0Ф 1, т. е. г0е
е=@, 1) и /'(*„)= 0.
129. Рассмотрим функцию ф(:г) = /(л;) —е-1. Имеем ф@) = 0;
прп ж ^ 0 q (х) ^ (J u ф(:г)~>-0 при х-*--\-оо. Поэтому
существует точка хо, в ь'отороп ф(.г) достигает наименьшего аначсния;
в точке х0(р'(х) равна н\лю, т. е. j'(xB)-{- е~*о=0 и j'(x0) = — е—-vo.
131. Для доказательства достаточно применить теорему Коши
о среднем для функции и (х) = -—— п v (x) — —~ на сегменте
[х\, хз].
133. Доказательство проведем по пндукцип. Пусть уже
доказано, что существует ф(п)(«с), причем тождественно
Ф<»)(Я) =p(F(y(x)), ..., Л»-'>(ф(*)), ф(*), ..-, Ф(П-"И).
где р — многочлен (для п = 1 это верно). Так как в правой части
равенства находится многочлен от дифференцируемых функций
(функция F{x) бесконечно дифференцируема; (р<*>(х) при 0 <: i ^
г^ п — 1 дифференцируемы в силу существования (р*пЦх)), то ее
можно продифференцировать; при этом получаем снова
выражение вида
g(F(tp(x)),..., Г<»>(«р(х)), ф(г) Ф<">(*)).
где g — многочлен, равный ф<п+|'(л;), который, таким образом,
существует.
135. Пусть уравнение асимптоты у = ах + Ъ; рассмотрим
функцию s(х) = f(x) —ах — Ъ. Очевидно, g(x) ->-0 прп а:-*-оо и
g"(x) — f"(x)> 0. Предположим, что в некоторой точке «о
£'(■*(>)= с >0. Тогда при ж > ха g'(x)>c, откуда g(x) >
> ^(^о) + с(ж — «о) (ж >-*о) п нарушается условие g{x)-+Q
при я-*оо. Поэтому всюду g'(x) ^0 о g(x) монотонно не
возрастает. Если для некоторого х\ g(x\) = К < 0, то при х > xt
g(x) ^ К, что невозможно из-за g(x) ->-0. Поэтому g(x)^ 0. При
#(«ci) = 0 имеем g(x) = 0 при х > #1. что противоречит условию
g"(x) > 0. Таким образом, для любого х g(x) > 0, что и
требовалось. ■
137. Индукцией по к легко проверить, что дли п = 2h
утверждение а) справедливо. Пусть п — любое; к < 2h' и п -\- к — i '.
Тогда »
.("! + '■■■ -Ь"п + <Уц+ •••+"n+ftK
Ч « + * / "
о,+ ... +«
положим ап+1 == ... = an+ft = , тогда
ИЛИ
,(a±^±b)»_^T(,w+...+„sS+
,/(^+-|;- + а-)>/(Я1)+...+/(Вя).
Утверя^денпе б) легко получить теперь, используя непрерывность
функции /(ж).
139. Предположим противное. Тогда существуют точки к, Ре
е= (а. Ь) такие, что прямая, проходящая через точки (а; /(а)) и
(Р; /©)), пересечет график функции ]{х) на (а, 6) в точке {ft f[\)),
отличной от (а.; /(а)) и (A; /((!)). Пусть, для определенности, а <
< 7 < р. Применяя к отрезкам [а, *(] и [у, A] теорему Лангранжа,
получаем противоречие.
141. Докажем, что для любого целого к Э* 0 существует
сходящаяся к 0 последовательность точек, в которых f(h)(x) равна 0.
При к = 0 это верно; пусть это верно при к = п для
последовательности х\, х2, х3, ... Тогда между каждыми двумя точками xt и
Xi+i в силу дифференцируемое™ /{*) (х) найдется точка у,- такая,
что fih+,)(yi) = 0, и последовательность yt, ;/2, ... удовлетворяет
поставленному условию. Теперь, в силу непрерывности f(h>(x),
89

/CM@) -= 0 для всех к = О, 1, 2,
формуле Тейлора будем иметь
Возьмем произвольное х; по
<-
III
и так как п — произвольное, \f(x) | «= 0.
143. Имеем
/(Ф№))-/(Ф@)) =
h
h
/@)
/г2 sin -т-
fcsinj
1
<ч СЙ sin -т-
прп h ->0, /г # 0. Поэтому
145. Индукцией по / нетрудно установить, что
1
/»>(*) =
~*-2*
('
(ж) sin — + д (г) cos
i)
(** 0),
где р(ж), 9 (ж)—многочлены, причем либо p(s'), либо q(x) имеет
ненулевой свободный член. Если к — 21 ^ 2 и уже установлено
существование /<" @) = 0, то
/('+') @)
xh 2'(/j(ar)sin — + ?(z)cos —)
= lim ^ f XJ__ -
11ПТ
sc—U
0
существ} ет; при к — 21 < 2 производная /('+" @) не
существует. Непрерывность 1-й производной в нуле пмеег место при
к — 2/> 0. Итак, f(x) дифференцируема в нуле [к/2] раз и
[(к — 1)/21 ее производных непрерывны в нуле.
147. Пусть и —точка минимума; 0 < а < 1. Тогда /'(с) =_0,
/(с) = —1 и по формуле Тейлора
1"(л + в (х — a)V
При а; — 0, х = I пмеем 0 = — 1 + 2" ' "= _ * +
/'(<! +Ml-а»
+ 2 A —" а> • обозначив / (а + 6i(i — а)) = с<
(£='0, 1), найдем Со = 2/я!, ci = 2/A — a)s, так что при о<
< 1/2 со 5= 8, а при а ^ 1/2 с, ^ 8, что и требовалось.
149. Пусть S(t) — путь, пройденный за время t, где 0 ^ t ^ Т.
Рассмотрим два случая: 1) 5G72) > 5/2; 2) 5 (Г/2) < 5/2. В первом
случае, разлагая S(t) по формуле Тейлора в точке t = 0, получим,
90.
учитывая, что 5@) -= 5'@) = 0, S(f/2) = E"A)/2) (У/2J^ 5/2,
т. е. 5"(|M* 45/Г2, где § е @, Г/2). Во втором случае, разлагая S{t)
по формуле Тейлора в точке t = Т, получим, учитывая, что 5(F) =•,
= S,S'(T)=0, &(Г/2)=5 + E"(|)/2)(Г/2J<5/2, т. е. (~5"(|))>
>45/Г«, где Бе G-/2, Л.
151. Пусть g(a;) _= lim/("'(ж). Почленно интегрируя, получим
я
f g (х) dx = lim (/(n_1) (.т) -/(n"*> @)) =?И- 1,
Отсюда видно, что g(&) удовлетворяет дифференциальному
уравнению g' (x) = g(x) и начальному условию g@) =■ 1, т, е. g(x) = ех,
1
153. Имеем / (.т) = / @) + х \ f'(Qx) dd, откуда
О
1
*(*) =A-/@))^'- \гфх)йв
п о
1
g(h) (X) = (- 1)* 1 - / @)) klx-(k+i) - f e',/(,l+1) (ваг) dQ, '
О
так что
1
(_ 1)У« (Ж) = A - / @)) *lar_№+1) + [ вк (- l)M-if№+l) (fi^)£?e>0.
о
155. Пусть р (.т) = cos I (sin — р) «^ " ' i где/г —
натуральное. Индукцией по к легко проверить, что
p<-h\x) •= cos |
так что р("'(лг) в р(аг) и /><*>(аг) ^ р(г) при /с < ге.
157. Разлагая /(г) до члена с хп+2, находим
/п) [вх)_ п _ /" @) п , /<"+'> @) j+i , /(п+2) F-.г) .т"+2
;п и1 (« + 1)| («+2)i v
@ < 6' < 1).
С другой стороны, /(n) (Gar) = /(эт) @) + /(п+1} @) -Qx+ -
+.1 < ^ ' (вхJ, где 0 < 6" < 1. Подставляя ато в первое
соотношение, после упрощения и сокращения на аг"+1, получпм
в /<п+1)@) л, /(п+2)(е"е*) р, /п+1}@) , /и+2>(Ух)
Ы "*" 2 И) («+!)» ^ + 2I '
91

откуда, учитывая /С"+,>@) # 0, находпм, что при а:->-0
в-^1/(и + 1).
159. Обозначим f'(x) + Kf(x) = h(x), f'(x)eXx — g(x).
Нетрудно проверить, что к{х)еы=^ (/ (x)elx)',g(x)e~Kx=^ f"(x). Поэтому
х
g (х) = h (х) е^х — к f h (z) e%sdx — Я/ @);
0
х
h(x) = g(x)e~%x +Я I g{x)e~*"x dx + Я/@).
о
Предположим, что h (х) не убывает; тогда при у > х
е(у) - g(x) = (ЧУ)^У - Цх)е^) -
V V
— Я f /г (f) e7Jdt = (h (у) е7л - h (г) егх) - М (г) f e,Jdt =
= (Л (?/) - /г (г)) f *» + (Л (г) - Л (*)) *»■",
где х < z <. у. так что последнее выражение неотрицательно и
g(x) не убывает. Аналогично устанавливается, что h(r) не
убывает, еслп не убывает g(x).
161. Обозначим Лг= max | V (х)\ п С = max(Jf, Л'). Пусть е>0.
Их II = 1
Выберем точки at, .... ат в R" так, что ||о,|| = 1, и для любого ie
ей" такого, что Ы = 1, существует а,-: ||я— а,|| < е/.ЧС Пусть
б > 0 таково, что выполняется Iffta^ — / (О)— V ('«,) I < 4j-t
при 0 < t < 6 для всех Z = 1, ..., т. Тогда при ||аг|| < 6 имеем
||_£_-«. || <^прп некотором I,
И-«I Mil <!§-''
I/(*)-/(а, |» |)|< мi|£i <11|*0,
I /(«, J * В) - /@) - v (а, lb ||) |< -ЛМ,
| V (*) - Г (о, | х ||) | = | V (х - а, 0* ||) |=
1 U Ц*-а,М|| J4 3C AS 3-
я: Я.
Таким образом, | / (?) - f @) - V (х) \ <± \х|| • 3 = е \\х ||, что и тре-
бовалось.
92
-J «ОД „
163. По условию е ° = /(*), или f / (f) Л = — In / (х).
0
Дифференцируя, находпм f(x) = — (f(x))\ причем /@) «=.е° = 1.
1
Отсюда / (х) = ^ _^_ 1.
165. Так как f(x) интегрируема на [0, 1], то при любом выборе
точек \t, 'Ч 6, ^ —i сумма — 7,1 AЛ стремится к 1 / {х) dx
i=l 0
при п -* те. Если же на любом отрезке [а, Ь] существует точка,
в которой {(х) =s; 0, то точки tt можно выбирать так, что
п
/(If) =S 0; при этом суммы —Л^ /(I,) будут неположительны, и
" i=i
их предел не может быть положительной величиной.
167. Задача решается переходом к полярным координатам,
Ответ.
*[У*-\)
169. Ответ. г(ф) = се'', с > 0.
, . Rl , 2RB , 2 А
171. Ответ. т = 4яу„| —+ —+ J5 I-
173. Пусть тор получается вращением окружности у =■ d ±
±]7J2 — х2 относительно осп Ох\ тогда его объем равен
я К
я f (d + l^fl2 — г2J^— я Г (t? — V W^~x'2fdx =
я
Я 2
«=4jtd f "l/ftJ — я2 da- = 4nrffi2 |" -Cos2 ф£?ф = 2n2d/?2;
-^Я ' £t_
"~ 2
175. Пусть Р — пропзволт.ная точка многогранника S. Тогда
4
map радиуса г с центром в Р содержится в 7V, так что V(r)^ о^лг3.
Пусть наибольшее из расстояний от Р до других точек S равно d;
тогда Тт содержится в шаре радиуса г -j- d с центром в Р, так
что
4п '4 ' ^ V(r) ^ 4- / d\3
f(r)<x(r + d)S Hn^~75-<5t(k1 + 7j' откуда
,. V (г) 4
I'm —3-= g-л.
T-*JO
93

1
177. Обо.та-иш j-""-f.dx = ф (Ь). Тогда имеем Ф'(Ь) =j
о
i . Ъ
ш:\ ХВ\ПХ , 1 л С Дг,
J-|гГГ& = 1ТГ' т-е-ф= m + c = in(b + i) + c.
о i °+'
Но ФF) при 6=== а обращается в нуль, откуда С = -1п(а + 1)
иФ(Цв1п + •
179. Функция / (») = ——;—— монотонна
f dx
i _j_ex ™«ни-шнна; j t ■— < го, так что
. , х- = In 2 = lim Л > Ц- =
= lim (-Ino2 «■ -m.lt = lim (-In *)У -£-
^1, l+i
Ho lnf = ln(l— A — t)) = — (I — t) +o(l — t) при 1-+1-, так
— In t , , .
что У1 iron i -*• 1 — ii
CO CO
Такпм образом, искомый предел равен In 2.
181. Сделаем замену переменной х2 = у; тогда
1^2я 2л , л 2л »
Г . „ 1''- Г sin v 1 / Г sin У . Г sin у \
О О V0 Я /
Сделав во втором интеграле замену г + л = j/, преобразуем полу-i
ченное выражение к виду
л * п
1 С/sin.V sin j/ \ If. /1 1 \
*J 7r-7F+^r=^JslnHFr"vT+^r!/'
о о
что положительно, так как подынтегральная функция
положительна на @, я).
183. Из непрерывности и выпуклости f(x) следует, что f{x)^
< /ft_ai при х^[а, b]. Отсюда получается
S4
правое неравенство. Для доказательства левого неравенства делаем
замену переменной х = (а + Ь) /2 + t. Тогда
Ь—п
2
dt
f/(i)«te= f /(£T^ + ')
о Ь—о
2
fi—а Ъ—я
=Т1л^+')+'(ф- •)]*»"[ «ед-
= (Ь-й)/((й + 6)/2).
г>
185. Функция Z7 @ = J е~' '~:с' /(ж) йж непрерывна, так что су-
а
ществует
ь ь ь ь
j" F (О Л = | / (a) d* J-e~ ' '"*' Л = J7 (я) B - еа~ж - ех~ь) их.
а а а о.
Так как F(t) ^ 1, имеем
Ъ Ь Ь ■»***.
2 j / (z) Лг -1 е°-х/ (ж) tte - j" e1/ (x)dx<b—a,
а а а
откуда
Ь Ь
a a
Ь
о
187. Пусть а; е=(я, Ь). Тогда /(г) = /'(б.) (* - а) = /'(G2) (.г — Ь),
где 6,е=(а, ж), 62е(л;, о), так что \f(x) | s£ М{х — с), 1/(гI<
«^ ЩЬ — я), где М = max |/'(ж) |. Имеем далее -
¥±-Tj\f(,)\dx<
f(a+b)/2 Ь
< 4
I М (х — a) dx + I Л/ (Ь — я) dx 1 =
а (а+Ь)/2 /
4 /(б_а)» (Ь— сJ \
95

1ЕЭ Обозначим А = max |/М|, А = |/(г0)]. При р > 0 имеем
/1 \1/р /1 у/р
П|/(*)|рЛг) <ИЛР(Ч =А
Пусть е> 0; выберем б> 0 так, что при I* — х0\ < б I/ЫI 5=
^ 4 - -; пусть O^nsSzosSP^l и 0 < |а - р| < 6. То1Да
а
= (<4-|):Р-аI/р» А-г
прп достаточно больших р. Таким образом, пскомый предел
равен А.
201. Если f(x) удовлетворяет указанному условию, то для
любого многочлена р(х) степени не выше N имеет место равенство
Ь
\р (х) }{х) Ах = 0. Пусть си ..., Cm—все нули f(x) па fa, Ь], причем
п
т г^ N; о ^ ci < с2 < ... < с™ ^ Ь. Выделим из ппх те точки
с. ,...,с (г,< ... < 1Г\ г <; т), где f(x) меняет знак; тогда без
ограничения общпостп f(x) ^ 0 на [a, CjJ, / (*)< 0 иа [с^, с, ]
г
п т. д. Пусть р(х)=Ц {cih~ х)'' тогда p(x)f(x)^G на [а, Ь] и
ft=i
р(л-)/(г)>0 на каждом интервале (о, с,), (с,, с2), ..., (ст, Ь),
так что Г р х) / (а;) da; > 0, хотя deg р = г ^ N — противоречие.
203. Пусть f(x) удовлетворяет условиям. При х е= @, 2)
Их) = 1 +/'@,)а; = 1 + /'@2)B-а;), где 0, е= @, i), 02e(.c, 2),
откуда соответственно /(х) ^ 1 — a:, f(x) ^ i — 1 и
11 2 2
Г/(zNa;> Г A - х) dx = А-, Г/(х) da:> V (х — 1) dx = у,
0 0 II
причем равспства не могут пметь места одновременно, ибо тогда
f(x) = 1 — х при хе= [0, 11 и /(а^э i — 1 при х е= [1, 2] и
нарушается условие непрерывной диерференцируемости f{x). Поэтому
2 1 2
\ /(i) &к= \ f (x) dx-\- \ f{x) dx > 1, что противоречит последнему
0 о 1
условию. Таким образом, не существует фупкцпп }{х),
удовлетворяющей поставленным условиям.
205. Обозначим с = тах|/"(а:) |, тогда будем пметь
*е[о,1]
/ D)=/ [--^)+'" (^) • 4 + /' <«> i,
/Ar-i fc\
где йе ^-jp-, -j, т. е.
где |бп, к\ < с/2л. Далее,
ft/n ft/n
№-1)/л
-1)/л (A-l)/n
+ Ф*,п С)) Д.
I C Г/С— 1 /rl
где I Фл,п (') I *== 2<? nPn ' s ~n—' "и" ' так что Яанный интеграл
равен, с учетом выражения для
, 3 <
+ en.ft, | еп.й I < Т ^" Таким оСРазом-
■ J/w-2'(f)- 2 f /»«-vZ'(t)
/ A) - / @)
+
°№
207. Пусть а е (а, Ь), еь > 0. причем ек -*■ 0 прп fe->oo и
■x+eh
и по тео-
а + eh < Ь {к = 1, 2, ...). Тогда I J / (x) dx |< Л/е.-1+в
a+eft
реме о среднем Г / (х) dx — pfc/ (aft) при ah e (a, a + eh), откуда
a
I/(a ) | <; Л/еЛ п |/(аь)|->0 при Л-->оо, что в силу
непрерывности /(г) и afe -э- а дает /(a) = 0, т. е. /(;с)=0 на (а, 6). Очевидно,
что тогда /(л.) =0 я на [о, 6].
209. Пусть s — иатуральпый параметр на кривой, г = r(s) —
ее уравпсппе, 0(s)—угол между единичным касательным bci.to-
7*
99

ром x(s) = /(s) n фиксированным направлением отсчета. В силу
выпуклости привой Q(s) —монотонно возрастающая функция, так
чю кривизна k(s) = Q'(s) ^ 0. Пусть I —длпиа кривой. Тогда
«0+1
j fc («) л = е («) |;j+'= 2я. A)
во
Пусть о <-т . Рассмотрим отображение прямоугольника s0 ^
"max
sg s ^ s0 + l, \t\ <j а на область |р(я, у) | ^ а, которое задается
формулой r(s, t) — r(s) + n(s)t, где n(s) — единичный вектор
внешней нормали. Докажем, что оно взаимно однозначно. Пусть
фь (i) = r(s2, t2), причем s, < s2, Ui|< а, |<г|< «■■ Тогда
r(s2) — r(s,) = n(s,)'i — n(s2)<2- B)
В сплу равенства A) прпращенпе 0(s) на одном пз отрезков
[si, s2] «ян [s2, si+ i] ле превосходит п. Поэтому, не умешшая
общности, мо;кно считать, что 0(.s-2)— 0(s,) = 2Gc^n. Выберем
направление отсчета так, чтобы 0(s2) =—6(s,) =00, и спроектируем B) на
это направление. Проекция правой части равна —sin 00(<i + l2).
Левую часть заяпшем в виде J г' (s) ds и для ее проекции получим
ч
выражение j cos 0 (s) ds. Таким образом,
е.
j cos C (s) ds = — sin e0 (/, + t2). C)
Так как |0(s) | < л/2, то cos 0(s) > 0 n
\ cos6 (s) ds > \ cos 0 (s) -y^- d.v:^> a \ cos 0 d0 = 2o sin 00.
e, s, -0o
Поскольку IС11 —I— i *-z 1 ^ 2п, то отсюда следует, что равспство C)
возможно лишь при sin Оо = 0. т. е. нрн 00 = 0. Но в эгом случае
cosG(s) = 1, и пз C) получаем, что s, = s2, а тогда нз B) tx = t2.
Для вычисления пнтограла произведем замену переменных,
соответствующую отображению r(s, t). Ясно, что р(х, у) = I. Найдем
якобиан отображения. Имеем
т\ (s, t) = n (*), r's (s, 0 = г' (s) + n' (s) = т (s) + к (s) т (я) t,
поскольку n'(s) = k(s)x(s) Таким образом, модуль якобиана
равен J г\ X т'а | = 1 + к (s) t > 0 при |/| < а. Следователи но,
s„-H a <0-\-l
\ \ р(х, y)dxdy = \ ds I A -1- к (s) t) t dl = -g a3 i fr(s)ds=
= __ na3.
о
100
211. Легко проверить, что grad <p X grad if = rot(q) grad ф)
Тогда по формуле Сгокса поток через верхнюю полусферу г = 1, z > 0
равен циркуляции вектора (г grad ij: по окружности х2 + у2 = 1 в
плоскости х, у, ориентированной согласованно с ориентацией
полусферы. Поток" через нижнюю полусферу z < 0 равен циркуляции
вектора <р grad ip но той ;ке окружности, но ориентированной
противоположно. Следовательно, поток через сферу равен сумме этих
циркуляции, т. е. равен 0.
213. Приведем квадратичную форму ортогональным
преобразованием к главным осям. В новых переменных интеграл
имеет вид
А
_i>i*?<i
У, >..*?
Делаем замену *\/~?ч х,— yt. получаем иптеграч
"Г
4
л иг
4 „
> Vj<l
Теперь переходим к полярным координатам tji = ricos<pi. гу2 =»=
^ г, siiKjij, уз = r2 cos ф2, ;/4 = '"г sin фг- В результате получим пп-
теграл
2л 2л
2. ^2
1 М
757 J J г1Aг1гг<*г* \ d<fi d(pae ''1+Г2 =
.2,2,
fj е^Ч<^= П2{е-»2-
VTA\ .IJ " "'1"'2~ 2УГТ| '
<д>0. B>0
где |/1| = А.1Я.2А.3А4 — определитель матрицы /1.
215. Если п есть квадрат целого числа, то положим ап = 1/«,
ппаче ап = 1/п2. Тогда а„ ^= о(\/п), причем ряд 2 ап сходится,
DO
ибо любая его частпчпая сумма не превосходит 2 2, —г- = с < оо.
217 Ряд
1 1 _f _1 1_
i.) < £\ с у 4 и \ и а у n \ и
101

сходится и его сумма равпа 1, в то время как ряд, составлишнЙ
пз кубов его членов, расходится, ибо частичная сумма вида
, * _J _l — — — -^r—— ... — -; + — еюгоря-
1 ^"'23 . 2 .!3 • 2 + 2 "'" п6 ■ п п* ■ ^ п
Г]
да равна 1 + | + ... + 7~ ^ ~ ' - ~ "^ П СТРСМН1СЯ к "°
ПРП219Гвыберем возрастающую последовательность {п„} так
чтобы выполнялось ЬПк^к,и положим опл= 1/Л»,ая = 0 при и *= «».
оо оо оо
Тогда 2 \ = 2 ^ < ю; в ™ 'Ке ВРСМП РЯД Ж ""^ раСХ°ДПТСЯ'
ибо его частичная сумма 5„ft> 1 + у + ■ • • + Т чт0 «рсмится
К ОО ПРИ к -*■ ОО. , , „ _ 1.2
221. Рассмотрим последовательность {пк} такую, что лй» — *
(/с = 1 2 ..), а прочие члсяы образуют подноследовательиость
1, 23, 23,33, З3, З3. ...,А3, .. ,А3, ... Тогда
к
2^2^2^2,i<»-
С другой стороны, подпоследовательность последовательности
in {.соответствующая номерам к, не являющимся куоами целых
чисел, имеет вид I2, 2*, 2\ ..., к*,..., к* так что
h
2^>2*-2,т—
223. Ряд сходптся, селя сходится ряд ^ п ^ _-jy • lw
n=2
оо . °° / 1 1 \
"V - ='V I г — — 1 = 1, п исходный ряд сходится.
^jn(n— 1) jLt\n— 1 n/
71=2 "=2
225. Очевидно, 0 < я„ s£ 1, on+i = cos on ^ cos 1 > 0 п
an ■/* 0, так что ряд расходится.
227. Очевидно, хп е= ( у + л (п - 1), Y + п") 0ТКУда *п ^
> — -4- п(п—i\>n и —5"<—Г- Поэтому рассматриваемый ряд ма-
 *„ "
СО
жорируется сходящимся рядом ^ ^- п, следовательно, сходится.
102
229. Ряд сходится по прпзпаку Дирихле, а ряд ^У Iып"I11ас.
ходптся, ибо оценивается снизу рядом
оо оо
Vi sin2n_ J_ Vi./ 1 _cos2n\
^ n г jU\ n n у
n=i n=l x '
который расходится. Поэтому 5^ -f- Sj^ = О A), a 5^ — £^ ->■ аз.
Отсюда следует, что S~fo -> оо. Тогда 1 -)- —- _ —Ш _>. q т> е.
6'л 6W
5N
—qr->- — t.
231. Пусть q > 1. Тогда при g > а > 1 можно указать такое пй,
что lu(l/an) > a In п при п> л0, т. е. а„<~: и ряд сходится,
л
оо
ибо мажорируется сходящимся рядом X —. При q < 1 выбираем
проязвольное а (д <а < 1); тогда, начиная с некоторого п0, вы-
1 1
полняется 1пA/я„) < а 1п л, о > — > — , и ряд расходится.
я п
233. Им,еем
у /»„ - /»„_г _ v / 1 /»„-! < *\
п=\ PnPn-l n=l V^n-l /n ^п-1/
п=
Если р„-* + оо, то ряд -^ — — — + — — — — + ... знакоче-
Ро Ру Л) Р\ р* Pi
редующпйся, с монотонно убывающими и стремящимися к 0
членами, так что он сходится вместе с рассматриваемым рядом. При
Р — Р —
р„^-А< + оо имеем-2 ~—< с (/>п — рп_1) для подходящей
РпРп-\
кеттстапты с, и рассматрпваемып ряд мажорируется сходящимся
о*
рядом . V] с (рп — />п_г) = с (А — Ро).
3
235. Индукцией по п легко доказывается, что ~2~nn—i^nn ^
<2%_ь откуда ап>[—) Ui=\T) ' "» "^ItJ »П
оо
ряд X1 и~' сходится, так как мажорируется сходящимся рядом
71=)
оо
v; f 2 \"_1
«^Г^
103

1
237. Рассмотрим j(x) ln23 = 2 3_"X =77ZI7
при x > 0.
Нетрудно проверить, что данный ряд можно дважды почлепно
продифференцировать па @, + оо), так что
„^3- 13"-1;S „413"
=/"A) = 4
239. Ответ. In -^-
241. Имеем
1
р-1
= „ р
(п+1)Г«
р
—1
■ П
1
Р
р—j77
п > л + 1 / \»n~rU
р-1
</> р
v- р
V " 1 п + 1
^(Здесь 0 < 0 < 1) Остается учесть, что ^ I — — ^ | = 1.
243. Имеем
, (г In гJ (—г In*)*
а,-* = е~х1пх = 1 - я: 1 п х + 2[ + ...+ ц-^~ +...;
причем ряд равномерно сходится на [0, 1]. Поэтому
1 оо 1 оо •
ft-0o
1
Обозначим Jhm = \ хк 1пт х dx, где ft ^ 0, т ^ 0 — целью. Иите-
0
т . пря m ^ 1,
грпруя по частям, .находим Jf{
1
/,.„ = .
ft.0 —fc+ 1
, откуда
1
*'* (ft+l)"+1 0J Й(*+1)А+' А
я е' + е-'
245. Ряд Фурье для / (г) = -у- g3I _ д_д па [- л, я] имеет
cos nt , 1
1 + ft- a
впд У(— 1)" )CnS/lt) +-1-; при f = 1 — я находим cos nt =j
An
n=l
104
/ <\ « //л \ ^ COSn r 1
= (—1)n cos n, откуда /A — я) = У + —, п искомая сумма
•» 1 +г 2
я И_п-г-еп—' 1 л си (я — 1) 1
Раы,а 1 ел_е-л -Т"= ШГ^ —Г"
/ (г) 1
247. Обозначим данное выражепне /(я); тогда . = , J0
1-х °°
11 /Ы = 1_а.1в' откуда f(x) = {l — x) ^ *1С* = 1-* +
+ Л1«_Х17+ ...
249. Огвет. 1/е < а: ^ е.
о. п2
251. Так как для достаточпо больших х ряд «0+—+~Т+ ••■
а
сходится, то при некотором х0 ~— -*■ U, так что существует с
такое, что о„ ^ с™. Тогда при х > 2с
-Aj- -5-J- 4-—1-й
,а т з "г — "т" „"г ■
с2/ 1 1 \ 2гг
1
т. е. (Г (л) =«о + ~Т~ + е ("). где Д-1я достаточно больших я
Л"
I е(п)| <~^Г- Теперь вшшо, что при а0= ai = 0 ряд фA)+Ч B) + ...
... -f- if (п) ... сходится, ибо мажорируется сходящимся ря-
оо
^1 К
дом. / —-.Если ряд фA) + tfB) + ... сходится, то ф(п)—у 0,
п=1
откуда оо = 0. Если пра этом ai ^ 0, то <р(и) = — + е (и) =
■= Oj I — -)- о I ~- II. и из сравнения с гармоническим рядом
видно, что ряд q>(l) + ц B) + ... расходится — противоречие.
253. Аналогично тому, как это делается для обычных рядов,
устанавливается возможность почленного дифферепцпрования
данного ряда, после чего для g(x) получается соотношение g'{x) =
= g(x), откуда g(x) = ее* п, так как g@) = 2, g(x) = 2ех.
255 . Пусть Oi= Oj+r при t ^ s; обозначил! р(х) == о0 + Cia;+ ..,
... + as-iX*-1, д(х) — а. + а.+1х + ... + o.+r-iar'-1, тогда
ОО ОО | ОО S I \
2«,*' - Р (*) + S 9 (*) ^* = /> (х) + в W 2 ^' = /»(*) + Т^Ч
i=0 i=l i=l 1— х
прп |я| < 1. При я(х)Ф 0 п |*| > 1 ряд ^ fltx'> очевидно, расхо-
t=o
дптся. Поэтому, если 2 "j^1 совпадает с рацпопальной функцией
105

па (а, Р), то либо эта функция есть многочлен, либо (а, $)а(—1. 1),
'1Ы _,
и функция имеет вид ^ ,где t(x) — многочлен. Очеьидно, чго
1 — х
рацпопальпая функция у — 1/х не может быть представлена в
таком виде, так что в обратную сторону утверждение неверно.
257. Ответ, у = ^ — (—i)n+i sin пх.
■"" ЛЛ
259. Имеем
Г" / СО \
V *ШЕ = lm У f!!l J = Im (/*) = Im (««** + «■">«) =
-^ ftl \ -*"d Л1 J
rt-l \n=U /
= e™8* Im (eislnx) = e005* sin (sin *).
2C1. Имеем «г (-y j = / - f- = - -щщ = - (-J-)', т. о.
1
263. Обозпачнм sin2 х = у, тогда
/'(«/) = 1 —2у + J3^ = -2y+i3p
/(») = j(-2?/ + r^)rfj/ = -!/1! -In (l-y) + с,
f(x) c=_(x»+In(l-*))+c
при 0 < я < 1.
265. Уравнение кривой второго порядка, разрешенное относи-
с
тельно у, имеет один из видов: у—ах + Ъ + х л. д> сфй; у — ах ■{■
+ Ъ + М'с*2 + dx + е, К Ф 0, 4ес — d2 ^ 0. Первое пз них эквнпа-
2е 4ее — йг
лептно условию у" = ^faf»- в™рое дает у" = I 4 (м> + ^ + еK/2 -
Объединяя этп условия, получаем, что кривые второго порядка
описываются уравнепппмп вида у" = тггг- пли
(/« + <,£+ г) '
(г/")—2/ = /я;2 + дх + г, что эквивалентно описанию их уравнением
ЦЛ-2/3Г = 0.
267. Общее решение данного уравнения имеет вид у =
= — ех\ \е~(,+' >$ + С I, откуда видно, что решение,
стремящееся к 0 при х—*■ + оо и при х—у — то, может быть л:ипь од-
оо
ыо. Чтобы получить его, возьмем С = — \ е~~ 1'+'" й; тогда ^(i) =■
и
100
-)-оо -f-oo
=е* (" e -"+^dt. При х > 0 имеем v (*)< Л-** I e~*dt ~
X X
•=е—*2, так что у (г) —»■ 0 при а:—*■ + оо. Стремленпе у{х) к 0 при
л;—>- — оо вытекает из сходимости интеграла \ е-(*+х i^.
.—оо
269. Подставив у — х2 sin х в уравпение, получпм
2 sin х + 4я cos х + х2 sin а: (g (х) — 1) +
+ 2хр (х) sin х -f ar2p (x) cos a: = 0
— тождественпо па (— о, а). Разделим обе части па х; тогда при
х ф 0, ze (— а, а):
sin .r
2—;— + 4 cos я -f х siD г (g (x) — 1)-{-2p(x)siux-\-xp(x)cosx = G.
Но яри пеярерывных р(х) и 7B) левая часть стремятся к 6 прп
х —> 0, и в некоторой окрестпостп нуля равенство нарушается.
Поэтому у = х2 sin х не может быть решением данного уравпения
яри непрерывных р(х) я q{x) на интервале (—о, о).
271. Легко видеть, чго каждое решеппе у(х) есть непрерывная,
дифференцируемая и ыопотонцо возрастающая функция. Имеем
» = *» + ! 7+Т
я
Л
dx
\У-У«\< \ 1 + 1*+у2 < U
+ х*
= л.
273. Подставляя в уравнепне yt и 1/2= (j/1J вместо у, получаем
два соотношенпя,_связывающие ряд, откуда, исключая у\,
находим q' + 2pq + Ъ\2 q3/2 = 0. Наоборот, если р и q связаны такой
вависимостыо, то исходное у равнение приводится к следующему:
(^i-0(^i-').-«
решеняя его суть
2).
»п = exv (" I У \ йх) (" = 1>
27Ь. Ответ. х = Се2у+^- + -|-+ —.
277. Данное уравненпе равпоспльно уравпеяпю (^' — ху)'— 0,
т. е. у' — ху — Си откуда
у = с1^2/'|в-,,^ц-сЛ .
107

279. Предположим, что у (it) — решеппе данного уравнения на
интервале @, 3) и #@) = 0. Тогда всюду на данпом интервале
у' > 0, так что у(х) мопотонпо возрастает н у > 0. Рассмотрим
функцию z(x) = asctg у(х) F'a {0, 3) она дифференцируема и
!■' х)
удовлетворяет соотношению г = tg2 z + х, причем 0 < г (х) <
< я/2. Имеем z'(x) = sin2 z -f x cos2 г ^ 1 при я S* 1, откуда
г (г) -^. х — 1, так что г B, 9) 5= 1, 9 > л/2 — противоречие.
281. Пусть прямая у ~ рх + д пересекает данную кривую
более чем в трех точках и нигде се не касается. Выберем четыре
последовательные точки пересечения P\(xi, q(zi)), Р*(х^, ЧЧ^О).
Так как прямая не касается кривой у = (р{х), то значения фЧ**)
будут поочередно больше и меньше, чем р. Рассмотрим кривую
второго порядка L, определяемую уравнением Р(х, у) — pQ{x, у) =
= 0. Так как Q(x, q (х)) сохраняет знак на [а, Ь], то P(xt, ц>(х)) —
— pQ(xi, ф(х,)) будет поочередно больше н меньше нуля, так чго
точки Pi 11 Pi. 1 лежат по разные стороны от L и между ними на
прямой у = рх + д найдутся точки /?( ((' = 1, 2, 3), лежащие на L,
так что L пересекается с примой более чем в двух точках, чею
быть не может.
283. Обозначим f(x) =2 arctgz + arcsin J-^p- TaK i;aK ЯР"
I 2.c I ^
x -> 1 < , 2 < 1, то f(x) определена для указанных
значении х, причем непосредственно проверяется, что ]'(х) г= 0. Так
/ .-. - ^ 3 л
как, с другой стороны, / (У3) - 2 arctg } 3 -| arcsin — — 2 — j-
л
-f- ~n~ = я, то тождество доказано.
285. Если всюду f(x) ф х, то, в силу непрерывности, либо ве.{-
де f(x)~> х, либо /(х) < х. В первом случае f(f(x)) > f{x) > х,
во втором fU(x)) < f(x) < х и в обоих случаях равенство
/(/(*)) = х невозможно.
287. При о ^ 0 решений нет. Пря а > 0 перепишем уравнение
в виде ех/х2 = а и исследуем функцию f(x) = я-2ех. Имеем
/ (я) = ех(г—2)х_3. так что f(x) возрастает от 0 до -f- 00 на
промежутке (— оо, 0), убывает от + оо до е2/4 на промежутке @, 2] и
возрастает от е2/4 до + оо на [2, + °°)- Следовательно,при 0 < а <
< е2/4 имеется один корень, при а = е2/4 — два корня и при с >
> е2/4 — трп корпя.
289. На отрезке [0, л] у = sin x — х/8 обращается в нуль
дважды: дтя х0 = 0, а также для некоторого xt > я/2; х\ < л (ибо
у (л/2) = 1 —л/16 > 0, у (л) = —я/8 < 0). Других корней па
1
[0, я] нет, так как на этом отрезке у' = cos x—^"обращается в
нуль лишь в одной точке. На [я, 2л] корней нет, так как у < 0.
5я
Имеем, далее, у Bл) = — л/ 4< 0 у Eл/2) = 1 — -jg- > 0, iyCn) =
= — Зл/8 < 0, так что имеем еще два корня: х2 е Bя, 5;т/2) п
хз е= Eл/2, Зл). Из исследования j/ на этом интервале получаем,
что других корней при х е= [2я, Зл] нет. Паьопец, при х > Зл
у(х) <0 В си чу нечетности функции jy(z) находим окончательно,
что она обращается в нуль в 7 точках.
1С8
291. Обозначим хг — у, тогда ]{х) = ф(у) = 2e2_v (у3 — Зу2 +
+ 5//-1)-2е-5, г/>0; Ф'(г/)=-2е2-1'(г/3-6г/2+11г/-С) =
= — 2е2_"((/ — 1) (^ — 2) (;/ — 3). Таким образом, (р'{у) >0 при
0 < у < 1, ф' ((/) < 0 при 1 < j/ < 2, ф'(//) > 0 при 2 < у < 3
и ф'(;/) < 0 при ^ > 3. Точки у = 1, I/ = 3 — точки максимума,
у = 2— точка минимума, причем q;@) < 0. фA) > 0, фB) < 0,
фC) < 0. Полому ц<(у) при у ^ 0 обращается в нуль дважды —
при у е @. 1) и при у е A, 2), а функция \(х) соответственно
имеет 4 нуля.
293. Пусть as < 0. Достаточно доказать, что функция g(x) =
= 1(х)/хаь имеет не более двух положительных корпей. Имеем
1=1
хВ' (х) = 2 (ai-a>.)°г11"'-^
ii-h
и каждый член суммы монотонно возрастает при х > 0 (как в
случае а< — aj, > 0, так и в случае а; — ah < 0). Поэтому xg'(x)
монотонно возрастает, и g'(x) имеет не более одного
положительного корня. Отсюда по теореме Ролля f{x) имеет не более двух
положительных корней.
295. Ответ. f{x) = 8а:2/7.
/ [х) -I- / @)
297. Так Kai./(g)=t_/(jE)/(u), то /@) A + р(х)) = 0 п /@) =
/(д + Аг)-/(г) /(A-r) i '-/2W
= 0. Далее, д^ =-^ , _ / (r) / (Asc) . так что при
Дл;_^0 /(Дл-)—*0, /-^-*/'@)=С1пГ(х)=С,A+/»(*)),
откуда Г_^ = Гс1Сгг-|-С8, arctg/ = C,* + C,. /(x) =
о о
= tg (CiX+Cq). или, учитывая /@) = 0, /(г) = tgCtx. Любая
функция /(.г) такого вида, очевидно, удовлетворяет рассматриваемому
функциональному уравнению.
х у I у \
299. Обозначим у = ^—[' Т0ГДа х = Г±Г7 и / (у) = аЛ ^TJ I+
+ я t=i) =«(o/(w) + «г (г/)) + ф (^zrj) =fl2/^) + П(р W +
+,n^ZriJ> откуда /(j,) = пч2 -. Нетрудно проверить,
что так определенная f(y) удовлетворяет рассматриваемому
уравнению и определена при у ф 1.
sin @?/)
301 По формуле Тейлора sin у = у — —^- гД где 0 < 0 < 1.
Ill sin @/х)
В частности, для у= — имеем ып— =—— 5~1—■■
103

xl sin —= х — -g- sin —.Если х — рзшение данного уравнения, го
16 16
х — -тг sin—=2z—1S77, т.е. х = 19/7—-тг sin—,
2. х I х '
1 1 1
откуда х>1976,т. е.6/х<щ^?и х = 1G77 + е, где]el <_2_ sil11^76 <-
1
< г, лп7с< 0,001, так что х = 1977 с требуемой точностью.
к-г
303. Так как у = [ 1 + — ) мопо гонно возрастает при х > 0,
/ 1 \юоо
ЮО 1+Щ >2, откуда 3< 6A-1,001-1000)< 4.
305. Функция j/ — х — 1пA + г) при х = 0 обращается в 0,
1
причем j/= 1—. , > 0 при я > 0. Поэтому у (х) мопотоппо
возрастает прп х > 0 и у (х) > 0, что эквивалентно перавенству я >
>1пA + х).
307. Рассмотрим функцию ](х) = е*— 1—1пA + х). Имеем
/@) =0, так что достаточно доказать, что f'(x) >0 при х > 0.
Но f (х) = ех — ^ , т. е. /'(г) >0 тогда п только тогда, когда
p(z) = A + x)f'(x) = e* + хе* — 1 > 0 (при х > 0). Имеем,
далее, g@) = 0 и снова рассматриваем е'(х) = 2е* -{-хех, что
положительно при я > 0, так что g(x) > 0 вместе с /(х) > 0.
309. Данное неравенство равносильно неравенству
Но прп х > 0
m—п т—п
е~<^<е~.
е* > 1 + х, так что
m—п
——' т — п т
г п п
п
Второе неравенство, обешачпв -^ = х < 1, перепишем в виде
е,—я <; — или хе1-* < 1 @ < х < 1). Функция fix) = яе'-* црц
х '
х = 1 равна 1, /'(г) = A — х) е1~х> 0 при х < 1, так что /(г) < 1
при а; < 1, что и требовалось.
311. Подставив д= 1 — р, получим эквивалентное перавенство
gX.glX*,-*,).^ е-r, + ^ ^г, _ е*2).
разделив па е*2, имеем
gjxx,-*,) < 1 -[- / (е*'-*« _ l)f
или, обозначив xi — £2 = у,
em + р — 1 — ре" = ф((/) ^ 0.
ПО
Имеем ф@) = 0, (f'(y) — pe"v—pev п прл у > 0 ф'(#) < 0,
пли у < 0 «f'(ff) > 0, так что у = 0 — точка максимума и при
каждом у 4>(у) ^ 0, что и требовалось.
/ 1 уч-ФОО 1
313. Из условия! 1 + —I =еполучаемф(п)=—-. г~:—
\ I . H.(l + -)
1
— п. Имеем ф' (.г) = -, j—г — 1; нетрудно проверить,
(*' + x)ln«f 1 + —j
а
что 1ч A 4- в) < г ПРП п > 0, так что знаменатель в выра-
^ п f 1
гкенпи для ф'(з") меньше 1 при i>0 в ф'(х) > 0. Поэтому а —
наименьшее вначеиие ф(х) — достигается при х = 1 и разно
1 . 1
гг7— 1; Р= lim ф(л) = -2".
111 " 71-* х> ^
315. Достаточно доказать, что sin3 a;(cos x)~l ^ Xs при 0 < х <
< л/2. При х = 0 имеет место равенство, так что
достаточно доказать, что (sin3 x cos-1 х)' ~^ Зх2. Но (sin3 xcos-1 x)' =
= 2"sin2 x + (cos х)-2— 1, и при х = 0 снова имеем равенство.
Дифференцируя далее аналогичным образом до тех пор, пока в правой
часш неравепс!ва не возникнет 0, иолучпм неравенство
|— 8 sin 2x — 8 sin x cos-3 a; -J- 24 sin x cos-5 x ^ 0.
Сотсращая на sin x, получим 24 cos-5 x — 8 cos-3 x — 16 cos x ^ 0, что
очевидно, верно, ибо cos-5 x > cos-3 x > cos x в рассматриваемом
промежутке.
и и и
317. Обозначим J = {e~x2/2 dx, тогда 4/2= f fe-<*'+l',)/2da. dj/.
0 —1(—и
Переходя к полярным координатам и интегрируя сначала по кругу
радиуса и, расположенному внутри квадрата — ыг^хг^ц, — u ^
^ у ^ и, а затем но кругу радиуса и|'2, содержащему впутрп
себя этот квадрат, получил
и uYi
2л f е-"'2г dr < \Л < 2л f e-r'/2r dr.
о о
откуда п вытекает требуемое неравенство.
319. Ответ. Наибольшее значение равно 1, наименьшее
значение равно 0.
а —1 1 ха
321. Обозначим ф (у) =—— у + а g_i; тогда ф (у) =
= 11 — I — 1 ). Заметим, что при а= 1 <р(у)= х. Пусть
а < 1. Тогда прп у < х ф'(#) > 0; при у — х ф'(у)=0п при
у>х ф'((/)<0. Поэтму у = х — точка максимума для ф(#)
и, так как ф(х)= х, неравенство х eg ц(у) при у ф х нарушается.
Пусть теперь а>1. Тмда нр.и у < х ф'(г/) < 0; при у > х
ill

ф'(у)>0, и у — х — точка минимума для <p(.v), т. е. неравенство
х ^ Ч (у) выполнено для всех я, у > 0. Таким образом, искомоj
множество значений а есть [1, + °°)-
ь
323. Пусть N > 10000F - а). Имеем f ф? (х) + ... +ф|, (х) rfar=
а
«= /V, так что по теореме о среднем для некоторого х е (*, 6)
,V
<pf (х) + ... + ср£, (г) = j^. Пусть с. = .
fff {Х1
y^i(x)+ ... + ф^(х)'
тогда
причем
.V
V сгФг(ж)
=
1=1
N
i=l
<TfM
1,
^{/ф, w+...+«p&(*)
r ' a — h
10000= too.
325. После двойного логарифмирования веравепство прптюднг-
ся к виду In hi a + a In b > In In b + b In а или, если обозначить
1и а
<с= т^-£-> \, у = hib >0, к виду 1вх> у(хе» — ех"). Пусть
ф(Я| J/) = хе" — el"i тогда ф„ (а:, у) = n.v— те*" < 0. гак что
ff(x, у)< ф(я, 0) = х — 1 Если ф(я, у) ^ 0, то In х>уц (х, у). Пусть
ц(х, у) > 0. То1Да ф(ж, у) = е"(х — е1*-1>ч) > 0 и U — 1)у < In z,
т. е. снопа In х > (i — 1)^ > {/ф (а:, {/).
327. Обозначим п(шос12л) iai;oe число х е: [—л, л), что л =1
р= 2лА + * Для целою А 5* 0. Пусть также
Д,={ Hrrsinl-jp — e J, 9rcsin [— + *■'))•
Очевидно, достаточно убрдтьсн в существовании такого
натурального п, что и (mod 2л) е Д.. Пусть 6 —длина отрезка А„ и нату-
2я
ральпое /»> -д-+ 1. Точки 1 (mod 2л) m(niod2.a) лежа г па
промежутке [—л, л), так что найдутся I, /(I < J < / sg ,п) такие,
2л
что | / (mod 2л) — i (mod 2л) | < т _ t < б, ила, обозьачнв г =j
трудно теперь выбрать в виде кратиого г.
329. Ответ.
= / — ». k(niod 2л) | < 6. Искомое п такое, что n(mod 2л)е Де, по-
'111... 1\
0 1 1 ... 1
-У = | 0 0 1 ... 1
v0 0 0
112
331. Разложяв определитель яо первому столбцу, получим
dot (Л - Щ = - X
-К 1
-К 1
О
10-ю ,
1
-К 1
О
о
-к 1
о
1
—я
= — А (— А)9 — Ю-10 = А10 — 10"
Ю
333. Любую спммефпческую матрицу вгорого порядка можно
представить в виде
(cost sin t\f
— sin t cost) \
откуда a12 = (k2 — Xt) cost sin t
h OW.
cost
0 'K2)\sint
si
cos
>Sl/'
~~T (^г — ^i) s'n 2{,так что
(fli*)ii
v
2
(n^)min —
Л-М
335. Определитель
равен 25, покажем, что боль-
4 1 -1
1 1 1
1 —1 4
глее значение неволмо;::во. Действительно, еглп в матрице элемеп-
ты, равные 4, находятся в одной строке (столбце), то, разлагая его
но этой строке (столбцу), найдем, что значение определителя ие
превосходит 4-2+4-2+2=18. Если элементы, равпые 4, находятси
в разных строках и столбцах, то определитель раиеп сумме членов,
абсолютная величипа одного из которых равпа 16, двух — 4 и
трех — 1. Если хотя бы один из членов раиен (—16) пли (—4), то
величина определителя меньше чем 25, поэтому макс нмалмщй
определитель перестановкой строк и столбцов приводится к виду
4 е у
а 16, где е, 6, ц, v е {—1, +1}, а максимальное значение
v -6 '
iai;oro определителя, очевидпо, равно 25.
п
337. f(x) представляет собой мпогочлеи ^ г.х1, т. е. /'@) =
i=0
= С|. Но с\ есть сумма коэффициентов членов в разложенпи
определителя, голержащнх х в первой степепн. Легко заметить, что эта
сумма равна
- V а = г, (п + 1) Bл+ 1)
^ 6
8 В. Л Садовничий. А. С, Подколами
1=1
ИЗ

339. Матрица Б — АТА представляет собой диагональную мят*
рнцу, у ко юрой по главной диа-гонали стоят квадраты длин вектор-
столбцов матрицы А. По del В = det2/4, a del В равен произведению
ее диагональпых элементов, что и доказывает предложение.
о,, г, . / созф sin qp\
S* 1 Предстачиы А в виде о . I, где о =
V— sin ф cos ф/
= У 1 + ~. Ф = arcsin * Тогда
г «J у nz -J- ;jJ
Ап = ап( C°Smp Sin "ф,\
\— sin пф cos пф/
Если п -* оо, то а"-» 1, sin «ф = sin I «arcsin I —
yim{An-^ = (coaxrl £lnx \
i—x> \ — nin л; cosr—1}
COS/гф = COS a: -\- о A),
тан чю
отсюда находим
x-0\n-«° * / l—1 0/
343. Вычтем пз i-й строки A = 2, ..., n) определителя первую
строку, умноженную на сц/сп; в результате получим равный
исходному определитель вида
0 с,
Чп
■-2П-
-in,
0 С»2 - С12 7~
<-пп — С.
L2J
Cni
с** — с,
2п In c
21
Спп -
11
Сц1
1A с
11
„'1—1
С22СН "*■ С12С2
с2пс11— с1пс21
сп2сп-с12сп1 ... cnnclt-clncnl
откуда и вытекает треоуемое равенство.
345. Рассмацлшасмый определи юль равеп сумме членов вида
»|и|
I ^ йЦгA) ••• °1Э75. oll975J>
114
где |о|—четпость подстановки о. Нетрудно заметить, что
каждый такой член, кроме члена, соответствующего подстановке о* =»
2 ... 1975\
, содержит 1976 в некоторой степени и,
•ни lainj
{ !
\1975
1974
следовательно, четен, а член, соответствующий о*, равен 1975 в
некоторой степени н нечетен. Поэтому дапный определитель
нечетен ц. следовательно, не равен нулю.
347. Так как при / < i p,-j = 0, то матрица ||pij||
треугольная и Рп = 1. Рассмотрим матрицу \j/h I размера (п — fe) X
X (я-
fe), где gW — число общих делителей I + к и / + к
больших, чем к. Пусть уже доказано, что Qh = det I д^' | и к <
< п — 1 (при fc = 0 ото верпо). Тогда, очевпдно,^^ 1 п д^' = 1,
если i + fe делится на fe + 1 п qf[ = 0 в противном случае.
Вычитая первую строку нз каждой строки с номером, делящим fe + 1,
/11— \
получаем матрицу, имеющую вид I . ! - I, где А = |'/у Дт. е.
\б! /
Qn = det I 7(tJ+I>|- пРп fe = п — 1 получаем <?„ = 1.
349. II рп п = 3 любой определитель указанного вида можно,
не изменяя его абсолютной величины, перестановкой строк и
столбцов, а также умножением строк на —1 привести (если он Ф 0)
к виду
111 —111
1 —1 1=4 либо к виду 1 —1 1 = 4. Сле-
1 1 —1 1 1 —1
довательно, \D\ <; 4= C— 1) C—1)! и для п = 3 утверждение
справедливо. Пусть оно доказано для всех определителей порядка
л — 1 и D — определитель порядка п с элементами ± 1. Разлагая
D по любой строке, получим
|D| = |± Л/и ± Л/,-2 ± ... ± М,п | <
^ |Л/,,| +...+ |.V,„| <п(|»-2)(я-2I< (в-1)(п-1I,
так как п(п — 2) < (п — IJ.
351. Рассмотрим матрицу А вида
'1974
^0 0 0 ... 1
Индукцией по к легко показать, что А = | а^> | обладает
следующими свойствами: о^ = 0 при t > /, o(W = 1, а^ = а<ы (/ ~-i)
при / > I, причем «<ft) (s) = кав + /я< ft (о, ag^t где /s_ ft_
некоторая величина, зависящая от о, ..., я„_,. Поэтому, разрешая
уравнения ka, + fs, k (в|, ..., o,_i) = s -j- 1, последовательно, для
s = 1, ..., 1975 отноептельно о,, получим матрицу А, являющуюся
корнем fe-й степени нз рассматриваемой матрицы,
8* 115

353. Для матрицы B=[|b,j|| размера лХ« ообзпачим Тг(В^=
п
= ^i bit. Легко проверить, что Тг(В) равен взятому со знаком
i=i
минус коэффициенту при Я"-1 в миогочлене det(B —ЯЕ) и что
Тг(В + С) = Тт(В) + Тг(С). Имеем, далее, det(A YA~l - IE) =
= det(/l(y — Я£')Л-1) = det^det(F —X£)det(/1-1)= det(F—Я/3).
Аналогично det(/l_1y/l — KE) = dct(Y-KE), откуда
TriAYA-1) =Tr(A~1YA) и Tr(/1 YA~l - A~lYA) = 0.
Итак, неверно, что любую матрицу X можно представить
указанным образом (ибо не всегда Ti (.Y) = 0).
355. Пусть В = llfc.jll, С = \\с{,\\, где при i ф f Ьц = с,-, =
о. .
—- ';,-, Ьц = 0, сц = г. Тогда элемент матрицы ВС— СВ с
индексами i и / есть
S^w- Scift6w= 2 ь*А,-2 bikhkj + htji-tbu =
k=i ii=i A=i ^=i
при i =^= / и равен 0 при i = /'.
357. Пространство матриц размера «Х« имеет размерпость п2,
так что система матриц В0, ..., B(lz лнисГшо зависима: ЯоВ0 + ...
... + hnlBn2 = 0. Пусть л,- — первый, отлпчпын от нуля
коэффициент, mrwBt=y1Bi+l+...+yn._tBn,. Далее, B[+l=B.X - XBt=
= Yi^i+a +...-I Tn._i«„'+p u Bi,oCme B.+ft = Ti«j+ft+i + ■ • •
• • • + Y„._,»n.+ft. но B„,+1 = fl„,JT - Iff,,, = X* - X* = 0,t. e.
^n«+7= ^ ^ ~ ' ^' ■■■)• И°ЭТ0МУ ,!3 равенства Bn,= Yi^n=+i+ •••
• ■ ■ + Yn'-iBW-i находим Л' = Вп, = 0.
359. Заметим, что группа Н абечева: для любых А, Be//
имеем ЛВ = С = Ст = ВТЛТ = ВЛ. Судом рассматривать
соответствующие матрицам /lefl линейные самосопряженные операторы
La', доказательство проведем индукцией по гг. При п = 1
утверждение очевидно, пусть оно верно при п ^ к — 1; рассмотрим
случай п = к. Для произвольного собственного зпачепия а оператора
LA рассмотрим пространство Та = {x\LAx = ах). Если
размерности всех Та для /1ёй равпы к, то каждьш вектор собственный
для всех La. Пусть Та таково, что dim Ta < /с. Тогда при любых
В е // и геГ,: LA(LBx) = LB(LAx) = LB(ax) = aLB(x), так что
LB(x)^Ta и Та—подпрогтрапство, инвариантное для вгех LB;
В е= Н. По предположению ппдукцпи, в Та найдется собственный
вектор, общий для вгех LB, Be //.
361. Предположим, что .4 =|п;у||к*,/<л вырождена. Тогда
существует нетривиальная линейная комбинация ее строк, равная 0:
/iiai -f- ... +Я„а„ = 0, где rii = (ац, ..., ain). Пусть Я, — макси-
п
ыальнып по модулю коэффициент; имеем ^j ^;-4,-s = 0, а с другой
j=i
стороны, эта сумма равна Яай„а -j- ЯгаГ8 при некотором г, причем
116
аг, = 1 и я„ > 1. так что Я, = — assKB п |ЯГ| > |Я„|
—противоречие. Следовательно, А —- невырожденпан матрица.
303. Пусть Т — ортогопальная матрица, приводящая матрицу А
к диагоиальпому виду: А = Т'1АТ, В =Т'1ВГ. Тогда Ti(ABAB) =
=• TriT-'ABABT) = ТгрШЛВ), Ti (Л:В*) = Тг (Т^А^В^Т) =
= Гг(л*Ьг)-Пустъ А = | а.. ||, В =|| Ьа ||, 1 < i, ,^ п. Тогда
Тг(ЖВ)= V a..a..b..b..= У 2а..п ..Ь?. + V a? fc2
i, J^l l<i<7<n t=i
ибо В — симметрическая матрица,
тг №) = i «?,*» = 2 (.;, - 4) ъ% + 2 «f,ь||.
t, 7—1 1<i<js;ti i=l
так что
Тг (ЛВЛВ) - Т, (ЛФ) = V Bп,. мп - 4 - «2.) Ь% =
= - 2 (fl«-«wJb?,<o.
l<i<J<n
Равенство имеет место при соблюдешш условия ац — ац ■Ф 0 =>
=^- fcij = 0; в этом случае, как легко проверить, матрицы А и В, а
с ними и матрицы Л и В перестановочны; очевидно, это условие
является и достаточным для равенства 'Гг(АВЛВ) п Тг(Л2В2).
365. Докажем сначала следующую лемму.
Лемм а. Пусть pi, ..., р, простые и i < р\ ... рг —
натуральное. Тогда ^(Pj, •■• Я,-.- ')(—l)s = 0, где сумма берется по всем
различным паборам i,, — is, ii < ... < is. 's ^ 0.
Очевидно, достаточно, доказать утверждение для i = р t ■ ■ ■ pt
A^0). В этом случае рассматриваемая сумма может бьпь
представлена в виде V, а ,/). .../>.,где
^^ л- ■ ■ Jt *ji ljt
r-1
an и = 2 cr-i (- 1)(+ft = (-»)' (* - 1)r~' = °.
ft=-0
что и доказывает лемму.
Пусть теперь m = /'t' ... /v ■ где fj — простые n i < m.
Представим i в впдг pu ... p, QB, где Q делит /'74-* ... /'m,"—', В вза-
гоню просто с m. В силу жгчмы имеем
, Л(-|M =
117

Таким образом, если к каждой строке матрицы ||(f, /)|| с номером
т прибавить линейную комбинацию строк с номерами
Pi ... /J. »
взятых с коэффициентами (—1)", то получится треугольная
матраца, на главной диагонали которой расположены элемепты
(^)<->'="#-kb"»>
— функция Эйлера, равная числу натуральных чисел, меньших т
и взаимно простых с т. Отсюда
л.-£м-.,{,-±}*1....[,-±
Pft
где pt,..., ръ — все простые числа, пе превосходящие п.
367. Определитель системы
D =
nl
-щ
где
P(V=,
112
Л
Р (X) = (- 1)" Кп + Ь^"-1 +... + ьп,
где 6,- — целые. Если бы РA/2) равпплось 0, то
(-»)4- + 6. ^Тт-... + 6п = 0
п, умножая па 2П,
(-1)" +2Ь, + 25Ь2 + ...+ 2"Ьг = (-1)" -t-2/v' = 0,
что невозможно, пбо N — целое. Поэтому D ф О, и система имеет
едгшетвеппое решение ij = ... = хп = 0.
3G9. Пусть в| — базис в А; тогда при афо векторы о о et и
е,- о а — тоже базисы в А. Если Ъ =^Р/ (Ясе/У то единственным
решением первого уравнения является a;=VPjej- Так же решается
второе уравнение.
371. Доказательство проведем индукцией по п. При п = 1
утверждение справедливо, так как найдется точка a: f^a) ф 0. Пусть
для некоторого п^к установлено существование чисел аи ...
118
..., а„ е= fa, Ь] таких, что сеЩ/,{а,)|| ^=0 A < I, i < к)
Рассмотрим определитель матрацы
//i(«i) -•• /iK) м*) \
I 'ftк) ••• h (ak) M*> ;
\/ft+1(°.) ••■ /ft+,K) W*)/
обозначим его F(i). Разложим его do последнему столбцу; в силу
det||/,(flj)||i^i,j«;^¥= С получим выражение вида Х,,/,(.г) + ...
. ..-т-Ял-м/а-нС*), где Ха+1951 0, которое не равно тождественно нулю
на [а, Ь]. '
373. Так как характеристика поля отлична от 0, она равпа не-
р
которому простому числу р. Имеем {ж -~ 1)р = 2 (— i}p~"VCp«
i=0
где С'р =П 4- ... 4 1- ГТри 0< г < р С1р = цр_щ делится на
р, ибо i\ a (p—i)\ не содержат сомножителя р, поэтому (х — 1)р =
*=х>+(—1)". При р >2 (—1)"=—1; при /7 = 2 (—1J= 1, так
что (х — 1) р = г* — 1, откуда видно, что в поле имеется
единственный корень р-а степени из единицы, равный единице. Пусть <р —
гомоморфизм аддитивной группы полп в мультипликативную.
Тогда ср(О-г-я) = ф@)ф(а), так что ф@) = 1. Далее, для любого
елфента а
1 = ф (" + ... 4«) = фр (а),
v
г. е. ф(я) = 1.
375 Если Х| ... хп = 0, то для любой циклической
перестановки if ... хпх\ ... г,_т имеем (xt ... хпх\ ... ar,-_i) X
X (xi ...XnXt.. .xi-i) = Zi...zn(i]...zi)ii...zi-i = 0, так что
xt ... xnxt .. ii_i = 0. Докажем индукцией по к, что для
любых элемептов Я|, ..., аА (к ^ п *- 1) кольца R выполнено:
xio.\X2u2 ■■■ ацХк-цХкц • ■■ х„=0. При к —0 это верно;
пусть это имеет место для некоторого к < л — 1. Тогда
Zh+2 . •• ZjiZi^Ij ... OlilA+1 = On
XlOtX2 ... 1*Zi4]Onirj4-2 ... XnZ^Xg ... nA + ^d^-^d+s ... X„ —
= х,я, ... а-ц + ^А + ^Хй+г ... zni,a1i2o2...a(,xji + iW + iXii+2 ... zn = 0,
т. е. xiaja^as... arfl+1aA + ii|l+2. • • ^n =0, п утверждение справедливо
для Л + 1. Рассмотрим теперь для произвольной подстановки a
выражепне (xat\)TaB', ••• ха[п))П- В этом пропзведепип можно
выделить сомножитель вида х^а^хга2 .. .x„-iOn-iXn, что и доказывает
равенство его иулю.
377. Имеем е= У Jf + П„, где Л„ = _£_, 0 < в < 1.
Пусть « = p.'q, где jhj- натуральные; возьмем Л' > 5, тогда е

N
можно представить в виде Q/N\. С другой сторопы,^ = ^,—p-f /?д, =
р
= тут +Л;у, п fljv должно быть не меньше, чем 1/Л1 (так как Яд Ф
ф 0), в то время как : < -дГ, прп W J* 2.
379. Возьмем в качестве С область, ограниченную кривыми ;/==
= ±J'l — Ы (— 1 < 1 < 0- Нетрудно проверить, что G строго
выпукла. Пусть а = т\ где т — патуральнос; тогда иС
ограничена кривыми у = + т" у 1 — —:, \ = + т ~[/т2 — | * |,п па этих
кривых расположено 4т > \]'а = т точек с целочисленными
координатами, а именно, ючкп с абсциссами х = ± (яг2 — i2) (г = 0,
1, ..., т).
381. Имеем
ft
°м = П u + *i + ...+ <£') = «]Л' + — + ... + —,
i=l i=l \ 4i «t /
где n = g\' ... q^ и 9j — простые. Отсюда
ft i 1 \
Ф (re) с (я) = re2 J"[ ( 1 — —Tj^x 1 < я2, „
*=» V Si' /
«г (я) о (я) > я» П f1--!")'
где pi — i-e простое число. Но
й(-г)>('-*)(-^)(-|^)>
>4i(-|fL-
383. Обозначим 5„ сумму, соответствз'ющую заданному п.
Очевидно, 52= 1/2. Имеем
(р,п-|-1)=1 УК ^ > р<1/ ™
(Pw)=i
120
= 2 —- ? '
(Р,"+1.= 1 И« + 1) i<p^n+1)/2 А» (* + 1 - /41
1<Р<п (р.»+1)=1
Z* . »Ш+ ! — /•) /2 + 1. ^ Р +
л>(я + 1 — /') /2 + 1 -^ Р ~*~ п + 1 — р
1<р<(п+1)/2 ' V ' " ' l«p<wifl)/2 ' т '
(p,nfl)=l (р,п-|-1>=1
1_ у J_
1<р<п
(р,п+1)=1
так что Sn-H = Sn и Sn = i/2.
385. Имеем (я + 1K+(— яK+ (— пK+(п— 1K= 6п, т. е. любое
целое число, делящееся на 6, предгтаппмо в виде суммы четырех
кубов целых чисел. Далее, Оя + 1 = Ся + I3, 6я + 2 = 6(я — 1) +
+ 23, 6/2 + 3 = 6(и — 4) + 33, 6и+4 = 6(и + 2) + (-2K, 0и +
+ 5 = 6(n + 1) + (—IK, откуда и вытекает, что любое целое чпело
представпмо в виде суммы пятп кубов целых чисел.
387. Пусть Л/ — мпожество команд, удовлетворяющее условиям
1) и 2) и содержащее максимальное число команд. Представим М
S
в виде U М,, где Mi — подмножество М, состоящее из команд, со-
держащих по i человек; МТф 0 п М,ф 0, г ^ s. Пусть s >5.
Рассмотрим мпожество N команд, получающихся из команд
множества Л/, всевозможными исключениями одного участника; тоьта в
каждую команду N входит s — 1 студепт, и нетрудно проверить,
6—1
что Д7'= U M. U Л' удовлетворяет условиям 1) и 2). Прп этом
i=r
е—1
Л'П U Mt = 0. так что |Л/'| = |Л/| + |Л'| — \М,\. Заметим, что
i—r
каждая комапда пз /1/8 содержит ровно х команд пз N, а каждая
команда па /V содержится пс Солее чем в 11 — s командах нз М,.
Следовагсльпо,
A1-.)|Л'|>«|Д/,|, т.е. |Л-|>пЬ-,|^|>-§-|'5;81>1ЛУ,1,
так что |Л/'| > |Д/|, чего быть не может в силу максимальности
|Л/|. Получаем, таким образом, что s ^ 5. Апалогпчпо, если
г < 5, то приходим к противоречию, рассматривая мпожество
М" = (J M.\]N', где N'— множество всех команд по г + 1 че-
i=r+l '
ловек в каждой, содержащих команды нз Мт. В результате г = х =
= 5, п М состоит из всевозможных коыапд по 5 человек; число
отпх команд равно С\й.
х^ ?/2
389. Пусть дан эллипс -^ + -^ = 1, причем а < 6. Тог-
г2 г2 у3 уг
Да "^F>"p"! "p"<"^J- откуда для точки эллипса (х; у):
-§-+ -fir < 1, 1 <-5" + 5"- fl2 <l2 + у* ^ bV < V*8 + -"'<fc'
что п требовалось доказать,
121

391. Имеем
i
2
з'3'
St = Р _ Г t*dt = .
О
1
5, = J l«A *» Ci *) = -g *" + -|j3.
1
(S,,+52)' = 4f2-2f,
п эта пропзводпая отрицательна при 0 < t < 1/2, положительна
при t > 1/2 и равна нули) при t = 1/2. Отсюда (Si -t~ ЭДтш = 1/4
достигается для t = 1/2, а E, + 52)ша, = 2/3 — при t = 1. Задачу
можно решать и из геометрических соображений, рассматривая
кривую, симметричную кривой у = х2 относительно вертикальной
прямой х = 1/2.
393. Ответ. (У^+У&)Ш.
395. Пусть вырезан сектор в <р радиан; тогда пз
оставшейся части можно свернуть коническую воронку высоты
■л Г- /2л —ф\2 2л — ф „
/г = ц I/ 1 _ / —-—- I . с радиусом основания г — —^— В. Оооз-
/2я — ф\2
пачпм х = ( —g-— I ; тогда задача сводится к отысканию
максимума выражения х]'1 — х, который постигается при ж = 2Д г. е.
- , 2я — Ф 1 / 2
максимальный объем воронки имеем при —-—- = I/ -_ ПЛя
*л г 6
Ф=2я(| -/"-§-)•
397. Уравнение касательной к эллипсу в точке (ад у0) имеет
1ж0 j/i/o
впд -Tj + -га- =1. Отсюда находим, чго отрезки на осях коордп-
я» ft*
нат, отсекаемые касательной, равпы — п —. Тогда площадь
треугольника равна -^-| — ■— |. Так как _ + — = lf T0
J a 11 fc |^ 2 ^ o2 + fc2 у ~ 2 •
ся при — = I -г- ■ Следовательно, искомыми точками будут
точки (+7Г ±f|)-
399. Уравпеппе касательной: у — 1 = 2(х— 1).
401. Ответ. Касательные пересекаются в точке (—2; 1).
403. Поместим начало координат на прямой АВ в точке,
делящей расстояние АВ в отношении 2:1- Обозначив расстояние ОВ
Ш
причем равенство достнгает-
через с, имеем для любой точки М(х; у), принадлежащей данному
геометрическому месту точек, AM = 2MB, или
У{х + 2сJ + у"' = 2 V(*-c)»+V.
откуда (х — 2сJ -f- у2 = 4с2 — окружность радиуса 2с с центром
в точке Bс; 0).
405. S АБС= ху— I ydx. Получаем уравнение ху— \ ydx —
0 о
1
*=.—^-ху. Дифференцируя по х, получаем уравЕение 2ху' = у; ре-
зг
шая его, находим у = с\!х. Второе решение: SABC — | ydx — xy.
с
С л—
Ответ, у =4—^, либо у=су х.
\Гх
407. Уравнение касательной 1и проведенной к параболе в
точке (r0; i/o), имеет впд 4яг -f- 2уу0 — Уо = 0; уравнение
перпендикуляра /2 к l-i, опущенного пз @; 0), имеет впд у0х— 2ау = 0.
Координаты (г; i/) точки пересечеипя /j и Is находятся теперь из
системы
| 4яа: + 2уу0 — у\ = 0,
1 З/о* — 2п2/ = 0,
плп
У = ~
Цу1 + ^2У
"!/0
у1 +4'
Исключая параметр у0, получаем
хуг+ I3 — ci/2 = 0.
409. Расстояние от точки Р(х; аг2) до точки Q(y; у —2)
, , бф
равно V (а; — у)* + (х* — у+2)* = \ у(х, у); -т^= — 2{х — у) —-
гЧр х2 -4- х
— 2 (г2 — у -f- 2), -тг- =0 при у = —s— + * — точка минимума
°2/ ^
<р(х, у) при фиксированном г. Подставляя такое i/ в выражение для
(X2 — X \2
—2— + * I • Так как
а:2 — х ^ —1/4 п достигает этого наименьшего зпачения при
/— 1,4 \2
х = 1/2, то min R2 (х) =21 —ц— + 1=2 G/8J достигается при
7 г-
х = 1/2; прп этом искомое наименьшее расстояние В (x)=—g- V 2.
123

411. Пусть в исходный момент центр катящегося круга
находится в точке (Я/2; 0) п точка Л/ имеет координаты (Я; 0).
После поворота на угол ср центр окружности окажется в точке
К I -у- сокф; —_ sin ф); точка М переместится в точку М'(х; у), а
точка касания О будет иметь координаты (Ясоягр; Яя1пф). Так
как круг катится без скольжения, длины дуг MQ и М'О равны, т. е.
Я
—-г-уз = Яф.где ф — величена угла Z.QKM', т. е. гр = —2ф. Если
ввести систему коордппат х'Ку' с началом в точке Я, то /Lx'КО=у;
/Lx'KM'— —ф, так что координаты точки ЛГ в этой системе коор-
/ Я Я \
дпнат равны — cos ф; — -у sin 4 I, а в исходной (Я cos ц>; 0), так
что точка Л/ движется по отрезку [—Я, Я].
413. Расположим цилиндр радиуса 1 в пространстве так, чтобы
он высекал на плоскости Оху единичную окружность с центром в
точке О и осью его служила бы ось Oz. Проведем через ось Ох и
точку @; 1; 1) плоскость л. Пусть Р — точка, принадлежащая
пересечению я с цилиндром п проектирующаяся в точку Q единичной
окружности. Нетрудно теперь проверить, что если О соответствует
углу х поворота радиус-вектора, то \PQ\ = sin x.
415. Точки, лежащие па плоскостях, проходящих через ребра
с т Ь а '}- с
SA, SB п SC, имеют радиус-векторы вида Kt —5 Н ^.га, "кг —г.— 4-
-J- Х26, А., —5— + А2с, так что эти плоскости пересекаются по
прямой ?\.(« +6 +с). Аналогично, плоскости, про\одящпе через
ребра SA, ЛВ, АС и через ребра US, БА, ВС, пересекаются по
прямым а 4 р. F \- с — За) и b i у ((L 4 с—36). Точка
пересечения трех найденных прямых есть точка Я, ее раднус-векюр равен
-^-(а+с+Ъ).
417. Рассмотрим векторы г —0.ih 11 г=ОМ. Так как
п
%rk = o, то С= 2 \r-rk\' = n\r\* + C0.
419. Достаточно показать, чго век-юр я > 6 -\ b ^ с -\ с X а
перпендикулярен каждому и.) нектаров 6 — я, с—я. Имеем
F — я. а к Ь -t- Ь - с 4 с .-. я) =■ F, «. 6) г
+ F, 6, с) + F, с, а) — (я. я. 6) — (я, 6, с) —(а. с, а),
где (х, у г) = (#, у х г) — смошпппое произведение. Учитывая
(а;, #, 2) = (у, 2, х) п (х,х,у) = 0, получаем, что последнее пы-
ражеппе равно 0. Лналогпчио, (с— я, я * 6 -(- 6 у с + с х я) = 0.
Если axb-\-bxc + cxa — о, то (см. задачу 418) векторы
я. Ь, с компланарпы.
421. Умпожпм первое уравнение скалярпо па я, второе—ска-
лярпо на 6 п вычтем из первою результат второй:
{а с) —{b, d) = 1я, 6 у) j ^, «, у) = 0,
124
Умножим первое па 6 скалярно, второе па а н сложим
результаты
F, с) А- (о, d) = F а х) + (о, 6, х) = 0.
Итак, условия
(а, с) — F, rf) = 0, F, с) + (о. я") = 0 A)
необходимы для совместности системы. Докажем пх достаточность
и найдем решения. Умпожпм первое уравпспие слева векторно на
я, а второе слева векторно на 6 и сложим результаты, получим
— х (о2 + ft2) + о (о. х) + 6 F, а;)-{ 6 (Я, (/) — я F, у) =
= я > с 4- 6 у, я".
Обозначая (я, х) — F. I/) через Ci(« ft2) и (ft, #)+(«, у)
через с2(я2-|-62), потучпм
а .. с 4 - b -■ d
+ сли -| <-86. B)
х — —
я- + 6-
Умпожая первое уравнение слева на 6 вркюрпо, а второе слева
на я векторно и вычитая из первою в юрой результат, получим
—у(а2 -\- б2) + 6F, у) + я(я. f/i -f 0F, х) — 6(я, х) — 6 . с—axel,
откуда
а х A — b \ с .
tJ = и1 : 6-' + с8«-гА lci'
Чтобы папти с, п с2, подставим B) и C) в систему. Подстановка
в первое уравнение дает
(— я (а, с) 4- с • я2 —6 (а. я") 4- <?(«, ft) 4- «(ft, d) — d(a. 6)—.
— 6 F, с) 4- с • 6=) (я2 4- ft2)-1 + <-2 (я л Ъ) 4- с2 F > я) =- с 4-
я (F, </) — (я. с)) — 6 ((я, rf) • F, с))
+ аЧ ft2 =C
при любых Cs n C2. Лпалогмчпо второе уравнение при подстановке
B) и C) тоже обращается в верное равенство при любых ct u с2.
TaifiiM образом, найденные выше условпя^A) достаточны для
существования решения; ато решение дается формулами B) п C),
где с, н Г2 — произвольные постоянные.
423. Рассмотрим параболу у = яд2, а >• 0. Нетрудно проперить,
что ее внутренность расположена впутрп острого угла, образован-
/с2
ною прямыми у = 4 кх — -[—. где к >• 1, п для достаточно
большого к этот угол можно взять сколь угодпо малым Поэтому, если
бы плоскость можно было покрыть внутренностями п парабол, то
ее можно было бы покрыть и впутронностпмп п углов величиной
е < 2л/н. что, как легко убедиться, невозможно.
425. Пусть A U Я = |— 1, 1], А П «= 0, причем ie^
-t=s- 1 +• я е В, где я > 0. Пусть z s /1 и г + 2я ^ 1. Тогда х 4-
т»ей п, если г + 2яеС, то i + о е А - противоречие. Поэтому
125

£ + 2яеЛ. Очевпдпо, наименьшая течка В есть — 14-я, так что
[—1, —1+ а) с А. Кроме того, A — я, 1]с В, так что при же А
имеем х ^ 1 — я. Пусть [—1 + 2па, —1+Bп + 1)а)сА при
некотором целом п 5= 0. Тогда [—1 +Bn -f- 1)а, —1 + Bп |2)а)сВ и
—1 +Bп + 2)я = —1 + 2пд + 2« ^ 1, так что —1 +Bп |2)яеЛ
п —1 + Bи + 2)я ^ 1 — я, т. е. —1 + Bл + 1)я + 2а ==С 1.
Поэтому [—1 + Bп + 2)а, — 1+ Bп + 3)о) с: Л, п мно.-кеглто А
неограниченно, ибо содержит точки —14-2ия(и = 0, 1, 2, ...) —
противоречие.
427. Пусть ф — рассматриваемое отображение, х Фу и z —
точка, лежащая па прямой, проходящей через <р(г) пф(}) и
находящаяся на расстояЕПи п от <р(г) и г^ от (р(у)- Нетрудно заметить,
чго г по Г| и r2 определяется однозначно, так что z есть образ
точки z', лежащей на прямой, проходящей через х и у и
находящейся на расстоянии rf от х и гг от i/. Итак, образ прямой при <р — вся
прямая. Если прямые 1\ и 1г пересекаются и не совпадают, то в
силу взаимной однозначности <р их образами служат различные
пересекающиеся прямые 1^ п 12. Пусть теперь х'—произвольная
точка плоскости, не лежащая па Zj и 12. Проведем через нее
прямую I', пересекающую lt и 12в точках <p(#i) в (р(хг). Тогда I' —
образ прямой I, проходящей через xj п Х2, так что х' принадлежит
образу плоскости при ф.
429. Пусть \АВ\ = я. Введем систему координат так, чтобы
А = @; 0), В = (я; 0). Пусть в этой системе координат С имеет
координаты (р; д). Если д = 0, то Ф, очевидно, состоит из прямой,
проходящей через точки с коордппатами ((р -\-а)/2; 0) при р >■ а
а (р/2; 0) при р < 0 перпендпкулярпо отрезку АВ. Пусть g ^ 0.
Еслп 0 ^ х ^ а, то расстояние от (х; у) до АВ равпо у, так что
условие запишется в виде у2 = (х—р)г 4- (у — дJ. илпу = -£-4/
(х — РJ
4- 9 * так чт0 па отРозке [0, »] фпгура Ф представляет
собой отрезок параболы. Прп х < 0 Ф состоит из точек (х; у),
лежащих на прямой, проходящей через середину А6 перпендпку-
Р2 4- д2 Р
лярпо к АС: )/= —5 — ~~ х- Аналогично прп х > а Ф со-
Р2 4- д2 — а2 Р — а
стопт из точек (х; у) таких, что у = 5 — х-
eg g
431. Для установления взаимно однозначного соответствия
между точками замкнутого круга К радиуса 1 и открытого круга К'
того же радиуса рассмотрим систему окружностей К„ радиуса i/n
с центром в центре круга К (п = 1, 2, ...). Тогда (если считать
оо оо
что цептры К и К' совпадают), А'\ (J К — К'\ U К , так
П=1 7!=2
что на этом множестве можно определить тождественное взаимно
однозначное соответствие, после чего взаимпо однозначно
отобразить каждую окружность Кп (п = 1, 2, ...) круга К на
окружность Кп + \.
433. Корпи Л'-й степени из единицы zi,...,zN, изображенные
на комплексной плоскости, образуют вершины правильного Лг-
угольнпка, вписанного в окружность единичного радиуса с
центром в точке z = 0. Поэтому искомое процзведеппе длин диагоналей
126
N
.v=2*-
равно |П A —-*|)|. где z, = 1. Но IJ (z
„ zN-l
II (z — г{) = — = 1 4- z -f- • • • + zN—1 Прп z =#= 1, причем
Mi z~
в силу непрерывности П (z — z{) это расешпво верно и при
г = 1, так что Ц A „ 2.) I = //.
\\Ф\ ' \
435. Пусть М — множество пределъпых точек множества 4.
Легко проверить, что М замкнуто. Так как все точки Л
изолированные, то А П Л/«= 0. Поэтому А = (A [JM) П Ui\Ai), те A (j M—
замыкание множества А- Н\М — дополнение М до прямой Я—
открыто.
437. Будем рассматригать М, как точки на комплексной
плоскости: Z) — Xj + ij/j. Многочлен /(jt) — (z, — i) ... (zn — i)
имеет степепь п, причем значепия его в точках А\, ..., /!n+i дейсиш-
тельны, так как по условию сумма аргументов чисел zt — А, равп.»
пулю. Представим /(z) в веде p(z) + 1д{г), где />{г), <?(г) —
многочлены с действительными коффкциенгамп степени, не болт шей п.
Так как g(z) равен 0 в точках Л„ .... A., + i, то д(г) ез 0. norovy
/(z) —многочлен с действительпымп [.оэффнциетами, т. е. корпн-
мп его служат, помимо г\, ..., z„, ташке и числа zif ..., z„, что п
означает симметричность множества {М., ..., Л/„} отногнгельпо
оси абсцисс.
439. Справедливое решение в обоих случаях вынос шея с
одинаковой вероятностью р.
441. Искомая вероятность находится по формуле Вайеса
10 000 000 _ _1
10 (
J000000-1 + A-10 000 000-1) • (yj
443. Пусть в некоторой встрече участвуют шахматисты У и F,
причем предыдущую встречу выиграл X. Обозначим р,, р2 и р3
вероятности победы игроков X, Y, Z соответственно. Очевидно, plt
Pi a p« связаны соотношениями
Pi + Pt + Ps — 1,
11 4 2 1
Pi = — + -7 Ps; откуда px= —, ps = _, p3 = —.
£ Z lit
p, - -j pi.
Татшм образом, вероятности победы игроков А а В равныу pj 4-
1 5
+~ Ps = ja~! вероятность победы С равна 4/14. Еслп первую
партию выиграл А, то вероятность победы А равна р\ = 4/7;
вероятность победы С равна 2/7 и победы В — 1/7.
127

445. Очевидно,
,„ CnCTN-n (N - n)\ (N - r)l
Pw(*)= ^7— = (jv_n-r.+ ft)IJV! ?(r' "' k)-
Нетрудно проверить, что последнее выражение возрастает при за-
пг
мене N па N + 1 при JV <~7Г —1 п убывает в противном случае, так
что максимум достигается прп TV = [пг/к].
447. Прямоугольник указанного вида получается, еслп указали
его нижняя и верхпяя, а также правая и левая стороны, что
можно сделать(Сг2г + пJ способами. Квадрат размера h'Xh можно
разместить па доске (и — h + IJ способами, так что число таких кпад-
ратов равно Т (п —Л+1J = > i* = г: , IIci.'o-
h=l i^=l
мая вероятность равна, таким образом,
п{п + 1){2п+1) [п(п+1)\2 2 2п + 1
/ я (" + <)\2
6 " ^ 2 j ~3 «Ч»"
4^9. Число определителей размера п X " над Z2 равпо 2" .
Число не равных 0 определителей пад Z2 равпо числу лппейпо
независимых упорядоченпых паборов из п строк длины п. Заметим, что
если a!,...,ad—линейно независимые строки, то в виде линейной
комбинации Я-iai +...-)- кьО-ъ и ре дета пимы рашю 2А различных
строк длины п. Поэтому число способов дополнения {щ,..., а,,} до
линейно независимой системы (упорядоченной) из к-\-\ строки
равно 2" — 2*. Таким образом, число пе равных 0 определителей
есть Bя - 1) B" _ 2) B" - 2-') ... B" - 2"^») = 2"' П U - у\
Отсюда qn = П 1-^ I
li--" (-7)» *(-£*)-
451. Квадрат расстонпня от точки @; я) до точки (х\ я2/10)
равен l2+(~j7J —п) = ,0.'/+(г/~ °J> гпе .'/ = я2/Ю. Ыппнмум
найденпого выражения по псом у 5s 0 при я — 5 5s 0 достигается
при j/ = а — 5, а прп о — 5 < 0 — при у = 0. Поэтому для точки
@; 4) искомое расстояние равпо 4, а для точки @; 6) опо равпо Kj.
452. Дап решения задачи докажем лемму.
Лемма. Пусть /—некоторая функция, (L„f) (х) = /'(*) —
— af(x), где я — дейеттштсльпое число. Предположим, что фупкцпя
](х) имеет непрерывную первую прои-шодиую па оiрезке \с, d] и
/(<0 — Hd) — 0. 'Гида сущее ibvci такая точка xL. е (с, </), чю
(/-./) Ы = 0.
1
т>°-
щ
Доказательство. Заметим, что (LJ)(x) = tax-T~{Le"axf A)),
поэтому требуемое утверждение вытекает из теоремы Ролля.
п
Пусть теперь/(г) = V cheakx. Заметим, что La{eax) = 0,
А=1
я-1
откуда^£ / \ (i) = V] с (вл - an) ea"* Еслп функция / (ж) =
п
= 2 сйе ft пмсет не менее чем .V различных действительных
нулей, то функция L / имеет не менее чем N—1 различных
действительных нулей. Но функция L / имеет тот же вид, что п /,
но с меньшим на единицу числом слагаемых. Поскольку без ущерба
для общности можно считать, что с\ Ф 0, то мы получим в конце
концов, что функция е*7!* пмсет не менее чем JV— (п — 1)
действительных пулей, т. е. 0 ^ Л'—(п—1) или Л' sg п—1. Тог
факт, что п — 1 нулей действительно возможны, доказывается
п—1
примером: /(ж)=П (еж —е*). Здесь показатели а,, ..., а„ равны
ft=i
0, 1 п — 1, а корпп равны 1, 2, ..., п — 1. Итак, наибольшее
число нулей равпо и — 1.
453. Согласно неравенству о среднем геометрическом и среднем
арифметическом имеем
« / п \ / 352 \25 / 13 \25
/ 13 \2Ъ
Легко проверить, что в разложении! i— -gj^-j по биному
Ньютона члены (начиная с 1) убывают по абсолютной величине.
Поэтому
/ 13 \23 13 . 25 132 • 25 . 24
[l ~ 3C5"j **1"~ 365 + olio* • 2 -
65 169 • 12 1
1 ~ 73 + 73а 2'
так что
"О-зетЬт-
г=1 \ /
454. Определим на единичных векторах (г, у) функцию,
равную сумме квадратов расстояний от прямой, проходящей
параллельно этому вектору через цептр данного правильного
пятиугольника, до всех его вершин. Легко проверни,, что эта функция
f(x, у) является многочленом второй степени от х и у. Но этот
многочлен не должен меняться при поворотах па углы 2/гл/5 [к =
В Б. А, Садовничий, А. С. Подколаиа
12Э

•= 1, 2, 3, 4), не меняющих пятиугольника. Поэтому при
указанных поворотах не меняется эллипс f(x, у) = А (А достаточно
велико), что, очевидно, возможно, лишь если этот эллипс является
окружностью, т. е. f(x, у) = const. Таким образом, годится любая
прямая, проходящая через центр пятиугольника.
455. Докажем, что я„ —>- 0 при п—*■ оо. Для этого достаточно
доказать, что для любой возрастающей последовательности {nh}
натуральных чисел (к = 1, 2, ...) найдется if > 1 такое, что
последовательность {[т*]} имеет с {пк} бесконечно много общих
членов. Докажем лемму.
Лемма. Для любых а, р, 1 < а <Г E, найдется А такое, что
оо
U [ah, Ph — l] содержит полупрямую х > А. »
Так как а* —*■ °о и р*—*■ оо прн к —>- с» и а* < Рк, то
достаточно показать, что a*l+I < РА— 1 при больших к. Пусть р =
= а + a, a > 0. Тогда
рь _ 1 _ aft+1= (a + o)ft — ah+1 — 1 > ah -f как~*о —
_ aM-l _ i > afe-l Ua _ a2 _ __L_\
При к > (a2-f- l)/o нужное неравенство выполнено.
Возьмем два произвольных числа ai н Pi, удовлетворяющих
неравенству 1 < ai < р\. В силу леммы существует к\ такое, что
отрезок [a'j*, Pj1—l] содержит точку последовательности {nh).
... I t\i/fti
Пусть это И]. Положимct2=nj/Rl, P2=["i + -5-l -Тогда [аг, Рг]^
c:[ai, Pi] и для любого х е [осг, Рг] верно соотношение \х\Л — щ.
В сплу леммы найдется такое fa, что отрезок [а*1, [5^' — \\
содержит точку последовательности {nh}, отличную от щ. Пусть
i/7 a- l \ilkl
это п2. Положимa3=«2" Рз=("а~'~~2~) • Тогда fa3, Рз] с:
с fa2i Рг] н [я*2! =  для любого i e [ct3, Рз]. По лемме находим к3
такое, что отрезок [ct3 *, р3 —1] содержит точку т
последовательности {"/,}, отличную от первых двух. Строим отрезок
[«4. Р4] с [а3, Рз] такой, что^з] = п3для любого ie[a4, P4] и т. д.
Получаем систему вложенных отрезков, в пересечении которых
имеется точка f такая, что [у т\ = пт (т = 1, 2, ...).
оо
456. Если бы ряд Л —— е "равномерно сходился, то для лю-
^•в fl\
я=0
N
бого е >• 0 существовало бы такое Л', что sup
х>0
1— т, —е
п=0
<е,
что невозможно ни при каком е < 1, поскольку
lim [i_ V fle-«] = i.
СС-»4-оо \ ^"t fl\
\ п=0
130
4о7. Пусть р —числитель написанной дроби, q — ее
знаменатель. Тогда рп — $я3 = sin я = 0, откуда p/q = я2.
+»
Г dx
458. Будем вычислять / = \ -т , , , где a = 0,01.
•—00
При |i| =g А заменим ch x на 1 + z2/2, а при \х\ ^ А заменим а
на U вычислим получившиеся интегралы:
A
. Jl ; = 2/2d (u + УТ+Т'), u = _l
Л
j4
'•м,=1ет=2^ьс...4
/, дает хорошее приближение к интегралу при |i| «g А, когда Л
мало по сравнению с }'12, а /2 дает хорошее приближение к
интегралу при |х| 5* А, когда А велико по сравнению с }2а. Выбрав
Л большим по сравнению с }'2а « 1/7 и малым по сравнению V12»
«d,5 (например, взяв А = 1), получаем
/ ^ /, (Л) + /2 (Л) = 21/2п Г(и + УГП?) cth 4 •
Но при нашем выборе А число и = Л/yite велико, а число AI4
мало, поэтому
U + УГТ1? =i 2u, Cth "Г" =5: 4".
(" -г- У1 + и2) cth
8и
9*
V2a"
131

Итак,
/ х 2 l In —p=r = 2|/2 ln 8 ] '50 ^ 2,8 In 5,6 =fc 11.
V2a
Легко проверить, что суммарная ошибка всех сделанных
приближений много меньше 20%.
459. Функция /(г) = sin (Загсвшж) определена при z e
е [—1, 1] п на отрезке [—1, 1] совпадает с многочленом р{х) =»
= Зх — 4т3. График ее имеет вид, указанный на рис. 8.
460. Поскольку х — In i-sin i -»- + °° ири х -*■ -f- оо, a arctg у -*■
-*■ я/2 при у -*■ + °°, то lim arctg (i — ln x • sin x) = n/2.
s-H-°°
461. Пусть полушар лежит на плоскоеm (r, у) в пространстве,
снабженном декартовыми координатами (х, у, г). Пусть он
расположен в полупространстве г^Оп имеет радиус R > 0. Тогда его
d
/\/\
1\/ :
до
Л А
\/1'
Рис. 10.
объем F равен -д- пД3, а центр тяжести лежит на оси г и имеег
«-координату.
If /2 \-l л/?' 3/?
z0 - Т J zn (Л« - ;2) <fc = ^ яЛ*) "Г" = Т~ •
132
462. Заметим вначале, что график функции g(t) = sin t2
имеет вид, указанный на рис. 9, где каждая следующая волна уже
предыдущей. Далее легко проверяется сходимость интеграла
во
I sin t%dt, т. е. существование предела lira j(x) = А. Из предыду-
о т
щего замечания ясно, что А > 0. Учитывая соображения четнпгтп,
получаем окончательно график, изображенный на рис. 10.
463. Пусть h—высота цилиндра, г—радиус оснор^ния. Тогда
h*
—j- = R2 и объем цчлипдра V ■■
(*-т)
отрезке
Ну'лно найти
f0. 2Я]. Имеем
= —== R- Очевидно,
принимает максимум,
максимум этой функции от h на
У'(Л)=я(яг — -£>А. Если \"{h)=0, тп J
что в этой точке действительно функция
4я
равный ,— Я3.
464. Поскольку функция f(x) = х -f- е* имеет потсжитрльную
производи) ю /'(■»") = 1 + e"i то она строго монотонна я,
следовательно, принимает каждое значение нр более чем в одной точке.
Поэтому из условия х + ех = у -\- е" следует, что j = у и,
следовательно, sin х = sin i/.
465. Кривые имеют вид, указанный на рис. И (картина
периодически повторяется по у с периодом 2л). Кривые, лежащие в
Рпс. 11.
области 0 <С у < тс, при х —*■ — оо асимптотически
приближаются к оси х, а при х —*■ -f оо — к горизонтальной прямой у = п.
При у > я/2 они выпуклы вверх, а при у < л/2 выпуклы вниз.
Прямая у = л/2 состоит из их точек перегиба. Все вти кривые
получаются друг и j друга сдвигами по направлению осп х. Картин-
ьа в области — п < у < 0 получается отражением относительно
осп у = 0.
466. Покажем сначала, что прообраз произволт.поп прямой
V есть некоторая прямая. Пусть А', В', С' — три различные точьп
133

прямой I'; А, В, С — их прообразы. Если А, В, С не лежат па
одной прямой, го проведем через них окруи.нос тт. п, п' — q (л) —
тоже окружность, причем имеющая три общие точки с V, чт
невозможно. Поэтому Л, В, С лежат па одпой прямой, обозначим ее I.
Имеем ф-'(Пе1 Пусть найдется а е *\ф~' {I'), а' = <р(о).
Проведем через а' прямую f, пересекающую V. Очевидно, <p-1(v)s
е!; если точка Р не лежит на прямой 6, проходящей через а'
параллельно V, то через Р можно пропести прямую 1Р,
пересекающую Г и у в двух различных точках Pt и Рг и, так как <p-l(^'i).
Ф_|(^г) si, получить, чю п Ф_1('я) имеете с точкой Р лежит на I.
Таким образом, прообраз всей плоскости содержится в
объединении прямоп I с прямоп. па которой лежит прообраз прямой
б, чего быть не может в силу взаимной одноипачпости <р, и
получаем ф-|@ = I. Пусть теперь I — произвольная прямая и Р, Q —
две ее различпые точки. Рассмотрим прямую V, проходящую
через ф'(Р),ф(С); ф~'@ есть прямая, проходящая через Р п Q, т. е.
Ф~'@ = I а I' = <j>(Z) —прямая, что и требовалось доказать.
467. Сопоставим точке t e [а, Ь) точку плоскости f(t) с
координатами '
* =sin (тзт 2jt). у =cos (fEi 2iTJ-
Тогда f(t) непрерывно отображает полуинтервал fa, 6) на
окружность радиуса 1 с центром в точке @; 0). Очевидно, f~l[P) pa.i-
рывно в точке Р с координатами @; 1).
468. Пусть неверно, что Е — НА обратима. Тогда существует
непулевой вектор X такой, что (Е — ВА)Х = О, X = ВАХ.
Обозначим Y = AX. Так как X = BY, ю Y Ф 0. Имеем (£-ЛВ)К =
= Y -ABY = Y-AB(AX) = Y -АХ = Y— Y = 0 и (Я — ИД)
вырождена — противоречие.
469. Пусть ф(х) = (sin х)_2 — г-2, ф'(х) = — 2 (sin x) ~3 cos х +
,-f 2х~3. Имеем
,, „1 rn= x «in r
ф'(х) > 0 <* —^ >Ц^Г; ^ ■> - г > 0.
у cos а;
Обозначим ф(х) = sin x(cosx)-— х. Имеем
Ч)'(х)= (cosгJ'3 + -L (cosx)-4/3 sin 2ж— 1,
О
2 L
<])" (х) = — y (cos х)_1/3 du а: + -g- (cos х)-7/3 Лп8 г +
9 А
+ "j sin я; (cos ж)/3 = -g- (cos х)~/3 sin8 an
Прп х е @, я/2) Ф'Ч1) > 0, так что ty'(x) монотонно
возрастает и, учитывая ф'@) = 0, гр'(лг) > 0. Это означает, что г])(х)
монотонно возрастает на @, я/2) и, так как ф@) = 0, ф(х) >■ 0.
Наконец, из монотоппого возрастапня ц (х) находим, что ф (х) ^ ФI -г- )=
= 1 — что и гребоиалось.
и2
134
470. Пусть все корнп уравнения действительны; обозначим их
а,, ..., я» (Я1< ... <я,). Если к,, ..., кв — их ( кратности, то
к, + ... + к, = 5. Обозначим /(х) = х5 + ax4 + bx3 -f с. Если ki>
> 1, то а{ — корень /' (х) кратности kt — 1, так что сумма крат-
ностей корней /'(х), содержащихся среди ah...,a„ равна 5 —я.
Кроме того, f'(x) имеет корень fc,-, заключенный между т и
0(+| (всего :> я —1 таких корней), и если хотя бы один корень bt
кратный, то сумма кратностей корней f'(x) будет ^ E — s) -f- s=5,
что невозможно, так что все кратные корпи /'(х) содержатся
среди я,, ..., я,. С другой стороны, 0—корень f'(x) кратности 2 и не
корень /(х) —противоречие. Итак, уравнение имеет хотя бы один
корень вида а + Ы, где Ъ ф 0. Но тогда a — Ы — тоже корень
уравнения.
471. Возьмем произвольное 8 > 0, 8 < с, и выберем е,: 0 < е,<
<е2/4с, т. е. е, < с/4. Пусть при R > R0 выполняется j|/(x)|<£r<
О
< 8ifl. Возьмем любое х0 > ^о, тогда имеем
X
/(*)=/(*о) + J/'C)*-
Рассмотрим два случая:
а) /(j-о) > 0. Тогда для каждого х е (х0/2, х0)
2с
/(*)>/(*<,)- —ix0-x).
/ (хп) 2с
Обозначим Ji=x0— ■ 2е х> ПРИ х е (ж1- х°) ^о)~^го — х) >0-
*0
Если бы имело место х, ^ х0/2, то е^о > J \f(x)\dx>
х х2
>Н*и)-Г, т. е. /(х0) < 4е,, а с другой стороны, /(х0)х0/2е > х0/2 и
/(х0) > с, но 8, < с/4. Поэтому х, > х0/2, так что при ie (х,, х0)
2с
/(х)>/(х0)- — (яго-*) и
«о
(Х0—Xj)
ElXo>J/W йх>/(х„)^-^=/2М§.
откуда /(х0) < 2Усе, < е.
б) /(хо) < 0. Тогда прп х Jj» x0
|/(*)l>|/W|--J(*-*o)
п, интегрируя по (х0, xi). гдех, = яг0 + ~ I / (хо) 1> получим
^a<J|/WI«b<e1,t
так что |/(х)| < е.
135

472. Рассмотрим матрицы Е, В, В1, ...,£". Эти матрицы
линейно зависимы, так что для некоторых а0, аь а», s <: п2, имеем
ааЕ+а,В + ... + a,_,BJ-1 + В' = 0, или р,(В)=0. Индукцией
по ft легко показать, что ABh — В*Л = l;Bh-*C: при ft = 1 это
верно, и если это верно для ft — 1, то ЛВ* — ВМ = (АВ — ВЛ)Вк--' +
+ 5^6"-'— В»-|Л)=СВ*-1+В(Л — 1)В*-2С= ftB^'C. Поэтому
Лр, («) - Ps (В) Л = И1С + 2а2ВС + . •. + *ВЯ_1С = С/< (В) = 0.
Далее /4С/^(В) — Ср\ (В) /1 = С"р'[(В) = 0; продолжая
аналогичным образом, получим в конце концов равенство s\C' = 0, т. е.
Г' = 0.
473. Рассмотрим полином г(г) = {p(z) —g(z))p'(z). Пусть (без
ограничения общности) dpg/>(z) = n ^ degg(i). Тогда deg r(z) ^
^ 2и — 1. Если са — корень p(z) кратности ft, то р(ы) — ?{ы) = 0,
со — корень p'(z) кратности ft — 1, так- что ю — корень r(z)
кратности ^ ft. Аналогично, если ш — корень p(z)—1 кратности ft, то
со — корень r(z) кратности ^ ft. В релультате сумма кратностей
корней r(z) не менее, чем 2ге, т. е. r(z) = 0 и p(z) = g(z).
оо
474. Функция Ф (х) = > i—-— определена при а; > 0 (признак
Дирихле). Рассмотрим последовательность
,(л)=_4- + 2<-1)* = -Цг-п-
h I)
Для нее g(n) — g(n — 1) = (— 1)<"> прп n 5* 1,
n=l
Пусть я- > 0 Пользуясь преобразованием Абеля, находим
„„.V = _,@) + %^-_—-^
= -у + т1Ч^).
Докажем, что ряд для функции if (г) равномерно сходится при
1^0. Тогда 4"(J) — непрерывна на .* ^ 0 и
lira Ф (х) = - 1 + Ига Ц■ (*) = - 1 + 1= @) = - 1.
к-»+0 2 а.-»+0 2 2
оо
1.1 v<
Опозначпм а (х)= —Г— —, тогда if(x) = >. g (n)a (x).
" я (я ■+- I) ■**
71=1
Воспользуемся признаком Дирихле равномерной сходимости. Ввиду
136
A) достаточно проверить, что в каждой точке х. х ^ 0.
последовательность а,,(х) не возрастает и на множестве т^0 «„(j)rjO.
Монотонность последовательности следует из представления
ап(х) =— / * —-. т—j |, в котором каждый сомножитель с рос-
ЛЧ A+т);
том п не возрастает. Из зтого же представления прп х е [0, 1]
1 111
\*пЩ<1—, Г?<1~ Г=-771<^1
ыг
1 -.- —
п прп х > 1 |я„(.г)| -g 1/и* < 1/и. Таким образом, sup |«п(?)|<
1
<—, так что я (х) ~* 0 на множестве г ^ 0, и искомый предел
равеп — 1/2.
475. Возьмем две периодические гладкие функции iji(t) и ys{t),
j/i@ > .'/2@. и потребуем, чтобы они были решениями уравнения.
Тогда относительно a{t) и b(t) получится простая разрешимая
система. Итак, два решения возможны. Покажем, что трех решений
быть не может. Пусть решения гл('). J'H') u г/з(<) имеют
несоизмеримые периоды Ти Т2, Т3. Тогда
t t
- \ n(t)M —J a(t)dl
Vi — У* =" rf ° f Vt — Vi~ c * U
n i/э = a;/i + P.i/2, где a и p — ненулевые константы. В сплу
следующей леммы с ф 0 и с =?*= 0.
Лемма. Если непрерывная функция z(f) имеет два
несоизмеримых периода А и В, то г(() ез const.
Дейсгшпельно, тогда z(t + А(иЛ — тВ)) = х@ для любых
целых ft, л, т. Ввиду несоизмеримости Л и В среди чисел пА — тВ
имеются сколь угодно малые положительные. Но тогда числа
к(пА — тВ) всюду плотны на прямой. Следовательно, учитывая
непрерывность z(t), z(t-\-\) =z(t) для любого J и z(t) s const.
Инеем далее
,j3(t) =a.Vl@ +РЫ0.
!/з@ = y3(t + T3) = ay,(t + T3) +_Ш1 + Тз),
откуда a(j/,@ - j/,(J + TS)) + P(i/2(') - !/П' + Га)) = 0. Значит,
функция г/1 @ — i/i (/ + Гз) имеет два несоизмеримых периода Т, а
Т2 и по лемме !/,(') = J/i(« + ^з) + const, откуда у\ (t) = у\ (t +Т3)-
Значит, у\ (t) имеет периоды Г, и Тз. По лемме у\ @ = const,
а так как yt(t) периодична, то yi(t) & const, чего по условию быть
не может.
476. Положим а = \— [5А, Ъ = £ -f- aft, тогда f{% + ah) —
--/(| —pft) = hf (\) и ясно, что /еС". Дифференцируем no h
дважды, находим a2/"(J + aft) = P2/"(£ — рЛ), или же, что одно
в то же, для любых а и b «2/"(a) = Ps/"(*)- Очевидно, /"—
137

константа. Если а2 ф Р2, то /" = 0 и f(x) — линейная функция.
Если же а2 = р2, т. е. а = Р = 1/2, то /(a) —любая парабола.
Проверкой нетрудно убедиться, что найденные f(x) удовлетворяют
поставленным условиям.
477. Имеем
(Е+А)п
1=0
Е+ 2^ = 0,
т. е
<-i.
• Е = - V с1л' п £ = А - У С1 А
л-\
откуда
У С'т>11— и А не вырождена.
t=i
478. Для нечетных п можно взять функцию вида, указанного
на рис. 12, где п = 5. Предположим, что такая функция
существует для четного п. Точки, в которых принимается некоторое
значение, делятся на 4 типа: «возрастания», «убывания», «касания
сверху», «касания снизу». Значение, близкое к данному значению о,
принимается в окрестности точки «убывания — возрастания» как
минимум один раз. Большее значение, близкое к значению а,
принимается в окрестности точки «касания сверху» минимум два
раза. Поэтому, если точек «касания сверху» больше точек «касания
у-fat
Рпс. 12.
снизу», то большее значение, близкое к а, будет приниматься
более я раз; аналогично точек «касания снизу» не может быть
больше, чем точек «касания сверху», т. е. их поровну. Ясно также, что
точки «убывания» и «возрастания» чередуются относительно друг
друга. Значит, если первая точка «не касания» — точка
«возрастания», то последняя — точка «убывания». Левее первой точки
«возрастания» и правее последней точки «убывания» в этом случае
функция меньше вначення о. В промежутке между ними функция
достигает максимума п раз и все точки максимума — точки
«касания снизу», а эго невозможно. Случай, когда первая точка «не ка-
138
саппя» — точка «убывания», аналогпчеп. Случай отсутствия точек
«нн касания» невозможен, ибо это значит, что все точки касания
одного in па.
479. Имеем
1
1
/ (ж) dx < / (а) < J_ Г / (х) dx,
а о
откуда
1 а 1 а
а [ / (*) rfa-< A — а) §f(x)dx в a J / (х) Лг< [/ (ж) dx.
а 0 0 0
480. При х = кп (к = 0, ±1, ±2, ...) ряд сходится. Если бы
ряд сходился прп х Ф кп, то это влекло бы sin nx ->■ 0 при п ->
-*• оо, а значит, и sin (п + \)х — sin(re — \)х = 2 sin x cos nx -> 0 и
cos nx -*■ 0, что невозможно в силу cos2 nx -f- sin2 nx = 1
481. Обозначим g(x) = (/'(z)J. Имеем g'(x) = 2f'(x)f"(x) = 0,
т. e. g(x) = const и f'(x) = const, так что f(x) = ax -f- b.
482. Пусть ф — линейное преобразование пространства Rn с
матрицей А в некотором базисе е\, ..., еп; Яп = кегфф Т; R" =
= 1т<р©5. Обозначим <р'=ф|г. Тогда ф': Г-»-1т ф —
изоморфизм. Пусть Y = (ф')_1, продолжим Y до линейного
преобразования f пространства Я" так, что у (я) =0 прп igS. Тогда фуф = 0
и в качестве матрицы В можно взять матрицу линейного
преобразования у в базисе е\, ..., е„.
483. Положим
V (s, t) = [ j" / (х, у) dx dy,
и
где D— {(х; у): — х sin s + у cos s — t < 0}. Сделаем замену
переменных
х = и cos s — v sin s, у = и sin s+cos s,
тогда
( +oo
V (s t) = \ dv | f (u cos s— v sin s, и sins + v cos s) du.
—oo ■—oo
Площадь сечения тела Л/ плоскостью — х sin s + у cos s — t = 0
равна
i3 (s, <) = —^' ' = \ f(ucoss—vsin s, u sin s + p coss) du.
*— oo
Из условия задачп следует, что-^ > 0 прп —1 < t < 1; при t ^
«S — 1 V(s, 0 = 0 и прп < ^ 1 V{s, t) = V, где V — объем
тела Л/. Отсюда вытекает, что каждое из уравнений V(s, t) = V/3
п V(s, t)=2V/3 имеет единственное решение, первое — ф1(«),
второе — ф2(э). Из теоремы о неявной функции следует,
139

что <fi п ф5 гладкие п, тем более, непрерывные. Как легко
видеть, <pi(s)+<P2(s + я)= 2 и Л (я. ф! (s)) = P(s + я, ф2(«+ л)). Пусть
Q(s) = P(s, rp,(s>) — P(s, (f2(s)). Имеем С(* +л) = p(*, <Pa(«)) —
— P(s, ф|($))=—C(s), так что на отрезке [s, s + л] (при любом s)
найдется точка «о, в которой f(s0, ф2(«0)) = P(sB, Ф^о)). Искомые
плоскости теперь суть
— х sin s0 + у cos So — Ф1 (s0) == О,
— х sin so + у cos s0 — фг(«и) *= 0.
484. Многочлен, имеющий корни а, 6, с, запишем в впде
(х — а) (х — Ь) (.г— с); тогда получим, что число многочленов
требуемого вида равно числу решений системы уравнений
— nhr — г,
nb A br -' пг — />,
— (д - b + с) = а.
Прп с = 0 пмррм дна решения я=Л = г = 0п п = 1, 6 =
= —2, с = 0. Прп с ф 0 получаем соотношения я = — —, с =*
2
— -г- — ft, Ъ* 4- ft3 — 2/<2 -(-2 = 0. Последнее уравнение перепишем в
виде (ft + 1) (ft3 — 2/> + 2) =0. Прп ft = —1 имеем решение а =.
= i, Ь = —1. с = —1. На(—оо,—J -^-многочлен fta — 2й + 2
4 r~T \ l/~5~ l/~'
возрастает от —со до 2 + -^-J -^-, на —у -гт-, у -тт-
убывает до 2 — -тг- у ~^~> Он прп Л > | -о~ возрастает. Поэтому
он имеет единственный i.openi,ft„<—} -g-, Ьи ¥= — 1.
ft0 =й —2. таи что рассматриваемая система уравнений имеет еще
одно решение («о, 1>0, си), а число многочленов х3 + ах'1 -f- bx + с
требуемого вида равно 4.
485. Пусть точки А, В, С, D делят окружность на 4 равные
части. Тогда, если отображение (( с указанным свойством
существует, то
р(ф(Л), Ч(В)) = ЦА, В) =.я/2, р(ф(Д), ф(С)) = л/2,
р(Ч(/1)л@)=л(.4,С)=я,
и <[(В)—середпиа отрезка [ф(Л), <р(Г)]. С другой стороны,
р(ц(А), ф (/))) = p(<f(£)), г[(С))=я/2. так что p(D)—середина того
же отрезка и ф@) = Ч(В), что невозможно в силу р(ф(#), ц (£>)) =
= KB, U) =п.
486. Легко убедиться, что если линия, которую оппсывает
центр окружности, — вегвь гиперболы, то х = 1, у = 1 — ее асиы-
с
птоты, и уравнение гиперболы имеет вид у — 1 = ,, так что
(х — I) (у — 1) ез const. С другой стороны, несложные
геометрические рассмотрения показывают, что центр единичной окруж-
140
1
ности, касающейся гиперболы у = ■— в точке (jyt j/o). пмеет ко-
( 1 •'о \
ординаты i0 + , , ; у0 + г— \. Прп j0 = уо — 1 эти
V у*а -г* v *о + у
координаты сутьК + —=; 1 + Т75) "^ (*'■ ^ ^' ~~ ^ ^' ~ ^ ^
/ 11 4 \
.=■1/2. Прп j-o = 2. i/o=l/2 они равны (a;,; j/,) = 12 + —=;-у+—=1;
7 9 1
(*!—!) (ух— 1)=. —— ■дт- У= ~5~. Поэтому линия, описываемая
it \ 1 / ^
центром окружности, не является ветвью гиперболы.
487. Если ряд сходится в точке г, то cos па; —>- 0 при п —»- оо,
1 — cos 2nx 1
т. е. о -*■ ~ UP11 n ->- со, а, с другой стороны,
1 — cos 2лл
^ = sin2 пх = 1 — cos2 ля -»• 1.
Полому ряд нигде не сходится.
488Г Прп е > О
tX J ЕЖ J
имеем
A+0*
A + Е)Я Я
Игл _L f f(t)dt- lira J- f f(t)dt-\f(t)dt
-«+OC ea; J ic-»+oc. ex J J
a L о О
- lim ^r[e(l + e)*(I + o(l))-№(l + o(l))]=e.
к
Аналогично lim _i- j f{t)dt^c, откуда и вытекает
A-8)*
lim ± f
lim /(»;) = C.
ce-»+oo
489. Для произвольного действительного х рассмотрим
последовательность и„ (х) = f(x -\- п) (п я» 1, 2,...). Так как
/(г+ ЦФ f(x) в 1;онечном числе точек, то при п > 1\'х эта
последовательность стабилизируется: и„ (х) = с*. Если сх Ф су при
г Ф у, то при п > тах(Л'1, Л'„) и Л = у — х имеем f(h +(г+п))=ж
»■ f(y + п) = cv "^= с» «= f(x + п) в бесконечном числе точек
вида х -\- п, что противоречит условию. Поэтому сх = с„ = е. Обо-
вначим Е «= {.г: f(x) Ф с}. Если £ бесконечно, то выберем пз Е
точки xi, ..., г10сооо1 и положим h = п > maxf.v» i .-.1 Л'„ \;
имеем при 1 < I ag 1000001 с =» /(i< + Л) Ф 1(xi), что
невозможно по условию. Следовательно, Е конечно, Е «= {г|, ...,г,}.
141

Выберем h так, чтобы для каждого t = 1, ..., s i, ± Л но
входило в Е; тогда с = f(xt — h) ф /(>*) п с = f(xt + h) Ф /(*,),
откуда 2* s£ 1 000 000 и s ^ 5C0 000.
aPk-i
490. Имеем о\ ='0 < а. Если g*_i < а, то q. <~ = а. Ио-
R ^'ft-i
этому для всех к gk < а. Пусть 0 < е < а. Определим
последовательность гк: гк = 0 ирм а — 5А < е, иначе гк = а — qk.
Имеем <
«(«-<7fc-l)
а — qu = .
Ph—Л в
Пусть ^ а —-Q- при к ^ А-0. Тогда |а — qk\ ^ |а — jft-i|. при
Ph
а е е
|а—gft_,| 2* е/2 п | а — qh | < — — < 2 -у- = е при
jot — 9ft—11 < в/2. Поэтому при к ^ к0 последовательность {о,}
моноюнно не возрастает, п существует г = lim гк. Пусть г Ф 0.
Тогда, начиная с некоторого fti, г» = а — qk, и существует
а
lim q. = q, удовлетворяющей уравнению Ч= I-,
Ь-«о 1 + (а — q) —
т. е. q = а либо q = о ^ а. Отсюда видно, что g = а и г = 0 —
противоречие. Поэтому г = 0, и при достаточно больших к
гк < е, т. е. \а — qk\ < е, что и доказывает равенство lim qb — a.
491. Обозначим pFj) = \ц. По формуле Лагранжа
n+l П(*-*1)
1 iri
Коэффициент прп хп равен 1, т. е.
п+1 ..
1= V у*
' 1Ф1
Пусть bi<...<bn+i, тогда \bj — bi\ ^ |/ —i|, ибо bt — целые.
ЕслнЛ/ = max \у,\, то
1<><и+1 '
откуда nI/2" sg М,
142
492. Имеем
/(ц, /(u, u>)i> — /{и, р)^) = 0 = /(/(и, и?)" — /(и, г)и\ и),
т. е. /(и, w)j(y, и) — /(и, v)f{w, и); при w = и находим
/(u, u)j{v, и) = f{u, v)f{u, и); если /(и, и) =^0, то /(и, г) =
=/(у, и). Пусть /(и, и) =5^ 0 п г, ц> — любые. Обозначим а =
1 —/{и, v)
•= дЦ| Ц) и Р = — {/("> ti>)+a/(u, ш)), тогда в силу
билинейности
f(v + au, w + $и) — f(v, w) + cc/(u, w) + P/(u, v) + сф/(и, u) = 0,
так что
0 = f(w + Pu, i> + си) = f(iv, v) + aj(u, w) + P/(u, v) + сф/(и, u),
откуда f(v, w) = f(w, v).
493. Указание. Рассмотреть функцию
ft=0
где оо = 1, п воспользоваться соотношением /(г) (ех — 1) =
= /^) - 1.
'№.
К i
1 / (h) К Г (х + Л) (и'{* + /г))* dr f (» ^ + fc) — " W)" fe ^
h h
oo 1 /ж+h > s
< Г г (u'{^)J da; \ —±—h \ u'(l) dl J dx.
0 ft \ x J
Так как
(зг+h \a K+h
j и'(Е)«1б) <* j («'ft)I «IS,
TO
h \зс / h \ x I
2ft | 1|
ft 2ft 6—h
2ft 2ft
/i (*)=*]" ("'(S))s Ь \±± dl < In JL j g (И'(Й)» dE -* 0
143

т. е. при х еA/2, 1)
ос
Й=0
<
N
A=0
+■
В итоге при х е A/2, 1) имеем
|A-я)/(гг)|
A - *) 2 V*
ь=и
г. е.
Urn |A - х) I (х) | < -г;
];га A _ т) / (х) = 0 в х = 1 - не полюс для /(.с). Таким образом,
предположение lirn а„ = 0 приводит к ирошворечню. и {«„} не
сгремшся к 0 при п—► оо.
498. llyiii. с jдоплегворяет условиям задачи и р — прондвиль-
нос напрачыюе с условием р > с. Рассмотрим поеледователь-
носп, <J*i>ni.uiiii: /,(г) = (' + 1)г - *f. М*) =/i(* + О —/iU),
/j(.r) = j2(x + 1) — /j(.r) И.) определения следует, что прп
любом к fa(x) и i:::|у|'сльчых точках принимает целые значения.
Легьо виде п., ч:о
Покахтем, что fp(x) = c(c — i)...(c
р + [).сс-р A + оA)) при
/р (и) — целое,
х —»- + оо. Тшда liш / (n) = 0, но при любом п
п *гао
так чю для всех достаючпо больших и /,,(«) — 0, откуда
с{с—1)...(с-р+ 1)п'-'(\ + о{1)) =-0,
г(с-1) ..(с-р + 1) =0
и с — целое, с ^ 0. По локальной формуле г1 ей лора
A + ,,«= = V ^(г-1).■■(«•-»->- 1) (| + ^ (<р+1)_
Поэтому
-. р .
/„(*) = *' Yc*(-l)"+4l
А=0
V +-J
г-
=,cV^(-i)^fv^
1)
J___i±_]^-? + o(^) Ц
р
^=0
= с V c(r-\)...(r-l+\) .
~* A
146
: | 2 ср (-1)Р+Й ЛЧ+° (а:С""р5
Сумму в скобках можно вычислить следующим образом.
Рассмотрим функцию
Ф (г) =(| - ег)Р, Ф (z) = 2 С* (- 1)* е*
fc=0
Ф^ @) = J С* (- 1)" *г.
*=о
С другой стороны, в окрестности точки г = 0 ф(г) = (—1)pzp+
+ о(гр), так что
Ц—1)ря1 при г = /,
= с(с_ 1) ... (с-р+1)хс-РA + оA)).
3 cos с 4- cos 3j
499. Имеем ф (a-)— Cos3г = ^ , откуда
,,_, 3 (- l)m cos г + З2'" (- 1)т cos З.т
Г ' (*) = ^
гBя.+ 1> {х) =. 3 (- lr+'sii, .r + 3=""+' (- !)"■+* sin 3»
что н доказывает утверждение.
500. Пусть Л=5^0, пцфО. Бояьчем матрицу А' = П^шаП
такую, чю jji = 1 ii xmh = (I прп (ш, А-) =5^ (/, 0- Тогда
" s^i '" s( \S> при Z^fci,
т е. tr(/l\') Ф 0 — противоречие.
501. Пусть а и 6 таковы, что при некотором с уравнение
имеет три положительных корнн. Тогда р (х) = a-3 -f ах2 + Ъх + с
имеет локальные экстремумы в точках х,, .т2 > 0, т. е. 3z! + 2ах + 6
имеет два разлпчпых положительных корня. Обратно, если
существуют два разлпчпых положительных корня данного
трехчлена, то прп некотором с уравнение имеет три положительных
корня. Корнн данного трехчлена равпы —%{—а ± "j/n2— 3ft), откуда
а*>.%, — (я + }'я2 —36) >0, т. е. «<0, cPxi2 — 36 п 6 > 0.
Итак, трехчлен имеет два положительных корня при 6 > 0, а<
<—V'ift, а рассматриваемое уравнение имеет не более двух
положительных корней прп всех действительных с, если лпбо 6^0,
либо я ^ — узб.
502. Пусть f(x, у) = 5z2-|- l\xy — 5j/2, a= min / (x, у).
(t,7)ez2
1огда 0 < а ^ /A, 0) = 5, причем а — целое. Прп любых х в у,
10* 147

при h —^ -f 0;
l
J2(h) = h j" {u'dWln'L+ldl.
2Л
По произвольному е > 0 выберем к — Х(е) > О (К < 1):
>. К
h j" (И'(Й)« In *+l «£ «; In -L f I (u'(s)J d? < в
2Л 0
для всех Л < Х/2,
1 1
л о
прп Л -»- + 0.
495. Так как е„ > 0, то достаточно доказать сходимость ряда
ею «>
V V
п—1 &■=!
По
2" с" -г v_i_<c Г fe -
П» 1 ft= 1 Q
о 2 n
так что ряд ^ ^, ■ мажорир}ется сходящимся рядом
«= 1 fc= 1
п=1
, , — п в сплу эюго сходится.
•«". 2 п
496. Ооозначима = run \f(x,y)\. Нужно доказать, что
(.•v,v)ez'
а< DD/3I/S. Так как форма положительно определена, то
существуют целые и, v, не равные одновременно нулю, такие, что а =
■= f(u, v). При этом, так как а — минимум, числа и и v взаимно
простые. Найдутся целые г, s такие, что иг — vs = 1. Рассмотрим
форму g(x, у) = f(vx + sy, vx + ry). Так как определитель
преобразования равен 1, то дискриминанты форм fag одинаковы
и множества их значений на Z2 совпадают. В частности, а =
—min \g(x, у)\- С некоторыми действительными Р и "у имеем
<x.v)ez»
I р \> Л
g (х, у) -^ ах1 + Z$xy + уу* — а I х + —у\ + — у*.
144
Вьтерем целое v так, чтооы
Р I 1
v 4- — | < — > югда а < | г (v, 1) | <
<— + —. оп;уда а1 < — D.
п п
497. Пусть Sn (х) = 2] "kxh " сп W = w **• Еслп lira "n=
= 0, то для любого е>0 cjiuecjHyer'Л' такие, чю прп п ^ N
Е
|и„|<б/'2, т. е. для всех is(!/2, 1) при п > N — ~ <
< -„ , ...— Т7Г<~Т- Так как °"(J) — °»-i(-0 >0 при z<=
«= A/2, 1), то
с
— Т (°Л+1 (■*) — aN W* < 5Л'4-1'г)—5Л/(*)<
< "Т (°ff + l (Г) - °W <*>),
F.
— Т @Л'+2 (Г) — °7V + 1 <r)) < SN+2 {х) - SN + l (Г) <
F
< "Г" (°Л'+2 (X) — aN + i W),
- — (о„ (г) - on_t (я)) < «^-.«„..(iX — (о„ (г) - on_! (г)).
Ск [адывая ли неравенства, полушм
S„ (r) - 5iV (л;)
оп {j;) — on(j.)
F
< —
при л > /V, je(l'2, I). Заметим, чю для всех ie(l/2, 1)
справедливо неравенс1ви
S„U)-SK[r)
SnU)
°n (*»
^
6'.v (J)
+
'J„ И - °л (г)
Оно следует из легко проверяемою юл.дества
— = —+ 1
Уп_\ ( Хп — з-.Ч \
где {.с,,} п {уп} — любые последовательносш, удовлетворяющие
УСЛОВИЯМ (/„ > 0, уп — i/.v > 0.
При п > .V, ie(l|2, 1) втрое слагаемое правой частп иера-
иеыства меньше чем к/2. Полому
Л
V „ -*
2Sv*
А^О
<
и
f -^-,
10 В. А. Садивннчш!, А. С. Подколлш
145

не делящихся одновременно на 2, f(r. у) нечетно, так что а нечетно,
иеA. 3. 5}. Имеем 20/(.т, у) = (lib + llyJ — 22b/!.
Предположим, что найдутся целые xq, //о такие, что /(го, i/o) = 1.
Обозначим < = 10.ro + ll.i/o и, учитывая 221 = 13-17, заметим, что t2—7
делится на 13. Легко проверить, что ни при каком целом t это
невозможно.
Аналогично, если раярргапмо в целых числах уравнение
/(г, у) = 3, то получим, что t2 — 8 делптся на 13 при некотором
целом t, что тоже невозможно. Отсюда а = 5.
503. Так как-Q-J rcosx^O, то |г| < 1/2. Обозначим (г(;/) =
= г cos у + г2 cos 2i/, тогда ц'(у) = — г sin // (I + 4r cos у) = 0 прп
у = А-д либо прп cos 1/ = — 1/4т. В первом случае о; (i/) ^ — 1/4,
1 / 1 \ 3'
ео втором (г (// = — ~/~-\-г21ттр> — 1)^ — "о". Таким образом,
3
<f(y) S=— "с"Для люоого у. Находим далее
>-Г--ГA ■■-»■«+...-^га"-»)>■
>J-_ 3 I ■ '
4 - 4~(" " I
о
8 2-4" 22" + 1
3*0.
Такпм образом, при |r| ^ 1/2 все частичные суммы
неотрицательны.
504. Утверждение задачи очевидным образом вытекает пз
следующей леммы.
Лемма. Пусть дана матрица ||<r,-j@IIкгмч;». где фо@ —
дифференцируемые функции. Обозначим Au(t) алгебраическое
дополнение элемент (fij(l) Тогда
(«'*"« (Т,у О Ю'= 2 ч'ц(')Ли«).
Ы ji, у • 71
Для доказательства леммы заметим, что
^Ч гы(') II = 21 (- <>"" Tirti, о • • • "»<*„) о.
о
где суммирование берется по всем подстановкам п, а производная
определителя рання
2 «Fjy (О 2! Ч- 1СМ, О--- %-i.c'H-i) О T,+ l.u4i+l) О • • -
i./" о'
■ ■ %«»)о i-1)'+) I- ^ = 2 ч>Ь о -^ о.
I,;
(о' принимает значения на {1, 2, ,.., / — 1, / + 1, ..., и}).
14S
505. Рассмотрим ргптенпе уравпеппя ~^~ = f (г,у), проходящее
через (^о", г/о)- В силу условия на /(.т, !/) вдоль такого решения
Ш (*, у)
■—-г—=0, т. е. /— константа, .значит, это решение — прямая
(.V — J/o) = /(-*о, г/о) (я — *о). Если для некоторой точки (а-,; у,)
iUi, У\) ¥= {(я-о, г/о), то прямые у — г/о = /(.го, i/и) (-г — тп) и
J/ — г/1 == /(-ri, J/iH^— -л) пересекаются и вп-шиклет противоречие
с тем, что вдоль каждой прямой /(.т, ;/) — кппгтанга, равная в
первом случае f(?e, '/о), а во втором — f(x\, t/i).
V / /
TiOfi. Разло;кпм j-ttj по степеням 1 — <: т^гт ~"|па .■ _ ,, _ ...—
t 1—2A —О
= г (I— П2 12 = |1_П2 + 0A). ПО ITO-
^_A_/)_L__L + £,(A_fK)j l '
ыу прп г -> 1 —
а: х
о о L J
= ( - Г=1 + 2 1" I' ~ I l) lo + 0( l) = - j^-j + 2 In (I - хL-П{1).
Поэтому ii^In
Jim U-,f f_£_^=f-' п"п я = 1'
к» l- J In*' [0 при a > 1.
Г.07. Dtbpt. j/ = 2r2 — 3.
508. Если определитель матрицы А равен 0, то существуют та-
з'
кие ?ч, ?-2, ?-з- не равные одновременно 0, что для каждого/ >Д.« .=
i=l
з
= 0. Пусть 11р | = шах | Я. |. Так как V l.n^O, то | Я„| »н-
= 12 Vih |<IM~l"ihl' откуда "hb < 211 агь I- протпворечпе.
509. Имеем sin (sin x) = sin(z + o{x)) = г + о (я) прп ж—> 0,
1 — cos х = f- о (.т5), cos I — co« x J = sin I — A — cos x) J —
. / я \ n
= ч in I x г2 + о (x'!) I = -7- -с3 -Ь о (а:2), откуда видно, что искомый
, предел равен 0.
510. Касательная и гиперболе в точке B; 2) пмеет уравнение
У = 4 — ж, причем гипербола расположена сверху от нее, каса-
/ 4 I \
тельная к эллипсу в точке 1^7?'' —=1 имеет уравнение у=1 5—х.
причем эллипс расположен снизу от нее. Поэтому расстояние от
14.1

P ao Q не меньше, чем расгтоянпе между данными касательными,
4-VfT
равное i_— "> 1
1 2
I "n Л
511. Имеем Ап -= \ . откуда п = ± 1, с = ± 1.
\ 0 с" '
откуда Л = О
")^=(i _')("л" (~J J))'ТОГДЙ "'Hi i)" Птак' либ°
/1 ()\ 1-Х 0\
А = I 1. либп 4 — I , лпоо А имеет один нч видов
\о 1/ V " -И
с _:)■ г: :)•
512. Яяменон л ц — z уравнение приводится к виду г' -f 2; =
= 1, откуда .' - — ; Се~"*■', г/ = — — t~*■■*■. Учитывая вачаль-
ное условие, находим окончатечьно
о Т/о" /, 1 7
513. Лгярт. В.тт — Carciin^-^-— -Ц^-
.4 Я
514. Произведем замену переменной 1/(.г =- /. тогда
п 1
У
rW'^'-fd
111A J-1)
- ts rff.
1 I 1 n
Имеем ln(l4-/)-(--J 0(t3). Функция In A + r) — f ; —
интегрпруема на [О, II, значит
1 i I
С In (I '-/) Г 1- —
J 1 n l I и
1
1 -1
_ 1
_L + 0(l) = J и —J Inn-"-0A).
I n
Следовательно,
i
и искомый предел равен 2.
150
515. Взаимно однозначное соответствие можно, например,
установить так: точке х — —ТГТ интервала (О, 1) поставить в
соответствие точку у „(и = 1. 2, ...) отрезка |<>. 1], где yt = 0. уг = 1,
i/j = хь-ч(к = 3, 4, ...). Всем остальным точкам х е 0>. I)
поставить в соответствие точку у е [О, 1] с теми же абсциссами.
517. Пусть п, г2, 'з, ■•• — последовательность, перечисляющая
без повторений в рациональные числа. Для произвольного дей-
с нательного х положим Ах = {«: г„ <. л}; пусть Л — семейство
множеств Л,-, где ж пробегает множество действительных чисел.
Тогда при х<у АхсАя (включение строгое), гак что
семейство А удовлетворяет поставленному условию.
519. II у с 1 ь найдется сей такое, что
'*U Г) U ((-V-Uu^u^,.)-
ief /ei ftei
Тогда для ьаждого ie/ с е.4,-/ и для каждого г'е/
сущее ibjpt такое i^l (обозначим ею cj(i)), что с^АцЦ)} »
Cfc=(~| (-l^i);, Г If;,)- Если се A^<!)h, то из последнего соотно-
шения находим, что с е .1,*. Позюму для любого i е / при m ^ n
се -^'"(iiunj;,('", « — целые неофццате.чьные). Если т ф и, m <
. п. то се 1фш111(р1г-1(;р с<£ .lv,1(nA-i-i(i), т. е. cim@ =^ q"(<).
чю противоречит конечности мно.кеова /. Если /= {I, 2. и, ...}
бесконечно и
' *> ~{ при «>/,
то, как легко проверить, раненство нарииается
521. Для произвольного Бд^Е обозначим П1 = В. /?" = £""• В.
Iljcib также С.- . L\ Al{lmifi n)_^i (i(inodfi) — ос инок от деления
n
I на и). Paci MOipiiM множества DQ = p| С"', где o= (ol, ..., o„) —
набор из н\лсп и единиц. При Ci Ф о2 Dn (]DC — „ и. как
легко заме i и ih, i;a;i;;ioe множеемво, iio.iviacwioe из множеств
С, операциями объединения, пересечения и дополнения
множеств, пре'ктакнмо в виде объединения некоюрого числа множеств
D„. По.ному чист .1/ множеств, получаемых h.i С,- \казаниммп
операциями, равно 2V, где .V — число неп,\(тых множеств Da. Заметим,
ч\ойо = 0 при о. =0(.(modn)+1 = l. Поэтому iV ^ ir(n), где ф„—
число наборов о = (о, о„) из нулей и единиц таких, чю ни
при каком г по ныполисноо^ = o;(lno(J n)+1 =1; б^дем называть
такие наборы допустимыми.
п
Если множества Л,, ..., .1 „ таковы, что f"|-lj' Ф при любом
Г=1
О = (о , о„), ю при поп>с1нмим о, как лечко проверить,
» Г)
выполняется (~| Л41 Q (~| 6'°', т. е. Д, Ф 0, так как равенство
i=l i=i
151

Л = q-(rc) возможно. Если fci, ..., 0,,) —допустимый набор, то
набор @|. ..., о„. U) допустим; если (с2- • - •, 0И) —допустимый
набор, то при о„ = 1 допустим набор (!, о2, ..., о„, 0), а при 0„ =■ 0 —-
набор (О. oj,.... о». 1)". Тян i;ai; угпм перечислены без повторении
все допусшмые наборы длины п + 1, го ф('*+ 1)— ф(") + т("— •)-
Учитывая i|(l) = 1, ||B) = 3, индукцией по п доказываем, что
(f(n) - I }.. 1 + I ~ ' J ] (i|(l) = 1 в силу того, чю набор
о = (I) недопустим, ибо Oj =o"ilm(ldl)+|— I. гае I (mod 1) — 0).
523. Пусть денс[вительное х > 1. Обозначим S(x) бесконечною
последовательность и\. н2, .... где и„ = 22"B[н.г] + IJ. Покажем,
что при 1 > 1, у > 1, .с =5^ г/ и натуральном с неравенство
| «т'— "i,v) | < с выполняется длн конечного числа пар (т, и),
здесь и\^— член с номером т последовательности S(x) nuf-
ч.ген с номером п последоваи-льнистн 5(.v). Для этого достаточно
показать, чю если xuiu бы одно ил чисел т а п больше, чем
с + \х!-у\ ™ i-J,"Bi",jj+iJ--""B1"^]+1угi>с-
П\сть т либо п больше, чем с + i 1, 2"' B [т.с] + 1) =
-- 2" B|п(/| -'- 1). Тогда га = п и fw.il = \ту], т. е. |т.с — nij/| <
< 1. 01 куда яг — и < 1/ I ■*■"—у I. в ю время как но предположен ню
т либо и больше, чем с -\- . Полому 2'"('1\тх] + 1) ф
\х — У\
Ф 2»Bfnj/l +l).Ho
\2?™{2[тх] + 1J-2,"B[иу1 + 1J| =
= \2»'С>[тх] + 1)-2"B[пу] +1)|Х
Х|2'"B[т*] + 1)+2"B[и(/] + 1I 3*
3* |2тB1м.г] + 1)+2" £["«/] +1I S*
> 2'" + 2П > га + я > с + ! ^ _ у ! > с,
что и требовалось.
525. Пусть {ri, г2, .../—последовательность, перечисляющая
без пошорений все рациональные числа. Обозначим ut = /(г,-).
Очевидно, достаточно доказать существование таких
последовательное ie-'i {"i1'). { "I2') и ( "i3')' перечисляющих без повторений
все рациональные числа, что ut = и\1) + и-2)+ '(тогда фу('4) =
= и\'\ j = 1, 2, 3). Положим и']1^ rlt н',2) = и„ "(,:,,= — гг. Пусть
при А- < я уже определены чпены н(ь;) (/ = 1, 2, 3). Если п =
= 3/ — 2, то iijcib uln} —первый член цоследовагельности
{г,, г2, ...}, отличный от членов "^i где к < и, и,B)—первый член
(О) A)
той же последовательности, отличный от членов iry' и «„— "п —
— и[3\ где к < п, и<? - »,, - и'п - и"„. Тогда »0) ¥ н0) при
к < п. Если « = 3J — i, то всюду в вышеприведспном определении
152
(i) (°) С) (Я) E) A) а
заменяем//; ' па иу', и)"' па и\' а и\ на н|". Аналогично, если
п = 3/, то заменяем i'I" на hJ1", и[2) на и'^' п и^3) на и\2)- Легко
показать, что построенные таким образом последовательности «;"
перечисляют без повторений все рациональные чтла, причем
uf = „i»+,.P+.,'«.
527. Существует. Пусть функция g(x) = excosx задана на R\
где определена обычная топология. Легко видеть что #
отображает fl1 в Л1 непрерывно, однако образ открытого множества (—оо, 0)
не является открытым; множество g({— ил: и — 1, 2, ...}) не
является замкнутым.
529. Множество ,1/ связно, позтому любой непрерывный образ
этого множества связен. На прямой всякое связное множество
имеет вид (a. ji), (а, р+ [а, р) либо [а. р+ где — oo^oc^p^-f 00.
Покажем, чю каждое из утпх множеств есть непрерывный образ .1/.
Отображение /: -1/ —>- R. /(j) = p(r, оп) (расстояние or a0 до л-), где
й0 = (л, я) переводит Л/ в @, + оо), а так- как все интервалы
прямой гомеоморфны Друг другу, то каждый цптервал есть образ 1/.
Раггмагрпвая к'омпозицпю отобрагкенпя Л/ на всю прямую Я и
отображения х—>- |jr|, получим непрерывное отображение М на
[», -f 00), так что любой полуинтервал — образ М. Композиция
отображения М на Я н отображения /(.г) = sin г отображает М на
[- 1. I]. так что любой отрезок — образ Л/. Наконец,
отображение /, переводящее каждую точку М в константу а, непрерывно,
так что каждая точка (т. е. множество [а, а]) —образ Л/.
531. Обозначим через 1п окружность радиуса г„ = 10/2л» км
(и =1. 2, ...), расположенную в северном полушарии на
поверхности земли с центром на земной осн. Длина этой окружности рав-
10 „,
на — км. Ооозначпм через д„ окружность, расположенную на
п
поверхности земного шара на 10 км южнее, чем /„. Тогда
очевидно, чю
А ~ <7i U 72 U • • • U 7«.
где <7о — одноточечное множество — южный полюс. Множество Л
не замкнуто. Для этого множества предельными также являются
все точкп окружности /о, отстоящей на 10 км южнее северного
полюса, зта окружность не входит в множество А.
533. Да, существуют, если радиусы шаров не стремятся к
нулю. Пусть R = (Л', р), где Л' — множество натуральных чисел, а
Г 1
г.,т \ ) 1+—i . ecJm пфт,
р (ш, п) = < ' и -\- т'
{ 0, если п — т.
Пусть
и=1,
А' ("' 1 + "IhJ = \т '• Р ('"' "X 1 + ~Ъ,у
Тогда очевидно, что Л'In, 1+тг-] замкнуты п вложепы друг в
друга, а пространство полно, поскольку каждая фундаментальная
153

последовательность сходится в пространстве. Сна является, как
говорят, почта постоянно».
535. Может. Пусть С [о, Ь] —пространство непрерывных
функций на отрезке [л, 6]. Пусть /„ (а") = sin 2"а-(н= 0. 1. 2. ...). Мно:'.°-
ство {/я}, очевидно, ограничено: f>{/„, 0) ^ ( п замкнуто.
Расстояние между люйши дкумя элементами этого множества
Р(/п. /п.) ^ 1 при п < т. Д(.пстьительмо, /,,(.r) = sm2"i равна 1
при'л-= л/2" + |. а функция /m(j) =■ sin 2 г равна 0 при том же
значении л, т > ц. Поэтому
PC»- /m)=0»'PlUrW-/mW|>
>|/„(л/2"+,)-/п,(я'2"+1I = 1.
Следовательно, все предельные точки рассматриваемого множества
содержатся в к?м, а из покрытия этого множества, например,
шарами
0(/я, 1/4) = {/: о(/„, /) < 1/4} (л = 0, 1, 2, ...)
нельзя выделить конечное подпокрытие.
537. Кашппем тождество
(AU + g),f + g)-(A(i-g),l-g) +
+ Ц.4 (/ + iS), f + >S) ~ l(A (/ - ig), f - is) = 4D/, g).
Поменяв местами / и g п перейдя к комплексному сопряжению,
получим новое тождество
(f + g,Aif + g))-(f-g,AU-g)) +
+ Ш + iS, A([ + iS)) - i(l-ig, A(l-ig)) = 4(/, Ag).
Если А положительный, то (/, Aj) = (Af, f) = (Af, /). Таким
образом, в тождества* левые част совпадают, тогда совпадают и
правые части, т. е. (.4/, g) = (/, Ag), A = А*.
539. Существует. Пусть в качестве // выбрано пространство h,
а оператор А для любого вектора (\и £2, |з,.. •) пз Н определен так:
■A (fi> Ь2 ?3i ■ • ■) = I 6ц ~ ъа> ~з~ »3i • • • )•
Тогда ЯА- bl: ^,н2|пп|2< ooj, RA содержпт все фпнптпые
последовательности (т. е. такие, у которь
места, стоят только н\лн) » Нл = II
/11 \
! I, ~2~, —, ... )<£Яд, т. е. Я а не замкну
цпп двойственно
дЧй4
следовательности (т. е. такие, у которых, начиная с некоторого
места, стоят только нули) » Нл = //. По последовательность
туто.
541. Применяя принцип двойственности теорпп множеств,
запишем
154
где штрих означает дополнение. Поэтому
Далее,
"(д-'.)"-"'(и 4
v (и 4<2 >'@ -2 с - м ■<,))-»-2 к (-"■)•
n . «
По условию ^j М (<-!,) > "— 1. "о тему и — ^ р (.i() < 1-Следо-
вательно,
543. Iijcib e > 0. Существует счетное множество интервалов
Jh таких, что U Jh => Ч и V р (/ft) < Л L в\-1 р (Ё).
Предположим, чю для каждого к
и(^П£)<A--1ь)р(УД
Тогда
р (й) = J] M (£■ П Jh) < f 1 - -J- *) ^ '' (У") < ** (Ь")-
Значит, найдется интервал Jk такой, что р (/л П £) >[ I — -г- е ] X
•■И(^л)-Пусп. /= (j-o, xi) —интервал с рацноналг.ны.мн концами
laicoti чю / гз h, р (У) < М — -1_ А ' (i (Уд Тогда р (/ П £')
>Щ/ЬП i')>fl--i-e,j' >(l-e)n(y).llycib*0 = -l
/г ' -Ы\
и У. = (—, ~-—I. Ясно, что найдется помер I, а ^ I ^ 6 — 1,
такой, что р (/г П Ё) > [1 - е) u(^i)" Тогда множество Н всех
же[0, 1) таких, чтоа/«£/4П £\ имеет меру, большую или равную
1-е. Так кап Н czG, то р (С) ^ р (//) ^= 1 — е. Следовательно,
И(С) = 1.
545. По теореме о гомоморфизме С/К £ё Я, где К —
нормальный делитель группы G. Если А' = С, то 67А'з {1}. Пусть К ¥= G.
Покажем, что /(— конечная группа; тогда С/К бесконечна. Если
сгенень первообразных корней в А" ограничена, скажем, числом р",
то |А| ;g: р" < оо. Иначе G =» К, так как любой корень степени р*
из единицы является степенью первообразного корня степени рг
ирц г > 6-.
155

547. Из рпс. 13 видно, чго (а — 1)Ь не превосходит суммы
площадей Si и S2, т. е.
ь о—1
(а - 1) b < f lu « Л + f e'rfi = Ып Ь - 6 + 1 + еа~1 - 1 =
1 о
= Ып 6 — 6 + е0-1
откуда и вытекает аЪ ^ ft In Ь 4- е"~'.
б'гЭ. Пусть /)(sinx) = cos .г на [и, [>1; топа, оиозначпв sin л; —-
— (/, б\дем иметь на некотром огреэке [if. 6], , < 6: р2(ц) —
=Л — ;/2. или </(</) = /'2(у) — 1 +
+ ;/2 = U. 'Гак' как </(;/) имеет
бесконечно много i;o[)Heii, то
'/(//) = 0 и /;s(//) = 1 — У2, т. е.
iH'F(.v) = 1. P(v) = "У + 6,
Р4н) = «V + 2abj, + 62 =
s= | — у2 и а2 = — 1 —
противоречие.
551. Если /(г) = (.г-а)гХ
X?W, то (* —а) дел in j'(j)
и f{x), ran чго, применяя
алгоритм Евклида, находим
общий делитель /»(г)
многочленов f(x) и /'(.с), имеющий
рациональные коэффициенты, от-
к\да 1{х) = р(.г)д{х) для мнточлепов р и д о
рациональными коэффициентами. Правмо часть этго равенства мо;кио пред-
с|авигь в виде у , где .V — натуральное, Л(х), В(х)
—многочлены с целыми коэффициентами, причем дли каждого простою
делителя р\ числа .V ни коэффициенты А{х), ни коэффициенты
В(х) не сократимы на р\. Если Л' ф 1, то, взяв произвольный такой
делитель рь найдем, что Л(х) Ф 0 (mod /)i). В(х) Ф 0 (mod />i), т. е.
для подходящего целого х А(х)В(х) не делится на pi, что
невозможно, гак как f(x) — целое. Таким образом, j(x) = А (х)В(х) —
противоречие.
5.13. Функция 1(х), очевидно, бесконечно дифференцируема.
Ряд Маклорена ее содер;кнг лишь члены четной степени х. Для
абсолютной величины члена порядка 2к этого ряда справедливо
неравенство
Гис. 1о.
xihe-"n4"lBk)'- > (n2xl2kJke-
хфО.
(я = 0, 1,2,...).
Полагая, в час гное ш, п = 2к, имеем
A^х12кJке-п = Clkx/ey* > 1, х Ф 0, « — любое, к > \е/2х\.
Отсюда следует, чго ряд Маклореиа функции 1(х) расходится при
всяком х ф 0.
555. Положим б = и~! 5. Тогда
+00 оо - £
(' COS .к Г COS X С COS JO
\ Т dx -= 2 \ dx + I ; dx.
J (i + *2)" J(i ! x-f T J (i + *2)"
156
Оценим первое слагаемое. Имеем
сю оо
f _££!£_ rf <- Г dr
J(l + *V " J U+ *')""
Сделаем замену х = 1 (l + 62)j,-l. ТогДа
оо оо , оо
J(l + *f)n J2K1 +V)y-lyn ^2 l»-i»
6 1 *
при л S* 2. Далее, lim 1/^A + n_i/5I_" = °- Значит,
71->оо
-l-oo fi
— Г fOS Г ,. •- Г Гnt '■
lim I ,l по, *i" d* = 1!m * " d-J-r^
ll-*oo J A + X') U-*co J (I -T >- )
—oo —0
In cos x - n In A + x>) = - I n -f- — J x* + »0 (x4).
Так как ж4 sg б4 ^ х~*1ъ на [— б, б], то на этом отрезке
In cosх - п 1н A + *2) = - (я + —J ** + °( "_3 3)"
Имеем
л t ( 1 \
_ Г ens г — Г "Т'-ТГ
lim I n —-—гЛ=Нт 1 п 1 «
„_,лв ,1 A "Г ^ ) П—«> Jc
rfjr.
Сделаем замену
\/ п + ±х=у,
тогда
lim | л \ <
-6
rft =
Inn
У»
6]^n+4-
»-|'«-. i-
\ e-v\b, = \ е_ь" rfy = 1 "л.
-(,] 71+-
157

557. Обозначим sup \Vf(x)\—k n возьмем произвольное Zne?/?"
хеяп
Тогда для любого ieS":
1
f(x)=f (z0) + \ -£ f (хв + t (х — х0)) dt =
о
1
= / Ы) + \ (V/ (*о + ' (ж — х0)), х — хи) dt,
О
откуда \f(x)\ ^ \f(xo)\ — k\z — xt,\. Интегрируя последнее
неравенство но шару \х — хо\ < \f{xo) |/ft, получил
j|/(*)|dr> j |/(*)!<?»> |/(^)|JjL-/I^VI У^
СП l.r—v~\<r\Hv~\\fh ^ '
R" I*—*nl<|/(X0)|'fc
где ы„ —объем и-мерного единичного тара, откуда и вытекает тре-
буемое неравенство при с = ((и + 1)/ып)|/(в+1).
559. Рассмотрим сначала функцию
п покажем, чго
<Р*A + it) ф 0 для любого t,t<=R.
Имеем
4
Ее if 4 A + |7) = 2 7 cos (г In п) > 1 + — cos х - у + -j- (
(где положено х = t In 2)
= J --3- + -cosx 4-4~B cos2* - l) = TI + "J (" + l,2) >
5 1
> ТГ + — niin (и -j- US):
, " l«Kl
(где и = cos x)
12 ' 2 ^ 4 J ~ 24
В итоге Req4(l + if)>7/24. Следовательно, q4(l + it) Ф 0 при
«ей. Из проведенных выше вычислении ясно, что cf(z) == ф5(г) и
■Reg4(l + «)>neVl(l-r-iO--f>-&-4=^F-
Таким образом, cf (I -f- и) =^0 при I e Л.
158
Д о и .0 л // е н и е
ОБОЗНАЧЕНИЯ И ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ
О МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПОНЯТИЯХ,
ВСТРЕЧАЮЩИХСЯ В ТЕНСТЕ
В настоящем Допо.тасчпш собраны оспоппые определения,
утверждения, формулы, которые могут встретиться в тексте, а
также введны общепринятые обозначения. В первых трех разделах:
«Теория множеств», «Метрические пространства. Открытые и
замкнутые множества», «Топологические пространства. Открытые и
замкнутые множества» в очень сжатой форме приведены основные
сведения из теории множеств и пространств. Далее основные
сведения помещены в разделы, имеющие те же названия, что п
разделы текста. Мы полагаем, что предлагаемый материал будет
способствовать более чепеому попидганню условии задач и служить
исходным при ознакомлении с длшой главой математики по
более подробным руководствам.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Теория множеств
Объекты, составляющие множество, называются его
элементами. Множества мы будем обозначать большими, а их элементы —
маленькими буквами.
Утверждение «элемепт а принадлежит множеству А»
записывается так: а е А Если элемент я не принадлежит множеству А,
то пишут п ф. А. Если все элементы множества А содержатся в
множестве В (возможно Л совпадает с В, т. е. А и В состоят из одних
и тех же элемептив: А = В), то пишут А с В, и в этом случае А
называется подмножеством В. Подмножество A cz В называется
собственным, если А Ф В. Множество, не содержащее ни одного
элемента, называется пустым и обозпачаетсн символом 0.
Совокупность (мпожество) элементов х, обладающих
свойством Л', обозначается так: {х : Л'}
1. Операции над множествами. Суммой двух множеств А и В
называется третье множество С, состоящее из всех элементов,
принадлежащих хотя бы одному из множеств А и В: С = A (J ft 1С =
— U АЛ, индекс а также принадлежит некоторому множеству.
а )
Пересечением множеств А п В называется множество С,
состоящее из элементов, принадлежащих как А, так и В:
С=АГ\В (С = П ЛЛ
159

Разностью С множеств А и В называется совокупность тех
элементов u.i А, [.оторые не принадлежат Н: С = A^^li.
Симметрической разностью двух множеств A i\ В называется
множество С = {A (J Н)\(Л Г) И) = Л\В.
Часто приходится рассматривать различные множества, когда
все они являются подмножествами некоторого основного множест-
ва .$'. В атом случае, если A cz S. то разность »9\Я пааынаетгя
дополнением А' множества А: Л' = 5Ч А. Множество S называ-
етсп единицей.
Непосредственным очевидным следствием введенных
определении янлнеген принцип двойственности в теории множеств:
i) дополнение суммы равно пересечению дополнений;
2) дополнение пересечений равно сумме дополнений.
2. Отображения. Пусть А и # —два множества. Допустим, что
каждому элементу а множества А поставлен в соответствие один
определенный элемент b = ц(а), содержащийся в множестве В.
В этом случае определено отображение (функция) g множества А
в множество В.
Элемент 6 называется образом элемента а при отображении g,
С элемент а — прообразом пли одним из прообразов элемента Ь.
Если каждый элемент b множества В имеет хотя Сы один
прообраз а при отображении g, то отображение g есть отображение
А на В, g: А —>■ В.
Пусть М с А. тогда #(.1/) обозначает множество таких
элементов из В, которые являются образами элементов я е М.
Множество g(-l/) называется образом множества М при
отображении g. Если Л'сй, то через g-1('V) обозначается множество
таких элементов из А, которые переходят в Д' при отображении р.
Множество i'_l(.Y) называется полным прообразом множепяа -V
при отображении g.
Отображение g иногда удобно назвать функцией с областью
определения — множеством А и областью значений, лежащей в В.
В некоторых разделах математики, в зависимости от природы
множеств А и В и свойств g, отображение g называется оператором,
функционалом и т. д.
Отображение g множества А на множество В называется
взаимно однозначным, если каждый элемент множества В имеет и при
этом лишь один прообраз при отображении g (такие отображения
называют еще биективными).
Очевидно, что если есть взаимно однозначное отображение
множества А на множество В или взаимно однозначное соответствие
между элементами этих двух множеств, то можно определить oio-
браженпе g~l, обратное пи отношению g, т. е. u.i уравнения о =
= g(n), зпая элемент Ь, можно однозначно определить а и, тем
самым, а = g~'F).
Любое отображение F(at, Я2 ) такое, что F(g(a,),g(a2),...) —
= F(ah «2. • •-) для всех я,, о2, ... из А, и любое соотношение
Р{.<4, 02, ■••) = Т такое, что P(g(a<), g(a2), ...) = Т для всех я,,
о2, ... из А называются инвариант ними но отношению к
отображению Ъ = g(a).
3. Прямое произведение множеств. Пусть Q= {1, 2, ..., п] п
А\, Ai, ..., An — подмножества некоторого множества А. Прямым
п
произведением П Ah множеств Л* является совокупность всех
А=1
160
функции /, отображающих Q в А так, что f(b) е/Ь,(£ = 1. 2, ...
п). Очевидно, что II /4ft можно рассматривать как ксевозмож-
ные наборы (а„ а?. ..., а„), ак е/,.
4. Эквивалентные множества. Множества А п В называются
эквива.иитыми. если между п* элементами можно установить
взаимно однозначное соответствие.
Множество является конечным, если оно эквивалентно набору
натуральных чисел {I, 2, ..., и < °о}.
Множество называется счетным, если оно эквивалентно
натуральному ряду чисел {I. 2 п. ...}.
Множество называется множеством, имеющим мощность
континуума, если оно эквивалентно множеству точек отрезка [о, 1].
Мощность множества А обозначается| А \.
Метрические пространства.
Открытые II замкнутые множества
В математическом анализе важнейшую роль играет понятие
предела. В основе различных определении предела лежит то или
иное понятие расстояния между объектами. Поэтому естественно
попытаться ввести длн элементов абстрактной природы —
элементов произвольного множества определения расстояния, а затем
ввести понятие предельного перехода.
Определение 1. На множестве Y определена структура
метрического пространства, если задана функция пары аргументов
р: АХ Л"-—Я','
R' — числовая ось, обладающая свойствами:
Я !>(Ti .'/) — 0 тогда и только тогда, когда х = у;
-) р(>\ у) = р(,'/, х) (свойство симметрии);
;!) р(.г. (/) ^ р(.г, г) -f- (>(z. у) (неравенство треугольника).
Функция р(х, у), х, ;/ G А' называется метрикой или функцией
расстояния, число с\(х, у) называется расстоянием между точками
х и у.
Таким образом, пара: множество X п функция р образуют
метрическое пространство; обозначается оно через
Й= (V, р).
Если в 3) положить х — у, то. учитывая 1) к 2), получается,
что U^ (>(у. г), т. е. функция расстояния неотрицательная
функция своих аргументов.
Приведем H0i.oropi.ie примеры метрических пространств.
Примеры. 1. Арифметическое п мерное пространство X,
точки которого — векторы (упорядоченные наборы п чисел, х =
= (^i, х-2,..., х„) есть, очевидно, метрическое пространство, если по-
"Ш2
ложить р (г, у) ■
2|*,-»,1
i=l
обозначается оно через R":
«"= (Х,р).
2. Пусть Y — множество непрерывных функции, заданпых на
отрезке [а, 6]. Введем метрику, полагая (>(г, у) = шах | с (t)—//(i) !•
Получившееся пространство есть метрическое пространство. Оно
обозначается через С[а, Ь] = (У, р).
" В. А СадовничиП, а. С. Подколзин *°1

Точно так ;кр множество 2, п раз нспрррывно
дифференцируемых функций на отрезке [л, Ь\, п. ^ 1, становится метрическим
пространством, если ввести метрику по правилу:
р(.т, i/)= max max | ,r(i) (t) — j/° (t) \,
*<■»(!)=*(/), ym(t)^y(t).
Ото пространство обозначается обычно так:
С" fa, Ь] = [Z, (,), п > 1.
Шаром 0(а, г) в пространстве Л (замкнутым шаром К(а, г))
с центром в точке а и радиуса г называется совокупность точек
j- е Л таких, что р(х, а) < г (р(г, я) ^ г).
Определение 2. Множество 2 с .V называется открытым
в /? = (Y, р), если вместе с каждой сворй точкой х оно содержит
п некоторый шар 0(т, г).
О п р р д е л е и и с 3. Окрестностью точки х е Л' называется
любое открытое множество, содержащее т. Окрестностью некоторого
подмножества X, быть может, самого Л', называется любое
открытое множество, содержащее данное подмножество. Окрестность
точки т будем обозначать через £.г.
О пределе н » е 4. Пусть Y cz А', тогда точка х e.V
называется предельной точкой множества У, если каждая окрестность
точки .г содержит некоторую, по крайней мрре одну', точка- у : .т ф
Ф у е У. ' .
Точка ;/ е У называется изолированной точкой множества У,
если существует окрестность точки у, в которой нет точек У,
отличных от ;/.
Определение 5. Точка у е У — подмножеству Л' —
называется внутренней, если они содержится в Y вместе с пекоторой
своей окрестностью. Точки, внутренние для дополнения У н V.
называются внешними по отношению к У. Если точка яе ивлпегсп
ни внутренней, ни внешней по отношению к У, то она называется
граничной для У. Множество граничны? точек для У
обозначается через йУ.
Определение fi. Mhojkpctro в метрическом пространство
называется замкнутым, если его дополнение открыто.
Справедливо следующее утверждение. Сумма любого числа от-
крытых множеств, пересечение любого конечного числа открытыт
множеств есть множество открытое, 0 и X открыты.
Пересечение любого числа замкнутых множеств замкнуто,
сумма любого конечного чиста замкнутых множеств замкнута, 0 и А*
замкнуты. Замкпутое множество содержит псе своп предельный
точки.
Определение 7. Замыкание У множеств У есть
пересечение всех замкнутых множеств, содержащих У.
Если множество С cz D, то С cz D.
Пусть R = (V. р) — метрпческое пространство, а У —
подмножество в X. Метрику р можно рассматривать только на точках из
У с А'. Поэтому У само превращается в метрическое пространство
и пара Но = (У, р) называется подпространством пространства R.
Определение 8 Пространство R = (А', р) называется
связным, если его нельзя представить в виде суммы двух
непустых замкнутых (или открытых) непересекающихся подмножеств.
162
Множество У в метрическом гространстве R связно, если Y
связно, как подпространство в R: (У, р) cz (А, р).
Определение 9. Последовательность я„ точек
метрического пространства называется сходящейся к точке а этого
пространства, если любая окрестность точки а содержит все точки
нашей последовательности, за исключением конечного их числа. Ес-
лч последовательность я„ сходится к а, то пишут а,,—*■ а при
и—*■ оо илп lim а = а.
Непосредственно пз данною опредетенчн следует, что еслп
й„ -*■ а, то р(яп, а) ->0, п-*- оо.
Справедливо утверждение. Точка неЛ принадлежит
замыканию А некоторого множества А тогда и только тогда, когда
существует последовательность {ап) точек множества А,
сходящаяся к а.
Поэтому точка а е. А в том и только то.ч случае, если каждая
окрестность 2П точки а пересекается с А.
Покрытием множества А в метрическом пространстве
называется любое семейство открытых множеств, сумма которых
содержит А.
Определение 10. Метрическое пространство R= (X, р)
называется компактном, еслп любое его покрытие содержит
конечное подпокрытие.
Примером компактного метрическою пространства может
служить отрезок |0, 1], рассматриваемый как метрическое
пространство с обычным евклидовым расстоянием.
Определение 11. Последовательность {г„} элементов
метрического пространства R = (А, р) называется фундаментальной,
если р(хп, х,„) —>■ 0, когда п, m—>■ оо, п. m — натуральные числа.
Определен и-е 12. Метрпческое пространство R = (А, р)
называется полным, еслп в нем всякая фундаментальная
последовательность сходится к некоторому пределу, являющемуся
элементом этого пространства.
Теорема (принцип вложенных шаров). Для того чтобы
метрическое пространство было полным, необходимо и достаточно,
чтобы в нем всякая последовательность замкнутых вложенных друг
в друга шаров, радиусы которых стремятся к кулю, имела
непустое пересечение.
Топологические пространства.
Открытые и замкнутые множества
Определение 1. На множестве X определена структура
топологического пространства, еслп задана система {2} его
подмножеств, обладающая свойствами:
I) само множество X и пустое множество 0 принадлежат {£};
1!) сумма любого числа множеств системы [Z] и пересечение
любого конечного числа множеств системы {S} принадлежат {£}.
Система {£}. удовлетворяющая условиям 1)—2), называется
топологией на множестве А'.
Таким образом, пара: множество А' н топология {£}
образуют топологическое пространство; обозначается оно через Т =
«= (А, 2). Приведем некоторые примеры топологических
пространств.
11*
1ПЗ

Пример ы. 1. Рассмотрим произвольное метрическое
пространство R = (X, р). Открытые множества удовлетворяют
свойствам 1) и 2) определения 1 топологического пространства.
Таким образом, всякое метричское пространство R = (X, р)
является и юполошческнм пропрансгвом Т = (.Y, 2), где {1} —
спггсма открытых множеств в 11.
2. Пусть X = R1— совокупность действительных чисел.
Отнесем к системе {£} всевозможные объединения интервалов и пустое
множество 0. Тогда Т= (X, 2!)—топологическое пространство,
Л' е {2}.
Определение 2. Множество 2а с X называется открытым
в Г, если 2, с {S}.
Определение 3. Окрестностью точки .т е .Y называется
любое открытое множество, содержащее х. Окрестностью некоторого
подмножества X (быть может, самого X) называется любое
открытое множество, содержащее данное подмножество (или .Y).
Определение 4. Множество в топологическом
пространстве называется замкнутым, если его дополнение открыто.
Подчеркнем, что в топологических пространствах
справедливы все факты из теории метрических пространств, когорыр
используют понятия открытого и замкнутого множества. Полому на их
формулировках мы останавливаться не будем.
Графики
В разделе «Теория множеств» было дано определение
отображения g (или функции) одного произвольного множества в
другое. В случае, когда область определения отображении g it область
изменения являются некоторыми подмножествами числовой оси,
мы имеем дело с действительной функцией действительного
переменного. Такие функции могут задаваться посредством формул,
т. е. аналитически, посредством таблиц, графически (соответствие
между аргументом и функцией задается посредством графика,
снимаемого, например, на осциллографе) и т. п.
Простейшими элемешарными функциями называют
следующие функции:
у = х", у = ах, у — log ах, у = sin x,
у = cos х, у = tg х, у = ctgz, у = arcsin .т,
у = arccos х, у = arctg х, у — arcctg x.
Из элементарного курса читатель имеет представление об этих
функциях н их графиках. Элементарными функциями называют
функции, получаемые посредством конечного числа
арифметических операций над простейшими элементарными функциями, а
также получаемые путем суперпозиции этих функций. Например,
функции log2|cos6r|, eaics" , принадлежат этому классу.
Отметим следующее свойство элементарных функций — они
непрерывны в каждой точке oii.iacru гадания.
Действительная функции ](j) переменного х строго
монотонна на отрезке [а, Ь], если она определена на нем и для любых
двух точек .Т|, х2 е [а, Ь] либо из х\ < х2 следует, что f(x\) •<
< /(г2) (возрастающая функция), либо же из х\ < х2 следует, что
1(х\) > 1{хц) (убывающая функция). Если неравенства, сравнп-
161
Бающие значения функции нестрогие, то и монотонность
называется нестрогой. Аналогичные определения даются и для
последовательностей.
Монотонно возрастающая функции на отрезке достигает,
очевидно, своего наибольшего значения (абсолютного максимума или
граничного максимума) при х = Ъ, а <. Ъ. Диалогично монотонно
убывающая функция достигает своего абсолютного минимума при
х = Ь.
Помимо элементарных способов построения графиков
функций, часто удобно применять аппарат дифференциального
исчисления над функциями (см. раздел «Дифференцирование»).
Отметим некоторые основные фа]; ты:
1. Для того чтобы дифференцируемая на интервале (я, 6)
функция f(x) не убывала (не возрастала) на этом интервале
необходимо и достаточно, чтобы производная /'(г) была
неотрицательна (неположительна) всюду на (а, Ь).
2. Для того чтобы дифференцируемая функция }(х)
возрастала (убывала) на интервале (о, 6), достаточно, чтобы производная
j'(x) была положительна (отрицательна) всюду на (а, 6).
3. Если функция /(г) дифференцируема н точке с и имеет в
этой точке зкетрсмум (локальный максимум или локальный
минимум), то /'(с) = 0. (Функция ](х) имеет в точке с локальный
максимум (минимум), если существует 6 > 0 такое, что }(х) —/(с) <
< 0(/(-г) —1(c) > 0) при всех \'х — с\ < б).
4. Пусть функция /(г) имеет на интервале (a, h) конечную
вторую производную и эта производная неположительна
(неотрицательна) всюду на (я, 6), тогда график функции у = j(x) имеет
на интервале (а, 6) выпуклость, направленную вниз (вверх), т. е.
график функции у = f(x) лежит не ниже (не выше) любой своей
касательной. (Касательной к графику функции у = /(г) в точке
М называется предельное положение секущей MP при стремлении
точки Р к точке М по графику).
5. Пусть п — некоторое целое положительное число, и пусть
функция /(.г) имеет в некоторой окрестности точки с производную
(и + 1)-го порядка. Пусть выполнены следующие соотношения:
/B) (с) =/<3>(с) = ... =/(»)(с) = 0, /<"+')(<■) Ф0.
Тогда, если (п -f-i) —нечетное число, то график функции у — j(x)
имеет перегиб в точке М(с, /(c)). Если Же (п-\- 1) —четное число
п, кроме того. }'(с) = 0, то функция у = 1(х) имеет локальный
экстремум в точке .т = с, точнее, максимум, если /(п+"(с) •< 0,
и минимум, если /<п+1>(с) > 0.
(Точка М(с, /(c)) графика функции у = }(х) называется
точкой перегиба этого графика, если существует такая окрестность
точки с на оси абсцисс, в пределах которой график функции
у — Цх) слева н справа от с имеет разные направления выпуклости.)
Для качественного исследояания графика функции у = f(x)
целесообразно провести следующие исследования:
1) Определить область задания функции.
2) Выяснить вопрос о существовании асимптот (вертикальных
и наклонных.) Прямая х •= а является вертикальной асимптотой
графика функции у = /(а), если хотя бы одно из предельных
значении lim/(r) или lim / (х) равно + оо или — оо. Прямая у =
165

= кг + Ь пвпиется нак тонной асимптотой графика фуйкции у =
= j(x) iijin х —*■ ± со, если f(x) — кх + Ь + а(ж),'гды liui а \х)=
х-»£оо
3) Найти области возрастания и убывания функции и точкп
экс i рему ма.
•i) liaiini области солранении выпуклости п точки перегиба.
5) llaiiiи точкп пересечения iрафика функции с осью Ох.
При построении графиков функции и в других вопросах часто
оказываются полезными полярные координаты. Полярная система
координат задается точкой О {полюс) п направленной прямой Ох
(полярная ось). С каждой точкой Р плоскости, на которой задана
полярная система координат, можно снизать определенную пару
чисел г, ф (полярные координаты). Полярный paduyc r есть
длина отрезка ОР, а полярный угол <р—радпанная мера угла хОР,
отсчитанная в направлении, ирошвоиоло/чном вращению часовой
стрелки. Угол (| определен с точностью до 2А:л (к = 0, ±1, ±2, ...).
Если полюс и полярная ось совпадают соответственно с
началом О и осью Ох прямоугольной системы координат, то при
условии, что для измерения г, х, у использованы равные единицы
масштаба, декартовы и полярные координаты связаны следующими
формулами преобразования:
х = г-cos ф, у = г- siu ф, г = (х2 -f- у2I17,
Многочлены
Выражение вида
1>п (.г) = аих" + aix"-' + ... + а,„ at (i = 1, 2, ..., и),
в — натуральное число, я,-, вообще говоря,— комплексные числа,
а0 ф 0, называется многочленом степени п (или полиномом
степени и) от неизвестного х. Два многочлена равны (тождественно
равны), если равны их коэффициенты при одинаковых степенях
неизвестного. По определению многочленом считают п многочлен
ри(х) кулевой степени, т. е. константу, а также число нуль.
Если для данного многочлена р„(х) существуют такие
многочлены д,„ (.г) и п(х), что р,,(.с) = qm(x) -п(х), то многочлен г\(х)
называется делителем многочлена р„(х), ясно, что m с I не
превосходят и. При :гп!м говорят, что р,,(х) делится на п(х).
Пусть даны два произвольных многочлена р(х) и ?(а).
Многочлен г(х) будет называться общим делителем для р(х) и д(х),
если он .служит делителем каждого из многочленов р(х) и д(х).
Очевидно, что общим делителем любых двух многочленов р(х) и
д(х) является многочлен нулевой степени. Если других общих
делителей нет, многочлены называются взаимно простыми.
Наибольшим общим делителем многочленов р(х) и д(х)
называется такой многочлен m(j), который являе1ся их общим
делителем п делится на любой другой общий делитель этих
многочленов.
Любые два многочлена обладают наибольшим общим деятелем
(который определен с точностью до множителя пулевой степени,
1G6
позтему стерший коэффициент наибольшего общего делптеля по-
лаг£ыт равным единице).
Для многочленов р(.г), д(.г) и их наибольшего общего
делителя ш(х) всегда можно указать такие многочлены и(х) и v(x), что
р(х)и(х) +g(x)v(.,) = m(r).
Многочлены р(.г) п q(x) взаимно просты тогда и только тогда,
когда можно указать многочлены и(х) и v(x), удовлетворяющие
равен^ гву
р(т)и(х) + g(x)v(x) s= 1.
Число а называется корнем многочлена р(х). если при
подстановке зтиго числа в многочлен вместо х последний обращается
в нуль.
Если многочлен />(.г) допускает представление вида
р(л) = (х — а)*§(г), А- — натуральное,
где многочлен g(.r) не делится на (.т —а), то чпело а называется
корнем кратности к, при А- = 1 корень а — простой.
Очевидно, что А'-кратнып корень многочлена р (х) будет
(А- — s)-кратным к'орнем s-ii производной этого многочлена (к ^ s)
и не будет корнем fc-ii производной от р(х).
Справедлива следующая основная теорема.
Теорема (основная теорема о корнях многочлена). Всякий
многочлен, спепень которого не меньше единицы, имеет хотя бы
один корень, в общем случае комплексный, причем, если корни
считать с учетом их кратностеи, то многочлен степени п имеет
роено п корней.
Если нам надлежит построить многочлен не более чем п й
степени, который при значениях неизвестного alt 02,..., о„+ i,
предполагаемых различными, принимает соответственно значения С\,
cj Сп + и то эют многочлен-задается интерполяционной
формулой Лагранжа
л+1 П {х
, iJ) = V c.JZlI
Еслп задан многочлен степени п вида
р(х) = хп + aIzn-1 + ... + я„-).т + оп
п если ai, и*, ..., a„ — его корни с учетом их кратностеи. то р(х)
обладает следующим разложением (оно единственно с точностью
до порядка сомножителей): ,
р(х) = (х — а;) (х — а2) ... (х — а„).
Перемножая скобки, стоящие справа, преобразуя правую часть и
сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях с
коэффициентами многочлена исходного вида, по пучим формулы вьета
di = — (ai -fc-2 + ..- 4- a-.), ..-, "п = (— l)"ai - a2 ... a„.
161'
-al)
;)

Заметим еще, что комплексные корни многочлена с
действительными коэффициентами попарно сопряжены (если а—корень,
то а тоже корень; а = я — ih, если а = а -f- ib).
Многочлены называют еще целыми рациональными
функциями. В отличие от многочленов, оробно рациональные функции
D(x) это частные двух целых рациональных функций
(многочленов)
Рассматриваются также многочлены от нескольких, бплрр челе
одного, переменных.
Многочленом относительно х\. :г2, ..., хп называется сумма
конечного чтгела членов вида "j-, х^ ••■ -Tfi"i Ki— натуральные числа.
Наибольшее значрнне суммы к, + к2 + • • • + *'п, встречающееся в
каком-либо и.i членов, называется степенью многочлена. Мншочлен
наливается оОноропным, если все его члены имеют одну м ту же
стрпень. Многочлен называется симметрическим, если его значения
не меняются при какой угодно перестановке xt, х? х„.
Элементарными симметрическими функциями называются функции
вида s, = а-, + r2 + ... + .т„, s2 = tit3 +r,r3 +...+ г„^,х„,
s„ = з-,.г2 ... .т„. Каждый симметрический многочлен может
быть единственным образом записан как многочлен относительно
Погледовательногтн п пределы
Определение 1. Если каждому чпелу п натурального
ряда чисел 1. 2, ..., и, ... ставится в соответствие по определенному
закону некоторое действительное число х„, то множество
занумерованных действительных чисел а-|, з-2, ..., .т„, ... называет! я
числовой последовательностью.
Числа хп называются членами или элементами
последовательности.
Последовательность {х,,} называется ограниченной, если
существуют такие числа m и М, что любой элемент х„ этой
последовательности удовлетворяет неравенствам: m ^ sn =Sj -l/.
Последовательность {j„} называется бесконечно большой
(оегконечно малой), если для любого положительного числа А
(чпсла е) можно указать номер Д' такой, что при п ^ Л' все элементы
.т„ .iToii последовательности удовлетворяют неравенству |г„| >
>А(\хн\ <е).
Определение 2. Последовательность {хп} называется
сходящейся, рели существует такое число х, что для любого
положительного числа е можно указать номер Л' такой, что при п Зг Л' все
элементы хп этой последовательности удовлетворяют неравенству
1-е,, —л\ < е. При этом число .г называют пределом
последовательности н пишут lim г = х, или хп-*х при п-*-оо. Другими сло-
вами, последовательность {хп} называется сходящейся к точке х,
если любая окрестность точки х (любой интервал, содержащий х)
содержит все точки нашей последовательности, за исключением
конечного их числа (см. определение 9 раздела ('Метрические
пространства. Открытые и замкнутые множества»),
168
Сходящаяся последовательность ограничена и им?ет только
один предел.
Последовательность {.с,,} называется неубывающей (невозрас-
тающей), если для всех номеров п справедливо неравенство
хп ^ £,. + ! (хп ^ z,1 + i).
Такие последовательности называют монотонными.
Справедлив следующий факт.
Неубывающая (невозрастающая) последовательность {хп},
ограниченная сверху (снизу), сходится.
Последовательность хп = A + '/л)" возрастает и ограничена
сверху, поэтому эта последовательность сходится, ее предел
называют числом е = lim A + ',и)п.
П-»оо
У всякой ограниченной последовательности существует хотя
бы одна предельная точка.
Для того чюбы последовательность была сходящейся,
необходимо и достаточно, чюбы она была фундаментальна (см.
определение 11 раздела «Метрические пространства. Открытые и
замкнутые множества»).
Поясним теперь ноши не предельного значения функции.
Определение о. Число Ъ называется предельными
значением функции у = 1(х) в точке .г — а (пределом функции прп
х—*■ а), если дли любой сходящейся к а последовательности х\,
х2, ..., х„. ... значений аргумента .т, элементы хп которой отличны
от а(хп Ф а), соответствующая последовательность f[xi), {{х^),..,
,..,}(х„). ... значении функции сходится к Ъ.
Функции может иметь только одно предельное значение.
Приведем величины предельных значений некоторых функций:
sin ж / 1 \х , I/,.
lira = 1, lira i + - =e, lim A + x)l/x = е.
»—и * *—°Л * J хч-о
Число Ь называют правым (левым) предельным значением
функции 1(х) в точке х = а, если для любой сходящейся к а
последовательности ii, .тг,..., .т„,... значений аргумента х,
элементы хп которой больше (меньше) а, соотвр|ствующая
последовательность /(.Т|), j(x2), ..., /(.е„), ... значении функции сходится
кб: lim l(x)=b( lim f (x) = Ь\-
Число Ъ называют предельным значением функции f(x) при
стремлении аргумента х к положительной (отрицательной)
бесконечности, если для любой бесконечно большой
последовательности значении аргумента, элементы которой, начиная с некоюрого
номера, положительные (отрицательные), соответствующая
последовательность значений функции сходится к b: lim f (х) — b
К-»-|-оо
( lim f{x) = b\.
l.K->- — ос J
Определение 4. Последовательность функции sr,(.r), s,(x),
*2(^), ••■ равномерно сходится на множестве А значений х к
функции s(x): .
е (х) = lim sn (.т), а; е Л,
П-*оо
сети для каждого чпсла е > 0 существует такой номер Л', что при
л^ Л' и при всех ie А выполняется неравеис1во |s„ (x)— s(x) | <е.
160

Еслп даны две функции /f,r), g(x), то пгшут /(.г) =» 0(g{x)) п
говорят, чю /(л-) есть не низшего порядка малости, чем g(x) при
х—>■ а, еслп г\'ществ\ег окрестность точки а, в которой при хф а
fi'r)
отношение i-i_L ограничено. Функция f(x) эквивалентна g(x), при
g(x)
х—*■ а, еслп 1 iiu _Li£2=1. Далее, функция /(jt) есть более высокого
x->,i glx)
порядка малости при ж—»■ о, чем g(x) (f(x) = o(g{x)), если
lim J_l£i = 0.Аналогично определяю 1 с я бесконечно малые (бес-
Х-*п g (х)
конечно большие) любого порядка ио сравнению с функциями т.
i2, .... ех и т. д. Указанные соотношения между функциями
измываются асимптотическими.
Непрерывность
Определение 1. Отображение g одною .метрического про
странства R = {X. р) на другое /?о = {Y, ро) называется
непрерывным в точке х, если для каждой окрестное!и ^ж.\> точки ir(.r)
найдется такая окрестность i!, ючки х, чю BliilC'd») Если
^ Heiipepi.iBiio в каждой точке, то такое отображение называйся
непрерывным па П.
Отображение g иеирсрыино тогда и точько тогда, когда
полный ирообра.1 любого открытого множества открыт.
Определение непрерывности дейсгвтельной функции число
вого аргумента мо.кно да1ь в следующей эквивалентной
определению 1 форме.
О и ре до л с и п с 1'. Функции /(<) называется непрерывной
в точке х, если предельное значение .пой функции в точке с су-
щеспиет н равно значению функции в шчке х, г. е. если Пш /((/) —
= / (•')•
1'accMoipiiM возможные типы ючек разрыва функции.
1. Устранимый разрыв. Точка а называется точкой
устранимого разрыва функции у = /(.i), если предельное значение функции
в люн точке существу с I, но в точке а функция или не определена
или ее значение не равно предельному значению.
2. Разрыв 1-го рода. Точка а называется точкой разрыва 1-го
рода, если в згой точке функция /(.г) имеет конечные, но но
рапные друг Другу правое и левое предельные значения.
3. 1'азрыв 1-го рода. Точка а. называется точкой разрыва 2-го
рода, еслп я этой точке функция 1(х) не micer но крайней мере
одного из предельных значении или если хогн бы одно из
односторонних предельных значений бесконечно.
Функция у «= f(x) называется кусочно-непрерывной на [а, Ь\,
если она непрерывна во всех внутренних точках [а, Ь], за
исключением, быть может, конечного числа точек, в которых имеет
разрыв 1-го рода и, кроме того, имеет односторонние предельные
значения в ючках а и 6.
Функция f(x) называется ривнимерно непрерывной на
множестве AczR1, если дли всякого е >• 0 существует такое б > О,
чш Для всех xt и х2, иринадлежащих А, \1(х\)—/(ij)| < e, еслп
|z, — аг21 < б.
Функция, непрерывная на отрезке [и, Ъ\, равномерпо
непрерывна.
170
Дифференцирование
Определение 1. Пусть у = j(x) — действительная
функция действительного переменного, определенная в некоторой
окрестности точки .т. Первой производной функции f(x) по г в
точке х называют предрл
I. }(х + Д.г) — / (.г) ,. Аи d\i ,, . . __ ,
lim -—! : —±— = lim —•l.— .-J-^f (r) = i/.
Дж-»A Лx Лд—>0 A r i/.r
Очевидно, что производная есть мера скорости изменения
функции /(а-) по сравнению г х. Производная /'(j) есть угловой
коэффициент кагательпой к графику функции у = j{x) в точке х.
Функция называется дифференцируемой при тех
значениях .т (на множестве значений х), при которых существует
производная f'(r) (/eC), Производная от первой производной
называется второй производной и т. д. Функция бесконечно
дифференцируема, если она имеет производные любых порядков j/ef*).
Функция непрерывно дифференцируема, если ее производная
непрерывна.
Если у = f(x,.'ra х„) — действительная функция
переменных 3-1. х^ х„. определенная в некоюрой окрестногти точки
(.)-|, х^ х„) прогтрангтвн Я", то частной производной первого
порядка функции /(.п, х%.... ,хи) по xi в точке (х[, Х2,...,х„)
называется предел
f(xl+Srl, г, r„)-^(x,. rt .г J __g/__
ut,-.o Д'-, fl'i
Аналогично вышесказанному определяются частные производные
высших порядков:
&„ д
дЧ. ~ "**
сЦ
*■•„ '
8*„ i
Cjrtr-Jh
-1 ду
U oth
н т. д.
Отметим, что "^Г= ~^- ' * К <?«<" производная -%фт
существует в некоторой окрестности точки и неп|)ерывни в точке
(хь Х2,...,хп), а производная ~ -существует в некоторой точке.
Градиентом функции /(*,, ..., х„) называется величина
, ^-j-...-}-—f —grud /, где ih—единичные векторы прямоутоль-
ной системы координат.
Определим теперь дифференциал функции }(х), определенной
в некоторой окрестности точки х. Еслп обозначить через d.i— прн-
ращенне аргумента х (его дифференциал) п, если справедливо
представление
Ау = /(* + dx) — /(.т) = L dx + o(dx),
L не зависит от dx, то первым дифференциалом df называется
171

главная линейная часть приращения функции, а именно dj = L dx.
Функция f(x) имеет в точ!;е первый дифференциал тогда и
только тогда, когда она имеет в этой точке первую производную, ее
дифференциал равен
dj~f'(x)dx=u-dx~^dx, у =»/(*)■
ах ах
Приводимые ниже теоремы о среднем пграют важную роль в
анализе.
Теорема (Лагранжа о конечном приращении). Пусть
функция f(x) непрерывна на [a, ft] и- дифференцируема на (я, й),
тогда в интервале (а. Ь) существует такое число с, что
/(ft)-/(я) =/'(г)(й-я);
число с можно записать в виде с = а + 6 (ft —я), 0 < 8 <С 1.
Если /(я) = /(ft), то эта теорема называется теоремой Ролля.
Теорема (Кошп). Пусть функции ](х), g{.r) непрерывны на
[я, Ь], g(a) ф g(b). f'(x). g'[x) существуют на (a, ft) и
одновременно не обращаются в нуль. Тогда существует такое число с е
е(о, ft), что _
/(ft)-/(я) /'И
g{t,)-g{,i) " £'(')'
Сформулированная выше теорема Кошп непосредственно
приводит к следующим правилам нахождении пределов (раскрытие
неопределенностей) — правилам Лоппталя.
Пусть функция /(л) вида ——■ в точке х — а не определена.
l-(x)
Пусть lim и (х) ~ Jim r(r) — 0. Ее ли существует окрестность точки
х = а, в которой при хфа v(x) Ф 0, производные и'{х), v'(r)
существуют и г(х) Ф 0, то
limJLijJ = iim H'}r) ,
3.-Ч1 V (х) х->а V (г)
если предел справа существует.
Пусть Пш к (.т) = lim r (я) — оо. /7r.ni существует окрестность
точки х = о, в которой при хфа производные и'(х) и v'(x)
существуют и v'(г) Ф 0, то справедливо то же соотношение
]ioiitM = limJt>L1
ж—" г (.с) х—а v'(x)
если предел справа существует.
В случае, если отношение—н—i- представляет сооои снова не-
v (х)
определенность указанного типа, правило Лоппталя может быть
применено повторно.
Длн вычисления пределов иногда удобно также пользоваться
разложением функции в ря<) Тейлора.
Приведем аго разложение длн функции одной переменной.
Пусть }(х) — действительная функция, имеющая в интервале
172
а^ а- < Ъ к-ю прг.пзводкую /'"'(у). Тогда
/(*) = / («) + /' («) (* - «) + "J /" С) {* ~ "J + • • •
• • • + (nli)| /'П_,) (") (* ~ °)П_1 + ^n (г), я < .г < Ь.
Я„М=-~/0('-«) + «), 0<в-<1,
и!
— остаток формулы Тейлора. I R (х) I ^ —!—• sup I /'"Vji I
Существуют п другие формы остаточных членов разложения
Тейлора.
Пусть функция /(.г) имеет в интервале (а — г. а + г) все
производные (бесконечно дифференцируемая нлп гладкая), и пусть
для нее в этом интервале lim R (.г) = 0. Тогда
оо
/(•>') =2 ТГ/(А)(")^-Й)*- |*-я|<г.
и ряд равномерно сходится к j(x) на любом интервале |г — я|^ о,
q < г. При о = 0 ряд Тейлора называется рядом Маклорена:
ос
/ w = 2 тг/Ш<0 **■ 0| = *• /С0) = >•
Интегрирование
Пусть на отрезке [a. ft] задана действительная функции f(x),
ограниченная на ятпм отрезке: \/(х) \ ^ Г < оо. Разобьем отрезок
[я, ft] на п частичных интервалов точками разбиении: я = хп <
< Х[ < 2'2 < ... < х„ = Л. Выберем в каждом из частичных
интервалов по произвольной точке |, (',-! s£ |; ==J а1,) и cocuibiim
сумму
s = t /(?,)(*,-ч_|).
i 1
которая называется интегральной. Диаметром данного разбиения
назовем число d = max (х. xL_ Л.
Определение 1. Функция f(x) называется интегрируемой
по Риману на отрезке [я, ft], еелн существует предел
интегральных сумм при стремлении диаметра разбиения к нулю. Итот
предел назынаетсн интегралом Римана и обозначается так:
Ь ,т
j / (*) dx = lim S = lim V / (|.} (r _ 3-._l).
n ' *
Функции (/ = }{x) называется подынтегральной, а числа а и ft —
пределами интегрирования. Функция f(x) называется абсолютно
интегрируемой, еслп интегрируем |/(-г)|.
173

Еслп функция 1/ = /(.г) неотрицательна на отрезке [я, Л], то
ь
нптеграл| f[x) dx выражает площадь, ограниченную кривой у ==,
= /(.г), осью абсцисс и двумя прямыми х = а и х = b (площадь
"криволинейной трапеции). Если /(.г) ^ 0, то этот интеграл
выражает эту площадь, взятую со знаком минус.
Первообразной функции /(.г) на отрезке [я, Ь\ называют
такую функцию F(x), что F'(.r) — f(x) на [я, Ъ]. Функция F(*) оп-
пределеиа с точностью до произвольной постоянной и называется
еще неопределенным интегралом функции /(.г):
J / (T) dr = F (г) + С.
Разность F (г) — F («) — F (г) |*, а ^ а '^ Ь, определена
однозначно.
Если функция/(г) интегрируема на [я, 6] и имеет
первообразную F{jr), то справедлива формула Ньютона —Лейбница
ь
Sf{x)dJr=F{r)$=*F(b)-F(a).
а
Если функция /(г) ограничена п интегрируема на каждом
ограниченном интервале, содержащемся в (с, ft), то понятие
интегрируемости по Рнману можно расширить так. что оно станет
применимым в случае, когда функция /(л-) не ограничена в любой ок-
крестностн одного па пределов интегрировании пли интервал (а, Ь)
не ограничен. В первом случае по определению полагают
h с
[f(.r)dr = lini [7(.r)rf.r.
я с—*—;,
Еслп Ъ = оо, то полагают
оо С
\ 1(x)dx = lim \f(x)dx.
'а с—1~х а
Точно так же
ь ъ ь ^
j"/(x)t/r = lim J / (.г) л\с, f j(r)dx= lim j7(a)<fe.
o-wi+Л £
C—*—ex С
Такие интегралы называются несобственными, онп существуют,
если существуют соответствующие пределы.
Интегрирование можно определить п для функций многих
переменных f(x, у, ..., v) по областям, удовлетворяющим
определенным свойствам. При этом такие интегралы называются кратными,
а вычисляются они путем повторного применения, в определенных
пределах интегрирования по каждому переменному.
Определим криволинейный интеграл. Пусть С — дуга
непрерывной кривой, лежащая в конечной части плоскости или
пространства. Длиной этой дуги называется предел длины ломаной,
вписанной в эту дугу, при условии, что длина наибольшего звена этой
174
ломаной стремится к нулю. Если указанный предел существует, то
дуга называется спрямляемой. Для спрямляемой кривой,
описываемой в прямоугольных декартовых координатах уравнениями х =
= j:('). У — J/@i z — 2('Ji a ^ ' ^= Ь, (в пространстве)
криволинейный интеграл \ f (х, у, z) ds or ограниченной функции но опре-
с
делению равен
\f(x,y,z)ds = lira V
uijx Л^(^-0 j=i
/Ит*И(т|)'г(т|)]д*1,
где
Дв| = {['(«.) —-*(f.-,)|a + |s('.)-0(«.-i)l'+N'.)-*(«i-i)r>"».
а =- f0< 'i < h < ... <tu = b, (,_, sg i <f, (i = 1, 2, ..., n).
Кривая называется простой, если она не содержит крагкы\
точек и функции x[l), y(t). z(l) однозначны. Простая спрямляемая
кривая называется простым контуром.
Заметим, что отсутствие кратки точек означает, чю нет
таких двух различных значений а.\ и и2. для которых справедливы
равенства .г(а,) = .r(a2), y(a.i) = ;/(а2), г(о,) = z(«2).
При вычислении кратных интегралов, часто используется
формула замены переменных. Пусть даны две п-мерные области: (D)
в иространстве хи х%, ..., х„ a (Di) в пространстве |,, ;2, • ■ •> Ёи,
ограниченные каждая непрерывной — достаточно падкой (или
кусочно гладкой) поверхностью. Предположим, что между ними
С ПОМОЩЬЮ фор,М\Л X — Г|(£,, |2. .. ., 1„) -Г.. == ',. (|l, S2 , 6..)
устанавливается взаимно однозначное соответствие. Toifla, если
допустить существование п непрерывное гь производных,
входящих ниже, и потребован., чтобы якобиан
rlr II
ко,
.., х „) мо-
£>(.г,,г.,. .
0(ll. 6,...
' п)
•' *»)
llet
dx,
то интеграл от непрерывной в (D) функции /(л, x2,
жет Сыть преобразован ио формуле
где
^J...jF(S,.E,....,6I,)mdSirfE,...<*£„.
F{%u-. .,Ы = /(^(ёт.-.-.ё») ^„(ii,..., ё..)).
Дадим теперь определение измеримого по Лебегу множества.
Для этого введем сначала следу тощие понятия.
Определение 2. Кольцом К множеств называется
совокупность, замкнутая относительно операций суммы, разности и
пересечения, т. е. еслп A, Be К, то A \J В, A f\ В, А\В (A Z) В)
принадлежат кольцу.
175

Определение 3- Полукохьцоч Р множеств называется
такая совокупность множеств, которая замкнута относительно
пересечения, 0 е Р, и из тою, чю Л, Ai е= Р, Л Ъ Ah следует, что А =
= U Ak, A. f)Aj = 0, 1Фи Aie=P (i = 1, 2 и).
Ь=1
Для всякого полукольца существует минимальное кольцо К0,
содержащее данное иолу1;ольцо, и иго кольцо единственно.
Определение 4 Кольцо называется с-кольцом, если оно
замкнут относительно операции счетного объединения; а-кольцо с
единицей называется о-алгеброй множеств.
Определение 3. Мерой р. па полукольце Р называется деп-
сгвн тельная аддитивная функция множества, причем
неотрицательная. Другими словами, если р — мера, то
1) р(Л) ^ 0 для любого А е Р;
2) pMU Й)=ц(.1)-гИ«), -' П«= -■■> -1, CsP.
Мери называется о аддитивной, если
|* (U -Ч = ^р (-1,). л, п л, = 0, i *».
Всякую с-аддигпвиую меру можно однозначно продолжить с
полукольца на минимальное кольцо, содержащее данное
полукольцо.
Так называемое лебегово продолжение меры дает возможность
продолжить о-аддшпввую меру с полукольца на класс измеримых
ио Лебегу множеств.
Верхней мерой Лебега \i* называемся величина
ц*(Л)= i.if ^п(^).
леи»!
где A е 2-т —множеству всех подмножеств -Y — едпппцы
полукольца, Bi еР—полукольцу. Ннжшш грань берется но всевозможным
покрытиям множества А.
Определение 6. Множество А называется измеримым по
Лебегу, если для любого е > 0, найдется такое множество И (— А'о,
что и*(ЛА#) < е, где А'о — минимальное кольцо, содержащее
полукольцо Р.
Класс L(yi) измеримых по Лебегу множеств по мере и,
представляет собой о-алгебру с единицей А', функция и.— о-аддш
явная мера на этом классе.
Если заданы о алгебра множеств п с-аддитивпая мера, то
говорит, что задано измеримое пространство.
Примером с-кольца множеств (о алгебры множеств) могут
служить так называемые борелевские множества огрел;а fO, 1|,
т. е. множества, получающиеся из открытых множеств путем
конечного или СЧ01НОШ числа операций, причем каждая операция —
эю либо взятие пересечения, либо взятие суммы, либо переход к
дополнению.
Каждое конечное или счетное множество измеримо по
Лебегу и имеет меру нуль. Мера Лебега отрезка равна ого длине.
В теории вероятностей события рассматриваются как
множества, а веронгпосп. наступления события — это аддитивная или
счето аддитивная функции множества.
176
Ряды
Говорят, что бесконечный ряд а0 -f- ot -f- «г + • • •
действительных или комплексных чисел «о, oi, a2, ... сходится, если последо-
71
вательность S0, Si, S2, ... сю частичных сумм Sn = 2а "ь имеет
fe=0
предел S— lim S . Число S пазывается суммой ряда:
П-*оо
п <х>
S = lim V ah = V ah < со.
n-°° ft=U Л=0
ее
Ряд 2 аь абсолютно сходится, еслп сходится ряд из абсолютных
оо
величпп его членов, т. е. сходится ряд 2 I "k \- Если последний
ft=o
ОО
ряд расходится, а ряд 2 ak СХ°ДНГСЯ. т° говорят, что он сходит-
ся условно.
Ряды могут быть составлепы и пз функций, в этом случае их
называют функциональными. Ряд Ос(.г) + сц(х) + ог(ж) + ••
сходится к сумме S(.t) на множестве А значений х, еслп при каждом
значении х е А соответствующий числовой ряд сходится. Ряд
S(x)= V а (ж) сходится равномерно на множестве А значений х,
еслп для всякого е > 0 существует такой номер /V(e), что
\Sn(x) — S(x)\ < е для всех п ^ N и всех же Л (равномерное
стремление частичных сумм Sn(x) к функции S{x)).
Существует много признаков сходимости рядов с положитель-
ОО
Еыыи членами. Приведем несколько из них. Ряд 2 aft c положи-
ft=0
тельнымп членами a0l аи а2, ... сходится, еслп выполнено одно из
условий:
ОС
1) ап г? Мп. 2ZMh < °° (сходигея);
ft=0
2) по крайней мере одпа нз величин
п . , \ П
In re + 2
^ V^4^-i)+2,
^-И и
имеет точную верхнюю границу / < 1;
3) я„ < /(п), где /(ж) — положительная невозрастающая
функция, причем ,
©о
Г / (х) йх < оо,
177
12 с. д. Садовничий, А. С. Подколзив

00
Гяд Т] я. (х) сходится равномерно на множестве А значений
fc=0
к. если для всех п выполняется неравенство |а„(.г)| < А1п,
оо
причем 2 Mh < га • х^ А.
оо
Числовой ряд Т] 6 называется знакочередующимся, если со-
седние его члены имеют разные знаки. Такой ряд сходится, если
Iim&„ =0, |60| > |&il > Ы >...> \Ьп\ >...
П—юо
Ряд
1+1+1+...
2Т 3
называется гармоническим.
В абсолютно сходящемся ряде члены можно переставлять
между собой любым способом; сумма ряда не будет при этом
меняться. Перемена порядка членов условно сходящегося ряда,
вообще говоря, меняет его сумму. Можно так изменить порядок
членов, что ряд будет расходящимся (теорема Римана).
Степенной ряд ошосптельно комплексного (или
действительного переменного) z есть ряд вида
оо оо
22 ckzh гли 21 ch <z - »)*•
fc = 0 ft=U
a (I = 0. 1, 2, ...) — числа Для любого степенного ряда сущест-
вуег такое действительное число г, 0 ^ г ^ -\- оо, что этот ряд
сходится абсолютно при |г| < г и расходится при \z\ > г.
Число г Называется радиусом сходимости данного степенного ряда.
Каково бы ни было число q, удовлетворяющее условию 0 <
< q < г, степенной ряд равномерно сходится при \z\ ^ q. Из
сходимости степенного ряда при z = z$ вытекает его сходимость и при
|г| < |zo|, а из его расходимости при z = z0 вытекает его
расходимость и при | г | > 1 г01.
Степенные ряды можпо почленно дифференцировать при \z\<
<г, а также почленно интегрировать по контуру, содержащемуся в
круге \z\ < г. Получающиеся в результате почленного
дифференцирования или почленного интегрирования от 0 до s, \z\ < г, ряды
имеют тот же радпус сходимости г.
Если существует такое число г > 0, что при всех ж таких, что
\z\ < г, два ряда
Ь=--0 ft=0
имеют одну н ту же сумму /(г), то с0 = 6с, с\ = Ь\, ...
Определение 1. Функция /(z), которая может быть
разложена в степенной ряд. сходящийся в некоторой окрестности
точки я, называется аналитической в этой окрестности. Функция
аналитическая в каждой точке области (открытого связного
множества) называется аналитической в области. Такие функции еще
называют голоморфными в области или регулярными,
178
Функция, голоморфная в любой конечной части комплексной
плоскости, называется целой.
Абсолютное значение |/(z)| функции /(z), аналитической в
ограниченной области, не может достигать максимума ни в одной
точке области, если только /(z) не ьонстанта (принцип максимума
модуля).
Справедлив следующий факт.
Если функция /(z) аналптпчпа н ограничена по модулю во
всей расширенной комплексной плоскости (включая точку z = оо),
то /(z) есть константа (теорема Лиувилля).
Сумма /(z) степенного ряда на границе круга сходимости
имеет по крайней мере одну особую точку.
Для каждой последовательности точек zn, zi, z^, , не
имеющих предельной точки в кинечиой части плоскости, существует
целая функция /(z), которая своими единственными нулями имеет
нули порядка тк в точках z = zh. Пусть г,, = 0. г ь ф 0, к > 0;
если zc = 0 не является нулем, то то0 = 0. Функция f(z) может
быть представлена в виде бесконечного произведения
/(г)=гт°^<г)Х
где g(z) —некоторая целая функция, а целые числа гй
выбираются так, чтобы бесконечное произведение равномерно сходилось в
любой ограниченной области (теорема Вейерштрасса). Так,
например,
sin z—z
cos z
-о
Й['-EГППгП.
\z\ < оо. Заметим, что бесьонечпое проплвсденпе
ос
О + "о) (l + "i) (! + «•' ■..= П (l+flft)
чисел 1 + «л Ф 0 сходится к числу
оо
h=0
если
lirn ll (i-:ah) =p.
ft=0
Это пмеет место в том и только том случае, если ряд
2 1" О + ан)
fc=0
схочится к одному пз значений 1п р. Бссконечпое пропзведеппе

11 [1 + nft (г)| равномерно сходится на множестве А значений г,
для которых при всех к выполняется условие 1 + a^(z) ф О, если
я
последовательность И [1 + aft (z)J равномерно сходится на А к
ft=0
функции, не принимающей на А значения, равного нулю.
Разложение в ряд Фурье определим для действительной
функции /(ж) на интервале —л < х < я, для которой существует ин-
я
теграл J \f(t)\dt Ряд Фурье есть бесконечный
тригонометрический ряд
где
4 °°
Y яо + 2 ("» cos кх + 6ьsin te) = 2 сйе<Аж-
ft=l ft=—o°
flft = я" ] / (t) cos A'' dt'
71
bfe = 77 \ f @ sin *' *•
1
с—fc"= cfc = " ("ft — '**)
(/г = 0, 1, 2, ...] — коэффициенты Фурье.
л
Если существует интеграл J [/(f)]2cft, то средняя квадра-
—я
гическая погрешность
л
е j [/(о-^л@]ад.
2я
—л
где
п
^^ @ = |- о,, + 2 (а" cos w + pftsin *0
ft=l
— произвольный тригонометрический многочлен, при каждом п
принимает наименьшее значение, когда в качестве а* и J5*
берутся соответствующие коэффициенты Фурье а* и Ь*.
Ряд Фурье абсолютно интегрируемой функции fix) сходится к
/<»-0)+/(* + 0)
2 на каждом открытом интервале, где функция
/(г) в ее пропзводпая f (х) кусочно непрерывны; при атом на
каждом замкнутом интервале, в котором функция непрерывна, ряд
Фурье равномерно сходится к f(x).
180
Галю.кепне фуякцптт в р.-д Ф>рье, в частности, оказывается
полезным при нахождении сумм некоторых рядов, значений
бесконечных произведений п т. п.
Дифференциальные уравнения
Определение 1. Обыкновенным дифференциальным
уравнением порядка п называется соотношение
F(x, у(х), у'(х) y<">(z))=0,
которое связывает независимое переменное х, искомую функцию
у = у(х) и ее производные у'(х), ..., ytn)(x). Решить уравнение
(проинтегрировать) значит отыскать функцию у(х) (отыскать
интеграл), которая удовлетворяет этому уравнению для всех
значений х в определенном конечном пли бесконечном интервале (а, Ь).
Общее решение дифференциального уравнения
*■(*.»(*),*'(*) у1п)(*)) =о
пмеет впд
у = у(х, СцС2, .... Сп),
где С(, С2, , С„ — произвольные постоянные. Каждый частный
набор этих постоянных дает частное решение. График частного
решения называется интегральной кривой, совокупность всех таких
графш.ов образует и-параметрическое семейство интегральных
кривых.
Линейным дифференциальным уравнением п-го порядка
называется уравнение вида
yln) + *i (*) y(n~i} + ... + «„(*)*=/ (*).
й,(.т), /(.т) A = 1, ..., п)—непрерывные функции на некотором
интервале. Еслп а,-— постоянные, то уравнение называется
Дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.
Линейное уравнение пазываетгя однородным, если j(x) = 0, п
неоднородным в противном случае.
Система решении у у, у2, ..., у„ называется фундаментальной,
если эти функпин линейно независимы па рассматриваемом
интервале, т. е. еслп их линейная комбинация
2 а,», (х)
i=\
нп при каких значениях чисел ai, o2 ап, кроме
а, = а2 = ... = а„ = 0,
не обращается тождественно (для всех значений х) в нуль.
Решения j/i, уг, ..., уп однородного линейного уравнения
образуют фундаментальную систему тогда и только тогда, когда их
определитель Вронского
У\ Уз ■•• Уп
W (х) =
?/1 У2 ••• Уп
G1-1) „G1-1) у<П-1)
У\ У-1 ••• Уп
отличен от нуля.
181

Для любой системы решений однородного лпнеГшого
уравнения имеет место формула Лиувилля
W (х) = \У (т0) exj. ( - J «1 И dxj,
*о е (а, Ь);
поэтому определитель W может обращаться в нуль только
тождественно, т. е. только если W(xB) = 0. Если у\, у2, ..., у„
образуют фундаментальную систему решенпй, то
hyi + fa!/2 + ■•■ + Яп!/П = у
является общим решением однородного уравнения.
Сформулируем теперь теорему единственности решения
дифференциального уравнения вида
у' = Ф(х, у).
Будем предполагать, что функция Ф(х, у) задана на некотором
открытом множестве G плоскости (х, у) и непрерывна по обеим
переменным. Пусть функция Ф(х, у) удовлетворяет условию
Липшица по переменной у:
\Ф(х, у)-Ф(х,ц)\ ^Щу-п],
где М — некоторая положительная постоянная. Прп этп\
предположениях при любом печальном значении у(ха) — у о, где точка
{хо, i/o) s G, указанпое уравнение имеет единственное решеплс
у (х), удовлетворяющее условию у(х0) = у о- Каждое такое
решение может быть продолжено до границы области G. Другими сло-
вамп, через каждою точку области проходнт единственпая
интегральная кривая.
Теоремы единственности апалогпчным образом формулнроют-
ся п для уравнений «-го порядка, а также для систем
дифференциальных } равнений.
Уравнения и неравенства
Решить уравнение
/(*) = О
с неизвестным х значит найти все значения х, удовлетворяющие
этому уравнению. Такие значения х называются корнями
уравнения пли нулями функции 1(х). Решение можно проверить
подстановкой. Алгебраическим уравнением степени п называется
уравнение вида
f(x) = а0х" + с,*"-1 + ... +а„ = 0, а0 ф О,
где коэффициенты о,-B = 0, 1,..., п) действительные шга
комплексные числа. По поводу решений таких алгебраических уравнений
речь шла в разделе «Многочлены»,
182
Для действительных чисел а и Ь справедливы следующие
часто употребляемые элементарные неравенства:
|в + Ь|<|в| + |Ь|,
|а-Ь|3»||в|-|Ь||,
а\ + а\> 2atn2,
(ЫЧ1/?)A4
аЬ < — +—, р > 1, J_ J_ = 1, а > 0, Ь > 0,
Р Ч Р Ч
ab ^ a log а — а + еь, а > 1, Ь > 0.
Еслп заданы дна множества F, и F2 отображения
gt:4'\—+F2, g2;Fl-+Fi,
то выражение вида
BiU) =Ы/). /ef'.
называют уравнением на множестве Ft.
Данное уравнение пазывают функциональным, если
множество Е, является классом функций с общей областью определения и
общей областью значений. Например, уравнение f(x) = fBx)
является функциональным. .Здесь gi(/(x)) = f(x), g2(f(x)) •= fBx),
i e /?', a F| — мпожество непрерывных функций.
АЛГЕБРА
Матрицы и определители
Определение 1. Матрицей называют прямоугольную
таблицу, составленною из г строк u n столбцов (матрица размера
гХ«):
/ям я12 ... а\г,
Л __ I "А °22 ••• °2ч
\ог| ог2 ... агП
где скаляры с* еР — полю действительных пли комплексных
чисел (иногда произвольному коммутативному полю).
Если г = п, то матрица А оказывается квадратной порядка п.
Диагональ этой матрицы, составленная из элементов ац, с22, ...
..., а„„, называется главной диагональю. Квадратная матрица Е,
все элементы которой, кроме стоящих па главной дпагопали,
равны нулю, а стоящие па главной диагонали равпы единице,
называется единичной.
Пусть заданы прямоугольные матрицы А и В, причем всякая
строка матрггцы А содержит столько же элементов, сколько их во
всяком столбце матрицы В. Тогда произведением матриц А и В
называется матрица С = АВ, число строк которой равно числу
А = \
аи\\
183

строк матрицы А, число же столбцов матрицы С равно числу
столбцов матрицы В, причем элемент матрицы С, стоящей в i-ii строке
п к-м столбце, равен сумме произведений соответственных
элементов 1-й строки матрицы А и k-vo столица матрицы В, т. е.
71
ih £J и ]h
i=i
Положим
аЛ + pz? = ||аяи + pbull,
где А п В — матрицы размера г X и.
Всякое расположение (h, 12, ..., fn) пз п чпесл 1,2,,.,, л в
некотором определенном порядке называется перестановкой
(i'i, h, ■•; in) из п чисел. Перемена местами в перестановке какпх-
либо двух символов называется транспозицией. Говорят, что в
данной перестановке числа к а I составляют инверсию, если к Ь> I,
но к стоит в этой перестановке раньше I. Перестановка
называется четной, если число всех ппверспй в ней четпо, и нечетной в
противоположном случае. J
Всякая транспозиция меняет четность перестановки.
Всякая бискцпя множества первых п натуральных чисел па
себя называется подстановкой о п-й степени:
о: {1,2 и}-* {1,2,..., и}.
Всякая такая подстановка о может быгь записана в следую-,
щем видо
ai,» ai2' ••" ain
где ai = o(i) —число, которое прп подстановке переходит в
число i(i =. 1, 2, ..., и).
Подстановка о называется четной, если общее число инверсий
в двух строках ее записи четно, и нечетной в противоположном
случае (это не завпепт от выбора записи подстановки).
Определим символ |о| по правилу
■It
если a — четная,
еслп a—нечетная.
Опредслеппо 2. Определителем квадратной матрицы А,
А = ||oij||i<j, ,,£„ называется число
det .1 = dot II а,. 11 =
:li?i
'Щ
= 2(-«"Sea» ••• v*n),
где суммирование происходит по всем подстановкам о.
Квадратная матрица, определи гель которой пе равеп нулю,
называется невырожденной (неособенной).
Пусть ||aij|li<i. 7<n—квадратпая матрица, р— целое число
1 ^ р < п, и, ..., if, ;'i, ..., jp — два мпожества индексов, причем
1 eg U < '2 < . - • < ip ^ ", 1 ^ U < 72 < .. • < /р < п. Минором
B(ii, ..., ip; /1, ..., jp) р-то порядка называется определитель,
получающийся из l|ojj||, если выбрать только элементы ij, ..., 1г-ц
Ш
строк и 7i...,?ji-ro столбцов; алгебраическим дополнением
C(ii,..., ip'y iu ■■•tip) этого минора называется произведение
, j4*--l----+'ii! n+.-.+ip па определитель (п — р)-го порядка,
получающийся вычеркиванием пз ||fl,j|| i'i, ..., i3J-u строк u /i, ..., jp-ro
столбцов. Справедливо утверждение.
Теорема Лапласа. Для определителя матрицы А верна
формула
det А =• 2 bVi V'11 ■■ч'р)х C('i' ■■■>fp'>ii> ■••>/p),
1ч ■••» ip
причем суммирование распрост[ аняегся на все сочетания р
индексов 1 sg /1 < .. .< iр sg п.
Определение 3. Наивысший порядок отличных от нуля
мпноров называется рангом матрицы А.
Определение 4. Следом матрицы А = [|oijl[
(обозначается ТтА) называется сумма ее диагональных элементов:
п
ТгЛ-V а
~i II'
1=1
Матрица Ат, транспонированная по отношению к А = |[«ijl|,
размера г\п, есть матрица Ikjill размера га X г- Матрица размера
»Хч называется симметрической, еслп Ат = А, т. е. ац = а^;
эрмитовой пли самосопряженной, еслп ац — ац; ортогональной,
если Ат «"Л-1. Матрица ||aj<|| обозначается А* (черта над «ij
означает комплексное сопряжение, т. е. а(,= а— ф, если atj=a+l$).
Определение 5. Собственные значения матрицы это те
числа Я, при которых определитель матрицы А — ХЕ равен нулю.
Совокупность собственных чпеел матрицы называется спектром
матрицы.
Матрицу А называют унитарной, если А* = А-1; нормальной,
если А*А = АА*.
Пусть А — квадратпая матрица, U — унитарная и А = U^AU.
Тогда можно подобрать унитарную матрицу V, чтобы А была
диагональной в том и только том случае, когда А — нормальная
матрица. Если А—действительная матрица (a,j — действительны), то
U — ортогональная и действительная матрица.
Для матриц размера «X»i можно определить их норму, а
именно:
IMI = sup
где
n m
У- У, о-Л-Чь
—J .—J iftsi Ч>.
2|У2= 2ki»=i.
i=l h=i
Составим формальный ряд с квадратной матрицей А:
оо
*Ч-4) = %аьА\
185

60
Допустим, что числовой ряд 2 I ak 10 '^ Г сходится. Тогда го-
ft=0
ворят, что определена функция F от матрицы А (например, sin А,
ехрЛ, In А ц т. п.).
Системы уравнений, группы,
поля, линейные пространства
Решением некоторого множества (системы) уравнений
/.Оь *2, ...) =0 A=1, 2, ...)
с неизвестными л^, Х2, ... пазывается ыпожество значений
неизвестных х\, х2, ..., удовлетворяющих одновременно каждому из
уравнений системы. Система решена полностью, если найдены всо
такие решения.
Рассмотрим систему п линейных уравнений с п неизвестными
&\у Х2, • • -| Хп1
П
2 аиХ) = Ъ. (i = l,2, ..., п).
1=1
Если определитель системы
D = det||aij||le:i,-„-„
не равен нулю, то система имеет единственное решение
х, = DJD,
где Dj — опредслптель, получающийся пз D заменой элементов
чц, 1, • ■ -1 o„j /-го столбца соответствующими свободными
членами Ь|, Ь2, • •.. Ьи-
Система m линейных уравнений с п неизвестными хи х2, ...
п
2Vi = !l. (i = l, 2,...,m),
имеет рептенпе в том п только том случае, если матрица системы
п расширенная матрица системы
"it •••ain bi\
а ..... о. Ъ .
ml ••' mn m'
имеют один п тот же ранг. В противном случае система
несовместна.
Однородная система и линейных уравнений с и неизвестными
71
^aljX] = 0 0=1,2 п)
1=i
имеет решение, отличное от нулевого, тогда п только тогда, когда
D = 0.
188
Определение 1. Множество G элементов произвольной
природы называется группой, если в G установлена операция,
ставящая в соответствие каждой паре элементов х, у пз G некоторый
элемент ю = ху, называемый произведением элементов х и у,
причем справедливы следующие три аксиомы:
1) (xy)z = x(yz) (ассоциативность).
2) В G имеется левая единица, т. е. такой элемент е, что х =,
= ех для любого х sfi.
3) Для всякого элемента ieG существует левый обратный
элемент, т. е. такой элемент х~1, что х~х х = е.
Если, кроме того, для всяких двух элементов х и у имеет
место равенство ху = ух, то группа пазывается коммутативной или
абелевой. Для коммутативных групп вместо групповой операции
умножения часто употребляется групповая операция сложения
(w = х-{■ у); при этом единица группы называется нулем и
обозначается символом 0, а элемент л;-1, обратный к х, называется
противоположным и обозначается — х. Такие группы называют
аддитивными группами, в отличие от мультипликативных,
определенных выше.
Всюду ниже отображение / в различных определениях
обозначает, вообще говоря, разные отображения.
Определение 2. Кольцом К = (G, /) (ассоциативным)
называется пара, состоящая из аддитивной группы G и отображения
/: G X G —v G, /(*, у) = ху,
причем должны быть справедливы следующие аксиомы:
1) (xy)z = x(yz), т. е. j(f(x, у), z) = f(x, 1(y, z));
2) х(у + z) = ху + xz, т. е. f(x, y + z)= f(x, у) + f(x, z);
3) (у + z)x = ух + zx, т. е. f(y + z, x) = j(y, x) + f(z, x).
Элемент x -J- у кольца называется суммой элементов х и у, а
элемент ху — их произведением. Кольцо называется коммутативным,
если в нем выполнено равенство ху — ух для любых х, у е К.
Если 1) не выполняется, то кольцо называется неассоциативным.
Элементы кольца р ф 0 и q Ф О, для которых pq = О, называются
соответственно левым и правым делителями нуля.
Определение 3. Полем Р называется коммутативное
кольцо, непулевые элементы которого образуют группу по
умножению. Единица е этой группы будет обозначаться символом 1.
-Определение 4 Линейным пространством L над полем Р
называется пара: L = (G, /), где G — аддитивная группа, а / —
отображение f: P'X.G —>- G, зависящее от пары аргументов: /(а, х) =)
= ах, а е Р, х е G и удовлетворяющее аксиомам:
1) а(х + у) = ах + ау, т. е./(а. х + у) = /(а, х) + /(а, у);
2) Г« + Р> = ах + рЧ т. е. /(а + р, х) = /(а, *) + /(Р, г);
3) а(р*) = (а?)*, т. е. /(а, (р*)) = /((ар), х);
4) 1 • ж = х, т. е. /A, ж) = х,
где всюду выше 1, а, р е Р, х, у е G.
Элементы л;, у, ... ей, где L = (G, /), называются
векторами линейного пространства L, элементы иоля Р: 1, а, р, ...
называются скалярами,
187

Выражение влда У] a xt> где а, е Р, х{ е G, а&зыьлчсея ли-
t=i
нейной комбинацией векюров Xi (I = 1, 2, ..., п).
Определение 5. Подмножество элеменгов G, где Л =
= (G, /) — линейное пространство, называется линейным
многообразием, если опо содержит все линейные комбинации входящих в
это подмножество векторов. Мы будем говорить, чю многообразие
натянуто на множество А, еелн оно совпадает с емюкуниостыо всех
линейных комбинаций элементов и.) А.
Определение 6. Совокупность векторов xt, x2, ..., х„
линейного пространства называется линейно независимой, если ни
п
того, что 2 aixi = 0 следует, чю щ = 0 (i = 1, 2, ..., и). Сеско-
i=l
нечная система {.'ч} векторов линейного пространства называется
линейно независимой, если любая ее конечная подсистема лцнейио
независима. 13 противном случае системы называются линейно
зависимыми.
Определенно 7. Подмножество Б векторов линейного
пространства L называется алгебраическим базисом пространства
L, если любой вектор х пространства можно единственным
способом представить в виде
Мощность множества элементов, составляющих алгебраический
базис, называется размерностью (dim L) линейного пространства L.
Если эта размерность равна п, то пространство называется п-мер-
ным векторным пространством. Мы будем предполагать, что
поле Р, над которым определено линейное пространство L, либо
совпадает с R1, либо Р = С — полю комплексных чпеел. В первом
случае Р называется действительным линейным пространством, во
втором — комплексным линейным пространством.
Пусть L„ — конечномерное (n-мерное липейное векторное
пространство с базисом ф|, <р2, ■ •., Фп). Рассмотрим линейное
преобразование (или оператор) А пространства L„ в себя. Матрица
Ikijlli^,-, j<n из чисел йг]- в линейных комбинациях
п
Ау{ = V я ф (« = 1,2,..., п),
полностью определяет линейный оператор. Матрица |[aij[[le;i, j<„
называется матрицей линейного оператора А в базисе ф|, ф2. ■ ■ •■ фп.
Обратно, каждой матрице [[a(j||i<j, j<„ однозначно отвечает
линейное преобразование, определяемое на базиспых векторах (а
значит, и всюду) формулой, приведенной выше.
Собственные значения матрицы есть собственные значения
соответствующего линейного преобразования. Вектор / фО такой, что
А1 = If,
% — собственное число, называется собственным вектором преобра-
еования А. Если матрица унитарным преобразованием приведена я
диагональному виду, то на диагонали будут стоять собственные
чпела Kt, }*з, ..., Я,„ преобразования А.
18в
Преобразование А~х называется обратным по отношению к А,
если
А-1Л = АА~* = Е
•— тождественному преобразованию.
Если А — линейное преобразование, то определители матриц
преобразования А относительно любых двух базисов равны между
собой, их общее значение называется определителем
преобразования А и обозначается det/4 = det||aij||.
Линейное преобразование Ln в себя называется
невырожденным, если для него существует взаимно однозначное обратное
преобразование.
Справедливо утверждение. Для того чтобы линейное
преобразование было невырожденным, необходимо и достаточно, чтобы его
определитель был отличен от нуля.
Пусть Ikijlli^j, ;•«;„ — квадратная матрица. Алгебраическим
дополнением Ац элемента ац называется произведение (—1)'+' па
определитель (п — 1)-го порядка, получающийся из матрицы ||я,-,||
вычеркиванием i-й строки и /-го столбца. Имеет место разложение
dct\\a.Jl=^a..A =^aijA.r
i=l >=1
Если А — невырожденное преобразование с матрицей
Ila,j|li<j, ,<,,, то матрица Ц^иНкь j<-> преобразования Л-1
относительно того же базиса получается по формуле
Здесь А-1 — обратное преобразование. Матрица \\Ьц1 является об-
, ратной по отношению к матрице ||ajj||.
Если у данного преобразования А имеется п линейно пелави-
симых собственных векторов, то в базисе, состоящем из
собственных векторов, матрица преобразования имеет диагональный вид.
Если же у преобразования А в га-мерном векторном комплекс-
пом пространстве имеется к (к ^ п) линейно независимых
собственных векторов
в|, /i, ..., h\,
отвечающих собственным значениям Я,ц Хг. • • •• ^*ч то можно ука-
вать базис, состоящий из к групп векторов
ei, .... ev; f,,...,fq; ...; ht, .... h,; p + q -f ... + s = n,
в котором матрица преобразования имеет вид (так называемую
жорданову нормальную форму):
Ае\ = Л,|С1, Ае2 = е\ + к,е2, •-•. Aev = ep-i -f %,ер;
Af, = l2lu Af2 = /, + hk, ..., Afq = •/,_, + Kdq;
Ah, — Khh\, Ah2 = hi -f- Ккп2, ..., All, = Лз-i + Ял''».
Каждая группа базисных векторов порождает подпространство,
инвариантное относительно оператора А. В каждом таком
подпространстве имеется собственный вектор (например, в подпространст-
189

ве, порожденном векторами си ..., ер, собственный вектор есть
ei), вектор е„, 1 < в ^ р, называется присоединенным порядка п.
Клетка матрицы (жордаиова клетка), отвечающая данной
rpjline векторов, имеет вит.
,'Ху 1 0 ... О 0 \
/О \_ 1 ... О 0 \
1 0 0 0 ... I, 1 I
\0 0 0 ... О \х)
Вся матрица оказывается составленной пз такпх клеток
порядков р, q, ..., s соответственно.
Отображение / группы G па группу С, называется
изоморфизмом, если оно взаимно-однозначно я сохраняет операцию
умножения, г. е. f(x, ;/) = f(x)j(y) для всяких двух элементов х и у из G.
Можно рассматривать изоморфные отображения группы G на себя.
Такпе отображения называются автоморфизмами группы G.
Если в определении изоморфизма отказаться от взаимной
однозначности, то in кос отображение группы G на группу Gt
называется гомоморфизмом. Гомоморфизм / сохраняет только операцию
умножения. Мно.ксство /~'(е.) всех элсмептов группы G,
отображающихся в единицу е\ rpjnnu Gu называется ядром
гомоморфизма.
Изоморфизмы, автоморфпзмьь, гомоморфизмы без изменений
опретл'ляются и для других математических моделей (т.е. множеств
объектов и операции пат ними), например,для кольца и т. п.
Определение 8. Кольцо К называется телом, если пену-
левые элементы кольца составляют ipynny по операции
умножения, определенной в кольце. Если \мвожение в кольце
коммутативно, то тело называется коммутативным (полем), в противном
случае некоммутативным.
Единица е отмеченпой выше группы называется единицей
тега. Элемент е, рассматриваемый как' элемепт аддитивной группы
К, имеет некоторый порядок р, число р называется
характеристикой поля (заметим, что порядком р элемента о группы G
называется такое наименьшее число р, что а*> = е, где е — единица
группы G; порядок элемента может быть и бесконечным).
Определение 9. Отображений А одного линейного
пространства £,, над полем Р в другое лнпеГшое пространство L? над тем
ке полем Р называется линейным оператором п обозначается:
А: £, —у Li,
если выполнены следл ющне аксиомы:
1) А (х + у) *= А (х) + А (у), илп А (х + у) = Ах + А у для
любых х и у из L,;
2) А{ах) «= аА(х), пли А (ах) = аАх для любого х е L\ и
любого a s Р.
Если L\ «*> Li ■= L, то А называется линейным оператором в
пространстве L.
Определение 10. Оператор A: L,—>-£2 называется
функционалом, если L2 с Р. Таким образом, функционал — это
оператор, пространство значений которого есть числовая ось или комп-
пексная плоскость, пли их часть. Множество элементов {я},
которые функционал переводит в нуль, называется ядром функционала,
ISO
Определение ii. Линейное пространство N называете if
нормированным, если каждому ieA' сопоставлено
неотрицательное действительное число '\х\\, которое называется нормой
элемента х, причем справедливы следящие аксиомы:
1) II* + у\\ < INI + \\у\\ для всех х п у из Л';
2) ||ах|[ = |а||Ы1 для любого * е Л' и а е Р;
3) ||i Ц > 0, если х Ф 0.
Задать на линейном пространстве норму — значит определить
неотрицательную действительную функцию
/(*) =IWI,
удовлетворяющую условиям 1)— 3), т. е.
1) /(* + У) < /(*) + /(!/) Для всех х и у из Л';
2) f(ax) = \a\f(x), xcbN, аеР;
3) f(x) > 0, х Ф О, Р — поле чисел.
Если Р — поле действительных чисел, то пространство
называется действительным, если Р — поле комплексных чисел, то
пространство N — комплексное нормированное пространство.
Каждое нормированное пространство можно рассматривать
как метрическое пространство, в котором функция р(х, у)
определена так:
Р(*. У) — f(x — У) = IN — у\\.
Определение 12. Банаховым пространством В
называется нормированное пространство, полное относительно метрики
р(х, у) = Цл: — у||, определяемой его нормой.
Примерами бапаховых пространств могут служить
метрические пространства такие, как II", С[а, Ь], С [а, Ь], п ^ 1.
В нространсгве R" и его бесконечномерном аналоге —
гильбертовом пространстве норму (расстояние между элементами) задает
так называемое скалярное произведение, которое позволяет также
ввести понятие ортогональности двух векторов.
Рассмотрим так называемые гильбертовы пространства.
Данное определение пригодно как для случая конечномерного
линейного пространства, так п для бесконечномерного (первые
называются также конечномерными евклидовыми).
Определение 13. Гильбертовым проаранстеом называется
множество И элементов /, g, h, ..., обладающее следующими
свойствами:
1) II представляет cofiou лииейпое пропранство, т. о. в II
определены действия сложеппя и ^мпожеипи па действительные пли
комплексные числа (в зависимости от этого Н называется
действительным или комплексным пространством).
2) Н является метрическим пространством, причем метрика
вводится с помощью скалярного произведения, т. е. числовой
функции (/. g) от пары аргументов / и g, называемой их скалярным
произведением и удовлетворяющей аксиомам:
а) (% ё) — я(/> ё) Для любого числа а;
б) U + e,h) = (/, h) + (g, A);
191

в) (/. g) = Us. /):
г) (/, /) > 0 при / ф 0; (/, /) = 0 при / = 0.
Норма И/Ц элемента / определяется равенством
11/11= (Л/),
а расстояние между элементами fag полагается равным
Р(Л е) =it-gi.
3) Ы является полным пространством, как метрическое
пространство с выше введенным расстоянием. (Конечномерное
пространство всегда полно.)
Возьмем произвольные элементы /, g e H; пусть К —
действительное число, тогда
0^ U + 4f,g)g,f+Mf,g)g) =
= (/,Л+2*|(/,*)|*+**|(/.йП(*,*I,
следовательно, такой многочлен относительно Я, не может пметь
различных действительных корней, отсюда вытекает, что
\(f,g)\i-(f,f)\(f,g)\2(g, g)<0.
Таким образом (даже в случае (/, g) =0),
К/, g)\*< (f,f)(g,g),
или
I (/, g) I < 11/11 Ш.
Мы получили неравенство Ноши — Бунякоеского. Знак равенства
в нем, помпмо тривиального случая / = 0 пли g — 0, достигается
только тогда, когда / = — K(f, g)g при некотором значении X, т. е.
когда векторы fag коллпнеарны.
Используя это неравенство, легко проверпть, что норма / п
расстояние р (/, g) = [|/ — g{\ удовлетворяют всем аксиомам,
входящим в их определение.
Вместе с метрикой в гильбертовом пространстве появляются
понятия, связанные с предельным переходом в смысле введенного
расстояния.
Наличие скалярного произведения позволяет ввести в Н
понятия угла между векторами (Н — действительно)
С05(/'Ю = ||7Щ|-
Это понятие в свою очередь позволяет назвать два вектора
ортогональными, если они образуют угол в 90°. Другими словами,
векторы/и g называются ортогональными, если (/, g) — 0.
Если вектор / ортогонален векторам g,, ..., gn, то он ортогона-
11
лен п пх линейной комбинации ^ a.g.
Если векторы g„ ..., g„, ... ортогопалыш вектору / п g =
= lim£n, то вектор g ортогонален вектору /.
п-»оо
Из сказанного следует, что совокупность всех векторов,
ортогональных векторам /,, ...,/„ (п — фиксировано) образует
замкнутое линейное многообразие, т. е. подпространство — ортогональное
дополнение к множеству {Ju ...,/„}.
102
Пусть N, n N2 — два нормированных пространства.
Определение М. Оператор Л: Л'| —»■ Л'2 называется
ограниченным, если существует такая постоягпая М, что
\\ax\\^^m\\4Ni
для любого гбЛ'|.
Здесь N\ и Л'г — два нормпропаппых пространства, запись
|1 Ах ||jy ufa; \\N означает, что нормы берутся в пространствах Л'2
и Л'! соответственно. В тех случаях, когда это не вызывает
недоразумений, индексы N2 n Ni внизу опускаются.
Справедливо утверждение. Пусть N\ и Л'2 — два
нормированных пространства, А—линейный оператор, отображающий Л"| в
Л'г, тогда для того, чтобы он был непрерывен, необходимо и
достаточно, чтобы он был ограничен.
Определение 15. Пусть А — линейный ограниченный
оператор, отображающий одно нормированное пространство Nt в
другое Л'г- Нормой ||Л || оператора А пазывается наименьшая из
постоянных М, удовлетворяющих условию
\\Ах\\ < М \х\\.
Таким образом, по определению порма |[Л|| оператора А
обладает двумя свойствами:
а) для любого х е Л'|, ||Лг|| ^ ||Л||||л;||;
б) для произвольного е> 0 существ\ет элемент хе такой, что
||Л*е||>(||Л||-е)Ы1.
Определение 16. Оператор А*, действующий в
гильбертовом пространстве, называется сопряженным к ограниченному
оператору А, если для любых /, g е // выполнено равенство
(AJ,g) = U,A*g).
Действительно, (Af, g) при фиксированном g представляет
собой линейный функционал, примененный к переменному
элементу /, тогда существует однозначпо определенный элемент g* такой,
что (Af, g) = (/, g*) для любого /.
Положим A*g = g*; так определенный оператор, очевидно,
линеен. Покажем, что он ограничен и его норма равна норме
оператора А. Пусть / = A*g, тогда можно записать, что
(A*g, A*g) = (AA*g, g) s£ ИЛЛЕШИ <||Л|||[Л*£|И1г1|.
Значит, \\A*g\\ < ||4|||lg||, ЦЛ*1К|[Л||. Точно так же, положив g =
•= Af, получим, что ||/1|| sS ЦЛ*||. Значит, ||Л|| = ||Л*|].
Единичный оператор Е и нулевой оператор О совпадают со
своим сопряженным, т. е. Е — Е*, О — О* (Ef = f, Of = 0, / е Н).
Определение 17. Если ограниченный оператор совпадает
со своим сопряженпым, то он называется симметрическим
(самосопряженным). Из определения сопряженного оператора вытекают
следующие равенства:
(аА)* = аА*, (А, + Аг)* = А\ + А\, (А А)* = Л\а\.
Заметим, что если преобразование (оператор) Л задано в п-
мерном евклидовом пространстве, то матрица сопряженного
преобразования (оператора) А* получается из матрицы
преобразования (оператора) А в ортогональном базисе переходом к
транспонированной и комплексно сопряженной матрице.
13 в. А. Садовничий, А. С, Подколзин
193

Билинейная форма от 2п переменных £i, |2, ■ ■ ■, In, t]i, rj2, ...
i«.i tjn есть выражение вида
п п
«J», Б«, ^lft — числа, ж' ss {£,} — матрица-строка, у = {r\k) —
матрица-столбец.
Квадратичной формой называется выражение
п п л
х'Ах = ^ 2 ei*EiEfc=*'^i*. A^-flA+A').
Матрица /li называется матрицей квадратичной формы. Каждой
квадратичной форме можно поставить в соответствие бесконечно
много различных матриц А, для которых эта форма равна х'Ах.
Среди них одна матрица А\ является симметрической. Поэтому
квадратичную форму мы всегда считаем симметрической.
Квадратичная форма действительна, если действительна
матрица Аи
Действительная симметрическая квадратичная форма
называется положительно определенной, если х'А\х > 0, отрицательно
определенной, если х'А\Х < 0 (неотрицательной или
неположительной, если соответственно х'Ахх ^ 0, х'А\х ^ 0) для каждого
набора действительных чисел \\, |2, •■•, In, не все из которых равны
нулю. Все остальные формы называются неопределенными (если
внаи x'Aix меняется) или тождественнЬ равными нулю.
Эрмитовой формой от п действительных или комплексных
переменных |i, |2, ..., £„ называется выражепие вида
**А*=2 S«,J,EA,
где А\ = \а1ъ |i<t,ft<n —эрмитова матрица (а,-» = ам), матрица
х* = {!,-} (черта сверху означает комплексное сопряжение). Для
эрмитовых матриц аналогично определяется понятие
положительной определенности, отрицательной определенности и т. п.
Линейное невырожденное преобразование координат вектора
п
*1=2(«& С-1. 2,...,и), (х = Тх),
det T ф 0 переводит квадратпчпую форму в квадратичную форму
от новых переменных |i, £2, ■ • -, \п'.
п п
х'АуХ= 2 2 "ihtfih—x'^i-0'
Для каждой данпой действительной симметричной
квадратичной формы существует такое липейное преобразование с дейст-
194
внтслышмп коэффициентами tik, что новая матрица 2, является
диаюнал! ной:
71
х'Ахх = х'А^с~ 2 °u?i-
1=1
Для эрмитовой формы также существует такое линейное
преобразование, что
Число т отличных от пули коффнцчеитов в диагональных
видах форм пе зависит от выбора преобразования и называется
рангом данной формы. Уто число г совпадает также с рангом
матрицы А,. Разность s между числом положительных и числом
отрицательных коэффициентов ац в диагональном виде действительной
формы пе зависит от выбора преобразования (закон инерции). Это
число называется сигнатурой квадратичной формы. Аналогичный
закон справедлив и для армнговых форм. Добавочным
преобразованием ли формы можно привести к виду
п п
x'ALx = V e.t2 пд11 x*AiX = V В| I Е, |2,
i=l i=l
где е,- раврн + 1, —1 пли 0.
Если даны две квадрн гпчпые формы, одпа из которых
положительно определенная, то можно указать такое преобразование,
которое приводит ir\ одновременно к диагональному виду.
Существует много признаков положительной определенности,
нео1|шцагельнос1ц н т. д. квадратичной формы. Приведем один из
них.
Квадратичная форма является положительно определенной,
отрицательно определенной, неотрицательной, неположительной,
неопределенной и тождественно равной нулю, в том и только том
случае, если собственные значения Л,- матрицы А\ (они всегда
действительны) соответственно все положительны, все отрицательны,
все неотрицательны, все неположительны, имеют различные
знаки или все равны нулю.
ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ II КОМБИНАТОРИКА
Пусть тип — целые чпела. Если существует такое целое ft,
Что т = кп, то говорят, что т делится на п или что п делит тп\
8то обстоятельство обозначается п\т. Если т\п,; т\п2; ...; т\пь,
то m называется общим делителем чисел щ, ..., п». Наибольший
общий делитель этих чисел обозначается (щ, п2, ..., nh). Если он
равен 1, то числа К|, ..., пк называются взаимно простыми. Если
га, | т; га2| т;...; пк | т, то m называется общим кратным чисел nt,...
..., га». Наименьшее положительное общее кратное чисел И|, ...
.... Пк обозначается [пи п2, ..., /и]. Имеет место соотношение
тпп
[ш, п] — ——ч. Если (т, п) = к, то для люоого целого р сущест-
вуют такие целые х а у, что тх + пу = кр.
13*
195

Целое число р, большее единицы, положительные делители
которого исчерпываются числами 1 и р, называется простым.
Множество простых чисел бесконечно; каждое положительное
целое число п единственным образом представляется в виде п =,
—pim..-pftllt где pi < р2 < ... < Р», Pt — простые числа, т, —
целые положительные числа. Эго представление называется
каноническим разложением числа п на простые сомножители. Множество
положительных делителей числа и исчерпывается числами вида
pt\"'pth' где ° ^ '■' ^ т''
Пусть п — целое положительное число. Чпсло целых
положительных чпсел, не превосходящих п и взаимно простых с п, обо-
вначается <f(n) (функция Эйлера). Если л =/>™' ... ^ft
ft—каноническое разложение п на простые сомножители, то
Пусть го, n — целые числа, к — целое положительное. Еслп
к \ т — п, то числа т и к называются сравнимыми по модулю к,
что обозначается m = n(modA). Если го— целое число, большее
единицы, и (п, т) = 1, то n«<) a l(mod m) (теорема Эйлера).
В частности, еслп р — простое и и не делится на р, то вр_| =
eal(modp) (теорема Ферма).
Для произвольного вещественного числа х посредством \х\
обозначается наибольшее целое число, не превосходящее х; [х]
называется целой частью числа х. Величина
{х} = х — [х]
называется дробной частью числа х.
Показатель, с которым данное простое чпсло р входит в
разложение числа п] на простые сомножители, равен
Ж+й+И
+
Пусть М — некоторое конечное мпожество. Перестановками
будем называть упорядоченные выборки элементов М;
сочетаниями — неупорядоченные выборки элементов М. В перестановках и
сочетаниях можно как допускать повторения одинаковых
элементов из М, так и не допускать таких повторений. Число
перестановок без повторений us n элементов по к обозначается Р^ и
равно — Число сочетаний бее повторений из п элементов по к
(п — кI'
обозначается С„ и равно —г-, гт- Число перестановок с повторе-
к\ (п — к)\ '
ниями ив n элементов по к равно ге*. Число сочетаний с
повторениями us n элементов по к равно С„, /,_(! для вывода этой
формулы полезно заметить, что число сочетаний с повторениями из п
элементов по к равпо числу решении в целых неотрицательных
числах уравнения к = xi -J- хг -\- ... -f- xn. Имеют место следующие
И*
соотношения:
(* + аГ = 2 с.УУ1-". с» + c*_i = с*+», £ сп = 2П.
А=0 ft=0
2<-1)*С*=0, 2(-1)*-*С* = 0, в>1,
n m
. 2(-i)*C£C*=0 (B>r).
ГЕОМЕТРИЯ
Любые две точки А а В трехмерного пространства, взятые в
определенном порядке, так что, например, А является первой, а В—
второй точкой, определяют направленный отрезок с началом А и
—>
концом В, или вектор АВ. Еслп А = В, то получаем нулевой вектор:
—> • —> —>
О = АА. Два вектора АВ и CD называются равными, еслп их
можно совместить друг с другом путем параллельного переноса.
Длиной вектора АВ, обозначаемой | АВ \, называется длина отрезка
АВ. Если А, В, С — точки пространства, то вектор АС называется
суммой векторов АВ и ВС: АС=АВ -f- ВС. Если X— действительное
чпсло и АВ—вектор, то вектор АС, получающийся умножением
АВ па X: АС = LIB, есть такой вектор, что \АС\ — \\\\АВ\, при*
чем С лежит па прямой АВ по ту же сторону от точки А, что и В,
в случае ?.>0 и по другую сторону от этой точки при X ^ 0.
Векторы образуют абелеву группу по сложению; выполняются
также следующие соотношения:
к (и -f- v) = Хм -f- Xi>, (Хх -f- Х2) и = Ххи -f- Xsk, Хх (к2и) = (ХхХа)ы.
Под углом между векторами ЛВ и АС понимается угол ВАС, по
величине заключенный между 0 и я.
Скалярным произведением векторов и и v называется чпсло,
равное пропзведеппю длин этих векторов на косинус угла между
ними; оно обозначается (и v) и обладает следующими свойствами:
(и, v) = (v, и), (и, i>-f к>) = (и, v) + (в, if),
(Хы, р) = X(в, v), (в, и) = |и |а,
(в, v) = 0 тогда и только тогда, когда векторы в, р
перпендикулярны между собой.
Векторным произведением вектора АВ па вектор АС
называется вектор AD, длина которого равна произведению длин векторов
197

АВ и АС на спнус угла между ними; этот вектор перпендикулярен
плоскости, в которой лежат векторы АВ п АС и направлен в ту
сторону, откуда поворот от АВ к АС на угол, не превосходящий я,
виден против часовой стрелки. Векторное произведение вектора и
на вектор о обозначается uxv; оно обладает следующими
свойствами:
uxv = — vXu, ux(v + w)=uxv-\-uXw, (lu) xv = l(uxv),
ихм = 0; (w, uxv) = (e, uxv) = 0.
Если О — начало координат п х, у, z, а, [}, у — координаты
точек Л и В, то
ОАХОВ = („у - гР) * + (=а - xy) / + (*Р - ryct)ft=
i у ft
г г/ z
а Р V
где £, у", ft — векторы единичной длины, направления которых
совпадают с направлениями осей Ох, Оу п Oz соответственно.
Смешанным произведением (и, v, w) векторов и, v u ее
называется велпчппа [и, v X to). Смешанное произведение обладает
свойствами:
(и, v, iv) = (v, w, и) = (w, и, v) = — (v, к, и>) =
= — («, w, v) = ■
(и, и) (и, и) (в, ю)
■(н», f, "),
(и, v, wJ =
(v. и) (v, v) (v, iv)
(IV, U) (W, V) (W, W)
Векторы, параллельные одной плоскости, называются
компланарными.
Гомотетией пространства (плоскости) с цептром А и
коэффициентом растяжения к > 0 называется такое отображение
пространства (плоскости) па себя, при котором:
1) точка А остается пеподвижпой;
2) всякая точка В Ф А переходпт в точку В' такую, что АВ'—у
= MB.
Кривые п поверхности второго порядка определяются
уравнениями второй степени относительно декартовых прямоугольных
координат. Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид
ацхг + 2а,2ху + а22у2 + 2а,3х -}- 2аюу + а33 = 0, A)
а общее уравнение поверхности второго порядка — вид
аах2 +я22!/2 + вззг2 + 2а12ху + 2а13хг + 2a-ayz +
+ 2altx + 2<7240 + 2a34z + ati = 0. 'B)
Каждая кривая второго порядка, имеющая хотя бы одну
действительную точку, в подходящей прямоугольной системе координат
описывается своим каноническим уравнением:
198
а) невырожденные кривые;
Ж
Ь
1) —2~ + "Та- = * — эллипс с полуосями а п о,
х У
2) -^j- — -jj- = 1 — гипербола,
?,) у2 = 2рг — парабола (р > 0);
б) вырожденные кривые:
* 7/2
а5"" Ь2
х3 у3
5) —2~ — ~/ а = "— две пересекающиеся прямые,
х3
6) —J- =1 — две параллельные прямые,
х v
4) -^2" + ~ТД" = 0— точка,
х3 У3
а'
7) х2 = 0 — прямая.
Если (xi; i/i) — точка привой второго порядка, заданной
уравнением A), то касательная к этой кривой в точке (хй у\)
определяется уравнением
(auxi + a,2yi + а,з)х + (a2,Xi +а22у, +а2з)у +
+ (аз\Х\ + a&yi + 1зз) = 0. C)
Уравнение нормали к этой кривой в дайной точке пмест вид
X — X-i У — .V]
«ll^l + a12Vl + °13 °2|с1 + Я22.!Л + а23*
Если (xi\ yt) — произвольная точка плоскости, то прямая,
определяемая уравнением C), называется полярой точки (xt; yt)
относительно данной кривой второго порядка; точка (ж,; у,)
называется полюсом этой поляры. Можно показать, что если точка Р
лежит на поляре точки Q, то и точка Q лежит па поляре точки Р.
Такпм образом, если через точку можпо провестп две касательные
к кривой второго порядка, то поляра этой точки проходит через
точки касания.
Каждая поверхность второго порядка, содержащая хотя бы
одну действительную точку, в подходящей прямоугольпой системе
координат описывается своим каноническим уравнением:
а) невырожденные поверхности:
х3 у3 z3
1) —j- -f- ,a -f- а == 1 — эллипсоид с полуосямп а, Ъ, с,
х3 у3 т.3
2) —2~ "I" ' 1.2 — —2~ = ^— однополостный гиперболоид,
X3 У3 Z2
3) —2~— и — —2~~ = 1— двуполостный гиперболоид,
х3 у3
4) + —— = 2з — эллиптический параболоид,
' Р Я
х3 V2
5} ■ — —— = 2z — гиперболический параболоид;
I p q
б) вырожденные поверхности: ,,
^ ?/2 z2
6) ~Ж + Т5" + "Г2- = 0_ точка'
х2 у2 z2
7> ~аТ + ^ЬГ~13~ = 0_ конус'
199

8> 1Г + -1Г
ха j/2
9) ~w—~tr
.9'2 7>2
101 Л- У
Щ а* + 62
к* у"
12) j,« = 2/w
13)-гг=1
14) хг =0
= 1
= 1
= 0
= 0
— эллиптический ijii гиидр,
— гиперболический цилиндр,
— прямая,
— две пересекающиеся плоска ги,
— параболический цилиндр,
— две параллельные плоскости,
— плоскость.
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Выше уже говорилось, что в теории вероятностей события
можно рассматривать пак множества некоторого измеримого
пространства X.
Алгебра событий, связаппая с данным пспьпанпем, обладает
тем свойством, что для класса 3?о ее возмоя.ных исходов
(событий) имеют смысл следующие определения:
1. ОбъединениеAl Q А2 U ...последовательности событий Аи
А2, •-. состоит в осуществлении хотя бы одною из событий А\,
2. Совмещение (произведение) /1t Л .12двух событий есть
событие, состоящее в осуществлении событий А\ и А2.
3. Дополнение (отрицание) А' есть собьпие, состоящее в
неосуществлении события А.
4. Достоверное событие Е состоит в осуществлении хотя бы
одного события пз указанного класса 3?о.
5. Невозможное событие О состоит в том, что не
осуществляется ни одно из событии класса 3?0.
Обозначим через 3? класс событий, состоящий пз нласса 3?0 п О.
Определение 1. Вероятностью Р(А) события А
называется определенная на 3? однозначная действительная фушщия,
удовлетворяющая аксиомам:
1. Р(А) ~$t 0 для любого события Лей".
) 2. Р(Е) = 1 для любого достоверного события.
3. Р(АА[) А2 U... )= Р(А i) + P(A2) + ... для любой
последовательности попарно несовместимых событий Аи Аз, ..., т. е. таких,
что А1П А. = 0при i Ф /.
Из сказанного выше следует, что О^Р(А) sg 1 для любого
A е S, Р(О) =0 для любого невозможного события О; нз
равенства Р(А) = 1 или Р(А) =0 не следует, что А достоверное
событие или невозможное.
Определение 2. Условной вероятностью P(A\At) события
А при условии осуществления события А\ называется вероятность,
определяемая из соотношения
Р(А(] А1)=Р(А1)Р(А\А1).
Вероятность Р(А\А,) не определена, если P(At) =0.
Два события Л, и А2 называются независимыми, еслп
200
Пусть Ли А2, ...^последовательность попарно несовместных
событий таких, чю Ау U А2 [] ... — Е. Тогда для каждой пары
событий Лj и А имеет место формула Байеса
Каждый класс 3? событий А может быть представлен как
множество М попарно иесовместных событий А Ф 0 так, что каждое
событие А есть объединение некоторого подмножества событий
пз М. Множество М называется пространством выборок или
множеством элементарных событий, связанных с данным испытанием.
Каждое множество элементарных событий А пз М соответствует
некоторому событию А. В частности, само М соответствует
достоверному событию, пустое множество — невозможному событию.
Вероятности Р(А) есть значения некоторой счетно-аддитивной (или
аддитивной) функции множества, определяющей распределенпе
вероятностей в пространстве выборок.
Таким образом, алгебра событий 3? изоморфно отображается
на алгебру измеримых множеств.
Определение 3. Случайной величиной £ называется
переменная, значения которой | = X образуют множество
элементарных событий {| = А'}, т. е. значениями которой являются точки в
пространстве выборок. Соответствующее распределение
вероятностей называется распределением случайной величины £.
Мы будем предполагать, что все действительные случайные ве-
личппы заданы в интервале (—оо, оо); значения случайной
величины, не соответствующие элементарным событиям А,
рассматриваются как невозможные события и им приписывается
вероятность 0.
Распредглсппе действительной случайной величины £
задается ее функцией распределения
Ф,(Х) е= Ф(Х) = РЦ < X].
Действительная случайная величина £ называется дискретной,
если вероятиостп
Р{Ъ = х} в р(Х) ^ />{| = X)
отличим от пуля только для счетного множества спектральпых
вначеиий X = X.j., A'B)... Каждое дискретное распределение
вероятностей может описываться, кроме того, функцией
распределения
ф* CD = ф (X) ==/> {&<*,= S Кх<)-
Действительная случайная велпчппа £ называется
непрерывной, если ее функция распределенпя Фг(Х)-^ Ф(Х) непрерывна н
имеет кусочно-непрерывную производную — плотпость
распределенпя вероятностей величины |:
Р \Х < г < X + Д Л <7Ф
Ч (X) = т (X) = limo ^ = _
201

В частности, еслиф(£)=-—прпЦ — rj| < а и ф(|) = 0 при
za
1£— tjI >■ а, то такое распределение называется равномерным
(прямоугольным).
Определение 4. Математическое ожидание (среднее
значение) функции /(£) от дпскретнон или непрерывной случайной
величины | есть
2 f № Р (£)> где сумма берется по всем спектраль-
g пым значениям дискрегаой случайной
щ /р\ _. величины X (дискретный случай),
f /A)фA)^£ (непрерывный случай).
■ Математическое ожидание М\ = т| и дисперсия ТУ% — о2
случайной величины £ определяются по формулам
' У 1/> E) (дискретный случай),
т1
М g = Г) = +оо
J s ф (*) Й| (иепрерывный случай);
I -°°'
С|=о2 = Ж(|-пJ.
Справедливы формулы
D\ = о2 = Л/|» - п2 = Л/|A - 1) - r|(v, - 1).
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИИ
[х] — абсолютная величина числа х.
| а\ — длпна вектора а.
\АВ\ —длпна отрезка АВ.
\х\ —наибольшее целое число, не превосходящее х
(целая часть числа х).
{х} — {х} = х — [х] (дробная часть числа х).
]х\ —наименьшее целое число, большее или
равное х.
[а, Ь] — множество чисел х таких, что а ^ х ^ Ъ; при
а < Ь это множество определяет отрезок
числовой прямой с концами а и Ъ.
(а, Ь) — множество чисел х таких, что а < х < 6;
зто множество определяет на числовой
прямой интервал с концами а и Ь.
(а, Ь] — множество чисел х таких, что а <_ х ^.Ъ.
[а, Ь) — множество чисел х таких, что а ^ х < Ъ.
R — множество действительных чисел.
Rn —арифметическое n-морпое пространство, см.
стр. 161.
N — множество натуральных чпеел.
Z — множество целых чисел.
Zn —множество наборов [а\, ..., ап) целых чисел
оь ..., ап.
Z2 — поле вычетов по модулю два. Это поле
состоит из двух элементов 0 и 1, причем операция
умножения в нем обычная, а операция
сложения отличается от обычной лишь тем, что
1 + 1 = 0.
п (mod k) — остаток от делеппя целого числа п на
натуральное число к (т. е. такое пелое число ш,
0 ^ m ^ к — 1, что для некоторого целого /
п = kl + m).
п = m (mod к) — целые числа nam пмеют одинаковые
остатки от деления на патуральное число к.
п\ — произведение всех натуральных чисел от 1
до п.
ph г- число сочетаний из п по к, см. стр. 197.
^п
£03

{r?i} —верхний предел последовательности {»-„), т. е.
п-*10 такое число а, что для люоою е > 0 на
интервале (а — е, а + е) лежит бесконечно много
точек последодателъпопи {х„}, прпчем все
члены последовательности {с„}, кроме копеч-
.. ного их числа, лежат ниже точки a -f е.
■ \гп) —нижний предел последовательности {гп}, т. е.
г|_"ю такое число а, что для любого е > 0 на
интервале (а — е, а + е) лежит бесконечно много
точек последовательности {хп}, причем все
члены последовательности {#„}, кроме
конечного их числа, лежат выше точки а — е.
lim / (х) — предел в точке а справа, см. стр. 169.
11 in / (г) — предел в точке а слева, см. стр. 1СЭ.
К -*(> —
7(х) ~ g(z) —отношение ' стремится к 1 при х—*■ а.
прах—. g(jr)
f (з)
f(x) = o(g(x)) —отношение ' стремится к 0 при х-*■ а.
при х-»п £(ь)
/(.т) = 0(g(y)) — существует окрестность точки а, в которой от-
ношение Т 1Х> ограничено.
g(x)
sup А — точная верхняя грань множества
действительных чисел А, т. е. такое наименьшее число а,
что для любого х е А выполнено х ^ а.
inf А — точпая нижняя грань множества
действительных чисел А, т. е. такое наибольшее число а,
что для любого х е А выполнено х ^ а.
A (J В — объединение множеств А и В, см. стр. 159.
А П В —пересечение множеств А п В, см. стр. 159.
А\В —разность множеств А и В, см. стр. 100.
А&В — симметрическая разность множеств А и В,
см. стр. 160.
Л_' т" — дополнение множества А, см. стр. 160.
А — замыкание множества А, см. стр. 162.
(«, Ь) — скалярное произведение векторов а п Ь, см.
стр. 198.
ах Ь — векторное произведение векторов а и 6, см
стр. 198.
(а, Ь, с) — смешанное произведение векторов а, 6 и с,
см. стр. 198.
И жA —норма (длина) вектора х, см. стр. 191.
dim L — размерность линейного пространства Ь, см.
стр. 188.
grad f(xt,,.., хп) — функция, вначенпем которой в точке
или V/(ari, ..., Хп) (л?), ..., хп) служит вектор
а/(х,, ...,«„)_ еЛ_+a/(*f,...,,,,) g f
в|, . .., e„ — единпчпые векторы прямоугольной
системы координат.
204
rot F {х, у, z) — ротор векторной функции F (,т, у, z); если
F(x,y,z)==FJx,y,z)i+Fu(x,y,z)j-\-Fz(x,yf)k,i-ti.o
i,j,k—единичные векторы прямоугольной
системы координат,
rot F{x, у, z) '=
/ 8Fz_ dFy\ . [SFx_ 8Fz\ . FFy 8Fx\ '
^[ду~ ~гI + (~дГ ~Ш)^[~ёх-1у~1
С" \а, Ь\ — пространство п раз непрерывно
дифференцируемых функции на отрезке [а, 6], см. стр. 171.
С°° — пространство бесконечподифференцпруемых
функций.
А ф В — прямая сумма линейных подпространств А
и В.
1<ег А — ядро линейного оператора А — множество
векторов, переводимых этим оператором в
нулевой вектор.
А* — оператор, сопряженный к оператору А, си.
стр. 193.
11 <з m j I! — матрица с элементами at}.
detil — определитель матрицы А, см. стр. 184
Тт А — след матрицы А, см. стр. 185.
/1Т — транспонированная матрица А, см. стр. 185.
/<">(:г) —производная п го порядка функции f(x).
degp(x) — степень многочлена р[х).
lm z — мнимая часть комплексного числа ж «=» а + lb
Im 2=6.
Re z — действительная часть комплексного числа г =»
= а+ ib; Re г = а.

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ ВУЗОВ,
ВСТРЕЧАЮЩИХСЯ В ТЕКСТЕ
Мех.-мат. —Механпко-математическпп факультет МГУ.
ВМК МГУ — Факультет вычислительной математики и
кибернетики МГУ.
МАИ — Московский авиационный институт.
МАТИ — Московский авиационный технологический ппстн-
тут.
МАМН — Московский автомеханический институт.
МЛДИ —Московский авгомобшп.но-дорожный институт.
МГМП — Московский горпын институт.
МГЦ — Московский ппрочелноратикнын институт.
MUCH — Московский ипжеиерпо-строительпын институт.
МИФИ — Московский инженерно физический институт.
МННГА — Московский институт инженеров гражданской
авиации.
МИНГАиК — Московский институт ппженеров геодезии,
аэрофотосъемки и картографии.
МНИТ — Московский институт инженеров
железнодорожного транспорта.
МННСП — Московский институт инженеров
сельскохозяйственного прмиводства.
МНИХ — Московский ппститут народного хозяйства.
МННХпГП — Московский институт нефтехимической и газовой
промышленности.
МГПИ — Московский государственный педагогический
институт.
МОПИ — Московский областной педагогический институт.
МИРЭА — Московский институт радиотехники, электроники
п автоматики.
МИСНС — Московский институт сталп п сплавов.
СТАНКНН — Московский станкоинструментальный институт.
МтекстИ — Московский текстильный институт.
МтехнИ — Московский технологический институт.
206
МТИЛП
МТ1ШП
МФТИ
МФИ
МИХМ
МЭСИ
МИЭТ
миэм
мэис
МЭИ
миэи
УДН
мвту
ВТУЗ — ЗИЛ
— Московский технологический институт легкой про-
м ышленности.
— Московский технологический институт пищевой
промышленности.
— Московский физико-технический институт.
— Московский финансовый институт.
— Московский институт химического
машиностроения .
— Московский экономпко статистический институт.
— Московский институт электронной техники.
— Московский институт электронного
машиностроения.
— Московский электротехнический институт связи.
— Московский энергетический институт.
— Московский ишкенерно-экономпчеекпй институт
в наст, время — Моск. институт управления.
— Университет дружбы народов.
— Московское высшее техническое училище.
— Высшее техническое учебное заведение при
Московском автомобильном заводе пм. II. А. Лихачева.

Виктор Антонович Садовничий
Александр Сергеевич Подколзип
ЗЛДЛЧП СТУДЕНЧЕСКИХ ОЛИМПИАД ПО МАТЕМАТИКЕ
Ы.. 1078 г., 208 с илл.
Редактор А. Ф. Лапке
Те\н. редактор Н. В. Иошелева
Корректор 3. В. Автонеееа, Л. Н. Боровика
ИБ J4 11186
Сдано в набор 28.12.77. Подписано к печати 28.06.78. Т-12871.
Бумага 84х108'/3!. тип М 3.
Обыкновенная гарнитура. Высокая печать.
Условн. печ. л. 10.02.
Уч.-изд. л. 13,26.
Тираж 150 000 экз. Заказ М 12,
Цена кннгн 40 коп.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-чптечатнческоп литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
4-я типография издательства «Наука». 630077,
Новосибирск. 77, Станиславского, 25.