ББК 22.17
А 23
УДК 519.2
Федеральная целевая программа книгоиздания Рпггии
Рецензент — д-р физ-мат. наук В.П.Чистяков (Математический
институт им. В.А.Стеклова)
Агапов Г.И.
А23 Задачник по теории вероятностей: Учеб. пособие для
вузов. — 2-е изд., доп. — М.: Высш. шк., 1994.— 112 с: ил.
ISBN 5-06-002664-7
В задачник включены упражнения по курсу теории вероятностей,
изучаемому в технических вузах. Все задачи сопровождаются ответами, а
часть из них — решениями или указаниями. В начале каждого параграфа
даются краткие теоретические сведения. Приведены необходимые для
решения задач таблицы. Во второе издание добавлен "Общий раздел", в
котором приведены дополнительные задачи на разные темы.
А 1602090000 — 052 _ л ББК 22.17
А Бе3 ОбЪЯВЛ
001@1) - 94 Бе3 ОбЪЯВЛ' 517.8
Учебное издание
Агапов Георгий Иванович
ЗАДАЧНИК ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Редактор Ж.И.Яковлева. Мл. редактор М.И.Яковлев. Художественный редактор
В.И.Пономаренко. Технические редакторы Г.А.Фетисова, И.А.Балелина.
Корректор Г.И.Кострикова. Оператор К Н.Андронова
ИБ № 9683
ЛР № 010146 от 25.12.91. Изд. J№ ФМ-86. Сдано в набор 29.04.92.
Подп. в печать 15.12.93. Формат 60x88Vl6- Бум. офс. № 2. Гарнитура Тайме.
Печать офсетная. Объем 6,86 усл.печ. л. 7,11 усл.кр.-отт. 6,01 уч.изд.л.
Тираж 10 000 экз. Заказ № 130.
Издательство "Высшая школа", 101430, Москва, ГСП-4, Неглинная ул., д. 29/14.
Набрано на персональных компьютерах издательства
Отпечатано в Московской типографии № 8 Роскомпечати,
101898, Москва, Центр, Хохловский пер., д. 7.
ISBN 5-06-002664-7 © Г.И.Агапов, 1994

ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящий Задачник предназначен для студентов втузов,
изучающих курс теории вероятностей с элементами математической
статистики.
В начале каждого параграфа приводятся краткие теоретические
сведения и формулы, необходимые для решения задач. Но это ни в
коей мере не освобождает студентов от обращения к учебнику или
конспекту лекций.
В разделе математической статистики основное внимание
уделено методам обработки экспериментальных данных.
Все задачи снабжены ответами, а некоторые из них —
указаниями или решениями.
Заметим, что изучение теории вероятностей обязательно должно
сопровождаться решением задач. Только при этом условии
вырабатываются теоретико-вероятностная интуиция специалиста, умение
строить математические модели реальных процессов.
Во второе издание включен "Общий раздел11, в котором
приведены дополнительные задачи на разные темы. Это поможет
преподавателю в подборе задач для работы в классе и для домашних
заданий.
Автор благодарит рецензентов первого издания профессора
Г.И.Ивченко « профессора В.П.Чистякова за их добросовестный
труд при просмотрю рукописи Задачника.
Автор

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ
, Р(>4) - вероятность события А
I * -U2
ф(х) = J e dt - функция Лапласа
/Лх)> f(x) " плотность вероятности непрерывной
случайной величины
FJx)t F\x) - функция распределения случайной величины
/ - индикатор события А
А
м.о. - математическое ожидание
М ^ - м.о. случайной величины ?
D^ - дисперсия случайной величины ?
0 ^ - оценка параметра 0
1 п
? = — S & - , эмпирическое (или выборочное) среднее
1 п
= — S (?i -?J - эмпирическая (или выборочная) дисперсия
D - начало решения или доказательства
и - конец доказательства
Д - указание

Теория вероятностей
О)!
а)
§ 1. Пространство элементарных событий.
Операции над случайными событиями
Каждый неразложимый исход опыта называется элементарным
событием. Обозначим через Q — {и} множество всех элементарных
событий. Оно называется пространством элементарных событий.
Для наглядности 12 изображают в виде некоторой области на
плоскости, а элементарные события о;, — точками в этой области.
Пространство п представляет все возможные исходы опыта.
Любое подмножество А множества П называется событием
(рис.1,а). Событие А наступает тогда, когда результатом опыта
является одно из
элементарных событий, входящих в А.
Суммой AUB событий А и
В называется событие,
состоящее из тех элементарных
событий, которые входят в
событие Л, или в событие В,
или в то и другое (рис. 1,6).
Произведением АВ (или
А П В) событий А и В
называется событие, состоящее из
тех элементарных событий,
которые входят в оба
события А и В (рис.1,в).
Разностью А-В событий А Рис 1
и В называется событие,
состоящее из тех элементарных событий, которые входят в Л и не
входят в В (рис.1,г).
Множество п называется достоверным событием. Пустое
множество ф называется невозможным событием.
События А и В называются несовместными, если А В = ф
(рис.1,д). В том случае, когда А В = ф, пишут А + В вместо A U В.
б)
в)
г)
*)
з)

Событие А называется противоположным событию А, если А А =
фиЛ+Л=П (рис.1, е).
События Ah i42,...i4n образуют полную группу событий, если
(i*j) и Ах + А2 +...+ Ап = ft (рис.1,ж).
Бели каждое появление события А сопровождается появлением
В, то пишут А С В и говорят, что А влечет за собой В, или что А
является частным случаем В, или что В является следствием
события А. Бели А С В, то каждое элементарное событие, входящее в Л,
содержится в событии В (рис.1,з).
События А и В называются равносильными, если А = В.
1. Монета подбрасывается три раза подряд. Под исходом опыта
будем понимать последовательность (Х\, Х2, Х3), где каждый из Х(
обозначает выпадение "герба" (Г) или "решетки" (Р).
а) Построить пространство ft элементарных событий.
б) Описать событие А, состоящее в том, что выпало не менее
двух "гербов".
2. Предположим, что три молекулярные цепочки некоторого
полимера реагируют с кислородом. Каждая цепочка может
прореагировать с 0, 1, 2 молекулами кислорода. Построить пространство ft
элементарных событий.
3. Событие В является частным случаем события Л. Чему равны
их сумма и произведение?
4. а) Определить события A U А и А*А, б) Когда события АВ и
А равносильны? в) Являются ли совместными событиями А и
лив?
5. Пусть на плоскость наудачу бросает точка, и пусть события А
и В состоят в том, что эта точка попадает соответственно в круг А,
в круг В. Какой смысл имеют события А} В, A U В, A U В, АВ, АВ?
6. Пусть А, В, С — случайные события. Выяснить смысл
равенств: а) АВС = А; б) A U В U С = А.
7. Мощность состоит из 10 кругов, ограниченных
концентрическими окружностями с радиусами Г{ (t = 1, 2,..., 10), причем
Г1<Г2<...<Гю.
Событие А{ = {попадание в круг радиуса г*}. Что означают
события
6 10
B=SA, С= П Ait D = AVA21
8. Пусть j4, В, С —- три произвольных события. Найти
выражения для событий, состоящих в том, что из Л, В, С:
б

а) произошло только А;
б) произошли А и 5, но С не произошло;
в) все три события произошли;
г) произошло по крайней мере одно из этих событий;
д) произошли по крайней мере два события;
е) произошло одно и только одно событие;
ж) произошли два и только два события;
з) ни одно событие не произошло;
и) произошло не больше двух событий.
9. Сумма AUB двух событий может быть выражена как сумма
двух несовместных событий, а именно А V В = А + (В - АВ).
Выразить аналогичным образом сумму трех событий А> В, С.
10. Доказать, что события А, АБ, A U В образуют полную
группу событий.
11. Доказать равенства:
a) (A U Я)С= ACU ВС]
б) A U В = А В;
в) А(ВХ +...+?„) = АВХ +...+ АВп;
Изобразить фигурами на плоскости множества, стоящие в левых
и правых частях доказываемых равенств.
§ 2. Задачи на классическую вероятность.
Геометрическая вероятность
Вероятность события характеризует степень объективной
возможности этого события.
Бели, в частности, множество п состоит на п равновозможных
элементарных событий, то вероятность Р(А) события А равна числу
m элементарных событий, входящих в А> деленному на число всех
элементарных событий, т.е. Р(Л) = —.
Случай равновозможных событий называется классическим.
Поэтому вероятность Т*(А) = — часто называют классической.
Элементарные события (исходы опыта), входящие в событие Л,
называются благоприятными.
Понятие "геометрическая вероятность" состоит в следующем. .
Пусть в область G бросается наудачу точка. Выражение "бросается
наудачу" понимается в том смысле, что брошенная точка может
попасть в любую точку области (?, вероятность попасть в какую-
7

либо часть области G пропорциональна мере этой части (длине,
площади, объему) и не зависит от ее расположения и формы.
Таким образом, если д - часть области G, то вероятность
попадания в область д по определению равна
Заметим, что здесь пространство П представляет собой
совокупность всех точек области G и, значит, состоит из бесконечного
множества элементарных событий. Следовательно, понятие
"геометрическая вероятность11 можно рассматривать как обобщение
понятия "классическая вероятность" на случай опытов с бесконечным
числом исходов.
В теории вероятностей часто используют размещения,
перестановки и сочетания. Бели дано множество Л={с^,и;2,...а;п}, то
размещением (сочетанием) из п элементов по Jfc называется любое
упорядоченное (неупорядоченное) подмножество к элементов множества
А. При fc=n размещение называется перестановкой из п элементов.
Пусть, например, дано множество А = {^ьс^и^}. Размещениями
из трех элементов этого множества по два являются (цьи^), (о^,ыз),
(w2,u^), (w2,w3), (о;3,о^), (о>з,<*>2); сочетания {u^, а^}, {а^, а>з}, {и2, а>з}.
Два сочетания отличаются друг от друга хотя бы одним
элементом, а размещения отличаются либо самими элементами, либо
порядком их следования.
Число сочетаний из п элементов по к вычисляется по формуле
w. An n\
п— рк ~ k \(n - k)V
где
- число размещений из п элементов по jfc, а Рк = к\ — число
перестановок из к элементов.
Принцип умножения комбинаторики заключается в следующем.
Пусть необходимо выполнить одно за другим какие-то к действий.
Бели первое действие можно выполнить щ способами, после чего
второе действие можно выполнить п2 способами, после чего третье
действие можно выполнить щ способами, и т.д. до ?-го действия,
которое можно выполнить щ способами, то все it действий вместе
могут быть выполнены щ х пг х пз *...* it* способами.
Принцип умножения применяется для упрощения подсчетов.
Пример. Доказать, что n-элементное множество имеет п(п —
— 1)...(п — к + 1) Jk-элементных упорядоченных подмножеств.
8

а Пусть задано n-множество П. Упорядоченное Jfc-подмножество
можно получить выбирая из Й поочередно элементы ui, а>2,..ы*.
Элемент ш\ можно выбрать п способами. Бели ш\ выбран, то а^
можно выбрать п - 1 способами из оставшихся п - 1 элементов
множества П и т.д. Наконец Jb-й элемент можно выбрать п - (Jfc - 1)
способами.
Согласно принципу умножения получаем, что число
упорядоченных fc-подмножеств
А* = п(п - 1)...(п - к + 1). ¦
12. В урне имеется 10 шаров: 3 белых и 7 черных. Из урны
наугад вынимается один шар. Какова вероятность того, что этот
шар: а) белый; б) черный?
13. Из слова НАУГАД выбирается наугад одна буква. Какова
вероятность того, что это буква А? Какова вероятность того, что
это гласная?
14. Брошены три монеты. Найти вероятность того, что выпадут
два игерба".
15. Бросают игральную кость. Какова вероятность выпадания
номера 4 на верхней грани упавшей на стол кости? Какова
вероятность выпадания номера, большего 4? (Игральная кость
представляет собой кубик, грани которого отмечены номерами 1, 2, 3, 4, 5,
6.)
16. При стрельбе была получена частость попадания 0,6.
Сколько было сделано выстрелов, если получено 12 промахов?
17. Брошены две игральные кости. Какова вероятность
выпадания на двух костях в сумме не менее 9 очков? Какова вероятность
выпадания единицы, по крайней мере на одной кости?
18. На шахматную доску из 64 клеток ставятся наудачу две
ладьи белого и черного цвета. С какой вероятностью они не будут
"бить" друг друга?
19. Из пяти карточек с буквами А, Б, В, Г, Д наугад одна за
другой выбираются три и располагаются в ряд в порядке
появления. Какова вероятность, что получится слово ДВА?
20. В урне 3 белых и 7 черных шаров. Какова вероятность того,
что вынутые наугад два шара окажутся черными?
21. Из последовательности чисел 1, 2,..., п наудачу выбираются
два числа. Какова вероятность что одно из них меньше Jfc, а другое
больше к, где 1<к<п — произвольное целое число?
22. Ребенок играет с четырьмя буквами разрезной азбуки А, А,
М, М. Какова вероятность того, что при случайном расположении
букв в ряд он получит слова МАМА?
9

23. При наборе телефонного номера абонент забыл две послед-
ние цифры и набрал их наудачу, помня только, что эти цифры
нечетные и разные. Найти вероятность того, что номер набран
правильно.
24. А и В и еще 8 человек стоят в очереди. Определить
вероятность того, что А и В отделены друг от друга тремя лицами.
25. В лотерее п билетов, из которых т выгрышных. Участник
лотереи покупает it билетов. Определить вероятность того, что он
выиграет хотя бы на один билет.
26. Среди 25 экзаменационных билетов 5 "хороших11. Два
студента по очереди берут по одному билету. Найти вероятности
следующих событий:
А = {первый студент взял хороший билет};
В = {второй студент взял хороший билет};
С = {оба студента взяли хорошие билеты}.
27. (Задача о выборке.) В партии из 50 изделий 5
бракованных. Из партии выбираются наугад 6 изделий.
Определить вероятность того, что среди этих 6 изделий 2 окажутся
бракованными.
28. (Распределение шаров по ящикам.)
Имеется г шаров, которые случайным образом разбрасываются по п
ящикам. В одном и том же же ящике могут находиться несколько
шаров и даже все шары. Найти вероятность того, что в первый
ящик попадут ровно г\ шаров, во второй — т2 шаров и т.д., в п-й —
гп шаров, п + г2+ ... + гп= г.
29. Найти вероятность того, что дни рождения 12 человек
придутся на разные месяцы года.
30. В лифт семиэтажного дома на первом этаже вошли 3
человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом
из этажей начиная со второго. Найти вероятности следующих
событий:
А = {все пассажиры выйдут на четвертом этаже};
В = {все пассажиры выйдут одновременно (на одном и том же
этаже)};
С = {все пассажиры выйдут на разных этажах}.
31. В шкафу находится 10 пар ботинок различных сортов. Из
них случайно выбирается 4 ботинка. Найти вероятность того, что
среди выбранных ботинок отсутствуют парные.
32. Из всех возможных отображений множества {1, 2,...,п} в себя
случайно выбирается одно отображение. Найти вероятности
следующих событий:
Ю

А — {выбранное отображение каждый из п элементов переводит
в1};
В = {элемент t имеет ровно jfc прообразов};
С = {элемент i переводится в j};
D = {выбранное отображение элементы ц, i2>--->|fc (Kii<t2< •••
... <ifc<n) переводит в элементы j\y J2,-Jk соответственно}.
33. (Вероятность распределения моле -
к у л.) Газ, состоящий из п молекул, находится в замкнутом сосуде.
Мысленно разделим сосуд на п равных клеток и будем считать, что
вероятность каждой молекулы попасть в каждую из п клеток одна
и та же, а именно -. Какова вероятность того, что молекулы ока-
п
жутся распределенными так, что в 1-й клетке окажутся т\ молекул,
во 2-й — га2 молекул и т.д., наконец, в п-й — тп молекул?
34. После бури на участке между 40-м и 70-м километрами
телефонной линии произошел обрыв провода. Какова вероятность того,
что разрыв произошел между 50-м и 55-м километрами линии?
35. (Задача о встрече.) Два лица А и В условились
встретиться в определенном месте между двумя и тремя часами
дня. Пришедший первым ждет другого в течение 10 мин, после
чего уходит. Чему равна вероятность встречи этих лиц, если
приход каждого из них в течение указанного часа может произойти в
любое время?
я2 у2
36. Шар х2 + у2 + z2 = З2 помещен внутри эллипсоида ^ + ^ +
z2
+ ^2 = 1. Найти вероятность того, что поставленная наудачу внутри
эллипсоида точка окажется внутри шара.
37. Электрон вылетает из случайной точки нити накала и
движется по перпендикуляру к нити. С какой вероятностью он
свободно пройдет через сетку, окружающую нить и имеющую вид
винтовой линии радиуса Л, толщины 8 и шага И?
38. (Задача Бюффона, 1777 г.). На пол,
разграфленный параллельными прямыми на полосы ширины L, бросается
наугад игла длины / (/<!). Найти вероятность того, что игла
пересечет какую-нибудь прямую.
39. Стержень длины / сломали на три части, выбирая наудачу
места разлома. Найти вероятность того, что из получившихся трех
частей можно составить треугольник.
40. В квадрат с вершинами @; 0), @; 1), A; 0), A; 1) наудачу
брошена точка М. Пусть (?; rj) — ее координаты. Найти вероятность
того, что корни уравнения х2 + ?х + ц = 0 — действительные.
11

41. Какой толщины должна быть монета, чтобы вероятность
падения на ребро была 1/3?
42. Спутник Земли движется по орбите, которая заключена
между 60° северной и 60° южной широты. Считая падение
спутника в любую точку поверхности между указанными параллелями
равновозможным, найти вероятность того, что спутник упадет выше
30° северной широты.
43. Слой воздуха толщины Я содержит пылинки радиуса г в
ъоличестве А штук в одной кубической единице. Найти вероятность
того, что луч света, перпендикулярный слою, не пересечет ни
одной пылинки.
§ 3. Условная вероятность.
Независимость событий
Условная вероятность Р(Л|В) события А при условии, что
событие В произошло, определяется формулой
Условная вероятность Р(Л|В) обладает всеми свойствами
безусловной вероятности.
События А и В называются независимыми, если выполнено
равенство
Р(АВ) =
Для независимых событий
Смысл определения независимости событий заключается в том,
что если произошло одно из независимых событий, то это никак не
влияет на вероятность другого события. Нельзя смешивать понятия
независимости и несовместности событий. Если А и В —
независимые события (с положительными вероятностями), то они
обязательно совместны.
События А\> Л2,...,ЛП называются независимыми в совокупности
(или просто независимыми), если для любых к из них (it < n)
выполняется соотношение
Если это соотношение выполняется при к = 2, то события А\,
Л2,...,АП называются попарно независимыми.
44. Доказать, что если события А и В независимы, то события А
я В, А и В, А и В также независимы.
12

45. Доказать, что если события А\, А2г.^Ап независимы, то
события Ль Л2,...,ЛП также независимы.
46. Пусть события А и В независимы и независимы также
события А и 1?2, при этом В\В2 = ф. Доказать, что события А и В\ + 1?2
независимы.
47. Бросили монету и игральную кость. Определить, зависимы
или независимы события:
А = {выпал "герб11};
В = {выпало четное число очков}.
48. Брошены последовательно три монеты. Определить,
зависимы или независимы события:
А = {выпадение "герба" на первой монете};
В = {выпадение хотя бы одной "решетки"}.
49. Доказать, что если А и В — независимые события с
положительными вероятностями, то они совместны.
50. Доказать, что Р(А\В)>1 -
51. Бросили игральную кость. Какова вероятность того, что
выпало простое число очков, если известно, что число выпавших
очков нечетно?
52. В ящике лежат 12 красных, 8 зеленых и 10 синих шаров.
Наудачу вынимаются два шара. Какова вероятность, что вынутые
шары разного цвета, если известно, что не вынут синий шар?
53. Привести пример, показывающий, что из попарной
независимости событий Л, Ву С не следует их независимость в совокупности.
§ 4. Теоремы сложения
и умножения вероятностей
Теорема сложения. Вероятность суммы двух событий
равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их
совместного наступления:
F(A\JB) = F(A) + P(jB) - Р(ЛЯ).
Если события А и В несовместны (т.е. в результате опыта они не
могут появиться вместе), то
Р(Л + В) = Р(Л) + Р(Я).
При решении задач часто вычисляют вероятность
противоположного события Л, а затем находят вероятность прямого события А
по формуле
13

Теорема умножения. Вероятность совместного
наступления двух событий равна вероятности одного из них,
умноженной на условную вероятность другого при условии, что первое
событие наступило:
Р(АВ) = Р(Л)Р(Я|Л).
Бели события А и В независимы (т.е. появление одного из них
не меняет вероятности появления другого), то
Р(АВ) = Р(А) Р(Я).
Для нахождения вероятности суммы независимых событий А\,
А2)...,Ап выгодно переходить к противоположным событиям:
Р(л1ил2и..лм„) = 1 -Р(Д0 р(Я2)...р(Л„).
54. Вывести теоремы сложения и умножения вероятностей для
любых трех событий А, В, С.
55. В одном ящике 5 белых и 10 красных шаров, в другом
ящике 10 белых и 5 красных шаров. Найти вероятность того, что хотя
бы из одного ящика будет вынут один белый шар, если из каждого
ящика вынуто по одному шару.
56. Вероятность того, что в течение одной смены возникнет
неполадка станка, равна 0,05. Какова вероятность того, что не
произойдет ни одной неполадки за три смены?
57. Бросается монета до первого появления "герба". Описать
пространство элементарных событий. Найти вероятность того, что
потребуется четное число бросков.
58. Предположим, что для одной торпеды вероятность потопить
корабль равна 1/2. Какова вероятность того, что 4 торпеды потопят
корабль, если для потопления корабля достаточно одного
попадания торпеды в цель?
59. В ящике 10 красных и 6 синих пуговиц. Вынимаются
наудачу две пуговицы. Какова вероятность того, что пуговицы будут
одноцветными?
60. Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное
число окажется кратным 2, либо 5, либо тому и другому
одновременно.
61. Общество из п человек садится за круглый стол. Найти
вероятность того, что два определенных лица окайсутся рядом.
62. Студент пришел на зачет, зная из 30 вопросов только 24.
Какова вероятность сдать зачет, если после отказа отвечать на
вопрос преподаватель задает еще один вопрос?
63. В круг радиуса R вписан квадрат. Чему равна вероятность
того, что поставленные наудачу внутри круга 2 точки окажутся
внутри квадрата?
14

64. Две одинаковые монеты радиуса г расположены внутри
круга радиуса Л, в который наудачу бросается точка. Определить
вероятность того, что эта точка упадет на одну из монет, если
монеты не перекрываются.
65. Сколько раз нужно бросить игральную кость, чтобы с
вероятностью, не меньшей: а) 0,5; б) 0,9 — хотя бы один раз выпала
шестерка (шесть очков)?
66. Бросаются 4 игральные кости. Найти вероятность того, что
на них выпадет по одинаковому числу очков.
67. Два охотника стреляют в волка, причем каждый делает по
одному выстрелу. Для первого охотника вероятность попадания в
цель 0,7, для второго — 0,8. Какова вероятность попадания в волка
(хотя бы при одном выстреле)? Как изменится результат, если
охотники сделают по два выстрела?
68. Вероятность попадания в цель первым стрелком р\, а вторым
стрелком — Р2- Стрелки выстрелили одновременно. Какова
вероятность того, что один из них попадет в цель, а другой не попадет?
69. Пусть А\, Л2,...,>1п — случайные события. Доказать формулу
Р(ПА-) = T>(Ai)I>(A2\Al)?(As\AlA2)...P(An\AlA2...An-l).
70. Решить задачу 25, используя формулу задачи 69.
71. Пусть А\у А2)...Ап — случайные события. Доказать формулу
Р( и Ад = Е Р(Ад
l l
д - Е
72. (Задача о совпадениях.) Элементы а\, а2,...,ап
случайным образом переставляются (все п! перестановок
равновероятны). Какова вероятность Рп того, что хотя бы один элемент
окажется на своем месте? Найти 1 im Pn.
п-юо
73. Гардеробщица выдала одновременно номерки четырем
лицам, сдавшим в гардероб свои шляпы. После этого она перепутала
все шляпы и повесила их наугад. Найти вероятности следующих
событий:
А = {каждому из четырех лиц гардеробщица выдаст его
собственную шляпу};
В = {ровно три лица получат свои шляпы};
С = {ровно два лица получат свои шляпы};
D = {ровно одно лицо получит свою шляпу};
Е = {ни одно из четырех лиц не получит своей шляпы}.
15

74. Вероятность распада радиоактивного атома за время Д< равна
Ад/. Вероятность распада атома не зависит от того, как долго атом
уже существует не распадаясь. Поэтому А не зависит от времени.
Какова вероятность распада атома за время <? Найти зависимость
между коэффициентом А и временем полураспада Т.
§ 5. Формула полной вероятности.
Формула Байеса
Если событие А может наступить только при появлении одного
из несовместных событий (гипотез) Н\, #2,...,#п, то вероятность
события А вычисляется по формуле полной вероятности:
Р(Л)= Е Р(#0Р(Л|#0,
t=l
где Р(#0 — вероятность гипотезы Щ; Р(А\Н{) — условная вероят-
п
ность события А при этой гипотезе; Е Р(#0 = 1.
С формулой полной вероятности тесно связана формула Байеса.
Если до опыта вероятности гипотез были P(#i), P(#2),...,P(#n), а в
результате опыта появилось событие Л, то с учетом этого события
"новые", т.е. условные, вероятности гипотез вычисляются по
формуле Байеса:
гдеР(Л)= I Р(Я,)Р(Л|Я,).
Формулы Байеса дают возможность "пересмотреть" вероятности
гипотез с учетом наблюдавшегося результата опыта.
75. Имеется два одинаковых ящика с шарами. В первом ящике 2
белых и 1 черный шар, во втором — 1 белый и 4 черных шара.
Наудачу выбирают один ящик и вынимают из него шар. Какова
вероятность, что вынутый шар окажется белым?
76. При помещении в урну тщательно перемешанных п шаров (ш
белых и п-тп черных) один шар неизвестного цвета затерялся. Из
оставшихся в урне п - 1 шаров наудачу вынимают один шар.
Какова вероятность, что вынутый шар окажется белым?
77. В цехе работают 20 станков. Из них 10 марки А, 6 марки В и
4 марки С Вероятность того, что качество детали окажется
отличным, для этих станков соответственно равна 0,9; 0,8 и 0,7. Какой
процент отличных деталей выпускает цех в целом?
16

78. На рис.2 изображена схема
дорог. Туристы вышли из пункта
О выбирая наугад на разветвлении
дорог один из возможных путей.
Какова вероятность того, что они
попадут в пункт А?
79. Имеются две урны: в первой
3 бФлых шара и 2 черных; во вто- пс*
рой 4 белых и 4 черных. Из первой
урны во вторую перекладывают, не глядя, два шара. После этого
из второй урны берут один шар. Найти вероятность того, что этот
шар будет белым.
80. Студент знает не все экзаменационные билеты. В каком
случае вероятность вытащить неизвестный билет будет для него
наименьшей, когда он тащит билет первым или последним?
81. Предположим, что 5% всех мужчин и 0,25% всех женщин
дальтоники. Наугад вцбранное лицо страдает дальтонизмом.
Какова вероятность того, что это мужчина? (Считать, что мужчин и
женщин одинаковое число.)
82. Два стрелка независимо один от другого стреляют по одной
мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность
попадания в мишень для первого стрелка 0,8, для второго — 0,4. После
стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Найти вероятность
того, что в мишень попал первый стрелок.
83. На фабрике, изготовляющей болты, первая машина
производит 25%, вторая — 35%, третья — 40% всех изделий. В их
продукции брак составляет соответственно 5, 4 и 2%.
а) Какова вероятность того, что случайно выбранный болт
дефектный?
б) Случайно выбранный из продукции болт оказался
дефектным. Какова вероятность того, что он был произведен первой,
второй, третьей машиной?
§ 6. Повторение испытаний. Формула Бернулли
и приближенная формула Пуассона
Вероятность того, что в п независимых испытаниях успех
наступит ровно т раз, выражается формулой Я.Бернулли
РпЫ = с% ,v\
где р — вероятность появления успеха в каждом испытании; q =
= A — р) — вероятность неудачи. Эта формула выражает так
называемое биномиальное распределение вероятностей.
17

Вероятности Рп(т) при данном п сначала увеличиваются при
изменении m от 0 до некоторого значения то, а затем уменьшаются
при изменении т от т0 до п. Поэтому ш0 называется наивероятней-
шим числом наступления успеха в п опытах. Это число то равно
целой части числа (п + 1)р. Если число (п + 1)р — целое, то наиве-
роятнейшим является также и число то — 1 с той же вероятностью
Рп(т).
В том случае, когда л велико, а р мало (обычно р<0,1; npq <9),
вместо формулы Бернулли применяют приближенную формулу
Пуассона Рп(т) * р , где А = пр.
Дте-А
Таблица значений функции —|— приведена на с.108. чюрмула
Пуассона используется в задачах, относящихся к редким событиям.
84. Наблюдениями установлено, что в некоторой местности в
сентябре в среднем бывает 12 дождливых дней. Какова веролтность,
что из случайно взятых в этом месяце 8 дней 3 дня окажутся
дождливыми?
85. Что вероятнее выиграть у равносильного противника
(ничейный исход партии исключен): три партии из четырех или пять из
восьми?
86. Изделия некоторого производства содержат 5% браки. Найти
вероятность того, что среди пяти взятых наугад изделий:
а) нет ни одного испорченного;
б) будут два испорченных.
87. Для прядения смешаны поровну белый и окрашенный
хлопок. Какова вероятность среди пяти случайно выбранных волокон
смеси обнаружить менее двух окрашенных?
88. Вероятность получения удачного результата при
производстве сложного химического опыта равна 2/3. Найти наивероятнейшее
число удачных опытов, если общее их количество равно 7.
89. Батарея дала 14 выстрелов по объекту, вероятность
попадания в который равна 0,2. Найти наивероятнейшее число попаданий
и вероятность этого числа попаданий.
90. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле из
орудия равна 0,8. Сколько нужно призвести выстрелов, чтобы
наивероятнейшее число попаданий было равно 20?
91. Всхожесть семян данного сорта растений оценивается с
вероятностью, равной 0,8. Какова вероятность того, что из пяти
посеянных семян взойдут не менее четырех?
92. Вероятность рождения мальчика равна 0,515, девочки -
18

0,485. В некоторой семье шестеро детей. Найти вероятность того,
что среди них не больше двух девочек.
93. C а д € ч а Банаха.) Некий курящий математик носит с
собой две коробки спичек. Каждый раз, когда он хочет достать
спичку, он выбирает наугад одну из коробок. Найти вероятность
того, что когда математик вынет в первый раз пустую коробку, в
другой коробке окажется г спичек (г = 0, 1, 2, ..., п; п - число
спичек, бывших первоначально в каждой из коробок).
94. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва
нити на одном веретене в течение одной минуты равна 0,004. Найти
вероятность того, что в течение одной минуты обрыв произойдет на
пяти веретенах.
95. Средняя плотность болезнетворных микробов в одном
кубическом метре воздуха равна 100. Берется на пробу 2 дм3 воздуха.
Найти вероятность того, что в нем будет обнаружен хотя бы один
микроб.
96. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна
0,001. Найти вероятность попадания в цель двух пуль и более, если
число выстрелов равно 5000.
97. Вероятность того, что любой абонент позвонит на
коммутатор в течение часа, равна 0,01. Телефонная станция обслуживает
800 абонентов. Какова вероятность, что в течение часа позвонят 5
абонентов?
98. Имеется общество из 500 человек. Найти вероятность того,
что у двух человек день рождения придется на Новый год.
Считать, что вероятность рождения в фиксированный день равна
1/365.
99. В наблюдениях Резерфорда и Гейгера радиоактивное
вещество за промежуток времени 7,5 с испускало в среднем 3,87 а?-части-
цы. Найти вероятность того, что за 1 с это вещество испустит хотя
бы одну ch-частицу.
§ 7. Теоремы Муавра - Лапласа
Теоремы Муавра - Лапласа применяются для приближенного
вычисления вероятностей
ш2
Рп(т) = С p**q™ и P{m1</i<m2} = S Рп(т)
т=тх
в п независимых испытаниях Бернулли при больших n, m, ти т2.
Локальная формула. Вероятность того, что в п
независимых испытаниях успех наступит ровно m раз, равна
19

Рп(т) м —L ч>
npq
m - np
inpq .
где p — вероятность появления успеха в каждом испытании, q = ,1 -
1 2
— р, <f(x)=— е'х /2. Таблица функции <р(х) приведена на с.109—ПО.
Интегральная формула. Вероятность того, что в п
независимых испытаниях число успехов /i находится между mi и
Ш2, равна
[fnpq J [fnpq J
где р — вероятность появления успеха в каждом испытании, # = 1 -
1*2
— р, Ф(х) = ( е'*/2сМ - функция Лапласа. Таблица функции
J3
Лапласа приведена на с. 110.
Используя интегральную формулу Муавра — Лапласа, легко
получить формулу
где /i/n - частота появления успеха, р - его вероятность, е -
некоторое положительное число.
Приближенные формулы Муавра - Лапласа применяют
практически в том случае, если р и q не малы, a npq^9.
100. Вероятность появления успеха в каждом испытании равна
0,25. Какова вероятность, что при 300 испытаниях успех наступит:
а) ровно 75 раз? б) ровно 85 раз?
101. В первые классы должно быть принято 200 детей.
Определить вероятность того, что среди них окажется 100 девочек, если
вероятность рождения мальчика равна 0,515.
102. Построить график функции
ф(х) = JL *\ е~*
и доказать, что Ф(- х) + Ф(х) = 1.
103. Какова вероятность того, что в столбике из 100 наугад
отобранных монет число монет, расположенных "гербом11 вверх,
будет от 45 до 55?
104. Производство дает 1% брака. Какова вероятность того, что
20

из взятых на исследование 1100 изделий выбраковано будет не
больше 17?
105. Всхожесть семян данного растения равна 0,9. Найти
вероятность того, что из 900 посаженных семян число проросших будет
заключено между 790 и 830.
1Q6. Вероятность появления успеха в каждом из 625
независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что частота
появления успеха отклонится по абсолютной величине от его
вероятности не более чем на 0,04.
107. Сколько нужно произвести опытов с бросанием монеты,
чтобы с вероятностью 0,92 можно было ожидать отклонение
частоты выпадания "герба11 от теоретической вероятности 0,5 на
абсолютную величину, меньшую чем 0,01.
108. Вероятность появления успеха в каждом из 400
независимых испытаний равна 0,8. Найти такое положительное число ?, что
с вероятностью 0,9876 абсолютная величина отклонения частоты
появления успеха от его вероятности 0,8 не превысит е.
109. Игральную кость бросают 80 раз. Найти приближенно
границы, в которых число /* выпаданий шестерки будет заключено
с вероятностью 0,9973.
§ 8. Случайные величины.
Функция распределения
Пусть ft = {ш} - пространство элементарных событий.
Случайной величиной ? называется функция ?(а>), определенная на
множестве ft, принимающая числовые значения и такая, что для
любого действительного х определена вероятность
Щ) {()}
Эта вероятность ?((<х] = F(x) называется функцией
распределения случайной величины ?
Свойства функции распределения:
1) 0<Л(х)<1;
2) Р{а<?<6} = F(b) - Fte);
3) F(x1)<F(x2), если *i<x2;
4) Я-) = 0. П+~) = I-
Бели ? - дискретная случайная величина, принимающая
значения xi,x2,... с вероятностями ph j>2,..., то функция распределения
где суммируются вероятности тех значений г„ которые меньше х.
Бели ? - непрерывная случайная величина с плотностью
вероятности /(я), то функция распределения
21

Свойства плотности вероятности:
1) /(*)Х);
2) }~f(x)dx=l;
3)/(«) = Г(г);
4) P{a<{<6} = \f(
x)dx.
a
Непрерывная случайная величина задается либо функцией
распределения ^(х), либо плотностью вероятности Да:). Заметим,
что функцию Дх) называют еще плотностью распределения
случайной величины ( или, короче, плотностью случайной величины ?.
Рядом (или законом) распределения дискретной случайной
величины { называют таблицу вида
Pi P2 РЗ
где Xi - возможные значения ?, pi = Р{? = xj; при этом Ер, = 1.
Графическое изображение ряда распределения называется
многоугольником распределения. Для его построения в
прямоугольной системе координат строят точки (xi; pi), (x2, рг),.-- и
соединяют их отрезками прямых.
Простейшим примером случайной величины является
индикатор.
Индикатором события А называется дискретная случайная
величина
/ \ Г1, если и €А9
А — А\ ) ~ |д^ если ^ ^
Ряд распределения индикатора 1\ события А имеет вид
/^0 1
Я Р
где р - вероятность события А в данном опыте, q = 1 - р.
В ряде задач теории вероятностей использование индикаторов
событий позволяет существенно упростить решение.
110. Построить функцию распределения F(x) индикатора /д
события Л, вероятность, которого равна р, и начертить ее график.
111. Дан ряд распределения случайной величины ?:
22

t
p
-2
0.1
-1
0.2
0
0.2
1
0.4
2
0,1
Требуется: а) построить многоугольник распределения;
б) построить функцию распределения F(x) и начертить ее график;
в) найти вероятность того, что величина ( примет значение, не
превосходящее по абсолютной величине 1.
112. В урне 5 белых и 25 черных шаров. Вынули 1 шар.
Случайная величина ? - число вынутых белых шаров. Построить ряд
распределения и функцию распределения F(x) величины ?.
113. Бросают три монеты. Требуется: а) задать случайную
величину ?, равную числу выпавших "решеток"; б) построить ряд
распределения и функцию распределения F(x) величины ?, если
вероятность выпадания "герба" равна 1/2.
114. Построить ряд распределения и функцию распределения
числа попаданий мячом в корзину при двух бросках, если
вероятность попадания равна 0,4. л
115. Из партии в 25 изделий, Среди которых имеются 6
бракованных, выбраны случайным образом 3 изделия для проверки
их качества. Построить ряд распределения случайного числа ?
бракованных изделий, содержащихся в выборке.
116. Случайная величина ? задана функцией распределения:
0, если х<2,
F(x) = (х-2J, если 2<х<3,
1, если х>3.
Найти: а) плотность вероятности /(х); б) вероятность попадания
величины ? в интервал A; 2,5); в) то же, в интервал B,5; 3,5).
117. (Нормальное распределение.) Дана
функция распределения случайной величины
л X 2
Цх) = -J- I e
Найти плотность вероятности /(х) этой случайной величины.
118. (Распределение Кош и.) Функция
распределения случайной величины ? задана формулой
F(x) = А + В arctgr (-~<s<+~).
Найти: а) постоянные А и В; б) плотность вероятности / (х);
в) вероятность того, что величина ? попадет в отрезок [-1; 1].
119. Плотность вероятности непрерывной случайной величины
равна
23

при х<1 ,
/(*) = ] 1/2 при1<*<2,
при х>2.
Построить функцию распределения F(x) и начертить ее график.
120. Случайная величина ? имеет плотность распределения
1- 0 при аг<0,
^ sinx при 0<аг<х,
0 при х>т.
а) Построить функцию распределения F(x); б) найти
вероятность того, что в результате испытания величина ? примет
значение, заключенное в интервале @, т/А).
121. Плотность вероятности случайной величины ? равна
f(x) = Ах*е'Хх (А>0, 0<х<«>).
Найти коэффициент Л; б) построить функцию распределения
F(x); в) вычислить вероятность попадания величины ? в интервал
@, 1/А).
122. (Закон гиперболическог о секанса.)
Плотность вероятности случайной величины ? равна
/(*) = е* + е-* (-<*<+")•
Найти: а) коэффициент А\ б) вероятность того, что в двух
независимых наблюдениях ? примет значения, меньшие единицы.
§ 9. Закон распределения функции
от одной случайной величины
Пусть дискретная случайная величина ? имеет ряд
распределения
Р
Л Р2
и пусть у =< q(x) - монотонная функция от действительного
аргумента х. Тогда дискретная случайная величина »?=?(?), которая
является функцией от ?, имеет ряд распределения
V
24

Если у = q(x) - немонотонная функция, то среди ее значений q(x\),
q(x2)v- могут быть равные. В этом случае столбцы с равными
значениями q(xi) объединяют в один столбец, а соответствующие
вероятности складывают.
Пусть теперь ( - непрерывная случайная величина с функцией
распределения FJx) и плотностью вероятности fJx) и пусть
функция у = q (х) монотонно возрастает, х = q'l(y) - обратная функция.
Тогда
Дифференцируя последнее равенство по у} имеем (если q(x)
дифференцируема)
откуда получаем соотношение между плотностями
Бели у = q(x) - монотонно убывающая функция, то аналогично
получаются следующие соотношения:
F (у) = 1 - FJq~l(y)), f (у) = - />(«(у))(«'1(у)) '•
Случай, когда функция у = ^(г) является монотонной, имеет
основное прикладное значение.
123. Дискретная случайная величина ? имеет ряд распределения
1 3 5
Р 0,4 0,1 0,5
Построить ряд распределения случайной величины t) = 3?.
124. Дискретная случайная величина ? имеет ряд распределения
т/4*/2
0,2 0,7 0,1
Построить ряд распределения случайной величины у = sin?.
125. Дискретная случайная величина ? имеет ряд распределения
-2-10 1 2
0,10,2 0,3 0,3 0,1
25

Построить ряды распределения случайных величин г) = ?2 + j. ? =
= Ш-
126. Непрерывная случайная величина ? имеет плотность / (г).
Найти плотность вероятности случайной величины rj = 3?.
127. Случайная величина ? распределена по нормальному закону
с плотностью вероятности
Найти закон распределения обратной ей величины rj = 1/?.
128. Случайная величина ? имеет показательное распределение с
плотностью вероятности /Лх) = е"х, а^О. Найти функцию
распределения и плотность вероятности случайной величины tf =
= е-«.
129. Случайная величина ^ распределена равномерно в
интервале (—т/2, т/2)- Найти закон распределения случайной
величины 1/ = sin?.
130. Случайная величина ? равномерно распределена на
отрезке [— 1, 2]. Найти плотность вероятности случайной величины
§ 10. Числовые характеристики
случайных величин
Характеристиками положения случайной величины являются
математическое ожидание, мода и медиана.
Средним значением или математическим ожиданием (м.о.)
случайной величины ? называют
<х>
М? = S Х{р{ (для дискретной случайной величины),
М? = \ xf(x)dx (для непрерывной случайной величины),
причем предполагается, что ряд и интеграл сходятся абсолютно.
В этих формулах х, - значения случайной величины, pt - их
вероятности, f(x) - плотность вероятности.
Свойства математического ожидания:
1) МС= С, где С- const;
2) М(С0 = СЩ;
3) M(?±i?) = Mf ± Мц, где ( и *у - любые случайные величины;
26

4) М(?т/) = М? Мт/, если ? н г) - независимые случайные
величины.
Случайные величины ? и q называются независимыми, если для
любых х и у имеет место равенство
Модой (Л/о) дискретной случайной величины называется ее
наиболее вероятное значение. Модой непрерывной случайной
величины называется то ее значение, при котором плотность
вероятности максимальна.
Медианой непрерывной случайной величины ( называется такое
ее значение Afe, для которого
?{«Ме} = ?{(>Ме} = 0,5.
Начальные и центральные моменты Jb-ro порядка случайной
величины ? определяются соответственно формулами
? и ii = if(* -
Второй центральный момент fa называется дисперсией
случайной величины ?:
(для дискретной случайной величины) и
(для непрерывной случайной величины).
Для вычислений удобна следующая формула:
Свойства дисперсии:
1) DC = 0, где С = const;
2) D(Cfl = C^Df;
3) если ? и iy - независимые случайные величины, то
Центральные моменты выражаются через начальные моменты по
следующим формулам:
Я2 =  - "?;
27

Центральные моменты характеризуют рассеяние случайной
величины.
Асимметрия As = /13/63, где S = + JD ? - среднее квадратичное
отклонение случайной величины (. Если распределение
симметрично относительно математического ожидания, то As = 0. Если As>0>
то кривая плотности вероятности имеет "скос" с левой стороны;
если А5<0, то с правой стороны.
Эксцессом случайной величины ? называется величина
Для нормального закона распределения Ek = 0. Величина Ek
характеризует "крутость" кривой плотности вероятности по
сравнению с кривой Гаусса. Для островершинных кривых Ek>0> для
пологих 2?*<0.
Заметим, что размерность величины М? и а совпадает с
размерностью самой случайной величины ?, а размерность D? равна
квадрату размерности ?.
131. Математическое ожидание и дисперсия случайной
величины ? равны соответственно 2 и 10. Найти м.о. и дисперсию
величины 2? + 5.
132. Найти м.о. и дисперсию индикатора 7д события А,
вероятность которого равна р.
133. Найти среднее квадратичное отклонение случайной
величины, заданной законом распределения
3 5 7 9
0,4 0,3 0,2 0,1
134. Число о-частиц, достигающих счетчика в некотором опыте,
является случайной величиной (, распределенной по следующему
закону:
р
0
0,021
1
0,081
2
0,156
3
0,
201
4
0,195
5
0,151
6
0,097
7
0,054
8
0,026
9
0,011
10
0,007
Найти: а) м.о. и дисперсию числа частиц, достигающих
счетчика; б) вероятность того, что число частиц, достигших счетчика, не
меньше четырех.
135. Доказать, что дисперсия числа появлений успеха при
однократном проведении опыта не превосходит 1/4.
28

136. Доказать, что если (и)|- независимые случайные
величины, то
D(t Ч) =
т.е. D(
137. Найти м.о. и дисперсию: а) числа очков, выпадающих при
бросании игральной кости; 6) суммы очков, выпадающих при
бросании п игральных костей.
138. Случайная величина ? имеет биномиальное распределение:
?{( = m} = C*p*q™, т = 0, 1, 2,..,п.
Найти М? и D?.
139. Найти м.о. числа лотерейных билетов, на которые выпадут
выигрыши, если приобретено 40 билетов, причем вероятность
выигрыша равна 0,05.
140. Производятся 20 независимых испытаний, в каждом из
которых вероятность появления успеха равна 0,2. Найти дисперсию
числа появления успеха в этих испытаниях.
141. При 10 000 бросаний монеты "герб11 выпал 5400 раз.
Следует ли считать, что монета несимметрична?
142. (Геометрическое распределени е.).
Стрелок стреляет в цель до тех пор, пока не поразит ее. Вероятность
попадания при отдельном выстреле равна р, результаты выстрелов
можно считать независимыми. Найти м.о., дисперсию и среднее
квадратичное отклонение числа выстрелов.
143. Дискретная случайная величина ? имеет распределение
Пуассона:
Ptt = m} = ^-, m = 0, 1, 2,...:
Найти: а)М? и D?; б) коэффициент асимметрии случайной
величины ?.
144. Определить дисперсию числа атомов радиоактивного
вещества, распадающегося за 1 с, если известны масса вещества т,
период полураспада Т, атомная масса вещества Л, число атомов в
моле АГ0.
145. (Равномерное распределение.) Плотность
вероятности случайной величины ? равна
0 при х<а,
/(*) = 1/F - а) при а<*<&,
0 при х>6.
29

а) Построить функцию распределения F(x) и начертить ее
график; 6) найти м.о., дисперсию и среднее квадратичное отклонение
величины ?.
146. Найти среднее значение и дисперсию произведения двух
независимых случайных величин ( и ty с равномерными законами
распределения: ( в интервале [0, 1], q - в интервале [1, 3].
147. Ребро куба х измерено приближенно, причем а<а<6.
Рассматривая длину ребра куба как случайную величину ?,
распределенную равномерно в интервале (а, 6), найти м.о. и
дисперсию объема куба.
148. Вычислить м.о. и дисперсию определителя
элементы которого &; ~ независимые случайные величины с
= 0 и D&j = *2.
149. Случайная величина ? имеет плотность вероятности
при
/(*) =
О при
Найти М? и D?.
150. (Показательное распределени е.)Случай-
ная величина ( имеет плотность вероятности
0 при *<0,
xt при i>0} A>0.
а) Построить функцию распределения F(t) и начертить ее
график; б) найти М? и D?; в) найти вероятность того, что случайная
величина ? примет значение меньшее, чем ее м.о.; г) найти Р{|( -
151. Точка брошена наудачу внутрь круга радиуса R.
Вероятность попадания точки в любую область, расположенную внутри
круга, пропорциональна площади этой области. Найти функцию
распределения и дисперсию расстояния от точки до центра круга.
152. (Нормальное распределение.) Случайная
величина ? имеет плотность вероятности
2 2
/120 )t
Найти: а) М? и Щ\ б) вероятность того, что ? примет значение,
30

принадлежащее интервалу (а, /?); в) моду и медиану случайной
величины {.
153. Случайная величина ? имеет нормальное распределение с
параметрами а = 0, а = 1. Что больше:
Р{-0,5<?<-0,1} или Р{1<?<2}?
154. Производится взвешивание некоторого вещества без
систематических (одного знака) погрешностей. Случайные
погрешности взвешивания подчинены нормальному закону со
средним квадратичным отклонением <т = 20 г. Найти вероятность
того, что взвешивание будет произведено с погрешностью, не
превосходящей по абсолютной величине 10 г.
155. Случайная величина f - ошибки измерений - распределена
по нормальному закону. Найти вероятность того, что ( примет
значение между - 3<г и 3<т, где а = [Щ - среднее квадратичное
отклонение величины ? (предполагается, что систематические
погрешности отсутствуют).
156. Коробки с шоколадом упаковываются автоматически; их
средняя масса равна 1,06 кг. Найти стандартное отклонение, если
5% коробок имеют массу меньше 1 кг. Предполагается, что масса
коробок распределена по нормальному закону.
157. Доказать, что если случайная величина ( имеет нормальное
распределение, то линейная функция у = А? + В(А ± 0) также
имеет нормальное распределение.
158. (Логарифмически нормальное рас -
пределение.) Плотность вероятности случайной величины ?
равна /(х) = 0 при х < 0 и f(x) = — ^(Ьлт-аJ/ кгр ) при х>о, а
- любое вещественное число, /? - положительное. Найти М? и D(.
159. Распределением х2 (хи-квадрат) с п степенями свободы
называется распределение случайной величины \2 = ($ +...+??, где
(h***>?n " независимые случайные величины, распределенные
нормально с параметрами 0,1. Найти: а) плотность вероятности
случайной величины (|; б) м.о. и дисперсию случайной величины х2.
160. Найти среднюю скорость молекул газа и дисперсию
скорости, подчиненную закону Максвелла:
4А3 2
f(v) = v2e'h v2 при !Й) и /(и) = 0 при КО.
161. В задаче 118 найти: а) М? и D?; б) моду и медиану
случайной величины ?.
31

162. Случайная величина эксцентриситета детали имеет
распределение Рэлея:
F(x\ = 1 - е~х / Bа ) (x?ti\
Найти: а) плотность вероятности случайной величины; б) ее
моду и медиану.
163. Дан ряд распределения случайной величины (:
2 4 6 8
Р 0,4 0,3 0,2 0,1
Найти: а) начальные и центральные моменты первых четырех
порядков; б) асимметрию и эксцесс этой случайной величины.
164. Дана плотность вероятности случайной величины ?;
0, если х<0 ;
C/2)х2, если(Кг<1;
C/2)B-хJ, если 1<х<2;
0, если х>2 .
Найти; а) начальные и центральные моменты первых четырех
порядков; 6) асимметрию и эксцесс этой случайной величины.
§ 11. Двумерные случайные величины.
Формула композиции.
Коэффициент корреляции
Если на одном и том же пространстве элементарных событий П=
= {w} заданы две случайные функции ?(и) и г}(и>)ь то говорят, что
задана двумерная случайная величина (?, rj) или двумерный
случайный вектор ? = (?, rj).
Функция распределения двумерной случайной величины (?, rj)
определяется соотношением
Ц*> У) = Р{*<*, V<y}
и геометрически определяет вероятность попадания случайной
точки (?, rj) в бесконечный квадрат с вершиной в точке (я; у),
лежащий левее и ниже ее.
Закон распределения дискретной двумерной случайной
величины (?, г;) может быть задан с помощью таблицы
32

х2
Ж У2
ftl P12 ИЗ
Р21 Vn VIZ
где pij - вероятность события, заключающегося в одновременном
выполнении равенства ? = х*, rj = у;; при этом.
оо <х>
S S ру = 1.
Для двумерной случайной величины (?, »у) дискретного и
непрерывного типа функции распределения соответственно равны
F(x, у) = S S jty- и F(ar, у) = [ J /(и, v)dtt и dv,
xt<xyj<y -00 -~
где /(х, у) - плотность вероятности величины (f, jy).
Свойства плотности вероятности:
+0О +0О
2) \ I /(», sr)dxdy= 1;
4) вероятность попадания случайной точки
равна
в область D
Случайные величины ? и f/ называются независимыми, если
Для непрерывных независимых величин f и ij двумерная
плотность вероятности /(х, у) = /Дх)/ (у).
Плотность вероятности fc суммы двух независимых случайных
величин называется композицией плотностей /*(х) и / (у) этих
величин. Плотность L (z) можно вычислить по формуле
композиции (или свертки):
33

Для независимых случайных величин ?, г) с дискретным
распределением также имеется формула композиции
где Х{ - точки, в которых Р{? = х,}>0.
Математические ожидания и дисперсии случайных величин ? и
т)> входящих в двумерную величину, определяются по следующим
формулам:
Для дискретных ? и ff
оо оо
М? ~ и Ъ XfPij
оо оо
¦шж у Г»
оо оо
оо оо
Для непрерывных ? и 1J
ме=7 7*/ы<1*
щ=7 7 («-но*
•foo +<x>
dy
»/(«i »)dxdi,
2/(*, »)drd»
Величины a@ = ^D?, a(rj) = ffhf называются средними
квадратичными отклонениями случайных величин ( и у.
Точка (М^, Mi?) называется центром рассеивания двумерной
случайной величины (?, »/).
Важную роль в теории двумерных случайных величин играет
ковариация
Ковариация находится по формулам
cov(?, t,) = Е Цщ -
j
если ? и j/ - дискретные, и
?, ,) = 7 7
dy,
-00 -ОО
если ^ и »у - непрерывные случайные величины.
Ковариация может быть также найдена по формуле
covtf, ,) = 11F Ч) ~
Для характеристики связи между величинами ( и i/ служит
коэффициент корреляции
34

«tt, f) =
Бели случайные величины ? и tj независимы, то #((, rj) = 0. Для
любых двух случайных величин - Кр(?, ty)<l.
Случайные величины ( и jy называются некоррелированными,
если $(?, 1?) = 0.
165. Бросают две игральные кости. Пусть ? - сумма очков,
выпадающих на их верхних гранях. Написать закон распределения
случайной величины ?.
166. Законы распределения числа очков, выбиваемых каждым из
двух стрелков, таковы:
1)
12 3 2)
0,1 0,3 0,6
1
0,2 0,3 0,5
Найти закон распределения суммы очков, выбиваемых двумя
стрелками.
167. По мишени производится один выстрел. Вероятность
попадания равна р. Рассматриваются две случайные величины; ? -
число попаданий; tj - число промахов. Построить функцию
распределения F(x, у) двумерной случайной величины (?, tj).
168. Двумерная случайная величина (?, rj) имеет плотность
вероятности
Найти: а) величину А; б) функцию распределения F (х, у);
в)вероятность попадания случайной точки (?, rj) в квадрат,
ограниченный прямыми х = 0, у = 0, х = 1, у = 1.
169. Случайные величины (, т) независимы и нормально
распределены с М? = Mi/ = 0, D? = Drf = 1. Найти вероятность того, что
случайная точка (?, i?) попадет в кольцо
{(г, у): 2Я*2 +
170. Найти плотность вероятности модуля радиуса-вектора R =
= iB + г?у если случайные величины ( и rj независимы и
распределены по нормальному закону с М? = Mty = 0, D? = Di/ = а2.
171. Определить плотность вероятности системы двух
положительных случайных величин ( и т) по заданной функции
распределения:
Цх, у) = A - е-«)A - е-Иг).
35

172. Доказать, что сумма ( + 7 независимых нормально
распределенных случайных величин ( и 1/ с параметрами соответственно
(ai, <т\) и (о2, <г2) нормально распределена с параметрами a = а\ +
173. Независимые случайные величины ? и т/ распределены
нормально, М? = 2, D? = 4, Mq = - 3, Dg = 9. Написать плотность
вероятности и функцию распределения их суммы.
174. Случайные величины ( и v независимы и распределены по
закону Пуассона:
Найти закон распределения их суммы.
175. Случайные величины ? и у независимы и имеют одно и то
же показательное распределение с плотностью L(x) = / (х) = Ае"-**,
S 7
г>0. Найти плотность Л {г),
176. Случайные величины ? и iy независимы и имеют
равномерное распределение на отрезке [0, 1]: f?(x) =1 при 0< х <1 и / (у) = 1
при 0<#<1. Найти функцию распределения и плотность вероятности
случайной величины р = ? + ^. Построить график функции / (г).
177. Случайная точка (?, iy) на плоскости распределена по
следующему закону:
-1 0 1
0,10 0,15 0,20
0,15 0,25 0,15
Найти числовые характеристики (?, rj).
178. Двумерная случайная величина (?, rj) подчинена закону
распределения с плотностью / (х, у) = Аху в области D и / (х, у) =
= 0 вне этой области. Область D - треугольник, ограниченный
прямыми х+ у - 1 = 0, х = 0, у = 0. Найти: а) величину Л; б) М^ и
Му; в) D^ и Diy; г) cov(?, 9); д) />(е, i?).
179. Привести пример, показывающий, что из равенства нулю
коэффициента корреляции не следует независимость
соответствующих случайных величин.
36

§ 12. Неравенство ПЛ.Чебышева
и закон больших чисел
Неравенство Чебышева. Для любой случайной
величины ?, имеющей конечную дисперсию, и для любого числа
е>0
Это неравенство можно записать в другом виде:
Неравенство Чебышева позволяет оценивать вероятность
отклонения случайной величины ? от своего математического ожидания,
зная лишь D?. Это неравенство оказывается весьма полезным в
различных теоретических исследованиях.
Теорема Чебышева A867 г.). Бели &, ?2>--?п -
последовательность случайных величин, таких, что: 1) они попарно
независимы; 2) имеют конечные дисперсии, ограниченные одной и
той же постоянной С>0 (D?i<C,...D?n<Cr,...), - то, каково бы ни
было ?>0,
Если, в частности, М& = М?2 =...= М?п = ... = а, то
НтР{|- 2^- а\<е} = 1.
Содержание этой важной теоремы состоит в том, что среднее
арифметическое случайных величин &,...,?п ПРИ достаточно
большом п будет (с большой вероятностью) как угодно мало отличаться
от числа - Е М& или от числа а в частном случае. Отсюда следует,
что среднее арифметическое большого числа случайных величин
имеет малое рассеяние. (Происходит это потому, что при
вычислении среднего арифметического случайные отклонения в ту или
другую сторону взаимно уничтожаются, вследствие чего суммарное
отклонение и оказывается малым.)
Теорема Чебышева называется законом больших чисел для
независимых случайных величин и играет существенную роль в
теории обработки физических измерений.
37

180. (Правило "трех сигм11.) Используя неравенство
Чебышева, оценить вероятность того, что любая случайная
величина ( отклонится от своего математического ожидания менее чем на
три средних квадратичных отклонения этой величины.
181. Длина изготовляемых изделий представляет случайную
величину, среднее значение которой (математическое ожидание)
равно 90 см. Дисперсия этой величины равна 0,0225. Используя
неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что: а)
отклонение длины изготовленного изделия от ее среднего значения по
абсолютной величине не превзойдет 0,4; б) длина изделия
выразится числом, заключенным между 89,7 и 90,3 см.
182. Устройство состоит из 10 независимо работающих
элементов. Вероятность отказа каждого элемента за время t равна 0,05.
Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что
абсолютная величина разности между числом отказавших
элементов и средним числом (математическим ожиданием) отказов за
время t окажется меньше двух.
183. Дискретная случайная величина ? задана законом
распределения
0,3 0,6
р
0,2 0,8
Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что
184. Дана последовательность независимых случайных величин
?ь 6,-,(п- Случайная величина (п (п = 1, 2, ...) может принимать
только три значения - Jri, 0, fn с вероятностями, равными
соответственно 1/л, l-2/n, 1/п. Применима ли к этой последовательности
теорема Чебышева?
185. Последовательность независимых случайных величин &,
B>—>(п>*** задана законом распределения:
а -а
яBп+1) ()/(
Применима ли к этой последовательности теорема Чебышева?
§ 13. Однородные цепи Маркова
Пусть {Е\9 #2,-->?г} - множество возможных состояний
некоторой физической системы. В любой момент времени система может
38

находиться только в одном состоянии .С течением времени система
переходит последовательно из одного состояния в другое. Каждый
такой переход называется шагом процесса.
Для описания эволюции этой системы введем
последовательность дискретных случайных величин ?о> Zi,—,(ni»» Индекс п
играет роль времени. Если в момент времени п система находилась в
состоянии Ej, то мы будем считать, что (п = j. Таким образом,
случайные величины являются номерами состояний системы.
Последовательность &>> ?ь—>?п образует цепь Маркова, если для
любого п и любых ко, к\,...,кп
= *Ь> ?l = *b—i?ft-2 = *п-2> ?Л~*1 = 0 =
fUn-l = «).
Для цепей Маркова вероятность в момент времени п попасть в
состояние Ej, если известна вся предыдущая история изучаемого
процесса, зависит только от того, в каком состоянии находился
процесс в момент п - 1; короче: при фиксированном "настоящем"
"будущее" не зависит от "прошлого". Свойство независимости
"будущего" от "прошлого" при фиксированном "настоящем"
называется марковским свойством.
Вероятности
Pij = PUn = j'Un-i = О» Ч = l,2,...,r,
называются вероятностями перехода системы из состояния Е% в
состояние Ej за один шаг.
Цепь Маркова называется однородной, если вероятности
перехода Pijin) не зависят от п, т.е. если вероятности перехода не зависят
от номера шага, а зависят только от того, из какого состояния и в
какое осуществляется переход. Ниже будем рассматривать только
однородные цепи и поэтому вместо ft/n) будем писать р^.
Вероятности перехода р^ удобно располагать в виде квадратной
матрицы. Обозначим ее
Рп Рп — Р
Р21 Р22 ••• Р Г
2г
Рт\ Рп ••• Ртт .
Матрица Р называется матрицей вероятностей перехода
однородной цепи Маркова за один шаг. Она обладает следующими
свойствами: a) ptj > 0; б) для всех it р„ = 1. Квадратные матрицы,
39

для которых выполняются условия а) и 6), называются
стохастическими.
Вектор а = (аь а2,...,аг), где а* = Р(?о = 0, « = 1, 2, ..., г,
называется вектором начальных вероятностей.
Свойства однородных марковских цепей полностью
определяются вектором начальных вероятностей и матрицей вероятностей
перехода. В конкретных случаях для описания эволюции цепи
вместо явного выписывания матрицы [ру] используют граф,
вершинами которого являются состояния цепи, а стрелка, идущая из
состояния Е{ в состояние Ej с числом ptj над ней, показывает, что
из состояния Е{ возможен переход в состояние Ej с вероятностью
Pij. В том случае, когда ру = 0, соответствующая стрелка не
проводится.
Вероятности
называются вероятностями перехода цепи Маркова за п шагов.
Очевидно, р'Л'= pij.
Матрица
W р{г\
называется матрицей вероятностей перехода за п шагов. Можно
показать, что Р(п) = Рп.
Для однородной цепи Маркова при любом т выполняется
равенство
Р (Сп+т = АСт = 0 = P(Cn = Л Со = •)¦
Поэтому можно написать
Р(Сп*« = п С» = 0 = Р(Сп = «I Со = 0 = P\f.
Теорема о предельных вероятностях. Если
(п )
при некотором п0 все элементы pi,° матрицы Рп положительны,
то существуют пределы
40

Предельные вероятности bj не зависят от начального состояния и
являются единственным решением системы уравнений
Физический смысл этой теоремы заключается в том, что
вероятность нахождения системы в состоянии Ej практически не зависит
от того, в каком состоянии она находилась в далеком прошлом.
Цепь Маркова, для которой существуют пределы 6;, называется
эргодической.
Решение (b\, b2,..., br) написанной выше системы называется
стационарным распределением вероятностей для марковской цепи с
матрицей вероятностей перехода Р = [pij].
Бели из состояния Е{ система может перейти в состояние Ej с
положительной вероятностью за конечное число шагов, то говорят,
что Ej достижимо из Е{.
Состояние Е{ называется существенным, если для каждого
состояния Ej, достижимого из Е{, Е% достижимо, из Еу Если же для хотя
бы одного j Ej достижимо из Е{> а Е{ не достижимо из Ej, то Е{ -
несущественное состояние.
186. Пусть {Ей 2?2, Еа] - возможные состояния системы, Р -
матрица вероятностей перехода из состояния в состояние за один
шаг:
Ei
P =
Ei
1
1/2
.2/3
Ег
0
0
0
Ег
0 '
1/2
1/3.
Построить граф, соответствующий матрице Р.
187. На окружности расположены шесть точек Е\, ..., ?6,
равноотстоящих друг от друга. Частица движется из точки в точку
следующим образом. Из данной точки она перемещается в одну из
ближайших соседних точек с вероятностью 1/4 или в диаметрально
противоположную точку с вероятностью 1/2. Выписать матрицу
вероятностей перехода для этого процесса и построить граф,
соответствующий этой матрице.
188. Вероятности перехода за один шаг в цепи Маркова
задаются матрицей
41

р =
О 1/2 1/2 О
1/2 О О 1/2
О 0 1/2 1/2
О
1/2 1/2
Требуется: а) найти число состояний;
б) установить, сколько среди них существенных и
несущественных;
в) построить граф, соответствующий матрице Р.
189. В учениях участвуют два корабля, которые одновременно
производят выстрелы друг в друга через равные промежутки
времени. При каждом обмене выстрелами корабль А поражает корабль В
с вероятностью 1/2, а корабль В поражает корабль А с
вероятностью 3/8. Предполагается, что при любом попадании корабль
выходит из строя. Рассматриваются результаты серии выстрелов. Найти
матрицу вероятностей перехода, если состояниями цепи являются
комбинации кораблей, оставшихся в строю: Е\ - оба корабля в
строю, Ei - в строю корабль Л, Е$ - в строю корабль В, Е4 - оба
корабля поражены.
190. В двух отделениях ящика находятся три шара. Каждую
секунду выбирается случайным образом один из трех шаров и
перекладывается из одного отделения в другое. В качестве
состояния марковской цепи рассматривается число шаров в первом
отделении. Выписать матрицу перехода из состояния в состояние за
один шаг.
191. (Свойство однородност и.) Доказать, что для
однородной цепи Маркова ?п(п = 0,1, ...) при любом т
выполняется равенство
= i\ U = 0 = P«n = j\ *о = 0; I, з = 1, 2,.... г.
192. Доказать, что для однородной цепи Маркова с матрицей
вероятностей перехода Р = [ру] имеют место следующие
соотношения:
193. Даны вектор начальных вероятностей (аь а2, ..., <h) и
переходные вероятности pij (i, j = 1, 2, ..., г) цепи Маркова. Найти
вероятность того, что система через п шагов будет находиться в
состоянии Еу
42

194. Рассмотрим марковскую цепь с двумя состояниями Е\ и Е2
и матрицей вероятностей перехода
^i [1/3
С помощью особого устройства случайного выбора мы выбираем
состояние, с которого начинается процесс. Это устройство выбирает
Е\ с вероятностью 1/2 и ? с вероятностью 1/2. Требуется:
а) найти вероятность того, что после первого шага этот процесс
перейдет в состояние Е\\
б) то же самое для случая, когда это устройство выбирает Е\ с
вероятностью 1/3 и Е2 с вероятностью 2/3.
195. Погода на некотором острове через длительные периоды
времени становится то дождливой (Д), то сухой (С). Вероятности
ежедневных изменений заданы матрицей
д с
ДГ0.7 0,31
Р=с|о,4 0.6J-
а) Бели в среду погода дождливая, то какова вероятность, что
она будет дождливой в ближайшую пятницу?
б) Если в среду ожидается дождливая погода с вероятностью
0,3, то какова вероятность, что она будет дождливой в ближайшую
пятницу?
196. Электрон может находиться на одной из счетного
множества орбит в зависимости от наличной энергии. Переход с t-й
орбиты на jf-ю происходит за одну секунду с вероятностью
Qie"a|Hi(a>0;U= 1,2, ...,00).
Найти: а) вероятности перехода за две секунды; б) постоянные
Ci.
197. Доказать, что если для цепи Маркова с матрицей
вероятностей перехода [ру] в качестве вектора начальных вероятностей
взять предельные вероятности FЬ 62, ..., Ьг), то этот вектор не
будет изменяться со временем.
198. В некоторой местности климат весьма изменчив. Здесь
никогда не бывает двух ясных дней подряд. Бели сегодня ясно, то
завтра с одинаковой вероятностью пойдет дождь или снег. Если
сегодня снег (или дождь), то с вероятностью 1/2 погода не
изменится. Бели все же она изменится, то в половине случаев снег за-
43

меняется дождем или наоборот и лишь в половине случаев на
следующий день будет ясная погода.
Требуется:
а) принимая в качестве состояний цепи различные виды погоды
Д, Я, С, выписать матрицу Р вероятностей перехода;
б) построить граф, соответствующий матрице Р;
в) определить вероятность хорошей погоды через три дня после
дождя;
г) найти предельные вероятности.
199. Даны вектор начальных вероятностей (аь а2, ..., аг) и
переходные вероятности ру (t, j = 1, 2, ..., г) цепи Маркова. Найти
вероятность того, что в моменты времени Hi, n2, ..., п5 состояниями
цепи будут соответственно Е{, Е%, ..., Е{. Здесь моменты времени
1 2 5
не обязательно являются соседними.
200. Матрица вероятностей перехода цепи Маркова имеет вид
Р =
Распределение по состояниям в момент времени t = 0 определяется
вектором @,7; 0,2; 0,1). Найти:
а) распределение по состояниям в момент t = 2;
б) вероятность того, что в моменты i = 0, 1, 2, 3 состояниями
цепи будут соответственно Е\у Е^ Е^ 2?2;
в) стационарное распределение.
201. Доказать, что все стохастические матрицы вида
0,1
0,6
.0,3
0,5
0,2
0,4
0,4
0,2
0,3.
\\- а
а\
- а\
где 0<<*<1, имеют одно и то же стационарное распределение.

Математическая статистика
$ 14. Выборка.
Эмпирическая функция распределения.
Гистограмма
В математической статистике исследуются выводы, которые
могут быть сделаны на основе эмпирических данных.
Пусть имеется случайная величина ? с функцией распределения
F(x). Набор значений &, &, •••» ?п случайной величины ?,
полученных в результате п опытов, называется выборкой объема п.
Предполагается, что опыты произведены в одинаковых условиях и
независимо. Выборку ?i, &> •••> ?п можно рассматривать как п-мерный
случайный вектор, где величины & независимы и каждая из них
распределена так же, как случайная величина ?. Таким образом,
P{fc<*} = F(x) (i = 1, 2, ..., n).
Иногда говорят, что выборка &, ?2> •••> ?п взята из генеральной
совокупности случайной величины f с теоретической функцией
распределения F(x).
Выборка, расположенная в порядке возрастания, называется
вариационным рядом.
Бели выборка объема п содержит г различных элементов z\) z2i
..., zr, причем элемент z% встречается n%i раз, то число тп( называется
частотой элемента Zj, а отношение W( = —- называется относитель-
п
ной частотой элемента Z{. Очевидно, что S Ш{ = п.
Статистическим рядом называется последовательность пар (z*,
mt). Обычно статистический ряд записывается в виде таблицы,
первая строка которой содержит элементы z,, а вторая - их
частоты.
Полигоном частот выборки называется ломаная с вершинами в
точках (zj, mt).
Функцию Fn(x) = —, где п - объем выборки, a it - число
значений f в выборке, меньших х, называют эмпирической функцией
распределения. Функция Fn(x) служит оценкой неизвестной функ-
45

ции распределения F(x)y т.е. Fn(x) ~ F(x). Функция Fn(x) -
неубывающая, ее график имеет ступенчатый вид.
Пусть теперь ( - непрерывная случайная величина с
неизвестной плотностью вероятности / (х). Для оценки / (х) по выборке &,
&> ••*> (п разобьем область значений ( на интервалы Л* (t = 1, 2, ...
..., s). Обозначим через Х{ середины интервалов, а через У{ - число
элементов выборки, попавших в интервал h{. Тогда / (х$ ~ ^- (t =
= 1, 2, ..., s) - оценка плотности вероятности в точке х,. В
прямоугольной системе координат построим прямоугольники с основания-
ми ^ и высотами —f-. Полученная таким образом фигура
называется гистограммой выборки.
202. Записать выборку 5, 3, 7, 10, 5, 2, 10, 7, 2, 7, 7, 4, 2, 4 в
виде: а) вариационного ряда; б) статистического ряда.
203. Построить полигон частот выборки, представленной в виде
статистического ряда:
aL
*
20 10 14 б
б)
Щ
10
1
204. Найти эмпирическую функцию распределения для
выборки, представленной статистическим рядом:
щ
1
б
10 15 25
205. Найти эмпирическую функцию распределения для
выборки, представленной статистическим рядом:
2 5 7 8
щ
4
5
1
3
7
2
2
8
3
46

206. Построить гистограмму выборки, представленной в виде
таблицы частот. Объем выборки п = 55.
Номер интервала
t
1
2
3
4
5
6
7
Границы интервала
Ц+ЧЛ
10-12
12-14
14-16
16-18
18-20
20-22
22-24
Число элементов выборки,
попавших в интервал щ
2
4
8
12
16
10
3
207. Построить гистограмму выборки, представленной в виде
таблицы частот. Объем выборки л = 100.
Номер интервала
t
i
2
3
Границы интервала
0-2
2-4
4-6
Число элементов выборки,
попавших в интервал
20
30
50
§ 15. Точечные оценки
неизвестных параметре» распределения
Пусть &, ?2» •••> 61 " наблюдавшиеся значения случайной
величины ?.
Точечной оценкой для М? служит выборочное среднее
Оценкой для D? является выборочная дисперсия
47

Для оценки D? при малых п используется также величина
4 ^2 Л
п -
~ О2-
Корень квадратный из выборочной дисперсии называется
выборочным средним квадратичным отклонением величины ?.
Заметим, что при вычислении оценки по результатам
конкретной выборки вместо случайных величин &, &> .••> (п подставляют
их конкретные числовые значения: (\ = si, & = *2> •••> ?п = *п«
208. Оценка 9 (&, &, —> ?п) параметра в называется
несмещенной, если Мв(&, 6, ••, (п) = Л Доказать, что ? = -
n
п
S
-
г S (^, - О2 являются несмещенными оценками для матема-
П - 1 t'sl
тического ожидания и дисперсии.
209. В результате пяти измерений длины стержня одним
прибором (без систематических погрешностей, т.е. предполагается, что
м.о. измерений & совпадают с истинной длиной) получены
следующие результаты (мм): & = 92, B = 94, ?3 = ЮЗ, ?4 = Ю5, 6 = Ю6.
Найти: а) выборочную среднюю длину стержня; б) выборочную
дисперсию и несмещенную оценку дисперсии ошибок прибора.
210. Ниже приведены результаты измерения роста (см) случайно
отобранных 100 студентов:
Рост
Число
студентов
154-158
10
158-162
14
162-166
26
166-170
28
170-174
12
174-178
8
178-182
2
Найти выборочное среднее и выборочную дисперсию роста
обследованных студентов.
Указание: найти середины интервалов и принять их в
качестве значений.
211. На телефонной станции производились наблюдения за
числом неправильных соединений в минуту. Наблюдения в течение
часа дали следующие результаты:
1, 3, 2, 7, 2, О,
0, 1, 3, 3, 1, 2,
4, 2, 0, 2, 3, 1,
2, 5, 1, 1, 0, 1,
1, 2, 2, 1, 1, 5.
3,
2,
2,
3,
1,
1,
4,
0,
1,
2,
3,
0,
2,
4,
1,
4,
3,
1,
2,
0,
2,
0,
4,
2,
3,
1,
2,
3,
1,
4,

Найти среднее и дисперсию распределения. Сравнить
распределение вероятностей с распределением Пуассона.
212. Измерен параметр транзистора, результаты измерений
приведены в таблице:
Номер транзистора
Значение
параметра
Номер транзистора
Значение
параметра
1
4,40
11
4,32
2
4,31
12
4,42
3
4,40
13
4,60
4
4,40
14
4,35
5
4,65
15
4,50
6
4,56
16
4,40
7
4,71
17
4,43
8
4,54
18
4,48
9
4,34
19
4,42
10
4,56
20
4,45
Найти выборочное среднее значение параметра, выборочную
дисперсию и ее несмещенную оценку.
213. Измерительным прибором, практически не имеющим
систематической погрешности, было сделано пять независимых
измерений некоторой величины. Результаты измерений приведены
в таблице:
Номер измерения
1
2781 2836 2807 2763 2858
а) Найти выборочную дисперсию погрешности измерения, если
измеряемая величина точно известна: 2800; б) найти выборочное
среднее, выборочную дисперсию и ее несмещенную оценку, если
точное значение измеряемой величины неизвестно.
214. При шприцевании в лабораторных условиях протекторной
резиновой смеси были получены следующие значения усадки: 90,0;
93,1; 95,0; 95,0; 96,0; 100,0; 101,0; 106,0. Найти выборочное среднее
значение усадки, выборочную дисперсию и ее несмещенную оценку.
215. (М етод наибольшего правдоподобия.)
Пусть ? - дискретная случайная величина и пусть вероятность
Р(?= Х{) = р(х{\ 0), где t = 1, 2, ..., п, в - неизвестный параметр
распределения. Функцией правдоподобия (для выборки &, &• —
..., ?я) называется функция аргумента в:
Щи 6, .., 6»; 9) = р(&; в) ... р (?„, 9).
За точечную оценку параметра в берут такое его значение 0, при
котором функция правдоподобия достигает максимума.
49

Функции L и ln? достигают максимума при одном и том же
значении 0, поэтому вместо отыскания максимума функции L ищут
(что удобнее) максимум функции lni.
Бели ? - непрерывная случайная величина, имеющая плотность
вероятности ]{х\ 0), то функция правдоподобия определяется
соотношением
При п = 100 испытаниях по схеме Бернулли было получено m =
= 65 успехов. Используя метод наибольшего правдоподобия,
оценить р - вероятность успеха в отдельном испытании. (Здесь роль
неизвестного параметра в играет величина р.)
216. Используя метод наибольшего правдоподобия (см. задачу
215), оценить параметр А показательного распределения
/(*) = Ае-** @< * <+~),
если в результате п независимых испытаний случайная величина
приняла значения &, ?2> •¦•> (п*
217. Используя метод наибольшего правдоподобия (см. задачу
215), оценить параметры а и S2 нормального распределения, если в
результате п независимых испытаний случайная величина ?
приняла значение &, &, ., 6i-
§ 16. Метод доверительных интервалов
для оценки неизвестных параметров
Доверительным называется интервал, который с заданной
доверительной вероятностью 1 - а покрывает оцениваемый
параметр.
Для оценки математического ожидания а случайной величины; ?,
распределенной по нормальному закону, при известной дисперсии
D? = S2 служит доверительный интервал
A
- 1 п 6
где ( =s — S & ~ выборочное среднее; А точность оценки; п —
. Пы "ft
объем выборки; А - такое значение аргумента функции Лапласа
Ф(х), при котором 2Ф(-А ) = а.
Бели дисперсия Щ неизвестна, то для оценки М? = а служит
доверительный интервал
50

«Л
\ п
=- ^ F ~ О2 ~ оценка среднего квадратичного отк-
» " 1 i
лонения 6 величины ?, а / находят по табл.5 по заданным п и а
(см. с.112).
218. В течение продолжительного срока при анализе данного
материала на содержание железа установлено стандартное
отклонение 0,12%. Найти с доверительной вероятностью 0,95
доверительный интервал для истинного содержания железа в образце, если по
результатам 6 анализов среднее содержание железа составило
32, 56%.
219. Выборка из большой партии электроламп содержит 100
ламп. Средняя продолжительность горения лампы из выборки
оказалась равной 1000 ч. Найти с доверительной вероятностью 0,95
доверительный интервал для средней продолжительности горения
лампы всей партии, если известно, что среднее квадратичное
отклонение продолжительности горения лампы 6 = 40 ч.
220. Станок-автомат штампует валики. По выборке объема п =
= 100 вычислено выборочное среднее диаметров изготовленных
валиков. Найти с доверительной вероятностью 0,95 точность, с
которой выборочное среднее оценивает м.о. диаметров
изготовляемых валиков, зная, что их среднее квадратичное
отклонение 6 = 2 мм.
221. Произведено пять независимых измерений толщины
пластины. Получены следующие результаты: 2,15; 2,18; 2,14; 2,16; 2,17.
Оценить истинное значение толщины пластины с помощью
доверительного интервала с доверительной вероятностью 1 - а = 0,95.
222. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема п=
= 10:
щ
-2
2
1
1
2
2
3
2
4
2
5
1
Оценить с доверительной вероятностью 0,95 математическое
ожидание М нормально распределенного признака генеральной
совокупности по выборочному среднему с помощью доверительного
интервала.
223. Произведено пять независимых равноточных измерений для
определения заряда электрона. Получены следующие результаты
(Кл): 1,594-Ю-19; 1,597-10-"; 1,593-10-"; 1,590-10». Определить
51

оценку величины заряда электрона и найти доверительные
границы при доверительной вероятности 99%.
§ 17. Выборочный коэффициент корреляции.
Линейная регрессия
Пусть при проведении некоторого опыта наблюдаются две
случайные величины ? и у. Тогда п независимых повторений опыта
дадут п пар наблюдавшихся значений (&, гц), (&, Ы, •••> Fi> Vn)-
Каждая из этих пар распределена так же, как (?, ty).
Выборочная ковариация &(?, ?/) величин ? и j/ определяется
формулой
ке,*) = ? i
где | = - E h V = -r S i/i.
n i»i n ,«1
Выборочные дисперсии:
= i 2 и* - oa = J 2 e! -12,
П ji П jl
2,5?.
n t«i
Выборочный коэффициент корреляции
Чем ближе | r(?, iy)| к единице, тем сильнее связь между ? и
Выборочный коэффициент регрессии JJ на ?
Выборочное уравнение прямой линии регрессии iy на
у - п = kit - О-
Выборочный коэффициент регрессии ? на ij
Выборочное уравнение прямой линии регрессии ? на
52

224. Дана таблица результатов наблюдений
2 4 6 8 10
3,5 6,0 7,0 6,0 7,5
Найти выборочный коэффициент корреляции.
225. Через & обозначен предел текучести стали, через д2 -
предел прочности стали; г) - процентное содержание углерода в стали.
В результате 79 опытов получена корреляционная таблица величин
02
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0,5
0
0
2
21
1
0,6
2
4
12
14
0
0,7
0
2
3
0
0
0,8
8
9
1
0
0
Целые числа, приведенные в таблице, являются кратностями
значений соответствующих случайных точек. Например, число 14
показывает, что в 14 опытах случайная точка (?, ?/) приняла
значение @,8; 0,6). Требуется определить выборочный коэффициент
корреляции и уравнение прямой линии регрессии т\ на f.
226. Сырье, поступающее на завод из карьера, содержит два
полезных компонента - минералы А и Б. Результаты анализов
десяти образцов сырья, поступившего в разное время из разных
мест карьера, приведены в таблице, где ? и т\ - соответственно
процентное содержание минералов А и Б в образцах.
Номер образца
п
1
67
24
2
54
15
3
72
23
4
64
19
5
39
16
6
22
11
7
58
20
8
43
16
9
46
17
10
34
13
Найти выборочный коэффициент корреляции и уравнения прямых
регрессии rj и ? и ? на rj.
53

§ 18. Метод наименьших квадратов
Метод наименьших квадратов применяется для оценки
параметров функциональной зависимости между переменными х и у. Вид
функциональной зависимости у = / (х) считается известным. Пусть
получено п пар значений (х$, ад), где х* - значения аргумента, ад -
- значения функции. Тогда параметры аппроксимирующей
функции у = / (х) выбирают так, чтобы обратилась в минимум
сумма Q = S [ад - /(xj)]2. Если, в частности, у = а + 4х, то
- (а
Дифференцируя Q по а и Ь, получаем
.Efot - a - bxt] = 0,
S [ад - a - 6xj]xj = 0,
или
? ад - ап - 6 Ех, = О,
i i
t=i
Е x^j - a S Xt - ft S 4 = 0.
.t=l t = l i=l
Из последней системы находим а и 6, и задача решена. Таким же
способом можно найти коэффициенты параболы у = а + Ьх + сх2 и
многих других кривых.
227. Данные опыта приведены в таблице
*t
2 4 6 8 10
щ 4,5 7,0 8,0 7,5 9,0
Полагая, что х и у связаны зависимостью вида у = а + Ьху найти
коэффициенты аи Ь способом наименьших квадратов.
228. В книге "Основы химии11 Д.И.Менделеева приводятся
данные о растворимости азотнокислого натрия NaNC>3 в зависимости от
температуры воды. В 100 частях воды растворяется следующее
число условных частей NaNOe при соответствующих температурах:
0 4 10 15 21 29 36 51 68
66,7 71,0 76,3 80,6 85,7 92,9 99,4 113,6 125,1
54

Через х и rf обозначены соответственно температура раствора и
количество NaNOe- Предполагая, что количество NaNOe, которое
растворяется в 100 частях воды, зависит линейно от температуры
раствора, найти параметры а и Ь в формуле у = а + Ьх с помощью
метода наименьших квадратов.
229. Данные опыта приведены в таблице
0 2 4 6 8 10
т
5 -1 0,5 1,5 4,5 8,5
Полагая, что х и у связаны зависимостью у = а 4- Ьх + сх2у найти
коэффициенты а, Ь и с способом наименьших квадратов.
230. При исследовании некоторой химической реакции через
каждые 5 мин определялось количество А вещества, оставшееся в
системе. Результаты измерений приведены в таблице, где t - время
после начала реакции в мин; А - количество вещества в процентах:
t
А
0
100
7
87
,3
12
72,9
17
63,2
22
54,7
27
47,5
32
41,4
37
36,3
1) Полагая, что t и А связаны зависимостью А = а + Ы + сР,
найти коэффициенты а, Ь и с способом наименьших квадратов.
2) Определить, какой процент вещества остается в системе по
истечении 25 мин после начала реакции.
§ 19. Статистическая проверка гипотезы
о законе распределения.
Критерий х2 (хи-квадрат)
Пусть гипотеза Яо состоит в том, что выборка &, ?2> •••> ?п
объема п соответствует случайной величине ? с функцией
распределения F0(x). Для статистической проверки этой гипотезы
используется так называемый критерий х2- Разобьем числовую ось на г непе-
г
ресекающихся интервалов h\} ..., Лг, U At = (-оо, оо). Положим pi =
t=i
= P{?€ftj}, i = 1, 2, ..., г. Эти вероятности вычисляются по
известной функции Fo(x). Обозначим через V{ число элементов &
выборки, попавших в интервал Л*. За меру отклонения распределения
выборки от гипотетического F0(x) принимается величина
55
= ? in!- п.
t=l ПР( t=l nPi

К.Пирсон доказал, что в случае справедливости гипотезы #о
распределение случайной величины х2 ПРИ я -> » сходится к
распределению \2сг ~ 1 степенями свободы. Зададим деверь
уровень значимости а, т.е. вероятность столь малую, что событие с
такой вероятностью будем считать практически невозможным при
одном данном испытании. Обычно полагают а = 0,05 или а = 0,01.
Находим по таблице распределения x2cr ~ 1 степенью свободы
такое значение \2 *> что Р{*2>Х2 А = а. Далее вычислим
по имеющейся выборке значение
Если при этом окажется Х2>Х2 *> т° такое отклонение
ОуГ - 1
значимо и мы с уровнем значимости а отвергаем гипотезу Я$, кик
не согласующуюся с опытными данными. Бели же в результате
вычислений получим х2<у2 <> то это значит, что данная
я,г - 1
выборка согласуется с гипотезой Hq. В приложениях интервал hi
(г = 1, 2, ..., г) выбирают так, чтобы число элементов выборки в
каждом из них было не очень маленьким, например np^l.
Бели распределение ^о(^) зависит от неизвестных параметров, то
вероятности pi = P{^G^J вычисляют, заменяя параметры их
достаточно хорошими оценками (например, оценками наибольшего
правдоподобия). В этом случае г - 1 должно быть уменьшено на
число неизвестных параметров.
Таблица функции \2 приведена на с.111—112.
СкТП
231. При п = 4040 бросаниях монеты Бюффон подучил V\ =
= 2048 выпаданий "герба11 и п - v\ =• v% s= 1992 выпаданий
"решетки". Совместимы ли эти данные с гипотезой Но о том, что монета
была правильной, т.е. что вероятность выпаданий "герба11 р = 1/2?
Принять а = 0,05.
232. Часы, выставленные в витринах часовых мастерских,
показывают случайное время. Некто наблюдал показания 500 часов
и получил следующие результаты:
01234 567 89 10 И
41 34 54 39 49 45 41 33 37 41 47 39
где i - номер промежутка от t-ro часа до (i + 1)-го, г = 0, 1, ..., 11,
a Pi - число часов, показания которых принадлежали t-му
промежутку.
56

Согласуются ли эти данные с гипотезой Яо о том, что показания
часов равномерно распределены на интервале @, 12)? Принять а =
= 0,65.
233. В книге "Математические методы статистики" Г.Крамер
приводит следующие данные распределения толщины ({) 12 000
бобов:
ЦЩЩ> Hflfpr
Частота
Номер интер-
ЧдСТОТШ
1
32
»
1638
2
103
10
изо
3
230
и
737
4
624
12
427
5
1187
13
221
6
1650
14
110
7
1883
15
57
8
1930
16
32
В таблице первый интервал - значения ?, меньшие 7,00 мм,
второй — 7,00 - 7,25, третий - 7,25 - 7,50 и т.д. Проверить, согласуется
ли толщина бобов в выборке, предполагая, что этот признак в
гещеральной совокупности распределен по нормальному закону.
&**чи*ости а принять равным 0,01.
Распределение числового признака ? в выборке
определяется следующей таблицей:
3,0-3,6 3,6-4,2 4,2-4,8 4,8-5,4 5,4-6,0 6,0-6,6 6,6-7,2
35
43
22
15
Ори уровне значимости а = 0,01 проверить гипотезу о
нормальности распределения ( в генеральной совокупности.
336. Через равные промежутки времени в тонком слое раствора
золота регистрировалось число частиц золота, попадавших в поле
зрения микроскопа. В результате наблюдений было получено
следующее эмпирическое распределение:
0 1 2 3 4 5 6 7
щ 112 168 130 68 32 5 11
В первой строке приведено число ?, частиц золота, а во второй
строке - частота j/t, т.е. число интервалов времени, в течение кото-
pfitx в Поле зрюния попало ровно ?, частиц; объем выборки п =
« S*t а 517.
Проверить, используя критерий %2, согласие с законом
распределения Пуассона, приняв за уровень значимости а = 0,05.

Общий раздел
236. Три дороги соединяют города А и В, две дороги соединяют
города В и С. Сколькими способами можно совершить поездку из
Аъ С через В?
237. (Размещение различимых шаров по
ящикам.) Сколькими способами можно разместить г
различимых шаров по п ящикам?
238. Учащемуся необходимо сдать три экзамена на протяжении
семи дней. Сколькими способами это можно сделать, если известно,
что последний экзамен будет сдаваться на седьмой день?
Предполагается, что в один день сдается не более одного экзамена.
239. Сколько разных комбинаций (слов) можно образовать из
всех букв слова гипербола? Сколько среди них таких, в
которых буквы Г и И стоят рядом? В каких словах эти буквы не стоят
рядом?
Замечание. Под "словом11 здесь понимается любое
размещение из букв. Такое "слово" не обязательно является словом
какого-либо языка.
240. Номер автомобиля состоит из двух букв, за которыми
следует трехзначное число. Сколько существует таких автомобильных
номеров?
241. Из 10 роз и 8 георгинов нужно составить букет так, чтобы в
нем были 2 розы и 3 георгина. Сколькими способами можно
составить такой букет?
242. Сколько подмножеств имеет множество из п элементов
(включая пустое подмножество и само данное множество)?
243. В группе 9 человек. Сколько можно образовать разных
подгрупп при условии, что в подгруппу входит не менее 2 человек?
244. (Размещение неразличимых шаров по
ящикам). Доказать, что всего существует С^^х различных
способов размещения г неразличимых шаров по п-ящикам.
245. Пусть / (a?i, х2) ..., хп) - аналитическая функция п
переменных. Сколько у нее существует различных производных г-го
порядка?
58

246. Чему равно число результатов совместного бросания f\
неразличимых игральных костей и г2 неразличимых монет?
247. В урне т белых и п-т черных шаров. Из урны зынимаются
сразу два шара. Найти вероятность того, что эти шары разных
цветов.
248. Игральную кость бросают три раза. Какова вероятность
того, что все выпавшие грани окажутся различными?
249. Бросается монета 6 раз подряд. Найти вероятность того,
что четыре раза выпадает "герб11 и два раза - "решетка".
250. Некто купил карточку Спортлото и отметил в ней 6 из
имеющихся 49 номеров, после чего в тираже разыгрывается 6
"выигравших" номеров из 49. Найти вероятности следующих событий:
А3 — {верно угаданы 3 выигравших номера из 6},
А6 — {верно угаданы все 6 номеров}.
251. Ребенок играет с 10 буквами разрезной азбуки А, А, А, Б,
И, К, М, М, Т, Т. Какова вероятность того, что при случайном
расположении букв в ряд он получит слово МАТЕМАТИ -
К А?
252. Наудачу взятый телефонный номер состоит из 5 цифр. Как
велика вероятность того, что в нем: а) все цифры различные? б) все
цифры нечетные?
253. Группа, состоящая из 2 п мальчиков и 2 п девочек, делится
случайным образом на две равные части. Найти вероятность того,
что в каждой части число мальчиков и девочек одинаково.
Вычислить эту вероятность, используя формулу Стерлинга.
254. г элементарных частиц регистрируются п счетчиками,
причем каждая из частиц может с одинаковой вероятностью попасть в
любой из счетчиков. Найти вероятность того, что все частицы
разместятся по одной в этих счетчиках (т^п).
255. На плоскости начерчены параллельные прямые,
находящиеся друг от друга на расстоянии 2 а. На плоскость наудачу брошена
монета радиуса г<а. Какова вероятность того, что монета не
пересечет ни одной из прямых?
256. Два корабля должны подойти к одному и тому же причалу.
Время прихода обоих кораблей независимо и равновозможно в
течение данных суток. Определить вероятность того, что одному из
кораблей придется ожидать освобождения причала, если время
стоянки первого корабля один час, а второго - два часа.
257. Однородный прямой круговой конус с высотой Л и
радиусом основания г случайно бросается на горизонтальную
плоскость. Найти вероятность того, что конус упадет на основание.
258. В семье двое детей. Какова вероятность того, что оба ре-
59

бенка мальчики в предположении, что : а) старший ребенок -
мальчик; б) по крайней мере один из детей - мальчик?
259. Пусть события А\у А2,...,Ап независимы и имеют
одинаковую вероятность, равную р. Найти вероятность того, что произошло
ровно к событий.
260. Пусть события А\, А2, •••> Ап - случайные события.
Доказать равенства:
a) AXUA2U ...lL4n = Ах А2 ... Ап;
б) Ах А2 ... Ап = AX\JA2U ...LL4n.
261. Доказать, что для любых событий А и В
P(AUB) = Р(А) + Р(Б) - Р(ЛЯ).
262. Монету бросают до тех пор, пока не появится подряд два
"герба" или две "решетки". Найти вероятность события А =
{понадобится не более трех бросаний}.
263. В урне т белых и п - т черных шаров. Из урны
вынимается один шар, отмечается его цвет и шар возвращается в урну.
После этого из урны берется еще одни шар. Найти вероятность того,
что оба вынутых шара будут разных цветов.
264. В урне два белых и три черных шара. Два игрока
поочередно вынимают из урны по одному шару, не возвращая их
обратно. Выигрывает тот, кто раньше получит белый шар. Найти
вероятность того, что выиграет первый игрок.
265. Пусть п человек, в том числе Л и Б, располагаются в ряд в
случайном порядке. Найти вероятность того, что между А и В
будут стоять ровно г человек.
266. Охотник выстрелил три раза по удаляющейся цели.
Вероятность попадания в нее в начале стрельбы равна 0,8, а после
каждого выстрела уменьшается на 0,1. Найти вероятность событий:
А = {охотник промахнулся все три раза};
В = {попадает хотя бы один раз};
С = {попадает два раза}. '
267. Три письма раскладываются случайно по трем конвертам с
адресами. Найти вероятность того, что хотя бы рдно письмо
попадет в свой конверт.
268. Выбирают наудачу один член разложения определителя п-
го порядка. Какова вероятность Рп того, что он не содержит
элементов главной диагонали?
269. Доказать формулу
P(AUB\C) = Р(А\С) + Р(В|С)- Р(АВ\С).
270. Доказать: а) формулу полной вероятности, 6) формулу
Байеса.
60

271. В первой урне содержится а белых шаров и Ь черных; во
второй - с белых и d черных. Из каждой урны наудачу извлекают
по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу берут один.
Какова вероятность того, что этот шар белый?
272. Имеется п урн, в каждой из которых а белых шаров и Ь
черных. Из первой урны во вторую перекладывают один шар,
затем из второй в третью один шар и т.д. Затем из последней урны
извлекают один шар. Найти вероятность того, что он белый.
273. Некоторое изделие выпускается двумя заводами. При этом
объем продукции второго завода в Jb раз превосходит объем
продукции первого. Доля брака у 1-го завода р\} у 2-го - рг» Изделия,
выпущенные заводами за одинаковый промежуток времени,
перемешали и пустили в продажу. Какова вероятность того, что некто
приобрел изделие 2-го завода, если оно оказалось бракованным?
274. Распределение вероятностей, определяемое формулой
PW=g^m = 0l2
называется распределением Пуассона.
Показать, что в распределении Пуассона вероятность Р(т)
достигает своего наибольшего значения, если m - наибольшее целое
число, не превосходящее А.
275. (Полиномиальное распределение.) Пусть
производится п независимых испытаний, в каждом из которых
может наступить только один из г исходов 1, 2, ..., г соответственно
с вероятностями р\, р2, ..., рг-
Найти вероятность события А = {среди п испытаний исход 1
появится mi раз, исход 2 - шг раз, ..., исход г - тг раз}.
276. Бросаются 12 игральных костей. Найти вероятность того,
что каждая грань выпадет два раза.
277. На отрезок [0, 10] наудачу брошено 5 точек. Найти
вероятность того, что две точки попадут в [0, 2], одна - в [2, 3], две - в [3,
10].
278. Игральная кость бросается 6 раз. Найти вероятность того,
что на верхней грани три раза появится четное число, два раза -
число 5, один раз - 1 или 3.
279. В круг вписан квадрат. Какова вероятность того, что из 10
точек, брошенных наудачу независимо одна от другой внутрь
круга, четыре попадут в квадрат, три - в один сегмент, по одной - в
оставшиеся три сегмента?
280. В урне имеется 3 шара: черный, красный и белый. Из урны
вынимаются 5 раз по одному шару, причем вынутый шар каждый
раз возвращается обратно и шары перемешиваются. Найти вероят-
61

ность того, что среди вынутых шаров черный и белый шары
встречаются не менее чем по два раза каждый.
281. Рабочий производит с вероятностью 0,9 годное изделие, с
вероятностью 0,09 - изделие с устранимым браком, с вероятностью
0,01 - с неустранимым браком. Произведено три изделия.
Определить вероятность того, что среди них хотя бы одно годное изделие
и хотя бы одно с устранимым браком.
282. Последовательность исходов полиномиальной схемы с п =
= 10, в каждом испытании которой каждый из исходов 0, 1, 2, ..., 9
появляется с вероятностью 1/10, называют случайными числами.
Найти вероятность того, что среди 10 однозначных случайных
чисел ровно 4 четных числа и 2 нечетных числа, кратных 3.
283. В партии из п = 22 500 изделий каждое изделие
независимо от других может быть бракованным с вероятностью р = 1/5.
Найти вероятность того, что число ц бракованных изделий
заключено между 4380 и 4560.
284. Монета брошена 2 п раз (п велико). Найти вероятность
того, что "герб11 выпадет ровно п раз.
285. Натуральный логарифм некоторой случайной величины ?
распределен по нормальному закону с математическим ожиданием а
и средним квадратичным отклонением о. Найти плотность
распределения величины ?.
286. Имеется непрерывная случайная величина ? с плотностью
f(x). Найти закон распределения случайной величины
+ 1 при * > 0,
0 при ( = 0,
- 1 при * < 0
и ее числовые характеристики.
287. Вычислить центральный момент n-го порядка нормального
распределения с математическим ожиданием а и дисперсией а2.
288. Доказать, что асимметрия и эксцесс для нормального
распределения равны нулю.
289. (Характеристическая функция.)
Характеристической функцией случайной величины f называется функция
<p(t) = Ме*«, - оо<Коо.
а) Доказать, что если у=а?+Ь(аи6- постоянные), то <р (*)=
= <pJut)eibt} где <р (t) и <pJt) - характеристические функции
случайных величин г) и ?.
62

б) Доказать, что характеристическая функция суммы двух
независимых случайных величин равна произведению их
характеристических функций.
290. Бели ( - дискретная случайная, то ее характеристическая
оо
функция <p(t) = E eitxk рь где х* - значения случайной величины,
Pk - соответствующие им вероятности, Jfe = 1, 2, ..., п.
Бели ? - непрерывная случайная величина с плотностью распре-
оо
деления /(х), то <p(t) = jeux j(x)dx.
Вычислить характеристические функции для следующих
законов распределения:
а) равномерного распределения в интервале (- а, а);
б) биномиального распределения Р(? ="m) = C*? yPq**"*, т = 0,
1, ..., п;
\т
в) распределения Пуассона Р(? = т) = —j- е"Л, m = 0, 1, 2, ...;
г) распределения Коши /(г) = — ¦
xl + х»
д) показательного распределения / (х) = ае'ах при х>0 и / (х) =
= 0 при х<0, а>0;
(х-аJ
е) нормального распределения /(х) = е 2а2 .
сг |2т
291. Случайная величина ( - число попаданий при одном выст^-
реле. Вероятность показания равна р. Найти характеристическую
функцию случайной величины ?.
292. Пусть независимые случайные величины ? и г) имеют
плотности вероятности fix) и / (у). Доказать формулу композиции
293. Случайная величина ? принимает значения 0 и 1, а
случайная величина rj - значения - 1, 0 и 1. Вероятности Р{? = i, i/ = j}
задаются следующей таблицей:
1 \
0
1
j
-1
1/16
1/16
0
1/4
1/4
1
1/16
5/16
63

Найти распределение случайной величины (=A7.
294. Независимые случайные величины ? и if распределены по
нормальному закону и имеют плотности вероятности fix) =
е~х2/2 и f (у) — erv2f2. Найти плотность вероятности
случайной величины ? = ?//?.
295. Доказать неравенство Чебышева.
296. Используя неравенство Чебышева, доказать теорему
Чебышева.
297. (Теорема Я. Бернулли). Пусть ц - число успехов
в п независимых испытаниях,, р - вероятность появления успеха в
каждом отдельном испытании. Тогда для любого числа е>0 имеем
lim Р{|— - — р| < е} = 1. Доказать теорему Бернулли как
следствие теоремы Чебышева.
298. Пусть ( - 0,8; 2,8; 4,4; - 5,6; 1,1; - 3,2) - наблюдавшиеся
значения случайной величины ?. Построить эмпирическую
функцию распределения Fq(x) и проверить, что F6(- 5) =1/6; Fe@) =1/2;
F6D)= 5/6. Вычислить выборочные среднее и дисперсию.
299. На экзамене по данному предмету экзаменатор задает
студенту только один вопрос по одной из четырех частей курса. Из
100 студентов 26 получили вопрос по первой части, 32 - по второй,
17 - по третьей, остальные - по четвертой. Можно ли по этим
результатам принять гипотезу, что для пришедшего на экзамен
имеется одинаковая вероятность получить вопрос по любой из четырех
частей? (Принять а= 0,05.)
300. Существуют ли предельные вероятности для цепей
Маркова, управляемых следующими матрицами переходов:
0 11 [0,5 0,51
«»[, oj; 6>[о,з
301. Цепь Маркова управляется матрицей
0 0,5 0,51
. Убедитесь в том, что для этой цепи
Р =
0,5 0 0,5
0,5 0,5 0
существуют предельные вероятности, и найдите их.

ОТВЕТЫ
1. а) п = { ГГГ, ГГР, ГРГ, РГГ, ГРР, РГР, РРГ, РРР};
б) событие А можно описать множеством четырех элементарных
событий.
2. Обозначим молекулы кислорода буквами а и Ь. Получим
следующие возможные исходы опыта:
Номер исхода
опыта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
I
цепочка
аЬ
-
-
а
а
Ь
Ь
-
-
II
цепочка
.
аЬ
-
ь
-
а
-
а
Ь
III
цепочка
_
А
аЬ
-
Ь
-
а
Ь
а
Пространство п состоит из 9 элементарных событий. Например,
событие А = {существует цепочка, присоединившая обе молекулы
кислорода} состоит из 3 элементарных событий: 1, 2, 3.
3. A U В = А\ АВ = В.
4. а) Л; б) Л С В; в) нет.
5. А - попадание в область, лежащую вне круга А; В -
попадание в область, лежащую вне круга В; A U В - попадание в круг А
или в круг В; A\JB - попадание в область вне обоих кругов А и В\
АВ - попадание в общую часть кругов; АВ - попадание в область,
лежащую вне общей части кругов А и В.
6. а) А С ВС, т.е. ВС происходит всякий раз, как происходит А;

б) В С А и С С А, т.е. каждый раз, как только происходит В или С,
происходит также и А.
7. В = Аб, С = А5, D = А2 = Аь
8. а) А В С; б) А В С; в) ABC; г) A U В U С; д) АВ U AC UBC;
е) АВ Си ABC U А В С; ж) ЛЯС U Л5С U Л5С=(ЛВ U А С U J3C?)-
- АЯС; з) Л В С; и) ABC.
9. A U 5 U С = А + E - АВ) + {С - С{А U В)} = А + ВА +
+ CAB.
10. а 1) А + АВ + A U В = А + В + A U В = ft; 2) А(АВ) =
= ф, АВ(А U В) = ф, (A U В)А = ф, где ф - пустое множество ¦.
11. a) D Пусть произвольное w €(A U В)С. Тогда w€AUBhw€
€ С Из ш € A U В следует, что а; принадлежит хотя бы одному
слагаемому. Пусть, например, w € А. ИзыбАи^бС следует, что
о; € АС и, следовательно, и € АС + ВС. Таким образом, любой
элемент множества (A U В)С является элементом множества AC U
U ВС, т.е. (A U В)С = AC U ВС. Аналогично можно показать, что
любой элемент множества AC U ВС является элементом (A U
U В) С Отсюда следует доказываемое равенство, так как множества
его левой и правой частей состоят из одних и тех же элементов. ¦
Аналогично доказываются равенства б), в), г).
Замечание. Соотношения AUB = АВ} АВ = AUB выражают
так называемый принцип двойственности, который играет важную
роль в теории вероятностей. Принцип двойственности справедлив
для любого множества событий.
12. а) 3/10; б) 7/10. Замечание. Слово НАУГАД в
описаниях опытов понимается обычно как равновероятность
элементарных исходов. % I „ Х-
& 1/2. * * S ' *
14. 3/8. D Пространство элементарных событий п состоит из 8
точек, которые можно условно обозначить ГГГ, ГГР, ГРГ, РГГ,
ГРР, РГР, РРГ, РРР (Г обозначает выпадение "герба", Р -
выпадение "решетки"). Пусть А - событие, состоящее в том, что выпадут
два "герба": А = {ГГР, ГРГ, РГГ}. Здесь т = 3, п = 8. Поэтому
Р(А) = 3/8.
15. 1/6; 1/3.
16. 30. Д Частотой (или частостью) события в серии из п опытов
называется отношение числа опытов, в которых произошло данное
событие, к общему числу произведенных опытов.

17. 5/18; 11/36. 18. 1 - 14/63 = 7/9.
19. 1/60. D n = A5 = 60; m =* 1; P = m/n = 1/60.
20- С У СI = 7/15.
2(* -!)(»- *)
2L rin- 1) *
22. 1/6.
Д Чтобы отличать одинаковые буквы друг от друга, их можно
занумеровать: Ль Л2, М\у 142- Слово МАМА получается в четырех
случаях:
2, M2A2M1A1.
23. 1/Л| = 1/20.
24. 12-8I/10! = 2/15.
25. 1 - С*_те/С*. Д Перейти к противоположному событию.
26. Р(Л) = 5-24/Л25 = 1/5; Р(Я) = 25-5/Л25 = 1/5; Р(С) =
= АЦА\Ъ = 1/30.
27. С \ С \Ъ/С fo« 0,0938.
D Пространство элементарных событий ft состоит из С%0
подмножеств, выбранных из множества 50 изделий. Пусть А -
интересующее нас событие. Каждый набор изделий, входящих в событие А,
состоит из двух бракованных и четырех хороших изделий.
Бракованные изделия могут быть выбраны С | различными способами, а
хорошие - С\ь способами. По принципу умножения число всех
наборов изделий, входящих в событие Л, равно С \ С \ьл откуда
Р(Л) = С \С \JC f0 м 0,0938.
». n or or.ri ...or.(ri * r2
Д Каждый шар может находиться в каждом из п ящиков;
следовательно, г шаров можно распределить по ящикам пг различными
способами. Число благоприятных исходов подсчитывается
следующим образом. Число способов, которыми можно выбрать из г шаров
ri, равно Ст ; число способов, которыми можно из оставшихся г - Т\
шаров выбрать г2, равно СГ2.Г{ и т.д. Все эти числа нужно
перемножить. Искомая вероятность равна отношению числа благоприятных
исходов к числу всех возможных.
67

29. 121/1212 м 0,00005372.
30. Р(А) = 1/216; P(J3) = 1/36; Р(С) = 5/54.
Д Задача того же типа, что и задача 28 о размещении шаров по
ящикам. Этажи играют роль "ящиков'1, пассажиры - "шаров".
31. С\о • 2Vq0 « 0,6935.
D Из 20 ботинок можно выбрать 4 ботинка С*о способами. Число
благоприятных исходов равно С|о*24. Прдсчитывается оно
следующим образом: С\о способами из 10 пар ботинок можно выбрать 4
пары. Из каждой пары двумя способами можно выбрать один
ботинок (правый или левый). Следовательно, из 4 пар ботинок можно
выбрать 4 непарных 24 способами. Искомая вероятность равна
отношению числа благоприятных исходов к числу всех возможных
32. Р(Л) = п-*; РE) = (п - 1)*-* С* п'^ Р(С) = *-ь Р(В) = я"*
п!
33. Р = —г ;—i г. Д Задача того же типа, что и задача
пп щ\т2\ ... гщ}. '
28 о распределении шаров по ящикам. Клетки играют роль
"ящиков", молекулы - "шаров11.
Замечание. Вероятность Р при заданном п достигает
максимума при mi = Ш2 = ... = тп = 1, т.е. при равномерном
распределении молекул. Например, при п = 100 вероятность равномерного
распределения молекул равна 9,3* 103 (очень мала!).
34. 1/6.
35. 11/36. Д Обозначим через х и у соответственно моменты
прихода лиц А и В. Встреча состоится, если \х - у|^10. Если
изображать х и у как декартовы координаты на плоскости, то все
возможные исходы изобразятся точками квадрата со сторонами 60.
36. 9/20.
21
38. —. Д Пересечение иглы с прямой происходит, если выполня-
ется условие ж<(//2) sin0, где х - расстояние от центра иглы до
ближайшей к нему прямой, а в - угол, составленный с этой прямой
@<x<i/2;0< 0<х).
39. 1/4. Д Пусть ху у, I - х - у - части отрезка. Тогда 0 < х + у <
< / — всевозможные комбинации длин частей отрезка. Для того
68

чтобы было можно составить треугольник, необходимо выполнение
неравенств х, у < 1/2 > х + у > 1/2.
40. 1/12.
41. &[2/2 « 0,707 Д, где R - радиус монеты. Д Монету
рассматриваем как вписанную в сферу. Бели радиус, проведенный из
центра сферы, пересекает боковую поверхность монеты, то
считается, что монета упала на ребро, причем направление радиуса
совпадает с направлением вектора силы тяжести. Вероятность падения
монеты на ребро равна отношению площади сферического пояса к
площади сферы.
42. C - C)/6 » 0,2113.
43. е~*г2*н. о Сначала решим задачу для цилиндрического слоя
конечного радиуса R (R > г). Луч света, перпендикулярный слою,
окружим цилиндриком радиуса г и будем искать вероятность того,
что ни один из центров пылинок не попадет в этот цилиндрик.
(тг2Н\п
1 —тЖА » где п = *Я2А# - общее число пылинок.
Переходя к пределу при R -> оо, получаем е~*г2*н.
Замечание. Эта задача связана с законом ослабления
света, проникающего через пыльную среду.
44. D Событие А можно представить как сумму двух
непересекающихся событий АВ и АВ. Поэтому Р(Л) = Р(АВ) + Р(АВ) =
= Р(Л) + РE) + Р(ЛВ), откуда Р(ЛВ)= ?(А).- Р(Л)Р(Д) = Р(А)
[1 - РB?)] = = Р(Л) Р(#), т.е. события А и В также независимы. ¦
Аналогично доказывается независимость событий А и В, А и В.
45. А Доказать, что при замене одного из независимых событий
А1 ... Ап на противоположное независимость событий не
нарушается.
46. d P(;4(Bi + В2)) = Р(АВ{ + ЛВ2) = Р(АВХ) + Р(ЛВ2) =
= Р(А)ВД) + Р(Л) Р(Б2) = Р(А)[Р(ВХ) + РE2)] = Р(Л) Р(Ц +
-f 52). Заметим, что события АВ\ и АВ2 несовместны, так как, по
условию, В\ В2 = 0. ш
47. Независимы. D Пространство элементарных исходов О = {Г1,
Г2, ГЗ, Г4, Г5, Г6, Р1, Р2, РЗ, Р4, Р5, Р6}, где Г - выпадение
"герба11; Р - выпадение "решетки"; 1, 2, 3, 4, 5, 6 - числа очков,
выпадающих на игральной кости.
Будем считать, что каждый исход равновозможен:
Р(Г1) = Р(Г2) = ... Р(Рб) = 1/12.

Событие АВ состоит из трех элементарных исходов: АВ = {Г2,
Г4, Г6}; следовательно,
Р(АВ) = 3/12 = A/2) -C/6).
Так как события А = {Г}иВ= {2, 4, 6}, то
Р(А) = 1/2, Р(Я) = 3/6.
Получим Р(АВ) = A/2)-C/6) = Р(А) Р(Б), т.е. по определению,
события А и В независимы.
48. Зависимы.
49. о Предположим, что АВ = ф. Тогда Р(АВ) = О, Р(А) Р(В) =
= 0, т.е. Р(А) = 0 или Р(В) = 0. Но, по условию, Р(А) > 0 и
P(J5) >0. Мы пришли к противоречию. Следовательно, АВ Ф ф. ¦
51. 2/3. Д Среди чисел 1, 2, 3, 4, 5, б простыми являются 2, 3, 5.
52. 48/95. а Всего в ящике лежат 30 шаров. Пусть А - пара
шаров разного цвета; В - пара шаров, не содержащая синего цвета.
Тогда
53. а Пусть на плоскость бросается тетраэдр, три грани которого
окрашены соответственно в красный, синий и зеленый цвета, а на
четвертую нанесены все три цвета. Событие К означает, что при
бросании тетраэдра на плоскость выпала грань, содержащая
красный цвет, событие С - грань, содержащая синий цвет, и событие 3
* грань, содержащая зеленый цвет. Так как каждый из трех цветов
содержится на двух гранях, то Р(К) = Р(С) = РC) = 1/2.
Вероятность пересечения любой пары введенных событий равна 1/4 =
= A/2) • A/2), так как любая пара цветов присутствует только на
одной грани. Это означает попарную независимость всех трех
событий. Но
Р(КСЗ) = 1/4 * Р(К) Р(С) РC) = 1/8.
54. Р(Л U В U С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) - Р(АВ) - Р(АС) -
- Р(Ж7) + Р(АВС);
Р{АВС) = Р(А) Р(В\А) Р(С\АВ).
55. 7/9. 56. @,95K = 0,857375.
57. ft = {Г, РГ, РРГ, РРРГ, ...}; 1/3.
58. 15/16 = 0,9375. 59. 0,5. 60. 0,6. 61. 2/(п - 1).
62. Вероятность неудачного исхода равна F/30) • E/29) = 1/29 «
« 0,0345.
70

63. 4/ir2 » 0,4053.
64. 2(г/ДJ.
65. a) 1 - E/6)" > 0,5, n > 4; 6) n > 13.
66. 1/216 « 0,0046.
67. 0,94; 0,9964.
68- Pi + Рг ~ 2piP2- п Пусть A\ - попадание 1-м стрелком, A2 -
попадание 2-ы стрелком, В - событие, состоящее в том, что в
результате двух выстрелов будет ровно одно попадание в мишень.
Имеем
В = АХА2 + А{А2, Р(В) = Р(Л,) Р(Л2) + Р(Л,)
= V\ + Рг - 1р\Рг-
69. D Так как для двух событий
то при п = 2 доказываемая формула справедлива.
Воспользуемся индукцией. Предположим, что формула верна для п - 1 событий
п-1
Ль Л2, ..., Ап.\. Тогда, обозначая В = П Л,, получаем
t = i
Р( П Ад = Р(В Лп) = РE) Р(Л„| 5).
Подставляя известные значения
В = V Л,- и Р(Б) = Р(ПП! At),
получаем доказываемую формулу. ¦
Замечание. Доказанную формулу можно записать в виде
теоремы.
Вероятность совмещения п событий, занумерованных в
определенном порядке, равна произведению вероятностей каждого из них
при условии, что осуществлены все предшествующие события.
7П1 я - m n-m-1 n —• т — *+1
IKS» 1 — —————
• ... —————
п-1 п — А:
I(п- А;)!
= 1
п!(п - т - А;)! '
Д Перейти к противоположному событию.
71. а Так как для двух событий
А2) = Р(Л0 + Р(Л2) - Р(АхА2),
то при п = 2 доказываемая формула верна. Воспользуемся
индукцией. Предположим, что доказываемая формула верна для
произвольных п-1 событий А\, А2) ..., Ап.\. Тогда, обозначив В =
п-1
= П Ai , получим
t = i
71

Р( П A t) = Р(В + Ап) =
1=1
Подставив известные значения
Р(В) = Р(Пи Ад и Р(ЛП5) = Г(Пи(АгАп)),
t*i t=i
получим доказываемую формулу. *
Замечание 1. Если в формуле для вероятности суммы
событий совпадают вероятности произведений (при равных
количествах событий), то эту формулу можно упростить. Подсчитывая
количество одинаковых членов, получаем
Р( и Ад = СЪ Г(Ад - С1 Р(Л,Л2) +
+ С» Р(Л,>М,) -...+ (- 1)»"> Р(ЛМ2 ... Ап).
Замечание 2. Бели события А\, А2 Ап независимы, то
вероятность их суммы можно найти проще. Имеем
Р(АХ U ... U Ап) = 1 - Р(Л,и ... UAn) = 1 - Р(Л, ... Ап) =
= 1 - Р(Л,) ... Р(Л„).
В частности, если все п независимых событий имеют
одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы
одного из этих событий
P(U А() = 1 - A - р)"
72. D Всего перестановок п! Пусть А{ означает, что »-й элемент
окажется на своем месте. Это событие содержит (п - 1)! исходов, а
его вероятность равна
п!
Событие Ац означает, что »-й и j-й элементы попали на свои
места, поэтому
Р(Лу) = (п - 2)!/в! и т.д., P(Ai .... Ап) = 1/п!.
П
Событие U А( и есть событие, состоящее в том, что хотя бы один
t=i
элемент попал на свое место. Таким образом, можно
воспользоваться формулой задачи 71:
72

Выражение в скобках есть первые п + 1 членов разложения в
ряд в. Поэтому 1 im Р„ = 1 - е * 0,6321.
Л-»оо
Замечание. Задача о совпадениях имеет много
приложений.
73. Р(Л) = 1/24; Р(Я) = 0; Р(С) = 1/4; P(D) = 1/3; Р(Д) = 3/8.
74. Р = 1 - е"А*; Л = 1п2/Т. о Вероятность того, что атом не
распадается за время Д/, равна 1 - Ад/. В промежутке времени t
промежуток времени Д* содержится </д< раз. Вероятность того, что
за время t атом не распадается, равна (по теореме умножения) A -
— Ад*) . Переходя к пределу при Д< -¦ 0, получаем е"А*. Таким
образом, искомая вероятность равна Р = 1 - е"Л*. Если вероятность
того, что атом не распадается за время Г, равна 1/2, то Г
называется временем полураспада атома. Полагая Р = 1/2, найдем
Л = ^1п2 * 0,693147).
75. 13/30. Д Гипотезы: Щ = {выбор первого ящика}; Н2 =
{выбор второго ящика}.
76. D Событие А = {появление белого шара}. Гипотезы: Н\ =
= {утерянный шар был белым}; Я2 = {утерянный шар был
черным}. По формуле полной вероятности находим
Р(Л) = Р(Я0 Р(Л| Я,) + Р(Я2) Р(Л| Я2) = 2 . ^-1 +
71 - ТП ТП Тп
П П - 1 "" П
Замечание. Вероятность события А оказалась такой же,
как и вероятность гипотезы Н\.
77. 83%.
78. 67/120. а Пусть А - событие, состоящее в том, что туристы
попадут в пункт А. Тогда
Р(Л) = Р(#0 Р(А\НХ) + Р(Я2) Р(Л|Я2) + Р(#з) Р(Л|Я3) +
+Р(Я4) Р(Л|Я4) = A/4)A/3 + 1/2 + 1 + 2/5) = 67/120 м 0,5583.
79. 0,52. Д Событие А = {появление белого шара из второй
урны}. Гипотезы: Щ = {переложены 2 белых шара}; Я2 = {пере-
73

ложены 1 белый шар и 1 черный}; Я3 = {переложены 2 черных
шара}.
Вероятности гипотез: Р(Я0 = Р{бб} = 3/5-2/4 = 0,3; Р(Я2) =
= Р{бч + чб} = C/5)-B/4) + B/5)-C/4) = 0,6; Р(Я3) = Р{чч} =
= B/5)-A/4) = 0,1, где б - белый шар, ч - черный.
80. Безразлично.
81. 20/21 * 0,9524.
82. 6/7. а До опыта возможны следующие гипотезы: Н\ = {ни
первый, ни второй стрелок не попадут}; Н2 = {оба стрелка попа-
Дут}; Яз = {первый стрелок попадет, а второй не попадет}; Я4 =
{первый стрелок не попадет, а второй попадет}. Вероятность этих
гипотез: Р(Я0 = 0,2-0,6 = 0,12; Р(Я2) = 0,8-0,4 = 0,32; Р(Я3) =
= 0,8-0,6 = 0,48; Р(Я4) = 0,2-0,4 = 0,08. Пусть А - событие,
состоящее в том, что будет одна пробоина. Условные вероятности
наблюдавшегося события А при этих гипотезах равны.
После опыта вероятность гипотезы Я3 такова:
_Р(Я3)-Р(Л|Я3) _ 0,48 6
" =Г7^ "" 0,48 + 0,08 "" ~ 7"
83. а) 0,0345; б) 125/345, 140/345, 80/345.
84. Р8C) = q>B/5KC/5M м 0,2787.
85. Вероятнее выиграть 3 партии из 4.
86. а) 0,77; б) 0,02.
87. Р5@) + Р$A) = 3/16 = 0,1875.
88.5.
89. 2 и 3; 0,25.
90. 24 или 25.
91. Р5D) + Р5E) = 0,73728.
92. Р6@) + Р6A) + РвB) « 0,3723.
93. -^пРг ^2п-г* д Спички брались всего In - г.раз, причем п раз
из коробки, оказавшейся пустой. Это соответствует п успехам при
2п - г испытаниях.
94. t^244 « 0,1563. Д Так как р = 0,004 < 0,1, a npq = 3,984 < 9,
1*0*6
то можно применить приближенную формулу Пуассона.
95. 1 - ДО) = 1 - е-»,2 « 0,1813.
96. 1 - 6 в"» « 0,9596.
97. U . е-« и 0,0916.
98. » 0,2385.
74

99. 1 - е'0,516 « 0,4043.
100. a) w 0,0532; б) и 0,0219.
101. « 0,051.
оо "X °°
Г 1 2 Г 1 2 Г 1
102. D -L е-"* d< = — е- d* + — е"
J2x J2x J /2т
Интеграл в левой части равенства равен 1 (интеграл Пуассона);
последний интеграл в правой части равенства с помощью
подстановки t = - и приводится к виду
Следовательно, 1 = Ф(- х) + Ф(х). ¦
Замечание. Таблицу значений функции Ф(х) впервые
составил в 1783 г. Лаплас. Функция Ф(х) представляет собой
функцию распределения случайной величины, распределенной по
нормальному закону с параметрами а = 0, <т = 1 (см. § 8, задачу 117 и
ДР-)-
103. ФA) - Ф(- 1) = 1 - 2Ф(- 1) и 0,6826.
104. ФB0/11) - Ф(- 10/3) и 0,965.
105. ФB0/9) - Ф(- 20/9) * 0,9737.
106. м 0,9876.
107. п > 7656.
108. е « 0,05.
109. {3,4 < ц <23,2} = {4 < /1 < 23}.
0 при х < 0,
110. F{x) =
q при 0 < х< 1,
1 при х > 1,
где q = I - р. Функция распределения изображена на рис. 3.
Ffx)
/
Рис.
г
1
1
1
1
I
3
т.
Р
Л
75

111 б)
0 при х < - 2,
0>1 При " 2 < **"" *
0,3 при - 1 < х < 0,
р,5 при 0 < х < 1,
0,9 при 1 < х < 2,
1 при х > 2;
112.
= 1) = 0,8.
0, если х < О,
5/6, если О < х< 1,
1, если х > 1.
113. а) Пространство п состоит из 8 исходов: ц> = (ГГГ), ш\ =
= (ГГР), Ш2 = (ГРГ), о>3 = (РГГ), ш4 = (ГРР), о* = (РГР), и6 =
= (РРГ), ш-t = (РРР). Случайная величина ^(w) равна
0, если w = w0,
1, если w = u>i, а^, ы3,
2, если и = w4, ОЛ5, а;б,
3, если и = о>7;
6) Ряд распределения
Р
0
1/8
1
3/8
2
3/8
3
1/8
7/8
U/8
1/8
О
г-
I
i
7
г- 1
н
РИС. 4
Функция распределения
приведена на рис. 4.
О 1 2
F(x)
р
*
р
0,36
0
0,42
0,48
1
0,45
0,16
2
0,12
3
0,01
76

116. а) /(») =
О,
если х < 2,
2(х- 2), если 2 < z< 3,
о,
если х > 3;
б) 0,25; в) 0,75.
117. /(*) = — е-*2/ 2.
118. а) А = 1/2, В = 1/х; б) /(«) = ^j-J
0 при х < 1,
; в) ±
119. F(x) =
A/2)(а?-х) при1<х<2,
1
120. а) Л(х) =
при х > 2.
при х < О,
A/2)A - соеж) при 0 < х < х,
при х > т;
2Лх
2 .А
б) B - |2)/4 м 0,5858.
121. а) А = —; б) Дат) = 1^
в) Р{0 < * < i} = f[~] - f@) = 1 - ~ « 0,0803.
122. а) Л = | т.е. /(,) A
6) (Д1)J = 1 arctg2e « 0,6015.
123. D Возможные значения величины 9/: 3, 9, 15. Для того чтобы
ц = 3, достаточно, чтобы величина ^ приняла значение, равное 1.
Поэтому
ПЧ = 3} = Р{? = 1} = 0,4.
Аналогично,
Р{, = 9} = Р{? = 3} = 0,1; Р{, = 15} = Р{? = 5} = 0,5.
Напишем закон распределения т):
3' 9 15
0,4 0,1 0,5
77

124.1)
p
125.1/
P
0,3
1
0,3
0,7
2
0,5
5
0,2
t
P
0
0,3
1
0,5
2
0,2
126. D Функция у — Zx - монотонно возрастающая, поэтому
применяем формулу / (у) = L(g~l(y)) (д'1(у)) '• Обратную функцию
х = д(у) находим, решая относительно х уравнение у = Зя;
получим д'1(у) = у/3. Далее находим
(ГЧ»))' = 1/3;/9(f) = A/3)^1/3).
127. D у = д(х) = 1/я - монотонно убывающая функция.
Обратная функция х = 1/у. Применяя формулу / (у) = — fX
получаем
Л2» i- .u =
2 2
е -1/ Bа у ) ф
При у = 0 плотность / (у) имеет разрыв 2-го рода.
128.
ш =
о (»<о),
1 @ < у < 1), Fjy) =
0
0 (у < о),
у @ < у < 1),
1 (»>1).
Л Воспользоваться формулой
где х =
129.
при - К у
Вне интервала (- 1, 1) плотность вероятности равна 0.
Д Применить формулу f^y) = f^(g'l(y)) (д~1(у))'> где х = д'^(у)
= arcsiny, f?x) = ~.
78

130. D Найдем плотность вероятности величины rj в интервале
(- 1, 1), где функция у = х2 - немонотонная. Сначала найдем
функцию распределения:
J у) = PU2 < у} = Р{- Гу < i < Гу) = ^
- F((- ГУ)-
Дифференцируя последнее равенство по у, получаем
Пу) = F'(fy) — + F'(- [у) — ,
" * 2fy * 2fy
Ш = ffiVv) — + si- Гу) —¦
Принимая во внимание, что fjy) = 1/3 при - 1 < x < 1, находим
В интервале A, 2) функция у = х2 монотонно возрастающая. По
общему правилу получаем / (у) = 1/(б|^) при 1 < у ^ 4.
Если у < 0 или у ^ 4, то плотность равна 0.
131. 9; 40.
132. М/л = р; D/д = pq} где ? = 1 - р.
133. 2. Д Вычислить М
134. а) М^ = 3,868; Щ2 = 18,802; D? м 3,841; б)Р(^ > 4) = 0,541.
135. d Df = рA - р)\ р = 1/2 - точка максимума, поэтому D? ^
1/4.
136. d D(? т)) = М(( г}J - М2(? I/) =
137. a) 7/2; 35/12; 6) 3,5 n; 17,5 n/6.
138. M^ = np, D^ = npg, где 0 < p < 1, q = 1 - p.
D Случайную величину f, равную числу успехов в п испытаниях
Бернулли, можно представить в виде суммы индикаторов:
{1, если в t-M испытании успех появился,
0, если в 1-м испытании успех не появился.
Тогда Мб = 1-р + 0-g =p; D^ = pqt M^= MCi+...+Mfn = np; D^ =
= D^i -f...+D?n npg, где р - вероятность успеха в отдельном
испытании, q = 1 - р.
79

139. 2. 140. 3,2.
141. Почти наверняка. А Применить правило "трех сигм",
согласно которому вероятность отклонения случайной величины от
своего математического ожидания более чем на три корня из
дисперсии мала.
142. а Ряд распределения имеет вид
12 3 ... п
Р ЯР $Р
где q = 1 - р. Следовательно,
п'Х
143. а)
144.
= Щ = А; 6) А5 = 1/JX
0,693147).
А Составить дифференциальное уравнение для среднего числа
частиц в момент времени t Приравнять среднее число частиц
половине первоначального. Полученное в результате этого
уравнение позволяет найти вероятность распада данной частицы;
умножая эту вероятность на число частиц, получаем
145. а)
0 при х < а,
(х - а)/F - а) при а < х< 6,
1 при х > 6;
б) М4 = (а + Ь)/2; Щ = (Ь -
146. М(? 1?) = 1, Щ Ч) = 4/9.
147.
= F -

148. МД2 = 0; ВД2 = МД2 = 2<т*.
Замечание. Для определителя n-го порядка МДЛ = 0;
149. Щ = 0; В? = тг2/12 - 1/2 и 0,3225.
150. а)
ГО при t < 0,
| 1 - е'м при t > 0;
б) Щ = 1/А; Щ = 1/А2;
в) Р(? < 1/А) = F(l/A) = 1 - е-» « 0,6321;
г) » 0,9817.
0 при х < 0,
151. F(x) = x2/R2 при 0 < х <Я, В^ = Д2/18,
1 при х > R.
А Случайная величина ? - расстояние точки до центра круга.
Если 0 < х < Д, то функция распределения
Если х < 0, то f(X) = 0; если х > R, то F(A) = 1. Найти плотность
вероятности Дх) = F'(x); затем найти М^, Mf2, D^ = М^2 - (М^J-
152. М? = а,Щ= о*;
\ х 2
где Ф(х) = f e"^ /2d< - функция Лапласа;
в) Мо = Ме = а.
Замечание. Если а = 0, а = 1, то нормальное
распределение называется нормированным или стандартным.
Нормальное распределение было открыто Муавром в 1733 г., а
затем детально изучалось Лапласом и Гауссом. Гаусс в первой
половине XIX в. много занимался теорией ошибок наблюдений,
подчиненных нормальному распределению.
153. Р{- 0,5 < ? < - 0,1} и 0,1516; Р{1 < ( < 2} » 0,1359.
154. Р(|?| < 10) = 1 - 2Ф(- 0,5) и 0,383.
155. Р(|^| < 3(т) в 0,997, т.е. практически все погрешности
измерений находятся в интервале (- 3<т, За). Это правило "трех
сигм".
81

156. а « 0,0365 кг.
157. D Пусть для определенности А > 0. Функция
распределения величины г) равна
= FA
х -
~RZ J
(х-В)/А
(и-а)
е 2<г2 d
откуда с помощью замены v = Ли -(- 5 находим
d».
Отсюда следует, что t] распределена нормально с параметрами
(Аа+ В, А<т). ¦
Замечание. Эту задачу можно решить другим способом,
применяя формулу
'. где у = Ах + В, А > 0.
Бели А < 0, то правая часть формулы берется со знаком минус (см.
§9).
158. Щ = е0^'2; Щ = е
Замечание. А.Н.Колмогоров показал, что логарифмически
нормальному закону распределения подчинены размеры частиц при
дроблении.
159. a) fJx) = — e'x/2jri/2 для х } о и равна 0 для аг < 0; б) п;
2n.
Д а) Сначала найти функцию распределения случайной величи-
Г*
= — f
для гHи равна нулю для х < 0.
160. Мо = 2/(AilF); <fi = C/2 - 4
82

161. а) М? и D? не существуют, так как определяющие их
интегралы расходятся; б) Mo = Me = 0.
162. а) /(х) = з *'*'{2<у2); б) Мо = <гу Ме =
и 1,1774л
163. a) vi = 4; v2 = 20; v3 = 116,8; vA = 752; цх = 0; ц2 = 4; /j3 =
= 4,8; /ц = 35,2; 6) As = 0,6; Ek = - 0,8.
22
164. a) i/! = 1; v2 = 1,1; i/3 = 1,3; 1/4 = 1^; к = 0; /i2 = 0,1; /i3 =
= 0; /*4 = 1/35; б) Л5 = 0; JSfc = - 1/7.
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
36Р
12 3 4 5 6
3 2 1
166.Сумма очков
Вероятность
2
0,02
3
0,09
4
0,26
5
0,33
6
0,30
167. ? Случайные величины ?, г\ зависимы, причем жестко
(функционально), ? + т) = 1. Таблица возможных значений ?, у с
соответствующими вероятностями имеет вид
0
Р
Я
0
Значения функции F(x, у) приведены в следующей таблице:
y<0
0< yi
1<S
U
/
,<0
0
0
0
0<*<l
0
0
Q
1<*
0
V
1
1 . х , 11 fl
- arctg — + - U
' Is 2Jr
168. a) A = J3; 6) F(x,
в) Р = 1/24 и 0,0417.
169. в'2 - e~4,5 » 0,1242. Д /(x, y) = / (x) ,
17O./^(r)=^e-r2-
: — + o| h arctgy
%
), если г > 0; / (г) = 0, если г < 0.
83

Д Сначала найти функцию распределения
г} =
где D - круг радиуса г с центром в начале координат.
Замечание. Модуль радиуса-вектора R = ^2 + fp имеет
распределение Релея (см. задачу 162).
171. f(x,y) = в6е-<«**У>.
172. D Плотность суммы двух независимых слагаемых ? и q
вычисляется по формуле композиции
и в данном случае*
Положим х - а\ = и, 2: - ai - Д2 = Щ тогда
o-7
27Г<71<72 -А
Так как
то, введя обозначение < = « v —-, найдем
^1^2 ^"г^
Из математического анализа известно, что
ор 2
f e"^ /2dt = |2х (интеграл Пуассона).
Таким образом,
^ 2*(<Г2 + ,,2)
Замечание. Особенностью нормального закона является
то, что при композиции достаточно большого числа практически
84

произвольных законов распределения суммарный закон
оказывается сколь угодно близок к нормальному вне зависимости от того,
каковы были законы распределения слагаемых.
1 2
173. fCl (z) = — e-<**i> '2*;
I z 2 \z Л-
где Ф(х) - функция Лапласа.
Д При композиции нормальных законов получается снова
нормальный закон, причем математические ожидания и дисперсии
складываются (см. задачу 172).
174. D Подставляя в формулу композиции для дискретных
случайных величин
ч ]
вероятности Р{? = Jk} и P{rj = /}, находим
A,)-.
Таким образом, сумма независимых случайных величин,
распределенных по закону Пуассона, также распределена/ по закону
Пуассона.
175. L (х) = X2z е'Ч z > 0.
s • !/
Д Возможные значения аргументов неотрицательны, поэтому
можно применить формулу
176. D Рассмотрим случайную точку (?, rj) на плоскости Оху. По
условию, область ее возможных положений - квадрат со стороной,
равной 1 (рис. 5). Имеем
*} = P{(f, f)€ D}=
<i» = у dx dy = пл. Д
где область jD - часть квадрата, лежащая ниже прямой х + у = z.
Составим выражения для площади области D при различных
значениях z% используя рис. 5.
85

1) при z < 0
= F<+jj(z) = О;
2) при О < г < 1 FJz) = A/2J*;
3) при К z < 2 /\(г) = 1 - B - гJ/2;
4) при z > 2 /.(г) = 1.
Дифференцируя эти выражения, получаем:
= 0 при г <0;
2)fiz) = z при 0 < z< 1;
3) / (z) = 2 - г при 1 < z < 2;
4) /i*) = О при z > 2.
График плотности вероятности /is) приведен на рис. 6. Такой
закон называется законом Симпсона или законом треугольника.
У
177. М? = 0,55; Mi) = 0,10;
= U[((- UQD - If 9)] = - 0,055;
Рис. 6
= 0,2475; Щ = 0,59; cov({,
?,*)«- 0,144.
178. a) A - 24; 6) M? = Mi; = 2/5; в) D? = Dj; = 1/25;
p) cov(e, 4) = - 2/75; д) ft, 9) = - 2/3.
179. Пусть даны случайные величины ( с плотаюстью
вероятности Пх) = Ае'х И1|=B. Тогда
cov(?, Ч) =
и, следовательно, коэффициент корреляции #(?, ^) = 0, в то время
как величины ? и т/ связаны функциональной зависимостью */ = ?2.
Замечание. Если случайные величины ? и )/ независимы,
то коэффициент корреляции р(?, iy) = 0. Как показывает
разобранный пример, обратное утверждение неверно. Следовательно,
86

коэффициент корреляции не является исчерпывающей мерой
зависимости между случайными величинами.
180. Р(|? - Щ\ < 3<т) > 8/9. Таким образом, любая случайная
величина отклоняется от своего математического ожидания меньше
чем на 3<т с вероятностью, не меньшей чем 8/9. Например, для
нормального закона эта вероятность равна 0,997, для
показательного 0,982, для равномерного распределения 1.
181. а) Р > 0,86; б) Р > 0,75.
182. Р > 0,88. 183. Р > 0,64.
184. Применима: М?п = 0; D?n = 2.
185. Применима: М?п конечны и равны - а/Bп -f 1); дисперсии
равномерно ограничены числом а2.
186. Граф приведен на рис. 7, на котором состояния системы
изображены кружками. Отметим, что здесь состояние Е\ называется
поглощающим: если блуждающая частица в него попала, то она в
нем и остается, поскольку рц = 1. Из состояния Е2 частица с
равными вероятностями переходит в соседние состояния ?{и4
состояние ?*з таково, что частица остается в нем с вероятностью 1/3 и
переходит в состояние Е\ с вероятностью 2/3.
Рис. 7
Рис. 8
О 1/4 0 1/2 0 1/4
lft7 *2 1/4 0 1/4 0 1/2 О
О1" ~ 0 1/4 0 1/4 0 1/2
1/2 0 1/4 0 1/4 0
0 1/2 0 1/4 0 1/4
.1/4 0 1/2 0 1/4 0
188. а) 4 (множество состояний {Еи 1%, 153, Е4}); б) состояния
Ей Ei несущественны, а Е$ и Е4 являются существенными; в) граф
приведен на рис. 8.
87

189.
Et
5/16
0
0
0
/з
3/16
1
0
0
1
1
0
2/3
0
5/16
0
1
0
2
0
2/3
0
1
3/16
0
0
1
3
0 "
0
1/3
0
190.1
Замечание. В этой задаче рассматривается частный вид
цепи Маркова, который используется для объяснения явления
диффузии.
191. Д Воспользоваться формулой
= Мщ = «)= S
к >к >•
1 2
« j\t»l »»l)
2 2 2 1
192. о а) По определению p\f— Р(?п = Л?о = 0 - вероятность
перехода системы из состояния Е{ в состояние Еу Воспользуемся
формулой полной вероятности
P(A) = ZP(Hk)F(A\Hk),
положив в ней А = {?n = j), Hk = {6 = it}- Тогда
^n = }\ (о = 0 = S Р{6 = *Uo = i)ntn = }\ (о = «', ^1 = *}•
Отсюда с учетом равенства
получаем
p\f = S ft
\
, n = 2, 3, ...
б) В матричной записи доказанное соотношение имеет вид
р<п) — p.p(n-i). отсюда по индукции находим Р(п) = Рп, т.е.
матрица перехода за п шагов есть п-я степень матрицы перехода за
один шаг.
193. D Введем обозначение P(?n = j) = a^n), i = 1, ..., г. Пусть в
начальный момент система находится в одном из состояний Ek с
вероятностью а& (к = 1, ..., г). Через п шагов система будет
находиться в одном из состояний Ej (j = 1, ..., г) с вероятностью
перехода pj^>. Гипотезы: #* = {f0 = t}, t = 1, ..., г. Событие А = {?n=.
л
По формуле полной вероятности (см. § 5) имеем

P«n = 1) = ДР«о = *)Pttn = j\ ?o = к)
или в других обозначениях
Вероятности перехода р№ за и шагов вычисляются по
рекуррентной формуле (см. задачу 192).
194. а) 5/12; б) 4/9.
D а) Гипотезы: Щ = {?0 = 1}- #2 = {& = 2)* Событие А = {& =
= 1}. По формуле полной вероятности
р(л) = рсяороад + р(я2)Р(л|я2)
находим
= 2)=A/2)рц + A/2)р21 = A/2)-A/3) + A/2)-A/2) = 5/12;
б) Р(& = 1) = A/3).A/3) + B/3).A/2) = 4/9.
195. а) 0,61; б) 0,547. Д См. задачу 193.
ЕХ
Е4
a
Qe
е-2а
-За
ъ
С
pB) = p2; так> например,
...) и т.д.
б) Так как сумма вероятностей в каждой строке равна единице,
то имеем
d S е-™> = 1, Сг = 1 - е-*;
ns0
= 1; С2 =
1 - е-«
Замечание. Здесь рассматривается физический процесс с
бесконечным (счетным) множеством состояний {?"ь 2?2, ...}.
197. а Это свойство предельных вероятностей следует по
индукции из формул
и S
= ^, j = 1, 2, ..., г
l
(см. задачу 193 и теорему о предельных вероятностях).
Действительно, пусть в начальный момент система находится в
89

состоянии Ej с вероятностью by Тогда в следующий момент
времени
Воспользуемся индукцией. Предположим, что доказываемое
свойство имеет место для момента времени п - 1, т.е.
Тогда для момента п (используя результат задачи 192), получаем
U
Итак, по индукции свойство выполняется для любого целого п. ¦
Таким образом, если в начальный момент вероятность
нахождения в состоянии Ej была равна Ьр то она останется неизменной и в
любой последующий момент времени. Теперь понятно, почему
предельные вероятности (Ьи 62,
для данной системы.
Ьг) называются стационарными
Д
ДГ1/2
Я
1/4
198. а) Р = Я 1/2 0
c[l/4 1/4
С
1/4
1/2
1/2
Числа в первой строке матрицы представляют собой вероятности
различной погоды после дождя. Числа во второй строке -
вероятности различной погоды после ясного дня, а в третьей строке -
после снега.
б) Граф приведен на рис. 9; в) 13/64; г) @,4; 0,2; 0,4).
D в) Здесь состояниями Еи Е2, Е$ являются соответственно
Д,Я,С. Вектор начальных вероятностей A, 0, 0), т.е. а\ =; Р(?о =
= 1)= 1, а2 = 0, аз = 0. Используя результаты задач 193 и 192,
получаем
90

= 1)= J^tfB» = P[V = W
3 3
+ P12P2V + P12P22* = ^u ^ PlmPm2 + P12 S P2tiPu2 + Pl3
m=l ti=l t/«l
= 1/2A/8 + 0 + 1/16) + 1/4A/8 + 0 + 1/8) + 1/4A/16 + 0 +
+ 1/8) = 13/64.
199, Гипотезы: Я* = {?0 = *},*= 1, ..., г. Событие А = {? =
я
= «ь —1 ?ns = *s)- По формуле полной вероятности (см. § 5)
получаем
Р = (?щ = lb U2 = «2, .... (ns =tj) =
Преобразуем второй сомножитель под знаком суммы, испсльзуя
теорему умножения вероятностей (см. § 4), имеем
Р = ЪакРЦП1 =|,|6 = *)РF,2= «2U0 =*, {«, = »i)..-P««s =
k-l
Используя марковское свойство, находим
Р = fcS a*Ptfni = «16 = *)P«n2 = Шщ = »l)-
Наконец, используя свойство однородности, получаем
Р = S акР 1 р 2 » ... р * ч .
Многошаговые вероятности вычисляются по рекуррентной формуле
(см. задачу 192).
200. а) @,385; 0,336; 0,279); б) 0,0336; в) A6/47; 17,47; 14,47).
Д а) Найти Р2; б) см. задачу 199.
201. A/2; 1/2).
202. о а) Объем выборки п = 15. Упорядочив элементы выборки
91

по величине, получим вариационный ряд: 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 7,
7, 7, 7, 10, 10;
б) статистический ряд записывается в виде таблицы
ч
щ
2
3
3
1
4
2
5
3
7
4
10
2
Контроль: 3 + 1 + 2 + 3 + 4 + 2 = 15.
203. А Отложить на оси абсцисс z» а на оси ординат
соответствующие частоты Ш{ и соединить точки (*$; m,) отрезками прямых.
Зам ечание. Если вместо частот т* брать относительные
частоты W{ = mj/n (где п - объем выборки), то получим полигон
относительных частот.
204. ад =
205. а)
ад =
0 при х < 1,
0,2 при 1 < х < 4,
0,5 при 4 < х < 6,
1 при х > 6.
б)
0
0,1
0,4
0,6
1
при
при
при
при
при
х *
2<
5 <
7 <
X >
»2,
С х<
Сх<
С х<
>8;
5,
7,
8,
ад =
0
0,5
0,7
1
при
при
при
при
X «
4 <
7<
х;
*4,
: х<
; х<
> 8.
¦л,
206. А Построить на оси абсцисс заданные интервалы длины h =
= 2и провести над этими интервалами отрезки, параллельные оси
абсцисс и находящиеся от нее на расстояниях, равных
Vil(nh) = i/i/110.
207. А Задача решается так же, как и задача 190.
где а = М& — М?. Затем найти |
209. а) ? = 100; б) ^ = 34; *? = 42,5.
210. Z = 166; 52 = 33,44.
211. } = 2, s2 « 2,1.
92

Число
неправильных соединений
0
1
2
3
4
5
>6
Частота
8
17
16
10
6
2
1
60
Относительная
частота
0,1333
0,2833
0,2667
0,1667
0,1000
0,0333
0,0167
1,0000
Вероятность по
распределению
Пуассона (А=?)
0,1353
0,2707
0,2707
0,1804
0,0902
0,0361
0,0166
1,0000
212. ? = 4,462; s> * 0,0117; s\ ~ 0,0123.
213. а) $2 = 1287,8;
6) I = 2809; s2 = 1206,8; s\ = 1508,5.
214. I и 97,0; s2 и 24,8; s\ » 28,4.
215. р = m/n = 0,65. а Величина ? имеет дискретное
распределение; возможные значения (число успехов в одном испытании) 0 и 1
с вероятностями 1 - р и р соответственно. Выборка &, ..., fn -
последовательность из чисел 0 и 1, причем единица встречается т раз,
а нуль (п - т) раз. Составим функцию правдоподобия, учитывая,
что в = р:
Отсюда
dlnL _ m n -
dp 7" 1 "
lnX = mlnp + (n-m)ln(l - p);
= 0,65.
216. A = 1/^, где ^ - выборочное среднее.
A ?(?i, ..., (nj A) = f{?i\ A).../(^n; A) = Ae"
217. afo, 6, .... ?n) = ?.
m л Л m
— =u и p = — =
p n
, 6, .-, tn) = I
(
1=1
93

Оценка а - состоятельная и несмещенная, оценка а2 -
состоятельная и смещенная.
Д Оценки am а2 найти из системы
dlnL Л dlnL Л
-т = О, —тт = 0.
да Лт2
218. 32,46 < а < 32,66. 219. 992,16 < о < 1007,84.
220. 6 = А — = 1,96 —— = 0,392 мм.
"JI Доо
221. 2,14 < а < 2,18.
II i Я ~ 1
223. A,587-10-19; 1,601 • 10"»); ?= 1,594-10"и.
224. К^, >») « 0,82.
225. tit if) и - 0,83; у = - 0,83* + 1,20.
226. r{t п) « 0,92; у = 5,42 + 0,24г; г = - 11,56 + 3,53».
227. у = 87/20 + 19х/40.
228. у = 67,5 + 0,87*.
229. у = 4 - 2* + 0,25x2.
230. 1) Л = 101,4 - 2,58* + 0,0220; 2) 50,6%.
231. а Вычислим величину
=
х
(п = 4040; р = $ = i; vx = 2048; i/2 = 1992).
Число степеней свободы распределения \2 в данном случае г - 1 =
= 1. По табл. 6 находим для уровня значимости а = 0,05 хЯ« =
= 3,8. Так как значение х2 < Х& т = ^А то с вероятностью 0,95
принимаем гипотезу.
232. Согласуются.
Д Здесь п = 500, г = 12 и, согласно гипотезе #о, pi = ... = р\2 =
= 1/12.
233. а 1) Найдем выборочное среднее ? * 8,553 и выборочную
несмещенную дисперсию s\ « 0,4439 (*i » 0,6663).
2) Находим величины npt, для каждого из интервалов. Покажем,
как это делается на примере второго интервала: пр2 =
94

= 12 000-РG,00 < * < 7,25) = 12 000
Таким образом, получим следующий ряд теоретических частот:
120,0; 180,0; 385,2; 672,0; 1082,4; 1477,2; 1700,4; 1797,6; 1568,4;
1254,0; 829,2; 502,8; 252,0; 114,0; 43,2; 15,6.
3) Находим значение критерия
у2 =?6 (Ч - npQ2 C2 - 120,0J C2 - 15,6J
Х tM npi 120,0 "f" '" "*" 15,6
= 278,7.
4) По табл. 6 по уровню значимости а = 0,01 и числу степеней
свободы г-1-2=16-1-2=:13 находим \\ т = 27,7. Так как
X2 = 278,7 > Ха то» то гипотеза ° т01*» что ? распределена по
нормальному закону, не подтвердилась.
234. Согласуется.
235. D 1) Найдем выборочное среднее:
I = A/517)A12-0 + 168-1 + 130-2 + 68-3 4- 32-4 + 5-5 + 1-6 +
+ 1-7) « 1,54.
2) Примем в качестве оценки Л параметра Л распределения
Пуассона выборочное среднее А = 1,54. Следовательно,
предполагаемый закон Пуассона имеет вид
3) Найдем теоретические вероятности попадания частиц золота в
поле зрения микроскопа при наличии закона Пуассона и при Л =
=Л= 1,54:
0} = 0,2144; р4 = Р{& = 4} = 0,0502;
1} = 0,3301; Р5 = ПЬ = 5} = 0,0155;
2} = 0,2542; p6 = P{^ = 6} = 0,0040;
3} = 0,1305; P7 = P{6 = 7} = 0,0009.
4) Объединим малочисленные частоты E + 1 + 1 = 7) и
соответствующие им теоретические вероятности @,0155 + 0,0040 +
+ 0,0009 = 0,0204). В результате объединения получим следующую
таблицу:
95

&
щ
Pi
0
112
0,2144
1
168
0,3301
2
130
0,2542
3
68
0,1305
4 5
32 7
0,0502 0,0204
5) Находим значение критерия
6) По табл. 6 по уровню значимости а = 0,05 и числу степеней
свободы г-1-1 = 8-1-1 = 6 находим х* m _ 12,6.
Так как \2 < х% т = 12,6, то нет основания отвергнуть гипотезу
о распределении случайной величины ? по закону Пуассона.
Замечание. Поскольку по выборке определен один
параметр, то вместо г - 1 следует брать г - 1 - 1.
236.3-2 = 6.
237. D Первый шар может быть положен в любой ящик, т.е.
распределен п способами. Из оставшихся г - 1 шаров возьмем
второй шар, он также может быть размещен п способами и т.д. до
последнего шара, который также может быть размещен п
способами. По принципу умножения все г шаров могут быть распределены
по п ящикам п*пх...*п = пг способами.
Замечание. Задача о распределении шаров по ящикам
имеет большое число практически важных интерпретаций.
Например, при стрельбе по п мишеням пули соответствуют шарам,
мишени - ящикам; при экспериментах с космическими лучами
частицы,попадающие в счетчики Гейгера, играют роль шаров, а сами
счетчики - ящиков и т.д.
238. D Экзамен в 7-й день можно сдать 3 способами, а сдать два
экзамена в течение первых 6 дней можно А\ = 30 Способами. По
принципу умножения всего существует 3*30 = 90 способов.
239. 9! = 362880; 2.8.7! = 80640; 282240.
240. D Номер автомобиля состоит из пяти мест, на первые два из
которых надо поставить буквы, а на остальные - цифры. Первое
место можно заполнить любой из 32 букв алфавита, т.е. 32
способами. После этого мы снова 32 способами можем заполнить второе
место (повторение букв разрешается). Аналогично, третье место
можно заполнить 9 способами (на это место нельзя ставить цифру
0, так как число должно быть по условию трехзначным), четвертое
- 10 способами, пятое - 10 способами (нуль на этих местах и пов-
96

•горения цифр разрешаются). По принципу умножения получаем
32'32-9*10-10 = 921 600 номеров.
241. С\о С | = 2520.
242. D В формуле бинома Ньютона
A + х)п = С* + С^х +
положим х = 1. Получаем
Так как С* - число Jt-элементных подмножеств множества из п
элементов, то сумма в правой части есть число всех подмножеств.
Таким образом, множество из п элементов имеет 2П подмножеств.
Например, множество из двух элементов {а, Ь} имеет четыре
подмножества: {ф}, {а}, {6}, {а, 6}.
243. Д Использовать результат предыдущей задачи.
244. D Размещения, отличающиеся только номерами шаров в
ящиках, не различаются.
Будем представлять ящики как промежутки между п -\- 1
черточками, а шары условимся обозначать звездочками. Например,
символ | *** |*|||| **** | означает, что г = 8 шаров размещены по
п = б ящикам, причем эти ящики содержат последовательно 3, 1, 0,
0, 0, 4 шаров. Такие символы всегда начинаются и кончаются
черточками, но оставшиеся п - 1 черточек и г звездочек можно
разместить в произвольном порядке. Следовательно, число
различимых размещений равно числу способов выбора г мест среди
я+г-1 мест, т.е. равно С?+г-1 = С*};*.г
Если ни один из ящиков не пуст (что возможно только при г >
> п), то это приводит к следующему ограничению: каждая черточка
должна быть заключена между двумя звездочками. Всего имеется
г - 1 промежутков между звездочками, и в любые п - 1 из них
можно поместить черточки. Следовательно, число различных
способов размещения шаров (в этом частном случае) равно CJJI}.
245.
Д Частные производные порядка г от аналитической функции /
(хи ..., х2) не зависят от порядка дифференцирования, а зависят
лишь от того, сколько раз мы дифференцируем по каждому
переменному. Каждое переменное играет роль ящика. (См. задачу 244.)
246. С 5 +5 (г2 + 1). (См. задачу 244.)
97

247. Пусть событие А = {шары разных цветов}. Элементарным
событием является извлечение из урны каких-то двух шаров.
Пространство О состоит из С? равновероятных элементарных
событий. Белый шар может быть выбран m способами, а черный -
п - т способами. По принципу умножения число всех способов
выбора двух разноцветных шаров равно т(п - т). Следовательно,
число элементарных событий, входящих в Л, равно т(п - т). Итак,
= ro(n -
248. а Пространство п состоит из б3 = 216 элементарных собы-
тийи Число благоприятных исходов равно Л| = 120, откуда Р =
= 120/М«г= 5/9.
Замечание. Если грани игральной кости рассматривать
как "ящики", то возможному исходу эксперимента, состоящего в
трехкратном бросании кости, соответствует распределение 3 шаров
по 6 ящикам. (См. задачу 237.)
249. Q/26 = 15/64.
Замечание. Бели плоские грани монеты рассматривать
как ящики, то возможному исходу эксперимента, состоящего в
шестикратном бросании монеты, соответствует1 распределение 6
шаров по 2 ящикам.
250. Р(Л3) = С% C\JC% « 0,01765; Р(Л*) = 1/С?^ N 0,715*10-7.
251. 3! 2! 2!/10!
252. а) 10-5 45о = 0,3024; б) E/10M = O,O3^j5
А Элементарные события опыта представим строчками и = (t^,
«2, «з, «4i *б), где tfc€@, 1, 2, ..., 9), т.е. i*€(* = 1, 2, 3, 4,.5) можно
выбрать десятью способами. По принципу умножения получаем, что
существует 10 • 10 • 10 • 10 • 10 = 105 различных пятизначных
телефонных номеров.
253. Р = (С»яJ : С*«п и Щм).
Д Бели п сравнительно велико (п > 10), то часто факториал п!
вычисляют приближенно по формуле Стерлинга
п! « пп
точность которой улучшается с увеличением п.
254. г!
255. 1 - г/а.
256. 139/1152 м 0,1207.
98

Д Обозначим я, у время прибытия кораблей. Возможные
значения: 0 < х < 24, 0 < у < 24. Благоприятствующие значения: у - х <
257. 1/2 . Например, при А = г вероятность равна
2 + А2
1/2 - 1/BA7) = 0,3787 ...
Д Слова "случайно бросается" естественно понимать как
случайную равномерно распределенную ориентацию конуса относительно
вертикального направления.
Центр тяжести конуса расположен на его высоте на расстоянии
А/4 от основания. Обозначим его буквой С. Если вертикально
направленный вниз луч, выходящий из точки С, пересекает основание
конуса, то считается, что конус упал на основание. Цз точки С, как
из центра, опишем сферу радиуса \ г2 + (А/4J. Вероятность равна
отношению площади сферического сегмента к площади всей сферы.
258. D Пространство элементарных событий п = {MM, MD, DM,
DD}, где MD озндч?§т, что старший ребенок - мальчик, младший -
девочка и т.д. Будем,<чдр?ть, что каждый исход равновозможен.
Пусть событие Л-у^а{е$$рший ребенок - мальчик}, В =
{младший ребенок - мальчик}. Получаем
259. С*р*A - !>)«-*.
260. Воспользоваться методом математической индукции.
261. D Представим события AUB и В в виде Л11Б = Л + ВА и
J5 = 2М + ВА. Согласно аксиоме аддитивности, вероятность суммы
несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
Поэтому P(AUB) = Р(Л) + Р(ВА) и Р(Д) = Р(вЛ) + Р(АВ), откуда
Р(ЛиБ) = Р(Л) + РE) - Р(Л5). ¦
262. 3/4. Д Событие Л = {ГГ} + {РР} + {ГРР} + {РГГ}, где
Г - "герб", Р - "решетка".
263. 2m(n - т)/п2. Д Пусть Л={шары разных цветов}. Событие
А = {б, ч + чб}, где б означает выпадение белого шара, ч -
выпадение черного шара.
264. D Выигрыш первого игрока может осуществиться или при
первом вынимании или при третьем, откуда
99

2^3 2 2 3
1 5 ^ 4 4 35*
2(п - г - 1Х« " 2)!_2(п- г -1)
п! " я(п - 1) #
266. Р(Л) = 0,024; Р(В) = 0,976; Р(С) = 0,452.
267. а Пусть А{ означает, что t-e письмо попадает в свой
конверт; очевидно, Р(Л$) = 1/3. Событие A%Aj означает, что t-e и /-е
письма попали в свои конверты, поэтому P(A(Aj) = 1/6. Наконец,
() = 1/6. Искомая вероятность
- ЩАХА2) + T>(AXA2AZ) = 2/3.
268. А Общее число членов разложения определителя п-го по-
рядка'фавно п!. Число членов, содержащих заданный элемент,
равно (п - 1)! Число членов, содержащих два заданных элемента,
равно (п - 2)i и т.д., откуда Рп = 1 - ^ + ^ - ^ + ... + (- 1)* ^.
Заметим, что limPn = в.
269. D По определению условной вероятности имеем
_ ЦАС) +Р(ВС) ¦ ЦАВС) _
)
, где P(C)v> 0
270. D а) Пусть П = ^ + Я2 + ... 4- #п, гдш #i#; = 0 при i Ф j.
Тогда Л = A Q = ЛЯ1 + АВ2 + ... + ЛЯП, причем события AHh
АН2у ... , АНп несовместны. Отсюда подучаем> формулу полной
вероятности ^
Р(А) =ЪР(АЩ) = Р(Я0Р(Л|Я0 + ... + Р(Яп)Р(Л|Яп).
!¦ 1
б) Если Р(Л) > 0, то, согласно определению условной
вероятности,
Эту дробь запишем в другом виде в числителе воспользуемся
формулой умножения вероятностей, а в знаменателе - формулой
полной вероятности. В результате получаем формулу Байеса
д Гипотезы: Mi = {среди извлеченных шаров нет белых};
= {один белый}; Я3 = {оба белых}.
100

272. D Событие А2 = {извлечение белого шара из второй урны
после перекладывания}. Гипотезы: П\ - {переложен белый шар},
Я2 = {переложен черный шар}. Тогда
гтттт
. ь , а _- а
a+fca+6+l а + 6*
Таким образом, вероятность извлечения белого шара из второй
урны после перекладывания та же, что и до перекладывания.
Следовательно, такой же будет и вероятность вынуть белый рар, из
третьей, четвертой, ... , n-й урны: Р(ЛП) = а/(а + Ь). ^
273. а Событие А ={выбрано бракованное изделие}. Гипотезы:
Н\ - {выбранное изделие первого завода}, Я2 :'"~ {выбранное
изделие второго завода}. Тогда P(#i) = 1/A + *), Р(Я2) = */A +
•f it). По условию, Р(А\Н\) = ph Р(Л|Я2) = Р2- Используя формулу
Байеса, получаем
Р(н \л) _ ОНР(Я2)Р(Л|Я2) в кр2
( 2l j "" Р(Я0М/« + Р(#2)Р(А|#2) " Л + Ли*
274. Рассмотрим поведение j>(m) как функции т. Из отношения
Р{т)/Щт - 1) =^/ffl видно, что если m > А, то Р(т) < Р(т - 1),
если же т < Д^то Р(т) > Р(т - 1), если, наконец, m = А , то
Р(т) = Р(т - 1). Отсюда делаем вывод, что величина Р(т)
возрастает при увеличении т от 0 до то = [А] и при дальнейшем
увеличении т убывает. Бели А - целое число, то Р(т) имеет два
максимальных значения: при ш0 = А и при т^ = А - 1.
275. D Результат п испытаний можно записать в виде строчки хь
^2»-» хп, где Х( - исход t-ro испытания. За множество fl = {w}
примем множество всевозможных строчек ш = (х\у х2, ..., хп). Так как
испытания независимы, то для любого элементарного события ш €
€ А имеем р(ш) = pmi pm2 ... i^r- Подсчитаем число элементарных
1 2 г
событий, входящих в Л. Исход 1 на mi местах строчки и = (хь х2,
... , хп) можно расположить О%\ способами; исход 2 на оставшихся
л - mi местах можно расположить С^ способами и т.д. Согласно
принципу умножения получаем, что это число равно Сп* С J|?w ...
... _ . Следовательно,
101

или
Pn (mb m2, ... , mr) =
где mi 4- т2 + ... + тг = п, т* > 0, />i + р2 4- ... + рг = 1.
Замечание. При г = 2 полиномиальное распределение
сводится к биномиальному с р\= р, р2 = 1 - р, mi = т, т2 = п - т.
276. D В формуле для полиномиального распределения положим
п= 12, mi = ... = тб = 2, р\ = ... = р6 = 1/6. Получаем
Р12B, 2, 2, 2, 2, 2) = ^jqp = °'0034 -
277. 0,0588.
278- 5/72 =riff,9694 ...
10! • 4 [21« Г . 2]6 - и 0093
А\ 3!1! 1! 1! [ж] I1 xj -u-ooy'5--
280. Р5B, 2, 1) + Р5C, 2, 0) + Р5B, 3, 0) = 50/243 = 0,2057.
281. Р3A, 1, 1) + Р3B, 1, 0) + Р,A, 2, 0) = Q.245.
282. D Однозначное случайное число четно с вероятностью />i=
= 5/10 = 1/2, нечетно и кратно трем с вероятностью р2 = 2/10 =
= 1/5. Вероятность остальных исходов р$ = ЦД^Р**- р2 = З/Ю^Если
^1 - число четных чисел среди 10 случайных чисел, ?2 ~ число
нечетных чисел, кратных трем, то число остальных чисел ?3 = Ю -
— 6 ~ ?г и п0 формуле полиномиального распределения при п = 10
находим
= 4, fc = 2} =Р{6 = 4, 6 = 2, 6 = 4}=
10!
"гИГЙ H lloj = °'063787-
283. « 0,8185. Д Так как значение npq = 3600 велико, то можно
воспользоваться интегральной формулой Муавра-Лапласа.
284. Р2п(я) « 0,564-fn. Так как р и q не малы, а п велико, то
можно применить локальную формулу Муавра - Лапласа.
285. D Обозначим нормально распределенную величину i/.
Имеем
V = toft * = eV; Цу) =
Функция еУ монотонна:
-(\пх-аУ
f(x) = / (lnx) • (Inx) ' = —i- e 2(т2 при x > 0.
102

Такое распределение величины ? называется логарифмически
нормальным.
Замечание. Логарифмически нормальное распределение
встречается в ряде технических задач.
286. D Дискретная случайная величина rj имеет всего два
значения: - 1 и + 1 (вероятность того, что !/ = 0, равна нулю). Тогда
p{v = - 1} = pu < 0} = | /(x)dx =f(o); П{ч = +1} =
> 0} = 1 - F@);
= 4F@)[l -
где F(x) - функция распределения случайной величины ?.
287. d По определению,
- о)
" = —— \(х - а)п e-c»-e)^2o8dx = — f
Этот интеграл пддтр н§детном равен нулю. Пусть теперь п
четно. Пут^м последовательной интеграции по частям получаем
Гe.t2/2d<= 1#3 (n.
I
Замечание. Не следует думать, что для всякого
распределения существуют моменты всех порядков. Начиная с некоторого
порядка п моменты могут оказаться бесконечными.
288. D По определению, As = /лз/^3, #fc = н1°* ~ 3.
Для нормального распределения с математическим ожиданием а
имеем (см. задачу 287) ц3 = М(? - аK = 0, /ц = М(? - аL = 3^.
Поэтому As = 0, Ек = 3 - 3 = 0. ¦
Замечание. Если асимметрия и эксцесс некоторой
случайной величины отличны от нуля, то это свидетельствует о том, что
распределение этой случайной величины отлично от нормального.
289. D a) <p (t) = Ме*Ч = Ме«'<а*+*» = е*ь<р (at).
б) Пусть ? и т) - две независимые случайные величины - и пусть
103

+ 7). Тогда <р (<) = <р (t) =
Итак, характеристическая функция суммы двух независимых
случайных величин равна произведению их характеристических
функций.
290. D а) Характеристическая функция равна
<p(t) = L ] eitxdx - * | (cos^ + , sin*x)d*=
za -a za -a at
б) Характеристическая функция равна
<p(t) = S e^C^p^g^-^ = Б №(рей)то^1т = (рей
в) Характеристическая функция равна
1»0 1й0
1 °°
г) Характеристическая функция у>(^) = - ( e*te/(l + x2)dx.
7Г во
Пусть z - комплексное переменное и функция g(z) = е*^/A + л:2).
Функция ^(г) имеет простые полюсы в точках : = i и z = - i с
вычетами -^j- 1^ = е"*/B|) и -^- |z = .< = - е*/B«).
2*
Согласно теории вычетов имеем: при t > 0 ^()
«] = е"*, при t < 0 у>(<) = 2ш'*выч[0(*); - t] = - в*. Таким
образом, для любого значения i характеристическая функция <p(t) =
1 ^
е) Нормально распределенная случайная величии ? при а = 0,
= 1 имеет характеристическую функцию
р (<) = — J
Применяя подстановку z = х - it, получаем
1
iplt) =— e-^
Функция е'*2/2 является аналитической, и интеграл по
замкнутому контуру прямоугольника с вершинами А(- Д), 5(+ Д), С(Д -
— i<), D(- R - г<) равен нулю. Имеем
104

R'it Я „ R-it o ~R
f e'^2dz=j e'*2'2d* + fe-*2'2d*+ [
-Я-tt -Я Я -R-it
На БС 2 = Я - iy(O < у < i), *2 = Я2 - y2 - 2Я«у и dz = - tdy,
поэтому
I/I j
о
При R > t получаем
<&•&'2dy= te'iR2-y2)'2->0npH Я->oo.
Точно так же доказывается, что f e~z2/2dz -» 0 при Я - оо. Таким
образом, при Я - оо имеем \ e'z2'2dz = f e'**'2dz + 0 + 0 = |2т.
Итак, ^ (<) = е-^2.
Если случайная величина ? имеет нормальное распределение с
параметрами @, 1), то величина а(+а имеет нормальное
распределение с параметрами (а, а2). (См. задачу 157). Итак, <р =
291. <p(t) = l-p + e'fy.
292. а Сначала вычислим функцию распределения суммы ? + г).
По определению,
= ? /-(r)dxyr
Производя во внутреннем интеграле замену у = и — х и меняя
M=Z «>
порядок интегрирования, имеем F (z) = f d« f fJx)f (и -
?+1/ оо оо ? Ту
Дифференцируя последнее равенство по z, приходим к формуле
свертки, или композиции для плотностей:
= L #
С помощью этой формулы можно по плотностям двух
независимых случайных величин ? и i/ находить плотность вероятности их
суммы"
105

293. а Произведение ? ij равно нулю, если равен нулю хотя бы
один из сомножителей: {р = 0} = {( = 0, у = - 1}U{? = t) = 0}U
U {? = 0, J? = 1}U{* = 1, А = 0}, откуда ?{р = 0} = 1/16 + 1/4 +
+ 1/16 + 1/4 = 5/8. Оставшиеся два значения A, - 1) и A, 1) пары
значений (?, у) приводят к двум значениям />: - 1 и 1,
Следовательно, Р{р = - 1} = 1/16, Р{/> = 1} = 5/16. Таким образом,
величина р дискретна, ее распределение сосредоточено на
значениях - 1, 0, 1 и вероятности этих значений равны соответственно
1/16, 5/8, 5/16.
294. D Зададимся некоторым значением z и рассмотрим на
плоскости Оху область, где у/х < z. Функция распределения
ПА = \\ /(«, f)d« dy = f dx T f(xy)dy + ?d* f/(«,)df.
Дифференцируя по <г, имеем
Так как случайные величины ? и v независимы, то
Ja e dx _ I Te
Ь viz * t
т.е. случайная величина р распределена по закону Коши.
295. о Пусть ? - дискретная случайная величина, хj - ее
возможные значения. Тогда D? = Е(*$ — М?JР{? =. xt}. Бели суммирова-
ние по всем Х{ заменить суммированием по всем Х{ таким, что | Х{ -
е, то сумма не увеличится. Таким образом,
Аналогично доказывается неравенство для непрерывной
случайной величины ?.
Замечание. Бели в неравенстве Чебышева положить т) =
= ( — М?, то D? = Miy2 и неравенство принимает вид P{|i>| > е} <
296. D Положим tin = (& -f ... + ?n)/n. Тогда
Щп = (Мб + ... + М60/п;
Di?n = (D& + ... + D?n)/n2 < (с + ... + с)/п2 = пс/п* = с/п.
106

Применяя к случайной величине rjn неравенство Чебышева и
учитывая оценку Diyn < с/п, получаем P{|i?n ~ Miyn| < е > 1 -
— с/(пе2) и при п -* оо имеем lim P{|i/n - Mrjn\ < е} = 1. ¦
fl~*oo
297. D Рассмотрим частный случай теоремы Чебышева, когда
каждая из случайных величин &, ... , ?п может иметь лишь два
значения: 1 с вероятностью р и 0 с вероятностью q = 1 - р. Тогда
Мй=1-р + 0-*=|>-О&=и<1/4.
Если число успехов в п испытаниях обозначим через /i, то & +
+ 6 •» + (п = /• и теорема Чебышева обращается в теорему Бер-
нулли.
Теорема утверждает, что вероятность малых отклонений частоты
успеха от его вероятности р близка к единице, если только п
достаточно велико. ¦
Замечание. Теорема Бернулли (опубликована в 1713 г.)
является законом больших чисел в простейшей форме.
298. - 2/15; и 11,74.
Замечание. Необходимо помнить, что выборочные среднее
и дисперсия - случайные величины.
299. D Вычислим величину
2 = ( " ПКJ + (у2 - ПР2J + ( - ПРЗJ + ( - ПР4У = 4 56
прх ПР2 npZ npA '
(щ = 26, 1/2 = 32, j/3 = 17, vA = 25, pi - 0,25, п = 100, прг = 25).
Число степеней свободы распределения х2 в данном случае г - 1 =
= 4 - 1 = 3. По табл. 6 находим (для уровня значимости а = 0-»05)
X2 = 7,8. Так как 4,56 < 7,8, то гипотеза подтверждается.
а,тп
300. а) Нет, так как четные степени данной матрицы являются
единичными матрицами, а нечетные степени совпадают с заданной
матрицей.
б) Да, так как все элементы матрицы положительны.
Замечание. Самый простой способ проверки цепи на
эргодичность заключается в том, что нужно проследить, являются
ли элементы степеней матрицы перехода положительными или нет.
При этом выгодно вычислять как можно более высокие степени Р.
2
301. d Все элементы Р строго положительны. Поэтому цепь
эргодическая, т.е. для нее существуют предельные вероятности.
Для нахождения предельных вероятностей Ъ\, Ь2, 6з решим систему
уравнений Ь{ + Ь2 + Ь3 = 1,0 + 0,562 + 0,563 = *ь 0,56i+0 + 0,563 =
= b2y 0,5&i + 0,5^2 + 0 = 6з> в результате получим 6Х = 62 = Ь3 =
= 1/3.
107

ТАБЛИЦЫ
Таблица 1. Значения функции е'х
X
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
0,20
0,22
0,24
0,26
0,28
0,30
0,32
0,34
0,36
0,38
0,40
1,000
0,980
0,961
0,942
0,923
0,905
0,887
0,869
0,852
0,835
0,819
0,803
0,787
0,771
0,756
0,741
0,726
0,712
0,698
0,648
0,670
X
0,40
0,42
0,44
0,46
0,48
0,50
0,52
0,54
0,56
0,58
0,60
0,62
0,64
0,66
0,68
0,70
0,72
0,74
0,76
0,78
0,80
0,670
0,657
0,644
0,631
0,619
0,606
0,595
0,583
0,571
0,560
0,549
0,538
0,527
0,517
0,507
0,497
0,487
0,477
0,468
0,458
0,449
X
0,80
0,82
0,84
0,86
0,88
0,90
0,92
0,94
0,96
0,98
1,00
1,20
1,40
1,60
1,80
2,00
2,20
2,40
2,60
2,80
3,00
0,449
0,440
0,432
0,423
0,415
0,407
0,399
0,391
0,383
0,375
0,368
0,302
0,247
0,202
0,165
0,135
0,111
0,091
0,074
0,061
0,050
X
3,00
3,20
3,40
3,60
3,80
4,00
4,20
4,40
4,60
4,80
5,00
5,20
5,40
5,60
5,80
6,00
6,20
6,40
6,60
6,80
7,00
0,050
0,041
0,033
0,027
0,022
0,0183
0,0150
0,0123
0,0101
0,0082
0,0067
0,0055
0,0045
0,0037
0,0030
0,0025
0,0020
0,0017
0,0014
0,0011
0,0009
Таблица 2. Значения функции
m
\ А
0
1
2
3
4
5
m ^s.
0
l
108
0,1
0,9048
0,0905
0,0045
0,0002
0,7
0,4966
0,3476
0,2
0,8187
0,1638
0,0164
0,0011
0,0001
0,8
0,4493
0,3595
0,3
0,7408
0,2222
0,0333
0,0033
0,0002
0,9
0,4066
0,3659
0,4
0,6703
0,2681
0,0536
0,0072
0,0007
0,0001
1,0
0,3679
0,3679
, 0,5
0,6065
0,3033
0,0758
0,0126
0,0016
0,0002
2,0
0,1363
0,2707
0,6
0,5488
0,3293
0,0988
0,0198
0,0030
0,0004
3,0
0,0498
0,1494

Продолжение табл. 2
т ^\^^
2
3
4
5
6
7
8
9
10
И
12
0,7
0,1217
0,0284
0,0050
0,0007
0,0001
0,8
0,1438
0,0383
0,0077
0,0012
0,0002
0,9
0,1647
0,0494
0,0111
0,0020
0,0003
1,0
0,1839
0,0613
0,0153
0,0031
0,0005
0,0001
2,0
0,2707
0,1804
0,0902
0,0361
0,0120
0,0034
0,0009
0,0002
3,0
0,2240
0,2240
0,1680
0,1008
0,0504
0,0216
0,0081
0,0027
0,0008
0,0002
0,0001
m ^v.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
4,0
0,0183
0,0733
0,1465
0,1954
0,1354
0,1563
0,1042
0,0595
0,0298
0,0132
0,0053
0,0019
0,0006
0,0002
0,0001
5,0
0,0067
0,0337
0,0842
0,1404
0,1755
0,1755
0,1462
0,1044
0,0653
0,0363
0,0181
0,0082
0,0034
0,0013
0,0005
0,0002
0,0001
6,0
0,0025
0,0149
0,0446
0,0892
0,1339
0,1606
0,1606
0,1377
0,1033
0,0688
0,0413
0,0225
0,0113
0,0052
0,0022
0,0009
0,0003
0,0001
7,0
0,0009
0,0064
0,0223
0,0521
0,0912
0,1277
0,1490
0,1490
0,1304
0,1014
0,0710
0,0452
0,0264
0,0142
0,0071
0,0033
0,0015
0,0006
8,0
0,0003
0,0027
0,0107
0,0286
0,0572
0,0916
0,1221
0,1396
0,1396
0,1241
0,0993
0,0722
0,0481
0,0296
0,0169
0,0090
0,0045
0,0021
9,0
0,0001
0,0011
0,0050
0,0150
0,0337
0,0607
0,0911
0,1171
0,1318
0,1318
0,1186
0,0970
0,0728
0,0504
0,0324
0,0194
0,0109
0,0058
Таблица 3. Значения функции <р(х) =
X
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0
0,3989
0,3970
0,3910
0,3814
0,3683
0,3521
5
0,3984
0,3945
0,3867
0,3752
0,3605
0,3429
X
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
0
0,0540
0,0440
0,0355
0,0283
0,0224
0,0175
5
0,0488
0,0396
0,0317
0,0252
0,0198
OfO154
109

Продолжение табл. 3
X
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
0
0,3332
0,3123
0,2897
0,2661
0,2420
0,2179
0,1942
0,1714
0,1497
0,1295
0,1109
0,0940
0,0790
0,0656
5
0,3230
0,3011
0,2780
0,2541
0,2299
0,2059
0,1826
0,1604
0,1394
0,1200
0,1023
0,0863
0,0721
0,0596
X
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
0
0,0136
0,0104
0,0079
0,0060
0,0044
0,0033
0,0024
0,0017
0,0012
0,0009
0,0006
0,0004
0,0003
0,0002
5
0,0119
0,0091
0,0069
0,0051
0,0038
0,0028
0,0020
0,0015
0,0010
0,0007
0,0005
0,0004
0,0002
0,0002
Таблица 4. Значения функции Ф(х) = J
X
-0,0
-од
-0,2
-0,3
-0,4
-0,5
-0,6
-0,7
-0,8
-0,9
-1,0
-U
-1,2
-1,3
-1,4
-1,5
-1,6
-1,7
-1,8
-1,9
-2,0
-2,1
-2,2
-2,3
-2,4
-2,5
-2,6
ПО
0
0,5000
0,4602
0,4207
0,3821
0,3446
0,3085
0,2743
0,2420
0,2119
0,1841
0,1587
0,1357
0,1151
0,0968
0,0808
0,0668
0,0548
0,0446
0,0359
0,0288
0,0228
0,0179
0,0139
0,0107
0,0082
0,0062
0,0047
2
0,4920
0,4522
0,4129
0,3745
0,3372
0,3015
0,2676
0,2358
0,2061
0,1788
0,1539
0,1314
0,1112
0,0934
0,0778
0,0643
0,0526
0,0427
0,0344
0,0274
0,0217
0,0170
0,0132
0,0102
0,0078
0,0059
0,0044
4
0,4840
0,4443
0,4052
0,3669
0,3300
0,2946
0,2611
0,2297
0,2005
0,1736
0,1492
0,12ft
0,1075
0,0901
0,0749
0,0618
0,0505
0,0409
0,0329
0,0262
0,0207
0,0162
0,0125
0,0096
0,0073
0,0055
0,0041
6
0,4761
0,4364
0,3974
0,3594
0,3228
0,2877
0J2546
0,2236
0,1949
0,1685
0,1446
0,1230
0,1038
0,0869
0,0721
0,0594
0,0485
0,0392 *
0,0314
0,0250
0,0197
0,0154
0,0119
0,0091
0,0069
0,0052
0,0039
8
0,4681
0,4286
0,3897
0,3520
0,3156
0,2810
0,2483
0,2177
0,1894
0,1635
0,1401
0,1190
0,1003
0,0838
0,0694
0,0571
0,0465
0,0375
0,0301
0,0239
0,0188
0,0146
0,0113
0,0087
0,0066
0,0049
0,0037

Продолжение табл. 4
X
-2,7
-2,9
-3,0
-зд
-3,2
-3,3
'3,4
-3,5
-3,6
-3,7
-3,8
-3,9
0
0,0035
0,0026
0,0019
0,0013
0,0010
0,0007
0,0005
0,0003
0,0002
0,0002
0,0001
0,0001
0,0000
2
0,0033
0,0024
0,0018
4
0,0031
0,0023
0,0016
6
0,0029
0,0021
0,0015
8
0,0027
0,0020
Ф(х) + Ф(- х) « 1.
Таблица 5. Значения t , удовлетворяющие равенству 2 fа sn-i($dz = 1 - а
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
0,90
6,31
2,92
2,35
2,13
2,02
1,943
1,895
1,860
1,833
1,812
1,796
0,95
12,71
4,30
3,18
2,77
2,57
2,45
2,36
2,31
2,26
2,23
2,20
0,90
63,7
9,92
5,84
4,60
4,03
3,71
3,50
3,36
3,25
3,17
3,11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
25
30
0,90
1,782
1,771
1,761
1,753
1,746
1,740
1,734
1,729
1,725
1,708
1,697
0,95
2,18
2,16
2,14
2,13
2,12
2,11
2,10
2,09
2,09
2,06
2,04
0,90
3,06
3,01
2,98
2,95
2,92
2,90
2,88
2,86
2,84
2,79
2,46
Таблица б. Значения функции \2
Функция X2 т определяется равенством Р{х« > Х2а т)
а , где случайная
величина Хт имеет X2 " распределение с т степенями свободы. Плотность
распределения \т
т ^^^^^^
1
2
0,05
3,8
6,0
0,01
6,8
9,2
^^^^^ а
13
14
0,05
22,4
L 23,7
0,01
27,7
29,1
111

Продолжение табл. 6
^\ а
т ^"\^^
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
0,05
7,8
9,5
11,1
12,6
14,1
15,5
16,9
18,3
19,7
21,0
0,01
11,3
13,3
15,1
16,8
18,5
20,1
21,7
23,2
24,7
26,2
т ^^^^^
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
0,05
25,0
26,3
27,6
28,9
30,1
31,4
32,7
33,9
35,2
36,4
0,01
30,6
32,0
33,4
34,8
36,2
37,6
38,9
40,3
41,6
43,0
СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
Предисловие 3
Основные обозначения и сокращения \ 4
Литература 4
Теория вероятностей 5
§ 1. Пространство элементарных событий. Операции над случайными
событиями 5
§ 2. Задачи на классическую вероятность. Геометрическая вероятность . . 7
§ 3. Условная вероятность. Независимость событий 12
§ 4. Теоремы сложения и умножения вероятностей 13
§ 5. Формула полной вероятности. Формула Байеса 16
§ 6. Повторение испытаний. Формула Бернулли и приближенная
формула Пуассона 17
§ 7. Теоремы Муавра - Лапласа 19
§ 8. Случайные величины. Функция распределения 21
§ 9. Закон распределения функции от одной случайной величины 24
* § 10. Числовые характеристики случайных величин 26
§ 11. Двумерные случайные величины. Формула композиции.
Коэффициент корреляции 32
§ 12. Неравенство П.Л.Чебышева и закон больших чисел . . . / 37
§ 13. Однородные цепи Маркова 38
Математическая статистика
§ 14. Выборка. Эмпирическая функция распределения. Гистограмма .... 45
§ 15. Точечные оценки неизвестных параметров распределения 47
§ 16. Метод доверительных интервалов для оценки неизвестных
параметров 50
§ 17. Выборочный коэффициент корреляции. Линейная регрессия 52
§ 18. Метод наименьших квадратов 54
§ 19. Статистическая проверка гипотезы о законе распределения.
Критерий X2 (хи-квадрат) 55
Общий раздел
Ответы " 65
Таблицы 108