НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ
МАТЕМАТИКА
УЧЕБНИК
ДЛЯ ДЕСЯТЫХ-ОДИННАДЦАТЫХ
КЛАССОВ
СРЕДНИХ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ
УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
ЧАСТЬ II
НОВОСИБИРСК * 2000

удк
мзз
А. А. Никитин, В. С. Белоносов, М. П. Вишневский,
В. В. Войтишек, Т. И. Зеленяк, А. А. Мальцев,
А. С. Марковичев, Ю. В. Михеев, А. И. Саханенко, Д. М. Смирнов
Под редакцией
А. А. Никитина
МЗЗ
Математика: Учебник для десятых-одиннадцатых классов
средних общеобразовательных учебных заведений. Часть II. —
Новосибирск: Издательство ИДМИ, 2000.— 272 с.
ISBN 5-88119-061-0
Учебник подготовлен в рамках проекта " Индивидуализация обучения на
основе личностно ориентированного учебного плана общеобразовательной школы".
Научный руководитель проекта — В. Д. Шадриков, академик Российской
академии образования, доктор психологических наук, профессор.
Руководитель авторского коллектива и главный редактор — А. А. Никитин,
член-корреспондент Российской академии образования, доктор
физико-математических наук, профессор.
М
1602000000
14Б(03)-00
ISBN 5-88119-061-0
(с) B.C. Белоносов, М.П. Вишневский, В.В.
Войтишек, Т. И. Зеленяк, А. А. Мальцев, А. С.
Марковичев, Ю. В. Михеев, А. А. Никитин, А. И. Саханенко,
Д. М. Смирнов, 2000

ПРЕДИСЛОВИЕ
Данная книга является единым учебником по математике для
старших классов средних общеобразовательных учебных заведений без
традиционного разделения на геометрию и алгебру с элементами
математического анализа. Такой подход, с одной стороны, отражает
единство математики как науки, а с другой — позволяет учителю гораздо
свободнее планировать учебный материал, исходя из реально
сложившейся ситуации.
Еще одна особенность учебника — три уровня изложения,
отличающиеся не только объемом, но, главным образом, глубиной и
сложностью изучаемого материала. Первый уровень содержит те сведения,
умения и навыки, которые необходимы каждому человеку. Второй
уровень предполагает изучение математики в объеме, достаточном для
последующего обучения в техническом вузе. Наконец, третий уровень
должен способствовать углубленному изучению предмета, подготовке
к продолжению образования на математическом факультете
университета.
Материал первого уровня может изучаться независимо от второго
и третьего, а материал второго не зависит от изучаемого на третьем
уровне. Разделы, относящиеся ко второму уровню, отмечены в тексте
звездочкой, а материал третьего уровня — двумя звездочками.
Учебник состоит из двух частей. Первая часть рассчитана на
изучение в 10 классе. В ней содержатся начальные сведения по
стереометрии, элементарным функциям и теории вероятностей. Во
второй части осуществляется переход к систематизированному изучению
стереометрии на основе аксиоматики и применению методов
математического анализа к исследованию функциональных зависимостей. В

4
Предисловие
основном содержание второй части рассчитано на изучение в 11
классе, однако, некоторые темы можно перенести и в 10 класс.
Каждая часть состоит из глав, разбитых на параграфы. В свою
очередь, параграфы делятся на более мелкие разделы — пункты. К
каждому параграфу предлагаются контрольные вопросы и задания,
задачи и упражнения, а к каждому пункту — подходящий "открытый
вопрос".
Наличие открытых вопросов также составляет важную особенность
изложения учебного материала. Рассмотрение ответов на такие
вопросы обязательно при изучении каждого пункта. Открытый вопрос не
является контрольным. Ответ на него не всегда однозначен. Более
того, иногда сознательно предполагается, что существует несколько
различных правильных ответов. Многие ответы можно найти на
страницах учебника, а в некоторых случаях их подсказывает окружающая
действительность. Часто именно ответ на открытый вопрос дополняет
материал пункта до логического завершения.
Авторы учебника выражают чувство искренней признательности
В.Д. Шадрикову, выдвинувшему концепцию проекта
"Индивидуализация обучения на основе личностно ориентированного учебного
плана общеобразовательной школы".

ЧАСТЬ II
МАТЕМАТИКА 11

НАЧАЛА СТЕРЕОМЕТРИИ
глава
В этой главе будут сформулированы аксиомы, лежащие в
основаниях стереометрии, и рассмотрены понятия: параллельности двух
прямых в пространстве, параллельности прямой и плоскости,
параллельности двух плоскостей.
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ
1.1. Раздел математики, который занимается изучением
пространственных фигур, называется стереометрией.
В стереометрии основными объектами являются точки, прямые,
плоскости, пространство. Эти математические объекты никак не
определяются, а взаимные связи между ними описываются системой
аксиом, которая будет приведена в данной главе. Зрительные образы,
которые связаны с точками, прямыми и плоскостями, мы заимствуем
из окружающего нас мира.
Изучая геометрию плоскости, мы говорили, что наглядное предстаг
вление о плоскости дают, например, лист бумаги, поверхность стола,
если вообразить их неограниченно продолженными. Точно так же наг
глядное представление о прямой дают, например, натянутый шнур,
след карандаша на бумаге при проведении отрезка с помощью
линейки, если вообразить их неограниченно продолженными. Наглядное
представление о точке дают, например, маленькая песчинка на
столе и след на бумаге, оставленный острием циркуля. Эти зрительные
образы очень важны, так как позволяют наглядно представлять
свойства пространственных фигур.
1

8
Глава. 1. Начала, стереометрии
Вопрос. Как в кубе указать две прямые, которые не лежат в
одной плоскости?
1.2. Перечислим некоторые свойства точек, прямых и плоскостей
в пространстве, которые далее будем считать аксиомами.
Аксиома 1. В пространстве существуют плоскости. Для точек и
прямых каждой плоскости выполняются все свойства планиметрии.
Эта аксиома означает, что в каждой плоскости пространства мы
можем рассматривать любую фигуру, состоящую из точек этой
плоскости, и использовать все те ее свойства, которые изучались в курсе
планиметрии.
Например, возьмем куб ABCDA\B\C\D\.
Ш D ^ В плоскости ADCD мы можем
рассмотреть квадрат ABCD, провести
биссектрисы его углов, которые совпадают с
диагоналями, найти точку М пересечения
этих биссектрис, провести перпендикуляр
MP к стороне AD и с центром в точке М
и радиусом MP провести окружность
(рисунок 1).
Л к " В пространстве эта окружность
касается сторон квадрата ABCD.
Вопрос. Как можно вычислить площадь поверхности
прямоугольного параллелепипеда?
1.3. В пространстве связь между прямыми и плоскостями
определяется следующими аксиомами.
Аксиома 2. Если две различные точки прямой принадлежат
плоскости, то и все точки этой прямой принадлежат этой плоскости.
Аксиома 3. Через каждую прямую пространства проходит бесконечное
множество различных плоскостей.
Аксиома 4. Через каждые три точки пространства, не лежащие на
одной прямой, проходит единственная плоскость.
Используя перечисленные аксиомы докажем, что через любые две
пересекающиеся прямые пространства проходит единственная
плоскость.

§ J. Основные понятия стереометрии
9
Доказательство. Пусть прямые о и b пересекаются в точке А.
Выберем на прямой а точку М, отличную от точки Л, а на прямой Ь
точку N, отличную от точки Л. Тогда точки A^M,N не лежат на
одной прямой, следовательно по аксиоме 4 существует единственная
плоскость а, содержащая точки Л, М, N. Так как точки А и М
прямой а принадлежат плоскости а, то все точки прямой а принадлежат
плоскости а. Аналогично доказывается, что все точки прямой Ь
принадлежат плоскости а. В результате этого рассуждения доказано, что
существует плоскость, содержащая данные прямые а и Ь.
Единственность такой плоскости можно доказать так. Каждая
плоскость /?, содержащая прямые а и 6, должна содержать и точки
А, М, ЛГ, которые определяли плоскость а. По аксиоме 4 через точки
Л, М и N проходит единственная плоскость, поэтому плоскость (5
должна совпадать с плоскостью а.
Вопрос. Как доказать, что в пространстве через прямую и не
лежащую на ней точку проходит единственная плоскость?
1.4. В пространстве связь между плоскостями определяется
следующей аксиомой.
Аксиома 5. Если две различные плоскости содержат общую точку, то
их общая часть есть прямая.
Из этой аксиомы следует, что для получения пересечения двух
плоскостей достаточно сначала найти две общие точки плоскостей.
Прямая, проходящая через эти две точки, является их единственной
общей прямой.
Пример 1. Пусть ABCDAxBxCiDx
— куб. Рассмотрим плоскости AB\C\D
и AiBiCD (рисунок 2). Точки D и Вх
— общие для этих плоскостей. Поэтому
данные плоскости пересекаются по
прямой BXD.
Вопрос. Пусть плоскости а и /3
пересекаются по прямой т, а прямая п
плоскости 0 не пересекается с прямой т. Как
доказать, что плоскость а и прямая п не
пересекаются?

10
Глава J. Начала стереометрии
1.5. Из аксиомы 3 следует, что в пространстве вне каждой
плоскости существуют точки. Аналогично свойству прямой на плоскости
каждая плоскость разбивает пространство на два полупространства.
Аксиома 6. Каждая плоскость а разбивает множество не
принадлежащих ей точек пространства на два подмножества, называемых
полупространствами с границей а. Отрезок с концами в одном
полупространстве не пересекает плоскость а, а отрезок с концами в разных
полупространствах пересекает плоскость а.
Рассматривая полупространство с границей а, иногда границу
присоединяют к полупространству.
С помощью аксиомы 6 для некоторых пространственных фигур
можно определять понятие внутренних и внешних точек.
Пример 2. Рассмотрим куб ABCDA\B\C\D\. Точку М
пространства называют расположенной вне куба, если найдется
такая проходящая через грань куба
плоскость а, что все вершины куба лежат в
одном полупространстве с границей а, а
точка М — в другом. Соответственно точку
К называют лежащей внутри куба, если
эта точка не лежит ни на одной из граней
и не лежит вне куба. Например, концы
отрезка АС\ лежат на поверхности куба, а
все остальные точки этого отрезка —
внутри куба (рисунок 3).
Вопрос. Как доказать, что две
различные пересекающиеся плоскости
разбивают пространство на четыре части?
1.6. В пространстве с помощью
равенства отрезков можно определить
понятие равенства фигур. А именно, две
фигуры называются равными, если
можно установить такое соответствие между
точками этих фигур, при котором
расстояние между соответствующими точками
равны.

§ J. Основные понятия стереометрии
11
Пример 3. Выберем в пространстве точки О, Л, В, С, не лежащие
в одной плоскости. Построим на прямых О А, ОВ, ОС соответственно
точки Ль Bu Ci так, что ОАг = О А, ОВх = ОВ, ОСг = ОС.
Соединим точки отрезками так, как указано на рисунке 4. Тогда между
точками фигуры jF, состоящей из отрезков О А, ОВ, ОС, АВ, ВС, АС,
и точками фигуры Fi, состоящей из отрезков ОА\, ОВ\, ОС\, А\В\,
В\С\, А\С\, можно установить соответствие по следующему правилу:
точке М фигуры F соответствует точка М\ фигуры F\ такая, что
точка О — середина отрезка ММ\. При таком соответствии расстояния
между парами соответствующих точек фигур F и F\ равны.
Вопрос. Как доказать равенство расстояний между парами
соответствующих точек фигур F и F\?
1.7. Пространственную фигуру, которую называют треугольной
пирамидой, можно получить следующим образом.
Рассмотрим некоторую плоскость а.
Выберем в ней три не лежащие на одной СЕ
прямой точки А, В, С, а вне плоскости а •
выберем точку S (рисунок 5). Тем самым
мы определим четыре вершины
треугольной пирамиды.
Соединим вершины отрезками АВ, ВС, ..•••'*/ *С\
AC, SA, SB, SC (рисунок 6) и получим
шесть ребер треугольной пирамиды. '$.
К каждому из треугольников ABC,
SAB, SAC, SBC добавим все их внутренние точки (рисунок 7) и
получим четыре грани треугольной пирамиды. Вместе эти четыре грани
образуют поверхность пирамиды. Иногда поверхность пирамиды
называют ее границей.
Наконец, добавим точки М всех отрезков, соединяющих вершину
S с точками основания ABC (рисунок 8). В результате получим все
внутренние точки пирамиды.
Пространственную фигуру, состоящую из всех точек поверхности и
всех внутренних точек, называют треугольной пирамидой и
обозначают SABC. Иногда треугольную пирамиду называют тетраэдром.

12
Глава 1. Начала стереометрии
Вопрос. Какую пространственную фигуру называют правильным
тетраэдром?
Контрольные вопросы и задания
1. Как называются утверждения, которые принимают без
доказательства?
2. Приведите примеры аксиом в геометрии.
3. Какие объекты являются основными при изучении стереометрии?
4. В чем отличие между основными объектами стереометрии и
планиметрии?
5. Приведите примеры наглядного представления о плоскости.
6. Приведите примеры наглядного представления о прямой.
7. Сформулируйте первую аксиому стереометрии, определяющую
свойства каждой плоскости пространства.
8. Как первая аксиома стереометрии позволяет использовать в
стереометрии свойства, которые изучались в курсе планиметрии?
9. Сформулируйте аксиомы, которые определяют связь между
плоскостями и прямыми в пространстве.
10. Докажите, что через любые две различные пересекающиеся
прямые проходит единственная плоскость.
11. Сформулируйте аксиому о пересечении плоскостей. Поясните,
почему две плоскости в пространстве не могут содержать ровно
одну общую точку.
12. Что такое полупространство?

§ 1. Основные попятил стереометрии
13
13. Как представлять внутренние точки куба?
14. Как можно определить равенство фигур в пространстве?
15. Как в пространстве представлять треугольную пирамиду?
16. Как в пространстве представлять четырехугольную пирамиду?
Задачи и упражнения
1. Пусть точки А, 5, С, D не лежат в одной плоскости. Сколько
различных плоскостей можно провести через эти точки?
2. Пусть точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости. Докажите,
что прямые АВ и CD не пересекаются.
3. Известно, что точки А, В,С, D лежат на пересечении двух
плоскостей а и р. Докажите, что точки А, В, С, D лежат на одной
прямой.
4. Даны две плоскости, которые пересекаются по прямой АВ.
Известно, что прямая CD лежит на первой плоскости и
пересекается со второй плоскостью. Докажите, что прямые АВ и CD
пересекаются.
5. Даны точка А и прямая СВ. Пусть М — любая точка на прямой
СВ. Докажите, что существует плоскость, в которой лежат все
прямые AM.
6. Докажите, что если две точки прямой лежат на плоскости, то
все точки этой прямой также лежат на этой плоскости.
7. Даны две пересекающиеся прямые АВ и АС. Пусть М — любая
точка на прямой АВ и N — любая точка на АС. Докажите, что
все прямые MN лежат на одной плоскости.
8. Пусть ABCDA\B\C\D\ — куб. Рассмотрим плоскость АА\С\.
Докажите, что эта плоскость проходит через точку С.
9. Пусть ABCDA\B\C\D\ — куб. Рассмотрим плоскости АА\С\С
и BB\D\D. Найдите линию их пересечения.
10. Как определить внутреннюю точку шара?
11. Как определить границу шара?

14
Глаза 1. Начала стереометрии
12. Какие точки прямоугольного параллелепипеда следует считать
его граничными точками?
13. Докажите, что в прямоугольном параллелепипеде
противоположные ребра равны между собой.
14. Докажите, что диагонали боковых граней куба равны между
собой.
15. Докажите, что диагонали противоположных боковых граней
прямоугольного параллелепипеда равны между собой.
§ 2. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ В
ПРОСТРАНСТВЕ
2.1. Прямые в пространстве могут располагаться по-разному. В
некоторых случаях две прямые а и b имеют общую точку, то есть
пересекаются. Тогда по аксиоме 4 существует единственная плоскость,
содержащая пересекающиеся прямые а и Ь.
Таким образом, две пересекающиеся
прямые в пространстве всегда лежат в
одной плоскости. Это свойство
пересекающихся прямых позволяет находить их
точку пересечения.
Пример 1. Рассмотрим тетраэдр SABC. Пусть М — точка
пересечения медиан грани SBC, N — точка пересечения медиан грани
ABC (рисунок 2). Покажем, что прямые SN и AM пересекаются.
СИ [Ц
в в
Решение. Обозначим середину ребра ВС через Р и рассмотрим

§ 2. Параллельность прямых в пространстве
15
плоскость ASP (рисунок 3). Из условия следует, что точка М лежит
на отрезке SP, точка N лежит на отрезке АР. Поэтому отрезки AM
и SN пересекаются в плоскости ASP.
Пример 2. Рассмотрим куб ABCDA\B\C\Di. Пусть М —
середина ребра ССь N — середина ребра CD, а точка К — середина
отрезка MN (рисунок 4). Покажем, что прямые АК и В\М
пересекаются.
ш ш
By с,
/
R
\1
\^
^
4
W
а
А
А
А
F/i
Л
_-Й
^Л
X
4
ц
С,
■
Ьм
—"ТА
Решение. Рассмотрим плоскость AB\N. Эта плоскость
пересекает плоскость грани ABCD по прямой AN. Поэтому сначала найдем
точку X пересечения прямых AN и ВС, а затем точку F пересечения
прямых В\Х и СС\ (рисунок 5). Из равенства треугольников ADN и
CNX получаем, что СХ = AD = ВС. После этого рассмотрим
прямоугольные треугольники CFX и B\C\F. Так как LFB\C\ = LFXC
и В\С\ = СХ, то AB\C\F = &CFX. Отсюда следует, что точка
F — середина ребра СС\, а поэтому точка F совпадает с точкой Л/,
заданной в условии задачи. Следовательно, точки А, К, В\, М
лежат в одной плоскости, и на рисунке 5 построена точка L пересечения
прямых АК и В\М.
Вопрос. Чему равно отношение АК : КМ отрезков на рисунке 3?
2.2. В пространстве можно построить LJLI
две прямые, которые лежат в одной
плоскости и не пересекаются. Например,
возьмем произвольную плоскость а и
рассмотрим в ней прямую а и точку М, не
лежащую на прямой а (рисунок 6). Проведя в
плоскости а через точку М прямую 6, параллельную прямой а,
получим не пересекающиеся прямые а и Ь по определению параллельности

16
Глава 1. Начала стереометрии
на плоскости.
В пространстве параллельность прямых определяется следующим
образом.
Две различные прямые а и b в пространстве называются
параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Как и на плоскости, параллельность прямых в пространстве
обозначается с помощью знака ||.
Для доказательства параллельности прямых в пространстве удобно
использовать следующий основной признак.
Если каждая из двух прямых а иЬ
параллельна прямой с, то прямые а и b
параллельны.
Пример 3. Пусть SABC — тетраэдр,
и точки М, N, K,L — середины ребер SA,
5J3, ВС и АС соответственно. Докажем,
что прямые MN и KL параллельны (ри-
q сунок 7).
Доказательство. В плоскости грани
AS В отрезок MN — средняя линия треугольника AS В. Поэтому по
свойству средней линии прямые АВ и MN параллельны.
Аналогично, в плоскости грани АСВ отрезок KL является средней линией
треугольника АСВ, а поэтому прямые АВ и KL также
параллельны. По основному признаку параллельности прямых в пространстве
получаем, что прямые MN и KN параллельны.
Вопрос. Как доказать, что четырехугольник MNKL —
параллелограмм?
♦♦
2.3. Удобно считать прямую параллельной самой себе. С учетом
этого параллельность прямых в пространстве обладает следующими
свойствами:
1. а\\а.
2. Если а||6, то Ь\\а.
3. Если а\\с и 6||с, то а\\Ь.
Вопрос. Рассмотрим в пространстве фиксированную точку О.
Как доказать, что для каждой прямой пространства найдется
параллельная ей прямая, которая проходит через точку О?

§ 2. Параллельность прямых в пространстве
17
2.4. Докажем основной признак параллельности прямых,
который сформулирован в пункте 2.2.
Доказательство. Рассмотрим прямые а, Ь, с, для которых а\\с и
6||с. Возможны два случая.
Первый случай. Пусть прямые а, 6, с лежат в одной плоскости а.
Так как в этой плоскости выполняются все свойства планиметрии, то
по признаку параллельности прямых имеем а\\Ь.
Второй случай. Пусть прямые а, 6, с
не лежат ни в одной плоскости. Из
параллельности прямых а и с и
параллельности прямых b и с следует, что прямые
а и с лежат в одной плоскости, которую
обозначим а, и прямые бис лежат в
одной плоскости, которую обозначим р.
Тогда плоскости а и Р различны, так как по
предположению прямые а, 6, с не лежат в
одной плоскости. Поэтому плоскости а и
/3 пересекаются по прямой с.
Выберем на прямой Ь точку В и
проведем третью плоскость 7 через прямую а и
точку В. Плоскость 7 не совпадает ни с
одной из плоскостей а и /?.
Действительно, если предположим, что
7 совпадает с а, то получим, что
плоскость а содержит прямую а, прямую с
и точку В прямой 6. Так как с и Ь
параллельны, то они лежат в одной
плоскости, поэтому и вся прямая b содержится в
плоскости а, чего не может быть, так как
по условию прямые а, 6, с не лежат ни в
какой плоскости.
Аналогично к противоречию приводит предположение о совпадении
плоскостей /? и 7-
Таким образом, плоскость 7 пересекает плоскость а по прямой а,
а плоскость /3 по прямой т, проходящей через точку В (рисунок 9).
Теперь заметим, что общие точки прямой т и плоскости а могут
лежать только на прямой а, так как прямая т лежит в плоскости 7, а

18
Глава 1. Начала стереометрии
плоскости а и 7 пересекаются по прямой а.
Аналогично, общие точки прямой m и плоскости а могут лежать
только на прямой с, так как прямая m лежит в плоскости /?,
пересекающей плоскость а по прямой с. Но так как прямые а и с не
пересекаются, то прямая m не пересекается с плоскостью а, а значит,
и с прямыми а и с.
Так как прямые cum лежат в одной плоскости /3 и не пересекаг
ются, то с\\тп. Поэтому прямая m совпадает с прямой 6, так как в
плоскости /3 Через точку В можно провести только одну прямую,
параллельную прямой с. Но тогда получаем, что прямые а и 6 лежат в
одной плоскости 7 и не пересекаются, то есть a\\b. Тем самым признак
доказан.
Вопрос. В каком случае три плоскости имеют только одну общую
точку?
2.5. В пространстве можно указать две прямые, которые не лежат
ни в одной плоскости.
Пример 4. Рассмотрим тетраэдр
ABCD (рисунок 10). Докажем, что
прямые АС и BD не могут лежать ни в какой
плоскости.
Решение. Предположим, что
некоторая плоскость а содержит прямые АС
и BD. Тогда плоскость а содержит
С точки А, Б, С, не лежащие на одной
прямой, а поэтому по аксиоме 4
плоскость а совпадает с плоскостью ABC.
Однако, по определению тетраэдра точка D прямой BD не лежит в
плоскости ABC. Следовательно, плоскость а содержит не все точки
прямой BD, и предположение было неверным.
Две прямые, которые не лежат в одной плоскости, называют
скрещивающимися прямыми.
Вопрос. Как доказать, что скрещивающиеся прямые не
пересекаются?
2.6. При изображении пространственных фигур на плоскости
возникает рисунок, на котором изображение многих прямых могут пере-

§ 2. Параллельность прямых в пространстве
19
секаться, хотя в пространстве сами
прямые и не пересекаются. Например, на
рисунке И изображен тетраэдр SABC. В
пространстве прямые АВ и SC не
пересекаются, но на самом рисунке
изображения этих прямых пересекаются. Поэтому
для выяснения, пересекаются ли
некоторые прямые или не пересекаются,
приходится проводить некоторые рассуждения.
Для доказательства того, что прямые скрещивающиеся, можно
использовать признаки.
Признак 1. Если две прямые содержат четыре точки, не лежащие в
одной плоскости, то такие прямые скрещивающиеся.
Доказательство. Пусть точки А и В лежат на прямой а, точки С и
D лежат на прямой Ь и точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости.
Предположим, что существует плоскость а, которая содержит прямые
а и 6. Тогда плоскость а должна содержать точки А, В, С, £>, что
противоречит условию. Следовательно, предположение неверно, то
есть прямые а и Ь скрещивающиеся. Признак доказан.
Признак 2. Пусть прямая а лежит в
плоскости а, а прямая b пересекает плоскость
а в одной точке М, не лежащей на
прямой а. Тогда прямые а и Ь
скрещивающиеся.
Доказательство. Выберем на прямой
а две различные точки Л и Б, а на прямой
Ь точку С, не лежащую в плоскости а
(рисунок 12).
Так как точка М не лежит на прямой
а, то существует единственная плоскость,
которая содержит точки А, В и М — это
плоскость а. Так как точка С не лежит в
плоскости а, то получаем четыре точки А,
В, М, С, не лежащие в одной плоскости.
Поэтому по признаку 1 прямые АВ и СМ
скрещивающиеся.

20
Глава 1. Начала стереометрии
Пример 5. В кубе ABCDA\B\C\D\ рассмотрим прямые АВ\ и
BD. Изображения этих прямых на рисунке 13 пересекаются. Однако,
прямая АВ\ не лежит в плоскости ABCD и пересекает эту плоскость
в точке А, не лежащей на прямой BD. Поэтому по признаку 2 прямые
АВ\ и BD скрещивающиеся и пересекаться не могут.
Вопрос, Какие случаи расположения двух прямых в
пространстве вы знаете?
Контрольные вопросы и задания
1. Почему две пересекающиеся прямые всегда лежат в одной
плоскости?
2. В каком случае две прямые в пространстве параллельны?
3. Какие свойства параллельных прямых в пространстве вы знаете?
4. Сформулируйте признак параллельности прямых в пространстве.
5. Докажите признак параллельности прямых в пространстве.
6. Какие две прямые в пространстве называются
скрещивающимися?
7. Сформулируйте и докажите признаки скрещивающихся прямых.
Задачи и упражнения
1. В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит квадрат
ABCD, О — центр квадрата, М — середина стороны CD, N —
середина прямой SM. Докажите, что прямые AN и SO
пересекаются.
2. Рассмотрим тетраэдр SABC. Пусть MN — средняя линия
треугольника ABC, параллельная стороне АС, К — середина MN,
L - середина MS. Докажите, что прямые SK и NL
пересекаются.
3. Дан куб ABCDA\B\CiD\. Точки М nN — середины сторон СС\
и CD соответственно.
а) Докажите, что прямые AN и В\М пересекаются;
б) докажите, что прямые AM и B\N пересекаются;
в) докажите, что прямые В\М и АС не пересекаются.

§ 2. Параллельность прямых в пространстве
21
4. Дан куб ABCDAiB\C\D\y О — центр основание куба, точка М
— лежит на ВС\ и 3|БМ| = |MCi|. Докажите, что прямые ОМ
и DC\ пересекаются.
5. Докажите, что две диагонали АС и B\D куба ABCD A\B\C\D\
не пересекаются.
6. Дан куб ABCDA\B\C\D\. Докажите, что:
а) прямые AD и ВС параллельны;
б) прямые AD и В\С\ параллельны;
в) прямые АВ\ и DC\ параллельны.
7. Дан куб ABCDA\B\C\D\, М — середина АВ, N — середина
AiBi* Докажите, что:
а) прямые MN и АА\ параллельны;
б) прямые MN и СС\ параллельны;
в) прямые СМ и C\N параллельны;
г) прямые D\N и DM параллельны.
8. Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA\B\C\D\, у
которого AD = 4, АВ = 2, АА\ = 1. Докажите, что:
а) прямые AD и ВС параллельны;
б) прямые AD и A\D\ параллельны;
в) прямые АС и А\С\ параллельны;
г) прямые AD\ и ВС\ параллельны;
д) прямые АВ\ и DC\ параллельны.
9. Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA\B\C\D\, у
которого AD = 3, АВ = 1, АА\ = 2. Пусть М — середина AD,
N — середина A\D\. Докажите, что:
а) прямые MN и АА\ параллельны;
б) прямые МN и СС\ параллельны;
в) прямые CM niC\N параллельны;
г) прямые ВМ и B\N параллельны.
10. Дан тетраэдр ABCD^ точка М — середина АВ. Докажите, что
прямые СМ и BD — скрещивающиеся.
11. Дан куб ABCDA\B\C\D\. Докажите, что:
а) прямые АВ\ и DC скрещивающиеся;
б) прямые АС\ и DD\ скрещивающиеся;
в) прямые АС\ и DC скрещивающиеся.

22
Глада I. Начала стереометрии
12. Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDА\В\C\D\.
Укажите в параллелепипеде несколько пар скрещивающихся и
несколько пар параллельных прямых.
§3. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И
_. ПЛОСКОСТИ
ш _ _
3.1- Рассмотрим в пространстве
плоскость а и прямую а. Возможны три
случая их взаимного расположения.
Первый случай. Две различные точки
А и В прямой а лежат в плоскости а.
Тогда по аксиоме 2 все точки прямой а
лежат в плоскости а, и мы получаем, что
прямая а — это одна из прямых плоскости
а (рисунок 1).
Второй случай. Прямая а содержит
точку Л, не лежащую в плоскости а, и
точку В, лежащую в плоскости а. В
этом случае точка В — это единственная
точка пересечения прямой а с плоскостью
а (рисунок 2).
Третий случай. Прямая а не имеет
общих точек с плоскостью а. В этом
случае прямую а называют параллельной плоскости q, а прямую а и
плоскость а вместе называют параллельными.
Прямая и плоскость параллельны, если они не пересекаются.
Параллельность прямой а и плоскости а кратко записывают в виде
a\\a.
Вопрос. Сколько общих точек могут иметь прямая и плоскость?
3.2. Прямую а плоскости а удобно так же считать параллельной
плоскости а. Например, при таком подходе к параллельности прямой
и плоскости можно сформулировать следующее утверждение.

§ 3. Взаимное расположение прямой и плоскости
23
Если прямая а параллельна плоскости а, а прямая Ь параллельна
прямой а, то прямая b также параллельна плоскости а.
Вопрос. Как доказать, утверждение, сформулированное в этом
пункте?
3.3. При доказательстве параллельности прямой и плоскости
можно применять следующий признак.
Если прямая а, не лежащая з плоскости а, параллельна прямой b
плоскости а, то a\\a.
Доказательство. Проведем через
параллельные прямые а и 6 плоскость /3
(рисунок 4). Тогда плоскости а и /3 различны
и пересекаются по общей прямой Ь. Так
как прямая а не пересекается с прямой 6,
то прямая а и плоскость а не
пересекаются. Признак доказан.
Этот признак указывает способ
построения прямой, параллельной плоскости.
Рассмотрим плоскость а и точку В вне
этой плоскости. Выберем на плоскости а
прямую а и построим плоскость /?,
проходящую через прямую а и точку В
(рисунок 5). Если после этого через точку В
провести прямую т параллельно прямой
а, то по признаку т\\а.
Вопрос. Сколько различных прямых, параллельных данной
плоскости, можно провести через заданную точку?
3.4. Параллельные прямая и плоскость имеют следующее
свойство.
Если через прямую а, параллельную плоскости а, провести плоскость,
пересекающую а по прямой Ь, то прямые а и b параллельны.
Вопрос. Как доказать это свойство?
3.5. Использование признака параллельности прямой и плоскости
позволяет строить сечения параллельно прямым.

24
Глада J. Начала, стереометрии
' Пример 1. В тетраэдре SABC точка Р — середина ребра АС,
точка Q — середина ребра SB. Построим сечение тетраэдра
плоскостью, параллельной прямой CQ и проходящей через точки В и Р.
Ш Ш [81
Решение. Сначала проведем через
точку Р прямую, параллельную CQ. Для
этого построим вспомогательную
плоскость ACQ (рисунок 7) и проведем
PK\\CQ. Так как Р — середина АС, то
К — середина AQ.
После этого проведем плоскость через
точки Р, В, К. В сечении тетраэдра этой
плоскостью получим треугольник ВРМ
(рисунок 8). Так кал плоскость
сечения содержит прямую РК, параллельную
прямой CQ, то BPM\\CQ.
Для численного определения
положения точки М на ребре SA рассмотрим
рисунок 9, на котором проведем
вспомогательный отрезок QX\\BM. Так как SX =
= ХМ = МЛ, то AM = \AS.
о
Вопрос. Как доказать, что на
рисунке 9 отрезки AM и MX равны?
3.6. В этом пункте разберем
следующий пример.
В основании четырехугольной
пирамиды SABCD квадрат ABCD. Точки М,
N, К середины ребер SA, SB и SC
соответственно. Построим сечение пира-

§ 3. Взаимное расположение прямой и плоскости
25
миды плоскостью, которая параллельна
прямым CN, DK и проходит через точку
М.
Решение. Сначала рассмотрим
плоскость MNCD и проведем через точку М
прямую параллельно CN до пересечения
с OD в точке Р. Так как MN\\AB, MN =
= ^АВ и AB\\CD, то MNCD — трапеция,
у которой MN = -CD. Поэтому точка Р
— это середина CD (рисунок 11).
Затем в плоскости SCD проводим
через точку Р прямую, параллельную DK,
которая пересечет ребро SC в точке Q и
продолжение ребра SD в точке X
(рисунок 12).
После этого найдем точку R
пересечения MX и AD и в плоскости ABCD
проведем прямую PR, которая пересечет
продолжение ребра АВ в точке Y
(рисунок 13).
Найдем в плоскости ASB точку Т пересечения прямой YM с
ребром SB и получим искомое сечение MTQPR (рисунок 14).

26
Глава J. Начала стереометрии
Вопрос. В каких отношениях секущая плоскость делит ребра
пирамиды в этом примере?
i-i5J 3,7, Возьмем в пространстве две
скрещивающиеся прямые а и Ь. Через
каждую точку прямой а проведем прямую,
параллельную прямой Ь. Тогда
множество F точек всех проведенных прямых
образует плоскость.
Доказательство. Для доказательства
выберем произвольную точку М прямой
а, проведем через М прямую т параллельно b и через
пересекающиеся прямые а и т проведем плоскость а. По признаку из пункта 2.3
прямая b параллельна плоскости а (рисунок 16).
Докажем, что множество F совпадает с а.
I. Пусть Л € а. Проведем через прямую b и точку А плоскость /?.
Тогда плоскость /3 пересекается с а по прямой, пересекающей прямую
а и параллельной прямой b (рисунок 17). Следовательно, А Е F.
щг] Ш] [щ\
II. Пусть В £ F. Тогда точка В лежит на прямой К, параллельной
прямой b и пересекающей прямую а в точке S. Проведем через
прямую b и точку S плоскость 7 (рисунок 18). По свойству из пункта 2.4
плоскость 7 пересекает плоскость а по прямой, параллельной b и
проходящей через 5. По аксиоме параллельности этой прямой является
прямая А;. Следовательно, В £ а.
Вопрос. Пусть в пространстве даны прямая а и не лежащая на
ней точка А. Через точку А проводятся всевозможные прямые, пе-

§ 3. Взаимное расположение прямой и плоскости
27
ресекающие прямую а. Какое множество образуют точки всех таких
прямых?
Контрольные вопросы и задания
1. В каком случае прямая целиком лежит в данной плоскости?
2. В каком случае прямая и плоскость пересекаются, но прямая не
лежит целиком в данной плоскости?
3. В каком случае прямая параллельна плоскости?
4. Сформулируйте и докажите признак параллельности прямой и
плоскости.
5. Как через заданную точку А провести прямую, параллельную
заданной плоскости а? Сколько различных решений имеет эта
задача?
6. Пусть прямая а параллельна плоскости а, плоскость /?
проходит через прямую а и пересекает плоскость а по прямой Ь. Что
можно сказать о взаимном расположении прямых а и 6?
7. Даны две скрещивающиеся прямые а и Ь. Докажите, что через
а и Ь можно провести соответственно две такие плоскости а и /3,
что а содержит прямую, параллельную прямой 6, и /3 содержит
прямую, параллельную прямой а.
Задачи и упражнения
1. Дан куб ABCDA\B\C\D\. Пусть М — любая точка на ребре
D\C\. Докажите, что прямая А\М параллельна плоскости ABCD
2. Дан куб ABCDA\B\C\Di,M — середина ребра D\С\. Проведите
через точку М прямую, параллельную прямой АС. В каком
отношении эта прямая делит ребро A\D\l
3. Дан куб ABCDA\B\C\D\. Проведите через прямую АС
плоскость, параллельную прямой ВС\. Найдите точки, в которых
эта плоскость пересекает ребра куба.
4. Дан куб ABCDA\B\C\D\. Точка М — середина ребра D\C\.
Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки Л,
D\ и параллельной прямой А\М.

28
Глава I. Начала стереометрии
5. Дан куб ABCDA\B\C\D\. Точка М — середина ребра D\C\.
Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки Л,
С и параллельной прямой А\М.
6. Рассмотрим тетраэдр ABCD. Точка Q — середина ребра DB,
MN — средняя линия треугольника ABC, параллельная АС.
Проведите через точки М и N плоскость, параллельную
прямой CQ. Найдите точки пересечения сечения и ребер тетраэдра.
В каком отношении полученная плоскость сечения делит ребро
BD?
7. В четырехугольной пирамиде SABCD точки М и N — середины
DC и ВС. Проведите через точки М и N сечение пирамиды,
параллельное:
а) ребру DS;
б) прямой PQ — средней линии треугольника ADS, которая
параллельна AD;
в) прямой DLy где L — середина стороны SC.
Определите, в каком отношении плоскость сечения, построенная в
пунктах а), в), делит ребро DC.
8. Дан куб ABCDA\B\C\D\. Проведите через точку D\ сечение
куба, параллельное скрещивающимся прямым АВ\ и ВС\.
9. Дан куб ABCDA\B\C\D\. Точка М — середина стороны A\Di.
Проведите через точку М плоскость, параллельную прямым D\B
и В\С. В каком отношении эта плоскость делит:
а) ребро D\D\
б) ребро DC\
в) ребро АВ\
г) ребро А\В\1
10. Дан куб ABCDA\B\C\D\. Точки М и N середины сторон A\D\
и D\C\ соответственно. Проведите через точку М плоскость,
параллельную прямым B\N и ВС\. В каком отношении эта
плоскость делит:
а) отрезок АА\\
б) отрезок j4i#i?

§ 4. Параллельность плоскостей
29
§4. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ
4.1. Рассмотрим в пространстве две плоскости а и (3. В
зависимости от множества их общих точек возможны три случая.
Первый случай. Плоскости а и (3 имеют
три общие точки, не лежащие на одной
прямой. В этом случае по аксиоме 4
плоскости a u Р совпадают.
Второй случай. Плоскости а и /3
различны и имеют общую точку. В этом
случае по аксиоме 5 плоскости а и /3 пересекаются по прямой.
Третий случай. Плоскости а и /? не имеют общих точек. В этом
случае плоскости а и /3 называют параллельными плоскостями.
Параллельность плоскостей а и /3 кратко записывают в виде а\\/3.
Вопрос. Как могут быть расположены две плоскости, имеющие
две различные общие точки?
4.2. Удобно считать плоскость параллельной самой себе. При
таком подходе к параллельности плоскостей можно сформулировать
следующее утверждение.
Через каждую точку пространства можно провести единственную
плоскость, параллельную заданной плоскости.
Вопрос. Как доказать это утверждение в том случае, когда точка
принадлежит плоскости?
4.3. При доказательстве параллельности плоскостей можно
применять следующие признаки.
Признак I. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости
параллельны другой плоскости, то такие плоскости параллельны.
Доказательство. Пусть плоскости а и /? различны и
пересекающиеся прямые а и Ь плоскости /3 параллельны плоскости а. Тогда
прямые а и b не пересекают плоскость а.
Предположим, что плоскости а и /3 имеют общую точку. Но тогда
они пересекаются по прямой, которую обозначим через с (рисунок 2).
Так как прямые а и 6 не пересекаются с плоскостью а, то они не
пересекаются и с прямой с. Но тогда в плоскости /3 получим две
различные прямые а и 6, параллельные прямой с, что в силу свойства

30
Глава 1. Начала стереометрии
параллельных прямых плоскости невозможно. Полученное
противоречие доказывает, что а\\0.
Признак 2. Если две пересекающиеся
прямые одной плоскости соответственно
параллельны двум прямым другой
плоскости, то такие плоскости параллельны.
Доказательство. Пусть плоскости а
и /3 различны и прямые а и 6 плоскости
Р соответственно параллельны прямым
тип плоскости а (рисунок 3). Тогда
по признаку параллельности прямой и
плоскости получаем а||а, Ь||а, а поэтому
по признаку 1 параллельности плоскостей
а\\/3. Признак доказан.
Второй признак указывает способ
построения плоскости, параллельной
заданной плоскости. Рассмотрим плоскость а и
точку В вне этой плоскости. Выберем на
плоскости а пересекающиеся прямые а и
Ь. Проведем через точку В прямые т\\а и
п||6, как это указано в пункте 2.3.
Плоскость /?, проходящая через прямые тип,
параллельна плоскости а (рисунок 4).
Вопрос. Как доказать, что через каждую точку, не лежащую в
данной плоскости а, можно провести единственную плоскость,
параллельную а?
4.4. Параллельные плоскости обладают следующим свойством.
Если плоскость 7 пересекает параллельные плоскости а и /3, то
прямые пересечения параллельны.
Вопрос. Как доказать это свойство?
4.5. Использование признаков и свойств параллельных плоскостей
позволяет строить сечения, параллельные плоскости.
Пример 1. В основании четырехугольной пирамиды SABCD
лежит параллелограмм ABCD. Точки М и К — середины ребер SB

§ 4. Параллельность плоскостей
31
и SC. Построим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через
середину АВ и параллельной плоскости AMKD.
Решение. Пусть Р — середина АВ. В плоскости ABCD через
точку Р проведем прямую параллельную AD и отметим точку Q ее
пересечения с CD (рисунок 5). Затем в плоскости SCD через точку
Q проведем прямую, параллельную DK, и отметим точку R ее
пересечения с SC (рисунок 6). Плоскость а, проходящая через точки Р,
Q, Я, параллельна плоскости AMKDy так как PQ\\AD и QR\\DK.
ш ш ш
s s s
Далее, так как параллельные плоскости а и AMKD пересекаются
плоскостью SBC по параллельным прямым, то в плоскости SBC
через точку R проведем прямую параллельно МК и отметим точку Т
ее пересечения с SB (рисунок 7).
Искомое сечение PQRT построено.
Вопрос- В каком отношении плоскость сечения делит ребра
пирамиды?
4.6. Рассмотрим в пространстве
параллельные плоскости а и /3 и прямую /,
не параллельную плоскости а, то есть
пересекающую плоскость а в некоторой
точке. Тогда прямая / пересекает и плоскость
Р. Действительно, если провести через
прямую I произвольную плоскость 7* то
7 пересекает обе плоскости аи^по
параллельным прямым тип (рисунок 8).
Так как прямая а пересекает прямую т, то она пересекает и
параллельную ей прямую п, то есть пересекает плоскость /3.

32
Глава 1. Начала, стереометрии
Вопрос. Как доказать, что если каждая из двух плоскостей а и
в параллельна плоскости 7, то а||/3?
4.7. Рассмотрим две параллельные
плоскости а и /3 и проведем две
параллельные прямые а и Ъ, пересекающие a
и /3. Построим плоскость 7, содержащую
параллельные прямые а и Ь. Так как а\\(3,
то плоскость 7 пересекает плоскости а и
/? по параллельным прямым тип
(рисунок 9). Поэтому при пересечении
прямых а и Ь с плоскостями а и /3
образуются такие отрезки АВ и CD, что AB\\CD
и АС||Б£>. Следовательно,
четырехугольник ABCD — параллелограмм. Значит,
АВ = CD. Так как доказанное свойство
выполняется для каждой прямой Ь,
параллельной а, то справедливо следующее
утверждение.
Отрезки параллельных прямых,
заключенные между параллельными
плоскостями, равны.
Вопрос. Какие свойства параллелограмма вы знаете?
4.8. Возьмем плоскость а и отрезок АВ, у которого точка А
лежит в плоскости а, а точка В вне этой плоскости. Из каждой точки
С плоскости а отложим отрезок СМ, который равен и параллелен
отрезку АВ, причем точки В и М лежат в одном полупространстве
с границей а (рисунок 10). Обозначим множество всех таких точек
М через F. Докажем, что множество F совпадает с плоскостью (3,
проходящей через точку В и параллельной а.
Доказательство. I. Пусть К € (3. Проведем через точку К
прямую, параллельную АВ, и отметим точку L ее пересечения с
плоскостью а. Тогда по свойству из пункта 3.6 отрезок LK равен отрезку
АВ, а так как отрезок В К не пересекает плоскость а, то точки В
и L лежат в одном полупространстве с границей а. Следовательно,
К ZF.

§ 4. Параллельность плоскостей
33
II. Пусть R € F, то есть для какой-то точки Q € а отрезок QP
параллелен и равен отрезку АВ, причем отрезки AQ и ВР не
пересекаются. Так как отрезки АВ и PQ лежат в одной плоскости, то
по соответствующему признаку четырехугольник ABPQ —
параллелограмм. Поэтому BP\\AQ, откуда следует, что точка Р лежит в
плоскости /?, то есть Р € /?.
Вопрос, Пусть заданы плоскость а и точка В вне этой плоскости.
Как доказать, что любая прямая, проходящая через точку В и
параллельная плоскости а, лежит в плоскости, проходящей через точку В
и параллельной плоскости а?
4.9. Возьмем две параллельные
плоскости а и /3. В плоскости а выберем
треугольник ABC и через его вершины
проведем три параллельные прямые,
пересекающие плоскость Р соответственно в
точках А, В , С . Получим шесть точек,
образующих вершины треугольной призмы.
Стороны АВ, ВС, АС треугольника
ABC — ребра одного основания призмы,
стороны А\В\, В\С\, А\С\ треугольника ABC — ребра второго
основания призмы. Отрезки АА\7 ВВ\, СС\ — боковые ребра призмы
(рисунок 12).
Треугольники ABC и А\В\С\, рассматриваемые вместе с
внутренними точками являются двумя гранями призмы, которые называются
основаниями. Параллелограммы АА\В\В, ВВ\С\С, АА\С\С,
рассматриваемые вместе с внутренними точками, являются боковыми
гранями призмы. Все вместе боковые грани и основания призмы образуют
ее поверхность (рисунок 13). Иногда поверхность призмы называют

34
Глава 1. Начала, стереометрии
ее границей.
Присоединим к поверхности призмы все ее внутренние точки, то
есть точки отрезков параллельных боковым ребрам и соединяющих
внутренние точки оснований. В результате получается
пространственная фигура, которая называется треугольной призмой.
Вопрос. Как доказать, что боковые грани треугольной призмы
являются параллелограммами?
4.10. Аналогично тому, как определялась треугольная призма,
можно определить выпуклую четырехугольную призму,
пятиугольную призму, и вообще n-угольную призму.
Например, для определения пятиугольной призмы возьмем две
параллельные плоскости а и 0 и в плоскости а пятиугольник ABCDE.
Проведя через вершины пятиугольника параллельные прямые,
пересекающие плоскость 0 соответственно в точках А\, В\, С\Л D\, Е\,
получим десять точек, образующих вершины пятиугольной призмы.
Отрезки АА\, ВВ\, СС\, DD\y ЕЕ\ составляют боковые ребра, а
стороны пятиугольников ABCDE и A\B\C\D\E\ — являются ребрами
оснований призмы (рисунок 14).
СИ]
Пятиугольники ABCDE и A\B\C\D\Ei вместе со своими
внутренними точками являются двумя гранями — основаниями призмы.
Параллелограммы AA\BiB, ВВ\С\С, CC\D\D, DDiEiE,AA\EiE
вместе со своими внутренними точками являются боковыми гранями
пирамиды. Все вместе боковые грани и основания пятиугольной
пирамиды образуют ее поверхность (рисунок 15).
Присоединяя к поверхности призмы все ее внутренние точки,
получаем пространственную фигуру, которую и называют пятиугольной
призмой.

§ 4. Параллельность плоскостей
35
Вопрос. Сколько вершин, ребер и граней имеет стоугольная
призма?
4.11. Четырехугольная призма,
основания которой параллелограммы, носит
особое название — параллелепипед.
Рассмотрим параллелепипед ABCD
A\B\C\D\ (рисунок 17). Так как его
боковые грани и основания
параллелограммы, то каждая грань параллелепипеда —
параллелограмм. Отсюда следует, что
не только боковые ребра параллелепипеда
попарно параллельны. Например,
параллельны между собой ребра АВ, А\В\,
C\D\, CD. Более того,
параллелепипед можно изобразить таким образом,
что любая его выбранная грань будет на
рисунке выглядеть как нижнее
основание. Например, на рисунке 17
параллелепипед ABCDA\B\C\D\ изображен так,
что грань CC\D\D выглядит как нижнее
основание, а грань АВВ\А\ — как верхнее
основание.
Вопрос. Как доказать, что у
параллелепипеда, изображенного на рисунке 17,
вершины А, В, С\ у D\ лежат в одной
плоскости?
*L
Л f \
ч J
/ /В
А
а(
\ 9*"
D*-
В
Ш
с,
"И
т
и
7f
г
yDx
Контрольные вопросы и задания
1. Что можно сказать о плоскостях а и /?, если известно, что они
имеют три общие точки?
2. Что можно сказать о плоскостях а и /?, если они не совпадают и
имеют одну общую точку?
3. Что можно сказать о плоскостях а и /?, если они не имеют общих
точек?
4. Какие признаки параллельности плоскостей вы знаете?

36
Глава J. Начала стереометрии
5. Сформулируйте и докажите теорему о параллельных отрезках,
заключенных между двумя параллельными плоскостями.
6. Что такое треугольная призма?
7. Дайте определение четырехугольной призмы.
8. Дайте определение параллелепипеда.
Задачи и упражнения
1. Дан куб ABCDA\B\C\D\. Докажите, что противоположные
грани куба лежат на параллельных плоскостях.
2. Дан прямоугольный параллелепипед. Докажите, что
противоположные грани параллелепипеда лежат на параллельных
плоскостях.
3. Дана треугольная пирамида SABC. Точки К, М, N лежат в
серединах ребер SA, SB, SC. Докажите, что плоскость,
проходящая через KMN, параллельна плоскости, проходящей через
точки А, В, С.
4. Дана треугольная пирамида SABC. Точки К, М, N лежат на
SA, SB, SC, причем KS = 2КА, MS = 2MB, NS = 2NC.
Докажите, что плоскость проходящая через точки К, М, N
параллельна плоскости, проходящей через точки А, В, С.
5. Дана четырехугольная пирамида SABCD. Точки К, М, N —
середины ребер SA, SB, SC. Докажите, что плоскость,
проходящая через точки К, М, N параллельна плоскости основания
пирамиды. В каком отношении плоскость KMN делит ребро
SD?
6. Дана треугольная пирамида SABC. Точки К, М, N лежат на
SA, SB, SC, причем точка К — середина SA, точка М —
середина SB и 2NS = NC.
а) Докажите, что плоскости ABC и KMN не параллельны;
б) укажите две точки на прямой, по которой пересекаются
плоскости ABC и КМ N
; в) докажите, что прямая, по которой плоскости KMN и ABC
пересекаются, параллельна прямой АВ;
г) проведите через прямую АВ плоскость, параллельную KMN,

§ 4. Параллельность плоскостей
37
и найдите, в каком отношении эта плоскость делит ребро SC\
д) проведите через точку А плоскость, параллельную
плоскости KMN, и докажите, что эта плоскость будет проходить через
ребро АВ.
7. Дана пирамида SABC. Точки К, М, N лежат на SA, SB и
SC, причем точка К — середина SA, точка М — середина SB,
NS = 2NC.
а) Докажите, что плоскости ABC и KMN не параллельны;
б) укажите две точки на прямой, по которой плоскости ABC и
KMN пересекаются;
в) докажите, что прямая, по которой плоскости KMN и ABC
пересекаются, параллельна прямой АВ\
г) проведите через точку С плоскость, параллельную плоскости
KMN, и определите, в каком отношении эта плоскость делит
ребра SA и SB.
8. Дана четырехугольная пирамида SABCD. Точки К, М, N,
лежат на SA, SB и SC, причем точка К — середина SA, М —
середина SB, 2NS = NC.
а) Проведите сечение пирамиды плоскостью, проходящей через
точки К: М, Ny и определите, в каком отношении эта плоскость
сечения делит ребро SD;
б) докажите, что плоскости KMN и ABCD не параллельны;
в) укажите две точки на прямой, по которой плоскости KMN и
ABCD пересекаются;
г) докажите, что прямая, по которой KMN и ABCD
пересекаются, параллельна прямой АВ;
д) проведите через точку А сечение, параллельное плоскости
KMN, и докажите, что это сечение проходит через ребро АВ;
е) найдите в каком отношении сечение, построенное в пункте д),
делит ребра SC и SD.

ПРЕДЕЛ И
НЕПРЕРЫВНОСТЬ
глава
В этой главе рассматриваются понятия предела числовой
последовательности, непрерывности для некоторых классов функций и предел
функции в точке.
§ 1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
1.1. С числовыми последовательностями вы уже встречались в
младших классах. Последовательностями являются, например,
арифметическая прогрессия
а, а + d, а 4-2d, о + 3d, ..., а + nd, ... (1)
или геометрическая прогрессия
a, aqy aq2, aq2, ..., agn, ...; (2)
изучая приближенные вычисления, мы говорили о
последовательности
0,3, 0,33, 0,333, 0,3333, ... (3)
десятичных приближений для дроби |. Точки в конце каждой записи
означают, что эти последовательности можно продолжать бесконечно.
Сформулируем общее понятие числовой последовательности.
Представим множество натуральных чисел, расположенных в порядке
возрастания
1, 2, 3, 4, ..., п, п+ 1, п + 2, ....
2

§ J. Предел последовательности
39
Если но какому-либо правилу или закону сопоставить каждому
натуральному числу п в этом ряду некоторое действительное число хп, то
получится числовая последовательность
(4)
Числа хп называются членами или элел^енттшлш данной
последовательности. Нижние индексы в этих обозначениях называются
номерами элементов. Они показывают, каким именно натуральным числам
соответствуют выбранные элементы, иными словами, на каких местах
в ряду (4) эти элементы находятся.
Задать последовательность — значит указать, как можно
вычислить значение любого элемента, зная его номер. Такое указание
часто осуществляется при помощи явной формулы для хп. Например,
элементы последовательностей (1) и (2) вычисляются согласно
формулам
хп = а + (га — l)d; хп = aq4"1.
Другой распространенный способ задания последовательностей
состоит в том, что указывают значения одного или нескольких первых
членов последовательности, а затем определяют правило,
позволяющее найти хп, если значения хи %ъ • • •, #п-] уже известны. Например,
х\ = 1, хп = яп_1 + -i-.
хп—1
Полагая здесь п = 2 и используя равенство х\ = 1, находим Хч =
= 1 + у = 2. Если теперь взять п = 3и воспользоваться уже
найденным значением хг, то получим хз = 2-hi = |. Продолжая действовать
аналогично, найдем х\ = Щ, х5 = ||1 и так далее. Таким способом в
принципе можно вычислить значение любого интересующего нас
элемента хп.
Вопрос. Какие еще примеры числовых последовательностей вы
можете привести?
1.2. Члены последовательности не обязательно всегда обозначать
одной и той же буквой х с нижними индексами. Чтобы отличать друг
от друга элементы разных последовательностей, их можно обозначать
разными буквами и вместо хп писать, например, уп, zn, и даже Ъп.

40
Глава 2. Предел и непрерывность
Отметим также, что значения разных элементов
последовательности вовсе не обязаны быть различными. Например,
последовательность, заданная формулой хп = ( — 1)п, имеет вид
-1, 1, -1, 1, -1, 1, ....
Здесь, как и в любой другой последовательности, множество
элементов бесконечно. А вот различных значений у них всего два: все
элементы с четными номерами равны 1, а все элементы с нечетными
номерами равны —1.
Похожим свойством обладает последовательность, заданная по
формуле
_ ! + (-!)»
Хп~ я '
Значения всех элементов этой последовательности с нечетными
номерами одинаковы и равны 0, в то время как все значения элементов с
четными номерами различны:
О, 1, 0, I, 0, ±, 0, 1, ....
Вопрос. Какова общая формула для элементов
последовательности 1, 1, 2,2, 3, 3,4, 4, ... ?
1.3. При изучении любой последовательности возникает
естественный вопрос о поведении ее элементов при неограниченном возрастании
их номеров. С этим вопросом тесно связано важнейшее понятие
предела последовательности, встречавшееся вам в младших классах на
ознакомительном уровне.
Вернемся, например, к последовательности хп десятичных
приближений длл дроби 1:
0,3, 0,33, 0,333, 0,3333, ....
Ранее мы уже отмечали, что элементами этой последовательности
можно приблизить число ^ сколь угодно точно. Более того, какую бы
точность мы ни выбрали, можно отбросить несколько первых членов
данной последовательности так, что все остальные элементы будут
приближать число ^ с заданной точностью.
В самом деле, попробуем определить, какие члены данной
последовательности приближают дробь ^ с точностью 0,00002, то есть 2 •

§ 1. Предел последовательности
41
10~5. Отбросим четыре первых члена последовательности. Каждый из
оставшихся элементов хп равен десятичной дроби 0,33... 3, в которой
число знаков после запятой не меньше 5, поэтому
п п
0<l-,,gl-"ifi,^-; -9 = _Lr<io-n<2.10-a.
3 3 юп 3 • 10n 3 10n
Таким образом, все элементы данной последовательности, начиная с
пятого, приближают число А с указанной точностью.
Приведенные рассуждения останутся в силе, если с самого начала
произвольно выбрать другую точность. Придется лишь изменить
количество отброшенных первых членов последовательности. Однако в
любом случае это количество будет конечным.
Вопрос. Сколько первых членов рассмотренной
последовательности достаточно отбросить, чтобы оставшиеся приближали дробь ^ с
точностью 10~100?
1.4. Высказанные в предыдущем пункте соображения можно
положить в основу строгого определения предела.
Число а называется пределом последовательности хп, если для
всякого р > 0 из последовательности можно так удалить конечное число
элементов, что значения всех оставшихся будут приближать число а с
абсолютной погрешностью, не превосходящей р.
Тот факт, что а является пределом последовательности хп,
записывают одним из следующих способов:
о = limxn, о = lim хп, хп —> а.
При этом говорят также, что "хп стремится к а" или "х„ сходится к
а". Само обозначение lim происходит от латинского слова limes, то
есть "предел".
Приведенное определение необходимо проверять не только для
одного или двух, а для всех положительных значений р. Если
определение не выполняется хотя бы при одном р > 0, то число а не будет
пределом последовательности хп.
Важно также отметить, что отбрасываемые члены
последовательности, вообще говоря, не могут быть одними и теми же для всех
погрешностей сразу. Чем меньшую погрешность р мы выбираем, тем

42
Глава 2. Предел и непрерывность
больше элементов приходится отбрасывать. Существенно только,
чтобы каждый раз число удаляемых элементов было конечно.
Вопрос. Как сформулировать утверждение, означающее, что
число а не является пределом последовательности хп1
1.5. Запись действительных чисел в виде бесконечных десятичных
дробей позволяет чуть-чуть по другому определить понятие
сходимости последовательности к нулю.
Последовательность (хп) действительных чисел сходится к нулю, если
для каждого натурального m найдется такое число К, что при всех
п> К числа хп равны нулю с точностью до m цифр после запятой.
И
О, . .
О,'.".
0,0.
0,0.
0,00
0,66
0,000
0,000.
0,0000
По этому определению
последовательность (хп) сходится к нулю, если с какого-
то номера п целые части всех чисел хп
равны нулю; с какого-то номера п целые
части и первые цифры после запятой всех
чисел хп равны нулю; с какого-то номера
п целые части и первые две цифры после
запятой всех чисел хп равны нулю; и так
далее. Условно это можно изобразить в
виде рисунка 1, приведенного на полях.
Таким образом, сходящиеся к нулю
числовые последовательности выделяются
тем свойством, что для всякой указанной
точности начиная с некоторого номера все
члены последовательности можно с этой
точностью считать равными нулю.
Вопрос. Может ли миллионный член
последовательности (an) оказаться
равным миллиону, если известно, что
Игл On = 0?
1.6. Если последовательность (а„) сходится к нулю, то перемен
ную величину ап иногда называют бесконечно малой.
Например, переменную величину а^,
но малой, так как lim J1- = 0.
' n-юо 2n
Y~ можно назвать бесконеч-

§ 1. Предел последовательности
43
Таким образом, бесконечно малая величина — это n-й член
последовательности, сходящейся к нулю.
Вопрос. Как доказать, что если an — бесконечно малая, то 6„ =
= \an\ — также бесконечно малая?
1.7. Бесконечно малые обладают свойствами, которые часто
используются.
Свойство 1.
Пусть an и 0П — бесконечно малые. Тогда их сумма (ап + (Зп) также
бесконечно малая.
Иногда это свойство формулируют по-другому.
Сумма двух бесконечно малых есть бесконечно малая.
Пример 1. Возьмем бесконечно малые an = ^, /3n = \~J . Тогда
по свойству 1 переменная хп = ап + 0П = - + *~' также бесконечно
мала.
Переменная величина ап, как и последовательность (ап)
называется ограниченной, если найдется такое число М, что \ап\ < М при всех
натуральных п.
Свойство 2.
Пусть ап — бесконечно малая, и хп — ограниченная переменная.
Тогда их произведение {anxn) — также бесконечно малая.
Иногда это свойство формулируют по-другому.
Произведение бесконечно малой на ограниченную переменную являет-
ся бесконечно малой.
Пример 2. Переменная хп = л/2 ограничена, так как 0 < \/2 <
< 2 при всех п. Зная, что ап = -4- бесконечно малая, по свойству 2
получаем, что уп = -^2 — бесконечно малая.
Иногда используется следующее свойство бесконечно малых.
Свойство 3.
Пусть а — ненулевое число, и ап, /Зп — бесконечно малые, причем
сумма a + an не обращается в нуль ни при каком п. Тогда величина
—&* бесконечно малая.

44
Глава 2. Предел и непрерывность
Пример 3. Рассмотрим переменную хп = ъ^л? V\ 28_ г ^а-
пишем равенства:
Хп = Зп2 + 7п-8 = 1+^"^ = -Jn_
Xn 5n3-lln2 + 2n-l 5 „ 11 + 2 _ 1 5 + a,,'
n n3 n3
где pn = £ + Л - Л и an = -±± + Л - -jj. Из предыдущих свойств
W 71 И
бесконечно малых следует, что рп и ап — бесконечно малые. Поэтому
по свойству 3 переменная хп — также бесконечно малая.
Вопрос. Пусть |ап| < |/Зп| при всех п > К. Как показать, что
если Рп — бесконечно малая, то и ап — также бесконечно малая?
1.8. Опираясь на определение бесконечно малой и используя
арифметические операции над действительными числами, предел
последовательности действительных чисел можно определить иначе.
Число а называется пределом последовательности (an) при п -> оо,
если разность (an - а) есть бесконечно малая.
Для сходящейся последовательности только одно число может быть
ее пределом.
Сходящиеся последовательности обладают свойствами, во многом
аналогичными свойствам бесконечно малых.
Свойство 1.
Пусть lim an = a, lim bn = b. Тогда последовательность (an + bn)
имеет предел, равный (a + 6).
Сокращенно доказанную теорему записывают в следующем виде:
lim (an + 6n) = lim an + lim bn.
Пример 4. lim -^ = lim n ■ + ][~ 1 = lim (1 \-r) =
r r n-+oon-fl n-4oo n-f 1 n-*oo \ n + 1 /
= 1- lim —i-r = 1-0 = 1.
Свойство 2.
Пусть ^irn^an = a, ^in^&n = b. Тогда последовательность (an6n) имеет
предел, равный ab.
Сокращенно доказанную теорему записывают в следующем виде:
lim anbn = lim an • lim bn.
П-ЮО " ll n-+oo Tl n-юс n

§ 1. Предел последовательности
45
Пример 5. lim (1 + 2) = lim (1 + Z) • lim (1 + %■) =
= (lim (l + 2)2V (lim (l + 2f) = I* . i2 = l
Свойство 3.
Пусть lim an = a, lim bn = b, причем b Ф 0. Тогда
последовательность (|*) также имеет предел, равный |.
lim an
Сокращенно эту теорему записывают так: Jim^ т* = Ym Ь ' когда
п п-юо п
lim 6n ^ 0.
7-2
Пример 6. lim \п ~ \ = lim «• =
г г п-юо 5n + 3 п-юо 5 4- —
= (lim(7-2)):(lim(5+3))=7:n5=I
\п-юо \ n/J \п-юо \ n// 5
Вопрос. Чему равен предел последовательности с общим членом
zn — хз ~ |, если ^цп^д;п = 1, причем х„ / 1 для всех га € TV?
1.9. В этом пункте рассмотрим одну из самых важных теорем в
теории пределов — теорему о пределе промежуточной последователь-
ности.
Пусть lim On = lim Ьп = аиап<сп<Ьп при всех п > К, где К —
некоторое число. Тогда последовательность Сп также имеет продел,
равный а.
Доказательство. Так как последовательности (а^, (6П) сходятся к
числу а, то а„ = а + хп, bn = а + уп, где (яп), (уп) — бесконечно малые.
Из неравенства а„ < Сп < bn следуют неравенства а + хп < Сп < а + уп,
хп < сп — а < упу которые выполняются при всех п > К. Значит,
разность zn = Cn — а — бесконечно малая, а поэтому lim Сд = а.
Пример 7. Пусть ап = (\/п + 1 - v^)- Тогда
а = (y/iTTT - ^(у^ТТ + у^) = 1
П y/n+l + y/n у/п+ 1 + у/п'
Следовательно, хп = 0 < о„ < -4- = г/„ при всех п. Так как lim хп =
уП п—юо
= ^lim 0 = 0, lim yn = ^lim^ -4- = 0, то по теореме о пределе
промежуточной последовательности lim ап = 0.

46
Глава 2. Предел и непрерывность
Вопрос. Как доказать, что lim J\ + ^ = 1?
1.10. Приведем один интересный пример последовательности,
имеющей предел. Положим хп = \/2 и докажем, что lima;n = 1. Для этого
оценим разность хп — 1. Умножая и деля на 1 + хп + х\ + ... + sj}"1,
получаем
п - _ (>/2- 1)(1-н л/2 4- >/2*+...+ >/2^) _
U ^» X*i 1 — ——————— __ ^_^_ — __
2-х <i.
Зафиксируем любое р > О и выберем такое целое число т, что
m > 1/р. Если теперь отбросить первые m членов последовательности
хп, то номера всех оставшихся будут больше т, а точность
приближения хп « 1 можно оценить так:
o<*n-i<i<i-< i =Р.
m
i7p
Таким образом, после удаления m элементов из данной
последовательности все оставшиеся приближают число 1 с абсолютной
погрешностью, меньшей р. Значит, равенство lim хп = 1 выполняется по
определению.
Вопрос. Как показать, что lim уГ/2 = 1?
1.11. Не следует думать, что любая последовательность имеет
предел. Существуют последовательности, вовсе не имеющие никаких
пределов. Одну из таких последовательностей мы уже видели ранее,
это хп = (-1)п или
-1, 1, -1, 1, -1, 1, ....
В самом деле, никакое положительное число а не может быть
пределом данной последовательности, так как абсолютная погрешность
приближения хп « а для нечетных номеров п больше 1. Множество
элементов с нечетными номерами бесконечно. Как бы мы ни
отбрасывали конечное число членов данной последовательности, для всех
оставшихся элементов погрешность приближения хп « о нельзя
сделать меньше 1/2.

§ J. Предел последовательности
47
Точно так же, пределом не может быть никакое отрицательное
число а, поскольку в этом случае абсолютная погрешность приближения
хп « а больше 1 для четных номеров п, образующих бесконечное
множество.
Наконец, число 0 не является пределом, так как абсолютная
погрешность приближения хп « 0 равна 1 сразу для всех членов данной
последовательности.
Таким образом, вообще никакое число пределом
последовательности хп быть не может.
Вопрос. Что можно сказать о пределе последовательности хп =
п2?
Контрольные вопросы и задания
1. Что называется числовой последовательностью?
2. Приведите примеры числовых последовательностей.
3. Какие способы задания последовательностей вам известны?
4. Сколько элементов имеет числовая последовательность и
сколько различных значений у них может быть?
5. Какое число называется пределом числовой последовательности?
6. Приведите примеры последовательностей, имеющих пределы.
7. Какая последовательность называется сходящейся?
8. Когда переменную величину называют бесконечно малой?
9. Что можно сказать о сумме двух бесконечно малых?
10. Какая переменная величина называется ограниченной?
11. Что можно сказать о произведении бесконечно малой на
ограниченную переменную?
12. Пусть а Ф 0, (ап), (/Зп) — последовательности, сходящиеся к
нулю. Что можно сказать о пределе последовательности (—@&—)
О. + Ctn
(предполагается, что а -I- ап Ф 0 при всех п € JV)?
13. Сформулируйте теорему о пределе суммы.
14. Сформулируйте теорему о пределе произведения.
15. Сформулируйте теорему о пределе частного.

48
Глава 2. Предел и непрерывность
16. Сформулируйте теорему о пределе промежуточной
последовательности.
17, Может ли последовательность вовсе не иметь никакого предела?
Задачи и упражнения
1. Найдите сто первый элемент последовательности
1 -I 1 -I 1 -Л
А' 2> 3' 4' 5' 6' '••
2. Чему равен сто двадцать первый элемент последовательности
1 I Ч I S I ?
А7 2' ' 4' ' б'
3. Найдите общую формулу для элементов последовательности из
предыдущей задачи.
4. Найдите общую формулу для элементов последовательности
1 • 2, 3 - 4, 5 • 6, 7 • 8, ....
5. Найдите предел :
а)Шп££;
6)lim*±k£;
в) lim
г)* lim(Vn + 3 - у/п);
дГ1ш.£.
6. Найдите предел последовательности
0,9, 0,99, 0,999, 0,9999, ....
7. Докажите, что каждая из последовательностей: а) 1, —1, 1 —1
1-11 .6)11-11.11.1 -в) ЫЬ г) bi£
5' б' 77 •*•' и; х' 2' 47 8' 16' 32' 64' '' *' а) Зп ' ч Wn
сходится к нулю.
8. Докажите, что последовательность (an) сходится к нулю, если:
9. Докажите, что последовательность с общим членом
_2-К-1)3^1

§ 2. Непрерывность и пределы функций
49
состоит из чисел, близких к нулю, но переменная величина an не
является бесконечно малой.
10. Найдите предел:
а) lim 7Гп ; б) Urn &±±; в) iim *44l-
' n-юо 2п 4 5 * 'пАоо n 4 1 ' 'п-юо 5п 4 17
11. Найдите предел:
a) lim JCt,; б) lim £±4; в) lim И^±4;
' п-юо 3 4 5' ' п-»оо 3+1 ' п-+оо 2-54-1
г) lim 5n+2-3n + 3
l) n±*oo 4 • 5n + 10 • 4* + 15
12. Найдите предел:
a) Km 3*22+6п + 4; б) lim ^\+Jn+12 B) lim l±^±n,
' n-yoo 5n2 - n 4 2 ' ' n-юо 8n2 4 2n 4 5 ' ' n-к» n2
13. Найдите предел:
л\ lim п3-2п24 3п4 10. c\ i:m 3n3 4 6n 4 12
*> гЙ§о 2n344n4l5 ' °' iH& 9n> 4 12n2 4 16n 4 25'
в) lim 7?44+2паЛ3; 0** Ит li±^±id.
' n-f oo 9n4 4 n 4 1 n-+«> n3
14?* Пусть On = jp-~i • |£~-1 • ... • ^-=-j- Докажите, что
последовательность (an) сходится.
§ 2. НЕПРЕРЫВНОСТЬ И ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ
2.1. В этом параграфе будут рассмотрены тесно взаимосвязанные
понятия предела и непрерывности функций. Мы начнем с понятия
непрерывности, так как оно более наглядно.
Используем сначала интуитивные соображения. Обратимся к
рисункам 1 и 2, на которых изображены графики двух различных
функций. С первого взгляда заметно существенное различие между ними.
График на рисунке 1 состоит из одного куска, который можно
нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги. О таких графиках говорят,
что они непрерывны. Напротив, график на рисунке 2 состоит из двух
кусков, то есть, имеет разрыв.

50
Глава 2. Предел и непрерывность
Разницу между этими двумя функциями можно описать и другим
способом. В первом случае для близких друг другу значений
аргумента х\ и Х2 соответствующие значения функции f(x\) и /(#2) также
будут близки. Этого нельзя сказать о второй функции, значения
которой "скачком" изменяются при переходе аргумента х через точку
с.
Функцию на рисунке 1 принято называть непрерывной, а функцию
на рисунке 2 — разрывной. Понятие непрерывности чрезвычайно
важно в математике, поэтому в следующих пунктах мы дадим ему строгое
определение.
Вопрос. Известны ли вам какие-нибудь конкретные примеры
функций, которые вы могли бы назвать разрывными?
2.2. Пусть а и 6 — действительные числа, причем а < Ь.
Напомним, что промежутком на числовой прямой с концами а и Ь
называется множество всех действительных чисел х, удовлетворяющих одному
из неравенств
а < х < 6, а < х < 6, а < х <Ь, а< х <Ь.
Указанные промежутки обозначаются через (а, 6), [а, 6), (а, Ь] и [а, Ь]
соответственно.
Нам придется рассматривать промежутки всех четырех видов,
поэтому будет удобно ввести для них универсальное обозначение (а, 6).
Каждую из "ломаных" скобок здесь можно заменить либо круглой,
либо квадратной скобкой и получить любой из четырех упомянутых
выше промежутков. Если тип рассматриваемого промежутка не имеет

§ 2. Непрерывность и пределы функций
61
принципиального значения, то вместо четырех специальных
обозначений мы будем использовать одно универсальное.
Промежутками принято считать всевозможные лучи и даже всю
числовую прямую целиком. Эти множества можно включить в
рассмотрение, если допустить, чтобы один или оба конца промежутка
(а, Ь) были равны +оо или —оо.
Множество, состоящее из одной точки а, также можно считать
замкнутым промежутком вида [а.а]^ у которого начало и конец
совпадают.
Вопрос. Какие точки принадлежат промежуткам вида (а,Ь]?
2.3. Вернемся к вопросу о непрерывности. Особенно просто
формулируется это понятие для монотонных функций.
Напомним, что функция f(x) называется возрастающей на
множестве М, если для любых значений х\ < x<i из этого множества
выполнено неравенство f{x\) < /(хг)- Заменив последнее неравенство
неравенством f(x\) > /(яг), мы получим понятие убывающей на М
функции. Если функция обладает одним из этих свойств — либо
возрастает, либо убывает — то она называется монотонной.
Пусть функция f(x) монотонна на промежутке (a, Ь), тогда она
считается непрерывной на этом промежутке, если множество ее значений
также является промежутком.
Промежутки, о которых здесь идет речь, могут быть какими
угодно — замкнутыми или открытыми, конечными или бесконечными. В
частности, область значений может вырождаться в точку, которая
тоже считается промежутком. Так бывает, если речь идет о постоянной
функции, все значения которой одинаковы.
Это определение отражает наше интуитивное представление о том,
что график непрерывной функции не должен содержать скачков, а
множество ее значений — пропусков или пробелов. Разрывность
монотонной функции означает наличие скачков, пропусков или пробелов
среди ее значений.
Приведенному определению непрерывности удовлетворяют многие
известные вам функции. Например, всякая линейная функция вида
f(x) = kx + Ь непрерывна на всей числовой прямой, так как она
монотонна, а область ее значений совпадает с промежутком (—оо,оо) в
случае к ф О или с промежутком [6,6] в случае А: = 0.

52
Глава 2. Предел и непрерывность
Квадратичная функция f(x) = х2 не является монотонной на всей
числовой прямой. Но на каждом из лучей (—оо,0] или [0, оо) по
отдельности она монотонна. Множество ее значений в обоих случаях —
промежуток [0,оо). Следовательно, квадратичная функция
непрерывна на каждом из промежутков (—оо,0] или [0, оо). То же самое можно
сказать и о функции f(x) = ^.
Пример графика разрывной монотонной функции приведен на
рисунке 2.
Важно отметить, что определение непрерывности относится к
определенному промежутку (а, 6). Одна и та же функция может быть
непрерывна на одних промежутках и разрывна на других. Например,
функция на рисунке 2 является разрывной на промежутке (а, 6), но
на каждом из промежутков (а, с) и (с, Ь) она все-таки непрерывна!
Вопрос. Что вы можете сказать о непрерывности функции f(x) =
= у/х">
2.4. Если функция не является монотонной, то для нее
определение непрерывности из предыдущего пункта, вообще говоря, не
годится. На рисунке 3 изображен график определенной на промежутке
разрывной немонотонной функции, область значений которой
является промежутком.
хО а
Тем не менее, все функции, которые приходится изучать в средней
школе, "составлены" из монотонных. Это обстоятельство позволяет
легко распространить понятие непрерывности монотонной функции
на гораздо более широкий класс функций.
Будем говорить, что функция f(x) кусочно-монотонна на проме-

§ 2. Непрерывность и пределы функций 53
жутке (а, 6), если его можно представить в виде объединения
нескольких меньших промежутков (a,ci), (сьсг), ..., (с*,6), не имеющих
общих точек, на каждом из которых функция f(x) монотонна. Эти
меньшие промежутки называются промежутками монотонности
функции f{x). Некоторые из них могут быть бесконечными или сводиться
к отдельным точкам.
Например, квадратичная функция f(x) = х2 кусочно-монотонна на
всей числовой прямой, так как эта прямая разлагается в объединение
двух непресекающихся частей (—оо,0) и [0, оо), на каждой из которых
данная функция уже является монотонной.
Пусть функция f(x) кусочно-монотонна на промежутке (а, 6), причем
(a,ci), (сьсг), ..., (с*,Ь) — ее промежутки монотонности. Если f(x)
монотонна и непрерывна на каждом из промежутков (a,ci], [с^ф],
..., [с*, 6), то она называется непрерывной на промежутке (а, 6).
В частности, функция f(x) = х2 непрерывна на всей числовой
прямой, поскольку она непрерывна на каждом из лучей (—оо,0] и [0, оо).
При проверке непрерывности кусочно-монотонной функции точки
сь С2, .., Ck обязательно нужно включать во все рассматриваемые
промежутки, иначе определение может потерять силу. Так,
например, функция на рисунке 3 монотонна и непрерывна на каждом из
промежутков (а, с] и (с, 6), но не является непрерывной на всем
интервале (а, 6).
Вопрос. Можно ли применить определение непрерывности
кусочно-монотонной функции к f(x) = 1- на всей числовой прямой?
2.5. Непрерывные функции обладают рядом замечательных
свойств, позволяющих из простых непрерывных функций
конструировать более сложные. Перечислим здесь эти свойства без
доказательства.
Пусть на промежутке (а, 6) заданы две непрерывные функции f(x)
и д(х), тогда:
1. сумма f(x) 4- д{х) непрерывна на промежутке (а, 6);
2. разность f(x) - д(х) непрерывна на промежутке (а, 6);
3. произведение f(x)g(x) непрерывно на промежутке (о, 6);
4. если д(х) не обращается в нуль, то отношение Д-У- непрерывно
на промежутке (а, 6).

54
Глава 2. Прешел и непрерывность
Например, любой многочлен ao+aix+a2X2 +.. .+anxn можно
"сконструировать" из постоянных функций и функции /(х) = х при помощи
операций сложения и умножения. Постоянные функции и функция
f(x) = х непрерывны на всей числовой прямой, поэтому любой
многочлен также непрерывен.
Еще одно важное свойство связано с непрерывностью сложной
функции. Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке (а, 6), а функция
д(у) — на промежутке (c,d). Если множество значений функции /
содержится в (C)d), то сложная функция g(f(x)) будет непрерывна на
промежутке (а, Ь).
Например, функция у/х2 +1 является композицией многочлена
f(x) = х2 +1 и квадратного корня д(у) = у/у. Первая из этих
функций непрерывна на всей числовой оси, а вторая — на полуоси [0, оо).
Так как множество значений f(x) состоит только из положительных
чисел, то сложная функция g{f{x)) = у/х2 + 1 непрерывна на всей
числовой прямой.
Вопрос. Что можно сказать о непрерывности функции у/х2 - 1?
2.6. Пусть функция /(х) определена на промежутке (о, 6) всюду,
за исключением, возможно, некоторой точки хо 6 (а, 6). Попытаемся
так определить (или переопределить) функцию /(х) в точке хо,
положив /(хо) = А, чтобы она стала непрерывной на промежутке (о, 6)
(рисунок 4).
•О а
Если такое число А существует, то оно называется пределом
функции / в точке xq. Тот факт, что А является пределом / в точке xq,

§ 2. Непрерывность и пределы функций
55
выражают формулами
А = 1ца f(x) или /(х) —► А (х -> хо)
и говорят, что /(х) стремится к А при х, стремящемся к xq.
Если функция /(х) с самого начала была определена в точке хо
и непрерывна на промежутке (а, 6), то никакого нового значения для
нее придумывать не надо. Поэтому для непрерывной функции
Jim/(x) = /(x0).
Если невозможно определить значение /(хо) так, чтобы функция
стала непрерывной, то говорят, что она не имеет предела в точке хо.
Пример 1. Пусть /(х) = —х при х < 0 и /(х) = 2х при
х > 0. Если положить /(0) = 0, то функция /(х) станет непрерывной
на всей числовой прямой (рисунок 5). Следовательно, lim/(x) = 0.
о
Пример 2. Рассмотрим функцию /(х), равную х2 при х < 0 и
2 при х > 0 (рисунок 6). Как бы мы ни определяли значение этой
функции при х = 0, она никогда не станет непрерывной. Значит,
данная функция не имеет предела в точке хо = 0.
|х|
Вопрос. Существует ли предел lim — ?
2.7. Перечислим без доказательства некоторые простейшие
правила вычисления пределов, которые будут полезны при решении задач.
Пусть функции /(х) и д(х) определены на промежутке (о, 6), кроме,
может быть, некоторой точки хо этого промежутка. Предположим,

56
Глава 2. Предел и непрерывность
что существуют пределы lim f(x) = А и lim g(x) — В. Тогда
X—tXq Х-тХо
Um(/(z)±5(x)) = A±B;
JimtfOrM*)) = АВ;
если В^О, то ИтМ = 4
Пример 3. Найдем предел Нт
х-»1 х2 - Г
Разложив на множители знаменатель, находим
х- 1 х-1 1
х2-1 (х-1)(г + 1) х+Г
Предел знаменателя получившейся дроби при х —у 1 существует и
равен 2, а предел числителя, очевидно, равен 1. Согласно утверждению
о пределе отношения, заключаем
lim ——- = lim = ^
х-tl X2 — 1 Х-П X + 1 *
Приведем, наконец, правило вычисления предела композиции двух
функций. Пусть предел функции f(x) в точке xq равен А, а функция
д(у) определена и непрерывна на некотором промежутке, содержащем
число А. Тогда
ШдШх)) = 9(A).
Пример 4. Вычислим lim Vr.
Положим f(x) = я3, д(у) = у/у. Понятно, что lim f(x) = 8, а
функция у/у непрерывна на промежутке [0, оо), содержащем число
у = 8. По правилу вычисления предела композиции находим
lim у/х1 = lim g{f(x)) = д{8) = 2л/2.
х—*2 х—»2
Вопрос. Может ли существовать предел суммы двух функций,
если пределы отдельных слагаемых не существуют?

§ 2. Непрерывность и пределы функций 57
Контрольные вопросы и задания
1. Какое множество называется промежутком на числовой прямой?
2. Какие функции называются монотонными?
3. В каком случае монотонная функция считается непрерывной?
4. Приведите примеры непрерывных функций.
5. Как вы представляете себе разрывную функцию?
6. Приведите примеры разрывных функций.
7. Какие функции считаются кусочно-монотонными?
8. В каком случае кусочно-монотонная функция называется
непрерывной?
9. Что можно сказать о непрерывности суммы произведения или
отношения непрерывных функций?
10. Что вам известно о композиции непрерывных функций?
11. Что называется пределом функции в точке?
12. Приведите пример функции, не имеющей предела.
13. Какие правила вычисления пределов вы знаете?
Задачи и упражнения
1. Может ли промежуток на числовой прямой содержать ровно две
точки?
2. Найдите промежутки монотонности функции /(х) = х2 -f 2х - 1.
3. Проверьте определение непрерывности для функции f(x) =
= 2х + 1.
4. Докажите, что функция f(x) = ^(х2 - 1) непрерывна.
5. Докажите, что функция f(x) = Зх - 2 при х < 0; /(х) = х + 1
при х > 0 не является непрерывной на всей числовой прямой.
6. Докажите, что функция /(х) = х2 + 1 при х < -1; /(х) = -2х
при х > — 1 непрерывна на промежутке (—2,0).

58
Глава 2. Предел и непрерывность
7. Докажите, что функция /(х) = х3 - 1 при х < 1; /(х) = 2х при
х > 1 не является непрерывной на промежутке [0,3].
8. Найти пределы:
ч ,. х2 - 7х ^ ,. \/х - 1 ч .. х3 + 2х2-х ч .. х2 - 1
a) lim --; 6) hm •*-=—-; в) hm ; г) lim .
' х->3 х + 5 ' х->4 х2 + 1 ' х->0 х ' ' х->1 х - 1
9. Существует ли lim /(х), где /(х) = х2 + 4 при х < 2; /(х) = х3
при х > 2?
10. Существует ли lim /(х), где /(х) = х - 2 при х < 0; /(х) = х3 - 3
х-*0
при х > 0?

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ
В ПРОСТРАНСТВЕ
глава
В этой главе мы продолжим изучение стереометрии, рассмотрим
важные понятия перпендикулярности двух прямых,
перпендикулярности прямой и плоскости и перпендикулярности двух плоскостей. Вы
узнаете, как в пространстве находить расстояние от точки до прямой,
от точки до плоскости и как вычислять высоту пирамиды и призмы.
§ 1. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМОЙ И
плоскости
1.1. Используя отвес можно составить представление о
вертикальном направлении в каждой точке земной поверхности. По
отношению к горизонтальному участку поверхности, вертикальное
положение обладает особенностями, которые в стереометрии связаны с
понятием перпендикулярности.
Вопрос. На горизонтальную поверхность стола положили куб.
Какие ребра куба при этом принимают вертикальное положение?
1.2. Две пересекающиеся прямые, расположенные в пространстве,
лежат в одной плоскости. Их называют перпендикулярными, если они
перпендикулярны в этой плоскости.
Приведенное определение дает один из возможных способов
проведения в пространстве перпендикуляра из заданной точки к данной
прямой.
Пример 1. Пусть ABCDA\B\C\D\ — куб. Проведем из вершины
С\ перпендикуляр к прямой BD.
з

во
Глава, 3. Перпендикулярность в пространстве
в,
с,
',/
1 ,' X
D,
/ /
' /
-'я '-О
' ' /
/ /
/ /
/ #
D
Решение. Обозначим длину ребра
куба через а. Рассмотрим плоскость BC\D.
В этой плоскости отрезки ВС\, C\D, BD
равны ay/2 как диагонали квадратов со
стороной а. Поэтому треугольник BC\D
равносторонний. Отсюда следует, что
в пространстве перпендикуляром,
проведенным из точки С\ к прямой BD,
является высота С\Н треугольника BC\D,
которая в данном примере совпадает и с
медианой (рисунок 1).
Вопрос. Как доказать, что в пространстве через точку Л, не
лежащую на прямой а, можно провести единственную прямую 6, которая
пересекает прямую а и перпендикулярна а?
1.3. Посмотрев на дерево, растущее на горизонтальном участке
земной поверхности, чаще всего можно заметить, что ствол дерева
перпендикулярен любому направлению выходящему из основания ствола
по поверхности земли. Аналогичное свойство в стереометрии
принимается за определение.
Прямая а, пересекающая плоскость а, называется перпендикулярной
плоскости а, если а перпендикулярна каждой прямой плоскости а,
проходящей через точку пересечения прямой а и плоскости а.
Для записи перпендикулярности прямой и плоскости используют
знак ±.
В том случае, когда прямая о перпендикулярна плоскости а,
говорят также, что плоскость а перпендикулярна прямой о.
Отрезок в пространстве называют перпендикулярным к плоскости,
если он лежит на прямой, перпендикулярной этой плоскости.
Вопрос. Как доказать, что в кубе ABCDA\B\C\D\ диагональ
АВ\ грани АА\В\В не перпендикулярна плоскости основания ABCD?
1.4. Наличие прямой, перпендикулярной плоскости, позволяет
указать много взаимно перпендикулярных пересекающихся прямых.
Пример 2. Пусть известно, что у пирамиды SABC отрезок SА

§ 1. Перпендикулярность прямой и плоскости
61
перпендикулярен плоскости ABC.
Выберем на ребре ВС произвольную точку М
и соединим ее с вершинами А и S
(рисунок 2). Так как SA ± ABC, то по
определению прямая SA перпендикулярна
каждой прямой плоскости ABC,
проходящей через точку А. Одной из таких
прямых является прямая AM. Поэтому
треугольник AMS прямоугольный с прямым
углом при вершине А.
Вопрос. Пусть в пирамиде SABC из рассмотренного примера
АВ = ВС = АС = SA = 1. Чему равна длина проведенной из
вершины S медианы грани SBC1
1.5. Для доказательства перпендикулярности прямой и плоскости
чаще всего используется следующий основной признак.
Если прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым,
лежащим в плоскости а и проходящим через точку пересечения прямой
а и плоскости а, то а перпендикулярна а.
Доказательство. Пусть прямая а пересекает плоскость а в точке
Я и перпендикулярна различным прямым тип плоскости а,
проходящим через точку Н. Проведем в плоскости а через точку Я
произвольную прямую Ь. Докажем, что b La. Для доказательства выберем
на прямой 6 точку С, отличную от точки Я, и проведем через точку
С прямую, пересекающую прямые т и п в точках Am В (рисунок 3).

62
Гласа 3. Перпендикулярность в пространстве
После этого отложим на прямой а равные отрезки НМ и НК
(рисунок 4). В треугольнике МАК отрезок АН является и медианой, так
как МН = НК, и высотой, так как по условию a J_ m. Поэтому
треугольник МАК равнобедренный, откуда МА = АК. Аналогично
в треугольнике МВК отрезок ВН является и медианой и высотой, а
поэтому MB = ВК. В результате получаем, что треугольники АВМ
и АВК равны по третьему признаку равенства треугольников.
Из равенства треугольников АВМ и АВК следует равенство углов
ВАМ и ВАК. Поэтому треугольники АСМ и АСК имеют равные
углы при вершине А и соответственно равные стороны: АС— общая,
AM = АК. Следовательно, по первому признаку равенства
треугольников АСМ и АСК равны. Значит, их соответственные стороны СМ
и С К также равны, то есть СМ = СК.
Рассмотрим теперь треугольник МСК. Он равнобедренный, так
как СМ = СК, а отрезок СН — медиана треугольника МСК, так
как МН = НК по построению. Поэтому по свойству медианы
равнобедренного треугольника получаем СН ± МК, то есть Ь J. а.
Итак, мы выбрали произвольную проходящую через точку Н
прямую Ь плоскости а и показали, что alb. Поэтому по определению из
пункта 1.3 прямая а перпендикулярна плоскости а, что и требовалось
доказать.
Вопрос. Как доказать, что в кубе ABCDA\B\C\D\ ребро АА\
перпендикулярно плоскости ABCD?
1.6. Покажем, как через данную точку пространства провести
плоскость, перпендикулярную заданной прямой.
Сначала рассмотрим конкретный
пример.
Пример 3. В кубе ABCDAiBiCiDi
через середину ребра АВ проведем
плоскость, перпендикулярную прямой АС.
Решение. Сначала через середину М
ребра АВ проведем в основании ABCD
куба отрезок МК перпендикулярно АС
(рисунок 5). Отрезки МК и АС
пересекаются в точке Р так, что АР = \АС.
После этого рассмотрим плоскость АА\

§ i. Перпендикулярность прямой и плоскости
63
С\С (рисунок 6). Так как АА\ ± ABCD, то АА\ ± АС. Отсюда
следует, что АА\С\С — прямоугольник. Поэтому проходящая через точку
Р и перпендикулярная АС прямая РР\ параллельна АА\ (рисунок 6).
А К D
Построив точку Pi , проведем через нее прямую М\К\ параллельно
МК (рисунок 7). Плоскость ММ\К\К проведена через две
пересекающиеся прямые МК и РР\ , которые перпендикулярны АС, а поэтому
ММгКгК ± АС.
Покажем теперь, как в общем случае через данную точку А
провести плоскость, перпендикулярную заданной прямой а. Рассмотрим
случай, когда точка А не лежит на прямой а.
Проведем через прямую а и точку А плоскость а. В плоскости а
построим прямую 6, которая проходит через точку Л,
перпендикулярна прямой а и пересекает прямую а в точке В (рисунок 8). Затем
проведем через прямую а плоскость /3, отличную от плоскости а. В
плоскости /3 построим прямую с, которая проходит через точку В и
перпендикулярна прямой а (рисунок 9). После этого проведем
плоскость 7, проходящую через прямые b и с (рисунок 10). Так как а ± Ь
и а 1 с, то по признаку 1.5 получаем, что а ± 7-
№ И 1Ж1
Заметим, что проводя через прямую а всевозможные плоскости (3
и проводя в каждой из них через точку В прямую перпендикулярно

64
Глава, 3. Перпендикулярность в пространстве
а, мы будем получать всевозможные прямые, лежащие в плоскости 7,
которые проходят через точку В.
Через каждую точку пространства можно провести единственную
плоскость, перпендикулярную заданной прямой. Это будет доказано
в следующем пункте.
Вопрос. Пусть точка А лежит на прямой а. Как в этом случае
провести через точку А плоскость, перпендикулярную а?
1.7. Докажем, что в пространстве через заданную точку можно
провести единственную плоскость, перпендикулярную заданной
прямой.
Доказательство. Предположим, что
через точку А можно провести две различные
плоскости а и /?, перпендикулярные
прямой а. Рассмотрим плоскость 7>
проходящую через точку А и прямую а. Но
так как через точку А в плоскости 7
можно провести только один перпендикуляр к
прямой а, то плоскости а и 0
пересекают плоскость 7 по одной прямой т. Но
тогда прямая т — пересечение а и 0
(рисунок 11).
Рассмотрим теперь отличную от плоскости 7 плоскость 6,
проходящую через прямую а. Тогда плоскость 6 пересекает плоскости а и 0
по различным прямым тип. Так как а ± а, то т ± а и, аналогично,
так как 0 А. а, то п ± о. В результате в плоскости 6 получаем два
различных пересекающихся перпендикуляра к прямой а, что
невозможно.
Таким образом, предположение о существовании двух различных
плоскостей, перпендикулярных прямой а и проходящих через точку А,
приводит к противоречию. Это доказывает единственность указанной
плоскости.
Вопрос. Как доказать, что две различные плоскости
параллельны, если они перпендикулярны одной прямой?
1.8. Из построения, приведенного в пункте 1.6, следует, что в
пространстве существуют взаимно перпендикулярные прямые и плоско-

§ 1. Перпендикулярность прямой и плоскости
65
сти. Отсюда можно сделать вывод, что в пространстве существуют
три взаимно перпендикулярные попарно пересекающиеся прямые.
Вопрос. Как доказать это утверждение?
1.9. Пусть заданы плоскость а и точка А этой плоскости.
Построим перпендикуляр к плоскости а, проходящий через точку А.
Проведем в плоскости а через точку А
прямую га (рисунок 12). Затем построим
плоскость /?, которая проходит через
точку А и перпендикулярна прямой m
(рисунок 13).
Пусть плоскости а и 0 пересекаются
по прямой п. Проведем в плоскости /3
прямую о, которая проходит через
точку А и перпендикулярна прямой п
(рисунок 14). Докажем, что построенная
указанным способом прямая а
перпендикулярна плоскости а.
Действительно, с одной стороны, по
построению прямая а перпендикулярна
прямой п плоскости а. С другой стороны, так
как га JL /?, то га ± а. Таким образом,
прямая а перпендикулярна двум
пересекающимся прямым тип,
расположенных в плоскости а. Поэтому по
основному признаку перпендикулярности прямой
и плоскости a JL а.
Вопрос. Как доказать, что через
заданную точку А плоскости а можно
провести только одну прямую,
перпендикулярную а?
1.10. Рассмотрим плоскость а и
точку А вне этой плоскости. Пусть прямая а
проходит через точку Л,
перпендикулярна плоскости а и пересекает плоскость а
в точке Н. Отрезок АН называют пер-

ее
Глава 3. Перпендикулярность в пространстве
пендикулярому проведенным из точки А к
плоскости а. Точку Н называют
основанием этого перпендикуляра.
Если отрезок АН — перпендикуляр к
плоскости а, то для любой точки М
плоскости а, не совпадающей с точкой Я,
отрезок AM называют наклонной,
проведенной из точки А к плоскости а.
Перпендикуляр к плоскости обладает
следующим свойством.
Длина перпендикуляра, проведенного из
точки А к плоскости, меньше длины
любой наклонной, проведенной из точки
А к этой же плоскости.
Доказательство. Пусть АН — перпендикуляр, а отрезок AM —
наклонная, проведенная из точки А к плоскости а. Так как прямая
НМ лежит в плоскости а, то НМ JL АН. Поэтому треугольник АНМ
прямоугольный. Отсюда следует, что катет АН меньше гипотенузы
AM, что и требовалось доказать.
Доказанное свойство иногда формулируют в сокращенном виде:
перпендикуляр к плоскости короче наклонной.
Вопрос. Пусть про точку Р плоскости а известно, что расстояние
от точки А до точки Р не больше, чем расстояние от точки А до любой
другой точки плоскости а. Как доказать, что АР JL а?
1.11. Свойство перпендикуляра к плоскости, доказанное в
предыдущем пункте, служит основой для следующего определения.
Пусть точка А не лежит в плоскости а. Расстоянием от точки А до
плоскости а называется длина перпендикуляра, проведенного из точки
А к плоскости а.
Расстояние от точки В плоскости а до этой плоскости считают
равным нулю.
Вопрос. Пусть А и В — две различные точки. Как провести
через точку В плоскость, расстояние до которой от точки А будет
наибольшим?

§ 1. Перпендикулярность прямой и плоскости
67
1.12. Пусть SABCD — четырехугольная пирамида с вершиной
5. Перпендикуляр 5Я, проведенный из вершины S к плоскости
основания ABCD, называется высотой пирамиды SABCD. В этом случае
основание Н перпендикуляра SH называется основанием высоты
пирамиды.
Иногда для краткости длину высоты пирамиды также называют
высотой. Высота пирамиды, в основании которой лежит
произвольный многоугольник, определяется аналогично.
Пример 4. В основании пирамиды SABCD лежит квадрат
ABCD, а боковые ребра пирамиды равны. Проведем высоту этой
пирамиды.
Решение. Из условия следует, что треугольники ASC и BSD
равнобедренные. Так как основания АС и BD этих треугольников делятся
точкой Р пополам, то SP 1 АС и SP JL BD. Поэтому по основному
признаку SP -L ABCD. Следовательно, отрезок SP — высота данной
пирамиды.
Четырехугольная пирамида, в основании которой лежит квадрат, а
основание высоты пирамиды совпадает с центром квадрата,
называется правильной четырехугольной пирамидой. Аналогично
определяется правильная n-угольная пирамида.
Пирамида называется правильной, если в ее основании лежит
правильный многоугольник, а основание высоты пирамиды совпадает с
центром многоугольника, лежащего в основании.
Вопрос. Пусть в основании пирамиды SABCD лежит
прямоугольник ABCD, а основание высоты пирамиды совпадает с точкой
пересечения диагоналей АС и BD. Как доказать, что боковые ребра

68
Глава 3. Перпендикулярность в пространстве
пирамиды равны:
Контрольные вопросы и задания
1. Как определяется перпендикулярность пересекающихся прямых
в пространстве?
2. Сформулируйте определение перпендикулярности прямой и
плоскости.
3. Сформулируйте основной признак перпендикулярности прямой
и плоскости.
4. Докажите основной признак перпендикулярности прямой и
плоскости.
5. Как через данную точку пространства провести плоскость,
перпендикулярную заданной прямой?
0. Докажите, что через данную точку можно провести
единственную плоскость, перпендикулярную заданной прямой.
7. Как построить перпендикуляр к плоскости из точки этой
плоскости?
8. Как построить три взаимно перпендикулярные прямые?
9. Что такое наклонная?
10. Докажите, что длина перпендикуляра к плоскости меньше
длины любой наклонной.
11. Как определяется расстояние от точки до плоскости?
12. Что называется высотой пирамиды?
13. Сколько различных высот можно провести в тетраэдре?
Задачи и упражнения
1. В треугольной пирамиде SABC ребро SA перпендикулярно
плоскости ABC и SA = 2 см, АВ = 3 см, ВС = 4 см, АС = 5 см.
Найдите длины ребер SB и SC.
2. В четырехугольной пирамиде SABCD точка М середина ребра
АВ и отрезок SM перпендикулярен плоскости ABCD. Известно,

§ 1. Перпендикулярность прямой и плоскости
69
что ABCD — квадрат со стороной 4 см, a SC = 9 см. Найдите
длины ребер SAy SB и SD.
3. В треугольной пирамиде SABC в основании правильный
треугольник ABC, и боковые ребра SA, SB, SC равны. Пусть М,
N, К — середины ребер АВ, ВС и АС соответственно. Докажи-
те, что:
а) прямая АВ перпендикулярна плоскости SMC;
б) прямая МN перпендикулярна плоскости SBK.
4. В треугольной пирамиде ABCD ребро CD перпендикулярно
плоскости ABC и угол ABC прямой. Докажите, что ребро ВС
перпендикулярно плоскости ACD.
5. Докажите, что в правильной шестиугольной пирамиде боковые
ребра равны.
6. Пусть SABCD — правильная четырехугольная пирамида, точки
М и К — середины ребер АВ и CD соответственно. Докажите,
что
а) плоскость SMK перпендикулярна ребру АВ;
б) прямая АС перпендикулярна плоскости SBD.
7. Точка М пространства равноудалена от всех вершин
правильного треугольника ABC, Прямая Z проходит через точку М,
перпендикулярна плоскости ABC и пересекает плоскость ABC в
точке О. Докажите, что точка О — центр треугольника ABC.
8. В треугольной пирамиде ABCD ребро CD перпендикулярно
плоскости ABC и угол ABC прямой. Постройте плоскость, которая:
а) проходит через середину ребра АВ и перпендикулярна прямой
АВ]
б) проходит через середину ребра CD и перпендикулярна прямой
ВС;
в) проходит через середину ребра BD и перпендикулярна прямой
AD.
9. В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S
постройте плоскость, которая:
а) проходит через середину ребра ВС и перпендикулярна прямой
ВС;
б) проходит через середину ребра ВС и перпендикулярна прямой

70
Глава 3. Перпендикулярность в пространстве
АС\
в) проходит через середину ребра AS и перпендикулярна прямой
АВ;
г) проходит через вершину С и перпендикулярна прямой SA;
д) проходит через середину ребра АВ и перпендикулярна прямой
SA.
10. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S
все ребра равны. Постройте плоскость, которая:
а) проходит через середину ребра AD и перпендикулярна прямой
AD;
б) проходит через середину ребра АВ и перпендикулярна прямой
АС\
в) проходит через вершину С и перпендикулярна прямой SB\
г)* проходит через вершину А и перпендикулярна прямой SC\
д)** проходит через середину высоты SH и перпендикулярна
прямой SB.
11. В кубе ABCDA\B\C\D\ постройте плоскость, которая:
а) проходит через середину ребра CD и перпендикулярна прямой
АВг;
б)* проходит через середину ребра ВС и перпендикулярна
прямой АС\\
в)** проходит через середину отрезка МN перпендикулярно MN,
где точки М и N — середины ребер А\В\ и AD.
12. В правильной треугольной пирамиде SABC в основании лежит
равносторонний треугольник ABC со стороной 2, боковые ребра
пирамиды равны 3. Найдите расстояние от вершины А до
плоскости грани SBC.
13. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD в основании
лежит квадрат со стороной 2, боковые ребра пирамиды равны 5.
Найдите расстояние от середины ребра АВ до плоскости грани
SCD.
14. В кубе с основанием ABCD и боковыми ребрами АА\ , ВВ\ , ССц
DD\ на ребре СС\ выбрана точка Е так, что СЕ = 2С\Е. Через
диагональ B\D\ верхнего основания и точку Е проведена
плоскость а. Найдите расстояние от вершины А до этой плоскости,
если длина ребра куба равна 1.

§ 2. Свойства перпендикулярности прямой и плоскости 71^
15.
16?*
17Г
18?*
В кубе A\B\C\D\ABCD с ребром d точка М\ — середина ребра
А\В\\ точка К\ — середина ребра A\D\ . Можно ли в трапецию
M\K\DB вписать окружность?
Найдите геометрическое место точек пространства,
равноудаленных от двух данных точек.
Найдите на данной плоскости геометрическое место точек,
удаленных на заданное расстояние от данной точки, лежащей вне
плоскости.
Найдите на заданной плоскости а точку, для которой разность
расстояний от нее до двух данных точек Aw В наибольшая, если:
а) точки А и В расположены по одну сторону от плоскости а; б)
точки А и В расположены по разные стороны от плоскости а.
§ 2. СВОЙСТВА ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ
ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
вЛ
Ах
м
2.1. Напомним, что прямая а называется перпендикулярной
плоскости а, если а перпендикулярна каждой прямой, которая проходит
в плоскости а через точку пересечения прямой о с плоскостью а. Это
определение содержит одно из самых важных и часто используемых
свойств взаимно перпендикулярных прямой и плоскости.
Пример 1. В кубе ABCDAxBxCxDx
из середины ребра А\В\ провести
перпендикуляр к прямой АС.
Решение. Вспомним пример, который
мы рассматривали в пункте 1.6. В этом
примере была построена плоскость,
которая перпендикулярна АС и проходит
через середины ребер АВ, AD, А\В\, A\D\
(рисунок 1). По определению
перпендикулярности прямой и плоскости каждая
прямая плоскости MMiK\K, проходящая
через точку Р пересечения ММ\К\К и
АС, перпендикулярна АС. В частности,
М\Р ± АС. Тем самым искомый перпендикуляр к прямой АС сразу
'АЛ
Кг
\в
А
К
D

72
Глава 3. Перпендикулярность в пространстве
получен.
Вопрос. Как доказать, что на рисунке 1 отрезок М\М
перпендикулярен плоскости ABCD1
2.2. В этом пункте докажем следующее свойство.
Если прямая Перпендикулярна к одной из двух параллельных
плоскостей, то она перпендикулярна и к другой плоскости.
Доказательство. Обозначим прямую
через а, а плоскости — через а и /3. Пусть
о!ои <х\\/3- Проведем через прямую а
две различные вспомогательные
плоскости 7 и &• Тогда плоскость S пересекает
плоскости а и /? по параллельным прямым
т и mi, а плоскость 5 пересекает
плоскости а и /? по параллельным прямым п и
щ (рисунок 2). Так как a JL а, то о J_ т и
а _L п. Поэтому а X mi и а _L щ.
Следовательно, прямая а перпендикулярна двум
пересекающимся прямым mi и щ
плоскости 6. Значит, а X /3, что и требовалось
доказать.
Пример 2. Рассмотрим пирамиду
SABC, у которой ребро SA
перпендикулярно основанию ABC. Докажем, что
точки средней линии грани SBC,
параллельной ВС, равноудалены от вершин S
и А
Доказательство. Пусть точки М, N,
К — середины ребер SA, SB, SC
(рисунок 3). Тогда MN\\AB, МК\\АС.
Поэтому плоскость MNK параллельна
основанию ABC. Так как SA X ABC, то SA X MNK. Следовательно,
для каждой точки F отрезка NK отрезок MF перпендикулярен SA.
Значит треугольник ASF равнобедренный с основанием AS, откуда
AF = SF, что и требовалось доказать.

§ 2 Свойства перпендикулярности прямой и плоскости 73
В следующем пункте будет доказано свойство, обратное к свойству,
рассмотренному в этом пункте:
если прямая перпендикулярна к двум различным плоскостям, то эти
плоскости параллельны.
Вопрос. Из каких утверждений в приведенном доказательстве
делается вывод, что если а 1 т, то a J. mi?
2.3. Докажем, что если прямая о перпендикулярна к двум
различным плоскостям а и /?, то а\\0.
Доказательство. Предположим, что плоскости а и /? не
параллельны, то есть пересекаются. Тогда существует общая точка М этих
плоскостей, и мы получаем, что через точку М проходит две
различные плоскости, перпендикулярные прямой а. Но плоскость,
которая проходит через данную точку перпендикулярно заданной прямой,
определяется единственным образом.
Так как предположение о том, что плоскости аи/J пересекаются,
приводит к противоречию, то а||/?.
Вопрос. В каком случае через две данные точки можно провести
плоскость, перпендикулярную заданной прямой?
2.4. В пространстве взаимно перпендикулярные пересекающиеся
прямые обладают следующим свойством.
Ес/\и две пересекающиеся прямые а и b перпендикулярны и
соответственно параллельны двум пересекающимся прямым тип, то прямые
тип также перпендикулярны.
Доказательство.
Первый случай. Пусть прямые а, 6 и т лежат в одной плоскости
а. Тогда прямая п имеет общую точку с плоскостью а и параллельна
прямой 6 этой плоскости. Отсюда следует, что прямая п также лежит
в плоскости а. Поэтому все четыре прямые а, 6, m, п содержатся в
одной плоскости, и мы получаем перпендикулярность прямых тип как
следствие свойства углов плоскости с соответственно параллельными
сторонами.
Второй случай. Пусть прямые а и 6 лежат в плоскости а, прямые
тип лежат в плоскости /3 и плоскости а и /3 различны. Так как
а\\т и 6||п, то по соответствующему признаку а\\/3. Обозначим точку

74
Глава 3. Перпендикулярность в пространстве
пересечения прямых а и b через А, точку пересечения прямых тип
через М (рисунок 4).
lA-L ^ _ Рассмотрим плоскость, содержащую
параллельные прямые а и т. Выберем на
прямой а точку В и проведем через
точку В прямую параллельно AM,
пересекающую прямую т в точке N (рисунок 5).
Получим параллелограмм ABNM,
откуда А В = MN и BN = AM. Затем
рассмотрим плоскость, содержащую
параллельные прямые b и п. Выберем на прямой b
точку С и проведем через точку С прямую
параллельно AM, пересекающую прямую
п в точке К. Получим параллелограмм
АСКМ, откуда АС = МК и СК = AM.
После этого рассмотрим точки В, С,
TV, К. Так как BN\\AM и СК\\АМ, то
BN\\CK. Так как BN = AM и СК =
= AM, то BiV = СК. Следовательно,
четырехугольник BCKN —
параллелограмм. Поэтому ВС = NK.
В результате проведенных построений,
получаем, что в треугольниках ABC и
MNK равны соответственно стороны АВ и MN, АС и МК, ВС
и NK. Поэтому эти треугольники равны. Но так как по условию
LBAC = 90° , то из равенства треугольников получаем, что LNMK =
= 90°. Это значит, что прямые тип перпендикулярны.
Вопрос. Какими свойствами обладают на плоскости углы с
соответственно параллельными сторонами?
2.5. Докажем следующее свойство.
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости,
то и вторая прямая перпендикулярна этой плоскости.
Доказательство. Обозначим прямые а и Ь, а плоскость а. Пусть
а ± а и а\\Ь. Проведем через параллельные прямые а и 6
вспомогательную плоскость /3, пересекающую плоскость а по прямой т
(рисунок 6). Так как о ± а, то а ± m, а поэтому иб!т. Затем в плоскости

§ 2. Свойства перпендикулярности прямой и плоскости 75
а через точки А и В пересечения прямых а и 6 с плоскостью
а проведем две параллельные прямые п
и к (рисунок 7). Тогда a 1_ п, и так как
прямыеа и псоответственно параллельны
прямым Ь и к, то по свойству из
предыдущего пункта 6 _L к. В результате
получаем, что Ь _L m, b J_ fc, а поэтому 6 _L а по
основному признаку перпендикулярности
прямой и плоскости.
Вопрос. Пусть а и 6 — две прямые,
ои/)- две плоскости. Как доказать, что
если а||6, а\\(3 и а JL а, то 6 JL /??
2.6. Доказанное в предыдущем
пункте свойство приводит к одному из
способов построения прямой, которая проходит
через данную точку перпендикулярно
заданной плоскости.
Пример 3. В основании пирамиды SABCD лежит квадрат ABCD,
а основание высоты SH совпадает с центром квадрата ABCD.
Проведем из середины ребра SC перпендикуляр к плоскости ABCD.
Решение. Рассмотрим плоскость ASC,
содержащую высоту SH пирамиды и
середину М ребра SC. Проведем через точку
М прямую параллельно SH и обозначим
точку ее пересечения с SC через К
(рисунок 8). Так как MK\\SH и SH ± ABCD,
то МК J_ ABCD. Точка К лежит в
плоскости ABCD, поэтому искомый
перпендикуляр МК построен. ^
Теперь покажем, как в общем случае через точку А провести
прямую, перпендикулярную плоскости а, если известна некоторая
прямая т, которая перпендикулярна плоскости а. плоскость /3 и найдем
прямую / пересечения плоскостей а и /3 (рисунок 9).
После этого в плоскости 0 проведем через точку А прямую а
параллельно прямой га (рисунок 10). Так как а\\т и т ± а, то по свойству
из пункта 2.5 получаем а ± а.

76
Глава, 3. Перпендикулярность в пространстве
Вопрос. Как на рисунке 10 указать точку пересечения прямой а
с плоскостью а?
2.7. В пункте 1.9 мы рассмотрели, как построить прямую, которая
перпендикулярна данной плоскости и проходит через заданную точку
этой плоскости. Используя это построение, мы сможем через
произвольную точку пространства провести прямую, перпендикулярную
данной плоскости.
Пример 4. Рассмотрим правильную четырехугольную пирамиду
SABCD. Построим SM 1 АВ и MN ± АВ, как на рисунке 11. Тогда
АВ ± SMN по основному признаку перпендикулярности прямой и
плоскости. Проведем в плоскости SAB произвольный отрезок PQ
параллельно АВ (рисунок 12). Тогда PQ JL SMN, как это следует из
свойства, приведенного в п.2.5.
Вопрос. Как опустить из точки N перпендикуляр на плоскость
SAB (рисунок 12)?
на [ш
A D A D
2.8. Докажем, что через данную точку можно провести
единственную прямую, перпендикулярную заданной плоскости.

§ 2. Свойства перпендикулярности прямой и плоскости 77
Доказательство. Предположим, что
через точку А проходят две различные
прямые а и 6, перпендикулярные
плоскости а. Проведем через прямые а и b
вспомогательную плоскость /?, которая
пересекает плоскость а по прямой т
(рисунок 13). Так как а 1 а, то а 1 т.
Аналогично, так как Ь ± а, то b _L т. В
результате в плоскости /? получаем две
различные пересекающиеся прямые а и 6,
перпендикулярные одной прямой т. Но
это противоречит единственности перпендикуляра, который можно
провести через точку А к прямой т в плоскости /3.
Таким образом, предположение о существовании двух различных
прямых, перпендикулярных к плоскости а и проходящих через
точку Л, приводит к противоречию. Следовательно, такая прямая
единственна.
Вопрос. Пусть в пирамиде SABC ребро AS перпендикулярно
грани SBC. Как из середины ребра АВ опустить перпендикуляр к
плоскости SBC?
2.9. В пункте 2.5 мы доказали, что если одна из двух
параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и вторая прямая
перпендикулярна плоскости. Верно также утверждение, обратное этому.
Две различные прямые, перпендикулярные одной плоскости,
параллельны.
Доказательство. Обозначим прямые через а и 6, а плоскость —
через а. Тогда по условию а ± а и b ± а. Пусть прямая 6 пересекает
плоскость а в точке В. Проведем через точку В прямую с
параллельно прямой а. Тогда с 1 а по свойству из пункта 2.5. В силу
единственности прямой, которая проходит через точку В и
перпендикулярна плоскости а, прямая с совпадает с прямой 6. Так как а||с, то
и а\\Ь.
Вопрос. Как доказать, что в пространстве не существует четырех
попарно пересекающихся и взаимно перпендикулярных прямых?

78
Глава 3. Перпендикулярность в пространстве
2.10. Рассмотрим две параллельные
плоскости q и /?. Выберем две
произвольные точки А и В плоскости а и опустим
из них перпендикуляры АН и ВК к
плоскости р. Тогда АН\\ВК по свойству из
предыдущего пункта. Поэтому отрезки
АН и ВК равны как отрезки
параллельных прямых между двумя
параллельными плоскостями. Отсюда следует, что
расстояние от каждой точки плоскости а до
плоскости /3 одно и то же и не зависит от
выбора точки. Это позволяет определить
расстояние между двумя параллельными
плоскостями следующим образом.
Расстоянием между двумя параллельными плоскостями называется
длина отрезка общего перпендикуляра, заключенного между этими
плоскостями.
Вопрос. Чему равно расстояние между параллельными гранями
куба?
2.11. Рассмотрим произвольную призму. Например, пусть ABCDE
A\B\C\DiEi — пятиугольная призма с основаниями ABCDE и
AiBiC\DiE\ (рисунок 15). Возьмем в плоскости основания A\B\C\D\Ei
некоторую точку М и построим перпендикуляр МК к плоскости
ABCDE. Каждый такой отрезок МК называют высотой данной
призмы. Из предыдущего пункта следует, что длина высоты призмы не
зависит от выбора точки М.
Иногда для краткости длину высоты призмы также называют ее
высотой.
Среди призм особо выделяют такие призмы, у которых боковые
ребра перпендикулярны основаниям.
Призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны
основаниям.
У прямой призмы в качестве высоты удобно выбирать одно из
боковых ребер.
Среди прямых призм особо выделяют правильные призмы.

§ 2. Свойства перпендикулярности прямой и плоскости 79
[Ш
»
Правильной называется прямая призма, основаниями которой
являются правильные многоугольники.
На рисунке 16 изображена правильная шестиугольная призма.
Вопрос. Какие свойства правильной треугольной призмы вы
знаете:
Контрольные вопросы и задания
1. Докажите, что если прямая перпендикулярна к одной из двух
параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и к другой
плоскости.
2. Докажите, что если прямая перпендикулярна к двум
плоскостям, то эти плоскости параллельны.
3. Докажите, что если одна из двух параллельных прямых
перпендикулярна плоскости, то и вторая прямая перпендикулярна этой
плоскости.
4. Как построить прямую, проходящую через данную точку и
перпендикулярную заданной плоскости?
5. Докажите, что через данную точку можно провести
единственную прямую, перпендикулярную заданной плоскости.
6. Докажите, что если две прямые перпендикулярны одной
плоскости, то такие прямые параллельны?
7. Какие утверждения называют взаимно обратными?

80
Глава 3. Перпендикулярность в пространстве
8. Как определяется расстояние между двумя параллельными
плоскостями?
9. Что такое призма?
10. Какая призма называется прямой?
11. Какая призма называется правильной?
12. Что называют высотой призмы?
13. Как находить высоту правильной призмы?
Задачи и упражнения
1. В кубе ABCDAiB\C\D\ ребро равно 6 см. Найдите:
а) расстояние от середины ребра В\С\ до плоскости A\BCD\\
б) расстояние от середины отрезка C\D до плоскости ABC\D\\
в) расстояние от вершины С\ до плоскости B\CD\\
г) расстояние от середины ребра DD\ до плоскости A\C\D\
д) расстояние от вершины А до плоскости B\CD\.
2. В основании пирамиды SABCD лежит квадрат со стороной 3 см,
ребро SB перпендикулярно основанию и SB = 4 см. Найдите:
а) расстояние от середины ребра SD до плоскости ABCD\
б) расстояние от середины ребра SD до плоскости ASB;
в) расстояние от вершины В до плоскости SCD;
г) расстояние от середины ребра ВС до плоскости SAD;
д)* расстояние от вершины В до плоскости SAC\
е)** расстояние от вершины D до плоскости SAC.
3. Вершины А, В, С правильного треугольника расположены по
одну сторону от плоскости а и удалены от плоскости а
соответственно на расстояния а, 6, с. Найдите расстояние от центра
треугольника ABC — до плоскости а.
4. Докажите, что четыре плоскости, проходящие через середины
ребер правильного тетраэдра перпендикулярно этим ребрам,
пересекаются в одной точке.
5. Докажите, что в правильном тетраэдре все четыре высоты
пересекаются в одной точке. В каком отношении делится каждая
высота этой точки?

§ 2. Свойства перпендикулярности прямой и плоскости 81
6. Известно, что в треугольной пирамиде ABCD высоты,
проведенные из вершин А и D, имеют общую точку. Докажите, что тогда
высоты, проведенные из вершин В и С, также имеют общую
точку.
7. В правильной треугольной пирамиде в основании лежит
правильный треугольник со стороной 2\/3, боковые ребра пирамиды
равны 2\/7. Найдите расстояние от центра основания пирамиды до
плоскости боковой грани.
8. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD в основании
лежит квадрат ABCD, все ребра пирамиды равны 1. Найдите
расстояние от вершины А до плоскости грани SCD.
9. В правильной треугольной призме АВСА\В\С\ диагональ АС\
боковой грани АА\С\С в два раза длиннее ребра основания.
Чему равно отношение площади боковой грани призмы к площади
основания?
10. В основании прямой треугольной призмы АВСА\В\С\ лежит
прямоугольный треугольник ABC с катетами АВ = 3, ВС = 4.
Найдите высоту призмы, если известно, что расстояние от вершины
А до прямой В\С\ равно Щ.
11. При каком соотношении между длинами ребер основания и
боковых ребер правильной треугольной призмы существует точка,
одинаково удаленная от всех граней призмы?
12. Все ребра правильной треугольной призмы ABCА\В\С\ с
основанием ABC и боковыми ребрами АА\, ВВ\, СС\ равны 1. Через
середину М отрезка АВ перпендикулярно прямой АВ проведена
плоскость а. Найдите расстояние от вершины С до плоскости а.
13. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания
ABC равна 2, SA = 6. Точки К и М — середины ребер АВ и
SC соответственно, через середину отрезка МК проведена
плоскость а, перпендикулярная прямой МК. Найдите расстояние от
середины N ребра АС до плоскости а.
14. В основании параллелепипеда лежит параллелограмм ABCD, в
котором острый угол А равен 60°, а длины сторон АВ и ВС —
соответственно а и 2а. Боковые ребра АА\, ВВ\, СС\, DD\ па-

82
Глава. 3. Перпендикулярность в пространстве
раллелепипеда перпендикулярны основаниям, а их длины
равны а. Докажите, что прямая CD\ перпендикулярна плоскости
ABiDi.
§ 3. ТЕОРЕМА О ТРЕХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХ
3.1. Пусть точка А не лежит в
плоскости а. Напомним, что перпендикуляром,
опущенным из точки А на плоскость а,
называется отрезок АН прямой а, которая
перпендикулярна плоскости а, от точки А
до точки Н пересечения прямой а с
плоскостью а. Точку Н — основание
перпендикуляра — называют также
перпендикулярной проекцией точки А на плоскость
а. Так как два различных
перпендикуляра к одной плоскости параллельны, то
перпендикулярные проекции различных точек пространства
получаются при параллельном проектировании, направление которого
перпендикулярно данной плоскости.
Перпендикулярной проекцией фигуры F на плоскость а называется
параллельная проекция этой фигуры в направлении,
перпендикулярном плоскости а.
Перпендикулярное проектирование на плоскость называют также
ортогональным проектированием. В этом случае говорят об
ортогональной проекции фигуры на плоскость.
Вопрос. В каком случае при перпендикулярном проектировании
прямая проектируется в точку?
3.2. Перпендикулярное проектирование на плоскости является
параллельным проектированием в особо выбранном направлении.
Поэтому при перпендикулярном проектировании сохраняются основные
свойства, присущие любому параллельному проектированию.
Свойство 1. Пусть прямая а не перпендикулярна плоскости а.
Тогда перпендикулярной проекцией прямой а является прямая.

§ 3. Теорема, о трех перпендикулярах
83
Свойство 2. Перпендикулярные проекции параллельных прямых
параллельны: если a\\b и их проекциями являются прямые а\ и Ь\, то
ai||fci.
Свойство 3. При перпендикулярном проектировании сохраняется
отношение отрезков одной прямой: если точки А, В, С лежат на одной
прямой и проектируются в различные точки А\, В\, С\, то АВ : ВС =
= Л,В1:В1С,.
Свойство 4- При перпендикулярном проектировании общие точки
двух фигур проектируются в общие точки их проекций.
Иногда для краткости перпендикулярную проекцию фигуры на
плоскость называют проекцией этой фигуры.
Обычно при проектировании пространственной фигуры
рассматривают не только ее проекцию, но и проекции некоторых
вспомогательных линий этой фигуры. Например, при изображении проекции
многогранника изображают проекции его ребер.
3.3. При перпендикулярном проектировании прямых
выполняются два важных свойства. В этом пункте рассмотрим первое из них.
Пусть прямая а пересекает прямую b плоскости а и перпендикулярно
проектируется на плоскость а в прямую а\. Тогда если о JL Ь, то
CL\ 1 Ъ.
Доказательство. Выберем на прямой а точку А, отличную от
точки В пересечения прямых а и 6, и опустим перпендикуляр АН на
плоскость а. Затем через точку В проведем прямую т параллельно
АН (рисунок 2). Так как АН JL а и т\\АН, то т 1 а. Поэтому т Lb.
00 Е
По условию a Lb. Значит, 6 ± a, b _L m, а поэтому прямая b
перпендикулярна плоскости /?, содержащей прямые а и т (рисунок 3). Так

84
Глава. 3. Перпендикулярность в пространстве
как прямые га и АН параллельны и точка А лежит в плоскости 0, то
точка Н также лежит в плоскости 0. Поэтому 6 _L ВН, то есть b ± а\.
Пример 1. Рассмотрим куб ABCD A\BiCiD\ и построим
проекцию прямой АС на плоскость BC\D.
Заметим, что прямая АС
перпендикулярна прямой BD плоскости BC\D.
Поэтому проекция прямой АС также
перпендикулярна прямой BD. Чтобы построить
проекцию прямой АС, рассмотрим
треугольник BC\D. Так как BD = ВС\ =
= DC\, то треугольник BC\D
равносторонний. Следовательно, его медиана С\Н
является перпендикуляром к BD. Это
значит, что прямая С\Н является
проекцией прямой АС на плоскость BC\D.
Доказанное в этом пункте свойство иногда формулируют в кратком
виде.
Если наклонная перпендикулярна прямой b плоскости а, то проекция
наклонной также перпендикулярна прямой Ь.
Вопрос. Как, имея прямую а и ее перпендикулярную проекцию
на плоскость а, построить перпендикуляр к плоскости а?
3.4. В этом пункте рассмотрим свойство, обратное свойству из
предыдущего пункта.
Пусть прямая а пересекает прямую b плоскости а и перпендикулярно
проектируется на плоскость а в прямую а\. Тогда если <х\ JL Ь, то
a Lb.
Доказательство. Из точки А прямой а опустим перпендикуляр АН
на плоскость а. Затем через точку Я проведем прямую п параллельно
прямой 6 (рисунок 5). Так как АН _1_ а, то АН ± п. По условию b JL а\,
а так как п||Ь, то и п ± а\. Значит, п ± oi, п JL АН, а поэтому прямая
п перпендикулярна плоскости 0, содержащей прямые а\ и АН. Но
так как 6||гг, то и b ± 0 (рисунок 6). Поэтому 6 JL а, так как прямая а
лежит в плоскости 0.
В кубе ABCDA\B\C\D\ точка М лежит на ребре
MD\ = 2, точка К лежит на ребре C\D\ и
Пример 2.
A^Dx и А\М

§ 3. Теорема о трех перпендикулярах
85
CiK :
МК.
KD\ = 1:2. Опустим перпендикуляр из точки В на прямую
Ц] [Ц
Решение. Перпендикулярной проекцией точки В на плоскость
A\BiC\Di является точка В\. Поэтому проекцией на плоскость
MB\C\D\ любой прямой, проходящей через точку В, является
прямая, проходящая через точку В\. Проведем в плоскости A\B\C\D\
отрезок В\Р перпендикулярно МК (рисунок 7). Так как проекцией
прямой ВР на плоскость A\B\C\D\ являеггся прямая В\Р и В\Р ± МК,
то ВР ± МК (рисунок 8).
Свойство из этого пункта и свойство из предыдущего пункта иногда
объединяют в одной формулировке.
Теорема о трех перпендикулярах.
Если наклонная перпендикулярна прямой b плоскости а, то проекция
наклонной также перпендикулярна прямой Ь. Обратно: если проекция

86
Глава 3. Перпендикулярность в пространстве
наклонной перпендикулярна прямой Ь плоскости а, то и наклонная
перпендикулярна прямой Ь.
Вопрос. В пирамиде SABC ребро SA является высотой
(рисунок 9). Как с помощью теоремы о трех перпендикулярах построить
высоту SM грани SBC!
3.5. Опираясь на теорему о трех перпендикулярах можно
предложить новый способ построения перпендикуляра к плоскости.
ш
Пусть даны точка А, не проходящая
через точку А плоскости а и прямая b
плоскости а (рисунок 10). Проведем
через точку А и прямую b плоскость 0, и
в этой плоскости построим отрезок AM,
перпендикулярный прямой b (рисунок 11).
Затем в плоскости а проведем через
точку М прямую с перпендикулярно прямой
6 (рисунок 12). По теореме о трех
перпендикулярах прямая с является проекцией
прямой а на плоскость а. Поэтому точка
А проектируется в такую точку Н прямой
с, что АН L с (рисунок 13). Таким
образом, мы получим перпендикуляр к
плоскости а, если построим АН ± с.
ЕЮ
Пример 3. Рассмотрим куб ABCDA\B\C\D\ с ребром а и
расположим точку М на ребре AiDi и точку К на ребре C\D\ так, что
А\М : M\D\ = 2 и С\К : KD\ = 1:2. Найдем расстояние от точки В\
до плоскости ВМК.

§ 3. Теорема о трех перпендикулярах
87
Решение. В примере из пункта 3.4
было показано, что если проведем В\Р _L
1_ МК, то тогда и ВР ± МК
(рисунок 14). Следовательно, прямая ВР
является перпендикулярной проекцией
прямой В\Р на плоскость ВМК. Поэтому
если проведем В\ Н перпендикулярно ВР\
то получим перпендикуляр из точки В\ к
плоскости ВМК.
Для вычисления расстояния сначала
рассмотрим плоскость A\B\C\D\
(рисунок 15). Из подобия треугольников MD\K,
С}ХК, AXYM получаем С{Х = |, AXY =
= 4f, а поэтому ВХХ = 7f, B{Y = 7-f. По
теореме Пифагора XY2 = ВгХ2 + BXY2 =
= ^^, и XY = ^^. Далее рассмотрим
подооие треугольников В\РХ и БхХУ.
Отсюда Ы. = ф£, и ЯХР = B\X'*\Y =
fty
= Za
б
7a
3
M,
"XT'
a.
6 = la _ __
W5 3^5 15
Затем рассмотрим прямоугольный
треугольник ВВ\Р (рисунок 16). По
теореме Пифагора ВР2 = В В2 + ВХР2 =
- „2 , 49о! _ 84а? » RP - Зал/П
~ а + 9-5 ~ 9-5' и ^^ - "зТ^*
Из подобия треугольников В\НР и В\ВР

88
Глава, 3. Перпендикулярность в пространстве
откуда В\Н
la
2^ТГ
получаем %g- = f£,
= flfli ВлР _ a la . Зу/|_
ВР 3%/5 2av/2l
Таким образом, расстояние от точки В\
до плоскости ВМК равно -^- = :^а.
к 2>/21 6
Вопрос. Как доказать, что
треугольник ВВ\Р прямоугольный?
3.6. В пространстве определяют
величину угла между любыми двумя
прямыми. В этом пункте рассмотрим один
важный частный случай.
Говорят, что угол между двумя скрещивающимися прямыми равен
90°, если соответственно параллельные им пересекающиеся прямые
перпендикулярны. Такое определение не зависит от выбора
пересекающихся прямых, параллельных данным скрещивающимся прямым.
Для удобства две скрещивающиеся прямые называют
перпендикулярными, если угол между ними равен 90°. Перпендикулярность
скрещивающихся прямых также обозначают с помощью знака JL
Определение перпендикулярности скрещивающихся прямых
позволяет установить следующее свойство.
Если прямая а перпендикулярна плоскости а, то прямая а
перпендикулярна любой прямой плоскости а.
LiU , Доказательство. Пусть прямая а
пересекает плоскость а в точке А.
Рассмотрим произвольную прямую 6 плоскости
а и проведем через точку А прямую га,
параллельную 6. Тогда прямая га лежит
в плоскости а, проходит через точку А, а
поэтому a J_ га. Отсюда по определению,
прямые а и b перпендикулярны.
Пример 4. Рассмотрим куб ABCD
A\B\C\Di. Раньше было установлено,
что плоскость АА\С\С перпендикулярна
прямой BD. Поэтому прямая BD
перпендикулярна каждой прямой плоскости

§ 3. Теорема о трех перпендикулярах
89
AAiCiC. В частности, АХС ± BD.
Вопрос. Как доказать, что высота
пирамиды перпендикулярна каждому
ребру основания?
3.7. Основной признак
перпендикулярности прямой и плоскости допускает
обобщение.
Если прямая а перпендикулярна двум
пересекающимся прямым плоскости а,
то а перпендикулярна плоскости а.
Доказательство. Пусть о 1 6 и а 1 с.
Через произвольную точку А прямой а
проведем прямые тип, параллельные
прямым бис соответственно. Тогда
прямые шип различны, а поэтому через них
можно провести единственную плоскость
/3 (рисунок 19). Так как т\\Ь и п||с, то
Р\\а. Далее, так как а 1 6, то а 1 т, и
аналогично получаем, что а Л п.
Следовательно, по определению а ± 0. Но так
как а||/?, то о 1 а, что и требовалось
доказать.
Пример 5. Рассмотрим куб ABCD
A\B\C\D\ и его главную диагональ А\С.
Так как плоскость A\BCD\
перпендикулярна прямой C\D, то А\С ±
± C\D. Аналогично, так как плоскость
A\B\CD перпендикулярна прямой ВС\,
то А\С -L ВС\. В результате
получаем, что прямая А\С перпендикулярна
двум пересекающимся прямым ВС\ nCiD
плоскости BC\D, а поэтому А\С ± BC\D.
А
1 ■ *
1 * ч ч ^
k 4J
А
7
1/
Вопрос. Как построить высоту наклонной призмы АВСА\В\С\,
если известно, что АВ — ВС = АС и АА\ ± ВС7.

90
Глава 3. Перпендикулярность в пространстве
3.8. Обобщение понятия перпендикулярности прямых на случай
скрещивающихся прямых позволяет упростить многие доказательства
перпендикулярности прямых и плоскостей. В качестве примера
рассмотрим доказательство теоремы о трех перпендикулярах.
L^J Л Первая часть. Пусть прямая ВС
лежит в плоскости а, прямая АВ
перпендикулярна прямой ВС и точка Н —
проекция точки А на плоскость а (рисунок 21).
Так как АН ± ВСЕ, то АН ± ВС.
Поэтому ВС 1 АН, ВС 1 АВ, откуда
ВС ± АВН. Отсюда ВС ± ВН, что и
требуется доказать.
Вторая часть. Пусть прямая ВС
лежит в плоскости а, точка Н — проекция
точки А на плоскость а и НВ J_ ВС
(рисунок 22). Так как АН 1 ВСН, то АН L
JL ВС. Поэтому ВС -L АН, ВС 1 ВН,
откуда ВС ± АВН. Отсюда ВС ± АВ,
что и требуется доказать.
Вопрос. Как доказать, что в
правильной треугольной пирамиде
противоположные ребра попарно
перпендикулярны?
Контрольные вопросы и задания
1. Что называют ортогональным проектированием?
2. Как получить ортогональную проекцию фигуры на заданную
плоскость?
3. Какие свойства параллельного проектирования Вы знаете?
4. Какие свойства ортогонального проектирования Вы знаете?
5. Сформулируйте теорему о трех перпендикулярах.
6. Докажите теорему о трех перпендикулярах.
7. Как из данной точки провести перпендикуляр к заданной плос-

§ 3. Теорема о трех перпендикулярах
91
8. Как определяется перпендикулярность скрещивающихся прямых?
9. Докажите, что если прямая а перпендикулярна плоскости а, то
прямая а перпендикулярна любой прямой плоскости а.
Задачи и упражнения
1. Дан куб ABCDA\B\C\D\ с ребром а. Найдите:
а) расстояние от вершины В\ до прямой СМ, где М — середина
ребра АВ\
б) расстояние от вершины D до прямой А\К, где К — середина
ребра В\С\\
в) расстояние от середины ребра В\С\ до прямой BD.
2. Дан куб ABCDA\B\C\D\ с ребром а. Найдите:
а) расстояние от вершины В до плоскости В\СМ, где М —
середина ребра АВ\
б) расстояние от вершины D\ до плоскости A\KD, где К —
середина ребра В\С\\
в) расстояние от середины ребра ВС до плоскости BDN, где N
— середина ребра В\С\.
3. В правильной пирамиде SABCD высота SH = 8, ребра
основания ABCD равны 4. Найдите расстояние от вершины D до
плоскости АВМ, где М — середина ребра SC.
4. В правильной пирамиде SABCD высота SH = 4%/2, ребра
основания ABCD равны 2. Точки М и N — середины ребер SB и
SD. Найдите:
а) расстояние от вершины С до плоскости AMN;
б)* расстояние от вершины D до плоскости AMN.
5. Дан правильный тетраэдр ABCD с ребром а. Найдите:
а) расстояние от середины ребра AD до медианы ВЫ грани ABC;
б)* расстояние от середины медианы АК грани ABC до медианы
ВЫ грани ABD.
6. В кубе ABCDA\B\C\D\ с ребром а найдите расстояние между
плоскостями АВ\С и A\C\D.
7. В правильной пирамиде SABCD высота SH — \/30, ребра
основания ABCD равны 4. Точка М расположена на продолжении

92
Глава 3. Перпендикулярность в пространстве
ребра DC так, что угол СВМ равен 15°. Найдите расстояние от
основания Н высоты до плоскости BSM.
8. В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD
со сторонами ЛВ = 3, ВС = 4. Боковые ребра пирамиды имеют
одинаковую длину, ее высота равна у. Плоскость а проходит
через прямую SА параллельно диагонали BD основания. Найдите
расстояние от вершины С до плоскости а.
9. В основании прямой треугольной призмы АВСА\В\С\ лежит
правильный треугольник ABC со стороной 2, боковые ребра АА\,
ВВ\, СС\ равны \/3. Точки М, N, Р — середины ребер Ж7,
СС\, А\С\ соответственно. Найдите расстояние от вершины А
до плоскости MNP.
10. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA\B\C\D\ , в
основании которого лежит квадрат ABCD со стороной 3, боковые
ребра АА\, ВВ\, СС\, DD\ равны 5. Равносторонний треугольник
расположен в пространстве так, что одна его вершина
совпадает с вершиной С параллелепипеда, и две другие расположены
на прямых ВВ\ и C\D\ соответственно. Найдите сторону этого
треугольника.
11. В пирамиде SABC ребро SA является высотой, SA = АВ =
= ВС = АС = 1. Точка N одинаково удалена от всех граней
пирамиды. Каково расстояние между точкой N и плоскостью
BCS?
12. Докажите, что если из трех прямых а, 6, с, проходящих через
одну точку, прямая а образует с прямыми бис одинаковые углы,
то ее перпендикулярной проекцией на плоскость, содержащую
прямые бис, является биссектриса угла между прямыми бис.
13. Вершины Л, В, С треугольника удалены от плоскости а
соответственно на а, б, с. Найти расстояние между точкой пересечения
медиан треугольника ABC и плоскостью а.
14. Верно ли, что если ОС — биссектриса угла АОВ, то
перпендикулярная проекция — луч ОС\ служит биссектрисой угла А\ОВ\
— проекции угла АОВ?
15. Докажите, что если луч К образует равные углы с тремя
лучами, лежащими в данной плоскости а, то луч К перпендикулярен

§ 4. Перпендикулярность плоскостей
93
плоскости а.
16. Докажите, что если ортогонально проектировать угол АО В на
плоскость, параллельную его биссектрисе ОСу то в проекции
получим угол, биссектриса которого параллельна ОС.
17. Спроектируем ортогонально прямой угол на плоскость, которая
пересекает стороны угла. Докажите, что проекция представляет
из себя тупой угол.
18. Спроектируем ортогонально прямой угол на плоскость, которая
пересекает одну из сторон угла и продолжение другой стороны.
Докажите, что проекция представляет из себя острый угол.
19. Найдите геометрическое место проекций данной точки
пространства на плоскости, проходящие через данную прямую.
20. В пространстве даны две скрещивающиеся взаимно
перпендикулярные прямые. Найдите геометрическое место середин
отрезков данной длины d, один конец которых лежит на одной из этих
прямых, а другой конец — на другой из этих прямых.
§4. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ
4.1. Стены зданий стараются строить вертикально по отношению
к горизонтальной поверхности земли. Такая особенность во взаимном
расположении двух плоских фигур в стереометрии связана с
перпендикулярностью плоскостей.
Основное определение
перпендикулярности плоскостей является частным
случаем определения угла между
плоскостями и будет изучаться позднее. В этом
параграфе мы рассмотрим следующее
определение.
Плоскость а называется
перпендикулярной плоскости (3, если а содержит
прямую а, которая перпендикулярна
плоскости р.
Перпендикулярность плоскости а к плоскости (3 записывают с по-

94
Глава 3. Перпендикулярность в пространстве
мощью знака _L.
Приведенное определение позволяет без особого труда строить
плоскости, перпендикулярные заданной плоскости.
Пример 1. В кубе ABCD AiB\C\D\ точка М середина ребра CD.
Построим плоскость, которая проходит через прямую AM и
перпендикулярна плоскости ABCD.
Решение. Прямая АА\ перпендикулярна
плоскости ABCD и содержит точку Д
через которую нужно провести плоскость.
Поэтому рассмотрим плоскость АА\М,
которая пересекает куб так, как
изображено на рисунке 2. Так как плоскость
AAiM содержит прямую,
перпендикулярную плоскости ABCD, то AA\M\N J_
ABCD.
Вопрос. Как в кубе ABCDAiBiClDl
построить плоскость, которая проходит
через точки А и С и перпендикулярна плоскости AB\C\D1
4.2. Докажем, что если а, /3 плоскости и если а ± /?, то и /? J_ а.
Доказательство. Пусть а ± (3. Это
значит, что плоскость а проходит через
прямую а, перпендикулярную плоскости
/3. Обозначим через т прямую
пересечения плоскостей а и /?. Проведем в
плоскости (3 прямую b перпендикулярно прямой
т так, что прямая b проходит через
точку А пересечения прямой а с плоскостью
/3 (рисунок 3). Так как а 1 а, то а 1 6.
Поэтому b ± а, b J. га, а значит, b JL а.
Следовательно, плоскость /3 проходит
через прямую 6, которая перпендикулярна
плоскости а. Отсюда по определению из
предыдущего пункта получаем, что (3 ± а.
Вопрос. Как доказать, что на рисунке 2 плоскость A\B\C\D\
перпендикулярна плоскости АА\М\М1

§ 4. Перпендикулярность плоскостей
95
ш
4.3. Перпендикулярные плоскости обладают следующим свойством.
Пусть плоскости а и (3 перпендикулярны и пересекаются по прямой
т. Тогда если в плоскости а провести прямую р, перпендикулярную
прямой т, то р перпендикулярна плоскости (3.
Доказательство. Так как плоскость а
перпендикулярна плоскости /?, то а
содержит прямую а, перпендикулярную
плоскости /3 (рисунок 4). Но тогда прямая а
перпендикулярна прямой т плоскости /?,
откуда aim. Прямые аир содержатся в
одной плоскости а и перпендикулярны
одной прямой т. Следовательно, а\\р. Так
как прямые аир параллельны и прямая а
перпендикулярна плоскости /3, то отсюда
pip, что и требовалось доказать.
Доказанное свойство дает еще один
способ построения прямой,
перпендикулярной заданной плоскости.
Пример 2. Пусть ABCAxBiC\ —
правильная треугольная призма
(рисунок 5). Построим перпендикуляр из точки
В к плоскости АА\С\С.
Решение. Из определения правильной
призмы следует, что АА\ _L ABC.
Поэтому АА\С\С J_ ABC, так как через
прямую, перпендикулярную плоскости ABC.
Проведем из точки В перпендикуляр ВН к прямой АС. По свойству
из этого пункта получаем, что ВН ± АА\С\С.
Вопрос. Пусть плоскости а и (3 перпендикулярны. Как доказать,
что если через точку А плоскости а провести прямую а,
перпендикулярную плоскости /?, то прямая а содержится в плоскости а?
4.4. Рассмотрим взаимно перпендикулярные плоскости а и (3.
Проведем прямую b перпендикулярно плоскости 0. Докажем, что Ь\\а.

96
Глава 3. Перпендикулярность в пространстве
Доказательство. Так как a J. 6, то
существует прямая а плоскости а такая, что
a -L (3. Прямые а и 6, перпендикулярные
одной плоскости, параллельны. Поэтому
плоскость а содержит прямую а,
параллельную прямой Ь, и по
соответствующему признаку а\\Ь.
Вопрос. Как доказать, что через
наклонную AM к плоскости а можно
провести единственную плоскость, которая
перпендикулярна плоскости а?
4.5. Прямая пересечения двух плоскостей, перпендикулярных к
третьей плоскости, обладает следующим свойством.
Если плоскости а и /3 пересекаются и перпендикулярны к плоскости 7,
то прямая пересечения плоскостей а и /3 перпендикулярна к плоскости
Доказательство. Пусть а ± ^ и /3 ± *у
и плоскости а и /3 пересекаются по
прямой га. Выберем в плоскости а прямую
а, которая перпендикулярна плоскости 7
(рисунок 7). Так как а 1 7 и /3 _L 7, то а\\а
и 01|а по свойству из пункта 4.4.
Следовательно, плоскость а пересекает плоскость
(3 по прямой, параллельной прямой а, то
есть т\\а. Но так как a J_ 7» то и т _1_ 7,
что и требовалось, доказать.
Вопрос. Как доказать, что если через прямую а проходит
несколько различных плоскостей, перпендикулярных плоскости 7? то
а 17?
4.6. Свойство из предыдущего пункта дает еще один способ
построения прямой, перпендикулярной заданной плоскости.
Пример 3. В треугольной пирамиде SABC ребро SA = 4 и
известно, что все углы граней при вершине А равны 60°. Найти высоту

§ 4. Перпендикулярность плоскостей
97
пирамиды, проведенную из вершины S.
Решение. Сначала проведем в грани SAB перпендикуляр SM из
вершины S к прямой АВ. Так как SA = 4 и LSAB = 60°, то АЛ/ =
= SAcos60° = 2, SM = 2\/3 (рисунок 9). После этого в
плоскости ABC через точку М проведем перпендикулярно АВ отрезок MP
(рисунок 9). В результате получаем SM JL АВ, MP J_ АВ, откуда
АВ _L SMP. Но тогда плоскость ABC проходит через прямую АВ,
перпендикулярную плоскости SMP, а поэтому SMP ± ABC.
s s
А С А С Р
Затем аналогичные построения выполним, начиная с грани SAC:
проведем SN J_ АС и NQ ± АС (рисунок 10). В результате получим,
что SNQ JL ABC.
Две построенные плоскости SMP и SNQ перпендикулярны
плоскости ABC, а поэтому их прямая пересечения SH также
перпендикулярна плоскости ABC (рисунок 11). Следовательно, отрезок SH на
рисунке 11 является высотой пирамиды.
НЕ ПБ
s s
А N С Р А N С Р
Для вычисления высоты вспомним, что SM = 2>/3, AM = AN = 2,

98
Глава 3. Перпендикулярность в пространстве
и рассмотрим плоскость ABC (рисунок 12). Так как точки М и JV,
Р и Q соответственно симметричны
относительно биссектрисы угла ВАС, то MP
и NQ пересекаются в точке этой
биссектрисы. Поэтому LMAH = 30° и АН =
= AM tg30° = -^.
Наконец, из прямоугольного
треугольника SMH находим SH2 = SM2 - МН2 =
2
Вопрос. Как доказать, что
треугольник SMH прямоугольный?
= 4 • 3 - | = f, и SH = 4
Контрольные вопросы и задания
1. Как определяется перпендикулярность прямой и плоскости?
2. В каком случае плоскость а перпендикулярна плоскости /3?
3. Докажите, что если плоскость а проходит через прямую а,
перпендикулярную плоскости /?, то и плоскость /3 проходит через
некоторую прямую, перпендикулярную плоскости а.
4. Пусть плоскости а и /3 перпендикулярны. Как через точку
плоскости а провести прямую, перпендикулярную плоскости /??
5. Каким свойством обладает прямая пересечения двух плоскостей,
перпендикулярных к третьей плоскости?
6. Какие способы построения прямой, перпендикулярной заданной
плоскости, вы знаете?
Задачи и упражнения
Дан куб ABCDA\B\C\D\. Докажите, что:
а) плоскости A\B\CD и BB\C\D перпендикулярны;
б) плоскости A\C\D и A\BCD\ перпендикулярны;
в) перпендикулярны плоскости AM С и АА\С\С, где М —
середина ребра ВВ\\
г)* перпендикулярны плоскости АКС\ и BB\L, где К —
середина ребра ВС, L — середина ребра C\D\.

§ 4. Перпендикулярность плоскостей
99
2. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD с
вершиной S. Докажите, что:
а) плоскости ASC и BSD перпендикулярны;
б) перпендикулярны плоскости ASB и SMK, где М — середина
ребра АВ, N — середина ребра CD;
в) перпендикулярны плоскости BSD и BPQ, где Р — середина
ребра AS, Q — середина ребра CS.
3. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD с
вершиной S, у которой все ребра равны. Через прямую SC
параллельно прямой BD проводится плоскость а. Докажите, что
плоскость а перпендикулярна:
а) плоскости ASC\ б) плоскости ASD.
4. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD с
вершиной S, точки М и К — середины ребер BS и DS соответственно.
Докажите, что плоскость, которая параллельна прямым AM и
СК, перпендикулярна плоскости ABCD.
5. Дана правильная треугольная призма АВСА\В\С\. Докажите,
что:
а) перпендикулярны плоскости ВМС\ и ВВ\С\С, где М —
середина ребра АА\;
б)* плоскость, параллельная прямым АВ\ и ВС\,
перпендикулярна плоскости АА\С\С.
6. Дана правильная треугольная призма ABCА\В\С\, у которой
все ребра равны. Докажите, что перпендикулярны плоскости
ВМС\ и В\МС, где М — середина ребра АА\.
7. Плоскости аир перпендикулярны и пересекаются по прямой
а. Точки А, В на прямой а, С в плоскости а и D ъ плоскости
/3 расположены так, что АС ± АВ, BD ± АВ и АВ = 2 см,
АС = 3 см, BD = 4 см. Найдите расстояние CD.
8. Приведите пример четырехугольной пирамиды SABCD с
вершиной S, у которой грани SAB и SCD перпендикулярны основанию
ABCD.
9. В правильной треугольной призме АВСА\В\С\ плоскости АВ\С\
и А\ВС перпендикулярны. Чему равно отношение бокового
ребра к ребру основания у такой призмы?

100
Глава 3. Перпендикулярность в пространстве
10. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной
S грани SAB и SCD перпендикулярны. Чему равно отношение
бокового ребра к ребру основания у такой пирамиды?
11. В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S грани
SAB и SBC перпендикулярны. Докажите, что грани SAB и
SAC также перпендикулярны.
12. В основании прямоугольного параллелепипеда лежит
прямоугольник ABCD со сторонами АВ = 1, ВС = 2. Боковые ребра АА\,
ВВ\У СС\, DD\ имеют длину 1. Через диагональ BD\
проведена плоскость, перпендикулярная плоскости BB\D\D. Найдите
расстояние от точки А до проведенной плоскости.

КАСАТЕЛЬНЫЕ И
ПРОИЗВОДНЫЕ
глава
Эта глава имеет чрезвычайно важное значение. Здесь выявляются
главные связи между геометрическими объектами — кривыми и
касательными к ним — и соответствующими этим геометрическим
объектам функциями. Мы сформулируем определение касательных к
произвольным кривым и установим их простейшие свойства. Обобщение
правил вычисления углового коэффициента касательной и
нахождения мгновенной скорости при прямолинейном движении приводит к
новому важному понятию — производной. Вы научитесь вычислять
производные от многих функций и находить уравнения касательных
ко многим кривым.
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ
1-1. С касательными к некоторым кривым часто приходится
встречаться на практике, поэтому у каждого человека складывается свое
интуитивное представление о касательной. Приведем несколько
наглядных примеров.
Свет фар автомобиля направлен по касательной к траектории его
движения.
На криволинейных участках железной дороги отдельные рельсы
уложены вдоль касательных к железнодорожному пути.
Натянутая нить, один из концов которой намотан на веретено,
направлена по касательной к сечению этого веретена.
При заточке инструмента на точильном круге искры летят по
касательной к точильному кругу.
4

102
Глава 4. Касательные и производные
Спортивный снаряд, брошенный метателем, начинает полет по
касательной к траектории движения руки спортсмена.
Список аналогичных примеров можно продолжать очень долго. Во
всех рассмотренных случаях касательными являются прямые, тесно
прилегающие к данным кривым. Разумеется, такое наглядное
представление вовсе не является точным определением. Тем не менее, оно
оказывается очень важным для понимания смысла вводимых далее в
этой главе понятий.
Вопрос. Какие примеры касательных известны вам из
повседневного опыта?
1.2. Напомним, что касательной к окружности называется всякая
прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку. Это
определение вполне согласуется с представлением о касательной как
о тесно прилегающей прямой.
Прямая а на рисунке 1 не имеет с окружностью общих точек и
поэтому вообще не может считаться прилегающей.
Прямая b на рисунке 2 не является тесно прилегающей, так как
найдутся другие прямые (например, &i), которые прилегают к
окружности еще теснее.
<5
Прямая / на рисунке 3 удовлетворяет как определению
касательной, так и нашему интуитивному представлению о ней.
К сожалению, определение касательных к окружности не
распространяется на случай произвольных кривых. Действительно, прямая
и кривая на рисунке 4 пересекаются в одной точке, однако вряд ли
можно считать данную прямую касательной.

§ 1. Определение касательной
103
Напротив, прямая на рисунке 5 тесно
прилегает к кривой в точке Л, но
одновременно имеет с ней еще одну общую точку
В. Если для точки А данную прямую и в
самом деле естественно считать
касательной, то этого никак нельзя сказать о точке
В.
Наше наблюдение показывает, что понятие касательных следует
относить не ко всей кривой вообще, а к отдельным ее точкам. Одна и
та же прямая может касаться кривой в одной точке и одновременно
пересекать ее в некоторых других. Говоря о касательной к данной
кривой, надо всегда уточнять, в какой именно точке происходит касание.
При этом нельзя делать никаких выводов о взаимном расположении
кривой и касательной вдали от точки касания.
Вопрос. Может ли прямая касаться кривой в двух различных
точках?
1.3. Вернемся к касанию прямой и окружности и попробуем
понять, чем еще отличается касательная от секущей, кроме числа общих
точек с окружностью. Это поможет придать точный смысл
наглядному представлению о касательной в общем случае.
Пусть прямая / касается окружности
О в точке А (рисунок 6). Проведем
через точку А еще две прямые BE и CD
так, чтобы касательная I целиком
оказалась в образовавшихся вертикальных
углах ВАС и DAE.
Поскольку BE и CD не касаются
данной окружности и имеют с ней по край-
и
в

104
Глава 4. Касательные и производные
ней мере одну общую точку А, то каждая из этих прямых должна
пересекаться с окружностью еще в какой-нибудь точке. Обозначим
через F и G вторые точки пересечения окружности с прямыми BE
и CD соответственно. Тогда содержащая точку А дуга FAG
окружности О будет целиком расположена в тех же самых вертикальных
углах ВАС и DAE, где с самого начала лежала касательная /.
Прямые BE и CD были выбраны произвольно. Заменим их
какими-нибудь другими прямыми В\Е\ и C\D\ так, чтобы касательная I
опять оказалась в вертикальных углах В\АС\ и D\AE\, и повторим
все приведенные выше рассуждения. Соответствующая дуга F\AG\
снова будет целиком лежать в вертикальных углах В\АС\ и D\AE\
(рисунок 7).
Итак, касательная / к окружности О
в точке А обладает свойством: если пара
вертикальных углов с вершиной в точке
А целиком содержит прямую I, то она
обязательно содержит и некоторую дугу,
на которой расположена точка А.
Заметим, что если прямая ш,
проходящая через точку А, касательной к
окружности не является, то она
отмеченным свойством не обладает.
Действительно, пусть т отсекает от окружности О
дугу АН, как на рисунке 8. Выберем на
окружности точки F и G так, чтобы F
лежала на дуге АН, a G — вне этой дуги.
Тогда т окажется целиком в
вертикальных углах, образованных прямыми AF и
AG. Но никакой дуги, содержащей точку
Л, в этих углах не имеется.
Таким образом, мы нашли характеристическое свойство
касательных к окружности. Иными словами, все касательные обладают этим
свойством, а все остальные прямые — нет. Следовательно, данное
свойство можно считать новым определением касательной к
окружности.

§ 1. Определение касательной
105
Вопрос. Какова угловая мера дуги FAG на рисунке б, если
величина угла ВАС равна а?
1.4. Попытаемся перенести на произвольные кривые новое
определение касательной к окружности, приведенное в предыдущем пункте.
Здесь, однако, имеется одна трудность — не совсем ясно, какой
точный смысл для случая произвольной кривой имеют слова о "дуге,
содержащей точку Л".
Чтобы эту трудность преодолеть, заметим, что если точка А лежит
на некоторой дуге FG окружности О и не совпадает ни с одним из ее
концов, то этой же дуге принадлежат все достаточно близкие к А
точки данной окружности. Иначе говоря, на дуге FG лежат все
точки окружности О, расстояние от которых до точки А не превосходит
наименьшей из хорд AF и AG.
Обратно, рассмотрим множество всех достаточно близких к А
точек окружности, то есть таких точек, расстояние от которых до А
не превосходит некоторого положительного числа г. Для каждого г,
меньшего диаметра окружности О, это множество будет дугой,
середина которой совпадает с точкой А.
С учетом сделанного замечания определение касательной к
окружности можно сформулировать так: прямая I касается окружности О
в точке А у если всякая пара вертикальных углов с вершиной А,
целиком содержащая прямую I, обязательно содержит все достаточно
близкие к А точки данной окружности. В этой формулировке
определение касательной почти дословно переносится на случай
произвольных кривых.
Пусть А — некоторая точка кривой К, a. I — проходящая через А
прямая. Будем говорить, что
прямая I касается кривой К в точке А, если всякая пара
вертикальных углов с вершиной А, целиком содержащая прямую I, обязательно
содержит все достаточно близкие к А точки данной кривой.
Слова "все достаточно близкие к А точки данной кривой"
обозначают совокупность всех точек кривой К, отстоящих от А не
более, чем на некоторое положительное число г. Конкретная величина
числа г зависит от выбора соответствующих вертикальных углов и
может быть любой, хотя бы и очень маленькой (рисунок 9).
Главное, чтобы такое число существовало для всякой пары вертикальных

106
Глава 4. Касательные и производные
углов с вершиной Л, содержащей прямую
/.
Если найдется какая-нибудь пара
вертикальных углов с вершиной А, которая
содержит прямую /, но ни при каком г > О
не содержит всех точек кривой, отстоящих
от А не более, чем на г, то прямая / не
будет касательной к кривой К в точке А
(рисунок 10).
Вопрос. При каких значениях х
точки параболы у = х2 удалены от Л(2; 4) не
более, чем на 1?
1.5. Хорошо известно, что в каждой
точке окружности существует только
одна касательная. Если две прямые
касаются окружности в одной точке, то они
обязательно совпадают.
Спрашивается, можно ли провести несколько касательных в одной
и той же точке к произвольной кривой? Покажем, что и здесь также
существует не более одной касательной.
Пусть две различные прямые / и m проходят через точку А кривой
К. Рассмотрим две пары вертикальных углов с вершиной Л, первая из
которых содержит прямую /, а вторая — прямую га. Величины этих
углов всегда можно выбрать настолько малыми, что они не будут
LHJ иметь кроме А никаких других общих
точек, как на рисунке 11. Но тогда никакая
часть кривой К не может одновременно
располагаться и в первой, и во второй паре
этих вертикальных углов. Следовательно,
определение касательной не выполняется
одновременно для прямых / и га.
Поэтому двух различных касательных к кривой
в данной точке не существует, что и
требовалось доказать.
Вопрос. Может ли касательная к

§ 1. Определение касательной
107
кривой иметь с ней бесконечно много
общих точек?
-. Л** тт
1.6. Не следует думать, что всякая
кривая имеет касательную в каждой
точке. Рассмотрим, например, график
функции у = |х|, изображенный на рисунке 12.
Никакая прямая, проходящая через
точку (0; 0), не является касательной к этому
графику.
В самом деле, если прямая Z не
совпадает ни с одной из ветвей графика, то всегда
можно указать пару вертикальных углов
с вершиной в начале координат, которая
целиком содержит /, но не включает ни
одной точки графика, кроме самого
начала координат (рисунок 13).
Пусть I совпадает с одной из ветвей
графика, например, имеет уравнение у =
х. Тогда существует пара вертикальных
углов с вершиной в начале координат
(рисунок 14), которая содержит прямую /, но
не включает ни одной точки левой ветви
данного графика. Как бы мы ни
выбирали положительное число г, точки левой
ветви, удаленные от начала координат
менее, чем на г, никогда не попадут в
указанные углы.
Аналогичное рассуждение показывает,
что прямая у = — х тоже касательной не
является. Таким образом, график
функции у = \х\ вообще не имеет касательной
в точке (0; 0).
Отсутствие касательной в приведенном
примере можно объяснить наличием
угловой точки или, как еще говорят, излома
на графике функции у = |х|. Касатель-

108 Глава 4. Касательные и производные
нал к правой ветви графика совпадает с
прямой у = х, а касательная к левой
ветви — с прямой у = -х, поэтому общей
касательной к обеим ветвям в точке (0; 0)
не существует.
/ Однако, не каждый излом кривой
приводит к отсутствию касательной.
Рассмотрим кривую К на рисунке 15,
составленную из половин двух окружностей,
касающихся друг друга внешним образом в
точке А. Несмотря на то, что К имеет
излом в точке А, касательная в этой точке
все-таки существует: ею будет общая
касательная / к тем самым окружностям, из
половин которых составлена линия К.
Вопрос. Как доказать, что прямая / на рисунке 15 удовлетворяет
определению касательной в точке А по отношению к кривой К?
Контрольные вопросы и задания
Что называется касательной к окружности?
Какие примеры касательных к произвольным кривым вы знаете?
Сколько общих точек могут иметь кривая и касательная к ней?
Может ли прямая иметь с кривой единственную общую точку, но
не быть касательной?
В чем состоит характеристическое свойство касательных к
окружности?
Каково общее определение касательной к произвольной кривой?
Как Вы понимаете фразу "все точки кривой, достаточно близкие
к данной точке" из общего определения?
В каком случае прямая не касается кривой в данной точке?
Сколько касательных можно провести через данную точку к
данной окружности?
Можно ли провести несколько касательных к произвольной
кривой в одной и той же точке?

§ 1. Определение касательной
109
11. Может ли кривая вовсе не иметь касательных в некоторых
точках?
Задачи и упражнения
1. Окружность с центром О касается прямой га в точке А.
Прямая п проходит через точку Л, образует угол в 1° с прямой га и
пересекает окружность в точке В. Найдите величину угла АВО.
2. Дан угол в 60° с вершиной А. Окружность S касается сторон
этого угла в точках В и С. Прямая п проходит через точку Ау
образует угол в 2° с прямой АВ и пересекает окружность S в
точках М и К. Найдите величину угла МСК.
3. Через точку А окружности проведены касательная га и прямая
п, образующая угол 5° с прямой га и пересекающая окружность
в точке В. В каком отношении делят длину окружности точки
А и В?
4. На окружности с центром О отмечены точки А и В так, что угол
АО В равен 1°. Найдите угол:
а) между касательной к окружности, проведенной в точке А, и
хордой АВ;
б) между касательными, проведенными к окружности в точках
А и В.
5. Через точку А окружности проведена касательная га и две
прямые п и А:, образующие с прямой га угол в 1°. Какую часть
окружности содержат острые вертикальные углы между
прямыми п и А;?
6. К окружности в точке А проведена касательная га. Под каким
углом к прямой га нужно провести через точку А две прямые
пик, чтобы острые вертикальные углы между прямыми п и А:
содержали тысячную часть окружности?
7. Окружность радиуса 1 м касается прямой га в точке А. Точка В
окружности находится на расстоянии 1 см от прямой га. Найдите
расстояние АВ.
8. Докажите, что прямая у = ^х не является касательной к
параболе у = х2 в точке (0; 0).

110
Глава 4. Касательные и производные
9. Объясните, почему график функции у = |sina:| не имеет
касательной в точке (0; 0).
§ 2. УРАВНЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ
2.1. В этом параграфе будут сформулированы общие правила
построения касательных к произвольным кривым, заданным при
помощи уравнений в декартовой системе координат. Всякая касательная
является прямой линией, поэтому сначала напомним понятия и
термины, связанные с уравнением прямой.
Выберем на плоскости прямоугольную систему координат с
началом О и осями х, у. Пусть / — любая прямая, не параллельная оси
у. Тогда ее уравнение можно записать в виде:
у = кх + Ь. (1)
Наоборот, всякое уравнение вида (1) задает некоторую прямую.
Вопрос. Каково уравнение прямой, проходящей через точки (2; 1)
и (-1; 2)?
2.2. Коэффициент к в уравнении (1) имеет наглядный
геометрический смысл. Рассмотрим две любые различные точки Р(х\\ у\) и
Q{%2\ У2)? принадлежащие прямой /. Их координаты удовлетворяют
уравнению (1). Иными словами,
Ух = кх\ + 6, у2 = кх2 + Ь.
Вычитая первое равенство из второго, получим
2/2 -yi = кх2 - кхх.
Так как х\ ^ х2, то отсюда
к = ^^-. (2)
Х2 ~ Х\
С другой стороны, обозначим через а угол, отсчитываемый против
часовой стрелки и образованный положительным направлением оси

§ 2. Уравнение касательной
111
х с прямой /. Если этот угол острый
(рисунок 1), то он равен углу Р в
прямоугольном треугольнике PQR. Так как разность
2/2 ~ 2/1 равна длине катета QЯ, а разность
Х2 — х\ — длине катета PR, то
tCtt= QR = 2/2-2/1
S РД x2-xi'
По формуле (2) коэффициент А; совпадает
с тангенсом угла а. Если угол а тупой
(рисунок 2), то он смежный с углом Р.
Так как в этом случае
то
ш
QR.
куда
tgo
= 2/2 ~2/ь
tglQPR-
PR
= У2-
Ж1-
i = -tg LQPR =
Таким образом,
= xx
-yi
-я2'
02-
*2-
— X
з"
у*
у,
О
i
1
Р/
\f
Q
R
\/ хх х2 X
m
коэффициент к в уравнении (1) равен тангенсу угла а, образованного
положительным лучом оси х с прямой I и отсчитываемого против хода
часовой стрелки.
В связи с указанным свойством коэффициент к называют также
"угловым коэффициентом", "коэффициентом наклона" или даже
просто "наклоном" прямой /.
Если известны наклон к некоторой прямой / и лежащая на ней
точка А(хо; уо), то нетрудно восстановить уравнение прямой. В самом
деле, это уравнение должно иметь вид (1), где число к задано.
Подставив в него координаты точки А, найдем число 6:
уо = кхо + 6, Ь = уо- кхо.

112
Глава 4. Касательные и производные
Следовательно, искомое уравнение прямой / записывается так:
У~Уо = к(х - so).
(3)
Вопрос. Чему равняется наклон прямой с уравнением у = 7?
2.3. Рассмотрим какую-нибудь кривую К на координатной
плоскости. Выберем на К произвольную точку A(xq-, уо) и попытаемся
найти уравнение касательной в этой точке.
Проведем через точку А прямую / с уравнением (3) и неизвестным
пока угловым коэффициентом к. Выясним, какому условию следует
подчинить коэффициент к, чтобы эта прямая удовлетворяла общему
определению касательной.
Возьмем любую пару вертикальных
углов с вершиной Л, целиком содержащую
прямую /, как на рисунке 3. Через к\
и &2 обозначим угловые коэффициенты
прямых, образующих стороны этих углов.
Для определенности будем считать, что
к\ < &2. Тогда угловой коэффициент
прямой / окажется больше, чем к\, и
меньше, чем /й:
&i < к < &2-
(4)
Полученное неравенство означает, что
число к принадлежит промежутку (&ь А^).
Допустим, что I — касательная. Тогда
данная пара вертикальных углов должна
содержать каждую достаточно близкую к
А точку на кривой К. Если Р(х; у) —
такая точка, то прямая АР также
содержится в указанной паре вертикальных углов,
как на рисунке 4. Ее угловой
коэффициент опять окажется больше, чем к\, и

§ 2. Уравпепие касательпой
113
меньше, чем &2- Вычислив этот коэффициент по формуле (2), получим
fcj < ^^ < *2. (5)
X — Xq
Следовательно, угловой коэффициент прямой АР принадлежит тому
же самому промежутку (k\, fo).
Таким образом, мы пришли к свойству касательной, выражаемому
через угловые коэффициенты:
если прямая I касается кривой К в точке А, то всякий интервал,
которому принадлежит угловой коэффициент прямой I, содержит также
угловые коэффициенты прямых, соединяющих А со всеми достаточно
близкими точками данной кривой.
Как и ранее слова "все достаточно близкие к А точки данной
кривой" означают совокупность всех точек кривой К, отстоящих от А
не более, чем на некоторое положительное число г. Величина г
зависит от выбора интервала (к\, к2). При изменении этого интервала
значение г также может меняться. Важно лишь, чтобы такое число
существовало для каждого интервала, содержащего число к.
Можно сказать, что угловой коэффициент прямой АР стремится
к угловому коэффициенту касательной, когда точка Р приближается
к А вдоль кривой К. Точный смысл слова "стремится" разъясняется
в последующих пунктах.
Вопрос. Как указать интервал длины у^, содержащий число |?
2.4. Сопоставляя неравенства (4) и (5) из предыдущего пункта,
заключаем, что угловые коэффициенты обеих прямых / и АР
принадлежат промежутку (к\ч к2). Значит, модуль разности этих
коэффициентов меньше длины данного промежутка. Обозначив длину
интервала (к\, к2) через £, заключаем
У~Уо_к
X — Xq
< е. (6)
Поскольку длина интервала (к\, к2) могла быть какой угодно, то и
е также может быть любым положительным числом. Когда прямая с
угловым коэффициентом к касается кривой К, неравенство (6)
должно выполняться для всех точек Р{х; у) кривой К, достаточно близких
к точке А. Поэтому

114
Глаза 4. Касательные и производные
каким бы ни было положительное число е, всегда найдется такой круг
с центром А, что неравенство (6) выполняется для всех точек Р{х\ у)
кривой К из этого круга.
В таких случаях число к называют пределом угловых коэффициентов
прямых АР при стремлении точки Р к точке А вдоль кривой К.
Итак, если касательная в точке А существует, то ее угловой
коэффициент можно найти как предел угловых коэффициентов секущих
АР, когда точка Р стремится к А вдоль кривой К. Следовательно,
существование данного предела необходимо для существования
касательной.
Вопрос. Как сформулировать необходимое условие
существования касательной в виде теоремы: "Если ..., то ..."?
2.5. Покажем, что существование указанного в предыдущем
пункте предела не только необходимо, но и достаточно для существования
касательной. Иными словами, если некоторое число к удовлетворяет
приведенному определению предела, то прямая / с угловым
коэффициентом А:, проходящая через точку Л, является касательной.
Проверим для этой прямой определение касательной из пункта 2.3.
Выберем два любых числа к\ и &2 так, чтобы выполнялось неравенство
к\ < к < &2, и обозначим через £• наименьшую из разностей
К — К\, л?2 — "'•
Для данного е найдем соответствующий круг с центром в точке
А, исходя из определения предела. Если взять теперь в этом круге
любую точку Р(х; у), лежащую на кривой К, то для ее координат х
и у будет выполнено неравенство (6), то есть
\У^»-к\<е.
\х — Хо I
Отсюда
-£<у^у±„к<£
X — Хо
к_£<у^<к+£.
X — Хо

§ 2. Уравнение касательной
115
Из полученных неравенств, в частности, вытекает следующая
цепочка соотношений
У~У° >*-£>*-(*-*!) = *!,
X — Хо
У-Уо
< к + £ < к + (Л2 ~ *) = *2*
X - Хо
Следовательно, угловой коэффициент прямой АР заключен в
интервале (fci, к2), а это значит, что выполняется определение касательной
из пункта 2.3.
Вопрос. Как доказать, что если предел угловых коэффициентов
прямых АР при стремлении точки Р к точке А вдоль кривой К
существует, то такой предел — единственный?
Контрольные вопросы и задания
1. Как выглядит уравнение произвольной прямой, не параллельной
оси ординат?
2. Что называется угловым коэффициентом прямой?
3. Как найти угловой коэффициент прямой, если известны две ее
точки?
4. Как найти уравнение прямой, зная угловой коэффициент и точку
на ней?
5. Как при помощи угловых коэффициентов сторон данного угла и
некоторой прямой, проходящей через его вершину, узнать,
внутри угла или вне его лежит эта прямая?
6. В чем состоит свойство касательной, выражаемое при помощи
угловых коэффициентов?
7. Что означают слова "все достаточно близкие к А точки данной
кривой"?
8. Каков точный смысл утверждения, что касательная является
пределом секущих?
9. Пусть теорема формулируется в виде: "Если Л, то В". Какое
из условий А и В называется необходимым, а какое —
достаточным?

116
Глава 4. Касательные и производные
10. Как доказать, что существование предела секущих достаточно
для существования касательной?
Задачи и упражнения
1. Найдите уравнение прямой, проходящей через точки:
а) Л(3; 2), В(-1; -4);
б) А(-2; 1), В(1; 4);
в) Л(-5; 6), В{-5; 3);
г) Л(4; 7), В(-2; 5);
д) Л(ч/3; 1), B(2v/3; 3);
е) Л(2; ->/§), 5(4^; 2).
2. Найдите угловой коэффициент прямой, проходящей через точки:
а) А(4; 3), В(-2; 1);
б) Л(-3; 7), В(5; -1);
в) Л(1 + у/5; 2 - n/5), В(1 + Зч/5; 2 - 3%/5).
3. Найдите уравнения медиан треугольника с вершинами:
а) Л(0; 0), В(0; 4), С(3; 3);
б) Л(-2; -1), В(6; 3), С(2; 5);
в)Л(1;3), В(-3;1),С(-1;-3).
4. Найдите угол, который образует прямая с положительным
лучом оси Ох, если прямая имеет уравнение:
а) 2г/ + 3 = Зх - 2;
б) 2х + 4у = 1;
в) х - Зу - 5 = 0;
г) 2>/Зу + 2х - 1 = 0;
д) 2у - 2%/Зх + 1=0.
5. Запишите уравнение прямой с угловым коэффициентом 5\/3,
проходящей через точку ( —1; 2).
6. Найдите угол между прямыми:
а)у = х-1иу = V3x = 1;
б) у = -х - 2 и у = ^-х + 1;
в) у = х + 1 и у = 2х + 1;
г) у = Зх и у = 4х — 1.
7. Изобразите несколько прямых, проходящих через начало
координат, угловой коэффициент которых находится между угловыми

§ 3 Примеры касательных 117
коэффициентами прямых:
а) у = 2х и у = Зх;
б) у = 2х и у = -Зх;
в) у = —2х и у = Зх;
г) у = -2х и у = -Зх.
8? Через точку Л(2; 4) Бп(2 + ^; (2 + i)2) графика функции у =
= х2, проводится секущая при каждом п £ N. Найдите предел
последовательности угловых коэффициентов этих секущих.
9. Через точки А(1; 1) и Вп(1 - ^; у 1 - 1) графика функции у =
= v/x проводится секущая при каждом п £ N. Найдите предел
последовательности угловых коэффициентов этих секущих.
10. Через точки А(2; ^) и Вп(2п + 1\ 2 п Л графика функции у =
= ^ проводится секущая при каждом п £ N. Найдите предел
последовательности угловых коэффициентов этих секущих.
§ 3. ПРИМЕРЫ КАСАТЕЛЬНЫХ
3.1. Общие принципы, изложенные в предыдущем параграфе,
можно применить к изучению касательных для некоторых кривых.
Рассмотрим сначала параболу с уравнением у = Ах2 и на ней точку
А{2\ 2). Найдем угловой коэффициент касательной в этой точке по
правилу из пункта 2.3. Соединим точку А с произвольной точкой
Р(х; у) на данной кривой и вычислим угловой коэффициент прямой
АР:
У-Уо _ У ~2 _
х — хо х — 2
= 2*2~2 = (* + 2)(ж-2) =
х-2 2(х-2)
х + 2 (х-2)+ 4 п 1, лЧ
Теперь нетрудно заметить, что число к = 2 удовлетворяет
определению углового коэффициента касательной. В самом деле, возьмем
два произвольных значения к\ < 2, к% > 2 и положим
£ = min (2 - fci; А;2 — 2).

118
Глава 4. Касательные и производные
Приближая точку Р к точке Л, можно сделать величину |х - 2| сколь
угодно малой. В частности, для всех близких Р и А можно обеспечить
неравенство
-Е < -(х - 2) < е.
Но тогда
1Z1 = 2 + 1(* - 2) > 2 - е > 2 - (2 - *i) = *i;
х — I I
|^| = 2 + i(* - 2) < 2 + e < 2 + (k2 - 2) = k2.
Значит, угловой коэффициент прямой АР попадает в интервал (к\\ к2)
и определение касательной из пункта 2.3 выполняется. Согласно
формуле (3) предыдущего параграфа, уравнение касательной к графику
функции у = Ах2 в точке Л(2; 2) имеет вид
у - 2 = 2(х - 2)
Вопрос. Как доказать, что все точки графика функции у = Ах2
лежат "выше" касательной у - 2 = 2(х - 2)?
3.2. Рассмотрим теперь параболу с уравнением у = ах2. Пусть
A(xq; уо) — фиксированная точка параболы. Найдем угловой
коэффициент касательной в этой точке по правилу из пункта 2.3. Соединим
А с произвольной точкой Р(х; у) на данной кривой и вычислим
угловой коэффициент прямой АР:
у -ур _ ах2 - qxq а(х + хр)(х -Xq) _
X — Xo X — Xo X — Xo
= a(x + xo) = 2axo + a(x — xq).
Здесь также нетрудно заметить, что число к = 2ахо
удовлетворяет определению углового коэффициента касательной. В самом деле,
возьмем два произвольных значения к\ < Л, к2 > к и положим
е = min(к — к\, к2 — А;). (1)

§ 3. Примеры касательных
119
Приближая точку Р к точке А, можно сделать величину |х —хо| сколь
угодно малой. В частности, для всех близких Р и А будет обеспечено
неравенство
—е < а(х - х0) < е.
Но тогда
U^LMl >k-e>k-{k-kx) = ku
X — Xq
^-^ < k + е < k + {k2 - k) = k2.
x - Xo
Значит, угловой коэффициент прямой АР попадает в интервал (к\, к2)
и определение касательной из пункта 2.3 выполняется.
Таким образом, прямая, проходящая через точку (хо;уо) с угловым
коэффициентом 2oxo, действительно касается параболы у = ах2.
Согласно формуле (3) предыдущего параграфа, уравнение этой прямой
имеет вид
у-у0 = 2ах0(х - х0).
Вопрос. Могут ли две различные касательные к параболе быть
параллельны?
3.3. Найдем касательные к гиперболе с уравнением ху = а, где
а ф 0. Так как гипербола состоит из двух симметричных ветвей, то
достаточно рассмотреть только одну из них, например ту, которая
расположена в полуплоскости х > 0.
Пусть точки А(хо;уо) и Р(х;у) лежат на выбранной ветви
гиперболы, то есть хо > 0, я > 0. Вычислим угловой коэффициент прямой
АР:
У-Уо _ а{хр - х) = а_
X — Xq XXq(x — Хо) ХХо
Когда точка Р приближается к Л, ее абсцисса х становится сколь
угодно близкой к хо, а вся дробь — ~г- стремится к к = —-%. Покажем,
О Xq
что так оно и есть, аккуратно проверив определение из пункта 2.3.
Как и в предыдущих пунктах, выберем два числа к\ < к, к2 > к и
зададим величину е формулой (1). Заметим, что

120
/лава 4. Касательные и производные
= Jfc +
а(х - х0)
XXq
Если значения х и хо достаточно близки, то х > хо/2. Для всех таких
х справедливо неравенство
а{х - х0)
XXq
<
2а(х — хо)|
х0
Еще уменьшив, если это необходимо, расстояние между х и хо,
можно добиться того, чтобы выполнялось неравенство
2а(х — хо)
xjj
< е.
Тогда для всех достаточно близких к А точек гиперболы получим
у-уо . а{х - х0) ^
х -
>к
Hi
х -
• Xq
- £
■Уо
- Xq
< к + е
— л т
> к - (к
= к + а-±
<к + (к2
XXq
"*l) =
Г -Хо)
XXq
-*) =
*f
ku
<
*2-
Следовательно, число к удовлетворяет определению углового
коэффициента касательной, а уравнение касательной к выбранной ветви
гиперболы имеет вид
У~Уо = —2^х ~хо)-
xg
Вопрос. Каково уравнение касательной к ветви гиперболы,
расположенной в полуплоскости х < О?
3.4. Пусть / — касательная к некоторой кривой К в точке А.
Рассмотрим произвольный параллельный перенос плоскости. Через
К', V и А' обозначим кривую, прямую и точку, в которые переходят
при этом переносе К, I и А соответственно. Покажем, что прямая /'
будет обязательно касаться кривой К' в точке А'.

§ 3. Примеры касательных
121
Возьмем какой-нибудь вертикальный угол с вершиной Л', целиком
содержащий /'. Пусть прямые 1\ и 1'2 — стороны этого угла. Обозначим
через 1\ и ^2 две прямые, которые переходят соответственно в 1[ и 12
при данном параллельном переносе.
Согласно свойствам параллельного переноса прямые 1\ и /г
образуют вертикальный угол с вершиной Л, целиком содержащий
касательную / к кривой К. По определению касательной внутри этого угла
будут лежать все точки кривой К, близкие к А. Например, все точки,
удаленные от А менее, чем на расстояние г. Но тогда, вновь
обращаясь к свойствам параллельного переноса, заключаем, что все точки
кривой К\ удаленные от А1 менее, чем на г, лежат внутри исходного
вертикального угла со сторонами 1[ и /2. Таким образом, прямая V
удовлетворяет определению касательной к кривой К'.
Установленное свойство позволяет легко найти уравнение
касательной к кривой К\ если известно уравнение касательной к кривой К.
Предположим, что кривая К задана уравнением у = /(х), точка А
имеет координаты (хо; j/o)> а у—уо = к(х — хо) — уравнение касательной
/. Если начало координат переходит при данном параллельном
переносе в точку (а; 6), то координаты точки А' будут равны (хо + а; j/o + &)>
уравнение кривой К1 примет вид у — 6 = /(х — а), а уравнение прямой
/' превратится в уравнение
У - (Уо + Ь) = к(х - (х0 + а)).
Пример 1. Рассмотрим параболу у = 2х2 — 4х + 5 и точку Л'(0; 5)
на ней. Уравнение этой параболы записывается в виде у—3 = 2(х—I)2.
Следовательно, данная парабола получается из параболы у = 2х2 в
результате параллельного переноса на вектор (1;3). При этом точке
А' соответствует точка Л(—1;2).
Уравнение касательной в точке А к параболе у = 2х2 имеет вид
у — 2 = 4(х + 1). Значит, уравнением касательной к исходной параболе
в точке А' будет у — 5 = 4х.
Пример 2. Найдем касательную к гиперболе
2х + 1
в точке А'(2;5).

122
Глава 4. Касательные и производные
Данное уравнение можно переписать в виде
3
у-2 =
х-1'
поэтому исходная гипербола получается параллельным переносом на
вектор (1;2) из гиперболы с уравнением ху = 3. При этом точке А'
соответствует точка Л(1;3). Уравнение касательной в точке А к
гиперболе ху — 3 было найдено ранее: у — 3 = — 3(х — 1). Но тогда
уравнением искомой касательной будет у - 5 = — 3(х - 2).
Вопрос. Каково уравнение прямой, касающейся параболы у =
= 2х2 — Ах + 5 в ее вершине?
Контрольные вопросы и задания
1. Каково общее определение касательной к произвольной кривой?
2. Как определить касательную при помощи угловых
коэффициентов прямых?
3. Какое уравнение имеет касательная к параболе у = ах2 в точке
с абсциссой хо?
4. Какое уравнение имеет касательная к графику функции у = ~ в
точке с абсциссой хо?
5. Как составить уравнение касательной к графику функции вида
f(x — а) 4- Ь в точке с абсциссой x'Q = хо + а, зная уравнение
касательной к графику функции f(x) в точке с абсциссой xq!
Задачи и упражнения
1. Составьте уравнение касательной к параболе у = ах2 в точке с
абсциссой хо, если:
а) а = 2, хо = 3; б) а = 3, хо = -2;
в) а = —1, хо = —3; г) а = -п, хо = 3;
д) а = J, х0 = 2>/2.
2. Найдите точки пересечения осей координат и касательной,
проведенной к параболе у = ох2 в точке с абсциссой хо, если:
а) а — -1, х0 = 2; б) а — 2, х0 = —Sj.

§ 3. Примеры касательных
123
3. Касательная к параболе у = ах2 в точке А пересекает ось Ох в
точке В и ось Оу в точке С. Докажите, что АВ = ВС
4. Через точку А параболы у = ах2 проведена касательная /.
Докажите, что середины отрезков, отсекаемых параболой на прямых,
параллельных /, лежат на луче с вершиной А.
**
5. Найдите множество всех точек М таких, что проведенные через
них две касательные к параболе у = х2 взаимно
перпендикулярны.
6. Составьте уравнение касательной к графику функции у = ^ в
точке с абсциссой xn если:
о 1
а) а = 3, х0 = g; б) а = 2, х0 = -^;
в) а = -2, х0 = 8; г) а = -5, х0 = -10;
хо = у/Е; е) а = 3, х0 = —4?.
7. Найдите точки пересечения с осями системы координат
касательной, проведенной к графику функции у = ^ в точке с абсциссой
хо, если:
а) а = 4,xq = —1; б) а = —2,хо = 6.
8. Касательная, проведенная к гиперболе ху = а в точке Л,
пересекает ось Ох в точке В и ось От/ в точке С. Докажите, что:
а) АВ = АС;
б) площадь треугольника О ВС не зависит от выбора точки А на
этой гиперболе.
9. Составьте уравнение касательной:
а) к параболе у — 5 = 2(х — 1)2в точке с абсциссой хо = 3;
б) к параболе у = 4 - (х + З)2 в точке с абсциссой хо = -5;
в) к параболе у = х2 + х + 1в точке с абсциссой хо = 2.
10. Составьте уравнение касательной:
а) к гиперболе у + 1 = _ п в точке с абсциссой хо = 3;
б) к гиперболе у = 5 - т. з в точке с абсциссой xq = — 1;
в)** к гиперболе у — \Z_\ в точке с абсциссой х0 = 2.

124
Глава 4. Касательные и производные
§4. ПРОИЗВОДНАЯ, ЕЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ И
ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ
4.1. Напомним, что касательная, проведенная к графику
функции f(x) в данной на нем точке А, является предельным положением
секущей AU, когда точка U стремится по кривой графика к точке
А (рисунок 1). Обозначим абсциссу точки А буквой а, а абсциссу
точку U буквой и. Тогда координаты точек А и U можно записать
соответственно (a\f(a)) и (w,f(u)). Уравнение секущей AU имеет вид
у - f(a) = lZa (х ~~ а)> где переменные х и у определяют
координаты точек прямой AU. Угловой коэффициент прямой AU равен
коэффициенту Яц/ ~ f\a) При переменной х. Когда касательная в
точке А существует, то ее угловой коэффициент есть lim /М ~ /W = tg а,
где а — угол наклона касательной к оси х.
Разность u — а называют приращением аргумента. Разность f{u)—
—/(а) называют соответствующим приращением функции.
Вопрос. В каком случае равно нулю приращение функции,
соответствующее любому приращению аргумента?
4.2. При движении по прямолинейному участку пути положение
движущегося тела можно определять, задавая расстояние от
фиксированной точки с учетом направления. В результате закон движения
записывается в виде зависимости расстояния S(t) от времени t. Для
каждого значения to времени можно рассмотреть приращение Д£
времени и вычислить соответствующее приращение расстояния:
AS = S(t0 + АО - S(*0).
Отношение
S{tQ + At) - S(t0)
At
называют средней скоростью движения за промежуток времени
между to и £о + А*- При Д£ -* 0 рассматривают предел средних
скоростей. Если этот предел существует, то его называют мгновенной
скоростью или скоростью движения в момент времени to-
Таким образом, если мгновенную скорость обозначить г>(£о), то по
определению
v(to) = Hm S(t0 + At)-S{t0)
V U/ At-+0 At

§ 4. Производная, ее геометрический и физический смысл 125
Вопрос. Какую мгновенную скорость будет иметь тело через 5
секунд после начала движения, если закон прямолинейного
движения тела задается формулой S(t) = 100 — 5£,где время t измеряется в
секундах, а расстояние 5 в метрах?
4.3. В пункте 3.1 для функции /(х) рассматривалось отношение
t\u) ~ f\a) и предел такого отношения при и -* а. В пункте 3.2 для
функции S(t) рассматривалось отношение ' °+ Л ~ (°' и предел
такого отношения при At —► 0. В первом случае предел равен угловому
коэффициенту касательной к графику функции, во втором случае —
мгновенной скорости движения. Аналогичный предел рассматривают
в общем случае и называют производной.
Производной функции f(x) в точке а называется предел
«-к» u — a
если этот предел существует.
Для обозначения производной функции f(x) в точке а в основном
используется обозначение /'(о).
Заметим, что при и -¥ а приращение аргумента и—а стремится к
нулю. Это позволяет записать определение производной в следующей
форме.
Производной функции f(x) в точке а называется предел отношения
приращения функции к приращению аргумента, когда приращение ар-
гумента стремится к нулю.
Пример 1. Вычислить производную функции f(x) = 2х -К 1 в
точке 3.
Решение. Возьмем и Ф 3. Тогда и—3 — есть приращение аргумента,
a/(tt)-/(3) = (2u+l)—(2-3+1) = 2(u-3) соответствующее приращение
функции. Поэтому
(2х + 1)'(3) = lim ?feL=31 = iim 2 = 2.
Вопрос. Чему равно значение производной функции f(x) = у/х в
точке a = 4?

126
Глава 4. Касательные и производные
4.4. Производная существует не всегда. Например, функция /(х) =
= |х| не имеет производной в точке 0.
Действительно, возьмем и ф 0. Тогда и~0 = и есть приращение
аргумента, f(u) — /(0) = |гх| — |0| = |ti| есть соответствующее приращение
функции. Поэтому
/И - /(о) = М
и - 0 и
Такое отношение равно 1 при и > 0 и равно -1 при и < 0, то есть
h{u) = f{u)-f(Q) = П, если и >0;
nW и-о \-1, еслии<0.
Так как получившаяся функция h(u) не имеет предела при и —У 0, то
и функция /(х) = |х| не имеет производной в точке 0.
Вопрос. Имеет ли функция /(х) = х2 — 2\х\ производную в точке
о=-1?
4.5. Обозначение приращения аргумента в точке а через Ах и
соответствующего приращения функции у = f(x) через Ду позволяет
записать определение производной в виде
/(а) = Um /(а + А*)-/(а) = Um Д^
В соответствии с такой формой записи производная функции /(х) в
точке а иногда обозначается
§<«>
или
(читается: дэ эф по дэ икс при х, равном а).
Вопрос. Пусть /(х) = (х + I)2. Чему равно ^-(1)?
Контрольные вопросы и задания
1. Как записывать приращение функции у = /(х), если задано
приращение аргумента Ах в точке х?
2. Как определяется производная функции /(х) в данной точке а?

§ 4. Производная, ее геометрический и физический смысл 127
3. Как определяется касательная к графику функции /(х) в
заданной точке (a;/(a))?
4. Какой геометрический смысл имеет производная функции /(х)?
5. Какой физический смысл имеет производная функции /(х)?
6. Выведите уравнение касательной к графику функции /(х) при
х = а, зная значение производной /(a).
Задачи и упражнения
1. Вычислите угловой коэффициент касательной к графику
функции у = х2 при х = 1.
2. В какой точке касательная к графику функции у = х2
параллельна прямой у = х?
3. Вычислите приращение функции у = ! в точке а, зная
приращение аргумента Дх.
4. В какой точке приращение функции у — х2 положительно при
любом приращении аргумента Дх = О?
5. Точка движется прямолинейно по закону S(t) = 2t2 — t + 1, (S(t)
— расстояние в сантиметрах, t — время в секундах). В какой
момент времени t скорость будет равна 3 см/с?
6. Вычислите производную функции /(х) в указанной точке х:
а) /(х) = х3 - х2,х = 0; б) /(яг) = ±,х = 2;
в) /(х) = xn(n е N),x = a.
7. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции
/(х) в указанной точке А:
а) f{x) = х4, Л(1; 1); б) /(х) = >/2х", А(4; 2).
8. Под какими углами график функции /(х) пересекает ось иксов:
а)/(х) = х2-1; 6)/(x) = %/i-l; в) /(х) = х3 + 1.
9. Найдите уравнение касательной к графику функции /(х) в точке
с указанной абсциссой а:
а)у = х2, а = -1; б) у = |, а = 1;
в) у = 2^/х, а = 1; г) у = -^, а = 4.

128
Глава 4. Касательные и производные
10. Покажите, что если S(x) есть площадь круга радиуса х, то S (х)
равняется длине окружности радиуса х.
11. Пусть V(x) есть объем шара радиуса х. Покажите, что
производная V\x) равна площади поверхности этого шара.
12. Пусть температура тела T(i) в зависимости от времени t убывает
по закону T(t) = ¥Щ- Вычислите скорость охлаждения тела
г®.
13. Пусть m)t) = t* + 3t — количество вещества, образовавшегося
при химической реакции за промежуток времени t. Вычислите
скорость химической реакции m (t).
14. Зная закон движения точки по прямой S(t) = t — sin t, найдите
скорость этой точки.
§5. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ
ПРОИЗВОДНОЙ
5.1. В предыдущем параграфе мы ограничивались простейшими
примерами на вычисление производных. Использование производных
от других элементарных функций и правила вычисления производных
значительно расширяют наши возможности применения понятия
производной. Приведем таблицу основных элементарных функций и их
производных и в каждом случае укажем множество М тех значений
аргумента, при которых производная существует.
В этой таблице особо выделяются производные для показательной
функции у = ех и логарифмической функции у = lnx = logex, где
в качестве основания выбрано число е. Это число имеет особое
значение в математике, называется числом Эйлера и определлется как
ишп-юо (1 4- £)п. Число е — иррациональное число. Приближенно
е = 2,718281828459045...
Вопрос. Чему равно значение производной функции f(x) = arctg х

§ 5. Основные привила вычисления производной
129
в точке a = \/3?
/(*)
с
хп,пе N
хк, ке Z,k < 0
xa,a€ R,a^ Z
sin а;
cos о:
4tgx
e*
ax
lnx
loga*
arcsin x
arccos x
arctg я
/'(*)
0
nxn~l
kxk~l
axa'1
cosx
— sinx
1
cos^x
ex
ax - In a
1
xlna
7T^
l
X/1-X2
1
1 + x2
M |
при всех x 1
при всех х
при х ф 0
при я > 0
при всех х
при всех а:
при х ф | 4- 7Г&, где А; Е Z
при всех х
при всех х
при х > 0 !
при х > 0
при — 1 < х < 1
при — 1 < х < 1
при всех х
5.2. Покажем, каким образом можно получить некоторые
результаты, записанные в таблицу производных.
Докажем, что (х2) (а) = 2а при любом а Е R.
Доказательство.
(x2)'(a) = lim (« + *»)2-«a = lim 2aAxt (Ах? =
v ; v ' Дх-*0 А* Дх-40 Ах
= lim (2а + Дх) = 2а.
Этот результат можно записать кратко как (х2) = 2х что совпадает
с записанным в таблице равенством (х2) = nxn_1 при п = 2.
Вопрос. Как доказать, что (х3)' = Зх2?
5.3. Когда функции /(х) и д(х) имеют производные в точке а,
функция /(х) + д(х) также имеет производную в точке а, причем
(f(x) + g(x))'(a) = f'(a)+g'(a).
Это правило можно сформулировать следующим образом.

130
Глава 4. Касательные и производные
Производная сумм двух функций f(x) и g(x) равна сумме их
производных:
(f(x)+9(x))' = f'(x) + 9(x).
Пример 1.
(sin х + cos х) = (sin х)' + (cos х)' — cos х - sin х.
Пусть с — число, и функция /(х) имеет производную в точке а.
Тогда функция cf(x) также имеет производную в точке а, причем
(с/(х))'(а)=с-/(а).
Это правило можно сформулировать следующим образом.
Производная произведения функции f(x) на постоянная число с равна
произведению производной функции f(x) на число с:
(с/(х))' = с/'(х).
Пример 2. (х3 - 5х2)' = (х3)' + ((-5)х2)' = Зх2 + (-5) • 2х =
= Зх2 - 10х.
Вопрос. Как доказать рассмотренные в этом пункте правила?
5.4. При доказательстве дальнейших правил вычисления
производных иногда используется следующее утверждение.
Если функция f(x) имеет производную в точке а, то /(х) непрерывна
в этой точке.
Доказательство. Из определения производной следует, что
&(Zk±Ag^l-/(a))=0.
Если обозначить
/(«-^)-/(«)-/(а) = g(As),
lim е(Дх) = 0.

§ 5. Основные правила вычисления производной
131
Используя обозначение е(Дх), получаем:
f (* + *£-№= f (a)+е(&х),
/(а + Ах) - /(а) = Дх • (/(а) + <г(Д*)),
/(а + Дх) = /(а) + /(а) • Ах + е(Дх) • Ах.
Поэтому
lim f(a 4- Ах) =
Az-»0
= lim (/(а) 4- /(а) • Ах + е{Ах) • Ах) =
Дх->0
= lim /(а) + lim f'la) Ах 4- lim е(Дх) • Ах =
Дх->0' V ' Ax->0J V ' Дг-+0 V '
= /(а) + /'(а).0 + 0-0 = /(а).
Обозначив 2 = а 4- Ах, приходим к равенству ит2_+а/(2) = /(а), что
и требовалось доказать.
Вопрос. Какой из рассмотренных ранее примеров показывает,
что функция может быть непрерывной в точке, но не иметь в этой
точке производной?
5.5. Когда функции /(х) и д(х) имеют производные в точке а,
функция f(x)g(x) также имеет производную в точке а, причем
(f(x)g(x))'(a) = /(о) • д(а) + /(а) • д'(а).
Это утверждение называют правилом вычисления производной
произведения и кратко записывают в следующем виде:
(f(x)g(x))' = f(x)g(*)+f(*)9(x).
Пример 3. Установив, что (х)' = 1, (х2) = 2х, можно вычислить
производную от х3 следующим образом:
(х3)'= (х2.х)' = (х2)'-х4-х2.(х),=
= 2х • х + х2 • 1 = Зх2.

132
Глаза 4. Касательные и производные
Пусть функции /(х), д(х) имеют производные в точке а и д(а) ф 0.
Тогда функция A^j также имеет производную в точке а, причем
(%»•(.)-/wKfa^w.
Это утверждение называют правилом вычисления производной
частного и кратко записывают в следующем виде:
(№.\ _ fM-9(a)-На) 9 М
Пример 4.
(texV = (шх\ - (sinх) • cosх - sinх • (cosх) _
v 6 ' \cosx) cos2x
= cos2 х + sin2 x _ 1
cos2x cos2 x *
Вопрос. Как вычислять производную функции вида -иЦ?
Контрольные вопросы и задания
1. Выпишите производные функций ха , sin я, cosx, tgx.
2. Выпишите производные функций ех , ах , lnx, logax.
3. Выпишите производные функций arcsinx, arccosx, arctanx.
4. Сформулируйте правила вычисления производной от суммы двух
функций и от произведения функции на число.
5. Докажите, что если функция /(х) имеет производную в точке
а, то она непрерывна в этой точке.
#♦
6. Всегда ли непрерывная функция имеет производную?
7. Сформулируйте правило вычисления производной произведения
двух функций.
8. Сформулируйте правила вычисления производной частного двух
функций.

§ 6. Производная сложной функции
133
Задачи и упражнения
Найдите производную функции:
а) 10х; 6)lgx; в) ех-
г) In х; д) tfx; е) х^;
ж) хе; з) 4-; и) Ыу/х\
ух'
к) Зх"3; л) Л; м) 3*;
н) sin а: - cosx; о) х* - Зх2 + 2х - 1; п)
Р) j + arctg х; с) j^j + Vx1.
В каких точках непрерывна функция
•х, если х рационально,
arcsmx - arccosx:
/(*) = {:
-х, если х иррационально?
Имеет ли эта функция производную в какой-либо точке?
3. Найдите производную произведения:
а) у/х(2х — 1); б) xlnx;
в) хех; г) sinx • cosx;
д) xsinx.
4. Найдите производную частного:
а) <рх б) х-1 в) lnx
; sini' ' у/Х ' х 7
«Г "£*; д) |тт; е) 1^*.
5. Найдите производную функции:
a) sin2x; б) (lnx)"1;
в) cos2x; г) 1пЗх.
6. Под каким углом график функции у = In х пересекает ось Ох?
7. Найдите уравнение касательной к графику функции у = lnx в
точке с абсциссой а = ^
8. Под каким углом график функции у = arctanx пересекает ось
Oyl
§6. ПРОИЗВОДНАЯ сложной ФУНКЦИИ
6.1. Имея две функции f(z) и д(х), можно образовать сложную
функцию h(x) = f{g(x)). При этом важно заметить, что при
вычислении значения h(x) при х = хо значение функции д(х) вычисляется в

134
Глаза 4. Касательные и производные
точке xq , а затем значение функции f(z) вычисляется уже в точке
2/о = д(хо)- Соответственно правило вычисления производной сложной
функции f(g{x)) в точке а использует значение производной функции
д(х) в точке а и значение производной функции f(z) в точке b = g(a).
Сформулируем правило вычисления производной сложной
функции.
Пусть функция f(x) имеет производную в точке а, функция f(z) имеет
производную в точке b — g(a) Тогда функция h(x) = f{g(x)) имеет
производную в точке а и ti(a) = /(6) • g (а).
Пример 1. Вычислить производную функции
sin(3x - |)
при х = а.
Решение. sin(3x - |) = sin(o(x)), где д(х) = Зх — |. Поэтому нужно
вычислить значение д (х) в точке а и значение (sin z) в точке b =
= g(a) = (За — |). Так как д'(х) = (Зх — |)' = 3, (sinz) = cos 2, то
g(a) = 3, (sinz)'(3a - |)=cos(3a - |). Отсюда
(sin(3a - |))'(a) = (cos(3a - |)) • 3 = 3cos(3a - |).
Пример 2. Вычислить производную функции л/х2 + х при х = а.
Решение, у/х2 + х = у/д(х) = (р(х))2 , где д(х) = х2 + х. Поэтому
нужно вычислить значение д (х) в точке а и значение (y/z) в точке
6 = а2+а.Так как (х2+х)' = 2x4-1, [yfz)' = (z2) = ^*,тод(а) = 2а+1,
(Л)'(а2 + а) = 1_. Отсюда (у/^Т^)\а) = --Л— • (2а + 1) =
2уа + о. zv о + fl
= 2а + 1
2%/а2+а"
Вопрос. По какому правилу можно вычислить производную
функции f(g{<p{x))) в точке а, используя производные функций /(£), g{z),
6.2. В том случае, когда функция д(х) строго монотонна,
правило вычисления производной сложной функции можно доказать
следующим образом.

§ 6. Производная сложной функции
135
Пусть lim 9{x)xZ9a{a) = g'(a), b = g(a) и lira f{z]~_{{b) = /'(*)• В силу
монотонности g(x) — g(a) ^ 0 при x ^ a. Поэтому
цт/МО)-/Ы*)) =
x—►a x — a
= lim /M«» - /(*(«)) . g(') - УW =
x->a p(x) - ^(a) x - a
= \™J{Z\-Jb{b)-9{*) = f{b)-9{a).
В общем случае доказательство правила вычисления производной
сложной функции непростое, и мы его не приводим.
Вопрос. Как в приведенном доказательстве использовалось
свойство монотонности функции д(х) ?
6.3. Иногда правило вычисления производной сложной функции
записывают в следующем виде:
Шх)))' = /*'Ш)-д'(х).
При этом предполагается, что значение производной функции
f(g(x)) вычисляется в точке х; производная функции f(z)
вычисляется по переменной z, а затем вместо z подставляется д(х). В итоге
производная функции д(х) вычисляется в точке х.
Пример 3. (ln(sin:r))' = (lnz)z (sinrc)- -(sinx)' = -Л— • cosx =
= £^=ctgx.
smi °
Пример 4. (xQ)' = {ea[nx)' = (e')/(olni)' = = ealnz • J
=-axa-\
Вопрос. Как из равенства (ех) = ех вывести, что (ах) = ах • In о?
Контрольные вопросы и задания
1. Сформулируйте правило вычисления производной сложной
функции.
2. Докажите правило вычисления производной функции f(g(x)) в
предположении, что функция д(х) строго монотонна.
аг • - =
X X

136
Глава 4. Касательные и производные
Задачи и упражнения
1. Найдите производную функции:
а) 1п5х; б) 1п2х; в) sin3x; г) tg(x2 — 1);
д) у/2х + 3; е) esinz; ж) arccos2x; з) %/9х2 - 16;
и) tg2 х; к) tg х + cot2 х.
2. В каких точках производная функции ^-%- обращается в нуль?
3. Найдите уравнение касательной к графику функции In2 х в точке
с абсциссой 1.
4. Изобразите графики функций 1пх, 1п2х, 1пЗх и покажите, что
они пересекают прямую х = 1 под углом 45°.
5. Предполагая существование производной и пользуясь правилом
вычисления производной сложной функции, найдите
производную функции:
а) у = arcsinx; б) у = arccosx; в) у = arctgx.

УГЛЫ В ПРОСТРАНСТВЕ
глава
В этой главе мы рассмотрим понятие угла между двумя прямыми в
пространстве, угла между двумя плоскостями и понятие угла между
прямой и плоскостью.
§ 1. УГОЛ МЕЖДУ ДВУМЯ ПРЯМЫМИ в
ПРОСТРАНСТВЕ
1.1. Угол между пересекающимися
прямыми в пространстве определяется
точно так же, как и угол в плоскости,
содержащей эти прямые.
Напомним, что на плоскости угол
между двумя пересекающимися прямыми
определяется как величина наименьшего
из углов, образуемых лучами этих
прямых с вершиной в точке пересечения.
Вопрос. Какие значения в радианах может принимать угол
между двумя пересекающимися прямыми?
1.2. В пространстве между любыми двумя прямыми определяют
угол, который может принимать значение из промежутка [0°; 90°] в
градусной мере или из промежутка [0; |] в радианной мере.
По определению угол между двумя параллельными прямыми
считают равным нулю. Две совпадающие прямые также считают
параллельными.
5

138
Глава 5. Углы в пространстве
Н
Угол между скрещивающимися
прямыми определяют следующим образом.
Углом между двумя скрещивающимися
прямыми называется угол между
двумя пересекающимися прямыми,
соответственно параллельными данным
скрещивающимся прямым.
Иногда величину угла^ежду прямыми
а и Ь обозначают через (а; 6).
Пример 1. В кубе ABCDAXBXCXDX
найдем угол между прямыми А\С и C\D
(рисунок 3).
Решение. Рассмотрим плоскость
A\BCD\, пересекающую отрезок C\D в
точке Р — середине отрезков C\D и CD\.
Проведем РК || А\С. Затем
рассмотрим прямоугольные треугольники D\KD
и C\KD\. Они равны, так как катет
KD — общий, a DXD = DXC . Поэтому
KD = КС\. Следовательно, треугольник
DKC\ равнобедренный, а значит его
медиана КР, проведенная к основанию,
является высотой, то есть РК JL С\Р. Таким
образом, прямые А\С и C\D
перпендикулярны.
Вопрос. Какой угол между диагоналями АВ\ и A\D граней
куба?
1.3. В этом пункте рассмотрим следующую задачу.
Пример 2. В правильном тетраэдре ABCD отрезок MN
соединяет середину ребра АС с центром грани BCD, а отрезок DE является
высотой грани ABD. Найти угол между прямыми MN и DE.
Решение. Пусть ребро тетраэдра равно а. Так как ME \\ BCD, то
можно построить в плоскости BCD отрезок KN так, что EMNK —
параллелограмм (рисунок 4). Тогда ЕК \\ MN, а поэтому угол между
прямыми DE и MN равен либо углу DEK, либо смежному с ним углу.
А
А
1 \ .
1 % i
/'в
1 •
1 •
V
^Dy
""■ч^
W
к
ч"/ \
2 "Л
с.
1 /С
D

§ 1 Угол между двумя прямыми в пространстве
139
~В Р N С
Чтобы найти угол DEK, вычислим стороны треугольника DEK.
Из равностороннего треугольника ADB имеем DE = ^р . Из
прямоугольного треугольника DNK по теореме Пифагора KD2 = DN2+
+NK2 = [^]2 + [§]2 = 2ij£ откуда KD = ^. Так как #£ = MN,
то для вычисления /f £ рассмотрим треугольник АРС, где Р —
середина ребра BD (рисунок 5). Из того, что AN — высота правильного
тетраэдра, следует AN _L NC. Поэтому MN = ^АС = |. Получив в
треугольнике DEK все стороны, по теореме косинусов находим:
cos LDEK =
РЕ2 + Д/Г2 - /Ж2
2£>£ • ЕК
- f За! 4- ^ - 7л!ь /ooj^l а\ _ 5>/3
~ ^ 4 ^ 4 12' ' ^ 2 2; ~ 18
Отсюда IDE К = arccos ^.
Вопрос. Как изменится решение рассмотренной задачи, если
через точку М проводить прямую, параллельную DE1
1.4. В пункте 2.4 главы 11 было доказано, что если две
пересекающиеся прямые а и Ь перпендикулярны и соответственно
параллельны двум пересекающимся прямым га и п, то прямые га и п также
перпендикулярны.
Верно следующее общее утверждение.
Если две пересекающиеся прямые а и b соответственно параллельны
пересекающимся прямым тип, то угол между прямыми шип равен
углу между прямыми а и Ь.
Из этого утверждения следует, что определение угла между
скрещивающимися прямыми корректно, то есть не зависит от выбора пе-

140
Глава 5. Углы в пространстве
ресекающихся прямых, соответственно параллельных заданным
прямым.
Вопрос. Как доказать утверждение, сформулированное в этом
пункте?
Контрольные вопросы и задания
1. Как определяется величина угла между пересекающимися
прямыми?
2. Какие прямые называются параллельными?
3. Чему равен угол между параллельными прямыми?
4. Какие прямые называются скрещивающимися?
5. Как определяется угол между двумя прямыми в пространстве?
6. Какие прямые в пространстве называются перпендикулярными?
Задачи и упражнения
1. Центр нижнего основания куба соединен прямыми с четырьмя
вершинами верхнего основания. Определите углы между парами
этих прямых.
2. Точка К — середина ребра АА\ куба ABCDA\B\C\D\. Найдите
угол между прямыми: а) В К и С{В; б) В К и D\A\ в) ВК и А\С\.
3. Точка М — середина ребра BD правильного тетраэдра ABCD.
Найдите угол между прямыми AM и ВС.
4. В правильной треугольной призме АВСА\В\С\ известно, что
\АВ\ = |Aii4|>/5. Найдите угол между прямыми В\А и С\В.
5. Точка М — середина ребра А\В\ куба ABCDA\BiC\D\, а точка
N — центр грани АА\В\В. Найдите угол между прямыми МD
nCN.
6. Пусть SABC — правильный тетраэдр, точка М — центр его
основания ABC, точка К — середина ребра BS, точка L —
середина ребра АС. Найдите угол между прямыми: a) SA и ВС;
б) SA и СМ; в) SA и СК\ г) АК и ВС; д) АК и SL; е) AM и
KL.

§ 1. Угол между двумя прямыми в пространстве
141
7. В правильном тетраэдре ABCD отрезок MN соединяет
середину ребра AD с центром грани BCD, а отрезок PQ соединяет
середину ребра CD с центром грани ABC. Найдите угол между
прямыми МN и PQ.
8. Все ребра правильной четырехугольной пирамиды SABCD
имеют одинаковую длину. Найдите углы между прямыми: a) AM и
BN, где М и N — середины ребер SB и SC соответственно; б)
SP и BN, где Р — середина ребра АВ.
9. Прямые а и b пересекаются в точке Р под углом </?. Луч d с
началом в точке Р образует с прямой а угол а. Можно ли по
этим данным найти угол между лучом d и прямой 6?
10. Какую фигуру образуют лучи АХ, составляющие с
фиксированным лучом АВ данный угол?
11. В тетраэдре ABCD углы DAB и ABC прямые, угол между
прямыми АВ и CD равны a, 2AD = CD = ВС. Найдите угол между
прямыми AD и ВС.
12. На скрещивающихся прямых а и b даны соответственно точки А
и С, В nD так, что а ± АВ, b ± АВ, 2АС = 2BD = 2АВ = CD.
Найдите угол между прямыми а и 6.
13. Точки М и N — середины ребер ВС и AD тетраэдра ABCD, в
котором АС = BD, а угол между прямыми АС и BD равен а.
Какова величина угла между прямыми MN и АС? Найдите все
решения этой задачи.
14. Пусть прямая с является проекцией прямой а на плоскость^/?,
кроме того, прямая 6 лежит в плоскости /3. Пусть </> = (а; 6);
ф = (а\с); х — ike)- Докажите, что cos<^> = (cos^) • (cos*)-
15. Какую линию описывают середины равных отрезков, концы
которых "скользят" по взаимно перпендикулярным прямым бис?
16. Даны три попарно скрещивающиеся прямые. В каком случае
существует прямая, пересекающая эти три данные прямые?

142
Глава 5. Углы в пространстве
§ 2. ДВУГРАННЫЕ УГЛЫ
ш
А
"1
[в_
01
71
D
2.1. Выбирая в многограннике две
соседние грани, имеющие общее ребро, мы
получаем пространственную фигуру —
часть двугранного угла. Например, в кубе
ABCDAyBiCiDx грани ABBXA\ и ABCD
с общим ребром А В образуют часть
прямого двугранного угла (рисунок 1).
В общем случае двугранный угол
определяется следующим образом.
Фигура, образованная двумя
полуплоскостями а и 0 с общей границей а
называется двугранным углом.
В этом определении прямая а называется ребром двугранного угла,
полуплоскости а и Р называются гранями двугранного угла.
Двугранный угол можно обозначить, указав сначала точку в одной
грани, затем две точки на ребре и после этого точку во второй
грани. Например, двугранный угол, изображенный на рисунке 1, можно
обозначить как А\АВС.
Две различные полуплоскости с общей
границей разбивают пространство на две
части. Иногда к двугранному углу
добавляют одну из этих частей и называют ее
внутренностью двугранного угла.
Например, рассматривая двугранный угол
пирамиды SABC, удобно считать, что этот
двугранный угол целиком содержит
пирамиду.
Плоскость с проведенней на ней
прямой а можно считать "развернутым"
двугранным углом с ребром а.
В отдельных случаях полуплоскость также удобно считать
"нулевым" двугранным углом с совпадающими гранями.
Вопрос. Сколько можно указать двугранных углов, имея две раз-

§ 2. Двугранные углы
143
личные пересекающиеся плоскости?
2.2. Двугранный угол можно определить также как пересечение
двух полупространств, границы которых не параллельны. При таком
определении внутренними точками являются те точки двугранного
угла, которые не лежат на его гранях.
Вопрос. Как доказать, что при определении из данного пункта
двугранный угол — выпуклая фигура?
2.3. Для измерения двугранного угла используют его линейный
угол.
Пусть а и р — грани двугранного угла с ребром а. Для построения
его линейного угла выберем на ребре а точку С и проведем
перпендикулярно прямой а в полуплоскости а луч С А и в полуплоскости /?
луч С В (рисунок 3). Построенный угол АС В и называется линейным
углом данного двугранного угла.
Выбрать на ребре точку и провести из нее в гранях лучи
перпендикулярно ребру можно по-разному (рисунок 4). Однако в дальнейшем
будет доказано, что величина линейного угла не зависит от выбора его
вершины на ребре. Поэтому величина двугранного угла определяется
как величина его произвольного линейного угла.
Пример 1. Дана правильная
четырехугольная пирамида SABCD с ребром
основания АВ = 2 см и высотой SH = 3
см. Найти величину двугранного угла
между гранями SAB и ABCD.
Решение. Проведем из точки Н
перпендикуляр НМ к ребру АВ (рисунок 5). То-
D
А

144
Глава 5. Углы в пространстве
гда по теореме о трех перпендикулярах SM J_ АВ. Следовательно,
LSMH — линейный угол двугранного угла пирамиды с ребром АВ.
Из прямоугольного треугольника SMH находим tgy? = tg IS МН =
= -Шт = | = 3. Отсюда у? = arctg3.
Вопрос. Какую величину в рассмотренном примере имеет угол
между гранями SAB и SCD?
2.4. Рассмотрим двугранный угол с
ребром а, отличный от развернутого.
Пусть IMNK его линейный угол
(рисунок 6). Тогда MN _L a, NK J_ а, а
поэтому плоскость MNK перпендикулярна
прямой а.
С другой стороны, возьмем двугранный
угол и проведем перпендикулярно его
ребру плоскость 7- В пересечении плоскости
7 с гранями двугранного угла получим
лучи, перпендикулярные ребру. Следовательно, плоскость,
перпендикулярная ребру двугранного угла, пересекает двугранный угол по его
линейному углу.
Таким образом, линейный угол двугранного угла можно
определить как угол, образованный при пересечении двугранного угла с
плоскостью, перпендикулярной его ребру. Такое определение
линейного угла эквивалентно определению из предыдущего пункта.
Вопрос. Как определить прямой двугранный угол?
2.5. Наличие перпендикуляра к одной
из граней двугранного угла часто
упрощает построение линейного угла.
Пусть задан двугранный угол с
гранями а и /3 и ребром а. Допустим, что
прямая m перпендикулярна плоскости а и
пересекает плоскости а и /З^в различных
точках М и К (рисунок 7). Проведем из
точки М перпендикуляр МН к прямой о.
Прямая МН является ортогональной
проекцией прямой МК на плоскость а. И так

§ 2. Двугранные углы
145
как МН J_ а, то КН ± а. Следовательно, LKHM — линейный для
данного двугранного угла.
Пример 2. В кубе ABCD A\B\C\D\ с ребром а точка М середина
ребра CD, Найдем величину двугранного угла С\АМВ.
Решение. Ребром искомого двугранного угла является прямая AM,
а гранями — полуплоскости а = АМС\ и /? = AM В с границей AM
(рисунок 8). Заметим, что ребро С\С перпендикулярно грани /?,
причем прямая СС\ пересекает а в точке С\ и /? в точке С. Проведем
СН J_ AM и, соединив точки С\ и Н, получим линейный угол С\НС
искомого двугранного угла.
ш
Для вычислений рассмотрим плоскость ABCD (рисунок 9). Так
как СН ± АН, то АСМН ~ ДАШ), причем <р = LMCH = IMAD.
Поэтому tg<^> = ^ = 1, cos<p = 2 , СЯ = CMcostp = Щ, tgldHC =
^^ = \/5. Поэтому искомый двугранный угол равен arctg у/Ъ,
Вопрос. Чему равен линейный угол двугранного угла C\BDC?
2.6. Величину двугранного угла
можно определить, имея перпендикуляры
к его граням. Для простоты рассмотрим
случай, когда перпендикуляры к граням
проводятся из точки ребра двугранного
угла.
Пусть точка М лежит на ребре а
двугранного угла с гранями а и /3
(рисунок 10). Построим луч МА перпендику-
Р/
м

146
Глаза 5. Углы в пространстве
лярно а и луч MB перпендикулярно Р
таким образом, что МА и (3
расположены по разные стороны относительно a, a
MB и а расположены по разные
стороны относительно (3. Так как MA _L а, и
MB 1 /3, то MA ± а и МБ ± а.
Поэтому МЛВ J. а. Отсюда следует, что
плоскость МАВ пересекает грани а и (3 по
линейному углу LMZf (рисунок 11),
причем MA ± МК, MB JL ML. Значит,
IAMB + Zi^ML = 180°. Следовательно,
вычислив угол IAMB, мы сможем найти
и линейный угол двугранного угла.
Вопрос. Как провести перпендикуляры к граням двугранного
угла, чтобы угол между перпендикулярами был равен линейному
углу?
2.7. Две различные плоскости а и /3, пересекающиеся по прямой
а, разбивают пространство на четыре части. Поэтому можно говорить
о четырех двугранных углах, соответствующих этим частям. Проведя
плоскость 7 перпендикулярно прямой а, в пересечении с плоскостями
а и (3 мы получим пересекающиеся прямые тип, перпендикулярные
прямой а (рисунок 12).
Лучи прямых типе началом А
образуют линейные углы четырех
двугранных углов, получившихся при
пересечении плоскостей а и /?. При пересечении
прямых тип можно говорить о смежных
и вертикальных углах. Поэтому
двугранные углы называют смежными, если
соответственные линейные углы с общей
вершиной являются смежными; двугранные
углы называют вертикальными, если
соответственные линейные углы
вертикальны.
Вопрос. Чему равна сумма величин двух смежных двугранных
углов?

§ 2. Двугранные углы
147
2.8. В пространстве между любыми двумя плоскостями
определяют угол, который может принимать значение из промежутка [0°; 90°]
в градусной мере и из промежутка [0; |] в радианной мере.
По определению угол между двумя параллельными плоскостями
считают равным нулю. Напомним, что две совпадающие плоскости
иногда также удобно считать параллельными.
В остальных случаях угол между двумя плоскостями определяется
следующим образом.
Углом между двумя различными пересекающимися плоскостями
называется величина наименьшего из четырех образовавшихся при
пересечении двугранных углов.
Иногда угол между плоскостями а и /3 обозначают через (а;/3).
Пример 3. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA\B\C\D\
заданы ребра АВ = 4, AD = 5 и АА\ = 1. Найдем угол между
плоскостями A\BD и C\BD.
Решение. Заметим, что двугранные углы ABDA\, AiBDCi, C\BDC
вместе составляют развернутый угол, поэтому их сумма равна 180°.
Для вычисления величины угла ABDA\
проведем АН ± BD (рисунок 13). Тогда
по теореме о трех перпендикулярах
А\Н J- BD. Следовательно, угол LAHA\ -
линейный для двугранного угла ABDA\.
По теореме Пифагора вычислим BD =
= у/АВ2 + AD2 = л/41. Далее, так как
АН • BD = АВ • AD, то АН = ±£ = Ж.
V41 v41
После этого из прямоугольного
треугольника АА\Н находим tg LАНА\ = tg^> =
- Mi - ^31
" Ш - 20 '
Аналогично получается, что величина двугранного угла C\BDC
также равна (р. Поэтому угол 7 между плоскостями A\BD и C\BD
равен либо 7г - 2<р, если 7г - 2<р меньше |, либо 2у>. Так как
в,
ran
с,
Ли
/X fl
'VIZ***
tg2y> =
2tgy? л/41/10 4(h/4l
1 - tgV 1 - 41/100
359
>0,
то 7 = 2ip.

148
Глава 5. Углы в пространстве
Из приведенного решения следует, что ответ можно записать либо
как 7 = 2 arctg *^у либо как -у = arctg ^59 •
Вопрос. Как в рассмотренном примере изобразить линейный угол
двугранного угла A\BDC\ ?
2.9. Изучая перпендикулярность плоскостей, мы определили, что
плоскость а перпендикулярна плоскости /3, если а проходит через
прямую а, перпендикулярную плоскости /?.
С помощью углов между плоскостями можно дать другое
определение перпендикулярности плоскостей.
Две плоскости называются перпендикулярными, если угол между
ними равен 90°.
Вопрос. Пусть плоскость а проходит через прямую о,
перпендикулярную плоскости /3, и пересекает (3 по прямой тп. Как построить
линейные углы образующихся двугранных углов?
2.10. Докажем, что определения перпендикулярности
плоскостей из пункта 4.1 главы 11 и из пункта 2.9 данной главы
эквивалентны.
cm us
/ часть. Пусть плоскость а пересекает плоскость (3 по прямой т
и проходит через прямую а, перпендикулярную (3. Проведем в
плоскости (3 прямую 6 перпендикулярно прямой т (рисунок 14). Так как
а ± /?, то a A. b и а ± т. Следовательно, a _L m, b JL га, а поэтому
прямые а и 6 определяют линейные углы образующихся при пересечении
плоскостей а и /3 двугранных углов. Из перпендикулярности прямых
а и 6 следует, что угол между плоскостями а и /3 равен 90°.
// часть. Пусть угол между плоскостями а и /3 равен 90°. Тогда
в плоскостях а и (3 можно провести прямые р и q перпендикулярно

§ 2. Двугранные угли
149
линии тп пересечения а и /3. При этом р J_ q (рисунок 15). Так как
р ± т и р ± q, TopJL/З. Следовательно, плоскость а проходит через
прямую р, перпендикулярную плоскости /3.
Вопрос. В каком случае через две данные точки можно провести
единственную плоскость, перпендикулярную заданной плоскости?
2.11. Когда прямая т перпендикулярна плоскости а, то т
перпендикулярна каждой прямой плоскости а. Иное наблюдается, если
рассмотреть две взаимно перпендикулярные плоскости.
Пусть плоскости а и (3 перпендикулярны и пересекаются по прямой
га. Тогда из точки М прямой т можно так провести лучи
соответственно в плоскостях а и /?, что угол между ними принимает
произвольное значение от 0° до 180°. Например, на рисунке 16 изображен
угол AM В, величина которого мало отличается от 0°, а на рисунке 17
изображен угол CMD, величина которого мало отличается от 180°.
Таким образом, две произвольно выбранные прямые двух
перпендикулярных плоскостей не обязаны быть перпендикулярными.
Вопрос. Пусть прямая а лежит в плоскости а, прямая Ь лежит
в плоскости /3 и a J_ /?. Как доказать, что если а ± 6, то либо a J. /J,
либо b _L а?
Контрольные вопросы и задания
1. Что такое двугранный угол?
2. Как определяется внутренность двугранного угла?
3. Какая фигура называется "нулевым" двугранным углом?
4. Как построить линейный угол двугранного угла?

150
Глава 5. Углы в пространстве
5. Какие двугранные углы называются смежными?
6. Какие двугранные углы называются вертикальными?
7. Чему равен угол между параллельными плоскостями?
8. Как определяется угол между различными пересекающимися
плоскостями?
9. Сформулируйте два определения перпендикулярности
плоскостей.
Задачи и упражнения
1. Найдите величину двугранного угла между соседними гранями
правильного тетраэдра.
2. Найдите величину двугранного угла между основанием и
боковой гранью правильной четырехугольной пирамиды, у которой
все ребра равны.
3. Найдите величину двугранного угла между соседними боковыми
гранями правильной четырехугольной пирамиды, у которой все
ребра равны.
4. SABCD — правильная четырехугольная пирамида, у которой
высота SH = б, ребро основания АВ = 4. Найдите величину
двугранного угла BSAC.
5. В правильной треугольной пирамиде угол между боковой гранью
и плоскостью основания равен <р, ребро основания равно га.
Найдите: а) расстояние от вершины пирамиды до основания; б)
расстояние от вершины основания до боковой грани.
6. В кубе ABCDA\B\C\D\ через вершину В и середины ребер СС\
и A\D проведена плоскость а. Найдите угол между плоскостями
а и ABCD.
7. Основание правильной треугольной призмы ABCА\В\С\ —
треугольник ABC со стороной 6, боковые ребра равны 4. Точка Е
лежит на ребре АА\ и АЕ — 1, точка F лежит на ребре ВВ\ и
BF = 2, точка G лежит на ребре СС\ и CG = 3. Найдите угол
между плоскостями ABC и EFG.

§ 2. Двугранные углы
151
8. Основание правильной четырехугольной пирамиде SABCD —
квадрат ABCD со стороной 2, высота пирамиды равна 4.
Точки М и К — середины ребер BS и CD. Найдите угол между
плоскостями AM К и ABCD.
9. Какой фигурой является множество биссектрис всех линейных
углов данного двугранного угла?
10. Как вычислить величины двугранных углов массивной
треугольной призмы, если замеры можно делать только на ее
поверхности?
11. Дан тетраэдр. Как вычислить величины его двугранных углов,
если доступна для измерения только внешняя поверхность
тетраэдра?
12. Пусть А и В — точки на ребре двугранного угла величиной в
120°, АС и BD — перпендикуляры к ребру, лежащие в разных
гранях. Определите длину С£), если АВ = б, АС = 3, BD = 2.
13. В кубе ABCDA\B\C\D\ точки М и К середины ребер СС\ и
A\D\. Найдите угол между плоскостями ВМК и ABCD.
14. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона
основания ABCD равна 1, высота пирамиды равна 2. Точки М и N —
середины ребер SB и SD. Определите угол между плоскостями
AMN и ABCD.
157 В основании треугольной пирамиды ABCD лежит правильный
треугольник ABC со стороной 1. Ребро AD перпендикулярно
плоскости основания, AD = 1. Точка М — середина ребра BD.
Через прямую МС параллельно высоте АН треугольника ABC
проведена плоскость а. Определите угол между плоскостями а
nABD.
16. Основанием прямой треугольной призмы АВСА\В\С\ служит
треугольник ABC, в котором АВ = а, АС = 2а, /.ВАС = 120°.
Высота призмы равна а. Найти площадь сечения призмы
плоскостью, которая делит пополам двугранный угол с ребром АВ.
17. В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит
равнобедренная трапеция с острым углом 60° и основаниями АВ = 2а
и CD = о. Грань SCD перпендикулярна плоскости основания

152
Глава 5. Углы в пространстве
187
19Т
20.
и является правильным треугольником. Через вершины А и С
проведена плоскость а, параллельная SD. Определите угол
между а и ABCD.
Через главную диагональ куба с ребром а проведена плоскость,
составляющая угол 60° с одной из граней. Найдите площадь
сечения куба этой плоскостью.
Дан куб с ребром а, основанием ABCD и боковыми ребрами АА\,
ВВ\, СС\, DD\. Через BD\ проведена плоскость, образующая
угол 30° с плоскостью BB\D\D. Найдите площадь
получившегося сечения.
В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит квадрат
ABCD со стороной 1, ребро SB перпендикулярно основанию,
SB = 2. Через вершину D и середину М ребра AS проведена
плоскость, пересекающая ребро А В и образующая равные углы
с плоскостями граней SAB и ABCD. Найдите величины этих
углов.
§ 3. УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ и плоскостью
3.1. При определении угла между прямой и плоскостью особо
выделяют два частных случая.
Первый случай. Если прямая а параллельна плоскости а, то угол
между ними по определению равен 0°. В частности, угол между
плоскостью и любой прямой в этой плоскости также равен 0°.
Второй случай. Если прямая а перпендикулярна плоскости а, то
угол между ними по определению равен 90° или | радиан.

§ 3. Угол между прямой и плоскостью
153
Вопрос.
кости?
Как определяется перпендикулярность прямой и плос-
3.2. Прямую а, которая не
параллельна и не перпендикулярна данной
плоскости Q, иногда называют наклонной.
Ортогональной проекцией прямой а на
плоскость а называется проекция прямой а в
направлении, перпендикулярном
плоскости а. Из свойств параллельного
проектирования следует, что ортогональной
проекцией наклонной а на плоскость а
является прямая плоскости а.
Углом между наклонной прямой а и плоскостью а называется угол
между прямой а и ее ортогональной проекцией на плоскость а.
Таким образом, для вычисления угла между наклонной прямой и
плоскостью требуется умение проводить перпендикуляры к
плоскости.
Пример 1. В кубе ABCDA\BxC\D\ точка М — середина ребра
В\С\. Найдем угол между прямой AM и плоскостью BB\D\D.
в,
м
Г •'! л*"
: /ф'Л
\:,ув --.л-
Л
7
V
m
ус
A D
Решение. Обозначим ребро куба через а. Для построения проекции
прямой AM на плоскость BB\D\D заметим, что проще всего
построить проекцию точки А. Действительно, так как AC JL BB\D\D, то
проекцией точки А является точка Я пересечения АС и BD
(рисунок 4). После этого построим точку F пересечения прямой AM с
плоскостью BB\D\D (рисунок 5).

154
Глава 5. Углы в пространстве
В результате получаем, что проекцией прямой AM на плоскость
BB\D\D является прямая FH, угол <р = LAFH есть искомый угол,
который можно найти из прямоугольного треугольника AFH. Далее
проводим вычисления: АН = \АС = ^, ЛМ2 = АЯ2 4- ВХМ2 = ^,
AM = ^, AF : FM = AD : ВХМ = 2 : 1, AF = |ЛМ = ^,
~:n tn — АН — (a^2\ ■ (д^.\ — hH — 3 ,л _ ЯГГо{п 3
sin v - -aw - 1-5-) • 1-§-) - ^/5 - 7!о' ^ " aiC5m ТТо-
Вопрос. Откуда следует, что треугольник AFH прямоугольный?
S
3.3. Рассмотрим следующую задачу о вычислении угла между
прямой и плоскостью.
Пример 2. В правильном тетраэдре SABC плоскость а проходит
через вершины 5, С и середину М ребра АВ, плоскость /3 проходит
через вершину В и середины К и L ребер SA и SC соответственно.
Плоскости а и (3 пересекаются по прямой /. Найти угол между прямой
/ и плоскостью ABC.
Решение. Обозначим ребро тетраэдра
через а. Плоскость CMS пересекает
плоскость ABC по прямой СМ, а плоскость
BKL пересекает плоскость ABC по
прямой т, параллельной KL (рисунок 6).
Точка N пересечения прямых СМ и m
является одной общей точкой, точка L —
другой общей точкой плоскостей а и /3.
Следовательно, прямая ML и есть прямая
/, о которой говорится в условии. Опустим
из точки L перпендикуляр LP на
плоскость ABC. Так как LP параллельна
высоте SH тетраэдра, то точка Р лежит на
МС, причем СР = \СН = \СМ.
Таким образом, угол ф = LLNP есть искомый угол. Для его
вычисления находим: СМ = ^, СН = 2GS£ = *&, SH = y/SC2 - СЮ =
= <ф, LP = Ш. = *&^ CN = 2СМ = ay/3, СР = ^ = fi^I, NP =
= CN - СР = ^, tgp = j& = (*#) : (^) = *?,¥> =
arctg^.

§ 3 Угол между прямой и плоскостью
155
Вопрос. Откуда следует, что плоскость BKL пересекает
плоскость ABC по прямой, параллельной KLI
**
3.4. Докажем, что угол между наклонной прямой а и
плоскостью а есть наименьший из всех углов, которые прямая а образует с
прямыми пучка прямых плоскости а, проведенными через точку
пересечения а и а.
Доказательство. Пусть А — точка
пересечения прямой а с плоскостью а,
и В — произвольная точка прямой а,
отличная от А. Проведем в плоскости
а через точку А произвольную прямую
т. Затем построим ВН _L а и ВЫ JL т
(рисунок 7). Заметим, что если прямая т
не проходит через точку Я, то точка М
не совпадает с точкой Н. Тогда отрезок
ВЫ является наклонной к плоскости а,
а поэтому длиннее перпендикуляра ВН.
Следовательно, sin LB AM = Щ^ > ^ =
= sin IB АН.
Так как при определении угла между прямыми рассматриваются
углы от 0° до тг, то из неравенства sin IB А М > sin IB АН следует
неравенство IB AM > LB АН.
Вопрос. Пусть прямая а — наклонная к плоскости а. Как
построить в плоскости а прямую 6, образующую с прямой а наибольший
угол?
Контрольные вопросы и задания
1. Что называют ортогональной проекцией фигуры на данную
плоскость?
2. Как определить угол между прямой и плоскостью?
3. Что такое арксинус?
**
4. Докажите, что угол между прямой а и плоскостью а —
наименьший из всех углов, образуемых прямой а с прямыми плоскости
а.

156
Глава 5. Углы в пространстве
Задачи и упражнения
1. Ребра основания прямоугольного параллелепипеда а = 4, b = 3,
высота параллелепипеда с — 5. Найдите его диагональ и угол
образуемый диагональю с плоскостью основания.
2. Под каким углом к плоскости надо провести наклонный отрезок,
чтобы его проекция была вдвое меньше самого отрезка?
3. Если в правильной треугольной пирамиде высота равна стороне
основания, то боковые ребра составляют с плоскостью основания
угол в 60°. Докажите это.
4. Найдите угол между ребром правильного тетраэдра и
плоскостью грани, не содержащей это ребро.
5. Найдите угол между ребром четырехугольной пирамиды и ее
основанием, если все ребра пирамиды имеют равную длину.
6. В правильной треугольной призме ABC А\В\С\ ребра А\А и АВ
равны. Найдите угол между диагональю В\А грани АА\В\В и
плоскостью АА\С\С.
7. В правильной четырехугольной призме ABCD A\B\C\D\
отношение длины бокового ребра АА\ к стороне основания ABCD равно
2. Найдите угол между диагональю D\B и плоскостью BC\D.
8. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD боковое
ребро BS образует с плоскостью основания угол j. Найдите угол
между этим ребром и плоскостью CDS.
9. Из точки А плоскости проведены по разные от нее стороны
отрезки AM и AN. Каждый из отрезков имеет длину а и образует
с плоскостью угол а. Угол между проекциями этих отрезков на
плоскость равен 2/3. Определите длину отрезка MN.
10. В плоскости а расположен отрезок АВ = о. Из точек А и В
проведены перпендикуляр AM и наклонная BN (по одну сторону
от плоскости), причем AM = BN — |а, MN = 2а, LABN — |.
Найдите угол между прямой МN и плоскостью а.
11. Найдите правильную призму ABCDA\B\C\D\ с основанием
ABCD, у которой угол между прямой D\B и плоскостью C\DB
наибольший.

§ 3. Угол между прямой и плоскостью
157
12. Плоскость равнобедренного треугольника образует с плоскостью
а, проходящей через его основание, угол у?. Угол при вершине
треугольника равен 2/3. Найдите угол между боковой стороной
этого треугольника и плоскостью а.
13. Через вершину А куба ABCDA\B\C\D\ проведена плоскость,
параллельная диагонали D\B куба и диагонали В\С его грани.
Найдите угол между этой плоскостью и диагональю АС.
14. В кубе ABCDA\B\C\D\ плоскость а проходит через вершины
D\, В\ и А. Плоскость /3 проходит через вершины А\,С\ и
середину М ребра ВС. Плоскости а и /3 пересекаются по прямой /.
Найдите угол между прямой I и плоскостью грани ABCD.
15. Сторона основания ABCD правильной четырехугольной
пирамиды SABCD равна 1, ее высота равна 2. Плоскость а проходит
через вершины Л, S и середину М ребра ВС. Плоскость /3
проходит через вершину В и точки К и L — середины ребер AS и
CS. Плоскости а и /3 пересекаются по прямой /. Найдите угол
между прямой / и плоскостью основания ABCD.
16. В кубе ABCDA\B\C\D\ точки М и К — середины ребер АВ и
В\С\. Найдите угол между прямой МК и плоскостью A\B\CD.
177 В основании пирамиды SABC лежит правильный треугольник
ABC со стороной 2, ребро SA перпендикулярно плоскости
основания, SA = \/3, точка К — середина ребра ВС. Плоскость а
проходит через прямую SC и параллельна прямой АВ.
Определите угол между прямой АК и плоскостью а.
18. В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит
прямоугольник ABCD со сторонами АВ = 3, ВС = 2. Боковые ребра
пирамиды имеют одинаковую длину, ее высота равна 3.
Определите угол между медианой DM грани SCD и плоскостью грани
SAB.
19. В основании треугольной призмы лежит прямоугольный
треугольник ABC, катеты АВ и АС которого равны а. Боковые
ребра АА\, ВВ\, СС\ образуют с плоскостью основания угол 60°,
а диагональ ВС\ боковой грани СВВ\С\ перпендикулярна
ребру АС. Найдите расстояние между основаниями призмы, если
ВС = ал/6.

158
Глава 5. Углы в пространстве
20. Прямоугольный параллелепипед с высотой, равной о, имеет в
основании прямоугольник со сторонами а и а>/3. Через одну из
диагоналей основания проведена плоскость, составляющая угол
30° со второй диагональю основания. Найдите площадь сечения
параллелепипеда этой плоскостью.

ИССЛЕДОВАНИЕ
ФУНКЦИЙ
6
глава
В этой главе мы рассмотрим приближения функций линейными
функциями, приведем важную теорему Лагранжа о среднем,
установим связь производной с возрастанием и убыванием функции. Будут
указаны основные этапы исследования функций, рассмотрены
примеры построения графиков функций и примеры задач на нахождение
наибольших и наименьших значений.
§ 1. ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА 0 СРЕДНЕМ
1.1. При изучении функций мы несколько раз говорили о
касательных. Это не случайно. Касательная является прямой, которая
лучше всего приближается к графику функции вблизи точки касаг
ния. Уравнение касательной представляет из себя линейную
функцию. Оказывается, что вблизи точки касания значения этой линейной
функции дают достаточно хорошие приближения для значений самой
функции. Уточним это на примере.
Пример 1. Рассмотрим функцию
f{x) = у/х вблизи X = 1.
Уравнение касательной в точке с
абсциссой 1 имеет вид
y = f(l) + f'(l)(x-l).
Так как /(1) = 1, /'(*) = ^ /'(1) = £, 0|
У=-?+Ъ

160
Глава 6. Исследование функций
то уравнение касательной
у = 1 + 1(х-1)
(рисунок 1). Для дальнейшего отметим, что по определению
производной
v z->0 z 2
Для сравнения значений функций /(х) = у/х и д(х) = 1 + Ых — 1)
при х, близких к 1, обозначим z = х — 1, то есть х = 1 4- z.
Тогда /(х) = f\(z) = VI + *, 9(х) = 0i(*) — 1 + 22, Рассмотрим
разность /i(z) — ^1(2) = VI + 2 — (1 + \z) и обозначим ее <p(z) • z, то есгь
>/ГП-(1 + ^)
ZJl Z 1 = шп
VTTT —(14- ^z) = <p(z) • 2. Тогда lirn<^(z) = lim
_2_L -
-Ы3*?^-»-*-*-«•
z->0
Следовательно, ЦпкрЫ = 0. Поэтому
разность VI + 2-(l4-^z), равная z-<p(z),
при маленьких значениях z значительно
меньше, чем z (рисунок 2). Отсюда можно
получить приближенную формулу
vTT.
l + i,.
Возвращаясь к переменной х, при х,
близких к 1, приходим к приближенному
равенству:
V£«l + i(s-l),
причем ошибка мала по сравнению с (х — 1).
Аналогичные рассуждения можно провести для любой функции
/(х), имеющей производную в точке а, и получить, что при х, близких
к а,
f{z)*Ha) + f{a)(x-a),
причем ошибка мала по сравнению с (х — а). Это означает, что отно-

§ J. Теорема Лагранжа о среднем
161
шение
1(х)-(/М + ГШх-а))
х -а
стремится к нулю, когда х стремится к а.
Вопрос. Как доказать, что (14-я)3 « 1+Зя при х, близких к
нулю?
1.2. Для исследования функций важное значение имеет
следующая теорема.
Теорема Лагранжа. Пусть функция f(x) определена и непрерывна на
отрезке [а; Ь] и имеет производную в каждой точке интервала (а; 6).
Тогда найдется точка с из (а; Ь) такая, что
f(b)-f{a) = f'(c)-(b-a).
Теорема Лагранжа позволяет выразить через производную
разность значений функции в концах отрезка числовой прямой. Иногда
формулу Лагранжа
f(b)-Ha) = f'(c)-(b-a)
(1)
называют формулой конечных приращений.
Доказательство теоремы Лагранжа сложное и мы его
рассматривать не будем.
Вопрос. Как можно сформулировать теорему Лагранжа при уело-
вии f(a) = /(6)?
1.3. Формулу конечных приращений f(b) - f(a) = /'(с) • (b — а)
можно записать также в виде
/Чс) = Л^Ж. (2)
®
Левая часть полученного равенства /'(с) У
равна наклону касательной, проведенной
к графику функции f(x) в точке с
абсциссой х = с. Правая часть *^Za равна
наклону прямой, проходящей через
крайние точки (а; /(а)) и (6; /(b)) графика
Ь *

162
Глава 6. Исследование функций
функции f(x) на отрезке [а; Ь]. Равенство наклонов прямых означает,
что эти прямые параллельны. Поэтому геометрический смысл
теоремы Лагранжа состоит в том, что если функция f(x) определена на
отрезке [а; Ь] и имеет производную на интервале (а; 6), то найдется
такая точка графика функции /(х), что проведенная в этой точке
касательная параллельна хорде, соединяющей крайние точки функции
f(x) на отрезке [а; Ь] (рисунок 3).
Вопрос. Каков геометрический смысл теоремы Лагранжа при
условии /(а) = /(6)?
1.4. Теорема Лагранжа позволяет получить оценку абсолютной
погрешности приближенной формулы
/(*)«/(а)+ /'(<*)(*-а),
из пункта 1.1.
Пусть функция f(x) имеет производную в каждой точке некоторой
окрестности числа а. Тогда функция f(x) определена и непрерывна
в этой окрестности. Поэтому для любого х их этой окрестности на
отрезке с концами хна выполняются все условия теоремы Лагранжа.
Значит,
f(x)-f(a) = f(c)(x-a),
где с — некоторая точка между хна. Тогда \f(x)—f(a)—f'(a)(x—a)\ =
= \f'{c)(x - а) - f'(a)(x - а) | = \f(c) - f'(a)\ - \x - a\. Так как точка
с промежуточная между х и а, то число |/'(с) — f(a)\ не
превосходит наибольшего значения \f'(t) — /'(а)|, рассматриваемого для всех t
между х и а. Это и позволяет оценить погрешность указанной выше
формулы.
Пример 2. Оценить абсолютную погрешность формулы у/\ + х %
& 1 + ^х при 0 < х < ^.
Решение. Пусть f(x) = у/ТТх. Тогда f'(x) = 2j\ + v /'(1) = \ и
|/'(*)-/'(1)1 = |27пГ7 " Щ = 5-571+7 < 2~2.jl + i = 2~7е к V0'
Следовательно, \f'(0) — /'(1)| < ^ при любом 0 < с < ^. Поэтому
lvT+i-i-i»|<^|x|<^.

§ i. Теорема. Лагранжа о среднем
163
Вопрос. Какова абсолютная погрешность формулы у/\ + х « 1+
+±х при -1 < х < О?
1.5. Применим теорему Лагранжа для доказательства условий,
при которых функция строго монотонна на некотором промежутке.
Теорема. Если функция (х) имеет положительную производную в ка-
ждой точке промежутка D, то функция f(x) строго возрастает на этом
промежутке. Соответственно, если функция f(x) имеет
отрицательную производную в каждой точке промежутка D, то функция f(x)
строго убывает на этом промежутке.
Доказательство. Оба утверждения теоремы доказываются
аналогично, поэтому рассмотрим только первое из них. Пусть f(x) > О при
всех х € D. Возьмем две произвольные точки хг, Х2 из Z), такие что
х\ < Х'2- Тогда на отрезке [х\; х?\ функция f(x) определена, имеет
производную и поэтому непрерывна. Следовательно, можно применить
теорему Лагранжа и записать равенство /(#2) — f{xi) = f'(c)(x2 — х\).
Так как точка с лежит в интервале (х\\Х2) то она принадлежит
промежутку D, а поэтому /'(с) > 0. Из неравенства х\ < #2 следует,
что х2 — х\ > 0. Значит, /(хг) - /(si) = /;(c)(^2 - #1) > 0, то есть
f(x2) > /(#i)> нто и требовалось доказать.
1
1
-271 -я
1
К 271
Пример 3. Функция f(x) = Uxs 4- х)
определена, непрерывна и имеет
производную на всей числовой прямой. При
этом f(x) = х2 Н- i > 0 при всех х. Из
теоремы этого пункта следует, что функция
f{x) строго возрастает на всей числовой
прямой. График функции f(x) = Uxz+x)
выглядит примерно так, как изображено
на рисунке 4.
Вопрос. Как доказать второе
утверждение теоремы из этого пункта?
Контрольные вопросы и задания
1. Сформулируйте теорему Лагранжа.
2. В чем состоит геометрический смысл теоремы Лагранжа?
н

164
Глава 6. Исследование функций
3. Как оценить погрешность приближений формулы /(х) « /(а)+
+/'(а)-(*-в)?
4. Сформулируйте и докажите теорему о строгом возрастании
функции на промежутке.
5. Сформулируйте и докажите теорему о строгом убывании
функции на промежутке.
Задачи и упражнения
1. Найдите производную от функции /(х) и значение производной
при х = а, если:
a) f{x) = (х + l)6, a = -2; б) Дх) = sin Зх, a = |;
в) /(х) = е~2х, о = 4; г) /(х) = arctg2x, a = 1;
д)* /(х) = Ух^Т9,а = 4; е)* /(х) = cos2 2х, а = ^;
ж)** /(х) = \/l+sin2x, а = ^
з)** Дя) = cos(arcsinx), а = ^;
иГ/(^) = 1п^а=1;
к)** /(х) = 1п(х + л/х^ТТ), а = §.
2. Составьте уравнение касательной к графику функции /(х) в
точке с абсциссой а, если:
а) Дх) = (х - 2)2, a = 4; б) /(х) = х3 - х2 + х - 1, a = -1;
в) Дх) = хЛ/х1о = 4; г) Дх) = ^гр Q = 1;
д)* /(х) = >/2хТЗ, a = 3; е)* /(х) = n/T^, a = -2;
ж)** /(х) = cos3x, a = ^; з)** /(х) = 2я, a = 2.
3. Для приближенной формулы /(х) « /(a) + f'{a) • (х — а) оцените
погрешность при |х — а| < 6, если:
а) Дх) = х2, a = 2, Ь = 0,5;
б) /(х) = sinx, a = 0, 6 = 0,1;
в) Дх) = ^х, о = 8, Ь = 1;
г) Дх) = ln(l + х), a = 0, 6 = ОД.
4. Найдите промежутки возрастания и промежутки убывания для
функции:
а)/(х)=х3-2х2; б) Дх) = х + 1; в) Дх) = ^;
г)/(х)=хх-12; д)/(х) = ^1; е)Дх) = ^.

§ 2. Основные этапы исследования функций
165
§ 2. ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
ФУНКЦИЙ
2.1. При изучении функций мы неоднократно использовали их
геометрическое изображение — графики. Обозримость и наглядность
графика делают его незаменимым вспомогательным средством
исследования функции.
Заметим, что графики функций изображают примерно, передавая
общий вид и характерные особенности поведения функций. При
необходимости в каждой конкретной точке можно вычислить значение
функции и проверить соответствие с рисунком графика. Заметим, что
некоторые свойства графика являются результатом предварительного
исследования. Такие свойства графика не нуждаются в
доказательстве. Однако, некоторые свойства графика подсказывает сделанный
рисунок. В этом случае замеченная закономерность нуждается в
доказательстве.
Способ построения графика по точкам, который применялся
начиная с младших классов, нельзя считать совершенным.
Дело в том, что мы можем вычислить
значения функции даже в большом коли-
честве точек, но этих значений может ока- j |
заться мало для правильного представле-
ния о характере поведения функции. На- t
пример, предположим, что мы по точкам -2я -я
строим график функции у = 1 + sin 12х.
Перебирая значения х = 0, х = ±£; х = ±
±|; х = ±|; х = ±^; х = 2А:7Г и так далее,
мы каждый раз будем получать значение,
равное 1. Отсюда можно вообразить, что
графиком функции у = 1 + sin \2х
является прямая у = 1 (рисунок 1). Однако,
это неверно, потому что более детальное^
исследование приводит к графику, изобра- -5 ""?"?? f \
женному на рисунке 2.
Чтобы построить график функции,
отражающий основные закономерности ее
поведения, необходимо провести иссле-
2я

166
Глава 6. Исследование функций
дование функции. Такое исследование обычно проводят в несколько
этапов.
Вопрос. Какое предположение можно сделать, если вычислить
значения функции у = х2(х2 — 1)(х2 — 4)(х2 — 9) при х = 0, х = ±1,
х = ±2, х = ±3?
2.2. Первым этапом исследования функции можно считать
нахождение ее естественной области определения и промежутков
непрерывности. За редким исключением будут рассматриваться такие
функции, которые непрерывны на всей области определения. Каждый
случай наличия разрывов будет оговариваться особо.
На графике свойство непрерывности
L5J функции отражается в том, что на ка-
У\ ждом из промежутков области опреде-
I ления график изображается неразрывной
\ линией.
\ Например, функция у = ! определена
1J \^ при х ф О и непрерывна в каждой точ-
jce области определения. Это приводит к
х тому, что график функции у = -
изображается двумя линиями (рисунок 3).
Вопрос. Каким числом неразрывных
линий изображается график функции у =
_ X2 - 4 9
х(хг - 1) '
2.3. Еще один этап исследования функции состоит в нахождении
нулей и промежутков знакопостоянства.
Нулями функции f(x) называют решения уравнения f(x) = 0.
Каждому нулю функции соответствует точка графика, ордината которой
равна нулю. Каждая такая точка лежит на оси абсцисс. Поэтому
нули функции позволяют определять пересечение графика с осью Ох.
Решая неравенство f(x) > 0, мы получаем значения ж, при которых
значения функции положительны. Поэтому ординаты
соответствующих точек графика положительны и такие точки лежат в
полуплоскости у > 0. Каждый из промежутков, на котором значения функции
f(x) положительны, иногда называют промежутком положительно-
сти функции f(x).
Л

§ 2. Основные этапы исследования функций 167
Аналогично, решая неравенство f(x) < О, мы получаем
промежутки отрицательности функции f(x).
Вместе промежутки положительности и промежутки
отрицательности иногда называют промежутками знакопостоянстеа функции
я*)-
Пример 1. Рассмотрим функцию у = х^х ~ *. Эта функция
определена при х Ф —1.
Решая уравнение х*х~ ' = 0, получаем х\ = 0, х% = 1. В точках с
такими абсциссами график пересекает ось Ох,
Решая неравенство х'х ~ ' > 0, получаем множество (—1;0)U(1; оо).
Промежутки (—1;0) и (1;оо) являются промежутками
положительности f(x). Решениями неравенства х*х ~' < О являются все
оставшиеся точки области определения, то есть точки множества (—оо; —1)U
U(0; 1). Промежутки (—оо; —1) и (0; 1) являются промежутками
отрицательности /(х).
Проведенное исследование позволяет
поставить две точки (0;0) и (1;0) графика
и отметить те области, в которых лежат
оставшиеся точки графика (рисунок 4).
Вопрос. Какие нули, промежутки
положительности и промежутки
отрицательности имеет функция у = х3 — х?
2.4. Бще один этап исследования
функции состоит в установлении характера
поведения функции вблизи граничных точек
области определения.
Пример 2. Рассмотрим функцию f(x) = *2( * у Она
определена на множестве (—оо; 0)U(0; 1)U(1; оо). Граничными точками области
определения являются числа 0 и 1, которые не входят в область
определения, но являются концами промежутков, на которых функция
определена.
Для исследования поведения функции вблизи точки 0 нужно
рассмотреть два случая.
I случай. Возьмем достаточно близкое к нулю отрицательное зна-

168
Глава 6. Исследование функций
чение х и вычислим f(x). Например, при х = —0,001 имеем
/<») = /(-0,001) - (_0,001)a(i0>001 _ г) = -ДЩ.
Это значение отрицательно, причем мало отличается от числа
— 1000000. Выбирая более близкое к нулю отрицательное значение
х, мы получим еще большее по модулю отрицательное значение f{x).
Про такую особенность поведения функции f(x) говорят, что при х,
стремящемся к нулю слева, значения /(х) стремятся к "минус
бесконечности" . Символически это можно записать в следующем виде:
f(x) —> —оо при х < 0
0.
т
ш
Геометрически полученная особенность
означает, что по мере приближения
переменной х к нулю слева, точки графика
приближаются к оси Оу в ее
отрицательном направлении (рисунок 5).
II случай. Возьмем достаточно близкое
к нулю положительное х и вычислим f(x).
Например, при х = 0,02 получим f(x) =
- Ди,и^ - (0j02)^(0,02 - 1) - (4-0,98)'
Это значение отрицательно, причем мало
отличается от —2500. Выбирая более
близкое к нулю положительное значение
х, мы получим еще большее по модулю
отрицательное значение f(x). Отсюда
можно сделать вывод, что f(x) —У — оо при
х > 0 и х -> 0 (рисунок 6).
Для исследования поведения функции
вблизи точки 1 нужно также рассмотреть
два случая.
I случай. Возьмем достаточно
близкое к 1 и меньшее 1 значение х,
например, х = 0,99. Тогда /(х) = /(0,99) =
= (0,99W0,99-1) = "(ОШ' ЭТ° зкачение
отрицательно, причем мало отличается от

§ 2. Основные этапы исследования функций
169
—100. Выбирая более близкое к 1
значение х, которое меньше 1, мы получим еще
большее по модулю отрицательное
значение f(x). Отсюда можно сделать вывод,
что f(x) —>■ —оо при х < 1 и х -¥ 1. При
этом точки графика приближаются к
прямой с уравнением х = 1 (рисунок 7).
II случай. Возьмем достаточно
близкое к 1 и большее 1 значение х,
например, х = 1,0001. Тогда f(x) = /(1,0001) =
- 1 = 1QQ00 Это значе-
(1,0001)2(1,0001 - 1) (i,oooi)2* ото 3Hd е
ние положительно, причем мало
отличается от 10000. Выбирая более близкое к
1 значение х, которое больше 1, мы
получим еще большее положительное значение
f{x). Отсюда можно сделать вывод, что
f(x) —> -t-oo при х > 1 и х -* 1 (рисунок 8).
Итогом проведенного исследования
являются особенности поведения графика
функции f(x) = ц l_ v вблизи точек 0 или 1
(рисунок 9).
Вертикальные прямые с уравнениями
х = 0их = 1, к которым
приближаются линии графика, называют
вертикальными асимптотами.
Вопрос, Какую вертикальную
асимптоту имеет график функции у = * 0?
X ~г Z
т
ш
ш
II
2.5- Еще один этап исследования функции состоит в нахождении
промежутков монотонности, то есть промежутков возрастания и
промежутков убывания функции. Это исследование основывается на
теореме пункта 1.5. Действительно, если вычислить производную f'(x)
функции /(я), то из решений неравенства f(x) > 0 можно найти все
промежутки строгого возрастания, а из решений неравенства f'(x) < 0
— все промежутки строгого убывания функции f{x).

170
Глава 6. Исследование функций
Пример 3. Найти промежутки монотонности функции /(х) =
= х3 - Зх.
Решение. Функция определена при всех х. Вычислим f'(x) = (х3-
-Зх)' = Зх2 - 3 и решим неравенство /'(х) > 0: Зх2 - 3 > 0, х2-
-1 > 0, х 6 (-со;— 1) U (1;оо). Далее решим уравнение /'(х) = 0
и получим xi = —1, Х2 = 1. Для оставшихся х из интервала (—1;1)
выполняется неравенство /'(х) < 0. После этого можно сделать вывод,
что функция /(х) = х3 — Зх строго возрастает на интервале (—со; — 1),
строго убывает на интервале (—1; 1), строго возрастает на интервале
(Г, со). Такой характер поведения функции можно записать в виде
следующей символической таблицы. х
X
/'(*)
№)_
(-оо;-1)
>0
/*
-1
0
(-i;D
<о
\
1
0
(i;<^1
i0
f J
Вопрюс. Как доказать, что функция /(х) = х3—Зх строго убывает
на отрезке [—1;1]?
2.6. Исследование функции на возрастание и убывание позволяет
определить ее точки локального максимума и локального минимума.
LA5J Прежде чем определять локальные мак-
У\ симумы и минимумы, рассмотрим
функцию /(х) = х3 — Зх на интервале (—2;0).
Функция непрерывна на этом интервале,
на промежутке (—2;—1) возрастает и на
промежутке (—1;0) убывает. Поэтому
вычислив значения /(—2) = —2, /(—1) = 2,
/(0) = 0, можно изобразить ее график
(рисунок 10). Из графика видно, что
значение /(—1) = 2 является наибольшим из
всех значений /(х) для х € (—2;0).
Однако, число 2 не может быть наибольшим
значением функции /(х) = х3 — Зх, если ее рассматривать на всей
числовой прямой. Действительно, нетрудно указать значение /(х),
которое больше 2. Например, /(10) = 103 - 3 • 10 = 970 > 2. Тем
не менее на интервале (—2;0) точка х = —1 соответствует некоторый
характерной особенности данной функции.
я

§ 2. Основные этапы исследования функций
171
Определение 1.
Точка а называется точкой локального максимума функции f(x), если
существует такой промежуток U, содержащий точку а, что при всех х
из U выполняется неравенство f(a) > f{x).
Определение 2.
Точка а называется точкой локального минимума функции f(x), если
существует такой промежуток V, содержащий точку а, что при всех х
из V выполняется неравенство f(a) < f(x).
Вместе для точек локального максимума и локального минимума
используют общее название — точки экстремума.
Нахождение точек экстремума является одним из важных этапов
исследования функции.
Вопрос. Какие точки экстремума имеет функция f(x) = х2—
-Ах + 1?
2.7. Еще один этап исследования функции состоит в установлении
характера поведения функции f(x) при неограниченном возрастании
переменной х, то есть при х —> +оо, или при неограниченном убывании
х, то есть при х —> — оо. Иногда это можно сделать, сравнивая
значения функции f(x) со значениями хорошо известной функции д(х).
Пример 4. Рассмотрим функцию f(x) = х3 — Зх. При больших
положительных значениях х слагаемое х3 значительно больше, чем Зх.
Почему значение х3 — Зх относительно мало отличается от х3. Зная,
что при х -> +оо график функции у = х3 все круче уходит вверх,
можно аналогичный вывод сделать и о поведении графика функции
/(х) = х3 - Зх.
Точно также при больших по модулю отрицательных значениях х
значение /(х) = х3 — Зх относительно мало отличается от х3. Поэтому
при х —> —оо график функции /(х) = х3 — Зх аналогично графику
функции у = х3 все круче уходит вниз.
Вопрос. Как схематически изобразить график функции
У = yjx + yfxl
2.8. Иногда при х —¥ -Ьоо или при х —V —оо значение
функции /(х) удобно сравнивать со значениями линейной функции у(х) =
= кх + Ъ.

172
Глава б. Исследование функций
Пример 5. Рассмотрим функцию f(x) — %-—^±1. Так как f(x) =
= (х — 1) + -, то значение f(x) отличается от значения у(х) = х — 1 на
lm Х
Поэтому при больших по модулю значе-
LHJ ниях х разность между f(x) и у(х) мала.
На графике эта особенность отражается в
том, что при х ~> + оо и при х -> —оо
график функции f(x) приближается к
графику функции у(х), то есть к прямой
(рисунок 11). Эту прямую называют также
наклонной асимптотой.
Вопрос. К каким прямым приближается график функции f(x) =
= ^~i при х -> + оо и при х -> -оо?
Контрольные вопросы и задания
1. Как вы понимаете слова "естественная область определения
функции, заданной формулой"?
2. Что называется нулями функции?
3. Как определять промежутки знакопостоянства функции?
4. Как с помощью производной находить промежутки монотонности
функции?
5. Как определяется точка локального максимума?
6. Как определяется точка локального минимума?
7. Что называют точками экстремума?
8. Что называют наклонной асимптотой?
Задачи и упражнения
1. Найдите область определения функции:
a) fix) = 5±i; б) Д.) = -.^L;
д) /(*) = V2F+3; е) /(*) = уЦх- 2)(х- 3).

§ 2 Основные этапы исследования функций
173
2. Найдите область определения функции:
а)Дх) = х/х2-2х-3; б) Дх) = а£П;
X
в) /С1) = /fej; г) /(*) = Vx4-5x2 + 4;
д) ^ = \/?f£ е) Я*) = \/^2-4)-
3. Найдите область определения функции:
а) Дх) = log2 ji_; б) Дх) = logl3_1(2x - 1);
в) Дх) = log2j(2 + s-x2); г) Дх) = iog(l+1) f^-f;
д) Дх) = v/logl(3x - 1); е) Дх) = yiogjx2 +1).
4. Найдите нули функции:
а) /(х) = х3 + Зх2 + 2х; б) /(х) = (х2 - 2)2;
B)/W = %ffI; r)/(x) = 4i + f-3;
д) Дх) = (х2 - 2х - 3) • Vi; е) Дх) = £f-f
5. Найдите промежутки знакопостоянства для функции:
а) Дх) = х(х + 1)(х + 2); 6) /(х) = (х2 - 1)(х - 2);
в) /(х) = Щ; г)' /(х) = р^^
д)* № = x^t\r е)* /(*) = S^
ж)" /(х) = х - у/х- 2; з)" /(х) = -v/x + 2 + 2х - 6;
и)" /(x) = 5Vx^=T-4x.
6. Найдите промежутки монотонности для функции:
а) Дх) = х3 - х2; б) Дх) = х + ±;
b)/W = ^2; r)*/(x) = (x-2)Vx;
д)' Дх) = (х2 - l)2; e)-/(x) = f + -4-.
7. Для функций из задачи 6 найдите точки локального экстремума.
8. Изобразите график функции с его горизонтальной и
вертикальной асимптотой:
в)Дх) = 1 + ^; r)-/W = |^;
д)* /(*) = £±i; е)« /(х) = |ei-
9. Найдите наклонные асимптоты для функции:

174
Глава, 6. Исследование функций
a)/W = %ffi; б)/(х) = ^
в) № = £=i; г) f(x) = £^4-
§ 3. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИИ
3.1. Построение графика функции f(x) производится на основе ее
исследования. Основные этапы исследования функции рассмотрены в
предыдущем параграфе. Перечислим их еще раз:
1) найти область определения;
2) установить промежутки непрерывности;
3) найти промежутки знакопостоянства и нули функции;
4) исследовать поведение функции вблизи граничных точек области
определения;
5) установить промежутки монотонности;
6) найти точки экстремума.
Исследование упрощается, если функция имеет характерные
особенности: четность; нечетность; периодичность.
Когда функция f(x) четна, достаточно провести ее исследование
при х > О, затем построить часть графика при х > 0 и симметрично
отразить эту часть относительно оси ординат.
Когда функция нечетна, также достаточно построить часть ее
графика при х > О и симметрично отразить эту часть относительно
начала системы координат.
Когда функция периодична, достаточно построить часть ее графика
на отрезке длиной в период, после чего с помощью параллельного
переноса изобразить график.
Вопрос. На рисунке 1 изображена
У] часть графика функции f(x) = sin2 а:.
Какой вид имеет весь график?
3.2. Проведем исследование и
построим график функции f(x) = (х + 1)(х — I)2.
I. Функция определена и непрерывна на
0\ 5 х всей числовой прямой.
П./(х) = 0 при х = -1, х = 1, f(x) > О

§ 3. Построение графиков функции
175
X
;/'(*)
№
(-оо;-4)
>0
/
_1
.4
0
макс.
H;i)
<о
\
1
0
мин.
(1;оо)
Ю
/
iv. /(-!) = » = i&;/(i) = о.
27
27'
V. При больших по модулю значениях
х данная функция ведет себя похоже на
функцию у = х3.
С учетом отмеченных особенностей
строим график (рисунок 2).
Вопрос. Сколько действительных
корней имеет уравнение (х + 1)(х — I)2 = 1?
3.3. Проведем исследование и
построим график функции f(x) = г ^ (2.
I. Функция определена при х Ф 1,
непрерывна на каждом из промежутков
(-оо; 1), (1;оо).
И. f(x) = 0 при xi = -1; /(х) > О
при х € (—1;1) U (1;оо); /(х) < 0 при
х е (-оо;-1).
III. /(х) -> +оо при х < 1 и х -* 1; /(х) -* +оо при х > 1 и х -> 1.
IV. /'(*) = 3(х-И)У-у-(г + 1)3.2(х-1) = (» + !)'(»-5). /((х) = 0
при Х2 = —1, я3 = 5; /'(х) > 0 при х G (—оо;-1) U (—1;1) U (5;оо);
/'(х) < 0 при х 6 (1;5). Отсюда следует:
X
/'(*)
/'(4
(-со;-1)
>0
Xх
-1
0
нет. экстр.
(-i;i)
>о
/*
d;5)
Ю
\
5
10
мин.
(5; со)
Ю
/*
V./(5) = ^ = 13l

176
Глава 6. Исследование функций
VI- /(») = i^±f = (*-i)2+^-l) + 8 = {х_1) + 6 + А+
Так как при больших по модулю
значениях х слагаемое (—^т +1—^та) мало, то
чх — 1 (х — \у '
при х -» оо и при х -> — оо график
функции /(х) приближается к прямой у = х+5.
С учетом отмеченных особенностей
строим график (рисунок 3).
Вопрос. Как объяснить, что график
функции
V-<« + *>+(1^1 + ^)
приближается к прямой у = х + 5 при
больших по модулю значениях х?
Контрольные вопросы и задания
1. Каковы основные этапы исследования функции?
2. Какие особенности функции могут упростить ее исследование?
3. Какая функция называется четной?
4. Какая функция называется нечетной?
5. Какая функция называется периодической?
Задачи и упражнения
1. Проведите исследование и постройте график функции:
a) /(х) = х3 - 4х; б) /(х) = (х + 1)(х - 2)2;
в) Дх) = х3 + х2; г) f(x) = х(х2 - 1);
д)* f(x) = х3 - \2х + 1|; е) Дх) = х3 - 2х + х;
ж) Дх) = х3 - 4х2 - Зх; з)" /(х) = х3 + Зх2 - 4.
2. Проведите исследование и постройте график функции:

§ 4. Задачи на наибольшие и наименьшие значения
177
а)/(*)=* +£ 6)/(х) = 1-£р;
Д) /(i) = jrirp е) /(х) = (х - 1)у/х;
ж)/(х) = ^; з)/(х) = (1-1).(^)2.
3. Проведите исследование и постройте график функции:
а)/(х) = 1 + х2-^; 6) /(*) = ^f;
в) /(х) = 4=£ г) /(х) = p^g.
§ 4. ЗАДАЧИ НА
НАИБОЛЬШИЕ И
НАИМЕНЬШИЕ
ЗНАЧЕНИЯ
4.1. Рассмотрим функцию f(x) = х2
и ее значения на отрезке [—1; 2]
(рисунок 1). Значение /(2) = 4 является
наибольшим из всех значений, которые
принимает функция f(x) на отрезке [—1; 2].
Это означает, что при всех х число 2
принадлежит отрезку и из этого отрезка
[—1; 2] выполняется неравенство /(2) >
> /(#). Заметим, что вне отрезка [—1; 2]
нетрудно указать точку, в которой
функция f(x) = х2 принимает значение,
большее 4.
Наибольшее значение функции существует не всегда. Например,
рассмотрим ту же самую функцию f(x) = х2 на интервале (-1,2).
Предположим, что в какой-то точке xq из этого интервала значения
/(х0) наибольшее. Но тогда — 1 < хо < 2. Поэтому |хо| < 2. Если
теперь выберем х\ такое, что |#о| < х\ < 2, то х% = |хо|2 < xf , то есть
f(xo) < f(x\), и значение f(xo) не является наибольшим.
Обобщая рассмотренные примеры, дадим определение.
ш
1
У
. \
-2 -1
У
2 X

178
Глава 6. Исследование функций
Значение /(яо) называется наибольшим значением функции f(x) на
множестве М, если хо (Е М и /(яо) > /(#) при всех х € М.
Наибольшее значение функции f(x) на множестве М называют
также максимальным значением функции f{x) на М или максимумом
функции f(x) на М.
Если /(хо) — максимум функции f(x) на Af, то точку с
координатами (хо; /(#о)) называют точкой максимума.
Иногда точкой максимума называют также значение переменной
а;, при котором функция f(x) принимает максимальное значение на
рассматриваемом множестве.
Аналогично определяются наименьшее значение функции f(x) на
множестве М, минимум функции на М и точка минимума.
Вопрос. Как определяется наименьшее значение функции f(x)
на множестве М?
4.2. В некоторых случаях решение задачи на максимум или
минимум удается свести к исследованию функции.
Пример 1. В углах квадратного листа жести со стороной 12 см
вырезаются одинаковые квадраты, затем края загибаются и делается
коробка в форме прямоугольного параллелепипеда. Как нужно
вырезать квадраты, чтобы объем получившейся коробки был наибольшим?
а ш
Решение. Обозначим сторону вырезаемых квадратов через х (см),
причем 0 < х < 6. Тогда в основании коробки получится квадрат со
стороной (12 — 2х) (см), а высота коробки х (см). Поэтому объем
коробки V(x) = (12 — 2х)2-х (см3). Рассмотрим на отрезке [0;6] функцию
V(x) = х(12 - 2х)2 = 4х(6 - я)2.
I. V(x) на отрезке [0; 6] определена и непрерывна.
II. V(0) = 0, V(6) = 0 и V(x) > 0 при остальных х из отрезка [0;6].
III. V'(x) = 4 • (х{6 - х)2У = 4 • ((6 - х)2 + +* • 2(6 - х) • (-1)) =

§ 4. Задачи на наибольшие и наименьшие значения
179
ш
= 4-(6-я)-(6-3;г) = 12.(6-х)-(2-х) = 12-(х-2)(х-6). Следовательно,
V(x) возрастает на интервале (0;2), убывает на интервале (2; 6) и в
точке 2 имеет локальный максимум, равный V(2) = 128.
Отмеченные закономерности позволяют построить схематический
график функции V(x) на отрезке [0;6] (рисунок 4).
Значение V(2) = 128 является наибольшим
на интервале (0; 6). у\
Ответ. Нужно вырезать квадраты со 1001
стороной 2 см.
Вопрос. Как изменится ответ, если
делать коробку наибольшего объема из
квадратного листа со стороной а?
4.3. Существование наибольшего или наименьшего значений
функции обычно устанавливают на основе следующего утверждения.
Теорема.
Пусть функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [a;b]. Тогда
найдутся такие числа с\ и оъ из отрезка [а;6], что f(c\) >
> f(x)> f(°2) < f(x) при всех х из [a;b].
Доказательство этой теоремы сложное и рассматривается в курсах
математического анализа.
Вопрос. Пусть функция f(x) определена и непрерывна на
интервале (а; Ь). При каких условиях множеством значений f(x) на (а; 6)
будет отрезок?
4.41 *]При нахождении наибольшего и наименьшего значений
функции важное значение имеет теорема Ферма.
Пусть функция f(x) определена на отрезке [а; Ь], и достигает своего
наибольшего (наименьшего) значения во внутренней точке с и имеет в
точке с производную. Тогда f'(c) = 0.
Доказательство. По условию функция f(x) имеет производную в
точке с. Это означает, что lim /W~ ACJ = /'(с). Следовательно, для
каждой последовательности (яп), такой, что хп € [а; 6], хп Ф с и хп -»• с
при п -» оо, последовательность *'Жп' ~" {'с' сходится к числу /'(с).
хп с
Разберем случай, когда функция f(x) в точке с достигает
наименьшего значения, то есть f(x) > f(c) при всех х € [а; 6]. Так как точка

180
Глава 6. Исследование функций
с лежит внутри отрезка [a; ft], то существуют точки этого отрезка,
которые меньше с. Поэтому можно выбрать такую последовательность
у„, что уп £ [a; ft], уп < с и уп -* о при п -» со. Тогда уп - с < О,
/Ы - /(с) > О, откуда f^Zi{€) < 0> Ит ^:^с) < 0. Поэтому
/'(с) < 0.
Аналогично можно выбрать такую последовательность zn, что zn €
€ [a; ft], 2„ > с и гп -» с при п -^ со. Тогда zn - с > 0, f(zn) - f(c) > 0,
откуда /W-/M > 0, Ujq /Ы - /(с) > 0 поэтому /'(с) > 0.
Одновременное выполнение неравенств /'(с) < 0 и /'(с) > 0
означает, что f'(c) = 0.
Аналогично рассматривается и тот случай, когда функция /(х) в
точке с достигает наибольшего значения.
Из теоремы Ферма следует, что если функция /(х) определена на
отрезке [a; ft], то наибольшее значение функции /(х) на этом отрезке
не может быть в тех точках х, в которых производная f(x) существует
и не равна нулю.
Вопрос. Пусть функция f(x) определена и непрерывна на
отрезке [a; ft], на интервале (а;т) строго возрастает, на интервале (m;ft)
строго убывает (а < т < ft). В каких точках следует искать максимум
и в каких минимум функции /(х)?
4.51 *] Пусть функция f(x) определена и непрерывна на отрезке
[a; ft]. Функция f(x) не может достигать наибольшего или наименьшего
значения в точке с из интервала (a; ft), если производная в этой точке
существует и отлична от нуля. Отсюда следует, что как наибольшее,
так и наименьшее значение непрерывной на отрезке [a; ft] функции
следует искать либо в тех точках, где производная равна нулю, либо в тех
точках, где производной не существует, либо в концах отрезка [a; ft].
Пример 2. На отрезке [—1; 2] найдем максимум и минимум
функции f(x) = hcA - х3 + х2 - 1.
Решение. f'{x) = (±х4 - х3 + х2 - 1)' = i • 4х3 - Зх2 + 2х =
= х(х2 — Зх + 2) = х(х — 1)(х — 2). Значит, функция /(х) на отрезке
[—1;2] определена, непрерывна и всюду имеет производную.
Далее, /'(х) = 0 при х = 0, х = 1,х = 2. Так как при остальных
значениях х производная не равна нулю, то максимум и минимум
следует искать среди значений: /(—1) = §; /(0) = —1; /(1) = —|

§ 4. Задачи на наибольшие и наименьшие значения
181
/(2) = — 1. Отсюда ясно, что максимум достигается при х = — 1,
минимум достигается при х = О и при х = 2. Это хорошо видно на
графике (рисунок 5).
Иногда внутреннюю точку с отрезка
[а; Ь] называют критической для функции
/(х), если в точке с производная либо не
существует, либо равна нулю. В этом
случае правило вычисления наибольшего
и наименьшего значений функции можно
сформулировать в следующем виде.
Пусть функция f(x) непрерывна на от-
резке [a;b]. Тогда наибольшее значение
и наименьшее значение f(x) на отрезке
[a; Ь] достигается либо в критической
точке, либо в одном из концов отрезка [а; Ь].
Вопрос. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а; 6] и в
каждой точке интервала (a;b) имеет отличную от нуля производную.
Где в этом случае искать максимум и минимум функции /(х)?
4.6. Для нахождения локального максимума функции иногда мож
но применять следующий признак.
Пусть функция f(x) определена и непрерывна в окрестности (с — е;с+
+£) точки с, имеет положительную производную в каждой точке
интервала (с — с; с) и имеет отрицательную производную в каждой точке
интервала (с;с + е). Тогда с является точкой локального максимума
функции f(x).
Доказательство.
I случай. Пусть х € (с - е;с). Тогда на отрезке [х;с] выполняются
все условия теоремы Лагранжа. Значит, /(с) — /(х) = f'(m)(c — х),
где х < m < с. По условию f'(m) > 0, а так как х < с, то с - х > 0.
Поэтому /(с) - /(х) = f(m){c - х) > 0, откуда /(с) > /(х).
II случай. Пусть х Е (с\с + е). Аналогично предыдущему имеем
f(x) - f(c) = f(p)(x - с), где с < р < х. По условию f(p) < 0, а так
как х>с, тох-с>0. Поэтому /(х) — /(с) = /'(р)(х - с) < 0, откуда
№ > /(*).
III случай. При х = с имеем очевидное неравенство /(с) > /(х).

182
Глава 6. Исследование функций
Таким образом, при всех х € (с — г\с + е) имеем неравенство /(с) >
> /(х), что и доказывает признак.
Для нахождения локального минимума иногда можно применять
аналогичный признак.
Пусть функция f(x) определена и непрерывна в окрестности (с — е; с+
+е) точки с, имеет отрицательную производную в каждой точке
интервала (с - е\ с) и имеет положительную производную в каждой точке
интервала (с; с + е). Тогда с является точкой локального минимума
функции f{x).
Доказательство. Функция g(x) = —f{x) удовлетворяет всем
условиям признака локального максимума в точке с. Отсюда следует, что
с — точка локального минимума для функции f(x).
Вопрос. Должна ли точка, где функция принимает наименьшее
на промежутке значение, быть точкой локального минимума?
Контрольные вопросы и задания
1. Как определяется наибольшее значение функции на некотором
множестве?
2. Как определяется наименьшее значение функции на некотором
множестве?
3. Что такое минимум и максимум функции на некотором
множестве?
4. Сформулируйте теорему Ферма.
5. Докажите теорему Ферма.
Задачи и упражнения
1. Найдите наибольшее и наименьшее значение:
а) функции f(x) = 2х - х2 на отрезке [-2; 2];
б) функции f(x) = х2 + х -г 1 на отрезке [-2; -1];
в) функции f(x) — 2 4- 4х - Зх2 на отрезке [0; 3];
г) функции f{x) = ^х2 + Зх — 1 на отрезке [-2; 2].
2. Для функции /(х) = х3-Зх-1 найдите наибольшее и наименьшее
значение:
а) на отрезке [—3; —2]; б) на отрезке [—3;0];
в) на отрезке [—1; 1]; г) на отрезке [-2; 2].

§ 4. Задачи на наибольшие и наименьшие значения
183
ю:
пГ*
127
Для функции /(х) = |х3 - За:2 + 4х - | найдите наибольшее и
наименьшее значение:
а) на отрезке [—1;3]; 6) на отрезке [0;2];
в) на отрезке [1;4]; г) на отрезке [-1,2].
Забором длиной 60 м нужно огородить со всех сторон
прямоугольный участок наибольшей площади. Какие размеры должен
иметь участок?
Забором длиной 60 м у реки нужно огородить с трех сторон
прямоугольный участок наибольшей площади. Какие размеры
должен иметь участок?
Забором длиной 60 м у реки нужно огородить с двух сторон
участок треугольного вида наибольшей площади. Какую форму
должен иметь участок?
Из прямоугольного листа жести размером 15 х 8 см вырезают
квадратные уголки и делают коробку в форме прямоугольного
параллелепипеда. Как сделать коробку наибольшего объема?
Из треугольного листа бумаги со сторонами 6 см, 7 см, 8 см нужно
вырезать прямоугольник наибольшей площади. Как это можно
сделать?
Из бумажного кольца с внешним радиусом R — 6 см и
внутренним радиусом г = 1 см нужно вырезать прямоугольник без дыр
наибольшей площади. Как это сделать?
Какой угол при основании имеет
равнобедренная трапеция наибольшей
площади, у которой три стороны
равны а?
Канал шириной а м под прямым
углом поворачивает в канал
шириной 6 м. Какой наибольшей длины
бревно можно провести из одного
канала в другой, не вытаскивая бревно из воды (предполагается,
что толщиной бревна можно пренебречь)?
Дан конус с высотой Н и радиусом основания R. Как через
вершину конуса провести сечение наибольшей площади?

КООРДИНАТНЫЙ МЕТОД
В ПРОСТРАНСТВЕ
глава
В этой главе мы определим скалярное произведение векторов в
пространстве, установим геометрический смысл скалярного
произведения, покажем, что каждую плоскость в пространстве можно задавать
линейным уравнением с тремя переменными, рассмотрим применения
прямоугольной системы координат для решения задач на вычисление
угла между прямыми, угла между плоскостями, угла между прямой
и плоскостью, расстояния от точки до плоскости.
§ 1. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
1.1. Аналогично тому, как это делалось на плоскости, в
пространстве с помощью прямоугольной системы координат определяется
скалярное произведение векторов.
Скалярным произведением двух векторов
— {х2\Уг\2г), связанных с точкой А, называется число, равное
Xl%2 + У\У2 + Z\Z2-
Скалярное произведение векторов "а* и b обозначается ~cf • Ь .
Таким образом, если 1? = (х\;у\\ z\), Ь = (х2;y2\ z2), то
^ • Ъ = Х\Х2 + У\У2 + Z\Z2.
Пример 1. Пусть точки Л, J5, С имеют координаты Л(5;3;-2),
В(2;4;1), С(6;1;3). Тогда А$ = (-3; 1;3), лб = (1; -2; 5) и J$ • лб =
= (-3) • 1 + 1 • (-2) + 3 • 5 = -3 - 2 + 15 = 10.
7

§ 1. Скалярное произведение векторов
185
Важно понять, что скалярное произведение двух векторов — это
число. Поэтому при действиях с векторами следует четко различать,
где появляются векторы, а где — числа.
Вопрос. Какой смысл имеет выражение (it • 6 ) • ~с*, где ~ct =
= (1;-2;3), V = (3;1;2) и 1* = (-2;3;-1)?
1.2. В пространстве скалярное произведение векторов имеет
следующие основные свойства.
1. 7*. ^ = 7-Т*.
2. (tit) ~t = t {!?'!?).
3. ~ct • (~t + ~с>) = ^ • t + ~ct • -&.
Эти свойства нетрудно доказать с помощью координат. Например,
докажем третье свойство.
Доказательство. Пусть ~ct = (m;n;Ar), b — (x\\y\',Z\), ~с* =
= (х2\У2\г2). Тогда "^ • ( 6 + "с*) = (m;n; к) • ((xiiyi;^) + (а:2; J/2^2)) =
= {m',n',k)-(x\+x2\yi+y2\z\+Z2) = m(xi+X2) + n{yi + y2) + k(zi + Z2) =
= mx\ + mx2 + ny\ + nj/2 + ^^1 + kz - 2 = (mx\ + nyi + fczi) + (mx2 + гауг+
+A:22) = (m;n; A:) -(zi;yi;zi) + (m;n; A;) • (x2;t/2; z2) = it- b + "^ • ~c*\
Таким образом, равенство ~ct•( b + ~c*) = доказано.
Вопрос. Как доказать второе свойство?
1.3. Основные свойства скалярного произведения позволяют
производить преобразования, частично похожие на действия с числами.
Пример 2. Докажем, что
{it - V) • (^ - ~t) = ^ • it - 2(lt • 7) + ~t • ~t.
Доказательство. Разность it — b можно представить в виде ~ct+
+(-l)-V. Поэтому tf-T)-(7t-t) = (-^+(-l)-^)(a>+(-l)-V).
Далее имеем:
(■^+(-i).t).(^+(-i)-t) =
= ( о> + (-1) .?).-* + (? + (-1) • Т) • ((-1) • t) =
= It ■ (a» + (-1) • t) + ((-1) • ~t) ■ (It + (-1) • t) =

186
Глава 7. Координатный метод в пространстве
= it • ( о> 4- (-1) • Т) - 7 • ("о* + (-1) • V) =
= -^ ■ -^ + -^ ■ ((-1) • ■?) - (й + ~i • ((-1) • V)) =
Вопрос. Как доказать, что (1? + 6 ) • (it — 6 ) = "a* • "a* — b • 6?
1.4. Скалярное произведение векторов обладает важными
геометрическими свойствами. В этом пункте рассмотрим свойство,
связанное со скалярным умножением вектора на себя.
Пусть где А{тп\п',к), B(p\q;r). Тогда вектор it имеет
координаты (р — m; q — п: г — к) и по определению
it ■ it = АЁ • АЁ = (р - тп)2 + [q - п)2 + (г - А;)2.
Вспомним, что длина вектора it, равная длине отрезка АБ,
вычисляется по формуле
| a>| = yj{p-m)2 + {q-n)2 + {r-k)2.
Поэтому
Таким образом, скалярное произведение lt~ct — это число, равное
квадрату длины вектора it.
Иногда скалярное произведение it • it для краткости обозначают
как 7? . Это позволяет, например, записать равенство
о>2 = |"о>|2.
Пример 3. Найти длину вектора "# + b , где 1? = (2; —5; 1),
t = (l;2;-4).
Решение, it + Ь = (2;-5;1) + (1;2;-4) = (3;-3;-3). Поэтому
(аЧ"?)2 = 32 + (-3)2 + (-3)2 = 27. Так как ( аЧ Y)2 = | а> + ~?|2 , то
|-^ + V| = 4/27 = 3n/3.
Вопрос. Какой геометрический смысл имеет произведение

§ 1. Скалярное произведение векторов
187
1.5. Для того чтобы в общем случае установить геометрический
смысл скалярного произведения двух ненулевых векторов, введем
понятие угла между векторами, связанными с одной точкой.
Углом между ненулевыми векторами называется угол между
лучами АВ и АС.
В частности, когда векторы АЁ и АС сонаправлены, то точки В и
С лежат на одном луче с началом Л, а поэтому угол между такими
векторами равен нулю. Когда векторы противоположно
направлены, то лучи АВ и АС образуют развернутый угол, а поэтому
угол между такими векторами равен 180° .
В остальных случаях величина угла между двумя ненулевыми
векторами принимает значения из промежутка (0°; 180°) в градусной мере
или из промежутка (0; я") в радиан ной мере.
Вопрос. Как определить перпендикулярность двух ненулевых
векторов, связанных с одной точкой?
1.6. Пусть точки Л, Б, С пространства не лежат на одной прямой.
Тогда, с одной стороны, можно рассмотреть треугольник ABC и по
теореме косинусов записать равенство
|Ж7|2 = \АВ\2 + |ЛС|2 - 2|АВ|ИС| cos IB АС. (1)
С другой стороны, можно рассмотреть векторы "а* = Ad, 6 = АС
и ВС = Т - "а>. Тогда \АВ\ = \Щ = |^|, \АС\ = \АС\ = | fr|,
|БС|2 = \Wd\2 = ~В&2 = (t - ~с?)2. Поэтому равенство (1) можно
записать в виде
(У - -а>)2 = | а>|2 + |7|2 - 2|"а>| • |Т| cos<p. (2)
Как показано в пункте 1.3,
или
(t - "о»)2 = |1?|2 + |7|2 - 27? • 7. (3)
В итоге из равенств (2) и (3) следует

188
Глава 7. Координатный метод в пространстве
~cf. V = \-&\.\f coscp. (4)
Таким образом, мы доказали, что когда векторы ~с? = A3, b = АС
неколлинеарны, то скалярное произведение векторов ~ct и b равно
произведению длин этих векторов, умноженному на косинус угла
между этими векторами.
Пусть теперь ненулевые векторы Ht = АЁ и 6 = АС коллинеарны.
Тогда Ь = £1^, где t соответствующее число.
При t > О векторы ~<£ и 6 сонаправлены и И? • b = ~ct • (t~ct) =
= t-~tf-l? = t' | a>|2 = |a>| • \tlt\ = \lt\ • [?\ = | a>| • \t\ cosO.
При £ < О векторы ~ct к b противоположно направлены и
-с? • V = ^ • (Го>) = *("# - а>) = t\lt\2 = (-1) • \~&\ • (-* • | а>) =
= (-1) • |Т?| • |fi?| = (-1)|^| • \t\ = |Т?| • I^Icostt.
В результате рассмотрены все возможные случаи и доказана
следующая теорема.
Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно произведению
длин этих векторов, умноженному на косинус угла между ними.
Пример 4. Пусть 4(-2;1;4), £(7;3;9) и С(4;2;5). Тогда А$ =
= (9; 2; 5), J6 = (6;1;1), Ж = 92 + 22 + 52 = ПО, А& = б2 + 12 + 12 =
-зв,;й.;й-9.б^
Вопрос, Как доказать, что площадь треугольника ABC можно
вычислить по формуле
5 = У\АЙ\* • \1б\2 - (АЁ • Ад)2?
1.7. Равные векторы имеют равные координаты. Это свойство
позволяет определить скалярное произведение двух векторов, связанных
с различными точками.
Скалярным произведением векторов Т? = А& и ~t = Ct>
называется скалярное произведение равных им векторов, связанных с одной
точкой.
Для того чтобы сохранить геометрическое свойство скалярного
произведения, определяют величину угла между произвольными
векторами.

§ i. Скалярное произведение векторов
189
Величиной угла между двумя ненулевыми векторами a И о =
= CD называется величина угла между равными им векторами,
связанными с одной точкой.
Пример 5. В кубе ABCDA\B\C\D\ найти угол между векторами
АВх hBCi.
Решение. Так как = AD\, то угол между заданными
векторами равен углу <р между векторами АВ\ и AD\. В данном примере
этот угол можно найти из геометрических соображений. Если ребро
куба равно а, то |A£?i| = ay/2, \AD\\ = ay/2, \B\D\\ = ay/2.
Следовательно, треугольник AB\D\ равносторонний, а поэтому <p =
= LBlADl = J.
Вопрос. Как в рассмотренном примере с помощью координат
вычислить угол между векторами АВ\ и всъ если выбрана система
координат с началом С и осями С В, CD, СС{1
1.8. В изучении геометрии пространства важную роль играет
перпендикулярность. Для установления перпендикулярности двух
векторов часто используется теорема.
Два ненулевых вектора пространства перпендикулярны тогда и только
тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
Доказательство. Пусть 1? Ф 0 , Ъ ^ Q и </? — величина угла
между векторами ~ct и b . Тогда \~ct\ ф О, | Ь \ Ф О и
it • Ь = \~ct\ -\ b \cos<p.
Отсюда следует, что если у? = -, то
"а? • b = 0, а если ~с? • b = О, то cos <р = О,
а поэтому <р = £ Тем самым теорема
доказана.
Пример 6. Для куба ABCDA^BxC\Di
введем прямоугольную систему координат
с началом В и осями В А, ВС и ВВ\
(рисунок 1). Доказать, что векторы АВ\ и
СА\ перпендикулярны.
и
Л
71
У—*
Пусть ребро куба равно а. Тогда Л(а;0;0), B\(0;0;a), С(0;а;0),

190
Глава 7. Координатный метод в пространстве
Ai(a;Q;a). Отсюда АВ\ = (—а;0;а), СА\ = (a;—a;a) и AJE?i • СЛ1 =
= (—а;0;а) • (а; —а;а) = (—а) • а + 0(—а) + -fa-а = —а2 + а2 = 0. По
свойству из данного пункта векторы АВ\ и CMi перпендикулярны.
Вопрос. Как доказать, что в кубе диагонали АС\ и BD\ не
перпендикулярны.
Контрольные вопросы и задания
1. Как определяется скалярное произведение двух векторов,
заданных координатами в прямоугольной системе координат?
2. Сформулируйте основные свойства скалярного произведения.
3. Как с помощью скалярного произведения найти длину вектора?
4. Как определяется угол между двумя векторами?
5. Как найти скалярное произведение, двух векторов, если
известны длины этих векторов и угол между ними?
6. Сформулируйте необходимое и достаточное условие
перпендикулярности двух векторов.
1. Вычислите скалярное произведение векторов ~ct и 6 , если:
a)^ = (0,0,0U=(l,l,l);
6)7^ = (1,1,1), Ь =(4,3,2);
в) ^ = (1,3,1), ^=(2,1,4).
2. Дан куб с вершинами
Л(0;0;0), В(2;0;0), С(2;2;0), 0(0; 2; 0),
Л,(0;0;2), 5,(2;0;2), С,(2;2;2), А(0;2;2).
Найдите скалярное произведение:
а) (АВ • ААЛ; 6) (АВ ■ Щ): в) (АВ ■ Щ);
г) (ACt ■ АЩ); д) (Ш ■ Ш); е) (аЗ ■ СВ).
3. Дан прямоугольный параллелепипед с вершинами Л(1;0;0),
В(5;0;0), С(5;2;0), Я(1;2;0), Ai(l;0;l), £i(5;0;l), d(5;2;l),
J?i(l;2;l). Точка M — центр грани ABCD, точка М\ — центр
грани A\B\C\D\, точка N — середина ребра ВВ\. Найдите
скалярное произведение:
а) (АВ ■ АС); б) {АВ ■ ЪЧм); в) (АВ ■ АС\У,
г) (DSti ■ ВЩ); д) (Ш$ ■ ACi); е) (Clt • <Щ)-

§ 1. Скалярное произведение векторов
191
4. Напомним, что векторы ~с? и 6 коллинеарны, если существует
действительное число /, такое что ~ct = / b . Если же
дополнительно / > 0, то векторы ~с? и Ь сонаправлены.
а) Найдите, при каких х, у вектор ~ct — (—2;3;у) коллинеарен
вектору (х; —6; 2);
б) найдите вектор единичной длины, соналравленный с вектором
о> = (-6;+3;-2); ^
в) найдите координаты вектора Ь , коллинеарного вектору
"a*" = (1;1;— -) и образующего острый угол с вектором (0,0,1),
—>
если известно, что | b | = 3;
г) найдите координаты вектора 6 , коллинеарного вектору
Т& = (—1; 1; —2), если известно, что ~ct • b =12;
д) найдите, при каких х, у, вектор (х; 7; -2) коллинеарен вектору
(2; у; 4).
5. Определите длины векторов 1? + 6 , 1? — 6 , если "^ = (1;4;2),
V = (2;-2;4).
6? Дано |^| = 13, \t\ = 14, |"^ - V| = 22. Найдите | ^ + "?|.
7? Дано |^| = 6, |^ + V| = 11 и |"^ - ^| = 7. Найдите |"?|.
8. Найдите угол между векторами 7^ и 6 , если:
а) о> = (1;2;0), Ь = (1;2;4);
б) о> = (1;1;1), 7 = (1;0;6);
в) о> = (4;0;3), 7 = (2;-2;1):
г) если ■q> = (1;-3;1), Ъ = АВ, где Л(-5;7;-8), #(-7; 9;-9);
д)-^ = (4;7;3), V = (3;-5;l).
9. Угол между векторами а и b равен 120° и |"а| = 2, | 6 | = 3.
Найпит^**
a) If - V; б) ( о> + V) • ( о> + V); в)(а> - "?) • (о> - V);
г) (2"^ - ~t) • (2"? - ^); д) (2^ - Ь) - (2"? + "^).
10. При каком значении х вектор it = (х; 7; —2) перпендикуллрен
вектору 6 = (—3;х;2)?
11. Найдите косинусы углов, которые вектор (2; —4; 1) образует с
положительными лучами координатных осей.

192
Глава 7. Координатный метод в пространстве
12. Найдите угол между векторами 7? + 6 , 2"а* — "с*, если
-а> = (-1;+1;-1), Ь = (2; -1;2), ^ = (-2;1;3).
13. Найдите координаты точек, симметричных точке Л/(1; —4; 2)
относительно: а) прямой Ох; б) прямой Оу в); прямой Oz; г)
плоскости Оху; д) плоскости Oyz; е) плоскости Oxz.
14. Даны точки Л(-1; -2; 4), В(3; 2; -2), С(3; -2; 1). Найдите:
а) стороны и углы треугольника ABC; б) медианы треугольника
ABC.
15. Даны точки Л(-1;3;-7), £(2;-1;+5), С(0;1;-5), £>(-5;-5;3).
Найдите угол между векторами:
a) JB и OD; б) АС и Ш5; в) А^ и £<?.
16. Найдите х, у если известно, что вектор И? = (3—; х; —1)
перпендикулярен вектору Ь = (2; 1;у) и |"^| = | b |.
17. Найдите координаты вектора if, перпендикулярного векторам
(1;0;0) и (3;2;-1), если известно, что |lf| = \/2.
18. Найдите координаты вектора if, перпендикулярного вектору
(—1; 2; 2) и образующего равные углы с векторами (1; 0; 0) и (0; 1; 0).
19. Угол между векторами (а,3, w|J и (3; 1;0) равен |. Найдите а.
20. Угол между векторами f w|,a, 1J и (0,2,-1) равен |. Найдите
а.
21. Угол между векторами (—л/2; л/б;«) и (1; 0; л/2) равен -. Найдите
а.
22. Угол между векторами (—2\/3,-^=,а) и (0;1;л/3) равен ^.
Найдите а.
23. Какой наименьший угол могут образовать два вектора вида:
а) (2,5х + 1,1) и (4я + 2,-1,1-Зя);
б) (1-5а;, 1,3) и (-1,1+4х,3 - Зя);
в) (Зя + 2,-2,4о; + 1) и (2,5x4-2,1);
г) (1 + Зя,3 + 4я, -3) и (1,3,3 + Ъх)1
24. Дан правильный тетраэдр ABCD, у которого все ребра равны,
Л(1,0,0), Б(2,0,0), точка С лежит на плоскости Оху, точка D
имеет положительную третью координату.

§ 2. Уравпепие плоскости
193
а) Найдите координаты точки С, точки £>, середины М отрезка
АС, середины Q отрезка ВС, середины Р отрезка AD, середины
N отрезка DB\
б) докажите, что векторы перпендикулярны и
= 1^1-
§ 2. УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ
2.1. Ненулевой вектор назовем перпендикулярным плоскости
а, если для всяких двух различных точек М и N плоскости а
векторы АЙ перпендикулярны. Перпендикулярность вектора АВ и
плоскости а записывают в виде
АЙ la.
Иногда вектор, перпендикулярный к плоскости, называют нормалью
к этой плоскости.
Вопрос. Как доказать, что в кубе ABCDA\B\C\D\ вектор At
является нормалью к плоскости BB\D\D1
2.2. Существование векторов, перпендикулярных данной
плоскости, вытекает из следующего утверждения.
Пусть вектор An перпендикулярен двум неколлинеарным векторам
плоскости а. Тогда АЙ ± а.
Доказательство. Пусть Р и Q —две произвольные различные
точки плоскости а. Тогда векторы MN, Мл и PQ компланарны.
Поэтому по признаку компланарности векторов имеем РО = xMN + уМК.
Тогда АЙ • PQ = АЙ • {хШ + yWfc) = х АЙ -Ш + у АЙ -ЖЙ =
= х • 0 + у • 0 = 0. Так как АЙ • Р$ = 0, то АЙ 1 Р($.
Вопрос. Как доказать, что если 1 а, то для каждого t Ф 0
вектор t • АВ также перпендикулярен к плоскости а?
2.3. В пространстве для каждой плоскости а можно построить
перпендикулярный к ней вектор it. Тогда если в плоскости а
выбрать точку М, то а можно задать как множество всех таких точек
К, что либо К = М, либо вектор МК перпендикулярен вектору it.

194
Глава 7. Координатный метод в пространстве
Эти условия равносильны равенству = 0. Записывая
последнее равенство через координаты, можно получить уравнение данной
плоскости.
Пример 1. Пусть плоскость а проходит через точку М(1;2;3)
и перпендикулярна вектору it = (5;—7;6). Обозначим координаты
произвольной точки К плоскости а переменными (u]v;s). Тогда
МЙ = (u; v- s) - (1; 2; 3) = (и - 1; v - 2; s - 3).
Поэтому равенство "ft • = 0 записывается в следующем виде:
(5; -7; 6) • (и - 1; и - 2; а - 3) = 0, 5(и - 1) + {-7){v - 2) + 6 • (s - 3) = 0,
Ьч + (-7)и + 6s - (5 • 1 + (-7) • 2) + б • 3) = 0, Ъи - lv + 65 - 9 = 0.
Таким образом, тройки координат {u\v\s) всех точек плоскости
a — это множество всех решений уравнения
an + bv 4- cs И- d = 0,
где а = 5, 6 = -7, с = 6, d — -9.
Обычно переменные координаты точек плоскости обозначают
(x\y\z). В этом случае уравнение рассматриваемой плоскости
принимает вид
5я - 1у Л- 6z - 9 = 0.
Вопрос. Как доказать, что уравнения |а: — |у + 3z — | = 0 и
5х — 7у + 6z — 9 = 0 задают одну и ту же плоскость?
2.4. Рассмотренный в предыдущем пункте пример и аналогичные
ему задачи показывают, что в общем случае плоскость определяется
линейным уравнением вида
ax + by + cz + d = 0, (1)
где а, 6, с, d — конкретные числа, причем хотя бы одно из чисел а, 6,
с отлично от нуля.
Вопрос. Как найти координаты какой-нибудь точки плоскости с
уравнением 2у — Sz = 5?

§ 2. Урарпепие плоскости
195
2.5. В уравнении плоскости
ах + by + cz -f d = О
коэффициенты а, 6, с имеют важный геометрический смысл: вектор
it = (а; 6; с) является нормалью к этой плоскости. Это означает, что
по уравнению плоскости можно сразу представить направление
перпендикулярных к ней прямых.
Вопрос. Как доказать, что плоскости с уравнениями х — 2y+3z =
= 1 и 2х — Ay -f 6z = 1 параллельны?
2.6. Нахождение уравнения плоскости, проходящей через три
заданные точки, сводится к решению системы трех линейных уравнений
с четырьмя неизвестными.
Пример 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через
точки Л(1; 1; 1), В(2; -1; 0), С(0; 2; 1).
Решение. Обозначим плоскость ABC через а и запишем ее
уравнение в виде ах + by + cz + d = 0. Из условия А € а следует а • 1 + 6 • 1+
+с • 1 + d = 0; из условия В е а следует а • 2 + 6 • (-1) + с • 0 + d = 0;
из условия С € а следует a-0 + 6-2 + cl + d = 0.
В результате приходим к системе:
a + 6 + c + d = 0,
2a - 6 + d = 0,
26 + с + d = 0.
Так как уравнений три, а неизвестных четыре, то выразим три из
неизвестных через четвертое. В этом примере можно выразить а, 6,
с через d методом подстановки: 6 = 2a + d, с = —26 — d = -4а — 3d,
а + (2а + d) - 4а — 3d + d = 0, а = —d, 6 = —d, с = d. Выберем для
d удобное ненулевое значение, например, d = — 1. Тогда уравнение
плоскости а примет вид x + j/ — 2 — 1 = 0.
Вопрос. Какой вид имеет уравнение плоскости, проходящей
через точки М(1;0;0), АГ(0;2;0), АГ(0;0;3)?
Г» •»*♦ Т-»
2.7. В этом пункте рассмотрим, как составлять уравнение
плоскости, перпендикулярной к прямой.

196
Глава 7. Координатный метод в пространстве
Пример 3. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD
ребра основания ABCD равны 2, высота SH равна 4. Точка М —
середина ребра АВ, точка N — середина ребра SC, и точка К — середина
отрезка MN. Через точку К перпендикулярно прямой MN
проводится плоскость. Найти точки пересечения этой плоскости с ребрами
пирамиды.
Ш Решение. Введем прямоугольную
систему координат с началом Н и осями
Hx,Hy,Hz, направленными так, как
указано на рисунке 1. Тогда А(1;—1;0),
В(-1;-1;0), С(-1;1;0), 5(0; 0; 4). Так
как точка М середина ребра АВ, то ее
координаты равны полусуммам
соответствующих координат точек А и В, откуда
М(0;—1;0). Аналогично находятся
координаты точек N и К: w(-^2;2)' ^ (~"4;~4;1)'
Вычислим координаты вектора MiV, перпендикулярного искомой
плоскости а:
А?^ = Я^-Щ| = (4;^2)-(0;-1;0) = (-1;§;2).
Так как MN ± а, то уравнение плоскости а имеет вид
или
-х + Зу + Az + d2 = 0.
Для нахождения числа d\ запишем условие, что плоскость а
проходит через точку К:
(-i)-(4)+3-(4)+4-1+* =
0.
Отсюда di = — Ъ. Поэтому плоскость а имеет уравнение
-х + Зу + 42 - \ = 0.

§ 2. Уравнение плоскости
197
Для нахождения координат точек
пересечения плоскости а с ребрами пирамиды
удобно задавать ребра в параметрической
форме.
Например, найдем координаты точки F
пересечения плоскости а с ребром AS
(рисунок 2). Имеем
нР = н1 + аР = нА + *А$,
где t — неизвестное значение параметра. Так как А(1; — 1; 0), 5(0; 0; 4),
тоЯЙ = (1;-1;0),А^ = (-1;1;4),откудаЯ^ = (1;--1;0)+е(--1;1;4) =
= (1 - £; -1 +1; 4£), и точка F имеет координаты х = 1 — t, у — -1 +1,
z = At. Так как точка F лежит в плоскости а, то координаты точки
F удовлетворяют уравнению плоскости:
-(1 - t) + 3(-1 + *) + 4 • At - \ = 0.
15 3
Отсюда 20£ = —, t = -. Следовательно, точка F имеет координаты
2. о
(1-|'-1 + |54-!)или(|5-|;1)-
Вопрос, Какие координаты имеет точка пересечения плоскости
а с прямой CD?
Контрольные вопросы и задания
1. Как определяется нормаль к плоскости?
2. Как записать в общем виде уравнение плоскости в пространстве?
3. Пусть плоскость задана уравнением ах + by + cz + d = 0. Какой
геометрический смысл имеет вектор (a; ft; с)?
Задачи и упражнения
Найдите уравнение плоскости, проходящей через точку А
перпендикулярно вектору Т?, если:
а) А(0;0;0), it = (1;0;0);
6M(l;0;0),-f? = (l;l;2);

198
Глава 7. Координатный метод в пространстве
в)Л(1;2;1), ft = (l;-2;i);
гМ(1ф-2),-п> = (-1;-2;2).
2. Известно, что точка А является основанием перпендикуляра,
опущенного из начала координат на плоскость. Составьте
уравнение этой плоскости, если:
а) Л(1;1;1), б) Л(1;2;-1), в) Л(3;4;2), г) л(-1;3;2).
3. Составьте уравнение плоскости:
а) проходящей через точку .А(1;1;1) параллельно плоскости
х + у + z = 0;
б) проходящей через точку Л(1;2;—1) параллельно плоскости
2я + у-г + 4 = 0;
в) проходящей через точку Л(2;1;4) параллельно плоскости
За: + Зу - 2z + 1 = 0;
г) проходящей через точку Л(1;3;2) параллельно плоскости
-2х + y-z + 2 = 0.
4. Найдите уравнение плоскости, проходящей через точки A, J5, С,
если:
а) A(l;2;J),B(0;3;2),C7(2;0;i);
б) Л (l; 1; -|), 5(1; 4; -3), С(2; 1; -2);
в) Л(1;1;-1), В(-1;-1;3), С(0;1;0);
г) А(2; 1; -2), 5(4; 1; -4), С(3; 0; -5);
д)Л(1;1;1),В(0;3;1),С7(1;0^).
5. Напишите уравнение плоскости, которая пересекает ось Ох в
точке Л, ось Оу в точке J3, ось Oz в точке С, причем:
а)Л(1;0;0),В(0;1;0),С(0;0;1);
6М(2;0;0),£(0;3;0), С(0;0;5);
вМ(-2;0;0),Я(0;1;0), С(0;0;2);
г)А(-2;0;0),В(0;-1;0),С(0;0;4).
§ 3. УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ В ПРОСТРАНСТВЕ
3.1. Пусть 7? = АВ и Ь = АС?— два ненулевых вектора,
связанных с точкой А. Напомним, что угол между такими векторами

§ 3. Угол между прямыми в пространстве
199
определяется как угол между лучами АС и АВ. Тогда, как это было
доказано в первом параграфе
Tt. lN|T?|.|T|coe^ (1)
В общем случае угол между двумя ненулевыми векторами ~ct и b
определяется как угол между равными им векторами, связанными с
одной точкой. При этом также сохраняется равенство (1).
Из равенства (1) можно следующим образом выразить косинус угла
между ненулевыми векторами:
В прямоугольной системе координат равенство (2) позволяет
вычислить угол между любыми двумя заданными ненулевыми векторами.
Пример 1. Пусть Л(-1; 2; 0), В(3; 1; 5), С(2; -1; -2). Найти угол
<р между лучами АВ и АС.
Решение. Сначала найдем координаты векторов
2 = (3;1;5)~(-1;2;0) = (4;-1;5);
6 =(2;-1;-2)-(-1;2;0) = (3;-3;-2).
Далее вычисляем:
|-^|2 = -&* = 42 + (-1)2 + 52 = 42;
\t\2 = !>2 = З2 + (-3)2 + (-2)2 = 22;
^•^ = 4-3+ (-1) • (-3) + 5 • (-2) = 5.
После этого получаем let- b = |"а*|-| Ь |соз<^или5 = >/42-<\/22cos<p.
Отсюда cos <р = = ? . Следовательно, <р = arccos ? .
Вопрос. Как с помощью скалярного произведения определить,
будут ли два ненулевых вектора перпендикулярны или нет?
3.2. В пространстве угол между скрещивающимися прямыми m и
п определяется как угол между пересекающимися прямыми т\ и П\ ,
которые соответственно параллельны прямым тип.
Пусть на прямой т заданы различные точки А и В, а на прямой
71 — различные точки С и D. Обозначим направляющий вектор Ар
прямой m через "а* и направляющий вектор CD прямой п через b .
Выбрав некоторую точку О, мы можем построить векторы ОМ = ~с?

200
Глаза 7. Координатный метод в пространстве
Ш
и ON = b . Так как прямая ОМ параллельна прямой АВ, а прямая
ON параллельна прямой CD, то угол между прямыми тип можно
вычислять как угол между прямыми ОМ и ON. Если координаты
точек ДВ, С, D известны, то можно вычислить координаты векторов
ОМ и ON и найти угол <р между этими векторами. Если <р не больше
90°, то угол между прямыми ОМ и ON равен </?, а если <р больше 90°,
то угол между прямыми ОМ и ON равен углу, смежному с углом
MON, и его величина равна 180° — (р.
Пример 2. В кубе ABCDA\B\C\D\ точка М середина ребра CD.
Найти угол между прямыми B\D и AM.
Решение. Обозначим ребро куба через
а. Введем прямоугольную систему
координат с началом В и осями В А, ВС и ВВ\
(рисунок 1). Тогда А(а;0;0), Z)(a;a;0),
Z?i(0;0;a), М(|;а;0). Введем векторы
rrt = АЙ = (-|;а;0), "г? = Ш^ =
= (—а; —а; а) и обозначим через </р угол
между ними. Далее находим
|г*|2 = # = £ + а2 = ^;
r*-7f = (_ji).(-a)+a.(_a)+o.a = -£.
Отсюда rft• "r^ = Ir/tl-lT^lcos^, — %- = = ^p-a\/3cos<£>, cos<£> = -=J«.
Так как cos <p < 0, то угол между векторами га и 7Г тупой. Поэтому
угол а между прямыми AM и i?iJ9 равен 180° — ip. Тогда cos a =
= cos(180° - <р) = - cos (f = -4-.
Ответ: a = arccos -A-.
vlo
Вопрос. Как определяется угол между пересекающимися прямы-
Л
В
тГ
I?
ми:
3.3. В этом пункте разберем следующую задачу.
Пример 3. В основании правильной треугольной призмы
АВСА\В\С\ лежит равносторонний треугольник ABC со стороной а.
Найти боковые ребра призмы, если известно, что прямые АВ\ и СА\
перпендикулярны.

§ 3. Угол между прямыми в пространстве
201
Решение. Обозначим АА\ = ВВ\ =
= СС\ = Л. Введем прямоугольную
систему координат с началом Л, ось Ох
в плоскости ABC направим
перпендикулярно АВ, ось Оу направим вдоль АВ,
ось Oz направим вдоль АА\, как указано
на рисунке 2. Найдем координаты вершин
призмы:
Л(0;0:0),Б(0;а;0),С(^^
Отсюда r/t = АВ\ = (0;а;Л), # = CVli = (-^р;-|;/н. Из условия
следует, что 7# ± 7?. Поэтому rrt • it = (0;a;/i) • (—^2 '—2'^) =
Так как Л > 0, то h = А-.
Ответ: -Д?.
Вопрос, Как изменится решение этой задачи, если ввести
систему координат с началом в середине Н ребра АВ и осями НС, НВ,
НН\ , где #i — середина ребра А\В\1
Контрольные вопросы и задания
1. Как в пространстве задается прямоугольная декартова система
координат?
2. Как определяются координаты точки?
3. Как определяются координаты вектора, связанного с началом
системы координат?
4. Как найти координаты вектора, если заданы координаты его
начала и конца?
5. Как выполнить действия над векторами, записанными в
координатной форме?
6. Как найти косинус угла между векторами, если заданы
координаты векторов?
7. Как определяется угол между двумя скрещивающимися
прямыми?

202
Глаза 7. Координатный метод в пространстве
8. Как найти угол между прямыми тип, если известны
координаты направляющего вектора ~с? прямой m и направляющего
вектора 6 прямой / ?
Задачи и упражнения
1. Вычислите сумму векторов если А(1;5;2), В(-1;7; 1),
С(3;3;4), D(4;0;5).
2. Найдите координаты середины М отрезка АВ, если Л(1;2;4),
В(3;0;2).
3. Даны точки А(1;0;6), В(5;4;0), С(5;0;3). Найдите угол при
вершине С треугольника ABC.
4. Найдите косинусы углов, которые образует с положительными
лучами координатных осей вектор ~с? = (2; — 1; — 2).
5. Найдите косинус угла между векторами !& и 6 , если |7?| =
= 2| 6 |, а векторы Tot + 6 и "а* — 3 6 перпендикулярны.
6. Два ненулевых вектора ~а? и 6 таковы, что |7?+ Ь| = |"а*— 6 |.
Докажите, что векторы "а^ и 6 перпендикулярны.
7? Известно, что у&\ = 11, \t\ = 23, |"^ - "?| = 30. Найдите
|7? + ~£|.
8. В основании правильной треугольной пирамиде SABC лежит
равносторонний треугольник ABC со стороной 2. Найдите
боковые ребра пирамиды, если известно, что перпендикулярны
прямые СР и AQ, где Р, Q — середины ребер SA и SB
соответственно
9. В основании правильной четырехугольной пирамиды SABCD
лежит квадрат со стороной 6. Точка Р — середина ребра SB.
Найдите высоту пирамиды, если известно, что прямые АР и SC
перпендикулярны.
10. Вектор "а* -I- 3 6 перпендикулярен вектору Tct — 5 6 , а вектор
1? — 4 6 перпендикулярен вектору 77? — 36. Найдите косинус
угла между векторами 7? и 6 .

§ 4. Угол между плоскостями
203
§4. УГОЛ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ
4.1. Пусть заданы две плоскости а
и /?, которые пересекаются по прямой
с. Проведем плоскость "7,
перпендикулярную прямой с и пересекающую плоскости
а и Р по прямым а и 6 соответственно
(рисунок 1). Тогда по определению угол
между плоскостями а и /3 равен углу между
прямыми а и Ь.
Покажем, что вычисление угла между
плоскостями а и /3 можно свести к
вычислению угла между нормалями к этим
плоскостям. Для этого сначала
напомним, что если в одной плоскости две
прямые 1\ и 1ч перпендикулярны
соответственно двум другим прямым к\ и &2, то
угол между двумя прямыми 1\ и k равен
углу между прямыми к\ и А^.
Вернемся к рисунку 1 и из точки А
пересечения прямых а и Ь отложим
ненулевой вектор А?, перпендикулярный
плоскости а, и ненулевой вектор AQ,
перпендикулярный плоскости р. Тогда АР JL с,
АР ± a, AQ ± с, AQ ± 6. Отсюда
получаем, что прямые а, 6, АР, AQ
проходят через точку пересечения и
перпендикулярны прямой с. Поэтому все прямые
о, 6, АР, AQ лежат в одной плоскости 7
(рисунок 2). Но так как АР ±au AQ ± 6,
то угол между прямыми АР и AQ равен
углу между прямыми а и 6. Это означает, что угол между нормалями
АР и Ац к плоскостям а и /3 либо равен углу между плоскостями а
и /3, либо дополняет этот угол до 180°.
[Ц
Вопрос. Как определяются двугранный угол и линейный угол
двугранного угла?

204
Глава 7. Координатный метод в пространстве
4.2. Рассмотрим в координатном пространстве две плоскости:
плоскость а с уравнением a\x+b\y+c\z+d\ = 0 и плоскость 0 с уравнением
a<ix 4- Ъчу + C2Z + d2 = 0. Тогда вектор rft = (ai;6i;ci)
перпендикулярен плоскости а, вектор it = (ад^Зг) перпендикулярен плоскости
/3. Как следует из предыдущего пункта, угол между векторами rft и
it позволяет определить угол между плоскостями а и (3.
Пример 1. Найти угол между плоскостями, заданными
уравнениями За? — у -2 = 0 и —2х — z + 5 = 0.
Решение. Обозначим rft = (3;—1;0), "г^ = (—2;0; —1), <р — угол
между векторами fit и it. Тогда
С08У= J-2L- , 3.(-2) + (-l).0 + 0.(-l) = _3^2
^ №1^1 ^З2 + (-1)2 + 02^(-2)2 + О2 + (-1)2 5
Так как получили отрицательное значение, то <р > 90°. Поэтому
угол а между заданными плоскостями равен 180° — </? и
cosa = cos(180° - ц>) = - cos<£ = ^р.
Ответ: arccos^p.
Вопрос. Как с помощью полученного ответа найти угол между
плоскостями, заданными уравнениями Зх — 2/ + 1 = Oh2:t + z-1 = 0?
4.3. Связь угла между плоскостями с углом между нормалями к
этим плоскостям приводит к удобному условию перпендикулярности
двух плоскостей.
Пусть плоскости а и /3 имеют уравнения а\х -Н b\y + c\z ■+- d\ = 0,
агж + &2У + С22 + ^2 = 0. Плоскость а перпендикулярна плоскости /3
только в том случае, когда вектор rft = (a\;b\;ci) перпендикулярен
вектору it = (аг; 62; сг)- Это равносильно тому, что rrt • it = 0, то есть
ахаг + 6162 + С1С2 = 0.
Вопрос. Как объяснить, что если две плоскости
перпендикулярны, то две соответственно параллельные им плоскости также
перпендикулярны?
4.4. Рассмотрим несколько задач на вычисление угла между
плоскостями. В этом пункте разберем следующую задачу.
Пример 2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD
ребра основания ABCD равны 4, высота SH равна 3. Найти угол между
плоскостями SAB и SBC.

§ 4. Угол между плоскостями
205
Решение. Введем прямоугольную
систему координат с началом в точке Н —
основании высоты пирамиды, и осями,
направленными, как указано на рисунке 3.
Тогда Л(2; -2; 0), Я(-2; -2; 0), С(-2; 2; 0),
5(0; 0;3).
Обозначим плоскость SAB через а и
запишем ее уравнение в виде ах + by +
cz + d = 0 и из условий, что точки 5,
Л, Б принадлежат плоскости а, составим
систему уравнений:
( Зс + с/ = 0,
| 2(г - 26 + d = 0,
I 2а + 26 - d = 0.
Выражая неизвестные а, Ь, с через d, находим а = 0, 6
с = —id. Выбирая с/ = б, уравнение плоскости а получаем в виде
Зу — 2z — б = 0, при этом вектор нормали к ней rrt = (0; 3; —2).
Аналогично находится уравнение плоскости SBC, в виде Зд: — 2z—
—б = 0 и вектор нормали к ней it = (3;0; —2).
Пусть (р — угол между векторами Irt и it. Тогда cos <р = \Ж \ TLii =
= ^. Так как coscp > 0, то угол между плоскостями равен
И
V-
Ответ: arccos^.
Вопрос. Чему равен двугранный угол при ребре SB у пирамиды
из рассмотренного примера?
4,5. В этом пункте разберем
следующую задачу.
Пример 3. В кубе ABCDAxBiCiDi с
ребром 1 плоскость а проходит через
главную диагональ АС\ , пересекает ребро CD
и образует угол в 60° с плоскостью
основания ABCD. Найти, в каком отношении
плоскость а делит ребро CD.
Решение. Введем прямоугольную
систему координат с началом в точке В и

206
Глава 7. Координатный метод в пространстве
осями, направленными как на рисунке 4.
Векторе = BBi = (0;0;1) является нормалью к плоскости ABCD.
Плоскость а проходит через точку А(1; 0; 0) и через точку Ci(0; 1; 1).
Пусть она пересекает ребро CD в точке Р(£;1;0), где 0 < ^ < 1 —
неизвестное, которое нужно найти. Будем искать уравнение плоскости
а в виде ax + by + cz -f d = 0.
A € а, поэтому a + d = 0;
C\ € a, поэтому b + с 4- d = 0;
P € a, поэтому a£ + 6 + d = 0.
Из системы
a + d = 0,
fe + c + d = 0,
at 4- 6 + d = 0
находим: a = —d, 6 = (£ — l)d, с = — dt. Выбирая d = — 1, уравнение
плоскости a получим в виде x + (l — t)y + tz — l = 0, а вектор нормали
к ней ft = (1;1 - t;t).
Из условия следует, что если (р — угол между векторами ?Й и it,
то |cos^| = 1. Отсюда \rft • Т?| = |п*| • |^| • 1, |*| = ^1 + (1 - t)2 + *2,
1 +1-2* -ft2 + *2 = 4£2,*2 + *-1 =0. Таккак0<* < 1, то * = "^ А
Значит, СР = J^b-Ц PZ? = l"*^, CP:PD = (л/б-1) : (3-v% =
2 '
Ответ: CP:PD = *-*£&.
Вопрос. Какую форму имеет сечение куба плоскостью а из
рассмотренного примера и как вычислить площадь сечения?
Контрольные вопросы и задания
1. Что такое двугранный угол?
2. Как определяется линейный угол двугранного угла?
3. Как определяется угол между двумя плоскостями?
4. Докажите, что угол между двумя плоскостями равен либо углу
между нормалями к плоскостям, либо смежному с ним углу.
5. Как найти угол между двумя плоскостями, если известны их
уравнения?

§ 4. Угол между плоскостями
207
6. При каком условии две плоскости, заданные уравнениями,
перпендикулярны?
Задачи и упражнения
1. Найдите угол между плоскостями:
а)х + у + 2-1 = 0и2х-у-2 + 5 = 0;
б)2х + у-2 + 4 = 0и:г + 2у + 2-1=0;
в) 2х + Зу + 4г - 12 = 0 и Зх - 6у + 1 = 0;
г) Зх - 2у - Зг + 5 = 0 и 9х - 6у - 9z - 5 = 0;
д) 2х - у - z - 3 = 0 и 10х - Ъу - 52 - 15 = 0;
е) 2х - 4у + 52 - 21 = 0 и х - Зг + 18 = 0.
2. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку
Л(1; —3; 2) параллельно плоскости 2х + у + 22 - 1 = 0.
3. Найдите, при каком значении m плоскость 2х + ту — 32 — 1 = 0
перпендикулярна плоскости 5х + у + Зг 4-1 = 0.
4. Найдите угол между плоскостью Оху и плоскостью n/2x+ у-
-32 + 17 = 0.
5. Дан куб с основанием ABCD и боковыми ребрами АА1, ВВ', С С
и DD1. Через вершину В и середины ребер С С и A'D' проведена
плоскость. Найдите величину двугранного угла, образованного
этой плоскостью с плоскостью основания.
6. В основании треугольной пирамиды SABC лежит
прямоугольный треугольник ABC, длины катетов АВ и АС которого равны
За и 4а соответственно. Ребро SA пирамиды перпендикулярно
плоскости основания и имеет длину а. Через середины ребер
АВ, SC и точку, лежащую на ребре АС и удаленную от вершины
А на расстояние а, проведена плоскость. Определите величину
двугранного угла, образованного этой плоскостью и плоскостью
основания.
7. В основании треугольной пирамиды SABC лежит правильный
треугольник ABC со стороной 1, ребро SA пирамиды
перпендикулярно плоскости основания, \SA\ = \/3. Плоскость а
параллельна прямым SB и АС, плоскость /? параллельна прямым SC
и АВ. Определите величину угла между плоскостями а и (3.

208
Глава 7. Координатный метод в пространстве
8. В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит
прямоугольник ABCD со сторонами \АВ\ = 3, \ВС\ = 2. Боковые
ребра пирамиды имеют одинаковую длину, ее высота равна 3.
Плоскость а параллельна прямым SB и АС, плоскость /3
параллельна прямым SC и BD. Определите величину угла между
плоскостями а и /3.
9. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA'B'C'D' длины ребер
|j4JB| = 1, \AD\ = \/3, \АА'\ = 2. Через вершины В', D и точку
М — середину ребра ВС проведена плоскость тт. Определите
величину двугранного угла между плоскостью п и плоскостью
грани ABCD.
10. В кубе ABCDA'B'C'D' точка М — середина ребра CD\ точка N
выбрана на ребре АВ так, что \AN\ = 2\NB\. Через вершину D и
точки М и N проведена плоскость 7г. Определите величину
двугранного угла между плоскостью 7г и плоскостью грани ABCD
куба.
11. Все ребра правильной треугольной призмы ABC А! В'С имеют
длину 1. Точка М выбрана на ребре АВ так, что \АМ\ = 2\МВ\,
точка N — середина ребра А'С. Через вершину С и точки М
и N проведена плоскость п. Определите величину двугранного
угла между плоскостью п и плоскостью основания ABC.
12. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона
основания ABCD равна 1, высота пирамиды равна 2. Точки М и N
— середины ребер SB и CD соответственно. Через вершину А
и точки М и N проведена плоскость п. Определите величину
двугранного угла между плоскостью 7г и плоскостью основания
ABCD.
13. В основании треугольной пирамиды ABCD лежит
прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой ВС, равной единице, и
углом ABC, равным 60°. Длины ребер AD, BD, CD равны ^^;
точка М — середина CD. Через прямую ВЫ под углом 45° к
плоскости ABC проведена плоскость, пересекающая ребро АС в
некоторой точке N. Найдите отношение AN : NC.
14. В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит
прямоугольник ABCD со сторонами АВ = 4, ВС = 2. Длины всех

§ 5. Угол между прямой и плоскостью
209
»*
боковых ребер равны 3, точка М — середина AS. Через прямую
ВМ параллельно диагонали АС проведена плоскость.
Определите величину угла между этой плоскостью и плоскостью SAC.
157 В основании треугольной пирамиды ABCD лежит правильный
треугольник ABC со стороной, равной единице. Ребро AD
перпендикулярно плоскости основания, а его длина равна единице.
Точка М — середина BD. Через прямую МС параллельно
высоте АН треугольника ABC проведена плоскость. Определите
величину угла между этой плоскостью и плоскостью ABD.
16. В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит
прямоугольник ABCD со сторонами АВ = 3, ВС = 1. Ребро SА
перпендикулярно плоскости основания и равно 2\/б; точка М —
середина CD. Через прямую ВМ под углом 45° к плоскости SAB
проведена плоскость, пересекающая ребро SA в некоторой точке
N. Найдите отношение SN : NA.
§ 5. УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ и плоскостью
5.1. Пусть задана плоскость а и на- Ш
клонная прямая а которая пересекает цУ
плоскость а в точке А. Опустим из произ- f%%
вольной точки В прямой а, не совпадаю- ><" Т^^Т^^ч
щей с А, перпендикуляр ВН на плоскость / ^ / ] А
а (рисунок 1). Тогда прямая АН явля- / /£- Я J
ется проекцией прямой а на плоскость а. у— ^ */
По определению угол между прямой а и
плоскостью а равен углу ВАН. Так как
треугольник АВН прямоугольный, то
LBAH + LABH = 90°. Значит, угол ВАН дополняет до 90° угол
АВН, образованный прямой а и перпендикуляром ВН к плоскости
а, а поэтому sin IB АН = cos LABH. Отсюда следует, что вычислив
косинус угла между прямой а и перпендикуляром к плоскости а, мы
сможем найти синус угла между прямой а и плоскостью а.
Вопрос. Пусть Hfr — направляющий вектор прямой a,rrt —
вектор нормали к плоскости а и угол между векторами 1? и rrt равен

210
Глава 7. Координатный метод в пространстве
120°. Чему равен угол между прямой а и плоскостью а?
5.2. Пусть в координатном пространстве заданы плоскость а с
уравнением ax + by + cz + d = Qu прямая /, проходящая через точки
A{p\\q\\r\) и B{p2\q2',T2)- Тогда вектор rft = (а;6;с) является
нормалью к плоскости а, а вектор Ad = {рг—р\', ф —Ч\\ t*i—г г) —
направляющим вектором прямой АВ. Как следует из предыдущего пункта, угол
между векторами rft и АВ позволяет определить угол между прямой
/ и плоскостью а.
Пример 1. Найти угол между плоскостью с уравнением х + 2у+
+3г = 0 и прямой АВ, где Л(0;0;0), В(2; -5; 1).
Решение. Обозначим через nt = (1;2;3) — нормаль к данной
плоскости, ~cf = АВ = (2; —5; 1) — направляющий вектор прямой АВ, ip
— угол между векторами rft и 1?, a — угол между прямой АВ и
заданной плоскостью. Тогда
сея id - Ь2 + 2-(-5) + 3-1 _ _ Гь
Так как значение косинуса отрицательно, то v? > 90°. Смежный к
нему угол 7г — <£ меньше 90° и cos(7r — ip) = J^r. Так как угол тг — <р
дополняет до 90° угол а, то sin а = cos(7r - <р) = J^.
Ответ: arcsin j£r.
V 84
Вопрос. Как связаны друг с другом угол между двумя прямыми
и угол между направляющими векторами этих прямых?
5.3.' В этом пункте разберем следующую задачу.
Пример 2. В правильной
четырехугольной пирамиде SABCD ребра
основания ABCD равны 2, высота SH равна
5. Найти угол между прямой SB и
плоскостью SAD.
Решение. Введем прямоугольную
систему координат с началом в точке В и
направим ось Ох вдоль В А, ось Оу вдоль
ВС, ось Oz перпендикулярно прямым
В А и ВС (рисунок 2). Тогда £(0;0;0;),

§ 5. Угол между прямой и плоскостью
211
5(1; 1;5), Л(2;0;0), £>(2;2;0).
Обозначим плоскость SAD через 7 и запишем ее уравнение в виде
ах + by + cz + a1 = 0. Из условия, что плоскость 7 проходит через точки
Л, D, S составим систему
( 2а + J = 0;
| 2а + 26 + d = 0;
Выражая неизвестные через а, найдем о* = -2а, 6 = 0, с = ^а.
В итоге уравнение плоскости j запишется в виде ах + Ааг — 2а = 0.
Полагая а = 5, получим 5дг + г - 10 = 0. Отсюда находим вектор
nt = (5;0;1), перпендикулярный плоскости j. После этого находим
направляющий вектор = (1; 1; 5) заданной прямой.
Обозначим через <р угол между векторами rrt и BS, через а — угол
между прямой BS и плоскостью 7- Тогда
cos
ф= r?t'B$ - 5-1+0-1 +1-5 - 10
У |Т*|-|ЕЗ| V52 + 1V52 + 1 + 1 V26-27'
Отсюда следует, что <р < 90°. Поэтому угол (р дополняет до 90°
угол а, а значит
Sina = COS^=V#27-
Ответ: arcsin -
Вопрос. Как решить эту задачу, выбрав за направляющий вектор
прямой SB вектор So?
5.4. В этом пункте разберем следующую задачу.
Z
Пример 3. В единичном кубе
ABCDA\B\C\D\ плоскость а проходит
через вершины A, B\,D\, плоскость /3
проходит через вершины А\, С\ и середину
ребра ВС. Плоскости а и /3 пересекаются
по прямой I. Найти угол между прямой /
и плоскостью грани ABCD.
Решение. Введем прямоугольную
систему координат с началом А и осями, на-

212
Глава 7. Координатный метод в пространстве
правленными как на рисунке 3. Тогда вершины куба и точка М
имеют координаты: Л(0;0;0), В(0;1;0), С(1;1;0), £>(1;0;0), >M0;0;1),
Bi(0;l;l), Ci(l;l;l), А(1;0;1), М(1;1;0).
Запишем уравнение плоскости а в виде ах 4- by 4 cz + d = 0. Из
условия, что плоскость а содержит точки A, 2?i, jDi, составим систему:
d = 0,
&4c4-d = 0,
о 4 с 4 d = 0.
Выражая неизвестные через с, получаем d = 0, а = —с, b = —с.
В итоге уравнение плоскости а запишется в виде — сх — су 4 cz = 0.
Выбрав с = — 1, получим х + у-2 = 0. Отсюда находим вектор
rrt = (1; 1; — 1), перпендикулярный плоскости а.
Запишем уравнение плоскости /3 в виде mx + ny + kz + р = 0. Из
условия, что плоскость (3 проходит через точки А\, Сь М, составим
систему:
I* + р = 0;
^m-f n-f р = 9.
Выражая неизвестные через р, получаем к = —р, m = 2р, п = —2р.
В итоге уравнение плоскости /3 запишется в виде 2рх - 2py-pz+p = 0.
Выбрав р = 1, получим 2х — 2у — z 4- 1 =0. Отсюда находим вектор
it = (2; —2; —1), перпендикулярный плоскости (3.
Запишем направляющий вектор прямой / в виде / = (/,p,/i). Так
как Tit ± q, it ± /Зу а вектор / параллелен плоскостям а и /?, то
?т? _L / , я* _L / . Отсюда
rtf.~f = /4-0-ft = O, it ~t = 2f -2g-h = 0.
Выражая неизвестные / и g через Л получаем / = |ft, g = £ft.
Поэтому за направляющий вектор прямой / можно брать любой вектор
вида (|Л; |Л;Л) где /г ^ 0. При h = 4 получим / = (3; 1;4).
После этого найдем нормаль к плоскости ABCD. Так как АА\ L
L ABCD, то вектор к = АА\ = (0;0; 1) и есть нормаль к плоскости
ABCD.
Обозначим через а угол между прямой / и плоскостью ABCD, через
ip — угол между векторами I и к . Тогда

§ 5. Угол между прямой и плоскостью
213
1 Vl '| Г|-|*Т Л/32 + 12 + 421 726
Ответ: arcsin-4-.
V26
Вопрос. Как решить эту задачу, не используя метод координат?
Контрольные вопросы и задания
1. Как определяется угол между прямой и плоскостью?
2. Как связаны друг с другом углы между прямой, плоскостью и
нормалью к этой плоскости?
3. Как найти угол между прямой и плоскостью, если заданы
уравнения плоскости и направляющий вектор прямой?
Задачи и упражнения
1. Найдите угол между прямой, проходящей через точки Л(1; 1; 1),
£(2;4;0), и плоскостью, заданной точками C(l; 1;2), D(l;2,l) и
Я(2;2;3).
2. В треугольной пирамиде SABC ребра АВ, AC, AS взаимно
перпендикулярны и АВ = 3, АС = 1, AS = у/Ъ. Найдите угол между
медианой ВК грани ASB и плоскостью BSC.
3. В треугольной пирамиде SABC ребра SA, АВ и ВС взаимно
перпендикулярны и SА = 1, АВ = 2, ВС = 4. Найдите угол
между медианой ВК грани ABC и плоскостью BSC.
4. В треугольной пирамиде SABC ребра SA, АВ и ВС взаимно
перпендикулярны и SA = 4, АВ = 3, ВС = 2у/Е. Точки К и L
— середины ребер АС и SB. Найдите угол между прямой KL и
плоскостью BSC.
5. В треугольной пирамиде SABC ребра АВ, AC, AS взаимно
перпендикулярны и АВ = 1, АС = 2, AS = 4. Точки К и L —
середины ребер BS и АС. Найдите угол между прямой KL и
плоскостью BSC.
6. В основании прямой призмы АВСА'В'С лежит правильный
треугольник ABC со стороной 2, длины боковых ребер АА', ВВ',

214
Глава 7. Координатный метод в пространстве
СС равны л/3. Плоскость а параллельна прямым АС и А'В.
Определите величину угла между прямой ВС и плоскостью а.
7. В основании пирамиды SABC лежит правильный треугольник
ABC со стороной 2, ребро SA перпендикулярно плоскости
основания, \SA\ — л/3. Плоскость а параллельна прямым SC и АВ,
точка К — середина ребра ВС. Определите величину угла
между прямой АК и плоскостью а.
8. В основании прямоугольного параллелепипеда ABCDA\B\C\D\
с боковыми ребрами АА\, ВВ\, СС\, DD\, лежит прямоугольник
ABCD со сторонами АВ = 5, ВС = 1. Точка М — середина
ребра АВ. Найдите объем параллелепипеда, если известно, что
отрезки МС\ и В\С образуют равные углы с плоскостью A\BCD\.
9. В основании прямоугольного параллелепипеда ABCDA\B\C\D\
с боковыми ребрами АА\, ВВ\, СС\, DD\ лежит прямоугольник
ABCD со сторонами АВ = >/7, ВС = 1. Точка М — середина
ребра АВ. Точка N — середина ребра В\С\. Найдите объем
параллелепипеда, если известно, что отрезки МС\ и CN образуют
равные углы с плоскостью A\BCD\.
10. В основании прямоугольного параллелепипеда ABCDA\B\C\D
с боковыми ребрами АА\, ВВ\, СС\, DD\ лежит прямоугольник
ABCD со сторонами АВ = 3, ВС = 1. Найдите объем
параллелепипеда, если известно, что отрезки АС\ и В\С образуют равные
углы с плоскостью A\BCD\.
11. В основании прямоугольного параллелепипеда ABCDA\B\C\D\
с боковыми ребрами АА\Л ВВ\, СС\, DD\ лежит прямоугольник
ABCD со сторонами АВ = у/7, ВС = 1. Точка М —
середина ребра АВ. Найдите объем параллелепипеда, если известно,
что отрезки МС\ и B\D образуют равные углы с плоскостью
AXBCDX.
12. В правильном тетраэдре SABC плоскость а проходит через
вершины 5, С и середину М ребра АВ, плоскость /3 проходит через
вершину В и точки К и L — середины ребер SA и SC
соответственно. Плоскости а и Р пересекаются по прямой /. Найдите
величину угла между прямой / и плоскостью грани ABC.
13. Сторона основания ABC правильной треугольной призмы

§ 6. Расстояние от точки до плоскости
215
АВСА'В'С равна 1, длины боковых ребер АА', ВВ\ СС равны
2. Плоскость а проходит через вершины А, В и С", плоскость /3
проходит через вершины В\ С и точку М — середину ребра АА'.
Плоскости а и 0 пересекаются по прямой /. Найдите величину
угла между прямой / и плоскостью основания ABC.
14. Сторона основания ABCD правильной четырехугольной
пирамиды SABCD равна 1, ее высота равна 2. Плоскость а проходит
через вершины Л, 5 и середину М ребра ВС, плоскость /3
проходит через вершину В и точки К и L — середины ребер AS и SC.
Плоскости а и /? пересекаются по прямой /. Найдите величину
угла между прямой / и плоскостью основания ABCD.
§ 6. РАССТОЯНИЕ от точки до плоскости
6.1. Напомним, что расстоянием от точки до плоскости называется
длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.
Пусть в координатном пространстве плоскость а задана
уравнением ax+by+cz+d = 0 и точка А имеет координаты (га; п; к). Расстояние
от точки А до плоскости а нетрудно вычислить, если будет найдена
точка В(хо]уо,гц) плоскости а такая, что вектор A3
перпендикулярен а. Если АВ JL а, то вектор АВ коллинеарен вектору нормали
(a;b\c) к плоскости а. Это означает, что найдется такое число Л, что
(xQ — m;yo — n; ZQ — k) = Л(а;6;с) или xq — тп = Аа, уо — п = \b, zq — к = Ас.
Когда число А станет известным, расстояние АВ от точки А до
плоскости а можно будет найти по известной формуле:
АВ = J(x0 - mf + (i/o - n)'2 + (го - A:)2 =
= VAV + A262 + A2c2 = |A| • л/о2 + б2 + с2.
Для вычисления А запишем xq = m 4- Аа, уо = А6, 2о = п + Ас. Так
как точка £?(хо; 2/о; ^о) лежит в плоскости а, то
axo + 6j/o + его + d = О,
а(т + Аа) + Ь(п + А6) 4- с(к + Ас) + d = О,

216
Глава 7. Координатный метод в пространстве
Х(а2 + Ь2 + с2) = -(от + Ьп + сА: + d),
Так как ЛЯ = |А| • у/а2 + б2 + с2, то
АВ = 1ат + ^ + <*Н . ^а2+62 + с2 = И + 6n + с* + d|
az -f tr + <r ya2 + б2 + с2
Таким образом, расстояние h от точки A(m,n',k) до плоскости с
уравнением ax + by + cz + d = 0 вычисляется по формуле
l _ lam + Ьп + ск + dl
Л-' Vai + ^ + ci •
(1)
ш
z
В' с*
№71
Вопрос. К чему приводит полученная формула, когда точка А
лежит на плоскости а?
6.2. Рассмотрим несколько задач на вычисление расстояния от
точки до плоскости. В этом пункте разберем следующую задачу.
Пример 1. Точка М — середина
ребра AD единичного куба ABCDAIB'C'D'.
Через середину В'М перпендикулярно ВМ
проводится плоскость а. Найти
расстояние от центра куба до плоскости а.
Решение. Введем прямоугольную
систему координат с началом в точке Л,
направив ось Ох по — АВ, Оу по — AD, Oz
— по А А' (рисунок 1). Выпишем
координаты нужных точек:
Л^(1; I; I) — середина отрезка В'М, 0(^; 1; ^) — центр куба. Вектор
МИ = (1;—А;1) перпендикулярен искомой плоскости, поэтому
уравнение плоскости будет иметь вид х — ^у -f- z + d = 0. Подставив в
уравнение плоскости координаты точки JV, которая лежит на
плоскости, и получим \~~\Jr\+d = Q, откуда d = — |. Поэтому по формуле
(1) искомое расстояние равно

§ 6. Расстояние от точки до плоскости
217
|I_I + I_Zi _
'2 4 + 2 К» — § — 1
1
l + l + i
i
I
2
Ответ: ^.
Вопрос. Как изменится ответ в задаче, если ребро куба равно а?
В этом пункте разберем следующую задачу.
6.3?
Пример 2. В основании пирамиды SABCD лежит
прямоугольник ABCD со сторонами \АВ\ = 3, \ВС\ = 4. Боковые ребра
пирамиды имеют одинаковую длину, высота пирамиды равна ~. Плоскость
а проходит через прямую SA параллельно диагонали BD основания.
Найти расстояние от вершины С до плоскости а.
Решение. Сначала докажем, что осно-
вание высоты SO пирамиды совпадает
с точкой пересечения диагоналей
прямоугольника ABCD. Действительно, если
SO _L ABCD, то треугольники ASO,
BSO, CSO, DSO прямоугольные и
равны, так как катет SO общий, и
гипотенузы SA, SB, SC, SD равны по условию.
Отсюда АО = ВО = СО = DO, а поэтому
точка О — центр окружности, описанной
около прямоугольника ABCD.
Введем прямоугольную систему координат с началом О, направив
ось Ох параллельно АВ, ось OY параллельно ВС, ось Oz по прямой
SO, как на рисунке 2. Тогда точки S, А, В, D, С имеют следующие
координаты: 5(0; 0; ^), Л(§; -2; 0), £(-§; -2; 0), С{-\; 2; 0), Л(§; 2; 0).
Запишем уравнение плоскости а в виде ах + by + cz -h d = 0. Из
условия, что точки А, 5 лежат в плоскости а, получаем равенства
|а - 26 + d = 0, ^с + d = 0. Вектор it = (а; 6; с) перпендикулярен
плоскости а и поэтому перпендикулярен вектору BD = (3;4;0),
который параллелен плоскости а. Отсюда = 0 или За + 46 = 0. В
результате приходим к системе

218
Глава 7. Координатный метод в пространстве
26 + d = 0;
Выражая неизвестные через d, получаем a = — |d, b = |d, с = ~ Ad.
Выбирая d = —12, уравнение плоскости а запишем в виде 4х — 3t/+
+5z - 12 = 0. Так как С(-|;2;0), то по формуле (1) искомое
расстояние равно
|4.(-§)-3-2 + 5-0-12|_ 24 = 12^2
\/42 + З2 + 52 750 5 *
Ответ: !2Д
о
Вопрос. Как решить эту задачу, не используя метод координат?
Контрольные вопросы и задания
1. Как определяется расстояние от точки до плоскости ?
2. Как вычислить расстояние от точки до плоскости, если известны
координаты точки и уравнение плоскости?
Задачи и упражнения
1. Найдите расстояние от точки (-4; —2; 3) до плоскости — х + 2у+
+2z + 3 = 0.
2. Вычислите расстояние от начала координат до плоскости 2х—
-2у + 2 + 6 = 0.
3. Все ребра правильной треугольной призмы ABC А'В1 С равны 1.
Через середину АВ' перпендикулярно АВ1 проводится плоскость
а. Найдите расстояние от вершины С до плоскости а.
4. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S
точка М — середина ребра АВ, точка К — середина ребра SC.
Через середину МК перпендикулярно МК проводится плоскость
а. Найдите расстояние от центра основания до плоскости а, если
АВ = 2, AS = 4.

§ 6. Расстояние от точки до плоскости
219
5. В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S точка
К — середина ребра АВ, точка М — середина ребра SC.
Через середину МК перпендикулярно МК проводится плоскость
а. Найдите расстояние от середины ребра АС до плоскости а,
если АВ = 2, SA = 6.
6. В основании прямой треугольной призмы АВСА'В'С лежит
правильный треугольник ABC со стороной 2, длина боковых ребер
АА', ВВ\ СС равна \/3. Точки М, N, Р — середины ребер ВС,
СС, А'С соответственно. Плоскость а проходит через точки М,
N и Р. Найдите расстояние от вершины А до плоскости а.
7. В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со
сторонами \АВ\ = 2, \ВС\ = 1, точка М — середина ребра АВ.
Боковые ребра пирамиды имеют одинаковую длину, высота
пирамиды равна ^р. Через прямую DM параллельно SA проходит
плоскость а. Найдите расстояние от вершины С до плоскости а.
8. В основании треугольной пирамиды SABC лежит правильный
треугольник ABC со стороной 1, плоскости граней SAB и ABC
перпендикулярны, \SA\ = \SB\, высота пирамиды равна 1. На
ребре SA выбрана точка М так, что \МА\ = 2|5М|, точка N —
середина ребра SC. Плоскость а проходит через точки В,Ми
N. Найдите расстояние от точки А до плоскости а.
9. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA'B'C'D' ребра АВ =
= 3, AD = 3%/2, АА' — 2. Найдите длину перпендикулярной
проекции отрезка CD на плоскость В'СМ, где М — середина
ребра AD.
10. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA!B'C'D' ребра АВ =
= 2, AD = 4, АА' = л/14. Найдите длину перпендикулярной
проекции отрезка CD' на плоскость А'МС, где М — середина
ребра AD.
11. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA'B'C'D' ребра АВ =
= 5, AD — 10, АА' = 2>/5. Найдите длину перпендикулярной
проекции отрезка А'В' на плоскость BMD, где М — середина
ребра В'С.
12? В прямоугольном параллелепипеде ABCDA'B'C'D' ребра АВ =

220
Глава, 7. Координатный метод в пространстве
= 1, AD — 2, АА' = 3. Найдите длину перпендикулярной
проекции отрезка А'С на плоскость В DC.
13. В основании параллелепипеда лежит параллелограмм ABCD,
острый угол А которого имеет величину 60°, длины сторон АВ и
ВС равны соответственно а и 2а. Боковые ребра АА', В В', С С',
и DD' параллелепипеда перпендикулярны плоскости основания,
их длина равна а. Через вершины А, В' и D' параллелепипеда
проведена плоскость. Найдите расстояние от вершины С до этой
плоскости.

УРАВНЕНИЯ С
НЕИЗВЕСТНОЙ
ФУНКЦИЕЙ И ЕЕ
ПРОИЗВОДНЫМИ
В этой главе вы познакомитесь с понятием первообразной и
некоторыми применениями первообразных в задачах естествознания.
§ 1. ПЕРВООБРАЗНАЯ
1.1. Многие задачи естествознания и техники сводятся к
нахождению функции F(x) по ее производной f(x) = F'(x).
Например, пусть материальная точка движется прямолинейно с
постоянной скоростью v и требуется найти закон движения этой точки,
то есть функцию S{t), выражающую зависимость пройденного пути S
от времени t.
Так как v = s'(£)> то в данном примере по известной производной
требуется найти функцию S(t).
Заметим, что эта задача имеет бесконечное множество решений.
Например, функции vt, vt + 1, vt — ^, vt + 3, ..., являются решениями,
так как
(vt)' = (vt + 1)' = {vt - frac\2)' = (vt + 3)' = ... = v.
Введем следующее определение.
Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на
заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка выполняется
равенство
F'(x) = /(*)•
В предыдущем примере функции vt, vt + 1, vt - \ являются
первообразными для f(t) = v на промежутке (—оо;оо).
8

222 Глава 8. Уравнения с неизвестной функцией и ее производными
Вопрос. Как проверить, что функция F(x) = у есть
первообразная для функции f(x) = хА на интервале (—оо;оо)?
1.2. При нахождении первообразных важную роль играет
следующий признак постоянства функции.
Теорема. Если Fr(x) = 0 на некотором промежутке, то функция
F(x) — постоянная на этом промежутке.
Доказательство. Выберем какое-нибудь число а из промежутка.
Тогда по теореме Лагранжа для любого другого числа х из
промежутка найдется такое число с, заключенное между а: и а, что
F(x)-F(a) = F'(c)(x-a).
Так как число с принадлежит промежутку, то F'(c) = 0.
Следовательно,
F(x) - F(a) = 0.
Таким образом, F(x) = F(a), то есть функция F сохраняет постоянное
значение.
Вопрос. Верно ли утверждение, обратное к теореме этого
пункта?
1.3. В этом пункте рассмотрим основное свойство первообразных.
Теорема. Любые две первообразные F\(x) и F2{x) к одной и той же
функции f(x), определенной на некотором промежутке, отличаются
друг от друга на этом промежутке на постоянное слагаемое.
Доказательство. По условию F{(x) = f(x) и F^x) = f{x). Отсюда
(ед - еду = f[(x) - ед = д*) - /(*) = о.
В силу признака постоянства функции разность F\(x) — i*2(#) = С —
постоянная величина на промежутке. Отсюда
ед = ед + а
Обратно, если F(x) — первообразная функция для функции f(x) и
С — произвольная постоянная, то функция
Ф(х) = F(x) + С,

§ J. Первообразная
223
также является первообразной для функции f(x).
Действительно,
Ф'(х) = (F(x) + СУ = F'(x) = /(*).
Таким образом, зная на некотором промежутке какую-либо одну
первообразную функцию F(x) для функции /(#), мы можем найти
любую другую первообразную функцию Ф(х) для f(x) по формуле
Ф(х) = F(x) + С,
где С — произвольная постоянная.
Нахождение всех первообразных для данной функции называется
интегрированием. Произвольная постоянная С в формуле Ф(х) =
= F(x) + С называется постоянной или константой интегрирования.
Интегрирование является операцией, обратной к операции
дифференцирования.
Вопрос, Как записать общий вид функции S{t) в примере из
пункта 1.1?
1.4. Заметим, что иногда рассматривают функцию f(x),
заданную на двух или нескольких промежутках. В этом случае на каждом
из промежутков можно находить некоторую первообразную для
функции f(x) и тем самым получить функцию -Р(х), определенную на том
же множестве, на котором определена функция f(x).
Пример 1. Пусть f(x) = X рассматривается на промежутках
(-оо; 0) и (0; оо). Нетрудно проверить, что если F(x) = — при \х\ > 0,
то F'(x) = (—j) = Л- При этом равенство F'(x) = X верно как
при х > 0, так и при х < 0. Поэтому функцию F(x) = — i также
1 ^
называют первообразной функции f(x) = 77 на всей области
определения. Из предыдущего пункта следует, что тогда функция Ф(х) =
= F(x) + С = —- + С также будет первообразной для функции f(x) =
X на промежутке (0; оо) при любом выборе числа С и на промежутке
(—оо; 0) при любом выборе числа С. Однако, в этом случае на разных
промежутках можно выбирать разные значения С. Например, пусть
Ф(х) = Fix) + 3 = -I + 3 при х > 0 и Ф(х) = F(x) - 1 = -1 - 1 при
X х

224 Глава 8. Уравнения с неизвестной функцией и ее производными
х < 0. Тогда Ф'(х) = \ как при х > 0, так и при х < 0. Следовательно,
заданная указанным способом функция Ф(х) есть первообразная для
функции f(x) = \ на всей области определения.
Таким образом, при интегрировании функции f(x) = \ на всей
области определения, мы также получаем первообразные вида Ф(х) =
= — i + С, где С — постоянная. При этом предполагается, что на
каждом из промежутков области определения значения постоянной
можно выбирать разные.
Вопрос. Как проверить, что функции вида F(x) = — А + С явля-
ются первообразными для функции f(x) = ^
1.5. При нахождении первообразных пользуются следующей
таблицей.
Функция
1. f(x) = А; (постоянная)
2. /(x) = xn {neR, пф-l)
3- /(*) = J
4. /(х) = £
5. /(x) = az (a>0,a^l)
6. Дх) = ех
7. Дх) = sinx
8. Дх) = cosx
9. Дх = -Д-
**v ' cos ,s
Ю. /(ж) = -Аг-
Множество
&х + С
xn+1 «Г
In |х| + С
2у[х + С
£+С
ех + С
-cosx + C
sinx + С
tgx + C
-ctgx + C
первообразных
При этом предполагается, что первообразная определена при тех
же значениях х, при которых определена и сама функция.
Пример 2. Покажем, что функция F(x) = 1п|х|, определенная
при х ^ 0, есть первообразная для функции /(х) = ^.
Действительно, если х > 0, то |х| = х и (In |х|)' = (lnx)' = ^.
Если же х < 0, то |х| = -х и (In |х|)' = (1п(-х))' = ^(-1) = ^.

§ J. Первообразная
225
Вопрос. Как проверить, что tg х + С есть множество
первообразных для функции f(x) = \ , определенной при я ф £ + 7гп, где
9 COS X z
1.6. Множество всех первообразных для функции /(х),
определенной на некотором промежутке, называется неопределенным
интегралом от функции f(x) и записывается в виде
J f(x)dx
(читается: "неопределенный интеграл эф от икс дэ икс").
Если известна какая-либо одна из первообразных функций F(x)
для функции /(я), то по определению неопределенного интеграла
имеем:
ff(x)dx = F(x) + C,
где С — произвольная постоянная.
Иногда для краткости неопределенный интеграл называют
интегралом, когда из текста ясно, что речь идет о неопределенных
интегралах.
Вопрос. Как проверить, что / x2dx = 4- + С?
Контрольные вопросы и задания
1. Сформулируйте определение первообразной функции для данной
функции /(я), рассматриваемой на промежутке.
2. Сформулируйте и докажите признак постоянства функции.
3. Докажите основное свойство первообразных функций.
4. Как читается символ / f(x)dx и что означает равенство / f(x)dx =
= F(*) + C?
Задачи и упражнения
1. Докажите, что на промежутке (—оо;оо) функция F(x) есть
первообразная для функции /(х), если:
a)F(x)=:r,/(*) = l;
б) F(x) = х2, f(x) = 2х;

226 Глава 8. Уравнения с неизвестной функцией и ее производными
в) F(x) = х6, f(x) = 6х5;
г) F(x) = £sin2x, f(x) = cos2x;
д) F(x) = sin 2x, f(x) = 2 cos 2x;
е) F(x) = sin2x, /(x) = sin2x.
2. Докажите, что функция на указанном промежутке F(x) есть
первообразная для функции /(х), если:
a) F(x) = 2^5, /(х) = -^, х б (0;оо);
6)F(x) = I,/(x) = -£,xe(0;oo);
в) F(x) = -2, /(х) = ^,xG (-оо;0);
г) F(x) = tgx, /(х) = J^, х € (-§; |);
Д) ^(*) = ctgx, f(x) = -jjjrj, * € (0;тг);
e)F(z) = -£, /(x) = £,x€(0;oo);
ж) F(x) = е2*, /(х) = 2е2х, х € (-оо;оо);
з) F(x) = 2*, f{x) = ,21, х € (-оо; оо).
3. Найдите первообразную для функции /(х) = ех, график которой
пересекает ось Ох в точке х = 1.
4. Для функции /(х) найдите первообразную, график которой
проходит через заданную точку М, если :
а)/(х) = х3,М(2;1);
б)*/(*) = £>М(-1;3);
в) /(x) = cosx, М(|;0).
5. Докажите равенство:
а) / dx = х + С;
б) j£d* = -! + <?;
§ 2. ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ ПЕРВООБРАЗНЫХ
2.1. При вычислении первообразных используют таблицу из
первого параграфа и руководствуются основными правилами.

§ 2. Правила, нахождения первообразных
227
Правило 1. Если F(x) есть первообразная для функции /(х), a G(x) —
первообразная для функции р(х), то F{x) 4- G(x) есть первообразная
для функции f(x) 4- g(x).
Доказательство. Действительно, так как /'(х) = f(x) и G'(x) =
= g{x), то
(F(x) + G(x))' = F'(x) + G"(*) = /(x) + g(x).
Пример 1. По таблице одна из первообразных для функции cos х
есть sin я, а для функции —К— есть tgx. Так как cos \ + 1 = cosx-f
Н—V~> т0 одна из первообразных для функции cos ^4 * есть sinx-f
4-tgx.
Вопрос. Как найти одну из первообразных для функции cosx4-
4- sin х?
2.2. В этом пункте рассмотрим следующее правило.
Правило 2. Если F(x) — первообразная для функции /(х) и к —
постоянная, то функция kF(x) есть первообразная для функции kf(x).
Доказательство. Действительно, (kF(x)Y = kF'(x) = kf(x)y так
как постоянный множитель можно выносить за знак производной.
Пример 2. Так как одна из первообразных для функции х4 есть
~, то функция 5х4 будет одной из первообразных для х5.
Вопрос. Как найти одну из первообразных для функции 2cosx4-
4-3 sin х?
2.3. В этом пункте рассмотрим следующее правило.
Правило 3. Если F(x) — первообразная для функции /(х) и х =
= kt 4- a — линейная функция, причем к ^ 0, то \F{kt 4- о) есть
первообразная для функции f(kt 4- а).
Доказательство. Действительно, по правилу вычисления
производной сложной функции имеем:
(±F(Atf + а))' = \F\kt 4- а) • k = f(kt + а).
Пример 3. Найдем первообразную для функции sin(3£ 4- 2).
Положим х = 3*4-2. Первообразная для функции sin х есть (- cos х).
По правилу 3 функция (-|cos(3t 4- 2)) является первообразной для
функции sin(3£ 4- 2).

228 Глава 8. Уравнения с неизвестной функцией и ее производными
Вопрос. Как найти одну из первообразных для функции cos2x+
+ sin Зх?
**
2.4. Правило 3 допускает следующее обобщение.
Правило 4. Если F(x) — первообразная функция для функции f(x) и
х — 9(t) — дифференцируемая функция, то F(g(t)) — первообразная
для функции f(g{t)) • g'(t).
Доказательство. По правилу вычисления производной сложной
функции имеем:
(F(g(t)Y^F'(g(t))-9'(t).
Но F'(x) = f(x). Следовательно,
(F(9(t))' = f(9{t))-g'(t).
Пример 4. In \х\ — первообразная функция для функции - и
х = sin t — функция, имеющая производную х' = cos t. По правилу 4
In | sin t\ есть первообразная для функции
-X-j cost = ctgt.
sin/ G
Вопрос. Как доказать, что esmx первообразная для функции esmx-
cos xl
2.5. Пусть F(x) — первообразная для функции /(х), G(x) —
первообразная для функции д{х). Правило 1 показывает, что складывая
различные первообразные F(x) + С\ для функции f(x) и различные
первообразные G(z) + C2 для функции д(х), мы будем получать
первообразные F(x) + G{x) -f Cz для функции f(x) -f g(x), где Сз = C\ + Ci-
Нетрудно видеть, что подбором постоянных С\ и Сч можно получить
любое значение постоянной Сз.
Таким образом, складывая всевозможные первообразные для
функций f(x) и д{х), мы получим всевозможные первообразные для
функции f(x) 4- д{х). Это правило записывают в виде
/(/(«) + 9(*)№ = / f(*№ + fg{x)dx
и кратко формулируют так:
неопределенный интеграл от суммы двух функций равен сумме
интегралов слагаемых.

§ 2. Правила, нахождения первообразных
229
Аналогично показывается, что при умножении на число к
всевозможных первообразных для функции /(х), мы получим всевозможные
первообразные для функции к • f{x). Это правило записывают в виде
fkf{x)dx = kff{x)dx
и кратко формулируют так:
постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного
интеграла.
Пример 5.
у (3 cos х - 5 sin x)dx = 3 f cos xdx — 5 f sin xdx = 3 sin x + 5 cos x + C.
Вопрос. Как вычислить /(За:2 — 2х + l)dx?
Контрольные вопросы и задания
1. Сформулируйте и докажите правило нахождения первообразной
для суммы f(x) + g{x).
2. Сформулируйте и докажите правило нахождения первообразной
для произведения к • f(x) (к — постоянная).
3. Сформулируйте и докажите правило нахождения первообразной
ддя функции f(kt + а) (к Ф 0).
4. Сформулируйте и докажите правило нахождения первообразной^
для сложной функции F(g(x)).
5. Докажите формулу
/(/(*) + g{x))dz = ff(x)dx + jg(x)dx.
6. Докажите формулу /kf{x)dx = к- f f(x)dx, где к — постоянная.
Задачи и упражнения
1. Найдите первообразную для функции f(x) :
а) f(x) = 4х2 - Ъх + 3;
б) f(x) = кх + а;

230 Глава 8. Уравнения с неизвестной функцией и ее производными
в) f(x) = ax2 + bx + с;
г) f(x) = cos(3x - 2);
Д) f(x) = 2 sin | - cos 5x;
е) /(x) = (2x - l)10;
ж) f(x) = -тД-у;
з) /(x) = 3_;
и) f(x) = 2^;
к) /(*) = e*.
I. Найдите общий вид первообразных для функции:
а) -4-4*; б)-^; B)x-cos2x;
ж)** sin(lnt); 3/ ^cosx' И> хТпх'
3. Для функции /(х) найдите первообразную F(x), принимающую
заданное значение при указанном значении х, если :
а) /(х) = х - 2, F(2) = 0;
б) /(*) = х2 + 1, F(3) = 12;
B)/(x)=sin(x + l), F(-1) = 0;
д) /(x) = 3v/x~+T, F(0) = 3.
4. Найдите:
а) Дх3 - 4)<fx; 6) /-A-dsc;
в) /(1 - sin 3x)dx; r) ^m 2x + cos 2x)dx;
д) /OTdx; e) Szitrz**-
x\n X
§ 3. ПРОСТЕЙШИЕ УРАВНЕНИЯ С
НЕИЗВЕСТНОЙ ФУНКЦИЕЙ И ЕЕ
ПРОИЗВОДНЫМИ
3.1. Рассмотрим следующий пример.
Пример 1. Предположим, что нам нужно установить закон
движения точки по прямой, если известно, что точка движется с
постоянной скоростью v = 4 км/час и в момент времени to = 0,5 часа
находится на расстоянии 3 км от начальной точки отсчета.

§ 3. Простейшие уравнения с неизвестной функцией и ее производными 231
Для ответа на этот вопрос обозначим через S(t) функцию,
выражающую зависимость от времени t расстояния между движущейся
точкой и начальной точкой отсчета. Тогда по определению скорости
имеем равенство S'(t) = 4 в каждый момент времени t. Это
равенство задает связь между производной от неизвестной функции S(t)
и известной функцией v(t) = 4. Следовательно, мы должны решить
уравнение, в котором неизвестная функция S(t) входит со знаком
производной, и при этом выбрать такое из решений, 5(f), что выполняется
равенство 5(0,5) = 3.
Найти все решения уравнения Sr(t) = 4
позволяет понятие первообразной, так как
если S'(t) = 4 при всех £, то по
определению функция S(t) является
первообразной для функции v(t) = 4. По
основному свойству первообразных все решения
можно задать формулой S(t) = At + С, где
С — произвольная постоянная. На
рисунке 1 изображены графики некоторых
решений уравнения S'(t) = 4.
Из всех найденных функций S(t) =
— At -\- С нам нужна такая функция,
что 5(0,5) = 3. Это выполняется, если
5(0,5) = 4 • 0,5 + С = 3. Отсюда С = 1,
а поэтому искомый закон движения точки
имеет вид S(t) = At + 1 (рисунок 2).
Вопрос. На каком расстоянии от
начальной точки отсчета будет движущаяся
точка через 8 часов?
3.2. Уравнение S(t) = 4 из пункта 3.1
является одним из уравнений вида
у' = /(*),
где f(x) — заданная функция, а у — неизвестная функция, которую
требуется найти. На каждом из промежутков области определения
функции f(x) все решения такого уравнения можно найти с помощью
первообразных.

232 Глава 8. Уравнения с неизвестной функцией и ее производными
В самом деле, если для каждого х из промежутка D выполняется
равенство у*(х) = /(я), то по определению функция у(х) есть
первообразная для функции f(x). Найдя одну из первообразных F(x) для
функции f(x) на промежутке D, все решения уравнения г/ = f(x) на
этом промежутке можно записать в виде
у = F(x) + Сс,
где С — произвольная постоянная.
Пример 2. Найти все решения уравнения %/ = \ на промежутке
(0;оо).
Решение. Так как f(x) = \ = х 2, то одной из первообразных
для функции /(#) служит функция F(x) = —1. Поэтому множество
функций у = —А 4-с, где с — произвольная постоянная, на
промежутках (—оо;0) и (0;оо) задает все решения. На рисунке 3 изображены
некоторые из решений.
Решения уравнения, содержащего
неизвестную функцию и ее производные
иногда называют его интегралами, а процесс
решения — интегрированием. Графики
получаемых решений называют также
интегральными кривыми.
Вопрос. Какие решения имеет
дифференциальное уравнение у*(х) = \ на
промежутке (—ос;0)?
3.3, Рассмотрим пример.
Пример 3. Пусть точка движется по прямой с постоянным
ускорением а = 2 м/сек2, в момент времени to = 3 сек находится на
расстоянии So = 4 м от точки отсчета и при этом имеет скорость vq = 5 м/сек.
Для установления закона движения обозначим через S(t)
расстояние от точки отсчета до движущейся точки. Тогда S'(i) = v(£), где
v(t) — скорость точки в момент времени £, и v'(t) = (Sf(t)y = S"(t) =
= а = 2. Следовательно, для ответа на поставленный вопрос нужно
найти решения уравнения
S"(t) = 2

§ 3. Простейшие уравнения с неизвестной функцией и ее производными 233
и выбрать из них такое, чтобы выполнялись равенства 5(3) = 4,
S"(3) = 5. Это можно сделать, если обозначить S'(t) = v(t). Тогда
At) = 2,
S'(t) = v(t).
Уравнение v'(t) = 2 решается аналогично тому, как это рассмотрено
в пункте 3.1. В результате получаем v(t) = 2£ + Ci, где С\ —
постоянная. Для определения С\ подставим to = 3 и получим v(to) = 5 = 2£о+
+С\ = б + Сь Отсюда Ci = -1 и v(t) = 2* - 1.
После этого уравнение 5"(£) = v(t) запишется в виде S'(t) = 2t — 1.
По правилам нахождения первообразных получаем
5(t) = 2 • i*2 - t + с2 = *2 - * + с*,
где с2 — постоянная. Для определения с2 подставим to = 3 и получим
S(t0) = 4 = З2 - 3 + с2, откуда с2 = -2. В итоге 5(f) = t2 - * - 2.
Найденное решение представляет собой
функцию, график которой изображен на
рисунке 4.
Вопрос. В каком месте находилась
движущаяся точка в момент времени
3.4. Рассмотрим следующий пример.
Пример 4. В этом пункте
рассмотрим задачу о полете снаряда,
выброшенного из орудия с начальной скоростью vo
под углом а к горизонту. Для простоты
силу сопротивления воздуха учитывать не
будем.
Точку вылета снаряда из ствола
примем за начало координат, и будем
считать, что движение происходит в
плоскости Оху, причем ось Ох выбрана
горизонтально, а ось Оу направлена вертикально
вверх (рисунок 5).

234 Глава 8. Уравнения с неизвестной функцией и ее производными
Движение снаряда является результатом сложения двух движений:
движения со скоростью vx вдоль оси х под действием силы Fx и
движения со скоростью vy вдоль оси у под действием силы Fy. Так как
на снаряд действует только сила тяжести, направленная вертикально
вниз, то Fx = 0 и Fy — -rng, где га — масса снаряда, g —ускорение
свободного падения.
По закону Ньютона
mvx'(t) = 0 и mvy'(t) = — mg.
Отсюда vx'(t) = 0, Vy(t) = -g.
Таким образом, решение поставленной задачи сводится к решению
двух дифференциальных уравнений vx' = 0 и Vy = —g. Интегрируя,
найдем
vx = Ci, vy =-#£-Ь С2.
В момент времени t = 0 имеем: vx(0) = uocosa, vy(0) = rosina.
Следовательно, C\ = vocosa, Сг = t>osina. В результате получаем
vx — vo cos a, vy = —gt + v<y sin a.
Поскольку vx = x'{t), vy = ]/{t), TO
x\t) = t;0 cos a, y'(£) = — gt + vq sin a.
Интегрируя, находим
x = vq cos a • £ + Сз, у = — ^- -f i7<) • sin a • t + C4.
При £ = 0 имеем x(0) = C3 = 0, y(0) = C4 = 0. Подставляя Сз = 0 и
c\ = 0 в уравнения, получим
х = vo cos a • ty у = — ^<#2 + vo • sin a • t.
Выражая t из первого соотношения, получим t = —2—.
Подставляя t = —^— во второе соотношение, найдем уравнение траектории
снаряда в декартовых координатах х и у :
* ° 2t^o сое2 a
Таким образом, траекторией движения снаряда является дуга
параболы.

§ 3 Простейшие уравнения с неизвестной функцией и ее производными 235
Вопрос. Как вычислить дальность полета снаряда?
3.5. В этом пункте рассмотрим задачу на выравнивание
температур.
Пример 5. Вода в комнате охлаждается за 10 мин от 100° до 60°.
Температура в комнате 20°. Через какое время вода остынет до 25°?
Решение. Пусть T(t) — температура воды в момент времени t. По
условию
Г(0) = 100°, Т(10) = 60°.
Из физики известно, что скорость охлаждения пропорциональна
разности температур тела и окружающей среды. Поэтому
T'(t) = k(T(t) - 20),
где к — постоянная. Перепишем теперь полученное
дифференциальное уравнение в виде
Г _ и
Г-20 "~ '
где Т = T(t). Интегрируя правую и левую части по переменной £,
получим
1п(Т - 20) = kt + а,
где а — постоянная.
Записывая а в виде а = In с, будем иметь
T(t) = cekt + 20.
Полагая t = 0, получаем с+20 = 100, с = 100-20 = 80. В результате
функция T(t) примет вид T(t) = 80 • ekt + 20.
По условию при t = 10 имеем Т(10) = 60, откуда 60 = 80 • еш + 20,
ь_
е10к = ^ Следовательно, А; = -^, ekt = 2 Ю. Таким образом,
T(t) = 80-2 Ю + 20.
Время £о остывания воды до 25° найдем из уравнения
-к
25 = 80 • 2 Ю + 20.
Решая его, получим 2~4 = 2 10, откуда £0 = 40 мин).

236 Глава 8. Уравнения с неизвестной функцией и ее производными
Вопрос. Через сколько минут вода в комнате остынет до 30°?
3.6. Рассмотренная в предыдущем пункте задача является
примером, приводящим к уравнению вида
9(У)' У = /(*)i
где /, g — заданные функции, а у — та функция, которую
требуется найти. Такие уравнения иногда называют дифференциальными
уравнениями с разделенными переменными.
Способ решения уравнения с разделенными переменными
основывается на том, что если функция G(z) является первообразной для
функции g{z), то при произвольной дифференцируемой функции у(х)
функция д(у{х))-у'(х) имеет первообразную G(y(x)). Поэтому по
основному свойству первообразных из равенства д(у) у' = f(x) вытекает
равенство
G(y) = F(x) + C,
где F(x) — первообразная для функции /(я), а С — произвольная
постоянная.
Вопрос. Как записать дифференциальное уравнение ху1 = у в
виде уравнения с разделенными переменными?
3.7. В этом пункте найдем закон изменения скорости v(t)
падения тела массы га, сброшенного с высоты с начальной скоростью
v(0) = vo, предполагая, что кроме силы тяжести на тело действует
тормозящая сила сопротивления воздуха, пропорциональная скорости
тела с коэффициентом пропорциональности к > 0.
По второму закону Ньютона га • v'(t) = F, где F — сила,
действующая в направлении движения и v'(t) — ускорение тела. Сила F
складывается из двух сил: силы тяжести тпд и силы сопротивления
воздуха — kv, которую берем с минусом, так как она направлена в
сторону, противоположную направлению скорости.
Значит, F = mg—kv(t), и в результате получаем дифференциальное
уравнение
m • v'(t) = тпд — к • v(t).
Для краткости скорость v(t) обозначим через v и проинтегрируем
уравнение
mv = mg - kv.

§ 3. Простейшие уравнения с неизвестной функцией и ее производными 237
Переписав его в виде
приходим к уравнению с разделенными переменными. Первообразная
левой части есть In (г; — ^J, первообразная правой части есть ——t.
Записывая постоянную интегрирования в виде In С, получим
ln(»-7) = -£' + lnC-
Отсюда
При t = 0 по условию имеем v(Q) = vo. Следовательно, vq = С + ^г2,
откуда С = vo - ^.
Таким образом, искомая зависимость скорости от времени t
выражается формулой
v(t) = (vo - Y) ■ е~™' + Y-
Если мы хотим пренебречь силой сопротивления воздуха и найти
закон изменения скорости v(t), то мы должны вернуться к начальному
дифференциальному уравнению mv' — mg -Ь и положить в нем
к = 0. Тогда получится уравнение v' = g, откуда v = gt + С. При
t = 0 будем иметь С = v(0) = v0. Следовательно, при отсутствии
сопротивления воздуха закон изменения скорости примет вид
v(t) = v0 + gt.
Вопрос. Как доказать, что при к > 0 скорость v(t) падающего
тела не может неограниченно возрастать?
Контрольные вопросы и задания
1. Как определяется производная второго порядка от заданной
функции?
2. Как определяется производная n-го порядка от заданной
функции, где п — натуральное число?

238 Глава. 8. Уравнения с неизвестной функцией и ее производными
3. Как определяется первообразная для функции /(я)?
4. Как на указанном промежутке найти все решения уравнения у' —
= /(х), где f(x) — заданная функция?
5. Как найти решение у(х) уравнения у' = /(я), удовлетворяющее
условию у{х0) = уо?
6. Что называют интегралами уравнения с неизвестной функцией
и ее производными?
7. Как найти все решения уравнения у" = /(х), где f(x) — заданная
функция?
8. Уравнения какого вида называют дифференциальными
уравнениями с разделенными переменными?
9. Как найти решения уравнения с разделенными переменными?
Задачи и упражнения
1. Найдите решения уравнения:
а) у' = sinx + cosx;
б) у' = ^i.
2. Найдите решения уравнения (у')2 - 5у' + 6 = 0.
3. Найдите решения уравнения, удовлетворяющее заданному
начальному условию:
а) у1 = х2 - х5, у(3) = i;
6)y' = cos2x, у(*)=0;
в)*хУ = 1, У(1)=2.
4. Найдите решения уравнения:
а) у' = ху; б) у' = 22L;
в) уу1 =з + 1.
5. Найдите решение уравнения, удовлетворяющее заданному
начальному условию:
а) у' = 2^у, у(0) = 1;
6)y' + ysin2x = 0, y(f) = l;
в)у' = ^, y(D = i.

§ 4. Движение искусственных спутников и ракет
239
6. Снаряд вылетает из орудия со скоростью 80 м/сек. Определите
дальность стрельбы, если угол вылета а = 30°.
7. Найдите наивысшую точку траектории снаряда, вылетающего из
орудия с начальной скоростью vq под углом а к горизонту.
8. При каком угле вылета снаряда с начальной скоростью vo
дальность стрельбы наибольшая?
9. По какой траектории будет двигаться шарик, брошенный
горизонтально с высоты h с начальной скоростью vo (сопротивлением
воздуха пренебречь)?
10. Найдите кривые, для которых угловой коэффициент любой
касательной равен ординате точки касания.
11. Найдите кривые, у которых отрезок любой касательной,
заключенный между точкой касания и осью Ох, делится осью Оу
пополам.
12. Одно тело имеет температуру 200°, а другое 100°. Через 10 мин
остывания этих тел на воздухе с температурой 0° первое тело
остыло до температуры 100°, а второе до 80°. Через сколько
минут температуры тел сравняются?
13. Скорость распада радия Q'(t) в каждый момент времени t
пропорциональна имеющемуся наличному количеству Q(t) радия.
Найдите закон распада радия, если начальное количество радия
равно Q(0) = Qq и известно, что через 1600 лет останется лишь
половина этого количества.
§ 4. ДВИЖЕНИЕ ИСКУССТВЕННЫХ СПУТНИКОВ
И РАКЕТ
4.1. Когда рассматривается движение тела над поверхностью
Земли на относительно небольшой высоте со сравнительно малой
скоростью, то можно предполагать, что Земля плоская и сила притяжения
Земли направлена вниз. В этом случае тело, брошенное
горизонтально с высоты h с начальной скоростью vo, будет двигаться по параболе,
что было показано в предыдущем параграфе. В конечном итоге
брошенное тело упадет на поверхность Земли.

240 Глава 8. Уравнения с неизвестной функцией и ее производными
ш
У
В действительности же Земля — шар,
и процесс движения тела по отношению
к поверхности Земли сложнее. Если
скорость vq увеличивать, то можно достичь
Jk'£V' v. ^\Ж *. такого ее значения, при котором тело не
t ^iflraifPчД упадет на Землю, а будет двигаться во-
* ГйЖЙВг^ж .' круг нее в виде спутника по окружности
радиуса R + Л, где R — радиус Земли
(рисунок 1). Значение этой скорости зависит
от высоты h и называется первой
космической скоростью для высоты h над
поверхностью Земли.
Обозначим первую космическую скорость через v\(h).
При такой скорости центробежная сила будет равна силе
притяжения Земли:
В этом равенстве га -
ционная постоянная.
Получаем:
'W+W
масса тела, М — масса Земли и G
гравита-
VI
w=M
GM
Ускорение свободного падения на поверхности Земли обозначим
через #о> а на высоте h — через д. По законам Ньютона
mgo-Gmp, mg-G^.
Сокращая на га, получаем:
п- GM
Отсюда
± - R2 п
до - (Л + Л)" 9
.ПГ1 R2
9o(rTW'
Тогда формулу для первой космической скорости v\(h) можно
записать в виде

§ 4. Движение искусственных спутников и ракет
241
Отсюда следует, что когда высота ft мала по сравнению с радиусом
Земли Я, то
Ы(ft) ~ yfg^R.
Например зная, что до = 9,9 м/сек2 и Я = 6,4 • 106 м, при ft < 300 км
имеем:
h <s _1_ 1 L <^ 1 ft <г \Л ft *" 1
Я + Zi 20' -1 40 ^ l 2(R-h) ^ V Я + Zi Х'
(l--L)V^R<t;1(ft)<V/^R,
и относительная ошибка замены скорости t>i(ft) на y/g^R меньше А.
Следовательно, при высоте ft < 300 км нужно достичь скорости
примерно
vi « Д8-6,4-10б » 8 • 103 = 8 (км/сек). гул
™
Вопрос. Для какой высоты над по- j
верхностью Земли первая космическая 1^,^
скорость равна 4 км/сек? j^T v^r~nk_
4.2. В этом пункте рассмотрим сво- Ш^Щ^кгШ^.и
бодныЙ полет ракеты, стартующей со ско- ^ £5юй9\Ж
ростью vo и удаляющейся от Земли вдоль у^шЮ^'^Т^
оси Оу (рисунок 2). Введем прямоуголь- Д|^Щц^^
ную систему координат с началом в центре Земле, направив ось Оу
по направлению движения.
Если расстояние ракеты до центра Земли в момент времени t равно
y{t) = R + h,
то
\У'Ш=9 = 90Щ^ = ^
причем y"(t) < 0. Следовательно, дифференциальное уравнение
свободного полета ракеты запишется в виде
Умножив обе части уравнения на 2у'\ получим
2j/y" = -^-2/.

242 Глава, 8. Уравнения с неизвестной функцией и ее производными
Отсюда
((y')2)'=(2«,ofi2-i)'.
Производная у' = v есть скорость ракеты в момент времени t. Поэтому
(г,2)'=(290Я2-1)'.
По основному свойству первообразных получаем
Так как в момент времени t = О ракета стартует с поверхности
Земли с начальной скоростью vq, то у(0) = Я, v(0) = vq. Отсюда
v02 = 2g0R + С.
Из этого равенства находим постоянную интегрирования
С = vq2 - 2g0R.
Таким образом,
v2 = 2g0R2 • J + t>02 ~ 2^0Я.
Если ракета может удалиться от центра Земли на любое расстояние
у, то первое слагаемое 2goR2 • А может быть сколь угодно малым. Так
как v2 > 0, то должно выполняться также неравенство
t»o2 - 2g0R > 0.
Наименьшее значение для ио, при котором это неравенство
выполняется, есть
v2= >j2g0R.
Это значение называется второй космической скоростью.
Сравнивая t»2 с vi, замечаем, что t'2 = у/2 • v\ « 11,2 км/с. Это
значение — наименьшая начальная скорость ракеты для того, чтобы
ракета могла выйти из области земного притяжения.

§ 4. Движение искусственных спутников и ракет
243
Вопрос. Как вычислить скорость ракеты, которая стартовала со
второй космической скоростью ^2, в тот момент, когда ракета достигла
высоты h = у — R над поверхностью Земли?
Контрольные вопросы и задания
1. Рассчитайте первую космическую скорость для спутника,
обращающегося вокруг Земли на высоте Л.
2. Составьте и решите дифференциальное уравнение ракеты,
запущенной с поверхности Земли с начальной скоростью vo-
3. Что такое вторая космическая скорость и как ее вычислить?
Задачи и упражнения
1. Вычислите первую космическую скорость для высоты над
поверхностью Земли, равной радиусу Земли R.
2. На какой высоте над поверхностью Земли первая космическая
скорость равна б км/с?
3. Вычислите скорость ракеты на высоте h = Я, которая стартовала
с поверхности Земли со второй космической скоростью.
4. Составьте уравнение для вычисления расстояния, которое
пролетит ракета за время £, запущенная с поверхности Земли со второй
космической скоростью.
5. Вычислите время полета ракеты на заданное расстояние Л, если
она стартовала с поверхности Земли со второй космической
скоростью.

ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ
глава
В этой главе рассматривается применение методов математического
анализа к решению задач на вычисление площадей и объемов.
§ 1. ПЛОЩАДЬ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1.1. Напомним, что для практических
потребностей вводится неотрицательная
численная характеристика многих фигур
плоскости, называемая площадью.
Для понятия площади выполняются
четыре следующих основных свойства.
1. Если одна фигура содержится внутри
другой, то площадь первой фигуры не
больше площади второй.
2. Равные фигуры имеют равные
площади.
3. Если какая-нибудь фигура разрезана на несколько частей, то
площадь всей фигуры равна сумме площадей составляющих ее частей.
4. Единицей площади считается площадь квадрата со стороной,
равной выбранной единице длины.
Выбор единицы площади и перечисленные свойства позволяют
находить площади многих фигур.
Вопрос. Какие формулы для вычисления площадей вы знаете?
9
к

§ 1. Площадь и определенный интеграл
245
1.2. Вычисление точного значения площади может оказаться
непростой задачей. Однако, для каждой заданной плоской фигуры
можно рассмотреть сетку из квадратов и с помощью этой сетки найти
приближенные значения площади фигуры. При уменьшении квадратов
сетки будут получаться все более точные значения площади фигуры
по недостатку и по избытку.
Напомним это на примере приближенного
вычисления площади круга, радиус
которого равен единице длины, то есть
приближенного вычисления числа п.
Возьмем лист клетчатой бумаги с
шагом сетки, равным одной пятой единицы
длины, и изобразим на нем единичный
круг с центром в каком-нибудь из узлов
(рисунок 1). Рассмотрим фигуру Fi,
образованную квадратами сетки, все
вершины которых принадлежат кругу. Легко
подсчитать, что таких квадратов ровно 60
штук (рисунок 2). Площадь каждого из
них равняется 0,22 = 0,04 единицы
площади, поэтому площадь Fi составит 0,04 х
60
= 2,4. Так как фигура F\ содержится в
единичном круге, то ее площадь меньше
площади круга и, следовательно, 2,4 < 7Г.
Для вычисления значения числа п с
избытком рассмотрим фигуру F^,
образованную всеми квадратами сетки, хотя бы
одна вершина которых лежит внутри
круга (рисунок 3). Таких квадратов ровно 88,
поэтому площадь F2 равняется 0,04 х 88 =
= 3,52. Так как фигура F2 содержит весь
единичный круг, то ее площадь больше
площади круга. Иными словами, 7г < 3,52.
Найдем более точные приближения.
Рассмотрим сетку с шагом в 0,0001
единицы длины. Для круга метрового радиуса

246
Глава 9. Площади и объемы
шаг такой сетки равняется всего 0,1 мм и едва различим
невооруженным глазом. Тем не менее, в этом случае компьютер легко справится
с необходимым расчетом и покажет, что Fi состоит из 314119052, а
/«2 — из 314199016 квадратиков. В итоге получатся следующие
приближения для числа 7г: 3,14119052 — с недостатком и 3,14199016 — с
избытком. Таким образом, нам удалось найти четыре точных цифры
в десятичной записи числа 7г.
Продолжая уменьшать шаг сетки, можно вычислить число 7г с
любой степенью точности. Можно, например, показать, что
тг = 3,1415926536....
Однако, столь высокая точность нужна крайне редко. Для
большинства практических расчетов достаточно положить 7г « 3,14.
Вопрос. Во сколько раз возрастет площадь единичного круга,
если увеличить в 2 раза единицу длины?
1.3. На координатной плоскости можно рассматривать фигуры,
ограниченные отрезками и графиками функций.
Пусть функция f(x) непрерывна на
отрезке [а; Ь] и принимает на этом отрезке
положительные значения. Проведем
прямые х = а, х = Ь и отметим их точки
пересечения с осью Ох и графиком функции
/(х), как указано на рисунке 4.
Замкнутая фигура, ограниченная отрезками АВ,
ВС, CD и дугой AD графика,
называется криволинейной трапецией с границей
В курсах математического анализа
доказывается, что каждая криволинейная
трапеция с непрерывной границей имеет
площадь.
Используя сетки из квадратов и ограничивая криволинейную
трапецию с внутренней и внешней стороны с помощью многоугольных
областей, можно определить приближенные значения ее площадь.
Вопрос. Какое приближенное значение площади прямоугольни-

§ 1. Площадь и определенный интеграл
247
(1+g + g2 + ,..+^-l) = (^l)^l)
- <?" - 1 - о -;
«"■"Iff-l)
g" • g a • ya
Далее рассмотрим фигуру Gn,
построенную из прямоугольников так, как
указано на рисунке 7. Фигура Gn
содержит заданную криволинейную трапецию
и ее площадь также можно вычислить как
сумму площадей прямоугольников:
и
ка со сторонами V2 см и 2 см вы можете найти?
1.4. Приближенные значения площади криволинейной трапеции
можно находить не только с использованием сеток из квадратов, но и
другими способами.
Пример 1. Пусть a > 1. Рассмотрим
на отрезке [1;а] функцию f(x) = Ду и
построим соответствующую криволинейную
трапецию.
Для каждого натурального п
выполним следующие построения. Возьмем q =
= y/d и поставим на оси Ох точки xq = 1,
х\ = я, х2 = д2,..., Sn-i = qn~~l, *n = qn =
= a (рисунок 5).
Тогда уо = f(x0) = 1, ух = f{xx) = Д^,
У2 = f{x2) = J*, ... , jfo = f(xn) = ^».
Рассмотрим теперь фигуру Fn,
построенную из прямоугольников так, как
указано на рисунке 6. Фигура Fn
содержится в заданной криволинейной трапеции,
а ее площадь можно вычислить как
сумму площадей прямоугольников: S(Fn) =
= (хх - х0) • f(xi) + (х2 - xi) • f(x2) + ... +
+(х„ - xn-i) • f(xn) = (g -1) • Jr + (в2 - «) •
Ш

248
Глава 9. Площади и объемы
S(Gn) = (Xi - Х0) ■ f(x0) + (Х2 - X!) • f(xx) + ... + (х„- Xn_i) • /(Xn_!) =
="(«-D-(l + } + J + - + ?fer)-
= ^•(1+0^...+^^^^ = ^ = ^.
Зная, что lim \/a — 1, можно найти и точное значение площади:
lira S{Fn) = lim -fcO. = &=± ■ lim 4- = 1 - 1;
п-юо v ?*7 n-юо a • v^a a n-юо ya a
lim 5(C) = Urn bLzH& = <uJ.. Щп ^= i _ I.
n-4oo v "7 n-юо a a n-*oo Y a
В итоге получаем, что площадь рассматриваемой криволинейной
трапеции равна S = 1 — А.
Вопрос. Как вычислить площадь треугольника, ограничивая его
с двух сторон фигурами, составленными из прямоугольников?
1.5- Пусть функция f(x) непрерывна и положительна на отрезке
[а; Ь]. Число 5, равное площади криволинейной трапеции,
ограниченной прямыми у = О, х = а, д; = 4и графиком функции f(x), называют
также определенным интегралом функции f(x) в пределах от а до Ь.
Определенный интеграл обозначается
jf{x)dx
а
(читается: "интеграл от а до 6э эф от икс по дэ икс").
Пример 2. Пусть f(x) = *4t-A. В этом случае криволинейная
трапеция, ограниченная графиком функции f(x) на отрезке [0;2],
является обычной трапецией. Ее площадь S = £(£ + |) • 2 = 2. Поэтому
2
о

§ 1. Площадь и определенный интеграл
249
Вопрос. Чему равно значение
m
f(l - x)dxl
1.6. Пусть функция f(x) непрерывна
и неотрицательна на отрезке [а; Ь]. Дня
каждого Л из отрезка [о; Ь] криволинейная
трапеция, ограниченная прямыми у = О,
х = а, гг = Л и графиком функции /(я),
имеет площадь, которую обозначим S(h)
(рисунок 9).
Зафиксировав значение Л, возьмем
приращение ДЛ переменной Л и рассмотрим
соответствующее приращение функции
5(A), то есть AS = S(h + АЛ) - S(h).
При ДЛ > 0 приращение Д5 есть
площадь "узкой" криволинейной трапеции,
ограниченной функцией f(x) на отрезке о]
[Л; Л + ДЛ] (рисунок 10). Обозначим
через /шах — наибольшее значение функции
f(x) на отрезке [Л; Л + £Л], и через /min
— наименьшее значение функции f(x) на
этом отрезке. Тогда "узкая"
криволинейная трапеция входит в прямоугольник
высотой /щах И ШИРИНОЙ ДЛ И СОДврЖИТ ПрЯ-
моугольник высотой /min и шириной ДЛ
(рисунок 11). Поэтому
/min • ДЛ < Д5 < /щах • ДЛ.
Так как ДЛ > 0, то отсюда получаем
неравенство
У
1
о
1
1 2
</(*)
X
ш
'/W
/min < д£ < /max*

250
Глава. 9. Площади и объемы
При ДЛ < 0 приращение AS = S(h+
+ДА) — S(h) можно связать с площадью
Т "узкой" криволинейной трапеции,
ограниченной функцией f(x) на отрезке [h+
4-ДА;/г] (рисунок 12). А именно, Т =
= S(h) - S(h + ДА) = -AS. Аналогично
тому, как это было сделано при Ah > О,
в случае Ah < О "узкую" криволинейную
трапецию можно ограничить сверху
прямоугольником с высотой /тах и шириной
(—Ah) и снизу прямоугольником с
высотой /mjn и шириной (—Ah). Поэтому
/mm • (-ДА) < Т < /тах . (-ДА),
'f(x) ОТКуда /min < ^ < /u^,
/min <
<
-AS
AS
ж
</ш
</mi
™ а А+АЛ. А 6
Таким образом, во всех случаях приходим к неравенствам
/п
AS
</и
где /min — наименьшее значение функции на отрезке с концами h и
h + ДА, а /тах — наибольшее значение функции на этом отрезке. По
условию функция f(x) непрерывна в точке Л, поэтому lim /min =
= lim /min = /(/i), а значит lim 4£ = f(h). Следовательно, функция
S(h) имеет в точке h производную, равную /(Л), то есть
S'(h) = /(Л).
Но тогда по определению функция S(h) является первообразной для
функции /(Л) на отрезке [а; Ь]. Если F(A) — некоторая известная
первообразная для функции /(/i), то S(h) = F(h) -f С, где С —
постоянная. Значение С можно найти из условия lim S(h) = 0. То-
гда lim S(h) = lim(F(A) 4- С) = F(a) + С = 0, откуда С = -F(a) и
5(A) = F{h) - F{a).

§ 1. Площадь и определенный интеграл 251
В итоге приходим к следующему правилу вычисления площади
криволинейной трапеции с помощью первообразных.
Пусть F(x) — первообразная для непрерывной и неотрицательной на
отрезке [а; Ь] функции f{x). Тогда площадь криволинейной трапеции,
ограниченной прямыми у = 0, х = а, х = Ь и графиком функции f(x)
равна
S = F(b) - F(a).
Пример 3. Рассмотрим
криволинейную трапецию, ограниченную прямыми
у = 0, а; = О, х = 7ги графиком функции
f(x) = sin я (рисунок 13).
Функция F(x) = — cos л; является
первообразной для sin а;. Поэтому площадь
криволинейной трапеции равна
S = F(tt) - F(0) = (-costt) - (-cosO) =
Вопрос. Как показать, что значение
площади криволинейной трапеции не
зависит от выбора первообразной для
функции /(х)?
1.7. В пункте 1.5 определенным интегралом положительной
функции f(x) в пределах от а до 6 было названо число, равное площади
соответствующей криволинейной трапеции. С учетом правила
предыдущего пункта можно написать
ь
ff(x)dx = F(b)-F(a),
a
где F(x) — первообразная для /(#).
Полученная формула имеет очень важное значение в математике и
известна как формула Ньютона — Лейбница.
При решении задач разность F(b) — F(a) удобно записывать в
виде F(x)|£. Введенные обозначения позволяют записывать следующие

252
Глава 9. Площади и объемы
равенства:
ff(x)dx = F(x)\ba = F(b)-F(a).
a
Пример 4. Так как функция arctg х есть первообразная для функ-
ции ГТР' т0
/ ТТ? = *TCt&x\f = arct6 ^ ~ ar^gх = з " 4 = Й'
1
Пример 5.
о
J sinxdx = (—cosx)|° = (— cosO) — (—cos7r) = —2.
Вопрос. Чему равен f(x - 3)2dxl
1.8. Определенный интеграл рассматривают не только в связи с
вычислением площадей криволинейных трапеций, но и на основе
формулы Ньютона — Лейбница определяют для функций произвольного
знака при произвольных пределах интегрирования.
Определение. Определенным интегралом функции f(x) в пределах от
а до b называется число F(b) - F(a), где F(x) — первообразная для
а Ь
Вопрос. Как показать, что / f(x)dx = - J f(x)dx?
ь *
1.9. Используя таблицу первообразных и формулу Ньютона —
Лейбница, можно привести следующий список определенных
интегралов.
/xndx = -fr°+' -«■+'■
J Л + 1
a
b
I cos xdx = sin b — sin a.

§ 1. Площадь и определенный интеграл
253
а
6
у sin xdx = cos а - cos b.
a
b
f dx = j 4
а
6
У mm
а
/ у dx . = axcsin 6 — arcsin а.
ь
f d* 2 = arctg 6 - axctg a.
a
В некоторых специальных справочниках по математике содержатся
значительные таблицы определенных интегралов, которые
используются при решении практических задач.
100 ,
Вопрос. Чему приближенно равен / вд? 2?
Контрольные вопросы и задания
1. Каковы основные свойства площади?
2. Какую фигуру называют криволинейной трапецией?
3. Что такое определенный интеграл?
4. Запишите формулу Ньютона — Лейбница.
5. Докажите формулу Ньютона — Лейбница в случае
положительной непрерывной функции.
Задачи и упражнения
1. Вычислите площадь криволинейной трапеции, с границей f(x) в
пределах от а до 6, если:
а) f(x) = х2, а = 1, 6 = 2;
б) f{x) = х2 - х + 1, a = -1, b = 1;
в) f(x) = (х - l)2, a = 0, b = 2;

254
Глава. 9. Площади и объемы
г) /(х) = х3, а = О, Ь = 2;
д) /(ж) = «/г, 0 = 1,6 = 4;
е) /(х) = Jy, а = 2, 6 = 5; ж) /(ж) = ж 4- Д-, а = 1, 6 = 2.
2. Вычислите площадь криволинейной трапеции, с границей /(х) в
пределах от а до 6, если:
а) /(х) = cosx, а = О, Ь = |;
б) /(х) = sinx 4- cosx, а = -|, 6 = 2£;
в) f(x) = sin |, а = 0, 6 = 27г;
г) f(x) — о^ ~~ cos2x), а = —7г, 6 = 7г.
3. Вычислите площадь криволинейной трапеции, с границей /(х) в
пределах от а до 6, если:
а)/(*) = !, о =1,6 =10;
6) /(*) = *fl, а = 2, 6 = 3;
в)/(*) = j^g, а = 3, 6 = 7;
г)/(х) = |-1,а = 2,& = 3.
4. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций:
а) /(х) = х, у(х) = 2х — х2;
б) /(ж) = 1 - х2, $(х) = х - 1;
в) fix) = 1 ~ Зх, д(х) = 4 — х — х2;
г) /(х) = 2(х-х2)>^(х) = 1-х.
5. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций:
а) /(х) = х2 + х + 1, д(х) = 2х2 4- х;
б) /(х) = 2х2 - 4, д{х) = -х2 4- х - 2;
в) /(х) = х2 4- Зх - 4, д{х) = 2х2 - 2х + 2;
г) f(x) = 1 4- 2х - Зх2, д(х) = х2 4- 2х.
6. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) у = sin 7гх, у = 4(х2 — х) на отрезке [0; 7г];
б) У = f, У = 4, у = 6, х = 0;
г) Зу = -х2 + 8х - 7, у + 1 = j4l.
7. Найдите площадь фигуры, которая в координатной плоскости
задана двумя неравенствами: 5х 4- 1 > у2, у — 1 > х2 — 2х.

§ 2. Объем
255
§ 2. ОБЪЕМ
2.1. Напомним, что для сравнения по вместимости
пространственных тел вводится понятие объема. На множестве тех тел, для
которых объем определен, выполняются основные свойства, аналогичные
свойствам площади.
1. Объем каждого тела неотрицателен.
2. Объемы равных тел равны.
3. Если тело разбито на две части без общих внутренних точек,
имеющие объем, то объем тела равен сумме объемов этих частей.
4. За единицу измерения объема принято выбирать единичный куб,
длина ребра которого равна единице измерения длины.
При фиксированной единице измерения для каждого тела,
имеющего объем, значение объема определяется однозначно.
Вопрос. Какие единицы измерения
объема вы знаете?
Л
^
z:
ш
2.2. Возьмем единичный куб, разобьем
каждое его ребро на п равных частей, где
п — натуральное число, и через каждую
точку деления проведем плоскость,
перпендикулярную соответствующему ребру.
Тогда куб разделится на п слоев, каждый
из слоев будет содержать по п2 кубиков с
ребром -^, а поэтому весь куб разобьется на п3 равных кубиков.
Полагая, что каждый из малых кубиков имеет объем К, по третьему
свойству объема запишем равенство п3 • V = 1, откуда V = \.
Например, при п = 3 получим три слоя по З2 кубиков, а поэтому
всего З3 маленьких кубиков объемом по ~ (рисунок 1).
Вопрос. Сколько кубических миллилитров в одном кубометре?
2.3. Зная объем кубика с ребром -Ц где п — натуральное число,
нетрудно определить объем у таких тел, которые составлены из
нескольких таких кубиков.
Например, рассмотрим прямоугольный параллелепипед с
измерениями а = |, Ь = |, с = |. Приводя дроби |, |, | к общему
знаменателю, получим а = Щу b = |4 с = Щ.
Разобьем каждое ребро

256
Глава 9. Площади и объемы
параллелепипеда на отрезки длиной —г и через каждую точку
деления проведем плоскость, перпендикулярную соответствующему ребру.
В результате параллелепипед разделится на 45 слоев высотой ^исо
сторонами основания a = Щ, b — Щ. Каждый слой разбивается на
20 • 24 кубиков объемом i. Следовательно, объем данного
параллелепипеда равен
V = 20 • 24 • 45 • з^
20 24 45 = 2 4 3
30 30 30 3 5 2
abc.
Аналогичное рассуждение можно провести для любого
прямоугольного параллелепипеда с рациональными измерениями а, 6, с и для его
объема получить формулу
V = abc.
Эта формула остается верной и в том случае, когда а, 6, с —
произвольные положительные действительные числа.
Вопрос. Прямоугольный параллелепипед ABCDA\B\C\D\ с
ребрами АВ = 3, AD = 4, АА\ = 5 плоскостью АА\С\С разбит на две
призмы. Чему равен объем каждой из этих призм?
2.4. В нашем дальнейшем изложении мы будем основываться на
том, что у рассматриваемых тел существование объема принимается
без доказательства. В частности, мы полагаем, что каждый
многогранник имеет объем.
В этом пункте докажем, что объем
прямой призмы можно вычислять по
формуле
V = SH, (1)
где S — площадь основания призмы, Н —
ее высота.
/ случай. Пусть в основании прямой
треугольной призмы АВСА\В\С\ лежит
прямоугольный треугольник ABC с
катетами АВ = а, ВС — b и боковое ребро
призмы равно с (рисунок 2). Тогда
площадь ее основания S = ^ab и ее высота

§ 2. Объем
257
Н = С.
Приставим к заданной призме равную
ей призму ACDA\C\D\ (рисунок 3). В
результате получим прямоугольный
параллелепипед ABCDA\B\C\D\ с
измерениями а, 6, с, объем V*i которого в два раза
больше объема V заданной призмы.
Поэтому
V = \V2 = \аЪс = (\ab) c = SH.
Тем самым формула объема прямой
призмы в рассматриваемом случае доказана.
II случай. Пусть АВСА\В\С\ —
любая прямая треугольная призма.
Обозначим S = S&abc, Н = АА\.
Выберем в треугольнике ABC сторону, к
которой примыкают острые углы
треугольника. Для определенности будем считать,
что это сторона АВ. Проведя СК ±
± АВ и С\К\ L А\В\, можно разбить
данную призму на две призмы АСКА\С\К\
и ВСКВ\С\К\ с прямоугольными
основаниями (рисунок 4). Поэтому объем V
заданной призмы равен сумме объема V\
призмы АСКА\С\К\ и объема Vi призмы ВС 1\B\C\Z\\, то есть
V = V\ + Vi = Saack • КК\ + S&BCK - КК\ =
= {S&ack + S&bck) ' КК\ = S&ABC • ЛА\ = SH.
Тем самым доказана формула объема для произвольной прямой
треугольной призмы.
Вопрос. Как доказать формулу V — S Н для произвольной
прямой призмы?
2.5. Перейдем теперь к основной формуле, которая будет
применяться для вычисления объемов пространственных тел.

258
Глава 9. Площади и объемы
Пусть задано тело Ф. Предположим,
что выбрана числовая прямая / с
единичным отрезком, равным единице измерения
длины. Через точку М прямой / с
координатой х проведем плоскость а,
перпендикулярную прямой I. Для каждого х
из некоторого отрезка [а; 6]
соответствующая плоскость а будет пересекать тело по
плоской фигуре (рисунок 5). Обозначим
эту фигуру Fx и будем предполагать, что
для каждого х из отрезка [а; Ь] фигура Fx
имеет площадь, которую обозначим S(x).
Тогда при выполнении некоторых условий
относительно сечений F(x) тело Ф имеет
объем, который можно вычислить по
формуле
V = JS{x)dx.
(2)
Заметим, что необходимые для применения этой формулы условия
выполняются во всех примерах, которые будут рассматриваться.
Пример 1. Рассмотрим наклонную призму с площадью
основания S и высотой Н.
Проведем прямую I перпендикулярно
основаниям и выберем на ней систему
координат так, что точка О пересечения
прямой / с нижним основанием имеет
координату 0, а точка F пересечения прямой
/ с верхним основанием — координату Н.
Далее, через точку М отрезка OF с
координатой х проведем перпендикулярно
прямой / и параллельно основаниям
сечение Fx (рисунок 6). В сечении получится
многоугольник, равный основаниям
призмы. Поэтому площадь S(x) сечения Fz
равна S при любом х из отрезка [0; Н].

§ 2. Объем
259
Применял формулу (2), получаем
н н
V = fS(x)dx = fSdx = Sx\$ =
= SH-S0 = SH.
Таким образом, объем произвольной призмы можно вычислять по
формуле
V = SH, (3)
где S — площадь основания призмы, Н — ее высота.
Вопрос. Как вычислить высоту призмы, зная боковое ребро и
угол, который боковое ребро образует с плоскостью основания?
2.6. В этом пункте выведем формулу для объема цилиндра.
Пример 2. Рассмотрим прямой
круговой цилиндр с радиусом основания R и
высотой Н.
Пусть 00\ — отрезок, соединяющий
центры оснований цилиндра. Возьмем на
отрезке 00\ точку М так, что ОМ =
х, и проведем через нее сечение
цилиндра, перпендикулярное 00\ и
параллельное основаниям (рисунок 7). В сечении
получится круг, равный основаниям
цилиндра. Поэтому площадь S{x) сечения Fx
равна ttR2 при любом х из отрезка [0;//].
Применяя формулу (2), получаем
л п
V = J S(x)dx = J тг R2dx = тгД2Я.
Таким образом, объем цилиндра можно вычислять по формуле
V = 7гЛ2Я, (4)
где R — радиус основания цилиндра, Н — его высота.

260
Глава 9. Площади и объемы
Вопрос. Как вычислить объем параллелепипеда ABCDA\B\C\D\,
если известны площадь основания ABCD, боковое ребро АА\ и угол,
который образует боковое ребро с плоскостью основания?
2.7. В этом пункте докажем, что объем произвольной пирамиды
можно вычислять по формуле
V = ±5Я,
(5)
В
где S — площадь основания пирамиды, Н — ее высота.
/ случай. Рассмотрим треугольную
пирамиду DABC с высотой DP = Я.
Отметим на высоте DP точку М так, что
DM = х, и проведем через М сечение
Fx = NKL, перпендикулярное DP
(рисунок 8). Так как стороны
треугольника NKL соответственно параллельны
сторонам треугольника ABC, то эти
треугольники подобны. Коэффициент к
подобия треугольника NKL треугольнику
ABC находим из равенств к = ^М =
= Ш = те = #• 0тсюда 5<*) =
= S&HKL = k2SAABC = jpS^ABC = jpS-
Поэтому по формуле (2) имеем
/»
/ •
/ •
/ •
/К1
Ж,
v\
k \
\м%\
ь<
н я н
V = VDABC = / S(x)dx = / jpSdx = Jj,fx2dx=fil
3 lo з
Тем самым формула (5) доказана для произвольной треугольной
пирамиды.
II случай. Рассмотрим произвольную пирамиду с высотой Я. Par
зобьем ее основание на треугольники с площадями Si, S2, • •• , Sk-
Соответственно и пирамиду разобьем на треугольные пирамиды.
Тогда объем V всей пирамиды равен сумме объемов составляющих ее
пирамид, откуда V = Vx + V2 + ... + Vk = ±Si# + ±52Я + ... + ±SkH =
= US\ + 5г +... -I- Sk)H = \SH. Тем самым формула (5) доказана для
произвольной пирамиды.

§2. Объем
261
Вопрос. Чему равен объем треугольной пирамиды, у которой
боковые ребра попарно перпендикулярны и имеют длины а, 6, с?
2.8. Объем конуса можно вычислять по формуле
V = ±тгЯ2#,
где R — радиус основания конуса, Н — высота.
Вопрос. Как доказать эту формулу?
2.9. Объем шара можно вычислить по формуле
V = ^тгЯ3,
где R — радиус шара.
Вопрос. Как доказать эту формулу?
2.10. В XV веке при вычислении объемов использовался
принцип Кавалъери.
Два тела имеют равные объемы, если их основания лежат в одной
плоскости, их высоты равны и площади сечений этих тел каждой
плоскостью, параллельной плоскости оснований, равны между собой.
Иллюстрацией применения принципа Кавальери может служить
один из способов вывода формулы для объема шара.
Поставим на одну плоскость два тела.
Первое тело — полушар радиуса R с
центром О. Второе тело — цилиндр высотой
R с радиусами оснований Л, из которого
вырезали конус с вершиной в центре
нижнего основания и основанием,
совпадающим с верхним основанием цилиндра
(рисунок 9). ГТоГ|
Проведем произвольное сечение этих
тел плоскостью, параллельной плоскости
оснований (рисунок 10). Тогда в сечении
первого тела получим круг радиуса г =
= y/R2 — х2, площадь которого равна S\ =
= 7ГГ2 = 7Г(Я2 - X2).

262
Глава 9. Площади и объемы
В сечении второго тела получаем кольцо с внешним радиусом R
и внутренним радиусом х, площадь которого равна 5г = 7гЛ2 — 7пг2.
Так как S\ = S2 при любом х от 0 до Л, то по принципу Кавальери
объем полушара равен разности между объемом цилиндра высотой
R и радиусом основания R и объемом конуса высотой R и радиусом
основания R. Это приводит к известной формуле для объема шара.
Вопрос. Как принцип Кавальери связан с формулой вычисления
объема через площади сечений, перпендикулярных одной прямой?
Контрольные вопросы и задания
1. Каковы основные свойства объема?
2. По какой формуле вычисляется объем прямоугольного
параллелепипеда?
3. Как вычисляется объем прямой призмы?
4. Напишите формулу для вычисления объема тела через площади
сечений, перпендикулярных одной прямой.
5. Как вычислить объем наклонной призмы?
6. Напишите формулу объема цилиндра.
7. По какой формуле вычисляется объем пирамиды?
8. Напишите формулу объема конуса.
9. Напишите формулу объема шара.
ЮГ Что такое "принцип Кавальери"?
Задачи и упражнения
1. В основании призмы лежит равносторонний треугольник со
стороной 2 дм, боковое ребро равно 3 дм и образует угол в 45° с
плоскостью основания. Найдите объем призмы.
2. В сечении треугольной призмы, перпендикулярном боковому
ребру, получается равносторонний треугольник со стороной 8 см,
боковое ребро равно 12 см и образует угол в 60° с плоскостью
основания. Найдите объем призмы.
3. Найдите объем правильного тетраэдра с ребром 10 см.

§ 2. Объем
263
4. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, у которой
ребро основания равно 6 см, а боковое ребро 9 см.
5. Найдите объем треугольной пирамиды SABC, у которой углы
ASB, BSC, ASC прямые и AS = 5 см, BS = 6 см, CS = 7 см.
6. Найдите объем треугольной пирамиды SABC, у которой углы
ASB, BSC, ASC прямые и AS = 41 см, BS = у/52 см, CS =
= л/бГсм.
7. Отрезая от конуса коническую часть плоскостью, получают
усеченный конус. Найдите объем усеченного конуса, если радиусы
R, г его нижнего и верхнего оснований и высота Л равны:
а) R = 5 см, г = 3 см, h = 2 см;
б) Я = 10 см, г = 2 см, /i = 8 см;
в) R = 4 см, г = 3 см, Л = 10 см;
г) R = б см, г = 4 см, h = 3 см.
8. Из жестяного круга радиуса 10 см вырезали сектор с углом 90° и
из оставшейся части сделали воронку конической формы.
Сколько воды можно налить в такую воронку?
9. Пусть некоторая прямая а в пространстве выбрана в качестве оси
вращения. Для каждой точки М, не лежащей на оси а, при ее
вращении относительно оси образуется окружность, лежащая в
плоскости, которая перпендикулярна оси. При вращении точки,
лежащей на оси, получается сама точка. При вращении
относительно оси всех точек некоторой фигуры F образуется тело,
состоящее из всех точек, которые получаются при вращении
точек фигуры F. Полученное таким образом тело называют телом
вращения. Какую фигуру надо вращать вокруг некоторой оси,
чтобы получить: а) цилиндр; б) конус; в) шар; г) усеченный
конус?
10. Пусть тело Т образуется вращением криволинейной трапеции,
ограниченной графиком функции f(x) в пределах от а до 6,
вокруг оси Ох (задача 9). Показать, что объем тела Т& можно
вычислить по формуле V(T) = nf f2(x)dx.
а
11. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох
криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x)

264
Глава 9. Площади и объемы
в пределах от а до b (задача 10), если:
а) f{x) = у/х, a = 0, Ь = 4;
б) f(x) = >/sinx7 а = |, Ь = ^;
в) f{x) = i, о = 1, b = 10;
г) /(ж) = Vf^x1, a = -л/2, b = л/2-
12. Пусть Л£? — диаметр шара радиуса Я, и точка М на отрезке АВ
расположена так, что AM — Н. Через точку М
перпендикулярно АВ проводится плоскость, которая делит шар на две части —
шаровые сегменты. Найдите объемы этих частей.
*#
13. В шаре радиуса R сверлом, диаметр которого равен R,
высверлили отверстие так, что ось отверстия проходит через центр шара.
Найдите объем оставшейся части шара.

Справочные материалы
265
Основные понятия, определения и теоремы
учебника "Математика 10-11". Часть I
Приближенные вычисления
Пусть a — неизвестное точное значение некоторой величины, для которого
найдены приближения снизу а\ и сверху аг, и 6 какое-нибудь приближенное значение
из промежутка [ах; а2]. Погрешностью этого приближения называется разность
d — а — Ь. Абсолютная величина (модуль) погрешности называется абсолютной
погрешностью.
Если b является приближенным значением величины а с абсолютной
погрешностью, не превосходящей р, то часто записывают: а — Ь±р.
Относительной погрешностью приближения Ь называется отношение
абсолютной погрешности к модулю самого этого приближения: ' i, i '.
Абсолютная погрешность суммы или разности приближенных значений не
превосходит суммы абсолютных погрешностей каждого слагаемого.
Абсолютная погрешность произведения точного и приближенного значений
равняется произведению абсолютной погрешности приближенного сомножителя и
модуля точного.
Приближенное, но вполне пригодное для практических целей правило:
относительная погрешность произведения положительных приближений не превосходит
суммы относительных погрешностей сомножителей.
Наглядная стереометрия
Различные плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
Плоскость и прямая, не лежащая в плоскости, называются параллельными, если
они не имеют общих точек.
Если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой
плоскости.
Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной
плоскости и не пересекаются.
Если прямая а параллельна прямой 6, а прямая 6 параллельна прямой с, то
прямые а и с параллельны.
Параллельной проекцией фигуры называется множество точек, состоящее из
проекций всех точек фигуры.
При построении изображений фигур используются следующие свойства:
- прямая, параллельная направлению проектирования, переходит в точку;
— прямая, не параллельная направлению проектирования, переходит в прямую;
— параллельные отрезки АВ и CD переходят в параллельные отрезки А\ВХ и C\D\
такие, что АВ CD = АХВХ • C{Dlt
— общие точки двух фигур переходят в общие точки их проекций.
Две скрещивающиеся прямые называются перпендикулярными, если
параллельные им пересекающиеся прямые перпендикулярны

266
Справочные материалы
Прямая а и плоскость /3 в пространстве называются перпендикулярными, если
прямая а перпендикулярна любой прямой в плоскости (5
Если две пересекающиеся прямые, плоскости /?, перпендикулярны прямой я, то
а±/?
Прямоугольным параллелепипедом называется шестигранник, у которого все
грани — прямоугольники. Длины трех его попарно перпендикулярных ребер называют
измерениями прямоугольного параллелепипеда. Полная поверхность и объем
вычисляются по формулам: SnoJXH = 2(ab + ас + 6с), V = abc
Правильной треугольной пирамидой называется четырехгранник, у которого
одна грань — равносторонний треугольник, а остальные три грани — равнобедренные
треугольники. Полная поверхность и объем вычисляются по формулам-
где а -- ребро основания, р — высота боковой грани, h —- высота пирамиды.
Правильной четырехугольной пирамидой называется пятигранник, у которого
одна грань — квадрат, а остальные четыре грани — равнобедренные треугольники
Полная поверхность и объем вычисляются по формулам:
5полн = 2ар + а2; V = ^а2/г,
где а — ребро основания, р — высота боковой грани, h — высота пирамиды.
Аксиоматический метод в математике
Аксиомой называют утверждение, истинность которого принимается без
доказательства
Теоремой принято называть утверждение, истинность которого устанавливается
путем доказательства.
Чтобы было легче выделить, что дано и что требуется доказать, теоремы
формулируются в виде "если ..., то ...". Первая часть формулировки теоремы между
"если" и "то" называется условием теоремы, а вторая часть, которая записывается
после "то", называется заключением теоремы.
Условие теоремы называется достаточным условием для заключения теоремы.
Заключение теоремы называют необходимым условием для условия этой
теоремы.
Для каждой теоремы можно записать обратное утверждение При записи
обратного утверждения условие теоремы превращается в заключение обратного
утверждения, а заключение теоремы становится условием обратного утверждения.
Утверждение, обратное к некоторой теореме, может быть истинным, но может
оказаться и ложным. Таким образом, утверждение, обратное к некоторой теореме,
иногда тоже является теоремой, а иногда не является теоремой.
Действительные числа
Дробные числа принято называть рациональными числами.
Для обозначения множества всех рациональных чисел используется буква Q.
Запись г 6 Q означает, что число г рациональное

Справочные материалы
267
Неотрицательным действительным числом называется бесконечная
десятичная дробь вида а0,01,^2,^4,.. , ап ..., где clq — целое неотрицательное число и а*
при к > 1 — цифра от 0 до 9, причем цифра 9 не является периодом этой дроби
Отрицательные действительные числа определяются как числа,
противоположные положительным действительным числам
Множество всех действительных (вещественных) чисел обозначается буквой R.
Показательные и логарифмические функции
Степень положительного числа а с действительным показателем определяется
так, что выполняются следующие основные свойства.
1 ах ау = ах+у 2. (ах)у = ах
3. (аЪ)х = ах -Ъх 4. — =
/а\х ах _
5. - ) = —. 6. Если а > 1 и х > у, то ах > ау.
\bJ bx *
7 Если 0 < а < 1 и х > у, то ах < ау.
Функция у = ах при а > 1 возрастает, при 0 < а < 1 убывает.
Логарифмом положительного числа 6 по основанию а, где а > 0 и а ф 1,
называется такое число г, что аг — Ь.
Первое основное логарифмическое тождество: loge ах = х при всех х £ R.
Второе основное логарифмическое тождество: a,ogo х — х при всех а: > 0.
loga х Л- loga 1/ = loga ху для любых положительных х тл у.
loga - = logQ х — log2 J/ для любых положительных х и у
ху
х-у
loga ха = a loga х для любого х > 0 и произвольного а.
logax2 = loga |х|2 = 2ioga |х| при х ф 0.
Пусть а>0, 6>0, х>0иа^1,6/1. Тогда loga х =
logba*
Функция у = loga х при a > 1 возрастает, при 0 < а < 1 убывает.
Периодичность
Площадь сектора радиуса R с углом в а0 вычисляется по формуле
s = ш**2-
Длина дуги окружности радиуса R с угловой мерой в а" вычисляется по форму-
180
Пусть а — угол с вершиной в начале координат. Радианной мерой угла а
называется длина той дуги единичной окружности, которая заключена внутри данного
угла.
Соответствие между градусной и радианной мерами: а0 «-* —- (рад).
180
Таблица перевода из градусной меры в радианную для часто встречающихся
углов.
У, °
х,(рад)
0
0
15
7Г
12
30
7Г
6
45
7Г
4
60
7Г
3
75
5тг
12
90
7Г
2
180
7Г
270
Зтг
2
360
2тг

268
Справочные материалы
Синусом числа х называется синус направленного угла, соответствующего х
радианам, то есть ордината точки В на единичной окружности, которая соответствует
центральному углу АО В в х радиан.
Косинусом числа х называется косинус направленного угла, соответствующего
х радианам, то есть абсцисса точки В на единичной окружности, которая
соответствует центральному углу ЛОВ в х радиан.
Тангенс определяют для чисел х ф |т + 7гтг, где п € Z, как отношение синуса к
„г , sinx
косинусу: Тогда tgx = .
Котангенс определяют для чисел х ф 7гп, где п € Z, как отношение косинуса к
синусу: ctgx = ——.
sinx
Основные тригонометрические фюрмулы:
surx-f COS2X = 1. l + tg2X = V-,
° COS4* X
sin(-x) = — sin x, cos(—x) = cos x,
sin(x + y) = sin x • cos у + cos x • sin y, sin(x - y) = sinx • cosy - cos x • sin y,
cos(x - y) = cos x • cos у + sin x • sin y, cos(x + y) — cos x • cos у - sin x • sin y,
w* ^ 1+tgxtgy' tg^ + ^-l-tgxtgs/'
sin (77 — x) = cos x, cos (? - x) = sin x,
sin(x + 27r) = sinx, cos(x + 27r) = cosx,
cos 2x = cos2 x - sin2 x, tg(x + тг) = tg x,
cos'ix = 1 - 2sin2x, sin2x = 2sinx • cosx,
sin21 = 1"^08X, cos2x = 2cos2x - 1,
te2x= 2tK?, cos2*- = ^+«»Д
4**- l-tg^x' C0S 2 2 '
sinx -I- sin у = 2 sin ж^ cos r ~ У, sinx -cosy = A(sin(x + y) +sin(x — y)),
cosx + cosy = 2cosx ^cos^ ~ У, cosx -cosy = i(cos(x + y) + cos(x — y)),
cos x - cos у = 2 sin ^ ~Z x sin g^^, sin x • sin у = ^(cos(x - y) - cos(x + y)).
Решение простейших тригонометрических уравнений.
При |а| < 1 арккосинусом числа а называется такое число </? из промежутка
[0; 7г], для которого cos ф = а.
С использованием арккосинуса при |а| < 1 общая формула корней уравнения
cos х = а может быть записана в виде: х = ± arccos a + 27гп, л € «Z.
При |а| > 1 уравнение cos х = а корней не имеет.
При \а\ < 1 арксинусом числа а называется число у из промежутка [—5, 5], для
которого sin (р — а.
С использованием арксинуса при |а| < 1 корни уравнения sinx = а можно
записать в виде следующих двух серий чисел:
х = arcsina + 27гА:, А: € Z, х = 7г — arcsina + 27rm, т € Z.
При |а| > 1 уравнение sinx = а корней не имеет.
Для любого действительного числа а арктангенсом числа а называется такое
число у? из промежутка ( — тт, Sh что tg<p — а.

Справочные материалы
269
С помощью арктангенса корни уравнения tg х = а при любом значении а можно
находить по формуле: х = arctga + 7гп, n € Z.
Общее понятие периодической функции.
Функция f(x) с областью определения D называется периодической, если
существует такое число Т ф О, что для всякого числа х из D числа х + Т н х — Т также
принадлежат области D и выполняется равенство f(x + Т) = /(я).
Элементы теории вероятностей
Пусть эксперимент состоит в выборе с равной вероятностью одного элемента
из множества П, содержащего N(fl) элементов. Тогда вероятность Р(А) события,
состоящего в том, что выбранный элемент окажется одним из элементов множества
А, можно вычислить по формуле Р(А) = aj)q\ •
Предположим, что в п испытаниях событие А произошло Sn(A) раз. В этом
S (А)
случае частотой события А в п испытаниях называется число vn(A) = —^—*-.
Закон больших чисел. При большом числе п независимых испытаний частота
vn(A) становится приближенно равной вероятности Р(А) v„(A) « Р(А). Это
приближенное равенство становится все точнее и точнее с ростом числа п.
Координаты в пространстве
В пространстве расстояние между точками А(х\\ yi\z\) и В{х2\ У2\ z2)
вычисляется по формуле АВ = yj(xi - х2)2 + (yi - У2)2 + (^i - z2)2.
Пусть A(xi;yi\zi), B{x2\y2\z2). Тогда координатами вектора АВ называется
тройка чисел (х2 - х\\ут. — у\\ z2 - z{).
Два вектора АВ и CD называются равными, если соответственные координаты
этих векторов равны.
" Правило треугольника" сложения векторов: ОА + АС = ОС.
"Правило треугольника" вычитания векторов: ОВ — ОА = АВ.
Суммой двух векторов, связанных с началом О системы координат, называется
вектор, координаты которого равны суммам соответствующих координат слагаемых.
Произведением вектора ОМ = (а; Ь; с) на число t называется вектор О К с
координатами (ta; tb; tc).
Геометрические свойства, связанные с умножением ненулевого вектора а на
число:
— при умножении вектора а на число t > 0 получается вектор ta, имеющий
направление вектора а, и длина которого равна t\a\\
— при умножении вектора а на число t < О получается вектор ta, имеющий
направление, противоположное направлению вектора а, и длина которого равна
М-14

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 3
Глава 1. Начала стереометрии 7
§1. Основные понятия стереометрии 7
§2. Параллельность прямых в пространстве 14
§3. Взаимное расположение прямой и плоскости 22
§4. Параллельность плоскостей 29
Глава 2. Предел и непрерывность 38
§1. Предел последовательности 38
§2. Непрерывность и пределы функций 49
Глава 3. Перпендикулярность в пространстве 59
§1. Перпендикулярность прямой и плоскости 59
§2. Свойства перпендикулярности прямой и плоскости 71
§3. Теорема о трех перпендикулярах 82
§4. Перпендикулярность плоскостей 93
Глава 4. Касательные и производные 101
§1. Определение касательной 101
§2. Уравнение касательной 110
§3. Примеры касательных 117
§4. Производная, ее геометрический и физический смысл 124
§5. Основные правила вычисления производной 128
§6. Производная сложной функции 133

Содержание
271
Глава 5. Плоскости в пространстве 137
§1. Угол между двумя прямыми в пространстве 137
§2. Двугранные углы 142
§3. Угол между прямой и плоскостью 152
Глава 6. Исследование функций 159
§1. Теорема Лагранжа о среднем 159
§2. Основные этапы исследования функций 165
§3. Построение графиков функций 174
§4. Задачи на наибольшие и наименьшие значения 177
Глава 7. Координатный метод в пространстве 184
§1. Скалярное произведение векторов 184
§2. Уравнение плоскости 193
§3. Угол между прямыми в пространстве 198
§4. Угол между плоскостями 203
§5. Угол между прямой и плоскостью 209
§6. Расстояние от точки до плоскости 215
Глава 8. Уравнения с неизвестной функцией и ее производной 221
§1. Первообразная 221
§2. Правила нахождения первообразных 226
§3. Простейшие уравнения с неизвестной функцией
и ее производными 230
§4. Движение искусственных спутников и ракет 239
Глава 9. Площади и объемы 244
§1. Площадь и определенный интеграл 244
§2. Объем 255
Справочные материалы 265

Учебное издание
Член корреспондент РАО, доктор физико-математических наук,
профессор Никитин Александр Александрович;
доктор физико-математических наук,
профессор Белоносов Владимир Сергеевич;
доктор физико-математических наук,
профессор Зеленя к Тадей Иванович;
доктор физико-математических наук,
профессор Саханенко Александр Иванович;
доктор физико-математических наук,
профессор Смирнов Дмитрий Матвеевич;
доктор физико-математических наук,
доцент Вишневский Михаил Петрович;
кандидат физико-математических наук,
доцент Мальцев Андрей Анатольевич;
кандидат физико-математических наук,
доцент Марковичев Александр Сергеевич;
доцент ВоЙтишек Вацлав Вацлавович;
доцент Михеев Юрий Викторович
МАТЕМАТИКА
Учебник для десятых-одиннадцатых классов
средних общеобразовательных учебных заведений
Часть II
Оригинал-макет подготовила Т. В. Иванова
Подписано в печать 09.12.00 Формат 60 х 84/16
Заказ N* 144 Уч.-изд. л. 17
Тираж 500
Лицензия ЛР N«020853 от 31 япваря 1999 г.
Издательство ИДМИ
Отпечатано на полиграфическом участке ИДМИ,
630090, Новосибирск-90, Пирогова, 2