/
Author: Овечкин А.М.
Tags: строительство строительные конструкции железобетонные конструкции строительное проектирование
Year: 1961
Text
A. M. ОВЕЧКИН,
д-р техн, наук проф.
РАИЕ!
ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ
ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ
КОНСТРУКЦИЙ
(ОБОЛОЧЕН)
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ЛИТЕРАТУРНОЮ СТРОИТЕЛЬСТВУ, АРХИТЕКТУРЕ
И СТРОИТЕЛЬНЫМ^МАТЕРИАЛАМ
Москва—1961
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Введение 3
Глава I. Расчет осесимметричных оболочек вращения в стадии упру-
гой работы
§ 1. Усилия и деформации в основных системах от внешней нагрузки 5
1. Основные зависимости —
2. Шаровые купола 8
3. Конические купола 13
4. Обратные конические купола 16
5. Цилиндрические оболочки вращения 19
6. Круглые пластики 21
§ 2. Усилия и деформации в осесимметричных оболочках от контурных
усилий момента М1п и распора М2Л 22
1. Основные зависимости —
2. Шаровые купола с постоянной толщиной стенки 25
3. Конические купола с толщиной стенки, меняющейся по. закону
АЛ
А = 26
t t
4. Цилиндрические оболочки вращения с постоянной толщиной
стенки 27
5. Круглые пластинки 28
6. Круглые кольца 29
§ 3. Пример расчета купола с опорным кольцом 31
1. Усилия и деформации в основной системе —
2. Контурные усилия Mi и Н2 в куполе от нагрузки собственным
весом g и от полезной нагрузки р 34
3. Меридиональные и кольцевые усилия и моменты 35
4. Суммарные усилия 37
5. Подбор сечений 39
Стр.
Глава II. Расчет железобетонных осесимметричных оболочек по ме-
тоду предельного равновесия
§ 4. Статический расчет в общей форме 43
1. Схемы разрушения —
2. Уравнения равновесия железобетонных оболочек вращения при
осесимметричных нагрузках 44
§ 5. Применение уравнений равновесия в общей форме для решения
оболочек вращения на сосредоточенные и кольцевые нагрузки 61
1. Сосредоточенная нагрузка в вершине купола —
2. Купол с нагрузкой, передаваемой по кольцу 78
§ 6. Расчет куполов по методу предельного равновесия на распределен-
ные нагрузки 90
1. Толстостенный купол —
2. Тонкостенный купол 100
§ 7. Расчет в конкретизированной форме статическим способом 122
1. Общие положения —
2. Определение внутренних усилий в куполах с двойной арматурой 125
3. Определение внутренних усилий в куполах с одиночной арматурой 135
4. Хрупкое разрушение куполов 139
5. Определение усилий от нагрузки 146
6. Определение разрушающего усилия 153
§ 8. Кинематический способ расчета 158
1. Общие положения —
2. Работа внутренних усилий 159
3. Работа внешней нагрузки 169
4. Расчет на действие динамических нагрузок 174
Глава III. Экспериментальное исследование работы железобетонных
куполов в стадии разрушения
§ 9. Задачи экспериментального исследования 179
1. Описание моделей куполов —
2. Проведение испытаний куполов 181
§ 10. Испытания и расчет куполов 183
1. Купол Б-б-2 —
2. Купол Б-б-1 192
3. Купол Б-б-3 199
4. Купол Б-а 207
5. Купол С-1 213
6. Купол С-2 220
7 Купол Т-1 227
8. Купол Т-2 235
§ И. Сводная таблица расчетных и фактических нагрузок 240
§ 12. Сопоставление результатов расчета куполов по упругому способу
с экспериментальными данными 243
§ 13. Эффективность различных видов армирования куполов 249
§ 14. Заключение 254
ОПЕЧАТКИ
Стра- ница Строка Напечатано Следует читать
8 48 48 50 95 2 и 3 снизу Рис. 45 Рис. 45 6 сверху 1 снизу Г 7 —02^1$ sin 5 — £2<о sin “«М* — /?10 cos 6 1 / Я 7 — <72£1£ Т?2- sjn 5-Qw - £19 »1а tflaCOSO , -к
ВВЕДЕНИЕ
К железобетонным осесимметричным оболочкам относятся
тонкостенные и толстостенные тела вращения, загруженные осе-
симметричной нагрузкой, т. е. различного вида купола — сфери-
ческие, конические и пр., цилиндрические оболочки и как част-
ный случай оболочек вращения — круглые плиты. Большинство
таких конструкций работает в условиях, при которых не тре-
буется обеспечения их трещиностойкости, вследствие чего рас-
чет может быть осуществлен исходя только из их несущей спо-
собности.
Определение несущей способности может быть произведено
в предположении упругой и упруго-пластической работы кон-
струкции или же в предельном состоянии по прочности по ме-
тоду предельного равновесия. Расчет пространственных кон-
струкций в предположении упругой их работы дает иногда
значительные отклонения от опытных данных в сторону пре-
уменьшения. Тем не менее «упругий расчет» необходим в тех
случаях, когда надо обеспечить трещиностойкость конструк-
ций, сопоставить результаты упругого расчета с результатами
расчета по другому способу, а также определить деформации
системы и ее устойчивость.
Расчет конструкций в упруго-пластической стадии наиболее
точно соответствует их фактической работе. Но такой расчет
представляет значительные трудности даже для стержневых
систем, а тем более для пространственных конструкций.
В настоящее время статический расчет железобетонных кон-
струкций в основном выполняется исходя из работы конструк-
ций в упругой стадии, а конструктивный расчет (подбор сече-
ний) производится по предельным состояниям. Это несоответ-
ствие двух частей единого расчета устраняется при применении
метода предельного равновесия.
В расчете по методу предельного равновесия конструкция
рассматривается состоящей из жестких звеньев, к граням кото-
рых приложены предельные усилия.
Этот метод не учитывает доли упругой работы конструкции
на участках звеньев и в пластических шарнирах. Тем не менее
он дает результаты, близко совпадающие с опытными данными.
3
Метод предельного равновесия, рассматривающий равнове-
сие конструкции в момент потери ею несущей способности и пе-
рехода в изменяемую систему, может быть применен к кон-
струкциям, в которых к моменту разрушения можно пренебречь
по малости деформаций изменением геометрических размеров
конструкции, входящих в условия равновесия, для которых со-
блюдаются предельные условия, выражающиеся неравенствами,
и которые не могут разрушиться хрупко, в том числе и от потери
устойчивости.
Начало возникновения метода предельного равновесия сле-
дует отнести к XVII веку, к временам Галилея. Позднее он был
вытеснен методом расчета упругих систем по допускаемым на-
пряжениям. Полвека тому назад этот метод вновь возродился,
но уже на более совершенной основе. Одним из первых иссле-
дователей этого метода следует считать венгра Kazinczy С., ко-
торый в 1914 г. указал на необходимость при разрушении ста-
тически неопределимых систем появления в них пластических
шарниров в количестве, большем на единицу их статической
неопределимости. Ученые Ingerslev и lohansen впервые приме-
нили метод предельного равновесия к расчету железобетонных
конструкций.
В Советском Союзе теоретическое обоснование метода пре-
дельного равновесия дано крупным советским ученым — действ,
чл. АСиА СССР проф. А. А. Гвоздевым. Расчету сооружений по
методу предельного равновесия посвящен ряд трудов других
советских ученых — профессоров А. Р. Ржаницына, К. С. Зав-
риева, А. П. Синицына, кандидатов чехн. наук Н. В. Ахвледиа-
ни, В. Н. Шаншмелашвили, С. М. Крылова и др.
Глава I. РАСЧЕТ
ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ
В СТАДИИ УПРУГОЙ РАБОТЫ
§ 1. УСИЛИЯ и ДЕФОРМАЦИИ В ОСНОВНЫХ СИСТЕМАХ
ОТ ВНЕШНЕЙ НАГРУЗКИ
1. Основные зависимости
В железобетонных сооружениях оболочки вращения встре-
чаются обычно жестко или упруго соединенными с. подобными
им или другими конструкциями/ Поэтому сооружения чаще все-
го представляют собой сложные системы, состоящие из ряда
простых основных систем. Для расчета подобных сооружений
в стадии упругой работы необходимо знать усилия и деформа-
ции для каждой отдельной основной системы, йз которых со-
стоит сложное сооружение. За основные системы при расчете
сооружения методом сил принимаются конструкции вращения,
шарнирно опертые на радиально подвижные опоры, оси кото-
рых направлены по касательным к меридианам в опорном кон-
туре конструкции. Основная система, например для купола, по-
казана на рис. 1.
Приведем-, расчетные значения усилий и деформаций для
оболочек вращения от внешних -нагрузок при коэффициенте
Пуассона р-, равном Ve- Выводы приводимых ниже формул да-
цы в работах А.. М. Овечкина1, А. И. Лурье2 и др.
1 Расчет железобетонных круглых резервуаров, Стройиздат, 1950.
2 Статика тонкостенных упругих оболочек, Гостехиздат, 1947.
5
Примем следующие обозначения:
Qa —вертикальная проекция внешней нагрузки на верх-
нюю часть купола с центральным углом а (рис. 2);
5а — поверхность верхней части купола;
у — расстояние от вершины купола до рассматривае-
мого сечения;
— радиус кривизны образующей в сечении с углом а
(меридиональный радиус);
/?2а —радиус кривизны направляющей в том же сече-
нии (кольцевой радиус);
г — радиус параллельного круга сечения с углом а;
—меридиональное усилие, приходящееся на единицу
длины кольцевого сечения с углом а в основной си-
стеме;
Z'lo и —то же, по большому и малому контурам;
Гга—кольцевое усилие, приходящееся на единицу длины
меридиана в основной системе в сечении с углом а;
Г20 и Г21 — то же, по большому и малому контурам;
Н —горизонтальный распор на единицу длины кольце-
вого сечения в основной системе;
Mi —меридиональный момент на единицу длины коль-
цевого сечения;
q — внешняя нагрузка на единицу поверхности кон-
струкции;
qz — проекция внешней нагрузки на нормаль к поверх-
ности конструкции;
h — толщина стенки конструкции;
—в Е раз увеличенное значение угла поворота контур-
ного сечения от внешней нагрузки;
В2р — в Е раз увеличенное горизонтальное смещение кон-
турного сечения от внешней нагрузки.
Примечание. Формулы для определения деформаций &ip и Ъгр спра-
ведливы для углов а0 и а, больше 30°.
Приведем зависимости для усилий в оболочках вращения:
Qa У qydS\ S У (1-1)
(1-2)
•rd Qi • (1.3)
1а sin2 а
Н° = Ti COS а; (1-4)
А. (1-5)
+ Ль -
Шаровые купола
Qa = J qy sin ada; 0 (1.6)
5a = (1 — cos a); (1.7)
y'O Qi * le 2w7? sin1 a * (1.8)
Г?.4- it = qtR. (1.9)
7
Конические купола (рис. 3)
Qt= 2тг cos a I qytdt\
(1.10)
Цилиндрические оболочки
(рис. 4)
Th-pzr
(1-14)
2. Шаровые купола
а. Равномерная нагрузка р на горизонтальную
проекцию купола (рис. 5)
Qa = sin2 а; (1.15)
(1.16)
^os?a; (1-17)
//2 = pR COS а; (1.18)
8
S, '=----— sin a0 cos a0; (1.19)
% \Tw---------------1 rwy (1.20)
Для незамкнутого купола
будем иметь (рис. 6)
2 \ Sin2 a /
~0 гч ( 9 1 sin2 ij \
T^—pR cos2a - + —у*-).
\ 2 x 2sin2 a /
(1.22)
В E раз увеличенные дефор-
мации для малого контура
8|,= Sin “1 C0S ( 1 -23)
ОЙ Рис. 5
82р = - Д- 7?,); (1.24)
то же, для большого контура
81р = sin “о cos“О’ <’-25)
Г бл
82р = Т Г’°)' (’ -26)
9
б. Нагрузка жидкостью (рис. 7)
Q«=n^2[(f+^)sin2a--|-7?(l-cos3a)j ; (1.27)
n-T«|i(Z+/?)+«[b^-™.]|: (1.29)
(1.30)
О-31)
Для незамкнутого купола (рис. 8)
Q«= 2^/?2 Jу (/ + 7?) (sin2 а -
— sin2 а,) + — R (cos а3 — COS3 04)] ;
(1.32)
sin2 а,) + -i- 7? (cos3 a —cos’ ajj; (1.33)
7t = T/?[/+7?(l-cosa)]- Т°ы. (1.34)
В E раз увеличенные деформации по малому контуру
% sin a,; (1.35)
Ч = (/I,- -1- У?,) ; (1.36)
Рис. 8
10
то же, по большому контуру
81,= -.-^ sin а»; (1.37)
(7а>- -у Г?о). (1.38)
в. Нагрузка сыпучим телом (рис. 9)
(f + 7?) sin2 а
Q« = ^7?2
_ _2Р(1 — cos" а) j (1.40)
3sin2 а J ’
(1.41)
где
Qz=^ \f + R (1 — cos a)] x
(1Л2)
Для незамкнутого купола
Q. = 2яТ7?2 Ц (/ 4- /?) (sin2 а -
— sin2 О]) —i-7? (cos3 а — cos3 а^]
(1-43)
-^[ia+sxsw.-
— sin2 «1) + (cos3 а — cos3 aL
Г2а = qzR- 7?B.
7’0
/ 1а=
(1.44)
(1.45)
В E раз увеличенные деформации для малого контура
81P = Uh (76 + ~tg2 (45 - f')]cos “*sin “*_
- 7? [25 - tg2 (45 - sin«j - 25 [1 - tg2 X
X ^45 — j j sin 3a! j ; (1.46)
82jj = «^1(z»!_ir;i); (1.47)
11
то же, для большого контура
~ |76 (/ + R) [1'^tg2 (45 - COS а0 sin а0 -
— /? ^25 — tg2^'45 — -2-jjsmac— 25/?[1 — tg2 x
X ^45 —j sin 3aft| (1.48)
6^ = ^p^oo__L (149)
г. Нагрузка от. собственного веса g при постоянной
толщине купола (рис, 10)
Qa = 1tR2g (1 — cos a); (1.50)
T’0 = Mg . (1-51)
1 4- cos a
T2a= Rg COS a — Tia. (1.‘Й)
Рис. 10
Для незамкнутого купола
Qa = (cos 04 — соф); (1.53)
Г1а= —(с о s 04 — cos а); (1.54)
sin2 а
TV^cosu— 7t- (Г.55)
В Е раз увеличенные деформа-
ции для малого контура
\ = —^Г~
w ^sino^Z—o 1 V
Г11)-
(1.56)
(1.57)
то, же,- для брльщого контура
81р = (1.58)
82, = -s‘p0 (^°2б- T^oj (1.59)
д. Нагрузка в виде постоянного нормального
давления q. (рис. 11)
Qa = T^qR2 Sin2 а; (1.60)
ri2=T.^; О-61)
(L62)
12
Для. незамкнутого купола
3. Конические купола
„ _ sA __goto
а. Нагрузка от собственного веса g = ~t---------
(рис. 12)
Закон изменения толщины стенки принят
ht~ hxtx = А0^0.
Вертикальная проекция нагрузки
Qy = 2-й cos a.gxtx (t — tx). (1.68)
Меридиональное усилие
<L69>
Кольцевое усилие
Т? = £1Л— =£оУоС1ёг«. (1.70)
sin а
Распор
//о= rjcosa. (1.71)
13
В Е раз увеличенные деформации для малого контура
"-72>
Ч = ^(т?. - тй); <1-73)
Рис. 12
то же, для большого контура
8 _^ctg«/12cosa---------------7-----sina+7£\. (L74)
р 6/z0 \ tg a sin a t0 sin a /
»2, = (72°o - 4- r?o)• (1-75)
Усилия от собственного веса g для конического купола с по-
стоянной толщиной стенки
Т°=-------------ctga; (1.76)
?» = gr ctga. (1.77)
б. Равномерная нагрузка р на горизонтальную
проекцию конического купола
(рис, 13)
Qy — ГР cos2 a (t2 — ^2). (1-78)
14
Усилия
у,0____Р cos а Н______
2 sin а \ t
T!>-ptc—.
2 sin а
(1-79)
(1.80)
В Е раз увеличенные деформации для конического купола с
переменной толщиной стенки ht=h\t\=h{)tti:
для малого контура
g __ Лр ctga а со 2 а _ sin2 а).
1р 6/4 v
(1.81
4=^(7’2°-Yr?i); t’-82»
то же, для большого контура
g _ P_ctg^_ Г 38 2 а _
,р 12Л„ L
1
—9)4-7— ; (1.83)
A) J
(L84)
/^0 \ V /
Рис. 13
в. Нагрузка жидкостью (рис. 14)
Усилия
7';=7Ctga[^-(^-Zf) + ^a(!J3-73)]. (l.g5)
L ।
^2 ==Т(/+ Asina) £ctga. (1.86)
В E раз увеличенные деформации для конического купола
переменной толщиной стенки A^=/zi6=/zo^o
для малого контура
^=:^4f±(3/+4ZiSina): (1-87)
g^ = ^(roi_^7.fi); (Е88)
15
то же, для большого контура
т f 29 . „ 7 ctg2 а
°'р=—Г\-^ffoctS “ +• (3/ + 2^sina)-t-
12q I 1 Z ot) Lq
Puc. 14
(1.90)
4. Обратные конические купола
fT (У __ So^Q
а. Нагрузка от собственного веса g = —-----------—
(рис. 15)
Закон изменения толщины стенки принят
ht = hxtx = hQtQ.
Вертикальная проекция нагрузки
Qy = 2ir cos a^o^o (zo — zi)- (1 -91)
16
Меридиональное усилие
'ро : ёоУо
1 sin2 а
(1-92)
Кольцевое усилие
17 =-godets2 а. (1.93)
В Е раз увеличенные
деформации для малого
контура
8 = —cos2 а -
1г 6Л, sin а 1 1
-8^ + 7^]; (1.94)
з cos а /-ро___1 pi
2g Л, V21 6 ")'
(1.95)
то же, для большого кон-
тура
8 =g»<<|C.tgl(13cos2a- 1);
1г 6Aosina v h
(1.96)
g ___ /0 COS а / ~0_1 0 \
2e Л, V 20 6 M'
(1-97)
Рис. 15
Усилия от собственного веса g для конического купола с по-
стоянной толщиной стенки
Qy= Kg с os а (%— ?);
(1.98)
7'? = -----S.------(V2 — y2).
1 2y sin2 a У 1’
(1.99)
Г2° = — g-yctg2a. (1.100)
б'. Нагрузка жидкостью (рис. 16)
ro=:
Qy = 2^7 cos2 a sin a J-i- F — t2)---^-(^0 “ ^3)j» (1.Ю1)
(/03-Z3)]; (1.102)
7^ = -T(F-Oleosa. (1.ЮЗ)
17
В Е раз увеличенные деформации для конического купола
с переменной толщиной стенки ht=h\t^=hotQ
для малого контура
(130*3 - 87F/? 4- 14^0 - 21Гф; (1.104)
(1Л05)
Рис. 16 Рис. 17
то же, для большого контура
8lp=-^(4^-3F/0); (1.106)
= (1Л07)
в. Вертикальная нагрузка Р по верхнему большому
контуру конического купола с постоянной толщиной h
стенки (рис. 17)
Qy = P\ Г2°=;0; (1.108)
7? =„-7— ----• (1.Ю8)
Sin a COS а
18
В Е раз увеличенные деформации для малого контура
s ~ 0.55Р
lp h?tga
g ____ Р /0,42/*! cos a yAsin а
2/’“/zsina^
(1.109)
-О,ОЗ\ (1.110)
то же, для большого контура
*2Р=-
8 = 0,55Р
h sin а
Р____
h sin а
0,42ro cos а j/*sin а
Vrji
+ 0,03
(1.111)
(1.112)
5. Цилиндрические оболочки вращения
а. Линейно меняющаяся нагрузка р на стенку
постоянной толщины h (рис. 18)
Кольцевое усилие
В Е раз увеличенные
деформации нижнего кон-
тура
^-^(Ро-РгУ, (1.Н4)
82р=—(1.П5)
то же, верхнего контура
81р= — (Ро —Р1У,
(1.116)
(1.117)
Т*=-рг.
(1.113)
б. Нагрузка сыпучего тела на стенки
цилиндрического силоса (рис. 19, а и б)
Интенсивности горизонтального р и вертикального q дав-
лений
(1.118)
19
(1-119)
где m = tg445 —-|-
<р — угол естественного откоса сыпучего;
— объемный вес сыпучего;
р=-^----гидравлический радиус;
е=2,718—основание натуральных логарифмов;
f— коэффициент трения сыпучего о стенки силоса.
Меридиональное усилие
Т'о == —rqF
1 2-лг
(1.120)
где V — вес сыпучего, находящегося выше рассматриваемого
сечения;
F— площадь йоперечного сечения силоса.
Кольцевое усилие
70х=арг, (1.121)
где а = 1 для угЛя и а — 2 для остальных сыпучих тел Ч
В Е раз увеличенные деформации для нижнего контура
5. arbm
Ь'р----
he ₽
* г2
% = - «А
(1.122)
1 См.-. «Указания по учету эксплуатационных нагрузок при проектировании
ctaibc’OB* (У 115-55 МСПМХП).
20
то же, для верхнего контура
Г^ПГ{
h
s2p = 0-
6. Круглые
а. Круглая пластинка, опертая по контуру
нагруженная равномерно распределенной
нагрузкой р (рис. 20)
Радиальный момент
м, =
пластинка
(1.123)
(1.124)
Кольцевой момент
Л1, —[19-9 (-
‘ 96 I кг
(1.125)
HmiiiiiiiMtiiiiiiiiiiiii]
В Е раз увеличенный угол пово-
рота на опоре
а 5 г*
Р'
г 4 А3
(1.126)
2r
Рис. 20
р
7
б. Круглая пластинка, нагруженная в центре
сосредоточенной силой (рис. 21)
Mt= — [5-7 In— \
‘ 2-М г)
81р=0,8^-.
(1.127)
(1.128)
(1.129)
в. Круглая пластинка, опертая по контуру и в центре,
нагруженная равномерно р аспределенной нагрузкой р
(рис. 22)
Mr = pr* Jo,198 (1 - + 0,119 In -ij; (1.130)
liiiiiiiiiliiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiHiiiiiiiiiiiE
P*1,28pr2
Рис. 22
21
Mt = pr1 2 jo,113 - 0,094 + 0,119 In
P=lfi8pr2;
4 = 0,234p-
h3
(1.131)
(1.132)
(1.133)
§ 2. УСИЛИЯ И ДЕФОРМАЦИИ В ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ
ОБОЛОЧКАХ ОТ КОНТУРНЫХ УСИЛИЙ МОМЕНТА М1п И
РАСПОРА Н2п (РИС. 23)
7. Основные зависимости
В осесимметричной основной системе тонкостенной оболоч-
ки вращения постоянной толщины усилия и деформации от кон-
турных воздействий М1п и Н2п определяются по следующим
формулам
меридиональное усилие
r !н sln + 2 (2Л)
1 А. М. Овечкин. Расчет железобетонных круглых резервуаров, Строй-
издат. 1950.
22
кольцевое усилие
^2/?^ (н sina„ М1пК \
*2 9 \ П2пsin an7il п 44 .
/
поперечная сила
Q = ±^(яй8!пал+2Щ:
Я2Л„ \ Rin /
меридиональный момент
м ^‘gl. (Ми, Нш Sin /Xq \
rj?„ 8 к Л
угол поворота
2/?2Л/?2Л№ /2М1пК rr . \
v = -Х2П-2-- ( —tq _ /у sin a т .
£Л^ \ Rln 1 " п I
горизонтальное смещение
тру _ 2/С-/?2Л-/?2Л sin Ct / у г . J\4inK \
W2 =----------- [Н2п 5Ш«Л - —— ЪI
Eh2nRi \ Ъп 1
(2.2)
(2.3)
(2.4)
(2.5)
(2.6)
где К =1,31
у RJi
Здесь 7]ь к]2, т]3 и т]4 — коэффициенты, которые определяются
по формулам
т]1 = е-х cos х;
т)2 = е-х sin х;
Т)з = ’ll + ’hl
•>14 ’ll — Ъ,
где х = Kw — Для криволинейных оболочек;
<D=3 a0 — а и o)=a——для контурных усилий, приложенных
соответственно по большому и малому
контурам;
т==Кх—для конических куполов;
х —расстояние по образующей от соответ-
ствующего контурного сечения до рас-
сматриваемого сечения.
Приведенные выше формулы не распространяются на поло-
гие оболочки.
23
Значения коэффициентов ^2* Чз и ^4 приведены в табл. 1.
Таблица 1
X Ъ % ’J*
0,0 1,000 0,000 1,000 1,000
о,1 0,900 0,090 0,991 0,810
0,2 0,802 0,163 0,965 0,640
0,3 0,708 0,219 0,927 0,489
од 0,617 0,261 0,878 0,356
0,5 0,532 0,291 0,823 0,242
0,6 0,453 0,310 0,763 0,143
0,7 0,380 0,320 0,700 0,060
0,8 0,313 0,322 0,635 —0,009
0,9 0,253 0,319 0,571 —0,066
1,0 0,199 0,310 0,508 -0,111
1,2 0,109 0,281 0,390 —0,172
1.4 0,042 0,243 0,285 -0,201
1,6 -0,006 0,202 0,196 —0,208
1,8 —0,038 0,161 0,123 —0,196
2,0 —0,056 0,123 0,067 —0,179
2,5 —0,066 0,049 —0,017 —0,115
3,0 —0,049 0,007 —0,042 -0,056
3,5 —0,028 —0,011 -0,039 —0,018
4,0 —0,012 —0,014 —0,026 0,002
4,5 —0,002 —0,011 —0,013 0,009
5,0 -0,002 —0,006 —0,005 0,008
5,5 0,003 —0,003 0,000 0,006
6,0 0,002 —0,007 0,002 0,003
6,5 0,002 0,000 0,002 0,001
7.0 0,001 0,000 0,001 0,000
В приведенных формулах второй индекс п имеет значение 1
или 0, из которых первое относится к верхнему малому конту-
ру, а второе к нижнему большему. Таким образом, например,
меридиональный момент М1л при п=1 принимает значение Л1ц
для малого контура, а при п=0 — значение для большего
контура. Верхний знак плюс или минус относится к усилиям от
контурных воздействий, приложенных к верхнему малому
контуру, а нижний знак—соответственно от воздействий, при->
ложенных к нижнему большому контуру. Правило знаков при-
нято следующим.
Моменты М1п положительны, если они вращают контурные
сечения в наружную сторону.
Распоры Н2п положительны, если они направлены внутрь
оболочки.
Углы поворота v и смещения W положительны, если они про-
исходят соответственно по направлению Л11я и Н2п.
Знак поперечной силы Q положителен, если она направлена
в наружную сторону при движении по левой половине конструк-
ции слева направо от зрителя, стоящего внутри оболочки.
24
Меридиональные и кольцевые усилия 1\ и Т2 положительны
при сжатии.
В Е раз увеличенные абсолютные значения для контурных
сечений углов поворота Дп от единичного момента М1п, углов
поворота Д12 от единичного распора Н2п, горизонтального смеще-
ния Д22 от единичного распора Н2п и горизонтального смеще-
ния Д21 от единичного момента М1п определяются по форму-
лам
Л _ 4^3
аи---------о—;
hnR\n
Л Л _
а12 — а21 — ----—7-------
hnR\n
Л 2/?|я/С81п2вя
Д22 —
(2.7)
(2.8)
(2.9)
2. Шаровые купола с постоянной толщиной
стенки (рис. 24)
Шаровой купол является частным случаем осесимметричной
конструкции вращения. Усилия и деформации в нем опреде-
ляются по формулам
Рис. 24
Т’2 = ък[^2п$та.пт\1— (2.11)
Q= ± ^//2,sina„i)4 +2^^ T)2j; (2.12)
25
м = - -^1па" Т]2; (2.13)
Дц=—3; (2.14)
1 hR v ’
Д12 = Д21°2Кг7П,,'; (2Л5)
Д22 = .2Ж^П'-'П".. (2.16)
к -1,31 У-5-; (2.17)
' h
Х = (2.18)
где
со = а0 — а — для контурных усилий, приложенных по большому
контуру;
w = а — ах — для контурных усилий, приложенных по малому
контуру.
3. Конические купола с толщиной стенки,
меняющейся по закону h = ^ = ~^
(рис. 25)
Т[ = + (Н2п Sin <П)4 + 2М1Л/О)2) (2.19)
Рис. 25
- М1пКъ); (2.20)
t3
Q=±-£ (Н2п sinат)4 +
+ 2Л4Л); (2.21)
М=-^ (Л41Л-
_ (2 22)
д (2.23)
л А 2/?l„№sina
П12 = ^21 = ------’
(2.24)
26
2/^„Ksin2 a
22= hn
/R2ti
X = kxf
(2.25)
(2.26)
(2.27)
где x — расстояние от соответствующего контурного сечения до
рассматриваемого сечения.
Для конических куполов с постоянной толщиной стенки h
имеем Ч для большого контура
д = ——9г° (2.28)
1 А2 Vroh sin a’
Д — Д — 3>46г°. ^12 “ Д21 (2.29)
2,6/q у/~sin a _ 22 h -/rji (2.30)
для малого контура
д _ 8^ . (2.31)
1 А2 у/~rxh sin a * л a
(2.32)
^12-^21- ft2 .
2,63r2 Д92 — / ’ 2 hVr.h (2.33)
4. Цилиндрические оболочки вращения
с постоянной толщиной стенки (рис. 26)
Г2 - 2гК (/ЛЛ - М1пКъ); (2.34)
<2 = ±№л + 2Л4Л); (2.35)
Л1 = Л11Л-^ч2;
. 4г’№
Ди= —;
Л Л 2Г*Х»
^12 — ^21= А ;
д - -
25 h ’
1 А. И. Лурье, Статика тонкостей1 *
них упругих оболочек, Гостехиздат, 1947. Рис. 26
27
(2.40)
Х = Ах, (2.41)
где х — расстояние от соответствующего контурного сечения до
рассматриваемого сечения.
5. Круглые пластинки
а. Круглая пластинка, нагруженная по контуру
погонным моментом (рис. 27)
Mr = Mt = M^ (2.42)
Рис. 27
(2.43)
б.^Круглая пластинка, опертая по^контуру и в центре,
нагруженная по контуру погонным моментом х
(рис. 28)
(2.44)
Дп= — М1
п л3 1
(2.45)
(2.46)
(2.47)
28
6. Круглые кольца
а. Нагрузка в ваде распределенного погонного
момента и погонной радиальной нагрузка Н2
(рис. 29)
Кольцевое растягивающее усилие
Z = Н2г. (2.48)
Кольцевой изгибающий момент
М = Mf. (2.49)
Угол поворота кольца
где /о — момент инерции кольца
относительно оси О—О. Ра-
диальное смещение кольца
Дг = г2.
EF.
vjifi Fq — площадь поперечного
сечения кольца.
В Е раз увеличенный угол поворота от 7И1=1
= (2.50)
В Е раз увеличенное смещение от Н2=]
д022 =^. (2.51)
б. Узкое кольцо на упругом основании, нагруженное погонным моментом Мх
Момент, воспринимаемый кольцом: Л12= БТТ- (2.52) Вг2а3со + 12£J.
Момент, воспринимаемый основанием (рис. 30): <2.53)
29
Угол поворота кольца
В Е раз увеличенный угол поворота кольца от Mi=l
Д01=,
га
г , а3В о
(2.54)
Рис. 30
Здесь В — коэффициент постели;
Jo — момент инерции сечения кольца, взятцй относительно
горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести
сечения;
Е — модуль упругости материала кольца;
ID = 1
а? । д4
18г2 + (36г2?‘
Коэффициент ю можно приближенно принимать равным еди-
нице.
30
§ 3. ПРИМЕР РАСЧЕТА КУПОЛА С ОПОРНЫМ КОЛЬЦОМ
7. Усилия и деформации в основной системе
Решение сложной системы конструкции вращения произво-
дится путем членения ее на отдельные основные системы, усилия
и деформации которых известны из ранее изложенного мате-
риала.
В местах членения имеются усилия, изгибающие моменты Afi
и распоры Н2. Значения этих неизвестных усилий могут быть
определены одним из методов строительной механики.
Если применяется метод сил,
то составляются канонические
уравнения неразрывности дефор-
маций, из решения которых опре-
деляются величины Mi и Н2.
Зная значения усилий в основ-
ных системах и контурные уси-
лия 7И1 и Н2, строятся эпюры мо-
ментов, меридиональных и коль-
цевых усилий в сложной системе
конструкции вращения, по кото-
рым затем производится подбор
сечений арматуры.
В качестве примера подобно-
го решения произведем расчет
железобетонного шарового купо-
ла с опорным кольцом, опертым
на радиально подвижные опоры.
Конструктивно радиальная
подвижность опорного кольца мо-
жет быть достигнута путем нанесения графитового порошка на
верхнюю поверхность стальных пластинок опоры (фундамент,
стену, балку и т. п.) под опорные пластинки купольного кольца.
Примем следующие размеры купола (рис. 31): /?=30 м\
й=0,1 м; b=d=Q,4 м.
Бетон марки 200; арматура диаметром 12 мм из стали Ст. 3.
Арматура диаметром 6 мм из холоднотянутой проволоки.
Собственный вес купола с коэффициентом перегрузки ng = l,l
будет g=0,1 -2 500-1,1=275 кг!м2.
Расчетная полезная нагрузка, равномерно распределенная
по горизонтальной проекции купола, р=3000 кг!м2.
Определим усилия в основной системе купола от собствен-
ного веса £=275 кг!м2.
Меридиональное усилие
== Kg = 30-275 = 8250
1-j- COS а 14- COS а 1 4 cos а ’
31
Кольцевое усилие
T2g = № cos а - T°lg = 30-275 cos a - T°g = 8250 cos a - T°g.
Вычисление Tf и T£g выполним в табличной форме (табл. 2).
Таблица 2
Значения T^g и T2g от собственного веса купола g (рис. 32)
а в град. 1-J-cos a в кг! пог. м R cos а g T'g’o- в кг1пог. м
0 1.0 2,0 4125 8250 4125
15 0,966 1,966 4200 7960 3760
30 0,866 1,866 4420 7150 2730
45 0,707 1,707 4840 5830 990
60 0,5 1,5 5500 4125 —1375
75 0,259 1,259 6560 2140 —4420
80 0,174 1,174 7020 1435 -5585
85 0,087 1,087 7600 718 —6882
90 0 1,0 8250 0 -8250
Определение усилий Т%р и
Т2р от полезной нагрузки р=
= 3000 кг/м2:
= — 3000-30 =
1 гР 2 2
= 45000 кг/пог. м\
т2Р=^рр c°s 2я=4"‘3000х
X 30cos 2a= 45000-cos2a.
Значения TQlp и T°2p приведены в табл. 3.
Таблица 3
Значения Т\р и 1\р от полезной нагрузки р (рис. 33)
а в град. COS 2a 7\° в кг 1 пог. м Т^р в кг1пог. м
0 1,0 45000
15 0,866 39000
30 0,5 22 500
45 0 45 000 0
60 —0,5 —22 500
75 —0,866 —39000
80 —0,94 -42 300
85 —0,985 -44 300
90 -1,0 —45 000
32
Определим деформации для основной системы купола и
для кольца от контурных усилий и Я2 и ют нагрузки. Для
шарового купола имеем
/<=1,31
22,7;
ду; = 4’22-- =. 15 600;
11 hR 0,1-3
А Г?о) = |у(- 8250- -^8250) =
= -2890000.
Деформации от полезной нагрузки р
г!р = Sin а0 cos а0 = 0;
= _L Г?с) = gl (- 45000 - -1-45000) =
= - 15 750 000.
Деформации опорного кольца
302
0.00213
= 422000.
Здесь
/0 = — = ^ = 0,00213 л£4;
0 12 12
33
Д“2= г’ = — = 5620;
22 F„ 0,16
Fo = bd = 0,4 • 0,4 — 0,16 m2.
2. Контурные усилия Mr и H2 в куполе от
нагрузки собственным весом g и от полезной
нагрузки р (рис. 34)
//?g = 7'?ocos“o = 0; <хо = 9О°.
Составим канонические уравнения неразрывности деформа-
ций шарового купола и опорного кольца
(D (Лй + Д?!) Mlg - + 8“ = 0;
(II) - Д-Л11? + (Д“ + Д«2) H2g + = 0.
Канонические уравнения составлены следующим образом.
Абсолютные значения деформаций, которые обозначены через А,
взяты с положительными знаками,
если направление деформаций со-
ответствует направлению вызываю-
щих их усилий. Так, например, глав
ные деформации Дп и Д22 входят в
канонические уравнения всегда с
положительными знаками, посколь-
ку их направление соответствует
направлению вызвавших их усилий
Mig и H2g.
Деформации Д^ и Д“ взяты со
знаком минус, так как первая из
них — угол поворота опорного кон-
тура купола под действием силы
Н2 — направлена в обратном на-
правлении по отношению к направ-
лению момента Л4Ь а вторая — смещение опорного контура под
действием момента — направлена в обратном направлении
по отношению к силе Н2.
Деформации 6^ и 3^, поскольку они не являются абсолют-
ными значениями деформаций, введены в уравнения со знаком
плюс, так как знак их направления включен в сами выражения
ш <> тп
ДЛЯ Ojg- И 02^ •
После подстановки числовых значений уравнения прини-
мают вид
(I) (15600 4- 422 000) 103007/^+178 500 = 0;
(II) -10 30(Ш^ + (13 600 4- 5620) H2g + 0 -12 890 000 = 0.
Из решения уравнений получены значения 7l4ig-=3,18 кгм и
H2g = 152 кг.
34
Контурные усилия МХр1л Н2р в куполе от полезной нагрузки р
определяются из решения канонических уравнений:
(1) (Ай + A?J М1р Ь*Н2р + В- = 0;
(II) - Д£Ж„ + (Д“> + д«2) Н,„Д»2//»р + 8“ = 0.
Подставляя числовые значения, получаем
(I) (15 600 + 422 000) М1р- 10 300Я2р +0=0;
(II) - 10 300Л11г+(13 600+ 5620) Н2р +0 - 15 750 000 = 0.
Из решения уравнений получены значения =19,6 кгм и
/72р=832 кг.
3. Меридиональные и кольцевые усилия
и моменты
Определим меридиональные T'igM кольцевые Т^усилия и мо-
менты М^в куполе от контурных воздействий Mlg и //2^:
1\е = ctg a (H2g Sin а0Ч4 4 2 4^ т,2 ).
4fg- Л7,г,3 -
После подстановки цифровых значений имеем:
= ctS “ (152 17)4 + 2 ~^2’7 Чг) = (1 52i>4 + 4,H) ctg а;
r2s = 2.22,7 (152- h, - ) = 6900ч, - 104,5ч,;
Mg = З,18ч3 - 15|-+ Ч2 = З,18ч3 - 200ч3.
Вычисляем вспомогательные величины i]2; tj3 и т]4
в табличной форме для / = = 2217 (а0 — а) (табл. 4).
Таблица 4
а град- Ctg а а ра- дианы си = а0—а % Чз
90 0 1,570 0 0 1,0 0 1,0 1,0
85 0,088 1,483 0,087 1,97 -0,054 0,128 0,074 -0,182
80 0,176 1,395 0,175 3,98 —0,012 —0,014 —0,026 0,002
75 0,268 1,310 0,260 5,90 0,003 -0,001 0,002 0,004
to 0,577 1,048 0,522 11,8 0 0 0 0
45 1,0 0,785 0,785 — — .— ——
30 1,732 0,523 1,047 — — — — —
15 3,732 0,262 1,308 — — — — —
0 оо 0 1,570 — — — — —
35
Вычисляем значения T'lg\ T'2g и Mg в табличной форме
(табл. 5).
Таблица 5
oSiCn 0*0
Определение Т
Определение.
Определение М g
4,6 ц2 ctg а
2g
О
—2,44
0,05
0,16
О
О
0.05
—0,01
О
О
О 6900
-2,39 -372
0,04 —83
0,16 20,7
О О
—104,5
+ 19
— 0,2
6795
—353
3,18 О
0,24—25,6
-0,08 2,8
0,01 0,02
О О
3,18
—25,36
2,72
0,03
О
152 -ty ctg а
Определим усилия Т'1р\ Т'2р и Мр в куполе от контурных
воздействий М1р и Н2р-
Т'1р = ctg а sin aoYh + 2^^ 'Чз);
Мр~М1ръ- *h£^-rb.
После подстановки цифровых значений имеем
Т\р = Ctg а (832 17Ц + 2 19’6^2’7 т)2) = (832т)4 + 29,7т)2) ctg а;
Г2р = 2 • 22,7 (832 • 1т)1 - тц) = 37 80(4 - 674vj4;
М„= ISM -83g±1)2=i9i6l)3^ 1100т)2.
Вычисляем значения Г[ Т2 и Мр в табличной форме
(табл. 6).
36
Таблица 6
4. Суммарные усилия
Суммарные усилия в куполе от контурных воздействий от
нагрузки собственным весом и от полезной нагрузки (рис. 35 а, б
и табл. 7, 8,-9) будут
^ = ^+^4-^+^;
т^т^+т^+т^+г^
M=--Mg + мр.
Таблица 7
Суммарное меридиональное усилие Т\
а в град. 7? в кг в кг 1Р 7ig т\
0 4125 49125
15 4200 — — 49200
30 4420 — — 49420
45 4840 45 000 — — 49840
60 5500 0 0 50500
75 6560 0,16 0,89 51561
80 7020 0,04 0,23 52020
85 7600 -2,39 —12,97 52585
90 8250 0 0 53250
37
OS/25
Рис. 35
38
Суммарное кольцевое усилие Тг
Таблица 8
а в град. то 2g 7° 2р T2g т' 2р Т*
0 4125 45000 — — 49125
15 3760 39000 — — 42760
30 2730 22 500 — — 25230
45 990 0 — — 990
60 —1375 —22 500 0 0 —23875
75 —4420 —39000 20 по —43290
80 —5585 —42 300 —83 —455 —48423
85 -6882 -44300 -353 —1917 —53452
90 —8250 —45 000 6795 37126 —9329
Таблица 9
Суммарный момент М
а в град. м g м р Л1 а в град. Л1 g м р м
0 — — — 75 0,03 1,14 1,17
15 — — — 80 2,72 15,5 17,72
30 — — — 85 —25,36 —139,55 —164,91
45 — — — 90 3,18 19,60 22,78
60 0 0 0
Суммарный распор Н
H=H$g + Н°2р 4- H2g 4- //2р = 0 + 0 4- 152 + 832 984 кг.
Растягивающее усилие в опорном кольце
ZK = Hr = 984• 30 — 29 500 кг.
5. Подбор сечений
Площадь кольцевой арматуры при центральном растяжении
в сечении а =85° при Л=10 см; Ло=8,5 см; Ram~Rzmma~
=2 100 кг/см2; Т2 = —53 452 кг
будет
39
Принимаем кольцевое армирование на участке от а =90° до
а =75° симметричным
F3 = F' = 53452 = 12,7 см2 (12012 =13,6 см2).
a a 2- 2100 v 7
Ha участке от а =75° до а =60° площадь арматуры прини-
маем
F= = /?a = 4^-=10’3 ^2(10Q12=ll,3^2).
На участке от а=60° до а =45°
F. = F' = 23875 = 5,7 см2 (5012 =5,65 см2).
2-2100 ' ’
На участке от а=45° доа=0°
Fa = F; = 2,83 см2 (1006); 7?arra = 2500 кг!см2.
Проверяем сечение а =0° на сжатие 7’2=49 125 кг при марке
бетона М200
N < F6/?nprn + FaRam = 10 • 100 • 80 + 2 • 2,83 • 2500 = 94 000 кг.
Прочность на сжатие обеспечена, так как 72=49 125 <
< 94 000 кг.
Меридиональное армирование на центральное сжимающее
усилие (а =90°) Z’i=--53 250 кг (Л4~0) ставится конструктивно:
Fa = Fa= 2,83 см? (10 0 6), так как Т\ < 94 000 кг. полученных
ранее.
Проверим сечение а =85° на внецентренное сжатие при Тс=
—-52 585 кг и 165 кгм:
е0 = —=^^=0,3 слг<О,15Ло = 0,15-8,5 =1,3 см.
0 Л 52 585 * °
Имеем случай малых эксцентрицитетов:
Ne — О.бд^прт 52 585-3,8 — 0,5-100.8,52-80
г = ----------------~-----------------------------
2 500(8,5— 1,5)
Ram (^о а')
40
где е = е0 + --а = 0,3 + -у — 1,5 = 3,8 см.
На внецентренное сжатие меридиональная арматура также
ставится конструктивно (1006 — Fa = /^=2,83 см2).
Расчет опорного кольца
Растягивающее усилие в опорном кольце ZK =29 500 кг.
Изгибающий момент Мк =>Мг=22,78 • 30=683 кгм.
Эксцентрицитет
Мк 68300 hQ — a' 36 — 4
— = -------= 2,3 см < —9--------=--------= 16 см.
ZK 29 500 2 2
2
Имеем внецентренное растяжение, случай малых эксцентри-
цитетов:
Ал CL 36 - 4 О О 10 7
= ------ — е0=----------2,3 = 13,7 см\
2 ° 2 - , -
, h0 — аг . л 36 — 4 . 0 0
* = ——— —j— — ——— —2,3 — 18,3 см,
Рис. 36. Схема армирования купола. Кольцевая симмет-
ричная арматура — зоны: IV— 12012; III— 10 012;
II — 5012 и I — 1005 на 1 пог.м. Меридиональная сим-
метричная арматура—100 6 на 1 пог. м
ZKe 29 500-13,7 с 9
F' =-----------—-----------— = 6 см2\
а {h.-a')Ram (36-4)2100
41
F =--------------= 29500-18.3 . _ 8,05 cM2.
(ha — a')Ram (36-4)2100
Принимаем симметричное армирование (8Q16 —F -\-F’&^=
= 16 см2).
Схема армирования купола показана на рис. 36.
Глава II. РАСЧЕТ
ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ОБОЛОЧЕК
ПО МЕТОДУ ПРЕДЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ
§ 4. СТАТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ В ОБЩЕЙ ФОРМЕ
/. Схемы разрушения
Симметричные схемы разрушения железобетонных оболочек
вращения возможны только такого вида, при котором жесткие
звенья, на которые членится конструкция при образовании пла-
стических зон, совершают перемещения, вызывающие удлине-
ние, а не укорочение их кольцевых периметров. Это положение
следует из принятой несжимаемости всех звеньев конструкции
вращения.
Жесткие звенья системы соединяются между собой пласти-
ческими зонами, к которым относятся линейные и кольцевые
пластические шарниры, недостаточные опорные кольца и пр.
Недостаточными (в отличие от избыточных) опорными коль-
цами условимся называть такие кольца, в арматуре которых
напряжения к моменту разрушения достигают предела текуче-
сти или в которых проявляются ускоренные деформации, обес-
печивающие образование здесь зон пластичности.
При симметричном разрушении оболочки вращения она ста-
новится изменяемой кинематической системой с одной степенью
свободы1. Рассмотрим возможные схемы разрушения для неко-
торых железобетонных оболочек вращения.
1 Научные доклады высшей школы, раздел «Строительство» № 1 и 2 за
1958 г. Статьи автора.
43
Для опертых (а не подвешенных) куполов при нехрупком
разрушении возможны в основном две схемы разрушения: ме-
ридиональная и меридионально-кольцевая, которые в свою оче-
редь могут делиться на несколько типов.
На рис. 37, а и б показаны две меридиональные схемы раз-
рушения. В первой из них меридиональные пластические шар-
ниры сошлись в одну точку в вершине купола. Во второй — ме-
ридиональные шарниры закончились ниже вершины купола.
Меридиональные схемы разрушения возможны в куполах,
опертых на радиально подвижные опоры при отсутствии опор-
ных колец или при недостаточных опорных кольцах.
На рис. 38, а и б показаны меридионально-кольцевые схемы
разрушения типа 1. Эти схемы разрушения могут иметь место в
радиально подвижных куполах при наличии избыточных опор-
ных колец.
На рис. 39 и 40 показаны меридионально-кольцевые схемы
разрушения типа II. В этом типе разрушения нижний кольцевой
пластический шарнир расположен на уровне или выше опор-
ного контура купола. Эти схемы могут иметь место в защемлен-
ных куполах, а также в тонких куполах, имеющих одиночную
или слабую меридиональную арматуру.
На рис. 41, а, б и в показаны меридиональная и меридио-
нально-кольцевые схемы разрушения конических куполов; на
рис. 42а, б, в и г даны схемы разрушения цилиндрических кон-
струкций вращения, а на рис. 43, а и б — схемы разрушения
круглых железобетонных плит. На рис. 44 показана одна из воз-
можных схем разрушения сложной железобетонной конструкции
вращения.
Исследование схем разрушения конструкций, состоящих из
нескольких оболочек, является сложной задачей, не нашедшей
еще разрешения в настоящее время. Решить эту задачу можно
только после изучения схем разрушения отдельных оболочек
вращения, к рассмотрению которых переходим в дальнейшем
изложении.
2. Уравнения равновесия железобетонных
оболочек вращения при осесимметричных
нагрузках
Для исследования работы какой-либо конструкции вращения
рассмотрим условия равновесия участка элементарного дву-
угольника, вырезанного двумя меридиональными плоскостями,
проходящими через вертикальную ось вращения с центральным
углом между ними d<p, и двумя коническими поверхностями,
нормальными к образующей конструкции вращения, с углом
между- ними со—а (рис. 45). Рассматриваем участок элемен-
44
Рис. 37
Рис. 38
45
Рис. 39
Рис. 40
Рис. '41
46
а) б) в) г)
Рис. 42
Рис. 43
Рис. 44
47
тарного двуугольника со снятыми защитными слоями. Толщина
двуугольника г равна расстоянию между арматурами. Внешние
и внутренние усилия по схеме, предложенной проф. А. А. Гвоз-
девым для круглых плит, приложены к поверхностям располо-
жения меридиональной и кольцевой арматур.
е? е?
/-Tla/?2asin«ty; 1'- v2arla^2a sin atty; 2- j T^R^ift; 2'- j T2R
8, 8t
3- sin шсг<р; 3' - v2(DTi(0 /?2ш sin шсГ<₽; 4~Qa #2a sin ad^ 5~ M2w sin
sin 6'~vl£tf2£<71/?l£/?2£ sin 7 - Q^R^R^ sin
7'- sin Scfoty; 8 ~ sin фсГ<р; 8'—^2^PxR2^ sin ф<7<р;
9-Р2/?2ф sin фсГ<р; 9'sin фсГ<р
Меридиональный и кольцевой радиусы поверхности внутрен-
ней арматуры обозначены через и /?2- Меридиональный и
кольцевой радиусы поверхности наружной арматуры /?1н и Т?21|
будут
/?1н =
^2н = V2^2?
где Vj и v2 — коэффициенты соотношения наружных и внутрен-
них радиусов.
48
Рассмотрим действие следующих внешних усилий на выре-
занный участок элементарного двуугольника:
1) распределенные по поверхностям внутренней и наружной
арматур нагрузки qx и q'\, направленные по касательной к мери-
диану;
2) распределенные по тем же поверхностям нагрузки с/2 и q2
направленные по нормалям к поверхностям внутренней и на-
ружной арматур;
3) погонные линейные нагрузки Р2, Р\ и Р'2, приложенные
по кольцевому сечению с углом ф к внутренней и наружной
арматурам и направленные по касательной и нормали к поверх-
ностям арматур.
По торцам вырезанного участка двуугольника возникнут
следующие внутренние усилия:
1) меридиональные 7\ и приходящиеся на единицу дли-
ны кольца внутренней и наружной арматур1;
2) кольцевые Т2 и Т'2, приходящиеся на единицу длины ме-
ридионального сечения внутренней и наружной арматур;
3) поперечные силыфа и Qw, действующие по площадкам
Z?2aSinafZa) и Т?2ш sin wdv, отнесенные к единице длины кольца
внутренней арматуры.
Поперечных сил, действующих по площадкам Pi (ш — а), при
осесимметричных нагрузках не будет.
Изгибающие моменты Mi и М2 в меридиональном и кольце-
вом направлениях автоматически входят в уравнения равнове-
сия при наличии разности между усилиями 1\ и Т\ или Т2 и Т'2,
Изгибающие моменты М2 в кольцевом направлении в куполь-
ных конструкциях вращения при осесимметричных нагрузках
будут равны нулю, тогда как в частном случае купола — круг-
лой пластинке — вследствие поворота элементарных секторов
пластинки вокруг верхних радиальных пластических шарниров
(рис. 43,6) моменты М2 не будут равны нулю.
Введем обозначения:
EF — вертикальное усилие в сечении с углом со от внешних сил;
ЪХ — горизонтальное по направлению радиусов усилие в се-
чении с углом а) от внешних сил.
Проектируя все силы для сечения с углом со на вертикаль
и горизонталь, после некоторых преобразований получим
(I) 2тс(7\ш 4- ^2“ sin2 ш sin cocos co-J- EK= 0; (4.1)
(II) — (Г1(1> 4- у2шГ'ш) R2(a sin co cos co 4- sin2 co 4 EAr=0.
(4.2)
1 Для отдельных углов a,u> и д-р. к буквам Л и 7г приписываются соот-
ветствующие индексы а, и др.
49
Взяв момент всех сил относительно линии I—I (рис. 46),
получим
(III) Т 1в/?1а/?2* 0 sin а+ i<o^2wSinu)[/?^—Vla/?ia COS а ((0 — а) 4-
+ 1/х„ + cos (“— ₽<«)]+ТлЛ-8111 4i«#i«cos (“—“)+
+1^ 4 + yl cos (ш — ₽«,)] + Q0J/?2„ sin Ш [vle,/?]a sin (o> — a) —
r-_____- p
— Vxl + yl sin (w—₽a>)]+ J Л^1б(^1а/?1а COS a — /?ieeee$— ye)d9+
01
e,
+ j 7^V16R^ (via7?iaCos a—vieA\ecos 0 — ye) d$ +
6i
Puc. 46. Расчетная схема для определения изгибающих моментов
vla#la cos (ф - а) 4- ]/~cos (ф-fy) : cos (ф- a) -f-
1 /~~2 2~
+ у *ф+Уф cos (ф-₽ф); 2-vla/?la cos а-/?1е cos 6-уе . 2*- *1а7?1а cos а-
/ 2 2*
- vie^ie cos 6-уе ; 3-vla/?la sin (co-а)- 1/ x^+y^sin (co-pco )
50
+ j (#2 + vJ5Wi) sin * Sin (B — a) —
5i
________ Ъ
— Ул24~ y| sin (£ — &)] <Д + j ^A^A^sin^/?^—Vla/?lacos(£—a)4-
5,
_____________ 52
+ /x2 + y* cos ( - ₽a)l + J vi5^2 5^15^25 sin В [v^/?15 —
5i
— Vla/?la cos (H — a) +Уxf + yf cos (B — ₽e)l dt +
+ (Л + V24;P;)7?21 Sin ф [vla/?1Bsin (Ф—a) — ]/x2 + y2sin (ф—рф)] +
+ А^?2Ф sin ф [7?1Ф — Vja /?ia cos (ф — a) + Уx$ + y2 cos (ф — рф)] +
+ Л^ф^Ф Sin ф [^1фЯ1ф — Via/?la COS (ф— a) 4-
-r 1^4+4cos (Ф - ₽ф)1=°- <4-3)
В уравнении (III) обозначены: через я и ус соответствующи-
ми индексами проекции на горизонталь и вертикаль расстояний
смещения центров вращения, из которых очерчена образующая
отдельных участков элементарного двуугольника, а через р—
угол между вертикалью и диагональю У 4~ у2 (см. рис. 46).
Для решения задач, помимо полученных трех основных урав-
нений равновесия, удобно иметь дополнительное уравнение (III'),
которое представляет собой сумму моментов всех сил относи-
тельно линии II—II:
(III ) ^2а^2а-/?2а Sin ОС (^la 1)-^?1а 4~ Д1а>-/?2в> Sin U) [7?1<d
— /?1а COS (w — а) +УЛ2 + y2cos(d)—-рш)] +r’(i)V2te/?2w Sin 0) —
— A*la cos (<О — а) + у х2 + у2 cos ((О — Рсо)] + Qm7?2w sin <о [7?lasinX
X (а) — а) — У л2 4- у2 sin (а) — рш) ] 4-
б2
+ У ^2^1® [АДа COS а — А>10 cos 6 — yeJtZe 4-
8i
®2
+ J ТУыЯы [/?!«. COS а — vie/?le COS 6 — Ув] rf64-
®1
52,
+ j (?2 + ^№2) Sin e [7?ia sin (B — a) —
51
51
- +Я sin (!=-₽?)] Л+
sin? [7?ц — /?ь cos G — «) + lzx| + у| cos (?—₽Е)]Л+
E>
+ ( *1Е',2$4;^1Е^2Е sin a [vi5/?1E — /?1а cos (t — a)4-
e,
+ Vxl + y^ cos (б — pe)] H-
+ (Рц + ^P'2) /?2ф sin Ip |7?U sin (Ф — a) — y%2 + y2 Sin (4> — ₽ф)] +
+ pi/?24. sin <]> [7?it — Pu cos (Ф — a) + ]/ yfcos (<|> — ₽Ф)] +
+ F&ft* sin ф [71ф7?1ф — /?ь cos (<p — a) +
+ /^ + ^со5(Ф-₽Ф)1=0. (4.3')
При расчете конструкций на действие нормальной и попе-
речной сил удобно иметь уравнения равновесия в виде проекции
всех сил на меридиональное направление и нормаль к -обра-
зующей.
Проекция всех сил на направление 1\а будет
(IV) -(Tied-V2aT’a) Т?2а sin а — (Ла) + /?2ш Sin о> COS (<О — а) +
6о
+ <М?2Ш sin (О sin (а) — а) + J (Л 4- Vie Л) Rig cosad6-|-
01
+ J (^2 4- R^R^ sinB sin (В — a) dt —
ч
— j (Qi + У1№ Я\) Rit.R* sin e cos (B — a) dt +
5,
+ (^2 + >^2) Sin Ф Sin (Ф ~ a) —
— (Л + /?2ф sin <p cos (ф — a) = 0. (4.4)
Проекция всех сил на нормаль в сечении с углом а будет
(V) (Ло)+ V2ai7'J 7?2ш sin со sin (о — a) — Qa/?2a sin a +
о,
+ Q«7?2<b sin U) cos (w — a) + (T2 + vieZg) Rig sin a d6 +
Oi
5*
+ j (tf2 +- *ЦУ2^2) Рц/?2В sin £ cos (B — a) d^ 4-
5i
52
+ (7i 4- V15V2^J) RitRz- sin В sin (B — a) dl +
I,
4- (^2 + ^P’2) /?2-ъ sin ф cos (ф — a) +
4- (Л 4- v2i,P') /?2ф sin ф sin (ф — a) = 0. (4.5)
Для шаровых куполов с постоянной толщиной стенки урав-3
нения равновесия будут
(I) (Лю + j ) sin со + Q<o cos «о + —4^7— = 0; (4.6)
2л/? sin w
(II) Qw sin (» — (Лю + cos (1)4- —— = 0; (4.7)
2л/? sin u>
(III) Ла (v — lj sin a -f- Лш [1 — v cos (co — a)] sin <o -j-
4- [ I — cos (<d — a) J sin a) 4’
02
+ vQco sin <o sin (w — a)4- T2 (v cos a — cos 0) tZB 4~
e2
4- J >27"2(cos a ~ cos e) ^e 4-4
Si
e9
4~ j* (#2 4- yRsin £sin $ — a) 4-
ъ
4- j Q\R [1 — V cos (B — a)] sin ЫК 4-
e,
e,
4- ^q\R [ 1 —cos (B—a)] sin BrfB4-(Z>2 4- ^^2) N sin Ф s’n ~ a)4“
4" /4 [1 — V COS (Ф — a)] sin Ф + v2P' [1 — cos (Ф — a)] sin ф = 0; (4.8)
(ПГ) — v(y — 1) 7^a sin a 4- Ла>[1 — COS (о — a)] sin (1)+
4“ Iv “ cos (<d — a)] sin (» + Qw sin <0 sin (<» — a)4-
62 62
4- j Л(с°8 a—cos O)d0 4~ JV74(COS a — vcos e) +
61 61
4- f ($2 4- ^Q’2) R sin £ sin — a) dB-|-
'4
53
+ ^iP[l“~cos (В—a)] sinB^B4~
Ё,
+ j ^Q'iR [v — cos (В — a)] sin ЫЬ +
t»
4-(Р24“ vP^sn^sin (ф — а)4-| PJ1 — cos (ф — a)J эшф 4-
4- vP* [v — cos (ф — a)] sin ф = 0; (4.8')
(IV) (Ла + <T'ia) Sin a — (Л 4- vPj’J Sin co COS (<d— a) +
e2
4- Qw sin w sin (in — a) 4- J(F2 + ^2) cos 4~
e,
+ j (^2 + ^2) R sin В sin (B — a) db —
e,
— V (Qi + ^2q[) R sin В cos (B — a) dB 4- P2 4~ ^Pg)sin Ф sin (ф — а)~
— (Pj 4~ sin ф cos (Ф — a) = 0: (4.9)
(V) — (Ла>4- ^PiJsinc» sin (<o — a) 4- Qasina—QuSincocosfco—a)—
e2 Ц
— J (Л 4- vF^ sinadO — j(?2 4- ^2) p sin В cos (B — a)—
e,
— J (<7i 4- ^) R sin В sin (B — a) dk — (P2 4- vP2' sin Ф cos (Ф ~ a)—
— (Pi 4~ vP'i) sin ф sin (ф — a) = 0. (4.10)
Для конических куполов с постоянной толщиной стенки или
для конических куполов с небольшой толщиной стенок, для ко-
торых в уравнениях равновесия можно положить а — а' = О
уравнения равновесия будут (рис. 47,а)
(I) (Г10 + v?;0) sin a + Qo cos a + -----= 0; 4.11)
2k/0 cos a
(II) QoSlna-(rio+>rio)cosa + -4*— = 0; (4.12)
2тсг0 COS a
(III) j Z’2[0f-C1)tga + zl<« +
54
Рис. 47а. Расчетная схема для конической оболочки
55
T to
+ fvr2 — *i) tg “ dt + f (?2 + C* — ti) xdx—
— j q^xdx + (P2 + vPj) (p—^)p+ Ptpz=0; (4.13)
(nr) (7”10f0- г;а)«+ <Wh
-*i) + jT'2(Z-<1)tgadf +
t
+ J" ^2 KZ — Zl) *8 Z1 dt + [ <?2 + *4’) — Zl) tdx +
+ ^q\zxdx + (P2 + vP’) (p — <[) p+ PJvpz = 0; (4.13')
Tj
(iv) (Pu + vr;,) tx - (pl0 + vr;0) 4>+ J( Гз+уг;) dt -
t
- J' (9. + 'dx - (P, + vPJ) p =0; (4.14)
T T0
(V) Q& - Qoto - tg a J (P2 + vP ’) dt - J(<?2 + ) xdx -
-(P2 + ^)p = 0. (4.15)
Для цилиндрических оболочек вращения с постоянной тол-
щиной стенки уравнения равновесия будут (рис. 47,6)
(I) Ло + <По + ^ = О; (4.16)
(II) Qo + ^ = O; (4.17)
Рис. 476. Расчетная схема для ци-
линдрической оболочки
1 — Tnrd<f>; Г— 'iT^rdtf, 2—Tnd<fdt\
2’—vTzdtpdt-, 3—T1()rd<f>; 3’—vTiQrd<p;
4— Qjrdtp; 5— Qord<p; 6 — qjdtfdv,
6 ^q[rd<fd-t\ 7—q„rd<fdT, T — ^qfyrdyd'r,
— Ptrdtp^S' — vP rdtf>; 9—P„rd<fi', 9' — tP^rd >
56
(Ill) (Г,,- Г10) r-z + Qo^+j'l^ + vr')/Л + r J(?2 +
G Ti
т°.
+ ^q2) — rz j qxdt 4- (P% + v^) rP — Prz = 0; (4-18)
(III') v(7';0— 7"n) rz+ Qorto + ^7'2 + v7'j)^ + r ^(</2 +
G Ti
^0
4- v2q'2) ^dt 4~ v2rz (q[di 4- (P2 4- ">P^ rP + ^P\ = 0; (4.18')
(IV) rI1 + vF„ - Tw - ,T\0 - (9l + dz-р,- vp; = 0;
(4.19)
t-1 To
(V) (Q, - Qo) r - (T2 + v^) dt - $ (q2 + rdz -
G Ti
-(P2+vP;)r= 0. (4.20)
Для круглых пластинок уравнения равновесия будут (рис.
47,в).
YY
2л/?
— = 0;
2л/?
(4.21)
(4.22)
(III) (Tlrr - 7\rR) z + Q₽p (p - r) + J T2zdr +
G
5,
_|_ — r) ds + Pp(p — r) = 0; (4.23)
5,
(III') (Л₽/?-Г;гф+ Q*R (R — r) — J T'2zdr +
r.
S2
4- J qs (s — r) ds 4- Pp (p
s,
r)=0;
(4.23')
(IV) (Tlr - Г1Г) r- (T4- 7W) R + $ (T2 4- T2) dr = 0; (4.24)
rt
(V) Qrr - QrR - Jr/sds - Pp = 0. (4.25)
st
Для тонких куполов, образованных вращением дуги круга
около вертикальной оси, в которых внешние нагрузки и внутрен-
ние усилия могут быть отнесены к единице срединной поверх-
ности купола, уравнения равновесия будут (рис. 48).
(I) Тio, sin со 4“ cos о 4------------------------= 0;
v 7 2л/?2Ш sin <о
(II) Qco sin о — Tio cos (о 4-------------—-------= 0;
2л/?2(и sin ш
(4.26)
(4-27)
(III) sin <» [7?io) — Ria cos (u>—&)]4~Q<o^?2a>/?ia sin <o sin(<i>—0,-)4_
e;
4- j T2Riq (Ria cos a — Рю cos 6) dti-\-
Oi
e,
4- [ q^R^R^Ria. sin S sin (£ — a) dB4~
£i
+ J qiR\'R™ Sin S [Pis — Ria cos (B — a)] dB+
58
+ sin ф sin (ф — а) 4- Ррфц^пф [/?1ф — PiaCOS (Ф — а)]4~
+ Л41ар2а sin а — ТИ1<о/?2со sin <о = 0;
(4.28)
(IV) Т 1а/?2а sin а — ТкоРгсо sin ш cos (w — а) +
е2
+ Q<o/?2<o sin <о sin (а) — а)-]- J 7\Pie cos
e.
В, Ъ
4- f sin £ sin (£ — a) sin В cos (B — a) dB +
4- Р2^2ф sin ф sin (ф — a) — PlR2% sin ф соя(ф — a) = 0; (4.29)
Рис. 48. Участок элементарного двуугольника для тонкостенной
оболочки
е2
1— ^1а#2а si° %— J 3— s*n <0^'р: — Qa.^2a si°
6i
5— Qw~^2(o sin <0C^'PJ 6—Л11а/?2а si° a<^P; Л11О)/?2Ш sin a>d<p; 8— s‘n
9—QtR-tfRyE, sln 10— Р1/?2ф sin <pd<p; 11—P2/?2<p sin
(V) QaP2a sin a — TiM/?2<o sin a) sin (a) — a) —
f2
— Qo^?2<d sin <0 cos (о — a) — J Г2Р1е sin a dQ —
Oi
59
Е2 Е2
J <72^2B/?е sin В cos (B — a) dB — qYR\^R2z sin | sin (B — a) dl —
t Ei
— P2Rbt sin ф cos (ф — a) — PXR^ sin ф sin (ф — a) = 0. (4.30)
Для тонкого шарового купола уравнения равновесия будут
(I) Ло> sin о) 4-Qw cos и Ч----——=0; (4.31)
2тс7? sin со
(II) Qa, sin со — Тio) cos co -—— = 0; (4.32)
2kR sin ш
©2
(Ш) Лш [1 — cos (со — a)] sin a) 4~QW sin (о sin (co — a)-]- Jr2(cosa —
e 2 e2
— cos B) d6 -J- $ <hR sin В sin (B — a) dB J <hR [ 1 — cos (B—a)] X
Ei E,
Xsin BdB + P2 sin Ф sin (Ф — a) + 11 — cos (Ф — a)]sin Ф +
-|-----(714ia sin a — TI4iw sin co) = 0;
(4.33)
(IV) Tia sin a — T1Ш sin co cos (co — a) 4~ Q<» sin co sin (<d — a) -|-
02 EZ
4- J T2 cos ade J q^R sin £ sin — a) d£ —
0i Ei
E2
— qxR sin В cos (B — a) dB + P2 sin ф sin (ф — a) —
Ei
— Pi sin фсоз (ф — a) = 0; (4.34)
(V) Qa sin a — sin <0 sin (co — a) — Qw sin co cos (co — a) —
02 E2
J T2 sin a de — J q2R sin В cos (B — a) dB —
0,
— sin В sin (B — a) dB —
Ei
— P2 sin ф cos (ф — a) — Рх sin ф sin (ф — a) = 0.
(4.35)
Решение оболочек вращения с использованием общих урав-
нений равновесия, приведенных здесь, условимся называть рас-
четом в общей форме в отличие от расчета в конкретизирован-
ной форме, в котором решение выполняется путем составления
самостоятельных уравнений равновесия для каждого конкрет-
ного случая.
60
§ 5. ПРИМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ В ОБЩЕЙ
ФОРМЕ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ НА
СОСРЕДОТОЧЕННЫЕ И КОЛЬЦЕВЫЕ НАГРУЗКИ
/. Сосредоточенная нагрузка в вершине купола
вращения на действие осе-
Пользуясь выведенными уравнениями равновесия, можно ре-
шать различные системы оболочек
симметричных нагрузок.
Решение в общем случае не-
обходимо провести на все воз-
можные схемы разрушения, на-
пример для куполов: на меридио-
нальную, меридионально-кольце-
вую типа I и меридионально-
кольцевую типа II. Из решения
этих схем выбирается наиболее
опасная, дающая наименьшую
внешнюю нагрузку, которую мо-
жет воспринять конструкция. По-
кажем применение уравнений
равновесия к решению куполов
вращения.
Рассмотрим полусферический шаровой купол с постоянной
толщиной стенки, загруженный сосредоточенной силой Р, распо-
ложенной в вершине купола (рис. 49). С целью сокращения рас-
чета не будем учитывать нагрузку от собственного веса купола.
Рис. 49
а. Меридиональная схема разрушения
Вначале рассмотрим возможную меридиональную схему раз-
рушения при значениях а> 0.
Уравнения равновесия
(I) Л.90-++ |^- =0;
(II) Q90 + ^ = 0;
(III) (v — 1) 71a sin a + 71.90 (1 — v sin a) -|- v27' 90 (1 — sin a)-}-
1C
+ Qgov COS a J 72 (v cos a — cos 6) d& +
a
it
Г
+ J v27g (cos a — cos 6) dO =» 0.
a
61
Из уравнения (I) имеем
Л.90 + V 7'1 90 =
Р
2kR ’
Так как опорная реакция приложена в средине между силами
Л.90 и >>7^90, то 7\.9о = ^Т\80, откуда имеем
Р Р
1 1.90 = — —— И / 1 Q , -------.
4nR 1 4™R
Из уравнения (II) имеем
Q90 —
——2nR
2+ 1
2nR 2
Подставляем найденные значения 7\,9о; Т\90 и Q90 в урав-
нение (HI):
(ПТ) (v-l)rtesina--^(l
4nR
е2
4kR
"Г 1 I (
е.
62
+ ^27'(cosa — cos 0)d0 = 0.
е.
В кольцевом шарнире усилие Т\а достигает предельной ве-
личины 7\а, а на участке от а'до кольцевая арматура течет,
поэтому усилия 7\ и Т'2 также достигают предельных величин
Примем кольцевое армирование постоянным на всем протя-
жении от а' до тогда значения Т2 и Т2 можно будет вынести
за знак интеграла.
Уравнение (III) примет вид
(HI) (v -
1) 71а sin а-----
7 4nR
2
и it
2" Г
+ 72 J (v cos а — cos 0) d6 + v2 T2 C (cos а — cos 0) d6 = 0
a' a*
ИЛИ
(III) (v— l)7\asina
(1 -j- v — 2v sin a) -j- -i- v (v 1) H cosa-|-
62
(TZ \ .
— — a' COS a — 1 4- sin a'
2 /
— 1 + sin a' = 0,
где a' —угол, соответствующий окончанию кольцевой арматуры,
откуда
— 1 sin a'
COS a —
1 + v — 2\ sin a
Введем обозначения
2 (\ — 1) sin a
la = ;-----------------;
1 + v — 2v sin a
v (v 1) cos a
1 -f" — 2» Sin a
1 v — 2v sin a
Отыскание минимального значения P выполним путем по-
строения кривой для величин Р. Примем значение v=l,l, зна-
чения коэффициентов влияния kx^kH,k2 и k'2 показаны в табл. 10
и на рис. 50.
Таблица 10
а в град. kH Л2
0 2,5 5 10 15 18,5 20 30 45 60 72 90 0 0,004 0,009 0,02 0,034 0,0455 0,05 0,1 0,26 0,9 оо - 1,1 1,154 1,204 1,326 1,46 1,56 1,61 2,0 3,02 6,08 оо •—• 0,694 0,72 0,754 0,79 0,86 0,89 0,9 1,0 1,188 1,62 оо 0,658 0,69 0,724 0,774 0,824 0,87 0,88 0,98 1,172 1,34 оо
63
Рис. 50. Меридиональная схема разрушения. Коэффициенты влияния для Р при v = 1,1
Р= 2*2? (*1аГ1а+ Ан#+ <Т2 + *2'Т2'); Рмин = (071а+ 1,177+ 0,694Т2+ 0,6587/) при а=0
Разрушающая сила Р будет
Р = (Tuku+ffk№ + T2k2+ Т&).
Минимальное значение Р принимает при а=0
Лп1п = (О Н- я. 1,1 + Г2. 0,694 4- Л-0,658).
6. Меридионально-кольцевая схема разрушения типа I
Рассмотрим возможную меридионально-кольцевую схему
разрушения типа I шарового купола с постоянной толщиной
стенки, загруженного сосредоточенной силой Р, расположенной
в вершине купола (рис. 51).
Уравнения равновесия
(I) (Лш coscd-P —~— =0;
2пр sin со
(II) QcoSin <0 — (Лео 4- v7\' ) cos cd4-—— =0;
2кР sin
(III) (v — 1) sin a + 7\ш [1 — v cos (w — a)] sin w +
4~ v2 J1 — cos (w — a)] sin о J- sin <o sin (<o — a) 4-
I ^"2 C*cos a — cos
co
G) tZG 4~ J^2^2 (cos a — cos ®) = 0;
a
(IIP) — vr'a(v— 1) sin a 4- — COS (о — a)] sin <o 4-
4-*7^ — cos (<° — a)]sin w 4- Qw sin a> sin (<o — a) H-
4- j Z'g (cos a — cos 6) dG 4- jvT^cos a — v cos 6)tZG = 0.
a a
65
Принимаем расположение верхнего пластического шарнира
в месте наибольшего значения положительного момента, т. е. в
вершине купола под грузом (рис. 51), полагая при этом, что в
этом месте, помимо общего для всего купола армирования, не
имеется какой-либо особо усиливающей арматуры.
Рассмотрим равновесие участка I. Для него <о = 90°; а = <р.
Уравнения равновесия
(I) ^ + ^+^ = 0;
(П) <?9о + -^=О;
(И!') — чТ\ч (у — 1)sin ф4- Т 1.9э( 1 — Sin <р)-нг;(v — sin ?)
2 2
+ Q90 cos ср + J Т2 (cos ср — cos G) dfi-f- JvT^cos ср — у cos 0) dfi = 0,
<p
Из уравнений (I) и (II) найдем значения усилий на нижнем
контуре купола:
г<-—н-
Подставляем эти значения в уравнение (ПГ):
(III') — V?' (v— 1) sin <Р —(1 4-V — 2 sin ф) + cos 9 +
4тс/? 2
it it
2* 2
+ Т"2 (cos ср — cosG)d0 -|- JvT^cos ср — vcos6)dG = 0.
<р <р
Вместо Т’^ Т2 и 7’ подставляем их предельные величины
Г1<р, Т2 и 72, принимая значения Т% и 72 постоянными:
(ПГ) — v7i<p (v — 1) sin ср — (1 -|- у — 2 sin ср) Н cos ср -|-
+ Л [(— — ?) cos ср — 1 4-sincpj .+ y7'^^-^-(pjcoscp —
— у + у sin ср j = 0.
Определим из последнего уравнения значение Н:
Я=, I)siny+ -^-(1 + ч — 2 sin?) -
(у-|- l)cos<p (
— 72 ---ср) cos ср — 1 + Sin ср] — v72-ср) cos <р —
— у + у sin ср ; (А)
66
Рассмотрим равновесие участка II. Для него ю = 90°; а = Q.
(Ш) Г1.90 + 4- Q,,y +- f Т2 (у - cos в) М +
о
2
j у2Т2' (1 — cos G) db = 0.
о
Подставляем в (III) уравнение значения Гцо; Т\ 90 и Q90:
откуда
//=—-
Б 11+'>-Мт’~1Н?;НЬ1)] (Б>
Приравниваем значения Н из выражений (А) и (Б):
чТ\ (у — 1) tg ф -I-—— (1 -I- v — 2 sin ср) — Т2{^--<р —
1<р\ / & . "г 4rJ?C0S? ' ~ *' Д 2
----— + tg?) — — <Р — + *tg?) = -
cos <р / \ 2 cos <р / v 4к7?
Определяем из этого равенства значение Р:
Р - 2-р 2 ^2<cos?~v?cos?~v + ^sin?) —— sin ср
v (1 —v — 2 sin <р) — (1 -Р v) cos ср
vr2 (v cos ср—cp\ COS ср—v2-]-V2 Sin cp)
,v(l _i_v — 2 sin cp) — (1 -j- v) cos cp
Составим таблицу (табл. 11) и построим график измене-
ния Р в зависимости от угла ср, принимая у =1,1 (рис. 52):
Таблица Ц
ср в град. *1у *2 k2 <F в град. *1<р *2 Л2
0 0 —0,96 —1,04 40 0,216 0,600 0,538
6 оо оо оо 45 0,235 0,618 0,560
15 0,214 0,876 0,826 60 0,326 0,688 0,642
25 0,198 0,628 0,576 75 0,650 0,840 0,790
30 0,198 0,596 0,532 87 » оо оо оо
35 0,206 0,586 0,534 | 90 2,200 0 0
67
Рис. 52. Меридионально-кольцевая схема разрушения типа I. Коэффициенты влияния для Р при v = 1,1
Р = 2те/? (klv'r,1^kf1 + k2~f^
Р — "PxR (Т\А<р Т2 k2 + ^2^2)?
где
,, 2у2 (у — 1) sin ср
у (14-у—2 sin ср) — (1 -|-y)cosy
k ___ 2 (cos у — yy cos у— v 4- у sin ср)
2 у (1 ~|—у— 2 sin ср) — (1 -j- у) cos ср
& 2у (у COS ср — уу COS ср — у2 —у2 sin Ср)
2 у(1-{--'*— 2 sin ср) — (1—|—y)coscp
При о =35° имеем
Р = + Т&) =
= 2к7? (0,20674,, + 0,586 Л, 4* 0,534Л2)-
Ив выражения (Б) определяем значение Н:
Н=----------[— 2 1-Т2(1,57-1,1 -1)-
1,1-2,1 |4яЯ
— 1,21(1,57—1)7'2^ = 0,1877’1^ — 0,1127'2 - 0,100Т2.
Из сопоставления коэффициентов влияния для Т2 и Т2 в вы-
ражениях Р для меридиональной и меридионально-кольцевой
схем разрушения типа I видно, что влияние Т2 и Т'2 в последней
схеме разрушения меньше, чем в первой, и если судить только
по этому, то меридионально-кольцевая схема является более
опасной, чем меридиональная схема. Но в меридионально-коль-
цевой схеме имеется член, зависящий от меридионального арми-
рования Ti^ которого нет в меридиональной схеме, поэтому
окончательный .вывод о более опасной схеме разрушения мож-
но сделать только тогда, когда известны значения Т2, Т2 и
__ ____, ___,
Так, например, если принять, что Т2 = Т2 = 7\=Т, то для
меридиональной схемы имеем (полагая отсутствующим опорное
кольцо Я=0)
Р = 2^-1,352 Г,
а для меридионально-кольцевой схемы
P = 2W? 1,ЗЗГ
Значит, в этом случае более опасной является меридиональ-
но-кольцевая схема разрушения.
В выражение для Н члены с Т2 и Т'2 вошли с отрицательны-
ми знаками, и если их влияние больше, чем влияние Т’^, то зна-
чение распора Н получится отрицательным.
69
Это указывается на то, что направление распора будет про-
тивоположным, т. е. что опорное кольцо сжато. В этом случае
необязательно нужно иметь опорное кольцо, так как сжимаю-
щие усилия распора по опорному контуру с успехом могут быть
восприняты кольцевыми сжимающими усилиями бетона.
При отрицательном значении распора Н меридионально-
кольцевая схема разрушения типа I может перейти в меридио-
нально-кольцевую схему разрушения типа II. Нижний кольце-
вой пластический шарнир в этом случае будет расположен вы-
ше опорного контура купола, если в этом месте недостаточно
поставлено меридиональной арматуры.
в. Меридионально-кольцевая схема разрушения типа II
Рассмотрим меридионально-кольцевую схему разрушения
типа II шарового купола с постоянной толщиной стенки, загру-
женного сосредоточенной силой Р, расположенной в вершине
купола (рис. 53).
Рис. 53
Считая, что купол в своей вершине не имеет, помимо обычной
для всего купола, какой-либо особо специально усиливающей
арматуры, принимаем положение верхнего пластического шар-
нира в вершине купола.
В предельном состоянии уравнения равновесия для участка 1
будут _
(I) (Tu + v7"' ) sin <0 + cos Ш :----= 0;
1CU 2kR sin co
(II) Qa> sin <0 — (Лш + vrL) cos co 4--— = 0;
2nR sin <o
(ПГ) — v7'i<p(v — 1) sin <p + Лю [1 — cos (co — <p)] sin co [v-_
— COS (co — <p)| Sin (0 sin CD Sin (co — <p) + (cos <P ~ cos +
<p
+ f v 72 (cos cp — v cos G) flfO =0.
Уравнения равновесия (I) и (II) для участка II будут такими
же, как и для участка I, а уравнение (III), имея в виду, что
а =0, будет иметь вид
Е(1Н) Ла>(1 — у COS a))sin(0 + ^7^(1 — cos <о) sin (О + sin2 <o 4-
4- J72 (v — cos 6) 6Z64- Jv1 T2 (1 — cos 6) dG =0.
о 0
Значения EK и EX будут
EK=P;
EX = — H'&'kR sin <0.
Подставляя эти значения в уравнения (I) и (II), получим
(I) (710,4-v71а,) sin to + Q^> cos<o — Р—;
sin <0
(II) Qo) sin (в — (71а, + уТы) cos <0 = v//.
Определяем из уравнений (I) и (II) значения v7Ju) и Qw
гг • Рcos ш ;
Qw = Ну sin <0-----------
27c/?sin <0
Р /cos3 <о 1 \ ту Р
у! 1ш =-------------------I — Hn cos <0—7io,=-----------
\sin2co sin2 со/
— 71а, — Ну C0S <0.
Подставляем значения и \>7^ в уравнение (III ):
— Р
(III) 7io,(l — v cos (о) sin (о — V(1 — cos <о) sin <о —
— Ну2 (1 — cos <о) sin (о cos со — 71о, v( 1 — cos <о) sin о 4-
г т о • q Pv sin2 со COS со . • \ I г)гг / • \ f\
4--гЛ2 sind (о-----------------р 7о(у<о — sin <о) 4- у27г(<о—sin <о)= 0.
2я/? sin со
Определяем отсюда значение Н sin со:
гг . Р / Sin со \ =г (у — 1) sin СО
И sin <0 =------ --------) -4 710, ----------
\1 — COSco ) \“(1—COSCO)
_ W - sin <> _ у- ш-sinu» (Д )
v2(l—COS со) 1—COSCO
Подставляем значения и ^7'ш в уравнение (III'):
(III') —v(v — 1) 71? sin ср 4- 71а, [1 — cos (<о — ср)] sin<o —
— [v — cos (oj — cp)J sin co —-[v — cos (<o — ср)] Ну sin о cos <0 —
— [v — cos (co — cp)] sin 0)710, + Tfv sin2 <o sin (<o — cp) —
P COS cd
2к7?
sin (<o — <p) + T2 [(<“ — <p) cos <f — sin u> -|- sin <p] +
+ vT’zK0» — 'P)cos f ~ v(sin<" — sin 43)] = 0.
Определяем отсюда значение //sin co, имея в виду, что
sin co Sin (со — <р) -J- COS со COS (со — ср) — у COS со COS ср — V COS со;
гт . Р v sin cd— siny . — ' (>/ — l)siny
Н Sin СО =------.--------i + Т 1<р —---------—
2куР cosy—\ COS CD cosy — У COS CD
! (\—1) sin cd (cd—y) cos у — sin <d —sin у
-f- / 1(0 — - 1 2 ~ T
v(cosy—COScd) у (cos у — V COS cd)
— , — ф) cos ф — v (sin co — sin фЧ
_ / 2-------------------------
cos у — V COS cd
(Б)
Приравниваем значения //sin со из выражений (А) и
v sin <0 — sin <р
(Б)
P / sin w
2~7? \1 — COS со cos y.— V COS co }
~ ["'(v—1) sin cd (\ — 1) sin cd j
7 1CD I ~~ ~
[cos У — V COS CD У (1 — COS cd) ]
(cd — y) COS у — Sin CD -J- sin у I
COS У — V COS CD J
V (cd — y) cos у — V2 (sin CD — sin y)
V (v —1) sin у
cos у — V COS со
p Г MCO—sinco
‘ L v(l — COSco)
v (cd — sin cd)
1 — COS CD
COS у — V COS cd
Значение ------- будет
P = ?' » О — 1) sin у |
• 1<₽ В (cos у — v Cosco)
_ (v — 1) sin CO 1 , у
By (1 — COS cd) J
(co — y) cos у — (sin со — sin
где
В (cos у — v COS cd)
(cd — y) cos у — V (sin CD — sin
В (cos у — V COS co)
[(v — 1) sin <0
В (cos ср — у cos cd)
vcd — sin CO
By (1 — cos co)
I , 77?' Г co - sin CD
I + vr2 -----------
[В (1 —COS CD)
__ sin cd
1 — COS CD
Здесь
sin у — v sin cd sin (co — y) sin у — sin co
COS У — V COS CD (1 — COS cd) (cos У — \ cos cd)
= TTimkinT<^2^ ^2^2-
2яЛ?
k' = l)5iny
1<F В (cos ср — у cos co)’
72
(v — 1) sin cd (v — 1) sin o>
1ш В (cos у — у cos cd) By (1 — cos <D )
V(D — sin cd (<d — y) cos у — (sin cd — sin y)
2 By (1 — COS cd) В (cos у — v COS cd)
Г ш— sin CD (cd — y) cos у — » (sin CD — sin y)
2 I B(1 — COS CD.) В (cos У — V COS cd)
Вычисление значений P при v=l,l для различных значений
у> и приведено в табл. 12. На рис. 54 показаны эпюры коэф-
фициентов ВЛИЯНИЯ k2 И k’2.
Таблица 12
V k\ 1<р 1CD k2 *'2
в г рад.
30 —0,12 —0,189 0,02 0,044
45 -0,47 —0,568 0 -0,56 0 —0,806
15 60 оо 1,11 0,435 1,32 1,52
75 0,35 0,195 1,11 1,2
90 0,226 0,093 0,94 0,89
45 -0,91 —0,847 -0,38 —0,25
30 60 оо 0,468 0,315 0,65 0,585
75 0,279 0,14 0,63 0,56
90 0,205 0,089 0,63 0,571
60 1,59 1,276 1,22 1,04
45 75 0,397 0,238 0,678 0,648
90 0,247 0,113 0,653 0,605
75 1.12 0,84 1,09 1,14
60 90 0,358 0,205 0,763 0,704
75 90 0,85 0,611 1,103 1,03
Определение значения Н из формулы (А)
// = —.----------!-------1-Гю,-------------------
у (1 — COS cd) у2 (1 — COS cd)
VCD - sin CD -7^' CD — sin CD
_ 72---------------------12 ------------------ =
v2 sin CD (1 — COS cd) (1 — COS cd) sin CD
(v— l)siny ( (v—1) sin CD
~ л ~ [ * lCt>
В (cos у — V COS cd) (1 — COS cd) By (1—COS cd)
[cos у — V COS CD V (1 — COS cd) у Sin CD J
(Г vcd — sin cd (cd — y) cos у -J- sin у — sin cd
sin CD (I v(l—COS cd) cosy —V COS CD
73
Рис. 54. Меридионально-кольцевая схема разрушения типа И. Коэффициен-
ты влияния для Р при v =/,/
Р = 2л7? Tjtp+fto Т2 4- Й2 ^2)
Определим значение Я для различных углов ср и w (табл. 13)
и построим график эпюр коэффициентов влияния (рис. 55):
// = k\yT 1<р + k\JTico k2T2 ~г ^2^2’
где
=________(у — 1) sin у________
1<F В (cos <р—'VCOSW^l —COS cd)
, у —'1 Г sin cd sin cd . В 1
«1ш = ---------------------------------------------1----I;
Bv (1 —COS cd) [cos ср — COS cd v(l—COS со) \ J
___ 1 Г ^со— Sin (1) (со — ср) COS ср 4“ sin <Р — Sin о I
2 >/(1—COSCD) [В^(1—COScd) В (cos ср —\ COS со) ]
\о) — sin си
ч2 sin со (1 — COS со) ’
1 Г со — sin cd (cd — cp) cos ср — \ (sin cd — sin ср) 1
2 1—C0Scd)[B(1 —COS cd) В (cos cp — V cos cd) J
CD - sin CD
sin cd (1 — cos cd)
74
Рис. 55. Меридионально-кольцевая схема разрушения типа If Коэффици-
енты влияния для распора Н при м = 1,1
*10) *1<р ^1<р+*2^»+^2 Т%
Таблица 13
V 1 Л, ho *2 *'2
В Г1 рал.
30 —0,808 -0,634 —0,79 —0,06
45 —1,46 —1,21 —2,37 —2,9
15 00 со оо 00
60 1,065 0,945 1,865 2,34
75 0,429 0,348 0,82 0,99
90 0,206 0,17 0,253 0,24
45 —2,83 -2,35 —1,81 —1,14
00 оо оо 00
30 60 0,853 0,73 0,643 0,646
75 0,343 0,285 0,223 0,207
"90 0,187 0,15 0 0
—0,028 —0,05
60 2,91 2,46 1,69 1,48
45 75 0,487 0,402 0,288 0,316
0 0
90 0,224 0,186 —0,008 —0,03
60 75 1,38 1,14 0,8 0,916
90 0,326 0,269 0,093 0,07
75 90 0,773 0,64 0,398 0,37
75
Рассматривая таблицу значений для Р, мы видим, что на не-
которых участках купола, ближайших к сосредоточенной силе Р,
значения усилий Л и fi имеют отрицательные величи-
ны. Этот Вопрос требует специального исследования. Значения
членов коэффициентов у и 7\₽
[(\ —l)sin<o (v — 1) sin <о*|
cosy — V COS <0 \(1 —COS co)]
и
| b — 1) sin у *1
[ cos у — V COS CO J
на всем диапазоне изменений углов ср и о> имеют положитель-
ные значения. Следовательно, знак у 7\ш и меняется на от-
рицательный только вследствие изменения знака у коэффициен-
та при Р, т. е. от изменения знака у
& sin со \ sin со — sin у
1—COS СО cos У — м C0S со
Коэффициент В представляет собой разность отношений от-
носительных моментов сил Р и И, взятых для участков I и II
оболочки. Изменение знака у В на некоторых участках оболоч-
ки на отрицательный показывает, что для этих участков меняет-
ся направление момента на обратное. При обратном направле-
нии момента меридиональные усилия Т1Ш и вместо растя-
гивающих получаются сжимающими.
Но как было оговорено ранее, в принятых условиях для рас-
чета по методу предельного равновесия все сжимающие усилия
воспринимаются бетоном, причем исключается возможность
хрупкого его разрушения. Таким образом, считается, что сопро-
тивление бетона на сжатие в стадии разрушения конструкции
не может быть превышено, или, иными словами, можно принять
сопротивление его сжатию равным бесконечности. Отсюда сле-
дует вывод, что для тех участков купола, где знак у 7\ш и
будет отрицательным, сопротивляемость и 7% равна беско-
нечности. Если проследить характер изменения величин Т^и
для различных углов у и <о, то видно, что от положительных
значений они переходят к отрицательным через со. В этом ме-
сте и меняется их знак. Значит на всем диапазоне отрицательных
значений 7\ш и 7\v, начиная от места, где они равны бесконеч-
ности, их следует принять равными этой величине. Или иными
словами, следует сказать, что разрушение в диапазоне отрица
тельных значений 7\ш и Tltf при принятой схеме разрушения
произойти не может. В самом деле изменение знака у В на
отрицательный указывает на изменение направления изгибаю-
щего момента на обратное, что может соответствовать только
76
обратной схеме разрушения, которой при заданном направле-
нии нагрузки быть не может.
Все вышеизложенное относительно меридиональных_,усилий
целиком распространяется и на кольцевые усилияГ2 и Толь-
ко относительно их необходимо добавить следующее. При очень
малых значениях углов и <о (близко от груза) значения Т2 и
Г2 по мере уменьшения этих углов увеличиваются до бесконеч-
ности, что видно из того, что разность
Г <о — sin <о (со — <р) cos ср— у (sin со — sin ср)!
[ 1 — COS СО COS Ф — COS со ]
есть величина положительная и конечная, затем меняют знак
на отрицательный, уменьшаются по абсолютной величине до ну-
ля и вновь меняют знак уже на поло-
жительный. При отрицательных зна-
чениях Т2 и сопротивляемость их
равна бесконечности, так как эти сжи-
мающие усилия воспринимаются бе-
тоном. Положительное же значение 7'2
и Г2, приобретаемое ими при <р =15°
и со = 30°, не может быть введено в
расчет, так как оно соответствует об-
ратной схеме разрушения, невозмож-
ной при заданном направлении внеш-
ней нагрузки.
Обратимся к рассмотрению изме-
нений значений распора Н. При ма-
Рис. 56
пых значениях углов и со распор имеет отрицательный знак,
что, как сообщалось ранее, соответствует обратной схеме разру-
шения, которая невозможна в нашем случае. Поэтому эти циф-
ры не имеют реального значения.
Но значения Т2 и Г2, входящие в выражение для Н, имеют в
двух случаях отрицательную величину при значениях <о =90э
Это указывает на то, что распор имеет обратное направление
или что опорное кольцо в этом случае будет не растянуто, а сжа-
то, если, влияние членов Т2 и Т2 больше, чем влияние членов
и 7\, которые всегда в этом случае положительны.
При определении значения Р из меридионально-кольцевой
схемы разрушения типа II необходимо помнить, что при сп=-90о
эта схема не совпадает со схемой типа I, так как мы ввели ко-
нечное значение 7\<о при со =90° и приложили опорную реакцию
по наружному контуру оболочки, а не посредине опорного сече-
ния. При со =90° меридионально-кольцевая схема типа II имеет
опорное закрепление, показанное на рис. 56.
77
Сделаем выборку для наименьшего разрушающего усилия
из трех схем: меридиональной, меридионально-кольцевой типа I
и меридионально-кольцевой типа II.
Меридиональная схема:
при а=0
Р = 2к^(0-71а + 1,177+ 0,694Т~ + 0,6587г);
при а = 15°
Р = 2it^(0,034fia +1,4677 + 0,86 7, + 0,827+
Меридионально-кольцевая схема типа I при а=0:
при ср = 30°
Р = 2тг/? (0,1987^ + 0,5987, + 0,53272);
при ср = 35°
Р = 2^7? (0,20671^ + 0,58б72 + 0,5347г).
Меридионально-кольцевая схема типа II при а=0:
при <р = 30°, а) = 75°
Р = 2^(0,2797^ + 0,1471. + 0,63 72 4-0,567;);
при ср = 30°, oj = 90°
Р = (0,205г;, + 0,0971<о + 0,6377, 4 0,57Т?)-
Если известно армирование, то известны и значения Н, Ла,
Л<р, Л<о, Т2 и Л, подставляя их в выражения для Р, определим
ее величину.
2. Купол с нагрузкой, передаваемой по кольцу
Рассчитаем полусферичег
ский купол с нагрузкой, пере-
даваемой по кольцу диамет-
ром 2г (рис. 57). Решим урав-
нения равновесия для различ-
ных схем разрушения, прини-
мая v =1,1 и % = 15°
а. Меридиональная
схема разрушения
Уравнения равновесия
(I) ^ + ^ = ^- = 0;
(П) Q9o+S’=O;
78
(Ill) (v — 1) Ла sin a + Л.90 (1 — V sin a) + ^2^.9Q(1 — sin a) 4-
2
+ Q9(? cos a + J л (v cos a — cos 9) dO +
a
•7C
Г
+ J v*T'2 (cos a — cos 0) t/6 = 0.
a
В предыдущем примере для таких же соотношений v и <о=
=90° были определены численные значения коэффициентов у Л
и Т2, поэтому мы можем использовать их и в нашем случае.
Расчетное усилие
(\ — l)71a sin а V 1) Н COS а + Т2 R (— — оД COS а -|-
Р = 2тг/?.2------------------------------------------LA-2-------L-------
1 -J- м — 2v sin a
+ Sin a — 1 j 4~ ^^2 — a) C0S a~b sin a — 1 j
1 + v — 2v sin a
где
2кгср 2я1±1Л81по (v+l)K/?sina ’
^F&1 — общая площадь всей меридиональной арматуры ;
R&m = Rainma—расчетное сопротивление арматуры с учетом ус-
ловий работы.
В обозначениях, принятых в таблице 10 для этой схемы раз-
рушения, выражение для Р примет вид
р = 2~7^ ( Тla^la Нktf 4- Т2^2 -f- Т2^2)-
Составим'таблицу для значений Ли, kH, k2 и k2 (табл. 14).
Таблица 14
a в град. k, la кн s a в град. A, la "и k2 k’ 2
15 0,034 1,46 0,86 0,824 45 0,26 3,02 1,188 1,172
18,5 0,0455 1,56 0,89 0,87 60 0,92 6,08 1,62 1,34
20 0,05 1,61 0,9 0,88. 75 оо оо оо оо
30 0,1 2,0 1,0 0,98 90 — — — —
Построим график коэффициентов влияния k la, kn, , k2 И
(рис. 58).
Предельное положение кольцевого пластического шарнира
не может быть выше сечения с углом a=a0 =15°, так как с этого
79
00
Рис. 58. Меридиональная схема разрушения. Коэффициенты влияния ди Р при v = 1,1
Р = 2%/?
места начинается кольцо, через которое передается нагрузка Р.
Таблица 14 составлена для коэффициентов k2, k'2 и £ia,
начиная с угла a = 15°. Из этой таблицы видно, что наименьшее
разрушающее усилие Р будет для a = 15°
Р = 2ic/^ (^la Т+ кнН -ф k2 Т2 4- ^2^2) =
= 2к/? (0,034Т1« + 1,46/7 + 0,8б72 4- 0,824/р-
б. Меридионально-кольцевая схема разрушения типа I
Уравнения равновесия (рис. 59)
I р
-------
Jf / X \ \
/ /7 / \ \
X в Рис. 59
(I) (Лш 4- XJ sin “ + Q- cos ш +------—-----— °;
sin «о
(II) QcoSina) —(Г1Ю4-^Г1 )cos<o4-----—— = 0;
2тгР sin co
(III) (v — 1) Tia sin a + 7\ш [ 1 — v cos (<o — a)] sin to 4- v2T'la> [ 1 —
—cos (a)—a)] sin (04-Q^v sin w sin(a)—a)4- JT% (y cos a — cos 9) dti 4“
a
4- J v2T'2 (cos a — cos 9) t/9 =0;
a
(III') — v (v — 1) Г'1а sin a 4- Г1Ш [ 1 — cos (<o — a)] sin w 4-
Ь ~~ cos (ш — a)] sin <° +Q<o sin о sin(<o —a) 4-
4- J T2 (cos a — cos 9) 4- J nT'2 (cos a — v cos 9) (/9=0.
a a
Уравнения равновесия для участка I при <о =90° и а =
(I) Л.9о 4- ^Л.эо + X-= °;
81
4-(^ + 1)2к/?
(II) Q90---------------- = 0;
(III') — у (у — l)rj?sin<₽+ Л.90 (1 — sin cp)vT'90 (v — sin cp)
+ Q90 cos <p -I- cos cp + sin cp - ij + v^’x
X -------cos <p 4~ sin cp — vj = 0.
Из уравнения (I) имеем
P , P
T1S,> = ~Wи v7^ = -w
а из уравнения (II)
qsq = ^-±1
Подставляем эти значения в уравнение (III'), определяем Н:
н = ГТ7Г---------------b — 4 sin ?7’1т +
+ 1) COS ср ( 1<р
+ ^“(1 + V ~ 2si11 ?) — -?)C0S<fJ+
+ sin <р — 1 j — vT’ ^-2-<p) cos <p + v sin <p — vj|
Для участка II уравнения (I) и (II) остаются в силе, а урав
некие (III) при а = а0 будет
(III) (v — 1) sin аЛа-— (1 — у sin а) —
4л/?
--— (1 — sin а) + Н —— у cos а 4-
4 л/?v 7 2 1
+ 7’2[',(-|- —a)cosa+sina— '] +
+ ----а) cos а -j- sin а — 1 j = 0,
откуда Н будет
Н = —---------(~—(1 + v — 2у sin а)—
у (^4- 1) cos а (4л/?
— Г2 р ------cos а Ц- sin а — 1 j —
“ n2T2 [("I---а) cosla + Sin а — 1 1 — (у — l)sina7\a|.
82
Приравниваем значения Н и определяем значение Р:
р Гр S*n‘Р coscz C0ScP—'vCOScz — \(<р — a) cos ср COS а—sin а COS <р
Г 2 0,5(1 -f- 'ОС* cos а — cos <р)— \sin(cp— а)
[ р, » sin ср cos a -f- COS ср — \ cos а — (ср — а) cos a COS ср — sin а cos у ,
2 0,5(1 4*'*)(v cos а — cos ср)—v sin (ср—а)
р, v2 (\ — 1) sin ср cos а
1<р » sin (ср — а) — 0,5(14~ 'О С* cos а — cos <р)
Pj ____________1) sin а cos ср___________1
а v sin (<р — а) — 0,5 (1 4“ 'О cos а — COS ?) J
Определим числовое значение Р при а = а0 = 1 5° и v = 1,1:
Р = 2^7? {k\aT 1а 4~ £1<рР 1<р 4- ^2^24~
Значения коэффициентов Л1а, k\ , k2 и k\ будут
, О — 1) sin а cos ?
/г 1а = —----------------------------------;
v sin (ср — а) — 0,5(1 4- v) О cos а — cos ?)
__ ч2 (м — 1) sin ср cos а
1<р v sin (ср — а)— 0,5 (1 4s "ОО cos а — cos ср)
£ ____ V sin ср cos а 4~ COS ср — COS а — м (ср — a) COS ср COS а — Sin a COS <р]
0,5 (1 4- ») О COS а — COS ср) — V Sin (ср — а)
& ____[sin Ср COS а 4- COS ср — v cos а — (ср — a) cos а COS ср — sin а COS ср I
2 0,5 (1 + v)(\ COS а — COS ср) — v sin (ср — а)
Величины коэффициентов kia, k\ , k2 и k'2 для а = а0 = 15° и
v =1,1 приведены в табл. 15 и на рис. 60.
Таблица 15
<р в град. Л1а Л1<#> *7 *2
15 —0,25 —0,302 —0,73 —0,886
со оо оо оо
25 0,806 1,706 3,80 3,96
30 0,28 0,712 1,624 1,65
35 0,175 0,554 1,248 1,24
40 0,1274 0,486 1,084 1,06
45 0,103 0,466 1,024 1
50 0,087 0,478 0,937 0,9
55 0,076 0,49 0,994 0,97
60 0,0688 0,538 1,018 0,986
70 0,0616 0,764 1,1 1,056
75 0,0612 1,032 1,222 1,192
80 0,07 1,783 1,55 3,26
90 оо оо оо оо
83
ж 'i\ VA 44 1 р Шш/Л ! ////////////X }Шш
< \\\ шМ p / * пЧ/ша
W ъч> пАХ/ Гг/т^Ш. II/// Ул./ / ////&/ ////%</$/ 1 ',', ' о ! 1 _Ь 0^ / / / / / /////' — / .//////$/^ШКШКИШ^. /
«;ЧрЬ—|—&С_2|||||
Рис. 60. Меридионально-кольцевая схема разрушет Р = 2itJ? (&1а Т 1а + '1я типа I. Коэффициенты влияния для Р при ч =1,1 ^1<р ^1<р + ^2^2 + *2 ^2)
в. Меридионально-кольцевая схема разрушения типа II
Рассмотрим меридионально-кольцевую схему разрушения
типа II для шарового купола, изображенного на рис. 61.
Уравнения равновесия следующие:
(I) (Т1<о 4- »Т' ) sin о» -Ь Qo, cos 04- - --= 0;
2тс/< sin (о
(И) Q,„ sin <0 - (Г1„ + V?' ) cos со н-= 0;
sin (о
Рис. 61
(III) 7"ia(v — l)sina -j- Г1Ш[1 — vcos (со — a)] sin <o 4-
4~ 1 ~ cos — a)l s^n ш 4“ sin w Sin (a) — a ) -|-
4- J T2(v cos a — cos 6) dO 4- (cos a — cos 0) ^0 = 0;
a a
(ПГ) —v (v — 1) T'1(p sin <p 4- Л® [1 — cos (<o — cp)] sin <o 4~
4- [v — cos (w — cp)] sin co 4- Q<o sin <o sin (co — <p) 4-
CD CD
4- J T2 (cos <p — cos 6) c/94“ (cos ? — v cos 6) dO = 0.
a a
Уравнения равновесия (I) и (II) для участков I и II, имея
в виду, что EK = Р; EX = — sin <0 будут
(I) (Г1о> 4-мГ' ) sinco 4-Qwcos со=----—;
ZtzR sin (о
(II) Qo sin <0 — (74ш -4 vZ'J cos <0 == /А.
85
Решая совместно эти уравнения, находим
Qcn = Ну sin cd —
P COS co
sin co
------F Л® + 77v COS co
2itP
Подставляем значения (?ш и vT'lw в уравнение (III):
(III) (v — 1) sin aTia H- Ло>[1 — V cos (co — a)] sin <0 —
—V [1 — COS (co — a)] sin CD f 4-7'ia) + 7/v COS cd 1 +
- • r \ ( f / . P COS (0 \ .
+ V Sin CD Sin (cd — a) n V Sin co---------------+
\ 2itP sin co/
4- T2 [v (cd — a) cos a + sin a — sin co] + vT'2 [(cd — a) cos a +
+ sin a — sin <o] = 0,
откуда
H sin cd =----
2nP
sin co — sin a
ч ( cos a — cos co)
+ 7'io)
(v — 1) sin co
\2 (cos a — COSco)
\ (co — a) COS a + sin a — sin co y,, (co — a) COS a + sin a — sin co
№ (COS a—COSco) 2 COS a — COSco
(ч — 1) sin a y,
-------------------- * la.
v3 (COS a — COS co)
Подставляем значения и в уравнение (ПГ):
(ПГ) — v(v — 1) sin 7''ср + 7'1о) [ 1 — cos (<о — ср)] sin со —
— [v sinco — Sin <0 СОЗ (со — ср)]
2nR
+ sin2 со sin (со — ср) //у — sin (О sill (<0 — ср)
Р COS со
2пР sin со
+ Т'2 [(со — ср) COS ср + sin ср — sin со] +
+ vT'2’ [(cd — ср) cos ср + v sin ср — v Sin со] = 0.
Определяем значение Нsin со:
Н sin cd
Р
2тгР
v sin со — sin <р
v (cos у — v cos со)
86
, (у—1) sin ср
lc₽ COS ср — у COS (О
1) sin to
О)
У (cos ср — у cos со)
, (co — cp) cos <P -|- sin cp — sin co
2 ~ ;
у (COS cp — у cos co)
,, (со — ср) cos <р — V sin у — V sin (О
2
cos ср — у cos CO
Приравниваем значения //sin<o из уравнений (III) и (ПГ)
и определяем Pz
, у(у— 1) sin ср
1<р В (cos ср — у cos со)
1
1) sin со
~в
у (cos a — cos co)
COS ср — у cos со
— a) COS а 4“ s*n а — s*n 01
у (cos а — cos со)
, (со — ср) COS ср sin ср — sin co ] |
в
1
где
COS cp — У COS CO
co — a) COS a sin a — sin co
COS a — COS co
(co — cp) cos cp -|- v (sin cp — sin to)]
COS ср — у COS CO
(у — 1) sin a 'I
By(C0Sa—COSco) J’
sin <р — у sin со
COS а — COSco COS ср — у COS со
sin co — sin a
Обозначим через
— 1) sin a
^1а — >
Ву (cos а — cos со)
1 1
kt) -- ---
в
k2= —
2 В
— 1) sin со
COS ср — у COS со у (cos а — COS со)
__ у (у — 1) sin <р
1|р В (cos ср — У COS со)’
х-]~ sin а — sin со
У (cos а — cos со)
(co — <p) cos cp sin <p — sin co'
cos cp — v cos co
COS a — cos (0
COS cp — У COS <0
В
Тогда выражение для P принимает вид
87
Значения k\a, ki^, k^, k2 и k2 для
приведены в табл. 16 и на рис. 62.
а = а0 = 15° и v = 1,1
Таблица 16
т а) в А1<о а2 &1а
в г о ад.
31 11,22 —0,66
38 4 703 —0,293 —0,335 0,0177 — —
-- - _ —оо со оо оо
30 40 —6,68 оо —0,344 оо —0,358 оо —0,0042 —0,06 —0,0175
50 —0,58 —0,595 —0,46 —0,297 —0,386 —1,125
60 —0,13 —1,34 —0,81 -1,3 —1,39 —0,39
70 0 оо оо оо оо —
80 0,052 1,57 0,634 2,6 2,9 0,57
90 0,075 0,847 0,287 1,89 1,92 0,312
50 —1,82 —0,66 —0,595 —0,116 —0,171 —0,04
60 —0,13 —2,52 —1,78 —1,828 —1,86 —0,39
ал — 0 оо оо со оо оо
70 0,09 2,01 1,15 2,495 2,47 0,42
80 0,151 0,813 0,384 1,42 1,39 0,197
90 0,171 0,542 0,211 1,187 1,163 0,143
60 —0,7 -1,3 —1,09 —0,449 —0,55 —0,0725
— 0 оо оо оо оо оо
50 70 0,09 3,51 2,39 3,356 3,33 0,42
80 0,214 0,874 0,49 1,354 1,3 0,139
90 0,247 0,523 0,251 1,124 1,08 0,0988
70 —0,26 —2,96 —2,39 —1,488 —1,48 —0,145
— 0 оо Оо со со оо
ои 80 0,214 1,44 0,96 1,73 1,67 0,139
90 0,3 0,635 0,354 1,18 1,144 0,0813
Сделаем выборку наименьших усилий Р из табл. 14, 15 и 16
для различных схем разрушения.
Меридиональная схема разрушения при а0 =15° дает
Р = 2^ (0,034 ?1а + 1,46/7 + 0,86 Т2 + 0,824/1).
Меридионально-кольцевая схема разрушения типа I:
при а0 = 15°, <р = 45°
Р = (0,103Ла + 0,4667\ + 1,0247\ + 1 ?1);
при а0 = 15°, ср = 50°
88
Рис. 62. Меридионально-кольцевая схема разрушения типа II. Коэффициенты влияния для Р при v = 1,1
Р = (й1ш 7'1ш + *1а Tia+fcty Г1(р+л2 Та + *2 г2)
Р = 2^R (0,087 Аа + 0,478 Ар + 0,94 А + 0,9 А)
и Н = 0,037 Аа + 0,32 Ат + 0,05А + 0,04 А-
Меридионально-кольцевая схема разрушения типа II:
при а0 = 15°, == 40°, о = 90°
Р = (0,143Аа + 0,542 А? + 1,18772 + 1,1637^ + 0,2117J;
при а0 «== 15°, <р = 50°, <о = 90°
Р =» 2^/? (0,099Аа + 0,523 А? -р 1,12472 + 1,087г + 0,251 A J-
Если известно армирование купола, то, вычисляя значения
Н, 7\а, А<р, А», А и А’можно определить ту схему, при ко-
торой значение^ Р принимает наименьшую величину.
Значения /7, Аа, Аф’ Аа» А и ^2 вычисляются так:
И = ~~т- = Л, =
2 R
T\<f> = F а17?а<п; А = Т а2-^ат» ^2 = F azRam’
Здесь ~ —расчетное сопротивление арматуры;
7а.оп — площадь поперечного сечения арматуры в опор-
ном кольце;
Fal — площадь сечения внутренней меридиональной ар-
матуры на единицу длины кольцевого сечения;
Fai® — то же, по опорному контуру с углом о;
F'&1 — площадь наружной меридиональной арматуры
на единицу длины кольцевого сечения;
Fa2 — площадь внутренней кольцевой арматуры на
единицу длины меридионального сечения;
F'2—то же, наружной кольцевой арматуры.
§ 6. РАСЧЕТ КУПОЛОВ ПО МЕТОДУ ПРЕДЕЛЬНОГО
РАВНОВЕСИЯ НА РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ НАГРУЗКИ
1. Толстостенный купол
Наиболее ощутимая экономия от расчета купола по методу
предельного равновесия по сравнению с расчетом в упругой ста-
дии получается при его применении к толстостенным оболочкам.
Поэтому рассмотрим расчет толстостенного купола.
90
поверхности наружной и внутрен-
Исследуем меридиональную схему разрушения при нагрузке
от собственного веса купола с постоянной толщиной оболочки
и нагрузке, равномерно распределенной по горизонтальной
проекции купола (рис. 63). Для шарового купола решение вы-
полним при помощи общих уравнений равновесия.
Собственный вес купола будем определять как произведение
объема оболочки на объемный вес у. Объем купола W будет
равен разности объемов шаров с наружным радиусом v0/^0
и внутренним радиусом Rq\
IT = -|-k(v0/?0)3-
(6.1)
где /?о —радиус до внут-
ренней поверх-
ности купола;
>о^о —радиус до на-
ружной поверх-
ности купола.
Принимаем кольцевое
армирование у наружной и
внутренней поверхности ку-
пола равномерным, также
равномерно распределен-
ным принимаем и внутрен-
нее и наружное меридио-
нальное армирование.
Для толстостенных ку-
полов будем принимать, что
собственный вес купола g
передается с одинаковой
интенсивностью на единицу
ней арматур. В этом случае g определится как дробь от веса
купола на полусумму поверхностей наружной и внутренней ар-
матур:
1Г7
(6.2)
2 (^нар-!- *^внутр)
где W— объем купола.
В нашем случае для полусферического купола имеем
при <0 = 90° g —-------------
2 (vg-l)^7 ,
з (vs + i)#’
(6.3)
91
где /? — радиус внутреннего слоя арматуры;
<72 = -i-g-cosE; (6.4)
<7i = g sin E; (6.5)
^=’Pcos2£+-i-gcos5; (6.6)
q\ =p sin $ cos $ — g sin (6.7)
£r = m,2#2p+(6.8)
ЕЛ" = — ^R- (6.9)
Уравнения равновесия
(I) + ) sin о 4 Qo> cos о -j-----—------= 0;
2itjR sin cd
(II) Q„, sin <o — (+ vT' ) cos <o + = 0;
2к/< sin cd
(III) 74 (v ~ 1) sin a 4 7\<o [1 — v cos (cd — a)] sin <o -p
4 v27^ [1 — cos (<D — a)] Sin cd 4 Qwv sin a) Sin (co — a) 4
4- J I\ (v cos a — cos 6) ^64 J v27' (cos a — cos 6) d$ 4
a a
+ J (#2 + v2#') R^ Sin sin (£ — a) 4
4 ( v3<7i^? [ 1 — cos (£ — a)] sin ЫЪ 4
4 J <hR [1 — V cos (£ — a)] sin Ы1 = 0;
(ПГ) — v (v — 1) T\a sin a 4 74 [1 — cos (a> — a)] sin « 4
4 lv “ cos (ш “ a)l sin ш + Qco sin a) sin (w — a) 4
4 J 72 (cos a — cos 6) -4 J (cosa — v cos6) dft 4
a a
4 у (#2 +v2^) R ?in sinP — a) ^+
92
+ J ^q'xR [y — cos (B — a)] sin tdt 4-
£2
+ J QiR 11 — cos (£ — a)] sin =°-
Подставляем значения нагрузок:
(I) Л.9о + '*Т'1
т 1.90 = —
T' -
1 1.90
\ 2 2x7?/’
L 4 Г 4xT?J
_[_LV^ + _E11:
L 4 4x-;7? J’
(II) Q9C - A/4r =°: Q»o = H
1) Ла sin a 4- Л.90 (1 — v sin a) 4- v27\ 90(l — sin a) 4-
cos a — 1 4- sin a] 4-
(III) (v-
4- -y- V (y 4- 1) H COS a
— a COS а
2
+ J v3 4pR cos2 В sin В sin (В — a) dt 4-
а
2
+ \^pR sin2 В cos В [1 — cos (В — а)] dt 4-
2 1
+ J — v^gR cos В sin В sin (B — a) dt 4-
a
2 1
+ J — ^gR sin2 В [ 1 — cos (B — a)] dt +
2 j
4~ J 2 cos sin ^Sin ~ a) +
2 !
4~ J — gR sin2 В [ 1 — v cos (B — a)] dt = 0.
a
Подставляем значения Л.90, T\ 90 и Q90 в уравнение (III):
(III) (v — 1) Ла sina(l — у sin а) — у2/?р — (1 — у sin а) —
4
93
— (1 — Sin a) — v3/?p — (1 — sin a) 4 -]- ^-i-^cos a 4-
4 2
4- T2 |v -----aj cos a — 1 sin a] Ц- v2Z' ------------a) COS a —
— 1 4~ sin a ] — v3/?/? sin a -i- cos4 a 4- v3p/? -A- (1 — sin3 a) —
— Vasina —(1 - sin4a) +-j-(v3 “I- 1) g# [4 (4 - “ +
+ 4" s*n 2a j---(^ + 1) 4g R sin a cos a = 0.
Из уравнения (III) определяем значение p:
P == “ (#ia7"ia + aHH 4- a2T2 a2T2 agRg — aw ,
R \ " R /
где
4
a ------------------------------------------------------------
1 4
Ч2 -- ^3 Sin a _|_ v3 sjn a cos4 a-—— v3 _|_ —_ v3 sjn3 a - ^3 Sjn5 a
3 3
ag = (v3 4~ 1) ---a)-------- (v3 4- 2v — 1) sin a cos a;
1 — v sin a 4- v (1 — sin a)
aw=--------------7—--------
4k
#ia = (v — 1) sin a;
aH = -i- v (v 4- 1) cos a;
a2 = V — aj COS a — 1 4- sin a;
a2 = v2 [(“I-C0S a “ 1 + sin aj-
Пример. Примем v=l,l и вычислим коэффициенты
a, ag, а'2; aw-> а^ ан и a2 в табличной форме (табл. 17).
Таблица 17
a в град. 1 j “g "la ан 1 aw 1
0 0,915 0 1,155 0,167 0,73 0,69 5,22
15 0,605 0,0259 1,115 0,122 0,66 0,63 5,32
30 0,336 0,05 1,0 0,08 0,50 0,49 6,09
45 0,141 0,0707 0,817 0,043 0,32 0,317 9,0
60 0,031 0,0866 0,587 0,015 0,154 0,14 20,94
75 —0,007 0,0966 0,3 —0,00 2 0,04 0,0366 —92,5
90 0 0,1 0 —0, 008 0 0 —32,3
94
Обозначим через k\a = a#ia; кн = аан, к2 = аа2; k'2 =
= aa2; kg=aag, kw= — aaw,TOVRa выражение для p будет иметь
вид
р = la 4- кнН + к2Т2 4- k<2.T<i kgRg -{-
Значения коэффициентов &ia, kH, k2, k2, kg и kw приведены
в табл. 17а и на рис. 64.
Таблица 17а
а в град. й1а kH fr2 йа' kg kw
0 0 6,04 3,81 3,6 4,78 —0,87
15 0,1375 5,93 3,51 3,35 3,22 —0,65
30 0,304 6,09 3,04 2,98 2,05 —0,487
45 0,637 7,35 2,88 2,85 1,27 —0,387
60 1,81 12,1 3,22 2,93 0,65 —0,314
75 (-) (-) (-) (-) — —
90 — —
Рис. 64. Меридиональная схема разрушения. Коэффициенты влияния арми-
рования и собственного веса при равномерной нагрузке р на горизонталь-
ную проекцию купола при v =1,1
95
Исследуем меридионально-кольцевую схему разрушения ти-
па I (рис. 65).
Из предыдущего решения известны значения
т1.90 =
Г =
1 1.90
Подставляем эти значения в уравнение (ПГ) для I участка
купола, для которого а = <р; = 90°:
(ПК) - v(v - 1) r^sintp + Л.9о(1 — Sin <р) + vrig0(v — sin ср) +
тс
г
+ @90 cos <Р + Jr2 (cos <р — cos в) de 4-
V
2~
+ f vT'2 (cos <p — v cos 6) d® -|-
+ J (^2 + v2^’) R sin E sin (E — <p) dl 4-
+ ^2q\R b — cos (£ — <p)]sin +
+ J q\R I1 — cos (£ — cp)] sin = 0.
96
Преобразовывая уравнение (ПГ), получаем
(ИГ) — v(v- 1) Т\чsin?—-‘-v2p/?(l - sin?)-(1 — sin?) -
—i- v2 (v — sin <f)pR—(v—sin cos *P +
+ - f) cos ? - 1 + sin ?j + чТ\ - ?) cos ? -
— v -{- v sin © 1-— v2pR sin <p cos4 <p + — v3p/? (1 — sin3 <p) —
J 4 3
— -Lv2pR sin ?(1 — sin4?) +-^-g/?(l + Vs) -----?) +
+ — (v3 — 1 — 2v2) gR sin cp cos <p = 0.
Определяем из уравнения (III7) значение H:
Н = 2j±-i) sim т. +—^pRL+i~2si"?
v -]- 1 cos ср 2 (\ + О
l-|-v — 2 sin <р 2 Г / к
cos <р v —|— 1\ 2
cos <f> 2kR (v-j-1
+ sin?! T
COS <p COS <p J
V sin epi . pR'fi о
-----1 H— ---------COS3 cp sin cp —
cos ? J 2^2(v + 1)
-fipR sin ср (1 — sin4 <p)
3(m-|-1) cos <p 1 2 (v1) cos cp
2 ~
/ COS <p
2^3Rp 1—sin3 cp
2(v + l)cos? 2 (v —1) £^Sin®’
Уравнение (III) для участка // при углах а и со =90° в со-
ответствии с преобразованиями, проделанными для меридио-
нальной схемы, будет
(III) 7\o(v — 1) sin а -|- cos а -f- T2[v ----ajcos а —
— 1 Н- sin ос ---а) cos а — 1 + sin aj +
+ ^Rp [v2 sin a — v (1 + v sin a cos4 a)+
“ 4^ 11 ~v sin “ + V f1 ~ Sin “>1 + 4'^3 + - “) ~
4 \ 2 /
---(v3 + 2v — 1) sin a cos aRg = 0.
97
Определяем Н из уравнения (III):
2G-1)_ sin^ ----------------2_Г \__1_
^(^ + 1) cos a [ \ 2 / cos а
------—-------[v2 sin а — v (1 + v sin a cos4 а) +
2 (v-j-1) cos а [ к '
[1-
(v 4- 1) cos а
(-i--sin3 -j- v2 sin5 а ^4“
d’+i)(v~‘)
V sin а4- (1 — sin а) v]-------
2\ (v 4- 1) cos а
Rg+
4- 2м — 1
24v4- 1)
sin aRg.
I 2
4-------V2
3
1Г1
Приравнивая значения H из уравнений (III) и (III') для
участков I и //, получим следующее выражение:
г ---г — — г-/
pRa = 4- «1аЛа + а2Т2 4- а2Т2 — aw-^ — agRg,
f\
где
4v3 (1 — sin3 ф) . ( 1 । . о \
a = -----------— 4- V (-------h V sin a COS3 а I—
3 COS cp \COS a /
v2(14-v — 2sincp) о о . M2sincp(l—sin4 cp)
-----L_L-----------— v2 COS3 cp Sin cp-------—-------— —
COS cp COS <p
m2 sin а 4м2 /1 . о \ v2 sin5 a
-----------------1-------sin3 а)-----------;
COS а 3 COS a \ 4 / COS a
a't =4v(v—
v COS cp
4 (m — 1) sin a
«1а = —-----------;
v cos а
A ( 1 sin ф 1 I sin a \
«2 = 4? +--------------------- а----------------1-----I
\ COS cp COS cp v COS a COS а >
Г л f , 1 v sin cp 1 . sin a A
«2 = 4v (cp 4---------------------------а-----------1----------b
\ COS <p COS <p COS a COS а /
CLW
1 — v sin а 4- v (1 — sin а) 1 4“ — 2 sin cp r
7С» cos a it cos <p l’
(l + v’)(4—t)
COS cp
4- (v3 — 2v2 — 1) sin <p —
v cos a
v’ 4- 2v - 1 .
----1-------- sin a.
98
Значения коэффициентов а, а2, а2, aw и ag для
v =1,1 приведены в табл. 18.
Таблица 18
ala a, 1<P °2 aw ag
в град.
0 0 15 30 45 60 75 90 —0,07 —0,086 —0,097 -0,063 4-0,005 —0,03 0 0 0,118 0,254 0,44 0,764 1,64 oo 0,37 0,49 0,78 1,22 1,61 2,14 2,65 0,44 0,47 0,71 1,06 1,49 2,01 2,5 —0,061 0,086 0,202 0,3 0,375 0,397 0,607 0,33 —0,71 —1,57 —2,22 —2,7 —2,99 -3,33
15 15 30 45 60 75 90 —0,073 —0,085 —0,051 4-0,017 —0,018 0,0975 0,118 0,254 0,44 0,764 1,64 oo 0,28 0,57 1,01 1,4 1,93 2,44 0,35 0,58 0,94 1,37 1,89 2,38 —0,064 0,052 0,15 0,225 0,247 0,457 0,34 —0,52 —1,17 —1,65 —1,94 —2,28
30 30 45 60 75 90 —0,104 —0,07 —0,002 —0,037 0,210 0,254 0,44 0,764 1,64 oo 0,21 0,65 1,04 1,57 2,08 0,25 0,61 1,04 1,56 2,05 —0,072 4-0,026 0,101 0,123 0,333 0,34 —0,31 —0,79 —1,08 —1,42
45 45 60 75 90 —0,182 -0,114 —0,149 0,364 0,44 0,764 1,64 oo 0,16 0,55 1,08 1,59 0,18 0,61 1,13 1,62 —0,085 —0,01 0,012 0,222 0,37 —Q,ll —0,4 —0,74
60 60 75 90 —0,35 —0,386 0,631 0,764 1,64 oo 0,09 0,62 1,13 0,11 0,63 1,12 —0,122 —0,1 0,11 0,4 0,11 —0,23
75 75 90 —0,84 1,36 1,64 oo 0,07 0,58 0,05 0,54 —0,212 —0,02 0,46 0.12
90 90 — oo oo 0 0 — I —
Определим значение pR для меридионально-кольцевой схе-
мы разрушения типа I:
PR ~ k\aTla 4" ktyT 1<р + Л2Г2 + ^2^2 4“ kw—” ~h kgRgr
R
99
где
kla = ^-, k2=—;
a a a z a
г W A aR
kw =------; kg = — ~
a * a
Рассматривая табл. 18 значений коэффициентов а, видим,
что положительное значение они имеют только для углов
& = 0° и <р = 60° и для углов а = 15° и ср = 60°
Поскольку коэффициенты Л1а, а'1<р, а2 и а' для всех а и ср
положительны, то значение pR будет положительным только для
углов а = 0° и ср = 60° и для углов а = 15° и ср = 60°
Для всех остальных углов значения коэффициентов k\
k2 и k2 отрицательны; следовательно, усилия 7\а, 7\, Т2 и Т2
направлены в обратную сторону, что невозможно при рассмат-
риваемой схеме разрушения.
Определим в табличной форме значения коэффициентов
влияния ^1а, Л' , Л2, ky kw и kg для углов а = 0° и ср = 60°
и для углов а =15° и ср=60°(табл. 19).
Таблица 19
а | <р kw kg
в град.
0 60 0 153 323 298 75 —540
15 60 5,73 45 82,3 80,5 13,2 —97
По найденным коэффициентам влияния при заданном арми-
ровании может быть определена величина полезной нагрузки р.
Меридионально-кольцевая схема разрушения типа II будет
менее опасной, чем рассмотренная сейчас схема типа I, а потому
вычислений для нее делать не будем.
В следующем примере расчета тонкостенного купола расчет
выполним для меридиональной, меридионально-кольцевой типа I
и типа If схем разрушения.
2. Тонкостенный купол
Произведем расчет тонкостенного купола, загруженного соб-
ственным весом g и временной, равномерной на горизонтальную
проекцию купола нагрузкой р.
С целью, сопоставления с расчетом купола по упругому спо-
собу, приведенному в начале настоящей книги (глава I, § 3),
Ю0
все размеры принимаем одинаковыми: /?=30 м\ А=10 см; <о==
=90°. Армирование принимается рассчитанным ранее по упру-
гому способу.
а. Меридиональная схема разрушения (рис. 66)
На грузка
= g sin В + р sin В cos (6.10)
= g cos В + р c°s2 В; (6.11)
= + Sg, (6.12)
где
5 = 2л/?2 (1 - cos оз) = 2л/?2; (6.13)
ЕГ = r.R^p 4- 2л/?^; (6.14)
E.Y = - H^R. (6.15)
Рис. 66
Уравнения равновесия
у у
(I) ТicoSin <0 -|- Qu> cos ю 4--------= 0;
2л/? sin <0
(II) Qw sin to — Лю cos to -j---------= 0;
2л/? sin
(III) 7"1O>[1 — COS (to — a)] sin to 4-Qo, Sin to sin (to — a) 4-
4- E J T2 (cos a — cos 0) dO 4~ J sin £ 4 s in (£ — a) ^4~
e,
4- f q^R sin В [ 1 — cos (В — a)] cZB 4-(Alia sin a — Mi wsin<o) =0.
E. R
Из уравнения (I) имеем
10Г
из уравнения (II)
Q90 — Н •
Подставляем эти значения в уравнение (III) и рассматри-
ваем меридиональную схему разрушения:
(III) Г1.90 (1 — sin а) + Q90 cos а + [(G2 — GJ cos а — sin G2 +
It
~2
4- sin GJ-k J gR cos В sin В sin (В — a) dl +
а
it
2
+ J pR cos2 В sin В sin (B — a) cZB +
2
+ J gR sin2 В [1 — cos (B — a)] t/B +
a
x
2"
+ ^pR Sin2 В cos В [1 — cos (B — a)J dl + — Mla sin a = 0
или
(HI)------pR (1 — Sin a) — gR (1 — sin a) -4- // cos a 4-
(it
Г
j — cos2 В sin В sin adB +
a
it it \ /it
2 2 \ I 2"
+ J sin2 BtZB — J sin3 В sin acZB] I gR +1 J sin2 В cos BtZB —
и a / \a
it it \
2~ 2 \
— J cos3 В sin В sin atZB — J sin3 В cos В sin adB I pR +
в a /
+ — Afia sin a = 0.
P
Определим из уравнения (III) значение pRa:
pR-^(l — sin3 a) = H cos a -f- [(G2 — QJ cos a — sin G2 +
6
+ Sin 8J + sin a + gR --------------------—
1 + sin a —
1 .
------Sin a cos a
2
102
или
pRa = Нан + ^Т2а2 + sRag
к
где
а = -|- (1 — sin3 а);
а2 = (02 — ei) cos а — sin 02+ sin 6^
ан = cos а;
аа = sin а;
1 / к \ 1 . . 1 .
а„ =-----------а — 1 + sin а----Sin а COS а;
g 2 \ 2 ) 2
£ ^2^2 = ^2^2 + ^2 ^2 "Т- ^2 ^2 + ^2 ^2
Здесь Т'2, Т2\ Т'2' и Т'2"—усилия в кольцевых зонах купола,
воспринимаемые кольцевой арматурой, которая была подобрана
в упругом расчете купола (см. рис. 36):
Т2 = F\2Ram = 5,66-2 500 = 14 100 кг/пог. я;
Т'2 = 11,3-2 100 = 23 800 кг[пог. м\
Г2- = 22,6-2 100= 47 500
Г2' =27,2-2 100 = 57 100
Значения 0! и 02 для вычисления а2, а2, а2 и а2 " при-
нимаются:
для а2 0!= 0°, 02 = 45°;
а2 0j=45°, 02 = 60°;
а’2 01=6О°, 02 = 75°;
„ а2 ' 01=75°, 02 = 9О° и
„ а2" 0j = а = 85°, 02 = 90°
Значения коэффициентов а приведены в табл. 20.
Таблица 20
а в град. ан а 2 а2 а2 °2 ag
0 0,1667 0 1,0 0,078 0,103 0,162 0,227 —0,215
15 0,164 0,259 0,966 0,058 0,094 0,153 0,218 -0,211
30 0,146 0,50 0,866 0,019 0,068 0,127 0,192 —0,1925
45 0,108 0,707 0,707 0 0,026 0,085 0,15 -0,15
60 0,0588 0,866 0,50 — — 0,031 0,096 -0,089
75 0,0164 0,966 0,259 — — 0,033 -0,028
85 0,002 0,996 — — 0,0036 —0,004
90 0 1,0 0 — — — — 0
103
Напишем выражение pR с использованием коэффициентов
влияния k, которые приведены в табл. 21.
pR = kHH + kgRg + k2T2 + k2T2 4- k'2 T2 -f-
+ k2-r2-
где
Таблица 21
а в град. kH kg *2 *2 Л2 *2
0 6.0 0 — 1,29 0,468 0,619 0,972 1,36
15 5,9 1,58 —1,3 0,355 0,575 0,935 1,33
30 5,95 3,43 —1,33 0,13 0,467 0,871 1,31
45 6,57 6,55 —1,44 — 0,242 0,79 1,395
60 8,5 14,75 —1,66 — -—- 0,578 1,785
75 15,8 58,8 —1,73 — — 1,965
85 43,6 500 —2,0 — — — 1,8
90 оо оо — — — — —
При значениях g—275 кг/м2; Ram =2500 кг/см2 для проволоки;
/?а/га=2100 кг/см2 для стержней; /?=30 м; Л=10 см; z=7 см
имеем
Alia = FaRamz = 2,83 • 2500 7 = 49 500 кг • см)пог. м =
495 кг- м!пог. м;
гг Z 16-2100 ,
Н = — =-------------= 1120 кг/пог. м;
г 30
— = 125 = 16 5 кгм/пог. м2; Н = 1120 кг/пог. м;
р 30
Rg = 8250 кг/пог. м.
Определим величину pR (табл. 22).
Таблица 22
а в град. № -^1а 2 2 к2Т2 г! ” 2 2 .... .... 2 2 kg^g рп
0 6720 0 6600 14 700 46100 77 500 -10 640 141 000
15 6600 26 5000 13 700 44 400 75 900 — 10 700 135 200
30 6650 57 1833 11 100 41 400 74 700 —10 950 124 800
45 7350 108 5760 37 500 79500 -11 880 118 340
60 9500 245 — — 27 500 10 700 —13 700 130 550
75 17 700 970 — — — 112 000 —14 300 116 370
85 48 700 8250 — — — 102 500 —16 500 143 000
90 оо оо — — — — — оо
104
Наименьшая нагрузка р для меридиональной схемы разру-
шения будет при а =75. Ее величина равна
116 370 <5 , •)
р = —— = 3 880 кг/м~
б. Меридионально-кольцевая схема ра крушения munz 1
Произведем расчет купола при меридионально-кольцевой схе-
ме разрушения типа I (рис. 67).
Из предыдущего реше-
ния известны
Q90 = н •
Подставляем эти значе -
ния в уравнение (IIГ) для
участка I, для которого
а = <р; о) = 90°; 7Hia =
1<р’
Рис. 67
(№) — sin3 y)pR == Н cos ср + ЕЛЦе; - е;) cos ср — sin 0'2 4-
+ sinе;] 4- (- sin<р) + gR [у-(-у -?) - 1 + sin ? -
откуда
pRa ~ Н аИ 2Т2а2 -\-gRag 4—
где
а' = i (1 — sin3<p);
а’Н = cos
Л<р = — Sin ср;
= 1 + Sin ср— sin ср COS ср;
а>2 = (б2 — 61) C0S Т “ Sin ^2 + Sin
^' = Т2(а'У 4- Т 2 (а;)- + т2 (а;)- + Г- (а')—
105
Значения Т2 и а'2 принимаются такими же, как и в предыду-
щей меридиональной схеме разрушения.
Определяем значение Н:
н =pR 4 — 4 - 4 ——-4-
аН аН аН R ан
Для участка II имеем ранее полученное в меридиональной
схеме разрушения уравнение, из которого определяем Н:
Л Л^ С^сг
Н = pR ——^Т2—— gR ——
ан ан ан # ан
Приравнивая значения Н, получим
или
где
р/?₽ = ЕГ2₽2 + gR$g + 4.
3 = ____£_
ан ан'
₽2=^— 4
аН ан
ан ан
а а
= 4 - — •
ан аи
Значения коэффициентов а', а’н, а'2, af и ag даны в табл. 23
Таблица 23
ф В град. аф ан (о2>- (<)• а g
0 0,1667 0 1,0 0,078 0,103 0,162 0,227 —0,215
15 0,164 —0,259 0,966 0,058 0,094 0,153 0,218 —0,211
30 0,146 -0,5 0,866 0,019 0,068 0,127 0,192 -0,1925
45 0,108 —0,707 0,707 — 0,026 0,085 0,15 -0,15
•60 0,0588 —0,866 0,5 — 0,031 0,096 —0,089
75 0,0164 -0,966 0,259 — — — 0,033 —0,028
85 0,00189 —0,9962 0,0872 — — — 0,0039 —0,0036
88 0,0003 —0,9994 0,0349 — — — 0, 0062 —0,00057
90 0 -1,0 0 1 - — — — —
106
Значения коэффициентов р приведены в табл. 24. Величина
pR определяется из зависимости
pR = 72й2+ T'2k2 + T2k- + T-2-k2- + gRkg+ kM,
где
^2“ ₽2 . у .. ₽2 . y... ₽2 . y.... ₽2 . T’ = T = V у _ h __ Pm kg — p ’ ~ p * Таблица 24
V ₽ Рм *2 ₽2 ₽2" р2-
в рад.
0 0 0 0 0 0 0 0 0
15 0,0033 —0,268 -0,018 —0,0058 —0,004 —0,001 —0,004
30 0,0023 —0,577 —0 056 -0.0245 —0,015 —0,005 -0,007
45 —0,0137 -1,0 -0,078 —0,0662 —0,042 —0,015 0,003
60 -0,049 —1,732 -0,078 -0,103 -0,1 -0,035 0,038
75 —0,1034 —3,73 —0,078 —0,103 -0,162 -0,0995 0,107
90 -0,1667 оо —0,078 —0,103 —0,162 —0,227 0,215
15 15 0 —0,536 0 0 0 0 0
30 —0,001 —0,945 -0,038 -0,0187 —0,011 -0,004 —0.003
45 -0,0173 —1,268 —0,06 -0,0604 —0,038 -0,014 0,007
60 —0,0523 —2,0 —0,06 —0,097 —0,096 —0.034 0,042
75 —0,1067 —4,0 -0,06 -0,097 —0,158 -0,099 0,111
90 —0,17 оо —0,06 —0,097 —0,158 —0,226 0,2185
30 30 0 —1,154 0 0 0 0 0
45 -0,016 —1,577 —0,022 —0,0417 —0,027 —0,01 0,01
60 -0,0508 —2,31 —0,022 -0,0785 —0,085 -0.03 0,045
75 —0,105 —4,31 —0.022 —0,0785 -0,147 —0,095 0,114
90 —0,168 оо —0,022 -0,0785 —0,147 —0,222 0,224
45 45 0 —2,0 0 0 0 0
60 —0,035 —2,732 — -0,0368 -0,058 —0,02 0,035
75 —0,0854 -4,73 — —0,0368 —0,120 —0,085 0,104
90 -0,1527 оо — -0,0368 —0,120 -0,212 0,219
p 60 60 0 -3,464 0 0 0
75 -0,0545 —5,46 — — —0,062 —0,065 0,069
85 —0,0959 —13,13 — — -0,062 -0,1473 0,137
75 75 0 —7,46 0 0
85 —0,04155 —15,13 — — — —0,0827 0,067
88 —0,0547 —32,43 — — — —0,1097 0,0917
107
Значения коэффициентов k приведены в табл. 25.
Таблица 25
а | <р *2 *2 *2 *2 kM kg
в град.
0 15 (-) (-) (-) (-) (-) — 1,21
30 (-) (-) (-) (-) (-) -3,0
45 5,7 4,83 3,06 1,095 73,0 —0,219
60 1,59 2,1 2,04 0,715 35,4 —0,775
75 0,755 0,995 1,565 0,969 35,7 —1,035
15 30 38,1 18,8 11,5 4,0 945 3,0
45 3,53 3,55 2,25 0,824 73,5 -0,41
60 1,15 1,865 1,85 0,65 38,3 —0,805
75 0,572 0,912 1,49 0,925 37,6 —1,04
30 45 1,41 2,69 1,69 0,642 98,5 —0,645
60 0,432 1,34 1,66 0,59 45,5 —0,885
75 0,208 0,745 1,39 0.9J1 41,0 —1,02
45 60 1,05 1,655 0,572 78,0 -1,0
75 — 0,413 1,35 0,952 55,4 —1,16
60 75 1.15 1,2 100 —1,27
85 — — 0,645 1,537 137 —1,43
75 85 — 1,99 364 —1,61
88 — — — 2,005 593 — 1,675
Определение в ны полезной нагрузки р из меридиональ-
но-кольцевой cxei зрушения типа I проведем в табличной
форме (табл. 26)
pR = k2T2 + k - k2 Т2 -р k2 Т2 k Rg -f- км ~
Н
тдг
= 14100 кг]пог. м\
= 23 800
i 2 =47 500
77" =57 100
Rg = 30-275 = 8 250 xzirtoz. м\
Mj 495 1С _ . .
-^- =— = 16,5 KZM[noz. м*.
108
Таблица 26
а | <₽ /г' т'к 2 2 к 2 2 й‘о’ К' 2 2 Ь'2" Т2' kgRg ж, ЙМ R PR
в град.
0 15 (-) (“) (-) (-) —9 970 (-) оо
30 (~) (-) (-) (- —24 750 (—) оо
45 80 400 115 000 145 000 62 600 —1810 1 200 402 390
60 22 400 50 000 96 800 40 800 —6 400 580 204 180
75 10 650 23 700 74 200 55 300 —8 550 590 155 890
15 30 53 600 447 000 546 000 228 000 -1-24 800 15 600 1 315 000
45 49 800 84 500 107 000 47 000 -3 380 1 210 286 130
60 16 200 44 300 87 600 37 100 -6 650 630 179 180
75 8060 21700 70 200 52800 —8 600 620 145280
30 45 19 900 64 000 80 200 36 700 —5320 1 630 197 ПО
60 6100 31 900 78 700 33 700 —7 300 750 143 850
75 2930 17 700 66 000 51400 —8 900 680 129 810
45 60 25 000 78 500 32 700 —8 250 1290 129 240
75 — 9800 64 000 54 400 —9580 910 119 530
60 75 54 500 68 500 -10 500 1 650 114 150
85 — — 30 600 87 700 —11 800 2 260 108 760
75 I85 — —. 113 500 — 13 300 6000 106200
88 — — — 114 400 —13 800 9800 110 400
Наименьшая полезная нагрузка р для меридионально-коль-
цевой схемы типа I определяется из схемы разрушения при
а = 75° и <р = 85°:
106 200 О Г Л Л / 9
р = ——-----=3540 кг1м2.
Эта нагрузка меньше, чем для меридиональной схемы разру-
шения, для которой было получено р = 3880 кг)м2, и больше за-
данной нагрузки р=3000 кг!м2 на 18%.
Определим значения Н для а =75° и ф = 85° из уравнений
(ПГ) и (III) для проверки правильности выполненных вычис-
лений. Из уравнения (ПГ) имеем
Н =pR 4-- s-- - gR ~ = 106 200• 0,02175 -
ан ан ан R ан
— 57 100-0,0447 4-8250-0,0413-f- 11,40-16,5 = 290 Kzjnoz. м.
Из уравнения (III) имеем
Н = pR — - Е Г2 — gR ~ . — = 106 200 - 0,0633 —
аН аН ан R ан
109
— 0,1274-57 100 4-8250-0,108 — 16,5-3,73 = 290 Kzjnoz. м.
Сила растяжения опорного кольца
Z = Hr = 290-30 = 8 700 kz.
Сила, воспринимаемая опорным кольцом:
Z = 16-2100 = 33 600 >8700 kz.
в. Меридионально-кольцевая схема разрушения типа II
(рис. 68)
Нагрузки
<71 = g sin В + Р sin В cos £;
q2 = g cos £ + p cos2 В;
EK = ъг^р Sg = ^T?2 sin2 cop 4- 2u7? (1 — cos<o)g; (6.16)
(6.17)
LX = — H-2^7? sin <o.
Puc. 68
Уравнения равновесия (I) и (II)
sy
(I) T1Ш sin co 4- Qw cos co -|--= 0;
2kP sinco
(II) Qco Sin co — T1Ш COS CD -|-— = 0.
2t> sin co
Подставляем в них значения LY и LX:
/т\ • । /-л 1 п • 1 COS co _
(I) ' ico Sin CO 4-cos CD =---pR Sin CD----------7^0-;
2 sin <o °
(II) sin co — 7\ш cos o) = H.
Решаем совместно эти уравнения относительно Qw и Т\ш:
Qrr . 1 (1 COS со) COS со
ш = ТУ sin cd---sin со cos co7<p — --------- 7?g;
2 sin co
7> = — H cos co---------i- sin2 cd7?p — (1 — cos co) 7?g.
110
Уравнение равновесия (ПГ) для участка I, для которого
а=<р; Afia=—будет
(ПГ) Лю [1 — cos (ш — ср)] sin о) т QM sin со sin («> — <р) 4-
62 со
4-Е jj Т2 (cos ср — cos 6') dfif 4- jj q2R sin В sin (В — cp) dt 4-
e;
<p
qxR sin E [ 1 — cos (E — <p)] rfE + sin —
—Miw sin <o = 0.
Подставляем в это уравнение значения Qw и 7\ш и после
преобразований получим
Н sin СО (cos ср — cos со)-— (sin3
ч____1 со — sin3 <р) Rp—
6
sin co
4
2
4
4- ЕГ2 [(0g — 6]) cos <р — sin 6' + sin —
---— М'л я sin ср-— Л/1ш sin со = 0.
R 1<р-------------R
Уравнение равновесия (III) для участка II будет
(III) 7\ш [ 1 — cos (со — a)] sin со 4- Qu sin со sin (со — а) 4-
4-2 J Т2(cos а — cos 6) 4- J gR cos В sin £ sin (В — а) dt 4-
0] а
4- J рR cos2 В sin В sin (В — а) dt 4-
а
4- J gR sin2 В [ 1 — cos (В — а)] dt 4-
а
4- У pR sin2 В cos В [1 — cos (В — а)] dt 4-
а
-J- J— Sjn а-------L ypfj sin ш = 0.
R R
Написанное уравнение отличается от подобного же уравне-
ния (III) для участка I только заменой ср на а и знаком у чле-
на — Afiasina. Вследствие указанного можно применить выпол-
R
ненное ранее решение для участка I к решению для участка II:
Н sin со (cos а — cos со)-i- (sin3 со — sin3 а) Rp —
111
sin co — sin a —
4- £Г2 [(62 — GJ cos a — sin 62 + sin 6J + — AGasin a—
---— УНЫ sin <o=0.
R
Определяем значение H для участка I, обозначив предвари*
тельно через
а’н= sin со (cos ср — cos со);
а'р = -i-(sin3 со — sin3 ср);
ag = sin со — sin ср---------— (co — ср)------— (sin 2co — sin 2cp);
a2 = — (6' — 6j) cos cp + sin 02 — sin 6';
= sin cp;
a = sin co;
CD 1
Также определим H и для участка II, обозначив предвари-
тельно через
ан = sin со (cosa — cos со);
аа = — sin a;
ар = -i- (sin3 со — sin3 a);
С2Ш = sin co;
1
ag = sin co — sin a-------(co — a)--------(sin 2co — sin 2a);
2
4
a2 = — (62 — 6i) cos a -|- sin 62 — sin
_ ao ap n M. a.
Rp-£-+Rg-L + -LT2-^ +
ан aH aH R aH R an
112
где
Приравниваем значения Н для участков I и II и определяем
Так как Л/1а,то значение момента вынесено за скобки.
Значение Rp будет
где
k/л ~
£ ГЛ = ЕГ2Ь-;
£ГЛ = ГЛ+ Т"Л” + T-k- + Т-k,-
113
Таблица 27
О) <р а ан а Н 4 аР t а g ag t (I > а, CD UQ) i r a •p aa = —since.
в град.
90 75 60 45 30 15 0 0,259 0,5 0,707 0,866 0,966 1,0 0,0164 0,0588 0,108 0,146 0,164 0,1667 0,028 0,0885 0,15 0,1925 0,2115 0,215 1,0 0,966 —0,866» -0,707 -0,5 —0,259 0
90 60 45 30 15 0 0,5 0,707 0,866 0,966 1,0 0,0588 0,108 0,146 0,164 0,1667 0,0885 0,15 0,1925 0,2115 0,215 1,0 0,866 —0,707 —0,5 -0,259 0
90 45 30 15 0 0,707 0,866 0,966 1,0 0,108 0,146 0,164 0,1667 0,15 0,1925 0,2115 0,215 1,0 0,707 —0,5 —0,259 0
90 30 1 15 1 0 i 0,866 0,966 1,0 0,146 0,164 0,1667 0,1925 0,2115 0,215 1.0 0.5 —0,259 0
90 15 0 0,966 1,0 0,164 0,1667 0,2115 0,215 1,0 0,259 0
75 60 45 30 15 0 0,233 0,433 0,587 0,683 0,716 0,0424 0,0912 0,1294 0,1473 0,1503 0,0605 0,122 0,1645 0,183 0,186 0,966 0,866 —0,707 —0,5 —0,259 0
75 45 30 15 0 0,433 0,587 0,683 0,716 0,0912 0,1294 0,1473 0,1503 0,122 0,1645 0,183 0,186 0,966 0,707 -0,5 —0,259 0
75 30 15 0 0,587 0,683 0,716 0,1294 0,1473 0,1503 0,1645 0,183 0,186 0,966 0,5 -0,259 0
75 15 0 0,683 0,716 0,1473(0,1503 0,183 0,186 0,966 0,259 0
60 J 45 30 15 0 0,1793 0,317 0,404 0,433 0,0489 0,0871 0,105 0,108 0,0615 0,104 0,1225 0,1255 0,866 0,707 —0,5 -0,259 0
60 30 15 0 0,317 0,404 0,433 0,0871 0,105 0,108 0,104 0,1225 0,1255 0,866 0,5 —0,259 0
60 15 0 0,404 0,433 jO, 105 0,108 0,1225 0,1255 0,866 0,259 0
45 30 15 0 0,1123 0,183 0,207 0,0381 0,056 0,0589 0,0425 0,061 0,064 0,707 0,5 —0,259 0
45 15 0 0,183 0,207 0,056 0,0589 0,061 0,064 0,707 0,259 0
30 151 °| 0,05 0,067 0,01795 0,0208 0,0185J0,0215 0,5 0,259 0
114
Значения коэффициентов ан, ан' ар' а'р> ag> ag, аш, аш t
и аа приведены в табл. 27, а значения коэффициентов а2 и а'2_
в табл. 28.
Таблица 28
со <Р а (аг £ <а2>" (а £ со <р
в град. вград.
90 75 60 45 39 15 0 -0,019 -0,058 -0,078 -0,026 -0,068 -0,094 -0,103 -0,031 -0,085 -0,127 -0,153 -0,162 1 1 1 1 1 о о о о о NO Ю Q to to ел 1 ^4 00 to СЛ । 1 1 1 1 1 I 1 1 1 1 11111 -0,033 -0,033 —0,033 -0,033 -0,033 90 75
90 60 45 30 15 0 -0,019 -0,058 -0,078 -0,026 -0,068 -0,094 -0,103 -0,085 -0,127 -0,153 -0,162 -0,15 -0,192 -0,218 -0,227 — — —0,031 -0,031 -0,031 -0,031 -0,096 -0,096 -0,096 -0,096 90 60
90 45 30 15 0 -0,019 -0,058 -0,078 -0,068 -0,094 -0,103 -0,127 -0,153 -0,162 -0,192 -0,218 -0,227 -0,026 -0,026 -0,026 -0,085 -0,085 - 0,085 -0,15 -0,15 -0,15 90 45
90 30 15 0 -0,058 -0,078 —0,094 -0,103 -0,153 -0,162 -0,218 -0,227 -0,019 -0,019 -0,068 -0,068 -0,127 -0,127 -0,192 -0,192 90 30
90 15 0 -0,078 -0,103 -0,162 -0,227 -0,058 -0,094' -0,153 -0,218 90 15
75 60 45 30 15 0 -0,019 -0,058 -0,078 -0,026 -0,068 -0,094 -0,103 -0,085 -0,127 -0,153 -0,162 — 1111 1111 -0,031 -0,031 -0,031 -0,031 — 75 60
75 45 30 15 0 -0,019 -0,058 -0,078 -0,068 -0,094 -0,103 -0,127 -0,153 -0,162 — -0,026 -0,026 -0,026 -0,085 -0,085 -0,085 — 75 45
75 30 15 0 -0,058 -0,078 -0,094 -0,103 -0,153 -0,162 -0,019 -0,019 -0,068 -0,068 -0,127 -0,127 — 75 30
75 15 0 -0,078 -0,103 -0,162 — -0,058 -0,094 -0,153 — 75 15
60 45 30 15 о- —0,(Л9 -0,058 -0,078 -0,068 -0,(94 -0,103 — — — -0,026 -0,026 -0,026 — — 60 45
60 30 15 0 -0,058 -0,078 —0,094 -0,103 — — -0,019 -0,019 —0,068 -0,068 — — 60 30
6Q 15 0 -0,078 -0,103 г — -0,058 —0,094 — —- 60 15
45 30 15 0 > -0,058 -0,078 — — — -0,019 -0,019 — — — 45 30
45 15 0 -0,078 — — — -0,058 — г- — 45 15
30 15 0 -0,024 — — — -0,013 — 1 “ — 30 15
Множители 1 г, 1 < 1 1 * 2 1 т, 1 < 1 1 < ' 1 1
Значения коэффициентов 02 даны в табл. 29, а значения ко-
эффициентов ₽ , и — в табл. 30.
Значения коэффициентов kg, км, k2, k2, k2", k'2“ приведены
в табл. 31.
Значения временной нагрузки pR приведены в табл. 32
115
о
Таблица 29
(1) а2 ан а2 ан а2 а2 (4)' (4)" (4)- (4)"" Р2 ₽2’ Р2” ₽2“
ан ан ан ан ан ан
в град.
90 75 60 0,062 0,192 - -0,127 0,062 0,065
45 мм 0,0368 0,12 0,212 — — — —0,127 — 0,0368 0,12 0,085
30 0,0219 0,0785 0,1465 0,222 — “—— — —0,127 0,0219 0,0785 0,1465 0,095
15 0,06 0,0973 0,1585 0,226 — — — —0,127 0,06 0,0973 0,1585 0,099
0 0,078 0,103 0,162 0,227 — — — —0,127 0,078 0,103 0,162 0,1
90 60 45 м— 0,0368 0,12 0,212 —— — —0,062 —0,192 —.. 0,0368 0,058 "6,02
30 0,0219 0,0785 0,1465 0,222 — _м —0,062 —0,192 0,0219 0,0785 0,0845 0,03
15 0,06 0,0973 0,1585 0,226 ***».« — —0,062 —0,192 0,06 0,0973 0,0965 0,034
0 0,078 0,103 0,162 0,227 — —0,062 —0,192 0,078 0,103 0,1 0,035
90 45 30 0,0219 0,0785 0,1465 0,222 — —0,0368 —0,1203 —0,212 0,0219 0,0417 0,0262 0,01
15 0,06 0,0973 0,1585 0,226 । —0,0368 —0,1203 —0,212 0,06 0,0605 0,0382 0,014
0 0,078 0,103 0,162 0,227 — —0,0368 —0,1203 —0,212 0,078 0,0662 0,0417 0,015
90 30 15 0,06 0,0973 0,1585 0,226 —0,0219 —0,0785 —0,147 —0,222 0,0381 0,0188 0,0115 0,004
0 0,078 0,103 0,162 0,227 —0,0219 —0,0785 -0,147 —0,222 0,0561 0,0245 0,015 0,005
90 15 0 0,078 0,103 0,162 0,227 —0,06 —0,0973 —0,158 —0,226 0,018 0,0057 0,004 0,001
75 60 45 1 0,06 0,196 — — —0,133 —— — 0,06 0,063
30 0,0324 0,116 0,2165 — — — —0,133 —— 0,0324 0,116 0,0835
15 0,085 0,138 0,224 — — —0,133 —— 0,085 0,138 0,091 —е
0 0,109 0,144 0,226 — — — —0,133 — 0,109 0,144 0,093 —’
П р одолжение табл. 29
<р ач а. д2 а . °2 п. __^2 /т 1 (4L 9 ( 9 ( 9 ( 1 р2 Р2 р2“ ₽2'"
в град. Н Н н н ан ан ан аи
75 45 30 15 0 0,0324 0,085 0,109 0,116 0,138 0,144 0,2165 0,224 0,226 — — —0,06 —0,06 —0,06 —0,196 —0,196 —0,196 — 0,0324 0,085 0,109 0,056 0,078 0,084 0,0205 0,028 0,03 —
75 . 30 15 0 0,085 0,109 0,138 0,144 0,224 0,226 — —0,0324 —0,0324 —0,1158 —0,1158 —0,2165 —0,2165 — 0,0526 0,0766 0,0222 0,0282 0,0075 0,0095 —
75 15 0 0,109 0,144 0,226 — —0,085 —0,1375 —0,224 — 0,024 0,0065 0,002 —
60 45 30 15 0 0,06 0,1435 0,18 0,2145 0,233 0,25 — — 1 1 1 —0,145 —0,145 —0,145 — 0,06 0,1435 0,18 0,0695 0,088 0,105 1 1 1
60 30 15 0 0,1435 0,18 0,233 0,25 —0,06 —0,06 —0,125 —0,215 — — 0,0835 0,12 0,018 0,035 —
60 15 0 0,18 0,25 — — • —0,1435 —0,233 — — 0,0365 0,017 1 —
45 30 15 0 0,317 0,377 —— —0,169 —0,169 0,148 0,208
45 15 0 0,377 •— —0,317 — •— 1 0,06 — — —
30 [ 15 1 0 1 0,36 | - 1 — 1 - —0,26 1 1 —_ 1 — 1 0,1 1 — 1 1 —
Таблица 30
00
ш <р а Р ~н Г а _ Р ан ₽ а ё_ ан 1 а„ S ~~Т~' аН а О) а н а а ан a I a ц '|е - ! а У ан
в град.
90 75 60 45 30 15 0 0,1175 0,1527 0,1685 0,1700 0,1667 —0,0633 0,0542 0,0894 0,1052 0,1067 0,1034 -0,177 —0,212 —0,222 —0,219 -0,215 0,108 —0,069 —0,104 —0,114 —0,111 —0,107 —2,0 —1,416 —1,155 —1,045 -1,0 1,73 1,00 0,578 0,268 0,00 3,86 3,74 7,33 7,184 7,023 6,823 6,60
90 60 45 30 15 0 0,1527 0,1685 0,1700 0,1667 -0,1177 0,0350 0,0508 0,0523 0,0490 —0,212 -0,222 —0,219 —0,215 0,177 —0,035 —0,045 —0,042 —0,038 —1,416 —1,155 —1,045 -1,0 1,00 0,578 0,268 0,00 2,00 1,73 3,314 3,153 2,953 2,73
90 45 30 15 0 0,1685 0,1700 0,1667 -0,153 0,0155 0,0170 0,0137 -0,222 —0,219 —0,215 0,212 —0,010 —0,007 —0,003 —1,155 —1,045 —1,000 0,578 0,268 0,00 1,416 1,00 1,839 1,639 1,416
90 30 15 0 0,1700 0,1167 -0,169 0,001 —0,0023 -0,219 —0,215 0,222 0,003 0,007 —1,045 —1,000 0,268 0,00 1,155 0,577 0,955 0,732
90 15 0 0,1667 -0,17 —0,0033 —0,215 0,219 0,004 — 1,000 0,00 1,035 0,268 0,303
75 60 45 30 15 0 0,211 0,221 0,216 0,210 —0,182 0,029 0,039 0,034 0,028 —0,282 -0,28 —0,268 -0,26 0,26 —0,022 —0,020 —0,008 0,00 —2,23 —1,645 —1,416 —1,350 1,63 0,852 0,379 0 4,33 3,72 7,45 7,257 7,013 6,700
Продолжение табл. Зр
<0 <р а Р ан _аР ₽ а S_ а н ag а ш а а -г-
в град. ан ан ан ан
75 45 30 15 0 0,221 0,216 0,210 -0,211 0,010 0,006 —0,001 -0,28 -0,268 —0,26 0,282 0,002 0,014 0,022 -1,645 —1,416 -1,350 0,852 0,379 0 2,23 1,63 3,067 2,823 2,510
75 30 15 0 0,216 0,210 -0,221 —0,005 -0,011 —0,268 —0,26 0,28 0,012 0,020 —1,416 -1,350 0,379 0 1,645 0,85 1,458 1,145
75 15 0 0,210 —0,216 -0,006 —0,26 0,268 0,008 -1,350 0 1,416 0,379 0,445
60 45 30 15 0 0,275 0,260 0,249 -0,273 0,002 —0,013 —0,024 -0,339 -0,304 -0,29 0,343 0,004 0,039 0,053 —2,735 —2,15 -2,00 1,575 0,642 0 4,84 3,94 7,62 7,272 6,78
60 30 15 0 0,260 0,249 -0,275 -0,015 -0,026 -0,304 -0,29 0,328 0,024 0,038 —2,15 —2,00 0,642 0 2,732 1,58 2,804 2,312
60 15 0 0,249 -0,261 —0,012 —0,290 0,303 0,013 —2,00 0 2,15 0,64 0,79
45 30 15 0 0,306 0,285 -0,339 —0,033 -0,054 -0,334 —0,309 0,378 0,044 0,069 -3.86 -3,42 1,416 0 6,28 4,45 8,286 7,31
45 15 0 0,285 —0,306 -0,021 -0,309 0,334 0,025 —3,42 0 3,86 1,416 1,856
30 | 15 0 0,311 | -0,359 | —0,048 | —0,321 | 0,37 0,049 1 —7,47 1 0 I 10,00 5,18 7,71
Таблица 31
СО 8 ₽ к«--^ ₽ 2 ₽ 2 ₽
в град. 2 ₽ 2 “У
90 75 60 45 30 15 0 —1,273 -1,165 —1,08 —1,04 —1,035 135 80,5 66,5 64 63,8 0,208 0,572 0,755 0,412 0,745 0,912 0,995 1,145 1,345 1,39 1,485 1,565 1,2 0,952 0,902 0,928 0,968
90 60 45 30 15 0 -1,0 —0,885 —0,805 —0,775 94,7 62,1 56,5 55,7 0,432 1,146 1,59 1,05 1,34 1,86 2,1 1,655 1,66 1,84 2,04 0,572 0,59 0,65 0,715
90 45 30 15 0 Ю CN О, о о o' 1 1 1 118,5 96,4 103,4 1,412 3,53 5,7 2,69 3,56 4,83 1,69 2,25 3,04 0,645 0,824 1,095
90 30 15 0 4-3 —3,04 955 —318 38,1 —24,4 18,8 (-) 11,5 (-) 4 (—)
90 15 0 -1,21 —92 —5,45 (-) (-) (-)
75 60 45 30 15 0 —0,76 -0,513 —0,235 0 257 186 207 240 0,83 2,5 3,9 2,07 2,98 4,06 5,15 2,17 2,14 2,68 3,32 —
75 45 30 15 0 0,2 2,33 —22 306,7 470 —2510 3,24 14,15 —109 5,6 13 (-) 2,05 4,67 (-) —
75 30 15 0 —2,4 — 1,82 -292 —104 (-) (-) (-) (-) (-) (-) —
75 15 0 —1,33 —74,2 (-) (-) (-) —
60 45 30 15 0 4-2 —3 —2,21 -4-3 810 —560 —283 4-30 (-) (-) 34,8 (-) (-) — —
60 30 15 0 — 1,6 —1,46 —187 —89 (-) (-) (-) (-) — —
60 15 0 — 1,08 -66 (-) (-) — —
45 30 15 0 — 1,33 -1,28 —251 —135,5 (-) (-) (-) (-)
45 15 0 -1,19 —88,5 (-) (-) — —
30 15 0 — 1,02 -161 (-) (-) - 1
Множители Я, Li* г; 7? 1 Г2-
120
Таблица 32
(0 «р град а k2 Т2 k2 Т2 k2 Т2 k2 Т2 м, «М — PR
90 75 60 45 30 15 0 2 930 8 060 10 650 9 800 17 700 21700 23 700 54 300 63800 66 000 70 500 74 200 68 500 54 400 51500 53 000 55 300 2230 1330 1 100 1050 1030 -10 500 — 9 600 — 8 900 — 8 600 — 8 550 114530 119730 130 330 145 710 146 330»
90 60 45 30 15 0 6100 16 130 22 400 25 000 31900 44 200 50 000 78 600 78 800 87 400 96 800 32 700 33 700 37 100 40 800 1560 1020 930 920 — 8 250 — 7 ЗЭО — 6 650 — 6 400 129610 144 220 179 110 204 520
90 45 30 15 0 19 900 49 800 80 400 64 000 84700 115 000 80200 107 000 144 500 36 800 47 000 62 600 1960 1590 1710 — 5 320 — 3400 — 1800 197 540' 286 6901 402 410
90 30 15 0 537000 (-) 447 000 (~) 546 000 (-) 228 000 (-) 15 750 (-) 24 800 —25000 1816 550 оо
90 15 0 (~) (-) (-) (-) <-)| —10 000 оо
75 60 45 30 15 0 11700 35 200 55000 49 300 71000 96700 122 500 103000 101 500 127 200 157 600 — 4 240 3 070 3 420 3960 — 6 260 — 4 230 — 1940 0,00 150 280 183 040 260 580 339 060
75 45 30 15 0 45700 200 000 (~) 133 000 309 000 (-) 98 500 222000 (-) — 5060 7 750 (-) 1650 19 200 —181 000 284 010 757 950 оо
75 30 15 0 (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) —19 800 —15 000 оо оо
75 15 0 (-) (—) (-) — (-) —11000 оо
60 45 30 15 0 423000 (-) (-) 828 000 (-) (-) — — 63 000 (-) (-) 16500 —24 800 —18 200 1330 500 оо оо
60 30 15 0 (-) (-) (-) (-) — (-) (-) —13 200 —12 000 оо оо
60 15 0 (-) 1 (-) — — (-) — 8 900 оо
45 30 15 0 (-) (-) (-) (-) — — (-) (-) —11000 -10 550 оо оо
45 15 0 1 (-) (-) — 1 (-) — 9820 | | оо
зо I15 °| 1 (-) — (-) — 8 400 | 1 00
121
Из произведенного расчета купола по методу предельного
равновесия видно, что наименьшая полезная нагрузка р полу-
чилась:
а) из меридиональной схемы разрушения р=3880 кг/м2\
б) из меридионально-кольцевой схемы разрушения типа 1
р= 3540 кг!м2\
в) из меридионально-кольцевой схемы разрушения типа II
при w = 90°; ср = 75° и а = 60°
pR 114 530 oonn i 9
р = — =--------= 3820 кгм2.
Г R 30 1
Наиболее опасной схемой разрушения является меридио?
нально-кольцевая схема, тип I, по которой нагрузка р получилась
примерно порядка — р ~ 3500кг Ли2. Эта нагрузка больше задан-
ной для расчета по упругой стадии работы купола (р=3000 кг/jw2)
на 17%. Превышение происходит, во-первых, за счет принятия не-
которого избыточного армирования против потребного, которое
составляет около 5%; во-вторых, превышение на остальные
10—=—12% объясняется более правильным учетом реальной рабо-
ты конструкции по сравнению с расчетом по упругой стадии.
Настоящий расчет выполнен на счетной линейке. При чле-
нении купола на более мелкие участки расчетная нагрузка опре-
деляется более точно.
§ 7. РАСЧЕТ В КОНКРЕТИЗИРОВАННОЙ ФОРМЕ
СТАТИЧЕСКИМ СПОСОБОМ
1. Общие положения
Расчет оболочек вращения в стадии разрушения в конкре-
тизированной форме может быть выполнен статическим или
кинематическим способами. Первый способ наиболее удобен при
изучении общих свойств конструкций и уравнений равновесия
при статических нагрузках. Второй способ, по нашему мнению,
более удобен при решении сложных конструкций и при расчете
на действие динамических нагрузок.
Статический способ расчета в общем виде, как было видно
из предыдущего, хорошо применять к тем конструкциям, в ко-
торых имеется определенная закономерность в их очертании,
армировании и нагружении. В тех же случаях, когда оболочка
вращения имеет сложный или ступенчато переменный характер
изменения меридионального радиуса, размеров сечения, какие-
либо особенности типа армирования или схем разрушения, по
нашему мнению, удобнее составлять для каждого конкретного
случая самостоятельные условия равновесия в конкретизирован-
ной форме, не пользуясь готовыми выражениями для них, вы-
веденными в общем виде.
122
к числу таких особенностей схем разрушения оболочек вра-
щения следует отнести специфический характер образования
нижнего пластического кольцевого шарнира в защемленном по
нижнему контуру куполе вращения (рис. 69). В предположении
идеальной жесткости звеньев купола на участках между пла-
стическими шарнирами нижний кольцевой пластический шар-
нир может образоваться только по горизонтальному, а не по
нормальному сечению, вследствие того, что в противном случае
при повороте вокруг центра А пластического шарнира участки
оболочки вблизи точки Б должны были бы иметь кольцевые де-
формации сжатия, чего
не может быть в пред-
положении абсолютной
несжимаемости звень-
ев оболочки. Отразить
особенности образова-
ния такого пластиче-
ского шарнира в об-
щих условиях равно-
весия можно, но это
усложнило бы общие
формулы и, ino нашему
мнению, было бы не-
рационально. Проще
подобную особенность
учесть в конкретном
расчете оболочки. В об-
щих условиях равновесия действующие в сечениях усилия
обычно сосредоточиваются в центрах расположения армирова-
ния. Фактически в сжатой зоне бетона усилия могут не совсем
точно совпадать с центром армирования сжатой зоны. Сила сжа-
тия бетона D6 может проходить несколько ниже центра тяжести
сжатой арматуры; ее расположение зависит от величины х —
расстояния до нейтральной оси. В общих условиях равновесия
оболочек вращения учитывать влияние положения нейтральной
оси в различных сечениях было бы затруднительно, тогда как в
каждом отдельном конкретном случае при желании подобное
уточнение расчета можно осуществить. Учет подобного факто-
ра не дает разницы в усилиях более 2—3%, но все же он может
быть осуществлен.
Учет наличия «шапки» у купола или каких-либо других осо-
бенностей конструкции в общих расчетных формулах вызовет
известное усложнение, тогда как в каждом конкретном случае
учесть в расчете эти особенности не представляет никаких за-
труднений.
На основании указанного в дальнейшем изложении рассмат-
ривается решение различных случаев загружения оболочек вра-
щения путем составления для них самостоятельных условий
123
равновесия в конкретизированной форме и только в отдельных
случаях используются ранее выведенные общие условия равно-
весия. При применении статического способа для каждой из
возможных схем разрушения могут быть составлены условия
равновесия статики и из равенства внешних и внутренних уси-
лий определены изгибающие моменты, нормальные силы и рас-
поры.
Для упрощения расчета будем полагать, что внутренняя си-
ла сжатия бетона совпадает по своему местоположению со сжа-
той арматурой l^.Ha самом деле сила D6 может проходить вы-
ше или ниже арматуры F'a (в первом случае, если сила D6 рас-
положена выше арматуры F'a, согласно НиТУ на железобетон-
ные конструкции, работа сжатой арматуры F' в расчет не вво-
дится). Поскольку весь метод расчета куполов по предельному
равновесию является в значительной степени приближенным^
то указанное допущение мало отражается на конечном резуль-
тате.
Рассмотрим в качестве примера меридиональную схему раз-
рушения купола.
124
Положим, что под действием какой-либо внешней вертикаль-
ной симметричной нагрузки купол разрушился по меридиональ-
ной схеме, показанной на рис. 70. Точечным пунктиром показа-
ны наружные очертания купола, а пунктиром с черточками —
схема разрушения купола.
При разрушении купола каждый участок элементарного дву-
угольника, поворачиваясь около линии 1—1, займет положение
1—2. Помимо поворота относительно оси 1—1 и кольцевого рас-
крытия между отдельными элементарными двуугольниками, они
будут поворачиваться один по отношению к другому по мери-
диональным линиям, аналогично тому, как это происходит в
круглых плитах при разрушении их по схеме «солнца».
Имея схему разрушения, показанную на рис. 70, можно опре-
делить внутренний момент Ма относительно линии 1—1, кото-
рый будет восприниматься меридиональной и кольцевыми ар-
матурами в момент разрушения купола.
Затем также можно будет определить момент Mq всех внеш-
них сил, включая и собственный вес купола, относительно той
же самой линии 1—1. Из равенства внешнего и внутреннего мо-
ментов могут быть определены моменты и усилия, воспринимае-
мые отдельными видами арматур, если известно соотношение их
площадей.
2. Определение внутренних усилий в куполах
с двойной арматурой
а. Разрушение по меридиональной схеме
Определим для меридиональной схемы разрушения купола
внутренний момент Л1а, воспринимаемый меридиональной и
кольцевой арматурами, полагая, что они имеются у наружной и
внутренней поверхностей купола при недостаточном опорном
кольце, воспринимающем распор Н (см. рис. 70):
2х 2it s2
j MurBd<f +\ d<t \ T22t2lds +
О 0 0
2л 2л
+ 5 df J T21tnds + J Hrrf'jd’f. (7.1)
0 0 о
Здесь Mii=F\\R&mz— момент растянутой, (нижней) меридиональ-
ной арматуры Fu в сечении 1—1 от-
носительно линии 1—7, приходящийся на
единицу длины кольцевого сечения;
125
Гц — площадь меридиональной нижней арма-
туры в сечении 1—1 на единицу длины
кольцевого сечения;
^22=^22^ат—кольцевое растягивающее усилие нижней:
кольцевой арматуры F22 на участке s2»
приходящееся на единицу длины мери-
дионального сечения;
у[ — расстояние по вертикали от опоры до
точки 7;
s2 — длина участка меридиана от сечениям
/—/ до края купола;
/21 — расстояние по вертикали от элемента ду-
ги ds2 поверхности, на которой располо-
жена внутренняя кольцевая арматура, до
точки 1;
T2i — кольцевое растягивающее усилие верх-
ней кольцевой арматуры F2l на участке
Si, приходящейся на единицу длины ме-
ридиана;
$! — длина участка меридиана от сечения*
1—1 до края купола;
tn — расстояние по вертикали от элемента ds\
поверхности, на которой расположена
внутренняя кольцевая арматура, до точ-
ки 1.
В написанном выражении принято, что меридиональная ар-
матура обозначается индексом 1, а кольцевая — индексом 2.
Двойные индексы у букв показывают: первый—к какой ар-
матуре относится данное значение (к меридиональной—1, к.
кольцевой — 2); второй — к какому сечению или к какому уча-
стку относится данное значение. Это правило обозначений при-
нято и для дальнейшего изложения.
Шаровой купол. Рассмотрим частный случай оболочки-
вращения — шаровой купол в состоянии предельного равнове-
сия при разрушении по меридиональной схеме при отсутствии;
опорного кольца.
Введем следующие обозначения (рис. 71):
/?н — радиус поверхности купола, на которой расположена'
наружная арматура;
7?в — радиус поверхности купола, на которой расположена
внутренняя арматура;
/?ср — радиус срединной поверхности купола;
» — отношение —.
Rb
Значения указанных ниже величин следуют из рис. 71:
/?Н == == 2 ’ ^в’ == v/?B sin Вр гов = sin Bq,.
126
r0 =7?B sin %; rB = /?BsinE1; z=/?„(*— 1);
«^«.cosE.-CV^cos^ = W?B (cos — stn*°—*ln6>);
Z Co-%i j
/21 = cosEj - (7?, - ц2)CCSЦ±= /?, (vcosEj- sin ^-^S»).
£ to-ti
Puc. 7/
где
( 2sin^\
= V С ё /
to ti
/ 2sin \
Ц<2 = Rb H - - I
\ to — ti /
Внутренний момент, воспринимаемый меридиональной и
кольцевой арматурой, будет
2-гс 2х 5, 2тг S,
М*= Mnr3d^ + r22^2i^s + r2i/n4Zs =
о об 0 0
= 2тгЛ?в {Жп sin + Г22/?в [(Во — У V cos Bi — sin Во + sin у+
+ ^21^в Wo — У cos — sin Bo + sin У}. (7.2)
Тот же шаровой купол при наличии недостаточного опорного
кольца будет иметь выражение для Ма в виде
127
Ма = 2ir/?B {ТИц sin Bj + T22Re [($o — Sj) V cos — sin Ц+ sin £,] 4-
+ T'^R* [(?0 — B,) cos tj — sin + sin 4-
+ ///?, 4^ sin^vcosB,— cosB0)j. (7.2')
Круглая пластинка. В частном случае при круглой
пластинке в случае схемы разрушения «солнце» и меридиональ-
ном и кольцевом армировании имеем (рис. 72)
Ма= ( Mnr3d<? + J J Т22 t^ds + j d<? J =
6 Or 0 0
= J Murd/f + J T22 (r0 — r) zd<f 4- 0= 2® [Mnr + Mt (r0 — r)J, (7.3)
0 0
где Mt = T.az. (7.4)
При разрушении круглой пластинки по схеме «звездочка»,
т е. при г=0, и при меридиональной и кольцевой арматуре имеем
(рис. 73)
Ma = ^MtrQ. (7.5)
При арматуре в виде равномерной сетки при схеме разруше-
ния «звездочка» получим
Ма = 2тг (Mr -I- М<) г0. (7.5')
б. Разрушение по меридионально-кольцевой схеме типа I
Для купола, шарнирно опертого по центральной линии кон-
тура на вертикальные опоры, может иметь место меридиональ-
но-кольцевая схема разрушения типа I, которая будет иметь вид,
представленный на рис. 74.
128
Напишем выражения моментов, воспринимаемых арматурой,
взятых относительно линий 1—1 и 2—2:
Mi = j Hr^y'ido + J AfnrIBd<p+ Jd<p j T'nt^ds +
0 0 0 0
+ J do j T22t2Ids+ J do j T'nt^ds + J d<f J 7"24/4Ids; (7.6)
0 0 0 0 0 0
2к 2k
Л12 = J Hr„y2do — J 7И;2г2н^'-?+
6 0
2тс г>:1 2k s4
-K [ do T^t^ds + J do j T2it^ds.
6 0 0 0
(7.7}
в. Разрушение no меридионааьно-кольцезой схеме типа II
Кольцевые пластические шарниры располагаются в таких
сечениях, при которых на разрушение купола потребуется наи-
меньшее усилие. Разрушение по нижнему контуру, как было до-
казано ранее, произойдет по линии 3—4 (рис. 75).
129
Рис. 75
130
Напишем выражения для моментов, воспринимаемых арма*
турой, взятых относительно линий 1—1, 2—2 и 3—3:
2л 2л 2л 5,
УН? = 5 Hr&yxdv 4- J 7Wur1B^+ J d<? j Tntnds +
0 0 0 0
2л s2 2л 5з
+ J do J T^xds + j dy j 71з*з1^+
0 0 0 0
2л St, 2л
+ f T^t^ds — j (7.8)
0 0 0
2л 2rc 2л
-Ml = f //r3Hy2ds - j - f jM,4r«rf<p 4-
обо
2л 53 2л
+ j rf'fj Tut^ds + ( d<f j r^jrfs;
0 0 0 0
2л
7Из= — J M^r^dy.
Шаровой купол. Рассмотрим шаровой купол при мери-
дионально-кольцевой схеме разрушения типа II (рис. 76).
131
Определим вначале вспомогательные величины
Пв = Rb sin 6р r1H = vA>B sin 6р
г2в = RB sin 62; ^2н = ''Rb sin 62:
^4в = Rb sin 64; г3н = v7?B sin 63; r3B = 7?B sin 63;
У J ~ Rh cos — 7?H cos 63 = v7?B (cos 6j — cos 63):
У2 = Rb (cos 62 — v cos 63);
Si = ^b(£2-M; *2 = ^2-^);
s3 = vT?B(e3-e2); s4 = /?B(e3-y;
<tl = (cos Ц- ^-*ine'); t2t - 7?B(vcosE.- )
\ 62 — 61 / \ 62 —61 /
<3i=<?»cosE1-(/?H-43) cos^-ib=v/?B(cosE1 — S‘n^-.SH!A\
2 \ 63 — 62 /
= Лв(vcos^-sin^~rsin4 ; /42 = <?B (cos E2 - si-ne<-sin^\
\ 64-62 / \ 64 — 62 /
<32 == <?b COS E2 — (/?„ — 43) COS =
n / t sin ё3— sinfc2\
= /?в(с°и2-------
где
( 281пЦ^Л
Ha = ^V--------Г-ZT-/
Момент, взятый относительно линии 7—1:
Mi =2K^B[^v27^BsinB3(cos^ —cos^3) 4-7W11sin^1+ Лг/’/?в(£2 — У X
x(cosS1-sinXBin£')+ -W x
X (vcos ?! - sln52-sine,\ + T^2Rts ($3 _ у x
4 62 — 61 /
x (cos ?! - sin^-sinfe\ + r24/?B($4-e2)x
X 63 —62 /
X (vcosg, - sin sin 4 - 7HMsin d. (7.10)
X 64 — 62 / J
При одинаковом кольцевом армировании, а также при одина
ковом меридиональном армировании на всех участках купола
будем иметь
М\ = 2^в [//v2/?B sin 63 (cos 61 — cos 63) + (sin — sin 64) +
+ T2^Rb fe - E,) (cos E, - sin53-^.\ +
X €3 61 /
132
Момент, взятый относительно линии 2—2:
М* = 2к7?в [/Л7?в sin В3 (cos В2 — v cos В3) — M'12v sin S2 +
+ 7'^Rb (E3 - W (cos E2- V +
\ 43 42 /
+ & - У (cos E2 - sin.^Ts?ny_J4Hsin E41. (7.12)
\ C4-- Z2 / J
Момент, взятый относительно линии 3—3:
Ml=- sin B4. (7.13)
Для нетолстостенных куполов в целях упрощения расчета
приближенно можно полагать, что образование нижнего пласти-
ческого шарнира произой-
дет не по горизонтальной
линии 3—4, а по радиаль-
ному направлению 3—11.
В этом случае во всех при-
веденных выше выраже-
ниях значения углов бу-
дут равны £з, а также
г4в = г3в, вследствие чего
формулы несколько упро-
стятся.
Шаровой купол с
шарнирными верти-
кальными опора iM и.
Рассмотрим купол, шарнир-
но опертый по центральной
пинии контура на верти-
Рис. 77
кальные опоры, при мери-
дионально-кольцевой схеме
разрушения типа I (рис. 77).
Геометрические величины
/?„ sin Ео; = 7?, (v cos Ei — cos Ео) ;
У г — Rb (cos Е2 — cos Eoj; s3 = (Eo — E2); = Rb (So — У;
^Rb (cosE,-Si,1;-- tlSj; ‘21=Rb (v cose,- sin^y-);
«31=v7?, (cos E, - - Rb (v cos Е,— ;
tK = RB (cose2- . ti2 яв zcosB2 .
\ --*2 / \ *0 42 /
A'iB = 7?BsinE1; r2H = vA>B sin B2.
133
Момент арматуры, взятый относительно линии 1—1:
7И?=2*Л?в[/7 2±L^BSin C0S^_2±l cos
+ Mu sin B, + T21JRb (B2 - B,) (cos B, -
\ c2 — f
\ 'г n ft- ? \ ( ?- sin &>—sin еЛ ,
+ ТггЯЛЪ — B^iVCOsBj--------; - -—i +
\ Ea 4 /
+ T'^R, Go - B2) (cos В. - sine°-stln4 +
+ TURB(Bo - B2) (v cos В,- S-n^7')]- (7-14>
Момент арматуры, взятый относительно линии 2—2:
Мъ= 2эт7?в р/ Rb sin (cos Е2 — -Vy1 cos Eoj —
- ag2v sin ъ + t'23-<rb (bc - вг) (cos b2 - v +
+ TMRB Go - у (cos Ъ - sln ~sin-4 (7.15)
\ to — E2 /
При одинаковом на всех участках купола кольцевом и мери-
диональном армировании будем иметь
Mi=^ 2тс/?в Re sin £о cos Ех — ~у“ cos Ео) 4-
4* Л4ц sin Ej 4~ Т2НЪ (Ео — EJ X
xju + vhcos^-u + ^)-1п--в£^-‘]}- (7-14')
М‘= 2t.Rb (// RB Sin Bo (cos2 — cos Bo) — sin B2 +
+ Go~ У [(Hv) cosB2-(l +v;)Sinj2^-£?]}- (7-15')
Если кольцевая арматура на участке Ei — EJ отсутствует как
с наружной, так и с внутренней стороны, то последние формулы
принимают вид
Л1?= 2ж/?в {// RB sin Ео (vcos Bj — -pp- cos Bo^ + Afn sin Bj -f-
г г sinfco—sin Ei ъ
+ T2R„ (io - У (1 + v) vcos B, - (1 + о---------------?----;
L Eq - El J-'
134
Ж= 2тс/?в 7?в sin Во (cos В2 — cos Во) — sin В2+
+ ЛЯВ Go - U [(v + 1) cos е2 - (1 + v2) S1--{ozy-2]) •
3. Определение внутренних усилий в куполах
с одиночной арматурой
Поскольку часть экспериментальных куполов выполнена
одиночным армированием, то следует вывести зависимости для
такого вида армирования. Рассмотрим различные схемы разру-
шения куполов под действием вертикальной нагрузки Ру прило-
женной по некоторой поверхности в вершине купола.
а. Разрушение по меридиональной схеме (рис. 78)
Выразим радиус наружного кольцевого пластического шар-
нира оболочки RH через радиус срединной поверхности купола
Определим момент М
вопринимаемый арматурой,
взятый относительно пластиче-
ского кольцевого шарнира
1—1:
2% 2-гс
Ml = j Hroyidv + J +
о о
2x E„
+ i d<f f T2fa (Л?1Я cos?! —
0 t,
— 7?e cos6)dfl.
Для шарового купола бу-
дем иметь
Ml = 2тгИР2 sin Воо (TjH cos Bj—
— cos Boo) 4-
2гУИп7? sin Bj-h 2т/?2 Л (tqh cos B2 — cos 0) dO.
Изгибающий момент от внешней нагрузки Р
Mi = PR (sin Во — tqh sin BJ.
.135
Приравнивая М* и Aff, получим значение силы Р:
Р = . 2л/?------ \н sin ЕОо cos е, — cos $00) +
Sin & — /)н Sin е, (
+ cos?,- sineoT-,L sine,]). (7.16)*
б. Разрушение no меридионально-кольцевой схеме типа I
(рис. 79)
Выразим радиусы наружного кольцевого пластического шар-
нира Лн и внутреннего кольцевого пластического шарнира 7?в
через радиус срединной поверхности купола 7?ср:
Rh Rb ^IbRcp'
Рис. 79
Определим моменты уц* и
М*, воспринимаемые арматурой,
взятые относительно кольцевых
пластических шарниров 1—1 и
2—2:
2х 2т
Mi= ^Hr^'idv 4- J Mnr\d® +
о о
2т %
+ т*2/?в (/?,„ cos е, —
о е,
— 7? 6 cos 6)d6;
12т 2т
Лй=’$ НгьУ'Ач— j 4-
,о 6
2т £0
+ $ М cos е2 - 7?е cos 0) de.
_ 0 Е,
Для шарового купола будем иметь
Mi = 2r.HR2 sin Воо (^н cos Bj — cos Boo) +
^OT
+ 2*MURsine, + 2W?2 J 7’J(-r|Hcose,-cos0)d6;
Ei
Ml = 2kHR2 sin B00 С7]» cos B2— cos Boo) —
- 2TzMaR sin e2 + 2®/?2 J T’2(TlBcose2-cos0)d6.
Es
* Значения В»#; Вот и В* см. на рис. 128.
136
Изгибающие моменты от внешней нагрузки Р
Mi = PR (sin Во — sin BJ; М2 = PR (sin Bo — ^B sin У •
Приравниваем моменты от внешней нагрузки и моменты, вое
принимаемые арматурой (при постоянном кольцевом армирова-
нии):
Z- (sin 50 — т1я sin у = Я A sin 500 (i)H cos — cos 500) + Af „ sin 5t +
+ RТ~2 h„ (Еот — t 1) cos 51 — sin У + sin 51];
£- (sin 50 — т1в sin 52) = HR sin 500 (tjb cos 52 — cos 500) —
Z7E
— Ah2 Sin B2 + R T2 [tqb (Вог — У cos B2 — sin B0T + sin B2].
Определяя из этих зависимостей значения HR sin Воо
и приравнивая их, находим зависимость для определения Р:
Р ( sin Go — тн sin Si sin Go — '% sin B2 \ _ Mu sin Gi
2tc 't]h cos Gi — COS Goo TQB cos 82 — cos Goo' T]n COS 51— cos Goo
Af19 sin G2
4-----------------------F R T 2 X
7]B cos G2— cos Boo
41 (^OT—£1) cos 51—sin GoT-J-sin Ei __ ^b(Sot~B2)cos G2~sin G0T+sin GJ ^y
7]H cos Gi — COS Goo cos G2 — cos Goo J
r1B cos G2 — cos Goo
в. Разрушение no меридионально-кольцевой схеме типа II
(рис. 80)
Mf
Ез+Е*
Выразим наружный радиус кольцевого пластического шарни-
ра оболочки R„ и внутренний радиус RB через радиус средин-
ной поверхности купола Rcp:
^?н === ^1н-^ср> Rb =z ^laRcp’
Определим моменты УИ|, М$ и Мз, воспринимаемые ар-
матурой, взятые относительно кольцевых пластических шарниров
1—Л 2—2 и 3—3:
2к 2it 2тс
= J + f + J d<f X
0 0 0
~2~ 2л
X $ 7’2/?e(/?i„cos5i —/?ecos8)d0 —f M18r34/<f;
5| 0
2л 2л 2л
Ж2= J Яг3ву2^ — J М12гу1<р — J Af13r8d? +
0 0 0
2л 2
-bjtty J (А?2в cos В2—/?е cos 6)^6;
137
2к
7Из=— f Mwr3d<f.
О
Для шарового купола будем иметь
7И? = 2-п://7]н7?2 sin В3 (cos — cos В3) + 2к/Ип/? sin —
2
— 2тг7И137? sin — + 2тг/?2 J Т2 (iqH cos £1 — cos 6)
7I41=2t://^2tqh sin B3 (t/bcos B2—
—vjH cos B3) — 27г7И;2^ sin B2 —
- 2^13/? sin ^±^-4 4-
Ез+е*
+ 2тг/?2 J r2(iQBcos^2 —
— cos 6)d6;
Ml = - 2~/И13/? sin
При равномерной коль-
цевой арматуре имеем
2
j1 Т2 (т]н COS ?! — cos 6) rf6 =
= ^^„cosf, —
5 T'st’iDCosEj—cos6)(Z6 =
= T2 hB cos E2 — sin 4- sin E2
Изгибающие моменты от внешней сосредоточенной силы Р
Mi =Р (/?3н sin £3 — /?1н sin Bi) = PRt1h (sin B8 — sin
M2 = РД hH sin В3 — т]в sin В2).
138
Приравниваем моменты от внешней нагрузки и моменты, вос-
принимаемые арматурой:
— т]н (sin S3 — sin SJ = sin S3 (cos — cos S3) + sin —
2к
- М13 sin + RT, - $,) cos 1,- sin ш +sin $,];
— (% sin $8—1% Sin R-ila sin $3(-% cos $2—1% cos $8)— AfJ2sin $2—
2?t
- MI8 sin + R T2 [t)b cos $2 _ $2) _ sin ш + sin $2].
Определяя из этих равенств значения /У\н/? sin S3 и при-
равнивая их, находим выражение для определения силы Р:
(\ т • е >» . ^з“Ь^4
\ /Иц sin Sj —Л113 sin —-—
sin S3— sin Si _ т1Н sin S3 — -qB sin S2 | _ __________________2
COS Si— COS S3 TQb cos Sa — ''Qh COS J riH (cos Si — cos S3)
Af13sin £3-~~£- -|- M12 sin S2
------------------------------------p
7]B cos s2 — V]h cos S3
Г /^з +Л e \ e . £3 + ^4 . ,
,/]h \ 2 ~ J C0S ~ S1U "^2— + Sin
L (cos Si — cos S3)
/S3 4~ 64 \ ► . £3 + 64 -]
T,B \—2— “ / C0S ~ Sin —2— + Sln
7]B cos S2 — Чн cos S3
(7 18)
4. Хрупкое разрушение куполов
Расчет железобетонных оболочек в случае хрупкого разру-
шения не может быть выполнен по методу предельного равно-
весия, так как применение этого метода возможно только при
отсутствии в системе хрупких элементов. Тем не менее при рас-
чете железобетонных оболочек по методу предельного равнове-
сия необходимо знать хотя бы границу применимости этого ме-
тода, т. е. тот предел, при котором вместо пластического плав-
ного разрушения возможно резкое хрупкое разрушение. Поми-
мо потери устойчивости (разрушение, от которого в настоящей
работе не рассматривается), хрупкое разрушение куполов воз-
можно от разрушения по наклонному сечению и от раздробле-
ния сжатой зоны бетона. Рассмотрим вначале разрушение купо-
лов по наклонным сечениям.
139
а. Разрушение no наклонному сечению
Разрушение куполов по наклонному сечению происходит
вследствие образования наклонной трещины с внутренней сто-
роны купола вблизи места приложения внешней нагрузки Р. На-
клонная трещина, проникая все глубже в тело бетона, оставляет
небольшую нетронутую зону сжатого бетона, которая, наконец,,
неожиданно и хрупко срезается. Образованию и раскрытию на-
клонной трещины во всех случаях проведенных испытаний всег-
да предшествовали образование и раскрытие меридиональных
трещин, а затем и трещин кольцевых пластических шарниров.
Не было ни одного случая, чтобы разрушение по наклонной по-
верхности произошло без предварительного образования и рас-
крытия вначале меридиональных, а потом нормальных кольце-
вых трещин.
Описанный характер образования наклонных трещин по ко-
нической поверхности указывает на то, что причиной их появ-
ления разрушения является не только поперечная сила, а в зна-
чительной мере на это оказывает влияние и изгибающий момент.
Сопротивляемость наклонного сечения разрушению зависит от
величины раскрытия наклонной трещины, которая в свою оче-
редь зависит от величины раскрытия трещин в кольцевых плас-
тических шарнирах, а они зависят от величины и характера
меридионального и кольцевого армирования, изгибающих мо-
ментов и нормальных сил.
В некоторых опытах наблюдалось, что при значительной на-
грузке продавливания не происходило. По мере же развития де-
формаций нагрузка начинала падать и при этой, уже меньшей,
нагрузке происходило продавливание по наклонному сечению.
Таким образом, на основании изложенного прочность по наклон-
ному сечению не может быть определена только в функции от
размеров сечения, предела прочности бетона, проекции наклон-
ной трещины на ось конструкции и некоторого коэффициента К,
который для балок принимается равным 0,15. Но поскольку в на-
стоящее время отсутствует теория прочности бетона и даже для
балок не имеется теоретически обоснованной зависимости для
прочности по наклонному сечению, то приходится остановиться
на тех эмпирических зависимостях, которые в данное время при-
меняются при расчете железобетонных балок. Проф. А. А. Гвоз-
девым и канд. техн, наук М. С. Боришанским при расчете балок
предложена формула для поперечной силы, воспринимаемой бе-
тоном:
где X — коэффициент, принимаемый для балок равным 0,15;
с — проекция длины наклонной трещины на ось балки.
140
Преобразуем формулы Гвоздев а — Б оршанского примени-
тельно к куполам (рис 81);
bh^Rwn . bh^Rnm blh^R^m
(J л = Л-----= Л-----------= Л---------------
с Z cos (04— 4») Z3 cos (04 — ф)
Значение Ы для купола будет боковой поверхностью усечен-
ного конуса, по которой происходит разрушение по наклонному
сечению. Поэтому
bl = id(R + r).
Подставляя это значение Ы в выражение для Q6, получим
ЧЯ4-г)ЛоЯит
че — Л --------•
I cos (04 — ф)
Так как
I cos (04 — ф) = /?в.о sin (а0 — Ф) + /?н.о sin (ф — а) =
= /?в.о [sin (а0 — Ф) 4- v0 Sin (Ф — а)] = /?в.о (1 4- v0) sin
и
R 4- г = 7?B.o(sin а0 4- v0 sin а),
л (sin а04- sin a) h^Rum
Q6 Л-------------------------,
а0 — а
(1 4- v0) sin —-—
где
141
В куполах неудобно пользоваться значением ho, так как
иногда в зоне скалывания совершенно отсутствует арматура или
же она стоит по срединной поверхности купола. Поэтому удоб-
нее иметь формулу, содержащую не h0, a h. Но в этом случае
коэффициент К изменится, поэтому обозначим его через Хо, и
формула для Q6 примет вид
Q6 = Хо ^^/nCsinao-t-v0 sin а) 1
ап — а
(l+v0)sin~^
Выражение для зависит от углов а и а0. Значение угла а
чаще всего бывает известно при нагрузке, передающейся через
жесткий штамп. Это угол соответствующий контуру этого
штампа. Значение же угла а0 будет зависеть от того, попадают
ли в косое сечение хомуты и отгибы. При отсутствии их для вы-
пуклых куполов наименьшее значение Q6 будет при наибольшем
возможном значении а0.
На основании изложенного видно, что отыскание положения
наклонной трещины в случае постоянной поперечной силы Q от
внешней нагрузки и при отсутствии хомутов и отгибов не пред-
ставляет затруднений. Для этого надо при известном значении а.
провести из точки b (см. рис. 81) возможно более пологую, для
данного очертания купола, прямую Ьа. Полученное значение
угла а0 даст наименьшее возможное для данного купола значе-
ние Q6. По этому сечению ab и пройдет наклонная трещина, если,,
как было указано ранее, значение Q от внешней нагрузки по-
стоянно или даже возрастает по мере увеличения угла а0, а в.
куполе отсутствуют хомуты и отгибы. При обычных нагрузках
поперечная сила Q меняется с изменением угла а, поэтому поло-
жение наклонной трещины будет -связано с характером изме-
нения Q. Перейдем к отысканию значений •поперечной силы Q
для различных схем разрушения.
Определение поперечных сил. Отыскание значений
поперечных сил для системы, не находящейся в стадии разруше-
ния (по одной из рассмотренных ранее схем) по методу предель-
ного равновесия, невозможно, так как если не наступило разру-
шение, то усилия не достигли предельных значений, а следова-
тельно, их величины неизвестны. Поэтому с расчетом на действие
поперечной силы по методу предельного равновесия приходится-
поступать следующим образом. Определяют из возможных схем
разрушения самую невыгодную (такую для разрушения, по ко-
торой требуется наименьшая внешняя нагрузка), находят для
нее поперечную силу Q и по формуле для Q6, если известно^
значение Хо, проверяют не возможно ли преждевременное разру-
шение от действия поперечной силы Q.
Для нахождения поперечной силы в каком-либо сечении с
углом а возьмем уравнение (V) формулы (4.5):
142
(V) (Лш + v2w T'J /?2w sin w sin (co — a) — Qa7?2a sin a 4-
co
+ Qco/?2co sin cd cos (co — a) 4- J (T2 4- vieT'2\ pw sin ad6 4'
a
+ $ (92+ R* sin cos (5 — a) di + J x:
i, i.
X T?2? Sin sin (B — a) t/B + (P2 + ^2<p P2) А’гф sin ф cos (ф — a) 4-
4- (Pi 4- *2ф/^) ^?2ф sin ф sin (ф — a) = 0,
которое для шарового купола, загруженного только одной вер-
тикальной нагрузкой Р, примет вид
(V) (Г1Ш + vTJJ sin cd sin (cd — a) — Qa sin a 4-
4- sin cd cos (cd — a) 4- J (Г2 4->7^) sina^e=0*
a
Если T2 и T2 постоянны, то будем иметь
(V) (Г4~ sin cd sin (cd — a) — Qasin a 4- Qw sin cd cos (cd — a) 4-
4- (cd — a) (T2 4- T'2) sin a = 0.
Определяем отсюда значение Qa:
/П /Т1 i V л Sin a) sin (w — a) .
Qa=(7\» + v7\J----------;-------h
sin a
I /~\ Sin Cl) COS (<1) Cl) / T' I T''\ / A
+ Q„---------------’ + (Г2 + vZ ) (Ш — a),
sin a
Применим полученное выражение к различным схемам раз-
рушения. Ранее были найдены для и Qw (§ 5 в)-
выражения
Т^ + чТ'1ш= -£- -/bcos о>;
Лик
Подставляя эти значения в выражение для Qa, получим
Qa=//vsin<D —-pcos.a. 4-(0) — а)(Лт vF').
sin a
Для меридиональной схемы разрушения выражение для Qa.
в обозначениях, принятых в настоящей главе, будет со знаками,
соответствующими принятому направлению силы Q6;
Q. =ЛС08а - sin - (Л + vT'2) (Е„ - а). (7.20)
2itR sin а 2
14а
Для меридионально-кольцевой схемы разрушения типа I вы-
ражение для Qa будет такое же, как и для меридиональной схе-
мы разрушения. Для меридионально-кольцевой схемы равруше-
шения типа II выражение для Qa будет 'иметь вид
Q.=4^ - sin -4 • <7-21)
2тгД sin а \ 2 /
По найденному значению Qa, приходящемуся на единицу дли-
ны периметра, можно найти полное значение поперечной силы,
приходящейся на всю окружность, а именно:
Q = sin a. (7.22)
Если значение Q<Q6, то это значит, что разрушение по на-
клонному сечению не произойдет.
б. Разрушение от раздробления сжатой зоны бетона
Для определения предельного состояния, при котором кон-
струкции может грозить хрупкое разрушение от раздробления
сжатой зоны бетона, воспользуемся уравнением (IV) формулы
(4.4) —проекцией всех сил на меридиональное направление:
(IV) (Г1а+?2аГ'в) /?2aSina—(Fico-l-v^r'J sin(у7?2ш cos (w — a) +
to
+ Qw7?2cd sin co sin (<o — a) 4- J (T2 Д- T'2) cos adO 4-
a
4
+ J (?2 -F ') /?2-: sin Sin (£ — a) dt —
e,
4
— J (71 + Sin К cos 0 — a) dk Д- (P2 + X
E,
X Т?2ф Sin ф sin (ф — a) — (Pj -J- Ргь sin ф cos (ф — a) — 0.
Это уравнение для шарового купола с одной только верти-
кальной нагрузкой Р примет вид
(IV) (Ла + ^Г^) sin a — (Л«> 4- vFJJ sin <o cos (ш — a) 4-
4~ Qw sin a) sin (<o — a) 4- J (Г2 4- vT’2) cos adb = 0.
a
Если T2 и T2 постоянны, то будем иметь:
(IV) (Ла + v7Ja) sin а — (Лео 4- sin и cos (<о — а) 4-
4- Ош Sin a) Sin (ю — a) -j- (<d — а) (Г2 + vT^) COS а = 0.
144
Подставим сюда ранее найденные значения для (ritD 4-'^<0)
и Qco,
а именно
т 1ш+ чТ'1т= — — /Л cos о>;
Qu = /Л sin gj--------
2nR
COSOJ
sin co
И получим
p
(Tia 4- v?'a) sin a 4- —— sin a -j- /Л sin <o cos a 4-
+ (co — a) (r2 4- vT'2) cos a = 0,
откуда
P г т • COS Ct / *7^ I *7-4r \ f \ COS Ct
^Tla=-——fi4sma-------------(T’s 4- »Г ) (<o — a.)--Tla.
2nR sin a z sin a
Для меридиональной и меридионально-кольцевой схем раз-
рушения типа I в обозначениях, принятых в настоящем парагра-
фе, будем иметь
Р тт V 4- 1 . г COS g,
-----Н —4- smL —
2tzR-2 sing,
- (Л+ (?о - У — I - Тк, (7.23)
sin g.
Для меридионально-кольцевой схемы разрушения типа II
будем иметь
^=-24-^-Ч-й-(7'2+^)х
X /£jL±J1 _ ? V_£_s1j _ у (7.24)
\ 2 /sin g.
Если в пластическом кольцевом шарнире 1—1 имеется верх-
няя учитываемая сжатая арматура, то сила сжатия бетона £)б бу-
дет
D6=T'K — D'a, (7.25)
где D'& ~ F’&Ram — сила, воспринимаемая сжатой верхней ар-
матурой, расположенной на единице длины
кольцевого пластического шарнира 1—1.
Определив значение £)б, можно найти положение нейтраль-
ной оси
D пб
V =---------------------------- = ---4_
Е'сли Ло = г/(1—0,5и) < 0,5—, то это значит, что имеет место
5 о
внецентренное сжатие с большим эксцентрицитетом, при кото-
ром отпадает опасность хрупкого разрушения рассматриваемого
шарнира.
Усилие в сжатой арматуре D'a может быть введено в расчет,
если значение ^>2-—•
h-0
145
5. Определение усилий от нагрузки
Определим внешние изгибающие моменты в рассмотренных
выше схемах разрушения для некоторых частных случаев загру-
жения нагрузкой.
а. Нагрузки от собственного зеса купола
Для определения изгибающих моментов от собственного веса
купола вначале найдем некоторые вспомогательные величины.
Объем тела вращения (рис. 82) может быть вычислен следую-
щим образом:
Рис. 82
dV = Rdt Rdvsint,^- R = -i- R^dy sin £ dk,
2u e2
V = — J df j Rs sin WL (7.26)
3 0
Объем части шарового купола (рис. 83) будет
V = у * (/?н.о— /?1о) (COS 5, - cos у. (7.27)
где 7?н.о и 7?в.о—радиусы наружной и внутренней поверхностей
оболочки.
Для определения изгибающих моментов от собственного веса
купола введем понятие о моменте объема тела вращения 0 , под
которым будем понимать интеграл произведения элементарных
объемов тела вращения на расстояния их от цилиндрической по-
верхности, относительно которой берется момент (рис. 84).
146
dV dRR sin Ы <?R dl\
0,= sin E — 7?] sin Ej) = Щ (tf’sin^-fl^iSinfeinEJX
X dR d<f di = 2т. J f (7?з sin- 5 _ R?Rt Sin E sin E,) dR di. (7.28)
Для шарового купола имеем
е, - 2т. (А. (T?L~ /?в.о) [ А (Е2 - Е,)~ -A sin 2E2-i - A sin 2Е,1 +
(4 [2 4 4 j
+ А- (7?3.О — /?3В.О) R, Sin Е, (cos Е2 - cos tt)k (7.28')
Рис. 84
где /?н.о и /?в.о — наружный и внутренний радиусы оболочки
вращения
при ^==0- и £2 180" имеем 0 = -2 (А’н.о —/?в.о).
Без понятия о моменте объема трудно определить значения
изгибающих моментов от собственного веса купола. Значение из-
гибающего момента от собственного веса купола зависит от ве-
личины участков, на которые расчленится купол при его разру-
шении, вследствие того, что расстояния от центров тяжести этих
участков до цилиндрической поверхности зависят от углов Д<р
между меридиональными трещинами (рис. 85).
Введя понятие о моменте объема, будем получать путем ум-
ножения его на объемный вес максимальное значение изгибаю-
щего момента. Максимальное значение получается потому, что в
само понятие вложено представление о бесконечно малой вели-
чине Дер.
Для реальных схем разрушения изгибающие моменты, вы-
численные указанным способом, имеют некоторый избыток, ко-
торый постепенно исчезает по мере увеличения числа членений
купола при его разрушении. Так, например, для купола в виде
сплошной полной сферы, имеющей при разрушении одну только
147
0
сквозную диаметральную (меридиональную) трещину, этот из-
быток будет (при ^»0°и £2=180°) равен
------------ = 1,57.
4 3
Избыток в данном случае равен 57%, но он будет быстро па-
дать по мере увеличения числа меридиональных трещин и сведет-
ся к нулю при бесконечно близком их расположении.
Определим объем и момент объема для участка купола, изо-
браженного на рис. 86:
Из
V = J (/?1о- 7?3в.о) Sin - Д1/;
г. 3
^н.о Е3
©2 = 2к J j(/?8sin2£-/?2/?2sin?siny WS-A0. (7.29)
^?В.О ^2
Здесь Д1/иД0— объем трехгранного кольца ABD и
мент.
Для шарового купола будем иметь
V = у * (/?’„ - (COS Е2 - cos У - Д1А
его мо-
02 — 2*к (/?„.»
(16
7?в.о) [2(^з В2) sin 2В3 -|- sin 2£2]~
(7.30)
+4
О
A’!©) R2 sin В2 (cos В3 — cos Н2) | — ДО.
148
Для определения изгибающего момента от собственного веса
тонкого купола удобно воспользоваться понятием о статическом
моменте W поверхности части купола относительно его внутрен-
него контура. Элементарная поверхность и элементарный мо-
мент поверхности будут (рис. 87)
dS = R sin dB;
dW = dS (R sin В — 7?i sin BJ.
Поверхность купола
S = J J^2sinEd<p^ = 2it J R2sin WL
о e,
Для шара будем иметь
5 = 2vR2 (cos — cos B2).
Момент поверхности купола
1Г,= $JdS(/?sinij - 7?1sin$1) ==
= J [ R2 sin I; (R sin 5 —
— /^sinBJd® dt.
Для шара будем иметь момент
поверхности
П71=2тс/?3 (sin2 В—sin В sin BJdB=
= ~ ™R3 [2 (£2 — Sj) — sin 2 Bx —
— sin 2B2 -|- 4sin Bi cos B2.
Меридиональная схе-
ма разрушения (см. рис. 70).
Изгибающий момент от собственного веса купола, взятый от-
носительно кольцевого пластического шарнира 1—1, выразится
М?
1J14 ^-6^=7
— (7?н.о
6 о
7?lo) sinBdB—
^н.о£>
-2< J J (R3 sin2 5 - R2R, sin е sinejdTfrS
^В.О
(7.31)
Для шарового купола будем иметь
7M? = 7{y^b(7?h.°
- 7?в.о) (1 - cos
W sinvein5'
149
- - Я4в.о) [2 ($0 - ?.) + sin 25, - sin 2?0]-
О
—sin 8i (7Й.0 — 7?B.o) (cos So— cos Q ). (7.3Г)
° j
Для тонкого шарового купола
Afi = q [36% — ^2(1 — cos Bo) (sin £0 — sin —
- (% - 51) + -y <sin 2et + sin 25o) - 2sin cos EoJ. (7.31")
Меридионально-кольцевая схема разрушения
типа I (см. рис. 74). Изгибающий момент от собственного
веса купола, взятый относительно кольцевого пластического
шарнира 1—1, выразится:
7И? = 7 (l/fc, - ©(’) = 7
A?B.0)sinW$—
Во
- V “ Я4в.о)8!П2ВЛ+
Во ]
+ -г^1н J (/?3н.о - 7?3B.o)sin^ •
3 в, 1
Изгибающий момент /И?, взятый относительно
пластического шарнира 2—2, будет
Во
= Т — кх2 (7?н.о — /?в.о) Sinfrft—
6
Во
2 Во
Во
Ч----7“ "Г2в | (Ан.о Ав.о) sin?d?
3 &
(7.32)
кольцевого
(7.33)
Для шарового купола будем иметь
All = 7 (у */?в(/?н.о — 7?в.0)(1 — cos£0)pL±l Sin ?0- vsin^ j-
(XL - Яв.о) [2 (Ео - ?,) + sin 2^ - sin 2£0] +
+ -у «7?в sin (7?3„.„ - /?в.о) (cos ?! - cos ?0)j ; (7.32')
ЛП = 7(4-"Яв(/?1о-<о)(1-со8 5<)) sin ?0 —sin М-
(и \ Z /
150
- 4 * (^io - tfl.o) [2(E0 - У + sin 2S2 - sin 2f„] +
О
-r Sin $2 — /?B.o) (COS S2 — COS
(7.33')
Для тонкого шарового купола
7И? qr^ [2(1— cos Bo) i sin Bo — sin — (£0 — 4-
+ ~(sin 2^4- sin2£0) —2sin cos BoJ; (7.32")
Af2 = <7^312 (1 — cos Bo) (sin e0 — sin £2) — (Bo — B2) +
+ -i- (sin 2£2 4- sin 2?0) — 2sin B2 cos Ц.
(7.33")
Меридионально-кольцевая схема разрушения
типа II (см. рис. 75). Изгибающий момент Ml от собственно-
го веса купола, взятый относительно кольцевого пластического
шарнира 1—1 будет
Af?=T[v^x1-eI;] =
— -TCXj $ (7?н.о — /?в.о) Sin ЫЪ — &VХх —
. 3 О
= T
- 7?4B.o)sin2^-i-40 +
+ 1W1, J - <0) sin MS +AV7-,,, •
Изгибающий момент относительно шарнира 2—2
Л4? = т [Vfc2- 0(*] =
(7.34)
ьз
4 1 (/?!„
d 6
7?в.о) sin — Д1/л2 —
<!3
- 4 « ((/?н.о - /?в.о) Sin2 SdS +де +
2 ci
4—77г2в (7?н.о /?в.о) sin Д17г2в -
3
Значениями Д1/ и Д0 в первом приближении
пренебречь.
Для шарового купола будем иметь
(7.35)
можно
ЛЛ= 7 — ^в о)(1 — cos У (sin S3 - sinS]) —
151
- 4- * (AL - /?в.о) 12 (£3 - У + sin 2$, - sin 2У +
О
+ -у sin *1 - ^») (cos - cos У]; (7-34')
Л4’ = f л/?в (/?1о — А1!») (1 — cos В3) (v sin — sin ?2) —
--4 я (7?io - AL) [2(Ез- B2) + sin2?2-sin 2B3]+
О
+ -|“ ”АВ sin% (/?к.о — Ав.о) (cos ?2 — COS у ). (7.35')
Для тонкого шарового купола
М = q^P3 [2(1 — cos В3) (sin В3 — sin — (В3 — У +
+ -i- (sin 2^ -{- sin 2В3) — 2sin cos В3]. (7.34")
Ml =q«R3 [2(1- cos B2) (sin B3- sin B2) - (E3 - У+
+ -~(sin 2B2-|- sin 2B3) — 2sinB2 cos B3]. (7.35")
б. Сосредоточенная нагрузка P в вершине купола
Определим значения изгибающих моментов от сосредоточен-
ной силы Р, приложенной в вершине купола для рассмотренных
ранее схем разрушения.
Меридиональная схема разрушения (см. рис. 70).
Изгибающий момент от силы Р, взятый относительно шарнира
1, будет
Мр = PXl. (7.36)
Для шарового купола это выражение примет вид (см. рис. 71)
Alf = РРЪ 1 sin Во — sin (7.36')
Меридиональн о-к ольцевая схема разруше-
ния типа II (см. рис. 75). Изгибающий момент взятый
относительно шарнира //будет
Mpi = PXl, (7.37)
то же, относительно шарнира 2
Мр=Рх2. (7.38)
Для частного случая оболочки вращения — шарового купола
(см. рис. 76) — эти выражения примут вид
Mpi = PXl = Рчрс (sin t8 - sin У; (7.37')
152
M2 *= Рх2 = Р/?в (v sin £3 — sin У- (7.38')
Меридионально-кольцевая схема разруше-
ниятипа I (см. рис. 74). Изгибающий момент Alf от силы Р,
взятый относительно шарнира 1, будет
Мрх=Рх^ (7.39)
то же, относительно шарнира 2
М2=Рх2. (7.40)
Для частного случая — шарового купола (см. рис. 77) — эти
выражения будут иметь вид
Mi = Рхг = РРВ “ sin — vsiniQ ; (7.39')
A!2p = pA-2 = P/?B(^±lsin50-sin?2y (7.40')
6. Определение разрушающего усилия
Железобетонная оболочка может разрушиться от достиже-
ния в пластических шарнирах предельного усилия растянутой
арматурой или же от раздробления сжатой зоны бетона, а также
от продавливания ее по наклонному сечению.
Вначале определим разрушающие усилия из того условия,
что оболочка разрушается от достижения в пластических шар-
нирах предельного усилия в растянутой арматуре.
Из равенства внутреннего момента и моментов от внешних
нагрузок
М^Мч + Мр (7.41)
можно определить величину разрушающей нагрузки или же при
заданной разрушающей нагрузке — момент Л4а, воспринимаемый
арматурой, а по нему найти и необходимое армирование.
а. Шарозой купол при меридиональной схеме разрушения
Для шарового купола, нагруженного сосредоточенной силой
при меридиональной схеме разрушения при наличии недоста-
точного опорного кольца, имеем
sin + НРВ ^-y-^sin cos^— cos +
+ — U v c°s — sin^0 + sin +
Д- ^27?B[(^o —4) cosBj — sin^0 4- sin EJ} =
=-~+sin?°_ vsin4’
Kb \ * /
153
отсюда находим
2uAfn sin Si 2л T2RB [(6o — 61) v COS 61 — sin 60 + sin 61] ,
^+1 —+ +
—-— sin 60 — v sin 6i —~— sin 60 — » sin 6i
2% T'2^Rb [(6o — 6i) cos 6x — sin 6o + sin 6i]
7^1 “
—-— sin 60 — v sin 6i
2tzHRb sin 60 cos 6i — cos 60 j
1 57
sin — г sin
Ml
(7.42)
Rq I ~2~ (V Sin e°— ' Sin
При тонком куполе и кольцевой арматуре, расположенной по
срединной поверхности купола, а также при наличии недостаточ-
ного опорного кольца, будем иметь у = vx = у2 = 1;
Р = I TzR [(% — У cos В] — sin B0 + sin —
sin ?0 —sin (
-------1- MH sin + HR sin (cos — cos
(7.43)
б. Шаровой купол при меридионально-кольцевой схеме
разрушения mana II
Для шарового купола с нагрузкой от собственного веса и
сосредоточенной силой Р в вершине купола при меридионально-
кольцевой схеме разрушения типа II при одинаковом кольцевом
и меридиональном армировании будем иметь
(I) М = /И? + М ;
(I) H»2RK sin ё3 (cos — cos £3) 4- Mn sin — M13 sin £3 +
+ 7V?B(i;3 - ^)[(v + ihcose, - (1 + v2)sin + sinM =
L 63 + 6i J
Al?
= + T (sin^-sin?,);
Z/It
(И) Ma =/И?-1-M;
(II) HvRB sin $3 (cos Eg — v cos £3) — A112v sin — 7H13sin$3 +
+ TtRv fe - ?2) | (1 + v) cos (2 - (I I- ^) sin 7 *‘n =
154
(v sin S3 — sin 52).
2к/^в 2к
Определяем из (I) значение Н:
= р_________sin 6Э — sin 61___________।Ml
2kv/?b sin e3 (cos 6! — cos 63) 2тг/^ sin 63 (cos 6, — cos 63)
_ Mn sin — M13 sin 63 _ p €3 — 61 x
sin 63 (cos 6i — cos 63) “ ''2 sin 63 (cos 61 — cos 63)
[, . 1 > sin 6ч — sin 6i ”1
(v + 1) v COS — (1 + v‘)--------—--------j.
Определяем из (II) значение H:
j = р v sin Еэ — sin 62 J
2™/?Bsin 63(cos 62—^cos63) 2k/?2 v sin 63 (cos 62 — \ cos 63)
Mj2v sin 62 -Г M13 sin 63 63 — 62
:---------------------- / g ---------------------
y/?B sin 63 (cos 62 — cos 63) у Sin 63 (cos 62 — у cos 63)
X [(1 + v) cos e2 - (1 + sln6> ~sinfa 1.
L ?з — £2 J
Приравнивая значения H из выражений (I) и (II), нахо-
дим Р:
р Г sin63 — sin 61_______v sin 63 — sin 62 1 =
[(cos 61—COS 63) 2л/?в 2п/?в (COS 62 — cos 63) J
Mf
2^РВ (cos 62 — cos 63)
V (cos 61 — COS 63)
J__I_ Г ^M12sin 62-F M13 sin 63 Mu sin 61 — M13 sin 63 1 _
Pb L cos 62 — у COS 63 у (cos 61—COS 63) J
- T2[--------------- [(1 -4. v) COS e2 - (1 + V2) sing»-sin^ 1 _
l cos?, - cos e3 [' J
--------------[(1 +^)4СО8^ - (l+v2) sln ~ sin 61 -]l. (7.44)
Mcos^-coswL' 1 e,-e. JJ
После определения P величина И может быть определена из
выражений (I) или (II).
в. Шаровой купол при меридионально-кольцевой схеме
разрушения типа I
Для шарового купола, нагруженного нагрузкой от собствен-
ного веса и сосредоточенной силой Р, в вершине купола при оди-
наковом кольцевом и меридиональном армировании будем иметь
155
(I) Ml = Ml + Aff или
(I) H/?в sin Ec (v cos Sx— cos 50) -4-
+ Mn sin ?! + Z2/?B ($0 - {,) [(1 + v) v cos ^-(14-v2)?in^Z*‘nei
= 2L P + 1 * * * V Sjn J v sin H-;
2k I. 2 0 V 2*RB
(II) Ml= Ml + Ml ИЛИ
(II) H /?B sin 50 (cos $2 — 1 cos 50j — Af]2vsin ?2 +
-1- T\RB (Eo - У [(1 + v) cos ?2 - (1 + v2) sl"S»~sin4 =
L %0 %2 J
P /v+1 . c C\ i
= — - . sinL—sinL 4-----
2tc \ 2 ° 2) 2nRB
Приравниваем из уравнений (I) и (II) значения Н и находим
выражение для Р:
/^ + 1
/ —— sin 60 — v sin &
р -——
\VCOS 6, —--- cos £0
v cos £, — —-— cos
Рв COS ^2—
i +v) cos e2 - (i + v2)sin b’-.siiLM - ---------------
vcosg,— ‘^cost,
(1 + v) V cos Cj — (1 4- V2)
_j 27гЛ4п sin 45)
V cos El— cos So
Здесь £’ — угол, при котором окончилась кольцевая арма-
тура. В случае постановки одиночной кольцевой арматуры вели-
чину члена, содержащего значение Т2, следует принять умень-
шенной в два раза.
156
г. Усилия от внешней нормально и равномерно
распределенной по наружной поверхности шарового
купола нагрузки р (давление газа) (рис. 87)
Усилие dP, приходящееся на поверхность dS,
dP = pclS = p'PR2 sin В did®.
Полный момент «Л4П» от нагрузки «р» на шаровом поясе с цент-
ральным углом (Во — 6J, взятый относительно линии с углом
Мп = J J dP • vfl sin (? - ?,) = кРРрр [(?„ - £,) cos ?! +
4- cos2 Во sin Bi —cos Bt cos Bo sin Bo].
To же, для пояса (Bo — В2) —относительно линии с углом В2
МП = T^R*p cos £2 _[_ cos2 £о sin £2 — cos cos £о cos
Вертикальное усилие Ръ на шаровой пояс (Во — У
ръ == itv2/?2p (sin2 Во — sin2 BJ.
Горизонтальное усилие РТ на шаровой пояс (В3 — BJ
Р, = T^P2p j^3 —?!---Lsin 2?з+ -i-sinS^j.
Положение равнодействующей РГ определяется из условия, что
сумма моментов горизонтальных сил относительно центра сил
(Вц) равна нулю
2
— (sin3 63— sin3 Si)
cos ?ц =--------j--------j-----
Вз —61— — Sin 2бз+ —sin.26!
Горизонтальные опорные реакции и Г3 от силы Рг в кольце-
вых шарнирах 1 и 3 (рис. 76)
р ___ р cos 6ц cos с3
1 Г COS 61 — cos 6з
Г = р COS 6i — COS 6ц
COS 61 — COS 6з
Изгибающий момент Мр от нагрузки «р» для меридиональной
схемы разрушения, взятый относительно шарнира 1—1 (рис. 71),
ТИР = Ръхх — Ма = ^R^p {(~2~ Sin V Sin Sin2 ^°—
— v К^о — У cos Bi 4- cos2 Bo sin Bj — cos Bi cos Bo sin Boj}.
157
То же, для меридионально-кольцевой, тип 1, схемы разрушения
(рис. 77) для шарнира /—1
Мр = sin Во-v sin Ej) sin2 £0 —
— v [(Во — Bi) cos Sj 4~ cos2 £0 sin — cos cos £0 sin Ц}
и для шарнира 2—2
MP = ™2A>3p sin e0 — sin sin2B0—
— (Bo — B2) cos B2 — cos2 £osin £2 + cos £2 cos £0 sin Bo].
To же, для 'меридионально-кольцевой, тип II, схемы разрушения
(рис. 76) для шарнира 1 — 1
ТИР = РвХ1 Ма1 4- Г3у; — PpRB (cos — cos £ц) =
= Г^3Р^Р [sin3 £3 — sin -- (£3 — SO cos 4- cos cos В3 sin В3]
и для шарнира 2—2
ТИР = Рвх2 —МП2 +ГЗу2—PrRB (cos l2 — v cos £ц) =
= ™27?3р [v sin3 В3 —sin В2 — (В3 — £2) cos £2 4- cos В2 cos £3sin £3 +
+ ()3—Bi - -±- sin253+ sin25I)(cos ?2 -v cos Q cos^~cose“
\ 2 2 / cos cos e3
д. Круглая пластинка (рас. 72 и 73)
Момент 7И9от равномерной нагрузки «7»
= 2г<7 (т г°х* - ‘б’ "4 •
Разрушающее усилие от сосредоточенной силы «Р», приложен-
ной в центре пластинки при равномерной нагрузке q,
Р = = _ j) + Mt _ q^_ ^Xi _
при xi = r0 имеем Р == 2л[7ИХ — 0,333 qr о].
Здесь х-\ — расстояние от края пластинки.
§ 8. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ СПОСОБ РАСЧЕТА
/. Общие положения
В кинематическом способе расчета так же, как и в статиче-
ском, принимается, что деформации системы вплоть до исчерпа-
ния несущей способности остаются настолько малыми, что мож-
но пренебречь изменением геометрических величин системы, все
собственные элементы системы являются нехрупкими и, нако
158
нец, для системы в предельном состоянии соблюдаются неравен-
ства, выражающие «предельные условия».
В кинематическом способе расчета система рассматривается
в том состоянии, при котором благодаря образованию пластиче-
ских шарниров она превращается в систему с одной степенью
свободы, способной еще под влиянием наименьшего внешнего
усилия совершать движение как механизм.
Задаваясь величиной возможного перемещения, можно опре-
делить работу нагрузки и самой системы. Из равенства работ
нагрузки и системы на возможных перемещениях определяются
разрушающие усилия.
Определение схемы разрушения и мест расположения плас-
тических шарниров системы должно .находиться из условия ми-
нимума работы внешних сил на возможных перемещениях за-
данной системы.
Очень часто определять экстремальные значения функций в
кинематическом способе настолько сложно, а иногда даже и не-
возможно, что приходится прибегать к решению задач путем
последовательных приближений, при котором задаются наибо-
лее вероятными схемами разрушения.
Для каждой схемы задаются наиболее вероятным расположе-
нием пластических шарниров и определяют работу внешних и
внутренних сил. Из равенства работ этих сил определяется
внешнее разрушающее усилие.
Смещая последовательно места расположения пластических
шарниров, находят такое их положение, при котором внешнее
разрушающее усилие получается наименьшим. Это и будет то
наименьшее усилие, при котором система достигнет стадии раз-
рушения.
Применение кинематического способа к расчету куполов
выполняется исходя из следующих соображений.
Схемы разрушения куполов при кинематическом способе ос-
таются такими же, как и в статическом способе. Сохраняются
две основные схемы разрушения: первая — меридиональная (см.
рис. 37, б), переходящая в частном случае в схему с верхним
кольцевым шарниром в одной точке (см. рис. 37, а), и вторая —
меридионально-кольцевая типа II (см. рис. 39), которая в ча-
стном случае переходит в схему разрушения типа I (см. рис.
38).
Расчет куполов начнем с рассмотрения работы внутренних
усилий для различных схем разрушения.
2 . Работа внутренних усилий
а. Меридиональная схема разрушения
Купол произвольного симметричного очер-
тания. Меридиональная схема разрушения может иметь ме-
сто при слабом армировании опорного сечения, при отсутствии
159
опорного кольца или при наличии недостаточного опорного коль-
ца.
Определим для меридиональной схемы разрушения работу
внутренних усилий, в данном случае для железобетонного купо-
ла работу арматуры в швах раскрытия пластических шарниров.
Дадим куполу возможное вертикальное перемещение в опорном
сечении, равное единице, тогда угол поворота участков элемен-
тарных двуугольников в кольцевом пластическом шарнире будет
а, значение которого найдем из равенства (рис. 88):
. 1
tga^a =------..
Работа арматуры в предельном состоянии по прочности на
возможных перемещениях будет
2к 2к 5,
А = $ AfnrBa d? -h j d<? J 722^21a ds +
0 0 0
2к 2k
-r 5 j T'^trf-ds + j
о о" 0
(8.1)
Здесь обозначения те же, что и в статическом способе расче-
та.
Шаровой купол. Для шарового купола, армированного
нижней меридиональной арматурой, воспринимающей момент
160
Мп, и кольцевой арматурой, воспринимающей постоянное погон-
ное на единицу длины меридиана усилие Т22 и T2i \ будем иметь
Аа = 2nrBMlla + 2тгГ22£21$2а + 2кг0Ну'1а,
1
где а ----------
го гн
f v-У - sin 60— v sin О
Подставляя значение а, получим
Л = ------pWu sin + Г22/?в (Ео - cj X
X (v COS 6,- sin e°-sin4 + r2l^B (Eo - Ej) x
\ CO — Cl /
(t. sin Eo— sin Ei \ । v —I— 1 T-. . i- r r
cos Ej-3——2 ) + —f- sin X
So — Cl /
X (v cosEj— cos (8.2)
Круглая пластинка. Для круглой пласгинки при ар-
мировании ее радиальной и кольцевой арматурой и при меридио-
нальной схеме разрушения (рис. 89)
Рис. 89
имеем
2тс г0
Да = J MnrBa.dy + j* d<? j T22t2iads
о 0 rx
= 2тсг1/1411а 2^Mt (r0 — rt) a =
= 2ir мп + X). (8.3)
v о r\ J
где a=—— = —-— ; Mt== T22t2v
r^—rx rQ—rx
При схеме разрушения в виде
«звездочки» (fl—0) работа арматуры
будет
Аа = 2irMf. (8.4)
При армировании равномерной сеткой и схеме разрушения в
виде «звездочки» будем иметь
Аа = 4и/Иа,
где 7Иа = Mt = Мг,
(8.5)
161
б. Разрушение по меридионально^хольцезой схеме типа П
Рассмотрим меридионально-кольцевую схему разрушения ти-
па II (рис. 90).
Работа арматуры
2к 2к 2и
А„ = [ M'r2„(a + Р) d<e + J + J Afur1B₽ d<f +
J 0 0
2it jr. 2it
+ J J ds + J d'f J +
0 0 0 0
•Jx 2k s 4
+ J J 23^33a H- ? J ^*24^43a ^S’
(8.6)
162
где ₽ =-------------------------
r2B — с cos Хз - г1н
Л — Уч
с = ------------
sin Хз
Кольцевой шов в сечении 3 может быть только горизонталь-
ным 3—4, так как при радиальном его направлении участок
(3—Зв), смещаясь внутрь купола, должен был бы раздавливать-
ся, чего по предварительному условию о бесконечной прочно-
сти бетона быть не может.
в. Меридионально-кольцевая схема разрушения типа 1
Рассмотрим меридионально-кольцевую схему разрушения ти-
па I (рис. 91).
Работа арматуры
Л = ( AfJ/a, (а + ₽) rf<f>+ J 7ИПГ1В₽ d® —
О о
+ f j ^22^21Р Н~
0 0 0 0
+ J df J Т'х&оя ds + \d<f J ds. (8.7)
0 0 0 0
Шаровые купола. Рассмотрим шаровой купол при мери-
дионально-кольцевой схеме разрушения типа II (рис. 92).
Работа арматуры
А = 2тгг2н (а + ₽) м'12 + 2^г4ваЖ14 + 2кг1в₽Жп + 2тсГ'/1151₽ +
+ 2^ Т 22/21s2P + Г^3353а + 2тс Т24/43$4а, (8.8)
где
7П = v/?B (cos 5,- sln-^~sin^].
\ is — ii /
\ £2 — Cl /
<33 = (<?н - цг) COS - <?HeosE3;
163
.164
2sin
Цз ~ 1
£з 6г
'Sin|^nfe_cos^;
Рис. 92
\ С4----«2 /
₽=__________?______= 11_.
Г2В с COS Уз Л1Н
я==-^₽.
а
165
Здесь cosx3 = vsine37si'1-
a =
. > . >- \ v sin — sin Eo
in = sin Bo — v sin Bi — (v cos Bi — cos B2)--5--------
cos 62 — v cos E3
— p — C0S ~ C0S .
a (cos E2—cos ’
tz =
*!=*=/! +^2—2vcos (E3 - Es).
Подставляя найденные значения в выражение для работы
арматуры, получим
да = 2кМ' + 2* sl^co3E,-co8fe) +
т] cos 62 — V cos 53 1) (cos е2 - V cos 5з)
+ 2к sin Е, + 2стг/?вГ. -os Ь ~gl) ~ sin + sin +
, О_П 'Г COS Е1 (В2 — 61)-sin В5 Н- Sin Е, !
-Г 22------------------------г
(8-9)
+ 2«V?B [sin Е3 - sin Е2 - (Е3 - Е2) cos Е3] Т^+
7] (cos Е2 — V COS Ез)
— 2^в7п24 [sinВ4 — sin В2 — (с4 — 62) cos В4] X
У COS В! — COS Eg
7](cos Е2—'-'cos Ез)
Для тонкого купола (*=1) при одинаковом кольцевом ар-
мировании (72=7У), поставленном по срединной поверхности
купола, будем иметь
л о_ sin Е2 (cos Ei — cos Ез) л „г . ~ Sin В4 (cos Ei — cos Е3) ЛА ।
zla — /И1 о-i-2-»с ^'‘нт
7] (cos Ег - cos Ез) 1 *1 (cos Ег — cos Е3)
+ 2теsin Е, + 2я/?Т2, ~£1) cos ~ sin +--1П +
7J 7]
+^[sin Е3- sin Е2 - (Ег - Е2) cos Е3] Fcos £|~ cos , (8.10)
т] (cos Е2— cos Ез)
• с . f , Г г \ Sin Еч— sin Ег
где = sin В2 — sin Bj — (cos В, — cos В2) —--у
C9S Ег - cos Ез
Рассмотрим шаровой купол при меридионально-кольцевой
схеме разрушения типа I. Купол оперт на вертикальные опоры
по срединной линии опорного контура (рис. 93).
Работа арматуры
Да = 2irr2H (а + ₽) М'12 + 2кг1вржп + 2кГ'1/1151₽ + 2TtT22t2ls2^ +
ТЧ~ 2^ Т24^40^4а =
I66
-2те3sin;2(,cose,-cose,) 2usin. м»
-q (COS 82 — COS e0) 12 1 V]
। 2kv2R T ~ €1) cos ~ sin + sin |
4- 2nJ? T 2 ~~ v cos ~ sin sin k I
TJ
+ 2tvv/? b p (sin £0 — sin У — -^11 (80 — у cos £oj X
v cos 8i — cos 82 .
XTT ^+1 \ 2з+
4cos82— —— cos 8<J
+ 2tc/?b ^Sin e0 - Sin e2 — (Bo — e2) cosB0j x
cos 81 cos 82_____________ 'p
I i+l \ 24’
Tj I cos 82 — —-— COS 8b)
167
* ’*-**'“ Г *
г2в — с cos х0 — г1Н
С Q
а = — ₽;
а
с _ /?в (v cos Si — cos g2) .
sin ь
^ + 1
—-— sin So — Sin 62
7] = sin sin n — O' cos £1 — cos У---------------j------
cos S2 — cos 60
iz = 7?B^p
>4 = уЛ 1 + <v + 0 cos ($o - Ы
у -J- i
COS 82 — --COS So
Sin Xo =-------------------
Aj
•v+1
—-— sin So — sin 82
cos Xo=--------------------;
c Q v cos 81 — cos 60
a = — p =--------------------------
/?BT] ^cos 82 — COS 80)
^=.^B[s-ln^--sln4_2±lCoSd;
L Co — C2 * J
L co £2 * J
^3osa= (Sin ?0 - sin у — ($0 — У cos So);
Z40s4 = A’b (sin Eo — sin $2 - Go — У cos ?oj .
Для тонкого купола (v=l) при кольцевом армировании,
поставленном по срединной поверхности купола, будем иметь
А„ ~ 2я sin^<cos^~ cosS»> ^;2+ 2ir sin Sj +
7) (cos 82 — COS 80)
+ 2k7?7-2i -L^-ejcos e, - sin e2 +sme, + 2к/?г23 x
’I
x [sin e0 - sin e2 - Go - S2) cos у -cose. j-£°s k (8 12)
•q (COS 82— COS 8e)
• t • (• / c «. \ sin 8n”~ sin 82
где = sin t2 — sin Bi — (cos — cos 82) — ----------- .
cos 82—cos 8e
168
3. Работа внешней нагрузки
Работа от нагрузки, действующей на купол, может быть оп-
ределена как интеграл по площади произведения интенсивности
нагрузки на перемещения
Au=\qMF (8.13)
F
или же как сумма произведений равнодействующих усилий на
отдельных участках купола на вертикальные перемещения этих
участков
п
Л = 20Л. (8.14)
О
Определим работу нагрузки для различных схем разруше-
ния.
а. Меридиональная схема разрушения (рис. 88)
Нагрузка собственным весом купола. Работа на-
грузки будет
А„ =7 JdVA+lJdVB, (8.15)
О 5.
где (рис. 94)
9
Для шарового купола
О °
«о
- Я’ 0) -п-^-~81п£ sin
sin£0—sin 61
* sin — sin £
где 8 -------—.
sin — sin 6,
Интегрируя выражение Aq, получим
9
Л = Т1М^.о-^.о)х
sin 60 (cos 6i — cos 6о) - (Во- 6i)+ sin 26О — Д’ sin26i
1-COSE.+------------------------------------*---------*------
sin 6o — sin 6j
(8.16)
169
Работу нагрузки от собственного веса для шарового купола
можно было бы более точно вычислить следующим образом:
п
л=е =4 f” -cos у 1 +
о 6
+ 4 1" (Ян30 - tflo) (cos ?! - cos и 8. (8.17)
Здесь 8 = ; г0 = 44 R* sin Е»!
г о 2
гн = sin
0 _ 3 (^н.р— <о) [2 (% — Ei) + sin 26i — sin 2g0]
V 16 (Ян.о— ^B.o) <cos £1— cos Co)
Для круглой пластинки (см. рис. 89) имеем
Л = ? S 2nrdrb = 4 (r0 + rori + ri>' (8-18)
где 8 = r-i^.
r0 — Г1
Равномерно распределенная по горизонталь-
ной проекции наружной поверхности купола
нагрузка «р». Работу распределенной нагрузки можно опре-
делить как произведение интенсивности нагрузки на сумму объ-
емов фигур перемещений
(8.19)
Для шарового купола значение £0 будет
ЕО = 4 к (гоаго - г^агн) —
1
=-—4—-— sinS ?°_ v’sin3Si] (8,20)
44 sin е„ — V sin 6; 8
Для круглой пластинки работа нагрузки выразится так:
АР =-рО = р 4 ’ (ф'-о - rfrrj = (/-з_ гз). (8.21)
^Vo — ri)
Сосредоточенная сила Р в вершине купола. Ра-
бота нагрузки Р будет
АР = РД = Р
(8.22)
170
б. Меридионально-кольцевая схема разрушения типа II
(рис. 90)
Нагрузка собственным весом купола. Работа
нагрузки имеет вид
Aq = 2СтЪт = т (У|‘-1 - У& - И&), (8.23)
О
где
° О
е3
Ч: = т * j «0 - sin we - SV;
82 = ₽ Огц-г,);
83 = а 0 Зн Г3ц).
Для шарового купола имеем
9
4“т^(^.о-^.о)х
х [ 1 — cos Bi — (cos Bi — cos B2) °2 —
— (cos B2 — cos B3) Og] + P Vo3,
где
82 = ₽ (^ц — r );
v sin 63 — sin S2
cos S2 —v cos S3
(8.21)
sin S2 — O' cos Si — cos S2)
3 - /£„) [2 ({, - {,) + Sin 2g, - sin 2fe,]
16 (Ян.о-Яв.о) (“SC.-cos fe)
re
= RB sin (2 —
V cos Si — cos S2
cos S2 —cos s3
(v sin B3— sin B2)
8з = “ (r3H — rSu);
___ v cos Si — cos S2
/?B?](cosS2—V COS S3) ’
r3H = 4RB sin e3;
. c. . e. / «. ь \ v sin c» — sin S2
vj = sin B2 — v sin Bi — (v cos Bi — cos B2)-------5------------.
COS S2 — V COS S3
171
Здесь
= у * (7?1о - «в.о) [2 (fe - w + sin %- sin 2?гj - Зв;
v%= 4 * (Як.о~ /?в.о) (COS ij2 - COS и - ЗУ.
о
Значениями оУ и о© в первом приближении можно прене-
бречь.
Равномерно распределенная по горизонталь-
ной проекции наружной поверхности купола на-
грузка р. Работа равномерно распределенной нагрузки в со-
ответствии с изложенным ранее может быть определена как
произведение интенсивности нагрузки на сумму объемов фигур
перемещений, т. е.
Ap = pW.
Здесь £0 — объем фигур перемещений, который примени-
тельно к рис. 90 будет представлять собой
объем тела вращения, сечение которго по-
казано штриховкой.
Для шарового купола значение 1! О будет
SO = -^-~[г%в(а + р)г2в — rlH-ars„ — r?Hpr1H] =
= 4к/?’[(а-|~ ₽)sin3?2 — av3sin353—[3v3 sin3 (8.25)
Сосредоточенная сила P в вершине купола. Ра-
бота нагрузки Р.
АР = РД1= Р. (8.26)
в. Меридионально-кольцевая схема разрушения типа I
(рис. 91)
Нагрузка собственным весом купола. Работа на-
грузки от собственного веса примет вид
Л = 2 Gm8m = 7(^-1- У|;82 - У^),
о
где
^ = 4’ S (^.0-^.0)Sin WE;
О о
2 Г
(8.27)
172
6 г,
S2= ₽(r2a - n>);
8з = а(го —''зц)-
Для шарового купола имеем
Vf (7?3” ° ” [1"cos 51"(cos ’* -cos у 82 “
- (cos t2-cos ад 8,]. (8.28)
Здесь o2 = ₽-(г2ц — re);
— (v-pi)sine0 — sine2
sin e2 — (v cos 61 — COS 62) •-------J--------------— * sin 81
cos 62 — — (v -[-1) cos 60
J (Д4н.о ~ <0) [2 & - U + sin 28t - sin 2821
16 (*h.o “ ^.0) <cos £1 —cos £2)
r0 = /?B sin £2 —
---^o?e,-cos£i---sin_ sin
cos e2——(ч 4-1) cos
8з = a (ro - ''зи);
a _ _______v COS 61 — cos 62_
RB-fl (cos 62 — - ~£’1-COS
1) sin 60—sin 82
7] = sin ^2 — v sin |j— (v cos — cos B2)---j-----------
cose2~-— (v+ 1 )COS 6
ro = -^-(v+ 1)/?B sine0;
___3_ (^H.o — ^b.q) I2 * * * * * 8 * * * * * * * 16 (Eo — 62) + sin 28г — sin 26O]
16 (Ян.о “ ^B.o) (C0S ^2— COS 60)
Равномерно распределенная по горизонталь-
ной проекции наружной поверхности купола на-
грузки р. Работа распределенной нагрузки будет
173
Для шарового купола значение ЕО
20 = Т ’ ^2= + Г1В ~ ~ ₽Г1“' =
= -у- [(а + ₽) sin3 $2-(v + 1 )3“ sin3 Ео — pv® sin3 Bj j. (8.29)
Сосредоточенная сила Р в вершине купола. Ра-
бота нагрузки Р будет
АР = РД1== Р.
4. Расчет на действие динамических нагрузок
При расчете железобетонных куполов на действие динамиче-
ских нагрузок в виде мгновенного импульса наиболее удобным
методом является кинематический.
В кинематическом методе расчета куполов, так же как и
ранее, принимается, что 1) деформации системы вплоть до ис-
черпания несущей способности остаются настолько малыми, что
можно пренебречь изменением геометрических величин системы;
2) все «собственные» элементы системы являются нехрупкими;
3) для системы в предельном состоянии соблюдаются неравен-
ства, выражающие предельные условия.
В кинематическом способе расчета система рассматривается
в том состоянии, когда благодаря образованию меридиональных
трещин и кольцевых пластических шарниров она превращается
в систему с одной степенью свободы, которая под влиянием внеш-
него воздействия еще способна к движению как механизм. Для
каждой рассматриваемой схемы разрушения может быть опре-
делена на пути принятых возможных перемещений как работа
нагрузки ЛНД, приложенной к системе, так и работа самой си-
стемы ДД С другой, стороны, при заданном распределении им-
пульса может быть определена кинетическая энергия, приобре-
тенная системой под воздействием импульса Ez. Из равенства
нулю суммы кинетической энергии системы, работы нагрузки и
работы внутренних сил на пути заданного возможного переме-
щения определяются те из величин, которые являются неизвест-
ными:
£,+ (Л„-А)Д = 0, (8.30)
где Д — вертикальное перемещение вершины купола.
При определении работы арматуры и нагрузки следует ис-
ходить из величин заданных возможных перемещений Д, а не
единичных возможных перемещений, как это было допустимо
принимать при статических нагрузках.
Рассмотрим определение кинетической энергии для различ-
ных схем разрушения.
174
а. Меридиональная схема разрушения (см. рис. 88)
Определим кинетическую энергию Et от равномерно распре-
деленного по горизонтальной проекции поверхности купола им-
пульса интенсивностью i:
F
(8.31)
При равномерно распределенном импульсе числитель выра-
жения для Et может быть определен по формуле
ivdF^= РО2, (8.32)
где т — масса, единица площади купола;
О — объем фигуры вертикальных перемещений системы;
v — виртуальная скорость точек системы.
Для шарового купола значение О было найдено ранее:
Т г 1 1
О =---------2------------ -А- (V + 1 )3sin3 Ео-V3 sin3 El . (8.33)
— (V + 1) Sin 6o — V Sin
Знаменатель выражения для Et найдем как сумму отдель-
ных частей:
( = - /?’0)sinEJE +
F 3 S [о
So
+ J(*L-*l0)82sinErfE +
+ J о - 0 W2 „ (cos Е, - cos Е)2 sin Е dE
где
О ~ sin Е» — sin 5 ,
sin sin ’
(8.34)
* А. А. Гвоздев, К расчету конструкций на действие взрывной волны,
«Строительная промышленность» № 1, 1943.
175
Для круглой пластинки имеем:
1
О = ^2'(гЗ_Лз);
Г0 Г1
Г о
m&dF = — г? -г — 62 2irr dr,
F g g rt
где
В
r0-rt
g = 9,81 м]сек2.
(8.35)
(8.36)
б. Меридионально-кольцевая схема разрушения типа II
(рис. 90)
Кинетическая энергия при равномерно распределенном по
горизонтальной проекции поверхности купола импульса i будет
Q zwf)2
2 J nw^dF
Числитель
^ivdF^=PO2.
Для шарового купола значение О имеет вид
О = — тс7?в3[(a -j- Р) sin3 £2 — av3 sin3 £3 — Sv3 sin3 EJ, (8.37)
3
а знаменатель
J mv2dF ± К(/?3Н0 - /?30)sinEd? +
F 6 g |_0
Вз
+ \ (^Зн.о - ^.о) «I Sin + J (/?3, - 7?3,) 8’ sin 5 Л +
+ о - о^н о₽2 (C0S ^1 - C0S 92 Sin t +
где
ц
+ J (^н.о ~ ^Зво) V (cos 5 — cos ?з)2 sin W5
Ss
(8.38)
82 = ₽(7?н.о sin£ — ге);
= a (r3H — ^?н.о sin Q;
176
а __ N COS & — COS 62
цЯв (cos ег—V cos£3) ’
₽ = —;
• «. . u t t. c* v S1П ^q Sin £2
iq = SW E2 ~ V sin — (v COS £1 — COS E2)--?-------
cos £2 — V cos £3
в. Меридионально-кольцевая схема разрушения типа 1
(рис. 91)
Кинетическая энергия системы при равномерно распределен-
ном по горизонтальной проекции поверхности купола импульса i
выражается формулой
(JivdF)2
2 mv^dF
F
числитель
$ itvdF^= t~O2.
Для шарового купола значение О будет
О = тс/?в Ка + ₽) sin3 4“ (v + 1 )3а sin3 ^0 - Р sin3 EJ, (8.39)
3 о
знаменатель
J m&dF = J- [(/?з о _ J х
X $ sin EtZE+ J &2 s^n £ 4"
о Е,
е0 е,
+ J 3| sin Е dt-\- J ₽2/?2 0 (cos Ej — cos Е)2 sin Е tZE 4~
е2
So
+ а2^н.о (cos "" cos W2 sin £ dt ,
(8.40)
где
82 = ₽ (/?H.o Sin E — Гб);
S3 == a (r0 — /?н.о sin E);
177
Р *
а = у cos El — cos е2 ________.
7]/?в (cos е2 — ^-t-1 cos £о)
V-f-I
—-—sin е0— sin E2
tq = sin B2 — v sin — (v cos — cos B2)-----------------------——
\ -J- 1
cos E2--------— cos e0
178
Глава III. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ
ИССЛЕДОВАНИЕ РАБОТЫ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ
КУПОЛОВ В СТАДИИ РАЗРУШЕНИЯ
§ 9. ЗАДАЧИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ
Задачи экспериментального исследования работы железобе-
тонных куполов в стадии разрушения состояли, во-первых, в про-
верке соответствия намеченной картины разрушения с ее фак-
тическим изображением и, во-вторых, в проверке теоретически
выведенных количественных зависимостей для несущей способ-
ности куполов. Насколько известно автору, в литературе не
имеется указаний на проведение экспериментов с железобетон-
ными куполами в стадии разрушения.
В соответствии с поставленными выше задачами были запро-
ектированы экспериментальные образцы таким образом, чтобы
условия их работы были возможно более близки к работе тео-
ретически рассчитанной конструкции.
/. Описание моделей куполов
Модели куполов. Модели куполов были запроектирова-
ны трех типов: полусферические жесткие с утолщением в вер-
шине (марка Б-а), полусферические жесткие без утолщения в
вершине (марка Б-б), полусферические тонкостенные без утол-
щения в вершине (марка Т) и слабоподъемистые (марка С).
Диаметр опорного контура куполов был принят для всех куполов
приблизительно одинаковым — около 1 м (960 мм). Эта величи-
на диаметра продиктована размерами массивной опорной сталь-
ной плиты, на которую устанавливались испытываемые купола.
179
Поскольку купола готовились с различной толщиной стенки —
от 10 до 60 мм, то для всех них бетон был принят цементно-
песчаного состава. При бетонировании куполов изготовлялись
Рис. 95
Рис. 96
контрольные кубики по шесть штук для каждого купола. Из этих
образцов три кубика были размерами 7X7X7 см и три куби-
ка— размерами 20x20x20 см. При бетонировании применялось
вибрирование бетона при помо-
щи тискового вибратора.
Арматура. Для армиро-
вания куполов была примене-
на арматура из неотожженной
проволоки диаметров 2 и
1,37 мм и отожженной проволо-
ки диаметром 1,95 и 1,35 мм.
Неотожженная проволока
диаметром 2 мм является
твердой холоднотянутой, изго-
товляемой для электродов
электросварочного полуав-
томата. Диаметр и прочность
этой проволоки являются ис-
ключительно постоянными.
Разрывающее усилие для
этой проволоки по многократ-
ным испытаниям колебалось
только в пределах 270—271 кг
(ор =8600 кг!см2). Удл-иняемссть этой проволоки очень мала:
для образцов длиной 100 мм к моменту разрыва она достигала
только величины е= 0,008-ь0,009 (0,8—0,9%), т. е. меньше!%.
180
Неотожжениая проволока диаметром 1,37 мм тоже обладает
довольно постоянным разрывающим усилием — 93—95 кг
(ор =6400 кг/см?). Удлиняемость этой проволоки для образцов
длиной 100 мм достигала величины только е = 0,0065, т. е. 0,65%.
Та же самая проволока диаметром 2 и 1,37 мм, будучи отож-
жена в муфельной электропечи при температуре 900° с медлен-
ным остыванием вместе с печью в течение 12 час., совершенно
изменила свои качества. Диаметр проволоки вследствие опаде-
ния окалины уменьшился с 2 до 1,95 мм и с 1,37 до 1,35 мм.
прочность уменьшилась более чем в 2 раза, а удлинение возрос-
ло: для проволоки диаметром 1,95 до 13—16%.;, а для проволоки
диаметром 1,35 мм до 7,5— 13°/о. Разрывающее усилие для
отожженной проволоки диаметром 1,95 мм в среднем равно
118 кг (ор =<3950 кг! см2), а для'проволоки диаметром 1,35 мм—
41 кг (ор =2870 кг!см2).
Удлинения проволоки измерялись при помощи деформомет-
ра с базой 100 мм на разрывной маятниковой машине.
Из указанной проволоки вязались арматурные каркасы: для
куполов марки Б из двойной арматуры с хомутиками (рис. 95),
для пологих куполов марки С из одиночной арматуры (рис. 96)
и для тонких куполов марки Т из тонкой проволоки (рис. 97).
К арматурным каркасам с внутренней и наружной сторон
прикреплялись коротыши длиной 2 см из круглых стержней,
которые обеспечивали надлежащее положение каркасу между
опалубками. Опалубка смазывалась раствором парафина в ке-
росине и минеральным маслом.
2. Проведение испытаний куполов
Купола испытывались на стенде в лаборатории строительной
механики МИИТа. Внизу на балки стенда была установлена
мощная стальная плита, а вверху в балки стенда упирался дом-
крат. Купол устанавливался на опорную плиту. Между куполом
и опорной плитой укладывались 24 стальных ролика диаметром
20 мм каждый, на которые передавалось давление от купола
через 24 стальные пластинки 60X60X6 мм (рис. 98). Стальные
пластинки подливались на цементном растворе к опорному кон-
туру купола. Если между пластинкой и роликом наблюдался
зазор, то в него вставлялось лезвие безопасной бритвы. Давле-
ние на купол передавалось через шаровую опору, подлитую на
цементе в вершине купола, а на некоторые купола — в виде
кольцевой нагрузки через мощную кольцевую плиту. Величина
нагрузки измерялась динамометром, установленным между дом-
кратом и шаровой опорой купола (рис. 99). Параллельно с ди-
намометром устанавливались два манометра (один контроль-
ный). В основном они использовались при нагрузках свыше
25 т. Общий вид установки купола показан на рис. 100. Дефор-
181
SSI
66 Md
86
мации купола замерялись при помощи 12 мессур, из которых
две показывали просадку вершины купола, две — просадку опор-
ного контура, четыре — радиальные смещения опорного конту-
ра и четыре — радиальные смещения в четверти купола.
Расположение мессур видно на рис. 99 и 100.
Рис. 100
§ 10. ИСПЫТАНИЯ И РАСЧЕТ КУПОЛОВ
1. Купол Б-б-2
Армирование купола выполнено двойным (рис. 101). Мери-
диональная арматура состоит из 1602 мм верхних и стольких
же нижних прутков. Из них по четыре прутка не доходят до
вершины на 501 мм и по восемь прутков—до вершины на 150 мм.
Кольцевая арматура диаметра 2 мм расположена непрерывной
спиралью с шагом 50 мм от опорного контура до центрального
кольца диаметром 100 мм в вершине купола. Крайние витки
кольцевой арматуры хорошо скреплены со спиралью. Верхний
и нижний каркасы скреплены между собой хомутами диаметром
183
1,37 мм, поставленными вдоль всех меридиональных прутков
через 100 мм. Сверху и снизу к арматуре прикреплены коро-
тыши диаметром 6 мм, которые обеспечивали сохранение за-
Рис. 101. Купол Б-б-2. Кольцевая арматура — из неотожжен-
ной проволоки d=2 мм с шагом 50 мм. Меридиональная арма-
тура— из неотожженной проволоки d = 2 мм. Хомуты d=
= 1,37 мм с шагом 100 мм
щитного слоя 6 мм. Кольцевая арматура в обоих каркасах рас-
положена поверх меридиональных стержней. Купол подвергал-
ся испытаниям дважды, первый раз он загружался нагрузкой,
передающейся в вершине по площади диаметром 10 см. При на-
грузке Рв14 т в куполе образовалось шесть меридиональных
184
трещин и обнаружилось вырывание одной внутренней нитки
проволоки из опорного кольца. При образовании меридиональ-
ных трещин деформации сразу возросли, а нагрузка упала
(рис. 102) до 11,67 т. При дальнейшем увеличении нагрузки де-
Рис. 102. Купол Б-б-2. Первое испытание — при Р=17 т купол
продавился в вершине D=10 см. Второе испытание — при Р=
=29 т купол разрушился по меридиану
v . . . просадка вершины купола в долях наружного радиуса купола
при первом испытании; — — — — смещение по нормали в четверти
купола в наружную сторону в долях наружного радиуса купола при
первом испытании; ----- горизонтальное смещение опорного кон-
тура в наружную сторону в долях наружного радиуса купола при пер-
вом испытании; —горизонтальное смещение опорного контура
в долях наружного радиуса купола при втором испытании
формации начали расти для радиальных смещений опорного
контура и просадки вершины купола почти по линейному зако-
ну. При нагрузке Р=16 т образовалась кольцевая трещина, ко-
торую можно рассмотреть вверху фото (рис. 103). При нагрузке
Р=17 т после некоторой ее выдержки купол продавился по на-
ружному контуру диаметром 10 см (рис. 104) и по внутренне-
185
Рис. 103 Рис. 104
Рис. 105
186
му — диаметром 32 см. После первого испытания на купол было
положено на цементном растворе кольцо с наружным диамет-
ром D = 33 см и внутренним диаметром d=23 см. На кольцо бы-
Рис. 106
ли уложены мощные плиты, через которые передавалась на-
грузка ют домкрата. При втором испытании по мере роста на-
грузки меридиональные трещины, образовавшиеся при первом
испытании, начали раскрывать-
ся. На рис. 105 показано началь-
ное раскрытие трещины № 4, на
рис. 106 — картина разрушения
по трещине № 4, наступившая при
Р=29 т. На рис. 107 даны вид
изнутри откола, образовавшегося
после первого испытания, и ме-
ридиональные трещины и даже
разрыв арматуры, образовавший-
ся после второго испытания. На
рис. 102 показано радиальное
смещение опорного контура ку-
пола при втором испытании. Ку-
биковая прочность бетона состав-
ляла RK =290 кг!см2.
Рис. 107
187
а. Первое испытание (расчет на продавливание)
При первом испытании купол продавился при нагрузке
Р=17 т.
Расчетная формула для определения поперечной силы Q6,
которую может воспринять бетон купола при продавливании по
наклонной поверхности,
Г» (sin а0 + v0 sin a) D
Чб — Л0 **и-
— а
U+Vlsin^-
(10.1)
Вывод этой формулы дан выше в настоящей работе (§ 7, п. 4).
Значения коэффициента Хо для куполов меняются от 0,25 до
0,38, в среднем Х0=0,32.
Определим наименьшую нагрузку, которую мог бы воспри-
нять купол при разрушении от изгиба. Для этой нагрузки най-
дем поперечную силу Q и установим, что купол разрушился от
продавливания, а не от изгиба.
Разрушающее усилие при меридиональной схеме разруше-
ния может быть определено по табл. 10, параметры которой
достаточно близко подходят к параметрам испытанного купола:
, = ^2. =^=1,12^1,1 и а =6°^5°.
R„ 42
Для значений v==l,l и а =5° по таблице имеем 1=0,0094;
^2=0,754; Л'=0,724 и /гн = 1,204.
Р = 2*/?в( Т laki + Т 2^2 + Т 2^2 + Н kH) =
= 2-3,14- 42[45 - 0,0094 + 54 (0,754 + 0,724) + 6,1-1,204] =
= 23 100 кг,
где
•=; 270-4 I
Тia=------—----= -------------=45 кг пог. см:
2л/?в sin а 2-3,14-42-0,09
"Fr 270-1 1 ,
Н =--------------= ---------= 6,1 кг пог. см\
v + l 1,05-42-1
—-— /?в sin w
T2=T2 = — = — = 54 кг)пог. см.
а 5
Здесь Zi = 270 — предельное усилие в проволоке;
а =5 см — шаг кольцевой арматуры;
П1=4 — число стержней меридиональной арматуры в
вершине купола.
Так как одна нитка внутренней арматуры опорного кольца
вырвалась внутрь купола при нагрузке меньшей, чем разрушаю-
щая (Р=14 т), то в расчет введена только оставшаяся нитка
(п=1).
188
Разрушающее усилие для меридионально-кольцевой схемы
разрушения типа I определим по формуле (7.45):
-^(1 4-v)sine0 —^sinfci -^-(^-{-l)sin6o—sine2
p -------------------------------------------
V cos e, — — G + 1) cos e0 cos e2 — — G 4- 1) cos 6o
2kM12\ sin $2 2KAfn sin Ei
= _ j -
cosfe— — (v-Ь 1)COSB0 V cos — — (1 V) cos So
- 2^b72 I-------------------X
I cos e2 — — (1 + V) cos %
X [(1 + V) cos Ъ - (1 + v'O “
——-x'
v cos et — (1 + 4 cos Eo
sin So— sin ej
e»-el J*
X (1 + v)vcos Вг — (1 4- v2)
Значения углов примем равными фактическим величинам,
полученным из опыта
е1 = е; = 6°; В2 = 35°; Во = 9О°; v=l,12.
Здесь В' — угол, при котором оканчивается кольцевая арматура.
Остальные значения будут
ypj' _ р % __ Z\zn __ 270-5п =5 12 П —
12 1 2к/?в sin Е2 6,28-42 sin £2 ’ sin £2
= 5,12 -16 = 127 кгсм/ног. см;
0,643 '
7Ии = 5,12 —— = 5,12 —— = 195 кгсм!пог. см;
11 sinEi 0,105
'Г 270 П I
/ 2 = — = 54 кгргог. см.
Подставив настоящие значения в формулу (7.45), получаем
значение Р:
Р^=23 700 кг.
Из приведенных двух подсчетов оказалось, что несущая спо-
собность купола при меридиональной и меридионально-коль-
цевой схемах разрушения типа I приблизительно одинаковая.
189
Примем для определения Qa значение Р = 23 100 кг для мери-
диональной схемы разрушения и -определим величину Qa:
Qa =
Р
2я/?в
— _ sin ?0 - (Г2 + V?2) (£0 - а) =
sin а 2
= -6,1-1,06-1 - (54+ 1,12-54) 1,466 +
23100 0,995
6,28-42 'О,105
= 698 кг!пог. см.
Поперечная сила в сечении с углом a=6° будет
Q = Qa2^Bsina = 698-6,28-42-0,105 = 19300 кг.
Определим, какую поперечную силу мог воспринять купол
при продавливании по наклонному сечению при среднем зна-
чении Хо^О,32:
Qe =
•гсЛ2 (sin a0 + sin a) /?и
a0 — a
(l + ^o)sin
3,14.6,252 (0,385+ 1,15-0,105)
(1 + 1.15)0,145
где
X 250 Xo = 43 000 Xo = 13 800 кг,
48
41,5
= 1,15;
a = 6°; a0 = 22°40'; h = 6,25; 7?и =250 кг!см2 — прочность
на сжатие при изгибе, соответствующая 7?к =290 кг!см.
Из приведенного расчета видно, что купол не мог выдержать
поперечной силы Q=19,3 т, так как он должен был разрушить-
ся при Q6 =13,8 т. Внешняя нагрузка Р, соответствующая попе-
речной силе Q=13,8 т, будет приблизительно равна
/’ = 23,1 16,5 т
19,3
Купол продавился при нагрузке Р=17 т, довольно близко
совпадающей с внешней нагрузкой 16,5 т.
б. Второе испытание
При вторичном испытании кольцевой нагрузкой купол раз-
рушился по меридиональной схеме разрушения при нагрузке
Р=29 т.
Определим теоретически невыгоднейшую схему разрушения
купола и величину разрушающей нагрузки.
Рассмотрим вначале меридионально-кольцевую схему раз-
рушения типа I. Для нее угол верхней кольцевой трещины сле-
дует принять соответствующим грани жесткого кольцевого штам-
па, т. е. ^=20° Значения угла В2 будем менять, задаваясь £2=50,
55, 60 и 65°.
190
Определим силу Р по формуле (7.45), в которой принимаем
Л/г • t 'г ~ • t Z^nsin 62
AL sin 62 = 7\z sin ?2 = —-----------
12 1 2n/?Bsin?2
270-5-16*___g2
6,28-42 “ 1
Alli=0 (поскольку при первом испытании в сечении с углом
Cj =20° образовался выкол); v = l,12; £о=9О°, Г2=54 кг]пог. см.
Для ^2=50° имеем
Р /1,06-1,12-0,342 _ 1,06 — 0,767\ =
\ 1,12-0,94 0,643 /
= 6,28 82'1,1--6,28-42-54х
0,643 [О,643
х (2,12-0,643- 2,25 ----X
’ 0,7/ 1,12-0,94
X (2,12• 1,12-0,94 - 2,25
откуда Р=43 000 кг.
При В2 = 55° Р = 41 300 кг-
£2==60° Р = 40 300
е2 = 65° Р = 42 000
Попробуем определить силу Р при угле большем, чем
значение угла 20°, соответствующего грани жесткого штампа.
Возьмем угол =25° и подсчитаем значение Р для £2 =50°
и ^2=60о:
при = 25° и £2 = 50° Р=61 200 кг\
= 25° и е2 = 60° Р=51 800
Из произведенных подсчетов видно, что усилия Р при =25°
для различных углов £2 больше, чем для £1=20° Наименьшая
разрушающая нагрузка при меридионально-кольцевой схеме
разрушения типа I получилась при =20° и £2 = 60° равной
40 300 кг.
Наименьшую разрушающую нагрузку для меридионально-
кольцевой схемы разрушения типа II не определяем, так как
она получится больше, чем для меридионально-кольцевой схемы
разрушения типа I.
Определим разрушающее усилие Р для меридиональной схе-
мы разрушения при а =20° и v = 1,12:
2(v — 1) 7'lasina-|-M(l v)//cos а2?7 L — а] X
Р = 2тг/?в--------------------------------
1 + » — 2v sin а
X COS а 4- sin а — 1] 2v2T2 — a) cos a -J- sin a — 1 j
1 + v — 2v sin a
191
Значение Tia принимаем равным нулю, поскольку при пер-
вом испытании в рассматриваемом сечении образовался выкол
от продавливания:
Р = 6 28• 42 М2*2»12^,1-0,94 + 2-54 (1,12-1,22-0,94 + 0,342—1) +
1 + 1,12 — 2,24.0,342
+2.1.255-54(1,22.0,94 + 0.342-1) на
1 + 1,12-2,24-0,342
Из произведенных подсчетов видно, что опасной схемой яв-
ляется меридиональная схема, по которой и произошло факти-
ческое разрушение. Расчетная нагрузка Р=28,7 т близко сов-
падает с фактической разрушающей нагрузкой Р=29 т.
2. Купол Б-б-1
Армирование купола Б-б-1 отличается от армирования ку-
пола Б-б-2 только более мощным армированием опорного коль-
ца и тем, что в вершине купола на площади диаметром 30 см
отсутствуют как меридиональная, так и кольцевая арматура
(рис. 108). В опорном кольце купола поставлено по три витка
Рис. 108. Купол Б-б-1. Кольцевая наружная и внутренняя арматура
d=2 мм с шагом 50 мм. Меридиональная арматура d—2 мм в количе-
стве 2'Х16 стержней. Арматура опорного кольца 602 мм
192
проволоки диаметром 2 мм у наружной и внутренней поверхно-
стей. Каждые три витка опорного кольца выполнены из одной
нити. Кольцевая арматура (наружная и внутренняя) также вы-
полнена из одной нити, уложенной спиралью. Подкладки из ко-
ротышей имели диаметр 10 мм под нижним каркасом и 5 мм —
над верхним каркасом. Купол Б-б-1 так же, как и предыдущий,
подвергался испытаниям дважды: первый раз купол нагружал-
Рис. 109
ея через шаровую опору в вершине по площади диаметром 10 см,
а второй раз — кольцевой нагрузкой по площади с наружным и
внутренним диаметрами кольца 33 и 23 см (рис. 108).
Общий вид установки купола для первого загружения пока-
зан на рис. 109.
При нагрузке Р=8 т образовались первые две меридиональ-
ные трещины. При нагрузке Р=10 т меридиональных трещин
уже было девять штук. При дальнейшем увеличении нагрузки
меридиональных трещин образовалось 11 шт. При нагрузке Р =
=14 т появилась кольцевая трещина, которая прошла на разных
участках купола при значении угла В от 30 до 47°, а в среднем
при угле 38°. Пересечение кольцевой трещиной меридиональной
№ 7 при Р=18 т показано на рис. 10.
193
Рис. ПО Рис. 111
Рис. 112
При нагрузке Р=21 т произошло продавливание вершины
купола (рис. 111). Второе испытание купола было произведено
на кольцевую нагрузку. Общий вид установки для этого испы-
тания показан на рис. 112. При
нагрузке Р = 30 т начала выры-
ваться из бетона на передней и
задней сторонах купола внутрен-
няя арматура (три витка) опор-
ного кольца.
При нагрузке Р=32,8 т про-
изошло меридиональное разру-
шение купола по -трещине № 5.
Общий вид разрушившегося ку-
пола снаружи показан на
рис. ИЗ. Деформации опорного
контура, вершины и четверти ку-
пола показаны на рис. 114.
При втором испытании изме-
Рис. 114. Купол Б-б-1. Первое испытание — разрушение от продавливания.
Второе испытание — разрушение по меридиану
. м просадка вершины купола в долях наружного радиуса купола;
— — — — — смещение по нормали в четверти купола в долях наружного радиуса
купола; ------- горизонтальное смещение опорного контура в долях наружного
радиуса купола
до самого разрушения, поэтому известны деформации купола в
стадии разрушения. Если бы сцепление между арматурой опор-
ного кольца и бетоном к моменту разрушения было бы пол-
ностью нарушено, то радиальное смещение опорного контура в
долях наружного радиуса должно было бы быть равным пре-
дельному удлинению арматуры диаметром 2 мм. Предельное
удлинение проволоки диаметром 2 мм равно е =0,008-4-0,009, а
радиальное смещение опорного контура к моменту разрушения
близко ке=0,008 (рис. 114). Кубиковая прочность 7?к==
=270 кг!см2.
а. Первое испытание (расист на продавливание)
Поперечную силу Q, действующую в сечении, по которому
произошло продавливание, определим как наименьшую силу
для различных схем разрушения. Рассмотрим меридионально-
кольцевую схему разрушения типа I (7.45), в которой
,_Ян. = 4ЛЗ = 1 р
Лв 43
= 6°;
Во = 90°;
Т2 = Т’ = — = — = 54 кг\см.
1 а 5
Так как меридиональная и кольцевая арматура в вершине
купола на участке от Е' = 0° до В;=18° отсутствует, то Л4п=0
и Т\=^.
Зададимся значениями углов В2, равными 30, 38 и 45°. Для
них получаем:
при Е2 == 30°
Т\ = — = 27-16- = 28,7 кг/см;]
1 2пг 2-3,14-24
Л4'2 = T\z = 28,7-4,5= 129 кгсм!см\
Р = 53 000 кг\
при В2 = 38°
7' 270,16._ = 23 кг!см\ 714' = Т\г = 23-4,5 = ЮЗ кгсм!см\
1 2-3,14-30 12 1
Р = 22500 кг\
при В2 = 45°
270-16
1 “ 2-3,14-33,5
= 20,5 кг!см\
19€
ЛГ12= 20,5-4,5 = 92,5 кгсм!см\
Р = 22 500 кг.
Наименьшая величина Р будет при значении £2 на участке от
38 до 45° Так как функция около своего экстремального зна-
чения меняется плавно, то приближенно примем значение Р
равным 22,5 т. Определим для этого значения Р соответствую
щий ему распор Н при £2 =38°:
(1 4- v) sin £0 — v sin gj
Н = Р----------------------j-------------
тс (1 + sin Boscos 6i —““(l+'Ocos е0]
______________Mn sin 6]_______
14-v / 14-v \
—-—pB sin e0 ь cos ei—-у-cose j
- Л-у-у-----------e°~€1 ;----------X
1 + V sin e0 (v cos 61 — •+— cos 6o^
6o - e;
= p___________0,9345_________О — T 1 >255 =
6,28-43.1,05-0,0852 2 1,05
= 0,00387 P - 1,195 T2 = 0,00387 - 22 500 - 13195 - 54 =
= 22,5 Kzjnoz. cm.
Посмотрим,, не меньше ли будет разрушающее усилие Р при
меридиональной схеме разрушения:
Р = CQS £ _ s.n £
1 4-v
—-— sin60—vsin6i
+ I(^o — Ф cos — sin + Sin £']} +
_ _ ( 1 4- v \ 1 +
4^HRB sin e0 h cos 6i — —— cos 6e 1 ——
14-v
—-— sin 6o — * sin 6j
Принимаем в качестве работающих в опорном кольце три
витка проволоки, другие три витка, вырвавшиеся из тела бет©-
тона, в расчете не учитываем:
г г 2 3?270 in ,
п = — = ------= 18 кг пог. см.
R* 45 ‘
При ^ = 6°; е;= 18° и ^0=90° Р= 27 200 кг.
197
Из сопоставления значений для Р видно, что наиболее опас-
ной схемой разрушения является меридионально-кольцевая ти-
па I, при которой Р=22,5 т.
Определим при этом значении Р и /7=22,5 кг!пог. см вели-
чину Qat принимая а = 6°; а' = 18° и £0 = 90°:
<2« = - Нsin *0 - - а') =
2л/?в sin а 2
= - 22,5-1,05 - (54 + 1,1 -54) (1,57 - 0,314) 4-
, 22 500 0.995 с,п ,
4-------. -— = 640 кг пог. см.
6,28-43 0,105 1
Поперечная сила Q будет
Q = Qa2^Bsina = 640-6,28-43.0,105= 18100 кг.
Купол при v0 = -^-° = = 1,15; «о = 25°; a = 6е; 10 = 0,32
и /?и = 240 кг/см2, соответствующем кубиковой прочности
/?к = 270 кг)см2, мог воспринять поперечную силу
Q6 = <Sin a0 + \> Sin a) R _
(14-40)sin^=^
= 0 3 2 3,14-6.3X0.422+1.15-0,105^ = 600 кг
(1 + 1,15)0,165
Из приведенного подсчета видно, что купол должен был раз-
рушиться от продавливания. Внешняя нагрузка Р, соответствую-
щая поперечной силе Q6 = 14 600 кг, будет приблизительно рав-
на
Р = 22,5 = 18 т
’ 18100
Купол продавился при нагрузке Р=21 т, которая на 17%
больше расчётной нагрузки, равной 18 т.
&. Второе испытание
При втором испытании кольцевой нагрузкой купол разру-
шился по меридиональной схеме разрушения при нагрузке Р=
=32,8 т.
Произведем расчет, при какой нагрузке купол должен раз-
рушиться по меридиональной схеме. Принимаем Тia=0,. так
как в сечении с углом ^=20°, соответствующим грани жесткого
штампа, меридиональная арматура отсутствует. В .опорном коль-
це по соображениям, изложенным ранее, учитываем три нитки
проволоки. Для определения силы Р воспользуемся табл. 10:
Р == 2к/?в (Tiak, 4- T2k2 + К k2 4- HkH) =
= 2-3,14-43 [0+54(0,9 + 0,88)+ 17,9-1,61] = 33700 кг.
198
Здесь принято
= 20°;
v= 1,1;
Т’2 = Г2=54 кг[пог. см;
гг 270-3 л„ п .
И =-------1------------------- 17,9 кг пог. см.
14-у 43-1,05 '
Rb 2
Полученное значение Р = 33,7 т больше фактической величины
разрушающей нагрузки Р=32,8 т на 2,8%. Проверим, не могла
ли для купола быть более опасной меридионально-кольцева51
схема разрушения типа I. Определение усилия Р производим по
формуле (7.45), в которой принимаем 20°; Во = 90°; у =1,1
Mi 1=0; Т2=54 кг}пог. см:
М.' sin £2 = T\z sin S2 = Z'Zn = - — " = 98 кгсм/пог. см.
12 2 1 2 6,28-43 1
Вычисления производим для В2=55, 60 и 65°:
при £2 = 55° Р — 31600 кг
с2 = 60° Р = 36 000
В2 = 65° Р = 38 200 „
Из выполненных подсчетов видно, что наиболее опасной схе-
мой разрушения является меридиональная Р=33,7 т>32,8 т на
на 2,8%. Меридионально-кольцевая схема разрушения типа I
при В2=60° дает наименьшую разрушающую нагрузку — Р=36т,
которая больше фактической 32,8 т на 10%, поэтому она являет-
ся менее опасной.
Подсчетов для больших 20°, не делаем, так как на при-
мере предыдущего купола Б-б-2 видно, что разрушающие уси-
лия для больших 20°, получаются больше. Подсчетов для ме-
ридионально-кольцевой схемы разрушения типа II не делаем
по тем же соображениям, которые были изложены в расчете
предыдущего купола Б-б-2.
3. Купол Б-б-3
Армирование купола Б-б-3 состоит из наружной и внутрен-
ней кольцевой арматуры диаметром 1,95 мм из отожженной
проволоки, уложенной спиралью с шагом 40 мм. Меридиональ-
ная арматура состоит из 2X16 диаметром 1,95 мм тоже из отож-
женной проволоки. Двенадцать прутков меридиональной арма-
туры по каждой поверхности обрываются, не доходя 50 мм до
вершины купола, а два стержня пропущены целиком через весь
купол, пересекаясь в его вершине, образуя здесь четыре прутка
199
меридиональной арматуры. В опорном кольце уложены три вит-
ка из одной нити диаметром 2 мм из неотожженной проволоки
у наружной поверхности купола и один виток — у внутренней
поверхности. К арматурному каркасу прикреплены сверху и
снизу коротыши диаметром 6 мм, которые обеспечивают сохра-
нение защитного слоя (рис. 115). Купол нагружался вертикаль-
ной силой, передающейся через шаровую опору диаметром
10 см.
При нагрузке Р=13 т образовались две меридиональные тре-
щины и на части купола показалась кольцевая трещина. При
Рис. 115. Купол Б-б-3. Кольцевая и меридиональная арматура из отож-
женной проволоки d=l,95 мм. Хомуты d=l,35 мм
нагрузке Р=14 т образовалось еще восемь меридиональных тре-
щин, а кольцевая трещина замкнулась. После образования пер-
вых двух меридиональных трещин нагрузка упала с 13 до 12,55 т,
а после образования остальных восьми меридиональных и коль-
цевой трещин нагрузка упала с 14 до 11,9т (рис. 116). При даль-
нейшем загружении нагрузка постепенно стала подниматься и
устойчиво держалась на значении Р=13 т до достижения про-
гибом вершины купола (в долях наружного радиуса), величины
е =0,01, после чего нагрузка стала падать (см. рис. 116). Мери-
диональные и кольцевая трещины раскрылись более 4 мм
(рис. 17).
Радиальное смещение опорного кольца, достигнув величи-
ны е =0,0023, оставалось после этого все время постоянным. На-
грузка купола достигла величины Р=14 т за счет работы бето-
200
на на растяжение. После образования всех десяти меридиональ-
ных трещин и кольцевой трещины растянутый бетон выключил-
ся из работы, и купол устойчиво нес нагрузку Р=13 т до зна-
чительных величин деформаций. Прочность бетона в кубиках
20X20X20 составляла Лго=32О кг!см2.
Рис. 116. Купол Б-б-3
. . . . просадка вершины купола в долях наружного радиуса купо-
ла; — — — — смещение по нормали в четверти купола в наружную
сторону в долях наружного радиуса купола; ------- горизонтальное
смещение опорного контура в долях наружного радиуса купола
Схема разрушения купола имеет ясно выраженный харак-
тер меридионально-кольцевой типа I. Удлинения отожженной
проволоки диаметром 1,95 мм к моменту разрыва достигают
величины е =0,13-^0,16. На-
грузка, воспринимаемая ку-
полом, начала уменьшаться
только при достижении де-
формациями в четверти купо-
ла величины е =0,1 ]/2 =0,141,
т. е. значений, близких к пре-
дельным деформациям про-
волоки (множитель ]/2 введен
для перехода е от радиуса R
к радиусу г). Из изложенно-
го следует, что купола, ар-
мированные мягкой армату-
рой, могут погасить значи-
тельную кинетическую энер-
гию, возникающую при ди-
намических нагрузках, чего
Рис. 117
201
нельзя сказать при применении армирования из наклепанной
или предварительно натянутой твердой арматуры.
Из рис. 116 легко подсчитать, что доля энергии, поглощенная
упругими деформациями, составляет только 2,5%, а доля энер-
гии, поглощенная пластическими деформациями, составляет
97,5%.
При возведении всякого рода железобетонных сооружений,
рассчитанных на восприятие однократного действия динами-
ческой нагрузки, этого обстоятельства не следует упускать из
вида.
Определим величину разрушающей нагрузки Р для меридио-
нально-кольцевой схемы разрушения типа I, принимая, что верх-
ний кольцевой пластический шарнир образуется по грани жест-
кого штампа ^=6°, а второй кольцевой шарнир образуется, как
это следует из эксперимента, на участке от до L =53°
(при среднем значении С2 =43°).
Формула (7.45) для меридионально-кольцевой схемы раз-
рушения типа I при Во =90° имеет вид
---- — v sin St
2____________
v cos Ci
г (Eo Ei / ’
— sin е2
cos £2
л cos
Е0-Е2Г
Ми sin St
W?B cos &
I v2\ 1 sin El
Eo~Ei .
2Ч 1 — sin E2 *h
M^sin£2
Rb cos C2
2
COS £2 .
Ео----Ег .
Подставляя в эту формулу значения
Т2 = Т' = — = — = 29,5 кг)пог. см;
2 а 4
RK 47,8’
Rb 42,7 "
2ИП = *7"» Z\tT T.z = —±—z — 2кг 5 = 75 кгсм!см; 6,28-5 1
у71412 sin Е2 = ;— sinC2 2K/?Hsin С2 ^118-16-5 or / = 35 кгсм смь 6,28^-42,7
получаем при С2 = 35° Р = 14100 кг\
Е2 = 40° Р = 13 420
^ = 43° Р= 13 350
= 469 />= 14 050
52 = 5О° Р= 14 700
202
Попробуем произвести определение разрушающего усилия по
меридионально-кольцевой схеме типа I для угла, меньшего, чем
для грани жесткого штампа. Некоторую неясность в этот рас-
чет вносит неопределенность передачи нагрузки на купол жест-
ким штампом. Попробуем рассмотреть передачу нагрузки в двух
предположениях: вначале как кольцевую нагрузку, передающую
по краю кругового штампа, и затем как нагрузку, равномерно
распределенную по площади штампа. Внешние изгибающие мо-
менты в этих случаях будут:
а) для кольцевой нагрузки, приложенной по контуру с углом
£1р для любой моментной точки, взятой внутри штампа:
ТИР = РА>В (1±2L Sin — v sin ;
Mp = PRB
б) для равномерно распределенной по площади штампа на-
грузки относительно моментной точки, взятой в вершине купола:
2-гс г
sin Во-— f dy ? r'2dr =
2 ° W* J
1-H . t 2 . e \
—sin50—— vsintjp .
£ о /
Расчетные формулы для меридионально-кольцевой схемы
разрушения типа I будут:
а) для кольцевого распределения давления штампа, прини-
мая
sin = 0 и cos = 1,
здесь %' —угол, соответствующий окончанию кольцевой арма-
туры;
203
б) для равномерного распределения давления штампа, при-
нимая sin£1 = 0 и cosBi^l.
, 1-Н 2
/—z— sin — — м sin Ър
А
-— sin e0—sin 62
— cos
Afj2M sin ^2
— cosBo
------ 2к
COS $2 — ~ ~ COS £0
"---COS £0
COS £2 —
2 .
sin £0 — sin
So—
COS Е2 — —-— cos £0
+ v) cos £2 — (1 + у2)
sin So— Sin s2
£о — 62
Вычислим разрушающее усилие по меридионально-кольцевой
схеме разрушения типа I для =0° при кольцевом распреде-
лении давления штампа по окружности £1р = 6° и £2 = 40°.
Принимая
У =1,11; £; = 6°; — е; = 1,465;
/И'2 sin В2 = 31,5 кгсм!пог. см
Г2 = 29,5 кг/пог. см,
получаем
Р /1,055 — 1,11 -0,105 _ 1,055—-0,643 \ _
1,11 0,766 ) ~
1,465ГО „ f „ о по 1—0,105]
1,11
6,28-42,7
1,465
1—0,6431)
0,873 JJ’
31,5-1,11
42,7-0,766
_ 0,873
0,766 Х
откуда
6,28 • 42,7 = 13 600 кг.
0,307
Аналогичное этому значению разрушающее усилие при
=6С было получено равным 13 420 кг.
Вычислим значение Р для
£1 = 0°; £1р = 6°; £;=6°; £2=43° и TI4'2sin £2=31,5 кгсм}пог. см\
____f_| 0 845 - М55-0.682]
6,28-42,7 L ’ 0,731
31,5-1,11
42,7-0,731
+ 29,5 1,292 —
0,82
0,731
2,11-0,731
- 2,23
1—0,682'
0,82
204
откуда
1,12 + 15,71 6 28-42,7 = 13470 кг.
0,335
Эта цифра также больше аналогичного значения Р=13 350 кг
для Bi=6°.
Определим величину Р еще для одного значения ?2=46°;
^ = 0°; ^ = 6°; =6° и sin ^2=31,5кг^лг/тгог. см\
Р
6,28-42,7
(0,845 - 0,482) =
31,5-1,11
42,7-0,696
+ 29,5(1,292—0,683),.
откуда
1,18-4-18
0,363
6,28-42,7 = 14150 кг.
Это значение также больше аналогичной величины Р=14 050 кг
для ^=6°.
Перейдем теперь к определению Р при ^=0° в предположе-
нии равномерного распределения давления под площадью штам-
па. Формула для определения Р отличается от предыдущей
формулы только несколько большим членом при Р.
Определим Р для ^= 0°; = 6°; ij1F=6° и £2 = 40°:
(1,0654-14,5)6,28-42,7
= 12 200 кг.
1,055 —1,11-0,105
О
1,055—0,693
1.П
0,766
Значение Р для ^ = 0°; £' = 6°; В1р=6° и £2 = 43°:
Р= !-12 + 15-71 6,28-42.7 = 11 900 кг.
0,379
Значение Р для = 0°; = 6°; = 6° и £2 = 46°
Р = М8 + 18 = е 28.42 7 = 12600 кг.
0,407
Из произведенных подсчетов видно, что наименьшие значе-
ния Р получились при £2=43°, причем наибольшее из них Р=
=13,47 т соответствует кольцевой передаче нагрузки от штампа
и при положении пластического кольцевого шарнира в сечении
при ^=0° Несколько меньшее значение Р (13,35 т) получается
при положении пластического кольцевого шарнира в сечении по
грани штампа. Самое малое значение Р (11,9 т) соответствует
предположению о равномерном распределении нагрузки под
штампом и при положении кольцевого пластического шарнира в
сечении = 0°. Фактическое разрушающее усилие было
Р=13т. Ближе всех к этой величине подходит значение
Р= 13,35 т (расхождение 2,5%), соответствующее положению
205
кольцевого пластического шарнира по грани штампа. Давление
штампа к моменту потери куполом несущей способности распре-
деляется по кольцу, соответствующему окружности, близкой
к окружности грани штампа. Деформации к этому моменту уже
далеко вышли из пределов упругих, углы поворота в пластиче-
ских шарнирах стали значительными, а потому если считать, что
пластический шарнир соответствует значению =0°, то нагруз-
ка от штампа передается в виде кольцевой приложенной по гра-
ни штампа. Предположение о равномерном распределении на-
грузки под площадью жесткого штампа в момент потери купо-
лом несущей способности отпадает, и результаты эксперимента
это полностью подтверждают.
Таким образом, из выполненных вычислений видно, что наи-
меньшая разрушающая сила для меридионально-кольцевой схе-
мы разрушения типа I получается для =6° и В2 =43°. Величина
этой разрушающей силы по настоящему расчету получилась
равной Р =13 350 кг. Расхождение с фактической нагрузкой со-
ставляет 2,5%.
Проверим, не может ли быть более опасной меридиональная
схема разрушения. Для этого воспользуемся табл. 10, составлен-
ной для v=l,l. Для купола Б-б-3 фактическое занчение v =
=1,11 очень близко к v =1,1.
В табл. 10 ближайшее значение а к нашему =6° будет
равно а =5°; для него имеем
р = 2тс/^в ( Т 1а#! -f- Нktf -р Т2^2 + Т2^2) ~
= 2тг/?в (Ла0,0094 + 1,204Н + 0,754 Т2 + 0,724 Т'2);
Т^= --- = 118'4 — 15 кг)пог. см;
2кг 6,28-5
и 4-270 о, /
Н =-----------= 24 кг пог. см;
1,055-42,7
Т2 = Т'2 = 29,5 кг/пог. см;
Р = 6,28-42,7[15-0,0094 + 1,204-24 + 29,5(0,754 0,724)] =
= 19 500 кг > 13 350 кг.
Разрушающее усилие для меридиональной схемы даже при
а =5° получилось больше, чем для меридионально-кольцевой
схемы типа I (19,5> 13,35 т), а при а =6° для меридиональной
схемы она будет еще больше.
Таким образом, меридиональная схема разрушения не яв-
ляется опасной. Подсчетов для меридионально-кольцевой схе-
мы разрушения типа II для купола Б-б-3 по тем же соображе-
ниям, какие были изложены ранее, не делаем.
206
4. Купол Б-а
Купол Б-а имеет в своей вершине утолщение в виде усечен-
ного конуса с размерами, указанными на рис. 118. Армирование
купола состоит из наружной и внутренней кольцевой арматуры
диаметром 2 мм из неотожженной проволоки, уложенной спи-
ралью с шагом 100 мм. В вершине купола кольцевая арматура
замыкается в кольцо диаметром 200 мм.
Рис. 118. Купол Б-а. Кольцевая и меридиональная арматура d=2 мм.
В опорном кольце уложено 4&2 мм. Хомуты d = l,37 мм
Меридиональная арматура состоит по каждой из поверхно-
стей (наружной и внутренней) из 16 прутков диаметром 2 мм,
из которых восемь обрываются у верхнего кольца, имеющего
диаметр 200 мм, а остальные восемь стержней состоят из четы-
рех цельных проволок, пересекающихся в вершине купола.
В опорном кольце у наружной и внутренней поверхностей уло-
жено по два витка проволоки диаметром 2 мм. Каждые два вит-
ка выполнены из одной нити. К арматурному каркасу сверху
и снизу были прикреплены коротыши диаметром 6 мм, которые
обеспечивали сохранение защитного слоя 6 мм. Купол загру-
жался вертикальной силой, передающейся через шаровую опо-
ру. Купол загружался ступенями через 1 т. При нагрузке Р=
=20 т образовалось восемь меридиональных трещин, и нагруз-
207
Рис. 119
Рис. 120
. просадка вершины купола в долях наружного радиуса купола;
— _ — смещение по нормали в Четверти купола в долях наружного
радиуса купола; •---- радиальное смещение опорного контура в долях
наружного радиуса купола
Примечание. В просадке купола и смещении в четверти купола не
учтено обмятие катковых опор.
208
ка упала до 16,4 т. При повышении нагрузки до Р=17 т обра-
зовалась замкнутая кольцевая трещина на уровне В2=43н-59О,
и при нагрузке Р=22 т произошел разрыв кольцевой арматуры
по одной из меридиональных трещин.
Разрушение купола показано на рис. 119 и 120. Деформации
купола показаны на рис. 121.
В связи с тем, что армирование купола было выполнено из
твердой неотожженной проволоки, деформации купола к момен-
ту разрушения очень невелики. Так, например, просадка верши-
ны купола по отношению к его наружному радиусу составляла
только е =0,0063, а радиальные смещения опорного контура —
е =0,0057. Радиальное смещение опорного контура е=0,0057
меньше предельной деформации проволоки 6=0,008-^-0,01, по-
видимому, вследствие участия в работе растянутого бетона на
участках между меридиональными трещинами.
а. Расчет купола Б-а
Вследствие того, что купол Б-а имеет возвышение в вершине
(напоминающее по форме шлем), необходимо составить расчет-
ные формулы для меридиональной и меридионально-кольцевой
Рис. 122
схем разрушения с учетом формы поперечного сечения такого
купола. Обозначим через с возвышение поверхности купола в
вершине (рис. 122).
б. Вывод расчетной формулы для меридиональной
схемы разрушения
Момент внутренних сил, воспринимаемых арматурой Л4а, взя-
тый относительно верхнего кольцевого пластического шарнира
при меридиональной схеме разрушения, будет
209
в
sin Со — sin Сг
COS Sj — ----------------
1
So
sin Eo — sin. fcj
в 2
sin /?в
V cos --------—
1 2
где В—угол, соответствующий окончанию меридиональных
трещин.
Момент Мр внешней нагрузки Р, приложенной в вершине ку-
пола, взятый относительно верхнего пластического шарнира,
имеющего радиус гш, при меридиональной схеме разрушения
будет
(10.3)
Мр = Р Т A?Bsin £0 — гш .
Приравнивая значения 7Иа = определим разрушающее
усилие Р.
в. Вывод формулы для меридионально-кольцевой
схемы разрушения типа I шарового купола
со шлемом в вершине при Т2=Тч и Мп=0 для значения
Bi по грани штампа
м; = рв sin еоУ; + 2к/?в>т;(е0 - ?;) + р) +
2
+ 21Г/?ВГ2 (50 — BJ) (£21 + с') = 2т.рвН у; sin Ео +
sinC0—sinCx
So
D
sin £01 cos
2
sin Co —sin C-f
So £2
— M '12v sin S2
где
/ sin Co — sin Ci
^21 = I cos — - -r—
210
в
sin So — sin Sj
v COS S' — ;
1 b-b
sin So — sin Si
в
В этом уравнении угол соответствует месту окончания
армирования кольцевой арматурой.
Уравнения равновесия
2
sin £0 — sin Sj
t
s0-
B 2
(И) 2^^
sin £0 (cos B2
2
sin So— sin S2
—M'^vsin $2 = Р7?в
2 и )
Выделяем из уравнений (I) и (II) члены, содержащие зна-
чение Н, и, приравнивая их, получаем
-— RB sin So — (^b + c)tg Si
-— sin So sin S2
2n/?B
У1
- г
So Si
cos s2 — —
sin So—-sin Si
в ",
cos So.
У1
So
2
t
So — S2
2x sin So —sin Sa
cos S2 —
----COS So
2
So — Sa
Af12^ sin S2
(Ю.4)
COS s2 —
купола при ме-
равно нулю, так
2— cos So I
Определим расчетом несущую способность
ридиональной схеме разрушения. Значение Мп
как угол£1; при котором закончились меридиональные трещины,
равен нулю. Принимая ^=5,5°; =13,5°; £0 =90°; Т2 = Т'2 =
270
= — = 27 кг!пог. см; 7?в = 42,7 см; с = 5 см; гш = 5 см;
211
___47,6 j -j n rr Ztfi 270-4 O/. .
v = —— = 1,1/ и H = —---------------- =-------= 24 кг пог. см.
42,7 l-f-» 1,06-43 1 ’
—— Rb sin So
получаем
P =--------------------= 22 600 кг.
i 4"v
—— RB sin So — >m
Определим разрушающее усилие для меридионально-коль-
цевой схемы разрушения типа I.
Принимаем
14 = 5,5°; В; = 13,5°; Л4п=-0 и
лл' t 7' о* t 270/iz sin £9 270-16-5 г- .
9 sin s2 = sin = -------------— =------------ = 80,5 кг пог. см\
12 1 2rc7?Bsin£2 6,28-42,7 ’ '
с = 5 см\ с' = (1— cos 4- с = 6,34 см\
у; = 52 см\ Т2 = 21 кг'пог. см.
Получаем:
при В2 = 45° Р = 21 800 кг\
а2 = 52° Р = 20 800
е2 = 60° Р = 20 600
е2 = 65° Р = 21 000
е2 70° Р = 22 600
Если принять Bj—18° (начало утолщения); £2 =52° и сохра-
нить все остальные величины, то значение Р будет = 23 200 кг.
Из произведенных подсчетов видно, что самой опасной
схемой разрушения является меридионально-кольцевая типа I
при углах ^=5,5° и £2=60° Разрушающее усилие по ней полу-
чается Рр=20,6 т на 6% меньше фактической разрушающей на-
грузки Рр=22 т. Функция разрушающего усилия для этой схе-
мы в месте своего минимального значения плавно меняется.
Это видно из того, что Рр мин. при £2 =52, 60 и 65° остается все
время постоянной величиной приблизительно равной 20,6—21 т.
Для меридиональной схемы разрушения наименьшая разру-
шающая нагрузка РО=22,6 т тоже близко подходит к фактиче-
ской (больше на 3%). Купол при испытании подтвердил равен-
ство разрушающих усилий для этих двух схем. У купола к мо-
менту разрушения сильно раскрылась кольцевая трещина (при
£2 =52° до 2—3 мм) и можно было ожидать разрушения по ме-
ридионально-кольцевой схеме разрушения типа I, но разруше-
ние произошло по меридиональной схеме.
Подсчетов для купола Б-а для меридионально-кольцевой
схемы типа II по тем же соображениям, что для предыдущих ку-
полов, не делаем.
212
Купол С-1 является пологим с толщиной оболочки 4 см и с
одиночной арматурой (рис. 123).
Армирование купола состоит из кольцевой арматуры диа-
метром 1,95 мм из отожженной проволоки, уложенной в виде
Рис. 123. Купол С-1. Меридиональная и кольцевая арматура d=l,95 мм
из отожженной проволоки
спирали из одной нити проволоки с шагом 40 мм, и из меридио-
нальной арматуры, состоящей из 160 1,95лш (отожженная про-
волока), из которых 1201,95 не доводят на расстояние 50 мм до
вершины купола. В опорном кольце уложено четыре витка’ диа-
метра 1,95 мм из отожженной проволоки; из них непосредствен-
но участвующими в работе опорного кольца следует считать
три витка, так как один (верхний внутренний) относится к коль-
цевой арматуре. К арматурному каркасу сверху и снизу были
прикреплены коротыши диаметром 12 мм.
Купол, так же как и предыдущие купола, опирался на роли-
ковые катки через стальные пластинки, подлитые под опорным
кольцом купола. Общий вид установки купола показан на
рис. 124. Купол С-1 загружался вертикальной нагрузкой, пере-
дающейся через шаровую опору диаметром 10 см. Загружение
велось ступенями через 0,5 т и более часто после образования
трещин. При нагрузке Р=2,5 т образовались первые десять ме-
213
ридиональных трещин. При Р=2,75 т образовалось еще десять
меридиональных трещин. При дальнейшем загружении новых
трещин не образовывалось. Нагрузка далее поднялась только до
Р = 2,85 т, после чего упала до Р = 2,8 т, при которой купол зна-
чительно деформировался без снижения нагрузки (рис. 125).
Состояние купола при Р = 2,85 т показано на рис. 124. При до-
стижении просадки вершиной купола более е = 0,0457 (в долях
Риг 124
наружного радиуса опорного кольца) нагрузка, воспринимае-
мая куполом, стала падать до величины Р = 2,6 т (рис. 126 и
127). При этой нагрузке был слышан треск разрываемой коль-
цевой арматуры. Радиальное смещение опорного контура к
этому моменту достигало величины е = 0,029. Кубиковая проч-
ность для кубиков 20X20X20 см была 7?к=300 кг/см2.
а. Расчет пологого купола
Для пологих куполов, имеющих по опорному контуру спе-
циальное «опорное кольцо, которое отсутствовало во всех осталь-
ных куполах, в расчетные формулы следует внести уточнения,
связанные с углом Вов, определяющим положение центра опор-
ного кольца, где расположен распоо Н, и с углом £от, опре-
214
Рис. 125. Купол С-1
. . просадка вершины купола в долях горизонтального наружного радиуса опорного кольца; — -------------— смещение по нормали в чет-
верти купола во внутреннюю сторону в долях горизонтального наружного радиуса опорного кольца; -------- горизонтальное смещение
опорного контура в наружную сторону в долях горизонтального наружного радиуса опорного кольца
деляющим начало расположения кольцевой арматуры, создаю-
щей силу Т2. С учетом этих уточнений расчетные формулы при-
мут вид [формулы (7.16) и (7.17)] (рис. 128):
а) для меридиональной схемы разрушения
2к/? [ г у . <. у «. t \ I -^u sin £1 ।
Р = ------------- \н sin 600 hH cos — cos 600) + ------ +
sin —Т]и sin Ei ( К
+ г2 Ьн Оот — М COS — Sin + Sin Bjl ;
Рис. 126
Рис. 127
б) для меридионально-кольцевой схемы разрушения типа I
Р /sin е0 —v)Hsin Et _ sin Ео —тв sin _ Ми sin Et
2л cos gj—cos £оо т]в cos ё2—cos £00/ cos cos Еоо
Л4]2 sin
7}в cos £0—cos Еоо
+ /?Лх
41 (Еот — 61) COS £1 — sin Еот + sin 51 _
7]н cos Ei — cos Eoo
(бот — 62) cos E2 — Sin Eot + sin E3
1QB COS E2 COS Eoo
В связи с этими уточнениями
произведем определение разру-
шающих усилий для полотого»
купола С-1.
216
б. Расчет купола С-1
Купол С-1, являясь пологим куполом, разрушился по ме-
ридиональной схеме. Произведем в связи с вышеизложенным!
его расчет для меридиональной Схемы.
Для расчета принимаем
/?н Р ~Н % 59,5-]-0,9-2 2 03"
~ ~R ~ R ~ 59^5 ~~ ’ ’
__Rb R — z 59,5 — 0,9-2 q
~ ~R ЯГ ~ 59?5 ’ ’
$! = 4°50'; sin = 0,084; cos б! = 0,996; Во = 50°50'; sin Во=О,775;:
cos Во = 0,632; Воо = 49°30'; sin Воо = 0,760; cos Воо = 0,649;
Вот = 48°; sin Вот = 0,743; cos Вот = 0,669; Вот - Вх = 0,753;
7’2 = — = — = 29,5 кг'пог. см;
а 4
rr ZQn 118-3 7ее / лл t Z.nzsin^i
Н = -5— ------------- 7,55 кг!пог. см; sin 6,= —1-------------— =
r0 46,2а 27c/?sin£1
118-4 0.9-2 о .
=--------------= 2,27 кг пог. см;
6,28-59 5
2я/? f ТТ . t / t t \ I -Мц Sin .
p = —----------— {HSin £00 (>)„ COS 5] - cos Boo)+ —4—-------1-
Sin £0 — 7]H sin 61 ( К
I -г г /t t \ t • t I • t i) 6,28-59,5
+ ' 2 Ин (Sot — ч) COS 61 — Sin 6OT 4- Sin 61 В = ------------ X
1 HV0T 17 1 0T u| 0,775-1,03-0,064
X (7,55 • 0,76 (1,03 • 0,996 - 0,649)+ +
I 59,5
+ 29,5 [1,03- 0,996-0,743 • 0,996 - 0,743 + 0,084] ] = 543 (2,16 +
4- 0,038 4~ 3,42)= 3 050 кг > 2 800 кг на 9%.
Усилие получилось более фактического на 9%. Покажем, что*
при любом другом угле 6j, большем, чем угол 61=4°50' (со-
ответствующий грани штампа), значение разрушающей нагруз-
ки будет больше. Примем хотя бы значение равным 10°:
sin 6Х = 0,174; cos Bj = 0,985; 60T — = 0,663;
Т2 = — = 29,5 кг)пог. см; Н = 7,55 кг)пог. см;
Мп sin Bi
Zjnzsin^i 118-16-0,9-2
2rc/?sin£1 6,28-59,5
= 9,1 кгсм!пог. см;
217‘
Р = ------6’28,ff'5----- f7,55• 0,76(1,03• 0,985 - 0,649) +~ +
0,775—1,03-0,174}. 59,5
+ 29,5 [1,03-0,663-0,985 — 0,743 + 0,174]} =
= 626 (2,1 4- 0,153 + 3,04) = 3 310 кг > 3 050 кг.
Значение Р получилось больше, чем 3 050 кг, полученные
при = 4°50'.
Проверим, не может ли меридионально-кольцевая схема
разрушения типа I дать меньшее разрушающее усилие, чем
меридиональная схема. Разрушающее усилие определим из вы-
ражения
Р /sin gc — 7]н Sin ё, _ sin ёо — V1B sin S3 \ _ Mi sin Si ।
2к \tqh со sSi—cos ёоо т]в cos ё3—cos ёоо/ cos Si—cos Soo
। Mi2 sin -р#т2 рн ^0T ~~ cos ~sin e°t sin —
7]B cos ё2—cos ёоо L 'Чн cos Si — cos Seo
_ ?]B (Eot —s2) cos s2 — sin Sot + Sin S21
7]B cos S2 — cos Soo J ’
Принимаем
Ej = 4c50'; sin = 0,084; 005^=0,996; Eo = 50°50'; Eoo = 49°3O'
EOT = 48°; Eot- ^ = 0,753; Л4П sin Ej = 2,27
714'2 sin E2 =
Zynz sin ,S2
2kR sin S2
118-17-0,9-2 == g 1
6,28-59,5 ~ ’
кгсм/пог. см\
кгсм\пог. см\
72 = 29,5 кг/пог. см.
Для первого подсчета примем угол Е2 приблизительно сред-
ним между Ех и Е0,а именно Е2 = 50 50 50- 30°, тогда
sinE2 = 0,5; cos Е2 = 0,867; Еот — Е2 = 0,314;
Р /0,775-1,03-0,084 _ 0,775-0,97-0,5 \____________2,27______L
6,28 U,03-0,996 — 0,649 0,97-0,867 — 0,649/ ~ 1,03-0,996 — 0,649 1
+--------—--------+ 59,5-29,5 х
0,97-0,867 — 0,649
х /1,03-0,753-0,996 — 0,743-{-0,084 _ 0,97-0,314-0,867—0,743-{-0,5\
Л t 1,03-0,996— 0,649 0,97-0,867—0,649 /’
откуда
Р = 6,286J*£±47-9 + W- = 7900 кг.
1,835—1,525
Полученная нагрузка 7900 кг на столько больше фактиче-
ской 2,8 т (почти в 3 раза), что определять усилия из меридио-
нально-кольцевой схемы разрушения типа I для других зна-
чений не имеет смысла. Итак, наиболее опасной схемой являет-
218
ся меридиональная при = 4°50' Разрушающее усилие по
ней равно 3,05> 2,8 т на 9%.
Произведем расчет купола С-1 на меридионально-кольце-
вую схему разрушения типа II, приняв = 4°50'; £2 = 25°;
С I с
Ч = 48° (грань опорного кольца)
714 п sin = 2,27 кгсм{пог. см;
п, - /Е34~Е4\ АЛ' • t 118-16-0,9-2 П1 .
7I413 sin 3-- 4 | = Л412 sin Е2 = — =9,1 кгсм1пог. см;
\ 2 J 6,28•d9,5
sin Ej = 0,084; cos Е, = 0,996; - E, = 0,753;
sin E2 = 0,422; cos E2 = 0,906; - E2 = 0,402;
sin = 0,743; cos = 0,669.
2 2
Усилие определим из зависимости
Р /'Sin £3—sin Ei _ 7]н sin Е3 —sin E2 \ =
2k \cos Ei—cos Ез cos E2 — >]h cos E3/
Afn sin Ei — Alia sin Af13sin - + M'l2 sin E2
--------------------— d------------------------
T(H (cos El — cos E3) V]B cos Ег — *]н cos E3
/ ^3 —1~ ^4 \ . E3 d~ Ed . .
Y]H ( 2 — Cl I COS El — Sin —-— + sin El
7jH (cos El— COS Ез)
/Ез + Ed c \ . Ез 4- Ed • t 1
T|B \~~~2 — ) C°S ~~ Sin —2— Sm
TjB cos Ea '^h cos Ез
P / 0,743 — 0,084 __ 1,03-0,743 — 0,97-0,422 \ _
6,28 0,996 — 0,669 0,97-0,906—1,03-0,669 ) ~
= 2,27 — 9,1_____________9,14-9,1___________
1,03 (0,996 — 0,669) + 0,97-0,906—1,03-0,669 +
I nn к on с ГС03-0,753-0,996 —0,743-1-0,084
4~ оУ ,o • 2У,о ---------------------------—
[ 1,03(0,996—0,669)
0,97-0,402-0,906 — 0,743-1-0,422 1 .
0,97-0,906— 1,03-0,669 J ’
P = 6,28-20,3 + 95.4+1 755(0,383-0.W3) = 18550 кг
2,01 — 1,86
Как видим, меридионально-кольцевая схема разрушения
типа II не является опасной, так как разрушающая сила, полу-
ченная по ней, 18,55 т в 6,5 раза больше фактической разру-
шающей нагрузки 2,8 т.
19
6. Купол С-2
Купол С-2 отличается от предыдущего только тем, что коль-
цевая арматура в нем поставлена чаще, а именно через 30 мм,
и в опорном кольце вместо 40 1,95 мм уложено десять вит-
ков неотожженной проволоки диаметром 2 мм (рис. 129). Ку-
пол С-2 подвергался испытаниям дважды: один раз — нагруз-
Рис. 129. Купол С-2. Меридиональная и кольцевая арматура d=l,95 мм
из отожженной проволоки
кой,.передающейся по кругу диаметром 10 см, и второй рав —
нагрузкой, передающейся по кольцу с диаметрами: наружным
33 см и внутренним 23 см.
От первого загружения купол продавился в вершине. Отко-
ловшаяся часть имела диаметр вверху 10 см, а внизу 32 см. От
второго испытания .купол разрушился .по меридиональной «схеме.
а. Первое испытание
Нагрузка давалась ступенями через 0,5 т. При нагрузке
Р = 3 т образовалось пять меридиональных трещин. При на-
грузке Р = 4,5 т появилась на некоторых участках кольцевая
трещина, которая при Р = 5 т замкнулась в кольцо (рис. 130).
220
Кольцевая трещина прошла на участках купола с углами
S2 = 24^-29° При нагрузке Р=5,3 т произошло продавливание
купола под шаровой опорой. Кубиковая прочность
/?к =155 кг! см? (рис. 131).
Деформации купола при первом испытании показаны на
рис. 132. Из графика видно, что деформации в четверти купола
были вначале направлены во внутреннюю сторону, а затем пос-
ле образования кольцевой трещины их направление изменилось
на обратное. Это указывает на то, что если бы не произошло
продавливания, то разрушение купола наступило бы по мери-
дионально-кольцевой схеме разрушения типа I. Проверим это
положение расчетным путем.
Определим разрушающее усилие для меридионально-коль-
цевой схемы разрушения типа I, принимая
5. = 4°20'; I, = 29°; Ео = 49°; Т2 = — = — = 39,3 кг!пог. см-,
а 3
Л4П sin £, = = 118 4 -0,9-1,8 = 1,9 кгсм'1пог. см;
11 1 2к7? 6,28-64 1
М' sin S2 = = 118 16 • 0,9 -1,8 = 7,6 кгсм!пог. см.
12 2яЯ 6,28-64 '
Значение разрушающего усилия определим из зависимости
[формула (7.17)]
Р / sin % — 7]н sin
2я \ 1)н cos Ei — cos Ео
sin е0 — ?]в sin В2 = Мп sin Ei
7]в COS £2— COS COS Ei— cos Eo
Х2 Sin
7]B cos E2— cos Eo
+ RT2 x
Thi (So — S1) COS St — sin Eo — sin Et __ 7]B (Eo — E2) COS E2— sin E<+ sin E2
7]B cos El — COS Eo iqB cos E2 — cos Eo
P / 0,755-1,03-0,076 _ 0,755 — 0,97-0,485 \
6,28 \ 1,03-0,997 — 0,656 0,97-0,875 — 0,656/
_ 1,9__________________7,6________
~~ 1,03-0,997 — 0,656 + 0,97-0,875 — 0,656^
64 39 3 ( 1.03-0,78-0,997 — 0,755 + 0.076 _
+ 1,03-0,997 — 0,656
0,97 + 0,349-0,875 — 0,755 + 0,485 \
0,97-0,875 — 0,656 ?
Здесь
= = 62^2 = 0 9
R 64
221
Рис. 130
Рис. 131
222
Рис. 132. Купол С-2
. . . . просадка вершины купола в долях горизонтального наружного радиуса опорного кольца;----------------смещение по
нормали в четверти купола в долях горизонтального наружного радиуса опорного кольца; --------- горизонтальное смещение
опорного контура в долях горизонтального наружного радиуса опорного кольца
откуда Р=9450 кг.
Распор определим из зависимости
р sin — % sin St Л4ц sin Si
п /\ sin So — ——•
2тс 7]HCOSSi—COS So COS Si— COS So
_ (SoBl) COS Si —sin So 4-sin Si
7]h COS Si — cos So
или
LT ал n-r-e 9450 0,755—1.03-0,076 1.9
Ji • o4 • U.7oo -•--------------------------------------
6,28 1,03-0,997 — 0,656 1,03-0,997 — 0,656
_ 64 39 3 ^03-0>78>0>997 — 0-755+ 0,076
1,03-0,997 — 0,656
откуда /7=40 кг!пог. см.
Если определить разрушающее усилие для меридионально-
кольцевой схемы разрушения типа I при таких же данных, за
исключением угла S2, которое примем не 29°, а меньшее значе-
ние— одно из полученных в опыте— S2 = 24°, то сила Р будет
равна 10150 кг >9450 кг. Не приводя здесь самих вычисле-
ний, укажем, что если подсчитать силу Р исходя из меридио-
нальной схемы разрушения при S1=4°20', то получим Р =
= 12 500 кг > 9450 кг.
И, наконец, если определить силу Р из меридионально-коль-
цевой схемы разрушения типа II, принимая Sj =4°20'; S2 =24°;
S3 = 45° и S4=42°, то получим Р = 48 700 кг > 9450 кг.
Таким образом, из всех рассмотренных здесь схем разруше-
ния самую наименьшую разрушающую силу (Р = 9450 кг) дает
меридионально-кольцевая схема разрушения типа I при
В2 = 29° (S2=29o соответствует опытному значению S2).
Определим при значениях Р=9450 кг и /7=40 кг/пог. см
величину Qa, принимая Sj = 4°20'; So = 49°; Т2 =39,3 кг/пог. см;
Q* = >г-с+ -7/8111 =
2 т. R sin Si
= — 40-0,755 — 39,3-0,78 + - —7 = 247 кг/пог. см.
6,28-64 0,076
Поперечная сила, соответствующая нагрузке Р = 9450 кг
будет
Q = sin а = 247-6,28-64-0,076 = 7550 кг.
Поперечная
при Хо = 0,32:
сила, которая могла быть воспринята бетоном
= 0,32
П 1 (sin “о + sin а) D _
Ч'б — Л0 --------------------—
(1 + ,0) sin а-^
3,14-3,72(0,25+1,06-0,076) = кг
14,5° —4°20'
(1+1,06) sin---------------
224
Здесь было принято а0 = 14,5°; а = 4°20';
= = ^18= 1,06 и /?и= 145 кг/см2.
RB 62,2
Из произведенного расчета видно, что купол должен был
разрушиться ют продавливания, так как поперечная сила, кото-
рую мог воспринять купол (Q6 =3530 кг), значительно меньше
той (Q = 7550 кг), которая возникла бы при достижении купо-
лом разрушения по меридионально-кольцевой схеме типа I. Си-
ла Р, соответствующая поперечной силе Q6=3530 кг, будет
приблизительно равна Р = 9450 = 4430 кг. Купол про-
7550
давился при нагрузке Р = 5300 кг, которая на 20% больше рас-
четной величины 4430 кг.
б. Второе испытание
Купол С-2 при первом испытании был продавлен, а при вто-
ричном испытании кольцевой нагрузкой разрушился по ме-
ридиональной схеме.
Произведем его расчет по меридиональной схеме по уточ-
ненной формуле
Р = . sin^00<4cosSj — cosе00)+
sin 60 —Т]н sin£i I
+ S'n e‘- 4- T~2 hn (Sot — SJ COS S[ — Sin 50T + Sin
J
Примем значение £1=14,5° (угол, соответствующий грани
штампа); sin^=0,25; cos ^=0,968;
= «+5 = 6 W+8 =
R R 64
,в = = R^ = 64-0,9.1,8 =
R R 64 ' ’
Т2 = ~ = — = 39,3 кг/пог. см; И = =
я 3 г0
270-10 ео А
=------= 58,4 кг пог. см;
46,4
м elm?: Zi^sine, 118.16.0,9.1,8 ,
sin Ц = —------- = ---------------- 7,6 кгсмпог. см;
11 1 2x7^ sin 6,28-64 '
= 49°; sin Во = 0,755; cos % = 0,656; £00 = 47,5°;
sin ?00 = 0,738; cos = 0,676; 5ОТ = 46°; sin S0I = 0,719;
cos ?от = 0,695; еот-е1 = 0,55;
Р = 7^77^7^-------[58,4-0,738(1,025 0,968 - 0,676) +
0,755 —1,025-0,25 L v }
+ 7-~ + 39,3(1,025-0,55-0,968 - 0,719 + 0,25)] =
= 805(13,6 + 0,12 + 3,07) = 13 500 кг> 11500 кгна 17%.
225
Определим разрушающее усилие, приняв большее значение
угла Возьмем угол Вх = 20°, тогда sin =0,342; cos ^=0,94;
Вот — Ц= 0,454;
„ 6,28-64
58,4-0,738(1,025-0,94-0,676) 4
0,755—1,025-0,342 [
+ Ь? + 393 (1,025-0,454-0,94 — 0,719 + 0,342) =
64
= 997(12,33 + 0,124-2,36)= 14750 /сг> 13 500 кг.
Возьмем угол $, = 25°, тогда sin Sj = 0,423; cos ^ = 0,907;
S0T - = 0,367;
„ 6,28-64
58,4-0,738(1,025-0,907 - 0,676) +
0,755—1,025-0,423 L
+ 39,3 (1,025 • 0 367 0 907 _ о 719
64
= 1253 (10,94 4- 0,12 4- 1,77) = 16 100 кг
14 750 кг.
Из произведенных подсчетов видно, что наименьшая раз-
рушающая сила при меридиональной схеме получается для
значения = 14,5° по грани штампа. Расчетная разрушающая
сила больше фактической на --------------- 100= 17%.
11500
Произведем проверку на разрушение по меридионально-
кольцевой схеме разрушения типа I.
Принимаем = 14,5°; sin = 0,25; cos 6j = 0,968.
Угол В2 для первого подсчета примем приблизительно сред-
ний между 14,5 и 49°
?2 = 30°; sin ^2 = 0,5; cos ?2 = 0,867; ?от — = 0,55;
!=от - S2 = 0,279;
. г 118-16-0.9-1,8 ,
Л41О sin Во = — ----- = ——— =7,6 кгсмтог. см\
12 2 2nflsine2 6,28-64
Р
2к
sin 80 — sin 6i
T]HCOs£i COS боо
sin Ер — -дв sin 62
7]BCOS COS 600
sin 61
7]Kcos 81 —cos Eoo
M'12 sin 62
7]BCOS 62— cos 600
+ rt2
•^hCBot — 61) COS 61 — sin бот 4- sin 61
7]H COS 62 — COS 600
“Чв (бот — 62) COS 82 — Sin бот 4- sin 62
T]B COS 82 — COS 600
226
откуда
Р / 0,755— 1,025-0,25________0,755-0,975-0,5
6,28 \ 1,025-0,968 — 0,676 0,975-0,867—0,676
___________7,6__________________7,6________
~ 1,025-0,968—0,676 0,975-0,867—0,676 ~Г
сл on О / 1,025-0,55-0,968 — 0,719 + 0,25
+ 64 • 39,о ----------------------------------
1,025-0,968 — 0,676
0,975-0,279-0.867 — 0,719 + 0,5 \
~~ 0,975-0,867 — 0,676 /’
24 + 44,7 + 362
1,58—1,576
Разрушение по меридионально-кольцевой схеме разрушения
типа I при В2 = 30° невозможно. Определять разрушающее уси*
лие по этой схеме для других углов £2 не имеет смысла, так
как усилия будут получаться заведомо большими, чем для
меридиональной схемы. Если бы в процессе расчета член, яв-
ляющийся множителем при Р, получился бы отрицательным,
то это указало бы на наличие обратной схемы разрушения, ко-
торая исключается при недопустимости хрупкого разрушения
(раздробления) сжатой зоны бетона.
Проверку купола С-2 на разрушение по меридионально-
кольцевой схеме разрушения типа II не делаем, как для заведо-
мо менее опасной схемы разрушения. Итак, окончательно раз-
рушающая нагрузка соответствует меридиональной схеме раз-
рушения при Sj =14,5° и равна 13 500 кг, т. е. больше фактиче-
ской 11.500 кг на 17%.
7. Купол Т-1
Купол Т-1 является тонкостенным куполом с толщиной обо-
лочки 1,7 см и с одиночной арматурой (рис. 133).
Армирование купола состоит из кольцевой арматуры диа-
метром 1,95 мм, изготовленной из отожженной проволоки, уло-
женной в виде спирали из одной нити с шагом 31,3 мм, и из ме-
ридиональной арматуры, состоящей из 160 1,95 мм (отожжен-
ная проволока), из которых 12 0 1,95 мм обрываются, не дохо-
дя 50 мм до вершины купола. В опорном кольце уложено два
витка диаметром 2 мм из неотожженной проволоки. К арматур-
ному каркасу снизу были прикреплены коротыши диаметром
6 мм.
Купол был выполнен путем нанесения раствора на арматур-
ный каркас, установленный на внутренней опалубке. При про-
изводстве работ были допущены некоторые неточности, вслед-
ствие чего в нижней части купола на участке около 1/в длины ок-
ружности толщина стенки была увеличена до 3,2 см.
При надевании на низ купола обруча из двух ниток неотож-
женной проволоки диаметром 2 мм был поврежден опорный
Контур купола, вследствие чего он был оперт не на ролики, а
непосредственно на опорную плиту с подливкой на цементном
растворе. Выше первого обруча был надет второй. Нагрузка на
купол передавалась через шаровую опору диаметром 100 мм.
Общий вид установки купола показан на рис. 134. Загружение
купола велось ступенями через 0,5 т.
При нагрузке Р=1,5 т появились меридиональные трещи-
ны. При Р=2 т появились новые меридиональные трещины
Рис. 133. Купол Т-1. Меридиональная и кольцевая арматура
d=l,95 мм из отожженной проволоки
и образовалась кольцевая трещина на некоторых участках ку-
пола. При Р = 2,5 т кольцевая трещина полностью замкнулась.
Меридиональные трещины начинались от шаровой опоры ввер-
ху купола, достигали наибольшего раскрытия в зоне наружной
кольцевой трещины и затухали, далеко не доходя до низа купо-
ла (рис. 135). Максимальная нагрузка достигла величины
Р = 2,55 т, после чего она стала медленно падать, а деформа-
ции — быстро расти. При падении нагрузки до величины
Р = 2,2 т купол внезапно разрушился от продавливания. Заме-
ра деформаций на участке падения нагрузки от Р = 2,55 т до
Р = 2,2 т не производилось. Деформации были замерены уже
после продавливания купола (рис. 136) при Р=0. Вид купола
после продавливания показан на рис. 137. На рис. 138 показан
вид изнутри, на котором отчетливо -видны трещина откола и
линия раздробления сжатой зоны бетона, соответствующая на-
ружной кольцевой трещине. Кубиковая прочность для кубиков
228
Рис. 134
Рис. 135
229
Рис. 136. Купола Т-1
просадка вершины купола в долях наружного радиуса купола; — — — — смещение по нормали в чет-
верти купола в долях наружного радиуса купола;-----горизонтальное смещение опорного контура в долях
наружного радиуса купола
7X7X7 см была /?7 = 321 кг/см2, а для кубиков 20X20X20 см —
7?к = 270 кг}см2. Разрушение купола Т-2 произошло по меридио-
нально-кольцевой схеме разрушения типа II, так как продавли-
вание купола произошло уже после падения нагрузки с 2,55
до 2,2 т.
Величины трещин при Р = 2,55 т были: меридиональных
0,7 мм, кольцевой 0,8 мм. Как указывалось ранее, деформации
при Р=2,2 т не смогли быть уловлены, но они были значитель-
но больше, чем при Р = 2,55 т. Можно считать установленным,
что продавливание произошло при значительном раскрытии
кольцевых трещин (как наружной, так и внутренней — трещины
откола).
Рис. 137
Рис. 138
Как будет видно из дальнейшего расчета на разрушение по
меридионально-кольцевой схеме разрушения типа I, нужно бы-
ло бы значительно большее усилйе, чем для меридионально-
кольцевой схемы разрушения типа II.
В куполе Т-1 кольцевая наружная трещина образовалась в
пределах углов ^=21-4-25°, внутренние кольцевые: верхняя —
при ^=6,5°, нижняя — при £3 =38-4-58° Средний угол =22,5°
Определим разрушающее усилие Р в предположении мери-
дионально-кольцевой схемы разрушения типа I с тем, чтобы в
дальнейшем больше не возвращаться к вопросу о вероятности
этой схемы разрушения.
Принимаем
= 6,5' = 22,5°; е0 = 83,5°;
>1В = ~ = 0,99;
43,5 43,5
z = 0,5 см; Т2 = — = = 37,7 кг/пог. см;
231
М’12 sin $2 = -b^sin =
12 2к/? sin е2
Ж11sin *1 = = 1-75 2 - °-875 кгсм.1см.
6,28-43,5 '
Значение Р найдем из зависимости [формула (7.17)]
sin Ei
1н cos & — cos Ео
sin Eo — t]h sin gj
118-16-z о г
6,28-43,5 = 1Z = 3’5 кгС^>
sinEp — 1в sin E2
\ tqh cos Ei — cos Eo 1b cos E2— cos Eo
27uAfJ2 sin E2
1b cos E2—cos Eo
1b (So — 62) cos E2— Sin Eo + sin E2'
1н COS — cos Eo
1в cos Е3 — cos Ео
Подставляя цифры, получим
р /0,994 — 1,01 -0,113
4,01-0,994 — 0,113
5,5
0,994 —0,99-0.383\
0,99-0,924 — 0,113/ ~
________22_________
1,1-0,994 — 0,113 ‘ 0,99-0,924 —0,113
о77Г 1,01-1,345-0,994 —(0,994 — 0,113)
L 1,01.0,994 — 0,113
0,99-1,065 — 0,924 —(0,994 — 0,383 '
0,99-0,924 — 0,113
откуда
= 3600 кг.
0,221
Полученное значение P = 3600 кг на 41®/o больше фактиче-
ского усилия Р = 2550 кг.
Если определим распор Н, то увидим, что он имеет отрица-
тельное значение:
sin Ер — т]в sin E2 _
1b cos E2— cos Eo
. -Чв (6q — 62) cos E2— sin Eq+ sin £2
sin Eo (1b cos E2 — cos Eo)
, 27,43 ~ 0.453 c
_i_ -------------37 7--------— — 6,42 кг пог. см.
43,5-0,994 0,994
2к/? sin Eo
X2 sin
#SinEo(lBCOS E2—cos Eo)
3600
6,28-43,5-0,994
2
Отрицательное значение распора указывает на то, что опор-
ный контур купола сжат, а это, в свою очередь, означает, что
разрушение по меридиально-кольцевюй схеме типа I при от-
сутствии сильной меридиальной арматуры невозможно. Отсюда
следует, что единственно возможной схемой разрушения может
быть только меридионально-кольцевая типа II.
Произведем расчет для меридионально-кольцевой схемы
разрушения типа II.
232
Разрушающее усилие Р определим из зависимости
sin 63 — sin Ei
cos gj — cos E3
ЛЛ • r к 63 “Г 64
Ml sin El— М3 sin —-—
7]h(cos El —COS Ез)
7]h sing3 —iqb sin E2
f]B COS £2 t^h COS 63
М13 sin
"rt4 1 ./ . Л
-—4-m12 sm e2
7]в COS 62 — TjH COS 63
2тг
1.3 т 4 , \
7]h I—-----------— 61 I COS 6j — sin
2
2
1)H (cos Ei — cos Ea)
— Е2 cos 62 — Sin
•2
2
T)B cos & —Ин cos 63
118-16Z
6,28-43,5
•'KH
—
Для расчета принимаем следующие значения входящих в фор-
мулу величин:
44 1 л/г • t Il8-I6z sin Е
- = ----= l,0l; М sin 6 =---------------- =
43,5 2тг/? sin Е
Tie = — ”= 0,99; Мп sin ?!= 118'4z
4в 43,5 и i 6,28-43,5
118
Т2 =-----= 37,7 кг1пог. см; z = 0,5 см; 63 = 64.
3,13
= l,75z;
Подставляя цифры, получим
р / sin Е3— sin El 1,01 sin Ез — 0,99sinE2\ —16,3
\ cos Ei — cos Ез 0,99 cos E2—1,01 cos E3/ cosEi—cosE3
44 10 300 Г1,01 ~ cos €1 ~sin sin €1
0,99cos E2—l,01cosE3 1,01 (cosEi — cosE3)
_ 0.99 (E3 — 62) cos E2 ~ sin E3 + sin 62~
0,99 cos E2 —1,01 cos Ез J
Вычисление величины P выполним в табличной форме для
значений =6,5°; £2 = 20, 25 и 30° и £3 =•40, 50, 60, 70 и
83,5° (табл. 33).
Из таблицы видно, что наименьшее значение силы Р по-
лучилось равным 2780 кг при значениях £2 = 25° и £3 = 50°
Полученное значение Р = 2780 кг больше фактического значе-
ния Р = 2550 кг на 9°/о.
Величина распора Н, соответствующего найденному значе-
нию Р, определится из зависимости
sinе3 = A.sin'^-sine.-----Ajnsine, +
*2х cos Ei—cos Ез ^(cos Ei—cos Ез)
Мз sin Ез p p ~^H (63 ~ 61) cos El— Sin E3 + sin 61
t]h (cos Ei— cos Ез) (cos Ei — cos E3)
233
2_™ 1 86 _ . 0,375 3,5
6,28 1,01-0,351 1 1,01-0,351
- 43,5 • 37,7 • 0,302> 335 кг\
н 1,01.43,5.0,™- 9>95 «г/пог. сж. Т а б л"и ц 33
А Б в Г Б + В + Г m L. + aq «ч; + Ч II 0.
ся ULF С СО СП СП •лг С V) о 4“^ £ GO 1 « ULF СО « J. UP со о о о 1^ UUF со о о Ъ) СП о rt со о о ULP СО о о ии V ” С 2 1 1 V С G о СП иГ СО О о »—< о 1 с* мг со о о» 05 о UUF С СО 1 и ULP a *со о о ULF 1 « Z Т-Н о 1— С С с* С [ l,01(cosEi~cos^3) 0,99(?3-E.2)cos?2—(sin?3—sin?,) СП CO О о О 1 еч UJ4 со О О СП СП о !
в град.
20 40 50 60 70 83,5 0,325 0,310 0,265 0,225 0,185 —71 —46 —33 -25 -18 282 157 103 75 53 968 804 794 720 720 1 179 915 864 770 755 3620 2 950 3260 3420 4 080
25 40 50 60 70 83.5 0,445 0,435 0,367 0,315 0,292 —71 —46 -33 —25 —18 361 177 112 80 56 1 290 1-080 997 945 916 1 580 1211 1076 1 000 954 3550 2 780 2 930 3170 3 270
30 40 50 60 70 83,5 0,455 0,514 0,449 0,382 0,315 —75 —46 —33 —25 —18 530 212 125 86 59 1690 1470 1 445 1 255 1 215 2 149 1636 1 537 1 316 1 256 4 730 3180 3 430 3 450 3 980
Определим поперечную силу Qa для нагрузки Р = 2550 кг в
предположении, что значение Н будет уменьшаться пропорцио-
нально уменьшению нагрузки Р, т. е. /7=9,95 ?-^-°=9,13 кг!пог. см
r COS Я г г . f. .
= —-----------/tv sin L — T2(L — a) =
2л/? sin a 3 2V 3 /
= — 9,13 • 1,02 • 0,766 — 37,7 • 0,76 +
2550 0.994
mw-оТШ = 46'15 кг,пог'см’
234
где
= 1,02;
а = 6,5°.
Поперечная сила, передающаяся на бетон:
Q = Qa2ir/?sina = 46,15-6,28-43,5-0,113> 1430 кг.
Определяем значение Хо из зависимости
Q(l+v0)sin -
л0 —
До — а
2
«А2/?и (sin a0 + v sin a)
1430(1 4-1,04)0,0785 _Q 28
3,14-1,72-235 (0,267 + 1,04-0,113)
где
vo
= 1,04;
42,7
а0 — а = 15,5 — 6,5 = 9°;
/?и = 235 кг!см2 (при RK = 270 кг!см2).
Значение коэффициента Хо здесь получено заниженным по
сравнению с его действительной величиной, так как при
Р = 2550 кг разрушения от продавливания не наступило. Сле-
довательно, коэффициент Хо при этой нагрузке был больше
0,28. Разрушение от продавливания наступило значительно поз-
же, хотя и при меньшей нагрузке, но зато уже при сильно рас-
крывшихся кольцевых и косых Трещинах, при которых купол
следовало считать уже разрушившимся.
8. Купол Т-2
Купол Т-2 является тонкостенным куполом с толщиной обо-
лочки 1 см и с одиночной арматурой (рис. 139).
Армирование купола состоит из кольцевой арматуры диа-
метром 1,35 мм, изготовленной из отожженной проволоки, уло-
женной в виде спирали из одной нити с шагом 17,5 мм, и из
меридиональной арматуры, состоящей из 1601,95 мм (отож-
женная проволока), из которых 12 0 1,95 мм обрываются, не
доходя 40 мм до вершины купола. К арматурному каркасу сни-
зу были прикреплены коротыши диаметром 5 мм.
Купол Т-2 по плану должен был повторить картину разру-
шения купола Т-1 (не совсем удачно выполненного) только с бо-
лее тонкой оболочкой. Поскольку эксперимент с куполом Т-1
подтвердил теоретический прогноз о разрушении его по мери-
дионально-кольцевой схеме типа II, то в куполе Т-2 заранее нс
было поставлено никакого опорного кольца.
235
Купол был установлен на 24 роликовые опоры. Стальные
ролики диаметром 6 мм (из роликоподшипников) были уста-
новлены между стальными пластинками. Верхние пластинки
были подлиты на цементе к куполу, а нижние пластинки лежа-
ли на опорной плите (рис. 140).
Общий вид разрушившегося купола показан на рис. 141. Ку-
пол загружался в вершине через шаровую опору диаметром
10 см. Нагрузка давалась ступенями через 200 кг. При
Р=Л 200 кг образовались первые меридиональные трещины.
Рис. 139. Купол Т-2. Меридиональная арматура d=l,95 мм.
Кольцевая арматура d=l,35 мм. Арматура из отожженной
проволоки
При достижении нагрузкой величины Р=1545 кг образовались
новые меридиональные трещины и кольцевые: наружная и две
внутренние. Нагрузка упала до 1360 кг и устойчиво держалась
на этом уровне при значительном росте деформаций (рис. 142).
При дальнейшем загружении нагрузка стала падать, а де-
формации — сильно расти (рис. 143). Испытание прекратили
при достижении нагрузкой величины Р=800 кг. Кубиковая
прочность образца размером 7X7X7 см была Т?7=400 кг/см2
Купол разрушился по меридионально-кольцевой схеме разру-
шения типа II. Наличие всех трех кольцевых пластических шар-
ниров видно на рис. 144, представляющем собой вид купола
изнутри.
Определим расчетное значение разрушающего усилия Р для
меридионально-кольцевой схемы разрушения типа II. Верхняя
внутренняя кольцевая трещина образовалась при =6,5°
236
Наружная кольцевая трещина образовалась при значениях
62 =20н- 23°. Нижние внутренние кольцевые трещины образо-
вались при значениях £3 =28-4-45° Значение усилия Р опре-
деляется из зависимости
р /sin Е3— sin & __ у]н sin Е3 — igB sin 62 \ = 2к (Мп sin g, — M13 sin Е3)
\cos5i—COSg3 7]в COS g2— 7]HCOS$3/ Т)н (cos 6i — COS g3)
2к (Л113 sin e3 +M'12 sin g2)
7]B cos cos £3
+ 2k/? T2
—£1) cos — sin e3 -j- sin
7]H (cos Si — cos 63)
(E3 — E2) cos E2— sin + sin 69
7]B COS g2 — 7]H COS
Puc. 140
Puc. 141
Для расчете примем следующие
величин:
значения входящих в формулу
н
— = 1,005;
430
Т]в
в
— = 0,995;
430
• __ ^2
а
41
175 = 23,4 Kzjtioz. см.
ЛЛ • t Z,72ZSin 61
sin L = —?-----------------
2к/? sin 6Х
М sin $ = =
2л/?
= 118'4 z = 1,75г = 0,79 кгсм!см\
6,28-43 ’ 7
118 - 16г „ о 1 г /
-------= 7г = 3,15 кгсм смд
6,28-43
2я7? Г2 = 6,28 • 43 • 23,4 = 6 340 кг-
237
Кольцевая трещина
Л / \
1 / / !м ери дио нс 7льные гг рещины р
1 1/ ! / ! г
1 / ! / // Z
1 t 1 I 1 ! 1 • и/
1 1 1 1 1_ЛЧ— А
1 1
f [ 1
/7 ----1---------------------------------L----------------------------------------------------------г£
0,0005 0Р01 0,002 0,000 0,006 0,008 0,01
Рис. 142. Купол Т-2
просадка вершины купола в долях наружного радиуса купола; _ _ _ смещение по норма-
ли в получетвертях купола в долях наружного радиуса купола; -------- горизонтальное смещение опор-
ного контура во внутрь купола в долях наружного радиуса'
sin — ^13 sin.£3) = — 14'75 кгсм1см\
2т (7И13 sin £3 + sin У = 39>5 кгсм)см.
Подставляем цифровые значения в выражение для Р
р /sin £3— sin 1,005 sin £3 — 0,995 sin £2 \ 14,75 ।
\cos£i—cos 6з 0,995 cos 62— 1,005 cos£3/ cos cos £3
,39,5 б340 Г1,005 (Е3 — 61) cos 6 — sin Е3 + sin 6г
0,995 cos 62—1,005 cos 63 L 1,005 (cos 61— cos£3)
0,995 (63 — 62) cos 62 — sin%3 4 sin Ег
0,995 cos 62— 1,005 cos 6-
Puc. 143
Puc. 144
Вычисления значений P выполним в табличной форме для
£1=6,5°; £2= 18, 20, 22 и 25°; £3 = 30, 35,40, 45 и 50°(табл. 34;
Из таблицы видно, что наименьшая разрушающая сила
Р~ 1425 кг (показана в рамке) получается при£2=20° и
£3 =45°, т. е. в пределах фактических значений углов £2 и £3,
полученных в эксперименте. Фактическая разрушающая нагруз-
ка была Ро = 1360 кг, так как несколько большая величина
(1545 кг) была получена еще до образования кольцевых пла-
стических шарниров за счет работы растянутой зоны бетона.
После выключения из работы бетона на растяжение нагрузка
устойчиво держалась на уровне Р=1360 кг.
Расхождение между расчетной величиной нагрузки
Р=1425 кг и фактическим ее значением Рф = 1360 кг состав-
ляет приблизительно 5%.
239
Таблица 34
Таблица значений Р для тонкого купола Т-2
5з sing3—singj 1,00581^.,-• 0,995 sin 4 О иэ о O' 1 co о о Ю СП о со О О *со О О ю г* 7 Б *со О О |_ *со О О Ю О? со в *00 о ю о сэ *со О аэ о fl ,005(^3—g1)cos^j—(sings—singj) г \ 3 1 t Y II о CO О О * О 3 L io 1 о a Ю о 7 о О ai i Б + В+Г n Б+В+Г P= — в кг A
в град. « I u=> 1
18 30 35 40 45 50 55 0,41 0,425 0,395 0,35 0,305 0,28 —115 —84 —65 -51 -42 —35 527 324 226 168 132,5 107 526 501 456 425 374 361 818 767 630 549 468,5 433 1995 1830 1595 1570 1540 1550
20 30 35 40 45 50 0,47 0,52 0,465 0,425 0,37 -115 —84 -65 —51 —42 607 350 239 175 136,5 595 602 532 481 462 1087 868 706 605 556,5 2310 1670 1520 |1 425| 1510
22 30 35 40 45 50 0,52 0,56 0,525 0,475 0,416 —115 —84 —65 —51 —42 759 399 260 186 142,5 672 660 592 552 526 1316 975 787 687 626 2 530 1 740 1500 1 445 1505
25 30 35 40 45 50 | 0,41 0,63 0,6 0,55 [ 0,48 —115 -84 —65 —51 -42 1 270 507 302 207 155 855 843 780 690 659 2 010 1266 1017 846 772 4 900 2 010 1695 1540 1610
§ 11. СВОДНАЯ ТАБЛИЦА РАСЧЕТНЫХ И ФАКТИЧЕСКИХ
НАГРУЗОК
На -основании выполненных расчетов приводим сводную таб-
лицу расчетных и фактических нагрузок куполов.
240
п от Б-6-3
Меридиональная Меридиональ- но-кольцевая типа I То же, типа II Меридиональная Меридиональ- но-кольцевая типа I То же Меридиональ- но-кольцевая типа I Меридио- нальная
<гг» <т» <т т <т» <т» Ч 1i “i li II II (ОД СО 4^ «— 4Ь. Сл О О О О О О Сл ° о ° о >гп е*> 1 11 00 о ll ll ll ll Сл >— >-* Сл - 00 00- Сл о о Сл -9 ~' ° <т» tfr» <m <m <m <m tfr» <n to to to to to Ы to to IO II II II II II II II II II 1 1 ooooooooo <m | "l 11 о о от 0 «9 -9 •m <m <гг» <rt <m <m tn to to to to to to to w 1 II II II II II II II II oooooooo
<ГП 1 111 ч 1 1 1111 1 1 1 11 СЛ I i i i i gii ii i 1 111 c8g<? 1 .1.
3,05 3,31 7,9 18,55 . 22,6 23,4 I 26,5 23,2 23,3 25,2 21,8 20,8 20,6 21 22,6 14,1 13,42 13,35 14,05 14,7 13,6 13,47 14,15 19,6
I 112 1 1 1 I | 1 | | | ) 1 1 1 I 1 1 Sil
1 1 it 1 11,1 1 1 1 1 1 1 $ сл 1 Г 1 1 1 1 “I 1 Сл
Фактическое разру- gg 5 д *
шение по меридиональ-
ной схеме з4 ?а ?
241
Б-б-1 Б-б-2 Купола
Меридио- нальная Меридиональ- но-кольцевая типа I Меридиональ- но-кольцевая типа I То же Меридио- нальная Схема разрушения
тт О О т <гп и ю и 1! II II О) СЛ Сл СД О Сл ООО <гг» <гт» | Il II 8 8 8 о о о <т» <гг» <т <гп <т <гг» W W Isi Ю Ь5 W II IIIIII IIII gggggg О О О 0 0 о Расчетные углы
1 1 1II о 'll 1 1 1 1 1 1 £ о Фактические углы
33,7 37,6 36 38,2 43 41,3 40,3 42 61,2 51,8 28,7 Расчетная нагрузка в т
1 1 1 -й 00 £1 1 1 1 1 1 Фактическая нагрузка в т
Illi Сл |_| 1 1 1 1 1 Расхождение в ?-
Прнмеч
Сводная таблица расчетных и фактических нагрузок
р ND Купол а
Меридиональ- но-кольцевая типа II То же Меридиональ- но-кольцевая типа I Меридиональная Меридиональ- но-кольцевая типа I Схема разрушения
rfV» <гг» “l ’ll Си „9 О гг» <т <т <т <гг» <т Il 11 II Il II 11 сп 0 о О о ю II Сл О II II II II II II сл ° ° ° о to II о l/т» <гг» <ггг <т Il ’ll 11 “l *-* tO ND ‘ СЛ О 4^ Сл ° °СЛ .9 ° 7т» ю gl 11 о Расчетные углы
1 и & 1 1 gi Ot т» «т > to rfT» II .1. II 11 , О 43 о- I- °-|-^ 1 1 1 1 1 <ГГГ II || СЛ о Фактические углы
о> 3,55 2,78 2,93 3,17 3,27 3,62 2,95 3,26 3,42 4,08 13,5 14,75 16,1 оо Расчетная нагрузка в т
1 1 1 1 । Si। । । । । । Сл III? Фактическая нагрузка в т
1 1 1 1 +11 1 1 1 1 1 СО 11 |± Расхождение в %
Примечание
Продолжение табл.
Продолжение табл. 35
Купола
Схемы Расчетные
разрушения углы
Т=2
Меридиональ-
но-кольцевая
типа II
То же
^=6,5°; 62=22°;
63=ЗО°;
6з=35°
1з=45°
е3=50°
6з=40°
2,53
1,74
1,5
1,44
1,5
^=6,5°; е2=25°
63=ЗО°
6з=35°
4,9
2,01
1,69
1,54
1,61
=40°
=45°
=50°
§ 12. СОПОСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАСЧЕТА
КУПОЛОВ ПО УПРУГОМУ СПОСОБУ С ЭКСПЕРИМЕН-
ТАЛЬНЫМИ ДАННЫМИ
Для сопоставления результатов расчета, выполненного в
предположении работы купола Т-2 (рис. 139) в упругой ста-
дии, с результатами экспериментальных исследований выпол-
ним вначале расчет купола по так называемой безмоментной
теории.
Усилия, возникающие в шаровом куполе от нагрузки Р бу-
дут:
меридиональное усилие
Т1 =----------
sin5 6
кольцевое усилие
Т° = />/?— Г°= — го =---------
2 2 1 1 2т.Р sin2 6
При значениях R =0,43 м и h = 0,01 м будем иметь следую-
щие усилия TJ и Т° (табл. 36).
Несущая способность купола будет определяться предельным
значением усилия, воспринимаемого растянутой кольцевой ар-
матурой
Т2 = — = = 23,4 кг/пог. см = 2340 кг/пог. см.
16*
243
Таблица 36
Е в град. 7? ~о 1 2 £ в град. т° 7 2
6,5 1 (-) 29 Р 45 ОдГр
15 14,3 п 14,3 „ 60 0,53 „ 0,53 „
25 2,08 2,08 „ 75 0,4 „ 0,4 „
35 1,12 „ 1,12 „ 90 0,37 0,37
Несущая способность определяется предельным усилием
воспринимаемым кольцевой растянутой арматурой
7? = — “ == 23,4 кг!пог. см.
Разрушающее усилие Р будет
Р = — = — = 80,5 кг < 1360 кг,
29 29
т. е. в 17 раз меньше, чем фактическое усилие.
Купол фактически воспринял нагрузку, равную 1360 кг.
Отсюда видно, что безмоментная теория не может дать даже
приблизительно верных результатов при малых углах В.
Произведем расчет этого же купола по моментной теории,
в частности, по формулам проф. А. И. Лурье1, выведенным им
для сосредоточенной нагрузки, приложенной в вершине купола.
Из юбщих выражений, приведенных проф. Лурье на стр. 130,
можно вывести формулы:
где у — постоянная Эйлера, равная 0,577; S = 6,5° = 0,113;
k =
4f 3(^ — 1)
]/ nfi
4f~3 (6* —1)
/ ₽
— =1,31-6,56= 86;
1
А. И. Лурье, Статика тонкостенных упругих оболочек, Гостехиздат,
1947.
244
jkk
УТ
(1 + —)
\ m)
0,577-8,6-0,113/, J\ 0 462.
1,414 \ 6 J ’ '
In -^fl + —]= -0,772.
/2 1 т m)
Подставляя цифры, получим
At. =----— [о,5 fl - —) - 0,7721 = + 0,0282 Т3;
1 4-3,m \ 6 ) J
Л12=------— [о,5 (--------1] — 0,772] = + 0,0945 Р;
2 4-3,14 [ 6 ) J
г» = р 17 » . _L\ _ IJ_____П х
2-3,14-43 [\ 0,113’ 3 ) 3/
X (1 — 3'Д^-ба 0,H32)j = 0,217т3;
Р /3,14-8,6’
2-3,14-43\ 4
— = 0,214т3.
Наиболее опасным в смысле
ное действие силы в кольцевом
для этого направления будет
разрушения будет внецентрен-
направлении. Эксцентрицитет
М2
е0 = —
° то
2 2
0,0945 Р
0,214Р
см.
Так как арматура одиночная и расположена в середине се-
чения, то е=е0.
Уравнения равновесия:
TVp£ = ЛоЬЬо7? и *,
А/р =-uobho/?„ — Г2.
Из совместного решения этих уравнений имеем
Л0Ы12/?и — ^obho/?He + Т2е = 0.
При /?К2о = 0,85 Т?к7 = 0,85-400 = 340 кг/см2; 7?и = 285 кг/см2}
ЬЬО/?И= 1 -0,5-285 = 142,5 кг!пог. см\
bho/?„ = 1 -0,52-285 = 71,25 кгсм1пог. см\
Т2е=— е= £=23,4 -0,44 = 10,3 кгсм}см имеем
-и0(1 -О,5-уо)71,25-г/о 142,5-0,44-г 10,3 = 0,
откуда у0=0,77>0,55; следовательно, имеет место внецентрен-
ное действие силы с малым эксцентрицитетом.
Усилие при малом эксцентрицитете будет
70 кт °’4Ы1оЯИ 0,4-71,25 ,
7$= Nd = -------- = —-------— = 65 кг пог. см.
2 р е 0,44 1
245
Разрушающее усилие
Т°
7 2
0,214
Р =
------= 304 кг < 1360 кг,
0,214
т. е. в 4,5 раза меньше фактического.
Расчет по моментной теории дал несколько большее значе-
ние для разрушающего усилия, но все же его полученное значе-
ние, равное 304 кг, в 4,5 раза менее фактического усилия, рав-
ного 1360 кг.
Произведем подобный же расчет по моментной теории ку-
пола С-1 (рис. 123) при значениях
5 = 4°50' = 0,0845; k = 1,31 j /А = 1,31 = 5,05;
I/ h 4
4(1 + -Д = .°-57.7_-.5i9:5-£jglL/i + = 0,203-
/2 k т / 1,411 ^ 6 /
in W1 + —\ = ln 0,203 =-1,595.
У2 \ mJ
Усилия будут
7-0 = r/_L + и _ /_L _ _LWj _ ^1 =
2nR L\ t? Г 3 I \ P 3 Д 4 /J
_ p 17 1 + _L\ _ /_!____________________L'l x
6,28-59,5[\0,08452 ' 3 ) l,0,08455 3 )
X (1 — 3i*h^..0,08452jj = 0,0535P;
= — = 0,0535 P-
SR 8-t9,5
Эксцентрицитет для кольцевого направления
Л42 0.16Р о
eG == е = — = — ------= 3 см.
0,05i)5P
246
Уравнения равновесия
Nte = Л0ЬЬ2/?и; 7Vp = fobhoA’„ — Т2.
Из совместного решения уравнений равновесия имеем
VO (1 — 0,5 i»0) bhgZ?» — ‘Z)obhe/?„e + Т2е = 0.
Подставляем значения
Ри = 250 kzJcm\ bh0/?H = 1 • 2 • 250 = 500 кг[пог. см\
bh2/?H = 1 -22-250= 1000 kzcmJtloz. см\
Т2е = — е=— £ = 29,5-3 = 88,5 kzcmIiioz. см\
а 4
1000 - 500 - v0 500 • 3+88,5 0,
откуда
^0 = 0,153; ло = 770(1 -0,5^) = 0,141;
NP= Т2 = ЬЬО7?И — Г2 = 0,153.500 — 29,5 = 47 Kzjnoz. см.
Разрушающее усилие
0,0535 0,0535
Фактическое разрушающее усилие для купола С-1 было рав-
но 2800 кг.
Расчет по упругой стадии в данном случае дал заниженное
значение несущей способности в 3 раза.
Произведем еще один расчет по упругой стадии работы
для купола Б-б-3 (см. рис. 115) при значениях
е = 6° = 0,105;
£=1,31 1/^-^-= >>311/ + = 3-46;
Я/1 + 1U 0.577.3,46.0,105 Л , J\ 0 173-
/2 \ m ) 1, ч!4 \ 6 )
In +fl + — }-In 0,173 = — 1,755.
у 2 \ mJ
Усилия будут
0_ _ П _р_ /3,14.3,46- _ 0,0321 Р:
2 \ 4 3 / 6,28-4о,2\ 4 3 /
247
=------— Го,5 (— - Й - 1,7551 =0,1725Р.
4-3.14 L \ 6 ) J
Эксцентрицитет для кольцевого направления
e = eQ-\--^--а = 5,37 4-~ — 0,9 = 7,5 см.
Уравнения равновесия
7Vp =-Z7obho/?H — Т2.
Из совместного решения этих уравнений при подстановке
значений
/?и = 265 кг>см?;
bh07?H = 1 -5,6-265 = 1485 Kzfnoz. см;
Ьй2/?и = 1 -5,63 -265 = 8320 KZCMjnoz. см;
Т2-=^ — = —--29,5 Kzjnoz. см;
7^ = 29,5-7,5 = 221 KZQM/noz. см;
ЬЬ07?ие — 1485-7,5 — 11150 KZCMjnoz. см
получим
8320 - 4160^ -11150^ + 221 =0,
откуда
V = 0,07 <2— = 2 = 0,25-
h„ 5,6
Определим силу ЛГр без учета сжатой арматуры:
/Vp = Tq2 *= -z/6bh07?H — Т2 = 0,07• 1485 — 29,5 = 74,5 Kzjtioz.cM,
откуда разрушающее усилие
0,0321
74,5
0,0321
= 2 320 kz
13000 kz,
что в 5,5 раза меньше фактического усилия.
Купол разрушился при Р= 13 000 кг.
Из приведенных выше расчетов видно, что результаты рас-
чета, выполненного в предположении работы конструкции в уп-
ругой стадии, в несколько раз расходятся с результатами экс-
периментальных исследований.
248
Расчет в предположении работы купола в упругой стадии
в большой степени не доучитывает его реальной несущей спо-
собности.
Расчет для упругой стадии, выполненный для куполов с раз-
ными схемами разрушения — меридиональной (С-1), меридио-
нально-кольцевой типа I (Б-б-3) и меридионально-кольцевой
типа II (Т-2), — показал, что недоучет реальной несущей способ-
ности, получаемый по этому расчету, составляет от 3 до 5 раз.
Расчет же всех испытанных куполов по методу предельного рав-
новесия дал результаты, расходящиеся с данными, получен-
ными из эксперимента, всего лишь на 9—17%.
§ 13. ЭФФЕКТИВНОСТЬ РАЗЛИЧНЫХ видов
АРМИРОВАНИЯ КУПОЛОВ
Рассмотрим эффективность меридионального и кольцевого
армирования, а также эффективность армирования опорного
кольца купола. Судить об эффективности того или иного
вида армирования можно по коэффициенту эффективности х
представляющему собой отношение разрушающего усилия к
весу или -объему арматуры, употребленному на армирование:
<13Л)
Будем рассматривать армирование купола в виде равномер-
ного слоя металла толщиной F, покрывающего поверхность ку-
пола.
Для кольцевого армирования значение F2 определится как
результат деления площади витка /а2 на шаг витка а:
/?2= — (13.2)
а
Для меридионального армирования будем полагать, что
прутки, идущие к вершине купола, постепенно обрываются та-
ким образом, чтобы средний шаг между ними все время сохра-
нялся постоянным. В этом случае приведенная толщина мери-
дионального армирования F\ будет определяться так же, как и
для кольцевого армирования.
Рассмотрим эффективность армирования для шаровых ку-
полов, нагруженных сосредоточенной силой Р в вершине купола
и разрушающихся по меридиональной, меридионально-кольце-
вой типа I и меридионально-кольцевой типа II схемам разру-
шения. Усилия можно выразить через площади армирования
следующим образом:
7^2 = Т2 = I
249
В свою очередь приведенные площади армирования можно
выразить через объемы арматуры V и площади S поверхностей
армирования и периметр опорного кольца:
F = — = 1/1 • F =
1 S, ’ 1 ’
S2 2к/?2 2kV^2
(13.4)
Подставляя эти значения в выражения для усилий, получим
1 2к/?2 2х^
^2gp . у __ ^2°Р . и _
2.^'’ 2 “2x^4 -2яр±1Д2
(13.5)
Рассмотрим меридиональную схему разрушения (см. рис. 49).
Разрушающее усилие для этой схемы будет при а = 0 и выра-
жается оно при v = 1,1 через усилия в арматуре следующим об-
разом:
р = 2т.р (бТ1а 4-1,177 + 0,69472 4- 0,658 Тг).
Подставим сюда усилия, выраженные через объемы армиро-
вания:
Г VX
P = 0—-4-1,1
2я/?2
<4-1 \2
+ 0,694 + 0,658
2r.«2 2 г.-.5/?2 J
Для выявления эффективности отдельных видов армирова-
ния можно положить, что объемы затраченного металла по от-
дельным видам
вынести ______L
27С/?2
армирования одинаковы. Тогда из скобок можно
и получить
р = 44л + х„ + *2 + <13-6)
где через X обозначены коэффициенты эффективности армиро-
вания, равные:
Xj =0 — коэффициент эффективности меридио-
нального армирования;
X/у = 22= 1 — коэффициент эффективности армирования
опорного кольца;
250
Х2 = 0,694 — коэффициент эффективности внутренней коль-
цевой арматуры;
Х2 =21658 0,543_ коэффициент эффективности наружной
кольцевой арматуры.
Из рассмотрения коэффициентов эффективности видно, что
при меридиональной схеме армирования наиболее выгодным ви-
дом армирования является усиленное армирование опорного
кольца, так как коэффициент эффективности для него = 1
больше, чем для какого-либо другого вида армирования.
Следующим, наиболее выгодным видом армирования яв-
ляется внутренняя кольцевая арматура (Х2 = 0,694).
Кольцевая наружная арматура при v= 1,1 имеет коэффи-
циент эффективности Х2 = 0,543 на 25—30% меньше, чем для
внутренней кольцевой арматуры.
Коэффициент эффективности для меридиональной арматуры
в рассматриваемом случае равен нулю.
Если бы купол мог разрушиться только по меридиональной
схеме разрушения, то его из экономических соображений сле-
довало бы законструировать с сильным опорным кольцом и
слабой конструктивной кольцевой и меридиональной арматурой.
Но при слабой кольцевой арматуре разрушение может произой-
ти по меридионально-кольцевой схеме, поэтому, подходя к ре-
шению выбора оптимального вида армирования, необходимо
иметь в виду все три возможные схемы разрушения.
Определим коэффициенты эффективности армирования для
меридионально-кольцевой схемы разрушения типа I (см. рис. 51).
Разрушающее усилие по этой схеме разрушения получается
при <р =25-4-35° и имеет значение
Р = 2-/? (0,198 0,532Г2; 0,5327^) =
где
zj = = 0,164;
1,1»
Х2 = 0,586;
К; = £1532 = 0,44.
1,1»
Одновременно определим коэффициенты эффективности ар-
мирования для меридионально-кольцевой схемы разрушения
типа II (см. рис. 53). Разрушающее усилие по этой схеме бу-
дет при = 30° и (0=75-4-90° и имеет значение
Р = 2тг/? (0,089 710 4- 0,205Л? + 0,63 Т2 + 0,56 Тг) =
t\
251
где
= 0,089;
Xj =^5 = 0,17;
1,1®
X2 = 0,63;
x2 = 21“ = 0,46.
1.1’
Из рассмотрения коэффициентов эффективности для двух
последних меридионально-кольцевых схем разрушения видно,
что наивыгоднейшим видом армирования является внутренняя
кольцевая арматура, для которой получаются самые большие
коэффициенты эффективности (Х2= 0,586 для схемы разруше-
ния типа I и Х2 = 0,63 для схемы разрушения типа II).
Если остановиться в основном только на одном внутреннем
кольцевом армировании, то наиболее опасной схемой разруше-
ния является меридионально-кольцевая типа I, для которой рас-
ход металла на внутреннее кольцевое армирование составляет
v=-™-.
0,586ар
Этого металла с избытком хватает для меридиональной и
меридионально-кольцевой схем разрушения типа II, для кото-
рр PR
рых его требуется------ и ------, что дает меньшее значение,
0,63 Ор 0,694ао
чем для меридионально-кольцевой схемы разрушения типа I.
На основании изложенного, из рассмотрения всех трех воз-
можных схем разрушения для данного загружения можно вы-
вести заключение, что наивыгоднейшим основным армировани-
ем является внутреннее кольцевое; оно ставится в количестве,
необходимом для воспринятия всей внешней силы, за вычетом
из нее той доли, которая будет воспринята остальными видами
армирования, поставленными из конструктивных соображений.
Если провести аналогичное исследование для купола, загру-
женного кольцевой нагрузкой также для трех возможных схем
разрушения, то будем иметь:
а) для меридиональной схемы
Р = (1,567? + 0,0455 7ia 4- 0,8972 + 0,8772) =
Еар
= -^(Хд + Х1 + Х2 + Х2),
где
Х„ = -1'56 22 = 1,42;
н О +1)’
Х1 = 0,0455;
252
Х2 = 0,89;
X^g = 0,72;
б) для меридионально-кольцевой схемы типа I при <р = 45,
50 и 65°
Р = 2-R (0,06 Tte; 0,466Г1'у; 0,93772; 0,9 7Ъ) =
_ !2l(X, ; X,' ; Х2; XI),
— v 1“ 1? 2 2'’
где
Х1а = 0,06;
Г 0,466 = о,385;
ф 1,1»
Х2 = 0,937;
%2 = — = 0,743,
1,1»
при этом Н > 0,685 — - 0,582 72 - 0,567 Т' - 0,023 Г.
* 2хД 2 la
ИЛИ
Р < 2*Р (1,46 Я + 0,85 Т2 + 0,83 Г2 + 0,034 Г1а) =
= —Ъ~ (У-НН “Ь ^2/7 + Хш),
К
где
^2н = 0,85; ^ш=0,034.
0,685;
в) для меридионально-кольцевой схемы типа II, при <р=40,
50 и 60°
Р = 2^(0,217^; 0,08Ла: 0,52Л,; 1,1272; 1,0872) =
= (X, ; X, ; X,' ; X,; XI),
---V lap la’ 1<р’ 2» 2'’
где
Х1а> =0,21;
Х1а = 0,08;
=*^1 = 0,43;
Х2= 1,12;
= 0,89.
1,1»
253
Наибольшими коэффициентами эффективности являются
коэффициенты и Х2, т. е. коэффициенты арматуры опор-
ного кольца и внутренней кольцевой арматуры.
Исходя из меридионально-кольцевой схемы разрушения ти-
па I из экономических соображений решаем в основном заарми-
ровать купол внутренней кольцевой арматурой, которой в дан-
рр
ном случае потребуется по объему V --------—
о,937ар
Для меридиональной схемы, кроме этой кольцевой арматуры,
потребуется еще и арматура в опорном кольце, объем которой
ДИя найдем из зависимости
(,
' PR
J),89 Oj
-^М^-9= 0,035 ™
0,937 Gp/1,42 ор
Принятого армирования с избытком будет достаточно для
меридионально-кольцевой схемы разрушения типа II, так как
для нее коэффициент эффективности /2 = 1,12 > 0,937 больше,
чем для схемы типа I.
Меридиональная арматура может быть поставлена в мини-
мальном количестве из конструктивных соображений.
В рассмотренных здесь схемах было принято, что как мери-
диональное, так и кольцевое армирование задано в виде равно-
мерного армирования по всей поверхности купола. Если арми-
рование будет переменным, то коэффициенты эффективности его
будут, конечно, иными, чем в разобранных здесь случаях. В каж-
дом отдельном конкретном случае надо провести специальные
исследования по вопросу об эффективности применения того
или иного вида армирования. Но в основном все же является
бесспорным одно положение, что кольцевая арматура более эф-
фективна, чем меридиональная, поэтому последнюю следует
ставить только конструктивно в виде распределительной арма-
туры и отдельными короткими участками у опор и в месте при-
ложения груза.
§ 14. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Метод предельного равновесия при применении его к рас-
чету статически неопределимых железобетонных конструкций
показал хорошее соответствие вычисленных по нему усилий с
фактически получающимися из экспериментальных исследова-
ний.
Фактическая проверка метода предельного равновесия про-
водилась в основном коллективом работников ЦНИПСа под
руководством проф. А. А. Гвоздева применительно к расчету
неразрезных плит и балок, плит, опертых по контуру, рамных
конструкций и безбалочных перекрытий. Данных по исследова-
нию работы железобетонных куполов в стадии разрушения в
254
литературе не имеется, но на основании изложенного в настоя-
щем труде материала можно вывести заключение, что метод
предельного равновесия также и для них дает хорошее совпаде-
ние теоретически вычисленных усилий и фактических их зна-
чений, получаемых из опыта. Расхождение не превышает 17%.
Расчет железобетонных куполов в предположении их работы
в упругой стадии в несколько раз расходится с результатами
экспериментальных исследований. Такое большое расхождение
объясняется тем, что упругий расчет меру несущей способности*
в куполах определяет по предельной величине усилия, возни-
кающего на одном только небольшом опасном участке конструк-
ции, тогда как предельные усилия в арматуре возникают не на
небольшом участке, а на всем диаметральном (для силы Р в
вершине) сечении купола.
Расчет по методу предельного равновесия остается единым
как для толстостенных куполов, так и для тонкостенных кон-
струкций (при условии обеспечения их от потери устойчивости
и хрупкого разрушения), чего нельзя сказать о расчете в пред-
положении работы конструкции в упругой стадии.
По экспериментальным исследованиям расчет по методу
предельного равновесия полностью оправдал себя как в при-
менении к куполам, армированным мягкой арматурой, так и в
применении к куполам, армированным арматурой из твердой
стали (холоднотянутая проволока), имеющей малую предель-
ную удлиняемость (купола Б-б-2, Б-б-1 и Б-а).
Здесь следует указать на то положение,, что, хотя удлиняе-
мость стали и очень мала (е 0,006-г0,009), деформации кон-
струкции были достаточны для выявления резко ускоренного
характера возрастания их деформаций за счет потери сцепле-
ния между арматурой и бетоном. При армировании конструк-
ций арматурой, имеющей площадку текучести в расчет, по раз-
рушающим усилиям, следует вводить напряжение арматуры,
равное пределу текучести. Расчет по методу предельного равно-
весия в конкретизированной форме дает возможность учесть
конструктивные особенности железобетонных куполов (как, на-
пример, утолщение в вершине купола Б-а), чего нельзя сказать
об упругом методе расчета.
Расчет куполов по методу предельного равновесия не пред-
ставляет больших трудностей, чем расчет по упругому способу,
а во многих случаях он даже значительно проще. Следует от-
метить, что многие задачи на сегодня упругим способом еще и
не могут быть решены.
Применение расчета по методу предельного равновесия со-
вместно с подбором сечений железобетонных элементов по
прочности по предельным состояниям дает единое, логически
увязанное решение железобетонных конструкций, соответствую-
щее современному уровню развития теории и практики железо-
бетона.
255
Метод предельного равновесия дает в руки проектировщи-
ка большой простор и большие возможности к выбору оптималь-
ного и наиболее рационального армирования рассмотренных
конструкций.
Расчет куполов по методу предельного равновесия не можёг
быть применен в случае хрупкого разрушения конструкции от
раздробления сжатой зоны бетона или от разрушения по ко-
сому сечению под действием поперечной силы. Но значения ве-
личин S6 (или по) и X (или Хо), которые характеризуют со-
бой границы применимости метода предельного равновесия, мо-
гут быть ориентировочно определены на основании установлен-
ных для них в настоящей работе зависимостей и выполненных
экспериментальных исследований, вследствие чего и этот вопрос
также может быть разрешен. Использование метода предельного
равновесия при расчете железобетонных куполов позволит до-
стичь значительной экономии материала, в частности металла.
А. М. О в ечки к
РАСЧЕТ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ
ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ
КОНСТРУКЦИЙ
* * *
Госстройиздат
Москва, Третьяковской проезд, д. f
* * *
Редактор издательства
Э. М. Бударина
Художник И. Г Р у т м а н
Технический редактор
Н. И. Рудакова
Корректор
Л. С. Андреевская
С'даио в набор I5/XI I960 г.
Подписано к печати 5/VT 1961 г.
Т-06464 Бумага 60У'921/1В=
=8,125 бум. л. —16,25 печ л>.
(15,7 уч.-изд. л.). Тираж 8500 ‘ экз.
Изд. Кз VII1-4691. Зак. № 1566
Цена 79 коп.+переплет № 5 10 коп..
Набрано в типографии № 3,
отпечатано в типографии № 4
Госстройиздата, г. Подольск,.
Рабочая ул.., 17/2