/
Author: Чеботарев Н.Г.
Tags: математика естественные науки теория групп точные науки группа ли
Year: 1940
Text
Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
ТЕОРИЯ ГРУПП ЛИ
Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
ТЕОРИЯ ГРУПП ЛИ
государственное издательство
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ Л ИТЕРАТУРЫ
Москва 1940 Ленинград
Т22-5-2 (4)
ТЕК № 9
Редактор А. И. Полак.
Технический редактор В. Ф. Зазулъская.
Сдано в набор 11/1 1939 г. Подписано к печати 24/1 1940 г.
(ЗОЛ уч.-авт. л. Формат бумаги 60X92V16.
24.75 печ. л. Издательский № 168.
Тип. зн. в 1 бум. л. 104448. Учетный № 4231. Тираж 3000.
Уполномоченный Главлита № А-9670. Бумага Камской ф-ки. Заказ № 1132.
4-я типография ОГИЗ’а РСФСР треста «Попиграфкнига» им. Евгении Соколовой,
Ленинград, проспект Красных Командиров, 29.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящая книга имеет целью изложить основные результаты,,
полученные в классической теории непрерывных групп, или, как их
принято теперь называть, групп Ли. Современные достижения в теории
непрерывных групп, значительно расширяющие понятие непрерывной
группы и в противоположность классической теории рассматривающие
ее элементы как абстрактные символы, подчиненные определенным
топологическим аксиомам, не будут здесь систематически излагаться.
Они составляют содержание книги Л. С. Понтрягина, вышедшей недавно
в ГОНТИ. Однако, желая ввести определения и теоремы так, чтобы
они удовлетворяли современным требованиям строгости, я должен
был познакомить-читателей с основными понятиями современной „топо-
логической" теории непрерывных групп: локальный изоморфизм,
связность группового пространства, накрывающая группа и т. п.
Этому посвящен мой § 4. Здесь, чтобы не вдаваться в тонкости тео-
ретико-множественной топологии, я часто выводил результаты не
в полном объеме, значительно суживая их предпосылки.
Большая же часть книги посвящена теории так называемого „груп-
пового ядра", т. е. локальной теории групп Ли, которой исключи-
тельно занималась классическая теория, хотя и не указывая на это
с достаточной четкостью.
Книга имеет несколько существенных особенностей, отличающих ее
от других имеющихся в мировой литературе курсов теории непрерыв-
ных групп (русская литература вообще не имела учебников по непре-
рывным группам). Прежде всего я стремился по возможности сблизить
теорию групп Ли с теориями конечных и дискретных бесконечных
групп и потому вывел все теоремы, справедливые для групп всех
типов, не делая предположения о природе групп (см. § 2). Затем
я поместил в книге в значительно большей мере, чем это делалось
в других книгах, теорию Киллинга — Картана — Вейля групповых струк-
тур и линейного представления групп. Эта теория, представляя боль-
1*
4
ПРЕДИСЛОВИЕ
шую ценность, была разбросана по многим журнальным статьям, из
которых далеко не все отличаются доступностью изложения.
Из более мелких особенностей книги можно отметить изложение
основ теории интегральных инвариантов (§ 14), новую трактовку
вопроса о различных представлениях группы Ли (§ 16) и, наконец,
некоторые упрощения в методе Ли классификации групп на плоскости
(глава IV).
Книга может служить пособием при прохождении студентами уни-
верситета курса теории групп Ли. Но так как она содержит много
подробностей, которые могут быть опущены в университетском курсе
и вообще при первом знакомстве читателя с непрерывными группами,
то будет уместно указать, какие из параграфов книги должны служить
основой для всякого курса и какие при первом чтении могут быть
пропущены.
„Введение" доступно для математически образованного читателя.
Для начинающих лучше отложить его чтение к концу.
Материал § 1 содержится во всех курсах теории конечных групп
и теории Галуа. Если читатель уже знаком с этими теориями, этот
параграф можно пропустить.
§ 2 знакомит с основными понятиями и фактами теории групп
вообще. При данном построении плана книги знакомство с ним необхо-
димо. Однако опытный преподаватель, если пожелает оставаться в рам-
ках классической теории групп Ли, сможет пропустить этот параграф
но должен будет сделать в последующих параграфах соответствующие
дополнения.
§ 3 носит обзорный характер. Прохождение его не необходимо, но
весьма полезно для расширения кругозора.
§ 4 может быть пропущен при первом чтении. Однако я рекомен-
дую пройти его, так как он знакомит читателя с основными понятиями
современной теории групп.
§ 5 повторяет факты, известные студентам из теории линейных
уравнений в частных производных.
В § 6 должны быть усвоены понятия и результаты. Подробности
доказательств могут быть опущены.
§ 7 необходим кроме отделов, посвященных итерации функций.
Эти отделы носят обзорный характер.
§ 8 необходим.
§ 9 имеет специальный интерес и без особого ущерба может быть
пропущен.
§ 10—13 необходимы.
ПРЕДИСЛОВИЕ
5
§ 14 представляет самостоятельный интерес. Для понимания даль-
нейшего он не необходим, особенно отдел об интегральных инвариан-
тах, который не излагается ни в одном из современных курсов. Но
можно думать, что как раз этот параграф представит для студентов
наибольший интерес, тем более, что он содержит довольно богатый
материал для упражнений и небольших самостоятельных работ.
§ 15 и 16 неразрывно связаны друг с другом. Для дальнейшего
в них необходимо только понятие импримитивности (п.п. 15.1—15.5).
Материал § 17 входит в большинство современных курсов. Внесе-
ние или невнесение его в программу зависит от общего объема про-
граммы этого курса.
Глава IV интересна по методам и по приложениям. Я считаю целе-
сообразным ввести в программу § 18. Общей же связи с дальнейшей
теорией эта глава не имеет.
Главы V и VI содержат структурную теорию групп Киллинга —
Картана — Вейля. Они могут быть полезны для аспирантов и научных
работников, специализирующихся по теории непрерывных групп.
„Глава последняя" содержит краткий обзор результатов, не вклю-
ченных в книгу. Кроме того, книга снабжена библиографическим обзо-
ром, а также алфавитными указателями литературы, терминов и
авторов.
г. Казань, сентябрь 1936 г.
Н. ЧЕБОТАРЕВ
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение ............................................... 9
Глава I. Общая теория групп..................................... 13
§ 1. Определение и основные свойства групп............ 13
§ 2. Основные понятия и элементарные свойства, общие
группам всех типов. Принцип Вейля ..................... 22
§ 3. Классификация групп.............................. 42
§ 4. Топологическое определение групп................. 51
Глава II. Основные теоремы. Ли.................................. 67
§ 5. Предварительные сведения из теории линейных
операторов ............................................ 67
§ 6. Существенные параметры системы функций........ 73
§ 7. Одночленные группы.............................. 79
§ 8. Три основные теоремы Ли....................... 87
§ 9. Символическое исчисление операторов.......... 109
Глава III. Основные факты классической теории групп Ли......... 135
§ 10. Определение подгрупп............................ 135
§ 11. Транзитивность. Инварианты группы............... 137
§ 12. Нормальные делители. Факторгруппы............... 141
§ 13. Важнейшие подгруппы: центр, производная группа и др.
Автоморфизмы.......................................... 145
§ 14. Продолженные группы. Диференциальные и интегральные
инварианты............................................ 152
§ 15. Импримитивность..........'...................... 174
§ 16. О представлениях групп Ли....................... 184
§ 17. Композиционный ряд. Теорема Жордана-Гельдера-Ли.
Разрешимые группы..................................... 204
Глава IV. Группы на прямой и на плоскости...................... 213
§ 18. Группы на прямой.............................- • 213
§ 19. Примитивные группы на плоскости................ 216
§ 20. Импримитивные группы на плоскости.............. 225
ОГЛАВЛЕНИЕ
8
Глава V. Структура групп Ли..................................... 238
§ 21. Характеристическое уравнение группы............... 238
§ 22. Критерий разрешимости групп....................... 247
§ 23. Полупростые группы................................ 257
§ 24. Типы простых групп................................ 277
Глава VI. О представлении полупростых групп Ли, линейными
подстановками..................................................... 309
§ 25. Постановка вопроса................................. 309
§ 26. Образование неприводимых представлений............. 318
§ 27. Полная приводимость полупростых групп.............. 331
§ 28. Накрывающие группы полупростых групп.............. 340
§ 29. Объем унитарных полупростых групп................. 349
§ 30. Характеры линейных представлений.................. 362
Глава последняя. Главнейшие результаты в теории групп Ли,
не включенные в настоящую книгу................................... 376
Библиографический обзор........................................... 385
Алфавитный указатель литературы................................... 388
Указатель терминов................................................ 393
Указатель авторов ................................................ 396
ВВЕДЕНИЕ
1. Понятие группы было впервые в достаточной мере четко фор-
мулировано Эваристом Галуа (Evariste Galois) в применении к проблеме
решения алгебраических уравнений в радикалах. Рассмотренные им
группы, однако, не обладали полной общностью, так как, во-первых,,
это были конечные группы, т. е. группы, состоящие из конечного
числа элементов, и притом не абстрактных элементов, а подстановок,
т. е. операций, переводящих каждый из конечного числа заданных
предметов (цифр) в предметы (цифры) той же совокупности. Галуа
выяснил, что структурные особенности такого рода групп связаны
с вопросом о решении уравнений в радикалах.
2. В своем фундаментальном труде ,,Trait£ des substitutions" Жор-
дан (Camille Jordan), с одной стороны, продолжил задачу Галуа, наме-
тив пути для определения всех типов разрешимых групп; с другой
стороны, он указал много новых приложений теории групп.
В одной из своих статей Жордан указал на связь между линейными
диференциальными уравнениями определенного порядка, имеющими
алгебраические интегралы, и конечными группами. Именно, он доказал,
что линейное диференциальное уравнение фуксова типа тогда и только
тогда имеет алгебраические интегралы, если линейные преобразования,
претерпеваемые его интегралами при обходе независимой переменной
вокруг каждой из критических точек, дают при композиции конечную
группу. При этом Жордан получил важные результаты относительно
перечисления всех типов конечных групп линейных преобразований.
3. Основоположником теории непрерывных групп является знаме-
нитый норвежский математик Ли (Sophus Lie, 1842—1899). Занимаясь
в Париже у Жордана и задавшись целью распространить методы тео-
рии Галуа на проблему интегрирования диференциальных уравнений,
Ли пришел к необходимости изучения нового типа групп, которые он
назвал непрерывными группами преобразований (kontinuierliche Trans-
formationsgruppen). Элементом непрерывной группы является преобра-
зование, переводящее каждую точку «-мерного пространства в другую
такую же точку. Таким образом каждое преобразование задается систе-
мой п функций от п переменных:
x'i = fi (*1, х2..*„) ’ (z== 1, 2,. . я).
10
ВВЕДЕНИЕ
Различные элементы группы отличаются значениями параметров, вхо-
дящих в функции, выражающие преобразование:
= х>>---> хп' а1> ar) (Z=l, 2,..., п). (1)
Существенным свойством группы является то, что два преобразования,
последовательно проделанные над пространством (или, как мы будем
выражаться, произведение преобразовании), равносильны одному пре-
образованию той же группы, т. е. что имеют место тождества
fi I fl • • •, а1> • • • ’ ^г)’ • • • > fn • • • ? • • •, • • • > М
= Л(Х1,.. .,xn; cv...cr) (Z=l, 2,..., n), (2
где cv f2,..., сг являются некоторыми функциями от av а2,..., аг и
&1 > ^2? • • • , Ьг»
= ar', (Z=l, 2,..., г). (3)
Ли подробно развил теорию непрерывных групп преобразований:
создал счетный аппарат, позволяющий изучать свойства групп всевоз-
можного рода, различать структурные особенности различных групп и
провести их исчерпывающую классификацию. Последнее .было проде-
лано им для п=1ип = 2, а также для отдельных значений г.
Оказалось, что вопрос об интегрируемости диференциальных урав-
нений в квадратурах связан с вопросом о структуре группы, преобра-
зования которой не изменяют данного уравнения/ Для того чтобы
уравнение интегрировалось в квадратурах, необходимо и достаточно,
чтобы эта группа обладала особыми структурными свойствами, принад-
лежала к типу так называемых интегрируемых (или разрешимых)
групп.
Проведенная Ли полная классификация групп на плоскости позво-
лила ему построить таблицу нормальных типов диференциальных урав-
нений, относительно которых можно сказать, интегрируются ли они
в квадратурах.
4. Другой ученик Жордана — Клейн (Felix Klein) указал на не
менее важное приложение недрерывных групп к геометрии. Он показал,
что каждая геометрия (элементарная, аффинная, проективная, тополо-
гия и т. д.) является в сущности наукой об инвариантах некоторой
непрерывной группы, положенной в основу этой геометрии.
Эта точка зрения на геометрию позволила Гельмгольцу (Hermann
von Helmholtz) и Ли определить самым общим образом элементарную
(включая неевклидову) геометрию. Оказалось, что всякая непрерывная
группа, для которой любые две точки имеют инвариант (расстояние
между ними) и никакая система точек не имеет инвариантов, которые
не выражались бы через расстояния между всевозможными парами
точек этой системы, соответствует элементарной геометрии.
В последнее время теория непрерывных групп нашла новое прило-
жение к квантовой механике (Вейль, Hermann Weyl).
ВВЕДЕНИЕ
11
5. Изучение типов -непрерывных групп было продолжено замеча-
тельными исследованиями Киллинг^ (Wilhelm Killing) и Картана (Elie
•Cartan), которые, положив в основу изучение характеристических урав-
нений матриц, соответствующих введенным еще Ли инфинитезимальным
^операторам группы, дали исчерпывающую классификацию для так назы-
ваемых простых групп. Исследования Киллинга и Картана проливают
также свет на структуру непрерывных групп гораздо более общего
типа.
6. С позднейшими исследованиями непрерывных групп тесно связан
вопрос об их линейном представлении. Теория линейного представления
конечных групп была уже раньше разработана Фробениусом (Georg
Frobenius) и И. Шуром (Issai Schur), которые связали ее с теорией
характеров. Первые шаги к построению теории линейного представле-
ния непрерывных групп были сделаны Гурвицем (Adolph Hurwitz),
который применил к проблеме нахождения инвариантов линейных групп
метод интегрирования, аналогично тому, как в теории характеров
конечных групп для нахождения инвариантов суммируют выражения по
всем элементам группы. Шур значительно обобщил метод Гурвица и
приложил его к нахождению всех типов линейных представлений групп
вращения. Вейль решил эту проблему для всех простых групп. Разви-
тый им векториальный метод счета сыграл большую роль в дальнейшем
развитии теории.
При обобщении метода интегрирования на другие группы суще-
ственным является способ определения так называемой меры в груп-
повом пространстве. Такое определение было дано Хааром (Alfred
Haar) и усовершенствовано Нейманом (I. von Neumann) и Д. С. Пон-
трягиным.
Вопрос о возможности линейного представления произвольной непре-
рывной группы был в самое недавнее время решен в положительном
смысле И. Д. Адо.
7. Первоначальные исследования Ли и его последователей имели
дело исключительно с группами преобразований, выражающихся при
помощи аналитических или во всяком случае достаточное число раз
диференцируемых функций. В 1900 г. Гильберт (David Hilbert) поставил
в качестве одной из своих 23 знаменитых „Математических проблем"
вопрос о возможности избежать требования диференцируемости. Первое
исследование по этому вопросу было сделано Броувером (Brouwer),
но проблема приобрела актуальное значение лишь после работ Вейля
и Шрейера (Otto Schreier). Вейль, пересматривая вопрос о полной при-
водимости линейных представлений, который был ранее исследован
Картаном, пришел к необходимости рассмотрения групп в целом (im
Grossen), в частности, групп, изоморфных в смысле Ли („gleichzusam-
mengesetzt"), но не допускающих взаимно однозначного соответствия.
Шрейер, используя введенный Броувером абстрактный топологический
метод исследования, доказал, что все изоморфные в смысле Ли (по
современной терминологии локально-изоморфные) группы являются
12
ВВЕДЕНИЕ
факторгруппами одной и той же группы, так называемой накрывающей
группы (Oberlagerungsgruppe).
Абстрактная формулировка понятия непрерывной группы позволила
провести строгое различие между непрерывными группами самого
общего типа и группами, изоморфными с непрерывными группами пре-7
образований, выражаемых аналитическими функциями. Последний, более
узкий, класс групп был предметом изучения Ли и его непосредственных
’ последователей. Эти группы получили в настоящее время название
групп Ли, в то время как термин непрерывные группы остался за
общими группами. Ван Данциг (David van Dantzig) дал конструктивный
пример непрерывных групп, не являющихся группами Ли.
8. Будучи абстрактно определенной, непрерывная группа является
топологическим пространством и может быть изучаема методами, выра-
ботанными в комбинаторной топологии. В этом направлении исследо-
вания велись Картаном и Понтрягиным. Последний, ограничившись так
называемыми компактными группами (т. е. группами, у которых пре-
делы последовательностей элементов тоже принадлежат к группе),
определил для компактных простых групп все так называемые числа
Бетти.
Не всякое топологическое многообразие может соответствовать
непрерывной группе. Существенное ограничение для групповых много-
образий было найдено еще Шрейером, показавшим, что их фундамен-
тальные группы всегда абелевы (коммутативны).
9. В заключение отметим еще направление, в котором работают
современные специалисты по теории непрерывных групп. Это — связь
с новейшими обобщениями диференциальной геометрии (римановыми и
еще более общими пространствами). Картан предложил изучать непре-
рывные группы, вводя для них понятия, аналогичные геометрическим,
и даже более общие (параллельный перенос, кривизна и кручение
пространства и т. п.).
Это направление было воспринято Схоутеном (Schouten), Эйзенгар-
том (Eisenhart) и другими, преимущественно американскими, геометрами.
Оказалось, что одно из теоретически возможных обобщений риманова
пространства изучается параллельно с так называемыми просто-тран-
зитивными непрерывными группами.
ГЛАВА I
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ГРУПП
§ 1. Определение и основные свойства групп*)
1. Предварительно дадим общее определение группы, независимое
от ее непрерывности.
Группой называется совокупность некоторых символов (называемых
элементами группы), если при этом соблюдены следующие условия:
Аксиома I, Введен закон композиции (или попросту умножения)
элементов, в силу которого каждым двум элементам А, В совокуп-
ности, взятым в определенном порядке, можно сопоставить третий
элемент С той же совокупности. Для обозначения этого сопоставления
принята запись
А-В = С, (1.1)
Аксиома II, Имеет место ассоциативный (сочетательный) закон:
(ЛВ)С==Л(ВС). (1.2)
Аксиома НЕ Существует правая единица Е, т. е. такой элемент,
который, будучи умножен справа на любой элемент совокупности, не
меняет его:
ХЕ = Х, (1.3)
Аксиома IV, Для каждого элемента А этой совокупности можно
найти его правый обратный элемент, т. е. такой элемент X, что
АХ—Е. (1.4)
Группы, для которых сверх этих аксиом имеет место коммутатив-
ный (перестановочный) закон, называются абелевыми или коммута-
тивными группами.
Совокупности, в которых выполняются аксиомы I и II, но не выпол-
няются аксиомы III и IV, называются полугруппами. Они играют
существенную роль во всей последующей теории.
2. Пользуясь аксиомами I — IV, докажем следующие теоремы.
Теорема 1. Группа содержит не более одной правой единицы.
Доказательство, Пусть Е и Ех будут две правые единицы группы,
*) Ср. Н. Чеботарев, Основы теории Галуа, часть I, ГТТИ 1934, стр. 15 и сл.
14 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ГРУПП [ГЛ. I
причем пусть Е будет та единица, которая требуется аксиомой IV.
Имеем
Е1£, = £1. (1.5)
Умножим обе части на Ех справа:
ЕХЕЕХ = ЕХЕХ = Ev
Умножим обе части справа на элемент X правый обратный к Ег
(для которого имеет место ErX = Е):
ElEElX=E1X,
т. е.
ЕХЕ = Е. (1.6)
Сравнивая (1.5) с (1.6), получаем:
ЕГ = Е.
Таким образом обе единицы равны друг другу, что и требовалось
доказать.
Теорема 2. Правая единица одновременно является и левой еди-
ницей.
Доказательство. Докажем, что для каждого элемента группы
имеет место
ЕА — А.
Введем обозначение
ЕА — В.
Умножим это равенство справа на элемент X, правый обратный
к А(АХ=Е):
ЕАХ=ВХ,
т. е.
Е = ВХ.
Таким образом
АХ=ВХ.
Умножив это равенство справа на элемент У, правый обратный к X,
получим
А = В,
откуда
ЕА — А,
что и требовалось доказать.
Доказанное свойство дает нам право называть элемент Е просто
единицей.
3. Теорема 3. Правый обратный элемент является в то же время
и левым обратным элементом, т. е. из соотношения
АХ—Е
вытекает
ХА = Е.
f 1.1
ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ГРУПП
15
Доказательство. Введем обозначение
ХА = В.
(1.7}
Умножим это равенство справа на X:
ХАХ = ВХ,
т. е.
Х = ВХ.
Это равенство умножаем на элемент Y, правый обратный к X:
XY = BXY,
т. е.
Е = В,
откуда в силу (1.7)
ХА — Е,
что и требовалось доказать.
Теорема 4. Группа не может содержать двух различных правых
обратных элементов.
Доказательство. Допустим, что имеет место
AX = AY = E. (1.8)
Докажем, что X— Y. Для этого умножим равенство (1.8) слева на Xz.
XAX=XAY,
откуда в силу теоремы 3
EX = EY.
Но в силу теоремы 2 отсюда следует
Y,
что и требовалось доказать.
Таким образом мы вправе назвать элемент, правый обратный к Д,
просто обратным к А элементом и обозначать его так: А-1.
Отметим важное для дальнейшего свойство обратных элементов.
Элемент (ДВ)"1, обратный к произведению АВ, равен произведе-
нию обратных к Л и В элементов, но взятых в обратном порядке:
(АВУ'^В-'А-1. (1.9)
Действительно,
В-1 А~х АВ = В~1 В = Е.
. 4. Выясним внутреннюю причину, в силу которой группы были
определены аксиомами I — IV (или другими равносильными им аксио-
мами), а не каким-либо другим образом. Первоначально в качестве
групп изучались совокупности преобразований, и ниже (см. принцип
Вейля) мы увидим, что преобразования могут в известном смысле
считаться элементами групп самого общего типа.
Преобразование определяется так. Задано множество 3D? каких
угодно предметов М19 М2, . Под преобразованием будем пони-
мать операцию, сопоставляющую с каждым элементом М множества ЗД
16
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ГРУПП
[гл. I
вполне определенный элемент М' того же множества. Будем говорить,
что элемент М преобразованием переводится в сопоставляемый эле-
мент ЛГ, и введем для этого обозначение
М-+М'.
Таким образом понятие преобразования есть частный вид понятия
функции. В самом деле, функция сопоставляет с каждым элементом
множества 2R определенный элемент, вообще говоря, другого множе-
ства [определение функции по Дирихле (Dirichlet)].
5. Под произведением АВ двух преобразований мы будем понимать
следующее. Пусть преобразование В переводит каждый элемент М
множества 2R в элемент М' того же множества, а преобразование А
переводит элемент Мг в элемент М'. Тогда произведением АВ мы
условимся называть преобразование, переводящее каждый элемент М
в ДГ.
Введем функциональные обозначения: пусть В переводит М в f(M)
и пусть А переводит М в g(M):
Л| M-+g(M), (1.10)
В| M-+f(M). (1.11)
"Тогда АВ будет переводить М в g{f(M)}:
АВ\ M-+g{f(M)}.
6. При таком определении умножение преобразований всегда под-
чиняется ассоциативному закону. В самом деле, если нам даны пре-
образования (1.10), (1.11) и
С| 7И—>Л(Л4), . (1.12)
то оба преобразования А (ВС) и (АВ) С выразятся при помощи одной
и той же функции
(1.13)
Таким образом всякая совокупность преобразований, содержащая
наряду с каждой своей парой преобразований А и В также произве-
дение АВ, является полугруппой.
7. Для того, чтобы совокупность преобразований составляла группу,
надо, кроме того, потребовать, чтобы она содержала единицу Ё, т. е.
тождественное преобразование, оставляющее все элементы множества 9R
на месте:
£| М-+М. (1.14)
Наконец, группа должна содержать наряду с преобразованием А
также обратное преобразование Л”1, которое определяется так: если А
переводит М в М':
Л|
(Ы5)
§ J] ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ГРУПП 17
то А"1 должно переводить Мг в М:
д-1! м'-+м. (1.16)
Для того, чтобы это определение имело смысл, необходимо и доста-
точно, чтобы:
1) при пробегании элементом множества 9Л элемент ЛГ также
пробегал все множество 2R без пропусков;
2) различным М соответствовали различные М'.
При несоблюдении первого условия преобразование А-1 остается
вообще неопределенным, так как тогда равенство (1.16) определяет
переход не для всех элементов множества 2R. При несоблюдении вто-
рого условия преобразование А-1 неоднозначно, т. е. переводит один
и тот же элемент одновременно в несколько различных элементов,
что противоречит определению преобразования.
Может, однако, случиться, что каждое преобразование полугруппы
удовлетворяет обоим условиям, но тем не менее полугруппа не соста-
вляет группы. В самом деле, условия 1) и 2) обеспечивают существо-
вание обратных элементов, но они могут не входить в нашу полу-
группу.
8. Пример 1. Множество 9R состоит из конечного числа элементов
(цифр) 1, 2, ..., т. Преобразование, переводящее каждую цифру i
множества 2R в какую-нибудь другую цифру того же множества,
носит название подстановки, если соблюдено условие 1), т. е. если
цифры а2, ..., исчерпывают все множество 2R. В случае конеч-
ного множества 2R условие 2) является следствием условия 1).
Отметим, что в рассматриваемом случае всякая полугруппа, под-
становки которой удовлетворяют условию 1), непременно является
группой. В самом деле, так как существует лишь конечное число
подстановок из т цифр (всего /п!), то ряд, составленный из степеней
одной и той же подстановки А:
А, Л2, Л3, ...,
неминуемо должен повторять одни и те же подстановки. Если
Лп+* = Л\
то, умножая обе части равенства на Л-ую степень подстановки Л"1
[которая в силу условия 1) существует], получим
Ап = Е.
Отсюда следует, что подстановка Ап~~1 является обратной к Л. Вместе
с тем она должна содержаться в нашей полугруппе, которая таким
образом составляет группу.
Для подстановок
/ (/=1,2,..., т)
принято обозначение
/1 2 3 ... т \
«2 а3 • • • ат''
2 Зак. 1132. Н. Чеботарев
18 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ГРУПП [ГЛ. I
Обратим внимание на то, что в теории подстановок (см., например,
Чеботарев „Основы теории Галуа") для умножения принято другое
обозначение: то, что мы обозначаем здесь через АВ, в теории подста-
новок обозначается через ВЛ, и обратно.
Обобщенные подстановки, в которых ряд х2, aw не исчер-
пывает множества 2R, были исследованы А. К. Сушкевичем [1].
9. Пример 2. Множество 2R состоит из всех натуральных чисел:
1, 2, 3 ... Преобразования
ЛЛ | i —> i 4- k 0)
не удовлетворяют условию 1), так как переводят ряд 1, 2, 3 . . .
в ряд k -1- 3, ..., составляющий при Л>0 лишь часть
множества ЭК. Условие 2) выполняется. В связи с этим обратные пре-
образования хотя существуют, но не могут считаться преобразованиями
множества 2R, так как переводят некоторые из чисел в отрицатель-
ные, и наша полугруппа не является группой.
Если мы дополним множество 2R нулем и всеми отрицательными
числами, а значок k в символе Ак заставим пробегать все положитель-
ные, нулевое и отрицательные значения, то совокупность преобразова-
ний Ак составит группу.
10. Пример 3. Преобразования А,, заданы формулами
AJ х->х*к (k&SH)*.
Имеет место
Ак^г — Ак+ъ
из чего мы можем заключить, что эти преобразования составляют
полугруппу, если
1) 2R— натуральный ряд чисел.
2) 2R— совокупность всех вещественных положительных чисел.
3) 2)? — совокупность всех вещественных чисел.
4) 2)? — совокупность всех комплексных чисел.
Рассмотрим, в каких случаях эти преобразования составляют группу.
Прежде всего для этого необходимо, чтобы значок k пробегал также
нуль и все целые и отрицательные значения. Далее, обратной к At
подстановкой является
Л7’1=Л__.1| х->]Лх.
Поэтому в первом случае наша полугруппа не является группой
в силу несоблюдения условия 1) [хотя условие 2) соблюдается].
Во втором случае полугруппа составит группу.
В третьем случае опять не соблюдаются ни условие 1), ни усло-
вие 2): х2 пробегает только положительные числа, и х2 — (— х)2.
В четвертом случае условие 1) соблюдается, но условие 2) — нет,
'и обратное преобразование Л”1 представляет собой двузначную опе-
рации.
§ 1]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ‘СВОЙСТВА ГРУПП
19
11. Пример 4. Однородная линейная группа.
2R состоит из точек (хр х2, •••> хп) ^-мерного пространства. Пре-
образование состоит в переходе каждой координаты в определенную
однородную линейную комбинацию координат:
A] ^->aslXi + ai2x2+...(г = 1, 2, ..., и). (1.17)
Для того, чтобы такое преобразование имело обратное (было обра-
тимо'), необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы
ац, а12, ..а1п
^21» ^22 ’ • • •» &2П
(1-18)
аП1 > апЪ • • •, апп
соответствующей этому преобразованию, был отличен от нуля.
В самом деле, мы получим обратное преобразование, если решим
систему уравнений
Л- = аг-1х1 + айх2+ . .. -\-ainxn (i= 1, 2, . .., п)
относительно х19 х2, ...,хп. При произвольных эта система имеет
решение тогда и только тогда, если ее определитель не равен нулю.
Посмотрим, как составляются матрицы, соответствующие произве-
дению двух преобразований: А и
яI*«-*^1*1 + ^2*2+ • • • -\~binxn (i= 1. 2, ..., и). (1.19)
В силу определения произведения преобразований имеет место
А5 | Х^ —> 2 ais 2 &sjXj = 2 (2 ais^sj) xj’ G • 20)
8 j j 8
откуда следует, что произведению АВ соответствует матрица
cllt с12> cln I
С2Ъ C22> •••> c2n
• • •» ^П11
где
= (1-22)
s
Будем называть эту матрицу произведением матриц, соответствующих
преобразованиям А и В:
л11> #12> • • ., а±п ^11» ^12» • • •> &1п
• > а2п • ^21» ^22» • • •, ^2п (1.23)
апЪ ап2' • • •> апп ^П1» • • •» ^пп
(1-24)
и для краткости введем обозначение
АВ = С.
формулы
20 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ групп [гл. I
Вместо группы преобразований с не равными нулю определителями
можно рассматривать группу матриц, определяя их умножение пра-
вилом (1.22).
Если мы определим также сумму матриц, ПРИ помощи
а11 + ^11» ^12 + ^12» • • •» а\п +
Л21 + ^21» л22 + ^22» • • •» а2п + ^2П
»
ЛП14"^П1» ап2~\~Ьп2> •••» апп~\~^пп
^11» ^12» • • '»
^21» ^22» • • •» ^2п
а1Ь #12» • • • > а1П
а2Ъ a2fa • • • > а2П
^пЪ • • •» &пп
апЪ ап2> • • • > апп
то все матрицы образуют кольцо, т. е. систему элементов, в которой
действия подчиняются следующим правилам:
I. (Л + В) + С=Л + (В + С),
II. а±в = в + а,
III. (АВ) С = А (ВС),
IV. (А + В) С = ЛС+ ВС,
V. А(ВС) — АВАС,
но в котором не имеет места коммутативный закон для умножения.
Во многих случаях действия с матрицами упрощаются, если ввести
обозначение eik для матрицы, имеющей на пересечении Z-й строки
и £-й колонны единицу, а в остальных местах нули. Эти матрицы
в силу (1.22) подчиняются следующим законам умножения:
eisesk = (1 • ^б)
ei3etk = ° + (1.26)
Тогда всякая матрица типа (1.18) может быть записана так:
^ikeik, (1.27)
г, к
что позволяет производить над матрицами действия так же, как над
обыкновенными числами, лишь избегая перестановки множителей типа eik
и руководясь при их перемножении правилами (1.25) и (1.26).
Ниже мы убедимся, что однородная линейная группа представляет
собой пример группы Ли.
12. Пример 5. Ортогональная группа.
Если мы будем обозначать через А' матрицу, получаемую, из А
путем замены строк колоннами и обратно:
4 = h«l|. ^ = |)aw[, (1.28)
то нетрудно убедиться непосредственным вычислением в справедливости
формулы
(АВ)' = В'А'.
(1.29
§ J] ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ГРУПП
Назовем ортогональной матрицу, удовлетворяющую условию
А4' = Е, (1.30)
где Е— единичная матрица:
Е = 2
i
Докажем, что ортогональные матрицы составляют группу. Пусть на-
ряду с (1.30) имеет место
ВВ' = Е.
Подобному же условию удовлетворяет и произведение АВ. В самом
деле,
АВ • (АВ)' = АВВ'А' = АА' = Е.
Далее, матрица А имеет обратную матрицу, совпадающую в силу (1.30)
с Л'. = тоже ортогональна, так как в силу теоремы 3 мы
получаем из (1.30)
Л'-Л=Е.
Но имеет место, очевидно,
(4')' = Л,
откуда
А' (Л')' = Е,
что и требовалось доказать.
Из (1.30) и из того, что определители матриц А и А' равны:
|4| = |Д' |,
мы получим
|Д|2=1,
откуда
И = ±1.
Упражнение 7. Доказать, что матрицы А с комплексными элемен-
тами, удовлетворяющие соотношениям
А - А'=Е,
составляют группу относительно умножения. (Такие матрицы носят
название унитарных', будучи рассматриваемы как линейные преобра-
зования, они характеризуются тем, что оставляют неизменной эрмитову
форму
ЗД 4- х2х2 + ... + х„хп;
при вещественных значениях коэфициентов они обращаются в орто-
гональные преобразования.)
Упражнение 2. Доказать, что дробные линейные преобразования
а'х + У у 4- сг анх -|- Ь"у -|- с"
Х ""* ах + by + с ’ ? “* айх + Ьоу + с0
22 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ГРУПП [гл’ I
при всевозможных значениях коэфициентов образуют полугруппу
тогда и только тогда, если имеет место
а Ь_ с_
aQ b0 Cq
Вывести условие обратимости этих преобразований. Обобщить на
любое число переменных.
§ 2. Основные понятия и элементарные свойства,
общие группам всех типов. Принцип Вейля
1. Две группы G и g называются изоморфными, если каждому эле-
менту А, В, С, ... первой можно взаимно однозначно сопоставить
элемент а, Ь, с, ... второй таким образом, что каждый раз, когда
имеет место
АВ = С,
будет иметь также место
ab — с.
В связи с изоморфизмом уместно определить понятие групповой
структуры. Если какое-нибудь свойство группы соблюдается также
для всех изоморфных с ней групп, будем называть его структурным
свойством.
Таким образом свойство группы параллельных переносов:
Л| x->x-J~a, y-+y-\-b
быть абелевой является структурным; присущая же ей транзитивность,
т. е. способность переводить любую точку пространства (х, у) в лю-
бую другую (см. ниже, § 22.21), уже не является структурным свой-
ством. Итак:
Структурой группы называется совокупность свойств, общих всем
изоморфным с ней группам.
В' абстрактной теории групп изоморфные группы не считаются
различными, так что можно говорить, что абстрактная теория групп
занимается изучением групповых структур.
2. Простейшим примером структурного свойства является комму-
тативность („абелевость") группы. Именно, докажем теорему.
Группа g, изоморфная с абелевой группой G, сама является
абелевой.
В самом деле, пусть а и b два произвольные элемента группы g
и пусть в силу изоморфизма им соответствуют элементы А и В
группы G. Произведениям ab и Ьа соответствуют произведения АВ
и ВА. В силу коммутативности группы G последние произведения
равны:
АВ = В А.
§ 2] ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА 23
Но так как в силу изоморфизма обеим частям равенства соответствует
в группе g один и тот же элемент, то
ab = Ьа,
что и требовалось доказать.
3. До сих пор мы считали группы преобразований частным типом
групп. Теперь, введя понятие изоморфизма, мы може^ доказать, что
любая группа может быть представлена при помощи группы преобра-
зований, т. е. что всегда может быть найдена изоморфная с ней группа
преобразований. В этом и заключается упоминавшийся уже принцип
Вейля (§ 1.4).
Пусть G будет совершенно произвольная группа, элементы кото-
рой Ла пусть различаются друг от друга значениями значка а, который,
судя по типу группы, может принимать целые значения, непрерывный
ряд значений в пространстве любого числа измерений (точки пара-
метрического пространства) или вообще каким угодно образом задан-
ную систему значений. Выберем в качестве множества 9R совокупность
элементов группы G и будем с каждым элементом А группы G сопо-
ставлять преобразование, переводящее каждый элемент Аа в ААа.
Докажем, что произведению АВ соответствует произведение пре-
образований, которые соответствуют элементам А и В. Обозначим
преобразования, соответствующие элементам А, В, .. ., через А, В, ...
Тогда
Л | Ла -> ЛЛа,
В I Ла -> ВА*.
Поэтому произведение А В этих преобразований, являясь результатом
последовательного применения преобразований В и А (см. § 1.5),
переводит Ла в Л(ВЛа), или в силу ассоциативного закона (вот, где
потребовалось его применение!) в (ЛВ)Ла. Таким образом
АВ\ Ла->(Л£)Ла.
Но это преобразование соответствует произведению элементов группы G,
что и требовалось доказать.
Для установления изоморфизма этого соответствия необходимо еще
показать, что каждому построенному таким образом преобразованию
соответствует только один элемент группы G. Допустим противное:
пусть два элемента Л, В группы G дают одно и то же преобразование,
т. е. Пусть для каждого элемента Ла имеет место
ЛЛа = ВЛа.
Умножая это равенство слева на В~\ поручим
(В-ХА)АЛ = АЛ,
24 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ГРУПП [гл. I
откуда видно, что В"1 А есть единица группы G:
В~1А = Е.
Отсюда
В = Л,
что противоречит нашему предположению.
Описанное представление группы преобразованиями носит название
регулярного представления. Ниже мы познакомимся с другими типами
представлений.
Если изменить описанный способ представления групп преобразо-
ваниями, умножая текущий элемент Ла группы на представляемый
элемент А не слева, а справа:
Д| А-А А
то полученная группа преобразований будет изоморфна по другому:
тогда произведению АВ элементов группы будет соответствовать про-
изведение преобразований А и В в обратном порядке: В А. Будем
называть такого рода соответствие изоморфизмом второго рода.
4. Пусть некоторая часть элементов группы составляет сама группу.
Тогда ее принято называть подгруппой (или делителем) группы G.
Пример. Группа однородных линейных преобразований, рассмот-
ренная в § 1.11, имеет в качестве подгруппы совокупность линейных
преобразований с определителем 1 (или ±1). Такие преобразования,
а также соответствующие им матрицы, будем называть унимодуляр-
ными. Это следует из того, что определитель произведения матриц
равен произведению определителей матриц-множителей. Будем называть
эту группу линейной унимодулярной.
Другим делителем этой группы является рассмотренная в § 1.12
ортогональная группа. Эта группа является также делителем унимо-
. дулярной группы.
Пусть Н является подгруппой группы G. Будем называть смежным
классом (или сопряженной системой) группы Н совокупность всех
ее элементов *), каждый из которых слева умножен на один и тот же
элемент а группы G, и обозначим такой смежный класс символом аН.
Имеет место теорема:
Два смежных класса аН и ЬН или целиком совпадают или вовсе
не содержат общих элементов.
В самом деле, допустим, что элемент ah класса аН (строчными h
мы будем обозначать элементы группы Н) совпадает с элементом bk'
класса ЬН:
ah = bhr.
Тогда
a = bh'h-^ = bh",
♦) Будем совокупность элементов записывать в виде суммы этих элементов,
приписывая, таким образом, знаку + теоретико-множественное «начение.
§ 2] ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА 25*
где ft"—тоже элемент группы Н. Отсюда следует, что всякий эле-
мент ah класса аН равен bh"h, т. е. входит в класс ЬН. Обратно,
b = ah"-\
откуда точно так же получим, что всякий элемент класса ЬН входит
в класс аНу и таким образом
аН=ЬН. ’
\
С другой стороны, всякий элемент а группы G входит в какой-
нибудь из смежных классов такого типа, и таким образом выходит,
что все элементы группы Q могут быть разбиты на не имеющие общих
элементов смежные классы:
G = Н-\-аН-\-а'Н-}- ... (2.1)
Если G и Н—группы из конечного числа элементов, то из раз-
ложения (2.1) сразу следует теорема Лагранжа о том, что порядок
(число элементов) группы G делится на порядок группы Н, так как
в каждом классе столько же элементов, сколько их в группе Н.
5. Пусть Н—делитель группы G и пусть а — элемент группы Gy
вообще говоря, не входящий в Н. Будем называть элемент a~xha эле-
ментом, преобразованным из h при помощи а. Совокупность элементов
a~4ia, где h пробегает всю группу //, будем обозначать так: а~хНа.
Нетрудно видеть, что совокупность а-гНа составляет группу.
В самом деле, произведение a-^ha • а~Чг'а любых двух элементов этой
совокупности равно a~4ih'a, т. е. тоже входит в совокупность а~1На~
Единица е тоже входит в эту совокупность, так как
а~геа — е.
Наконец, элемент, обратный к какому-нибудь элементу a^ha этой
совокупности, входит в a-^ha, так как
(а-1^)-1 = a-'h-'a.
Группы Н и а-^На изоморфны. В самом деле, если мы будем
сопоставлять каждому элементу h группы Н элемент a~1ha, так что
h ->a-1ha,
hr —> а-Чг'а,
то произведению hhr будет соответствовать элемент a~xhhrау который
можно представить так:
a-^hh'a = a~rha • a-xhfa,
откуда видно, что произведению соответствует произведение.
Соответствие элементов обеих групп взаимно-однозначно, так как.
из равенства
a~lha = h
26 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ГРУПП [ГЛ. I
следует -
А = aha-1.
Группы Н и а^На называются сопряженными группами.
6. Нам часто придется встречаться со случаем, когда всякая группа
а-1 На совпадает с Н, какой бы элемент а из G мы ни взяли. В этом
случае говорят, что Н есть нормальный делитель (или инвариантная
подгруппа) группы G.
Пример. Если через G мы обозначим полную однородную линей-
ную группу от п переменных, а через Н—унимодулярную линейную
группу, то легко видеть, что Н есть нормальный делитель группы G.
В самом деле, пусть h — матрица какого-нибудь элемента группы Н.
Тогда в силу .определения унимодулярной группы
|Л| = 1.
Пусть, далее, а — матрица произвольного элемента группы G. Опре-
делитель матрицы преобразованного элемента a-1 ha равен
| а~хha | = | а • | h | • | а \ — 1,
в силу чего элемент a-1 ha входит в группу Н. С другой стороны,
если бы какой-нибудь элемент h группы Н не входил в а-1 На, то
элемент aha-1 не входил бы в Н. Но мы точно таким же путем можем
доказать, что aha-1 входит в Н, и таким образом
а~1На = Н
при любом а из G, откуда следует, что Н есть нормальный делитель
группы G.
7. Если в качестве элементов группы G мы возьмем какие-нибудь
преобразования, то понятие „преобразование преобразований" при-
обретает весьма наглядную интерпретацию. Пусть преобразование а
преобразует каждый элемент М множества 2)? в элемент f(M):
а\
причем пусть /(7И) — обратимая функция, так что
я-1]
Далее, пусть каждый элемент группы Н является преобразованием
Тогда элемент a^h^a группы а^На является следующим преобразо-
ванием:
a~4iaa\ M-rf-i {g* [/(/И)] j.
Выберем в качестве текущего элемента множества 2)? элемент
§ 2] ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА 27
2И'=/(Л0, откуда А^у-ЦТИ'). Тогда последнюю формулу можно
переписать так:
Из этой формулы мы видим, что, подвергая элементы М' преобразо-
ваниям группы Н, мы подвергаем элементы соответствующим
преобразованиям группы а^1На. Таким образом, чтобы перейти
от группы Н к группе а-1 На, достаточно подвергнуть элементы множе-
ства 2Rпреобразованию а-1. При этом нет необходимости считать Нпод-
группой некоторой группы G, из которой выбирается преобразование а.
Достаточно взять в качестве а любое обратимое преобразование.
8. Пусть G — какая-нибудь группа и пусть и G2— два каких-
нибудь ее представления в виде групп преобразований. Если суще-
ствует какое-нибудь обратимое преобразование такого рода, что
G2 = a-^G^a,
то мы будем называть представления Gr и G2 подобными и не будем
считать их различными с точки зрения теории представлений групп.
Здесь мы можем указать на принципиальное различие между
абстрактной теорией групп и теорией групповых представлений.
Объекты их изучения — группы — в силу принципа Вейля одни и те же.
Но в то время как первая теория отождествляет все изоморфные
между собой группы, вторая теория считает различными те группы
преобразований, которые не могут быть получены друг из друга путем
замены текущего элемента множества 2R. Основная проблема теории
представлений состоит в указании для каждой абстрактной группы
всех типов не подобных друг другу ее представлений.
Обобщим понятия подобия. Пусть
а\
— необратимое преобразование и пусть, подвергая элементы М все-
возможным преобразованиям группы G2, мы обнаружим, что элементы
f(M) (множества 91, в общем случае отличного от W?) претерпевают
преобразования группы GP В этом случае мы будем говорить, что
представление G2 содержит представление Gp и введем обозначение
G,=>Gp
»9. Введем понятие расширенной группы преобразований. Пусть
каждый элемент а* группы G преобразований подвергает элементы
множества следующему преобразованию:
«al Af->ga(Af).
Рассмотрим множество 2)1, эквивалентное множеству, каждый элемент
которого М стоит во взаимно однозначном соответствии с каким-то
28 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ГРУПП [гл. I
элементом М множества ЯК. Станем подвергать множество ЯК-{-ЯК
преобразованиям
__ М -► ga (Л4), если М лежит в ЯК,
ал 1 _ — — —
М -> ga (714), если М лежит в ЯК.
Очевидно, что преобразования аа составляют группу, которая при-
том изоморфна с группой G. Сопоставление
имеет характер изоморфизма.
Будем обозначать построенную группу символом 2G и называть ее
удвоенной группой G, Можно доказать, что представление 2G содер-
жит представление G. В самом деле, введем в рассмотрение функцию
f(M) на множестве ЯК-}-ЯК следующим образом:
— если М лежит в ЯК,
= если М лежит в ЯК.
Таким образом значения функции f(M) пробегают множество ЯК. Под-
вергая множество ЯК-}-ЯК преобразованиям группы 2G, мы заставим
значения f(M) претерпевать преобразования группы G. Таким образом
2GzdG.
Аналогично мы можем построить утроенную, учетверенную и т. д.
группу G. Ниже мы увидим, что для групп Ли любое представление,
достаточное число раз расширенное, должно содержать любое другое
представление той же группы (принцип Картана).
10. Пример, Пусть ЯК — множество всех вещественных чисел, про-
бегаемых переменной х, G — группа параллельных переносов, т. е»
преобразований
яа | х -> х -}- а.
Эта группа—абелева.
Пусть ЯК — множество тех же значений, пробегаемых переменной у.
Приведем в, соответствие те значения обеих переменных, которые
равны друг другу. Тогда расширенная группа 2G будет состоять
из элементов
ав | х->х-{-а, у
переносящих точки плоскости (х, у*) параллельно биссектрисе между
координатными осями. Проектируя эти точки на ось X, мы обратно
получим группу G.
11. Пересечение подгрупп. Пусть G будет какая-нибудь группа,
—ее подгруппы. Обозначим через К совокупность всех элемен-
тов, входящих одновременно ив//, и в Нг, Докажем, что # есть
§ 2] ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА 29
тоже группа. Пусть а, b — элементы совокупности /С. Оба элемента
входят в группу Я, а потому их произведение ab войдет в Н. То же
имеет место и по отношению к Нг. Входя в обе группы Н,*Ну про-
изведение ab по определению войдет в К. Элемент е, входя в Н и
в Ну войдет и в К. Если а входит в К, то обратный элемент а-1,
входя и в Н, и в Ну войдет и в /С, которая, таким образом, образует
группу. Эта группа называется пересечением групп Н и Ну
Аналогично можно доказать, что пересечение любого (даже бес-
конечного) числа подгрупп есть группа.
Если подгруппы Н и Нх не содержат кроме е общих элементов,
то они называются взаимно-простыми.
12. Пусть G — какая-нибудь группа, Н—ее подгруппа. Докажем
следующую теорему.
Теорема 5. Пересечение всех сопряженных между собой подгрупп
есть нормальный делитель группы.
Доказательство. Пусть К—пересечение множества $ всех под-
групп типа Н =сГ1На^ где "элемент аа пробегает всю группу G.
Если мы подвергнем все группы множества $ одновременному пре-
образованию а, то получаемое множество а-^а целиком войдет в ф,
так как
а-1 (арНа) а = (аарН (аа).
Более того, имеет место
= (2.2)
так как, подвергая преобразованию а неравенство
afar'cfy
(читается: afya-1 содержится в ^), полученное таким же образом для
преобразования а-1, мы получим
Пусть элемент k содержится в К, т. е. во всех подгруппах множе-
ства Тогда преобразованный элемент a^ka будет содержаться
во всех подгруппах множества а-'фа, и в силу (2.2) он будет вхо-
дить в К- Таким образом К есть нормальный делитель группы G, что
и требовалось доказать.
13. Факторгруппы. Пусть G—какая-нибудь группа, Н—ее нор-
мальный делитель. Рассмотрим множество всех различных смежных
классов аН разложения группы G по подгруппе Н. Отметим, что так
как Н нормальный делитель, то
а~1На = Н,
з потому
На = аН
30
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ГРУПП
[гл. I
Введем умножение классов согласно правилу
аН • ЬН=аЬН.
Смежные классы аН составляют группу относительно этого правила
умножения, так как класс Н является единицей:
аН- Н=аН,
а для класса аН обратным классом является а~хН (т. е. тот класс,
в котором содержится a~v):
аГГ а-1Н=аа~1Н=Н.
Полученная таким образом группа носит название факторгруппы
(или дополнительном) GfH. Если G — конечная группа, то порядок
группы G/Н равен частному порядков групп G и Н, или, как принято
говорить в теории конечных групп, индексу (G : Н).
14. Гомоморфизм. Если между двумя группами G и Gx установлено
соответствие, которое, как и в случае изоморфизма, сохраняет про-
изведения, но отличается от изоморфизма тем, что каждому элементу
группы G соответствует один определенный элемент группы Gp но
не обратно, то такое соответствие носит название гомоморфизма,
а обе группы называются гомоморфными. '
Докажем, что группы G й G/Н гомоморфны. Заставим соответство-
вать каждому элементу а группы G тот смежный класс агН, в котором
лежит а. Тогда
а = афг,
где h — какой-то элемент из Н.
Если а и b лежат соответственно в классах агН и ЬХН:
о
а — афг, Ь = ЬфГ,
то произведение ab = афЬфГ — аффГ'Ь' (имеет место hb1 = blh'f, так
как элемент h" = b~1hb1 в силу нормальности Н лежит в И) лежит
в классе афхН. Гомоморфизм установлен.
Докажем, что гомоморфизм самого общего типа между G и Gr
является изоморфизмом между Gr и некоторой факторгруппой G/H.
Пусть элементу а группы G и элементу b той же группы соответ-
ствует один и тот же элемент ах группы GP
я —> яр £->яР
Тогда элементу ab~x должна соответствовать единица ех группы GP
аЬ-х-*ег
Рассмотрим совокупность И всех элементов h группы G, которым
в группе Gt соответствует единица. Н является группой, так как из
h—>ev hf-+et
следует
hh' -> ev -> ev
§ 2] ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА 31
Далее, Н является нормальным делителем группы G, так как всякий
преобразованный элемент a~xha тоже входит в И. В самом деле, пусть
а -> av
Тогда /
cT^ha —> а± — е .
Два элемента а и b группы G тогда и только тогда соответствуют
одному и тому же элементу группы Gp если они лежат в одном и
том же смежном классе аН. В самом деле, с одной стороны, мы
видели, что в случае, если элементу ab-1 соответствует в Gt единица,
т. е. он лежит в Н, то а и b лежат в одном и том же смежном
классе: аН=ЬН. С другой стороны, каковы бы ни были элементы ah
(при фиксированном а и переменном Л), они в силу h -+ eY соответ-
ствуют в Gx одному и тому же элементу. Этим устанавливается изо-
морфизм между элементами группы Gt и смежными классами разло-
жения G по Я, что и требовалось доказать.
15. Соответствие, установленное между элементами группы G таким
образой, что каждому элементу а соответствует определенный эле-
мент а' той же группы и обратно, причем это соответствие имеет
характер изоморфизма, носит название автоморфизма группы G. Таким
образом автоморфизм есть преобразование, производимое над множе-
ством ЯК элементов группы G. Но из всевозможных преобразований
над элементами множества ЯК только такие могут считаться автомор-
физмами, которые удовлетворяют условию: если
а-+а', b-+br,
то
ab -> а’Ь'.
Совокупность (обратимых) автоморфизмов, называемая голоморфом
группы G, образует группу. В самом деле, если даны два автоморфизма-
РI а-+р (а),
/I а-+р'(а),
то их произведение
РР'\ а^р[р'{а)}
также является автоморфизмом, так как из
ab = c
в силу определения автоморфизма рг следует
р' (°) • р' (1>)=р' (р);
применяя условие, налагаемое на автоморфизм р, к элементам р' (а)^
р' (Ь), р' (f), получим
Р 1р' (а)] • Р 1р' (£)] = Р [/ (с)];
32 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ групп [гл. I
это же условие является выражением того, что преобразование рр'
есть автоморфизм.
Единицей группы автоморфизмов является тождественный авто-
морфизм, который оставляет все элементы группы G на месте.
Наконец, всякий обратимый автоморфизм имеет обратное преобразо-
вание, которое, как нетрудно видеть, тоже является автоморфизмом.
16. Пример. Пусть G есть группа параллельных переносов:
аа| х-+х-\-а.
Всякий ее автоморфизм приводится к некоторому преобразованию
параметра а:
Pl
Но при умножении элементов а* их параметры складываются, в силу
чего должно иметь место
р(а + Р)=р(а)+р(₽). (2.3)
Для простоты предположим, что р(а) — диференцируемая функция.
Диференцируя тождество (2.3) по а, получим
р' (а+?)=/(«),
т. е.
р' (а) = const = k,
откуда
р (а) = ka 7.
Подставляя в (2.3), получим 7=0, т. е.
Р («) = k (а).
Заставляя k пробегать все значения кроме нулевого, мы получим
голоморф группы G.
17. Примером автоморфизма группы G может служить одновремен-
ное преобразование всех ее элементов при помощи одного и того же
элемента а\
аа -> a-h^a.
Меняя а, мы получим группу, которую принято называть группой вну-
тренних автоморфизмов или присоединенной группой группы G. Из
соотношения
b-1 (а-^а^а) b = (ab')~1aa (ab)
видно, что каждому элементу группы G соответствует автоморфизм и
что произведению элементов группы G соответствует произведение ее
автоморфизмов, т. е. что присоединенная группа гомоморфна с самой
группой G. Чтобы узнать, имеет ли здесь место изоморфизм, выясним,
какие элементы группы G соответствуют единице присоединенной
группы. Если z есть такой элемент, то для всякого из G имеет,
место
z-^a^-a^ (2.4)
§ 2] ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА 33
е. z перестановочен со всеми элементами группы G. Все элементы г
составляют нормальный делитель Z группы G, носящий название его
центра. Таким образом присоединенная группа изоморфна с фактор-
группой G/Z.
Центр Z группы G является абелевой группой, так как *в соотно-
шение (2.4) можно вместо ал подставить любой другой элемент
группы Z. Далее, центр Z является не только нормальным делителем
(который остается неизменным при всех внутренних автоморфизмах
группы G), но остается неизменным вообще при всех автоморфизмах
группы G. Подгруппы, обладающие этим свойством, называются харак-
теристическими подгруппами.
В самом деле, Z есть совокупность элементов г, удовлетворяющих
соотношению (2.4) при любом ал из G. Нам достаточно доказать, что
элемент p(z), где р{...) — произвольный автоморфизм группы G, тоже
наряду с z входит в Z. В силу основного свойства автоморфизмов
получаем из (2.4)
Р (?) -1 • р (аа) • р (г) = р (аа).
Но так как в силу обратимости р(...) элемент р(ал) пробегает вместе
с аа всю группу G, то p(z) перестановочно со всеми элементами
группы G, т. е. лежит в Z, что и требовалось доказать.
18. Другим важным типом характеристических подгрупп является
так называемая производная подгруппа (или коммутант). Она опре-
деляется как наименьшая подгруппа группы G, содержащая все ее
коммутаторы, т. е. элементы вида a-^tr^ab, где а и b пробегают
независимо друг от друга всю группу G.
Производную ^группу можно также определить как совокупность
произведений вида
а-Ч)-'аЪ • а'-'Ь'-'а'Ь' • a°-4f-W... (2.5)
В самом деле, определенная таким образом совокупность есть группа,
так как произведение двух элементов вида (2.5) имеет опять вид (2.5)
и так как обратный элемент к элементу вида (2.5) в силу
(a-'b-^ab)-1 = b~xa~-xba
тоже имеет вид (2.5). Это есть наименьшая подгруппа, содержащая
все коммутаторы, так как всякая содержащая их подгруппа содержит
также все произведения вида (2.5).
Докажем следующие теоремы.
Теорема 6. Группа G', производная от группы G, есть ее характе-
ристическая подгруппа.
Доказательство. Требуется доказать, что любой автоморфизм р(...)
группы G переводит любой элемент вида (2.5) в элемент того же
вида. Достаточно доказать это для любого коммутатора. Но
р (агЧ^аЬ) = р (а)-1 • р (Ь)-1 • р(а) • р (Ь),
и так как р(а) и р(Ь) входят в группу G, то этим все доказано.
3 бак. № 1132. Н. Чеботарев
34
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ГРУПП
[гл: ]
Теорема 7. Если G'— производная от группы G, то дополнитель-
ная группа G/G'— абелева. Обратно, G' есть наименьшая из групп
такого рода; иначе: если GjK есть абелева группа, то #zdG'.
Доказательство. 1°. Докажем, что классы aG', bG', ... переста-
новочны, т. е. что имеет место
aG' • bG' = bG' • aG'
или что
a-'G' • b~rG' • aG' - bG' = G'
(G' играет роль единицы в группе G/G'). Имеем
а-Ю' • Ь-Ю' • aG' • bG' = a^b^ab • G'.
Но множитель a~1b^1ab есть коммутатор группы G и, следовательно*
содержится в G'. Поэтому полученный смежный класс целиком совпа-
дает с G', что и требовалось доказать.
2°. Если GjK—абелева группа, то для любой пары смежных клас-
сов аК, ЬК мы имеем 7
; аК-ЬК—ЬК*аК,
или
а-Ч< - Ь-'К - аК - ЬК=*К,
или, наконец, х
a~4>-'ab-K=K.
Это показывает, что a"1b~1ab содержится в К. Таким образом в К
входит любой коммутатор группы G, а в силу этого и любой элемент
вида (2.5), и таким образом в К содержится вся. группа О'* что и
требовалось доказать.
19. Рассмотрим цепь из нескольких последовательных производных
групп:
G id G' G" зэ . .. о ОМ о G<w), (2.6}
где каждая GW является производной своей предыдущей группы G^’"1).
Докажем теорему:
Теорема 8. Любая из последовательных прризводных GW является
нормальным делителем (и даже характеристической подгруппой}
группы G.
Доказательство. Любой автоморфизм р (...) группы G по теореме 6
не изменяет производной группы G' и потому может быть рассматри-
ваем как ее автоморфизм. В силу последнего он также не изменяет
производной группы G" от группы G' и т. д.
20. Более общий способ представления абстрактных групп пре-
образованиями. Пусть G будет абстрактная группа, И—ее подгруппа.
Рассмотрим совокупность aji смежных классов разложения G по под-
группе Н. Пусть aaji—aji. Будем тогда говорить, что элементу а
группы G соответствует преобразование а, переводящее класс ajinaji.
Беря в роли aji любой смежный класс, мы полностью определим az
а ] aji -► aji.
§ 2] ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА 35
Подобно тому, как в § 2.3, мы докажем, что построенная нами
группа G преобразований гомоморфна группе G. Чтобы выяснить,
с какой ее факторгруппой она изоморфна, зададимся вопросом, каким
элементам группы G соответствует единица в G. Эти элементы должны
при умножении слева не менять смежных классов ааН:
аалН = ааН9
или
а~1аа -Н=Н9
а а
а это показывает, что элементы сГ1аа должны входить в Н, т. е. сам
элемент а должен входить во все сопряженные группы а(На^‘19 где ал
пробегает все элементы группы G. Таким образом группа G изо-
морфна с G/Hp где Нг есть пересечение всех подгрупп, сопряжен-
ных с Н.
Если, в частности, НХ=Е9 т. е. сопряженные с Н группы не со-
держат, кроме <?, общих элементов, то группа G изоморфна с самой
группой О, или, как это принято говорить, представление G истинное.
21. Транзитивность. До сих пор мы рассматривали в этом пара-
графе почти исключительно структурные свойства групп, общие всем
изоморфным группам. Теперь рассмотрим группу G преобразований,
совершаемых над элементами М некоторого множества 2R. Назовем
группу G транзитивной, если в ней содержатся преобразования, пере-
водящие произвольно заданный элемент М в другой произвольно за-
данный элемент Мг множества 2R.
Для того, чтобы установить транзитивность группы G, достаточно
установить существование преобразований, переводящих один и тот же
элемент Мо в любой другой элемент М. В самом деле, пусть G содер-
жит преобразование а, переводящее 7140 в М9 и преобразование а'9
переводящее 7140 в где М и NT—два произвольно взятых элемента
множества ЗИ. Тогда преобразование ага~х переводит М в Мг9 так что
группа G транзитивна.
Точно так же назовем дважды транзитивной группу G, содержа-
щую преобразования, которые одновременно переводят Af в NT и М"
в NT” 9 где. M9 M'9 М”9 NT"— произвольно выбранные элементу мно-
жества 2R.
Пример 1. Ортогональная группа
х -> cos а • х — sin а • у9
у -> sin а • х + cos а • у
преобразований точек (х9 у) плоскости интранзитивна (т. е. не тран-
зитивна), так как она может переводить друг в друга только такие
точки, для которых функция х2-\-у2 имеет одно и то же значение.
3*
36
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ГРУПП
[гл. I
Пример 2. Группа движений на плоскости
x->cos<z • х—sine -у-]-а,
у -> sin а • х + cos а • у + b
и
транзитивна, так как движением можно всегда перевести любую точку
в любую другую. Аналитически мы в этом убеждаемся, задав, на-
пример, а произвольно и подбирая параметры а, b так, чтобы имело
место
хг = cos а • х — sin а • у -f - а,
yt = sin а • х -f- cos а • у -|- Ь9
где (л:, у) и (хр Уу^— произвольно заданная пара точек.
Вместе с тем эта группа не транзитивна дважды. В самом деле,
задав произвольно две точки (х19 у^ и (х2, у2) и полагая
х3 = cos а • х4 — sin а • yt + а9
у3 = sin а • xt + cos а • у4 Ь9
х4 = cos а • х2 — sin а • у2 4“
у4 = sin а • х2 + cos а • у2 -J- Ь,
мы легко проверим, что
(*8 — + Оз — Л)2 = (*i—*г)2 + 01 — л)2- (2 • 7)
Отсюда следует, что точки (хх, у^) и (х2, у^ могут быть одним и
тем же преобразованием переведены только в такие точки (х8, у^ и
(х4, у4\ для которых соблюдено равенство (2.7) (т. е. расстояние
между которыми одно и то же).
Дважды транзитивными являются те и только те группы, у которых
удвоенные группы транзитивны (см. § 2.19).
Аналогичные предположения имеют место для транзитивностей
более высоких кратностей.
22. Системы интранзитивности. Интранзитивные (т. е. не тран-
зитивные) группы разбивают множество ЯК на части, называемые систе-
мами интранзитивности. Чтобы получить для группы G систему
интранзитивности, содержащую данный элемент М множества ЯК, возь-
мем Совокупность всех элементов этого множества, в которые может
быть переведен элемент М при помощи всевозможных преобразований
группы G. Это и будет искомая система интранзитивности. Точно так же,
как в § 2.21, мы убедимся, что группа G содержит преобразования,
переводящие любую пару элементов системы интранзитивности друг
в друга.
Докажем следующую теорему:
Теорема 9. Две системы интранзитивности для одной и той же
группы или целиком совпадают или не содержат общих элементов.
Доказательство. Пусть две системы интранзитивности ЯКХ и ЯК2
для группы О содержат общий элемент М. Докажем, что они совпа-
§ 2] ОСНОВНЫЕ Приятия И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА 37
дают, т. е. что любой элемент системы содержится также в
Пусть система 2)?! была построена, исходя из элемента М19 а си-
стема 2^— из элемента Л42. Тогда группа G содержит преобразования:
1) а19 переводящее в М,
2) а2, переводящее Af2 в М,
3) а3, переводящее в
Преобразование а^а^а^ переведет М2 в м'19 а это доказывает, что ML
содержится в 2)?2, что и требовалось доказать.
Таким образом все множество 2)? разобьется на системы интранзи-
тивности, не имеющие попарно общих элементов.
23. Стационарные подгруппы. Пусть Q — группа преобразований
множества 2R. Совокупность преобразований, оставляющих на месте
какой-нибудь элемент М множества 2R, образует группу. В самом деле,
произведение двух преобразований, оставляющих М на месте, также
оставит М на месте; единичное преобразование оставляет М на месте;
наконец, преобразование, обратное к такому, которое оставляет М на
месте, тоже оставляет М на месте. Назовем эту совокупность стацио-
нарной подгруппой, соответствующей элементу М.
Если группа G транзитивна, то ее стационарные подгруппы, соот-
ветствующие различным элементам множества 2J?, сопряжены друг
с другом.
Действительно, пусть и Н2— стационарные подгруппы, соответ-
ствующие элементам Мх и ТИ2, и пусть а — преобразование, переводя-
щее в М2. Тогда все преобразования группы аН^а-1 оставляют Л12
на месте, т. е. содержатся в Н2:
(2.8)
С другой стороны, преобразования группы а~1Н2а содержатся по той же
причине в Нх:
a^H2a<=.Hv
откуда
Н^аН^а-1. ' (2.9)
Сопоставляя (2.8) и (2.9), получим:
H2 = aHra-\
что и требовалось доказать.
Если G — транзитивная группа и Н—ее стационарная подгруппа,
соответствующая элементу М, то смежные классы разложения G по Н
являются совокупностями всех преобразований группы G, переводя-
щих М в один и тот же элемент.
24. Описанные в § 2.3 и § 2.20 (первое, регулярное, есть частный
случай второго, получаемое, если положить Н= Е) представления групп
дают транзитивные группы преобразований, так как два любых смеж-
ных класса аН и ЬН всегда можно перевести друг в друга умножением
38 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ групп [гл. I
на элемент Ьа-1. Обратно, всякое представление группы G в виде
транзитивной группы преобразований подобно одному из описанных
в § 2.20 представлений. Чтобы убедиться в этом, обратим внимание
на то, что стационарная подгруппа построенной в § 2.20 группы пре-
образований, оставляющая на месте смежный класс Н, есть группа Я,
соответствующая Н при сопоставлении G<—>G. Действительно, те и
только те элементы а группы G при своем умножении слева оставляют
класс Н на месте:
аН=Н,
которые входят в группу Н.
Таким образом для доказательства нашего утверждения нам надо
показать, что два представления одной и той же группы, имеющие
одну и ту же стационарную подгруппу, подрбны между собой. Дока-
жем несколько более общую теорему:
Теорема 10. Если G и G — два транзитивных представления одной
и той же группы G и если стационарная подгруппа//х представления G
изоморфна с подгруппой стационарной подгруппы представления G
и соответствует последней при сопоставлении G<—>G, то представле-
ние G содержит представление G:
G=>G.
Доказательство. Будем обозначать преобразования групп G и U,
соответствующие друг другу при изоморфном сопоставлении, G <—> G,
одними и теми же буквами, но с соответственными чертами: например,
а* и а*. Пусть G преобразует элементы множества ЯК, G — элементы
множества ЯК. Пусть группы Я2, Hi оставляют на месте элементы
М, М Тогда каждому смежному классу а^Н2 будет взаимно однозначно
соответствовать элемент Afa множества ЯК, в который любое преобра-
зование из аЛН2 преобразует М. Точно так же каждому смежному
классу срответствует ^элемент Ма множества ЯК. Но при сопоста-
влении G<—>G подгруппа Н2 отображается на некоторую группу Н2,
имеющую делителем ЯР Если мы разложим Н2 на смежные классы по
подгруппе __
то точки, в которые переводится М преобразованиями группы Н2, обра-
зуют некоторую часть Я£ множества ЯК. Это множество является систе-
мой интранзитивности для группы Н2. Образуем множества Я£а,_£Кр ...»
в которые переходит Я} преобразованиями различных классов аЛН29 а^Н2,...
разложения G по Н2. Нетрудно вцдеть, что множества Я?а или целиком
совпадают или не содержат общих элементов. Вместе с тем каждому
классу ааН2 взаимно однозначно соответствует множество Я1а.
§ 2] ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И, ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА 39
Введем в рассмотрение функцию р(44а), значения которой пусть
будут 44а в том и только в том случае, если Л1л лежит в соответ-
ствующе^ множестве 24- Тогда, подвергая Ма преобразованиям группы G,
мы заставим р (Ма) испытывать соответствующие преобразования
группы G. В самом деле, пусть преобразование а группы G перево-
дит 44 в 44р, причем пусть 44 лежит в 2£а, а 44^ в 2ip. Тогда а может
быть представлено в виде a^h^a^ где Л2—какое-то преобразование
группы Я2. Тогда соответствующее преобразование а группы 7? может
быть представлено в виде а П0Т0МУ оно переводит 44а в Л4р,
т. е. р(44а) в р(44р), что и требовалось доказать.
Примечание. Необязательно, чтобы группы G и G были изоморфны.
Достаточно, чтобы G была гомоморфна G. Полагая Hl — Ei мы полу-
чим, что группа G есть регулярное представление группы G. Отсюда:
Теорема 11. Регулярное представление группы содержит веяное
другое ее транзитивное представление.
25. Импримитивные группы. Группа G преобразований называется
импримитивной, если соответствующее ей множество 2)1 разбивается
на части, лишенные попарно общих элементов, причем каждое пре-
образование группы G переводит все элементы какой-нибудь части
в элементы одной и той же (вообще говоря, другой) части.
Эти части множества 2Й носят название систем импримитивности.
Мы уже познакомились с ними при доказательстве теоремы 10.
Имеет место теорема:
Теорема 12. Чтобы транзитивная группа G была импримитивной,
необходимо и достаточно, чтобы она содержала подгруппу Ор содер-
жащую ее стационарную подгруппу И и отличную от них обеих.
Доказательство. 1°. Условие необходимо. В самом деле, пусть 21
есть система импримитивности, содержащая тот элемент 44, который
преобразования группы Н оставляют на месте. Всякое преобразование
группы, переводящее М в один из элементов системы 21, переводит
также всякий элемент множества 21 в элемент множества 21, в силу
чего совокупность всех таких преобразований составляет группу. Эта
группа содержит Н и отлична как от Н3 так и от G, так как первая
оставляет 44 на месте, а вторая переводит 44 в любой элемент мно-
жества 2R.
2°. Условие достаточно. В самом деле, пусть 21— та система интран-
зитивности группы Gp которая содержит элемент 44; она отлична от 44,
так как по условию содержит преобразования, не входящие в Н. Она
отлична и от 2Л, так как каждому смежному классу разложения G
по Н соответствует один и только один элемент множества 2R. a Gt
не содержит всех этих классов, так как иначе она совпадала бы с G.
Пусть 2la множество из 2R, в которое переводится 21 при помощи
некоторого преобразования aa группы Gr Тогда всякое преобразование
40
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ГРУПП
[гл. I
смежного класса aaGt переводит Л в Ла. Множества 91а и 9^р, соот-
ветствующие различным классам aaGu a^Gv не могут содержать общих
элементов. В самом деле, пусть входит и в ив 9?р, и пусть
ар| M"-+N,
где М', ЛР— элементы множества 9?. Пусть преобразования g"
группы Gj переводят М соответственно в ЛГ и М". Тогда преобра-
зование
£i-4~4/icHcGi’
так как оно оставляет М на месте, a Gj содержит Н. Отсюда
аТ^а czG,,
т. е. классы aaGt и a^Gt совпадают, что противоречит нашему пред-
положению.
Докажем, что множество 91а переводится любым преобразованием а
группы G целиком в одно из множеств Пусть ал — преобразование,
переводящее 9? в Э£а. Пусть преобразование а = а • ал лежит в смежном
классе a^Gx. Тогда оно переводит 91 в 9?р. В силу этого преобразо-
вание а = аа7Х переводит 9ta в 91^, что и требовалось доказать.
Таким образом для того, чтобы построить примитивное (т. е. не
импримитивное) представление группы G, надо в качестве Н(см. § 2.20)
выбрать максимальную подгруппу, т. е. такую, чтобы между G и Н
не содержалось промежуточных подгрупп.
26. Прямые произведения. Пусть G—какая-нибудь группа, имеющая
два взаимно простых нормальных делителя Н и К. Нетрудно видеть,
что отдельные элементы групп Н и К перестановочны. В самом деле,
коммутатор
hkh~'k-' = (hkh-1) k-1 = h (kh-'k-1),
где h— произвольный элемент из Н и k — из & с одной стороны,
лежит в К, так как hkhr1 в силу нормальности подгруппы К входит
в К; с другой стороны, он лежит в Н, так как в силу нормальности Н
это имеет место для kh~1k~1. Но группы Н и К взаимно просты,
а потому коммутатор должен быть равен единице, откуда
hk = kh,
что и требовалось доказать.
В этом случае совокупность произведений
hk,
где h пробегает всю группу Н и k — всю группу К, составляет группу.
В самом деле, если hh' = h" и kk' = k", то в силу только что дока-
занного свойства
hk • h'k' = hh' • kk' = h"kP.
§ 2] ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА 41
Далее,
(Л6)-1 = k-'h-' = h~'k-\
Эта группа называется прямым произведением групп Н и К и обозна-
чается так:
нхк.
Из свойств прямых произведений отметим следующие:
1°. Всякий элемент прямого произведения разлагается в произве-
дение множителей одним единственным образом.
В самом деле, если бы имело место, например,
hk = h'kr,
то отсюда бы следовало
h'-ih = k'k-\
и элемент каждой части равенства, входя и в Я, и в К, в силу их
взаимной простоты, равнялся бы единице, откуда
А = Л', k = k'<
2°. Факторгруппа НХК) И изоморфна с К, и аналогично HXKlK—с /Г
В самом деле, представим К в виде совокупности своих элементов
К= в —а —|- b с ...
Тогда НХК может быть представлено так:
НХК=Н-^На^НЬ^Нс^ ...
Если при этом, например, ab = c, то в силу перестановочности эле-
ментов групп Н и К
На*НЬ = Нс.
Это показывает, что группа смежных классов На, т. е. НХК)Н, изо-
морфна с К
Упражнение 3. Найти оба регулярных представления симметриче-
ской группы третьей степени
/1 2 3\ 4 /12 3\ /1 2 3\
е~ \1 2 3/’ S2 — \2 3 1/* $8“ДЗ 1 2/’
/1 2 3\ /12 3\ /1 2 3\
S<-\2 1 3/’ Sfi \3 2 1Г S(i~~ 3 2/’
и доказать, что между ними имеет место изоморфизм второго рода.
Упражнение 4. Применяя к функции zY — хгх2 + х$х4 все подста-
новки симметрической группы над х19 х2, xs, х4, получить представле-
ние этой группы. Находя стационарную подгруппу этого представления,
а также пересечение всех подобных с ней подгрупп, выяснить, с какой
факторгруппой изоморфно это представление.
-42 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ГРУПП [гл. I
Упражнение 5. Доказать, что группа К дробных линейных под-
становок
ах-\- b
х "* cx + d
гомоморфна группе G однородных линейных подстановок
х -> ах -f- by у
у -> cx-\-dy
м найти факторгруппу GjH, изоморфную с К.
Упражнение 6. Показать, что группа подстановок
/1 2 3 4\ /1 2 3 4\ , ’ /1 2 3 4\ /1 2 3 4\
е~'\1 2 3 4/’ а~ \2143/’ Ь~ \3 4 1 2/’ С Ц 3 2 1/
не имеет внутренних автоморфизмов, отличных от тождественного,
и найти голоморф этой группы.
Упражнение 7. Доказать, что абелева группа, составленная из про-
изведений степеней элементов ..., ап простого порядка р, имеет
голоморф, изоморфный с полной группой однородных линейных под-
становок, коэфициенты которых суть классы сравнений по модулю р.
{Порядком элемента ai называется наименьший показатель р, для кото-
рого имеет место: а? = е).
Упражнение 8. Найти центр и производную группу от группы
однородных линейных подстановок.
Упражнение 9. Доказать, ч^о рассмотренная в упражнении 7 группа
ммпримитивна, и найти ее системы импримитивности.
Упражнение 10. Доказать, что прямые
у — Сх = О
являются системами импримитивности волной однородной линейной
группы двух переменных х, у. Найти (в силу теоремы 12) группу,
промежуточную между всей группой и ее стационарной подгруппой.
Примечание. Начало координат является здесь особенной точкой,
которая не определяет стационарной подгруппы.
§ 3. Классификация групп
1. Прежде чем приступить к изложению основного предмета настоя-
щей книги — теории групп Ли, сделаем краткий обзор главнейших
типов групп, изучаемых в современной математике, с указанием основ-
ных приложений групп каждого типа.
Именно, мы рассмотрим:
1) конечные группы (группы конечного порядка),
2) бесконечные дискретные группы,
3) конечные непрерывные группы (группы с конечным числом пара-
метров),
4) бесконечные непрерывные группы.
КЛАССИФИКАЦИЯ ГРУПП
43
§3]
2. Конечные группы. Конечнцми группами называются группы, содер-
жащие конечное число элементов. Число элементов группы, носит назва-
ние порядка группы. <
Согласно принципу Вейля конечные группы могут быть представлены
при помощи преобразований над множествами ЯК, состоящими из конеч-
ного числа предметов. Эти подстановки записываются в форме
/1 2 3 ... п\
\<Ч а2 «з • • • ап/9
где <хр а2, ап — те же цифры 1, 2, ..., п, взятые в некотором
порядке. Таким образом для данной степени (т. е. числа элементов
преобразуемого множества) всего существует п\ подстановок, образую-
щих симметрическую группу. Важную роль играет также ее нормаль-
но
ный делитель порядка -g”, называемый знакопеременной группой и
состоящий из четных подстановок, т. е. таких подстановок, что в разло-
жении определителя член ^1а1^2а2 * • • апап беРется со знаком плюс.
Теория групп подстановок возникла из проблемы решения алгебраи-
ческих уравнений в радикалах (Лагранж, Галуа). Галуа построил для
каждого уравнения группу (группу Галуа), состоящую из тех подста-
новок над его корнями, которые не нарушают всех соотношений
(с рациональными коэфициентами) между корнями этого уравнения.
Оказалось, что вопрос о возможности решить уравнение в радикалах
связан со структурой его группы Галуа. Именно, для этого его группа
должна быть разрешимой, т. е. ряд ее последовательных производных
подгрупп должен заканчиваться единичной группой. Для симметриче-
ской группы при это не имеет места: все производные группы
от симметрической совпадают со знакопеременной группой.
Более поздние работы по теории конечных групп по большей части
посвящены исследованию различных структурных типов групп, но нужно
сказать, что здесь общая картина гораздо менее ясна, чем в теории
непрерывных групп. Например, в теории непрерывных групп изучены
все простые группы (т. е.- группы, не имеющие нормальных делителей,
кроме самих себя и единичной группы), в теории же конечных групп
трудной и еще нерешенной проблемой является доказательство пред-
положения, что порядок простых групп есть всегда четное число.
Самым сильным инструментом теории конечных групп является тео-
рия характеров, в настоящее время совпадающая с теорией линейных
представлений. В § 2.20 мы видели, что смежные классы при умно-
жении на элементы группы испытывают ‘подстановки. Рассмотрим более
общие линейные агрегаты
• L — xe-\-ya-\-zaf -f- ...,
где х, у, z, .. . могут принимать любые комплексные численные значе-
ния. Может оказаться, что, производя умножение какого-нибудь агре-
гата L на всевозможные элементы группы G, мы получим агрегаты
L, aL, arL, ...,
44 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ГРУПП [гл. I
из которых не все будут линейно зависимы. Если мы теперь выберем
из них систему независимых и линейно выразим через них остальные,
то увидим, что система независимых агрегатов при умножении на эле-
менты группы G будет претерпевать линейные преобразования, обра-
зующие линейное представление группы.
Если система агрегатов такова, что из нее нельзя выделить части
(т. е. совокупности меньшего числа линейных функций от прежних
агрегатов), которая бы при умножении на элементы группы G испыты-
вала линейные преобразования, та система (а также соответствующее
ей линейное представление группы G) называется неприводимой. Оказы-
вается, что в случае конечных групп все независимые линейные агрегаты
можно разбить на независимые друг от друга неприводимые системы
агрегатов (теорема о полной приводимости).
Каждому представлению соответствует система характеров. Именно,
под характером у^(а) для элемента а разумеется сумма диагональных
элементов (след) матрицы, соответствующей а в этом представлении.
Система характеров вполне определяет представление.
Характеры были введены Дирихле цля абелевых групп, где неприво-
димые представления соответствуют одному агрегату (первой степени),
в связи с чем характеры удовлетворяют весьма простому соотношению
х(«М)=х«
37Бесконечные дискретные группы. Так называются группы, состоя-
щие из счетного числа элементов. Теория этих групп возникла совсем
недавно и довольно бедна как по методам, ^ак и по результатам.
Обыкновенно все элементы группы выражают через некоторее число
так называемых производящих элементов, число которых может быть
конечным или бесконечным.
Предметом исследований является главным образом первый случай.
Между производящими элементами группы могут существовать соот-
ношения типа
/ г (т)
/ (av а2, ..., aw) — а± а2 .. ап av а2 .. .ап — е.
Если в группе можно найти производящие элементы, не связанны?
соотношениями, то группа называется свободной.
Теорема В. Дика (Walther von Dyck) говорит, что, имея группу,
заданную производящими элементами, связанную некоторыми соотно-
шениями, и произвольно дописывая новые соотношения, мы переходим
от первоначальной группы к ее некоторой факторгруппе. Отсюда сле-
дует, что всякую дискретную группу можно рассматривать как фактор-
группу некоторой свободной группы.
Очередными проблемами теории дискретных групп являются:
1) Проблема тождества (Wortproblem), т. е. средство узнать,
выражают ли данные выражения © (яр . .., ап) и $(av ..., aw), где
а2, .. .,ап — производящие элементы заданной группы, один и тот же
элемент или разные элементы.
§ 3]
КЛАССИФИКАЦИЯ ГРУПП
45
2) Проблема преобразования (Transformationsproblem), т. е. анало-
гичный вопрос о подобии сриф:
где и должен быть элементом заданной группы. '
Для свободных групп решены обе проблемы. Важным результатом
в теории свободных групп является следующая теорема Шрейера:
Всякая подгруппа свободной группы тоже есть свободная группа
(хотя бы с бесконечным числом производящих элементов).
Кроме того, Я. Нильсен (J. Nielsen) построил все голоморфы сво-
бодных групп.
Проблема тождества решена также для групп, между производя-
щими элементами которых существует только одно соотношение
(Магнус — W. Magnus).
Артин (Е. Artin), занимаясь топологической проблемой узлов и
в особенности кос (Z5pfe), пришел к группе, между производящими
элементами которой имеют место соотношения
aiai = (i ф j zt 1); Л = «.+iaA+i-
Для этих групп ему удалось решить проблему тождества; про-
блема же преобразования, непосредственно связанная с основной про-
блемой кос, решена до сих пор только для случаев п = 2 и п — 3.
Дискретные группы имеют главное применение в топологии. Для
характеристики топологических образов (для простоты буДем пред-
ставлять себе в их роли поверхности в трехмерном пространстве)
важно изучить на ней замкнутые^ пу/ги, не стягиваемые в точку. На
шаре, например, таких путей не существует; на торе • их два суще-
ственно различны^.
Два пути не считаются различными, если они могут быть преобра-
зованы один в другой непрерывной деформацией, оставляющей их все
время на поверхности. Последовательное прохождение двух путей
дает новый путь, который мы условимся называть произведением этих
путей. Если мы будем сопоставлять каждому замкнутому пути эле-
менты группы и произведению путей — произведение соответствующих
элементов этой группы, то получим группу, носящую название фун-
даментальной группы, которую можно выразить через производящие
элементы, удовлетворяющие некоторым соотношениям.
Пример. Тор может быть изображен на плоскости в виде прямо-
угольника, у которого противоположные стороны считаются совпа-
дающими. Он имеет два независимых замкну-
тых пути, не стягиваемых в точку: а и Ь,
вдоль каждой системы параллельных сторон
(см. черт. 1). Из того, что путь MNPQ мо-
жет быть стянут в точку, следует, что
путц, MNP и MQP равносильны, в силу чего
ab = Ьа.
Таким образом фундаментальная группа тора абелева.
Р 5
Г lz
b ь
<7
Я Sf
Черт. 1.
46
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ГРУПП
[гл. 1
4. Группы Ли, Этим термином называют группы, которые сам
Ли называл непрерывными. Ли задает элементы этих групп в виде’
преобразований над точками (хр х2, ..., хп) n-мерного про-
странства 2К:
*1 - *2" /1 (*^1’ * * * > ’ ft ft ’ to to • • , ^r)> • • > ^r), (3.1)
(Х1> Х2’ ’ *
*/«(^1» * * •> ft to
где /р/2, . • •> fn предполагаются непрерывными функциями, аналити-
ческими или, по крайней мере, диференцируемыми столько раз, сколько
это потребуется. Все переменные предположены принимающими или
вещественные или комплексные значения. Переменные а2, ...,аг
называются параметрами преобразования. Придавая' им различные
значения, мы будем получать всевозможные значения одной и той же
группы. В дальнейшем мы будем предполагать эти параметры суще-
ственными. Это означает, что в выражениях (3.1) они не могут быть
заменены меньшим числом функций от аи а2, . .., аг. Впоследствии,
раскрывая смысл этого требования, мы убедимся, что оно равносильно
тому, что выбор определенного элемента группы определяет значения
переменных а^а2, ..., аг: задав преобразование, мы получим самое
большее дискретную бесконечность соответствующих систем значений
av а2, .. ., аг. Неудобство, происходящее от неоднозначного опреде-
ления значений параметров, обыкновенно обходят тем, что рассма-
тривают все эти значения в окрестности какого-нибудь одного зна-
чения. Лучше всего взять окрестность значения, соответствующего
единичному элементу группы (если это значение не представляет осо-
бенной точки), и путем простой линейной подстановки параметров
привести его к значению
ах == а2 = ... = аг = 0.
Тогда, рассматривая только достаточно малые значения параметров,
мы добьемся взаимной однозначности преобразований и значений пара-
метров внутри этой окрестности. Классическая теория фактически и*
изучает такие окрестности, которым в настоящее время дают назва-
ния группового ядра (Gruppenkeim).
В самом определении группы Ли имеется существенная неполнота.
В самом деле, группы преобразований не считаются различными, если
они переходят одна в другую при помощи непрерывного и обратимого
преобразования, необязательно аналитического. Если теперь нам за-
дана группа (3.1), то до сих пор не придумано критериев, которые
позволили бы узнать, можно ли преобразовать уравнения (3.1) в ана-
литические.
§ 3] КЛАССИФИКАЦИЯ ГРУПП 47“
Требование, чтобы все преобразования (3.1) составляли группу^
записывается так:
fi (/1 (*^1> • • •> ^1> • • •> Яу)> • • •» fn • • •» ^1» • • •, =
== ti • • •» -^я> • • •> ^r) G == 1, 2, ...» л).
Получаемые значения cv с%, ..., сг параметров являются функциями от-
^1? * * • 9 И ^9 • • • f Ьу
^ = © (ар ..., ar; bt, br) (i — 1, 2, ..., г).
Для краткости будем обозначать через X точку с координатами
хр х2, .. хп (точку преобразуемого пространства, а через А, В, С—
точки (ах, . .., ar), (Ьи ..., Z>r), (ct, ..., сг) параметрического про-
странства. Через f (X, А) будем обозначать функцию, ставящую в со-
ответствие точке X точку, в которую эта точка преобразуется, и ана-
логично С=ф(Л, В). Тогда уравнения (3.1) перепишутся так:
х->/(АГ,Л), (3.1')
равенства (3.2) так:
/ (/ (X, А), В) (X, ф (А, В)). (3.2').
Ассоциативный закон запишется так:
f (f (J(X, Л), В), С) =/(/(*, ф (Л, В)) С) =
=/(*, ? (? (Л, В), о) =/(/(X, А), ф(В, С)) =
=/(Х,ф(Л,ф(В,С))). (3.3>
Сравнивая третье и пятое из этих выражений и принимая во внима-
ние, что параметры считаются существенными, мы получим (во всяком
случае для окрестности единичного преобразования) *)
ф (ф (а, Ь), с) = ф (а, ф (Ь, с) ). (3.4)
Из этого равенства следует, что функция <р (а, Ь), если считать
в ней а точкой преобразуемого пространства, а b — параметрического,
соответствует некоторой другой группе, которую называют (первой)
параметрической группой.
Чтобы получить уравнения второй параметрической группы, вве-
дем обозначение [а, Ь) = ф (Ь, а). Тогда равенства (3.4) перепишутся
так:
<}> (Ф (с, Ь), а) = Ф (с, Ф (Ь, а) ). (3.5)
Первая параметрическая группа:
х 4> ф (х, а) (3.6)
изоморфна с заданной группой, и этот изоморфизм первого рода, так
*) В дальнейшем мы из технических соображений будем пользоваться»
строчными буквами: а, Ь, с.
48
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ГРУПП
[гл. I
как, считая соответствующими преобразования с равными значениями
параметров, получим
ab | х-> ® (<р (х, a), b) — '? (х, ® (а, Ь)),
ab\ x-+f (J (х, a), b) (х, <р (а, Ь).
Вторая же параметрическая группа
X -►Ф (х, а) (3.7)
ласт изоморфизм второго рода, так как в силу (3.5)
Ьа | х -> ф (ф (х, Ь), а) = ф (х, ф (#, а)) = ф (х, ср (а, #)),
ab | х ->/ (/ (х, а), b) —f(x,<o (а, />))•
Всякое преобразование
х —> ф (х, Ь)
второй параметрической группы перестановочно со всяким преобразо-
ванием
х —> ср (х, а)
первой параметрической группы, так как
ф (ср (х, а), Ь) = <р (#, ср (х, а) ) = <р (ср (Ь9 х), а) = ср (ф (х, Ь)9 а).
В обеих параметрических группах стационарная подгруппа есть
единичная группа. В самом деле, пусть преобразование х —> ср (х, а)
лежит в стационарной подгруппе, т. е. пусть имеет место
£ = ?(£, а)
для некоторой точки b параметрического пространства. Тогда из
х -> ср (х, а),
х -> ср (х, Ь)
следует
х —> ср (ср (X, Ь), а) — ср (х, ср (Ь9 а) ) = ср (х, Ь),
т. е.
ba = bf
откуда
а = е.
Аналогично и для второй параметрической группы. Таким образом
параметрические группы дают регулярные представления.
Основным инструментом теории группы служат три основные
теоремы Ли9 являющиеся своеобразным диференциальным исчислением
групп. Разлагаем функцию f(хр ..., хп; а19 ..., аг) по степеням
..., аг (вблизи единичного преобразования):
х^ (xlt ..., хп\ а^ ..., аг) =
= ^4-?1Л + ^й2+---+^<аг+--- (г=1, 2, л),
§ 3] КЛАССИФИКАЦИЯ ГРУПП 49
где являются функциями только от Ху х2, ..., хп. Функции
являются коэфициентами так называемых инфинитезимальных опера*
торов:
= (3.8)
которые являются коэфициентами при ак разложения по степеням
а2, ..., аг' произвольной диференцируемой функции F (хл9
4» •••> х’пг-
F(xv х', .... хп) = F (хр х2, ..., х„)+ 2 2 + ♦ • • =
< к
= F (Хр х2, ..• • •
к
Эти инфинитезимальные операторы группы обладают следующим ха-
рактеристическим свойством: скобки Пуассона от каких-нибудь двух
операторов группы равны линейной комбинации всех операторов
группы с постоянными коэфициентами:
xj)=xi = (з.9)
Константы с^ , вполне характеризующие локальную структуру группы,
связаны соотношениями двух типов: первые вытекают из знакопере-
менного свойства скобки Пуассона
= (3.10)
я имеют вид
4=-^ (з.и)
вторые являются следствием известного соотношения Якоби
({Ху Xj), Хк) + ({Xjt Хк), Л) + (*>), Xj) = 0 (3.12)
м имеют вид
+ + = ° г). (3.13)
Это составляет содержание трех (прямых) основных теорем Ли.
В силу обратных теорем Ли все это [в частности, знание г3 констант
удовлетворяющих соотношениям (3.11) и (3.13)] достаточно для
построения групп Ли.
Все структурные (локальные) свойства групп изучаются из свойств
этих констант, которые поэтому принято называть групповыми струк-
турными константами. Изучение этого рода свойств и составляет
содержание классической теории групп.
С более общим, топологическим, определением непрерывной группы
мы познакомимся в следующем параграфе. 4
4 £ак. Хе 1132. Н. Чеботарев
50
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ГРУПП
[гл. I
5. Бесконечные непрерывные группы. Так называются группы, в ана-
литические выражения которых входит бесконечное число параметров
или произвольные функции. Для бесконечных групп также можна
найти (в бесконечном числе) инфинитезимальные операторы; но соот-
ношений, подобных (3.9), установить для них нельзя. Для их изуче-
ния строят так называемые определяющие уравнения (Definitionsglei-
chiingen), т. е. диференциальные уравнения относительно неизвестных
функций г2, ..., zn, решениями которых являются коэфициенты каж-
дого инфинитезимального оператора
== ^2 == ^2’ • • • > == ^in*
Если группа конечная, то его определяющие уравнения имеют решение
с конечным числом произвольных постоянных (уравнения типа Майера-
Ли); если группа бесконечная, то требования конечности числа по-
стоянных отпадают. Для того же, чтобы система диференциальных
уравнений являлась определяющей системой уравнений группы, суще-
ственно следующее требование.
Если коэфициенты двух диференциальных операторов X (F) и Y (F}
являются решениями системы, то решениями должны являться также
коэфициенты операторов
аХ bY (F), (X, У),
где а, b — постоянные.
Пример 1. Как мы убедимся в дальнейшем, группа дробных линей-
ных преобразований
имеет следующие инфинитезимальные операторы:
X(F) = ^-, X^(F) = x~, (F) = х2 •
1 v 7 dx ’ 2 v 7 dx ’ 3 v 7 dx
Исключая переменные ev e2, ez диференцированием выражения
z = el-\- e2x e2x2,
мы придем к следующему определяющему уравнению группы:
d?z
44 = 0.
dx8
Пример 2, Конформные преобразования
х и (х, у), у -+v (х, у),
где функции и, v подчиняются соотношениям
ди до ди до
дх ду 9 ду дх 1
а в остальном произвольны. Преобразование, близкое к единичному,
можно представить в виде
х -> х -J-s • у), у -> у 4*е • *1 (*> у)>
§ 4] ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРУПП . 51
где е — весьма малая величина. Коэфициенты соответствующего
инфинитезимального оператора удовлетворяют уравнениям
d£ дг) дс, ду
dx dy 9 ду дх
которые и представляют собой определяющие уравнения группы.
Вместе с и ($2, т)2) функции (ok^bZ# очевидно,
будут также удовлетворять определяющим уравнениям группы. Дока-
жем это для коэфициентов скобки Пуассона:
3 1 dx 2 dx * dy ^2 dy ’
T) ^2________e । „ ^2_______„
7*3 1 dx 2 dx * dy T|2 dy
Для этого обратимся к теории аналитических функций. Вводя обо-
значения
X-{-iy = Z, ^ + ^=^(2), ^ + П2=/2(2)>
мы убедимся, что
*3 + ^3 = fl (2) • Л Ф ~Л (2) • /1 (2),
а для этой функции условия Коши-Римана также должны удовлетво-
ряться.
§ 4. Топологическое определение групп
1. Предварительно определим понятие топологического простран-
ства. Согласно Гаусдорфу (Hausdorff) топологическое пространство R
есть множество точек х, для каждой из которых введено понятие
окрестностей U(x'), т. е. подмножеств множества R, для которых
соблюдаются следующие требования:
1°. Точка х содержится в каждой своей окрестности:
х cz U (х).
2°. Для всякой точки у, лежащей в окрестности U (х):
yc.U (х),
можно выделить окрестность (j'), целиком лежащую в U (х):
Ц(^)с:^(х).
3°. Если заданы две окрестности одной и той же точки
Ц(х), U2(x),
то существует окрестность £73(х), лежащая внутри пересечения за-
данных окрестностей:
^(х)сЦ(х)л^2(х),
где д— символ пересечения (т. е. совокупности общих точек).
4#
52 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ГРУПП [гл. I
4°. Если х ф у, то существуют окрестности U(х), V (у), не содер-
жащие общих точек:
УМд^)=о.
Пример. Пусть R— обыкновенное эвклидово пространство. Если
под U(x) мы будем разуметь всевозможные шары с центром в х, то
они удовлетворят всем четырем требованиям. Надо только считать
точки поверхности шаров не входящими в U (х) (открытые множества),
так как иначе требование 2° не было бы соблюдено.
Можно также взять в качестве U(x) не все шары, а какое-нибудь
счетное множество концентрических шаров с радиусами, убывающими
до нуля. Этим мы удовлетворим еще так называемой второй аксиоме
счетности.
2. Пусть М есть какая-нибудь часть множества /?, т. е. множество
в топологическом пространстве /?. Будем называть точку х про-
странства 7? предельной точкой множества М9 если во всякой окрест-
ности U(x) содержится бесчисленное множество точек множества М.
х может и не содержаться в М. Если множество М содержит все
свои предельные точки, то оно носит название замкнутого мно-
жества.
Ъулц&л называть множество, М открытым, если для каждой его
точки х можно найти окрестность U(x), целиком лежащую в М.
Всякая окрестность в силу требования 2° является открытым мно-
жеством.
Докажем теорему:
Теорема 13. Если М— замкнутое множество, то дополнительное
множество R— М (т. е. множество всех точек R, кроме точек Л4)
открыто: обратно, если М—открытое множество, то R—Ж замкнуто.
Доказательство. 1°. Если у есть точка множества/? — М, то она
не лежит в М и потому не является предельной точкой для М, в силу
чего мы можем найти такую окрестность U(у), которая бы содержала
лишь конечное число точек множества М. Применяя последовательно
требование 4°, мы придем к окрестности V(y), вовсе не содержащей
точек множества М, т. е. целиком лежащей в R — М.
2°. Пусть множество М открыто и пусть х — точка сгущения мно-
жества R — М. Докажем, что она лежит в R — М. В противном случае
она лежала бы в М, и можно было бы найти окрестность £7(х), це-
ликом лежащую в 7И. Но это противоречит тому, что в каждой
окрестности U(x) лежит бесчисленное множество точек множества
R — M.
3. Назовем множество М связным, если его нельзя разложить на
два открытых в множестве М взаимно простых*) множества (связ-
ность по Гаусдорфу).
*) Взаимно простыми называются множества, не содержащие общих
элементов.
§ 4] ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРУПП 53
Два множества М и Мх называются гомеоморфными (или топологи-
чески эквивалентными), если каждой точке одного множества можна
взаимно однозначно сопоставить точку другого множества так, чтобы
предельные точки любых соответствующих при этом отображении
подмножеств из и Д тоже соответствовали друг другу.
Очевидно, что замкнутые множества могут гомеоморфно отобра-
жаться только на замкнутые множества, открытые — только на откры-
тые, связные — только на связные.
Наложим на замкнутые множества дополнительное ограничение:
потребуем, чтобы любые две точки нашего связного множества могли
быть соединены путем, т. е. связным подмножеством, гомеоморфным
с конечным отрезком прямой.
Назовем суммой двух путей АВ и ВС путь, составленный из
обоих путей АВ и ВС и соединяющий таким образом 4 с С. Путь ВА9
совпадающий с АВ, но идущий в противоположном направлении, мы
будем обозначать — АВ. Замкнутый путь (т. е. гомеоморфный окруж-
ности), проходящий через две точки А и В, можно рассматривать как
разность двух путей, соединяющих точки А и В. Обратно, разность
двух путей, соединяющих одну и ту же пару точек, дает замкнутый путь.
Назовем замкнутый путь на множестве М стягиваемым в точку,
если можно внутри М выделить гомеоморфное внутренности круга
подмножество, для которого этот путь был бы границей.
4. Наложим еще на наше множество условие локальной связности.
Какова бы ни была окрестность U(x), всегда в ней можно выде-
лить такую окрестность V(х), что любые точки из V(x) можно сое-
динить путем, целиком лежащим в U (х).
Связные множества могут и не быть локально связными. Примером
может служить множество всех точек (x = pcos<p, j = psin<p), для
которых ср соизмеримо с тс. Две точки этого множества, имеющие
близкие, но неравные значения р и ср, могут быть соединены при
помощи лучей, идущих к началу координат; окружив же обе точки
контуром, не содержащим начала координат, мы не сможем соединить
их непрерывной кривой, лежащей на /И и не выходящей за пределы
контура.
Имеет место
Теорема 14. Если множество М связно по Гаусдорфу и в то же
время локально связно, то любые его две точки могут быть соединены
непрерывной кривой.
Доказательство. Обозначим через W подмножество точек из Ж,
соединимых с некоторой точкой х. Тогда для каждой точки из N
в силу локальной связности можно найти окрестность из соединимых
с ней, а следовательно, и с х, точек. Таким образом множество /V
открыто.
Дополнительное множество М—h тоже открыто. В самом деле,
если бы всякая окрестность точки у из М—N содержала точки
из N, то они, в силу докальной связности, были бы соединимы с у
и с х, а отсюда следовала бы соединимость х и у.
54 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ГРУПП [гл. I
Но так как М связно по Гаусдорфу, то М— М не может содер-
жать ни одной точки, т. е. М, что и требовалось доказать.
5. Будем называть множество М односвязным, если всякий его
замкнутый путь стягивается в точку. Таким образом поверхность шара
односвязна, поверхность же тора — нет.
6. Накрывающее множество (Oberlagerungsmenge).
Выберем на множестве М исходную точку О и рассмотрим все-
возможные пути, соединяющие О со всевозможными точками множе-
ства М. Сопоставим каждый такой путь с точкой вновь определяемого
множества U, считая две точки из U одинаковыми ^огда и только
тогда, если соответствующие им пути множества М:
1) кончаются в одной и той же точке,
2) стягиваются в один путь, т. е. если их разность образует
замкнутый путь, стягиваемый в точку.
Потребуем от нашего множества М, чтобы оно было локально-
односвязным, т. е. чтобы внутри каждой окрестности U(x) существо-
вала окрестность V (х), внутри которой каждый замкнутый путь стя-
гивался бы в точку.
В этом случае можно следующим образом определить систему
окрестностей множества U.
Пусть точка хг множества U соответствует пути X на множестве М,
который кончается точкой х. Выберем внутри М окрестность U(x),
внутри которой все замкнутые пути стягиваются в точку. Окрест-
ностью пути X (т. е. точки множества U, соответствующего этому
пути) мы будем называть совокупность путей, кончающихся в U(x) и
таких, что, будучи дополнены путями, соединяющими их конечные
точки с х и лежащими внутри 1/(х), они становятся стягиваемыми
в путь X.
Будем говорить, что множество U точек хг есть накрывающее
множество множества 7И. Нетрудно проверить, что это определение
удовлетворяет всем четырем требованиям, налагаемым на окрестность.
При нашем определении окрестности накрывающего множества
очевидно, что эта окрестность гомеоморфна соответствующей окрест-
ности исходного множества М Таким образом множества М и U
локально гомеоморфны, т. е. для каждой пары соответствующих на
них точек х, х' каждой окрестности точки х соответствует гомео-
морфная ей окрестность точки хг, и обратно.
В частности, отсюда следует, что в построенных окрестностях на
множестве U всякий замкнутый путь стягивается в точку, т. е. что
накрывающее множество тоже локально односвязно.
7. Более того, имеет место:
Теорема 15. Накрывающие множества односвязны.
Доказательство. Докажем, что два пути 5 (О -> В) и Т(О -> В)
множества U стягиваются друг в друга. Достаточно ограничиться рас-
смотрением случая, когда они не пересекаются, так как иначе мы
доказывали бы теорему для их отрезков между соседними пересече-
ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРУПП
55
ниями. Кроме того, путем весьма малых сдвигов (U локально одно-
связно!) можно добиться того, чтобы весь замкнутый путь 5—Т не
содержал точек, соответствующих на М путям с одинаковыми концами?
Тогда концы путей, соответствующих на М точкам S—Г, опишут
непрерывный замкнутый путь $ — /. Но так как путям s и t на мно-
жестве U соответствует одна и та же точка В, то они стягиваются
друг в друга согласно определению U. Поэтому на множестве Л4 можно
выделить подмножество N, ‘ гомеоморфное кругу, граница которого
будет соответствовать пути s — /.
Соединим каждую точку множества М с точкой О определенным
путем так, чтобы ни один путь из этой си-
стемы не пересекался с другим. В
Можно, например, осуществить это по-
строение на круге, в котором О н В лежат /// / \ \ \\
на одном диаметре, если провести на нем си- // / / \ \
стему окружностей, проходящих через О и В, III I I А и
а затем отобразить этот круг на М I I I I I I II
Каждой точке множества 7V отнесен путь, \ \ \ \ ////
соединяющий ее с О, а потому ей соответ- \ \ \ \ / / //
ствует определенная точка множества U. В \\ \ \ // //
силу того, что всякий замкнутый путь внутри
N стягивается в точку, окрестностям точек '
из М будут соответствовать окрестности то-
чек из U, и мы выделим, таким образом, на U Черт. 2.
гомеоморфную с N часть, замкнутую и одно-
связную, границей которой будет служить S — Тл Это доказывает
теорему.
8. Топологическое определение непрерывной группы. Сопоставим
с каждым элементом группы G точку и будем рассматривать получен-
ное в силу этого множество. Пусть для каждого его элемента х можно
определить окрестность U(x) таким образом, чтобы получилось связ-
ное, локально связное и локально односвязное множество и чтобы при
этом соблюдались следующие требования:
1) задав окрестность произведения ab:
U(ab),
можно найти такие окрестности U(a) и U (В), чтобы при
a'^U(a\ b'a U(b\
всегда имело место
a'b' с: U(ab);
2) задав окрестность можно найти такую окрестность
V(а), чтобы при
а' с: U (а)
всегда имело место
•a'-1 cz {/(а-1).
56
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ГРУПП
[гл.
Свойства 1) и 2) обыкновенно выражают так: ab- и а-1 суть непре-
рывные функции от а и Ь.
Чтобы выяснить связь нашего определения с обычным определе-
нием непрерывной функции, напомним понятие предела последователь-
ности av а2, а3, ... как точки о, в каждой окрестности которой содер-
жатся все точки последовательности за исключением конечного числа.
Свойство непрерывности функции обычно выражается так:
lim/(a„) =/(lim ап) =f(a).
Пусть
limaw = a, limZ>w = Z>.
Возьмем произвольно окрестность U(ab) и найдем соответствующие
ей окрестности U(а) и U(b). Тогда в силу определения предела суще-
ствует такое число п0, что при п > п0
ancU(a), bnc:U(b).
Но тогда из условия выбора Ufa), Ufb) следует, что при п^п^
anbn cz U (ab), т. е. что
lim anbn = ab— lim а„ • lim bn.
ГЪ lb lb lv
Аналогично докажем и lim сГ^ — сГ\
Если лрц этом окрестности элементов группы гомеоморфны /--мер-
ному шару, то группа называется г-параметрической (или порядка г).
Пример. Группа унимодулярных однородных линейных подстановок:
есть непрерывная группа порядка и2—1. В самом деле, будем изоб-
ражать матрицы ||а<л|| точками и2-мерного пространства; тогда условие
1 выделит на ней (и2— 1)-мерную гиперповерхность. Эта группа'
непрерывна, так как элементы матрицы-произведения
ail^lk “Ь ai2^2k “И • • * ^inPnk
суть непрерывные функции от координат матриц-множителей. То же-
в силу | aik | = 1 имеет место и для координат обратной матрицы.
Построенная гиперповерхность связна. В самом деле* докажем пред-
варительно, что всякую матрицу с |аг.л| = 1 можно непрерывным’
изменением координат превратить в матрицу типа
1, ^12» • • •» Ь1п
о, ^22, Ь2п (4
О, ЬП2, ...» Ьпп
Если аи^0, то, прибавляя к первой строке f-ю строку (причем
aix ф 0), умноженную на X, где X мы берем с тем же знаком, что и atl,,
и заставляя [Х.| расти от нуля до —1 + 1, мы непрерывным измене-
I аи I
нием придем к матрице с ап > 0.
§ 4]
ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРУПП
5Г
Прибавляя последовательно к каждой (/-й) строке Первую строку,
умноженную на X, где X будем непрерывно менять от 0 до
придем к матрице вида
, МЬЕ
«и
где аи_>0;
«и*
^11» • • • > а1п
О , «22’ • • • ♦ @2П
•...............
О * , апп
..., а%п
ап2* • • •» апп
После этого элементы первой строки матрицы умножим на Xм-1, а эле-
менты остальных строк разделим на X, и будем менять X от единицы да
п * Этим путем мы придем к матрице вида (4.1), где
«22, . . ., «2w
(4. 2>
ЙЯ2> • • ♦, аПП
Теперь можно непрерывно изменять элементы а12, а13, ..., а1п, не
сходя с гиперповерхности |аа| = 1. Обратим их в нуль, а затем по-
вторим тот же процесс с матрицей (4. 2). В конце концов мы придем
к единичной матрице. Таким образом всякую унимодулярную матрицу
можно непрерывным движением превратить в единичную, в силу чего
множество унимодулярных матриц связно.
Выделяя в пространстве всех матриц систему окрестностей в виде
шаров измерения л2:
ik
а затем пересекая эту систему гиперповерхностью |аа| = 1, мы полу-
чим систему окрестностей нашей группы, очевидно, гомеоморфных
(л2—1)-мерному шару.
9. Непрерывный изоморфизм. Если две непрерывные группы Q
и Gt изоморфны и, кроме того, соответствующее взаимное отображе-
ние носит характер гомеоморфизма, т. е. окрестности соответствующих
элементов соответствуют друг другу, то обе группы называются не-
прерывно-изоморфными.
Если же полного изоморфизма обеих групп не удается обнару-
жить, но элементы окрестностей единичных элементов можно непре-
рывно и изоморфно отобразить друг на друге, то говорят, что группы
локально (непрерывно) изоморфны. Можно „аналитически продолжить"
соответствие локально изоморфных групп совершенно так же, как это
делается в .теории аналитических функций. Выберем в множестве G
какой-нибудь путь, исходящий из единичного элемента е. Пусть на
этом пути лежит точка х, находящаяся внутри U (е). Тогда внутри.
358 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ГРУПП [гл.
•U^ Oj) группы Gt мы однозначно определим точку xt -+ х и образуем
соответствующие друг другу окрестности точек х и рассматривая
совокупности элементов ху, хуг и заставляя у, уг пробегать соответ-
ственно U (е), Ux (ej. Определим внутри новой окрестности в группе Q
вдоль намеченного пути новую точку у, и пусть в Gr ей соответ-
ствует Продолжая процесс, мы определим элементы группы Gn
соответствующие окрестностям точек нашего пути.
Однако может случиться, что, идя от е к одной и той же точке
разными путями, мы придем к различным элементам группы GP Ниже
мы подробно остановимся на этом случае. Пока же приведем следую-
щий элементарный пример локально изоморфных групп.
Пример. Пусть группа G есть совокупность преобразований
z -> еи • z, (4.2)
;а группа Gx состоит из преобразований
х (4.3)
В обеих группах при перемножении преобразований значения пара-
метра t складываются, а потому, сопоставляя при малых t преобразо-
вания обеих групп, имеющие одни и те же значения мы получим
изоморфные друг другу окрестности единичных элементов. Однако
в группе Gp давая t различные значения, мы будем получать все раз-
ные преобразования, в то время как в группе G, взяв t — 2тг, мы по-
лучим опять единичное преобразование. Таким образом обе группы,
будучи локально изоморфны, не изоморфны в целом (im Grossen).
10. Как мы увидим ниже, локальный изоморфизм двух групп Ли
имеет место тогда и только тогда, если структурные константы с*к
обеих групп равны. Классическая теория групп Ли ограничивается
диференциальными свойствами групп и поэтому, не имея средств раз-
личать локально изоморфные, но не изоморфные в целом группы, не
считает их различными (по терминологии Ли они называются „gleich
zusammengesetzt"). Таким образом классическая теория ставит своей
основной целью анализ типов систем структурных констант csik.
Итак, изоморфизм групп в классической теории есть по существу
изоморфизм окрестностей их единичных элементов. Некоторые авторы
вводят для этих окрестностей термин групповое ядро (Gruppenkeim),
характеризуя его следующими аксиомами.
Под групповым ядром разумеется совокупность U(e) элементов,
удовлетворяющих следующим постулатам:
1°. Если произведения ab, Ьс и одно из двух: (ab) с или а (Ьс),
определяется в U(e), то и другое определено, причем
(ab)c = а (Ьс)
(ассоциативный закон).
2°. Существует единица е-.
ае = еа = а
для всякого а из U (е).
§ 4] ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРУПП 59
3°. U (е) содержит окрестность U* (е) такого рода, что в случае
a*<z:U*О), ^cUf(e)
произведение а*Ь* всегда определено внутри U(e).
4°. Точно так же, если
а* <= [7* (е),
то обратный элемент а*-1 определен внутри U(e).
В дальнейших главах мы главным образом будем иметь дело с ло-
кальными свойствами групп, которые являются не чем иным, как свой-
ствами групповых ядер. Перенося на групповые ядра основные опре-
деления и теоремы теории групп, мы должны все время помнить, что
ядра являются окрестностями единичных элементов и что, следова-
тельно, в каждой группе можно выделить бесчисленное множество
ядер. Это обстоятельство, а также характер постулатов 3° и 4° суще-
ственным образом меняют формулировку основных определений и тео-
рем. Например, теоремы 1—4 справедливы для ядра без изменений.
Понятие изоморфизма двух групповых ядер формулируется так:
Две группы G и G* с ядрами соответственно U к U* называются
локально изоморфными, если внутри U можно выделить ядро, которое
можно привести в непрерывный изоморфизм с некоторым ядром
группы д*, находящимся целиком внутри G*. В этом случае также
говорят, что ядра U к U* изоморфны.
При этом под ядром группы мы будем разуметь окрестность ее
единичного элемента, имеющую то же число измерений, каков порядок
(т. е. число параметров) группы. В дальнейшем мы увидим, что не
всегда ядро при неограниченном перемножении своих элементов вос-
производит всю группу.
Если „группа задана" своими инфинитезимальными операторами, то
фактически задано лишь ее ядро, и мы заранее не можем сказать,
существует ли группа в целом, для которой данное ядро будет слу-
жить групповым ядром. Этот вопрос был* разрешен в положительном
смысле Картаном (Elie Cartan), о чем я в конце книги буду говорить
особо.
11. Рассмотрим теперь факторгруппы топологических групп.
Пусть G—топологическая группа, Н—ее нормальный делитель. Бу-
дем, как обычно, сопоставлять с каждым смежным классом хН
точку х нового пространства, соответствующего группе G/Н. Имея
окрестность U(х), построим окрестность U (х), сопоставляя ее со
всеми точками типа xrh9 где хг пробегает окрестность £7(х), a h —
группу Н. Исследуем, в каких случаях удовлетворяются требования,
налагаемые на окрестности (§ 4.1).
1° удовлетворяется, так как xczG(x), поскольку
х cz U (х).
60 общая теория групп [гл. L
2° удовлетворяется. В самом деле, пусть у cz U(х). Это означает,
что имеет место yha:U(x), где х-*х, у-+у и h — элемент группы/7.
Поэтому можно выделить такую окрестность V (yh), которая будет ле-
жать внутри U(x). Соответствующая этой окрестности окрестность V(y\
будет тогда лежать внутри U(x).
3° удовлетворяется. В самом деле, пусть U(x), V (х)— две окрест-
ности одной и той же точки. Пусть х — одна и? точек, соответствую-
щих х, и U(x\ V (х)— обе соответствующие окрестности. В силу 3%.
имеющего место для G, получим W(x), причем
W(x)<=U(x-)7\V(x).
Тогда для соответствующей W(x) имеет место
W(x)czU(x)7\V(x).
4°. Пусть х, у — различные Точки группы G]H. Им соответствуют
точки xh, yh' группы О, где согласно условию не может иметь места
xh—yhr.
Другими словами, точка х~ху не лежит в /У, т. е. она лежит во мно-
естве G— Н.
Чтобы было возможно найти две такие окрестности U(x') и U(y)t
чтобы никакое произведение х'~гу' не лежало в Н, если х' и у' про-
бегают U(x) и U(у\ необходимо, чтобы х-у не попадало в
если у' пробегает U(y). Но так как каждая окрестность точки у
умножением всех ее точек слева на X"1 переходит в окрестность
точки х~гу и обратно, то вопрос приводится к нахождению для
точки х~гу9 множества G — Н, окрестности, целиком лежащей
в G—Н. Это возможно тогда и только тогда, если множество G—Н
открыто, т. е. если группа И замкнута.
Однако этим вопрос окончательно не решен., Для его решения
воспользуемся непрерывностью произведения х-^у. Имея окрестность
G(x~\y), лежащую в G — Н, построим окрестности ^(х-1), U(y) та-
кого рода, чтобы все произведения элементов этих окрестностей
лежали в U(x-ly)f а следовательно, и в G — Н.
Тогда в силу непрерывности группы G найдется такое G(x), что
Z7(x) и U(у) не будут пересекаться.
12. Докажем так называемую первую теорему Шрейера, играю-
щую важную вспомогательную роль в доказательствах дальнейших
теорем.
Теорема 16. Какова бы ни была окрестность U(e) единичного эле-
мента и каков бы ни был элемент а связной непрерывной группы,
всегда можно выбрать в U (е) такое конечное число элементов
я2,..., ат, чтобы имело место (4.3):
а1 * а2.’ * * ат а*
§ 4] ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРУПП 61
Доказательство. Требуется доказать, что совокупность конечных
произведений (4. 3) исчерпывает всю группу G. Обозначим множество
элементов (4.3) через А. Тогда, все время обозначая через U(х) сово-
купность элементов, полученных путем умножения х слева на U(e)y
мы убедимся, что если х входит в А, то и всякий элемент из U(x)
войдет в А. В самом деле, если х = ага2.. .ат и aoczfJ(e), то произ-
ведение а^х = а^а^... ат тоже типа (4.3) и потому войдет в А.
Поэтому А — открытое множество.
С другой стороны и G — А есть открытое множество. В самом
деле, обозначая через U*(e) совокупность элементов, обратных к эле-
ментам из U(e), докажем, что если у входит в Q — А, то и U*(y)
лежит в G — А. Действительно, если бы это не имело места, т. е.
какой-нибудь элемент уг = уа* лежал в А, где а*сзС7*(г), т. е.
v'= . .атУ то и
у =у'а*-' = aY • а2.. .ата*~х
лежал бы в А, так как <z*~! g: £7(е), что невозможно, т. к. Л и О — А
не имеют общих элементов.
Таким образом связное множество G распадается на два взаимно
простых открытых множества А и G — Л, что возможно только при
условии, если одно из них не содержит ни одного элемента. Но так
как Лз>С7(е), то G — Л = 0, т. е.
A — G,
что и требовалось доказать.
13. Накрывающая группа (Oberlagerungsgruppe). Подобно опреде-
лению накрывающего множества определим накрывающую группу дан-
ной непрерывной группы G как совокупность путей X, исходящих из
единичной точки е, причем не будем считать двух путей различными,
если они кончаются в одной и той же точке и стягиваются друг
в друга. При этом надо условиться, что мы будем понимать под про-
изведением путей, т. е. под путем, соответствующим произведению
элементов накрывающей группы. Если пути X, Y кончаются соответ-
ственно в точках х, у, то под их произведением мы будем понимать
путь Y, продолженный путем, полученным из X путем умножения его
точек слева на х. Здесь — аналогия со сложением векторов, для кото-
рых должен быть определен их перенос. В силу мультипликативной
записи действия над элементами группы вместо „сложения путей" го-
ворят об их умножении. Наконец, перенесение левого множителя* при-
том умноженного слева, объясняется нашим условием порядка записи
преобразований, в силу которого для получения (по способу § 2.3)
изоморфной группы преобразований надо умножать системы на пред-
ставляемый элемент слева.
Получаемая таким образом накрывающая группа G непрерывна,
связна и в силу теоремы 15 односвязна. Она гомоморфна с груп-
пой G.
62
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ГРУПП
[гл. I
14. Гомоморфизм между непрерывной группой и ее накрывающей
группой. Каждой точке группы G соответствует определенная точка
группы G (конец пути, соответствующего элементу группы G). Обрат-
ное не всегда имеет место. Выясним, с какой факторгруппой G/F изо-
морфна группа G. Для построения группы F достаточно найти все
элементы группы О, которым в G соответствует единичная точка.
Эти элементы должны соответствовать замкнутым путям на G, причем
этим путям соответствуют одни и те же элементы G тогда и только ’
тогда, если эти пути стягиваются друг в друга. В топологии такая ,
группа замкнутых путей носит название фундаментальной группы
топологического пространства G.
Группа F является замкнутой подгруппой группы G, так как
иначе G/F не была бы топологической группой (§ 4.11). Далее, в силу
локальной односвязности группы G мы можем окружить точку е та-
кой окрестностью U(e), внутри которой все замкнутые пути стягива-
лись бы в точку. Этой окрестности соответствует взаимно однозначно
окрестность U (е) единичной точки е группы G, которая таким обра-*
зом не содержит кроме е никаких точек, соответствующих замкнутым
путям, не стягиваемых в точку, т. е. отличных от е элементов
группы F. Если мы умножим все элементы этой окрестности слева на
произвольный элемент f группы F, то получим окрестность точки /,
опять не содержащую элементов группы F. Таким образом каждую
точку группы F можно изолировать от других точек этой группы
окрестностями. В связи с замкнутостью группы F это говорит о том,
что на множестве G подмножество F не имеет точек сгущения, или,
как это принято называть, группа F дискретна.
Теперь докажем следующую весьма важную теорему.
Теорема 17. Группа F лежит в центре группы G.
Доказательство. Докажем, что любой элемент f группы F пере-
становочен с произвольным элементом а группы G. Рассмотрим пере-
менный элемент х/х-1, где х непрерывно пробегает какой-нибудь
путь, соединяющий е с а. В силу непрерывности умножения х/х"1
тоже пробегает непрерывный путь, соединяющий f с afa-1. Но так
как F есть нормальный делитель группы G, то все элементы х/х-1
входят в F. Таким образом за все время изменения элемента х эле-
мент х/х-1 не сможет ни перескочить окрестности элемента /, ни
непрерывно пройти через нее, поскольку эта окрестность не содер-
жит кроме f элементов группы F, так что все время должно иметь
место
xfx~' = t,
и, в частности,
aja-x=f, at = fa,
что и требовалось доказать.
§ 4] ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРУПП 63'
15. Последняя теорема налагает на топологическое пространство»,
образуемое группой, весьма существенное ограничение: его фунда-
ментальная группа должна быть абелевой.
Чтобы видеть, насколько велико это ограничение, рассмотрим слу-
чай двумерной поверхности в трехмерном пространстве. Докажем, что
в этом случае поверхность должна быть ориентируемой (двусторон-
ней), т. е. что нельзя взятый на ней треугольник непрерывным дви-
жением привести в такое положение, чтобы его вершины а, Ь, с
совпадали с вершинами первоначального треугольника, но в другом
порядке, и переход от одного порядка к другому образовал бы не-
четную подстановку (в нашем случае только транспозицию). Пусть х
осуществляет движение треугольника. Тогда
ха — ау xb — с, хе = Ь,
что невозможно в силу х = е.
Из топологии известно, что существуют только четыре ориенти-
руемые поверхности с абелевой фундаментальной группой: плоскость»,
шар, цилиндр и тор.
16. Общее свойство локально изоморфных, групп.
Локально изоморфные группы обладают следующим замечательнымг
свойством:
Теорема 18. Все локально изоморфные группы имеют одну и ту
же накрывающую группу. • Другими словами, накрывающие группы
двух локально изоморфных групп изоморфны.
Доказательство. Предварительно заметим, что понятие „локально
изоморфный" транзитивно, т. е. что если локально изоморфны группы G
и а также Gt и G2, то также изоморфны G и G2. В самом деле,,
пусть окрестности
U(e) из G и U1(e1) из Gp
с одной стороны, и
V1(e1) из G, и V202) из G2,
с другой стороны, находятся во взаимно однозначных соответствиях..
Найдем окрестность Wr (е}) единичной точки ег группы Gv содер-
жащуюся и в Ul(e1)9 и в (е^ [требование 3° (§ 4.1) для окрест-
ностей!]. Тогда ей в G будет соответствовать окрестность W(e)cz
cz U (е), а в G2 окрестность W2 (е2). Таким образом элементы окрест-
ности W (г) и 1Г2 (г2) могут быть приведены во взаимно однозначное
соответствие, что и требовалось доказать.
Пусть G и Gt—две локально изоморфные группы, и пусть G —
накрывающая группа группы G. Докажем, что каждому элементу
группы G изоморфно и непрерывно соответствует один определенный
элемент группы Gv Группы G и Gx локально изоморфны, т. е. вокруг
их единичных элементов можно выделить по окрестности со взаимно
однозначно и изоморфно соответствующими друг другу точками. Рас-
суждая, как в § 4.9, мы сможем установить для точек всякого пути
на группе G соответствующие им точки группы Gr Принимая же во
<64
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ГРУПП
[ГД. I
внимание теорему 16, мы убедимся, что, перемещая конечное число
раз окрестность единичной точки, мы всегда можем дойти до любой
точки группы G, а потому этим путем мы будем находить для всех
точек группы G соответствующие им точки группы Gr
Остается доказать, что каждой точке х группы G будет соответ-
ствовать одна и та же точка группы Gv независимо от того, при
помощи какого пути мы определили соответствие. Воспользуемся тем,
что множество G односвязно. Станем рассматривать также замкнутые
пути, не проходящие через точку е, имея в виду, что при помощи
умножения слева их точек на некоторый элемент их можно всегда
•сделать проходящими через е. Нашу цель можно формулировать так:
доказать, что, определяя вдоль произвольно выбранного замкнутого
пути на группе Ъ соответствие с точками группы Gp мы при воз-
вращении к исходной точке всегда по-
лучим соответствие с исходной точкой
группы Gr Будем для краткости назы-
вать пути такого рода монодромными и
докажем, что любой путь на группе G
монодромен.
Назовем произведением двух замкну-
тых путей результат последовательного
обхождения путей-множителей (в инте-
гральном исчислении для этого принят
Черт. 3. термин „сумма путей"). Произведение
двух монодромных путей есть, очевидно, также монодромный путь.
Каждый замкнутый путь можно разбить на произведение двух замкну-
тых путей (см. черт. 3), и если этот путь был немонодромен, то по
крайней мере один из полученных путей немонодромен.
Допустим, что какой-нибудь путь 5 на группе G немонодромен.
В силу односвязности группы G на ней можно найти множество N,
гомеоморфное внутренности круга, для^ которого S будет служить
границей. Проведем внутри N путь, разбивающий 5 на два
замкнутых пути (см. черт. 3). Один из них наверное немонодромен.
Опять разбивая его и продолжая процесс, мы в конце концов придем
к бесконечной системе немонодромных путей, в которой каждый по-
следующий содержится внутри предыдущего, и все они имеют лишь
одну общую точку, в каждой окрестности которой будут таким
образом содержаться немонодромные группы. Это, однако, стоит
в противоречии с тем, что группы G и GY локально изоморфны, так
что всякий путь монодромен.
Приведенное доказательство совершенно аналогично доказательству
теоремы монодромии в теории аналитических функций, состоящей в том,
что определенная на односвязной поверхности неоднозначная функция
всегда имеет критические точки, т. е. точки, при любом обходе вокруг
.которых функция меняет свое значение.
§ 4]
ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРУПП
65
Из этого результата следует, что Gr изоморфна с некоторой
факторгруппой группы G, и что G является также накрывающей
группой для Gr
Отсюда также следует, что обе накрывающие группы G и Gt
групп G и Gn изоморфны. В самом деле, для этого достаточно взять
s роли Gj группу G1? а затем поменять группы G и Gt ролями.
В силу этого свойства односвязные группы называют универсаль-
ными накрывающими группами.
Пример Г Группа эвклидовых движений на плоскости:
х —> а -4- х cos © -4- v sin ф, ]
, • ‘ ‘ (4Л)
у -> b— X Sin Ф -f~y COS Ф. J
Чтобы получить ее параметрическую группу, умножим преобразование
0.4) на другое преобразование того же типа;
х —> а{ ф- х cos Oj -j-y sin фр
у -> —x sin ©x -j-y cos ©P
Получим:
x -> (a cos ф s^n ?) ~r x cos (? + ?i) sin (?
у (/? — аг sin ф Ц- br cos ф) — x sin (ф ф- <рх) -|-y cos (ф -f- ©j),
так что преобразования параметрической группы имеют вид:
ах —> а -р cos ф -ф- bx sin ©, )
, А • I А f (4*5)
bY->b — sm ф ф- bx cos ф, 1 ‘ ‘ J v
Здесь a, b, © должны считаться параметрами.
Заметим, что задание преобразования (4.4) определяет значение ср
не однозначно, а с точностью до кратности 2к, так что везде можно
было бы выразить cos © и sin © через и = tg и считать параметром и.
Если, однако, мы «будем считать основными переменными av bv
то значения последних заполнят все трехмерное пространство,
в котором всякая замкнутая кривая стягивается в точку, в силу чего
группа (4.5) является универсальной накрывающей группой.
Пример 2. Группа унимодулярных однородных линейных преобра-
зований второй степени'.
х -> ах by,
у -> сх dy,
ad — be = 1.
(4.6)
Эта группа не является универсальной накрывающей группой. Чтобы
убедиться в этом и
крывающую группу,
cos©. sin©
— sin ф„ cos э
одновременно найти для нее универсальную на-
Ia, b Я | а, b |
, н в виде I , [ =
d |
О, X 1 ?
5 З'ак. № 1132 Н. Чеботареж
66 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ГРУПП [ГЛ. I
Распишем подробно это равенство:
а = cos 9 • X, b = cos 9 • и 4“ s*n ? * Х~!,
с = —sin 9 • X, d = —sin 9 • рь 4" cos ? • X""1.
Из левой колонны мы по данным а и с однозначно определим 0039*
sin 9 и X, если введем дополнительное условие X > 0. Из остальных
уравнений (в силу ad—bc—\ orylq из них является следствием дру-
гого) однозначно определим jjl.
Если мы теперь будем считать основными переменными X, у. и
^а не, например, n±=tg то получим универсальную накрывающук>
группу.
С группой (4.6) локально изоморфна и двузначно гомоморфна
группа дробных линейных преобразований
' (4.7>
cz-\-d v z
которую мы получим из (4.6), полагая z=x-. С другой стороны,,
имея преобразование (4.7) и умножая его параметры a, b, с, d на
один и тот же множитель М, мы из условия ad — bc=\ получим
M = ±-—L==,
Уad — be
и таким образом каждому преобразованию (4.7) соответствуют два
преобразования (4.6).
ГЛАВА II
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ЛИ
§ 5. Предварительные сведения из теории линейных операторов
1. В то время как функция определяется как соответствие между
двумя множествами чисел (функции от одной переменной) или мно-
жествами систем чисел (функции от нескольких переменных), для
определения соответствия между элементами множества функций
в современной математике введено понятие оператора. Теория опера-
торов носит название функционального исчисления.
2. Ограничимся рассмотрением линейных операторов первого поряд-
ка, сопоставляющих каждой диференцируемой функции f (хр х2, . . . ,хп)
функцию, определяемую выражением
4от=“.^+“’1£+--'+',"Д- (S-'>
где а19 а2, . . ., ап—некоторые функции от хр х2, .. хп. В даль-
нейшем будем иногда сокращенно обозначать
(в последующих формулах значок наверху не следует принимать за
показатель степени) и пропускать обозначение суммы 2 в тех СЛУ*
чаях, когда значок, по которому производится суммирование, встре-
чается два раза: один раз вверху и один раз внизу. Если притом мы
будем обозначать независимые переменные так:
х1, х2, ..., хп,
тэ оператор (5.1) перепишется следующим образом:
А = а* & = ^Pf &' Г)
3. Имея два оператора: А (/) и
47 7 дхг
мы можем получить новый оператор, называемый их производным one-
5*
68 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ЛИ [ГЛ. II
ратором или скобкой Пуассона, который тоже является оператором
первого порядка:
(A, B)f= А [В (/)] — В [А (/)] =
• dbi df , ,,,. d2/ ,. da1 df ... d2 /
а'д^дхз'^~а dxi dxi dxi dxi дх^дхз
М (5.2)
\ dx* dx*/ dxJ' 4 7
так как вторая и четвертая суммы взаимно сокращаются. • Производ-
ный оператор играет большую роль в дальнейшем.
Между производными операторами от трех операторов А (/), B(f)f
C(f) имеет место важное соотношение
((А, В}, C)f+ ((В, С), А) / 4* ((С, А), В) / = О, (5.3)
называемое тождеством Якоби (Jacobi). Оно легко проверяется:
((А, В), С)/= (АВ—В А, С) f=
= АВС (/) — ВАС (f) — CAB (7) + СВ А (/),
откуда
((А, В), С)/+ ((В, С), А)/+ ((С, А), В)/ =
= ABC (f) — ВАС (/) — С АВ (/) + СВ A (f) -|-
4- ВС A (f) — СВ A (f) — ABC (/)-[-АСВ (/)-]-
-f- CAB (f) — АСВ (f) — ВС А (/) 4~ ВАС (/) = 0.
4. Операторы рассматриваемого типа носят название линейных
или дистрибутивных. Такие операторы обладают следующими очевид
ными свойствами:
A(f+f) = A(f) + A(f), (5.4
A (cf) = с A (f), с — const, (5.5
л(/-/1)=/л(/1)4-/1^со- (5-е:
Оператор
(А4-В)/=А(/) + В(/) • (5.6':
тоже является линейным оператором.
5. Посмотрим как изменяется выражение операторов, если заме-
нить переменные х* новыми переменными
у1, , уп.
Из формул
df df dyi
dx* dyi dxi
получаем
A(f) = a<V aiVW df
47' dx* dyJ dx^ 7 dyJ v 7
Особо подчеркиваем следующий важный факт:
Производный оператор не зависит от того, пе
какой системе переменных он взят. Другими словами, все
§ 5] ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ 69
равно, прежде ли заменить в операторах переменные, а потом обра-
зовать производный оператор, или поступить наоборот.
В самом деле, если прежде заменить переменные, то получим
( . db* дук . .д2ук ,.да* дук L. . д2ук 1 df
= { аз т—-. ~-т + аз Ь* -ч- —7—Ьз -—. — Ьза* —Л ц } з~~г >
( дхз дх* дх*дхз дхз дх* дх*дхЗ ) дук
к
Здесь второй и четвертый члены сокращаются, так что
(Л, В)
v \ дхэ дхз) дх* дук
Но то же самое выражение получится, если сразу заменить пере-
менные в выражении (5.2).
6. Изучение свойств корней операторов, т. е. функций, обра-
щающих в нуль операторы, является предметом теории линейных
уравнений в частных производных первого порядка. Напомним чита-
телю необходимые для нас факты этой теории.
Нахождение корней одного оператора
Л(/) = а1 ^ + а2^+...+а»-Д = 0 (5.8)
V 7 дх1 i I I $хп \ /
приводится к интегрированию системы обыкновенных уравнений
dx1 dx2 dxn
—г = -v =...=-— = dt. (5.9)
c ax a2 an x *
В самом деле, если функция /(х1, х2, ..., хп) есть интеграл системы
(5.9), т. е. обращается в постоянную при подстановке вместо пере-
менных х* их выражений через полученных из интегрирования си-
стемы (5.9), то она есть корень оператора (5.8):
dt дх* dt дх* v 7
Обращение в нуль тождественно, а не совершается в силу уравнений
(5.9), так как выражение А (/) не зависит от констант интегриро-.
вания.
Точно так же имеет место обратное.
Система (5.9) имеет п—1 функционально независимых интегралов,
получаемых при исключении переменной t из системы решений
X1 = <?!(/), х2 = «2(/), xn = <?n(t)
системы (5.9). Столько же корней имеет оператор (5.8).
Отметим, что произвольная функция от корней /р /2, . ..,/ш
Ф = Ф (/*р /2, .. ., fw) есть тоже корень:
А СФ) = ai дЛ= ai д-* № = дф ( ~
— а дх{ — a >df. дх. — dfjA — и.
70 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ли [гл. II
7. Обратимся к системе т уравнений. Если функция f есть корень
двух операторов:
Л(/) = 0, 5(/) = 0,
то в силу того, что
(A, B)f = AB(f) — BA(f),
она является также корнем производного оператора.
В связи с этим, имея систему уравнений
= Л2(/) = 0, Лт(/) = 0, (5.10)
мы можем дополнить ее всевозможными уравнениями типа
(А, А-)/=о,
и система останется равносильной, т. е. имеющей те же решения.
Дополняя полученную систему таким же образом, мы в конце концов
получим систему, в которой каждый производный оператор будет вы-
ражаться в виде линейной комбинации от заданных операторов. Такая
система называется полной.
Если полная система (5.10) состоит из п линейно независимых
операторов, то из (5.10) мы получим
df__ д£_
дх1 ~ дх2 -----дх” —
и система не будет иметь решений, кроме тривиальных /= const.
Если же полная система (5.10) состоит из т < п линейно незави-
симых операторов, то, как мы докажем, такая система будет иметь
п — т функционально независимых решений.
Прежде всего докажем, что система останется полной, если в ней
заменить отдельные операторы их линейными комбинациями, хотя бы
с переменными коэфициентами. В самом деле,
(хл + цв, С)/=Х(Л, С)/+н(^> Q/—С(Х)-Л(О—С(н)-В(А
так что если (Д, C)f и (В, С)/ были линейными комбинациями от осталь-
ных операторов, то это имеет место и для С)/. Исходя
из этого, мы докажем, что любые т линейно независимые комбинации
от операторов (5.10) дадут полную систему.
Выберем среди переменных х1, х2, ..., хп систему из т перемен-
ных, например, х1, х2, . . ., Xw, так, чтобы уравнения (5.10) решались
относительно производных
df df д£
дх19 дх2 ’ ’ ’ ’ ’ дх™ ’
(5.11)
Это означает, что вместо системы (5.10) мы можем взять систему их
линейных комбинаций:
О f_ J/ I hi D <¥ I А» df
C>XL “Г ^1 dxi ’ rJX2 + b2 dxi ’ • •
В f— 1
w dx™ 1 ™ dxi В 9
(5.12)
§ 5] ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ 71
где значок I пробегает значения от т 1 до п. Эта система по
доказанному тоже должна быть полной. Более того, она будет яко-
Паевой; это означает, что все ее производные операторы тожде-
ственно обращаются в нуль. В самом деле, производный оператор,
например, от первой пары операторов, может содержать из производ-
ных (5.11) только и J^-2. Но обращаясь к формуле (5.2) и пола-
гая в ней
а1 = 1, а2=0, ^ = 0, £2=1,
df df ,
мы. получим при и -^2 коэфициенты
С/Ик (J •'V
, dbl даХ л . д& да2 „
—Ьг^-, = 0', — Ьг-—. = 0, •
дх* дх* дхг дхг ’
откуда следует, что производный оператор вовсе не содержит произ-
водных (5.11). С другой стороны, всякая линейная комбинация
WZ)
содержит производные (5.11) в виде
дхъ ’
где l^z^zn. Чтобы эти производные не входили в (Bi9 Bj)f —
= л'Вм(/), необходимо, чтобы Х^ = 0.
Итак, рассмотрим произвольную якобиеву систему
В1(/) = 0, В2(/) = 0, ..., В9)1(/)=,0. (5.13)
Пусть у1, у2, ..., у7*-1 будут независимые решения первого из этих
уравнений. Присоединив к этой системе хп, заменим переменные х1
новыми: у, при условии, что они функционально независимы, т. е.
что x)l не есть решение системы (5.13) (в противном случае в роли'
уп выберем .другую из хг). Производя замену по формуле (5.7), мы
в силу Bi (y) = 0(z = l, 2, 3,..., п — 1) получим вместо первого
оператора Вг (хп) = В При этом система в силу §5.5
останется якобиевой.
Полагая
получим при помощи
(В..
(5.2)
ПД О <)bi д/ м дв д?
' дуп dyt dyJ дуп'
Но в силу тождественного обращения этого оператора в нуль по-
лучим
-|4 = о <7=1, 2, •••> «-1).
(5.11)
72
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ЛИ
[ГЛ. а
Так как решения системы (5.13) следует искать в форме/(у1, у2,. . ., у11'1),.
то, полагая в преобразованной системе = 0, мы получим якобиеву
систему из (;п—1) уравнения с (л—1) переменными у1, у2, .. yfl~1r
в коэфициенты которой у*1 не входит.
Продолжая процесс, мы, наконец, дойдем до одного уравнения
с п — /л-j—1 переменными; такое уравнение имеет п — т независимых
решений.
Теорема 19. Полная система линейных уравнений в частных про-
изводных первого порядка, состоящая из т линейно независимых
уравнений с п переменными, имеет п — т функционально независимых
решений.
8. Обратно, задав п — т функционально независимых функций от
п переменных, мы можем построить полную систему из т линейных
уравнений, решениями которых являются зти функции.
В самом деле, полагая искомую систему в виде
= (/=1, 2, 3,..., ш),
а заданные независимые решения
V1» . ., ytil~n,
получим для определения aj систему однородных линейных уравнений:
^.& = 0 (k=l, 2, ..п — т).
В силу независимости решений ранг этой системы равен п — tn.
Полагая, что
|^| ф 0 (k, i = 1,2, ..., п — т)
(чего мы всегда можем добиться путем изменения нумерации пере-
менных), мы сможем выразить а1, а2, ..., а”~т через ап~т4л,
в виде однородных линейных функций. Полагая
ап-т+\ — 1, an-w+2 = 0, ..., ап — 0;
ап-т^г1 = 0, ап-У1 г2_ 0, _ . ? Я^=1,
мы получим систему операторов
Л (A A2(f),..., Am(f),
и тогда каждый оператор, удовлетворяющий поставленным условиям
и соответствующий произвольно выбранным a^-w+2, ..., ап\
выразится так:
an-m + i Д. (у).
§ 6] СУЩЕСТВЕННЫЕ ПАРАМЕТРЫ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ 73>
Полученная система операторов полная, так как в противном
случае, дополнив ее, мы бы получили большее число линейно незави-
симых уравнений, которые бы в силу теоремы 19 не могли иметь-
п — т независимых решений.
Упражнение 11. Найти решения следующих полных систем урав-
нений в частных производных:
д/ о df df ~
ХУ-^~Х^-У2-Гг-^ <А>
xf +j^+2^ = 0>
дх'-^ду' дг
<a-x)£+O-“)^+(x-^ = 0>
(г-х)^ + СУ-^)^ + (х—J)-^ = O.
Упражнение 12. Составить полные системы, имеющие решениями:
х2 4- у2 4~ + и2>
xy-^-zu, arctg-—.
, Упражнение 13. Доказать, что, зная $ независимых решений пол-
ной системы, можно преобразовать систему так, чтобы она стала
содержать на 5 меньше частных производных.
{Указание. Надо взять известные решения в качестве новых пере-
менных.) (Эйзенгарт).
§ 6. Существенные параметры системы функций
1. Пусть дана система диференцируемых функций
/Дх1, х2, ..., хп; а1, я2, .. ., ar) (/ = 1, 2, . . ., q). (6.1)#
Задача состоит в указании наименьшего числа функций от
а2, .. аг:
Ьз = (а1, а2, ..., аг) (/=1,2,...,$) (6.2)
такого рода, что функции (6.1) выражаются только через х* и bL
Число $ называется числом существенных параметров системы (6.1).,
Задача была бы тривиальной, если бы функции (6.1) не содер-
жали х* или если бы мы имели право считать функции (6.2) завися-
щими также от xi. В этих случаях искомое число равнялось бьь
просто рангу матрицы
|! II-
II dak У
74
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ЛИ
[гл. II
2. Имеет место
Теорема 20. Если число существенных параметров системы функ-
ций меньше или равно s, то существует полная система из г—s
уравнений в частных производных первого порядка:
Д1(/) = 0, Лг_8(/) = 0, (6.3)
коэфициенты которых не зависят от хг’ и решениями которых явля-
тются все заданные функции.
Доказательство. Если число существенных параметров системы
<6.1) меньше или равно $, то можно найти s функций (6.2), через
которые бы выражались функции (6.1), причем х* играют роль несу-
щественных переменных. Но в § 5.7 мы видели, что можно найти
полную систему из г—s линейных уравнений, решениями которых
являются функции (6.2) и, следовательно, функции (6.1).
Обратно, если существует такая полная система, то она имеет
ровно функционально независимых решений типа (6.2), в которые
х* не входят. Всякое другое решение, и в частности, каждая из
функций (6.1) должна выражаться через функции (6.2). Это пока-
зывает, что число существенных параметров системы (6.1) меньше
/или равно
3. Ввиду того, что дальнейшие выкладки потребуют сложных
обозначений, изменим обозначения, преследуя цели максимального
упрощения и наглядности записей.
При символе f мы будем допускать три значка: 1) малый латин-
ский ft, обозначающий номер исходной функции из системы (6.1) и
поставленный сверху\ 2) большой латинский f' стоящий тоже на-
верху и обозначающий, скольким диференцированиям и по каким из
переменных х1, х2, . .., хп подвергнута функция. Таким образом Q
состоит из п значков [аг а2, ..., и символ в подробной
записи обозначает
d(*i)ai d(x2)*2... d(xrfn
Мы будем допускать также обозначение суммы значков Q4-7?, кото-
рая будет обозначать наложение диференцирований Q и 7?. В частно-
сти, введехМ обозначения
^ = [1, 0, 0], Е2=[0, 1, .... 0], .... Е„ [0, 0, ..1].
3) Греческий значок внизу /а будет обозначать номер параме-
тра а*, по которому мы должны произвести диференцировацие (по
параметрам мы будем диференцировать по одному разу).
§ 6]
СУЩЕСТВЕННЫЕ ПАРАМЕТРЫ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ
75
Буквой М мы будем обозначать матрицу
df2 ЭЛУ
да1 да1 ’ ’ ’ •' да' 1
df' df2 др
м = да2 ’ да2 ’ ‘ ‘ ’ ’ да2 * (3.4)
дР df2 др *
даг ' даг ’ ’ • ’ ’ даг i
я символом — матрицу, получаемую из М путем Q-диференциро-
вания ее колонн. Далее, в отличие от общепринятого обозначения под
суммой двух матриц мы будем разуметь матрицу, составленную из
колонн обеих матриц-слагаемых. Так, если
то.
a b II а. Ь. ||
и = 1 1 II
с d || 1Г
4. Основным инструментом в наших рассуждениях будет следую-
щий факт, заимствованный из теории определителей:
Ранг матрицы обозначает число независимых
строк, и он же обозначает ‘число независимых колонн.
Таким образом, если матрица имеет ранг $, то будем
иметь (при | aik | ф 0, если
а , . 7 = а. 7,
s + г, к г к ’
где / пробегает значения от 1 до s, а \3. не зависят от k. Точно также
будем иметь:
+ &ai,j C/ = l, 2, s).
5. Если функции (6.1) удовлетворяют полной системе (6.3), кото-
рая содержит г — s линейно независимых уравнений, то последнюю,
меняя, если нужно, нумерацию параметров, можно переписать так:
ZZ = 1, 2 . . ., (к \
f = dff I ’ ). (6.5)
+ v \v= • • •, г —s; a = l, 2,..., 5/
Эти равенства в силу § 6.4 показывают, что ранг матрицы М (число
независимых строк) меньше или равен 5. Но в виду .линейности
равенств (6.5) относительно f и независимости а* от переменных xf
эти равенства можно подвергнуть любому диференцированию Q (ко-
76 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ЛИ [ГЛ. II
нечно, в предположении, что функции f допускают такое диференци-
рование):
Z+,<z=1’* v=1’2’ •••’ r~s'
а= 1, 2, . . ., $). (6.6)
Эти же равенства показывают, что матрица
(6-7>
Q
по каким бы диференцированиям Q мы ни распространяли суммиро-
вание, имеет также ранг, меньший или равный Таким образом
число s существенных параметров не меньше, чем ранг любой ма-
трицы (6.7).
6. В дальнейшем мы покажем, что 5 равно максимальному рангу
всевозможных матриц (6.7). Теперь же обратим внимание на то, чтд
при помощи конечного числа действий можно найти величину этого
максимального ранга. Введем обозначения:
Afj = MEl + МЕг + .. . + МЕ»,
и вообще
^+1=<+^+•••+<«•
Рассматривая матрицы
М, /ИН-Afp ...,
мы видим, что их ранги $0, $2, . . . образуют неубывающую после-
довательность, имеющую верхней границей г (число строк в каждой
матрице). Поэтому после конечного числа шагов прибавление к матрице
матрицы Afw + 1 не увеличит ее ранга:
^W4-I = ^w (6*8)
Докажем, что sm равно искомому максимальному рангу. Примем кон-
цепцию ранга как числа независимых колонн. Равенство (6.8) выра-
жает, что колонны матрицы Afw+1 линейно выражаются через колонны
матрицы т. е. что имеет место
f^ + Ek==yB. + Ekfi, <?, (б ,9)
где R — одно из диференцирований, соответствующее элементам
матрицы Мт (т. е . R = [ар а2, . . ., а„], а± 4~ <х2 = /п), a Q
пробегает все диференцирования Q = [ap а2, ..., а?/], у которых
а1 + а2+ • • +ап<от-
Диференцируя равенства (6.9), получим 1
/’ R + Ек + Ej = Xе + Ekf> Q + Ej-L д 0е +ЕЛ) f-- <? •
7 « г, Q J а 1 $хЭ { г> Q 7 J * 1
заменим здесь те величины + которые входят в матрицу Afw+1
СУЩЕСТВЕННЫЕ ПАРАМЕТРЫ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ
77
{т. е. для которых Ц- «2 4“ • • • + ап = величинами из матрицы
Л4 + • • • + на основании (6.9):
z-i, R + Ej ~\~Е„ (\R *j~ E-. 14* Ra I Ej.\\ Л, Q i л\
h k 3 = {К,Т k\Q ' + аЛв‘)Х • (6.10)
Это равенство показывает, что колонны матрицы Afw+2 тоже линейно
выражаются через колонны матрицы М 4~Л41 4“ • • • т- е- что
2 = 5W+1 =5W. Продолжая процесс, получим равенство всех даль-
нейших Sf. Но так как каждая матрица (6.7) есть часть матрицы
34 + ^+...
при достаточно большом Z, то ее ранг не может прев’ысить числа
sm =
которое в силу этого является искомым максимальным рангом.
7. Докажем, что о есть искомое число 5 существенных параметров.
С одной стороны, в § 6.5 мы видели, что
0<$. (6.11)
Для доказательства того, что а $, будем рассматривать райг а,
как число независимых строк матрицы
д; = Л14-ж1+...4-2Иг.
при любом i^m. Если поэтому мы будем считать независимыми
первые о строк матрицы то получим равенства
(v=l, 2,..., r-а; а=1, 2,..., а), (6.12)
в которых и* не зависит ни от Z, ни от Q. Поэтому наряду с (6.12)
мы будем также иметь
/’ c+V (6.13)
С другой стороны, диференцируя (6.12) по xk, получим
/^Ek=<Q+Ek+4* (ю/;Q- <6-14>
Сравнивая (6.13) и (6.14), получаем
4*^’ Л*,9==:0 «? = [«!> а2> • • •’ а1 + а2+- • •+“«<» (6-15)
Рассматривая (6.15) как систему однородных линейных уравнений
относительно (и*) (при фиксированных k и v и всевозможных а) и
замечая, что ранг о матрицы Nm системы (6.15) равен числу неиз-
вестных, получим как необходимое следствие
V— 1, 2, ...,г а; \
а=1,2, . .., а; k = 1, 2, ..^п)
78
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ЛИ
[гл. II
откуда следует, что величины у-® не зависят от переменных
х1, х2, ..., хп.
Полагая в равенствах (6.12) Q = [0 • 0, 0], получим
а это показывает, что система
= ue^- (v=l, 2, г—а) (6.18)
да^ даа v 7 v '
имеет решениями f1,
Система (6.18) должна быть полной, так как в противном случае,
дополнив эту систему, мы бы получили выражения /а через меньшее
чем а число функций /а (а=1, 2, ..а), и число независимых строк
матрицы Nm было бы меньше чем а.
Система (6.18) имеет таким образом а независимых решений, не
зависящих от х\ через которые (и через xi) выражаются у1, у2, .. .,
так что число $ существенных параметров
Сравнивая с (6.11), получаем
5 = (6.19)
8. Пример. Сколько существенных параметров входит в дробную
линейную функцию одной переменной
/=--х^4 (6.20)
J сх 4- d 7
общего вида?
Составим матрицу М, состоящую всего из одной колонны:
. ___ df __ х _______ 1 d 1
'а да сх -j- d с с exd ’
f = df = 1
db сх -f- d ’
z _ df_____ х (ах 4- b) ___ а \
Jc~ de ~ (сх 4- df ~ ~ с2 "+
. Q.ad — be 1 d z , , x 1
c- ex 4~ d c2 (ex 4~ d)- ’
4 ___ df___ ax 4- b _ a 1 । ad — be 1
?d dd (ex 4- d)2 c ex d c (ex 4- d)2 *
Для удобства преобразуем эту матрицу, вводя вместо ее элементов
их независимые линейные комбинации с коэфициентами, не зависящими
§ 7]
ОДНОЧЛЕННЫЕ ГРУППЫ
79
от х, притом с таким расчетом, чтобы эти комбинации выражались*
как простые дроби:
^ + ^ = 1, А = Л + =
2ad— Ьс j ( а j ч d(ad— be)
J с h-Г-р \cJa -rah)— ~сч. (cx d)2 •
Из двух последних равенств вытекает
4 G/d + «Л) +/е - —Л + -J + rf/b) = О,
т. е.
«Л+^А+^ + ^ = 0-
Это уравнение показывает, что не все параметры существенны, что их
a d с ~
можно выразить через решения -j, у, у этого уравнения. В самом деле>.
а . Ь
ах 4- b _ d 1 d
ex -\-d e . '
dx+1
Чтобы доказать существенность остальных параметров, рассмотрим
матрицу 714 из комбинаций
'?l = cfa + dfb = 1»
1
Л сх + d ’
_ а/ft + g/<z . 1
‘ 3 ad — be (ex 4- d)2
и покажем, что ранг матрицы М-р М' ~рм" равен трем. В самом деле,
'fl- 'f'l- Ъ
м 4- ж 4- М"1 = ?2- ?2> ?2
<f3> ?3- ?3
1, -о, О
1 х 2с2
сх d ’ (сх + d)2 9 (ex 4- d)3
1 _ 2с 6с2
(сх 4- d)2 ’ (сх 4- d)3 ’ (сх 4- 4)4
Упражнение 14, Доказать, что система функций
a (dx -р О') + ^сх — dy\ а (dx2 + су2) -j- b (сх2 — dy2)
содержит два существенных параметра.
§ 7. Одночленные группы
1. Если преобразования вида
х1’ ~+ /*(х\ х2 . .., хп; a) (Z == 1, 2, .. п) (7.1)
образуют группу, то эта группа, обладая всего одним параметром, носит
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ЛИ
[ГЛ. М
-80
^название одночленной группы (или группы порядка 1). Вводя
•обозначение х* =/* (х1, х2, ..., хп; а) = /*(х; а), перепишем формулу (7.1)
так:
xt=f*(x\ а). (7.2)
Будем предполагать функции f диференцируемыми столько раз,
сколько это понадобится в дальнейшем; преобразования (7.1) соста-
вляют группу, т. е. имеет место
/4 (/ (х; a); b) =? (х; ф (а, b}) (i = 1, 2, ..., п), (7.3)
где ср (а, Ь) также предполагается диференцируемой. Группа (7.1) со-
держит единичный элемент; предположим, что он получается при а = 0,
в силу чего
/<(х*; 0)=х*, ср(О, b) = b.
Предположим, что система функций (6.1) обратима, т. е. что якобиан
0. (74)
^предположим также, что этот якобиан не обращается в нуль при
.а = 0.
В связи с этим и ср (а, Ь) должна быть обратима, что, впрочем, если
чр (а, Ь) — аналитическая функция, следует из формулы ср (0, b) = b, так
как из ф (a, b) —b-\-aty(a, Ь) следует
дь — l^a
при малых значениях а и Ь.
Дадим г = ср(а, #) произвольное, но постоянное значение, и будем,
считать b определенной таким образом функцией от а. Диференцируем
‘(7.3) по а, обозначая попрежнему /Цх;а) = х'>:
W)^ + W)"=o ,0. (7.5)
дх'* да 1 db da v ’ 7 v J
Будем рассматривать (7.5) как систему линейных уравнений относи-
тельно t определителем (7.4). Дадим b такое частное значение,
чтобы якобиан (7.4) не обращался в нуль. Тогда переменная а вой-
db дхгз
. дет только в так что, разрешая систему (7.5) относительно
мы придем к уравнениям вида
Л^ = У(х'»,х'2, ...,,х'»Н(«) (/=1,2,..., п). (7.6)
В этой системе переменные х1, х2, ..., хн явно не входят, так чте
частные производные по а можно заменить полными:
-^- = У(х'1,х'’, .... x'O’H*) (/ = 1,2, ...,«). (7.6')
§ 7] ОДНОЧЛЕННЫЕ ГРУЯПЫ 81
2. Покажем, что такая система уравнений при произвольных функ-
циях У, $ (подчиненных только качественным ограничениям: интегри-
руемых и т. п.) даст начало группе. Для удобства вместо переменной а
введем новую переменную
t=^(a)da. (7.7)-
Тогда уравнения (7.б7) перепишутся так:
^ = У(х,1,х,2, ..., х'«) (J= 1, 2, ..., п). (7.8)
Интегрируем эту систему, беря в качестве констант интегрирования
значения хэ переменных х'э при t = 0:
= х2, (/ = 1,2,..., п). (7.9)
Если мы будем интегрировать систему (7.8) иначе, отыскивая реше-
ния уравнения в частных производных
-¥(/7) = ’У^7==0’ (7-Ю)
то получим систему решений
Г" (х'1, .. ., х'п) = F' (х1, .. ., х»); ...;
рп-Цх'1, ..., х'”) = р»-1(х1, х»), (7.11)
к которой надо еще присоединить выражение t через х'1, ..., х'п:
Fn(x'i, ..., х'п) = Fn(х1, х2, ..., х») + /. (7.12)
Решения (7.9) эквивалентны решениям (7.11), (7.12).
Если теперь мы станем рассматривать равенства (7.9) как преобра-
зования, переводящие х1,.. ., хп в х'1, ..., х'п, то они составят одно-
членную группу. В самом деле, если наряду с (7.9) положим
х'Ч = А(х'\ . . ., x'n; (/ = 1, 2, ..., и),
то эти равенства в силу (7.11), (7.12) можно будет переписать так:
Fi(x"t, ...,x"n) = Fi(x'1, ..., х'п) (г = 1,2, ..., п — 1),
Fn (х"1, ..., х"п = Fn (х'1, .. ., х'п) +
откуда, сопоставляя с (7.11) (7.12), будем иметь
Р((х"‘, ..., з!'п) - Ff(xzi, .... х'п),
Fn(x"1,..., x,,») = F"(x'1, .... x'n)-\-t-[-tx (Z = 1, 2, .... п — h),
или, переписывая эти равенства в форме (7.9):
x"J=f>(xl, .. ., хп; t-\-tr) (j = 1, 2, ..., п).
6 3*ак. № 1132. Н. Чеботарев
82 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ли [гл. II
Это доказывает, что уравнения (7.9) дают группу. Выбранный пара-
метр изменяется по простому закону
так что здесь параметрическая группа есть группа параллельных пере-
носов. Такой параметр носит название канонического.
3. Подвергая переменные преобразованию
у = Я(х1, . .., Xя) (/= 1, 2, ..., и) (7.13)
(см. § 5.7), мы приведем нашу группу к группе.
j/1 у*'1 ->уп~\ yn-+yn-\-t, (7.14)
т. е. к группе параллельных переносов. Но преобразование (7.13)
обратимо, так как F* функционально независимы, и группы (7.9) и
(7.14) подобны. Итак,
Теорема 21. Всякая одночленная группа подобна
группе параллельных переносов.
4. Уравнение (7.10) приводит нас к основному для классической
теории понятию инфинитезимального оператора
др
Х(Р)==*(х',...,Х*^. (7.15)
Совершенно произвольная функция F (х1, ..., Xя), если ее подвергнуть
преобразованию (7.9) исходной группы, имеет следующее выражение
для полной производной по параметру Z:
d^(x'\ ...» х'п) __ dx'i dF dP /7
------di------~dF W -5 dPi ~~ <7 ’16>
Таким образом всякой одночленной группе преобразований соответ-
ствует определенный (с точностью до постоянного множителя) линей-
ный оператор первого порядка. Обратно, если функции & и F — ана-
литические, то мы можем восстановить по данному инфинитезимальному
оператору конечные уравнения одночленной группы при помощи бес-
конечных рядов. В самом деле, беря в качестве функции F последо-
вательно
F(x\ . . ., Xя); X(F), XX (F), . ..,
мы получим
= XX 7~x\F) = Xk (Г). (7.17)
Отсюда для функции F(x'1, х'2, ..., х'я) получается формальное раз-,
ложение в степенной ряд:
Ffx'1, .... x'”) = F(x1, ..., + . (7.18)
§ 7|
ОДНОЧЛЕННЫЕ ГРУППЫ
83
Эту формулу очень удобно записывать символически, пользуясь
обозначениями сумм и произведений операторов [см. (5.6)]:
F(x'-, . x'») = (l + tX + ^ Л2+ ...)F(x\ х«) =
= etxF(x\ . . ., хп). (7.19)
5. Чтобы доказать сходимость выражения (7.18), если рассматри-
ваемые функции аналитические, введем так называемые мажоранты.
Пусть функция
является аналитической внутри области
(Z=l, 2, я),
т. е. внутри этой области о разлагается в ряд по степеням все
коэфициенты которого по модулю не превышают некоторого числа М.
Это записывается так:
....=..)•« V (7.20)
*'1 ...
Символ <^, очевидно, допускает почленное сложение, умножение
и диференцирование.
Преобразуем правую часть равенства (7.20), вынося М за знак
суммы:
2 -(/лг =
'*1 '*,1
= _____________М________________________Af
______________________________-2-^. .‘.0_ 1 El + Е2 + ♦ • - + ’
откуда
М
? Gr i е1 + ;2+,,.^р; • (7-21)
Г
Аналогично оценим функции ** (х1 , хп4~ %п):
г
Отсюда имеем
6
84
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ЛИ
[гл. II
Вообще по индукции можно доказать, что
1 ‘3... (2>у — 1) - -
।+ ^2 ♦ » • + 1 ’
(7.23)
и при = ;2 = . . . = = О
| ^'F| < 1 »3...(2v—1)
Подставляя в (7.18), будем иметь
(7.24)
оо
W..........1 3,72(2Т1>
м=0
yi 2-4...2м . . п‘МР‘ ____
21 1-2...М г> ~
ч=0
М
2пР
(7.25)
а последний ряд сходится при
ЧпР *
(7.26)
Это доказывает, что ряд (7.18) сходится внутри конечного круга и
представляет там аналитическую функцию.
Эти рассуждения применимы одинаково и при вещественных, и при
комплексных значениях переменных.
6. Гораздо больше трудностей представляет вопрос о нахождении
по данному конечному преобразованию той одночленной группы, кото-
рая его содержит. Этот вопрос, если ограничиться случаем одной
переменной, можно формулировать так:
Дана аналитическая функция f (х). Требуется найти функцию /(х, /),
удовлетворяющую следующим условиям:
1. / (х, 0) = х,
2. /(х,1)=/(х),
3. /(/(х,/),«)=/(х,/ + и).
Эта функция легко получается для целых значений t\
f{x, 2) =/(/(х)),/(х, 3) =/(/(/(х)))... ;
получаемые функции называются итерациями функции /(х), в силу
чего поставленный вопрос в общем виде носит название аналитической
итерации. Этим вопросом занималось довольно много авторов и здесь
получено немало результатов; однако эти результаты не позволяют
считать проблему исчерпанной.
§ 7] * одночленнЛ группы 85
7. Если найти корень уравнения
/(х)— х — О
и перенести в него начало координат, подвергнув этому преобразова-
нию одновременно и переменную, и функцию, то преобразованная функ-
ция будет разлагаться в следующий степенной ряд:
/(х) = ах-|-а2х94-а8х3+ ...
Возможность решения проблемы связана с величиной а. Если а = 0,
проблема не имеет аналитического решения. Если |а|>1 или
0< |я| < 1, то проблема решается разложением в ряды по степеням t.
В этом случае она носит название проблемы центров.
Если а=1, то проблема тоже имеет решение. Если же |я| = 1,
но а ф 1, то решение существует только в исключительных случаях.
Так, если а есть n-й корень из единицы, то решение существует
только в том случае, если n-я итерация заданной функции /(х)
равна х.
Наконец, если a — e2rzit и t иррационально, то вопрос связан с со-
ображениями теории точечных множеств.
Проблема центров была предметом исследований Коркина, Кенигса
(Koenigs), Ло (Lean), Порецкого, Фату (Fatou), Жюлья. (Julia), Кремера
(Cremer) и др.
8. Если мы станем искать уравнения преобразований группы
в форме (7.11), (7.12), то задача приведется к нахождению функции
F(x), удовлетворяющей функциональному уравнению
F(/(x)) = F(x)+l. (7.27)
Это уравнение носит название уравнения Абеля, так как Абель
впервые построил и исследовал его.
Заменив искомую функцию F(x) функцией
Ф(х)==ег<ж),
мы придем к уравнению Шредера (Schroder):
Ф(/(х)) = гФ(х). (7.28)
Решением этого уравнения занимались Шредер и Бурле (Bourlet).
Последний искал его решение в виде формального ряда
ос
Ф(х)= 5 (7.29)
V —-ОС
где /Дх) —v-я итерация функции /(х), и исследовал, при каких усло-
внее этому ряду соответствует аналитическая функция Ф(х).
86
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ЛИ
[гл. И
9. Функция /(х, /) характеризуется диференциальным уравнением,
которое выводится из формулы (7.8). Последняя в нашем случае
может быть представлена так:
57 = !<А
где функция $ не дана.
- г df
якооиана от f и
7 at
Это равенство равносильно обращению в нуль
d2L_dl — л
дх dt2 dt dxdt
(7.30)
Это обстоятельство приводит вопрос к решению этого уравнения при
краевых условиях
f (х, 0) = х,
f{x, 1)=/(х).
(7.31)-
Последнюю задачу (при вещественных значениях х, t) можно привести
к задаче вариационного исчисления; однако получаемая при этом
вариационная задача не регулярна.
10. Уравнения одночленной непрерывной группы в канонической
форме совпадают с конечными уравнениями установившегося движения
жидкости. В самом деле, если х'г обозначают координаты частицы
жидкости в момент t, а х?: — в момент / = 0, то условие того, чтобы
движение было установившимся, будет как раз иметь вид
х'? (х^, t а) = х,г (x'J\х\ t), и),
так как оно обозначает, что частица из данного положения через
данный промежуток времени попадает во вполне определенное
положение, не зависящее от того, с какого момента начался отсчет
времени.
обозначают составляющие скорости частицы, и уравнения (7.8)
показывают, что эта скорость зависит только от положения точки, но
не от момента времени. Таким образом уравнения (7.8) дают другое,
эквивалентное определение для установившегося движения.
Упражнение 15. Найти выражение для итераций функции
х
и определить ее инфинитезимальный оператор.
Упражнение 16. Найти уравнение Эйлера-Лагранжа для двойного
интеграла
J J ду
§ 8]
ТРИ ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ЛИ
87
Упражнение 17. Найти конечные преобразования одночленных
групп, заданных следующими инфинитезимальными операторами:
x2p + xyq,
(x~y)p-}-{x-\-y)q,
df df . df
xdi-y^ + mdr
(A)
(В)
(С)
(Эйзенгарт).
§ 8. Три основные теоремы Ли
1. Рассмотрим группу Ли преобразований
xz’->/(x, а, ...,аг) (г = 1, 2, ..., и) (8.1)
с г существенными параметрами а1, а2, Преобразования (8.1)
мы предполагаем обратимыми, т. е. предполагаем
В этой главе мы будем в сущности иметь дело с групповыми ядрами,
так что мы будем считать систему уравнений обратимой в том случае,
если она допускает обращение в окрестности какой-нибудь точки.
В данном случае для этого достаточно, чтобы якобиан (8.2) не обра-
щался в нуль тождественно.
2. Для преобразований группы должны иметь место тождества
Л (Р (х^‘, ак), ..., /п (xl, а})\ Ь1, ..., Ьг) —
=/(х1, . .., хп; .... ъг(а\ ^)) (8.3)
(/= 1, 2, .. ., и), (k, 1, 2, ..г),
где
ср1 (аА, №), ^г(ах, ^) (8-4)
— система аналитических функций.
Докажем, что эта система функций тоже обратима как относи-
тельно Ь, так и а, т. е. что ее якобианы относительно обеих систем
переменных не обращаются тождественно в нуль.
Диференцируя (8.3) по получим
b*) _ dfi(x3, у') /о кч
дф' дЬ\х 1 \ • )
где
Если бы имело место 1| = 0, то, обозначая через ^2, •••> Ь
величины, при которых
^ = 0 (Н=1, 2, г) (8.6)
88 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ли [гл. II
(например, систему миноров этого определителя), умножим (8.5) на
и просуммируем по уь:
dbv- df dbv-^ °’ (8-7)
Отсюда в силу теоремы 20 следует, что функции (8.1) имеют менее г
существенных параметров (так как не содержат х'3), что противо-
речит предположению. Таким образом
3. Диференцируем (8.3) по ах:
а/(хЧ bV дх'к _ а/(х/, <рН 9>
дх'к да* д<? да*' ’ *
Если бы тождественно имело место | = 0, то, умножая (8.9) на /х>
где
и суммируя по X, мы получим
а/(хЧ #0 /' дх,к\ _ , о ч
Определитель этой системы есть (8.2), т. е. не равен нулю, а потому
выражения в скобках равны нулю, и мы опять приходим к уравнению
типа (8.7), что противоречит тому, что параметры существенны.
Таким образом
(8.10)
d (а1, я2, ...» л*) ~ v
4. Теперь воспользуемся доказанной обратимостью системы функ-
ций (8.4), закрепим значения этих функций, и будем считать № функ-
циями от ах, получаемыми из равенств
(ях, Ь*) — с1 (Z = 1, 2, ..., г).
Диференцируем при этом предположении тождества (8.3) по ах:
а/(хЧ ^) дх'* дГ(х^ db* ZZ =1, 2, . .., п\
дх'* db» да* U = l, 2, ..., ( ?
Так как это равенство имеет место при произвольных значениях с*,
то мы, оставляя с* свободными, дадим переменным Ь* численные зна-
чения а а будем считать переменными. Для нас важно, что тогда
выражения
др(х'Э, д/(Х Г)
дх'* ’ дЬ^
§ 8]
ТРИ ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ЛИ
8S
превращаются в функции от одних х'3, а выражения
dbv-
да1
— в функции от одних При этом мы должны выбрать значения
так, чтобы якобиан (8.2) не обратился в нуль. Тогда, решая си-
стему (8> 11) относительно т. е. умножая (8.11) на величины W*
(тоже функции только от х'3), удовлетворяющие соотношениям
^-^- = 8°, (8.12}
1 дх'* «’ v 7
где 8* — символ Кронекера, равный 1 при а = а и 0 при а ф а, м*ы
получим
да1 ‘ да1 ’
или, вводя обозначения:
__W°— (х'3}
дЬУ" . u. z \
—- — (а*),
да*- 4 7
имеем:
₽-£; (*")«(») Gzl', 2,Э- <*-1з>
Мы получаем таким образом для
x",=f{xi, o’)
систему диференциальных уравнений (8.13). Определитель
ШО1 + 0,
так как в противном случае, умножая (8.13) на у/, где
хЧ = °>
(8.14)
мы получим
s z ч дх'в л
т. е. уравнение тина (8.7).
Далее, покажем, что система функций £* линейно независима, т. е.
нет таких независимых от х'3 величин е1, е2, ..., ег, которые бы
давали
ге;=о. (8.15>
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ЛИ
[гл. II
Последнее условие можно сформулировать так: система операторов
(н=1,2, .... г), (8.16)
которые мы будем называть инфинитезимальными операторами
труппы, линейно независима, т. е. не существует независимых от xi
величин е1, е2, ег, которые бы давали тождество
e^(F) = 0. , (8.17)
В самом деле, мы можем разрешить систему (8.13) относительно
умножая (8.13) на величины а., обратные к
(8-18)
Суммируя по К, будем иметь
a’. (8.19)
Если бы имело место (8.15), то, умножая (8.19) на е* и суммируя
по /, мы получили бы
эд мы опять приходим к уравнению типа (8.7), в котором в силу (8.14)
и (8.18) все коэфициенты не могут быть равны нулю.
Таким образом мы пришли к первой основной теореме Ли\
Теорема 22, {Первая основная теорема Ли.) Если уравнения (8.1)
образуют r-членную группу Ли, то входящие в них функции f1 удо-
влетворяют системе диференциальных уравнений (8.13), для которых
имеет место (8.14), а соответствующие им операторы X^(F) линейно
«езависимы.
5. С линейной независимостью операторов не надо смешивать по-
нятия их линейной несвязанности. Так как нам впоследствии пона-
добится и это понятие, то я ввожу’ его теперь же, чтобы сразу же
запомнилось их различие. Линейно связанными принято называть опе-
раторы X^{F), между которыми имеет место зависимость
eH(x))Ar|X(F)=0, (8.20)
где коэфициенты e^-(xi) являются функциями от х1, х2, ..., хп. Мы
увидим в дальнейшем, что операторы r-членной группы, будучи всегда
линейно независимы, могут быть и бывают линейно связанными.
6. Первая основная теорема Ли допускает обращение; другими
словами, уравнения (8.13) вполне характеризуют группу Ли. Чтобы
доказать это, напишем их в виде уравнений в полных диференциалах.
Для этого умножим (8.13) на da* и просуммируем по к:
dx'° = day- (з = 1, 2, ..., п). (8.21)
ТРИ ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ЛИ
91
§ 8]
7. Докажем общую теорему, связывающую систему уравнений
в полных диференциалах с системами линейных уравнений в частных
производных первого порядка и являющуюся обобщением § 5.6.
Теорема 23. Всякий интеграл системы уравнений
в полных диференциалах
dx° = $(xj, a)da' gz}; 2’ (8-22)
т. е. функция от хг‘, а\ обращающаяся в постоянную
в силу уравнений (8.22), является решением системы
уравнений в частных производных
(jzj;(8-23)
и обратно.
Доказательство- 1°. Пусть F(jb, а') обращается в постоянную,
если мы вставим в нее выражения xi через полученные интегри-
рованием системы (8.22). Тогда ее полный диференциал обращается
в нуль тождественно относительно dav в силу (8.22):
+ da>- = 0. (8.24)
дх7 1 дак \дхэ 1 da' J v 7
Таким образом на основании (8.22) мы имеем
•1Й+£=°- <8-23>
Но эти уравнения должны обратиться в нуль тождественно относи-
тельно xJ, а\ так как их левые части не содержат констант интегри-
рования. Если бы, например,
не обращалось тождественно в нуль, а уравнение
т (х< а7) = 0
удовлетворяло бы уравнениям (8.22), то и уравнение
т (xi, (Г) — С ф 0
удовлетворяло бы уравнениям (8.22), и мы бы для этого интеграла
имели
dF=Cda>
что противоречит определению F.
2°. Если F(x>, а*) есть решение системы (8.23), то, выразив в фор-
муле его полного диференциала dxz через da1 при помощи (8.22), мы
в силу (8.24) получим dF = 0, откуда следует, что F обращается
при подстановке решений (8.22) в постоянную, т. е. что F есть инте-
грал системы (8.22), что и требовалось доказать.
92 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ли [гл. II
8. Таким образом задача нахождения интегралов системы (8.21)
приводится к нахождению решений системы
= 0 (Х = 1, 2, (8.24)
г Л дх' да
Умножая ее уравнения на определяемые из (8.18) величины ок и сум-
мируя по X, преобразуем эту систему так:
— + < (а1')2£ = 0;
‘ v 7 дх" — г v 7 да1
вводя обозначения (8.16)
АДГ) = о<«)^, (8-25)
мы получим нашу систему в таком виде:
^(F) + A-(F) = O (г — 1, 2, ..., г). (8.26)
Операторы (8.25) в силу (8.14) и (8.18) линейно не связаны, в силу
чего система (8.26) имеет #е более (n-f-r)— г = п независимых ре-
шений и имеет их ровно п только в том случае, если система (8.26)
полная. Но в силу наших условий мы, приравняв эти решения по-
стоянным, должны получить выражения х'1, х'2, х'п через
аУ, а2, .. ., аг и х1, х2, .. ., хп, которые войдут как константы интегри-
рования, откуда следует, что мы должны иметь п независимых решений.
Следовательно, система (8.26) полная.
Обозначая черезинтегралы системы (8.26), составляющие полную
систему п независимых решений, мы получим систему независимых
решений системы (8.21) в следующем виде:
Fj (x'J, а) = С15
Л2(х'< а)==С2, ...,
Fn(x'J, а') = С„. (8.27)
В силу обратимости этой системы функций относительно х'1, ..., х'п
можно выбрать константы интегрирования иначе: в качестве констант
выбрать те значения х'э, которые получаются из (8.27), если придать
а1, я2,..., аг какие-нибудь частные значения, позаботившись только
о том, чтобы якобиан системы (8.27) не обратился при этих значе-
ниях в нуль. Тогда, обозначая эт« значения х'э через х1, х2, . . ., хп>
мы перепишем уравнения (8.27) так:
а) = (х3, ач0),
F^x3, а*) = Р2(х3, а’), ...,
рп{х3. а>) = Fn(х3, <)• (8• 28)
Решая эту систему относительно х'\ получим
x'i = fi{xl, ..., х«; а1, . .., a1) (i = 1, 2, .. ., п). (8.29)
§ 8] ТРИ ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ли 93
Докажем, что эти преобразования составляют полугруппу. В каче-
стве параметрической группы возьмем
с* = <й*(а, №'), (8.30)
где с® должны удовлетворять системе
de* = a{(c)^(b)dby' (z == 1, 2, ..., г) (8.31)
(ниже мы увидим, что эта система имеет систему интегралов с г кон-
стантами), и пусть а1 — система констант, в которые превращаются с1
при численных значениях не обращающих якобиана | а* (с) |
в нуль. Докажем, что имеет место
(х; £))=/*(/(х, а); Ь) (/=1, 2, ..., и). (8.31х)
Обозначим левые части через х"*. В силу (8.21) имеет место
= (8.32)
Подставим значения d& из (8.31) и воспользуемся (8.18):
d*1 = (х") 'К (с) (с) 't's W (z = 1, 2, ..., п),
т. е.
dx'~ £*(х")4£ (b) dbs (z = 1, 2, ..., и).
Эти уравнения отличаются от (8.21) только обозначениями перемен-
ных, в силу чего их интегралы имевот вид (8.29):
х^ = ^(х; Ь) (/=1, 2, ..., п). (8.33)
Но из выбора констант х1, ..., № следует, что при подстановке
в (8.29) аг — aQ хг обращаются в х\ Поэтому прЪ подстановке в (8.33)
b* = aQ х% обращаются в х\ Но из
Xх'* _ fi и фг = ai
следует, что при подстановке Ьг — aQ хг обращаются в /г(х, а) = х\
Таким образом при — aQ имеет место
х'* = х*. (8.34)
Но так как обе части этих равенств не зависят от Ь\ . .., то
равенство (8.34) выполняется тождественно, и равенство (8.31х) дока-
зано. Таким образом преобразования (8.29) еоставляют полугруппу.
Существование единичного преобразования вытекает из нашего
предположения, что хг превращается в хг при а = aQ. Обратные
преобразования тоже существуют в силу обратимости преобразова-
ний (8.29) [имеет место (8.2)]. Нужцю только убедиться, что поду-
чаемые обратные преобразования получаются из (8.29) приданием
параметрам а* каких-то значений, т. е. «1то совокупность (8.2>9)
94
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ЛИ
[гл. II
содержит наряду с любым преобразованием также обратное к этому
преобразованию. Эти значения получаются, если мы решим систему
уравнений
« Ь‘),
которые тоже обратимы относительно Ь*.
Если мы при выборе а0 не соблюдем требований необращения
в нуль обоих якобианов, то можем получить вырождающуюся группу
без единичного преобразования или без обратных преобразований.
Таким образом
Теорема 23, (Обратная первая основная теорема Ли.) Система
уравнений типа (8.21), допускающая п независимых
интегралов [или, что то же, полная система типа (8.26),
где Х*(Р) линейно независимы, а A^(F) линейно несвя-
зан ы], имеет интегралы (решения), дающие г-членную
группу Ли.
9. Проанализируем условия полноты системы (8.26). Эти условия
могут быть записаны так:
(^ + А> А'. + Д.)/=-=4(^ + Л,)Л-,
где под с8. надо пока понимать функции от -х® и а. Но из того, что
оператору и Aj не содержат общих переменных в своих коэфи-
циентах, следует
(^, д7)==0,
в силу чего наше равенство можно переписать так:
(Xit Х?)Р-\-(А<, Л.)^ = ^(^)4-4Д,(Л). (8.35)
Возьмем в качестве F функцию только от а\ Получим
(Дг, Д.)^ = 4.ДДП- (8.36)
Это тождество может содержать переменные Xs только внутри с8..
Диференцируя его по х°, получим
дс8-
q^-JL.As(F).
дх' 7
Но так как операторы AS(F) линейно не связаны, то должно иметь
место
дх°
8 9
т. е. с., не зависят от х .
о
Обратимся опять к тождеству (8.35), на этот раз беря в качестве F
функцию только от х°:
(X., = 4^(F). (8.37)
§ 8]
ТРИ ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ЛИ
95
Диференцируя по а', получим
<М,-
O = —”-Xs(F).
да'
тд ^cij s z
Но -у*-, как и с^, не зависят от х , а операторы
независимы. Отсюда следует
-^ = 0,
да'
X8(F) линейно
и таким образом величины с^ являются константами, не зависящими
ни от ха, ни от а\ Они носят название структурных константу так
как, как мы убедимся ниже, они вполне определяют собой локальную
структуру группы (две группы с одинаковой системой констант с*~
локально изоморфны).
10. Теперь нам становится ясным, почему система (8.31) допу-
скает г независимых интегралов. В самом деле, уравнениям (8.31)
соответствуют следующие линейные уравнения в частных производных:
+ = ° ({1=1, 2, г)
р*v 7 ‘ х V 7 дсг 1 до1 v 1 7
или в силу (8.18)
а’ (с)-Т7 + « =
р-v 7 де* 1 р- v 7 db^
Здесь так же, как в (8.26), левые части уравнений состоят из сумм
двух операторов, не содержащих общих переменных:
+ = 0 (И=1, 2, г). (8.38)
Обе системы операторов отличаются от (F) только обозначе-
ниями переменных. Но так как cL не зависят от этих переменных, то
из (8.36) следует
(С., С;)Г=4С8(П,
(^> B.)F = <.58(n
откуда
(С. + В,, C. + B.)F = 4(C8 + fi8)F,
т. е. система (8.38) полная, а потому имеет 2г — г —г независимых
решений.
11. Из вида уравнений (8.38) следует, что они составляют группу.
Эту группу мы уже называли параметрической группой и знаем, что
она изоморфна с исходной группой. Мы видим, что для получения
конечных уравнений группы надо проинтегрировать систему, у кото-
рой левая часть каждого уравнения состоит из суммы операторов от
S6
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ЛИ
[ГЛ. II
двух различных систем переменных, причем второй из этих операто-
ров, соответствующий параметрической группе, должен содержать
число переменных, равное числу уравнений системы, и система вторых
операторов должна быть линейно не связана.
Если нам дана система операторов, удовлетворяющая только что
перечисленным условиям, то мы легко можем найти конечные уравне- 4
ния группы, которая к тому же будет обладать свойством параметри-
ческой группы; ее параметрическая группа будет иметь одинаковые
с ней уравнения. Для этого надо найти решения системы типа (8.33),
в которых левые части уравнений представляют собой суммы одина-
ковых операторов, но от разных систем переменных. Этот факт свя-
зан с тем, что параметрические группы имеют одинаковые уравнения.
Теперь поставим аналогичной вопрос относительно произвольной
системы г линейно независимых операторов ^(F), удовлетворяющих
условиям (8.37). Вопрос приводится к нахождению системы от г
переменных, линейно несвязанной и удовлетворяющей условию (8.36)
с той же системой констант cs...
Для решения этой задачи введем обозначение
.........................2)' (8 39)
где
12 п
Хк> Хк1 * * ’ ’ Хк
Л различных систем независимых переменных. Введем новые опера-
торы
Y^F) = X\(F) + X}^+...+Xk.(F) (/ = 1, 2, ...» г), (8.41)
у которых верхний значок обозначает, суммой скольких операторов
Х\ (F) от независимых систем переменных является Y* (F). Докажем,
что при достаточно большом k операторы (8.41) линейно не связаны.
Пусть при некотором k между (8.41) имеет место линейная связь
a<}A(F) = 0)
где У могут быть функциями от всех переменных (8.40). Из этой
связи как следствие вытекают связи для отдельных слагаемых X*. (F):
Vj^(F) = 0 (v= 1, 2, . . ., k). (8.42)
Увеличивая k, мы, вообще говоря, будем уменьшать число связей
для соответствующих операторов. Но так как таких связей всего
ТРИ ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ЛИ
97
§ 8]
конечное число, то найдется такое значение при котором после
дальнейшего увеличения k число связей не уменьшается. Покажем,
что в этом случае связей вообще не может быть. В самом деле, наше
условие приведется к тому, что связям (8.42) должна удовлетворять
также система операторов X*+1(F):
A’.¥*+1(F) = O, (8.43)
у которой система переменных независима от переменных (8.40),
входящих в А*. Придавая последним переменным какие-нибудь частные
значения, не обращающие всех А< в нули, мы получим связь (8.43)
с постоянными коэфициентами, что противоречит линейной незави-
симости наших операторов.
Итак, операторы (8.41) линейно не связаны. Они образуют пол-
ную систему, так как из соотношений (8.37) для каждой слагаемой
системы легко получить
{Xit Х.)Р = с*.Уа (Z, 7=1, 2, .... г). (8.44)
Но они содержат nk переменных, а это число, вообще говоря, больше г
(операторы в большем числе, чем число переменных, всегда линейно
связаны). Для уменьшения числа переменных подвергнем операторы
(8.41) некоторому преобразованию. Заметим, что система уравнений
yx(F) = 0, F2(F) = 0, ..., Fr(F) = 0 (8.45)
(значки k мы опускаем), как несвязанная и полная, имеет ровно
u = nk — г решений. Пусть это будут
W1, W2, ...,
Выберем еще г функций
дН, > уг
так, чтобы обе системы образовали независимую систему u-\-r — nk
функций, и преобразуем операторы (8.41), считая эти функции неза-
висимыми переменными. Из формулы (5.7) следует
dF OF S
rj(F)=rj(w«)^+y<(r)-^ ,
Но первая сумма в правой части исчезает, так как w8 являются
решениями системы (8.45). Заменяя коэфициенты Yi(y8) в остающихся
членах функциями от w®, у8, мы придем к системе операторов
= (/ = 1, 2,..., г) (8.46)
от г переменных, тоже линейно несвязанных и удовлетворяющих
в силу замечания в § 5.5 соотношениям
(Z4, Z,) F = ca(JZ, (F) (i, j = 1, 2,..., r) (8.47)
7 Зак. № 1132. H. Чеботарев
98
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ЛИ
[гл. II
с теми же структурными константами. Входящие в их коэфициенты
переменные ws не участвуют в процессе образования производных
операторов (в диференцировании), а потому их можно заменить
постоянными, придавая им такие численные значения, которые не
нарушат линейной несвязанности наших операторов.
Полученная систем^ операторов удовлетворяет всем требованиям,
налагаемым на операторы параметрической группы, а потому мы
можем, поступая так, как описано в §8.11 и 8.8, построить как
параметрическую группу, так и группу, соответствующую заданным
операторам. Таким образом оказывается, что заданием линейно неза-
висимых операторов X^F), удовлетворяющих соотношениям (8.37),
определяется r-членная группа Ли, что формулируется в обратной
второй основной теореме Ли.
Теорема 24. (Обратная вторая основная теорема Ли.)
Если даны г линейно независимых операторов
удовлетворяющих условиям
A-.)F=4%g(H> (8-48)
где с8—константы, то ей соответствует r-членная группа Ли.
[Прямая вторая основная теорема Ли заключается в установлении
для операторов группы соотношений (8.37) с постоянными с8^ мы ее
не будем формулировать в виде отдельной теоремы.]
12. Теперь мы можем вывести условия локального изоморфизма
двух групп.
Теорема 25. Две группы Ли с операторами X^F) и Yi(F) локально
изоморфны тогда и только тогда, если их структурные константы
равны.
Доказательство. 1°. Дадим формуле (8.21) следующее толкование:
пусть а^ будут значения параметров, соответствующие единичному пре-
образованию. Давая параметрам значения, близкие к d^: а = Да*,
мы в силу формулы (8.21) получим преобразование:
Xs л? 4~ (xJ) Ф>“(ао) ~г члены высшего порядка.
Роль операторов будет яснее, если мы напишем, как преобразует это
преобразование произвольную функцию F:
F -> F + ЛГ (F)(а^ ^а -|- члены высшего порядка.
Обозначая линейные комбинации
от наших операторов [они составят в силу | 6^(а0)| ф 0 линейно неза-
висимую систему] через
§ 8]
ТРИ ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ЛИ
99
мы сможем записать наше преобразование в более простом виде:
F -> F (О + члены высшего порядка. (8.49)
Если мы положим
= иН, (8.50)
то преобразование (8.49) представится так:
F -> +члены высшего порядка. (8.51)
Вводя новое обозначение
Y)(F)a>=Z(F'),
мы убедимся, что оператор Z(F) воспроизводит одночленную под-
группу нашей группы, преобразования которой при различных значе-
ниях t запишутся так:
(8.52)
[см. § 7.4, формулу (7.18)].
Если
Л| F^F^tZ (F)-^ZZ(F)+
В| F->F + ZZ1(F) + 4ZiZi(F)+-
то
АВ\ F-+ F-i-tZ (F) + ^(F) +
+ [ZZ (F) + 2ZZt (Л) + ZiZt (/=)],
Л-t | /^F-/Z(F)+-JzZ(F)+...,
F^F-tZt(F) + -^ZiZl(F) + ....
Л-ТВ-Ч F-> F — tz (F) — tZl(F) +
+ - J [ZZ (F) + 2ZZj (F) + ZiZj (F)] + ...,
(8.53)
откуда коммутатор
AB Л-1 В-11 F -> F+ f2 [ZZ2 (F) — ZtZ (F)] (8.54)
имеет производный оператор (Z, Zx) F в качестве члена второго
порядка.
Пусть мы имеем две локально изоморфные группы. Это означает,
что их окрестности единичных преобразований можно взаимно одно-
значно сопоставить. Выберем в каждой из групп по г взаимно соот-
ветствующих друг другу преобразований, соответствующих г незави-
симым инфинитезимальным операторам. Пусть таким образом соответ-
ствуют друг другу преобразования Ai и и операторы и Х^
Л(. A, xt <-+Xi (1 = 1,2,..., Г).
100
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ЛИ
[ГЛ. II
В каждой из полученных таким образом г пар одночленных подгрупп
(которые, как абелевы, всегда локально изоморфны) введем параметр ti
так, чтобы соответствующие в них элементы соответствовали одному
и тому же значению параметра ti9 в частности, чтобы /4==1 соответ-
ствовали А* и Ai9 а ^ = 0— Е и Е. Тогда преобразования этих одно-
членных групп можно записать так: А^, А*1, причем
Л/*’ А*{ (<—> символ для обозначения изоморфизма).
Элементы А^ [и соответственно А^) (/= 1, 2, .. г) при всевоз-
можных композициях воспроизводят группу G (и соответственно G),
причем в силу их локального изоморфизма всякие соотношения, имею-
щие место для А**, справедливы также для А**.
Пусть между инфинитезимальными операторами группы G имеет
место соотношение
ад)=4л+4л + • • • + •
Пользуясь (8.53) и (8.54), его можно записать в конечных преобразо-
ваниях так:
1 2 2 2 __о? 2
В = (А^А*АТ*А7*)А~Се А~^ ...л7^=Е + (4
1
а это означает, что преобразование В ** при t —> 0 стремится к единич-
ному преобразованию Е. В силу изоморфизма групп G и G это же
должно иметь место для элемента
-С1 #2 _с2 f2 у 2
группы О, в силу чего мы на основании (8.53) и (8.54) получим
ад)=4л+4л + • • • +4л*
а это показывает, что структурные константы обеих групп равны, что
и требовалось доказать.
Замечание. Не следует думать, что построенные выражения (8.53)
и (8.54) дают в качестве коэфициентов при t инфинитезимальные опе-
раторы элементов АВ и АВА~*B“l. JI&iq в том, что эти выражения
не воспроизводят при различных значениях t какой-нибудь определенной
одночленной группы. В этом нетрудно убедиться хотя бы из того, что
различные в общем случае элементы АВ и ВА имеют в этих выраже-
ниях при t один и тот же коэфициент Z-f-Z^
2°. Пусть две группы Ли G и Н имеют одинаковые структурные
константы:
ад)р=ё-лгв(п,
(Y^F^Y^F).
ТРИ ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ЛИ
101
§ 8]
Построим для каждой из групп G, И по параметрической группе G, Н:
О|
Й| Yt(F).
Из § 3.4 мы знаем, что
Вместе с тем уравнения преобразований группы G и Н получаются,
если мы приравняем постоянным решения систем:
GI Л4(Г)+^(П = О>
771 y-<(F)+7/(n = 0
(штрих обозначает, что в операторе взята другая система переменных).
Покажем, что группы G и Н не только локально изоморфны, но
и подобны} т. е. переходят друг в друга заменой переменных и пара-
метров. В самоме деле, пусть х1, ..., хг будут переменные группы G.
Найдем решения системы
= 0 (/=1, 2, ..., г), (8.55)
содержащие переменные х15 ..хг\ у1} . .., уг.
Их всего 2г— г —г независимых. Приравняем их постоянным и
решим относительно у\ Это всегда возможно сделать, так как иначе
уравнение типа
//(х1, .. ., Xм) = с
было бы из них следствием, а это бы означало, что Н является реше-
нием системы (8.55), а потому и
^.(Л) = 0 (Z=l, 2, ..., г),
что невозможно в силу равенства числа уравнений и переменных. Пусть
у'— ф>(х\ . .., х^) = 0 (v= 1, 2, ..., г) - (8.56)
— полученные уравнения. Их левые части являются решениями системы
(8.55), а потому, подставляя их в (8.55) и вводя обозначения ,
получим
т);=^(ф’)
как следствия равенств (8.56), т. е.
Сравнивая с формулой (5.7), мы видим, что, заменяя в ЛД/7) перемен-
ные при помощи формул (8.56), мы перейдем к оператору (F).
102
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ЛИ
[ГЛ. II
Заменяя таким образом в группе Н одновременно и переменные, и пара-
метры, мы придем к группе G, в силу чего они подобны и, следова-
тельно, локально изоморфны:
Отсюда
что и требовалось доказать.
13. Таким образом вопрос о типах непрерывных групп приводится
к изучению систем структурных констант с8,,. Возникает вопрос, вся-
кая ли система из с8, соответствует какой-нибудь г-параметрической
группе. Оказывается, что нет. Именно, константы, составляющие опреде-
ленную систему, удовлетворяют соотношениям, вытекающим из тождеств
(^, ^)Р9 (8.57)
((*/. Xj), Xk)F+((Xj, Хкх X^F-\-((Xk, XJ, Xj)F=0. (8.58)
Подставляя в них соотношения
(X., Л.) F = ca.jXs(F), (8.59)
мы будем иметь
откуда в силу линейной независимости операторов получаем
(8.60)
(8.61)
Установление этих зависимостей составляет содержание прямой третьей
основной теоремы Ли.
14. Теорема 26. (Обратная третья основная теорема Ли.) Система
из г3 констант, удовлетворяющих соотношениям (8.60) и (8.61), всегда
является системой структурных констант некоторой r-членной группы.
Предварительно заметим, что эту теорему было бы очень легко
доказать, если бы мы не ставили вопроса о линейной независимости
подлежащих построению операторов. Именно, операторы
= (1=1, 2,ТГ?г) (8.62)
удовлетворяют соотношениям (8.59). В самом деле,
(X., X) F = cvic.tjx — - с^с.,.х ох- = - (с^„ + с^с.) х ,
§ 8] ТРИ ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ли 103
или в силу (8.61)
Для многих групп это построение приводит к требуемому решению,
т. е. все операторы (8.62) линейно независимы; Это будет иметь место
в тдм и только в том случае, когда не существует соотношения
К X. (F\ = \c .x —- == 0,
т. e. когда уравнения
^ = 0 (8.63)
допускают единственное решение
Х* = 0.
Ниже мы увидим, что это имеет место тогда и только тогда, если
группа не имеет центра (см. § 2.17). Операторы же (8.62) дают при-
соединенную группу (см. § 2.17).
15. Чтобы доказать теорему 26 в общем виде, выведем так назы-
ваемые формулы Маурера (Maurer) для коэфициентов <}/!. Для опера-
торов ЛДЛ) параметрической группы мы имеем
(At, Л.) F — 44(F):
но так как
А./=^(а1...а2)-^ и 4(aj) —4(а.) = 4%>
ТО
Величины 6^ связаны с а. соотношениями
Й = г’. (8.65)
Умножим (8.64) на и просуммируем:
8,.^ 8Tv<4 , ,ЙКК.
а .и,—----а.Сл -— = с... (о.оо)
г ‘ t das з das v v 7
Но диференцируя (8.65) no as:
6 —- -4~ а —— = 0
ч das ' i da*
и подставляя в (8.66), получим
104
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ЛИ
[гл. II
или, меняя в первом члене значки суммирования s и t\
, t(W, арЛ ,
daf) ij>
откуда, умножая на 'V <]/, суммируя по i, j и пользуясь формулой
(8-67)
будем иметь]
(8.68)
= С
да9 да^
Это и есть формулы Маурера.
16. Поставим задачей по данным ^удовлетворяющим условиям
(8.60) и (8.61), найти какие-нибудь функции ф*, удовлетворяющие
уравнениям Маурера и дающие линейно независимые операторы ДД/7).
Введем замену переменных:
a' = Mt, ..., а? = 14, (8.69)
•••> о- (8-70)
Тогда
__Р- __ £2 Н*
да8 ’
и уравнения Маурера перепишутся так:
Докажем, что этим уравнениям удовлетворяют интегралы системы
линейных уравнений
(u, v=1, 2, ..., г), (8.72)
обращающиеся в нуль при Z = 0. Для этого введем обозначение
а
Продиференцируем V* по Z, пользуясь (8.72):
» р-о1
—= — {8’ + }-----— { 8V + с! W} —
dt fft? ’ t1. 1 v и-' d'^ 1 a 1 v
_ c\ { 8s 4- c8. W } 8* — ?. { 8* + c..\j6* } 08 =
St I I V н ' <7 8f ' ff 1 ' H-
__ v j j ( двр. dQg 1 . v n* v дг
( dtf J + Iх
_ г у—с о8 — (8-73)'
y.t а йа р. st ц а st tj ff Н-
§ 8]
ТРИ ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ЛИ
105
В этих членах не суммируются только значки ц, v, а, а остальные
суммируются и потому могут быть заменяемы один другим. Ввиду этого
третий член сокращается с четвертым (в силу с^==— ^), а второй
с пятым. Сделаем в последнем члене циклическую подстановку (<*, /, $).
Тогда два последних члена могут быть представлены в таком виде:
или в силу (8.61)
— с*с.„XV 6*.
ii J8 pi а
Если мы здесь поменяем i и $, переставим нижние значки в обеих кон-
стантах и подставим в (8.73), то получим
dV^
dt ч
т. е.
dV4
dt
c^V*
Ч р.3
Таким образом величины УД удовлетворяют системе линейных одно-
родных дифференциальных уравнений и обращаются при / = 0 в нуль.
Поэтому они должны тождественно обращаться в нуль, т. е. имеет
место (8.71).
Построенные таким образом величины
дают линейно независимые
доказав, что определитель
б"
=-4-
‘И t
операторы. В этом мы
можем убедиться.
Последнее вытекает из того,
место
6"
1Ш°- <8-74>
что при t = 0 на основании (8.72) имеет
= Ит 4 = lim -4 = Ит = о*
в силу чего при / = 0 определитель (8.74) принимает значение 1.'
Итак, мы доказали теорему 26.
17. В § 8.12 мы установили, что две группы локально изоморфны,
если их структурные константы равны. Обратная теорема справедлива
в том смысле, что в двух локально изоморфных группах можно подо-
брать инфинитезимальные операторы так, чтобы для них структурные
константы были равны. Этот подбор осуществляется путем замены
операторов их линейными комбинациями с постоянными коэфициентами.
Таким образом для установления локального изоморфизма двух групп
необходимо показать, что константы одной из групп могут путем линей-
ной подстановки над ее операторами быть приведены к константам
другой группы.
106 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ЛИ [ГЛ. II
Посмотрим, как изменяются структурные константы группы, если
мы подвергнем ее инфинитезимальные операторы
х1г х2, хг
линейной подстановке
= (/=1, 2, .... г). (8.75)
Решив эту систему относительно <¥', получим
Х^ = ^Х. (/=1, 2, ..., г), (8.76)
Где 1г\ и — элементы обратных друг другу матриц, т. е. связаны
соотношениями
А’Х = 8^ (/,/=1, 2, ..., г). (8.77)
Пусть
и.,л-;)=^х8, (^,л-р = <Х-
Пользуясь (8.75) и (8.76), получим
tfti'.iX', X') = c..h?X',
г j v u’ ij s p ’
или, умножая на суммируя по I и j и пользуясь (8.77), получим
(X' Х') = с*к*Уь!,Х'.
v и ’ v-' гд и v s о
Из этих равенств следует, что структурные константы, соответствующие
преобразованным операторам АГ', равны
€ = («, V, р = 1, 2, ..., г). (8.78)
„ s *
Совокупности величин с^, меняющихся под влиянием линейной под-
становки над величинами от которых они зависят по закону, ука-
занному в формуле (8.78), носят название тензоров третьей степени
(по числу значков), причем нижние значки ковариантны (ведут за собой
умножение на элементы обратной матрицы), а верхний контравариан-
тен (ведет за собой умножение на элементы прямой матрицы).
Можно также представить наш тензор, как совокупность коэфи-
циентов трилинейной формы
(8-79)
в которой системы переменных надо одновременно подвергать линей-
ным преобразованиям: те, у которых значок наверху, одним и тем же,
а те, у которых значок внизу,—обратным. Таким образом вопрос
о локальном изоморфизме групп Ли приводится к вопросу об эквива-
лентности трилинейных форм (или тензоров третьей степени). Исследо-
вания Киллинга и Картана, касающиеся структурных типов групп Ли,
сводятся к изучению свойств тензоров третьей степени. Общая же
проблема эквивалентности тензоров третьей степени до сих пор пред-
ставляет непреодолимые трудности.
§ 8]
ТРИ ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ЛИ
107
К более подробному изучению тензоров мы еще вернемся впослед-
ствии. Здесь же мы ограничимся рассмотрением примера двух локально
изоморфных групп Ли.
18. Пример. В качестве первой группы рассмотрим группу дроб-
ных линейных подстановок:
Мы выбрали параметры так, чтобы при а = b = с — 0 получалось
тождественное преобразование.
Чтобы получить инфинитезимальные операторы группы, разложим
произвольную функцию F(x') в ряд Маклорена по степеням а, Ьу с,
обозначая производную F' (х) через р:
F (х') = F (х) + хра -y-pb — х2рс -{-•••
Коэфициентами при а, Ь, с как раз являются инфинитезимальные опе-
раторы группы. Введем для них следующие обозначения:
= Х2 = хр, Xs = — x2p.
Производные операторы выражаются так:
(Х1,Х2) = Х1, (Х^Х3) = Х3, (Х3,Х1) = — 2Х2. (8.81)
Обратим внимание на свойства оператора Х2: при комбинировании
с Х{ или с Х3 он воспроизводит каждый из этих операторов с тем
или другим знаком.
Обратимся теперь к группе вращений в трехмерном пространстве:
X'i = (1 + «и) *1 + «12*2 + «13 Х3 ’
Х2 ~ «21Х1 Ч- О Ч- «2г) Х2 4“ «23Х3 ’ '
Х3 = «31Х1 Ч- «32*2 Ч- (1 Ч- «зз) Х3>-
(8.82)
где образованная коэфициентами системы матрица А ортогональна,
т. е. удовлетворяет соотношению
АА'=Е,
где А' — сопряженная с А матрица (полученная из А заменой строк
колоннами). Элементы связаны равенствами
(i 4-«1i)24-«!24-«L =
а21Ч~(1Ч-а22)2Ч-а23==
“зхЧ-^ззЧ-С1 Ч"азз)2=
(1 Ч- «11) «21 4“ «12^4 Ч~ «2г) Ч“а18«23 — 0»
(1 Ч~ «11) «81 Ч“а12а82Ч~ «13 (1 Ч” «зз) = 0>
«21 «81 Ч- Ч~ «2?) «32 Ч~ «23 О 4“ «зз) = 0*
108 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ли [гл. II ’
Считая величины aik весьма малыми и пренебрегая членами высших
порядков, получим
«И = «22 = а33 ~ 0’ а21 “ а12’
«32 = «2з, «81 = — а13. (8.83)
Разложим F(Xp х', х3) по степеням aik и будем обозначать частные
производные так:
dF _ dF _ dF _
dxY dx2 ^2’ dx$
Тогда
F(x', x', x3) = F(xp x2, x3) +
+ Pl 2 «1»*« + P2 2 a2iXi + Ps 2 a3iXi 4- • • • =
= F (Xp x2, Xg) aI2 (PjX2 p2xi) 4“
4~ «13 (РЛ — РзХ1) + «23 (?2*3 —Рз*2) + • • .
Введем для получающихся инфинитезимальных операторов следующие
обозначения:
-^1 = Х2Рз ^2 = Х$Р1 Х1Рз> ^3 = Х1Р2 Х2Р1*
Тогда
(Х1,^2) = -*з> (^2,^з) = -^р (X3fXl)=-X2. (8.84)
Станем подыскивать Х2 в форме ^4 в Ф°Рме и
Х3 в форме Х3-\-зХ2 так, чтобы удовлетворить первым двум равен-
ствам (8.81):
(^+рХ,Х)=Л+р^’
= +
--И^З + V^2 = Хл + рАА-! + ?рХ2 4" PV^3>
хх 2—р.л;=х3 -f- gXXl 4- =рл2 4- ^xs,
откуда в силу независимости операторов
рХ = — 1, pti — v, pv = — a,
«X = —ар, = X, av = —1.
Этой системе уравнений мы удовлетворим, полагая
р = f, а = f, X = Z, и. == 1, v = i.
Таким образом
<=^2-^3,
X,2 = iXi + X2 + iX.t
x'3 = -X1^iX2.
§ 9] / СИМВОЛИЧЕСКОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ОПЕРАТОРОВ 109
Чтобы удовлетворить третьему из равенств (8.81), составляем выра-
жение ОС ^):
(X, = (-^ + 1Х2, iX2 - Х3) =
= -f(Xp Х2) + (*р X3)-i(X2, X^ = iXt^-X2+iX1 = X'2.
Если мы введем операторы Yx, У3 по формулам
= ^3=У=24 уа = 4
то все три равенства (8.81) удовлетворятся. Из этого следует, что
обе рассмотренные группы локально изоморфны.
Упражнение 18. Найти инфинитезимальные операторы для группы
дробно-линейных подстановок от двух переменных:
г__ а'х + Ь'у + с' г___ а"х 4- Ь,гу + с"
Х . ах^-by-}- с * У ах -f- by -|- с
Упражнение 19. Найти конечные преобразования следующих групп,
заданных инфинитезимальными операторами:
/?, e°°q, (А)
Р, Я, *р+УЯ- (В)
§ 9. Символическое исчисление операторов
1. Приведем еще одно доказательство основных теорем Ли, которое
основано на символическом исчислении операторов. Это доказательство
имеет то преимущество, что дает возможность определить инфините-
зимальный оператор произведения преобразований, зная инфинитези-
мальные операторы преобразований множителей, в виде бесконечных
рядов.
Эти доказательства были одновременно получены Кемпбеллом р] и
Паскалем Р]. Мы будем придерживаться изложения Гаусдорфа Р].
2. Рассмотрим совокупность некоторых элементов а, Ь, с, .. ., над
которыми будут определены следующие действия, не выводящие этих
элементов из совокупности:
I. Коммутативное, ассоциативное и однозначно обратимое сложение:
а —|— Ь = Ъ —а\ (# —|— Ь) —J— с = a -j— (b —|— с).
II. Коммутативное умножение на комплексные числа а:
аа — аа.
III. Некоммутативное, но ассоциативное умножение элементов друг
на друга; деление не определено.
IV. Имеют место оба дистрибутивных закона:
a (b с) = ab 4~ ас,
(b -j- с) а = Ьа 4» са.
ПО ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ЛИ [ГЛ. II
V. Наконец, предположим, что если бесконечный ряд из наших
элементов сходится (мы не даем определения сходимости, предполагая
просто, что понятие сходимости как-то установлено), то сумма этого
ряда тоже равна элементу нашей совокупности.
Назовем эту совокупность кольцом 2 (или большим кольцом).
3. Наряду с кольцом 2 определим еще кольцо со (или малое кольцо)
как часть элементов кольца 2 такого рода, что вместе с элементами
а и b в кольцо входят также
а-\-Ь и \ab\=ab— Ьа. (9.1)
Кроме того сумма сходящегося бесконечного ряда из элементов
кольца есть тоже элемент кольца со.
Введем еще символы
\abc\ — [а/>] с — с [а#] с= [ [ab] f], [abed] = [ [abc] d\ и т д., (9.2)
где а, Ь, с, d, . .. суть элементы кольца а). Согласно определению все
символы (9.2) являются тоже элементами кольца со.
4. Будем определять функции /(х) при помощи бесконечных рядов,
коэфициенты которых пусть будут комплексные числа я0, av а2, ...:
f(x) = aQ + + ^2x2 + . ..
Аргумент x будем считать лежащим в кольце со. Значение /(х) будет
лежать, вообще говоря, в кольце 2.
В частности, определим функцию ех:
_у = ^ = 1 + х + ^4-^ + ... (9.3)
Так как степени х, степени у и комплексные числа образуют вместе
коммутативное кольцо, то мы можем обратить ряд (9.3), и тогда, как
и в обычном анализе, получим
x = lgy = (y — 1)— + фф — • • • (9.4)
Нашей ближайшей целью является доказательство следующей
теоремы:
Теорема 27. Если величина z определена равенством
ez = ехеУ, (9.5)
где х и у лежат в кольце со, то и z лежит в со. Заметим, что в силу
некоммутативности умножения (ху ф ух)\
ехеУ ф ех-У.
5. Вместо производной введем в рассмотрение оператор и . Пред-
варительно определим его для степени хп:
и — их71'1-фхнхп“2ф x2zzxn~3-ф . .. фхп~2ихфхп~'1и. (9.6)
§ 9] СИМВОЛИЧЕСКОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ОПЕРАТОРОВ lit
Для произвольной функции этот оператор будет определен при помощи,
равенств:
II. и — (cf(x)) = си -т- (/(х)) (с — комплексное число),
III. и -^-(lim/n (х)) = lim u~(fn(x)) (если оба предела существуют).
Убедимся в справедливости формулы для оператора от произведения:
«^(/Wg(x))=/(x)«^-(g(x)) + a 57 (/(*)) £(•*)• (9.7)
(В формуле (9.7) важен порядок, в каком стоят множители.) Для
этого непосредственно проверим справедливость этой формулы дл$&
случая
/ (х) = xn; g (х) = xw,
а затем, пользуясь I, II и III, докажем ее для случая
f(x) = хп [g (х) произвольна]
и, наконец, для общего случая.
Подвергая несколько раз формулу (9.7) действию оператора мы
можем получить формулу, аналогичную формуле Лейбница:
(«^yc/ws'с»и (/W) 1
+ с»(и £)2(и i)n~2&<*»+• • •+(м zf)”(/(*))(9-8>
где 1, С^, С^, ...—биномиальные коэфициенты.
6. Докажем, что имеет место следующая формула, аналогичная
формула Тейлора:
/(Х_|_М)=/(Х)_]_И А(/(х))_^ А.(и . (9.9)
Так как в обе части выражения /(х) входит линейно, то достаточно
доказать справедливость формулы для функции хп. Проверим эту
формулу для х2. С одной стороны,
(х 4~ я)2 = (х + и) (х и) = X2 + (их 4~ хи) -|- И2.
С другой стороны, если
/ (х) = X2, то и А (/ (х)) = их 4- хи,
(« ^)2щх»=2и2
откуда вытекает справедливость формулы.
112
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ЛИ
[гл. п
Теперь предположим, что формула справедлива для /(х) —
^ + «)" = x« + u-^x» + 4r(« ^)2x»+ •••+4г(в i)”x" <9Л°)
и докажем ее справедливость для /(x)=xn+1. Для этого умножим обе
части (9.10) слева на х-\-и:
<х+ = Хп XU X/l-j-X~(u Хп -J-. . . + X -\-(и хп +
' 1 7 1 dx 1 2! \ dx ) ' * п\ \ dx )
d 1 / d \п~~1 I / d \п
+ ихп 4~ 1Ш-Г- Хп 4~... + и ) хп-\-и—-1и — ) X11-
’ 1 dx ' * (м —1)! \ dx) ' п\ \ dx)
Складывая стоящие друг под другом члены правой части, мы докажем
требуемое, если покажем, что
1 / d \* „ . 1 ( d А*”1 „ 1 / d \к их1
Xn4-U~7T---7TT WT7“) хп= ~j~ Хп + *. (9.11)
Л! \ dx) 1 (k—1)! \ dx) k\ \ dx) v 7
Но применяя формулу (9.8) (Лейбница) к функции xw+1 = xxw, мы
получим
(“ xn+1=х(и £)* xn+uk (“ 1 хп’
з эта формула отличается от (9.11) лишь множителем. Таким образом
формулу (9.9) можно считать доказанной.
Аналогично выводится формула Тейлора для нескольких переменных:
/(* + «, y + + y)+v~f(x, у)+-.- (9.12)
7. Найдем выражение для и-~^ех. Именно, докажем, что имеют
место следующие формулы:
n — Q
со
п= О
Предварительно выпишем выражение для
[ах] = их — хи,
[их2] = (их—хи) х—х (их — хи) = их2 — 2хих + х2и
я т. д. Вообще по индукции нетрудно показать, что
[их’*]= ихп — С^хихп~г + <^пх ихп~2 ... +
4- (- ir-^-V-^xq- (- 1)пхпи. (9.15)
СИМВОЛИЧЕСКОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ОПЕРАТОРОВ
113
§ 9]
Для доказательства справедливости формулы (9.13) перепишем ее
в следующем равносильном виде:
п О
Раскроем выражение левой части этой формулы:
оо оо
d „ V i лт V 1 / „х
е~хи .— е* — 71 (— D - т 71 - । и 7,- (х) =
dx v т\ п\ dx '
т -- Q п - 1
оо
— У} I й —ц/1 -п.хи (хп-*) 4-
Л4\п. dx' ’ 1! (п—1)! dx ' ’ ‘
п - 1
+ 5Н^5г Л да (*-=)+-+(-1 >- -(;4т)Т х" - « < W} =
СО
1 f d / W\ —1\ I
i - А - (х ) С Xtl .- (X ) ~4~
п! ( dx v 7 п dx 71 -
Yl 1
+ S>2 2 d z п-2а I / л .П-l^n-l П-l d z Л
. Cnxu-dx<x )~ •••+(-!) Cn x “rfx(x)[-
Выпишем подробно выражение в фигурных скобках:
UXn-'k~^-XUXn ‘2 + • * • гН хкихп~к~1 + • •< 4“xnlzz
— Спхих — ... — Спх их — ... —Спх и
-}-{—l)kCkilxkilxn 4 1 + . • • +(—
г Ч-(—1Г-,С”"гхл_1и.
Складывая расположенные по столбцам подобные члены, мы убеж-
даемся, что коэфициентом при хкихп~к^1 (^ = 0, 1, 2, ..., л—1}
будет
<9Л7>
Но, раскрывая тождество
(i_ 2)n_L_ = (i— z)»-i,
т. е.
п СО п — 1
2(-i)‘cLZ
А - 0 й" 0 ft — О
м приравнивая в обеих частях члены с равными степенями z, мы
убедимся, что коэфициент (9.17) равен в силу чего формула
{9.16) принимает вид:
оо
— ж d X VI 1 ( n-Л п'*”2 t f / чх7*-"1
е U~d^e = L ~^\иХ ~ Сп-1ХиХ +•••+(— 1) X «р
П -1
3. ВЕак. № 1132 H. Чеботарев
114 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ЛИ [гл. И
откуда в силу (9.15)
Л- — V __ V t“rWJ
dx ~~ л! ~~ Zd
n—1 n—Q
что и требовалось доказать. Аналогично докажем справедливость фор-
мулы (9.14).
8. Выражение
со
Р = ?(и,х)= 2 (9.18)
п =0
есть вместе с и и х элемент кольца ш. Замечательно, что ряд (9.18)
допускает простое обращение, т. е. что можно легко представить в виде
ряда выражение и через р и х. Составим выражения
1^=2-^.
П = 1
. (9Л9)
п—т
умножим каждое из равенств (9.19) на некоторое число Ьт и просум-
мируем по ш = 0, 1, 2, ... (£0 = 1). Если мы подберем числа Ьт так*;
чтобы имело место
ёГП)Г + = 0 ("=1.2. ..). (9.20]
то в правой части все члены, кроме и, обратятся в нуль, и мы получив
(9.21)
П = 0
Обратимся теперь к равенствам (9.20), которые являются рекуррент*
ными формулами для последовательного вычисления b.2, b:>, ... Bet
эти формулы можно записать в виде одного тождества:
Но так как
(л + 1)! ’ X Ьп2П 1-
Я-О П=0
со
уч z” ________е3 — 1
Zi (л-H)'- “ г '
§ 9]
СИМВОЛИЧЕСКОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ОПЕРАТОРОВ
115
то числа 1, й2, ... являются коэфициентами разложения функции
СО
<9-22>
п—О
в степенной ряд.
Отметим некоторые свойства чисел Ьп. Заменяя в равенстве (9.22)
z на —г, мы получим
откуда
со со
S { (—1)”^»}-ггП = 2 V ^2/>+12r2»+l==__z.
н - О » п = О
Из этого видно, что при нечетных я>1 числа £п = 0. Принято
обозначение
' R
(9.23)
где Вп носят название бернуллиевых чисел.
Подставляя выражения (9.23) в формулы (9.20), умноженные н
(и-]-1)!, получим
«.+ С»+А+с»+А + + О’-. + с»+А = о-
Прибавляя и вычитая Вп+1 и заменяя на мы можем записать
это соотношение в следующем символическом виде:
(!+£)”—£* = 0, (9.24)
где после раскрытия скобок надо каждое Вк заменить через Вк.
Обращаясь к формуле (9.22), в которой мы будем придавать z
комплексные значения, обратим внимание на то, что ее правая часть
имеет ближайшие к началу координат особенные точки zr = 2ш и
г2 = — 2тг/, в силу чего левая часть (9.22) представляет ряд, сходя-
щийся при 1 z ] < 2тс. Поэтому имеет место
lim Вп (2к — е)» = 0 при 0 < е < 2к. (9.25)
п->о ♦
9. Точно так же можно обратить ряд
СХЭ
' П — 0
фигурирующий в формуле (9.14). Проще всего сделать это, вводя
замену х — —х'. Тогда
у [их'п]
Ч~~ Zj («4-1)! ’
л —Q
8*
116
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ЛИ
[гл. И
откуда в силу (9.18), (9.21)
СО оо
«= 2 М?*'"] = 2 (— (9.26)
п —О п—О
$$ 10. Теперь обратимся к нахождению выражения для 2г, определен-
ного через х и у формулой
е^-е^еУ. _ (9.27)
Для этого будем считать х и у переменными элементами кольца <о.
Дадим х приращение аи при фиксированном z, где а — некоторое
число, а и — другой элемент кольца Тогда у получит приращение
— ат/-|-(а2), где а2 — совокупность членов, содержащих а во второй
и высших степенях, в v — элемент кольца Q (ниже мы докажем, что v
лежит в кольце ш). Разлагая г(х-\-сш, у — ау-|~(а2)) в ряд Тейлора
(9.12) и приближая а к нулю, мы в силу
z(x-\-aU) у — av 4“ (а2)) = z Сх> У)
будем иметь
—tr-^=°. (9.28)
дх ду v '
С другой стороны, обратимся к формуле (9.27). Разлагая в ряд Тей-
лора каждый из множителей его правой части, мы получим
е®4-(а2) 4 еУ~ W + е*е«,
откуда для « = 0
d d
и ~z— е^еУ — e*v — gy = Q,
dx dy
Вместо производных подставим их выражения: в первый член из
(9.13), а во второй — из (9.14):
(и, х) еУ — (v, у) еУ — Q.
Умножим слева на е~х, а справа на еУ, и положим и = х. Тогда
в силу <р(х, х) = х наше равенство перепишется так:
{ф, у) = х, (9.29)
откуда в силу (9.14) и (9.26)
2 (—у’Ч- <9-зо>
П = 0
Это выражение показывает, что v тоже лежит в кольце «.
Чтобы получить выражение для z, расположим z по членам, содер-
жащим нулевые, первые, вторые и т. д.... степени х:
z = zo4~Ч- • • • » (9.31J
§ 9] СИМВОЛИЧЕСКОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ОПЕРАТОРОВ 117
где zk— однородная функция степени k относительно х. Тогда *из
д
определения оператора х следует, что '
— kZb
Х дх ~ * к'
откуда
z = zx -f - 4“ Зг8 + • • • (9. 32)
Таким образом (9.28) дает нам
^ + 2^ + 3z8+...=W^ + tr^. + tr^+... (9.33)
Из того, что v [см. (9.30)] содержит х в первой степени, следует,
dzk l । 1
что v содержит х в степени #+1, а потому, приравнивая в тожде-
стве (9.33) члены, содержащие одинаковые степени х, будем иметь
Эль
z. — v ,
1 ду 9
1 д^
*2 — 2 V "ду ’
(9.34)
1 дхк
k +1 ду
где выражение v имеет значение (9.30).
Чтобы получить zQ, положим в (9.31) х = 0. Тогда z0 =-z |ж=0.
Но полагая х = 0 в формуле (9.27), получим ez* — ey9 откуда zQ=y.
Подставляя zQ — y в (9.34), мы последовательно будем получать из
этих формул г2, г3... ; подставляя их в (9.31), получим искомое
выражение для z.
Таким образом алгоритм для получения выражения z установлен.
Выводить этого выражения в явном виде мы не будем ввиду его
сложности. Нам остается лишь доказать, что z лежит в кольце ш.
Для этого достаточно доказать следующую лемму:
Если и(х, у, z.. .) есть элемент кольца ш и то же имеет место
Э / ч
ДЛЯ V, х, у, z9 . . . то и и(ху у, Z. . .) ВХОДИТ В О).
Доказательство. Величина и должна выражаться через величины
х, у, z. . . при помощи каким-то образохм повторяемых операций
[...]И“4« Каждое выражение типа Е = ] есть
сумма или разность определенным образом подобранных произведений
элементов х, у9 z,. .. Оператор производит замену элемента х
на V. Если в выражение Ех входит несколько раз, то мы будем заме-
нять сразу через v по одному из входящих в Е множителей х, причем
замену будем производить в разложении Е, а затем возьмем сумму
118
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ЛИ
[гл. II
тайих выражений. Но после каждой замены выражение Е обратится
в такое же выражение Е, в котором вместо одного из х будет стоять v.
Такое выражение, а потому и сумма таких выражений должны вхо-
дить в кольцо со, что и требовалось доказать.
Пример.
Е = [х [yxz] ху].
Тогда
дЕ
v-^ = [v [yxz] ху] 4- [х [yvz] ху] + [х [yxz] Z’y].
Чтобы убедиться в этом, обозначим входящие в Е элементы х различ-
ными значками:
£=\Х1[ух^]Хзу].
„ д
тогда в силу определения v -4—
дЕ дЕ .
<Е , дЕ
з---г •
дх2 1 дхл
V
Если теперь мы напишем выражение для Е в развернутом виде:
Е — x^yx^zx^y — ...,
То в каждый член множитель xt войдет один раз, а потому
« Е = vyx.2zxsy— . .. == [v [yx2z] х^у]
и аналогично
v Д Е = f ’ v Е = 1УХ221 ЧУ] .
11. Применим этот результат к конечным группам Ли. Пусть
Х2, ..X*—-система линейных диференциальных операторов первого
порядка, линейно независимых и связанных соотношениями
(Х„ (9.35)
где с*—константы. Система всевозможных линейных комбинаций
X = КХг + д2^ 4- ... + л'>Х, (9.36)
с постоянными коэфициентами составляет в силу (9.35) кольцо типа •>.
Определим конечные преобразования при помощи выражений
^=1 + 1 + <г + -зг4--.. (9.37)
Теорема 27 дает нам следующее: если X и Y—две линейные ком-
бинации типа (9.36) и если мы перемножим и еУ, то получится
опять преобразование типа е\ где z принадлежит нашему кольцу ш и
потому в силу (9.35) выражается в форме (9.36). Отсюда вытекает,
что преобразования типа ех составляют полугруппу, а в этом и со-
стоит вторая обратная основная теорема Ли.
§ 9] СИМВОЛИЧЕСКОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ОПЕРАТОРОВ 119
Однако, для того, чтобы считать эту теорему - окончательно дока-
занной, необходимо сделать два следующих замечания:
1) Преобразования (9.36) являются функциональными преобразо-
ваниями: они преобразуют функцию в какую-то другую функцию.
Согласно нашему способу построения преобразования ех— тоже функ-
циональные. В то же время преобразования, группы которых мы изу-
чаем, принадлежат к типу точечных преобразований, который является
частным типом функциональных. ‘Характеристическим свойством точеч-
ного преобразования является то, что если функции х* (как част-
ный вид функций) переводятся в/Цх1, ..., хп), то любая функция
F(x\ . . хп) переведется в F(fl, .. ., /л).
Другими словами, точечное преобразование должно быть перестано-
вочно с любой функцией: »
SF(M) = F(SM)>
где 7И—точка, а 5—преобразование.
Свойство преобразования ех быть точечным было нами доказано
в неявном виде уже в § 7.2.
Проведем это доказательство еще раз в явном виде. Пусть
^) = S‘gl + SaS+---+^' .
Введем преобразование, зависящее от параметра /, которое преобра-
зует координаты х1, х2, . .., хп, в решения х'1, ..., х'п системы дифе-
ренциальных уравнений
= ’’ • • • ’ х'и)> •••’-?- = *я t*'1’ • • • ’ х'п)’
которые при / = 0 обращаются в х1, х2/...,хл. Этим определяется
некоторое точечное преобразование. Произвольная функции F (х1,..., хп)
будет преобразована им в F(x'\ ..., х'п), а производная ^выра-
зится так:
dt dx'i * Т • -Г дх>п^ л V >•
Поэтому, разлагая F(xn, ..., x'w) в ряд Маклорена по степеням /,
получим х
F (х'\ ..., х'п) = F (х1,..., х”) + Д X(F) 4- ~ X*(F) -j-... = е*1 w.
Это преобразование при t= 1 превращается в которое таким об-
разом является точечным, что и требовалось доказать.
2) В приведенном нами доказательстве мы оставили в стороне
вопросы сходимости получаемых бесконечных рядов. Этот пробел
будет нами восполнен теперь, когда мы получили явные выражения
для рядов, составленных уже не из символов, а из обыкновенных
комплексных чисел. Получаемые формулы будут приведены к удоб-
ному виду благодаря вводимому нами условию (9.35).
120 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ли [гл. II
/
12. Для решения вопроса о сходимости нам понадобятся некоторые
сведения по теории матриц, которые будут также весьма полезны нам
для дальнейшего.
Будем представлять себе матрицу А как линейное преобразование
над системой переменных (х1, х2, .. ., хп), которую на геометрическом
языке называют переменным вектором $ с составляющими х»:
(х1, х2, хп)-+А(х\ ..., х”), (9.38)
или
(9.39)
Если вектор § подвергается преобразованию Л, то вектор =
составляющие которого суть независимые линейные формы от х\ пре-
терпевает преобразование
(ч). *) (9.40)
Вопрос состоит в подборе для заданной матрицы А матрицы В таким
образом, чтобы ВАВ~1 получила возможно более простой канони-
ческий вид. Для этого необходимо построить характеристическое урав-
нение матрицы А:
|Л — z£| = 0. (9.41)
Из равенства
В АВ-1 — zE = В (Л — zE) В-1
и того, что преобразование не меняет величины определителя, сле-
дует, что характеристическое уравнение матрицы ВАВ"1 остается тем
же, что и для Л.
Вместо переменного вектора $ рассмотрим так называемые коорди-
натные векторы
е1 = (1, 0, 0, .. ., 0),
е2 = (0, 1, 0, ..., 0),
е« = (0, 0,'о,'.'.J 1),
через которые он линейно выражается:
§ = x'ej4-л’е2 + . ..4-л«е„.
Точно так же вектор = может быть представлен в виде суммы
независимых постоянных векторов:
Ч = В (?) = ххВ (в1) + х*В (е2) + ... + хпВ (ея);
тогда вопрос о преобразовании матрицы Л приводится к нахождению
такой системы независимых векторов а^ = В(еД которые бы претер-
певали под влиянием преобразования А линейную подстановку воз-
можно более простого вида. Назвав опять векторы ар а2,
координатными, мы приводим задачу к замене координат. .
*) Матрицы А и ВАВ-1 называются подобными. .
СИМВОЛИЧЕСКОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ОПЕРАТОРОВ
121
(9.41>
§ 9]
Пусть р — один из корней уравнения (9.41). Тогда система линей-
ных однородных уравнений
V1 4-а12х2+ ... +а1пх“ =рх1,
а21х1 + + • • • 4* а2»хП = Р*2>
W1 4- а»2х2 4- • • • 4- аппхП = рхп
непременно имеет отличное от нуля решение a = (xx, х2, ..., х")-
Это показывает, что существует вектор а, претерпевающий под влия-
нием А следующую подстановку:
А(а) = ра. (9.42>.
Если уравнение (9.41) не имеет кратных корней, то задача ре-
шается весьма просто. Пусть рр р2, . ..,рп будут корни уравнения
(9.41), все между собой различные, и пусть каждому корню р^ соот-
ветствует вектор а^ так, что
Л(а,-) = рА, (/=1, 2, п). (9.43>
Все векторы ар а2, а3, ..., ап линейно независимы, так как, если би
имело место соотношение
Xiai Sa2 + • • • + = О, (9.44)*
то, применяя к нему несколько раз преобразование Л, мы бы получили
\Р1 а1 + ^2р2а2 "4 • • • + 4iPnan — 9,
Х^р а -4— X р а ~ 1~ •.. X р а 0, •
1Г1 1 « 2Г2 2 ‘ 1 тг П П J. (д 45)*
1 n—1 I Л п — 1 , I Л л
Vi ai 4- Х2?2 а2 4~ • • • 4- М» а» — °-
Пусть теперь полином
ф (о = (t—р2) {t—р8)... (/—р„) = + ьп_^ 4-... + ь0
имеет корнями р2, р8, . .., pw. Умножая уравнения (9.44) и (9.45) со-
ответственно на bQ, b^..., 1 и складывая, получим
(Pi) ai + (Рг) а2 + • • • + ^/4 (Рп) йп = О,
или
M(Pi)ai = °,
что в силу ^(pi) фО, ах 4 0 дает Хх = 0. Аналогично получим
Х^ —— Xg —• • • • •— ;— о.
Считая векторы ар а2, . .а^ координатными и определяя подста-
новку В так, чтобы имело место
В(е^ — а{ (Z— 1, 2,..., л),
122
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ЛИ
[ГЛ. 1Г
мы из (9.43) видим, что матрица ВАВ~Х имеет вид
Pi, 0, . .., О
О, р2, О
(9.46)
О, 0, ..., р„
который мы для этого случая и будем считать каноническим.
Пусть теперь р есть Л-кратный корень уравнения (9.41) и пусть
система (9.41') содержит 5 линейно независимых решений ар а2, .. .,
для которых мы таким образом будем иметь
Л(а^) = ра< (i = 1, 2, ...<?).
(9.47)
Заметим при этом, что любая линейная комбинация этих векторов
тоже будет удовлетворять уравнению (9.47), так что мы можем вместо
системы брать любую систему ее s линейно независимых комби-
наций.
Перейдем к координатной системе, содержащей ар а2, ..., а^.
Тогда характеристическое уравнение (9.41) перепишется так:
р — 0, 0, ..., О, ...» ^1,73
О, p — z, 0,..., О, •••» bi,n
’ 0, 0, 0, ..., р — z, ..., Ъ8}П __
; 0, 0,0,..., О, b8:.ltS л—z, ..., ’
О, 0, 0, .... О, l>)h 1, ..., п — z
fyftl, S- + 1 • • • ’ 1, п
= ©,
• > Кг, п z
откуда видно, что 5 k. Если 5 < k, то второй множитель содержит
корнем р.
Пусть теперь система уравнений
^+1, s+i*s+I+ • • • +^+1, пх”' = рх’4'1
имеет независимых решений ($х > 0). Положив первые s координат
равными нулю, а в качестве остальных взяв одно из решений Ътой
системы, мы получим новых, не зависимых друг от друга и от
а2, а2, ..., Яд,, векторов
Ьр Ь2, .... Ь,?
которые претерпевают под влиянием преобразования А изменения
типа
Л (Ь) — pb Х2ах -j- Х2аа + . •. + Xaaf.
§ 9]
СИМВОЛИЧЕСКОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ОПЕРАТОРОВ
123
При этом все векторы Х1а1 -J- . .. +\,а8» соответствующие различным Ьо
линейно независимы, так как иначе некоторая комбинация Ь векторов
удовлетворяла бы равенству
A (b) = pb,
т. е. выражалась бы через ар что невозможно. Поэтому их можно
принять за новые координатные векторы а1? а2, ag, и тогда
Л (bf) = pb<-J-а,- (9.48)
(отсюда видно, что Любая комбинация векторов Ь, тоже
удовлетворяет равенству типа (9.48), где при Ь = 2нД надо также
брать а = 2 Iх А- Можно также прибавлять к Ь* любые комбинации
i
векторов а* не нарушая равенства (9.48).
Выбрав
?р ^2’ * ’ •’ Ьр Ь2, . . ., bs
в качестве первых s -J-Sj координатных векторов, мы получим харак-
теристическое уравнение в форме
(p-z)-+‘
8*-^~ 8^ 1, 8 4“ Sj 4“ 1
’ ’ ’ ^«4-8x4-1, п
Г
W, 8 4* 8^ 4“1
откуда видно, что Если $ +
< k, т. е. если второй мно-
житель имеет корнем р, то, рассуждая попрежнему, мы получим s2
новых вектора
Ср с2, ..., cs?
независимых друг от друга и от ai9 bj, которые удовлетворяют урав-
нениям типа
Л(с) = рсЧ-£кЛ + 2м<- (9.49)
i i
Векторы независимы друг от друга и от а?, так как в против-
ном случае некоторая линейная комбинация от удовлетворяла бы
равенству . _
л(с)=рс+2м<
и потому выражалась бы через at и bt. Делая среди bt и а* надлежа-
щую замену векторов, мы приведем уравнения (9.49) к виду
^(c^pq + b... (9.50)
Продолжая построение, мы в конце концов исчерпаем корень р
Полученные при этом независимые векторы
А» ^2’ • • • 9 ^8' Ьр Ь3, . . . , Ь8 , . . . , fp fp • • . , fM
мы расположим, собирая векторы с одинаковым номером рядом:
bp .. •, fp a2, b2> • • •> • • •>
124
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ЛИ
[гл. 11
Обратим внимание на систему с одним номером, например, на
Ьр ..., fP Она удовлетворяет следующей системе уравнений:
.4(b1) = a1-j-pb1,
................................ (9-51)
Л'(О= ej-1-pfp
так что, если принять все эти векторы за координатные, то первые
t строк матрицы А будут иметь вид
р, 1,0, ..., о, о, ..о,
0, р, 1, ..о, о, ..о,
О, О, О, р, о, ..., о,
и аналогичный вид приобретут остальные /2, /3, . .. строк.
Все построенные нами векторы обладают следующим важным свой-
ством. Обозначая преобразование А — рЕ через А, перепишем урав-
нения (9.51) так:
Л(а1)==0, 4(1»)) = ^, Л(с1) = Ьр ...» 2(f1)==e1,
откуда видно, что все векторы ар Ьр удовлетворяют урав-
нению"
А2(х) = 0. (9.52}
Вообще все выделенные нами векторы удовлетворяют уравнению
Ак(х) = 0,
где k — кратность корня р. Это справедливо также для их любых
линейных комбинаций.
Аналогично построим систему линейно независимых векторов для
каждого корня характеристического уравнения. Таким путем мы получим
л векторов. Остается показать, что все они линейно независимы.
Предположим, что имеет место
^iai + Х2а2 ф- • • • + = 0, (9.53)
где а,— какой-то из векторов, соответствующих корню р. Пусть
А1 = А— рхЕ. Тогда
С другой стороны, ф 0 при i ф 0. В самом деле, А^ =
— (Pi—Р1)а4”М»> где f* — вектор, тоже соответствующий корню р0
но стоящий раньше а< в упорядоченной нами координатной системе.
Отсюда мы получим
^‘а< = (Р<—Pi)*‘a4 + f«>
§ 9]
СИМВОЛИЧЕСКОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ОПЕРАТОРОВ
125
где f(— линейная комбинация векторов, стоящих раньше. Поэтому
+ 0.
Применяя преобразование Л*1 к (9.53), получим
^2^2 + ===
Таким путем мы можем избавиться от всех составляющих векторов,
кроме одного, откуда
Aj = == • • • === ==: О,
а отсюда следует независимость всех векторов.
Введем обозначение
р, 1, о, ..о
О, Р, 1, ..о
(9.54)
о, о, ..., р
Тогда полученный результат можно сформулировать в виде следующей
'теоремы:
Теорема 28. Если матрица А имеет характеристические корни
Pi, р2, ..., рг, то можно подобрать такую матрицу В, чтобы матрица
ВАВ-1 имела каноническую форму:
7?в(р), 0, 0, ..., О
О, я8а(Р), 0, ..., О
О, 0, 7?#1(р), ..., О
О, 0, 0.............../?„(р)
(9.55)
13. Рассмотрим степенной ряд
^(4) = a0E4-a!X + a2424-..., (9.56)
где роль переменной играет матрица Л. Для решения вопроса о схо-
димости этого ряда преобразуем матрицу А при помощи матрицы Вк
к канонической форме (9.55). Из
ВЛ2В-1 = ВАВ'1 • ВАВ-1 = (ВАВ-1)*,
ВА^В-1 — (ВАВ-1)3
следует
Л^(4)Д-‘ = ^(ВЛв-‘) =
О ,0, ..., о
О ,gK,(p9)},o, ..., о
О > 0 .0........g {/?„(?«))
126
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ЛИ
[гл. П
и вопрос приводится к вопросу о сходимости каждой частичной матрицы
£{/?(?)}. Воспользуемся записью матриц, введенной нами в § 1.11.
Тогда
я(р)=р2*«+2^, <+1.
л9 (?)=р2 5е,:<+ 2р 2 <+i+2 \ t+2» ’
(р) = рЗ 2 еи -J- Зр2 2 \<+1 + Зр 2 ei, i+i + S ei, <+з>
(?)=₽*2 ч ;+;+<г-2 ч;+;+. .’ .+2^,
где нужно принять eiti+m = 0, если тп превышает порядок матрицы.
Умножая эти равенства на а0, av ... и суммируя, получим 4
g {я (р)} = g(р) 2 ен + g' (р)2 е<, <+1 + 2ei. <+2 + • • •, (9 • 57>
и вопрос приводится к сходимости рядов
g(?)> £'(?)> £"(р)> •••
Но из теории аналитических функций известно, что радиус сходимости
функции g(z) и ее производных один и тот же. Это приводит нас
к следующей теореме:
Теорема 29. Степенной ряд матриц g(4) сходится тогда и только
тогда, если все характеристические корни матрицы А лежат внутри
круга Сходимости ряда g(z).
14. Предварительно вычислим выражение
®=2(-i)^„m- (9.зо'>
п=о
Пусть кольцо «о представляет собой совокупность линейных комбина-
ций от линейно независимых элементов
X], х2, ..., хг,
связанных соотношениями
= (9.58)
и пусть
х = (9-59>
(9.60)
Тогда
[xy] =
или, если ввести обозначение
(9-61)
[ху] = ^А- <9-62>
§ 9] СИМВОЛИЧЕСКОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ОПЕРАТОРОВ 12?
Далее,
[х/]=< [х^у j=А>
или в силу (9.61)
Обозначая матрицу (т£) через Н, а элементы матрицы Н,л через
мы можем написать
Предположив, что справедлива формула
[ху»]_е(тчч> <9-63>
*
докажем ее справедливость для zn-Pl* Принимая во внимание, что
м<ч;=("+,ч.
будем иметь
= Ikrw -=еХ|“Ч'т,’ (xfx,)=
= = ех‘“Ч <*, = ем"+%>,.
что и требовалось доказать.
Подставляя (9.63) в (9.30'), получим
®=ex(S (-1)” Vn)<) v <9-64>
П=0 г
Выражение в скобках является элементом Х-й строки и ц-й колонны
матрицы г
2(-1)ЧЛп- (9.65)
п=0
Чтобы выяснить, при каких условиях этот ряд сходится, вспомним,
что ряд
со
П = 0
имеет радиусом сходимости 2к. В силу теоремы 29 из этого следует,
что ряд (9.65) сходится в том случае, если все характеристические
корни матрицы Н по абсолютному значению меньше 2к. Обращаясь
к выражению (9.61), мы видим, что это условие будет выполнено,
если составляющие элемента у достаточно малы. В этом случае
матрица (9.65) может быть представлена в виде
(9.66>
128
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ЛИ
[гл. я
гггде под ев мы разумеем матрицу
£ + т+-2т+ зг+---
15. Чтобы получить выражение для z, перепишем формулы (9.32)
ы (9.34) следующим образом:
<9-67)
1Эта формула напоминает, по внешнему виду формулу Тейлора (9.9),
однако отличается от нее тем, что после каждой произведенной опе-
рации нужно вместо v подставить его выражение (9.30) и (9.64)
(иначе формула (9.67) давала бы просто z=y-]~x].
Введем в формуле (9.64) вместо произведения /V:
*=£ (2 <- о” f) хл=(т») х.
n — Q ' г
Вводя для г, как элемента кольца ш, выражение
(9.68)
и подставляя все в формулу (9.67), мы получим разложение z па
степеням /:
г = + + (9-68')
Сравнивая коэфициенты при в обеих частях, мы видим, что
^==гЛ4-/еХ(т))+...
Если теперь считать & функцией от /, а принять за параметры,
то убедимся, что при /=?0
е=*л ^=е<(71).
Но это рассуждение применимо не только к функции z. Возьмем про-
извольную функцию f(y). Тогда
f(y + tv) =f(y) + tv ±f(y) + A (t> -^f(y) + • • • (9.69)
Пусть, с другой стороны,
'Тогда =
Сравнивая с (9.69), мы видим, что
= = (9.69Э
§ 9] СИМВОЛИЧЕСКОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ОПЕРАТОРОВ 129
где
‘ (9.70)
д
ш операции v
Таким образом производство над элементом / кольца
равносильно производству над его компонентами /К диференциального
оператора Л (Л). Поэтому из (9.68') следует, что
+ .. (9.71)
Но точно такое же выражение мы получим, считая & решениями сис-
темы уравнений
(9-72)
принимающими при t = 0 значения 0х = цр. Таким образом полу-
чаются, как решения системы
=*4 е % = *4 00’ (9 •73)
где
П —0
Так как система (9.73) имеет аналитическое решение, то ряд (9.71)
сходится при достаточно малых значениях t. Вторая теорема Ли
доказана.
16. Из (9.71) следует, что оператор 4(F) является инфинитези-
мальным оператором нашей группы, притом общего вида. Придавая
переменным те или другие численные значения, мы будем получать
всевозможные частные инфинитезимальные операторы группы.
Интересно, что выражения -4(F) можно получать, зная только
структурные константы с?.. Таким образом мы можем доказать и третью
теорему Ли, если покажем, что операторы
ЛХ(Г) = <(11)£ (9.74)
линейно независимы и удовлетворяют групповым соотношениям с кон-
стантами с8.,
ч
Первое будет доказано, если мы докажем неравенство нулю опре-
делителя матрицы
(ар(71))==^_ (9.75)
Но это вытекает из того, что существует обратная матрица
(^(-Г]))= gg~-£. = £~g7^.=I=£ — . (9.76)
4 . Не11 Н 2! 3! 4
9 Зак. № 1132. Н. Чеботарев
130
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ЛИ
[ГЛ. II
(последний ряд в силу теоремы 29 сходится, какова бы ни была ма-
трица Н).
Выкладка для получения групповых соотношений между операто-
рами (9.74) была бы очень громоздкой. Проще поступить так: введем
гиперкомплексную систему из однородных линейных функций от ве-
личин хрх2, хг, подчиненных соотношениям
= XjXj XjXi = c^xs. (9.77)
В силу предположенных соотношений
4 + ^ = °; + = (9.78)
Соотношения (9.77) не приведут нас ни к какому противоречию. По-
строив при их помощи величину еУ, где у = 4~ т]2х2 4~ . • - 4“ тГхг>
разложим величину
по степеням комплексных величин а, р, где
и = 4- №х2 + ... 4- $rxr, v = 4- 02х2 4- ... 4- 6%^
и напишем коэфициент при а, р (см. 9.14, 9.69):
^г/4-au + pv — e(?/ + aw)+pv — ey+*U _|_ еу —
— еу + аи РФ (^ у 4» еу^-аи . —
= (1 + (у, у) 4- apu ф (у, у) + ...) (е»4-аф (и,у) .) =
= еУ 4- аф (ц, у) еУ 4~ РФ (у,у) еУ ^(у,у) еУ-j-
+ а₽Ф(^ y)^(ufy)ey-j- . . .,
так что искомый коэфициент равен
» ’t* (V, у) еУ 4 ф (V, у) ф (и, у) еУ.
Меняя ролями и и г/, приравнивая оба выражения и сокращая на е&
справа, получим
— = (9.79)
Но
Ф(и у)= У = V (-1)".&Х(П) Р _
и (^+1)! (л + 1)! 71х+ —
п—0 n—Q
n = Q
со
^(у,у)= аЧхО))*,’
\ п =0
[см. (9.76)1
§ 9]
СИМВОЛИЧЕСКОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ОПЕРАТОРОВ
131
и -4- 6 (v у) = -Дг 6Р х
a дФ?
'У ф (и, у) = &Х6^ -т-4 Хр .
[см. (9.69')]
Подставляя в (9.79), будем иметь
8X0,1 (— 4Й х₽= (x^t— xtXs) =
*К Р(8,г
---—_________ с Ф Ф
drf cfyp- s^qTu*
откуда
Таким образом мы получили уравнения Маурера (см. 8.68), из кото-
рых нетрудно, идя путем, обратным тому, который мы проделали
в § 8.15, получить уравнения (8.64\ равносильные искомым соотно-
шениям
(Л8, At) = c*A .
X 8’ С/ st Р
Число операторов (9.74) совпадает с числом независимых пере-
менных. Кроме того, из неравенства нулю определителя (9.75) видно,
что эти операторы линейно не связаны, а потому определяемая ими
группа является параметрической группой. Другую параметрическую
группу мы получим, меняя ролями х и у. Координаты, для которых
составлены уравнения этих параметрических групп, называются кано-
ническими. Они характеризуются тем, что инфинитезимальному опе-
ратору
соответствуют конечные преобразования вида
В этой форме параметрические группы были впервые предложены
Ф. Шуром (F. Schur).
*
17. Присоединенной группой мы называем совокупность преобра-
зований, которую претерпят параметры группы, если мы одновременно
подвергнем и первоначальные и преобразованные координаты одному
и тому же преобразованию этой группы (см. § 2.17). Уравнения при-
соединенной группы представятся в более простой форме, если в ка-
честве ее координат мы выберем линейные коэфициенты инфините-
зимального оператора общего вида
х=Vxl -н2х2 +... 4- irxr.
9*
132 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ли [гл. №
Переходя к символическому счету, мы получим преобразования при-
соединенной группы, найдя составляющие величины
г = г^ = 2 =
П = 0
= it 4г{х^—С'пУху”-1 + •••+(— 1)пУпх},
п = 0
или в силу (9.15)
оо
е-,ХЯ=^1В^. (9-80)
п = 0
Пользуясь (9.63), будем иметь
00 (№)у]Р \
e-v хёУ = ЕЦ хр = О'!) хр,
П = 0
00 (n) Р
где »:ад= являются элементами матрицы ен. Таким обра-
П = 0
зом конечные уравнения присоединенной группы имеют вид
^^&р(т))$х. (9.81)
Это — линейная группа. Чтобы получить ее инфинитезимальные опе-
раторы, посмотрим, как вообще из инфинитезимального оператора
линейной группы получается конечное преобразование. Будем сопо-
ставлять с оператором X матрицу ||а*Ц. Будем прилагать этот опе-
ратор к вектору (х1, х2, ..., хп) (а не к произвольной функции от
координат), так что результат приложения двух таких операторов
будет также оператором первого порядка (вторые производные про-
падут).
Если
Х(хя}~а\х'рк(х*) = а\х1,
XX (х8) = X (а] х3') = а*х‘рк (а8 х3') = а] xi,
так что оператору X2 будет соответствовать квадрат матрицы ||а*||<
Точно так же оператору Xs будет соответствовать ||а*!}3 и т. п.
Поэтому соответствующее конечное преобразование
^=1+тг + 2¥г+^г+-
§ 9] СИМВОЛИЧЕСКОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ОПЕРАТОРОВ 133
будет соответствовать матрице
с , Л4112 f mu3 ,
е =Е^-----------ГГ" + —2!----Ь—31------h...
В нашем случае конечному преобразованию (9.81) соответствует ма-
трица ен, в силу чего ему соответствует инфинитезимальный опера-
тор, имеющий соответствующую матрицу
[см. (9.61)]
а потому йнфинитезимальный оператор присоединенной группы можно
представить в таком виде:
Придавая т]8 ч'астные численные значения, мы получим следующую
систему инфинитезимальных операторов присоединенной группы:
= (9.82)
С этой группой мы уже встречались в § 8.14.
Упражнение 20. Дано малое кольцо со, образованное из конечного
числа элементов ар а2, . .., ак при помощи сложения (и вычитания),
умножения на комплексные числа и операции (aj3) = a[3 — (За. Дока-
зать, что каждый его элемент, полученный из ар а2, ак примене-
нием конечного числа указанных операций, линейно выражается через
введенные нами символы
[%,%•••%«! (1С^СА).
Пример.
((«?) Ср)) = [«£?&] — r«ps*r] (Гаусдорф).
Упражнение 21. Доказать справедливость формулы
« [^^ • • • =” 1Ма2. •••«*! + [а1М •••«*] +
+ [а^2 ... и] (Гаусдорф).
Упражнение 22. Если ez = ехеУ, то разложение z по степеням х
и у имеет следующие начальные члены:
z = х+_у 4-1 [лги] + -jj [ху2] 4- ТУ [ух2] + -^4 [ух2у] —
- 756 - 756 + Йб №3х] + Збб ~
— i^O [ху2ху] — [у*2ух] + • • • (Гаусдорф).
134
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ЛИ
[ГЛ. II]
Упражнение 23. Пользуясь теоремой 28 о приводимости матриц
к каноническому виду и обозначая через Dm (z) общий 'наибольший
делитель всех миноров порядка т матрицы А—zE, доказать, что
необходимым и достаточным условием подобия двух матриц А и В
(т. е. существования такой матрицы 5, что А = SBS-1) является ра-
венство рядов полиномов Dm(z) (m=l,2, п) для обеих матриц
А—zE и В — zE.
Указание. Надо доказать, что для А и S'MS ряды Dm (z)
(^=1,2, ...j п) равны, а затем вычислить эти ряды для всевозмож-
ных канонических матриц.
ГЛАВА III
ОСНОВНЫЕ ФАКТЫ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГРУПП ЛИ
§ 10. Определение подгрупп
1. В этой главе мы будем изучать исключительно локальные свой-
ства групп, для краткости употребляя терминологию общей теории
групп, точно так же, как это было принято в сочинениях Ли и его
ближайших последователей. Так, под термином „группа" мы будем
разуметь групповое ядро; „изоморфизм" будет употребляться в смысле
локального изоморфизма; „транзитивной" мы будем считать группу,
переводящую друг в друга две любые точки одной’ и той же окрест-
ности, и т. д.
2. Пусть группа задана г независимыми инфинитезимальными опе-
раторами
л-дп, X8(F), Xr(F), (10.1)
связанными соотношениями
(Х{, X^ = c^Xs. (10.2)
Если существует система пь линейных комбинаций
Yi = hs. Х8 (/ =1,2,..., т\ m<Z г) (Л* — постоянные), (10.3)
связанных соотношениями.
ад)=^г8, (ю.4)
то операторы У2, ..., Ym определят собой группу порядка т,
являющуюся подгруппой заданной группы. Таким образом вопрос о на-
хождении всех подгрупп заданной группы приводится к разысканию
1 8
констант /г, удовлетворяющих этому условию.
3. Чтобы найти все подгруппы данного порядка т, выразим при
помощи (10.3) и (10.2) все скобки (У^):
= (Х3Х() = Л°/г*с^Х?-,
с другой стороны, из (10.4) вытекает
(глу)=4а:х,
136 ОСНОВНЫЕ ФАКТЫ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГРУПП ЛИ [ГЛ. III
откуда в силу независимости X?
P=i,2,...,r). <ю.5)
Задача приводится к решению
ыыми hs. и у®.. Если при этом
чаемой группы точно равнялся
условие, чтобы ранг матрицы
этой системы уравнений с неизвест-
мы потребуем, чтобы порядок полу-
яг, то необходимо будет еще добавить
КИ . (/=1, 2, m; s = l,2, ..., г)
был равен яг.
Решая систему уравнений (10.5) как линейных относительно 7®.,
мы можем выразить условия их совместности так: матрицы
(/, /=1,2, .. яг)
(Ю.6)
должны тоже иметь ранг яг.
Последнее условие дает несколько алгебраических уравнений для h8*.
При решении этой системы можно сделать некоторые упрощения. На-
пример, вместо мы можем взять такие комбинации от них, чтобы
Л® = 0
Однако и теперь решение этой системы настолько сложно, что я не
в состоянии подобрать для него примера, который можно было бы
без особого труда довести до конца. Нам важно лишь убедиться, что
проблема нахождения подгрупп является алгебраической проблемой,
решаемой при помощи конечного числа действий.
4. Определение подгрупп порядков 1 и 2 не представляет таких
вычислительных трудностей. Каждая подгруппа порядка 1 соответствует
определенному (с точностью до постоянного множителя) инфинитези-
мальному оператору, так что каждую такую подгруппу мы получим,
взяв произвольный инфинитезимальный оператор группы
X = . + КХГ
и находя соответствующую ему подгруппу (см. § 7.2).
Для подгрупп порядка 2 имеет место
Теорема 30. Группа всегда содержит подгруппу порядка 2, среди
инфинитезимальных операторов которой содержится любой заданный
оператор группы.
§ 11]
ТРАНЗИТИВНОСТЬ. ИНВАРИАНТЫ ГРУППЫ
137
Доказательство. Не нарушая общности, мы можем предположить,
что заданный оператор есть Xv Для нахождения искомой подгруппы
достаточно найти еще один независимый от Хх оператор, который мы
можем взять в виде
Х2;г34-х%+...н-х%,
Чтобы оба оператора составляли группу, нужно, чтобы имело место
(Хи КХ* +1%, +... + Х%.) = рХ, + ®Х^.,
x4^ = p*i + ®x% (s,/ = 2, 3, v),
откуда в силу независимости Х{ следует
4^ + *^3+...+^ЛГ=Р, (10.7>
2 . 2 । 2 ч 3 I . 2 ч Г ч 2
С1в Л + С13 X + • • • + cir X = “X ,
3 >2 I 3 лЗ . . 3 чГ чЗ
С12Х +с1зХ + • •• +С1Л =шХ > (ю.8}
г ч 2 I jr \ з I I Г ч Т \Т
ci2 + с13 х Н- • • • + С1Г х = ®х.
Определи® ш из уравнения
С12 ш» с 13» • • • > с 1г
С12» с’3 —(О,..., е1г
е12> е13> •••» е1г Ш
(10.9)
будем рассматривать (10.8) как систему линейных однородных отно-
сительно М уравнений. Так как ее определитель (10.9) равен нулюг
то она допускает отличные от нуля решения, каждое из которых дает
решение поставленной задачи.
Заметим, что разность между порядками группы и подгруппы но-
сит название индекса этой подгруппы.
§ 11. Транзитивность. ЙЬв^арианты группы
1. Пусть
x'i — f (xi, х2, ..., хп\ а1, а2, . .., ar) (i = 1, 2, . . ., п) (11.1)
будут конечные уравнения какой-нибудь группы. Предположим, что
точке а1 = а2 =ж= ... = аг = 0 параметрического пространства соответ-
ствует тождественное преобразование группы. Давая параметрам весьма
малые приращения, мы в силу (8.21) получим следующие выражения
для приращений переменных X1:
Дх3 ss (х) (а) &ах + члены высшего порядка (а = 1, 2,..., и), (11.2)>
причем определитель | (а) | ± 0.
। и
138 ОСНОВНЫЕ ФАКТЫ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГРУПП ЛИ [ГЛ. III
Чтобы группа была транзитивной, необходимо и достаточно, чтобы
при произвольном изменении приращений приращения Дх3 описы-
вали многообразие измерения л, т. е. чтобы ранг матрицы
HWvWI
был равен п. Но в 'силу | (а) | ф 0 ранг этой матрицы равен рангу
матрицы
^(х), (х), .... $”(х)
Е‘(х), Е22(х), .... ЗД
(11.3)
я потому для транзитивности группы необходимо и достаточно, чтобы
ранг матрицы (11.3) был равен п. Отсюда необходимым условием
является неравенство (11.4):
г.
2. Замечая, что строки матрицы (11.3) дают коэфициенты каждого*
из инфинитезимальных операторов ^(F) нашей группы, мы можем
формулировать условие транзитивности так: среди инфинитезимальных
операторов Xi(F) группы должно быть п линейно не связанных.
Это условие является в то же время условием отсутствия ненуле-
вых решений системы
^(0 = 0, *2(П = 0, A,(F) = 0. (11-5)
Предположим теперь, что группа интранзитивна. Тогда система (11.5)
должна иметь решение /^(х1, х2, . . ., х11). Это решение является инва*
риантом группы: имеет место
F(xzi, х'2, ..., x,w) = F(x1, х2,..., хп) (11.6)
для всех преобразований (11.1) группы. Чтобы доказать это для про-
извольного преобразования (11.1), предположим, что ему соответствуем
инфинитезимальный оператор
др
X = КХ, 4- Л2¥2 +... + кгХг = (х)_"_.
Тогда это преобразование будет находиться среди преобразований соот-,,
ветствующей оператору X одночленной группы, и х'* будет удовле-^
творять системе диференциальных уравнений
= (/=1, 2,..., п). (11.7).
Подставим значения хч в выражение F(xn, ..., х'п) и будем рассма-.
трйвать его как функцию от t. Тогда
. ->х'п) — j)F dx'i i. , f.dF — X(F} — 0
dt — dx'i dt C 7 dx'i ~л u’
и потому F(x'\ ..., x'w) не зависит от /, откуда и вытекает (11.6).
§ 11] ТРАНЗИТИВНОСТЬ. ИНВАРИАНТЫ ГРУППЫ , 139
Эти результаты можно сформулировать так:
Теорема 31. Чтобы группа была транзитивной, необходимо и доста-
точно, чтобы она содержала п линейно несвязанных инфинитезималь-
ных операторов.
Для интранзитивности группы необходимо и достаточно, чтобы
система уравнений в частных производных (11.5) имела нетривиаль-
ное решение [число независимых решений этой системы равно п — р,
где р — ранг матрицы (11.3)]. Эти решения являются инвар пантами
группы, т. е. остаются постоянными при всевозможных преобразова-
ниях группы.
Из самого факта существования инварианта непосредственно выте-
кает интранзитивность группы. В самом деле, из того, что инвариант
F(xt) сохраняет свое значение при всех преобразованиях группы, сле-
дует, что две точки (х1) и (xj), для которых F(x*) ф F (х*), не могут
быть переведены друг в друга преобразованиями группы. С другой
стороны, каждая гиперповерхность
F(xx, х2, ..., хп) = const,
всегда имеет вблизи себя точки, не лежащие на ней.
3. Пусть G — интранзитивная группа и пусть Fv F2, ..., Fn_p —
полная система ее инвариантов. Тогда на многообразии
/71 = const, F2 = const, ..., Fn_? = const. (11.8)
две любые точки могут быть переведены друг в друга преобразова-
ниями группы: иначе говоря, группа G транзитивна на многообра-
зии (11.8).
Чтобы построить группу тех преобразований, которые претерпе-
вают точки многообразия (11.8) под влиянием преобразований группы G,
сделаем замену переменных. Пусть функции
^**1, ^2’ • • •> Fп-[^ X2, • • ., XJ
независимы. Перейдем к переменным
ух = хх, у2 = х2, . .., у? = хр,
3'р+1 = /=’1. • ••, yn = Fn-t- [см. (5.7)]
Тогда
= (11-9)
Вторая сумма в правой части исчезает в силу ^(7^) = 0. Могущие
входить в после преобразования переменные У будут играть роль
параметров, по которым не будет производиться диференцирований.
Полученная таким образом группа G носит название укороченной
группы. Все структурные соотношения останутся теми же, и инфини-
тезимальные операторы не могут перестать быть линейно независи-
мыми, так как путем обратного преобразования мы опять придем
к исходной группе G. Поэтому обе группы G и G изоморфны.
140
ОСНОВНЫЕ ФАКТЫ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГРУПП ЛИ
[ГЛ. III
4. Пример. Группа вращений в трехмерном пространстве
Хх—уг— zq, X2 = zp— xr, X2 — xq—yp
интранзитивна, так как система
^ = 0, %2 = 0, Х3 = 0 ‘
имеет решение р = х2-]-у2-J-z2. Переходя к переменным
х, л р = х24-гу2Н“^2,
мы получим
= ^2=/p-x2-^g,
ул dF , dF
Хз = — У^с+Хд^-
Это и будут инфинитезимальные операторы укороченной группы, кото-
рая уже транзитивна относительно х, у.
5. Группа называется дважды транзитивной} если ее преобразо-
вания переводят любую пару точек в любую заданную пару точек из
их окрестностей. Это условие можно иначе выразить так: расширенная
два раза, дважды транзитивная группа должна остаться транзитив-
ной. Если х1, х2, . ..,хп суть преобразуемые переменные группы G и
Л'р Х^ . .., Хг — полная система ее инфинитезимальных операторов,
то инфинитезимальные операторы дважды расширенной группы 2G
таковы:
X^XV ^2 + У2, ..., Хг-\-Хг> (11.10)
где Xi— оператор, который получен из путем замены системы
х1, х2, . . ., хп системой переменных х1, х2, ..., хп, не зависимых от
х1, х2, . . хп. В § 8.11 мы видели, что операторы (11.10) удовлетво-
ряют тем же структурным равенствам, что и операторы Х^
Если группа не дважды транзитивна, то система уравнений
Х^Х, = Ъ (Z=l, 2, ..., г) (11.11)
имеет нетривиальные решения, которые мы будем называть совокуп-
ными (двойными) инвариантами группы G.
6. Пример. Группа движений (см. § 8.17)
Xi=P, X2 = q, X3 = r, Xt—yr—zq,
X^zp — xr, Xe=~Xq—yp
транзитивна, но не дважды транзитивна. В самом деле, система
—+ —= 0 — + — = 0 — 4- — = 0
dx дх ду ду dz dz ’
dF dF . -у dF ~dF n
у-------------z----H у — — z — = 0,
J dz dy dz dy
§12] НОРМАЛЬНЫЕ ДЕЛИТЕЛИ. ФАКТОРГРУППЫ
141
dF dF . ~dF — dF л
z----x---\-z — — x — = 0,
dx dz dx dz
dF dF < ~dF - dF
X----V---Tx——v—= 0
dy dx dy dx
имеет решение (x— *)2 + (У—J')2 “H —г)2- Геометрически это вы-
ражает тот факт, что при движении твердого тела в пространстве
расстояние между каждой его парой точек остается неизменным.
7. Аналогично можно определить тройную, четверную и т. д. тран-
зитивность группы, а также тройные, четверные и т. д. инварианты
группы.
В т раз расширенной группе число переменных равно тп, а по-
тому при достаточно большом т неравенство (11.4), необходимое для
транзитивности группы, уже не будет удовлетворяться. Из этого сле-
дует, что группа всегда имеет m-кратные инварианты; нужно только
взять т достаточно большим.
Упражнение 24. Показать, что дробная линейная группа
xi=P, Хъ = хр> Х9=*х*р
трижды транзитивна, и найти ее четверной инвариант (ангармоническое
отношение).
Упражнение 25. Доказать, что полная плоская афинная группа
хр, xq, ур, yq дважды транзитивна и, будучи трижды расширена,
допускает два инварианта:
у*! — хху ХуУ^ — ХчУх
хУъ — *2У' ху2 — х^'
Упражнение 26. Обозначая через число инвариантов i один раз
расширенной группы, доказать неравенства
Показать, что при достаточно большом i имеет место $г+1 — = zz.
Указание. Рассмотреть ранги матриц ||£(*}|| для последовательных
расширений группы.
§ 12. Нормальные делители. Факторгруппы
1. Подгруппа Н группы G называется ее нормальным делителем,
если имеет место
аНа-' = Н (12.1)
при любом преобразовании а группы G. Другими словами, нормаль-
ный делитель (в целом, а не его отдельные преобразования) остается
неизменным, если мы одновременно подвергнем любому преобразова-
нию из группы G и первоначальные и преобразованные группой Н
переменные.
142 ОСНОВНЫЕ ФАКТЫ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГРУПП ли [гл. III
Чтобы выразить условие нормальности аналитически, сначала пред-
положим, что группа G есть просто транзитивная (параметрическая)
группа. Пусть
Ур У2, ...» Ym, Хт+1, .... Хг (12.2)
будут ее инфинитезимальные операторы, из которых пусть первые т,
соответствуют ее подгруппе Н. Из того, что группа просто транзи-
тивна, следует, что ее инфинитезимальные операторы линейно не свя-
заны, а потому система уравнений
У1 = 0, У3 = 0, ..., Ут = 0 (12.3)
имеет ровно г—т решений
j/1, у2, .. у-™, (12.4)
система которых вполне определяет операторы Yif так как всякий
оператор группы G, для которого (12.4) являются решениями, линейно
(с постоянными коэфициентами) выражается через Y{ (иначе полная
система из более чем т линейно несвязанных уравнений имела бы г—пг
независимых решений, что невозможно).
Таким образом условие нормальности Н приводится к условию
того, чтобы система (12.4) при помощи любого преобразования А
группы G переводилась в систему функций, тоже являющихся реше-
ниями системы (12.3), т. е. функционально зависящих от функций (12.4).
Пусть X(F)— инфинитезимальный оператор, соответствующий ко-
нечному преобразованию А:
я
^(л)=л+^Оа+уГ^(у1)+|г^8(л)+ • • •
Если А (у^ есть функция от у, то это же имеет место для А ——
при любом /, а потому и для
lim А^ -21 = х(у^
t-+o 1
С другой стороны, если все X(у) = $*00 являются функциями от yi9
то, интегрируя систему обыкновенных уравнений
^=Ф.<Л)
[см. (11.7)], мы получим
У<=А(У<\
как функции от у (значения у{ при / = 0) и от/.
Это условие можно еще видоизменить. Если yi = А (у?) являются
функциями от yit то они должны быть решениями системы (12.3),
а потому каждый оператор (X, У\) должен быть линейной комбина-
цией от С другой стороны, если это условие соблюдено, то
(X (Л) = XY, (у,) — Y.X оа = 0.
§12] НОРМАЛЬНЫЕ ДЕЛИТЕЛИ ФАКТОРГРУППЫ 14&
Но первое из слагаемых всегда равно нулю в силу (у?) = 0. Поэтому
У.Д(Л) = 0,
и функции Х(у^, являясь решениями системы (12.3), функционально
зависят от функций (12.4).
Аналитически это условие можно представить так. В соотношении
(*<> ^)=4л1+<г2+---+^+С+Ч+1+---+<л (12-5)
операторы Xi не должны входить в правую часть, т. е. должно иметь
место
^+1==C-+2 * * *=...=SC; = O. (12.6)
•
Теперь докажем справедливость этого условия для любой группы Ли.
Пусть
Xv X* Хт, Xm+V Хг (12.7)
— инфинитезимальные операторы такой группы G, связанные соотно-
шениями
(X., ХА = е*Х,
v г’ у V 8 1
где операторы Х19 Х%, ..., Хт' соответствуют подгруппе Н. Пусть
операторам (12.7) соответствуют операторы
А%, • . Ат, • • •>
изоморфной с ней (просто транзитивной) параметрической группы G.
тоже связанные соотношениями
(А.А.) = с* А .
v г у Ц 8
Операторы Л1? Л2, ..., Ат будут соответствовать делителю Н пара-
метрической группы G, соответствующему группе Н при сопоста-
влении
G+-+G.
Группы Н и Н являются одновременно нормальными или ненор-
мальными делителями группы G и соответственно G. Но условие нор-
мальности И выразится в равенствах (12.6). Поэтому и условие нор-
мальности Н выражается теми же равенствами, и мы приходим
к теореме:
Теорема 32, Для того чтобы делитель Н группы G был нормальным*
необходимо и достаточно, чтобы производные операторы (X, У), где
X—любой инфинитезимальный оператор группы G и Y—группы Н-
линейно выражались через инфинитезимальные операторы группы TL
2. Пример. Полная линейная группа G Xik = х^рк порядка п2 имеет
унимодулярную линейную группу Н
Z, £=1, 2, ..., n;\
^ik X*pk, Y^ = X^Pv ( __9 4 n /
144 ОСНОВНЫЕ ФАКТЫ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГРУПП ли [гл. III
порядка и2—1 в качестве нормального делителя. В самом деле,
Правая часть не равна нулю только в случае k = ^ или v = Z. Если
удовлетворяется только одно из этих равенств, например, если k = |i,
л/ ф Z, то
(х*Рк, xv-p.) = х*р, (v ф j),
откуда следует, что (^рк) входит в Н. Если же k = jx, v = Z, то
хн-pj = xlpi — xv-p^ = Y^— Y{,
а этот оператор тоже входит в Н. Таким образом любой производный
оператор группы G входит в Н, и тем более (X, Y), гд,е ¥ входит в Н.
3. Факторгруппы. Пусть заданы группа G и ее нормальный дели-
тель И. Чтобы построить аналитически факторгруппу GjH, возьмем
опять G в форме просто транзитивной группы. Тогда, находя в этом
представлении полную систему инвариантов (12.4) группы Н9 мы убе-
димся, что, подвергая их всевозможным преобразованиям группы G,
мы заставим их производить представление группы GjH. В самом деле,
если преобразования S и группы G принадлежат к одному и тому же
смежному классу разложения G по Н, т. е. если S1 — Sht где haH9
то преобразование h оставит функции (12.4) на месте, а потому hS и
произведут среди yi одно и то же преобразование. С другой стороны,
если 5 и совершают над величинами (12.4) одно и тоже преобра-
зование, то оставляет каждую из них неизменной, а потому ве-
личины (12.4) являются решениями X = 0, где X—инфинитезимальный
оператор, соответствующий Это показывает, что X есть линей-
ная комбинация операторов У?-, т. е. что S^S — h входит в 77, в силу
чего 5 = 5^ и входят в один и тот же смежный класс, что и тре-
бовалось доказать.
Необходимость требования, чтобы И был .нормальным делителем,
-вытекает из того, что только в этом случае преобразования группы G
переводят в функции от (см. § 12.1).
Если инфинитезимальные операторы группы G суть
^2» • • •’ • • •»
из которых первые т соответствуют нормальному делителю Н9 то
после перехода к переменным у{ операторы в силу (^) = О
тождественно обратятся в нуль, а остальные операторы примут вид:
Xm+i (F) = Хя, Н (уд + Xm+i (у2) . + Xm+i (у,-т) ~~ ,
причем коэфициенты Xm+i (yj в силу нормальности И можно выразить
только через у29 .. ., уг_т. Эти г — т инфинитезимальных операторов
линейно независимы, так как, если бы существовала линейная комби-
§13] ВАЖНЕЙШИЕ ПОДГРУППЫ 145
нация X от Хт±ь тождественно обращающаяся в нуль после пере-
хода к переменным то имело бы место
ГДЛ) = 0, ЛГ(Л) = О (/=1, 2, ..., г —/и; v=l, 2, .
что противоречило бы тому, что система уравнений в частных про-
изводных имеет всего г — т—1 независимых решений.
Итак:
Теорема 33, Факторгруппа G/H, где G — группа порядка г и Н —
порядка т, имеет порядок г — т. Ее инфинитезимальные операторы
связаны теми же структурными соотношениями, что и в группе G,
которые таким образом могут быть получены путем отбрасывания
в соотношениях между операторами группы G операторов группы Н.
4. Пример. Между инфинитезимальными операторами
Хх = р, X2 = q,Хй = г, Xi=yr—zq, Xr, = zp—xr, X6 = xq~yp
трехмерной группы движений имеют место соотношения
(Xv Х3) = (Х2, Х3) =(Х3, ^) = о, 1 1
(Xlf лг4)=о, №. ^)=^3. №. х4) = -х2,
№» Хь) = -Х3> №. *5) = о, №, *6)=№> (12.8)
(Xt, Х6) = Х» №> ЛГР)=-^Р №. *6) = 0,
(Xit Хъ) = -Х3, №, X6) = — Xt, №. Х4) = -Х5, 1
из которых видно, что образованная инфинитезимальными операторами
Xv Х2, Х3 группа (группа параллельных переносов) есть нормальный
делитель всей группы. Чтобы получить соотношения между инфините-
зимальными операторами факторгруппы, нужно из последней строчки
cooi ношений (12.8) отбросить члены с операторами Xv Х2, Х%. Но здесь
нече о отбрасывать, и таким образом искомая факторгруппа изоморфна
с группой вращений, образованной операторами Х±, Хб, XQ.
? § 13. Важнейшие подгруппы:
центр, производная группа и другие. Автоморфизмы
1. Теорема 34. Элементы двух взаимно простых нормальных дели-
телей Н и Нх группы G перестановочны.
Доказательство. Пусть даны элементы Л, hv причем
hciH,
Тогдя их коммутатор
hh'^h^ = h(hlh~ih~l) = (hh^1) h~l
входит в Н, так как в силу нормальности И
h^h^cH.
10 Зак. Мг 1132. Н. Чеботарев
146 ОСНОВНЫЕ ФАКТЫ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГРУПП ЛИ [ГЛ. Ш
Он входит и в Н19 так как в силу нормальности
hh^1 с: Нг
Но так как группы Н и взаимно просты, то этот коммутатор равен
единичному элементу, откуда
hhx — hth9
что и требовалось доказать.
2. Теорема 35. Чтобы все элементы группы G, соответствующие
инфинитезимальным операторам X и Y, были перестановочны, необхо-
димо и достаточно, чтобы между инфинитезимальными операторами
X, Y имело место
(X, У) = 0. (13.1)
Доказательство. 1°. Условие необходимо. В самом деле, если опе-
раторам X, Y соответствует двучленная абелева группа, то опера-
тору X соответствует ее подгруппа, которая должна быть нормальным
делителем. В силу теоремы 32 в формуле1
(X, Y) = aX~}-bY (13.2)
должно иметь место b = 0. С другой стороны, оператор Y тоже обра-
зует нормальный делитель нашей группы, в силу чего в формуле (13.2)
должно иметь место а = 0, и мы приходим к (13.1).
2°. Условие достаточно. В самом деле, из (13.1) следует, что опе-
раторы X, Y образуют Двучленную группу и что каждый из операто-
ров X и Y образует одночленный нормальный делитель этой группы.
Оба делителя взаимно просты, так как одно и то же отличное от
единичного преобразование не может быть образовано двумя различ-
ными (и не отличающимися на постоянный множитель) инфинитези-
мальными операторами. Поэтому в силу теоремы 34 преобразования,
соответствующие инфинитезимальным операторам X, Y, перестановочны
друг с другом, что и требовалось доказать.
Следствие 1. Инфинитезимальные операторы Х19 Х2, Х^9 ..., Хг9
связанные соотношениями
(Xit Xj) = 0 (/,2, о,
образуют абелеву группу. *
Следствие 2. Совокупность линейных комбинаций Z = -f-
-f- . . . + ЬГХГ> удовлетворяющих условиям
(Z, Л0 = О (Z=l, 2,..., г),
образует центр группы (см. § 2. 17).
Л
3. Найдем инфинитезимальные операторы производной группы
(см. § 2.18). Из формулы (8.54) мы видим, что коммутатор двух пре-
образований, образованных инфинитезимальными операторами X и У,
разложенный по степеням параметров, имеет главным членом /2(Х, У).
§13] ВАЖНЕЙШИЕ ПОДГРУППЫ 147
Поэтому можно догадаться, что производная группа G' имеет инфи-
нитезимальными операторами всевозможные скобки (X, У) между
инфинитезимальными операторами группы G. Эти скобки действительно
образуют группу и даже нормальный делитель группы G, так как из
(Х,Х:) = с8..Х,
г j' tj 8
следует
Чтобы оправдать нашу догадку, обратимся к теореме 7, которая
вполне характеризует нормальную группу как наименьший нормальный
делитель Н 'такого рода, что факторгруппа G/77 абелева. Согласно
§ 12.3 рецепт получения структурных соотношений между операто-
рами факторгруппы заключается в том, что мы приравниваем нулю
в соотношениях между операторами исходной группы операторы, обра-
зующие нормальный делитель Н. С другой стороны, чтобы сделать
факторгруппу абелевой, достаточно приравнять’ нулю все встречаю-
щиеся в соотношениях скобки. Из этого следует, что искомый нор-
мальный делитель /7, т. е. производная группа, есть группа, образо-
ванная всевозможными скобками.
4. Приведем аналитическое доказательство теоремы 6, которую
можно иначе формулировать так:
Если Н есть нормальный делитель группы G, то и . производная
группа Нг является нормальным делителем группы G.
Доказательство, Пусть X, Y — два. произвольных инфинитезималь-
ных оператора группы /7, U—произвольный инфинитезимальный опе-
ратор группы G. Достаточно доказать, что оператор (G, (X, Y)) выра-
жается через операторы группы Нг. Из тождества Якоби следует
{U, (X, Y)) — —(X, (У, U))-(Y, (U, X)).
Но внутренние скобки в силу нормальности Н входят в 77, в силу чего
внешние скобки входят в Н', что и требовалось доказать.
5. Под автоморфизмом группы G мы разумели в § 2.15 такое
преобразование р(Д), что вместе с А и р(А) является преобразова-
нием группы G. Здесь мы будем разуметь под автоморфизмом преобра-
зование, переводящее инфинитезимальные операторы группы G в дру-
гие операторы той же группы, причем структурные соотношения,между
операторами должны остаться теми же.
В силу соответствия между конечными преобразованиями и инфи-
нитезимальными операторами группы оба эти определения автоморфиз-
мов совпадают. Однако для установления тождества обоих понятий
необходимо выяснить, что мы должны считать в обоих случаях одина-
ковыми автоморфизмами. Дело в том, что между конечными преобра-
зованиями и инфинитезимальными операторами группы нет полного
соответствия, так как каждый из этих объектов однозначно определяет
одночленную подгруппу, но одночленная подгруппа определяет бес-
10*
148 ОСНОВНЫЕ ФАКТЫ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГРУПП ли [гл. III
численное множество и тех и других, и установление между ними
взаимно однозначного соответствия является новой проблемой, кото-
рая, насколько мне известно, никогда даже не ставилась.
Два автоморфизма (при обоих определениях) р и pt одинаковы тогда
и только тогда, если автоморфизм p~~ipi является тождественным.
Поэтому достаточно исследовать, не может ли существовать автомор-
физм, который при одном определении является тождественным, а при
другом нет. Так как автоморфизм, переводящий хотя бы одну одно-
членную подгруппу в другую, наверно не тождественен при обоих
определениях, то достаточно ограничиться рассмотрением автоморфиз-,
мов, оставляющих все одночленные подгруппы неизменными. Не решая
в общем виде вопрос, который вывел бы нас из рамок классической
теории, рассмотрим в виде примера абелеву группу.
Автоморфизмы, оставляющие неизменными все одночленные под-
группы абелевой группы, могут производить в каждом ее инфините-
зимальном операторе умножения на постоянные числа. Все операторы
должны умножаться на одно и то же число, так как автоморфизм р,
для которого имеет место
р(Х) = аХ, p(Y) = $Y, а фр,
переведет оператор X-\-Y к который образует другую одно-
членную подгруппу. Таким образом группа автоморфизмов, сохраняю-
щих одночленные подгруппы, есть одночленная абелева группа.
При определении автоморфизмов над конечными преобразованиями,
которые оставляют неизменными все одночленные полгр^ппы, следует
ввести понятие иррациональной степени пр°образования. Это может
быть достигнуто путем итерации (см. § 7.6—8). Автоморфизм
р (Л) = 4а (
удовлетворяет нашему условию только тогда, если для всех преобра-
зований значение показателя а одно и то же, так как иначе
р {АВ) == А*В* (а ф р)
образует другую одночленную группу, чем АВ. Таким образом и здесь
эти автоморфизмы образуют одночленную абелеву группу.
Если группа не абелева, то только тождественный автоморфизм
оставляет неизменными все инфинитезимальные операторы. В самом
деле, здесь, как и раньше, можно доказать, что такой автоморфизм
умножает все инфинитезимальные операторы на одно и то же число:
р(Х) = а.Х.
Но здесь наверное существует не равная нулю структурная константа;
пусть это будет с*.. Тогда автоморфизм р преобразовывает соотно-
шение
в
§ 13]
ВАЖНЕЙШИЕ ПОДГРУППЫ
149
а так как такие соотношения должны сохраняться, то должно иметь
место а = 1.
Для полноты исследования следовало бы еще исследовать конечные
автоморфизмы для неабелевых групп, чего мы производить не будем.
6. Таким образом всякий автоморфизм можно рассматривать как
линейную подстановку с постоянными коэфициентами. Поэтому группа
автоморфизмов, или голоморф, есть конечная непрерывная группа.
Пример 1. Голоморф г-членной абелевой группы, очевидно, есть
полная линейная группа от г переменных.
Пример 2. Инфинитезимальные операторы группы вращений в трех-
мерном пространстве удовлетворяют соотношениям
(*р = - Х3, (Х2, Х3) = - Xv (Х3, XJ = - x2.
Найдем автоморфизмы в форме
Ki =«11^ +«12^2 + ^13^3,
^2 == ^21^1 + «22^2 + «23^3>
^3 — ^31+ + а32^2 + «33*3*
Чтобы такое преобразование было автоморфизмом, необходимо, чтобы
Ур У2, У3 удовлетворяли таким же соотношениям:
(Ур У2) = -У3, (У2, У3) = - Ур (У3, Ух) = - У2.
Делая подстановку и приравнивая коэфициенты при операторах, полу-
чим для коэфициентов соотношения
(*,./=1,2,3),
-где А^—миноры матрицы Ц^-'| = Д. Отсюда
АА' = ДЛ-11 А | = Е| А ’.
Беря от обеих частей определители, получим
|Д|2=|ДД откуда А | — + 1,
так что
АА' = £,
т. е. матрица А ортогональна. Итак, голоморф изоморфен с самой
группой. Таким образом мы убедимся, что группа вращений допускает
только так называемые внутренние автоморфизмы.
7. Внутренним автоморфизмом группы Q называется преобразо-
вание типа
S->ASA~\
где Д —преобразование из G, производящее этот автоморфизм, а 5
пробегает все преобразования группы G. Мы видели в § 2.7, что для
получения преобразования Д5Д”1 надо подвергнуть преобразованию А
150 основные факты классической теории групп ли [гл. Ш
переменные, претерпевающие преобразование 5. Выясним, какое пре-
образование испытывают инфинитезимальные операторы группы G, если
мы подвергаем переменные х* преобразованию
= + (13.3)
близкому к единичному. Пусть
ЗД = ^(*)-£ (13.4)
— один из таких инфинитезимальных операторов. Найдем первые два
члена разложения преобразованного оператора
<13-5)
по степеням /. Имеет место
fit8. (х}
^(x') = ^) + ;^ + (13.6)
Тт dF
Чтобы получить выражение для -^rs, преобразуем тождество
dF , Q dF * r
dF= -3— dxs = -т-77 dxs:
дх8 дх'8
^.=^U+<4^.+(4
дх8 дх'8 ( 1 дх^ । \ / j >
или, приравнивая коэфициенты при независимых диференциалах Xs:
dF dF д^(х) dF ,
Их* ~ 'дх^~^~ t дх* dx'v- +
ЭГ dF . ,л
откуда в силу = — (/) имеем:
dF dF dF !
dx'8 dx8 dx8 dxv-' ’ ' '
Подставляя (13.6) и (13.7) в (13.5), будем иметь
, f. дЙ(х) ) fdF дЧЦх) dF
*i(F) = р?(х) +1 -±_- ^(х) + (/2)| • + (^)j =
• dF ( ай(х) dF „ М(Х) Э/И
= ~дх* +zp* W ах' ~дх*~ дх* dxij-^ —
( д£ д-ак 1 dF
- w+< j n -gF- ч —+«!>=
- X, (Г) +1 lXt (X, (F)) - Xt (X„ (F)) 1 + (F) =
(13-7)
§ 13] ВАЖНЕЙШИЕ ПОДГРУППЫ 151
или в силу соотношений
Х(П=w++(*2)-
Таким образом внутренний автоморфизм AGA~l, где А образовано
инфинитезимальным оператором ХА, производит над инфинитезималь-
ными операторами Xi линейное преобразование, инфинитезимальный
оператор которого имеет вид
(*=1,2,...,V). (13.8)
Эти операторы только обозначениями и знаком отличаются от опера-
торов, полученных в § 9.17 [формула (9.82)].
8. Операторы
= (А = 1,2,. ...V) ' (13.8')
образуют так называемую присоединенную группу. В § 8.14 мы пока-
зали, что эти операторы связаны соотношениями с теми же структур-
ными константами, что и ХА.
(Eit E.)=c^Es. (13.9)
Но эти операторы в общем случае не независимы. В самом деле, если
тождественно имеет место
^Ек (F) = О,
то в силу (13.8) это означает, что
lkcsik=0 ' (Z,s=l, 2,...» г) (13.10)
при всех значениях Z, s. С другой стороны, из формулы
*
следует, что (13.10) имеет место тогда и только тогда, если при всех i
имеет место
(^, ХЛ¥Л.) = 0,
т. е. если оператор №Хк лежит в центре Z группы О. Таким образом
присоединенная группа изоморфна с д/Z, где Z — центр группы G.
9. Чтобы не запоминать выражения (13.8) для операторов присое-
диненной группы, запомним, что £-й оператор присоединенной груйпы
получится, если применить к произвольной линейной функции Ф(Л)
оператор (... , Л^):
(ФIX), = (Х„ Xs) =с-ах, .
152
ОСНОВНЫЕ ФАКТЫ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГРУПП ЛИ
[ГЛ. Ilf
§ 14. Продолженные группы.
Диференциальные и интегральные инварианты
1. Кроме расширения групп существует другой, существенно от-
личный от расширения способ увеличения в группе числа перемен-
ных. Этот способ, носящий название продолжения групп, состоит
в нахождении законов, по которым преобразуются производные от
одних переменных по другим, если мы подвергаем эти переменные
преобразованиям заданной группы. Продолженные группы играют боль-
шую роль в теории диференциальных уравнений и в диференциальной
геометрии.
2. Чтобы яснее представить идею продолжения групп, рассмотрим
сначала случай двух переменных. Если представить себе подвергнутой
какому-нибудь преобразованию группы всю плоскость, в которой слу-
жат координатами рассматриваемые переменные х, у, то любая фигура,
начерченная на этой плоскости, будет определенным образом преобра-
зована. В частности, кривая С на этой плоскости будет преобразована
в другую кривую Ср точка М на кривой С — в точку на кривой Ct
и касательная к С в точке М — в кривую, касательную к С\ в точке Мх.
Более того, пучок кривых, касательных в точке С, преобразуется
в пучок кривых, касательных в точке СР Таким образом направление
касательной преобразуется в направление, не зависящее от кривой,
к которой проведена касате 1ьная. Аналогичное имеет место для радиуса
кривизны (непрерывные преобразования не меняют взаимного порядка
малости расстояний между точками различных кривых, близких к Л4).
Это обстоятельство дает нам возможность определить как функ-
dy (d?y\' . dy d?y
цию от х, у, ; КД) — как функцию от х, у, ; и т. д.
3. Пусть
(И.1)
— один из инфинитезимальных операторов нашей группы. Тогда пре-
образование соответствующей ему одночленной группы, близкое к тож-
дественному, может быть представлено так:
_ dvr
Вычислим :
dx'
dy' _ d(y + tn + (/-)) _
dx' d(x + « + (H)
(14.2)
= dx + k de dx) U -
* \dx 1 dy dx J 1 '
= dy, Jdi) dl\dy dg 7 dy
dx + t\dx \ dy dx) dx dy \dx) j
ПРОДОЛЖЕННЫЕ ГРУППЫ
15$
§ Hl
Вводя обозначения
£ = * (14-3)
S + (14.4)
мы таким образом видим, что под влиянием рассматриваемого нами
преобразования переменные х, у, р преобразуются при помощи группы,
имеющей инфинитезимальным оператором
Jf(F) = $(x, у)^ 4-7) (х, у) 4-7)! (х,у, р)^-. (14.5)
Продолжая таким образом каждый из инфинитезимальных опера-
торов заданной группы, мы получим инфинитезимальные операторы
продолженной группы. Так как продолженная груцпа изоморфна
с исходной, то продолженные операторы должны быть связаны теми
же соотношениями, что и исходные. В этом можно также убедиться*
путем непосредственной выкладки.
4. Аналогично можно продолжать группу, присоединяя к числу-
переменных высшие производные
d2y d*y
dx2’ dxif
Вычислим, например, — = ^ = <7:
i I ^41 1 . дтп1 dz 1 . ,.9Ч
= Н И тН v- P ~ т ^4--^ q — pq\ + (/2) =
( dx dy dx dp dy )
= Я + ^2 (x, У, P, q) + (f2).
Таким образом продолженный еще раз инфинитезимальный оператор
будет иметь вид
где
У,Р, 9) = д^^Р-~^я + ^Я — ^РЯ. (14.7).
154 ОСНОВНЫЕ ФАКТЫ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГРУПП ли [гл. Щ
5. Продолжая группу, мы увеличиваем в ней число переменных,
оставляя неизменным число независимых инфинитезимальных опера-
торов. Поэтому после достаточного числа продолжений должен на-
ступить момент, когда группа перестанет быть транзитивной. Инва-
рианты полученной таким образом интранзитивной группы содержат
производные и в связи с этим носят название диференциальных инва-
риантов группы, которые играют большую роль в диференциальной
геометрии.
6. Пример /. Дана группа плоских движений. Мы видели в §8.17,
что ее инфинитезимальные операторы суть
= Fx, == Fy, Х2 = yFx xFy
Продолжая ее, мы в силу (14.4) получим
*1 = ^, *2 = Fy, X^yFx—xFy — (l+p^Fp.
Полученная группа транзитивна, так как в ней независимых пере-
менных столько же, сколько инфинитезимальных операторов, которые
притом линейно не связаны. Поэтому для получения диференциальных
инвариантов необходимо продолжить ее еще раз.
В силу (14.7) будем иметь
A'i = Х%—Fy, X^=yFx xFy (1 Ч~Р2) 7^
Интегрируя уравнения ^ = 0, <¥2 = 0, JV3 = O, мы видим, что решение
не зависит от х, у, и вопрос приводится к интегрированию обыкно-
венного уравнения
dp ___ dq
1 + Т2 ~ W
отсюда следует, что интеграл его
(1+р2)1 (1+(х9)
q d2y
dx2
и есть диференциальный инвариант группы плоских движений. Этот
инвариант есть не что иное, как радиус кривизны.
7. Пример 2. „Шварцева производная*. Найдем диференциальное
выражение, остающееся инвариантным, если переменную х не под-
вергать преобразованию, а переменную у подвергнуть преобразова-
ниям группы дробных линейных подстановок. Дело приводится -
к нахождению диференциального инварианта группы, заданной инфи-
нитезимальными операторами
Х*=уРу, X,=y*Fy.
Продолжим эти операторы. Первый из них не даст продолжения*
Для второго $ = 0, Ti=y, в силу чего
^2 = ^
§14] ПРОДОЛЖЕННЫЕ ГРУППЫ 155
Наконец,
d(q+tq + (Z2)) _ dq_ , , z/2x
dx dx dx'dx'-'
откуда
^2 = ypy “f“ pFp 4"* 4~ r^r•
Аналогично для третьего оператора
5 = о, Т!=д/2, ^ = 2ур, -»12 = 2(р2+3'?')> 'G3 = 6P? + 2Jzr!
откуда
*s =У*Ру + tyPFp + 2 (р2 + yq) Fq + (Qpq — 2yr) Fr.
Таким образом для нахождения инвариантов надо решить систему
yFv + PFp + 4Fq 4- rFr = 0.
y^Fy + 2ypFp + (2p2 + 2yq) Fq + (6pq + 2yr) Fr = 0.
Первое уравнение показывает, что решение не содержит у. Второе —
что решение однородно нулевого измерения. Из третьего уравнения
вычтем второе, умноженное на 2у, и прибавим первое, умноженное
на у2: 2p2Fq + §pqFr — °, т* е’
pF q-\-3qFr = 0.
Решим соответствующую систему обыкновенных уравнений:
dp dq dr
0 р 3q’
3
откуда р = const, 3q dq — pdr—Q, q2— pr = const. Из этих реше-
3
ний р и 2 q2 — рг надо составить однородное решение нулевого
измерения, которое и будет искомым инвариантом:
Это выражение носит название шварцевой производной.
8. Перейдем к случаю многих переменных. Определим приращения
dx1, dx2, ..., dxn переменных х1, х2, ..., хп, заставив их быть свя-
занными одним единственным соотношением
dxn—pidxi = Q (f==l, 2, ...,п—1), (14.9)
а в остальном произвольных. pi — величины, которые мы получим,
связывая переменные х* произвольным (диференцируемым) соотноше-
нием
хп = ср (х1, X2, .. ., Х11"1)
156 ОСНОВНЫЕ ФАКТЫ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГРУПП ЛИ [ГЛ. Ш
и полагая
Pt = p. (i= 1, 2, ..л — 1).
Подвергая х* преобразованию
= + + (v=l, 2, п), (14.10)
вычислим приращения величин pit предполагая, что они имеют вид:
Pi = Pi + t^+^) (/=1, 2, п-1) (14.11)
и что соотношение (14.9) все время сохраняется.
Подставляя (14.10) и (14.11) в (14.9), получим
d (х- + + (Z2)) — (Pi + + (/2)) d # + (*2)) = 0,
или, пользуясь (14.9) и собирая члены при /:
d^~ р& — ^dx^ = 0,
или, раскрывая выражения dh
дсп дс*
-^—-dx'*— Pi^—7 dx*— "idxi = 0. (14.12)
дх' дх * 1 v 7
В этом выражении диференциалы связаны одной единственной за-
висимостью. Можно было бы определить из нее, например, dxn
и после подстановки в (14.12) считать остальные диференциалы не-
зависимыми, т. е. приравнять нулю их коэфициенты. Однако формулы
приобретут больше симметрии, если мы применим способ неопреде-
ленных множителей: умножим (14.9) на неопределенный множитель р
и прибавим к (14.12):
g dx‘—Pi dx‘ — С,- dx* + р (dxn — р^х*) = 0
(v=l, 2, ...» л; i = 1, 2, ..., n — 1).
Выберем теперь p так, чтобы коэфициент при dxn обратился в нуль.
Тогда коэфициенты при остальных диференциалах вследствие их неза-
висимости будут равны нулю, и мы получим
д$П I /1 Л
+ л-1). (14.14)
Если мы захотим исключить р, то выражения для. С, представятся
в таком виде:
r fdsn , д&\ /1л ir\
'^~~(дх*~^Р{ дх») pj\dxiJs~Pi дх»)’ (14.15)
Получив выражения для мы сможем записать продолженный
инфинитезимальный оператор следующим образом:
+ 0 = 1, 2, ..., П- /=1, 2, ..., л-1). (14.16)
ПРОДОЛЖЕННЫЕ ГРУППЫ
157
§ 14]
9. Мы можем задавать также не одно соотношение типа (14.9),
а несколько, например /п, и тогда коэфициенты при xi будут ха-
рактеризовать направление касательных плоских многообразий в точках
многообразий измерения п — т. Рассмотрим для примера случай двух
таких соотношений. Пусть в (14.9) значок I пробегает значения от
1 до п— 2 и пусть кроме (14.9) дано еще соотношение
dxn~1 — qidxi = 0. (14.17)
Тогда, полагая
= + (14.18)
мы наряду с формулой (14.12) получим еще
- »< £dxr - =0 (“; 11,' 2). <14 •1 •>
Умножая (14.9) на р и (14.17) на о, прибавляя к (14.12) и помня,
что теперь i меняется от 1 до п—1, получим (метод неопределенных
коэфициентов)
dx? — dx'» — dxi + f. (dx" —р^х{) + о (dx’’-1 — q^x*) = 0,
откуда
j=i’2- • • •’ "~2)- <i4-2°)
где
d~n d~i
P ~~dx^^r^i dx™’ (14.21)
dcn .
(14'22)
Аналогично для получим выражения
—qj^-^Pi-^i (/, J=l, 2, n —2), (14.23)
где
<14-24)
дг"-1 , dzj ... OC4
r. == — „ . Ч- q, -4 j. (14.25)
OXu l 1 ОХп У v 7
10. Применим эти рассуждения к выводу формул для случая трех
переменных х, у, z. Пусть дан инфинитезимальный оператор
^(П = $^ + 7]^ + ^г. (14.26)
Рассмотрим случай одного соотношения между переменными. Пусть
dz—pdx — q dy = 0. (14.27)
Обозначим приращения р, q через р:
Р — р _|_ (/2), q = q -j- /р (/2).
158 ОСНОВНЫЕ ФАКТЫ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГРУПП ли [гл. III
Формула (14.12) примет вид
dC г । dt 1 . , (d$ j i dq , I dq j \
^dx + d-ydy+d-zdZ-p^dx+d-ydy + FZdz)-
— Kdx — pdy — q(^ dx + ^ dy -\-дЛ ^ = 0.
Прибавив к ней умноженное на X соотношение (14.27) и приравняв
нулю коэфициенты при dx, dy, dz, получим
dt, dq df] . т^-дх Рдх Чдх (14.28)
dt d’q d/) p = 3 p 4 q -4- — AO', ду r dy dy (14.29)
> dt । dq . diq X= + (14.30)
И. Теперь рассмотрим случай двух соотношений циалами dx, dy, dz: между диферен-
dz — p dx=0, dy — qdx=0. (14.31)
Формула (14.12) примет вид
л , л > К j & j .
dx + 3— dy + -г- dz — р -ч— dx—р ч- dy —
дх 1 ду л 1 dz г дх г ду '
dq . . л
— р ч- dz — itdx = Q,
г dz ’
dz dy
откуда, замечая, что р = -т--<7 —получим
Сф «А*
а: . <к . as о? а? Z1, oov
“ = ^ + ?г + Рд------Рз----РЧ а----Р2тг • (14.32)
дх 1 ду 1 r dz г дх rv ду г dz v 7
Аналогично
р = 4^4-# 4^~\~р 4^—q^-—q2^-—pq 4^- (14.33)
г дх 1 v ду 1 r dz дх v ду dz v 7
12. Пример. Найти диференциальные инварианты прверхностей для
группы движений в трехмерном пространстве:
yVi = Fх, Х% = Fy, /Vg = Fz, X, = у Fz zFy,
A"- = zFx xFz, Xq = xFy У^х*
Первые три оператора непродолжаемы. Продолжим Х4, АГб, Х6, поль-
зуясь формулами (14.28), (14.29), (14.30):
5 = yFz - zFy + pqF* + (1 + q2) ?q,
= zFx — xFz — (1 4- p2) Fp—pqFq,
x& = xFy ~yFx — 4FP + PFq-
Продолжим эти операторы до вторых производных. Диференци-
альные соотношения имеют здесь вид
dp — rdx — sdy — Q, dq — s dx — tdy = 0. (14.34)
§ 14]
ПРОДОЛЖЕННЫЕ ГРУППЫ
159
Будем обозначать приращения переменных, вызываемые преобразова-
нием группы, символом 8 (...) и будем пользоваться упрощенным
выводом формул. Наряду с
8х = £ 8т, oj = iq 8т, 8г = С Зт, 8р = тг от, 8^ = р 8т
введем следующие обозначения:
8г = а 8т, 8s = р 8т,' 8/ = у 8т
и применим к формулам (14.34) операцию 8 (...), руководясь прави-
лами диференцирования, а также следующими:
8d(...)=d8 (...), ^8т = 0:
dr. — adx — г di — В dy — s d*(\ = 0, 1
г (14
do — fidx — sdi — у dy — t dr\ = Q, J v
Ho
dt = t.xdx + 4- tzdz = +plz) dx + 4~ dy,
d-Ч = + i^dy + -t^z = + рт)г) dx + (т\у + q^) dy,
dr. = r^jdx -J- Tydy 4- r^z 4- Kpdp 4- r.qdq =
= 4- 4- r~P 4-5~4 dx 4- (-y 4- +sr.p 4- tr.q) dy,.
dp = p^x 4- pydy 4- P^dz 4- Ppdp 4- pqdq =
= (p®+PPz 4- rPp + SP«) dx 4- (py 4- qpz 4- s?p 4- tpq) dy.
Подставляя в (14.35), получим
« = +P*z + Г*р 4“ SKq—r 4- ptz) — S + р7]г),
P = 4- qrz 4- sKp 4- tr.q — r(sy 4- q'z) — s 4- ЭТг),
7 = pj, 4- 4Pz 4- SPP 4- —5 —t (% 4-
(14.36)»
Применим эти формулы:
I. К Xt: £ = 0, iq = — z, C=J, ~ = pq, p = (14-^2);
a = rq 4- sp 4- sp = rq 4~ 2sp,
p = sq 4~ tp 4~ sq — 2sq 4~ tp,
7 = 2tq -\-tq = 3tq,
Xi=yFz— zFy-Y-pqFp + (l 4-<?2) Fq-\-(rq-]-2sp) Fr-[-
+ (2sq + tp)Fs-]-3tqFt.
II. К Хъ: k = z, 7) = 0, C = — x, я = — 1 — p2, p = — pq-,
a = — 2rp — rp = —3rp,
P = — 2sp — rq,
7 = — sq — tp — sq = — 2sq — tp,
*5 = zFx — xFz — (1 4- p2) Fp—pqFq — 3rpFr —
— (2«P 4~ rq) Fa — (2sq 4- tp) Ft.
160
ОСНОВНЫЕ ФАКТЫ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГРУПП ЛИ
[гл. ш
III. К A'g: $ = — у, rt = x, : = 0, ~ = —q, f> = p,
а =—s — s — — 2s,
р = —/4-г,
7 = 5 s = 2s,
*6 = xFy —yFx — qFp + PFq — 4- {r — t) Fa + 2sFt.
Искомые диференциальные инварианты мы получим, решая систему,
получаемую приравниванием нулю всех продолженных операторов. Онй
не связаны, так что число инвариантов равно
8 — 6 = 2.
В силу = А'2 = А"3= 0 они являются функциями только от
, q, г, s, Отсюда
pqFp + (1 + <72) + (rq + 2sp) Fr + (2sq + tp) Fs + 3tqFt = 0,
- (1 + P2) FP - PVFq - 3rpFr - (2sp + rq) Fs - (2sq + tq) Ft = 0,
-qFp + pFq-lsFr + (r-f)Fs + 2sFt = V.
(14.36')
Последнему из этих уравнений соответствует следующая система
обыкновенных уравнений:
dp ___ dq _ dr __ ds ___ dt
— q ~~ p — 2s r — t 2s '
Интегрируя ее, получим следующие решения:
и = р2 q2,
V = г t,
то = rt-----------------s2,
j = 2pqs — (1 -f-р2) t — (1 4- ^2) г.
.Подставим в остальные уравнения выражения для производных:
Fp = 2pFu + (2qs — 2pt) Fj,
Fq^2qFu^(2ps-2qr)Fl,
Fr = Fv^-tFn.-{\+q^Fj,
Fs = -2sFw-]-2pqFj,
Ft = Fv + rFw-(l+p^Fj.
Предварительно подставим их в комбинацию
[2(1 +р2) s— 2pqr] Fr + [(1 4 р2) t - (1 + ^2) /] Fs +
+ [2p^-2(l+^)s]^=0
всех трех уравнений, не содержащую Fp, Fq. Подстановка дает
Fr = 0. (14.36')
§ 14]
ПРОДОЛЖЕННЫЕ ГРУППЫ
161
Пользуясь этим и подставляя выражения для производных, например,
в первое уравнение, получим
2 (1 -4- и) Fu + 4wFw + 3jTy = 0.
Интегрируя систему
du _______________________________ dw___ dj
2 (1 -|- и) 4w 3j ’
получим следующие решения:
К= = (1+^~+>)2 (гауссова кривизна),
Н =-----~-—9 - (средняя кривизна).
(l + „fs +
13. Интегральные инварианты. Сначала рассмотрим случай группы
в двумерном пространстве. Найдем вид интеграла
/= J/(x, у, у', у”...) dx, (14.37)
на который мы наложим требование, чтобы он оставался инвариант-
ным, если мы будем подвергать входящие в него переменные преобра-
зованиям заданной группы.
Пусть
X (F) = ZFX + Т^у + т(1/у 4- + .. .
Подвергая интеграл (14.37) весьма близкому к единичному преобра-
зованию образованной этим оператором одночленной группы, мы
получим
/(0 = J (/ + ^ + ^ + ^у'га + ^>+ ...+('2))(dx + z^ + (O) =
= + 4 [fxl + f^ + fy'^ + fy"^+ + /(^ + + (14.3$)
Условимся относительно пределов этого интеграла. Именно, пусть
они остаются неизменными во время преобразований. Это будет озна-
чать, что, оставляя прежней подинтегральную функцию и подвергая
одновременным преобразованиям весь путь интегрирования, мы будем
сохранять значение интеграла.
Итак, в силу нашего соглашения относительно пределов, условие
/(t) = I после деления формулы (14.38) на t и перехода к пределу
Z —> 0 перепишется так:
J [4’+/г/т<+Л/711+/1/"712+ • * * +/(^ + ^)1 ^==0,
или в силу полной произвольности пути интегрирования
+Д',т12+ • • • +/(^+^) = °,
И Зак. X» 1132. II. Чеботарев
162
ОСНОВНЫЕ ФАКТЫ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГРУПП ЛИ
[ГЛ. Щ;
что можно переписать также так:
*(/) + &,+А)/=°- (К-39)
Для интегрирования такого рода неоднородных линейных уравне-
ний (а также их систем) общеизвестен следующий прием. Будем опре-
делять / в неявном виде при помощи соотношения
Ф(*> У, У', у",.-., f) = 0.
Тогда
fx = • Ф/*> /у == ^у • Фр fyr == ^у7 • Фр • • •
Подставляя в (14.39), получим
-¥(Ф)-(5я,+Уи/ФГ=0. (14.40)
’ Это уже будет однородное линейное уравнение относительно пере-
менных х, у, у', у", . . /.
Пусть заданная группа содержит несколько инфинитезимальных
операторов. Докажем, что продолженная таким способом система
(14.40) остается замкнутой. Пусть первоначальная группа содержит
инфинитезимальные операторы Л'(Ф) и Х(Ф), и производный от них
оператор _ ч
(X, Х)==[Х®)-Х®)]£; (14.41)
линейно выражается через другие операторы фуппы. Докажем, что и
у продолженных операторов
(Ф) = Х(Ф)-(^+^%)/Фр "
х1(Ф) = У(Ф)-(Та!+уу/Фг
скобки Пуассона выразятся такой же комбинацией от других, таким же
образом продолженных инфинитезимальных операторов группы. В самом
деле, с одной стороны,
(Xv xj = (х; X) - X (С+УУ/фг+х®+д)А
(/ считается здесь независимой переменной). С другой же стороны,
продолжая оператор (14.41), мы получим:
<*• V - {[ъ х <=> -4v®] +•>' [«х® - ъхЧ!”'
так что доказательство приводится к выводу тождества
= - i х да]+у i х да]
Обозначая оператор Ч~у' через D, перепишем его так:
XD (6)—XD (5) = DX® — DX®,
или _ _ _ _
XD® — DX ® = XD (В) — DX ®.
ПРОДОЛЖеННЫЕ ГРУППЫ
163
§ И]
Раскрывая левую часть и пользуясь (14.4), мы после' сокращений по-
лучим:
У ^^х I ^х'у) У*Цу,
а это выражение симметрично относительно коэфициентов операторов X
и X и потому равно правой части, что и. требовалось доказать.
Это показывает, что система уравнений типа (14.40), составленных
для всех операторов группы, является полной системой, а потому
имеет на одно решение больше, чем система
^(F) = 0 (Z=l, 2, ..., г)
(число переменных больше на единицу). Поэтому для получения инте-
грального инварианта достаточно продолжить операторы присоедине-
нием производных настолько, чтобы число несвязанных операторов
было равно числу переменных х, у, у", .. ., а затем продолжить их
по способу (14.40).
14. Пример /. Дуга плоской кривой. Ввиду того, что операторы
параллельного переноса не продолжаются, будем продолжать только
оператор Х% —xFy—yFx, отыскивая его решения, не зависящие от
х, у. Очевидно, достаточно присоединить только первую произ-
водную:
Х3 = х^-Хх + (1+Р2)^-
После этого продолжим оператор по способу (14.40):
X = (1 + У) Фр+Р/Фг
В силу Фж = 0, = 0 дело приводится к решению уравнения
(1+Р2)Фя + /’/фг=°.
или
dp _____________________________ df
T+P^~pf'
Итак,
/=cyi + p2,
и искомый интегральный инвариант выразится так:
С J /1+У24/х.
Это есть выражение для дуги плоской кривой.
15. Пример 2. Афинная дуга плоской кривой. Афинная группа,
сохраняющая площади, имеет операторами
= Fх, Х2 — Fy, Х% = xFx yFy>
^4 = У?*, = %Fy.
11*
164 ОСНОВНЫЕ ФАКТЫ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГРУПП ЛИ [ГЛ. Й1
Первые два из них непродолжаемы, так что попрежнему мы будем
искать инварианты, не зависящие от х, у, от последних трех операто-
ров. Из них только два линейно не связаны. Поэтому, если мы про-
должим их дважды и еще раз по способу (14.40) и после этого
JC, Xv Х& останутся линейно связанными, то получатся два'уравнения
ют трех переменных р, q, f, имеющие решение; в противном случае
придется присоединить еще третью производную
5$ = xFx—yFv — Wr — 3<lFq + F,
= yFx—p2Fp - 3WFg 4- pF,
X- — xFv-[-Fp.
Из этих операторов в силу Fx = Fy — 0 получается
— 2рФ^ —З^Фд—/Фг= 0,
— Р2ф₽ — 3Р?Ф3—Р/Фг = °.
Фр = 0-
Эти уравнения остаются линейно связанными, так что остается найти
решение уравнения
з^+/фг=о,
зависящее только от q, f:
так что интегральный инвариант имеет вид
С J ]/ /' dx.
Это и есть афинная дуга кривой.
16. Объем. Рассмотрим произвольную группу в пространстве п
измерений х1, х2, . .хп, инфинитезимальные операторы которой пусть
будут
ХЛП = ^ (.= 1, 2,..., л).
Выясним условия существования инвариантного n-кратного нтеграла
J fdv = J* J .. . J/(х1, х2, . . ., xn) dx1, . . ., dxn.
Применяя к нему какое-нибудь преобразование
* = #+& + (?), i^ = X(F); (14.42)
§ 14]
ПРОДОЛЖЕННЫЕ ГРУППЫ
165
dx1 dx9-... dxn = dx* dx9-... dxn =
r)-f л£2 dc^
i +1 44 + (/2), t + (H,../^44- (/2)
‘ dx1 1 v 7 dx1 ' v 7 dx1 1 v 7
л-i d-2 d^n
t ^2 + (/2)> 1 + ^2+ • • •> + (*2)
— dx2 dx2 dx2
an de2 dzn
...•+'₽+('’)
f 1 -L / /д?1 , dz* , d?n\ . л 1
= L1 + ZW1+^+’”+^4+(^)J
и вводя обозначение
° dx1 dx2 * * * * ‘ dx71 ’
dxx dx2 ... dxn —
(14.43)
мы получим интеграл следующего вида:
J/^+4 (^(/)+#)^+(н-
Условие его независимости от t запишется так:
J* (Х(/) + «/)^ = 0,
или в силу полной произвольности области интегрирования:
*(/) + У=°- (14.44)
Беря в роли X(J) каждый из г операторов нашей группы и оты-
скивая f в неявной форме прр помощи соотношения
Ф(х4 х2, . .., хп\ /) = О,
мы получим искомый инвариант, если решим систему уравнений
^(Ф)=^.(Ф)-3,./^^0 (j=l, 2, г), (14.45)
ГДе Эс1 d-2 d-n
= + 4- . . .-4-±£ (z=l, 2, ...-, г). (14.46)
г dx^ dx2 ' ' dx^ V 7 V
t Докажем, что система (14.45) полная. Для этого, подобно тому
как мы это делали в § 14.13, достаточно доказать равенство опера-
торов
(Ху, и (Xit yj),
где под а?.у мы разумеем выражение (14.46), составленное для опера-
тора (Хь Xj). Докажем это:
(х{, х.) ф = fc г:
v 1 .г \ > dx ' j dx 'J дх8
166
ОСНОВНЫЕ ФАКТЫ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГРУПП ЛИ
[ГЛ. III
v d.X's‘\ i дх4 j дх'4)
_г д;] д%
t дх^дх* J дх^дх* * дXs дх4 дх* дх 4
_r r
i дх^дх* 7 дх^дх* ’
С другой стороны,
= (^, XJ - [Х{ (5) - Xj (3<)] / ,
д2 д2
Равенство выражений (14.47) и (14.48) доказывает наше утвер-
ждение.
Применим наши рассуждения к просто транзитивной группе, Для
которой имеет место г = п. Система (14.45) представляет собой
в этом случае полную систему из и .уравнений с n-j~l независимыми
переменными, а потому имеет одно решение, которое дает нам инте-
гральный инвариант, который и называют объемом (или мерой) груп-
пового пространства. Таким образом мы приходим к теореме:
Теорема 36. Всякая просто транзитивная группа имеет один и
только один интегральный инвариант, в выражение которого не входят
производные. Этот инвариант носит название объема группового про-
странства. 1
17. Пример. Объем параметрического пространства полной линей-
ной группы. Переменные aik этой группы преобразуются по закону
а =а. Л (I Л=1, 2,..., п),
ik ij jk v
где величины bjk можно считать параметрами. Давая приращение
только одному параметру, например bjk, мы получим преобразование
+ (Л 5^1, 2, .... П), .
откуда видно, что соответствующий оператор Xjk будет таков:
dF
Xjk = aij ~da^k = 1 ‘ ’
Для этого оператора величина
так что продолженные операторы имеют вид
= (/, 1, 2, ..п).
§ 14]
ПРОДОЛЖЕННЫЕ ГРУППЫ
167
Нетрудно убедиться, что решением системы
^=0 (Л 2,..., п)
является выражение
f=-C—
J I <Чк ["> ’
так что искомый объем выразится так:
а1ъ • • •»
(14.49)
...» апп
18. Смешанные инварианты. Задача Д. А. Граве, Одновременно
расширяя и продолжая группу, мы сможем находить инварианты, зави-
сящие как от производных заданных переменных, так и от нова-
риантно (т. е. одновременно) преобразуемых параметров. Такие инва-
рианты мы будем называть смешанными. Их нахождение, конечно, не
представляет собой проблемы. Но здесь можно получать новые про-
блемы, вводя дополнительные требования относительно формы, в кото-
рой должны входить в них те или другие переменные.
К числу таких проблем принадлежит задача, предложенная и решен-
ная Д. А. Граве. Она состоит в нахождении инвариантов, в которые
входят: 1) переменная х и некоторое число параметров а,Ь,с> .. ., под-
вергаемые одновременному преобразованию дробной линейной группы;
2) функция у от х, не подвергаемая изменениям, и производные у',
у'\ . .., у№\ причем у, у', у"\ . . ., у{т> должны входить линейно.
Для решения этой задачи можно воспользоваться следующим при-
емом. Присоединяем столько параметров а, Ь, с, ..., чтобы группа
имела хотя бы один совокупный инвариант
z = I(x, a, b, с, .. .) (14.50)
[в нашем случае достаточно присоединить три параметра a, b, с, и
тогда инвариантом является ангармоническое отношение
v—а с — #1
z =--г —г ;
х — о с — Ь \.
(14.51)
затем преобразуем переменные х, а, Ь, с, ... к переменным г, а, Ь, с, ...
Тогда каждая из производных
-dy d*y
У' dz ’ dz^ ’
(14.52)
будет удовлетворять требованиям задачи. Произведя обратное преобра-
зование к переменным х, а, Ь, с, ..., мы получим искомые инвариант-
ные линейные выражения от у, у', у\ .. . Число входящих в эти выра-
жения параметров a, Ь, с, . .. можно еще уменьшить на единицу,
придавая z произвольное постоянное значение и исключая один из
параметров при помощи уравнения (14.50). z
168
ОСНОВНЫЕ ФАКТЫ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГРУПП ЛИ
[ГЛ. III
На практике проще, не производя замены переменных, определять
dy cfty „ '
искомые выражения • • • ПРИ помои*и системы линейных урав-
ах а лс
нений
— аУ ! /С^\2 d2.y
У dx dz 9 У dx2 dz ’ \ dx) dz2 9
frr__ d3z dy . о dz d2z d2y . / dz \3 d*y
У dx3 dz ' dx dx2 dz2 ' \ dx) dz* '
(14.53)
Процесс вычисления облегчится, если мы в роли z возьмем не выра-
жение (14.51), а его логарифм;
z = lg(x — а) — 1 (х — ^) + lg^|.
Тогда
dz 1 1 _ а — b
dx х — а х — b (х — а)(х — Ь)
(заметим, что это выражение не содержит параметра с), и из первого
равенства (14.53) мы заключаем, что оператор
(х — *)(х —Z>) d (14.54)
а — b dx v
является инвариантным, т. е. превращает инварианты в инварианты.
Применяя его последовательно4несколько раз, мы будем получать инва-
риантные линейные диференциальные выражения все высших и высших
порядков. Не приводя здесь общей формулы, полученной Д. А. Граве,
приведем несколько этих выражений:
(х-оЩ-6),
1 а— b
_ (х — а)2(х — Ь)2 „ , (х — а)(х — Ь) (2х — а — Ь) ,
У- (а — Ь)2 У ‘ (а — Ь)2 - У 9
19. Инварианты алгебраических форм. Во многих вопросах, лежа-
щих на границе алгебры и геометрии, играют большую роль инварианты
алгебраических форм, т. е. функции от коэфициентов ai . . одно-
родных полиномов^
/(хх, х2>..., xn)^aiv.i - {nx11x^...x;1, (14.55)
где суммирование распространяется на все целые неотрицательные
значения Zp Z2, ..., in, для которых Ч4“^4~ • • •+zn = 771 (степень
формы!) (Zp Z2, ..., in — показатели степени, а не индексы), которые
остаются неизменными, если подвергать хр х2, . . ., хп преобразова-
ниям унимодулярной линейной группы
Х,{Г)=х,Гх-хпРХп, Xsj(F) = x8Fx. (14.56)
(/= 1, 2, ..., п — 1; s, J = l, 2, ..., п; s ф j),
§ 14] ПРОДОЛЖЕННЫЕ ГРУППЫ 169*
а коэфициенты преобразованной формы определить при помоши
равенства
/(л<, О=/(ХР х2< ...» х„). (14.57)
Чтобы получить диференциальные уравнения, решениями которых
являются эти инварианты, обозначим через а'. 4 4 коэфициенты пре-
образований формы. Подвергая переменные х2, ..., хп, например,
преобразованию одночленной группы, образованной оператором Xiy
мы получим для а'. 4 . приращения
связанные в силу (14.57) равенством
8/С4 х',..<) = о,
т. е.
Так как эти равенства с силу независимости 4 л от х2, . хп
должны иметь место для всех значений хр х2, . .., хп, то отсюда мы
получаем
с. . . = (I — i.) а. .
так что оператор соответствующего {индуцированного) преобразования^
претерпеваемого коэфициентами а. 4 . , имеет вид
X.(F) = (i — 1}а. . . -- (i=l, 2,'.... п— 1). (14.58),
17 г да, i v
12 П
Аналогично найдем индуцированный оператор XSj для оператора Х8^
откуда *
Ч “ lj +1 аЛ--Ь+1-Л8~У-ЛП
если мы условимся полагать равными нулю выражения а. . . ,-у кото-
г1г2--лп
рых некоторые из значков i4 или отрицательны, или превышают тп.
Таким образом индуцированные оператором Xsj операторы имеют вид:
(F) = ~г>+А-• -S-+1 • Л-1 • •• ’» да^г...^ ‘ (14•59)
Инварианты алгебраических форм таким образом должны быть реше-
ниями системы
— — / L = 1, 2, . .., п.— 1, \
^ = 0, Xsj = Q . ./•)• (14.60)
J V, J = 1, 2, ..., n, i ф j / v Л
170 ОСНОВНЫЕ ФАКТЫ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГРУПП ЛЦ [ГЛ. III
20. Этот способ нахождения инвариантов не дает гарантии в том,
что в качестве их могут быть выбраны рациональные функции от
коэфициентов формы. В этом можно было бы убедиться, исключая
переменные а?, из равенств, получаемых из тождества
f(x\ х, xn) = f^x\ «X а”хп), 1^1=1.
-Мы не будем останавливаться на доказательстве того, что в силу груп-
повые свойств получаемые соотношения могут быть приведены к виду
/ (я, с, ...)=»/(я,
где а, Ь, с ... и я, b, с, ... — коэфициенты соответственно первона-
чальной формы f и преобразованной формы /. Из этих равенств мы
и получим все существующие инварианты формы /.
Для получения целых рациональных инвариантов Кэли (Arthur Cayley)
предложил прием, состоящий в следующем. Берется целый однородный
полином V(а, Ь, с, .. .) степени tn относительно коэфициентов формы/.
Подставляя вместо а, Ь, с, . . . коэфициенты а, Ь, с, . . . преобразован-
ной формы /, будем рассматривать V как функцию от коэфициен-
тов преобразования. Это будет целая однородная функция степени tn
ют от?. Подвергнем ее операции
/ 1, 2, . . ., п \ срг
D = /j Sign I ) —s s------->
4 S2> • • •’ SnJ da\ld^2..
ьп 1 - n
f 1, 2, . . ., n \
где sign! 1 равно -4- 1 или —1 в зависимости от того,
Vp £*2’ • • • > §п/
является ли подстановка
/ 1, 2, ..., п \
. VP $2’ • • •? sn)
четной или нечетной. Полином DV имеет степень tn — п относи-
тельно аЛ
Пусть tn делится на и: m = nt. Тогда полином DfV не будет зави-
сеть от оф
Докажем, что DfV является инвариантом формы /. Для этого под-
вергнем / дальнейшему преобразованию с коэфициентами Получен-
ную форму / можно также получить, подвергая f преобразованию
с коэфициентами 7^, где
7'? = 3 s а*7.
* i » г «
§ 14]
ПРОДОЛЖЕННЫЕ ГРУППЫ
171
Рассмотрим функцию V = V (а,
циенты формы /. Имеет место
Ь9 с, ...), где а, Ь, с, ... — коэфи- ,
откуда
д"У
dV ЭИ
дУ
Я-
да J
dai
дпУ
даЛда*?. . .da'n
12 n
—- V
1 к ’
д^д^...д-l»
Ч 12 ТН
п
/ 1, 2, . . П \
Умножая это равенство на sign Н $ ) и суммируя по всем
различным s2, sn, получим
\i . / Ь 2,
1 slgnL s
srs2, ...sw
n \ d" V
^п/ dcr1 da'i...da'n
u 12 n
й’Ф . / 1, 2,
—Г S1£n I
\Sp 52,
fn
п
~ ^7?
Sl'Si...Sn *1 f2
fVf2....fn
п
п
Подвергнем при
t3, tn такой
чтобы Sp s2, ..., sn
iu t2, tn примут
заданных sx, s2, ..., sn значки sx,
/i> ^2’ • • •’ 1’
подстановке: lip „
\ JL} a • • /4 о
приняли положение 1, 2, n, и
положение uv u2, . . un
$2, • • •, $п и
2, ..п \
S2’ ’ * ’ ’ Sn/
пусть тогда
Тогда можно произво-
дить суммирование по всем ui и по разным sit и наша формула при-
мет вид: /
уч . / 1, 2, ..п
X Sign
Sl’S2’-’«n 'S1’ S2’
дпУ
. 1 л 2 п
и "'<» д^и • • • д^и
<un ui иг ип
dnV __
Sn/ даь^да^.. .daSn
7 nf 1 2 П
VI / 1> 2, . . ., n \ sr sr sf
S signL s
V1> 52> •••, sn/ U1 ЛЧ un
sps2,..., sn
31 , 32 ,
дпУ
r
-
С
2
un UL u2 un
,3' , .3-
iun
Qn
1 ип
172
ОСНОВНЫЕ ФАКТЫ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГРУПП ЛИ
[гл. Ill
п
dtlV
Стоящие под знаком суммы определители равны нулю, если в ряду
* , / 1, 2, ..., п\
ult и.2, . . ., ип встречаются равные цифры, и равны sign I 1
в другом случае; и мы получаем
V1 / L 2.
у sign ( . s s
•••TSn/ doclda2...dan
1 2 n
( 1, 2, .. ., м \
J/j Sign \ ll / u\ ^u> a 11 ’
\^1, ^2> •••> UnJ ^71l(^722’• -cbnl
(14.61)
где в обеих частях суммы распространены на все системы разных
Si и uit /
Аналогичное тождество можно получить для и 7^.
Из тождества
V(a, b, с, ...; -fa = V(a,~b, с, ft),
применяя к нему операцию (14.61), мы получим
DV(a, b, с, у.) = DV(а,
применяя ее еще t*— 1 раз, будем иметь
D*V(a, b, с, = F, с, . ч.; ^).
Но в обеих частях этого равенства выражения однородны степени
т — nt, т. е. не зависят от 7^ и соответственно Обозначив их через
/(я, Ь, с, . ..), будем иметь
I (а, Ь, £,...) = / (a, F, с, . . .),
что доказывает наше утверждение.
Разумеется, этот прием не может гарантировать получения полной
системы независимых инвариантов формы.
Упражнение 27. Решая задачу § 14.7, но при этом подвергая дроб-
ным линейным подстановкам независимую переменную х, а у оставляя
неизменной, мы получим инвариант
f (УТ-УУ"
• 5^ •
Упражнение 28. Найти диференциальный инвариант второго порядка
для группы, получаемой при применении к х и у одних и тех же пре-
образований дробной линейной группы.
Упражнение 29. Показать, что афинная кривизна кривой, т. е.
диференциальный инвариант унимодулярной аффинной группы
хах$уа, У^х-\-ьуb, ао— ?Т=1
§ 14] ПРОДОЛЖЕННЫЕ ГРУППЫ 173
наименьшего порядка имеет выражение
5 -- 1 --
£ = —f-У 3У"2 + уУ" 3У'" (Бляшке)
Упражнение 30. Показать, что для полной афинной группы дифе-
ренциальный инвариант наименьшего порядка имеет выражение
(6УУ"' —ioy,z2)“
* Зу"*У""—45У'у '"у”" + 40у"3
Упражнение 31. Пользуясь формулами § 14.11, найти два дифе-
ренциальных инварианта наименьшего порядка для кривых в трехмер-
ном пространстве относительно полной группы движений {кривизна
и кручение).
Упражнение 32. Показать, что для полной афинной группы длина
дуги выражается так: z
1
JУ'-1 (у"у"" — 4 У'"2) ' dx,
а квази-площадь (т. е. двойной интеграл, в выражение которого входят
также производные) так:
з
J J У'-4 (у"у"" — | у'"2) 2 dx dy.
Упражнение 33. Показать, что объем параметрической группы
дробных линейных подстановок, т. е. группы, имеющей инфинитези-
мальные операторы
X^xF^zF,,
Х2 = xzFх -\-(yz—x}Fy-b z-Fг,
’ X^yFx + F,,,
имеет вид
ndx dy dz
(yz — x)- *
Упражнение 34. Показать, что самое общее линейное уравнение
в частных производных вида
I л д"2г . dz , „ dz . п
Л -ч—3--к 2?-^-hCn---k£te = 0,
dx dy 1 dx 1 z dy ** ’
которое остается инвариантным при всех преобразованиях группы
, __ ax-yb , = ау + Ь
сх-]- d ’ суd ’
таково:
(х — у)2 -5^- + Лг = 0,
v dx dy 1
где k — постоянное число.
174 ОСНОВНЫЕ ФАКТЫ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГРУПП ли [гл. III
Упражнение 35. Доказать, что бинарные формы и-й степени (от
двух переменных) имеют п — 2 независимых инварианта при п > 2
и один инвариант при п = 2.
Упражнение 36. Найти инвариант бинарной квадратичной формы,
пользуясь приемом Кэли (см. § 14.20).
Упражнение 37. Доказать, что в качестве системы независимых
инвариантов формы можно выбрать однородные функции от коэфи-
циентов этой формы.
Указание. Расположив инвариант по степеням коэфициентов: / =
=/o+/i+/2+• • •> где А есть однородное выражение относительно
коэфициентов формы, доказать, что каждая в отдельности функция Д
является инвариантом.
Упражнение 38. Доказать, что всякий однородный инвариант отно-
сительно унимодулярной однородной линейной группы при производ-
стве над формой произвольной линейной подстановки приобретает
множитель, равный степени определителя этой подстановки.
Упражнение 39. Доказать, что бинарная форма и-й степени имеет
п — 3 абсолютных инвариантов (т. е. инвариантов относительно полной
линейной группы) при и 3.
§ 15. Импримитивность
1. Как мы уже определили в § 2.25, системами импримитивности
группы G, определяемой инфинитезимальными операторами
X2(F), .... Хг (Л), (15.1)
называются многообразия, на которые разбивается пространство
(х1, х2, ..., хп) и которые переходят друг в друга, если мы подвер-
гаем их точки любому преобразованию группа G. Пусть уравнения
таких многообразий могут быть представлены в виде
нДх1, х2, ..., xn) = ai (Z=l, 2, ..., 5), (15.2)
где значения констант определяют каждое из этих множеств. Это
представление легко осуществить следующим образом: пусть каждое
из этих многообразий (п — $)-мерно (чтобы переходить одно в другое
при помощи непрерывных преобразований группы G, они должны быть
одного и того же измерения), т. е. определяется заданием 5 значений
некоторых независимых параметров а.2, as. Тогда значением функ-
ции и. (х1, х2, ..., хп) для точки Л40(х^, ..., х") будем считать зна-
чение параметра а{ для того множества, которое содержит точку И40.
Ограничим функции (15.2), потребовав, чтобы они были аналитиче-
скими или по крайней мере диференцируемыми нужное число раз. Если
преобразование группы G переводит (х1, х2, . .., хп) в (х1, х2, ...» хп),
то условие 7ого, чтобы (15.2) представляли систему импримитивности,
выразится так: функции ui — ui (х1, х2, ..., хп) должны выражаться
в виде функций от иДх1, х2, . .., хп) (Z, у = 1, 2, . . ., $). В самом
ИМПРИМИТИВНОСТЬ
175
§ 15]
деле, точкам, для которых u,f имеют одни и те же значения, т. е. точ-
кам одного и того же множества, соответствуют одни и те же зна-
чения функций
Обращаясь к § 12.1, мы видим, что необходимое и достаточное
условие для того, чтобы множества (15.2) составляли системы импри-
митивности, можно формулировать так:
X^Uj) (Z=l, 2, ..., г; J=l, 2, ..., s) (15.3>
должны быть функциями от uv и2, ..., us.
2. Можно также задать множества (15.2), определив полную систему
А(Л = 0, Д2(П = 0, Лте18(Г) = 0 (15.4)
однородных линейных уравнений в частных производных, решениями
которой являются функции ui.
Докажем, что условие импримитивности можно еще формулировать
так: скобки (Ai9Xj) должны быть линейными комбинациями (возможно
с переменными коэфициентами) от операторов
^1? ^2’ • • •’
В самом деле, если (15.2) составляют системы импримитивности, то
функции (15.3), являясь функциями от служат решениями системы
(15.4), в силу чего
(До А}) («,) = A (А? («.,)) — Х} (А{ («,)) = О,
т. е. уравнение (Д, Л^) = 0 имеет те же решений, что и система.
(15.4), а потому (Д, Xj) должен линейно выражаться через Д-.
Обратно, если имеет место
(A, Xj) F = /3. At (F) + А2 (F) + . .. + Х”“8 An_g (F),'
то, подставляя F—u^ мы получим
(А{, А,-) («.,) = A, (Xj (и.,)) - А) (Дг («,)) = At {Xj («v)) = О,
откуда следует, что функции (15.3) являются решениями системы
(15.4), т. е. выражаются как функции от иъ что и требовалось до-
казать.
3. Подвергая переменные х1’ преобразованиям группй G, мы ви-
дим, что их функции ui тоже будут претерпевать преобразования.
Так как произведению преобразований над X соответствует произве-
дение преобразований над ui9 то последние образуют группу, гомо-
морфную (или изоморфную) с G. Инфинитезимальные операторы этой
группы будут иметь вид
Y{ (F) = Xt («,) + Х{ («2) -^-'+ ... + X, (иЙ) . (15.5),
176
ОСНОВНЫЕ ФАКТЫ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГРУПП ЛИ
[ГЛ. III
Обозначая полученную группу через G, мы, согласно определению
>§2, будем говорить, что представление G содержит представление G:
/ G с: G.
Чтобы определить, в каком случае имеет место изоморфизм обеих
групп, заметим, что он не имеет места тогда' и только тогда, если
группа G содержит преобразования (составляющие подгруппу), не
изменяющие функций uv и^ .. ., us. Если X есть инфинитезимальный
оператор такой подгруппы, то должно иметь место
^(«Э = 0 (Z= 1, 2, s),
л потому оператор X должен быть линейной комбинацией (вообще
говоря, с переменными коэфициентами) от операторов Д-. Таким обра-
зом изоморфизм групп G и G имеет место тогда и только тогда, если
группа не содержит операторов, линейно связанных с операторами А^
Другой критерий: в случае изоморфизма операторы (15.5) должны
быть линейно независимы.
4. Чтобы найти системы импримитивности группы, обратимся к тео-
реме 12 (§ 2.25). Найдем стационарную подгруппу Яо группы G отно-
сительно точки
‘ Генной, т. е. не
Мо (х°, х2, .. ., х”), которую мы предположим не осо-
уменьшающей ранга матрицы
.2
(15.6)
и?
Ч ’ • • • > Ъ’
ее рангом в предположении, что точка (х1, ..., хп)
по сравнению с
переменная. Если группа G транзитивна (а мы ограничимся рассмо-
трением только этого случая), то ранг матрицы (15.6) равен п. По-
этому, разлагая функции (х') по степеням хг— хг0 (Z = 1, 2, ..., и),
мы можем выделить п независимых комбинаций (с постоянными коэфи-
циентами) от инфинитезимальных операторов нашей группы, у которых
разложения по степеням хг— х° начинались бы так:
„ dF ,
== -j-члены порядка выше нулевого,
у __ dF
2 дх2
Я
(15.7)
, = dF
п охп
»
Будем называть порядком инфинитезимального оператора относи-
тельно точки MQ самую низкую степень членов, входящих в его
§ 15] импримитивность 177
коэфициенты, относительно хг— х^. Тогда можно прибавить к осталь-
ным независимым инфинитезимальным операторам Хп±19..., Хг группы G
линейные комбинации операторов Xv ..., Хп таким образом, чтобы
получающиеся при этом операторы были не ниже первого порядка.
Обозначая эти операторы попрежнему через Xn+V .Хг, мы без
труда убеждаемся, что всякий инфинитезимальный оператор группы G,
имеющий относительно Мо порядок 1, выражается как линейная
комбинация (с постоянными коэфициентами) от операторов Хп+1,
Хп+2, • • •>
Операторы Xn±v Хп+2, Хг воспроизводят группу. Для дока-
зательства этого достаточно убедиться, что каждый из операторов
(д^ д~8 \ dF
3?) Ж «./ —+1.--Л
имеет порядок ;>1. Но если
(х* — х£) члены порядка 2,
то
= +члены порядка >1,
откуда
д& ЭЙ
= «Л - Л) - 4)+
члены порядка 2,
и таким образом оператор (Xi9 Xj) имеет порядок 1, что и требо-
валось доказать.
Докажем, что эта группа как раз является стационарной под-
группой группы G относительно точки 7И0. Траектория точки
М (х1, х2, ..., хп), подвергнутой преобразованию с инфинитезималь-
dF
ным оператором X — , удовлетворяет системе обыкновенных
диференциальных уравнений
-^r = W (/=1, 2, .... л).
Эта система уравнений допускает для каждой начальной системы
значений единственное решение, каковым в силу Й(х^) = 0для х* = х£
является хг = х*, в чем мы убеждаемся простой подстановкой.
Обратно, если X имеет нулевой порядок, то
в силу чего точка 7И0 наверное претерпит сдвиг. Таким образом мы
приходим к теореме: .
12 £?ак. Ks 1132. Н. Чеботарев
178 ОСНОВНЫЕ ФАКТЫ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГРУПП ли [гл. III
Теорема 37. Индекс стационарной подгруппы для всякой транзи-
тивной группы равен п, т. е. числу измерений пространства, в кото-
рЬм представлена группа.
5. Теорема 12 ставит в качестве условия импримитивности группы G
существование подгруппы Gp которая, содержа стационарную под-
группу Н, отличалась бы от обеих групп G и Н. Пусть
• • •’ ^п-Н’ • • •»
будут инфинитезимальные операторы группы Gr Тогда Gr содержит
всего п — s операторов нулевого порядка относительно точки Мо,
а потому точка 7И0 описывает при помощи преобразований группы Gt
многообразие измерения п — $, которое в силу теоремы 12 и соста-
вляет одну из систем импримитивности группы G. Подвергая его одно-
временно одним и тем же преобразованиям группы G, мы будем по-
лучать остальные системы импримитивности.
Этот способ нахождения систем импримитивности имеет преиму-
щество, состоящее в том, что, зная конечные уравнения группы G,
мы можем найти в конечном виде все системы импримитивности без
всякого интегрирования. Однако он требует знания всех подгрупп и
без этого не дает возможности узнать, является ли данная группа
импримитивной или нет. Поэтому мы изложим также другой способ,
основанный на исследовании инвариантных многообразий (или, как их
называют некоторые авторы, относительных инвариантах) продол-
женных групп.
6. Пусть многообразие
^ = 0, «2==0, . .., zzs = O (15.8)
остается инвариантным при всех преобразованиях группы G. Пусть
X — произвольный инфинитезимальный оператор группы G. Тогда для
траекторий одночленной группы, образованной оператором X, имеет
место
= (/= 1, 2, ..., s). (15.9)
Но так как в силу нашего условия преобразования группы G не сво-
дят точек с многообразия (15.8), то для точек этого многообразия
dUi ~
должно иметь место = 0, откуда
X(ui) = 0. (15.10)
Последнее равенство должно удовлетворяться не тождественно (^ было бы
тогда обыкновенным инвариантом группы G), а на основании уравне-
ний (15.8).
Обратно, если для всех точек многообразия (15.8) имеет место
(15.10), то это многообразие инвариантно относительно преобразова-
ний рассматриваемой одночленной группы. В самом деле, для точек
траекторий этой группы удовлетворяются уравнения (15.9), у которых
ИМПРИМИТИВНОСТЬ
179
§ 15]
правые части являются определенными функциями от х1, х2, ..., хп.
Переходя к новой системе независимых переменных
«1, «2, х«+1, Xя,
перепишем уравнения траекторий в виде следующих двух систем:
^=Х(иа), (15.И)
= ^-2 = Х(^+2), .... (15.12)
Задавая начальные значения
Ui = o, x8+1 = x’+1, хп = х”
мы получим только одно решение системы (15.11), (15.12). Но в силу
(15.10) системе (15.11) можно удовлетворить значениями
1*1 = 0 (15.13)
независимо от значений xs+1, ..., хп. Затем, подставляя эти значе-
ния в (15.12), мы получим совместную систему для xs+1, . .., хп, и
таким образом (15.13) являются непременной частью решения, что
доказывает наше утверждение.
Чтобы найти инвариантные многообразия группы, воспользуемся
тем, что на них имеет место
Х^ = 0, *2(О = 0, ..., Хг(щ) = 0,'
где щ— функция, у которой хоть одна из производных ф 0., Пере-
пишем последние равенства в раскрытом виде:
gi дщ । >2 дщ . । дщ n
dx1 * ^2 * * * ’ ‘ dxn ~’
дщ । £2 дщ I I £n дщ ________q
V dx1 ‘ ? dx2 ' * r dxn
Рассматривая эту систему как систему однородных уравнений, допу-
скающих отличные от нуля решения, мы видим, что на многообразии
(15.8) ранг матрицы
Bill (15.14)
«
должен быть ниже п, и таким образом мы получим все инвариантные
многообразия, если приравняем нулю все миноры порядка п матрицы
(15.14). Если матрица (15.14) имеет тождественно ранг ниже г, то
группа интранзитивна, и мы получим инвариантные многообразия,
приравнивая постоянным ее инварианты. В этом случае мы можем
получить также ее другие инвариантные многообразия, приравнивая
нулю миноры матрицы (15.14) наивысшего порядка, не обращающиеся
тождественно в нуль.
12*
180 ОСНОВНЫЕ ФАКТЫ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГРУПП ЛИ [ГЛ. III
Если какое-нибудь многообразие обращает в нуль все миноры
одного и того же порядка матрицы (15.14), то из этого еще не сле-
дует, что оно является инвариантным. Чтобы убедиться в его инва-
риантности, необходимо проверить, обращаются ли' в нуль на этом
многообразии все выражения Xi (wv). Таким образом мы приходим
к следующей теореме:
Теорема 38. Инвариантным для группы G многообразие (15.8)
является тогда и только тогда, если для его точек выражения А^ (zzj
обращаются в нуль. Все инвариантные многообразия могут быть по-
лучены, если мы приравняем нулю все миноры матрицы (15.14) наи-
высшего порядка, не обращающиеся в нуль тождественно.
7. Пример. Найти инвариантные многообразия группы, заданной
инфинитезимальными операторами
Xl==p-]-xq, Х2 = xp-\-2yq, X?j = (х2 — у) р + xyq.
Для этой группы матрица (15.14) имеет вид
II, х, х2—у
X, 2у, ху
Ее миноры таковы:
2у— х2, у (— х24~2у), х(2у — х2).
Их общий наибольший делитель есть 2у— х2, а потому инвариантным
многообразием может быть только
2у —х2 = 0.
Подставляя его левую часть в инфинитезимальные операторы, имеем
X\(2y — х2) = 0,
А2 (2у — х2) = — 2х2 — 4у = 0,
Х3(2у — х2) = 2х ( — х2 + 2у) == 0.
Эти равенства показывают, что парабола 2у — х2 = 0 действительно
является инвариантным многообразием нашей группы.
8. Вернемся к вопросу о нахождении систем импримитивности
группы G, заданной инфинитезимальными операторами
А\, А2, . ../Аг.
Пусть многообразия
= и2 = а^..., ut = as (15.15)
являются ее системами импримитивности.
Продолжим группу G, вводя частные производные при помощи
диференциальных соотношений
dx* ~р\с1хг (v= 1, 2, . .., s; f = $+1, . .., л), (15.16)
§15] импримитивность 181
так что диференциалы
dxs+% ..., dxn (15.17)
будем считать независимыми. Диференцируем (15.15):
diz„ ди..
-d^dxi + l^dxi==0 (H,v=l,2, .... s;
z = $-}- 1, . . ri)9
откуда в силу независимости диференциалов (15.17) следует
м , ди..
d^Pi + d^0 (ftv=l,2, .... г, (15.18)
Z = 3-j- 1, ..и).
Так как уравнения (15.15) ^независимы, то по крайней мере один из
миноров матрицы
II дии- II
|| IK II (н= 1, 2, ... з;
i = 1, 2, ..., п)
не обращается тождественно в нуль, и мы, не нарушая общности, мо-
жем предположить, что неравным нулю минором будет
I I
| -^ |фо (р, v=l, 2, ...» з).
Отсюда следует, что определитель каждой системы (15.18) (при фикси-
рованном Z) линейных относительно pt уравнений неравен нулю, а по-
тому система (15.18) дает выражение p't через переменные х*:
= (х1, х\ ..., х«) (v=l, 2,...,$; (15.19)
Z = «s 1,..., л).
Так как эти выражения являются значениями производных вдоль много-
образий (15.15) и в них не входят константы а19 а2, ..., а8, то урав-
нения (15.19) инвариантны относительно преобразований группы G.
В § 15.6 мы вывели способ получения инвариантных многообразий.
Таким многообразием является (15.19), но только относительно
группы G, продолженной при помощи производных p't. Найдя их, мы
должны подставить выражения для р\ в (15.16). Если полученные
таким образом диференциалы интегрируются, т. е. являются полными
диференциалами, то в результате интегрирования мы и получим иско-
мую систему импримитивности.
В случае двух переменных вопрос значительно упрощается, так
как получающееся инвариантное многообразие продолженной группы
здесь имеет вид ср (х, у9 у') = 0 и не требует дополнительных условий
интегрируемости.
182 ОСНОВНЫЕ ФАКТЫ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГРУПП ли [гл. III
9. Пример. Найти системы импримитивности группы, заданной ин-
финитезимальными операторами
ATj — xFx у Fy -j- zFg,
^2 = zFy
X^ — — zFx-\~xFg,
^4= У^х xFy*
Буде/и искать двумерные системы импримитивйости. Продолжим
группу, вводя производные р, q, подчиненные соотношению dz =
= р dx + q dy:
J2=^_^_p^_(l+<72)Fe>
X8 = -^ + xF, + (1+^) Fp+pqFv
xFy -J- qFp pFq.
Для нахождения инвариантных многообразий продолженной группы
приравняем нулю миноры матрицы ,
X, f У* 0, 0
р z, 0, —У> X, (I +я. ~О+<72) PQ -•
У> — х, 0, —Р
Получим, сокращая на множитель ^2+у2+ z\ не зависящий от р, q:
^+^(1+Р2) — xpq = o, |
zp-\-ypq—Х(1+^2) = О. J
Исключая г, получим
(р2 + 72 + 1) (УР — xq) = 0.
Если взять
УР— xq — 0,
то из второго уравнения (15.21) следует
zp = х,
откуда
Подставляя в (15.20) и интегрируя, получим
*х2+У* + г2 = С.
Это и есть искомая система импримитивности.
Легко убедиться, что, полагая
1+Р2 + ?2 = 0,
мы не придем к новой системе импримитивности^
ИМПРИМИТИВНОСТЬ
183
§ 15]
10. В заключение приведем еще одно подразделение групп, введен-
ное Ли, хотя оно не играет особой роли в современной теории непре-
рывных групп.
Группа называется систатической, если ее стационарная подгруппа
оставляет на месте континуум точек. В противном случае она назы-
вается ас астатической.
Нетрудно вывести аналитические, условия систатичности группы.
Если ее инфинитезимальные операторы линейно не связаны, то стацио-
нарная подгруппа содержит только единичное преобразование, и потому
группа систатическая. Пусть теперь .
*2, ..., ^
— полная система несвязанных инфинитезимальных операторов группы,
через которые выражаются все остальные операторы:.
= + + + (1 = 9 + 1,..., Г). (15.22)
Тогда все инфинитезимальные операторы стационарной подгруппы отно-
сительно точки /И0(х0, х0, ..., х0) можно представить так:
Xi — Ъ (*о) Х1 — Ъ (*о) Х2 — ?! (Хо) Х3~---—^ (хо) Xq
(/ = ^4-1, г). ,
Чтобы узнать, для каких точек, кроме 7И0, эта группа будет служить
стационарной подгруппой, надо решить систему уравнений
?!(*) = ?!(*<>) ( ;=1> з,..., ) (15-23)
Таким образом, если эта система допускает континуум решений,
группа G систатична; в противном случае — асистатична.
Случай несвязанных операторов тоже подходит под эту формули-
ровку, так как в этом случае уравнений (15.23) не будет вовсе, и им .
удовлетворяют все точки пространства*
11. Теорема 39. Все систатические группы (кроме одночленной)
импримитивны.
Доказательство. Если измерение многообразия (15.23) < п, то оно
является системой импримитивности для группы G. В самом деле,
пусть ему принадлежат две какие-нибудь точки и М2 и пусть пре-
образование Т группы G переводит их соответственно в и X-
Тогда, если Н есть стационарная подгруппа относительно точек и AL,
то группа ТНТ~Х является стационарной подгруппой для точек и
а это показывает, что обе эти точки принадлежат одному и тому же
многообразию типа (15.23), что и требовалось доказать.
Если же многообразие (15.23) имеет измерение и, то это означает, .
что стационарная подгруппа группы G содержит только единичное
преобразование, а потому любая подгруппа группы G (которая всегда
184 ОСНОВНЫЕ ФАКТЫ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГРУПП ли [гл. Ill
существует, если G не есть одночленная группа) является группой,
промежуточной между Q и ее стационарной подгруппой, и в силу
теоремы 12 группа О импримитивна.
Упражнение 40. Доказать, что дважды транзитивные группы всегда
примитивны.
Упражнение 41. Найти системы импримитивности группы
%Рх “F УРу, X^FX -}- 2xyFg.
Указание. Метод § 15.8 не дает диференциального уравнения
систем, так как их уравнение таково:
х = const. (у' = со) (Ли-Шефферс).
Упражнение 42. Найти системы импримитивности группы
xFx-\-yFy> x*Fx-\-xyFy, xyFx-^y^Fy (Лй-Шефферс).
Упражнение 43. Показать, что группа эвклидовых движений на
плоскости
УРх *Ру
примитивна в области вещественных переменных, и найти ее системы
импримитивности в области комплексных переменных.
Упражнение 44. Группа эвклидовых вращений в трехмерном про-
странстве
zPy—уР* xFz — zFx, yFx — xFy
систатична и потому импримитивна (Эйзенгарт).
Упражнение 45. Доказать, что группы
Лл?> Ру* *Ру> УРу* Ру, %Ру> уру
примитивны (Эйзенгарт).
§ 16. О представлениях групп Ли
1. Рассмотрим просто транзитивную (параметрическую) группу G,
заданную инфинитезимальными операторами
*1Л2, ..., Хп. (16.1)
Из того, что ее стационарная группа — единичная, следует, что каж-
дой ее подгруппе соответствует система импримитивности. Чтобы
ближе выяснить природу этого соответствия, введем понятие взаимных
просто транзитивных групп.
2. Зададимся целью определить все преобразованйя 5, переводящие
все преобразования G группы в преобразования такой же формы.
Для этого должно иметь место
TST-' = S, (16.2)
т. е. преобразования Т должны быть перестановочны со всеми пре-
образованиями 5 группы G.
§ 16] о ПРЕДСТАВЛЕНИЯХ ГРУПП ли 185
Если представить себе преобразования Т в виде
rf = xfi(x\ х2, ..., хп) (1 = 1, 2, ..., и),
то инфинитезимальные операторы в новых переменных должны сохра-
нить свою форму, откуда
х2, хп) = Х((х*) (i, v=l, 2, ...» и). (16.3)
Если мы станем искать наше преобразование в форме
ФДх\ х1, х2, ..., хп) = 0 (v = 1, 2, ..., л),
то
дФу
дх4 dxi
dxi ЭФ^ ’
дх'*
и равенства (16.3) перепишутся так:
(х*) + Xi (Ф„) = 0, или в силу = 0 (|Л Ф V)
так:
Х<(Ф) + Л<(Ф) = 0 (/=1, 2, ..., и).
Таким образом мы должны определять конечные уравнения искомого
преобразования как решения системы
*<(Ф) + *ДФ) = 0 G=l, 2, ..., л), (16.4)
где под Xi мы разумеем оператор Хь в выражение которого вместо
х1, х2, ..., хта подставлены переменные х1, х2, ..., х^.
Система (16.4) имеет 2л— л = л независимых решений, которые,
будучи приравнены константам
ФДх1, х2, ..., Xм; х1, х2, ..., xw) = av (v = 1, 2, ..., л), (16.5)
и определят искомое преобразование. Необходимо отметить, что урав_
нения (16.5) независимы также относительно одной из систем пере
менных, например, относительно х1, х2, ..., хп, так как в противном
случае система (16.4) имела бы решение, содержащее только
х1, х2, ..., хп, что противоречит транзитивности группы G.
Меняя значения констант а.,, мы будем получать всевозможные
преобразования требуемого типа.. Из их определения вытекает, что
в совокупности они образуют группу. Пусть
Ц, Ц, Un (16.6)
будет система' ее независимых инфинитезимальных операторов. Из того,
что преобразования обеих групп перестановочны (16.2), следует
(Xi, Ц) = 0 (Z,/= 1, 2, ..п). (16.7)
186 ОСНОВНЫЕ ФАКТЫ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ групп ли [гл. 111
3. Можно задаться целью найти операторы
Я/7
= (16.8)
непосредственно из условий (16.7), т. е.
< дС д&
$*—— = 0 (/, v=l, 2, ..., л). (16.9)
з дх* дх* , j v 7
Введя величины при помощи равенств
(s, i=l, 2, п), (16.10)
мы перепишем условия (16.9) так:
^5 = ° (s, *“1, 2.....»), (16.11)
ИЛИ
Разыскивая, решения этой системы в полных диференциалах в форме
Ф(х>, х2, .,., хп; ' С1, С2, С8 .... С”) = 0,
мы придем к системе
дФ <д?. дФ
= ° = ...............")'
или, умножая на £* и/пользуясь (16.10): ,
. дФ \ д? дФ
+ С ^-377 = 0 (Н=1, 2, ..., п). (16.12)
и- дх8 1 дх* д^ vr. ’ 7 v 7
Эту систему можно рассматривать как продолженную систему опера-
торов (16.1) группы G. В ее полноте можно убедиться непосредствен-
ной в^ыкладкой, принимая во внимание вытекающие из соотношений
(Xit Л-.) = <.^
равенства
C-й — С = c'..f (i, j, s = l, 2, ..., л). (16.13)
♦ dx' J дх' *з ' \ f J9 ’ ’ ’ 7 v 7
4. Образованная инфинитезимальными операторами (16.6) группа G
носит название взаимной с G группы. Докажем, что она изоморфна с G.
Для этого разложим функции по степеням х1, х2, ..., хп (не нару-
шая общности, мы можем считать, что точка х* = х2= ... =хп = 0
не есть особенная точка группы^т. е. что в ней определитель | ^ | не
обращается в нуль). В силу несвязанности операторов группы и равен-
§ 16]
О ПРЕДСТАВЛЕНИЯХ ГРУПП ЛИ
187
ства г = п мы можем заменить их такими линейными комбинациями
(с ' постоянными коэфициентами), чтобы разложение Z-ro оператора
имело вид:
(О = 4~ члены высшего порядка (Z=l, 2, ..., п).
В связи с этим функции будут разлагаться так:
^=S-+V+--- (А 2, ...,«). (16.14)
Подставляя в (16.13), будем иметь
(«:+...)(^4-...)-(8;+...)(^+...)=с;«+...), »'
откуда
(Z,/, s=l, 2, ..., л). (16.15)
Аналогично нормируем операторы группы G:
dF
Ц. (F) =— члены высшего порядка,
откуда
(16.16)
Обозначая структурные константы группы G через €*., получим анало-
гично
= . (Z,/, $= 1, 2, ..., л). (16.17)
Теперь подставим (16.14) и (16.16) в равенство — £*^ = 0:
т. е.
р«=-4;- ‘ 06.18»
Тогда из (16.15), (16.17) и (16.18) будем иметь
^=^-^=-^+4=4 .
что и доказывает изоморфизм обеих групп.
Полученные результаты можно формулировать в виде следующей
теоремы:
Теорема 40. Совокупность преобразований, перестановочных с за-
данной просто транзитивной группой, образует изоморфную с ней
взаимную просто транзитивную группу.
С перестановочными параметрическими группами мы уже встреча-
лись раньше, в § 3.4 (первая и вторая параметрические группы).
188 ОСНОВНЫЕ ФАКТЫ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГРУПП ли [гл. III
5. Пример, В роли G взята параметрическая группа группы дроб-
ных линейных подстановок:
— XFх zF„
Х2 = xzFx + (yz — х) Fy + z*FZ)
X9=yFx+Fz
(см. § 14, упражнение 33). Подыскивая оператор
^=«^ + ^ + 7^
мы получим систему (16.12) в следующем виде:
* xFx+zFs-\-aF^ + ^F4^=0,
xzFx + (yz — х) Fy-\-z2Fz (лг + ?х) Fa + ($z + %y—a)F₽+272^=0,
jFe + F, + PFa = 0.
Эта система имеет следующие независимые решения:
U = Х~уг <0 = а-?г + хУ w = $Х~аУ
Т ’ ' Т ’ Т
Искомые операторы получатся, если мы приравняем эти решения
постоянным и решим полученную систему линейных уравнений отно-
сительно а, р, у. Взяв
и=1, v = 0, w = 0,
получим
Ц(Г) = -х^-^ + (х-^) Fz.
Взяв
и = 1, v=l, w = 0,
получим
t/2 (F) = х (1 —у) Fx H-jr (1 -у) Fy 4- (х—yz} Fz.
Наконец, взяв
и = 1, ^ = 0, w=l,
получим
Щ (П = (* - ху) Fx 4- (1 -у*) Fy + (х—yz) Fz.
Удобнее взять вместо t/p U<& U3 их. следующие линейные комби-
нации:
Vt (F) = -Ut (F) = xyFx+y*Fy + (yz-x) Fz,
(П = ^2 (П - (П = xFx +yFy,
Vs(F) = U^F)-Ui(F) = ^Fx-]-Fy.
6. Рассмотрим какую-нибудь подгруппу H порядка q группы G.
Из несвязанности инфинитезимальных операторов просто транзитивной
группы следует, что группа Н имеет ровно п — q независимых инва-
риантов. Пусть ими будут uq±v uq+2, ..., ип. Докажем, что система
уравнений
uq + l z==z ttQ4-2== aq+& •••> un === (16.20)
§ 16]
О ПРЕДСТАВЛЕНИЯХ ГРУПП ЛИ
189
является системой импримитивности взаимной группы G. Пусть G за-
дана операторами (16.1), а Н—операторами .
и» и2, ..., uq.
Соотношения (16.7) можно переписать так:
Xi(i7/F)]-O,[X<(F)]x=0 (/=1,2,..., я; 7=1, 2, q).
Подставляя F = wv(v = ^+1, ..., и) и замечая, что Ц(^) = 0, по-
лучим
Ц/[*Ж)] = ° (Z=l, 2, ..., п;/=1, 2, ..., q).
Это равенство показывает, что A^(zzJ тоже являются инвариантами
группы/? и потому суть функции от ип:
^(“v) = ?iv(«3+P ««+2, •••• ип) (*=1,2, ..., n; v = ^4-l,...,/i),
а это в силу § 15.1 служит признаком того, что система (16.20)
является системой импримитивности группы G.
Докажем обратное: всякая система импримитивности группы G
является системой интранзитивности для какого-то делителя взаимной
группы G. Пусть
A(F) = o, Л2(П = 0, Лд(Г) = 0
— полная система линейных уравнений, имеющая в качестве решений
функцйи (16.20), составляющие систему импримитивности группы G.
В силу § 15.2 должно иметь место
(Xf, А^ = ^А3 (Z = l, 2, ..., г, 7=1, 2, .... q), (16.21)
где рЛ— некоторые функции. Положим
Л = ^Х (/=1, 2, .... г; >=1, 2, ..., </) (16.22)
и постараемся подобрать функции л' так, чтобы имело место
(^,5^ = 0 (/=1, 2, ..., г, 7=1, 2, ..., q). (16.23)
Подставляя (16.22) в (16.21), получим
вч)+^(9в,-^.кХ,
так что для удовлетворения равенству (16.23) нам достаточно подо-
брать К* так, чтобы имело место
y (k") = u8.k\
Отбрасывая при верхний значок (он один и тот же в каждом из
уравнений системы) и поступая, как в § 16.3, мы придем к решению
системы
^(П + н:Л^- = ° (* = 1> 2, ..., «). (16.24)
190 ОСНОВНЫЕ ФАКТЫ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГРУПП ЛИ [ГЛ. III
Чтобы она была полной, достаточно соблюдения условий
X / з \ df . g... df . g » dF g . dF g § dF
i (fyv) As Xj ^8 "1“ Н'гЛв ~ cijV<r^8 ’
t. e.
. + = (16.25)
Но, раскрывая тождество Якоби
((Л- X}\ Ак) + ((ХР ЛА), Х4) + ((ЛА) АД Х}) = 0
и пользуясь (16.21), будем иметь f
с*о \(^) + *4^8+Xj =°’
а это равенство отличается от (16.25) лишь обозначениями. Приравни-
вая получающиеся n-\-q— n — q решений системы (16.24) q различ-
ным системам постоянных, получим q независимых систем, множите-
лей А8, которые мы подставим в уравнения (16.22) и решим последние
относительно Bv . .., Bq.
Нетрудно доказать, что можно подобрать q независимых систем
Ар Л2, XQ. В самом деле, решим систему независимых интегралов
ФДАр А2, ..., Aq; х\ х\ ..., х^ = а{ (/=1, 2, ..., q} (16.26)
системы (16.24) относительно
\ = <?Лх1> • • •> хп\ av аъ *♦ aq) О‘= 1э 2, ..., q).
Если бы при любых значениях
• (д’, д’, .... др (v —1, 2, .... q)
имело место
Aj_ (cl^ , a2, .. ... ap, X2(aJ, a\,.. •. «Р’ • .., k?(a|, a\, . ep
Ai (tfp #2» • • ., ap, X2(a“, a}, .. •,ap.. ... \(a*, a?,. ep
Ai (й1» й2» . • a^), X2(af, af, .. al),. • ; \ («1. e?. • ••.«P
то, беря в качестве значений а\
ai =а< + 8Х (*> v= 1, 2, ..q),
где av — весьма малые приращения, вычитая из 2-й, 3-й, ..., q-й
строк строку матрицы
О аг »•••! O’q )>Х2(Д14"«1> а» >•••» o,q )»•••> Xq Qt »•••, aq )
Xi( • • •> Qq ), X2 («i, a2~j-a.iy.. ,t aq)^...,\q (fli, • •» aq )
Xi< ax t a, , + >-a Gh 1 «2 , • • •» aq +«3),.•XQ ( ax , a3 aq + <Lq)
Xi ( ax , a, aq ), X, (ax , at ,•••, aq X^( ax , a2 vi <iq )
§ 16]
О ПРЕДСТАВЛЕНИЯХ ГРУПП ЛИ
191
(у которой все миноры q-ro порядка равны нулю), деля v-ю строку
на а* и приближая к нулю, получим
axj д\2 •
dai dat ... дах = 0. (16.27)
«К
~да^’
С другой стороны, диференцируя (16.26) по аи aq,
получим
откуда
-дЦ'даТ i 7=1, 2, .. q),
о J
I'M 1
I dXs | I daj I ’
что стоит в противоречии с (16.27).
Функции #g+1, uq+2> •••5 ип являются решением полной системы?
£1 = 0, В2 = 0, ..., Вд = 0, (16.28)
для которой имеет место
^) = 0 , (/=1, 2, .... я;/=1, 2, ...» 9),
в силу чего Вл являются инфинитезимальными операторами взаимной*
группы G. Более того, они образуют полную систему инфинитезималь-
ных операторов некоторого делителя И группы G. В самом деле, опе-
раторы (В^ Bj) в силу'полноты системы (16.28) линейно выражаются
через В^. С другой стороны, в силу принадлежности Bit Bj к G опе-
раторы (В{, Bj) выражаются через с постоянными коэфициентами..
Но в силу несвязанности операторов оператор (Bit Bj) допускает
единственное выражение через Ц, которое, таким образом, имеет вид
О, 7 = 1, 2, .... 9),
где b*j — постоянные. Это показывает, что операторы Bi образуют-
группу.
Таким образом мы приходим к следующей теореме.
Теорема 41. В просто транзитивных группах каждая система
импримитивности группы G есть полная система инвариантов некото-
рого делителя взаимной с G группы G, и обратно. z
7. Теорема. 41 дает возможность находить все типы подгрупп
у данной группы. Для этого нужно составить ее параметрическую
группу G, взаимную с ней группу G, и в последней найти всевоз-
можные системы импримитивности. Этот способ, правда, требует при-
менения процессов интегрирования систем диференциальных уравнений.
192 ОСНОВНЫЕ ФАКТЫ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГРУПП ли [гл.Ш
Но так как мы из § 10 знаем, что подгруппы могут быть получены
также алгебраическим путем, то можем быть уверены, что интегриро-
вание не приведет нас к серьезным затруднениям.
Зато второй способ имеет в другом отношении важные преиму-
щества по сравнению со способом § 10. Дело в том, что всякая
группа Ли имеет бесчисленное множество подгрупп. Если Н есть
подгруппа группы G, не являющаяся ее нормальным делителем, то G
будет также содержать бесчисленное множество7 групп, подобных Н,
т. е. групп типа
где 5 может пробегать всевозможные преобразования группы G. Спо-
соб § 10 не дает возможности сгруппировать всех подгрупп по типам
подобных.
При решении задачи только что изложенным способом дело обстоит
иначе. Каждому многообразию, принадлежащему к системе имприми-
тивности
uq+l = const, uq+2 = const., ..., un = const.’
(т. e. получаемому выбором определенных значений констант), соот-
ветствует подгруппа Н, состоящая из преобразований, переводящих
какую-нибудь точку х*, ..., х™) этого многообразия во все-
возможные его точки. Тогда подгруппе SHS*"1 будет соответствовать
в том же смысле многообразие, принадлежащее к той же системе
импримитивности и содержащее точку SM0, в которую преобразова-
ние 5 переводит точку 7И0. Таким образом одной и той же системе
импримитивности соответствует весь класс подгрупп, подобных И.
8. Пример. Подгруппы полной однородной линейной группы. Пусть
х, У, z, я будут координаты параметрической группы для полной
однородной линейной группы от двух переменных. Ее инфинитезималь-
ные операторы суть
== xFx 4“ yFy* ^2 == уРи,
XS = zFx + uFy, Xi = zFZ + uFu-
Чтобы найти ее всевозможные подгруппы порядка 3, найдем ее
трехмерные системы импримитивности. Определяя производные р, q, г
при помощи соотношения
du — pdx — qdy — rdz = 0, (16.29)
продолжим наши операторы:
Х1 = + уру — PFp — 4Fq, I
Х2 — xFn ~\~yFu rFp Fq, I
x3=zFx+“Fy—pqFp—q^Fq—(p+^)Fr, | 1
X4 = zFz H- uFu -(- PFp “1“ qFq- j
О ПРЕДСТАВЛЕНИЯХ/ ГРУПП ЛИ ,
193
Просто транзитивные группы, будучи продолжены, не имеют
инвариантных многообразий, .которые бы не были системами интран-
активности и в то же время давали бы системы импримитивности для
(непродолженной) группы, так как левый минор матрицы системы
(16.30) не равен тождественно нулю; приравнивая его нулю, мы полу-
чим соотношение, зависящее только от координат х1, х2, ..., хп
[в данном случае это будет (хи—^)2 = 0], которое, не содержа
констант, не может служить системой импримитивности.
Инвариантами продолженной группы являются
xp-^zr уд —и (p + qr)(xu--yz) _ _
ч xq— z 9 xq— z 9 (xp^ zr)^ * * /
Приравнивая их постоянным, решая получаемую систему уравнений
относительно р, q, г и подставляя в (16.29), получим пфаффово урав-
нение
(рх^— у) du-}-(au— уг)^х + (п— + — ay)dz = Q.
Сделаем его однородным относительно констант [мы не должны
исключать случаев, когда знаменатели инвариантов (16.31) обращаются
в нуль], введя вместо а, р, у соответственно
(рх — by) du (аи — dx + (bu — $z) dy -j- (ух — ay) dz = 0. (16.32)
Это уравнение
производных:
равносильно следующей системе уравнений в частных
(ЧУ — рх) Фа, 4- (<ха — 72) Ф„ == 0,
(&У — Рх) Фу + (8а —>) ф„ = 0,
(V — М фг 4" Ст* — ЛУ) = о.
Условия ее интегрируемости дают
г(р-|-а) = О, у(р-|-а) = О, ар —Р24~2а8 = 0, |
а2_ар^28т==о, а2 —р2 = 0. J
Эта система имеет следующие решения:
1) р —<х = 0, 8 — а, у = — а.
Уравнение (16.32) принимает вид
(16.33)
(16.34)
— (X+.уМ (« + 2) 4-(а 4-г) d (х+.у) = 0
и дает систему импримитивности
= const. (16.35)
x4-v v 7
2) p — a —0, y = 8 = 0.
Уравнение xdu -j- u>dx — zdy—ydz — 0 дает систему имприми-
тивности
хи—yz^ const. (16.36)
13 Зак. X» 1132.H. Чеботарев
194 ОСНОВНЫЕ ФАКТЫ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГРУПП ли [гл. Ш
3) а = £ = Y = 0.
Уравнение —у du -j- и dy = 0 дает систему импримитивности
У = const. (16.37)
4) а — р = о = 0.
Уравнение —z dx-V-x dz = 0 дает систему импримитивности
= const. (16.38)
Системы (16.35), (16.37) и (16.38) дают подгруппы одинакового
типа. Возьмем, например, систему (16.35):
1\х-\-у) 2\*+у) 9
X =____(“+z\2 х + u + z
3 \ * у / \ х + у) 9 4 \ х +у) X -J-y •
Давая постоянной в (16.35) какое-нибудь частное значение, например
нуль, мы получим один из типов подобных подгрупп порядка 3:
Xv Х3, Х4. (16.39)
Точно так же для системы (16.37):
1\у; У ~\yJ 3\у) \у J 4\yJ у9
так что этой системе будут тоже соответствовать подгруппы, подоб-
ные подгруппе (16.39). Для системы (16.38)
имеет место то же самое.
Каждой из этих систем импримитивности соответствует представле-
ние в одномерном пространстве. Из
Хг (ш) = — ф, Х2 (ш) = 1, Х.} (ф) = — а2, Х4 (ф) = ©
следует, что инфинитезимальные операторы этого представления
таковы: -X^F^X^F)^^, ' (16.40)
Получилась трехчленная группа, изоморфная с группой дробных
линейных подстановок. Уменьшение порядка свидетельствует о том,
что все подгруппы, подобные группе (16.39), содержат общий дели-
тель, именно
^ + *4‘
(16.41)
§16] О ПРЕДСТАВЛЕНИЯХ ГРУПП ли 195
Нетрудно убедиться, что этот нормальный делитель составляет центр
всей группы.
Обратимся к системе (16.36):
(хи —yz) = хи —yz, Х2 (хи —yz) — О,
Х.3 = О, Х4 (хи —yz) = хи —yz.
Здесь подгруппа, оставляющая эту систему инвариантной:
X, — Х4, Х2, Х^ (16.42)
не зависит от значения, которое мы придадим константе (за исключе-
нием значения 0, дающего многообразие, инвариантное для всей
группы). Это свидетельствует о том, что группа (16.42) есть нор-
мальный делитель всей группы. В связи с этим соответствующее этой
системе представление группы в одномерном пространстве
= (16.43)
имеет порядок 1. Оно изоморфно с одномерной однородной линейной
группой.
Таким образом полная однородная линейная группа имеет под-
группы порядка 3 только двух типов: (16.39) и (16.42).
Теперь найдем все типы двучленных подгрупп. Продолжая группу
при помощи производных р, </, г, 5, связанных соотношениями
dz — р dx— qdy = 0, du—rdx — sdy=0, (16.44)
получим операторы
= xFx -\-yFy — PFP — qFq — rFr — sFs,
Xz = xFz~]-yF„+ Fp-\-Fs,
Ag = zFx + uFy — (p~ 4- qf) Fp — (pq -J- qs) Fq —
— (pr + rs) Fr — (qr — s2) Fs,
= zFz + uFu + pFp + qFq + rFr + sFs.
Сначала найдем решения трех из получаемых уравнений, а именно
Хг =0, Х2 = 0, Х4 = 0.
Это будут
Преобразуя уравнение А7.;==0 к этим переменным:
« (8 - г) + (f 4- - 82) F. + (Т — е2 + ре) Fs = 0,
приходим к системе
da_____df> _________ de _________ dp d^
a (s — о) o2 — рб — 7 £2 — 8s — 7 0 0
13*
196
ОСНОВНЫЕ ФАКТЫ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГРУПП ЛИ
[гл. Ш
Разберем отдельно два случая:
1) Полином
(16.46)
имеет различные корни а, Ь. Тогда £=#4“^; 7 = — ab,
чим следующие интегралы системы (16.45):
мы полу-
s — р .
----г_ = а-\-
Q---1
« —У (Р +
Вводя обозначения
— = — ab,
Q
—У (Р + Ьд)
^-x(p-\-bq)
п.
. и — mz
А —-------
у — тх
и — nz
у — пх ’
(16.47)
мы найдем следующие выражения для производных:
а — р,
ак —
s =-----------г1-.
а — b
Подставляя в (16.44), придем к интегрированию системы
(а — л^>)Ф2-|-а/> (у. —л)Ф„ = 0,
(« _ Ь) фу + (X_ р.) фг 4- (Ха - ^) Ф„ = 0.
Для вывода условий интегрируемости
а.
и — mz у _____ и — mz
(у — тх)2 1 (у — тх)2'
_ и — nz
~~ (у — пх)2 ’
и — nz
(у — пх)2 9
из которых
вытекает
(16.48)
(16.49)
будем пользоваться формулами
— т
у — тх
— п
^2' — ------
у — пх
у — тх ’
1
P-/Z =---------»
Н У — ПХ
г'х г'у
= — \ly = — Л’
(16.50)
——7 = 0
и
Р
Ь\ — а\ь
а — b 9
а — Ь ’
= т
[Хх — п
Условия
1
записать так:
интегрируемости системы (16.49) можно ;
(а — л) = 0,
(а — X) 4* аК + а^и “Г = 0.
Рассмотрим случай а) р— Х = 0, т. е. т = п.
Уравнения (16.49) принимают вид Ф^-лФ^^О, Ф?/4~ХФи — 0.
Одним из их решений в силу (16.50) является Ф = Х; другим
Ф —Ху—ц = т(хи-уг)
л у — тх
§ ;1б]
О ПРЕДСТАВЛЕНИЯХ ГРУПП ЛИ
197
„ у 14. - П16
Вводя обозначения л ==-------
у - - тх
Л'1(Х) = —X,
^2(А)=1,
Х3(Х) = —X2,
хи — vz
о =-----— , будем иметь:
1 у— тх ’ J
X, (р) = 0;
Л(о) = 0;
Аз(р)=-*р;
ЛГ4(р)==р,
так что соответствующее представление нашей группы будет
x4(F) — —^‘тг’ ХЛГ> = >-+ ?-?- । * >
34 7 дк ‘ др 4 v 7 дХ 1 ‘ др J
Определим подгруппу, оставляющую многообразие
X — const, р = const,
инвариантным. Значения X = 0, р == 0 являются исключительными, так
как дают трехчленную группу (16.39). В общем случае X = Хо, р = р0
мы получаем подгруппу
А + ^ + Х0Х4. (16.52).
В случае Ь)
Р'г — Ч а^и — ~ О,
-j- akz -f- ab\^lL -}- ab\u = 0
имеем при nt ф и: m = d, n — a.
Решениями уравнений (16.49) являются
Ф = X, Ф = <i.
Здесь системы импримитивности являются пересечениями различных
систем импримитивности, дающих одну и ту же группу (16.39). Для
определения соответствующей подгруппы надо найти пересечение
группы (16.39) с группой, соответствующей другому значению кон-
’ Z
станты в системе импримитивности, например — = а:
.Х^Х*, Х. + аХ2, Х.3 — аХг
Пересечение этой группы с (16.39) дает
^1 + ^4, Х.3 — aXv
Представление нашей группы имеет вид
-^W2f + ^2f>
(16.53)
(16.54)
т. е. является удвоенным представлением (16.40).
198 ОСНОВНЫЕ ФАКТЫ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГРУПП ли [гл. Ш
2. а — Ь. Уравнения (16.45) принимают вид
da ___________________ do _______ de ______ d9 __ dy
a (e — o) (6 — a)2 (e — a)2 0 6
и имеют следующие интегралы:
Отсюда можно получить для производных следующие выражения:
___и — cz ас хи —yz
Р у — сх k (у — сх)2 ’
с (хи —yz)
Ч k (у — сх)2 ’
Г_ _
k (у — сх)2 ’
___ и — cz । ас хи —yz
у — сх ' k (у — сх)2 *
Это приводит к интегрированию системы
Фж + (* — ар) Фг — а2рФ„ = О,
Ф® + аФу + (фг+Ф«) = °>
где
у и CZ г с (хи — yz)
' у — сх ' ‘ k (у — сх)2
Условия интегрируемости дают
а = с = 1,
и искомые системы импримитивности получаются в таком виде:
л = ^; (a-v-^)b (16.55)
у — х 1 (у — X) ' 4 7
где
Имеем
Л'ДХ) —— л, X,(X) = 1, А'3(Х) = -Х2, ^4(Х) = Х,
-Mp) = £p —р, -^2(р) —Р, Х3(р) = —Ар, А'4(р) = ^р.
Этой системе импримитивности соответствует подгруппа
*3 + S (*4 — W
^ + ^-^=-1(^-4^).
(16.56)
9. Таким образом мы видели, что каждой системе импримитивности
параметрической группы соответствует представление этой группы
в виде транзитивной группы преобразований. Нетрудно также убедиться,
что таким путем мы исчерпаем все возможные транзитивные предста-
§16] О ПРЕДСТАВЛЕНИЯХ ГРУПП ли 199
вления данной группы, т. е. что любое транзитивное представление
этой группы подобно одному из представлений, построенных при помощи
систем импримитивности. В самом деле, при доказательстве теоремы 25
(§ 8.12) мы видели, что просто транзитивные группы с одинаковыми
структурными константами подобны. Поэтому, произведя нужное пре-
образование над параметрами заданного представления группы, мы
добьемся того, чтобы ее параметрическая группа совпадала с той
просто транзитивной группой, для которой мы построили системы
импримитивности. С другой стороны, формулы
xf — /(xv; а1, а\ .. ., ar) (i = 1, 2, . . ., п) (16.57)
дают выражение координат любого транзитивного представления через
координаты параметрической группы. В самом деле, подвергая в фор-
мулах (16.57) параметры а1 преобразованиям параметрической группы,
будем иметь
f* (х*; ф (а'; №)) = f (// (х- а'); №), (16.58)
а это тождество показывает, что координаты xi подверглись преобра-
зованию рассматриваемой группы с теми значениями № параметров,
какие мы взяли в преобразовании параметрической группы.
Требование транзитивности необходимо потому, что при транзи-
тивных группах, подставляя вместо xi выражения (16.57), мы оставим
их независимыми переменными, поскольку п функций (16.57) являются
независимыми. У интранзитивных же групп существуют инварианты,
а это означает, что из (16.57) как следствия вытекают соотношения
типа
1 (х1, х2, -.., х”) = I (х1, х2, ..., хп),
и переменные х?: после подстановки (16.57) перестают быть не-
зависимыми.
Далее, уравнения
f* (xJ; а1, я2, ..., a ') = const. (/=1,2, . . ., п)
дают системы импримитивности для параметрической группы, так как
они удовлетворяют критерию § 15.1.
Остается показать, что две транзитивные группы подобны, если им
соответствуют те же системы импримитивности параметрической группы.
Предположим, что нам даны две группы “
G | х*=/*(х'; а\ . . ., аП (/= 1, 2, . .., л), (16.59)
Н\ ui = gi (л;; а\ . .ar) (j = 1, 2, . .., т) (16.60)
с общей параметрической группой. Пусть, кроме того, им обеим, как
представлениям, соответствует одна и та же система импримитивности
параметрической группы, левые части которой пусть дают полную
систему решений полной системы уравнений в частных производных
ЛД/) = 0. (16.61)
200 ОСНОВНЫЕ ФАКТЫ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГРУПП ЛИ [ГЛ. Щ
Это означает, что правые части формулы (16.59), рассматриваемые
как функции от а1, я2, . .., аг, составляют полную систему решений
системы (16.61), а потому правые части формулы (16.60), тоже
являясь решениями ^16.61), функционально зависят от /*:
£*(х'; а1, ..., аг) = Ф* f/1 (х'; ..; f" (х"; а^)\ х']. (16.62)
Если мы в этих тождествах придадим переменным X' постоянные
значения и будем подвергать параметры а1, ..., аг преобразованиям
параметрической группы, то аргументы f правых частей претерпят
преобразования группы Q, а левые части — преобразования группы Я,
в силу чего мы можем утверждать, что GzjH.
Меняя группы Q и И ролями, мы докажем также, что имеет место
НтэО, откуда и следует подобие представлений G и Я. Отсюда также
следует и = т.
Та и только та подгруппа, преобразования которой не выводят
параметров а1, ..., аг из какого-нибудь многообразия системы
импримитивности, соответствующей представлению G, оставляет точку
(х1, ..., x'J), координаты которой заданы формулами (16.59), на месте,
а потому в представлении Q ей соответствует стационарная подгруппа.
Обратно, зная стационарную подгруппу представления G, мы легко
найдем соответствующую ей систему импримитивности параметрической
группы. Для этого надо определить подгруппу параметрической группы,
которая соответствует стационарной группе в представлении G, и найти
ее инвариантное многообразие, проходящее через ту точку параметри-
ческого пространства, координаты которой при подстановке в (16.59)
дают координаты точки (х*, ..., х^), для которого определена стацио-
нарная подгруппа. Это будет одно из многообразий искомой системы
импримитивности. Преобразуя его всевозможными преобразованиями
параметрической группы, мы получим все многообразия системы импри-
митивности. Таким образом транзитивное представление однозначно
определяется своей стационарной подгруппой, и мы приходим к теореме:
Теорема 42, Две изоморфные транзитивные группы подобны тогда
и только тогда, если между их преобразованиями можно установить
такое изоморфное соответствие, при котором их стационарные под-
группы тоже будут находиться в соответствии.
Если же при установлении такого соответствия стационарная под-
группа Go группы G окажется изоморфной с делителем группы Яо,
то GzdH.
10. Практически вопрос о подобии групп G и Я решается так:
пусть их инфинитезимальные операторы будут
G| Х„ Х2, ..., Х„
н\ Y.2, Y,.,
причем
(*г = (Ур у.) = 4П-
§ 16] О ПРЕДСТАВЛЕНИЯХ ГРУПП ли 201
Далее, пусть
^2’ • • • >
Уу К2, Ym
будут их системы линейно несвязанных операторов (т^п, в случае
транзитивности т — п) и пусть
Л.+. = <?>М. ».-М.............. \
(16.63)
Ym+i = ^i(y')Ys V = l, 2, г—т/
Ввиду соответствия инфинитезимальных операторов в подобных груп-
пах уравнения преобразования одной группы в другую должны удовле-
творять соотношениям
s . я , f s — 1, 2, . . т \ - ,
»;«=«;(/)
Такрм образом, если эти соотношения приводят или к противоречию
или к соотношению между одними х7 (или одними у'), то группы
наверное не подобны.
В противном случае решим систему
^(F)+Ki(F) = 0 (/=1, 2, ..., т\ (16.65)
Пусть ее полная система решений будет
иДх1, . .., хн\ у1, . .., уп) (I — 1, 2, ..., 2п — tri). (16.66)
Составим при помощи (16.63) производные операторы
f 3 S / 3 = 1, 2, . .., г \
....„)
и выразим их через Xv Х2, ..., Хт:
C+i, jXs + Ctl 4- е--+к<? -?х + X. (<$ Хй,
откуда в силу несвязанности Xv Х2, . .., Хт
хх z -S\ S* > 7/1 -4-1 •s> я t, in 4- fc t я
Х.(<ЭЛ=С , . -Ч-f Т. ------ 6П.СР.— С.. 9.$,,
j \ * г/ w + % J 1 tj • г tj ч>к’
откуда
xj (<?:) - YJ (^') = L- - 'О - 4- - c‘fk
Отсюда видно, что (16.64) являются инвариантными многообразиями
системы (16.65).
Система (16.65) имеет и — т решений, зависящих только от х\ и
столько же — только от у. Выберем 2п — т — 2 (и — т) = т незави-
симых от них решений, приравняем их постоянным:
(х1, х2, ..., xtl\ у1, у2, ..., yn) — ci (i— 1, 2, ..., т) (16.67)
202 • ОСНОВНЫЕ ФАКТЫ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГРУПП ли [гл. III
и покажем, что при известном нормировании систем (16.64) и (16.67)
из совместной системы (16.64) и (16.67) нельзя вывести соотношений
между одними х* (и также между одними у). Именно, предположим,
что мы, приравнивая каким-нибудь постоянным инварианты отдельных
систем (F) = 0 и Yi (F) — 0 и решая получаемые уравнения относи-
тельно переменных
х^-1, ..., х”; ун4Л, ..., у1,
исключим последние из (16.64) и (16.67). При этом внутри каждой
из систем (16.64) и (16.67) мы не можем притти к соотношению
между одними х* (или одними у), так как тогда, произведя обратную
подстановку (переводящую У только в х* и у только в у), мы бы
заключили, что и первоначально одна из систем (16.64) и (16.67)
имела бы следствием соотношение между одними х* (или одними у),
что противоречит предположению. Надо только взять константы так,
чтобы не получить численного противоречия.
Таким образом теперь обе системы (16.64) и (16.67) содержат
переменные
х1, х2, . . ., хш; у1, . .., уи.
Допустим, что следствием уравнений (16.64) и (16.67) является
соотношение между одними xi:
? (X1, . . ., х’") = А* (и{ — С.) + — <£),
где а\ р? — какие-либо функции от х\ у\ Действуя на это тождество
любым оператором (16.65), мы получим равенство типа
X (?) + у (?) = < (?i—'? )•
Но ф не зависит от у, а потому Y(ср) = 0. Левая часть не зависит
от у, а правая в силу нашего условия может зависеть от одних хг’,
только будучи равной нулю. Значит JV(cp) = O, а это невозможно, так
как группа G не имеет инвариантов, не зависящих от xw+1, ..., хт,
а я зависит только от х1, ..., хи/.
Поэтому из совместной системы (16.64), (16.67) можно выразить
некоторые из xf, например, х1, х2, .. ., х^, через остальные х* и все у*.
Положив х^1, ..., хн равными совершенно произвольным функциям
от у*\ мы получим искомое преобразование:
xi — Ф*(У, У, .. ., У) = 0 (i— 1,2,.. ., п), (16.68)
которое переводит группу Н в G. В самом деле, левые части урав-
нений (16.68), совместных с (16.64) и (16.67), дают
*(/)-г(ф')=р1(?:-6:),
а потому на многообразии (16.68) мы будем иметь, введя обозначение
X — ы •
dx*
$•' = У(ф<),
§ 16] о ПРЕДСТАВЛЕНИЯХ ГРУПП ли 203
а это показывает, что подстановка (16.68) переводит операторы Y(F)
в X(F)-
11. Мы убедились, что всякому делителю группы соответствует ее
транзитивное представление, и обратно, всякому представлению соот-
ветствует делитель группы, который изоморфен стационарной подгруппе
в этом представлении. В случае интранзитивного представления обра-
тимся к § 11.3. Там было доказано, что, преобразуя переменные,
можно привести его к транзитивному (укороченному) представлению
меньшего числа переменных, в то время как остальные переменные
остаются неизменными при преобразованиях группы. Если мы теперь
выразим 'все эти переменные через параметры параметрической группы,
то в силу отсутствия у последней нетривиальных инвариантов придется
приравнять неизменяемые переменные постоянным числам. Поэтому,
хотя переменные интранзитивной группы и выражаются через пара-
метры параметрической группы, но после этого выражения они пере-
стают быть независимыми переменными, а потому мы не будем считать,
что это дает настоящее выражение представления. В известном смысле
интранзитивное представление содержится в расширенном представле-
нии параметрической группы, именно в представлении, дополненном
несколькими единичными представлениями. Под присоединением послед-
них мы будем разуметь добавление к системе переменных новых неза-
висимых переменных, которые мы будем считать неизменными при
преобразованиях группы.
12. Пусть подгруппе И группы G соответствует представление G.
Возникает вопрос: в каком случае оно истинное (см. § 2.20), т. е. изо-
морфно с G. Оно не истинно в том случае, если существуют отличные
от тождественного преобразования, не меняющие переменных uv и2,.. .,uq
представления G. Пусть они образуют группу •/<. Подгруппа Н есть
совокупность преобразований, оставляющих на месте заданные значе-
ния этих переменных, т. е. многообразие системы импримитивности,
проходящее через заданную точку параметрического пространства.
Группа же SHS-1 оставляет на месте то многообразие, которое про-
ходит через точку ^714О. Таким образом группа состоит из всех
преобразований, входящих одновременно во все SHS~l, а потому
является наибольшим нормальным делителем группы G, входящим
в Н. Отсюда вытекает
Теорема 43. Чтобы представление группы G было истинным, необ-
ходимо и достаточно, чтобы соответствующая ему подгруппа не содер-
жала нормальных делителей группы О.
13. Сопоставляя полученные результаты с теоремой 37 (§ 15.4),
мы приходим к теореме:
Теорема 44. Чтобы группа G имела транзитивное представление
в пространстве s измерений, необходимо и достаточно, чтобы она
имела подгруппу индекса не содержащую нормальных делителей
группы G.
204 ОСНОВНЫЕ ФАКТЫ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГРУПП ли [гл. III
14. Принцип Картана. Сопоставляя добытый при доказательстве
второй основной теоремы Ли (§ 8.11) результат, согласно которому
всякое истинное представление группы, достаточное число раз про-
долженное, содержит ее параметрическое представление, с § 16.9, мы
получаем теорему:
Теорема 45 {принцип Картана). Всякое истинное представление
группы, достаточное число раз продолженное, содержит всякое другое
ее представление.
Упражнение 46. Доказать, что транзитивная группа допускает
континуум преобразований в себя тогда и только тогда, если она
систатична (см. § 15.10).
Упражнение 47. Выразить группу трехмерных вращений через про-
долженную группу одномерных дробных линейных преобразований,
и обратно.
§ 17. Композиционный ряд. Теорема Жордана-Гельдера-Ли. '
Разрешимые группы
1. Будем называть максимальным нормальным делителем группы
Ли G такой ее нормальный делитель Glf который не содержится
ни в одном другом нормальном делителе группы G, отличном как от G,
так и от Gr
Группа называется простой, если она не содержит отличных от
самой себя и от единичной группы нормальных делителей.
2. Теорема 46. Нормальный делитель группы G является мак-
симальным тогда и только тогда, если факторгруппа GlGt проста.
Доказательство. 1°. Предположим, что группа Gr не максимальна,
т. е. что G содержит отличный от G и Gt нормальный делитель И,
содержащий Gt. Пусть порядки групп G, И, Gt будут соответственно
г, Р, ri (r> Р > г1)« Тогда факторгруппа порядка г — гх содержит
нормальный делитель H/Gx порядка р — причем 0<р — гх < г—гх.
2°. Пусть факторгруппа GjG^ содержит нормальный делитель HjGv
Это означает, что часть смежных классов SGt (которые мы будем
обозначать через TG{) образует нормальный делитель группы всех
смежных классов SGV т. е. что имеет место
ТаО, TbG. = TCGP SGi • 7'UG1 = ГЬО1 • SGr
Вместе с тем в силу нормальности Ох имеем
5G1 = G15, TGx = GJ\
откуда
TaTbGi=TcGl, ST.G^T^G,.
Если будем обозначать через g, g', ... элементы группы Ор то из
наших равенств будет вытекать
Tag • Tbg' = Tcg", Sg . Tag' = Tbg" . Sg.
Эти равенства показывают, что все элементы, входящие в смежные
§ 17]
КОМПОЗИЦИОННЫЙ РЯД
205
классы TGV образуют нормальный делитель группы G, отличный и от G
и от GP
3. Если Ни —нормальные делители группы G, то и их пере-
сечение К есть нормальный делитель этой группы (см. § 2.11, тео-
рему 5). Отсюда следует
Теорема 47. Группы Н)К и HJK взаимно просты.
Доказательство. Смежные классы, входящие в обе факторгруппы,
содержат только элементы, входящие сразу и в Н и в //1, а потому
и в /С.
4. Теорема 48. Если и Л/2 —два максимальных нормальных
делителя группы G и К—их пересечение, то GlHr изоморфна с Н2]К,
a G[H2— с HJK. При этом К является максимальным нормальным
делителем внутри каждой из групп Нг и Н2.
Доказательство. Группа GjK содержит два нормальных делителя
HJK и Н2[Д которые в силу теоремы 47 взаимно просты. Мы уже
видели (см. § 2.26), что в этом случае перестановочны отдельные
элементы групп HjK и Н2)К и что их попарные произведения обра-
зуют группу L, называемую прямым произведением групп HjK, H2lK:
ь = н1'!кхи2)к9
причем факторгруппа L/H^K изоморфна с H2lK, a LjH^K—с Н^К-
Докажем это же при помощи инфинитезимальных операторов. Пусть
инфинитезимальными операторами групп G/АГ, HjK, являются
01 к \ xiy...,xn,
HJK\ ...,Ym,
HJKI zb ..zq.
В силу нормальности делителей Н^К и Н2]К имеет место
^Zj)=^zs.
В частности, полагая в первой формуле Х4 — Zb а во второй Хг = Yi9
будехМ иметь
(Г., Z.) = — c*.Y = ~c*.Z .
?? J* Jl S 1J s
Но в силу взаимной простоты групп HjjK и H2jK между операторами
у Y 7 7
не может быть линейных соотношений, в силу чего
(ypZ;) = 0. (17.1)
Система инфинитезимальных операторов
Yv Y„- Zt, Zq (17.2)
составляет в силу (17.1) группу, которая и является прямым произведе-
нием L — HjKX Н%!К. Группы HJK и H2jK служат для нее нормаль-
206 ОСНОВНЫЕ ФАКТЫ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГРУПП ЛИ [ГЛ. III
ными делителями. Вместе с тем, приравнивая Zi нулю, мы получим
группу с инфинитезимальными операторами Ур Уо, Уж, т. е.
изоморфную с HJK, в силу чего
L/H.2lK+-+H1lK, (17.3)
и аналогично
(17.4)
В данном случае L должно совпадать с GiK, так как в противном
случае G/К содержало бы нормальный делитель L, содержащий и
и Н2]К, так что Н2 не были бы максимальными нормальными дели-
телями группы G. Но группа GlK^HjK получается, если в группе G!tK
(или в G) приравнять нулю операторы группы HJK (или соответственно
HJ, в силу чего из равенств (17.3), (17.4) получается
GiH2<-+HjK, (17.5)
GfH.^H^K, (17.6)
и требуемый изоморфизм доказан.
В силу максимальности Нх и Н2 группы О[Нг и G]H2 просты,
а потому просты и Н21К, откуда вытекает, что К является
внутри каждой из групп Н19 Н2 максимальным нормальным дели-
телем.
5. Композиционный ряд. Выберем в группе G один из ее макси-
мальных нормальных делителей Gj в Gr опять один из его макси-
мальных нормальных делителей G2 и т. д. Таким путем мы получим
последовательность групп убывающих порядков, в которых каждый
последующий член является максимальным нормальным делителем
предыдущего. Так как группа G имеет конечный порядок, то эта
последовательность должна закончиться группой нулевого порядка,
т. е. единичной группой:
G, Gp О2, ..., Gs_p 1. (17.7)
Такого рода последовательность называется композиционным рядом.
Очевидно, что соответствующий ему ряд факторгрупп
G/Gp GjG2, ..., Gs_2)Gs_v G,^ (17.8)
состоит из простых групп.
Группа G может иметь несколько различных композиционных рядов.
Однако все соответствующие этим композиционным рядам ряды
факторгрупп состоят из попарно изоморфных простых групп и могут
только быть расположенными в различных порядках. Именно, имеет
место
Теорема 49 (Жордана-Ге льдера-Л и). Если
I. G, G„ ..., Ga_lf 1,
II. G, Gp G-_v 1
КОМПОЗИЦИОННЫЙ РЯД
207
§ 17]
суть два композиционных ряда группы G, то в соответствующих им
рядах факторгрупп
G/Gj, GJO2, ...» Ge_p
G/Gp GJG2, G-_x
для каждой факторгруппы Gi_1/Gi первого ряда можно найти изоморф-
ную с ней факторгруппу второго ряда, и обратно, причем каждый
ряд содержит одно и то же число групп, изоморфных с G^JG^
Отсюда также следует 5 = s.
Доказательство. Докажем теорему по индукции. Очевидно, что
теорема справедлива для s = l, когда группа G проста. Предположим,
что теорема доказана для всех нормальных делителей группы Gy
и докажем ее для группы О. Для. этого обозначим через Н2 пере-
сечение групп G1 и Gv Из теоремы 48следует, что существуют
композиционные ряды, начинающиеся членами G, Gp Н2 и G, G2, Н2~
Пусть это будут
III. G, Gp Н2, Н.3, 1,
IV. G, Gb Н2, . .., 1.
В силу теоремы 48 им соответствуют изоморфные ряды факторгруппы,,
так как
G/Gj^Gjtt,, G/Gx <--> G]///2,
а эти ряды отличаются только первыми двумя членами:
G/Gp GjH2, ЯД, .. .,
G/Gp GJH2, H2IH3.
С другой стороны, композиционным рядам I и III тоже соответствуют
изоморфные ряды факторгрупп, так как ряды I и III имеют два одина-
ковые члена G, Gn а для Gj теорема предположена доказанной.
То же имеет место для рядов II и IV. Сопоставление этих фактов
позволяет считать теорему доказанной.
6. Если мы имеем последовательность групп
о, Gp G2, ..., (17.9>
в которой каждый последующий член является нормальным делителем
предыдущего, то эту последовательность можно дополнить до компо-
зиционного ряда, вставляя между ее членами новые группы. В самом
деле, пусть (17.9) не является композиционным рядом, и пусть GjGi+1
будет первой в ряду факторгрупп, не являющейся простой группой.
В силу теоремы 46 это означает, что Gi+1 не является максимальным
нормальным делителем группы Gn т. е. что существует нормальный
делитель Н группы Gif содержащий Gi+1 и отличный как от Gif так
и от Gi+1. Вставляя Н в ряд (17.9) между G, и G,;+p мы получим
новую последовательность такого же рода, но с ббльшим числом.
208 ОСНОВНЫЕ ФАКТЫ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГРУПП ЛИ [ГЛ^ III
членов. Такой процесс вставки членов должен притти к концу, так как
ряд (17.9) не может содержать более г+1 членов, где г — порядок
группы О. Мы придем к ряду, который далее нельзя дополнять, т. е.
в котором все факторгруппы будут просты.. Такой ряд и является
композиционным.
7. Разрешимой группой называется группа, у которой все фактор-
группы композиционного ряда суть одночленные группы» Число членов
композиционного рйда равно в этом случае точно /*+1.
8. Теорема 50. Абелевы группы всегда разрешимы.
Доказательство. Если Xv Х^, ..., Хг — инфинитезимальные опера-
торы абелевой группы G, то система любых их линейных комбинаций
образует подгруппу группы G, и притом ее нормальный делитель, что
вытекает из формул
а (Х%, ^) = 0 (6=1, 2, ..., г).
Таким образом, вводя обозначение Gt- для группы, образованной опе-
раторами
..., Хг.
$мы получим композиционный ряд
G, Gp ..., G., ..., 1,
в котором ряд факторгрупп состоит из одночленных групп, что дока-
зывает теорему.
9. Возьмем в качестве последовательности (17.9) последователь-
ность
G, G', G", ..., (17.10)
в которой каждый последующий член является производной группой
'Предыдущего члена. Эта последовательность обладает в силу теорем
7 и 8 (§ 2.18, 2.19) следующими свойствами:
1) Каждая факторгруппа GW/G^1) абелева.
2) Каждая группа G<0 является нормальным делителем не только
G0-1), но и всей группы G.
Последовательность (17.10) или заканчивается единичной группой
или доходит до группы, совпадающей со своей производной группой.
Имеет место
Теорема 51. Для того чтобы группа G была разрешимой, необхо-
димо и достаточно, чтобы ряд ее последовательных производных групп
заканчивался единицей.
Доказательство. 1°. Если ряд (17.10) заканчивается единицей, то
соответствующий ему ряд факторгрупп
G/G', G'/G", ..., G^/GO*-1*, ...,
состоит в силу 1) из абелевых групп. В силу теоремы 50 ряд (17.10)
сможет быть дополнен до композиционного. ряда, в котором все
§ 17]
КОМПОЗИЦИОННЫЙ РЯД
209
факторгруппы одночленны, а потому группа G разрешима, что и
требовалось доказать.
2°. Пусть G — разрешимая группа. Тогда ее максимальная под-
группа Gr имеет индекс 1 относительно G; группа GlGr одночленна,
а потому абелева, в силу чего из теоремы 7 (§2.18) следует, что
производная группа G' содержится в Gt и, стало быть, имеет порядок
ниже чем G. Вместе с тем группа G' тоже разрешима, так как, взяв
в роли ряда (17.9) последовательность G, G' и дополнив ее до ком-
позиционного ряда, мы в силу теоремы 49 получим ряд
О, Н19 Hq_v G', Hq,..., Н8_19 1,
у которого все факторгруппы одночленны. Но это же имеет место и
для части G', Н19 ..., Hs_v 1 этого ряда, в силу чего О' разрешима.
Продолжая рассуждение, мы получим, что G" имеет низший поря-
док чем G' и тоже разрешима. Таким образом мы убедимся, что ряд
(17.10) состоит из групп, порядки которых убывают, а потому он
должен закончиться единичной группой, что и требовалось доказать.
" 10. Теорема 52. Разрешимая группа всегда содержит отличный от
единичной группы абелев нормальный делитель.
Доказательство. Таким делителей является предпоследний член
ряда (17.10) производных групп.
11. Теорема 53, Всякая подгруппа разрешимой группы тоже раз^
решима.
Доказательство. Пусть G — разрешимая группа, Н—ее подгруппа:
GdH. Отсюда, очевидно, следует аналогичное соотношение для про-
изводных групп: G' зэ И', и точно так же и для высшйх производных
групп. Но в силу теоремы 51 ряд (17.10) заканчивается единичной
группой, а потому единичной группой закончится и ряд
Н, И', Н", ...,
а потому в силу теоремы 51 группа Н разрешима.
12. Ли доказал следующую замечательную теорему, которая не
имеет аналога в теории конечных групп:
Теорема 54 (Ли). Если группа G разрешима, то существует компо-
зиционный ряд
G, Gp G2, . .., Gr_p 1,
в котором факторгруппы GifGi^l одночленны, а всякая группа Ож-
ивляется нормальным делителем группы G.
Доказательство. Предварительно докажем, что G имеет одночлен-
ный нормальный делитель. В силу теоремы 52 она имеет абелев нор-
мальный делитель Н. Дополним ряд
14 <?ак. Хг 1132. Н. Чеботарев
G, Я, 1
210 ОСНОВНЫЕ ФАКТЫ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГРУПП ЛИ [гл. III
до композиционного в первом промежутке G, Н:
о, G,.....Gs_p Н, 1. (17.11)
Пусть
Yv У2, ..., Yq (q = r—s) (17.12)
— система инфинитезимальных операторов абелевой группы Ни пусть
системы инфинитезимальных операторов групп G8_v G8_2,...9 Glf G
образуются путем постепенного прибавления к системе (17.12) опе-
раторов
Х19 Х2, ..., Х8. (17.13)
Будем вести доказательство постепенно для G8_v G8_2,..., Gv G.
Из того, что Н есть нормальный делитель группы G8_v следует, что
операторы (Xv линейно (с постоянными коэфициентами) выра-
жаются через Y4:
(Xit У.) = а*ук (i=\, 2, ..q). (17.14)’’
Умножая (17.14) на (пока неопределенные) множителй d и сумми-
руя по /, получим
(*р ?Г.) = а*С%. (17.15)
Решим систему однородных линейных уравнений
ак.с* = pc* (6 = 1, 2, ..., q), (17.16)
где р — пока неопределенный множитель. Чтобы она имела решение,
нужно в качестве р взять один из корней уравнения
Iй*-ps*l=°- (17Л7>
Подставляя его в (17.16) и решая (17.16) относительно мы можем
получить полную систему Ур У2,..., Yu операторов группы Н, для
каждого из которых имеет место
(Хр У£) = рУ, (/=1, 2, ..., и). (17.18)
Так как группа Gs_t образуется операторами Xv Yv У2, ..., Yq9 то
для ее произвольного оператора имеет место
(а^ + ^Г,, У<) = рК< (< = 1, 2, .... в),
в силу чего каждый из операторов Ур У2, ..., Yu производит одно-
членный нормальный делитель группы GS_P
Образованная операторами Ур У2, .. ., Yu группа Ht является также
нормальным делителем группы G8_2. Чтобы доказать это, обратимся
к конечным преобразованиям и будем обозначать через Г2 конечное
преобразование группы G8_2. Инфинитезимальные операторы группы
Г2//17^’1 получатся, если мы подвергнем переменные в инфинитези-
мальных операторах группы Ht преобразованиям Т2. Пусть это будут
§17] композиционный ряд 211
Подвергая равенство (17.18) преобразованию Г2, мы получим
(X, —
Но так как в силу нормальности Gs_t относительно Gg_2
Х' = aXt + Х'У (v = 1, 2, .. ., q),
откуда [ Y. с Н, а потому (У.? У4) *= 0]
(г у') = -₽ у' (Z=l, 2, ...» и).
Но мы видели, что ~ должно быть корнем уравнения (17.17), кото-
рых мы имеем конечное число. С другой стороны, непрерывно меняя
параметры преобразования Т2, начиная с тождественного преобразо-
вания, мы заставим непрерывно меняться от р, пробегая вместе
с тем только корни уравнения (17.17). Это возможно только при
Р
— — р, откуда
. (*Р ^) = >< = 2, и),
а это показывает, что У^ есть оператор группы Hv что и требовалось
доказать. •
Таким образом (Х2, У^) являются линейными комбинациями от
Ур У2, ..., Yu, и мы можем приложить к Х2 те же рассуждения,
которые мы применяли к Xv Мы получим подгруппу Н2 группы
для операторов которой имеет место
(*,, У<) = рУ<> (Х2, У<) = °У<.
Переходя затем к группе Ge_3 и продолжая рассуждения, мы в конце
концов найдем хоть один оператор У, для которого будет иметь
место
(Хр У) = рУ, (Х?, У) = а2У, (Х„, У)=ЧУ.
(Ур У) = о (/=1, 2,..., <7),
в силу чего образованная оператором У одночленная группа Gr
является нормальным делителем группы G, что и требовалось дока-
зать.
Группа GlGx тоже разрешима, а потому к ней опять можно при-
менить все наши рассуждения. Продолжая процесс, мы найдем требуе-
мый композиционный ряд, что и требовалось доказать.
13. Термин разрешимая (или интегрируемая) группа ведет свое
начало от того значения, которое разрешимые группы имеют в теории,
интегрирования диференциальных уравнений. Не входя в детали этой
теории, условимся в следующем выражении: будем говорить, что
линейное уравнение в частных производных
Л(Г) = 0 (17.19>
14*
212 ОСНОВНЫЕ ФАКТЫ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГРУПП ли ’ [гл. III]
допускает группу G, если ее преобразования переводят решения урав-
нения (17.19) в решения тоголке уравнения. Обращаясь к §15.2,
мы увидим, что для этого необходимо и достаточно, чтобы имело место
(Д, ^) = М, (17.20)
где Xt— инфинитезимальные операторы группы G, а — некоторые
функции. Тогда имеет место:
Теорема 55. Если уравнение (17.19) допускает (п—1)-членную
разрешимую группу G, инфинитезимальные операторы которой
X» X* хп_. (17.21)
вместе с оператором 4(F) составляют линейно несвязанную систему,
то уравнение (17.19) интегрируется в квадратурах.
Доказательство. Выберем операторы (17.21) так, чтобы каждая
система операторов Xv Х2,...,Х{ —1) образовала нор-
мальный делитель группы G. Тогда система
A(F) = 0, Х,(Г) = 0, Ara_2(F) = 0 (17.22)
является полной и потому имеет решение и. В силу (17.20) и
(Хп-1> Х{} = G-l, { *1 + • • • i Хп-2
функция Хп_1(и) тоже является решением системы (17.22), Притом
отличным от нуля в силу несвязанности операторов A, Х{, ..., Xn_v
Полагая
Хп-1 (и) = ?(«)>
мы убедимся, что решение
/du
<?(“)
удовлетворяет системе уравнений
4(F) = 0, A'1(F) = 0, . .., ?Г„_2(Р) = О, Л(„_1(О = 1-
Но решение этой системы находится в квадратурах, так как из нее
., дТ „ „
можно найти выражения производных-^, что позволяет найти F по
полному диференциалу
dF=— dx1 + — dx2 4- I -4- dxH
dx^ ' X dx™ *
С другой стороны, наши рассуждения показали, что решение F=ul
действительно существует.
Преобразуем систему (17.22) так, чтобы х1 = и1. Тогда в опера-
дТ
торах Д, X, ..., Хп_2 производная — = 0, и мы можем считать х1
просто параметром. Решая систему
4(F) = О, Xt (F) = 0, . .., Xn_3(F) = О, Х„_2 (F) = 1
и продолжая процесс, мы в конце концов получим все решения урав-
нения (17.19) в квадратурах, что и требовалось доказать.
ГЛАВА IV
ГРУППЫ НА ПРЯМОЙ И НА плоскости
§ 18. Группы на прямой
1. Одним из первых и замечательнейших результатов Ли является
его перечисление всех возможных типов групп на прямой и на, плос-
кости, т. е. групп, представляемых в пространстве одного и двух
измерений. Несмотря на то что в настоящее время, когда интересы
специалистов по теории непрерывных групп направлены на изучение
внутренней структуры групп, эти вопросы не имеют видимых перспек-
тив, я все же счел нужным поместить их в книге, во-первых, ввиду
внутренней красоты самого результата, а во-вторых, ввиду приложений
этих вопросов к интегрированию уравнений (перечисление типов инте-
грируемых уравнений).
2. Основным понятием, которым оперировал Ли, является понятие
порядка оператора относительно какой-нибудь точки. С этим понятием
мы уже отчасти познакомились в § 15.4. Порядком инфинитезимального
оператора
•¥('л = е,£+'2£+-- + Е"<£ <18Л)
относительно точки H40(xJ, х2, . . ., х”) называется наименьшая сте-
112 2 п п
пень относительно переменных х —х{|, х —xQ, .. ., х —х() , с ко-
торой начинаются разложения функций g1, $2, .. ., Zn в ряды Тейлора
вблизи точки 7И0.
Если точка Мо не особенная, т. е. не уменьшает ранга матрицы
группы G, то транзитивная группа содержит ровно л независимых
операторов нулевого порядка, из которых нельзя составить линейную
комбинацию более высокого порядка. Составляя независимые системы
их линейных комбинаций, мы сможем привести операторы к виду
' *! = £+•••> = = (18.2)
где невыписанные члены имеют порядок выше нулевого. Присоединяя
к остальным инфинитезимальным операторам группы G линейные ком-
бинации операторов (18.2), мы всегда сможем получить из них опе-
раторы более высокого порядка. Совокупность последних образует
группу, которую мы назвали стационарной подгруппой.
214
ГРУППЫ НА ПРЯМОЙ И НА плоскости
[гл. IV
Будем считать инфинитезимальные операторы группы подобранными
так, чтобы их порядки были возможно более высокими. Тогда каждая
совокупность операторов порядков 7а=Х, где X— любое целое число,
составляет группу (которая будет единичной, если группа G не содер-
жит инфинитезимальных операторов порядка > X). В этом мы убе-
димся при помощи формулы
а*-з>
из которой видно, что если Xt имеет порядок X, a Xj— порядок р.,
то порядок (Хр Xj) по крайней мере равен X-j-p*—1.
Более того, при р- 1 имеет место
X —j— р. 1 л,
в силу чего все группы, образованные операторами порядков >Х,
являются нормальными делителями стационарной группы.
Все операторы самого высокого внутри группы порядка Х>2
образуют абелеву группу. В самом деле, их производные операторы
имеют порядки ^2Х—1 > X, в то время как группа G не содержит
операторов порядков выше X.
3. Группы на прямой. Рассмотрим группу G в пространстве одного
измерения. Пусть ее операторы
Xv Xv Хг (18.4)
приведены к системе операторов возможно более высоких порядков.
Так как в силу п = 1 для каждого порядка может существовать
только один инфинитезимальный оператор, то операторы (18.4) могут
быть представлены в таком виде:
^ = р+..., ^ = х*2р+..., Хг = х*гр+...у (18.5)
dF п
ГДе P==z^ и 0<а2<а.3< ... <аг.
Составляя onepaTOB\zVr_p Хг\ мы сможем представить его в виде
(*,-р Xr) = («r—• • •
В силу аг>аг_1 этот оператор отличен от нуля. С другой стороны,
чтобы оператор (Xr_v Хг) входил в группу G, необходимо, чтобы
соблюдалось условие
«г + аг-1—
откуда
«г-i 1 •
Это показывает, что группа G содержит не более трех инфинитези-
мальных операторов:
Н = Р + • • •, ^2 — ХР • • • > *з = х*Р 4" • • •
(<¥р ^3) = а^-^+...,
§ 18]
ГРУППЫ НА ПРЯМОЙ
215
а это показывает, что в группе должен существовать оператор порядка
а—1, что возможно только в случае а —1 = 1, т. е.
а = 2.
Таким образом наиболее общая группа в пространстве одного изме-
рения имеет операторы вида
^==Р+..., Х2 = хр-]-..., Х3 = х2р-\~... (18.6)
Тогда производные операторы выразятся через Xv Af2, Х3 так:
(Х1г AQ = . = АГ1-|-АЛ8+рАГ8,
(Ху XJ = 2хр + ... = 2АГа + рАГ3,
(Xv XJ = x>p + ...=Х3.
Отсюда
(Хр + f *3) = *1 + (X + p)X, + (l* + 4)*3 =
= Л’14~(Х> + р) ^.¥2 Ц--g-aQ
так что, обозначая A^-f-y Х3 через Х2, рЧ~Х через X, а р—
через р., получим:
(АГР XJ = X. + \Х2 + рАГ3, (AQ, XJ = 2Х2, (Х2, XJ = АГ3.
Отсюда
(ag + ^АГз, АГ2) = (АГр XJ-^(X2, Xj = (xl^ Х3^кХ2,
. (А\ + £ Х3, XJ = 2Х2, (Х2, XJ = Х8.
Обозначим XY -j- у Х3 через Xi. Тогда
(Afp XJ = AG + (^> XJ = 2Af2, (Х2, XJ = Х3.
Применяя тождество Якоби
((Afp Х2), Х3) + ((Х2, XJ, XJ + ((X3, XJ, AQ = 0,
(Afp Af8) + A(Af2, АГ3)+(АГ3, XJ-2t(X2, X2) = 0,
t. e.
X = 0,
и мы приходим к следующим соотношениям:
| Х2) = Х1Э (^, Х3) = 2Х2, (ЛГ2, Х3)=Х3. | (18.7)
Эти соотношения определяют группу дробных линейных подстано-
вок (см. § 8.17). Таким образом
216
/
ГРУППЫ НА ПРЯМОЙ И НА плоскости
[гл. IV
Теорема 56. Всякая группа преобразований в одномерном про-
странстве изоморфна с группой дробных линейных подстановок или
какой-нибудь ее подгруппой.
4. Докажем, что группа (18.7) не только изоморфна, но и подобна
группе дробных линейных подстановок. Пусть
*i = ? (х)р = (1+ .. .)р,
= (х)Р= (*+•••) А
Лд = 0>(х)р = (х24- ...)А .
Вводя вместо х переменную
/dx
Ф (*)
получим
Хг = Ъ(х)р = (х-\- .. .)а
Аз = <о(х)р = (х24- ...)а
(18.8)
Соотношения (18.7) дают
£</ = 1, а/ = 2i}>, 6а/— а)ф'= 0. (18.9)
Интегрируя последовательно первые два из этих диференциальных
уравнений и принимая во внимание аналитическую форму (18.8) инте-
гралов, получим
6 — X, О) = X2.
Третье уравнение удовлетворится само собой, и мы приходим к обыч-
ное форме операторов группы дробных линейных подстановок:
Xi =р, Х2 = хр, Хэ = х2р.
(18.10)
§ 19. Примитивные группы на плоскости
1. Чтобы получить все типы транзитивных и примитивных групп на
плоскости, рассмотрим одну из таких групп— G. Считая точку Л4о(0, 0)
обыкновенной точкой группы G, расположим ее инфинитезимальные
операторы по порядкам, приведя путем линейного комбинирования все
операторы данного порядка к наименьшему числу независимых.
В силу, транзитивности группа G содержит два независимых опера-
тора нулевого порядка, которые можно привести к виду
Xl=p+..., X2 = q+... (19.1)
Остальные операторы составляют стационарную подгруппу Go группы G,
имеющую порядок г—2, если г — порядок группы G. В силу прими-
тивности группы G эта подгруппа является максимальной (см. § 2.25,
теорему 12). Поэтому, если мы будем составлять производные опера-
§ 19]
ПРИМИТИВНЫЕ ГРУППЫ НА плоскости
217
торы от всех операторов группы Go с каким-нибудь одним оператором^
не входящим в О0, например, Xt + АЛ2, то непременно получим хотя бы
один раз оператор, не приводящийся к комбинации —f-с опера-
торами группы Go (иначе операторы группы Go вместе с Х1-[-кХ2
составляли бы промежуточную между О0 и О группу, что в силу тео-
ремы 12 указывало бы на импримитивность группы G).
Оператор (А^Ц-АА^, А^), где Xs — оператор s-го порядка, имеет
порядок <$ — 1 и потому при s > 1 всегда принадлежит к Go. Потому
нам надо испытывать только операторы первого порядка.
Для каждого отдельного оператора первого порядка
Х = (ах-фby)р ф- (сх + dy) q ф- ... (19.2>
(19.3)
пропор-
ем.4)
(19.5)
опреде-
можно подобрать X так, чтобы (Xr ф- ААф X) выражалось через Go,
и А^ф-ААф В самом деле,
(Хг + кХ2, X) = (а + bk)p^(c + dl)q^...^
так что для нашей цели достаточно подобрать a-\-bk, c-\~dk
циональными 1, А:
а-}-Ьк = р, сф dk — рА,
откуда
а — о, b
j =°-
с, d — р
Один из полученных двух корней надо подставить в (19.4) и
лить искомое значение X.
Нашей ближайшей целью является показать, что в случае прими-
тивности группа содержит по крайней мере три инфинитезимальных
оператора первого порядка. Для этого рассмотрим отдельно следующие
два случая:
1) . Группа содержит по крайней мере один оператор первого
порядка, для которого уравнение (19.5) имеет различные корни. Пусты
этим корням соответствуют операторы
ли — Хх ф АЛГ2 — р ф- kq ф- .. .,
АГ2 = Хг ф- уХ2 = р ф- \±q ф- . ... (X ф и)
(19.6),
После линейного преобразования переменных
x = x^yv, J/ = Xx1 + txy1,
из которого следует
dF 'dF , . dF dF dF . dF
oxx dx 1 dy dyi dx 1 ‘ dy i
операторы (19.6) приобретают вид (мы опускаем значки при v15>
*2):
= р 4- • • • > ^2 — я 4~ • • •
Должно иметь место
(Xv Х) = аХ1+...(Х29 Х) = ?Х2 + ...,
218
ГРУППЫ НА ПРЯМОЙ И НА плоскости
[гл. IV
в силу чего
ap + cq-\- ... =ар+ ..bp-}-dq-\- ... = ??+ ..
т. е.
с = b — 0.
^4так
X — ахрdyq.., (19.7)
причем в силу неравенства корней уравнения (19.5) имеет место
а ф d.
Кроме оператора X, группа О0 должна содержать еще оператор
—(«1^ + М)р + (^ + ^)?+ •••»
в котором фО, с{ ф 0, или же два оператора такого рода, в одном
мз которых ф 0, а в другом сг ф 0. Имеет место
{X, Y) = (a — Ь)(см — ^р)+ ....
а потому группа Go содержит еще оператор
Z^c^q — b^p-^-...,
а также оператор
(X, Z) = ctxq 4- btyp -4 ...
В случае, если ci ф 0, Ь{ ф 0, мы сразу заключаем о присутствии
в группе О0 операторов
U = xq^,.,9 V = yp+... (19.8)
Если же, например, с{ ф 0, = 0, то мы заключаем о присутствии
только оператора U9 но зато из существования другого оператора,
у которого Ьг ф 0, заключим о присутствии V,
Таким образом группа должна содержать или все четыре оператора
первого порядка:
U=Xq9 V=yp-\-..., W—xp-\-...,
т — уч + • • •>
или, по крайней мере, три следующего типа:
(19.9)
U = xq-\-.,., V=yp-\~,.,9 X — ахрdyq.. . (а ф #)• (19.10)
Но так как (LT, V} — xp—УЧ~\~ . • •> то X должен в этом случае быть
пропорционален (U, V), откуда а=1, d = —1.
2) . Для всех операторов первого порядка уравнение (19,5) имеет
кратные корни. Оказывается, что для примитивных групп этот случай
невозможен. Пусть, в самом деле, оператору X^-^-zX^ где z— про-
извольное число, а
Л'з = (ах -J- by) р 4- (ex + dy) q 4-...
Xv= (aye 4- bty) p 4- (eye 4- dty) q 4- ...,
§ 19]
ПРИМИТИВНЫЕ ГРУППЫ НА плоскости
219
соответствуют кратные корни уравнения
а 4~ zar — р,
с
b zb j
d~^zdx—р
Это означает, что дискриминант этого уравнения
[а — d-yzta,! — dfj)]2 * 4“4 + ^i) (с + ^i)
обращается в нуль тождественно относительно z, Отсюда получаем
(а _ 4bc == 0, (at — dj2 4~ 4Ь^ = О,
(а — d) (ах — d<) 4~ 2 (bct 4“ cbj — О,
что дает
bcx — cbx = О,
т. е.
Ь1=(зЬ9 с1 = (зс, ах— dl = a(a— d).
Но для операторов Х$, Х± корни р, рх равны
CL —d Ол + d\
Р = ~2->
после чего из (19.4) получим значения к, лх:
Таким образом оператор
вместе с Go образует промежуточную группу, и если группа G не
содержит других операторов первого порядка, то она импримитивна.
2. Докажем теперь, что примитивная группа Q не может содержать
инфинитезимальных операторов выше второго порядка.
Пусть группа G содержит оператор
Q =
где под 5, т, мы будем разуметь однородные полиномы s-й степени
от х, у. Тогда
(и, q)=(x^4- ..
так что, если коэфициент $ при р в операторе Q содержит у, то коэфи-
циент при.р в операторе (U} Q) не равен нулю и содержит у в более
низкой степени, а х в более высокой. Продолжая этот процесс, мы
в конце концов придем к оператору типа
= (19.11)
[если бы в Q коэфициент с = 0, то мы бы составляли операторы (V, Q)
и т. д. и обращали бы внимание на их коэфициенты при
220 ГРУППЫ НА ПРЯМОЙ И НА плоскости [гл. IV
Группа G также содержит оператор
S=(^1, R) = (p-]~ . . xsp -f- t^q 4- .. .) = sxs-1p + -^-9+ ...,
а также оператор
(5, R) = (sxs-*p4- 4g-q4-..., xsp 4- у4-...) = sx?s~*p4-^4-...
Этот оператор, очевидно, не равен нулю.
Теперь предположим, что s есть наивысший порядок операторов,
содержащихся в G. Тогда, в частности, (S, 7?) не может быть порядка
выше $, откуда 2s — 2 s, т. е.
5 <2,
что и требовалось доказать.
3. Рассмотрим случай, когда G содержит три инфинитезимальных
оператора первого порядка типа (19.10):
U=xq-}-..., V—yp-\-..., X = xp-yq-\- (19.12)
и докажем, что в этом случае группа не может содержать инфини-
тезимальных операторов второго порядка. Возьмем такой оператор
в форме (19.11):
^ = х2р4-(ах24-^ху4-ху2)^4-..(19.13)
и составим операторы
(Xv R) == 2хр 4- (2<хх 4- £у) q 4- ..
(^2,/?) = (?х4-27У)^+...
Так как, согласно условию, эти операторы должны быть линейными
комбинациями операторов (19.10), то должно иметь место
7 = 0, £ = —2,
откуда
7? — х2р (ах2 — 2ху) q . •
Далее, группа G содержала бы оператор
(7?, U) — (х2р-{-(ах2— 2ху) q-\- . .., xq-}-...) = 3x2^-f- . . .,
т. е. оператор
S = x2q-\-...,
а также оператор
(7?, 5) = (х2р -j- (ах2 — 2ху) q + ..., x2q -{-...) =
т, е. отличный от нуля оператор третьего порядка, что невозможно.
4. Перейдем к случаю, когда группа G содержит четыре инфини-
тезимальных оператора первого порядка, и сохраним за ними обозна-
§19] ПРИМИТИВНЫЕ ГРУППЫ НА плоскости 221
чения (19.9). Пусть, кроме того, G содержит оператор (19.13). Тогда
она должна также содержать
5 = (t7. R) = (xq-\- . .) =
= [(?— 1)X2-4-2ухд>]
(5, Я)= {[(? — 1)x2H-2txj/]94-. .x2p4-(ax2+?x^+v2)? + -- •}=
= [(? — 1) (₽ — 2) — 2a-f] x'q — 4^x2yq — 2y2x2yq -["*•••
Этот оператор третьего порядка должен обращаться в нуль, откуда
7 = 0, (?-1)(?-2) = 0.
1) Положив р = 2, у = 0, получаем:'
7?1 = х2р («х2 4" 2хУ) Я 4~ • • • > — x2q + .. .,
откуда
R = R — aS = х2р 2xyq 4~ • • •, 5 = Х~Я 4~ • • • >
а также
(V, S) = (ур + ..х2?+ ...) = 2xyq — х2р + .. •
Таким образом G содержит операторы х2р4~ • • •> х2^4~ • • •, ив СИЛУ
этого также отличный от нуля оператор третьего порядка
(х2р 4- . . ., x2q 4“ . <.) = 2х3<7 4~ • • •,
что невозможно.
2) Положив р=1, 7 = 0, получаем:
R = x2p^(ax2 + xy)q-{-. . S = 0.
G содержит также
(Т, /?) = (yq + ..., х2р 4- (ax2 + ху) q -4- ...) = — ax2<? 4~ . ..
Если а ф 0, то G содержит St = x2q 4~ • •., а также
(/?, SI) = (x2/?4-(ax24-x^)(7+ .... х2^ + .. .)=х3^+ ..
что опять невозможно, в силу чего a — 0.
Итак, G содержит оператор
R — х2р 4- xyq 4~ . • (19.14)
а также оператор
S=(V, = x’lp-^xyq-]-------) = х^р-}-^ + ...
Имеет место
(/?, S) = 0. (16.15)
Других операторов второго порядка группа G не может содержать.
В самом деле, предположив существование независимого от R и S
оператора второго порядка, мы комбинированием с R и S можем осво-
бодиться в нем от членов х2р и хур, так что такой оператор будет
иметь вид
z — ау2р -j- (3*2 4- уху 4- ЧУ2) я 4- • • •
222
ГРУППЫ НА ПРЯМОЙ И НА плоскости
[гл. IV
В группе будет содержаться тогда также оператор
(/?, Z) — (Р*3 + °ХУ2 — аУ3) Я + • • •
третьего порядка, который должен быть равен нулю, откуда
<х = р = 7 = 3 = О, Z = 0.
Таким образом все примитивные группы на плоскости являются
подгруппами Группы порядка 8, инфинитезимальные операторы которой
имеют следующий аналитический вид:
— Р + • • •> ^2 — Я 4" • • •>
W = xp-\-.. U = xq-\-.. У = ур-\~. . T — yq-^...9
R = x2p-]~xyq-{-..S = xyp -f-y2q-J-. . .
(19.16)
Эти подгруппы могут быть только трех видов: или вся группа (9.16),
или ее подгруппа порядка 6:
Л'1=р-|-..., X2 — q-\-...,
W=xp-\-..U=xq-\-..., V =урЛ-T^=yq~Y.
(19.17)
или, наконец, ее подгруппа порядка 5: -
^1---^2—
U = xq-\-..., V — yp Х = хр—yq 4~...
5. Покажем, что преобразованием переменных можно добиться того,
чтобы невыписанные члены в операторах группы G обращались в нуль.
Обратимся к группе (19.16) и введем обозначения
Хг=р, X2 = q.
W = xp, U = xq, V=yp, T = yq,
R — x2p + xyq, S — xyp -j- y-q
Имеет место
(R, S) = 0;
(W, R) = R, (U,R) = 0, (V,R) = S, (T, ~R) = 0;
(W, S) = 0, (U, S) = R, (V, S) = 0, (7, 5) = 5.
(19.19)
(19.20)
§ 19]
ПРИМИТИВНЫЕ ГРУППЫ НА плоскости
22$
Для операторов группы (19.16) будут справедливы точно такие же
соотношения, так как их правые части могли бы отличаться только на
члены третьего порядка и выше.
Обратимся к следующей группе соотношений:
(Г, U) — U, (Г, V) = — V, (W, 7') = 0;
(Ц V) = W — Г, (U, Т) = Ц (V, T) = —V.
(19.21)
Соответствующие формулы для операторов группы (19.16) могут уже
отличаться на члены второго порядка, т. е. на комбинации операторов
R и 5. Пусть, например,
(Г, T) = a/?4-£S.
Отсюда в силу (19.20)
(№-f-Z>S, T—aR) = 0.
Аналогичным образом комбинируя операторы, а также пользуясь, если
нужно, тождеством Якоби, мы нормируем операторы (19.16) так, чтобы
они удовлетворяли соотношениям (19.21), а также соотношениям
(^,^2) = 0,
(Х1У W) = Хи (Xv U) = Х2> (Xi, V) = о, (Xv Т) = 0;
(Хи R) = 21ГЦ- Т, (Xt, S) = V,
(X* W) = 0, (Х2, U) = О, (Х2, V) = Х1У (Х2, Т) = х2;
(Х2, R) = и, . (Х2, 5) = W + 2Т.
(19.22>
Предоставляем читателю убедиться в этом непосредственной выкладкой.
6. Чтобы перейти к новым переменным, дающим группу (19.19),.
выберем в качестве новых переменных х, у соответственно решения
систем
.^(79 = 1, *2(f) = o
*1(П = 0, *2(Г)=1.
Тогда очевидно, что операторы Хх (F), X2(F) примут вид
У у dF -
дх ’
или в прежних обозначениях
Хх = р, Х2 —
Оказывается, что в силу соотношений (19.20), (19.21), (19.22) это же
имеет место для остальных операторов. Например, обозначая W через:
?р+Ф?[?(о) = о, Ф(О)=о, <?х(0)=1, ?F(O)=o, ^(0)=^(0) = 0],
мы из соотношений (19.22) будем иметь
^хР + ЪхЯ = Р> <?VP + %? = 0,
224 ГРУППЫ НА ПРЯМОЙ И НА плоскости [гл. IV
откуда
о — J (?xdx 4- ®ydy) = J dx = xt
• = J ^Xdx + %<y) = 0.
Аналогично получается аналитическая форма каждого из остальных
операторов.
7. Нетрудно убедиться, что группа (19.19) есть не что иное, как.
группа дробных линейных подстановок на плоскости:
- а'х + b'y + d - __ а"х + Ь"у 4- с" , q
Х ax + by + с ’ У~~ ах + Ьу + с ’ '
Построить из операторов (19.19) конечные преобразования (19.23)
технически весьма громоздко. Поэтому мы примем во внимание, что
инфинитезимальные операторы определяют собой группу, и в силу
этого ограничимся нахождением инфинитезимальных операторов группы
(19.23). Для этого достаточно разложить произвольную функцию
F(x, у) = , а"^У±-с,’\
4 \ ах by + с ах-{-by-{-с /
по степеням параметров вблизи тождественного преобразования, т. е.
в окрестности точки а' = 1, Ь' — с' = а — Ь = 0, а" = 0, Ь"—1,
с” = 0 (параметр с мы имеем право считать несущественным и поло-
жить с — 1).
Имеем
F U У> = F (х, у) + [(а' — 1) х + b'y' + d — ах^ — bxy-\-...]Fx +
-\-[а"х(b"— 1) уd'--аху — by2Fy-\-... =
= F (х, y) + (a'-l)xFx +
+ b'yFx + dFx + a”xFy + (*" -1) yFy + d'Fy -
— a (x2Fx + xyFy) — b (xyFx + y2Fy) + ...
Сравнивая полученные коэфициенты при параметрах с операторами
(19.19), мы убедимся в их совпадении.
8. Аналогично мы убедимся, что полученная из (19.17) группа
yYj = р, Л"2 Qj W — xp, U = xq, V—yp, T = yq (19.24)
имеет конечные преобразования х *= а'х + b'x -j- сy = a/Jx~[-b"y-\-c"' (19.25) (общая аффинная группа), а группа, полученная из (19.18):
X,=p, X2 = q, U—xq, V — yp, X = xp—yq, (19.26)
§ 20] ИМПРИМЙТИВНЫЕ ГРУППЫ НА плоскости 225
есть унимодулярная афинная группа*.
х = а'х-\-b'y-\-cr, y~d'x-\-b"y-\-c", агЬ” — Ьга"=\. (19.27)
Таким образом мы приходим к следующей теореме:
Теорема 57. Всякая примитивная группа на плоскости подобна или
группе дробных линейных преобразований (19.23) или одной из двух
ее следующих подгрупп: общей афинной группе (19.25) или унимо-
дулярной группе (19.27).
§ 20. Импримитивные группы на плоскости
1. Импримитивных групп на плоскости гораздо больше, чем при-
митивных: они могут быть сколь угодно высоких порядков. Чтобы
упростить^ рассуждения, Ли заранее задает систему импримитивности
в весьма простой форме
х — const. (20.1)
Ясно, что путем преобразования можно превратить в такую форму
любую систему импримитивности на плоскости.
Если мы будем обозначать инфинитезимальные операторы искомой
группы G через
= + G=l,2, ..„г), (20.2)
то в силу нашего условия выражения
^(*) = ^ (Z = 1, 2, ..., г)
должны зависеть только от х. Подвергая х преобразованиям группы G
мы заставим ее претерпевать преобразования некоторой группы
в одномерном пространстве. Мы видели в § 18, что каждая такая
группа подобна или единичной (0-членной) группе, или одночленной
группе
Р, (20.3)
или двучленной группе
р, хр, (20.4)
или трехчленной группе
р, хр, х2р. (20.5)
Будем считать, что переменная х преобразована так, что х под влия-
нием группы G претерпевает как раз преобразования одной из этих
групп, и в зависимости от типа этой группы будем классифицировать
возможные группы G по категориям*, назовем их категориями О, 1,
2 и 3.
2. Категория 0. Для групп этой категории система (20.1) является
системой интранзитивности. Так как х остаются неизменными, то все
= 0, и инфинитезимальные операторы приобретают вид
xi = (*> J)Я (1,2, .(20.6)
15 •З’ак. I132- H. Чеботарев
226 ГРУППЫ НА ПРЯМОЙ И НА плоскости [гл. IV
Очевидно, что в них переменная х играет роль параметра, так что,
придавая ей определенное, хотя и произвольное значение х0, мы оста-
вим структурные соотношения между ее операторами неизменными.
Вместе с тем группа G тогда заставит у претерпевать преобразова-
ния одномерной группы, которая опять должна быть одного из типов
(20.3), (20.4), (20.5) (единичной группой она быть не может, так
как в этом случае вся группа G привелась бы к единичной группе).
Будем называть группу G в зависимости от этих случаев принадле-
жащей к классу 01, 02, 03.
3. Класс 01. Функции (х0, у) должны линейно зависеть от одной
из этих функций, например от (х0, у). Тогда
= (/ = 2,3, ..г)
и инфинитезимальные операторы группы G принимают вид
^1 = ^, X2 = ^(x)^q, Хг = <йг{х}^д.
Вводя новую переменную yt по формуле
(частное интегрирование по у), мы приведем наши операторы к виду
= X2 = v2(x)q, . .., Xr = ur(x)<?, (20.7)
где и порядок г, и функции <?Дх) совершенно произвольны. Соста-
вляя операторы (Xif Xj), мы убедимся, что получили группу, притом
абелеву. Ее конечные преобразования имеют вид
х = х, у = [<*! + %(•*)«2 + • • • +?г(х)аг]+л (20.8)
4. Класс 02. Пусть независимы первые два оператора Xv Х2.
Тогда путем замены переменной у можно привести их к виду
*! = <}, X2=yq.
Остальные операторы должны в силу условия иметь вид
^i = (?i(x)q + ^(x)yq (/ = 3,4, ..., г).
Но
(Х2, ХД = (x)yq — (х) q — (x)yq = (x)yq — Xit
откуда видно, что в группу должны входить отдельно операторы
^i(x)yq и Обозначая
= (/ = 3, 4, ..., г),
получим
г. = (^, у,.) = ^(х)^
§ 20] ИМПРИМИТИВНЫЕ ГРУППЫ НА плоскости 227
и далее _
ц. = (^, Yt) = ^x)q,
Vi = (.Ui, ^) = Ф-(*)<7
И т. д.
Но так как группа имеет конечный порядок, а между степенями
функции фДх) может иметь место линейное соотношение с постоян-
ными коэфициентами только тогда, если <^(х) есть постоянная, то из
операторов ^(x)yq в группу может входить только yq, и мы при-
ходим к группе
УЯ, 4-8 (•*) ?> • • • > Ъг (*) Я- (20.9)
Ее конечные преобразования имеют вид
х = х, ,y = a1 + a2J'+a3%(x)+ • • • (20.10)
5. Класс 03. Пусть первые три оператора
X» Х2, X*
при постоянном х независимы, а остальные выражаются через них
следующим образом:
Xi^^^)Xl + ^(x')X2 + ^(x)X3 (/ = 4,5, ...,г).
Можно преобразовать переменную у (считая х параметром) так, чтобы
операторы Xlf Х2, Х3 приняли вид:
^ = <7. Х2=УЯ, Xz=y^q,
так что
Xi = <?i (*) Я+ ^i (x)yq + “»(*) У2Я (7 = 4,5,...,/-).
Тогда группа G будет также содержать операторы
(Х2, Xi) = — о{ (х) q + (х) y*q,
(A's, (Xi,Xi)) = <si(x)q-i-mi(x)y2q,
в силу чего будут также входить в группу операторы
%(•*) У> Фг (х) yq, (Oi (х) y*q.
Невозможность наличия в группе tyi(x)yq мы выдели при разборе
предыдущего случая. Тем более невозможно наличие <*>i(x)y2q, ибо
тогда оператор
(*1, <о4 (x)y2q) = 2<oi (х) yq
тдкже принадлежал бы группе, что при переменной <oi (х) невоз-
можно.
В данном случае невозможно также наличие в группе оператора
так как
(A'g, <?i(x)q) = (y*q, (x)q) = — 2?i(x)yq,
что при переменной c?;(x) опять невозможно.
15*
228
ГРУППЫ НА ПРЯМОЙ И НА плоскости
[гл. IV
Итак, возможная группа класса 03 имеет вид
Я, УЯ, У2Я-
(20.11)
Ее конечные преобразования таковы:
*=* ~у=^А- (20.12>
6. Категория 1. Группа G производит над переменной х преобра-
зования одночленной группы. Это означает, что из функций !^(х)
в выражениях операторов
^ = ^(х)р-{-^(х,у)д (/=1,2, ..., г)
только одна [например (х)] линейно независима, а остальные ли-
нейно (с постоянными коэфициентами) выражаются через нее (ей про-
порциональны):
(х) == а& (х) (/ = 2, 3, ..., г).
Комбинируя операторы мы приведем их к такому виду:
Лг1 = ^(х)р4-'*11(х,у)9', Х1 = т^(х,у)д (/ = 2, 3, ..., г), (20.13).
Операторы Х2, Х%, ..., Хг образуют группу Go порядка г—1,
которая, очевидно, принадлежит к категории 0. Преобразуя перемен-
ные х, у по формулам вида
хг — х. ву1=с?(х, у) (20.14)
так, чтобы они были приведены к одному из канонических типов
(20.7), (20.9), (20.11), мы должны будем, кроме преобразования (20.14)
над переменными, произвести подстановку
ду dF ________ dF dcp dF
dx dyt ’ Ч ду ду ду± 9
которая не изменит формы (20.13) наших операторов. Кроме того,
произведем подстановку над х, которая приведет оператор Х{ к виду
(x9y)q. Будем классифицировать эти группы по классам 11, 12,
13 в зависимости от того класса 01, 02, 03, к которому принадлежит
подгруппа О0. Конечно, существование оператора Хг накладывает на
тип группы Gq значительные ограничения.
7. Класс 11. Группа содержит операторы
P+'W, Я, ЪЯ, •> <?г-1Я>
и потому также оператор
(Я, р + ч\Я) = -^Я-
dF dF
р = = —-
X W г)
§ 20]
ИМПРИМИТИВНЫЕ ГРУППЫ НА плоскости
229
Этот оператор должен быть комбинацией операторов группы, в число
которых, очевидно, не войдет р + Поэтому
77 = + Мз (*) + ^8?3 (*) + • • • + br-1 ®r-1 (*),
откуда следует, что в выражение т] (х, у) переменная у входит ли-
нейно:
-G (х, у) = <?(х) + ^(х)у.
Если мы теперь произведем новое преобразование переменных
= х, У1 = А (х) + В (х)у,
где функции А (х), В (х) удовлетворяют уравнениям
А' (*) + <? (х) В (*) = °, В' (х) + (х) В (х) = 0,
то операторы группы примут вид
Р> <?2 (•*)?’ ?3(*) ?>•••> ?,-(*)?•
В группу также войдут операторы
(Р, %(*)?) = «(•(*)? (4 = 2, 3, ..., г),
которые должны линейно (с постоянными коэфициентами) выражаться
через операторы в силу чего
с?'(х) = а^2(х) + а'’с?з(х)+...+а^г(х) (4 = 2,3,...,/-). (20.15)
Интегралами такой системы диференциальных уравнений являются ли-
нейные комбинации функций вида
хтеах
откуда мы заключаем, что инфинитезимальные операторы групп класса 11
таковы:
а,; Я? а j X tty — 1 ал X
р, е q, хе q,...,x е q
8
(4=1,2,...,$; 2/я»+1=/-).
i= 1
(20.
8. Класс 12, ’Здёсъ, кроме операторов групп класса 11 входит еще
оператор yq. Поэтому оператор
(?, = 77 ч
должен быть линейной комбинацией yq и (oi{x}q, т. е. у
дить в линейно, а в (х, у) в квадрате:
может вхо-
(х, у) = ? (х) + (х) у 4- <о (х) у2.
230 ГРУППЫ НА ПРЯМОЙ И НА плоскости [гл. IV
Но в группу входит также оператор
(УЯ, р + и (х, y)q) — [ — с?(х) + <о(х)_у2]^,
а это может иметь место только при ш (х) = 0. Таким образом в группу
будут входить операторы ср(х)^, ty(x)yq, и мы, подобно тому как мы
это делали в классе 11, получим группу
a.jX ЦХ Ws — X fk^X
р, УЯ, е Я, хе q, . .., х е q
8
(/=1,2,...,$; 2 mi + 2 = г),
i — l
(20.17)
9. Класс 13. Группа содержит операторы
p + ^(.x,y)q, q, yq, y^q,
а потому и оператор
(.Я, р+ч (x,y)q) = ^q.
Отсюда следует, что
V) (X, у) = (х) + By + Су2 + Dy*.
Комбинированием с остальными операторами мы исключаем члены
Ву-^-Су2. Группа содержит оператор
а поэтому также оператор ’
(УЯ, Р + Ф (*) Я + Dy*q) = 2Dy*q — 6 (х) q,
что возможно только в случае О (х) = const, D = 0. Мы получаем
группу
(20.18)
Р, Я> УЯ, у-я-
10. Для полноты таблицы групп категории 1 Ли добавляет еще
тривиальную группу
р. (20.19)
И. Категория 2. У групп этой категории укороченная группа
двучленна, а потому инфинитезимальные операторы последней могут
быть представлены в форме р, хр. В силу этого инфинитезимальные
операторы полной группы G могут быть представлены в форме
xp-j-7]i(x, y)q, p + i\^x,y)q, ^(х, у) q,..i\r(x,y)q. (20.20)
При составлении производных операторов от всех этих операторов3
кроме первого, член хр не может появиться, а значит не может
появиться и первый оператор, в силу чего все операторы, кроме пер-
вого, образуют Подгруппу, которая является группой категории 1 г
§ 20] ИМПРИМИТИВНЫЕ ГРУППЫ НА плоскости 231
может путем преобразования типа (20.14) (которое притом не меняет
формы первого нашего оператора) быть приведена к одному из типов
(20.16), (20.17), (20.18) или (20.19). В зависимости от этого будем
относить группу G к классу 21, 22, 23 и 24.
12. Класс 21. Инфинитезимальные операторы групп этого класса
таковы:
хр + т] (х, у) q, р, x?ie*ixq
(р< = 0, 1. ..mt — 1; г= 1, 2, s; 2'«»4-2 = г). (20.21)
i = l
Присутствие в группе G производного оператора
(р, xp + vq)=p±^q
указывает, что А равно сумме функций Кроме того, в группу
входит оператор
(xp-\~v\q, =
= уСиЩ + (/»<— 1)x^e^q — хт^ё^ A q. (20.22)
Это показывает, что А зависит только от х, так что
ду
-»] = <р (х) у + ®(х).
Но так как равное ty(x)y4~a)/ (х)> тоже зависит только от х, то
</(х) = 0, ф(х) = а, 7] = ay + «(x), ^ = а.
Подставляя в формулу (20.22), мы видим, что все члены правой части,
кроме первого, являются инфинитезимальными операторами группы G;
первый же член в силу mi > — 1 может войти в G только в случае
<хг- = 0. Таким образом операторы группы G должны иметь вид
хр + (аУ + ш (*)) *7» Ру Qy xQy x^Qy • • •> xr'3q- (20.23)
Вместе с тем <о (х) должна иметь вид
, “ (*) = а0 + аус + а2х2 + ... -4~ аг_^хг^.
Подставляя в (20.23) и комбинируя первый оператор с остальными,
мы приведем его к виду
хр Ц- (ау 4~ Ьхг~2) q.
Произведем новое преобразование:
Xj=x, yl=y-\-cxr~2.
Тогда последние г—2 оператора не изменятся, а первые два примут
вид
хр Кг— — а) с 4- #] хг"2^, р 4- (г— 2) гхг”3.
232
ГРУППЫ НА ПРЯМОЙ И НА плоскости
[гл. IV
Если г—2 ф а9 то, беря г==у—2—и комбинируя второй оператор
с остальными, мы получим группу
А ХЯ> . . ., xr~^q~ (20.24)
Но если г—2 —а, то, производя преобразование ~ [случай
Ь = 0 приводит к группе (20.24)], получим группу
хр + [(г—2)у -|-xr-2] q, р, q, xq, .. ., xr~*q. (20.25)
13. Класс 22. Эти группы составляются при помощи групп (20.17)
и таким образом имеют вид
хр-ртК7, Р> УЧ) xe*iXЯ) • • •, xni~1e'iXq (20.26)
(i — 1, 2, . .., s; 2 mi + 3 = r).
i — 1
В такую группу должен также входить оператор
z I а .Я? х а -Ж а -Я/ дъ
(xp-i-fiq.e* q) = aiXe* q — e* q.
Это показывает (в отличие от групп класса 21, не содержащих опера-
тора yq), что есть линейная функция от у, откуда
“П = <0 (х) 4- ф (х) у 4- <0 (х)у2.
Составляя оператор
дт
(yq, xp + iiq)=y-^q— ^ = (— <?(х) + <о(х)^2)^
мы видим, что он может быть линейной комбинацией операторов (20.26)
только в случае <е(х) = 0. Это же должно иметь место для оператора
о(х)</, в силу чего оператор xp-^^q можно заменить таким:
хр + ^(х)^.
Далее,
(р, хр + (х)yq)=p-]~ ф' (x)yq,
откуда следует, что (х) = const, и таким образом в качестве первого
оператора группы мы можем взять хр-j-axyq. Составляем производные
операторы
(хр 4“ axyq, x™t ~1 e*tx q) = (аг* — a) xmt е'х q ф- (пц — 1) xnt ~~1 eiX q,
откуда необходимо = а. После преобразования
— х, У1 = е~аху
мы придем к группе
ХР) Р) УЯг Я) ХЯ) • • •) хг~4Я-
(20.27)
§ 20]
ИМПРИМИТИВНЫЕ ГРУППЫ НА плоскости
233
14. Класс 23. Группа образована операторами
хр + ^Ч, Р, Чу УЧ, У2Ч- (20.28)
В группу также должны входить операторы
(р,
(?> xp-{-rlq) = ^ q,
(УЧ, хр + ту) = (у — 7]) q.
Поэтому функции ,
степени от у. Отсюда
дтп дъ
ду’ должны быть полиномами второй
= а by 4- су2 -ф dy* +/(*)>
У-^—^ = — а + сУ2-^ 2аУ8 —7(х),
а потому d = 0, /(х) = 0. Комбинированием можно привести группу
к виду
хр, Ру Яу УЯу У*Я- (20.29)
15. Класс 24. Группа образована операторами
*P+w>P- (20.30}
Она содержит также оператор
(р, xp-\-i\q) = p-{-^q.
Отсюда = 0, т. е. т) = (у). Предполагая т] = 0, получим группу
хр, р. (20.31)
Если же ф 0, то можно, преобразуя переменную у получить т)=1,
т. е.
xp-\-q, Р- (20.32)
16. Категория 3. У групп этой категории укороченная группа трех-
членна и инфинитезимальные операторы последней могут быть пред-
ставлены в форме х2р, хр, р. В силу этого инфинитезимальные опера-
торы полной группы G могут быть представлены в форме
х^р+'П^х, y)q, хр + т]2(х, y)q, р 4-т)3(х, у) q,
гч(х, У)Чу > -Чг^х, y)q-
234
ГРУППЫ НА ПРЯМОЙ И НА плоскости
[гл. IV
Все эти операторы за исключением первого образуют сами по себе
подгруппу Go, принадлежащую к категории 2. Преобразованием типа
(20.14) (которое не изменит аналитической формы первого оператора)
группа Go может быть приведена к одному из видов (20.24), (20.25),
(20.27), (20.29), (20.31), (20.32). В зависимости от этого мы будем
относить группы категории 3 к классу 31, 32, 33, 34, 35, 36.
17. .Класс 31. Группа образована операторами
Х2р4-Т](х, y)q, xp-\-ayq- р, q, xq, . . .., Xr~iq. (20.33)
В эту группу также должны входить операторы
(р, х*р 4- t\q) = Чхр 4- 4 q, (20.34)
(q, х2р4-^) = -^-^, (20.35)
(xiq, xip + ^q) = xi-^q — ixi+1q (z = l, 2, ..., г —5), (20.36)
{x^q, x2p4-^) =xr-i^q — (r—4)л/-3?, (20.37)
{xp 4- ayq, X*p-Yitf) = x*p 4~ q-\-ay^q — (20 .-38)
Из (20.34) следует, что в группу также войдет Q И q, в силу
= Чау 4- а0 4- Ча^х 4- ... 4- (г — 3) аг_4л/"4,
^ = Ш) + 2а*у+аох+а1*2+• • • 4-a^**r-s-
Линейно комбинируя первый оператор (20.33) с остальными, мы при-
ведем т) к виду
т] = 6 (у) 4~ 2аху 4" ^г-4 (20.39)
откуда /
§- = У(>') + 2ах.
В силу (20.35) 6'(У) = const., (у) = b-|~су, и опять, комбинируя
оператор x^p-^-4\q с остальными, мы приведем к виду
= су 4- Ъаху яг_4*г-3> ]
J^ = 4ay + (г— 3)аг_4х»--\'1
— с 4- Чах.
ду 1
(20.40)
Формулы (20.36) оправдываются без дальнейших ограничений. Из(20.37)
вытекает, что в группе содержится оператор
4
(Ча— г—tyxf-^q, откуда а — —.
(20.41)
§ 20]
ИМПРИМИТИВНЫЕ ГРУППЫ НА плоскости
235
Наконец, из (20.38) следует, что в группу входит оператор
[2«ху + (г— 3) аг_4хг”3 асу + 2а2ху — {a -f- 1) су —
— 2а(а-]~1)ху — (а-]- 1) я,..^-3] q,
откуда в силу (20.41)
(г — 4) аг_4 = 0, с = 0. (20.42)
Если аг_4 = 0, то группа принимает вид
к__4
х2р-[-(г— 4) худ, хр-]-2~Уд' р> <1> ХСЪ--, xr~*q.
(20.43)
Если же яг_4 ф 0, то в силу (20.42) г =4 и группа принимает вид
x2p-±-ar_4xq, хр, р, q.
Пройзводя замену yt = , мы приведем ее к виду
лг_4
х2р 4- xq, хр, р, д. (20.44)
18. Класс 32. Группа образована операторами
x2p-\-^q, *р + [(г—3)у 4~xr“3] q, р, q, xq, . .., xr-±q. (20.45)
Этот случай невозможен. В самом деле, пользуясь формулами (20.35),
(20.36), (20.37), мы докажем, что т) может быть взято в форме
7] = су + (г — 4) ху + <!> (х).
> (А х^р 4- -ад) = 2хр 4- [(г — 4)_у 4- Ц (х)] q.
Таким образом в группе должен содержаться оператор
[(— г + 2) У + У (*) — 2л/- 8] q.
Но это возможно только при г =2, что не осуществляется для групп
категории 3.
19. Класс 33. Группа образована операторами
х2р 4-^> ХР> Р> УЧ> Ъ х4, - • •> xr~5q. (20.45)
Она содержит также операторы (20.34) (а потому и q^ (20.35),'
(20.36), (20.37) и
х2р 4- 7]^) = (j — 7]) q. (20.46)
Поэтому
5- = ?r-BW + ^
236 ГРУППЫ НА ПРЯМОЙ И НА плоскости [гл.
где <?г_5(х) — полином (г— 5)-й степени. Отсюда
•*1 = ?г-4 (*) + аху + ’г' (?)>
= + У (Л
Последнее равенство показывает, что (у) линейный и, следовательно^
ФОО— квадратичный полином. Линейно комбинируя с осталь-
ными операторами группы, мы приведем т] к виду
= аху -|- Ьхг~± + су2.
Подставляя в (20.46), получим оператор
(су2— bxr~*) q,
и его вхождение в группу требует
с = 0, # = 0.
Последняя формула (20.46) дает:
(хг~б<7, х^р axyq) — {а — г-\-5)xr-*q,
откуда
а — г—5.
Итак, группа имеет вид
I х^р + (г—5)xyq, хр, р, yq, q, xq, ..., xr~r'>q. {20.47}
20. Класс 34. Группа образована операторами
х2р + riQ> ХР, Pi У Qi y*Q- (20.48)
Она содержит также операторы
(р, х?р -|- 7]?) = 2хр + q,
(хр, х2р + т^) = х2р 4- х q,
а потому также операторы
<20-49>
Отсюда следует, что
•п = (?) + хч> (у),
где <*>(,у) — квадратичные полиномы. Вместе с тем в группе лежат
также операторы
(Я, х2р + гд) = Y (у) q + W (;>) q,
(yq, х*р 4- ту) = [у{/ (у) — 6 (у)] q 4- х [j<o' (у) — о> (^)] q,
(y^q, х2р 4- rtf) = [/у (у) — 2у^ О)] Я + х [?2а>' (?) — 2уш (j)] q.
Отсюда следует
(о7 (у) = 0, о) (у) = 0.
§ 20]
ИМПРИМИТИВНЫЕ ГРУППЫ НА плоскости
237
Поэтому т] = >!> (у), так что, прибавляя к х2р -f-т] (у) q кратности других
операторов, мы получим т] = 0, и группа имеет вид
х2р, хр, р, q, yq, y2q.
(20.50)
21. Класс 35. Группа образована операторами
*2р + ^, хр, р.
*В нее также входят операторы (20.49), откуда
^>-=0, 7] = О,
дх ’ 1
так что группа имеет вид
х2р, хр, р.
(20.51)
(20.52)
22. Класс 36. Группа образована операторами
+ xP~\~Q> Р- (20.53)
Она содержит также операторы
(р, х2р 4- тде) = 2хр + q,
(xp + q, x2p4-T]^) = x2p + (x|j4-^)^,
а потому также операторы
х^р ф> 2xq, хр ф- q, р.
x2p-\-y2q, xp-\-yq, p-\-q.
Но они должны быть равны нулю, в силу чего
7| = 2х + (у), Y (у) = (У)>
откуда
7] = 2х -р аеУ-
В случае, если а = 0, мы имеем группу
(20.54)
Если же а ф 0, то, произведя преобразование
хг — х, уг = х-\-аеУ,
мы придем к группе
(20.55)
23. Этими группами исчерпываются все возможные импримитивные
группы преобразований двух переменных. Однако среди этих групп
многие подобны друг другу. Это будет иметь место в том случае,
если группы имеют несколько систем импримитивности. Мы не будем
останавливаться на исключении типов подобных групп.
ГЛАВА V
СТРУКТУРА ГРУПП ли
Мы уже видели в § 8.16, что изучение структурных типов групп
Ли может быть приведено к изучению тензоров третьего порядка,
составляющими которых являются структурные константы с8^ групп Ли,
связанные соотношениями
s 8
с.. = — с...
s i I s i * s t z-i
C ..C, “-I— CC . — C, .C . == 0 •
2^ Zrs I jk гз I кг J8
Общая задача исследования тензоров третьего порядка не может,
однако, до сих пор считаться решенной, так как не решен основной
вопрос: узнать при помощи конечного числа действий, эквивалентны ли
два заданные тензора, т. е. могут ли они перейти друг в друга при
помощи обратимой линейной подстановки. Этот вопрос решен в общем
виде только для тензоров второго порядка: а3, (матрицы) и (квадра-
тичные формы). Поэтому для решения задачи нахождения всех структур-
ных типов групп Ли необходимо прибегать к искусственным приемам,
приводящим вопрос к исследованию тензоров второго порядка и
в большой мере опирающимся на имеющие место между константами
с8 соотношения. К числу этих приемов относится подробное исследо-
вание свойств присоединенной группы, а также изучение характери-
стических уравнений групп Ли.
§ 21. Характеристическое уравнение группы
1. В § 13.8 мы нашли инфинитезимальные операторы присоединен-
ной группы, которые мы можем написать в таком виде:
. ЕАЕ) = С^^Р,= ^ (е)Рч (/=1, 2, г), (21.1>
где под у* (е) мы будем разуметь линейные формы
(21.2)
Там же мы убедились, что присоединенная группа изоморфна с фактор-
группой G/Z, где G — заданная группа и Z— ее центр.
[§ 21]
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ГРУППЫ
23^
Присоединенная группа интранзитивна. В самом деле, между г
инфинитезимальными операторами имеет место зависимость
?Е.(F) = г,.? е^Рч = (г,. + е e"pt =0 (г > ji), (21.3}
в силу чего система уравнений
£4(F) = 0 0=1, 2, .... г) (21.4)
относительно г переменных имеет, по крайней мере, одно решение.
2. Характеристическим полиномом (или полиномом Киллингау
группы G называется определитель
4 (е) — ш, V2l (е)> .. 4»
(-1)г *)2 0). ^2 (е) °3’ • * .. 40) = <Р (<>). (21.5>
4е)> v2 е)- .. <0) — “
Коэфициенты этого полинома "являются инвариантами присоединен-
ной группы. Для доказательства достаточно показать справедливость
равенств
ЕД?((о)]= 0 ($ = 1, 2, ..., г), (21.6)
где преобразованиям подвергаются переменные в то время как
<о остается неизменной. Докажем их. Обозначим элементы определи-
теля Д = (—1)го((о) через
к___________________________ А: / \
ь = МО—
а через Т* — его миноры, так что имеет место
v у, к г т-i а
Т. 1 =7 Г7 = 0 . А .
v I v к г
Тогда
Es (Д) = Eg (2 = 2 Еа (т*) гй. (21.7>
г г, к
Но
es (ъ)=% о)<• ~ <Л ~%4=
= Csi 00 — СзЛ (О = Csi 0) — О* «>) — 0)1 — =
= c'.y*— ск "Г.
Подставляя в (21.7), получим
e.w=2 е„«- 2 с;л;г' =
1 л V 4 Л V
= 2 с;, - 2 i г; л=2 «. - <;,) =°.
г, v k^'t v
Вводя обозначения
© (<о) = (О’- 4- (е) (В»--1 -j- Ф2 О) ш»--2 + • • • + 'К-1 (е) “ + % 0)> (21.8)
240 СТРУКТУРА ГРУПП ли [гл.
мы убеждаемся, что коэфициенты
МО, (21.9)
являются инвариантами присоединенной группы.
Из способа образования коэфициентов (21.9) видно, что <ЬДе)
равно сумме диагональных миноров Z-rd порядка определителя | (е) |,
умноженной на (— 1)г. Поэтому, если матрица ||т)*(е)|| имеет ранг*?,
то только первые q из коэфициентов >(21.9) могут быть не равны
нулю.
3. Назовем рангом р группы G число функционально независимых
среди коэфициентов (21.9). Тогда имеет место:
Теорема 5&. Ранг р группы не превышает числа последних в ряду
(21.9) коэфициентов, тождественно равных нулю.
Доказательство. Так как коэфициенты (21.9) являются инвариан-
тами присоединенной группы, то присоединенная группа ранга р имеет,
по крайней мере, р независимых инвариантов. Поэтому число линейно
несвязанных операторов E^F) не превышает г—р9 откуда следует,
что ранг матрицы ||^(е)|| не больше чем г—р. Но тогда р коэфи-
циентов
<рг_^+1(е),..фг(е)
должны быть равны нулю, что и требовалось доказать.
4. Если переменные е* будут пробегать не всю группу, а только
се кайую-нибудь подгруппу Н (т. е. е* принимают всевозможные зна-
чения, при которых операторы exXx е*Х2 -f- .. . -р егХг принадлежат
группе //), то характеристический полином (21.5) превратится в поли-
ном, называемый характеристическим полиномом группы G относи-
тельно подгруппы И. Имеет место:
Теорема 59. Характеристический полином группы G по под-
группе Н распадается на два множителя, из которых один совпадает
с характеристическим полиномом группы Н. Если притом Н есть нор-
мальный делитель группы G, то второй множитель есть степень
Доказательство. Преобразуем инфинитезимальные операторы Xv
Х2, . .., Хг группы G так, чтобы первые из них, Xv Х2, ..., Хт9
образовывали группу Н. Чтобы образовать из характеристического
полинома (21.5) характеристический полином группы G по под-
группе Н, надо в силу определения положить
= ... =ег = 0.
Но в силу того, что операторы Xv Х2, ..., Хт образуют подгруппу,
мы имеем
с8.. = 0 (/, у = 1, 2, ..., т\ s = т~1~ 1, ..г).
В силу этого
(е) = е* = 0 (/ = 1, 2, ..., т\ £ = m-j- 1, ..., г).
§ 21] характеристическое уравнение группы 241
Таким образом полином (21.5) принимает вид
ч?...... '* о......................о
о................о
’'Im. 4-1’ 71<н +!• • ' ’ '"b/i-i-P /b» + l
г1т’ 'll» “
„ т +1
Yir j
(21.10)
Первый из этих множителей представляет собой характеристический
полином группы Н.
В частности, если И есть нормальный делитель группы Я, имеет
также место
с8.. — 0 (1=1, 2, .. ., j — 1, 2, . . ., г; 5 = щ 1, . . ., г),
в силу чего
•»)*.(*) = £^^=0 (t= 1, 2, ..г; s = m-\-\,..г),
так что второй множитель правой части в формуле (21.10), принимает
вид
(--О))г””'.
5. Будем сопоставлять с каждым инфинитезимальным оператором
Х=е^
вектор с координатами (е1, е2, . . ег). Возьмем постоянный вектор
Тогда операции составления производного вектора (Хо, X) над пере-
менным вектором X соответствует выполнение над координатами послед-
него линейной* подстановки:
где
(21.11)
Из этих формул следует, что подстановка над координатами ei соот-
ветствует рассматриваемой нами матрице EQ —1| (е0) ||.
Зададимся таким вопросом. Дан оператор XQ, Требуется найти опе-
раторы X, каждый из которых составлял бы вместе с Хо двучленную
16 з<хк. 1132 H. Чеботарев
242 структура групп ли [гл. V
группу. Так как всякая двучленная группа содержит инфинитезималь-
ные операторы, связанные соотношением
(Yit Y2) = aY2,
то мы исчерпаем решение вопроса для всей совокупности операто-
ров Хо, если будем подыскивать X из условия
(*о, =
или в силу (21.11)
(ео) е3 = ^ (5=1,2,..., г),
откуда известным образом вытекает, что является корнем характе-
ристического полинома:
®) = 0.
Мы видели в § 9.12, что каждому корню характеристического
полинома соответствует один или несколько независимых векторов
Х(ег, е2, ег). Будем говорить в этом случае, что вектор X при-
надлежит к корню ш характеристического полинома. Обозначая линей-
ную подстановку (21.11) через Eq, мы можем записать принадлежность
X к корню ш так:
EqX—^X.
Определим, следуя Вейлю, принадлежность к корню ш в более
общем Биде; будем говорить, что X принадлежит к <о, если существует
показатель v, для которого имеет место
(Eq — <»У>Х=0 (21.12)
(в § 9.12 мы видели, что показатель v не превышает кратности корня
и что при таком определении к v-кратному корню ш принадлежит
ровно v линейно независимых векторов).
Из (21.12) следует, что если векторы и Х2 принадлежат к одному
и тому же корню ш, то и сумма -1- рХ2 принадлежит к тому же
корню. Поэтому, если к v-корню ш принадлежат независимые векторы
то к нему принадлежит также любой вектор типа
л^14-х2аг2+ ...+x^v.
В силу этого можно сказать, что к v-кратному корню принадлежит
v-мерное корневое пространство.
Так как сумма кратностей всех корней характеристического поли-
нома равна порядку г группы G, то каждый вектор X группы G можно
представить в виде суммы векторов, каждый из которых принадлежит
корневому пространству:
§ 21] ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ГРУППЫ 243
Это представление однозначно. В самом деле, если имеет место
^ + ^+•••+^=^1 + ^++ (21.13)
где и У; — векторы одного и того же (/-го) корневого простран-
ства, то применим к этому равенству линейную подстановку ty(£0),
где* ty(z) — полином, имеющий ^-кратными корнями все корни <*>у
характеристического полинома, кроме f-го корня, и для которого
Ф (<°i) = 1, ф' (“») = о,..., (а>э = о;
Тогда
(Ео) = о (Ео) (£о— ~ (^о) (£о~ + 1
г (/= 1, 2, . . /— 1, /Ц- 1, ..г)а
откуда
ф(Ео)Лу = 0, ф(Е0)^ = ^ (/=1, 2, ...,/ — 1, г).
Применяя й(Е0) к равенству (21.13), получим
Xi =
что и требовалось доказать.
6. Имеет место
Теорема 60. Если принадлежит к корню о)х и ЛЛ2— к корню <о2,
то оператор Х3 — (ХЬ Х2) принадлежит к корню если же
+<о2 не является корнем характеристического полинома, то (Х19 Х2) — 0.
Доказательство. Тождество Якоби
(Хо, (Х„ ^2)) + (^р (Л-2, *0)) + (*2, (*о- *i)) = 0
можно переписать так:
ад=(^, адО-Ж, Ж),
откуда
(£0Ж1 + <Ж = (*Р Ж)~ЗД— Ж)
или иначе
(^о—Ь+<»Ж, *2) =
= (*1> (£0 — ш2)^2) + ((Е0 — Х^). (21.14)
Это тождество имеет место для каждой пары векторов X, X
независимо от того, к какому корню они принадлежат. Примени ег
к каждой из скобок правой части и повторяя процесс v раз, поручим
(Ео — (<о1+‘»2)Г(^1, х2) = 2 ^S((£o — «Ух^ (f0-0)2)'"4),
8 =
где С*—биномиальные коэфициенты. Беря
v = vi+v2— h
где vp v2 — кратности корней <о2, мы получаем
(Ео— («1 + «2)У + '“-1 (Xv Х2) = 0,
16*
244
СТРУКТУРА ГРУПП ли
[гл. V
а это равенство показывает, что (А\, Х2) принадлежит к корню сох
если есть корень характеристического полинома; в против-
ном же случае
(Хр *2) = 0,
что и требовалось доказать.
7. Из теоремы 60 следует, что совокупность векторов, принадле-
жащих к корню 0, образует группу Г. Докажем, что ранг этой группы
равен нулю. Для- этого предположим, что операторы группы Г суть
Xv Х%, ..., Хт, и применим к ней равенство (21.10). Полином левой
части имеет нуль корнем ровно /n-й кратности, если положить
е =3* (Z = 1, 2, . . ., т). Предположим дополнительно, что мы выбрали
X0==e^Xi так, чтобы для него характеристический полином не имел
больше кратных корней, чем он их имеет при переменных е* (для
этого достаточно выбрать е — eQ так, чтобы те условия кратности
корней, которые не удовлетворяются при произвольных в*, не удовле-
творялись и при в = eQ х). Тогда и при произвольных е левая часть
(21.10) будет иметь нуль - корнем /n-й кратности. Вместе с тем при
е=е^ первый множитель правой части имеет в силу нашего условия
относительно Г все нулевые корни, в силу чего второй множитель не
имеет ни одного нулевого корня. Таким образом и при произвольных
е* второй множитель не имеет корней, тождественно равных нулю,
откуда следует, что все корни первого множителя тождественно равны
нулю. Но в силу теоремы 59 первый множитель есть характеристический
полином группы Г, который таким образом имеет вид
О)ш,
что и требовалось доказать.
С другой стороны очевидно, что Г является наибольшей из подгрупп
нулевого ранга, содержащих XQ. Условимся называть Г максимальной
подгруппой нулевого ранга * 2).
i) Эти условия можно представить себе составленными так: считая ei
неопределенными, представим полином ср (<о) при помощи известного в алгебре
приема в форме
<р (ш) = <Р! (ш) [<р2 (<и)]2... [<pfc (<о)р, I
где срДш) лишены кратных корней и взаимно просты; составим дискрими-
нант D(et) полинома (<«>) (<*>)••• ^ (ш) и подберем так, чтобы имело
место
г)фо.
2) Требование, чтобы Г содержала вектор Хо, весьма существенно. Оно
сводится к требованию, чтобы Г содержала хотя бы один вектор, относи-
тельно которого корни характеристического полинома имеют те же кратности,
что и относительно переменного вектора X. Если мы отбросим это требова-
ние, то можем притти, как показал В. В. Морозов, к подгруппам нулевого
ранга, порядок которых значительно выше ранга группы. Приведем пример,
предложенный В. В. Морозовым.Унимодулярная группа от п переменных проста
§ 21]
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ГРУППЫ
245
8. Теорема 61. Корни характеристического полинома группы G
относительно его максимальной подгруппы нулевого ранга Г суть линей-
ные функции от 4*.
Доказательство. Пусть XQ — вектор, относительно которого корни
характеристического полинома имеют те же кратности, как и для
переменного вектора, Г — образованная при его помощи группа нуле-
вого ранга и X—ее переменный вектор. Тогда операция (ЛГ, ...)
оставляет корневые пространства неизменными. В самом деле, если
Xv Х2, . . ., Х.} — все независимые векторы, принадлежащие к корню ш
характеристического полинома относительно XQt то в силу теоремы 60
векторы (X, Х^ (/= 1, 2, ..., v) тоже принадлежат к корню 04-ш = <о
и потому линейно выражаются через Xv Х2, .. ., Хч.
Составим характеристический полином группы G относительно Г,
т. е. произвольного вектора X этой группы, причем в качестве обра-
зующих векторов возьмем полную систему векторов, принадлежащих
ко всем корням характеристического полинома группы G относи-
тельно Хо. Тогда в силу доказанного определитель (21.5) распадется
на произведение определителей, соответствующих отдельным корням:
— ш, 0, . . ., 0
0, — 0
0, 0, . . — о)
0
0
0
Каждый (Z-й) из множителей при X = Хо превращается в v^K) степень
разности — (о. Если бы при произвольном векторе X этот множитель
и имеет ранг п—1 (см. ниже § 24.25). Вместе с тем она содержит подгруппу,
определяемую инфинитезимальными операторами
xiPk (* = 1, 2, ..т < п\ k = т + 1, w + 2, ..п).
Нетрудно убедиться, что эта группа абелева. В то же время она имеет
порядок
т (п — т)
символ [х] обозначает целую часть от х).
Беря, например, т = I ~ I, мы получим порядок 1~ Ип — ~|j, Равный
л2 п2 —1 L J L J
при четном п ~г , а при нечетном п —-— .
4 4
При п ^>4 эти числа превышают п—1.
246
СТРУКТУРА ГРУПП ли
[гл. V
не имел только одного УГкратного корня, то вышло бы, что весь
характеристический полином ф (<о) имел бы при X = Хо больше крат-
ных корней, чем для произвольного X, что противоречит нашему
выбору вектора XQ. Таким образом каждому корневому пространству
соответствует по одному корню определенной кратности. Но так как
сумма корней каждого такого множителя равна его следу, т. е. сумме
диагональных элементов матрицы, определителем которой он является,
и потому есть однородная линейная функция от е*, то это же имеет
место для его корня, который равен в настоящем случае следу, делен-
ному НД V;.
9. Если даны два инфинитезимальных оператора линейной группы
А(Г) = а°х*рв, В(Р) = Ь8х*р8 (21.15)
с постоянными коэфициентами а*, Ь$, то, сопоставляя с ними матрицы
А = || а*||, В=|]£*||, мы легко убедимся, что производному оператору
= . (21.16)
будет соответствовать матрица
АВ— ВА. (21.17)
След этой матрицы равен нулю:
а^—ЬХ = 0. (21.18)
10. Применим этот факт к присоединенной группе. Пусть Х„ Х^ —
два вектора группы G, принадлежащие к двум противоположным по
знаку корням
а, а' — — а
характеристического полинома относительно подгруппы Г. Пусть им
соответствуют матрицы Ел, Е^ присоединенной группы:
(Х„Х) = ЕЛХ, (Х^Х) = ЕЛ-Х.
Вектор Хо = (Ла, Х^} и соответствующая емуч матрица
Ео = ЕаЕл' — ЕЦЕ*
будут принадлежать к корню 0 и, следовательно, входить в Г. Выберем
произвольно корень ш относительно XQ и рассмотрим совокупность
корневых пространств, соответствующих корням
а) — kci, . . ., а) — а, а), аз а, <о-(-2а, ..., <х> —Л<х, (21.19)
при условии, что в этом ряду ш (А —J— 1) а и — (£-[~1)а впервые
не являются корнями характеристического полинома. Пусть
Гр г2, .... Yu (21.20)
будут все независимые векторы всей совокупности корневых про-
КРИТЕРИЙ РАЗРЕШИМОСТИ ГРУПП
247
§ 22]
странств, соответствующих корням (21.19). Применяя к ним подста-
новку мы увидим, что она переведет каждый корень со —|—Za
в ш0’4-1) а потому не выведет корней из совокупности (21.19).
Таким образом она произведет над принадлежащими к этой совокуп-
ности корней векторами (21.20) некоторую линейную подстановку fa.
Аналогично и Ел> произведет над векторами (21.20) подстановку £а'.
Подстановка f0 = fafar — fa'fa произведет над векторами (21.20) под-
становку ________\ _
Eq — E^ — Е^'Еь,
след которой в силу (21.18) равен нулю. Но этот след равен сумме кор-
ней характеристического полинома, соответствующих векторам (21.20)
относительно Хо, т. е. сумме корней (21.19), откуда
л
2 (®4-Za) = (ft + A+ + *(y~N) }« = 0. (21.21)
i = — к
Если При этом выборе XQ а = 0, то и все остальные корни харак-
теристического полинома относительно Хо равны нулю. В общем же
случае мы приходим к следующей замечательной и весьма важной для
дальнейшего теореме:
Теорема б2.>Если характеристический полином группы G взят отно-
сительно инфинитезимального оператора Аг0 = (Ага, Х^)9 где X?, Х^ —
операторы, принадлежащие к двум корням (относительно Г) противо-
положных знаков, то отношение любой пары таких корней равно
рациональному числу.
11. Отметим еще одно простое следствие из результата § 21.9:
Теорема 63. Коэфициент ^(е) характеристического полинома [см.
(21.8)] обращается в нуль, если в качестве Х=е{Х4 взять оператор
производной группы. В частности, если группа G совпадает со своей
производной группой: G = G', то вообще
^(0 = 0. (21.22)
§ 22. Критерий разрешимости групп
1. При помощи тензора третьего порядка можно составить тен-
зоры всевозможных порядков. Их построение производится с помощью
следующих двух действий:
1) Умножение тензоров. В самом деле, если мы имеем два тензора
?1 2 и F1’ ’ « преобразующиеся по формулам:
ala2”*aM Т"*#
== Mr"?» ^’1 • /J1/2.. .h?n, (22.1)
, ’Л---’,» ai as ?п
рУ'У = Fv q -hl1.. .h'l • h\. .hq, (22.2)
Tf-Tp Ь-'л ii ip \ \
248 структура групп ли [гл. V
где ||й;?|| и 11^11 — обратные друг другу и в остальном произвольные
матрицы, то отсюда следует:
.“Fl'S —
= А ’ -р« . А ''. Л J" • hLl. . 7h‘-p A .. h*n h"1 . .. A. (22.3)
al aw (p ^1 r'l r,q
Получается тензор, у которого число и верхних, и нижних значков
равно соответственно сумме чисел тех же значков у тензоров-мно-
жителей.
2) Свертывание (Verjiingung) тензоров. Это действие состоит в при-
равнивании друг другу одного верхнего и одного нижнего значка и
суммирования по этому значку. Например, приравнивая в тензоре
^а2 ' значки и рп, мы получим новый тензор g^*поря-
док которого на две единицы меньше. Чтобы убедиться в этом, положим
в равенстве (22.1) • _ _
==:: Рп :==::
— a $
и просуммируем его по i. Тогда множитель hJ"h п в правой части даст
a in К
и равенство (22.1) перепишется так:
£a_l e . fin -1
аЛ*’-ашгР аГ”*т-1* \ аш-1 $п-Л
что и доказывает наше ^утверждение.
2. Из тензоров, получаемых пр» помощи тензора с*., особого вни-
мания заслуживают два следующих:
1) Тензор второго порядка с составляющими
. <22-4>
Из этой формулы видно, что тензор gtk симметричен:
gik~gkf
Очевидно, что составляющие gik ведут себя под влиянием линейного
преобразования точно так же, как коэфициенты квадратичной формы.
Вместе с тем можно показать, что выражение £1ке*ек является уже
рассмотренным нами инвариантом присоединенной группы. В самом
деле, в § 21.2 мы ввели инварианты
% («)=4-w = s/’
§ 22] КРИТЕРИЙ РАЗРЕШИМОСТИ ГРУПП 249>
% (О=(g) go—(е) 4 (е)=(см4 ~ 44)< /)=
= —<Zj)eV (к J = l, 2, ..., г).
Обозначим через а?. (е) суммы Z-x степеней корней характеристи-
ческого полинома, связанные с ^(е) и %(<?) рекуррентными формулами*
Ньютона:
4-1 («) + °i (Ю = о» °2 (0+4-1 (<0 °i (0 + 24-2 («) = о.
откуда
(Ю = [4-! (е)]2 - 2'h (*) = (<,< - ? ,4 4- ?,<) ее =
ji i Р- V M- V
= cJ ,c ,ee = g ere ,
т. e. o2 (e) равна как раз квадратичной форме с коэфициентами
Подвергая инфинитезимальные операторы группы G линейному пре-
образованию, мы можем привести форму а2 (е) к сумме квадратов:
о2 (е) = (е1)2 4- (е2)2 + . . . + (О2. (22.5)
2) Тензор третьего порядка с составляющими
с., — c^.g = с^.с\сх . (22.6)
V8 tgosp. vj sk рл v 7
Этот тензор обладает замечательным свойством: его составляющие
только меняют знак при перестановке любых значков (транспозиции).
Достаточно доказать это свойство для каких-нибудь двух транспозиций,
так как всякая подстановка симметрической группы третьей степени
выражается через транспозиции, а любая из трех транспозиций выра-
жается через остальные две:
(13) = (23) (12) (23).
Равенство c^s — — cjis доказывается непосредственно. Для доказа-
тельства же cijs = — cisj придется дважды применить соотношение
44+44+44=°> <22-7!
р- ') к V р. 1 V z р. X . р. >. х
с. . = с. с ,с = с..с. с = — с Ас с . + с .с ) —
18J >18 р-ч jk 18 р-ч jk' 8V рл I Nt р.8/
р. k N ') р. к р. / к Ч । к V \ ziV р. к
= — с с .с.. — с..с .с = с (с..с У + с. с.J — с..с .с —
8N рл V? р.8 8V х гд р.к I ,7р. Ik jk N1 р.8
к р. N t / р. к к^р-х *
= — CijC^ + (CS ,5/,X — C8^lCJ = — CiJS .
3. Докажем теорему:
Теорема 64. Если с^2” . — составляющие тензора, полученные
а1а2,,,ат-1?
из Сц, то совокупность инфинитезимальных операторов
Х = е'Х^
1250 СТРУКТУРА ГРУПП ли [гл. V
у которых величины е* подчинены системе линейных уравнений
. е* = 0, (22.8)
образует нормальный делитель группы G.
Доказательство, Достаточно доказать, что составляющие векторов
М №,*), (ХГ,Х)
I
тоже удовлетворяют системе (22.8). Докажем это для вектора (Xv X),
или, что то же, для вектора ч
X + tiX^X^^ + tc^X*,
где t — не равная нулю величина, подобранная так, чтобы подстановка
е*-*e-\-tc\se (/= 1, 2, .. ., г) (22.9)
’«мела не равный нулю определитель. Введем для нее обозначение
e-^-h^e, (22.10)
а для обратной ей подстановки обозначение
(22.11)
В частности, подстановка (22.10) переводит (т. е. Ъ\Х^ в
(22.12)
•и с\. в силу (8.78) в аналогичное выражение. Это позволяет нам рас-
сматривать левые части уравнений (22.8) как составляющие нового
тензора с т—1 значками внизу и п вверху. Подстановка (22.10),
{22.12) переводит левые части (22.8) в их однородную линейную
комбинацию, которая в силу (22.8) тоже обращается в нуль.
Вместе с тем подстановка (22.9) при достаточно малом t совпа-
дает с точностью до бесконечно малой второго порядка с преобра-
зованием присоединенной группы, которое является автоморфизмом
группы О и потому не меняет структурных констант с\., а следова-
тельно, и составляющих С*1 "'*п 4. Таким образом составляющие век-
тора X-\-t(XvX) тоже являются решениями системы (22.8), что
« требовалось доказать.
4. Рассмотрим несколько примеров уравнений типа (22.8), дающих
нормальные делители.
1) Система
v =0 (22ДЗ>
дает центр группы G, В самом деле,
(еХ,Х.) = суХ3,
и равенство нулю правой части как раз равносильно уравнениям (22.13).
§ 22] КРИТЕРИЙ РАЗРЕШИМОСТИ ГРУПП 251
2) Уравнение
фг = 0> (22.14)
если хотя бы один его коэфициент не равен нулю, имеет г— 1 неза-
висимых решений. Образуемый ими нормальный делитель порядка г—1
имеет одночленную и потому абелеву факторгруппу, которая в силу
теоремы 7 содержит производную группу G'. Отсюда мы опять при-
ходим к теореме 63.
3) Система
= 0 (22.15)
дает нормальный делитель, который, как мы убедимся ниже, разрешим.
5. Рассмотрим сначала группу Q нулевого ранга. Имеет место:
Теорема 65 (Энгеля). Все группы нулевого ранга разрешимы.
Доказательство. Будем доказывать теорему по индукции. В § 21.5
мы видели, что для каждого инфинитезимального оператора Хх группы
можно найти другой оператор Х2 такого рода, что
(*i, ^) = о>^2,
где а) — корень характеристического полинома, в данном случае рав-
ный нулю. В силу этого двучленная группа {Хг, Х2} разрешима. Пред-
положим, что, последовательно дополняя ее операторами Х%, Xv ,.., Хп,
мы пришли к zn-членной разрешимой подгруппе
H={XV X» Хт}.
Докажем, что можно присоединить к Н еще оператор A"w+1 так, чтобы
группа {Н, -Yw+1} осталась разрешимой.
Будем обозначать операторы группы Н через
Ур У2, .... У,„. (22.16)
Рассмотрим групповое пространство, составленное из векторов
Уп У2, Уда1; Xm+v...,Xr.
Введем понятие сравнения. Два оператора U, V назовем сравнимыми
по модулю И:
(22.17)
если их разность линейно выражается через К2, ..., Ym. Тогда,
применяя к пространству
Хт+» хг (22.18)
операции (Уо ...) (или, если угодно, подстановки присоединенной
группы, соответствующие элементам группы Н) и рассматривая их по
модулю Н, мы получим линейную группу, изоморфную (или гомоморф-
ную) с Н. Повторяя рассуждения, примененные нами при доказатель-
стве теоремы 54, мы убедимся, что пространство (22.18) содержит
инвариантный вектор, т. е. оператор Собозначим его Xw + 1), для кото-
рого имеет место
(^.X^^pA^Onodtf) (/=1, 2, ..., т).
252
СТРУКТУРА ГРУПП ли
[гл. V
Эти равенства показывают, что совокупность операторов
Н^{Н, Хт + 1} = {Ур У2, ..., Ym, Хт+1}
образует группу. В силу теоремы 59 это опять будет группа нулевого
ранга. Докажем, что в ней Н является нормальным делителем. Соста-
вляя характеристический полином для какого-нибудь оператора Z,
входящего в группу И, и преобразуя остальные операторы, мы можем
привести его (см. § 9.12) к виду
— 0, . . О
1, — О), о, . . О
О, 0, 0, . . ., Л, — о
откуда следует, что операторы Z?: группы Нх подчинены соотноше-
ниям
(Zp Z2) = О,
(Zp Z3) = Z2,
(22.19)
Пусть в ряду Zr Z2, . .., Zw+1 первый оператор, не входящий в Я,
есть ZQ. Тогда
(Zp Zg) = ZQ_1 = 0 (mod Я).
Пусть Zq ~ (mod Я) (а ф 0). Тогда
(Zp^w+1) = 0 (mod Я). (22.20)
В силу произвольности выбора Zt внутри Я сравнение (22.20) имеет
место для всех операторов группы Я, в силу чего Я есть нормаль-
ный делитель группы Я.
Продолжая построение, мы в конце концов докажем, что и G
есть разрешимая группа, что и требовалось доказать.
6. В качестве следствия нетрудно доказать теорему:
Теорема 66. Всякая группа нулевого ранга имеет отличный от
единичной группы центр.
Доказательство. Группа G нулевого ранга разрешима, а потому
в силу теоремы 54 она содержит одночленный нормальный делитель,
т. е. оператор Х19 для которого имеет место
= . (/ = 2,3, г).
Но в данном случае все рг- = 0, так как в противном случае характе-
ристический полином группы G относительно имел бы корень — pf: *
(Xit ^) = -рЛр
и группа G не была бы нулевого ранга.
§ 22] КРИТЕРИЙ РАЗРЕШИМОСТИ ГРУПП 253
7. Теорема 67. Чтобы группа G была разрешима, необходимо и
достаточно, чтобы ее производная группа Q' была группой нулевого
ранга.
Доказательство. 1°. Условие достаточно. В самом деле, если G'
есть группа нулевого ранга, то в силу теоремы 65 она разрешима и
в силу теоремы 51 ряд ее последовательных производных групп за-
канчивается единичной группой
О', G", . . ОС*-1), 1.
Но тогда и ряд последовательных производных групп группы О закан-
чивается единичной группой
О, О', О", .. ос*-1), 1,
в силу чего группа О разрешима, что и требовалось доказать.
2°. Условие необходимо. В самом деле, если группа О разрешима,
то ее инфинитезимальные операторы •
можно подобрать так, чтобы каждая их совокупность
Xlf Х2, ..., (/=1,2, ..., г—1)
образовала группу и притом нормальный делитель группы О. В силу
этого имеет место
(Л-,, X)-.c'vX1 + i‘vX,+ ...+c‘llXj (i = l, 2......г),
откуда
X, хр = Л Х± + с* е% + •. - + 4 X. =
= i\i<e)Xt + ^(e)XД • • • +^(е)Х
так что характеристический полином группы О имеет форму .
TjJ (е) — о>, 0, 0
(0. (ё) — «о, 0 г
№ ^(е), •. Ъг(е) —ю i = 1
Следовательно, его корни (е) являются линейными функциями от е*
и равны диагональным элементам матрицы, соответствующей оператору
присоединенной группы. Но из § 21.2 следует, что коэфициенты ха-
рактеристического полинома, а потому и его корни, являются инва-
риантами присоединенной группы.
254
СТРУКТУРА ГРУПП ли
гл. V]
Из (21.16), (21.17) следует, что в нашем случае каждому опера-
тору (Ei9 Ej) группы, производной от присоединенной, соответствует
матрица вида
'll (е), 0, 0 1 1 r,l(e) 0, .. o
'll (₽). 'll (*)• • • 0 ___ j 'il(e), .. о
r,r(eY 'll (e), . - | 1 'J (ё). $ (0. • • ..
у которой диагональные элементы равны
(«) (ё) — • (ё) •»)* О) = О,
откуда следует, что корни, а потому и коэфициенты характеристиче-
ского полинома для операторов производной группы обращаются
в нуль.
8. Картан предложил более тонкий критерий разрешимости группы,
позволяющий констатировать разрешимость на основании меньшего
числа фактов.
Теорема 68 (Картана). Группа G разрешима тогда и только тогда,
если функция а2(е) = gikeiek обращается в нуль, когда параметры е*
соответствуют операторам производной группы.
Доказательство, Необходимость условия очевидна, так как если
все коэфициенты фДе) обращаются в нуль, то и *
'’2(е) = Ф®(е) — 2ф2(е)
должна обращаться в нуль.
Обратно, предположим, что для операторов группы Gr
а2(е) = 0. (22.21)
Выберем внутри Г оператор XOi имеющий минимальное число кратных
корней. Тогда, обозначая через Ха, Х$, Х^ ... операторы группы G,
принадлежащие относительно Хо к определенным корням характери-
стического полинома, мы сможем представить любой оператор 43 G
в форме .
ао 4~ aQ XQ 4- • • • 4“ аХа -j- ЬХр + .. .,
а следовательно, оператор X' производной группы G' в форме 4
2 <₽(*«> Х?). (22.22)
Но если X' лежит внутри Г', т. е. принадлежит относительно
к корню 0, то из § 21.5 и теоремы 60 следует, что в каждом слага-
емом суммы (22.22) р = — а = а', а потому мы можем применить
к такому слагаемому теорему 62. Вместе с тем для (ХЛ, ХЛ') имеет
место (22.21), т. е. сумма квадратов корней характеристического по-
*§ 22] КРИТЕРИЙ РАЗРЕШИМОСТИ ГРУПП 25S
линома относительно (Х^ Х^) равна нулю. Но так как все эти корни*
являются рациональными кратными от одного из них:
р = на, y = т/а, . .
то из (22.21) следует
а2(1+«2-|--и2+ . . .) = 0,
что возможно только при а = р = 7= ... =0.
Но из теоремы 61 следует, что корни характеристического поли-
нома относительно оператора (22.22) равны суммам его корней отно-
сительно операторов (Х^ Х^. Таким образом все эти корни равны,- /
нулю. Это показывает, что Г' не совпадает с Г (иначе вся группа G
имела бы нулевые корни, т. е. была бы нулевого ранга), в силу чего G-
не совпадает с С?. Продолжая рассуждение для G', G"..мы убедимся, что
ряд производных групп кончается единицей, что и требовалось доказать.
9. Критерий Картана можно записать в форме соотношения между
константами с^. Операторы производной группы линейно выражаются
через операторы
Х^с^х8,
а потому общее выражение для составляющих , es операторов произ-
водной группы таково:
где — произвольные переменные. Подставляя в (22.11), получим
g^Jc'tAuvc'1 =0,
® Iх UV ’
или, приравнивая нулю коэфициенты при
с\с= 0 (/. /, я, v, = 1,2 . . ., г). (22.23Ъ
10. Картан выводит условие разрешимости групп иначе и получает
его в форме соотношения не четвертой, а третьей степени относи-
тельно с!.. Для этого он обозначает через Х^+у •••> Хг опе'
раторы производной группы G', а через Х19 ..., Хт остальные опе-
раторы группы G. Тогда уравнения, ведущие к построению характе-
ристического полинома, приобретают вид
О'1 Хг + ... + е™ Хт + Хт+1 + ... + er Xr, Х<) =
= (е) X, + ... + (е) Хт + <+1 (е) Хт+1 +-..+< (е) Хг.
* • (2 = 1,2,..., /п),
причем коэфициенты при первых т членах зависят только OTt е\.
е2, . . ., ет. Далее,
(б1 Хх + ... + е’» Хт + Хт+1 +•..+*’• Xr, Xm+i) =
= C>)*m+1+ • • • +С+<^Хг (' = Ь 2, • •г-т) ..
256
СТРУКТУРА ГРУПП ли
«откуда
W =
• ••
•••
<>>-- 'Ън+i
..: — оз
ТЦ — (О
I
г1ш
Ш-{-1
У]г
ГО«-М
(22.24)
где первый множитель зависит только от е1, е'2, . .., ет. I
Эти рассуждения справедливы всегда, если мы в роли G' возьмем
любой нормальный делитель группы G, Если же мы теперь предполо-
жим, что G разрешима и, следовательно, G' имеет ранг нуль, то
можно подобрать операторы Xm+V Хт+2, . . ., Хг так, чтобы опе-
раторы
^т+2> * ’ ^т+г} (i = 1, 2, . . Г fit)
образовали нормальные делители группы G. Тогда во -втором множи-
теле правой части формулы (22.24) элементы, находящиеся выше глав-
ной диагонали, равны нулю, а элементы на главной диагонали зависят
только от е1, е2, .. ., ет. Это показывает, что все коэфициенты поли-
нома Д (оо) зависят только от е1, е2, ..., ет и, в частности, о2 (е) суть
функции лишь от е1, е2,. . ., ет, т. е. величины ~де^ т0“
ждественно равны нулю. Иначе можно формулировать это условие так:
все производные от обращаются в нуль, если вместо & подставить
составляющие производной группы. Но в такой форме условие не
зависит от частной формы, в которой взяты операторы, так как с ли-
„ * - д<ъ
нейным преобразованием операторов производные тоже претерпе-
вают однородную линейную подстановку. Подставляя в = вы-
ражения е — № и приравнивая нулю коэфициенты при различных ла^
получим условие в таком виде:
g. с\=.с\сх с‘ =0 (/, j, k=z 1, 2, г). (22.25)
Вартан представляет это условие в следующей симметричной форме:
с\с.с\=сх^с‘ (i,j,k = l,2,...,r). (22.26)
Это условие также достаточно, так как в силу известного соотно-
шения Эйлера
••• (22.27)
2 де1 1 де2 1 1 дег 4 7
«форма о2(г) обращается в нуль, если равны нулю ее производные.
§ 23] полупростые группы 257
Упражнение 48. Если группа порядка г содержит абелеву под-
группу порядка г—1, то она содержит также абелев нормальный де-
литель порядка г—1.
(Ли-Шефферс, стр. 584.)
Упражнение 49. У группы нулевого ранга индекс производной
группы равен, по крайней мере, 2._
(Киллинг.)
Упражнение 50. Всякая группа порядка г содержит, по крайней
мере, оо абелевых подгрупп порядка 2.
(Ли-Энгель, 3, стр. 756.)
Упражнение 51. Группа разрешима тогда и только тогда, если она
не содержит подгруппы порядка 3, изоморфной с группой дробных
линейных преобразований.
(Ли-Энгель, 3, стр. 757.)
Упражнение 52. Всякая факторгруппа от группы нулевого ранга
тоже имеет ранг нуль.
(Умлауф, стр. 35.)
§ 23. Полупростые группы
1. Группа называется полупростой, если она не содержит отличных
от единичной группы разрешимых нормальных делителей. Имеет место
следующий критерий:
Теорема 69. Чтобы группа G была полупростой, необходимо и
достаточно, чтобы дискриминант
«
S1V &12> • • • > Sir
_ ^22> •••> S%r
Sri* Sr%* • • • > Srr
квадратичной формы
^(u) = gikeiek (23.2)
был отличен от нуля.
Доказательство. 1°. Условие необходимо. В самом деле, если
D — 0, то система однородных уравнений
(Z=l,2, .... г) (23.3)
допускает решения, отличные от тривиального:
е1 = е2 ==...= ег = 0.
В силу теоремы 64 (см. также § 24.4, пример 31) эти решения соот-
ветствуют нормальному делителю группы G, который мы обозначим
через Н. Таким образом для характеристического полинома группы G
относительно /7-^=0 (/=1, 2, ..., г), а потому в силу (22.7)
а2(г)=±0. Отсюда и из теоремы 59 следует, что в самом общем ха-
17 фак. 1132. Н. Чеботарев
258
СТРУКТУРА ГРУПП ли
[гл. V
рактеристическом полиноме группы /У о2(г) = 0, и в сцлу теоремы 68
группа Н разрешима. Таким образом группа G не может быть полу-
простой.
2°. Условие достаточно. В самом деле, пусть G содержит разре-
шимый нормальный делитель Н. Беря от Н достаточное число после-
довательных производных, мы придем к абелеву нормальному дели-
телю Н группы G. Применим рассуждения § 22.10 к Н. В правой
части формулы (22.24) первый множитель попрежнему зависит только
от е1, е2, ..., е™. Это же имеет место и для второго множителя, так
как в силу Xm+j) — 0 в выражение
(eiA1+...+emjrm+e»+i^+1+...4-e^rl
войдут только члены с е1, е2, ..., ет. Это показывает, что форма о2 (е)
при нашем способе нормирования содержит только т (т < г) пере-
менных е1, е2, ..., ет, а потому ее дискриминант D = 0.
2. Теорема 70, Всякая полупростая группа G есть прямое произ-
ведение нескольких простых неодночленных групп.
Доказательство. Если группа G проста, то теорема доказана.
В противном случае пусть G содержит (неразрешимый) нормальный
делитель Н. Выберем операторы Х19 Х^ ..., Хг группы G так, чтобы
часть их Xv Х29 ..., Хт образовала группу И. Операторы
Y = e'Xl±e2X2 + . (23.4)
составляющие которых е* удовлетворяют системе уравнений
±1 = 0, -Й-=0, .... 4^ = 0, (23.5)
де1 ’ де* ’ 9 дет х '
образуют группу и притом нормальный делитель группы G. В самом
деле, для этого достаточно доказать, что составляющие операторов
(«X. **) = < (О (А =1,2,..., г)
тоже удовлетворяют системе (23.5). Но
^ = 2gise* (1=1, 2,..., т),
ел (*)=*=- «4/ - =
1 1 да., . 1 2 да* > . 1 г даг ч
— "2 СМ~д^^~2См • • • + ~5cki де? 0 —)•
Первые т членов этой суммы обращаются в нуль в силу (23.5),
а остальные потому, что Н= {Хи Х2, ...» Хт] есть нормальный дели-
тель группы G, в силу чего ‘
с^ = 0, (1=1, 2, ..., т-, \ = т-\-1,..., г).
Система уравнений (23.5) имеет ровно г — т независимых реше-
ний, так как все строки матрицы ||£л|| независимы, так что получен-
§ 23]
ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ
259
ный нормальный делитель Н имеет порядок г — т. Группы Н и Н
взаимно просты, так как составляющие группы Н удовлетворяют урав-
нениям
/ = е"14-2 = . . . — ег = О,
составляющие группы Н—уравнениям (23.5), составляющие их пере-
сечения— обеим системам, а потому для него в силу тождества Эйлера
имеет место
« = «’>+ •+<”-& + т>г+ .•+* £ = О,
и это пересечение в силу теоремы 68 было бы разрешимым, что про-
тиворечит определению полупростой группы. Поэтому отдельные эле-
менты групп И и Н перестановочны. Прямое произведение Н)\Н
имеет порядок т~\-(г — т) = г и потому совпадает с G: \
HXH—G. (23.6)
Каждая из групп Н и Н тоже полупроста, так как разрешимый дели-
тель каждой из них был бы нормальным делителем всей группы G.
Если эти группы не просты, то разложим их опять на прямые произ-
ведения. Так как порядок г конечен, то в конце концов мы получим
разложение G на прямое произведение простых групп, из которых
ни одна не одночленна (иначе G имела бы разрешимый нормальный
делитель), что и требовалось доказать.
В общем случае, когда составляющие е1 векторов нормального
делителя Н заданы произвольно, составляющие е* векторов дополни-
тельного нормального делителя Н связаны с е* соотношениями
g^ = 0, (23.7)
которые в случае Н = {А\, Х2, ..., Хт} переходят в (23.5). Докажем
для этого случая, что уравнения (23.7) относительное* дают нормаль-
ный делитель. Нормальность делителя Н можно записать так \е* про-
бегают значения координат независимых векторов группы /У):
(<% Хк) = с^Ха = (е,) Xg == %Х„. (23.8)
Надо доказать, что вместе с e1Xi и (егХ., Х^) = nq* (е) Х8 принадлежат
группе Н. Подставляя в (23.7) (е) вместо ек, получим
(*) = ёК = =
= ~ «,) = О
[здесь мы воспользовались формулами (23.8), а также тем, что кон-
станты с =g с* кососимметричны].
Aj/1 А^
17*
260
СТРУКТУРА ГРУПП ли
[гл. V
3. Принято для существующих между векторами е* соотношений
пользоваться геометрическим языком. В основу кладется так называе-
мая метрика векториального пространства. Выражению
(*,«) = £•«**«* ' (23.9)
дают название квадрата длины вектора е — Выражение
(е> е) = gikeiek (23.10)
носит название произведения векторов е и е. Если (г, е) = 0, то будем
говорить, что векторы е и е перпендикулярны.
4. Обратимся к введенным нами в §21.5 корневым пространствам.
Будем обозначать векторы нулевого пространства (т. е. группы Г)
через Я, а векторы пространства, соответствующего корню а, через А^.
Докажем весьма полезную для дальнейшего вспомогательную теорему:
Теорема 71. Если вектор X входит в группу Г и регулярен (т. е.
для него все корни a =j= 0), а вектор X* пробегает корневое простран-
ство а, то производный вектор (X, XJ тоже пробегает все корневое
пространство а.
Доказательство. Пусть вектору X соответствует матрица Ео. Это
означает, что составляющие вйктора (X, Х^) получаются из срставляю-
щих вектора X* применением над ним линейной подстановки Ео.
В § 21.5 мы видели, что корневой вектор Аа удовлетворяет уравне-
нию (Ео—ауХ^=0, т. е.
£^Л +• • •+(- +(- 1)’«х=о,
откуда
= ... + (23.13)
Обозначая через А^ вектор, стоящий внутри фигурных скобок (он
также лежит в корневом пространстве а), мы получаем
= EqX* = (X, ХЛ). (23.14)
Таким образом произвольный вектор корневого пространства а может
быть представлен в форме (X, А"а), что и требовалось доказать. 1
5. Теорема 72. Всякий вектрр корневого пространства а ф 0 пер-
пендикулярен ко всякому вектору группы Г.
Доказательство. Пусть А"о = е^Х* — вектор группы Г, который мы
сначала предположим регулярным, и Ага = е^Х.—вектор корневого про-
странства а. Чтобы доказать равенство
^ikeQea ~ 0’ (23.15)
воспользуемся теоремой 71: представим вектор АГ(Х в форме
§ 23]
ПОЛУПрОСТЫЕ ГРУППЫ
261
откуда
i к к i X и- ? X и-
’
Это выражение равно нулю, так как константы £Xui кососимметричны,
что и требовалось доказать.
В случае нерегулярного вектора XQ теорема доказывается путем
предельного перехода.
6. Теорема 73. Векторы Х^ Х^ корневых пространств я и 3 (оди-
наковых или различных) перпендикулярны, за исключением случая
а = — р. Всякому корню а в полупростой группе непременно соот-
ветствует корень а' = — а.
Доказательство. Пусть
X = е*Х„ XQ = elx..
а а г’ н р 1
Положим в силу теоремы 71
X = (Ха, X ) = с*е„ ejX‘
а v О’ а7 tj 0 а 8’
далее, если = есть корень характеристического полинома,
положим
. (23Л6>
Тогда
i j г pt '> i u—') j s ~~ч j u. s и- /no
p- e — a c e ee.j — c £'ee\=gc.ee\en — gee\. (23.17)
a P p 0 a u-'/J 0 a 3 <>ui8 a p 0 оцв j 0 v 7
Если 7 = a-|~p не есть корень характеристического полинома, то из
(Ха, Х0=О и (23.16) следует е* — 0. Если же а4“? = 7ф0 есть
корень характеристического полинома, то выражение (23.17) равно
нулю в силу теоремы 72. Таким образом выражение (23.17) может
быть не равно нулю только в случае (3 — — а. Если бы для какого-
нибудь корня а не существовало корня —а, то Ха был бы перпенди-
кулярен ко всем векторам группы Д т. е.
^/У=°
при совершенно произвольных ei, откуда следовало бы
g.£ = О,
а значит D = 0, что противоречит тому,, что группа G полупроста.
7. Теорема 74. Максимальная подгруппа нулевого ранга Г полу-
простой группы G абелева.
Доказательство. Выберем в качестве независимых векторов группы G
векторы всех корневых пространств, включая нулевое. Тогда вектор
общего вида может быть представлен так:
Л’=ЛА’О-}- А X^-j- ... + + вХ, + ... +’^ + 0^-1- ... (23.18)
262
СТРУКТУРА ГРУПП ли
[гл. V
Форма gi^ei будет иметь вид
^00Л~ +'£0(/Л + • • • + £Ьа^аа + • • • + £а0 + • • • ,
а соответствующее ей выражение g^eJ— вид
£()0U + goo^' + • • • + £ЬоЛ°а + • • • + + • • •
В силу теорем 72 и 73 мы должны получать нули, если будем под-
ставлять сюда составляющие векторов: X=XQ, Х = ХЛ или Х — Х^
Х=Х$ (кроме случаев Х — Х^ Х=Х^, а' —— а). Поэтому все £*Оа и
все g^9 кроме gaa', равны нулю, и наша форма приобретает вид
Q ОО + &za'3a°a' + • • • + + • • • > (23.19)
где Q (X) — квадратичная форма от переменных X, //, X", ... Дискри-
минант формы (23.19) не равен нулю, т. е. она может быть разложена
на г независимых квадратов. Это может быть только в том случае,
если Q (Л) разлагается на число Z независимых квадратов, равное числу
переменных X, X', ... Но Q (X) есть выражение о2 (е), получаемое из
(23.19) при аа = а/ = . . . = ор ==...= О, т. е. равно сумме квадратов
корней характеристического полинома относительно произвольного
вектора группы Г. Отсюда следует, что все корни относительно век-
тора Xq группы Г могут только тогда обратиться в нуль, если XQ = 0.
С другой стороны, корни характеристического полинома относи-
тельно любого элемента производной группы Г' обращаются в нуль.
В самом деле, пусть XQ, Х^ — два произвольных вектора группы Г и
<=(*»> <)
Пусть операциям (Хо, ..(х'о, ...), (Х"',. ..) соответствуют линей-
ные преобразования £0, Е„, е'(). Из тождества Якоби
, X), X ) + ((4 XJ, Ха) + «х*, Хо), лф = о
следует
или иначе
Е'Х = (Ео - a) (Е'„ - а') X* - (Е'о - а') (Ео - а) X*,
где а и а'—значения корня относительно векторов XQ) ^.Повторяя
операцию Е" v раз и принимая во внимание, что каждая из операций
Е()— ос, Ев — ос уменьшает число измерений векторного пространства
корня а, мы получим
а это означает, что значение корня а относительно вектора Хо равно
нулю. Таким образом всякий вектор (XQ, Х()) равен нулю, и группа Г'
есть единичная группа, откуда следует, что группа Г абелева, что и
требовалось доказать.
ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ
263
§ 23]
8. Пусть а — какой-нибудь не равный нулю корень характеристиче-
ского полинома относительно Г, а'==— а, и — какие-нибудь
принадлежащие к а, а' векторы. Введем обозначение
Н=(Ха9 Хл>).
Этому вектору группы Г соответствует частное значение параметров А^.
Если а, р, 7,..., со— корни характеристического полинома, то будем
обозначать через ав, ра, <°а их значения при значениях перемен-
ных ki9 соответствующих вектору Н. Из теоремы 62 следует, что все
корни ра, 7а, ..., а>а являются рациональными кратными корня аа.
Если бы имело место аа = 0, то и все корни {За, 7а, .. <оа обрати-
лись бы в нуль, что невозможно, как это мы показали при доказа-
тельстве теоремы 74.
Необходимо еще исключить случай Н = 0. Если бы при фиксиро-
ванных а и Хл для всех Xj, принадлежащих к корню а' =— а, имело
место
Н=(Ха9 *а0 = 0,
то, обращаясь к формулам (23.16) и (23.17), мы бы увидели, что X*
перпендикулярен ко всем векторам группы G, что невозможно.
Итак, пусть Xj подобрано так, чтобы Н ф 0, аа ф 0. Докажем
теорему:
Теорема 75. Все корни характеристического полинома полупростой
группы G, не равные нулю, просты. Если а есть корень характери-
стического полинома, то 2а, За, ... не могут быть его корнями. Ранг
группы G равен числу нулевых корней характеристического полинома.
Доказательство. 1°. Допустим, что а есть кратный корень харак-
теристического полинома группы G. Тогда кроме вектора Х^, удовле-
творяющего равенству
(Я,^а) = а^в,
существует еще независимый от X* вектор XJ который тоже принад-
лежит корню а и для которого имеет место
(Я, XJ = аХ1 (mod XJ.
Выберем Xj так, чтобы имело место
Яо = (Х.,^) + 0, аафо;
тогда
(Яо, Хв) = авХв, (23.20)
(Но, ^) = aa^ + a^a. (23.21)
Введем ряд векторов
Х2 = GYa, XJ, (*a, XJ, ...,Xg — (ХЛ, Xg_J, '(23.22)
^+1 = (^a,^) = 0,
и пусть Xg+1 есть первый равный нулю вектор этого ряда (g—конеч-
ное число, так как векторы Х2, Х%9... принадлежат соответственно
корням 2a, За, ... характеристического полинома, число которых
конечно).
264
СТРУКТУРА ГРУПП ли
[гл. V
Имеет место
(Но, XJ = (Но, (Хл, X,)) = - (*« (*р Ч» - (Xv (Ч> *«)) =
= (Ха, «Лх + «*«) + аа (Ха, XJ = 2«Лв,
и вообще, предположив доказанным
получим
(Но, Х<) ~ (Но, (Ха, Х^)) = - (Хл, (Xf_v Но)) - Л_р (Но. *«)) = ад
(г==2, 3, ..., g). (23.23)
Составим выражения
(Xj, *2)=Л«', ЛаЛх))=-Л«. (Хр *;.))-Лх «Л *«)) = -«Лх+^а,
(ХвЛз)=(А«-,Л„,Х2))=—(Ха,(Х2,Ха‘))—(Х2,(Ха>Л«))==-ЗаЛ2. (23 • 24)
*
Вообще, полагая доказанным
Лг,Х<) = И<_1аЛ-1.
мы получим
Xj, Xi+l) = (Ха; (Ха, Х{))=- (Ха, (Xi, Хл.)) —
— (Х{, (*«', *«)) = (н«-ха<х—Ч) Xi = ^Xi
АЛ —i 1 * G Н“ 0
где ^ = ^-1^-, SP-i = —1. откуда Л =------2 >
(Хл; Xi+i) = -111+11 аЛ (/ = 2, 3, ..., g). (23.25;
В частности,
о = Хд^) = - g(g+ ° «Лх,,
откуда Хд = 0; далее, полагая в формуле (23.25) i — g— 1, g— 2, ..2
будем последовательно получать
xg-=xg_l = xg_i=...=x^o.
Из (23.24) мы получим
— аЛх + ^а = 0,
что противоречит предположению о независимости Хг и Х^ а это до
называет, что корень а простой.
2°. Допустим, что вместе с —а корнями характеристических поли
номов являются — 2a, За, —^а, но —не есть корень
Пусть Х_д принадлежит к корню —ga.
Составляя ряд векторов
х_д, Х_(д_1У = (Ха, Х_д), ..., Х0 = (Х„ X_i), Xi = (Xa, Хо),
лг2 = ла, Xi),
ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ
265
[§ 23
мы увидим, что в силу простоты корней Xt должен быть кратностью Ха>
а потому Х2 = 0. Вместе с тем
о = (Х_л, Х_д+1) = (Х_а) (Хл, Х_д))=.
(Х_д, Х_а»-(Х_д, (Х_л, XJ) = -(X0, X_g)=gzaX_g.
Далее, полагая (Х_п, А^+1) = н»а<х-К«’ будем иметь:
=(*-«, (*«.*-<))=
= —(Х^, (X_t, Х_а)—(Х_Р (Х_а, X,)) = + KX_if
т. е.
Н-< = p-i-144 ‘ + 1)’ = (g + i+l),
(*_«, *<+1) = (g-f)fe2+t' + 1) <*ЛХ< (i = - g, -g+1, ...). (23.26)
Если впервые А^+1 = 0, то А^ ф 0, и формула (23.26) дает
te—0(£+*’ + 1)_п
2 — v*
(Случай g 4- i + 1 = 0 соответствует Х_д_1 = 0.) Таким образом.,
g—/ = 0, и впервые А^+1=0; сопоставляя с Х2 — 0у мы имеем g = U
Итак, если а и —а суть корни характеристического полинома, то
других корней типа /а, —/а быть не может.
3°. В § 23.7 мы видели, что если характеристический полином
имеет I нулевых корней, то относительно Г существует Z линейно
независимых корней характеристического полинома и, значит, столько же.
функционально независимых среди полиномов ф2, tyr. Для
общего характеристического полинома не может быть меньше функцио-
нально независимых полиномов Но их не может быть и больше
в силу теоремы 5й, что и требовалось доказать.
9. Нам понадобится еще одна теорема о перпендикулярности век-
трров.
Теорема 76. Всякий вектор X перпендикулярен к производному
вектору (X, Y).
Доказательство. Достаточно доказать теорему для вектора (X, А"-).
Пусть
Х=еяХ8, (X, Х4)=с-а.еяХг
Составляющие этих векторов суть
N NS ') 8
е, е =с^е = с8.е ,
и выражение
0 (23.27)
в силу кососимметричности констант c8i^ равно нулю.
10. Введем, следуя Вейлю, новые обозначения для инфинитезималь-
ных операторов группы G. Пусть
Н19 Н2, ...,
266
СТРУКТУРА ГРУПП ли
[гл. V
-будет система независимых операторов группы нулевого ранга Г,
• • •
— система операторов, принадлежащих к корням а, р, у, ... хара-
ктеристического полинома. Производные операторы от операторов S, Т
будем обозначать символом [S, Т]. ।
Корни характеристического полинома относительно Г являются ли-
нейными функциями составляющих л* оператора
а = (23.28)
Имеет место
[Hi9 [Н, Еа] = аЕл, (23.29)
откуда, в частности,
-^а] == aiE^ .
Далее, введем обозначения
[£а, Е-J = Н, = — (23.30)
[Е„ ЕД = ^рЕа+р(а + рфО), (23.31)
причем 7Уа? = 0, если а-фр не есть корень характеристического
полинома.
Выражение примет в наших обозначениях вид
<?(£ V = (23.32)
а
где
5 == X Hi + 2 З‘£я, т = Wli + 2 (23.33)
а а
В частности,
? (S, S) = У + 2 = Q (X) + 2 W (23.34)
а а
где
Q(X)=^W = 2«2. (23.35)
«
11. Применяя теорему 76, пользуясь новыми обозначениями и по-
лагая
S = yHi + ^E?,
>
Г= [Ee, S] = л< [Еа> Hi] 4- 2 [£«, £?] =
&{Ек ^3— а-^Чх, 3—а^З ° —
мы получим для составляющих оператора
выражения
!А< = — 3-Х = — аЗ-яЛ/,, з-а (? + «), "а = — *4*
ПОЛУПРОСТЫЕ группы
267
23]
Подставляя их в выражение (23.32) и принимая во внимание, что
в силу теоремы 76 (S, Г) = o(S, [EttS]) = 0, получим:
— 3_ag.-XW — 5 = 0. (23.36)
Приравнивая нулю в этом тождестве коэфициенты при )?о_а, будем
иметь
—5»/^ —МА = 0,
что дает нам следующие выражения для ai через
ai = — ^-gijai- (23.37)
Пусть
а = а^, р = (23.38)
— два корня характеристического полинома. Составим выражение для
т. е. значения корня р, соответствующего значениям переменных
М =— а1, т. е. значениям, которые мы получим, если в роли опера-
тора H = возьмем [£а, Е_а]. В силу (23.38) и (23.37) будем
иметь
(23.39)
Если теперь, мы нормируем операторы £а, Е_л, умножая их на
X—Л/а, то в выражении (23.33) каждого данного оператора S коэфи-
циенты аа умножатся на -^2__, и формулы (23.32), (23.34), (23.37),
V — Мс
(23.39) примут вид
?(S, Т) = ^//р> —аат-«, ] (23.32х)
?(S) = ^MV-o«3-« I (23.34')
= ? (23.37')
?a = -giJ^^=-Q(H„ fty. J (23.39')
В силу симметрии выражения (23.39х) относительно а* и Ы (gij = gji)
будем иметь
ра = а?, (23.40)
в силу чего целесообразно ввести для ра и новое, более симметрич-
ное обозначение:
р« = «3 = —2^а<^ = —(а^) или — — (а?) (23.41)
(скалярное произведение векторов а и Ь}.
12. Покажем, что при надлежащем выборе параметров можно сде-
лать все рассматриваемые константы вещественными, а форму Q(X)
положительно-определенной. Выберем Z линейно независимых корней
характеристического полинома:
a(f)=a’ji)k1 + a(2,)k2+ ... +а^Х1 (/=1,2, ...,/). (23.42)
268
СТРУКТУРА ГРУПП ли
[гл. V
В силу их независимости определитель |а^| отличен от нуля. Обозначая
составляющие а? корней получаемые из формул (23.37') (так на-
зываемые контравариантные составляющие), символами
(О(<),
будем в силу (23.39) иметь
(а(<) аи)) = а™ (а )У‘ (/, j = 1,2, ..., I), (23.43)
откуда
| (а(<)аУ)) | = | | • | (а? )(<) |. (23.44)
Далее, формулы (23.37х) дают нам
откуда
1^1 = 1^ WY (23.45)
Сопоставляя (23.44) и (23.45), получим
|(а(<)«0))1 = 1^|2:|^|фО. (23.46}
Так как характеристический полином группы G ранга I имеет
всего I линейно независимых корней, то все остальные его корни
должны линейно выражаться через корни (23.42). Пусть какой-нибудь
корень р выражается так:
р = Ga(D 4- г2а(2) + . . . 4- гг . (23.47)
(pa«>) = r1(a<1>aW)-4-r2(a<2)ato)-|-...+rl(a«)a«))
(/= 1,2,...,/). (23-48)
Рассматривая i\, г2, ..., гг как неизвестные, мы можем вполне опре-
делить их из системы (23.48), так как ее определитель в силу (23.46)
не равен нулю. Вместе с тем, деля каждое (Z-е) из этих уравнений
соответственно на (a^a^), получим
(Pg(<)) _r (g(1)g(i)) , (g(2)g(^) , , (g4 g(i)) z9o
(a(<) a(0) 1 (a^) a(t)) I 2 (a(i) ctW) » ’ * ’ • (aG), ctW)
. (/=1,2, ...,/).
Но из теоремы 62 следует, что все коэфициенты этой системы урав-
нений суть рациональные числа. Поэтому и числа г19 г2, рацио-
нальны.
Если теперь мы положим корни а(2), .. , равными совер-
шенно произвольным линейным функциям от а1 X2, ..., Лг с рацио-
нальными коэфициентами, то и остальные корни характеристического
полинома в силу (23.47) будут иметь рациональные коэфициенты.
В силу этого форма (23.35) будет положительно определенной
(сумма I независимых квадратов) с рациональными коэфициентами
§ 23]
ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ
269
13. Эти соображения позволяют нам считать форму Q(X) опреде-
ляющей метрику корневых векторов. Будем называть длиной вектора
а = (ап а2, . .., выражение
У (аа) = У , (23.50)
где а* — его контравариантные составляющие, определенные при по-
мощи уравнений (23.37')- Это выражение в силу положительности
формы Q(a) всегда положительно и равно нулю только в случае я = 0.
Выражение
(ab) = ^a*# (23.51)
будем называть скалярным произведением векторов а и b —
= (bр bfy. ..., bn).
Будем называть выражение
косинусом угла между векторами а • Ь. Нетрудно видеть, что оно по
абсолютному значению не превышает единицы. В самом деле, при вся-
ком вещественном z имеет место
X gij (^z + £,) (a-z + ^) = (аа) г2 + 2 (ab) z + (bb) > 0,
так что уравнение
(аа) z2 + 2 (ab) z + (bb) = 0
не может иметь неравных вещественных корней, откуда
(ab)2 — (аа) (bb)<0
(неравенство Шварца). Отсюда следует | cos о | 1. Таким образом
угол между корневыми векторами вещественен.
Переменные к* можно преобразовать так, чтобы форма Q(X) пре-
вратилась в сумму квадратов от новых переменных. Преобразование
можно взять вещественным, и тогда мы придем к обычным формулам
аналитической геометрии. В этом случае = Но мы не будем поль-
зоваться такой формой Q (Л), так как тогда константы перестанут быть
рациональными х).
14. Для углов между корневыми векторами имеет место весьма
узкое ограничение. Обращаясь к теореме 62, перепишем формулу (21.21)
так:
(ша) + (аа) = о, (23.53)
где h, k — некоторые целые числа. Из этой формулы следует, что
выражения
(23.54)
Э Вводимые в этом месте геометрические понятия, которыми мы будем
также пользоваться в дальнейшем, несколько отличны от понятий, введенных
в § 23.3.
270
СТРУКТУРА ГРУПП ли
[гл. V
являются целыми рациональными числами. Обращаясь к формуле (23.52),
мы видим, что
4 cos2 с? =
2 (ab) 2 (ab)
(аа) (bb)
является целым числом, которое вместе с тем не может превышать 4.
В силу этого cos ф может иметь значения только
О, =t —, (23.55)
2/2 2 v 7
откуда следует:
Теорема *Г7. Угол между корневыми векторами полупростой группы
может принимать только следующие значения:
90°, 60°, .45°, 30°, 0°. (23.56)
15. Обратимся к вопросу о различении
групп. Пусть полупростая группа G имеет
и пусть *
простых и полупростых
нормальный делитель
(23.57)
5 = +
— один из операторов группы Gv Возьмем внутри Г оператор
относительно которого не равные тождественно нулю корни характе-
ристического полинома не обращаются в нуль и остаются неравными^
Пользуясь формулами (23.29), составим выражения для следующих
операторов:
== [Н()> *5] = 2
а
S2=[H0,
а
(23.58)
где k — число корней а, действительно входящих в выражение (23.57)
(т. е. для которых аа ф 0). В силу нормальности делителя в него
входят операторы (23.58).
Будем рассматривать формулы (23.58) как линейные уравнения
относительно неизвестных Определитель
«о, • • •> шо
2 о 2 2
«о, Ро> • • •> “о
ак, В*. ...» «>*
0’ ГО’ •• •» wo
системы (23.58) не равен нулю, а потому мы можем линейно выразить
каждое из произведений ав£а через S2, ..., S*, откуда следует,,
§ 23] полупростые группы 271
что при оа ф 0 корневые операторы Ел входят в Gr Далее, из фор-
мулы (23.57) следует, что и оператор АлЯ* входит в (ф. Таким обра-
зом мы имеем:
Теорема 78. Если оператор входит в нормальный
а
делитель G{ полупростой группы G (все аа ф 0), то в входят также
его составляющие Еа, Е^ ...,
16. Теорема 78 дает нам возможность находить все нормальные
делители, исследуя поведение корневых операторов. Рассмотрим по-
дробно условия существования нормальных делителей. Если
. Ел> Е_а, Е_^ .. . >
Е_ХУ Еъ , .
—* полные системы корневых операторов двух взаимно дополнительных
нормальных делителей G2 группы G (gx X £2 ~ Ф, то обе системы
аддитивны: если а, р— два корня груяпы и их сумма (или разность}
a -ф р есть корень характеристического полинома группы G, то он дол-
жен входить в систему группы Gv Для корней же а и х разных систем
должно иметь место
[Ел9 £х]=0,
откуда следует, что а ф х не может быть корнем характеристического
полинома группы G (см. ниже).
Далее, в группу Gt должны входить операторы
[Е.Е- J = На = - Щ = — Ь*Н<...,
в силу чего операторы типа [На, EJ должны обращаться в нудь.
Поэтому, полагая х = получим
[/УаЕх]=-а%Ех = 0,
таким образом
(ах) = 0,
и мы приходим к следующей теореме:
Теорема 79. Если полупростая группа распадается в прямое про-
изведение двух групп, то соответствующие каждой из последних корни
образуют аддитивные системы, а векторы, соответствующие разным
группам, взаимно перпендикулярны.
17. При доказательстве теоремы 79 мы воспользовались недоказан-
ным до сих пор фактом, что если а, р, афр являются корнями
характеристического полинома, то оператор [На, Н$] отличен от нуля.
Обращаясь к формуле (23.31), мы видим, что речь идет об устано-
влении для этого случая неравенства
лга,рфо. (23.59}
Полагая в тождестве (23.36) N$ = — 1 и приравнивая в нем нулю
коэфициент при получим
N.,-₽-. + 4,₽ = 0.
272
СТРУКТУРА ГРУПП ли
[гл. V-
Это равенство можно также формулировать так: если а, р, <о — три
корня характеристического полинома, связанные зависимостью
a + P + <D = O (23.60)
(или, как их называет Вейль, „образующие треугольник"), то
Ч,3 = — Ч,ц>. (23.61)
Кроме того, из формулы (23.31) следует, что константа косо-
симметрична относительно своих значков:
Поэтому, обозначая общую величину
^Чх, з ш == ^Ч»
через ЛГа> мы можем сказать, что Л/^ ш не меняется при четной
перестановке и меняет знак при нечетной перестановке своих значков.
Повторяя рассуждения § 23.8, выводим ряд операторов
£_*, Е_*+1 = [£,£_*], • •., Ео = [£«£_!],
Ei =^-[Яа£о]> • • • > Ен — [ЕаЕ/1_1],
принадлежащих соответственно к корням характеристического поли-
нома
(23.62)
(23.63)
Р— ka, р — (k— l)a, . .., р, p-f-a, ...» р-]-^а»
в то время как р — l)a, р—1)<х уже не являются корнями
характеристического полинома. Из равенства
I^-a’ jj = [^-a> l^a> ] == [^at [^-Л> ^-a] ] *“ [^-Л> U^-a> ^a] ]
мы в силу [£_*, Е_*]=0 получим [Е_а, £_*+1] = —(р —£а)а£__*.
Далее, полагая
[£-а> ^»] —
мы таким же образом получим рекуррентную формулу
Hi+1 = Hi” (? + «)«.
откуда
!1< = -[?-Ла + ?-(Л-1)а+...+? + (/-1)а]в =
____(1 _l h\ о _ Г(linL) fe(fe + i)j
Но в силу формулы (21.21)
откуда
3
Га 2 а>
_(А + 0(Л+1-/)
Уч =-------------<ха,
(23.63')
2
2
Г С р 1 (^ + О (Л + 1 — 0 р
(23.64)
§ 23] полупростые группы 273
откуда следует, что все операторы (23.63) не равны нулю. Они лишь
множителями отличаются от нормированных операторов E$+i(l. Мы
можем, не нарушая соотношений, умножить их на общий множитель.
Подберем его так, чтобы
Eq — Е^
Тогда в силу (23.31) мы будем иметь
Е1 = ^рЕ₽+1. (29.65)
Полагая же в (23.64) i — 0, получим
[Е_„ Ер] =
откуда 7
E_J =.N^ [Ea, Ep_e],
т. e.
— a, 3 — a 2 9
Корни a, p — a, —p составляют треугольник, а потому из (23.61) и
(23.62) мы получим
ЛГ_«,?Ч. -3 (««)• (23.66)
Меняя ролями , а и —а, в силу чего поменяются местами h и kf мы
получим из (23.66)
-₽ = (««), (23 • 67)
что в силу (aa) > 0 доказывает неравенство (23.59).
18. Формула (21.21) дает нам
(?а)=*=*(а<х). (23.68)
Отсюда следует, что наряду с корнем р характеристический полином
также имеет корнем
Если мы произведем над каждым корнем р подстановку
<23-69)
то, в частности,
а —> а — 2a = — a,
——Za = (3 —(А —Л + г)а,
так что прогрессия корней
р —Ла, р —(Л—1)а, .... р + (Л— 1)а, ?4-Ла
18 Зак. 1132. Н. Чеботарев
274
СТРУКТУРА ГРУПП ли
[гл. V
отобразится сама в себя, но в обратном порядке:
?4-Аа, 1) а, . ..,р + (Л —Л)а, ..$ — (k— 1) а, р —Ла.
Если мы произведем эту операцию над всеми корнями характеристи-
ческого полинома, то получим известного рода автоморфизм, так что
г— I
характеристический полином будет иметь такого рода автомор-
физмов, ^каждый из которых будет соответствовать паре а, —а не
равных нулю корней характеристического полинома.
Если мы представим все корни характеристического полинома
векторами /-мерного евклидова пространства, то соответствующий,
паре а, —а корней автоморфизм будет осуществляться при помощи
зеркального отображения от (Z—1)-мерной гиперплоскости Ptt, пер-
пендикулярной к векторам ос, — ос. В самом деле, если корням а, р
характеристического полинома соответствуют векторы а, Ь, то вектор b
может быть разложен на сумму двух векторов, один из которых, Ха,
параллелен а, а другой, и, ему перпендикулярен, т. е. лежит в гипер-
плоскости Ра (вектору и, вообще говоря, не соответствует корня
характеристического пойинома):
Пользуясь условием перпендикулярности (аа) = 0 и свойством
(Ь + с, а) = (Ьа) 4-' (са), получим к = ,
откуда
. (ab) .
ь=-Ыа+и-
Операция зеркального отображения состоит в том, что составляющая и
(ab)
каждого вектора остается прежней, а составляющая а меняет знак
на обратный, и вектор b переходит в
______________2^Ь1а
(аа) “ 1 “ " (аа) а’
т. е. как раз в вектор, соответствующий корню (23.69).
19. Из соотношения Якоби
[Е. [ЕрЕ,] ] + [Ер [E.(EJ ] + [Ет [ЕаЕц] ] = О
вытекает следующее соотношение между константами
= 0, (23.70)
или, если ввести корень 3, связанный с а, р, % соотношением
= 0 (23.71)
(образующий с а, р, 7 „четыреугольник") и воспользоваться (23.61):
ЛСртЧ8 + Лр5 + = о
(23.72)
§ 23] полупростыЕ группы 275
20. Можно, не. нарушая достигнутого нормирования ЛГв =— 1,
умножать Ел на рьа и одновременно Е_а на —. Пользуясь этим, можно
Р-а
подобрать |ia так, чтобы для каждой пары а, 0 корней характеристи-
ческого полинома имело место
= (23.73)
Тогда в силу (23.67) все будут вещественными числами.
Для этого будем называть линейную форму
положительной, если в ряду Ьи Ь2. ..., Ьг ее коэфициентов первый
отличный от нуля положителен. Далее, будем считать, что а > р, если
разность а — р положительна. Определенные таким образом неравен-
ства подчиняются обычным арифметическим правилам.
Допустим, что мы добились равенства (23.73) для всех корней а, р,
для которых имеет место
0 < а < р, 0 < р < р, 0<а-|-р<р, (23.74)
и докажем (23.73) для большего значения р. Вопрос идет о корне р.
Если р разлагается на сумму меньших корней:
p = a-|»p, 0 < а < р, 0 < Р < р
единственным способом, то для установления равенства (23.73) доста-
точно подобрать множитель |лр для операторов £р, Е__р. Если же
имеет место
р = « + ₽ = 7 + 3,
то, применяя формулу (23.72) к четыреугольникам (а, р, —у, —8),
(—а, — р, ъ 8):
_8 + ALT, -8 + -8 = 0,
8 + -Л_р,8 + = 0,
мы увидим, что соответствующие первым двум членам обоих соотно-
шений треугольники
(?» —ъ — 0 + 8)» (а> — 8> — «+8)> (—ъ «. I —а), (₽, —8> — 0~Ь8)
удовлетворяют условию (23.74), а потому первые два члена обеих
этих формул почленно равны. Вместе с тем мы уже нормировали Е?
так, чтобы имело место
Мр = N_a> _р.
Отсюда
Продолжая процесс, мы полностью получим (23.73).
21. В силу нашего нормирования из формулы (23.67) следует
A£₽ = L<*2+l)(ae). ' (23.75)
18*
276
СТРУКТУРА ГРУПП ли
[гл. V
Из этой формулы ясно,* что структурные константы группы с точностью
до знаков определяются заданием выражений корней характеристиче-
ского полинома. Но рассуждения § 23.20 показывают также, что и знаки
при Na^ могут быть однозначно определены. В самом деле, предполо-
жим, что мы уже фиксировали знаки для тех Wa,p,T(a +Р + Т = 0)>
для которых а, 0, у лежат между —р и р. Если р представляется в виде
суммы р = ос —р (| а I < р, |Р]<р) единственным способом, то мы,
фиксируя произвольно знак при М,₽,-Р, нигде не встречаем противо-
речий. Если же, например, р — cl ₽' = 7 S, то, пользуясь формулой
(23.72) и рассуждая, как в § 23.20, мы увидим, что заданием знака
при (выбор которого достигается нормированием знака при
Ер, £-р) мы однозначно определили знак при ЛГ 5t_p. Таким образом,
постепенно увеличивая границу р, мы нормируем все знаки при
и приходим к теореме:
Теорема 80. Полупростая группа вполне определяется выражениями
всех корней характеристического полинома.
22. При нормировании N* ——1 имеет место
На + Н? = На+?, (23.75)
если а, а-|~? являются корнями характеристического полинома.
В самом деле, для каждого корневого оператора Е? мы в силу
Ер] = - (ар) Е9, [Н9, Ер] = - фр) Е9,
[Яо+₽, Ер] =- (а + Р, р)Ер
и
(ар) + (Рр) = (а-}-р, р)
будем иметь
[На + Н?—На+₽,£р] = 0.
Очевидно также, что для любого Н* из Г имеет место
яв+₽,ял = о.
Но так как всякий оператор 5 группы G представляется в виде суммы
корневые операторов и операторов группы Г, то
Оператор + лежит в центре группы G, а потому он
равен нулю, что и требовалось доказать.
Упражнение 53. Доказать, что группа вращений
Xik = XiPk—xkPi (i, k = 1, 2, 3, 4)
в четырехмерном пространстве есть прямое произведение двух групп,
изоморфных с группой вращений в трехмерном пространстве.
Упражнение 54. Унимодулярная однородная линейная группа проста.
Упражнение 55. Проективная группа от п переменных
Р<> xipk, xWpj
порядка п(п~^2) проста.
§ 24] типы простых групп 277
§ 24. Типы простых групп.
1. Киллинг нашел, что все простые группы принадлежат или одному
из четырех ранее известных классов групп или одному из пяти типов
исключительных групп. Картан придал выводам Киллинга полную стро-
гость. Пользуясь теорией Вейля, Схоутен (J. A. Schouten) предложил
весьма простую идею метода нахождения всех типов простых групп,
а ван-дер-Варден (В. L. van der Waerden) до конца провел эту идею.
Изложим содержание статьи ван-дер-Вардена.
2. Простые группы ранга 1 имеют структуру
На=[Еа, £_J, [Я., £J = -(aa)£a, [Я„ £_J = (аа) Е_а, (24.1)
так как такие группы могут иметь только одну пару независимых
корней. Группу с такой структурой можно получить, считая (аа) про-
извольным заданным числом и беря
Яа = (аа) Хр, Еа = kx*p, Е_а = р,
где k совершенно произвольно. Таким образом простая группа ранга 1
всегда изоморфна с группой дробных линейных преобразований.
3. Для получения простых групп ранга 2 обратимся к теореме 77.
Возьмем в простой группе Q ранга 2 корневой вектор а наименьшей
длины (аа), которую в силу, произвольности масштаба примем равной
единице:
(аа) = 1. (24.2)
Затем возьмем другой корневой вектор, Ь, образующий с а наи-
меньший угол. В силу теоремы 77 этот угол может быть равен или 30°,
или 45°, или 60° (если бы он был равен 90°, то группа не была бы
простой). Рассмотрим отдельно эти три случая, имея в виду, что:
1) в силу / = 2 все корневые векторы расположены в плоскости;
га (ab)2 2
2) число -а) • = cos2 ср лежит между нулем и единицей, а числа
2(ab) 2(аЬ)
(аа) 9 (bb)
— целые рациональные;
3) все корневые векторы группы G образуют фигуру, симме-
тричную относительно прямых, перпендикулярных к каждому из этих
корневых векторов.
4. I случай: ср ==30°. Тогда в силу (24.2)
(ab)2_ 3
(bb) 4 ’
откуда
278
СТРУКТУРА ГРУПП ли
[гл. V
Оба множителя — целые числа. При этом в силу нашего предполо-
жения относительно вектора а.
(aa)<(bb),
откуда
(ab) = |, (bb) = 3.
Изобразим эти векторы при помощи составляющих на плоскости XY,
взяв за ось X направление вектора а. Тогда
а = (1,0), Ь = (|, Й).
Отражая эти векторы от перпендикулярных
к ним прямых, мы получим изображенную на
черт. 4 звездообразную фигуру из 12 векто-
ров:
± а, ± Ь, ± с = ± (Ь — а),
ztd = ±(2b —За), ±е = ±(Ь —2а),
±f = ±(b —За). (24.3)
Других корневых векторов эта группа не мо-
жет содержать, так как всякий другой вектор
или совпадал бы с одним из векторов (24.3)
по направлению или образовал бы с ним угол, меньший 30°. Первое
невозможно потому, что если бы имело место тождественно
Р = $а,
где s — постоянный множитель, то в частности мы бы имели
откуда в силу (23.63х) следовало бы
где £,
дает
Ъ_h 1 bf______
* = (А —А)(^-Л') = 4,
Л, kr, hr — целые числа. Случай (k— h) = (k' — h') = ±2
Случай же k — h = ±4, kr — hf = dzl приводит нас к
Р = ±2а,
что противоречит теореме 75.
Второе же предположение противоречит тому, что угол между а
и b есть наименьший из углов, образуемых корневыми векторами
нашей группы.
Таким образом характеристический полином нашей группы имеет
двойной нулевой корень и 12 не равных нулю корней. Порядок этой
группы, которую принято обозначать через О2, равен 14.
§24]
ТИПЫ ПРОСТЫХ ГРУПП
279
5. II случай: ф = 45°. Тогда
(«а) = 1, 2(ab)^5> = 2.
Так как оба множителя — целые числа и (aa)^(bb), то
(ab) = l, (bb) = 2,
и все корневые векторы группы образуют симметричную фигуру,
изображенную на черт. 5. Эта группа, которую принято обозначать
через В2, имеет восемь
равен 10.
6. III случай: ф = 60°.
Тогда
(аа) = 1,
Так как оба множите-
ля— целые числа, то
(аЬ) = |, (bb) = l,
корневых векторов, в
силу чего ее порядок
и все корневые векторы группы образуют фигуру, изображенную на
черт. 6. Эта группа, которую принято обозначать через Л2, имеет
шесть корневых векторов, в силу чего ее порядок равен 8.
7. Продолжение групп. Каждой простой группе ранга п соответ-
ствует симметричная система К0Рневых векторов в и-мерном про-
странстве. Каждые т (0 < zn < п) линейно независимых векторов ар
а2, ..., aw вместе с системой всех входящих в их линейных ком-
бинаций образуют систему корневых векторов некоторой под-
группы ранга тп. В самом деле, если векторам ар а2, ..., aw соответ-
ствуют корни ар а2, ..., ат и корневые операторы Е , ЕЛ^ . .., т
то система инфинитезимальных операторов
£а? Е^, Еат, Нх = Нт = [Е_атЕЛт],
[Ea.Eaj[ (i, j = 1, 2, ..т)
образует группу. Если первоначальная группа проста, то векторы ар
&& ..., aw можно выбрать так, чтобы составлял возможно меньший
угол с ар а3 — наименьший угол с плоскостью (ар а2) и т. д., и тогда
все эти наименьшие углы будут меньще 90°, а потому и вновь образован-
ная группа будет проста (см. теорему 79). Таким образом мы исчерпаем
все типы простых групп, если к существующим типам групп ранга 2
будем добавлять векторы, лежащие вне их плоскости, и образовывать
280 структура групп ли [гл. V
с их помощью удовлетворяющие условиям 1), 2), 3) системы в трех-,
четырех, ..., я-мерном пространстве.
8. Докажем,- что группу О2 продолжить невозможно. Для этого
допустим, что в трехмерном пространстве образована система корневых
векторов, и те из них, которые лежат в плоскости XY, образуют си-
стему G2. Пусть
«• = Ор Г2> Гз) (Г3 + °)
— один из векторов вне плоскости XY, в плоскости же XY векторы
образуют звезду § 24.3. Так как вектор г не перпендикулярен плос-
кости XY, то он не перпендикулярен, по крайней мере, к обоим
векторам одной из трех пар взаимноперпендикулярных векторов
звезды. Возьмем векторы такой пары за оси X, Y. Тогда
а = (1,0,0), d = (0, /3, 0),
(аа) = 1, (dd) = 3, г2 ф 0, г3 ф 0.
Должны быть целыми рациональными следующие числа:
2(га)_ = х 2<rd). . 2 г -у 2<га)- 2г1 =-~
(аа) 1 ’ (dd) /3 2 У’ <гг) ^ + г* + ?1
откуда
4х = (х2 4- Зу2 + 4г2) г,
или в силу г2>0 (равенство г2 = 0 исключается)
х2г2—4хг -ф- Зу2г2 < 0,
т. е.
(хг — 2)2 -ф- Зу2г2 < 4.
В силу х ф 0, .уф 0, ф 0 единственным целочисленным решением
этого неравенства является
xz — 2, уг = ±1,
откуда
х = ±2, у = ±1, r3 = =t-^.
Для соответствующего этому решению вектора
имеет место
(rr) = 2, (rd) = ±y, =
Последнее равенство противоречит условию 2). Таким образом про-
должение группы G2 невозможно.
§ 24]
ТИПЫ ПРОСТЫХ ГРУПП
281
9. Будем продолжать рассмотренную в § 24.4 группу 52. Обозначим
через вектор «-мерного пространства, направленный по f-й коор-
динатной оси и имеющий длину 1:
ei = (0, 0, ..., О, 1, 0, ..., .0) (7= 1, 2, ..., «). (24.3)
Тогда система векторов
d=ei, =bef=Lej (i, j = 1, 2, ..., n) (24.4)
будет, очевидно, удовлетворять требованиям 1), 2), 3) и потому будет
соответствовать группе порядка
2п-\-2п(п— !)-]-« = « (2«+ 1), (24.5)
которую мы будем называть группой Вп. При п = 2 она превращается
в рассмотренную нами в § 24.4 группу В2.
10. Группу В2 можно и иначе продолжить в пространстве произ-
вольного числа п измерений. Повернув координатную систему плос-
кости группы В2 на 45° и уменьшив все длины в )Л2 раза, мы можем
представить систему векторов В2 в виде
— еп ±е2, ±|ei±z-ie2. (24.6)
Эту систему можно продолжить так:
±е{, ejdty е;- (/, )= 1, 2, ..., и). (24.7)
Обозначим группу, соответствующую этой системе векторов, через Сп~
Она имеет тот же порядок
п(2«-|-1), (24.8)
что и Вп. В частности, С2 = В2.
Будем считать группы Вп и Сп нормальным продолжением группы
В2 = С2 и исследуем, какие из этих групп допускают другие, осо-
бенные продолжения.
И. Будем продолжать группу Вп в пространство n-f-l измерений.
Векторы (24.4) будем считать расположенными в гиперплоскости
хп+1 = 0 и подберем вектор
r = (G> г2> •••> rn, '•n+i) (24.9)
так, чтобы удовлетворялось условие 2), т. е. чтобы числа
(1=1, 2, .... п), (24.10)
—-------2-----=Zi (/=1, 2......... п), (24.11)
S *? + 4'£+i
= 1
282
СТРУКТУРА ГРУПП ли
[гл. V
.....">• ,2412)
ej) = -*Xi - 4Xj = utj (Z,J = 1, 2..............л) (24.13)
были целыми рациональными. Условие (24.12) требует, чтобы все
числа хрх2, ...,хп были одинаковой четности. Условие (24.11)
можно переписать так:
+ (/=1, 2, ..., п), (24.14)
Ч— 1
откуда
i — 1 п
2 — 2)2+ 2 (« = 1> 2, ..., и). (24.15)
V = 1 V = i 4- 1
Знак равенства в силу г^ + 1>0 может иметь место только в случае
^ = 0, что в силу (24.11) влечет за собой х^ = 0. Аналогично из
(24.13) получаем:
i — 1 j — 1 п
2 х2#!,-|-(х.н..—2)2 + 2 ^^г+с^Ачнн^)2 + 2
V tj I V г 13 7 I v У 1 V з Ч 7 1 v 13
У Л V— 1г А У <— j "у* А
(Z, 7=1, 2, ..., п). (24.16)
Рассмотрим сначала случай четных х{. Прежде всего всем этим
условиям удовлетворяют значения
•^1 = х2 = ... = хп = 0, z± = Z.2 = ... = zn = 0. (24.17)
Далее, из формулы (24.15) видно, что x^zi могут принимать только
значения 0 и 2. Кроме того, отличное от нуля значение может прини-
мать только один из xv, так как в противном случае в v-й формуле
(24.15) имел бы место знак равенства, что влекло бы z^ = 0, откуда
и х^ = 0. Таким образом единственными возможными четными значе-
ниями xv являются
Xj = ... = x>i_ 1 = 0, х^ = ziz 2, х^j = 0, ..., хп = 0, z^ = ztz 1,
откуд^ в силу (24.14)
и мы придем к векторам
zte^e^ (Z = l,2, ..., и). (24.18)
Из условия 3) мы без труда найдем, что длина вектора (24.17) равна 1,
т. е. что корневыми векторами служат также
d=e„+1. (24.19)
§ 24] типы простых групп 283
Система Вп в соединении с векторами (24.18), (24.19) дает группу
Если xv нечетны, то все хч и все отличны от нуля. Поэтому
в силу формул (24.15) мы получим
— 1, Xi = zt 1, Zi — ztz 1,
в силу чего n < 4. В случае п = 2 мы имеем
хх = ±1, х2 = ±1, zx=:±zl, г2 = ±1,
и формула (24.14) дает нам
2 1
Г = ---.
з 2 ’
так что мы приходим к векторам
-I’ -У <24-20)
которые можно рассматривать как отражения от координатных плос-
костей одного из них, например,
Этот вектор составляет с плоскостью ХгХ2 угол 45°. Отразив от пер-
пендикулярной к нему плоскости вектор
(1, 1, 0),
мы получим корневой вектор
(0, О, — /Г) = — /Ц. (24.21)
Это показывает, что продолжать группу одновременно при помощи
систем (24.18), (24.19) и (24.20), (24.21) невозможно.
Нетрудно видеть, что В2 в соединении с векторами (24.20) и
(24.21) дает группу С3. Мы убедимся в этом, если повернем оси Хи
Х%, в их плоскости на 45° и уменьшим все длины в ]/2 раз.
12. Перейдем к случаю
в (24.14), будем иметь
Мы приходим к векторам
(-4.
п = 3. Полагая = ^ = 1 и подставляя
-4-1 -4-1 -4-1\
— 2 ’ — 2 ’ —
(24.22)
являющимся отражениями вектора -у, у, у) от координатных
плоскостей. Отражая векторы (у, у, у, —у) и (1, 1, 0, 0) от пло-
скости, перпендикулярной к вектору (у, у, у, у), мы в силу фор-
мулы отражения
b' = b — (24.23)
284
СТРУКТУРА ГРУПП ли
[гл. V
получим следующие векторы:
/ 1 1 2 1 1 \ / 1 1 1 1\ /АЛЛ IX
\2’ 2* 2’ 2/ \2 ’ 2 ’ 2’ 2) ~ (°’ °’ °’ — ®4’
(1, 1, 0, 0)—2(|, 1 1, |) = (0, 0, — 1, — 1) = — е8 —е4.
Продолжая отражение, мы убедимся, что полученная группа содержит
всю группу В4, а также систему векторов (24.22). Других векторов
она не может содержать, так как эти векторы составляют полную
систему решений неравенств (24.15), (24.16). Обозначим полученную
группу через F4. Она содержит
• 2 • 44-4C*-f- 16= 48
векторов, а потому ее порядок равен
48 + 4 = 52. (24.24)
13. Докажем, что группа F4 непродолжаема. В самом деле, она со-
держит В4, а потому всякое пятимерное ее продолжение должно удо-
влетворять условиям (24.15), (24.16). Но мы видели, что этим усло-
виям могут удовлетворять только векторы группы Вб. Кроме того,
векторы продолженной группы должны удовлетворять условиям
т. е.
(х^ т 1)2 + (х2щ =й 1)2 + (xgWi 1)2 + (хЛ- 1)2 < 4. (24.25)
Этому условию удовлетворяет вектор еб = (0, 0, 0, 0, 1), перпендику-
лярный к гиперплоскости Xv Х%, Х3, Xv а потому не дающий сам по
себе вместе с F4 простой группы. Другие же векторы продолжения
всегда удовлетворяют соотношению (24.25) со знаком равенства, в силу
чего все wt==0, и таким образом
±r1=t:r2zLrgztr4 = 0
при любой комбинации знаков. Мы опять приходим к вектору еб.
14. Исследуем теперь возможные продолжения группы Сп в (и+1)-мер-
но1£ пространстве. Для вектора
r = (G» Г2> rn,rn+l)
условия (24.10), (24.11), (24.14), (24.15) останутся прежними. Усло-
вия (24.12) заменятся такими:
1 _ 1 \
2( г. 2 е< — 2 е<)
1 * И”
2 2 е^’ 7Г 2
§ 24] типы просты^ групп 285
должны быть целыми числами. Это условие есть следствие условий
(24.10), а потому четность числа х^ здесь остается совершенно произ-
вольной. Условие же (24.13) примет вид:
2(г»уег—уеЛ 9 н 2 z- + z-
4 ______z 7 — — и.. — Z% — z3 (С) л 9
(гг) п v 2 • 2 °'
' • S 2 4-4г2
есть целое число. Условие (24.16) перепишется так:
1)2+ 2 хХ+
. +(x?.«y^l)2+^+iX>’.<2. (24.27)
Из условий (24.15) видно, что отличными от нуля из х^ могут быть
самое большее три, и тогда х^=1, откуда х^ = ±1. Кроме того,
одно Xfa может быть равно 2, и тогда все остальные х, равны нулю.
Докажем, что первый случай возможен только при п — 3. Допу-
стим, что п > 4 и что
г = (у > у, у 8, 0, ..., 0, rw+1),
где 8 = 0 или 8=1, а гп+1 ф 0. Возьмем
a = le1 + le4 = (i, 0, 0, у,..., 0, 0).
Тогда выражение
2 • —
2 (га) = 4 }
(1*Г) q 1 । *2 । ~2
не может быть целым числом, что противоречит условию 2).
При и = 3 вектор
/1 1 1 \
Г \2 ’ 2 ’ 2 ’
дает:
2(r, .et + e2) _ 1
i (rr) 3 2-
т'*
Чтобы это число было целым, необходимо принять г4 = ±-у. Произ-
водя отражения подобно § 24.11, мы придем к группе
rtef) -еД 4(±е1±е2±е3±е4) (i,j= 1, 2, 3, 4). (24.28)
Эта группа есть F4. Для доказательства выразим ее векторы через
следующую систему взаимно перпендикулярных векторов:
е1 = 4 (е1 + е^' е2 = у (е1 “ е2>’ е3 = Т (е3 + *«>’ = Т (е3 — •
286
СТРУКТУРА ГРУПП ли
[гл. V
Отсюда
ei = e' + e', е2 = е' —е', е3=е' + е', е4 = е' — е';
у (ei + ез) = (ei + ез+ ез + е<)> (ei + е4> = 4 (ei + е2+ е3— е') и т-
— (©1 + е2 + ез + е4) = е1 + е3» у + е2 + ез£4) = е1 + 64 и т. д.
Изменяя масштаб, мы получим совпадение этой системы векторов
с векторами ±ei9 ±ei±ej и (24.22), составляющими группу Fr
Во втором случае для одного какого-нибудь i имеет место = 2
(I — 1, 2, . .., п), а для остальных Xj = 2^ = 0. Из (24.26) следует, что
z^ г Za
uij= ~~~2— = ”2~ должно быть целым числом, откуда
^ = ±1, ^ = ±2.
Из формулы (24.14) мы получим
s
Гп+1 4 ’
откуда
г = ±1е^4еп+1. (24.29)
Кроме того, решением является также
г = ±е„+1. (24.30)
Соображения симметрии показывают, что все векторы (24.29) и (24.30)
должны войти в продолженную группу без пропусков (случай вхожде-
ния только ±ете+1 тоже возможен, но дает не простую группу).
Группа Сп в соединении с векторами (24.29), (24.30) дает группу Сп+1.
15. Остается рассмотреть продолжения группы Л2. Но так как
группа Л2 содержится в В3 [мы получим Л2, взяв внутри В3 векторы
±(е2 — е3), ±(е3—ej, =±(ех— e2)J, то для того, чтобы исключить
уже рассмотренные продолжения, мы введем дополнительное условие:
углы между векторами наших групп не должны быть меньше 60°.
Аналитически это условие выражается так:
(ab)2 1
(аа) (bb) 4 ’
откуда в силу условия (2) следует либо
(аа) = (bb) = ± 2 (ab),
либо
(ab) = 0.
(24.31)
(24.32)
Но так как в силу простоты группы все векторы не могут быть раз-
делены на две системы взаимно перпендикулярных (другими словами,
от каждого вектора можно перейти к каждому другому, переходя от
ТИПЫ ПРОСТЫХ ГРУПП
287
§ 24]
одного вектора к другому, ему не перпендикулярному), то длины всех,
векторов группы равны друг другу, так что мы можем положить
(аа) = 2, (ab) = —1, 0, 4-1. (24.33)'
Будем считать нормальными следующие два типа расширений
группы А2:
I. Группу Ап ранга и, векторы которой мы будем для удобства
располагать в пространстве («4“!) измерений и притом в плоскости
Х1+Х2“Ь • • • = 0- (24.34)
Векторы группы Ап можно представить так:
±ф7.==±(е,. —е^) (/, J = l, 2, ..., п + 1). (24.35)
Число этих векторов равно а потому группа Ап имеет
порядок
п 4 п (п 4-1) = п (п 4 2) = (п 4- i)2 — 1- (24.36)
И. Группу Dn ранга п, векторы которой мы расположим в и-мер-
ном пространстве. Это будут
(/,)=!, 2, ..., «). (24.37)
Этих векторов всего 4 -п ~=2к (п—1), в силу чего порядок
группы Dn равен
„_|_2и(п— 1) = п(2п — 1) = -я(2"~11. (24.38)
16. Построим всевозможные продолжения группы заданной
векторами
= —е; (/,/=1, 2, ..., и), (24.39)
в n-мерном пространстве. При этом оставим за собой право выбрать
в каждом отдельном случае координаты «-мерного пространства, в ко-
тором будет находиться продолженная группа; предварительно же будем
рассматривать группу в (п44)-мерном пространстве (хр х2, ..., хп, хп+1),.
причем группа Ап_х будет лежать в подпространстве (хп х2, ..., хп).
Пусть
Г = М........rn,rn + 1)
— искомый вектор продолженной группы. Условия (24.33) могут быть
представлены так:
ri— г^= — 1,0 или 4 1 (hJ = L 2, . .., «), (24.40)
п
s/:+'-u=2- <24-4i>
Условие (24.40) показывает, что' г2, ..гп принимают только
два различных численных значения, отличающиеся друг от друга на
единицу. Пусть
г=г=...=г=н, г=г = ... = ге = и±1, (24.42) *
а, а* ’ Pi Р» Рп-Л 7 4 '
288 структура групп ли [гл. V
где совокупность <х2, ..., аЛ;.₽р р2, исчерпывает все
значки 1, 2, ..., п. Подставим в (24.41):
гп+1 + ^2 + (^-^) (*z±l)2 = 2,
или, умножая на л:
nrn^i 4~ zt 2 (и — k) пи п (п — k) = 2п,
или
nrn+i Ц- [пи ±(п — Л)]2 = k2 — nk + 2л. (24.43).
Левая часть этого равенства неотрицательна, в силу чего
Л2 — п^4~2л^0.
Последнее неравенство можно представить так:
(£ — 2) (k — и4-2) + 4>0. (24.44)
Так как рассуждения не изменятся, если мы заменим k ш п — k и
обратно, то мы можем дополнительно предположить
(24.45)
,В случаях k— 1 и & = 2 неравенство (24.44) будет всегда удо-
влетворено. Если же k > 2, то должно также иметь место
4
И<^ + 2 + ^. (24.46)
Принимая во внимание (24.45), мы получим
(£ — 2)2 <4,
откуда видно, что k может принимать только значения
О, 1, 2, 3, 4. ‘
Разберем отдельно случаи, когда k для всевозможных векторов про-
долженной группы принимает значения
< 1, < 2, <3, <4.
17. Случай #<^1. Выберем координаты л-мерного пространства про-
долженной группы так, чтобы имело место
Х1 + + 1 = О,
т. е. будем считать его гиперплоскостью в (л 1)-мерном простран-
стве. Тогда
k= 1, &л + (л —£)(az±z 1) + гп+1 = °. (24.47)
Подставляя это в (24.43), будем иметь
4+i+r*+i=1— п+2л-
§ 24]
ТИПЫ ПРОСТЫХ ГРУПП
289
откуда
<+1=1. (24.48)
Если r„+1 = ztl, где знак при единице тот же, что и в формуле
(24.47), то из (24.47) мы получим
и =±1 = 0,
и искомый вектор г представится так:
r = zt(0,..., О,—1, ...,0, 1).| (24.49)
Если же знак при гп+1 противоположный, то из (24.47) получаем
л— 2 , , , 2
и = ---> и±1=±—,
п ’ л ’
и вектор г представится в виде
г* = ±Г- - —А 1 —Л
\ п ’’ * ’ ’ п ’ п ’ п’" 9 п’ /
Заметим, что оба случая не могут встретиться одновременно в одной
и той же продолженной группе, так как
2(гг*)
(ГГ)
= (гг*) = -
4 7 п
или
п— 2
п
не равно при п > 2 целому числу (при п = 2 обе системы векторов
совпадают). Поэтому, если мы придем к векторам типа г*, то, произ-
водя замену координат
xi —
xn+l + l
(Z=l, 2, п), (24.50)
мы переведем гиперплоскость -f-... = 0 в себя и, в част-
ности, оставим в силу rn+1 = 0 неизменными векторы группы Лп_г.
Вместе с тем векторы г* перейдут в векторы типа (24.49). Преобра-
зование (24.50) не является ортогональным; однако на гиперплоскости
Х14- . .. +*Л+1 = 0 оно сохраняет длины:
2х<++1=2 (•*<+4+$+х»+1=
♦=1
=2х?+4 4+12 xi+4 x”+i+^»+i=2х*+х«+1’
i=l t=l <=1
а потому и углы.
Таким образом продолженная группа содержит вектор
г = е1 —еп+1, (24.51)
а с ним и вектор#
г—dv=e<-e»+i-(e<-eJ> = ^-e»^ О=1’ 2> • • •’ «)• <24-52)
19 Зак. 1132. И. Чеботарев
290
СТРУКТУРА ГРУПП ли
[гл. V
Группа Ап_1 в соединении с векторами (24.51), (24.52) дает полную^
группу Ап,
18. Случай k ^2. Будем искать продолженную группу в и-мерном
пространстве (х19 х2, . .., хп), т. е. положим гп+1 = 0. Полагая в фор-
муле (24.43)
£ = 2, rw+1 = 0,
получим
[пи ±(п — 2)]2 — 4,
откуда
п — 2zt2
В случае верхнего знака при 2 искомый вектор г приобретает вид
г = ^(е< + еД (24.53)
Далее, продолженная группа содержит также векторы
г~тайdii=е<+—(е< ~ei)=+ер
Таким образом эта группа совпадает с Dn.
В случае нижнего знака при 2
п — 4
и == zzz-------
п
* , /4 4 4 — п 4 4 4 — п 4 4
Г* = z±z —, . .., — , ------, — , . . ., —, ----—
\п п п п п 7 п п 7 п
Но вектор ех —|—е2 —|— ... 4~еп перпендикулярен к векторам — е^,
образующим группу An_v Меняя начало отсчета координаты вдоль
этого вектора, мы придем к тому, что
г* = —ег —е; (z, j— 1, 2, ..п)
(предварительно мы точно так же, как в § 24.16, докажем, что в одной
и той же группе невозможно появление обоих знаков).
Таким образом в случае k 2 мы приходим к группе Dn. Заметим,
что при п = 3 случаи k = 1 и k = 2 приводят к одной и той же
группе (Д3==£>3).
19. Случай k 3. Из (24.44) мы получаем
9.
В случае и = 9 равенство (24.43) дает^ нам
г10 = 0, 9н ± 6 == 0,
и если мы изменим соответственным образом нумерацию координат,
то получим искомый вектор
, 2 2 2 1 1 1 1 1 1 \ /пл
—г — — ( з’ 3 ’ 3 ’ 3 ’ 3 ’ 3 ’ 3 ’ 3 ’ J ( 4' )
§ 24]
ТИПЫ ПРОСТЫХ ГРУПП
291
В этом случае группа содержит также векторы
2 (rd«)
r-(d,7^)d«=r+‘l«-
Эти векторы при всевозможных d^- дают полную систему векторов,
получающихся из г путем всевозможных перестановок его составляю-
щих. Этим путем мы получим всего
2С° = 2- ®‘®4 = 168
векторов. Заметим, что все эти векторы лежат в гиперплоскости
в силу чего ранг получаемой группы равен 8. Обозначим ее через Е8.
Кроме названных 168 векторов, в эту группу входят также векторы
±(1у = ±(е4-е^) (г,/=1, 2,..., 9),
числом 2С9 = 72, а потому порядок группы Е8 равен
8 72 + 168 = 248. (24.55)
20. Возьмем k = 3, п — 8. Получим
8г| + (8и±=5)2= 1.
Будем искать решения в гиперплоскости
Х1+Х2+---+*9 = °-
Тогда
8и 5 4~ Г9 = 0,
откуда
9r9 = 1, r9==±-g-.
Таким образом
И=У124"1- (24-56)
Беря в обоих членах одинаковые знаки, получим
_ 2 -4-1 1
» —-t-y , «— 1 —— 3 ,
так что мы опять приходим к вектору (24.54). Однако пока нам
только известно, что группа содержит лишь подгруппу Д7, так что,
следуя примеру § 24.18, мы можем переставлять в векторе (24.54)
только первые восемь составляющих. Таким образом группа содержит
вектор
*/111 2 2 2 1 1 1\
Г \3 ’ 3 ’ 3 ’ 3’ 3’ 3 ’ 3 ’ 3 ’ 3/’
19*
292
СТРУКТУРА ГРУПП ли
[гл. V
а потому и вектор
•.**_г*___(г*г) ____ # I —
— г (гг) г —г -t-r —
_/ 1 1 1 1 1 1 2 2 2\
— 3’ 3’ 3’ 3’ 3’ 3 ’ 3’ 3 ’ з) ’
Переставляя в г** первые восемь составляющих, мы придем к вектору
/2 2 1 1 1 1 1 1 2\
Г1 — \3 ’ 3 ’ 3’ 3’ 3’ 3’ 3’ 3’3/’
а затем к вектору
г1—7Йгг = г1 + г = (°’ °’-1’ °’ °’ °’ °’ °’- 1) = -d39-
При помощи этого вектора уже нетрудно получить все остальные
векторы группы Е8.
Беря в обоих членах (24.56) разные знаки, получим вектор
_/ 7 7 7 5 5 5 5 5 1\
Г — \ 12’ 12’ 12 ’ 12 ’ 12 ’ 12 ’ 12 ’ 12 ’ 3/’
8
i-г 1 V I 2
Прибавляя к г вектор -—Zj е< i "з перпендикулярный ко всем
i=l
векторам группы А19 мы придем к вектору (24.54). Но такое приба-
вление является просто изменением выбора начала вновь вводимой
координаты.
21. Пусть теперь k = 3, п = 7. Из (24.43) получаем
7г* + (7и±4)г = 2.
Беря продолжаемую группу в гиперплоскости
Х1 + Х2 + Х3 + + Хб + Х6 + Х1 + Х8 ~ °,
мы получим ,
Беря во второй из этих формул разные знаки, получим вектор
£
’ 2 ’
Переставляя первые семь составляющих, получим вектор
г*-7—1 _ I _1 — 1 1 1 1 П
г—\ 2’ 2’ 2’ 2’ 2 ’ 2 ’ 2 ’ 2/’
а с ним и вектор
г*—тйгг=г,+г=(0, °' 01 —11 °’ °’ °’ >) —— d«-
—у, 4). (24.57)
§ 24]
ТИПЫ ПРОСТЫХ ГРУПП
293
Вхождение этого вектора, а с ним полной группы Л7, в искомую
группу дает право всевозможным образом переставлять все составляю-
щие вектора (24.57). Получаемая таким образом группа, которую мы
обозначим через f7, имеет ранг 7 и порядок
7 + 2 44 + 4444 = 133. (24.58)
Случай одинаковых знаков нетрудно привести к рассмотренному слу-
чаю так же, как в § 24.20.
22. Пусть & = 3, и = 6. Из (24.43) получаем
6г724-(6«±3)2 = 3.
Свяжем координаты условием
*1 + *2 + *3 + *4 + *5 + *6 = ° •
так что группа содержит вектор типа
r = A, 1 1, _1, _1, _L, 1 \ (24.59)
\2 2 2 2 2 -2 /2/ v
Существование подгруппы Л5 позволяет производить среди его пер-
вых шести составляющих произвольные подстановки. В частности,
группа содержит вектор
а также вектор
г* — 2((гГ*)Г) Г = г*Г = (0, 0, 0, 0, 0, О, /2).
Дальнейшие отражения не приведут нас к новым векторам. В силу
этого получаемая группа, которую мы будем обозначать через £*6,
имеет ранг 6 и порядок
6 + 2С^4-2С^ + 2 = 78. (24.60)
23. Пусть & = 4. Тогда из (24.44) и (24.45) следует и = 8. Под-
ставляя в (24.43), получим
8г2 + (8и±4)2 = 0,
откуда
п 1 . . . 1
r9 = 0, =
и мы приходим к вектору (24.57), т. е. к группе Е„.
294
СТРУКТУРА ГРУПП ли
[гл. V
24. Аналогичными рассуждениями нетрудно убедиться, что группы
Е& Ev Е8 непродолжаемы и что продолжения Dn не приводят нас ни
к каким новым группам. Это позволяет нам считать доказанной сле-
дующую теорему:
Теорема 81. Все простые группы Ли принадлежат к одному из сле-
дующих типов:
1) Ап, ранга и и порядка (н-(- I)2—1;
2) Вп, ранга п и порядка «(2п-]-"1);
3) Сп, ранга п и порядка п (2л 4-1);
4) Dn, ранга п и порядка п(2п—1);
5) EQj ранга 6 и порядка 78;
6) Ev ранга 7 и порядка 133;
7) Es, ранга 8 и порядка 248;
8) F4, ранга 4 и порядка 52;
9) G2, ранга 2 и порядка 14.
25. В силу теоремы 80 каждой из найденных нами симметричных
систем векторов может соответствовать только одна простая группа.
Поэтому мы вполне решим задачу, если покажем, что все перечислен-
ные в теореме 81 системы векторов получаются как системы корне-
вых векторов некоторых известных групп.
26. Построим систему корневых векторов унимодулярной однород-
ной линейной группы от п переменных. Мы знаем, что инфинитези-
мальный оператор наиболее общего вида этой группы есть
x='£laikxipk, (24.61)
i, k
где
а11 + а22 + • • • + апп 0* (24.62)
Далее, если
i, к
то производный оператор
Ос у)=2 (2 2
i, к s 8
Поэтому, если мы будем сопоставлять с каждым оператором (24.61)
матрицу
А = II a»fcll>
то производному оператору (X, У) будет соответствовать матрица
АВ — ВА.
Введем для матриц более удобную для записи символику: будем
обозначать через eik матрицу, у которой элемент на пересечении Z-й
строки и #-го столбца есть 1, а остальные элементы — нули. Матрицы eik
умножаются по следующему правилу:
^еы = 0, если j ± k, 1
v } (24.63)
eijeki:=eib если ; = £• J
§ 24] типы простых групп 295
Тогда матрица А может быть представлена в виде
Л = II II = S агк «ik (24.64)
♦, к
Возьмем „произвольный* инфинитезимальный оператор(24.61)нашей
группы, предположив лишь, что соответствующая ему матрица имеет
все различные корни своего характеристического полинома. Тогда
можно подобрать такое унимодулярное преобразование переменных хр
чтобьГ соответствующая ему матрица имела вид
РчфАД (24.65)
i
Подвергнем всю группу этому преобразованию переменных и найдем
максимальную подгруппу нулевого ранга, содержащую Н. Найдем
абелеву подгруппу такого рода и потом покажем, что она есть макси-
мальная группа нулевого ранга. Из равенства
(Н, А) = НА — АН=% 2 — 2 aikeik 2 «и =
i i, к i,k i
= (24.66)
г, к
следует, что для того, чтобы имело место (Я, А) — 0, необходимо
и достаточно, чтобы элементы матрицы А, отличные от диагональных,
равнялись нулю. Таким образом совокупность матриц, перестановочных
с 77, представляется в виде (24.65), где Х2,...,ХП здесь надо
считать переменными величинами, подчиненными единственной зависи-
мости
^1 + А34-...-ЬХп = 0. (24.67)
Найдем корневые инфинитезимальные операторы (или матрицы)
относительно группы (24.65). Корневая матрица А должна удовлетво-
рять соотношению
(Н, А) = ?А.
Сопоставляя его с (24.66), получим
aik (Аг ^к Р) eik =
г, к
т. е.
aikO'i~ч — р) = ° (г, 6 = 1, 2, ..., А).
Эти равенства могут одновременно удовлетворяться только в том
случае, если все aik, за исключением одного, равны нулю. Таким образом
корневыми являются матрицы eik (Z ф k), и им соответствуют корни
— лА. Все эти 2 корней отличны от нуля, и их число вместе
сп—1 нулевыми корнями составляет п2—1, т. е. полный порядок
нашей группы. Это показывает, что группа (24.65) действительно
есть максимальная группа нулевого ранга Г. Относительно нее корни
296 СТРУКТУРА ГРУПП ли [гл. V
характеристического полинома суть X*— /ч.; им соответствуют корне-
вые векторы
(О, ..., О, 1, 0, . ..,0) = е<—еА,
так что в силу § 24.14 наша группа есть
27. Перейдем к ортогональным группам. Здесь мы будем различать
случаи четного и нечетного числа переменных. Сначала рассмотрим
случай, когда число переменных четное и равно 2п. Мы определяем
ортогональные преобразования как линейные преобразования, оставляю-
щие инвариантной форму
Х1 4" Х2 4“ • • • 4“ Х2п •
Линейным преобразованием (с комплексными коэфициентами) мы без
труда приведем ее к виду
4“ ^2 4" • • • 4“ хпУп- (24.68)
Поэтому между приращениями переменных, вызванными близ-
кими к единичным преобразованиям ортогональной группы, имеет место
соотношение
(24.69)
к к
Но из общего вида инфинитезимального оператора группы
^(0 = 2 дх^ “1“ XJ bikXi ~ду^ +
г, к i, к
<24-70>
следует:
(24.70')
подставляя в (24.69), будем иметь
S + dikyiXk + a ikXtyk + с^у^У = О,
откуда
bik-Y^ki—®, aik~Vaki—^^ cik~}~cki — ®-
Таким образом матрицу, соответствующую инфинитезимальному опера-
тору (24.70), можно представить в таком виде:
== 2 &ik (fik en + k,n+i) 4“(&i,n + k ek,n+i} 4“
4“2 cik(en+i,k en-rk,i)‘ (24.71)
i < к
В частности, диагональные матрицы этого вида имеют форму
Н = —(24-72)
i
§ 24]
ТИПЫ ПРОСТЫХ ГРУПП
297
Совокупность всех операторов, соответствующих матрицам И, обра-
зует абелеву группу Г порядка п. Если мы докажем, что характери-
стический полином нашей группы относительно Г имеет нулевой
корень точно п-R кратности, то это будет означать, что Г есть ма-
ксимальная подгруппа нулевого ранга. Имеем:
(Н, А) = 2 агк Оч — М (eik — en+k,n+i) +
г, к
+ 2 bik (Xf -|- XJ (ei,n+k ek,n +») +
4<k
2 cik( ^k)(en+i,k en+k,i)- (24.73)
i<k
Отсюда следует, что корневые матрицы будут получаться, если мы
приравняем все коэфициенты aik, bik, cik, кроме какого-нибудь одного^
нулю. Таким образом мы получим:
Корневые матрицы Соответствующие им корни
i Ф k
i<^k
i<^k
ег,к en+k,n-ri
ei,n+k ek, n + i
en+i,k en + k,i
(24.74)
h — ^k
+
— \ — Kk
Всего получается
„_ 1)+ ±(lzz2>.+_ 2„(„_ 1)
отличных от нуля корней. Но так как порядок нашей группы равен
п(2п—1), то число р нулевых корней равно
п(2п — 1) — 2и (и — 1) = и,
т. е. как раз равно порядку подгруппы Г.
Из формы (24.74) корней характеристического полинома следует,,
что корневыми векторами нашей группы являются
е» — е*(«фА); е^е*, —е<—е* (/<£);
это показывает, что наша группа совпадает с Dn.
28. Рассмотрим теперь ортогональную группу от 2я4~1> т- е-
нечетного числа переменных. Тогда инвариантную форму можно при-
вести к виду
г2 + x,yt + + ... + хпуп. (24.75)
Беря по аналогии с формулами (24.70')
ог = («ooz 4- 2 a«>Xi + 2 с«оЛ) 8/. i i Zxk = (aokz 4- 2 + 2 i i (24.76)
ьУк = (^o* + 2 bikXi 4- 2 8/, i i J
298
СТРУКТУРА ГРУПП ли
[гл? V
подставляя в
2г8г +2 + = 0 (24.77)
к к
и приравнивая нулю коэфициент при 8/, мы получим:
2<W2 + 2 2 aix>Xiz + 2 2 съУ£ + 2 аокУкг + 2 W** +•
i i к к
-г 2 aik ЪУк + 2 сгкУгУк + 2 bik*iXk + 2 <1ц<У<Хк = О,
♦, к г, к i,k i,k
откуда
<*00 :== ^ai0 Ч~ == —|— Uq^ = 0;
aik4~dki = °> ^гк~Ь ^кг сгкЛ'Ск1 — ^-
Таким образом инфинитезимальному оператору общего вида нашей
группы соответствует матрица
А == 2 ai0 (ei0 n+i) “F 2 &0i (%e0i ^п + г, о) ~F
i i
+ 2 &ik (pik €n+k,n+i )+2 Ь{к ,n+k ^k,n+i)~^T
i, к i<k
~F cik (,en+i,k — (24.78)
В частности, диагональная матрица Н нашей группы имеет вид
Н=^А<(ей-еп+<,п+<). (24.79)
Отсюда
<Н, А) = 2 ai0\ (ef0 — 2^01Ит>.) + 2 ««(— М (2ео« — «п+«,о) +
i i
(&ik еп+к, n+i)“F
i. *
+ 2 bik + ^к) (ei, п+к — ek,n+i) +
г<Л
+ 2 Чк (— К — Ч) (^п+i, к — еп+к,г)- (24 • 80
i <к
Рассуждая как в § 24.26, мы получим следующие корневые матрицы
и соответствующие им корни:
Есего их
2^0, n 4- i ^п+г,0 — U
i =j= k eik en+k,n + i \ — 'Kk
i<Zk ei,n+k ekfn + i Ki + ^k
en+i, к en+k, i
2n-p2n(n—1) = 2и2.
(24.81)
§ 24] типы простых групп 299
Но так как порядок нашей группы равен
^+1^ = п(2и+1),
то нулевых корней всего
п(2и-|“ 1)—2и2 = и,
т. е. как раз столько, каков порядок группы (24.79). Корневые векторы
нашей группы в силу (24.81) суть
— — &к’
Сравнивая с (24.4), мы видим, что наша группа есть Вп.
29. Исследуем так называемую комплекс-группу, т. е. наиболее
общую линейную группу от 2и переменных >
хр х2, ..хп; у19 у2, ..., уп. (24.82)
оставляющую инвариантным пфаффово выражение
5 (*k dyk—yk dxk). (24.83)
к
Можно определить комплекс-группу и иначе. Введя наряду с системой
(24.82) систему переменных
Хр х^,..., х'п; Л’
преобразующихся таким же образом, как и соответственные перемен-
ные (24.82) (т. е. расширяя группу), определим комплекс-группу как
наиболее общую линейную группу, оставляющую инвариантной били-
нейную форму
?(ХЛ—-УЛ)- (24-84)
к
Диференцируя форму (24.84):
2(*Ж+лЧ—х15л)=° (24-85)
к
и вводя наряду с (24.70') выражения
ох' = (2 aikx'i+2 Wi)sz’
г г
ъ г
мы после их подстановки в (24.85) получим:
2 (МЛ + diky'ixk + а.КхУк + cikyiV'k—
— агкх'Ук — с1кУ<Ук—bikxix'k—di^ixn) = °’
откуда
&ik — bki> dik =-aki' Cik = cki-
300 СТРУКТУРА ГРУПП ли [гл. V
Таким образом матрица, соответствующая инфинитезимальному опера-
тору общего вида комплекс-группы, имеет вид
&ik (&гк &п+к, n+i) "4“
2 &ik (ei, n-rk *4“ ек, n+i) “Ь 2 cik (еп±г, к "4“ еп±к, i)* (24 • 86)
i < к г < к
Из этого выражения следует, что порядок комплекс-группы равен
w2 + 2^ill==;„(2n-f-l). (24.87)
Диагональная матрица общего вида комплекс-группы имеет вид
Н=^(еи — *»+<,»+/)• (24.88)
i
Далее,
(^» = S aik ^к) (eik еп+к, n+i) Ч~
i, к
+ 2 ^ik + Kk) (ei,n+k “F ek,n+i) +
+ 2 cik (-\ ^k) (en+i,k H- en+k,i)- (24.89)
к
Отсюда видно, что корневые матрицы и корни комплекс-группы суть
k eik &п+к, n-Vi ^k
i < & ei,n+k H” ek, w-H xi + xfc (24.90)
i k еп^-г, к 4" en+k, i ^k
Число отличных от нуля корней равно
п (п — 1) + п (п + 1) = 2л2,
в силу чего число нулевых корней равно
и (2п +1) — 2п2 = л,
т. е. порядку группы (24.88), которая поэтому является максимальной
подгруппой нулевого ранга.
Корневые векторы комплекс-группы можно записать в форме
±2&1, ±eif±ek. (24.91)
Из (24.7) и (24.91) следует, что комплекс-группа совпадает с Сп.
30. Не останавливаясь на характеристике пяти особенных групп Е&
Elf £*8, F4, G2, которая довольно сложна, мы теперь можем формули-
ровать теорему 81 в следующем виде:
Теорема 82. Все простые группы Ли или принадлежат к одному
из следующих четырех классов:
1) Полные линейные унимодулярные группы от д-р переменных,
Лп. имеющие ранг п и порядок п(п-[-2).
ТИПЫ ПРОСТЫХ ГРУПП
301
§ 24]
2) Полные ортогональные группы от четного числа 2п переменных,
Dn, имеющие ранг п и порядок п(2п— 1).
3) Полные ортогональные группы от нечетного числа 2п-]-1 пере-
менных, Вп, имеющие ранг п и порядок п(2п-\-Л).
4) Комплекс-группы от 2п переменных, СП9 имеющие ранг п и поря-
док п(2п-(-1),
или изоморфны с одной из пяти следующих групп:
5) £6, ранга 6 и порядка 78.
6) Е19 ранга 7 и порядка 133.
7) Е& ранга 8 и порядка 248.
8) F4, ранга 4 и порядка 52.
9) G2, ранга 2 и порядка 14.
31. В теории групп Ли является важным вопросом вопрос о воз-
можности представления той или другой группы в пространстве воз-
можно меньшего числа изменений. Исследуем этот вопрос для простых
групп. Из теоремы 37 (§ 12.4) следует, что для транзитивных пред-
ставлений вопрос приводится к нахождению подгруппы возможно боль-
шего порядка этой группы. Строя представление, в котором эта под-
группа была бы стационарной подгруппой (т. е. строя преобразования,
которым подвергаются инварианты этой подгруппы внутри параме-
трического представления), мы убеждаемся, что число измерений про-
странства, в котором это представление помещается, равно индексу
стационарной подгруппы. Интранзитивные представления могут дать
меньшее число измерений пространства только в том случае, если
группа имеет неистинные представления, отличные от единицы, что для
простых групп не имеет места.
Для нахождения наибольших подгрупп исследуем, при каких усло-
виях теорема 78 (§ 23.15), доказанная нами для нормальных делите-
лей, справедлива для других подгрупп. При ее доказательстве мы поль-
зовались нормальностью только для того, чтобы иметь право утверждать,
что в подгруппу вместе с оператором 5 входит оператор [7/0S], где
Но — какой-нибудь регулярный оператор группы Г. Но если мы будем
иметь право утверждать, что подгруппа содержит какой-нибудь регу-
лярный оператор HQ, то, образовав содержащую его максимальную
подгруппу нулевого ранга Г и взяв внутри заданной подгруппы не
входящий в Г оператор, мы сохраним все рассуждения § 23.15 в силе.
Теорема 78 позволяет нам привести задачу разыскания максимальных
подгрупп к нахождению возможно большей (частичной) системы кор-
невых векторов такого рода, чтобы она входила как часть в полную
систему корневых векторов рассматриваемой группы и чтобы сумма
(для разности мы не должны ставить этого требования) двух векторов
частичной системы тоже принадлежала к частичной системе, поскольку
она принадлежит к полной системе.
Будем решать эту задачу следующим образом. Частичная система
должна не содержать хотя бы одного вектора полной системы. Будем
откидывать из полной системы по очереди по одному вектору всевоз-
можных типов. Далее, представив откинутый вектор всевозможными
302
СТРУКТУРА ГРУПП ли
[гл. V
способами в виде суммы двух векторов системы, откинем от каждой
суммы по одному слагаемому вектору. С откинутыми вновь векторами
будем поступать точно так же, но оставаясь внутри вновь полученной
системы, и т. д.
Заметим, что максимальная подгруппа не должна быть непременно
полупростой и что потому ей может соответствовать корень а, но не
соответствовать корень —а.
32. Полная унимодулярная однородная линейная группа Ап от п 4~ 1
переменных имеет корневые векторы
±(е< —еу) (z, ; = 1, 2, п+1).
Здесь все векторы одинакового типа, а потому достаточно исследовать
откидывание какого-нибудь одного из них, например, е2 — ew+1. Этот
вектор допускает следующие представления в виде суммы:
+ 1 “ (®1 ег) ®n+i) G* = 2, 3, . . ., и).
Откидывая в каждой из этих сумм по слагаемому е?-— еп+1, мы таким
образом откинем из полной системы все векторы, в выражении кото-
рых стоит с минусом еп+1. Эти векторы уже не могут быть предста-
влены как сумма векторов новой системы, так что процесс откидывания
векторов закончен. Индекс подгруппы, соответствующей построенной
нами системе векторов, равен числу откинутых векторов, т. е. п, так
как мы можем считать, что Г целиком входит в нашу максимальную
подгруппу. Таким образом:
Максимальная подгруппа группы Ап имеет индекс п. Отсюда также
вытекает:
Полная унимодулярная однородная линейная группа Ап_х от п пе-
ременных может быть представлена в пространстве самое меньшее п — 1
измерений.
Такое представление мы получим, вводя частные — в качестве но-
л п
вых переменных группы.
33. Группа Вп имеет корневые векторы
—
Откинем вектор первого типа,
в виде следующих сумм:
(/, j = 1, 2, ..я; 4)).
например, е№. , Его можно представить
“F (®n Т
Откинем по одному из этих слагаемых, например,
0* — 1, 2, .. ., п 1).
Эти векторы уже нельзя представить в виде суммы не откинутых век-
торов. Таким образом достаточно откинуть 2п—1 векторов.
ТИПЫ ПРОСТЫХ ГРУПП
ЗСЗ
§ 24]
Точно так же можно откинуть еп и (/=1, 2, п—1)^
но тогда
— == Н~ (®i ~4~ ^)»
и нам придется еще откинуть —е№.
Если бы мы предварительно откинули вектор второго типа, напри-
мер, еЛ + еЛ_р то пришли бы к первому случаю, так как нам при-
шлось бы откинуть один из векторов еп или еп_г
Таким образом мы получаем:
Группа Вп имеет максимальную подгруппу индекса 2я—1.
34. Группа Сп имеет корневые векторы
±et±ej (i, j = 1, 2, ..п; i=j).
Откинем, например, 2еп. Из представлений
2е„ = (е„Ч-е<) + (еп — е4) (г, j=l, 2, п — 1)
вытекает, что надо откинуть одно из слагаемых в каждой сумме, на-
пример, еЛ + е4. Но
еп —= (еп е^) -р- 2ег- (I = 1, 2, ..., п),
что показывает, что надо откинуть еще (еп—е^) (откидывание 2е*
повлекло бы дальнейшие откидывания). Векторы же еп, + еЛ ± е€
уже нельзя представить в виде суммы не откинутых векторов.
Откидывая вектор второго типа, например, еп-]-еп_1, мы будем
иметь
~1~ ^п-1 = ®n-i) 2en_j.
Откидывая 2еп_р мы придем к первому случаю. Далее,
Ч~ еп-1 “ (®п + “Н (®п-1
== (®п —ь* 2е^,
откуда следует, что если в откинутую систему не входит вектор
типа ±2ег-, то в нее входят все векторы ewzteo а также в силу
* ~4~ = 2еп -|— ( еЛ -j- е{)
все векторы типа —еп=±=е^ Построенная таким образом подгруппа^
очевидно, не наименьшего индекса. Итак:
Группа Сп имеет максимальную подгруппу индекса 2п—1.
35. Группа Dn имеет корневые векторы
=t z±z еу (z, j = 1, 2, ..n; i фД
Откинем, например, en-|-en_1. Из равенств
е„ + ея_1 = (ея±е4) + (ея_1=йе<) (z = 1, 2,..л —2)
следует, что необходимо откинуть или все еЛ4~ео или все en-i ег,
или все еп4-е{ и en_1-|-ei (и соответственно все еп — е< и en_t —
304
СТРУКТУРА ГРУПП ли
. [гл; v
«ли, наконец, для разных i различные из перечисленных комбинаций.
Первые два случая не требуют дальнейших откидываний и приводят
’Я а с к подгруппе индексами — 2 [надо только еще откинуть еп — ея_х
в силу еп + е4 = (е„—e„_1) + (en_I + ej)].
Другие же случаи влекут дальнейшие откидывания. Итак:
Группа Dn имеет максимальную подгруппу индекса 2п— 2.
36. Из § 24.32 и 24.34 следует:
Ортогональная группа п измерений может быть
представлена в пространстве п — 2 измерений.
37. Для исключительных групп ограничимся приведением резуль-
татов:
Группы Е6, Е19 Es, Fv G2 допускают представления
соответственно в пространствах 16, 27, 57, 15, 5 изме-
рений.
38. Теперь докажем теорему, которая оправдывает применение еде-
-ланной нами в § 24.30 гипотезы. Условимся в следующем термине:
будем называть подгруппу регулярной, если она содержит хотя бы один
регулярный оператор. Тогда имеет место:
Теорема 82'. Если полупростая группа -G порядка г содержит
какую-нибудь подгруппу Go порядка г0, то она также содержит регу-
лярную подгруппу порядок которой не меньше г0.
Доказательство. Возьмем в G подгруппу Г, производящие опера-
торы которой пусть будут
Н.2, ..., Нг. (24.92)
Расположим все корни характеристического уравнения группы G отно-
сительно оператора
Я = Х1Я14-Х2Я2+ ...
в следующем порядке („лексикографическом"). Будем говорить, что
корень
а = а^1 а%№ —... -J- aj№
больше, чем
^ = ^1 + ^+...+^,
если из разностей
^р ^2 •••>
первая, не равная нулю, положительна. Будем также писать
«>?.
Такое определение, очевидно, подчиняется обычным законам для нера-
венств. Итак, пусть
а1 > а2 > • • • > > 0 > ат > • • • > а2 > а1 ’ • 93)
:где
§ 24]
ТИПЫ ПРОСТЫХ ГРУПП
305
Выразим все независимые операторы группы Go линейно через"
Дхр ^«2’ • • •’ ^2’ • • *’ -«2’ ^-ар (24.94)
Путем линейных комбинаций эти выражения могут принять вид
(24.95)
(24.96)
(24.97)
где
^2 < * ’ * < ku Л < ^2 < • • • <
... и -f- v -}- w = г0,
И,, Н, , ..., /Л являются некоторыми линейными комбинациями опе-
«1 ‘2 *"1)
раторов (24.92), a Y.y Y^ обозначают операторы, линейно соста-
вленные из корневых операторов, корни которых соответственно
меньше чем отрицательны и меньше чем — awr При этом опера-
торы (24.92) считаются корневыми с корнем нуль.
В Go должны также входить операторы 1
ИЛ1 = [Е., + [Е.„/j! + [r(E.,.l +
+ [^^j] =М-р kj • +
где компоненты оператора принадлежат к корням, меньшим чем
Эти операторы в
через операторы (24.95),
а. 4*а& является одним из
Ki Kj
силу этого должны линейно выражаться
(24.96), (24.97). Если при этом сумма
корней (24.93), то, как известно,
20 0?ак. 1132. Н. Чеботарев
ЗОб СТРУКТУРА ГРУПП ли [Гл. V
откуда следует, что должен быть одним из корйей
%’ • * %-
Проводя аналогичное рассуждение для
[xit х"], [х';, х"],
мы убедимся, что корни
а, , а, , . . ., а, ; — а , .. ., — а — а (24.98)
kJ к29 ’ ки ’ ww’ ’ Wi v 7
образуют аддитивную систему корней. Отсюда следует, что операторы
ЕЛ^Е (24.99)
’*1
Е , Е , Е
~ат-> ат1
образуют группу, которую мы и обозначим через Gv Эта группа ре-
гулярна, так как содержит всю группу Г. Ее порядок не меньше г0>
так как
v Z,
откуда
= го-
Далее, G не может совпадать с G. Это очевидно, если удовлетво-
ряется одно из неравенств
и < т, w < т.
Если же имеет место
и = т, <w = т,
то это означает, что Go содержит все операторы типа
и значит все операторы типа
[Хр <] = Hf + Z. (/=1,2, .... т).
Но так как все Н образуют полную группу Г, то отсюда следует
v = Z,
а это означает, что сама Go совпадает с G. Таким образом теорема
доказана.
Теорема 82". Если подгруппа Go не регулярна, то гг > г0.
Доказательство, Если бы порядки Go и Gt были равны друг
другу, то имело бы место
v = 1\
в этом случае группа Go содержала бы все операторы вида
^=я2+г;,..., ^;=н,+ к;,
типы ПРОСТЫХ ГРУПП
307
§ 24]
где операторы
Нр Н2, .... Нг
образуют всю групяу Г. Но оператор
^х' = к{Н,->г^У'
. I 1 * »
регулярен. Действительно, имеет место
рХ j=№ +№ Е4=«а8+^
[Х% Н8] = [ХЧ, н8] + [х% Hs]=z's,
[к*Х'., Е ] = [к*Н.,Е ] + [Х% Е- ]= — а,Е +Z">
где
[И., Е ] = а<8), а{р^=а,
L г’ asJ г ’ i s ’
а компоненты операторов Zs, Z$, Z„ принадлежат корням, соответ-
ственно меньшим as, отрицательным и меньшим —as. Рассматривая
операторы (24.94) как образующие группы G, мы получим характери-
стический полином оператора
Х'Х-
в следующем виде:
0
ат
*
0 — «2 — ш
— di— (О
= ( — «о/ (ш2 — а2) (ш2 — а2) ... (ш2 — а2т).
20*
308
СТРУКТУРА ГРУПП ли
[Гл. V
Из этого следует, что при переменных л* оператор V Xi имеет харак-
теристическое уравнение с Z-кратным корнем нуль и 2т —г— I кор-
нями, отличными от нуля и друг от друга. Это означает, что оператор
регулярен, а с ним регулярна и подгруппа Go. Таким образом,
если Go не регулярна, то непременно
v < Z,
откуда
ri > Ъ
что и требовалось доказать.
Упражнение 56, Найти представление n-мерной ортогональной
группы в (п — 2)-мерном пространстве.
ГЛАВА VI
О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ПОЛУПРОСТЫХ ГРУПП ЛИ
ЛИНЕЙНЫМИ ПОДСТАНОВКАМИ
§ 25. Постановка вопроса
1. Для многих вопросов как самой теории непрерывных групп,
так и ее приложений (например, к квантовой механике), играет боль-
шую роль изучение всех существующих типов представлений групп
Ли линейными подстановками. Это изучение более или менее доведено
ло конца лишь для полупростых групп, в то время как для групп Ли
общего вида только совсем недавно И. Д. Адо доказал существование
линейных представлений. В связи с этим мы изложим теорию предста-
влений полупростых групп, разработанную Вейлем.
2. Пусть полупростая группа Ли G, заданная операторами
X» Х2, Х3, ..., ХГУ
для которых имеет место
Х^с\.Ха,
допускает линейное представление в пространстве т измерений. Это
означает, что существует г матриц m-го порядка А2, ..., Аг (они
линейно независимы, если представление истинно), связанных соотно-
шениями
М JHj] = А$ Aj Aj As.
В дальнейшем мы будем пользоваться, главным образом, предста-
влением групп при помощи корневых операторов, задавая операторы
группы
^2’ • • • э • • • > (25.1)
связанные соотношениями
[й^] = 0, [kihf, еа]=аел... [е* е₽] = еа+? или =0 *), (25.2)
где а, корни характеристического полинома, суть линейные функции
от переменных АА Точно так же матрицы исследуемого линейного
представления
Яр Н2, нп-, Еа,Е&,... (25.3)
*) В зависимости от того, является ли а + ? корнем характеристического
полинома или нет.
310 О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ПОЛУПРОСТЫХ ГРУПП ЛИН. ПОДСТАНОВКАМИ' [Гл. VI
должны быть связаны соотношениями
[Ht Hj] = 0, [Л< Hi, Ел] = аЕл, (25.4)
[£« E₽J = Еа+? или = 0,
где а — те же линейные функции, что и в представлении 025.2).
3. Будем представлять себе матрицы нашего представления, как
линейные преобразования векторов
(Xv Х2> .... Хт) (25.5)
/n-мерного пространства 7? (векторфункции). Подвергая переменные хг
преобразованию А и вводя вместо xi переменные у4 по формуле
(л, У2> •••- ym> = B{Xi,x2, хп), (25.6)
где В — обратимое преобразование, мы тем самым подвергнем пере-
менные преобразованию
ВАВ-'. (25.7)
Поэтому представления улД- и рлВДВ"1 мы будем называть эквива-
лентными и в пределах теории линейных представлений не будем счи-
тать их различными.
Примечание. Всякое равенство, подобное (25.6), можно также
толковать как равенство между матрицами, если только записать
(хр х2, ..., xw) и (j/p д/2, ..., у^ в виде колонн (чего мы не делаем
из соображений экономии места) и считать их матрицами, состоящими
из т строк и одной колонны. Исходя из этого, мы можем также рас-
сматривать обыкновенное матричное равенство
А = ВС,
как линейное преобразование системы векторов
(Сц> ^21’ ’ • •’ ^mi), (^12» ^22> • • •> Cw2), • • •> C2w, • • •’
составляющих колонны матрицы £ = ||^||.
4. Предположим, что нам удалось найти р линейных комбинаций
(р < /те)
Л = (/=1,2, .... р)
переменных х такого рода, что все преобразования группы, произве-
денные над переменными у^ переводят их в функции от одних ylf
№ •••> Ур* В этом случае переменные претерпевают преобразова-
ния, образующие новое представление группы, являющееся частью
первоначального представления (содержащееся в нем) и в смысле тео-
рии общих представлений.
Добавляя к системам переменных yv у2, ур переменные
£р+1, •••» zm так, чтобы все переменные
•••> Ур> Zp + 1> •••> Zm
(25.8)
§ 25] ПОСТАНОВКА ВОПРОСА 311
составляли независимую систему, и вводя обозначение
СУ1> • • •> Ур\ + • • •’ = & С^Р • • •> *^т)>
где q — обратимое преобразование, мы убеждаемся, что представление
BAiB-1 (Z=l, 2, г),
эквивалентное заданному, переводит первые р своих переменных
У» Уъ • • •» Ур в линейные функции от них самих (согласно термино-
логии геометров переменные yv .ур образуют инвариантное под-
пространство измерения р). В этом случае матрицы ВА{ В-1 имеют
форму
А О
G Л
где матрица 0 в правом верхнем углу состоит из р строк и т—р
колонн, сплошь заполненных нулями.
Будем в этом случае говорить, что наше представление полупри-
водимо.
5. Если полуприводимое представление таково, что переменные
•••> zm могут быть тоже подобраны так, чтобы они при пре-
образованиях нашего представления переходили в линейные функции
от них самих, то представление носит название вполне приводимого.
В этом случае можно найти такое преобразование переменных, кото-
рое бы переводило хр х2, .хт в систему переменных, разбиваю-
щуюся на две системы переменных, каждая из которых йереводится
преобразованиями группы сама в себя (пространство R разбивается
на два инвариантных подпространства). После такого преобразования
переменных матрицы нашего представления приобретают вид
(25.9)
В этом случае представление группы называется вполне приводимым.
Оно разбивается на два отдельных представления и в смысле расши-
ренных групп является суммой этих представлений.
Впоследствии мы покажем, что всякое полуприводимое представле-
ние полупростой группы вполне приводимо. Из этого будет следо-
вать, что любое представление полупростой группы есть сумма не-
скольких неприводимых представлений.
6. Пусть ^ = [1^11. Чтобы найти корневые векторы этого преобра-
зования, т. е. векторы е = (хр х2, • • • > хп)> удовлетворяющие соотно-
шению
Н1е = а1е9 (25.10)
где at — постоянное число, достаточно решить систему уравнений
h6 * 8ixs = alxi (i = 1, 2, ..., т). (25.11)
X, 0 I
t I
0 A" ’
312 О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ПОЛУПРОСТЫХ ГРУПП ЛИН. ПОДСТАНОВКАМИ [Гл. VI
Если соотношению (25.10) удовлетворяют несколько векторов:
ер е2, ..., ек (при одном и том же значении а^, то из
==: 1» = ^1®2’ • * * ’ ^l^k ==
следует
Hi (нЧ) = ai ОЧ)>
т. е. любая линейная комбинация корневых векторов является тоже
корневым вектором.
Пусть ех, е2, еА будет полная система корневых векторов,
имеющих корнем av Из
[HtH2] = нхн2 — н2нх = о
следует, что
Hi (Htfi) = Н2НХ^ = ах
т. е. что Н2е{ является также корневыми векторами, а потому выра-
жаются через е1? е2, ..., еА:
Н2е{= uies (z* = Ь2, ..., k).
Подберем значения иЛ так, чтобы имело .место
Н2 О е«) = И иг е8 = а2 (р- е8).
Для этого нужно решить систему
Р'Х (s == 1, 2, ..k)
относительно и а2. Система всегда имеет решения, а потому суще-
ствуют векторы, одновременно удовлетворяющие соотношениям
Н^е = ахе, Н2е = а2е.
Все векторы, удовлетворяющие этим условиям, опять составляют линей-
ное многообразие, в силу чего, беря новое преобразование /73, переста-
новочное с и с Н2 и повторяя предыдущие рассуждения, мы всегда
получим вектор е, удовлетворяющий одновременно соотношениям
Н^ — а^, Н2е — а2е, Н$е = а3е.
Продолжая этот процесс, мы получим вектор е, удовлетворяющий
одновременно соотношениям
/Ухе = ахе, Н2е = я2е, ..., Нпе = апе,
откуда при переменных X1’
Не — (Ке = (Xw) е, (25.12)
т. е. е является одновременно корневым вектором для всей группы
Г={ЯР я2,.... нп\.
Стоящая в правой части (25.12) линейная функций А = л'а< назы-
§ 25]
ПОСТАНОВКА ВОПРОСА
313^
вается весом корневого вектора е. Как мы увидим ниже, веса вполне
определяют неприводимые представления.
7. Если е корневой вектор, имеющий вес Л, то векторы
£ае
тоже корневые, причем Нр имеют тот же вес Л, а Еа — вес Афа
(тоже линейная функция от X*). В самом деле,
Н(Н,е) = Н. (Не) = Л (Н.е), (25.13)
Н(Еае) = Еа (Не) + [НЕД е = Л£ае + а£ае = (Л + а) Е^. (25.14)
Если Еае ф 0, то А-[-а должно тоже служить весом представления.
С другой стороны, каждое представление имеет лишь конечное
число различных весов, так как каждое уравнение
Н;е = ар (Z — 1, 2, ..., т)
дает самое большее т значений для аь являющихся корнями характе-
ристического полинома матрицы Н^
8. Докажем теорему:
Теорема 83. Если имеет место соотношение
pLe + lx'e, + /V'+... =0, (25.15)
где е, е', е", ...—корневые векторы, имеющие различные веса А
А', А", ...» то
р, = р/ = рЛ = ... = 0.
Доказательство. Обозначим через ср (С) полином
Ф (0 = (С—Л) (С — Л') (С —Л")...,
а через ^(С), У (Л), '/'(С),...—полиномы
4'(С)=^Я, =
Имеет место
(И— А) е = О, (Н—А) е' = (Л' — Л) е',...
(Н— А')е = (Л — Л') е, (И—Л') е' = 0,...,
откуда
6(Н)е==(Л —Л'ДА —Л'')... ефО, ф(Н)е' = 0, <ИН)е" = 0,...
Применяя к равенству (25.15) операцию <р(Н), получим
Н(Л — А')(А — А")... =0,
откуда р, = 0. Применяя к (25.15) операции </(Н), ф"(Н), мы получим
соответственно р/ = 0, у/'= 0, ...» что и требовалось доказать.
(25.17)
314 О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ПОЛУПРОСТЫХ ГРУПП ЛИН. ПОДСТАНОВКАМИ [Гл. VI
9. Рассмотрим операторы fa, В _a, имеющие корнями а, — а,
а также оператор Нл = [Е^Е^]. Если мы вместо У будем подставлять
частные значения, дающие оператор Н=Н^ то получающиеся после
этой подстановки значения форм А, а, (3, ... будем обозначать при
помощи значка а внизу: Аа, аа, ра,... Пусть
А — #а, А — (k— 1) а, А—а, А, А-|-а, ... (25.16)
будут веса представления, а А — (£-|-1)а нет. Пусть вектор е_л имеет
вес А — ka. Тогда векторы
будут иметь соответственно веса (25.16). При этом пусть Впервые
— O Ф 0)• (25.18)
Будем применять к векторам (25.17), идя в обратном порядке, пре-
образование Е_л. Получим
£_ae_* = 0,
Е — а®— к-г 1 =: — к —а® —Л к :==: (^а ® — к'
Вообще, предполагая по индукции, что имеет место
— Hi-lei-P
будем получать
а^г’т-1 z==z == ^a®i :== Hi —1®/ (Фх “F ^a) ®i == Hi®i>
где
Hi = Pi-i —(Aa + Zaa).
Отсюда
Hi = H-fc + (Н-Л+1 — Н-л) + • • • + (Hi — Hi-1) =
= — (Aa — £aa) — (Aa — £ — 1 a J — ... — (Aa 4- i aa) =
=_(4+(+])a.+[‘«+1>_'£±»]..,
и таким образом
£-«ef+1 = (/ + *+ 1) [41 «« — Л J e,. (25.19)
Из (25.18) и Е-^и+х = —eh мы должны иметь ^ = 0, откуда
Ла = Ц^аа. (25.20)
Если форма А является весом представления, то форма
Л' = Л —(£ —А)в = Л —(25.21)
аа
тоже будет служить его весом. Если мы подобно корневым векторам
представим вева в виде векторов в том же пространстве, то, рассуждая,
как в § 23.18, мы убедимся, что вектор Л' симметричен вектору Л
относительно плоскости, перпендикулярной к вектору а. Таким образом
фигура, образованная весовыми векторами, тоже симметрична относи-
тельно системы корневых векторов.
§ 25] ПОСТАНОВКА ВОПРОСА 315
10. Будем называть линейную форму
М1 + *2*2+-.-+Мп
положительной, если первое в ряду Ь%, ..., Ьп число, отличное
от нуля, положительно. Далее, будем говорить, что из двух форм Л,
Л' форма Л „больше" Л', если разность Л — Л' положительна в только
что указанном смысле.
Расположим все веса заданного представления группы по „величине".
Пусть Л есть „наибольший" вес. Мы докажем, что наибольший вес
вполне определяет неприводимое представление группы. Но для этого
предварительно докажем следующую теорему:
Теорема 84. Пусть е—вектор, имеющий в данном неприводимом
представлении группы наибольший вес Л. Образуем ряд
е, Еае, Е^Е^е, Е^Е^е,... (25.22)
векторов, где а, у,... —корни характеристического полинома группы
в любом порядке. Веса этих векторов суть соответственно
Л, Л + <х, Л + « + р, Л + а + р + Ъ... (25.23)
Если в этом ряду второй раз встретится вес Л, то ему будет соответ-
ствовать вектор хе, где х— множитель, зависящий исключительно от
веса Л и от корней а, р, у, ..., принимавших участие в образовании
этого вектора.
Доказательство. Пусть Е Е ...ЕЕ е — вектор, имеющий
1 a2 ai
вес Л. Тогда
al + a2 4- • • • + «ОТ-1 + «т = 0,
а потому среди корней ар а2, aw должны встречаться и положи-
тельные, и отрицательные. Пусть аг — первый положительный вектор
в этом ряду. Если I = 1, то теорема доказывается непосредственно,
так как тогда второй вектор, Еа1е, в ряду (25.22) имеет вес Л ai > Л,
т. е. больший наибольшего веса. Тогда должно иметь место
= О,
в силу чего и все дальнейшие векторы ряда (25.22) обращаются в нуль,
откуда х = 0.
Будем доказывать теорему по индукции. Предположив ее справед-
ливость для значений меньших некоторого определенного числа Z,
докажем ее справедливость для числа I. Рассмотрим вектор
е' = Е Е ... Е Е е —
= [ЕЕ ]Е ..., Е Е ...Ее. (25.24)
Во втором слагаемом, векторе правой части az>0 стоит на (Z—1)-м
месте, а потому для него в силу нашего предположения мы можем
считать теорему доказанной:
Е„ ... Е„ ЕЕ ... Е е = хе.
am aZ —1 aZ “Z —2 ai 1
316 О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ПОЛУПРОСТЫХ ГРУПП лин. подстановками [Гл. VI
Что касается первого слагаемого, то здесь мы должны отдельно рас-
смотреть три случая:
1) и не есть корень характеристического полинома
группы. Тогда
[ЕЕ 1 = 0,
L Ч Ч — 1J
и первый вектор в (25.24) обращается в нуль.
2) az-i + az = °- Тогда
[ЕЕ ] = Н ,
L ч ч—г ч
'^ЧЕЧ— J ^Ч — 2* *:~ а1 + • • • + а1— 2^ а1Е*пГ "£ч+1£Ч—2* ‘
Число операторов Е ., стоящих перед е, на 2 меньше, чем в векторе
(25.24), а множитель (А-}-+ .. . + зависит только от А и
корней характеристического полинома.
3) az_1-[-^=P есть корень характеристического полинома. Тогда
ГЕ Е ]=М 7 ,Е.,
L aj_ I, l—l 3’
Е ...[ЕЕ ]Е ...Ee = N17 ЛЕ ...Е Е.Е ...Ее.
1 az Ч—l1 4—2 Ч f,l—l aw aj+1 аг _ 2 ал
Число Nlt z-j определяется структурой группы и корнями аг_р ai
а перед вектором е стоит на 1 меньшее число операторов Еа., чем
в выражении (25.24). Предполагая дополнительно, что теорема доказана
для меньших значений т, мы во всех случаях полностью докажем
теорему.
11. Теорема 85. Если два неприводимых представления G, G* одной
и той же группы имеют один и тот же наибольший вес А, то эти пред-
ставления эквивалентны, т. е. переходят друг в друга при Помощи
обратимого линейного преобразования.
Доказательство. Пусть весу А в представлениях G и О* соответ-
ствуют векторы е и е* (если в одном и том же представлении весу А
соответствует несколько векторов, то мы выберем один из них).
Образуем наряду с системой векторов (25.22) систему
е* Е,е, ЕрЕЛе*, Е^Е^, ... (25.25)
Докажем, что всякому соотношению
те + тАе + т2ДАе+• • • =° (25.26)
между векторами (25.22) соответствует такое же соотношение
7е* + Т1Еае* + т2ЕрЕае* + ... = 0. (25.27)
В противном случае совокупность линейных комбинаций векторов
(25.25), которым в представлении G соответствуют нулевые векторы,
образовала бы подпространство, инвариантное относительно Н и кор-
ПОСТАНОВКА ВОПРОСА
317
§ 25]
невых операторов группы и, следовательно, относительно всех опера-
торов группы (операторы, соответствующие друг другу в силу изо-
морфизма групп G и G*, мы обозначаем одними и теми же символами).
Докажем, что это подпространство не совпадает со всем про-
странством, образованным векторами представления G*. Именно это
подпространство не может содержать вектора наибольшего веса Л.
В самом деле, если бы вектор
леу -|“ Х1Вае'1' • • • (25.28)
этого подпространства имел вес Л, то в силу теоремы 83 не равными
нулю могут быть только те из коэфициентов X, Хр Х2, которые
стоят при векторах веса Л. Но так как эти векторы имеют вид -
Еф...Е^Еаг*> (25.29)
то из теоремы 84 следует, что каждый из этих векторов равен хе*,
где коэфициент х зависит только от веса Л и от корней а, £, у, . .. , <о,
участвующих в образовании вектора (25.29). Из этого следует, что
вектору (25.29) в представлении G соответствует вектор
f ц> .. . Е^ЕоЕ^ 1— хе.
Из того, что вектор (25.28) находится в нашем подпространстве,
• следует, что соответствующий ему вектор в представлении G равен
нулю, т. е. что
kx -J- Хр/Ч 4- Х2х2 = 0.
Но это показывает, что сам вектор (25.28) равен нулю. Таким образом
подпространство, рассматриваемое нами, не совпадает с полным про-
странством представления G* и в силу неприводимости последнего
может содержать только нулевые векторы. Это показывает, что из
каждого соотношения типа (25.26) вытекает аналогичное соотношение
типа (25.27), и обратно. t
Выберем теперь из системы векторов (25.22) полную систему
независимых векторов и будем считать их единичными координатными
векторами. Будем также считать единичными координатными векторами
в пространстве представления G* соответствующие им векторы из
системы (25.25). Тогда остальные векторы системы (25.25) в силу
только что доказанного будут таким же образом линейно выражаться
через единичные векторы, как и соответствующие им векторы системы
(25.22), т. е. будут иметь те же численные значения для своих соста-
вляющих. Поэтому каждый оператор Е* произведет среди векторов
(25.25) то же самое линейное преобразование, что и среди векторов
(25.22). Таким образом при описанном выборе координат корневые
операторы Е*, а также Н, будут соответствовать одним и тем же
линейным подстановкам. Но так ках через Н и Еа линейно выражаются
все операторы группы, то это доказывает, что при данном вы-
боре координат оба представления G и G* совпадают, т. е. что
при произвольных координатах они эквивалентны, что и требовалось
доказать.
318 О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ПОЛУПРОСТЫХ ГРУПП ЛИН. ПОДСТАНОВКАМИ [Гл. VI
§ 26. Образование неприводимых представлений
1. Имея неприводимое представление G, мы имеем возможность
получить бесчисленное множество новых неприводимых представлений
той же группы. Для этого существуют два следующих способа компо-
зиции представлений:
1. Кронекеровское или внутреннее умножение представлений. Пусть
переменные
х2, ..., хм
подвергаются линейным преобразованиям 5 представления G (имею-
щего измерение Ж), а переменные
Ур У2,---,Уя
подвергаются линейным преобразованиям S' представления G' той же
группы. Пусть 5 и S' соответствуют друг, другу при изоморфном сопо-
ставлении. Тогда произведения
(1=1, 2,...,М\ ;=1, 2, ..’.,7V) '
тоже будут претерпевать некоторое линейное преобразование. Сопо-
ставляя его с преобразованиями S, S' и заставляя последние пробегать
всю группу (оставаясь изоморфно сопоставленными), мы получим новое
представление той же группы, которое мы будем называть внутрен-
ним произведением представлений G, G' и обозначать так: GG'. Это
представление имеет измерение MN.
Пусть представления О, G' соответственно имеют веса
Лр Л2, ...,Л^; (26.1)
Ар Л;, (26.2)
(кратные веса, т. е. кратные корни характеристического полинома
каждого из представлений, мы будем ставить в эти ряды число раз,
равное степени их кратности). Тогда весами представления GG' будут
служить суммы
Л^ + Л^. (/=1, 2,...,Ж; /=1, 2,...,Л/)- (26.3>
В самом деле, пусть Л будет один из весов представления G. Это
означает, что существует вектор
е = (х19 х2, ..., х^),
для которого имеет место
Не = Ле, (26.4)
или в координатах
Нх. = Ax. (v = 1, 2, ..., Ж). (26.5)
Но матрице Н, составленной из коэфициентов инфинитезимального
оператора, соответствует матрица
5 = &н=£-Ь-^ + ^4-^+..., (26.6)
§ 26] ОБРАЗОВАНИЕ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 319
дающая конечное преобразование представления G. Подвергая этому
преобразованию вектор е, будем > иметь
5е = е4--уу4-'уг + • • • = (1 +т? + ур + • • Jе = е е, (26.7)
или для координат
Sx, = e\. (26.8)
Аналогично для представления G', имеющего в качестве одного из
весов Л', мы получим вектор е' = (yv у2, . ..,yN\ для координат
которого будет иметь место
(26.9)
Но соответствующее 5 и У преобразование S" представления GG' мы.
получим, одновременно подвергая множители xif составляющих.
AW-мю р но г о вектора е" = у^ преобразованиям S и 5'. Поэтому
мы будем иметь
3"х^ — SXiSyj — +А х^, откуда = ек+л е". (26.10>
Если в представлении GG' инфинитезимальным операторам с мат-
рицами НН' соответствует инфинитезимальный оператор с матрицей
Н", то опять имеет место
S" = ен\
Сопоставляя с (26.10), получим
H"q" = (Л + Л') е". (26.1 i>
Это показывает, что сумма A-[~AZ является весом представления GG'.
Несколько более сложное рассуждение позволило бы нам доказать,,
что вес Л-|~Л' имеет кратность v, v', если v, v' суть кратность весов
Л, Л'. Поэтому MN сумм (26.3) исчерпывают все веса представлен
ния GG'.
Если Л1,Л1 являются наибольшими весами соответственно представ-
лений G, G', то наибольшим весом представления GG' является
At + A'. (26.12>
2. Другим способом композиции представлений является внешнее
умножение, которое можно производить только над представлениями
одинаковых измерений. Мы будем Применять его только к векторам,
подвергаемым преобразованиям одного и того же представления..
Если векторы
е = (хг х2, ..xs) е' = (ур у2, .. ., yN)
подвергать преобразованию 5 представления G, то координаты
Х^.—Xjyi (i, J = 1, 2, ..N; i < j) (26.13)
дг/v__n
—2—- -мерного вектора e2 будут тоже претерпевать линейное пре-
образование, которое мы обозначим через S2. Заставляя пробегать 5*
все представления G, мы получим из соответствующих S2 новое пред-
320 О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ПОЛУПРОСТЫХ ГРУПП ЛИН. ПОДСТАНОВКАМИ [Гл. VI
ставление, которое мы назовем внешним произведением представлений
G и G и будем обозначать так: G X О или G2.
Точно так же, как в § 26.1, мы убедимся, что вес вектора е2 есть
А-j-iV, если Л, Л' суть веса векторов е и е'. Однако если Ах есть
наибольший вес представления G, то отсюда еще не следует, что
Л1-|-А1 = 2А1 есть наибольший вес представления G2. В самом деле,
если Aj имеет кратность 1, то имеющие этот вес векторы е, е' отли-
чаются лишь скалярным множителем, в силу чего составляющие (26.13)
вектора е2 равны нулю. В этом случае наибольшим весом представле-
ния является
Aj + A,, (26.14)
где Лх и Л2 означают соответственно наибольший и следующий за ним
по величине вес представления G.
3. Обратим внимание на то, что весами представления, даваемого при-
соединенной группой (измерения г, где г—порядок группы), являются
корни характеристического полинома присоединенной группы (поли-
нома Киллинга). В случае полупростой группы таковыми являются:
и-кратный нуль (п — ранг группы), а также г—п простых корней,
отличных от нуля. Поэтому если в качестве представления G взять
присоединенную группу, то корни отличных от нуля весов просты, а
потому наибольший вес представления G2 выражается в форме (26.14).
4. Аналогично представлению G2 образуем представления
Gs, Git GN_r (26.15)
Для получения представления Gk возьмем k линейно независимых
векторов
ew = (xf)x2w, .... х«) (/=1,2, .... k) (26.16)
и построим линейные преобразования, которые претерпит вектор изме-
А!
рения имеющий координатами
(l<ax<a2< ... < ^<7V), (26.17)
’если одновременно подвергать векторы (26.16) преобразованиям
представления G. Эти линейные преобразования порождают новое
представление, которое мы будем обозначать через Gk. Его наи-
больший вес определится выражением
Д1 + Л2+...+Дл, (26.18)
где Ар А9, ..., AN—веса представления G, расположенные в по-
рядке убывающих величин. Это, конечно, только в случае, если
§ 26] образование неприводимых представлений 321
первые k весов представления G просты. Например, если в качестве
G взята присоединенная группа, то мы можем быть уверены в пра-
вильности формулы (26.18) в том случае, если k не превышает числа
г—п . . (г — п „
— 2--|- —2------число положительных корней характеристического
полинома параметрической группы).
5. Возникает вопрос о неприводимости получаемых таким образом
представлений. В ‘ общем случае неприводимость не имеет места,
и тогда естественно поставить задачу о разложении получаемых пред-
ставлений на неприводимые.
Для распознавания неприводимости представлений часто оказы-
вается полезной следующая теорема:
Теорема 86. Если в представлении измерения N можно выделить
N независимых весовых векторов
ер е2, ...» eN, (26.19)
которым соответствуют отличные друг от друга веса
Лр л2, ...,Л№ (26.20)
и если все векторы (26.19) переводятся друг в друга преобразова-
ниями группы, то представление неприводимо.
Доказательство. Предположим противное: пусть образованное
векторами (26.19^ пространство 01 содержит инвариантное относи-
тельно преобразованной группы подпространство ОТ, и пусть этому
подпространству принадлежит вектор
6 = ’1е1 "Ь ^2е2 + ••• +^ГеЛ”
причем, по крайней мере, одна из составляющих, например,
отлична от нуля. Применяя к этому вектору инфинитезимальный опе-
ратор Н подгруппы Г нашей группы, получим опять принадлежащий
к 91' вектор
//е = Лх $1е14~ Л2 £2е2 ~Ь • • •
Повторяя процесс, будем получать следующие векторы простран-
ства 9^^:
= Л^1в1 + Л’?2е24- ... + Л2Х $Ne
••••••••>
rrN—1 aN—1 t л 1..—1 £ л I I —ifc ~
е 4ei“hA2 £2е2+ ... + Ля
В силу нашего предположения относительно весов (26.20) определи-
тель Вандермонда (Л^) отличен от нуля, а потому, разрешая последние
равенства относительно
Siiei, Е2е2, ..., tNeN,
мы убедимся, что каждый из этих векторов принадлежит подпро-
странству 9?'. В частности, в силу ф 0 вектор et принадлежит 91'*
21 Зак. 1132. Н. Чеботарев
322 О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ПОЛУПРОСТЫХ ГРУПП ЛИН. ПОДСТАНОВКАМИ [гл. VI
Применяя последнее предположение наше1) теоремы, мы заключим
отсюда, что все векторы (26.19) принадлежат 9?', откуда следует, что
9?' совпадает с 91.
6. Если представление вполне приводимо и вместе с тем и^еет
вектор веса А, то, по крайней мере, одно из неприводимых пред-
ставлений, на которые оно разбивается, имеет вектор веса А. В самом
деле, пусть пространство 91 нашего представления распадается на два
инвариантные подпространства 91', 91", измерения которых соответ-
ственно N' и АГ'. Мы можем выбрать координаты так, чтобы подпро-
странство 9?' характеризовалось условиями
XN' + 1 ~ XNf + 2 = “ XN’ + N” = 0 AZ = А/)>
а подпространство 91м — условиями
... =xN, = 0.
Если вектор
е = (хр .. ., хк,, xN, р .. ., xN)
имеет вес А, то и векторы
e'==(.Vp ..., xN„ 0, ..., 0).
е = (0, ..., 0, xN, + р ..., xN)
подпространств 9?' и 9Г имеют вес А, как это следует из вида
матрицы
А' 0
0 А"
всех преобразований нашего представления. Вместе с тем из е ф О
следует, что, по крайней мере, один из векторов е\ е" отличен
от нуля.
Разбивая далее 9?' и 91" на инвариантные подпространства, мы
в конце концов придем к неприводимому представлению, содержащему
вектор веса А.
Поэтому, если при помощи изложенных в этом параграфе приемов
мы построим .представление, имеющее наибольший вес Ар то, разбивая
его на неприводимые представления, мы придем к неприводимому
представлению с наибольшим весом АР
Здесь мы не рассматриваем полунеприводимых представлений.
В следующем параграфе мы покажем, что их не может быть для
полупростых групп.
Теперь покажем на примерах изученных нами простых групп,
каковы должны быть линейные формы
• • • А'Рп^п (26.21)
для того, чтобы они могли служить наибольшими весами неприводимых
представлений, и какие из них могут быть получены при помощи изло-
женных в этом параграфе приемов.
§ 26] ОБРАЗОВАНИЕ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 323
7. Полная унимодулярная линейная группа. В § 24.25 мы видели,
что таковой является группа Aw_r Далее, в ней подгруппа Г может
быть образована матрицами (24.65):
(26.22)
i = 1
где переменные Хр Х2, ..., Хп связаны единственным соотношением
(24.67):
+ ^2 4" • • • + = °- (26.23)
Если
е = (х1? х2, ..., хте), то /Те = (XjXp • • •> ^А)*
Из этой формулы видно, что единственными корневыми векторами
могут служить координатные векторы и что их весами являются
Хр Х2, .. ., Хп_р Хп.
Принимая за независимые переменные X, Х2, ..., Xn_t и пользуясь
соотношением (26.23), мы приведем эти веса к такому виду:
• • •> ^n-V \ ^2“ • • * ^п-1* (26.24)
Нетрудно видеть, что здесь эти веса расположены в порядке „убы-
вающих величин* (см. § 25.10).’
Таким образом, если мы обратимся к § 26.4, приняв в качестве G
представление группы Ап_lf как полной унимодулярной линейной
группы от п переменных, то представления
G, G2, ..., Gn_1 (26.25)
будут соответственно иметь веса
^15 Х1 + А2> •••> "Г ^2 • • 4~ ^п-1* (26.26)
Далее, обращаясь к „внутреннему умножению* и построив при его
помощи представление
Qi q2 q 1
G G2 ... Gnn_-\ (26.27)
где qv q^, ..., qn_r — произвольные целые неотрицательные числа, мы
получим его наибольший вес в следующем виде:
4^1 4~ ^2(^1 4-Л) + ?з(А1 + А2 + М+--- +
Ч-^я-1 (^1 + ^2+ • • • +^П-1) =
= 4- Яч + • • • + Чп-1) +
4~ (92+ • • • 4-^n-i) ^2+ • • • И-
• • • Ч~(Чп-чЧ~ Чп-i) Чп-i \i-i- (26.28)
Таким образом для того, чтобы неприводимое представление с наи-
большим весом
/’i^i4~/’2^ 4~ • • • 4“Pn-i ^п~1
могло служить неприводимой частью одного из построенных нами
21*
324 О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ПОЛУПРОСТЫХ ГРУПП ЛИН. ПОДСТАНОВКАМИ [гл. VI
представлений (26.27), необходимо и достаточно, чтобы система
уравнений относительно qv ..., qn_l
<7i 4“ 72 4“ • • • 4“ Яп-i — Ру
^2 4-^3 4- • • • 4- Qn-i =p&
(26.29)
7n-2 4~ Яп-А. Pn-fr
Яп-i == Pn-1
имела целые неотрицательные постоянные решения. Но
система (26.29)
имеет следующее решение:
Я1—Pi Р& Я%—Р^ Р& • • •’ Яп-Ъ Рп-% Pn-v Яп-i—.Рп-1
и, следовательно, числа р{, р.2, ..., рп_1 должны быть целыми и удо-
влетворять следующим неравенствам:
Pi>Pz> ••• >Рп-1>Ъ- (26.30)
Пример. Присоединенная для Ап_х группа имеет в качестве весов
корни своего характеристического полинома, т. е. формы
Ai —(z, J= 1, 2, ..п).
В силу (26.23) их можно представить в таком виде:
— (Ц + . .. + ^-i + 2\- + Xi+1+ ... +Xn_j) (i,j = 1, 2,..., п — 1).
Из этих весов „наибольшим" является
. 2хх4-х24-... 4~*п-г
Решая систему (26.29) при рх = 2 (р2 = ... =pn-1 = 1), получим
7i=h 72 = ... =7n-2 = °, 7n-i==l,
откуда следует, что присоединенная группа имеет то же неприво-
димое предсгавле ие как часть с наиболь ним весом, что и GGn_v
8. Теперь посмотрим, какова должна быть форма
^ = РЛ14“Р2^2 4^ • • • +Рп-1^п-1 (26.31)
для того, чюбы она могла служить весом какого бы то ни было
представления наше группы.
В § 24.25 мы виаеь^ что корню а = Х^— лА соответствует кор-
невая матрица = eik. 05 ащаясь к формулам (24.1), будем иметь
^Л-а] ^ik^ki ^ki^ik &кк*
Сравнивая ее с (26.22). мы видим, что Нл получается из 77, если по-
ложи ь ki==l, ХА = — 1, а остальные Xj — O.
§ 26] ОБРАЗОВАНИЕ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 325
Отсюда
«« = (*<— Ма = 2» K = Pi — Рк (i — k=l, 2, п). (26.32)
Но ’из (25.20) следует, что выражение
~^Pi-Pk 2,..., п)
равно целому числу. В частности, из рп = 0 следует, что все рг явля-
ются целыми числами. Это — условие, необходимое для того, чтсбы форма
(26.31) могла вообще служить весом какого-нибудь представления.
Чтобы она могла служить наибольшим весом, необходимы даль-
нейшие ограничения. В § 25.9 мы видели, что наряду с весом Л
является также весом форма
Л — ~ « = Р1К + +Рп-^п-1 —(Pi — Рк) (К — М =
“а
=/7i^i+ • • • +рА+ • • •
которая получается из Л, если переставить коэфициенты при \ и
Таким образом если коэфициенты формы Л не удовлетворяют нера-
венствам
Pi Pn-V
то, переставляя их, мы придем к „большему" весу того же пред-
ставления. Кроме того, если бы имело место, например, pi < 0, то,
полагая а — \мы бы получили вес
Р1К + • • • + Pn-1 V1 +рЛг = (Pl —Pi) Х1 + • • • + (Рп-1 —Pi) К-1,
который „больше" чем вес Л. Отсюда следует, что коэфициенты наи-
большего веса должны удовлетворять неравенствам (26.30). Но в этом
случае соответствующее наибольшему весу Л неприводимое предста-
вление получается как часть одного из представлений типа (26.27),
которые таким образом исчерпывают все возможные представления
группы Лп_х.
9. Теперь мы можем доказать, что для An_t все представления
(26.25) неприводимы. Для этого мы обратим внимание на то, что если
2Л
вектор е имеет вес Л, то вес Л-------а имеет вектор ел_л, получае-
ма
мый из е при h — &>0 (h — #)-кратным применением операции
а при k — А>0 (k — Л)-кратным применением операции Е_а (см.
§ 25.9 ). Поэтому все веса *
\ \ Ч~ • • • + ^аЛ (а1> а2> • • •, > 2, ..., и; 4= aj)
представления Gk переходят один в другой применением к соответ-
ствующим им векторам операторов группы. Вместе с тем все они
п!
различны, и число их
равно измерению представления
ак.
Таким образом все условия теоремы 86 выполняются.
326 о ПРЕДСТАВЛЕНИИ ПОЛУПРОСТЫХ ГРУПП ЛИН. ПОДСТАНОВКАМИ [гл. VI
10. Комплекс-группы. В § 24.28 мы вывели, что комплекс-группа
Сп имеет подгруппу Г следующего вида:
Н — 2 en+i' n+i)’ (26.33)
i = 1
Беря в 2и-мерном пространстве вектор
е = (х1? ..., хп> ..., х2п),
будем иметь
Не = • • • > 1? • • •» ^п^2п)>
откуда следует, что корневыми векторами исходного 2и-мерного пред-
ставления G группы Сп служат координатные векторы, и их веса суть
соответственно
Хр Х2, ..., Xw, Х1? ..., Хп. (26.34)
Следовательно, наибольшими весами представлений
являются соответственно
^1 + ^2» + + +\г-Р • • - Л1‘
Таким образом из этих представлений только первые п:
Огв2, ...,Gn (26.35)
дают новые неприводимые части.
Представление типа у
GqiGf...G^ (26.36)
имеет наибольший вес
(<7i + + • • • Ч~ Чп) + (<?2 + • • • + Уп) Ч + • • • + УпКи (26.37)
так что для того, чтобы форма
. Р1^14“р2^2"4“ • • • -\~Рп^п (26.38)
являлась наибольшим весом представления типа (26.36), достаточно,
чтобы ее коэфициенты р.2, ..., рп были целыми числами и подчи-
нялись неравенствам
Pi>Pz> - >Pn>Q- (26.39)
11. Чтобы выяснить, какого рода формы (26.38) могут быть наи-
большими весами представлений, обратимся к таблице (24.90) корней
и корневых матриц присоединенной группы:
I ф k
ik
i
eik
ег,п + к ~F ek,n+i
^n + 't^k en+k,i
(26.40)
§ 26] образование неприводимых представлений 327
Для корня а — \ — кк имеем
~ &ik 4“ en+k,n^i9 Е-а eki 4~ en+i,n+k^
На == [^а^-а] == еИ 4" еп + к,п±г екк ^n-vi,n+kf
т. е. 7/а получается из Н, если дать значение -J- h Ч — значе-
ние — 1, а остальным Aj— значение 0. Отсюда
аа = 2, K = Pi— Рк- (26.41)
Форма
л—~ = 2 —(р»—pt) (xi—=
= Pi^i~\~ • • • 4-рЛл4~ • • • 4~рЛ4" • • • -\~PnKi
получается из Л перестановкой и рк.
Для корня а = 2к{ имеем
ei, n+i* Е-л== en+i,i*
На R*a^-a] en+i,n-vi>
т. e. Нл получается из И, если положить А*=1, а остальные Xj = O.
Отсюда
aa = 2, Аа=Л. (26.42)
Форма
Л а — 2 Pj\j ^Pi^i = РЛ1 4~ • • • —Pih + • • • 4" Рп^п
* j
получается из А заменой р{ на —р^
Таким образом, чтобы форма (26.38) могла служить весом пред-
ставления, необходимо, чтобы числа
I» a
были целыми.
Так как, переставляя в весе (26.38) коэфициенты, а также меняя
при отдельных коэфициентах знаки, мы получаем новые веса того же
представления, то для того, чтобы вес (26.38) служил наибольшим
весом представления, необходимо соблюдение неравенств (26.39). Это
показывает, что неприводимые части представлений типа (26.36) и
в случае комплекс-группы исчерпывают собой все возможные линейные
представления группы.
Наибольшим весом присоединенной группы является 2Хх [см. та-
блицу (26.40)], а потому она имеет ту же неприводимую часть, что
и представление G2.
Здесь мы уже не можем применить теорему 86 для доказательства
неприводимости представлений (26.35), так как, например, уже G2
имеет 0 кратным весом.
12. Ортогональные группы четного числа измерений. В § 24.26
мы получили для ортогональной группы измерения 2/г, т. е. группы ,Dn,
328 О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ПОЛУПРОСТЫХ ГРУПП ЛИН* ПОДСТАНОВКАМИ [гл. VI
следующий вид матрицы, дающей инфинитезимальные операторы под-
группы Г:
Н=2Х<(^-еп+<гП+Д (26.43)
i
Подобно тому, как в § 26.10, мы заключаем, что весовыми векторами
исходного 2и-мерного представления являются координатные векторы,
веса которых суть соответственно
Хр Хд, ..., Хп, Хр Xg, ..., Хп.
Вообще все выводы § 26.10 без всяких изменений распространяются
на случай группы Dn.
13. Корни характеристического полинома присоединенной группы Dn
и соответствующие им корневые матрицы могут быть представлены
в виде следующей таблицы [см. (24.74)]:
/ ф А
i < k
i<Z k
-1 x; хл
en+k,n+i
ei,n+k ek,n-ri
en+i,k en+k,i
(26.44)
Ее отличие от таблицы (26.40) заключается в исключении случая i — k.
Это обстоятельство приводит нас здесь к принципиально другим вы-
водам. Положим а = Х^ ± ХА. Тогда, производя вычисление отдельно
для каждого знака, получим
Н* eii &кк — Ч~ ^п^к,n+i>
откуда следует, что для получения Нл из Н надо положить \ — zjz 1,
Хл = — 1 и Х^ = 0 (уф h £)• Поэтому
«« = ч=2, = + рк.
Необходимое условие для того, чтобы форма А была весом предста-
вления, заключается в том, что числа
должны быть целыми.
Отсюда следует, что вес общего вида может быть представлен так:
Ml + М2 + • • • + РпК + 8 к1 + Хг+2"' +<Ч ’
где 3 может принимать значения 0 и 1.
Вес
А — ^-« = 2 Pi^i — (.Pi Рк) (k =t X*) =
= РЛ1+ • • • н^РЛьЧ” • • + • • • -\-Рп^п
получается из веса А заменой pi на z^.pk и рк на Это показы-
вает, что вес, содержащий хотя бы два отрицательных коэфициента,
может быть „увеличен" и потому не может быт наибольшим весом.
§ 26] ОБРАЗОВАНИЕ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 329*
Легко видеть, что неравенства, необходимые для того, чтобы форма
могла служить наибольшим весом, таковы:
р1>Рч>-•->Рп-1>\Рп\- (26.45)
Можно это условие формулировать еще так: всякое неприводимое пред-
ставление получается при помощи внутреннего перемножения предста-
влений, наибольшие веса которых суть
Н/ — ^2 “h • • • 0 = 2, ..п — 2),
,, ___ + ^2 + • • ' + ^П-1-
У'п-1 —---------2---------’
+ Х2 4- Х„_г +
Нп — 2^“ ’
Для двух последних наибольших весов Картан построил неприво-
димые инфинитезимальные представления, веса каждого из которых
должны иметь вид
причем в первом представлении знаков минус должно быть нечетное
число, а во втором четное. Это показывает, что измерение каждого из
этих неприводимых представлений, по меньшей мере, равно 2п~1.
Сопоставим с каждым весом А по независимой переменной и?
соответственно будем обозначать матрицу их преобразования, перево-
дящего хд в 2ал,д- хл'> чеРез
Д'
2 аА , аЛ, А' •
Инфинитезимальные матрицы Н определим так:
Я = 2Л*а,а-
Л
Корневые же матрицы Еа, соответствующие корню a = ztXFztzXv опре-
делим формулой
Е = V I1 (Л, а) е. А ,
а ~ Г \ > 7 А, Л — а ’
Л г
где |л(Л, а) = 0, если Л — а не есть вес представления, и равняется ±1
в других случаях. Чтобы точнее определить знаки, составим выражения
[НЕа] = АЕл,
[£<А] = 2 { Н-(Л> «)Р-(Л — а, ₽) — НЛ> Юн(А — Р, «)}*а,д-.-₽.
Л
Для установления изоморфизма с группой Dn надо подобрать у. (А, а}
так, чтобы имело место v
(Л, a) у- (Л — а, Р) — рь (А, Р) уь (Л — р, а) = (Ра) уь (Л, а Р).
Эти равенства будут удовлетворены, если мы условимся считать у-(Л, а)
при а — Х^ К, равным произведению коэфициентов формы А, лежащих
между Х^ и Х.л и аналогично при а = ± X^ ± Xv.
330 О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ПОЛУПРОСТЫХ ГРУПП ЛИН. ПОДСТАНОВКАМИ [гл. VI
Из того, что это представление имеет измерение 2П“1, равное числу
его различных весов, следует его неприводимость (см. теорему 86,
§ 26.5).
Присоединенная группа имеет своим наибольшим весом
^1 + ^2
и потому имеет общую неприводимую часть с представлением О2.
14. Ортогональные группы нечетного числа измерений. Для
группы Вп измерения 2п -ф1 матрица, соответствующая подгруппе Г,
имеет вид (см. § 24.27)
п
(26.46)
2=1
Вводя обозначение
е = (Xq, Хр ..., хп, • • •» х2п),
получим
/7е = (0, AjXp . . ., ^nXw, ^1-^n+U •••> 4r^2n)j
а потому корневыми векторами исходного (2и 4“ 1)-мерного предста-
вления являются все координатные векторы, кроме нулевого, и веса их
соответственно равны
Ар А2, ..., Ап, Ар к2, ..., Ап. (26.47)
Отсюда следует, что и на этот случай без изменений переносятся все
результаты § 26.10. -
15. Корни характеристического полинома присоединенной группы Вп
и их корневые матрицы даются таблицей (24.81):
I ф k
i < k,
i < k |
^п-т-г,0
&ik &n-rk,n + i
ei,n-vk ek,n+i
к 0п+к,г
(26.48)
Возьмем a = az. Тогда
-- ^i0 ^eQ,n + iy E _a
= [^a^-a] == %en-vi,n
т. e. получается из H, полагая \ = 2, ф = 0 (j ф 0’
Отсюда
aa == 2, Ла = 2р^,
и таким образом число
должно быть целым. Операция перехода от веса Л к весу Л' = Л-
состоит в замене р{ на —
§ 27] ПОЛНАЯ ПРИВОДИМОСТЬ ПОЛУПРОСТЫХ ГРУПП 331
Остальные корни исследуются так же, как в § 26.13. Таким обра-
зом здесь могут быть выведены все ограничения, накладываемые на
наибольший вес группы Dn\ кроме того, возможность перехода -> — pt
требует, чтобы все р4 были неотрицательны. Таким образом должны
быть или все целыми или все равны половинам нечетных целых чисел
и должны удовлетворять неравенствам
Р1>Р^> - (26.49)
Можно формулировать это условие еще так: всякое неприводимое
представление группы Вп получается при помощи внутреннего пере-
множения представлений с наибольшими весами
Рч = “Ь Кг (/ = 1, 2, . . ., П-1),
_____+ ^2 + • • • + К
rn__2
Для последнего наибольшего веса Картан построил представление
измерения 2W. Его отличие от представлений для Dn состоит, во-первых,
в том, что здесь А пробегает все 2п значений
± /.2 ± ... ±
2
Во-вторых, здесь нужно еще определить корневые матрицы для корней
а = ± Хг-. Для а = Xv
А
где |а(А, а) = 0, если А — а не есть вес, и равна произведению коэфи- 1
циентов формы А, лежащих перед Х^. Для а = — К нужно поменять
ролями знаки и —.
Это представление тоже неприводимо в силу теоремы 86.
Присоединенная группа имеет своим наибольшим весом Х1-|-Х2
и потому имеет общую неприводимую часть с представлением О2.
Упражнение 57. Провести подобное же исследование для исклю-
чительных групп О2, F4, f6, Е7, Es.
§ 27. Полная приводимость полупростых групп
1. Мы видели уже в предыдущем параграфе, что для того, чтобы
изложенная там теория линейных представлений была исчерпывающей,
необходимо убедиться в их полной приводимости. Представление назы-
вается вполне приводимым, если в каждом случае, е когда оно полу-
приводимо, т. е. когда его матрицы после некоторого преобразования
координат могут быть приведены к виду
А О
С D
3 32 О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ПОЛУПРОСТЫХ ГРУПП ЛИН. ПОДСТАНОВКАМИ [гл. VI
существует также другое преобразование координат, приводящее эти
матрицы к виду
II А, О
1° Di
(см. § 25.4 и 25.5).
Не для всех групп все представления вполне приводимы. Например,
одночленная группа допускает линейное представление
О
...... _ _____ II ы U
которое ни при каком преобразовании координат не может быть
вполне приведено. Однако существуют обширные классы групп, для
всех представлений которых имеет место полная приводимость. На-
пример, она имеет место для всех конечных групп. Кроме того, мы
покажем, что она имеет место для всех полупростых групп Ли.
В дальнейшем мы будем наряду с конечной формой линейных пред-
ставлений рассматривать матрицы, соответствующие инфинитезимальным
операторам группы. Из соотношения
~ А = ев
между обеими соответствующими матрицами нетрудно заключить, что
полуприводимость и полная приводимость должны одновременно иметь
или не иметь место для обеих категорий матриц.
2. Имеет место общее положение, справедливое для всех типов
групп:
Теорема 87. Если существует положительная эрмитова форма
Q (Хр . . ., Xw) = 2 aik^i^k (.aki = aik)> (27.1)
i, к
остающаяся инвариантной при всех преобразованиях данного линейного
представления группы, то это представление вполне приводимо.
Доказательство. Свойство представления иметь инвариантную
эрмитову форму сохраняется при всех линейных преобразованиях коор-
динат. В самом деле, преобразование
переводит форму (27.1) в
2 «»•* 2 у. 2 = 2 Аил (27 •2)
г, k ч р-
где
== a'ikf'i'S'ky-'
г, к
Определяющее эрмитову форму свойство также имеет место
в силу aki=lik.
^ik^i^k^ 2l ^ilSv/Pk')
i, к i. к
§ 27] полная приводимость полупростых групп
333
Вместе с тем очевидно, что форма (27.2) инвариантна относительно
преобразований группы, которые претерпевают переменные
Положительную эрмитову форму можно преобразовать к виду
У1У1+У2У2+ ~гУпУп- (27.3)
Мы проведем это преобразование так: сначала выделим в форме (27.1)
все члены, в которых встречается переменная хп:
п—1 _ _________
Q (Хр Х2, . . ., Хп) = 2 aikXlXk "4“ а1пХ1Хп "4“
i^k—l
атХ1Хп “F • • • *4" ап-1,пхп-1хп “F ап-1,пхп-1хп "4“ аПпХпХп *
Форма
(^Л ”F • • * "4“ аппХп) («1п^1 + ^2«*^2 Ч"" • • • ~F аппХп)
ипп
отличается от формы Q(xp х2, ..., хп) только членами, не завися-
щими от хп, xnt в силу чего Q (хр х2, ..., хп) можно записать так:
Q *^2’
+ Q' (хр х2»
Поступая таким же образом с формой Qr (хр х2, .. ., xw-1) относи-
тельно переменной хп_г и продолжая процесс до конца, мы приведем
форму Q(xv х9, ..., хп) к такому виду:
Q («Яр • • •» Хп) = а 1^11*^1 ^11*^1 +
-F а2 (^12^1 Н“ ^22^2) (^12^1 *4“ ^22^2) ~4~~ • • • *4“
+ + • • • + сппхп) (Vi + • - . + сппхп)*
Величины ар а2, ..., ап вещественны и в силу того, что наша форма
положительна, также положительны. Таким образом форма (27.1) пре-
образуется к виду (27.3) при помощи преобразования
У1 — УГа1сих1 >
“ 1^а2 (^12Х1 “F ^22^*2)*
(27.4)
Уп “F ^2пх2 Ч" • • • + сппхпУ
Обратим внимание на то, что матрица преобразования (27.4) имеет
выше главной диагонали только нули.
Пусть первоначально все матрицы нашей группы имели вид
А О I
CD Г
(27.5)
*) Из условия == aki видно, что коэфициенты ац вещественны.
334 О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ПОЛУПРОСТЫХ ГРУПП ЛИН. ПОДСТАНОВКАМИ [гл. VI
В силу особой формы преобразования (27.4) ее матрица тоже может
быть записана в форме (27.5). Следовательно, матрицы Т группы, ко-
торые после преобразования (27.4) превратятся в
сохранят форму (27.5), т. е. представление останется полуприведенным.
Преобразования, оставляющие инвариантной форму (27.3), называ-
ются унитарными. Нетрудно проверить, что их матрицы U удовлетво-
ряют равенству
UUf=E, (27.6)
где штрих обозначает замену строк колоннами, и обратно. Всякая полу-
приведенная унитарная матрица вполне приведена. В самом деле, если
то, подставляя это выражение
в (27.6), будем иметь
А О
I сЪ
А' С
о Ъ'
= Е,
откуда
АА' = Е, АС = О, СА' = О, СС + DD' = Е.
Первое из этих равенств показывает, что определитель матрицы А
не равен нулю, т. е. что она обратима. Умножая второе равенство
слева на А-1, получим С — 0, т. е.
С=0,
а это показывает, что матрица U вполне приведена. Но так как это
справедливо для каждой матрицы нашего представления, то теорема
доказана.
3. Таким образом доказательство полной приводимости представле-
ний приводится к нахождению инвариантных положительных эрмитовых
форм. Для конечных групп это нетрудно. Для этого достаточно взять
произвольную положительную эрмитову форму Q и обозначить через SQ
форму, получаемую из Q применением к переменным формы Q преобра-
зования 5. Тогда форма
25Q, (27.7)
S
где суммирование распространяется на все преобразования S группы,
инвариантна относительно группы. Вместе с тем она, очевидно, эрми-
това и положительна. Итак:
Следствие. Все линейные представления конечных групп вполне
приводимы.
4. Идея нахождения инвариантных эрмитовых форм для групп Ли
та же самая, что и для конечных групп. Однако мы здесь встречаем
27] ПОЛНАЯ ПРИВОДИМОСТЬ ПОЛУПРОСТЫХ ГРУПП 335
ряд трудностей, которые не для всех групп преодолимы (см. предыду-
щий пример). Прежде всего группа Ли имеет континуум преобразова-
ний, а потому приходится заменить конечное суммирование выраже-
ния (27.7) интегрированием по всем значениям, которые принимают
параметры а2, ..., а, преобразований группы. Далее, если мы возь-
мем в качестве диференциала перед формой просто
dar da2 ... da^.^
то полученная после интегрирования эрмитова форма
J J . .. J Q (хр х2, . .., хп; а19 а2, ..., ar) dat da2 . . . dar
может и не быть инвариантной. В самом деле, применение к подинте-
гральной функции Q преобразования группы равносильно применению
к входящим в Q параметрам соответствующего преобразования пара*
метрической группы. Но, подвергая последним множитель daxda2 ... dar9
мы тем самым умножим его на некоторый якобиан, вообще говоря,
отличный от единицы, так что подинтегральная функция изменится.
Чтобы избежать этого, следует в качестве диференциала после Q
взять
/ • dav da2 . .. dar,
где f—подинтегральная функция интегрального инварианта параметри-
ческой группы (см. § 14). Получаемая таким образом инвариантная
эрмитова форма
J J ... J Q (хр х2, Хп, av а2, ..ar) f- daxda2 ... dar (27.8)
должна, кроме того, быть положительной. В этом мы можем быть уве-
рены тогда только, когда знаем, что функция f положительна. Впослед-
ствии мы докажем ее положительность для случая изучаемых нами
групп.
Следующее, труднее преодолимое, затруднение состоит в том, что
ё общем случае параметры группы пробегают неограниченно большие
значения, а потому интеграл (27.8), распространенный на все прини-
маемые параметрами значения, может не иметь смысла. Чтобы преодо-
леть это затруднение, надо стараться преобразовать параметры так,
чтобы они принимали значения внутри конечного интервала и чтобы
вместе с тем подинтегральная функция Qf не имела в пределах инте-
грирования особенных точек, не допускающих несобственного интегри-
рования. Это возможно для так называемых замкнутых или компакт-
ных групп, к числу которых в частности принадлежат унитарные
группы, т. е. группы, преобразования которых удовлетворяют усло-
вию (27.6). Здесь мы прибегнем к замечательному искусственному
приему Гурвица-Шура, приводящему вопрос о полной приводимости
представлений к существованию эрмитовых форм для некоторых уни-
тарных групп.
Последнее затруднение возникает в силу того, что может оказаться,
что компактное представление (нелинейное) параметрической группы
336 О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ПОЛУПРОСТЫХ ГРУПП ЛИН. подстановками [гл. VI
не является накрывающей группой, и в связи с этим коэфициенты пре-
образований линейного представления могут быть многозначными функ-
циями от параметров. Если значений бесчисленное множество, то
риманова поверхность, по которой придется производить интегрирова-
ние (27.8), неограниченна, и тогда опять-таки интеграл (27.8) теряет
смысл. Это затруднение преодолевается для полупростых групп, когда
мы убедимся, что унитарное представление полупростой группы изо-
морфно с факторгруппой накрывающей группы относительно конечного
нормального делителя.
5. Унитарные группы. Докажем несколько свойств унитарных мат-
риц и групп, которые понадобятся нам в дальнейшем.
Теорема 88. Характеристические полиномы унитарной матрицы
имеют корни, равные по абсолютному значению единице.
Доказательство. Пусть р — корень характеристического полинома
унитарной матрицы U. Тогда существует отличная от нуля система,
значений xv х2, хп. для которой им.ет место
UXi = (Z = 1, 2, ..., и),
или, вводя вместо Uxi обозначение хл
x'. = pxi (i — 1, 2, ..п). (27.9)
Перейдем к сопряженно-комплексным значениям:
G=l, 2, ..., п). (27.10)
Перемножим (27.9) и (27.10) и просуммируем по i:
2*а=рр2*л-
i 4
Вместе с тем в силу того, что преобразование U унитарно,
2хх = У\х,х,9
г t •—г™ г г ’
г г
откуда
рр = 1.
Теорема 89. Матрицы инфинитезимальных операторов унитар-
ной группы удовлетворяют соотношениям
^+^ = 0 (4^=1, 2,..., п). (27.11)
В частности, их диагональные элементы — чисто мнимые.
Доказательство. Из вида инфинитезимального оператора
i, к
соответствующего матрице П^Ц, следует, что под влиянием преобра-
зования группы, весьма близкого к тождественному, переме ные хк
испытывают приращения
8** = 2 (27.12)
4
§ 27] ПОЛНАЯ ПРИВОДИМОСТЬ ПОЛУПРОСТЫХ ГРУПП 337
Вместе с тем условий инвариантности формы может быть
записано так: ’ к
о (2 Х^ск) = 5 ХкЪхк 4- 5 хкЪхк = О,
к к к
или, пользуясь (27.12):
2 wk+2 w*=°-
г, к i,k
Приравнивая нулю коэфициенты этого тождества, мы приходим к соот-
ношениям (27.11).
Теорема 90. Унитарная матрица может быть/представлена в виде
U= VHV-', (27.13)
где Н—диагональная матрица, элементы которой, являясь корнями
характеристического полинома матрицы U, равны по модулю 1,
а V—тоже некоторая унитарная матрица.
Доказательство. 1°. Предположим сначала, что все корнй 8П
s2, . . еп характеристического полинома матрицы U различны. Тогда,
как известно, можно найти матрицу V так, чтобы имело место (27.13),
где
i
Матрица И в силу е^=1 тоже унитарна. Из (27.13) мы получим
U' = V-'H'V'.
Перемножая последнее равенство и (27.13), будем иметь:
e~u'. и= V-wv'vhv-i,
откуда
V'V==H'V'VH,
или в силу /
Н' = 2 sieii = 2 еГЧ< = Л"':
i i
H(V'V)==(V'V)H,
т. e. матрица V'V перестановочна с диагональной матрицей Н с раз-
личными диагональными элементами, в силу чего она сама должна быть
диагональной матрицей:
V'V = 2*W (27-И)
г
Простое вычисление показывает, что величины вещественны и поло-
жительны. Вводя обозначения
к=2УЧ««>
V= WK
22 Зак. 1132. Н. Чеботарев
338 О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ПОЛУПРОСТЫХ ГРУПП ЛИН. ПОДСТАНОВКАМИ [гл. VI
и подставляя в (27.14) и (27.13), получим
W'W=E, (27.15)
U=WHW~\ (27.16)
что доказывает нашу теорему для этого случая.
2°. Пусть теперь характеристический полином матрицы U имеет
кратные корни. Ее можно представить как предел последовательности
ц, ц, г/3,...
унитарных матриц, каждая из которых имеет ^различные (не кратные)
характеристические корни. Если для матрицы Um эти корни суть
®ш2> • • • ’ £wn’
то в силу известной теоремы о непрерывности корней алгебраических
уравнений их можно перенумеровать так, чтобы имело место
Птеы = ®< (7=1, 2, ..., л),
т->оо
где
®1> е2> • • •> ®п
— корни характеристического полинома матрицы U. В силу 1° для
каждой матрицы Um можно найти такую унитарную матрицу Wm,
чтобы имело место
= (27.17)
™ = (27.18)
Пусть Wm —1| w^n) ||. Из (27.17) следует
0=1,2,..., П),
(П?)
откуда вытекает, что величины ограничены условием
I
Поэтому бесконечное множество точек
(/«=1,2,...) (27.19)
л2-мерного пространства имеет, по крайней мере, одну точку сгущения.
Пусть таковой будет точка
P = (wn, w12, .... wnn).
Тогда из множества точек Рт можно выбрать подмножество
Р Р Р
rmv * Ш2> г тз> • • *
такого рода, чтобы имело место
§ 27] ПОЛНАЯ ПРИВОДИМОСТЬ ПОЛУПРОСТЫХ ГРУПП 339
Обозначая IF=||wa||, мы будем иметь
А->со к
откуда в силу (27.17), (27.18) получим
W'W=E, U==WHW~\
что вполне доказывает нашу теорему.
6. Принцип Гурвица-Шура. При доказательстве теоремы 80
(§ 23.21) мы видели, что структурные константы полупростой группы
вполне определяются выражениями всех корней характеристического
полинома параметрической группы, а последние являются линейными
формами, коэфициенты которых находятся в рациональных отношениях.
Кроме того, все входящие в формулы для этих выражений константы
вещественны. Это позволяет нам выбрать инфинитезимальные операторы
полупростой группы так, чтобы их коэфициенты были вещественны.
Пусть
Xv X» ..., Хг
будут вещественные матрицы, соответствующие инфинитезимальным
операторам полупростой группы а с v параметрами. Тогда инфините-
зимальному оператору общего вида группы а будет соответствовать
матрица
2^.
i
Обратимся теперь к обозначениям Ел для инфинитезимальных
операторов группы Г и соответствующих корневых операторов. Опе-
ратор общего вида группы а примет вид
2^1** +2
i а
Из (23.32) следует, что присоединенная группа имеет инвариантную
квадратичную форму
? (5) = 2 g^j “ 2 ’« (27.20)
j a
где
Q (A) = 2
— положительная квадратичная форма. Положив
1ft, = O_a = Ha —V—*41, (27.21)
где wa, v*— неограниченно переменные вещественные величины,
мы превратим форму — <?(£) в положительную эрмитову форму. В силу
этого при условии (27.21) присоединенная группа превращается в уни-
тарную подгруппу aw группы а, которая содержит то же число г веще-
ственных параметров, что и вся группа a — комплексных. Таким обра-
зом, переходя от группы а к мы ограничиваем ее параметры только
условиями вещественности.
22*
А 0
С D
340 О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ПОЛУПРОСТЫХ ГРУПП ЛИН. ПОДСТАНОВКАМИ [гл. VI
Принцип Гурвица-Шура состоит в следующем. Если представление %
группы а полуприводимо, а его часть 9ltt, соответствующая подгруппе att,
вполне приводима, то и 51 вполне приводимо.
Обратимся к инфинитезимальным матрицам представления (см. § 27.1).
Пусть все инфинитезимальные матрицы представления 91 приведены
к виду
(27.22)
Так как между инфинитезимальными операторами обеих изоморфных
групп а и имеет место соответствие, не нарушающееся при сложе-
нии операторов, то элементы матрицы (27.22) являются линейными
формами от att, а_а. В частности, каждый элемент матрицы С может
быть представлен в форме
S ai^i + 2 (^а°а *4” °-а)« (27.23)
i а
Предположим далее, что приведение группы 91 произведено так,
что представление 91м вполне приведено. Это означает, что выражения
(27.23) обращаются в нуль, если мы подставим в них значения пере-
менных из (27.21). В частности, полагая = —1 = 0, мы
получим тождество
2 a&i = 0>
откуда следует
= 0.
Далее, полагая для какого-нибудь одного корня
«« = = 1 (А =1, = 0),
а для прочих корней р—— 0, получим
Ьл + Ь_а = О. (57.24)
Точно так же, полагая
Чх— У^, =а = — У^ («а = 0,
будем иметь
£а —£_а = 0. (27.25)
Сопоставляя (27.24) и (27.25), получим
£а = £_а = 0,
откуда следует, что выражения (27.23) тождественно равны нулю,
С=0, так что представление 91 вполне приводимо, что и требовалось
доказать.
§ 28. Накрывающие группы полупростых групп
1. Будем рассматривать присоединенную полупростую группу а,
а также введенную в § 27.6 ее унитарную подгруппу аи. Станем рас-
сматривать совокупность
t = иуи-1,
(28.1)
§ 28] НАКРЫВАЮЩИЕ ГРУППЫ ПОЛУПРОСТЫХ ГРУПП 341
где и пробегает всю группу а 7 — ее максимальную подгруппу
нулевого ранга, которая в данном случае абелева. Пусть п — ранг
группы а (и ам) и порядок группы Г. Зададимся целью доказать, что t
пробегает всю группу aw.
Элемент 7 перестановочен со всеми элементами подгруппы и
в общем случае — больше ни с какими элементами группы ам. В том же
случае, если 7 перестановочен еще с другими элементами, будем на-
зывать его особенным элементом. Исследуем, какие из элементов
группы Ги особенные.
Пусть элемент 7 образован инфинитезимальным оператором
H=2W (28.2)
i
группы Гм. Если и образован произвольным инфинитезимальным опе-
ратором
(28.3}
i а
группы aw, то в силу формул (23.29) § 23.10 мы имеем
[НХ]=^ааЕл, (28.4)
. а
а потому в силу независимости операторов Ел мы получим [WLY] = 0
только в том случае, когда при аа ф 0 мы будем иметь а = 0. Итак,
особенным элемент 7 может быть только в том случае, если параметры
производящего его инфинитезимального оператора (28.2) обращают
в нуль, по крайней мере, один ненулевой корень характеристического
полинома присоединенной группы.
Пусть 7 — особенный элемент, и пусть параметры производящего
его инфинитезимального оператора Н обращают в нуль корень а. Тогда
из формул (23.29) мы получим
[НН'] = 0, [Жа] = 0, [НЕ_а]=0,
а это показывает, что элемент 7 перестановочен с (п ф- 2)-параметрц-
ческой группой, порожденной группой Гм и двумя инфинитезимальными
операторами Еа, Е_а.
Сколько существенных параметров содержит выражение в правой
части*(2$. 1)? Всего параметров туда, очевидно, входит г-\-п. Из них
лишних параметров столько, сколькими параметрами обладает сово-
купность преобразований и, дающих при фиксированном 7 одно и
то же значение для /. Пусть
#7#-l =
Это означает, что элемент и~1и1 перестановочен с 7. Если 7 не осо-
бенный элемент, то должен принадлежать к ^-параметрической
группе Г, а потому все элементы для которых = ггуд""1, имеют
вид us, где s пробегает группу Г* Таким образом из л-фу параметров
выражения иуи-1 п параметров лишних, и существенных параметров
всего
(п ф v) — и = л
342 о ПРЕДСТАВЛЕНИИ ПОЛУПРОСТЫХ ГРУПП ЛИН., ПОДСТАНОВКАМИ [гл. VI
Следовательно, / в (28.1) пробегает пространство того же числа v
измерений, что и вся группа Отсюда мы заключаем, что t пробе-
гает или всю группу или какую-то область того же измерения, кото-
рая должна быть ограничена многообразием измерения г—1.
Покажем, что последнее невозможно. В самом деле, если у не осо-
бенный элемент, то rrpz-1, как показывает наше рассуждение, имеет
r-мерную окрестность элементов такого же вида и потому не может
служить точной границей. Таким образом граничными элементами мо-
гут быть только такие элементы iq#-1, у которых у есть особенный
элемент. Но так как особенные элементы 7 (их параметры подчинены
условию а = 0) составляют (п—1)-мерное многообразие, а число лиш-
них параметров равно п-\-2, то особенные элементы иуи-1 составляют
многообразие
гЦ- (п— 1) — (п -j- 2) = г—3
измерений и в силу этого не могут служить границей области элемен-
тов «7а-1. Это показывает, что выражение (28.1) пробегает всю
группу
Можно еще предположить, что какие-нибудь особенные элементы
группы не могут быть представлены в форме (28.1). Чтобы дока-
зать противное, мы воспользуемся тем, что параметры элементов
группы. ограничены и применим рассуждение, примененное нами
при доказательстве теоремы 90 (§ 27.5, 2°). Таким образом мы дока-
зали две следующие теоремы:
Теорема 91, Многообразие особенных элементов унитарной полу-
простой группы аи (г— 3)-мерно.
Теорема 92. Всякий элемент унитарной полупростой группы аи
может быть представлен в виде иуи-*, где а — элемент аи и 7 — эле-
мент ее подгруппы Г^. Последняя теорема является обобщением тео-
ремы 90.
Примечание. Характеристические корни р конечного преобразова-
ния присоединенной группы связаны с корнями а его инфинитезималь-
ного оператора соотношением
р = еа.
Ниже мы увидим, что якобиан от параметров преобразования t по
параметрам, входящим в н, 7, рационально выражается через корни р.
В силу этого особенный элемент t (у которого этот якобиан равен
нулю) получается при р = 1, т. е. не только при а = 0, а также, когда
а = 2ш£ (k— целое число). Мы пришли к необходимости а = 0 для
особенности t лишь потому, что требование [НА] = 0 слишком сильно
для того, чтобы 7 — еп было перестановочно с и = ех. С другой сто-
роны, коэфициенты преобразования 7 определяют корни а с точностью
до кратности 2тп, так что, имея особенный элемент 7, мы всегда мо-
жем нормировать значения соответствующих ему параметров инфини-
тезимальной группы так, чтобы имело место а = 0. При требовании же
непрерывного изменения последних это не всегда возможно.
§ 28]
НАКРЫВАЮЩИЕ ГРУППЫ ПОЛУПРОСТЫХ ГРУПП
343
Это замечание не лишает
стве теоремы 91, так как из
силы наших рассуждений" при доказатель-
а = 2nik следует — а — — 2ъ1Ь.
2. Теорема 93. Каждому значению параметров (инфинитезимального)
элемента присоединенной группы аи соответствует самое большее
(г — л)! значений параметров элементов ее накрывающей группы
Доказательство. Заставим точку параметрического пространства
группы описать замкнутую кривую. При этом, можно при помощи
бесконечно малых сдвигов добиться того, чтобы эта кривая не прохо-
дила через (г — 3)-мерные многообразия точек, соответствующих осо-
бенным элементам группы. Преобразуя соответствующим образом ко-
ординаты, мы можем считать элементы % подгруппы диагональными
матрицами, вдоль диагоналей которых стоят величины е* (и л нулей),
причем а пробегают чисто мнимые значения, е* являются также кор-
нями характеристического полинома матриц / = и таким обра-
зом элементы матрицы t определяют величины е* с точностью до по-
рядка. При этом в силу нашего предположения относительно замкнутой
кривой величины а нигде на кривой не принимают значений 2тс/£, где
k— целое число. В силу этого при возвращении к исходной точке не
только совокупность величин
(28.5)
но также совокупность величин
а, р, ... (28.6)
возвращаются к исходному значению (с точностью до порядка).
Докажем, что элемент накрывающей группы, соответствующий та-
кого рода пути, может зависеть только от изменения порядка, которое
произведется среди величин (28.6) после пробега по этому пути. Для
этого достаточно доказать, что путь, не меняющий порядок величин
(28.6), всегда может быть стянут в точку. Для доказательства дефор-
мируем наш путь следующим образом: в выражении t — оставим
матрицу и неизменной, а диагональные элементы (28.5) матрицы 7
будем заменять следующими:
ez\ е^, ...,
где о — вещественный параметр, непрерывно меняющийся от 1 до 0.
Меняя о, мы непрерывно деформируем путь, и при а = 0 получим
7 = 1, откуда
t = и 1 и-1 = 1,
а это показывает, что путь стянут в одиночную точку. При этом во
все время деформации величины
аа, а[3, ...
не будут проходить через значения 2'xik, если мы, например, нормируем
а, р, ... так:
| а | < тс, | Р | <С тс, ...
344 о ПРЕДСТАВЛЕНИИ ПОЛУПРОСТЫХ ГРУПП ЛИН. ПОДСТАНОВКАМИ [гл. VI
В силу этого наш путь во время деформации не пройдет через много-
образие особенных элементов группы att. Наше утверждение доказано.
Замкнутые пути, при прохождении вдоль которых величины (28.6)
меняют порядок, уже могут не стягиваться в точку и потому в общем
случае дают начало различным элементам накрывающей группы, соот-
ветствующим исходному элементу t группы а/г Число этих различных
точек при всем разнообразии выбора замкнутых путей не может пре-
вышать числа различных перестановок из величин (28.6), т. е. числа
(г—и)!, что и требовалось доказать.
Для отдельных виДов простых групп можно доказать значительно
больше. Именно, беря ч простые группы не в форме присоединенных
групп, а в исходной форме, притом с унитарным ограничением, мы
получим:
Теорема 94. Полная унимодулярная унитарная группа сама является
накрывающей группой.
Доказательство. Мы доказали (теорема 90), что унитарная ма-
трица t может быть представлена в виде
t — иуи-\
где
2*?к . . ?г+ ••• +®w) ,
е ekk, 17 = е = 1-
к
Матрица у (а также и соответствующие ей t) становится особенной,
если у нее совпадают две из величин В этом случае t пробегает
(л2 — 3)-мерное (вещественное) многообразие, так как в случае, на-
пример, е*' — матрицы
— ?т)аз •••
составляющие (и-}~ 1)-мерное многообразие, перестановочны с у. По-
этому замкнутый путь можно провести так, чтобы на нем ни разу не
имело места
ICO.. ICO..
е ‘k = е ‘ (|i ф v; v — 1, 2, . .., п).
В силу этого, если мы пронумеруем величины так, чтобы ВеЛИ-
^у
чины е лежали на единичном круге в порядке возрастающих номеров
и притом чтобы имело место
0<?^+1 — < 2тс (v=l,2, ..., п—1),
0<2тг-)-с>1—?„< 2тс,
(28.7)
Н- % • •• • — 2itA, (28.8)
§ 28] НАКРЫВАЮЩИЕ ГРУППЫ ПОЛУПРОСТЫХ ГРУПП 345
то во время обхода по замкнутому пути все эти соотношения будут
сохраняться. В то же время вся совокупность
останется после обхода неизменной с точностью до порядка. Таким
образом величины (28.9) в силу (28.7) могут после обхода совершить
лишь циклическую подстановку:
г®! ^2+s*
е е , е е , . , е -> е .
При этом в силу (28.7), если, например, имеет место
<Г1 ?l+s + 2,rm>
должно также иметь место
®2 ?2+«+2,:/я>
®»-8 ®n + 2’t'»)
®»-8+i -> o1-f-2«(m4-l),
®п -* +
откуда
?1 + ?2+ • • • + ?» (?1+?г+ • • • +?«) + 2z("tn + 5)-
Но в силу (28.8) мы будем иметь
тп $ = О,
что в силу 0 5 < п влечет за собой
s — О, zn = О,
т. е.
?1 -> ?Р ?2 ?2> • • •> ?п
Отсюда, рассуждая как при доказательстве теоремы 93, мы докажем
теорему:
4. Теорема 95, Унитарная комплекс-группа сама является накрываю-
щей группой.
Доказательство, Из теоремы 92 и § 24.28 мы заключаем, что
всякую матрицу t унитарной комплекс-группы можно представить
в виде 1 = где 7—диагональная матрица конечной комплекс-
группы. Но так как в силу (24.88) диагональная матрица наиболее
общего вида инфинитезимального оператора комплекс-группы имеет
форму
Н = 2Л<(^-епИ>пИ), (28.10)
i
то соответствующая ей конечная диагональная матрица может быть
представлена в виде
7 = 2 (еЧ + «Ч-и, w+i). (28.11)
i
346 О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ПОЛУПРОСТЫХ ГРУПП ЛИН. ПОДСТАНОВКАМИ [гл. VI
При унитарном ограничении корни eli характеристического полинома
матрицы равны по модулю единице. Кроме того, они попарно обратны:
Особенной матрицей у является такая, у которой имеются кратные
характеристические корни. Если, например,
= ?2’ Р1 = Р2’
то из общего вида (24.86) инфинитезимального оператора следует, что
группа, перестановочная с у, имеет
3 + (л— 1) = /г 4- 2
вещественных параметра. Отсюда следует, что порядок перестано-
вочной с 7 группы на 2 больше, чем порядок группы, перестановочной
с неособенной матрицей у. То же самое будет иметь место в случае,
например,
p!=p;=±i.
Из этого мы известным образом заключаем, что многообразие особен-
ных матриц t имеет г—3 вещественных измерений.
Если замкнутая кривая не проходит через многообразие особенных
матриц, то каждый корень
Рр Р1> Р*> • • •> Рп» Рп
характеристического полинома матрицы t во время пробегания ею этой
замкнутой кривой остается или на верхней или на нижней половине
единичного круга, так как не имеет права переходить через точки +1
и —1. Кроме того, они не могут меняться местами друг с другом, так
как тогда бы при непрерывном движении наступил момент, когда они
совпадают. В силу этого после полного обхода замкнутого пути каждый
из корней е^ (и даже его аргумент должен возвратиться на свое
прежнее место. Остальная часть 'теоремы доказывается так же, как
теорема 93*
5. Теорема 96. Каждому преобразованию вещественной ортогональ-
ной группы соответствуют два элемента ее накрывающей группы.
Доказательство. Вещественная ортогональная группа с определи*
телем 1 (группа вращений) унитарна и потому в дальнейших огра-
ничениях не нуждается. Всякую ее матрицу можно представить в виде
t = UVi-\ (28.12)
где и — унитарная матрица, a f — ее диагональная матрица, корни ко-
торой попарно комплексно-сопряжены. Но можно преобразовать ее
к другому виду, полагая
1 = X (cos 4- sin ,+„—sin 'Wn+t, i + cos Ф<е„+<> n+<) (28.13)
§ 28]
НАКРЫВАЮЩИЕ ГРУППЫ ПОЛУПРОСТЫХ ГРУПП
347
и считая матрицу и вещественной и ортогональной. В самом деле, t и
имеют одинаковые характеристические корни (которые мы в начале
предположим неравными) и потому для них можно найти такую веще-
ственную матрицу к, чтобы имело место (28.12). Но в силу ортого-
нальности t и 7 имеет место
ttf = 1, 77' — 1,
откуда
(и')”^”1^ • и-р-1 = 1,
или
и'и -7 = 7. ии'.
Но перестановочные с 7 матрицы сами имеют вид
2 (aAi *4“ п+1 ’ i “F Мя+i, п-Н’)*
i '
Кроме того, матрица u'u симметрична:
(u'u)' = и',и,
в силу чего р4 = — Р» = 0, а ее диагональные элементы, равные 2
положительны. Поэтому, полагая
71 = 2S (eii Ч~ en+i, n+i)>
i
будем иметь
/ = ^7^-^ v'v=l,
что и требовалось доказать. Случай кратных корней исследуется путем
предельного перехода (см. § 27.5, теорему 90).
В случае нечетного числа измерений к выражению (28.13) необхо-
димо еще добавить член
ем. (28.14)
Корни характеристического полинома матриц этой группы распо-
ложены так же, как у комплекс-группы. Однако мы здесь не вправе
считать все случаи кратных корней соответствующим особенным матри-
цам группы. Случай соответствует особенному случаю, так как,
например, при ©j = <р2 с матрицей 7 перестановочна ортогональная
матрица, зависящая от п-\-2 параметров. В самом деле, частичная
матрица
COS ср sin ср 0 0
— sin <р cos <р 0 0 (28.15)
0 0 COS ср sin у
0 .0 — sin ср cos ср
перестановочна с четырехпараметрической матрицей.
В этом легче
348 о ПРЕДСТАВЛЕНИИ ПОЛУПРОСТЫХ ГРУПП ЛИН. ПОДСТАНОВКАМИ [гл. VI
всего убедиться, подыскивая инфинитезимальную матрицу ортогональ-
ной группы в форме 0 а 0 7
— а 0 О е
— 6 0 г
— 1 — г г 0
Условие перестановочности
7 = —S, 3= £
оставляют в этой матрице четыре независимых параметра.
При нечетном измерении случай pt — р' = 1 тоже дает особенную
матрицу, так как
частичная матрица
Ро О О-
0 и 0 =
о о
1 0 0
О 1 О
О 0 1
перестановочна с трехпараметрической'полной трехмерной ортогональ-
ной группой.
Но при четном измерении случай pt = р = zt 1 не дает особенной
матрицы, так как частичная матрица
• I =tl 0
I 0 ±1
перестановочна с той же однопараметрической ортогональной матрицей,
что и общая матрица
COS ср, sin ср
— sin ср, cos ср
Не дает особенной матрицы и случай = р' = — 1 при нечетном
измерении нашей группы (р0 = -j- 1).
Таким образом корни характеристического полинома
(Ро Ч~ 1)> Pi> Pi j р2> Рг ’ •••» Р«’ Рп
при продвижении матрицы вдоль замкнутой кривой находятся попарно
друг над другом. В случае четного измерения ближайшие к ± 1 пары
могут принимать соответственно значения ± 1 и в силу этого меняться
местами. В случае 1 это не дает новых точек накрывающей группы,
так как, если
меняются местами, переходя через то при деформации замкнутого
пути величины
P1 = ?a?l, р' = е“^
при убывании а от 1 до 0 непрерывно стягиваются к точке 1, не про-
ходя через особенные значения. Если же переход совершается через — 1
и притом если срп непрерывно пробегает все значения от <рп до 2т:— <pw,
проходя через тг, то это может осуществлять путь, не стягиваемый
§ 29]
ОБЪЕМ УНИТАРНЫХ ПОЛУПРОСТЫХ ГРУПП
349
в точку. То же самое имеет место при нечетном числе измерений,
если р =p'=-Ll.
Таким образом все корни [/ после обхода замкнугого пути воз-
вращаются на свои места, кроме рп, рп, которые могут меняться ме-
стами. Поэтому одному и тому же значению параметров группы вра-
щений соответствует самое большее два элемента накрывающей группы,
Можно доказать, что и в самом деле накрывающая группа содержит
два различных элемента, которым соответствует один и тот же эле-
мент исходной группы.
Сопоставляя теоремы 94, 95, 96 с тем фактом, что полная унитар-
ная группа и комплекс-группа имеют исключительно представления,
рационально зависящие от исходных представлений, в то время как
ортогональные группы имеют и существенно иные представления
(см. § 26,7—15), мы не можем не увидеть глубокой внутренней связи
между этими двумя фактами.
§ 29. Объем унитарных полупростых групп
1. В § 14.17 мы видели, что объем параметрического пространства
полной л-мерной линейной группы выражается так:
^12» • • •> ain
а2Ъ а22> • • • > а2п
апЬ ап2> • • • > аПП
(29.1)
Преобразуем это выражение к другим переменным таким образом,
чтобы среди новых переменных находились корни
е1> ®2’ ’ • • > еп
(29.2)
характеристического полинома матрицы группы.
В предыдущих параграфах мы видели, что в том случае, когда
корни (29.2) различны, матрицу А группы можно представить в форме
A = UHU-\ (29.3)
где Н—диагональная матрица:
H = (29 -4)
a U — принадлежащая к нашей группе матрица:
(29-5)
И»
Представление (29.3) в нашем случае определяет U с точностью до
диагональной матрицы в качестве множителя справа. При помощи этого
множителя можно разными путями нормировать матрицу U. Например,
можно потребовать, чтобы ее диагональные элементы равнялись 1.
Правда, нам тогда придется избегать матриц U, у которых диагональ-
ные элементы равны нулю. Но окончательные формулы, к которым мы
350 о ПРЕДСТАВЛЕНИИ ПОЛУПРОСТЫХ ГРУПП ЛИН. ПОДСТАНОВКАМИ (гл. VI
придем, не будут существенно зависеть от способа нормирования
матрицы U,
Полагая
A = ^eik> (29.6)
4, к
мы из (29.1) получим
AU—UH,
т. е.
а.е, 2j и е , = X и.е. е е ,
г, pi щ к г г, ? v
откуда
а*ик = икяк (не суммируем по k) (29.7)
(здесь мы, как и в первых главах книги, не пишем в известных слу-
чаях знака суммы при суммировании).
Введем обозначение
= (29.8)
% к ‘
так что будет иметь место j
s к *к з к
“А = 8О vius = \- (29.9)
Диференцируя равенство (29.7) по и^, получим
Эд**’
— И(1==о.8д—оДй£ = оДел— 8?а< (не суммируем по А).
Умножаем на vsk и суммируем по k:
На8
% СС £ ОС S /с\г\ ч л\
^ = 8т-«Л- (29.10)
(X
Решаем (29.7) относительно а*:
< = (29.11)
и подставляем в (29.10):
или в силу (29.9)
s
°ai к а 8 к а 8 , к а 8 I оч
= ер«4^ — е4И< = (е? — е*) Ui. (29.12)
Теперь диференцируем (29.7) по
откуда
— и = <£и. (не
Эер Р А г V
суммируем по &)>
(не суммируем по р).
(29.13)
§ 29]
ОБЪЕМ УНИТАРНЫХ ПОЛУПРОСТЫХ ГРУПП
351
(не суммируем по Р).
связанные с z8 так:
внимание
(29.14)
Чтобы найти искомый якобиан от а\ по иУ, е^, обратим
на то, что он равен определителю линейной подстановки:
ч “ “Ж4<?+“*
dtp 8 г ₽ 8
Вводя вместо z*8 переменные х^,
^’ = V^
мы уменьшим искомый определитель в |У|П раз, так как мы факти^
чески производим преобразование над п сериями переменных z\
(Z=l, 2, ..., г). Но тогда
= (s(3 — ®А) (? + а)>
z? = ufx? (не суммируем по Р).
Вводя новое преобразование
(29.15)
мы уменьшим определитель преобразования (29.15) в |{7|« раз, и тогда
эти преобразования примут вид
®*)</J (?+ «),
-₽ ₽ (29.16>
Искомый якобиан, равный в силу
PI-I И = 1
определителю подстановки (29.16), равен произведению определителей
подстановки (29.16) для отдельных серий переменных у* (Р — 1, 2,..., п),
имеющих каждая одно и то же значение индекса р# В самом деле,,
в каждое из уравнений (29.16) входят только как z®, так и у*, кото-
рые принадлежат к одной и той же серии.
Фиксируем значение р. Тогд^ определитель подстановки (29.16)
можно записать так:
(^—£1)^1, (^ — 4)^1» •••> •••> (£з~-£1)V1
(£0~ £2)^2* (£? —•••» 0, ..., (е3-_ e>)v”
О, 0, о
(е?~£п)<> —О, ..., —
352 О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ПОЛУПРОСТЫХ ГРУПП ЛИН. подстановками [гл. VI
в нем P-я строка и |3-я колонна состоят из нулей, кроме их пере-
сечения, где стоит 1. Этот определитель равен
' (e?-e1)(e?-82)...(e₽-ep_I)(e₽-e₽+1)...(e?-e„)V|, (29.17)
где Vp — минор матрицы V, соответствующий элементу v$. Этот
минор равен определителю | V|, умноженному на элемент и$ обратной
матрицы, который по условию равен L
Таким образом искомый якобиан, равный произведению выражений
(29.17), соответствующих всем значениям р, выражается так:
dial)
= П (еи~ev)’l И”
(29.18)
Подставляя это выражение в (29.1) и пользуясь очевидным равенством
(29.19)
| | — £1£2 ’ • • £п>
мы получим для интегрального инварианта следующее выражение:
(29.20)
2. Если нормирование матрицы U совершать иначе, то в формуле
(29.20) изменятся только переменные и* и, следовательно, только
второй множитель. Первый же множитель, играющий в нашем исследо-
вании главную роль, останется неизменным.
•
3. Формула (29.20) была выведена в предположении, что входящие
в нее переменные принимают вещественные значения. Можно, однако,
предположить, что каждая из этих переменных пробегает какую-нибудь
одномерную совокупность значений в плоскости комплексной перемен-
ной, и тогда все выводы §29.1 останутся в силе.
Если предположить, что некоторые из переменных пробегают дву-
мерные области в плоскости комплексных переменных и = и' -f- iu", то
в качестве диференциала du мы будем брать элемент площади этой
области, который лишь постоянным множителем отличается от
j t j п i du du i \ j о
du du = —g— = ~ I du ,2.
Нетрудно видеть, что при преобразованиях „двумерных переменных"
необходимо вместо якобиана умножать на квадрат абсолютного значения
якобиана.
4. Выражение (29.1) применимо также для получения интегральных
инвариантов всевозможных подгрупп полной линейной группы G. Для
нахождения интегрального инварианта подгруппы И найдем полную
систему ее независимых инвариантов:
(Яр Ор ..., а”) (/ = 1, 2, ..т). (29.21)
§ 29]
ОБЪЕМ УНИТАРНЫХ ПОЛУПРОСТЫХ ГРУПП
353
В силу того, что G представлена в виде параметрической группы и
потому просто-транзитивна, инварианты (29.21) вполне определят под-
группу И, порядок которой должен быть равен s = —т. Преобра-
зуем интеграл (29.1) к переменным
Л» л; = г2==®2, ..zw==<pOT, (29.22)
где на переменные мы наложим единственное условие, чтобы пре-
образование (29.22) было обратимым. Пусть
(29.23)
Этот интеграл инвариантен относительно преобразований группа G и
тем более группы Н.
Выберем область интегрирования так, чтобы ее границы зависели
или только от уч или только от z^ и перепишем формулу (29.23) так:
'fdZi ‘ z^dyi •••dy&'
Так как этот интеграл инвариантен относительно преобразований
группы Н, которые це меняют ни переменных z^ ни области внешнего
интегрирования, то отсюда следует, что внутренний интеграл должен
быть инвариантом относительно этих преобразований. В получаемом
таким образом инварианте
w=f J • • J *(у" dyl • • •dy* <29 •24)
переменные z^ которые не принимают участия ни при интегрировании
ни при преобразованиях группы Я, должны быть приравнены постоян-
ным, значения которых определили подгруппу Н.
Пример. Унимодулярная линейная группа определяется инвариантом
а | = 1. Вводя новые переменные
г*
I л» I 2 1 п
z == I a L а . а...а .
* I |л I’ 1’ 2’ • • ’ п»
мы получим для якобиана выражение
....О =
(а],Х,д2> •••>"») да1 *’
где — минор матрицы А относительно а? Подставляя в (29.1), мы
в силу | А | = | | — 1 получим
ИГ daedal ... da”
.. . J ——. (29.25)
5. Вычисление интегральных инвариантов значительно упрощается
если мы введем для диференциалов особое символическое исчисление,
введенное Грассманом (Н. Grassmann) и примененное, к вычислению
интегральных инвариантов Картавом и Вейлем'. В этом исчислении рас-
23 Зале. 1132. Н. Чеботарев
354 О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ПОЛУПРОСТЫХ ГРУПП ЛИН. ПОДСТАНОВКАМИ [гл. VI
сматриваются диференциальные формы (т. е. однородные полиномы)
всевозможных степеней, причем для действий над ними устанавливаются
следующие правила:
I. Сложение диференциалов подчиняется коммутативному закону:
dx 4- dy — dy 4“ dx.
II. Умножение диференциала на скаляр, т. е. на функцию от рас-
сматриваемых переменных, тоже подчиняется коммутативному закону:
К (х, у, ...) dx = dx\ (х, у, ...).
III. При перемножении диференциалов имеет место так называемый
антикоммутатпивный закон'.
dxdy = — dy dx.
В частности, квадрат диференциала равен нулю:
dx2 = 0.
IV. Имеют место правый и левый дистрибутивные законы:
(dx 4- dy) dz — dxdz-^ dydz, dz (dx 4~ dy) ==dzdx-\- dz dy.
Если мы подчиним этим правилам произведения диференциалов,
стоящие под знаком кратного интеграла, то увидим, что применение
этих правил дает возможность получить все основные законы преобра*
зований кратных интегралов. Пусть, например, мы переходим от пере-
менных хр х2, .. ., хп к переменным у19 у2, .. ., уп. Имеет место
dx*=%l§;dyi (А=1’2’ •••> т)-
i
Перемножая эти равенства и руководясь при этом правилами I—IV, мы
будем получать в правой части лишь произведения
дх^ дх*_ дХп_ . . .
дуа1 дуаз • дулп аУ^ •' •
где (ар а2, ..., ая) — перестановка цифр 1, 2, п. В самом деле,
остальные получаемые при перемножении члены будут содержать какой-
нибудь из dyi множителем более одного раза и в силу III будут равны
нулю. В получаемых таким образом не равных нулю членах мы при-
ведем произведения диференциалов в расположение dyxdy2 ... dy*>
что в силу III заставит нас поставить впереди этих членов знак
в зависимости от четности перестановки (<хр а2, ..., ап). Собирая эти
члены, мы получим
dx‘d^.= • «»=
= | ^ dy- “ “d dy'dy' • • dy~
в полном согласии с известным правилом.
§ 29] ОБЪЕМ УНИТАРНЫХ ПОЛУПРОСТЫХ ГРУПП 355
6. Введение символического исчисления диференциалов имеет еще
другое, не менее важное преимущество, состоящее в том, что при его
помощи легко привести диференциалы к бесконечно малым приращениям,
вызываемым инфинитезимальным оператором группы. Пусть, в самом
деле, матрица 17= ||и*[| претерпела изменение, вызванное каким-нибудь
близким к единичному преобразованием
£+М=|1 <+««*;!>
параметры которого могут не зависеть от значений и* Получаемая
таким образом измененная матрица есть произведение U на матрицу
Е 4* W, так как при композиции преобразований линейной группы
матрицы, составленные из их параметров, перемножаются. Обозначая
матрицу, полученную после такого преобразования, через
мы будем иметь
(7+dU — U(E-j-W),
откуда
dU=UbU, (29.26)
или
W=U~'dU. (29.27)
Эти формулы, с одной стороны, важны тем, что позволяют выразить
диференциалы duk. через 8и* а последние в подгруппах линейной группы
связаны линейно и поэтому допускают простое выражение через не-
зависимые 8и* в то время как соотношения между конечными пара-
метрами в подгруппах редко бывают линейными и потому весьма
громоздко выражаются через независимые параметры (например, уни-
тарная, комплекс-группа и т. п.).
С другой стороны, интегральные инварианты линейных групп весьма
просто выражаются через 8п* Например, для полной линейной группы
это будет просто
JJ.. Ъипп. (29.28)
В самом деле, обозначая через гг элементы матрицы (Т^1, мы из фор-
мулы (29.27) будем иметь
8а*=Л^*; (29.29)
это показывает, что преобразованию подвергаются диференциалы по
сериям, состоящим из колонн матриц 817 и dU.
Из формул (29.29) вытекает
8«>* ...8«* = |y|da>* ...dukn
(А=1, 2, ...» п).
23»
3S6 О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ПОЛУПРОСТЫХ ГРУПП ЛИН. ПОДСТАНОВКАМИ [ГЛ. VI
Перемножая эти равенства по всем k, мы в силу
|q.|v| = i
убедимся в равенстве выражений (29.1) и (29.28).
Если мы желаем найти интегральный инвариант для подгруппы Н
полной линейной группы, то в выражении (29.28) нужно перемножить
не все 8н*, а только те, которые линейно независимы. Инвариантность
такого выражения вытекает из того, что матрица
W=U~xdU
остается неизменной, если мы вместо U возьмем другую исходную
матрицу Uv
Выражение (29.28) дает интегральный инвариант также в весьма
общих случаях, когда умножение преобразования
а* _> (ан, (/=1,2,..., г)
параметрической группы на преобразование
+ (/=1, 2, ..., г)
той же группы, весьма мало отличающееся от тождественного заста-
вляет переменные а1 претерпевать приращения
- da* = а* (Ь?)—а* = а*±а* (а*)№— а,
где <*\(а)— коэфициенты инфинитезимальных операторов
нашей группы. Вводя функции ф* при помощи соотношений
мы будем иметь
8^* = ty\da\
откуда
ъь'ы? ... 8^ = | ф* | da1 da2 . dar.
Докажем, что Д = 11|>* | есть подинтегральная функция интегрального
инварианта. Для этого достаточно проверить справедливость тождества
(А) ~4~ == о
см. (14.44)]. Имеем:
§ 29] ОБЪЕМ УНИТАРНЫХ ПОЛУПРОСТЫХ ГРУПП 357
где-------минор определителя А, равный определителю, умноженному
к
на элемент обратной матрицы ||aj|:
— =Да*\
откуда
Воспользуемся уравнениями Маурера
» .« .3
________________________---------- Г ф ф
да? даУ-
[см. (8.68)]:
А. (А) = Aara*1, -4- А .
Вторая сумма этого выражения может быть преобразована так:
к к
Далее, диференцируя соотношения, между и <]л, получим
U Wk v да*
а? —LL _ __ф* L.
у даУ- 'к даУ- ’
откуда
Л (Д)=—ДаХ 4- дф=—Д 4- .
Для многих типов групп, в том числе полупростых, имеет место
с^==0, так как
— Г pr^V --------------------- г р^ -- --(Р -- Q
Для таких групп
д<Л
Л.(Д)4-Д-54 = 0,
*v 7 1 даУ-
что и требовалось доказать.
7. Выведем, следуя Вейлю, формулу (29.20) при помощи символи-
ческого исчисления диференциалов. Представим матрицу А в виде
A^UHU-1, (29.30)
откуда
AU=UH. (29.31)
Диференцируем эти соотношения, соблюдая порядок матриц:
dA • U=dU-H~ A -dU-\-U-dH.
358 О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ПОЛУПРОСТЫХ ГРУПП ЛИН* ПОДСТАНОВКАМИ [гл. VI
Воспользуемся (29.29) и равенствами
Ж4 = Л-8Л, dU—U-bU, dH = H-ZH:
UHU-^ьА • U=U-W-H— и-н-ъи+и-н-ьн,
откуда
84 = U {Н-1 • 817 • И— W + 8/7) U-1. (29.32)
Умножая матрицу слева на Z7, а справа на U-1, мы в силу (29.29)
умножим подинтегральную функцию в (29.28) на | U |л • | U-1 ]я = 1,
а потому для получения интегрального инварианта нам достаточно
перемножить независимые элементы внутренней матрицы
® + 8« = S 8“Л- + S 4? .
и мы получим для интегрального инварианта выражение
f.f fll£-)
V= I ... I Ч;.,...,, *'*>••*» <29.33)
которое по существу совпадает с (29.20).
В случае унимодулярных групп нам нужно пропустить множитель 8еп
и воспользоваться соотношением
sle2- • ,еп — !•
8. Унитарные группы. Унитарные группы могут быть в силу
теоремы 90 охарактеризованы следующими ограничениями:
1) значения переменных ev должны быть по модулю равны 1;
2) переменные должны составлять унитарную матрицу (здесь
способ их нормирования должен быть другим; требуя, например, чтобы
их диагональные элементы были вещественны и положительны, мы
этим их однозначно нормируем).
Отсюда для приращений Ъи^ мы получаем:
8^ = -“8?. (29.34)
Введем новые переменные:
= (v=l, 2, ..., n).
v=inf J- (29-35);
В этом интеграле произведение положительно в силу
(е{ %-’? _ !)(>-* Ч-’,? — 1) = — 11\
Поэтому, а также в силу (29.34), весь интеграл равен положитель-
ному выражению, умноженному на
п (п — 1)
2
?•(-!)
§ 29] ОБЪЕМ УНИТАРНОЕ Полулро стых групп 359
Таким образом унитарная группа имеет положительный интегральный
инвариант.
Далее, интеграл сохраняет смысл, если мы распространим его на
всю область изменения параметров группы. Это следует из того; что
параметры ut подчинены соотношениям
IM2 + lMla-H--+l“U2 = l (Н=Ь 2, п),
а параметры <рм изменяются в пределах от 0 до 2к.
Таким образом, принимая во внимание § 27.3 и принцип Гурвица-
Шура, мы окончательно доказываем справедливость теоремы:
Теорема 97. Все линейные представления полупростых групп вполне
приводимы.
9. Унитарные комплекс-группы. Из (24.86) следует, что матрицу W
для комплекс-группы можно записать в виде
= 2 ^uik (eik en+lc,n+i)
k
4“ S *vik (ei, n + Л Ч- ek, n+i) 2 (en H*, k 4“ en+k, ?) > (29.36)
i<k i<k
а матрицу H — в виде
н = 2 (®A, + < \„ + ,)• (29.37)
Отсюда
Я-1 • ZU- H—
~ 2 (8< 8Л 1) ^uik (eik en + k, n + i) “h
к
+2 («—i) Ча n+k+ek. n+ <)+
+2 (8«e*—i) (en+»,*+ ^n+Ar,i) H~
Таким образом интегральный инвариант комплекс-группы может быть
выражен в виде ,
Dd<ol... d<sn ТТ (29.38)
г, k
где
л=Ц(«;\-1)Ц «Ч-1-!) (8л-1)=
=П(вН)(<’-оП(«л-П(<Ч-о(м;1-о(<Ч-1)- (29.39)
i • i<k
Первое из этих произведений равно
ТТ (8< — <*) (8,?1 — 8«) = 4” Ц sin2 (29 •40)
/
360 Q ПРЕДСТАВЛЕНИИ ПОЛУПРОСТЫХ ГРУПП ЛИН. ^ПОДСТАНОВКАМИ [гл. VI
Второе произведение преобразуется так:
п («А-1) ЧЧ1 -1) -!) «Ч -1)=
i<k •
= 2п (п~ | | (cos ср^ — cos <рл)2. (29.41)
i < k
Итак, £) —Д‘2, где А — вещественная величина;
П(п4-1)
А = 2 2 | | sin| | (cos<p4 — coscp*)? (29.42)
v i <_k
Преобразуем это выражение. Второе произведение можно записать
в виде определителя Вандермонда:
| | (cos (ft-COS СрА) = I 1, COS Vp COS2 Cft, . . ., COSW"i(£>i | —
i< к
— (n —1) (П—2)
= 2 2 11, cos<ft cos2(ft, ..., cos(n — l)<p | (29.43)
(последнее преобразование производится на основании легко выводимого
из формулы Моавра тождества
cos kv = 2*”1 cos* ср Л* cos*” 2 ср4~ . .. (29.44)
путем сложения колонн определителя).
Подставляя в (29.42), умножая /-ю строку на sin % (/ = 1, 2, ..., п)
и соответственным образом складывая колонны, мы в силу тождества
sin Лер = 2*”1 cos (k— 1) ср sin ср 4~ cos (k — 3) ср sin ср 4~ . • • (29.45)
представим А в таком виде:
А~2п|81П<р^, sin2<ft, ..., sinneftj. (29.46)
10. Группы вращения. Из (24.71) следует, что 8t7, Н для ортогональ-
ной группы четного измерения можно представить в виде
oU =*= 2 ^uik (eik en+k,n+i) 4“ 2 ^Vik (ei,n+k — ek,n+i) 4“
i, к i<k
4“ 2 ^®ik (en+i, к en+k, i)' (29 • 47)
i<fc
Н = .2(еА, + е;\+,)П+Д (29.48)
§ 29]
ОБЪЕМ УНИТАРНЫХ ПОЛУПРОСТЫХ ГРУПП
361
откуда
H-4U H-MJ+ 8/7 = 2 (*7S -1) Чч(** ~ **+*, п +<) +
4" 2 (еГ1е* 1 — !) ^ilc (*<, п + * еЬ,п+ д +
i<k
+ 2 (е*е* — {en+i,k— en+k,i) +
i<k
4~ ^n + v, n+v)»
в силу чего интегральный инвариант будет иметь вид:
И= f f ...J П \ 1-ц<ч 1«*-1>Ч"-<,<р»ПЧкЧ*Ч* =
i<k 4, It
= jj... J д>(|Т1...й),П8»й«»й‘’й- (29.49J
где в силу (29.41) и (29.43)
п(п—1)
Д = 2 2 j j (cos <р4 — cos ®fc) =
i<k
— 2я-111, cos %-, cos cos (л —1)%| • (29.50)
11. При нечетном измерении ортогональной группы мы в силу
(24.78) имеем
3t7= 2 Чо Чо - 2eo,n+i) + 2 8«0i (2*0i — *n+i,o) + (29 -51)
i i
где 8L7' есть выражение (29.47). Н попрежнему имеет вид (29.48).
Отсюда
Я-1.8/7- /7-817+8/7= 2 (^Г1 -1) Ч-о Чо-Ч п+<) +
i
+ 25“м<2^<и-е^о) + (H-W -H-IU' + ЪН),
так что интегральный инвариант имеет вид
V= J / • • • f П(е 1-1) (е?1е* -,) 1 • • •
V i < к
i,k
(29.52)
где Дх можно привести к виду
п(п + 1)
Дх — 2 2 | [ sin | | (cos <р4 — cos <рл). (29.53)
i<k
362 О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ПОЛУПРОСТЫХ ГРУПП ЛИН. ПОДСТАНОВКАМИ [гл. VI
§ 30. Характеры линейных представлений
1. Если функция от параметров унитарной группы зависит только
от класса ее матриц а, т. е. принимает одни и те же значения для
матриц
а = uvu-1,
где и может пробегать всю группу, то, будучи выражена через пере-
менные еу, и*, она не будет зависеть от и* Если мы захотим проин-
тегрировать такую функцию по всему параметрическому пространству
группы, то мы можем умножать ее не на весь диференциал
\da\ = | Г(8 е”1— j) ([ф . . х Sir ... 8а*-"1,
11х [Л v ‘ 1 * я х х 1 П 7
а только на его первый множитель, так как второй множитель про-
интегрируется самостоятельно и даст постоянный множитель при ин-
теграле. Будем обозначать этот диференциал так:
dQ — ДД dcpt dc?2... d(?n, (30.1)
где
Д = ТТ (e^V^ — l). (30.2)
2. К числу такого рода функций класса принадлежат так называе-
мые характеры представлений, т. е. суммы диагональных элементов
матрицы представления
7.(<0 = 2Х, (30.3)
где
a=^aikeik. (30.4)
i, k
Через переменные ev, uk. они выражаются так:
7(«) = 1Х- (30.5)
Характеры представлений являются мощным инструментом для ис-
следования наиболее глубоких свойств группы и их представлений.
3. Для вывода основных соотношений между характерами докажем
известную лемму Шура:
Теорема 98. Пусть Г, Т'— две содержащие переменные неприво-
димые матрицы (квадратные, но может быть разных измерений; под
неприводимостью матрицы Т будем понимать невозможность найти
такую постоянную матрицу С, чтобы матрица СТС~* имела вид
II U ° |1
II
Тогда^ равенство
(30.6)
АТ=Т'А,
§ 30] ХАРАКТЕРЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
363
где А — постоянная прямоугольная матрица, возможно или если А = 0,
или тогда, когда А есть обратимая квадратная матрица, и в этом случае
Т = ЛГ4-1.
Доказательство. Пусть Т, Т' имеют измерения г, $. Тогда мат-
рица А должна состоять из 5 строк и г колонн. Применяя к ней
элементарные преобразования, можно привести ее к виду
А = SBR = s| I, (30.7)
где 8, R— обратимые квадратные матрицы измерений s9r9Ep—еди-
ничная матрица измерения р и Np q — нулевая прямоугольная матрица
из р строк и q колонн.
Из (30.6) и (30.7) мы получим
BU—U'B, (30.8)
где
z U = RTR~\ Ur = S-rT'S. (30.9)
Напишем матрицы U, U' в виде
у II Чр,7>’ q II у, |1 Up,P> ^2, и |
Il Uq,p> Uq, q || || Ч*, и ||
(значки указывают число строк и колонн). Подставляя отсюда и из
(30.7) в (30.8), получим
откуда
U = U' , U = N , ДГ =U' , N =W .
Р,Р Р,Р Р,<1 P»Q и,р Р,^> u, £ u,q
Если р > 0 и одно из чисел q, и, например q9 больше нуля, то
U—RTR-1 представляется в виде
II ир,р. о II
II и.,р. II’
а это противоречит неприводимости матрицы Т.
Следовательно, возможны лишь два случая:
1) р = 0. В и, значит, А являются нулевыми матрицами.
2) q — u = 0. Отсюда г = $=р. Матрицы Т и Т' имеют одинако-
вые измерения. А — обратимая матрица. Тогда из (30.6) следует
Т' = АТА~\
т. е. матрицы Т и Т подобны.
4. Пусть Т, Тг будут матрицы двух линейных представлений группы а,
соответствующие одному и тому же элементу t. Обозначим через \dt\
диференциал группы и рассмотрим интеграл
А= f T-'XT\dt\> (30.10)
364 О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ПОЛУПРОСТЫХ ГРУПП ЛИН. ПОДСТАНОВКАМИ [гл. VI
где X—матрица с переменными элементами xik 1). Под интегралом от
матрицы мы будем разуметь матрицу, элементами которой являются
интегралы от соответственных элементов подинтегральной матрицы.
Интегрирование распространяется на всю группу. Тогда имеет место
А = J (TTJ-1X (TT'J | dt |,
где Т19 Т[ — соответствующие постоянному элементу I группы а
матрицы обоих представлений. Отсюда
Т1А = АТ1\
Это равенство справедливо для произвольного элемента группы а,
в то время как А — постоянная матрица. Если мы предположим оба
наших представления неприводимыми, то в силу теоремы 98 имеет
место одно из двух:
1) Если представления не эквивалентны, то А = 0.
2) Если представления эквивалентны, то А — обратимая матрица.
В частности, если Т^—Т^ то
Т1А = АТ1.
Пусть р— один из корней характеристического полинома матрицы А.
Тогда матрица А—рЕ необратима и вместе с тем
Л(Л-Р£) = (Л—рЕ)Гр
откуда в силу теоремы 98
А = рЕ. (30.11)
Введем обозначения
i,k i,k
Тогда
< л» и
В случае не эквивалентных представлений отсюда следует
f W^T'^dt^O. (30.12)
Если же Т' = Т, то в формуле (30.11) р должно быть линейной функ-
цией от xik:
11
и из (30.11) мы получим
J тл (/-*) (01 dt | = uikr4. (30.13)
*) Мы предполагаем, что переменные xik не зависят от переменных инте-
грирования.
§ 30] ХАРАКТЕРЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 365
Введем обозначения для характеров обоих представлений:
х(‘) = 2Л<«. х'(0 = 27-;,(0. (30.14)
Тогда, полагая в (30.12) и (30.13) / = Х, k = p и суммируя по I и k,
мы получим
J* Х(*-‘)х'<0|Л| = 0 (30.15)
(если представления не эквивалентны),
'/х(*-1)х(*)|л|“2'«. (золе)
i
Интеграл (30.16) не может быть равен нулю. В самом деле, если эле-
менту t группы а соответствуют корни то обратному элементу t-1
соответствуют комплексно-сопряженные корни В силу этого
и в интеграле (30.16) подинтегральная функция положительна.
В силу § 30.1 в интегралах (30.15) и (30.16) можно заменить
диференциал \dt\ через dQ:
/х(<-‘)/(О^=о (30.15')
(если представления не эквивалентны),
/ Х(^-,)Х(0^2>0. (30.16')
Соотношения (30.15'), (30.16') носят название условий ортогональ-
ности характеров,
5. Характеры представлений полной унимодулярной линейной
группы. Если неприводимое представление определяется наибольшим
весом
»(Р1?1+р2?г+ • •• +рп'?п) (Р1>Р2> ••• (30.17)
то это означает, что выражение (30.17) является корнем характеристи-
ческого полинома его инфинитезимального оператора. Поэтому конеч-
ная матрица, соответствующая этому инфинитезимальному оператору,
имеет корнем
. ,eip^n. (30.18)
Вместе с тем мы убедились, что, совершая любую подстановку над
величинами р.2, ...» рп, мы из (30.17) получим новый вес предста-
вления, а сл довательно, из (30.18) — другой корень характеристиче-
ского полинома конечной матрицы. Поэтому характер, как сумма всех
корней характеристического полинома этой матрицы, должен быть симме-
трической тригонометрической функцией от срп ..., <рл, а потому
366 о представлении полупростых групп лин. подстановками [гл. VI
во всяком случае, содержа член (30.18), он должен содержать все
члены суммы
2 (30.19)
«1» «2» •••! «П
где суммирование распространяется на те перестановки (ар а2, ..., ап)
чисел 1, 2, ..., л, которые дают разные члены. Кроме этих членов,
характер представления, определяемого весом (30.17), может содер-
жать члены низших порядков.
Введем новое обозначение:
е(О=х(Од. (30.20)
Величину Д в силу (30.2) и
можно записать в виде определителя Вандермонда:
п (Л—А) = |1, А,
= 2 ±A’iAK..A\ (30.21)
а1э а2» •••» «п
где суммирование распространяется на все перестановки (<хр а2, . .., ап)
чисел 0, 1, ..., п—1, а знак dt берется в зависимости от четности
перестановки.
Таким образом произведение $ (/) является знакопеременной суммой,
содержащей члены
SH ф„ И ф~ И ф
(30.22)
aj, «2 , ...,
где
zi=Pi + (w— !)>
Z2=P2~h"(^ 2), Zn-1 == Pn-1 + ^n^Pw
так что
Л > Z2 > • • • ?> Zn-i > Znj (30.24)
кроме того, £(/) может еще содержать члены низшего веса.
((хр <х2, ..., <хп) — перестановка чисел 1, 2, ..., л, знак dz берется
в зависимости от ее четности. В силу (30.24) все члены суммы (30.22)
различны.
В унимодулярных группах диференциал dvn просто пропускается.
При этом в силу
?1 + ?2 4“ • • • + — 0
мы можем нормировать все члены наших сумм так, чтобы имело место
Рп == Л» == О.
Условия ортогональности (30.15 ) и (30.16) можно в силу
X (<" *) = X (0. = ДД d®! d®9... d<p„_!
(30.23)
§ 30] ХАРАКТЕРЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 367
и (30.20) переписать в таком виде:
J = (30.25)
J 6(0 6 (/-1) d®! • • • d?n_! > 0. (30.26)
Нетрудно видеть, что и величины 6* (lv I* ..., /„) подчиняются
условиям ортогональности. В самом деле, при раскрытии произведения
6*^, /2, • .-,/п)6*«, (30.27)
могут получаться члены, содержащие хотя бы одну переменную
явно, и постоянные члены. В первом случае интегрирование в силу
J ер^-< d^ = 0
О
заставит член исчезнуть; во втором случае оно даст
(гя)”-1.
Но общий член произведения (30.27) имеет вид
-4— £ 1 Н1 £ 2 ра „в п
где знак ± берется в зависимости от того, одинаковой ли четности
обе перестановки (ар а2, .ап), (РР Р2, ..., ₽л) или различной. Этот
член может обратиться в единицу только в случае
Z —!' =1 —I' = ...=1 —I'
а1 а2 $2 ап ?п
но в силу (30.24) и ZW = Z'=0 это может иметь место только тогда,
если
/2==/', (30.28)
и притом если перестановки (ар а2, ..., ап) и (^р Р2, ..., j3n) совпадают.
Таким образом если (30.28) удовлетворяется, то мы получим и! не
равных нулю интегралов, так что
/б*(/р..., /„) 5* (Л, ...,/„) d?t ...d^^ п\ (2х)»-«. (30.29)
Если же условие (30.28) не удовлетворяется, то
•••, ^4i'1,--,Qd<?1...dK_l = 0. (30.30)
Это дает нам возможность доказать, что суммы £(/) для непри-
водимых представлений не могут содержать других членов, кроме
(Л, 4,...,/»). В самом деле, допустим, что £(/) могут, кроме того,
содержать члены, соответствующие меньшему „наибольшему весу*.
Пусть (Zt, /2,..., Zn) будет наименьший „наибольший вес* такого рода,
что соответствующее ему представление [„наибольшего веса* р^ —
= /, — «-1-1, р3 = 4 —«4-2,..., — 1, />„ = /„) содержит
368 О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ПОЛУПРОСТЫХ ГРУПП ЛИН. ПОДСТАНОВКАМИ [гл. VI
в своей функции £(/), кроме, £*(/р /2, . .., Q, еще 5* более низкого
„наибольшего веса". Именно, пусть
5 (0 = С (Zp /п) + 2 Ак1* (Z^, I™, .... Z<‘>), (30.31)
к
где суммирование распространяется на более низкие „наибольшие
веса*. В силу способа образования функции £(/) все веса
о(*) — /<*> _ т р<*) — _ г п<*> = /<*> _ г
Р1 —ГР Рг —1ъ ’ Рп — 1п гп ’
где мы полагаем
г1 — п—1, г2 = и— 2, гл_1==1, гп = 0, (30.32)
не отрицательны, а потому каждому из них будут соответствовать
яредставления, для каждого из которых мы в силу нашего предполо-
жения будем иметь
f (/<*>, z<fc), ..., /[пк>). (зо. зз)
Переходя в (30.33) к сопряженно-комплексным выражениям, перемно-
жая (30.31), (30.33) и dQ и интегрируя, мы в левой части получим
нуль в силу (30.25), а в правой части в силу (30.29) и (30.30)
получим
акп\ (2тс)п”1,
откуда ак — 0 для любого k. Отсюда следует, что для каждого пред-
ставления имеет место
Ц0 = Е*(/1,/2, 1п), (30.34)
и таким образом для характеров получается выражение
(30.35)
•или, принимая во внимание, что
Д = £*(Г1, г2> ..., гп): (30.36)
(30.37)
5 VI» г2» • • • > гп)
Найдем явные выражения для характеров. Из формулы (30.22)
следует, что £*(/р /2, •••> 4) есть определитель следующего вида:
£* (Z„ Z2, ..., Z„) = IЛ • ...» |. (30.38)
В правой части формулы (30.37) деление всегда может быть произ-
ведено нацело. Для его практического проведения удобно составить
уравнение
... 4-рп = о,
корнями которого являются е \ ..., подставить во все эле-
менты первой колонны определителя (30.38):
Р2?(г1"2)^-.. .-Рпе*(v= 1,2,..., п),
§ 30] ХАРАКТЕРЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
369
и таким образом привести (30.38) к сумме определителей низшего
веса с множителями из коэфициентов Рк. Продолжая процесс, мы
в конце концов получим тригонометрическую сумму, умноженную на Д.
6. Из выражения (30.37) для характеров неприводимых предста-
влений нетрудно вывести выражение для измерений этих представлений.
Для этого мы обратим внимание на то, что характер представления
равен сумме диагональных элементов его матрицы. Если мы положим
в выражении характера
?1=?2= ••• =?п = 0, (30.39)
то получим характер единичной матрицы, т. е. сумму единиц, число
которых равно измерению представления. Итак, чтобы найти измерение
представления, надо подставить (30.39) в (30.37).
Однако после этой подстановки мы получим и в числителе и
в знаменателе нули. Чтобы раскрыть эту неопределенность, примем
во внимание, что деление числителя на знаменатель в (30.37) совер-
шается нацело, а потому его предельная величина не зависит от порядка
стремления к нулю величин %. Поэтому мы получим искомое выра-
жение для величины измерения, если положим
= ?2 = Г2?» Чп = Гп<?
и заставим 9 стремиться к нулю. Но эта подстановка в силу (30.38)
превращает числитель выражения (30.37) в определитель Вандермонда:
| (Д>ч (А’)»-2,..., (Д’), 1 ] = ± JI (А’—Д’).
ИО
Таким же образом мы представим знаменатель так:
±Ц(А’—Д’).
К»
Разлагая оба выражения по возрастающим степеням % мы в силу
будем иметь
п (п —1) п (п — 1)
2 2 +•••
X (Л> ^2’ • • •» А») п(п — 1) п(те—1) ’
±i 2 П (^—G)? 2 +•••
При ср —> 0 это выражение стремится к
п (^-Л)
N (Л. • • • > Q = -^7-----:. (30.40)
П (Гц — г,)
р.< V
Это и есть выражение для величины измерения неприводимого пред-
ставления наибольшего веса
(Л гр 4 г2> •••> —Гп)'
24 Зак. 1132. Н. Чеботарев
370 О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ПОЛУПРОСТЫХ ГРУПП ЛИН. ПОДСТАНОВКАМИ [ГЛ. VI
7. В качестве примера найдем измерение неприводимого предста-
вления, дающего наибольший вес в присоединенной группе. В примере
§ 26.7 мы видели, что этот вес равен
Pi = 2, р2 = р3= ... =ря_!=1, рп = 0.
Отсюда
Z1==n^-1, z2 = n—1, /3 = л —2, ..., Zn_1==2, /я==0.
Выражение (30.40) можно для этого случая переписать так:
П (/(Л-/,) П
Д^(Л+1>Я_ 1,...,2,0) = ^------------*<h<2<2L~i----------------
П (''i—л,) П — /•,) П (г,—гп)
»=2 —1 v = l
Здесь средние произведения в числителе и знаменателе совпадают,
в силу чего искомое^измерение
N ~ Т: 2... (л - 2) (л -1)(л - 2)... 1 (30.41)
т. е. равно порядку группы, или, что то же, измерению присоединенной
группы. Это показывает, что присоединенная группа унимодулярной
группы является ее неприводимым представлением.
8. Характеры комплекс-группы. Корни характеристического поли-
нома комплекс-группы попарно взаимно сопряжены:
gj = е2 = е~*чг е2 — е2 = .. .;
е„ = ё„ = (30.42)
и характер /(/) любого ее представления является симметрической
функцией от них. Таким образом, если выражение /(/) содержит член
QPi ePn _ J СР1Ф1 +Р№ + • • • +Pri?n) (зо .43)
[это будет всегда иметь место, если представление определяется наи-
большим весом (рп р2, рп), причем должно иметь место
Р1>Р2> • • • (30.44)
то это выражение содержит также все члены, получаемые любой пере-
становкой корней (30.42).
Введем в рассмотрение функции
ПО = Х(б д> (30.45)
где А — вещественная функция, определяемая формулой (29.46). Ее,
отвлекаясь от постоянной, можно также представить в виде
1% — е2 — <2, ..., — <я|; (30.46)
это есть знакопеременная функция, которая меняет знак при каждой
транспозиции (еи, е9) и при каждой перестановке одной сопряженной
§ 30] ХАРАКТЕРЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 371
пары корней (ev, ev). При раскрытии выражения (30.46) оно будет
содержать 2Д • п\ членов, каждый из которых переходит в каждый
другой при помощи одной из указанных подстановок. Поэтому и £(/)
будет знакопеременной функцией такого же рода. Ее раскрытое выра-
жение содержит член
12 п ’
где
Л— Р1Ч~Г1> ^2=Р2~1-Г2> •••’ ^п = Рп~1~ гп> (30.47)
ri = n> г2~ п—Ъ (30.48)
а также 2м • и! членов, получаемых из него путем указанных подста-
новок и с указанными знаками. Обозначим сумму таких членов через
$*(Zp ..., Zn). Ее можно представить в одном из следующих видов:
(Л> ^2> • • • > ^п)—2” | sin 1г%, sin Z2<?„ ..., sin Zn©v |, (30.49)
e*(ZpZ2,.. .,Z„)=|?7i’’’— ' >e«n^_e-«n<pJ.(30.50)
Условия ортогональности можно переписать так:
f 8(/)r(Z)d?1...d?n = 0,
(/)</©!... </©„>0. (30.51)
Аналогичные условия ортогональности имеют место для функций
£*(Л,/2> •••»/*)• Отсюда, рассуждая, как в § 30.5, мы докажем, что
выражение £(/) для неприводимых представлений не содержит других
членов кроме £* (/р /2, ..., Zn). Таким образом
, ~ S*(Zi. /2, •• •_/>,) (30 52)
/Л ) А .... гп) '
Чтобы доказать делимость числителя на знаменатель, разделим оба на
sincpjSiiKpg.. .sin<»n
и положим z — cos фр Тогда знаменатель превратится в полином сте-
пени п—1 относительно г, обращающийся в нуль при
z = cos <pv (v — 2, 3,ч..., ri).
Вместе с тем числитель превратится в полином от z, обращающийся
в нуль при тех же значениях и, может быть, еще при других. Поэтому
числитель должен делиться на знаменатель, т. их частное является
целой функцией от z = cos<pu и в силу симметрии оно должно , быть
целой функцией от всех cos %, что и требовалось доказать.
Чтобы получить измерение нашего представления, положим
==''!?> ?2 = Г2^ ?п = Гп?>
24*
372 О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ПОЛУПРОСТЫХ ГРУПП ЛИН. ПОДСТАНОВКАМИ [гл. VI
подставим в (30.52) и заставим « стремиться к нулю. Тогда, сопо-
ставляя выражения (30.49) и (29.42), мы приведем (30.52) к виду
П sitl <р П (COS ХцСр — cos lt f)
у (А = 2!____.
П sin г/р П (cos — cos г/р)
Разлагая и числитель и знаменатель по возрастающим степеням ф, мы
при ср -> 0 будем иметь
ПЛ П
Wp Р2, .... Р„) = 7 ----3-. (30.53)
Присоединенная группа комплекс-группы определяется наибольшим
весом
Pi = 2, р2 = р3 = ... = р„ = 0,
откуда
Л —я4-2> 4 = л—Ь •••> 4=1.
^.0........ 0) = ^^Ж^ = ”<2” + 1’-
откуда в силу (24.87) следует, что присоединенная группа дает не-
приводимое представление.
* 9* Характеры групп вращений. Характер группы вращений есть
функция от корней (30.42) (к которым в случае нечетного измерения
присоединяется корень е^ = zt 1), симметрическая относительно группы,
порождаемой транспозициями (eF, ztej (см. § 26.13). Только здесь
веса (рд, р2, рп) могут состоять не только из целых чисел, но
также из половин нечетных целых чисел. Введем попрежнему функцию
5 (/) = ^ (t) Д и рассмотрим отдельно случаи четного и нечетного из-
мерений:
При четном измерении [см. (29.50)]
Д==2п-1|1, cosep^, cos2<pv, ..., cos (я — 1)<?J =
= |1, ..., e<(n~14-|-e_<(n~1)'pv|. (30.55)
Раскрывая это выражение, мы получим сумму 2П~1 • п\ членов, знако-
переменную, но несколько в другом смысле, чем в § 30.8: здесь при
транспозиции (е^, ev) попрежнему меняется знак, а при подстановке
(s„ e_J знак не меняется. Того же рода знакопеременная сумма по-
лучи ся при раскрытии выражения $ (/).
Пусть наше представление определяется наибольшим весом
(рр ра, ...,р„), (30.56)
где
Р1>Ра> (30.57)
§ 30] ХАРАКТЕРЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 373
Тогда сумма £(/) будет содержать член
где
. e^nfn
(30.58)
li = Pi-\-rv /2 = р2 + г2, ..., ln — Pn~\~rw (30.59)
G —” —1» r2 = « —2, r„ = 0, (30.60)
а также все члены, получаемые из этого члена путем указанных под-
становок, числом 2П-1 • п\ при ln — Q и 2п • п\ при 1п ф 0. Таким обра-
зом при 1п — $ сумма £(/) содержит слагаемое
(30.61)
а при ln ф 0 — слагаемое
r (/p /2, ...,/„) = 4-1 «’71<Fv + е~Щ ..., eiln^ + e~iln^ | -f-
A । eil^___, eiln^_____________e~ln^ 1.
(30.62)
Члены этой суммы получаются из (30.58) путем * указанных в § 26.13
подстановок, порождаемых транспозициями
Условия ортогональности функций £(/) и здесь могут быть записаны
в форме (30.51). С другой стороны, выражения (30.6) можно пере-
писать также в форме
(4, 4, ..4) = 2п 1 • I cos zi?.> cos 4%’ • • •> cos I +
. in | sinZi%, ..sin Zwcp^ |, (30.63)
откуда видно, что для (Zp Z2, . .., ln) также имеют место условия орто-
гональности. Таким образом мы легко докажем, что характеры непри-
водимых представлений суть
у (/) = е*-(-ь-/?’ • • • ’ /n) = **{l'' U-’ • • • ’ /п), (30.64)
AV7 д е*(п,гъ.... rn)’ v >
если только докажем, что в этой формуле числитель нацело делится
на знаменатель. Для доказательства положим г—cos~- и получим
в знаменателе полином степени 2п— 2, обращающийся в нуль при
2п — 2 значениях
^=±zcosy (v = 2,3, ..., и).
Но при этой подстановке первое слагаемое числителя обратится в по-
лином, обращающийся в нуль при этих значениях г. Поэтому частное
является полиномом от z = cos^-, а в силу симметрии и от остальных
cos^.
374 О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ПОЛУПРОСТЫХ ГРУПП ЛИН. ПОДСТАНОВКАМИ [гл. VI
То же самое будет иметь место для второго слагаемого, если мы
предварительно разделим его на
sin^ sin?2- . . . sin^.
Отсюда обычным способом мы найдем величины измерений для не-
приводимых представлений:
п
АГ (Pi, Р2- . •Рп) = --Г • (30 •65)
п (^—О
В частности, неприводимое представление, определяемое наибольшим
весом + присоединенной группы, имеет измерение
2л —1 л(л —1)...3 (л — 1)(л — 2)...2
2л — 3 (л — 1)(л — 2)...2 (л — 2) (л — 3)...1 Х
V л(я + 1)...(2я —3) (я —1)я...(2я —4) _ _ /2я — П (30 661
Х(я—1)я...(2я —4) (я —2)(л — 1)...(2я —5) ''
равное порядку группы, и таким образом присоединенная группа
является неприводимым линейным представлением.
10. Для ортогональной группы нечетного числа измерений харак-
/ теры х (/) являются симметрическими функциями в том же смысле, что
и для комплекс-группы; только здесь аргументами могут служить по-
ловины у. В силу (29.53) ее диференциал может быть представлен
в виде
dQ = . d<?n,
где
/ •••> (30.67)
------2л — 1 __2л — 3 __ 3 ___ 1 /чл
G__________________________________________§ ’ — 2 9 ’ * * ’ — 2 9 Гп 2 ’ 'ЗО ’
Функция 5 (/) == х (/) Дх содержит член
. eiln^n
где
А = Pi + G» Z2 = •••, 1п = РпА-Гп> (30.69)
а также члены, образуемые из него по тем же правилам, что и для
комплекс-группы. Обозначая сумму всех этих членов через
В*(4> z2> = 2”z”Isinsinsin1» (30.70)
мы убедимся в дртогональности как функций Е (/), так и $* (/1( /9, . •. 1п),
в силу чего характер неприводимого представления, определяемого
весом (р19 р2, ..., рп), выражается формулой j
v /Л __ (4. z2. • • •> zn)_z2> -> (n) (30.71)
ZW----------д; l»(rvrt.r„)- v
§ 30]
ХАРАКТЕРЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРЕДСТАВЛ1ВНИЙ
375
Чтобы доказать делимость числителя на знаменатель в выражении
ее правой части, разделим их на
Sin у, sin-^ . . .Sin у-
и введем обозначение
z — COS у ,
а затем будем рассуждать так'же, как в § 30.9.
Отсюда обычным способом мы найдем величины измерений для
неприводимых представлений:
ич П (/*-ф
Р2,. • •, Рп)=; —г;• (зб. 72)
* Н-О
В частности, неприводимое представление, определяемое наибольшим
весом Х1Ц-Х2 присоединенной группы, имеет измерение
Г, __2л 4-1 7 __2л—1 . _2п — 3 - 3 _ 11
pi 2 > ^2 2 ’ 2 ’ • • •» ^п-1 2 ’ 2 г
(2л+ 1) (2л —1) 2л 2л (2л —2)...6 (2л — 2) (2л — 4).. .4 v
(2л —1) (2л —3) (2л —2) (2л —2) (2л —4). ..4 (2л — 4) (2л — 6).. .2 Х
(2л + 2)(2л + 4)...(4л-4) 2л (2л+2).. .(4л-6) _ (9 , . ,_
X 2л(2л4-2)...(4л —6) (2л —2) 2л...(4л —8) (30. 3)
равное порядку группы, в силу чего присоединенная группа является
неприводимым линейным представлением.
Итак, все четыре типа простых групп имеют в качестве присоеди-
ненных групп неприводимые линейные группы.
ГЛАВА ПОСЛЕДНЯЯ
ГЛАВНЕЙШИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ В ТЕОРИИ ГРУПП ЛИ,
НЕ ВКЛЮЧЕННЫЕ В НАСТОЯЩУЮ КНИГУ
1. В теории непрерывных групп за последнее время получено
много важных результатов, которых мы не имеем возможности поме-
стить в настоящей книге. Поэтому ограничимся формулировкой самых
главных достижений, а также указанием литературы.
При этом мы почти не будем касаться той области теории непре^
рывных групп, которая касается их теоретико-множественной и топо-
логической структуры. Эта область, возникнув после опубликования
„Математических проблем* Гильберта (D. Hilbert, 5-я проблема) PJ,
развитая трудами Броуэра (L. Е. J. Brouwer) р], Шрейера f1»2 * * * * *], ван-
Дантцига (D. van Dantzig) [х], фон Неймана (j. von Neumann) f1»2],
Л. С. Понтрягина Р’2] и др., в настоящее время представляет весьма
мощную ветвь теории непрерывных групп, может быть наиболее за-
мечательную по получаемым в ней результатам. Не упоминая о них,
мы отсылаем интересующихся этой ветвью к книге Л. С. Понтрягина
„Непрерывные группы", ГОНГИ, 1938. Мы добивались того, чтобы
в возможно большей мере избежать параллелизма в выборе материала
с этой книгой.
Обоснованию непрерывных групп при помощи системы аксиом по-
священа также одна работа Рейдемейстера [2], в которой предлагаются
системы аксиом для одно- и двучленных групп, в которых ему удалось
избежать пользования понятием непрерывности.
Однако ван-дер-Варден [2] указывает, что введение понятия непре-
рывности неизбежно при обосновании теории непрерывных групп. В ка-
честве довода он приводит тот факт, что группа автоморфизмов уже
одночленной непрерывной группы дискретна. В этой же статье он до-
казывает непрерывность группы автоморфизмов компактного пред-
ставления простых групп.
2. Структуре групп в целом была также посвящена серия работ
Пуанкаре (Н. Рошсагё) Р»2*8]. В этих работах Пуанкаре изучает во-
прос о поведении непрерывной группы преобразований, рассматриваемых
как аналитические функции от параметров, выбранных в канонической
форме. В частности, он ставит вопрос об однозначности определения
преобразования ew при помощи преобразований еи, ev, если имеет
место зависимость
w к
е = е е
ГЛАВНЕЙШИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ В ТЕОРИИ ГРУПП ЛИ
377
(см. наш § 9). Если при обходе преобразованиями 0е, ev замкнутого
пути преобразование ew не возвращается к своему прежнему значению^
то это означает, что группа содержит так называемое специальное
преобразование, которое не может быть порождено одним инфините-
зимальным оператором. Матрица соответствующего конечного преобра-
зования присоединенной группы имеет корни характеристического по-
линома, равные единице, в то время как характеристический полином
соответствующего инфинитезимального оператора присоединенной
группы (так называемый полином Киллинга) имеет корни, кратные 2тп.
Картан [10] указывав г, что если многообразие специальных преобра-
зований имеет измерение, большее чем г—2, то оно разделяет все
групповое пространство на области такого рода, что инфинитезималь-
ные операторы не могут вывести преобразования группы из области,
в которой оно заключено. Отсюда, например, следует, что веществен-
ное преобразование
х -> ах + by, уа'х -f- b'y,
характеристический полином которого (а — Х)(У— X) — Ьа' имеет
различные вещественные отрицательные корни, не может быть поро-
ждено никаким инфинитезимальным оператором группы.
Пуанкаре пользуется символами, близкими к тем, которые были
изложены в нашем § 9, но вместо рядов применяет контурные инте-
гралы. Так, основная формула в его исследованиях приведена Швердт-
фегером [х] к следующему виду:
gtA^^j^E-AT'g^dl,
где А — произвольная и Е— единичная матрица. Контур интегрирова-
ния должен содержать внутри себя все корни характеристического
полинома матрицы Д. Эта формула является непосредственным обоб-
щением формулы Коши на аналитические функции от матриц.
3. Картан [10* стр’18] решил следующий вопрос фундаментальной важ-
ности: задано групповое ядро (например, при помоши своих инфините-
зимальных операторов). Существует ли группа Ли, у которой окрест-
ность единичного элемента была бы изоморфна с этим ядром?
Этот вопрос решается в положительном смысле. Для групп без
центра решение непосредственно вытекает из того, что изоморфная
с заданной группой присоединенная группа линейна. Для исследования
общего случая Картан предварительно решает задачу для разрешимых
групп. Пользуясь тем, что матрица из коэфициентов инфинитезималь-
дах операторов параметрической разрешимой группы может быть
представлена в виде
1 О О ...О
* eUi 0 ... О
* * еи*... О
378
ГЛАВНЕЙШИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ В ТЕОРИИ ГРУПП ЛИ
где —линейные формы от параметров uv и^, а члены,
обозначенные звездочками, — целые аналитические функции от тех же
аргументов, он показывает, что конечные преобразования группы, по-
лучаемые в результате последовательных интегрирований (здесь суще-
ственно то, что обратная величина определителя этой матрицы есть
целая функция), получаются в виде целых функций и потому одно-
значны на всем групповом пространстве.
Общий случай исследуется при помощи рассмотрения максимального
разрешимого нормального делителя группы.
Весьма интересен метод, с помощью которого Картан производит
свои позднейшие исследования. Вместо систем диференциальных урав-
нений он рассматривает некоторые пфаффовы формы и достигает
большой простоты и изящества выводов. Кроме статей Картана с этим
методом можно познакомиться, например, по монографии Бюля [х].
4. Теория групповых структур, развитая Киллингом f1] и приведен-
ная в порядок КартаномР], была применена также к исследованию
групп иной структуры, чем полупростых. Для конечных групп Ли
Киллинг и Картан доказали следующую общую теорему:
Всякая конечная группа Ли G содержит максимальный разреши-
мый нормальный делитель Н, обладающий тем свойством, что вся-
кий разрешимый нормальный делитель группы является делителем
группы G. Факторгруппа G/Н полупроста.
Изучение структуры произвольной конечной группы Ли в значи-
тельной мере сводилось бы к изучению полупростых групп и разре-
шимых групп, если бы была доказана следующая теорема:
Пусть группа G содержит полупростую факторгруппу Г = GjИ.
Тогда О содержит подгруппу, изоморфную с Г.
Эту теорему в несколько другой формулировке доказал Киллинг f1].
Картан р] указал на ошибочность этого доказательства и дал гй/авиль-
ное доказательство теоремы в гораздо более узкой формулировке.
Окончательно доказал эту теорему в приведенной выше формулировке
Леви (Е. Е. Levi) Р].
5. Из разрешиьйлх групп были подробно исследованы группы нуле-
вого ранга. Однако их структура, как оказалось, обладает большой
сложностью и разнообразием, и для их изучения теория Киллинга-
Картана совершенно неприменима, так как корни характеристического
полинома, являющиеся основным орудием в этой теории, для групп
нулевого ранга все равны нулю. Умлауф (Umlauf) Р] перечислил все
типы групп нулевого ранга, порядок которых не превышает 9; их ока-
залось необычайно много.
В последнее время И. Д. Адо [*] предложил общий принцип,
позволяющий обозреть все типы групп нулевого ранга. Он основан на
построении так называемых полных центров для групп. Пусть задана
конечная группа Ли G. Будем называть ее полным центром группу Gp
если ее факторгруппа GJZ относительно центра Z изоморфна с G и
если притом порядок группы Gt возможно больший. Группа Gt конечна
для всякой группы G.
ГЛАВНЕЙШИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ В ТЕОРИИ ГРУПП ЛИ
Построим для группы G ряд групп, в котором каждая последующая
группа является полным центром предыдущей:
G, Gp G2, ....
Если в качестве G мы возьмем абелеву группу или группу нулевого
ранга, то все последующие группы ряда будут группами нулевого
ранга.
И. Д. Адо доказал, что всякая группа нулевого ранга является
факторгруппой одной из групп ,такого ряда, начинающегося с абеле-
вой группы. Очевидно, что каждый из таких рядов вполне определится
порядком своей начальной группы.
6. Пользуясь своим построением рядов полных центров, И. Д. Адо
полностью решил вопрос (в утвердительном смысле) о представлении
групп Ли линейными подстановками. Трудность этого вопроса заклю-
чается в следующем. Как известно, всякая конечная группа Ли G имеет
в качестве представления присоединенную группу. Однако присоеди-
ненная группа изоморфна не с G, а с G/Z, где Z—центр группы G.
Таким образом первой естественной мыслью является попытка пост-
роения такой группы Gp чтобы ее факторгруппа G1/Z1 относительно
центра Zt была изоморфна с G. Построив для такой группы Gt при-
соединенную группу, мы бы полностью разрешили проблему.
Однако И. Д. Адо на простых примерах показал, что такое построе-
ние не всегда возможно. Это привело его к мысли находить последо-
вательные .полные центры" группы. Доказанная им теорема: .Всякая
факторгруппа линейной группы допускает линейное представление"
в связи с его теорией рядов полных центров позволила ему пол-
ностью решить проблему для случая групп нулевого ранга.
Применяя уже цитированную нами теорему Леви, он решил проблему _
для случая групп, у которых максимальный разрешимый нормальный
делитель есть группа нулевого ранга. Именно, теорема Леви привела
поставленную проблему к следующей:
Группа О есть композит двух линейно представимых групп Я и Г.
Найти линейное представление для G.
Дальнейшее обобщение этих исследований позволило ему решить
эту проблему для общего случая.
7. В современной литературе уделяют много внимания замкнутым
или компактным группам, т. е. такик/ группам, что множества их
элементов компактны, т. е. таковы, что всякое их бесконечное под-
множество имеет предельную точку. Это понятие не инвариантно от-
носительно локального изоморфизма. Например, мы убедились, что каж-
дой полупростой группе соответствует локальное представление. Это
представление не изоморфно со всей полупростой группой, в которой
мы представляем себе параметры принимающими любые комплексные
значения: оно изоморфно с ее некоторой подгруппой, получаемой при-
даванием определенным параметрам вещественных значений. Оказы-
вается, что каждая группа имеет несколько (конечное число) вещест-
венных представлений, не переходящих друг в друга при помощи
380
ГЛАВНЕЙШИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ В ТЕОРИИ ГРУПП ЛИ
вещественных преобразований; из них только одно представление ком-
пактно (Картан) [10].
Картан вывел много частных свойств для компактных групп [9].
Кроме того, он получил для компактных представлений полупростых
групп так называемое первое число Бетти (BJ [17]. Л. С. Понтрягин
нашел для всех типов простых групп полную систему чисел Бетти[*].
Хаар (A. Haar) J1] ввел абстрактное понятие меры группы для всех
компактных групп. Эта мера есть не что иное, как подинтегральная
функция для интегрального инварианта параметрической группы; но
Хаар доказал для компактных групп положительность этой величины.
Фон Нейман (J. von Neumann) f1»2] обобщил понятие меры на другие
виды топологических групп.
8. К числу нерассмотренных в нашей книге вопросов относится
связь групп Ли с системами гиперкомплексных чисел. Этот вопрос
был поставлен еще самим Лир»2]. Он был подробно разработан для
некоторых частных случаев его учеником Шефферсом (G. Scheffers) pj,
а также Картаном [2]. Более общие исследования принадлежат Молину
(Th. Molien)[1], Бёрнсайду (Burnside) р] и Штуди (Study) р,2]. Послед-
ний доказал при их помощи следующую теорему:
Если группа допускает просто транзитивное однородное линейное
представление, то в нем можно выбрать параметры преобразования
так, чтобы они входили в уравнения преобразований тоже однородно
линейно.
9. Бесконечные непрерывные группы, как уже упоминалось в § 3.5,
исследуются при помощи своих определяющих уравнений. Начало
исследованию этих групп положил Лир»2]. Картан [б] изучил четыре
типа простых бесконечных непрерывных групп: группы всех непре-
рывных преобразований в n-мерном пространстве, 2) группы непрерывных
преобразований, сохраняющих объемы, 3) группы контактных преоб-
разований в (2л -f- 1)-мерном пространстве, 4) группы, заданные осо-
быми соотношениями в 2л-мерном пространстве. Вопрос о том, исчер-
пывают ли эти типы все простые группы, остается открытым.
Не все свойства групп Ли легко распространяются на бесконеч-
ные группы. Так, подобие бесконечных групп определяется легко:
подобными две группы будут тогда и только тогда, если их опреде-
ляющие уравнения переходят друг в друга посредством преобразова-
ния независимых переменных. Изоморфизм же двух бесконечных групп
непосредственно установить невозможно, если исходить из их опреде-
ляющих уравнений. Ввиду этого Картан [3] предложил считать две
бесконечные непрерывные группы только тогда изоморфными, если обе,
будучи достаточное (конечное) число раз расширены, станут подоб-
ными. В самом деле, если это условие соблюдается, то изоморфизм
обеих групп очевиден. Обратное заключение постулируется по анало-
гии с принципом Картана (теорема 45), который таким образом рас-
пространяется и на бесконечные группы.
10. В приложениях теории групп Ли к уравнениям в частных про-
изводных большую роль играют так называемые контактные преобра^
зоеания, т. е. преобразования, переводящие каждый элемент простран.
ГЛАВНЕЙШИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ В ТЕОРИИ ГРУПП ЛИ
381
ства, т. е. точку и проходящую через нее касательную гиперплоскост*
в другой элемент того же пространства. Таким образом каждая точка
пространства может переводиться в разные точки, но (л — 1)-мерные
гиперповерхности переводятся в определенные гиперповерхности, причем
две гиперповерхности, касающиеся в какой-нибудь точке, переходят
в гиперповерхности, тоже касающиеся в точке, переводимой преобра-
зованием из общей точки касания.
Аналитически контактные преобразования представляются так. Пусть
даны точка (х1, х2.. .хп) и проходящий через нее линейный элемент
(Рр Р-2>- • •> Рп)> где Pv Pv • ->Рп — его однородные координаты, удовлет-
воряющие соотношению
рДг* = 0. (1)
Преобразование
х’ -> Ф” (х<; pj) р„ -► <?v (Xi, Pj) (v = 1,2 ,..., и) (2)
является контактным, если оно не нарушает соотношения (1), т. е.
если, считая х*, pj подчиненными только зависимости (1), мы будем
также иметь . ,
ty*d& = 0.
Исключая один из диференциалов, например rfxw, при помощи неопре-
деленного множителя р, будем иметь
ФА” = PP4dx\ (3)
где диференциалы dx'* уже можно считать независимыми. Отсюда
(4)
(5)
Если предположить, что ранг г матрицы
что все = 0, то уравнения (2) дадут обыкновенное точечное
образование, продолженное на производные Если г=л, то из
уравнений (5) мы получим ф^ — 0, и преобразование (2) не будет обра-
тимым. Предположим, что
0
равен нулю,
т. е.
пре-
п
и что определитель ||^| отличен от нуля (иначе точечные много-
образия переводились бы в многообразия меньших измерений, чего мы
не предполагаем). Далее, ввиду того, что функции ф, определяются
с точностью до множителя, мы имеем право положить в формулах (4)
р=1. Наконец, предположим, что функции однородны и нулевого
измерения Относительно pt. Это предположение равносильно требова-
нию, чтобы преобразование не зависело от того, какой коэфициент
пропорциональности мы возьмем при pif определяемых из (1). Соотно-
шения (4) и (5) не противоречат этому требованию; кроме того, из
(4) мы получим ^однозначно в силу 1| ф о) ф, как однородные
382
ГЛАВНЕЙШИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ В ТЕОРИИ ГРУПП ЛИ
функции первого измерения от Отсюда следует
д<р* л
pi -Л — 0 .
(6)
Из (4) и (5) следует
dcpi д<р2 дуп о
dpi'"" 'dpi'
д^1 д'+2 д^п
дх19 дх19 ’ ’ ‘1 дх1 9
= 0 (i = l, 2, л),
д^ ду2 дуп
дхп * дхп ’ ’ ’ dxn * ?п
т. е. первая строка линейно зависит
dpi dxv-9
Диференцируя по pj, получим
ay _ dX»P- ду' . ^<(J. д2уа _ д№
dpidpj dPj dxv-' dxi’-dpj ~ dpj
от остальных:
(7)
dxP+-A W dx'+K
— ( dpj ' дх') dxv- И dxv- dx' ’
Замечая, что левая часть симметрична относительно i, j и
| ф 0, получим
<?Х» <?XJ> _ 0
dpj dpi дх'* дх'*
Умножая на р^ суммируя и пользуясь вторым соотношением (7),
которого следует
= ^-РИ + ^==О, будем иметь ——
Тогда из (7) будет следовать
dcpS figt ________________ ___________ ду8 fiyt
dxi dpi dxi dx^ dpi дх*9
т. в. равны нулю скобки Пуассона:
(ф» «А = — ?У- = 0 •
\дх< dpi dpfdxt) '
Обратно, если заданы п функций <р8 с не равным нулю якобианом
относительно х4 однородных нулевого измерения относительно р{ й
для которых имеет место (8), то для них можно однозначно выбрать
такие которые вместе с <ps дадут начало контактному преобразо-
ванию. В самом деле, определим при помощи (4). Тогда на осно-
вании (8), (4) и (6) получим
/ . ^^=п^ = 0,
V V dpj dxi ™ i др* ri dpi
дх^ дх'*
д^
что
из
(3)
ГЛАВНЕЙШИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ В ТЕОРИИ ГРУПП ЛИ
38»
откуда в силу неравенства нулю якобиана следует (5).
11. Инфинитезимальные операторы контактных групп определяются
так. Пусть
х* х* 4~ Pi Pi + *1А
— близкое к единичному контактное преобразование. Подставляя в (4)
(5), будем иметь
<Р, + V") («.’ + S 8<) = Р,. (Л + ’1.80 g = 0.
откуда
дсУ
Р'>д^ = ~^ P'idpi = 0, <9)
Введем новое обозначение
Н = (10)
Тогда из (9) мы будем иметь
Таким образом наше преобразование принимает вид
p<-*pi-™i'at> <n>
так что ему соответствует инфинитезимальный оператор
= = = Н). (12)
v dxi 1 h dpt \д^ др^ dpi dxy v 7 v
Обратно, беря произвольную однородную функцию Н первого измег
рения относительно pi9 мы из формул (11) получим контактное пре-
образование, в чем мы убедимся непосредственной подстановкой
выражений
'?’,==хч+^8л |?8/
в (4) и (5). Отметим, что траектории одночленной группы, порождае-
мой инфинитезимальным оператором (12), удовлетворяют системе
dxi дН dpj dH
dt dpi9 dt dxi9
называемой канонической и играющей большую роль в теории уравне-
ний в частных производных и механике.
Ли перечислил все типы контактных групп на плоскости. Он посвя-
тил контактным преобразованиям весь второй том своего фундамен-
тального труда по непрерывным группам Р] (см. также Ли-Шефферс) [2].
Настоящее изложение заимствовано из книги Эйзенгарта (L. Р. Ei-
senhart) I1].
12. Первоначальным толчком для создания теории непрерывных
групп послужило стремление Ли распространить методы теории Галуа
на проблему интегрирования уравнений в конечном виде (или в квадра-
384
ГЛАВНЕЙШИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ В ТЕОРИИ ГРУПП ЛИ
турах). Ему удалось построить понятие группы, которую „допускает*
данная система диференциальных уравнений (см. § 17.13), а также
связать вопрос об интегрируемости системы со структурой допускае-
мой ею группы (теорема 55). Кроме того, Ли перечислил все типы
обыкновенных уравнений первого порядка, допускающих одну из групп
на плоскости и в силу этого интегрируемых в квадратурах. Это не
дает, однако, практического приема для выяснения, интегрируется ли
данное уравнение, так как определение принадлежности двух уравнений
к одному и тому же типу (отыскание преобразования, переводящего одно
уравнение в другое) само по себе является весьма трудной задачей.
Этими проблемами занимался Вессио (Ё. Vessiot) р]. Подробное изло-
жение этой теории имеется в учебниках Ли-Шефферса [х], Бианки
(L. Bianchi) [!] и Пикара (Ё. Picard) Р].
13. Особенно тесна и глубока связь теории непрерывных групп
с геометрией. Клейн (F. Klein) р] определил геометрию как науку об
инвариантах той или иной непрерывной группы, от выбора которой
зависит тип геометрической системы: элементарная, аффинная, проек-
тивная геометрия и др.
В третьем томе фундаментального курса Ди р] изложено аксиома-
тическое обоснование элементарной (включая неевклидову) геомефии
на основе теории непрерывных групп. Вопрос приведен к характери-
стике групп, соответствующих элементарной геометрии, при помощи
их следующего элементарного свойства:
Группа должна быть транзитивна; дважды расширенная, она должна
иметь один и только один инвариант; всякий инвариант т раз расши-
ренной группы должен быть функцией от инвариантов дважды расши-
ренной группы. Там же содержится полемика с Гельмгольцем (Н. von.
Helmholtz) f1], предложившим весьма близкое по идее обоснование
геометрии (см. также статью Клейн [2], книгу Гильберта (D. Hilbert) [2]
и статью Рейдемейстера (К. Reidemeister) [1].
Современная диференциальная геометрия, основанная на идее Римана
(В. Riemann) f1] определения расстояния между двумя точками с коор-
динатами (х1, ..., xft) и (х1^-^1, •••, xh-{-dxh) с по .ощью дифе-
ренциальной квадратичной формы g^ (х*) dxa dx$, получила в настоя-
щее время большое развитие в связи с принципом относительности.
Введенное в теории „римановой геометрии* понятие параллельного
переноса сблизило ее с теорией групп (Картан) [6« 8]. В самое послед-
нее время понятие „римановы пространства* было значительно обоб-
щено, и одно из этих обобщений просто изоморфно с сшой общей
группой Ли. Об этом подробно изложено в книге Эйзенгарта [х], где
также приведена литература.
14. Идея группы (как конечной, так и непрерывной) нашла при-
менение в современной квантовой механике. Излож-ние этой связи
имеется в книгах Вейля [2], ван-дер-Вардена (В. L. van der Warden f1)
и Вигнера (Е. Wigner) f1], где также приведена литература.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ ОБЗОР
Учебники и монографии
Самым фундаментальным курсом по теории групп Ли является трехтом-
ное сочинение Ли-Энгеля Р], содержащее также обзор современных Ли работ
по непрерывным группам. В некоторых отделах она устарела, и изложенные
в ней выводы часто бывают слишком длинны. Тем не менее в целом она
далеко не утратила интереса, так как помещенный в ней обширнейший мате-
риал на каждом шагу бывает необходим исследователю.
Кроме того, Ли совместно с Шефферсом опубликовал „Лекции по непре-
рывным группам* (2], ценные подробно разобранными в них специальными
типами групп, а также помещенными в них отделами по теории инвариантов
алгебраических форм, гиперкомплексным системам чисел и др., которые
не были изложены в других курсах.
Из других учебников по теории групп Ли упомянем книги Паскаля
(Е. Pascal)!2], • Виванти (G. Vivanti) р]. Кэмпбелля (Campbell)!2], Бианки
(L. Bianchi) р], Ковалевского (Q. Kowalewski) [2] и Эйзенгарта (L. Р. Eisenhart) [1].
Из них особенного внимания заслуживают книги Бианки и Эйзенгарта. Первая
из них, ограничиваясь классическим материалом, замечательна стройной
последовательностью и большой доступностью изложения. Кроме основ теории
первое (лито! рафированное) издание содержит изложение методов теории
Галуа в применении к диференциальным уравнениям, а второе издание — при-
ложение теории непрерывных групп к диференциальной (римановой) геометрии.
Книга Эйзенгарта написана совсем в другом стиле. При сжатом изложении
она на сравнительно малом объеме содержит громадный материал. Кроме
классической теории, изложенной при широком использовании аппарата тен-
зорного анализа, а также основных понятий террии обобщенных римановых
пространств, она содержит большой материал из теопии Киллинга-Картана,
приложение групп к римановым пространствам и теорию контактных преобра-
зований. Современная абстрактная топологическая теория групп в ней не
затронута. В книге дано большое количество упражнений, из которых многие
помещены в настоящую книгу.
Кроме этих книг упомянем о двух современных литографированных курсах:
Схоутена (J. A. Schouten) р], с которым мне не удалось познакомиться, и ван-
дер-Вардена (Waerden) (*), который содержит прекрасное изложение тополо-
гической теории групп, освещенное многочисленными примерами.
Русская литература чрезвычайно бедна книгами по теории непрерывных
групп. Существует одесская диссертация А. Д. Агуры [1], посвященная стро-
гому изложению трех основных теорем Ли. Можно еще назвать книгу
В. Г* Алексеева f1] по инвариантам алгебраических форм, теория которых
излагается здесь при помощи непрерывных групп. Сравнительно подробное
изложение теории непрерывных групп содержится также во втором томе
«Оснований геометрии* В. Ф. Кагана р]. Наконец, недавно вышла книга
Л. С. Понтрягина „Непрерывные группы р].
Из обзорных монографий можно назвать брошюру Бюля (Н. Buhl)!1],
а также Картана [10]; последняя содержит топологическую теорию главным обра-
зом компактных групп. Этой же теорий посвящена более поздняя обзорная
етатья Л. С. Понтрягина р].
25 Зак. 1ДО. И. Чеботарев
386
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ ОБЗОР
Теперь перейдем к обзору литературы, связанной с материалом отдельных
глав и параграфов настоящей книги.
Глава I, § 1. Обзор аксиоматических обоснований понятия группы содер-
жится в статье Гентингтона (Е. V. Huntington)!1]. Обобщенные подстановки —
см. А. К. Сушкевич!1].
§ 2. См. книги О. Ю. Шмидта [1] или Шпейзера (A. Speiser) [3].
Принцип Вейля — см. книгу Вейля (Н. Weyl) § 22’ стр- 100“1031
§ 3. Конечные группы — см. литературу к § 2.
Теорема В. Дика — В. Дик (W. Dyck)PJ.
Дискретные бесконечные группы — см. книгу Рейдемейстера (К. Reidemeister) [3].
Трорема Шрейера — Шрейер (О. Schreier) [3].
Голоморфы свободных групп — Нильсен (J. Nielsen)!1].
Теория кос — Артин (Е. Artin)!1].
Проблема тождества — Магнус (W. Magnus)!1].
Группы Ли —см. литературу .учебников и монографий".
Бесконечные непрерывные группы — см. статьи Лир,2].
Также см. Картан [3,5].
§4. По основным понятиям топологии — см. книгу Гаусдорфа (F. Haus-
dorff) I2], а также любой курс топологии.
По топологическим группам — см. статьи Шрейера р»2], а также курсы
ван-дер-Вардена р] и Понтрягина р].
Глава И. § 5. См. любую книгу по уравнениям в частных производных,
например, Гурса (Е. Goursat) р] или Н. М. Гюнтера р].
§ 6. См. курс Бианки р].
§ 7. Об одночленных группах см., например, книгу Ковалевского [2] или
ван-дер-Вардена Р].
Проблема центров — см. Бёттхер Р], Коркин!1], Кёниге (Koenigs) (М], Лихе
(Lyche)p], Ло (Leau)!1], Жюлья (Julia) р], Кремер (Cremer) р, М].
Уравнение Абеля р]. (Abel).
Уравнение Шрёдера [М], Бурле р] (Bourlet).
§ 8. Первоначальное доказательство трех основных теорем Ли изложено
у Ли-Энгеля р]. Доказательство Шура — у Шура (F. Schur) [1] и у Бианки
(Bianchi) PJ.
Тензоры — см. любую книгу по тензорному анализу, например, П. А. Широ-
кова р].
§ 9. Паскаль (Е. Pascal) р].
Кэмпбелл (Campbell) [b2
Гаусдорф (F. Hausdorff)!1].
В недавней статье Швердтфегера (Schwerdtfeger) Р] дан вывод символи-
ческих формул при помощи формулы Пуанкаре.
По линейным преобразованиям (матрицам) см., например, книгу Шрейера
и Шпернера р»2].
Глава III. § 13. Вопрос о непрерывности автоморфизмов групп Ли —см.
ван-дер-Варден Р], где также приведена литература.
§ 14. Примеры по аффинной геометрии — см. Бляшке (W. Blaschke)!1].
Интегральные инварианты — см. книгу Гурса Р].
Мера (объем) группового пространства — см. лаар (А. Haar)!1], фон Ней-
манн (von Neumann)!1»2].
Задача Граве — см. Д. А. Граве!1], Граве-Чеботарев Р], Н. И. Ахиезер!1].
Инварианты алгебраических форм — см. книгу Ли-Шефферса J2], Гордана
(Р. Gordan) р] или Алексеева I1].
§ 16. См. курс Ли-Энгеля р] или Бианки р].
Принцип Картана — см. Картан [3], Чеботарев р»2].
§ 17. Значение разрешимых групп для диференциальных уравнений — см.
Эйзенгарт р, стр. 135—isej или более подробно в книгах Бианки [1] и Пикара
(Picard) р], а также статью Вессио (Vessiot) I1].
Глава IV. §§ 18—20. См. кни^и Ли-Энгеля р], Кэмпбелла!2] или Бианки PJ.
Изложение в настоящей книге имеет некоторые принципиальные особенности.
Глава V. §§ 21—23. Основа содержания этой главы находится в статьях
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ ОБЗОР
387
Киллинга I1] и в диссертации Картана р]. Форма изложения частично заим-
ствована у Вейля р] и у Эйзенгарта р].
§ 24. Изложение заимствовано из статьи ван-дер-Вардена [3]. Нахождение
максимальных подгрупп взято у Картана р]
Глава VI. § 25. О представлении конечных групп линейными подстанов-
ками— см< статью Шура (I. Schur) [2] или книгу Бёрнсайда [2], О. Ю. Шмидта р]
или ШпейзераР]. О представлении непрерывных групп — см. статьи Вейля р]
или более раннюю статью Картана [4]
§ 26. См. Вейль р»2] или статьи И. Шура [3] и диссертацию Брауэра
(R. Brauer) Р].
§ 27. Идея введения интегралов в параметрическом пространстве орто-
гональных и унитарных групп принадлежит Гурвицу (A. Hurwitz) р], который
имел целью находить при помощи интегрирования групповые инварианты.
И. Шур [3] распространил метод Гурвица на произвольные линейные группы
при помощи приема, изложенного в § 27. 6.
Изложение этих параграфов близко к статьям Вейля Р]. Недавно Казимир
(Н. Casimir) и ван-дер-Варден Р] доказали полную приводимость полупростых
групп, не пользуясь интегральным исчислением и имея дело исключительно
с инфинитезимальными матрицами группы. См. также статью Р. Брауэра [2].
Н. Auerbach р] доказал существование инвариантной эрмитовой формы для
любой линейной группы с ограниченными коэфициентами.
§ 28. Изложение следует Вейлю р].
§ 29. Та же литература, что и для § 27.
Символическое исчисление диференциалов (§29.5) — см. книгу Гурса [2].
§ 30. Общая теория характеров — см. статью Шура [2].
См. также книгу Вейля [2].
Изложение следует статье Вейля р].
В .главе последней" даны непосредственные указания на алфавитный
указатель литературы.
25*
Алфавитный указатель литературы
1. Abel'N. И., Determination d’une fonction an moyen d’une equation qui ne
contient qu’une seule variable. Oeuvres, 2-ое изд., том, 2, стр: 36—39.
1. Achyeser N. Lt Bemerkung fiber in Bezug auf lineare Transformationen inva-
riante lineare Differentialgleichungen, BiCTH. ВУАН, 1928.
1. Адо И. Д., О представлении конечных непрерывных групп с помощью
линейных подстановок, Изв. КФМО (3) 7 (1934/5), стр. 1—43.
1. Агура А. Д., Общая теория конечных непрерывных групп преобразований,
Одесса, 1913.
1. Алексеев В. Г., Теория рациональных инвариантов бинарных форм в на-
правлении Софуса Ли, Кэли и Аронгольда, Юрьев, 1899.
1. Artin Е., Theorie der Zopfe. Abh. Math. Sem. Hamb. 4 (1925), стр. 47—72.
1. Auerbach H., Sur les groupes bornes de substitutions lineaires. C. R. 195
(1932), стр. 1367—1369.
1. Бетхер JI.t Главнейшие законы сходимости итераций и приложение их
к анализу, Изв. Каз. ФМО (2) 13 (1903), стр. 1—37; (2) 14 (1904).
1. Bianchi L. Lezioni sulla teoria dei gruppi continui finiti di trasformazioni.
Spoerri, Pisa, 1-ое изд. (литогр.) 1903. 2-ое изд., 1918.
1. Blaschke W.t Vorlesungen fiber Differentialgeometrie II. Affine Differential-
geometrie. J. Springer. Berlin. 1923.
1. Bourlet C., Sur le probleme d’iteration. Ann. Fasc. Sc. Toulouse 12 (1898),
C 1—12.
1. Brauer Ri, Ober die Darstellung der Drehungsgruppe durch Gruppen linearer
Substitutionen. Diss., Berlin. 1925, 72 стр.
2. Brauer R., Eine Bedingung fur vollstandige Reduzibilitat von Darstellungen
gewohnlicher und infinitesimaler Gruppen. Math. Zeitschr. 41
(1936), стр. 330—339.
1. Brouwer L. E. J., Die Theorie der endlichen kontinuierlichen Gruppen, unabhan-
gig von den Axiomen von Lie. Math. Ann., 1:67 (1909), стр. 246;
11:69 (1910), стр. 181—203.
1. Buhl A., Aper$us modernes sur la theorie des groupes continus et finis. Mem.
des Sc. Math., fac. 33, 1928.
1. Burnside W., On the continuous group that is defined by any given group of
finite order. Proc. bond. Math. Soc. 29 (1898), стр. 207—234,
546—565.
2. Burnside W., The theory of groups of finite order., 2-ое изд., Cambridge, 1911.
2. Campbell J. E., Introductory Treatise on Lie, Theory of Finite Continuous
Transformation Groups., Oxford, 1903.
1. Cartan Ё., Sur la structure des groupes finis et continus. These. Nony, Paris.
1894, 2-ое изд., Vuibert, Paris, 1933.
2. Cartan Ё., Les groupes bilineaires et les systemes de nombres complexes. Ann.
Fac. Sc. Toulouse 12 (1898), 13, 1—64.
3. Cartan Ё.> Sur la structure des groupes infinis. C. R. 135 (1902), стр. 851—854.
4. Cartan Ё., Les groupes projectifs, qui ne laissent invariante aucune multiplicite
plane. B. S. M. F. 41 (1913), стр. 53—96.
5. Cartan Ё.. Sur la structure des groupes infinis de transformations. Ann. Ec.
Norm. Sup. (3) 21 (1904), стр. 159—206; (2) 22 (1905), стр. 219—308.
6. Cartan Ё., La geometrie des groupes de transformations. Journ. de math. (8)
6 (1927), стр. 1—119.
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ 389
7. Cartan Ё., Sur les nombres de Betti des espaces de groupes clos. C. R.
r io/ стр. 1Уо—1Уо.
8. Cartan E.t Groupes simples clos et ouverts et g£ometrie riemannienne Joum
de math. (8) 8 (1929); стр. 1—33. ’
9. Cartan E.t Sur les representations lin£aires des groupes clos. Comm Math
, Helv. 2 (1930), стр. 269-283.
10. Cartan Ё., La theorie des groupes finis et continus et 1’analysis situs. Mem.
des Sc. Math., fasc. 42, 1930.
1. Casimir H. — Waerden B. L., van der, Algebraischer Beweis der vollstandigen
Reduzibilitat der Darstellungen halbeinfacher Liescher Gruppen.
Math. Ann. Ill (1935), стр. 1—12.
1. Cremer H., Zum Zentrumproblem. Math. Ann. 98 (1927), стр. 151—163.
2. Cremer H., Ober das Zentrumproblem. Ber. Sachs. Akad. 82 (1930), стр. 243—250.
3. Cremer H., Ober die Schrodersche Funktionalgleichung und das Schwarzsche
Eckenabbildungsproblem. Ber. Sachs. Akad. 84 (1933)-, стр. 291—324.
1. Dantzig D., van, Ober topologisch homogene Kontinua. Fund. Math. 14, 1930.
стр. 102—12$.
1. Dyck W. von, Gruppentheoretische Studien. 1. Math. Ann. 20 (1882); стр. 1—44;
II. Math. Ann. 22 (1883), стр. 70—108.
1. Eisenhart L. P., Continuous Groups of Transformations, Princeton, 1933.
1. Gordan P, Vorlesungen fiber Invariantentheorie. Bd. 2: Binare Formen, Lpz., 1887.
1. Goursat E.t Lemons sur integration des equations aux derrvees partielles du
premier ordre. J. Hermann, Pari^ 1891.
2. Goursat E., Lemons sur le probleme de Pfaff. J. Hermann, Paris, 1922.
1. Grawe D., Ober die linearen Differentialgleichungen, die in bezug auf die
lineare gebrochene Transformationsgruppe invariant bleiben. Journ.
f. Math. 156 (1927), стр. 165—175.
1. Grawe D.-Tschebotardw N., Ober eine allgemeine Methode zur Bildung von
Different al ausdriic ken, die in Bezug auf eine kontinuierliche
Transformationsgruppe invariant bleiben, Bicth ВУАН, 1928,
стр. 53—59.
1. Гюнтер H. M, Интегрирование уравнений первого порядка в частных про-
изводных, ГТТИ, 1934.
1. Haar Л., Der Massbegriff in der Theorie der kontinuierlichen Gruppen. Ann
of. Math. (2) 34, 1933, стр. 147—169.
1. Hausdorff F., Die symbolische Exponentialformel in der Gruppentheorie, Ber.
Sachs. Ges. 58 (1906), стр. 19—48.
2. Hausdorff F.t Mengenlehre, W. de Gruyter, Berlin, 1927.
1. Helmholtz H. Ober die Thatsachen, die der Geometric zu Grunde liegen.
1 Gdtt. Nachr., 1868, стр. 193—221.
Hilbert D., Mathematische Probleme. Gott. Nachr., 1900, стр. 253—297; Ges.
Abhandlungen, 3, Berlin, 1935, стр. 290—329.
2. Hilbert D., Grundlagen der Geometric, 1—7 Aufl., Lpz., B. G. Teubner.
1. Huntington E. V., Note on the definition of abstract groups and fields by sets
of independent postulates. Trans. Amer. Math. Soc. 6 (1905).
1. Hurwitz A., Ober die Erzeugung der Invarianten durch Integration. Gdtt.
Nachr., 1897, стр. 71—90; Math. Werke, 2, Basel, 1933, стр. 546—564.
1. Julia G., Memoire sur 1’iteration des fonctions rationales. Journ. de math. (8)
1 (1918), стр. 237.
1. Каган В, Ф.9 Основания геометрии. Исторический очерк учения об осно-
ваниях геометрии. Одесса, 1907, том II.
1. Killing W., Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgrup-
pen. Math. Ann.: I. 31, (1888), стр. 252—290. II. 33 (1889), стр. 1—
48. III. 34 (1889), стр. 57—122. IV. 36 (1890), стр. 161—189.
1. Клейн Ф., Сравнительное обозрение новейших геометрических исследова-
ний („Эрлангенская программа"). Казань, 1896.
2. Klein Е, Math. Ann. 37 (1890).
1. Koenigs G.t Recherches sur les integrates de certaines equations fonctionnel-
les. Ann. de FEcole Norm. Sup. (3) 1 (1884), стр. 141.
390
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ
2. Koenigs G.t Nouvelles recherches sur les equations fonctionnelles. Ann. de
1’Ecole Norm. Sup. (3) 2 (1885), стр. 385.
1. Korkine A., Sur un probleme d’interpolation. Bull, des sciences math. (2)
6 (1882), стр. 228—242.
1. Kowalewski G., Ober Functionalraume. Sitzber. Wiener Akad. 120 (1911), I:
стр. 77—109, II: стр. 1435—1472.
2. Kowalewski G., Einfiihrung in die Theorie der kontinuierlichen Gruppen,
(Sammlung Math. u. i. A. in Monogr. u. Lehrb. 10), Lpz, 1931.
1. Leau L.) Etudes sur les equations fonctionnelles a une ou plusieurs variables.
Ann. Fac. Sc. Toulouse 11 (1897), стр. 1.
1. Levi E. E., Sulla struttura dei gruppi finiti e continui. Atti Acc. Torino 40
(1905), стр. 423—437.
1. Lie S., Die Grundlagen fur die Theorie der unendlichen kontinuierlichen Trans-
formationsgruppen. I. Ber. Sachs. Ges. 1891, стр. 316—352. Ges.
Abh. 6, стр. 300—330. II. Ber. Sachs. Ges. 1891, стр. 353—393.
Ges. Abh. 6; стр. 331—364.
2. Lie S., Untersuchungen uber unendliche kontinuierliche Gruppen. Ber. Sachs.
Ges. 21 (1895), стр. 43—150. Ges. Abh. 6. стр. 396—493.
1. Lie S.-Engel E, Theorie der Transformationsgruppen. Bd. 1. 1888; Bd. 2, 1890;
Bd. 3, 1893. Переиздано в 1930 г. В. G. Teubner, Leipzig.
1. Lie S -Scheffers G., Vorlesungen uber Differentialgleichungen mit bekannten
infinitesimalen Transformationen. B. G. Teubner; Leipzig, 1891.
2. Lie S.-Scheffers G.t Vorlezungen fiber continuierliche Gruppen mit geometri-
schen und anderen Anwendungen. B. G. Teubner. Leipzig, 1893.
3. Lie S.-Scheffers G. Geometrie der Beruhrungstransformationen.
1. Lyche R, Tambs, Sur le probleme du centre. 7-te Skand. Mat. Kongress., Oslo,
1930.
1. Magnus W., Das Identitatsproblem fur Gruppen mit einer definierenden Rela-
' tion. Math. Ann. 106 (1932), стр. 295—307.
1. Molien Th., Ueber Systeme hbherer complexer Zahlen. Math. Ann. 41 (1893),
стр. 83—156.
1. Neumann J. von, Die Einfiihrung analytischer Parameter in topologischen
Gruppen. Ann. of Math. (1) 34 (1933), стр. 170—190.
2. Neumann J. nqu, Zum Haarschen Mass in topologischen Gruppen. Comp.
Math. 1 (1934).
1. Nielsen J., Die Isomorphismengruppe der freien Gruppen. Math. Ann. 91 (1924),
стр. 169—209.
1. Pascal E.f Altre ricerche sulla formola del prodotto di due trasformazioni finite
e^sul gruppo parametrico di un dato. Rendic. 1st. Lomb. (2) 35,
стр. 555—567.
2. Pascal E., I gruppi di trasformazioni (Parte generale della teoria), Milano,
1903.
1. Peter Z.-Weyl H., Die Vollstandigkeit der primitiven Darstellungen einer
geschlossenen kontinuierlichen Gruppe. Math. Ann. 97. (1927),
стр. 737—755.
1. Picard E., Traite d’analyse. Tome 3; Paris, 1896.
1. Poincare H., Sur les groupes continue. Trans. Cambr. Phil. Soc. 18 (1930),
стр. 220—225.
2. Poincare H., Quelques remarques sur les groupes continue. Rendic. Circ. Mat.
Palermo 15 (1901), стр. 321—368.
3. Poincare H., Nouvelles remarques sur les groupes continus. Rendic. Circ.
Mat. Palermo 25 (1908), стр. 81—103.
1. Pbntrjagin L., Sur les groupes topologiques compacts et cinquicme probleme
de M. Hilbert. C. R. 198 (1934), стр. 233.
2. Pontrjagin L., The theory of topological commutative groups. Ann. of Math.
(2) 35 (1934), стр. 361—388.
3. Понтрягин JI. С, Структура непрерывных групп. Труды второго Всесоюзного
математического съезда. Том I. А. Н. СССР, 1935, стр. 237—257.
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ
391
4. Понтрягин Л. С., Числа Бетти компактных групп Ли. Доклады АН СССР,
1935, том I, стр. 433—437.
5. Понтрягин Л. C.t Непрерывные группы, ГОНТИ, 1988.
1. Reidemeister /С, Das Lie-Helmholtzsche Problem und ein Satz von Maschke.
Abh. Math. Sem. Hamb. 4. (1925), S. 172—173.
2. Reidemeister R,t Die Axioftie der zweigliedrigen Gruppen. Schriften der К6-
nigsb. Ges. 4, Heft 5 (1927), стр. 87—102.
3. Reidemeister R.t Einfiihrung in die kombinatorische Topologie. „Die Wissen-
schaft“, Bd. 86, Braunschweig, 1932.
1. Riemann B.t Ober die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen.
Werke, 1876, стр. 254—269. Переиздано, J. Springer, 1919.
1. Scheffers G., Zuruckfiihrung complexer Zahlensysteme auf typische Formen.
Math. Ann. 39 (1891), стр. 293—390.
1. Широков П. А., Тензорное исчисление. Часть первая: Алгебра тензоров,
ГТТИ, 1934, 464 стр.
1. Шмидт О. Ю.. Абстрактная теория групп. 2-ое изд., ГТТИ, 1933.
1. Schouten J. A., Vorlesung liber die Theorie der halbeinfachen kontinuierlichen
Gruppen., Leiden, 1926/27 (гектогр).
1. Schreier O., Abstrakte kontinuierliche Gruppen. Abh. Math. Sem. Hamb. 4
(1926), стр. 15—32
2. Schreier 0., Die Verwandtschaft stetiger Gruppen im grossen. Abh. Math. Sem.
Hamb. 5; 1927, стр. 233—244.
3. Schreier O, Die Untergruppen der freien Gruppen. Abh. Math. Sem. Hamb.
5 (1927), стр. 161—183.
1. Шрейер О-Шпернер E, Введение в линейную алгебру в геометрическом
изложении. Том I, ГТТИ, 1934.
2. Шрейер О.-Шпернер Е., Теория матриц, ГТТИ, 1936.
1. Schroder Е., Ober unendlichviele Algorithmen zur Auflosung der Gleichungen.
Math. Ann. 2 (1870), стр. 317—365.
2. Schrdder E., Ober iterierte Functionen. Math. Ann. 3 (1871), стр. 296.
I. Schur F., Ober den analytischen Charakter der eine endliche continuierliche
Transformationsgruppe darstellenden Functionen. Math. Ann. 41,
(1893), стр. 509-529.
1. Schur I., Ober eine Klasse von Matrizen, die sich einer gegebenen Matrix
iFzuordnen lassen. Diss., Berlin, 1901.
2. Schur I.t Neue Begriindung der Theorie der Gruppencharaktere. Sitzber. Akad.
'2 ’ Berlin, 1905, стр. 406—432.
3. Schur I., Neue Anwendungen der Integralrechnung auf Probleme der Invarian-
tentheorie.3 Sitzber. Preuss. Akad., 1924. I: стр. 189—208. II:
стр. 297—321. Ill: стр. 346—355.
1. Schwerdtfeger H., Sur une formule de H. Poincare relative a la theorie des
groupes’de S.-Lie. L’enseignement math. 32 (1933), стр. 304—319.
^^Schwerdtfeger H„ Beitrage zum Matrizen-Kalkiil und Theorie der Gruppen-
- > * matrix. Diss. Weida i. Thur. 1935. 51 стр.
1. Speiser A., Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung. 2-ое изд. J. Sprin-
ger, Berlin, 1927.
1. Study* Complexe Zahlen und Transformationsgruppen. Ber. Sachs. Ges. 1889,
стр. 177—228.
2. Study* Ueber Systeme complexer Zahlen und ihre Anwendung in der Theorie der
Transformationsgruppen. Monatsh. Math. Phvs. 1 (1890),
стр 163-236.
1. Suschkewitsch A. K.t Ober die Darstellung der eindeutig nicht umkehrbaren
Gruppen mittelst der verallgemeinerten Substitutionen. Мат.Сб, 33
(1926), стр. 371—373.
1. TschebotarOw N., Ober ein algebraisches Problem von Herrn Hilbert. Math.
Ann.: I, 104, (1931), стр. 459—471; II, 105 (1931), стр. 240—255.
2. Tschebotardw AC, Ober das Klein-Hilbertsche Resolventenproblem. Изв. Каз.
de , - ФМО. (3) 6 (1932—33), стр. 5—22.
3. Чеботарев H.t Основы теории Галуа, I. ГТТИ, 1934.
392
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ
4. Tschebotardw N. Ober die Bestimmung des Volumens in Lieschen Gruppen.
Зап. H.-Д. Ihct. Харк. (4) 14 (1937), стр. 3—20.
5, Tsckebotardw N. Ober die Massbestimmung von Lieschen Gruppen. Зап. Н.-Д.
{нет. Харк. (4) 14 (1937), стр. 21—46.
6. Tschebotar&w N, Ober irregulare Darstellungen von halbeinfachen Gruppen.
Comp. Math. 6 (1938), стр. 103—117.
1. Umlauf K. A,, Ober die Zusammensetzung d.er endlichen continuierlichen
Transformationsgruppen, insbesondere der Gruppen von Range
Null. Diss., Leipzig. 1891. '
2. Vessiot E.t Sur 1’integration des systemes differentiels, qui admettent des grou-
pes continus. Acta math. 28 (1904), стр. 307—350.
1. Vivantl G., Lemons elementaires sur la theorie des groupes de transformations.
Gauthier-Villars, Paris, 1904.
1. Waerden B. L. van der, Vorlesungen uber kontinuierliche Gruppen, Gottin-
gen, 1929 (литогр.).
2. Waerden В. E van der, Stetigkeitssatze fur halbeinfache Liesche Gruppen.
Math. Zeitschr. 36 (1933), стр. 780—786.
3. Waerden B. L. van der, Klassifikation der einfachen Lieschen Gruppen. Math.
Zeitschr. 37 (1933), стр. 446—462.
1. Weyl H.t Theorie der Darstellung kontinuierlicher halbeinfacher Gruppen
durch lineare Transformationen. Math. Zeitschr. I. 23 (1925),
стр. 271—309; II. 24 (1925), стр. 328—376; II. 24 (1925),
стр. 377—395.
2. Weyl H., Gruppentheorie und Quantenmechanik. S. Hirzel, Leipzig, 1928.
1. Wigner E.t Gruppentheorie uud ihre Anwendungen auf die Quantenmechanik
der Atomspektren. Vieweg, Braunschweig, 1931.1
УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
Абелева группа 13
Абсолютный инвариант формы 174
Автоморфизм 31, 147
Аксиомы счетности 52
Аналитическая итерация 84
Ангармоническое отношение 141
Антикоммутативный закон 354
Асистатическая группа 183
Ассоциативный закон 13
Афинная группа 163
•Афинная дуга 163/167
Афинная кривизна 173
Бесконечная дискретная группа 44
Бесконечная непрерывная группа 50,
.380
Большое кольцо ПО
Вектор 120
Вес корневого вектора 313
Взаимно простые группы 29
Взаимно простые множества 52
Взаимные группы 184
Внешнее умножение представлений
319
Внутреннее умножение представле-
ний 318
Внутренний автоморфизм 32, 149
Вполне приводимое представление 311,
331
Вторая аксиома счетности 52
Вторая основная теорема Ли 98
Вторая параметрическая группа 47
Гауссова кривизна 161
Голоморф 31
Гомеоморфизм 52
Гомоморфизм 30
Группа 13
Группа внутренних автоморфизмов 32
Группа вращений 140
Группа Галуа 43
Группа движений 140
Группа, допускающая уравнение 212
Группа Ли 46
Группа нулевого ранга 251
Группа параллельных переносов 28,
Групповое ядро 46, 58
Групповой инвариант 139
Группы на плоскости 216
Группы на прямой 214
Дважды транзитивная группа 35
Делитель группы 24
Дискретная группа 62
Дистрибутивный оператор 68
Диференциальный инвариант 154
Длина вектора 260, 269
Дополнительная группа 30
Дополнительное множество 52
Дробное линейное преобразование 21
Дуга плоской кривой 163
Единица группы 14
Единичное представление 203
Задача Граве 167
Замкнутная группа 60, 279
Замкнутое множество 52
Замкнутый путь 53
Знакопеременная группа 43
Знакопеременная сумма 366
Изоморфизм 22
Изоморфизм второго рода 24
Изоморфизм в целом 58
Импримитивная группа 39
Инвариант группы 139
Инвариантная подгруппа 26, 141
Инвариантное многообразие группы
178
Инвариантное подпространство 311
Инварианты алгебраических форм 168
Индекс подгруппы 137
Интеграл системы диференциальных
> уравнений 69
Интегральный инвариант 161
Интегрируемая группа 211
Интранзитивная группа 36
Инфинитезимальный оператор группы
49, 90
Истинное представление 35, 203
Итерация 84
Канонические параметры 82
394
УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
Класс матриц 362
Ковариантный тензор 106
Кольцо ПО
Коммутант 33
Коммутатор 33
Коммутативная группа 13
Коммутативный закон 13
Компактная группа 379
Комплекс-группа 299
Композиционный ряд 204, 206
Композиция элементов группы 13
Конечная группа 43
Контактное преобразование 381
Контравариантный тензор 106
Конформное преобразование 50
Координатные векторы 120
Корень оператора 69
Корневая матрица 295
Корневое пространство 242
Корневой вектор 311
Корневой оператор 296
Коса 45
Критическая точка 64
Линейная унимодулярная группа 24
Линейно независимые инфинитези-
мальные операторы 90
Линейно связанные инфинитезималь-
ные операторы 90
Линейный оператор первого порядка
68
Локальная связность 53
Локально гомеоморфный 54
Локально односвязное множество 54
Локальный изоморфизм 57
Мажоранта 83
Максимальная подгруппа 40
Максимальный нормальный делитель
204
Максимальный разрешимый нормаль-
ный делитель 378
Малое кольцо 110
Матрица 19
Мера группо'вбго пространства 166
Метрика корневых векторов 269
Наибольший вес 315
Накрывающая группа 61
Накрывающее множество 54
Независимые (линейно) операторы 90
Непрерывная группа 46
Непрерывный изоморфизм 57
Неравенства между линейными фор-
мами 304, 315
Несвязанные (линейно) операторы 90
Неприводимое линейное представле-
ние 311
Нормальный делитель 26, 141
Обратный элемент 15
Общая аффинная-группа 224
Объем группового пространства 166
Объем линейной группа 166, 352 .
Объем унитарных полупростых грмПп
349
Однородная линейная'группа 19
Односвязное множество 54
Одночленная группа 80
Окрестность 51
Оператор 67
Определяющие уравнения 50
Ориентируемая поверхность 63
Ортогональная группа^20
Открытое множество 52
Относительный инвариант группы 178
Параллельный перенос 28, 82
Параметрическая группа 47
Параметрическое пространство 23
Параметры группы ,46
Первая основная теорема Ли 90
Первая параметрическая|группа 47
Первая теорема Шрейера 60
Пересечение множеств 51
Пересечение подгрупп 28
Перпендикулярные векторы 260
Подгруппа 24
Подобие матриц 120
Подобные группы 27, 91
Подстановка "17
Полином Киллинга 239
Полная приводимость групп 311, 331
Полная система диференциальных
уравнений 70
Полный центр 378
Положительная линейная форма 301,
315
Полугруппа 13
Полуприводимое представление 311
Полупростая группа 257
Порядок инфинитезимального опера-
тора 177, 213
Порядок конечной группы 43
Порядок непрерывной группы 56
Правая единица 13
Правый обратный элемент 13
Предел 56
Предельная точка 52
Представление группы 23
Преобразование 15
Преобразование в себя 184, 204
Прием Гурвица-Шура 339
Примитивная группа 40
Принцип Картана 28, 204
Присоединенная группа 32, 103, 131,
151
Проблема преобразования 45
Проблема тождества 44
УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
395
Проблема центров 85
Продолжение групп 152
Произведение векторов 260
Призведение матриц 19
Произведение преобразований 16
Произведение путей 61
Производная подгруппа 33, 146
Производный оператор 68
Произвбдящие элементы группы 44
Простая группа 43, 204
Просто транзитивная группа 142
Прямое произведение 40, 205
Путь 53
Радиус кривизны 154
Разрешимая группа 43, 208
Ранг группы 240
Расширенная группа 27
Регулярное представление группы 24
Регулярный вектор 260
Свертывание тензоров 248
Свободная группа 44
Связное множество 52
Символическое исчисление диферен-
циалов 354
Симметрическая группа 43
Симметрическая сумма 365
Систатическая группа 183
Система импримитивности 39, 174
Система интранзитивности 36
Скалярное произведение векторов 279
Скобки Пуассона 68
След матрицы 44
Смежный класс 24
Смешанный инвариант 167
Сопряженная группа 26
Сопряженная система 24
Специальные преобразования группы
377
Сравнения систем векторов 251
Средняя кривизна 161
Стационарная подгруппа 37
Степень группы 41
Степень подстановки 17
Структура группы 22
Структурные константы 49, 95
Стягивание в точку 53
Сумма путей 64
Сумма элементов группы 24
Существенные параметры 46, 73
Тензор 106, 247
Теорема монодромии 64
Тождественное преобразование 16
Тождественный автоморфизм 32
Тождество Якоби 68
Топологическое пространство 51
Точечное преобразование 119
Транзитивная группа 35
Третья основная теорема Ли 102
Трилинейная форма 106
Удвоенная группа 28
Угол между векторами 269
Узел 45
Укороченная группа 139
Умножение тензоров 247
Умножение элементов группы 13
Универсальная накрывающая группа
65
Унимодулярная аффинная группа 225
Унимодулярная группа 24
Унимодулярная матрица 24
Унитарная группа 335, 336, 358
Унитарная матрица 21, 334
Уравнение Абеля 85
Уравнение Шрёдера 85
Уравнение типа Майера-Ли 50
Условие ортогональности Зс5
Факторгруппа 30, 144
Формулы Маурера 104
Фундаментальная группа 45, 62
Функциональное преобразование 119
Характер группы 44, 362
Характеристическая подгруппа 33
Характеристическое уравнение группы
239
Характеристическое уравнение мат-
рицы 120
Центр группы 33
Четная подстановка 43
Числа Бернулли 115
Числа Бетти 12, 380
Шварцева производная 154
Эквивалентные линейные представле-
ния группы 310
Эквивалентные тензоры 106, 238
Элемент группы 13
Эрмитова форма 332
Ядро, групповое 46, 58
Якобиева система диференциальных
уравнений 71
396
УКАЗАТЕЛЬ АВТОРОВ
УКАЗАТЕЛЬ АВТОРОВ
(Авторы расставлены в порядка латинского алфавита. Не проставлены указания на таоремц
очень иввестных авторов, а так «а фамилии из алфавитного указателя литературы.)
Abel 85, 386
Ахиезер 386
Адо 11, 309, 378, 379
Агура 385
Алексеев 385, 386
Artin 45, 386
Auerbach 387
Betti 380
Бёттхер 386
Bianchi 384, 385, 386
Blaschke 173, 386
Bourlct 85, 386
Brauer R. 387
Brouwer 11, 376
Buhl 385
Burnside 380, 387
Campbell 109, 385, 386
Cartan Ё. 3, 11, 12, 28, 59, 204, 254,
277,377, 378, 380, 384, 385, 386,
387
Casimir 387
Cayley 170, 174
Crtmer 85, 386
Dantzig, van 12, 376
Dirichlet 16, 44
Dyck, von 44, 386
Eisenhart 12, 73, 87,184, 383, 384, 385,
386, 387
Engel 251, 257,385, 386
Fatou 85
Frobenius 11
Galois 9, 43
Gordan 386
Goursat 386, 387
Grassmann 353
Граве 167, 386
Гюнтер 386
Haar 11, 380, 386
Hausdorff 51, 52, 54, 109, 133, 886
Helmholtz, von 10, 384
Hilbert 11, 376, 384
Holder 204
Huntington 386
Hurwitz 11, 335, 339, 359, 887
Jordan 9, 204
Julia 85, 386
Каган 385
Killing 3, 11, 277, 377, 378, 385, 887
Klein 10, 384
Koenigs 85, 386
Коркин 85, 386
Kowalewski G. 9, 385, 386
Kronecker 318
Lagrange 25, 43
Leau 85, 386
Levi E. E. 378, 379
Lie 3, 9, 10, 11, 12, 46, 48, 182, 184,
204, 213, 225, 257, 380, 383, 3E5,
386
Lyche 386
Magnus 45, 386
Maurer 103, 104, 131, 386
Molien 380
Морозов 244
Neumann, J. von 11, 376, 380, 386
Nielsen J. 45, 386
Pascal 109, 385, 386
Picard 384, 386
Poincare 376, 386
Понтрягин 11, 12, 376, 380, 385, 386
Reidemeister 376, 384, 386
Riemann 384
Scheffers 184, 257, 380, 384, 385, 386
Широков 386
Шмидт 386, 387
Schouten 12, 277, 385
Schreier 11, 12, 45, 60, 376, 386
SchrOder 85, 386
Schur F. 131, 386
Schur I. 11 335, 339, 359, 362, 387
Schwarz 154
Schwerdtfeger 377, 386
Speiser 386
Study 380
Сушкевич 18, 386
Чеботарев 13, 18, 386
Umlauf 257, 378
Vesslot 384, 386
Vivanti 385
Waerden, van der 277, 376, 384, 385,
386, 387
Weyl 3, 10, 11, 23, 242, 265, 277, 309
357, 384, 386, 387
Wigner 384
ОПЕЧАТКИ
Стр. Строка Напечатано Следует читать По чьей вине
79 10 св. d Ъ ь_ d Корр.
173 5 св. Зу"У" »
в знаменателе
218 9 сн. dyq byq Ред.
218 7 сн. d = — 1 Ь = — 1 »
221 11 св. R = Корр.
221 13 св. /? = /?i = *
243 9 сн. Тип.
264 17 св. R-l— 1 Корр.
265 9 св. 1) р-<=-Ц^и-ж) 9
269 13 св. (бб) (bb) Тип.
под корнем
3;'.к. 1:32. Чеботарев. Теория групп Ли.