Text
                    чш?™т
tiuitilE
Ж
ДЛЯ Ю-II' КЛАССОВ


Авторы: Атанасян Л.С, Болибрух А.А,, Бутузов В.Ф., Куланин Е.Д., Луканкин Г.Л., Позняк Э.Г., ■" Сидоров Ю.В., Ткачева М.В., Шабунин М.И. Составители: Колягин Ю.М., Федорова Н.Е. УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ ■ Л - начало решения задачи А - окончание решения задачи О ~ начало обоснования математического утверждения или вывода формулы" Э - окончание обоснования или вьтвода #■ - дополнительней более сложннй материал • ключевые слова или термины © НИИ школ MHO РСФСР Научно-исследовательский институт школ Министерство народного образования РСФСР 1989 г-
3 Введение Данный сборник факультативных курсов по математике не привязан к определенному учебнику. Вместе с тем, содержание факультативных курсов в определенной, мере опирается на программу для 6-8 и 9-10-х классов*. Так как многие авторы этого сборника являются авторами пробных учебников математики**, то, естественно, что при создании того или иного факультативного курса ими соблюдалась определенная преемственность с содержанием этих учебников. Сборник предназначен для использования учащимися старших классов средней школы как в качестве пособия для факультативных занятий, так и для самостоятельного изучения. Более того, отдельные курсы могут быть использованы учителем при изучении программного материала для его возможного расширения и углуб- . ления. Данный сборник не подвергался специальному научному и педагогическому редактированию, поэтому указаны авторы того или * иного курса, Это высококвалифицированные специалисты, способные нести свою долю ответственности за представленный ими материал. Более того, каждый из факультативных курсов, представленных в сборнике, несет на себе отпечаток определенных авторских пристрастий и авторского своеобразия (в некоторых случаях автор отдает предпочтение теории, в^других - практике; некоторые курсы изложены более абстрактно, чем другие; иные носят ярко выраженный прикладной характер; различен и уровень наглядности, в изложении учебного материала), это означает, что учитель должен посоветовать учащимся в зависимости .от проявляемого ими интереса, уровня математической подготовки и способностей, какие из курсов целесообразнее ему изучать. Составители отдают себе отчет в том, что число часов, отводимых для факультатив- * Программа по математике. М., "Просвещение", 1986 г. **"Алгебра и начала анализа 9-10" авт; Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, Ю.В.Сидоров, М.И.Шабунин. "Геометрия, 9-Ю" аЕт. Л.САтанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев, Э.Г.Позняк.
4 ного изучения математики (равно и число часов для самостоятельного изучения) ограничено. Ясно, что представленные в сборнике факультативные курсы (организованные в главы) не. могут быть изучены все и в полно^-объеме. Предполагается, что учитель и ученик сами отберут те вопросы, которые им, в' первую очередь, интересны и доступны, ';и изучат их в том объеме, который им кажется достаточным. В качестве одного из ведущих советов укажем на необходимость "изучения с карандашом и бумагой", т.е. с одновременным решением задач и упражнений. Что касается организационных форм работы, то мы рекомендовали бы широко использовать лекционно-семинарский метод обучения, а также самостоятельное изучение с последующим обсуждением в небольших коллективах учащихся.' Данный сборник факультативных курсов может быть использован также в качестве дополнения к учебникам для школ и классов с углубленным изучением математики, особенно там, где обучение математике ведется по обычным школьным учебникам. Перейдем к характеристике отдельных представленных в сборнике глав в той последовательности, в которой они выражены в оглавлении* Глава I "Функции и графики" (автор М.В.Ткачева) представляет собой определенное обобщение и систематизацию знакомых учащимся сведений, связанных с важным математическим понятием функции. Кроме того, здесь представлен ряд дополнительных к программе вопросов (слолшая функция, ограниченная или неограниченная функция, полярная система координат). Много внимания уделяется различным способам построения графикой функций от простых до сложных. Глава 2 "Системы нелинейных уравнений и неравенств" (автор Болибрух А.А.) знакомит со способами решения систем уравнений и неравенств различных степеней; систем логарифмических, тригонометрических, иррациональных уравнений. Материал главы расширяет и углубляет сведения, известные учащимся из учебников средней школы:рассматриваются более глубоко основные правилагреобразования систем, системы симметрических уравнений. Дополнительно к программе изучаются системы нелинейных
5 неравенств с двумя неизвестными, что значительно обогащает связи курса алгебры с курсом геометрии. Главы 3 и 4 "Предел последовательности" и "Предел и непрерывность функции" (автор Шабунин'М.И.) содержат материал, традиционно трудный для усвоения учащимися. Здесь обобщаются и систематизируются знания учащихся о действительных числах; углубляется представление о числовых последовательностях, вплоть до знакомства с бесконечно малыми и бесконечно большими последовательностями. Интерес учащихся вызовут представленные в курсе операции над сходящимися последовательностями, дополнительные сведения о числе м£ ", замечательные пределы (которые будут в дальнейшем использованы в главе 5" )• Определения предела функции по Коши и по Гейне позволяют расширить представления о возможностях математики в установлении разнообразных'подходов к одному и тому же понятию (здесь - понятиям предела последовательности и понятию непрерывности). Глага 5 "Производная и интеграл" (автор Сидоров 10.В.) расширяет/и углубляет знания учащихся по основным понятиям математического анализа, в частности, в вопросах исследования функций и построения графиков (используется вторая производная), рассмотрено*интегрирование рациональных функций, интегрирование по частям, что дает возможность более широкого выхода на решение прикладных задач. Глава 6 "Дифференциальные уравнения" (авторы Лукаякин Г.Л. Савинцева Н.В.) знакомит с'общими и частными случаями решения дифференциальных уравнений I порядка; рассматривает прикладные задачи,решаемые с помощью дифференциальных уравнений,о которых в школьных учебниках лишь упоминается. Здесь учащиеся могут-ознакомиться с линейными уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами и способами их решения. Прикладная направленность этой темы проиллюстрирована рассмотрением дифференциальных уравнений гармонических колебаний. Глава 7 "Комплексные числа и их пременение" (автор Кула- нин Е.Д.) в определенной степени &зируется на соответствующем материале, имеющемся в учебнике "Алгебра и начала анализа" авторов Ш.А.Алимова и др., М., "Просвещение", 1985. Основное
6 внимание здесь уделяется применению-комплексных чисел крешению различных задач (в частности, геометрических, не выходящих за рамки школьного курса математики). Глава 8 "Многогранники" (автор э.Г.Позняк) вводит учащихся в знакомый им мир многогранников, но раскрывает его-с необычной стороны. Непривычные развертки знакомых фигур, неожиданные формы сечений тетраэдра и куба углубляют знания учащихся, развивают их пространственные представления, способны активизировать интерес учащихся к предмету. Глава 9 "Конические сечения" (автор В.Ф.Бутузов) выходит за рамки традиционного курса геометрии средней школы, но полностью базируется на знании метода координат и представлениях о телах вращения,полученных учащимися на уроках. Учащиеся знакомятся с аналитическими методами исследова-. ния сечений тел вращения, впервые получают представление о возможности выражения уравнением не только плоской фигуры (прямой, параболы, окружности и т.д.), но и геометрического тела (конуса). Глава 10 "Об аксиомах геометрии" (автор Л.С-Атанасян) служит теоретическим обоснованием курса геометрии, представленного в учебниках "Геометрия" для 6-10 классов авторов Л.САтана- сяна и других. Вместе с тем, учащиеся имеют возможность познакомиться с аксиоматическим методом в геометрии. Здесь обобщея и систематизирован учебный материал об основных понятиях, знаниях и аксиомах курса геометрии». Учащиеся имеют возможность самостоятельно применить аксиоматику при решении задач на доказательство и построение, сформулированных здесь же. Глава II "Задачи по геометрии" (автор Л.САтанасян) дает возможность использовать знания, полученные на уроках к решению разнообразных геометрических задач, в частности, задач по планиметрии, использующих свойства вписанных и описанных мно^ гоугольников, требующих знаний тригонометрии. Задачи по стереометрии содержат нестандартные задачи, которые будут интересны необычными подходами к их решению. Выскажем некоторые замечания, связанные с порядком и временем изучения отдельных глав, а также с некоторыми особенностями трактовки понятий различными авторами этого сборника.
7 Для изучения в 9 классе можно рекомендовать темы "функции и графики",. "Предел'последовательности", "Предел и непрерывность функции", "Многогранники", "Об аксиомах геометрии". В 10 классе полезно рассмотреть такие темы, как "Производная и интеграл", "Дифференциальные уравнения", "Комплексные числа и их применение", "Конические сечения". Главу "Системк нелинейных уравнений to неравенств" можно изучать как полностью к концу 9 класса (когда появятся необходимые знания о решениях тригонометрических уравнений), так и разбив ее на части, * оставив решение систем тригонометрических уравнений на 10 класс. "Задачи по геометрии" тоже можно изучать по мере возможности, как в начале 9 класса (§1), так и по ходу изучения стереометрии (§2 п.п. 1,2,3) - в 9 классе, (§2 п.п. 4,5) - в 10 классе. Необходимо отметить, что ряд курсов, представленных в данном сборнике, может изучаться самостоятельно; другие требуют предварительного изучения одной или нескольких предыдущих глав. Так, главы 1,2,3,7,8,9,10,11 могут изучаться полностью автономно. Глава же 4, например, требует предварительного изучения главы 3. Глава 5, в основном, независима от других, но • (если не будет изучена глава 4) учителю придется оказать определенную помощь школьникам, приступившим к изучению замечательных пределов. Перед изучением главы 6 настоятельно рекомендуется изучение главы 5, что существенно облегчит восприятие нетрадиционного для школы материала и, кроме того, позволит не отвлекаться на формулы некоторых первообразных, которых нет в школьных учебниках, но имеются в курсе "Производная и интеграл". Ряд понятий, новых для учащихся, вводится в нескольких главах, что не должно смущать учителя, т.к. почти каждая тема может изучаться независимо,и, если учащимся материал уже знаком, его можно опустить. Например, понятие сложной функции вводится в главах I и 5, в этих же главах подробно разбирается понятие обратной функции и ее график; элементарные функции рассматриваются в главах 4 и 5; рациональные и дробно-рациональные функции - в главах 1,4,5. Некоторые понятия трактуются по-разному. Так, сложная
* функция в главе I рассматривается как суперпозиция, здесь же даются элементарные способы построения графиков сложных функций. В главе 5 предлагаются интересные, необычные для школы задачи, расширяющие и углубляющие знания о.сложной функции, построение графиков уже с помощью производной. Хотя трактовки различны, но они хорошо дополняют друг друга, и материал этот особенно будет полезен любознательным учащимся. Все замечания и предложения по содержанию этого сборника факультативных.курсов просим присылать по адресу: 109044, Москва,, Крутицкий вал, 24, НИИ школ MHO РСФСР, лаборатория обучения математике. Составители Ю.М.Колягин Н.Е.Федорова
9 /Глава Т . Функдии и графики § I.Понятие Функции и способы ее задания. Если кавдому значению х из некоторого множества JC действительных чисел поставлено в соответствие по определенному правилу число у, то говорят, что на множестве х определена функция. При этом х называют независимее переменной или аргументом, а у - зависимой _пе{геценн^й^ или ^шащёй (для функции также принята обозначения у(х), «$■ (х)). Множество JC всех значений, которые может принимать аргумент, называется областью определения функций. Множество 7 всех значений, которые может принимать функция, называется множеством, (областью)_значений функции. Пр2мер_1Ла) Областью определения линейной функции у =кх+в является множество действительных чисел (х <z ft/9 ); множеством значений этой функции при к Ф 0 также является множество, действительных чисел. б) Областью определения функции у = х* является множестве действительных чисел, а множеством значений - множество неотрицательных чисел (у ^ 0), в) Для функции у = sLk/vX область определения - множество действительных чисел, множество значений - промежуток -I^y^I. рассмотрим способы задания функции формулой, графиком, таблицей, словесно-описательным способом. 1°. Числовая функция чаще всего задается формулой, по которой кавдему значению х из X сопоставляется соответствующее значение у. При этом указывается область определения функции (множество X). В связи с этим, одной и той же формулой можно задавать различные функции в зависимости от указания области определения. Так функции у = х, xeR. и у = х, хеМ ^Принятое обозначение некоторых множеств чисел: ^ - множество всех натуральных чисел, Х-- множество всех целых чисел, R*- множество всех действительных чисел.
10 различные функции: первая - линейная, вторая - последовательность натуральных чисел.^ТЗсли числовая функция, заданная формулой у = *£ (х), определена для тех значений х , при которых выражение ^(х) имеет смысл, то область определения ее обычно не указывают. Найти область определения функции, заданной фррмулой у=^(х) - это значит найти все значения аргумента, при которых выражение j (x) имеет смысл. Задача^ Найти область определения функции г—%• -i 1) у"- -5х2 + х - В.. 2) у - l^nrl ; 3) у =]/£^- Д I) Так как выражение -5х2 + х г 8 имеет смысл при любом х, то функция определена при всех действительных х. Ответ: x^R- 2) Выражение|-~—f\ имеет смысл при 2х + I 4 0 , т.е. функция определена при х 4 - -^ . * Ответ: х Ф - - • 2 3) Сражение V / xg * имеет смысл при ц + \ ^0. V х *-Зх+2 х -Зх+2 Решая этс неравенство, получим: х <1, х >2, т.е. функция определена при х<1 и при х>2. Ответ: х<1, х > 2. А Г Замечание I. В некоторых случаях область определения функции, заданной "формулой у = -f (x), не указывается, хотя она и не совпадает с множеством значений аргумента, при которых выражение -f(x) имеет смысл. Это происходит, когда область определения функции ограничена реальными условиями поставленной задачи. Например, очевидно, что область определения функции у(х)--3£А (если не сделано никаких дополнительных оговорок) - множество действительных чисел. Но аналогично задается зависимость пути ($). пройденного телом при свободном падении, от времени падения it): g^y _ <ul- (произведена замена обозначения в Формуле у(х)жа^_:у(х) на :S(4), x на t , £ на а, , где д.- ускорение свободного падения). В качестве значений Ь было бы противоестественно рассматривать -fc<0 и 4W.SS 'у (Н - расстояние от начальной точки падения до поверхности земли). Поэтому если область определения функции & (-fc ) _ Зу* специальна сто 2 * \^ ,/2Н указана, то подразумевается, что этс промежуток 0^х$"
и г" •■ i Замечание 2. Нет принципиальной разницы мезду функцией, зада- |ваемсй одной формулой для всех значений х, и функцией, определение которой использует несколько формул. Обычно функция, задаваемая несколькими формулами (правда, ценой некоторого усложнения выражения) может быть задала и одной. Например, функция с Г I, если | х |> I, -fr(x)= у- I, если | xj^I. I О, если ' х ' = ± I может быть задана следующим образом: где под p. 2tv j .. , . ■M^tv д. ~ следует понимать (пока, до введения по- нятия предела) число, к которому стремится значение выражения 2*v т хл , когда ти неограниченно возрастает (къёМ). х^+1 На ссвременнсм этапе развития науки и техники реализация аналитического способа задания функции (формулой) может осуществляться с псмсщью прсграммыддя ЭВМ. Программа - это закодированная запись алгоритма нахождения значений функции (фактически, по формуле) при определенных значениях аргумента. Ввод программы в ЭВМ может быть различным. Так, при нахождении на микрокалькуляторе значения Stttx, например, при х = 2, нажимают последовательно на клавиши по > ш • п^з •ш табло при этом высвечивается значение синуса числа 2 с точностью, определеяемой возможностями калькулятора. Каким образом получается в МК это значение синуса? Фактически, после нажатия на клавишу |sUvl , запускается в работу программа подсчета значения sUt x (х измеряется в радианах) о псмсщью формулы ипд'..- jr ♦ Jr- £ ♦...♦<-»'Vg—y| m *v Символ vxi\n читается как n BH фактора ал" и обозначает сокращенную запись произведения первых YL натуральных чисел: И! = 1-2-3 • ... • (И,- I)- П. .
a (значения tosx • псдсчитываются с помощью формулы о»» х- 1-^- + -*- -fr +... + (-I).J--. (2)), причем количество слагаемых берется таким, чтобы обеспечить нужную точность вычисления. 2! В случаях, когда возникает затруднение в записи формулы, по которой каждому значению х ставится в соответствие значе- * ниегКили когда это невозможно), пользуются словесным описанием способа, задающего функцию. Таково, например, задание следущих функций. а) Целую часть числа х обычно обозначают Гх"1 . Таким образом [_х~| - это наибольшее целее число, не превосходящее х. Например: И = 2; [2, 8] = 2; [_"2' 8Л = ~ 3' [Я~] " 1; Функцию,-принимающую значение целой части своего числового аргумента xeR. символически можно записать как б) Дробную та^тъ^тасла^х_^ принято обозначать { х \ , причем 0^|xJ<I и [х^ = х- [х] . ^ Например: [2] = 0 ; (2,8} = 2,8 - 2 = 0,8; (-2,8^ = -2,8 - (-3) = = 0,2 . функцию, принимающую значения дробней части аргумента х <£ R^ записывают как fc)CutK^a4 (om aatnccHCKoro слова s^nuwi- г^гО-ТЙ4*4"* 9еи.ст&и-те-«.ъ- uoio оир^ч-л-^к-ужж, . О&э^иачае^ся cmuaZoj^oju, si-ftn, или. Sqk, / rv^>utj£-u. г ГГ сл-ос x>о , ^ tr i / ecu-u. x <. о . г.) Функгда Дирихле: £(хУ~=^^~Г®> еслг х иррациональное число; |^1, если х рациональное число. л_ 3.. В естественных науках и технике часто применяется табличный способ задания функции, когда зависимость между величинами устанавливается экспериментально или наблюдениями. Например, при каждом новом зна[чении давления Р (атм) температура кипения ж) уЭта функция имеет еще обозначение Е(х) от первой буквы французского слова enAi.ec - целый .
воды -t°C различна, х есть функция от р. Однако эта функция задается не формулой, а лишь таблицей, где сопоставлены полученные из опыта данные. Примеры задания функции таблицей можно найти в любом техническом справочнике. Неудобство этого способа заключается в том, что он дает значения функции, лишь для некоторых значений аргумента. 4- На практике часто используются графическим (или геометрическим) способом задания функции. Этот способ удобен, когда аналитически задать функцию трудно. Обозримость и наглядность графика делают его незаменимым вспомогательным средством при исследовании свойств функции. Определение. Графиком функции у = £ (х) называется множество всех точек плоскости с координатами (х; у), где у =f(x). Задать функцию графически - значит задать (изобразить) ее график. - ,■ • - Подробно графический способ задания функций будет рассмотрен в следующих параграфах. Недостаток графического способа заключается в том, что не всегда возможно построить график для всех значений аргумента и увидеть поведение функции сразу на всей области определения. Упратзнш1_ I. Найдите область определения функции' I) у = -х2 + I ; 2) у = V4 -х*' ; ' 3) f (х) = 2х Зх + I 4) у(х)= 7) у(х)= 9х2 - 4 5) у = __^i &ъх i если х>0; I -х, если х < - I ; 6)4(x)=j*• если х>°; L-I, если х ^ 0; 9) (си.^с.1) ^ Si x | /ы| ll [Г 1,5 2,25 2 4 2,5 6,25 3 9 3,5 12,25 4 16 ч, -ь i -» ' \ 2 * к S" puc. 1 10) у =[х] /II) у = [Ху , 12) f (х) = I ^» если х ~ иррациональное число, [_ I, если х - рациональное число . 2. Укажите область определения функции I) S ( + ) = Vt , где £ (t) -путь, пройденный телом при рав-
номерном прямолинейном движении со скоростью V за время 2) S(4s) = Я— , где S(-t) - путь, проченный телом при свободном падении с высоты 20 м от поверхности земли; 9"~ ускорение свободного падения. 3. Найдите множестве значений функции I) у = 2х2.+ Г; 2) у (х)=х3 - 5 ; 3) $ (х)= \fx"+ 2 ; 4) у(х)= [х]; 5) у={х] ; 6) .см. № I (12); 7) см. * I (6); 8) см. & I (7), ,9) см. JTI (8), 10) см. рис...1. 4. По формуле (I) найдите приближенное значение swvl, ограничиваясь двумя; тремя; четырьмя слагаемыми. Кавдый раз найденное значение сравнивайте с показанием значения suvl , полученного- с помощью микрокалькулятора. 5. Пс формуле (2) найдите приближенное значение COS2, ограничиваясь двумя; тремя; четырьмя; пятью слагаемыми. Каждый раз найденное значение сравнивайте с показанием значения^ cos 2 на i микрокалькуляторе. § 2. Элементарные функция 1. Целдя jfflgcHg^g^^mcpHH представляется в аналитической записи целым относительно х многочленом у = а0х*Ч ajX*"* + ... + а км • х + а^ , где q.q , ат, • • • ^ а ^ - действительные числа (коэффициенты многочлена), vu- целое неотрицательное число. ^С этому классу функций относятся уже известные функции:линейная у = кх + в; квадратичная у = ах2 + вх + с, а Ф 0, степенная у = х*- приНбМ. 2. '^^^^^^^^^^^^^^я^р.^^^^^я^^^я отношением двух целых рациональных функций: у = а0Х + аТХ + * * * + а Ъ-Л * Х + а IV Во^+ BjXm"4+ ... + В^^- X + В^ Эта функция определена для всех значений х, креме тех, которые обращают в нуль знаменатель.
15 К данному классу функций, в часности, относятся все целые рациональные функции, функции У = | при различных значениях к. Построение графиков частного случая дробных рациональных функций - дробно-линейных функций будет рассмотрено в § II. 3» CjSSSSSSSj^KfflS- - это функция вида У -хх , где х- - любое действительное число. При Ъ - целом имеем-рациональную функцию (целую или дробную). Если "V - несократимая дробь, то функция может быть записана с помощью радикала. Например-, если vyu- натуральное число и у = х *v (или у = YaT ), то при нечетных nv областью определения этой функции является множество всех действительных чисел, а при четных - множество неотрицательных чисел. уЕсли г - иррациональное число, то предполагается, что х > О (х = 0 допускается лишь при t>0). 4. Показательная_$ушддя - функция вида У = ах, где а > 0, а Ф I, x - любое действительное число. Графики показательных функций для некоторых значений аргумента изображены на рис. 2. 5# ^га^щ^йческая^^шда^ - это функция, аналитическая запись которой имеет вид: У = to&^X , где а > 0, щ Ф I, х > 0, причем значения функции находятся из равенства в? = х. Графики некоторых логарифмических функций изображены р^с.Я, ъ\ ь \ о - \ -1 ^\^^ i ж^4~ Рис.3 1 J ^jruxjjt ^iL^cg.x ^^Zz^x
16 мс.ч 6. К тригонометрическим функциям относятся функции у =$uvol; у =ссь.*: , у.= -Ц^ ' , у = оЛ^Х Графики этих функций представлены на рисунках 4 и 5. Г^ И?
п Замечание. Если не сделано специальной оговорки, то аргументы тригонометрических функций выражаются в. радианах. При этом из области определения функций^у = "tg х исключаются значения х = (2к + I)- ^ , а для у = Ы^Х — - значения х = к ЯГ , где к е% . § 3» Обратная функция Определение I. Функция у =f (х) называется обдатшюй^, если каждое значение •: у из множества значений функций соответствует единственному. х из области определения (т.е. разным значениям х из области определения соответствуют разные значения у). ч .,, Например, функция у = х на промежутке 0^х^2 являются обратимой, т.к. каждое значение - у "из множества ее значений 0^у^4 соответствует единственному определения (см. рис. 6) Является ли функция у = f(x) обратимей, можно судить по ее графику: график обратимой функции пересекается любой прямой, параллельной оси ОХ не белее, чем в одной точке (см. рис. 7). рис.в X а Л г о из об. , J4 7 \ > tL паст =»*. о<х S и <г2. X 1 О / У , л * 0.) функция у = х^ на промежутке 0 ^х ^ I является обратимой рис.7 1 1 Л функция у = х4 на промежутке - I^x ^ I не является обратимой Определение 2. Пусть функция у = f (х), х е X - обратимая и У - множество ее значений. Тогда на множестве. У может быть определена функция х =<} (у), такая, что каждому уе У соответ-
ствует единственное х£ X, для которого -f (х)=у. В.таком случае функция х = cj. (у) называется обратнрй^^гнкцией к функции у =-Р (х). Обратной к функции . х = g {у) является функция у = f (х), поэтому эти функции называют взаимно обратными функциями. Задача_1^ Доказать, что функция '—;V у = Зх + I, O^x^I -r (I) - обратимая и найти обратную функцию. 7 Д Уравнение у = Зх + I при любом у однозначно решается относительно х : х = У"1 Т '• следовательно, данная функция-обратимая. Полученная форлула, выражающая х* через у , задает обратную функцию. Обратная функция определена щ множестве значений данной функции (I). Из условия следует, что этим множеством является промежуток 1^у^4. Следовательно, функция х== — , 1^У^4 ,; (2) является обратной к данной. ,' Следуя традиции обозначать независимую переменную буквой х, а зависимую - буквой у, условимся менять обозначение х на у и у на х. Тогда функция, обратная к функции у = Зх + I О < х < 1 , имеет вид I^x ^ 4 . (3) ▲ х - I У = ~3~ Переобозначение переменных, которое было произведено при решений задачи I уцобно в тех случаях, когда требуется изобразить графики взаимно обратных функций в единой системе координат, rgagmgjj^ прямой_У - х . Так графики взаимно обратных функций (I) и (3) изображе- ны на рисункеВ . р-*лс .
19 Задача_2А Является т обратимой функция У = х2 - 2^х^2 ? А Эта функция не является обратимой, т.к.j например, значение у = I срункдяя приникает при двух значениях х из области определения: при х я - I и при х = 1(см.|рмс.9).4 1 4 ъ V 2 -i -4 0 4 г .X риС. 9 Упражнения I* Обратима ли функция 1)у-х2.х>1, 2) у = х233) + (х) -х3; 4) у >fx~;- ' 5) у « sUv* , 0 ^ х^ х » 6) у .» *tn,x , О ^х ^ОС ? 2. Найти обратную функцию к функции I) у*= - 2х +3 ; 2) у = х2, 1^х ^ 3 ; 3)у = ^х", 0^х^4 i 4) у = -i_ ~ 1,.х> - I . ^ х + I 3. Доказать, что функции -f (х)= ——,. и £ (х) = -—2—г - х + I .С 1-х взаимно обратные. 4. Доказать, что функция у = х2 - 2х + 3 обратимая на промежутке х < I, 5. Построить график функции, обратной к функций I) у = Зх + I; ; 2) i (х) = х2 + 2 ^ х :> 0 ,; 3) у = sin Л ,_ £^Х й % ; 4)^=соб* , О^ДаЯГ; 5) у = х2 + 4х , % х ^ -2 ;
20 6) у = - x2 - 2x + 3, х^ -I. § 4. Сложная функция Познакомимся с понятием суперпозиции (композиции, наложения) функций, которое состоит в тем,что вместо аргумента одной функции подставляется другая функция. Например, суперпозиция функций «J- (х) = ^ и g(x) = cosJC дает либо функцию ту I COSX либо функцию %(№) у)) = со$^ Чтобы задача нахождения суперпозиции двух функций веспри- нималас^<зднозначно, используют такие способы обозначения функций, при которых очевидно - какая функция является "внутренней". Например, если заданы функции ■ %* Siit-y и у = \[Т , то, очевидно, "внутренней" функцией является функция у = \fx", а их суперпозицией - функция 9£ = su*i,\fc. С помощью суперпозиции функций получены такие, например, функции: й (здесь £ = \Ру7 у = х3 - I); (здесь Ъ^^Ъ , У = s^*); (здесь 3£ = у t у = sln,x^ . *Р(у) имеет область определения У функция у =*f (х) имеет область определения X > причем множестве значений функции у =f (х) содержатся вобласти У , тогда переменную Ъ можно рассматривать как функцию от - х ; а= 4>(f(x)). Полученная в результате суперпозиции функций -f(x) и ^р(у) функция Ъ называется слоашой^унк^ей (ит функцией от функции). Чтобы найти значение функции а& /соответствующее определенному значению х, поступают следующим образом: по заданному хеХ находят соответствущее ему значение "внутренней" функции у=^(х), D г 2) 2. 3)2 Если = V*3 -1." = 4g suvx = Si*v*X функция Z, =
ТА а затем находят соответствующее этому значению у^У значение Z = ?(у). Например, чтобы найти значение функции 2 = &ifl^X при х = -j£ ,поступают так: находят значение у = £*п^ затем - значение 2= у . Таким образом: у = I , £ = ( д)3 = \ » Замечание I. Предположение, что значения функции *f (x) не выходят за пределы У-области определения функции ^ (у) существенно. Например, рассматривая функцию 2 = ^ > где у = SuuX, ш должны рассматривать лишь такие значения х, для которых Sui-X^O, иначе выражение Vstax потеряет смысл. Замечание 2. Сложную функцию можно составить и из большего числа функций, .например: г если у = cos к , u= Vv -I, V = х? + 2, то у = cos (>/x^ + 2'- I). Замечание 3. К перечисленным в § 2 элементарным функциям следует относить и функции, получаемые из них с помощью четырех арифметических действий и суперпозиций, последовательно примененных конечное шюло раз. Упрзжнездд I. Найти область определения сложной функции I) у = o&>fx j 2) £ (х) =А*п^ ; 3) у = /х2 - 5х + 6 ; 4) у = \f-x2 + 2х + 3 ; 5)^(х)=^х- |xj -I1; 6)у= -^Г^Ь" 7) у = Vx-2 - У 3-х ; 8) * f (х) = Т V|x| -2 |х-1Г 2.. Записать функцию, полученную в результате суперпозиции функций 1) у = к? и ic = V1T ; 2) у- I и W.I и указать ее область определения.
3. Найти оуперпозищнп т^(х)) и ^(Ч(х))и указать их области определения,;.если: 1) to =x3, д(х)=х - 2; 2) *.(х) =х2, fl(x) -^7-; 3H(x)='g(x)=Vl -х*'; 4) *<х) = [*' вслих>0 7_0, если х<0, *(х> = i°A еслих >0» 0 [х , если х<0 , 4. Записать функции, которые могут быть получены в результате суперпозиций трех функций у = х3 + 2, У= * > J/ = n/*"* Указать для каждой полученной сложной функции область ее определения. 5. Найти какую-либо функцию т (х), удовлетворяющую условию 1) 1 (х-2) * Ц- , х ф - I; X + I 2) {(£> =х2 + 1; х^О. § 5. Ограниченные и неограниченные функции • Определение I, Функция ~у = ^(х) называется ^гр^шченной^ наЧШОЯсестве А, если существует такое число м, что для всех х в А ♦ В противном случае функция называется неог^аетченной. ВгаМёйА. I) Функции у я ь1^х и у = c>os* -ограниченные на множестве всех действительных чисел, т.к. для всех хеЯ \vtvLx|<I и (ccs>|^I. 2) Функция у = х на множестве действительных чисел неограниченная, т.к. нельзя указать такое число М, чтобы выполнялось соотношение х ^ М для всех хе К. Определение 2. Функция у = •£ (х) называется ог^ащчеш^ свещ_(сниззг) на множестве А, если существует такое числе М, что г . -f(x) < M Qf(x) > Mj для асех хеА. .
23 Пщме_р_2.£. Функция У = - х2, - 1<х<0 (рис. 10) - ограниченная сверху, т.к. все значения этой функции меньше или равны, например, числа I (в качестве значения М для данной функции можно было взять, например, число 0; 0,5; 10 и т.д.). Пример_3^ Функция у = \х\ + 2 (рис. II) - ограниченная снизу, т.к. для всех х е R. значения этой функции больше или равны, например,- числа 2 (в качестве значения М для данной функции' можно было:взять, например, число I; 0; -2,5 и т.д.). ^/Йдея ограниченной сверху на множестве А функции у = -f (x) наименьшее из всех значений М называется верхней гранью функ- или f(х) и обозначается У4 / ■vj*v(m=0 {>«с. ■ -X, \. Л 1 А -< \ ^у / 4 = 2 (Ы*1) Oil, X рис {\ Дяя ограниченной снизу на множестве А функции у= -? (х) наибольшее из всех значений М называется jffl^He^jc^affibroJ&jHK- ЦИИ Т (х) и обозначается *) Sup-сокращение от латинского слова " SupTxrnum" - наивысшее. e) (л* - низшее♦ сокращение от латинского слова "ui£ mum."- hau-
Vi Примеры 4. I) -S.U.K «.i.wjC = I; 2) vtR,1 wvf Cos;3( = - I; 3) 4) f (Jx| +2>2; 5) Sub x2 = 4 6) urf J---'|. Определение З. Значение f'(x0) функции у = f(x), где xQ принадлежит некоторому промежутку А из области определения этой функции, называется и§ибольшим (наименьтм) на этом промежутке, если для любого х 6 А выполняется неравенство ■? (х) ^ ■? (xQ) (соответственно -f (х) ^?(х0)) • В этом случае числе £(х ) обозначают. та-*-? ' (соответственно vy^Iw -f ) - х е А Если очевидно - о каком промежутке идет речь, тс число + (xQ) обозначают wia^-f (соответственно .-vvuLyu-f ) * Наибольшее (наименьшее) значение функции называют максимальным (минимальным) значением. Пшмер_5д I) Для функции 4 (х) = х - 2х + 3 на промежутке 0 <х ^ 3 YY\£j>< -f = 6, wlCvv-9 = 2 (см. рис. 12а). 2) Функция ■£• (х) = х2 - 2х + 3 на промежутке 0 < х < 3 не имеет"максимума; rrunf = Я (^м. рис. 1&6" )."' Если существует ^&> f то Sr^p-f = *fcA *fcAl = m«t>'(' ; если существует wvtn f ■■' , то ъп-f -V = vain 9. XfcA xfcA у^Д Прим£р_6^ Так как функция 9 (х) = х -2х+3 на промежутке 0<^х<3 имеет минимум, тс М -f(x) =^L^4(x>2. •f 0 рис. 12. а ■\г6
25 Уп])аянения_ 1. Какие из приведенных ниже функций являются ограниченными (ограниченными сверху; ограниченными снизу)? I) у (х) = - 2х + 3 ; 2) £(х) = х2 + 5х - I ; 3) у = -х2 + х - 2 ; 4) у = х6 ; 5) у(х)= х3 ; 6)f(x)=j,I<Xft5; 7) у = J. - 3^x^-0,5 ; 8) у(х) -|х | . 2. Укажите верхнюю грань функции I) у = ооб^ ; 2) £(х) = - х2 + I ; 3) у = -|х| ; 4)уЛ, -6^x6-2 . 3. Укажите нижнюю грань функции I) f (х) = suvx • 2) у = х2 - 2х + I; 3) у = | х | - I 4) у (х) = ^ ; 5 < х < 10; 5) у = \[1Г. 4. Найдите теи*$ и wuCw •£ , если I) £ (х) = х2 - 4х + 5, 0 *х*5 ; 2)f(x) = -х2 + 4х - 3, 1^х-<4; 3)£(х) = \ , 1<х ^ 3 ; 4) f(x) = HfL У } 0 < х < |ЗГ. § 6. Монотонные Фтакпии Определение I. Функция у = ^f(x) называется всзрастакуей на некотором промежутке, если для любых х2 > Xj из этого щю- (межутка выполняется неравенстве j (х2) > 4 (х^). Задача_1^. Доказать, что функция £ (х) = х4 на промежутке х >0 является возрастающей. А Пусть "х« > 0 и Xj ^ 0 и пусть х > х , т.е. х2 - xj > 0. Тогда -f (х2) - ^(xj) = х24 - Xj4 = (х22 - Xj2)- •(х22 + Xj2) = (х2 - Xj)(x2 + х-г)(х22 + Xj2) > 0, значит +-(х2) > t^xi)» т-е- Функция +(х) = х4 при х >0 - возрастающая. А
7b Определение 2. Функция у = £(х) называется j6HS§SSS£ Ha некотором промежутке, если для любых х2 >Ху, из этого промежутка выполняется неравенство 4* (х2) ^ ^ (xj). В курсе алгебры 8 класса было показано, что, например, функция -Р (х) = х2 при х 4 О — убывающая; функция £(х) = х2 при х >0 - возрастающая; 4 (x) = \fx~~ - возрастающая на всей области определения; «J (х) = х- - возрастающая на всей числовой оси; ^г(х) = * - убывающая на промежутках х < 0 и х> 0. Возрастающие и убывающие функции называют монотдддш^&ушс^ циями. Определение 3. Функция у = £ (х) называется деуЩвающе^ на некотором промежутке, если для любых Хо > х из этого промежутка выполняется неравенство -f (х2) > -ftej)- На рисунке 13 изображен график неубывающей функции у = -f(x) на промежутке а ^ х ^ в. Определение 4. Числовая функция у = 4 UJ ^называется невозрастащей на некотором прсмежу№е"р~если для любых х2 > Ху, из этого промежутка выполняется неравенство -f (x2) ^ -f(xj). Например, функция ^хН-1 при х > О является невозрастающей на своей области определения (рис. 14) ^всйства_моното(нных функгрй: (Отметим, что в. формулируемых ниже свойствах предполагается, что речь идет с монотонных на одном и том же промежутке" функциях). j (?) Суша двух возрастающих (убывающих) функций является функцией возрастающей (убывающей). njraiepjjs. Функция -9 (х) = х + х2 - возрастающая на мнсжег- pnc.ib стве неотрицательных чисел, возрастающие при х^> 0. т.к. функции у = х и у = х4 -
(^ Произведение двух положительных х' возрастающих (убывающих) функций является функцией возрастающей (убывающей). Пщм2р_2А Функция у = х *\Гх* - возрастающая на промежутке х>0, т. к. положительные функции у = х^, х>0 и у Ц(х/ х > 0 - возрастающие. (3/ Если функция у = -г (х) - возрастающая (убывающая), тс функция у = — х W " убивающая (возрастающая). Пример_3^ Функция у = -хг - убывающая на множестве положительных чисел, т.к. функция у = тг - возрастающая на' этом же промежутке. @> Если положительная или отрицательная функция у - 7 (х) - возрастающая (убывающаяЩ^нкция у = ■* (х) " У^нъят&я (возрастающая) • Пример_4г. Фун1сция у =Jp на промежутке х > 0 - убывающая, т.к. функция у = VST — возрастающая. Qp Если функция у = $ (х) - мснстснная, тс она имеет обратную, причем возрастающая функция имеет возрастающую обратную, убывающая - убывающую обратную. Прим.ер_5Л функция у = ^х* - возрастающая на множестве неотрицательных чисел, т.к. является обратной для возрастающей при х ^ 0 функции у = х . @) Если функция х = -f ( х ) возрастает на промежутке a ^*t ^ в, а функция у = ^(х) возрастает на промежутке ■f (а) ^ х ^ + (в), то функция у = Ф(Р("9) возрастает на промажутке a ^-t^.B. j—-p Пример_6Л Функция у = \^\Л^)Г ^СГАЮШкАП например, на промежутке - 4 ЩщтЖх^ - If т.к. функция х = - т /±£л —* возрастающая на промежутке - 4 ^"t ^ - I, а функция у -Vx^Wfi "— возрастающая на промежутке j *£х ^ I. ((у Если функция х = -f Cfc) возрастает на промежутке a s£-t й£в, а функция у"= *f (х) убывает на промежутке -р(а) ^ х ^ *f (в), то функция у = *f (■{ (-Ь)) убывает на промежутке а з£ *Ь ^ в. *' Функция у =^(х) называется доложите_лънсй (д^ШШййЩЁ} на некотором промежутке, если длячвсех х из этсгс промежутка ^f(x) > 0 (--f(x) <CQ ).
2* . \. Примзд^ Функция у = р=—/■" ; ■ — убывающая, например, на промежутке 1~^9рт?*к. функция х = \3>С/а» ,— возрастащая на промежутке I£-t49f а функция у ^Г* J — убывающая на промежутке I ^ х ^ 2> . —^^ Щ) Из перечисленных свойств докажем, например, свойство^ (возрастащая функция имеет возрастающую обратную функцию; убывающая функция имеет убывающую обратную функцию): О Пусть функция у = -С- (х), х в X является возрастающей, т.е. £ (х]0-* 4. (х2) • если Xj < x2 и пусть У -множество значений этой функции. Тогда каждому у £ У соответствует только одно х £ X. Действительно, предположение, что для некоторого у в У выполняются условия у0 = -f (xj) и ус = + (х2), где Xj < х2, противоречит тему, что -f (xj) < -?■ (х«) • Таким образом, для возрастающей функции у =-f (x) каждому значению х е X соответствует только одно значение у € У (у = ■? (х)), поэтому функция у = •£ Сх) имеет обратную функцию х -^(у),у 6У, Покажем, что обратная функция - возрастающая. Пусть ух 6 У и у2 е У и у <с у2# И пусть х1 = &-^1^ и х2 = сИу2^ nP^n0JIC3™> ч?с Xj > х2, тогда yj = -f- (xj) ^ !4%(хз) = У2» нС это противрречит условию У^Уз- Следовательно, обратная функция - возрастащая. Доказательство того, что обратная для убывающей функции также является убывающей, проводится аналогичным образом, ф Уп]эажнения_ 1. Пользуясь определениями возрастающей и убывающей функцией, исследовать на монотонность следующие "функции: I) у = - 5х + I ; 2) у - х2 - 2, ' х ^ 0.; 3) £(х) = 2х3 + 3 ; 4) у (х) = - х3 + 5; 5) у = х4 + I, 9 X ^ 0. I X 2. Доказать, что функция у - -—— - убыващая на любом про- х межутке, не содержащем нуля. 3. Доказать справедливость свойств I, 2, 3, 4 монотонных функ-
29 ций, сформулированных в данном параграфе. 4. Представив данную функцию в виде суммы или произведения элементарных функций с известными свойствами, определить, возрастающей или убывающей является эта функция: I) у = х2 + х3, х>0; 2) f (х) = х2 + х4, х ^ 0 ; 3) у = х3.\[х~ , х 5> 0; 4) >(хУ = )Е , х >0 * 5. Используя свойство '4 монотонных функций, определить, возрастающей или убывающей является данная функция: 1} *(х) - тЛт- ; 2)у= ifcsr ; 3),- ^- ; 4)у = ^; 5) -f-(x) = -J2 . х>0, 6) £(х) = "~2 , х ^0 - 6. Записать функцию, обратную к дашой и определить характер ее монотонности: •« I) у = 2Х + I ; 2)£(х) = х2 - I, % > 0; 3)у = ГГз 'х>3' 7. Пользуясь свойствами монотонных функций, определить возрастающая или убывающая на указанном промежутке функция. 1)Щ1)=\[&~1, K-US3 ; 2) у = v'Uf , U^ О ; 3) У = -J| j -5 <х<-2; 4) у = |-±г | , -3 к\, ^ -I; 5) У = I ^ , х >0; 6) у = -(х3+х-2)3, х <0. § 7. Построение графиков функций * вида^(х) ± £(х); f(x)-£(x); —|g} На практике возникает необходимость ,быстро изобраЗИ/гь график функции, аналитическая запись которой является суммой или произведением некоторых элементарных функций.
30 Определение I. Суммой (разностью) функций у = f(x)' и у го(х) на их'общей'области определения X называется функция, значения которой для каждого х G X находятся по формуле у =-£(х) .+ g(x) (у =f(x) -g(x)). Например/ суммой функций ( у = х и у = ^с" является функция у = х + V^> определенная на множестве неотрицательных чисел (так как область определения функций у = у? - вре действительные числа, а область определения функции у= л[х - все неотрицательные числа, то общей областью определения этих двух функций будет область определения второй из них, т.е« множество неотрицательных чисел). Определение 2. Произведением (частным) функций у = -р (х) и у в д.(х) на их общей области определения А называется функция, значения которой для каждого х €z А находятся по формуле у=-?(х)-д(х) (уа* при:*д(х)ИО). Например, произведением функций у = sirvx ; xe[0;3TJ и у = х , xeR. является функция у = х -sUO( с областью определения х е [0;ЗГ] . I. Графики функций вида у = -f(x) - g-(x) Если строится график функции у = -f(x) + $(х) (у =^(x)-q(x)), тс для каждого значения аргумента х значение функции у* получается в результате слежения (вычитания) состветствувдих значений функций тЧх) и g (х). Для построения графика функции y=f(x)+ + g(x) (у = £(х) -ф(х)) сначала находят значения суммы (разнести) ординат в характерных течках. По полученным точкам строят предполагаемый график, после чего выполняют проверку (уточняют построение) в нескольких дополнительных контрольных "//// точках. Можно, однако, не строить графики обеих функций, составляющих исходную, а поступить следующим образом. Пр[_с555§ёН.: сначала построить график наиболее простей из входящих в сумму функций, затем к нему "пристроить" график второй функции,, откладывая орди-
31 наты от ссответствушрзх точек графика первой функции (мсжнс с помощью циркуля). Щи^вндташи: построить график функции - уменьшаемого и от неге отложить ординаты функции вычитаемого, взятые с противоположным знаком. _3§ца*а I. Построить график функции у = х + \fx~- ДПостроим графики функций yj = х и у2 = уТ (рис. 15). Сумма этих Стнкций определена при х^О. Для построения графика заданной функции мсжнс выбрать, например, течки с абсциссами х = 0; 0,5; I; 2; 3; 4;... В этих течках сложить ординаты графиков функций yj и у2 и плавно соединить полученные течки. График функции у = х + fx изображен на: рисунке 15 сплошной линией. А У н А 2 1 ~~о] <у# 1 г з ч S" 2. ^^^^^^^^^J^s^^l^ Графики функций у = -? (x)-g(x) и у =^(§(х) ^ °) можно построить по точкам. Если при слежении (ыгчитании) графиков можно было пользоваться циркулем для слежения (вычитания) ординат, тс при умножении (деление можно свести к умножению: у = -f №*zk\) нужно пред&АРительно вычислить ординаты рэдл *^>чек графиков яр>#к- ции у=-ОД и М-$00, усме«яцих oSuvwe а5счиссы э л ^лтем произвести умножение (или деление) этих чисел при учете их знаков. Во многих случаях вычисления можно производить с помощью микрокалькулятора . Задача_2.8в Построить график функции у = х • sivux .
за ДЭта функция определена на множестве действительных чисел. Построим в единой системе координат графики функций—сомножителей; 7j = х и у2 = *ии.У"(рис. 16) - а*- График функции у = x-sulX можно строить по течкам. Там, где график у2 = ь\*ъх пересекает ось ОХ, т.е. в точках X *5Cl<f ke&, график функции — произведения.тайке будет пересекать ось абсцисс. Затем можно найти*для удобства построения,и значения функции у = х-ьигх в тех точках, где ьъп,* = - I (рис.' 16). ▲ "Произведение" ("частное") графиков, ь ряде a\v4aeb начинают строить после предварительного исследования функции или после упрощения аналитической записи заданной функции. Упражнения^ Построить графики функций 1)у = х2 + х ; 2) у = х -Ух , х^О, 3)у = х+)х|; 4) 4(х) = $Iyi х + х; 5) у ccs х - х; 6) у в X • CCS3C 8) у = (xJ-X. 7)J-w' X > I § 8. Четные и нечетные функции Определение I. Числовое множество X называется симметри-
S3 чным, если для любсгс х вХ число (-х)^Х. Например, множество всех действительных чисел, множестве всех целых чисел, промежуток - а*£х г^ а - симметричные множества относительно начала координат. В данном параграфе (если не будет сделано специальной оговорки) будем рассматривать функции, области определения которых - симметричные множества. Определение 2. Функция у = -f (x) называется зетнейд если для любого х ^ X выполняется-равенстве f(-x) =-f(x). Например: I) функция у =|х| .- четная, т.к. |-х ( = |х|; 1) функция у = Соъж - четная, т.к. cos <(-х)= cosx« - Определение 3. Функпря у = £(х) называется нечетной^, если для любого х G X выполняется равенстве tft-x) = -£(*).'■ | Например: I) функция у = х - нечетнач, т.к. (-х)3 = _х3; Z) функция у = ЬыгХ - нечетная, т.к. SIyv(-x) - - SuvJC. Основные свойства четных и нечетных функций: ^^ Сумма двух четных (нечетных) функций есть функция четная ((нечетная). ТШмер_1± Функция у = х4 + [х| - четная, т.к. функции ■ у = х^и У = |х[ - четнда» (|Т) Произведение двух четных (нечетных) функций есть функция четная; произведение четной и нечетной фушщий есть функция нечетная. ; Примеру 2._ I) Функция у = х* $1ю( - четная, .т.к. функции у = х и у_= .^t/vt,*-■—- нечетные; 2) функция у = х-со«»Х — нечетная, ш. у = х - нечетная функция, а у = cos34 - четная дикция. О^Если у =f (х) и х = f (-fc) - нечетные функции, то сложная функция у = •$ №(&)) есть нечетная функция. Щшм1Р_3_ Функция у = SUl/Ч,* - нечетная, т.к." функции х = -t* и у = %\л% X - нечетные. @>Если функция у =£(х) - четная, а функция х = *f ("£) - четная или нечетная, тс сложная функция у = $Q%(£)) - четная.
34 ffi™ej}jL. Функция у = co£~^s - четная; т.к. функция х = "if " нечетная» а Функция у = cx>s jc _ четная. @ Если функция у = -f (х) - четная, причем f (х) ^ 0, тс и функция- у = ~др(77 " четная. Ш>ДМ©Р-5А Функция у = ^^ * - четная, т.к. у = <u>.sx— четная фушсция. Докажем, например, справедаиврсть_(^всй(^таа^2. О Докажем, что если функции у =-? (х) и у ="Р(х) - четные, т.е. 4 (-x>-f(x)n4^yf(x), тс функция-£(х) + ^(х) также четная. Пусть Н(х) = Ux) + ?(х), тогда Н(-х) = Т(-х) + ?(-х)= = 1'(х) + Т(х) = Н (х). • Задача^ Построить график функщш у = х + ~ ■ Д Пес троим графики функций слагаемых yj .= х и у2 = | (линии (I) и (2) на рис.17). Т.к. функции уj и у2 нечетные, то и их сумма-также нечетная функция (свойстве I). Поэтому- график функции у = х + ~ можно построить только для х>0, а затем построить симметричный ему относительно начала координат. Для построения заданной функции можно выбрать, например, течки с абсциссами х = ~ ; •£ ; I; 1,5; 2; 3..., в этих течках сложить ординаты обеих графиков и плавно соединить полученные течки. График функции у = х + ^ изображен линией (3) на рис. 17. А Упралнения_ ■ I. Пользуясь определениями, выяснить, является ли функция четной или нечетной: 1Н(х) =£ ; 2){(х) = V*" 3) у = - -±ч Xе*
Z5 4)y=5^ ; 5) у = ^x ; 6)у=.0*£-х; 7) у (x) = x5 + I ; 8) у = x2-|x| ; 9) у = COSJU x ; 10) у = $1/ц,х +Х-. 2. (Устно) Пользуясь свойствами., выяснить, чётной или нечётной является функция I) у> |х| + х10 ; 2) у = 4gX + x+ftUi*x> r__ 3)y = x--fcaX; 4) у = х2. *uvX; 5)y=VsUv3T; 6) у = fios^uti) 7) у = jsut* |+ X2; 8) у = -Ц situ* + ^ . 3. Доказать справедливость свойств I, 3, 4, 5 четных и нечетных функций, сформулированных в данном параграфе. * 4. Построить графики функций I) У = -ас + ^ . х ?* 0 ;. 2) у = х3 - 4х ; 3) у = |х | + х2 ; 4) у = SUvX-X j 5) у = COS^ + 1>с|; 6) у = -fc^x + ^; 7) у:= У1Г + х' . § 9. Периодические функции t | Определение, функция у = -f (х), х £ X, называется nepgqggqg— ской^ если существует число Т?Ф такое, что для любого х^Х выполняется равенстве ' | fa-T)=#X)« J(M). I При этом число Т назнвается пе^руом $$вхвщи у =£(х)* ' Есш число Т является периодом некоторой функции, то числа VI-Т, где ft^Z, ru з^ 0 - также являются периодами этой функции. Например, периодами функвди у = suty являются числа 23Г, . -2 0Г, 49С , - 4ST, 6 ЗС ....и т.д. так КАК *l)V х = bin, (x + 23Г) = vuiv (х - 2JT) = *£п- (х + 43Г) =. = SiH- (х- 43Г) « Vtn- (x + 63Г) = .'.. и т.д. Если говорят просто о.периоде функции, тс под этим обычно понимают Jg5555S™$^55SS?SSS?^52P,[0^, если он существует. Так для функции, у = $vrb# наименьшим положительным' периодом является число 29w. Мсжнс доказать, что если TQ - наименьший положительный период функции у =х(х), тс любой ее период выражается формулой .J
CKBLT4HCJ :числим не- 36 Т a v^T0 , где rue^, w^ 0. Из определения периодической функции следует, чтс график периодической функции будет "повторяться" через промежуток длиной Тс> • равный наименьшему положительному периоду. Поэтому для построения графика периодической функции у = т(х) с наименьшим положительным периодом Тс, достаточно построить ее график на любом промежутке вида x0^x^xQ + TQ. Смещая построенной график вдоль оси абсцисс влево и вправо "на отрезки длины Т0, получим график функции у =-f (х). Задача^ Исследовать на перисдичнссть_функцию 4т(х)' = .[х^ и построить ее график.. . I ^м.^.^г°)^ Д f хТ| = х' - Гх"] - дробная часть числа сколько бе^значенй"" -f(0,I5) = 0,15 - 0 = 0,15 ; ! • ' \ (2,15) = 2,15 - 2 = 0,15; |" •? (5,15) = 5,15 - 5 = 0,15; f \ (-4,85) = -4,85-(-5) = -4,85+5 = 0,15; 4 (-0,85) = -0,85-(-1) = -0,85 + I = 0,15 . Замечаем, что при прибавлении к х, любого*'цёлсгс^числа а., получаем -f(x+a)=[x+a}= (х + а) - |(х + а)1 = х + а - Гх 1 - а = = х-[х]=- ш. ■ Это означает, что данная функция периодическая и ео периодом является любое целое число, отличное от нуля. Наименьшим положительным периодом данной функции, очевидно, является число I. Поэтому для построения графика.функции ■f (x) = Гх^ достаточно построить его, например, на "промежутке О ^х <1,а затем "перенести" "его влево и вправо через промежутки длиной рис {% *сй I (рис. 18) •' i ^ 1 f о Л.1 -2 -\ о -1 . / «1 i к О 2 3 ~ I 1 <с Ч X
37 Замечание. Наименьшего положительного периода функция может и не иметь. Например, для функции ? (х) = -5 любое действительнее число является периодом, а наименьшего^^* .;>'■' - положительного действительного числа нет. Вообще функция £(х) =. Co-v^H; является периодической с периодом - любым действительным числом Т 4 0. Основные свойства периодических функций: ; (JL) Сумма и произведение двух функций с одним и тем же периодом Т являются функциями с периодом "Т. ПР™ёР-Дг. Функция у = 9hIw.* r cos _х периодическая с периодом 2 &Г- Замечание: Однако, если Т было наименьшим положительным ■ периодом двух заданных функций, тс после их слежения или умножения Т может перестать быть наименьшим из положительных периодов. Например: I) Функции -f (х) = ccsx-2. и f (x) = 5 -cosУ имеют наименьший положительный период 2 (ТС' , а их сумма -f (х) + ¥(х) = 3 наименьшего периода не имеет. 2) Функции +(х) = I + %rlv^x и ^(х) = 1-^Ьъ,х имеют наименьший положительный период 2ОТ ,а для произведения S(х)< ¥ (х) = I - &1иЛ* = СО^Х = Т + с^Яу, наименьшим положительным периодом является числе ОС . ^ (2) Если у = т(х) - периодическая функция с периодом Т, то функция у - $ (ах) - периодическая с периодом ~ , где а € % , а^О. Пример_2^ Функция у = &^ъ5х периодическая с периодом |пг, т.к. период функции у = ^иъХ равен 20Г. (3) Если х = ^ iX) —периодическая функция с периодом Т, то и сложная функция у =-f( ¥(-£))- периодическая, причем периоды этих функций совпадают, если фунвдия у = -Р ( f )-монотонная. Пршер^З^ Фушсция у = ( vLn.-l г периодическая с периодом Т = 20С , т.к. период функции х = vtwt равен 23Г , а функция у = х - монотонная. Упражнения I. Является ли периодической функция _
38. I) £(x) = 3 ; 2) -f(x) - [x] - I; 3) f (x) = \x] + I -; 4) -f-(x) = Г1» если х рациональное число; ■О, если х - иррациональное ЧИСЛО; 5) у = I + vla-uX ; 7) 4 (х) »«*>£:, 9)--4.{х) = cevx ; 6) у = X + «*Ои>; 8) у = соъЯГх;, Ю)4(х) = bi*~ !*1 - Указать наименьший положительный период функции I) у = 0,5со^х ; 2) f(x) = vCw (х-?);, 3) у = jx] ; 4) у (х) = сл-|-у 5) у (х) = ^vv £* ^ cos 2.Y ;, 6) у = vtvx. * *\ ^ 7) ■? (х) = ^>v х . с^л, v* ; 8) у = ^^ * . Построить график функции § Ю- Лннейнью преобразования графиков функдзий Дриадер_ I. График функции у Их + I + 2 можно построить, например, по течкам (рис- 19): (I) X |У i-I 2 0 3 3 4 8 5 15 1 е | Кривая, изображающая график функции (I), - такая же, как и кривая графика функции у = ^х~ , только перемещенная в плоскости .. Чтобы понять- какие перемещения и почему совершил график функции у = \/х" (для того,чтобы занять не-
39 все положение), рассмотрим некоторые закономерности в построении графиков функций, заданных аналитически. I. Й^ики^^ Рассмотрим, например, случай, когда а> 0 и пусть известен график функции у = -р- (х) (рис. 20). Значение функции у={(х + а) в любой точке х0 равно -Р (х0 + а). Не такая же ордината будет и у кривой = f(x) в точке х=х0+а (КХС + а». При сравнении кривых у = -f (x) и у = -f (х+а) видно, что в силу того, что Xq взято произвольно, функция принимает те же значения, что и функция у = ~f (х), только при значениях х "на а^ единиц левее". Правило I. Чтобы построить график функции у = £ (х + а), нужно график функции у = •¥■ (х) сдвинуть на а. единиц влево, 3J -^ 0 ! X© s У' / » / i V-CL J* рис. 20 7Т7ТГ77ТТТГПТ |еели а>0, или на |а.| едцщщ вправо, если а < 0. Например, график функции у = \Гх +;1 получается сдвигом на I единицу влево графика функции" у =>Гх~ (рис. 21) . у* ; рис. 2/1
kO 2. £р?Ф™Е^ЖЙ^ Рассмотрим-случай, когда На рисунке 22 изображен график функции y=f(x)... Для всякой-течки М (х, £(x)J графика функции у =f (х) можно указать на координатной плоскости точку м' (х, £(х)+ + в). Множестве таких течек, ординаты которых на в единиц больше■ординат точек графика функции у= -f(x), будут являться графиком функции у = -f (х)+в. = f(x) fviC. Z2 Плавило 2. Чтсбы построить график функции у =-f (х)+в, нужно график функции у = -? (x) сдвинуть вдоль оси ординат на jb единиц вверх, если в>0, или на 1 в\ единиц вниз, если в ^ О. Например, график функции у = Ух + I + 2 получается сдвигом графика функции у=^Х.+ I на 2 единицы вверх (рис. 23) . Л(>Н\ a J ч 2 -Ъ -1 0 рчс.23 X
ki 3. Графики санкций у = -£(х) и у = -£ (х+а)+в < Пользуясь рассуждениями пунктов I и 2, - можно сформулировать следующее правило построения графика функции у =-f(х+а)+в Правило 3. Чтобы построить график функции у= f(х+а)+в, нужно: I) график функции y=f(x) сдвинуть на а, единиц влево, если а > О, или на |а) единиц вправо, если а< 0; 2) полученный график функции у =•£(х+а) сдвинуть на в^ единиц вверх, если в>0, или на /в| единиц вниз, если в <с 0. Возвращаясь к примеру I, предложенному в начале параграфа-, можно построение графика функции у = {х + I + 2 выполнить следующим образом: график функции, у = Y~x~ сдвинуть вяевс на I единицу и вверх на 2 единицы (рис. 24).- - \ а ъ, - г / / -А О 1 ^02~ Л 2. Л Ч S~ J( рис.ТА 4. Графики функций у = f (x) и у = -Их). Если точка М (xQ, 4(xQ)) принадлежат графику функции . у = -f (х ), то точка М' графика функции у = - -f(x )' с абсциссой х0 будет иметь ординату;равную -~f(x0)' (рис. 25).
hi Течка Мг симметрична течке М относительно оси ОХ. Вообще всякой точке М (х, у) графика функции у=£(х) соответствует течка Мг(х, -у) графика функции у = - i(x). Отсвда следует правило построения графика функции У= .-.*(зс). И\ПИ VJ, . %) -я*.) \ М - ~~"Т \ 1 |Хо - ^т ,.Л &щ X Правило 4. Чтобы построить график функции у » -f(x), нужно график функции у =-f (х) зеркально отразить относительно оси ОХ. Например, график фушщииу_=. ~ V х + * ~ 2 может быть получен из графика функции у =.ух + I •*- 2 зеркальным отражением относительно оси ОХ (рис.2£)-. 3* рис 2G 5. Графики функций у = -f(x) и у = £(-х) - В произвольной точке области определения х0 функция y=-f (x) принимает значение t(xc). Функция же у = -? (-х) такое же значение примет при х = -хс, т.е. ■£ (х0) = *f (-(-хс)), что наглядно видно и из рис. 27.
43 Таким образом течки М (х0> £ (хс)) и М' (-хс, f (х0)), принадлежащие графикам функций у= -f (х) и у = -f (-х) соответственно— симметричны стнссительнс оси ОУ. Гис.ГГГ Правило 5, Чтобы построить график функции у = f (-х), нужно график функции у = f (х) зеркально отразить относительно оси ОУ. ПТПТП777ТГП Например, для построения графика функции у = V^T дсстатсчнс график функции у =$Г отразить симметрично стнссительнс оси ОУ (рис. 28). Замечание. Построения графиков, рассмотрение в п.п. 1-5, можне в общем виде назвать построениями с^ пс^^ю^дшжешш. В следующих двух пунктах^'рассмотрим построения графиков с_псмсщъю дефсрлащЕй. 6. Графики функлшй у =|*(х) и у' = a-f(x). Пусть задан график функции, у = -f (х) (рис. 29) ^> Ъ '-L - 2 \ 0 1 у / — \ 2. % Ч рис. 2ft \
kk и для определенности пусть а > I. В произвольней течке х0 отрезок АВ=~£(хс), а АС = а • f (x0), т.е. fg = а. Это означает, что ордината точки графика функции у = а- в течке х0 в ja раз больше соответствующей ординаты графика функции у = -f (x). Проведя аналогичным образом рассуждение для О < а < I можно сформулировать следующее правн- 9 i aty.) 0 •У . С / '& \ 1/ JA *о Р*с.29 \\ // s / а>1 Правило 6. Чтобы построить график функции у = а - -f (х), при а > 0, нужно ординаты всех течек графика функции у = -р- (х) увеличить в ja раз если а^>1, и уменьшить в-^раз, если 0 << а < I. "" При а < 0 для построения графика функции у = а • -f (x) нужно использовать два правила: правиле 6 для построения графика функции уj =[а | - f(х),а затем правиле 4 - для построения графика У = -Ур ? ' " Например, график функции у = -2уг (рис. 30) строился в два этапа: сначала из графика у = х строится график функции у = 2х , а затем график функции у = - 2х* рис.30 » \ -\ с/ 1 , . 1 /У-Х2- / / \ -1 2 W-P-X2 \
7. Графики функций у = -£(х) и у =| (кх). 45 Пусть задан- график функции у '=f(x) (рис. 31) и пусть К > I. Для произвольного значения аргумента х0 (из области определения функции у =.-f (x)J отрезок АВ = ■? (х0). Не функция- у = f(кх) принимает то же самое значение в точке Д с абсциссой т.к. у = f (кх) = ^ск. К )-*(х0). Так как течка хс выбрана произвольно, то функция у = -f (кх) и про - fuc.il ходит"все значения функции у = f (x) в течках, абсциссы которых в к раз меньше соответствующих абсцисс графика функции у = £ (х). Происходит деформация графика функции у ,= {(х) по типу "с'жатия" в к раз . вдоль оси ОХ. в ■ ' * Если же взять 0 <к < I, тс нетрудно убедиться,-что график функции у = -р (icx) получается "растяжением" графика y=-f (x) в - раз. Следует отметить, что точка пересечения графика функции к г , \^осьюОУ^ " . у = т (х)\^!ослё~таксй деформации остается на месте (т.к. при х=0 Правиле 7. Чтобы построить график функции у = -f (кх) (к > 0), нужно абсциссы всех течек графика функции у = 'J- (x) уменьшить в ^ раз при К > I, и увеличить bjt раз при 0 <: к <- I.
46 Например, на рисунке 32 изображен график функции у = vCn^y, на ргсунке 33 - функции у = <а^ * , на рис. 34 - функции у = {&Г. / ^ / ' \ / /~2ЯГ J& ч - УА VI 0 X рисЬ2 X pviC.ib NC3^
47 Для того чтобы построить график функции у = f-(K(x+a))fB, поступают следующим образом: I) строят.график фушсции у = f (кх); 2) график функции у = ± (кх) переносят ццсль оси ОХ на Ja| -• единиц влево или вправе, в зависимости от знака числа ^ (см. п.1 данного параграфа), получают график фушсции у = f (ic(x+aj- 3) график функции у = -?(к(х+а)) переносят вдоль оси ОУ на д ей1Ищ>^-^§вйсимс.сти от знака числа в^ (см. п.2 данного параграфа), получают график фушсции у = -f (к(х+а)) + в. Упражнения I. Построить график фушсции 2 I) у = ЪГ - 4х + 5 3) у = - (х-2)3 + J 5) у = Ух -T + 2 7) у = - | х.- 3J + 2 2) у(х) = х - .т - I ; 4) f(x) = 2\/1Г+ 3 ; 6)у = -^ -I ; 8) \ (х) = ' [х + 2J - 2 ; 9) у = 2 СС5 Л -1 ; 10) у = &{,*. (- х + f ) + 2 . 2. Построить графики функций f (х), - { (х), -f (-х), - f (-x), }{x)£ , f(x-2), если: I) f (х) = 2х - I ; 2) I (х) = 4х - х2 . 3, Построить график функции I) у = \/х - 24 х ; 2) f£x) = х2 +/2 - х'; 3hy = —^ + £х-1)3, - Кх ^ 3 ; х + 2 4) у = jx + l|+ ]x - I( . § п. График дребне-ликейней функции Определение. Функция вида У= ^Ш ' (I) сх + -а. |называется дребне-линейней. Предполагается, чте с ^0 и ~^ Ц- В определении дребне-линейной функции на параметры а, в, с и
oL принято накладывать ограничения, т.к. при с = 0 получим линейную функцию у = 7 х + Д '» а-при ■§ = j функция принимает постоянное значение. - g^ Покажем, что график дробно-линейной функции шеетУгиперболы У = X ' oY . 7 Для примера рассмотрим функцию у = х - 2 * Выделим "целую часть1* дроби в записи функции (для этого разделим числитель на знаменатель): - Зх + 7 /1 х - 2 Зх - 6 Гз 13 т.е. Зх + 7 = з + £2 '• х - 2 х - 2 Таким образом, функции у = 0 имеет вид у = 3 + «—5 X — л X — л а ее график (см. § 10) получится из графика функции у = ~ растяжением вдоль оси ОУ в 13 раз, перемещением на 2 единицы вправо и перемещением вверх на 3 единицы. Любую функцию (I) можно записать в аналогичной форме, выделив "целую часть". Поэтому график дробнс-линейнсй функции есть гипербола, определенным, образом сдвинутая вдоль координатных осей и растянутая по оси ОУ. Упражнения Построить график функции I) у = au-З ; 2) у = - Зх + 2 ; X - I •■ X + I 3) f (х) = 2х'1- . 4) у = te + Х - 2 + ^ . 2х ' х - 2 х - 2 § 12. Графики функций, содержащих в аналитической записи знак абсолютной величины I. График функции у- |Кх>|. Пусть задан график функция у =' -f (х) (рис. 35).
w В любой течке области определения функции, где -f(x) >0, |*(х)| =-f(x) трафики функций у = Нх) и у =|-f (x) ] в таких течках совпадают. Для тех значений аргумента, при которых -f(x) < 0,|f(X)| = -. - -f (x), т.е."' график функции у = |?(х)|для таких точек может быть получен (согласно правилу 4 из § 9) зеркальным отражением графика функции у = т(х) на этой области относительно оси ОХ (рис. 35). Отсвда можно сфорлулирешть следующее правиле. [Правило I. Чтобы построить график функции ?*ис.Ъ5 у» |-?(х)|, нужно оставить без изменения те части графикЗ""^^ f(x), где V(x) J> 0, а вместо участков графика функции у =f (х), где -f (x) -<- 0, построить их зеркальное отражение относительно оси ОХ. На рисунках 36 и 37 приводятся примеры графиков функций У = -(х+2)2 + I соответственно. эиС.ЭТ
50 2. График функции y'={(|xl). Известно, что при х^О )х) = х, и поэтому -f(jxQ = f(x) для неотрицательных значений аргумента. Тс есть график функции у = l-(lxl) при х ;>0 совпадает с графиком функции у = -f (x). Очевидно, что функция у= | (|х|)- четная, т.к.((|-х|) = 4\(1х1) и поэтому график функции у ={ ()х|) симметричен относительно оси ОУ. Заметим, что для построения графика у =т((х|) достаточно знать только расположение графика функции у = f (х) для х>0. Для х <0 функция у =-f (х) может быть вообще не определена, как, например, функция у = fx'. Однако функция у = \|jx[ определена на множестве действительных чисел и ее график изображен на рис. 38 (получен путем зеркального отражения графика^у^ \[х" относительно оси ОУ). pVAC.M* Правило 2. Чтобы построить график функции у =* -f(\x|), нужно построить график функции у = -?(х) для х > 0, а для х^О достроить график, отразив относительно оси ОУ график функции у = ^ (х) для х >0. На рисунках 39 построен график функции у=|х - I
1 I \ i V ° -1 -Л / 1 I ! -\ -2 f\ fa = |»l3-4 -2. У pwC. ?><3 Упражнения Построить график функции I) y = |2х2 - 4х - l| ; 2) f(x) = 3) у = \{*~^2- 3 | ; 4)у = |-х3 + 2|; 5) у = х2 +2ДО+1 ; к 6) у = - х2 + 6)х| - Ю 7) f(x) =|хр + I ; 8) у =\/|х| +2' ; 9) у = иТ^Г~ГТ - 2 х + I - I § 13. Геометрические места точек на плоскости Определение. I^c^e^i4ecj5Mj^cjrcM^cji^K, обладающих каким- |яибс СВСЙСТВС1Л, назьгвается таксе множестве точек, которое седержит все течки, обладающие этим свойством, и не содержит ни одной-течки, этим свойством не обладающей. - Примеры;!. Биссектриса угла есть геометрическое место, течек, равноудаленных от сторон этого" угла. 2. Окружность - геометрическое месте точек, равно удаленных от одной течки '(центра окружности). 3. Геометрическое месте точек, координаты котсрых-удовлетворяют уравнению х2 + у2 = R1 (уравнение окружности радиуса fv с центром в начале координат). 4. Все графики функций у = f (х), которые строились дс сих пор,мелено также рассматривать как геометрические места точек, координаты которых удовлетворяют уравнению у = -F (х).
5Z Однако не каждое геометрическое месте течек можно считать графиком какой-либо функции. Так окружность (см. пример 3) не является графиком никакой функции, т.к. каждому х ( |х| < R.) соответствуют два значения у, равные по величине, не противоположные по знаку. Таким образом, построение геометрических мест течек, координаты которых удовлетворяют заданному уравнению, является белее общей задачей, чем построение графиков функций. Рассмотрим несколько _пршлерс_в_. Найдем геометрическое месте течек, координаты которых удовлетворяют уравнению |y|= -f (х) , ^ (I) считая, что график функции у = ) (х) известен (см. рис. 40). эис.НО Так как | у | ^0, поэтому те значения х , при KCTcpux-fcxjO в геометрическое месте течек не войдут (на рисунке 41 "удалены" из предполагаемсгс графика уравнения (I) те участки, для которых f (х) < 0). Для каждого же значения 3| х, при котором т(х) ^ О, геометрическому месту течек) у]= -f (x) будут принадлежать и точки, симметричные течкам графика функции у = -£ (х) относительно осиОУ, т.к. 1-У | = У (рис.Ч). ^мсД А
1.01Ш. 53 Правиле. Чтобы изобразить геометрическое месте течек, координаты которых удовлетворяют уравнению J y| ~ -f (х), нужно к участкам графика функции у = -f (x) таким, где f(х) > О, достроить симметричные им относительно сои абсцисс. На рисунках 42 (а-е) приведена примеры геометрических мест течек, удовлетворяющих уравнениям вида I y|= t (x). *)ШМ <f)(ai**~4 |)Ы=Сх+нЗгг. У* У \ 0 / • 1 / Ж / Л \ \ -) w= ^ыгХ "V Л У / н> г Л \ \ \ / / -Л V4' г /ч \ \ ' X *ШНх fwicM^ е) 1*1= М*1
5k Решения уравнения вида |у + а|= |х +в| можно изобразить геометрическим местом точек та- "* ВИД" ким жеггкак и уравнения )у | = ) х |, только смещенным на Iji | единиц вниз, если а > 0 , и вверх, если а < О .; и на |в| единиц влево, если в*>0, и вправо, если в< 0 . Убедимся в этом на конкретном примере, удовлетворяющих уравнению " |У -1|=|х + 2|, г*еЛЪ (2) Д Уравнение (2) "распадается*1 на 2 уравнения: у - I = |х + 2| и -(у - I) = )х + 2|, или у « |х + 2| + I иу=1- |х + 2\ . ш (3) Построив график каждого из уравнения (3) в одной системе * координат, получим тем самым геометрическое' место точек, удовлетворяющих уравнению(2) (см. рис. 43). Из рисунка43 видно, что график уравнения (2) получился из графика уравнения |у| = |х| (рис. 42g .) сдвигом вверх на I. и влево на 2 единицы. Д Упражнения Найти геометрические места точек, удовлетворяющих уравнениям 1)|у|= 2х + I ; 3)|у|=х2 - 5х + 6 ; 5)|у|= х2 - 4 |х| + 3 ; 7)|У|= 1 + |х) ; 9) \\х\ + |у| - 2,5| = 0,5. 2)|y|=creJtJ 4)|у]= |х - lf4 6)|у|= |х| -I ; 8)|у -2| =|х + I)',
55 § 14. Полярная система координат Если зафиксировать на плоскости луч ОР с началом в течке О, тс положение течки М на плоскости определится расстоянием С = ОМ точка М от течки 0, называемой исотссм, и углем У между лучом ОМ и лучом ОР, который называют jic^ лярней осью (рис. 44). ь Величины р и ^ называют Доля£шш(_коср- M(f;*\) Полярный радиус о Попарная ось полюс рис Лк динаташ течки М. Отрезок р ^Р>сЛ называют полдашм рш^усом* Следует отметить, что точкой М однозначив определяется лишь полярный радиус, пслярньсс углов ей соответствует бесконечно много (они отличаются друг от друга на 2:7Гк, где ке 5L - Псэтсму для установления однозначности принято в качестве угла , образованного лучом ОМ с полярной осью, выбирать угол из'промежутка 0 ^ ¥ -^ 2$Г . В случае, когда точка М совпадает с полюсом _0, р = О, а полярный угол *Р может быть взят каким угодно. На рисунке 45 указаны в качестве примера несколько точек в полярной системе координат. М<&*0 o!''MiO>o) •- - -М—•—^—t ^ I рис. 45" К(*Ъ *£) «*(*•, HF):
\56 Установим связь между полярными и декартовыми координатам течки М на плоскости. Для этого совместим начало декартовой системы координат 0 с полюсом, а ось абсцисс - с полярной осью. Координаты течки М в декартовом системе координат будут (х; у), а в полярной (р ; Т ). Из прямоугольного треугольника 0NM (рис. 46) можно записать соотношение: х = р - cos t »• у =?. btvuf ; (I) 9' 0 . /fc X м • 1 я р рте. ^ \/х2 + у2 (2) Формулы (I) и (2) дают возможность при необходимости переходить из полярной системы координат в декартсву и наоборот. Например, течка Mj (2; -^ ), заданная в полярной системе координат имеет декартовы координат.( \^27 -V^), т.к. по формулам (D '• х * 2*сь ( ~) = 2-*| =#; у = 2'-si^(^|) = Течка М2 (I; -I) имеет декартовы координаты х = I и ^j= значит по ферлулам (2): f = /2 , *bg,f= - I, откуда fp = ^- в полярной системе течка М« имеет координаты ( V2"; A-L) • В полярной системе координат строят кривые, определяемые уравнениями в полярных координатах. К таким кривым относятся прежде всего разнообразные 5ШИЭЬ Познакомимся с одной из них, называемой спиралью Архимеда. Рассмотрим уравнение где а. - положительное числе (коэффициент■.пропорциональности). Для построения графика этого уравнения найдем несколько течек, удовлетворяющих ему: -I, , т.
57 l\ ; p ! 0 Го 6 6 ОТ 3 a'L 2 j-9^ :;l аПГ Л «яг 2 a-5? 2-ЛГ a 2\h j Пусть отрезок а.-~ имеет длину Ok, тогда a-l[ = 2-OA = OB, a-3[ = 3-OA = ОС, a • err = 60A = ОД, a ^ = 9-OA = OE, a- 2<T = 12-CA = Of. Откладывая эти отрезки на соответствующих лучах, получим точки А, Б, С, Д, Е, F , при надлежаще графику уравнения р = af. Соединив эти течки плавней кривей, получим спираль Архимеда (рис. 47). Если попробовать перейти от уравнения р = а-^Р в полярной системе координат к уравнению в декартовой системе, то ферма записи его станет много сложнее, а построение графика такого уравнения станет значительно труднее. Упражнения 1. Перевести координаты данных течек'из одной системы координат в другую: __ __ М (-1; I), N(2;^), Р (4; ^ ); GUI; (З). 2. Построить по течкам в полярной системе координат график уравнения 1) f = а • v^ if , а > 0, получившего название четырех- лепестковей розы; 2) 'р = a-%i\x jKf , а> 0, получившего название трехлепест- ксвей розы.
58 DiaMuZ.. Системы нелинейных уравнений и неравенств § I- Системы алгебраических уравнений I. Основные правила преобразования систем» Метод подстановки. Рассмотрим систему двух уравнений с двумя неизвестными: (. А (х> у> = ь {х> у) (1) ^ (х, у) s а% (х, у) Напомним, что решением системы (I) называется упорвдочен- ная пара чисел (х0, ус), являхяцаяся решением каждого из уравнений системы (I) • Решить систему - значит найти все ее решения. Две системы уравнений (I) и { Мх> у} = Ki <v> (2) Й^(х, у) = Kg (x,y) называются равносильными « если всякое решение первой системы является решением второй системы, и наоборот, всякое решение второй системы является решением первой системыГ Системы, не имеющие решений, также считаются равносильными. Заметим, что если удалось найти все решения системы (2), равносильной системе (I), то тем самым найдены и все решения системы (I). Зайача_1д Решить систему уравнений г - х + у = 3, (3) х - у =■ - 3 Д Заменим первое уравнение системы (3) на сумму первого и второго уравнений, получим систему
I 53 x2 = О , х-у = -3 значение х во второе уравнение и заменим уравнение х = О, Из первого уравнения системы (4) находим х = 0. Подставим это значение х во второе уравнев на х = 0 , получим систему х = 0 t { (5) -у = - 3 , откуда у = 3. Ответ: (0; 3) А При решении задачи I мы неявно предполагали, что системы (4) и (5) равносильны системе (3). Это действительно так. Дело в том, что при выводе систем (4) и (5) были использованы преобразования, не.нарушающие равносильности сис'тем, а именно, следующие преобразования: замена одного из уравнений системы на равносильное ему уравнение (х = 0 в (4) было заменено яа х = О в (5)), сложение одного из уравнений системы "с другим уравнением той же системы (переход от (3) к (4)) и, наконец, подстановка найденного значения одного из неизвестных в оставшееся уравнение (переход от (4) к (5)). Сформулируем упомянутне правила преобразования систем в общем виде: а) если в системе заменить какое-либо из уравнений на равносильное ему уравнение, а оставшееся уравнение оставить без изменений, то полученная система будет равносильна исходной; б) если в системе (I) заменить одно из. уравнении, например, ft = fl на Уравнение /^ + /^ = S± + £z * которое называется суммой уравнений ^ = а± п /^ = fa ,!- а оставшееся уравнение оставить без изменений, то полученная система будет равносильна исходной системе (I); в) если одно из ушвнений системы (I), например, первое ее уравнение Д(х, у) = f^(X,]f)9 имеет вид х = / (у), то система (I) равносильна системе^ Г х = ЧЧу) , (6)
60 Последнее правило лежит в основе метода исключения неизвестных: система (I) сводится к уравнению /^(УСу)» у) = ?г C^Wt У) с сднсй неизвестней у. Докажем одно из перечисленных утверждений, например, утверждение, содержащееся в пункте в) (остальные утверждения доказываются аналогично). О Пусть система (I) имеет вид .*" ' "' • (7) 4Я (х, у) = JA(x,y). Пусть (х0; у ) - решение системы (7), тогда справедливы числовые равенства х0 = У (ус), (8) £> (хо> Уо) = h (хс Уо) (9) Из (8) и (9) следует, что У'/МУоЬ Уо) = ?*^<Уо>. Уо>. (10) а последнее равенство вместе с равенством (8) означает, что пара чисел (хЛ; уп) является репвнием системы (6). гт IX^yJ-jV6ui«mXio системы (ь)Логда /ЛЧ /<Г_Л Пуотъхимеюг место числовые равенства (8; и (10), откуда следует равенство (9). Из равенств (8) и (9) заключаем, что (х0; у0) - решение системы (7). Задача_2^ Решить систему уравнений 2х2 + ху = 15, (id Т + ху = 10. Л Прибавим к первому уравнению системы второе, получим уравнение х2 + 2ху + у2 = 25. Преобразуем его: х2 + 2ху + у2 = 25, (х+у)2 = 52, (х+у^-52=0, (х+у-5)(х+у+5)=0, получим равносильное уравнение ^ . (х+у-5)(х+у+5)=0 (12) 'Поэтому система (II) равносильна системе
( 61 (x+y-5)(x+y+5)=0, 2 ™ (13) Первое из уравнений этой системы распадается на два: х+у-5=0, х+у+5=0. Рассмотрим ( х+у-5=0, 1 2 т (14) Lr+xy=I0, (х+у+5=0, Из первого уравнения системы (14) находим у+х=5, откуда из второго * уравнения последовательно получаем у. (х+у)=Ю, у. 5 =10, у=2, и, значит, х=5-у=3. Итак, решение системы (14) - (3; 2). Решая точно также систему (15), находим: х=-3, у=-2 . Ответ: (-3; -2), (3; 2), Д. При решении задачи № 2 мы воспользовались еще одним правилом преобразования систем, а именно: г) если одно из уравнений системы (I), например первое, распадается на два уравнения Ri (x;yJ " • Ft (х,у) = 0 , где pf и Ft - многочлены от х и у, тс система (I) равносильна совокупности следующих систем: №.:&■ . ю Последнее означает, что всякое решение системы (I) является решением по крайней мере одной из систем (16), (17) и всякое решение любой из систем (16), (17) является решением сиеTaw (I). Если система (I) равносильна совокупности систем (16), (17), то можно вначале решить системы (16) к (17), а затем объединить множества решений этих систем; это объединение и дает все решения системы (I). Именно так мы и поступили при ре-
6Z шении системы (13). Уравнение (12) задачи £ 2 является следствием системы (II). В общем случае можно дать следующее определение: Урште Р (х,у) = & (х,у) (18) называется следствием системы (I), если каждое решение системы (I) удовлетворяет этому уравнению. Сформулируем еще одно правило преобразования систем: д) если уравнение (18) является следствием системы (I), то система трех уравнений £(1), 18] , полученная присоединением уравнения (18) к (I), будет равносильна системе. (I). Отметим здесь, что правила а) -а) преобразования систем, сформулированные выше для случая двух уравнений с двумя неизвестными, легко переносятся на случай произвольного числа урав>- нений с произвольным числом неизвестных. Задаз&Ль Решить систему уравнений ( ху=6, V У*=3' (19) Ux=2 . А Заметим, что в силу уравнений системы: х 4 0, у 4 О, ЪФ 0. Перейдем от исходной системы к равносильной: Г . у - S • {yz= з, Подставим выражение для х из третьего уравнения в первое, а затем полученное выражение у через. %. во второе, вновь придем к равносильной системе. ( У = 3 1' , \ **= I. х = 2 Решая последнюю систему, последовательно находим:
63 г= ± i , у = i з , х = ± г Ответ: (2; 3; I), (-2; -3; -I) A 2. Введение новых неизвестных При решении систем уравнений часто используется метод введения новых неизвестных. За£ача_4д Решить систему управнений Г I Т3х?у +х=3« • = -4 . (20) 2х+у Д Введем новые неизвестные и и' V 11= х ; ,2Г = 2x+y. С (21) В этих неизвестных исходная система (20) запишется в следующем виде: I - . 4 (22) . г Легко видеть, что система уравнений'{(20), (21)J равносильна системе -[(21),; (22)}, Произвольное решение системы {(21), (22) } имеет вид (х0> у0, а0, ТГ0), следовательно, (Хд, Ус) - решение системы (20), причем в силу отмеченной выше равносильности систем так могут быть найдены все решения исходной системы. Преимущество такого способа решения состоит в том, что система (22) не содержит неизвестных х и у, а относительно и и гг имеет простой вид. Поэтому можно^; вначале решать систему (22), а затем, подставив найденные значения и и Y в систему (21), найти х и у. Решим систему (22). Найдем из второго уравнениям -4оГ
64 и подставим в первое, получим равносильную систему Решал первое уравнение этой системы, последовательно получаем: 1-41Г* = 3 1Г , 4 2Г2 + 3V -I = О, Корни полученного квадратного уравнения: V = -I, t£= 4 * Подставляя эти значения во второе уравнение последней системы, находим Uj = 4, u2 = -I. Таким образом, система (22) имеет два решения: (4; -I) и (-1; ^). Подставив значение u^=4, с^=~ -I в систему (21) , найдем Xj = 4, уj = ITj -2Xj = -9. После подстановки Ug = -I, 1£= -| в систему (21) получаем х2 = -I, У2 = 24. Ответ: (4; -9), (-J; 2j). A Задача_5Л Решись систему уравнений 1 I - I х у ~ 6 ' Lxy2 - х2у = 6. Д Преобразуем уравнения системы, получим систему равносильную данной: ( i'=a s 1: (23) ' ху 6 L ху(у-х)=6 . Введем новые неизвестные U, и 1Г : U ■= у - х , _1Г = ху , система (23) запишется в этих неизвестных в следующем виде: I- (24) I ^ = I Из первого уравнения последней системы находим 1Г= 6 LC ; подставляя найденное значение у во второе уравнение, получаем би2 = в, u2 = I, Uj = -I, U2 = I, откуда
«Г Подставим значения ut= -I, t/^=-6 в систему (24), получим систему [ -£=ху. Из первого уравнения выразим у через х: у = х-I и подставим во второе: -6 = х(х-1), х2-х+6=0. Но полученное квадратное уравнение не имеет решений, так как его дискриминант J) = 1-4*6 = -23 отрицателен. Итак, при Ц=-1, 0^=-6 система (24) решений не имеет. Подставим теперь в систему (24) значения ^=1, 1С= 6, получим следующую систему: (fexy . Из первого уравнения находим у = х+I и после подстановки найденного значения у во второе уравнение получаем: 6=х(х+1), х2+х-6=0. Полученное квадратное уравнение имеет корни. Xj=-3, х2=2 * Из первого уравнения последней системы находим У*=-2, У2=3 Ответ: (-3; -2), (2; 3). А 3. Оддрррдще системы уравнений Однородной системой двух уравнений второй степени с двумя неизвестными называется система вида: Кх2* В][ху + c1y2^d1 , (25) LagxS + B;2xy + c2y2 =rfg . (26) Если ни одно из чисел di% d^ не равно нулю, то умножив уравнение (25) на dz , а уравнение (26) - на -^*, и сложив, получим уравнение вида Ах2 + Вху + Су2 = 0 ; (27) являющяяся следствием системы {(25), (26)}. Согласно правилам преобразования систем а), б) система
66 { (27), (26)} равносильна исходной системе {(25), 26)}, Таким образом, описанный метод "уничтожения" свободных членов позволяет свести систему {(25), (26) } в системе того же вида, у которой одно из чисел 4< i &z равно нулю (система {(27), (26)\ ) Найдем те решения системы «{(27), (26)J , для которых у Ф 0 (те решения, для которых у = 0, если они есть, находятся легко) ♦ При у Ф О уравнение (27) равносильно уравнению А (|)2 + В($+ С = 0, (28) Решив уравнение (28) как квадратное относительно у и подставив найденные значения 2 в уравнение (26), мы найдем решения системы {(25), (26)} (те, для которых у Ф 0) ЗздазД-6А Решить систему уравнений { 2 2 <29> x^-xy+3T=7 А Умножим первое уравнение на 7,второе на -5 и сложим, получим 2х2+5ху-12у2=0 (30) Система (29) равносильна системе 123^^-12^=0. (31) Заметим, что у Ф 0 для решений системы (31), так как если у= 0, то в этом случае из (30) получаем х = 0, но пара (0; 0) не удовлетворяет первому уравнению системы (31). Следовательно, у Ф 0 , и потому уравнение (30) можно заменить уравнением. 2 (|)2 + 5(|) - 12 = 0 , (32) из которого получаем (f)I = -4; (|)2=| (33) Таким образом, система (31), а, значит, и исходная система (29) равносильны совокупности следующих двух систем:
Решив эти системы, найдем четыре решения исходно! системы (29): '-fc -it}*(~k; ir*'(-* -2)'(3; 2)-А Подобный способ решения применим и для решения систем вида: \( Цу) = о ^(х,у) = 0 (34) где хотя бы одна из функций I или й , например / , является однородрнм многочленом относительно х и у степени П , то есть: (х,у) = арХ + ajx* у + ... + a^.i ху -тЛу Sajja^aJTt Решить систему уравнений 8 { (х3 + 2х?у - ху2- 2у3 = О, о 9 (35) х* + у2 = 8 * А Заметам, чтопри у = О из первого уравнения следует х = О, но пара (0; 0) не является решением системы (35), так как не удовлетворяет второму уравнению этой системы. Итак, у Ф 0 и следовательно, первое уравнение системы (35) можно заменить на уравнение (f )3 + 2 (§)2 -£-2=0 (36) Обозначим Ь = f , получим уравнение относительно Ь : ^+ 2^* - Ь -2 = 0 (37) Преобразуем уравнение (37): i*- t + 2^-2 = 0, £(£*- I) +2 (£ -I) =0, UT i) jt+i ) (£+2) =0, откуда получаем £f = I, V^- - I, ^j= - 2. Следовательно, уравнение (36) имеет три решения:
68 ®И (fir-1- (ft— ■ <38> и система (35) равносильна совокупности трех систем уравнений: ( х=у , ( х=-у, Гх=-2у , 1.х2+у2=8 , [х^у2^ , {.х^у2^ . Решив эти системы найдем все 6 решений исходной системы (35): (-2; -2), (2; 2), (-2; 2), (2; -2), (-4 (^ ; *Щ), 4. Системы симметрических уравнений Рассмотрим систему f £(х,у) = 0 , где /^ и /^ являются симметрическими многочленами от х и у, то есть £(х,у) и /^ (х,у) не меняются при замене х на у, а у на х. Простейшим примером такой системы является система 1ху=в , (40) решения которой могут быть найдены методом подстановки. Действительно, выразим у через х из первого уравнения системы (40): у = а-х и подставим во второе, получим квадратное уравнение х 2 - ах + в = О t (41) решения которого (если они, конечно, существуют) обозначим через Xj и х2» тогда решения системы (40) имеют вид (Xj, a-Xj), (x2, a-x2). Заметим, что так как по теореме Виета Xj+Xg=a, то a-Xj=x2f a a-x2=Xj и, окончательно решения (40) могут быть записаны следующим образом: Up х2), (х2» хj)• Обозначим ЭИ-у = б* , ху = 6L (42) Можно показать, что любой симметрический многочлен £ (х_,у) может быть выражен через Ё±ж б% • Поэтому при решении симметрических систем алгебраических уравнений удобно вводить новые
69 неизвестные ^ и 0^ по формулам (42), в результате чего степени многочленов, как правило, уменьшаются и исходная система сводится к более простой системе относительно неизвестных Предположим, что эта новая система имеет решения (a-r, а2), (bj, в2), ...» ( *i% *&,)• Тогда исходная система равносильна следующей совокупности систем: С х+у=ах, Jx+y=Bj , Г х+у= {{ , 1 ху=а2 ^ 1ху=в2 ... , |_ху= lt > каадая из которых имеет вид системы (40). 2адаза_8А Решить систему уравнений Г(х3+ х3у3+ У3 = 17 , t (43) х + ху + у = 5 Д Заметим, что х3+у3= (х+у) (х2-ху+у2)=(х+у) (х^гху+у^-Зху)^ =(х+у) f (х+у)2 - Зху ] = Si ( б/ - 3^ ) = el - 3^, поэтому после замены (42) система (43) примет вид: { 6?-zGi6x+ $1 =17, ^ + 6д = 5 * Выразим ^i через 6t из второго уравнения системы (44): 6± = 5 - 6t и подставим в первое уравнение, получим: (5-^)3-3 (5 -6i)$t +«Г/= 17 t 125 - 75 6t + 15 ^ - #? - 15 ^ + 3 tfj.+ #f = 17, I8^a - 90 ^ + 108 = 0, fij -5^ +6 = 0, Полученное квадратное уравнение имеет корни ( *г )j = 2, ( ^ )2 = 3, откуда получаем ( ^r )j = 3, (6± )2 = 2. Таким образом, исходная система (43) равносильна совокупности следующих двух систем уравнений: Г х+у=3 , ( х+у=2 , t ху=2 , X ху=3
70 Решения первой из этих систем находятся также, как решение системы (40) и имеют вид: (I; 2), (2; I). Вторая из выписанных выше систем решений не имеет. Действительно, после подстановки значения х=2-у во второе уравнение этой системы получаем уравнение у*-2х+3=0, которое не имеет корней. Ответ: (I; 2), (2; I) A . 2адада_9х Решить систему уравнений [х4+х2у2 + у4 в 1зз С х2-ху+у2=7 (45) { Д Заметам,.что х4+у4=х4+2х2у2+у4-2х2у2=(х2+у2)2-2х2у2= = (х2+ гху+у2 - 2ху)2 - 2xV= Г(х+у)2-2ху ] - 2(ху)2= = (#- 2^)2-2 & , а A-^-U+y^-ucy. «$ - Z&l , поэтому после замены (42) система (45) примет вид: [(d?-2^)2-'eJ-I33 , 6* - з 0Х = 7 . Из второго уравнения этой систеш находим 6± - 2 6t = 7 + 6t. Подставим выражение для ^ - 10^ в первое уравнение системы (46), получим (7 +^ )2 -.б£ = 133, 49 + 144 f &i ~ 4* = 133, 14^ =84,4 = 6. Из второго уравнения системы (46) находим б£»7+-3^ =25, ( ^ ),= -5, (6t)z = 5. Поэтому система (45) равносильна совокупности следующих двух систем: ' (х+у=-5 , |х+у=5 1ху=6 , 1ху=6 Решая эти системы, находим тем самым и все решения системы (45), это следувдиэ пары чисел: (-3; -2), (3; 2), (-2; -3), (2; 3) А . 5. Счстемн ярмииввдм ypbppw» В разобранных наш задачах Ш 1-9 левые и правые части уравнений были многочленами от неизвестных х, у, 3£ .
74 f: с Рассмотрим теперь системы иррациональных уравнений, то есть таких уравнений, в которых неизвестные стоят под знаком радикала. Следущая задача предлагалась на вступительных экзаменах в МФТИ в 1981 году. Задаза_10 (МФТИ, 1981). Решить систему уравнений '^Sy^F + х = 3 , (47) К2у-х" + х+у=3 -. Д Перепишем систему (47) в следувдем виде f №££ = 3-х , трг =(з-х)-у. Возведем обе части обоих уравнений системы (48) в квадрат, получим систему Г5у-х=(3~х)2 , (49) 2у-х=(^х)2-2(3-х)у+у2 . Система (49) является следствием систеш (48), но, вообще говоря, не равносильна ей. Действительно, кавдое из уравнений системы (49) является следствием соответствующего уравнения системы (48), так как получено из него операцией возведения в квадрат, при которой не происходит потери решений, но могут появиться дополнительные, так называемые, посторонние решения. Например, при возведении в квадрат частей уравнения х=1 получаем уравнение х =1, имеющее два решения Xj=-I, X2=I, но решение Xj--I- посторонее, оно появилось из-за того, что исходное уравнение х=1 было подвергнуто неравносильному преобразованию; возведению в квадрат. Итак, система (49) является следствием системы (48), то есть все решения системы (48) являются решениями и системы (49) однако, этим все решетя системы С 49), вообще говоря, не исчерпываются, среди них могут быть-и посторонние для системы (48) решения. Поэтому, решив систему (49), надо будет .прямой подстановкой в уравнение системы (48) (или (47)) проверить, какие из полученных решений являются решениями исходной системы.
72 Вычтем из первого уравнения системы (49) второе, получим Зу=2(3-х)у-у2, y(2x+y-3)=0L. Поэтому система (49) равносильна совокупности двух систем уравнений (5у-х= (3-х)2 , (50) f5y-x=(3-x)2 , (я) L2x+y-3=0 Система (50) решений не имеет, так как при подстановке у=0 в первое уравнение этой системы получается квадратное уравнение х2-5х+9=0, которое не имеет корней. Решим систему (51), Из второго уравнения находим у=3-2х, подставляя это выражение в первое уравнение, получаем уравнение х2+5х-6=0 , корнями которого являются числа Xj =-6, Х2=1. Следовательно,система (51), а, значит, и система (49) имеет два решения: (-6; 15) и (I; I). Сделаем проверку. Подставим значения Xj=-6, yj=I5 в первое уравнение исходной системы (47), получим: у5- 15 - (-6) + (-6) =. 9-6 = 3- верно. Подставим те же значения во второе уравнение систеш (47), получим: V2 • 15 - (-6)' + (-6) + 15 = 6 - 6+15 = 15^3. Итак, решение системы (40) (-6; 15) - постороннее. Простая проверка показывает, что пара чисел (I; I) является решением исходной системы. Ответ: (I; I) A . На примере разобранной задачи видно, что при решении систем иррациональных уравнений приходится использовать некоторые преобразования, не сохраняющие равносильности, например, возведение в квадрвТ* Поэтому при решении таких уравнений необходимо: а) следить за тем, чтобы в процессе решения не происходило потеш решений; б) по окончании решения сделать проверку, подставив найденные значения неизвестных во ьюе уравнения исходной системы.
75 За£аза_11._ Решить систему уравнений ( Ух+у + /2х+у+2 = 7 Зх+2у =23 . I- ' (52) Д Возведем обе части первого уравнения системы (52) в квадрат, получим систему Г х+у + 2 V (х+у) (2х+у+2)1 + 2х+у+2 =49, (53) 13х+2у=23, являющуюся следствием системы (52), Преобразуем первое уравнение системы (53): Зх+2у+2 У (х+у) (2х+у+2) = 47 и подставим значение Зх+2у=23 из второго уравнения в первое, получим ^____— 23+2 V4X+y) (2х+у+2)=47, V(х+у)(2x+y+2)=I2, поэтому система (53) равносильна системе Гу(х+у)(2х+у+2)=12. 1 (54) <* Зх+2у=23. Возведем обе части первого уравнения системы Си) в квадрат, получим систему { (х+у)(2х+у+2)=144 , . . Зх+2у=23 , КЬЬ) являющуюся следствием системы (54). Из второго уравнения системы (55) находим 2х+у=23-(х+у). Подставляя найденное выражение для 2х+у во второй сомножитель левой части первого уравнения системы (55), получаем (х+у)(23-(х+у)+2)=144 (56), Введем новое неизвестное 2 = (х+у). Тогда уравнение (58) запишется в виде E(23- £+2)=I44, 2*-25£ +144=0 < Корни полученного квадратного уравнения: %£ =9, 2, =16. Итак, система (55) равносильна совокупности следующих двух систем уравнений:
74 х+у=9, fx+y=I6 , Зх+2у=23 , 1зх+2у=23 . Решая полученные линейные системы, находим (xj ; yj) = (5; 4) ; (х2 ; у2) = (-9; 25). Сделаем проверку. Оба наеденных решения удовлетворяют второму уравнению исходной системы (52), Подставим Xj=5, yj=4 в первое уравнение системы (52), получим +4+2 =3 + 4 = 7 - верно. Подставим значения Х2=-9» У=25 в первое уравнение системы (52), получим V-9+25' + V2-(-9)+25+2 = 4 + 3=7- верно. Ответ: (5; 4), (-9; 25) А 6. Системы уравнений повышенной трудности При решении конкретной системы уравнений далеко не всегда удается сразу заметить ту комбинацию данных уравнений, которая является "ключом" к решению, найти такой способ преобразований, который позволяет добиться достаточного упрощения. Никаких общих рецептов доя нахоздения решений систем дать, разумеется, нельзя. Только достаточный навык может помочь "увидеть" те особенности предлагаемой системы, которые позволяют свести ее к другой, решаемой просто. Рассмотрим несколько примеров систем, при решении которых необходимо проявить некоторую изобретательность . Задада_12. Решить систему уравнений А Попытаемся выразить одно из неизвестных через другое. Поскольку неизвестное у входит в уравнения системы (57) тремя различными способами (в виде у, у* и у5), то трудно рассчитывать на то, что удается выразить у через х, попробуем выразить неизвестное х через у..Для этого достаточно исключить из уравнений системы (57) выражения, содержащие уг. Умножим обе части первого уравнения на 5у и сложим со вторым, получим:
10 xV - 5 xy2 + x + 3y4 = '5 y4 + 10 x2y5 , - 5 xy* + x = 2y4, i(lV ) = 2y4. Следовательно, система (57) равносильна системе: ix(lV)=2y4. (58) Заметим, что для решения (х; у) системы (58) и выполнено неравенство 5у* Ф I , так как в противном случае из второго • уравнения получаем у=0, что невозможно одновременно с равенством 5у* = I. Итак, 5у^ Ф I , поэтому второе уравнение системы (58) можно заменить на уравнение х=-Ц- > (59) i-5y* а система (58) равносильна системе Ли* у и - л*-^-1. 2 ( 1-5у * 7 # I-V (60) WK Преобразуем первое уравнение системы (60), получим: = I (61) 8у9 _ 2^f (1-5у*) * 1-5у* Введем новую переменную U *~ и} в этой переменной уравнение (61) запишется в следующем виде , $\х9 - gj =1. (62) Умножим обе части уравнения (62) на ( i-Sb ) , получим: Bi - 2t (I-5t) = U-5-fc)2, 1511 - 1б£+Ы). Находим корни последнего уравнения, этого числа -£4= -е- , £4 = I , поэтому решения уравнения (61) имеют * 15 й ^4 вид:- ух = 15 * ; у2= I- Теперь из второго уравнения система (60) получаем Xj=3-I5 ^
76 Y - I . Ответ: (3-15 *; 15 *). (-J • D. A Ва£ада_13._ (МФТИ, 1983). Решить систему уравнений '2 2%у2 + 10х2у=0, у г + £Z +. Эх^Зху2, (63) - 2У2 + I8xy2 - 2* = I0x2Sb j^ "Ключ" к решению данной системы найти еще сложнее, чем в предыдущей задаче. Попытаемся вначале выразить одно из неизвестных через другие. Из первого уравнения сисгеш (63) известное у легко выражается через х и 2, Однако попытка подставить найденное выражение во второе и третье уравнения системы приводит к столь громоздким выкладкам, что от нее приходится отказаться. Можно попробовать выразить г, через остальные неизвестные. Для этого достаточно из первого уравнения системы (63) вычесть второе и добавить к нему третье. Проделав это, получим Юх22 = Юх2у + 21 ху2 + 2у2 - 9 х3у2* Попытка выразить 2 из последнего уравнения через х и у и подставить в уравнение системы (63) вновь приводит к излишне громоздким выражениям. Наконец, попробуем выразить х через у и £ , точнее х3 , поскольку одновременно избавиться от х2 и х3 в уравнениях системы (63) не представляется возможным, а устранить члены, содержащие х и х , можно. Для этого умножим первое уравнение системы (63) на J , второе - на 6у, третье на у и сложим все три полученных уравнения, получим: 2%ъ + у*** ю х2уг + 6 у2£+ 6 уг* + 54 х3у3 + + 2у3 + 18 ху3 - у*2, = 18 ху3 + 10 х2у2* Преобразуем последнее уравнение к виду 2 2? + 6yz2 + 6 у2* + 2У3 = -54>xVf (5 + у)3= (-Зху)3, откуда найдем 3L+ У = - Зху. (64) Итак, "ключ" к решению системы (63) найден!
77 Уравнение (64) является следствием системы (63). Выразим из соотношения (64) £ через х и у : %= -у(Зх+1) и подставим во второе уравнение системы (63), получим: -y2(3x+I)+y2(3x+I)2+9x3y2=3xy2, у2 C-3x-I+9x2+6x+I+9x3-3xJ = о , у2 (9х3+9х2)=0 , 9х2у2(х+1)=0 (65) Рассмотрим систему 2 г1+ уг + ю х^^ , 2 +у = - Зху , (66) 9х2у2(х+1)=0 , являющуюся следствием системы (63). Эта система равносильна совокупности трех систем уравнений: *2%Z + У2 + Ю х2у = 0 , I + у = -Зху , (67) х=0 С Г гъг +уъ + ю xV о , 2 + У = -Зху , (68) У=0 21 + уъ + Ю х^ = 0 , 2+у=-Зху , (69) х=-1 . Решение системы (67) имеет вид (0; 0; 0), решим систему (68). Из второго и третьего уравнений система находим Ъ- 0. Подставляя2= U =, 0 в первое уравнение, получаем 0=0 для любого х. Последнее означает, что решения системы (68) имеют вид (яС, 0 , 0), где cL - произвольное число (el£R). Заметим, что множество решений системы (68) содержит решение системы (67). . Решим систему (69). Подставляя х=-1 в первое и второе уравнения системы, находим
78 '2**+y* + IOy = 0, 7£+У=Зу ,. (70) x = -I - Первые два уравнения системы (70) образуют систему двух уравнений с двумя неизвестными, которая легко решается методом подстановки. Получаем 7-f=-I> Ъ\- -2, » ^z^9 ^Z^* Таким образом, решения системы (70) имеют следующий вид: (-1; -I; -2) и (-1; 0; 0). Заметим, что второе из этих решений содержится в множестве решений системы (68) (при сС =-1). Итак, наДцены все решения системы (67)-(69), а, значит, и системы (66), это следующие наборы чисел: (-1; -I; -2), (вС; 0; 0), где ci£fL - произвольное число. Поскольку система (66) является следствием исходной системы (63), все решения системы (63) содержатся в множестве найденных решений, но среди, них могут быть посторонние поэтому необходимо сделать проверку, подставив найденные решения системы (66) во все уравнения исходной системы. Проверка показывает, что посторонних корней нет. Ответ: (-1; -I; -2), (<£ ; 0; 0), cteR ▲ . I. 2. 3. У.щ»ажнения_ Решить систему уравнений (1-27). Гх2 + у2 = 25 , 1* - У = I ; \х+7 = I; (х2 - ху = 28 , (у2 - ху = - 12 ; Гу2 - I = 4х2 + 4х , * |^4х2 + у2 - 3 ху = I ;
У 2 = 5 x 6 19 7. Г-JL L 2х-У x2 - y2 = 5 + У = - 5 «6 ; 2x-y У /2xy-3|=I5 , |xy +| = 15 ; J. J- 10. п. y-I y+l з y2 - x - 5 = 0 ; (МФТИ, 1977) x - xy + ( tSx2 - Зху + 2У2 = 2X2 + Зу2 = 14 ; ^ = 21 , у2 - 2xy + 15 = 0 ; 2X2 - Зху + 2У2 = 4 , 12. f(x+y) (x2 - y2) = 16 , t (x-y) (x^y2) = 40 ; 13. 14. 15. x3 - 2 x^ + 2 xy2 - у3 = О , У2 = 12 ; fxd - 2 xz (^x2 + 2x + J Х+У + ХУ : lx2 + y2 + U+y = = 5 , xy = 7 У3=35, 16. ( x+y - xy = I, I x2 + y2 - xy = 3 ;
80 17. 18. 19. 20. 21. i: x2 + у2 = x+y x4 + у У X * 4 = J (x+y)2 £ = 3 • X 2 I 3 2 x~ + у - 5 у2 -х = 7 ; ♦ V^ = 2 • v I x+y = 2 ; ^/АГ + №* =15 , x2 + У2 = 13 ; 22. 23. 24. 25. i t (МФТИ, 1981) 7x+y' + Vx+7 = 6 fx+y - у + x = 2 ; (МФТИ, 1985) (y-x) - x4 = 9 FST = tf2* ; x3 + 6 x2y + 4 y2 = 20 , 6 xy2 + 4^-2^ = -10; (МФТИ, 1983) ггг - хъ +5 ху2 = о, хг - гг + 3 х2у = 9 х2у3 , Ъ% - 2 х2 - 5 у2^ =18 х2у
и 26. (МФТИ, 1981) fx-y2 - bt =5, < х2 -Jy -2*= 8 , [х (5х-1) - 4У2 - 35у = 35 ; 27. (МФТИ, 1980) fxy4S + 6 х2у = 2 £3 , Х2. + у3еЛ= 6 х2у4 , „У3Я -ху62* = 2 х2. § 2. Систеш нелинейных неравенств с двумя неизвестными Решения неравенств, а также систем неравенств с двумя неизвестными удобно изображать графически на плоскости с координатами 0X4- Напомним, что множество решений линейного неравенства ах + ву>с , (а2 + в2 ф 0 ), (I) это полуплоскость, лежащая по одну сторону от прямой ах+ву=с, причем граничная прямая ах+вх=с в эту полуплоскость не включается. Множество решений неравенства ах+ву ^ с , (а2 + в2 ^ 0), (2) это полуплоскость, лежащая по другую сторону от прямой ах+ву =s с , взятая вместе с точками ах + в у = с, ограничивающей эту полуплоскость. Зайа,за_1д Изобразить на плоскости Оху множество решений неравенства х2 + угг:гг (г>о ) (з) А Изобразим вначале на плоскости множество точек М с координатами (х; у), удовлетворяющих уравнению х2+ 3^= гг. (4)
82 M(x;j) a) 4 Рис. I ("Стрелки" означают, что граничная окружность (4) не входит в множество решений). Из теоремы Пифагора следует, что расстояние ОМ от точки М до начала координат равно \/_2.^4 (см. рис. I но из уравнения ( 4 ) получаем ух2+у2 = ^ , то есть все точки М, координаты которых удовлетворяют уравнению ( Н ), находятся на расстоянии г от точки 0.. . Напомним, что окружностью радиуса г с центром в точке О называется множество точек плоскости, лежащих на расстоянии % от точки 0. Итак, точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (4), лежат на окружности радиуса г с центром в точке 0. Верно и обратное: если точка М ( х; у) принадлежит указанной окружности, то ее координаты удовлетворяют уравнению (4). Действительно, из условия принадлежности точки М (х; у) указанной окружности получаем: ОМ = Ъ , но по теореме ПиФато- ра ОМ. = |/х2 + у2 (см. рис. I а)), то есть Vx2 + у* -%. Возведем последнее равенство в квадрат, получаем х+у = = 1" , то есть координаты (х; у) точки М удовлетворяют уравнению (4). Тем самым доказано, что уравнение (4) является уравнением окружности радиуса -х с центром в точке 0 на плоскости Оху.
83 Вернемся к решению неравенства (3). Покажем, что множество решений неравенства (3) это круг радиуса % с центром в точке 0, причем граница этого круга, окружность (4), в множество решений не входит» Пусть точка 11 (xjy) леадт внутри указанного круга, тогда ОМ < t (см. рис. I б), откуда, используя вновь теорему Пифагора, получаем: х2+у2= ОМ 2 < %г , то есть координаты точки М удовлетворяют неравенству (3). Пусть теперь для координат (xj у) точки М выполнено неравенство (3). Тогда расстояние ОМ. от точки М до точки Q pjjpyn: ОМ = Vx^y2, но х^у2 <zZ » поэтому ОМ. = )рг+1Г <% t то есть точка М лежит внутри круга радиуса £ с центром в точке О А - Точно также доказывается, чтс множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству Ау^г* (5) это крут радиуса Т с центром в точке 0 вместе с точками граничной окружности (4) (см. рис. 2 а). Изображением на плоскости множеств решений неравенств: х^у2 >гг, (6) (х-а)2+ (у-в)2г:<г* , (7) (х-а)2 + (у-в)2^ г* (8) являются соответственно следующие множества: в случае (6) внешность круга радиуса Ъ с центром в точке 0 без точек граничной окружности (4) (см. рис. 2 б), в случае (7) - внутренность круга радиуса *i с центром в точке (а; в) без точек ограничивающей его окружности (см. рас. 3 а)), в случае (8) - внешность круга радиуса "С с центром в точке (&• в) вместе с точками ограничивающей его окружности (см. рис. 3 6)). 6'
Ik ( 11 / \ V г 0 a <) iv> j X # ^N о Рис. 2 ("Стрелки" означают, что граничная окружность (4) не входит в множество решений). Рис. 3 Рассмотрим подробнее неравенство (7). Если сделать замену координат по формулам 9) х = х-а , У = У-6 , то в новой системе координат о'ху изображением на плоскости множества решений неравенства
65 x* + у2 <гг (ю) будет, как это следует из решения задачи I, круг радиуса *ь с центром в точке 0 без точек ограничиваются его окружности х^ + у"2 = tA Поскольку точка О7 имеет в "старой" системе координат Оху координаты (а; в), а координаты (xj у) и (х; ^) связаны соотношением (9), то на плоскости с координатами Оху искомое множество решений - это круг радиуса % с центром в точке 0 (а: в) без точек ограничивающей его окружности (х-а) + (у-а)2 = 1 ♦ Точно также находится изображение на плоскости множества решений неравенства (8) (см. рис. 3 6)). Задача_2Л Изобразить на плоскости Оху множество решений системы неравенств 'х22 + у2^ • (id ,7Г - 4х+3 < 0. А Множество решений первого неравенства системы (II) - это внешность круга радиуса У1Г с центром в точке 0, причем точки ограничивающей этот круг окружности в множество решений не входят (см. рис. 4), штриховКАГОШОШМШя). Корнями квадратного трехчлена х2 - 4х + 3 являются числа Xj = I, Х2 = 3, поэтому указанное неравенство может быть записано в виде (х-1) (х-3) < 0. (12) Решая неравенство (12) методом интервалов, находим К х < 3. (13) Множество точек плоскости Оху, координаты которых удовлетво- - ряют условию (10) - это внутренность полосы, ограниченной прямыми х=1 и х=3 (см. рис. 4 ,штриховка вертикальная). Решение системы (II) получаем пересечением множеств решений каждого из неравенств системы (см. рис. 4, штриховка "сеточкой"),
86 Рис. -4 Рис. 5 (Прямые х=1, х=3 и часть окружности х ч lJ^= 2 в множество решений не входят). Это полоса 1 < х <с 5 Точки пересечения прямой х =? I с окружностью имеют координаты (I; I) и (-1; I). A Задача^ Найти площадь фигуры, координаты" точек которой удовлетворяют системе неравенств без сегмента круга х + у2 ^ #, х2 + у 2 = 2 х2 + у2 ^ 2х + х + у ^ 3 . ' (14) Д Преобразуем первое неравенство системы (14): (х-1)< о х2-2х+1+у«4, (15) Множество решений неравенства (15) - это круг радиуса 2 с центром в точке (I; 0), причем точки ограничивающей этот круг окружности (х-1)2 + у2 = 4 (16) входят в множестве решений (см. рис. 5). Так как второе неравенство системы (14) можно переписать в виде у ^ 3-х, тс множество его решений есть полуплоскость лежащая выше прямой у.= 3-х, причем точки прямой у=3~х входят в это множество. Найдем точки пересечения прямой у = 3-х с
87 окружностью (16), для этого подставим у=3-х в (16), получим (х-1)2 + (3-х)2 = 4, х2 - 4х + 3 = О, Корнями последнего квадратного уравнения являются числа х у=1, Х2=3. Это абсциссы точек пересечения. Ординаты течек пересечения имеют вид уj =' 3-Xj=2t y2 = 3-х2 = 0. Множество решений системы неравенств (14) получается пересечением множеств решений первого и второго неравенств системы и представляет собой сегмент, изображенный на рис. 5. Площадь S этого сегмента равна разности площадей сектора ABC с углом ВАС = ^ и равнобедренного прямоугольного треугольника ABC с катетом длины 2 . Поэтому s ш£/&т>$->*?-£•£= *-&• Ответ: <£~ Z А Задача_4д Изобразить на плоскости Оху множество решений неравенства |х2 + у2 - г\ *к 2 (х+у К (18) А Если х2 + у2 - 2 ^ 0, то левая часть неравенства (18) записывается в виде х + jr - 2, если же х^+у2- Z < 0, то | x2+;jr- 2 | = -х2 - у + 2 t поэтому неравенство (18) равносильно совокупности двух систем неравенств: i2 + у2 - 2 > о - с2 + У2 - Z ^ 2 (х+у), (19) I: Г xV- 2 ^ о , 1-х^у2 + £ ^ 2 (х+у) . (20) Решение неравенства (18) получается объединением множеств решений систем (19) и (20). Решим вначале систему неравенств (19). Решением первого неравенства этой системы является внешность круга радиуса Ш с центром в точке 0 вместе с ограничиващей этот круг окружностью (см. рис. 6). Второе неравенство системы (19) преобразовывается к виду: x2-2x + I + y-2y + I-4 ^ О или (х-1)2 + (у-1)2 < 4 (21)
'88 Множество решений этого неравенства - внутренность круга радиуса 2 с центром в точке (-1; I) вместе с ограничивающей его окружностью. Найдем пересечение окружностей х2.+ ^-1 = 0 и х2 + у2 - % =2 (х+у). Координаты точек пересечения этих окружностей должны удовлетворять следующей системе уравнений: /х2 + у2 - 2 = О х2 + у2 = 2 (х+у) . (22) Решая эту систему, находим (хр yj)=(-I;I), Cx2; yJ= =(1; -I). ' Множество решений системы неравенств (19), получается пересечением множеств решений каждого из неравенств этой системы и изображено на рисунке 6. На "Я" frtc. b ' Рис. 7 Решим теперь систему неравенств (20). Решением первого неравенства этой системы является внутренность круга х + у ^ 2 без точек ограничивающей его окружно.сти (см. рис. 7). Преобразуем второе неравенство этой системы, получим: х2 + у2 + 2х + 2у ^ Й , - x2+2x+I+y2+2y+I s* 4, (х+1)2 + (у+1)2 & 4 . (23) Изображением множества решений неравенства (23)служит внешняя часть круга радиуса 2 с центром в точке (-1; -I) вместе с ограничивающей этот круг окружностью (см. рис. 7).
89 Такие пересечения окружностей- х2+у2= Z и -х -у2+2=2(х+у) находятся точно тшсже, как в предыдущем случае и эти точки суть (xj; yj) = (-1; I) и (Х2; у2) = (I; -I)* Множество решений системы (20) изображено на рис. 7 (заштрихованная часть). Множестве решений исходного неравенства (18) является, как было отмечено выше, объединением.множеств решений систем (19) и (20) и изображено на рис, 8. 4, .у Рис. 8 Упражнениям Изобразить на плоскости Оху множество решений системы неравенств( 1-6): [х2+у2 ^ I, 1х2+у2 ^ 16 Гх2+у2 > 9 1х+у^ 0 ; ( у2 ^ 4-х2 , 1 Зх+2у-3 ^ 0 х2+у2 ^ 2 ( I » 9 9 1 х| + | у| ),
$0 5. 6. (|x+y| +|x-y| ^ 4, |x|<I, У> VIE 2x+I (МФТИ, 1977) m2-3y2+4x+4 ^ 2x+I , Х2+У2 ^ 4. 7. (МФТИ, 1982). Найти площадь фигуры, которая задается на координатной плоскости системой неравенств (4^-25^ 0 , j х^у2 ^ 5, l(3x+y)(2x+y+5) ^ О
It Системы тригонометрических уравнений В этой главе на конкретных примерах" щг "рассмотрим некоторые приемы, используемые при решении тригонометрических систем уравнений. Вначале обратим внимание на одну особенность тригонометрических систем, связанную с появлением в их решениях параметров. Задача_1А Решить систему уравнений ГЛ/2(Х+У)=0, Л Из первого уравнения системы (I), получаем . х+у = $h , пб2, (2) из второго - ^ тх-у = Жпь , т6%. (3) Система (I) равносильна'совокупности систем Г-х+у =ЗГп, ] х-у =Ш>. V4; где /I и лкгроизвольные целые числа, то есть П9тбЪ. Решая систему (4) и ходим: х =4Г(^1№) , у ^Т^СЫЗе). Ответ: (^ (/t + m) ; j^ (л—лО), п,/пб2. А Выло бы ошибкой при решении системы (I) вместо уравнений (2) и (3) рассматривать уравнение (2) и х-у = Wtv , ъеЪ> (з' ) так как в этом случае мы получили бы систему Г х+у = **, (5) [х-у =^, где п&Ъ. Решение системы (5) имеет вид (Ж^ ; 0) H&Z. и они не исчерпывают всех решений системы (I). Так, например, пара чисел (2Jf~ ; <JT ), являющаяся решением системы (I), не может быть записана в виде (Жг;-0) ни при каком neZ. Дело в том, что параметру /tH пи , появляются в (2) и (3) при решении разных уравнений системы, независимы друг от друга и поэтому должны обозначаться разными символами. Обозначение же этих параметров одним и тем же символом приводит
■дг к неверному заключению, что эти параметры одновременно принимают одинаковые значения. Это и нашло отражение в неверном ответе ( Як ; 0), пе Z, Приступая к решению системы тригонометрических уравнений, целесообразно вначале проверить, нельзя ли непосредственно из какого-либо уравнения системы выразить одно из уравнений через другие. Зздача_2^ (МФТИ, 1983). Решить систему уравнений [Sin, 2u - №sinx = 1:. ^ (7) Д Исходная система имеет сшсл лишь в-случае, когда опре- у делены функции tgX\\ tg у т.е. выполнены условия cosx^ 0 , cos у Ф 0 . (8) • Рассмотрим уравнение (6). Естественно было бы разделить обе его части на I- tg х • Ц у и воспользоваться формулой тангенса суммы. Тогда урашение (6) можно было бы переписать в виде но при этом мы можем потерять те решения системы [(6), (7)}^ для которьк l-igx-tgy = 0. (ю) Однако легко убедиться в том, что система {( 6), (7), (I0)J не имеет решений. В самом деле, если бы существовали решения этой системы, то из уравнения (6) следовало бы, что tqx + fyy =0. Но тогда уравнение (10) приняло бы вид £ + tg2у - 0, и следовательно, оно бы решений не имело. Таким образом, исходная система при условии (8) равносильна системе J(7), (9)J. ^ Из уравнения (9) находим х+у ^-^ -ь мп, f T#e. у = ^f+ fh-x > пе Z. (П) Теперь найденное для у выражение подставим в уравнение (7) исходной системы: sln(£ - 2х+2*лп.)~У% sUx = 4. ' Преобразуем полученное уравнение: со* 2х - VS 4l'ib х --i, coszx - 6ltv2x -V2 dinx = cos x 4- sUv xj 2$in*jc + ^sln x = oy sin, x [2SiJbX +v£T)=0, откуда a) Sin X - 0, x = Тпь ? meZ;
95 6)±U x^-f- > x-(-i)K*lf t П , ке1. По формуле (II) определяем соответсвующие значения у Для серии а) У = тр+ F(n-m), П}теЪ; (12) для серии б) y=f-r-Om-f +Г(п-к.), п,кЫ. (13) Значения (х, у) из формул а), (12) удовлетворяют условию (8). Для серии б), (13) требуется дополнительное исследование. Для серии б) [cos x I « -j- f поэтому первое неравенство условия (8) выполнено. Второе неравенство cos и ф 0 выполняется не всегда. Если к - четное число, т.е. к = 2 р, где p£l , то по формуле (13) находим у = -j + Т(п- 2р'), Для этих значений у условие (8) не выполняется. Если же к - нечетное числе, т.е. к = 2р-1, где ре \} то у = 'T(ti-Zp+ £) и условие (8) выполнено. Соответствующие значения х находим по формуле б): х = - |^ + 2 Тр, Ответ: [ЗГт ; £*Г(п-т)), (~f+ Щ) 3T(n-Zp*i)), /п, п, ре 1 ■ А В некоторых случаях с помощью преобразований уравнений системы удается получить уравнения, содержащие лишь одну переменную или одну комбинацию переменных. Задача^ Решить систему уравнений \sLhX* шц* -J> > , (14) \ Со<> X • sin у - £* . Д Сложив уравнения системы (14), а затем вычтя из второго уравнения первое и воспользовавшись формулой sin (а+в) = = sin cl cos Ь + cos a sin 6 , получим систему, равносильную системе (14): (si'nU+y) = О, Ы/г(у-х) = I , откуда последовательно находим х+у =3т } у-х =-^ + Z УТЯ, *-*4f + * + f;, ^«Z.
94 Ответ: (Г(%-*-•£); T&■+* + -];)), п,ке1. А Так же, как систему (14), можно решить систему вида с $1пх-ь1пу = а, .[coiX'Cos у = в. К таким системам приводятся системы . (sinx -sltiu = a, (SinoccoStj = a, Lty acetyl/ =в. . Иногда систему тригонометрических уравнений удается свести к системе, содержащей только две тригонометрические функции. В этом случае при решении системы можно применить метод введения новых неизвестных. Задача_4ь Решить систему уравнений \cosx - slnx~ i + costj -sen у, [3sLn2x-2sLn2ij~%. U0; Д Воспользуемся тождеством (Sin X - CDSX)% = {- Sin 2 X и обозначим cos x-sltix=u, cos у -slny* v; (16) тогда о Ua2x - {-llz} Sin2y=i-v , и система (15) сводится к алгебраической системе (и = I +1Г, I3u2-^2,f ^ (17) Решая систему (17) методом подстановки, получим два решения Рассмотрим вначале значения ut и гт^ . Возвращаясь к исходным переменным, по формулам (16) получаем: fcos х - sin х - — у- 9
95 Преобразуем первое из уравнений системы (18), воспользовавшись методом введения дополнительного угла. Для этого умножим обе его части на -Ш , получим Xf-cosx. - ^fsinx --$$- • Левую часть этого уравнения можно записать в виде cos(x + if)) поэтому первое уравнение системы (18) равносильно уравнению которое решений не имеет, ибо \£&(ш-тг)\^.1 для всех х, в то время как \^f~ \ > 2 * Следовательно и сама система (18) решений не имеет* Рассмотрим теперь значения и2 и vz . Вновь по формулам (16) получим * ■• (tOSX- SihX^ -Jr) [cosy - sin t/ ^ -J-. Преобразуем уравнения последней системы, воспользовавшись, как и выше } методом введения дополнительного угла, получим равносильную систему: • cos (х+£)-]!£, '. из которой находим Х+j ^ ±агссо$У~ + ZTti} Ответ: (--£ ± алс a>s^ f 23Гп ;-£-azccos {Щ-)+1*п>)} tf ± Oittcos y^+ Ztn ;-f + теш (-^)-f 2fm), В некоторых случаях систему удается привести к виду (tuix^tOf), (ig) откуда в силу основного тригонометрического тевдества ' sin х + сосэс = I получаем уравнение /3(у) + #г(у) = It содержащее лишь одно неизвестнее у Если система приведена к виду 1<%х Ч(цУ>
96 тс неизвестное х исключается перемножением уравнений tqx'dqx = I, откуда /(у)'£(у) = 1. При таких способах решения необходимо внимательно следить за тем, чтобы не потерять решений и не приобрести посторонние решения. Задача.^ (МФТИ, 1979). Решить систему .уравнений. "4 ь'т ос - 2 sin у = 3 , 2 С05Х - COSLJ =0. (20^ Д Систему (20) можно привести к виду (19) сделав это, получим равносильную систему 'sMX*i+i»"4> (21) _Ш X = f ' COS (J . Возводя почленно уравнения системы (21) квадрат и складывая, получаем уравнение, являющееся следствием системы (21): i = те + Iblri lj + i *£|М 4 i C**V bLfiy= \ > (22) откуда у = (-I)'a axe slnif + $n, neZ. (23) Из первого уравнения системы (21) с учетом (22) находим ЬОг ос - -J- > х= (-I)*1 aicsiny + #/я. , neZ. (24) Поскольку при решении системы (20) могли появиться посторонние решения (использовалась операция возведения в квадрат), необходимо произвести отбор, подставив найденные значения (23), (24) во второе уравнение этой системы. Легко видеть, что при четных т и /г в формулах (23) и (24) соответствующие значения cos х я cos и положительны, а при нечетных т я ' п эти значения отрицательны. С другой стороны из тех же формул (23Х и (24) следует, что так что для выполнения второго уравнения системы (21) требуется
только, чтобы COS X и cos и, совпадали, Отсвда получаем 'х = OtoSt/Vy +Л^Х> I у =Qkcsui-^ +Z1?t) (25) fx = -a/tcsinf- + (&K+i)%*, (26) (у = -afeesta^4 (Zl+i)^ K.tel Обе полученные серии (25), (26) можно объединить и ответ записать в следующем виде. D A ч ответ: ((-l)patcii>i# + Яр); (-ifaAcsln f + ф+2г)), £ t&Z. ~' А При решении тригонометрических систем часто бывает непросто сделать первый шаг, найти "ключ" к решению задачи. Какие-то общие рекомендации здесь дать нельзя. Можно лишь посоветовать стараться применять такие преобразования уравнений- системы, которые приводят к появлению тригонометрических функций одного аргумента или хотя бы"не увеличивают число функций с разными аргументами За£ача_6д (МФТИ, 1982). Решить систему уравнений 3cos3x = sln(x+2y)} 3 sUi(ZK + u}= -cos3ut К4П А Если выразить члены уравнений через синусы и^ косинусы аргументов х и у , ..то получится довольно сложная система. Поэтому следует избрать.другой способ решения. Заметим, что сумма.аргументов косинусов в уравнениях системы, равная Зх+Зу, совпадает с суммой аргументов синусов. Учитывая, это, перемножим уравнения системы (27) "крест-накрест" т.е.,умножим левую часть одного уравнения на правую часть другого. Получим уравнение - cos Зое cos3y=$tnJix+2y) sin. (2х+у), (28) являющееся следствием системы (27) Заменим в уравнении (28) произведения тригонометрических функций соответствующими суммами'(разностями); получим {
98 - \ ( cos (Зх+Зу) + cos (Зх-Зу) = | ( cos (x-y) - - cos (Зх+Зу)) или cos (x-y)+ cos (Зх-Зу) = О. Выразим сумму косинусов через произведение 2 cos (x-y) • cos (2x-2y) = 0,. (29) Уравнение (29) распадается на два уравнения * cosU-y) = 0 , (30) 07i(2x-2y) = 0. (31) Следовательно система (27) равносильна совокупности систем 1(27), (30)} и {(27), (31)}, а) Рассмотрим систему {(27), (30)}. Из уравнения (30) следует, что ^ х = у+|- + ЯЯ. v (32) Подставляя х из (25) в систему (27), (в оба уравнения сразу, для того, чтобы потом не делать проверку), получим | Зш (3fr +jf+3 Як) = Sin (ty + ^ + ir^> ( isub {by +tf + Z1i'n,) =-С0$ Зу. Оба уравнения этой системы приводятся к виду 3 sin, Зу - соб Зу 7 стсвда ty3y'~Ty y = l№t$i+^> met, Из (32) находим б) Рассмотрим теперь систему {(27), (31)} ,. Из уравнения (31) находим x = y+f+|*, ке1. ' (35) Подставляя это значение в систему (27),. получаем: Ь ** (*v + ir + **) = - &* Зу. С36} Далее воспользуемся формулами приведения. Из второго уравнения системы (36) следует, что cos 3у=0, т.е. 1=T.+ f< p€t. t37) (33) (34)
99 Подставляя это значение в первое уравнение, получаем откуда Последнее равенство не выполняется ни при каких Kelj поэтому система (36) нессшестна, и в случае б) решений нет. ^ Ответ: (Jaic Ц }+•£'+4gb + Гп, ; ^иЦ^Л Л^ь), Упражнения I. Решить систему уравнений (I-I9): гь1п,х_ . Jl . Ш ос _ j_ t [tos у Ъ > WukZx -5cos Z(j =^0; 3. (cos ос'- tin, у.- Л- > \-Sln Zx + Urv Zu - 0 \ CUn, x + \to*> x - sin, и *1 y C04 X ■= Z + Un U - COS U} oc - sin 2 и =. i-
1Q0 6. (МФТИ, 1982) 7. (Ьсоъ х f Нему - 6~ . \blin х + Zsiiby* 0; bCUn Zx ~ Zsin (х-у)ш(2х-у)/ (Sin X - Sin 8(х-у) ) 9. (Sin ос sin (x+ lj) = -^ ш л:, 10. (МФТИ, 1982) 11. (МФТИ, 1978) "' - Ш+ Un <£ titblT^ C04 Х} I 2 tin x-day + i - 0; 12. (МФТИ, 1982) pO>4 (Зх+у) = ^г(х-у), [2 tih,(x+y) = 6<?4(3x-y); 13. (Sin Zx tin,у + titbX се*у =■•!=. 7 a Co4 Zx tin. U -h.COiX C06U = 14. Ctg л + ty ^ = 2, С 04 Л! • C04 = jL.
101 15. [Щ Ьх = ЬЦ%$> 16. 2 sin х ялы = ел* ^сс + Ш £у; 1т х яп>у= mlx-w*ty> Jx~ SLUn,ly +cosily-x), 17. ГС^ X - ЛИ/г lj -r 18. (МФТИ, 1977) 19. (МФТИ, 1988) fsi/г X •= Si/г .£у, [2 Sin, (4x+8y) siM3x+I0y)+5 ли (7x+2y)=4< § 4. Системы логарифмических и показательных уравнений В некоторых случаях система уравнений с двумя неизвестными х и у может быть преобразована в систему, содержащую лишь две функции от х и у. В этих случаях при решении можно применить метод введения новых неизвестных. Зздача_1^. Решить систему уравнений , ('2 to Vx + 2J + I = 0 , ■ } * (I) l Цх* + 4У - I s о. Л Заметим, что Ц Vx1 = ^ty x , Ц х3~ 3 fy xJ
4У=(22)У=(2У)2. Введем новые неизвестные Ц/ и V по формулам Ц:&' . ■«> В этих неизвестных система (I) запишется следующим образом: ( ц +tr = - I, [su^H^i. (3) Решая систему'(3) методом подстановки, находим Uj=0, 1TY = - I, ^=-5, Ifc = 4. Подставляя первую пару найденных значений (£у, И 1/f з систему (2), получаем систему \yj* _ -I = 2* которая не имеет решений, так как не имеет решешай второе уравнение этой системы, ибо 2У> О для всех у. Подставляя вторую пару значенийО^и Vj^ .в (2), находим П: %*> I; -5 откуда получаем х = 10 , у = 2. Ответ: (10~5 ; 2) Д В некоторых случаях в результате преобразований уравнений систему удается свести к системе алгебраических уравнений Зааача_2д Решить систему, уравнений *f* С****** (4) Д Преобразуем первое уравнение системы (4), воспользовав- . шись тем, чтс 2, = и>4%9 и формулой &$e,*+*°f*y~fya.xi> (5) которая имеет место при х> 0, у > 0. (6) Заметим, чтс решения х и у системы (4) удовлетворяют условию (6), ибо в противном случае не определены значения «yi^ и &9з% ♦ Поэтому система (4) с учетом'условия (6) равносильна система
103 Из условия (6) следует, что х+у> 0 f поэтому после по- тенциирсвания частей уравнений системы (7) получим систему |х+у=16; (8) которая с учетом условия (6) равносильна исходной. Решая систему (8), находим x-j-=9, yj=7, х2=7, У2=9. • Найденные решения удовлетворяют узловию (6). Ответ: (9; 7), (7; 9) А Рассмотрим" пример системы, которую удается решить методом подстановки ЗадачаJ3.J. (МФТИ, 1981) Решить систему уравнений \-Щ&*% ^^ ~'5> ' (9) [<%з(3+ху)-2 ^у - Щъ ly-V- ' А Рассмотрим первое уравнение системы (9). Обозначим • ^ ху = t (10), тогда воспользовавшись формулой fojtL *k = ~ fytu X) ПОЛУЧИМ А + t = з , tl-3iil = o. Решая это квадратное уравнение, находим i^ = 17 tt- 2} поэтому из (10) получаем ( Сод3 ' (xy))j = 1, (Лод^ ху))2=2 или после потенциирования: (ху)-рЗ, (ху)2=9. Значит, система (9) равносильна совокупности двух систем уравнений: \to$b(bixyyitoq^-fyz(r^> (ID Сху = 9, \loh (5 + xtj)~Z Cog9 у - tog, (у- О- (12) Решим систему (II). Подставим ху=3 во второе уравнение этой системы, получим . €о$ъ6 - Zfyrf = fyb иу*'' <I3) Воспользовавшись формулой Щ^У ~ $ >^У и формулой (5), преобразуем последнее уравнение к виду.
iiok Уравнение (14) вместе с условием У> 0 , у-1 > О, '. ' (15) которому должны удовлетворять все решения системы (9), ибо только при условии (15) определены выражения Щщ^ и v$j(y-D» содержащиеся во втором уравнении системы (9), равносильно уравнению (13), Уравнение (14) при условии (15) равносильно уравнению 6 = y(y-D, у2-у-б=0. Решения последнего уравнения суть числа yj=-2, у2=3. Первое из них следует отбросить, так как оно не удовлетворяет условию (15), подставив второе значение в'первое уравнение системы (П)получаем х=1. Итак, решение системы* (II) имеет вид (I; 3) . \ (16) Решим систему (12). Действуя, аналогично предыдущему случаю после подстановки первого уравнения во второе и потен- циирсвания находим уравнение 12 = у (у-1), у2-у-12=0 ,' корни которого суть числа., у3 = -3, у4 = 4. Первое из них следует отбросить, так как оно не удовлетворяет условию (15). Для у4 = 4 из первого уравнения системы'(12) получаем х = | . Значит, решение системы (12) имеет вид ■ (| ; 4). (17) Множество решений исходной системы (9) является объединением решений (16) и (17) Ответ: (I; 3), ( | ; 4) А Упражнения Решить системы уравнений (I-I9):
X Ч Г-о; 9. 5. |%iy = Щц (ху-2), 6. ГЗ-г* + 2'3У = 2,75 , 2х-Зу = -0,75 ; у - 1оаг X = I, ^'%(х-3у) = 2 . х.у%с* = у5/2 ; П. (ty (x2+y2) = 2 , 12. (МФТИ, 1981) Г^3(у+3х) - Ufa Я =• ^з (3-х). [4+ ^з^2-= %^г (9х); 13. (МФТИ, 1981) ("2 ^^ (y+I) + tegi </ [ 5 + tyi, X " <%* (| %* f
106 14. 15. 16. 17. ■18. 2+ loq^ (2х)=^з'/; Щъ (9+| ) - ^ьХг =2 (2XV = 16х+у , 2х2 + 8.2У2 = 8.16х Т16У-;— 2 - &£* У = 2 ^Пх+у) , &ада(х+у) + йайА (х^-ху+у^) = I ; х-г3"1 -2-2У = - Зу.4х+У {2х-22х+у+ 3^8^ = 1 : k $ = 32-8 3i = 3'9 19. .(МФТИ, 1985) (27.3 2х"У + зх2 = 4^ ^ (у_4х) = 2 ^ (2+2х-у)- Ц у. (х+2);
TjUIA 3- Предел последовательности. {01 § I, Определение предела последовательности. Свойства сходящихся последовательностей. 1. Числовые последовательности. Обратимся к понятию числовой последовательности, рассмотренному в курсе алгебры 8 класса. Если кавдому натуральному числу Jl, поставлено в соответствие действительное число ЗСц $ то говорят, что задана числовая последовательность хт, х?; ... Хм , ... Кратко последовательность обозначают 4_хпЛ# при этом хд, называют ^левюм (элементом) этой последовательности, FL - номером члена х^ • Числовую последовательность часто задают с помощью формулы вида : выражащей хд, через номер П, . Например, х ^ = 3 j х -JtL Иногда последовательность задается рекуррентной формулой, выражащей члены последовательности через члены с меньшими номерами , „ .. Так, арифметическая прогрессия -ia^j c РазностыоЛ- и геометрическая прогрессия xBfc,{ с0 знаменателем Я'-г О задаются соответственно формулами *пн = <*>ъ + d, рм = влч^. Зная первый член aj арифметической, прогрессии, можно получить формулу для ( 1Ъ + 1)-го члена: аа41 = ai +ticL • Аналогично, ( YL + 1)-й член геометрической прогрессии выражается формулой BrtH = Bi^r. 2. Свойства действительных чисел. При вычислении пределов последовательностей и пределов функций используются перечисленные ниже свойства действительных чисел. а) Свойства, связанные с неравенствами. 1) Если а>в и в>с, то а>с. 2) Если а>в, то а + с > в + с при любом с ,
i08 . . . v, 3) Если а>в и с^О,'то ас^.вс, .а если а>в и с<^0, то ас^-вс. 4) Если* а>в и с>с/, , то" а +'С > в +ci . 5) Если а>в>0" и с .>dL > 0f то аа>вс£. .6) Если * а>в, .то а^*1 > в^-4"1 при "лрбом Л-бУ 7) Если а>в > 0, то а^ > ъ}ь при любом /г £// 8) Если а>в> 0, то | <. | " б) Свойства, связанные с понятием модуля • 1) !-a| = |a|, |ав) =|аМв| , \\\ = М-при вД); 2) ||a| - " | в1| £^|а ± в | £ la\ +.. V в 1 . 3) Неравенство \x-a\<Q ■ , где- & > О, равносильно двойному неравенству a-S' <'х^ d+Э.-. 4) Неравенство |х-а/ > 5" гДе 6"> 0;*выполняется при х<а-(5 и при х > а+§>. в) Свойства, связанные с понятием арифметического корня. Напомним, что число £ ^ 0 называется арифметическим^кор- нем степени^ ПТ ( ITL^ £ f ^rt 6/И ) из числа а, если £ L=a 1з курсе высшей математики'доказывается, что для любого M1€w ( ГО->2 ) существует, единственный арифметический корень степени ITI из . положительного числа а (он обое- начается у а ' или 4. ) Согласно определению, запись & — у CL , "где а>0, означает, что £ > 0 и g^ = .( 1Л~а) = а . Если а > 0 и t • = т£г , где A G ^ , /??. £ Л/ , то по определению а = Этой формулой определяется рациональная степень числа а :>0. Пусть % , \х , *?^ - рациональные числа, .-а > 0. Тогда.справедливы"следующие свойства рациональной степени: 1) а* > I при а >- I, t > 0 *; 2) аЧ а** = а***** 3) (а** А* = аг^ " ' 4) аг' > а**> 0 при ^>^г^а>1.
Отметим еще, что если в > О, /L в. л/ , то неравенство а > 'в справедливо тогда и только тогда, когда имеет место неравенстве , arv- j>- в7 т.е. неравенства а >- в и а^^в^ при- в >- 0 равносильны. г) Свойства, связанные с^формулой бинома Ньютона. Если а, в - произвольные вещественные числа, KLe// 9 то справедлива формула^инома Ньютона (*«Л~= < а'г +-0^%+ ... + С*' а^* вк+... тле +C,t\= I, (1) 'с « =/М^-1)...^-(к-1) , z ^ K^ f К'- =1*2... К. Формула (I) доказывается методом математической индукции. Из формулы (I) следует, что если х ^ 0, то (1+х)а>1+/гх, (i+x)rL> с* хк ^ i^ к^^ь В частности, при любом У\+&//-1& при х > 0 справедливы неравенства и» ...': , ': v (1«Л^чгх. 0,х)а>аШ^1}_х2. . 3. Определение предела последовательности. Рассмотрим чдело- Еую последовательность / x^l , где х^ = I + ^7\Г~" " Будем изображать.члены этой последовательности точками на числовой прямой Xрис. I) .- • • -* г 1 • i • -£■ -I oJJfl} z. Рис. I'"' ' ~ • - Заметим, что. расстояние от течки х^ до'точки I, равное (х^- 1|= |"Пг I = а с Р°стом £L' становится все меньше и'меньше. Для врех членов последовательности, начиная
110 сочлена, имеющего номер 101, абсолютная величина разности х^-1 меньше 0,01. Если а$Л001, то |хп, ^Knnrf • Зададим произвольное положительное числе & и выберем натуральное число А/ такое, чтобы выполнялось неравенстве тг <Е которое равносильно следующему Л/ > i • В качестве /У можно взять номер угу* ^» ЗДе L°^J - целая часть числа cL , т.е. наименьшее целое число, не превосходящее*^ • Тогда, если Х1^л/ , то Ix^- а|< ^ ^ ^^$ • Таким образом, дяя любого £>> О можно указать номер А/ такой, что для всех Я^уУ выполняется неравенство I х^ - а|<£, Заметим, чтоЛ/ = Л/g, , т.е. Л'' зависит, вообще говоря, от £4 В этом случае говорят, что число 4 является пределам последовательности ^ ха^ ; где xh = I*-^—^ и пишут &!fl хп = I или x^I при rt->.■*>£>. Определение. Число а называется п^ед^^пос^е^штедо^сти^ {xn3f * если для каВД01,0 & > О существует такой номер tf&y что для всех ft> Довыполняется неравенстве lxn- a| <£ (2) Если а - предел последовательности A х^ , то пишут tUtl xtv = а или хп,-* а "при П- -♦ °о,. Заметим, что неравенство (2) равносильно неравенству -£<xjv - а^С £ , а также неравенству a -£ <1 х^< а+£ (3) Условимся интервал (а-5 , а+<5 ) называть <£ - окрестностью точки а (рис. 2) -LUC*-) ct-Б cl <х+ё ?ut,2 и обозначить ЦЛв), т.е. Ц/£(а) = (а-^, а+£ ). . Пусть а- предел последовательности { х^^ , тогда при W > д/g выполняется неравенство (3), т.е. ха etA,£ (а) при Я^Уё.
ш Это означает,'что все члены последовательности X х^.2, начиная с члена xrfg принадлежат £ -окрестности точки а9 так что вне этой окрестности либо нет ни одного члена последовательности, либо'содержится конечное число ее членов. Последовательность, имеющую предел, называют сходящейся, а последовательность, которая не является сходящейся, называют расходящейся. Иначе говоря, последовательность называют расходящейся, если никакое число не является ее пределом. Из определения предела последовательности следует, что последовательность £хгьЗ ™еет предел, равный а, тогда и .только тогда, когда последовательность {х^. -а^ имеет предел, равный нулю. Зааача_1Л ПодЁьзуясь определением, доказать, что последовательность [хп^ имеет предел и найти его, если: 1} х^ф— ; 2) Хл,= acf" , где \(\\<. I, а у 0 ; 3) хЛ= I+ty+... + ф** , где \<Ь\< I; 4) хп =Vsl +1'- /7Г; Д I) Неравенство | xrtl = sjpp < & , где S> 0, рав- Т /1 Т носильно каждому из неравенств — <С О , \Х > jtj * Поэтому при И, >Л^, где /Vg = \~Р* + If сираведа35330 неравенство jxIL[<o , Это означает, что ит хп. = о. « 2) Если &= 0, то х^ = 0 для всех УЬС/w и ♦Cim х = 0. Пусть С^ ^ 0. Обозначим •£ = щ , Так как |ty| <. 1% то 1. > I и поэтому Ч. = I+cl , где с(> 0. Отсвда следует, что. \\\)ь=г^(\^Т >о£1ъ («.„.2. г). Следовательно, | xrt| = ajcj.j^ Z. -^Тг"4 Так как неравенство 327\Г ^& , равносильное неравенству J^ ^ оС£ 5 выполняется при П^А^ » гДе /У£ - "3T£j +1
HZ то при всех n^/Vi справедливо неравенство | хп|<£, , т.е. lin\ x^ 3) Применяя формулу суммы ft первых членов геометрической прогрессии, получаем п п откуда |ха- а/ = а^!*1 , где а = '* Так как а|^,| -> О при ft-* ©о подсказанному шше, то' х#1-** а при ГЬ—*.°о , т.е. Cl/71 х, Тем самым доказана формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии 1+^ + ^+...+ q'L+... =iJfl- . I^Ki-. 4) Умножив и разделив х а. на сумму У/а +1' + jTJT , получим .. (/^7i)2- с/7Г)2 _ ^ Vn+i' +Vfi7 Y/i+i'+Vft откуда | ха)< 2л/7Г, Так как неравенство ^Tfc ^ ^ , = равносильное кавдому из неравенств -J7T<62» ГЬ> 777Г ? выполняется при П^Л£; гДе /у<£ = 1 4 f & J + * > т0 неравенство | Хгъ|^6 справедливо при- п > л/г • Следовательно, £с/П Х/ъ = О* 5) Используя равенство — = -J гг=тг" > получаем к (k+D к T к +i Л 1*2 2*3 Л (Tl+I) ■ 2 2 3 П A+I = I ~ h+I •> откуда находим С^/72. хд, = I ; A За^ача_2^ Доказать, что последовательность i х^Д , где ха = ^"^ ' является расходящейся. Д Па числовой оси члены данной последовательности изображаются точками -I и I, причем хЯк = I, х^к_^ =-1, |<еЛ/(РИС.З),
•113 |Но.+ 1|*|н«н|1[ Рис.3 + Любое числе а, где а £ - I, не может быть пределом последовательности i xIL,l * В самом деле, если а ^ I и а ^ -I, то £ - окрестность течки а, где £ - наименьшее из чисел | а+I | и | а-I | , не содержит щ одного члена последовательности. Поэтому число а( | а | Ф I) не является пределом последовательности . Числе а=1 также не является пределом последовательности J xrtJj , так как существует число £= ^ такое, что вне £ -окрестности точки а=1 содержится бесконечное число членов последовательности (все члены с нечетными номерами). Аналогично .доказывается, что число а=-1 не является пределом последовательности. Д 4. Ограниченность сходящейся последовательности. Последовательность i xrv j называется о1ф^ет^^ои^сга1зу, если существует такое число Cj, что для всех п в л/ выполняется неравенство Аналогично, последовательность | ха]' называется ограличенной сверху, если для всех ПВ// выполняется неравенство X л ^ с2 . Последовательность, ограниченную как сверху, так и снизу, называют ограниченней. Таким образом, последовательность ^Хп^ называется ограниченней, если существуют числа Су и Cg такие, что для всех а^А/ выполняется неравенство сх <ха + с2 т.е. все члены последовательности 1хп.\ изображаются на числовой прямей точками, принадлежащими отрезку Г Gj Cgl Например, последовательности {(-if} и {60S 11} ограничены, а последовательность \ а2] является неограниченной. 8.7311.
"114 Замечание I. Если последовательность • ■/ x^l является ограниченной, то существует число С > 0 такое, что jx^l £ С для всех П£/7, Действительно, в качестве С ..можно взять такое положительное число, что отрезок [-С, с] содержит отрезок Теорема I, Если последовательность имеет предел, то она ограничена. О Пусть последовательность {х,^ имеет предел, равный а. Из определения предела следует, что отрезку Д=[а-1, a+lj принадлежат все члены этой последовательности, начиная с некоторого, т.е. найдется такой номер л/ .* что ха6Д при /|>/V. Обозначим через Д^ отрезок, который содержит точки xj, .... Хд,^ и отрезок Д, Тогда х^Д^ри всехПеМ Таким образом, всякая сходящаяся последовательность является ограниченней, ф Замечание 2. Теорема, обратная теореме I, неверпа: из ограниченности последовательности не следует ее сходимость. Например последовательность i(-I)aj ограничена, но не является сходящейся (задача 2). Задача^ Пусть уа Ф 0 при всех Ц€/\Ли существует ferny* = в, где в Ф 0. Доказать, что последовательность ^-у-1и~*является ограниченной. Д Так как в Ф 0, тс | в] > 0. По заданному числу £ = -*— найдется , в силу определения предела последовательности, номер /V такой, что для всех а >/\/выполняется неравенство. |ya-B|<!f . {4) Воспользуемся неравенством для модуля разнести |в| -|y,v| ^|y,t-B/ (5) Это равенство справедливо при всех ЦвЛЛ Из (4) и (5) следует, что неравенстве выполняется при всех \\ >V » откуда | Ц^\ > "*Г
L±5 _2_ IB I и, следовательно, при fl^N справедливо неравенстве I I __ 1 2 1ул1 :~ \bi\ < IbT' j j Пусть С - наибольшее из чисел ,~r »*--tTvT дг 1У*' 1у^' Тогда при всех fle^r ншолняется неравенство- ф * с* Поэтому 11—] - ограниченная последевательнссть. А 5. Свойства сходящихся последовательностей, связанные с неравенствами - ; Теорема 2 Если для всех tie ftf выполняется неравенства х„ *г у„ <%а->< №) и если последовательности |хлт и i^/ij имеют один и тот лее предел, т.е п -*<* л П^09 п = а, тс ипг у„ = а . О Пс определению предела для любого vV^ и 7V£ тавде, что х в: У£(а) при всех п^УУ,У Zn €1 U6 (а) при всех П ъН^ . Пусть /г - наибольшее из чисел N^ , Nz П> N имеем хл е ££(а), 4е1 ^Са) Отсща и'из условия (6) следует (рис. 4), <Г>0 найдутся номера Тогда при всех as *& Ул *ъ а Тис 4. а+е GL Up (а) при всех П е: ffv 9 т.е. существует йпь у = а.
не> Замечание 3. Теоремой2 часто используется при вычислении пределов. Она утверждает, что если две последовательности [*ri\ и {%п} имеют один и тот же предел, а каждый член третьей последовательности [уа] "зажат" между соответствующими членами"этих двух последовательностей, тс и последовательность {у#} имеет тот же предел. Поэтому теорему 2 иногда называют теоремой о "зажатой" последовательности. Зздача_4Л Доказать, что если * йт У а =*. (7) А Так как а > 'I, тс j/a > - 1. Тогда а = (1+ dr а > 1, то ^/1 = /а <-а 1 (п.2, ■ /г в). Обозначим - I < а откуда и.< ъ^ <" ~ , т.е. 0<5/а" Отсюда по теореме 2 следует утверждение (7).А Теорема 3. Если ияг х=а, й/?г уи = в, причем а < в, то существует номер j\r такой, что при всех п^л выполняется неравенство х "п <• УЛ (8) О Выберем 6= ^^f- < Тогда не имеют общих точек (рис. 5) С - окрестности точек а и в 4-е - $ 6-е Тис. д. причем . а+ 6 ^ в- 6 . В силу определения предела по заданному числу £ ='Sg^-' можно найти номера Д| и /^ такие, что х^е. ЦЛа; при n>Nu 1^ (а) G Цс (в) при n>*Ni< Если Ж- наибольшее из чисел ^ , Ж , то при няются неравенства а-£ < хЛ < а+£ < в-6" -* уа■'<. в+£ откуда следует, что хЛ <■ уа при /l^JVf Следствие. Если £># х*. = а Ул Л*# /г '/г йт х„ = а, &я, у = в и при tt^./V* ТО О) выпол-
иг а ^ в % (10) Пусть неравенство- (10) не выполняется, тогда а < в и по теореме 4 справедливо утверждение (8), которое противоречит условию (9).. Следовательно, должно выполняться неравенство (10). • Замечание 4. Если х^^ 0 при всех Я<=Жи существует turn х„ = а, то а > 0. Задача.^ Пусть аЛ > 0 при всех Пе:Я и пусть существует игПа„ = а. Доказать, что $& /a/t = У3- • А Заметим, что а ^- 0 (см. замечание 3). Поэтому существует /а. По определению предела для любого £> О найдется номер Ж такой, что для всех п > .N" выполняется неравенство I аЛ- а | -*' б /аГ, Так как Л + /а А+^ Jan-al /а то неравенство . справедливо при ft ^ Ж Следовательно, Упражнения.' Я. Исхода из определения предела последовательности, доказать, что ^Curt^Xru - 0, если: *} н -»пР~ 2) v ~^-'3) х» =Ь • 4) х* = £ 5) хя, = 3nTE 6) xtt = ^Jr' 2. Найти предел последовательности {хк} если: х) , - !L£ ' 2) х = 2*-1 з) т = ЪП/ t2
ПЛ+4 3)xft =^ + 75^---+Йг^ 4)х в $*§г+|^--.-+ |* 118 3. Доказать, что последовательность I хлД является ограниченной, если: г л =,г?г-+ та—*•—+ йг'4) х = 1 4. Доказать, что последовательность )х№1 является неограниченной, если: " (ф Л- 4) _aUa-. Л Л* + Л+1 5. Доказать, что если Lm, х = а и а < в, то найдется номер И^ такой, что для всех n^N выполняется неравенство х Л < в 6. Доказать, что если -и^ х. = а, &я, уИ = в и -f л-*я> ft м,—с* ft при всех не:IN выполняется неравенство хи ^ У/^ > т° а > в. 7. Пусть х^ > у^ при всех Ле№ hi^ctb ^/П/ х = а, -й>я, у = в. Следует ли отскда, что а>6? Yi+oo ft ^-^co ft §2. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Арифметические операции над сходящимися последовательностями . *!. Бесконечно малые последовательности» Последовательность называется бесконешю^да^са, если ilm cL= 0 . ■ Согласно определению предела это означает, что для любого 6 > 0 существует номер /f такой, что для всех я^М выполняется неравенство Примерами бесконечно малых последовательностей являются последовательности И. \l}\f}, »1»1<Л где а > -1.
ii9 Понятие бесконечно малой последовательности удобно использовать при доказательстве свойств сходящихся последовательностей. Пусть существует <£/п хл = а. Обозначим rf„ = xw-a По определению предела для любого £>0 существует номере такой, что для всех гъ^АГ выполняется неравенство |хЛ-а| =Kil<£, и поэтому последовательность {°^ij является бесконечно малой. Обратно, если существует число а такое, что ха = а+ dn , где (^м) бесконечно малая последовательность, то существует lim хи = а Рассмотрим арифметические, операции над сходящимися последовательностями. Назовем суммой, разностью, произведением и частным последовательностей {хп} и \jn] соответственно последовательности /х^ + y^J , Sxn - уЛ ., Iх a ytt i » / Xjlb ] • ^и определении частного предполагает- /Я/ ся, что у^ ^ 0 при Л С #v. Теорема 1. Сумма и разность бесконечно малых последовательностей являются бесконечно малыми последовательностями О Пусть {Уя,} и {finJ ~ бесконечно малые последовательности. Тогда для любого 6>0 t найдутся номера Mi и JV^ такие, что \dn\ <j при n^^i , 1/л1<|при n^Nr Пусть Ж - наибольшее из чисел ^ , J\f. Тогда неравенство выполняется при всех /I ^ Ж Поэтому последовательности . {</„ +Atl и | о£ "АД являются бесконечно малыми. • Теорема 2. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность является бесконечно малой последовательностью. О Пусть {<*д] - ограниченная последовательность, {j5#j бесконечно малая последовательность. Из определения ограниченной последовательности следует, что существует число С > О
420 таксе, что для всех inem выполняется неравенство Так как \$п\ ~ бесконечно малая последовательность, то для любого <f^0 найдется номер N такой, что при всех ПъМ справедливо неравенство \h\-r Отсюда следует, что при нъ N выполняется неравенство . k-A.I-кНлИ-*"'- т.е. [^пРп] ~ бесконечно малая последовательность. # Следствие. Произведение двух сходяещихся последовательностей, из которых хотя бы одна является бесконечно малой, есть бесконечно малая последовательность (см. § Я, теорема 2). 2. Бесконечно большие последовательности. Последовательность I х \ называется ^есконечдо^большой, если для любого 6 > О существует номер N такой, что при всех tl^JV выполняется неравенство В этом случае пишут, что >u/n x = оо или *г*°о при П -* °° , и говорят, что последовательность {хп\ имеет бесконечный предел или является бесконечнее большой. Назовем о - с^фэстчгост^^ множество Ел точек х числовой прямой таких, что 1х1>5\ Это множество состоит из точек, находящихся ..от точки ^=0 на расстоянии, большем & (рис. 6) '- Тис.6. Пусть [хЛ - бесконечно большая последовательность. Тогда все ее члены, за исключением, быть может, конечного числа, лежат
m в о - окрестности бесконечности. Примерами бесконечно больших последовательностей являются последовательности J мда w*ni Отметим, что всякая бесконечно большая последовательность является неограниченной. Обратное нер^рьо. Например, последовательность (I? + (-D Id) йеограничена, но не является бесконечно большой. Легко показать, что последовательность \хп] } гДе ха ф 0 для всех не Слагается ксконвчн.о большой тогда и •только Тогда, когда. [^-всеконечно малая после доъатеяшоегь. 3. Арифметические операции над сходящимися последователями. При вычислении пределов последовательностей часто приходится использовать теорему*о пределе суммы, разности, произведения и частного последовательностей. Теорема 3. Если dm хи = a, fan уи = в, то: а) Им (*_+уЛ*Л + в; *~» "■ б) йт (х у ) = ав; и 1 ^ = i при условии, что у„ ^ О ( neW ) и в ^ О О Так как хп~» а, УЛ-~в при Л-^оо , то хп =3+0^. УЛ = в +^Л , где {rf^} и {jS^} - бесконечно малые последовательности а) Из равенства х^ + у = (а + в) + ( d^ + й^ ), где [о(а + |5д } - бесконечно малая последовательность (теорема 1), получаем х^ + уп -*> а + в при. п -+> со. б) Так как хп у^ = (а + 0^ ) (в + fin ) = ав + а^ + во^ + + dnbn , где {a/*Ai + Brfa + ^riPa} " бесконечно малая последовательность (теоремы 1 и 2), то х^ у^ —*- ав при 1-*■**. в) Докажем, что ( хд .§1 - бесконечно малая последователь- 1Уп в J ность' / пГ \ г а ^ Имеем 9 - *»- А = (a t *Л ? в - (в + /U ? а = ^ Уп в щ^
иг = <4t " 6 Д) U , где {^ - j-Д} - бесконечно малая последовательность (теоремы Д и 2). Так как у^ 0 при ncttfvi -им у = в, где в 4 0, то jf-l - ограниченная последовательность (§ I, задача 3). Поэтому последовательность Ifc^J является бесконечно малой (теорема 2), откуда получаем g£ —*- f при *-»*.'# _3адач& £._ Найти -й/я, х, -если: Д 1) Разделив числитель и знаменатель дроби на К, получим х^= 4+ J - |3 Так как зТ^—г последовательности | М , ^ \ ЛЦ-] являются бесконечно малыми, то числитель имеет предел, равный 4, а знаменатель имеет предел, равный 3. По теореме 3 получим ilflb X ^ = ?5 • Л^ео ^ u ^ | 2) Умножив и разлелив х^ на у£л\3/)^ ч-У^л-л+б'5 получим х„ = _ (2/Г* 3n+4)-(2fl -ft+5) _ ._4л-£ 11 /2/1* +3/t+4 +У2/1*-л+5 т12п*+5п+ЦЧ2п^п+5' Разделив числитель и знаменатель полученной дроби на ГЬ ., находим 4 - £ п Таскан /2»|»Д -;£" и (6-££_*/£" (§1. ,а- дача 5), то предел знаменателя равен 2/2. Применяя теорему 3, получаем <&п х„ =—7=^— = /ЁГ А П^оэ zfz
.1 125 Упражнения 1. Найти им х. если: ' ХЛ" 3^+4*1+5 • ^ *"~ (2И.--1)3 ХА 5.4Л-3Л+1 2. Найти ит ха , если: *) х .. VSES ; 2) х . J/ /t^2/l+J 3) х^^+й+З - yV-W+5 4) хЛ= |Г9Л* + « + 6 -3/1. 3. Пользуясь формулой суммы бесконечно убытващей геометрической прогрессии, йайти рациональное число, соответствующее данной бесконечной периодической десятичной дроби а, если: Я) а = 2, (7) 2) а = - I, (13), 3) а = 0,3 (45) 4) а = 3, 31 (24). 4. Найти йж Хи , если: 1) х г= - 4' + I +# + * I . Л /*V У/iVi '*" ^Л 2) х = -2^-1 ('-Л + JL + I _У <rt y - 14-2+ ... til A v - *2 + 22<+ ... +/Е* 6) хп - т 4; ХЛ = з 5) х ^гь11({п^1 * /п5-Л&) 6) хи = *2+з2+...+(аи/ 5. Пусть la^j - арифметическая прогрессия, вое члены и разность которой отличны от нуля. Найти йт х„ , если: I) xft= —I л * + ... + -^ а1а2 • а2а3 апап+1
«4 6. Пусть х = а, где а ^ О, , и пусть &т/ у„=<*» Доказать, что Wiv (х„ у„) =а> 7. Привести пример расходящихся последовательностей Jxrt,i и А у С таких, что сходится последовательность: § 3. Предел монотонной последовательности 1. Теорема о пределе монотонной последовательности Из курса геометрии известно, что длина окружности мсжет быть определена как предел последовательности периметров вписанных в эту окружность правильных многоугольников при неограниченном увеличении числа их сторон. Пусть гп -периметр правильного /^-угольника, вписанного в окружность радиуса И. Тогда £*£**"<%*%4>4*в7 т.е. последовательность {^J является возрастающей. Заметим еще, что последовательность {1^} ограничена сверху, т.е. ^л,^ для любого Л- В качестве С можно взять периметр любого правильного многоугольника, описанного около данной окружности. Известно, что существует Это утверждение основывается на теореме Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности. К иоцот:оп]^^цо(^е]1р^^е^посттА относят возрастающие, неубывающие, убывающие и невозрастающие последовательности. Последовательность 1ха} называется возрастащей, если каждый ее последующий член больше предыдущего, т.е. если Xj, <. хя+-/ ' для всех/Ь, Если х ^ xmW Д^ всех & * то последовательность ы называют неубывающей.
i25 Аналогично, последовательность {х*1 называется убывающей, если каждый предыдущий ее член больше последующего, т.е. ха > хп-м ' для всех П/' Если х^ ^ хц + 1 для всех ^ » то последовательность |х t называют невозрастащей. Теорема -I. Если последовательность является возрастающей или неубывающей и ограничена сверху, то она имеет предел. ■ Если последовательность является убывающей или невозра- стающей и ограничена снизу, то она имеет предел. О Доказательство теоремы 1 обычно дается в курсе высшей математики. Теорему I можно сформулировать короче: всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел. • Замечаьгае I. Так как отбрасывание- конечного числа членов последовательности не влияет:на ее сходимость, то из теоремы 1 следует, что всякая ограниченная и монотонная, начиная с некоторого номера, последовательность имеет предел. Задача I. Пусть х „ = а^ , где а> 0. Доказать, что Д Так как &т, х „ = О Ж*ч-Аг * ,в) то при П*П0 , где п0 = [а] . выполняется неравенство хп+1 ■? x/t т.е. \xyi) " Убывающая ПРИ ^^по последовательность. Кроме того, х^ ^ 0 при всех Не W , т.е. последовательность .. (х^ ограничена снизу. По теореме I последовательность |х| сходится. Пусть им хп -в Переходя к пределу в равенстве (1), получаем в = откуда в = 0, т.е. -~— —+ 0 при п —- о°. А п! Задача^д Последовательность ix \ задается рекуррентной формулой.
126 где х . > 0, а > О доказать, что им х^ = /а. ДТак как а > 0, х^. > 0; то из формулы (2) следует, что х2 > 0 Пусть х^ > 0, тогда из (2) получаем х„ + . > 0. Таким образом, по индукции доказано, что при х^> 0 для всех Л^Лг. Применяя неравенство для среднего арифметического и среднего геометрического, из (2) получаем т.е. хЛ ^ /а" при Л^ 2 (3) Таким образом, последовательность [хЛ| . ограничена снизу,. Докажем, что она является убывающей. Запишем равенство (7) в виде 2 х х = а " х/г (4) Так как х^> 0 и а ^ х^ ( в силу (3)), то из (4) следует, что .х^.м ^ хя при Л ^. 2» ?*e* послеД°ва- тельность (ха J является убывающей при ft ^ 2 По теореме 1 существует йт х^ = (* , причем сЛ & /а > 0 в силу условия (3). Переходя в равенстве (2) к пределу, получаем <{- §(^+?)# откуда dl= a, of- /а, Таким образом, доказано, что *к s'a- Замечание 2. С помощью формулы (7) можно находить* приближенные значения /а с большой точностью. 2. Число в. Рассмотрим последовательность 1x^1 , где Покажем, что эта последовательность является возрастапцей и ограниченной сверху. Используя формулу бинома Ньютона, получаем
ч-1+ <%■%+<%•£ + -+^ ♦..-*4 . где С* = 't(rt-l)... (ftW|tBl|2 л Запишем " хл в виде суммы х =2 + ^а-%)+§га-& и_|)+...+ |г(1_1) и-аь - (1-¥-)+-+ *7 « -|> « -|>- « -^>. С5) содержащей А1 положительных членов Заменив в формуле (5) /г на п+1, получим ... <I-TCTT>' (6) Заметим, что сумма (6), как и сумма (5), содержит положительные слагаемые (в сумме (6) их на одно больше, причем каждое слагаемое суммы ((5) меньше соответствущего слагаемого суммы (6). Следовательно, х^ -^ х , т.е. (Х/Л " возрастающая последовательность Из формулы (5) следует,.что хп * 2 +2Г+' ЗТ + •"■ +аГГ Так как к! = 2 - 3 ... К > 2 К"1 при К > 2 ,-.то \ < 2 + 2 + зг г»-* - 2 + -77Т 2^ откуда х п < 3 Итак, последовательность \хп) ~ возрастающая и ограниченная сверху* По теореме Гена имеет предел, который обозначает- ся е . т.е. а Urn (I + 1 ) = С Число е играет важную роль в математике и ее приложениях. Это число является иррациональным и справедливо приближенное
118 равенство €» 2,7182818284590. Упражнения 1. Доказать, что последовательность {хл} > где х rt = I + i«+ 1- + ... + I- сходится а 241 3^ /^ 2. Доказать, что последовательность {хЛ , где Ы L J xu = -т—' : г:— , имеет предел и найти 'его. *Ъ 1-3*5... (2Л- 1) 3. Доказать, что 'U^l —у- =0. 4. Последовательность . jx^j задается при Л^2 рекуррентной формулой х^ = )/2 + х^ и условием Xj = ^2 . Доказать, что :. /</п хЛ= 2 , 5. Доказать 1 что последовательность xxrtj » где ХЯ = ' хл+1 = /6 + х., , Я€ If , имеет предел и найти его.
у- 129 Глав>а*1. Предел и непрерывность функции § I. Предел функции I. Понятие предела. Рассмотрим понятие предела функции, связанное с поведением функции в окрестности данной точки. Напомним, что о - окрестностью течки а называют интервал длины 2 о с центром в точке а, т.е. множество : 'llgla.) = (а- К , а+ сГ ).' г Если из этого множества удалить точку а, то получим множество, (рис. I), которое называют проколотой * S -окрестностью точки _а^ и обозначают" w Йу (а). "Очевидно tt^(a) -объединение интервалов (а-<5\ а) М (а, а+<Г), т.е. 'll<r(Q/ Ц^(а)=(а-(Г, a) U (а, а+<Л. Иначе говоря, lis:{о) - множество течек х числовой оси таких, что Огг|х-аК<Г Q'/f/////Q ff/fC-'.-Q a.-t-<S" Предваряя определение предела, рассмотрим два примера. Задача I. Исследовать поведение функции х2 - I х - I в окрестности точки х=1. Д Эта функция определена при х j£C, причем jf(x)=x+I, для всех хе& таких, что х^1. График функции изображен на рис. 2.
/30 Из рисунка видно, что если значения х близки к I, то соответствующие значения функции близки к 2. Придадим дтому утверждению точный смысл. Пусть задано произвольное число £?0 . Найдем число (Г> О такое,, чтобы для всех х из проколотой (Г-окрестности точки х=1 значения функции j (x) отличались от числа 2 по абсолютной величине меньше, чем на £ . -г .Иначе говоря, найдем число *Г?0 такое, чтобы для всех х е , Ы# соответствующие точки графика фушсции у= j (x) лежали в горизонтальной полосе, ограниченной прямыми у=2~£ и у = 2+£ - (рис. 2), т.е. / (х) £ U^ (2).. Здесь можно взять <Г = £" в В данном случае говорят, что функция j (x) стремится к двум при х, стремящемся к единице. T5JS52^^-S§T з^вают^цюдело^^ пишут f (x) =2 или :f (х)-* 2 при х->-1. A Задача_2. Исследовать функцию (1-х2, х^О, 0 ' *=°* I+х, *х> 0. в окрестности точки х=0. Д Из графика этой функции (рис. 3) РиС:3
ibi видно, что для любого £>0 можно найти <Г> 0 такое, -чтобы для всех xe"Ltf(a) выполнялось условие J (х) € #g(l),_ Действительно, прямые у=1-£, и у=1+ £ пересекают график функции у= j (x) в точках, абсциссы которых равны Xj=-V2H и х2 = £. Пусть О - наименьшее из чисел.|xj| и х2, т.е. <Г = mm(</T", £ ). Тогда если |х|*/Г;и хД), то (^ (х) - 1| <£ , т.е. для всех х^ 1^(0) выполняется условие i (x) e il^(I). В этом случае €crnf(x) = I. Заметим, что в задаче I* функция не определена в точке х=1, а во второй задаче функция определена в точке х=0, но j (0)=0 не совпадает с ее пределом в точке х=0. 2. Два определения предела функции. Определение предела по Коши. Число А называется а)| пределом фунщщ,, f ,(х) в_ точке а, если эта функция определена в некоторой окрестности точки а, за исключением, быть может, самой точки а, и для каждого <£> О шйдется число £>0 такое, что для [всех х, удовлетворяющих условию |х-а| <<Г, x^af I выполняется неравенство |f(x) -k\*i > В этом случае пишут ^lfnj(x)^k или j (х)—*> А при х-* а. Таким образом, число А - предел функции i (x) в точке а, если для любой £ - окрестности числа А можно найти#такую проколотую *Г-окрестность точки а, что для всех х е ti$(a) выполняется условие j (x) в И&ш. 6)i Определение предела по Гейне. Число А называется P^?^25LfJ^_S^25S2-^S»^если эта Функция определена в некоторой проколотой окрестности 'Uy(a) точки а и для любой последовательности Ып$ , сходящейся к а и такой, что х е Й^Са) для всех П в: /V^ соответствующая последовательность значений функции И(х л.) J сходится к числу А. Можно доказать, что определения предела по Ксши и по Гейне эквивалентны. Это означает, что если А - предел функ-
/32, ции /(х) в точке а в смысле определения Коши, то это чис-. лс также является пределом фушщии ^f(x) в точке а в смысле определения Гейне и наоборот. Целесосбразнссть введения двух определений предела фушщии обусловлена тем, что при изучении свойств пределов в одних случаях более удобным сказывается определение предела функции по Коши, а в других - определение"предела по Гейне. ^Задача_3. Пользуясь определением предела по Гейне, доказать, что функция Z не имеет<предела в течке х=0. А Достаточно показать, что существуют последовательности Г х I и (хЛ такие t что *it t °. V ° ( леВГ V &«, ^ = U \ = °' Н'° &<*> <fu„ ) 1 am /(х„ ). Пусть х тогда х пГ{$ + 2шГ х = (гтоУ _^ Ла 0 и '£-* О при п■*<*> , /(хл) = -I, У(х^)=0 и поэтому <&nf(xn )=£, ^т, Дх„ )=0 Л-*со' П+г-с' Таким образом, функция <5с/г ~ не имеет предела в точке х=0.А 3. Различные типы пределов. а) Односторонние конечные ni_ "^Pt, если х<0, х, если х^ 0. Ее график изображен на рис. 4 Рассмотрим функцию У = {" Г*-£ -*- а*/ -i РйсА
4П Заметим, что эта функция не.имеет предела в точке х=0. Если х^О и х стремится к нулю, то у стремится к нулю. Поэтому говорят, что данная функция имеет предел справа в точке х=0, равный нулю. Так как. у=-4 при х<0, то естественно считать, что предел данной функции слева в точке х=0 равен -4. Дадим теперь определение предела справа и предела слева. Число Aj называется цределом слева функции £ вмгочг- g§ а, если для любого £т0 существует число £>0 такое, (а- V , а что для всех х 6 € l^(Aj), т.е 1-е. а), выполняется условие В этом случае" пишут &tfb (x)=Af * Иногда предел слева в точке а функции /•(а-0). -t Аналогично, число А2 j&SSSl . У (х) вточке а, найдется число. $>0 такое, что для всех выполняется неравенство! * /< х) обозначают называется пределом^сп^^а если для любого £>0 х € (а, а+^ )
В этом случае пишут йт /(х) = А9 Предел функции /(х) справа в точке а обозначают /(а+0) Заметим, что числа Aj и А2 характеризуют поведение функции / (х) соответственно в левой и правой полуокрестности точки а. Поэтому пределы слева и справа называют одно- ст^рснними пределами. , 4 Очевидно, фунвдия ^(х) имеет предел в1 точке а тогда и только тогда, когда в этой точке она имеет односторонние пределы и эти пределы совпадают. б) Бесконечные пределы в конечной течке Рассмотрим функцию на рис. 5 У = график которой изображен л Рис>5 Эта функция определена при х^О . Если х стремится к нулю, то у неограниченно возрастает, причем знак у. совпадает со знаком х. В этом случае говорят, что функция у= | имеет в течке х=0- бесконечный предел (является бесконечно большой), а прямую х=0 (ось Оу) называют вертикальной асимптотой графика функции у= ^ (график f "приближается" к оси Оу при х-**0). Дадим теперь определение бесконечного предела функции fix) в течке а. Говорят, что функция /(х), определенная в некоторой проколотой окрестности течки а, имеет в этой точке бесконечный пре-
дел, если для любого £>0 существует число 0>О для всех х б 1|(а) выполняется неравенство (35' такое, что Г(х)|>с В этом случае пишут й*п /(х) = оо .-, а функцию /(х) X~*CL ' ' называют бесконечно^больщой^ при х-*-а. Согласно определению, график функции у= ^(x),J которая является бесконечно большой при х-*-а, для всех х е. TJK(a) лежит вне горизонтальной полосы j у | *?£, Например, для функции /(х) =■$ при любом 6>0 С- 1 < * \ г можно найти 0= ■£" - такое, что для всех xe(-4,i ), х>4) выполняется неравенство I / (х) |> 6. Введем понятие бесконечного предела, равного + <*> или . - оо. - с*. Если для любого 6>0 существует число., о>0 такое, что для всех xel^Ca) выполняется неравенство ^(х)>£ то говорят, что функция уЧх) ;™еет_в^точкев а предел, равный +. ос» , и пишут (ать j£(x) = + oq (х) = |- '»(рис. 6), то urn /(x)=+w>. Рис.6 Аналогично, если для любогош£?0 существует число, Ь > 0 такое, что для всех х е Ufr (а) выполняется неравенство ./(х) < - С $ *
1ЪЬ то говорят, что функция fix) имеет^в^точке^ а предел, равный - оо t и пишут titn /(х) = -со, Например, если /(х) = щ х2 (рис. 7), то &rrilbi)=-oo И х*о1 Тис У Можно ввести понятия односторонних бесконечных пределов, равных °о t + oq и - со \ Например, запись fyrtl /(х) = + ot? означает, что для любого &>0 найдется число о>0 такое, что для всех х е (а, а+ о ) выполняется неравенство ^(х)><5. Так, функция /(х) = - имеет в точке 0 предел справа, равный + ос? (рис. 5) и предел слева, равный - оо.В этом случае йт, - = J+ оо , &т - = -«? Х-+0 х 03—С? х (вместо 0+0 и 0-0 пишут соответственно +0 и -0). в) Предел^бе^онечности^ Рассмотрим функцию у = -—■£ = 1 - * , X л график которой изображен на рис. 8.
1Ъ7 0 '¥ l/^^ Тис 8 При больших положительных значениях х значение этой функции близки к 1. Поэтому говорят, что функция у = ^£ имеет при х-* + со предел, равный'!, а прямую у=1 называют горизонтальной асимптотой графика функции у = ^^± . В общем случае число А называют пределом функции _/(х) при х-> + со и пишут (im /(х) = А, если для любого ' — % + о° Г € > 0 найдется число $>0 такое, что для всех х>£ выполняется неравенство 1/(х) - а|<6. Аналогично, запись йгП /(х) = А означает, что для любого £?0 найдется число Ь > о такое, что если х < - £ , то |/(х) - а|*6. Например,. fc,m 2z« - %9 £ 1 ,0, %+-*> х6 ■■ пь J-xf 1+х2 = - I. Для графика функции у = —^ прямая у=1 является горизонтальной асимптотой при х-*- - «>.
438 . Аналогично вводятся понятия бесконечны:: пределов при х-*. +оо и х—* - со* Например, запись urn ^(х) = + ее означает, что для любого S>0 найдется число о>0 такое, что для всех х < -о выполняется неравенство f(x)>£. В частности, если /(х) = jx| , то &Ж /(х) = +°е« 4. Свойства jipej^eлов _функций. Ограничимся наиболее важными свойствами пределов, которые часто используются при вычислении пределов. Теорема 1. Если существует число о > 0 такое, что для всех х С (/g (а) выполняются неравенства у(х)* /(х).« Ых) (I) и если .,. ^m, 0(х) = &n, 4(х) = А, (2) то существует ит, /(х) = А. О Воспользуемся определением предела функции по Гейне. Пусть |х ( — произвольная последовательность такая, что*' хм € I/(i (а) .при пе. N и iim х = а . £ силу условий (2) п-*со &т, й (х ) = Um 1ь(х„ ) = а. л1т, й П %-*<х> П' Кроме того, из Й) следует, что для всех il e In. Отсюда в силу свойств пределов последовательностей заключаем, что ит </(х ) = А. и,-*--*"00 '** Согласно определению предела фушсции это означает, что суще- зтвует Uffl /(х) =А. Ф Теорема 2. Если функции ^Чх) и 0 (х) имеют конечные пределы в точке а, причем йт, £ (х) = A, fa% n (х)=В, то iim (/&) + £Ь>) =а + в , (з)
439 Am, (/(x) в(х))= ABf (4) &n,ikL = к (5) X^fc fix) В при условии, что В Ф 0. О Для доказательства равенств (3)-(5) можно воспользоваться определением предела функции по Гейне и свойствами пределов последовательностей. # Теорему 2 можно доказать также с помощью определения предела'функции по Коши. В этом случае удобно использовать понятие бесконечно малой функции, которое вводится по аналогии с соответствующим понятием для последовательности. Функцию Л(х) называют бесконечно малой при х-*-а, если Ы оС(х) = о. ~ Бесконечно малые функции обладают следующими легко проверяемыми свойствами: 1) сумма (разность) двух бесконечно малых при х—*а функций есть бесконечно малая при х-*а функция; 2) произведение бесконечно малой при х-^а функции на ограниченную в некоторой проколотой окрестности точки а функцию есть бесконечно малая при х-*а функция. Замечание i» Из определения предела функции по Коши и определения бесконечно малой функции следует, что число А является пределом функции f (x) в точке а тогда и только тогда, когда эта функция представляется в виде /(х) = А + оС(х), где cL (x) - бесконечно малая при х-*-а функция. Испсдсьзуя замечание 4 и свойства бесконечно малых функций, легко доказать теорему 2. ; Задача 4.йайти fa^ Зх2'- 4х+5 *~* (х + *)2 А Разделив числитель и знаменатель дроби на*х , получим о 4^5 ЗуГ - 4Х+5 3- х + "2 (2х+1)2 4 + 4+12 % X X*
№ Так как О и -^ О при х—+ <*> , то в силу теоремы 2 получаем, что искомый предел равен «. А. Упражнения 1. Показать, что функция /(х) является бесконечно большой при х-*-а, если: / х-1 • 3) Дх) = 2±2 , № _i ' ■ х+1 2. Пусть /(х)' = —| ' х-1 Я~4-0Т . к 3. Пусть fix) ~ , а = -2. (х+1)2 х-1 4. Пусть /(х) 5. Пусть /(х) = gg- 6. Найти -ufflAx), если: 1). /(х)-аы-. 2), /(х) = 4) /(х) = Показать,'что -^'/Л /(х) = Показать, что llin /ix)-^0 *—ir Показать, что йпь /ix)-l Показать, что йпь /(х)=-1 (х+2)' 2х-3 ' а " 3 ' + QO. СС-^ОС? 4) fa)' Х+1 1-2х 4+х 2)/(x)-Ja4. 3)/(х)=Д=^ / 2х+1 / 1+х 5) /ftf)= х2-1 х+1 6) Дж)= 1-х" 1+Зх2 7. Показать, что функция /(х) является бесконечноБйпыиой при х -*■ а, если: » х2 I)./(x)= -j 2) ^(х) х2+4 -г а=о? а = <* . *2) ^(х) = /*,й«* 4) /(х) = ^ .,, ^ х+2 a = + а?. 8. Пусть существует число о > 0 *, такое, что для всех хе, У#(а) справедливо неравенство /(х) ^ ;#(х) и пусть л -»/г #-*а
m Доказать, что А ^ В 9, Пусть существует число о>0 такое, что для всех х€ ЩЛа) выполняется неравенство 1{х) < ^(х). Следует ли стсща, что - fa, Лх) < && у(х)? & + Q, Л-^Л 4 § 2. Непрешвность функции I. Понятие непрерывности Функции Слово "непрерывность" выражает тот факт, что график функции есть плавная, непрерыващаяся кривая. Рассмотрим определение непрерывности функции.. Определение. Функция /(х) называется не^^е^ывной^^в^очке^ а, если fa, J(x) = /(a)T^ Таким образом, функция /(х) непрерывна в точке а, если выполняются следующие условия: а) функция £ (х) определена в некоторой окрестности точки а; б) существует fan, fix) = А ; в) А = /(а). Подчеркнем, что в определении непрерывности, в отличие от определения предела, рассмотривая полная, а не проколотая окрестность точки а, и предел функции совпадает со значением функции в точке а. Понятие непрерывности тесно связано с понятием приращения функции у = ^(х). Назовем разность х-а пмадени^^а^^- мента и обозначим Ах, а разность fix) - yf(a) назовем п^^адекгаем^цпода у и обозначим Л у. Таким образом, А х = х - а; А у= / (х) - /(а) = /(а+Ах)-^(а) При этих обозначениях равенстве (1) примет вид fun, лу = о Непрерывность функции в точке означает, что бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции. Задача I. Показать, что функция /(х) непрерывна в течке а, "если":"
i) fix) = x2, a = 1 , 2) yf(x),= £3 , a > o". г О Л* 3) /(x)-|/jc"f a = 0 , 4) /(x) = x ^'l x , x^O, a=0 lO, x = О Д 1) Если х—1, то х^ +-1 в СИЛу свойств пределов* Таким образом, существует font /(х) = /(1), т.е. функция х2 непрерывна при х- I. 2) Если х-* а, где аД), тс в силу свойств пределов — —*- — 1_ —^i_ f T.e. функция х а х° а° i 3) Так как /х* - /а '3 непрерывна в точке а (а Ф 0). Ь - а1 то Ух +Уа^ 0*1у£„- ^aU='s^=-a'. Если x-*af to-'2-=-SI-*« о I ' j/sT Уа и поэтому /х - /аГ—*■ О, т.е. /х -*- [/а при х-*-а. Это означает, чтс функция ^6Г непрерывна в точке а. 4) Так как, \titi jj^l при х 4 О, то j/(x) - /(0)|* \*\р при любом х£^?( Если х-* О , то ^(x)f- ^(0)-*- 0, т.е. функция, /(х) непрерывна в точке х = 0. А По аналогии с понятием предела слева (справа) вводится понятие непрерывности слева (справа). Если функция /(х) определена на полуинтервале (а-$, al и если &/Пф(х)= /(а), т.е. /(а-О) = /(а), то эту функцию называют непрерывной сле- Bgjojro4Ke а'. Аналогично, если функция f (x) определена на полуинтервале ["а, а+^3 и /(а+0) =у(а), то эту функцию называют непрерывной справа в точке а. Например, функщш^ОО = [х] непрерывна справа в точке X = I (рис. 9), '
но не является непрерывней слева в этой точке. Очевидно, функция непрерывна 'в 'точке а в том и только в том случае, когдаша не- - прерывна как слева, так и справа в этой точке. Если функция /(х) либо не определена в точке а, либо определена, но не является непрерывной в этой точке, то течку .§ называют точкой раз- рыва функции f (x),., 11Ъ' ■Ч -3 -Z -1 -К -3 Тис. 9 Г1Щ в точке а, ри условии Так, точка х = 0 является точкой разрыва функций шх, [х] . 2. Свойства функций, непрерывных в точке. Теорема 1. Если функции ^(х) и р(х) непрерывны то функции fix) +^(x), у(х)^(х), * W (при Q (а) Ф 0) Непрерывны в точке a. <j ^ Теорема 2. Если функция Z = / (у) непрерывна в точке у0, а функция у = lf>(x) непрерывна вточке х0, причем у0= (f(xQ)9 то в некоторой окрестности точки х определена сложная функция ^( (р(х)) и эта функция непрерывна в точке xQ. О Доказательстве теорем I и 2 можно дать, используя определение предела по Ксши или по Гейне.# Упражнения. "!• Показать, что функция у?(х) непрерывна.в точке а, а = 2 2) /(х) = £2, а = * I) ^(х),= 2х\ 3) f{x\ = )/5F, а=3 если: 4) /<х> = 4^ г х*-1 а = 0 2. Выяснить, является ли фушеция j (x) непрерывной слева или непрерывной справа в точке а, если;
ikk i) fix) -i x2' X^ • ^ 2)/(x)s(w, :<1, a=l 11+x, х>1, г I 2, X>1, 3) ^(x) i-x^ x^ -1, (x+I)2, x*-!.8^1 4) /(X)= Jx| -I, xWi. (x-T)3, x>1 a=2 3. Найти числе в таксе, чтебы функция р (х) была непрерывна в течке а, если: -I) /(х) = J 2х« если х< 0, ^о |х+в, если х > 0. 2) /(х) = ] |х|, если х^ i, 2 ' , a=i- вхй,если х> I. 3) 4) /(х) = (х2+4' еслИ Х<2' а=2 х + в, если хЬ 2. /(X) -d^x, если х<7С в+ lx-^если х^7Г. ' а*%. 4. Пусть функция ^(х) непрерывна в течке 'а и пусть а течка разрыва функции й(х). Показать, чте для функции /(х) + fl-(x) течка а - является тсчксй разрыва. 5. Доказать, что если функция /(х) непрерывна в течке а, тс функция |/(x)j таюке непрерывна в течке а. § 3. Непрешвнссть элементарных функций I Многочлены и рациональные функции Многочлен степени П , т.е. функция вида
№ Jb-1 +...+ a^x+ag, где а 4 0, ?/t(x) = V1* +Vlx Непрерывна на /?. О Действительно, функция у = С, где С - постоянная, непрерывна на Ш 9 так как А у = 0 при любом х. Функция у = х также непрерывна на ffi , так как Д у = Л х -*■ 0 при Дх -^ 0. Отсвда следует, что функция у = а хк, где ке Л/" , непрерывна на Ш как произведение непрерывных функций, а многочлен ^а^ непрерывен на Шь так как он является суммой непрерывных функций. • Рациональная функция, т.е. функция вида /(х) где РЛ (х) и G«w многочлены степени та П, и т> соответственно, непрерывна во всех точках, которые не являются корнями многочлена Qm(x). •т то из непрерывности х0 следует не- ОБ самом деле, если &m(xg) ^ О» многочленов P^U) и 0.щ^ в точке прерывность функции ^(х) в точке xQ (§ 2, п.2, свойство-2).# 2. Тригонометрические функции а) Неравенства для тригонометрических функций. Утверждение 1. Если х<^(~т?^). их/0, то •..выполняется неравенство 6ltl <С № х < —-^г- < 4 О Рассмотрим в .координатной плоскости круг радиуса I. с центром в точке 0 (рис.. 10) (1) А X
"146 Пусть ZAOB = x, причем 0^х<^> Если С - проекция точки В на ось ОХ, а Д - точка пересечения луча ОВ и- • прямой, проведенной через точку А перпендикулярно оси ОХ, то ВС = Ш XJ АД) = кй х. Пусть & , S t $$ - площади треугольника АОВ , сектора АОВ и треугольника АОЛЭ соответственно. Тогда ^=\ (0А)2; Цц х = | *>1П х, Ъ = \ (ОА)2- x=f х, $3= j ОА-АЭ) - $ ^ х. Так как 5^.^<& t ТО , \Ы1%<\ х ^ \t(j х. (2) 7Г Пусть О < х< у , тогда , iitlx > 0. Разделив все члены неравенства на •—-—>0, получим равносильное неравенство -К * х ^ Неравенство (3) при х е (0, ~ ) равносильно следую- Щему ' ' ^ж «Их< ^5- < 1, (4) Пусть х <=: ( - ? , 0 ), тогда -х «г (0,? ). Так как CVI (-х) «МЛ . ***№= i^L t то неравен- стш (4) справедливы и при хе(-т , 0), Утверждение (I) доказано. # Утверждение 2. Для всех хей справедливо неравенство |4tt x|^|xl. (5) v О При х = 0 неравенство (5) выполняется. Пусть х Ф 0. Если х G. ( °» ? )»'то из (I) следует, что Ма&< х, где х > 0, ji/г х >- 0- Поэтому при XG (0, -^ ) справедливо неравенство (5). - ' Неравенство (4) выполняется и при хе (- j ,.0), так как |«д *J= |^<г >х)| ^ )х| = Y-x|-.
Ill' Таким образом, неравенство (5) верно, если |х|<?-' Пусть UJ^ f- , тогда неравенство (5) является верным, так как \iinx\^I9 а ^> -I. О б) Непрерывность тригонометрических функций Утверждение 3. Функции у = tin х и у = to* <Ь ;- непрерывны на Щ , а функции у = ify x и у = cb x непрерывны при х ^ X +7га и х ^ ^^ ("1€ ^ ) соответственно. О Пусть хп - произвольная точка множества Ш., Тогда "о х-хЛ я х+х, ми х - Л/г х0 = 2 ^/г ±Zs юб о 2 . "J ПГ". Отсвда следует, что \ilfl х - Sin xQ Так как | д^ %>'хо L '£^£* в силу неравенства (5), Если х—*-х0, то из (6) получаем <£/г х - лиг-- х_ —*- /0. Следовательно, функция у = &/t# непрерывна в точке, xQ. Аналогично, из равенства COi Х- £03 СС0 = -X Sltl —jr— • Atil —J следует, что | «?6 х - to6 х01 ^ J х - x0J , Поэтому, функция у = 004 X непрерывна в точке xQ Если М х' Ф 0 (х 4 j+Trn+ , /1^2 ), то функция у =\qx непрерывна как частное непрерывных функций. Аналогично, функций у я cig & непрерывна, если х 4кп (teZ ), ф в) ^^^^^e4^^bmVr^e^Ji Утверждение 4. U ~ -* (?) О Если 0<|х|<1г , то выполняется неравенство (I). Так как функция ЭД х непрерывна при х = 0, то йт сХ>$ х = С06 0 = 3. В^ силу свойств пределов (§ 1,Х1ь4, свойство 4) функция ^ul °° имеет при "х-*-0 X
L4& предел, равный 1, т.е. справедливо утверждение 4. Затчате_ I. Соотношение Й) часто используется при вычислении пределов функций. Оно необходимо для доказательства формулы для производной синуса. 3. Обратные тригонометрические функции Понятие обратной функции было введено в курсе алгебры 9 класса. Приведем формулировку теоремы об обратной функции. Теорема. Если функция у= ^ (х) непрерывна и возрастает на отрезке • Г&»$] в » т-е« Для любых точек ^ и х2 этого отрезка таких, что х,- < Xg, выполняется неравенство / (xj) < ^(х2), то на отрезке [/(a), f (bj определена функция у = ^ (х), обратна •. к функции у ■■= /(х), причем функция '0 (x) является непрерывной и строго возрастающей... Аналогичное утверждение справедливо, и для убывающей функции. а) Арксинус Рассмотрим функция у = МХ7 X € Г ZT '!£] (8) Эта функция, график которой изображен на рис. II, непрерывна на отрезке 1- j-, % 1 и строго возрастает. Множество значений функции - отрезок £-1, TJ. По теореме об обратной функции на отрезке L-I, ^] определена функция у = ate 5in X.j обратная к функции (8), непрерывная и строго возрастающая. График функции у = изображенный на рис. 12, Тис, Н t
-£ i 1 1 i/ .i 7Г •К j 0 * <7Г X £49' 'Рис. /А симметричен графику функции (8) относительно прямой у- = х.. Отметим равенства 41И ( №С4№ #>)=х, Х€ [-1,.. l]. , которые выполняются в силу свойств взаимно обратных функций. Заметим, что функция всей прямей. Однако, равенство (9) справедливо только при Г 1Г 7Г1 х G. (г j~.> ~£ J г Отметим также, что поскольку Цп оо - нечетная функция, то и'функция &tc4ui ж также является нечетной/ т.е. ,}\йЛС31/г (-х) = - aitiin x \ Х£ [ - J, <[] . ', (Ю) * Задача^. Построить график функции у = (KftcSUl (б1п ос). Д Так как функция является периодической с периодом 27Г , то достаточно построить ее график на отрезке dtcilit (-51/1 ж) определена на Пусть Г-IE 7П \-\щ ства (9). Если хе[|*,|Г] , то -f^x-TT^T- . По , тогда у = х в силу равен- ж % ^"Л " " I [f-Й формуле (9) находим ail на, \Щ (х - 7Г )) = х -7Г , х е С другой стороны, ■ 4иЪ{х-7Г) = - 4Z/2 # и поэтому Л'гс^/г (^ <х -^)) = ^WiiVt (- tin #)9 где atettn, (-№#)= - awtb/i (<5Ш я). Отсюда следует, что
150 Итак, х- 7Г = - are Sift (-tin x) и поэтому W6itb(*llb х)= 7Г - X при X ^ \ J 9 |-7Г| , у =агсяп(*1лф х, если \К~х ,,если Зтг График функции у =' die Mil (б1п х) б) Арккосинус/ Рассмотрим функцию у = COS х , О ^ х ^тг, (И) Эта функция непрерывна и строго, убывает. По теореме об обратной функции на отрезке [- I, ll определена функция у = CL'itcod X '; обратная к функции (И), непрерывная и строго убывающая. График функции у = (X1CWS Х0 симметричный графику функции (II), изображен на рис. 14. в) Арктангенс и арккотангенс . Рассмотрим функцию У = Ц *> -1 <х.|, (14) Эта функция непрерывна и строго возрастает, множество ее значений - R, По теореме об обратной функции на (И определена функция у= dicta я9 Тис. 1*1
m Z 1* 0 -Ж % ^U^dUtQx я^» непрерывная и строго возрастающая, график которой симметричен графику (14) относительно прямой у=х (рис. 15). В силу свойств взаимно обратных функций справедливы равенства Ц{ a>*cty х) = х, xe(-f.}.); axda (-x) = = - aitffo л? • xefi, Аналогично определяется функция у = aiccia со ная к функции у= О < : X < 7Г, на рис. 16. 4. Степенная функция с рациональным показателем Функция , у s х , х ^ .0, fie N непрерывна и строго возрастает. Обратная к ней функция обозначается у = у л . По теореме об обратной функции эта функция непрерывна и строго возрастает Если 1= —■ , где tie N , те TL 9 нальным показателем X Тис. 1$ обратец %, Ц График функции у = (X'tcia x изображен % х = ( х Тис J 6 то степенная функция : определяется формулой * иг с рацио- ± п У X >
i5Z Если %>Ъ ( il€.ffl, те.Ikr ) , то функция х непрерывна и строго возрастает, так как функция „/£ , где х > 0, непрерывна и строго возрастает и функция ±fti t , где го возрастает. t > о те еК Если Ъ<0 ( не IN , пге.% непрерывна и строям О ), то где функция х вает. На рис. 17 изображены графики функций х > 0, непрерывна и строго убы- У = х где х > 0, при 1 = ~ и 5. Показательная функция. а) Определение показательной Функции. Пусть а > 0 - заданное число и пусть х - произвольная точка числовой прямой. Дадим Vhc. If определение показательной функции с основанием «а. Пусть , {^/tj ■>; - последовательность рациональных чисел, сходящаяся к х, т.е. йлъ «о- Ц.^СО П = X Положим по определению ' -••■ , у ' ах=/ст,а'6 . (I) Можно показать,,что предел (I) существует и не зависит от выбора последовательности \^ц\ * сходящейся к х. Формулой (I) определяется на множестве Въ 'показательная функция с основанием а, где - а > О, Л а 4 I б) Свойства показательной функции. Перечислим без доказательства свойства показательной функции у = а , где а > О, I.
i53' I) Для любых вещественных .чисел х* и х^ выполняется равенство х1 а . а ■ = а ~х 2 х1 + *2 2) Функция у = а строго возрастает на К при а > 1 и строго убывает на R при 0 < а. <: -I. 3) Функция ах непрерывна на их. 4) Для любых Xj с ^ .. ■, Хо ^ 22 (а*1) *2 = Х1Х2 Xg ^ ^- справедливо равенство + оо 5) Если а > 1, то &пь ах а если 0 < а < -I, то -£/71 ах = О, х * Графики функций у = а , - а > 'I и О <; а < 'I изображены на рис. 18.и 19. .У/ шп ах = + оо ф х , йпъ ах = 0f о;-*-00 У = ах, Л ?ис U Тис. 49 Задача 2. Построить график функции у = в Д~функция е~* ■ определена при х Ф 0 и принимает положительные значения. Если - оо < х < 0, то функция у - х ция £~Z возрастает от 1 до + оо (1^е"А><+ оо при ^ возрастает от 0 до + оо ^ и поэтому функ-
15k х в (- оо Если - ОО , 0)) 0 < +■ оо 1 е * ет от - оо до / 0 от 0 дс I (0 <е"х> -^ График функции у = 6. Логарифмическая Функция По теореме об обратной функции на промежутке (О, + оо ) определена функция,обратная к функции у = ах, где а> 0 , а 4 1. Эта функция обоз начается Если , то функция^ - ~ и поэтому функция е~^ возраста- при х е изображен на рис. возрастает (О, +07 )) 20. А а >1, то функция у = ШаХ является строго возрастающей, а если 0 < а < "Т, то функция у = wq^X является строго убывающей. Графики функций у = О < а < 1 Z Цах изображены на рис. 21 и 22 Тис, Ж а ><[ и у =^%г'£» Puc.Zi х0 0<а<Н Тис. 21
JLSS Упражнения £.' Доказать, что функции у = . / (х) непрерывны на TJL , если: • 1) /(х) = х4 , 2) /(х) = | х|, 3) /(х) = М 9.Х 4) ' /(х) = еоз (х+1), 5) /(х) = ete, 6) /(х) - fyL (х2>1). 2. Построить график функции у= /(х), если: 1) • /(X) = Л'Г^и А* ; 2) /(X) = Л-ГвйЛГ |- > 3) /(х) = и>3 (аъс'ин х), 4) /(х) = 4iii(a*cca4$, хИ j-x_ 5) /(х) = ew ? 6) /Ы = е" § 4. Вычисление пределов функций. I. Раскрытие неопределенностей. Вычисление предела функции часто сводится к нахождению предела частного ■ /^х' ^^ /(х) и ^(х) - бесконечно малые функции при х—а, т.е. &nt'f(x) = 0, йгП д(х) = О .В этом случае вычисление предела, как иногда говорят, сводится к раскрытию неопределенности вида jj- Нащимер, если ^(х) = (х - а)к - ^у(х), д(х) = (х - а)к •" #/*)> где к е М , ^(х) и tf/ (x) - непрерывные в,точке а функции, то , /6») А ■//*> #Ъ) условии, что .$№ ^®' В случае,когда /(х) и О(х) - бесконечно большие при х —«7 а функции, т.е. йпг /(х) = о», шп 0(х) = оо , говорят, что Х-+0. #->Л<7
156 ■ - . • ' ■ * ' ' fa) '" ■ частное n/rp^ представляет из себя при х -*- а неопреде- со ленность вида ~■ Например, если /(х) и Q (х) - многочлены второй степени, т.е. /(х) = ах + вх + с, 'tf(x) = а^х + в^х + с^, где а ^ 0, а^ 0, то a Задача!. Найти util Д(х), если: *> J (Х) = 2х2-х-4 ; ' а = 1 ' х2 - Зх + 2 х3 _ 8 3)/(х)=—* -nf , а = 0 ,, xJ 4) Т (х) = ' /х2 + 2х + 3 •., - /х2 - х +.,! ' " Л !) Разложив числитель и знаменатель на множители, получим V (х) = (2х + I) (х - I) _ . 2х + 1 при х ^ 1. (х - I ) (х - 2) * ,х- 2 ' Так как функция 2х + \ непрерывна при х = 1, * х ^ то £м кл! =. &±х£ = -з .• . i+4 'х-2 1-2 Следовательно, 2) Умножим числитель.и знаменатель
на * /x + 7 + j 3'/x - 1 , Так как ' ( /x +*7 -." 3 /x - 1 ) ( /x + 7 + 3 /x - 1 ) =л' = ( /x + 7, )2 - (3 /x - 1 )2 = x + 7■ - 9 (x-I) = 16 - 8x = ' = -£(x-2), a x3 - 8 = (x - 2) (x2 + 2x + 4), то F(x) = =l£Jx-2} : ; = (x - 2)(x2+2x+4)( /x + 7 + 3/x^T) 8 ' при Xj/2. ' (x2+2x+4)( /x + 7 + 3/x-l) Знаменатель полученной дроби - непрерывная функция, в точке х = 2 ,. предел которой при х -*- 2 равен (22+2*2+4)( 2+7 + 3 /iwf ) = 12'(3+3)=72. По свойствам пределов (§ 1, п.1, свойство 5) ^/й. -F(x) = -8 72 9': %Т I ШК SUifctoix) 3) Так как ЩХ- ^1ПХ = ~-~Г^ -МХ^ ^— = ■sin л T(XY: » • di 61П • to 5 X: - a X X 6ltl X , TO Пользуясь тем, что" ii/n l „ =1 (§ 3, п.2), X +0 x учитывая, что функция tOb X ' непрерывна при х = 0, и применяя свойство пределов, получаем г~>о • #-т0..:'Л J х^о > j- /■■ х-гО .-Леях •
158 4) Умножив и разделив Т(х) на у х +2х+3 + |/х -х+1 , получим р (х) j- (х^х+ЗМ^-х+Я = - Зх+2 = . /х2+2х+3 + |&2-х+1 /х2+2х+3 + /х2-х+1 2 3 + х Так как предел числителя при х'—»•*> равен 3, а "предел знаменателя равен 2, то 2. Замена переменного при вычислении предела Если &К (р(х) = в, $# Ау) = А, то **А* pi T fob /(if(x)) = А* /(в). Это утверждение можно доказать, например, с помощью определения предела функции по Гейне. Задача 2. Доказать ,что: л atctfox л) № z— »1, I) Пусть у = a*USva х » тогда х =■ №4 и ачшп,» у г Птчт, amniuI поэтому : = -пг— "" • ЯР0 этом * х itfcjl если х-* 0 , то у —+ О, Следовательно, / •
i59 p osumx У йт x— e &* '—= * C§ 3, n.2). ot-^o v^o Slay 2) Пусть у = ig <c , тогда х = to и f причем если x->0, то y~*0. Так как Л^Ж • If о у ■ -• u/# y е#/*/ = Я, то ^ £ = %ф& у^р Паи 4 х^о х 3. Второй замечательный предел. Известно, что й,п U + if-e. Справедливо и более общее утверждение Urn (I + | ) х =е (1) Полагая у = j , из Ш получаем йчь И + у) 7 =е. (2) у-* Равенство (2) называют вторым замечательным пределом. Оно используется при выводе формулы для производной функциив*; Задача 3. Найти &т (I + d x)^** ж^<7 где о<^0, £?*0 у Д Так как (1 + dx)? = а 4/П. (I +о(х) о1х = &П (1 +{{ Х-*0 ± t*0 £ l,n (i +<ы** = ер А х-~о "■■■'■ ' 7^ (1 +сЫ = е , то Г
160 Замечание. Отсвда следует, что если А Ф О то &п, И + f )' = Д Задача 4. Найти /Ьл ("Цг/ Г"+4)\ x-rco iru Д Так как ( *V*f =1 —f- I .то x _/r ^ 4?Tr : ' i e' " " Задача 5. Доказать, чтоЛ /;; N Cirri ~l 1 x^° ' f, ч " J(*+x)x , x Ф 0, Д Рассмотрим функцию Х(х) = Л 1 ^-.. x = 0. Эта функция непрерывна в точке • х = 0, так как существует 1 йт. (1 + х) - е ■ = /(0) в силу равенства (2). Отсвда следует, что функция ш f(x) непрерывна при х = 0. (как суперпозиция непрерывных функций). Следовательно, lm^ L l(x) « fc\ £а, (и£)Х - 1ь е = / . # ><? r L х-* с? J Так как при х Ф 0 , то искомый предел равен 1. ▲
i6i Упражнения. Вычислить пределы (1-24) I. U -&L- 2. Jim, 4S-1 . з. и &&&. 4; ^ ф| X-rZ x^8x+I2 " x^'f x4-l ^ х3-Зх2+Зх--1 /^ /х - 1 -3 .W х2-1 6- ^ х- 2 7.^л *i3 8. Jim, Зф4-. Х-—3 /х + 4 -1 **» х +I 9. Jim xifip+l - х) 10. Jim, (J^— - A ■ X~co %.~ ■ v> \ x +1 J 11. U *-/*i. 12. JU ^й-2 /х=7~ 3^0 * -yi+x я-^ х -25 /> x4-x3+x2-3x+2 / Л -3-— + -2- x^t х-х-х+1 ^^ \^<lx / Них / /-'Си/л: 15. й/П г--'16* "^ 71 ж»0 б1п,6х- Илчх х-*о 1п*х f 1 a i fir \ t <3c%fx~<VlX 17. um Ug*£-ctglr-x); 18. Unt ■ *-* в ♦ an, (xi-f) an, (S.x *f)-i 19. *~° Sin x
l6Z i- lxl 20. <U (*&)* и. йт (■&£] i t 23. 22. U (**f 23. йпь (%Ы\Х 24. Доказать, что С/я, = i.
№ Глава S Производная и интеграл. При изучении iqrpca "Алгебра и начала анализа" вы познакомились с понятиями производной функции, первообразной, интеграла и научились находить'их дая некоторых функций. Эти понятия возникают и используются при решении многих црактических задач: нахождения скорости движения, исследовании свойств функции, нахождении площади и объема и др. Однако в школьном курсе математики рассматривается только небольшой класс функций, для которых решаются такие задачи, причем некоторые формулы и правила производятся без доказательства. В этой главе будут доказаны известные вам и новые правила и формулы, что позволит существенно расширить класс функций, для которых можно находить производные и.интегралы. § I. Производная произведения и частного Напомним определение производной функции. Пусть функция f (x) определена на некотором интервале. Рассмотрим разностное отношение f (х + к ) - f (x) т в которых х - фиксированная точка данного интервала,, а К меняется так, что k/о и точки х + hs также принадлежат данному интервалу. Тотаа это разностное отношение является функцией, аргумента W . Если существует предел Um f(* + b)-f(»?,t . . то этот предел называют производной функции $ (х) в точке а обозначают $ (х), т.е. ?U) =Ь* JL£+ *>-*« h^o tL Функцию f (х), имеющую производную в точке х, называют да@§Её^ЕЕХЭ?^в этой *23КЬ ^^ Функция £ (х) имеет производную в каждой точке интервала, то ее называют да@еревдируе- м^ на этом интервале. С помощью определения производной вы умеете доказывать формулы (х)'=1, (х2)' = 2х, (х3)' =3xf ( JCx + в)' = к , (С)1 = О,
16* где вместо букв к, в, С можно подставить любые, но фиксированные (не зависящие от х) числа. Например, (2х + 4)' = 2, (I - 5х)' = -5, (3)* = 0. В этом.случае говорят, что к, в, С - постоянные, а для того, чтобы подчеркнуть, что это любые числа, иногда их называют производными постоянными. Вы знаете, что , (л^г х)1 = С04-Х, (2х) = 6 х, но эти формулы не были доказаны. Докажем их. О D По определению производной , . ( *1п х)' = цт ^п(* + )г ) - ^х^1ы2}Мг^ "* U + 2} zztUn k+o k-»-0 IT Так как k И.-+-0 соб (х + h- ) и Ewt ел* (х + h) = toh x , то по свойству предела произ- к—о ведения двух функций получаем = lim. а-»-о = I • соб х = собх, т.е. ( л1п х)' = 2) По определению производной л*мг А. "2: СО$Х, fe^M СОЬ(Ъ+тг)- (ех)' = ^т = е' ^ =? е 1лАП к —О I = e С^о к Напомним два правила дифференцирования: ( f (x) + Q(x)V = j'(x) + g'(x), (С *i (x))' =C Г(х), где С - постоянная. Например, (5 мп' х - 3 е х/ = (5 лиг х)' + (-3 б Х)' = = 5 (лглх)1 + (-3) (е*)1* 5собх-Зех. Выведем правила дифференцирования произведения и частного двух функций.
/65 Теорема I. Если функции f (x) и (j (х) дифференцируемы', то функция f(x) . 9(х) также дифференцируема и справедливы формулы (I) ( £ (х) . 9(х))' = f'(x) . q(x) + Их) . 9'(х). О Обозначим i (x) q (х) = 3?(х) и разность £ (х+ h. ) - Р (х) преобразуем так: ¥ (х + h.) - Р (х) = f(x + M'9(x + h.)- f (х) ♦ 9 (х) = = * U + h.-) g (х + h. ) - £ (х) §(x+tt ) +f(x) g (x+(t ) - - i(x) }<x) = 9(x+k) [i(x+h> - f(x)] + J(x)>. л [ g (x +h) - 9 (x) ] . Тогда g (x + k }h- p (x) = 9 (x + h >. - J (x + К) -.Ш. + .j(x) . . 9(x + lQ -fljx),. (2) В этом равенстве перейдем к пределу при к-»-о. Вы знаете, что если функция дифференцируема, то она непрерывна, поэтому lirn q (x + h ) = Q (х). По условию теоремы К -*-о flrn ' f (X + Ы - f (X) = f', ч к-*о X J w' 6с*п д ^х + г " °' - Q (х). Следовательно, из равенства к — о и- t (2) при к->-о получаем Р (х) = S (x) g (x) +f(x) g'(x).# -' Например, по формуле (I) находим: (х ех)'=Ы' ех + х( ех)'= ех + хех = (I + х) ех ; ( х2 Амгх) = (х2)1 лт х +Х2 (ш1х)' = 2х л(/>г х + х2 со4 х; ( ехш1Х)' = (ех )' Лх + ех (W х)' = вхл^пх + t fex со$ xj= ( mx + <u>& x ) ех. С помощью формулы ( I) можно находить производную произведения трех функций, четырех функций и т.д. Задача I, Найти производную функции х ех. *i*ix. Л (хех лкх)1 = (х ех)!л^г х + х <гх ( ылг х)1 =
466 = [(x)1 ex + x ( ex)' ] *i*i x + хех a* x = = (ex + x ex) Aitt x + хехбмх. А Задача 2. Доказать, что при всех X справедлива формула (3) ,*Л1 = - - П~ I (x^)J= rux где tt,- натуральное число, IV > 2. Д. Доказательство проведем методом математической индук- При * К, = 2 формула (3) верна: (х2) = 2х* = 2.x2"1. Докажем, что если формула (3) верна для натурального числа ft, то она-верна и для rw+ I, т.е. верна формула Применяя формулы (I) и (3), получаем (х Л+ V = (хЛ. х)' = (х*)1. х + х*. (х)' = = fix*1" T . i + x*. I = ( М,+ 1) х^ Итак, формула (3) верна для п,= 2 ж доказано, что если формула (3) верна для натурального числа ft, , то она верна и для следующего за ним числа и,+ I. Следовательно, формула (3) верна для к= 3, К= 4 и вообще для любого натурального ft/. д Например, по формуле (3) получаем (х5)1 = 5х4 t (х12)1^^11. Задача 3. Байти наибольшее и наименьшее значение функции f (х) = х ех на отрезке [-2; ij . А Вовпользуемся знакомым вам алгоритмом. 1) Находим значения функции на концах данного отрезка: $<-2) = - 2 с~2 , id) '= е. # 2) Найдем.стационарные точки функции $ (х). Так как (х ех) = (I + х) ех, то $\х) = 0 только при х = - I. Точка х = ■- I принадлежит интервалу (-2:1) и *(-1) =- е" 1. 3) Сравним числа f (- 2), i(-I) и £(1), т.е. числа
{61 -2-1 -2.6 , - е и & • Наибольшее из них число е , наимень- —т шее - £ х/ Ответ. Наибольшее значение функции хе* на отрезке L--2; i] равно е , наименьшее равно -е . ^ Теорема 2. Если функции f (х) и ^ (х) дифференцируемы и ^(х) /ь 0, то функция j (х) Также дифференцируема и справед- J(x) лива формула (4) О Сначала докажем, что функция Р(х) = т^-т дифференцируема я найдем ее производную. Преобразуем разность Г (х + h ) - Р (х) - -^--^ - ^-у - _!_-*__. . Тогда ?(х+ (г ) - Р(х) = 9 (х) - 9 (x+jQ _ _ х Ь- hj(x) (x+k) ~"~9(x) fr(x+h)' . Q (x+ h.) - q (x) h Перехода к пределу в этом равенстве при h.—>-0, получаем 92 (х) /_I_Y= _ 9'(х) (5) Итак, функция _1 дифференцируема, а функция £ (х) 9(х) дифференцируема по условию Теоремы 2. Следовательно, по Теореме I функция _£ixl = j (х) . _J_ та1{ке да^ренци- 9 (х) g (х) руема и по формулам (I), (5), находим, используя формулы (I) и (5) получаем
468 №f\ - f'(x) ■ f(x) . I W ~ (xL f (x) . iM = f'(x) fl(x) -f(x) (J1 .r^ 92(x) Отметшл, что формулу (5) момшо получить из формулы (4) при f(х) = I, однако при решении многих задач для сокращения вычислений полезно помнить и формулу (5), Например» по формуле (5) -находим • (х* + I)' (х* + I)2 2эс по форлуле (4) находим: е^' (ех)'-х- ех ы' £> 9 Х~ (х2 + I)2 ' Х л Т = (x-i) e МП X ( О Л4/И.Х - е ( ЛУП X) ЛЯ/Ki Х л х . е сод х = . ( л^н х - сг>4 х) е: Ы'П *Х Задача 4. Доказать, что при х ^ о справедаива формула (*-)' тг- - It (6) где а - натуральное число. Л По формулам (5) и (3) получаем (хп )* п- I К1Х Например, по формуле (6) получаем К+ I
"И ■ 469 Задача 5. Найти точки экстремума функции f(x) =-, ^ + I Д Найдем производную: i (х) = ixA №/$■)—,/(л , + 1?— = = 1. (^ + 1) -х -2х =у = (1-х) (1+х) ' (x4l)2 (*+1> , . (** + 1)* ' ' Приравнивав производаую к нулю, находим две стационарные точки Xj =-I и х2 = I. При переходе через точку хт = - I производная меняет знак с "-" на "+". Поэтому Хт = -'I - точка минимума. При переходе через точку хо = I производная меняет знак с "+" на " -и, поэтому Х2 = I - точка максимума. А Упражнения 1. Найти производаую функции: v I) х Atn x; 2) х3 ех ; 3) X2 Схм.п,х; 4) I . ■ 1F~T \ 5) -JSL- ; 6) ^х ; х3+1 х * 7) мх\ ; 8) ф^Ч 2. Доказать формулы (i2(x))*=2f(x) f£(x). (/8(х))Г-3#?(х)^(х) и найти производаую функции: I) (х л1пх)2; 2) ( *Utx)3 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции $(х) = ex*atx на отрезке £-23Г; 2Х ] , 4. Найти точки, экстремума функции: I) f (х) = х2 ех.; 2) .£(х) =(3х~2х2) fcX;
i70 3) £(x) = x- J ; 4) £ (x) = 2 fel- ., x2 + 8 3x - 2 § 2. Сложная функция й* встречались с функциями вида £(кх+ в), где £(х) - заданная функция. Например, со& (Зх + I), G .- Такие функции часто встречаются при решении многих практических задач. Например,. физические процессы, связанные с гармоническими колебаниями (колебания маятника, струны, электромагнитные колебания и др.), описываются функциями вида у = А мп (кх + в). В* знакомы с формулой [ 5 (кх + в) ] = к • £'.(кх +в), но она не была доказана. Функция £ (кх + в) является частным случаем общего понятия сложной функции. Это понятие можно ввести следующим образом. Пусть задана функция £ (у), 1де у в свою очередь является заданной функцией у = g (х). Тогда функцию Р(х) = = £ ( fl (x)) называют сложной функцией. Примеры: D £ (у) = еу, д(х) = х2, £(д (х) ) = е- ; 2) $ (у) = Йгу, £ (х) = CD4 х, £ ( 9 (х) ) = Ы (504 х; 3) £(у) = *1и,у, ^(x) =1+ ех, f(g (х))=л1»г(1+еС); 4) £(у) =у3, J(x) = tg х, £(ф(х)) =tg3x. Вообще, если функции i (у) и J(x) заданы формулами, то для отыскания £ ( J (х)) нужно в формулу для £ (у) вместо у подставить Q (х). Задача I. Цусть £ (у) ='-Л_ , а(х) = 1 У + I * х - I функцию ?(х) = £ ( J (х)) • Д Подставляя в формулу £ (у) = —2Ц=. шесто у функцию £(х), находим Найти
lli P(x) = f(Q(x) = J-^L= JLzJ = JL . A X - I Напомним, что если функция задана формулой, то ее областью определения считается то множество значений арэтумента, при которых выполнимы все действия, указанные в формуле. Например, областью определения функглп У(х) из задачи I, задаваемой формулой —==- , TVrt- Х"1—*. являются все значения х, х-1 кроме х = 1 их = о. После упрощения этой формулы получилось р(х) = L. , но область определения осталась преяшяя: х ^ I, х х ^ о. В общем случае задача отыскания области определения сложной функции часто оказывается трудной и в дальнейшем такие задачи не рассматриваются. Обычно аргумент функции обозначают буквой х, поэтому вместо i(у) пишут f (х). Например, если J(x) = сод х,о(х) = х+1, то Hg(x)) = соад(х) = сод (х2 + I). Задача 2. Пусть $ (х) = -2 1- , 0 (х) = V л. 9 « х + 2 * . х + I найти функцию Р(х) = $ ( g (х)). А Р(х) = J ( Q (х) = 1) W-I = V1 " J -I А 3 9(х)+2 5ПРГ + 2 Зх + 2 Иногда в практике встречается задача об отыскании функции. $ (х), если заданы g (х) и S ($(х) ). Эта задача разрешима, если g (x) - обратимая функция. Задача 3. Найти функцию S (х), если J\2x -3/ х + I. А Обозначим х + J = У- Тогда х + I = 2ху .-Зу, 2х - 3 ' 2ху-х =1 +3у, х = .Ц^гГ ; j(у) = .3У + + I = ——- , отсюда, заменяя у на х, получаем 2у - I ЗУ- I /
az 5x l(x) = - _ 2x - I Задача 4. Найти функции $ (x) и £(x), удовлетворяюще системе уравнений С Их - D + g(2x+i) = 2х +i, \2*(x-I).- j(2x+I) = х + 2 Ш Д Складывая уравнения системы (I), находим 3*(х- I)- =3х + 3, #(х-I) = х + I. Обозначим х - 1= у. Тогда х = у + I и £ (у) = (у + I) + I = у + 2, т.е. f(x) = х +2, Вычитая из первого уравнения системы (I), умноженного на 2, второе уравнение, находим 39 (2х + I) = Зх, 9 (2х + I) = х. Обозначим 2х +.1 = у. Тогда х = У ~ и 9(У)=2^Л т.е. j(x) =Лу1 . Ответ, £ (x)"'= х + 2, ^.(х) = х 7, 1 • А ' Задача 5. Найти функцию /(х), удовлетворяющую уравнению f(x) - 2j> (L.) =х+1 (2) А Обозначим JL = у. Тогда х = -J- и уравнение (2J можно записать в виде л $(—) ~ 2* (у) =-L.+ I. У У Загленяя в этом равенстве у на х, получаем $(£-) - 2f (x) =-£-+ I. (3) Из уравнений (2) и (3) найдем f(x). Для этого к уравнению (2). прибавим уравнение (3), умноженное на 2. Получаем - 3 f (х) = х + 3 + -— , от1ода Конечно, уравнение (2) относится к "изысканным", однако такие уравнения иногда встречаются в практике. Таким способом, как решение задачи 5, мохшо найти функцию £ (х) из уравнения $(х) + А(х) J(g(x)) = В(х)\
-1дэ A(x), B(x), q(x) - заданные функции такие, что А(х) ^ I, а а(х) - обратимая функция, совпадащая с обратной к ней функцией. Упражнения 5. Найти функцию £ ( ^(х) ), если: ■ 1) | (Х) = JL±1 , а (Х) = х_ . х - 2 « х - I 2) S (х) = ^2-J^2 л (х) = _х_^2 х - I т х - 3 3) $(х) Wx2 - I , £(х) = Vx2 + I; 4) £(х) =Vl - х2', ft(x) = C04 x. 6. Цусть .f(x) = ax2 +вх + с. Доказать товдество - *(x) - 3f (x+I) + 3 * (x + 2) - i (x + 3) = o. 7. Найти функцию £ (х), если: I) ± (JL=_I ) =X; 2) f f2x + 1^ 2x- I. x+2 Tx+2 2-Х' 3) f ( eX) = —I—T ; $tx+ V x2- I ) = x. 8. Найти функции j(x) и Q(x), удовлетворяющие системе уравнений: j H(x + 2)+ ^(3x-I)=4x+3, I i (x + 2) - 2 <J (3x - I) = 9 - 5x; 2) { I (2x + I) + 3 3 (2x + I) = I4x + 5, £(x - I) + g (x - I) = 3x - 3; • f f (2x + 2) + 2 C| (4x+7) = 4x + 10, ?} { *(x- I) + < 4) { и g (2x +1) = 3; f (2x - I) + J (I - x) = x + I, £—-)+2Q(_i__) =3. +1 ■ ' 2x+2
11 ^1 9. Доказать, что функция Их) = ах + * , оде с £ Q, сх + d совпадает с обратной к ней функцией тогда и только тоэда, когда а + d = о. 10. Найти функцию / (х), удовлетворяющую уравнению: 1) (х - I) I (х) + f Ц-> = yi-1 ' 2) JW+xi ( х т ) = 2; 2х - I § 3. Производная сложной функции ■% Покажем, что производная сложной функции находится до формуле f(gCx) >' =J'(g(x)). g'(x) (i) Теорема» Пусть функция о (х) имеет производную в точке х и функция^ (у) имеет производную в точке у = $ (х).. Тогда функция F (х) = $ (9 (х) ) имеет производную в точке х и F(x) = J1 (у) . g'(x). (2) О Рассмотрим разностное отношение k k Обозначим tj (x+ k) - Q (x) = I . Тоща g (x+ k ) = = 2 (x)+ l и так как g (x) = у, то g (x+ k ) =y +t . Если I £ о, это разностное отношение можно записать так: ¥U+h\-¥U) = Sb+j) -Ну) = Пу +Е) -Ну) fc ' k Залетим, что I = Cj(x + k) - § (x) -*-o при k-*-o в силу
i15' непрерывности функции g (x), Следовательно, до свойствам предела функции получаем s. (х) = Ьлп ? (x+fy? -Р(х? = р^ Иу+fc ) -Пу) . . bntQ 9 (x+k^) - {? (x)= j'(y) # 9'(x)# Если при к-»-о оказывается, что t = q(x+h) - <j(x) = о при некоторых значениях к , то для этих значений к и 9(x+k) -Qfe) ,од Pfafk) -?(х) i(y+g) -Пу) к к к ?W ^*ч)- 0f поэтому gf(x) = о и Р*(х) = о, т.е. и в этом случае верна формула (2). # Напомним, что в формуле (2) у = j'W, поэтому ее можно записать в виде (I). Задача I» Найти цроизводнуго функции: у2 .5 1) г^ ; л*пх . у2 : Д I) Функция еА является сложной функцией f ( g (x))f эде f(y) = еу, 9(х) =х2. Так как f'(y) = бу, g'(x) = 2х, то. 5 (х2) = 6^ и по формуле (I) получаем (6 х; =е • 2х. 2) Обозначая J (у) = у5, у = g (х) = *Ьг х, получаем 4 л1, f (g (х)) = шг °х. Так как J (у) = Еу*§ g,(x)= to* х, то f'f^vnx) = Ьшъ х и по формуле (I) получаем {шгх)1 _ =5мъ тс <w> x. A После решения нескольких упражнений на наховдение цроиз- - ..- водной сложной функции по образцу решения задачи -I вы увидите , что промежуточные обозначения можно выполнять в уме, тогда запись получится короткой. Например, ( а1п (в - 2Х3))1 = ео4(з - 2х3) . (3-2Х3)1- * со& (3 - 2Х3) , (-бх2) = -бх2 со* (3 - 2х3). Отметим, что если g (х) = кх + в, то по формуле (I) имеем
A16 & .(f (кх + в))' = f'(Kx + ъ) (юс + в)'= к £'(кх+в), т.е. получается знакомая вам фохщула ( 3 (кх + в) )' = к J"(kx + в) 1 (3) Задача 2. Доказать формулы ( а>& хУ = - лиг х, ( tg x)1 1. . — I СОА^ X , ( с*д х)' ___ 1 1 (4) А I) Так как соа х = лт( -Ж— х), то по формуле (3) получаем ( t<>6 х)' = ( л^г ( 5Г • - х) )' = - <м(Ж. - х) = ->iinx. 2) По формуле производной частного, получаем (tax)1 -( ы*1 х )' = ( >^иг хУ ео-& х - /Лпх(а>ъ х)'_ чэ to& х toi> cod 2x + л^2х _ I T~^ 2— co& x co6 x eo& x 3) ( oto x)' = (^x)= ( tob хУ лялг x - coA x ( ш x)'_ л^п x Л1П 2X - COi>2X _ I ^ д- *m~x м*г2х Задача 3. Найти производную функции а , где а >о, а ^ I. Д функция ах определена при х е R йах = 9Л^а, По формуле (I) находим д . , (аХ).= ( ехепау= е*^<*(х &t« )'=ах>а.А Итак. (аА/ = аЛ ?па. (4) Например, (2х)1 = 2х Eft 2. х , х , ( ( 0,3)х) -. (О^Чпб.З, (*х) = ЗГх£п5Г, Задача 4, Найти наименьшее значение функции „ # ч х2 - 2х Их) = е . А Найдем производную $'(х) = ^е J- ех2-2х _ (х2 . гх)1 = 2(х - I) е^ " 2Х. /-
in На промежутке х < I функция убывает, так как на этом промежутке ;ff(x) «<о. На промежутке х >■ I функция возрастает, так как на этом промежутке Sr (х) > 0 . Следовательно, х = I - точка минимума и в ней Функция $ (х) принимает наименьшее значение равное f (I) = б -1. А Упражнения Найти производную функщщ (II - 12). II. I) *i* (2х2 - 3 х); 2) со* (х +■ 2х3); 12. 13. 3) в4Л*х 5) ССь/х 7) 3^ I) х3 0х2 з) ех Цхг 5) Ьиьх2 х2* I Найти точки 5 X2- Зх I) хе з) еС04х ;4)tgeX; ; 6) ctq (x2 + 4); ; 8) 2 Ю4х ; 2) x2ft*x3; ; 4) 2х dq х3 ; Зх - I ; 6) е ф X + I экстремума функции: х4- 4х3 + 4Х2 J 2) в • /П 4/1 (">»-3 _ 4v^ . 14. Написать уравнение касательной к графику функции у = #(х) в точке с абсциссой xQ: I) fix) = в^ " Z9 xn=I : 2) f (x) =^«Tx2),x0= I; , Xq=^ f 3) iU) =г*"2* +*<лх 4) f (x) = I ^ srx2 • § 4. Производная обратной функции Напомним понятия обратимой функции и обратной функции. Функцию у = i (x) называют о&^тшюй^ если кажцое свое значение у она принимает только при одном значении х.
178 Это определение можно пояснить следующим образом. Рассмотрим равенство i(х) = у как уравнение с неизвестным х при заданном у. Если для каждого у из множества значений функции i (х) уравнение $ (х) = у имеет только один корень, то функция у = 5 (х) является обратимой. Этот корень х- зависит, от у , т.е. является функцией от у. Обозначим эту функцию х = 9 (у) • В последней записи поменяем местами х и у, получим У = J(x). Функцию у = f (x) называют, обратной к функции у = f (х). Итак,если у = t (х), то х = g (у). Подставляя в равенство у = f (х) значение X = 0(у), получаем у =$(%(?)), откуда заменяя у на х получается равенство. |l(fr(x)) =*Т Ш справедливое для любого х из области определения.функции $ (х)- Покажем, что производная обратной функции находится по формуле Чх) Г(ДЫ) (2) О Возьмем производную от обеих частей равенства (I). Так как (х) = I, то по формуле производной сложной функции, получаем $ (9 (х)) - ^(х) = I, откуда следует формула (2). • Для того, чтобы этот вывод формулы (2) был обоснован,необходимо знать, что существуют цроизводные £(£(х)), ^'(x) и *'(9(х)) ^0. Из формулы (2) следует, что необходимо потребовать чтобы условие f' ( 9 (х)) ^ 0 выполнялось, иначе ' эта формула неверна. Существование производной ^'(х) можно доказать, если потребовать существование производной /'(0 (х)) и выполнение условия f'CjCx)) £ о. Покажем это, опираясь на геометрический смысл производной.
П9 О Рассмотрим рисунок I. Ш знаете, что графами-функции у = S (х) и обратной к ней функции у = q (x)_ симметричны относительно прямой у = х. Существование производной .^Чуо) означает, что в точке (у0; xQ) существует касательная к графику функции у = $ (х) и если i (y0) £ 0, то эта касательная не параллельна оси Ох. Из симметрии относительно прямой у = х следует, что существует касательная к графику функции у = 2 W в точке (xQ; у0).и эта касательная не параллельна оси Оу, а это означает, что существует производная д'(х )."1ак как у0 = д (xQ), то получилось, что из существования производной V (g (х^) и условия il( % (x0)J £ 0 следует существование цроизводной 9' ^хо^ Задача I» Найти производную функции: I) Ы х; 2) wic&bnx; 3) плесы х; 4) сигсЦ х. А I) функция q (x) = In х является обратной к функции f (х) = 9(х) = в = е Так как tn: S\x) = ( ех)' е > то f'(g(x)) = = х и по формуле (2) получаем ( tn x)1 = -Х- х > О, (3) 2) Функция дЧх) = ешьшь х, хе(-1; I), является обратной, к функции £ (х) = ашх, х G (- 2L-; Ж1 ). Так как f4x> = t ^(ij^x^co^, то 5Чдс^))^со^9С^) = соз (яге *и^^/ь^(окига> -^i~x2 . Здесь перед корнем выбран
.'480 * * знак V, так как - зг <аЛАЖипх<-2- » а косинус в первой и чет- вертой четвертях положителен. По формуле (2) получаем ( соьсылг х)1 = Vl.x^ , -I ■< х < I (4)- 3) Функция д(х) = ая/ссоах, хе (-1; I), является обратной к функции J4x) = coax, хе (0;9Г). Так как j'(x) = = ( coax)' = - лкх, то ^'ЧдСх)) = - Щ1 cj (х) =>-лч/п( <ал>Шйх) = -/77 С04 ( otrtocoi хГ = -Vl-2 Здесь леред корнем /ytn ( апссо&х) - у 1-х выбран знак "+", так как о<ол£собя< or, а синус в первой и второй четвертях положителен. По формуле (2) получаем ( сиъособ хУ = - Л^ - , - I < X < I . (5) 4) Функция ^(х) = anctyx, xeR , является обратной к функции $ (х) = to х, х в ( - -2L- ; Ж.). так " 2 2 f'(x) = ( Ц X)1 = £ , TpfiQix)) = * как с^^( anc&j x) муле (2) получаем соб^х в coi^gXx) = I + Ц2( cuvotq x) = I + X2 и по фор- ( OUtX^ X)^—^—, Х€ R. (6) Задача 2. Доказать, что ситлымх + аяссоъ х = -^ 2 при - I ^ х ^ I Д Функция f (х) = ыьсым х +' алссод х имеет производную на интервале -1<х < I и по формулам (4), (5) получаем S (х) = 0 на этом интервале. Ш знаете, что тогда $ (х) = С, где С - некоторая постоянная. Найдем С. Например,
№ ■" при х = о получаем С = оиьслЬп 0 + шьссоь О = 0 + JL = 3L • й/так, f (х) = Щ- при - I < х < I, а так как функция 5 (х) непрерывна на отрезке - I < х ^ I, то на всем этом отрезке f(x) = j£». ,A ; Задача 3. Найти производную функции: I) Kogaxf где а >.о, а ^ I; 2) х^, где р - заданное дей- -ствителъное число, х > о. А I) Так как &>^ах = р х , то, используя формулу (3), получаем e*t a pfcn ac 2) Так как хр = е р Епэс то (ХР)'=( е p&nac ) = ( р^х)'=хР. Р_=рХР-1. А х Таким образом, в задаче 3."доказаны формулы ( &к}ах)' = "&ГТ ' X > О (ХР)'=рх^, X > О (7) (8) Например, ( Eoq,x)'=-—J^- , Cta х)' = I зх х.е«г2 т. v Ь,.тп' (х?) = = х х €«. ю" = §х'« , (х*)' =*х '"^ Приведем таблицу формул, которые были получены: Таблица производных 1 (хР)' =Рх^ ■ "" " | W = ex (£пх)' = -Х. X ( лоп х)' = tob х (tax)1 - I— 1 eoi^ x iaxf=ax In a 1 ( Ron л)1 -■ J Ct0^x} x.bta 1 ( co4 x) = - /5U/ti x ( Г+Л Y^' ^ { ctq x) - - .. .-■ 1 d -Ш1^Х 1^
182 ( аплщх)' = , i^, . ( аплЦ х)' = - ( сиьосоь х) = Г : + «? I . • В эту таблицу включены форлулы, которые рекомендуется запомнить, так как их часто приходится применять при решении разнообразных задач. Каадая из формул таблицы верна дая тех значений аргумента х и букв р и а, для которых определена функция, стоящая под знаком производной, и правая часть формулы. Задача 4. Найти производную функции: " • ...I) ооьшм Зх -к- опхЦ 2х; 2) Ысоь х + е*"1* Д I) ( алсшгЗх + a^otg 2х); = ( отллт, Зх)1 + (Wtg 2x) = Vl- Ox)2' (Зх)ч- (2х)' = •I +' (2х)< {Г- 9х* I + 4х" 2) ( fcucod х +с ) = —±— ( соб х)' + е ( ^ма х)= СО£ X -Mil X £66 X >***X MX , Итак, вы знаете формулы для производных следующих функций: постоянной Лх) = С, степенной хр, показательной ах, логарифмической- fog a x, тригонометрических /Лпх9 со&х, tflx, eig х и обратных тригонометрических сиьсъЬп х, амххоь х, akscty х. Эти функции, а также получаемые из них функции с помощью арифметических операций (сложение, вычитание, умножение, деление) и составления сложных функций обычно называют элемен- та^щйли^^нвдшга^ Из таблицы произз одных и правил нахождения - производных следует, что производаая элементарной функции также является элементарной функцией.
Упражнения Найти производную функции (15 - 16). X + J- Х^ - I ' 3) tntgx; 4) ln(x + Vx2 - I); 5) ОЛСШ1 \fx ; 6)а/юа>б Gx ; V) artctg —; 8) соб ( алхл*м x). 16. I) x2 (2fox - I) ; 2) wbcbvn Зх + ЪгиЛмх ; о . - т 3) to x + 2 En собх ; 4) a/tc£<j x2 + a/vctq —2 * 5) (2 - 2- + I ) g i 6) (&ln x - со* x) e ; x 2 7) a*>cco& Yl-x'; Э) алсЫ Yx2 - I. 17. Доказать формулы: /- I) ая^ x + ctftctg I J T ■ е(Ш1 x > °> Lr i , если x ^c о ; 2) 2x (cotxtqx + оос^-—-) = w 'x' npE x ^ °* 18. Написать уравнение касательной к графику функции у = J (х) в точке с абсциссой xQ: 1) $ (x) = cwcwn х, xQ= -1 ; 2) f (x) = агьсЦ х, xQ = I; 3) i(x) = ^ГГ1Г - хо =°. 4) 5- (х) =апсым^ 2х м , х = о . I + х^ о § 5. Производная корня. Правая и левая производные. Задача I. Доказать, что при х £ о справедлива формула Л Напомним, что функция уЗ? определена при. всех действи- тельных х. При х 5* о верно равенство ух = х5 , из
№ из которого при х > о получаем 3 s^R Б1сли х <.о, то I */Т = - ^-=Г = - (-х) з f откуда (У"!)' = (- (-х) *>' = - Г (-х) 3 - (-*)' = 3S/C-*)*- ^Т Аналогично как и в задаче I можно доказать формулу ( fry/, -g- у^д?.. 1 w ще rt - натуральное число, ц ^.2, nt - целое число, причем эта формула справедлива при тех значениях х, при которых определена функция У хт"л", т.е. правая часть формулы (I) Например, формула 5^ X верна при х Hi формула верна при всех действительных х. Рассмотрим функцию i (x) = . Эта функция определена при х^о..При х>>о существует производная i h з ~1 f (x) = (х ) = -^- х2 # в точке х = о производная не существует, так как разностное отношение ПЮ-Ло) = ^ -0 _ Л
i85* не тлеет смысла щш it < о . Однако, если к>о и к ->о, то существует предел. 1ш ilkbi±°i = 0 . к-*-0 к В этом случае говорят, что функция $ (х) = х ^ имеет в точке х = о правую производную, этот предел называют ^щавой^ производной^^^К^в точке х = ° и обозначают так: J^(o) = о. Аналогично до1сазывается, что функция Six) = х Р, где р > I, имеет правую производную в точке х = о и ■ $\ (о) = о. Функцию f (х) = хр, р > I, называют отффере^- руемо^на^дрокшжутке х ^ о и считают, что формула f (х) = (x^V = рх ^~ верна при х > о, подразумевая что Г(о) = slio). В общем случае правая производная функции 5 (x) в фиксированной точке х определяется формулой От Их¥к>Г 'f(x) =f'(x) k-*-0 k + Аналогично левая гфоизводная обозначается £_(х) и определяется " формулой Ьт * fek) -Hx)= f.(x). k<0 Из этих определений следует, что если функция S (х) . шлеет обычную производную 5 (х) в точке х, то'в этой точке функция S (х) имеет правую и левую производные, причем f'Cx) = Л(х) = .Л(х). Верно также следующее утверждение: если в' точке х существует правая и левая производные функции S (х) и il (x) = = £-(х), то существует и обычная производная ;?'(х), причем J'Cx) =^(х) = $[{х) Если же правая и левая проивводше функции f (x) в- точке х -существуют, но не равны: $1 (х) / f 1 (х), то функция £ (х) непрерывна в точке х, но не шлеет производной в этой точке. Например, функция £ (х) = |xj имеет правую и левую производные в точке х = о и Slio) = I, fl(0) = - I, д обычная произ-
186 водная в этой точке не существует. Точку х = о называют угловой точкой функции $ (х) = 1x1 (рис.2). Рис. 2. Правую и левую производные называют также одаосто^отш^ производными. '■~~~~~ ■ * J jp Примеры. I) функция f(х) = "V (2-х) имеет обычную производи^ при—х < 2 и левую производную в точке х = 2, т.е. дифференцируема на промежутке х ^ 2 и i'(x) = ( >/(2-х) )= = - Jy^oT при х ^ 2 (рис.3) 2 у РлсЗ.
■187 I V I 3 2) Функция $ (x) = i x ^ + - (4 - x) Z определена и непрерывна на отрезке о"^ эс ^4, имеет производную в каждой точке интервала о < х < 4, правую производную в точке х= о и левую производную в точке х. =? 4, прячем f'(x) = -5-х* I j ■ .16 - — (4 - х) при о ^ х ^ 4 (рис.4). Эту функцию называют i • г ъ а Рис. 4. Если функция £ (х) имеет производную в каждой точке интервала (а; в), правую производную в точке х = а и левую производную в точке х =^в, то говорят, что эта ^Higg^JijegT^goag-- воцнхккна^ощезке^ [а ; в] и обозначают f'(x), считая, что f (a) = f+(a), ^'(в) = * £[ (в); при этом функцию S (х) называют ^^ферещ^руемой^на .отрезке, [а; в]. Задача 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции i (х) = V (4 + х) 3' + 2 V(I. - х )3'. Л Областью определения данной функции является отрезок - 4'^ х ^ I. Находим ее производную; f'(x) = JL (л/4 + х- - 2 VI-- х), -4^х^1. Решая уравнение V4 + х - 2 Л/1- х" = о, находим его корень х = о I Следовательно, функция $ (х) имеет ,
ДО одну стационарную точку х = о. Сравнивая' значения 5-(-4) = "=I0V?, $(о) = Ю, *Ц) = б-/?, получаем: наибольшее значение данной функции равно IOVIT. наименьшее значение равно. 10. ▲ ' Упражнения Выяснить, на каком промежутке дифференцируема стункщш i(x) и найти Лх) (19-20). 19. I) 2) 3) 4) .5) 6) 7) 8) 20.. I) 2) 3) 4) 5) 6) 7) (х) =х1,4- + 2.(х-1) 2 ; (X) = (I - X) - ^ (2 - X) ; I \ 5 (х) .= 3 (2х+4)3.+ 4 (3-х) * ; 13 4 • (х) = СЗх - 9 ) ' - 3 (4 - х) .3 ; (х) •= 3-^7 + 4тЛГ ; (х) = 5-\Г~?- 6Л^"~?; (х) =Л/Зх - 9'-V4x - 8 ; 4 V (3-х) 3'. = ■6^ (х- 1)4' + = -х2'3 - VT^c; (х) (х) (х) = 5 (х-1) ? - 6V (2-х?2; • (х) = 8V (3+х)5 + 3 (4 - 2х) I ; 00 = VTTT +^fx - I + Vx6', ■ (х) = ^х2- l'; (х) = ^fx2 + l'; ix) = 3^(х4-1)4; вМФ^СхЧ)3' \
21. Написать уравнение касательной к графику функции у = £ (х) в точке с абсциссой х : I) f (х) =^Т , хо = -8; 2) f (х) = V?, х0 = -I ; 3) *(х) = 5Vx - i'- 3 "^х- I', XQ = о; 4) *(х) =6 Ц (х-1)4'-'4"^(х-1)2', х0 = о. 22. Построить график функции:: 1) у = V(4 + х)3' + 2 V(I-x)3 ; 2 " 2 ■ ■ , . 2) У = (I + х)3 .+ (I - X) 3 ; 3) у =Vl -У ;4)у = Vx2 - i". § 6. Производные высших порядков, выпуклость и точки перегиба. I, Производные высших порядков Задача I. Найти производную от цроизводной функции: I) $ (х) = х4 - Зх ; 2) i (х) = х ех. A I) i\x) = 4х3 - 3 , ($' (х).)1 = 12х 2. 2) Лх) = (хУсх + х (ех)' = (х + i>ex, Gf'(x))1 = (х+1)1 ех + (х+1) (ех)' = (х+2) ех. А Производную от производной функции f (x) называют второй производной этой функции или ngpjgBogio^3S$£0J!0.Jl9£®£^H обозначают £м(х), т.е. $\хГ^ТТЧх5оХ Например, (х4 - Зх)" = I2X2 , (х ех)Н = (х+2) е\ Производную f Чх) называют также первой производной или njD0ii3B0jgK^^ .■ Производную от второй произво.дной называют тветьей произ- |рдао^или ^о^звд^о^т^етьето^ю^^^тл обозначают 5 (х), т.е. f (x) =(f (x)). Аналогично вводятся производные четвер—
19Q того порядка: Лх> = (Л*»'. iSJ2£2^£5£Si чают £У(х) = ( f М) и т.д. Производную и-ого порддка обозна- от также i (х) и определяют формулой £ (х) - = ( fU 1}(х) )' , где„ ii=2,3f ..'. Задача 2. Найти третью и четвертую производную функции: I) i(x) =■. со* х; 2) Их) A I) f'(x) = - Wi x, i"(x) = - сод х, f,H(x) =л^п x, i (x) = се* х. 2) f'(x) = f (х) = «g. I ? f'Cx) x3 iJM(x) Вы знаете, что с помощью первой производной (точнее ее знака) можно находить промежутки монотонности функции и'точки экстремума. Рассмотрим свойства функции", которые можцо изучать с помощью второй производной. 2. Выпуклость и точки перегиба. Рассмотрим фушсции, графики "которых изображены на рисунках 5 - 10. Рчс.в
19i 0 к Vw _u a i i 1 1 I *o 1 J . ft x Рис. 7. Рис.8. Рис.9. Рис.10. Проследим, какие свойства у этих функций одинаковые и какие различные. Сначала заметим, что все эти функции непрерывны на интервале (а; в) и имеют производную, так как эти кривые гладкие и поэтому в каящой точке имеют касательную. На рис.5 и 6 изображены графики возрастающих функций, но эти кривые отличаются тем, что кривая на рис.5 вшукла^ вверх, а кривая на рис.6 выпукла вниз. Поэтому функцию, график кото-
"AW .рой изображен на рис.5, называют выпуклойjBepx на.интервале_. '(а ; в), а на рис.б - выпуклой _вниз. Функции рис.7 и 8 убывающие,, но функция рис.7 выпукла вверх, а функция рис.8 выпукла вниз. На рис.9 и 10 функции не монотонны, но первая из них выпукла вверх, а вторая выпукла вниз. Таким образом, у рис.5,7,9 общим является то, что эти кривые выпуклы вверх, а кривые на рис. 6,8, 10 выпуклы вниз. : Эти наглядные представления о понятии выпуклости функции можно сформулировать с помощью следующего строгого определения. Пусть функция у = £(x) непрерывна и имеет производную на некотором интервале. Если дая[шобой точки xQ данного интервала график функции у =f(x) .для всех х £&о лежит ниже касательной к графику в точке (х0, $ (х)), то функция '£ (х) называется ш- пуклой^з^^ (рис.5,7.9). Если же .для любой точки х0 данного интервала график функции у =^(х) для всех х /&о лежит выше касательной к графику в точке (xq, S (xq), то функция i (x) называется вш^^слЫмвни^^ 6,8,10). С помощью этого определения можно находить интервалы выпуклости вверх или вниз заданной функции. Однако часто такой способ оказывается очень громоздким. Рассмотрим более эффективный способ с помощью второй производной. : Пусть.функция S (х) имеет вторую производную и является выпуклой вверх на некотором интервале (рис. II). У| 0 /f i 1 i i i 1 xi V i i i i i i ха rn_ 1 1 1 ^ X Рис. М-
133' Проведем к графику функции у = J*(x) касательную I в-точке (xj ; J (xj))h касательную tn в точке (х^ ; j (x2)), где х1 <■ х-;> (рис.II). Из рисунка видно, что угловой коэффициент прямой I больше углового коэффициента S1 (^ прямой т, т.е. ^'(xj ) > $ (Х2). Следовательно, функция f'(x) является убивающей и поэтому ее производная (J"(x) )■ = fH(x) < 0. * Аналогично, для функции i (x) выпуклой вниз получается f(x) > 0. Для-практики ваяно, что можно доказать следующее.обратное утверждение. Теорема I. Цусть функция $ (х) имеет непрерывную вторую производнуюi (х) на некотором интервале.' Если ^"(х) < о на данном интервале, то на этом интервале функция $ (х) является выпуклой, вверх; если J"(x) > о, то - выпуклой вниз. Геометрически эта теорема достаточно наглядна, но строгое ее доказательство не простое - оно приводится в курсах высшей математики. Задача 3. Найти интервалы выпуклости вверх и выпуклости вниз функции: 1) £ (х) = х3 2) f (х) =мх 'на интервале (-'л*, ъ ). Л I) Найдем производные: J'Cx) = Зх2, Г'(х) = 6х. Так как J (х) •< о при х < о, то. на промежутке х <. о функция выпукла вверх; так как J"(x) •> о при х > о, то на промежутке х > о ' функция выпукла вниз (рис.12). 2) Найдем производные: f'(x) = еоа х, j (x) = -ылг х. гь- шая неравенство - л^н х > о, где - sr <х <<5Е , получаем -cjC<x <: о, а из неравенства -лш х <: о находим о< х-сог. Следовательно, функция f (х) = л^п х выпукла вниз, на интервале - -зг <х <ои выпукла вверх на интервале о -с х < tnr (рис.13). А ■у / i- /^"0 -1- lz: ; РИС.1* -V % i- И k 0 Рис. ч^сШХ 45
194 Рассмотрим поведение графика функции у-х в окрестности .точки х = о (рис.12). Касательной к этому графику в точке (о ; о) является ось о%. Слева от точки х = о, т!е. при х -^ о график функции л&шт ниже касательной, а при х > о - выше касательной. Точку х = о называют точкой перегиба функции f (х) = х3. При х <: о функция $ (хГ^х^отжется выпуклой вверх, а при х > о - выпуклой вниз,1 т.е. при переходе через точку х = о слева направо выпуклость вверх сменяется на выпуклость вниз. При этом Ах) = 6х и f"(x) < о при х < о, f" (о) = о, i"(x) > о при х > о, т.е. при переходе через точку х = о,вторая проивводная меняет знак с " - " на " + ". Теперь рассмотрим поведение графика функции у = л1п х в <х<4£- (рис.13), ,2 "*ТГ о) является прямая окрестности точки х = о, Например, при Касательной к этому графику в точке (о у = х. При х < о график лежит выше касательной, а при х ■> о - ниже касательной, поэтому точка х = о является точкой перегиба функции 5 (х) =.^х. При переходе через точку х = о выпуклость вниз функции J (х) =.Ш1 х изменяется на выпуклость _ вверх и вторая производная £"(х) = ±in x меняет знак с "+" на Сформулируем определение точки перегиба. Пусть функция J (x имеет производную в точке ■о» х и I - касательная к графику функ- Точка х0 называется точ- ции у = Six) в точке (: кой перегиба функции S(х), если при переходе через точку х0 график этой функции переходит с одной стороны от прямой I на другую- Это означает, что если у = кх + в - уравнение прямой I , то при-переходе через точку х^ разность f (х) - (кх + в) меняет знак (рис.14). HI х разность Рис.1/1
w Теорема 2. Пусть функция £ (х) имеет непрерывную вторую производную £" (х) в окрестности точки х Если при переходе через точку х0 вторая производная £"(х) меняет знак на противоположный , то х0 - точка перегиба*, функции J4x). Геометрически эта теорема достаточно наглядна, так как в этом случае при переходе через ' точку х0 или выпуклость вверх функции J (х) меняется на выпуклость вниз, или выпуклость вниз меняется на выпуклость вверх (рис.12 - 14). Строгое'доказательство приводится в курсе высшей математики. * Задача 4. Найти точки перегиба «функции S (х) = 1+х Т А Найдем производные: i\x) = ^— , (I ♦ zf i"(x) =■ - (4х)' (1+Х2)2- 4x((I+x2fl' _ 4 (За*- I) Иссле.дуя знак JM(x), запишем результат в виде таблицы: т г— Iх <-1ЙГ <f(x) I-JL.I I \ \ j I ТТ ! о ! ! О ! Вторая производная; непрерывная на всей числовой оси, меняет знак при переходе через точку х = -^и при переходе через точку х =i Следовательно, х = -^и х =-4?точки перегиба (рис.15). А Рис.16
196 Итак, если xQ - точка перегиба функции S (х) и вторая .производная fM(x) непрерывна в точке .xQ, TofM(X0) =0. Таким образом, условие ^"(Xq) = 0 является необзодщяш^.для того, чтобы* точка х0 была точкой перегиба, функции S(х). Однако это условие неянлявт^ Например, точка х = о не является точкой перегиба функции f (х) = х , хотя f u(x)= 12 х^ , Iй(о) =0 (рис.16). Достаточные условия точки перегиба, сформулированы в Теореме 2. Задача 5.. Построить график функции у = i-^ ц- х - I А I) Область определения: . х £ I, х / 3. 2) Найдем промену тки, на которых функция J (x) = . I ^ I- _ 2 (х- 2) х-1 х - 3 положительна или отрицательна, х -3 (х-1) (х-3) например, методом интервалов. Результат запишем в виде таблицы: 1-х fx<l |I < _х < 2 j 2 ;2<x < 3 f x > 3 ; ifWl - i + . ! 3) Найдем J'(x) = - —I—? - I = -П L_ + (х-1Г. T^sp ^ l(x-I)- + —L_ . Из этой формулы видно, что 5 (х) < о при . х £ I, (х-3)* J . • х ^ 3. Следовательно функция f (х) убывает на промежутках х < I, 1<х.<'3, х>3: < I i .1<Х < 3 Г(х) | U f (х) ! 4) Найдем Г1 (х) = —£. Для исследования зна- (х-1)3 (х-з)3 . ка JH(x) полезно воспользоваться тем, что знак выражения а + в3 совпадает со знаком выражения а + в.-Доказательство этого утверждения будет приведено^после решения этой задачи. В тайном случае знак 5й(х) совпадает °о знаком выражения + —i— = f(x), для которого исследование проведено в п.2). С дйбощью знака'^''(х) находим точки перегиба и промежутки выпуклости вверх или вниз функции S (х):
№ ix < I ;I<x <2 lH(x){ f Cx) J ;-o П i и 4 2 < x <3 rv x >3 V В этой таблице введены наглядные символы: ^ - выпуклость вверх, и - выпуклость вниз, Н" - точка перегиба. '-■ 5). Используя результаты исследования, строшл график функции (рис.17). A u Рис.17. Докажем более общее утверждение, чем то, которое было использовано в п.4) решения задачи 5: знак выражения a K+I + + в к+ , где к - натуральное число, совпадает со знаком выражения а + в. О Bj знаете, что функция у = х ловой оси. Поэтому неравенство 2к+1 2к+1 Х1 <х2 верно тогда и%только тогда, когда 2к+1 возрастает на всей чис- (I) хг<х2 Пусть Xj = а, записать в-виде, ,2к+1 х^ = -в. Тогда неравенства а „ 2к+1 + в < о, ' а + в <. о, (2) (I), (2) можно (3) т.е. неравенства (3) могут выполняться только одаовременно.
198 Упражнения 23. Найти вторую производную функции: I) х2*** х ; 2) х361Лх ; 3) х5 + 2х3- х2 ; 4) х4 - Зх3+ 4х. 24. Еайти третью производную функции: I) х6 - Зх4 + 8Х2 ; 2) 2х5 - 4х3 + 2х; 3) (х+1) ех ; 4) х^Лгх 25. Найти четвертую производи^ функции: I) хЛ1лх ; 2) х &tx ; 3) —i- ; 4) хех. х+2 26. Найти точки перегиба, интервалы выпуклости вверх и выпуклости вниз функции i I) х ^х3- I2X2 + Зх ; 2) хЪ - 80Х2 ; 3) (х2 -Зх + 2) вХ ; 4) х3 - 6х fctx. 27. Построить график функции: I) у = х - 2Х9 + х ; 2) у = (х+3) <Г ; 3) у « х Еих ; 4) у = х2 + £- (трезубец , ОЛз 2 х Ньютона) ; 5)y__^|L ; б)у=£-з: _ х* ■ (х+2)< _6 I : 8) v = Зх-2
i99 § 7. Таблица первообразных Напомним определение первообразной. фикция Р(х) называется первооб^зной^для функции f (x) на некотором промежутке, если дая всех х из этого промежутка ?'(х) = *(х). Из этого определения следует, что с помощью таблицы производных (§4) можно составить следующую таблицу первообразных. 1 Функция J ХР II 1 х 1 ех ах ^Ulx собх 1 I I |соб2х I 1 i/ET" i ^. Первообразная 1 хр+1 2 + С P+I . Ы Ш + с ех + с J ах 7л! + с -0Л X + С лмгх + с | - 6tg х + С 1 "Ц х + с 1 сисдох + С ctndfx + С • Кавдая из формул этой таблицы верна на любом промежутке, на котором имеют смысл ее левая и правая части. Например, на цромежутке х <о определены функции ^- и 6*t 1x1, цричем, при х < о имеем (bti | xj)' = ( &t (-х))'= ^— - (-х) = JL . Следовательно, на этом промежутке функция ЫД$) является первообразной дая функции ~ . На промез^утке х > о функция Ьи (х) является
200 .первообразной для.функции ± , так как при х > о имеем («к ixi )' = (йи. х) = -£. X • Задача I. Найти площади фигуры, изображенной на рисунке. 18. ц ■Рис .18. A Bi знаете, что площадь данной криволинейной трапеции равна интегралу:' «-j I I +х* Lx. ции dx =алс*(} х | =алс£д I rjwvdno = j£#i Так как функция arudtq x является первообразной для функ- L_- ; то по формуле Ньютона-Лейбница находим 1 + V »- 1-4 О I+f Напотлним правила ^ахрждещя первообразных.^ Цусть Pwl 0(хГ-^пертообразные_ соответственно .для функций S (х) и Q (х) на некотором промежутке, т.е. 3?'(х) = f(xj , &'(х) = J(x), и пусть а, в, к - постоянные, к ^ о. Тогда: 1) Р(х) + G(x) - первообразная дая функции Их) + <}(х); 2) аР(х) - первообразная для функции а £ (х); 3). .(кх + в) - первообразная для функции Нкх + в). Отметим, что из ц^рвых двух правил следует, что аР(х) + в б(х) - первообразная дая функции а £ (х) +.в g (х-). Приведем примеры применения этих правил и таблицы первообразных. Задача 2. Найти первообразные 3?(х) дая функции £ (х) I) * (х) = * Г G04 2y
20J. 2) f(x) = tg2x; 3) £(x) = 4x2-I2x+I0 A I) По таблице первообразных находим: олсмпх- первообразная для функции •■ , to х - первообразная для функции I . Vlwr • , % ^2~~ * По правилам нахождения первообразных Р(х) = = 2 соьсьмл х - 3 tg x + С. , о 2 2) Так как J (х) = to 2Х = 'ш ^ = *- «*„ х = ■ = -Дт- - I, то' Р(х) = tax -. х %% х «* х со& х ■■ ! ,:■/ j, |. : 3) йэделяя полный,.квадрат в j знаменателе, получаем ■ ,.;■: ! 4x~-I2xj+9i+l|HI !+,(2х-3)* Так как a^ctg xJT первообразная'функции —g ' то по правилу 3) находим* Т(х) ==-£ \cvu£q (2х.-+з) + С. ▲ ;jl.,.l i. j:;i"i;i2:i. ° •i!Tl Упражнения Найти первообразные для .данной" функции (28 - 29), 3)е2х + -lig—} j" 4)_2_-_J -4, 1 :- /П_2_- Я . СОб^Зх S. ! X t/j.^' ' 5) (x+I)5 + ,2 .; ; 6) йОА(2х-3) - 1, ■VI-43T 1+9/ 7) 2х + 2 ; 8) ami (1-х) + _1 1+(х-1)2 *wi25x 29. I) ctg 2х ; 2) tg2 (Зх - I) ; 3) -г 1— ; 4) -— 2 ; X-2ХН- .2 4х - 4х + 2 5) *\ ; 6) . ,/ , ; I + хг . у _^ +4х_ з 7) • ^ . ; 8) I .. V2X-X y/.^c2 -12х - 8 30. Вычислить интеграл: п с 3) J t^2x dlx ; 4) | _^I (Ax .
202 5) 7) ■0,25' Г. х + Vi-x2 L-.) dx j 6) 2ur 3i I 2 ■dx.; at 12 5 0 co423x J 12 dx V4-x JT 31. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: 6 , прямой х = Vl-x*' 1) графиком функции у = осями координат; 2) графиком функции'у = координат; 3) графиком функции I 4) графиком фушсции х - I SI пршлой х = -2 и осями и прямой у = 2 = L.' и прямой х +4у +5=0 X 5) графиком функции у = 5 и пршлой у = I ; 1+х' у = А-ЗуГ и у I 6) графиком функций 7} графиком фушсции -уг х =-3£- ; у = 2; 8) графиком фикции Ш2х , осью Оу и прямыми У = AWl2X 2 и отрезком ft ! ЭД оси Ох. 32. Через точку (о; 2) проведена касательная к графику функции у = —4}— в другой точке. Найти площадь, заключенную меж) h этими графиком и касательной. § 3* Интегрирование .рациональных функций дробь —^—i где Р(х) и Q (х) - многочлены, называют -ра- Q(x) ~ циональной, эдюбьзр или j^HOj^bHOHj^inagi^. Частным случаем (при Q(x) = I) рациональной функции является многочлен, который называют также целой функцией. 'Сумма, разность, произведение и частное рациональных функций тзкке являются рациональными функциями, так как их можно представить в виде рациональных дробей. Из правил дифференцирования следует, что производная рациональной функции, также яв- яется рациональной функцией. Рассмотрим несколько случаев нахождения первообразных .для рациональных дробей.
гоз Задача I, Найти первообразные Р (х) дая функции ' Нх)2 ^ + ж- Зд + 4 (х+ЗГ А I) Сначала разделили многочлен, стоящий в числителе дроби, на многочлен, стоящий в знаменателе. + 2Х2 - Зх + 4 }х2+6х+Э + бх2 + Эх ! х - 4 - 4Х2 - I2X..+4 - 4х2 - 24х .-36 12х +40 Поэтому -f(x) = х - 44 I2x + 4° . (х+3)2 Такое представление дроби в виде суммы многочлена и правильной дроби ■! (у которой степень числителя меньше степени знаменателя) называют выделением целой части дро(?и.- 2) Теперь числитель полученной дроби запишем так: 12х + 40 = 12 [(х + 3) - 3 j •+ 40 = 12 (х+3) + 4. Тогда f (х) = х - 4 + -IS- + _Jll . х+3 (х+3)~ 3) Пользуясь правилами интегрирования , получаем р(х) = Z— - 4х + 12 „ £t |x^j _ _4_ + с. А 2 х+3 По такой же схеме можно найти первообразные для любой функции вида *>х? .—, , % (х-а)л где Р(х) - многочлен, ft- натуральное число. Задача 2. Найти первообразные Р(х) для функции iU) = * t ?х + 4 х2- 2х + 5 А I) Сначала выделим целую часть данной дроби _^,t.:2x.VA ? х2- 2х + 5 х2 - 2х +' 5 I i 4х- I - Поэтому f(x) = It 4x - I х2-2х +5 2) Теперь в числителе дроби выделим производную знаменателя, т.е. сделаем следующее преобразование. Найдем производную знамена- теля_{х^ - 2х'+ 5)1 = 2х - 2 и представим числитель в виде
204 4x - I = a<2x - 2) + в. Из этого тождества нужно найти а и в. Имеем 4х - I = 2ах - 2а + в. Отсюда, приравнивая в левой и правой части коэффициенты при х и свободные члены, получаем 2а = 4, -2а + в = -I. ы, п { Решая эту систему, находим, а = 2, в = 3. Следовательно, |(х) = I + 2 (2х - 2) . • I _ х2 - 2х + 5 2Г- 2х + 5 2v 3) Заметим, что первообразная для функции -£- равнаЫ\у? -■ 2х + 5| , так как ( ^ 1х~ - '2х + 51 )' = = ^ 1 (х2 - 2х + 5)' = 2|^§ . х" - 2х + 5 х^ - 2х + 5 Именно .для этого и.выделялась в числителе производная знаменателя. • 4) Осталось найти первообразную .дроби I ■"■ х^ - 2х + 5 Преобразуем ее так: хг - 2х + 5 "" (х-1)& + 4 "~ * 3 Гх iT" I + С ^ 2 Так как ctftctg х - первообразная для функции I , то 2 aX/CZQ ( - - —) _ первообразная для функции J т- T,(X.If • 5) Окончательно получаем х + 2 "V Р (х) = х + 2 впСх2 - 2х + 5) + |-аис*д х~1 + С В данном случае знак модуля под логарифмом можно опустить, так как квадратный трехчлен х^ - 2х + 5 принимает положительное значения при всех действительных х. А По такой же схеме можно найти первообразные для любой функции £Ш_ _. в случае, когда квадратный трехчлен хГ- +рх + <J, хг + рх + а не имеет действительных корней.
Задача 3. Найти первообразные F(x) для функции 205 $(х) = 2х3 + TjT - 2 х -II ' х2 + 5х + 6 Л I) Выделим целую часть данной .дроби. + 7Х2 - 2х - II ! х2 + 5х + 6 2х' 2х3 + Юх2 + 12х Г"^~ _ -Зх2 - 14х - II ! -Зх2 - 15 х - 18 х + 7 Поэтому f(х) = 2х - 3 + ■ х + 7— х2+ 5х t- 6 . .2) Квадратный трехчлен, стоящий в знаменателе, имеет два действительных корня Xj = -2, х>> = -з. Поэтому его можно разложить на вдожители: ■ х2 ■ + 5х + 6 = (х + 2) (х + 3) Числитель .дроби представим в виде . х + \ = а (х + 2) + в (х + 3). (I) Из этого тождества найдем айв. Имеем х + 7 = (а + в) х+ 2а + Зв. Отсюда, приравнивая в левой и правой части коэффициенты при х и свободные члены, получаем • ] С а + в = I, [ 2а + Зв = 7. , (2) Решая эту систему, находим а = - 4, в =5. Следовательно, f (х) =-2х - 3 + -4Хх+2) + 5 (х + 3} = 2х - 3 - 4 + _5 (х + 2) (х + 3) х + 3" х + 2 3) Отсюда Р(х) = х2 - Зх ~ 4fct |х + 31 + 5 fti IX + 21. A По такой.же схеме можно найти первообразные для любой функции £Ш в случае, когда квадратный трехчлен х2+ох + а зГ +рх + q, " ТУ имеет два различных-действительных корня xj и xg- Для этого сначала нужно выделить целую часть данной дроби, т.е. записать ее в виде . Ш-_ = Q(x) + АХ tB х +рх + ^ (x-ij)(х-х2) Затем последнюю .дробь представить в виде Ах + в а . в (**!) (х- Xg) x-Xj x-xg
206 Отметим, что числа айв можно находить более простым способом, чем это сделано при решений задачи 3. А именно, вместо,того, чтобы из равенства (I) получать систему (2) можно сразу найти айв, подставляя в равенство (I) значения х = - 2 и х = - 3. ,. В задачах 1-3 рассмотрены примеры нахождения первообразных для простейших рациональных функций. В курсе высшей математики рассматриваются общие приемы для нахождения первообразных * для любой рациональной функции. Можно показать, что первообразная рациональной функции является элементарной функцией и представляется в виде суммы рациональной .функции, логарифмов и арктангенсов от рациональных функций с числовыми множителями перед ними (см, ответы к задачам!- 3). Однако, если производная любой элементарной функции.," также является элементарной Функцией, то первообразная элементарной функции может быть новой не элементарной функцией. Например, можно показать, что для функций е , X '•■ ' i ' ~х— ' ^ШуХ первообразные не являются элементарными функциями. Но во многих задачах математики, физики, техники и экономики возникает потребность вычисления интегралов от этих функции. Тогда вглесто формулы Ньютона-Лейбница дая вычисления интегралов применяется, приближенные методы, например, с помощью интегральных - сумм или с помощью приближения' данной функции простейшими элементарными функциями. Во всех таких случаях дая получения практически достаточной точности используются ЭШ. Упражнения Найти первообразные дая данной функции (33 - 35). 33. I) 22Li| . 2)£L±1- ; (х-4)* (х + 2)3 3) 2Х2 + х-3. л^Зх3 + з?+ 2х + 4 . ■ х - 3 ' х + I ' . 5) х3 - УГ-х - I ■. ).) Зх4 - 12х3ч- 12х2 + х - 4 (X-D2 * ог^ : 7) Y4- 3yW- у ; 8) X3- 12х . Сх-1)3 (х+2)3 34. I) 2x^J . 2) I . х^+Зх +4 4х*-12х+13 3) |2+1 ; 4). 2х_^Г_ .
207 5) * + И ; 6) ' te3- 4x2 + I3x - I xZ- 2x +10 4x2-4x + 5- ?) ar2 + IOx+13. 8) 2x^ + 5 x + 4x +6 2x^ + 6x +5 3) ^F-^ J 4) x ~ 7 • I ' ' x2+x-6 ' 5) Зх2 + Юх +2 #: q x3 - 4X2 + 2x - 5 x2 +3x - 4 ' x2 - 4x - 5 7) x4 - Зх2 + x - 6.8j 2X2 + 5x + 4 ** - 4 ""' 2^ ■+ 5x - 3 36. Вычислить интеграл: J) j^***" ctx; 2) j 2хЗ-4х^у + Т ^ - -I <x+2> - -2 (X-I)2 3) J 2X-6- <jx ; ■ 4) * x2 + 4 j,. J ^- бх + 10 0 ^-2x + 5- 1Xj 3 J- ^ 5) I 2gL_ £k; 6) J. 3-х-I ix J x - 9 ■ S 3x +4x + I 0 7) J f* - I7 dx ; 8) } 3x2 + X-4 ^ I **- x - 6 w J 3.x2 - 2x 37. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: 1) графиком функции у = х ■"■ -^ и осями координат; 2) графиком функции у = (x+lJ2 и осями координат; (хчЗ)3 3) графиком функции у = 4х - 3 осями координат и 1+х ^ прямой х = - I : о 4) графиком функции у = ■) *"А ~ х и осью Ох; х* - 2х■+ 2 5) графиком функции у = х2 - I и осью Ояс ; Х^Р- 4 6) графиком функции у = 5х^ + 9х и осью Gx ; . ::2 - 9
Я08 7) графиком'функции у = \ ,— и осью Ох; х - 4х 8) графиком функции у = Зх и биссектрисой четвертого координатного угла. х -4 § 9. Интегрирование по частям Иногда интеграл можно вычислить с помощью следующей форм^- ,в р(х) д'(х)с!х= Нх).д(х) I - ] $\х) g(x)dx, а 'а а (I) Докажем эту формулу, предполагая, что функции f(x), f'Cx), ,(j(x), j'(.x) непрерывны на отрезке [а'; в]. О Заметим, что функция f (x)> д (х) является первообразной для функции f (х) д (х) + fix) д'(х), так как (S (х) д (х))' = f'(x) 9 (х) + f (х) д'(х) . . Следовательно,' по формуле Ньютона-Лейбница } Ef(x) дЧх) + J4x) g(x)] dx=Kx) д(х) |В (2) а 'а Представляя левую часть этого равенства в виде суммы двух интегралов | Их) д'(х) сЬс + ? $'(х) g(x)dx и перенося второй интеграл в первую часть со знаком " - ", получаем формулу (I). • Задача I. Вычислить интеграл:' J) S xexdx ; 2) S bix pi ос •; 3) - J*xcc*xdx ; 4) ^ex^xclx< о о Л I) I V , I Jxe"*dx = J x (Gx),dx = xex| - J (x)'e2dx = т о о lo о = e- Jexdx = e^ (g*)!1 = <> - (e-I) = I. °?e _j 5. , ,°, . ,2 2 2).^enxdx =Jgnx . (x)'dx = xkx I - Г(Ых)'xdx = I\ M 'i I = 2te- f^xdx = 2to2- fdx = 2bi2- (x) f= 2 *n2 -I. Т т It
209 3) J x coix cLx = I x ( лш x) olx = xawix| - }jdnx dx= ,9T ССЛХ ос 'о 4) / вхлы7х dx =J^x . (Gx)'dx =/^гх ехГ - - jfoax exdx = -/cojx (gx) clx = - co<& x ex L + fH О О _ cir IU 9Г ( co<s x)' eX dx= a + I ■- 1л1пхех d: Итак, J" gxm/m x cLx = в + I - J £хл1п x dx, откуда 2 J" ехл1п. x d x = <2 + I, J exdnx dx=-i(G +1). ▲ 0 tjr 2 2 . Задача 2, Вычислить J x ть кхах, где к - натуральное ._ 0 числом . 0 . ян A Jx л^2 iadx = -I J x (I - со* 2кх) dx = :*о х2!** = «- *[ х dx - J- i ' x сод 2кх ctx = —I + 1_ J x (a*i 2кх)' dx = -31 + -L-xu^kxI* - 4к ^. 2 4 4к ' 1° 2 - JL Гм 2 кх clx = Ж_ ч^1 ex* 2кх I* = -2L.A 4k 4 4 У |0 4 Задача З. Начислить площадь фигуры, изображенной на рисунке 19. зе, ~~о1 \ ^ 4 Рис. 19. = ttytct^x I* - ?(a*ctg x)'x dx = 2L-/ 9Г - I "Г 2 -^(1+х2) |в.в 0.-^2. I+X2 cU =
Упражнения 38. йгеисдитъ интеграл J x*i*x clx ; 2) I ezoo4X dx '; ^J^eUx ; 4>f xfcx dx ; 0 I 5) Jx 0ft6 2x clx ; 6) J x2>si#t 2x dx; о о 2 Л . i * 7) J^t(x+I) dx ; 8) J x С04^&. О - 0 " 39. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: 1) графиками функций у = Ых, у = -(ах и прямой х = 2; 2) графиком функции у =хех, прямой х = - I и осью Ох; 3) графиком функции у = xtUiirtx и отрезком [о ;l] °СИ *# _2 Г *1 4) графиком функции у = х^СО£х и отрезком 10.; ^-1 оси Рх. 40. К графаку функции у = (2 - х) ех проведена касательная в точке перегиба этого графика. Найти площадь, ограниченную этими графиком и касательной и отрезком £-2 ; 2] оси Ох. *
га Глава б. Дифференциальные уравнения .'. / Дифференциальные уравнения являются одним из основных математических методов изучения и познания окружающего нас мира. Ичогочисленные явления и процессы, происходящие в живой и неживой природе, можно описать уравнениями, в которые входят неизвестные величины (искомые функции) и скорости изменения этих величин (производные этих искомых функций). Такие уравнения и называются дифференциальными уравнениями.- Решив уравнение, можно понять закономерности различных явлений и процессов. Именно гак И.Ньютон (1643-1727) первым объяснил причины движения планет, рассмотрев дифференциальные уравнения, а также нашел траектории их движения. Термин "дифференциальное уравнение" первых: употребил Г.В.Лейбниц (I646-I7I6) в одном из своих писем И.Ньютону в 1676 г. Г.В.Лейбввдуи его сотрудникам, братьям Я.Берну пли J (1654-1705) и И.Бернулли (1667-1748), принадлежат первые систематические попытки классификации дифференциальных уравнений и решения определенных их типов. Работами Л.Эйлера (1707-1783) и ЖД.Лагранжа (I736-I8I3) была создана теория линейных систем дифференциальных уравнений. Новый этап в развитии теории дифференциальных уравнений начинается с работ А.Пуанкаре (I854-I9I2) и А.М.Ляпунова (I857-I9I8), в которых были заложены основы качественной теории дифференциальных уравнений. Большой вклад в развитие теории дифференциальных уравнений (теория устойчивости движения) внесли советские математики: А.А.Авдронов (I90I-I952), Н^Н.Боголю- бов (яД909), А.Н.Колмогоров (1903-1987), А.Н.Крылов (1879- 1955), Л.С.Понтрягин (1908-1968) и другае. § I. Примеры задач, приводящих к дифференциальным уравнениям. I. Размножение бактерий. Опытным путем установлено, "что скорость размножения оактерий пропорциональна их количеству, если для них имеется достаточный запас пища и созданы другие необходимые внешние условия. Так как размеры бактерий очень малы, а их количество велико, то принято считать, что масса бактерий 14"
%m с течением времени меняется непрерывно. Поэтому за скорость размножения бактерий принимается скорость прироста их массы, следовательно, если через х( i ) обозначить массу всех бактерий в момент времени t , то ~пг будет скоростью размножения этих бактерий, Так как скорость размножения ЗД*- пропорциональна количеству бактерий, то существует постоянная t такая, что По условию х( t) и х1 ( t ) - неотрицательные, поэтощ коэффициент |l тоже неотрицательный. Очевидно, что интересным является .лишь случай к > 0, так как при к =0 никакого размножения не происходит. Уравнение (I) является простейшим примером .дифференциального уравнения. Оно называется дифференциальным уравнением размножения бактерий. Определение. Если функция i(x) в точке xQ имеет производную J- (xQ), то произведение ^Чх0)-ДХ называется .дифференциалом функции. 5 в точке xQ и обозначается elf (xQ). Таким образом, Заметив, чтос1х=х* - Дх= Д х, определим дифференциал независимой переменной как ее приращение. Тогда получим, что дифференциал функции в точке выражается формулой elf (*.)=*'(*•)<**. Если функция f(x) имеет производную в каждой точке интервала (а; Ь ), то ctf(ocW (*)<**♦ (3) Из последнего равенства' следует, что т.е. производная функция есть частное от деления дифференциала этой функции на дифференциал арх7мента.
Zi5 2. Радиоактивный распад» Из эксперимента известно, что скорость распада радиоактивного вещества пропорциональна имеющемуся количеству вещества. Таким образом, если черезх( t ) обозначить массу вещества, еще не распавшегося к моменту времени t , то скорость распада •*¥£- удовлетворяет следующему уравнению: . -3f--k«<*)-. (2) ' где к - некоторая положительная постоянная. Б уравнении (2) перед-к поставлен знак минус, так как r(t ) >0, а^|<0 - Уравнение (2) называется .дифференциальным уравнением рада©активного распада. 3, Падение тела в воздушной среде. Пусть с некоторой высоты на землю сброшено тело массы т .Если через v{ t ) обозначить скорость падения, то согласно второму закону Ньютона имеем: of гг р ТГ - г > (3) где4т-=а есть ускорение движения тела (производная от скорости гг по времени t ), а Р- результирующая сила, действующая на тело в процессе движения. В данном случае где mg - сила тяжести, a Rconp. - сила сопротивления со стороны воздуха. Как известно, при обтекаемой форме тела и не слишком больших скоростях движения сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости движущегося тела, т.е. Fconp. = р 15 , (5) где р - коэффициент пропорциональности. Подставив равенства (4) и (5) в формулу (3), получим: m^mq-pv или $$- = g - ± v (6) Уравнением (6) описывается падение тела в воздушной среде. 4. Колебания груза под действием упругой силы. Рассмотрим прямолинейное колебание движения груза массы иг под действием упругой силы R , с которой на тело действует пружина с коэффиг
'244 циентом упругости к>0, как это показано на рис.1 \пш?гшг^п^ рис.1 , Для составления уравнения движения груза на прямой линии, введем координату х, изменяющуюся со. временем £,, приняв за начало X положение равновесия груза, а за положительное направление - направление слева направо. Тогда в силу второго закона Ньютона уравнение движения тела имеет вид По закону IVка для не слишком больших растяжений (сжатий) упругая сила F, действующая со стороны пружины на груз, будет прямо пропорциональна отклонению груза от положения равновесия, и направлена против движения, т.е. F = - кос , (8) Подставив равенство (8) в формулу (7), получим Уравнение (8) называется дифференциальным уравнением колебаний груза над действием упругой силы. § 2. Основные понятия I. О понятии дифференциального уравнения. В предыдущем параграфе нами были рассмотрены некоторые процессы, которые описывались уравнениями, содержащими неизвестные функции и производные от этих функций. №. их называли дифференциальными уравнениями этих конкретных процессов. Сформулируем' теперь общее определение дифференциального уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, которое содержит неизвестную функцию и ев производные. Если в уравнение входит независимая переменная, неизвестная функция и ее первая производная, то такое уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка. Например, дифференциальное уравнение размножения бактерий, дифференциальное урав-
2i& нение радиоактивного распада и дифференциальное уравнение падения тела в воздушной среде являются уравнениями первого, порядка. Если se дифференциальное уравнение содержит производные второго порядка от неизвестной функции, то его называют .дифференциальным уравнением второго порядка. Например, дифференциальное уравнение колебаний груза под действием упругой силы по прямой линии есть уравнение второго порядка. Аналогично определяются дифференциальные уравнения третьего порядка, четвертого порядка и т.д. Вообще, порядком дифференциального уравнения,называется порядок старшей производаой неизвестной функции, входящей в это уравнение. В рассмотренных выше примерах неизвестные функции были функциями времени t, поэтому их обозначали* через x=x(i) и 7f = l/(t).B общем случае независимая переменная, как и обычно, в теории дифференциальных уравнений обозначается через х, а искомые функции - через y=y(x),fc= Z(x) ; ф = <р(х) и т.д. 2. Общее и частное решения дифференциального уравнения первого порядка. В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка можно записать в следующем-виде: F(s; у; у')=о, (D где у=у(х) - неизвестная функция, у^уЧх) - ее производная по х, a F- заданная функция переменных х,у,у!. Дифференциальные уравнения первого порядка, рассмотренные в предыдущем параграфе, можно записать следующим образом: У1 =J(x; у). (2) Такие уравнения называются разрешенными относительно производной. фунадия <Р(х), хв(а;6), называется решением дифференциального уравнения (2), если она имеет производную <р*(х) на (а; & ) и для любого Х€ (а; 8 ) справедливо равенство <Р'(х)=*(х;<Р(х)). Другими словами, функция ср(х), x6(a;6)f называется решением дифференциального уравнения (2), если уравнение (2) при подстановке ее вместо у обращается в тождество по х на интервале (а; 8).
«6 Аналогично определяется решение дифференциального уравнения (I). В дальнейшем рассматриваются лишь уравнения, разрешенные относительно производной, т.е. уравнения вида (2), или уравнения, которые приводятся к уравнениям вида (2). Задание уравнения вида (2) равносильно заданию функции £ (х;у) переменных х,у, определенной на некотором множествеG точек плоскости с координатами х,у. • Любая кривая, заданная уравнением y=V(x), х€(а;6), гдеФ(х) - некоторое решение уравнения (2), называется интегральной кривой дифференциального уравнения (2). Из этого определения следует, что интегральная кривая уравнения (2) полностью лежит в области G , в которой определена функция f, и что интегральная кривая в каждой своей точке Ыцу) имеет касательную, угловой коэффициент которой равен значение функции f в этой точке М. • Когда функция f в уравнении (2) зависит только от.переменной х, получается простейшее дифференциальное уравнение первого порядкг У'=*(х) (3) у(х)-неизвестная $ункциг., w •> где j(x) - заданная функция. Легко видеть, что задача нахождения решения этого уравнения - это задача о нахождении первообразных заданнойфункции, т.е. задача вычисления интеграла $f(oc)<Lx . Таким образом, решение уравнения (3) имеет вид: ' //Х a(*W*(x)dx (4) Мы знаем, что, если F(x) - некоторая первообразная для функции ^f, то семейство первообразных для этой функции есть ${(х)(1х=Р(х)+С$ где С - произвольная постоянная. Потому с учетом формул(4) и (5) имеем: y(x)*F(*)+ с. (5) Таким образом, простейшее дифференциальное уравнение первого порядка (3) имеет бесконечное множество решений, каждое из которых получаегся из формулы (5) при фиксированном С..Решение, задаваемое формулой (5), называется общим решением уравнения (3).
211' Вернемся к общему, случаю дифференциального уравнения (2). (функция у = Ф(х; С), (6) (где С . - произвольная постоянная^ которая при каадом фиксированном значении С как функция независимей переменной х является решением уравнения (2), называется общим решением уравнения (2). Каждое решение уравнения (2), которое получается из общего решения (6) при конкретном значении постоянной С, называется частным решением. Заметим, что частное решение есть некоторая интегральная кривая, а общее решение представляет семейство интегральных кривых. Задача I. Найти общее решение дифференциального уравнения у1 = 2х + со4 ос. А Общее решение данного уравнения найдем,используя формулу (4): и(х) =/(2х + co*>x)dx s 2j*xdx+JVo6xcU* = x2+Ai'W9e+- G. Итак, у (х) = х2 + л1пх + С , где х € К, , С - производная постоянная.А 3. Начальные условия и задачи Коши. Задача наховдения решения у(х) уравнения (2), удовлетворяющего условию У (*о> - Уо , <7) где х0 и у0 - заданные числа, называется задачей Коши. Условие (7) носит название начального условия.' Решение уравнения (2), удовлетворяющее начальному условию (7), называется решением задачи Коши (2), (7). Решение задачи Коши имеет простой геометрический смысл. А именно, согласно данным выше определениям, решить задачу Коши. (2), (7) означает найти интегральную кривую уравнения (2), которая приходит через заданную точку Mq (x0; yQ). Задача 2. Найти решение задачи Коши: у1 = 3 х2 + мль х , у(0)= 2.
218 Л Найдем сначала общее решение дифференциального уравнения, используя формулу (4): у (х) = <f (Зх2 + /Jmx)dx = ос3- со*х + С . Далее найдем значение произвольной постоянной С так, чтобы pemeirae задачи Ксши, удовлетворяло начальному условию у (0) = 2: у (0) = 03-c*>62,4-d = 0 , т.е. С = со&2 Итак, решение задачи Ксши есть у(х) = х3-ай*+еяЙ.А Сделаем одно замечание относительно уравнений вида (2). Умножив обе части уравнения (2) на дифференциал независимой переменней dx , получим уравнение содержащее дифференци- * аЯЫ' oty = f (*; Ц)<кь (5) Уравнение (8) также называют дифференциальным уравнением первого порядка. Упражнения 1. Найдите общее решение дифференциальных уравнений: I) у'= X .+ 4Х3; 2) у'= х Т> J ; 3)у= -2д- + СЫХ ; ^* % ^ 4) у'= х +еХ ; 5) у'= хе~х ; 6). у' = л!тх + 4 ег* 2. Найдите решение задачи Ксши: I) у!= лллг Ъх , у (яг) = I; 2) у1 = Зсо^ое , у (Ц-) = 0; 3) у' = 4эс\5ос-1 , у (I) = I ; 4) у'= 3 - Зх2 + +5 ос4 , у (-1) = 3. 5) у' = ах+л>1пх , у (0) = I. § 3 Уравнения с разделяющимися переменными. * I. Определения и примеры. Дифференциальные уравнения вида У1 * l(*)g (У) , (D где $ (х) и g (у) - заданные функции, называются уравнениями с разделяющимися переменными. Очевидно, что если число а является решением уравнения g (у) =0, то функция . у = а (постоянная) является -решением уравнения (I). Для тех у, . для котсрыхй(у) Ф 0, уравнение (I)'равносильно уравнению р(у) у' = f(x), (2) где р (у) =» ( ,— В этом уравнении переменная у присутст-
Zi9 вует лишь в левей части, а переменная х - лишь в правой части. Поэтому вместо слов "перейдем от уравнения (I) к уравнение (2)" часто говорят "в уравнении (I) разделим переменные"; В дифференциалах уравнение (2) имеет вид p(y)dy =i(x)(ix. (3) Здесь слева стоит дифференциал некоторой функции Р (у), зависящей от у, а справа - дифференциал функции F(x), зависящей ст Проинтегрировав обе части уравнения (2) по х, получим Р(у) =F(x) + С, (4) где С -.произвольная постоянная. Следовательно, если дифференцируемая функция у =■* f (х), х 6 (а; { ), является решением уравнения (2), то она является решением уравнения (4) при некотором значении постоянной С, т.е. Р (<р(х)) = F(x) + С ; (5) для любого х в (а; в ). И наоборот, если дифференцируемая функция у = Ф(х), х £ (a; S ); является решением уравнения (4), то она является решением дифференциального уравнения (2). Действительно, дифференцируя по х обе части равенства (5), получаег/ P(V(x))V(x)sf (х) , а это означает, что функция Ф(х) удовлетворяет уравнению (2). Таким образом, любое решение дифференциального уравнения (2) получается из формулы (4). Последнее означает, что формулой (4) задается общее решение уравнения (2). Все решения уравнения (2) являются и решениями уравнения (I). Других решений в области, где д(у) Ф 0 , уравнение (I) не имеет. Если функция а (у) обращается в нуль, тс уравнение (I) имеет, кроме решений в виде (4), решение вида у = а, где а есть решение уравнения g(у) = 0, т.е. J(а) = 0. Задача I. Найти все решения дифференциального уравнения . у1 = тсу2 Л Очевидно, что у = 0 является решением данного уравнения. Пусть теперь у Ф 0 Тогда ^2 - хах, следовательно, У _ I _ I х2 + С у "2х + С'
гго Таким образом, общее решение данного уравнения имеет вид: Х- + С где С - произвольная постоянная. Заметим, что решение у = О не получается из общего решения ни прп каком значении постоянной С. А Задача 2. Найти решение дифференциального уравнения радиа- ктнвнсго распада х' = -кх( t) или Д£- = - кое (t) А Так как X 4 0 (иначе вещество отсутствовало бы), то sUl =_ K&t . Интегрируя обе части уравнения, находим, Iyi |oei=-|ct + fc»tC (здесь ..произвольную постоянную удобно взять в виде Oct ) , Или имеем -Kt + In С ^Kt |Х| = G = CG ^t Таким образом, общее решение имеет вид х = Се - А Заметим, что аналогично можно найти общее решение дифференциального уравнения размножения бактерий 1ГВКЖ (к* О), Оно имеет вид х = Се Если нам известно значение коэффициента к (он зависит ст.вида бактерий и внешних условий) и масса т0 бактерий в конкретный момент времени Ь0 (тс есть задано начальное условие х (ic) = tno задачи Ксши), тс решением задачи Ксшп является х (i) =т0ек^"*^ Действительно, так как х (ic) = m0 , тс т0 = CeKt°. т.е. с = т0 е~к ° И, следовательно, х (£) = тоек,^'±0^ Сформулируем теперь правиле-нахождения общего решв!шя уравнения (I) с разделяющими переменными. Следует: 1) разделить переменные, т.е. преобразовать данное уравнение к виду р (у)с[у = f(x) dx; (6) 2) проинтегрировать обе части полученного уравнения по у и ( х соответственно, т.е. найти некоторую первообразную Р (у) "функции р (у) и некоторую первообразную Р (х) функции f (x); 3) написать уравнение р (у) = F (х) + С, (7)
221' где С - произвольная постоянная. Решив уравнение (7) относительно у, получим общее решение дифференциального уравнения (I): V = Ф(х; С), которое называется также общим решением данного уравнения. Заметим, что уравнение (I) может иметь и другие решения. Например, уравнение (I) VI =,* (x)g-(y), у которого g(у) обращается в нуль в точке у0, имеет решение У = у0. Это решение может не входить в общее решение, т.е. оно не получается из общего решения ни при каком значении постоянной С. Поэтому, чтобы указать все решения уравнения (I), надо найти еще все решения уравнения g (у) =0. Задача 3. Решить уравнение У1 = ху. (8) Л Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделив переменные:- ^ц , и проинтегрировав, получим «* iyi = 4*2+ ct > где Ст - произвольная постоянная. Отскда следует, что или у-Се*' - ± ^ где С = ± е Правая часть уравнения (8) обращается в нуль при у = О, поэтому оно имеет решение у = 0. Это решение получается из (9) при С = 0. Таким образом, формула (9),где С -произвольная постоянная, задает все решения уравнения (8). А Задача 4. Решить уравнение , = эсц со& ое (10) J 1 + У А Очевидно, что постоянная функция у = 0 является решением.
г%г Пусть теперь у Ф 0. Разделим переменше: (I + i ) cty « х соб х dx . Проинтегрировав левую часть этогр уравнения цо - у; а.правую по х, получим уравнение У + fo |y| = 0C/>inx + C04X+ С, (П) где С - произвольная постоянная Чтобы найти общее решение уравнения (10), нужно решить уравнение (II) относительно у. К сожалению, это сделать невозможно, так как решения не выражаются через элементарше функции. Однако задача нахоадения общего решения дифференциального. уравнения сведена к решению уравнения, не содержащего производных. В этом случае будет говорить, что общее решение уравнения (10) определяется формулой (II). Кривые, координаты точек которых удовлетворяют уравнению (II), при некотором значении постоянной С будут интегральными кривыми уравнения (10). Прямая у = 0 также будет интегральней кривой уравнения (10). А .Упражнения 1. Решите уравнение: 1)у' = х +Л**эс ; 2) у1 = 2^J . 3) Vl - х2 у1 +ху = 0; 2. Решите уравнение: 1) (I + x)cly = 2yclx ; 2) ху dx + (х + I) cly = 0; 3) (I + у2) dlx -xdy = 0.. § 4. Дифференциальное уравнение гармонического колебания. I. Дифференциальные уравнения второго порядка. Напомним, что дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение,содержащее производную (или дифференциал) второго порядка от неизвестной функции. Общий вид такого уравнения следующий: F (х; у; у' ; у" ) = 0 или У1 = I (х; у; у" ) (I)
Z23 Функция у =<Р(х), х € (а; в), называется решением уравнения (I), если она имеет производные -фЧх) и <р"(х) на интервале (а; в) и для любого х £ (а; в) справедливо равенство Р(х;Ф(х); Ф'(ас); Фи(х)) = 0 ' т.е. (или ф"(х) = £ (х; <Р(х), Ф'(х))), т.е. уравнение обращается в тоадество по х при подстановке Ф (х) вместо у. Задача отыскания решения уравнения (I), удовлетворяющего начальным условиям У .(хо)=Ус У (х0) = ух, (2) называется задачей Коши. Решение задачи Ксши будем называть частным решением, а совокупность частных решений - общим решением дифференциального уравнения. Задача I. Записать и решить дифференциальное уравнение движения материальной точки массы т, под действием постоянной силы F . Л Пусть материальная точка движется вдоль оси Ох. Координата х материальной тощш является функцией времени: х = х (t ) Уравнением движения является дифференциальное уравнение Ньютона: mxtt(t)=F , или .. с» *"(*>-■-£• Проинтегрируем обе части этого уравнения по i : Таким образом, мы,пришли к дифференциальному уравнению первого порядка с разделяющимися переменными где Сj == (С4 - С3) - произвольная постоянная. Интегрируя обе части полученного уравнения по t} находим, решение исходного уравнения.второго порядка: где С j , Со - произвольные постоянные. Обратим внимание на то, что общее решение, зависит от двух произвольных постоянных Cj и С2. ▲
ггь 2. Уравнение гармонических колебаний Рассмотрим уравнение Xй + а5ах * 0 , (3) где О) - некоторое положительное число. Решением уравнения является функция х (I ) = А соб ( Ct)t * <**). } (4) где Аил- произвольные постоянные. Действительно, подставив данную функцию (4) в уравнение (3), получим: ч й. ' *"(t)*.ft»*ae(t) = [A cod {(dt'+d.)]+bufiiCQb((ut + +^)=[-Aа^л^CЫt + c^)]^coЛAc>o6(cJt-^^) = -Acoft• • со4 (ait + d0 + аз2А сод (a5t>oL) = о . Следовательно, формулой (4) задается решение уравнения (3). Можно показать, что других решений уравнение (3) не имеет. Это утвервдение примем без доказательства. Таким образом, формула (4) задает общее решение уравнения (3). ; Функция (4) при любых заданных А, со и ос описывает гармонический колебательный процесс. Число |А| называется амплитудой, а число с* - начальной фазой или просто фазой колебания (3). Уравнение (3) называется уравнением гармонических колебаний. Положительное число и) называется частотой колебания. Легко подсчитать, что число колебашай в единицу времени определяется формулой (л Отметим, что общее решение (4) уравнения (3) содержит две произвольные постоянные: амплитуду А и начальную фазу ос . Для их определения нужно задать два условия, например, можно задать два начальных условия задачи Коши: х ( t0) =x0, х' ('te).*Ue . (5) Тогда для определения постоянных А и ее получается следующая система уравнений: А со4(^+ сО = х0, (6) -А со лмп (c0to + at) «* iJ0 .
ZZ5 Из нее следует, что г и, следовательно, « « ч(а. а) А а ц, т5 = ОС + ^ СО 2. Не ограничивая общности, можно считать, что А > О, *-■•*?♦-£-'■ Теперь, зная амплитуду А, из системы (6) по формулам тригонометрии находится начальная фаза ' Из формулы (4) легко получить другой вид общего решения уравнения (3). Действительно, х = A (co60)t содоС -yiina)t>vv)ioC) = s А соб<* coacot.- А &i*i <* лш cot. Положив здесь Cj = А с&ь оС у Сг = - А л£м с* , получим X = Cj CO6C0t + C^/bi/tttot. (7) При решении конкретных задач следует использовать как формулу (4), так и формулу (7) Например, если по условию задачи известны амплитуда и начальная фаза колебания, то, конечно, следует пользоваться формулой (4). Однако для решения задачи Коши с начальными условиями х (0) = х0 , х* (0) = tf0 (8) удобнее пользоваться формулой (7) Задача 2. Решить задачу Коши для уравнения (3) с начальными условиями (8). Л Согласно формуле (7) общее решение данного уравнения имеет вид X = Cj CMCOt + C^M^lCdt. Из первого начального условия х (0) = х0 получаем Cj = х0 . А так как X* = - Су СО Ш U)t 4- £zLd CO£0)t у то в силу второго начального условия х1 (0) = ^0 находим t/0 = Й2а)> т. е. С2 s -^л.- Таким образом, функция х = х0 cod cot + -^f- Mtitdt (9) является решением задачи Коши (3), (8), и других решений эта задана не имеет. ▲
ггь Задача 2. Найти решения дифференциального уравнения колебаний груза под действием упругой силы шх" + fcae.s 0 (10) Д Данное уравнение (9) является уравнением гармонических ' колебаний с частотой Поэтому согласно формуле (4) его общее решение имеет вид х ( t ) = А со* (-/^Г t + at) , или по формуле (7) оно может быть записано в виде х (t ) = t£ cmV^.t 4- Cz^ifiY^t . Согласно формуле (9), решением задачи Коши для уравнения (10) с начальными условиями *(о) = а0 и at'(o)*ifc (II) будет функция , >— х (t ) = х0 ал]/ bt + Ъо ^ Ж ^ у JL t # A Амплитуда этого гармонического колебания вычисляется по формуле у Заметим, что частота колебания груза не зависит от начальных условий; она определяется лишь массой груза и упругостью пружины. Амплитуда А существенно зависит от начальных условий, то же самое можно сказать и о начальной фазе. Рассмотрим несколько частных случаев решения задачи Коши (10), (II). Пусть л50 = 0 и х0 > 0. Тогда х = х0 eo^yXt , т.е. А = х0 и об=0. Эта функция описывает гармонические колебания груза с массой m , который в начальный момент времени t0 = 0 начал двигаться из точки с координатой х0 > О с нулевой скоростью. Пусть теперь х0 = 0 и Ио>0. Тогда и, следовательно, А = tfoyJ£L и сС = - Щ^ . Эта функция описывает гармонические колебания груза, который в начальный мо-
227 мент времени te= 0 начал двигаться из положения равновесия со скоростью tf0 . Упражнения I. Найдите уравнение гармонических колебаний, которому удовлетворяет ФУНКЦИЯ X = Aillt ♦ СОб t . 2. Какая из функций описывает гараонический колебательный процесс: I) х = Aunt + co6i> 2) х = t^tnt j 3) X = *4*ii 4- C06 2t J 4) X = C06i ♦ 4 ? §5 Линейные* дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Дифференциальные уравнения вида у» + ру1 + qy = J(x), . (I) 1де р и q - некоторые числа, называются линейными дифференциальными уравнениями второго порядка с постояннывди коэффициентами. Функция } (х) называется свободным членом или правой частью уравнения (I). Если f (x) s'O» то дифференциальное уравнение называется линейным однородным уравнением. Оно имеет вид ум + ру! + qy - 0. ' (2) I. Линейные однородные уравнения. В этом пункте будут изучаться только уравнения вцда (2). Задача I. Найти все решения уравнения у* - у = 0 - (3) А Легко проверить, что функция у = е* является решением данного" уравнения. Действительно, ум -у =•(£*)* - еж = = г* - е* = о. —х Аналогично проверяется, что и функция у = € является решением уравнения (£3). Покажем, что при любых постоянных Cj и Cg функция у = Cje** Сге"х (4) 15-
является решением уравнения (3). Имеем у1 =cie*- с'я<г*, y»=cie* + С.е-*», что и требовалось доказать. Таким образом, любая функция вида (4) является решением уравнения (3). Более того, других решений это уравнение не имеет. Действительно, пусть у =ср(х) - некоторое решение'уравнения (3) и пусть <Р(0) = у0, <р'(0) = yjj (5) Найдем функцию вида (4), которая удовлетворяет этим условиям. Имеем J Уо = ci + \jo = Cl - и поэтому Следовательно, функция У = Уо + Уо р* + с2 , С2 Zp_ с = я«-я° °2 г - Уо -ж 2 является решением задачи Коши (3), (5). Б силу единственности решения задачи Коши т.е. фушсция Ф(х) получается из (4) при соответствующих значениях постоянных С, и С2. Таким образом, формула (4) задает общее решение уравнения (3). А Задача 2. Решить уравнение у" - 9у = 0 (6) Л Как и в примере I, решение этого уравнения будем искать в виде ях . у = е , где Я - неизвестное число. Подставив эту функцию в уравнение, получим Я,аея* - 9а** = 0. Следовательно, функция вида q%1c удовлетворяет уравнению
229 (6) тогда и только^тогда, когда Я удовлетворяет уравнению XZ- 9 = 0. Этому уравнению удовлетворяют два числа А^= 3 и Ле= - 3, и поэтому .функции е3эси е~Ъос являются решениями уравнения (6). Рассуждая также, как это было сделано в задаче I, можно доказать, что общее решение уравнения (6) задается формулой у = СХ еАж 4- Cze-** f где Cj и Со - произвольные постоянные. А 2. Характеристические уравнения. Случай различных действительных решений характеристического уравнения. Рассмотренные примеры позволяют высказать утверждение о ' том, что решения однородного уравнения следует искать в виде функций вида еЯх. Действительно. Пусть дано линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами V■ + РУ' + % У = 0 (7) Подставим функцию еАх в уравнение (7): Лг е + р Л е + § е = о . Из последнего равенства видно, что функция е будет решением уравнения (7), т.е. равенство (7) обратится в тсвдество при любом х, тогда и только тогда, когда х удовлетворяет уравнению ± ^ I1 + Яр + ({ - 0 . (8) Поэтому уравнение (8) получило название характеристического уравнения дифференциального уравнения (7).. Обратим ваше внимание на тс, что для получения характеристического уравнения для уравнения (7) надо в этом уравнении заменить у" на AL , у1 на А и у на i. Рассмотрим случай, когда характеристическое уравнение (8) имеет два различных действительных решения ' ^ и Я^ , В этом случае общее решение уравнения (7) задается формулой у = Сi еА*°Ч бг еАа* (9) где Су и С£ - произвольные постоянные.
230 Тот факт, что функция (9) является решением.уравнения (7), проверяется непосредственной проверкой, а то, что других решений уравнение (7) не имеет,примем без доказательства. Итак, чтобы найти общее решение однородного уравнения'(7), следует: а) составить характеристическое уравнение (8), соответствующее дифференциальному уравнению (7); б) найти корни Я-±и Х% этого уравнения; в) в случае \Xt£ XL записать общее, решение дифференциального уравнения (7) в виде где Сj и Cg - произвольные постоянные. Случай Яг= /1А рассмотрим позже. Задача 3. Найти общее решение однородного уравнения уи + у'-2у = 0. а .также частное решение, удовлетворяющее начальным условиям у(0) = I, у' (0) = 2. А Составляем характеристическое .уравнение: А* + X -2 = 0. Находим корни характеристического уравнения: О&цее решение исходного дифференциального уравнения есть у (Л) =сгеЛ+ Йае-20С. Для нахоадения частного решения, начнем Cj и Cg из начальных условий. Так как у1 (х) = C^ex-Zdzu"Zac y то у (0) = Сх + С2 = I, ^у1 (0)=СГ-2С2 * 2, откуда Ст = о и С9 = - J. Таким образом, искомое частное решение есть у(х) f з^" 3^ ^ {; 3. Случай, котаа характеристическое уравнение имеет комплексные решения. Пусть теперь характеристическое уравнение (8) А* + рА + q =0 (8) не имеет действительных решений. В .этом случае
231 Обозначим это числе через сог • Уравнение (8) имеет два комплексно сопряженных решения: Д. = оС ч- i со, и /L = ri-icd, где оС = - | Тогда хх qcx tcooc седе, , , о. - a g =. е ( еодсоэе + i 4л/гсо>х), Рассмотрим действительную и мнимую части этой комплекснозначной ФУНКЦИИ: otx , оСэс • Непосредственной проверкой легко убедиться, что эти функции являются решениями дифференциального уравнения (7). (Проверить самостоятельно!) Как и выше, можно показать, что в этом случае общее решение уравнения (7)задается формулой у = ^е^^собСдх + С2е°^хл^пбоэс у (Ю) где Сj и Cg - произвольные постоянные. Задача 4. Решить уравнение у" + 2у' + 2у = 0 . Д Напишем характеристическое уравнение: Jla+ 2Я + 2 = 0. Оно имеет два комплексно сопряженных решения: Я = - i + I и Я = - 1 - L .■ гас Найдрм действительную и мнимую части функции е : G = cf ( соб ос + L м*г х) = с" С£4 х +U" Л^п X. Далее по формуле (10) находим общее решение данного уравнения У = С± ОТ* соьэс + tL с" лЛпх. . А Замечание. Уравнение гармонических колебаний у*+а)гу~0 относится к уравнениям рассмотренного типа (корни характеристического уравнения имеют вид х = La) и х = - loi поэтому его общее решение есть у = Cj со4 со х +- Сг *"п a) * , 4. Случай, когда характеристическое уравнение имеет одно решение. Пусть характеристическое уравнение Я2 + рЯ * q = О (П)
яза соответствующее дифференциальному уравнению «Г ♦ РУ, + ЯЧ = о (12) *лмеет один корень X = ее кратности 2, тогда Р ='- 2оС и (L =d. Непосредственней проверкой устанавливается, что функция - @осзс является решением уравнения (II). Покажем, что в данном случае и функция осе06* также является решением уравнения (12). Так как at x i ^ ос ас оСЭС' И „ХсС •у =х е ♦ у = & +обхе , у = 2 oi *• <з + + d^xe^' .то lj + р у + q, у - 2 ol . е 4- об' зе е ■ + р £ + ■ь р&*Л (jjc-'ft"- е*?С£.«* + р) + xe'V+P^^- Следовательно, функция х & ^ х есть решение уравнения (12). Так как ехОС и хаоСЭС есть решения уравнения (12), то и любая функция вида ' у = С< е*х + С£ jee** , (13) где Ст и С2 - произвольные константы, также есть решение уравнения (12). Проверяется таете ка к о было'показано ьнше. Утверждение о тем, что других решений уравнение (12) не имеет, примем без доказательства. Задача 5. Найти решение уравнения ■у" + 6у' + 9у = 0 , Л Характеристическое уравнение Л** + 6Л + 9 = 0 имеет одно решение А = -3. Следовательно, по формуле (13) общее решение данного уравнения имеет вид у= С±Ъ-*Ж+ С» ««Г**, где Су и С2 произвольные постоянные. А 5. Неоднородные линейные уравнения. Сделаем несколько замечаний относительно решения неоднородных линейных дифференциальных уравнейий у" + РУ1 + Q У = f (x), где правая часть }(х>не- котсрой многочлен. (I)
газ Заметим, что общее решение уравпения (I) является суммой некоторсгс частного его решенля и общего решения соответствующего однородного уравнения ун + ру1 + qy = 0 (2) Используя это замечание, рассмотрим три задачи. Задача 6. Найдите сбщее репение уравнения У11 + 2у' - Зу = 6 . (3) Найдем сбщее решение лпнейнегс однородного уравнения уИ+Ду1 - Зу = 0 (4) Его характеристическое уравнение Я*+ 2А - 3 = О имеет решения А^= - 3, Х.% = I. Следовательно, сбщее решение уравнения (4) имеет вид у = cie-30C+ С*е? В случае, когда правая часть несднсрсднсго линейного уравнения есть многочлен и характеристическое уравнение имеет отличные от нуля решения, частное решение неоднородного уравнения есть некоторый многочлен той же степени, что и правая часть. Так как в данном случае правая часть есть многочлен нулевой степени, то будем искать частное решение в виде у = А , где .А - неизвестное число. Подставив эту функцию-в (3), найдем -ЗА = 6, т.е. А = - 2. Поэтому частное решение неоднородного уравнения есть функция У = -2. Так как сбщее решение неоднородного уравнения является суммой некоторого его частного решения и общего решения соответствующего однороднсгс уравнения, тс сбщее решение уравнения (3) задается формулой у- Cje'3** Caex-2. ▲ Задача 7. Найдите общее решение уравнения у." + 2yJ -Зу = х. (5) Д Так правая часть уравнения есть многочлен . первой степени, то частное решеиае уравнения (5) будем искать в виде у = Ах + В, где А и В - неизвестные числа. Подставив эту функцию в (5) получим 2А - ЗАх --ЗЕВ = х.
щ HCTJ Из этого равенства следует, что ~2А - ЗВ = О, -ЗА = I, и поэтому А - I Л - 2 А.ш - з • в 5 • Следовательно, функция fl IY 2 у = " 3 Х " 5 является частным решением уравнения (5),а общее же решение однородного уравнения (см. задачу 6) имеет вид у = С^е"*** С% е* . Поэтому его общее решение будет иметь вид _Sec . - Задача 8. Найдите общее решение уравнения у"+ у'=2х. Д Рассмотрим характерастическое уравнение Az+Я.= 0. Оно имеет корни Ad= О, А2= - I. Поэтов общее решение однородного уравнения есть функция у = Су + Сов"* Частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде у = (Азе + В)х, т.к. правая часть уравнения есть многочлен первЖтепеди и, кроме того, «yib совпадает с одним из корней характеристического уравнения. Подставив эту функцию в уравнение получим 2А + 2Ах + В = 2х. - Отсвда имеем 2А = 2 2А + В = О , т.е. А = I и В = -2 Поэтому частное решение имеет вид у = -2х + х . Следовательно, общее решение есть функция у = х2 - 2х + Cj + Cg e . AT Упражнения I. Решите уравнения: I) хЯ - 2х' =0 ; 3) Зхм - 2х' - 8х = 0; 5) х'Чх' f х = 0 ; 7) х" -х = 2 ; 9) х* + Эх = 9; 2. Найдите решения уравнений, условиям. 2) х" + бх1 + 6х =0; 4) х" + 4х* + 13х = 0; 6) Xй'- бх1 + 9х = 0; 8) хИ + 2х' = 2 ; Ю) у" + 2у§ + у = х т удовлетвсрящие заданным '. « начальным
1) x" - Зх' + 2x = 0, x(0) = 2, x* (0) = 3; 2) x" + 2x' + 5x = 0, x (0) = x' (0) = I; 3) Xй + 6x' + 9x = 0, x (0) = 2, x' (0) = I; 4) x" + 2x' + 2x'= 0 , x (0) = a, x' (0) =6; 5) x" -x' - 6x = 2, x (0) = I, x'(0) = 0; 6) x" - 9x = 2 -i , x (0) = 0, x' (0) = I; 3. При каких значениях А уравнение xM +otx = 0 имеет решения, удовлетворяющие условиям х (0) = х («)
736 Глава ?' "Комплексные числа и их применения" § L Некоторые сведения о комплексных числах, I. Определения для справок. Выпишем для удобства некоторые уже известные вам'определения. 1) Комплексными числами называются выражения вида 2F= a + в£ , где а и в - действительные (чиола, а /- некоторый символ, удовлетворяющий условию / = - I. Число а называется действительной частью числа а + в£ , а число в - его мнимой частью* Для действительной и мнимой частей комплексного числа г*= а +'* в£ обычно'используются следущие обозначения: а = ^ Z , в = Ite'S* (I) Запись комплексного числа в виде ^г = а + в/ называется алгебраическойфордой этого числа. 2) Комплексное число 2= а - в/- называется сопряженным (комплексно) комплексному числу г= а + в/> 3) Модулем комплексного числа г= а + в/ называется число j/a2 + в2~ и, обознф1ается /g/ : /я/= / а + W/ =№ + в2 (2) Из определения модуля комплексного числа непосредственно вытекает следующее равенство: агг =(а + _в* ) (а - в/) - a2 -W")2 = а2 + в2 = /2£ т.е. £^= /2Г/^ (3) 4) Запись комплексного числа ^г не равного нулк> в виде /vr^ zrss/s:/ # у _ угол между положительной полуосью ОХ и вектором О? (рис. I), называется г тригонометрической формой комплексного <# о числа. Число ~>f называется аргументом L •>■■ комплексного-числа и обозначается ^РдЯ "^ У каадого комплексного числа г ф 0. /^*^- ^ . имеется бесконечно много аргументов: если 9^ - какой-либо аргумент числа 5? , тс все остальные можно найти по формуле ~f = }£ + 2К^ , где "К - любое целое число. Среди всех аргументов комплексного числа 3&- тлеется один и только един, удовлетворяющий неравенствам 0^*"у-О?Г Это значение V аргумента' zs называется главшм и обозначается <&2&?ъ&ф
fy \2Г= гзт (5) йг" связаны соотношением: + Э#9 К = 0, ± I, ± 2, О -£ <а*4ргз*«£ 2&~ Для числа SF = 0 аргумент и тригонометрическая форма не определяются. 5) Для любого комплексного числа 5F 4 0 и любого целого/£ справедлива формула Муавра: 2. Комплексные координаты точки и вектора на комплексной плоскости. Пусть 2Г - точка на комплексной плоскости" (рис. 2) Назовем комплексное число z?= a + ъ1 комплексной координатой точки &г (комплексное.число ^= а * в/ и точка .2Г , изображающая это число, обозначены одной и той же буквой). Комплексное число ^- а.+ ъ1> может также изображаться вектором 0z2? с координатами айв Рассмотрим произвольный вектор 0j2 , равный вектору 02 (рис. 2). Из курса геометрии известно, что равные векторы имеют равные координаты, поэтому координатами вектора Оj^,являются числа а, в.- Вектору TJj^ сопоставим то же самое комплексное число 2Г = а + ъС ,которое назовем комплексной координатой вектора Л 'о* а &> о i*V Таким образом, приходим к следую- />#£, Z щеглу определению: ксмплексно^коо^ина- той вектора АВ (а, в) называется^^^JSSSS^S^^SJ^^3^X^!t^m Так как при сложении и вычитании векторов их соответствующие координаты складываются и вычитаются, тс то же самое справедливо и для их комплексных координат. Точнее, пусть векторы б£ и ОВ имеют комплексные координаты Щ и щ^ , а вектор оС" имеет комплексную координату я*. Тогда г= г+ Я?£. Геометрически это означает, что вектора- это диагональ параллелограмма, построенного на векторах '2? и ^ (рис. 3). Отсщда следует, ЧТО /ж£,+Щь/*£ !*£,/ + &*/.
гъй Пусть sr - комплексная координата вектора S5 = Ш - С&. Тогда & = Ц,- Ш+. Числа з2" и щ^ являются комплексными координатами точек А и В, поэтому комплексная координата вектора равна разности мевду комплексными координатами его конца и начала {.рис. 4). Задача_1^ Найти комплексную координату середины отрезка АВ, если комплексные координаты его' концов равны а^, и ^ соответственно. А Обозначим середину отрезка АВ через Oj (рис. 5h Тогда 5frj = QA + А^ = = 65" + \ АВ. Учитывая, что комплексная />#с. координата АВ равна ^-Щ получим: .А 3. Показательная форма комплексного числа. Положим по определению <*?*>%= &>sy> + £S&zy> (7) Тогда любое комплексное число ^ Ф 0 можно записать в виде 5? = Zr/bwy^ZJZhy) — *2Г&?У (8) Эта форма записи комплексного числа называется показательной или экспоненциальной. Будем рассматривать ее как сокращенную запись тригонометрической формы комплексного числа. Таким образом, если щ^= 2?^*У* и SC, = ^^Ж , то - ^ __ Z^& -г* %<$*r* ^T7 (Ю) (II) Заметим также, что из (10) следует Дадим геометрическое истолкование операции умножения комплексных чисел. Пусть ,2? = ^^^ , с = f^Zr Тогда и^ h/ изображаются и 0JD ссответ- Пусть £? /К = с звр . = /^ &*&*/*{ Если ^ _^ на комплексной плоскости векторами оГ , ОВ и 0<# ственно (рис. 6), тс, учитывая что /fc/=JP^ и /fe?&/= cC+j& находим |(5£| =\u/l=JZ =j/-|0A| , поэтому вектор Л* ffis
A £? 7 /s k$7" \ * v 239 получается из вектора ОА поворотом на jtgjljS и растяжением с нрэффициен- тот/?0 Обратно, пусть вектора ОА и х0в имеют комплексные коорцинаты & = Т^2^ и с = f&^P соответственно. Повернем вектор ОА вокруг т.О на угол jS (если ^/^0, то вращение происходит по часовой стрелке) и /Vfcz. S растянем его с коэффициентом растяже- [ J0 . Полученный вектор 0£> имеет комплексную координату " /S ,//•/ = |oSl = /^ , 'уЛ^*<=^+уА. Отсвда Таким образом, умножение комплексного числа -зг на-комплексное число С равносильно повороту числам (т.е. вектора ОА, изображающего число 2Г~) на угол^== /^^^? с последующим растяжением с коэффициентом растяжения равным \ с \ • Отметим, что треугольники ОА*/ и 0В# ' на рис. 6 подобны с коэффициентом подобия ^ф Обозначим через /?z ( ^ ) вектор, полученный из вектора зг поворотом вокруг т.0 на угол «^ (против часовой стрелки, если о/ >^ и по часовой стрелке, если^-^О).' кия 4. Корни из комплексных чисел. Применяя формулу Ьфавра, легко найти кошлексные корни fa -й степени .из произвольного комплексного числа z/ 0. Пусть I/ = Тогда A/^z- 02) и все корни /£-й степени из^ являются решениями уравнения (В). Так как/^ 0 (в противнем случае 2"= 0, а мы условились не рассматривать этот случай, ввиду того, что прй^?= 0 уравнение fS= 0 имеет единственный Л*-кратный корень *^= 0):,го его можно представить в тригонометрической форме Uf^Pk&zreC+tiuuty иг= 2г fees У ■/• &*f&&y>). Тогда уравнение (12) примет вид Комплексные числа, заданные в тригономет^гческой форме равны, если равны их модули, а аргументы отличаются на 2#к, где к - произвольнее целое число. Поэтому^ = Z и 0*С= у + 2^к,
откуда у = /^sr = /^г и «^ = ~;:~7g (здесь /^5" - арифметический корень из положительного числа ^ ). Обозначим к-й корень Л?-й степени из комплексного числа 5£ через Таким образом, к = 0, +1§ +2i ... Ра^ллчьшз^ всего j^JLSSLHS"^^ ^ ~* • О Действительно, разделим к на /^- с остатком: к =>£^ + р, О^р -s ">^ - I Тогда аргумент.в формуле (14) * 3* *^2Я^К = Jr + ^^ +^rf при к = О, I, ..., /г -I принимает ^ значений. Эти значения различны, так как в этом случае -t? = 0, к = р и для любых двух целых чисел pj и р2 , О ^pj ^ р2 ^ >^ -I (15) .разность соответствующих значений аргумента равна г* + Ц&- ft + *Щ^) = лг-^ -/^л Учитывая неравенства (15), получаем: я у-~ /?/ л* *>* % т.е. данная разность не кратна 2&*. Для остальных целых к (к-^0 или к>- ^-1) имеем к-^+р, 0*p*>jp-I ^ у + **Г< - X+f*P =2tt, поэтому значение корня ^Ут)*- совпадает со значением (/«F^p, где р = 0,1, ...,/£• -I. • Итак, существует /£ различных корней ^-й степени из комплексного числа 5??* 0 t которые даются формулой (14) при к = О', I, ,. .,гН. Рассмотрим частный случай ^= I. При этом равенство (18) запишется в виде: /frjr - ~Г *&+*** *%* (16) Пусть &# = а^р^Ж:V ds^^* ТсгДа п0 Форадле Муавра ^Ф^ = <^^^>^^Г = <Г^ (17) или, в показательней ферме /^^ = &^*** ^^
Zki Из формулы (16) следует, что все корни /#-й степени из I расположены в вершинах правильного /?-угольника, вписанного в окружность единичного радиуса с центром в начале координат, одна из вершин которого £° совпадает с единицей. Найдем все ксрни 3-й степени из I, используя формулу (17): Эти корни образуют вершины правильного треугольника (рис. 7). Б дальнейшем будем также пользоваться обозначением ( /1)^ = <^fcr или для фиксированного /^ просто 4г . к = о, if ..., i*-i. Многоугольники, вершины которых совпадают с корнями из I степени 4 и 6 приведены на рис. 8 и^рис.9 соответственно. 0 -Arl V* i с L Sr ** /*#*. /' <^Ж\ я=- 1 £=£ €*=—£. зг: 1 Т S=-£-¥*Z2 1 ру If х— * ,.—г />#c. S />/fc. ? Обозначим ( вытекает, что )<? через h/O0 Тогда из равенств (14)-(17) (Рщ)<. = uts;
где к = О, I, ..., /2-1. Отсвда ясно , что все корни /£-й степени из г являются вершинами правильного ^-угольника, вписанного в окружность радиуса & = У/^/ ' с центром в начале координат, одна из вершин которого лежит в точке ££й 5. Применение комплексных чисел к решению задач. Приведем пару примеров, иллюстрирувдпх применение комплексных чисел к решению некоторых задач. Задача 2. Найти сумму р-х степеней корней ^-й степени из I. А Так как (Г1)^ = ^ = <?**&!&• £?-*—-£-* */> то ЛГ ^Г= ^Г ■&***&** Рассмотрим два случая: а) р кратно Ж t т.е. р = & где *>- целое число* Товда. к-е слагаемое в рассматриваемой сумме равно gP***&j£ = £&%**? *&. Поэтому вся сумма равна >**, б) р не кратно & . В этом случае искомая сумма представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем £>&&%& # Используя формулу суммы членов геометрической прогрессии, получим: *£? ***&&_ */&"$*-+J #£}, ^ — &**ъ4>&~ ?>' — & > так как знаменатель дроби отличен от нуля. Окончательно ^f ^ -f^ » если Р кратно &■ 4=о ** 1 ® , если р не кратно & А Задача 3. Найти, суммы 2ЕИ&0J**^ =• -/'iu<ws1£ +..• if-c&s/Zat И 1>L <&&/Пб = M0*6 ¥-<&&& &+£•+ ... -t-JbtesZ^ Л Рассмотрим <£~ ^ — -r-s-& -* & -*-•*» -*-c? По формуле суммы членов геометрической прогрессии получаем
2ЧЪ .. откуда, учитывая, что Лй^= & -<? получим: * -* '^г: * .-^и^Л Приравнивая действительные и мнимые части, находим: #=*0 S**% Упражнения.-*^ -^Зг 1. Записать в координатах преобразование поворота плоскости на угол «?<£ вокруг начала координатэ 2. Пусть ^(х) = УЗх "J- - дробно-линейная функция ^ (х) = X + О =/{/{%)), &(х) = ^f/^-I (х)),^= 3, 4, 5, ..., Найти ^>й*?(х). 3. Пусть/(х) = -2L|JS_ ,^(Х) - JLti. , Найти (^)i988 ^* 4. Найти -ST &tefr+*z4/ # Ж <?<zrfy>y<~*z4J. 5. Найти ^ с<яг^ ^ -^j^V5fe^. § 2. Комплексные числа и геометрия Покажем, как можно использовать комплексные числа при решении некоторых геометрических задач. Комплексное число ^/— W~^ является чисто мнимым тогда и только тогда, когда Л^у = I (докажите это самостоятельно). Выведем отсюда, что угол, вписанный в окружность и спирающийся на диаметр, равен *72* О Действительно, пусть /^/= I, т.е. течка ^ лежит на окружности радиуса I. Числа 2* + I =2Г- (-1) и ^- I являются комплексными коор-
ш динатами векторов A2E и B2S соответственно (рис.. 10).^ Так как где с - действительное число. Поэтому угол AZB между-векторами А? и В^ равен " ^/2, при о О при с -< 0 Этот результат легко переносится на окружность произвольного радиуса. Для этого достаточно рассмотреть число /%/= ^g —Л" где К?0- действительное число. В доказательстве было фактически использовано следующее утверждение : Пусть АВ и с35 - два вектора на плоскости, -;s зг и их комплексные координаты, тогда угол «*> между векторами бЭ равен а^-~£ = г&2^? -32> - tz^rjsr^. *^ О Обоснуем это утверждение. Отложим от начала координат векторы оё^ и 0Н2 , равные векторам А? и с5 соответственно (рис. II). Пусть Тсгда«^ = у% - Tz =^^~^^^ = 0grfcr/s&J. При ^ ^ ^ ^0 это означает, что угол отчитывается по часовой стрелке, ф Задача I. Доказать, что три течки Щ, , щ^ , прямой тогда и только тогда, когда отношение действительное числе. ^ Три точки лежат на одной и лежат на одной прямой тогда и только-тогда, когда векторы AjAg и А2А3, имеющие комплексные координаты ^- ^, и зг~ - ' лежат на одной прямой.
л 0 \ ^7/У £&* я? 2к5 />^. Sg При этом они одинаково направлены, если точка лежит между ^3 (рис. 12) и противоположно направлены в противном случае (рис. 13). Таким образом, угол между этими векторами равен либо О, либо &~ , а это и означает, что аргумент отношения izeJzJB*' равен либо 0, либо $f , т.е. это отношение является действительным числом. А Так как равенство зг = se выполняется только для действит. чисел, то условие принадлежности трех течек 5^, , ^^ и S^ одной прямей можно записать в виде: />4ге. S3 — ==& = ^я~ ^ Задача 2. Доказать, что четыре-точки х^, , 2^, ж*в и ^=^ на окружности тогда и только тогда, когда двойное отношение И (19) лежат является действительным числом, Д Векторы А4А1' ^3^1' А4^2 и ^3^2 (Р110- *4) имеют комплексные координаты ^ - г3 соответственно Пусть *С - угол между векторами A JU и A^Aj , J& - между АдА2 и А^А2# По доказанному вы«о
гче Поэтому -ж*- ж# _ g*-gg как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу* Отсюда получаем, что двойное отношение ,— j5^, Докажем теперь обратное утверждение: если двойное отношение f~^"~ z^ тельно, тс точки 2- -*- действи- действительно,. ^> лежат на окружности. Предварительно покажем, что геометрическим местом точек, из которых отрезок AjAjj виден под данным углом у* является дуга окружности (точнее пара дуг, т.к. вторая дуга получается из первой симметричным отражением относительно отрезка АТАР (рис. 15)). у * Построим дугу окружности А,АА2 />#с. '5 , такую 4to><:AjAA2 = 7^* Тогда эсе углы Ajfi^ будут равны *f* как вписанные, опирающиеся на од- нуи ту же дугу» т.е. из всех точек лежащих на дугб AjAA2 отрезок . AjA2 виден под углем *f . Рассмотрим ту полуплосКость, определенную прямой AjAg, в которой лежит дуга AjAA2. Покажем, что точки этой полуплеега, не лежащие на дуге AjAA2 не удовлетворяют данному условию. Действительно, если точка В лежит вне окружности AjAA2, то1 **к-£Цл =¥**<¥, так как угол у -внешний угол ■,•* * ^ ABAg,, аналогично, если точка С лежит внутри круга A-JUU, то <*£AjCA2 = ^£>^так как угол J& " внешний угол . л САА2, Поэтому в данной полуплоскости отрезок AjA^ виден под углем у* из течек дуги AjAA2 и только из них (Во второй пелушюети таким ГИТявл. дута. Aj//^ ). Итак, возвращаясь к нашей задаче, получаем в силу действительности отношения
^e - Щг~ g*- •*** ** *** ф • _ ?Л7 а это и означает, что углы <£ и JZ равны (рис. 14). Поэтому точки A3 и А^ лежат на дуге окружности, из точек которой отрезок AjAg виден под углем об , а это и означает, что течки Щ>, S* , *&3и ^^,лежат на одной и той же окружности. Задача 3. Две соседние вершины квадрата лежат в точках ?г* , 2= Найти остальные две вершины. А Пусть 2^2? - данный квадрат (рис. 16)т Вектор г.г, получается из век- Г^ —>- тора я^Ць поворотом посл_еднего на угол -&J2 против часовой стрелки, что равносильно умножению конллекснок координаты вектора з^начмелоц J>**.¥* ПОЭТОМУ 5*- *$■= Al^-sg ) и 2f^= щ,+ ^ ( ^. - згу. ) Так как 5*,- Ц, = ^ - sa^ , то ^г^ - зэ^, = £ ( ^ - js^). Откуда -S^= *=^+ ^ ( -2^ - z^- ). • А Задача*4. Доказать, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна суше квадратов его сторон. А- \ - Введем систему координат так, как показано Если ^ на рис. 17. и Щ^ комплексные координа- ты двух вершин параллелограмма, тс 2£ = ^, + £%5 - комплексна координата третьей вершины. Гог^^Щ/ + 1041 -рь-з^/Щ~=Щ}+ &+гу.
гчв Задача 5. Найти комплексную координату течки пересечения медиан 4 ABC, если комплексные координаты его вершин равны щ. ^^ и ^ соответственно. Л Пусть 0 - течка пересечения медиан .Л'ABC (рис. 18), точка М - середина отрезка АВ и ^-'комолшмая коордиъшаточкиМ Тогда аг?'= ^?-^^г , . Вектор 2 f^V Wty MC имеет комплексную координату Так как МО = i MC, то комплексна* •координата вектора МО равна ДУУ-Яь ) = = ^Г* откуда •ч^ Задача 6. Дан треугольник ABC. На его сторонах АВ и ВС построены внешним образом квадраты ШКМ и ВСРгр, Доказать, что центры этих квадратов и середины отрезков Mtf7 и АС образуют квадрат (рис. 19) Д Обозначим через &, , ^ , ^ , ^ , 4^^ &£ комплексные координаты точек Op Og, 0gf 04>,и£ й7 соответственно, а через kf и /£' - комплексные координаты точек Mj и Mg"середин отрезков ВС и АВ. Тогда оо2 = ОМт М1°2 (здесь т.О - начало координат) Переходя к комплексным координатам, получим: -i<** уЛ^г. /ЗГ Аналогично:
2k3 Так как ^у" = то ^-* -J* откуда следует, что <& ** & fa -«>• = ^^ -^^- - ^^ -^,= т.е Длл завершения доказательства достаточно показать, что Найдем комплексную координату ^ точки Од. Так как CU является серединой отрезка М47 , то предварительно найдем комплексные координаты ^- и >^ точек М и *? вершины квадратов АВМИ^ и то (см. задачу 3): И " и ^ . Так ksuc BCP# соответственно, ^ = Поэтому -2- — ^ ^^J^V^"^ ^-^ =/%^ Таким образом ^/ •= ^ — ^^ <#3-<Ze = ^ ->^ и четырехугольник 0j020304 - квадрат. Jb Задача 7. Доказать, что если на сторонах д ABC внешним образом построены правильные треугольники, то их центры также образуют правильный треугольник, (риск!) * Пусть щ,, ^з£ ^Х^«^ ■ - комплексные координаты точек От А,В,С,.Й>, ^/5 uj, и2 ветственнс. Обозначим Тогда CCOT- а = гг .&
Используя результат задачи 5, находим комплексные координаты точек 0j , Og и Од : Число а = ^^Ч^ : удовлетворяет уравнению а3 = - I или а3 + I = О, откуда (а + 1)(а - а + I) = 0, так как а ^ - I, тс а2 - а + I = 0, а2 = а - I. Учитывая полученное соотношение, найдем а (^-<^): Так как а = &*^¥= ЯЯТ^^гГл*^, /&/= ^ арг<г^Ж~, тс это означает, что вектор ^з^2 П0ЛУчается из вектсра О^Оj повсрстсм на угол *>^73 против часовой стрелки. Поэтому треугольник' °1°2°3 " пРавильный- ^ Примечание. Этуадачу приписывают Наполеону, и поэтому указанный треугольник называют внешним треугольником Наполеона для треугольника ABC. Упражнения • 1. Проверить, лежат ли точки ^,= 2^ , ж£ = - I + 4£ , 12Г3 = I на одной прямой. 2. Показать, что точки ^ = - 3/> , ^ = 2 - $1 , 5£ = 4 - з£, J^. = 2 -/;* лежат на окружности. 3. Доказать, что точки j^,^, ss.^ и Z^, являются последовательными вершинами"параллелограмма тогда и только тогда, когда 4. Доказать, что середины сторон произвольного четырехугольника
251 являются вершинами параллелограмма. Доказать, что точки тельншли вершинами квадрата .тогда и только тогда, являются последова- когда Доказать, что сумма квадратов двух сторон треугольника ]3авна удвоенному квадрату медианы его третьей стороны плюс половина квадрата этой стороны. Доказать, что сумма квадратов медиан треугольника составляет 5 суммы квадратов его сторон. На сторонах треугольника ABC внешним образом построены квадраты (рис. 21). £ / \ к Точки 0г квадратов, °2°1 02и центры этих СОо Докажите, что 020j = СО. />4Ът 23 X ^3# 9. На сторонах АВ и АС треугольника ABC внешним образом построены-квадраты ШЕ и АС/^ (рис. 22). Течка L - вершина параллелограмма JeA^T. Докажите: a) *r&-L JA; j?& ^#W б)£4Л£б в) /.c-jL^/^ г) Z&JL&&. 10. На сторонах треугольника ABC внутренним образом построены правильные треугольники. Доказать, что их . центры являются вершинами правильного треугольника (рис. 23) (Треугольник О^^з называют внутренним треугольником Налолеона для треугольника ABC). II. Показать, что центры внешнего в внутреннего треугольников Наполеона (см. задачу 7 и упр. 10) совпадав ют между собой и с центром (точкой пересечения медиан) треугольника ABC,
Z52> 12. Доказать теорему Птолемея: в любом вписанном выпуклом четырехугольнике сумма произведений"противоположных сторон равна произведению его диагоналей. § 3. Истерический очерк» Применения комплексных чисел. Впервые выражения вида а + • |^в", где в>0 встретились в связи с попыткой итальянского математика Джерсламс Кардано (I50I-I576) решить задачу о представлении числа 10 в виде суммы двух слагаемых так, чтобы произведение этих слагаемый равнялось 40, т.е. при решении системы линейных уравнений Сх + у = 10 ^ху = 40 Легко убедиться, что эта система не имеет действительных решений: по теореме Виета х является корнем уравнения х2 - Юх + 40 = 0, откуда Xj = 5 +■ H-I5, х2 = 5 - f-I5 . Выражения этого вида появились и в книге Кардане "Великое искусстве, или о правилах алгебры", вышедшей в 1545 г., при решении кубических уравнений пс формулам, носящим в настоящее время егс имя. Сам Кардане называл также величины "софистически .отрицательными" и старался не применять их, так как считал, что они лишены всякого реального содержания. Он, в частности, писал: "Для осуществления таких действий нужна была бы новая арифметика, которая была бы настолько же утонченней, насколько бесполезней". Первые правила арифметических действий над такими выражениями были введены итальянским алгебраистом Бсмбелли в 1572 г. Несмотря на это, долгое время спустя математики продолжали относиться к этим числам с величайшим подозрением, что подчеркивало введенное в 1637 г. французским математиком и философом Р.Декартом название "мнимые числа". Другой выдающийся немецкий математик и философ Г.Лейбниц (I646-I7I6), разделивший с. великим'Ньютоном славу открытия дифференциального и'интегрального исчисления, писал в 1702 году: "Мнимые числа - это прекраснее и чудеснее убежище бе-' жественнсгс духа, почти чте алфибия бытия, с небытием". В 1748 г. Эйлер нашел свею знаменитую формулу &***= c&raz -+ **г&*аг^ носящую теперь егс имя. При х = 2JP" из формулы Эйлера получается удивительное равенстве, связывающее числа <2 , j^n & ; & = I, прс которое американский математик Тс бию Данциг сказал, что сне содержит"саше важные символы: таинственнее единение, в котором арифметика представлена пссредствсм I, алгебра -
253 посредством r-I, геометрия - по средством JP~ , а анализ - посредством ^ ". Эйлером же было введено обозначение £ для /^1 ( & - первая буква французского слева 60&Z4d%&tJz& , что в переведе означает мнимый). В дальнейшем мпимые числа сделались необходимым промежуточным элементом вычислений, т.е. математики получасе их помощью различные новые формулы, а затем в силу сохраняющегося недоверия к этим числам, дередсказывалн полученные формулы заново без использования мнимых чпел! ► В* тс время теория мнимых чисел не была леги- чесген обоснована и допускала двусмысленные истолкования, поэтому Гаусс, которому мы и обязаны названием комплексные числа, е доказательстве основной теоремы алгебры (1799 г.) фактически замаскировал их использование. Позднее, в 1831 г. Гаусс предложил.геометрическую, интерпретацию комплексных чисел, которая позволила дать обоснование многим понятиям теории комплексных чисел. Геометрическое истолкование комплексных чисел независимо от Гаусса и друг от друга было получено такие датчанином Весселем (1797 г.) и французом Аргансм (1806 г.), однако широкое распространение сне получило именно после работы Гаусса. Сам Гаусс еще в 1796 г. решил при помощи комплексных чисел следующую геометрическую задачу: при каких натуральных fr можно построить циркулем и линейкой правильный /fc-угсльник? Заметим, что этой проблемой до Гаусса математики занимались в течение двух тысяч лет, не так и не сумели найти полного ответа. Начиная с XIX века и позже числе применений комплексных чисел значительно возросло. Так, Софья Ковалевская (I850-I89I) решила, используя теорию функций комплексного переменного, задачу с вращении твердого тела вокруг неподвижней течки, решение которой в течение долгого времени не поддавалось jrc#/Uf#M многих математиков и механиков. За это достижение сна была награждена в 1888 г. премией Парижской Академии наук. Н.Е. Чуковский при помощи функции 1¥ = \ (0 + ^ ), которая в настоящее время носит егс имя, вывел формулу для определения подъемней силы-крыла. Вообще, на основании геометрической интерпретации- комплексных чисел легко пенять, что применение.комплексных чисел эффективно в тех областях науки и техники, где приходится оперировать величинами, которые модно представить в виде течки на плоскости или плоского вектора. Оказалось, что таких областей достаточно
15k много. Поэтому в настоящее время комплексные числа (точнее теория функций комплексного переменного) нашли широкое употребление для решения многих вопросов теоретической физики, гидродинамики, аэромеханики, электротехники, кораблестроения, теории упругости, картографии, не говоря уже с применениях в. различных областях самой математики . Большую рель в электрогех>нике играет метод комплексных амплитуд, основанный на замене рассмотрения синусоидальных функций рассмотрением вращающихся векторов на кемплексней• плоскости (обычно подаваемое напряжение задается синусоидальной функцией, т.е. функцией вида /?Jto*fi/&+Y) ). Можно сказать, что все изложение курса теоретических сенов электротехники и других электротехнических и радиотехнических дисциплин базируется на этом методе. Суть метода комплексных ашлитуд состоит в том, что теки и напряжения изображаются векторами на'комплексной плоскости. Укажем на еще одно применение комплексных чисел, на этет раз в технике. В середине XIX века в связи с ростом мощности паровых машин возникла проблема обеспечения устойчивости их работы, так как центробежные регуляторы Мгг7~€С , применявшиеся на машинах малой мощности, сказались непригодными при повышении мощности. Автором первой работы о принципах действия автоматических регуляторов паровых машин был знаменитый английский физик Д.Максвелл. Его статья под названием "О регуляторах" вышла в 1868 голу. Однако Максвелл фактически исключил из рассмотрения наиболее важный для практики случай паровых машин с центробежным регулятором Уатта- , поэтому его работа не имела большого значения для инженеров-практиков. Значи- ' тельнс продвинул решение задачи русский инженер И.А. Вышнеградский в своей статье п0 регуляторах прямого действия", вышедшей в 1876 г. Эта работа заложила основы инженерной теории автоматического регулирования, которая интенсивно развивается и в наше время. В работах Максвелла и Вйпшеградского рассматривались некоторые характеристические многочлены систем от устойчивости которых (определение см. ниже) зависела устойчивость работы самих систем. Таким образом, возникла проблема определить, является ли данный многочлен устойчивым. Задачу об устойчивых многочленах решили английский'доа-
255 тематик Э.Раус в 1875 г. и в конце XIX века словацкий инженер, создатель теории регулирования турбин, А.Стодола. Перейдем теперь к точным-определениям.. Многочлен /*( г) = aQz^ + а^^"^ .... + *- -^ .+ гл а0 > 0, называется устойчивым,'если для всех его корней выполняется условие Л&зе^^О, К = I, 2, ... , #, , другими словами, если все его корни лежат в левой полуплоскости комплексной плоскости ^* Задача заключается в том, чтобы, не вычисляя корни, только по коэффициентам определить устойчив ли данный многочлен. Мы не будем здесь рассматривать доказательство того факта, что положение равновесия или установившееся движение системы (механической или электрической) устойчиво тогда и только тогда, когда соответствующий ей характеристический многочлен устойчив. Рассмотрим теперь в качестве примера доказательство теоремы Стодоли, Теоремы Стодолы. Если многочлен /'(-sr) = a0Z" + a^z + ••-.' + + а^ .г + а^ , ас >- 0 с действительными коэффициентами устойчив, тс все егс коэффициенты положительны. О Как известно, любой многочлен с действительными коэффициентами можно разложить в произведение линейных и квадратных множителей также с действительными коэффициентами: < где Xj, ..., x^f -действительные корни, а каждый из квадратных трехчленов соответствует одной паре комплексно сопряженных корней (попробуйте доказать э.то утверждение самостоятельно, см. также [з] Поскольку любой делитель устойчивого многочлена'устойчив, то все множители, входящие в разложение устойчивы, поэтому из упр. 4 и 5 следует, что их коэффициенты положительны, "а так как коэффициенты произведения получаются из коэффициентов сомножителей с использо- • вашем только операций умножения и слежения, то положительными являются и коэффициенты многочлена ' /*( зг \ф Теорема Стодолы дает лишь необходимые условия устойчивости многочлена, что, конечно, не означает того, что любой многочлен с положительными коэффициентами будет устойчивым. Например, все коэффициенты многочлена & + ;&*'+-г*. + I положительны, однако он не является устойчивым, поскольку действительные части двух егс корней ^,#5? 5Г= i^ равны нулю-
£P6 К сожалению, мы лишены возможности привести здесь достаточные условия устойчивости многочленов так, как даже для понимания их формулировки (без доказательства) требуется знание некоторых понятий,- далеко выходящих-за пределы школьной программы. Таким образом, мы проследили в общих чертах истерию возникновения комплексных чисел г увидели на ряде примерев, что настороженнее и мистическое отношение к ним даже со стороны математиков постегано сменилось широким использованием их сначала в самой математике, а начиная со второй половины ХП века в других областях науки и в технике. Приведем в этой связи высказывание крупнейшего немецкого математика Ф.Клейна (1849-1925), внесшего также значительный вклад и в педагогику математики: "... Физика давне уже перешла к употреблению мнимых' величин, в особенности же в оптике, когда приходится иметь деле с уравнениями колебательных движений. С другой стороны, техники - и прежде всего электротехники с их вектор- диаграммами - тоже начинают в последнее время с успехом пользоваться комплексными величинами. Таким образом, можно утверждать, что применение комплексных величин начинает, наконец, завоевывать праве гражданства в белее широких кругах...". Известный современный американский физик,.лауреат Нобелевской премии Е.БИгнер так'оценил рель комплексных чисел в теоретической физике: "Для неподготовленного ума понятие комплексного ^шела далеко не естественно,, не преете и никак не следует из физических наблюдений. Тем не менее использование комплексных чисел в квантовой механике стнвдь не является вычислительным трюком прикладной математики, а становится почти необходимым при формулировке зако - нов квантевей механики". Б нашем столетии большей вклад в развитие теории функций комплексного переменного и ее приложения внесли многие русские и советские математики и механики. Так, в самолетостроении и аэромеханике комплексными функциями с успехом пользовались Н.Е. Жуковский, С.А.Чаплыгин, В.В. Гслублев и IJ.B. /@4Д*/&ш Г.В. Колосов и Н.И. Мус- хелпшвилп впервые применили комплексные переменные в теории упругости для расчета различных конструкций и сооружений на прочность. Прилсже1шямп методов теории'функций комплексного переменного к задачагл гидродинамики занимались известные советские ученые М.Л.Лаврентьев и Л.И.Седев, а к проблемам теоретической физики К.Н. Бого-
257 любсв и B.C. Владимиров. Про многие из этих приложений трудно содержательно рассказать на школьном уровне, поэтому были рассмотрены лишь самые элементарные примеры. Те из вас, кто продолжит овсе образование в вуза:: технического и физико-математического профиля смогут глубже "ознакомиться с теорией функций ксмплекснсго переменного и ее приложениями в различных .областях науки и техники и даже, возможно, использовать ее методы в своей будущей работе. Упражнения 1. Доказать, что многочлен первой степени с действительными коэффициентами и положительным старшим коэффициентом устойчив тогда и только тогда, когда все его коэффициенты положительна. 2. Доказать утверждение предыдущего упражнения для многочленов второй степени. Определить, являются ли устойчивыми следующие многочлены: з. /до = гV hV/2 ** Литература 1. Алексеев В.Б. Теорема Абеля в задачах и решениях. М., "Наука", 1976. 2. ЕЯ.Ам0##мщ Функции в прирсде и технике. И., "Просвещение",.. 1978. 3. Избранные вопросы математики. 10 кл. Факультативный курс. Под ред В.В. Фирссва. М., 1980. 4. Курант Р., Рсббинс Г. Что таксе математика? ГЛ., "Просвещение", 1967. 5. Маркушевич А.И. Комплексные числа и конформные отображения. М., Гос. изд. физ.-мат: лит., I960. 5. Маркушевич А.И. Замечательные синусы. Введение в теорию аналитических функций. М., "Наука",. 1974. 7. Пснтрягин I.C. Обобщения чисел. М., "Наука", 1986. 8. Постников М.М. Устойчивые многочлены. М., "Наука", 1981. 9. Энциклопедический словарь юного математика. М., "Педагогика", 1985. . ■;* . ' , ' " 10. Яглом Й.М. Комплексные тасла. М., "Наука", 1963. 17.7311.
258 Тлъьь ft* шогогранники 5' I. Понятие многогранника. Элементы многограннике. I." Определение многогранника. Многогранник - ограниченное тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников. На рисунке I изображено несколько многогранников. Рис/Л" а) Параллелепипед б) Призма в) Пирамида х^ Здесь киогоугольником мы называем конечную часть плоскости, ограниченную одной или несколькими-замкнутыми ломаными.
259 г) Параллелепипед с прорезанным квадратным отверстием. д) Многогранник, составленный" из трех кубов. 2. Элементы многогранника. Многоугольники, из которых составлена поверхность многогранника, называются его гранями^. При этом граница грани мозкет состоять из нескольких замкнутых ломаных. На рисунках 1г) и I д) такого типа грани указаны стрелками. Замечание. Мы сказали, что грани многогранника - это многоугольники, из которых составлена поверхность многогранника. Это понятие следует уточнить следуюшим образом: многоугольник на поверхности многогранника называется его дэанью, если 'он не является частью другого многоугольника, так же явжашего на поверхности многогранника.
£60 Без этого"уточнения можно было бы, например, называть гранью куба любой многоугольник, расположенный на его поверхности так, как это изображено на рисунке 2 (этот многоугольник, зашт^йпсо в ан. Рис.2. Многоугольник P$R£Tрасположен' на поверхности куба, но не является ^его. гранью, так как является частью многоугольникаКЬСР (квадрате,также расположенного на-поверхности куба^ Очевидно, квадратМЬСФ - это грань куба. Стороны граней называются ребрами многогранника, а вершины ребер - вершинами многогранника. Грани, ребра и вершины многогранника называются его элемента^. На рисунке 3 изображен тетраэдр и вцпелены его элементы. Рис.3. Элвменты тетраэдра г видимые г^ани заштрихованы,видимые ребр^ изображены ; -. сплошными отрезками,невидимое ffggo ■- штрвдовым отрезком, ве£шиы изображены кружочками.
261 3. Многогранная поверхность. Развертки многогранника. _ , __ Многогранной поверхностью называется поверхность, состав^ ленная из многоугольников (рис.4). /: Рис.4. Многогранная поверхность. * Она составлена из многоугольников. Примером замкнутой-многогранной поверхности может служить поверхность многогранника. Процесс составления многогранной поверхности из многоугольников можно представить себе как операцию склеивания этой поверхности из многоугольников. На рисунке 5 показано, как из четырех треугольников склеивается (составляется) многогранная поверхность - тетраэдр. Стрелками указано, какие стороны треугольников склеивают друг с другом. Рис.5.Поверхность* правильного тетраэдра может быть склеена; из четырех одинаковых равносторонних треугольников.Стрелками указано,какие стороны этих треугольников склеиваются друг с другом.
гьг Правильный тетраэдр составлен (склеен) из четырех равносторонних .треугольников. Набор многоугольников, из которых склеивается многогранная поверхность, называется Р^зве^шкой этой поверхности (разверткой многогранника). На рисунках б и 7 указаны развертки куба, и правильной пятиугольной пирамиды. При этом стороны многоугольников, которые склеиваются друг с другом, обозначены одинаковыми буквами. 9 1 и *, г ! ! к 1 к <* d 1 * 1 t Рис. 6. Развертка куба и куб, составленный (склееный)из этой развертки. Одинаковыми буквами обозначены стороны многоугольников развертки, которые склеиваются друг с другом
263 Рис.7. Развертка правильной пятиугольной - пирамиды. Склеиваемые друг с другом стороны.обозначены одинаковыми буквами. Иногда многоугольники, развертки данного много-" граннйка склеивают так, что в результате получают его развертку в виде одного многоугольника. При этом, конечно, указывается, какие свободные (не склеенные) стороны этого многоугольника должны быть склеены друг с другом. На рисунке 8 лристамвщтакая развертка куба, полученная из развертки, приведенной на рисунке 6, посредством попарного склеивания сторон квадратов, обозначенных буквами 6 , (JL , J^ViL и £• При этом склеенные стороны выделены на рисунке 8 штриховыми линиями. Рис.8. Развертка куба в виде одного многоугольника. •* h е *. ! ! d "? | ! 1 1 « | си и ь
264 На рисунке 9 изображена развертка правильной пятиугольной пирамиды. Эта развертка получена из развертки, данной на рисунке 7, путем попарного склеивания по сторонам многоугольников, обозначенных буквами.CL, р »С ,01 ив . Склеенные стороны вцпелены на рисунке 9 штриховыми линиями. Рис! 9.Развертка правильной пятиугольной пирамиды в виде одного -многоугольника Замечание. У заданного многоугольника имеется бесконечно много разверток. Каждая из его разверток может быть получена из другой, образноговоря, путем перекройки - одну из с разверток можно разрезать на-треугольники так, что путем • склеивания по определенным сторонам полученных треугольников можно перейти к заданной развертке. Доказать это несложно. Попробуйте это'сделать самостоятельно. Достаточно ребра одной развертки окрасить, например, в красный цвет, а ребра другой - в синий, и обе развертки уложить на многогранник. Ну, а что нужно сделатьудвльше - подумайте сами. Задачи. 1. Пусть г - многогранник, вписанный в сферу (каждая его вершина лежит на сфере). Докажите, что каждая гржнь г представляет собой многоугольник, вписанный в окружность. 2. Приведите примеры многогранников, каждая грань которых вписана в некоторую окружность, но сами многогранники ,не являются вписанными в сферу. 3. Нарисуйте.отличные от тетраэдра многогранники с треугольными гранями. Нарисуйте развертки этих многогранников. ,
1 265" 4. Нарисуйте отличный от куба многогранник, все грани которого равные квадраты. Нарисуйте развертку такого многогран- ника. , . ^ - • 5. Может ли развертка^Состоять из равных треугольников? 6. Докажите, что нарисованные на рисунке 10 многогранники являются развертками правильного тетраэдра.4 Рис.10. Ъ/i Развертка правильного тетраэдра, ребро которого равно I. Развертка правильного тетраэдра с ребром-I. 7. Можно ли в цилиндр вписать многогранник, площадь поверхности которого больше, чем удвоенная (утроенная и т.д.) плошадь поверхности цилиндра? 8. Можно ли в сферу вписать многогранник, плошадь которого больше плогоади сферы? § 2. Сечения многогранников плоскостями. Сечения многогранника плоскостями могут иметь.сложную форму.-На. рисунке II приведены примеры сечений. Видно, что они могут иметь неожиданную форму. Ь Рис.11. а) Сечение правильного тетраэдра tплоскостью,параллельной ребрамДСибХ) и проходящей через середины остальных ребер, представляет собой квадрат. Докажите это.
Я66 Pnc.ii б) Сечение куба плосксютью, проходящей через его центр,перпендикулярно главной диагонали, представляет собой правильный шестиугольник. Докажите это. в) Сечение многогранникаТГ плоскостью,проходяшей через £ебраАЪ* С^)и £f .представляет собой два прямоугольника (они' заштрихованы) ,• соедит ненных отрезком АЬ. Отметим, что секушая Плоскость +~ проходит через внутренние точки многогранника И~ (это внутренние точки заштрихованных прямоугольников).
261 Сначала договоримся, что секушие плоскости должны проходить через внутренние точки многогранника. Иначе мы должны относить к "числу сечений грани, ребра и вершины многогранника, что не отвечает привычному слову "сечение". Далее, совершенно необозримы сечения невыпуклых многогранников; Это подтверждают примеры на рисунке II. Поэтому мы ограничимся сене- ниями выпуклых.многогранников. - I. Сечения плоскостями выпуклых .многогранников. Напомним, что многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани. Докажем- следующую^ теорему. •Теорема: Сечение"выпуклого многогранника плоскостью^проходящей через его внутреннюю точку, представляет собой выпуклый _шо_гоугол;ьник.д Доказательство. Очевидно,- сечение будетмногоугольны - ком. Нужно доказать, что он выпуклый. Цусть £ - секушая плоскость (рисЛ2) и ^ - многоугольник, представляющий собой сечение нашего многогранника плоскостью <^. Допустим, что t? - невыпуклый многоугольник/Тогда он располагается в плоскости**- по разные стороны от прямой, проходящей через некоторую его сторон?/АЬ (вершины С и 50 ,например, лежат в плоскости **- по разные стороны от прямой АЬ). Отрезок *^ лежит в некоторой грани нашего многогранника. Рис.12. ИЩИ Тк •?" С — -^" S- ^
268 Пгюведем. плоскостьjb этой грани. Очевидно, что точки С> и а) многогранника лежат где разные стороны от плоскости £ ,что противоречит условию выпуклости многогранника. Таким образом, предположение о невыпуклости многоугольника (Г (сечения) ведет к противоречию с условием выпуклости многогранника. Следовательно; Ф - выпуклый многоугольник. Теорема доказана. 2. Сечения правильного тетраэдра. В начале этого параграфа мы говорили*о разнообразии форм плоских сечений многогранников. На рисунке II указывалось,что в сечении правильного тетраэдра'"плоскостью может получиться квадрат. Изучим более подробно форму сечений правильного тетраэдра плоскостями. Отметим, что сечения тетраэдра плоскостями, проходяшими через его внутренние точки, представляют собой либо треугольники, либо четырехугольники.(рис.13). Рис.13. Сечения тетраэдра плоскостями либо треугольники, либо четырехугольники ' Посмотрим, что представляют собой сечения правильного тетраэдра плоскостями, параллельными двум его скрегоиваюгоимся ребрам. Как мы только что отмечали, одно из таких сечений представляет собой квадрат (рис.На). Рассмотрим теперь сечение тетраэдра плоскостями, параллельными плоскости этого квадрата. Для пояснения наших рассуждений -мы обратимся к рисунку 14, на котором изображен правильный тетраэдр (рис.14а), ребро • которого равно I, и развертка этого'тетраэдра.(рис.146). Заметим, что если ребро правильного тетраэдра равно-I, периметр любого его сечения плоскостями, параллельными двум скрешива- гоимся ребрам, будет равен 2. Чтобы убедиться в этом, можно обратиться к развертке. Видно, ч*зо граница такого сечения - прямоугольника, например, прямо;/1 ольникаИЛЫО,перейдет в от- резок/^ на развертке. Длина такого отрезка равна периметру прямоугольника/МКОи равна 2.
Z69 Рис.14. Петля длины" 2,через которую ''продевается* тетраэдр ^ Ь р ь а)Сечения тетраэдра плоскостями, параллельными ребрам к7) и С Ъ- прямоугольники, имеющие периметр 2 (ребро тетраэдра разно I). Два таких прямоугольника^^ и /,МА/Р изображены на рисунке. Границы этих прямоугольников-молено рассматривать как деформацию петли длины 2,- через которую "продевается" тетраэдр. б) Развертка*тетраэдра а)' с ребром I. Границы прямоугольников?^^о и/MN О "разворачиваются"'в. параллельные отрезки одинаковой длины .2. Замечание.Если представить себе тетраэдр сделанным из какого-либо материала, например, из стали," и поверхность его идеально отшлифованной,то, очевц&но,(если ребро равно I) • этот тетраэдр можно продеть сквозь гибкую и нерастяжимую петлю, длина которой равна 2. Процесс "продевания" тетраэдра можно представить себе так.
no Сначала через петлю, как бы слокенную из двух отрезков длины-2, продевается ребро^Ь. Затем эта петля, приняв форму прямоугольника (рис.14а), скользит по поверхности тетраэдра и затем снимается с него через реброА©. 3. Сечения куба. Сечения куба плоскостями, проходяшими через его внутренние точки, - треугольники, четырехугольники, пятиугольники, шестиугольники. Попытайтесь нарисовать сечения такого вида. На рисунке 116) показано сечение куба плоскостью, проходяшей через его центр перпендикулярно главной, диагонали. Зто сечение представляет собой правильный шестиугольник (докажите это самостоятельно). Изучим подробнее свойства этого сечения и других сечений куба плоскостями, параллельными плоскости указанного шестиугольника. Для определеннобШбудем считать, что ребро куба равно 2. Тогда сторона нашего правильного шестиугольника-сечения будет равна!? (рис.116) так, что периметр правильного шестиугольника равен 6 |JT. Оказывается, если плоскость сечения перемешать параллельно плоскости нашего шестиугольника, то до определенных пределов мы будем получать сечения, периметр которых также равен бИНтобы убедиться в этом, обратимся к специальной развертке куба (рис.15). В текстах-под рисунками 15а),б),в) указывается и обосновывается это интересное свойство куба. Отметим, что указанное свойство куба аналогично свойству сечений правильного тетраэдра, установленного в предьщугоем пункте.
Рис.15. Сечение плоскостью, параллельной плоскости правильного шестиуголь- а) Куб с ребром 2. Секущая плоскость проходит через центр кубаОперпендикулярно главной диагонали GP. В сечении - правильный шестиугольник с вершинами 1,2,3,4,5,6. Периметр этого шестиугольника равен 6и2. Одно из сечений куба плоскостью, параллельной плоскости шестиугольника, изображено штриховой линией.
ггг б) Развертка куба, изображенного на рисунке а). Граница сечения"- правильного шестиугольника - развертывается~'в отрезок, изображенный яркой линией: Вершины сечения- занумерованные-номерами 1,2,3,4,5,6,1 точки (точки 1,1 ■- отвечают одной и тойже вершине-I). Граница сече- ' ния плоскостью, параллельной плоскости правильного шестиугольника, развертывается в отрезок, изображенный штрихом. Видно, что граница сечения имеет периметр, равный длине этого отрезка," которая равна Границы всех^сечений (имеюших периметр б v2), заполняют на развертке заштрихованный параллелограмм. При склеивании из развертки куба стороны этого параллелограмма (обозначенные bfy склеются и указанная полоска расположится на кубе.Как это получится на самом деле,изображено на рисунке в).
273 ' Попытайтесь самостоятельно сформулировать и обсновать аналогичные свойства сечений еше трех многогранников: правильного тетраэдра, додекаэдра,и икосаэдра. На рисунках 16,' 17, 18 изображены эти многогранники и их развертки. Обратите внимание на указания на рисунке 16а). Рис.,16. противоположные грани октаэдра сеч:ения плоскостями, параллельными противоположным граням, имеют одинаковый периметр а) Правильный октаэдр ь б)Развертка правильного октаэдра
•п± Рис. 17. Правильный додекаэдр Развертка правильного додекаэдра (масштаб уменьшен) Рис. 18. Правильный•икосаэдр Развертка правильного.икосаэдра (масштаб уменьшен) , Мы сейчас установим епде одно свойство куба: Оказывается, в данном кубе можно прорезать такое отверстие, через которое может пройти куб, равный данном/. Для доказательства обратимся к специальному сечению куба (рис.19). Примем ребро куба №С#£Р6-Цравным I. Тогда сечение куба плоскостью, проходя- шей через EF и9>С представляет собой прямоугольник со сторонамиЕР = I и£>0 ="1/2. Наглядно ясно,,что при некото- рал " шевелении" плоскости сечения можно получить квадрат, содержащийся в кубе, со сторонами больше I; Поступим так: повернем плоскость прямоугольникаЬЁС-£)так, чтобы повернутая плоскость пересекалась с передней гранью куба (граньА£\\Й) по отрезку^ г , параллельному С/О , а с задней гранью (грань fo^G-C ) .по'отрезку ^5 ,параллельному F(\ Соединяя точки р ,
a 75 Рис. 19... MD = Ш = *,*£=*- ЕслиХ = §, тоРШ -квад- рат, сторонахЦ которого равна —^ . Так как это число больше I, то в квадратР§^$ можно вписать квадрат со стороной I. Такой квадрат изображен штрихованной линией. Если в данном кубе прорезано отверстие, перпендикулярное плоскости квадрата Р8&§ с границей по заштрихованной линии, то,очевидно, сквозь это отверстие пройдет куб, равный данному. О » (^ и S отрезками, получим четырехугольникРбЦ!^,вершины которого расположены на ребрах куба и поэтому сам четырехугольник содержится в кубе. Убедимся, что можно так выбрать секущую плоскость, что четырехугольник?^выбудет квадрат. Наверное, проще всего поступить .так,.Введем т^и взаимно перпендикулярных единичных вектораДР= I ,АЪ = J ,^=X^. _^ Кроме того, обоэначимАР ?Х. Найдем теперь векторыР$ и RS (векторы сторон четырехугольникаP^S ).
816 Имеем Р^-ЛЙ-А?--х4-хЧ ^ *> v Теперь вычислим длины этих векторов (длины сторон четырехугольника P<S?|v$) и угол между ними. Так как длина вектора равна корню квадратному из скалярного квадрата этого вектора,то из формул (I) получаем * , . ■, х Р8 = XlF, Pi - VI ■* 2(1 - К)2 (2) Для вычисления угла следует найти ск'алярное произведение («[, р? ): ' ^ Так как скалярное произведение (r#, rj) равно нулю, то векторы РЦ и Р? перпендикулярны и,следовательно, четырехугольник PGJR5 - прямоугольник (при любом выбореАР = X ).' Если стороны этого прямоугольника будут равны, он превратится, в квадрат. Найдем значение Л ,при котором P#R>£- квадрат. Из (2) получаем нужное соотношение для К (приравниваем РФ и «*>: • 2 Xй = I + 2(1- X )*■ Отсюда , АЯ--АР--:*--*■ ол,е о) При этом значении Л четырехугольникРб?к5 - квадрат. Найдем его сторону PS . Из треугольникаАРФ имеем Р$ = Щ^ор Отсюда и из соотношения (3) получаем Из полученного выражения дляР^видно, что Р8> > I . Можно сделать следующий вывод: так как длина стороны квадрата Рф&% больше I, то в этом квадрате целиком поместится квадрат со стороной I (и даже чуть больше, чем I). На рисунке 19 такой квадрат изображен штрихованной линией. Прорежем теперь в данном кубе отверстие в направлении, перпендикулярном плоскости квадрата P^^S и с границей заштрихованной линии (рисЛЭ), то через это отверстие пройдет куб,равный данному. - х' Так-как V2 * 1,41...,то из (4) следует, что приближенное значение Рб^ -равно 1,056.
zi? Замечание.. Из наших рассуждений следует, что в данном кубе можно вырезать отверстие, через которое пройдет куб,длина ребра которого больше, чем у данного. § 3. Теопема Эйлера. Пусть Р - произвольный выпуклый многогранник, в - число его вершин, £ - число ребер, f - число граней. Эйлером5^ была доказана замечательная теорема. Теорема Эйлера. ,Цля любого выпуклого многогранника €L-^ + f =2 - (I) Соотношение (I)^называется формулой Эйлера. Прежде, чем перейти к доказательству теоремы Эйлера,сделаем несколько, замечаний. В формулировке теоремы Эйлера участвуют лишь числа £ ,' R и -f , относящиеся к элементам выпуклого многогранника - вершинам, ребрам, граням. Поэтому можно обращаться к многогранной 'поверхности, точнее, к числу ее вершин, ребер и граней. Представим себе, что наша многогранная поверхность деформируется, например,'*в сферу (рис.20) Рис.20 , хТ Деформация поверхности выпуклого многогранника в ' сферу.*-Ее можно представить так - пусть поверхность многогранника сделана из гибкого и растяжимого материала.' Затем этот многогранник раздувается - в него накачивается воздух „- и постепенно деформируется в сферу. Сеть вершин и ребер многогранника, переходит, в сеть.на сфере. Леонард Зйлер(170.7-1783) великий математик,физик и астроном Швейцарец по происхождению.Был членом Петербургской академии наук ..Работал в России в I727-I74I и в 1766-1783 гг.
ате При такой деформации сеть вершин и ребер многогранника перейдет в некоторую криволинейную сеть на сфере. Узлы этой сети естественно назвать вершинами сети, линии, соединяющие вершины - ребрами сети. Части сферы, в которые перейдут- грани многогранника, условно можно называть гранями сети. Так как при деформации многогранника числа £., ^и г не меняются, то для полученной на сфере сети также справедлива' формула Эйлера: Вот возникает какой вопрос. На сфере можно представить себе сеть из вершин, ребер и условных граней. При этом любое ребро соединяет какие-то две вершины сети и к любому ребру прилегают две грани. Кроме того, каждая вершина соединена ребром с какой-нибудь другой вершиной. Обозначим С, */и*г соответственно.число вершин, ребер, и граней сети. Будет ли для такой ^на сфере справедлива формула Эйлера (I)? Совершенно ясно, если есть замкнутый выпуклый многогранник,-у которого сеть вершин, ребер и граней имеет такую же структуру, как и-заданная сеть на* сфере, то формула Эйлера для сети на сфере будет справедлива. • Ответ на" вопрос о существовании выпуклого шогогранника с такой же*структурой сети вершин, ребер,и граней, как и у заданной на сфере, дает теорема Штейница , утверждающая, что для казной сети на сфере (удовлетворявшей сформулированным выше условиям) можно указать выпуклый замкнутый многогранник, у-которого сеть вершин, ребер и граней будет иметь .такую же структуру, что и заданная на сфере. Теорему Штейницн мы доказывать не будем. Опираясь на эту теорему и предполагая доказанной теорему Эйлера, мы можем теперь утверждать, что для любой сети на сфере справедлива формула Эйлера (I). ■ При доказательстве.теоремы Эйлера мы будем пользоваться наглядно ясным фактом - при деформации многогранника число Эйлера £ - N, + -f He меняется. Эрнст Штейниц (1871-1928) - немецкий математик.
2» Доказательство теоремы Эйлера. Разобьем доказательство на несколько,этапов. ~ сть Р - выпуклый'многогранник,"в , ^ и т - числа , ребер и граней- Возьмем какую-либо грань $\ много- I, Пусть Р - выпуклый'многогранник, jjo^cy и граней- Возьмем каадм--«лии ipno -^ mnuiu- гранника Р (на рисунке 21 эта граньЛ&ЗД. Затем спроектиру- его вершин Рис.21 емРна грань (5 из точки О .полученной малым смешением некоторой точки на грани $> во внешнюю область многогранника " . Таким образом мы получим многоугольник (грань б?- ), разбитый некоторой сетью, состояшей из вершин и соединяюших их отрезков на простые многоугольники ТЛ , X Рис.22. (рис.22), Грань ^Ч,на которую спроектирован из точки О (см.рис.21) многогранникР ,представляет собой многоугольник,разбитый на многоугольники П Простой многоугольник-многоугольник,граница которого состоит из одной замкнутой ломаной.
г&о 2. Подсчитаем число вершин, ребер и многоугольников только что полученной сети на грани ®> . Число вершин этой сети равно в - числу вершин многогранника р . Число ребер павно к* . Число же*/- миогоугольни- ков Ti , Т^.. „Тл , равно-/-- I, где число-f- - число граней многогранника р. Поэтому число Эйлера в. - %. + т для нашей сети на грани ^ будет на единицу меньше числа Эйлера дляр . Если мы докажем, чтоб. -&+t = I» то,очевидно, будет доказана и теорема"Эйлера. Среди простых многоугольников, на которые разбит многоугольник б^ , всегда найдется такой многоугольник (например, многоугольник Ti на рисунке 22)', что, удалив его из б$ мы снова получим один простой многоугольник б?*. Если, например,' мы удалим из Ц многоугольнике , изображенный на рисунке 22, то оставшийся многоугольнике, т.е. многоугольник ^ЬС-Н К1ЮЬ будет,очевидно, простым. (Попробуйте обосновать существование многоугольникаТ) в обшем случае. Вообще говоря, не каждый из многоугольников Н , .../jl1, выходящих на границу многоугольника Ц , обладает таким свойством. На рисунке 23 изображен многоугольник &> и его развиение на простые многоугольники, из которых *z. не обладает нужным нам свойством). Рис. 23. Простой многоугольник^ разбит на простые многоугольникиТ< , ...,Tf- Если мы удалим изЦ многоугольникTt , то останется простой многоугольникtyi . Если Ее удалим 1^, то вместо одного многоуголь- никаЦ получим два, а*,может быть, и больше многоугольников. Но всегда существует такой многоугольник U , после удаления которого получим простой многоугольник^ . Когда мы удалим м из Ц , то при этом удалим из<д часть ребер и вершин. Это ребра и вершины, не принадлежащие другим многогранникам из числаТ^ , .., ,7f' -%£\\0% что* если мы удалим г^ ребер, то при этом мы .удалим Wj I вершину. Число же оставшихся многоугольников ^ равно jf >- i'. Таким образом,
2&i число ^i вершин многоугольникаfy будет равно €. - ( /и - I)-, число ребер'й* = К - m , а число/^ многоугольников, на которые разбит многоугольник^ , будет равно-/*' - I . Подсчитаем число Эйлерае„ -tf + *fy для Имеем л, JL,/' Таким образом, при операции удаления изМлногоугольника"м мы получаем многоугольник $* с тем Ее числом Эйлера. Проде-- лав такие операцииП-f - I раз, мы придем к одному простому многоульнику, для которого число вершин ёп равно числу ребер Ян » а Ти = I- Поскольку, очевидно, ^«-^*» аТп - ■/, а е- &*• 4' = £*~ ^ *i *т*{-4 , то равенство в-£*^'гУ справедливо. Как отмечалось выше, отсюда следует и справедливость соотношения^-** / = 2. Теорема Эйлере доказана. Дополнение. Развертка выпуклого многогранника. Разверткой называется совокупность простых многоугольников с указанием правила склеивания их по сторонам..При этом склеивание двух отрезков означает, что между их точками устанавливается взаимно однозначное соответствие^ соответствующие точки считаются за одну точку. Предполагается, что выполнены, следующие условия. 1. Склеиваемые отрезки имеют равные длины. 2. Каждая сторона любого многоугольника развертки является стороной одного многоугольника. Два многоугольника, имеющие общую сторону, называются смежными,. , ^-. 3. Любые два многоугольника г и ^ развертки конечной цепочкой многоугольников, в которой каждый предыдущий многоугольник смежный,с последующим, причем первый элемент этой цепочки - многоугольникР* ■* 4.•Если' многоугольники г и ^ имеют общую вершину, то выбор цепочки/ связывающей Р и С{ , можно'осуществитъ так, что все многоугольники этой цепочки имели общую вершину. (рис.24). . . ,
гьг Ptoc.--.24. 5..Число^ вершин, ребер К и граней (многоугольников^ " развертки должно удовлетворять формуле Эйлера: с* - •£ +-£ = 2. Конечно, вершины и ребра (стороны) многоугольников, подлежащие склеиванию, считаются одной вершиной и одним ребром развертки. 6. Сумма плоских углов при каждой из вершин развертки должна быть меньше 360°.• Справедлива следуюшая замечательная теорема, доказанная советским математиком, академиком'А.Д.Александровым, Теорема. Из каурой разверткиv удовлетворяющей перечисленным .выше условиям 1-6; можно склеить единственный (с точностью до положения в пространстве )выпуклый мндгогранник. Единственность этой теоремы в более слабой форме была доказана в 1813 г. французским математиком Огюстом Коши: ■ Теодема: Два замкнутьтуь:выпукльтх ^многогранника,*одинаково составленных пиз соответственно равных граней, равны. Условие выпуклости в теореме Коши существенно. Если отказаться от требования выпуклости, то утверждение теоремы Коши, вообше говоря, не будет справедливым. Рисунок 25 поясняет сказанное.
283 Рис. 25. В -заключение попытайтесь самостоятельно ответить на следуюший вопрос. На рисунке 26 изображен многогранник, для которого число Эйлера€. -£ + г равно-нулю.' При этом каждая грань - простой многоугольник. Нарисуйте многогранник, для которого число Эйлера С -£ + -£ отлично ОТ 2и от О Рис. 26. Для этого многогранника е. = 12,^4 = 24, ~f- = 12 и поэтомуб -Л+ г= 0.
28<i Глава Q. Конические-сечения. § I... Геометрические определения эллипса, гиперболы, параболы. I. Эллипс. Эллипсом называется линия на плоско_сти^ состоялся из всех таких .точек^ для которых 'сумма .расстояний ро двух ранных точек этой плоскости является;постоянной величиной. Данные точки называются фокусами эллипса. На рисунке I изображен'эллипс с фокусами Fi и Р^. РисЛ. .И MP, +МРд,= 2^ Q<CU . Само определение эллипса дает,простой;практический способ его построения. Нужно взять нить, закрепить ее концы в точках Pt и ^, а затем натянуть нить с помотаю карандаша и вычертить карандашом кривую, поддерживая нить в натянутом состоянии. Постоянную величину, равную сумме расстояний от любой . точкиМ эллипса до его фокусов, обозначим-через 2л(М£|+М/£= 2ct), а расстояние между фокусами через 2C(F,/J= 2с) - В силу Первенства треугольника 2С< 2CL,T.e.C<&-, Введем прямоугольную систему координат так, чтобы фокусы рг иР^лежали на оси абсцисс, а начало координат совпадало с серединой отрезка FfPj,рис.2).- *: Рис. 2. •
ZbS Тогда фокусы R и F^ имеют координаты (-CJ0) и (С)0), а расстояния от произвольной точкиМ(х;у) до фокусов выражаются формулами , MF,=Wx+c)V^' , MF^Vt*-cY>+f> Если точкаМ (VM) лежит на эллипсе, топР< + М^= 2*t, т.е. координаты точки М удовлетворяют уравнению Vrx4C)^^' 4 \Лх-с)*+у^ =i cu (i) Если же точкаМ(Х;У) не лежит на эллипсе, toWJ+M/^У 2а,т.е. координаты точки N не удовлетворяют уравнению (I). Следовательно, уравнение II) и есть уравнение эллипса в выбранной системе координат. Стандартным приемом "уничтожения радикалов" это уравнение приводится к виду где & =V^Cr Нетрудно доказать, что уравнения (I) и (2) эквивалентны, т.е. любая точкаМ(X*U), удовлетворяющая уравне-. нию (I), удовлетворяет также и.уравнению (2) и обратно. Уравнение (2) называется каноническим уравнением эллипса, о величины & и % соответственно большой _и малой полуосями эллипса. На рисунке 3 изображен эллипс с полуосями й-и ъ - Рис. 3. Очевидно, начало координат является центром симметрии этого эллипса. Центр симметрии называется просто центром эллипса. Отметим, что уравнение (*-)fA + ^У~ У»)*'- 4 задает эллипс с центром в точке М<?(Х„)уЛ и полуосями £Ьи v • (рис.4) .* Рис. 4. U 'Г
9.BS Если 4 = СЬ(это будет в том случае, когда £ = 0, т.е'. фокусы Ff и ^совпадают), .то уравнение (2) принимает, вид т.е. эллипс является в этом случае окружностью радиуса Л-с центром в начале координат. Таким образом, окружность можно рассматривать как частный случай эллипса. Величина g-X.-^f-Ju'1 называется эксцентриситетом эллипса. Ясно, что эксцентриситет1эллипса заключен в пределах С^в^Х • ^ем ближе £ к единице, тем меньше отношение-^- полуосей эллипса, а значит, тем больше эллипс вытянут вдоль оси(?Х. И наоборот, чем ближе^ к нулю, тем меньше вытянутость эллипса. При £ = О эллипс становится окружностью. Одно из замечательных свойств эллипса связано с его gi^ ректрисами. Директрисы эллипса,заданного каноническим уравнением (2), это две прямые d^ и d^, параллельные оси Оиъ отстоя щие от нее на расстоянии-^, (рис.5). Рис. 5. *~ CL Прямые di и и^- директрисы эллипса.. Возьмем произвольную точку Л, на эллипсе и проведем из нее перпендикуляры ММ,и И М^к директрисам d< и rf^ . Нетрудно доказать, что справедливы следующие'равенства: мм, (3) т.е. отношение расстояния от произвольной точки эллипса до фокуса к расстоянию от этой точки до соответствутошей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса.
2в!Г Это свойство позволяет дать другое определение эллипса: Эллипсрм^ ндзьтвается^линия на плоскости^состряшая _из .всех таких точек^ 'доя которых, отношение^ расстояния дрх данной точки этой njiQCK_o,QTHt называемой фокусом, к расстоянию jio данной прямой _трй;;же пл_оскос постоянной положительной величиной^ ^меньшей рриницы (при этом предполагается, что фокус.не лежит на..директрисе).. 2. Гипербола.' Гиперболой называется•линия на плоскости^ состоящая из всех таких точек^" для которых' модуль разности расстояний, ДР_ двух данных точек этой плоскости '.является^ пострянной величиной. Данные точки называются фокусами гиперболы. На рисунке 6 изображена гипербола с фокусами FJ и К^. Рис. 6. R,F^ ^ Постоянную величину, равную модулю разности расстояний от произвольной точки гиперболы до ее фокусов, обозначим через 2fl~(lMFi -M^l = 2Л), а расстояние между фокусами через 2.G.C R/^.= 2t). В силу неравенства треугольника Zcl<2q.9 T.e.<t«*. Если ввести прямоугольную систему координат таким" же образом, как' и при'выводе уравнения эллипса, то для гиперболы получится уравнение а* Ч1 > (4) где ь = УС~0^ Оно называется каноническим уравнением гипер- больг, • а величины CLn £ соответственно действи/rgльнрй и мни- мой полуосями гиперболы.
гъъ Две прямые, уравнения которых!/ =J&y и U= -1./, являются дсиьщтоташ^ гиперболы. Точка, движушаяся по любой ветви гиперболы, по мере удаления от начала координат сколь угодно близко приближается к асимптоте. На рисунке 7 изображены гипербола, описываемая уравнением (4), и ее асимптоты. *&* •Начало координат, очевидно, является центром симметрии этой гиперболы. Центр симметрии называется-просто центром гиперболы., Отметим, что уравнение OLz^pJ _ Ц£%°)- ./задает гипер- болу с центром в точке M«(XV, J/«), полуосями CL и£ и асимптотами и -ц9= + JL(X- Xc )• Величина £ ="^~ l/V+-£-^ называется эксцентриситетом гиперболы. Ясно, что эксцентриситет гиперболы больше единицы. Прямые ^ и flf параллельные оси Оц и отстояп^ие от нее'на расстоянии А, , называются директрисами гиперболы,заданной уравнением И) (рис.8). Рис. 6. Прямые^ и А,- директрисы гиперболы.
289 Гипербола обладает таким ate свойством,.связанным с директрисами, как и эллипс: для любой точки М гиперболы справедливы равенства (3). гдеММ^Н!^- расстояния от точкиМ до директрисой й^. Это свойство позволяет дать другое определение гиперболы, аналогичное второму определению эллипса: гиперболдй называется линия на_ плоскости^ состоящая из всех таких .точек, для .которых отношение расстояния до, данно_й „точки этой плоскости^ называемо_й фокусом» ,к расстоянию до данной прямой той нее плоскостиv называемой директрисой, является постоянной .положительной ведичиной^ большей единицы. При этом предполагается, что фокус не лежит на директрисе. Заме_чание. В школьном курсе алгебры гиперболой была названа линия, уравнение которой в прямоугольной системе координат имеет, вид и -4? • ^то уравнение отличается от канонического уравнения (4), однако его можно привести к виду (4). Для этого нужно повернуть оси координат на 45°. Новые положения осей координат обозначимОх'нФц* (рис.9а). Рис 9. .j В системе координат Ох'и' уравнение нашей гиперболы принимает вид ,**- .>** На рисунке 96) изображена эта гипербола при^>0.
•Д90 3. Парабола. В школьном курсе алгебры параболой была названа линия, уравнение которой в прямоугольной системе координатОхи имеет вщи =АХ"Ч$Х+£- Дадим другое'определение параболы, не связанное с выбором системы координат. С этой целью вернемся е1де раз ко второму определению эллипса и гиперболы. Пусть на плоскости даны прямая £ 'и точкаг , не лежашая на этой прямой, и пусть требуется найти множест- во всех точектТОя которых отношение расстояния до точки г к расстоянию до прямой Я равно данному положительному числу. Если это число меньше единицы, то искомое множество, как мы знаем, представляет собой эллипс, если бойте единицы, то гиперболу. А что представляет собой множество точек, если данное число равно I? Оказывается, что искомым множеством будет в этом случае парабола. Докажем это. Обозначим буквой Ь расстояние от данной точки F до данной прямой и и введем прямоугольную систему координат так, как показано на рисунке 10. Рис. 10. М1*до
291 На этом рисунке FP- перпендикуляр, проведенный из точки Г к прямой а , начало координат О - середина отрезка RDf ось параллельна прямой ц • В выбранной системе координат точка F имеет координаты (0;&), а расстояния от произвольной точки И (Х\Ю До точки F и прямой и выражаются формулами Если точка И принадлежит искомому множеству, то-П£= I илиМР=МИ, т.е. координаты точки М удовлетворяют уравнению. VvMy-ftr Н'Ий . (5) ьсли же точкам не принадлежит искомомуtмножеству, то МГ4МНи координаты точкиМ не удовлетворяют уравнению (5). Следовательно, уравнение (5) и есть уравнение искомого . множества точек. Возводя обе части уравнения (5) в квадрат и приводя подобные члены, приходим к эквивалентному уравнению . у-#*. (б) Но это уравнение, как мы знаем,является уравнением параболы. Таким образом, искомое множество точек представляет собой параболу. Уравнение (6) записывают в виде Х^-ЛрУ и называют каноническим уравнением параболы. Величина р называется параметром параболы. Если парабола задана "школьным" уравнением U ^ftjfa-Sx +£ , то с помощью параллельного переноса осей координат / рА, ее уравнение приводится к вщу (о); Новые и старые оси координат, а также сама парабола,изображены на рисунке II. Рис. II.ш 1 |ui .
292, Проведенное рассмотрение позволяет дать определение параболы, не связанное с какой-либо системой координат и аналогичное второму определению эллипса и гиперболы. Параболой ^называется динид- на плоскости, состоящая^из всех таких _TQ4QK, дл_я_ которых^отнош^ниэ расстояния до данной точки _9Tqgдл;оскости к ^расстоянию до .данной прямой той^нее пло_с_ко_сти ра_внд _!. Данная точка называется фокусе^ а данная прямая - директрисой параболы. В отличие от эллипса и гиперболы,имеющих по два фокуса и две директрисы, парабола имеет один фокус и одну директрису, jjа рисунке 12 точка F - фокус, а прямая и - директриса параболы, заданной уравнением Ц =±)с . Рис. Т2_ ч * ■• Т Задачи. • . Докажите эквивалентность уравнений эллипса (I) и (2). Докажите равенства (3) для эллипса. ' Выведите уравнение гиперболы (4). Докажите равенства (3) для гиперболы. Найдите координаты фокусов и уравнения директрис гиперболы, изображенной на рисунке 96), в системах координат Qtu и О/у. 6; Докажите эквивалентность уравнений (5) и (6). 7. Найдите координаты фокуса и-уравнение директрисы параболы, заданной уравнением W = СИ** #Х+ С . • I. 2. 3. 4. 5.
293 § 2. Конические сечения. " ' М^— HI I ■ ■ Ч ■ . . I. Конус и коническая поверхность. На рисунке 13 изображен конус - тело, ограниченное конической поверхностью (боковой поверхностью конуса) и-кругом (основанием конуса). Рис. 13. о. . Коническая поверхность образована вращением одной из образующих, например, ОА 'вокруг оси PS конуса. Коническая'поверхность образована всевозможными отрезками, (образующими конуса), соединяющими вершину конуса с точками окружности1основания. Можно сказать, что коническая поверхность получается при вращении одной из образующих вокруг оси конуса. Мы будем рассматривать'теперь коническую поверхность, образованную вращением прямой вокруг пересекающей ее оси (рис. 14). * Рис. 14. Коническая поверхность образована вращением прямой А В вокруг ochSS'- Точка 0 - вершина конической поверхности.
гьч. Такая коническая поверхность неограниченно простирается в обе стороны от вершины. Наша цель состоит в исследовании фигур, которые получаются при пересечении конической поверхности различными плоскостями. Эти фигуры называются коническими сечениями. Для краткости коническую поверхность будем называть конусом. Сначала отметим простой случай, когда секушая плоскость проходит через вершину конуса. В этом случае в сечении юожегг получиться точка (вершина конуса), прямая (образуюшая конуса) или две пересекаюшиеся прямые (две образующие конуса). Перечисленные возможности представлены на рисунках 15 (а,б,в). л В сечении конуса плЪскостью /^получается: а) точка О-- вершина конуса; б) образующая ДА'; в) две образукициеДДи&й1. U/сть теперь секущая плоскость не проходит через вершину конуса и перпендикулярна его оси. Тогда, как мы знаем, в сечении получается окружность (рис. 16).
Риб. 16. 295 Окружность. Если нешого наклонить эту секушую плоскость, то, как оказывается, в сечении получится эллипс. (Рис.17). Рис. 17. > Эллипс. Это будет доказано в.следуюшем пункте. Если наклонять секу- тцую плоскость все больше и больше J то эллипс, получаюшийся в сечении, будет все больше и больше вытягиваться, и когда
2,96 секущая плоскость станет параллельной одной из образуюгоих конуса, в сечении получится не эллипс, а парабола (рис.18). Это будет доказано в п,3 . Рис. 18. Парабола. При дальнейшем увеличении наклона секушая плоскость будет пересекать также и другую часть конуса, которую до этого не пересекала, а в сечении получится гипербола (рис. 19). Этот случай бдает подробно рассмотрен в п'Л . Рис. 19. Гипербола.
297 Отметим, два факта, которые нам понадобятся в дальней- шем:1)если в конус вписана сфера (рис.20), то линия касания сферы и конуса представляет собой окружность, плоскость этой окружности перпендикулярна оси конуса, а все обраэуюшие конуса являеются касательными прямыми к сфере, т.е. прямыми, каждая из которых имеет только одну обшу*> точку со сферой; Рис. 20. Ш/-О&---0С £) если через данную точку проведено'несколько прямых, касательных к сфере,то отрезки касательных от данной точки до точек касания равны друг другу (рис.20). 2. Эллипс как коническое сечение. Пусть секушая плоскость^~ пересекает только одну часть конуса и при этом не перпендикулярна к оси "конуса и не параллельна 'его образующей (рис, 17). Докажем, что линия и ,получаюшаяся в сечении, представляет собой эллипс. С этой целью рассмотрим две вписанные в конус сферы, расположенные по разные стороны от секущей плоскости и касаюшие- сн этой плоскости в точках R и Гд^рис. 21). Обозначим буквами X и#окружности, по которым сферы касаются конуса. Возьмем произвольную точку И на линии t , соединим ее отрезками с' точками F, и г^ и проведем образующую конуса через точку П . Эта образующая касается сфер в точках А и&, лежащих соответственно на окружностях Л и\Ъ . Заметим теперь, что прямаяМ^ка- сается нижней сферы,так-как* лежит в касательной плоскости?Гк этой сфере и проходит через точку р^ касания плоскости/" и сферы. Поэтому отрезки MR, иМА равны как отрезки касательных
£98 Рис. 21. прямых к нижней сфере, проведенных через точку М . Аналогично, отрезкиМ^иМЬ равны как отрезки касательных прямых к верхней сфере, проведенных через точкуП . Итак, Складывая эти равенства, получим MF;-»MFj.sMA+Hb=Ab. Но отрезок АЬ представляет собой образующую усеченного конуса, основаниями которого являются круги, ограниченные окружностями^ и 8 . Если взять другую точкуМ<, на линии £, то образующая /\ft заменится на другую образующую A,6, усеченного конуса, так что будут выполняться равенства Таким образом, для любой точки, линии L сумма расстояний до точек Р, и £ есть величина постоянная. Но это и означает по определению, что.линия £ - эллипс. Точки PJ и Я являются фокусами этого эллипса.
299 3. Парабола как*коническое сечение. Пусть секущая плоскость >г параллельна одной из образующих^ конуса. В этом случае она пересекает только одну часть конуса (рис.18). Докажем, что линия {.Получающаяся в сечении, представляет собой параболу. Впишем в конус сферу, касающуюся плоскости fs точке F (рис.22). Рис. 22. Обозначим - буквой d окружность, по которой касаются сфера и конус, а буквой^ плоскость этой окружности. Плоскость ;g перпендикулярна оси конуса, а секущая плосность^не'перпендикулярна этой оси, поэтому плоскости Л и У пересекаются по некоторой прямойrf. " Возьмем произвольную точку М на кривой'^ и проведем 'отрезок MF и образующую конуса через точку М . Эта образующая касается сферы в точкеЛ' ,лежашей на окружности- <L. Отрезки МРиМЛ/равны, как отрезки касательных прямых к сфере, проведенных через точку М : MF=M>V.
зоо Проведем теперь через точку М перпендикулярМН к плоскости?) и перпендикулярМ/( к прямой Я . Тогда угол МКН будет линейным углом двугранного угла сребромя , образованного пересекающимися плоскостями^ иУ^.' 1 .Обозначим угол между'образующей конуса и осью буквой 1 . Тогда/уМА/= ^ и/КМН = ^ (объясните почему). Поэтому прямоугольные треугольникиМНЛ/и МНК Гавны но катету (M/V- общий катет) и'прилежащему острому углу (^1А/МН=/К,ММ). Следовательно,MN=MK- Из "равенств №F = MW и ]^)А/=МК следует, что Mr =НК- Таким образом, расстояние от произвольной точки М линии t до точки F равно расстоянию от точкиМ до прямой ц . Но это и означает по определению, что линия t - параболе. Тичка р - фокус, а прямая ц - директриса этой параболы. 4. Гипербола как коническое сечение. Рассмотрим теперь случай, когда секущая плоскость %~ пересекает обе части конуса (рис.19) и докажем, что :\шт <t ,получающаяся в сечении, представляет собой гиперболу. Доказательство аналогично тому случаю, когда в сечении получался эллипс. Впишем в каждую из частей конуса сферу так, чтобы эти сферы касались секущей плоскости /*"". Точки касания сфер с плоскостью /"" обозначим R и К( рис.23). ■ i
301 P*c23 ГИ' 7-'fe г Jr. — -
• 302 В отличие от., случая, когда в сечении получался эллипс (п.2), обе сферы расположены теперь по одну сторону от .плоскости^ Обозначим буквами ^ и 8 окружности, по которым сферы касаются конуса. Возьмем произвольную точкуМ на линии £ ,соединим ее отрезками с точками /") и ^и проведем образующую конуса через точку М . Эта образующая-касается сфер в точках/} и В , лежащих соответственно на окружностях^ и ft • Заметим теперь, что отрезки М Fj и MA равны, как отрезки касательных прямых к нижней сфере, проведенных через точку М , а отрезки ЯР^и . MB равны, как отрезки касательных прямых к верхней сфере, проведенных через точку У\ : MF, = MA,. мРд,= М6. Вычитая второе равенство из первого, получим MF<-MFA=MA-Mfc=-A6, отсюда 1MF,-MFX1=A& . Отрезок А8 составлен из образующих Ой и (?&двух конусов, основаниями которых служат круги, ограниченные окружностями л «J» • Если взять другую точку М, на линии-£ , то отрезок А& заменится отрезком Д6, , составленным из двух других образующих ОА)К O&i этих конусов, так что будет выполняться равенство Таким образом, для любой точки линии -£ модуль разности расстояний до точек F, и F, есть величина постоянная. Но это и означает по определению, что линиям- - гипербола. Точки и являются фокусами этой гиперболы. Задачи. 1. Докажите, что если в конус вписана сфера, то линия касания сферы и конуса представляет собой окружность, а плоскость этой окружности перпендикулярна оси конуса. 2. Докажите, что если через данную точку проведено несколько прямых, касательных к данной сфере, то отрезки касательных от данной точки до точки касания равны друг другу.
зоъ 3. Угол между образующей конуса и его осью равен 30°. Секутоая плоскость проходит через точку, лежащую на оси на расстоянии I от вершины конуса. Угол между осью и секушей плоскостью равен^ . а) При каких £ в сечении получается эллипс? парабола? гипербола? б) Найдите расстояние между фо-^ кусами и эксцентриситет конического сечения при^ = 60°. 4. Дусть секушая плоскость пересекает только одну"часть конуса и не параллельна его' образующей; Докажите, что в сечении получается эллипс, опираясь на второе определение эллипса (ферез фокус и директрису). 5. Пусть секушая плоскость пересекает обе чисти конуса. Докажите, что в сечении получается гипербола,- опираясь на второе определение гиперболы (через фокус и директрису); 6. Докажите, что при пересечении цилиндрической поверхности плоскостью, не перпендикулярной и е параллельной оси цилиндра, получается эллипс. . § 3. Уравнения конуса и конических сечений. I: Уравнение конуса .'• В §* 2 щ исследовали конические ' сечения геометрическими методами, не прибегая" к'их.аналитическому описанию. Здесь мы рассмотрим другой подход -аналитический, основанный на уравнениях конических сечений. С этой целью выведем уравнение конуса (более точно, уравнение конической поверхности),* образованного вращением "прямой вокруг пересекаюшей ее оси. Введем прямоугольн.ую систему координат так, как показано на рисунке 24: Рис. 24.
304 начало координат (точка^) совпадает с вершиной конуса, а ось аппликат (ось #2-) с осью конуса. Пусть угол между обра- зуюшей и осью конуса равенd . Возьмем произвольную точкуМ(X, Ч , 2:) и проведем через нее плоскость, перпендикулярнуюКоси конуса, а,значит?- параллельную плоскости ОМ. В сечении конуса получится окружность радиусом i =\Цъ€ <*С (см.рис.24). Если точки М Ос; Ч)%) лежат на конической поверхности, то указанная окружность проходит через точку V[ и, следовательно, координаты точки М удовлетворяют уравнению K^ + y^^Z*^ или x^h/v-** (i) Если же точкаМ(К;^;Й не лежит на конической поверхности, то ее координаты.не удовлетворяют уравнению (I). Таким образом, уравнение (I) и есть-уравнение конуса. Отметим, что этому уравнению удовлетворяют точки как верхней, так и нижней части конуса. 2. Уравнение конических сечений. Е^едем теперь уравнения конических сечений. Возьмем на оси конуса какую-' нибудь точку, не совпадаюшую с его вершиной, например, точку О (0\Oyj), и проведем через нее плоскость^составлявшую с.оовю конуса угол £ (^0*\ ^Jp* )• Ясно, что при заданном У таких плоскостей бесконечно много- Чтобы упростить вычисления, • проведем плоскость-^""так, чтобы она была параллельна -оси 0)С. На рисунке 25 представлено сечение" конуса и пере- секаюшей его плоскости /"""координатной плоскостью Qu£ : Рис.'25. * /fyK\°)Wl)-VMl}
305 ось Рх* направлена "на нас1', т.е. перпендикулярно<плоскости рисунка, прямые £ и с - образующие конуса, лежащие в плоскости Ои%, прямая £ - линия пересечения секушей плоскости JT~ с плоскостью £W« Вектор fj с координатами \ Оу} QX% У:-%си*С$ перпендикулярен плоскости/^-(объясните почему), поэтому уравнение плоскости у имеет вид уемЦ,-(*ЧУЬш'С=0. (2) Уравнения (I) и (2) - это и есть уравнения конического сечения. В самом деле, любая точкаЖХ]У;£)» лежашая на кривой, которая получается при пересечении конуса секушей плоскостью/", ле&ит одновременно на'конической поверхности и & секушей плоскости. Поэтому координаты точки И удовлетворяют как уравнению'(I)"конуса, так и уравнению (2) секушей плоскости. Если же точка М' (jfyi/;*)" не принддлежит коническому сечению, то"ее координаты не удовлетворяют по крайней мере одному из~уравнений (I) и (2).Таким образом, конические сечения описываются двумя уравнениями'- "уравнениями (I) и (2). Однако, сами по себе уравнения (I)" и (2) еше не даютот- вета на вопрос о том, какая линия получается в сечении конуса. Чтобы'ответить на этот вопрос,- мы введем уравнение конического сечения в системе координат на секушей плоскости/-. Выбор соответствующей систеййгтайсйн ниже Раздельно рассмотрим три случая: \\Л< £ < ' 90°- - при таком угле ^ секушая плоскость ^пересекает только одну часть конуса и не параллельна образующей; 2) {£ =/.- при этом секуцая плоскость/" параллельна образующей; 3)о<^<*6~ при таком угле {£ секушая плоскость /""пересекает обе части конуса. Для упрощения вычислений возьмем конус, у которого угол X между образующей и осью равен 45°. Тогдаtyj^ = I и уравнение конуса (уравнение .(I) принимает вид * ***+%**•*'*' <3) D 45°-<1 *£ < 90°. Рассмотрим сначала частный случай, " когда (£= 60°. Тогда уравнение (2) секушей плоскости ^"принимает вид, * . или £ =^L + I . Подставив это выражение для а* в уравнение (3)
506 приходим к уравнению Несложные преобразования приводят это уравнение к вину W "w"=i- -(4) Уравнение (4), как мы знаем, определяет на плоскости Р/СЧэллипс с центром в точке (0)з*)- Нетрудно сообразить, что этот эллипс является проекцией конического сечения на плоскость 0%и. Введем теперь на плоскости ^^истему координат Vхt*U1 следуюшим образом: за начало координат примем точку {?' пересечения прямой-& с осыо#£(рис.26), ось0у'- это* прямая ^ , а ось О1 К* параллелнна оси 0% и направлена т1на нас". Рис. 26. Возьмем произвольную точкуМ* (X1; у') на плоскости J'"'. ПустьМ (Х^Ч ) - проекция точки М* на плоскость Of и . Связь между координатами)(', и1 точкиМ*и координатами Vjiточки Ь\ выражается формулами к см.рис.26). Подставим эти выражения в уравнение (4) и полученное уравнение запишем в виде jl_ + ц±&^ L (б>
зот и# Уравнение (6) и есть уравнение конического сечения в системе координат .О'х'и* на плоскости/^. В самом деле, если точкаМ'(Х') У') принадлежит коническому сечению, то точка М(Х)У) - проекция точкиИ'на плоскость^у - лежит на эллипсе, определяеп^м уравнением (4), а значит X ии удовлет-' воряют уравнению (4). Но тогда/' и у'удовлетворяют уравнению (6), так как это уравнение получено путем подстановки формул (5) в уравнение (4). Если же точквМ'О^^) не принадлежит коническому сечению, то координаты точки М(Х',у ) не удовлетворяют уравнению (4) (так как точка М в этом случае не лежит на эллипсе,определяемом уравнением (4)), и, следовательно, Х; не удовлетворяют уравнению t<?). Итак, уравнение (6) - уравнение конического сечения. Очевидно, оно определяет эллипсу плоскости /""с центром в точке (х' = 0,у'= I) и полуосями у- и!гЗ'. Таким же образом можно показать, что если секутцая плос- кость/^составляет с^осью конуса угол^^, (45°-<:^<;. 90°), то в сечении получится эллипс, уравнение'которого в системе координат 0Vw' на плоскости^- имеет вид [.дай) (т^щ)^ 2)'^, = 45°. В этщ* случае уравнение (2) секущей плоскости ^г" принимает вид *- и - »~ (3: - I) = 0 или £ = Ч +-1- Подставив это выражение для2 в уравнение (3),-получим уравнение проекции конического сечения на плоскость$/у: х"*+ ■#*= (u + .1)2 или ' j *"*"-*■ Ясгно, чтсгуравнение . ; определяет параболу. Введем на плоскости ^систему координат 0'xV,как и в первом случае. При этом связь между координатами точкиМ'(Х', Ч\) и координатами точкиЦ(Х)У) - проекции точки М1 на плоскость ОЦЦ- выражается формулами . ^ Подставляя эти выражения для X и W в уравнение (8), по-
308 лучим уравнение конического сечения в системе координат Рл*у' на плоскости )Г: v ■ » Таким образом, коническое сечение представляет собой параболу. 3- ^<^<45°._ Снова рассмотрим сначала1 частный случай:-" £ = 30°. В этом случае уравнение (2) секушей плоскости можно записать в виде£ = \foU + I. Подставив это выражение для Ъ в уравнение (3), получим уравнение проекции конического сечения на плоскость^су: I , (9) Это уравнение, как мы знаем, определяет гиперболу. Как и в первых двух случаях, введем на плоскости J систему координат ^xV • Тогда „ -у'- и-'1 U1 X -х, у -у , где (х';*у') - координаты точки М', лежашей в плоскости )f4 a (XJJ/)'- координаты ее проекции на плоскость Ctyy. Подставляя эти выражения для X и Ч в Уравнение (9), получим уравнение конического сечения в системе координат С*УУ на плоскости )f\ Таким образам, коническое аечение представляет собой гиперболу с центром в точке (Х*= 0, у'= :-"/"3^t- причем действительная и мнимая полуоси гиперболы равны ^соответственно ■.. Таким же образом можно показать, что если'секушая плоскость ^составляет с осью конуса угол £ (С?< ^< 45°), то в сечении получится гипербола, уравнение которой в системе координат #VV на плоскости у имеет вид, (V- (
SOS Задачи. 1. Выведите уравнение конического сечения в системе координатами'на плоскости /""при произвольном значении угла £, из интервала 45°< £< 90° (уравнение (7). Найдите эксцентриситет эллипса и координаты фокусов, 2. Выведите уравнение конического сечения в системе координатQx'jj1 на плоскости/"" при произвольном значении угла £ из интервала 0<£< 45° (уравнение (№). Найдите эксцентриситет гиперболы и установите, какие он. может принимать значения. 3. Цилиндрическая-поверхность радиусом Ц, перемена плоскостью f ъ составляющей угол ^ с осью цилиндра. Введите на плоскости у^ подходящую систему координат и выведите уравнение эллипса, получаюшегося в сечении,в этой системе координат. Найдите полуоси и эксцентриситет эллипса. , Литература , 1. Гильберт Д.С.,Кон-Фоссен С, Наглядная геометрия (перевод с немецкого). М. :Наука, 198]г,Глава I. 2. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. М.гНаука, 1987 г.,Глава 6,§§-1-3.
'зю Глава 40 • Об аксиомах геометрии §1. Основные понятия а аксиомы. Аксиомы принадлежности в нашем курсе геометрии I. Основные понятия и аксиомы. Как мы знаем, аксиомы геометрии представляют собой исходные понятия, на основе которых строится вся геометрия, т.е. путем логических рассуждений устанавливаются свойства геометрических фигур. Вместе с так называемыми основными понятиями они ооразуют фундамент для построения геометрии. В аксиомах выражены свойства основных ге-. ометрических понятий, к таковым в нашем курсе относятся понятия точки, прямой, плоскости, а также следующие отношения меж-' ду ними: "принадлежность", (или "лежать на"), "лежать между" и "наложение" (см. [3}^ приложение 2). Определения основных понятий не даются, а их свойства выражаются в аксиомах. Можно поэтому сказать, что основные понятия как бы определяются ак- ( сиомами. Используя основные понятия и аксиомы, мы даем определения новых понятий, формулируем и доказываем теоремы и таким 'ббразом изучаем свойства геометрических фигур. Ниже мы приводим полный список аксиом или, как говорят, систему аксиом нашего курса геометрии и рассматриваем примеры доказательства. теорем, основанные на этой системе аксиом. Отметим, что возможны различные системы аксиом геометрии, отличающиеся друг от друга выбором основных понятий и самих предложений, принимаемых за аксиомы. При этом,может оказаться, что одно и то же предложение попадает в.одном случае в число аксиом, а в другом случае - в число теорем. В научной литературе наиболее распространенной системой аксиом геометрии является система аксиом известного немецкого математика Д.Гильберта, изложенная им в его классическом сочинении "Основания геометрии", которое вышло в свет в 1899 г. эта книга переведена на русский язык (см. £б} ). Она в 1903 г. была удостоена Международной премии имени Н.И.Лобачевского. В нем впервые четко перечислены основные понятия геометрии и дан список аксиом, достаточный для логического построения геометрии. Исследования Гильберта оказали См. список литературы в конце главы.
Sit большое влияние на формирование аксиоматического метода, который применяется не только в геометрии, но и во всех разделах .математики/Можно сказать, что с "Основании геометрии" Д.Гильберта начинается современный аксиоматический метод в математике. Изучение геометрии по книге Гильберта затруднено в силу сжатости и локаничности изложения. В учебной литературе обычно принимают системы аксиом, отличные от системы аксиом Гильберта. Так обстоит дело и сжсиоматикой нашего курса. Эта аксиоматика отлична от аксиоматики Гильберта, хотя некоторые основные понятия и аксиомы в этих двух аксиоматиках совпадают. Систему аксиом, отличную от принятой в нашем учебнике, можно найти, например, в учебнике А.В.Погорелова "Геометрия 6-10" (см. £§] ). В отличие- от нашей системы аксиом, основными понятиями в курсе геометрии А.В.Погорелова, наряду с понятиями точки, прямой,плоскости, принадлежности, лежать между являются длина отрезка и градусная мера угла. В нашем же курсе, как было отмечено выше, основным является понятие наложения, а дайна отрезка и градусная мера уже вводятся с помощью этого понятия. Вце одна система аксиом рассматривается в пробном учебнике А.Д.Александрова, А.Л.Вернера, В.И.Рыжика "Геометрия" (см. £4) ). В этой системе аксиом одним из основных понятий является понятие отрезка, а прямая определяется в помощью отрезков. 2. Аксиомы принадлежности. Рассмотрим теперь первые аксиомы нашего курса геометрии, которые характеризуют взаимное расположение точек, прямых и плоскостей. В этих аксиомах выражены свойства отношений принадлежности точки и прямой, а также точки и плоскости, поэтому эти аксиомы называются аксиомами принадлежности. I.Ha каждой прямой и в каждой плоскости имеются точки. Точный смысл аксимоы следующий: на каадой, прямой существуют по крайней мере две точки и на каждой плоскости существуют по крайней мере две точки. 2. имеются по крайней мере четыре точки, не лежащие на одной прямой и в одной полуплоскости. 3. Через любые две точки проходит прямая, и притом только
3« одна. 4. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. 5. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. 6. Если две плоскости имеют общие точки, то они имеют общую прямую, на которой лежат всё общие точки этих плоскостей. Пользуясь аксиомами принадлежности можно строго доказать многие.наглядно очевидные утвервдения, которые неоднократно использовались нами .в курсе геометрии без доказательства. Рассмотрим некоторые' из них. 1°. Существуют по крайней мере три точки, не лежащие на од- • ной прямой, О По аксиоме 2 существуют по крайней мере четыре точки А , Ь » С »./' и Д) , не лежащие на одной прямой. Пусть Л- - прямая, проходящая через точки А. и Ь . Тогда по крайней мере одна из точек С или 0 не лежит на прямой CL . Пусть, например, С Ф G* . Тогда точки А , Ь , и С не лежат на одной прямой. Утвервдение доказано. # 2°. Существует по крайней мере одна точка^ не лежащая на данной плоскости. О Пусть#С- данная плоскость. Предположим, что утверждение неверно, т.е. все точки пространства лежат в плоскости еС . Тогда не будет выполнена аксиома 2» т.к. по этой аксиоме существуют по крайней мере четыре гочкц, не лежащие в одной плоскости, значит, наше предположение неверно, т.е. имеется хотя бырдна точка, не лежащая в плоскости *6 . • Несколько сложнее доказать следующее утверждение. ■ 3°. На каждой плоскости существуют по крайней мере три -*очки, не лежащие на одной прямой. О Пусть t/L - данная плоскость. По аксиоме 2 на этой плоскости существуют по крайней мере две точки А и Ъ ..По свойству 2° имеется точка С ' > не лежащая в плоскости аС. Точки A t Ь и С не лежат на одной прямой (объясните почему), поэтому по аксиоме 4 через.эти точки проходит плоскость, которую обозначим буквой jb (рис. I). По свойству 2° вне этой плоскости имеется точка ® .
3i3 ' Точки и , С и л) не лежат на одной прямой, следовательно, по аксит оме 4, через эти точки проходит некоторая плоскость 2Г • Плоскости ^ и У не совпадают (так какС£У7£^) и имеют общую точку А , поэтому,по аксиоме 6, они имеют общую прямую &. По аксиоме I, на прямой CL, кроме точки А , лежит по крайней мере' еще одна точка Ь Ал Г ГИС. 1 , О и t - искомые точки. В самом деле, эти точки лежат в плоскости^ и не лежат на одной прямой, т.к. плоскости ^/Ь и 2Г* не совпадают (объясните, почему), и поэтому точка £> не лежит на прямой А£ . Утверждение доказано. ® Говорят, что прямая лежит в плоскости (или плоскость проходит, через прямую), если любая точка прямой лежит в плоскости. Из аксиомы 5 следует, что если две точки данной прямой лежат в плоскости, то данная прямая лежит в плоскости. Напомним, что в курсе стереометрии мы доказали следующую теорему: через прямую-и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна (см: [з] , введение, п. 3). Доказательство этой ,теоремы, приведенное в "геометрии 9-10", можно строго обосновать, пользуясь аксиомами I, 3, 4 и 5. Попробуйте это сделать самостоятельно. Докажем вторую теорему, которая приводится в учебнике без доказательства. Теорема. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. О Доказательство. Пусть Л и Ь данные прямые, которые пересекаются в точке И . Докажем сначала, что через эти прямые проходит некоторая плоскость. По аксиоме I, на прямой Р , кроме точки М , имеется по крайней мере еще одна точка N , которая, очевидно, не лежит m прямой &. Через прямую Ли точку Ы проходит некоторая плоскость «^ . По аксиоме 5, прямая Ь лежит в плоскости <А- . Докажем теперь, что через прямые Л- и.:Ф проходит только одна плоскость. Действительно, если плоскость проходит че-
314 рез прямые (L и Ь , то она'проходит через точку Д/ » поэтому эта плоскость по предыдущей теореме совпадает с плоскостью #С. Теорема доказана. Ф Попробуйте аналогично предыдущему, используя аксиомы, решить следующие задачи. Задача I. Докажите, что имеются точки, не лежащие на данной прямой и в данной плоскости. Задача 2. Докажите, что на кавдой плоскости имеются по крайней мере три прямые,- не проходящие через одну точку. Задача 3. Докажите, что имеются прямые, не дажащие в данной плоскости. Задача 4. Точки А , Ъ в С , не лежащие на одной прямой, лежат в плоскости •£■ , а точка ^ не лежит в этой плоскости. Докажите, что любые три из четырех.точек А , Ь , С и ^ не лежат на одной прямой. ; Задача 5. Докажите, что в пространстве существуют по крайней мере четыре плоскости, НВ проходящие через одну точку. Задача 6. Докажите, что в пространстве имеются по крайней мере шесть прямых. Задача 7. Докажите, что имеютсяm крайней мере две скрещивающиеся прямые (т.е. прямые, не лежащие в одной плоскости). §2. Аксиомы порядка в нашем курсе геометрии I. Аксиомы порядка. В следующей группе аксиом, называемой аксиомами порядка-^, выражены свойства отношения "лежать между", которое является основным отношением. Предполагается, что точка на прямой может-находиться в известном отношении к двум другим точкам этой же прямой; это отношение выражается словами "лежать мезвду". При этом, говоря "Точка Ь лежит между А и С " (пишут коротко так:А - й> - С )i имеется в виду,-что А , Ъ , С - различные точки, и точкаЪ лежит между А и-С . Если точка Е> лежит мевду А и С , то иногда 1} Пользуясь этой группой аксиом, можно установить по- - рядок точек на прямой, т.е. для точек прямой ввести отношение "предшествовать" или "следовать за". Поэтому аксиомы этой группы называются- аксиомами порядка.
говорят, что точки А и d лежат по разные стороны от точки ft . а если A i Ь , С- три точки црямой,и точка Е> не лежит мевду А и С , то говорят, что точки А и С лежат по одну сторону от точки Е> . 7. Из трех точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими. 8. Каждая точка О прямой разделяет ее на две части, называемые дополнительными лучами, так, что любые две точки одного и того же луча лежат по одну сторону от точки 0 , а любые две точки разных лучей лежат по разные стороны от точки О . / Точный смысл этой аксиомы следующий: кавдая точка О прямой <*-разделяет множество всех точек прямой GL, отличных от точки О , на два подмножества, удовлетворяющих условиям . аксиомы. При этом предполагается, что в каждом из этих подмножеств имеется хотя бы одна точка. Напомним, что отрезком АЬ называется геометрическая фигура, содержащая точки А и Е* и все точки прямой А©, лежащие мезвду А и Ь .; Пусть прямая CL ;и отрезок АЬ расположены в одной плоскости. Если отрезок АЬ не имеет общих точек с прямой Л*, то . говорят, что точки А и-fc лежат по одну сторону от прямой CL; если же отрезокДЬ пересекается с прямой в некоторой своей внутренней точке, что говорят, что точки А и Ь лежат по разные стороны от прямой CL. Аналогично вводятся понятия jto- чек, лежащих по одну сторону или по разные стороны от плоскости (см. £з} , приложение 2). 9. Каждая прямая CL , лежащая в плоскости, разделяет эту плоскость на две части, называемые полуплоскостями, так, что любые две точки одной и той же полуплоскости лежат по одну сторону от прямой Л~, а любые две точки разных полуплоскостей лежат по разные стороны от прямой CL . Аналогично аксиоме 8 разъясните точный смысл этой аксиомы. Ю- Каждая плоскость *^ разделяет пространство на две части, называемые полупространствами, так, что любые две точки одного и того же полупространства лежат по одну сторону от плоскости *С, а любые две точки разных полупространств лежат
316 no разные стороны от плоскости "С . При этом точки плоскости <£ не принадлежат ни одному из указанных полупространств. Плоскооть,<?С называется границей каждогр из полупространств. Докажем сначала следующее утверждение, которое часто используется при решении задач. Справедливость этого утверждения непосредственно усматривается из чертежа, поэтому в нашем курсе геометрии мы его не доказывали^?.' Теорша I. Если прямая лежит в плоскости треугольника, не проходит через его вершины и пересекает одну из его сторон, то она пересекает еще одну из сторон треугольника и не имеет общих точек с третьей стороной. О Доказательство. Пусть А ЬС -данный треугольника СС- пря- •"" мая, которая пересекает сторону А & (рис. 2). По условию теоремы, точки А 9 fo и С не лежат на прямой Л- , поэтому они являются точками полуплоскостей MiH M^c общей границей Л-. Так как точки А и £> лежат по разные стороны от прямой CL, то эти точки принадлежат разным полуплоскостям. Пусть,' например, А £ \-\л , a fofc.M^.- Возможны два случая: либоС^Й*!, либо Сё Нг. (на рисунке 2 изображен только первый случай). В первом случае,, оче- * видно, прямая &- пересекает сторону 6Си не имеет общих точек со стороной АС треугольника А ЪС . во стором случае прямая С\-пересекает сторону АС 'и не имеет общих точек со стороной to С треугольника /\ЪС Теорема доказана.1' • Аксиомы принадлежности и порядка позволяют строго обосновать ряд наглядно очевидных утверждений, в частности, доказать, -^В аксиоматике' Гильберта это утверждение является аксиомой-. Она называется аксиомой Паша. (Мориц Паш (1843-1930). Немецкий математик, один из основателей аксиоматического метода е математике).
3IT .что отрезок, луч, полуплоскость,- прямая, плоскость, полупрост-- ранство содержат бесконечно много точек. Но для этого необходимо сначала доказатьдве теоремы. Теорема 2. На любом отрезке имеется хотя бы одна точка. отличная от его кондова О Доказательство.- Рассмотрим данный отрезок Ab и.возьмем точку Q , не лежащую на прямой АЬ (см. утверждение 1°, § I). Рассмотрим луч, дополнительней к лучу СЪ (аксиома 8) и возьмем на этом луче точку Х> . Тогда, очевидно,Ь -С -Ъ (рис.3)- Возьмем далее луч, дополнительный к; лучу А7> и на этом:луче отметим точку £ . Ясно, что А - £ -а) . Точки А , t> ^t (L , Х> и £ лежат в плоскости А ЬС. Точки А , fc> и Я) не лежат на прямой Сt (объясните, почему). Так как £> - С- - # , то прямая d£ пересекает сторону треугольна- РисД каАЬ#(см. рис. 3). По теореме.I, прямая С Е пересекает одну из сторон .А О либо Ад? этого треугольника. Ebb -А - X) , поэтому, по аксиоме 7, точка Е не лежит на отрезке А>0 , т.е. прямая С £ не пересекает сторону А^« Отсюда следует, что прямаяСГ пересекает сторонуАЬв некоторой точке ХЛ . это и означает,,что на отрезке АЬ имеется точка. Теорема доказана. 9 Используя аксиому 8, решите следующую задачу. . ЗадачаJ3. Докажите, что если точкаd лежит на отрезке АЬ, то отрезки ACL и С-в , кроме точки С ,* не имеют других общих точек. j Теорема 3. Если точка И лежит на отрезке АЬ, а точка N/ лежит на отрезке АИ , то точка N/ лежит на отрезке АЬ . О Доказательство. Так как А - ^ - ^ » то. ■ иМЬ- дополнительные лучи. Докажем, 4toW - точка луча АН. В самом деле, (\ -N -И , поэтому, по .-аксиоме-7, точка М не лежит-между точками А и iVi , т.е. А и VS лежат-по одну сторону от'точки И . Отсюда и следует, что№ - точка- луча МА . Таким образом., N-м-Ъ. . .
31& " 4 Так как A -W - М , то NA и М - дополнительные лучи. Точка Ь лежит на дуче NN. (так как М - N - Ь , поэтому М и to лежат по одну сторону от точки N ). Итак, А - точка луча WA , а Ь - точка дополнительного луча(//И, следовательно, A _W _ £> t т.е. точка М лежит на отрезкеАЬ. теорема доказана. Ф Пользуясь теоремами 2 и 3 легко доказать, что любой отрезок содержит бесконечно много точек. В самом деле, пусть АЪ - данный отрезок. По теореме 2, имеется точка М^ , лежащая на,этом отрезке. По той же теореме, имеется точкаН^ , лежащая на отрезке AMt, no теореме 3, точка Иг. лежит на от- ' резке A to . Таким образом, на отрезке А Ъ имеются две точки Mi rMt . Теперь рассмотрим точку М^ , лежащую на отрезке АМ^ и аналогично предыдущему докажем, что точка М^ лежит на отрезке A to . Продолжая рассуждения, мы получаем бесконечную последовательность точек Mi , И.^ , И^ , ... , которые лежат на отрезке A to . Теперь уже легко доказать, что прямая и плоскость содержат бесконечно много точек. В самом деле, по аксиоме I, на каждой прямой имеются по крайней мере две точки А и £> . Ясно, что каждая точка, лежащая на отрезке АЬ, лежит и на прямой . Отсюда следует, что прямая содержит все точки отрезка АЬ , т.е. содержит бесконечно много точек. Аналогично, пользуясь утверждением 3° § I, мы убеждаемся в том, что плос-г .■ кость содержит бесконечно много точек. Аналогично доказывается, что луч, полуплоскость и полу-, пространство содержат бесконечно много точек. Но для'этого предварительно следует решить следующие задачи. Зааача_9. Точки А и Ъ лежат на данном луче. Докажите, что все точки отрезка A to лежат на данном луче. Задача_10. точки А и to принадлежат данной полуплоскости. Докажите, что все точки отрезка Ato принадлежат этой полуплоскости. Верно ли утверждение; что все точки* "Принадлежат этой полуплоскости? Задачами. Точки А и to принадлежат данному полупространству. .Донажите, что все точки отрезка АЪпринадлежат этому полупространству. Верно ли утверждение, что все точки прямой A to принадлежат этому полупространству?
319 § з. Угол, многоугольник, многогранник. I. Внутренняя область угла. Напомним, что угол - это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Если эти лучи, стороны угла, не лежат на одной прямой, то угол называется неразвернутым.,из курса планиметрии мы знаем, что неразвернутый угол разделяет плоскость на две части, одна из которых назывется внутренней, »а другая - внешней областью угла. Эти понятия в 6-ом классе мы вводили на основе наглядных представлений, связанных с рисунком - изображением угла. Попробуем их ввести чисто логическим путем, не опираясь на рисунок. Пусть т» я - данный неразвернутый угол. Рассмотрим шве полуплоскости Ц и К , связанные с этим углоь/f. Сторона т) уГла принадлежит границе полуплоскости И , а сторона к. (рис. 4, а). целиком принадлежит этой полуплоскости Pmc.Ii множество всех Аналогично, сторона к угла принадлежит границе полуплоскости К , а сторона п - целиком принадлежит этой полуплоскости (рис. 4, б). Внутренней областью угла *х. называется общая часть двух полуплоскостей Н и К , т.е. точек плоскости угла, которые принадлежат как полуплоскости И , так и полуплоскости К (рис. 5). Докажем, что внутренняя область неразвернутого угла содержит бесконечно много точек. Для этого воспользуемся утверждением, сформулированным в следу- ^S^^\X\\141 ющей задаче. ^ ^ РйС-ь" Задачей. Точки А и (Ь лежат на разных сторонах ке- развернутого угла. Докажите, что любая точка, лежащая на отрезке А Р> .„лежит :во внутренней области угла. Теперь ясно, что внутренняя область неразвернутого угла содержит бесконечно много точек. В самом деле, отметим две
3Z0 точки А и & на разных сторонах угла. Все точки, лежащие на отрезке Afo, лежат во внутренней области данного угла. Мы знаем, что их бесконечно много, поэтому внутренняя область данного угла содержит бесконечно много точек. Определим внешнюю область неразвернутого угла. Внешней областью данного неразвернутого угла называется множество всех точек-плоскости этого угла, каждая из которых не принадлежит этому углу и его внутренней области. Задача_13. Докажите, что внешняя область угла содержит бесконечно много точек. £адача_14. Точки А иР принадлежат внутренней области . данного угла. Верно ли утверждение, что все точки отрезка принадлежат этой области? Задача_15. Точки А и *Ь принадлежат внешней области данного угла. Верно ли утверждение, что все точки отрезкаАЬ принадлежат этой области? 2. Внутренний луч угла. Понятие внутренней области угла используется для обоснования понятия внутреннего луча угла. Говорят, что луч и -'внутренний луч утла п к. , если он исходит из вершины угла nit и целиком лежит во внутренней области этого угла. В нашем курсе геометрии мы говорили, что луч L делит угол Aft- на два угла . В следующих задачах указаны некоторые свойства, связанные с этим понятием. Они наглядно очевидны, поэтому в. нашем курсе мы их не доказывали. ^ 2адача_16. Точка М принадлежит внутренней области угла Д(?(Ь. Докажите, что луч#М является внутренним лучом этого угла. Задача_17. -Точка М принадлежит внешней области угдап^б. Докажите, что все точки луча#М принадлежат внешней,области угла. За£ача_18. Докажите, что внутренний луч данного угла пересекает любой отрезок, концы которого лежат на разных сторонах данного угла * ' риС g (рис. 6).
321 Задача_19. Лучи ft- и £ имеют общее начало с лучом п и лежат в одной полуплоскости с границей, содержащей п . Докажите, что либоИ - внутренний луч. угла£# (рис. 7, а), либо . £ - внутренний луч угла &к (рис. 7, б). Рис* Задача_20. Луч £ является внутренним лучом угла п £. докажите, что углыnt и £к.не имеют общих внутренних точек. Задача__21. Луч ОМ- внутренний луч -угла АО*Ъ . докажите, что лучи АО иОЬ лежат в разных полуплоскостях с общей границей О М . За£ача_22. Луч £- является внутренним лучом угла Аk Дговну тренним лучом угла Л £ . Докажите, что m -"внутренний луч угла П. . 3. Внутренняя область многоугольника. Напомним, что многоугольником A fAz^-A* называется фигура, которая составлена из отрезков А-» Аг,А t Л3 . ..Дим А и , A*A<i так, что смежные отрезки (т.е. А*А^и А*А* , А*.Аз и А3А4, ... ,4и.гАи и А и А-1 ) не лежат на одной прямой," а несмежные отрезки не имеют общих точек (см. £2} , глава П, § I). Мы знаем, что любой многоугольник разделяет плоскость на две части, одна из которых называется внутренней, а другая - внешней областью многоугольника. Эти понятия в седьмом класое мы вводили на основе наглядных представлений, связанных с рисунком - изображением многоугольника. Оказывается,' что так же, как и для углов, их можно ввести строго логическим путем, не опираясь на рисунок. Но в общем случае многоугольника это сделать довольно трудно', поэтому здесь мы ограничиваемся только наиболее простым случаем, когда многоугольник.является выпуклым. Напомним, что многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины. На рисунке 8 ^i^^y.4 изображен выпунлый пятиугольник Т \^з А<1^АзАнАь- . в самом деле, если //л//////[///// рассмотреть произвольную сторону av **. Рис. i
этого многоугольника, например, сторону А.,А^ то Есе 'тощей этого Многоугольника, не лежащие на стороне AiА*,лежат по одну .сторону от прямой A<At, т.е. в одной полуплоскости с границей A tA£t На рисунке 9 изображен невыпуклый четырехугольник. Таким образом,.с каждой стороной выпуклого многоувльника связана некоторая полуплоскость, в которой лежат все точки многоугольника за исключением точек данной стороны. Б общем случае •и-угольника число этих полуплоскостей равно л . эти полуплоскости назовем полуплоскостями данного выпуклого многоугольника. На рисунке 10 полуплоскости Hi , Н^и Ц^ являются полуплоскостями треугольника (заметим, что треугольник - выпуклый многоугольник). Внутренней областью выпуклого многоугольника /ч х называется общая часть всех полу- fjv плоскостей этого многоугольника, т.е. множество всех тех точек плоскости многоугольника, каждая из которых принадлежит всем полуплоскостям многоугольника. На рисунке 10 внутренняя область треугольника АЪ С покрыта штриховкой. Докажите самостоятельно, что.внутренняя область выпуклого многоугольника содержит бесконечно много точек. Для этого воспользуйтесь утверждением,- которое сформулируем в виде задачи. ЗадачаJ23. Точки А и Ъ лежат на разных сторонах выпуклого многоугольника. Докажите, что все точки, лежащие на отрезке АЪ f принадлежат внутренней области этого многоугольника. Решите еще.две задачи, связанные с понятием внутренней, области выпуклого многоугольника. Задача_24- Точки А и О принадлежат внутренней области выпуклого многоугольника. Докажите, что все точки отрезка*А О принадлежат внутренней области этого многоугольника. Задача_25. Дайте--определение внешней области многоугольника. Точки А и Ъ принадлежат внешней области выпуклого многоугольника. Верно ли утверждение, что все точки отрезка А£) Put Ю
3*3 принадлежат внешней области этого многоугольника? Задача_26. Докажите, что внутренняя область выпуклого мно-* гоугольника есть общая часть внутренних областей всех углов многоугольника. 4. Внутренняя область выпуклого многогранника. Напомним, что многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани (см.£з J, гл. Ш, п. I). Примерами выпуклых многогранников являются параллелепипед и тетраэдр. 2адача_27. Докажите, что все грани выпуклого многогранника являются Еыпуклыми многоугольниками. £адача_28. Основание данной пирамиды являетоя выпуклым многоугольником. Докажите, что данная пирамида"- выпуклый многоугольник. Пусть ё - плоскость одной из граней Г выпуклого многоугольника, а Л - полупространство с границей & , в котором лежат все точки многогранника, за исключением точек грани г • Будем говорить, что полупространство П соответствует грани Р . Общая часть полупространств,соответствующих всем граням выпуклого многогранника называется внутренней областью этого многогранника. Исследуя следующую задачу, докажите, что внутренняя область выпуклого многогранника содержит бесконечно много точек. ' ' Задача_29. Докажите, что все точки, лежащие на отрезке, концы которого лежат на разных гранях выпуклого многогранника, принадлежат внутренней области многогранника. § 4. Наложение и равенство фигур I. Аксиомы наложения. Следующая группа аксиом в нашем курсе геометрии относится к понятиям наложения и равенства фигур. Предполагается, что могут существовать отображения пространства, которые называются наложениями. Наложение - основное понятие. При наложений каздая точка пространства отображается на определенную точку пространства. Иногда вместо того, чтобы сказать: "Точка А отображаемся на точку А "> говорят,что точка А переходит в точку.А или что точка А совмещается с 21"
'521 точкой А . Для того, чтобы сформулировать аксиомы наложения,сначала введем понятие равенства фигур. При наложении каждая точка данной фигуры переходит в некоторую точку-пространства. Поэтому каждая фигура переходит в какую-то определенную фигуру. Если существует наложение, при котором фигура *^ переходит в фигуру ^ (т.е. каждая точка фигуры Ф переходит в некоторую точку фигуры ^ и на каждую точку фигуры ^R отображается некоторая точка фигуры Ф ), то говорят, что фигура 3° равна фигуре II. •: Если-.при. наложении совмещаются концы деух отрезков, то совмещаются и сами отрезки.' 121 На любом луу& от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и'приром только один. 13.. От любого луча в данную полуплоскость можно отложить, угол, равный данному неразвернутому углУ, и притом только один, 14. Два равных угла h к и ft<^i, лежащие на границах полупространств Р и ч (т.е. в плоскостях, являющихся границами этих полупространств), можно совместить наложением так, что при этом соЕместятря полупространства " и Р-1 ,причем это можно сделать двумя способами: в одном случае совместятся лучи Пи hi , к и ft-t, аво втором - лучи ^ 4i . i йч- 15. Любая фигура равна самой себе. 16. Если фигура Ф равна фигуре Фа , то фигура '' равна фигуре Ф . 17.'Если фигура Ф< равна фигуре Ф& , а фигура >ъ равна фигуре Ф> , то фигура Ф.г равна фигуре Ф± . Пользуясь этими аксиомами можно обосновать многие интуитивно очевидные свойства наложений, которыми мы часто пользуемся е геометрии. 2- Свойства наложений. Докажем сначала, что при наложении различные точки переходят в различные точки . q В самом деле, предположим, что это не так и какие-то дзе различные точки А и £> переходят в одну и ту же.точку* С . Это означает, что фигура Ff , состоящая из двух точек А иЬ, переходит в фигуру Ft , состоящую из одной точки С ..Тогда фигура F* равна фигуре Ft . По аксиоме 17, фигура г^ раг-
3Z5 на фигуре Pi , т.е. фигуру г*, можно совместить наложением с дагурой f"i . но это невозможно, т.к. при наложении, точки С не может отобразиться на две точки А и О . ♦ ' .- Рассмотрим простейшие свойства наложений. ." 1°. При любом наложении отрезок'отображается на отрезок. О Пусть при данном наложении концы отрезка А6 совмещаются соответственно с точками А* и Ь . По доказанному, точки А' и fo* не совпадают, поэтому, по аксиоме II, отрезадУтаотражается на отрезок A*fb* . ф 2°. Если при наложении точки А и о переходят в точки п и- б1 ,-• то луч АЬ переходит в лучА;Д1 О Пусть,при данном наложении произвольная точка М луча ДЬ переходит в точку М1 . Докажем, что И - точка лучаА1Ь #. Так как точки D и И лежат на одном луче, исходящем из"точки А , то либо точка М лежит на отрезке Afo f либо точка £> лежит на отрезке А И . По аксиоме II, либо точка 'VI1 лежит на отрезке А1 Ь, либо точка fo лежит на отрезке А И. Отсюда и следует, что М' - точка луча А'б'. Докажем теперь, что на любую точку N лучаАЧЬ' отображается некоторая Т9чка лучаАЬ. Пользуясь аксиомой. 12, на луче АЪ отлож;им отрезок AN , равный отрезку АОVI*'. Пусть N ' - точка, в которую переходит точкаW . По доказанному, w - точка лучаWЬ\ По аксиоме - II, Aw m f^\\4 9 поэтому, по аксиоме 16, А'N = А VI . Таким образом, на луче ^С>чотложены отрезки AN1 и Aw , равные отрезку А£* , следовательно, по аксиоме 12, точки N1. и N" совпадают. Итак, луч А^Ь переходит в луч А'Ь". • Пользуясь утвержением 2°, самостоятельно докажите следующее утверждение. . 3°. Если при наложении точки А и О переходят в точки А и £> , то прямая Afo перегодит в прямую А'Ь'. Из утверждений 2° и 3° непосредственно следует, что при любом наложении луч отображается на луч, а прямая на прямую. 4°. При любом наложении три точки, не лежащие'на, одной прямой, переходят в три точки, не лежащие на одной прямой. О Пусть при данном наложении точки А , С> и С , не лежащие на одной прямой,.переходят соответственнр в точки А' ,&' и С . Докажем, что эти точки не лежат на одной прямой. По свойству 3°, прямая АЬ переходит в прямую А* о1 t. поэтому точка С , не лежа-
3fc6 щая на прямой А о, не может перейти в точку, лежащую на прямой А1 Ъ* . значит, точка С1 не лежит на прямой А1©! т.е. точки .А' , Ь1. и (S1 не лежат на одной прямой, что и требовалось доказать. # Используя рассмотренный свойства, решите следующие задачи. §здача__30. Докажите,- что при наложении неразвернутый угол отображается на неразвернутый угол. Задача_31- Докажите, что если при наложении точки А ,8> 0 Cl > не лежащие на одной-прямой, переходят соответственно в. точки А1 , Ь1 и С , то плоскость Abd переходит в плоскость А'Ь'С . Задача_32. Докажите, что при наложении плоскость отображается на плоскость;- Задача_33. Докажите, что при наложении полуплоскость переходит в полуплоскость, а полупространство - в полупространство. Задача_34. Докажите, что при наложении четыре точки, не лежащие в.одной плоскости переходят в четыре точки, не лежащие в одной плоскости. 3. Признаки равенства треугольников. МЫ знаем, что признаки равенства треугольников, известные из курса планиметрии, справедливы и для треугольников, расположенных в разных плоскостях. Доказательство первого признака .равенства треугольников для этого случая "дано в приложении 2 учебника £з}. Аналогично можно доказать второй признак равенства треугольников, располо- * женных в разных плоскостях, попробуйте провести это доказательство самостоятельно. Мы здесь приведем докааательство третьего признака равенства треугольников. Но для этого предварительно докажем два утверждения. JejopeMa. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны*;.. Дока^а^ельс^тво. Рассмотрим равнобедренный треугольник АЬС с основанием АЬ. Докажем, что^А = Z6. Треугольник равен Доказательство этой теоремы, приведенное в учебнике Гi} , глава П, § 3 опирается на понятие биссектрисы угла. Однако существование биссектрисы угла трудно обосновать, пользуясь аксиомами I-I2- Мы здесь даем другое доказательство этой теоремы.
3Z1 треугольнику С>СА t по первому признаку равенства треугольников. В самом деле, А(1=Ь£, по условию теоремы,СЬ = СА , по аксиоме 16 vi£№b =ib£k по аксиоме 15. Из равенства дА£& = <s£>£A следует, что^А =/А . Теорема доказана. # Лемма. ПустьРМ- внутренний луч углаАОЬ . aQM, - внутренний луч углаА^б,. Если/АР^^РДр/ИРб =/М,РД, то ^4pg> =zA^fe. О Л°£а2а1е^£т1°- По аксиоме 14,: угол АРМ можно совместить наложением с углом А*РМтак, чтобы совместились лучиРА ийА-i, РМ иР^Н^ (рис. II). При этом, очевидно, совместятся плоскости углов А Р^ nAAbi (задача 31). Рассмотрим луч Pt^, на который отображается луч РЬ . Так как лучи РА и ОЪ лежат в разных полуплоскостях с общей границей РМ , а лучи^Дийб, лежат в разных полуплоскостях с общей' границей0<Mi (задача 21), то лучи Pi bi и fyjbz лежат в одной полуплоскости с общей границей ом, . По условию, /МР6 ^КМ, а по определению равенства углов/MPfo ^/М^Ь^. По аксиоме 16, /M.Q6=^M0£,^C^=/.MP6, следовательно, по аксиоме 13, лучи 0,ЬЛ иЦ6^совпадают. Мы доказали, что при наложении угол АР& совмещается с угломА1Р1Ь1 и поэтому /АР& =1к%Ол 6,. Лемма доказана. # Аналогично решите следующую задачу. Задача_35. Лучи РА и ОЬ лежат е одной полуплоскости с границей РМ , а лучиР^и Ott> - в одной полуплоскости с границей P,Hi . Если^АОМ^А^и/МРЬ =/КРД, То/АР6 1^АЛ6^ Докажем теперь третий признак равенства треугольников для треугольников, расположенных в одной и'той же плоскости или в разных плоскостях. О Пусть треугольник А ЬС расположен в плоскости <*~ , а тре- угольникА<ЬД - в плоскости *-1 и б£ =Ь'&(рис. 12). Докажем, что^АЬС =A{^Ab-,t,. Puc.li
зг& Риса Используя аксиому 13, от лучаА<Ь-1 в полуплоскость, не содержащую точку Cf , отложим уголв/AiMf , равный углу По аксиоме 14, существует наложение, при котором луч АЪ переходит в лучА^, а луч АС -*лучА,Н*1. Так какАЬ=АчЬ1, то, по аксиоме 12, при этом наложении точка (Ь переходит в точку £>* . Далее, точка С переходит в некоторую точку С^ , лучА«Ки, следовательно, треугольник Aft)C переходит в треугольник A i62^ (см. рис. 12). .Точки О и С^ лежат по разные стороны от прямой А* &-,, цр- этому отрезокС^ пересекается с прямой Aifc-j в некоторой точке ^а . Возможны три случая: точка Ф-* ле#ит на отрезке А^Ь., \ точка lOл совпадает с одной из точек Ai илибу ; точка Я)4 лежит вне отрезка А^б;. Рассмотрим первый случай (рисЛ2). (Остальные случаи рассмотрите самостоятельно, в третьем случае используйте-задачу 35). Так как, по условию теоремы,КС =Ai£i а по построению, АС =АнСг , toAiCi =А,Сг (аксиомы' 16 и 17)". Следовательно, треугольник A» df^ - равнобедренный, поэтому/ J = /2 (см. рис. 12). Аналогично, треугольник£н£>-/£ - равнобедренный, поэтому / 3 = Z4. Л$ч С<СС- внутренний луч углаА<Св,,луч"Сг<Р* - • внутренний луч угла^СЗДсм. задачи 12 и 16), поэтому, по доказанной лемме /AiCifo., = ^AiCtb. Итак, А* С* =A-,ctf ft1Ca.= ftJCi(TaK какЬ^ = ЬС ,6С=Еьс0 и ZA^fe^/AiCtfr,, следовательно,4\IV^ = 4A-AC.f по первому признаку равенства треугольников. По аксиоме I6,ANA^.= AA,fcA, а по построению^АЬС-^А^;^, следовательно, поаксиоме 17,4&ЬС = dftifc;C Теорема доказана .ф 4. Сравнение отрезков и углов. Пользуясь аксиомами I-I7 и признаками равенства треугольниквв, можно доказать, что каждый
ЗЯ9 отрезок имеет середину и каждый угол имеет биссектрису. Для обоснования, этих утверждений предлагаем решить следующие задачи . Задача_3б. Докажите, что если два угла равны, то смежные с ними углы также равны. За£ача_37. Накрест лежащие углы А АЬ иЬ 6А при пересечении прямых А К* иЬЕз1 с прямой АС> равны. Докажите, что прямые А А и bfov не пересекаются. Задача_38. Точки С и & лежат по разные стороны от прямой Докажите, что прямая С Я) пересекает отрезок АО в его середине. Серединой отрезка АЪ называется точка О прямой АО такая, что АО =ОЬ. 2айача_39. Пользуясь задачей 38", докажите:,' что каждый отрезок имеет середину, и притом только одну. Биссектрисой неразвернутого угла^Об называется внутренний • лучРМ этого угла, такой, что^АОМ =/МР& . •Задача_40. Пользуясь задачей 39, докажите, что каждый не- развернутый угол имеет биссектрису и притом только одну. - ™. Аксиомы I-I7. а также признаки равенства" треугольников строго Лбосноьугь теорию срд^нения .отрезков и vnioa и у * позЕоляют>Доказать теоремы и соотношения между сторонами и углами треугольника. Мы здесь не будем.рассматривать эту теорию; желающие могут познакомиться с ней по книге Н.В.Ефимова "Высшая геометрия" (см. [?} , § 18). В заключении отметим, что на основе первых трех групп аксиом вводится понятие прямого угла: уг называется прямым, если он равен своему смежному углу. Нетрудно доказать, чао существуют прямые углы и что все прямые углы равны (см. \jf\ » § 17)• Угол, меньший прямого угла называется острым, а неразЕернутый угол, больший прямого.- тупым; . Важно отметить, что, пользуясь предыдущим изложением, без ссылок на чертеж и нагля.дную очевидность, .можно обосновать Есе утверждения, сформулированные в'главе 1У геометрии-б "Перпендикулярные пряглые" и б главе П геометрии 9-10 "Перпендикулярность прямых и плоскостей" (см. [ij и [*3j ).
ззо § 5. Аксиомы, связанные с измерением отрезков. Аксиома параллельности. I- Аксиомы, связанные с измерением отрезков. Следующие две аксиомы связаны с измерением отрезков. Сначала уточним, что мы понимаем под длиной отрезка. Говорят, что установлено измерение отрезкоЕ, если каждому отрезку поставлено в соответствие положительное действительное число так,-что'выполнены следующие три условия: 1. Равным отрезкам соответствует одно и то же число. 2. Если точка С лежит на отрезке Alb, то число, соответствующее отрезкуА'Ь , равно сумме чисел, соответствующих отрезкам 3. Некоторому данному отрезку ги соответствует число единица. Число, соответствующее данному отрезку, называется его длиной. Отрезок \ Ц называется единицей измерения. Существует способ, с которым мы знакомы из курса шестого класса, используя который измеряются отрезки, т.е. при Еыбран- ной единице измерения каждому отрезку стэеится е соответствие положительное число так, что выполняются условия I, 2 и 3. Напомним, е чем заключается этот способ. Пусть А*Ь- измеряемый отрезок, Р$ - единица измерения отрезков. На луче А^отложим отрезокАА| = Р6? , на лучение- от- резокАА*. =_Р$ и т.д. до тех пор, пока точка Ли не совпадет с С* либо точка' fc) не окажется лежащей между Ли и А»+4. В первом случае говорят, что длина отрезка АЪ при единице измерения ГЦ выражается числом И*. Во втором случае продолжают процесс измерения отрезка А Ъ. Для этого отрезок' Р^ делят на равные части, обычно на 10 равных частей, и с помощью одной из этих частей измеряют описанным способом остаток АпЬ . Если при этом десятая часть отрезка Рф не укладывается целое число раз в измеряемом остатке, то ее делят на 10 равных частей и продолжают процесс измерения. Возникает вопрос, можно ли таким способом измерить любой отрезок? Оказывается, что аксиом I-I7, сформулированных выше, недостаточно для того, чтобы ответить на этот вопрос положитель-
331 но. Мы должны предположить, что таким способом можно измерить любой отрезок, т.е. выразить его длину при данной единице измерения определенным действительным числом. Это утверждение формулируется Евиде следующей аксиомы. 18. При выбранной единице измерения отрезков дайна каждого отрезка Еыражается положительным числом. Можно доказать, что при описанном выше способе измерения отрезкоЕ, выполняются условия I, 2 и 3 измерения отрезков (см. [7] , § 20 или £8J , § 86). Еще' одна аксиома, связанная с измерением отрезков, называется аксиомой существования отрезка данной длины. 19- При выбранной единице измерения отрезков, для любого . положительного числа существует отрезок, длина которого выражается этим числом. Пользуясь этими аксиомами, можно также Евести понятие величины угла. Оказывается для этого не требуются новые аксиомы. В частности, можно ввести понятие градусной меры угла и обосновать все основные свойства градусных мер углов, которыми мы пользовались в нашем курсе. Однако этот вопрос сложный, и поэтому мы его опускаем. 2. Аксиома параллельных прямых. Напомним, что две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной • плоскости и не имеют общих точек. Систему аксиом геометрии завершает аксиома параллельных прямых. 20. Б любой плрскости через точку, не лежащую на данной прямой этой плоскости, проходит только одна прямая, параллельная данной. Мы не будем формулировать следствия, вытекающие из этой аксиомы, они хорошо известны из курса геометрии шестого класса. Отметим лишь, что следствием из этой аксиомы является одна из важнейших теорем геометрии - теорема о сумме углов треугольника. Теорема. Сумма углов треугольника равна 180°. Эту теорему а-гожно доказать разными способами. Ее доказательство, приведенное е учебнике шестого класса (см. [i^J , гл. У, § 4) очень простое. Однако не все шаги этого доказательства обоснованы без ссылок на наглядную очевидность чертежа. Попро-
ъъг буем рассмотреть это же доказательство, обосновав каждый его шаг без ссылки на чертеж. ОДоказательство. Рассмотрим произвольный треугольник и докажем, что^А + ^/Ъ + /С = 180°. Проведем через вершину Ъ прямую CL, параллельную стороне АС (рис, 13). На прямой Л- отметим точки И и W/ так, N ь w Ос чтобы точки М и С лежали по одну ^^ ^г сторону от прямой АЬ ,-. аточкиМ * и W - Рис.\Ь по разные стороны от этой прямой (см. рис. 13). Обозначим углы треугольника А ЬС и углы NfcA и MbC цифрами так, как показано на рисунке 13. -' Так как точки М и С лежат по одну сторону от прямой АЬ, а точки И и N -по разные стороны от этой прямой, то точки. \i и С- лежат по разные' стороны от прямой Avto . отсюда следует, что углы I и 4 являются накрест лежащими углами при пересечении параллельных прямых0- и АС секущей АЬ . поэтому / I = / 4. Докажем, что луч ЬС является внутренним лучом углаАЬИв В самом деле, лучи ЬС и ЬМ лежат в одной полуплоскости с границей Avb t поэтому, по свойству двух лучей .полуплоскости (см. задачу 19), либов£- внутренний луч углаАЬМ, либоЬ^ - внутренний луч углаАЬС , но Еторой случай невозможен, так как е этом случае лучЬМ пересекает отрезок АС (см. задачу 18), что невозможно, так какАСЛхбЦ. Таким образом, ЪС - внутренний луч угла , следовательно,/АЬМ = / 2 + /5. (I) Лучи b А и ЬМ лежат в разных полуплоскостях с общей границей ЬС (см. задачу 21), поэтому углы 3 и 5 являются накрест лежащими углами при пересечении параллельных прямых О- и АС секущей £>£ . Следовательно, /3 = /5. УглыАЬМи 4 яеляются смежными, поэтому/AbVW / А = 180°. Подставив сюда значение углаАЪМ из равенства (I), получаем: /2 + /5 + /4 = 180°. Отсюда, учитывая равенства /i =./4, /3 = /5 имеем: £2 + /3 + /I = 180° или/А +/(h +/£= 180°. Теорема'Доказана. # Замечание. На этом примере доказательства теоремы мы видим, что желание доказать отдельные теоремы без ссылок на чертеж в ряде случаев приводит к осложнениям. Поэтому в н^шем курсе гео-
333 метрии, используя чертежи, мы часто упрощаем доказательства утверждений. 3. Пересечение прямой с окружностью. Приведем пример доказательства теоремы, при котором мы опираемся на аксиому 19 существования отрезка данной длины. Напомним, что точка называется внутренней относительно окружности с центром О радиуса t , если0М<-Т. . Теряема. Если прямая проходит через точку, внутреннюю относительно окружности, то она пересекает окр.уж- ' ность в двух точках. О Дока£а£ель£Тво.Пусть прямая р проходит через точку И 9 внутреннюю относительно данной окружности с центром О радиуса Т.. /Если прямая-р проходит через точку О , то утврежде- ние теоремы очевидно (объясните,: почему), поэтому рассмотрим случай, когда точка О не лежит на прямой р (рис. 14). Рассмотрим перпендикуляр ОН , проведенный из точки О к прямой р / .. Согласно теореме о перпендикуляре и ' наклонных, СМ 3?М. НоРМ*2 , поэтому 0W< г. . На дополнительных лучах прямой р от их общего начала И отложим ] отрезки И№ и Hb , длины которых равны!**0й* . это возможно сделать согласно аксиоме 19. Так как#Н& м O^fS - npq-t л моугольные треугольники, то. по теореме Пийагора.РА =|OH^WA^==y фьЛг^ян*1 = г , ОЬ $№*****•* =|ЖгГ-57^= г . / Следовательно, точки А и Ь лежат на окружности, т.е. прямая Р пересекает окружность в точках А и Ъ. . Если.предположить, что на прямой р имеется еще одна точка окружности, то по теореме Пифагора Й£ ^гх- Ойх , поэтому НС = НА и НС = Н£> . Отсюда, учитывая аксиому 12, мы приходим к выводу, что точка С- совпадает.с одной из точек А или ^) . Теорема доказана. Ф Дальнейшие теоремы геометрии проводить нет- смысла. Все рассуждения, которые проводятся е наших учебниках при доказательствах этих теорем, после всего изложенного, получили четкое обоснование и могут быть проведены без ссылок на рисунок и наглядную очевидность.
334 Литература 1. Атанасян Л.С, Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк 2-V- • Геометрия. Пробный'учебник для'6 класса средней школы, издания пятое, М., Просвещение,- 1987. 2. Атанасян Л.С, Бутузов В.Ф.; Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г- Геометрия. Пробный учебник для 7 класса средней школе, издание четвертое, М., Просвещение, 1986. 3. Атанасян Л.С, Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г. Геометрия. Пробный учебник для 9-10 классов средней школы, издание третье, м.» Просвещение, 1987. 4. Александров А-Д-* Вернер А.Л., Рыкик В-И. Геометрия 6. М., Просвещение, 1987. 5. Погорелов А.В. «Геометрия: учебное пособие для 6-10 классов средней школы, издание шестое. М., Просвещение, 1987. 6.' Гильберт Д. Основания геометрии. М.-Л. Гостехиздат, 1948. 7. Ефимов Н-В. Высшая геометрия. М., Наука, 1978. 8- Атанасян Л-С, Базылев В.Т. Геометрия, часть П. М., Просвещение, 1987.
335 Глава 4{. задачи по геометрии § I. Задачи по планиметрии 1. Найти площадь трапеции; если ее острый угол равен <£, и расстояния от точки пересечения диагоналей до неравных сторон равны ft и £ . 2. Высота, проведенная к основанию равнобедренного треуголь- ника^равна £ , а радиус вписанной окружности равен % . Найти стороны треугольника 3. на стороне 6 t треугольника A&d отмечены точки JD и Е так, что £#:£>£" :Bd= 1:2: 3. Точка Рдел и т сторону Ad этого треугольника в отношении I :»2- найти отношение площади : четырехугольника %)ЕКТ к площади треугольника А В С , где К и Т - точки пересечения прямой bf с прямыми А Еи /\ £) соответственно. ОТВ. |f. 4. периметр данного параллелограмма АВС& *, где/|В<С£)> равен 26 см, aZA6C = I2U0. Радиус окружности, вписанной в треугольник в С 2) равен ^З7см. найти стороны параллелограмма. Отв. 5 см, 5 см, 8 см, 8 см. - g. а треугольник А В С , площадь которого равна I, вписана окружность, которая касается сторон АЬ * в С- соответственно в точках 7) и Е . Перпендикуляры 0Н и EF , проведенные к прямой АС , равны, и площадь четырехугольника HJOftCpaBHaS • най ти I btA • , отв. (ybtt&*> V<1 (-/-S) . в. В прямоугольный треугольник ДЙС вписана окружность радиуса \/з] которая касается катета А Ь в точке А> . Найти Сл> , если L 6 = 30° отв. Vis + ь/5^1. ?. окружность радиуса 3 с центром 0 , лежащем на' гипотенузе
336 Ad прямоугольного треугольника АйС t касается его катетоЕ. Найти площадь треугольника АйС , если 00 - Ъ* Отв. I8JJ- 8. Треугольник Д6У С/ получен поворотом прямоугольного равнобедренного треугольника А6С- с катетами fiik^fyQ , равными CL t на угол • 90°. Найти площадь четырехугольника, являющегося общей частью треугольников Дб<? и АЪ^. 9. Найти стороны равнобедренного треугольника с углом 120°, вписанного в окружность радиуса JL . • Отв. U»<L ,JL . где CL =^Л.^ + /Г). 10. Средняя линия трапеции раЕна 8, отрезок, соединяющий середины оснований равен 2, а углы при одном из оснований равны 40° и 50°. Найти основания трапеции. Отв. Ю и 6« П. Трапеция ДЙС^ с основаниями 'Д£) и $£ вписана в окружность. На дуге ££> взята точка £~ так, что/0£"# = 120°, а //4й£*-/.6АЕ = 4^с> • Найти отношение периметра треугольника /)g£ к радиусу вписанной окружности. Отв. j ( \ . •/ 4\ДЛ ^^шч/!) #(3£>VCJ ^* 12. В равнобедренный треугольник АВИ с основанием $ С вписана окружность радиуса 5 см. Из точки Я) прямой #б проведены перпендикуляры к прямым /\ £> и fiQ , равные соответственно 12 см и 2 см. Доказать, что точка }0 лежит на стороне $6 и найти U^i ЮОА . Отв. 0,4 . П. Задачи по стереометрии I. Прямые и плоскости . J3. Прямые, соединяющие соответственные вершины двух треугольников, расположенных в пересекающихся плоскостях, пересекаются
337 в одной точке. Прямые, содержащие соответственные стороны этих треугольников, пересекаются б точках Р , d и fL • Докажите, что точки Р ,Ci ъ fC лежат на одной прямой. 14. Любая прямая, пересекающая одну из дцвух данных плоскостей, пересекает и другую плоскость. Доказать, что данные плоскости параллельны. 15. Любая плоскость, пересекающая одну из двух данных прямых, пересекает и другую прямую. Доказать, что данные прямые параллельны. 16. Точки А , В , С , 2) расположены так, что прямые Ав и С7) , АС и 6Д) попарно взаимно перпендикулярны. Доказать, 'что прямая ВС перпендикулярна прямой Д© . Г7. Доказать, что плоскость, параллельная двум скрещивающимся прямым, перпендикулярна прямо!:, которая перпендикулярна этим двум прямым. 18. Вершины треугольника /Jfifi не лежат в плоскости Л . Доказать, что расстояние центра тяжести треугольникаААЙдо плоскости Л есть среднее арифметическое расстояний от его Еер-' шин до той же плоскости. 2. Двугранные и трехгранные углы 19. Доказать, что из всех прдоых, лежащих в плоскости одной из граней острого даугранного угла, наибольший угол с плоскостью • второй грани образуют прямые, перпендикулярные ребру двугранного угла. 20. Доказать, что если в трехгранном угле два плоских угла равны, то равны и противолежащие им двугранные углы. Доказать обратное утверждение. 21. Доказать, что для трехгранного угла, все плоские углы которого прямые, три точки, лежащие на трех его ребрах и не совпадающие с вершиной о, являются вершинами остроугольного треугольника и проекция вершины 0 на плоскость этого треугольника совпадает с ортоцентром треугольника. 22. Доказать", что во всяком трехгранном угле сумма его двугранных углов больше 180°. 23. В трехгранном угле два двугранных угла равны 45°. Плоский угол между ними равен 90°. Доказать, что третий двугранный угол равен 120°. 22.7311.
338 3. Многогранники ^.Боковое ребро параллелепипеда, основанием которого является ромб, составляет с пересекающимися с ним сторонами основания равные углы. Доказать, что одно из диагональных сечений параллелепипеда - прямоугольник, а другое перпендикулярно ос-' нованию параллелепипеда. 2£ь Доказать, что если в сечении куба плоскостью получится правильный многоугольник, что это может быть только треугольник, четырехугольник и шестиугольник. 26. Существует ли параллелепипед, отличные от куба, все грани которого равны между собой? Есть ли у такого параллелепипеда ось симметрии? 27. Доказать, что сумма квадратор длин четырех диагоналей произвольного параллелепипеда равна4 сумме квадратов длин двенадцати его ребер. 28. Доказать, что е кубе АЬСОА&С^Цтиюскос'гп ACty и А^ Ь перпендикулярны диагонали bfl, которая проходит через центры треугольников fiCty и 4^& & • На какие части эти плоскости разбивают диагональ^©? 39. Доказать, что в треугольной призме против большей по площади боковой грани лежит больший двугранный угол и обратно. 30. Доказать, что два противовсложных ребра тетраэдра перпендикулярны тогдд и только тогда, когда высота тетраэдра пересекает высоту основания, проведенную к одному из этих ребер. 31.Доказать, что сумма расстояний от любой точки внутри правильного тетраэдра до Есех его граней одна и та же" и равна высоте тетраэдра. 32. Пирамида пересечена плоскосью, параллельной основанию так, что ее боковая поверхность разделилась на'две части, равной площади. В каком отношении эта плоскость делит боковые ребра пирамиды? 33.Доказать, что в произвольном тетраэдре: а) отрезки, соединяющие вершины с центрами тяжести противоположных граней, пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 1:3; б) отрезки, соединяющие середины противоположных ребер, проходят все через ту же точку и делятся ею пополам, у 34- Плоскость проходит через центр основания правильной тре-
339 угольной пирамиды и параллельна двум противоположным сторонам пирамиды. Найти плодащь.сечения, если боковое ребро пирамиды раЕНо $ , а ребро основания - Си • Отв. Щ& 35.Найти угол между скрещивающимися прямыми, содержащими диагонали двух боковых граней прямой треугольной призмы, все ребра которой равны между собой. 36. Дана правильная треугольная пирамида с боковым ребром.ft,. Плоскость, проходящая через сторону основания и середину противолежащего бокового ребра составляет угол аС с плоскостью основания. Найти площадь основания пирамиды. 37. В правильной треугольной призме АВвДДС,точка М - середина ребра 2> £ • Найти расстояние от точки М До плоскостиA&iQfp если сторона основания равна 0U » а боковое ребро равно ^ . Отв. tff4^ ' 38. Основанием пирамиды 5 АШХ>служит квадрат А ВQ& , сторона которого равная - Ребро &$ » равное 2£U перпендикулярно плоскости основания. Найти периметр сечения пирамиды плоскостью, проходящей через прямую АХ) и середину ребра fa . Отв. дЛЗ + \fh 39. Высота шестиугольной правильной пирамида в два раза длиннее стороны основания. Найти двугранный угол при основании. 40. В шестиграннике F , состоящем из двух тетраэдров АВОХ) и ££>СЮ с общим основанием &Q3) , ребро (Of параллельно грани А6 С , имеющей площадь 5. • Сумма площадей всех граней тетраэдра Ье$)£Г о высотой &&{ равна б* , a-bo&fiE ipB%)E= £ . В тетраэдр BCOF вписан шар, k. - отношение расстояния от центра шара до прямой ф^ к расстоянию от <$Е до плоскостиАвС Найти площадь сечения многогранника F плоскостью, проходящей через середину реора Д>0 параллельно грани АЬ(* . отв, |( 5 ♦УЗ^УТ1?) 41. Боковые граничь иШС треугольной пирамиды£У)АС являются прямоугольными-треугольниками, ребро/}#перпендикулярно меди-
'ЪЧО анеДЛС. основания и fyj) =Д)С' Сечением пирамиды плоскостью, не проходящей через середины реберДДивС , является равнобедренная трапецияEPG-H с основаниями EF и £f/, где F - середина ребра 6D, .ар— точка на ребре ДС , причем А(г = Зв-С* Найти отношение площади трапеции £Т б- к площади грани ЬС2>. • Отв: 5 VlcT* 'Ж 4. Тела вращения 42. В основание конуса вписан правильный многоугольник, и через стороны многоугольника и вершину конуса проведены плоскости. Доказать, что полученные селения равны и двугранные углы между смежными сечениями равны. 43.lt шаров радиуса^ расположены на плоскости так, что каждый из них касается двух других. Найти радиус наибольшего шара, который можно положить на эту же плоскость так, чтобы он прошел через образовавшееся отверстие. 44. Четыре сферы радиуса jfL и.четыре сферы радиуса % , где /L>T » расположены так, что каждая касается трех сфер одного радиуса- и трех сфер другого радиуса. Найти отношение JL : Ъ . 45. В прямом круговом конусе расположены два шара единичного радиуса так, что каждый из них касается боковой поверхности конуса, основания конуса и другого шара. Найти угол между образующей конуса и основанием, при котором объем конуса наимень- " ший. .,—, Отв. 2 Cmtc 46. Найти-отношение площадей поверхностей шаров, вписанного в куб и описанного около куба. Отв. I : 3 47. В сферу, площадь которой равна.S t вписана правильная четырехугольная пирамида, у которой двугранный угол при основании равен £ . Найти площадь основания пирамиды: Отв ' <П2~+^£)2 48. Найти радиус шара, описанного около правильного тетраэдра
J4i 49. Сфера касается ребер AS tCS , А В и ВС треугольной пирамиды SA&C соответственно в точках Р ,(SL > IL и Т. Найти длину отрезка QT , если PQ = PIL = 8 см, /*]* = /82 'см и QT -ЛТ=7 см. . Отв. 9 см 5. Объемы 5Q. Цилиндр: рассечен плоскостью, не параллельной "основаниям и их не пересекающей. Какие измерения нужно произвести, чтобы вычислить объем одной из отсеченных фигур? 51. Плоский угол при вершине правильной четырехугольной пирамиды равен углу ее ребра с плоскостью основания. Найти объем пирамиды, если сторона основания равна А- . 52. От произвольного тетраэдра четырьмя плоскостями, проходящими через середины ребер, выходящих из одной вершины, отделяются четыре меньших тетраэдра. Вычислить отношение объема оставшегося тела к объему исходного тетраэдра. 53. Диаметр основания цилиндра увеличили вдвое и одновременно уменьшили вдвое его высоту. Как изменились площадь боковой поверхности и объем цилиндра? 54. Доказать, что объем тела, полученного при вращении прямоугольника около оси, его не пересекающей и параллельной стороне прямоугольника, равен произведению площади прямоугольника на длину окру ясности, описываемой при вращении центром тяжести прямоугольника. (Частный случай теоремы Гюльдена-Паппа). 55. Шар касается всех ребер куба. Найти объем общей части, если ребро куба равно &,. Выполнить то же для тетраэдра. 56. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник, один из острых углов которого раЕен JL . Каждое из боковых ребер равно -£ и наклонено к плоскости основания под углом £ . Найти объем пирамиды. 57. Найти объем цилиндра наибольшего объема, вписанного в шар радиуса £ • 58. Пирамида, объем которой равен V г вписана в сферу радиуса /^ с центром на одной из сторон основания пирамиды. Углы с ребром, Отв. ным Q,
'5kX между боковыми ребрами пирамиды и ее высотой равны между собой. Найти углы основания пирамиды. Отв. 90°, i a^vui .3V 59. Основанием пирамиды©АВСявляется прямоугольный треугольник ЛбС ° прямым углом Д , площадь которого равна $ » а угол А- равен ^ . Боковая грань flgfi пирамиды перпендикулярна плоскости основания, а две другие боковые грани образуют с основанием углы, равные ^ . Найти объем пирамиды. Отв. § S VzctyJC-boyb "ip j£- 60. В правильную четырехугольную пирамиду, все ребра которой равны CU , вписан куб так, что вершины одной из граьэй куба лежат на основании пирамиды, а вершины противоположной грани - на боковых ребрах пирамиды. Найти объем куба. 61. Найти объем правильной шестиугольной пирамида, если сторона основания равна CU , а двугранный угол при боковом ребре равен 2'*£• 62. Найти объем правильной треугольной' пирамиды, если ее высота равна А^ yj$ каждый из плоских углов при вершине раген d . Отв. JZ&J&J&LJXL 1 + 2twC 63. Расстояние меэду двумя противоположными боковыми гранями правильной шестиугольной призмы равно 2 м, а площадь наибольшего диагонального сечения равна 4 м2. Найти объем призмы. 64. В шар радиуса 4L вписана произвольная четырехугольная пирамида. Найти объем пирамиды, если радиус окружности, описанной около ее основания, равен %, • 65- Отношение высоты конуса к радиусу описанного около него шара равно Q, , причем ft 7> I- Найти "отношение объемов конуса и шара. * отв. \ tftz -qy) 66. Основанием пирамиды служит треугольник, два угла которого равныX. vift , а радиус описанном окружности равен ^ . Боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости ее основания под углом £. Найти объем пирамиды. Отв. | £*<^и Л%iftj>^Cu U+J>}fa £ .
345 67. В произвольную шестиугольную пирамиду вписан прямой конус и около нее описан прямой конус. Найти разность объемов описанного и вписанного конусов, если высота пирамиды равна Й , а радиус основания описанного конуса равен fi^ . 68- Основанием треугольной пирамидыМ/|8СслУЖ0т равнобедренный прямоугольный треугольник/4-6(1 с гипотенузой /[ft . На ребреАЦ взята точка Ю так, что#6_1_АМ . Проекция. О точки£) на основание пирамиды лежит на отрезке Дб и делит его_в.отношении ВО : ОА -\3х • Найти разность объемов пирамид МДй£ и - ШЬИ » если известно, что£АСМ= 90°, а#& = &. отв- --&)Щ^- \
3k4 Ответы к главе I. § I. I. I) х - любое число; 2) - 2^х^2; 3) х Ф - \ ; 4) х ф ± § ; 5) X4-I, х ^ I; 6) х - любое число; 7) х<-1, х ^ 0;*8) х = I; х = 1,5; х = 2;.х = 2,5; х = 3; х = 3,5; х = 4; 9) -3^ х ^ 0 ; 1с<х ^ 4 ; 10) х - любое число; II) х - любое.число; 12) х - любое числе. 2. I) t ^ 0; 2) 0 ^ -L ^ Щ • 3. I) у ^"1; 2) у - любое число; . 3) у ^ 2 , 4) у €55.; 5) 0 ^ у < I ; 6) f (х) = О, -J- (х)=1; 7J-F (х) = -I, Их) = I; 8) У(х) ^ -I; 9)f(x)=I; f(x)=2,25; -f(x)=4; f (x)=6,25; Hx)=9; f(x)=I2,25; f(x) = 16 ; 10) 2 ^y ^3. . 4- S • Ш ; Ш ' ^ ^ 0,841471. I . 13 . 389 - 2 •'■ . 24 f 720 ccs I 0,540302 . § 3. I. I) да; 2) нет;- З) да; 4) да; 5) да; 6) нет.. 2. I) у = 1,5-0,5х; 2) у = \|х", 1^х^9; 3) у = х2, , х > - I О <х ^2 ; 4) у = - —— х + I 5. I) рис. I ; 2) рис. 2 ; 3) рис. 3; 5) рис. 5 ; 6) рис. 6 *■ рмсг 4) рис. 4; а-; X 1 4 X к о рмс.Э) • ,1 * У о рис.6 У Л >
345 § 4. I. I) x ^ 6; 2) x 4 -4k , ке % ; 3) x £2, x > 3 ; ' 4)-I^x=?3; 5)x;»I; 6) x 4 -3, x ф I ; 7)2<x^3; 8) |<x<2. 2. I) у = ( {ЗГ )3, x^ 0 ; 2) у = x, x 4 0. 3. I) -f (g(x))=x3 - 6x4 I2x - 8, xeR.; .£^(x)) = x3 - 2, x&R ; 2)-f (g(x))=x, x? 0; £(-f(x))= |x|, xeR ; 3)-f (q(x)) = g tf(x)) = |x|, -Isx^I; 4) f(a(x>- Го.еслих.О . ^ xe R. 4. у = 2 "» 8 x , если кО ° (IT- I)3 -+ 2, x>0, xjl; y'= ( -p==r)fe Vx-I ' ({T ■V3? + 2 , -н , x> 0; у = /- ч ■! jS+I " J Yx^-I I x<I-" V~2~ - . * > -I; x > I ; • x > -I х>1; у - y "Г?+1 5. I) -f(x) =T~~ i 2)-f(x) =Л +.1. X + О X § 5. I. 3), 8) - ограниченные сверху; 2) - ограниченная снизу; 6), 7) - ограниченные функции ; 2. I) I; 2) I; 3) 0; 4) - | .
346 3. I) - I; 2) 0; 3) - I ; 4)—fg ; 5) 0. 4. I) ^л* £(x) = 10; mlvu -f (x) = I; 2) wxxT(X)= I; минимального значения нет; 3) максимального значения нет; VvblKb-f(X)= I 4) Y^o^y. -f (х) = I, минимального значения нет. § 6. I. I) убыващая функция; 2) убьгоающая функция; 3) возрастающая функция; 4) убывающая функция; * 5) убыващая. 4. I) возрастащая; 2) убывающая; 3) возра-стащая; 4) возрастащая. 5. I) убыващая; 2) возрастащая; 3) убыващая; 4) убыващая; 5) убыващая; 6) возрастащая. 6. I) у = х g ; возрастающая; 2) у =*/х.+ i/ х ^ —I; возрастащая; 3) у = ^ + 3, х > 0; убывающая. 7. I) возрастающая; 2), возрастающая; 3) убыващая; 4) убыващая; 5) убыващая; 6) убыващая. ? 7. I) см. рис. 7; 2) см. рис. 8; 3) см. рис.'9 ;, 4) см. рис. 10; 4} см. уис.41 - рис. 1 fUC# 1+---J О Л эис. 9
34? a) 11 рис-10 i г ь ц х рис.-11 § 8. I. I) четная; 2) нечетная; 3) нечетная; 4) нечетная; 5) нечетная; 6)^нечетная; 7) нечетная; 8) четная. 2. I) четная ; 2) вэчетная; 3) четная; 4) нечетная; 5) нечетная; 6) четная; 7) четная ; 8) нечетная. 4. I) см. рис. 12; 2) см. рис. 13; 3) см. рис. 14; 4) см. рис.. 15; 5) см. рис. 16. ?*М2 рисМЪ рис.
3^8 p*c.4£ § Э. I. Периодические функции I), 3), 5), 7), 9). g. I) 25Г; 2) 2!F ; 3) I ; 4) 6<]Г ; 5) 20Г; 6) 2JT; 7) 2^\ 8) ЗГ, 3. Cm. pic. 17. \-or :\ a. i \/ * <> or 2. \ ^ риС. О § 10 i^ 7) см. рис. 18; 8) см. хис. 19; 9) см. рис. 20; 10) см. рис. 21 . 3. 3) см. рис". 22 ; 4) см. рис. 23 а; Гмс.и I рисИ9 У -л- < * ъ х
3W рчс.20 -25Г ~Jv 1 с -1 -г у ОТ гт глг s о 7 /J / у ' \ ъ f«ci2 у \ У, 2 1 -1 о ./. * pvic.23
550 р^С.Щ § II. Z) см. рис, 24. -\'\ 0 ~^ij \\ * ~3 рис. 25" iJgi'2) см. рис. 25; 6) см. рис. 26; 9) см. рис. 27. *4 рис. 2.6
351 § 13. I) см. рис. 28; 2) см. рис. 29; 4) см. рис. 30; 5) см. рис. 31; 6) см. рис. 32; 7) см. рис. 33; 8) см. рис. 34 ; 9) см. рис. 35. У] ,/ Л > / о i К > рис. » -х\^гу-* -f 28 И /г A^lxyi^r у f>vtc. 29
552 al \ о рис 32. . риСЬЦ рис. 3>S 8 14. I.- M (f2; 2-f ); N (I; ~>ГЗ); Р (-2f2 ; 2{2~); a(2;f ). 2. I) см. рис. 36; 2) см. рис. 37.
I. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Ответы к главе Z (4 ; 3), (-3 ; -4) (5 ; 3) (7; 3); (-7 ; -3) (0 ; -I), (0; +1), (- \ ; 0) (0; 0; 0), (-3; -2; I), (3;+2;+1), (3; -2; -I) (-3; 2; -I). (3; 2), (-3; -2) (-J . -з), (-$ ; -г) (-6; -2),.(6; 2) (4; -3), (4; +3) 353 10. (4; 5), (-4; -5); (3 /У; \Ц), (-3 V?; - \f~3~) И. (I; 2), (-1; -2), (8^ ; 5 \%),■ (-8 ][^ ; -5 f^ ) 12. (3; -I), (I; -3) 13. (-3; -3), (2; 2) 14. (I; 2), (2; I) 15. (2; 3), (3; 2) 16. (I; 2), (2; I); (-I; +1); (+1; -I) 17. (0; 0), (I; I) ^ 18. (2; I), (I; 2), / -I +Уз~ ( -М. -iTWV vfi/ 19. (-6; -I), (-3; 2) 20. (5; 7) 21. (2; 3), (-2; -3) 22. (2; 2) 23. (I; 2), (-1; 0) 24. (-2; I) 25. (0; у ; 0), убЯ , ( - J ; - I, I) 26. (I; -I; -I), (6 - /Г ; 3 - \f?; - 2 ± |/¥ ) 27. (-1; I; -2); (-J- ; I ; I) , • 3-2 3/y
SS4 Ответа к 5 2 Ol-Я) Ч. <%,Ь--1,5-1?
Ответу к $ 3 355* к% tneZ (-£ + Jmp^}jr+J*)f p>met h,, ne Z (-jf + K; -f+Тл), «>*<ei [±<mc аь\+гТь; + аАсс<А-2--ьгТи), iztneZ (Г(л + »); fm,), (1?к; ^ + Sp), (tlf + Zftif*- Tf>), ((4)mtr~ f *Tk, fM), л, me I (f i-fm; *(lp + i)), (f+fi»; t а1ем(Й^±у&П), m, p, te L (f(hn+i)/5 ■ S(6m- i)H), (f(U4)/3; ST(tmЧ)/*)г ' К, me Z (jf/4 + 3JL ■ Г/Ч + ** + MdgZ + Гп), л, eel (т + тг; f + Ф*-»-)>(£г+я»;(-4)m*1 f+ -t^r(Zn-m), (Z-tSm; 3T(Zti-/n)), п., met (Г(1т ti)/4 ; Ж(8п. -Ы+ <)/4), H,tnel (Km ; Jfl) , m, Ce I (-%***; (^)п^{ a>icsu fc^ t frv), (f~)HTf *%u), (i +**; (-ir^f+zfa), in, n?k Z
356 17. (Tmj Г(И2ь)/4), (Г(1 + 2т)/4;Гл), 18. (Тт.; 2Тп), (2Tm-atucoi-j ; ZТ(3н + i)/3), {2Тт +й%4 coi L. 2%-(3h.-f)/3), m, net 19. (tf^^L+2Tr.)±f^^f)> (tf (Г-etc cos£)-Q+r(Zn +1); ±Ъ(Г-акт±г) + ^), *, *ei Ответы к § 4 1. (8; 2), (2; j) 2. (IO;4o ) 3. (I; 2) 4. (J ;■}).($; 64) 5. (3; 2) 6. (4, 2), (I; I) 7. (27; 4). ( Jj ; -3) 8. ( W ; yjr- ) , (2; I) 9. (16; 4) 10. (4;' 16) 11. (8; 6), (6; 8) 12. (I; I), (2; -4) 13. (4; I), (16; 2) 14. (3; 18), (I; -6) _ 15. (0; 0), (4; 4), (2 ± ^7 ;3), (2 ± ]/ 7;. I) 16. (I; I), ( J УбН ; § Уб) 17. (I; -I) 18. (-2; 4), ( 2 > i ) 19. (ybr; f * /«. c-^; § - 1ПП
351 51. §2. §3. 2. Ответы к упражнениям1"'./гл.ъы_5_ 1)1; 2)2; Нет. 3)3 ; 4) I) i)f>2)f; з) h 4) г; 5) h DJT;2)^;3)i;4)i- I) ¥■: 2) /&з) iS 99' !sS 4) JOSbt £> ' 99'SSi ЗЛО" . Л 1)1. 2)^93)\;4)х;5)-^;6)4 6)f' А. QiCL 2)Хч = (-0 3)Хи--Н)п, •О 5.3 Ответы к упражнениям Г.ла&Ы 4 §1.6. I) 2 ; 2)|; 3)-1 ; 4)-у; 5)1; 6)-^. 9. Нет. §2. 2. I) Непрерывна слева • 2)Непрерывна справа; 3) Непрерывна слева и непрерывна справа; 4)Непрерывна слева и непрерывна справа • 3. 1)ио}2)Ы)3)^6'4)(>:0. J §3. 2. I) к=саемя2х s> y^Qtfeasf; о.
356 5) yJ e 0 1 I xW i ОС § 4, 1.3 6. ' & ; 3. 2 J 4. h ) 5. 2 ;8. 3 u. 2 , .. *,^. ^ 9. i;IO.O. II.-1; 12.-«§",13.2;, 14.1) 15. £. 16.£j 17.2 ; I8.I • 19.Щ20Л2- 21.^8 • 22. £>*. 23. /« 2. 3. Ответы к главе 5 I) *£vt x + x c-oi x ; 2) 3) X (2 Ai*t X + X Л+*1 X + X (JOb X) 6- хж (3+x) ex 5) 7) 4. I) 2) 3) (X3 + 1Г x- x(2-x) a 6) 0) X C04 X А*Л1 X x* X~CCA X - 2X M-tt X (x" + ,vwix)a 4) 3x2 I) 2x 4it2 x + 2х"лигх eo£ х ; 2„ 2) 3 мла x eo£ x. £ 4 , нашленъшее равно лЩ_ »* Наибольшее значение равно - vJL e — * 2 . х = - 2 - точка максимума, х = о - точка минимума; х = I - точка максимума, х = - 1,5 --точка минимума = 4 - точка максимума, х 4) х = о - точка максимума, х муыа. - 2 - точка минимума; " i- И X = I - ТОЧКИ МИНИ-
359 ' 5. I) j~~ ; 2) x ; 3) | i I ; 4) IaU x I. 7. I} 2L+J. ; 2) SL^Jl ; 3) -I— ; 4) -Al, 1-х 5-4x I+x 2y 8. I) J (x) = x + .3, 9 (x) = x - I ; 2) f (x) = x + I, 0 (x) = 2x - I ; 3) £ (x) = - 2x, g (x) = x; 4) f(x) = x, g(x) =x + I. ■ Ю. I) J(x) = —L- ; 2) f (x) = 4 x~ 2 ; 3) J (x) = JL ; 1-х x - I , • x 4) f(x) =X. 11. I) (4x - 3) coi (2X2 - 3x)_; 2) -. (I+6x2) wt (x +2x3) ; 3) <^хй^х; 4)_е^ . 5)-3w2x^nx; 006 ^2 ' a x 6) - % 2 ?) 2x 3X ы 3 8) _ ^n x 2 » ^ 2. л^п ^(y^+4) 2 и 12. I) yf (3+2x2) eX ; 2) 2x CO6X3- Зх4лш х3 ; 3W to A -Jj_eX ; 4) (eti2c^x3 2^)2Х о C°* Xo P 0*4* X 5) 2x bf- + I) <уц X* - 2хлшх^ . 6) (3x + 2)gyL'1 ' (x^ + I)^- " ~ ' x+I 13. I) x = 0,5 - точка щкстра, х = I - точка минимума; 2) x = I - точка максимума, x = о их = 2- точки мини- адума; 3) х = 251*г - точки максимума, х = зг + asm- точ- ки минимума, neZ ; 4) х = - I - точка максимума, х = 2 - точка минимума. 14. I) у =.2х - I ; 2) у = 2* (1-х); 3) у = I +ЯГ- х ; 4^ у = 3 - 2х. 15. I) 2 2) х" + I _^2 4) I . A I x(I-x^) aZ« 2x ' ^£l 5) _^;6)-_^;7) _ -^- 5* 8) - -у^. 2"Vx-x* Vl-S I +2Г VI-x^ 16. I) 4x&lx ;. 2) t& x + ■ 3 : 3) 2tf x i 4) 0 ; 5)~-4e.*"; 6)^ex4inx; 7) j_ ; 8) I ^ 2Т/х-х~ x{^I 18. 1)У=-|+_2(х_^);2)у=5 Ц(х_1)? 3) у = 2x; 4) у = 2x. j~ 19. I) J'(x) =1,4 X °'4 + 3 (x - I) 2 , x > I ;
360 г-, \[Z - I si - I 2) J (x) =2 (2-х) 2 - sc (1-х) ]. , x «ssr ; 3) *'(x) = 2 (2x + 4) '3,-5 (3 - x)t f -2 < x « 3 ; 4) f'(x) = 3,9 (Зх -9)0'3 + 4 (4-x)S , 3 *£ x «: 4 ; 5) f'(x) = —i- + 2 f x>0 . Ux^ • Vx 6) i'(x)=6^- 8-^7, xeR; 7) J.'(x) = : - I , 2<x < 3, x > 3; ^/(Зх-эИ 4y(4x-8)S 8) f'(x) =8-^x~^T - 6 V3^x . x^3. 20.1) f'(x) = 2,3x I)3 + . T , . 0*x<I; _j 2л/1 - x 2) i'(x) = 4(x - I)"5 + 4 , I<x < 2, x > 2; л/2 - x' i 3) f'(x) = 10-^/ 3+x' - 8 (4 - 2x)3, - 3 =g X =£ 2 ; , - I < X <I, X>I 5) i(x) = -2*_, x^ +{; 3V(^-D2 6) f '(x) = . x , x€ R.; 2Щ7¥\ 7) Ux).= I&x3 41 x4- L xeR; 8) j'(x) = 3x .Vx^ - i", x «j -I, x 2I.I)y=_Lx__|; 2)y=_I_4_x; x 3) у = 2 ; 4) у = 2x + 2. 23. I) (2- x2) co& x - 4x лХ/пх; 2) (6x - х3)лк x + 6x2co&x ; . 3) 20X3 + I2x - 2 •; 4) I2x2q- 18 x. 24. I) I20x3 - 48x ; 2) I20x2 - 24 ; 3) (x + 4) eX ; 4) | . ^2 . 25. I) x шх - 4to& x ; 2) x3 ; 3) 24 ■ Г 4) (x + 4)eX. - <*^ 26. I) Точки перегиба х =-I и х = 2, на интервале - I <. x < 2 функция выпукла вверх, на интервалах х < -I и х > 2 - выпукла вниз; 2) х = 2 - точка перегиба, на интервале х-с2 функция выпукла вверх, на интервале х>2 - выпукла вниз; 3) точки перегиба х = -2 и х = I, на интервале >1.
x =°o, x = i y§ - точки перегиба • ^5 36i -2 •< x <I, функция выпукла вверх, на интервалах х<- 2 и х>1 - выпукла вниз; 4) х = I -точка перегиба, па интервале о < х< I функция выпукла вверх, на интервале х>1 - випугла вниз. 27. I) х = -I, х =_-т=г " точки максимума; х = I, х = - -—- - точки минимума 2) х = I - точка перегиба; 3) х = zn=gr - точка минимума, х = —\~, - точка перегиба; 4) х = I - точка минимума, х = -л/21 - точка перегиба; 5) х = 4 - точка минимума, х ■= - 2 - точка перегиба ; 6) х = о - точка минимума, х = 4 - точка максимума, х = 4 ± Z'^fl? - точки перегиба ; 7) х = ± I - точки перебига; 8) х = ■- - точка минимума, х = о - точка перегиба. 28. I) 3wbdeqx - 4<шай1Х + С ; 2) Бмльх + 4d*j x + С ; 3) I е2х + I to Зх + С ; 4) 2 Ы | х | - 3 cvtainx + С ; 2 3 Д 5) i(x + I)6 + cvtctJln2 х + С ; 6) п ^ (2x-3) - £<шй)3х +С 7) -iL + 2a*£tg(x-I) + С ; 8) СС4> (1-х) - Ictq 5x + С. 29. I) -х2- с*9 х + С ; 2) I tfl (Зх - I) - х + С ; 3) апЩ (х - I) + С ; 3 4) |-сш^(2х - I) + С ; 5) х - (Ш&}х + С ; .6) апЫлг (х - 2) + С ; , 7) сигЫлг(х - I) + С ; 8) ^аяшп(2х + 3) + С. 3G. I) -5Г ; 2)ЗГ -; 3)1 - Ж ; 4) -3L ; 5) Ж--«*оиД- йи.2 ; 6) 2 /Г ; 7) 3 ; 8) 2ъ. 31. I)*?2) fa34 3)J-|L . 4) ,К_ - ^4; 5) 10 cvtctq 2-4; 6) 6 - </С ; 7) |- - I ; 8) 9Г - 2. 32. ЗГ - 3 2 33 J) 2 tn |x - 4 | - —2— + С ; 2) x - 4 2(x+2)~ x + 2 3) x2 + 7x + 12Bk |x - 3 | + С ; 4) x3 - x2 + 4x + С ; 5) £l + x + -2_ + с ; 6) x3 + &i|x- 2 | + -i-^- + С ; 2; x-I x"^ 7) 2* + 2 + I 2 • x-I (x-I)'" 8) x- 6*n|x + 2p- ^ + С (x+2)" + G
ъег -ranch) Х+2 . * * 34. I) Мх2 + Зх + 4) + С ; 2)—алсЦ ^^- + С ; 3) 1м.(1 + х2) +cwctq х + С ; 24) еп^х2- 4х + 5)=.+ + Золо^ (х - 2) + С ; 5) X + Ы I х2 - 2х + 10 I +л + ™Щ ^f1 + С ! 6> ^ + In (4х2 - 4х * 5) + 3 7) 2х + In (х2 + 4х + 6) - j=- otnx^g ^т 8). х - | gw (4X2 + I2x + 10) + 9 илсЦ (2х + 3) + С. 35. I) jlx^JI+C . 2)'г«.| х2-- I | +С ;. I х + I I 3) 2гп|х + 1| -tttlx - I | + С ; 4) 2Кп|х + 3| - 1п\х - 2 I + С ; 5) Зх + 3 U |х - 11 - 2 In |х + 4 | + С ; . 6) :£- + 2&г|х + II + 5Е«|Х - 51 + С ; О 7) ±_ + х + U | х + 2 | + С ; 8) х + en I £L^-I;1 + с. I х + 3 I 36. I) 6 ; 2) - 2 к 3 ; 3).-^- + In z ; 4) 2 + In. 2 + 5) 4 - 3 ttl 5 ; 6) 0 ; 7) 3 - U 3 ; 8) I. 37. I) 2 +ЕпЗ ; 2) gn § - _7 ; 3) Ззт b-fo4 : с ° 4 4) 4 bt | + Зоис^|_ _ 4 ; 5) 2 - 3 to. 2 ; 6) 9 + fo5 - Ц Ы 2 ; 7) I +£«.2 - Z ln3 ; 8) I + 3b.3 J 2 2 4 38. I) Ж ; 2) - | (I +e ) .; 3) e - 2 ; 4)2 trt 2 - | 5) 0 ; 6) _ ^2 . ?) з U3 _ 2 . 8) _|_ . ■ 2 - 39. I) 4гл2 - 2 f 2) I - -|- ; 3)X 4) 2 - -31 • 40. c^ - I .
363 I. I. I. 2. ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ 6 §2 I).4 = g+X\t;- 2).tf,e«|*| *£►<:; ЗЬУ-д^Г^х+С; 4).9 = .£5,е*-+С; 6). у =-coix + £efl+c. лг §3 з).и = Се- . §4 I). xVot =0. I).описывает:2).(гр.т-3') .hi 2. I).9^-^e^3x + |; 2).И- ЗИп* -3; 3).У=Л*-2,5хг-ЗС-/,5"; 5).vj»-ex-eoiX + i. - 2. I). y--C(++*?; 2). з-С(***Х* 3). -у = -fo&iCx. ёт-.4} .нрф It §5 • t , 2) зс-С\е"2^-сАв • 2) х-е*сй21+е41м21; ,2t . _ "ft ~-Hut*, 4) ос -,cAi?+^ е ^' 4) ее =aeW+Ca+g)e 7).х*ис ?a , ■■ 3. ol-k .где*: -целое число, - p + С £ + > *■ 8).0&-u< *- ' . x-CVtnkt ,С-произвольная IO).M,C,e-%Cae-x+oa-2. постоянная,
364 Ответы, указания, решенияхглаъеУ. § I. 1. Так как поворот вектора 0Z на угол *С равносилен умножению комплексного числа ^ на <s , то преобразование поворота плоскости на угол *6 вокруг начала координат можно записать в виде Zr = ^^^ или ^ = Xj +/yj = откуда ЯГ? - &r<&>j>^ -^ate^sj^, = ?&<Ar&^ -^rt&U 2. Пусть AU) = ^ t о и 2^x) = 3v t * " Две Дробно- —вх + a — ^?x + с линейные функции. Найдем ^( ^ (x)j: / ах + в ч + / с^ -вх+а (ас-в<^)^ + ад^ + вс . </(ах±в_) + с -(аУ+ вс)х + ас - в^ -вх+а Если сопоставить ^(х) комплексное число ^ = а + в^* и j& (х) — Щь^ <? +а& , то можно заметить, что Таким образом, для нахождения ^(^(х)) достаточно найти Щ,Щ^. Так как данная дробно-линейная функция /^(х) = 'Эх ~ jL принадлежит к указанному виду (а = l/Z, в = - I), то. х + * 3 достаточно найти Z*"" = ( КГ- I) 100° или /&~^-J так как, если переписать 7^(х) в виде , тс ^(х) можно сопоставить /т *+ ^ 2'2 Jj- - I/ = «0*f-??+**bf-fJ- ЧИСЛО —ту- — ■* Поскольку (£-&•)'"*= *-*^- =& *~ = 7П0
365 -^ Я? ~' -^- — ?xr — /^5" jC/y^SzsJ 3- ^V^I988 ^ = Л*г"~ — * См* P^6™65 предыдущего упражнения/ ^ 4. Рассмотреть сушу ^>" & 5. Перейти к'тригонометрическим функциям двойного угла по форму- • лам: ^r^=, s+tterjRK/ j^#*k/^ -f~ сагЖя* *-=</ & £ЛУ#*С * §2. 1.-Да. <#*J Пусть т.О - середина отрезка АВ ^т^У (рис.-2^0. Обозначим через ^, г^ и 2^ комплексные координаты течек А, В и С соответственно. Нагл нужно доказать равенстве АС2 + ВС2= 2С02 + + \ АВ2 или JACJ* + /BCf* = Пусть ^ - комплексная координата вектора Ш. Тогда |15|* = /^/^= Найдем комплексные координаты вектсрсв АС, ВС, СО и АВ: А<Г = SL - ^ , ВС = 2L - ^ , "0? = si -
36в АВ = Щь - i^ у/ , таким образом, доказательство сводится к доказательству тождества (^ — ^ \Az- — ^)^. /^? —^Л (проведите его самостоятельно). 7. Используйте результат предыдущего упражнения. 8. Если течки А,В и С имеют комплексные координаты ^, 5| и ■ 2*s , а точки Ор 02, 03 -г ^ 4^ <*f3 \ то «, -^■ • ^^^ > />/*^ - ^ -^ # &з~^з —fek—tZs)* . таким образом, вектор С03 получается из вектора . б^ поворотом на угол %£ по часовой стрелке. /^ 10. Задача решается аналогично примеру 7. ^ 12. Убедитесь, что если ^>= А?&**^ , Щ> = *&& 0 ^ , у ^ — ^ — "- '--•^•/ •.j0~*r, то ^-^ sr/д--^/^- ^ Используйте это соотношение для доказательства теоремы. §3. 2. Пусть /"(г) = ас J2, + а^ + а , e V /V - 2а0 а0 :>- 0, тогда корни 1 ■ ' '"■ » Рассмотреть два случая: ^ I) aj2 ^ 4а0а2 2) ах2 ^ 4а0а2 # 3. Нет. ^ + ^.+ 424 4 = = (24 1)(2»Ч 4) = (54 I)(Z + 2*)(Н- 2*), поэтому 2* = -1,^э= ± 2^ » ис ^С ± 2^) = 0- 4- Да. j?*+ з^- + 4^+ 2 = (2 + '1)Сг£ 2z+ 2) = (24 I) (г+ ъ*) (24 I-/
367 Указания к задачамГЛЗВЫ <8 I. I. Рассмотреть сечение сферы плоскостью грани. 2. Многогранник, полученный склеиванием по основаниям двух равных пирамид составлен из треугольников и поэтому каждая грань вписана в некоторую окружность. Но такой многогранник может не быть вписанным в сферу. 3. См. Указание 2. 4. Примером может служить многогранник, полученный "приклеиванием" к каждой грана данного,куба, равного данному. 5. Да. Достаточно взять развертку куба, составленную из квадратов и затем кадый квадрат этой развертки разделить диагональю на два равных треугольника. 6. Следует "перекроить" обычную развертку правильного тетраэдра указанным на рисунке способом. указанный треугольник Чтобы получить вторую развертку следует первую развертку (прямоугольник со сторонами 2 и~g) разрезать по диагонали и затем провести переклейку. 7. Такие многогранники вписать в цилиндр можно. В основе рассуждений лежит известный пример немецкого математика Карла Германа Амандуса Шварца (1843 - 1921). Обратимся к
36& цилиндру радиуса (см. рисунок) и разделим его на- равных цилиндрических поясов. Возьмем один из этих поясов и впишем в него многогранный пояс (он указан на рисунке). миотогР^иныи пояс Vm цилиндрических поясоь / Оценим площадь одного такого многогранного пояса. Для этого спроектируем его на верхнее основание цилиндре (см. следующий рисунок). Для наглядности вершины многогранного пояса на разницах цилиндрического пояса обозначены .точками и крестиками. Полученная в проекции фигура состоит из треугольников. Они заштрихованы на рисушсе. Очевидно, площадь
569 многогранного пояса при любой ширине цилиндрического пояса больше, чем площадь проекции, которую обозначим через Ь . Тогда площадь вписанного в исходный цилиндр многогранника (точнее - в боковую его поверхность) превосходит fi .При ff) s> cO(S~ - фиксирована) mS-* с° т.е.площадь указанным способом вписанного в цилидцр многогранника может быть как утод- но большой. 8. Да. Доказательство основано на несложной модификации примера в предыдущей задаче. Указание к-вопросу на стр.285 .Возьмите два экземпляра многогранника, изображенного на рисунке 26 и склейте их по верхним граням. При этом грань, по которой присходит склеивание, следует изъять. После этого подсчитайте, число 24.7311.
$40 Глава д. Ответы и указания. § I. I. Указание. Пусть координаты точки М(Х; У) удовлетво-^ ряют уравнению (I). Возведите равенство (I) в квадрат, уедините радикал, еще раз возведите в квадрат и покажите,, что получится равенство (2). Обратно: пусть координаты точки М(х,у) удовлетворяют уравнению (2), откуда у=<6 0~^г ) ' Подставьте это выражение для у в уравнениеШ и покажите, что получилось верное равенство для любого х из промежутка ~сг ± х ±сс 2. Указание. Пусть точка М(х,у) лежит на эллипсе. То1даг ее координаты удовлетворяют уравнению (2), откуда у=^ (f"§rj Расстояния от точки М до фокусаХ(гС^о) и директрисыс(л находятся по формулам: MF/ - ^(xt-e)^yi) ММ* - ос ■♦ -~- . Подставьте свда вырадение для уги покажите, что MF^-^x+^y т.е. MFi-£ MMj . Аналогично докажите, 4to^4F2 -€/И/Иг 3. Указание. Воспользуйтесь тем, что ?аьенство\МЪ~МЫ'2а в координатах имеет вид W(x+c*ij2'-/£*<?+$* I* 2q , 4. Указание. Задача решеается аналогично задаче 2. 5. В системе 0Х9:#^Г^^ в системе £>ху; ftl-lfcfi), ?z[^'fi),wlX. '^ 6. Указание. Задача решается аналогично задаче 2. 7. r^-jjj-,—2j-^—J- уравнение директрисы: ij-~lf£— §2. I* Указание. Через одну из общих точею конической поверхности и сферы проведите плоскость, перпендикулярную к оси конуса, и докажите, что сечение сферы этой плоскостью есть линия касания сферы и конуса. 2. Указание. Проведите радиусы сферы в точке касания и воспользуйтесь признаком равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему утлу.
374 3. а) Эллипс при 30^ oi С <&f( при£= 90°- окружность), пзрёбола при ci, =3Cff гипербола при 0°< ос < 30° 4. Указание, Докажите, что отношение jfg имеет одно и то же значение, меньшее единицы, для всех точек М сечения (обозначения F и К имеют тот же смысл, что и в п. 3). 5. Указание.Задача решается аналогично задаче 4. 6. Указание. Рассмотрите две вписанные в цилиндр сферы, расположенные по разные стороны от секущей плоскости и касающиеся этой плоскости (аналогично тому» как это делалось I. 2. 3. '£ = .* = a ITGWi,, iVTCiaS, ■*;:* b(< /*£ »&; ^ <U»2* l ^\ПГ £ = ecivJ \
372 Указания к решению задач и ответы 2. Воспользоваться утверждением 3?, § I. 3- Воспользоваться задачей I. 5. Воспользоваться аксиомами 2 и 4. 7. Воспользоваться аксиомами 2 и 3.- 10. Ответ: нет. П. Ответ: нет. 14. Ответ: да. 15. Ответ: нет. 17. Воспользоваться задачей 16. 18. Пусть^С* -данный угол, а AJS - данный отрезок (рис. 6). Отметить точку С на луче, дополнительном к лучуС^, и к треугольнику А Ь£ применить теорему I. § 2. 1£. Пусть" - луч, дополнительный к лучу п , На лучах г) , ft' и £ отметить точки А , fb и С и к треугольнику А Применить теорему I, § 2. 20.' Воспользоваться задачей 18. 21. Воспользоваться задачей 18. 22± Воспользоваться задачей 18 и теоремой 3, § 2. * 23. Доказать, что любая точка, лежащая на отрезке А^ принадлежит каждой полуплоскости данного многоугольника. 27. Доказать методом от противного, т.е. предположить, что какая-то грань F многогранника не является гыпуклым многоугольником. Далее рассмотреть плоскость одной из граней многогранника, имеющей с званью Р" общую сторону. 29. Задача решается аналогично задаче 23. 30. Воспользоваться утверждениями 4° и 2°, о- 4. 31. Воспользоваться утверждением 3°, § 4. 32. Воспользоваться утверждением 4°, ч§ 4 и задачей 31. 34. Доказать методом от противного, используя утверждение 4°, § 4 и задачу 31. 35. Доказательство провести по" аналогии с доказательством леммы § 4, применив аксиому 14 к углам МО А" и М*фА? 36. воспользоваться аксиомой 14. 37. Допустить, что прямые A1V и.ЬЬ имеют общую точку Я) . Пусть, например, С' - fo -Я) . На луче fc>£' отложить отрезок foГ , равный отрезку А %> . Далее, используя. задачу 36 и аксиому-12, доказать, что точка £ лежит на прямой АА* , .что противоречит аксиоме 3. 38. Сначала, используя задачу 37, доказать, что отрезок С-л) пересекает отрезок ДО . 40. ПустькОЪ - данный угол и&^ = 0$> . Использовать середину отрезка
ФАКУЛЬТАТИВНЫЙ КУРС ПО МАТЕМАТИКЕ' ДЕЯ 9-10 КЛАССОВ / экспериментальные материалы / Авторы: Атанесян Л.С, Болибрух -А.А., Бутузов Б.Ф., Куланин Е.Д., Луканкин Г.Л., Лозняк Э.Г., Сидоров Ю.В., Ткачева М.В.", Шабунин М-."И. Составители: Колягин Ю.М», Федорова Н.Е. Научно-исследовательский институт школ Министерство народного образования РСФСР 1989 г. &■■
,.#' Факультативный курс математики для 9 — 10 классов (экспериментальные материалы) Подписано к печати 15.08.90 г. Заказ 7311. Формат 60x841/16. Объем 22,09 печ. листов. Тираж 20.000 Ротапринт НИИ школ MHO РСФСР (Москва) при содействии НИЦ „Зотекс"(Кишинев) Тираспольская фабрика офсетной печати.