А. В. ПРОХОРОВ, В. Г. УШАКОВ, Н. Г. УШАКОВ
ЗАДАЧИ
ПО ТЕОРИИ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Допущено Министерством высшего и среднего
специального образования СССР в качестве учебного пособия
для студентов университетов, обучающихся
по специальностям «Математика» и «Прикладная математика»
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1986

ББК 22.171
П 84
УДК 519.2
Прохоров А. В., Ушаков В. Г., Ушаков Н. Г. Задачи по теории
вероятностей: Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы:
Учебное пособие.— М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986.— 328 с.
Сборник задач содержит около 1500 задач и рассчитан на изучеппе расши-
расширенного курса теории вероятностей (содержит, в частности, разделы, посвя-
посвященные безгранично делимым распределениям, условным математическим
ожиданиям и условным вероятностям, случайным процессам).
Для студентов математических специальностей университетов.
Библиогр. 41 назв.
Рецензенты:
кафедра теории вероятностей и математической статистики Ленинград-
Ленинградского государственного университета им. А. А. Жданова (заведующий кафед-
кафедрой доктор физико-математических наук профессор В. В. Петров),
доктор физико-математических наук профессор В. П. Чистяков
п 1702060000-055 64_85 © ^аГр^а^Г
053@2)-8.6 физико-математической
литературы, 1880

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Глава 1. Введение в теорию вероятностей . . 7
§ 1. Операции над событиями. Свойства вероятностей .... 9
§ 2. Классическое определение вероятности 11
§ 3. Геометрические вероятности 16
§ 4 Условная вероятность. Независимость 18
Глава 2. Основные понятия теории вероятностей 23
§ 1. Вероятностное пространство 26
§ 2. Случайные величины. Математическое ожидание .... 30
§ 3. Независимость 32
Глава 3. Распределения случайных величин 37
§ 1. Функции распределения 42
§ 2. Моменты 49
§ 3. Корреляция 56
§ 4. Некоторые важные распределения 58
§ 5. Распределения сумм независимых случайных величин ... 61
§ 6. Неравенства 68
§ 7. Расстояния в пространстве вероятностных распределений . . 69
§ 8. Многомерные распределения 71
§ 9. Разные задачи 75
Глава 4. Аналитические методы теории вероятностей 80
§ 1. Производящие функции 81
§ 2. Характеристические функции и их основные свойства ... 83
§ 3. Связь свойств характеристических функций со свойствами рас-
распределений. Неравенства 89
§ 4. Формулы обращения 94
§ 5. Преобразования Лапласа 97
§ 6. Разные задачи 98
Глава 5. Сходимость последовательностей случайных величин и веро-
вероятностных распределений 104
Глава 6. Предельные теоремы теории вероятностей 118
§ 1. Закон больших чисел 122
§ 2. Сходимость рядов из независимых случайных величин . . . 126
§ 3. Усиленный закон больших чисел 130
§ 4. Центральная предельная теорема 132
1* 3

§ 5. Разные задачи 136
§ 6. Применения предельных теорем 142
Глава 7. Условные распределения и условные математические ожи-
ожидания 148
Глава 8. Безгранично делимые распределения 154
Глава 9. Дискретные цепи Маркова 161
§ 1. Основные понятия и соотношения 162
§ 2. Классификация состояний 167
§ 3. Стационарные и предельные распределения 171
§ 4. Разные задачи 173
Глава 10. Случайные процессы 174
§ 1. Основные понятия 182
§ 2. Ветвящиеся процессы 187
§ 3. Марковские процессы 188
§ 4. Процессы массового обслуживания 191
§ 5. Винеровский процесс 195
§ 6. Процессы с независимыми приращениями 197
§ 7. Стационарные процессы 200
§ 8. Мартингалы 203
§ 9. Разные задачи 20&
Ответы, указания, решения 20&
Список учебных изданий по теории вероятностей , ..... 326

ПРЕДИСЛОВИЕ
За последнее десятилетие значительно увеличился объем препо-
преподавания теории вероятностей в высших учебных заведениях.
В университетах на математических факультетах читается годовой
или полуторагодовой курс теории вероятностей, случайных процес-
процессов и математической статистики, появились новые курсы по веро-
вероятности в технических вузах, изданы новые учебники.
Предлагаемый сборник задач был задуман как учебное пособие,
приспособленное к университетским курсам теории вероятностей и
таким современным учебникам, как «Теория вероятностей»
А. А. Боровкова, «Вероятность» А. Н. Ширяева, «Курс теории слу-
случайных процессов» А. Д. Вентцеля, «Теория вероятностей. Случай-
Случайные процессы. Математическая статистика» Ю. А. Розанова, «Курс
теории вероятностей и математической статистики» Б. А. Севасть-
Севастьянова. В книге отражен опыт авторов, работавших на механико-
математическом факультете и факультете вычислительной матема-
математики и кибернетики Московского университета. Сборник содержит
около 1500 задач по многим разделам теории вероятностей, в том
числе и по теории случайных процессов. При этом материал, соот-
соответствующий программе общего курса, расширен за счет включения
тем, которые традиционно составляли содержание курса «Допол-
«Дополнительные главы теории вероятностей», читавшегося в течение мно-
многих лет в МГУ. Это относится в первую очередь к главам «Анали-
«Аналитические методы теории вероятностей», «Безгранично делимые рас-
распределения», «Условные распределения и условные математические
ожидания». Задачник имеет небольшой отдел по элементарной тео-
теории вероятностей. Это оправдано тем, что начальная часть курса
теории вероятностей очень хорошо обеспечена задачами в первом
томе известной книги В. Феллера «Введение в теорию вероятно-
вероятностей и ее приложения» и в недавно изданном «Сборнике задач по
теории вероятностей» Б. А. Севастьянова, В. П. Чистякова и
А. М. Зубкова. В гл. 1 представлены основные схемы элементарной
теории вероятностей: урновая схема, схема размещения частиц по
ячейкам и схема случайного блуждания. В параграфе, посвящен-
посвященном геометрическим вероятностям, собраны известные («классиче-
(«классические») задачи ввиду их поучительности (эти задачи легко фор-
формулируются в терминах «выбора точки наудачу»). Сборник содер-
содержит большое чисдо задач, связанных с распределениями вероятно-
5

стей, характеристическими функциями и предельными теоремами.
Разделы, посвященные предельным теоремам и случайным процес-
процессам, ни в коей мере не претендуют на полноту и объединяют за-
задачи, естественно связанные с содержанием общего (хотя и доста-
достаточно широкого по программе) курса теории вероятностей.
Задачи в сборнике имеют разную степень трудности и рассчи-
рассчитаны на читателей, находящихся на различных этапах овладения
основами теории вероятностей. Кроме задач учебного характера,
в сборник включены задачи, которые могут быть полезны студен-
студентам и даже аспирантам, занимающимся углубленным изучением
специальных разделов теории. Задачи, как правило, снабжены от-
ответами, многие задачи имеют указания к решению, некоторые за-
задачи имеют подробное решение. В конце книги приведен список
учебников и сборников задач по теории вероятностей, используемых
в высших учебных заведениях.
Авторы сознают, что сборник задач такого большого объема не-
неизбежно вызовет критические замечания читателей как с точки
зрения структуры, так и с точки зрения содержания отдельных раз-
разделов и отдельных задач. Решившись издать сборник задач в на-
настоящем виде, авторы рассчитывают получить указания, замечания
и предложения и заранее благодарны всем своим корреспондентам.
Авторы выражают свою глубокую благодарность сотрудникам
кафедры математической статистики факультета вычислительной
математики и кибернетики и кафедры математической статистики
и случайных процессов механико-математического факультета Мо-
Московского университета за неоценимую помощь и поддержку в ра-
работе над сборником задач. Добрежелательные критические указания,
полученные авторами от профессора В. П. Чистякова и коллектива
кафедры теории вероятностей и математической статистики мате-
матико-механического факультета Ленинградского университета,
помогли освободить рукопись книги от многих недочетов и погреш-
погрешностей. Авторы выражают рецензентам сердечную признательность
за их труд.
А. Б. Прохоров, В. Г. Ушаков, Н. Г. Ушаков

Глава 1
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Исходным понятием теории вероятностей является понятие вероятност-
вероятностного пространства как математической модели изучаемого явления.
Пусть Q — непустое множество, элементы которого интерпретируются как
неразложимые, исключающие друг друга исходы ш случайного эксперимен-
эксперимента и называются элементарными событиями (само Q называется пространст-
пространством элементарных событий), s4- — класс подмножеств AcQ, называемых со-
событиями, Р — числовая функция, определенная для каждого события 4erf
и носящая название вероятности.
Поскольку события являются подмножествами Q, можно использовать те-
теоретико-множественную терминологию и определить новые события путем
объединения, пересечения, перехода к дополнениям соответствующих мно-
множеств. По аналогии с операциями над множествами определим операции
пад событиями, используя специфическую вероятностную терминологию.
Если случайный эксперимент заканчивается исходом ш и w e А, то го-
говорят, что осуществилось (произошло) событие А, если А е бФ. Пусть А, В s=
erf — события. Событие A U В (объединение множеств А и В) осуществля-
осуществляется тогда, когда осуществляется по крайней мере одно из событий А или В.
Событие А П В = АВ (пересечение множеств А и В) осуществляется тогда,
когда осуществляются оба события А и В. Событие Л, противоположное со-
событию А (дополнение А), осуществляется тогда, когда не осуществляется А.
Событие А\В (разность множеств А и В) осуществляется тогда, когда осуще-
осуществляется А, но В не осуществляется. Событие А А В (симметрическая раз-
разность множеств А и В) осуществляется тогда, когда осуществляется А и не
осуществляется В, или когда осуществляется В и не осуществляется А. Собы-
Событие Q называют достоверным событием, а событие 0 (пустое множество) —
невозможным событием. События А и В несовместны, если АВ = 0.
Класс событий rf удовлетворяет следующим свойствам:
lJerf;
2) если А е rf, то А е rf;
оо
3) если А\, А2, ..., Ап, ... е $Ф, то U Ai е rf. Класс множеств с указап-
г=1
пымп свойствами называется а-алгеброй множеств.
Вероятность Р определена как функция множеств на а-алгебре rf и удов-
удовлетворяет следующим аксиомам:
1) Р(Л) ^ 0 для любого iei;
2) P(Q) = 1;
3) Pi U Аг I = Jv P(ЛЛ, если AiAj = 0 при i ф /.
\i=l I j=1
Тройка (Q, rf, P) называется вероятностным пространством. Его общая
конструкция рассматривается в следующей глгве. Здесь мы будем иметь де-
дело с простейшими формулами для вычисления вероятностей в двух важных
частных случаях, в которых формализовано понятие равновозможности ис-
исходов случайного эксперимента.

Наиболее просто устроено следующее вероятностное пространство:
й = {wi, ..., ш„},
зФ — множество всех подмножеств Q,
Р (А) — —, где п. — число элементарных событий ш, содержащихся в
п
Это определение вероятности как отношения числа элементарных событий,
благоприятствующих некоторому событию, к общему числу элементарных со-
событий, называют классическим определением. Оно имеет непосредственное
отношение к опытам с конечным числом равновозможных исходов. Извест-
Известная симметрия опыта, нашедшая свое выражение в гипотезе равновозможно-
сти, проявляется в словах «наудачу», «правильная» монета или кость и т. п.
Для вычисления вероятностей в таком вероятностном пространстве ис-
используются комбинаторные методы подсчета числа подмножеств некоторого
множества. Главнейшие понятия здесь: сочетания, размещения и переста-
перестановки.
Пусть задано множество из N различных элементов. Рассмотрим его под-
подмножества объема п. Обозначим.
Nl=N(N — 1) ...3-2-1, A^ = N(N — 1) ...{N—n+i).
Упорядоченный набор п различных элементов из общего числа TV называется
размещением. Общее число размещений равно А^. При п — N размещения
называются перестановками и в этом случае А^ = N\. Если не учитывать
порядок элементов в размещении, то получающиеся различные подмножест-
подмножества называются сочетаниями, их общее число равно
/"П ЛП I ЛП
Другой простой случай вероятностного пространства описывается следу-
следующим образом:
Q — ограниченное множество re-мерного евклидова пространства Rn, име-
имеющее re-мерный объем (лебегову меру) mes Q;
s4- — класс подмножеств A s й, имеющих re-мерный объем (лебегову ме-
меру) mes A, A e $Ф\
Р(А) = mes A /mes Q, A e Q.
Это определение обычно называют геометрическим определением вероят-
вероятности. В большинстве задач вероятность определяется как отношение обыч-
обычных площадей или объемов некоторых геометрических фигур в Rn. В таком
случае образно говорят, что «точка наудачу выбрана в некотором множестве»
или «брошена в некоторое множество» и подразумевают, что вероятность вы-
выбора точки из множества пропорциональна его площади или объему.
Важную роль в теории вероятностей играют понятия условной вероят-
вероятности и независимости событий.
Пусть А и В — события и Р(В) > 0. Условная вероятность события А при
условии В определяется формулой
Р
А
События А ж В называются независимыми, если Р(АВ) = Р(Л)Р(В); в
этом случае Р(А\В) = Р(А) и Р(В\А) = Р(В).
События А:, ..., Ап называются взаимно независимыми (независимыми
в совокупности), если для любого k =g п и любых 1 =g U < ¦ ¦ ¦ < h sg n

При решении некоторых задач, связанных с вычислением вероятностей,
бывают полезны следующие формулы.
Пусть события В\, ..., Вп попарпо несовместны, т. е. BtBj = 0, i ф /;
п
пусть U Вг=> А и Р(Вг) > 0 для всех L Тогда
г=1
г=1
п
1) Р (А) = 2 ** (^г) ^ (^ I ^0 (формула полной вероятности);
2) если Р(Л) > 0, то
(формула Байеса).
§ 1. Операции над событиями. Свойства вероятностей
1.1. Пусть Л и В — события. Найти все события X такие, что
= АВ.
1.2. Найти все события X такие, что
(XU Л)и(Х11 А)=>В,
где А и В — некоторые события.
1.3. Определить события А и В, если:
а) А \] В = А; б) АВ = А.
1А. Доказать, что для любых событий А и В соотношения А <= В,
А^>В, AU В = В, АВ = А, А\В = 0 равносильны. _
1.5. При любых А и В сравнить события (A U В) (A U В) U
U (A U В) (A U_B),_ (A U В) (A U B){J (A U В) (A U В) и
(Л U В) (A U В) (AU В) (IU В).
1.6. Доказать равенства:
а) 15 = А I) В; б) A U Л = А5; в) Л U 5 = AS
г) Л А ? = Л.5 U АВ; д) Л A g =>(AB) (IS
е) U ^ = П ~Аи ж) П Аг = U 1Ь
i=i i—1 i=l г=1
1.7. Верны ли следующие равенства:
a) A UB = AB&{A&B); б) А\В=А&(АВ); в) 1\1 = А\В;
г) Л\(Я\С) = (Л\5)\С; д) А&(ВАС) (ААВ)АС
е) (Л и5)\С = Л UE\C); ж)
) Л 4 C)EC 15SC1C
з) (Л U В) (Л U С) (В1)С) = ЛВиВСи AC; n)ABCliABDU
U ACD М BCD ={A U В) (Л U С) (Л U D) (В U С) (В U D) (С U D);
к) (Л U В) A (A U В) = Л А В.
1.8. Обязаны ли совпадать события Л и В, если:
а) А = В; б) ЛиС = ВиС (С—некоторое событие); в) АС =¦
¦=ВС (С —некоторое событие); г) Л (Л U В)= В (Л U В);
д) А(А\В) = В(В\А); е) Л (А\В) = В(А\В); ж) Л\В = 0?
1.9. Пусть А, В, С — некоторые события. Доказать, что
a) AB[)BCUAC=> ABC; б) АВ U ВС U АС с A U В U С.
9

1.10. Двое играют в шахматы. Событие А означает, что выиграл
первый игрок, событие В — что выиграл второй игрок. Что означа-
означают события: _ _
а) А&В; б) А&В; в) А ПВ; г) В\А; д) А\В?
1.11. Из урны, содержащей черные и белые шары, извлечены
п шаров. Пусть At — событие, состоящее в том, что г-ый шар белый
A «? i ^ п). Выразить через At следующие события:
а) все шары белые; б) хотя бы один шар белый; в) ровно один
шар белый; г) не более к шаров белые A «?&«?«); д) по крайней
мере к шаров белые; е) ровно к шаров белые; ж) все п шаров од-
одного цвета.
1.12. Эксперимент состоит в выборе одной из возможных пере-
перестановок чисел 1, 2, .. ., п. Пусть событие Ац состоит в том, что
в выбранной перестановке число i стоит на /-ом месте (i, / =
= 1, 2, ..., п). Выразить с помощью Atj следующие события:
а) число 1 стоит левее числа 2; б) число 1 стоит не далее /-го
места.
1.13. Мишень состоит из десяти кругов, ограниченных концент-
концентрическими окружностями с радиусами Rt < R2 <.. .< Rl0. Сабытие
Ah означает попадание в круг радиуса Rk. Что означают события
D ^(А,иА3)Ае?
п
1.14. Пусть Ai, ..., Ап — любые события и А = U At. Предста-
вить событие А в виде объединения п несовместных событий.
1.15. Является ли операция симметрической разности
а) коммутативной; б) ассоциативной?
1.16. Доказать, что если А&В = CAD, то А&С = B&D.
1.17. Доказать, что события А и В совместны тогда и только
тогда, когда пересечение трех событий A U В, Л II В и A U В не-
непусто.
1.18. Пусть Аи А^ ..., Ап — события. Доказать, что
N N N N
U П Ak = П [} Ah = AN.
n=l h=n
1.19. Доказать, что
Р(А UB)
1.20. Пусть вероятность_каждого из событий А и В равна 1/2.
Доказать, что Р(АВ) = Р(АВ).
1.25. Доказать, что
Р(А АВ) = Р(А) + Р{В)-2Р(АВ).
1.22. Пусть А, В, С— события. Доказать, что:
а) P(AB) + P(AC) + P(BC)>P{A) +
б) Р{АВ)+Р(АС)-Р(ВС)^Р(А).
10

1.23. Доказать, что для любых А, В, С
1.24. Пусть Аи Аг, ..., Ап — события. Доказать, что:
а) р( U ^) = 2Р(Д-)- 2 Р(А^А1а) +
\ J
i=l
+ 2 ? (AhAhAh)+...+{-if'1? {AxA2...An)-
Ki1<i8<i3<n
6)P(AlAA2A ... AAh) = ^ Р(Аг)-2 2 р(АчАн) +
i=l Kt1<i2<n
+ 4 2 P {AhAhAia) +...+(- 2)"-1 P (A,A2... An).
1.25. Пусть A i, ..., Л„ — некоторые события и Z?m — событие,
заключающееся в том, что осуществится ровно т событий из Аи ...
..., Ап. Доказать, что
Р (Вт) = "'(- 1)" C?n+hSm+h,
где
Sh= 2 9(Аг1...А1к).
§ 2. Классическое определение вероятности
1.26 (урновая схема: выбор с возвращением) Некий сосуд (ур-
(урна) содержит N различных шаров с номерами 1, 2, ..., N. На каж-
каждом шаге из урны «наудачу» извлекается шар и затем возвращает-
возвращается назад, после чего шары в урне перемешиваются. Исход п
последовательных извлечений называется выборкой объема п с
возвращением. Описать пространство элементарных событий, соот-
соответствующих данному эксперименту. Рассмотреть отдельно случай,
когда порядок шаров в выборке важен, и случай, когда порядок не
учитывается.
1.27 (продолжение). Рассмотрим случай упорядоченных выбо-
выборок и предположим, что они все равновозможны. Предположим до-
дополнительно, что все шары с номерами 1, 2, ..., М (М ^ iV) ок-
окрашены в белый цвет, а остальные шары — в черный цвет. Най-
Найдите вероятность того, что в выборке объема п окажется ровно т,
О ^ т г? п, белых шаров.
1.28. В схеме выбора с возвращением найдите вероятность того,
что все шары встретятся в выборке не более одного раза.
1.29 (урновая схема: выбор без возвращения). Пусть урна со-
содержит N различных шаров с номерами 1, 2, ..., N. На каждом
шаге из урны «наудачу» извлекается шар и назад в урну не воз-
возвращается. Исход п последовательных извлечений называется вы-
выборкой объема п без возвращения или бесповторной выборкой.
11

Описать пространство элементарных событий в двух случаях: когда
выборка упорядочена и когда не упорядочена.
1.30 (продолжение). Рассмотрим случай упорядоченных выбо-
выборок и предположим, что они равновероятны. Так же как в задаче
1.15, предположим, что шары с первыми М (М ^ N) номерами окра-
окрашены в белый цвет, а остальные — в черный. Найдите вероятность
того, что в выборке объема п окажется ровно пг белых шаров.
1.31 (генуэзская лотерея). Из общего числа 90 номеров разыг-
разыгрываются 5 номеров. Можно заранее сделать ставку на любое число
номеров в пределах пяти. Если ставка сделана на к, к — 1, 2, 3-, 4,
5, номеров и именно эти к номеров находятся среди номеров, вы-
вышедших в тираж, то соответствующие выигрыши таковы:
если к = 1, то 15 ставок,
к = 2, то 270 ставок,
к = 3, то 5500 ставок,
к =¦ 4, то 75000 ставок,
к =5, то 1000000 ставок.
Подсчитать вероятности выигрышей при ставке на любое число но-
номеров.
1.32. На восьми одинаковых карточках написаны соответственно
числа 2, 4, 6, 7, 8, 11, 12 и 13. Наугад берутся две карточки. Оп-
Определить вероятность ¦ того, что образованная из двух полученных
чисел дробь сократима.
1.33. Из полного набора 28 костей домино наудачу берутся 5
костей. Найти вероятность того, что среди них будет хотя бы одна
кость с шестью очками.
1.34. Бросается п игральных костей. Найти вероятность события,
состоящего в том, что на всех костях выпало одинаковое число
очков.
1.35. Монета подбрасывается п раз. Найти вероятность того, что
число появлений герба нечетно.
1.36. Брошены шесть игральных костей. Найти вероятности сле-
следующих событий:
а) на всех костях выпало разное число очков; б) суммарное
число выпавших очков равно 7.
1.37. Игральная кость бросается п раз. Чему равна вероятность
того, что:
а) хотя бы один раз выпадет шестерка? б) шестерка выпадет в
точности один раз?
1.38. (задача игрока де Мере). Какое событие более вероятно:
{при четырех бросаниях кости хотя бы раз выпадет шесть очков}
или {при двадцати четырех бросаниях двух костей хотя бы раз
одновременно выпадут шесть и шесть очков}? Найдите эти вероят-
вероятности.
1.39. Несколько раз бросается игральная кость. Какое событие
более вероятно: {сумма выпавших очков четна} или {сумма выпав-
выпавших очков нечетна}?
12

1.40. Между двумя игроками проводится п партий, причем каж-
каждая партия кончается или выигрышем, или проигрышем, и всевоз-
всевозможные исходы партий равновероятны. Найти вероятность того, что
определенный игрок выиграет ровно т партий, 0 < пг ^ п.
1.41. В зале, насчитывающем п + к мест, случайным образом
занимают места п человек. Определить вероятность того, что будут
заняты определенные пг ^ n мест.
1.42. Для уменьшения общего количества игр 2п команд спорт-
спортсменов разбиваются на две подгруппы. Определить вероятность то-
того, что две наиболее сильные команды окажутся:
а) в разных подгруппах; б) в одной подгруппе.
1.43. Сорок участников турнира разбиваются па четыре равные
группы. Найти вероятность того, что четыре сильнейших участника
окажутся в разных группах.
1.44. Рассмотрим множество из N элементов. Наудачу выбира-
выбирается одно из непустых подмножеств. Найти вероятность того, что
в выбранном подмножестве четное число элементов.
1.45. Из урны, содержащей 2га белых и 2п черных шаров, из-
извлекаются с возвращением In шаров. Найти вероятность того, что
в выборке будет одинаковое число белых и^черпых шаров.
1.46. В урне а белых и Ъ черных шаров (a S* 2, 6^2). Из урны
без возвращения извлекаются два шара. Найти вероятность
того, что:
а) шары одного цвета; б) шары разных цветов.
1.47. В урне находятся 5 шаров различных цветов. Производит-
Производится выборка с возвращением объема 25. Найти вероятность того,
что в выборке будет по 5 шаров каждого цвета.
1.48. В урне К красных, L белых и М черпых шаров. Из урны
с возвращением (без возвращения) извлекается п шаров. Найти
вероятность того, что в выборке будет к красных, I белых и пг чер-
черных шаров.
1.49. В урне находятся черные и белые шары, которые без воз-
возвращения извлекаются из урны. Какое событие более вероятно:
{первый шар оказался белым} или {последний шар оказался бе-
белым)?
1.50. В урне находятся черные и белые шары, причем отноше-
отношение числа белых шаров к числу черных шаров равно а. Найти
вероятность того, что при извлечении всех шаров из урны послед-
последним окажется черный шар.
1.51. В урне находятся а белых и Ъ черных шаров. Шары без
возвращения извлекаются из урны. Найти вероятность того, что
к-& вынутый шар оказался белым.
1.52. Из урны, в которой находятся черные и белые шары,
с возвращением извлекаются два шара. Доказать, что вероятность
того, что шары одного цвета, не меньше 1/2.
1.53. В урне содержится а белых и Ъ черных шаров (аФЪ).
Все шары без возвращения извлекаются из урны. Какое событие
более вероятно: {в некоторый момент число извлеченных белых
13

шаров равно числу извлеченных черных шаров} или {в некоторый
момент число оставшихся в урне белых шаров равно числу остав-
оставшихся черных шаров)? Найти эти вероятности.
1.54. п лиц рассаживаются в ряд в случайном порядке. Какова
вероятность, что два определенных лица окажутся рядом? Найти
соответствующую вероятность, если те же лица садятся за круг-
круглый стол.
1.55. п лиц рассаживаются в ряд или за круглый стол в случай-
случайном порядке. Найти в том и другом случае вероятность того, что
между двумя определенными лицами окажется ровно s человек.
1.56 (размещение шаров По ящикам). Рассмотрим случайный
эксперимент, в котором различимые (занумерованные) шары раз-
размещаются по нескольким ящикам, так что каждый шар может по-
попасть в ящик с любым номером. Описать множество всех разли-
различимых размещений — элементарных исходов данного эксперимента.
Считая все элементарные события равновероятными, вычислить со-
соответствующие вероятности.
1.57 (продолжение). Рассмотрим тот же эксперимент, но на этот
раз будем считать шары неразличимыми. Подсчитать число всех
различных размещений.
1.58 (продолжение). Рассмотрим задачу размещения п шаров
по N ящикам. Считаем возможными только те размещения, при
которых в каждый ящик попадает не более одного шара. Построить
пространство элементарных событий в случае различимых и в слу-
случае неразличимых шаров.
1.59. 30 шаров размещаются по 8 ящикам так, что для каждого
шара одинаково возможно попадание в любой ящик. Найти веро-
вероятность размещения, при котором будет 3 пустых ящика, 2 ящи-
ящика—с тремя, 2 ящика — с шестью и 1 ящик — с двенадцатью
шарами.
1.60. Найти вероятность того, что при размещении п различи-
различимых-шаров по N ящикам заданный ящик будет содержать ровно к,
0^k*Zn, шаров (все различимые размещения равновероятны).
1.61. п различимых шаров размещаются по N ящикам. Найти
вероятность того, что ящики с номерами 1, 2, ..., N будут содер-
содержать пи ..., пя шаров соответственно (пг +...+ nN = п).
1.62. В п ящиках размещают п шаров так, что для каждого
шара равновозможно попадание в любой ящик. Найти вероятность
того, что ни один ящик не пуст.
1.63 (продолжение). В п ящиках размещают п + 2 шаров. Найти
вероятность того, что по крайней мере один ящик будет пустым.
1.64 (продолжение). В «ящиках размещают ге+1 шаров. Най-
Найти вероятность того, что ровно два ящика окажутся пустыми.
1.65. В п ящиках размещают 2ге шаров. Найти вероятность того,
что ни один ящик не пуст, если шары неразличимы и все разли-
различимые размещения имеют равные вероятности.
1.66 (продолжение). Найти вероятность Ят того, что заданный
ящик содержит ровно т шаров.
14

1.67 (продолжение). Найти предел </т' при п-»-«>.
1.68 (продолжение)'. Найти вероятность того, что ровно к ящи-
ящиков останутся пустыми.
1.69. Имеется 2ге карточек, на которых написаны числа от 1 до
2га, и 2п конвертов, на которых написаны те же числа. Карточки
случайным образом вкладываются в конверты (в каждый конверт
по одной карточке). Найти вероятность того, что сумма чисел на
любом конверте и лежащей в нем карточке четна.
1.70. Два игрока независимым образом подбрасывают (каждый
свою) монеты. Найти вероятность того, что после п подбрасываний
у них будет одно и то же число гербов.
1.71. Имеется тщательно перетасованная колода из 52 карт D
масти, по 13 карт в каждой от двойки до туза). Найти вероятность
того, что:
а) первые четыре карты в колоде — тузы; б) первая и последняя
карты — тузы; в) между тузами находится одинаковое число карт I,.
1.72. Колода из 52 карт раздается поровну четверым игрокам.
Найти вероятность того, что:
а) у каждого из игроков окажется по одному тузу; б) у одного
из игроков все тринадцать карт будут одной масти; в) у каждого
из игроков будут все карты, от двойки до туза; г) у 1-го, 2-го,
3-го и 4-го игроков окажется соответственно аи а2, а3, ак карт масти
«пик» (at + ах + а3 + а4 = 13).
1.73. Сравниваются две перетасованные колоды, содержащие по
N различных карт. Если карта находится на одном и том же месте
в обеих колодах, будем говорить, что имеет место совпадение. Най-
Найти вероятность того, что будет:
а) по крайней мере одно совпадение; б) по крайней мере к
совпадений.
1.74. Две колоды из N различных карт сравниваются между со-
собой и одновременно с такой же третьей колодой. Найти вероят-
вероятность того, что будет ровно т двойных совпадений.
1.75. Найти вероятность того, что при случайном размещении г
шаров по п ящикам ровно в т ящиках окажется по к шаров, если
для каждого шара равновозможно попадание в любой ящик.
1.76. Найти вероятность того, что при размещении г шаров по
п ящикам ровно т ящиков останутся пустыми, если шары нераз-
неразличимы и все различные размещения равновероятны.
1.77. Восемь ладей случайным образом расставлены на шахмат-
шахматной доске. Найти вероятность того, что ни одна из них не бьет
другую и ни одна не стоит на главной белой диагонали.
1.78. Из колоды, содержащей 52 карты, извлекаются 13 карт.
Найти вероятность того, что в выборке содержится ровно к пар
«туз — король» одной масти.
1.79. Рассмотрим множество 9" кусочно-линейных функций вида
f(x) = /(i) +аг(х— I),
15

где a,i—принимает значения 1 или —1. Найти вероятность того,
что наудачу выбранная функция из множества @~ принимает в
точке п значение к.
1.80 (продолжение). Найти вероятность того, что наудачу вы-
выбранная функция из Ф~ имеет в полуинтервале @, п] i корней.
1.81 (продолжение). Найти вероятность того, что для случайно
выбранной функции /eJ
j / (х) dx = 0.
1.82. Пусть 3~i <= @~ — множество функций / из SF таких, что
f(n)=*O. Найти вероятность того, что наудачу выбранная функция
из %F\ не имеет нулей в интервале @, п).
1.83 (продолжение). Найти вероятность того, что минимальный
корень в интервале @, п) случайно выбранной функции из STi
равен i.
§ 3. Геометрические вероятности
1.84. Двое условились о встрече между 10 и И часами утра,
причем договорились ждать друг друга не более 10 минут. Считая,
что момент прихода на встречу выбирается каждым «наудачу» в
пределах указанного часа, найти вероятность того, что встреча
состоится.
1.85. Содержание предыдущей задачи- дополнить третьим лицом
при тех же условиях встречи. Найти вероятность того, что:
а) встреча трех лиц состоится; б) встреча по крайней мере двух
лиц состоится.
1.86. На отрезке длины I наудачу выбираются две точки. Какова
вероятность, что из трех отрезков, на которые делится исходный
отрезок выбранными точками, можно составить треугольник?
1.87 (задача Бюффона). На плоскость, разграфленную парал-
параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии а,
наудачу бросается игла длиною 2г Bг<а). Какова вероятность
того, что игла пересечет одну из проведенных прямых?
1.88 (продолжение). На плоскости проведены две взаимно пер-
перпендикулярные совокупности параллельных прямых, которые раз-
разбивают плоскость на прямоугольники со сторонами а и Ъ. Найти
вероятность того, что наудачу брошенная на плоскость игла длиною
2г Bг < а + Ъ — У (а+ ЬJ — лаЬ) пересечет хотя бы одну из про-
проведенных прямых.
1.89 (задача Бертрана). На окружности радиуса г наудачу вы-
выбираются две точки и соединяются хордой. Найти вероятность того,
что длина хорды превысит УЗ г.
1.90 (продолжение). На окружности радиуса г выбирается на-
наудачу точка, и через нее проводится диаметр. На диаметре наудачу
16

выбирается точка — середина хорды, перпендикулярной диаметру.
Найти вероятность того, что длина полученной хорды превзойдет
ТЗг.
1.91 {продолжение). Внутри круга радиуса г наудачу выбира-
выбирается точка. Эта точка служит серединой хорды, перпендикулярной
проведенному через нее диаметру. Найти вероятность того, что
полученная хорда превзойдет по длине УЗг.
1.92. На плоскость нанесены параллельные прямые па одина-
одинаковом расстоянии а друг от друга. На плоскость наудачу бросается
монета (круг) радиуса R (Л<а/2). Найти вероятность того, что
монета не пересечет ни одну из прямых.
1.93. Две точки выбираются наудачу из отрезка [—1, 1]. Пусть
р и q — координаты этих точек. Найти вероятность того, что квад-
квадратное уравнение хг + рх + q = 0 будет иметь вещественные корни.
1.94. В круг вписан квадрат. Точка наудачу бросается в круг.
Найти вероятность того, что она попадет в квадрат.
1.95. На отрезок наудачу бросают три точки, одну за другой.
Какова вероятность того, что третья по счету точка упадет между
двумя первыми?
1.96. Отрезок длины at + а2 поделен на две части длины а, и а2
соответственно, п точек последовательно бросаются наудачу на от-
отрезок. Найти вероятность того, что ровно т из п точек попадут
на часть отрезка длины а,.
1.97 {продолжение). Отрезок длины а4 + а2 +...+ as поделен на
s частей длины аи а2, ..., а, соответственно. Наудачу бросаются п.
точек. Найти вероятность того, что на части длины аи а?„ ..., as
попадет соответственно ти т2, ..., ms точек (т^ +...+ ms = п).
1.98. В шар радиуса R наудачу бросаются N точек. Найти веро-
вероятность того, что расстояние от центра шара до ближайшей точки
будет не меньше а, 0 < а < R.
1.99. В квадрат наудачу брошены три точки. Найти вероятность
того, что они образуют вершины:
а) какого-нибудь треугольника; б) правильного треугольника;
в) прямоугольного треугольника.
1.100. В квадрат наудачу брошены две точки А и В. Найти
вероятность того, что круг, диаметром которого является отрезок
АВ, целиком содержится в исходном квадрате.
1.101. В квадрат наудачу брошены две точки А и В. Найти ве-
вероятность того, что квадрат, диагональю которого является отрезок
АВ, целиком содержится в исходном квадрате.
1.102. В единичный квадрат наудачу брошена точка. Какова
вероятность того, что точка будет удалена от центра квадрата на
расстояние меньше, чем 1/3, если известно, что от каждой из сто-
сторон квадрата она удалена больше, чем на 1/6?
1.103. На окружности наудачу выбраны три точки А, В, С.
Найти вероятность того, что треугольник ABC будет остро-
остроугольным.
2 А. В. Прохоров и др. IT

§ 4. Условная вероятность. Независимость
1.104. Доказать, что
Р(Л,.. Л)=
если все входящие в правую часть условные вероятности опре-
определены.
1.105. Доказать, что
..Ап\С) = Р(А1\С)Р(А2\А?)... ?{AJAi ¦ ..А^С),
если все входящие в правую часть условные вероятности опре-
определены.
1.106. Доказать формулу полной вероятности
Р(Л)= 2 *(А\Вк)9(Вк),
ft=i
где Р(Я«)>0, В,ПВ, = 0, 1Ф]\ Лс= \j Bh.
ft=i
1.107. Доказать формулу Байеса.
1.108. Доказать, что
Р(А\С) = %P(A\BhC)9(Bh\C),
ft=i
где
k=i
1.109. Пусть Р(А\В)>Р(В\А) и Р(А)>0, Р(В)>0. Будет ли
)>Р(Д)?
)()
1.110. Верно ли равенство
9(А\В) + 9(А\В)=11
1.111 (урновая схема Пойа). Урна содержит а белых и 6 чер-
черных шаров. Наудачу извлекается шар. Он возвращается обратно,
и, кроме того, добавляется с шаров одного с ним цвета. Произво-
Производится новое извлечение, и процедура изменения состава урны по-
повторяется и т. д. Доказать, что вероятность того, что при первых
n = nt + п2 извлечениях появилось п^ белых и пг черных шаров,
равна
пх а [а + с) (а + 2с) ... (а + п^с — с) Ь (Ь + с) ... F + п^с — с)
71 (а + 6) (а + Ь + с) (а + Ь + 2с) ... (а + Ь + пс — с) *
1.112 {продолжение). Доказать, что вероятность извлечения бе-
белого шара на к-ш шаге равна а/(а + Ъ).
1.113 (продолжение). Доказать, что условная вероятность извле-
извлечения белого шара на т-м шаге, при условии, что на к-м шаге,
к < т, был извлечен белый шар, равна (а + с)/(а + b + с).
18

1.114 (продолжение). Пусть событие Ат означает извлечение
белого шара на т-м шаге. Доказать, что
Р(Ат\Ап)^Р(Ап\Ат).
1.115. Имеются три урны с белыми и черными шарами, причем
отношение числа белых шаров к числу черных равно ри р^, />»
для 1-й, 2-й, 3-й урн соответственно. Наудачу (с вероятностью 1/3)
выбирается урна и из нее шар. Какова вероятность того, что он
белый?
1.116 (продолжение'). Наудачу выбирается урна и из нее шар.
Оказалось, что он белый. Какова вероятность того, что шар был
вынут из первой урны?
1.117. Два стрелка стреляют по мишени. Один из них попадает
в цель в среднем в 5 случаях, а второй — в 8 случаях из 10. Перед
выстрелом они бросают правильную монету для определения оче-
очередности. Посторонний наблюдатель знает условия стрельбы, но не
знает, кто в данный момент стреляет. Вот он видит, что стрелок
попал в цель. Какова вероятность того, что стрелял первый стрелок?
1.118. Урна содержит N шаров, из которых М — белого цвета.
Производится выборка объема п. Пусть событие Ah состоит в том,
что на к-ш шаге извлечен шар белого цвета, а событие Вт — в том„
что в выборке ровно т белых шаров. Доказать, что
P(Ak\Bm) =
в случае выбора с возвращением и без возвращения.
1.119. В урне 7 белых и 3 черных шара. Без возвращения из-
извлекаются 3 шара. Известно, что среди них есть черный шар. Ка-
Какова вероятность того, что другие два шара белые?
1.120. Вероятность того, что в справочное бюро в течение часа
обратятся к человек, равна Хке~К/к\ при некотором % > 0. Для каж-
каждого человека вероятность отказа равна р. Найти вероятность того,
что в течение часа s человек не получат ответа на свой вопрос.
1.121. Имеются три урны. В первой урне находится Nt белых
и М1 черных, во второй — N2 белых и М% черных, в третьей — Nt
белых и М, черных шаров. Наудачу выбирается одна из урн и из.
нее выбираются без возвращения 2 шара. Один из них оказывается
белым, другой — черным. Найти вероятности того, что выбор про-
производился из первой, второй или третьей урн.
1.122. В урне первоначально находилось N белых и М черных
шаров. Один шар потерян, и цвет его неизвестен. Из урны без воз-
возвращения извлечены 2 шара, и оба оказались белыми. Определить
вероятность того, что потерян белый шар.
1.123. В первой урне Nx белых и Mi черных шаров, во второй —
iV2 белых и Мг черных шаров. Из первой урны во вторую перекла-
перекладывают шар. После тщательного перемешивания из второй урны
извлекают один шар. Какова вероятность, что он белый?
1.124. В первой урне Nt белых и М1 черных шаров, во второй —
N2 белых и Мг черных и в третьей — iV3 белых и М3 черных. Из
2* 19

первой урны наудачу извлекают один шар и перекладывают во
вторую урну. Затем перекладывают один шар из второй урны в
третью и, наконец, из третьей в первую. С какой вероятностью
состав шаров в первой урне останется прежним?
1.125. В первой урне Nt белых и Мг черных шаров, во второй —
N2 белых и Мг черных шаров. Из первой урны без возвращения
извлекаются ге, шаров, а из второй — пг шаров. Все извле-
извлеченные шары кладутся в третью урну, из которой наудачу извле-
извлекается один шар. Какова вероятность, что он белый?
1.126. В урне N белых и М черных шаров. Без возвращения из-
извлекаются п ^N шаров. Известно, что среди них т белых
шаров. Какова вероятность, что остальные п — т шаров также
белые?
1.127. Имеется п урн одинакового состава: N белых и М черных
шаров. Из первой урны во вторую перекладывается один шар, за-
затем из второй урны в третью перекладывается один шар и т. д.
Из последней урны извлекается один шар. Найти вероятность того,
что он белый.
1.128. Урпа содержит один шар, про который известно, что он
либо белый, либо черный с одинаковыми вероятностями. В урну
кладут один белый шар и затем наудачу извлекают один шар.
Он оказался белым. Какова вероятность, что оставшийся в урне
шар — белый?
1.129. Брошено три игральных кости. Найти вероятность того,
"что на всех костях выпала шестерка, если известно, что
а) на одной кости выпало 6 очков; б) на первой кости выпало
6 очков; в) на двух костях выпали «шестерки»; г) по крайней
мере на двух костях выпало одинаковое число очков; д) на всех
лостях выпало одинаковое число очков; е) по крайней мере на од-
одной кости выпало 6 очков.
1.130. Найти вероятность того, что при бросании трех играль-
игральных костей хотя бы на одной выпадет 6 очков, при условии, что
на всех костях выпали грани с четным числом очков.
1.131. Группа студентов, сдающая экзамен, состоит из 5 отлич-
отличников, 10 хороших студентов и 15 слабых студентов; отличник всег-
всегда получает оценку «отлично», хороший студент — «отлично» и «хо-
«хорошо» с равными вероятностями, слабый студент — «хорошо»,
«удовлетворительно» и «неудовлетворительно» с равными вероят-
вероятностями. Какова вероятность, что наугад вызванный студент полу-
получит оценку
а) «отлично»; б) «хорошо»?
1.132. В урне находятся белые и черные шары. Пусть имеется
s предположений Аи ..., Аа о том, что доля белых шаров в урне
равна соответственно ри . .., ps. Считаем, что эти предположения
выполняются с вероятностями cci, ..., a,, at +...+ a, = 1. Для про-
проверки произведем выбор шаров с возвращением объема щ. Пусть
выборка содержит т^ белых шаров (событие В). Вычислим а,- =
>= P(Ai\B), i = 1, ..., s, и рассмотрим их как исправленные значе-t
20

ния взамен cci, .. ха. (для удобства переобозначим и сами исходные
предположения: At, .'.., А„). Для дополнительной корректировки
произведем выбор с возвращением объема п2. Допустим, что число
белых шаров в выборке равно т2 (событие С). Находим P(At\C).
Пусть, далее, событие D состоит в том, что выборка объема П\ + п2
содержит rrii +тг белых шаров. Доказать, что P(At\D) = Р(Л^С),
i=l, ..., s.
1.133. Доказать, что если А и В независимы, то независимы А
и В, А ж В, Ли В.
1.134. Доказать, что если Р(А\В)=Р(А\В), то события А и В
независимы.
1.135. Пусть А и В независимы, Р(А U В)=Р(А)+Р{В),
Р(А&В) = р и Р(А\В)<р. Найти Р(А), Р(В) и Р(А\В).
1.136. Пусть событие А таково, что оно не зависит от самого
себя. Показать, что тогда Р(А) равно 0 или 1.
1.137. Пусть событие А таково, что Р(А) равно 0 или 1. Пока-
Показать, что А и любое событие В независимы.
1.138. Пусть А и В — независимые события и Р(А U В)= 1. До-
Доказать, что либо А, либо В имеет вероятность, равную еди-
единице.
1.139. Пусть А и В — независимые события. Доказать, что если
A UB и А П.В независимы, то либо Р(А)= 1, либо Р(В)= 1, либо
Р(Л) = 0, либо РE) = 0.
1.140. Подбрасываются три игральные кости. Событие А состоит
в том, что одинаковое число очков выпало на первой и второй ко-
костях, событие В — одинаковое число очков на второй и третьей ко-
костях, С — на первой и третьей. Будут ли события А, В и С:
а) попарно независимы, б) независимы в совокупности?
1.141. Пусть события А, В и С независимы в совокупности, при-
причем каждое из этих событий имеет вероятность, отличную от нуля
и единицы. Могут ли события АВ, ВС и АС быть:
а) независимыми в совокупности, б) попарно независимыми?
1.142. Пусть события А, В и С попарно независимы и каждое
из них имеет вероятность, отличную от нуля и единицы. Могут
ли события А В, ВС и АС быть:
а) попарно независимыми, б) независимыми в совокупности?
1.143. Пусть А ж В — независимые события, а событие -С не за-
зависит от событий АВ ж A U В. Обязаны ли события А, В и С быть
попарно независимыми?
1.144. Пусть А, В, С, D — события, причем А и В не зависят
от С ж D. Доказать, что если АВ = 0 и CD = 0, то A U В не зави-
висит от С U D.
1.145. Пусть события А, В и С таковы, что А не зависит от ВС
и от В U С, В не зависит or АС, а С — от АВ, причем вероятности
Р(Л), Р(В), Р(С) положительны. Доказать, что события А, В и С
независимы в совокупности.
1.146. Показать, что из попарной независимости Аи А2, А3 не
следует их взаимная независимость.
21

1.147. Показать, что из равенства
= P(Ai)P(A2)P(As)
не следует попарная независимость Аи А2, А3.
1.148. Пусть А и В независимы ж А ж С независимы. Показать,
что А и В U С могут быть зависимы.
1.149 (продолжение). Доказать, что если, кроме того, А и ВС
независимы, то Л и В U С также независимы. Будут ли независи-
независимы А, В, С?
1.150. Из урны, содержащей белые и черные шары, с возвра-
возвращением извлекаются шары. Пусть событие Ак означает, что к-к
по счету вынутый шар — белый. Доказать,- что события Аи ..., А„
взаимно независимы.
1.151 (продолжение). Показать, что если выбор производится
без возвращения, то события Аи ..., Ап зависимы.
1.152 (продолжение). Доказать, что в случае выбора без воз-
возвращения:
а) Р(Ак)= Р(Аг) при любом к; б) Р(^4А+11^4„) не зависит от к;
в) Р(Ак+т\Ак) не зависит от т.
1.153. Пусть Аи А2, ..., Ап — взаимно независимые события.
Доказать, что
п
U '
г=1
1.154. Доказать, что события Аи А2, ..., А„, заданные на одном
вероятностном пространстве независимы тогда и только тогда, когда
выполнены 2" условия
6{ | Аи если 6{ = 1
1 \ Ai, если 6i = 0.

Глава 2
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
В основе.любой теоретико-вероятностной схемы лежит понятие вероятно-
вероятностного пространства. Для описания вероятностного пространства напомним
некоторые понятия и факты теории множеств и теории меры.
Пусть Q — некоторое непустое множество. Элементы его будем обозна-
обозначать со. Дополнение, объединение, пересечение, разность, симметрическая раз-
разность подмножеств Q определяются следующим образом*
1 = (веЙ: со?Ё А),
А [) В — {со <= Q: aei или со е В},
Л Л -В = {со е Q: со е 4 и со е В},
А\В = А П "В,
АаВ = (А\В) U (В\А).
Наряду с А П В будем применять обозначение АВ. Множества А и В называ-
называются непересекающимися, если А (] В = 0 @— пустое множество).
Пусть / = {а} — некоторое множество индексов. Имеют место формулы
двойственности:
1Г~^= П 4в, П 4х= U \.
a*=I asi ae-l asl
Класс Sb подмножеств Q называется полуалгеброй, если:
1) Q<=2>;
2) если А, В «= 3>, то А П В е= 3>;
3) если А, В ей) и Л с В, то существуют попарно не пересекающиеся
множества А\, А2, .,., Л„, принадлежащие 3), такие, что В\А =Ai{J-.-{]An.
Класс s& подмножеств Q называется алгеброй, если:
1) 8ei;
2) если 4 е rf, то I e .я?;
3) если А, В е J^, то А [} В е л^.
Класс У подмножеств Q называется а-алгеброй, если:
1) Be?;
2) если 4еУ, то!еУ;
оо
3) если Аи А2, ... е З2", то U ^n e j^.
П=1
Пересечение любого числа алгебр (о-алгебр) является алгеброй (а-алгеб-
(а-алгеброй). Каждая алгебра является полу алгеброй, а каждая с-алгебра — алгеброй.
Класс 5? подмноягеств Q называется разбиением Q, если:
1) элементы 5? отличны от 0 и попарно не пересекаются;
2) объединение всех элементов 5? совпадают с Q.
Пусть <§ — некоторый класс подмножеств Q. а-алгеброй, порожденной клас-
классом В, называется минимальная с-алгебра, содержащая <5, которая равна
пересечению всех с-алгебр, содержащих <?.
Пространство Q вместе с с-алгеброй его подмножеств $Ф называется из-
измеримым пространством и обозначается (Q, si-). Элементы М- называются из-
23

м-еримыми или .^-измеримыми множествами. Пусть Q = К есть веществен-
вещественная прямая и пусть S — класс всех непересекающихся интервалов вида
(а, Ь]. Обозначим через $= 31 R= !% (&) о-алгебру, порожденную классом &.
Эта о-алгебра подмножеств прямой называется борелевской а-алгеброй, а ее
элементы борелевскими множествами. Аналогично определяется борелевская
о алгебра и бореловскио множества в евклидовом пространство п измерений.
Вероятностным пространством называется тройка (Q, S&, Р), где Q — не-
непустое множество, si- — о-алгебра подмножеств й, Р — вещественная функция,
определенная на si- и удовлетворяющая следующим аксиомам:
1) Р(А) ^= 0 для любого /lei;
2) ?(Q) = 1;
3) если А1, А2, ... е & и Л4 fl Aj = 0 при г ф j, то
Элементы Q называются элементарными событиями или исходами, мно-
множество Q называется пространством элементарных событий, элементы si — со-
событиями, функция множеств Р(А) (вероятностная мера на измеримом прост-
пространстве (й, si)) называется вероятностью или вероятностным распределе-
распределением. (Следует различать события и элементарные события: они являются
элементами разных множеств; подчеркнем, что вероятность определена на мно-
множестве событий.) В вероятностном пространстве (Q, si, Р) событие Q называ-
называется достоверным событием, 0 называется невозможным событием, А и А =
= Q\^4 — противоположными событиями, события А и В называются несов-
несовместными событиями при АВ — 0 и т. п., см. введение в гл. 1.
Пусть Аи А2, ... — последовательность событий из s&. Верхним и ниж-
нижним пределами этой последовательности называются события .
ОО ОО ОО 00
lim sup An = П U Ah, lim inf An = \j (") Ak.
n=\ h=n n=i ft=n
Событие lim sup An состоит в том, что произойдет бесконечно много событий
из числа Ah А2, . ¦., событие lim inf An — в том, что произойдут все А\, А2, ...
за исключением, быть может, только конечного числа. Очевидно,
lim inf An с lim sup An.
Пусть (Q, s4-, P) — вероятностное пространство. Событие А е si- называет-
называется атомом, если Р(А) >0 и для любого В с А либо Р(В) =0, либо Р(В) =
= Р(А). Вероятностное пространство называется неатомическим, если оно не
имеет атомов; если же Q представимо в виде объединения непересекающихся
атомов, вероятностное пространство называется атомическим.
Пусть (Q, st) — некоторое измеримое пространство. Вещественная функ-
функция / = /(со), определенная на (Q, s?), называется измеримой относительно
о-алгебры s4- или ^-измеримой, если прообраз любого борелевского множест-
множества принадлежит s&:
Если (Q, si) есть измеримое пространство (Un, ^rV где Rn евклидово про-
пространство п измерений, а $к — борелевская о-алгебра, то любая ^к - изме-
измеримая функция f(x), х е. Rn, называется борелевской.
Рассмотрим вероятностное пространство (Q, s&, P). Случайной величиной
на (Q, si, Р) называется любая вещественная функция | = ?(со), измеримая
относительно s?. Случайным вектором со значениями в (Rni ^к ^ (ге-мерной
случайной величиной) называется любая ^-измеримая функция \{ч>) =»
= (?i(<*>), ..., 5n(w)) со значениями в Rn.
24

Вещественная функция g(co) является случайной величиной, если для
любого вещественного х
а-алгеброй, порожденной случайной величиной |, называется о-алгебра,
порожденная классом всех событий вида
где В пробегает множество всех борелевских множеств прямой. Эта с-алгеб-
ра совпадает с о-алгеброй, порожденной событиями вида
{со (= Q : §(со) < х},
где х — произвольное вещественное число.
Пусть А — событие. Индикатором А называется случайная величина
1 при со е А,
О при со ф А.
Случайная величина | называется простой, если она представима в виде
где события А[, ..., Ат образуют разбиение Q, a х\, ..., хт — веществен-
вещественные числа.
Математическим ожиданием Eg простой случайной величины A) называ-
называется величина
3=1
Математическим ожиданием неотрицательной случайной величины | на-
называется конечный или бесконечный предел
Eg = lim E n,
П-*оо
где |ь |г, ••• — монотонно неубывающая последовательность простых случай-
случайных величин, при каждом со сходящаяся к |: |п(со)->-g (со) при ге-*-оо.
Пусть | — произвольная случайная величина. Положим
1+ = ?-/(Е>о), Г = 1!И«<о).
Очевидно, I = |+ — |~.
Математическим ожиданием случайной величины ? называется величина
в том случае, когда Е|+ и Eg~ не равны со одновременно. Если Е|+ = Е|~ ==
= оо, то говорят, что математическое ожидание случайной величины ? не су-
существует. (Иногда говорят, что математическое ожидание пе существует и в
том случае, когда оно бесконечно.)
Математическое ожидание случайной величины g есть не что иное, как
интеграл Лебега от функции |(а>) по мере Р:
а
Приведем основные свойства математического ожидания. Предполагается,
что все написанные математические ожидания существуют.
1 Eg ^ Ец, если | ^ г|.
25

2. Ее = с для любого действительного с.
3. Е(а| + Ьтп) = аЕ? + ЬЕт) для любых вещественных а ш Ь.
4- |Eg| <e(e|.
5. (теорема о монотонной сходимости). Если gi, ?2, ••• — неубывающая по-
последовательность неотрицательных случайных величин, сходящаяся при каж-
каждом со к случайной величине §, то
lira Egn=Eg.
П-»оо
6 (теорема Лебега о мажорируемой сходимости). Если при каждом со |п-»-
-»¦? при и-*-оои|?п|^т), где Ег| < оо, го
lim E^Eg.
П-»СО
7. Если сходится ряд
ТО
(оо \ оо
Vt 1 _ V Ее
{ i *>П I ^-J fen'
n—x I n—\
Одним из основных и наиболее важных понятий теории вероятностей яв-
является понятие независимости.
Два события А и В называются независимыми, если
Р(А(]В) = Р(А)Р(В).
События, не являющиеся независимыми, называются зависимыми.
События А\, ..., Ап, п > 2, называются взаимно независимыми, если для
любого набора индексов 1 ^ U < г2 < • • • < U ^ п выполнено равенство
Взаимно независимые события иногда называют независимыми в сово-
совокупности или независимыми. Из независимости следует попарная независи-
независимость каждой пары событий, обратное, вообще говоря, неверно.
События, составляющие бесконечное множество 38, называются взаимно
независимыми, если при каждом п любые п из этих событий взаимно неза-
независимы.
Пусть 3S\, З82, ... — некоторые классы событий. Классы 93\, ЗИ2, ... назы-
называются независимыми, если любые события В\, Вг> •••> такие, что Bk^&k,
к = 1, 2, ..., являются независимыми.
В соответствии с этим определением мы будем говорить о независимости
алгебр, о-алгебр, полуалгебр, разбиений и т. д.
Случайные величины |ь |2, ... называются независимыми, если незави-
независимы порожденные ими о-алгебры. Случайные величины, не являющиеся не-
независимыми, называются зависимыми
§ 1. Вероятностное пространство
2.1. Правильная монета подбрасывается до тех пор, пока герб
не выпадет два раза подряд. Построить вероятностное пространство.
Найти вероятность того, что число подбрасываний не превосходит 5.
2.2. Правильная монета подбрасывается до тех пор, пока она
два раза подряд не выпадет одной стороной. Построить вероятно-
26

стное пространство. Найти вероятность того, что число подбрасы-
подбрасываний будет четным.
2.3. Правильная монета подбрасывается до тех пор, пока герб
не появится г раз. Построить вероятностное пространство. Сколько
элементарных событий будет содержать событие {эксперимент за-
заканчивается после re-го подбрасывания)?
2.4. На отрезке [0, 1] случайным образом выбирается точка.
Пусть событие Ап означает, что точка выбрана из полуинтервала
О, " ),событие Вп — что точка выбрана из интервала!О, — ).Что
оо оо
означают события U Ап и |~1 Вп?
П=1 Я=1
2.5. Доказать, что каждая алгебра является полуалгеброй.
2.6. Привести пример полуалгебры, не являющейся алгеброй.
2.7. Привести пример алгебры, не являющейся о-алгеброй.
2.8. Пусть Q = {0, 1, 2). Привести примеры о-алгебр, содержа-
содержащих множества А = {0, 1) и В = {1, 2).
2.9. Описать о-алгебру подмножеств отрезка [0, 1], порожден-
порожденную множествами:
а) [0, 2/3], [1/3, 1]; б) [0, 1/2], [1/2, 1]; в) (О), Ш; г) [1/3, 1/2];
д) 0; е) [0, 1]; ж) множество всех рациональных точек отрез-
отрезка [0, 1].
2.10. Пусть Q — несчетное множество. Описать о-алгебру, по-
порожденную:
а) всеми одноточечными подмножествами Q; б) всеми счетными
подмножествами Q; в) всеми несчетными подмножествами Q;
г) всеми бесконечными подмножествами Q.
2.11. Доказать, что всякая конечная о-алгебра подмножеств про-
пространства Q порождается некоторым конечным разбиением Q.
2.12. Пусть $i и ^2 — Две о-алгебры подмножеств пространства
Q. Являются ли о-алгебрами классы множеств:
a) @t П SS2; б) 3St U ^2; в) &^&г; г) $,A$2?
2.13. Пусть Аи А2, ...— последовательность непересекающихся
подмножеств пространства Q. Определить мощность а-алгебры, по-
порожденной этой последовательностью.
2.14. Доказать, что если s4-u зФ%, ...— неубывающая последова-
оо
тельность о-алгебр, то s& = U s&n — алгебра.
П=1
2.15. Может ли число всех событий какого-либо вероятностного
пространства быть равным 129; 130; 128?
2.16. Пусть зФ — с-алгебра подмножеств пространства Q. До-
Доказать, что если s& бесконечно, то существует счетная последова-
последовательность непустых непересекающихся элементов $Ф.
2.17. Доказать, что для любого пространства Q никакая о-ал-
о-алгебра еге подмножеств не может иметь счетную мощность.
2.18. Может ли число элементарных событий быть строго боль-
больше, чем число всех событий?
27

2.19. Может ли быть: а) число элементарных событий конечно,
а число событий бесконечно; б) число событий конечно, а число
элементарных событий бесконечно?
2.20. Число элементарных событий некоторого вероятностного
пространства равно п. Указать минимальное и максимальное воз-
возможные значения для числа событий.
2.21. Описать о-алгебру, порожденную:
а) событиями нулевой вероятности; б) событиями вероятности
единица.
2.22. Образует ли о-алгебру множество всех событий, вероятно-
вероятности которых выражаются рациональными числами.
2.23. Доказать, что: _ _
a) lim supyln = lim inf An; 6) lim inf An = lim sup An.
2.24. Пусть Ai, Az, ...— последовательность событий. Доказать,
что события lim sup-4„ и lim inf An принадлежат о-алгебре, порож-
порожденной этой последовательностью.
2.25. Доказать следующие соотношения:
lim sup (A„ U Вп) = lim sup A„ U lim sup Bn,
lim inf AnBn = lim inf An П lim inf Bn,
lim sup An П lim inf Bn <= lim sup {An П Bn) c: lim sup An П lim sup Bn.
2.26. Пусть Al^A2:=>...— невозрастающая последовательность
событий. Доказать, что
Р( П
i=l
2.27. Пусть Atc: A2<=...— неубывающая последовательность со-
событий. Доказать, что
Р U Аг =
\г=1 /
2.28. Доказать, что
= Р (^i) + Р (АЛ) + Р (АХА2А2) + ...
2.29. Пусть (Q, s?, P) — произвольное вероятностное простран-
пространство. Доказать, что множество значений функции Р(^4), А <= s4-
представляет собой замкнутое подмножество отрезка [0, 1].
2.30. Пусть (Q, зФ, Р) — неатомическое вероятностное простран-
пространство. Доказать, что множество значений функции Р(-4) есть весь
отрезок [0, 1].
2.31. Пусть (й, ?$-, Р) — вероятностное пространство. Назовем
события А и В эквивалентными, если Р(ЛД5)=0. Пусть S3—мно-
S3—множество классов эквивалентных событий. Для любых двух классов
эквивалентных событий $t и 3&г положим
28

где В, и В2 — произвольные представители классов Шу и Ш2 соот-
соответственно. Доказать, что р — метрика на S3 и что S3 с таким обра-
образом введенной метрикой представляет собой полное метрическое
пространство.
2.32. Пусть (Q, s&, P) — вероятностное пространство, причем si-
порождено некоторой алгеброй 3&. Доказать, что для любого е > О
и любого 4ei существует такое В е J?, что РDАВ)<е.
2.33. Привести пример последовательности событий Аи Аъ ...
такой, что Р(Ап)-+ 1 при п -> °°, но
Р П Ак =0
\ft=n /
для любого п.
2.34. Доказать, что для любой последовательности событий
Аи Аг, ..
Р (Нш inf А„) =5 lim inf Р (Лп) < lim sup Р (Л„) < Р (lim sup A„).
2.35. Справедливы ли следующие соотношения:
/ ОС \
а) Р (lim sup Л„) = lim P U Аг I;
п-* оо \ г=п /
б) Р (lim inf Ап) = lim Р ( П AA?
2.36. Пусть Au A2j ...— последовательность событий такая, что
П=1
{АпАп+1) < оо и Р(Л„)->0 при п->-оо.
Доказать, что P(lim sup А„)= 0.
2.3.7. Пусть Аи Аг, ...— последовательность событий. Верно ли,
что если lim inf Р (Ап) > 0, то Р (lim inf An) > 0?
2.38. Пусть Аи А2, ... и Ви В2, ...— две последовательности со-
событий, причем РE„)->- 1 при и -> °о. Доказать, что
1\тР\Ап)=1\тР(АпВп)
П~* оо и-# оо
при условии, что хотя бы один из указанных пределов существует.
2.39. Пусть Аи Аг, ... и Ви Вг, .. .— две последовательности со-
событий, причем Р(Вп)-*- \ при п -*¦ оо. Доказать, что если
lim inf P(An)>a>0, A)
то
Можно ли отказаться от условия A)?
29

§ 2. Случайные величины. Математическое ожидание
2.40. Пусть | и г] — случайные величины, определенные на од-
одном и том же вероятностном пространстве (Q, зФ, Р). Доказать, что
множества
являются событиями.
2.41. Пусть (Q, S&, Р)—вероятностное пространство, ?(<») —
определенная на Q вещественная функция такая, что для каж-
каждого вещественного с множество
является событием. Обязана ли | быть случайной величиной?
2.42. Пусть ? и т) — случайные величины, определенные на
одном вероятностном пространстве. Доказать, что следующие функ-
функции являются случайными величинами:
а) 1 + л; б) 1-ti; в) | -т); г) \%\; д) max {?, т\); е) min A, г)};
ж) I*1, если Р(т| >0) = 1.
2.43. Пусть (й, $ф, Р) —вероятностное пространство, ?(©) —ве-
—вещественная функция, определенная на Q. Обязана ли ? быть слу-
случайной величиной, если случайной величиной является:
а) Г; б) 151; в) cos?; г) е*; д) ?»; е) [Ц ([•]-Целая часть)?
2.44. Пусть ?,, |2, ...— последовательность случайных величин,
определенных на одном вероятностном пространстве. Доказать, что
функции inf ?n и sup \n являются случайными величинами.
71 П
2.45. Пусть Ш — несчетное семейство случайных величин. Обя-
Обязаны ли функции inf | и sup | быть случайными величинами?
?9Я ?9Я
2.46. Доказать, что если | — случайная величина, а /(я) — бо-
релевская функция, то г\ = /A) — случайная величина.
2.47. Пусть li, ..., ^п — случайные величины, определенные на
одном вероятностном пространстве, xp(xt, ..., хп) —вещественная
борелевская функция п переменных. Доказать, что функция
<p(li, • •., In) является случайной величиной.
2.48. Пусть А и В — события одного вероятностного прострап-
ства, /А и /в — их индикаторы. Доказать, что
2.49. В урне 3 белых и 2 черных шара. Эксперимент состоит
в последовательном извлечении всех шаров из урны. Построить ве-
вероятностное пространство. Описать о-алгебру, порожденную случай-
случайной величиной |, если:
а) 1 — число белых шаров, предшествующих первому черному
шару; б) 5 — число черных шаров среди извлеченных; в) | = %t +
30

+ |г, где §t — число белых шаров, предшествующих первому чер-
черному шару, и ^2 — число черных шаров, предшествующих первому
белому.
2.50. Вероятностное пространство (Q, зФ, Р) представляет собой
отрезок [0, 1] с с-алгеброй борелевских подмножеств и мерой Ле-
Лебега. Описать о-алгебру, порожденную случайной величиной ?, если:
A/4, юе=[0, 1/4),
а) I = 1/2, а) е= [1/4, 3/4), б) I = -|-, в) ? = 1/2.
I 1, ше[3/4,1],
2.51. Пусть (Q, зФ, Р) — вероятностное пространство, причем
Q — вещественная прямая, а зФ — о-алгебра борелевских множеств.
Описать о-алгебру, порожденную случайной величиной \ — cos a.
2.52. Пусть In 1г, • • •— последовательность случайных величин,
определенных на одном вероятностном пространстве. Доказать, что
следующие множества являются событиями:
а) i=WeO: последовательность ?,, ?2, ... ограничена);
б) B = {(i)eQ; последовательность |,, |2, ... сходится).
2.53. Привести пример нетривиального вероятностного простран-
пространства (Q, зФ, Р) и случайной величины % на нем, таких, что любая
случайная величина т), определенная на этом вероятностном про-
пространстве, является борелевской функцией от \.
2.54. На вероятностном пространстве (?!, зФ, Р), представляю-
представляющем собой отрезок [0, 1] с о-алгеброй борелевских подмножеств и
мерой Лебега, определена последовательность случайных величин
|i, \г, ... следующим образом: ?„ = сй". Положим Ап = (со «^ Q : ?„ <
< 1/га}. Найти U Ап и П Ап.
П=1 П=1
2.55. Пусть § й т) — эквивалентные случайные величины, то есть
P(s=^t))==O. Доказать, что если существует Eg, то существует Erj
и Е| = Еть
2.56. Доказать, что Е|2 = 0 равносильно Р{Ъ, = 0)= 1.
2.57. Пусть Ъ, и г) — случайные величины. Доказать, что если
существует Е| и Ег|,- то существует Е max {?, г)). Верно ли обратное?
2.58. Пусть ? и т) — случайные величины. Доказать, что если
существует Е max {?, ц} и Е min {g, т]), то существуют Е| и Ет],
причем
Eg + Ея = Е max {?, ц] + Е min {?, г]}.
2.59. Пусть |i, ..., §п — случайные величины, имеющие конеч-
конечные математические ожидания. Доказать, что
Е тах{|,, ..., U > max {Е?„ ..., Eg.)
и
Е min {?„ ..., U < min {E|4, ..., Е§„).
2.60. Привести пример случайных величин ? и т), таких, что
Е| и Ел существуют, а Е|п не существует.
31

2.61. Пусть ?,, g2, ¦ • ¦— последовательность неотрицательных
случайных величин. Доказать, что
2E» -2П».
n=i / n=i
oo
если ряд 2 En сходится с вероятностью 1.
n=i
2.62. Пусть tj, g, gi, g2, ...— случайные величины на (Q, s?, P),
такие, что при каждом ш gn -*¦ g при га -*¦<». Известно, что Е|„
не обязательно сходится к Eg (даже если Eg существует). Доказать,
что Egn -> Eg, если выполнено одно из условий:
а) |„ > т] для всех п> I, Ег\> — <» и последовательность gi,
^2, ... монотонно не убывает; б) gn < г] для всех га > 1, Ет| < °° и
последовательность |,, |2, ... монотонно не возрастает.
§ 3. Независимость
2.63. Пусть Alt Аг, ...— последовательность независимых собы-
событий. Доказать, что
П Л =ПРD).
2.64. Пусть Л(, Л2, ...— последовательность независимых собы-
событий. Доказать, что для сходимости ряда
необходимо и достаточно, чтобы
р( п
Можно ли условие независимости заменить условием попарной
независимости событий А,, А2, ...?
2.65. Пусть (Q, s&, P) — вероятностное пространство такое, что
для любого события А множество всех событий, не зависящих от
Л, образует алгебру. Доказать, что в этом случае из попарной не-
независимости любого набора событий следует их независимость.
2.66. Пусть (Q, s&, P) — вероятностное пространство. Доказать,
что для того, чтобы все события на нем были попарно независимы,
необходимо и достаточно, чтобы каждое событие имело вероятность,
равную 0 или 1.
2.67. Является ли транзитивным отношение независимости на
множестве событий произвольного вероятностного пространства?
2.68. Является ли транзитивным отношение зависимости на мно-
множестве событий произвольного вероятностного пространства?
32

2.69. Доказать, что для того чтобы отношение независимости на
некотором вероятностном пространстве было транзитивным, необ-
необходимо и достаточно, чтобы каждое событие этого вероятностного
пространства имело вероятность 0 или 1.
2.70. События А и В называются е-пезависимыми, если
\Р(АВ)-Р(А)Р(В)\ <е.
Доказать, что если А е-независимо с самим собой, то либо Р(Л)=г;
«S2e, либо Р{А) > 1 — 2е.
2.71. Пусть событие А таково, что Р(А) <е или Р(А) ~> 1 — е.
Доказать, что А и любое событие В е-независимы.
2.72. Пусть А и В — е-пезависимые события. Доказать, что
события: _ _
а) А и В, б) А и В, в) А и В
также е-независимы.
2.73. Пусть s&i и S&2 — независимые полуалгебры. Доказать, что
порожденные ими алгебры также независимы.
2.74. Пусть s4-i и $4-г — независимые алгебры. Доказать, что
порожденные ими о-алгебры также независимы.
2.75. Пусть (й, зФ, Р) —вероятпостное пространство, Mi и М% —
две под-о-алгебры s&, причем Mt <= Мг. Могут ли Mi и Мг быть
независимыми, если $i содержит событие, вероятность которого
отлична от 0 и 1?
2.76. Доказать, что объединение двух независимых о-алгебр,
каждая из которых содержит событие, вероятность которого отлич-
отлична от 0 и 1, не может быть алгеброй.
2.77. Пусть | и Ц — случайные величины. Обязаны ли они быть
независимыми, если независимы случайные величины I2 и цг?
2.78. Пусть ?, ц и ? — случайные величины, причем ? не зави-
зависит от г| + ?. Верно ли, что % не зависит от г) и от ??
2.79. Доказать, что случайная величина не зависит от самой
себя тогда и только тогда, когда она с вероятностью 1 равна по-
постоянной.
2.80. Какие условия нужно наложить на 1, чтобы случайные
величины | и sin | были независимы?
2.81. Пусть на вероятностном пространстве (Q, s4, P), представ-
представляющем собой отрезок [0, 1] с о-алгеброй борелевских подмножеств
и мерой Лебега, заданы случайные величины ? и т|. Будут ли §
и ц независимы, если:
а) ! = со2, г| = 1 — со2; б) 1 = 1/2, т] = со;
1/2, со е= [0, 1/4),
1, со=1/4,
в) I = со, г] = {1/2, со е= A/4, 3/4),
1/4, со = 3/4,
1/2, сое C/4, 1].
2.82. Пусть (Q, М, Р) — вероятностное пространство, причем Q
состоит ровно из п точек, каждая из которых имеет положительную
3 А. В . Прохоров и др4 33

вероятность. Доказать, что на этом вероятностном пространстве не
существует двух независимых случайных величин, каждая из ко-
которых принимает п различных значений.
2.83. Пусть (Q, .5$, Р)—вероятностное пространство такое, что
si- содержит ровно п событий, |(, ..., |„_, — попарно независимые
случайные величины, определенные па этом вероятностном про-
пространстве. Доказать, что по крайней мере одна из них есть с ве-
вероятностью единица постоянная.
2.84. Определим вероятностное пространство (О, $&, Р) следу-
следующим образом: Q = {1, 2, 3), S&— множество всех подмножеств ?2,
Р{1)— РB) = РC)= 1/3. Доказать, что па этом вероятностном про-
пространстве нельзя определить две независимые случайные величины,
каждая из которых принимает по крайней мере два значения.
2.85. Вероятностное прострапство (Q, s&, P) определено сле-
следующим образом: Q = {1, 2, 3, 4}, $&¦—множество всех подмно-
подмножеств Q, РA)= РB)= РC) = РD)= 1/4. Построить па этом вероят-
вероятностном пространстве две независимые случайные величины, не
равные с вероятностью единица постоянным.
2.86. Существует ли на вероятностном пространстве (Q, $?, Р),
представляющем собой отрезок [0, 1] с о-алгеброй борелевских мно-
множеств и мерой Лебега, случайная величина, не равная с вероят-
вероятностью единица постоянной и не зависящая от случайной величи-
величины 5(<й)= со?
2.87. Пусть | и ц — независимые случайные величины. Дока-
Доказать, что случайные величины mind, Ъ) и mind, ц) независимы.
2.88. Пусть | и п — случайные величины, причем для любых
вещественных а и Ь случайные величины min {а, Ъ) и min {b, ц\
независимы. Доказать, что 1 и ц независимы.
2.89. Пусть | и т] — независимые случайные величины, f(x) п
g(x)—борелевские функции. Доказать, что случайные величины
/(?) и g(r\) независимы.
2.90. Пусть | и ц — зависимые случайные величины, /(х) п
g(x)—борелевские функции. Могут ли случайные величины /(|)
и g(r\) быть независимыми? Изменится ли ответ, если дополнитель-
дополнительно предположить, что /(?) и g(r|) имеют невырожденные рас-
распределения?
2.91. Может ли существовать случайная величина | и две бо-
борелевские функции f(x) и g(x) такие, что случайные величины
/(I) и g(l) независимы и имеют невырожденные распределения?
Изменится ли ответ, если дополнительно предположить, что / и g —
строго монотонные функции?
2.92. Пусть | и т) — случайпые величипы, Р(!= >0) = Р(г| >0) =
= 3/4, Р(? + ri > 0)= 1/2. Доказать, что | и ц зависимы.
2.93. Пусть 1 и т| — независимые одинаково распределенные слу-
случайные величины, /> = Р(?>0), g = 1—р. Доказать, что рг <^
<P(t + 4>0)<l-q\
2.94. Пусть 1, г\ и ?, — случайные величины, причем 1 не зави-
зависит от л и от ?. Верно ли, что 1 не зависит от ц + ^?

2.95. Пусть |, г) и ? — независимые в совокупности случайные
величины. Будут ли независимыми случайные величины | и г| + ??
Изменится ли ответ, если предположить лишь попарную независи-
независимость I, л и ??
2.96. Пусть |f, ..., |„ — независимые случайные величины,
<р(ам, •••, #*) и ^(а:,, ..., г,,-»,) —борелевские фупкции /с и п — к
аргументов соответственно. Доказать, что случайные величины
q:Ei, . .ч I*) и \j>(t*+i, ..., |п) независимы.
2.97. Пусть |i, |2, ...— последовательность независимых случай-
пых величин, определенных на некотором вероятностном простран-
пространстве (Q. зФ, Р). Доказать, что на этом же вероятностном простран-
пространстве существует двойная последовательность случайных величин
Il2. 122, • • м
удовлетворяющая следующим условиям:
а) все %ц принимают не более чем счетное число значений;
б) при каждом к |u, |2t, ... независимы; в) при каждом п последо-
последовательность |„ц равномерно по со сходится при к -*¦ °° к 1„.
2.98. Существуют ли случайные величины | и т] такие, что §
и 1] не равны с вероятностью единица постоянным и:
а) | и 1 + т| независимы? б) | и % ¦ г| независимы? в) |, ? + tj и
| • 1] независимы в совокупности?
2.99. Показать, что из равенства Е?т] = Е^Ет] пе следует, вооб-
вообще говоря, независимость % и п.
2.100. Доказать, что если случайные величины 1 и г) прини-
принимают по два значения, то из равенства E|Tj = E|En следует незави-
независимость 1 и Tj.
2.101. Пусть li, ..., |„ — независимые случайные величины
с конечными математическими ожиданиями. Доказать, что
2.102. Пусть | и т) — независимые случайные величины, ф(я) и
ж) — борелевские функции. Доказать, что
если написанные математические ожидания существуют.
2.103. Пусть ?i, ..., |п — случайные величины, каждая из кото-
которых принимает не более чем счетное число значений. Доказать,
что они независимы тогда и только тогда, когда для любых
= a?
i,
п
хп) = П Р (lh = «*)•
35

2.104. Пусть | и т| — случайные величины, но равные с вероят-
вероятностью единица постоянным, причем Р(|<г))= 1. Могут ли | и rj
быть независимыми? Изменится ли ответ, если дополнительно-
предположить, что для любого а>0 Р(| >а) > 0?
2.105. Пусть случайные величины |ь ..., |„ независимы и оди-
одинаково распределены РКг = -—) =-jy"i/— 1, 2, ..., iV. Положим
Будут ли случайные величины r),ft попарно независимыми? Неза-
Независимыми?
2.106. События Ах, ..., ^4„ называются симметрично зависимы-
зависимыми, если вероятность
Р (AhAi2 ... Air), 1<г</г, 1<г1<...<гг</г,
зависит только от г и не зависит от конкретного набора индексов
i,, г2, ..., U. Доказать, что независимые события, имеющие одина-
одинаковую вероятность, являются симметрично зависимыми. Можно ли
отказаться от условия равновероятности?
2.107. Следует ли из симметричной зависимости событий их не-
независимость?
2.108. В урне N белых и М черных шаров. Из урпы извлека-
извлекается п шаров по схеме выбора без возвращения (ra^minW, M}).
Пусть Ah — событие, состоящее в том, что к-ш извлеченный шар
оказался белым. Доказать, что события Аи ..., Ап симметрично
зависимы.
2.109. Доказать, что неотрицательные числа pt, ..., р„ тогда и
только тогда могут быть вероятностями п попарпо независимых
событий таких, что пересечение любых трех из них не пусто, ког-
когда выполнены следующие неравенства:
Pi + р2+ ••• + /v-2 + />„<!;

Глава 3
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Пусть 1(а), ш е Q,— случайная величина, определенная на некотором пе-
роятиостноы пространстве (Q, si-, Р). Функция Р(§ <= 4) == Р{ш : \ (ш) е В),
определенная для всех борелевских множеств В прямой, является вероятно-
вероятностной мерой на измеримом пространстве (К, $R) (где R — прямая с борелев-
ской о-алгеброй ,55R) и называется распределением вероятностей случайной
величины | (ш).
Функцией распределения случайной величины ?(со) называетея функция
вещественной неременной, определяемая равенством
F(x) =
Каждая функция распределения F(x) обладает следующими свойствами:
1) F(х) неубывающая функция;
2) F(x) непрерывна справа при каждом х;
3) lim F (х) = 0, lim F (х) — 1.
Х-> — оо х->оо
Любая функция F(x), удовлетворяющая свойствам 1)—3), является функцией
распределения некоторой случайной величины.
Точка х называется точкой роста функции распределения (или распре-
распределения) , если для любого е > О
F(x + e) —F(x — e) >0.
Распределение случайной величины называется вырожденным, если
Р(| = а) = 1 для некоторого вещественного а.
Распределение случайной величины | называется дискретным, если g с
вероятностью 1 принимает конечное или счетное число значений. Соответству-
Соответствующая функция распределения является ступенчатой (кусочно постоянной)
функцией: если хи z2, ... — значения случайной величины Ъ, и Pi =
= Р{ш: ?(со) = Х{}, то F(x) имеет скачки в точках xi, равные pi =F(xt) —
F(O)
()
Наиболее важными дискретными распределениями являются решетчатые
(пли арифметические) распределения, сосредоточенные на множестве точек
вида a -f- kh, k = 0, ±1. • • •, где h называется шагом распределения:
ph = Р(? = a + kh) =F{a + kh) —F(a + kh — 0).
Распределения случайных величин, которые принимают только целые значе-
значения, называют целочисленными.
Пусть | — случайная величина с функцией распределения F(x). Если для
любого борелевского множества В <= J?R существует неотрицательная боре-
левская функция }(х), такая, что
Р (Ее В) = Jj
В R
то распределение | и функция распределения /^i) называются абсолютно не~
прерывными, a f(x) называется плотностью распределения вероятностей или
37

X
просто плотностью случайной величины |. В этом случае F (х) = 1 / (у) dy
— оо
и для почти всех х f(x) = F' (х).
Непрерывная функция распределения называется сингулярной, если мно-
множество ее точек роста образует множество нулевой меры Лебега.
Любую функцию распределения F(x) можно однозначно представить в
виде (разложение Лебега)
F{x) = uiFiix) + a2F2(x) + a3F3{x),
где at ^ 0, i = 1, 2, 3, ax + a2 + a3 = 1, F, (r), F2(^) п /^(г) — дискретная, аб-
абсолютно непрерывная и сингулярная функции распределения.
Случайная величина и ее распределение называются симметричными от-
относительно начала координат, если функции распределения случайных ве-
величин § и —| совпадают;
F(x) = l_F(_x_0).
Распределение называется одновершинным (пли унимодальным), если
существует а такое, что F(x) выпукла вверх при х > а и выпукла вниз при
г < а (в точке г = а функция F(x) может иметь разрыв); точка а называет-
называется вершиной (или модой) распределения.
Укажем наиболее часто встречающиеся распределения вероятностей.
Дискретные распределения:
1. Биномиальное распределение с параметрами риге (га — целое положи-
положительное число, 0 ^ р ^ 1):
Р (| = к) = C*Ph A - pf~h, к = 0, 1, 2, ..., п.
2. Геометрическое распределение с параметром 0 ^ р ^. 1:
Р(! = А) = A-р)*-'р, Л = 1, 2, ...
3. Пуассоновское распределение с параметром Я > 0:
P(g=fc) = e-^, A = 0,1, ...
4. Гипергеометрическое распределение с параметрами ге, Л/, iV:
^fe rn—h
°мь n—m
Абсолютно непрерывные распределения (приводим плот
ности случайной величины):
1. Равномерное распределение на отрезке [а, Ь]:
1
/ (х) = ftTTJ ПРЦ a<z<& и / (г) = 0 при других .г;
2. Показательное (экспоненциальное) распределение с параметром Я, > О
/(г) «= Ке~** при 1>0и /(г) = 0 при х < 0.
3. Нормальное распределение с параметрами то и о2:
яя

4. Распределение Коши с параметрами а и Ь > 0;
Ъ
Медианой случайной величины | (или ее распределения) пазывается чи-
чисто т\ такое, что
Р{| ^ т\} > 1/2 и Р{? < ml} > 1/2.
Медиана, вообще говоря, определяется неоднозначно.
Моментом (или абсолютным моментом) порядка а (а — вещественное чи-
число) случайной величины | (или ее распределения) называется математиче-
математическое ожидание Е?а (или E|g|a), если оно существует (число а может быть
ьак положительным, так и отрицательным; чаще всего момент определяется
для целых положительных а).
Центральным моментом (или абсолютным центральным моментом) поряд-
порядка а>0 называется математическое ожидание Е(|—Eg)" (или Е|? — Е?|а).
Центральный момент порядка а = 2 называется дисперсией и обозначает-
обозначается Dg.
Отметим некоторые важные неравенства, в которых участвуют моменты
случайных величин. Некоторые из этих неравенств дают возможность оцени-
иать вероятности событий, связанных с этими случайными величинами.
Неравенство Чебышёва: если §^3=0 и Е|?|<°°, то для любого е>0
если % — произвольная случайная величина с Eg2 < °°, то
Неравенство Колмогорова: если %и ..., |„ — независимые случайные вели-
величины и Eg* = 0, Dgj < оо, то при любом е > О
Р ( max
8
Неравенство Коши — Буняковского — Шварца: если случайные величины
и ц таковы, что Eg2 < оо, Erj2 < оо, то
Неравенство Иенсена: если ? —случайная величина с E|g| < оо и j(x) —
выпуклая вниз функция, то
Е/(Е)
если математическое ожидание слева существует и Eg принадлежит области
определения функции /.
Неравенство Ляпунова: при 0 < s < г
Р\1\'У <. i?\\\'Y"-
1 1
Неравенство Гёльдера: если р > 1, g > 1, 1 = 1, Е|?]р<оо,
Р Ч
Ehl3 < оо, то
Неравенство Минковского: если E|g|r < оо, Е|г||г < оо при г 5* 1, то
(E|E + ti|')«/'< (Щ\ГУ/Г+ (Ehlr)I/r-
39

Если случайные величины ii(w), ..., ?n(w) определены на одном и том жо
вероятностном пространстве (Q, бФ, Р), то вектор g(co) = (ii(co),..., |n(w))
называется п-мерной случайной величиной или случайным вектором со зна-
значениями в евклидовом пространстве Rn. Функция P(geB) = Р(ш : (|,(ю),...
..., Е„(ш)) еВ), определенная для всех борелевских множеств В пространст-
пространства Rn, называется распределением вероятностей случайного вектора |. Мож-
Можно также говорить о совместном распределении случайных величин \\, ...
..., ?„. Определенная для любых вещественных хи ..., хп функция
F{xU ..., Хп) = Р(|, < XU ..., gn< Хп)
называется функцией распределения случайного вектора \. Свойства этой
функции аналогичны свойствам одномерной функции распределения.
Если существует неотрицательная борелевская функция f(x) =
•== f(x[, ..., хп), такая, что для всех В е $ц
\f(x)dx и f f(x)dx =
в k
в n
то соответствующее распределение называется абсолютно непрерывным,
а функция f{x) *= f(x\, ..., хп)—плотностью распределения случайного век-
вектора % = Eь •••, |п). Распределения случайных величин ?<, i = 1, ..., re, ком-
компонент вектора ?, называются маргинальными (частными) распределениями
и вычисляются по распределению вектора; так например функция распреде-
распределения %\ определяется равенством:
u +oo -foo).
Случайные величины ?i, ..., |„ независимы тогда и только тогда, когда
функция распределения / (xh ..., хп) представима в виде
i, ..., хп) *=Fi(x1)...Fn(xn),
где Fi(xt), 1 = 1, ..., п,— функции распределений величин ?( (маргинальных
распределений). Если распределение случайного вектора |= (|i, ..., |п) аб-
абсолютно непрерывно, то необходимым и достаточным условием независимос-
независимости ?i, ..., in служит соотношение
f(xu ..., Хп) = fi(xr) ...fn(Xn),
где f(x\, ..., хп) —совместная плотность распределения, a fi(xi) —маргиналь-
—маргинальные плотности.
Характеристикой связи между двумя случайными величинами с совмест-
совместным распределением вероятностей служит ковариация и определяемый с ее
помощью коэффициент корреляции.
Ковариацией случайных величин % и г\ называется величина cov(?, r\) =
= Egr) — EgErj, где Eg и Ет) — математические ожидания | и т). Коэффициен-
Коэффициентом корреляции ? и т], имеющих конечные дисперсии Dg и Ьг\, называется
величина
р(?, т]) = cov(g,
Если cov(|, т)) = 0 или рE, г|) •== 0, то случайные величины называются
некоррелированными.
Если случайные величины ? и ri независимы, то (Е||| < оо, Е[п| < оо)
В1ц = Eg-Ел
и тогда cov(i, r\) ¦= 0 и величины | и т] некоррелировапы.
Ковариационной матрицей случайного вектора | = (gi, ..., in) называется
квадратная га X п матрица с элементами Cij = covfgj, g;), определенная в
предположении, что все указанные моменты конечны.
40

Многомерным нормальным распределением в Rn называется распределе-
распределение вероятпостей с плотностью
ф (х) = Bя)~п/2 I М Г1/2 ехр |- .1 (М-1 (х-т), х- т)]
где М — ковариационная матрица, |А/|—ее определитель, х = (л:,, ..., хп),
п = (mi, ..., mn). Если компоненты случайного вектора некоррелированы, то
плотность приобретает вид:
" (а а)-1
Ф [xv ...,хп) =Bя) (а, ... а,,)-1 ехр 1- |
где mj и о* >0—параметры маргинальных распределений.
Пусть % и т]—независимые случайные величины с функциями распре-
распределения F(x) и G(x) соответственно. Функцией распределения их суммы
? + т) является свертка F и G:
оо ео
=F *G(x)= j F (z — 0 dG (i) = j G{x—t)dF(t).
Симметризацией функции распределения F(x) называется функция рас-
распределения
Симметризация F (ж) совпадает с функцией распределения случайной вели-
величины ?i — ?2, где |i и Е-2 независимы и имеют одинаковую функцию распре-
распределения F(x), случайная величина ?(>) ¦=¦ |i — %i называется симметризацией
величин |i и ?г-
Функция распределения F\ (x) называется компонентой функции распре-
распределения F(x), если существует функция распределения F^x) такая, что
F(x) —F, #Fs(z).
Имеется несколько употребительных способов измерять расстояние меж-
между функциями распределения. Наиболее важными являются следующие.
1. Расстояние по вариации для любых двух распределений вероятностей
Р н Q определяется как
вир | Р (А) - Q (А) |,
дед
где 8 — борелевская а-алгебра множеств.
2. Равномерная метрика (метрика Колмогорова) для любых двух функций
распределения Р(х) и G(x) определяется как
Bup\F(x)-G(x)\.
X
3. Метрика Леей определяется как точная нижняя грань таких /-, что
F(x — h)—h < G(x) < F(x + h) +h
н
G(x — h) —/i < F(x) «S G(x + h) +h
41

§ 1. Функции распределения
3.1. Найти функцию распределения случайной величины ?, оп-
определенной на вероятностном пространстве (Q, $Ф, Р), представля-
представляющем собой отрезок [0, 1] с о-алгеброй борелевских подмножеств
и мерой Лебега в качестве вероятности, если:
а) I -* со; б) I =» со2; в) | = со", а < 0;
|2со, О<со<1/2,
1/4, (Г<'со<1/4,
1, 1/4 < со < 3/4,
1/4, 3/4<со<1.
О<со<1/3,
1/3 < со < 2/3, ж) 1 =
— со3, 2/3<со<1;
3.2. Пусть 5 и t] — случайные величины, определенные па ве-
вероятностном пространстве (Q, S4-, Р), где Q — квадрат с вершинами
@, 0), @, 1), A, 0), A, 1), s? — о-алгебра борелевских подмно-
подмножеств Q, Р — мера Лебега. Найти функцию, распределения и плот-
плотность распределения случайной величины | + т), если:
а) | =¦ со, ¦+ со2, ц = со, — со2; б) I = со,, ц = со2;
в) § = 1 при coi = и2, | = 0 при а>1 Ф со2, г\ = со,со2.
Являются ли случайные величины ? и ц независимыми?
3.3. Пусть случайная величина | определена на вероятностном
пространстве (Q, S4-, Р), где Q — треугольник с вершинами в точ-
точках @, 0), B, 1), B, 0), s4- — о-алгебра борелевских подмножеств
указанного треугольника, Р — мера Лебега. Найти функцию рас-
распределения и плотность распределения случайной величины ?, если:
а) ? = ©.; б) ? = со2.
3.4. Равнобедренный треугольник образован единичным векто-
вектором в направлении оси абсцисс и единичным вектором в случайном
направлении. Найти функцию распределения длины третьей
стороны:
а) в R2; б) в О?».
3.5. Окружность единичного радиуса с центром в нуле имеет
северный полюс на положительной полуоси абсцисс. Из полюса
случайным образом направлен луч, причем его угол с осью абсцисс
распределен равномерно на отрезке —?г, -у • Найти функцию рас-
распределения длины хорды внутри окружности.
3.6. Пусть | и т] — независимые случайные величины с функ-
функциями распределения F (х) и G(x) соответственно. Найти функции
распределения следующих случайных величин:
a) max {?, ц); б) min{?, ц); в) max {2?, ц}; г) mm{?8, ц}.
3.7. Пусть | и ц — независимые случайные величины, имеющие
одинаковое показательное с параметром а распределение. Найти
функции распределения и плотности распределения следующих
случайных величин:
а) ?3; б) 1-ц; в) тахA, ц3); г) min {%, if}, д) 3 + 21;
е) li-nl.
42

3.8. Решить предыдущую задачу в предположении, что | i t]
равномерно распределены па отрезке [—1, 1].
3.9. Пусть | — случайная величина, имеющая показательное
распределение с параметром X, j(x) —положительная строго моно-
тонная дифференцируемая функция. Найти плотность распреде-
распределения случайной величины /A).
3.10. Пусть ?, г\ и ? — независимые случайные величины, прп-
чс.м ? принимает значения 1 и 0 с вероятностями р ж q соответ-
соответственно, p + q = l, а | и т) имеют функции распределения F(x) и
G(x). Найти функции распределения следующих случайных
величин:
а)
в) U(U (, Л)
3.11. Пусть |i, ..., |„— независимые одинаково распределенные
случайные величины, Р(?( = 1)= P(|j = —1)= 1/2, ? = 1, 2, ..., п.
Найти распределение случайной величины
T)n =
3.12. Можно ли подобрать постоянную с так, чтобы функция сх~3
определяла плотность распределения вероятностей на:
а) луче [1, +°°); б) луче [0, +°°); в) отрезке [—2, —1].
3.13. Пусть | и т) — независимые одинаково распределенные
случайные величины, q>{x, у)—борелевская функция двух пере-
переменных. Доказать, что случайные величины <р(|, т)) и ф(rj, |) оди-
одинаково распределены. Можно ли отказаться от условия неза-
независимости?
3.14. Пусть | — случайная величина с симметричным распреде-
распределением, А — симметричное относительно нуля борелевское множе-
множество на прямой. Положил!
{?, если ^еЛ,
— |, если | ф. А.
Доказать, что случайные величины \ и т) одинаково распределены.
3.15. Пусть | и г] — случайные величины е функциями распре-
распределения F(x) и G(x) соответственно. Доказать, что если Р(|>т))==
= 1, то F(x) < G(x) при всех х. Верно ли обратное при условии,
что ^ и т) определены на одном вероятностном пространстве?
3.16 {продолжение). Пусть F{x) и G{x) —две функции распре-
распределения, причем F(x)<G(x) для всех х. Доказать, что существует
иероятностное пространство и две случайные величины | и т),
определенные на этом вероятностном пространстве и такие, что
3.17. Доказать, что множество точек разрыва любой функции
распределения не более чем счетно.
3.18. Может ли множество точек разрыва функции распределе-
распределения быть всюду плотиым на прямой?

3.19. Доказать, что любая функция распределения F (х) может
быть представлена в виде
F(x) = aiFi{x)+a2F2{x), а, 5* О, аг>0, а1 + а2 = 1,
где Fl(x) и F2(x)—функции распределения, причем Fl(x) непре-
непрерывна, и F2(x) —дискретная функция распределения. Доказать, что
такое представление единственно.
3.20. Пусть борелевская функция двух переменных F(x, у) при
каждом фиксированном у является функцией распределения. Дока-
Доказать, что если G(x) —функция распределения, то функция
j F(x,y)dG(y)
также является функцией распределения.
3.21. Функция распределения F(x) случайной величины ? не-
непрерывна в нуле. Найти распределение случайной величины
(.-|т, если с,фО,
11, если ? = 0.
3.22. Случайная величина | имеет функцию распределения F(x).
Найти функцию распределения случайной величины -^ (I + IE I)-
3.23. Доказать, что если функция распределения непрерывна
в каждой точке прямой, то она равномерно непрерывна на всей
прямой.
3.24. Пусть ?i, |2, .. •— последовательность независимых одина-
одинаково распределенных случайных величин, принимающих значения 0
и 1 с вероятностью 1/2 каждое. Найти распределение случайной
величины
jU ой'
=lz
3.25. Пусть \ — случайная величина, имеющая равномерное на
отрезке [0, 1] распределение. Доказать, что для любой функции рас-
распределения F(х) существует борелевская функция f(x) такая, что
F(х) будет функцией распределения случайной величины /(?).
3.26. Пусть | — случайная величина, равномерно распределенная
6. 62 6„
па отрезке [0, 1), и s = у + тг+Гз + •. •> б„ = 0 или 1 — двоичное
разложение %. Доказать, что при любом натуральном п
Р (бп = 0) = Р (8„ - 1) = -|
п случайные величины 6\, б2, ... взаимно пезависимы.
3.27. Пусть выполнены условия предыдущей задачи. Расположим
знаки двоичного разложения \ — случайные величины бь б2, ...—
44

виде следующей квадратной таблицы:
63
б4
в7...
Из зпаков /с-й строки этой таблицы построим двоичное разложение,
определяющее случайную величину |ft, например:
Доказать, что случайпые величины %и |2, ••• независимы и каждая
из них имеет равномерное на отрезке [0, 1] распределение.
3.28. Пусть (Q, зФ, Р) — вероятностное пространство, представ-
представляющее собой отрезок [0, 1] с о-алгеброй борелевских подмножеств
и мерой Лебега, /*\(z), F2{x), ...— произвольная последовательность
функций распределения. Доказать, что на указанном вероятностном
пространстве существует последовательность независимых случай-
случайных величин ?i, g2, ... таких, что при каждом п функция распре-
распределения случайной величины |п совпадает с Fn(x).
3.29. Пусть F(x) и G (х) —функции распределения. Найти не-
необходимые и достаточные условия того, что функция Н(х) =
= F(G(x)) является функцией распределения.
3.30. Привести пример случайной величины | с плотностью р(х)
и непрерывной функции g{x), таких, что g{%) является невырож-
невырожденной случайной величиной с дискретным распределением.
3.31. Пусть Р — произвольное вероятностное распределение на
прямой. Доказать, что для любого борелевского множества А и лю-
любого положительного е найдутся открытое множество G и вамкпу-
тое множество F такие, что FsisG и P(G\F) < г.
3.32. Пусть Р — произвольное вероятностное распределение на
прямой. Доказать, что для любого борелевского множества А и лю-
любого положительного е найдется компакт К такой, что К^А и
Р{А\К)<г.
3.33. Какова мощность множества всех функций распределения?
3.34. Пусть %it |2, ...— последовательность случайных величин
с функциями распределения Ft(x), F2(x), ... соответственно, a v —
положительная целочисленная случайная величина, не зависящая
45

от всех ?i, ?a, .... Положим ph = Р(v = к), /с = 1, 2, .... Найти
функцию распределения случайной величины ?v.
3.35. Доказать, что для любой непрерывной функции распреде-
распределения F (х)
±
3.36. Доказать, что для любой непрерывной функции распреде-
распределения F(х) и любых натуральных п и к
3.37. Пусть | — случайпая величипа с непрерывной фупкцией
распределения F(x). Найти функцию распределения случайной ве-
величины F (\).
3.38. Доказать, что если случайная величина | имеет абсолютно
непрерывное распределение, то случайная величина \\\ также имеет
абсолютно непрерывное распределение. Верно ли обратное ут-
утверждение?
3.39. Случайные величины | и ц независимы и имеют одипако-
вое распределение:
(! )A ), /с = 1, ..., N.
Положим
v==min{|, ц), ц = тах{|, ц), % = ц — v«
Найти распределения случайных величин v, ц и 1.
3.40. Пусть | и tj — независимые случайные величины с непре-
непрерывными функциями распределения F(х) и G(x) соответственно.
Найти функцию распределения произведения |т).
3.41. Пусть |i, ..., |„ — независимые одинаково распределенные
случайные величины, F(x)—функция распределения %и Введем
функцию двух переменных q>(x, у) следующим образом:
A при
при х<у.
При каждом фиксированном х найти распределение случайпой
величины
п
3.42. Функция распределения F(x) неотрицательной случайной
величины называется полуаддитивной, если
46

для любых х, у 5= 0. Привести пример полуаддитивной функции
распределения.
3.43. Пусть р (х) — плотность распределения, пе возрастающая
при х 3* 0 и равная нулю при х < 0. Доказать, что соответствующая
функция распределения полуаддитивна (определение см. в преды-
предыдущей задаче).
3.44. Доказать, что для любой функции распределения F(x)
справедливы соотношения:
а)
в)
У
X
X
-01 б) limxf ^ - 0,
Umx f dZM = 0, г) HmJ^
х->-о " У х^+о " У
3.45. Пусть функция распределения F(х) непрерывна в нуле.
Доказать, что функция
Р {*) =
-t-oo
I
при x > 0,
У
x
X
1
•*ZM при x<0
является плотностью распределения.
3.46. Доказать, что если в предыдущей задаче отказаться от
условия непрерывности в нуле, т. е. предположить, что 0<F@) —
— F@ —0) = а<1, то функция р(х)/A — а) является плотностью
распределения вероятностей.
3.47. Пусть Ft(x) и F2(x) —две функции распределения. Дока-
Доказать, что Ft(x)^F2(x) при всех х тогда и только тогда, когда
f(x)dF2(x)
для любой мопотонно неубывающей функции f(x), для которой
указанные интегралы существуют.
3.48. Пусть вещественная функция f(x) такова, что для любых
двух функций распределения Ft(x) и F2(x), удовлетворяющих не-
неравенству Fi(x)^F2(x), выполнено неравенство
f(x)dF2(x).
>
Доказать, что f(x) монотонно пе убывает.
3.49. Распределение Р называется доминирующим для семей-
семейства распределений S3, если для любого борелевского множества А
47

такого, что Р(А) = 0, выполнены равенства Q(A) = O для всех Q
из 93. Семейство распределений называется доминируемым, если су-
существует распределение, доминирующее его.
Доказать, что любое счетное семейство распределений до-
доминируемо.
3.50. Привести пример не доминируемого семейства рас-
распределений.
3.51. Доказать, что если §3,, ЗЭ2, ...— последовательность доми-
доминируемых семейств распределений, то доминируемо и их
объединение
оо
U «п.
11=1
3.52. Выпуклой оболочкой семейства распределений 59 называ-
называется множество всех распределений вида
2 «i^ti
где а* >0,2 аг = 1) Pi^%5, i—i, 2, .... Доказать, что выпуклая
г=1
оболочка доминируемого семейства распределений доминируема.
3.53. Доказать, что семейство распределений §3 доминируемо
тогда и только тогда, когда существует не более чем счетное под-
подсемейство S3' семейства S3 такое, что если борелевское множество А
удовлетворяет условию Р(А) — 0 для любого Ре©', то Q[A) — Q
для любого Q е S3.
3.54. Функцией концентрации случайной величины ? называет-
называется функция
{х) = sup Р (а < К а + х).
Очевидно, функция концентрации однозначно определяется функ-
функцией распределения. Верно ли обратное?
3.55. Доказать, что для любой случайной величины | и любого
положительного х найдется а такое, что
3.56. Доказать, что для любой случайной величины ? и любых
неотрицательных а и х имеет место неравенство
где fa] — целая часть числа а.
3.57. Пусть F(x) —функция распределения, Q(x) —соответству-
—соответствующая функция концентрации.
1. Может ли F(х) иметь больше точек разрыва, чем Q(x)?
2. Может ли Q(x) иметь больше точек разрыва, чем F(x)"}
48

3.58. Может ли функция распределения иметь бесконечное чис-
число точек разрыва, а соответствующая функция концентрации —
конечное?
3.59. Пусть F(х)—функция распределения, Q(x)— соответству-
соответствующая функция концентрации, п — число точек разрыва F{x), т —
число точек разрыва Q{x). Доказать, что
3.60. Пусть ? — произвольная случайная величина. Доказать, что
для любых положительных аи! множество
является компактным (может быть, пустым).
§ 2. Моменты
3.61. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной
величины | = ?((о), определенной на вероятностном пространстве
(Q, sf, Р), представляющем собой отрезок [0, 1] с о-алгеброй боре-
левских подмножеств и мерой Лебега, если:
а) | = со2, б) g = ш — 1/2, в) | = sin яю, г) | ¦=¦ sin 2яш.
3.62. Диаметр круга d измерен приближенно, и известно лишь,
что 0 < as? d< Ъ. Считая d случайной величиной, равномерно рас-
распределенной па отрезке [а, &], найти математическое ожидание и
дисперсию площади круга.
3.63. Брошены две игральные кости. Найти математическое ожн-
дание суммы выпавших очков, если известно, что выпали разные
грани.
3.64. Доказать, что равенство нулю дисперсии D% = 0 равно-
равносильно тому, что случайная величина 5 с вероятностью единица
равна постоянной: Р(| = с)= 1 для некоторого числа с.
3.65. Пусть \ и tj — независимые одинаково распределенны»
случайные величины с конечной дисперсией. Доказать, что 1 с ве-
вероятностью единица принимает значения одного знака тогда и
только тогда, когда случайные величины \ — ц и 111 — I г\ I одина-
одинаково распределены.
3.66. Пусть | — случайная величина такая, что Р@<?<1)=1.
Доказать, что Dg < Е|.
3.67. Пусть случайные величины Ъ, и ц независимы и Е| = 1,
Ег]=2, D? = l, Dti = 4.
Найти математические ожидания случайных величин:
a) l2 + 2ri2-lri-4i + ri + 4; б) (? + ti + 1J.
3.68. Доказать, что для любых случайных величин Ъ, и г], име-
имеющих конечные дисперсии, справедливы неравенства
(Щ ^)(i ]) (fV^).
3.69. Доказать, что если Е|?|а<°°,а>0, то Е||1'<<» при
0 < р1 «S а.
4 А. В. Прохоров и др. 49

3.70. Привести пример распределения, по имеющего моментов
ни положительного, ни отрицательного порядков.
3.71. Пусть ? и tj — одинаково распределенные случайные вели-
величины. Верно ли, что
3.72. Пусть ??, ,.., |„ — независимые одинаково распределенные
положительные случайные величины. Доказать, что
для любого 1 < к < п. Можно ли отказаться от условия незави-
независимости?
3.73. Случайная величина g принимает значения 0, 1, ..., п, ...
с вероятностями, убывающими в геометрической прогрессии:
а) найти зависимость между Е? и D%; б) известно, что Е? == а;
найти Р(? = и), п = 0, 1,
3.74. Пусть случайная величина % принимает конечное число
неотрицательных значений хи ..., хг. Доказать, что
П-»оо Е?
I
E^^max^, .. ., xr).
3.75. Пусть ^ — неотрицательная целочисленная случайная ве-
величина с конечным математическим ожиданием. Доказать, что
t=i
3.76. Написаны п писем, предназначенных разным адресатам.
Имеется п конвертов с соответствующими адресами. Письма в слу-
случайном порядке вложены в конверты. Пусть |„ — число писем, ко-
которые посланы тем адресатам, которым они предназначены. Най-
Найти Е?„.
3.77. Пусть \ — ограниченная с вероятностью единица случай-
пая величина: Р(Ц|??с)=1. Доказать, что
3.78. Доказать, что Е| существует тогда и только тогда, когда
существует Е[?] ([•] — целая часть), причем Е? = E[?J тогда и
только тогда, когда ? — целочисленная случайная величина.
3.79. Пусть Eg = O и Е||| = 1. Найти ЕтахЮ, %) и EminU), %).
3.80. Каким условиям должны удовлетворять числа а и Ь для
того, чтобы существовала случайная величина \ такая, что Е? = а,
Е|?|=Ь?
50

3.81. Доказать неравенство Иенсена.
3.82. Пусть | и т] — независимые случайные величины с конеч-
конечными дисперсиями. Доказать, что
D%4 3* Щ От).
3.83. Каким условиям должны удовлетворять независимые слу-
случайные величины | и г\, чтобы выполнялось равенство
3.84. Пусть |й \г, ...— последовательность случайных величин,
Eg, = т{ (i=l, 2, ...); Ah A2, ... попарно несовместные события,
оо
U Aj = Q, P(Aj) = pj] случайные величины |,- и Iа} независимы;
5=1
оо
случайная величина | равна 2 \J-а? случайная величина ц при-
i=i
нимает значения mt с вероятностями pt, соответственно. Доказать,
что
3.85. Случайная величина | имеет конечный абсолютный момент
порядка р > 0:
Е|?|»<оо.
Доказать, что
при t -*¦ °°.
3.86. Доказать, что функция распределения F(x) имеет конеч-
конечный абсолютный момент порядка а > 0 тогда и, только тогда, когда
функция Ыа~'A — F(x) + F(—x)) интегрируема на всей веществеп-
ной оси.
3.87. Доказать, что для того чтобы у случайной величины Ъ, су-
существовал конечный абсолютный момент порядка а > 0: Elgla<t»)
необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд
3.88. Пусть | п ц — независимые случайные величины, принима-
принимающие целые неотрицательные значения и Е||| < °°. Доказать, что
3.89. Пусть ? — неотрицательная случайная величина с функ-
функцией распределения F{x) и конечным математическим ожиданием.
4* 61

Доказать, что
3.90. Пусть ? — положительная случайная величина с функцией
распределения F(x) и
1<оо, а>0.
Доказать, что
при х -*¦ 0.
3.91. Пусть | — неотрицательная случайная величина с функ-
функцией распределения F(x) и конечным моментом порядка а > 0.
Доказать, что
а J ж" A - F (*)) Аг.
3.92. Пусть ? — положительная случайная величина с функцией
распределения F(x) и конечным моментом порядка а < 0. Дока-
вать, что
3.93. Доказать, что если F (х)—функция распределения с ко-
конечным математическим ожиданием и такая, что F@) = 0, то
функция
n=l
является функцией распределения.
3.94. Пусть | — случайная величина с нулевым математическим
ожиданием и конечной дисперсией. Доказать, что
3.95. Пусть |i, |2, ...— последовательность независимых одина-
одинаково распределенных случайных величин с нулевым математиче-
математическим ожиданием и конечной дисперсией. Положим
Доказать что последовательность аи аг, ... равномерно ограничена.
52

3.96. Случайные величины ?ь |2, ..., ?п независимы и одинако-
Бо распределены. Каждая из случайных величин ?< принимает два
значения: 1 и 0 с вероятностями р и q = 1 — р соответственно.
Пусть Ць — случайная величина, равная 0, если |Л = |А+1, и 1, если
|ft^|ii+i. Положим ?„ = г^ + ... 4- цп-1ш Найти математическое ожи-
ожидание и дисперсию случайной величины ?„.
3.97. Случайная величина | равномерно распределена на отрез-
отрезке [а, Ь]. Найти а и Ь, если Е?2 = 1 и Eg = — Eg3.
3.98. Пусть | — случайная величина с симметричным относи-
относительно нуля распределением. Доказать, что для любого веществен-
вещественного а
3.99. Показать, что существуют две случайные величины § и т|,
такие, что El?l<°°, Elrjl < оо и
для любого вещественного а.
3.100. Пусть 5 и т] — случайные величины такие, что для лю-
любого а
(а — некоторое вещественное число), и пусть ? — случайная вели-
величина, не зависящая от | и tj. Доказать, что
3.101. Пусть % и г| — случайные величины такие, что для лю-
любого а
(а — некоторое веществешюе число), и пусть t, — случайная вели-
величина, не зависящая от | и ц. Доказать, что
3.102. Пусть | и т] — неотрицательные случайные величины
с функциями распределения F(x) и G(x) соответственно, причем
F) G(x) для всех х. Доказать, что:
а) E?a=5SErf, 0sSa<o°; б) E|a > Erf, a < 0, если указанные
моменты существуют.
3.103. Пусть | — случайная величина с конечным математиче-
математическим ожиданием. Доказать, что для любого х
max {x, Eg} =CE max {x, |}.
3.104. Пусть li и %г — случайные величины с функциями рас-
распределения Fi(x) и Fz(x) соответственно. Доказать, что
53

тогда и только тогда, когда
Е max {x, ?J =S E max ix, |2).
3.105. Пусть | и т) — случайные величины с нулевыми матема-
математическими ожиданиями и такие, что для любого х
Е max {х, %} < Е max ix, ц].
Доказать, что для любой выпуклой функции f(x)
3.106. Пусть |i и ?г — случайные величины с функциями рас-
распределения Ft(x) и Ft(x) соответственно. Доказать, что если для
любого х
то
Е?Г<ЕЙ
для любого г 5=1 (при условии, что эти моменты существуют).
3.107. Пусть | — случайная величина с конечным абсолютным
моментом порядка а > 0. Доказать, что
при а-+ °°.
3.108. Пусть | — случайная величина с конечным абсолютным
моментом порядка 2п— 1 (п — целое положительное число). Дока-
Доказать, что существует такое вещественное а, что
причем такое а единственно.
3.109. Пусть | — случайная величина с конечным абсолютным
моментом порядка a > 0: El5la<°°. Доказать, что для любого ве-
вещественного а
E||-a|a<oo.
3.110. Доказать, что
D? = min E i| - aJ.
a
3.111. Пусть |—-случайная величина с конечным абсолютным
моментом порядка 2п: Eg2" < °°. Доказать, что число а удовлетво-
удовлетворяет условию
Е(?-аJ-' = 0
тогда и только тогда, когда
для любого вещественного Ь.
54

3.112. Пусть | и tj — случайные величины с плотностями рас-
распределения f(x) и g(х) соответственно, причем существует такое а,
что f(x)^g(x) при х>а и f(x)>g(x) при х < а. Доказать, что
Е"- s? Etj, если указанные математические ожидания существуют,
а если дополнительно J(x) = g(x) — O при х < О, то Е|а ^ Ет]а для
любого а > 0.
3.113. Пусть Fi(x) и F2(x) —функции распределения, а, и а2 —
соответствующие математические ожидания (предполагается, что
они существуют). Доказать, что если Fl(x)>F2(x) для любого х,
ТО «1 ^ Й2.
3.114. Пусть ?i и |2 -случайные величины с симметричными
относительно нуля плотностями распределения pi(x) и р*(х) и ко-
конечными дисперсиями Oi и а2 соответственно, причем pt(x) =
— рг(х) = 0 при \х\>а (а>0). Пусть pi(x) выпукла вниз, а рг(х)
J
выпукла вверх на отрезке [—а, а]. Что больше: o"J или а2-
3.115. Можно ли в предыдущей задаче сказать, что больше:
а\ или <з\, если отказаться от предположения симметричности
распределений случайных величин ?t и ?2?
3.116. Доказать неравенство Коши — Буняковского — Шварца.
3.117 (неравенство Гёлъдера). Доказать, что если г>1 н
—i = 1, то
3.118. Доказать, что (Е|?|гI/г — "неубывающая функция от г.
3.119. Доказать, что для любых случайных величин |lt ..., ?„
с конечными моментами порядка а > 1 справедливо неравенство
3.120. Доказать, что для любых случайных величин |l5 ,.., |„,
имею1цих конечные моменты порядка а ^ 1, справедливо нера-
неравенство
3.121 (неравенство Минковского). Доказать, что при г
3.122. Доказать, что logEl|[r — выпуклая функция от г (г>0).
3.123. Доказать, что logE|?lr как функция от г (г>0) линейна
тогда и только тогда, когда | имеет вырожденное распределение.
3.124. Пусть | — случайная величина. Положим р» = Е|||\
Д,-. ^, , ^ оп—I ^- an —mom—I
оказать, что если 0 ^ I < m =S re, то pm ^Pi Pn .
3.125. Пусть | — случайная величина. Доказать, что при 0 <
^ 1 для любого вещественного а
55

3.126. Пусть | — случайная величина. Доказать, что при 1<г<
< 2 для любого вещественного а
3.127. Пусть g и ц — независимые случайные величины, причем
г) имеет симметричное распределение. Доказать, что для любого
l2
3.128. Доказать, что если случайные величины |i, ..., gn неза-
независимы и имеют симметричные распределения, то для любого
3.129. Доказать, что если случайные величины g и ц пезави-
симы и Ет]=О, E|g[a<oot E|tiia<t»i a>l, то
3.130. Доказать, что если g4, ..., \п — независимые случайные
величины, Е|< = 0, El?,la < °°, 1 < a ^S 2, то
3.131. Случайная величина | имеет решетчатое распределение
с шагом h. Положим
(к — целое положительное число). Доказать, что
Vft-l < J Vh.
3.132. Пусть | — положительная невырожденная случайная ве-
величина с конечным математическим ожиданием. Доказать, что
3.133. Пусть | и т] — независимые случайные величины, прини-
принимающие положительные значения. Доказать, что для любого
§ 3. Корреляция
3.134. Найти коэффициент корреляции между числом выпадений
«единиц» и числом выпадений «шестерок» при п независимых
бросаниях правильной игральной кости.
3.135. Пусть неотрицательные целочисленные случайные вели-,
чины gi, g2, ..., g, таковы, что gi + g2 + ... + g, = n и для любых
56

mt > 0, Mi + ... + m, = re,
(Ei = «i, • • • . S* = ms) = m
где p« ^ 0, /7i + ... + p* — 1. Найти коэффициент корреляции между
1, и \h I, / = 1,2,..., s.
3.136. Доказать, что коэффициент корреляции любых двух слу-
случайных величин, имеющих конечные ненулевые дисперсии, заклю-
заключен между —1 и +1; равен нулю, если величины независимы; ра-
равен —1 или +1 тогда и только тогда, когда случайные величины
линейно связаны.
3.137. Построить пример, показывающий, что из равенства нулю
коэффициента корреляции двух случайных величин не следует их
независимость.
3.138. Пусть ?i, ..., |„ случайные величины с конечными нену-
ненулевыми дисперсиями. Доказать, что D (|, + ... + |n) = D^ + ... + D\n
тогда и только тогда, когда \t и gj, ..., попарно не коррелированы.
3.139. Случайные величины |i, ..., |n+m (n>m) независимы,
одинаково распределены и имеют конечную дисперсию. Найти ко-
коэффициент корреляции между случайными величинами T]is=li + '.-
. . . + In И Т]2 = im+1 + . . . + tm+n.
3.140. Случайные величины | и г\ независимы и имеют одина-
одинаковое распределение с математическим ожиданием а и дисперсией
02. Найти коэффициент корреляции случайных величин !i = a|+[jT}
3.141. Пусть совместное распределение случайных величин \ п
11 нормально, причем Е^ = Erj == 0, а коэффициент корреляции | и
т| равен р. Найти коэффициент корреляции случайных вели-
величин |2 и г]2.
3.142. Пусть ?,, ..., \п — случайные величины, причем коэффи-
коэффициент корреляции любых двух из них равен р. Доказать, что
p>-i/(n-l).
3.143. Случайные величины | и г\ независимы,
Будут ли случайные величины |tj и г\ независимыми?
3.144 (продолжение). Будут ли в условиях предыдущей задачи
случайпые величины ?г] и "л некоррелированными?
3.145. Пусть ? — случайная величина с конечной дисперсией.
Доказать, что коэффициент корреляции случайных величин | и
sign | неотрицателен.
3.146. Пусть | — случайная величина с симметричным распре-
распределением и конечной дисперсией. Найти коэффициент корреляции
случайных величин 1 и 111.
3.147. Пусть |i, ..., In — случайные величины, оу — ковариация
между |( и I, (i, 7 = 1, •,,, п). Доказать, что ковариационная
57

матрица
неотрицательно определена.
3.148. Пусть | — случайная величина.
Найти cov(?, sign|).
3.149. Пусть случайные величины |, и \г независимы, одинако-
одинаково распределены и имеют конечные дисперсии. Доказать, что слу-
случайные величины iTt == ^i + ^2 и г\г = ?i — ?* некоррелированы.
Можно ли утверждать, что они независимы?
3.150. Пусть | и г} — случайные величины с нулевыми матема-
математическими ожиданиями, единичными дисперсиями и коэффициен-
коэффициентом корреляции р. Доказать, что
Emax{|2, if}< 1 + УГ^.
3.151. Пусть %, т] и % — попарно некоррелированные случайные
величины. Можно ли утверждать, что некоррелированными будут
случайные величины:
а) | и ц + l; б) 1 и т]??
3.152. Пусть g, т} и t, — независимые случайные величины с ко-
конечными положительными дисперсиями. Могут ли быть независи-
независимыми случайные величины 1 + ? и "П + S?
3.153. Пусть |i, ..., |п — независимые одинаково распределен-
распределенные случайные величины с конечным третьим моментом, причем
Е(?; — Е|(K=0. Найти коэффициент корреляции случайных величин
^4
г=1 i=l
§ 4. Некоторые важные распределения
3.154. Доказать, что если каждая из независимых случайных ве-
величин |t и |2 имеет геометрическое распределение, то случайная
величина ц — min {?i, |2) также имеет геометрическое распределе-
распределение. Найти параметр этого распределения, если параметры распре-
распределений ?, и ?2 равны соответственно pt и р2.
3.155. Случайная величина | принимает целые неотрицательные
значения. Доказать, что следующие утверждения равносильны:
а) | имеет геометрическое распределение;
б) p(l = n + k\t>k) = P(Z = n), к, ге = 0, 1, 2, ...
3.156. Случайные величины ?, и |» независимы и имеют одно п
то же геометрическое распределение. Доказать, что
Р Ц± = к | U + 12 = «) = j^, fc = 0,1, . • .. и.
58

3.157. Случайная величина | имеет геометрическое распределение
с параметром р. Найти распределение случайной величины
3.158. Сумма двух независимых целочисленных неотрицатель-
неотрицательных случайных величин имеет биномиальное распределение. Дока-
Доказать, что каждое слагаемое имеет биномиальное распределение.
3.159. Пусть gi, ?2, • • ¦— последовательность независимых одипа-
ково распределенных случайных величин, каждая из которых при-
принимает значение 1 с вероятностью р и значение 0 с вероятностью
1 — р, a v — неотрицательная целочисленная случайная величина, не
зависящая от |„ |2, ... Доказать, что случайные величины ?i +...
... + lv и v — (|i + ... + |v) независимы тогда и только тогда, когда
v имеет пуассоновское распределение.
3.160. Случайные величины |4 и |2 имеют пуассоновское распре-
распределение с параметрами X, и Л2 соответственно, причем Kt =S A2. До-
Доказать, что для любого t>0
РA,<0>РE»<<).
3.161. Случайные величины |4 и |2 независимы и имеют распре-
распределения Пуассона с параметрами Xt и Я2 соответственно. Найти
P(li = Al5i+|, = n), Л = 0, 1, ..., п.
3.162. Случайные величины |t и %г нормально распределены с
параметрами @, о\) и @, а\) соответственно. Доказать, что если
а\ > ol, то
P(\h\<t)^P(\l2\<t)
для любого t Ss 0.
3.163. Пусть |, и |2 — независимые случайные величины, имею-
имеющие одинаковое нормальное распределение. Доказать, что случай-
случайные величины ^ + |2 и g( — ?2 независимы.
3.164. Случайная величина | имеет нормальное распределение с
математическим ожиданием а и дисперсией о2. Найти распределе-
распределение случайной величины sign |.
3.165. Пусть | и г) — независимые случайные величины, имею-
имеющие одинаковое нормальное распределение с нулевым математиче-
математическим ожиданием и единичной дисперсией. Найти распределение слу-
случайной величины |2 + гJ.
3.166 (продолжение). В тех же условиях найти распределение
случайной величины Yg2 + rf.
3.167. Пусть |i, ..., |„ — независимые одинаково распределенные
случайные величины, имеющие нормальное распределение с нуле-
нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Найти
распределение случайной величины у |'i + ... + in.
3.168 (продолжение). В тех же условиях найти распределение
случайной величины |х+ »•• + in (распределение этой случайной

величины называется хи — квадрат распределением с п степенями
свободы).
3.169. Пусть Р(х) и Q(x) — нормальные функции распределения
с математическими ожиданиями а и Ъ и дисперсиями а\ и ol соот-
соответственно. Подобрать распределение R так, чтобы выполнялось ра-
равенство Р * R = Q. Какие условия на параметры распределений Р а
Q нужно наложить, чтобы такое распределение существовало?
3.170. Пусть Р — равномерное распределение на отрезке [0, 1]г
Q — распределение, приписывающее точкам —я и —я + 1/2 вероят-
вероятности 1/2 каждой. Найти распределение R, удовлетворяющее соот-
соотношению Д • Q = Р.
3.171. Пусть g0, %i, %г, . •.— независимые одинаково распределен-
распределенные случайные величины, имеющие равномерное на отрезке [0, 1]
распределение. Найти плотность распределения случайной величины
п
%* = П ?*•
8.172. Пусть |о, %и \г, • • •— последовательность независимых оди-
одинаково распределенных случайных величин, имеющих равномерное
на отрезке [0, 1] распределение. Найти распределение случайной ве-
величины
ft=O
3.173. Пусть ? — случайная величина, имеющая равномерное на
отрезке [0, 1] распределение. Найти распределение случайной
величины
3.174. Случайная величина | имеет показательное распределение
с параметром 1. Найти распределение случайной величины е~1.
3.175. Случайные величины |м ..., |„ независимы и имеют оди-
паковое показательное с параметром Л распределение. Доказать,
что случайные величины
^,...,U и l1 + k + k+ttt + h
одинаково распределены.
3.176. Пусть F(x)—функция распределения, F@) = 0 и F(x)<l
при некотором ж>0. Доказать, что F(x) является показательной
функцией распределения тогда и только тогда, когда
при всех х, у > 0.
3.177. Пусть %! и |2 — независимые случайные величины, имею-
имеющие одинаковое нормальное распределение с пулевым математичо-
60

ским ожиданием и единичной дисперсией. Найти распределение
случайной величины \^\г-
3.178. Пусть | — случайная величина, имеющая распределение
Коши с плотностью
— оо <Z.x<Z oo.
Найти плотность распределения случайной величины 1/?.
3.179. Случайная величина | имеет равномерное на отрезке
[О, 1] распределение. Найти плотность распределения случайной
величины
3.180. Случайная величина | имеет логистическое распределение
с плотностью
—zm. — оо
Найти математическое ожидание и медиану |.
3.181. Случайная величина | имеет равномерное распределение
на отрезке [0, 1]. Найти распределение случайной величины
а>0.
§ 5. Распределения сумм независимых случайных величин
3.182. Пусть | и т] — независимые случайные величины, причем
? имеет показательное с параметром X распределение, а г\ равно-
равномерно распределена на отрезке [0, h]. Найти плотности распределе-
распределения случайных величин | + т] и § — г\ соответственно.
3.183. Пусть | и г\ — независимые случайные величины, причем
1 равномерно распределена на отрезке [0, 1], а ц принимает значе-
значения 0, ±1, ±2, ... с вероятностями р„, р-и ри ... соответственно;
р„ + />_! + pt + .. . = I. Найти плотность распределения суммы
1+
Ц
3.184. Найти плотность распределения суммы % + г\ независимых
случайных величин 1- и т), если ? имеет равномерное распределение
на отрезке [о, 6], а г\ — равномерное распределение на отрезке
[c,d\(a<b, c<d, b-a^d-c).
3.185. Пусть | и r\ — независимые случайные величины с оди-
одинаковой плотностью распределения
Найти плотность распределения суммы | + ц.
3.186. Найти вероятность того, что функция х2 — 2ах+Ь имеет
комплексные корни, если коэффициенты а и Ъ являются независи-
61

мыми одинаково распределенными случайными величинами, имею-
имеющими:
а) равномерное распределение на отрезке [0, k], б) показатель-
показательное распределение с параметром а.
3.187. Пусть | и "л — независимые случайные величины такие,
что сумма | + т) имеет вырожденное распределение. Доказать, что
каждая из случайных величин | и г\ имеет вырожденное распреде-
распределение. Можно ли это утверждать, если § и г\ зависимы?
3.188. Пусть ? и т] — независимые случайные величины, причем
случайные величины | + т] и | одинаково распределены. Найти рас-
распределение случайной величины т).
3.189. Сколько нужно произвести бросаний правильной играль-
игральной кости, чтобы с вероятностью 1/2 сумма выпавших очков пре-
превысила 780?
3.190. Доказать, что в классе распределений операция свертки
коммутативна и ассоциативна.
3.191. Доказать, что свертка двух дискретных распределений
дискретна.
3.192. Доказать, что свертка непрерывной функции распределе-
распределения с любой функцией распределения непрерывна.
3.193. Доказать, что свертка абсолютно непрерывного распреде-
распределения с любым распределением абсолютно непрерывна.
3.194. Доказать, что свертка п раз дифференцируемой функции
распределения с любой функцией распределения п раз дифферен-
дифференцируема.
3.195. Доказать, что свертка двух симметричных распределений
симметрична.
3.196. Показать, что свертка двух одновершинных распределений
не обязана быть одновершинным распределением.
3.197. Доказать, что свертка двух симметричных одновершинных
распределений одновершинна.
3.198. Пусть | и т] — независимые случайные величины, из кото-
которых по крайней мере одна имеет непрерывное распределение. Дока-
Доказать, что 9{\ = т)) = 0.
3.199. Пусть |i, %г, 1з — независимые случайные величины с
симметричными распределениями и пусть для некоторого М > 0
Доказать, что
РAЫ + 1Ы + Ц31«:М)=1.
3.200. Для каждой случайной величины | положим
s(l) = inl{x: х>0, Р(|||<ж)=1}.
Пусть |1? ..., \n — независимые случайные величины с симмет-
симметричными распределениями. Доказать, что:
а) *(?, + ... + 1„) = в(Ы+... + *(&»),
б) s(|l + ... + |n) = s(llll+...+ l|J).
62

3.201. В обозначениях предыдущей задачи доказать, что равен-
равенства а) и б) справедливы, если ?ii •••) In — независимые одинаково
распределенные случайные величины (не обязательно симмет-
симметричные).
3.202. Пусть § — случайная величина с равномерным на отрезке
[0, 1] распределением, а случайная величина г\ не зависит от 5 и
принимает значения 1, 2, 3, ... с вероятностями ри р2, р,, ... соот-
иетствеппо, причем pt + р2 + ... = 1, p. ^ Pi+i, i = 1, 2, ... Дока-
нать, что случайная величина ? + ц имеет одновершинное распреде-
распределение.
3.203. Пусть | — неотрицательная случайная величина. Положим
ix)[l при \>х,
6 (О при
Доказать, что если ? и т) — неотрицательные случайпые величины
с конечными математическими ожиданиями, то
3.204. Пусть |,, ..., \п — независимые одинаково распределенные
случайные величины, т) = |t + ... + |„. Доказать, что если для не-
некоторого с >0 Р@<т)<с)=1, то
3.205. Пусть |,, |2, ...— последовательность независимых одина-
одинаково распределенных случайных величин, причем Р(|, = 0)<1.
Положим т)„ = gi + ... + \п. Доказать, что для любого с > 0 суще-
существует п = п(с) такое, что
РAт)„1 >е)>0.
3.206. Пусть |i, \г, .. •— последовательность независимы-х одина-
одинаково распределенных положительных случайных величин, "х\п =
= !, + ... + !„. Доказать, что для любого с > 0 найдется а = а (с) >
> 0 такое, что
3.207. Пусть 1 и "П — независимые одинаково распределенные
случайные величины, Р(| > 0) = Р(т] >0)> 1/2. Верно ли, что
РF + т|> 0K» 1/2?
3.208. Пусть | — целочисленная неотрицательная случайная ве-
величина, Р(| = 0)>0 и пусть | = §, + |2, где |i и |2 — независимые
одинаково распределенные случайные величины. Доказать, что §
могут принимать только целые значения.
3.209. Пусть | и ц — независимые случайные величины с решет-
решетчатым распределением с тагами а и Ъ. Доказать, что сумма \ + ц
имеет решетчатое распределение тогда и только тогда, когда alb —
рациональное число.
63

8.210. Пусть F(x), Fi(x), F2(x) — функции распределения, при-
причем F = Ft * Ft, и пусть N, n, m — число точек разрыва функций
F(x), Fi(x) и F2(x) соответственно. Доказать, что п + т — i^N^
< пт.
3.211. Пусть ? и г| — независимые случайные величины с плот-
плотностями распределения р(х) и q(x) соответственно. Доказать, что
плотность распределения суммы | + г\ равна
оо оо
г (ж)- J p(x-t)q(t)dt~ J p(t)q(x-t)dt.
— оо —оо
3.212. Пусть | и г\ — независимые случайные величины, причем
| имеет плотность распределения, нигде не обращающуюся в нуль. До-
Доказать, что плотность распределения суммы | + т] также нигде не
обращается в нуль,
3.213. Пусть | и г\ — независимые одинаково распределенные це-
целочисленные случайные величины, р( = Р(| = г), i = 0, ±1, ±2, ...
Доказать, что
— a\ — "v
— V) — ^j j
i=—с»
3.214. Пусть ^ и Л — независимые случайпые величины с одина-
одинаковой плотностью распределения р(х). Обозначим q(x) плотность
распределения случайной величины \ — г\. Доказать, что
J p4x)dx.
3.215. Пусть li, ..., \п и Т|,, ..., Г|„ — две совокупности независи-
независимых в каждой совокупности случайных величин. Доказать, что если
для любого вещественного а и любого к = 1, 2, ..., и
то
P(t!,+ ... + \п > а) ^ Р(ть + ... + tj» > а).
3.216. Пусть \ и т) — независимые случайные величины. Доказать,
что функция концентрации их суммы не превосходит функций кон-
концентрации слагаемых:
&+ч(я) <min {&(*), <?„(*)>
(определение функции концентрации см. в задаче 3.54).
3.217. Пусть ?i и |г — независимые случайные величины. Дока-
вать, что для любых неотрицательных xt и х%
64

3.218 {теорема И. В. Романовского). Пусть gi и \г — независи-
независимые случайные величины, ? = ?i +12. Доказать, что для любого
Qi(x)<Qi1(x)Qh(x)+(i-Qh(x))(l-Qh(x)).
3.219. Пусть ?i и ?2 — независимые случайные величины, § =
= |, + |2; пусть для некоторого борелевского множества А
Доказать, что для некоторого вещественного а
Pfee4 + o)>l-e.
3.220. Пусть | и Ti — независимые случайные величины, причем
? имеет плотность распределения р{х). Обозначим q(x) плотность
распределения суммы ? + т]. Доказать, что
sup q (х) ^ sup/? (x).
X X
3.221. Привести пример случайной величины § такой, что ее
функция распределения F(x) представима в виде F — Fi»F2, где
Fi(x) и F2(x) — некоторые невырожденные функции распределения,
по не существует двух независимых случайных величин ?f и |2 та-
таких, что |4 имеет функцию распределения Ft(x), f —1, 2, и ? =»
=ь+и-
3.222. Пусть | — случайная величина, Р @ < ? < с) — 1, О О,
Е| = о, Dg = 6. Доказать, что если b > а, то при и > с § не может
быть представлена как сумма п независимых одинаково распреде-
распределенных случайных величин,
3.223. Пусть | — случайная величина, принимающая значения
О", I71, 2", ... (п>2) с положительными вероятностями и
S(g)
i=0
Доказать, что ? не может быть представлена как сумма двух неза-
независимых случайных величин, каждая из которых имеет невырож-
невырожденное распределение.
3.224. Пусть случайная величина 5 принимает ровно два значе-
значения. Доказать, что она не может быть представлена в виде суммы
двух независимых случайных величин, каждая из которых имеет
невырожденное распределение.
3.225. Случайная величина ? принимает значения —1, 0 и 1
с вероятностями pif рг и р, соответственно (Pi/>2/>3 > 0, pi + р2 +
+ р3 = 1). Какие условия нужно наложить на ри рг и р3, чтобы рас-
распределение | было представимо в виде свертки двух одинаковых
распределений?
3.226. Пусть | и т] — независимые случайные величины, причем
функция распределения | строго возрастает. Доказать, что функция
распределения суммы | + г\ также строго возрастает.
^ А. В. Прохоров и др. 65

3.227. Пусть | и r\ — независимые целочисленные случайные ве-
величины. Доказать, что
3.228. Вещественные числа аи ..., ап называются рационально
независимыми, если пи одно из них не представимо в виде линей-
линейной комбинации остальных с рациональными коэффициентами.
Пусть аи ..., ап — рационально независимые числа, §4, ..., |„ —
независимые случайные величины, принимающие целые значения.
Доказать, что для любых вещественных bi, ..., Ъп
3.229. Пусть |,, ..., |„ — независимые целочисленные случайные
величины, at, ..., ап — рационально независимые числа. Дока-
Доказать, что
sup P Г? аг1г = х = П sup Р (li = ц).
х \г=1 / г=1 ж,
3.230. Пусть | — целочисленная случайная величина. Положим
г=-оо
а) Доказать, что У(|)^2, б) пусть ^ и -ц — независимые слу-
случайные величины. Доказать, что
§ 6. Неравенства
3.231. Пусть | — неотрицательная случайная величина с конеч-
конечным математическим ожиданием. Доказать, что
)
п=1 п=1
3.232. Пусть | — случайная величина с конечной дисперсией. До-
Доказать, что
|/га|-Е?| *S 1/2Щ,
(m| — медиана %).
3.233. Пусть | — случайная величина с конечным математиче-
математическим ожиданием. Доказать, что для любого г > 0
3.234. Пусть | — неотрицательная случайная величина, Ее4 <
> 0. Доказать, что для любого г > 0
В6

3.235. Пусть g — случайная величина, j(x)— неотрицательная
неубывающая функция. Доказать, что для любого вещественного с
3.236. Пусть |— случайная величина, f(x)— положительная, не
возрастающая при х > О функция. Доказать, что для любого а > О
3.237. Пусть | — случайная величина с конечным математиче-
математическим ожиданием и конечной дисперсией. Доказать, что для любо-
любого х > О
3.238 (неравенство Гаусса). Случайная величина § имеет сим-
симметричное одновершинное распределение. Доказать, что для любого
3.239. Пусть | — случайная величина, имеющая одновершинное
распределение с вершиной в точке х0 и конечную дисперсию.
Положим
т2 = Щ+(;г„-Е1J.
Доказать, что для любого е > О
Р(|5-*0|>ет)<А.
3.240. Пусть выполнены условия предыдущей задачи. Положим
s~ ущ '
Доказать, что для любого е > 1st справедливо неравенство
3.241. Пусть |, и |2 — независимые одинаково распределенные
случайные величины. Доказать, что:
а) 4p(?i-w
б) yP(||1-m61|>e)<P(|g1-|I1|>e).
3.242. Доказать, что для любого вещественного а
3.243. Пусть | и tj — независимые случайные величины, причем
т) имеет нулевую медиану. Доказать, что для любого а:
5* 67

а) РF + л>«)>трв>в>« б) т
3.244. Пусть |i и |2 — независимые случайные величины. Дока-
Доказать, что для любых неотрицательных xt и я,
РAЫ
3.245. Пусть |i, ..., In — случайные величины с конечными мате-
математическими ожиданиями, Т1„ = |4 + ... + ?„. Доказать, что для лю-
любого е > О
Pfmax
3.246. Пусть |», ..., |„ — независимые случайные величины с ну-
нулевыми математическими ожиданиями и конечными абсолютными
моментами порядка к > 1, Т1„ = ?t + ... + ?„. Доказать, что для лю-
любого е > О
Pfmax |тц|>5Ь
(при А;=»2 — неравенство Колмогорова).
3.247. Пусть it, ..., |„ — независимые случайные величины с
симметричными распределениями, r\n = |t + ... + ?„. Доказать, что
для любого вещественного а
Р С max r\h > а^ < 2Р (т]„ ^ а).
3.248 (неравенства Леей). Пусть |ц ..., gn — независимые слу-
случайные величины, г)Л = §! + ... + §„. Доказать, что для любого е > 0:
а) Р (max (^ — m(i)k — щ)) >е\< 2Р (г]„>е);
Vft< ^
б) Р (max |ЛА-пг(г)А-ть)|>е)< гРип^е)
\ft<n У
(тп(-) — медиана).
3.249. Пусть |,, ..., ?„ — независимые случайные величины с ну-
нулевыми математическими ожиданиями и конечными дисперсиями,
т]п = li +... + |я. Доказать, что для любого е S* 0
Р ( max rib> e\ < 2Р (т]„> е -
3.250. Пусть ii, ,.., |„ — независимые случайные величины с
симметричными распределениями и конечными абсолютными мо-
моментами порядка г > 1, Tin = ii +... + iik. Доказать, что
i I max I Tii,
3.251. Пусть %t, ..., %п — независимые случайные величяны с
нулевыми математическими ожиданиями и конечными абсолютными
68

моментами порядка r>i, r\n = ?t +... + ?„. Доказать, что
if шах ЫГ)<22Г+1ЕЫГ.
3.252. Функция ц>(х) четна, неотрицательна и не возрастает при
О, Ъ, и г\ — случайные величины. Доказать, что если при любом
то
и наоборот.
§ 7. Расстояния в пространстве вероятностных распределений
3.253. Доказать неравенство треугольника для расстояния по ва-
вариации, то есть доказать, что для любых трех вероятностных рас-
распределений F, G и Р справедливо неравенство
Var(F, G)<Var(F, P)+Var(P, G).
Доказать неравенство треугольника для равномерного расстоя-
расстояния sup | F (х) — G (х) \.
х
3.254. Пусть Р и Q — абсолютно непрерывные вероятностные рас-
распределения, р(х) и q(x) — соответствующие плотности распределе-
распределения. Доказать, что
оо
Var(P,Q) = -§ J \p(x)-q(x)\dx.
— ОО
3.255. Пусть | и -л — случайные величины с функциями распре-
распределения F(x) и G(x) соответственно. Доказать, что
чип I F (т\ A (т\ I <Г" Р (? =з?= <п^
X
3.256. Найти равномерное расстояние между двумя нормальны-
нормальными распределениями с одинаковыми математическими ожиданиями
и дисперсиями о\ и а\.
3.257. Равномерное расстояние между распределениями случай-
случайных величин Ъ, и т] равно р. Найти равномерное расстояние между
распределениями случайных величин с% и '•tj (с Ф 0).
3.258. Найти равномерное расстояние между двумя равномерны-
равномерными распределениями с одинаковыми математическими ожиданиями
и дисперсиями а\ и а\.
3.259. Указать распределение, равноудаленное в равномерной
метрике от двух нормальных распределений с математическими
ожиданиями at и а2 и дисперсиями а\ и о\ соответственно.
69

3.260. Пусть Fi (х) и F2 (х) — произвольные функции распределе-
распределения. Указать функцию распределения F(x), равноудаленную в рав-
равномерной метрике от функций распределения F,(x) и F2(x).
3.261. Найти равномерное на отрезке распределение, равноуда-
равноудаленное в равномерной метрике от двух равномерных распределений
на отрезках [~а, а] и [—Ь, Ь] соответственно.
3.262. Доказать неравенство треугольника для расстояния Леви.
3.263. Найти расстояние Леви между двумя равномерными рас-
распределениями с нулевыми математическими ожиданиями и диспер-
дисперсиями O"i И 02 (°"l ^ а2>-
3.264. Пусть | и г] — случайные величины с функциями распре-
распределения F(x) и G(x) соответственно. Доказать, что если
для некоторого положительного е > 0, то
L(F, G)<e.
3.265. Пусть ? и т] — случайные величины с вероятностными
распределениями F и G соответственно. Доказать, что
Var(F, G)^P(l^ri).
3.266. Доказать, что для любых функций распределения F(x) и
G(x) справедливы неравенства
где P = supG'(;r), если G(x) дифференцируема, и р = °° в против-
X
ном случае.
3.267. Доказать, что для любых двух функций распределения
F(x) и G{x)
оо
L*(F,G)<J \F(x)-G(x)\dx.
— оо
3.268. Пусть Fi(x) и F2(x) — две функции распределения с оди-
одинаковыми математическими ожиданиями и дисперсиями о\ и о\
соответственно. Доказать, что
L{FU F2) < 2 B max {о,, о2}J/3.
3.269. Пусть F(x) — функция распределения с нулевым матема-
математическим ожиданием и единичной дисперсией, Ф (я) — стандартная
нормальная функция распределения. Доказать, что
sup | F (х) — Ф (х) | < 0,5416.
X
3.270. Доказать, что для любых трех функций распределения
Pi{x), F2(x) и G(x) справедливо неравенство
70

3.271. Доказать, что для любых трех вероятностных распре деле-
делении FH F2 и G справедливо неравенство
Var(F,*G, F2*G)^Var(F1, F2).
3.272. Доказать, что для любых трех функций распределения
Fi, 1'г и & справедливо неравенство
G, F2*G)<L(FI, F2).
3.273. Пусть Fi(x), ..., Fn(x), Gi(x), .. ., Gn(x) — произвольные
функции распределения. Доказать, что
sup| F{ *...*Fn(x)-G1*...*Gn(x)\^2
x i=
3.274. Доказать, что для любых вероятностных распределений
f,{x), ..., Fn(x), Gi(x), ..., Gn(x)
Var(F1*...*Fn, ©^...AXS Var(Fi,Gi).
3.275. Доказать, что для любых функций распределения
Ft(x) Fn(x), Gi(a;),...t Gn(x)
L (F1 * ... * Fn, Gx * ... * Gn)< 2 L (Fh G{)
i=l
3.276. Пусть | и т] — случайные величины с функциями распре-
распределения F(x) и G{x) соответственно, t, — случайная величина, не
зависящая от ? п г\ и имеющая функцию распределения Н(х). До-
Доказать, что
sup|F (x) — G(x)\<;Suv\F*H{x)-G*H(x)\ +
3.277. Доказать, что в условиях предыдущей задачи
Var(F, G)^Var(F*H, G * Н) + Р(% ?=0).
§ 8. Многомерные распределения
3.278. Каким условиям должны удовлетворять числа а, Ъ и с
для того, чтобы при подходящем выборе нормирующего множителя
А функция
А ехр {-(ах* + 2Ьх + су2)}
являлась плотностью распределения вероятностей на плоскости?
3.279. Пусть | — случайный вектор, принимающий значения в
П?п. Доказать, что
П

3.280. Показать, что функция
A при х + y~^z 0,
[0 при х + у < О
является непрерывной справа, возрастающей по каждой переменной,
но не является функцией распределения в R2. Показать то же са-
самое для функции G(x, у) = [х + у] (целой части х + у).
3.281. Случайные величины %и ?2, ?» и |4 независимы. Доказать,
что случайные векторы т) ¦=¦(§!, |2) и ? = Aз, 60 независимы. Верно
ли обратное?
3.282. Привести пример разрывной двумерной плотности распре-
распределения вероятностей, у которой обе маргинальные плотности не-
непрерывны.
3.283. Найти и сравнить маргинальные распределения равномер-
равномерного распределения в единичном квадрате с равномерным распре-
распределением на его диагонали.
3.284. Случайный вектор A, г\) равномерно распределен в квад-
квадрате со стороной, равной единице, и диагоналями, совпадающими с
осями координат. Найти коэффициент корреляции величин ? и г\.
3.285. Пусть (|, г\)— случайный вектор, распределение которого
сосредоточено на некоторой прямой. Найти коэффициент корреля-
корреляции величин | и т).
3.286. Каждая из случайных величин ?, т), ? имеет нулевое ма-
математическое ожидание и единичную дисперсию, причем выполнено
соотношение
аЬ, + bf\ + с? = О
(о, Ъ и с — вещественные числа, аЪс Ф 0). Найти ковариационную
матрицу случайного вектора (|, т], ?) и доказать, что
а4 + Ьк + с4 < 2 (агЬ2 + агсг + Ь2сг).
3.287. Случайные векторы | и г\ независимы и каждый из них
имеет равномерное распределение в круге единичного радиуса с
центром в нуле. Найти плотность распределения суммы ? + г\.
3.288. Пусть ! = (ii, ..., In) a ti =(rii, ..., г\п) — независимые
случайные векторы, принимающие значения в [Rn. Доказать, что
для любых i,yeR" случайные величины <?, х> и <т), у> (<•, •>—
скалярное произведение) независимы.
3.289. Пусть ?i> |2, r\t, r\i — случайные векторы, принимающие
значения в й?п причем и ?i» и |2 не зависят от rjt и t\f Будут ли
независимыми случайные величины <?1? |2> и <rii, ti2>?
3.290. Случайный вектор б^^ь 6») принимает значения @, 0),
@, 1), A, 0), A, 1), @, 2), A, 2), каждое с вероятностью 1/6.
Найти распределение случайной величины <?, е>, где е — вектор с
координатами A, 1).
3.291. Случайный вектор 5 = (|i, 1г) имеет равномерное распре-
распределение в треугольнике с вершинами в точках (—1,0), @, 1K A,0).
72

Найти распределение случайной величины <|, е>, где е — вектор с
координатами A/2, 1/2).
3.292. Пусть 0 < а ^ 1 и
/(*, у) - (A + ах) A + ау) - а) е—»—»
при я > 0, у >0 и /(я, у)=*0 при остальных хну. Доказать, что
f(x, у)— двумерная плотность распределения вероятностей, и найти
ее маргинальные распределения.
3.293. Коэффициент корреляции случайных величин % и х\ равен
единице. Может ли случайный вектор (|, г\) иметь плотность рас-
распределения?
3.294. Пусть | — случайная величина с функцией распределения
F{x). Найти функцию распределения Fz(x, у) случайного векто-
вектора A, I).
3.295. Случайная величина % имеет плотность распределения.
Будет ли иметь плотность распределения случайный вектор
(I, Г,-••,!")?
3.296. Пусть | — случайная величина с функцией распределения
F(x). Найти функцию распределения F2(x, у) случайного вектора
it is I'
3.297. Пусть |4, ..., gn — независимые случайные величины с оди-
одинаковой функцией распределения F(x). Положим | = min {%u ..., ?„}
и г) = max {|4, ..., !„}. Найти функцию распределения случайного
вектора (§, г|).
3.298. Пусть | = (|i, ..., |п) — случайный вектор, принимающий
значения в 0?п, А — неслучайная матрица из т строк и п столбцов.
Доказать, что
3.299. Случайный вектор | принимает значения в R" и имеет
дискретное распределение. Доказать, что в R" найдется вектор е
такой, что распределение | однозначно восстанавливается по рас-
распределению случайной величины <|, е>.
3.300. Вероятностное распределение в К" называется сфериче-
сферически симметричным, если оно инвариантно относительно поворотов
вокруг нуля.
Пусть случайные векторы | и г\ независимы и каждый из них
пмеет сферически симметричное распределение. Доказать, что их
сумма | + tj также имеет сферически симметричное распределение.
3.301. Пусть случайный вектор | = (|i, ..., |п) имеет сферически
симметричное распределение. Доказать, что случайные величины
|i, ..., |п попарно некоррелированы.
3.302. Доказать, что двумерное распределение, сосредоточенное
в п точках, полностью определяется своими проекциями на п+1
попарно неколлинеарных векторов.
3.303. Привести пример независимых случайных векторов | и г\,
принимающих значения в R" и таких, что при любом а е R" % + а
73

и г| + а имеют распределения, не являющиеся сферически симмет-
симметричными, но распределение их суммы | + г\ сферически симмет-
симметрично.
3.304. Пусть q>i(x, у) и (рг(х, у) — две нормальные двумерные
плотности распределения с одинаковыми математическими ожида-
ожиданиями и дисперсиями, но разными ковариационными матрицами.
Положим
i|> (х, У)=~2 (Ч>1 (ж' У) + % (х' З^-
Является ли плотность распределения if (ж, у) нормальной?
3.305 (продолжение). Являются ли нормальными маргинальные
распределения у распределения с плотностью ty(x, у)?
3.306. Пусть и{х) — нечетная непрерывная функция на прямой,
равная пулю вне интервала [—1, 1], причем | и (х) | < _¦ ._— Дока-
Доказать, что функция
f{x,y)-=2ne 2 +и ^ и ^
есть двумерная плотность распределения, которое не является нор-
нормальным, но его маргинальные распределения нормальны.
3.307. Пусть ?=(li, ..., |п) — случайный вектор, принимающий
значения в R" и имеющий нормальное распределение с матрицей
ковариаций
А = \
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины
<|, е>, где е — произвольный единичный вектор в К™.
3.308. Случайная величина | имеет нормальное распределение с
нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Най-
Найти распределение случайного вектора
•П=Aп |||, signl).
3.309. Доказать, что «-мерный случайный вектор |=(|4, . •., ?„)
имеет нормальное распределение тогда и только тогда, когда для
любого набора п вещественных чисел си ..., с„ линейная ком-
комбинация
имеет нормальное распределение в IR1.
3.310. Доказать, что если случайный вектор l = (li, ..., |„) рас-
распределен нормально с нулевым математическим ожиданием и еди-
74

яичной ковариационной матрицей, то случайная точка, представляю-
представляющая собой конец вектора |/И|Н, равномерно распределена на единич-
единичной сфере в IR". Доказать, что то же самое справедливо для любо-
любого случайного вектора, имеющего сферически симметричное распре-
распределение.
3.311. Пусть |4, |2, |s — независимые одинаково распределенные
случайные величины,
Ее'-/(*), 7 = 1,2,3, -оо<*<оо.
Найти
се , —оо < и, 1><°о.
3.312. Доказать, что для того чтобы квадратная матрица размера
п X п была ковариационной матрицей некоторого «-мерного вероят-
вероятностного распределения, необходимо и достаточно, чтобы она была
симметрична и неотрицательно определена.
3.313. Пусть | и г\ — случайные величины с коэффициентом кор-
корреляции р. Доказать справедливость следующего двумерного анало-
аналога неравенства Чебышева:
{\Ъ-Ч\>еУЩ или 1 -п — 1
3.314. Пусть
матрица, составленная из случайных величин, имеющих одинако-
одинаковое конечное математическое ожидание. Обозначим 1.41 определи-
определитель матрицы А. Доказать, что если строки матрицы независимы, то
есть случайные векторы |i = (|n, ...,-|m), • •., |п = (|ш, ..., Inn)
независимы, то математическое ожидание определителя равно нулю:
Е \А 1=0. Верно ли обратное? Будет ли справедливо утверждение
задачи в том случае, когда элементы матрицы имеют различные ма-
математические ожидания?
§ 9. Разные задачи
3.315. Пусть |4, ..., |„ — независимые одинаково распределенные
случайные величины, P(gj = /)=1/W, / = 1, 2, ..., N. Найти веро-
вероятность Р(|4 = ... = |„).
3.316. Пусть |4, ..., |п — независимые одинаково распределен-
распределенные случайные величины, принимающие значения 1, 2, ..., N,
Цп = |i +... +1„. Доказать, что
Р(т)„ делится на п)> l/Nn~l.
3.317. Пусть а, Ъ и с — независимые случайные величины, а и b
имеют равномерное распре деление на отрезке [—1, 1], а с принимает
73

значения —1, О, 1 с вероятностями 1/4, 1/2, 1/4 соответственно.
Найти вероятность того, что (случайная) функция f(x) не убывает
при х>0, если:
а) / (х) = -| + a sin х; б) / (х) = ехр {ах — bx*}\
в) f(x) = coscx; г) f(x) — (ab + c)x.
3.318. Пусть \ — случайная величина с медианой т%. Доказать,
что для любого вещественного а та% — ami,.
3.319. Пусть \i ж \г — случайные величины с функциями распре-
распределения Fi(x) и F2(x) соответственно. Доказать, что если Fi(x)^
^F2(x) для всех х, то
Е max {х, |J > E max ix, ?2).
3.320. Пусть |t» • • •» Sn — независимые случайные величины с ну-
нулевыми математическими ожиданиями и конечными третьими мо-
моментами. Доказать, что
3.321. Пусть |t и ?2 — независимые случайные величины, | =
= li + |2, Я,1 и кг — медианы распределений |t и |2, j/i и уг — соот-
соответственно нижняя и верхняя квартили распределения случайной
величины |, то есть yt — число, удовлетворяющее условию
a y2 — число, удовлетворяющее условию
Доказать, что
У± ^ ki + А2 ^= Уг.
3.322. Пусть |i, ..., |„ — независимые одинаково распределен-
распределенные случайные величины с конечной дисперсией а2. Положим
е п •
Найти математическое ожидание случайной величины
2 Uft — l) ¦
3.323. Пусть | — случайная величина с конечной дисперсией.
Доказать, что
3.324. Пусть | — случайная величина и
а-ЕЪ,
76

Доказать, что
3.325. Пусть ? — случайная величина с математическим ожида-
ожиданием а и дисперсией а2. Доказать, что вероятность того, что | от-
отклонится от а больше чем на За, не превосходит 1/9.
3.326. Пусть % и т] — случайные величины с конечными момен-
моментами втврого порядка. Доказать, что
Е(л - al - Ъ)г > Е(т) - ай\ - Ь0)г = A - р2) • Оц
для любых вещественных а и Ь, где
COV (?, Т)) - _ _«, /у \
ао= б? ' &о = Е<П —aoES, p = cov(|, n)
иа, = 0, если D? = 0.
3.327. Доказать, что последовательность моментов любой непре-
непрерывной функции распределения F(x) положительно определена, то
есть для любого целого положительного т и любых вещественных
где
со
аг= f xldF(x).
—оо
3.328. Пусть |i, |2, ...— последовательность независимых одина-
одинаково распределенных случайных величин, каждая из которых имеет
равномерное распределение на отрезке [0, 1], и пусть v — случайная
величина, равная тому к, при котором впервые сумма r\k = |i + ...
... + I,, превосходит единицу. Найти Ev.
3.329. Пусть | — случайная величипа, имеющая симметричное
распределение и принимающая не менее трех значений. Доказать,
что на том же вероятностном пространстве найдутся независимые
невырожденные случайные величины ц и ? такие, что | = ц ¦ ?.
3.330. Пусть | и 1] — случайные величины. Доказать, что если
для любой непрерывной ограниченной функции f(x)
то | и т] одинаково распределены.
3.331. Имеется п шаров, среди которых к белых я п — к черных.
Наудачу выбирается v шаров, где v — случайная величина, припи-
мающая значения от 1 до га о равными вероятностями. Найти мате-
математическое ожидание числа белых шаров среди отобранных.
3.332. Пусть §!, ||, ...— последовательность независимых одина-
одинаково распределенных случайных величин, таких, что Р (^< = ^j) = 0
77

при i Ф j. Положим ?# = 1, если Ъ,, ^ gf, и t>n = 0 в остальных слу-
случаях, i, j = 1, 2, .. . Пусть
тц= 2 ?#> г = 1,2,...
Доказать, что r)t, г|2, ...— независимые случайные величины. Най-
Найти распределение x]t.
3.333. Пусть | и т] — случайные величины, определенные на од-
одном вероятностном пространстве. Расстоянием Ки-Фана между g и
г) называется точная нижняя грань таких положительных е, что
Р(Ц-тI >е)<е.
На вероятностном пространстве (Q, si-, Р), представляющем со-
собой отрезок [0, 1] с о-алгеброй борелевскпх подмножеств в качестве
s& и мерой Лебега в качестве Р заданы две случайные величины g
и т). Найти между ними расстояние Ки-Фана, если:
A при 0<со<1/2, 10 при 0<со<1/2,
при
б) I = I (со) = со, i\ = r\ (со) = со/2.
3.334. Пусть ?i, |2, ...— последовательность независимых одина-
одинаково распределенных случайных величин с конечным математиче-
математическим ожиданием, а случайная величина v не зависит от |,, |2, ...
и принимает целые положительные значения. Положим цп = %i + ...
... + ?„. Доказать, что Et)v = E|i • Ev.
3.335. Пусть
— матрица, элементами которой являются независимые случайные
величины с нулевыми математическими ожиданиями и одинаковыми
дисперсиями о2. Найти математическое ожидание и дисперсию опре-
определителя матрицы А.
3.336 (теорема Бирнбаума). Пусть |, т), ? — случайные величи-
величины, причем ? не зависит от ? и т) и имеет симметричное одновер-
одновершинное распределение. Доказать, что если
Р(Ц| <*)>
для любого t &s 0, то
3.337. Пусть gj, ..., gn и r)i, ..., т}п — две совокупности незави-
независимых в каждой совокупности случайных величин, имеющих сим-
симметричные одновершинные распределения. Доказать, что если
78

для любого t ^ О и всех к = 1, 2, ..., п, то
21*
3.338. Пусть |„ ..., |„ — независимые случайные величины, г\„ =
= 5, + ... +In, Fn (я)—функция распределения Т1„, F{xu ..., х„) =
= Р(л,< ж„ ..., Г1„ < хп). Доказать, что
П
F(^, ...,xn)>J\Fk{xk)
ДЛЯ Любых Xi, . . ., Хп.
3.339. Доказать, что пи при каком целом положительном п 3* 2
ни на каком вероятностном пространстве не существует трех поло-
положительных целочисленных случайных величин \, т), ?, каждая из
которых приписывает всем числам 1, 2, ... положительные вероят-
вероятности, таких, что ? и я независимы и
3.340. Правомерно ли следующее рассуждение: «От дома до ра-
работы 1 км, хожу я в среднем со скоростью 5 км/час, следовательно,
в среднем на дорогу у меня будет уходить 12 мин»?

Глава 4
АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Характеристические функции, также как и производящие функции и пре-
преобразования Лапласа, составляют основное аналитическое орудие изучения
вероятностных распределений, в первую очередь, распределений, возникаю-
возникающих при суммировании случайных величин.
Производящей функцией случайной величины ?, принимающей целые не-
неотрицательные значения, называется функция комплексной переменной
Если ? и т] — независимые случайные величины с производящими функ-
функциями P(z) и Q(z) соответствепно (говоря о производящих функциях, мы
всегда подразумеваем, что соответствующие случайные величины принимают
целые неотрицательные значения), то производящая функция суммы | + •!
равна P(z)Q(z).
Характеристической функцией произвольной случайной величины ? назы-
называется функция вещественной переменной
t(t) = Ее'Ч
(если F(x) — функция распределения |, то
/(t)= f eitxdF{x)).
Характеристическая функция любой случайной величины обладает следующи-
следующими свойствами:
1) /@) = 1, |/(i)| < 1 при всех t;
2) f(t) равномерно непрерывна па всей числовой оси;
3) если а и Ъ — постоянные, то характеристическая функция случайной
величины а\ + Ъ равна f(at)eitb (/(() —характеристическая функция ?);
4) если g и г] — независимые случайные величины с характеристически-
характеристическими функциями f(t) и g(t), то характеристическая функция суммы g + т) рав-
равна /(f)g СО-
Справедлива следующая
Теорема Бохнера — Хинчина. Для того чтобы непрерывная функция
/(г), заданная на вещественной оси и удовлетворяющая условию /@) = 1,
была характеристической функцией некоторой случайной величины, необходи-
необходимо и достаточно, чтобы она была положительно определенной, т. е. при каж-
каждом целом п > 0 для любых комплексных чисел z\, ..., г„ и любых вещест-
вещественных чисел t[, ..., tn
2 ()
Любая функция распределения однозначно определяется своей характе-
характеристической функцией, при этом имеет место следующая формула обращения:
80

если F(x)—функция распределения и ]A)—соответствующая характеристи-
характеристическая функция, то
т
^ Hz I
""*'
- ;
где х\ и z2 — произвольные точки непрерывности F(х).
Справедлива также
Теорема непрерывности. Последовательность функций распределения
{Fn(x)}, re = l, 2, ... слабо сходится к некоторой функции распределения
F (х) тогда и только тогда, когда соответствующая последовательность харак-
характеристических функций {/„(г)} сходится к непрерывной в нуле функции f(t).
При этом )(t) есть характеристическая функция предельного распределения
F(х) и сходимость fn{t) к f(t) равномерна на каждом конечном отрезке.
Существует тесная связь между моментами вероятностного распределе-
распределения и производными соответствующей характеристической функции. Так, если
Е|5|*<<» (к^1), то характеристическая функция /(?) случайной величи-
величины ? к раз дифференцируема и
d
В свою очередь, существование производной —гг / (?) влечет за собой
dt™ (=o
существование абсолютного момента порядка 2к: Е|?|2А •< оо.
Пусть Е|?|*<;оо. Если ф(г)—характеристическая функция случайной
величины Е, то величина
1=0
называется семиинвариантом случайной величины ? порядка к. В частности,
'Л\ = Е^, Кг = D^, к3 = Е(| — е|K- Существуют соотношения, связывающие
между собой моменты и семиинварианты.
Преобразованием Лапласа неотрицательной случайпой величины \ назы-
называется функция
cp(s) = Ee"s-
(если F(x) —функция распределеиня ?, то
Распределение однозначно определяется своим преобразованием Лапласа.
При сложении независимых случайных величин соответствующие преобра^
зования Лапласа перемножаются.
§ 1. Производящие функции
4.1. Пусть | — неотрицательная целочисленная случайная вели-
величина с производящей функцией cp(z). Найти производящие функ-
функции случайных величин % + п и п\ (и — целое неотрицательное
число).
О А. Б. Прохоров и др. 81

4.2. Найти распределения, которым соответствуют следующие
производящие функции:
а) |A +гJ; б) pil-qz)'1, p, д>0, р + q = 1;
в) eKz~l\ Я>0; г) (р + qzf; д) 737 chz;
е)
4.3. Найти распределение, отвечающее производящей функции
Ф (z), если ф ^J = ??, га = 1, 2,, ...
4.4. Доказать, что функция <p(z) = |z| не может быть произво-
производящей функцией вероятностного распределения.
4.5. Пусть ? — случайная величина, принимающая целые неот-
неотрицательные значения, ср (z) — ее производящая функция. Дока-
Доказать, что
n-»» fe=i
тде Idjjl^l, ak -*¦ О при к -*¦ <».
4.6. Пусть | — случайная величина, принимающая целые неот-
неотрицательные значения, q>(z) — ее производящая функция. Дока-
Доказать, что Р(? = 0) = 0 тогда и только тогда, когда сходится ряд
2 »?
4.7. При каких значениях параметров дробно-линейпая функ-
функция ср (z) = ° Т / является производящей функцией вероятност-
С ~y~ CIZ
ного распределения?
4.8. Пусть | и г\ — случайные величины, причем | принимает
значения 0 и 1 с вероятностями 1/2 каждое, a rj — значения 0, 1,
2, 3 с вероятностями 1/8, 1/4, 1/2 и 1/8 соответственно. Доказать,
что не существует случайной величины %, не зависящей от \ и
такой, что | + ? = л-
4.9. Пусть % и ц — случайные величины, причем | принимает
значения 0, 1, 2 с вероятностями 1/2, 1/4, 1/4, а г\ — значения О, I,
2, 3, 4 с вероятностями 6/10, 1/10, 1/10, 1/10, 1/10 соответственно.
Доказать, что не существует случайной величины ?, не зависящей
от | и такой, что \ + % = г\.
4.10. Пусть | и л — независимые случайные величины, причем
1 + г| принимает значения 0, 1, 2 с вероятностями 1/3 каждое.
Доказать, что одна из величин | и г| имеет вырожденное распре-
распределение.
4.11. Пусть F(x), F,(x), F2{x), ... — последовательность функ-
функций распределения неотрицательных целочисленных случайных ве-
82

личин, cp(z), cpi(z), фгB), ... — соответствующие им производящие
функции. Доказать, что если cpn(z)-*- cp(z) при /г-*°°, то ^„(а;)-»-
-*-F(z) равномерно по х.
4.12. Пусть |i, |2, ... — последовательность независимых одина-
одинаково распределенных случайных величин, F(x)—функция распре-
распределения ?i, и пусть v — положительная целочисленная случайная
величина, не зависящая от |i, |2, ... и имеющая производящую
функцию cp(z). Доказать, что функция распределения случайной
величины тах{|й ..., gv} равна y(F(x))i
§ 2. Характеристические функции и их основные свойства
4.13. Пусть f(t) — характеристическая функция случайной ве-
величины |, а и Ъ — вещественные числа. Найти характеристическую
функцию случайной величины а\+ Ъ.
4.14. Пусть f(t) — характеристическая функция случайной ве-
величины |. Найти характеристическую функцию случайной вели-
величины —|.
4.15. Доказать, что характеристическая функция четна тогда и
только тогда, когда соответствующая функция распределения F(x)
удовлетворяет соотношению
F(x)=l-F(-x-0).
4.16. Доказать, что характеристически функция вещественна
тогда и только тогда, когда она четна.
4.17. Доказать, что четная характеристическая функция q>(t)
нредставима в виде
= J costxdF (х),
где F(x)—соответствующая функция распределения.
4.18. Пусть % и г) — независимые, одинаково распределенные
случайные величины с характеристической функцией f(t). Найти
характеристическую функцию случайной величины ? — г\.
4.19. Доказать, что следующие функции не могут быть характе-
характеристическими:
а) в-«";
б) а4 cos t + ... + ап cos nt + bt sin t + ... + bn sin nt, 6, •... • bn ?= 0,
где все а{ и bt — вещественные числа.
4.20. Доказать, что характеристическая функция любого рас-
распределения равномерно непрерывна на всей вещественной прямой.
4.21. Является ли функция cos t2 характеристической?
4.22. На вероятностном пространстве (й, ^, Р), представля-
представляющем собой отрезок [0, 1] с о-алгеброй борелевских подмножеств
и мерой Лебега, определена случайная величина |(ш). Найти ее
характеристическую функцию, если:
6* йч

в) |(со)
2co, 0 < со < 1/2,
1, 0<со<1/3,
О, 1/3 < со < 2/3,
1, 2/3<©<1.
4.23. Найти характеристическую функцию, отвечающую плотно-
плотности распределения д с. д', — °° < я < со.
4.24. Найти характеристические функции следующих распреде-
распределений:
а) равномерного распределения на отрезке [а, Ь]; б) биномиаль-
биномиального распределения; в) распределения Пуассона; г) распределения
Копта; д) показательного распределения; е) нормального распределе-
распределения; ж) геометрического распределения; з) отрицательного биноми-
биномиального распределения.
4.25. Характеристическая функция суммы двух случайных вели-
величин равна произведению характеристических функций слагаемых.
Можно ли утверждать, что слагаемые независимы?
4.26. Пусть l=(|i, ..-, ?») — случайный вектор в R"»
f(U, ..., tn)—его характеристическая функция, ft(t), ..., fn(t) —
характеристические функции случайных величин §i, ..., 5«- Дока-
Доказать, что для того, чтобы li, ..., |„ были независимы, необходимо
ж достаточно, чтобы для любого набора вещественных tt, ..., tn вы-
выполнялось равенство
4.27. Пусть § =¦ (li, ..., |п) — случайный вектор в 0?п,
f(t,, ..., tn)—его характеристическая функция, fi(t), ..., fn(t)—
характеристические функции случайных величин |4, ..., ?„. Пока-
Показать, что из равенства
/(*, ...,
1=1
для любого вещественного t не следует независимость случайных
величин |i, ..., %п.
4.28. Пусть A@i Л@» ••• — характеристические функции,
Ль а2, ...— неотрицательные числа, такие, что ау + а2 + . ..в1. До-
Доказать, что функция
является характеристической функцией.
4.29. Пусть функция f(t, a), t, аеД1, удовлетворяет следу-
следующим условиям:
84

а) при каждом фиксированном a /(?, а) является характеристи-
характеристической функцией, б) при каждом фиксированном t f(t, а) измерима.
Доказать, что для любой функции распределения F(x)
оо
. f f(t, a)dF(a)
характеристическая функция.
4.30. Пусть f(t)—произвольная характеристическая функция.
Доказать, что функция 2/B — /(*))—1 также является характе-
характеристической.
4.31. Пусть F(x)—функция распределения с характеристиче-
характеристической функцией f(t). Доказать, что Re/(f) является характеристи-
характеристической функцией, и найти соответствующую функцию распреде-
распределения.
4.32. Пусть F(x)—функция распределения с характеристиче-
характеристической функцией f{t). Доказать, что 1/(?I2 лвляется характеристи-
характеристической функцией, и найти соответствующую функцию распреде-
распределения.
4.33. Пусть ? и Ц — независимые случайные величины, каждая
из которых имеет несимметричное распределение. Может ли слу-
случайная величина ? + т] иметь симметричное распределение?
4.34. Пусть | — случайная величина с характеристической функ-
функцией f(t) и пусть для некоторого а Р(| = а)>1/2. Доказать, что
f(t) не обращается в нуль нигде на вещественной прямой.
4.35. Пусть | — случайная величина с вещественной характери-
характеристической функцией f(t). Доказать, что если Р(| = а)>1/4 при
некотором а Ф 0, то /(?) обращается в нуль бесконечное число раз.
4.36. Привести пример характеристической функции, обраща-
обращающейся в нуль, но лишь конечное число раз.
4.37. Найти распределения, которым соответствуют следующие
характеристические функции:
a) cos«; б) cos2*; в) в"*'; г) в*1; д) ^-^; е) -Л-^ ж) ^;
з) е*1 cos*.
4.38. Пусть ?i, ?2, ... — последовательность независимых одина-
одинаково распределенных случайных величин, v — случайная величина,
не зависящая от \и !*, . • • и принимающая целые положительные
значения, ph*=P(v=k). Пусть f(t)—характеристическая функ-
функция |i. Найти характеристическую функцию случайной величины
1. + . . . + Iv.
4.39. Доказать, что функция
0, |«
является характеристической функцией.
85

4.40. Доказать, что любая четная непрерывная функция выпук-
выпуклая при t>0 ш такая, что 0<f(t)^l и /@)=1, является харак-
характеристической функцией.
4.41. Существуют ли две различные характеристические функ-
функции, совпадающие на некотором отрезке, содержащем начало коор-
координат?
4.42. Доказать, что при любом 0 < а ^ 1 функция
*
является характеристической функцией.
4.43. Пусть f(t)—характеристическая функция непрерывного
распределения. Доказать, что l/(t)|<l при t?=0.
4.44. Пусть 4 — случайная величина с симметричным непре-
непрерывным распределением. Доказать, что характеристическая функ-
функция случайной величины max {0, ?} нигде не обращается в нуль.
Можно ли отказаться от условия непрерывности?
4.45. Пусть ?,, |2, ... — независимые одинаково распределенные
целочисленные случайные величины, цп = |i +... +in. Доказать,
что если 0<P(gi делится на два)<1, то
limP (т]„ делится на два) = 1/2.
П-»оо
4.46. Пусть f(t)—произвольная характеристическая функция.
Доказать, что для любого вещественного t справедливы неравенства:
a) l-Re/BO^4(l-Re/(t)M б) 1 -1/B*) I2 ^ 4A -1/@ |2);
в) l-Re/Bi)^2(l-(Re/(i)J); г) 1 —1/B*) К 2A -\f(t) I2);
д) l-|/Bf)l^4(l-l/(f)l).
4.47. Доказать, что для любой характеристической функции j(t)
и любого целого неотрицательного п справедливы неравенства
а) l-R/@>
б) l-|/@|2>l(l-|/Bni)|2)-
4.48. Доказать, что для любой характеристической функции
f(t) и любого целого реотрицательного п справедливы неравенства
а) l-Re/(«0^«(l-(Re/@)n)^re2(l-Re/@);
б) 1 -\f(nt)\*^n{i -|/@ |2")<гс2A -1/@ I2).
4.49. Пусть /@ —характеристическая функция, с и Ъ — поло-
положительные постоянные. Доказать, что если 1/@1^ с при Iti^b, то
при U|s?fr.
4.50. Характеристическая функция /@ называется саморазло-
саморазложимой, если для любого 0 < с < 1 существует характеристическая
функция /с@> такая, что f(t)=-f(ct)fc(t). Доказать, что самораз-
86

ложимая характеристическая функция нигде не обращается в
нуль.
4.51. Пусть F(x)—функция распределения с характеристиче-
характеристической функцией f(t). Доказать, что для любого ?>0
n/t
-n/t
4.52. Пусть ^ и Л — независимые случайные величины с функ-
функциями распределения F(x) и G(x) и характеристическими функ-
функциями f(t) и g(t) соответственно. Найти характеристическую функ-
функцию cp(t) случайной величины g - rj.
4.53. Пусть F(x)—функция распределения с характеристиче-
характеристической функцией ф@- Найти гс-мерную функцию распределения
G(xt, ..., хп), соответствующую характеристической функции
ф(, , ) ф( )
4.54. Пусть 5 — случайная величина, имеющая распределение
Коши. Могут ли существовать две независимые случайные величи-
величины |t и |2, такие, что | = |i + |2 и одна из них имеет равномерное
на некотором отрезке распределение?
4.55. Пусть |, г\ и t, — случайные величины, причем ? не зави-
зависит от | и т|. Распределения случайных величин | + ? и т] + %
совпадают. Можно ли утверждать, что распределения случайных
величин | и т] совпадают?
4.56. Пусть |, т] и ^ — случайные величины, причем % не зави-
зависит от | и т|. Доказать, что если распределения случайных величин
| + ct, и т] + с? совпадают при любом с > 0, то совпадают распре-
распределения 5 И Г|.
4.57. Пусть | и т] — независимые одинаково распределенные
симметричные случайные величины, причем величины \ — ц и
1|1 — \ц\ одинаково распределены. Найти распределение |.
4.58. Пусть F' (х) и G(x)—произвольные функции распределе-
распределения, f(t) и g(t)—соответствующие характеристические функции.
Доказать, что
оо оо
J f(t)dG(t)= J g{u)dF(u).
4.59. Пусть ф (t) — характеристическая функция. Доказать, что
функция
о
также является характеристической функцией.
87

4.60. Пусть ср(г) —характеристическая функция. Доказать, что
при любом р >0 функция
является характеристической функцией.
4.61. Пусть g(t)—характеристическая функция и р — произ-
произвольное положительное число. Доказать, что функция
является характеристической функцией.
4.62. Пусть последовательность функций распределения Fi(x)T
F2(x), ... равномерно на всей прямой сходится к функции распре-
распределения F(x). Можно ли утверждать, что соответствующая после-
последовательность характеристических функций fi{t), fz(t), ... равно-
равномерно на всей прямой сходится к характеристической функции
распределения F?
4.63. Пусть Fi(x), Fz(x), ....— последовательность функций
распределения, /i(i), h{t), ••• — соответствующая последователь-
последовательность характеристических функций. Доказать, что если lim fn(t)— I
П-»оо
для всех —8<?<e, где е > 0, то Fn(x) слабо сходится при п -*¦ °о
к вырожденному в нуле распределению.
4.64. Пусть Fi(x), Fi(x), ... и G^x), G2(x), ... — две последо-
последовательности функций распределения и пусть существует функция
распределения F(x), такая, что обе последовательности Fn и
Fn * Gn слабо сходятся к F при п -*¦ °°. Доказать, что последова-
последовательность Gn слабо сходится к вырожденному в нуле распределению.
4.65. Доказать, что последовательность функций распределения
Fi(x), F2(x), ... слабо сходится к некоторой функции распреде-
распределения F(x) тогда и только тогда, когда соответствующая последо-
последовательность характеристических функций fi{t), f2(t), ... сходится
к некоторой функции f(t) и эта сходимость равномерна в некото-
некоторой окрестности нуля.
4.66. Пусть F(x), Fi(x), F2(x), ...— последовательность функ-
функций распределения, f(t), fi(t), f2(t), ... — соответствующая после-
последовательность характеристических функций. Доказать, что если
для любых а < Ъ
и и
lim \fn(t)dt = ]f(t)dt,
то Fn слабо сходится к F.
4.67. Пусть f(t) — характеристическая функция и для беско-
бесконечно возрастающей последовательности hlt A2, ... функции
88

i(t)g(hnt) также являются характеристическими. Доказать, что в
этом случае g{t)—характеристическая функция.
4.68. Пусть F(x) и G(х) — функции распределения, f(t) и
g (t) — соответствующие характеристические функции. Доказать,
что
4.69. Пусть fi(t), U(t), ... — последовательность характеристи-
характеристических функций. Доказать, что следующие два условия эквива-
эквивалентны:
а) произведения
1=1
сходятся при п -+¦ оо равномерно на каждом компактном подмноже-
подмножестве прямой,
б) произведения
сходятся при п -+¦ оо к ненулевому пределу на некотором множестве
положительной лебеговой меры.
§ 3. Связь свойств характеристических функций
со свойствами распределений. Неравенства
4.70. Доказать, что характеристическая функция f(t) соответ-
соответствует решетчатому распределению тогда и только тогда, когда су-
существует вещественное число to*?O, такое, что 1/(?0I—1-
4.71. Пусть f(t)—характеристическая функция. Доказать, что
если найдутся tt и t2, такие, что ti/t2 иррационально и l/(i() I =
-|/(*2I=1, то 1/@1-1.
4.72. Пусть характеристическая функция /(?) равна единице в
некоторой точке t0 > 0. Доказать, что t0 является периодом функ-
функции /@-
4.73. Привести пример решетчатого распределения, характери-
характеристическая функция которого непериодична.
4.74. Пусть решетчатое распределение сосредоточено на некото-
некотором подмножестве множества точек ак, к — О, ±1, ±2, ... Дока-
Доказать, что характеристическая функция такого распределения пе-
периодична.
4.75. Доказать, что характеристическая функция любого решет-
решетчатого распределения представима в виде eUaf(t), где f(t) — пе-
периодическая функция, а а — вещественное число.
4.76. Может ли вещественная часть характеристической функ-
функции быть периодической функцией, а мнимая — нет?
89

4.77. Пусть u(t)—вещественная часть некоторой характеристи-
характеристической функции, a v(t) —мнимая часть некоторой другой характе-
характеристической функции. Будет ли, вообще говоря, функция u(t) +
+ iv(t) характеристической?
4.78. Пусть f(t) —характеристическая функция чисто дискрет-
дискретного распределения. Доказать, что
limsup|/(?)| = 1.
4.79. Доказать, что плотность распределения, отвечающая абсо-
абсолютно интегрируемой характеристической функции, непрерывна.
4.80. Доказать, что дифференцируемая в нуле характеристиче-
характеристическая функция непрерывно дифференцируема на всей прямой.
4.81. Доказать, что функция
{
0,
не может быть характеристической функцией.
4.82. Пусть ? — случайная величина с характеристической функ-
функцией f(t). Доказать, что если для некоторого целого положитель-
положительного п Е|||"<оо) то f(t) n раз дифференцируема и
4.83. Доказать, что характеристическая функция случайной ве-
величины \ с распределением
дифференцируема в нуле, но Е% не существует.
4.84. Пусть ? — случайная величина с характеристической функ-
функцией f(t) и с конечным математическим ожиданием. Доказать, что
: - Re / (t) ,t
4.85. При каких вещественных а функция
О, |t|>l
является характеристической, а при каких — нет?
л
4.86. Является ли функция е характеристической функцией?
4.87. Пусть f(t)—характеристическая функция случайной ве-
величины, имеющей конечную дисперсию. Доказать, что при доста-
достаточно малом е >0 функция \f(t)\ не возрастает при 0<t<e a
не убывает при —е < t < 0.
90

4.88. Пусть f(t) —характеристическая функция симметричного
распределения, ak — соответствующий момент порядка к. Доказать,
что:
а) lim^> = (- 1)V; б)
l
4.89. Пусть fi(t) и /2(i)—характеристические функции сим-
симметричных распределений и для некоторых положительных а4 и а2
в некоторой окрестности нуля выполняется равенство
Доказать, что распределения, отвечающие характеристическим
функциям fi(t) и /2 (t) имеют конечные дисперсии.
4.90. Пусть выполнены условия предыдущей задачи. Доказать,
что распределения, отвечающие характеристическим функциям
ji(t) и /2@, имеют моменты всех порядков.
4.91. Выразить первые четыре семиинварианта случайной вели-
величины через математическое ожидание и центральные моменты.
4.92. Доказать, что при линейном преобразовании ?'= а1 + Ь
случайной величины 1 ее семиинварианты изменяются по закону
у.[ = ахг + Ъ, х'п = сРнп (п > 1).
4.93. Доказать, что для любой случайной величины | и любого
и>0
где ф(?)—характеристическая функция |.
4.94. Пусть | — случайная величина с характеристической функ-
функцией /(?). Доказать, что если 1 — f(t) = o(\t\a) при t->-0, то
Р(Ц\>х) = о(х-а) при а:-><».
4.95. Пусть | — случайная величина с вещественной характери-
характеристической функцией f(t) и дисперсией о2. Доказать, что
4.96. Пусть | — случайная величина с характеристической функ-
функцией f(t) и дисперсией о2. Доказать, что если t0 — (наименьший
положительный корень f(t), то t0 ~> На.
4.97. Пусть f(t)—характеристическая функция распределения,
имеющего конечную дисперсию. Доказать, что существуют поло-
положительные постоянные сие, такие, что
при Ul<e.
91

4.98. Пусть /@ —характеристическая функция случайной ве-
величины, имеющей конечное математическое ожидание. Доказать,
что найдутся положительные постоянные сие, такие, что
1/@ 1>«"'"
При UN 8.
4.99. Доказать, что для характеристической функции f(t) люоой
невырожденной случайной величины % существуют положительные
постоянные б и е, такие, что
1/@1<1 -г?
при UN б.
4.100. Пусть /(?)—характеристическая функция. Доказать,
что если f(t)= 1 + w(t) + o(f) при t-*-Q, где w(t)=*—w(—t)f
то /(О'- 1.
4.101. Пусть % — ограниченная случайная величина, |||< с,
имеющая симметричное распределение с характеристической функ-
функцией f(t) и дисперсией о2. Доказать, что
0</(#)<е я
4.102. Пусть i — ограниченная случайная величина, ||!<с,
с характеристической функцией /@ и дисперсией о2. Доказать, что
\f(t)\<e я
при | * | < ?.
4.103. Пусть | — случайная величина с характеристической
функцией f(t) и дисперсией о2. Доказать, что для любого с<2о*
найдется е > 0, такое, что
1/@1 <«""*"
при Ul<e.
4.104. Пусть % — случайная величина с характеристической
функцией /@- Доказать, что если ?|||2 = °°, то для любого с>0
найдется е > 0, такое, что
l/@l<e-efl
при Ul^e.
4.105. Пусть р(х)—симметричная одновершинная плотность
распределения, /@—соответствующая характеристическая функ-
функция. Доказать, что если
р@)<:А <°о,
92

то
\f(t)\<2A/\t\
при любом вещественном t.
4.106. Пусть выполнены условия предыдущей задачи. Доказать,
что
при ,», ^. —.
4.107. Пусть F(x) —функция распределения, /(О —соответству-
—соответствующая характеристическая функция. Доказать, что для любого г > О
1-/@1
при Ul< 1/г.
4.108. Пусть ?4 и |2 — случайные величины с характеристиче-
характеристическими функциями Д@ и fi{t) и дисперсиями о\ и а\ соответ-
соответственно, причем существует е >0, такое, что \fi{t) 1>1/г@ 1 ПРИ
0<UI<e. Может ли быть:
а)о"!>о, б) Oi < Ог, в) 01 = о2?
4.109. Доказать, что распределение с дифференцируемой харак-
характеристической функцией f(t) имеет конечную дисперсию тогда и
только тогда, когда существует е > 0, такое, что функция
f (t) - Г @)
t
ограничена при 0<Ы<е.
4.110. Пусть F(x)—функция распределения с характеристиче-
характеристической функцией /@- Доказать, что если для некоторого положи-
положительного Л< 2 и некоторой последовательности tu t2, ..., такой,
что tn -* 0 при п -*¦ °°, выполнены неравенства
(с — положительная постоянная), то
| х fdF (х) = оо
для всех б > К.
4.111. Пусть F(x)—функция распределения с характеристиче-
характеристической функцией f(t). Доказать, что F(x) имеет конечную диспер-
дисперсию тогда и только тогда, когда существуют с > 0 и последователь-
последовательность 11, tz, ..., такие, что tn -*¦ 0 при п -*¦ <*> ж
2
93

4.112. Пусть F(x)—функция распределения с характеристиче-
характеристической функцией fit). Доказать, что если существует последователь-
последовательность ti, tz, ..., такая, что tn -*¦ 0 при п -*¦ оо и
при п -*¦ оо1 хо ^(#) —вырожденная функция распределения.
4.113. Пусть \— неотрицательная случайная величина с плот-
плотностью распределения р(х) и характеристической функцией /(?).
Доказать, что если р(х) монотонно убывает при х>0, то f(t)
нигде не обращается в нуль.
4.114. Пусть | — неотрицательная случайная величина с плот-
плотностью распределения р(х) и характеристической функцией f(t).
Доказать, что если р (х) монотонно не возрастает при х ^ 0, то
при t>0
§ 4. Формулы обращения
4.115. Пусть F(x)—функция распределения, f(t)—соответ-
f(t)—соответствующая характеристическая функция. Доказать, что если f(t)
абсолютно интегрируема, то F(x) абсолютно непрерывна и соответ-
соответствующая плотность распределения выражается формулой
оо
р(х)^~ j e~itxf{t)dt
—оо
4.116. Доказать, что плотность распределения р(х), отвечающая
вещественной интегрируемой характеристической функции f(t) вы-
выражается формулой
оо
р (х) — y~ \ cos txf (t) dt.
4.117. Пусть р(х)—плотность распределения с характеристиче-
характеристической функцией f(t). Доказать, что если /(?) симметрична, поло-
положительна и интегрируема, то р(х) имеет единственный максимум.
В какой точке он достигается?
4.118. Пусть выполнены условия предыдущей задачи и, кроме
того, существует вторая производная р"(х). Доказать, что для
любого х Ф О
94

4.119. Доказать, что распределение с характеристической
функцией
е-" @<а<2)
имеет ограниченную плотность.
4.120. Пусть характеристическая функция f(t) такова, что
}{t) = 0 при \t\>c (c>6). Доказать, что соответствующее распре-
распределение имеет ограниченную плотность р(х), причем
sup р (х) ^ с/я.
х
4.121 (равенство Парсеваля). Пусть р(х)—плотность распре-
распределения с характеристической функцией /(?). Доказать, что если
функция рг(х) интегрируема, то
±
\f{t)fdt.
4.122. Пусть %—целочисленная случайная величина с харак-
характеристической функцией f(t). Доказать, что
= *)=2JT \ e-ithf(t)dt, Л-0,±1, ...
4.123. Пусть F (х) — функция распределения с характеристиче-
характеристической функцией f(t). Доказать, что доя любого х
т
л
Jim
-т
л
im 4r f /С) e~itxdt = F(x+O)-F(x-O).
4.124. Пусть F(x)—функция распределения с характеристиче-
характеристической функцией 1{t). Доказать, что F(x) непрерывна тогда и толь-
только тогда, когда
т
lim^r J|/@l2&-0.
4.125. Пусть Ъ, — дискретная случайная величина, принимающая
значения хи х2, ... с вероятностями ри р2, ..., f(t)—соответ-
f(t)—соответствующая характеристическая функция. Доказать, что
95

4.126. Пусть f(t) — характеристическая функция, такая, что
lin
Доказать, что функция
является характеристической функцией.
4.127. Доказать, что для любого вещественного а, такого, что
<Ха«?1, существует характеристическая функция f(t), удовлет-
удовлетворяющая соотношению
lim/(f) =- а.
4.128. Пусть а — отрицательное число, |а|<1. Существует ли
характеристическая функция f(t), такая, что
4.129. Пусть |,, |3, ,., — последовательность независимых оди-
одинаково распределенных случайных величин, принимающих целые
значения, r\n = ?i + ..« + ?„. Доказать, что если |t не постоянна с
вероятностью 1, то
sup Р (т]„ = к) -*- О
h
ПРИ П -*¦ оо.
4.130. Пусть F(x) a G(x)—функции распределения, f(t) и
g(t)—соответствующие характеристические функции. Доказать,
что
4.131. Пусть f(t) и g(t)—абсолютно интегрируемые характе-
характеристические функции, р (х) и q (х) — соответствующие плотности
распределения. Доказать, что
^- J \f(t)-g(t)\dt.
4.132. Пусть F(x) и G(x)—функции распределения с симмет-
симметричными плотностями распределения р(х) и q(x) и неотрицатель-
неотрицательными характеристическими функциями f(t) и g(t), причем
sup р (х) < Ai sup q (x) < В.
а а
«б

Доказать, что для любого положительного Т
т
f(t)-g(t)
dt
2 D + В)
4.133. Пусть § и г) — целочисленные случайные величины с ха-
характеристическими функциями f(t) и g(t) соответственно. Дока-
Доказать, что
я
P(i = «)-PA1 = «)|<— J \f(t)-g{t)\dt.
§ 5. Преобразование Лапласа
4.134. Пусть ?— неотрицательная случайная величина, ср(м) —
соответствующее преобразование Лапласа. Найти преобразование
Лапласа случайной величины а?+6 (а, Ь^О).
4.135. Найти преобразование Лапласа равномерного на отрезке
[О, 1] распределения.
4.136. Пусть q>i(w), ф2(м), ... — преобразования Лапласа неко-
некоторых вероятностных распределений, аи а2, ... — неотрицательные
числа, такие, что
СО
2 Яг = 1.
Доказать, что функция
ф(и)= Т
является преобразованием Лапласа некоторого вероятностного рас-
распределения.
4.137. Пусть ф(м) —преобразование Лапласа некоторогс вероят-
вероятностного распределения. Доказать, что функция
2 — ф (и)
также является преобразованием Лапласа.
4.138. Найти преобразование Лапласа распределения, характери-
характеристическая функция которого равна
itn
sin (t/2) V» T
4.139. Доказать, что преобразование Лапласа любого невырож-
невырожденного распределения есть монотонно убывающая функция.
7 А. В. Прохоров и др. 97

4.140. Доказать, что преобразование Лапласа любого распреде-
распределения есть выпуклая функция.
4.141. Функция ф(м), определенная на положительной полуоси,
называется вполне монотонной, если она имеет производные всех
порядков, причем все четные производные неотрицательны, а не-
нечетные — неположительны:
Доказать, что преобразование Лапласа любого распределения есть
вполне монотонная функция.
4.142. Показать, что каждая из указанных ниже функций не
может быть преобразованием Лапласа вероятностного распреде-
распределения:
*<1, A — t, 0<*<1,
в) / (() - («-'; г) / @ - «-' + -SJf; д) /(<)-«-''.
4.143. Пусть |i, |г, ... — последовательность независимых оди-
одинаково распределенных неотрицательных случайных величин, v —
положительная целочисленная случайная величина, не зависящая
от ?i, |», ... Обозначим <p(w) преобразование Лапласа |,, a p(s) —
производящую функцию v. Найти-преобразование Лапласа случай-
случайной величины ^ +... + |v.
§ 6. Разные задачи
4.144. Пусть |ц ..., ?„— независимые одинаково распределен-
распределенные случайные величины, имеющие распределение Коши с плот-
плотностью
Р (х) = п . жа> •
Найти плотность распределения случайпой величины
4.145. Пусть ср(?)—характеристическая функция. Доказать, что
функция
является характеристической функцией абсолютно пепрерывного
распределения.
98

4.146. Существует ли вероятностное распределение, сосредото-
сосредоточенное на конечном отрезке и такое, что его характеристическая
функция отлична от нуля всюду на вещественной прямой.
4.147. Пусть функции fi{x), fi{x), fs{x) удовлетворяют соот-
соотношению
со
/з (*) = 1 fiix — u) U (и) du.
Найти /i(#), если:
Ш) , /3()
4.148. Доказать, что интегральное уравнение относительно не-
неизвестной функции x(t)
J (и —
X (t) dt -y2
1 *=S &
не имеет решений в классе неотрицательных функций.
4.149. Доказать, что интегральное уравнение
оо
-Jr J
относительно неизвестно!^ функции ж(^) имеет бесконечно много
решений в классе неотрицательных функций.
4.150. Существуют ли невырожденные случайные величины |(,-
1г. Tji, Лг такие, что li не зависит от ?2, t]i не зависит от т^г,
EEf<ETi?<oo,, i=l, 2, но Е(|, + Ы4>Е(т1. + Т1гL?
4.151. Пусть f(t)—характеристическая функция, у которой су-
существует производная порядка In (ra^O). Доказать, что функция
является характеристической функцией вероятностного распреде-
распределения.
4.152. Пусть f(t)—характеристическая функция, у которой
всюду на вещественной прямой существует производная порядка
2га — 1. Доказать, что распределение, отвечающее характеристиче-
характеристической функции f(t) имеет конечный момент порядка In тогда и
только тогда, когда сз'ществует е > 0, такое, что функция
ограничена при 0<Ы<е.
7* 99

4.153. Доказать, что функция /(/), равная 1 — при |/|^2а
(а > 0) и периодическая с периодом 4а, является характеристиче-
характеристической функцией.
4.154. Доказать, что функция /(/), равная 1 — при \t\^a
(а>0) и периодическая с периодом 2а, является характеристиче-
характеристической функцией.
4.155. Привести пример двух различных характеристических
функций ф(/) и i|)(Z), таких, что ф2(/) = 1|з2(/).
4.156. На тележку, стоящую на абсолютно твердой, гладкой и
ровной поверхности действуют постоянно во времени две силы:
слева F, и справа F2, величины которых являются случайными
величинами, распределенными равномерно на отрезках [0, а^ и
[0, а2] соответственно. Можно ли считать, что силы действуют не-
независимо, если путь, пройденный тележкой за время t, есть слу-
случайная величина, имеющая равномерное распределение на отрезке
где т — масса тележки? Путь вправо считается
2т ' 2т
положительным, влево — отрицательным.
4.157. Пусть выполнены условия предыдущей задачи, но кроме
сил Fi и F2 на тележку действует еще одна сила Fo, величина
которой есть случайная величина с неизвестным распределением.
Можно ли считать, что силы Fo, Ft и F2 действуют независимо?
4.158. Пусть | — случайная величина с симметричным распре-
распределением. Положим
I при |||<с,
О при \1\>с, с>0.
Обозначим /(/) и g{t) —характеристические функции соответствен-
соответственно | и т]. Доказать, что найдется е > 0, такое, что
При 1/1^8.
4.159. Пусть ^ — случайная величина с характеристической
функцией /(?), Е| = 0, D| = о2, Е|||3 = ^. Доказать, что существует
абсолютная (не зависящая ни от чего) постоянная К, такая, что
для всех вещественных t.
4.160. Пусть v, |lf |г, ... — независимые случайные величины,
причем |i, |2, ... одинаково распределены, a v имеет распределе-
распределение Пуассона с параметром %. Доказать, что если F(x) —функция
распределения |i, то характеристическая функция случайной вели-
100

чины §1 + ... + §v равна
expk J (eitu - 1) dF (и) 1.
4.161. Пусть F(x), Fi(x), Fi(x), ...— последовательность функ-
функций распределения, f(t), fi(t), f2(t), ... — соответствующая после-
последовательность характеристических функций. Доказать, что если Fn
сходится к F по вариации при га ->¦ °°, то /„ сходится к / равно-
равномерно на всей прямой.
4.162. Пусть ? и г\ — случайные величины с характеристичен
скими функциями f(t) и g(t) соответственно. Доказать, что
4.163. Пусть 1 — случайная величина с нулевым математиче-
ским ожиданием, дисперсией о2 и характеристической функцией
f(t). Положим
II при |?|<е,;
при \Ъ\>с, с>0.
Обозначим g (t) характеристическую функцию г\. Доказать, что
sup|/(*)-* @ К-нг.
t с
4.164. Пусть | — случайная величина с характеристической
функцией f(t). Степенью рассеивания бг случайной величины ?
называется величина
я J
^Щ-du.
Доказать, что б$ — 0 тогда и только тогда, когда | есть с в-ероят-
постью 1 постоянная.
4.165. Пусть |,, \г, ... — последовательность случайных вели-
величин. Доказать, что б|п~*-0 при п-*-°° (определение б|псм. в преды-
предыдущей задаче) тогда и только тогда, когда найдется последователь-
р
ность вещественных чисел о|} а2, ..., такая, что En — ап -* О
при п -*¦ оо.
4.166. Доказать, что при сложении независимых случайных ве-
величин степень рассеивания не убывает (определение степени рас-
рассеивания см. в задаче 4.164), т. е. если | и ц — независимые слу-
случайные величины, то
8г+„ > max {6j, 6„}.
Показать, что знак равенства при этом может достигаться тогда и
только тогда, когда одно из слагаемых есть с вероятностью 1 по-
постоянная.
101

4.167. Пусть ty(t)—комплексная функция веществепной пере-
переменной, причем
Доказать, что функция
со
1 Р —
ф (и) = — I ab (t + и) ij> (?) dt
является характеристической функцией абсолютно непрерывного
распределения.
4.168. Пусть f(t)—характеристическая функция, причем при
некотором е >0 f(t) = e~t 2 для всех Ul<e. Доказать, что
4.169. Доказать, что для любых целых положительных к и п,
, справедливо неравенство
4.170. Пусть Р — равномерное распределение на единичной
окружности в R2 (Р, очевидно, сингулярно). Доказать, что сверт-
свертка Р * Р абсолютно непрерывна и имеет ограниченную плотность.
4.171. Пусть re-мерный случайный вектор !• и ?п-мерный слу-
случайный вектор ц связаны линейной зависимостью г\ = А%, + а, где
А — прямоугольная матрица размером иг X п, а — неслучайный
ге-одерный вектор. Выразить характеристическую функцию случай-
случайного вектора г) через характеристическую функцию случайного век-
вектора \.
4.172 (теорема А. Я. Хинчина), Доказать, что для того, чтобы
функция f(t) была характеристической функцией одновершинного
распределения, необходимо и достаточно, чтобы она была пред-
ставима в виде
t
Jta
где ф(м) —характеристическая функция, а а — вещественное число.
4.173. Доказать, что функция
является характеристической функцией одновершинного распреде-
распределения.
102

4.174. Пусть f{t)—характеристическая функция одновершин-
одновершинного распределения. Доказать, что функция
ф@=-/(*)+*/'(')
является характеристической функцией.
4.175. Существует ли нигде не дифференцируемая характери-
характеристическая функция?
4.176. Привести пример двух различных характеристических
функций f(t) и g{t) (f(t)?= g(—t)), таких, что
\f(t)\*=\g(t)\\
4.177. Привести пример двух различных характеристических
функций f(t) и g(t) {i(t)^g{—О)» отвечающих ограниченным
случайным величинам и таких, что
\f(t)\2=\g(t)\\
4.178. Пусть случайный вектор l = (§i, ..., ?„) имеет сфериче-
сферически симметричное распределение (см. определение в задаче 3.300),
Доказать, что если случайные величины ?,, ..., ?„ независимы, то
вектор 1 имеет n-мерное нормальное распределение.

Глава 5
СХОДИМОСТЬ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
И ВЕРОЯТНОСТНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
В теории вероятностей обычно рассматриваются следующие виды сходи-
сходимости последовательностей случайных величин и вероятностных распреде-
распределений.
Последовательность случайных величин |ь |2, ... сходится к случайной
величине | с вероятностью 1 (почти наверное), если
P(lim ?„ = ?) = !.
П-»оо
Этот вид сходимости будем обозначать In-*-1 п. н.
Последовательность |i, |2, ••• сходится по вероятности к случайной вели-
Р
чине | (?п -*¦ |), если для любого е > О
limP(|ln-?|>e)=0.
П->оо
Последовательность |ь |2, ... сходится в среднем порядка р (О < р < оо)
к случайной величине |, если
При р = 2 говорят о сходимости в среднем квадратическом.
Последовательность вероятностных распределений Pi, P2, ... слабо сходит-
сходится к распределению Р (обозначается Р„ -*• Р), если для любой непрерывной
ограниченной функции f(x)
оо оо
Jnn J / (х) Pn (dx) = { f (х) Р (dx).
Если Р„ —¦ Р, то слабо сходятся и соответствующие функции распределения:
п
Последовательность случайных величин |,, ?2, ..., будем называть схо-
дящейся к случайной величине | по распределению {^n-*-i,j, если последова-
последовательность функций распределения случайных величин |i, g2, ... слабо сходит-
сходится к функции распределения случайной величины |.
Семейство вероятностных распределений &~ = {Fa, веЖ) называется от-
относительно компактным, если любая последовательность распределений из 9"
содержит подпоследовательность, слабо сходящуюся к некоторому вероятност-
вероятностному распределению.
Семейство вероятностных распределений Э7 = {Fa, as4 называется
плотным, если для любого е > 0 существует компакт К такой, что
104

Последовательность случайных величин |ь 1г, ..., называется равномер-
равномерно интегрируемой, если
»Р 1
sup
при с -*¦ оо.
Последовательность функций распределения Fi(x), F2(x), ,,, слабо схо-
сходится к функции распределения F(x) тогда и только тогда, когда
lim Fn (х) = F (х)
П-*оо
для каждой точки х, в которой функция F(x) непрерывна,
Р Р
5.1. Пусть ?п->? и Ьп—>ц. Доказать, что Р(Ъ = ц)=1.
Р Р
5.2. Доказать, что если |п — ап -* 0 и ?п — &„ -* 0, где а,, а2,...
и 6i, 62, ... — две последовательности вещественных чисел, то
ап ~ Ьп -»- 0.
Р Р
5.3. Пусть |п ~* I и пп ~* т]. Доказать, что:
Р Р
а) а\п + Ьцп ~* а| + Ьг| (a, b — постоянные), б) | |п | -> 111,
р
5.4. Пусть %i, |2, ...— последовательность случайных величин,
причем |„ принимает значения е"ап и еап с вероятностями 1 — е~Ьп
р
и е" (Ь>0) соответственно. При каких значениях а и fe gn-»0?
5.5. Пусть li, §2, ... — последовательность случайных величин,
таких, что P(\i,n\> с>0)> 8 > 0, ге = 1, 2, ... Пусть ait a2, .,.—
Р
последовательность вещественных чисел, такая, что апЪ,п ~> 0. До-
Доказать, что ап ->¦ 0.
р
5.6. Пусть In — а„-»0. Доказать, что т§„ — а„-> 0 (пг1„ — ме-
медиана In).
5.7. Доказать, что для того, чтобы последовательность случай-
случайных величин |i, ?2, ••• сходилась по вероятности к некоторой слу-
случайной величине 1, необходимо и достаточно, чтобы для любого
s > 0 существовало такое N, что при п, m> N
Р Р
5.8. Пусть ln~>l, Tjn—"'"П иР(| = г|) = 1. Доказать, что для
любого е > 0
при га ->¦ оо,
5.9. Пусть (?п — ?J —* 0. Доказать, что %1 -*%*.
105

p
5.10. Пусть |п~>яи пусть f(x)—борелевская функция, име-
имеющая производную в точке х = а. Доказать, что
/(&»)-/(«О+ /'(<*) A.-*) + (&«-«)Л»,
Р
где цп —* 0.
5.11. Доказать, что если последовательность случайных величин
li, 12, ... почтя наверное сходится, то функция §(ш), равная
lim \n, если этот предел существует, и нулю в противном случае,
П-»оо
является случайной величиной.
5.12. Пусть In"-*-1 п. н. и т}„ -*¦ ц п. н. Доказать, что:
а) ৄ + Ъцп -+• а\ +¦ Ьц п. н. (а, Ъ — постоянные),
б) ll»l -11 п. н., в) 1„т|п -»¦ 1ц п. н.
5.13. Доказать, что 1„ -*¦ | п. п. тогда и только тогда, когда для
любого е > 0
U
при П -»• оо.
5.14. Доказать, что 1„ ->¦ 1 п. н. тогда и только тогда, когда для
любого е > 0
Р(||„ — II5*е бесконечное число раз) = 0.
5.15. Доказать, что для того, чтобы последовательность случай-
случайных величин с вероятностью 1 сходилась к некоторой случайной
величине, необходимо и достаточно, чтобы она была с вероятно-
вероятностью 1 фундаментальной.
5.16. Доказать, что для того, чтобы ?„ ->¦ | п. н., необходимо и
достаточно, чтобы для любого е > 0
При П -»• оо.
5.17. Доказать, что для того, чтобы последовательность случай-
случайных величин li, 1г, ... была с вероятностью 1 фундаментальной,
необходимо и достаточно, чтобы для любого е > 0
Р (sup | ?n+ft — 1„ | > е) -> 0
fc>o
при ге -»¦ оо.
5.18. Пусть е > 0, |, %и %2, ... — последовательность случайных
величин. Доказать, что если
то ?„ -*• I п. н.
iO6

5.19. Пусть |г, |2, ... — последовательность случайных величин.
Доказать, что если для некоторой суммируемой последовательности
положительных чисел е4, е2, ...
то последовательность |i, ?2, ... с вероятностью 1 сходится к неко-
некоторой почти наверное конечной случайной величине.
5.20. Пусть |i, |и, ...— последовательность случайных величин.
Предположим, что существует случайная величина | и подпоследо-
подпоследовательность целых положительных чисел я1э я2, ..., такие, что
|nfe->?n. н. и
max I ^ — \п I -> О
при к ->¦ оо. Доказать, что тогда ?„ -*¦ | п. н.
5.21. Доказать, что если |гоп -»- \п п. н. при и -»¦«» и |т -»¦ ? п. н.
при т ->- оо, то существуют две подпоследовательности imk} и inh},
такие, что ?mfenfe->-? п. н. при &->оо.
5.22. Доказать, что из сходимости с вероятностью 1 следует схо-
сходимость по вероятности.
5.23. Показать, что из сходимости по вероятности не следует
сходимость с вероятностью 1.
5.24. Пусть |i, |2, ...— последовательность случайных величин.
Доказать, что:
Р 1 р 1
а) если 1п->аф0, то | >—,
1 1
б) если §п->- афО, то =—>¦— п. н.
5.25. Доказать, что для того, чтобы для некоторого вероятност-
вероятностного пространства понятия сходимости с вероятностью 1 и сходимо-
сходимости по вероятности совпадали, необходимо и достаточно, чтобы это
пространство было атомическим.
5.26. Пусть У — пространство классов случайных величин, сов-
совпадающих с вероятностью 1. Для любых двух классов S, Не^"
положим
d(S,H)
l + U-мГ
где | и г\ — случайные величины из S и Н соответственно.
Доказать, что d — метрика на ЗГ и что сходимость по вероятно-
вероятности эквивалентна сходимости в метрике d.
5.27. Доказать, что для сходимости последовательности случай-
случайных величин в среднем порядка р ^ 1, необходимо и достаточно,
чтобы эта последовательность была фундаментальной в среднем по-
порядка р.
5.28. Доказать, что из сходимости в среднем какого-либо поло-
положительного порядка оледует сходимость по вероятности.
107

5.29. Привести пример, показывающий, что из сходимости по
вероятности не следует сходимость в среднем порядка р > 0.
5.30. Привести пример, показывающий, что из сходимости в
среднем любого положительного порядка не следует сходимость с
вероятностью 1.
5.31. Привести пример последовательности случайных величин,
сходящейся с вероятностью 1 и такой, что никакая ее подпоследо-
подпоследовательность не сходится в среднем порядка р > 0.
5.32. Доказать, что если \п~*~\ п. н. и для некоторого р > О
Е1б„-т||*-0, то РF=ц)=1.
5.33. Пусть Р„ Р2, ...— последовательность вероятностных рас-
распределений, причем Р„ сосредоточено в точке хп (тг = 1, 2, ...). До-
w _
казать, что слабая сходимость Рп —> Р означает, что существует
предел limxr, = х и распределение Р сосредоточено в точке х.
Доказать обратное.
5.34. Пусть Р, Pi, Р2, >..— последовательность целочисленных
w
распределений. Доказать, что Р„ -> Р тогда и только тогда, когда
Р„(/с) —*- Р(к) для каждого целого к.
5.35. Пусть Р — мера Лебега на единичном интервале, а Р„ при-
приписывает массы — некоторым точкам, выбранным по одной в ин-
тервалах ——, — , i = 1, ..., п. Доказать, что Р„ —> Р.
5.36. Пусть F(x), F,(x), F2(x), ...— последовательность функ-
функций распределения. Доказать, что если Fn(x)-+- Fix) для всех х из
v w с
некоторого всюду плотного множества на прямой, то гп—>г.
5.37. Привести пример последовательности вероятностных рас-
распределений Р, Pi, Р2, ... и ограниченной функции fix), таких, что
W
Рп~^Р,но не выполняется соотношение
J /(*)<*!»„->¦ J" f(x)dP,
5.38. Привести пример последовательности вероятностных рас-
распределений Р, Pi, P2, ... и непрерывной функции f(x), таких, что
Рп~>Р,но не выполняется соотношение
/(a;)dPB- j f(x)dP,
w
5.39. Доказать, что Р„ -^ Р тогда и только тогда, когда каждая
подпоследовательность {Рп'} последовательности {Р„} содержит под-
подпоследовательность {Рп»}, такую, что РП" ~* Р.
108

w
5.40. Доказать, что если Fn—>F и если F(x) непрерывна в
каждой точке замкнутого множества А, то
sup | Fn (x) - F (х) | ->¦ 0.
w
5.41. Доказать, что Fn—>F тогда и только тогда, когда
lim sup Fn (х) ^ F (х)
П-*оо
II
lim sup Fn (x — 0) ^ F (х — 0).
П-*сс
5.42. Пусть Р, Р,, Р2, ...— последовательность вероятностных
распределений. Доказать, что следующие три условия эквивалентны:
а) р Др
б) для любого замкнутого множества В
lim sup Р„ (Я) <Р(Я),
71->ОО
в) для любого открытого множества G
lim inf Pn (G) > P (G).
w
5.43. Доказать, что для того, чтобы Pn—>P, необходимо и до-
достаточно, чтобы для любого Р-непрерывного множества А выполня-
выполнялось соотношение
(^-непрерывным называется борелевское множество, граница кото-
которого удовлетворяет условию РE/1) = 0, т. е. имеет вероятность 0).
5.44. Пусть Р, Р,, Р2, ...— последовательность вероятностных рас-
распределений и пусть для любой ограниченной равномерно непрерыв-
непрерывной функции f(x)
lim j /(s)dPn=. J /(*)dP.
П-»оо_
Доказать, что Р„—*Р.
5.45. Пусть Р, Р1? Р2, ...— последовательность вероятностных
распределений и пусть для любой ограниченной функции f(x), об-
обладающей непрерывными производными любого порядка,
00 ОО
lim f /(a:)dPn=. f f(x)dP.
n^~ _oo
Доказать, что Pn ~^ P.
109

5.46. Пусть ?, li» ?2, ¦ • •— последовательность случайных вели-
величин. Доказать, что \п —*•? тогда и только тогда, когда
для каждой непрерывной функции распределения F{x).
5.47. Пусть случайная величина х\ не зависит от случайных ве-
величин |, |,, ?2, ... и имеет функцию распределения F(x). Доказать,
что
тогда и только тогда, когда
5.48. Пусть последовательность функций распределения F{(x)t
Fi(x), ... слабо сходится к некоторой функции распределения,
имеющей по крайней мере две точки роста. Доказать, что последо-
последовательность {Fn(anx+ Ь„)} слабо сходится к распределению, сосре-
сосредоточенному в нуле тогда и только тогда, когда ап -»¦ <» и Ьп = о(ап),
»-»¦«>.
5.49. Пусть F(z), ^i(z), ^г(^), •••— последовательность функций
распределения, такая, что при некоторых ап, Ьп > О
w
Fn (bnx + а„)-* F {х).
Доказать, что если последовательности вещественных чисел ait
а2, ... и §,, р2, ... таковы, что
v P» а Л- ап~ап г,
lim — -= 1, hm —7 = О,
П-»ОО°П Т!-»со "п
то имеет место сходимость
W
Fn ФпХ + <*n)~*F (х).
5.50. Пусть Р, Р), Р2, ...— последовательность абсолютно непре-
непрерывных вероятностных распределений, р(х), pi(x), pz(x), ...— со-
соответствующие плотности. Доказать, что если рп(х)-+ р(х), п ->¦ °°,
равномерно на любом конечном отрезке, то Рп ~* Рг Верно ли
обратное?
W W
5.51. Пусть Rn-^R^n-^P и Rn = Р„ * Qn. Доказать, что су-
существует распределение Q, такое, что R = Р * Q.
5.52. Являются ли относительно компактными следующие семей-
семейства вероятностных распределений:
а) множество всех равномерных распределений на отрезках, сим-
симметричных относительно нуля; б) множество всех нормальных рас-
распределений; в) множество всех равномерных распределений на от-
отрезках, содержащихся в отрезке [0, 1]; г) множество всех нормаль-
нормальных распределений с фиксированным математическим ожиданием-
и равномерно ограниченными дисперсиями?
110

5.53. Указать, какие из семейств вероятностных распределений,
приведенных в предыдущей задаче, являются плотными
5.54 {теорема Ю. В. Прохорова). Доказать, что семейство рас-
распределений на прямой является относительно компактным тогда
и тольие тогда, когда оно является плотным.
5.55. Доказать, что множество всех распределений, математиче-
математическое ожидание которых равно а, а дисперсия аг, является относи-
относительно компактным.
5.56. Доказать, что семейство нормальных распределений явля-
является плотным тогда и только тогда, когда равномерно ограничены
математические ожидания и дисперсии элементов этого семейства.
5.57. Доказать, что счетное семейство вероятностных мер плотно
тогда и только тогда, когда соответствующие функции распределе-
распределения удовлетворяют соотношениям
lim Fn (x) = 1 и Ню Fn (х) = О
равномерно по п.
5.58. Доказать, что слабая сходимость распределений эквива-
эквивалентна сходимости в метрике Леви (определение см. во введении к
гл. .3)
5.59. Пусть совместное распределение |„ и г\п слабо сходится
к совместному распределению | и г). Доказать, что распределение
?„ + tj» слабо сходится к распределению Ъ, + г).
5.60. Доказать, что из сходимости по вероятности следует схо-
сходимость по распределению.
5.61. Привести пример, показывающий, что из сходимости по
распределению не следует сходимость по вероятности.
d Р
5.62. Пусть \п —> а, где а — постоянная. Доказать, что |п —*• я.
5.63. Пусть ?п-*-?- Верно ли, что ?„ —1->0?
d Р
5.64. Доказать, что если ^п""*! и г}„—*0, то:
d Р
a) In + цп -»¦ I и б) ?пт1„ —> 0.
5.65. Доказать, что если ?„->\, \|п — т]п|< ?„|?п| и ?п-> 0, то
D Р
5.66. Доказать, что если %п -* I, ||„ — т]„ |< ^„ | цп | и ^п -> 0, то
5.67. Пусть |if $2, . •.— такая последовательность случайных ве-
величин, что
P(lim |„=.оо\=/> Р(Нт ?„ = — оо\ = g, P nim gn = 0\ = г
р + г + д«- 1.
ш

Что можно сказать о последовательности функций распределения
5.68. Пусть функция f(x) имеет производную в точке ж = 0.
d Р
Доказать, что если \nf\n —»• т) и х\п -»¦ 0, то
5.69. Пусть функции /(а;), А (ж), /2(.г), ... имеют непрерывные
производные, причем /п (ж) -> /' (х) равномерно по х. Доказать, что
P
D
* D P л
если inTjn —>¦ г] и т]„ -» U, то
5.70. Пусть |, |и |2, ...— последовательность случайных вели-
величин, определенных на вероятностном пространстве (Q, s4-, P), при-
причем при каждом шей %п((о)-*-%(ш) при п -*¦ °°. Примером пока-
покажите, что Egn не обязано сходиться к Е| даже в том случае, когда
все эти математические ожидания существуют.
5.71. Привести пример, показывающий, что из сходимости по
вероятности не вытекает сходимость математических ожиданий.
5.72. Пусть "Е,п-*\,- Привести пример, когда Е|„ существуют,
a Eg — нет, и наоборот.
5.73. Пусть последовательность случайных величин ?,, \г, ...
сходится в среднем квадратическом к случайной величине |, причем
Е[||„ < °°, п = 1, 2, ... Доказать, что Е||| < °° и
lim Щп = Eg.
П-»оо
5.74. Пусть последовательность функций распределения Fi{x),
F2{x), ... слабо сходится к функции распределения F(x). Обозна-
Обозначим оп и а2 дисперсии распределений Fn и F соответственно (п =
= 1, 2, ,..). Доказать, что
lim inf el, ^ a2.
я-»оо
5.75. Пусть F(х), Fi(х), Fz(x), ...— последовательность функ-
функций распределения с математическими ожиданиями а, а,, а2, ...
и дисперсиями о2, alt о2, ... соответственно. Доказать, что если
Fn—*F и о„-*• о* то ап->а.
5.76. Пусть последовательность функций распределения Ft(x),
F2(x), ... с дисперсиями ои а|, ... слабо сходится к функции
распределения F(x) с дисперсией о2, причем последовательность
о\, а\, ... сходится к некоторому конечному пределу Ъ. Обязано
ли выполняться равенство Ъ = о2?
U2

5.77. Пусть |п~*|< Доказать, что
E|g|<liminfE|In|.
n-»<»
5.78. Последовательность случайных величин %и \г, ... равно-
равномерно интегрируема. Доказать, что
supE |?„| < оо.
п
5.79. Пусть |i, %г, ...— последовательность случайных величин.
Доказать, что если при некотором г > О
sup E|Ll1+E<oo,
п
то последовательность |,, \2, ... равномерно интегрируема.
5.80. Пусть \i, \г, ...— последовательность случайных величин
и пусть существует случайная величина т], такая, что
EItjI <°°,
и для любого а > 0 и всех п
P(\ln\>a)<P(\i\\>a).
Доказать, что последовательность |1? ^2> ••• равномерно интегри-
интегрируема.
5.81. Пусть ?i, |2, ...— равномерно интегрируемая последова-
последовательность случайных величин и пусть ?п ~* !• Доказать, что Egn ->¦
-Е|.
5.82. Пусть |, li, g2, ...— последовательность неотрицательных
случайных величин с конечными математическими ожиданиями.
Доказать, что если in —> ? и Е|п -»• Е|, то последовательность |1г
^2, . • • равномерно интегрируема.
5.83. Доказать, что последовательность случайных величин ?,,
|2, ... равномерно интегрируема тогда и только тогда, когда
sup Е 11„ | < оо
п
и для любого е > 0 существует б, такое, что при всех п из неравен-
неравенства Р(?)<б следует
5.84. Пусть |, ?i, ?2, ...— последовательность случайных вели*
чин и
Е1У-Е|§|
при п ->¦ оо. Обязана ли иметь место сходимость
Щп + а\ -*Е|| + а|?
8 А. В. Прохоров и др. 113-

5.85. Изменится ли ответ в предыдущей задаче, если дополни-
дополнительно известно, что in —> ??
5.86. Пусть |„ %г, • •.— последовательность, случайных величин,
i{x) — положительная измеримая функция, удовлетворяющая усло->
вию
lim ^- = со.
Ю-»оо Х
Доказать, что если
то последовательность ||, |2, ... равномерно интегрируема.
5.87. Пусть li,^2, • • •— последовательность случайных величин.
Доказать, что если последовательность I6ilr» 1ЫГ, ••• (г>0) равно-
равномерна интегрируема, то для любого 0 < г' < г равномерно интегри-
интегрируема последовательность | ?i |г , | ?а |г, ...
5.88. Пусть %п —»¦ ? и для некоторого г > О
supE|?n|r<co.
п
Доказать, что
для любого положительного г' < г.
5.89. Пусть |4, |2. • • •— последовательность случайных величин,
причем |„ принимает значения n"iOc вероятностями 1/га и 1 — 1/га
соответственно (тг = 1, 2, ...). Исследовать сходимость последова-
тельнвстей {|„} (по вероятности) и {E|gJr} в зависимости от выбора
а и г.
5.9®. Пусть |„ \г, ...— последовательность неотрицательных слу-
Р
чайных величин, таких, что \п ~* S и Е|„ ->¦ Eg < °°. Доказать, что
€16.-61-*0.
5.91. Пусть 6i» 1г, ... и rii, 112, ...— две последовательности слу-
Р Р
чайных величин, такие, что Р(?„> цп >0)= 1, Ъ,п~*%* Цп—*ч\ и
Е^я -»- Eg. Доказать, что Е|т]п —tjI -»-0.
5.92. Пусть ?п -*- g в среднем порядка г > 0:
при п -*¦ о». Доказать, что
414

5.93. Пусть ?,h %2, ...— последовательность случайных величин,
такая, что для некоторого р > О
Доказать, что |„ ->¦ О п. н.
р
5.94. Пусть ?п~*1 и
limsupE||,,KE|l|.
П-»оо
Доказать, что последовательность |t, |2» ...— равномерно интегри-
интегрируема и
ШпЕ|?п_||=0.
Р
5.95. Пусть ?n->6 и
Доказать, что
Ню Е||Л-6|2=0.
П-*оо
5.96. Доказать, что если последовательность l?ila, l^l'i ••• рав-
равномерно интегрируема при некотором б > 0, то последовательность
распределений случайных величин |„ |2, ... плотна.
5.97. Пусть ?i, |г, . •. и rjt, Ц2, ¦.— Две последовательности поло-
положительных случайных величин. Могут ли существовать положи-
положительные числа аир, такие, что
"I \р Р
(I
5.98. Пусть |,, |2, ...— последовательность неотрицательных слу-
случайных величин с функциями распределения Л (я), F2(x), ... и с
конечными математическими ожиданиями. Будем говорить, что эта
последовательность сходится к нулю по Хинчину, если для любого
х>0
X \ ТС
при п ->¦ °° (будем обозначать ?n—*0J. Доказать, что если ?п~*0
Р
то In -> 0 (га ->¦ оо).
5.99. Следует ли из сходимости по вероятности сходимость по
Хинчину (определение сходимости по Хинчину см. в предыдущей
задаче)?
8*

5.100. Пусть ?„->0 и г]п~>0- Доказать, что ?„ + Лп~*0-
5.101. Пусть |ц, ?2) . • •— последовательность независимых слу-
Р
чайных величин и пусть ?п ~* ?. Доказать, что ? имеет вырожден-
вырожденное распределение.
5.102. Доказать, что если ?,, |2, ...— последовательность незави-
независимых одинаково распределенных невырожденных случайных ве-
величин, то Р(|„ сходится) = 0.
Р
5.103. Пусть ?п-"-*¦?, где ? имеет невырожденное распределение.
Возможно ли из последовательности ?i, |2, ... выделить подпосле-
подпоследовательность |п1, |п2, ..., такую, что все \nh не зависят от |?
р
5.104. Пусть \п~->%, и при каждом п распределение^ содержит
в качестве компоненты стандартное нормальное распределение. До-
Доказать, что распределение \ также содержит в качестве компоненты
стандартное нормальное распределение.
5.105. Пусть ?,, %2, ... и г\и тJ, ...— две последовательности
случайных величин, такие, что для любого е > 0
ОО
2 РA?п-Т1„|>е)<оо.
П=1
Доказать, что если г\„->- а п. н., то !•„ -»¦ а п. н.
5.106. Пусть ?,, |2, .. •— последовательность случайных величин,
v^ v2, ...— последовательность положительных целочисленных слу-
случайных величин, таких, что vn не зависит от ?,, |2, • •. при любом ге.
Р Р р
1. Доказать, что если vn -> оо и ?п —> |, то ?Vn ->¦ |.
Р jD D
2. Доказать, что если vn —>¦ оо и |„ -* |, то ^Vn -* |.
5.107. Пусть для любого п = 1, 2, ... случайные векторы (?i, ...
..., 1„) и (Hi, ..., tin) одинаково распределены. Доказать, что если
последовательность |i, |2, ... сходится по вероятности, то последо-
последовательность г},, тJ, ... также сходится по вероятности, причем
предельные случайные величины одинаково распределены.
5.108. Пусть g(xi, ..., хк) — непрерывная-вещественная функция
Р
к аргументов. Доказать, что если \пт~^\т при га-»- °°, m = 1, 2, ...
..., к, то
gfenn •••;> bnh) ~~* ё {%1> «••>. Eft)
при re -»¦ оо.
5.109. Пусть |, |t, |2, ...— последовательность случайных векто-
векторов, принимающих значения в Rm, Доказать, что Еп—*¦? тогда и
только тогда, когда для любого вектора I e #m (|ni Z) —> (|г Z^
((•, •) — скалярное произведение).
116

5.110. Доказать, что если 5п-~*? и г]п—* а, то распределение слу-
случайного вектора (§„, т]„) слабо сходится к распределению случай-
случайного вектора (?, а).
5.111. Доказать, что последовательность вероятностных распре-
распределений на плоскости плотна тогда и только тогда, когда плотны
обе последовательности ее маргинальных распределений.
5.112. Пусть F(x)—дискретная функция распределения, F^x),
Fz{x), •¦•—некоторая последовательность ее компонент. Доказать,
что существует последовательность вещественных чисел ai, а2, ...,
такая, что последовательность Fl(x — ai), F2(x — a2), ... сходится
в равномерной метрике к некоторой функции распределения G(x),
т. е.
\Fn(x — an)— G(x)\ -э- 0 при п -»- °°.

Глава 6
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Пусть ?ь |г, ... — последовательность случайных величин с конечными
математическими ожиданиями а, = E|j, I = 1, 2, .... Говорят, что для отой
последовательности выполняется закон больших чисел (ЗБЧ), если
п п
0 при тг-^-оо,
т. е. для любого е > О
limPl
П-+ОО
n n
e / = 0.
ЗБЧ выполняется при различных предположениях относительно последо-
последовательности Ij, |г, ... В частности, справедлива следующая теорема.
Теорема {А. Я. Хинчин). Если gi, ?2, ••• — последовательность незави-
независимых одинаково распределенных случайных величин с конечными математи-
математическими ожиданиями, то для нее выполняется ЗБЧ.
Для проверки выполнимости ЗБЧ часто оказывается полезным неравенст-
неравенство Чебышёва.
Теорема. Пусть | — случайная величина с конечной дисперсией, тог-
тогда для любого е > 0
Говорят, что для последовательности случайных величин |i, |г, ••• выпол-
выполняется усиленный закон больших чисел (УЗБЧ), если
2
-0 при ге
Теорема. Пусть случайные величины |ь ?2, ... независимы, Е|,- = 0г
< 00
оо
2—
—?<~°°' Тогда для последовательности gi, |2, ... выполня-
ется УЗБЧ.
Теорема (А. Н. Колмогоров). Пусть gi, g2, ... — последовательность не-
вависимых одинаково распределенных случайных величин. Для выполнения.
УЗБЧ необходимо и достаточно существование у величин g< конечного ма-*
тематического ожидания.
Пусть Л„ Л2, ...— последовательность событий и А — событие, состоящее
в том, что наступит бесконечно много событий Ап.
118

Лемма (Борелъ — Кантелли).
оо
1. Если 2) Р(Л)<°°' т0 ?(А) ==0-
2. ?е.яи Л(, Ач, ... независимы и 2 ** i^k) ~ °°i т
Пусть %\, |й ... — последовательность независимых случайных величин,
заданных на вероятностном пространстве (Q, .5$, P), 8Гп — а-алгебра, порож->
денная случайными величинами |п, |п+ь •. •'. а-алгебра
называется остаточной а-алгеброй относительно последовательности ?ь 52>.-ч
а любое событие А е У — остаточным событием.
Теорема (закон «О» или «1» Колмогорова). Любое остаточное событие
имеет вероятность 0 или 1.
Если |], |г, ... — последовательность независимых случайных величин, то
оо
в силу закона «О» или «1» Колмогорова ряд 2 ?i либо с вероятностью 1
г=1
сходится, либо с вероятностью 1 расходится. Имеют место следующие крите-
критерии, позволяющие определить сходимость или расходимость ряда из незави-
независимых случайных величин.
Теврема («о двух рядах»). Для сходимости с вероятностью 1 ряда
оо
2 ln ua независимых случайных величин достаточно, чтобы одновремен-
но сходились два рядах
Если, кроме того, sup Р ( | ?п | > с)=0 для некоторого с > 0, то эти условия яв->
ляются необходимыми.
Пусть с — неотрицательное число, 1 — случайная величина. Обозначим
& 10. \1\>с
Теорема («о трех рядах»; А. Н. Колмогоров). Для сходимости с ве-
оо
роятнвстъю 1 ряда 2 ?п из независимых случайных величин необходимо,
чтобы для любого с > 0 сходились ряды
и достаточно, чтобы эти ряды сходились при некотором с > 0.
Пусть |i, |г, ... — последовательность случайных величин. Будем гово-
говорить, что для этой последовательности выполняется центральная предельная
теорема (ЦПТ), если последовательность распределений случайных величин
119

слабо сходится при п-*-оо к стандартному нормальному распределению, т. о.
для любого вещественного х
*
Шп Р (*" "I?" < х) «= -4= f
п
Обозначим а* = Eg*, а? = D|ft, В? = ^ а|, jPs(x) = 9&к < х). Говорят, что
для последовательности |i, ^2, ... выполнено
а) условие Линдеберга, если для любого т > О
при
л-^оо.где Е[AЛ-а„J; \lh-ak\>xBn]= J (х - ak)*dFh (x);
\
б) условие Ляпунова, если для некоторого 6 > О
n fcl
Имеет место
Теорема. Пусть |ь ?2> ••• — последовательность независимых случай-
случайных величин с конечными дисперсиями. Если для этой последовательности вы-
выполнено условие Линдеберга, то для нее выполняется ЦПТ.
Если для последовательности |i, |2, ...
max Р
- 0 При П ¦
и выполнена ЦПТ, то для нее выполняется условие Линдеберга.
Из указанной теоремы, в качестве следствий, вытекают справедливость-
ЦПТ для последовательности независимых одинаково распределенных случай-
случайных величин с конечным вторым моментом и справедливость ЦПТ для по-
последовательности случайных величин, для которой выполняется условие
Ляпунова.
Для получения оценок скорости сходимости в ЦПТ бывает полезным сле-
следующее неравенство.
Теорема (Берри — Эссееп). Пусть F(x) и G(x) — функции распределе-
распределения, f{t) и g(t) —соответствующие характеристические функции, sup | G' (х) |^.
^ С. Тогда для любого Т > 0 и Ъ > 1/Bл)
г
suplF(z)-G(z)|<6 Г nt)-g(D
-т
t
где а(Ъ) —положительная постоянная, зависящая только от Ъ.
Если последовательность случайных величин |ь |2, ..., |п, ... такова, что
lim Р I °n " < x ) = Ф (ж)
при некоторых а„ и В„ > 0, то говорят, что случайная величипа |„ имеет
асимптотически нормальное распределение с параметрами \ап, B^
120

Вероятностное распределение называется устойчивым, если для его функ-
функции распределения F(x) при любых вещественных а{ > О, оа > 0, Ьи Ьг име-
имеет место равенство
F(aiz + Ъг) * F(a2x + Ьг) = F(ах + Ъ),
тде а > 0 и Ь — некоторые постоянные. Для соответствующей характеристи-
характеристической функции f(t) имеет место равенство при любых oi > 0, aj > Oi
\ 1/ \ 2
где a > 0 и Ь — некоторые постоянные. Характеристическая функция симмет-
симметричного устойчивого распределения имеет вид е~"'" J 0 < а < 2.
Переформулируем некоторые общие теоремы для схемы испытаний Бер-
Бернулли.
Говорят, что случайные величины ?ь 1г, ..., In соответствуют схеме ис-
испытаний Бернулли, если они взаимно независимы и одинаково распределены,
так что
Событие {|ь = 1} называется «успехом», а {§* = 0} — «неудачей».
Бесконечная последовательность случайных величин |i, ..., %п соответ-
соответствует схеме Бернулли (с данным р), если вышеприведенные условия выпол-
выполняются при любом п.
Теорема Бернулли (закон больших чисел). Пусть %и ?2, ,,,, |„—
схема Бернулли и Sn = |i + ••• + ?п. Тогда при п-*-<х>
Sn Р
п
Теорема Бореля (усиленный закон больших чисел). В схеме Бер-
Бернулли
Теорема Пуассона. Дана последовательность серий испытаний Бер-
Бернулли: в п-й серии имеется п случайных величин !„&, к = 1, 2, ..., п, соот-
соответствующих испытаниям с вероятностью успеха рп. Пусть Sn = |nj + ...
-.. + Inn- число успехов в п-й серии. Если n->oo, pn->~0 и прп->-%, где
Л. — действительное положительное число, то при любом m
Теорема Муавра —Лапласа. Пусть Sn = li +••¦+ In — число ус-
успехов в схеме п испытаний Бернулли с вероятностью успеха р. При п->оо
равномерна по х (р — постоянно)
1
-Ф(х), q = i — p.
(Sn-np 1
[ Vnpq J
ближен
\ / m —np \
-Ф Л ,
) \ Vnpq )
Для вычислений используется приближенная формула
—np
или более точная формула
/ т. — пр 4- 0,5 \ / т, — пр — 0,5
Р im < V < т \ ~ Ф I — ' л» I . I
121

Оценка скорости сходимости в теореме Муавра — Лапласа {неравенств»
Берри — Эссеена);
sup
к
Sn - np
У npq
У npq '
§ 1. Закон больших чисел
6.1. Проводятся испытания Бернулли с постоянной вероятностью
успеха. Пусть
A, если 1-е и (г + 1)-е испытания закончились успехом,
\0 в остальных случаях.
Выполняется ли для последовательности |,, |2, ... ЗБЧ?
6.2. Пусть §!, |2) — последовательность независимых случай-
случайных величин, причем |„ принимает значения У/г, 0 и —Уге с вероят-
вероятностями 1/B/г), 1 — 1/ге, 1/B/г) соответственно. Выполняется ли
для этой последовательности ЗБЧ?
6.3. Пусть \i, §2, ¦ • •— последовательность независимых случай-
случайных величин, причём |„ принимает значения —/г, 0 и /г с вероятпо-
стями 1/B/г2), i — 1/п2, и 1/B/г2) соответственно. Применим ли к
этой последовательности ЗБЧ?
6.4. Пусть |4, §2, ...— последовательность независимых случай-
ных величин,
Р A„ = ±2") = 2-Bп+1\ Р A„ = 0) = 1 - 2~2\
Применим ли к этой последовательности ЗБЧ?
6.5. Пусть |lt |2, ¦ ¦ •— последовательность независимых случай-*
ных величин, причем ?„ принимает значения 2" и —2П с вероятно-
вероятностями 1/2. Применим ли к этой последовательности ЗБЧ?
6.6. Пусть gi, |2, ...— последовательность независимых случай-
случайных величин, причем |п принимает значения —2П, —1, 1, 2" с веро-
„_! 1-2-" 1 - 2~п „_„_!
ятностями Z , 2 » 2 ' соответственно. Применим
ли к этой последовательности ЗБЧ?
6.7. Пусть |,, |2, ...— последовательность независимых случай-
случайных величин, причем §„ принимает значения —/г, 0, п с вероятно-
вероятностями 1/4, 1/2, 1/4 соответственно. Применим ли к этой последова-
последовательности ЗБЧ?
6.8. Пусть |i, |2, ...— последовательность независимых случай-»
ных величин, причем |„ принимает значения —/г, 0, п с вероятно-
вероятностями 2~", 1 — 2~n+i, 2~" соответственно. Применим ли к этой по-
последовательности ЗБЧ?
6.9. Пусть |i, §2, ...— последовательность независимых случай-»
ных величин, причем ?„ принимает значения — ср(тг), 0, ср(/г) о
вероятностями 1Л|з(ге)> 1 — 2/§(п), 1Л|)(ге) соответственно, где ф(п)
122

и ty(n) таковы, что
(С — постоянная). Применим ли к этой последовательности ЗБЧ?
6.10. Пусть ?i» \2l •••—последовательность независимых случай-
случайных величин. В случае, когда п — точный квадрат, |„ принимает
значения —У/г, У/г с вероятностью 1/2 каждое, при остальных п |„
принимает значения — 2~п, 2~п с вероятностью 1/2 каждое. При-
Применим ли к этой последовательности ЗБЧ?
6.11. Пусть |(, \г, ...— последовательность независимых случай-
случайных величин, причем |„ принимает значения — Уга и Уга с вероятно-
вероятностью 1/2 каждое. Применим ли к этой последовательности ЗБЧ?
6.12. При каких значениях а>0 к последовательности незави-
независимых случайных величин |„ |2, ..., таких, что
применим ЗБЧ?
6.13 (теорема Чебышёва). Доказать, что ЗБЧ выполняется для
последовательности независимых случайных величин, имеющих рав-
равномерно ограниченные дисперсии.
6.14. Пусть |i, |а, • • •— последовательность независимых случай-
случайных величин с конечными дисперсиями а?. Доказать, что если
п
-3-^.af-vO при п-»-оо,
то к последовательности |4, |2, ... применим ЗБЧ.
6.15. Пусть |,, |2, •••—последовательность случайных величин
с дисперсиями о\. Доказать, что если ковариация |* и \j неположи-
неположительна при 1Ф] и
п
?-*-0 при /г-»-оо,
то для последовательности ?,, |2, ... выполняется ЗБЧ.
6.16. Пусть |i, |2, • • •— последовательность случайных величин
с равномерно ограниченными дисперсиями, причем ?„ зависит толь-
только от !„_, и |п+1, но не зависит от остальных |<. Доказать, что для
этой последовательности выполняется ЗБЧ.
6.17. Пусть |,, |2, •••—последовательность случайных величин
с равномерно ограниченными дисперсиями, причем cov(gt-, ?j)< О
при i Ф j. Доказать, что к этой последовательности применим ЗБЧ.
6.18. Пусть |,, |2, ...— последовательность случайных величин
с конечными дисперсиями и пусть коэффициент корреляции вели-
величин |, и lj не превосходит g(\] — i\), где g(k)>0. Доказать, что
если
... +g(n-l)][al+ ... +ol] = o(n*) при п-*°°,
то к последовательности |i, |2, •. • применим ЗБЧ.
123

6.1У (теорема Бернштейна). Пурть li, ?г, ...— последователь-
последовательность случайных величин с равномерно ограниченными дисперсиями,
причем cov(^, ti^-'-O равномерно при Ijf — к\ -*• °°. Доказать, что
к этой последовательности применим ЗБЧ.
6.20. Пусть |i, %2, ...— последовательность независимых одина-
одинаково распределенных случайных величин, Е|( = a, D|f = о2, i = 1,
2, ... Доказать, что последовательность случайных величин rii,
гJ, ..., где
сходится но вероятности, и найти предел.
6.21. Пусть |i, |2, ...— последовательность случайных величин,
T]n = lt+... + !n. Доказать, что если \г\п\ < en, a Dr\n>anz, то к
последовательности |t, ?2, ... ЗБЧ неприменим.
6.22. Пусть |(, |2, ...— последовательность независимых одина-
одинаково распределенных случайных величин с конечной ненулевой дис-
дисперсией, г\п ¦= ?i + - • • + 5п- Доказать, что ЗБЧ не выполняется для
последовательности г\и г\2, ..., но выполняется для последователь-
последовательности air\i, a2r\2, ..., если а„ ->- 0 при п -*¦ оо,
6.23. Последовательность независимых случайных величин |ir
%2, • ¦ ¦ называется эквивалентной последовательности независимых
случайных величин T)t, тJ, ..., если сходится ряд
п=1
Доказать, что если при каждом п случайные величины |„ и г\п
имеют одинаковое математическое ожидание и ЗБЧ применим к од-
одной из двух эквивалентных последовательностей, то он применим
и к другой.
6.24. Пусть I), |2, ...— последовательность случайных величин,
для которой выполняется ЗБЧ. Обязан ли выполняться ЗБЧ для
последовательности IgJ, I|2I, • •.?
6.25. Пусть |,, %2, • ¦ •— последовательность случайных величин
с нулевыми математическими ожиданиями. Вытекает ли из сходи-
МОСТИ Sn~* СХОДИМОСТЬ i > 0?
6.26. Пусть gi, %г, ...— последовательность случайных величип,
таких, что
Е|?< — Е|4|<С, i = l, 2, ... (С —постоянная),
и пусть af, a2, ...— последовательность вещественных чисел, а„ -*¦ О
при п-*-°°. Доказать, что для последовательности at%u аг\г, ...
выполняется ЗБЧ.
6.27. Верно ли следующее утверждение: если для последователь-
последовательности случайных величин |4> |2, ... выполняется ЗБЧ и аи а2, ...—
124

равномерно ограниченная последовательность неотрицательных чи-
чисел, то для последовательности т]ь тJ, ..., где х\п = ап\п, также вы-
выполняется ЗБЧ?
6.28. Пусть |„ |2, ...— последовательность независимых одина-
одинаково распределенных случайных величин, аи а2, ...— равномерно
ограниченная последовательность неотрицательных чисел. Можно ли
утверждать, что если ЗБЧ выполняется для |,, |2, ..., то он выпол-
выполняется и для r\t, r\2, ..., где Ti( = а(|(?
6.29. Пусть |,, |2, ... и til, тJ, ...— две последовательности не-
независимых случайных величин, причем
(ф(га) с вероятностью рп,
О с вероятностью 1 — 2рп,
— ф (га) с вероятностью рп,
1ф (га) с вероятностью Qn,
О с вероятностью 1 — 2?„,
— Ф (га) с вероятностью <7п>
— <С<оо, ra=l,2,...
Чп
Доказать, что если ЗБЧ выполняется для последовательности ir\J,
то он выполняется и для последовательности {?„}.
6.30. Пусть |i, |2, ... и t)i, т]2, ...— две последовательности не-
независимых в каждой последовательности случайных величин,
причем
ф (га) с вероятностью рп,
0 с вероятностью 1 — 2рп,
I— ф (п) с вероятностью рп,
ф(га) с вероятностью рп,
*1п= 0 с вероятностью 1 — 2рп,
— г|) (ге) с вероятностью рп,
^-<С<оо, «=1,2,....
Доказать, что если ЗБЧ выполняется для последовательности {r\J,
то он выполняется и для последовательности {§„}.
6.31. Пусть %и |2, ... и t)i, тJ, ...— две последовательности не-
независимых в каждой последовательности случайных величин и
пусть
для любого 13* 0. Верно ли, что если для последовательности %,
Т12, ... выполняется ЗБЧ, то он выполняется и для последователь-
последовательности 1и \г, .. .?
125

6.32. Пусть |i, |2, •••—последовательность независимых одина-
одинаково распределенных случайных величин с конечными дисперсия-
дисперсиями, Си Сг, ...— неубывающая последовательность положительных
чисел. Доказать, что к последовательности Ct?,u C2I2, • • • применим
ЗБЧ тогда и только тогда, когда
CJIn -*¦ О при п -*¦ оо
§ 2. Сходимость рядов из независимых случайных величин
6.33. Пусть |i, |2, ...— последовательность независимых случай-
случайных величин с нулевыми математическими ожиданиями и равно-
оо
мерно ограниченными дисперсиями. Доказать, что ряд 2 Еп/«
п=1
почти наверное сходится.
6.34. Пусть |lt |2, ...— последовательность независимых нор-
нормально распределенных случайных величии с нулевыми математи-
математическими ожиданиями. Доказать, что ряд 2 \п почти наверное схо-
сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд 2 Щл.
6.35. Доказать, что если ряд из независимых случайных вели-
величин сходится попти наверное к постоянной, то каждый член ряда
есть почти наверное постоянная.
6.36. Пусть |i, |2, ...— последовательность независимых случай-
случайных величин, ц„ = |, + ... + |„. Может ли ряд 2 in сходиться
почти наверное, а последовательность медиан тцп не сходиться?
6.37. Пусть |1( ?2, ...— последовательность независимых случай-
случайных величин. Доказать, что ряд 2 En0 (in) — симметризация ?„)
сходится почти наверное тогда и только тогда, когда существует
последовательность вещественных чисел ah a2, ..., такая, что почти
наверное сходится ряд 2 (En — ап)-
6.38. Пусть |,, |2, ..., т]„ т|2, ...— независимые в совокупности
случайные величины. Доказать, что если почти наверное сходится
ряд 2 (En + т]л), то для некоторых последовательностей веществен-
вещественных чисел аи аг, ... и Ьи Ь2, ... почти наверное сходятся ряды
2 {In — an) и 2 (г|« — Ь„).
6.39. Пусть |A %г, • • ¦— последовательность независимых случай-
оо
ных величин. Доказать, что ряд 2 \п сходится почти наверное
П = 1
тогда и только тогда, когда он сходится по вероятности.
6.40. Доказать, что ряд из независимых случайных величин схо-
сходится почти наверное тогда и только тогда, когда он сходится по
распределению.
6.41. Пусть ?i, |2, ¦••—последовательность независимых случай-
случайных величин, /i@» 1Л1), •••—соответствующие характеристические
функции. Доказать, что ряд 2 En почти наверное сходится тогда
126

и только тогда, когда
где /(<)—непрерывная в пуле функция.
6.42. Пусть %t, ?2, ...— последовательность независимых случай-
случайных величин с характеристическими функциями ji(t), /2@. •••
соответственно. Доказать, что если бесконечное произведение
оо
И /п @ сходится к отличному от нуля пределу на некотором мно-
жестве положительной лебеговой меры, то ряд 2?п почти наверное
сходится, и обратно.
6.43. Пусть ?,, |2, ...— последовательность независимых случай-
случайных величин с характеристическими функциями fi(t), /2@i •••
оо
соответственно. Доказать, что бесконечное произведение П | fn {t) |
71 = 1
строго положительно ва множестве положительной лебеговой меры
тогда и только тогда, когда существует последоватедьность веще-
вещественных чисел аи аг, ... такая, что ряд 2 (In— ап) почти навер-
наверное сходится.
6.44. Пусть %и |2, ...— последовательность независимых одина-
одинаково распределенных случайных величин,
Доказать, что ряд 2c"?»i где с,, с2, ...— последовательность веще-
вещественных чисел, сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд
S el
6.45. Пусть |,, %2, ...— последовательность независимых одина-
одинаково распределенных случайных величин с равномерным ira отрезке
[—1, +1] распределением. Доказать, что ряд 2С« сходится почти
наверное тогда и только тогда, когда сходится ряд 2^м.
6.46. Пусть |,, |г, ...— последовательность независимых одина-
одинаково распределенных ограниченных случайных величин с нулевыми
математическими ожиданиями. Доказать, что ряд 2с«1м» где с(,
с2, ...— последовательность вещественных чисел, почти наверное
сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд 2 е"-
6.47. Пусть |„ ?2, • • •— последовательность независимых одина-
одинаково распределенных случайных величин с конечными дисперсиями
и нулевыми математическими ожиданиями. Доказать, что ряд
по
2 Сп|п, где с,, с2, ...—последовательность вещественных чисел,
т>=1
почти паверное сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд
24 < с».
6.48. Пусть %i, %г, •••—последовательность независимых случай-
случайных величин, каждая из которых имеет распределение Пуассона.
127

Доказать, что ряд 2 ?п почти наверное сходится тогда и только
П=1
тогда, когда сходится ряд 2 ^Еп-
71=1
6.49. Пусть |f, |2, ...— последовательность независимых неотри-
неотрицательных случайных величии, таких, что Р(|„>с) = 0. Доказать,
что ряд 2 ?п почти наверное сходится тогда и только тогда, когда
сходится ряд 2^?л-
6.50. Пусть §,, |2, • • •— последовательность независимых случай-
случайных величин, удовлетворяющих условию ||„1 =ё с < °°, re = l, 2, ...
Доказать, что ряд 2 \п почти наверное сходится, если сходится ряд
2 ^ I En — Е\п |. Верно ли обратное?
6.51. Пусть \и |2, ...— последовательность независимых случай-
случайных величин, имеющих одинаковое распределение Коши с плот-
плотностью
1
Доказать, что ряд 2сп?п> гДе с,, с2, ...— последовательность ве-
вещественных чисел, почти наверное сходится тогда и только тогда,
когда сходится ряд 2lcn I*
6.52. Пусть |,, |2, ...— последовательность независимых одина-
одинаково распределенных случайных величин с плотностью распреде-
распределения
1 — COS X
си с2, ...— последовательность вещественных чисел. Доказать, что
ряд 2^п?п почти наверное сходится тогда и только тогда, когда
сходится ряд 21 сп I-
6.53. Пусть |,, |2, ...— последовательность независимых одина-
одинаково распределенных случайных величин, имеющих симметричпое
устойчивое с показателем а > 0 распределение. Доказать, что ряд
2ся?п, где си с2, ...— последовательность вещественных чисел,
почти наверно* сходится тогда п только тогда, когда 2кпГ<°°.
6.54. Пусть |,, |2, ...— последовательность независимых случай-
пых величин с нулевыми математическими ожиданиями и конечны-
конечными третьими моментами. Положим of = D^, Pi = E||i|3. Доказать, что
если величины Pi/a? равномерно ограничены: [Vcrl^c, i = 1,2, ,..,
и ряд 2 En почти наверное сходится, то сходится ряд 2an-
6.55. Пусть ?,, |2, ...— последовательность независимых случай-
случайных величин с конечными третьими моментами. Положим о\ = Щи
Pi •=• Е | ^ |3. Доказать, что если величины $dv\ равномерно огра-
128

ничепы, то для сходимости почти наверное ряда 21 ?" необходимо
и достаточно, чтобы сходились ряды 2 ^in и 2 аЬ
6.56. Пусть ?,, |2, ...— последовательность независимых одина-
одинаково распределенных случайных величин, ct, сг, ...— последователь-
последовательность вещественных чисел. Доказать, что если ряд 2спЕп почти
наверное сходится, то 2С»<°°-
6.57. Пусть |,, |2, • • •— последовательность независимых одипа-
ково распределенных случайных величин, имеющих конечпое ма-
математическое ожидание, с„ с2, ...— последовательность веществен-
вещественных чисел. Доказать, что если 2lcn|<°°, т0 РяД 2c"(s«— й„)
почти наверное сходится при некотором выборе вещественных чи-
чисел а,, а2, ...
6.58. Привести пример последовательности независимых случай-
случайных величин gi, |г, ..., имеющих нулевые математические ожида-
ожидания, такой, что ряд 2 ?п почти наверное сходится, а ряд 2 ^?п
расходится.
6.59. Пусть |,, |,, ...— последовательность независимых цело-
целочисленных случайных величин. Доказать, что если ряд 2 Е™ почти
оо
наверное сходится, то JJ ph > 0, где р„ — максимальный скачок
функции распределения случайной величипы |,.
6.60. Доказать, что радиус сходимости R степенного ряда
оо
2 ?пг", где {|„} — независимые случайные величины, есть почти
п=0
наверное постоянная.
6.61. Пусть |4, |2, ...— последовательность независимых случай-
пых величин. Доказать, что ряд 2 ?п почти наверпое сходится
тогда и только тогда, когда
6.62. Пусть |i, |2, ...— последовательность независимых случай-
пых величин с нулевыми математическими ожиданиями. Доказать,
что если
то ряд 2 ^п почти паверное сходится.
6.63. Последовательность случайных величин r\it ц2, ... называ-
называется ограниченной по вероятности, если
limsupP(|r)n|>c) = 0.
с-»оо п
Доказать, что если |i, |2, • • •— независимые симметричные случай-
9 А. Е. Прохоров и др. 129

пые величины, а случайные величины v\n = 2 \i ограничены по
вероятности, то ряд 2?™ почти наверное сходится. Можно ли от-
отказаться от условия симметричности?
§ 3. Усиленный закон больших чисел
6.64. Пусть vn — число успехов в п испытаниях Бернуллч с
г.ероятностью успеха р. Доказать, что
\Jn -*¦ р п. н. при п -*¦ оо.
6.65. Пусть |i, |2, ...— последовательность независимых одина-
одинаково распределенных случайных величин. Доказать, что если
сп. н. при /г-*-с»,
где с — некоторое вещественное число, то Е||,| < °° и Eg, = с.
6.66. Пусть 1,, |2, ¦ • •— последовательность независимых случай-
случайных величин, имеющих конечные дисперсии, blt b2, ...— неубываю-
неубывающая последовательность веществепных чисел, такая, что bn -*¦ °°
при п -»¦ °°, т]п = |i + • • • + in- Доказать, что если
п=1
ТО
т
п. н. при п -> с».
6.67. Пусть gi, |2, .. •— последовательность независимых случай-
случайных величин, таких, что ||<|<С, С>0, i = 1, 2, ... Положим
т)„ = li + ... + In. Доказать, что
—т=г-
у п log n
п. н.,
6.68. Пусть |i, |2, ...— последовательность независимых одина-
одинаково распределенных случайных величин, 0 < г < 2. Доказать, что
если
я
"Т7г2 (Ik — flft)~>0 п. н.,
n h=l
то Е|!„|г< оо, где ak = 0 при г< 1 и я4 = Е|ь при г> 1.
6.69. Пусть ?i, ?2, ...— последовательность независимых случай-
случайных величин, т)„ = |, +... + |„. Доказать, что если при некотором
130

то
—-> О П. П., П-*- оо.
6.70. Показать, что, какова бы пн была последовательность не-
неотрицательных чисел о\, ol, .. ., такая, что
существует последовательность независимых случайных величин
?,, i2, ..., такая, что
Е? = О О1„ — а' п = 1 2
п
-IV t
п последовательность r|t, i]2, ..., где v\n = n 2. ъ> но сходится
почти наверное к нулю.
6.71. Пусть |,, |2, ...— последовательность независимых случай-
случайных величин, такая, что
где С — некоторая постоянная, п пусть
Доказать, что для любого 8 > 0
6.72. Пусть |,, ?г, ...— последовательность независимых случай-
случайных величин, имеющих нормальное распределение. Доказать, что
если последовательность |,, |2, ... удовлетворяет условию
lim inf D?n>0i то УЗБЧ для нее не выполняется.
П-*по П
6.73. Пусть |], |2, • ¦ •—¦ последовательпость независимых одина-
одинаково распределенных случайных величин, E||jlr<ooi l^r<2. До-
Доказать, что
i—i
6.74. Пусть |,, |2, ...— последовательность пезавнспмых одина-
одинаково распределенных случайных величин, Е||,1Г<°°, 0<г<1.
9* 131

Доказать, что
_ 1 п
п r^?j->0n. н. при ге->-оо.
6.75. Пусть gi, |2, . • •— последовательность независимых одина-
одинаково распределенных случайных величин. Доказать, что если
Е1Ы1' = 00 для некоторого 0 < р < 2, то
1
limsupn v
2 & -«)
= + оо п. н.
для любого вещественного а.
6.76. Пусть |i, |2t • • •— последовательность независимых одина-
одинаково распределенных случайных величии с математическим ожида-
ожиданием а, т|„ = (|i + .'.. + \п)/п. Доказать, что к последовательности
¦Пи тJ, ... применим УЗБЧ.
§ 4. Центральная предельная теорема
6.77. Пусть li, 12, ...— последовательность независимых одина-
одинаково распределенных невырожденных случайных величин с конеч-
конечными дисперсиями, Т1„ = \i +... + §„. Доказать, что для любых ко-
конечных вещественных чисел а и Ь
6.78. Пусть \и \г, ...— последовательность независимых одина-
одинаково распределенных случайных величин с конечными положитель-
положительными дисперсиями. Доказать, что для любого вещественного числа
х предел
равен либо 0, либо 1, либо 1/2. Указать условия, прп которых име-
имеет место каждая из указанных ситуаций.
6.79. Пусть |i, |2, ...— последовательность независимых одина-
одинаково распределенных случайных величин с нулевыми математиче-
математическими ожиданиями и конечными дисперсиями. Доказать, что для
любого положительного х предел
limP
П-»оо
равен 0 при а< 1/2 и 1 при а> 1/2.
6.80. Пусть Рп = max P (vn = к), где vn — число успехов в схеме
Берпулли с вероятностью успеха р. Найти Пт Рп у п.
132

6.81. Пусть |,, |2, ...— последовательность независимых одина-
одинаково распределенных случайных величин с нулевыми математиче-
математическими ожиданиями и конечными дисперсиями, т|п = ?, + ... + |„.
Найти D?i, если
6.82. Пусть |,, |2, • • •— последовательность независимых случай-
случайных величин, 71„ = |i + ... + |„. Найти
если ?„ равномерно распределена на отрезке [ап — 1, а„ + 1]
(а,, а2. •••—последовательность вещественных чисел,2а; = Л^оо).
6.83. Пусть |,, |2, ...— последовательность независимых случай-
случайных величин, имеющих равномерное на отрезке [0, 1] распределе-
распределение, т}„ = |i + ... + ?„. Найти последовательность вещественных чи-
чисел аг, пг, ..., удовлетворяющую условию
6.84. Пусть |,, |2, ...— последовательность пезавпсимых одина-
одинаково распределенных случайных величин с конечной дисперсией и
<я] =Ъ<1.
0<limPf
Найти
]imP
Уп
<2о .
6.85. Пусть I,, |,, ...— последовательность независимых одина-
одинаково распределенных случайных величин с единичными дисперсия-
дисперсиями, E[?i] = 0 ([х] — целая часть х) и пусть
= 1/2.
\/п
Найти Е{|,} ({х)—дробпая часть х).
6.86. Пусть !-!, \г, ...— последовательность независимых одина-
одинаково распределенных случайных величин, принимающих значепия
О, ±1, ±2, ..., Р(!, = 0)>0, Р(|, = 1)>0. Найти предел (в смысле
слабой сходимости) последовательности распределений случайных
величин {т|„/2+1/2} (г\п= 2Еь ^х) — дробная часть х). Будет ли
i=i
иметь место сходимость по вариации?
6.87. Пусть |,, |г, ...— последовательность независимых одина-
одинаково распределенных случайных величин с нулевыми математпче-
133

скими ожиданиями и единичными дисперсиями. Найти предел
(в смысле слабой сходимости) последовательности распределений
случайных величин [т]п/к7г] [г\п = 2 ?ь М— целая часть х].
\ i=i /
Будет ли иметь место сходимость по вариации?
6.88. Пусть |,, \г, ...— последовательность независимых одина-
одинаково распределенных случайных величин с нулевыми математиче-
математическими ожиданиями и единичными дисперсиями. Доказать, что ве-
величины
+ ¦ ¦ • + In
асимптотически нормальны.
6.89. Пусть |,, |г, ...— последовательность независимых случай-
случайных величин, причем |i, ^3, Is, ... одинаково распределены и |2, ^»,
^,, ... одинаково распределены,
Ш<°°, ESS<oo, D|1>0, Dg2>0.
Поло;ким
t , it * ^n — Ет1п
Tl6+ +
Найти предельное (в смысле слабой сходимости) распределение
для цп.
6.90. Пусть ||, |2, ...— последовательность независимых случай-
случайных величии, имеющих одинаковое пуассоновское с параметром Я.
распределение. Найти предел
limP\
6.91. Доказать, что условие Линдеберга выполнено для последо-
последовательности независимых одинаково распределенных случайных ве-
величин с конечной дисперсией.
6.92. Доказать, что если для последовательности случайных ве-
величин выполнено условие Ляпунова, то выполнено и условие Лин-
Линдеберга.
6.93. Пусть |„ |2, ...— последовательность независимых нор-
нормально распределенных случайных величии, Е|к = 0, к = 1, 2, ...,
D|i = 1, D|s = 2"~2, к > 2. Показать, что в этом случае условие Лин-
Линдеберга не выполнепо, но ЦПТ имеет место.
6.94. Пусть |,, |2, • • •— последовательность независимых одина-
одинаково распределенных случайных величин с нулевым математиче-
математическим ожиданием и едипичной дисперсией, v,, v2,...— последователь-
последовательность целочисленных положительных случайных величин, таких,
134

что при каждом i \\ не зависит от ||, |2, ¦•¦ Пусть г)„ = |, + ... + |„.
р
Доказать, что если vn—оо при п ->- оо, то распределение r)vn/ Ухп
слабо сходится при тг -»- °° к стандартному нормальному закону.
6.95. Пусть !•,, g2, ...— последовательность независимых одина-
одинаково распределенных случайных величин с нулевым математиче-
математическим ожиданием и единичной дисперсией, vb v2, ...— последователь-
последовательность целочисленных положительных случайных величин, таких,
что Елч = ак, Dvft = $h и при каждом к \\ не зависит от ?,t, |:,
Пусть а„ -* оо и [in = о (а;,) при п -*¦ °°. Найти предельное (в смысле
слабой сходимости) распределение для i]vT1/ УОг\чп(щ =Si+ • • ¦ Ia)-
6.96. Пусть |,, |2, ...— последовательность независимых одина-
одинаково распределенных случайных величии с нулевым математиче-
математическим ожиданием, единичной дисперсией и абсолютно пнте1рнруемой
характеристической функцией. Пусть /)A1) (х)—плотность распреде-
распределения случайной величины
Доказать, что равномерно по х
Птр<п)(х) = -±=е-
~2/„
6.97. Пусть \и ?,, ...— последовательность независимых случай-
случайных величин, имеющих одинаковое равномерное на отрезке [—а, а\
распределение, Fn (x) — функция распределения нормированной
суммы
Доказать, что
snp
х
6.98. Пусть ||, ..., |„ — независимые одинаково распределенные
случайные величины с нулевым математическим ожиданием, дис-
дисперсией о2 и конечным третьим абсолютным моментом Е||,|3 = р3.
Пусть /„(^—характеристическая функция случайной величины
?, + ¦¦¦ + Еп
Доказать, что
^~ а1' V п
135

6.99. Пусть |i, |2, ...— последовательпость пезависимых случай-
случайных величин с одипаковой функцией распределения F(x), причем
Е|х = 0, E|j = аг, Elld3 = ps, F(x) снмметрпчпа, а соответствующая
характеристическая функция /(?) неотрицательна. Пусть
sup F' (х) ^ А < оо.
Доказать, что
Р
яТ/л / У2л J
где С (Л)—положительная постояппая, зависящая только от А.
§ 5. Разные задачи
6.100. Пусть |i, |г, ...— последовательпость случайных величин,
6i, Ъ%, ...— последовательность вещественных чисел, т|< — медиапа
р
случайной величины |(, i — 1, 2,... Доказать, что если \п — Ьп~* О
р
при /г->оо, то ^„ — т\п~* 0.
6.101. Пусть последовательность пезависимых случайпых вели-
величин ?,1, |2, ... почти наверное сходится. Доказать, что существует
постоянная а, такая, что Р (lim |n = а) = 1.
П-»оо
6.102. Пусть |i, |2, ...— последовательпость случайных величип
с функциями распределения F{(x), Ft(x), ... соответственно. До-
р
казать, что \п ~~* 0 при п -*¦ °° тогда и только тогда, когда
lim I ;
П-»оо О 1 -f" Ж'
+ •
6.103. Пусть |i, |г, • • •— последовательность случайных величии
с конечными дисперсиями. Положим а„ = Е|„, о„ = D|n. Доказать,
что если ап -*¦ °° и а* = о (а*) при /г -> оо, т0
— —> 1 при ге->оо.
6.104. Пусть \i, \г, ...— последовательность независимых слу-
случайных величин с конечными математическими ожиданиями, т)„ =
р
= |,...|п. Доказать, что если Е||,| = Е||г| = ... < 1, то т]п —*" 0 при
п -*¦ оо. Верно ли обратное утверждение, если {|,} одинаково рас-
распределены?
6.105. Пусть |i, \г, ...— последовательпость независимых слу-
случайных величин, т]„ = §i... |„. Доказать, что если для некоторого
136

в р
<х>0 Е|Ь1|а = Е|?2|а = ... < 1, то лрт)„-*0 при /г->-°° для любого
вещественного $.
6.106. Пусть |(, ?2, . • ¦— последовательность независимых одина-
одинаково распределенных случайных величин, ц„ = |,... ?„. Доказать,
Р
что если У]п~* а при п -*¦ °° (а — конечное вещественное число), то
либо а = 0, либо а=1, причем в последнем случае Р(§ч = 1)= 1,
i— 1, 2
6.107. Пусть |,, ?2, ...— последовательность независимых оди-
паково распределенных неотрицательных случайных величин с ма-
математическим ожиданием а,
Доказать, что последовательность случайных величин ?,п=У т]х ... Чп
почти наверное сходится к а.
6.108. Пусть |,, \г, ...— последовательность случайных величин
с конечными математическими ожиданиями, а | — случайная вели-
величина с конечной дисперсией, такая, что при любом натуральном п
?, + ... + !„ и t — (?i+ ... +!>¦) независимы. Доказать, что в этом
случае все 1„ имеют конечные дисперсии и ряд 2 (?п — ^?")
почти наверное сходится.
6.109. Пусть |ь |2, ...— последовательность одинаково распреде-
распределенных случайных величин с конечным абсолютным моментом по-
порядка р > 0. Положим
U, | С,п | < П j
1, \Ъп\>П1/Р.
Доказать, что
6.110. Пусть %{, |2, •••—последовательность одинаково распре-
распределенных случайных величия с конечным абсолютным момептом
порядка р > 0. Положим
Доказать, что
"Л»— 1
П
6.111. Пусть ?,, g2, ...— последовательность случайных величин,
а > ^ > 0. Следует ли из сходимости ряда 2 ^ I ?» Г сходимость
ряда SEUJP?
137

6.112. Пусть gi, §2, ...— равномерно интегрируемая последова-
последовательность случайных величин. Доказать, что
Е(± sup |
При П -*¦ °о.
6.113. Пусть ||, ?2, ... н г],, г|2, ...— две последовательности
случайных величин, причем |„ асимптотически нормальна с пара-
параметрами (а, h/Уп), а т]„ асимптотически нормальна с параметрами
(b, k/1/n), Ъ ?= 0. Доказать, что случайная величина
асимптотически нормальна с параметрами @, h/b).
6.114. Пусть /(л:)—непрерывная ограниченная на [0, °°) функ-
функция. Доказать, что при h > 0
lim
6.115. Доказать, что случайная величина, измеримая относитель-
относительно остаточной о-алгебры, имеет вырожденное распределение.
6.116. Привести пример остаточной о-алгебры, содержащей боль-
больше двух событий.
6.117. Пусть |i, |2, ...— последовательность независимых слу-
случайных величин. Доказать, что случайные величины lim sup |„ и
liminfg,, являются вырожденными.
6.118. Пусть |н |2, ...— последовательность независимых оди-
паково распределенных случайных величин, имеющих стандартное
нормальное распределение, и пусть событие А„ заключается в том,
что
?, + ... + !„> а Bге In нI/г,
где а — фиксированная постоянная. Доказать, что при а > 1 с веро-
вероятностью 1 осуществится только конечное число событий Л„.
6.119. Пусть \и \г, ...— последовательность независимых оди-
одинаково распределенных случайных величин, имеющих стандартное
нормальное распределение. Доказать, что
Р film sup .i^_ =ll = l.
6.120. Пусть |,, |2, •••—последовательность независимых оди-
одинаково распределенных случайных величин, имеющих пуассонов-
ское распределение. Доказать, что
рhim SUpiL = 1=1.
' * 111 И '
138

6.121. Пусть |i, ?2, ...— последовательность независимых одина-
одинаково распределенных случайных величин с характеристической
функцией
/(O = exp{-UI»>, 0<a<2.
Доказать, что
Pi liin sup
-"» = еьа
6.122. Пусть ?„ |2, ...— последовательность независимых слу-
случайных величин,
оо оо
(
м (I,-)
Доказать, что с вероятностью 1
ft = l
6.123. Пусть |i, |2, ...— последовательность независимых одина*
ново распределенных случайных величин, В„ йа, ...— последова-
последовательность вещественных чисел. Пусть последовательность распре-«
делений случайных величии
слабо сходится при п ->- <х> к некоторому невырождепиому распре-«
делению F. Доказать, что в этом случае
п
lim Вп= оо и ]im-iii = 1.
»1-»оо п->оо ¦"п
6.124. Пусть %и Ь,г, . • •— последовательность независимых оди-
одинаково распределенных случайных величин с конечным математи-
математическим ожиданием, Ви В2, ...— последовательность положительных
чисел. Доказать, что если последовательность распределений слу-
случайных величин
Е, + • • • + 1п
слабо сходится при п -*¦ °° к некоторому невырожденному распре-
распределению, то Е|( = 0.
6.125. Пусть |i, |2, ...— последовательность независимых одипа-
ково распределенных случайных величин, имеющих характеристи-
139

ческую функцию
О ,. |i|>l,
Подобрать последовательность вещественных чисел В(, В2, ... так,
чтобы последовательность распределений случайных величии
Вп
слабо сходилась при п -*¦ °° к некоторому предельному невырожден-
невырожденному распределению. Найти предельный закон.
6.126. Пусть |t, |2, .. •— последовательность независимых одина-
одинаково распределенных случайных величин с плотностью распреде-
распределения
1 — cos х
т]„ = , /'„(х) — функция распределения г\п. Доказать, что
существует функция распределения F(x), такая, что Fn слабо схо-
сходится к F при п -*¦ оо. Найти функцию распределения F(x).
6.127. Пусть |t, |2, ...— последовательность независимых одина-
одинаково распределенных случайных величин, Ви В2, ...— последова-
последовательность положительных чисел, причем последовательность распре-
распределений случайных величин
слабо сходится при п-*- °° к распределению с характеристической
функцией
е~та, с>0, 0<а<2.
Доказать, что Вп = ni/ah(n), причем lim h(tx)/h(x) — 1 при t>0.
6.128. Пусть |i, |2, ...— последовательность независимых одина-
одинаково распределенных случайных величин, А(, Аг, ... и Ви В2, ...
E„>0) — две последовательности вещественных чисел, причем по-
последовательность распределений случайных величин
I, + ¦ • ¦ + Sn - К
слабо сходится при п -*¦ °° к некоторому распределению. Доказать,
что предельное распределение устойчиво.
140

6.129. Пусть случайная величппа ?n, m, n имеет гипергеометриче-
гипергеометрическое распределение с параметрами N, М, п:
ЙС-м/Сл- max(°- M + «-Ar)<m<min(«, Л/),
в ином случао
Доказать, что при iV->°°, М -* °°, jj-*-p, 0< р < 1, и фиксирован-
яом п гипергеометрическое распределение сходится к бипомиальпо-
му распределению с параметром р:
пР A — Р)
6.130. Пусть последовательность случайных величия |,, ..., \п
образует схему Пуассона, т. е. |t, ..., ^п взаимно независимы я
распределены так, что
P(lk = i) = Pk, РA» = 0)=1-р», /с = 1 п.
Обозначим ц„ = |i 4-... + |„. Доказать, что если pt +... + />„-*- X > 0
при п -> 0°, то
6.131 (продолжение). Пусть в схеме Пуассона ц„ = |, + ... + |п,
, = />i + ... + рп, б = Pi + ... + ргп, 0 < Pj ^ 1/2. Доказать, что при
Р (ц„ = т)--уе
-х
<2б.
6.132. Пусть случайные величины ?,„, и = 1, 2, ,.., имеют рас-
распределение, сосредоточенное на интервале [0, 1). Доказать, что если
при любом целом к?=0
Ее —»- U
при п -*¦ оо, то для любых аи Р, 0 ^ а < р < 4,
6.133. Пусть случайные велпчппы |(, |2, ..., in взаимно пезави-
спмы и одинаково распределены, причем Р@ ^ ^п < 1)= 1. Пусть
т]„ = {gi + ... + ?„) — дробная часть суммы li + ... + |n. Если
при к ?= О
Ее ->0, л->оо,
то при любых а и (J, 0=^ а < р < 1,
Р(а<1-1п<Р)-^р-а.
(Это утверждение служит аналогом центральной предельной тео-
теоремы, когда случайные величины складываются по mod 1.)
141

§ 6. Применения предельных теорем
6.134. Найти приближенное значение для вероятности того, что
число «успехов» Sn в схеме п = 100 испытаний Бернулли с вероят-
вероятностью «успеха» р = 0,5 лежит в пределах 35 и 65; 47 и 53. При
каких значениях п вероятность того, что 0,35^ — ^0,65, будет
больше 0,998?
6.135 (продолжение). Каково должно быть число испытаний п,
чтобы с вероятностью 1 — а частота «успеха» — отличалась от
вероятности «успеха» р не более, чем на е > 0? Решить задачу при
а = 0,01, е = 0,01.
6.136 (продолжение). Предположим, что в схеме Бернулли с ве-
вероятностью «успеха» р = Р(Ъ,к = 1), к — 1, ..., п, значение р неиз-
неизвестно и нужно определить его по значениям, которые принимают
случайные величины |1? ..., |„. Наиболее естественно в качестве
оценки р взять частоту «успеха» рп = -^ч Sn = |, + ... + |„, по-
поскольку Ер„ =р и Р 1 \рп — р\ < е) > 1 — H~ при любом п.
В качестве оценки_можно указать интервал \р„ (|t, ..., \п), jDn(|i,...
.. •, In)], 0< pn < рп< 1, такой, что
для любого паперед заданного 0<а<1. Такой интервал называ-
называется доверительным интервалом для р уровня 1 — а. Найти с по-
помощью теоремы Муавра — Лапласа приближенный доверительный
интервал для р.
6.137 (экспериментальная оценка я). Опыт Бюффона с броса-
бросанием иглы на плоскость, расчерченную параллельными прямыми
(см. задачу 1.75) использовался для вычисления числа л. В 19 и
НО веках было произведено множество экспериментов (см. о них под-
подробнее в книге: Кендалл М. и Мораи П. Геометрические вероятно-
вероятности: Пер. с англ.— М: Наука, 1972). В опыте Р. Вольфа из Цюриха
длина иглы / = 36 мм, расстояние между прямыми а = 45 мм, игла
была брошена п = 5000 раз и m = 2532 раза пересекла прямые.
Если считать, что последовательность бросаний иглы соответствует
схеме Бернулли с вероятностью «успеха» (игла пересекает прямую)
21
р = ^, то можно оценить погрешность экспериментальной оценки л.
1. В опыте Вольфа отклонение ——р не превышает 0,0029.
Найти число бросаний иглы, при котором с вероятностью, большей
0,5, имеет место подобное отклонение.
2. По результатам опыта Вольфа найти доверительный интервал
для числа л.

6.138. В январе 193,1 г. в Швецип (по даппым Г. Крамера) ил
общего числа 7280 новорожденных родилось 3743 мальчика. Гипо-
Гипотезу о конкретном значении вероятности р рождения мальчика
можно проверить следующим образом. Допустим, что можпо исполь-
использовать схему Берпуллн. По приведенным данным при определенном
О < а < 1 нужно построить доверительный интервал [р„, рп] для р
уровня 1 — а, а затем сравнить гипотетическое значение р0 с грани-
границами доверительного интервала: если р0 е [рп, рп], то считать гипо-
гипотезу о том, что p = lh совместимой с данными, а в случае ра<Рп
или р„ > рп — отказываться от гипотезы, имея в виду, что вероят-
вероятность ошибочного заключения не превосходит ос. Проверить гипо-
гипотезы р„ = 0,5; р0 = 0,515; />„ = 0,55.
6.139. В урне находятся шары белого и черпого цвета. О составе
урны известно лишь то, что доля белых шаров равна либо 0,5, либо
0,4. Из урны извлечено с возвращением 100 шаров и обнаружено,
что белые шары составляют большую часть выборки. На почве
отого наблюдения сделан вывод, что доля белых шаров в урне рав-
равна 0,5. Чему равна вероятность того, что принято ошибочное за-
заключение?
6.140. Пусть произведено п испытании Берпуллн с вероятностью
успеха р. Допустим, что число успехов Sn оказалось равным т,
О < т < п, и нужно проверить, согласуется ли это с какой-либо
гипотезой относительно неизвестного значения р. Можно воспользо-
воспользоваться следующим критерием. Зададим число ос, 0 < а < 1, и в пред-
предположении, что верна гипотеза р = р0 вычислим вероятность
P(Sn^ m). Если эта вероятность меньше а, то отказываемся от ги-
гипотезы. В противоположном случае считаем, что гипотеза согласу-
согласуется со статистическими данными.
При 1000 независимых бросаниях монеты герб выпал в 5'*0 слу-
случаях. Проверить гипотезу о том, что монета симметрична при
а = 0,05.
6.141 (продолжение). Пусть ос задано. В предположении, что
некоторая гипотеза р = р0 верна, найдем наименьшее целое пга,
такое, что P(Sn > m*)^ а. Критерий проверки гипотезы
р = Ро может быть таким: если Sn > тпа, то отказываемся от гипо-
гипотезы р = Ра\ если же Sn < ma, то считаем, что гипотеза согласуется
с данными. Вероятность ошибочного отказа от гипотезы но пре-
превосходит а.
Проверить гипотезу о вероятности рождения мальчиков из за-
задачи 6.138.
6.142. Предположим, что в схеме испытаний Бернуллп есть две
гипотезы о вероятности «успеха» pi и р2, 0<pi<.pz< \. Для разли-
различения этих гипотез произведено п испытаний и в результате полу-
получено {Sn = пг). Пусть задапы числа а и [$, 0 < а, р"<1, и пусть п
таково, что существует целое положительное число т*, такое, что
Qi= PPl (Sn>m*)<ax Q2 = PH(Sn<m*)< ft
143

где первая вероятность вычислена в предположении, что р=ри
а вторая — в предположении р — рг. Тогда критерий проверки ги-
гипотез строится так: если т>т*, то гипотеза p = Pi отбрасывается,
а гипотеза р — рг считается приемлемой; если же т^т*, то наобо-
наоборот, гипотеза р = Р\ принимается, а р = Рг — отбрасывается. Указан-
Указанные выше вероятности Qi и Q2 интерпретируются как вероятности
ошибочных заключений.
Применить предложенную процедуру проверки к задаче де Мере
(см. задачу 1.26), а именно ответить на вопрос: сколько нужно
провести испытаний, чтобы различить две вероятности успеха
. /35 \24 . /5\< о Л Л-
Pi = 1 — hjg-1 и р2= I — I -jT- I при заданных а = р = U,Uo.
6.143. Доказать, что гппергеометрическое распределение при
пМ . г\
N -*¦ °°, М -*¦ оо, п ->- оо, __ -)- х > U сходится к распределению
Пуассона с параметром X.
6.144. Доказать, что гипергеометрическое распределеиие при
N -*¦ оо, М ->- °°, п ->- °°, -j7—*- оо сходится к нормальному рас-
распределению.
6.145. Случайная величина %% имеет хи-квадрат распределение
с п стеиепями свободы (так пазывается распределение с плотностью
PW-. ' V'
см. задачу 3.167). Доказать, что распределение пормпроваппой слу-
X2 — Еу 2
чайной величины , г—— асимптотически нормально с парамет-
параметрами @,1).
6.146. Случайная величина |х имеет распределение Пуассона с
параметром X > 0. Доказать, что при X -*¦ °° случайная величина
I, -Я,
v .— асимптотически нормальна с параметрами @, 1).
У/.
6.147. Пусть случайные величины |t, ..., |„ взаимно независи-
независимы и имеют одинаковое распределеиие Пуассона с параметром X.
Обозначим En = — (?i + ... +?п).
_ Р
1. Доказать, что ?»-* Я, при п ->- оо.
2. Построить доверительный интервал для X, т. с. указать такие
?i,i(?n) и А.2(§„), чтобы при заданном 0<а<1
6.148. Случайные величины |(, ..., |„ взаимно независимы и
имеют одинаковое равномерное распределение на отрезке [0—1/2,
G + 1/2]. Предполагается, что значение 0 иеизвестпо. Пусть при
144

n = 100 величины ?i, ..., |„ приняли некоторое конкретное значе-
значение, так что среднее арифметическое Е = — (si + ...+?») равно а.
Пользуясь центральной предельной теоремой, пайти доверительный
интервал, который содержит неизвестное зпачение 0 с вероятностью,
приближенно равной 0,У5.
6.149. Необходимо сложить миллион чисел, округленных с точ-
точностью до пятого десятичного знака. В предположении, что ошибки
округления всех чисел взаимно независимы и имеют равномерное
распределение в соответствующем интервале, найти пределы, в ко-
которых с вероятностью 0,95 находится суммарная ошибка округления.
6.150. Пусть а — произвольное иррациональное число. Рассмот-
Рассмотрим числа па, кратпые а при п=\, ..., N, и их дробные части
[па) = па — [па]. Доказать, что дробные доли {па) распределены
в интервале [0, 1) почти равномерпо в следующем смысле: для лю-
любых ссцр\ 0 «S а < р < 1,
Аг(«, Р) . я v
—^ >- р — а, Л' -v оо,
где N(a, Р) — число значений {па), при п = 1, ..., N содержащихся
в интервале (ос, Р).
6.151. Пусть действительная случайная величина | распределе-
распределена с плотностью р(х), у которой существует абсолютно интегрируе-
интегрируемая на всей прямой производная р'{х). Рассмотрим десятичное
разложение \:
где аи ..., ап — первые п десятичных знаков, а б(п)(|) — ошибка
округления. Доказать, что случайная величина Д(п) = 10" б(п)(Ю
имеет при п ->¦ °° асимптотически равномерное распределение в ин-
интервале [0, 1), т. е. при и->оо и 0=Sia<p<l
Р(а< Д(п)<р)-^р-ос.
6.152. Пусть случайные величины |,, ..., |„ при каждом п вза-
взаимно независимы и одинаково распределены с функцией распреде-
распределения F(z). Определим для каждого действительного х случайную
величину tn{x) = -[in(x), где цп(х) —число ?,, ..., 1„, удовлет-
удовлетворяющих неравенству %к < х. Доказать, что при каждом х
Будет ли эта сходимость выполняться с вероятностью 1?
Fn(x) называете;! эмпирической функцией распределения для
10 л. В. Прохоров и др. 145

6.153 (продолжение). Обозначим через ак п us соответствующие
моменты распределения |<:
Рассмотрим случайпые величины
Показать, что при и -*¦ °° и е > О
Р ( U(in) - «11 > е) -v О, Р ( | т2'0 - и21 > е) ->¦ 0.
Случайные величины flti" и w2" называются, соответственно, вы-
выборочным средним и выборочной дисперсией, а утверждаемое свой-
свойство их — состоятельностью.
6.154 (продолжение). Доказать следующие утверждения. Если
<х2 < °°, то при п -*¦ °° величина а^ асимптотически нормальна с па-
х2
раметрами I cclt —
Если и4 < оо, то при п -»- со величина т2 асимптотически нор-
нормальна с параметрами I ц2,
Если а2к < °о, то при /i ->- °° величина ак асимптотически нор-
(
мальна с параметрами I «л,
6.155 (метод Монте-Карло статистических испытаний). Вычпсле-
1
пне интеграла /= J / (x) dx можно описать следующим образом.
о
Пусть случайная величина \ имеет равномерное распределение на
отрезке [0,1]. Тогда
о
Пусть |,, ..., \п взаимно независимы и равномерно распределены
на [0, 1]. Рассмотрим /п = — [/ (?i) + ... + / (In)] и предположим,
_ _ Р
что о2 = D/n < С. Показать, что Е/„ = / и /„—»•/, ге-+-оо. Оценить
РA/„ —/1<е) для произвольного е >0 с помощью центральной
предельной теоремы.
6.156 (теорема Вейерштрасса). Пусть f(x)—непрерывная функ-
функция на отрезке [0,1]. Пусть последовательность случайных величин
146

|i, ..., ?„ соответствует схеме Бориуллц с вероятностью успеха
Р(?,= 1) = :с, 0<ж<1, и Sn = 1, + ... + |„. Введем многочлены
Доказать, что при п -*¦ °°
sup |/(х)-ЯД.г)|->0.
(Многочлены Вп{х) называются многочленами Бернштейна.)
6.157. Рассмотрим двоичное разложение числа | е [0, 1)
S = y + ^+ +!+
(с бесконечным числом нулей). Тогда по отношению к лебеговой
мере знаки двоичного разложения ||, |г, ..., |„ — независимые оди-
одинаково распределенные случайные величины с P(li = 1) = Р(§( =
= 0)= 1/2.
Доказать, что для почти всех чисел | е [0, 1) доля единиц и ну-
нулей в двоичном разложении | с вероятностью 1 стремится к 1/2:
10*

Глава 7
УСЛОВНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
И УСЛОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЖИДАНИЯ
Пусть (Я, si, P) — вероятпостное пространство, \ — определенная па пем
случайная величина, 98 — о-алгебра, содержащаяся в si. Если \ неотрицатель-
па и Е|?| < оо, то ее условное математическое ожидание относительно а-ал-
гебры 98 определяется как случайная величина Е(Ъ,\98), удовлетворяющая сле-
следующим условиям:
1) Е(?|5?) измерима отпосптельпо 98;
2) для любого А е 98
JS(w)P(dco)= С Е (ЦБ) Р (dco).
А А
Для пропзвольпой случайпой величины ^ условное математическое ожи-
ожидание относительно 98 определяется как
при условии, что
где *+ = max (I, 0}, 1~ = —min {?, 0}.
Условкы.« математическим ожиданием случайной величины ? относитель-
относительно случайной величины т| называется условное математическое ожидание |
относительно о-алгебры, порожденной п.
Пусть В — произвольное событие (Sgi), Условной вероятностью собы-
события В относительно о-алгебры 98 называется условное математическое ожида-
ожидание индикатора этого события /в'- P(B\S8) = ЕAВ\28). Таким образом, для лю-
любого ^eJ
Имеют место следующие свойства условного математического ожпдапия.
1. Если с — постоянная и ? =с почти наверное (п. п.), то
С П. П.
2. Если К г| п. п., то Е(Ъ\38) < Е(г]|55) п. н.
3. \ва\38)\ <Е(|Е| |Я) п. н.
4. Если а и Ъ — постоянные и существует аЕ? -f- ЬЕп, то
Е(а? + Ьг\\38) = аЕ(^|Л) + ЬЕ(г\\<8).
5. Если ^5 = {0, Q} — тривиальная о-алгебра, то
Е(?|Я)=Е? п. п.
6. ?A\&) = 1 п. п.
7. Е(Е(?|<#)) =Eg.
8. Ec.ih t, не зависит от i5, то
F|) =Eg п. п.
143

9. Если т| ^9-измсрима и Е||| < оо, Е|т)| < оо, то
п. п.
10. Пусть ||, |2, ... — последовательность случайных величин. Если
11n | s? t|, Ei] < оо и |n -*¦ I п. н., то
*(ln\31)-*-t(t\38) п. н., Е(||п —?||#)-*0 п. п.
Пусть (П, .stf, P) — вероятпостное пространство, 38 — о-алгебра, содержа-
содержащаяся в st. Семейство условных вероятностей Р(А\38), А е si называется ре-
гулярным, если существует функция р(ш, А), такая, что:
1) при фиксированном ы р(ч>. А) является вероятностью на si;
2) Р(А\38) = р{ш, А) п. н. при любом фиксированном А.
Пусть 38\, 382 и 38 — о-алгебры, содержащиеся в si. Будем говорить, что
38\ и 38з условно независимы при данном 38, если для любых 38\^38\ и
Р(В,В2\38) ^Р(В1\38)Р(В2\38).
Случайные величины | п г| будем называть условно независимыми при
данном 38, если условно независимы порождаемые ими о-алгебры.
Пусть | — случайная величина на вероятностном пространстве (Q, si, P),
38 с: А — некоторая о-алгебра. Фупкцпя С(со, В), соей, В — борелевское мно-
множество па прямой, называется регулярным условным распределением случап-
иой воличипы | относительно о-алгебры 38, если:
1) при фиксированном В Q{u>, В) ^-измерима;
2) для почти всех ы (?(со, В) является вероятностной мерой;
3) при каждом В <?(ш, В) = Р(| е В\38) п. п.
7.1. На вероятностном пространстве (Й, S&, Р), где Q — [0, 1],
«я? — а-алгебра борелевских подмножеств, Р — мера Лебега, задана
случайпая величина |. Пусть $ — а-алгебра, порожденная множе-
множествами [0, 1/3), {1/3} и A/3, 1/2). Найти Е(||^), если
а) | = со; б) g = sinnco; в) | = со2; г) | = 1-со;
II, сое[0, 1/3],
Д) " = l2, сое A/3, 1].
7.2. В условиях предыдущей задачи найти функцию распреде-
распределения случайной величины E(g|^).
7.3. На вероятностном пространстве (Q, зФ, Р), где Q = [0, 1],
S& — а-алгебра борелевских подмножеств, Р — мера Лебега, задана
случайная величина | = со. Найти Е(?|^), если:
a) 3S — а-алгебра всех борелевских подмножеств отрезка [0, 1],
симметричных относительно точки 1/2; б) $ — а-алгебра, порожден-
порожденная множествами [0, 1/3], [1/3, 2/3]; в) $ — а-алгебра, порожден-
порожденная случайной величиной r\ = min {2co, 1).
1 Л. Пусть s и т) — независимые случайные величины. Найти
DE(^T)I^), если:
а) | равномерно распределена па отрезке [0, 1], a ti имеет нор-
нормальное распределение с параметрами а и а2; б) \ и ц имеют пока-
показательное распределение с параметрами А. и \i соответственно.
7.5. Пусть случайпая величина ? принимает не более п значе-
значений. Верно ли, что Е(?|.$) также принимает не более п значепий?
7.6. Доказать, что если все события а-алгебры $ имеют вероят-
пость 0 или 1, то с вероятностью 1
149

7.7. Пусть | — случайная величина и ц>{х)—борелевская функ-
функция, такая, что Еф(?) существует. Доказать, что
7.8. Доказать, что если о-алгебры $i и 9&г независимы, то для
любых | и т] случайные величины Е(^|^,) и Ь.{г\\9&г) независимы.
7.9. Пусть iSi и &2 — независимые о-алгебры. Доказать, что для
любой случайной величины |, имеющей математическое ожидание,
с вероятностью 1
7.10. Пусть на вероятностном пространстве (Q, .5$, Р), где Q —
отрезок [0, 1], бФ — о-алгебра борелевских подмножеств il, Р — мера
Лебега, задана случайная величина г\ = ш. Доказать, что для любой
случайной величины ? с вероятностью 1 Е(||т])=|.
7.11. Обязана ли случайпая величина Е(?|г|) быть измеримой
относительно а-алгебры, порожденной случайной величиной ??
7.12. Пусть | и г| — случайные величины с копечным математи-
математическим ожиданием. Доказать, что если существует случайная ве-
величина ? такая, что Е(^|?)=г), то Е^ = Erj. Верно ли обратное, т. е.
следует ли из равенства Е| = Ег), существование t, такой, что
E(|IS) = t,?
7.13. Пусть | и т] — независимые одинаково распределенные
случайные величины с конечным математическим ожиданием. До-
Доказать, что случайные величины Е(^|| + г)) и E(t||? + ti) одинаково
распределены. В каком случае они будут независимы?
7.14. Доказать, что в условиях предыдущей задачи
E(|l? + n) = E(Tili + T,) п.н.
7.15. Пусть | и г) — независимые одинаково распределенные
случайные величины с копечным математическим ожиданием. До-
Доказать, что
7.16. Пусть SSi, $2, ...— невозрастающая последовательность
0-алгебр, | — случайпая величина. Найти
7.17. Пусть ЗВи ЗВг, ...— неубывающая последовательность о-ал-
гебр, \ — случайная величина. Найти
7.18. Пусть % и г| — случайные величины с конечными матема-
математическими ожиданиями. Доказать, что если с вероятностью 1
E(||t])=Ti и Е(т]|?) = 1, то ? = т] п.н.
150

7.19. Пусть ? —случайная величина с математическим ожида-
ожиданием a, Mi и $г — независимые о-алгебры, |1 = Е(||^1), \г =
= Е(|,Ц?2). Найти распределение |2.
7.20. Пусть \i, ..., |„ — независимые одинаково распределенные
случайные величины с конечным математическим ожидапием, т)„ =
= \i + ... + \п. Доказать, что
с вероятностью единица.
7.21 (неравенство Иенсена). Пусть <р (х) — выпуклая функция,
1 — случайная величина, такая, что Е\у(%,)\ <°°. Доказать, что
7.22. Доказать, что DE(?|#)«SDi
7.23. Пусть 0< a «S 1, 0 < р < 1, а + р «S 1, % и ц— случайные
величины с конечными математическими ожиданиями. Доказать, что
7.24. Пусть ||, |2, ...— последовательность независимых случай-
случайных величин, 1] — случайпая величина с конечной дисперсией,
а = Ет). Доказать, что
При П -> оо.
7.25. Справедливо ли следующее утверждепие: если |„ -»-1 п. п.,
то для любой случайной величины ti
7.26. Пусть %i, |2, ...— последовательность случайных величин,
— о-алгебра. Доказать, что если для некоторого р^ 1 Е|?„ — ||р -*¦
- 0 при п ->- оо, то
7.27. Пусть ^,, ^2, ...— последовательность о-алгебр, % и т] —
случайные величины с конечными математическими ожиданиями.
Доказать, что если Е(|1^?„)-*- ti п. п. при «-»-<», то Е(?Ы)= E(tiI^)
п. п., где Я= П Л».
7.28. Пусть | и г) — случайные величины с конечными математи-
математическими ожиданиями. Доказать, что если существует последователь-
последовательность случайных величин ?„ ?2, ... такая, что Е(§|?„)-*-г] п. п. при
л -»- °°, то Eg = Etj.
7.29. Пусть 3St <= ^21= ...— неубывающая последовательность
с-алгебр, ^ — случайная величина с конечным математическим ожи-
ожиданием. Доказать, что для любого е > 0
( sup
151

7.30. Пусть
о-алгебр,
,,,— пеубывающая последовательность
= a[ U Л»|,
g — случайная величина с конечным математическим ожиданием.
Доказать, что Е(||^„)->- Е(?|.5??) п. н.
7.31. Пусть ^?i => ^2 ^ ...— невозрастающая последовательность
о-алгебр,
оо
п=1
| — случайная величина с конечным математическим ожиданием.
Доказать, что Е (|!.#„)-* E(gl#) п. ц.
7.32. Пусть ^i, J?2, ...— последовательность а-алгебр, | — слу-
случайная величина с конечным математическим ожиданием. Доказать,
что последовательность Е(|1^,), Е(^|^2), ... равномерно интегри-
интегрируема.
7.33. Доказать, что случайная величина | и о-алгебра $ неза-
независимы тогда и только тогда, когда для любой борелевскоп функции
ц (х), такой, что Е|ф(|)| < °о( выполнено равенство
7.34. Пусть (Q, $$-, Р)—вероятностное пространство, .$ —о-ал-
—о-алгебра, ^ <= бФ. Доказать, что для любого события А
7.35. Доказать, что любые две случайные величины, определеп-
пые на вероятностном пространстве (i2, s4-, P), условно независимы
относительно о-алгебры зФ.
7.36. Доказать, что случайные величины | и ц независимы тогда
и только тогда, когда они условно независимы отиосительно три-
тривиальной о-алгебры J? = {0, Q>.
7.37. Доказать, что о-алгебры ^i и Яг условно независимы отно-
относительно о-алгебры Я тогда и только тогда, когда для любого
7.38. Пусть случайные величины ? и ц независимы. Могут ли
они быть условно зависимыми относительно какой-нибудь о-ал-
гибры ^?
7.39. Пусть P(A\$I), ie^,— регулярное семейство условных:
вероятностей, | — случайная величина с конечным математическим
152

ожпдаписм. Доказать, что
§Ъ()9(Ь\Я) п. н.
7.40. Пусть $—о-алгебра борелевских подмтюжеств Q = @, 1),
Р —мера Лебега на 3S, С <=¦ Q — множество, имеющее внешнюю ме-
меру Лебега 1 и внутреннюю меру Лебега 0. Рассмотрим вероятност-
вероятностное пространство (Q, st-, Рс), где S$- — а-алгебра множеств вида
А = BtC + В2С, В,, В2<^<%, РС(Л) =уР(/?!) + — P(i?2)- Доказать,
что семейство условных вероятностей РС{А\3!) не является ре-
регулярным.
7.41. Рассмотрим вероятностное пространство (Q, si-, Р), где
Q = [0, 1], $?¦ — а-алгебра борелевских подмножеств, Р — мера Ле-
Лебега. Доказать, что семейство условных вероятностей Р{Л\3%') явля-
является регулярным, если:
а) ^ = {0, Q}; б) ^ = ^; в) & — а-алгебра, порожденная мно-
множеством [0, 1/2).
7.42. Пусть на вероятностном пространстве (Q, ^, Р), где Q =•
= [0,1], si — а-алгебра борелевскпх множеств, Р — мера Лебега, за-
задана случайная величина ?(со)=со. Найти условное распределение
\ относительно а-алгебры i#, порожденной случайпой величиной ц,
если
[1, сое [0,1/3),
сое [1/3, 1]; б) П = 8П1жо;
1 — Зсо, со е= [0, 1/3),
Зш—1
в) ц = •
2
(о е [1/3,11.

Глава 8
БЕЗГРАНИЧНО ДЕЛИМЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Понятие безгранично делимого распределения возникает при изучении
случайных процессов с независимыми приращениями и при исследовании
распределений, являющихся предельными для распределений сумм незави-
независимых случайных величин.
Распределение вероятностей или соответствующая функция распределе-
распределения F(x) называются безгранично делимыми, если для любого целого ноло-
жительного и существует функция распределения Fn(x), такая, что
F (х) = Fn* ... * Fn (x).
п раз
Соответствующая характеристическая функция называется безгранично
делимой. Таким образом, характеристическая функция /(Г) называется безгра-
ничпо делимой, если для любого целого положительного п существует харак-
характеристическая функция /n@i такая, что
/С) = [МО]"-
Примерами безграпично делимых распределений могут служить нормаль-
пос, пуассоновскос, показательное распределения, распределение Коши (см.
задачи 8.14, 8.5).
Безгранично делимые характеристические функции распределений допус-
допускают следующее каноническое представление.
Каноническое представление Леей — Хипчина. Функция f(t) является
безгранично делимой характеристической функцией тогда н только тогда, ког-
когда она представима в виде
1?~ dG (
где G(u) —неубывающая ограниченная функция, f—вещественное число. При
и = 0 подынтегральная функция полагается равной —.
Иногда предпочтительнее пользоваться другим представлением.
Каноническое представление Леей. Функция /(() является безгранично
делимой характеристической функцией тогда и только тогда, когда она пред-
представима в виде
-±o2r+ J
Ни.
И
+ 0
154

где у и о—вещественные постоянные, М(и) и N(u) —неубывающие функции,
71/(и) >0, Л» <0,
lim М (и) = UmN (и) = 0.
и-» —оо и-юо
В случае, когда существует дисперсия, имеет место более удобное пред-
представление Колмогорова.
Каноническое представление Колмогорова. Функция f(t) является харак-
характеристической фупкцией бегранично делимого распределения с конечной дис-
дисперсией тогда и только тогда, когда она представима в виде
iyt+ J {eitu-l-itu)^
/(() = exp {iyt+ Wtu-l-itu)*dK(u)\, C)
где 1 — вещественная постоянная, а К(и) —пеубывающая ограниченная функ-
функция, такая, что К(—оо) = 0.
Каждое из представлений A), B) и C) единственно.
Важным подклассом безгранично делимых распределений является класс
устойчивых распределений.
Распределение вероятностей пли соответствующая функция распределе-
распределения /¦''(х) называются устойчивыми, если для любых положительных Ь\ п Ь2
и любых вещественных с, и с2 существуют положительное число Ъ и дейст-
действительное число с, такие, что
bx К
r>
В терминах характеристических функций это определение может быть
сформулировано следующим образом. Характеристическая функция /(() па-
зывается устойчивой, если для любых положительных bt и Ь2 существуют по-
положительное число b и действительное число f, такие, что
f(bxt)-f(b2t) =f(bt)e":
Характеристические функции устойчивых распределении допускают следую-
следующее представление: f(t) устойчива тогда и только тогда, когда она предста-
иима в виде
/ (/) = ехр {нр - d | t \a (l + to -^y G (ti
где 0 < a < 2, p — вещественное число, d ^ 0, 10 | ^ 1, при ( ^ 0 полагаем
t
0
G (t, a) -
Я
tg-ja прп аф{,
2
— In 11 | при a — 1.
P> симметричном случае это представление может быть существенно упроще-
упрощено: для того, чтобы симметричная характеристическая функция j(t) была
.устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы она имела вид
/U) = e-d|"°\ d>0, 0<a<2.
8.1. Пусть случайная величина | имеет безгранично делимое
распределение. Доказать, что при любых вещественных а и b рас-
распределение случайпой величины а?, + b также безграпично делимо.
155

8.2. Доказать, что слабый предел последовательности безгранич-
безгранично делимых распределений безгранично делим.
8.3. Пусть | и Г| — независимые случайные величины с безгра-
безгранично делимым распределением. Доказать, что случайная величина
+ ц имеет также безграничное распределение.
8.4. Пусть /(?) — безграничпо делимая характеристическая функ-
функция. Доказать, что характеристическая функция \f(t)\ также без-
безгранично делима.
8.5. Доказать, что безграничпо делимая характеристическая
функция нигде не обращается в нуль.
8.6. Доказать, что показательное распределение безгранично де-
делимо и найти его «корень /с-й степени».
8.7. Пусть }(t)—безгранично делимая характеристическая функ-
функция. Доказать, что для любого ос >0 функция (}(t))a также явля-
является безгранично делимой характеристической функцией.
8.8. Пусть /(?) — характеристическая функция, такая, что для
некоторой последовательности целых положительных чисел пи п2,...,
удовлетворяющей условию nh ->- °° при к -*¦ °°, функции
(/(*)I/П\ ft = 1,2,...,
являются характеристическими. Доказать, что f(t) безграничпо
делима.
8.9. Доказать, что равномерное па отрезке распределение не мо-
может быть безгранично делимым.
8.10. Доказать, что распределение с плотностью —g~ s'n2 ~~2 не
является безграпичпо делимым.
8.11. Доказать, что:
а) распределение Пуассона, б) отрицательное биномиальное рас-
распределение, в) нормальное распределение, г) распределение Коши
являются безгранично делимыми.
8.12. Пусть Ь, и ц — независимые случайные величины, причем
% имеет равномерное на некотором отрезке распределение. Доказать,
что случайная величина ? + ц не может иметь безгранично делимое
распределение.
8.13. Пусть F(x)—произвольная функция распределения. Дока-
Доказать, что ни при каком а Ф 0 функция распределения
F(x)+ F(x+ a)
2
не может быть безгранично делимой.
8.14. Доказать, что непрерывная, линейная на каждом отрезке
[п, п+1], п = 0, ±1, ... функция не может быть безграпично дели-
делимой функцией распределения.
8.15. Случайная величина |, определенная на некотором вероят-
вероятностном пространстве, может быть названа безгранично делимой^
если при любом целом положительном п она может быть представ-
15G

лена в виде суммы п независимых, одинаково распределенных слу-
случайных величин, заданных на том же вероятностном пространстве.
Привести пример величины, которая не является безгранично дели-
делимой, но имеет безгранично делимое распределение.
8.16. Доказать, что безгранично делимая невырожденная случай-
случайная величина не может быть с вероятностью единица ограниченной.
8.17. Пусть (f(t) — любая характеристическая функция up — про-
произвольное положительное число. Доказать, что функция
/(О = ехр{р(ф(*)-1)>
является безгранично делимой характеристической фупкцией.
8.18. Доказать, что любая безгранично делимая характеристиче-
характеристическая функция /(?) представима в виде
/(О = Нт охр{рп(ф„@-1)},
Т1-ЮО
где рп — положительные числа, а ф„(?) — некоторые характеристи-
характеристические функции.
8.19. Пусть <р(?) — произвольная характеристическая фупкция.
Доказать, что для любого а > 1 функция
есть безгранично делимая характеристическая функция.
8.20. Доказать, что геометрическое распределение безграничпо
делимо.
8.21. Пусть ty(t) — произвольная непрерывная неположительная
четная функция, выпуклая при f^O, т|з(О) = О Доказать, что
е*(|)—безгранично делимая характеристическая функция.
8.22. Доказать, что нормальное распределение и распределение
Коши являются устойчивыми.
8.23. Можно ли утверждать, что сумма независимых случайных
величин, каждая из которых имеет устойчивое распределение, так-
также имеет устойчивое распределение?
8.24. Доказать, что любое устойчивое распределение является
безгранично делимым.
8.25. Является ли устойчивым показательное распределение?
8.26. Доказать, что распределение с характеристической функ-
функцией ехр {—c|i|a}, где с>0 и 0<а^2, является устойчивым.
8.27. Доказать, что для устойчивой случайной величины |
для всех ге@, а), где a — параметр в капоническом представле-
представлении устойчивых распределений.
8.28. Доказать, что характеристическая функция устойчивого с
параметром а распределения при 0 < a s? 1 не дифференцируема
в нуле.
8.29. Может ли безгранично делимое распределение быть диск-
дискретным, но не решетчатым?
157

8.30. Пусть аи ..., а„, ct, ..., с„ — произвольные положительные
числа, такие, что
Доказать, что распределение с плотностью
безгранично делимо.
8.31. Пусть f(x) — положительная измеримая функция, F(x) —
функция распределения. Доказать, что распределение с плотностью
л I
— оо
безграпичпо делимо.
8.32. Доказать, что функция
/@=2 а*ехр{—с„|
,**•
где сг;,^О, Sflft^l» fft ^ 0, 0<аА^1, является характеристиче-
характеристической функцией безгранично делимого распределения.
8.33. Может ли производящая функция целочисленного неотри-
неотрицательного безгранично делимого распределения обращаться в нуль?
8.34. Пусть | — целочисленная случайная величина с безгранич-
безгранично делимым распределением. Доказать, что Р(\ делится на два)=^*
"^Р(| не делится на два).
8.35. Пусть | — целочисленная случайная величина с симмет-
симметричным безгранично делимым распределением. Доказать, что
Р(| делится на два)>Р(| не делится на два).
8.36. Пусть \ — неотрицательная целочисленная случайная во-
лнчппа с безграпичпо делимым распределением, P(g = 0)>0. Дока-
Доказать, что Р(§ делится на два)> P(g не делится на два).
8.37. Пусть |— неотрицательная целочисленная случайная ве-
величина с безгранично делимым распределением. Доказать, что если
РE = 0)>0 и Р(| = 1)>0, то P(s = A:)>0 для любого целого по-
положительного к.
8.38. Доказать, что плотность безгранично делимого распределе-
распределения, симметричная относительно некоторой точки я, достигает в
точке а своего максимума.
8.39. Пусть F(х)—целочисленная безгранично делимая фупк-
цпя распределения, симметричная относительно точки к. Доказать,
что в точке к F(x) имеет максимальный скачок.
153

8.40. Показать, что характеристическая функция
/(O ^ (
1 w 1 + а 1 _ pei« v
не является безгранично делимой.
8.41. Может ли безгранично делимая характеристическая функ-
функция быть произведением двух не безгранично делимых характери-
характеристических функций?
8.42. Пусть t — неотрицательная целочисленная случайпая ве-
величина с безгранично делимым распределением, ^ = P(s — &)»
р0 > 0, pi > 0. Доказать, что р\ ^ 2рор2.
8/i3. Пусть \nh, п~3$ 1, 1 s? /с s? rc — последовательность случай-
случайных величин, причем при каждом п случайные величины
независимы п одинаково распределены. Положим
Цп = §nl ' • • • "Г Sin.
Доказать, что если распределения у\п слабо сходятся при п -*¦ <»
к иекоторо.му предельному распределению, то последнее безгранич-
безгранично делимо.
8.44. Пусть \ — неотрицательная целочисленная случайная ве-
величина, Р(! = 0)>0. Доказать, что для того, чтобы % имела без-
безгранично делимое распределение, необходимо и достаточно, чтобы
ее производящая функция допускала представление
где Q(z) — производящая функция некоторой целочисленной неот-
неотрицательной случайной величины, а Я — положительное число.
8.45. Пусть 1|з@— произвольная характеристическая функция.
Доказать, что функция
( tu
J U
oo
является характеристической функцией безгранично делимого рас-
распределения с конечной дисперсией.
8.46. Доказать, что функция
l
является характеристической функцией безгранично делимого рас-
распределения с конечной дисперсией.
8.47. Пусть | — целочпсленпая случайная величина, имеющая
безгранично делнмое распределение. Доказать, что ее характеристи-
характеристическая функция ф(г) иредставпма в виде
2 qh(eJkz-l)V
где т — целое, qh > 0.
159

8.48. Пусть | — безграпнчно делимая случайная величина с ре-
решетчатым распределением (h — шаг решетки). Доказать, что
где v,, v3, ...— пезависпмые случайные величины, имеющие рас-
распределение Пуассона.
8.49. Доказать, что для того, чтобы последовательность безгра-
безгранично делимых характеристических фупкций <Pi(z), cp2(z), ... схо-
сходилась к характеристической функции (p(z), необходимо и доста-
достаточно, чтобы почти для всех х Gn(x)-+ G(x) и ч„ -* Ч при п->-°°,
где Gn, G, у„, if — функции и постоянные из капонпческого пред-
представления Леви — Хипчииа характеристических функций <Pn(z)
И фB).
8.50. Пусть |,, |3, ...— последовательность независимых одина-
одинаково распределенных случайпых величин, v — случайная величина,
не зависящая от |,, |2, ... и имеющая нуассоновское распределе-
распределение. Доказать, что случайная величина
V
•*iv = 2 ift, "По = 0i
имеет безгранично делимое распределение.
8.51. Доказать, что для всех а>0 функция
1
A + tz)a
является безграпичпо делимой характеристической функцией. Найти
ее представление в форме Леви — Хипчииа.
8.52. Найти представление Леви — Хипчина характеристических
фупкций нормального и пуассоновского распределений.
8.53. Пусть ^ = ^1 + ^2, где ?| и ^2 независимы и имеют безгра-
безгранично делимые распределения. Доказать, что:
а) если | нормально распределена, то |i и |2 нормально рас-
распределены; б) если | имеет пуассоновское распределение, то |i и
?2 имеют пуассоновские распределения.

Глава 9
ДИСКРЕТНЫЕ ЦЕПИ МАРКОВА
Одним из наиболее важных обобщений последовательностей независимых
случайных величин являются последовательности случайных величин, свя-
связанных в цепь Маркова.
Пусть дана последовательность случайных величин |0. Si. • • •, определен-
определенных на одном вероятностном пространстве (Q, s?, Р) и принимающих ие бо-
болев чем счетное множество значений {х\, х2, ...}.
Последовательность случайных величин g0, !i, ••• образует цепь Маркова
(связана в цепь Маркова), если для любого л и любых i0, ti, ..., in таких, что
имеет место равенство
Р (^» = *«„ | *»-! = **п-1 ^0 = %) = Р Eп = *Ц Ъ-1 = *in_t)
(марковское свойство).
Случайная величина |п интерпретируется как состояние цепи Маркова на
и-м шаге. Во многих задачах, связанных с изучением цепей Маркова, множест-
множество значений случайных величин |(, i = 0, 1, ..., можно отождествить с под-
подмножеством множества натуральных чисел (номерами состояний цепи).
Цепь Маркова |о> Si. ••• называется однородной, если для любых i и /
Р(?„ = ij||n_i = Xi) — Pij не зависит от п. В дальнейшем, если не огова-
оговаривается противное, рассматриваются только однородные цепи Маркова.
Матрица Р с элементами Рц называется матрицей вероятностей перехода
за один шаг.
Матрица Р является стохастической, т. е. для любых I и / Рц ^ 0 и
Матрица Р<п> с элементами Р^"' = Р (?п = / | ?0 = i) называется матрицей
вероятностей перехода за п шагов. Для любых неотрицательных пит спра-
справедливо (уравнение Колмогорова — Чепмена
р(п+т) _ р(п)рСт)
Р10' —единичная матрица).
Пусть p(n) = (p\n\ Pj"\ •••)— распределение вероятностей цепи Маркова
на п-и шаге: рD"' = Р (|п = *$, тогда р("+т> _р(»)р(т) или p(n> = ртрп< где
распределение р@> называется начальным распределением цепи Маркова. От-
Отсюда следует, что матрица вероятностей перехода за один шаг и начально»
распределение полностью определяют все распределения цепи Маркова, а зна-
значит и саму цепь Маркова, если отождествлять цепи с одинаковыми распре-
распределениями.
Важную роль в теории цепей Маркова играет классификация состояния.
Говорят, что состояние Xj достижимо из состояния xi, если существует такое
" ^-0, что Ру'' > 0. Состояния х< и xj называется сообщающимися, если они
достижимы друг из друга.
** А. В. Прохоров и др. 161

Состояпие xi пазыпается несущественным, еслп существует такое состоя-
состояние X), что ij достижимо из х,, a xi недостижимо из х} и называется сущест-
существенным в противном случае. Мпожество всех существенных состоянии цеп»
Маркова разбивается на непересекающиеся классы сообщающихся состояний
так, что любые два состояния и.) одного класса сообщаются между собой,
а для любых двух состояний xt и х, из разных классов Р[7р — Я*.'" — О для
любого п.
Цепь Маркова, вес состояния которой составляют один класс сообщаю-
сообщающихся состояний, называется неразложимой.
Состояние х,- называется возвратным, если вероятность возвращения п
dto состояние равпа 1, и невозвратным в — противном случае. Если для воз-
возвратного состояния среднее время возвращения конечно, то оно называете;:
возвратным положительным, в противном случае возвратным нулевым.
Состояние xt называется периодическим, если II. О. Д.*) \п: /'*.'." >(l) =
—d>\, ири этом d называется периодом состояния. Если d = 1, состояние на-
аывается непериодическим. В неразложимом цепи Маркова все состояния име-
имеют одинаковый период, в частности, одновременно являются неперподпчески-
ми. Неразложимая цепь Маркова называется непериодической, если все ее со-
состояния являются непериодическими.
Цепь Маркова называется эргоОичсской, если для любых i и / существует
Распределение вероятностей яь я*, ... называется стационарным распре-
распределением цени Маркова, если для любого п
я _ V 1 рС?) ; — 1 2
i
Справедливы следующие критерии эргодичности перазложпмых цепей
Маркова.
Теорема 1. Если для однородной цепи Маркова с конечным числом со-
состояний существует п0 такое, что Pjj01 >0 для любых i и j, то цепь Маркова
является эргодической.
Теорема 2. Для эргодичности однородной, неразложимой, непериоди-
непериодической цепи Маркова со счетным числом состояний достаточно существования
конечного множества /ос:{1, 2, ...}, действительного е > ", натурального и
и неотрицательных действительных чисел U\, u2, ..., таких, что
3=1
§ 1. Основные понятия и соотношения
9.1. Доказать, что для любой стохастической матрицы /} суще-
существует вероятпостиое пространство и последовательность случайных
величин на нем, образующих цепь Маркова с матрицей вероятпо-
стей перехода за один шаг Р.
9.2. Всякая ли стохастическая матрица может быть матрицей
вероятностей перехода за два шага некоторой цепи Маркова?
*) II. О. Д.— наибольший общий делитель.
102

9.3. Известно, что пень Маркова полностью определяется на-
начальным распределением и матрицей вероятностей перехода за одни
шаг. Определяется ли цепь Маркова начальным распределением и
матрицей вероятностей перехода ля два шага?
9.4. Доказать, что стохастическая матрица второго порядка яв-
является матрицей вероятностей перехода за два шага некоторой цени
Маркова тогда и только тогда, когда сумма ее диагональных эле-
элементов больше пли равна единице.
9.5. Определить, при каких значениях end цепь Маркова опре-
определяется однозначно начальным распределением и матрицей вероят-
вероятностей перехода за два шага:
с 1 —
1 — d d
9.6. Доказать, что для цепи Маркова |„, §,, ... при лю.'ых
а)
в)
9
= h
5
|о = h) =
^lf 1 =
) g i ( s )
9.7. Пусть А—событие, зависящее только от состояний цепи
Маркова на первых ;г — 1 шагах, а В — событие, зависящее от со-
стояпий на (л + 1)-м, ..., {п + т)-м шагах. Доказать, что при фик-
фиксированном состоянии па н-м шаге события А и В независимы.
9.8. Пусть |0,- li, ...— цепь Маркова. Доказать, что для любых
О =S nt ^ п
Р (Sn+i == in+i I 5i, == '/ij, ••• i ьпк = '(]ft) = °(S/i n = fn+i | bns = i/i,,)i
где п, = max {n,}.
i
9.9. Пусть случайная величина т не зависит от однородной цепи
Маркова |0. |ь • • • и принимает целые неотрицательные значения.
Доказать, что для любого и 3* 1 и любых г», ..., гп+1
n == 'п
fet == 'о) =
'о)
т+п + 1 == 'п + 1 I 5ч-п == In) ¦
Верны ли указанные равенства, если цепь Маркова ?0, ^i, ... не-
неоднородна?
9.10. Пусть Т|, т2, ...— последовательность независимых поло-
положительных целочисленных случайных величин, не зависящих от
цени Маркова |0, ?i, ... Доказать, что
9.11. Цепь Маркова имеет матрицу вероятностен перехода за
одни шаг
И*
103

Найти матрицу вероятностей перехода за п шагов и предел
при п -*¦ °°.
9.12. Пусть в матрице вероятностей перехода за один шаг цепи
Маркова с тремя состояниями
Найти матрицу вероятностей перехода за п шагов и предел
при п -*¦ °о.
9.13. В матрице вероятностей перехода Р за один шаг
\Р-- /•<'•
Доказать, что аналогичные соотношения выполняются для вероят-
вероятностей перехода за т шагов.
9.14. Пусть P\j — вероятность перехода за п шагов из t-ro со-
состояния в j-e некоторой цепи Маркова,
ос,- (п) = min Р{?\ Р, (п) = max P§\
i i
Доказать, что
9.15. Пусть последовательность случайных величин So, Si,
образует цепь Маркова. Доказать, чТо любая подпоследовательность
последовательности So, Si, • • • также образует цепь Маркова.
9.16. Пусть So, Si, •••—последовательность независимых одина-
одинаково распределенных целочисленных случайных величия. Доказать,
что она образует цепь Маркова. Найти матрицу вероятностей пере-
перехода за п шагов.
9.17. Пусть So, Si, •••—последовательность случайных величии,
образующих однородную цепь Маркова. Доказать, что для того,
чтобы случайные величины So, Si, • • • были независимы, необходимо
и достаточно, чтобы все строки матрицы вероятностей перехода за
один шаг были одинаковыми.
9.18. Пусть So, Si, • • •— последовательность попарно независимых
(не обязательно независимых в совокупности) случайных величин.
Образуют ли So, |i, ... цепь Маркова?
9.19. Точки Аи ..., Ап представляют собой вершины правиль-
правильного /г-угольника. Некоторая частица совершает случайное блужда-
блуждание по точкам At, ..., А„. Определить, является ли последователь-
последовательность положений частицы цепью Маркова, если
а) частица совершает детерминированное движение по часовой
стрелке; б) частица в начальный момент случайно выбирает на-
направление по или против часовой стрелки и далее постоянно дви-
движется в выбрапном направлении; в) из любой точки Аи i=»M, ча-
частица с вероятностью р сдвигается по часовой стрелке, а с вероят-
вероятностью q=*l — p — против часовой стрелки в соседнюю точку. По-
1С4

падая в точку А,, частица возвращается в ту точку, из которой
она пришла в А,.
9.20. Частица совершает случайное блуждание в плоскости по
целочисленпым точкам (i, j), таким, что 0 ^ i, j<n. Из любой
внутренней точки указанного квадрата частица с равными вероят-
вероятностями, независимо от ее предыдущего движения, переходит в
одну из соседних (по вертикали или горизонтали) точек. При вы-
выходе на границу квадрата частица далее:
а) движется по границе квадрата детерминировапно по часовой
стрелке;
б) возвращается в ту точку, из которой опа вышла па границу;
в) выбирает случайным образом направление на границе и дви-
движется по границе в выбранном направлении.
Для каждого из указанных случаев определить, будет ли по-
последовательность положений, занимаемых частицей, цепью Маркова.
9.21. В условиях предыдущей задачи частица из каждой внут-
внутренней точки с равной вероятностью может переходить в одну из
соседних (по горизонтали, вертикали или диагонали). Будет ли
последовательность положений частицы цепью Маркова для каждо-
каждого из трех указанных в предыдущей задаче условий движения по-
после выхода на границу?
9.22. В начальный момепт времепи в урне щ белых и та чер-
черных шаров. Через каждую единицу времени из урны по схеме
выбора без возвращения извлекается один шар. Пусть пк — число
белых, а тк — число черных шаров в урне в момент времени к.
Какие из указанных ниже последовательностей образуют цепь Мар-
Маркова, а какие нет:
а) пк, б) пк — тк, в) пк + тк, г) пара (nh, mk), д) пк-
/ + + 2)
( )
9.23. Пусть случайные величины So, ..., S* образуют цепь Мар-
Маркова. Доказать, что случайные величины г|0, ..., т}„, где x\i = Sn-«,
также образуют цепь Маркова. Образуют ли цепь Маркова случай-
случайные величины С, ..., ?л, где ?0, ..., ?п — произвольная перестанов-
перестановка go, . . ., |п?
9.24. Пусть |о, Si, . ¦.— последовательность независимых случай-
пых величин. Образует ли цепь Маркова последовательность So "Ь Si»
S. + S*, 1. + 1., .-.?
9.25. Пусть So, Si, ...— последовательность случайных величин,
образующих цепь Маркова. Будет ли цепью Маркова последова-
последовательность So + Si, Si + is. S* + Ss, ...?
9.26. Дана цепь Маркова с конечным числом состояний. Пусть
?< — состояние цепи на i-м шаге. Будет ли цепью Маркова после-
последовательность т}о, T}ii • • •, где
A, если li = xu
Л;^Ю, если
9.27. Пусть So, Si» • • •— последовательность независимых одптта-
ково распределенных случайных величин, принимающих значения
165

— 1 и +1 с вероятностями р и q = 1 — р соответственно. Положим:
71
а) т|» = Ып+и б) 11» = тах 5г. в) % = Ц If
<Xi <» i=o
Будет ли последовательность г\0, Ц\, • •• цепью Маркова?
9.28. Пусть |о, |i, ...— последовательность независимых цело-
целочисленных случайных величин, причем
РA-= *) = />*. Л = 0, ±1, ±2, ...
Положим т)„ = |о + ... + In. Доказать, что последовательность
т)о, T)i, ... образует цепь Маркова. Найти соответствующую матрицу
вероятностей перехода за один шаг.
9.29. Пусть go, 1ь •¦• и tio, Ц\, ...— две цепи Маркова. Будет
ли цепью Маркова последовательность |о+11о, St + ili, • • ¦¦
9.30. Пусть (?il), • ¦ ., ?n')i i^l,— последовательность незаписи-
мых одинаково распределенных случайных векторов, |„ — случай-
случайная величина, не зависящая от l(?i' , ..., ?« )), i = 1, 2, ... .
Пусть |о и Ej! принимают значения 1, ..., п. Построим последова-
последовательность случайных величин iH, т),, ... следующим образом:
Доказать, что последовательность i]o, ill, ... образует цепь Маркова.
9.31. Для цепи Маркова, определенной в предыдущей задаче,
найти число состояний, матрицу вероятностей перехода за один
таг и вектор начальных вероятностей, если
Р Ш° = /) = Ра, / = 0,1,..., л; /=1,2,..., и.
9.32. Доказать, что любая цепь Маркова с конечным числом
состояний может быть представлена как последовательность случай-
случайных величин 1]0, iii, ..., определенных в задаче 9.30.
9.33. Пусть go, ?i, ¦ • •— независимые случайные величины с ди-
дискретным распределением, /0, /i, ...— некоторые функции. Дока-
оать, что последовательность случайных величин т],, т]г, ..., где
%+! = /*(Ч*, ift+i). образует цепь Маркова.
9.34. Пусть |о, li, ...— последовательность случайных величин,
образующих цепь Маркова, /(х) — некоторая функция. Будет ли
последовательность /(?0), /(li), ••• цепью Маркова?
9.35. Пусть |oi Sii •¦¦—цепь Маркова со счетным множеством
состояний A, 2, ...} и матрицей вероятностей перехода за один
шаг Р, причем состояния 1, 2, ..., N возвратны. Положим
vo = min(?: !¦<#), vn = min(t > v,,_,: |, «S Л'), п> \,
Доказать, что последовательность iH, Hi, ... образует цепь Марко-
Маркова. Найти матрицу вероятностей перехода за один шаг.
9.36. Для всякой ли цени Маркова |0, Si, ... со счетным числом
состояний {], 2, ...} можно выбрать последовательность независи-
независимых между собой и не зависящих от ?0, li, ... случайных величин
1G6

?0, ?i, ... со значениями в множестве A, 2, ..., Л'}, таких, что по-
последовательность 1]о, Пь • • ч ГДС
является цепью Маркова?
§ 2. Классификация состояний
9.37. Пусть ?<>, |i, • • • — цифровая последовательность, в которой
цифры появляются случайно, независимо друг от друга и равнове-
равновероятно. Имеется счетчик, который в момент п показывает, сколько
различных цифр встретилось среди первых п цифр последователь-
последовательности ё0, |„ ... Доказать, что показания счетчика образуют цепь
Маркова. Найти матрицу вероятностен перехода за один шаг. Ука-
Указать существенные и несущественные состояппя.
9.38. Частица случайным образом блуждает на прямой по цело-
целочисленным точкам 0, 1, ..., п. Из любой внутренней точкп частица
передвигается с вероятностью р па один шаг вправо или, с вероят-
вероятностью q = I — р, на один шаг влево. Попадая в точки Они части-
частица остается в них навсегда (поглощающие экраны). Найти матри-
матрицу вероятностей перехода за один шаг. Указать существенные и
несущественные состояния.
9.39. Частица случайным образом блуждает па прямой по цело-
целочисленным точкам 0, 1, .. ., п. Из любой внутренней точки частица
передвигается с вероятностью р на один шаг вправо или, с вероят-
вероятностью q = 1 — р, на один шаг влево. Попадая в точки 0 и п части-
частица в следующий момент времени с вероятностью 1 переходит соот-
соответственно в точки 1 или п— 1 (отражающие экраны). Найти мат-
матрицу вероятностей перехода за один шаг. Указать существенные и
несущественные состояния.
9.40. Указать существенные и несущественные состояппя цепи
Маркова с .матрицей вероятностей перехода за один шаг
'1/4 1/4 О О 1/2N
1/3 0 1/3 1/3 О
1/2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1/2
1
1/2
1/2
0
9.41. Могут ли все состояния цепи Маркова с конечным числом
состояний быть несущественными?
9.42. Могут ли все состояния цепи Маркова со счетным числом
состояний быть несущественными?
9.43. Матрица вероятностей перехода за один шаг цепп Марко-
Маркова имеет вид
1/4
0
0
1
1/4
1/2
1/2
0
1/4
1/2
1/2
0
1/4
0
0
0
Указать все пары сообщающихся состояний.
167

9.44. Цепь Маркова имеет г состояний. Доказать, что:
а) если /-е состояние достижимо из i-го (i^j), то оно может
быть достигнуто меньше чем за г шагов; б) если вероятность воз-
возвращения в состояние i положительна, то возвращение может про-
произойти за г или менее шагов.
9.45. Будет ли цепь Маркова с матрицей вероятностей перехода
за один шаг Р периодической, если
0 1
0 0
0 0
1 0
/¦1/2
0
0
Л/2
0
1
0
0
1/2
1/2
0
0
0
0
1
0
\
\
/
0
1/2
1/2
0
б) Р-
°\
0 |
1/2 Г
1/2/
0
0
0
0
0
I1
1/2
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1/2
0
1/2
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1/2
0
1
0
ь)Р
Для периодических цепей указать период.
9.46. а) Доказать, что неразложимая цепь, у матрицы переход-
переходных вероятностей которой хотя бы один диагональный элемент Рц
положителен, не может быть периодической.
б) Может ли неразложимая цепь, у которой все диагональные
элементы равны нулю, быть непериодической?
9.47. Доказать, что конечная неразложимая цепь Маркова явля-
является непериодической тогда и только тогда, когда существует п та-
такое, что Pi" > 0 для всех i и j.
9.48. Указать возвратные и невозвратные состояния цепи Мар-
Маркова с матрицей вероятностей перехода за один шаг
О 1/2 1/2 0 0 0
0
0
0
1/2
0
0
0
0
0
0
1/2
0
0
0
0
1/2
1/2
0
0
0
0
1/2
1/2
0
0
0
0
1/2
1/2
1
9.49. Доказать, что все состояния цепи Маркова с матрицей пе-
переходных вероятностей Р возвратны, если
<1/2 0 1/2 О
О 1/2 0 1/2
1/2 0 1/2 О
1/2 0 1/2
а)
(о ?
Р=\
в) Р
0
'1/2
1/2
0
ч 0
1/2
1/2
0
0
0
0
1/2
1/2
0
0
1/2
1/2
г)Р
1/п
0
1/п
0
1/п
О
1/п
0
1/п
0 . . .
1/п . . .
0 . . .
168

9.50. Доказать, что если j-e состояние невозвратно, то для всех i
9.51. Доказать, что любая цепь Маркова с конечным числом со-
состояний имеет по крайней мере одно возвратное состояние.
9.52. Могут ли все состояния цепи Маркова со счетным числом
состояний быть невозвратными?
9.53. Доказать, что для конечной цепи Маркова состояние воз-
возвратно тогда и только тогда, когда оно существенно. Показать, что
это неверно для цепей со счетным числом состояний.
9.54. Имеется ,цепь Маркова со счетным числом состояний и
матрицей вероятностей перехода за один шаг
рг 1 — р1 0 0 0 . . . ¦»
d2 0 1 — р2 0 0 . .
Р. О О 1 - р„ 0 . .
Доказать, что если ряд 2 Р> сходится, то все состояния этой це-
i=i
пи возвратны, в противном случае — невозвратны.
9.55. Пусть все состояния цепей Маркова с матрицами вероят-
вероятностей перехода за один шаг А и В возвратны. Доказать, что воз-
возвратны все состояния цепи Маркова с матрицей вероятностей пе-
перехода:
. [А 0\ йч /0 А\
а> (о в} б) [в о}
9.56. Доказать, что для любого состояния i цепи Маркова веро-
вероятность Qu возвращения в него бесконечное число раз равна 0 или
1, причем в первом случае состояние невозвратно, а во втором воз-
возвратно.
9.57. Пусть цепь Маркова имеет т < °° состояний и пусть fc-e
состояние возвратно. Доказать, что существует положительное чис-
число q < 1, такое, что при п~> т вероятность того, что время возвра-
возвращения в к-е состояние превысит п, меньше, чем qn.
9.58. Доказать, что для того, чтобы неразложимая цепь со счет-
счетным числом состояний была невозвратной, необходимо и достаточ-
достаточно, чтобы система уравнений
t = 1, 2,
j=o
имела ограниченное решение, такое, что Ut Ф const, i = 0, 1, ...
9.59. Доказать, что для того, чтобы неразложимая цепь со счет-
счетным числом состояний была возвратной, достаточно существования
такой последовательности «о, и,, ..., что щ -*¦ оо ИрИ i -*¦ оо И для
169

всех iФ О
2 Ujl'ij.
9.60. Доказать, что для того, чтобы неразложимая цепь со счет-
счетным числом состояний была возвратной и положительной, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы система уравнений
оо
щ = 2 Ч{Рц, i =--¦ о, 1,...
имела пе равное тождественно нулю решение, для которого
оо
2 К1<°°.
1=0
9.61. Имеется цепь Маркова со счетным числом состояний и пе-
переходными вероятностями Роо = r0, POi = Ра > 0
Pi > 0, ; = t + 1,
U
Пусть
0 в остальных случаях.
Доказать справедливость следующих утверждений:
а) цепь возвратна тогда и только тогда, когда
б) цепь невозвратна тогда и только тогда, когда
оо
2 Рт< оо;
в) цепь положительна тогда и только тогда, когда
00 ОО
2 9т = ОО, 2 (РтРтГ1 <<»;
т=0 т=о
г) цепь нулевая тогда и только тогда, когда
оо оо
2 9т = ОО, 2 [Рт9тГ1 = ОО'.
тп=^О ш=0
9.62. Пусть |0, |i, ... — цепь Маркова,
%k+l = max @, |» - 1> + 1^+,, к > О,
где Tii, г\г, ... —* последовательность независимых одинаково рас-
170

прсделенных случайных величин с /*(т|л = /) = /?^, ;'= О, 1, ... Най-
Найти матрицу вероятностей перехода за один шаг и доказать, что ес-
если ро > 0, р„ + pi < 1, то цепь возвратна тогда и только тогда, когда
§ 3. Стационарные и предельные распределения
9.63. Доказать, что если цепь Маркова имеет по крайней мере
одно несущественное состояние, то она не является эргодической.
9.64. Показать, что у неэргодической марковской цепи может
существовать стационарное распределение, причем единственное.
9.65. Доказать, что для конечной цепи Маркова всегда сущест-
существует стационарное распределение.
9.66. Матрица вероятностей перехода за один шаг цепи Марко-
Маркова имеет вид:
а)
1/3
1/2
1/4
0
1/3
1/2
1/-'»
1/2
1/3
0
и
0
0
0
1/2
1/2
Найти стационарное распределение.
9.67. Эргодичны ли цепи Маркова со следующими матрицами
вероятностей перехода за один шаг:
а) /0 1\ б) /1 0\ в) /1 ON г) /1/2 1/2\ д) /1/2. 1/2\
\1 О/' [О \Г \\ О/' VI 0 /' [О 1 /'
е) /1/2 1/2 0 \ Ж)
1/2
0
1/2
1/2
1/2
0
0
1/2
1/2
9.68. Пусть цепь Маркова имеет по крайней мере два несообща-
несообщающихся состояния. Доказать, что она не является эргоди-
эргодической.
9.69. Пусть цепь Маркова имеет два состояния. Доказать, что
имеет место один из следующих трех случаев:
а) цепь эргодична; б) состояния не сообщаются; в) матрица
( М
вероятностей перехода за один шаг имеет вид I . 0
9.70. Эргодичная цепь Маркова с двумя состояниями имеет пре-
предельные вероятности р и q = 1 — р. Найти матрицу вероятностей
перехода за один шаг.
9.71. Доказать, что если все существенные состояния однород-
однородной цепи Маркова с конечным числом состояний образуют один
непериодический класс, то существуют не зависящие от i пределы
lim Pf = щ.
П~*ао
171

m-1
9.72. Цепь Маркова имеет следующую матрицу вероятностей
перехода за один шаг:
¦ ->о pi рг • • • Рт-Л
р _ J Рт-1 Р0 Pi •¦¦ Рт-2 I
Pi Р2 Рз ••¦ Ро '
где 0 < pi < 1, 2 р. = 1. Доказать, что
i=0
lim Р (In = х{) = 1/т, i = 1, 2, ..., т.
П-*<х>
9.73. Пусть |о, |i, ... и т)о, Tji, ... — две цепи Маркова с конеч-
конечным числом состояний, одинаковой матрицей вероятностей перехо-
перехода за один шаг и начальными распределениями (pit ..., рт) и
(qt, ..., qm) соответственно. Доказать, что если
min Рц^ е >> О,
i.i
то
m
где p^> = P(gn=i), ^-Pftn-i)-
9.74. Пусть конечная цепь Маркова является эргодической и
Uj = lim Р^\ Доказать, что существуют 0 < р < 1 и С, такие, что
для любых г, / и п.
9.75. Доказать, что если матрица вероятностей перехода цепи
Маркова имеет два собственных значения, по модулю равных еди-
единице, то цепь неэргодична.
9.76. Рассмотрим цепь Маркова из задачи 9.62. Доказать, что
при р0 > 0, р0 + pi < 1,2^Ра < 1 °на является эргодической. Найти
производящую функцию стационарного распределения.
9.77. Найти стационарное распределение цепи Маркова из зада-
чи 9.54 в случае сходимости ряда 2 Pi-
9.78. Рассмотрим цепь Маркова со счетным числом состояний и
матрицей вероятностей перехода за один шаг
Pi P2 •
10 0.
0 10.
0 0 1.
Доказать, что при pt > 0, % = 0, 1, ..., 2 iPi <°° цепь является эр-
эргодической. Найти производящую функцию стационарного распре-
распределения.
172

§ 4. Разные задачи
9.79. Рассмотрим цепь Маркова со счетным числом состояний
{... —к, —к+1, ..., —1, 0, 1, ..., к, ...} и вероятностями перехода
за один шаг
р, j = i + 1,
— р, j = i — 1,
О для остальных /.
Найти производящую функцию времени возвращения в состояние 0.
9.80. Пусть дана цепь Маркова с состояниями @, ..., N) и мат-
матрицей вероятностей перехода за один шаг
i}
i-p, /_/-1, i = l, ...,N-l,
Найти математическое ожидание времени до поглощения, при усло-
оии, что начальное состояпие к.
9.81. Пусть цепь Маркова с состояниями 0, I, ..., N имеет мат-
матрицу вероятностей перехода за один шаг
ah j = i + 1,
1 — (а-, + bi), j = i,
0, |/-г|>1,
где а„ = ba = aN = bN = 0, а, > 0, Ь( > 0, i = 1, ..., N — 1. Найти
вероятность поглощения в состоянии 0, исходя из состояния к.
9.82. Пусть ||, |2, ... — независимые, одинаково распределенные
случайные 1еличины, Р(?, = 1) = Р(?, = — 1) =1/2, z0 = 0, г„ = г„_, + |ft,
к = 1, 2, ... Положим xw = min {n &* 1 : |г„| =/V). Найти Etjv.
9.83. Матрица вероятностей перехода за один шаг цепи Марко-
Маркова с множеством состояний @, 1, ..., Л') имеет вид
ГО 1 0 0 ... О О О
1/2 0 1/2 0 ... О О О
О 1/2 0 1/2 ... О О О
0
0
0
0
0
0
0 .
0 .
.. 1/2
.. 0
0
1
1/2
0
Найти матрицу вероятностей перехода за п шагов.
9.84. Пусть ?0) Si, • • • — неразложимая возвратная положитель-
положительная цепь Маркова, P(So — i)=°l, Nn(i)—число возвращений в со-
E(iVn(i)) j
стояние i за первые п шагов. Доказать, что Нт = ——, где
^ — среднее время возвращения в состояние i.
9.85. Пусть для неразложимой марковской цепи с состояпиями
{О, 1,2,...} существует а > 0, такое, что /@ 5* а для всех i Ф 0.
Доказать, что все состояния цепи возвратны.
173

Глава 10
СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Основные понятия. Пусть (Й, si, Р) — пскоторос вероятностное простран-
пространство. Функция двух переменных ?((<'>), определенная при 1еГ, со е П, при-
принимающая значения в ирострапстве А', ^-измеримая как функция со при каж-
каждом le?1, называется случайной функцией, а X — ее областью значений.
В том случае, когда Т представляет собой подмножество числовой прямой,
случайную функцию чаще называют случайным процессом.
При фиксированном ш ?((ш) называют реализацией (траекторией) слу-
случайного процесса.
Дпа случайных процесса ?i и l't, tsT, заданных па одном и том же
вероятностном пространстве, называются стохастически эквивалентными, ес-
если для любого (еГ
Случайный процесс %i, (е/1, пазмпаетсл сспарабельнмм, если существу-
существуют в Т счетное всюду плотной множенгно {/у(, > , и и <2 множество Л вероят-
вероятности (I такие, что для любого открытого множества G с: '/' и замкнутого мно-
множества F с X два множества
отличаются только па подмножество Л'.
Пусть (И, лЛ Р) — вероятностное пространстве), si(o>). is?1,— заданный
на нем случайный процесс со зниченппмм в метрическом пространство (X, р).
Пусть на Т определена о-алгеира Я, содержащая бпрелевские множества, п на
SS — некоторая полпан мера ц. Обозначим через o(iSX^) о-алгебру, порож-
порожденную в Т X И произведением о-алгебр Я X J*. и через о(ЛХ^)-ее по-
пополнение относительно меры ц X Р-
Случайный процесс ?i(o>) называется измеримым, если функция (t, ш) -*¦
-*¦ |<(о)) измерима относительно, о (Я X ¦&)•
Всюду в дальнейшем в случае Гс" в качестве о-алгебры Я будем вы-
выбирать о-алгебру борелевскнх множеств, в качестве меры \х — меру Лебега.
В случае Т с {0, 1,2,...} в качестве Я будем выбирать множество всех под-
подмножеств Т.
Пусть ?i, t е Т,— случайный процесс, па Т задана метрика г.
Случайный процесс ?( со значениями в R" называется стохастически не-
непрерывным (непрерывным в среднем порядка р > 0) в точке to. если для лю-
любого е > 0
при r(t, t0) -»-0.
174

Случайный процесс %i, t s T, со значениями в IR™ называется стохасти-
стохастически ограниченным, если
sup P(| ?(| >Л)->-0 при iV-юо.
Случайный процесс Е'» *еГ, со значениями в R" называется равно-
равномерно стохастически непрерывным па множестве KczT, если для любого
е > 0 существует б > 0, такое, чго Р (| ?( — ?(/ | > е) < е для всех t, t' e К,
r(t, t') < 6.
Функция K(t, s) = E?i?, — E?|E|, называется корреляционной функцией
случайного процесса ?i (X = 2 — множество комплексных чисел).
Марковские процессы. Пусть ?i. /еГ, — случайный процесс, X — область
его значений, 5& — некоторая о-алгебра на X, содержащая все одноточечные
множества. Обозначим 9~<.i, &~s,t и 9~—t — о-алгебры, порожденные случайны-
случайными величинами
9~<t = аЦ„ s s? t), 9->х = о{|„ s > 0. ^"-( = о{|(}.
Случайный процесс ^i, (еГ, называется марковским процессом с фазо-
фазовым пространством (X, SS), если для любых А е #~<t, Bef>i почти навер-
наверВ случае Г = {0, 1, ...} марковский процесс называют цепью Маркова
(марковской последовательностью).
Функция P(s, х, t, Г), определенная для s, teT, s ^ t, ieX, ГгЯ яв-
является переходной функцией марковского процесса |(, (еГ, если:
а) при фиксированных s, t, x функция P[s, x, t, Г) является вероят-
вероятностной мерой на 3S; б) при фиксированных s, t, Г функция P(s, x, t, Г) изме-
измерима относительно о-алгебры Я; в) P(s, x, s. Г) = | ' 'г) для любых
10, х&Т;
РF«еГ|Е.)=Р(., U «.Г) п. н.
Последнюю формулу можно переписать в виде
P(s, х, t, Г)-Р(Е|еГ|Е. ="*)•
Если X — не более чем счетно, переходная функция полностью определяется
заданием вероятностей перехода p(s, x, t, у) = P(s, x, t, {у}).
Переходные функции марковских процессов удовлетворяют соотношению
Р (S, X, U, Г) = [ Р (S, X, t, dy) P(t, у, U, Г),
X
называемому уравнением Колмогорова — Чепмена.
Пусть фиксировано некоторое множество Т на прямой и фазовое прост-
пространство (X, 3S). Пусть функция P(s, x, t, Г) удовлетворяет условиям а)—в),
Q — множество элементарных событий, gt (со) — функция, определенная на
Т X й со значениями в X. Положим
= а
Т),
Предположим, что для каждого s e T и каждого ieX на о-алгебре ^">
определена вероятностная мера Р,,*.
Пара (^((о)), Р.,*) называется марковским семейством с переходной функ-
функцией P{s, х, t, Г), если для любых s, x:
175

1) случайный процесс 5i(w), ie^fl [s, oo) па вероятностном пространст-
пространстве (Q, ^"», P., i) — марковский;
2) этот марковский процесс обладает переходной функцией P(s, х, t. Г);
3) Р.,,F. = *) =1.
Наиболее часто в дальнейшем мы будем иметь дело с однородными мар-
марковскими процессами и семействами, т. е. такими, у которых переходная
функция P(s, х, t, Г) однородна по времени:
P(s + h, x, t + h, Г) = P(s, x, t, Г)
для любого h, причем в качестве Т рассматриваются
Т = R = (— оо, оо), Г = Л+ = [О, оо),
Г = {..., — 1, 0, 1, ...}, Т = {0, 1, 2, ...}.
В случае однородного процесса переходную функцию можно задать как функ-
функцию трех переменных P(t, х, Г) = P(s, х, s -f t. Г).
Для однородных марковских процессов с множеством состояний X <г
<г {0, 1, ...} для переходных вероятностей будем использовать обозначение
P(t, i, {/}) =P,,(t).
Мера \х на фазовом пространстве (X, 3S), удовлетворяющая условию
ц (Г) = f Ц (dx) P (t, х, Г), t>0, ГеЯ,
Jx
называется инвариантной мерой однородного марковского семейства с пере-
переходной функцией P(t, х. Г).
Пусть (Й, st, Р) — вероятностное пространство, Т a R, {P~t, t e7} — не-
неубывающее семейство о-алгебр: &~t a &~t , t, < t2, &"t <r si.
Случайная величина т, принимающая значения из T.\j {+oo}, называется
марковским моментом относительно семейства {#"«, t e T], если для любого
Пусть, далее, ЗВ*ц — о-алгебра борелевских подмножеств множества Т П
П (-«>, t].
Случайный процесс Ei» 'еГ, называется прогрессивно измеримым отно-
относительно семейства {9~t, teT), если для каждого (еГ функция ^ш) па
множестве (Т П (—°°, !])ХЙ измерима по (s, со) относительно о-алгебры
Марковское семейство (|<, Ра) с фазовым пространством (X, 8) называ-
называется строго марковским, если:
1) процесс ?| прогрессивно измерим;
2) для любого марковского момента т, любой функции т) = т)(о>), прини-
принимающей значения из Г U {°°} и определенной на ?2, = {со: т < оо} и измери-
измеримой относительно 9~и любого хеХ и ГеЯ и любого А с QT П Йп, принад-
принадлежащего #~
| Г)Р,(Ло).
Пусть ^(, < е 71,— однородпый марковский процесс, X = {0, 1, ...},
Т представляет собой либо полупрямую [0, оо), либо множество целых неот-
неотрицательных чисел.
Ветвящиеся процессы. Случайный процесс ?i, 1еГ, называется ветвя-
ветвящимся, если
ру@= 2 ^1@Plj>(*)...P1J1@, i>l. PooU)=l-
176

Определение ветвящегося процесса допускает следующую наглядную ин-
интерпретацию: пусть ^( —число частиц в момент времени t. Предположим, что
ва время То одна частица независимо от ее происхождения и наличия дру-
других частиц, с вероятностью Pin(T0) превращается в л частиц (п = 0, 1, ...)•
Тогда
¦»&+. = ЯЕ. = 9 = P«W= 2 ри{1)...ри«).
Пусть It — ветвящийся процесс. Тогда P(?t = O),lim P (%t == 0) назмва-
ются соответственно вероятностью вырождения аа время t и вероятностью
вырождения; х = min{i: %t = 0} называется временем до вырождения.
Пусть ?i — ветвящийся процесс с непрерывным временем (Т = [0, <»)).
Положим
где бц —символ Кронекера. Числа в0, оь ... называются инфинитезималь-
ными параметрами ветвящегося процесса. Производящую функцию инфините-
зимальных параметров
будем навивать производящей функцией ветвящегося процесса.
Теорема 1. Пусть |о, ?ь ...— ветвящийся процесс с дискретным вре-
временем, to = 1, Ф„ (z) = EzEn, ф (z) = E zlK Тогда
фп+i (z) = ф(фп(г)), л 5= 1,
а вероятность вырождения q — наименьший неотрицательный корень уравне-
уравнения q = ф(д).
2. Пусть ?t, ?о = 1 — ветвящийся процесс с непрерывным временем и
производящей функцией f(z). Положим F(t, z) = Ez5'. Тогда
а) F(t, z) удовлетворяет функциональному уравнению
F(t + T, z) = F{t, F(x, z)), F{0,z)=z;
б) F((, 2) удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению-
дР (t, z)
^— =f[F(t, г)), F(O,z)=z;
в) F(f, z) удовлетворяет уравнению в частных производных
dF {t, z) dF (t, z)
-, = у ^ZJ ^ t г ^U, Z) = Z#
г) вероятность вырождения процесса равна наименьшему неотрицатель-
неотрицательному корню уравнения /(</) = 0.
Процессы массового обслуживания. Случайным потоком событий называет-
называется любой случайный процесс v<, t ^ 0, удовлетворяющий следующим ус-
условиям:
1) v0 = 0;
2) vi для каждого t ^ 0 принимает лишь целые неотрицательные аначе-
ния и значение +оо;
3) траектории процесса v< не убывают и непрерывны справа.
Поток vt считается заданным, если для каждого целого л>1 и неотрица-
неотрицательных действительных ti, ..., т„ задано совместное распределение случай-
случайных величин vt , ..., vT . Случайная величипа v( имеет смысл числа собы-
событий, наступивших в интервале [0, /).
12 а. в. Прохоров и др. 177

Можно дать следующее эквивалентное определение случайного потока.
Пусть <1, t2, ... — последовательные моменты наступления событий; <* Зг fA_,
при к ^ 1, <о = 0. Положим г» = f» — t»_i, ft ^ 1. Говорят, что задан случай-
иый поток событий, если для каждого целого л 5s 1 задано совместное распре-
распределение случайных величин z\, ..., zn.
Случайный поток, у которого zi, z2, ... независимы в совокупностп и z2,
Z3, ... одинаково распределены, называется рекуррентным потоком с запазды-
запаздыванием. Для задания такого потока достаточно задать две функции распре-
распределения:
t), A(t) =P(zh<t), fc>2.
Рекуррентный поток с запаздыванием, у которого Ai(t) = A{t), называется
рекуррентным.
Поток V( называется потоком без последействия (с отсутствием после-
последействия), если для любого целого л>1 и для любых действительных 0 =
= То < Ti < ... < тп случайные величины vT — vT , k = 1,..., п, незави-
независимы в совокупности.
Поток vi называется стационарным, если для любого целого »>1 и для
любых неотрицательных чисел Т|, ..., т„ распределение случайного вектора
|vc+T —vc, k = 1, ..., п|не зависит от выбора с ^ 0. Часто поток пазывают
стациопарным, если последнее условие выполняется хотя бы при л = 1.
Поток Vj называется ординарным, если для любого t ^ 0
P(v1+ft — v, > 2\\,+h — v, > 1)—0 ириМО.
Стационарный ординарный поток без последействия называется простейшим.
Для задания такого потока достаточно для любого t ^ 0 и целого к 5* 0 за-
задать вероятности Рц@ = P(vi = к).
Если дополнительно потребовать выполнение двух условий:
1) P(v( < + оо) = 1 для каждого t 5* 0;
2) существуют tx и t2, такие, что
то существует X > 0, такое, что
Простейший поток будем называть также пуассоновским (иногда под пуас-
пуассоновским понимают более широкий класс потоков).
Для простейшего потока E\t = Xt. Число X имеет смысл среднего числа
событий, поступивших в единицу, времени, и называется интенсивностью.
Пусть Т[, ..., Тп — независимые случайные величины, равномерно распре-
распределенные па отрезке [О, Т], Т > 0. Положим
если тл ^ (,
если тл < t,
Случайный поток Vi называется потоком Бернулли.
Пусть заданы л^1 случайных потоков v(tl), ..., v((n). Говорят, что слу-
случайный поток
получается наложением (суперпозицией) потоков v\ , ..., vj*1'.
Пусть {zj,}n> i — последовательность-неотрицательных случайных величин.
Положим tn = z! -f-... -\- zn, л ^ 1, t0 = 0; vi = тах{л: tn < t), t ^ 0. Про-
178

цесс V( называется процессом восстановления. Так как v< полностью определя-
определяется последовательностью {zk} (и наоборот), ее также будем называть про-
процессом восстановления.
Процесс восстановления {z*} называется рекуррентным с запаздыванием,
если zi, Z2, ... независимы в совокупности и z2, гз, ... одинаково распределены.
Если 2|, z2, ... независимы и одинаково распределены, процесс восстановле-
восстановления {zh} называется рекуррентным.
Циклом длительности z назовем упорядоченную пару (z, ?(), где z — не-
неотрицательная случайная величина, alt — случайный процесс, определенный
ири 0 sg t < z, причем P(z = 0) < 1, P(z < + оо) = 1.
Рассмотрим последовательность циклов ((z^, S(ft)))fc^i. в которой циклы
независимы и, начиная со второго, стохастически эквивалентны. Положим
Al{x)=P(zl<x), A(x)=P(zh<x), к 5=2.
Случайный процесс %i, t ^ 0, определяемый соотпошепиями
г) при 0<« < t
It-
при
пазывается регенерирующим процессом. Случайпме велпчипы ?ь ?2. ••• пазы-
ваются моментами регенерации.
Положим
Ив @ = Р (б{1) е В, 2l > 0 = Р (lt s В, 2l > t),
ЦВ @ = Р№ еВ, «fc > 0 = р E«fc_1+t е в- ^ > ')' Л> 2-
Теорема. Пусть Л{х)—нерешетчатая функция распределения; сущест*
еует целое п 3& 0, такое, что функция
t
гЗе F(i) = А*п{х), является непосредственно интегрируемой по Римапу па
[0, оо). Тогда
оо
lim Р (% s В) = а Г
(-•СХ) •/
0
где
сю
о = Г xdA (x).
Следствие. Пусть А(х)—нерешетчатая функция распределения и выч
полнено хотя бы одно из условий:
1) функция Цв@ не возрастает и интегрируема;
2) Цв@ имеет ограниченную вариацию на любом конечном интервале
времени и
оо
а'1 = j xdA (x) < + оо;
о
12* 17»

3) для некоторого целого п ^ 1 Л*п (х) является абсолютно пепрерыв-
оо
« i xdA (x) < + оо.
о
Тогда
lim Р F, е Д) = в f цв (х) <fx.
Для обозначения систем обслуживания используются четыре символа или
комбинации символов, разделепные вертикальными чертами: а|Ь|с|<2, где а —
характеризует входящий поток, b — длительность обслуживания, с — число об-
обслуживающих приборов, d — число мест для ожидания. Если па первом мес-
месте стоит символ М, то входящий поток пуассоповский, Ek — арланговскип по-
порядка к (т. е. рекуррентный поток, у которого
о
D — регулярный (т. е. требования поступают через фиксированные (неслу-
(неслучайные) интервалы времени), G1— рекуррентный, G — произвольный.
Если па втором месте стоит буква G, то длительности обслуживания тре-
требований имеют произвольно* распределение и могут быть зависимыми. Если
стоит символ, отличный от G, то длительности обслуживания независимы в
совокупности и одинаково раснределепы, причем если стоит буква М, то — но
показательному закону, если сочетание G/ — по произвольному. Например,
Af|G/|2|10 означает, что в систему обслуживания, состоящую из 2 приборов
и имеющую 10 мест для ожидания, поступает пуассоповский поток требова-
требований. Длительности обслуживания независимы в совокупности и одинаково рас-
распределены по произвольному закону.
В качестве характеристик функционирования системы обслуживания ча-
чаще всего рассматриваются следующие случайные процессы и величины:
п( —общее число требований в системе в момент времени t;
W.s — время ожидания до начала обслуживания /V-ro требования (нуме-
(нумерация требований производится в порядке их поступления в систему);
П — длительность периода занятости, т. е. промежутка времени с момента
поступления в свободную систему требования до следующего непосредственно
момента освобождения системы.
оо
Если существуют lim Р (л(= к\= nk Js 0, причем 2 л. = 1, и ПтР(^,\<
<; х) = W(x), где W(*)—собственная функция распределения, бу-
будем говорить, что существует стационарное распределение процессов
п, и {ИМ-
Формулами Поллачека — Хинчина для системы M|G/|l|oo называют со-
соотношения
A — XPj) s A-Хр1)(г-1)Р(Л-Ь)
справедливые при Х[}, < 1, где ш (s) = \ e sxdW (х), Р (г) = 2 zh:tft' ^ — '
о h~°
сивность входящего потока, В(х)—функция распределения времени обслу-
обслуживания,
оо оо
Рх = \ xdB (x), P (s) -.= j' e~ixdB (x).
О О
180

Процессы с независимыми приращениями. Случайный процесс ?i, t s
g [a, b], 0 ^ a <; 6 ^ oo, называется процессом с независимыми прираще-
приращениями, если для любых t0 < ft < ... < tn случайные величины ?, , |,— ?( , ...
..., &in — l(n_ независимы в совокупности.
Процесс ?(, г ^ 0, с независимыми приращениями называется однород-
однородным, если распределение ?( + — 1. не зависит от s, |0 =• 0.
Винеровский процесс. Однородный случайный процесс u>t, t^> 0 с неза-
независимыми приращениями называется винеровским, если:
1) w0 = 0 почти наверное;
2) для любых s, f&sO w,+, — w, имеет нормальное распределение с ма-
математическим ожиданием 0 и дисперсией ct (в дальнейшем будут в основном
рассматриваться винеровские процессы с с = 1).
Случайный процесс wt, t ^ 0 является виперовскнм тогда и только тогда,
когда он является гауссовским процессом (т. е. процессом, конечномерные
распределения которого гауссовские (нормальные)) с математическим ожида-
ожиданием 0 и ковариационной функцией K(t, г) = min(t, *).
Стационарные процессы. Случайный процесс ?<, !еГ со значениями в
комплексной плоскости называется стационарным в узком смысле, если для
любого л, любых s, t[, ..., („еГ, таких, что <i + *, ,.., 1, + ier, распреде-
распределения случайных векторов (?, , ..., lt\ и (%tl+t, ..., !<„+«) совпадают.
Случайный процесс ?<> t e T называется стационарным в широком смыс-
смысле, если
Eg, = m = const, Eg, I, = ф(« — s).
Процессы, стационарные в узком смысле, будем называть просто стаци-
стационарными.
Пусть (Q, s?, P) — некоторое вероятностное пространство.
Измеримое отображение Т пространства Q в себя называется сохраняю-
сохраняющим меру преобразованием, если для любого А е S&
p(r-U) = Р(А).
Множество А называется инвариантным относительно преобразования Т,
если Р(А А Г-'Л) =0.
Сохраняющее меру преобразование Т называется эргодическим, если каж-
каждое инвариантное множество А имеет меру 0 или 1.
Случайная величина ?(ш) называется инвариантной относительно Т, ес-
если ?(ш) = ?,(Ти>) для почти всех ueD.
Сохраняющее меру преобразование Т называется перемешиванием, если
для любых А, В е J&
lim
Пусть ? = (?|, ..., ?„, ...)—последовательность случайных величин. Мно-
Множество 4е^ называется инвариантным по отношению к последовательно-
последовательности ?, если существует B<=38(R°°) (о-алгебра борелевских подмножеств R~)
такое, что для любого п ^ 1
А = {ш: (б.^Ея+1, ...)е=е}.
Стационарная последовательность % называется эргодической, если мера
любого инвариантного множества равна 0 или 1.
Пусть %i — стационарный в широком смысле случайный процесс, K(t) —
его ковариационная функция. Тогда существует неубывающая функция F(k)
такая, что
К (t) = j" eiadF (X).
() называется спектралъ}юй функцией процесса ?,. Если F(h) абсолютно
непрерывна, ее производная /(X) называется спектральной плотностью.
181

Для всякого стационарного в широком смысле случайпого процесса ?t»
Ео = 0, teR (ie{..., —1, 0, 1, ...}), существует процесс Zx, X <= R
(—л ^ Л «J л), с ортогональными приращениями, такой, что
Если потребовать 2_„ = 0 (Z_n = 0), то процесс Z\ определяется одно-
аначно с точностью до эквивалентности. Указанное представление процесса
\t нааывается его спектральным представлением.
Мартингалы. Пусть (п, st, P) — некоторое вероятностное пространство.
Т — подмножество либо числовой прямой, либо множества целых чисел, %i,
teT,— случайный процесс. Пусть далее, {&~t) — поток о-алгебр, fjcrf дли
любого U &~t <=¦ &~t • *i < 'г- Е« — измерима относительно &~t.
Случайный процесс Ei, 9~t, (еГ) называется мартингалом (супермар-
(супермартингалом, субмартингалом), если Е|?(|<оо, (еГ, Е(?(|^~,) = ?,
(Е(?|3г-.) < Е„ Е(МЭг.) > ?.) при «<1,»,1еГ.
Когда не будет указан явно поток а-алгебр Ти предполагается, что Э7, —
(^ 0
§ 1. Основные понятия
10.1. Пусть случайный процесс |(((о) задан на вероятностном
пространстве (Я, бФ, Р), где Q = {1, 2}, S& — множество всех под-
подмножеств Q, а Р приписывает вероятности 1/2 множествам {1} и
{2}. Пусть множество значений параметра t есть отрезок [0, 1] и
|i (co)= at. Найти:
а) все реализации процесса ?i(co); б) все двумерные, трехмер-
трехмерные, га-мерные распределения процесса ?((а>).
10.2. Пусть случайный процесс |((со) определен на вероятност-
вероятностном пространстве (Q, s&, P), Q = [0, 1], S& — о-алгебра борелевских
подмножеств, Р — мера Лебега, t e [0, 1] и
II при ?<со,
1
Найти:
а) все реализации процесса ?((со); б) двумерные распределения
процесса ?<(©).
10.3. Пусть т| — случайная величина с функцией распределения
F(x), t e R. Найти все конечномерные распределения случайного
процесса |, = r\ + t.
10.4. Пусть т| и % — независимые случайные величины, имею-
имеющие одинаковое нормальное распределение с нулевым математиче-
математическим ожиданием и дисперсией 1/2, t > 0. Найти все конечномерные
распределения случайного процесса \t ={ц + ?)/
182

10.5. Пусть | и r\ — случайные величины, причем т) имеет сим-
симметричное относительно нуля распределение и Р(г|=О)=О. Найти
вероятность того, что реализации случайного процесса
?, = fc + t(Ti + O, t>0,
возрастают.
10.6. Пусть rjt и тJ — независимые случайные величины, имею-
имеющие одинаковое равномерное на отрезке [—1, 1] распределение,
*=(?i, tz)^R2. Найти значения а, при которых почти все реализа-
реализации случайной функции ^(т^ + гг(г\г + 2а)), монотонно возрастают
но tt при t2 = a.
10.7. Привести пример случайного процесса %t, такого, что мно-
множество элементарных событий, которым отвечают непрерывные реа-
реализации процесса |(, не является событием.
10.8. Доказать, что если случайный процесс ?,, <ей, стохасти-
стохастически непрерывен на компактном множестве А <^ R, то он равно-
равномерно стохастически непрерывен на этом множестве.
10.9. Доказать, что если случайный процесс стохастически не-
непрерывен на компактном множестве 4сй, то на этом .множестве
он ограничен по вероятности.
10.10. Пусть ?,— стохастически непрерывный процесс, a g{x) —
непрерывная функция. Доказать, что процесс g{?,t) также стохасти-
стохастически непрерывен.
10.11. Привести пример стохастически непрерывного па отрезке
случайного процесса, все траектории которого разрывны.
10.12. Пусть !,, t е [0, 1],— случайный процесс, такой, что все
%t независимы в совокупности и имеют одинаковое невырожденное
распределение. Доказать, что этот процесс не является стохастиче-
стохастически непрерывным ни в какой точке.
10.13. Пусть случайный процесс %t непрерывен в среднем поряд-
порядка р > 0 на компактном множестве А. Доказать, что ?, равномерно
непрерывен в среднем порядка р на множестве А.
10.14. Пусть случайный процесс |, непрерывен в среднем поряд-
порядка р > 0 на компактном множестве А. Доказать, что существует
такое положительное число С < °°, что
E|?,|PsSC при (е4.
10.15. Доказать, что для того, чтобы случайный процесс |( был
стохастически непрерывным на множестве Т, необходимо и доста-
достаточно, ЧТОбы ДЛЯ ЛЮбыХ t0, So е Т
!->(„
lira Р(|,<лг1, \.<xt) =
для всех xu xz, для которых Р(^<11Д,0<1!) непрерывна.
10.16. Пусть ?,, a =S t =S b — стохастически непрерывный про-
процесс, /(f)—неслучайная функция, определенная на [а, Ь]. Дока-
Доказать, что случайный процесс т]| = ?( + /(?) стохастически непреры-
183

вен в тех и только тех точках отрезка [а, Ь], где непрерывна функ-
функция /(*).
10.17. Пусть ?<(со), 0 < t ^ 1,— измеримый случайный процесс,
заданный на вероятностном пространстве (Q, st-y Р), а т(ш)—слу-
т(ш)—случайная величина, заданная на том же вероятностном пространстве,
причем Р@<т<1)=1. Доказать, что ?т = |т<«) (со)—случайная
величина.
10.18. Случайный процесс %t, —°° < t < °°, и случайная величи-
величина т заданы на одном вероятностном пространстве. Всегда ли явля-
является случайной величиной функция %х, если:
а) т принимает конечное число значений; б) т принимает счет-
счетное число значений; в) т — произвольная случайная величина?
10.19. Пусть ?i — стохастически непрерывный случайный про-
процесс. Доказать, что для всякой непрерывной ограниченной функции
<р(х) функция Еф(|<) непрерывна по t.
10.20. Привести пример случайного процесса ?i, t e [a, b], тако-
такого, что для любой непрерывной ограниченной функции g(x) функ-
функция Е?(!«) непрерывна на [а, Ь], но ?( не является стохастически
непрерывным.
10.21. Пусть |, — стохастически непрерывный случайный про-
процесс, a g(x)— непрерывная функция. Доказать, что если при неко-
некотором а > 1
то функция Eg(?() непрерывна по t.
10.22. Показать, что стохастически эквивалентные процессы име-
имеют одинаковые конечномерные распределения.
10.23. Доказать, что процесс, стохастически эквивалентный сто-
стохастически непрерывному процессу, стохастически непрерывен.
10.24. Рассмотрим на вероятностном пространстве (Q, st-, P),
представляющем собой отрезок [0, 1] с о-алгеброй борелевских под-
подмножеств и мерой Лебега, случайный процесс it (со), определенный
следующим образом:
1, если прямая, проходящая через точку (t, со)
параллельно прямой t = со, пересекает
ось t в рациональной точке,
0 в остальных случаях.
Показать, что ?i(co) стохастически непрерывен, но все его траекто-
траектории разрывны в каждой точке.
10.25. Пусть |t — случайный процесс, определенный па вероят-
вероятностном пространстве (Q, si-, P). Доказать, что если Q счетно и все
одноточечные множества имеют положительную вероятность, то сто-
стохастическая непрерывность процесса |( эквивалентна непрерывно-
непрерывности всех его траекторий.
10.26. Доказать, что если множество значений параметра t слу-
случайного процесса ?( счетно, то процесс измерим.
184

10.27. Пусть %t — случайный процесс, все траектории которого
непрерывны, а множество значений параметра t представляет собой
отрезок прямой. Доказать, что ?( измерим.
10.28. Доказать, что все траектории измеримого случайного про-
процесса измеримы. Обязан ли случайный процесс быть измеримым,
если все его траектории измеримы?
10.29. Пусть ?,, а < t *Z b,— случайный процесс. Доказать, что
для его измеримости достаточно, чтобы все его траектории были не-
непрерывны справа (или слева).
10.30. Пусть |(, а *? t *? Ъ,— стохастически непрерывный процесс.
Доказать, что на [а, Ь] существует измеримый процесс ?< , стохасти-
стохастически эквивалентный ?«.
10.31. Пусть |( — стохастически непрерывный на [а, Ь] (за ис-
исключением не более чем счетного числа точек отрезка [а, 6]) слу-
случайный процесс. Доказать, что на [а, Ь] существует измеримый про-
процесс \i, стохастически эквивалентный %t.
10.32. Пусть %,, tе Т,— случайный процесс, N = U,,..., tn,...) —
счетное всюду плотное в Т множество. Процесс называется N-cena-
рабельньш, если для любого t ^ Т
lim sup It n>lt>Um inf %t.
e-»o \t-tn\<6 e-»o I'n-'l*6
Пусть Т = [a, b]. Доказать, что если ?< стохастически непрерывен
на [а, Ь], то для всякого счетного всюду плотного в [a, b] множест-
множества N существует процесс %», стохастически эквивалентный %, и
iV-сепарабельный.
10.33. Пусть все траектории пуассоновского процесса непрерыв-
непрерывны справа. Доказать, что тогда почти все траектории — неубываю-
неубывающие целочисленные функции, возрастающие только скачками вели-
величины 1.
10.34. Доказать, что для того, чтобы случайный процесс ?( был
непрерывен в среднем квадратическом на множестве Т, необходимо
и достаточно, чтобы функция L(t, s)=E|,?, была непрерывна на
множестве Г X Г по совокупности аргументов.
10.35. Доказать, что для того, чтобы случайный процесс %t был
непрерывно дифференцируем в среднем квадратическом на интер-
интервале (а, Ь), необходимо и достаточно, чтобы функция L(t, s) = Е|,|,
обладала на множестве (а, Ь)Х(а, Ь) непрерывной смешанной про-
производной второго порядка по t и s.
10.36. Доказать, что пуассоновский процесс дифференцируем по
вероятности, но не дифференцируем в смысле сходимости в сред-
среднем любого порядка р 5* 1.
10.37. Найти корреляционную функцию случайного процесса
?i="Y«/i@+---+Wn@> гДе МО. ••-. МО —неслучайные функ-
функции, а fii • • •> Т" — некоррелированные случайные величины с
дисперсиями dit .,., dn соответственно.
1S5

10.38. Пусть ?,, t^T,— случайный процесс с корреляциоипой
функцией K(t, s). Доказать, что K(t, s) неотрицательно определена.
10.39. Пусть ?( , ..., %[п) — независимые случайные процессы, та-
такие, что E?(tJ) «= 0, i=l, ..., п; Kt(t, s), ..., Kn(t, s)— соответству-
соответствующие корреляционные функции. Найти корреляционную функцию
процесса^Ч ... + g{'°.
10.40. Доказать положительную определенность следующих
функций:
K1(t,s) = mm[t,s],
о,
K3(t, s) = min[t, s]-ts, t, se[0, 1];
KA (t, s) = e-l'-'l, t,se=R.
10.41. Пусть K(t, s), t, s^T,— корреляционная фупкция неко-
некоторого случайного процесса, Q(z)—полином с положительными ко-
коэффициентами. Доказать, что функция K,(t, s)= Q(K(t, s)) также
является корреляционной функцией некоторого случайного
процесса.
10.42. Найти спектральную плотность случайного процесса |,,
корреляционная функция которого равна K(t) = се~а;", с, а > 0,
10.43. Пусть |(, t е Л,— случайный процесс с пулевым матема-
математическим ожиданием и корреляционной функцией K(t, s)=e''. До-
Доказать, что он бесконечно дифференцируем в среднем квадрати-
ческом.
10.44. Пусть | — случайная величина, имеющая нормальное рас-
распределение с математическим ожиданием т и дисперсией о", Ъ —
вещественное число. Найти корреляционную функцию процесса
10.45. Пусть А, г| и ф — случайные величины, ф не зависит от
А и т], А 3* 0, г\ ^ 0, ф равномерно распределена на отрезке [0, 2л].
Найти математическое ожидание и корреляционпуго функцию про-
процесса
|, = A cos(t]? + ф), feR.
10.46. Пусть фДО* •••« Ф»@—произвольные вещественные
функции, с,, ..., с„ — неотрицательные числа. Доказать, что
функция
является корреляционно11 функцией некоторого случайного процесса.
186

10.47. Пусть If1' и ?t2) — два независимых случайных процесса с
корреляционными функциями Ki{t, s) и K%(t, s) соответственно.
Найти корреляционную функцию процесса
tO)t(J)
Цг = 61 61 .
§ 2. Ветвящиеся процессы
10.48. Найти производящую функцию числа частиц в п-м поко-
поколении, если производящая функция непосредственных потомков
одной частицы равна:
a) pz+i-p; б) A-р)/A-рг); в) l-p(l-z)-, 0 < р < 1,
0<а<1.
10.49. Найти вероятности вырождения для ветвящихся процес-
процессов с производящей функцией числа потомков одной частицы:
a) (\-p)/(l-pz); б) i-p(l-z)a, 0<«<1; в) (l + z + z2 +
+ 3)/4
)
10.50. Найти распределение времени вырождения Т для ветвя-
ветвящихся процессов с производящей функцией числа потомков одной
частицы:
a) pz + 1-p; б) 1 -p(l-z)", 0<а<1.
10.51. Пусть Х„, Xi, ... — ветвящийся процесс, Хо = 1, Дока-
Доказать, что
P(Xn>N при некоторой К п < m - \\Xm = 0)< [Р(Хп = 0)]\
10.52. Найти производящую функцию общего числа частиц в
первых п поколениях, если производящая функция числа потомков
одной частицы равна pz + 1 — р.
10.53. Рассмотрим ветвящийся процесс Хо, Хи ... с производя-
производящей функцией
1-е ' 1 —f2'
0<с<Ь+с<1, A - b - c)/[c(l — c)]> 1.
Найти b'm P (Х„ = A.-| Xn> 0).
10.54. Пусть в ветвящемся процессе Хо, Х(, ... из задачи 10.53
1 _ ь - с = сA - с). Найти lim P (Х„< пх\Хп>0).
п -»оо
10.55. Пусть Хо, Xi, ...— ветвящийся процесс, Хо = 1, EXt = т.
Доказать, что
10.56. Пусть Хо, Х|, ...— ветвящийся процесс, Хо = 1, <p(z) =
= ЕгЛ'>, <р„ (г) = Егх", ф' A)> 1. Обозначим через Уп число всех
частиц в л-м поколении, имеющих бесконечное число поколений
187

потомков. Доказать, что
~ ф„ (г A — q) + q) — q
2 *"Р (У„ = А | Уо - Хо = 1) = Г^ •
л=о
где q — вероятность вырождения.
10.57. Найти производящую функцию числа частиц в момент t
для ветвящегося процесса с непрерывным временем и производя-
производящей функцией инфинитезимальных параметров:
а) f(z) — azz* + uiZ — (а, + аг), аг> 0;
б) /(Z) = z*-Z, k>2;
в) f(z)-l-z-1i-z;
г) /(z)=X(l-z)[l + ln(l-z)], K>0.
10.58. Найти вероятности вырождения ветвящихся процессов из
задачи 10.57.
10.59. Пусть X, — ветвящийся процесс с производящей функци-
функцией инфинитезимальных параметров /(z)= a2z2 + atz — (a, + a2), где
аг > 0, а, + 2а, < 0. Доказать, что
lim e-(°i+2a2)( Р (X, > 0) - 1 + —5—.
1-»оо а1 т" а2
10.60. Доказать, что для ветвящегося процесса Xt с производя-
производящей функцией /(z) = 3 — 5z + z2 + zs
10.61. Пусть X, — ветвящийся процесс с производящей функци-
функцией /(z)=zz —z. Доказать, что Хге~' сходится при t -*¦ °° в среднем
квадратическом к случайной величине ?, имеющей показательное
распределение с параметром 1.
10.62. Пусть Xt — ветвящийся процесс с производящей функци-
функцией /(z)= z2 — 2z + 1. Доказать, что
§ 3. Марковские процессы
10.63. Доказать, что следующие определения марковского про-
процесса |t эквивалентны:
а) для любого t и любых А е ^"<(, В е ^">(
) я- н.;
б) для любого t и любого 5 е &~>t
Р(Д|^,)=Р(Д|*-_,1 п. н.;
188

в) для любого t и любого А е ЗГ^х
9(A\9->t)=9(A\&;t) п. н.
10.64. Докажите, что случайный процесс \,, t&T, со значения-
значениями в фазовом пространстве (X, 58) является марковским, тогда и
только тогда, когда для любых Si < s, < ... ^ sm < t < tt < ... < tnt
s,, t, (jEf, и любых А„ ..., Am, Bi, ,.., BneS3
_ i ' . n
P [ П [hi e Л;) П Л
10.65. Для того чтобы случайный процесс |(, JeT, со значения-
значениями в фазовом пространстве (X, 93) был марковским, необходимо и
достаточно, чтобы для любых s1 < зг < ... < sm < t < tt < ... < tn,
su t, tj <= T, и любых ограниченных ©-измеримых функций /t, ...
10.66. Пусть li, t > 0,— марковский процесс. Доказать, что |п,
п = 0, 1, ... — марковский процесс с дискретным временем.
10.67. Пусть %i, (>0,— марковский процесс. Будет ли последо-
последовательность
Л* = [In],
где [х] — целая часть х, цепью Маркова?
10.68. Пусть (U — последовательность независимых случайных
величин, имеющих одинаковую плотность распределения р{х)>
р(х)>0, —оо<х<<х>. Будет ли последовательность {i\n} марков-
марковской, если:
а) г)„ = ?„, п = 0, 1, ...; б) г\п = ?„ + ... + ?„, п = 0, 1, ...;
в) т]„ = max @, &,, ..., U-
Для цепей Маркова найти переходные вероятности за один шаг.
10.69. Пусть {?„} — последовательность независимых случайных
величин, имеющих одинаковую плотность распределения р(х),
р (х) > 0, — °° <t х < оо. Положим
Sn = Е, + ... + ?„.
Будет ли процесс 5, марковским?
10.70. Пусть |(, t>0,— однородный марковский процесс со
счетным числом состояний {0, 1, ...}. Доказать, что если переход-
189

иые фуыкции P<j(t) непрерывны при t = 0, то они равномерно не-
непрерывны при t 3* 0.
10.71. Пусть %i и \]t, t>0,— два однородных марковских про-
процесса со счетным числом состояний, Pi,{t) и Qa{t)—соответствую-
Qa{t)—соответствующие переходные функции. Доказать, что если для некоторого t0 > 0
и всех i и j Pit(<) = <?«it) при 0 < t =? U, то Р«@=(М*) при
всех ? 5= 0.
10.72. Пусть |(, t 3= 0,— одпородный марковский процесс с ко-
конечным числом состояний {0, 1, ..., N) и переходными функциями
Pij(t). Доказать, что определитель матрицы P(t) с элементами
Pii{t), 0^i, j^N, положителен для всех t > 0.
10.73. Пусть |,, t 3= 0,— однородный марковский процесс с ко-
конечным числом состояний {0, 1, ..., N) и переходными функциями
Pij(t). Предположим, что РцA) непрерывны при всех t 3* 0. Дока-
Доказать, что существуют конечные пределы
liwi fi,
причем 2 аи — — ан-
Mi
10.74. Привести пример однородного марковского процесса со
счетным числом состояний, для которого существуют конечные пре-
пределы
hm =oi{, htn-i— = aih гф],
«->о l t-*o
но ^а-^Ф— пц.
10.75. Доказать, что любая однородная цепь Маркова является
строго марковской относительно семейства а-алгебр ЗГ^п,
« = 0, 1
10.76. Привести пример марковского, но не строго марковского
•семейства.
10.77. Пусть \t, t 3= 0,— марковский случайный процесс со счет-
счетным множеством состояний {0, 1, . ..}. Предположим, что в момент
t = 0 процесс находится в состоянии i. Найти функцию распреде-
распределения времени до первого изменения состояния процесса.
10.78. Найти все инвариантные меры, соответствующие матрице
вероятностей перехода
10.79. Привести пример марковского семейства с двумя не про-
пропорциональными друг другу конечными инвариантными мерами.
10.80. Показать, что не существует марковского процесса |(,
t > 0, |о — 0, с двумя состояниями {0, 1) и непрерывными почти на-
наверное траекториями, переходные вероятности которого равны
Poo(t)=e~'t Р„(*1= 1 - е-', Pu{t)= 1.
190

§ 4. Процессы массового обслуживания
10.81. Пусть | и Г| — независимые неотрицательные случайные
величины
P(|<I)=l_e-«i P(t]<x)=G(x).
Доказать, что
P(|<u
в частности, для любого t 3* 0
P(l <u + t\l SM) = I -e"au, и 5*0.
(Свойство отсутствия памяти у показательного распределения.)
10.82. Доказать, что случайный поток является пуассоновским
с интенсивностью X тогда и только тогда, когда он является ре-
рекуррентным потоком с Л (t)='\ — е~и, t^O.
10.83. Доказать, что случайный поток v,, полученный в резуль-
результате наложения к независимых пуассоновских потоков Vf1', ...,V(ft
с пнтенсивностями к,, ..., Xh, является пуассоновским с интенсив-
интенсивностью X = Xt + ... + Хк.
10.84. Пусть задан пуассоновский поток с интенсивностью X.
Каждое требование этого потока с вероятностью ри ? = 1, ..., к,
I,
2 Pi = 1> отпесем к i-му подпотоку независимо от остальных требо-
ваний. Доказать, что i-й подпоток является пуассоновским с интен-
интенсивностью Xpt.
10.85. Пусть пуассоновский поток с интенсивностью X подверга-
подвергается следующей операции просеивания: первые к требований теря-
теряются, (к + 1)-е — остается, затем снова к теряются, следующее ос-
остается и т. д. Доказать, что просеяппый поток (он называется по-
потоком Эрлапга порядка к) является рекуррентным потоком, опре-
определяемым функцией распределения
A in 1 — p—xdr
о
10.86. Обозначим через v( случайное число требований пуассо-
иовского потока, поступивших в интервале [0, t). Доказать, что при
t «S Т, к < п
Р (v, = к | vr = ») = ^ [jrj (l - 4r)"~h-
10.87. Доказать, что если известно, что на отрезке [0, Г], Т > 0,
поступило N требований пуассоновского потока, то поток требова-
требований на этом отрезке является потоком Бернулли.
10.88. Пусть задан рекуррентный поток требований, определяе-
определяемый функцией распределения A(t). Каждое требование независимо
от остальных либо с вероятностью р выбрасываем из потока, лпбсх
с вероятностью 1 — р оставляем. Показать, что поток оставленных
191

требований является рекуррентным потоком, определяемым функ-
функцией распределения B(t), где
B{t)- A(t)-p$P[p, t-u)dA(u)%
о
а преобразование Лапласа функции P(z, t) равно
оо оо
fe-"P(z, t)dt = — i^^rz, «(*)- \e-«dA(t).
о о
10.89. Доказать, что для любого стационарного потока су-
существует
hm -2_ = ц,
(-0 *
где Po(t)—вероятность того, что за время t не поступит ни одного
требования. Число ц (конечное или бесконечное) называется пара-
параметром стационарного потока.
10.90. Пусть ц — параметр, а X — интенсивность (т. е. среднее
число требований, поступивших в единицу времени) стационарного
потока. Доказать, что если параметр является конечным положи-
положительным числом, то условия:
а) ординарность потока; б) X = ц
равносильны.
10.91. Для каждого п > 1 рассмотрим суммарный поток 2п>
получающийся наложением п независимых потоков, где к-а поток
(к — 1, ..., п) является рекуррентным потопом с запаздыванием,
определяемым функциями распределения Alk(t) и Ah{t):
t оо
Alh @ = ah J [1 - Ak (и)] du, a^1 = f [1 - Ah (u)| du.
о о
Предположим, что при п -*-<»:
1) at + . . . -Ь а„ = a = const;
2) max {aA}-»-0;
3) при каждом фиксированном t
max {Л(()}-»-0.
KUn
Доказать, что при п -*¦ оо поток Sn равномерно сходится к пуассо-
новскому с параметром а.
10.92. Поток пассажиров на остановку — пуассоновский с ин-
интенсивностью X. Через случайные интервалы времени ?,, ?2, ... на
остановку прибывают автобусы. Случайные величины |,, ?2, ...
независимы в совокупности и одинаково распределены с нерешетча-
оо
той функцией распределения G(x), ц = \ xdG(x)<.oo. Автобус
о
192

забирает всех пассажиров, находящихся на остановке в момент его
прибытия. Пусть ю, — время ожидания до прихода автобуса начи-
начиная с момента t. Найтп lim P (к;(< у).
t-too
В задачах 10.93—10.95 рассматривается та же система обслужи-
обслуживания, что и в задаче 10.92.
10.93. Пусть а, — время, прошедшее с момента последнего при-
прихода автобуса до момента t. Найти lim P (а( < у).
10.94. Найти lim P (wt <«,«(< v).
(-.00
10.95. Пусть v, — число пассажиров на остановке в момент вре-
времени t. Найти lim P(vj = /с), к = 0, 1, 2, ,,,
f —»оо
10.96. Найти вероятность P0(t) свободного состояния в момент t
системы М1ЛЛИ0, если интенсивность входящего потока равна X,
среднее время обслуживания —\i~l и:
а) в момент t — Q система была свободна; б) в момент t = 0 си-
система была занята.
10.97. Найти вероятность qn того, что в стационарном режиме в
системе М\М\п\°° все приборы заняты, если интенсивность входя-
входящего потока равна X, среднее время обслуживания — ц~', причем
Х< пц.
10.98. Рассмотрим систему обслуживания Л/|Л/|1|°°, Предполо-
Предположим дополнительно, что длительность пребывания п-то требования
(нумерация требований производится в порядке их поступления в
систему) в очереди ограничено случайной величиной |„. Случайные
величины ?,, |2, ... независимы в совокупности и одинаково рас-
распределены с функцией распределения 1 — e~VI, х> 0. Пусть X —
интенсивность входящего потока, u.~l — среднее время обслужива-
обслуживания. Найти вероятность Ро того, что в стационарном режиме систе-
система свободна.
10.99. Рассматривается та же система обслуживания, что и в
предыдущей задаче. Найти математическое ожидание п числа тре-
требований в системе в стационарном режиме.
10.100. Найти стационарную вероятность того, что в системе
М\М\п\т:
а) заняты все приборы (Рп); б) заняты все места для ожида-
ожидания (Рп+т).
10.101. Рассматривается та же система обслуживания, что и в
предыдущей задаче. Найти математическое ожидание N числа при-
приборов, занятых обслуживанием в стационарном режиме.
10.102. Рассматривается та же система обслуживания, что и в
предыдущей задаче. Найти математическое ожидание числа требо-
требований:
а; в очереди q; о) в системе п
в стационарном режиме.
10.103. Рассмотрим систему Л/|С/М1°°. Пусть X — интенсивность
входящего потока, В (.г)— функция распределения длительности об-
13 Л. 1!. Прохоров и др. 1?3

служивания, щ — вероятность нахождения в системе / требований
в стационарном режиме. Доказать, что при
B{x)\°'
11, х > а,
л0 = 1 - Ясс, л,= (е*а - 1) A - Ясс),
3-1
Л; = A — %а) 2 (— l)i-V<ta |
+ A — Jia)<?aj\ />2.
10.104. Рассматривается та же система обслуживания, что и в
предыдущей задаче. Пусть fs — вероятность того, что за период за-
занятости обслужено j требований. Показать, что при
О г •
10.105. Рассмотрим систему Д/|С/|1|<». Пусть W(x)—функция
распределения времени ожидания в стационарном режиме, к — ин-
интенсивность входящего потока, В(х)—функция распределения вре-
времени обслуживания. Доказать, что И^л:)—безгранично делимая
функция распределения.
10.106. Рассматривается та же система обслуживания, что и в
предыдущей задаче. Найти функцию распределения интервалов
времени между уходом из системы требований в стационарном ре-
режиме.
10.107. Рассмотрим систему Л/|С/|1|<». Пусть после окончания
обслуживания каждого требования с вероятностью р оно покидает
систему и с вероятностью 1 — р возвращается в очередь для повтор-
повторного обслуживания независимо от остальных требований и числа
предыдущих поступлений на прибор данного требования. Найти
преобразование Лапласа — Стилгьеса n(s) функции распределения
длительности периода занятости.
10.108. Рассматривается та же система обслуживания, что и в
предыдущей задаче. Найти производящую функцию P{z) числа
требований в системе в стационарном режиме.
10.109. Рассматривается та же система обслуживания, что и в
предыдущей задаче. Найти функцию распределения F(x) интерва-
интервалов времени между выходящими из системы требованиями в стаци-
стационарном режиме.
10.110. Найти преобразование Лапласа вероятности свободного
состояния системы Л/IG/IHO в момент t при условии, что в момент
t = 0 система была свободна.
10.111. Найти л (s)— преобразование Лапласа — Стилтьеса
функции распределения длительности периода занятости в системе
Л/IG/llll.
194

10.112. Рассматривается та же система обслуживания, что и в
предыдущей задаче. Найти производящую функцию /(z) числа тре-
требований, обслуженных за период занятости.
10.113. Рассмотрим систему обслуживания M\GI\°o. Пусть к —
интенсивность входящего потока, В (х) — функция распределения
времени обслуживания на любом приборе, п, — число требований в
системе в момент t. Найти совместное распределение (га* , «i2),
10.114. Рассматривается та же система обслуживания, что и в
предыдущей задаче. Пусть ц< — число требований, обслуженных до
момента t. Найти совместное распределение (и.^, Ц<2)> tt <t2.
10.115. Рассматривается та же система обслуживания, что и п
предыдущей задаче. Найтп совместное распределение (я,, ц,).
10.116. Рассмотрим систему обслуживания M|G/|l|oo. Предполо-
Предположим дополнительно, что длительность обслуживания требования,
поступающего в свободную систему, имеет функцию распределения
B,(t), отличную от функции распределения длительности обслужи-
обслуживания B(t) требований, поступающих в занятую систему. Найти
преобразование Лапласа — Стилтьеса длительности периода заня-
занятости n(s).
10.117. Рассматривается та же система обслуживания, что и в
предыдущей задаче. Найти производящую функцию /(z) числа тре-
требований, обслуженных за период занятости.
10.118. Рассмотрим систему обслуживания M|G/HI°°. Предпо-
Предположим, что обслуживающий прибор ненадежен в занятом1 состоя-
состоянии. Длительность работы прибора до поломки имеет показательное
распределение 1 — е~ух, х'Х). Сразу после поломки прибора начи-
начинается его восстановление, которое длится случайное время с функ-
функцией распределения G(x). Требование, во время обслуживания ко-
которого прибор вышел из строя, теряется. Пусть X — интенсивность
входящего потока, В{х)—функция распределения времени обслу-
обслуживания. Найти преобразование Лапласа — Стплтьеса длительно-
длительности периода занятости.
10.119. Рассматривается та же система обслуживания, что и в
предыдущей задаче. Найти преобразование Лапласа — Стилтьеса
функции распределения времени ожидания в стационарном режиме.
10.120. Рассматривается та же система обслуживания, что и в
предыдущей задаче. Найти производящую функцию P(z) числа
требований в системе в стационарном режиме.
§ 5. Винеровский процесс
10.121. Найти корреляционную функцию винеровского про-
процесса W,.
10.122. Пусть iv, — винеровскин процесс. Найти совместную
плотпость распределения величин и>„ и де„ 0 < и < v < 1 при ус-
условии, что и>1 = 0.
13* - 193

10.123. Пусть wt — винеровский процесс. Найти ковариацию ве-
величин ws и w,, s < t < 1, при условии, что Wi = 0.
10.124. Пусть Wt — винеровский процесс. Найти корреляцион-
корреляционную функцию процесса w\ = wt — twu рассматриваемого на отрезке
0 «? t «? 1 (условный винеровский процесс).
10.125. Пусть w\n), 0«?<«?l,— условный винеровский процесс, оп-
определенный в предыдущей задаче. Доказать, что процесс wt =A +
-\- t)w\1(i+t), t^O,— винеровский.
10.J26. Пусть Wt — винеровский процесс. Доказать, что следую-
следующие процессы также винеровские:
0, * = 0, б) „,«)= Vcwlfc, <>0,
' UiVi/t, *>0; c = const>0.
10.127. Пусть witl) и w\2) — независимые винеровские процессы.
Доказать, что процесс —^=(w\'l)+w\2'>), <^0, также винеровский.
у 2
10.128. Пусть wt, t>0,— винеровский процесс. Положим
— w,, t > Т.
Доказать, что и;(,0) — винеровский процесс.
10.129. Пусть !„, 5ь 6г, ... — независимые случайные величины,
имеющие одинаковое нормальное распределение с нулевым мате-
математическим ожиданием и единичной дисперсией. Доказать, что
'¦¦¦-- ¦-"¦
' t , l/2 V V< sin A-
— винеровскии процесс.
10.130. Доказать, что винеровскии процесс не дифференцируем
по вероятности.
10.131. Пусть w, — винеровскии процесс. Доказать, что
Е ((wt - и;,)*»+1) = О,
Е ((w, - u'5J") = Bл — 1)!! (t - s)n.
10.132. Доказать, что виперовский процесс является марковским.
Найти его переходную функцию.
10.133. Найти конечномерные распределения винеровского
процесса.
10.134. Доказать, что почти все траектории винеровского процес-
процесса нигде не дифференцируемы.
10.135. Пусть w, — винеровскии процесс. Найти условпую плот-
плотность величины wt, ti < t < t2, при условии, что
w,t = Л, и>,г = В.
196

10.136. Пусть wt — винеровский процесс. Доказать, что
Р (max w, > z) = IP (wt > z).
Найти плотность распределения случайной величины max-w»
10.137. Пусть t(z), z > 0,— случайный момент времени, в кото-
который винеровский процесс w, впервые достигает значения z. Найти
плотность распределения x(z). Показать, что математическое ожи-
ожидание x(z) бесконечно.
10.138. Пусть t(z)—случайная величина, определенная в пре-
предыдущей задаче. Доказать, что композиция распределений случай-
случайных величин x(z,) и x(z2) совпадает с распределением случайной
величины x(z, + z2).
10.139. Показать, что распределение случайной величины x(z),
определенной в задаче 10.137, совпадает с распределением случай-
случайной величины z2x(l).
10.140. Найти характеристическую функцию случайной величи-
величины тA), определенной в задаче 10.137.
10.141. Найти вероятность того, что винеровский процесс ш< не
обращается в нуль в интервале (t0, (,), 0 < t0 < tt.
10.142. Пусть wt — винеровский процесс. Найти вероятность
события
/max ws^z, wt<.
10.143. Пусть г/;, — винеровский процесс. Найти функцию рас-
распределения и плотность распределения случайной величины
max Wt при условии, что wt = 0.
10.144. Найти вероятность того, что винеровский процесс w, до-
стпгнет наклонной границы, задаваемой в координатах (t, w) урав-
уравнением w — a (t + 1), t 3* 0, а > 0.
10.145. Пусть Р(а, Ь) означает вероятность того, что винеров-
винеровский процесс w, достигнет наклонной границы, задаваемой в коор-
координатах (t, w) уравнением w = at+b, t~S?O, a,b>0. Дока-
Доказать, что:
а) Р(а, Ь) = Р(Ь, а); б) Р(а, 6, + Ь2) = Р(а, &,)?(*, *>.)•
10.146. Пусть Р(а, Ь)—величина, определенная в предыдущей
задаче. Доказать, что
Р(а, b)=e-v",
где f — некоторая неотрицательная постоянная.
10.147. Определить значение постоянной у в предыдущей задаче.
§ 6. Процессы с независимыми приращениями
10.148. Доказать, что всякий процесс с независимыми прираще-
приращениями является марковским.
10.149. Пусть It1' и |(B), t 5* 0,— независимые случайные процес-
процессы, каждый из которых является процессом с независимыми при-
197

ращениями. Доказать, что их сумма
также является процессом с независимыми приращениями.
10.150. Пусть |, — случайный процесс с независимыми прира-
приращениями, t e R. Доказать, что если для некоторых tt и г2 и некото-
некоторой постоянной я
то для любой пары н, и ы2, такой, что t{ < м, < и2 < г2, существует
постоянная Ь, такая, что
10.151. Доказать, что функция распределения приращения лю-
любого однородного случайного процесса с независимыми прираще-
приращениями безгранично делима.
10.152. Пусть ф(?, z)—характеристическая функция однородно-
однородного стохастически непрерывного процесса с независимыми прираще-
приращениями |,. Доказать, что <р(?, z) непрерывна как функция t.
10.153. Пусть || — процесс с независимыми приращениями,
(p(t, z)—его характеристическая функция. Доказать, что если
q>(t, z) непрерывна по t в точке tn, то |, стохастически непрерывен
и точно tu.
\0ЛоЬ. Пусть |,, ..., gT1 — независимые случайные величины,
ti < t2 < ... < tn — точки из интервала [а, Ь). Положим ^ = 2 l/i-
th<t
Доказать, что |( — процесс с независимыми приращениями.
10.155. Пусть |/ — процесс с независимыми приращениями,
гр(?, z)—его характеристическая функция. Доказать, что при каж-
каждом z lcp(?, z)! не возрастает как функция t.
10.156. Пусть |, — однородный случайный процесс с независи-
независимыми приращениями, t,0 = 0, ф(?, г)— его характеристическая
функция. Доказать, что для любых t м s
y(t + s,z)=q>(t,z)y(s,z).
10.157. Пусть §, — процесс с независимыми приращениями. До-
Доказать, что если ?(о имеет абсолютно непрерывное распределение
при некотором t0, то |, имеет абсолютно непрерывное распределе-
распределение при любом t 5= t0.
10.158. Пусть ?, — процесс, с независимыми приращениями. До-
Доказать, что функция D;, не убыпает по t.
10.159. Пусть |(, а < ? =S 6,— однородный процесс с независимы-
независимыми приращениями. Доказать, что |, стохастически непрерывен всю-
всюду на [а, Ъ].
10.160. Пусть ?ь 1^0,— однородный случайный процесс с не-
вависимылш приращениями, фх(гг)— характеристическая функция
198

случайной величины |л — |0. Доказать, что
10.161. Пусть |, — процесс с независимыми приращениями, г) —
некоторая случайная величина, определенная на том же вероятно-
вероятностном пространстве, что и |,. Будет ли процесс ?( = ?( + rj процес-
процессом с независимыми приращениями?
10.162. Пусть ?,, fS*0,— однородный процесс с независимыми
приращениями, не равный почти наверное постоянной. Доказать,
что |< не является стохастически ограниченным.
10.163. Пусть ?,, t ~Sz 0,— процесс с независимыми приращения-
приращениями. Доказать, что если при некотором t0 Р (|io = const) = 1,
то Р(?« = const) = 1 для всех t «? t0.
10.164. Пусть g,, a < t «? b,— симметричный процесс с независи-
независимыми приращениями. Доказать, что если для некоторой последова-
последовательности t,, t2, ..., такой, что tn -*¦ Ъ при п -*¦ °° и tn< b,
Р
п = 1, 2, ..., 1,п—>1ь, п->оо, то
lt->h, t-+b.
10.165 (продолжение). Можно ли отказаться от условия сим-
симметричности?
10.166. Пусть |,, a^t^b,— процесс с независимыми прираще-
приращениями. Будет ли процесс rj, = g_,, — b < t < —а, процессом с неза-
независимыми приращениями?
10.167. Доказать, что если |f — однородный процесс с независи-
независимыми приращениями, то существует положительная постоянная с
(с может равняться +°°), такая, что Dg, =ct.
10.168. Пусть %t, a^t<b, 0 < а < b,— процесс с независимы-
независимыми приращениями. Можно ли его доопределить па отрезках [0, а)
и [Ь, °°) так, чтобы полученный (на [0, °°)) процесс также был
процессом с независимыми приращениями?
10.169. Пусть |, — процесс с независимыми приращениями. До-
Доказать, что если функция Dg( пепрерывпа по (, то g"( стохастически
непрерывен.
10.170. Пусть %i, t>0,— однородный невырожденный процесс с
независимыми приращениями. Доказать, что для любого (>0 п
любого Л >0 РA1,| >А)>0.
10.171. Пусть |(, t ^ 0,— случайный процесс, причем %0 равно-
равномерно распределена на отрезке [0, 1], а ?@, i0>0, имеет показа-
показательное распределение. Доказать, что %t не может быть процессом
с независимыми приращениями.
10.172. Доказать, что гауссовский случайпый процесс с некорре-
некоррелированными приращениями является процессом с независимыми
приращениями.
10.173. Доказать, что любой процесс с некоррелированными при-
приращениями и нулевым математическим ожиданием имеет пределы
в среднем квадратическом слева и справа в любой точке t e Т.
199

10.174. Пусть ?i — случайный процесс с некоррелированными
приращениями, fa R. Доказать, что существует неубывающая
функция F(t), такая, что при любых t и s случайная величина
li — |, имеет дисперсию, равную F(t)~ F(s).
§ 7. Стационарные процессы
10.175. Пусть А, ц и <р — случайные величины, причем А, г\ не-
неотрицательны и имеют произвольное совместное распределение, а ф
не зависит от них и имеет равномерное распределение на [0, 2л).
Доказать, что случайный процесс
является стационарным.
10.176. Пусть |i и %г — независимые одинаково распределенные
случайные величины, принимающие значение +1 и —1 с вероятно-
вероятностями 1/2. Доказать, что случайный процесс
не является стационарным, но является стационарным в широком
смысле.
10.177. Пусть |, — действительный гауссовский стационарный
процесс с пулевым математическим ожиданием и непрерывной кор-
корреляционной функцией K(t), Найти корреляционную функцию
процесса т), = §,+,?..
10.178. Пусть л,, t> 0,— пуассоновский процесс с параметром X.
Доказать, что процесс %t = Яг+i — л(, t ~ё> 1, является стационарным
в широком смысле.
10.179. Доказать, что если %t — стационарный процесс и сущест-
существует предел ?( при t -*¦ °° по вероятности, то для любых tt, tt P (|(l =•
- ^2) - 1.
10.180. Пусть Т—сохраняющее меру преобразование и
1 = |(ш) — случайная величина с конечным математическим ожи-
ожиданием. Доказать, что
10.181. Пусть Й=(Ш|, ..., о)„)—множество, состоящее из ко-
конечного числа точек, п> 2, ?Ф — множество всех подмножеств,
Г@( = (|)(+1, l^j^n —1, и Гсо„ = o)i. Доказать, что если P(@i) =
= i/n, то Г — сохраняющее меру преобразование.
10.182. Пусть (Q, 3D, Р) — вероятностное пространство, где
fi = [0, 1], $8 — о-алгебра борелевских множеств, Р — мера Лебега.
Пусть \е[0, 1) и
a) T(z)=*(x + X)moil', б) Т(х)= 2;rmod 1.
Доказать, что Т является сохраняющим меру преобразованием.
10.183. Пусть Q = [0, 1), si- — множество борелевских подмно-
подмножеств [0, 1), Р — некоторая мера с непрерывной функцией распре-
200

деления. Показать, что преобразования Тх = Хх, 0<Х<1, п Тх — х2
не являются преобразованиями, сохраняющими меру.
10.184. Доказать, что класс множеств, инвариантных относитель-
относительно сохраняющего меру преобразования, образует о-алгебру.
10.185. Рассмотрим то же вероятностное пространство, что и в
аадаче 10.182. Доказать, что преобразование Гсо =(со+ X)mod 1 эр-
юдично в том и только том случае, когда К иррационально.
10.186. Показать, что случайная величина является инвариапт-
пой относительно некоторого сохраняющего меру преобразования
тогда и только тогда, когда она измерима относительно а-алгебры
инвариантных событий.
10.187. Показать, что событие А является инвариаптным отно-
относительно Т тогда и только тогда, когда
= 0 или
10.188. Обладает ли преобразование, рассмотренное в задаче
10.185, свойством перемешивания?
10.189. Доказать, что преобразование Т есть перемешивание в
том и только в том случае, когда для любых двух случайных вели-
величин \ и ц, имеющих конечные дисперсии,
10.190. Является ли стационарной последовательность попарно
независимых одинаково распределенных случайных величин?
10.191. Пусть ?|, §2, ... — последовательность одинаково распре-
распределенных случайных величин, причем ?,¦ не зависит от ?;_, и ?(+1.
Является ли эта последовательность стационарной?
10.192. Пусть g= (It, &>, ...)—гауссовская стационарная после-
последовательность с Е|„ = 0 и ковариационной функцией R(n)= E|k+n^4.
Показать, что условие /?(«)->¦ 0 является достаточным для эргодич-
эргодичности g.
10.193. Доказать, что всякая последовательность, состоящая из
независимых одинаково распределенных случайных величин, явля-
является эргодической.
10.194. Показать, что стационарная последовательность
l=(Ei» h, #..) эргодична в том и только том случае, когда для
любого В е &(Rh), к = 1, 2, ...,
~ 2 !в (Si, .... li+h) "-^ P ((&!, .... Sfc+i) e В).
10.195. Указать условия, при которых однородная цепь Маркова
является стационарной последовательностью.
10.196. Пусть f(x0, ..., xm)—измеримая вещественная функция,
определенная в Rm+i, и {?„} — стационарная последовательность
случайных величин. Доказать, что последовательность {ijn}, гда
Г1» = /(In, . .., 1,,+m), также стационарна.
201

10.197. Доказать, что для того, чтобы последовательность слу-
случайных величин {?„} была стационарной, необходимо и достаточно,
чтобы для любого т ^ 0 и для любой ограниченной измеримой
функции /(я,,, ..., хт) Е/(?„, ..., !„+„,) не зависело от п.
10.198. Доказать, что из эргодичности последовательности
{|м к ~5* 0} вытекает эргодичность последовательности {п», к > 0),
где 11„ ==/(!*, ..., l),+m), a j(x0, ..., хт) — произвольная измеримая
функция.
10.199. Пусть {\h) — стационарная последовательность, а
/n(i'oi • •., хп) такая последовательность функций, что /п(?о, ..., in)
сходится по вероятности к некоторой случайной величине i]0. Поло-
р
жим "Па = Нт /„(^, ..., li,+n)- Доказать, что {r\h) — стационар-
пая последовательность п она эргодична, если эргодичпа {|J.
10.200. Доказать, что последовательность {?*) эргодична тогда и
только тогда, когда для каждой измеримой ограниченной функции
о, . . ., Хт)
п-1
10.201. Пусть {|к} — стационарпая последовательность, Е|0|п —
(Е|оJ -*¦ 0 при п -*¦ °°. Доказать, что
П-1
10.202. Пусть {|*}л>0 — гауссовская последовательность. Дока-
Доказать, что для стационарности этой последовательности необходимо
и достаточно выполнение равенств
Е?„ = Е?0, n>0, EU- = E|*S*+». Ь>0, п>0.
10.203. Пусть |, — однородный процесс с независимыми прира-
приращениями. Доказать, что при й>0 процесс ?« = ij+л—it стацио-
стационарен.
10.204. Пусть <p(Z)—непрерывная периодическая функция с пе-
периодом Т, | — случайная величина, равномерно распределенная па
отрезке [0, Т]. Показать, что процесс ?, = ф(?+|) является ста-
стационарным.
10.205. Доказать, что сумма независимых стационарных случай-
случайных процессов является .стационарным случайным процессом.
10.206. Пусть ||, .. ., |„, 6,, ..., 0„ — независимые случайные ве-
величины, 8|, ..., в„ равномерно распределены на отрезке [0, 2л|.
Доказать, что процесс
является стационарным.
202

10.207. Пусть ?,, t > 0 — гауссовский процесс. Доказать, что он
стационарен тогда и только тогда, когда Е?< = Е?о, Е?,?,+, = Е?о?.
для всех t ~5* 0, s > 0.
10.208. Пусть корреляционная функция стационарного в широ-
широком смысле случайного процесса |( стремится к нулю на бесконеч-
бесконечности. Доказать, что г;—— \ \tdt сходится к E^i в среднеквадра-
тическом при tz — i, -*¦ 0.
10.209. Доказать, что если |, — непрерывный в среднем квадра-
тическом стационарный процесс, Е|( Ф 0, то не существует случай-
t
ной величины r\, TaKoii, что п + | Isds — стационарный процесс.
о
10.210. Пусть ?( — стационарный процесс, ц — случайная вели-
величина. Будет ли процесс ?( = ?( + ii стационарным?
10.211. Найти спектральное представление случайного процесса
!,, определенного в задаче 10.175.
10.212. Пусть |( — действительный стационарный процесс с ма-
математическим ожиданием т а спектральной плотностью /(Я,). Поло-
Положим т), = ?( cos(Af + ф), где Л = const, ф — независимая от |, слу-
случайная величина, равномерно распределенная на [0, 2л). Найти
спектральное представление для чу-
§ 8. Мартингалы
10.213. Пусть |0, It, ... — последовательность независимых слу-
случайных величин с нулевыми математическими ожиданиями,
Sn = 1о + •.. + In- Доказать, что последовательность {5,,} образует
мартингал.
10.214. Пусть |о, |i, ... — последовательность независимых слу-
случайных величин, Е|„ = 1, п = 0, 1, ..., Хп = JJ |;. Доказать, что
1=0
последовательность {Хп} образует мартингал.
10.215. Пусть | — случайная величина с конечным математиче-
математическим ожиданием, {@~„}п>о — неубывающая последовательность
о-алгебр. Положим |„ = Е(|Г^"„). Доказать, что последовательность
{?„, &~„) образует мартингал.
10.216. Пусть {|ft> — последовательность независимых случайных
величин, {nj — последовательность случайных величин, таких, что
при каждом к (т),, ..., ч\к) и {|ц, t,k+i, ...) независимые совокупно-
совокупности случайных величин. Доказать, что если Е|А = 0, Eln^l < °°, то
последовательность
и
/(—1
является мартингалом.
203

10.217. Пусть {?„} — мартингал, Е|* < 00. Доказать, что Щ] —
субмартингал.
10.218. Пусть {?„} — последовательность неотрицательных слу-
случайных величин, имеющих конечные математические ожидания
Sn = ?о + •.. + |п. Доказать, что последовательность {SJ образует
субмартипгал.
10.219. Пусть {Хп, &~,) — мартингал, a g(x)—выпуклая функ-
функция, такая, что E\g(Xn)\ < °°, п = 0, 1, ... Доказать, что последо-
последовательность ig(Xn), &~n) образует субмартингал.
10.220. Пусть {?„> н {i]n} — две последовательности случайных
величин, такие, что при каждом п существуют совместная плот-
плотность распределения случайных величин %,, .. ., ?п — /n(^i, ..., х„)
и совместная плотность распределения случайных величин t]i, ...
. • ¦, Цп — ?п(л\, • • •. хп). Доказать, что последовательность
образует мартингал.
10.221. Пусть {Х,„ 9~,) — субмартипгал, a g(x)~ выпуклая пс-
убывающая функция, такая, что Е|^(ХП)| < °°, п = 0, 1, ... Дока-
Доказать, что последовательность ig(Xn), &~n) также образует субмар-
субмартингал.
10.222. Пусть {@~„) — неубывающая последовательность а-ал-
гебр, {XJ — последовательность случайных величин, таких, что А'„
измерима относительно &~„. Пусть В — произвольное борелевскоо
множество па прямой. Доказать, что момент первого попадания в
множество В\ тв = inf {п ^ 0 : Хп е В) является марковским мо-
ментом.
10.223. Пусть т и а — марковские моменты. Доказать, что т + а,
mm {т, а), max {т, а) — также марковские моменты относительно
той же последовательности о-алгебр, что и т, а.
10.224. Пусть т и о — марковские моменты. Будет ли случайная
величина т — а марковским моментом?
10.225. Пусть {Х„, #"„} — мартингал (субмартингал), т—мар-
т—марковский момент относительно последовательности а-алгебр {^"„}.
Положим т„ = min {«, т). Доказать, что последовательность
{ХТп, ^"п) также является мартингалом (субмартингалом),
10.226. Пусть {?n}n>o — последовательность независимых одина-
одинаково распределенных случайных величин, Р(|( =« 0)= Р(?( ¦= 2) —
п
= 1/2, Хп =¦ IJ |<. Показать, что не существует такой интегрируе-
мой случанпой величины 5 и неубывающего семейства о-алгебр
{?>1
(8)
10.227. Пусть |( — однородный процесо Пуассона о параметром
Я. Доказать, что ?« — ехр {%, — at) представляет собой субмартингал
при а^Це--1} и супермартингал при а > Х(е — 1).
9ОА

10.228. Пусть {#"„} — неубывающая последовательность а-алгебр,
3~ — а-алгебра, порожденная 11#~„. Пусть \ — измеримая от-
относительно ЗГ неотрицательная случайная величина, имеющая ко-
конечное математическое ожидание. Доказать, что lim Е (? | <F"n) = |.
П~*ОО
10.229. Пусть {§„} — равномерно интегрируемый мартингал,
5„ S* 0, | = lim |„. Доказать, что g,, = Е(|1#~„), где 3~п — о-алгебря,
порожденная величинами |,, ..., |„.
10.230. Пусть {X,,}, п 3* 0 — мартингал. Докапать, что ЕХ„ = ЕА'О
для любого п = 1, 2, ...
10.231. Доказать, что виперовский процесс, выходящий из нуля,
является мартингалом.
10.232. Доказать, что если ?,(?3*0)—процесс с независимыми
приращениями, %а = 0 и Е|( = 0 для любого t 3= 0, то |< образует
мартингал.
10.233. Пусть |(, t ^ Т — мартингал относительно семейства 9~,,
Е 1Ы2< °°. Доказать, что ?( имеет некоррелированные приращения.
10.234. Пусть |,, (>0 — процесс с независимыми приращения-
приращениями, ?„ = 0, Ё|, = 0, E(|,-|sJ = ^(O-^(s), e^t. Доказать, что
(|? — F(t), $~t)~ мартингал, где #~, = а(|и, ы ^ 0-
10.235. Пусть {U — мартингал и Е??,< оо, га = 1, 2, ,,, Дока-
Доказать, что для любого а > 0
Р ( sup \h\>a)^ Щ-.
10.236. Пусть {?„} — субмартингал. Доказать, что |„ = Tin + t,,,
где {т)„} — мартингал, а ?„ измерима относительно a(|i, ..., ^n-i)
и Р@^С|^С»<.--)=1-
10.237. Пусть {?„} — субмартингал. Доказать, что для лю-
любого а > 0
Етах/0, |„\
Р ( sup t,t > a) < 1-^--
10.238. Пусть {?„} — супермартингал. Доказать, что для любо-
любого a S5 0
Р ( sup |ft > a^ < i- (E max {0, ?„} - E?n +
10.239. Пусть {|„} — субмартингал. Доказать, что для лю-
любого а 5* 0
Р f sup | ?„ 4
10.240. Пусть {|„} — неотрицательный субмартингал, ES^^C,
n= 1, 2, ... Доказать, что почти наверное существует предел lini|n.
п*оо
п-*оо
205

10.241. Пусть {|„} — произвольный субмартингал, Е?п^С,
п »== 1, 2, ...Доказать, что почти наверное существует предел lim \n.
п-*ао
10.242. Пусть {?„) — неотрицательный мартингал. Доказать, что
почти наверное существует предел lim?n.
§ 9. Разные задачи
10.243. Найти переходную функцию пуассоновского процесса,
рассматривая его как марковский процесс.
10.244. Пусть wh t Зг 0 — винеровский процесс. Найти переход-
переходную функцию процесса ?( = w-t, ? =? 0, рассматривая его как мар-
марковский процесс.
10.245. Пусть w,, f5z 0 — винеровскпй процесс. Доказать, что
\wt\ — марковский процесс. Найти его переходную функцию.
10.246. Пусть Я/ — нуассоновский процесс. Найти Е([я<— я„]п),
п = 1, 2,...
10.247. Пусть я,, t > 0,— пуассоновский процесс с параметром X.
Доказать, что распределение л( — \t/l'\t слабо сходится при
t -*¦ °° к нормальному распределению с параметрами 0 и 1.
10.248. Показать, что если стационарный процесс является гаус-
совским и марковским, то его ковариационная функция имеет вид
се~а|", а Зг 0, с > 0 — некоторая постоянная.
10.249. Пусть wB — винеровский процесс, Ъ = е~ we2t. Показать,
что ?, — стационарный марковский процесс. Найти его ковариаци-
ковариационную функцию и спектральную плотность.
10.250. Пусть х(а)—момент первого достижения винеровским
процессом w, уровня а. Положим
о jwh t < т (а),
Wl-\a, t>x(a).
Доказать, что wat —.марковский процесс. Найти его переходную
функцию.
10.251. Пусть Wi — винеровский процесс. Найти вероятность со-
события / sup \ws\^ z, a^. w,^ Ь\,где z > 0 и —z<a<b<z.
lo<s«i /
10.252. Пусть w, — винеровский процесс. Найти функцию рас-
распределения случайной величины sup \ivt\ при условии, что wt = 0.
10.253. Пусть ш^1' и ivl2) — независимые винеровские процес-
процессы. Для любого вещественного t положим
- Ы", О о,
'"'"U «о.
Пусть, далее, ?( = -т-(и>| — ^i-лЛ h = const. Показать, что ?f — стаци-
206

онарньш процесс. Найти его ковариационную функцию н спектраль-
спектральную плотность.
10.254. Пусть ... |-2, l-i, lo, |i, 1з, ... — независимые одинако-
одинаково распределенные случг;шые величины, такие, что Е|& = О,
Е?* = о2. Положим Т1„ = !„ +^„-1 + ...+ 1„-т (га = 0, ±1, ...
..., т = const). Показать, что последовательность {цп} образует ста-
стационарный процесс. Найти ковариационную функцию этого про-
процесса.
10.255. Пусть ... 1-2, l-i, lo, li, 1г, ... — независимые одинако-
одинаково распределенные случайные величины, такие, что E|h = О,
Е1* = о2- Положим цп = Coin + ... + ст1„_т, п = 0, ±1, ..., где
Со, ..., ст — произвольные вещественные числа, т фиксировано.
Показать, что последовательность {цп) образует стационарный про-
процесс и найти его ковариационную функцию.
10.256. Показать, что функция R{t)= o2e~aW cos $t, где а, ^ и
о — некоторые положительные постоянные, может быть ковариаци-
ковариационной функцией непрерывного и стационарного в широком смысле
процесса. Определить спектральную плотность, отвечающую такой
ковариационной функции.
10.257. Пусть Хо, Xf, ... — ветвящийся процесс, Х„ = 1, ЕХ, = т,
ZK = XJmn, Доказать, что {ZJ образует мартингал.

ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
Глава 1
1.1. X = АВ U AD, где D — произвольное событие. 1.2. X = В. 1.3. а) Л =»
«= 0; В <= A; б) А = Q, В =JS. 1.4. Например, пусть А с: В, тогда и> е В =>-
=»- ы ^ J5 =*> ш s Л, т. е. А-гз В и т. д. 1.5. Первые два события достоверны,
а третье — невозможно. 1.7. а), б) да; в), г) нет; д) да; е) нет; ж), з), и),
к) да. 1.8. В случаях а), г), д), ж) — да, в остальных — пет. 1.9. а) Пусть
w e ABC, тогда tieiS и, следовательно, ы s АВ [} ВС U АС; б) пусть
w е АВ [) ВС [} АС, тогда либо ы s Л5, либо ы е ЛС, либо to e 5C. Пусть, на-
например, ы е ЛВ, тогда ы е Л и, следовательно, ю е Л U В U С. 1.10. Во всех слу-
случаях а) -д) - ничья. 1.11. а) П Ал б) ц Ал в) U ( А. П f П
i=l i=l i=l \ \;Vi
г) U I,- ...X ; д) U At ...A,; e) U ^ Л
/*+i \ ж) (Л ^)и (A 3')- M2-a) ^/4"n ^);
6) U /41{. 1.13. Событие В означает попадание вкруг радиуса Д6, собы-
i—1
тис С—в круг радиуса Яг и Д — в круг радиуса й3. 1.14. Л( U (/12\/Ii) U
U (A3\(Ai ЦА2)) U ... U (лЛ.U лЛ.Впрочем, можно и А = А [) 0 U ... U 0.
1.15. а) да; б) да. 1.16. Используя коммутативность и ассоциативность операции А
(предыдущая задача), получаем А АВ — CAD => {А&В) Д0= (CAD) Д 0 =*-
=*- (Л А 5) Д (С Д С) = (С А С) А (Я А 5) =^ (Л А С) Д E А С) = E Д С) А
A (BAD) =*¦ (А А С) А (В А С) А (В А С) = (BAD) А (В А С) А (В А С) =ф-
ЛДС ВАЙ (мы воспользовались тем, что для любого
0 17 Л В) П (" В) (Л Б) (АА U ЛВ В
>ЛДС (ы , д
события Е Е АЕ = 0). 1.17. (Л U В) П (Л" U В) П (Л U Б)_= (АА U ЛВ_и ВЛ U
U ВВ) П (Л U Щ (ЛЯ и Л U В) П (Л U В) = В П И U Щ ВЛ U ВВ ЛВ
я ) ( U ) П ( U ) П ( U )_ ( _и U
U ВВ) П (Л U Щ = (ЛЯ и Л U В) П (Л U В) = В П И U Щ = ВЛ U ВВ = ЛВ.
1.19. Л U В — A U (В\ЛВ), причем А П (В\ЛВ) = 0. Следовательно,
Р(Л U В) = Р(Л) + Р(В\ЛВ). Далее, В = (В\АВ) \}АВк (В\АВ) [\ АВ = 0.
Отсюда Р(В\ЛВ) = Р(В) — Р(ЛВ). 1.20. Имеем Р(ЛВ) = Р(Л U В) = 1 —
— Р(Л U В) = 1 — Р(Л)— Р(В)+ Р(ЛВ) = Р(ЛВ). 1.21. Воспользуйтесь равенст-
равенством А АВ= (А\АВ)[)(В\АВ). 1.23. Воспользуйтесь задачами 1.21 и 1.22. 1.24.
Примените метод математической индукции. 1.26. Пространство элементарных
событий Q = {w: ы = (ju ..., j'n)},/*= 1. • • •. ^; /*—номер шара, вынутого
на Л-м шаге. Число' различных упорядоченных наборов (/|, ..., ;п) равно Nn,
число различных неупорядоченных наборов—C^+n_r
1.27. С™Мт (N - M)"-my'Afn=: Om(l — P)"~m. 0 < m < га, где р - доля белых
шаров в урне. 1.28. A^/N11. 1.29. Пространство элементарных событий
Q = {ш : ш = (/,, ..., /„)}, /» = 1, ..., Л, все /» различны; /»— номер шара,
вынутого на км шаге. Число различных упорядоченных выборок равно Ау,
число различных неупорядоченных выборок — Сд,.
208

1.30. С%А™А"Д/4= С1С"-м/С". 0 < го < min(n, M). 1.31. 1/18 при 4 = 1;
2/801 при к = 2; 1/11748 при А = 3; 1/511038 при Л- = 4; 1/43949268 при 4 = 5.
1.32. С\/С\. 1.33. 1 — С|,/б*8. 1.34. 1/6"-1. 1.35. 1/2. 1.36. а) 6!/66; б) 1/65; в)
(Ъ-\-С\)/Ъй. 1.37. а) F" —5")/6"; б) п5"-'/6"; в) F" — 5П — и5п-')/6п.
1.38. Вероятность события {хотя бы раз шесть очков при 4-х бросаниях
кости } = 1 —54/64 да 0,5177. Вероятность события {хотя бы раз одновременное
ъыиадение шести очков при 24-х бросаниях двух костей) = 1 — 3524/3G24«0,4914.
1.39. Вероятности равны. 1.40. С™/2". 1.41. С^-т/с1+и-
1.42. а) л/Bл — 1); б) (л — 1)/Bл — 1). 1.43. B4-104-36!)/40!.
.--1)/B«-1). 1.45. (
6)^+6-1)- 1-47. 25!/([5!]5525).
Г" (а +6)^+6-1)-
если к + ? + /и = п. 1.49. Вероятности равны. 1.50. 1/A +а). 1.51. a/(a+b).
1.52. Пусть N ц Л/ — соответственно число черных и белых шаров. Покажите,
что вероятность выбора двух шаров одного цвета равна (Л2 -f- i72)/(;V + М)'г.
2(N — r—i)
1.53. Вероятности равны. 1.54. 2/W; 2/(/V— 1). 1.55. —д, (jV_1)—I 2/(iV— 1).
1.56. Пространство элементарных событий П= {w : w = (/ь ..., /n)},
jk =1, ..., Л'; /), — номер ящика, в который помещен к-& шар. 1.57. Множество
ксех различимых размещений можно описать как множество наборов
(гь ..., rN), где г* — количество шаров в к-м ящике, г* = 0, 1, ..., п. Число
различных размещении равно Cjv+n-r 1-58. Лд- для различимых шаров; С1^
30! 8! 1
для неразличимых. 1.59. C|J F|J12, • ^BlJT'^-
1.60. C^(iV - l)n~h/Nn = C*ph A - p)""ft, где р = 1AV - вероятность любому
л! 1
шару попасть в данный ящик. 1.61. —j г •. 1.62. л!/лп.
.63. 1 - [ 2 (-.1)*^* (" - *)"+2)/'in+2.
\ft=o
1.64. (Си Д (- 1)*С*_а (л - 2 - ft)»+»)/»»+i. 1.65. CJ-J.
1.66. «n = cjbm-2/C?n"-1i- I-67' ^^rVC!
1.69. 1/C^n. 1.70. C'lt/22n. 1.71. a) D!48!)/52!; 6) 2C^50!/52!;
24C12C12C12
B)D9-3iL!48!/52!. 1.72. a) ¦" Д' iV ? б) ^^ в) D!I7(cJ»C»C1i;);
г^ ^^^«Э t/13-a1o26+a1l'i3-a1-aal'l3+a1
N N
1.73. a) 1-1/2! +.,. + (- lP-i/JV!; 6) 2 2<~ ^""I'W-
jV-m
1.74. 2 ((-Vh (N-m-k)\/(m\N\k\)).
1.75. (-1)тл!г!/(т!яг) 2 ((- Dj (» - /)г"*/((/ - »•)! (n - ;)! (r
1.76. C^C^-yC;^^. 1.77.
14 А. В. Прохоров и др. 209

i.79. С 2 /2", если л + к четно и 0, если п + к почетно. 1.80. C\h_j2ih~l,
где к = -jj- . 1.81. О, если п не делится на 4, (с'^2/!J, если п = 4/с.
1.82. Множество ^"i пе является пустым, только если п — четное. В этом
случае искомая вероятность равна 1/(в—1). 1.84. Пусть х и у —- моменты
прихода двух человек на встречу. В качестве пространства элементарных со-
событий 'рассмотрим множество точек (х, у) плоскости, образующих кпадрат:
0^г^1, 0^1/^1. В качестве класса событий возьмем класс всех подмно-
подмножеств квадрата, имеющих площадь. Вероятности событий будут измерять-
измеряться площадями. Все точки (х, у), которые «благоприятствуют» встрече,
удовлетворяют условию: \х — i/| sg 1/6. Площадь полученной геометриче-
геометрической фигуры равна 1 — A — 1/6J = 11/36, это и есть искомая вероятность.
1.85. а) 2/27; б) 83/108. 1.86. 1/4. Ср. с задачей 1.103. 1.87. Обозначим че-
через х расстояние от середины случайной хорды до ближайшей прямой,
0 «; z г? а/2, через ер — острый угол между иглой и перпендикуляром к прямым,
0 <; ф <; я/2. Положение иглы полностью определяется значением координат
щф. Бросание иглы «наудачу» пптерпретируем как бросание точки с коорди-
координатами (х, ф) «наудачу» в квадрат: 0 s? х sg а/2, 0 г? ф е? л/2. Площадь области
в которой лежат точки, благоприятствующие пересечению иглой прямых, равна
Л/2
( Icosxdx = 1/2. Поэтому искомая вероятность есть 21/(ал).
о
1.88. Dг(а + 6) — 4г2)/яа6. 1.89. 1/3. Эта задача и две следующие имеют отноше-
отношение к так называемому парадоксу Бертрана; если «наудачу» выбирать хорду
в некотором круге, то вычисления вероятности того, что хорда превзойдет
сторону правильного вписапного треугольника, приводят к разным ответам,
в зависимости от смысла, вкладываемого в предположение о случайности по-
положения хорды в круге. 1.90. 1/2. 1.91. 1/4. 1.92. 1 — 2R/a. 1.93. 13/24. 1.94. 2/я.
1:95. 1/3. 1.96. С» (в1/(в1 + а2))т («„/(« i + ))п
п! ' Г (
J97
= т1+ ... +т§. 1.98.[1-(а/Д)»]№. 1.102. я/4. 1.103. 1/4. 1.106. Вос-
Воспользуйтесь тем, что Р(А) =WlJ АВЛ =]^Р(АВк). 1.107. Воспользуй-
2,
9 (АС) к
тесь формулой полной вероятности. 1.108. Р (А\С) = р ,q, = рТс] =
=2l9(A\BkC)P(Bh\C)wl.l09. Да. 1.110. Вообще гово-
CJ — =2l
ft
ря, пет. 1.111. Докажите, что .вероятность извлечения п\ белых и щ черных
шаров в фиксированном порядке равна
а (а + с) (а + 2с) ... (а + п^ - г) Ь (Ь + с) ... A> + п^с - с)
(а + Ь) (а + ft + с) ... (а + /> + пс — с) *
1.112. Используйте метод математической индукции. 1.113. Докажите по ипдуи-
ции, что вероятность извлечения белого шара па Д--м и т-и шагах ранни
, b • а I ^ I c- 1.H4. Воспользуйтесь предыдущей задачей.
1.115. (р,/A + />,) Ч- W(l + Рг) + Рз/A + Pi)) 13.
и +
1119
210

1.120. e~*
2N,
ShMh [у 2NiMi 1
(Л'„ + мк -1) [ ? (jv, + л/,) (лг, + л/, - i)J л-12 з
Л,(ЛГ +1)+М,ЛГ2
ЛГ2) 1123 112
1.122. (ЛГ —2)/BiV —2). 1.123. ,у ,j_ д/) (ЛГ + Af + 1)" U28< 2/3t
1.129. а) 1/75; б) 1/25; в) 1/15; г) 1/24? д) \/Ъ; е) 1/91. 1.130. 19/27.
1.131. а) 1/3; б) 1/3. 1.132. Воспользуйтесь формулой Байеса и найдите а^ — а
/ / s
"*i ik \tl 1—^]// ^"i "^i ik \?'i—"
/ \ j=i
.„ i^ a;/'i2 (I"/',) 2
,. ?)•)—mo
mi+m2/i «i.+но —ni, —mo
/(/1В) , .- P(A)—P[AB)
1.134. Воспользуйтесь равенствами f (Л | В) =~/77дГ. ^ (^ | B) =
или формулой полной вероятности. 1.135. Р(А) =0, Р(В) = р, РD\8) =0.
Действительно, из первого равенства следует, что Р(<4)Р(В) = 0, т. е. либо
Р{А) =0, либо Р(Д) =0. Отсюда и из второго равенства следует, что либо
Р(Л\5) = р, либо Р(В\Л) = р. Третье равенство показывает, что справедли-
справедливо последнее. Отсюда получаем нужные равенства. 1.136. Р2(Л) = Р(Л)-Р(Л) =
= р(Л (]А) =9(А) или 9(А)A — 9(А))=0. 1.137. Всегда Р(ЛВ) s? Р(Л).
Пусть 9{А) = 0. Имеем 9(АВ) й?Р(Л) = 0, Р(А)9(В) = 0-Р(В) = 0. Если же
9 (А) = 1, то Р(Л5) = 9 (А В) + 0 = 9(АВ) + Р(ЛВ) = Р(В) =Р(Я)-1 =
= Р(Й)Р(Л). 1.138. 1 = РD U В) =9(А)+9(В) — 9(АВ) =9(А) +9(В) —
— Р(Л)Р(#), откуда 1 — 9(В) = Р(Л) A — Р(В)). Отсюда следует, что либо
9(А) = 1, либо 9(В) = 1. 1.139. Р(Л)Р@) = 9(АВ) = Р((Л U Я) П ЛВ) =
= Р(Л и^)Р(ЛВ) = (Р(Л)+Р(В)-Р(Л)Р(В))Р(Л)Р(В), откуда, применяя
предыдущую задачу, получаем нужные соотношения. 1.140. а) Да, б) нет.
141. а) Нет, б) нет. 142. а) Да, б) нет. Приведем решения: а) пусть Q = [0, 1],
вероятность равна мере Лебега, а события Л, В и С есть соотпетственно
А = [0, 1/2J, В =[1/4, 3/4], С =[1/16, 5/16] U [9/16, 13/16]. Тогда
Р(Л) = Р(В) = Р(С) = 1/2, Р(АВ) = Р(ЙС) = Р(ЛС) = 1/4 (и, следовательно,
Л, В и С попарно независимы), Р(ЛВС) = 1/16, Р(ЛВ П ВС)= Р(ЛВС)= 1/16 =
= Р(Л)Р2(В)Р(С) = Р(ЛВ)Р(ВС), и аналогично Р(ВС (] АС) = Р(ВС)Р(ЛС),
Р(ЛВ П ЛС) = Р(ЛВ)Р(ЛС); б) независимость в совокупности означает, во-пер-
иых, что Р(АВС) = Р(АВ П ВС) = Р(АВ)Р(ВС) = Р(Л)Р2(В)Р(С), и, во-вторых,
что Р(ЛВС) = Р(ЛВ П ВС П АС) = Р(ЛВ)Р(ВС)Р(ЛС) = Р2(Л)Р2(В)Р2(С), отку-
откуда Р(Л)Р(С)Р2(В) = Р2(Л)Р2(С)Р2(В). Но это невозможно, так как вероятности
событий А, В а С по условию отличны от нуля и единицы. 1.143. Нет, пе обя-
ааны. Возьмем вероятностное пространство предыдущей задачи и положим
Л = [0, 1/2], В = [1/4, 3/4], С = [3/8, 7/8]. Тогда 9(А) = Р(В) = 9(С) = 1/2,
Р(ЛВ) = 1/4 (и, следовательно, А и В независимы), 9(АВС) = 1/8,
Р(С(Л U В)) =3/8, Р(Л U В) =3/4 и, таким образом, С не зависит от АВ и
A U В, но, очевидно, С зависит от Л и от В, так как Р(ЛС) = 1/8 ф Р(Л)Р(С),
Р{ВС) ='ЩфР(В)Р(С). 1.144. Р((Л ЦВ)Г\(СиЩ) = Р(ЛС U AD [} ВС \J /3D) =
= 9(AC)+9(AD)+9(BC) + 9(BD) = P(A)P(C) + P(A)P(D) + P(B)P(C) +
+ P(B)P(D) =Р(Л)(Р(С) +Р(О))+ Р(Д)(Р(С)+ P(D)) = Р(Л)Р(Д
14* 211

X (P(C) + P(D)) = Р(Л U B)9(C U D). 1.145. Имеем
Р(ЛЯС) = Р(Я)Р(ЛС), A)
Р(АВС) = Р(С)Р(ЛД), B)
Р(ЛВС) = Р(Л)Р(ЙС), (Ь)
Р(А)(9(В)+Р(С)-9(ВС)) = Р(А)Р(В\}С) =
= Р(А(В[)С)) =9(АВ\)АС) =Р(ЛВ) + 9(ЛС) - Р(АВС).
Подставляя в последнее равенство выражение для Р(АВС) из C), получаем
Р(А)Р(В) + Р(А)Р(С) — Р(А)9(ВС) = Р{АВ) + 9(АС) — 9(А)Р(ВС) или
9(А)9(В) + Р(А)Р(С) = Р{АВ) + Р(АС). Запишем это в виде
9(АВ) — 9(А)9(В) = Р(А)Р(С) — Р(ЛС). (\)
Приравнивая правые части A) и B), получим Р{ЛВ) = 9(В)9(ЛС)/Р(С).
Подставим это выражение в D):
- Р ^)] = *(А)9 (С) - Р (АС) = Р (С) [р (А) -
9 (АС)
откуда Р (А) — р iq\ — О ПЛИ Р(АС) = Р(Л)Р(С). Отсюда и из A) получаем
Р(АВС) = P(<4)P(fi)P(C). Используя это равенство, из B) и C) получаем ут-
утверждение. 1.146. Пусть Q = (о)|, ш21 ш3, ш4), ¦P(o)j) = 1/4, ^i = (о)|, <i)(),
Л2 = (ш2, ш4), Л3 = (мз, Ы4). Тогда Р(Л^ = 1/2, Р(Л(Л;) = Р(ш4) = 1/4, хф\,
9(АхА2Аг) = Р(ы4) = 1/4. 1.148. Пусть А\, А2, А3 — события, введенные в от-
ответе к задаче 1.146. Тогда А = Ai, В = А2, С = Аг удовлетворяют условию
данной задачи. 1.149. В силу независимости А и В, А и С, А и ВС имеем
9(АВ) +9(АС) —9(АВС) =Р(Л)[Р(В) +9(С) —9(ВС)], откуда следует неза-
независимость А н В U С; В и С могут быть зависимы. 1.150. Найдите
... An). 1.151. Пусть в урне N белых и М черных шаров Покажите, что
) ~
1.153. (i/i) (./)(JVi)
1.154. Воспользуйтесь методом математической индукции.
Глава 2
2.1. В качестве пространства элементарных событий возьмем множество
всех конечных цепочек длины не меньшей 2 из символов Г и Р, в которых со-
сочетание ГГ содержится только в конце цепочки, а также множество бескопеч-
ных цепочек из Г и Р, не содержащих сочетания ГГ. В качестве о-алгебры со-
событий возьмем множество всех подмножеств этого пространства, а вероятности
определим следующим образом: каждому событию, определенному цепочкой
длины п припишем вероятность 1/2", а событию, определенному цепочкой бес-
бесконечной длины — вероятность 0. Разыскиваемая в задаче вероятность равна
19/32. 2.2. Пространство элементарных событий — множество всех цепочек ко-
конечной длины (не менее 2) и бесконечной длины, в которых гербы и решки
строго чередуются, о-алгебра событий — множество всех подмножеств. Веро-
Вероятность события, состоящего из одной цепочки длины п, равна 1/2". Искомая
вероятность равна 2/3. 2.3. В качестве пространства элементарных событий
воаьмем все конечные цепочки длины г, г +1, ..., содержащие ровно г буки
Г и оканчивающиеся буквой Г, а также бесконечные цепочки, содержащие но
более г — 1 букв Г. Указанное в задаче событие насчитывает С^2\ элемен-
элементарных событий. 2.4. Первое событие означает, что выбранная точка не равна
1, второе событие совпадает с 0. 2.5. Пусть sf- — произвольная алгебра. Пока-
ПокаA B# А\В 4 26 Н
, р у р р
жите, что если A, BeJ#, то А\В s S4-. 2.6. Например, множество всех отрез-
отрезков вида (а, 6] на отрезке @, 1] @ < а < 6 г? 1). 2.7. Например, множество
всех конечных подмножеств отрезка [0, 1] я их дополнений. 2.8. Единственный
212

пример — множество всех подмпожеств Q. 2.9. а) 0, [0, 1], [0, 1/3), [1/3, 2/3],
B/3, 1], [0, 2/3], [1/3, 1], [0, 1/3) U B/3, 1]; б) 0, [0, 1], [0, 1/2], [1/2, 1].
[О, 1/2), A/2, 1], {1/2}, [U, 1]\{1/2}; в) 0, [0, 1], {0}, \l), @, 1], [1, 0), @, 1),
{О, 1}; г) 0, [0, 1], [0, 1/3), J1/3, 1/2], A/2, 1], [0, 1/2], [1,/3, 1],
[О, 1/3) U A/2, 1]; д) 0, [О, 1]; е) 0, [0, 1]; ж) 0, [О, 1], множество всех ра-
рациональных точек отрезка [0, 1], множество всех иррациональных точек отрня-
ка [0, 1]. 2.10. а) Все не более чем счетные подмножества Q и все подмнои.е-
ства il, отличающиеся от Q не более чем в счетном числе точек; б) то же само!»;
в) множество всех подмпожеств Q; г) то же самое. 2.12. а) да, б) вообще го
поря, нет, в) заведомо нет, г) заведомо нет. 2.13. Мощность континуум;!.
2.Й. Очевидно, что 0е^ е йел!. Пусть А е st-. Тогда существует такое
«о, что -4ein и, следовательно, -4е^„ cr st,r. e. si- замкнуто отпоситоль
по взятия дополнений. Остается доказать, что si замкнуто относительно взп
тия конечных объединении. Пусть А\, ..., <4neJ#. Тогда существуют такие
ш,, ..., ш„, что Аг<= s?m_. Положим т.= max m{. Тогда 4(Е^га
' и Ki<n г
1 = 1, 2, ..., п, и, следовательно, (J Ai e stm с si-. 2.15. Нет; нет; да.
i=i °
2.17. Воспользуйтесь задачами 2.13 и 2.16. 2.18. Может. 2.19. а) Нет, б) да. 2.20.
2 и 2". 2.21. В обоих случаях это множество всех событий вероятности 0 или 1.
2.22. Вообще говоря, нет. 2.23. Воспользуйтесь формулами двойственности.
ш оо оо
2.24. Имеем lim sup An = П U Ль- При каждом n U Ah принадлежит о-ал-
n=l A=n h=n
гебре, порожденной А\, Л2, ... (как счетное объединение элементов о-алгеП-
ры), и, следовательно, их счетов пересечение также принадлежит этой о-ал-
гебре. 2.25. lim sup (An (J B\ = П lj (Ah U B,\ = П (( Tl Ah) (J f U вЛ)
n=l A=n n=l\\ft=n / \ft=n //
— ( П U Л ] U [ Л U В ) = lim sup An U lim sup Bn. 2.26, 2.27. Восполь-
\n=i h=n I \v,=l h=n i
вуйтесь о-аддитивностью вероятностной меры. Доказанное соотношение ха-
характеризует непрерывность вероятности (вообще, о-аддитивной меры). 2.28.
оо
Рассмотрим множества Bt = Л^Лг ... A~i-iAt. Они не пересекаются и U Ап =
п=1
оо
= (J В . 2.30. Докажите, что множество значений фупкцииР (А) плотно на от-
резке [0,11, и воспользуйтесь предыдущей задачей. 2.32. Каждый элемепт s4- пред
ставим в виде счетного объединения или пересечения элементов Я. 2.33. В ка-
качестве Q возьмем окружность единичной длины. А\ — дуга длины 1/2 с произволь-
произвольным началом, каждое А„{п = 2,3, ,..)— дуга длины 1 — n_i_ | с началом в кон-
конце дуги Ап-1 (дуги берутся в одном направлении, скажем, против часовой стрел-
стрелки). 2.34. Р (lim inf АЛ = Р ( lj fl 4ft)*»limP(n лЛ <liminf P (Л ) <
\«=1А=Л / n-»oo \ft=n / '
< lim sup Р (АЛ = lim Р ( U аЛ = Р (n U \) = P(lim sup АЛ. 2.35. Да.
' п-юо \h=n J \n=>lft=n / '
2.36. Р (lim sup Л„) = р( П U i4k)-limPfu aX ho pfu Ah) =
' \n=i ft=n j n-*oo \ft=n / \k=n J
fm+n \ fin+m-i \ \
-= lim P U Ah =- lim P U ^ft^ft+i U An+m <
m-»oo \h=n "/ m-»oo \\ h=n " A+1/ + /
(n+m + l _ \ oo
2 P (^ИА+1) + > (An+m) )< 2 P DA+i) + Iim P (An+m) =
ft=n
213

при n-*-oo. 2.37. Не обязательно, например, Агп-\ = А, А^п = А, Р(Л)=-^- .
2.38. lim Р (Ап) = lim (Р (АпВ„) + Р D,Л)) = lim P (АпВп) +
?)-*оо 71-* оо 71-* оо
-t- lim PDB)< lim Р (й,Л + lim Р(АпВп) = lim P MnJ3,,\ Обратное
Р(ЛП)
неравенство очевидно. 2.39. Воспользуйтесь соотношениями ,5—v ' =
р (лА)
= ^ " п> —'* " "' = 1 + р "д" • От условия A) отказаться, вообще го-
говоря, нельзя. Например, возьмите в качестве вероятностного пространства
отрезок [0, 1] с о-алгеброй борелевских подмножеств и мерой Лебега и А„ =
= [0, 1/л], Вп = [1/Bл), 1]. 2.40. Легко видеть, что
А = U A6 И < а) Л A1 (со) > а}), Я = Q\^ U ( U (tl (ы) > a} ft [у] (ш) <а}))),
С ^= А [} В, где U означает объединение по всем рациональным а. Множества
{?() > а} и (п(ш) < а} являются событиями по определению. 2.41. Нет,
не обязана. Например, Q — отрезок [0, 1], А — о-алгебра счетных под-
подмножеств и их дополнений, Р — мера Лебега, ? = ш. 2.42. е) {min {?, i|) ^ х) —
¦= {^ ^ х) U {ri ^ х} — событие. Таким образом, все подмножества вида
{min {?, г|} ^ х} принадлежат о-алгебре событий, следовательно, ей
принадлежит о-алгебра, порожденная классом множеств такого вида, т. с.
о-алгебра, порожденная функцией min {I, r\). Это по определению означает,
что min {?, т)} — случайная величина. Аналогично проводится доказательство
в других случаях. 2.43. а) Нет, б) нет, в) нет, г) да, д) да, е) нет. 2.44. Восполь-
Воспользуйтесь соотношениями |w: inf ?„ < х\ = U (ш: |„ < х\ и sup ?„ = — inf (— g(/).
1 n ' и n n
2.45. Нет. 2.46. Пусть (Q, s&, P) — вероятностное пространство, на ко-
котором задана случайная величина | и ?8 — о-алгебра борелевских мно-
множеств прямой. Пусть В^3&. Так как /(х)—борелевская функция,
/-'(S) =В\^ЗВ. Но гр'(Я) = 1~'(S|) e & и, следовательно, г| — случайная
величина. 2.47. Воспользуйтесь определением борелевской функции.
2.48. (/д- /вJ= 1\- 21А1В + /|= /А + /в - 2/А/в = /Ачв + /АВ + 1В^А~
+ 7АВ~ llAlB= fA\B+ IB\A+ IAIB+IAfB— 2IAfB= IA\B+IB\A==/A&B-
2.49. fi — множество всевозможных последовательностей из пяти букв, две из
которых — буквы Ч, а три — буквы Б, s? — множество всех подмножеств Q,
Р приписывает равные вероятности всем одноточечным событиям, о-алгебры,
порожденные случайной величиной ?: а) о-алгебра, порожденная событиями
Ло, А\, Лг, Аз, где Ло—множество всех элементарных событий, начинающихся
буквой Ч, А\ — начинающихся комбинацией БЧ, А2 — комбинацией ББЧ, Л3 —
ВББЧ, б) тривиальная о-алгебра: 0, Й, в) о-алгебра, порожденная событиями
Ви /?2, из, #4, Bs, где В\ — множество всех элементарных событий, начинающих-
начинающихся комбинацией БЧ, В2-ЧБ, В3-ББЧ, 54-ЧЧБ, Въ - БББЧ. 2.50. а) 0, О,
[0, 1/4); [1У4, 3/4), [3/4, 1], [0, 3/4), [1/4, 1], Q\[l/4, 3/4), б) ?ф (т. е. о-алгебра
борелевских подмножеств отрезка [0, 1]), в) 0, Q. 2.51. Всевозможные множе-
зо
ства вида U (А-^-2як), где А—борелевские симметричные относительно
Ь=-оо
начала координат подмножества отрезка [—л, я], А + а — сдвиг множества А
оо оо
на о вправо. 2.52. а) А = [} ft l\n < т\. 2.53. Пусть вероятностное про-
m=i n>=i '
странство (Q, s&, Р) представляет собой отрезок [0, 1] с о-алгеброн борелев-
борелевских подмножеств и мерой Лебега. Положим ? — ш. Поскольку каждая случай-
случайная величина на этом вероятностном пространстве является борелевской функ-
функцией to, a to = g, каждая случайная величина является борелевской функцией %.
214

тельио, в
ОО 00
2.54. U Л = [О, 1). П Ап = |о, l/г'з] (воспользуйтесь тем, что ^-»-1 при
71 — 1 71=1
л ->-оо н min 1/'| и = 1/у з). 2.55. Интеграл Лебега по множеству нулевой
71
меры равен пулю. 2.56. Если Р(? = 0) = 1, то Р(|2= 0) = 1 ц, в силу предыду-
предыдущей задачи, Е?2 = ЕО = 0. Пусть Е|2 = 0 и предположим, что Р(? = 0) < 1.
Тогда существуют е > 0 и б > 0, такие, что Р(|Ц > е) > 6. Но тогда Eg3 —
= i ?2 (w) P {du>} ^ j ?2 (со) P {dm} ^ е-б > 0. 2.57. Достаточно воспользоваться
a |s|>e
неравенством jmax{?, 11}| sg 11| + \r\\ Обратное, вообще говоря, неверпо.
2.58. Воспользуйтесь равенством % + Ц = min {?, ц) + max {%, г\} и следующим
очевидным неравенством, справедливом для любых вещественных а и 6:
\а\ s? [max (а, 6)| + |min(a, 6)|. 2.59. Докажем, например, первое неравен-
неравенство. Для любого 1 sg i sg; п %i sg max {?i, ..., |n} п, значит, Eg< ^
^ E max {li, ..., ?„}. В силу произвольности i это означает, что
max {Е?ь ..., Е|„} <Emax{gi, ..., |„}. 2.60. % = ц и I имеет распределение
г
с плотностью з ПРП х > 0 п 0 при х < 0. 2.61. Последовательность
п
VI,, = ^ %h частичных сумм удовлетворяет условиям теоремы о монотонной
(i=i
сходимости, поэтому lim Ет)п = Е lim r\n, откуда следует нужное соотноше-
п^»оо п~*оо
ние. 2.62. Воспользуйтесь теоремой о монотонной сходимости. 2.63. Положим
11
Вп = П \. Тогда последовательность Bit B2, ... не возрастает и, следопа-
А=1
о, в сплу задачи 2.36 Р f П >0=p( П Bh) =lim РE„) = lim ТТр (Л) =
U=l / \ft=l / П-юо П-»оо ^
ОО
== JJ P (Ak). 2.64. Воспользуйтесь предыдущей задачей и тем, что для
ft=i
ОО
абсолютной сходимости бесконечного произведения JJ A + ап) к некоторо-
71=1
ОО
му отличному от нуля пределу, необходимо и достаточно, чтобы ряд 2 ап
71=1
абсолютно сходился. 2.65. Пусть Я — произвольное семейство попарно незави-
независимых событий. Докажем, что для любого А: = 2, 3, ... и любых
И|, Л2, ... Ake.98 выполняется равенство
РD,П ... ПАк) =РМ,)- ... -PD») A)
(т. е. все элементы ^9 независимы). Поскольку Л2, Лз, ... Л* не зависят от А,,
отим же свойством обладает их пересечение (множество событий, не завися-
зависящих от 4|, образует алгебру и, следовательно, замкнуто относительно коноч-
коночных пересечений), поэтому Р(.4, П ••• П Ah) = Р(Л,)Р(Л2 П ••• ГМ*)- Анало-
Аналогичные рассуждения показывают, что Р(/42 П ••• П Ah) = Р(Л2)Р(<43П ••• П Л*)
и т. д. В конце коппов приходим к A). 2.66. Еслп все события имеют вероят-
вероятности, равные 0 пли 1, то ясе они, очевидно, независимы и тем более попарно
независимы. Обратно. Пусть все события попарцо_ независимы и существует
такое событие Л, что 0 < 9(А) < 1. Тогда 0 < Р(Л) < 1, и Р(АА) = Р@)' =
= O=jt P(A)P{A). 2.67. Нет (например, А не зависит от В и, следовательно, В
не зависит от А, по А, если оно имеет вероятность отличную от нуля и едини-
единицы, зависит от А). 2.68. Нет. Пример: П = {1, 2, 3, 4}, А = {1, 2}, В = {4},
С = {2, 3}, Р{1} = Р{2} = Р{3} = Р{4} = 1/4. В зависит от А, С зависит от В,
«о С пе зависит от А. 2.69. Достаточпость очевидна. Необходимость. Пусть
215

отношение независимости транзитпвно и существует событие А такое, что
О < Р(А) < 1. Тогда 0 не зависит от А и А не зависит от 0, но А, очевидно,
зависит от Л", что противоречит транзитивности. 2.70. \Р(А ("I А) — Р(Л)Р(Л) | ¦=»
= |Р(Л) — Р(А)Р(А)\ «= Р(<4)A — Р(Л)) г? е. Решая относительно Р(Л) полу-
полученное квадратное неравенство, получаем Р(А) е? A т-VI — 4е)/2, либо Р(Л) ^»
5; A + V1 — 4е)/2. Остается воспользоваться неравенствами A — VI — 4е)/2^
<2е, A + V1 —4е)/2^1 —2е. 2.71. Пусть Р(<4) г? е. Тогда Р(Л)Р(В)^е и
Р(ЛВ)<Р(Л)<е и, следовательно, \Р(А)Р(В) — Р(ЛВ) | «? шах (Р(Л)Р(В),
Р(ЛВ)} «g: е. Если же Р(А) ^ 1 — е, то Р(Л) <g: e и, следовательно, А и любое
событие В е-независпмы, откуда (см. следующую задачу) получаем е-независи-
мость событий Л и В. 2.72. а) Имеем Р(ЛВ) = Р(В) — Р(АВ), Р(А)9(В) =»
= A_Р(Л))Р(Я) = Р(В)—Р(А)Р{В), поэтому |Р(Л)Р(В) — Р{АВ)\ =»
= |Р(Л)Р(В) — Р(Л.В) | <g: e; б) и в) доказываются аналогично. 2.73. Каждый эле-
элемент алгебры, порожденной полуалгеброй, представим в виде конечного объеди-
объединения непересекающихся элементов полуалгебры. 2.74. Пусть st- — произвольная
алгебра событий и о (si)— порожденная ей о-алгебра. Покажите, что для любого
А ¦= o(s&) и любого е > 0 найдется Ве е st, такое, что Р(А Д 5t)s? e. 2.75. Нет.
2.76. Обозначим о-алгебры, фигурирующие в условии задачи, st и Я. Пусть
Л е= sf-и В<=¦ 38 ъ Q < Р(Л) < 1, 0 < РE) < 1. Предположим, что si (J 9S — ал-
алгебра. Тогда Р(АВ) = Р{А)Р(В) = 0 или 1 и АВ е sf- U Я и, следовательно, ли-
либо AB^sf-, либо АВ^ЗИ. В первом случае АВ не зависит от В, во втором —
от А и, следовательно, в первом случае Р{А)Р2(В) = Р(ЛВ)Р(В) = Р(АВ ПВ) =
= Р(АВ) =. Р(А)Р(В), во втором — Р2(Л)РE) =Р(АВ)Р(А) =Р(АВ(] В) =
= Р(Л) • Р(В). В обоих случаях приходим к противоречию. 2.77. Нет. Положим
| 1 с вероятностью 1/2,
1— 1 с вероятностью 1/2.
2.78. Нет. | не равно с вероятностью 1 постояпной, Т) = |, <р = —|. 2.79. Если
случайная величина | не равна с вероятностью 1 постоянной, то существует
борелевское множество В на прямой, такое, что 0<P(|si5) < 1. Но тогда
Р(?еВ, S ? Б) = <)¦?? Р(? е В)Р(| s Б). Если же 5 равна с вероятностью 1
постоянной, то она не зависит от любой случайной величины, заданной на том же
вероятностном пространстве и, в частности, от самой себя. 2.80. Когда для пекото-
( \ / \
U il = а + 2nfe} U U {? = — «
имеет вероятность 1. 2.81. а) Нет, б) да, в) да. 2.82. Возьмем про-
произвольное из п элементарных событий—w,. Пусть | и т) — произвольные слу-
случайные величины, определенные на этом вероятностпом пространстве и прини-
принимающие п различных значений каждая. Положим |(о)|) = а, т|(o>i) = 6. Тогда
Р(? = а) = P({(di}) = Р(г) = 6) (это справедливо, так как не существует
других элементарных событий, на которых | принимало бы значение о или
Ч-Ъ). Имеем Р(| = а, г\ = 6) = Р({ш,}), P(g = а)Р(ч = Ь) =р2({ш,}), т. е.
1 и г| зависимы. 2.83. Пусть к — число различных событий из st-, вероятности
которых отличны от 0 и 1. Очевидно, к <; п — 2. Предположим, что ни одпа из
случайных величин |i, ..., ?n-i пе равна с вероятностью 1 постоянпой. Тогда
существуют вещественные числа а\, ..., а„_,, такие, что 0 < Р(?( = а{) < 1,
г =» 1, 2, ..., и — 1. Обозначим At = {|i = а(}. Имеем га —1 событие, вероят-
вероятности которых отличны от 0 н 1, следовательно, по крайней мере два из них
совпадают: At = Aj, 1ф ]. Но тогда Р(Л<) = P(AiAj) = P(?t = at, |j = at) •=
= P(g| c= a()P(^ ¦= aj) =P(A{)P(Aj) -= Р2(Л(). Противоречие. 2.84. Восполь-
Воспользуйтесь тем, что на этом вероятностном пространстве нет двух независимых собы-
событий, каждое из которых отлично от 0 и Й. 2.85. Например, |A) = |B) ¦= 0,
|C) = gD) = 1, т)A) •= т)D) = 0, т)B) =iiC) => 1. 2.86. Нет. (о-алгебра, по-
порожденная случайной величиной |, совпадает с^и, следовательно, содержит
о-алгебру, порожденную любой другой случайной величиной). 2.87. Воспользуй-
Воспользуйтесь тем, что о-алгебра, порожденная случайной величиной min{l, |} содер-
содержится в о-алгебре, порожденной |, и то же самое для т). 2.88. Воспользуйтесь,
тем, что {со; min {а, ?} ^ а} =• {ы: % ^ а}, {ш: min {b, ц) ^ 6} = {ш: г\ > Ь}
2 Hi

для любых а и_ Ь. 2.89. о-алгебры, порожденные случайными величинами j(\) и
g{r]) принадлежат соответственно о-алгебрам, порожденным случайными вели-
величинами бит). 2.90. Могут; ответ не изменится. 2.91. Да. Пусть вероятностное
пространство (Q, si-, Р) представляет собой отреэон [0, 1] с о-алгеброй борелев-
ских подмножеств и мерой Лебега. Положим 6"* ы. f\x) =- 1 при х > 1/2 и
f(x) = 0 при х < 1/2, g(x) »= 1 при 1/4 ^ х < 3/4 и g(x) — 0 при остальных
значениях аргумента. Тогда /(?) -=- /(<о) и g(%) -» g(to) и легко видеть, что
/(ы) и ^(ы) независимы. 2.92. Р(| > 0, г] > 0) < РF + il > 0) — 1/2 < 9/16 =
Р(| >О)Р(л >0). 2.93. р2 — РF >0)Р(т)>0) =Р(|>0, r)>O)s?
+0) P({g>0 0}U{?>0, ti<0}U{S<0, т)>0})«=
, ))+(?, i^)E^0, ri>0)-P(8>0)P(ri>0) +
(% >0)P(ri<0) + PF*?0)P(r,>0) =pJ + p9 + pg = P3 + 2pg-.l-?2.
2.94. Нет. Рассмотрим вероятностное пространство (Q, st, P), где Q ¦=
¦= {1, 2, 3, 4}, si — множество всех подмножеств Q, вероятности эадаются сле-
следующим образом: Р({1}) = Р({2}) = Р({3}) — Р({4}) — 1/4. И положим |A) =
«=6C)-0, 6B)-6D)-1, т|A)-т1B)-1, т) C) — t] D) — 0, фA)_«рD) =
= 0, фB) = фC) = 1. Очевидно, ?, г\, ц> попарно независимы, по
р(% «> 1, ti + Ф = 2) = 1/4ч*Р(| = l)P(ti + (p «= 2). 2.95. Да; вообще говоря,
изменится. 2.96. Для любых х,, ..., х„ события {\\ ^ х\, ..., \к < хн) и
{l»+i ^ *1>+ь ---i in ^ in} независимы, т.е. независимы о-алгебры, порожден-
порожденные соответственно случайными величинами %h ..., ?t и k»+i, ..., in- Но о-ал-
гебра, порожденная фF|, •¦•< %ь) (ty(%k+u ..., In)), принадлежит о-алгебрс,
порожденной It, ..., Ik (|ii+i, • •., In). 2.97. Положите ?*„ =» i/A при- i/к ^ gn <
< i+ I/ft. 2.98. а) Да (г] = —|), б) да (г\ =- 1/g), в) да (| принимает значе-
значения —1 и +1, ti = —1; тогда ? + т) =» 0, |ti = —1). 2.99. Положим Q —
«={1, 2, 3, 4}, j# — множество всех подмножеств Q, Р({1}) ¦= Р({2}) =
¦= Р({3}) = Р({4}) =• 1/4, и рассмотрим на вероятностном пространстве
(Q, J?, P) случайные величины ? и т), определенные следующим образом:
6A) = 1, 6B) - -1, 1C) =» 6D) - 0, пA) = 11B) - 0, пC) - 1, лD) = -1.
Эти величины зависимы, так как Р(| = 1, г| >= —1) = 0^ 1/16 =
РF = 1)P(ti = —1), но тем не менее Egrj == 0 =» EgSr|. 2.100. Равенство
\\ E?Eti эквивалентно равенству Ш(% — а)(г\— Ь) ¦= Е(| — а)Е(т) — 6) для
любых а и 6 (проверяется непосредственно), поэтому достаточно рассмотреть
случай, когда каждая из величин ? и т) принимает два значения: 0 и. 1.
2.101. Воспользуйтесь задачей 2.126. 2.102. Случайные величины ф(?) и г|)(г^
независимы (задача 2.126). 2.103. Пусть Ai, ..., Ап — произвольные борелеи-
ские мложества на прямой
(объединение берется по всем элементам множеств At, ,.., Ап положительной
вероятности). Значит,
ft, ft..
2.104. На вероятностном пространстве (Q, st, P), где Q = {1, 2, 3, 4},
^ — множество всех подмножеств Q, P({1}) = P({2}) = P({3}) = P({4}) =
¦= 1/4, случайпые величины 6 и Л определим следующим образом: %([) =
«=»6B)=.1, 6C) = 6D)= 0, пA) = т)D) = 2, т]B) = пC) = 3. Ясно, что
бит) независимы и РF < т)) «= 1. Если же дополнительно известно, что для
любого а > 0 РF > а) > 0, то 6 и ti обязательно зависимы. Действи-
Действительно, существует событие Е единичной вероятности, такое, что Е (] А =
217

¦={<о:!>а}П?<=ВП?={ю:т|>п}Г1? (для любого а > 0). Выбором а
достаточно большим, чтобы Р(А) < 1. Тогда Р(ЕАВ) = Р(АВ) = Р(В) Ф
фР(А)Р{В). 2.105. Да; нет. 2.106. От условия равновозможности отказаться,
вообще говоря, нельзя, например, Л, = А2 = ?3, Аз = АА = 0. 2.107. Нет. Так,
любые два равновозмояшых события симметрично зависимы; любые л попар-
попарно непересекающихся равновозможных событий симметрично зависимы.
2.108.Рассмотрнте события Bi ,. л- ={цри извлечении л шаров 1,-й, ...
..., im-ii шары оказались белыми} и покажите, что при фиксированном т все
они равновероятны. 2.109. Воспользуйтесь задачей 2.39.
3.1. a)
в) F (х) =
1 _
д) то же, что и в а); о) F (х) =
0 при х < 1/4,
ж) F(x) = {l/2 при 1/4<г<1,
1 при х^\.
0 при х < О,
3.2. a) F (х) = {х/2 при 0 < х < 2,
1 при х > 2;
О при х < О,
/2 при
Глава 3
0 при х<0, (О при .г<0,
прнО<х<1, б) F (х) —\ ~\/х при 0<т<1,
1 при х 5s 1; [ 1 при .г ^ 1;
0 при х ^ О,
х при О < х < 1,
1 при .г ^ 1;
0 при х < — 1,
4/3—у ^ при — 1<х< —8/27,
2/3 при — 8/27 < .т < О,
2/3+1/Зх при 0<х<1;
1 при х > 1,
при х <; 1,
ПрИ х > 1; г) F (х) =
/(*) =
1/2 при 0<.т<2,
О при остальных х;
6)F(x)=
в) F (х) =
А .
—2 пРи 1 < ^ < 2,
1 при х>2,
i — | при U^ii
при х < О,
при х>1,
(О при х <о, х > 2,
х при О <; х <; 1,
2 — х при 1 ^ х ^ 2;
п7 при 0<*<1,
0 при х <0, г > 1.
В случае б) случайные величины | и т) пезавивнмы, в случаях а), в) за-
зависимы.
3.3. a) F(x)= //4 ПрИ
1 при г > 1,
218
f.r/2 при 0<х<2,
О при х < О, г > 2;

0 при х<0,
1 при х>1,
0 при х < О,
— arcsin-^ при 0<.г<2, q\
я 2
1 при х>2;
О при х < О,
2 г
8.5. F (х) = ^1 — — arccos— ПР"
f2(l-.r) приО<г<1
3.4. а) /• (х) =
О при г<0,
= {.r2/4 при 0<.г<2,
1 при х > 2.
3.6. a) F(x)G(x), б) 1 —(l_f(.r_o
-С(.е-О)), в) /^_l
г) 1 - (l - F (\/"х - о)) A - G (х - О)).
3.7. а) Р{х)=\1~е ПР" •'^и' /(*)
О при х < О,
[1— ~2е~аХ ПР" ^>°- а
-^-сах при х<0, 2
в)
-а? "х
-2-х Зе ' при т>0,
О при х<0;
при x
при х < О,
О
при х>0,
при х<0,
при х > О,
при г < 0;
Д) F{x) =
е) F (х) =
--(.х-з)
2
О
при х > 3, / (х) =
при х < 3,
при г < О;
О
при
при х < 3;
— е пх при хГ^О, f,z-._\a.e ах при х > О,
О при х<0, 71г;~( о при х<0.
219

3.8. a)
б) F (х) =
О, х<-1,
' + l
1,
0, *< —2,
Т + Т +Т' "¦'
1, х>2,
о,
/(*) =
О,
в) F (х)
О, х<-1,
JL [ Л г1/з 4. А г-г
3 г ¦ 6 х
О, |х|>1;
|-г|<1.
О, х<-1,
г) f (т) = 1 - f 1 - 4-
д)
х < О и х > 2.
где /~'(х)—функция, обратная к /(х), а /'(.г) — произ-
производная f(x). 3.10. Соответствующие функции распределения равны a) pF(x) -J-
+ qG(x), б) /'¦(x)(p + ^G(x)), в) F(x) +qG(x)([ — F(x)). Получим, на-
например, выражение а): Р{Ц + A — 1)ц < х) = Р(?? + A — ?)ii < х \1 =
0)Р(? 0) + P(|S+(l?)IS 1
= pF(x) -\- qG(x). В случаях б) и в) выкладки аналогичны. 3.11.
Р{цп = +]) = Р(г|п = —1) = 1/2. Для доказательства применим индукцию:
р (п„ = 1) = •• К = 115„ = 1) •• A„ = 1) + «• (л„ = 11 ^ = -1)р F„ = -1) =
44
01я1 )(^ ) К1 )(п ) т4т4Т
3.12. а) Можно (с^ 2), б) нельзя (иптеграл расходится), в) можно! с = —-тг ]•
3.13. Положим Аг = {(х, у): ф(х, у) < г}. Тогда Р((|, r\) s Лг) =
= Р((Л, 1)еЛ.) =Р(ф(Е, л) <s).
Отказаться от условия независимости прльзя: достаточно в качество g и
t| взять случайные величины из а) и д) задачи 3.1 н положить (f (х, у) = x/i/
220

(ф(?. Л) и ф(л> ?) заведомо имеют в этом случае различпыс распределепия,
так как Р(?/п > 1) = 1/3, Р(т|/| > 1) = 2/3. 3.14. Воспользуйтесь тем, что слу-
случайные величины \ и —| одинаково распределены. 3.15. Первая часть задачи
тривиальна. Обратное, вообще говоря, неверно, например, если в качестве ве-
вероятностного пространства взять отрезок [0, 1] с о-алгеброй борелевских под-
подмножеств и мерой Лебега и положить % (ш) = ш, Т) (со) = -tj- A — ш). 3.16. Возь-
Возьмите в качестве вероятностного пространства отрезок [0, 1] с о-алгеброй
борелевских подмножеств и мерой Лебега. 3.17. Функция распределения F(x)
имеет конечное число точек, скачок в которых p = F(x)—F(x— 0) удовлет-
удовлетворяет неравенству Г/7+1< Р ^ ^Г> ^ = *• 2» .•• -3.18. Может (можно, напри-
например, занумеровать все рациональные точки и приписать точке с помером п
вероятность 1/2"). 3.19. Пусть х\, х2, ... — точки разрыва функции F(x) (их
число не более чем счетно). В качестве F2(x) возьмите функцию, изменяю-
изменяющуюся скачками в точках xi, х2, ... так, что F 2 (з^ -J- 0) — F2 (т{ — 0) =
— — (F (*j + 0) — F (х{ — 0)), где а2 — суммарная величина скачков функции
2
F(x). Покажите, что функция F(x) — a2F2(x) непрерывна и мопотонно не убы-
убывает. 3.20. Покажите, что функция Н(х) непрерывна справа, удовлетворяет
соотношениям lim Н(х) = 0, lim // (х) = 1 и монотонно не убывает.
Ж-»—ею х-»оо
3.21. Случайная величина г\ принимает два значения 1 и —1 с вероятностями
i—F@) и Fifl) соответственно. 3.22. G (х) = | ^ ПрИ ^''j.' 3.23. Нуж-
Нужно доказать, что для любого е > 0 существует б > 0, такое, что для любых х\
и х2, удовлетворяющих условию \х\ — х?\ ^ б, выполнено неравенство
\F(х\) — F(x2) | ^ е. Фиксируем произвольное положительное е и выберем
? Е
А > 0 столь большим, чтобы i — F (А)^.-^ п F (—А)^.-^-. На отрезке
[— А, А] функция F(x) равномерно непрерывна (функция, непрерывная на
компакте, равномерно непрерывна). Возьмем б из определения равномерной
е
непрерывности F(x) на отрезке [—Л, А] с заменой е на -тц • Если хи т2е
е [—А, А], то все очевидно, если xi «g А, х2 > А, то \F(x,) — F(x2)\ <:
sS|f(z,)-/^)| + |^)-f(*2)|^eHT.fl.3.24. пусть t|n = ^+ ... + ф.
1 2 2П — 1 J_
Покажите, что tin припимает значения0, —, —, ...,———с вероятностями2п
каждое (воспользуйтесь индукцией). 3.25. Рассмотрите вначале случай, когда
F(x) монотонно возрастает и положите /E)=^~'A)- 3.26. Воспользуйтесь
следующими соотношениями:
3.27. Независимость случайных величин ?i, |2t • • • следует из независимо-
независимости случайных величин б|, 62, ... (см. предыдущую задачу); равномерная
распррделенность на отрезке [0, 1] каждой gj следует из задачи 3.24 3.28. Рас-
гмотрим случайную величину | = ш. Очевидпо, g имеет равномерное распре-
деление на отрезке [0, 1]. Пусть ? = -у -|- -у + • •• + ^7Г + •• • —Двоичное
221

разложение |. Тогда (задача 3.27) величины
взаимно независимы и каждая равномерно распределена па отрезке [0, i].
Но в силу задачи 3.25 существуют борелевские функции f\(x), /2(x), ... та-
такие, что случайные величины /i(|i), ЫЫ, ••• имеют функции распределении
F\(x), F2(x), ... соответственно. Далее, поскольку /i(?i), /г(Ы> • • •. являются
борелевскими функциями от независимых случайных величин, они независи-
независимы. 3.2tf. Для того чтобы функция II(х) являлась функцией распределения, не-
необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия F@) = О, F{\) = 1.
3.30. В качестве р(х) и g\x) можно взять функции, определенные следующим
образом: р(х) =1 на отрезках [—1, —1/2] и [1/2, 1] и р(х) = 0 в остальпых
точках, g(x) «= 0 при х ^ —1/2, g(x) =1 при х ^ 1/2 и g(x) линейна на от-
отрезке [—1/2, 1/2]. Легко видеть, что g(|) принимает зпачения 0 и 1 с вероят-
вероятностями 1/2 каждое. 3.31. Если А замкнуто, то можно положить F = А и
G — Ix: sup | х — у | < 61 при некотором б > 0, поскольку последние мно-
I уел /
жества убывают при монотонном стремлепии б к нулю и в пересечении да-
дают А. Обозначим © класс множеств, для которых утверждение задачи выпол-
выполнено, т. е. для любого /1еви любого положительного е существуют откры-
открытое множество G = А и замкнутое множество F ^ Л такие, что ?(G\F) < e.
Покажем, что класс © является а-алгеброй. Пусть А\, А2, ... — множества
из ©. Выберем замкнутые множества Fn и открытые множества Gn так, чтобы
оо
F„ с= Л„ s Gn и P(Gn\Fn) < е/2»+1. Если G = U Gn и если F = U
^
гдо
/00 \ fi °°
по выбрано так, что Р U Fn\F]<-^-, то F С. [} Ап CGH P(G\F) < е. Та-
\л=1 / I п=1
ким образом, © замкнуто относительно взятия счетных объединений. Очевид-
по, © — замкнуто относительно взятия дополнений, следовательно, ® —
о-алгебра. Но, с одной стороны, ©, как было показано выше, содержит
все замкнутые множества, а с другой стороны — содержится в о-алгеб-
ре борелевских множеств, следовательно, оно совпадает с послед-
последней. 3.32. Пусть Ас = А П [—с,, с]. Выберем с достаточно большим, чтобы
Р(й'\[—с, с]) < е/2. В силу предыдущей задачи существует замкнутое мно-
множество F, такое, что P(A-\F) < е/2. Далее, Fc = F [} [—с, с]—компакт и
P(Ac\Fc) = P(Ae\F) = е/2, по P(A\FC) ^ P(AC\FC) + Р((Я'\[-с, c])\Fc)^
^ е/2 + Р(Я'\[—с, с]) < е. 3.33. Мощность континуума. (Воспользуйтесь тем,
что монотонная функция полностью определяется своими значениями па не-
оо
котором счетпом множестве точек числовой прямой.) 3.34. 2 PiFii1)- 3.35. До-
Достаточно сделать замепу переменной у = F(x). 3.36. Сделайте замепу пере-
переменной y = F(x). 3.37. Равномерное распределение на отрезке [0, 1|.
3.38. Пусть ? имеет абсолютное непрерывное распределение, т. е. Р(% е/4) = О
для всякого множества А нулевой лебеговой меры. Имеем Р(|||еЛ) =
= Р(|Е|еМП[0. ео)})=Р({?еЛП[0, °°)> U (I е -{А П [0, оо)}}) <
=^Р(|еЛП[0, оо)) + P(|s — {Л П [0, оо)})=0. Обратное утверждение до-
доказывается аналогично. 3.39. P(v s? к) = 2k/N — к2/№, Р((х < к) = ?2//V, к =
= 1, 2 N, Р(Х, = О) = UN, P(X, = m) =2{N—m)/N', т = 1, 2 N - 1
(при вычислении X воспользуйтесь равенством тах(лг, у)— тт(лг, у) =
О оо
= \х — у\). 3.40.
«= ChnFh (x)(i — F(x))n~h, к = 0,1,2 п (покажите, что случайные
величины ф(ж, |i), <г(х, |2), ... независимы и <r(x, lft) = 1 с вероятностью
222

F(x) и ф(х, 1») = 0 с вгроятностью 1 — F(x)). 3.42. Например, равпомерпое
па отрезке [0, 1] распределение. 3/i3. Пусть F(x) — функция распределспия,
соответствующая плотности р(х). Тогда F (х) = \ р {и) du. Имеем F {л + у) =
=^ I р (u) du = /j (и) rfu + j /) (и) da = J р {и) du + j /> (у + х) dy < j /> (i/)d« -|-
0 0*00 0
oo oo
• f dF (у) С
4- J p(v)dv= F(x) + F(y). 3.44. a) 0 < x \—-^- < I dF (»)->0 при ж-»- °ot
о я _х
б) доказывается аналогично а), в) 0 ^х \ —-— — х \ —-— -\-х \ —— <
dF(y) + Vx
J J
при
а-^ + 0, г) доказывается аналогично в). 3.45. Непосредственной провер-
кой убедитесь, что р(х)^ 0, j p(x)dx = 1. 3.46. Покажите, что \ p(x)d.r=l—a
— oo —oo
и воспользуйтесь предыдущей задачей. 3.47. Необходимость очевидпа. Для до-
доказательства достаточности рассмотрите сначала случай, когда функция f(x)
ограничена — в этом случае нужпое неравенство доказывается иптегрирова-
нием по частям. licjni функция /(х) не ограничена, рассмотрите последователь-
последовательность /iC-), /2(х), ... ограниченных неубывающих функций, монотонно
сходящихся 14 f(x). 3.48. Пусть г, ^ х2 — произвольные вещественные числа,
/•'i(jt) и F2(x) — функции распределения, вырожденные в точках г, и х2 со-
оо
ответственно. Тогда Fi(x) ^ F2 (х) и, следовательно, ffx^=x \ / (х) dF1(x)^.
сю
< | / (х) dF2 (x) = /2 (х). В силу произвольности хх ц х2 это озпачает, что
/(.г) монотонно не убывает. 3.49. Пусть {Q,, Ог, ...}—любое счетное семейст-
по распределений. Легко пидеть, что его доминирует, например, распределение
Р = yQj +— Q2 + ... 3.50. Например, множество всех вырожденных распре-
распределений. 3.51. Пусть Pi, Р2,... — распределения, доминирующие соответственно
оо оо
семейства Ъи S2, ... Легко видеть, что распределение Р = ^ a;Pj' 2 ai ~ ^>
г=1 i=l
оо
«i > 0, г = 1, 2, ... доминирует объединение U 94. 3.52. Покажите, что лю-
i=i
бос распредслеппе, доминирующее 8, будет доминировать и его выпуклую
оболочку. 3.53. Воспользуйтесь задачей 3.49. 3.54. Ист, не верно. В частности,
«сем функциям распределения вида Gn(x) = G(x+ о), —оо < а <. оо, где
С (х) — некоторая функция распределения, отвечает одна п та же функция
концентрации. 3.55. По условию существует последовательность аь я2, ..., та-
такая, что Р(а„ ^ I ^ ап + х) ->¦ Qi(x) при п -*¦ оо. Последовательность я,, я2, • ¦.
очевидно, ограничена, следовательно, из нее можно выделить сходящуюся подпо-
подпоследовательность ah ,ah,.,.ah , ...-*¦ а при п -*¦ оо. Не ограничивая общпо-
223

сти, можно считать, что последовательность аь , аъ , ... мопотопна, например, мо-
1 г
нотопно возрастает. Тогда мпожества jaft <?<a + xl монотонно убывают и
I °°
Р (ah < % < а -f- х\-*-(^(х). Таким образом, Р (а< ? < о + х) = PI П |aft <
) 3.56. <?j(ax) < <?? (([a] + 1) х) = sup P (a < ? < a-f-
+ (N + 1) *) < ([a] + 1) sup P (а < |< а + x) = ([a] + 1) Q. (x). 3.57. а) Да.
a
Например,
0 при
3/8 при
3/4 при
1 при
F(x) вмеет три точки разрыва, а соответствующая функция копцоптрации —
четыре, б) Да. Например,
О при х < 0,
т/3 при 0<т<1,
х < О,
0 < х < 2,
2 < х < 3,
х ^ 3,
t (х) -
1
при
F(x) имеет две точки разрыва, а соответствующая фупкция копцептрации
только одну. 3.58. Да. Например,
I 0
0,1
F! (*
0,2
0,8
0,9
\ 1
при
при
) НРИ
при
при
при
при
х<0,
0<х<
1<х<
2<х<
4<х<
6< X <
х>8,
;i,
;2,
= 4,
С 6,
:8.
где F\(x) выбрана так, чтобы F(x) была функцией распределения и F,(x)
имеет бесконечное число точек разрыва. Имеем
0,6, если 0<z<2,
0,7, если 2 ^ z < 4,
QF(z)= 0,8, если 4<z<6,
0,9, если 6 <z<8,
1, если z^8.
3.59. Используйте следующий факт: если хо > 0 — точка разрыпа 9|(х) и а
таково, что Qi{xij) = Р(а ^ | ^ а + х0), где 1 — случайная величина с функ-
функцией распределения F(x),to точки а и а + х0 являются точками разрыва F{x).
3.60. При любых положительных а и I множество Ai,a, очевидно, ограничено,
поэтому достаточно доказать его замкнутость. Пусть х„ -*¦ х и xns/l[.a, т. о.
Р(лг„ ^ \ ^ х„ + I) ^ а- Не ограничивая общности, можно считать, что по-
последовательность Х|, х2, ... мотононна. Для определенности будем считать, что
она монотонно возрастает. Имеем Р (х :
¦))•
\ ^ х + I) — Р П (х < 5 ^>
Но мпожества {х„ ^ % ^ х + 1} монотонно убывают и для каждого п
Р(хп ^ I ^ х + I) -^ а. Отсюда окончательно получаем Р (х ^ 5 ^ х + 0 --
o. 3.61. а) 1/3, 4/45; 6H, 1/12; в) 2/л, 1/2л, г) 0, -L
2Л
224

S.62. ?г (аа + ab + Ь2), ?т-
. 3.63. 7. 3.64. Положим с =
= Eg, Л„ = [|Е-Е6|>±1 « = 1,2, ...Тогда tf,fce} = U Ап. Но в силу
перавелства Чебышёва Р(Ап) «g: nDg = 0, откуда Р (? Ф с) = Р ( у Л ) = 0
\п=1 /
(см. также задачу 2.72). 3.65. Необходимость очевидпа. Докажем достаточность.
Пусть 1 — ц и |g| — |i| одинаково распределены. Тогда D(g — ri) =¦
= 0A61 — In!) и. следовательно, Dg = D|g|, или Eg2— (EgJ = Eg^_ (Е|&|J.
то есть | Eg I = E|g|. Но это, как легко видеть, и означает, что случайная ве-
величина g с вероятностью единица принимает значения одного знака. 3.66. Име-
Имеем P(ga < g)= 1 и, следовательно, Dg = E(g —EgJ = Eg2— (EgJ < Eg2 < Eg.
3.67. a) 18, 6) 22. 3.68. Имеем D(g + r\) = E(g - Eg + ц — Et)J = Dg + Dr) +
+ 2E(g — Eg) (r\ — Ei-|). Теперь пужные неравенства следуют из неравенства
Когаи — Буняковского: |E(g — Eg) (t\ — Et)) | «? )E(g — EgJE(t) — ЕлJ= VDID^.
3.69. Воспользуйтесь неравенством as ^ 1 + aa, а ^ 0, 0 < Р ^ а. 3.70. Распре-
Распределение с плотностью р(х), равной 1/х1п2г на отрезках @, 1/е2) и (е2, оо) и
нулю при всех остальных х. 3.71. Нет. Рассмотрим, например вероятностное
пространство (П, s?, Р), где Q— {1, 2, 3), ^ — множество всех подмно-
подмножеств О, Р({1}) = Р({2}) =Р({3}) = 1/3, и положим g(l)=2, 6B) = 1,
6C) = 0,
= О, ЛB)=2, т!C)=1. Тогда
т. е.
ленностп gi
1
. 3.72. В силу независимости и одинаковой распреде-
n, случайные величины >—^г i у. > ••• i t—X . t
bj "Г • • • T" 5n Sj^ Т" • • • Т" Ъп
-fo + .-. + gfcX
одипаково распределены, следовательно, Е I _!__ " I =
1
-)-
-\- ... + Е - ,
Si "Г • • •
к = га, получим Е
— А:Е
для любого к = 1, 2, ..., га. Положив
= —, откуда следует нужпов соотношение.
3.73. а) Dg = Eg (Eg + 1), б) Р (? = п) =
х, = тах{лг *„} и р( = P(g = x(),
E?n+1 ,rn+l/,i + ,^ + 1^ + .. . + *»+1р
i+1
i = 1 г. Тогда
n = 0,1, 2, ... 3.74. Пусть
тп+1
г
хп+1
Все слагаемые, начиная со второго, стремятся к нулю при л -¦¦ оо, первое сла-
слагаемое стремится к х\. Аналогично доказывается второе соотношение.
3.75. Имеем Eg = P(g = 1) + 2P(g = 2) + 3P(g = 3) +... = P(g = 1) +
+ P(g = 2)+P(g = 2)+P(g = 3)+P(g = 3)+P(g = 3)+... Ряд абсолют-
абсолютно сходится, следовательно, можно перегруппировать его члепы:
(Б = 0
)=2
il J
^ E|g|2^ cE|g|. 3.78. Воспользуйтесь неравенствами [х] «g: x ^ [x] -f-1 и тем,
15 Л. В. Прохоров и др. 225

что если 5 не является целочисленной, то Р(? > [g])>0. 3.79. 1/2, —1/2. Дейст-
Действительно, обозначим g+ = тах{0, g}, |~ = — min{0, |}. Тогда ? = |+— 6~,
III = Ъ+ + 1~ и, следовательно, Eg+ — Eg- = О, Е|+ + Eg- = 1, откуда Eg+ =
= 1/2, Eg- = 1/2. 3.80. й ^ |а|. 3.81. В силу выпуклости }(х) для каждого х0
найдется число Х(х0), такое, что для всех х /(х) ^ /(х0) + (г — хо)А,(хо). От-
Отсюда, полагая х — g и х0 = Eg, получаем /A) 3s/(Eg) + (g — Eg)l(Eg) и, сле-
следовательно, Е/(|) 3*E(/(Eg) + (g-Eg)MEg)) =/(Е|)+Я(е1)Е(|-Е|) -
= /(Е?). 3.82. Имеем Dgii = Eg2En2 — (EgJ(EnJ; D|Dn = E|2E^2-(Е|)гЕгJ—
— E|a(Er]):' + (Eg)a(ETiJ. Теперь достаточно воспользоваться элементарным нера-
неравенством Е|2 ^ (EgJ, справедливом для любой случайной величины в силу
того, что 0 ^ D| = Eg2—(EgJ. 3.83. Должно выполняться хотя бы одно из
условий: Eg = Ег| = 0 или Dg = Щ = 0. 3.84. Обозначим F\(x), F2(x), ...
сх>
функции распределения случайных величин gi, g2, ... Тогда F(x)=-^
1=1
Отсюда следует, что е?2 = 2 P^i и ЕЕ = ^S Pi*h' поэтомУ D5 =
i=l / i=l i=l
- B p&X « 2 * (Es? - (E^J) + 2 p№ - {2 PiMJ - 2 Pi°Si+
\i=l / i=l i=l \i=l / i=l
oo
+ Dpi. 3.85. Имеем f | or J° dF (лг) < «», следовательно, j | x |a d/? (аг) ->0
при*-*оо. Но \ | х \а dF (х) > ta \ dF (x) = iaP (| ? | >/) > 0. Отсюда
\x]>t \x\>t
следует нужное соотношение. 3.86. Положим G(x) = 1 — F(x) + F(—x).
При любом Т > 0 интегрированием по частям получаем
г г
— \ xa dG (х) + T^G (У) = I <xxa~1 G (x) dx, откуда следует равенство интегралов
о о
ОО ОО
— i xadG (х) и a i xa~]G (x) dx, если хотя бы один из них конечен.
о п
3.87. Воспользуйтесь предыдущей задачей. 3.88. В силу задачи 3.75 имеем
ой оо оо
3.89. Прежде всего заметим, что в силу существования Eg хA — F(x))->0
при х -*- оо (см. задачу 3.86). Итак, имеем
ОО ОО ОО
а = f xdF (x) = - J *d (- f (x)) = f xd A - F (x)) = - x A - F (x)) |" +
0 0 0
OO OO OO
+ \ A — F (x)) dx = 1 A — F (x)) dx. 3.90. Имгем I— dF(t)<-
()<oo, следопа-
0
x a; x
тельно, J-^rfF(t)-0 пГи аг-^О. Ho J -^ rfF (t) > -^ f rff (г)
0 0 0
226

«= — P(?^x) = ——^0. Отсюда следует нужное соотношение. 3.91. Реше-
пие полностью аналогично решению задачи 3.89. 3.92. Имеем Eg06 = \ xadF (*) =
о
= xaF (х) |" — j F (*) dxa = — а j xa-1F (х) dx = | а | 1i0/1 (х) da.
3.93. Функция G (x) = Ц F (x+n) = lim Д?A+ i) существует как пре-
71 = 1 П-*0О j = j
дел монотонно невозрастающей последовательности функций. Далее, С(х),
очевидно, непрерывна справа, монотонно не убывает и lim G (х) = О,
х-»—оо
поэтому достаточно доказать, что G(x)-*i при *-*¦+«>. В силу ко-
оо
вечности математического ожидания сходится интеграл \ A — /^ (х)) dx
о
оо
(см. задачу 3.86) и, следовательно, при х > 0 сходится ряд ~^{F (х -}• п) — 1)=
п=1
ОО
= — 2 A — F (х-\- п)). Выберем х0 тан, чтобы F(x0) > 0. Тогда при х > х0
П=1
lim —5—'* ' п> = 1 и, значит, при х ^ ха равномерно сходится ряд
Ti-»o« F (х -\- га) — 1
оо
2 luF (х-\-п). Осуществляя ночленный переход к пределу, получим
оо
lim loG (г) = lim 2 lo F {x + п) = 0, т. е. G(x) -»-1 при х-*- оо. 3.94. 0<
а-»оо х-.ооп==1
^ (E|g|— lJ = E|g|2_2E|g| +1 =D? + l-2E|g|. 3.95. Воспользуемся пре-
предыдущей задачей. Имеем Е
3.97. а — — УЗ, Ь = уЗ. 3.98. Пусть F (х) — функция распределения случайной
величины ?. Не ограничивая общности, будем считать, что а < 0. Полагая
-f-oo ~\-оо
Ь = —а, имеем E|g + a| = E|g — b\= \ \x — b\dF(x)= j
— оо b
Ь +оо Ь оо
~ j a-df(ar)— u f dF(x)+b f rfF (x) ^ 2 j xdF (x) = E | g |. 3.99. Пусть
— оо b — оо о
случайная величина т) с вероятностью 1 равпа пулю, а ? принима-
принимает значения +1 и —1 с вероятностями 1/2 каждое. Тогда Е|л + а| = |а|=>
1 I а — 11 | а + 1 I
= у |а — 1+а + 11 <—2— +—*2——Е15+а I- 3-100- Пусть^ (х)— функция
распределения
ОО ОО
?. Тогда Е | g + ?|а = j E | g + х |а dF (х) =» j E 11) + x |
= Е| г]-f-?|в. 3.101. Пусть F(х) — функция распределения ?. Тогда Е | g -f- J |a=»
15* 227

¦= j E I g + x \adF (x)< [ E | ti + x \adF (x) = E | т) + 5 |a. 3.102. В случае а) вое-
— оо — оо
польэуйтесь задачей 3.91, а в случае б) — 3.92. 3.103. Если х < то, ю
inax{x, т) •= т = Eg ^ Е тах{х, ?}, если х ^ то, то тах{х, т} = л: =
«= Ex ^ E тах{х, ?}. 3.104. Функция распределения случайной величины
пшх{х, \х) равна
0 при t < х,
ОО
и, следовательно, в силу задачи 3.89 Е max {*, g;} = л: + I A — F{ («)) dt, отсю-
да следует нужное утверждение. 3.105. Используйте предыдущую задачу.
8.106. Воспользуйтесь задачами 3.104 и 3.105. 3.107. Существует А, такое, что
Р A > А) ^ 1/2. Тогда Е | g + а \а > -у Е I А + а I" > J E I e - I A If = У ' а ~
—| ^4l^-voo при о-*-оо. 3.108. Покажите, что функция /(а) = Е(? — оJ" моно-
монотонно убывает по а (можно, например, продифференцировать (| — аJ" по а
при каждом фиксированном элементарном событии). 3.109. Воспользуйтесь не-
неравенствами (а + b)a sg аа + Ьа, а, Ь ^ 0, 0 < а < 1, (а + b)a ^
^ 2а-'(а° + Ьа), а, Ь^0, а ^ 1. 3.110. Для любого веществеппого а
имеем Е(?— аJ — D| = Els — 2аЕ| + а2 — Е|2 + (Е?J = а2 —2аЕ|+ (Е|J =
¦= (а — Е|J ^ 0. 3.111. Продифференцируем по х функцию f(x) =Е(|— х)'п
иод знаком математического ожидания; получим f'(x) = — 2пВ(% — хJп~К Ис-
Используя задачу 3.108, видим, что Е(? — хуп достигает минимального значе-
значения в единственной точке, а именно там, где Е(? — яJ"-' == 0. 3.112. Eg — Ет^ =
оо оо оо U
.= J xf(x)dx- j ^(x)rfj;= f ar (/ (x) - tf (x)) dx + j x (/ (x) - g (,r)) dr <
— oo »-oo a —so
oo a oo
< a j (f(x)-g (x)) dx + a j (/ (x) - g (*)) dr = a j (/ (x) - g (x)) dx. Вторая
a —oo —oo
часть доказывается аналогично. 3.113. См. задачу 3.47. 3.114. о\^а\.
8.115. Нет. 3.116. Для любого вещественного х Е(х?+ tiJ ^ 0. Но E(xg + Л2) =
= х2Е|2 + 2хЕ|т] + Ел,2. Таким образом, дискриминант квадратного трехчлена,
стоящего в правой части последнего равенства, неположителен: 4(Е?т1J —
— 4Е|2ЕтJ^0 или (Е?»]J:^ Е?2Ег]2. 3.117. Воспользуйтесь элементарным иера-
венством I ab \ ^ —— + —-—, г>1, — + — = 11 положите a = г-,
/о / • I *¦
V (Е I 6 |f
)i 1
. 3.118. Покажем, что если 0 < s < t, то (Е 111')' < (Е | g \')Г.
Положим г=—,г) = HI' и нримепим неравепство Иенсена к фупкции g(x) =
= Иг. Получим |Eri|r<E|ti|', т. е. (Е | g |")s < Е | g )'. 3.119. Воспользуй
тесь неравенством Иенсена. 3.120. Используйте элементарное неравенстве
\а+ b\a s^ |a|a+ |й|", 0 < a sg 1. 3.121. При г=1 неравенство очевидно
Пусть г Ф 1. 11моем
228

Исключая тривиальный случай Е|? + Г||Г = О и замечая, что (г—1)»«=г,
разделим обе части на (Е|| + illr)l/s » получим доказываемое неравенство.
3.122. Пусть г'^ г. По неравенству Коши — Буняковского E|g|r =
г-г' г+г' 1
«= Е 11 \ 2 1| \~ < (Е 1g \г~г>. Е 11 \Г+ГУ. Взяв логарифм от обеих частей,
получим log Е | \ Г sg-^-log Е 11 lr~r' + -у log Е 1g lr+r', что и означает выпук-
выпуклость функции logE|S;|r по г. 3.123. См. решение задачи 3.122. 3.124. В силу
задачи 3.122 logE|g|r выпукла как функция г, т. е. logE|g [«x+u-aj» ^
«S a log Е | II1 + A — о), log Е| ||", х, у > 0, 0 < а < 1. Положим а= ^_7''
.т = г, у = п. Получим iogEur<v37l°gEISI! + 7=Tlo=E^in или
l»g (E|||m)"-' 5S log (E|||')"-m + log (E|||n)m-', откуда вытекает пужпое не-
неравенство. 3.125. Докажем вначале правое неравенство. Используя неравенство
аадачи 3.120, получим E|gt - h\r = Е| (|, — а) - (g2 - а) |' < Е||, - а\г +
+ Е|с2 — я|Г = 2Е||| — а\т. Докажем теперь левое неравенство. Положим
c(l) =P(||,-m|,| ^ t) и p(t) = P(|gi — 5г| > t). Тогда в силу задачи 3.121
q(t)=2p(t). Отсюда, применяя интегрирование по частям, получаем
=- J
0 0 0 О
—I2\r. 3.126. Доказательство левого неравенства в точности такое же, как и в
предыдущей задаче. Для доказательства правого неравепства используем зада-
задачу 3.119 (при п = 2). Получим Е||, — |2|' = Е| (|, - а) - (|2 - a) |' ^
^2r-'E|gi — «|r + 2r-1E|g2 — a\r =2rE||,— a\r. 3.127. Воспользуйтесь эле-
элементарным неравенством \х + у\г + \х — у\г ^ 2(|х|г + \у|г), 1 < г < 2, и
одинаковой раенределенностью случайных величин | + г\ и | — г\, из
которой, в частности, следует, что Е | ?+ г\ |г = -^"(е | 5 -f т) 1Г + Е | g — г\ |г).
3.128. Используйте предыдущую задачу. 3.129. Из неравенства Испсена
следует, что для любого х п г^1 Е|х + т) |г ^ |Е(х + il) |г = \х\г. Пусть
f (х) — функция распределения случайной величины |. Имеем Е | ? +г] |г =
оо оо
= j B\x + r\\r dF (x)S* \ \x\rdF(x) = E\%\r. 3.130. Используйте задачи
— оо —оо
3.119, 3.127—3.129. 3.131. Не огранпчпвая общпости, можно считать, что 5 при-
принимает целочисленные значения. Пусть а = {Е?} ({•}—дробная часть) и
Ь =1 — а и пусть для определенности а < 1/2. Тогда 2v»,— vA_, = ак-'Bа— 1)Х
ХРA = №]) + (а + 1)^-Ч2(а + 1)-1)Р(| = [Е?]-1) + Ь*-'BЬ-1) X
ХР(Е = [EgJ + l) + (a + 2)*-«B(a + 2)-l)PF = [Eg] - 2) + F+ 1)*-« X
X BЬ—1)Р(| = [Е^] +2) +... В написанной сумме все члены, кроме пер-
лого, неотрицательны. Если А = о*-'Bа — l)P(s = [Е|]) + Ь*-'BЬ — 1) X
X РA = [Е1] +1)^0, то утверждение становится очевидным. Пусть А < 0.
Тогда, учитывая, что 2а — 1 = 1—26, получаем а''-1Bа — 1)Р(| = ГЕ|1) +
+ Ь*->BЬ-1)Р(|= [ЕБ]+1)>Ь*-'Р(Б= [Е|] + 1)-а*-'Р(|= Щ]) >
Зга»-2(Ь-Р(|= [ЕЕ]+1)-аРF=[Е6]))^ЬР(Б=[Е|]+1) _eP(g = [Eg]).
Окончательно получаем 2vs — \h-\ ^ 6P(g = [E|] + 1) — аР(| = [Е|]) +
+ (а+1)й-1B(<г+1)-1)Р(? = [Е5]-1) + (Ы-1)"-1BЬ-1)Р(| = [Е|]+2) + ...>
>6P(g= [Eg] + l)-aP(g- [Eg])-(a+i)P(g= [Eg] - 1) + (b + 1)X
X P(g = [Eg] + 2) +... = E(g — Eg) =0. 3.132. Воспользуйтесь неравенством
1 = I E - ,_ "j/| 1 ^ E-y Eg (задача 3.117). 3.133. Воспользуемся предыдущей
lr 1 Е|г
задачей. Имеем Е — = Е|ГЕ —^ ^- -—-. 3.134. —1/5. Это частный случай сле-
16 л. в. Прохоров и др. 229

дующей задачи. 3.135. —I/ ,j . | ., I, / = 1, 2, . ..,s. 3.136. Иополь-
ауйте неравенство Коши — Буняковского. 3.137. Пусть вероятностное жрост-
ранство (Q, sf, Р) представляет собой отрезок [0, 1] с а-алгеброй борсяевскнх
подмножеств и мерой Лебега Р. Тогда случайные величины
{1 при 0 < со < 1/4, Г 0 при 0 < со < 1/2,
— 1 при 1/4 < со < 1/2, и т) = | 1 при 1/2 < со < 3/4,
О при 1/2 < со <1, 1—1 прп 3/4<со<1,
очевидно, некоррелированы, но зависимы (так как РA = 1, г) = 1) = 0, но
Р(| = 1)P(ti = 1) = 1/16 > 0. 3.138. Это следует из формулы для дпс-
п
персии суммы: 0A +... + !„)= 5} °h + 2 2 cov (?;• I;)- 3.139. ?JZJ?.
а2 - В2 S, - Е?,-
3.140. —г V 3.141. р2. 3.142. Положим Л;= -,г~- ¦' = 1, 2, ..., га. Тогда
а + Р К Dii
Р=ЕтНтЬ', '^'- и ETl1=1- Имеем
О< Е(Л1 + ... + г)пJ = Е (п1+ ... + пп) (г,х + ... + i,n) =
1 = 1 \Ф)
откуда п(п — 1)р^—пнлир>— .. 3.143. Нет. 3.144. Да. Легко видеть, что
\х\ принимает значения —1, 0, 1 с вероятностями 1/4, 1/2, 1/4 соответотвеппо.
Имеем P(|ti = 1, г\ = 1) = P(g = 1, п = 1) =P(g = i)P(n = l) = 1/8==
ф 1/16 = Р(|п = 1)Р(г| = 1), т. е. |т) и 11 зависимы. Очевидно, Egn = 0 и
Ег| = 0, поэтому cov(|t], ti) = Egr|r| = Е|ц2 = EgErj2 = 0, т. е. |т) и г\ некор-
релированы. 3.145. Достаточно показать, что cov(?, sign |) ^ 0. Имеем
cov (|, sign |) = Е| sign | — Е| Е sign | = Е| g | — Е| Е sign g. Остается восполь-
воспользоваться неравенствами |Eg| ^Е||| и Е sign ? | ^ 1. 3.146. 0 Достаточно по-
показать, что cov(g, | g|)= 0. Имеем cov(g, g|)=Eg|g| — EgE|g| =Eg|g|. Далее,
g2 и sign g независимы (действительно, для любого х ^ 0 имеем Р (%? ^ х,
1/
E?
х) = Р(|2< х) Р (sign | = 1)) п 11\ = I sign?, поэтому Е|| ||= El2sign|
?*Esign |=0. 3.147. Нужпо доказать, что для любых веществепиых Хи .
2 ai^ih>°- Имеем
2 2 a^i^- = 2 2Е (б4 - Е&,) F; - е^) Kh=Е B (Е« -Е^)
3.148. б-а(а-Р). (cov(|, sign I) = Eg sign g - Eg E sign ? = E||| - El X
XEsign| = 6 — a (a — P)_). 3.149. Положим_ ?( = ^ — Eg<, J = 1, 2. Имеем
cov (Лх, Л2) = E (fi + У (Ei - У = E {l\ - I?) = D^ - D?2 = 0. 3.150. Исполь-
зуя неравенство Кошп — Буняковского, получаем
230

= l + V(i-p)(i + p) = i + Vi - p2.
3.151. а) Да, б) вообще говоря, пет. 3.152. Нет; cov (? + %, r\ +?) =
EF C)( + t)EF + »E( + W =e:>-(E?») = D?>0. 3.153. 0.
3.154. pF=a*)=p(gi==fc)pF2>*) + p(Ei>fc)pF2 = ft) = pi9; J P2?2 +
i=ft + l
+ P,<? 2 Pi?i = Pi??9*+1 + ^29l+1 = (PA + Mi) «W-
i=ft + l
Параметр распределения | равен Pi?2 + P29i = 1 — 9i?2. 3.155. а) о- б):
rl + kt>k) P(g + fc)
^ -A -p)np=pFв n)-
P (g=n+fc, E^fc) P A = n + к)
Pk = P(| = A-). Имеем P (S=«+fe|5>fe)= p (g > V) = P F > ft)
= Pn-Положим»=°- *=*•тогда P+p*+ =
= po(Pi + P2 + .-) =Po(l — Ро). При n = 1, fc
2
плп p, = po(Pi + P2 + .-) =Po(l — Ро). При n = 1, fc = 1 ^ _p =р^—рй A — p^
пли Р2 = Р«A —РоJ и т. д. Окончательно получаем р<=РоA — Ро)' для лю-
любого i=l, 2, ... 3.156. Пусть 0 s? к ^ п. Имеем Р (g, = Ar | ^ -f l2 = п) =
P2 A - p)"
>= ~p~7t—jTT—~—у откуда видно, что правая часть не зависит от к.
3.157.Р (Л = 0) = ^-~, Р(л = 2к) = 0, Р(л = 2к + 1) = рд2*+'. 3.158. Пусть
6 = |i + 62, где |i, 62 независимы и принимают целые неотрицательные зна-
значения, а ? имеет биномиальное распределение с параметрами га и р. Пусть
|i принимает значения 0, 1 к. Тогда, очевидно, 6а принимает значения
О, 1, ..., га — к. Положим р( = PFi = <h Qi = р(?г = /)• Из равенства 6 = 6i+
i
+ 62 имеем 2 Pfli-j ~ ^пР1 (*—P)n-t, ' = 0, 1, ..., га. Покажите, что по-
i=o
следняя система уравнений (относительно р0, ..., р», до, ¦ • •, Чп-\) имеет един-
единственное решение. 3.160. Имеем \\— \\<^ (Я2 — ^j)ft, поэтому
- .. . -ь - .ь .ь « хъ п %Н _; „ ,h
-Я Х
е
3.162. Достаточно показать,что PFi ^ t) ^ Р(|2 ^ I). Имеем
и2
2о7 ' * ' " "
— \ е du = .— 1 е au^L _ у— I e
2л ol J у2л J ^ 1/2 J
-. / \ е du = 1 е
У2
1С* 231

L f
L_ f 2o
~~ Л/2ла J e 'du ~p (S-2 ^ ')¦ 3.163. Найдите совместное распре-
целение случайных величин |i + \i и Si — I2 3.104. P (sign |=—1) =
('2
0 _
-oo 0
3.113. Показательное распределение с параметром 1/2. 3.166. re ~ -
щ-и х ^ 0 ц 0 при х < 0. 3.167. — е 2 прп л: ^ 0 и 0 прп
Г -г.
z < 0. 3.168. — е г прп х^О п 0 прп х < 0. 3.169. Л — нормаль-
пос распределение с математическим ожиданием Ь — аи дисперсией о^—а^.
Необходимо выполнение условия а\ ^ oj. 3.170. Я — равномерное распределе-
распределение на отрезке
я, л+у
(— 1П.Г)П
3.171. j при 0 < х ^с 1 и 0 при остальных г.
3.172. Распределение Пуассона с параметром к. 3.173. Показательное распреде-
распределение с параметром X. 3.174. Равномерное распределение на отрезке [0, 1]
(ср. с предыдущей задачей). 3.175. Имеем при z>0: P^^ ?))
и
= JJP (|; < х) = (l — e~lx)n. Отсюда плотность распределения тах(|ь ..., |„)
равна п}.е-^(\ — е-*-*)"-', х > 0. Далее, ?ь |2/2, ?3/3, ... — независимы и покп-
зателыю распределены с параметрами X, 2л, ЗХ, ... соответственно. Покажи-
Покажите по индукции, что плотность распределения |i + 1г/2 + |з/3-j-. .. + |„/«
равна пке~ХхA—е"^)", х > 0. 3.176. Покажите, что фупкция F(х) удовлет-
ьиряет дифференциальному уравнению Р'(х) = ХA —F(x)), где к — посто-
постоянная. 3.177. Распределение Кошп с параметрами 0, 1, то есть распре-
распределение с плотностью , 2 у 3.178. Распределение Коши с параметрами
а Ь
—^г~—т, -j ^, т. е. распределение с плотностью
а~ -\- Ь" а + о
3.179. Логистическое распределение с параметрами 0, 1, т. е. распределение с
плотностью ех1{\ + ехJ. 3.180. 0, U. 3.181. Распределение с функцией распре-
распределения
0 прп х < 1
е-Ьх(еХ
(распределение Парею с параметром 1/к). 3.182. -j
232

3.183. p (x) = pi при i ^ x < i + 1, f = 0, ±1,... 3.184. Плотность распределе-
распределения суммы 1 + t) равна нулю вне отрезка [а + с, Ь + d], равна ^ _ е на
отрезке [с -f b, a + rf] и линейна на каждом из отрезков [о + с, Ь + с] и
[я + d, 6 + rf]. 3.185. -?-е~|х| (| х|+1). 3-186- в обоих случаях вероятность
равна 1/2 (покажите, что распределение случайной величины б2 — а2 сим-
симметрично относительно пуля). 3.187. Имеем Р(| + Т1 = а) ==1 при некото-
некотором а. Предположим, что | имеет невырожденное распределение. Тогда су-
существуют два непересекающихся отрезка [а, Ь] и [с, d] (d > с > 6 > а), та-
такие, что Р(я ^ | ^ й) > 0 и Р(е ^ 1 <: d) > 0. Далее, для любого е > О,
очевидно, существует отрезок [А, Д + е] длиной е, такой, что
с — Ь
Р(Д < 11 =g А + е) > 0. Положим 8 = —^—. Тогда Р(а + Д^1 + 11^*+Д +
ц^А +е)>0и
Зй с
аналогично Р(с + Д=^| + Т1<<г + Д+е) >0. H6 + A4 +A+
< с + А, т. е. отрезки [а + А, Ь + Д + е] и [с + A, d + Д + е] не пересекают-
пересекаются. Следовательно, распределение случайной величины | + Ц невырождено.
Противоречие.
Если g и г| зависимы, утверждение перестает быть верным. Пример:
i| = —1 и | имеет невырожденное распределение. 3.188. Р(х\ = 0) = 1.
3.189. 223 раза. Воспользуйтесь симметричностью распределения суммы вы-
выпавших очков относительно ее математического ожидания. 3.190. В частно-
частности, это следует из коммутативности и ассоциативности операции сложения
случайных величин. 3.191. Укажите счетное множество, такое, что сумма скач-
скачков свертки в точках этого множества равна едипице. 3.192. Пусть F{x) и
G(x)— две функции распределения, причем F(x) непрерывна. Тогда (см. за-
задачу 3.2.3) ^(х) равпомерно непрерывна. Следовательно, для любого положи-
положительного е существует б > 0, такое, что если Дх < б, то |^(х + Л*) — F(x) | sg
^ е при любом х. Имеем
1F * G (х + Ах) — F * G {х) | =
\ F (х + Ах — t) dG (t) — f F (x — t) dG @
\F (x + Ax-t)— F(x— t)\dG(t)^e. j dG(t) = e.
— OO
3.193. Пусть P = Q » R и Q абсолютно непрерывно, т. e. Q(A) = 0 для любого
борелевского множества А, имеющего нулевую лебегову меру. Имеем ?(А) =
оо
= I Q (A — x) dP(*).Ho если А имеет пулевую лебегову меру, то А — х так-
— оо
же имеет нулевую лебегову меру при любом х, следовательно, Q(A—х) =0
при любом х и, значит, Р(Л) =0. 3.194. Приведем доказательство для случая
и = 1. Пусть F(x) n раз дифференцируема. Имеем
F*G(x+ Ar)-F*G(x) f F (x + A.r - t) - F (x - t) ,„ , ,
lim д- = lira -г- dG(t) =
l)dG(t).
233
OO OO
f lim F(x + Ax-t)-F(x-t) rfg Г р. _

3.195. Пусть F(x) и G(x) —две функции распределения, причем F(x) симмет-
симметрична, т. е. F(x) = 1 — F(x — 0). Докажем, что 11{х) =F»G(x) также
со
симметрична. Имеем II (х) = | F{x — t)dG(t), 1 — Н(х — 0) = 1 —
— СЮ
оо оо оо
„ Г F (х - t - 0) dG @ = Г A - F (х — t -0)) dG (t) = f f (лг-0 dG (*)=# (г).
J J J
— oo —oo — oo
3.1%. Рассмотрите свертку двух одинаковых распределений с плотностью
5 при — 1/30 <*^0,
5
1 при 0 < х ^ -g-,
0 при остальных х.
3.197. Пусть Ft(x) и Fi(x)—симметричные одновершинпые функции распре-
распределения и F0(x) — F\ » F2(x). Условие одновершинности функции распре-
делепия Ft(x), i «= 0, 1, 2, (с учетом ее симметричности) означает, что для
\ I Ti + Т2 ^
любых ri ^ х2 ^ 0 ~2 (Ft (л-j) + Fj (.r2)) ^ f j I —g J' Положим Gh(y) =
=Fj (у)—~2'(^1 (y+h)+F1 (y — ft)). Нетрудно проверить, что Gh(y) = —Gh(—y),
Gk(y) sign у ^ 0 и что d(Fi(y — x)—F2(y + x)) ^ 0, г > 0, # > 0. Положим
x\ = x + h, x2 = x — h, x > h > 0. Тогда, очевидно,
j Gft (и) rf(F2 (и - х) - F2 (и + х)) > 0.
Используя определение функции Gh(x), можпо преобразовать это неравенство
к виду
- f
Последнее неравенство с учетом симметричности функции распределения
^о(*) означает, что F0(x) одновершинна. 3.198. Положим t, = | — т). g имеет
непрерывное распределение (см. задачу 3.192), то есть Р(? = х) =0 для любо-
любого х и, в частности, для х = 0. 3.199. В силу симметричности распределений
одновременно все 8 комбинаций ±|1±1г±|з с вероятностью единица огра-
ограничены по модулю числом М, а среди пих есть и сумма модулей. 3.200. а) Не-
Неравенство sFi+ ... +6n) ^ s(Si)+... + «(!„) очевидно. Докажем, что
s(|i + ... + ?n) ^ s(?i) + ¦ •• + s(|n). Фиксируем произвольное е > 0. Имеем
(| + ) (?) (|)
(?; > s E;) — ~ I > 0 и, следовательно,
т. е. s(li + ... +|п) ^*Fi)+... + *(|п)—е. В силу произвольности е от
сюда следует нужное неравенство.
234

б) Аналогично тому, как это было сделано в предыдущем пунк-
пункте, показываем, что s(|?, | + ¦.. + |ln|) = s(\h I) + • • • + *(|Ы), откуда
В случае, когда |( зависимы или не являются симметрич-
симметричными, равенства а) и б), вообще говоря, неверны. 3.201. Неравенство
»(?i + ••¦+ 6n)< *(ii)+... + s(?n) очевидпо. Докажем, что *(|i + ... + Ы>
S5 s(li) + ••• + «(In). Фиксируем произвольное положительное е > 0. Имеем
Р ( I ?i I ¦>s(^i) ~~n } -^ И1 таким образом, либо Р! 1г> s(?j)— ~ 1>0, либо
/ е \
Р I ^ < — s (?j) + — ) > 0. Пусть, например, выполнено первое неравенство.
Тогда
В силу произвольности е отсюда следует нужное неравенство. 3.202. См. зада-
задачу 3.183. 3.203. Пусть А = {| ^ г)}. Тогда Е (? + т))<ж> = Е (? + г))<*> /д +
) = E2g' ^ + Е2г,' г> = 2\е^2^ + Е„
(мы воспользовались тем, что (f?)CC) = с%} '). 3.204. Предположим против-
противное: f(li>~) >0. Тогда
Р(п^с)^Р(|,^с/«, ..., ln>e/n) = 9{h >с/п) ¦...•Р(Ъп>Ф) >0.
Противоречие. 3.205. Поскольку P(?i = 0) < 1, существует положительное г,
такое, что Р(| ||| ^ е) > 0. Но тогда либо P(|i ^ е) > 0, либо P(Si =?: — е)>0.
с
Пусть, например, выполнено первое неравенство. Тогда при га ^ — Р(|г|„| >
> с) ЗгР(пп><:) >PFi^e 1„ 5* е) = РF, ^ е) • ... • Р(?„ ^ е) > 0.
3.206. Если Р(|( ^ с) =0, то утверждение очевидно (причем в качестве а мож-
можно взять любое положительное число). Пусть P(|i ^ с) > 0. Имеем
3.207. Нет. Пример, | и т] одинаково распределены и принимают значения 1
и —2 с вероятностью 1/2 каждое. В этом случае Р(? + Т1>О) = 1/4.
3.208. Прежде всего заметим, что ?i и |г также неотрицательны, а потому
Р(|, = 0) > 0. Пусть существует нецелое а, такое, что Р(|( = а) > 0. Тогда
Р(| = а) ^ P(|i = а)Р(|2 = 0) > 0. Противоречие. 3.209. Из условия задачи
следует, что существуют такие вещественные х, у и такие целые кип, что
РA = х) > 0, Р(| = * + *а) > 0, P(ti = у) > 0, Р(т) = I/ + габ) > 0. Но тог-
тогда Р(|+Т1= *+(/)> 0, Р{1 + ц = х + у+ка)>0, РA+Г)=х+ у+пЬ)>0.
Нужное утверждение следует теперь из того, что ка и пЬ соизмеримы тогда
и только тогда, когда а/Ь — рациональное число. 3.210. Пусть хи ..„ jn—точ-
jn—точки разрыва функции F,(x), #,, ..., уп — точки разрыва функции F2(x) (рас-
(расположенные в порядке возрастания). Точками разрыва F(x) будут те и толь-
только те значения х, которые представимы в виде х = xt + j/j, » = 1, 2, ..., га,
/ = 1, 2, ..., т. Среди таких значений не меньше га + т—1 различных, так
Как Xi + V\ < Xi + 1J2 < X, + уз < . . . < Xi + Ут < Х2 + Ут < Х% + IJт < .. . <
235

< х„ + ут, и пе больше чем тп различных, так как всего из элементов двух
множеств, содержащих п и т элементов соответственно, можно образовать
тп различных пар. 3.211. Пусть Р(х), Q(x) n R{x) —функции распределения
случайных величин |, г\ и | + Ц соответственпо. Имеем
R{x)= J Р (х - t) dQ (t) = ^ P(x-t)q (t) dt =
OO
Q(x-t)dP(t) = j" Q(x-t)p (t) dt.
— OO —OO
OO
Дифференцируя под зпаком интеграла, получаем г (х) = I р (х — t)q (t) dt —
— OO
OO
— I q (x — t) p (t) dt. 3.212.. Покажите, что для любых а и 6, таких, что
— ОО
Ь > о, справедливо Р(я ^ 1 ^ Ь) > 0 и Р(а ^ т| ^ &) > 0, и восполь-
оо
вуйтесь вадачей 3.211.3.213. Р (| — п = 0) = 2 Р E — л = 0. 1 = 0 =
оо оо оо
= 2 Р (? = U г\ = г) = 2 * F = 0 * A = 0 = S Р* 3'21/l- Заметим,
•i=—оо г=—оо i^—оо
что случайная величина —ц имеет плотность распределения р(—х). Имеем
оо оо оо
?W= § Piy — z) Р(— х) dx, откуда д @) = J р2 (— х) dx = j p2 (г) da:.
— эо — оо —оо
3.215. Пусть Fi(x) и Gj(x) — функции распределения случайных вели-
величин |( и г],-, t = 1, 2, .... п соответственно. Тогда условие задачи мож-
можно записать как F((x) ^ Gt (x), i = 1, ..., п, а доказываемое неравенство
как F\ * ... * Fn(x) ^ G, * ... • Gn{x). Доказательство будем вести по индук-
индукции. Пусть f'i * ... » Fh(x) ^ G, * ... • Са(х). Имеем
F1*...*Fh+1(x) =
ОО ОО
= j ^h+1 (x-t)dF1*...*Fk (t) < j Gh+1 (x-t)dF1*...*Fh (t) =
OO
OO
j G1*...*Gh{x-t)dGh+1(t)^=
— OO —OO
= G1*...*Gh+1(x).
3.216. Пусть Fi(x), F2(x) и F(x) —функции распределения случайных величин
6, т) и | + г) соответственно. Для любого а имеем
ОО
= F(a + x)-F(a-0)=. J (F± (a + x - t) - F1 (a - t - 0)) dF2 (t) =
— ею
оо оо оо
^а + ^^A)< J <?j (*) rf^2 @ = <?? (*) J dF2 (t) = Qb (x).
— OO
230

Г! силу произвольности а ото означает, что <?;+t,(x) ^Qi(x). Аналогично до-
доказывается, что Qi+4(x) ^ <?!,(¦*)• 3.217. Для любых положительных хи х3 и
любых а, Ь имеем
Р (а < |j < а + Xj) Р (Ь < ?2 < Ъ + хг) = Р (а < |х < a + х,, 6 < ?2 < Ъ + х2) <
В силу произвольности а и Ь это означает, что Q^ (х5) Q^ (x2)^Ql +1 (xi ~^~ xa)-
:t.219. Для произвольной случайной величины т) положим
Q (А)= sup Р(т]еЛ+а). Пусть F, и А'2 — распределения случайных величин jji
а
оо
и |г соответственно. Имеем 1— е < Р (| е Л) = I Р^ (А — х) dF2 (x) ^
—оо
ОО 00
<Q - (А) ( dFo(x)=Qt [А). 3.220. Для любого х имеем д(ж)=» Г p(x—t)dF («),
— ОС —ОО
где F(t)—функция распределения случайной величины т). Таким образом,
оо
д (х) ^ sup p (x) \ dF (t) = sup p (x). 3.221. В качестве вероятностного прост-
— оо
ранства (Q, J#, Р) возьмем множество Q = {1, 2, 3} с а-алгеброй всех подмно-
подмножеств О и мерой Р, определяемой равенствами Р({1}) = Р({3}) = 1/4,
Р({2}) = 1/2. Положим Р(| = 0) = Р(| = 2) = 1/4, РA = 1) = 1/2. Тогда
функция распределения случайной величины | есть
0 при х < О,
г, —\ 1/4 "Р" °<х<1'
'' {х> - ] 3/4 при 1 < х < 2,
1 при z^2
в представима в виде свертки F = G * G, где
0 при х < О,
— при 0<х<1,
1 при х^1,
по на указанном вероятностном пространстве вообще пе существует двух не-
вависимых невырожденных случайных величин. 3.222. Предположим против-
противное: ? = |i + ... + in, где |i, ..., |„ — независимые одинаково раенределен-
1а 16
иые случайные величины. Тогда Et^ = — Eg =—, Dgx =— Dg = — и, следо-
BaTejibiio,
DIi >4i. A)
С другой стороны, в силу задачи 3.204 P(O<S1<~)=* и> зпачпт (поскольку
и ^ с), Р@ < Ei < 1) = 1, поэтому в силу задачи 3.66 D|i < Eg,, что проти-
противоречит A). 3.223. Воспользуйтесь тем, что сечи | принимает целые неотрица-
неотрицательные значения и ? = |i -f- |г, где |i и |г — независимые невырожденные
237

случайные величины, то существуют независимые невырожденные случайные
величины ?t и ?2, принимающие целые неотрицательные значения, такие, что
Е = |х + |2. 3.224. Предположим противное: | = li + ?2. где || и |2— незави-
независимые невырожденные случайные величины. Очевидно, |i и |2 дискретны.
В силу невырожденности существуют аи я2, Ь( и 62, такие, что <ii < а2, Ьх <
< *2 и
Р(|, = а,) > О, Р(|, = в2) > 0, A)
P(h = 61) > О, РA2 = Ь2) > 0, B)
но а, + 6, < а{ + Ьг < а2 + 62 и в силу A) и B) Р(| = а, + Ь,) > О,
Р(| = а, + йг) >, Р(? = а2 + Ь2) > 0. Получили противоречие с тем, что ?
принимает ровпо два значения. 3.225. р2 — 2(\'pi — pt), рэ = 1 + р, — 2Ур\.
3.226. Пусть F(x), G(x) и Я (г) —функции распределения случайных величин
g, •>! и | + Ц соответственно. Для любых х\ > х2 функция f(t) = F(xi — t) —.
00
— F(x2 — t) строго положительна, поэтому Я (z^ — Н (г2) = 1 (^(^j^ — <) —•
—00
— f ('2-<)) dG(t)= j f(t)dG(t)>0. 3.227. P (|+r| V2 =0) =«
b00
= 2 p (Б + л У2 = о, л = *) = р F = о, п=0L 2 р (Б + п У2= о,л = *)•
ftc= —ТО fti^O
Каждое _слагаемое в последней сумме равно нулю, так _как при к Ф О
Р(| + т]>:2~=0, t) =_ft) = Р(| = — кУ2, г] = к) <Р(| =— А'У2) = 0, следова-
тельп*, Р(| + ЛУ2 = О) =Р(| =0, t) = 0) = Р(| = О)Р(л = 0). 3.228.
(п \ и
2 «igj = 0 ]= ^ Ц рA; = М, где суммирование ведется по всем набо-
1=1 / i=i
п
рам fc|, ..., кп, таким, что 2j ai^i = 0- Но й силу рациональной независимости
i=i
чисел «|, ..., а„ последнее равенство может выполняться только при fci = ...
/ п \ п
<¦. = fcn = 0, следовательно, Р 2 a;ii = ° =П Р (^ = °)' Но' очевиДН0' Для
\i=l / 1=1
In \ п
любых вещественных Ь Ь„ Р 2 biSi = ° ) > II р (^ = °)- 3-229- Нера-
\г=1 / 1=1
/ п \ п
венств* sup Р 2 aiii — х\^ IT SUP p (S; = М очевидно. Докажем, что
2
i=i
SUP р ( 2 ai^i = х I ^ HSUP'> (Sj = ^j)- Для этого достаточно показать, что
х \t=i ~ / 1=1 ftt
2 ai^i = х
i=i /
для любого х, такого, что Р 2 ai^i = х >0, существует только один набор
\i /
п
А|, ,.., к„, такой, что Р(&< = fcf) > 0 и х = 2 ai*4- Действительно, пусть
1=1
существует второй такой пабор: mj, ..., mn (существует по крайней мере од-
71 П П
но г, такое, что к{ ф пи). Имеем 2 °4 к* = 2 Wi ИЛИ 2ai(fei~m')=(}'
1=1 1=1 i=i
238

что противоречит рациональной независимости чисел в), ..., а„. 3.230. a)V(|)
= 21 * F = * + 1) - * 1Б = *) I <2(Р (I = * + 1) + р (Б = *)) = 2р(Б=
ft Л ft
оо
4-SP(g = *) =2. б) Имеем Р (? + л = *) = 2 Р(Б = *-*) Р(Ч =л),
/i п=-оо
поэтому
2 (Р (S = * - в) Р (ц = в) -- Р (Б =¦* + 1 - и) Р (л = п))
ft n
2 21p E = * - n) - p (Б = * +1 - в) | p (л = в) = v (i) 2 p (л =«) = v (Б).
n fc n
Аналогично доказывается, что У(| + ц) ^ К(п)- 3.231. Примените задачу 3.88.
3.232. Покажем, что т?— Е| ^ }'2Dg. Действительно, событие {т\ — Eg ^
^ )'2Щ} имеет, очевидно, вероятность 0 или 1. Имеем т\ — Е| = т| — | +
+ 6 —Е|. Но РК-КО) >М2, Р(|-Е| <l2Df) >J/2 (в силу неравенст-
неравенства Чебышёва), следовательно, P(m? — Eg < >'2Dg) ^ P({m| — | ^ 0) П
П {| — Eg < V2Dg}) > 0, и поэтому_Р(т1 — Eg < y2Dg) = 1. Аналогично до-
доказывается, что т\ — Eg Эг — V2Dg. 3.233. Воспользуйтесь тем, что g ^
^ max {0, g}. 3.234. Используйте схему доказательства неравенства Чебышёва.
3.235. См. указание к предыдущей задаче. 3.236. Пусть F(x)—функция рас-
распределения случайной величины g. Имеем
оо а а
E/(g)= j/(x)dF(x)> j / (x) dF (х) ^ / (а) [ dF (х) = / (а) Р (|< а),
— оо —оо —оо
откуда следует нужное неравенство. 3.237. Не ограничивая общности, будем
считать, что Dg = 1. Пусть F(x) — функция распределения случайной вели-
величины g. Фиксируем х > 0. Для любого 6^0 имеем
или F(—х) ^ A + *2) (г + б)-2. Полагая 6 = 1/х, получим F (— х)< 2.
Аналогично доказывается второе неравенство. 3.241. а) Очевидно, т%{ =,
= т%г. Имеем
б) Заменяя в неравенстве a) gt на — g<, t = 1, 2, получим -g-P^lj —m|t<
<;—e)<P(gj—12<—e), отсюда и из неравенства а) получаем нужное соотпоше-
иие. 3.242. Р(| g, - Ь\> е) = Р(| (g, - а)- (Ь - а) | ^ е)^ P(|g, - e|^ е/2) +
+ P(|g2-a| ^е/2) =2Р(|6,-в| >в/2). 3.243. Имеем P(g + ri^«)>
239

1
P (Т1^О)>-5"Р (|^a). Второе неравенство следует из
первого. 3.244. P(|?i|< *,)P(|?2| s? z2) = Р(|Ы < *,, I Ы s? хг) <
P(|6| + \Ы s?*i + *2) <P(|li + |2| ^Xi + x2). 3.245. Имеем
1|>e}U ... U{K|>e}) =
откуда, применяя неравенство Чебышёва, получаем
3.246. Положим rjo = 0 и рассмотрим события Ck = (sup | r\j | < е, | r\h | ^ el,
п
С = f sup | r]ft | 3* с}- Тогда Е | t)n jr /с = 2 Е 1% Г 7СЬ- Но в СИЛУ задачи 3.129
\k<n / й=1
п
Е]Пп|рЗгЕ|п*1г. поэтому Е | лп |г/с > ^ Е I T)ft |г/с > егР (С), откуда следует
нужное неравенство. 3.247. Это неравенство Леей для случайных величин о
симметричлыми распределениями (обобщение см. в следующей задаче).
3.248. а) Положим т)о = 0, r\* = max (T]j — м (»]j ~ Л,,)) и рассмотрим события
Ah = K-i < е, T!ft - m (tjh - Лп) ^ e], Bft = {лп - % - m (t,n
n
События Ak не пересекается и (tin ^e] = U -Ah, \j AhBh с (г\п^ е\. Кроме
того, очевидно, Р(Вц) ^ 1/2 для любого ft. Учитывая, что при каждом к собы-
события Ah и Bk независимы (первое зависит только от |i, ..., |ц, а вто-
п
рое —от |A+i, ..., |„), окончательно получаем Р (лп ^ е) ^ 2 Р (AhBk) =
п п
- 2р ("**)р (s")> т 2р ("**) = тр (л* ^е)' что доказывает
венство а).
Изменяя знаки всех случайных величия в неравенстве а) п комбинируя
полученные неравенства, получим неравенство б). 3.249. В силу задачи 3.232
\т(г]к — г\п)\ О'2Р(лп —тц) =S Y2Di]n. Применяя неравенство а) задачи 3.248
и заменяя е на е —V2Dt)n, получим нужное неравенство. 3.250. Пусть FniT(x)
и Gn т (х) — функции распределения случайных величин sup 11). |г и |iin|r
l«fc«n'
соответственно. Используя задачи 3.89 и 3.248, получим Е( sup
оо оо
= f A — Fn г (х)) dx < 2 Г A —Gnr(x))rfi = 2E|tin|r. 3.251. Рассмотрите сим-
о о
метризованные случайные величины и воспользуйтесь предыдущей задачей.
3.252. Заметим, что ЕфF) = Еф(|6|) и Еф("п) = Еф(| л |). Положим R(x) =
= P(jg| ^x) — Р(|т)| < х). Очевидно, Д(гM=0. Имеем Еф Ц) — Eqp (л) =¦
240

-- Etp ( | ? | ) — Еф ( | г| | ) = I ф (x) dR (x) = — \ R (.г) с/ф (г).Но в силу пеотрица-
о о
телыюсти Н(х) и убывания ф(х) I R (x) d<f (х) <: 0, следовательно, Еф(с;)—
п
—Еф(г|M= 0. 3.253. Для любою борел о некого множества Л имеем \F(A)— в(Л) | =•
= \f(A)-P(A)+P(A)-G(A)\^\F(A)-P(A)\ + \P(A)-G(A)\ =s;Var(F,P) +
+ Var (P, G). В силу произвольности А отсюда следует нужпоо
nepauPiiCTHO. Для равномерного расстояния доказательство аналогично.
3.254. Обозначим В = {х: />(х) ^ q(x)}. Имеем
|Р(Л) — О(Л)| = \Р(ЛВ) —Q(AB) +Р(АБ) — О(ЛЛ)|. A)
Заметим, что Р(ЛВ) — Q(AB) ^ 0. а Р(Л 11) — Q(Ali) «g; 0. Пусть для опреде-
определенности \Р(ЛВ) — Q(AIS)\ ^ \P(AB) —Q(AB)\. Тогда пз A) следует, что
| Р (Л) -О(Л) | < Р (AD) -Q (АВ) ~- [ (р (х) - q (.r)) dx < |"(р (г) - g (x)) d.c =.
лв в
оо
=^ "о" \ | Р (х) — q (.г) | (/.г. 3.255. См. решение предыдущей задачи.
3.256.
Ф —г-' — I/ In
"о \ /^ or, V> Г <т2
In -^ -Ф 1/ In-5-
,где Ф(г) —
1
стандартная нормальная функция распределения. 3.257. р. 3.258. —
1 1
3.259. Распределение с плотностью —\ -, /-—
1 " 1 'л *
F (.г) + Fo (т)
3.260. f (х) — —! : = .. 3.261. Равномерное распределение па отрезко
[—1 ab, }'ab]. 3.262. Из определения метрики Леви следует, что для любого
h > L(F, Н) и любого х
I/(x-h)-h^F(x) ^I/(x + h)+h, (I)
а для любого /г' > L(G, II) и любого у
G(y-h')-h'^H(y) szG(y + h') + h'. (г)
Положим в B) у = х — к. Пз левых неравенств A) и B) получаем
G(x — (h + А')) — (Л + Л') = G(z — А — Л') — Л — А' < //(х — Л) — А <с F(x).
Аналогично, положив в B) у = х + А, получим F(x) sg G(x + А + A') -f A + А'.
Из иослидннх двух пераиеиств следует нужное соотношение.
3.263. ——¦—2 ' ¦ 3.261 Из условия задачи следует, что P(s S= ri-f e) ;g e
1 -!- 2 |/3 о2
и Р(^ sc i| — е.) ^ е. Из первого перавепства получаем Р(| ^ .г) ^
^ Р(т| + б sg х)— е = P(i) ^ г — е)— 8 для любого г. Аналогично из второго —
Р(§ sex) <sP(i] scx + s) -he, т. e. G(x — e) — e sc F (x) <; G(x + e) +e,
откуда /.(/•', G) sC 6. 3.265. Для любого борелевского множества Л, применяя
формулу полной вероятности, нолучаем
241

-P(r\eA\l = r\)P{% = r\) -P(r\
= \РAеА\ЪФт\)ЩФг\)-Р(г\с=А\1Ф1\)Р(ЪФг\)\
3.266. Докажем левое неравенство. Положим k — sup | /•' (х) — G (х) |. Тогда
X
G(x)^.F{x)+h и F(x) =g: G(x) + А и, следовательно, G(x — A) — A <g:
^ G(x) — A ^.F(x)+ h — A = F(xX G{x -f A) =5 G(x + h) -f А. Докажем пра-
правое неравенство. Для любого А > L(G, F) G(x — A)— A =g: /г(х)^ G(x + A)-f h
и, следовательно, F (x) —G (х) < G (х + Л) -^ G (x) -f A < sup G' (x) A -f h. Ана-
логично F(x) —G{x) ^—supG'(x) —Л. 3.267. Не ограничивая общности, мож-
X
но считать, что L(F, G) > 0. Для любого положительного А < L(F, G) суще-
существует такое хн, что верно одно из следующих двух неравенств:
F(xh) < G(xh-h)-h, F(xh) >G(xh + h) + h.
Пусть, например, выполнепо первое неравенство. Тогда
х. х,
со п h
| )F(x)~G(x)\dx^ J (G(x)-f (x))dx> J (G{x)-F(xh))dx>
xh-h xh-h
^> I (G (x) — G (ii ¦—¦ A) "-p A) dx ^? А-«
откуда следует нужн»е неравенство. 3.268. Не ограничивая общности, можно
считать, что математические ожидания, соответствующие функциям распреде-
распределения F\(х) и ^(х), равны нулю. Положим
А = Bшах{а1, а2}J/3, А = |х : | х | > -^-1. A)
Из неравенства Чебышёва следует, что (см. задачу 3.65) | /'1 (х) — F2 (х) \ ^
СТ1> а2)
~2 , поэтому sup | Fх (х) — F2 (х) | <; А. Следовательно, при всех
F2(x — h) — h < Ft (x) < Fi(x + h) + h. B)
Если х$=А, то, применяя неравенство Чебышёва, получаем 1— F2(x + h)<^.
< 1 — Fi(h/2) < A, F2(x — h) < F2(A/2) < h. Поэтому при х <? Л
F2{x — A)— A<0<F,(x) <l<f2(x +A) +A. C)
Иа A), B) и (З) получаем нужное неравенство. 3.269. Воспользуйтесь зада-
задачей 3.237. 3.270. Для любого х имеем
\F1*G(x)-F *G(x)\ =
J Ft (x - t) dG (x) - JFs(i-() dG (x)
I \Fл(х—t) — FАх—i)IdG{x)^isup|F~(x)—F (x)| I dG(x);
—00 -
00
F1D —x)G(dx) — j F2(^ — x)G(dx)
3.271. Var (F , * G, F, *G) = sup
1 i A
242
— OO

(sup берется по всем борслсвским множествам А)
СО ОО
1 2 .'12
л — оо —оо
3.272. Положим h = L(FU F2). Имеем F, (х — h) — h < f2(x) ^ F, (x + /г) + ft,
откуда
oo oo oo
С С С
1 ' n \^ — ) Q^ (') ^^ 1 (г i (X ~\ fl — t) ~\~ tlj dCt it) — 1 г I X -\- n, —
w-OC —OO —OO
oo oo
к аналогично I F^(x — t) dG (t) ^ I F1{x — h — t) dG (t) — h.
— oo — oo
мените ипдукцию и воспользуйтесь задачей 3.270. 3.274. Воспользуйтесь зада-
задачей 3.271. 3.275. Достаточно провести доказательство для случая л = 2 (далее по
индукции). Воспользуемся задачами 3.272 и 3.262. Имеем L(F\ • F2, G, * Gt) ^
s: L(F,*F2l G, *F2) + L(Gt*F2l Gx * G2) <^ L(FU G,) + L(F,, G2).
3.276. См. решение следующей задачи. 3.277. Имеем Var(F, G) =
= sup | F (A) —G (A) \. Пусть А — произвольное борелевское множество. Имеем
оо оо
F*H(^) — G*H(^)= \ ?(А— x)H{dx)— [ G (А — х) Н (dx) =
«=(F(^)-GM))P(S = 0)+ [ (F (Л - х)-G (Л - х)) H (<ft),
откуда
— G(/4 —x)| H(rfr)<IF * Н(Л) — G* H
3.278. e > 0, с > 0, Ь — любое. 3.279. Пусть 6 = (?i, ..., gn). По неравенству
Коши — Буняковского
и, значит, !li!!i±___±l!i!!ill<|]g||, откуда
„ F« || _ Я П f - I (E^iJ + • • • + (Е^J Д -11 Е
IES
3.280. Наждая функция распределения G в Ra должна удовлетворять условию
G(x2, j»2) — G(x2, !/i) — G(x,, j/2)+G(x,, {/[) > 0 при любых_х, < x2 и yisS,y2.
3.282^ /(a, y) = 1 _в квадрате с вершинами в точках (У2/2, 0), @, V2/2),
(—У2/2, 0), @, —У2/2) и /(х, у) == 0 вне этого квадрата. Другой пример:
](х, у) = 1 в единичном круге и /(х, ;/)= 0 вне этого круга; здесь непрерывны
плотности всех проекций. 3.283. Маргинальные распределения этих двумерных
распределений совпадают: оба они равны равномерному распределению на
отрезке [0, 1]. 3.284. 0. 3.285. +1 или —1.
243

8.286.
3.287.
с2 — a1 — b2 Ь2 — а2 — с2\
lac
lab
¦-а2-с' a'-b'
lac
2Ьс
У)
: 2 I 2a — 5. 7" v sin a), где a = arccos K x P~ y ,
при
l2 + У2 ^ 4 и р{х, у) ¦= 0 при остальных х. 3.288. а-алгебра, порожденная
случайной величиной <?, е>, содержится в а-алгебре, порожденной случайным
вектором |, и аналогично для <г], i> и г\. 3.289. Вообще говоря, пет. 3.290.
Р«Е, *>"=0) — Р«6, «> = 3) = 1/6, Р«Е, е> = 1) =P«g, e> = 2)= 1/3.
3.291. Распределение с плотностью р(х)=2х+\ при —1/2 ^ г ^ 1/2 н
р(х) «= 0 при остальных х. 3.292. Маргинальные плотности совпадают и равны
е-* при ООиОпра i<0. 3.293. Нет. 3.291 t\{x, y)=F(m\a{x, у)).
{0 при х< — у, у <0,
f (х) - F (-у) при — у<х<у, !/>0,
/•' (I/) — f (- ;/) при х > у, у > 0.
3.2a7.G(x,y)=*(F{y))»—(F(y)-F(x))» при х < у и G(x, j,) = (F(y))»
'при i^j. 3.298. Пусть
Тогда
8.299. Покажите, что для любого не более чем счетного множества A cz R"
найдется единичный вектор с, такой, что проекции всех элементов А на пря-
прямую, порожденную вектором е, различны. 3.300. Пусть Р — распределение.
Рассмотрим поворот пространства вокруг начала координат, при котором еди-
иичный вектор с переходит в вектор е0 = A, 0, ..., 0). Пусть Рке) — распре-
распределение, в которое при данном повороте переходит распределение Р. Покажи-
?44

те, что (P*Q){e) = P,e)*<?u). 3.301. Имеем
J W + J x%XjdF.
\jcj<0, Xj<(lj \Xj<0, *j>0/
Последние два интеграла имеют противоположные знаки и равны по абсо-
абсолютной величине. 3.302. Среди этих л + 1 векторов найдется по крайней мере
один такой, что проекции всех п точек на него различны. 3.303. Пусть g' и
Е" — независимые одномерные случайные величины, имеющие одинаковое нор-
нормальное распределение. Можно положить I — (?', 0), т) = @, I"). З.ЗО^. Нет.
оо ос
3.305. Да. 3.306. Легко проверить, что \ \ / (х, у) dx dy = 1 ив силу ус-
ловня I и (х) \ < ,.— функция 1(х, у) всюду неотрпцательпа. Найдем марги-
маргинальные распределения }(х, у):
1л
(в силу нечетности функции и(у))
4
4= Г e^dy + ud) f
У 2л J ^ * ' J
VT:
л
Аналогично /, (у) = ^=е '2 -3.307. Е<|, е> = 0, D<|, е> = 1. 3.308. F(x, у) =
у
= G(x)B(y), где B(z) —функция распределения случайной величипьт, прини-
принимающей значения 1 и —1 с вероятностью 1/2 каждое, G(x) = 2Ф(е*) — 1»
Ф(т) —стандартная нормальная функция распределения. 3.310. Распределение
| инвариантно относительно поворотов вокруг начала координат. 3.311.
c(ij, v) = f(u)f(v)j(—и— v). 3.312. Для доказательства достаточности рассмот-
рассмотрите многомерное нормальное распределение; по поводу необходимости см.
задачу 3.147. 3.313. Воспользуемся задачей 3.150. Имеем
Р(\1-Ч\>*УЩ, «ли
11] - Ei] I > е УЩ) = Р (A — PsJ > e2D| или (л - Ет)J > S2Dn) =
ущ\Лущ)
_
3.314. Обратное, вообще говоря, неверно. Если элементы матрицы имеют раз-
различные математические ожидания, то утверждение задачи, вообще говоря, не-
неверно. 3.315. Л'-". 3.316. Легко видеть, что Р(г|п делится на п) >
>¦ P(ti = ?г = ••• = ?п). Отсюда, используя результат предыдущей задачи,
получаем нужное неравенство. 3.317. а) 1/2, б) 1/2 (случайная величина /(г)
имеет симметричное распределение при любом х), в) 1/2, г) 1/2. 3.318. Если
а = 0, то утверждение очевидно. Если а > 0, то
Р(«; :& ami) = P(l S* ml) ^ 1/2, P(«S sC ami) = P(| sg ml) > 1/2.
17 А. В. Прохоров и др. 245

Если а < 0, то
Р(я? ^ ami) = Р(?< т\) > 1/2, Р(я? < ат^ = Р(| > т?) > 1/2.
3.319. Следует из задачи 3.104. 3.320. Достаточно доказать для случая л = 2
(в общем случав доказывается по индукции). Имеем
3.321. Обозначим F(x), F{(x) и /^(.г) функции распределения случайных ве-
величии S, Ei И Ёг соответствецпо. Имеем
1/4 < ^ (Я, + 0) F2 (Х2 + 0) < j Z1! (Хх + %., - s + 0) iF2 (,) < F (Хх+ \+ 0)
C4j
1/4 < A - Fх Ш) A - F2 (Щ < f A -
-F
8.322. а3. 3.323. Воспользуйтесь неравенством Чебыгаёва. 3.324. Воспользуйтесь
обобщеппым неравепстном Чебышсва (задача 3.233). 3.325. Воспользуйтесь не-
неравенством Чебышёва. 3.326. Продифференцируйте выражение
Е(п-яЕ-ЬJ A)
под зпаком математического ожидания по а и Ь, приравняйте производпые
пулю и из получеппых уравнении найдите а0 и Ьо, при которых A) достигает
мипимального значения. 3.327. Имеем
m m
СО
— оо
(строгое неравенство следует из пепрерывности f (х)). 3.328. Ev= f. 3.329. !• =
«= HI sign | и случайные величины |?| и sign | независимы (см. решеппе
вадачи 3.146). Невырожденпость распределений ||| и sign | следует из того,
что | принимает не менее трех значений. 3.330. Приблизьте индикаторную
фупкцию отрезка последовательностью непрерывных ограниченных функции.
3.331. ¦"~f2n1U'. 3.332. Р(п( = /) = 1/i, / = 1, 2, ..., I, i> 1. 3.333. а) 1, б) 1/2.
3.334. Пусть Fv(x), Ft(x), Р?(х), ... — функции распределения случайных ве-
величин t|v, т|], т|2, ... соответственно. Тогда
оо оо
Р(% = ^)= 2 Р(ПЛ<*. v = A-)= 2 р (ПЛ < аг) Р (V = Л) =-
ft=i ft=i
откуда получаем
оо
24G

3.335. 0; o2nn!. 3.337. Воспользуйтесь предыдущей задачей и тем, что сумма
независимых случайных величин, имеющих симметричные одновершинные
распределения, имеет симметричное одновершинное распределение (зада-
(задачи 3.195 и 3.197). 3.339. Воспользуйтесь задачей 3.223. 3.340. Прежде всего уточ-
уточним формулировку задачи: имеется в виду, что скорость — случайная вели-
величина, математическое ожидание которой равно 5 км/час.
„ 1 1
Рассужденпе неправомерно, так как, вообще говоря, с -|- Ф щ-.
Глава 4
4.1. z"cp(z); <p(z"). 4.2. а) распределение, припирывающее точкам 0, 1, 2
пероятности 1/4, 1/2, 1/4 соответственно, б) распределение, приписывающее
каждой точке к (Д- = 0, 1, 2, ...) вероятность pqk (геометрическое распред&-
лепие), в) распределение Пуассона с- параметром К, г) биномиальное рас-
распределение с параметрами р и и, д) распределение, приписывающее нечет-
2е
ным точкам 2/i + 1 вероятности , ., .. ..^ . л\> четным — нулевые, е) рас-
распределение, приписывающее каждой точке к (i = l, 2, 3, ...) вероятность
11 1 — z
— —, | .. Приведем, например, решение в случае е):1 + In A—. г) =
4
t=l i=l i=0
+ У L- = 2. (" ~ i + 1 ) z<- ^' РаспРеДеление1 сосредоточенное в точке 1,
i=l i=l
'iA. Производящая функция аналитична п области \z\ < 1. 4.5. Воспользуйтесь
непрерывностью производящей функции. 4.6. Пусть Р(? = 0) =0. Тог-
оо
да ФA/2) ^ 1, ФA/4) ^ 1/2, ..., ФA/2л) ^ 1/2—1 и ряд 2 Ф A/2") сходатся.
п=1
оо
Обратно, если ряд 2 Ф A/2") сходится, то для любого N
A = 1 П=1
откуда получаем Р(| = 0) = 0. 4.7. 0 sg а/с ^ 1, —1 < d/c ^0, Ыс = 1 — а/с +
+ d/c. 4.8. Предположим, что такая случайная величина ? существует. Обозна-
Обозначим q>(z), >|)(z) и 'Y(z) производящие функции |, ? и т] соответственно. Имеем
<f(z)f(z)=-r(z), |z|sSl, A)
ф(г) = ~A + 2), B)
yi*) = T + Tz + -Tz* + T'*- C)
Из A) следует, что все корпи уравнения ф(г) =0 являются одновременно кор-
корнями уравнения "f(z) =0. По из B) и C) следует, что ф(—1) =0, a "f(—1) =
= 1/4. 4.9. Предположим, что такая случайная величина ? существует. Обозна-
Обозначим ф(г), г))(г) и. ч(г) производящие функции ?, ? и Г| соответственно. Имеем
<|(z)i|;(z) = f(z), |г|г?1, откуда |ф(г) I ^ l"f(z) I (ПРИ всех |г|^1), но
Ф(—1) = 1/2 < 6/10 = Tf(—1). 4.10. Не ограничивая общности, можно считать,
что | и т| принимают целые неотрицательные значения. Пусть ф(г) .=
=~3~ (l + z + z1) — производящая функция случайной величины % + 11 и пусть
V* 247

<px (z) = 2 akz>i и Ф2 (z) =2 ^ft2* ~~ производящие функции ? и т| соответствен-
соответственнее ft=o
oo oo
но. Тогда ~q~(l + z -f- z ) = ^a. z ^Ai2" И| значит, flo^o = 1/3, сцЬ0 -\- aob\ = 1/3,
й=о п=о
«А = 1/3, откуда а\Ьг0 + 2a0a1bl)b1 + affi = 1/9 = a()boa1bv что, очевидно, не-
невозможно. 4.11. Пусть a(on', a^'^, ... — вероятности, которые Fn приписывает
точками 0, 1,2,..., а а0, аи ... — вероятности, которые этим точкам приписывает
распределение F. Достаточно доказать, что при каждом к = 0, 1,2, ... a^n)-»-afe
ао оо
при ге->оо. Из условия задачи следует, что 2j ai z% -*¦ 2 aiz% ПРИ п~*~°°- По-
i=0 i=0
ложив z = 0, получим aj,n) -*¦ ац, и, значит,
оо оо
г=1 г = 1
Пусть а^п^ А а^ Тогда существуют б > 0 и подпоследовательность а*-", такие,
что I a^7*') — а I > б и, следовательно, существует подпоследовательность
я^""' такая, что либо а^п"^>а1 + б, либо а^п"^<а1 —б. Пусть, например,
сю
выполнено первое неравенство. Тогда при z > 0 2 a4n z1 > axz -j- 6z +
» , „, . '^ . б \
+2 о- гг. Выбирая z достаточно малым (так, чтобы V z < -5-2 I, придем
к противоречию с A).
Для произвольного /с доказательство проводится по индукции.
оо
= 2 ^п (*) р (v=«)= ф (F (г)). 4.13. eitbf(at). АЛА. f(—t) пли, что то же самое, Щ.
4.15. Воспользуйтесь предыдущей задачей. 4.16. Воспользуйтесь задачей 4.14.
оо эо
4.17. ф(«) = j costxdF (x)+ I j sintid/1 (ж). 4.18. |/@l2- 4.19. В случае а)
— оо —ос
функция четна, но не вещественна, в случае б) — вещественна, но не четпа.
В силу задачи 4.16 такие функции не могут быть характеристическими
4.20. Пусть f(l)—характеристическая функция, а F(x)—соответствующая et
функция распределения. Имеем
-А В
xh
(.г) +
С xh С xh I С 1 xh
1 sin -у dF (x)< 2 I sin -у di? (г) + 2 I sin -y
—оо —оо —А
+ 2J|sin^|dF(x
248

при любых А, В > 0. Заметим, что правая часть не зависит от t. Первый и
третий интегралы в правой части могут быть сделаны сколь угодно малыми,
если Л и В выбрать достаточно большими, а второй интеграл при выбранных
А и В может быть сделан сколь угодно малым за счет выбора достаточно мало-
малого k. То есть |/(i + h) — f(t) | ->-0 при fe->0 равномерно по t 4.21. Нет, по-
поскольку она пе является равномерно непрерывной (см. предыдущую задачу).
4.22. а)
б)
[
в) -^ {l + 2elt). 4.23. (ch-^
4.24.
а) ехр
b\t\
(it (a-
XP 5
I
sin t
(b — a)
ЛЬ-a)
-, 6) (g + peli)n, в) exp U (*" ~ 1)}, r) exp {iat -
ж)
в)
4.25. Нет. Пример: g = t\ и g имеет распределение Коши с характеристической
функцией е~'(|. 4.26. Необходимость следует непосредственно из определения
характеристической функции случайного вектора. Для доказательства доста-
достаточности воспользуйтесь формулой обращения. 4.27. Пусть gi = ... = |„ = g и g
имеет распределение Коши с характеристической функцией е~1". Тогда
/(*,...,*) = Ее«'*+-+«> = ЬШЪ = е-'ЧA = (e-1'l)* = JJ /. (*). 4.28. Пусть
г=1
Fi (x) — функция распределенияг соответствующая характеристической функции
ft{t). Найдите характеристическую функцию, отвечающую функции распреде-
оо
пения G (х) = ^ ai^i (x)- 4-29. Пусть G(x, а) —функция распределения, отве-
г=1
чающая характеристической функции f(t, а). Найдите характеристическую
оо
функцию, отвечающую функции распределения \ G (x, a) dF (a). 4.30. Имеем
—оо
°° ,.
— 1 = *' >— = N ' ' ', и, в силу задачи 4.28, это — характери-
2 — / @ ^ — /С) ^^ 2'
г=1
стическая функция. 4.31. Воспользуйтесь тем, что Re / (?) = -у- (/ (() + / (?)) =
1
s=-Q-(/(() + /(—t)). Соответствующая функция распределения равна
ОО
с~0). 4.32. { [l-F(u — x-0)]dF(u)A.33. Да. 4.34. Не
2
ограничивая общности, положим а = 0. Имеем
1/@1 =
= 0)+ j
(х)
eit!CdF(x)
= 0) — J
249

4.35. Используйте равенство / (t) = Р (| || = a) cos at + cos txdF(x). 4.36.
\х'\фа
Например, / (t) •= а + A — a) e~l cos t, 0 < а < 1, причем для любого fc =
= 1, 2, 3, ... можно подобрать а таким образом, что f(t) будет иметь ровно 2/с
нулей. 4.37. а) Распределение, приписывающее вероятности 1/2 точкам —1 и 1,.
б) распределение, приписывающее точкам —2, 0, 2 вероятности 1/4, 1/2, 1/4
соответственно, в) нормальное распределение с нулевым математическим ожида-
ожиданием и дисперсией 1/2, г) распределение Коши с плотностью —, —г>у Д) Рас-
л
пределение с плотностью ~о~е~ (распределепие Лапласа), е) показательное
распределение с параметром X = 1, ж) равномерное распределение па отрезке
[—1, 1] в) распределение с плотностью -кт\ Г~ ТТг + . . , , , а )•
оо
00 1 С
2 Pft/ft @- 4.39. Покажите, что функция р (I)=7|' I e~ltxf @ ^' является плот-
" Х -оо
ностью распределения и, следовательно, функция / (t) = \ е1 хр (х) dс является
— оо
характеристической функцией. 4.40. В силу предыдущей задачи каждая фувк»
ция вида
/aU I 0, | * I > 1/e
является характеристической функцией. Покажите, что любая функция, ука-'
занная в условии задачи, может быть представлена как предел линейных ком-
комбинаций функций такого вида и примените задачу 4.28. 4.41. Да. Примеры таких
характеристических функций легко построить, используя предыдущую задачу.
1
4.42. Покажите, что функция выпукла при i>0 @<a^l) и восполь-
воспользуйтесь вадачей 4.40. 4.43. Обозначим F(x) функцию распределения, отвечаю-
отвечающую характеристической функции f(t). Рассмотрите множества Л((е) =
¦= {х: |cos tx\ < 1 — s} и покажите, что для каждого t найдется б > 0, такое,
что I dF(x) > 0.4.44. Обозначим F(x) и G(x) функции распределения слу-
А((Е)
чайных величин | и max {0, %} соответственно, и пусть Е(х) —вырожденная
в нуле функция распределения. Тогда G{x) =F(x)E(x). Легко пидеть, что
1 1
G {х) ж=-2~+ ~2~ ^i (ХЬ гДе ^i (х) "~ непрерывная функция распределения. Пусть
g(t) и gi{t) — характеристические функции распределений G и G\. Тогда
g (t) = — A + gx (<))iHo в силу непрерывности G\(x) \g\{t)\ < 1 при t Ф О
1
(см. предыдущую задачу); следовательно, | g (t) \ > — A — | gx (t) |) > 0. Or
условия непрерывности отказаться нельзя (пример: Р(| =—1) = Р(? = 1) =
= 1/2). 4.45. Пусть gn{t)—характеристическая функция случайной величины
оо
г]„. Положим р» = Р(|, = к), к = 0, ±1, ±2, ... Имеем/(О = 2 V'""' по*
h=-<x>
оо
»тому f (п) — 2 (— l)h рк = Р(|х делится па два) — P(|i не делится на два),
fta- ОО
250

Аналогично gn{n) = P(rin делится на два) — P(tln не делится па два). Но
?„(л) =/п(я)->0 при тг->оо, откуда получаем нужное соотношение. 4.46.
оо оо оо
Г* Г* + (* tx tx
а) 1— Re/(<) = I A— cos tx) dF{x) = I 2 sin2_df (x)> \ 2sina-cos -^df (г) =
—оо —оо —оо
ОО ОО
» 1 _L sin2 tx dF (x) = JL i A — cos 2*г) df (x) =. _L Re / B0;
J 2 4 J 4
.—oo —oo
б) следует из а); в) доказываемое неравенство эквивалентно следую-
l+Re/B0 2
щему: 5 >(Re/(i)) . Применяя неравенство Коши — Буня-
оо оо
ковского, получаем , = ~2~ I (^ + cos 2f:r) d^ (x) = 1 cos8 txdF (x) ^
— оо ¦—оо
cos txdF (г) I =(Re/@J", r) следует ив в); д) из г) получаем
1 - [7B0 | ^ 2A - |/(() Р) = 2A - |/(() |)A + 1/@ |)< 4A - 1/@ |). 4.47. При-
мелите индукцию, имея в виду предыдущую задачу. 4.48. См. решепие задачи
4.46. 4.49. В силу задачи 4.47 1 — \fBnt) \2 s? 4n(l — |/@ |2) для любого п. При
« = 0 доказываемое неравенство очевидно. Пусть t Ф 0, |t| < 6. Выберем п
так, чтобы 2—6 < |«| <2—+'&. Тогда | f{2nt) |2 ^ с2 и 1 - | / @ |2 > -^Т~ t2 или
1 — с2 2
U @ I ^ 1 — г— ' • 4-50- Проведем доказательство от противного. Предполо-
жим, что /@ имеет нули. Тогда существует to > 0, такое, что f(t0) = 0 и
1U) Ф0 при \t\ < t0. Следовательно, /с(*0) =0 и /с@ Ф0 при UI < t0. Поло-
I \ ! * ~)\2\
жив < = to/2 и применяя задачу 4.46, получаем 411— А>("*2~/ /^^ —
— | /с (*0) |2 = 1. Так как функция /с I -у-1 = / ( ~f") f[~TJ непрерывна по с,
то, выбжрая с достаточно близким к единице, приходим к противоречию.
оо
4.51. Имеем/@= j eiixdF (г), откуда
со
2
Далее, при 0 ^ t ^ я/2 справедливо элементарное неравенство sin t ^~J7" t. Сло-
„ rt 4 Л2 х2*2
довательно, при |х| ^к/t sin -тр ^ —5—7~ =—г"- Отсюда и из A) получаем
z л * it
л/(
_ / ( )—/() — /(— ) ^ __ I х2^(х).Для получения нужного неравенства
h n J
-я/t
остается заметить, что/@+/(—0 =2Re/@. 4.52. ф@ = \ /f-!-)dG(x)
И-)'
251

= Г gfJAdF (x). 4.53. G(x,, ..., хп) =F(m\n {*,, ..., хп}). 4.54. Нет, не мо-
могут. Характеристическая функция равномерного на отрезке распределения обя-
обязательно имеет нули, а характеристическая функция распределения Коши нигде
не обращается в нуль. 4.55. Нет, нельзя. Воспользуйтесь задачами 4.40 и 4.41.
4.56. Обозначим f{t), g(t) и h(t) характеристические функции случайных ве-
величин ?, т] и ? соответственно. Из условия задачи следует, что
f(t)h(ct)=g(t)h(ct) A)
для любого с > 0. Фиксируем произвольное t. Выберем с настолько малым,
чтобы h(ct) фО (это всегда можно сделать, так как h@) = 1 и h(t) —непре-
—непрерывная функция). Учитывая A), получаем f(t) = g(t). В силу произвольно-
произвольности t это означает, что f(t) =g(t). 4.57. Р(? =0) = 1. 4.58. Имеем /(() =
оо
= 1 eilxdF(x). Проинтегрируем обе части этого равенства по G(t)
—оо
от —сю до +°°:
оо оо/оо \ оо/оо \
\ f (t) dG{t)= П J eitxdF (x) \dG (t) = П f eitxdG (t) dF (x) =
— OO V—CX3 J — OO \ — CO
= f g(x)dF(r).
4.59. Пусть Ф(х) — функция распределения, соответствующая характеристиче-
характеристической функции (p(i). Обозначим /?<(х) и rt(u) соответственно функцию распре-
распределения и характеристическую функцию равномерного на отрезке [0, (] рас-
распределения. Имеем
t оо оо оо
/ (t) = JL Г ф {и) du = Г ф (и) dRt {и) = Гг((и)йФ(и)= 1 ^ILlH
ud'b (и)
(мы воспользовались предыдущей задачей). Подынтегральное выражение п
последнем интеграле является характеристической фуикцией (как по t, так и
по и), следовательно, в силу задачи 4.29 последний интеграл представлят собой
характеристическую функцию. 4.60. Решение аналогично решению предыдущей
задачи, только в качестве Rt{x) теперь нужно взять распределение с плот-
плотностью —— uv~1 при 0 < и < t и 0 при остальных и. 4.61. Пусть п > р — неко-
торое целое положительное число. Тогда функция fn (t)=\ 11 — — +~ о С) I =
= 1 + I является характеристической функцией (см. задачу 4.28).
Но fn(t) -*¦ е^'*"'") при п-*-оо и предельная функция непрерывна в нуле,
следовательно, по теореме непрерывности, она является характеристической
функцией. 4.62. Нет (например, когда Ft, F2, ... — дискретные распределения,
a F — непрерывное). 4.63. Воспользуйтесь теоремой непрерывности. 4.64. Пусть.
fn(t), gn(t) и f(t)—характеристические функции распределений Fn, Gn и F
соответственно. Существует б > 0, такое, что \f(t) \ ^ а > 0 (а — положитель-
положительное число) при \t\ ^ б. Следовательно, при \t\ sg б для достаточно больших п
/п С) Ф 0 и gn (t)— t (<. -»¦ 1 при п -*¦ оо. Отсюда следует, что Gn слабо сходится
252

т; вырожденному в нуле распределению (см. предыдущую задачу). 4.65. Доста-
Достаточно показать, что функция f(t) непрерывна в нуле. Ясно, что /@) = 1. Имеем
|1-/@1 ^ 11-Ы01 + 1/«@-/@1. (!)
По условию, для некоторого 6 > 0 сходимость fn(t) к f(t) равномерна на отрез-
отрезке \l\ ^ б, то есть для любого е > 0 и всех |t| ^ 8 существует па такое, что
при п ^ «о |/п@—/@1 ^ g/2. Первое слагаемое в правой части A) можно,
зафиксировав п i^ re0, сделать меньше е/2, выбирая t достаточно близко к нулю.
Левая часть от п не зависит, следовательно, 11 — /@ | =? s при достаточно близ-
близком к пулю t. Но это и означает, что функция f(t) непрерывна в нуле. 4.66.
Покажите, что в каждой точке t fn(t)-*-f{t) при п -*¦ оо. 4.67. Имеем g (t) —
= /1(t/ft1)//(t/fcl).причем /i@ и /@ — характеристические функции, следова-
следовательно, g(t) непрерывна в пуле. Далее,
и при п->оо /I —1_». 1, т. е. левая часть A) при п-+<х> сходится к g(t), и,
следовательно ,/n I i—\-+g(t), т. е. последовательность характеристических
функций сходится к непрерывной в нуле функции, следовательно, предельная
функция g(t) является характеристической.
4.68. 1 / (*) - g @ | =
CO ОО
J e»*dF(x)- J eitxdG(x)
< j I eitx \\d(F(z)-G (x)) | = j \d(F(x)-G (x)) | = 2Var (F, G).
— oo —oo
4.69. Покажите, что оба условия эквивалентны сходимости в некоторой окрестно-
окрестности нуля к непрерывной в нуле функции. 4.70. Если^(х)—решетчатое распреде-
распределение, приписывающее положительные вероятности рь точкам а + kh, к = 0,
±1, ..., то /(*)= \ eiixuF{x)= ^ Pheiiia+kh) и, как легко видеть,
|/Bл/Л.) | = 1. Обратно. Пусть существует t0 Ф 0, такое, что [/(<„) |=1. Это
DO
означает, что /(<„) = е"оа для некоторого вещественного а, или I eit<)XdF (x) =
оо
=геч'0°. Отсюда следует, что A — cos tQ (x — a)) dF (x) = 0. Так как функ-
—оо
ция 1 — cos U(x — а) непрерывна и неотрицательна, последнее равенство может
иметь место только тогда, когда F (х) является решетчатой функцией распреде-
распределения, точки разрыва которой содержатся в множестве нулей функции
1 — cosio(z — ос). Поэтому точки разрыва F(x) имеют вид а + 2nklt0 {к — це-
целое). 4.71. Воспользуйтесь предыдущей задачей. 4.72. Пусть F(х) — функция
распределения, отвечающая характеристической функции /(«). Тогда (см. реше-
решение задачи 4.70) точки разрыва F(x) имеют вид 2nklt0 {к — целое), следова-
. 2ЯЙ4
оо г ¦ оо
тельно, /@= 2 "he ° )ай>0> 2 а& =1-ОтсюДа следует, что функция
feоо &оо
/@ периодична с периодом to. 4.73. Любое распределение, сосредоточенное па
множестве точек а + Ьк, к = 0, ±1, ..., где а — иррациональное, а 6 — рацио-
253

пальное числа. 4.74/ См. решение задачи 4.70. 4.75. См. эадачу 4.70. В случае,
когда распределение целочисленное, можно положить а = 0. 4.76. Нет. 4.77. Вооб-
Вообще говоря, не будет. 4.78. Вначале докажите утверждение в случае, когда рас-
распределение сосредоточено в конечном числе точек. При этом используйте сле-<
дующий факт: если х\, ..., хп — вещественные числа, то для любого е > 0 най-
найдутся целые ki, ,.., кп и вещественное t, такие, что |x*i — 2jtfc(| ^ e, (=а
= 1, 2, ..., п.
00
4.79. \p( + h)()\^
А
< j \e~iih-l\\f(t)\dt + 2 J \f(t)\dt
-A \t\>A
Выбирая А достаточно большим, можно второй интеграл в правой чавти сде-
сделать сколь угодно малым, а первый интеграл в правой части при фиквирован-
пом А можно сделать сколь угодно малым, выбирая достаточно малым h. 4.81.
Функция дифференцируема в нуле, но не дифференцируема в точке t = 1
(см. предыдущую задачу). 4.82. Учитывая абсолютную и равномерную сходи-
оо
мость интеграла | xnextxdF (х) (F(x) — функция распределения случайной
—оо
величины ?) и применяя теорему о дифференцировании под знаком иптеграла,
получаем
xneitxdF(x)
\ndF
— оо
4.83. Покажите, что характеристическая функция случайной величины
cos jt
2 cos it
-о , дифференцируема в точке t =
4.84.
0.
оо со
1 -^ Re / (t) С С 1 — cos tx Г С 1 — cos tx
LLLdt\^ dtj dF()yF()\
OO —OO
OO OO OO OO
= j \x\dF(x) j* Lz2JL*l±ldt\x\= j \x\dF(x) j i-™ydy=*
— OO —OO —OO —OO
OO
= jt I I x\ dF (x) — nE 111. 4.85. При 0<a^l f(t) — характеристическая
— OO
функция, при остальных a — нет. 4.86. Вторая производная в нуле фупкции
/(() равна нулю, следовательно, дисперсия должно была бы равняться нулю.
Но тогда /(«)—характеристическая функция вырожденного распределения и
по модулю должна равняться единице, что противоречит условию задачи. Та-
Таким образом, f(l) не может быть характеристической функцией вероятностного
распределения. 4.87. Рассмотрите функцию |/@12 (это характеристическая
функция) и исследуйте знак ее второй и первой производной в окрестности
нуля (при этом воспользуйтесь тем, что первая производная в нуле равна
нулю). 4.88. Используйте соотношения
/B9-1) D) = (_ 1)9 Г siatx-xW-idFix), /B^> (f) = {_ 1)9 Г cos tx-x2qdF (x>
— ОО — ОО
254

oo
x Г . 2tX
\i равенство cos x—1——2 sin it. 4.89. Имеем /^ (t) = 1 —2 \ sin ~%dF^ (x) <
— oo
I С t \
<; exp I —2 1 sin2-^ dF. (x) ).При достаточно малых t это неравенство можно
V — оо '
возводить в положительную степень aj, поэтому, учитывая равенство
« °° 2
а _|2 V1 С 2tx '
f*1 (t) f2 (t) =e , получаем^ а;. sin -j aF;. (i)< у . Таким образом,
i=i _oo
оо
р ^ t3 /- (t) — /;- @)
при каждом / получаем 1 sin -j dFj Iх) ^~2а"' ^° 2 =*
— оо
ОО
9 г» fa
z=—-^- \ sin2 ~n~ dFj (х)* И в силу предыдущей задачи дисперсии существуют,
— оо
4.91. х, = Eg, х2 = И2 = 01, х3 = Цз = Е(| —Е^K, х4 = ц4 — Зц2. 4.92. Пусть
/(О — характеристическая функция \. Воспользуйтесь тем, что характеристи-
характеристическая фупкция \' есть eitbf{at). 4.93. Пусть F(x) —функция распределепия |.
Тогда
i Г A _ ф @) dt = ?- j f A - ei
U oo
—U -oo
откуда получаем
и -2/u
С I sva.ux\ С I si
С С I \ sin ux
_u -oo 2/u
— 2/u
:2
1 ^-т^
2/u
4.94. Используйте предыдущую задачу. 4.95. Пусть F(x)— функция распреде-
.г2
пения Е- Воспользуемся элементарным неравенством cos х ^ 1—-j-. Имеем
У(*)= J cos txdF(x)^ J ^1-—JdFB) = l-— J x dF (г) = 1 --y-.
— oo —ex» —oo
4.96. Рассмотрим характеристическую функцию |/@1г- Дисперсия соответ-
соответствующего распределения равна 2а2. Используя предыдущую задачу, полу-
получаем \f{t) |2 2г 1 — t2a2, откуда следует нужное соотношение. 4.97. Вос-
Воспользуйтесь тем, что / (г) е~иа = 1 ——g— + о (/*), i->0, где a — математи-
255

ческое ожидание распределения, соответствующего характеристической функ-
функции f(t). 4.98. Воспользуйтесь тем, что |/'('I =?Е||| и, следовательно, |/(г)|
не может убывать быстрее некоторой линейной функции. 4.99. Предположим
вначале, что \ имеет конечную дисперсию а2. Тогда, поскольку \ имеет невы-
невырожденное распределение, а2 > 0. Положим а = Е?. Тогда /(i) = e~iat — ха-
характеристическая функция случайной величины | — а, т. е. случайной величи-
величины, имеющей нулевое математическое ожидание, поэтому / (t) e~iat = 1 ——г;—-f-
+ о (i2) при t-*-0. Модуль правой части этого равенства не превосходит
с2*2
1 — —у—для всех достаточно малых (. Отсюда следует требуемое утверждение.
Перейдем теперь к общему случаю (когда дисперсия может и не сущест-
существовать). Пусть с — Р(| %\ ^ Ь). Выберем Ъ так, чтобы было с > 0. Пусть
F(г) — функция распределения |. Определим функцию G(x) равенством
0, если z <; — Ъ,
1
G(x) =
¦ (F (х) — F (— 6)), если
1, если х > Ъ.
Очевидно, G(x) — невырожденная функция распределения с конечной диспер-
дисперсией и характеристической функцией g (i) = — | eiixdF(z). По ранее доказан-
1
ному
euxdF (x)
1 — et при \t\ ^: б для некоторых положительных
\ eiixdF (x) + f dF (x). Поэтому |/((I<
\х\4Ъ \х\>Ъ
сA — ег2) + 1 — с = 1 — cet2 при \t\ sg б. 4.100. Рассмотрите характеристи-
6 и е. Далее, |/@ |<
ческую функцию Не / (г) = j и воспользуптесь предыдущей зада-
задачей. 4.101. Воспользуемся следующими элементарными неравенствами:
4 2
0 < cos х < 1 — —г аГ A)
л
оо С
при \х\ ^ я/2. Имеем при |t| ^ я/Bс) / (г) = | cos txdF (x) = \ cos txdF (x).
— ос —С
Используя левое неравенство в A), получаем f(t) rgs 0. Используя пра-
с
вое неравенство в A), получаем /@^ I I 1 — т-^ г2х* ) dF (х) =
с с — —Bо2
= Г dF (х) - -i- t2 WF (г) = 1 —-1. tV < в л2 4.102. Пусть |, и ^2-
J я J JX
—с —с
независимые случайные величины, распределенные как %. Тогда |i — ?2 имеет
дисперсию 2а2 и характеристическую функцию |/@12- Кроме того, очевидно,
Hi — Ы =S 2с,поэтому в силу предыдущей задачи I / С) | <«
-1о2B
при \t\ s^ я/Dс), или |/@ |<е я при |4|^я/Dс). 4.103. Воспользуй-
2 2
тесь соотношением / {t) e~iat = 1 — —г;— + о (i2) при / -»¦ 0, где а = Eg.
25G

/5.104. Перейдите к усеченным распределениям и воспользуйтесь предыду-
со оо
щей задачей. 4.105. Имеем / (*) = 1 cos txp {x) dx = 2 j cos tx p {x) dr. Фикси-
руем произвольное t > 0. Получим
Л/24
Г
П/21+nk/t
(/2 оо /
Г cos «xp (x) dx + 2 f
о ft=1 я/2(+я(й-
cos
Я/2(+ЯЙ/(
Положим ah (t) = I cos txp (x) dx. Ряд
очевидно, знакоперо-
n/2t + n(h-l)/t h=-°°
менпый, причем \ак\^ \o,h+\\ для любого к (это следует из того, что функция
р(х) не возрастает при z 5г 0), поэтому
ft=l ft=2
Если /(() 5s 0 (при данном фиксированном t), то из A) и B) получаем
л/г г л/г*
/ (t) < 2 f cos ix/? (г) dx < 2Л f cos tx dx = 2A/t. Если же f{t) < 0, то / (г) >
о о
я/г
> f cos txp(x)dx п/(<)>— 2Л/г. Таким образом, |/@|<2Л/*. 4.106. По-
Поя/2 (
я/2И-яй/(
1;ажите, что при некотором | / (i) |^ \ | cos tx I p (x) dv и что последний
/ k/t
—Л/21 + nk/t
/(
интеграл пе превосходит величины Л
cos txdx. 4.107. 11-
Re
A—/@) ~ ] A —
cos
и далее воспользуйтесь неравен-
ством coszsgl— x2/3 при |х|^1. 4.108. а) пет, б) да, в) да. 4.109. Обо-
Обозначим F(x) фувкцию распределения, отвечающую характеристической
функции f{t). Пусть функция ф(;) — (f'(t) —/'@))/t ограничена при 0 < |t| <
< е: |ср(г) | sg с < оо. По теореме о среднем /(()+/(—0 — 2/@) =
= tf'(td(t)) —</'(—<в(—0). где 0<6 (±0 < 1 и, таким образом, f(t) +
+/(-г)-2/@) = *2(в@Ф(«в@) + в(—0ф(—гв<—0)), так что
cos tx — 1
?
dF(x)
/(*)+/(- t) -2/@)
при 0< |<| < e. Отсюда, применяя лемму Фату, получаем j x2dF (х)
— оо
f И\ 4' (
Обратное утверждение тривиально, поскольку
/"@) при f->0,
если
J iW(i)<oo. 4.110. Имеем |/(«я)|2<е Пусть К < б ^ 2.
— оо
Обозначим F(s)(z) симметризацию функции распределения F(х). Характеристик
257

ческая
рядка 8
во>
функция распределения F("> есть |/(*)!2- Предположим,
I существует. Положим ип =» <п/2. По лемме Фату
оо оо
2 Г | х |б dF(s) (х) = 2 Г Mm sup
J J П-»оо
, что момент по*
sm
(x)
sup
sin ц_г
(x) > 2 lim sup
°° . 2
p sin unx
(х)
{мы использовали интегрируемость
sin и„х
< I .т ]" и условие б > X). Таким
образом, /Ч'' и, следовательно, F не имеют моментов порядка б > к. 4.111. Обо-
Обозначим FW(x) симметризацию функции распределения F(х) (характеристиче-
2
екая функция F(I' 2
Фату
2
(a:) есть |/@12)- Имеем | / (in) j2 ^ e ", так что по лемме
(• П /1 — COS *„Х\
^df <s> (x) = 2 lim inf 3 rfF(s>
J J n-*oo V tn I
m —oo
?1 — cost*
< 2 lim inf \ r-2-dfW(a:) = 2
(x) <
1 — 1 /(«„•) I2
iminf ' / ; '
2 lim inf
= 2c.
Таким образом, F<*>, а следовательно, и /" имеют второй момент. Обратное три-
оо
виально. 4.112. Имеем (см. решение предыдущей задачи) \ x2dF(s) (x) ^ с
— оо
00
для любого с > 0. Таким образом, j x2dF^ (х) = 0, откуда следует, что F<'>,
—оо
а значит, и F являются вырожденными распределениями. 4.113. Достаточно
л(й+1)/(
доказать, что Im/(t) Ф 0 для всех t > 0. Положимай (i) = I sin ?xp (z) dx.
°° оо
Фиксируем t > 0. Имеем Im / (i) = \ sin ix p (x) dx = 2 as @-Но, как легко
о h=o
видеть, ah(t) > 0 при fc четном, ak(t) < 0 при к нечетном и |а*@ I > |e*+i(O |
для всех к = О, 1, 2, ... (в силу убывания р(х) и периодичности sin x). Отсюда
получаем, что Im/(«) > 0. 4.114. Сохраним обозначения, принятые при решении
задачи 4.113, Легко показать (см. решение предыдущей задачи), что
258

lmf(t) agao(t), но
п/t n/t
Г ¦ м, . ,mf . , , Р @) Г . , 2/7 (<
= I sin tx p (х) dx ^ р @) I sin <x dx = —:— I sin x dx = —т-
J J ' J f
о o
0<Im/@<
при t ~&s 0. 4.115. По формуле обращения
-7 ¦—=¦«—lim \ ¦
-r
^—1'Л |
При ft-+0 ГТТ -*¦ 1, следовательно,
Г
J
-Г
= J_ Г
2л J
4.116. Используйте равенство e~itx — cos-ix — i sin fx. 4.117. Используя преды-
предыдущую задачу, получаем
oo
If 1 Г
/j (x) = тт- \ cos txf (t) dt — rr- \ cos txf (t) dt +
J J
— oo {COS(X>0>
+ -П— cos *x/ (г) d« < it- \ cos txf (t) dt ^
{cos(x<o> {cos(x>o>
4r J
J J
<CO3(X>0) —00
Таким образом, р(х) достигает наибольшего значения в нуле. 4.118. Пв поводу
левого неравенства см. предыдущую задачу. Докажем правое неравенство.
Воспользуемся задачей 4.116 и следующим элементарным неравенством:
cosx>l— х'г12 (х фО). Имеем
If 1 Г f t\r2 \
= 15— \ cos «x/ (t) dt > 15— I 1 — —г,— / (t) dt =
z" J Ал J ^ z -1
— OO —OO
OO CO
_ _I_ Г t dt _ zl J_ Г ^ f) д _ о - — •
2л J 2 2л J 2
—00 —00
00 0
If- 1 Г
4.119. Воспользуйтесь задачей 4.115. 4.120. p {x)—-j^-\e~lixf (t) dt^r^- \dt—cln.
— 00 —С
4.121. Пусть l и г| — независимые одинаково распределенные случайные вели-
величины с плотностью распределения р{х). Случайная величина | — г\ имеет
259

плотность распределения
оо
g(z)= j p{x+y)p{y)dy. A)
— ОО
С другой стороны, ?— г| имеет характеристическую функцию |/@12 п> следо-
следовательно, но формуле обращения для плотностей (задача 4.115)
~"я1/@12л. B)
Положив х = П и приравняв правьте части A) и B), получим нужное соотно-
соотношение. 4.122. Воспользуйтесь периодичностью функции /((). 4.123. Имеем
-г
где h — произвольное положительное число. Обозначим px = F(x-{-0) —
— F(x — Q). Покажите, что для любого е>0 существуют h0 > ht > 0 и То,
такие, что
С sin Taj С sin Г у
-?-^dvF[y + x)^B, -—^. d/ (у + Я)< 2е,
sin Toy
1
х) -
<2е.
4.124. Пусть F(>'(x) —симметризация функции распределения F(x), т. с;
F">(i)= b(i + i)ff(l), Ясно, что /-(s) @ + 0) - F(s) @ - 0) = ^ />л.
_(Х> Л = —00
где рл — всевозможные скачки функции F(x). Но характеристическая функция
функции распределения Fl">(;c) есть |/@12> поэтому в силу задачи 4.123
2 />?, = 1;т к— 1 \'f (l) \2dt = 0, т. е. F(x) не пмеет ни одного скачка.
ft=-oo г^°° 2Г f T
4.125. Пусть ^(г) —функцпя распределения \. Симметризации F(s'(x) соответ-
соответствует характеристическая функция |/@Р- Очевидно, А(^ (О Ц- 0) —
оо
-fw@-0) = 2|p|, а в силу задачи 4.123 Fis) @ + 0) — /<'(s) @ — 0) =
г=1
^lim 4^ \ |/@ 12Л- откуда lim ^r |/@|2^=У^. 4.126. Пусть
Т-»°о "J J 2'-»оо^У J •*"
_Г -Т г=1
F(.t)—функция распределения, соответствующая характеристической функ-
функции /(/), а Е(х) — вырожденная в нуле функция распределения. В силу задачи
4.123 F(х) имеет в нуле скачок больше или равный а, следовательно, F(х) =
= A — n)G(x) + аЕ(х), где G(х) — некоторая функцпя распределения. Обо-
Обозначим g(t) характеристическую функцию распределения G. Тогда /(?) =
/(«) — а
¦= A — a)g(t) + а, откуда g (?) = —. —¦• 4.127. Достаточно положить / (г) =
260

= A — a) e i '2 -f- a.4.128. Нет (воспользуйтесь задачей 4.123). 4.129. Из условия
sup P (Jjj = ft) < 1 следует, что всюду па отрезке [—я, я] за исключением ко-
конечного числа точек |/(г)| < li поэтому
ill.
J I / @ ln«
A)
при и-> оо. Но в силу задачи 4.122 для любого к
= *) = 2Г J*-1*/" (О Л< 27Г J
Правая часть ве зависит от &, следовательпо,
вирР(Е +... + !„ = *) <J- f 1/@ Г«".
Учитывая A), получаем, что sup P h]n = к\ -*-0 при п->-оо. 4.130. По формуле
обращения для любого у имеем
F(x) ~F(y)- (G (x) - G (у)) | =
2я
j
lim I rr
Г-»оо J "
-T
-ity
UW-g(t))dt
-T
— dt.
Правая часть не зависит от х и г/. Устремляя г/->-—оо получаем нужное не-
неравенство. 4.131. По формуле обращения для плотностей (задача 4.115)
\p(x) — q(x)\ = ^—
I '-"¦
U(t)-g(t))dt
._L Г
= 2я J
1/@-«@1 Л.
Правая часть не зависит от х% следовательно, sup \р(х) — q(x) | ^
X
ос оо
<2л~ j l/@-g@1dt. 4.132. Имеем ^- Г / @ Л = р @)< Л,
— ОО —ОО
оо
1 с
tj^ j g (t) dt = q @) < В. Используя эти неравенства и задачу 4.130, получаем
dt
-т
201

-т
т
¦(*)
-т
1 с I
3Tj l
24 2В
dt + -у- + -у".
4.133. Воспользуйтесь задачей 4.122. 4.134. е~ь"(р{аи). 4.135. .
4.136. Пусть Ft(x), /^(х), .. .— функции распределения, отвечающие q>i(u),
Фа(«), ... Тогда, как легко видеть, преобразование Лапласа фуикции распредо-
ления g anFn (х) равно J а„Фп (ц). 4.137. Имеем ^-JL_ - 1 = _?_М_ =
1 1
Т "Р ("'+ Т ф (")+•••• При каждом п = 1, 2, ... ф"(а)—пре-
образование Лапласа, следовательно в силу предыдущей задачи функция
1 2
•тр ф (") + "т Ф (")+...> также является преобразованием Лапласа.
4.13в. ( ) . 4.139. Функцияе 1 —е 2 строго положительна при х >
> 0 и U| < »2 и, следовательно,
J e-uixdF («) _ J e-u>xdF (x) - J (•" V - Г"»") df (*) > 0.
000
4.140. Покажите, что вторая производная неотрицательна. 4.141. Цифференци-
оо
руя га раз функцию <р (u) = i e~uxdF {x) по и под знаком интеграла, полу-
оо
чаем ф(п) (и) = Г (- arj'le-^df (х), откуда (— 1)пф(п) (и) >0. 4.142. a) /(t) не
о
является непрерывной, б) /(«) пе дифференцируел
cm 0 Ф 1, г) то же самое, д) не является выпук
it \
1 sint l Г
-^ГТ7Г. 4Л45. / (I) = — Т j Ф (») - I- Выра
о
является непрерывной, б) /(«) пе дифференцируема в точке t = 1, в) /@) =
0 1, г) то же самое, д) не является выпуклой. 4.143. Р(ф(ц)). 4.144.
ражение, стоящее в скобках
sin t
является характеристической функцией (задача 4.59), a —j— — характеристичс
екая функция равномерного на отрезке [—1, 1] распределения. Таким образом
f(t) — характеристическая функция свертки двух распределений, одно из кото
рых абсолютно непрерывно. Следовательно, f(t) — характеристическая функ
ция абсолютно непрерывного распределения (см. задачу 3.193). 4.146. Да, на
пример, распределение с характеристической функцией р + qeft, p Ф q
1 i/T-*2
4.147. а) —, 2\ ' б) у п~в • 4-148. Воспользуйтесь тем, что нормальное
распределение не может быть сверткой двух распределений, одно из которьп
является распределением Коши. 4.149. Воспользуйтесь тем, что характеристи
ческая функция ядра равна пулю вне отрезка [—1, 1] и задачей 4.4С
262

4.150. Существует. Достаточно в качестве |i, |2, Пи Ча взять симметричные слу-
случайные величины, для которых Ет^Ет]2, — E?^E?J > -g- (Ет]* + Erj* — Е|* — Eg*)
ОО
(воспользуйтесь равенством /"' (t) = i" I xneitxdF (ж) в случае, когда момент
— ОО
порядка п существует). 4.151. Воспользуйтесь тем, что функция G (х) —
X I оо
i= I t*ndF (z) \ xindF (z) является функцией распределения. 4.152. Восполь-
— оо / —оо
яуйтесь задачей 4.109 и тем, что функция /<Jn~2) (i)//(!n~2) @) является характе-
характеристической функцией с конечной первой лроизводной (см. предыдущую зада-
задачу). 4.153. Покажите, что f(t) —характеристическая функция случайной вели-
величины |, принимающей зпачения jjBa), j = ±1, ±2, ... о вероятностями Р(? =
2A — cos лу")
= Ц{2а)) — 5 .4.154. Воспользуйтесь предыдущей задачей. 4.155.
я
ф@ четна и периодична с периодом 2, ф(г) ¦=« 1— |г| при |i| <; 1; -ф(t) четна
it периодична с периодом 4 и i?(t) = 1 — |t| при |<| ^2. 4.156. Нет (по прой-
пройденному пути определяем ускорение, по ускорению — результирующую си-
силу F и убеждаемся, что распределение F не является сверткой распределений
Ft и Fi). 4Л57. Нет (поступая так же, как и в предыдущей задаче, убеждаемся,
что распределение F, не может быть компонентой распределения F).
4.158. Пусть F(x) —функция распределения %. Тогда
оо С
/(*)= f eitxdF (*) - j eltxdF (x) + f «lte«tf" (*) «/а @ +/, @-
Если Р(|?| < с) =0, то утверждение задачи очевидно. Пусть Р(|?| ^ с) > 0.
Тогда /i@) > 0 и в силу непрерывности ft{t) существует е > 0, такое, что
МО > 0 при |«|<е. Окончательно получаем /@ —/i@ +/s@ </i@+
+ P(III > с) = g(t) при |t| ^8. 4.160. Пусть f{t) — характеристическая функ-
функция случайной величины |i. Воспользуйтесь тем, что характеристическая
—j-.— / (')•
к]
4.1С1. Воспользуйтесь задачей 4.68. 4.162. Положим ? = e"s — е1. Очевидно,
\1\ ^2 и Р(?.?=0) ^Р(?^т]), откуда Е|ц| ^2-РA=йт)), но |/@-ff@i =
= |Ее"? — Ee''n| = |E(eu| — е'1'1) | ^ Е|^|. Отсюда следует нужное неравен-
неравенство. 4.163. Применяя предыдущую задачу и неравенство Чебышёва, получаем
sup | / @ — g (t) | < 2Р (%ф т))< 2Р (| \\ > с)< 2а2/с2. 4.164. Если | не является
с вероятностью 1 постоянной, то |/@1 < 1 па множестве положительной лебе-
оо оо
говой меры н, следовательно, \ ' * (и'[ du < 1 'L-. —п, т. е. бЕ >—In 1 = 0.
1 1 + « J 1 + и2
— JO — ПО
4.165. Покажите, что |/п(г)| -»¦ 1 при ге-»-<». 4.166. Пусть ft(t) и /2(/) — харак-
характеристические функции случайных величии |i и |г соответственно. Тогда
?l+f2 Я J 1 + t2 Я J 1 + t2 El
— оо —оо
и аналогично 6j +^о ^ б^ . Ясно, что равенство может достигаться лишь в
том случае, когда \ft(t) | = 1 A/2@ | = 1). 4.167. Очевидно, ф@) = 1. Покажем,
чю <г(ц) ноложительпо определена. Пусть п — произвольное целое положи-
263

телыюе число, bi, ..., ип — вещественные, zi, ..., zn — комплексные числа.
Имеем
I dt > 0.
22Д
i 7 vv - i Г / "V
A^ J *** ¦*¦ A^ J \ /™
Абсолютная непрерывность распределения, соответствующего ty{u) вытекает
из условия Лф < оо. 4.168. Функции f(t) и е 2 равны сумме одного и того жо
абсолютно сходящегося степенного ряда. 4.169. Рассмотрим независимые одн-
гаково распределенные случайные величины 1ь ..., In, каждая из которых
принимает два значения 0 и 1 с равными вероятностями. Тогда
Р (?j + ... + ?„ = fc)= C\J2n- С другой стороны, если /(<) — характеристическая
я
фупкция li, то РA +... +| =&¦)=__ 1 /п (Ое1^ и, следовательно,— С?! <
2л J 2"
—л
я я/а
<— \ | / (t) \n dt = J— cos2" |—\dt. Воспользуемся элементарнымперавен-
2л J л; J \ 2 )
-Я -Л/2
Я/2
ством cos«<e-'2/2 при |г| sS л/2. Получим — С\ < — Г e~t2n'2dt <
271 л J
-Я/2
оо
< -7= e~t2^2dt = 1/ , откуда С1'' < 2" V ——. 4.170. Покажите, что
пуп J г "га "ге
— оо
характеристическая функция свертки Р * Р абсолютно интегрируема.
4.171. g(t) = е'С- a)f{At), где t = (t,, ..., fm), т = (т,, ..., т„), («, а) - скаляр-
скалярное произведение векторов t в а, /(т) —характеристическая функция |, g(t) —
характеристическая функция т). 4.173. Введем функцию g (i) =
= —^ ttw . Легко видеть, что при t > 0
A + I ' I Г
g" @ = ,^Л tay (A - а2) + 2 A + 2а2) ta + (l - а2) t2(X) > 0
и, следовательно (см. задачу 4.40), g(t) —характеристическая функция. С дру-
другой стороны, как легко видеть, g{t) ==/(() +</'(') ПРИ *¦ > 0, или, что то жо
1 f
самое, / @ — Т" ' S («) й"> откуда в силу предыдущей задачи следует, что
о
/(() —характеристическая функция одповершипного распределения. 4.174. Вос-
Воспользуйтесь задачей 4.172. 4.175. Да Примером может служить функция Вейер-
штрасса: / (?)= 2е''5 '2Л+1. которая является характеристической функцией
распределения, приписывающего точкам 1, 5, 52, .,., Ьк, ... вероятности 1/2, 1/4,
264

1/8,..., 1/2'1+1,... 4.176. В качестве j(t) могкпо взять любую безгранично дели-
делимую характеристическую функцию, а в качестве g(l)—функцию |/(t)|. 4.177.
Пусть ff(() —характеристическая функция любой ограниченной несимметрич-
несимметричной случайной величины. Положим f(t) = \q(t)\2, #(()=Ф2@- 4.178. Пусть
f(tu ..., tn) — характеристическая функция |, a g(i) — характеристическая
функция li (случайные величины ?,, ..., ?„ одинаково распределены). Тогда
i(t , tn) = g(h) ... g(in).
Глава 5
5.1. Введем события Ат = 1?—т) |<— 1, m = 1, 2, .... Тогда {? = т}} =
/
[
= П Ат. Предположим, что РA = ц) < 1, т. е. Р [ П Ат < 1. Последнее не-
равенство означает, что существует т0, такое, что р(^т )<^ или
С другой стороны,
A)
B)
при п ->¦ оо. И, таким образом, B) противоречит A). 5.2. Предположим про-
противное. Тогда существуют в > 0 и последовательность натуральных чисел
п\, п2, ..., такие, что! ап — bn I > в для всех к = 1, 2, ... Имеем
8 < | % — Ьпк | = I "«ft - ?n + ^n ~ 6nj < | ^п - % | + | In - &nfc |- Эти соот-
соотношения справедливы для всех элементарных событий, следовательно,
Но
B)
Из A) и B) сразу же получается противоречие с условием задачи. 5.3. Вос-
Воспользуйтесь неравенствами |о+6|^|о| + |6(, ||я| — | 611 ^ | в — Ь\,
\anbn — ab\ ^ Ь„\ап — а\ + а\Ьп — Ь\. 5.4. Либо а > О, Ь > 0, либо а < О,
6 = 0. 5.5. Предположим противное: существует е > 0 и последовательность
натуральных чисел п,, пь ..., такие, что I ап^ 1 ;> е. Тогда Р f I an]^>nh | ^ ес) ^
5=Р С I Еп |^с)^6>0, что противоречат условию задачи. 5.6. Не ограничи-
ограничивая общности, можно считать, что все ап равны нулю (в противном случае пе-
переходим к случайным величинам т)„ =%п — а). По определению медианы
Предположим, что т|„ а 0. Тогда существуют в > 0 и последовательность на-
натуральных чисел tii, Щ, ¦ • ¦, такие, что либо т\п <. — е, либо т\п, ^е- Пусть,
например, выполнено второе неравенство. По условию задачи
при /t-*oo или Р (inh < е ^ —> 1 и, следовательно, Р^|
18 А. В. Прохоров и др.
—>0
или
265

p(?n ^min )~*0> чт0 противоречит второму неравенству в A). 5.8. Восполь-
р
зуйтесь реультатами задач 5.1 и 5.3а. 5.9. Покажите, что если (?п — |J ->0, то
Р
In —» ? и воспользуйтесь задачей 5.3, в. 5.10. Поскольку функция f(x) диф-
дифференцируема в точке х = а, для любого в > 0 существует б > 0, такое, что
из \х — а\ ^ б следует
(*) - / (а) „ ,
Для тех элементарных событий, где \п — ", положим ri», = 0 (это упро-
упрощает рассуждепия). Очевидно, для этих элементарных событий нужное равеп-
ство теперь выполнено. Фиксируем произвольное в > 0. Положим А^ =
— /со: | |п — а|<б|. Очевидно, Р(Л*)—»1 при л-*-оо для любого б > 0,
С другой стороны, для всех элементарных событий из Ап, где \пф а, | f\n | =
- — /' (а) ^ 8. Таким образом, окончательно получаем
11 т) | ^ в} Э^п' И, следовательно, Р(|т)п| ^ е)-> 1 при л->оо. В силу произ-
Р
вольности в это означает, что Чп —»0.5.11. Множество {со: последовательность
It, %%, ••• сходится} является событием. 5.12. Воспользуйтесь аналогичными
свойствами числовых последовательпостей. 5.13. Прежде всего заметим, что.
(оо \
U {l?m~M^8}=0 тогда и только тогда, когда
/ оо оо
Р
П U {\1т-1\>г} =0 (так как события Веп = [) {|5m-g|>e}
монотонно убывают по п). Далее, множество элементарных событий, для ко-
торых In -/*- ?, совпадает с множеством А— [) П U ] I im — II > —
fe = l n=l m=»i I1 ' к )
Действительно, принадлежность со множеству А означает, что для этого (а
существует к, такое, что для любого п ^ 1 найдется т ^ л, такое, что
1 \
\1т(<о) — I (со) ]>-?¦¦ Итак, если Pi U { | gm — || > е} 1 -»-0, то для любого
8>0Р[П U {|gm —М>е}] = 0 и, следовательно, Р (Л) == 0, т.е.
\n=i m=n ' /
п. н. Обратно, если ?п->? п. п., то Р(Л) =0, следовательно,
р( U П U {\tm-l\>k}\ = 0 и, значит, р( П U {1 5m- 51 > е})=0,
J
/00 \
откуда P U { 1 lm — gl>e}]->0. 5.14. Достаточно заметить, что
\m=n J
— ll^s бесконечное число раз)=Р П U { 1 lm — ё I > e} п чт»
\n=l m=nl J
последняя вероятность равна нулю тогда и только тогда, когда
/ оо \
Р U / I \т—| |^е} ]->-0прп га->-оо, и воспользоваться предыдущей аадачей.
5.15. Воспользуйтесь критерием Коши для числовых последовательностей.
5.16. Воспользуйтесь задачей 5.13 и следующим равенством:
Р (sup I lk — ||> в) = Р[ U !\1 — ||>е}). 5.17. Используйте две пре-
дыдущие задачи. 5.18. Заметим, что из условия задачи следует, что при любом
266

положительном 8 2 р ( \ 1т~~% \^*г) ~*"° ПРИ п -> оо, откуда
т= п
I со \
lim P U { I ?т — \ I ^ е} 1 = 0. Применяя задачу 5.13, получаем \п -*¦ \ п. н.
5.19. Из суммируемости последовательности et, 62, ... следует, что
оо
2 е*-° (D
h=n
при п -*¦ оо. Пусть е — произвольное положительное число. В силу A) сущест-
вует п0, такое, что при л >  2 eft < 8- Имеем
h=n
< 2
Пртигеняя теперь задачу 5.17, получим нужное утверждение. 5.20. Для каждо-
каждого целого положительного т обозначим п(т) максимальный член последова-
последовательности, фигурирующей в условии задачи, удовлетворяющий условию
п(т) < т. Имеем п(т)-*¦ оо при т->¦ оо и, следовательно, |?m —?n(m>|-*¦()
П. Н. При Ш-+ОО. ТаКИМ Образом, 0 < \%т— g| Sg \tm— ?n(m>| + |?n(m)— l\ ->
->0 п. н., т. е. ёт-* 6 п. н. при т -*¦ оо. 5.21. Примените задачу 5.13. 5.22. При-
Примените задачу 5.13. 5.23. Пусть (Q, st, P) — вероятностное пространство, где
Q — окружность единичной длины, $Ф — о-алгебра борелевских подмножеств Q,
Р — мера Лебега. Рассмотрим последовательность дуг А\, Л2, ... следующего
вида: Л] имеет длину 1/2 и откладывается от произвольной точки против часо-
часовой стрелки, дуга А2 имеет длину 1/3 и откладывается в том же направлении
и ее начало совпадает с концом дуги А\, вообще, дуга Ап имеет длину
и откладывается от конца дуги Ап-] в том же направлении, что и все дуги.
Рассмотрим последовательность случайных величин ?n(w) на (Q, sf, P),
п = 1, 2, ...:
11 при со е А„,
0 при со^ Ап, п = 1, 2, ...
Р
Очевидно, что \п —» 0, но |„ пе сходится нп в одной точке П. 5.24. а) Пусть
для определенности а > 0. Для любого б > 0 существует п0 такое, что при
п g: «о
Р{?„ > я/2} > 1 - 5. A)
Обозначим Л= П |L> я/2}. Неравенство A) означает, что
Р(А) > 1-6. B)
При п ^ п0 имеем
Из B) и C) следует, что lira sup Р[ с— — —
В силу произвольно-
18* 267

сти б это означает, что Р ! *— — — I ^ в ] -> О при л->-оо б) Воспользуйтесь
аналогичным свойством для числовых последовательностей. 5.25. Достаточность
очевидна. Докажем необходимость. Пусть пространство не является атомиче-
атомическим. Тогда существует событие Л такое, что а = Р(/1) >0и никакое подмно-
подмножество А не является атомом. Итак, можно выбрать последовательность собы-
событий А\, Лг, ... следующим образом:
Ai cz A, i = 1, 2, ...,
Р(Л,) =Р(Л2) =а/2, Л,ПЛ2 = 0,
Р(Л3) = Р(Л4) = Р(Л5) = а/3, Л,- П А) = 0, 1ф /; t, / = 3, 4, 5,
Р(Л6) = Р(Л7) = Р(Л6) = Р(Л9) = а/4, А, П А, = 0, i Ф /; t, / = б, 7, 8, 9,
Р
Тогда /А —> 0, но не сходится с вероятностью 1. 5.26. Пусть ?„ сходится к
| в метрике d. Применяя неравенство Чебышёва, получаем для любого
1 + е 11„ — 11
в > О Р (| gn — ?|>е)< —— Е ! _|. 11 _ 11 -> 0 при л -*¦ оо. Обратно, пусть
Р
§„->-?. Воспользуемся следующим неравенством (см. задачу 3.236): если
1^:0 и f(x)—пе возрастающая при х ^ 0 положительная функция, т»
Р(% ^ а) ^ Е/(|)//(я). Отсюда следует, что при любом в > О
(I)
1
при и—>¦ оо. Устремляя в-*0, получает 1 — A -f- s) E . , , % г~, -*¦
1 i | en — S |
, it 11
1 I Ьп & |
-»-1 — E . . ? =-. = E . . . ~ -r-i Отсюда и аз A) окончательно получаем
1 "г | 6п 5 | х "г | 5„ ? I
Е . . .V— . . ->0 при п—>¦ оо. 5.28. Воспользуйтесь обобщенным неравенством
Чебышёва Р(|?„ — Ъ\ > е) < Е|5„ — Цр/бр (е > 0, р > 0). 5.29. На вероятност-
вероятностном пространстве (Q, вФ, Р), представляющем собой отрезок [0, 1] с о-алгеброй
борелевских подмножеств и мерой Лебега в качестве Р, рассмотрим последова-
последовательность случайных величин \\, |2, ..., определенную следующим образом:
Sn Snl I 0 при 1/п<ш<1.
Р
Очевидно, tn-+0 (и даже 5п->| п. н.), по E|gn|P = еРп1п-*- оо при любом
р > 0. 5.30. См. решение задачи 5.23. 5.31. См. решение задачи 5.29. 5.32. Из за-
Р Р
дач 5.22 и 5.28 следует, что tn —> ? и |п —• т), поэтому, в силу задачи 5.1
РF = т)) = 1. 5.33. Воспользуйтесь тем, что характеристическая функция рас-
распределения Р„ есть « ™. 5.34. Пусть р„^-р- Это значит, что для любой не-
прерывпой ограниченной функции f(x) \ f (x) dPn ->- I / (x) dP. Положим
— оо —оо
/(*) == li f(x) =0 при \х — к\ ^=1/2 и /(л;) липейпа на каждом из отрезков
268

[к - 1/2, к], [к, к + 1/2]. Тогда Рп {к) = j / (х) dPn-+ J / (г) <2Р = Р (Л).
— OG —ОО
СО
Обратно, пусть Рп (&) -+¦ Р(к) для каждого целого fc. Тогда I / (x) dPn —
¦= S ' W Pn (*) -* S f <ft) р № = I / (*) dP- 5-35- Воспользуйтесь тем,
Ь=-оо ft = -oo _co
что для любой пепрерывпой ограничеппой функции f(x) интеграл
ОО
\ f (x) dPn представляет собой интегральную сумму Римана для интеграла
— ОО
оо 1
\ f (x) dP — \ f(x)dx. 5.36. Докажите, что Fn(x) -*-F(x) во всех точках не-
— оо О
прерывности F(x). 5.37. Возьмем в качестве Р„ вероятностную меру, сосредото-
сосредоточенную в точке 1/ге, в качество Р — вероятностную меру, сосредоточенную в
нуле, и положим
A при *<0,
\0 при х > 0.
5.38. Р„@) = 1 - 1/п, Р„(ге) = 1/ге, Р@) = 1, /(*) = г. Тогда j /(я:) dPn =
— оо
оо
= 1 ¦/*¦ 0 = I / {x) dP. 5.39. Доказывается так же, как и в случае числовых
— оо
последовательностей. 5.40. Фиксируем произвольное положительное е. Выберем
в мпожестве А точки хи ..., xN так, чтобы х\ < х2 < ... < хц и
\F(Xi) —F(xt+i)\ ^ е/5, I = 1, 2, ..., N— 1, и выберем л0 достаточно большим,
чтобы |Fn(a:<)—^(^Ol ^ 8/5- Пусть же Л. Выберем Л так, чтобы ж», ^ х ^
1. Имеем: \ Fv (х) - F (*) \ < | Fn (х) - Fn (х„) \ + \Fn (xh) - F (xh) | +
F(F()\ + \FfaF(\ + \F(
- F (x) | < | Fn (xh+1) - F (xh+l) \ + \F (xh+1) - F (xh) \ + \F (*„) - Fn (xk) | +
+ \Fn Ы-^К) | + | P(*h)-F(x)\< -J- + T + T + T + -J = 8.
5.42. a)->-6) Для любого 8 > 0 постройте равномерно непрерывную функцию
f(x) такую, что 0 ^/(я) sg I, f(x) = 1 при х е S и ( / (ж) <fP < в.
ОО 00
Тогда Hm sup Pn (S) < lim \f(x)d?n= f /(i) dP < Р (S)+в. б)-> в) Пе-
— оо —оо
рейдпте к дополнениям, в) -> а) Впачале покажите, что для любой
оо оо
непрерывной ограниченной функции f{x) lim sup / (х) dPn < / (х) dP,
— ОО —00
затем рассмотрите функцию — }(х). 5.43. Обозначим через А" впутренность
множества А, а через Л — его замыкание. В силу предыдущей задачи
Р (А) > lim sup Pn (Л) > lim sup Pn (Л) > lim inf Pn (Л) > lim in? Pn (Л°) >Р (л")-
7l-»0O Ti-*0O 7l-»OO П-*О0
Еслп Р(дА) = 0, то крайние члены равны Р(А) и получаем Hm Рп (А) = Р (А).
П^»оо
Обратно. Пусть В — произвольное замкнутое множество. Обозначим В6 и С"
269

множества В8 = ix: inf | z - у) < 6l, С6 = Ix: inf
Тогда дВ6 = С9 и, следовательно, множества Зйа при различных б не пересека-
пересекаются, поэтому не более чем счетное их число имеет положительную Р-меру.
Следовательно, для некоторой последовательности положительных бь, стремя-
стремящейся к нулю, множества В' являются Р-непрерывпыми множествами и, значит,
lim sup Pn (В)< lim Р„ (в h) — Р (в '') для каждого к. Но мпожества
71-»эо 71-юо
В h монотонно убывают и сходятся к В, поэтому lim sup Рп (В) <Р (В).
Отсюда, используя предыдущую задач5', получаем Р„ -•- Р. 5.44. Воспользуй-
Воспользуйтесь тем, что функция, непрерывная на замкпутом ограниченном множестве,
равномерно непрерывна. 5.45. Воспользуйтесь тем, что каждую ограниченную
непрерывную функцию можно с любой степенью точности приблизить в рав-
равномерной метрике ограниченными непрерывными функциями, обладающими
ограниченными непрерывными производными любого порядка. 5.46. Приблизьте
непрерывными функциями распределения индикаторы полупрямых. 5.47. Обо-
Обозначим G(x), G{(x), Gi(x), ... функции распределения случайных величин
5. ?ь %2, • •• соответственно. Тогда функции распределения случайных ве-
оо
личиц Ti — |п и г| — | равны соответственно Нп(х)= \ F (х -}-1) dGn(t) и
— ОО
оо
И(х)— [ F(x+t)dG(t). Таким образом, имеем Р(т)< |„) = Р (г\ — \п < 0) =
— ОО
оо
= [ F (x) dGn {х) = Е (F Aп)) и аналогично Р(т]< g) =E(f(g)), откуда еле-
— ОО
дуст нужное утверждение. 5.50. Пусть f(x) —произвольная непрерывная огра
ничейная функция, \f{%) \ ^С. Для любого Л > 0 имеем
оо оо
j / (х) dPn - J / (*) о
— оо —оо — оо
(с с
<с\ | (Рп(х) + Р (х)) dx + J | рп (х) — р (х) | dx
\\х\>А -А /
Первый пнтеграл можно сделать сколь угодно малым, выбирая достаточт
большим А, второй интеграл можно сделать при фиксировапном А сколь угод
но малым, выбирая достаточно большим п. Обратное, вообще говоря, неверно
5.51. Пусть fn(t), f{t), Pn(t), p(t), qn(t) —характеристические функции распре
делений Rn, R, Р„, P, Qn соответственно. Тогда fn(t) -*¦ f(t), pn(t) -»- p(t) i
/„(() = pn(l)qn(t) при каждом п. Выберем 6>0 достаточно малым, чтоб!
|/n(OI >0 и \pn(t)\ >0 при \t\ <б. Тогда при |«| <б qn(t) = fn(l)lpn{t)-
-+f(t)IP(t), причем функция f(t)lp(t) непрерывна в нуле, следовательно
/(<)//>(')—характеристическая функция и Qn слабо сходится к соответствую
щему распределению. 5.52. а) Нет; б) нет; в) да; г) да. 5.53. Плотпыми явля
ются семейства распределений, указанные в пунктах в) иг). 5.55. Это семей
ство является плотным (для доказательства этого достаточно воспользоватьс
неравенством Чебышёва), и, следовательно, в силу предыдущей задачи оно
относительно компактно. 5.56. Воспользуйтесь задачей 5.54 (впрочем, эту за
дачу легко решить и непосредственно). 5.57. Если последовательность F\(x)
Fi{x), ... плотна, то для любого 8>0 существует А >0 такое, что
1— Fn(A) + Fn(—A) < в для всех п, откуда 1 — Fn(A)< в и Fn(~-A)< е, то
есть Fn(i)->1 при ж->оо и Fn(x)-+O при ж-> оо равномерно по п. Аналс
гично проводится доказательство в обратную сторону. 5.58. Пусть L(Fn, F) -»-о
270

Покажем, что Fn(x) -*~F(x) в каждой точке непрерывности F(x). Пусть
х — точка непрерывности F(x). Имеем F(x — е„) — е„ ^ Fn(x) sg F(x + е„)+б„,
где е„->-0 при «-»- оо, или F(x — б„) — F(x) — е„ sg Fn(x) — F(x) s^F(x + en) —
— F(x) + zn. В силу непрерывности F(x) в точке ж F(z — е„) — F(х) -+Q и
F(x + е„) — F(x) -*¦ 0 при л ->-оо, откуда Fn(z) — F(z) ->- 0. Обратно, пусть
t'n(x) ->-F(x) в каждой точке непрерывности F(x), т. е.
—e,<^F(i) — Fn(jc) ^en, A)
где бп ->• 0 при п -> оо. Пусть х — произвольная точ-ка. Выберем последователь-
последовательность б], б2,... так, чтобы б„ -+• 0, а точки х + бп и х — 6„ были точками непре-
непрерывности функции распределения F(x) при любом п. Положим Д„ =
= max {е„. б„}. Учитывая A), получаем F(x) ^ f (я,+ б„) sg Fn(x + 6n) + б„ ^
^ Fn(x + А„) + Дп и аналогично f(i) > Fn(a: — А„). 5.59. Пусть U(t\, h)—
характеристическая функция случайного вектора (|я, t)n), а фп@—характе-
фп@—характеристическая функция случайной величины Ъ,п + г\п. Тогда ф„(г) =
= Е ехр {;г(?п-т- Цп)} = Е exp {i(tgn + tx\n)} =/n(*, <)• Точно так же, если
/((i, <г) и ф(?)—характеристические функции (?, т^) и | + t) соответственно,
то ср(/) = f(t, t). Но по условию /п(<ь t2)^-j(t\, t2) для всех ti и г2, поэтому
w Р
Ф„(«)->ф@ и, следовательно, %п + цп -* | + ц. 5.60. Пусть ?„->!• Доста-
Достаточно показать, что при каждом веществеппом t последовательность характери-
характеристических функций ф]@, фг(О. ••• случайных величип 1Ь |2, ••• сходится
к характеристической функции ф(<) случайной величины |. Для любого г и
любого положительного 8 имеем
\?П-||<8
<P(|En-E|>e)+ f
откуда, учитывая сходимость ?п и | по вероятности, непрерывность функции
eix и произвольность б, получаем нужное утверждение. 5.61. Например, после-
последовательность ?ь g2, ..., определенная следующим образом: |i = 1 с вероят-
вероятностью 1/2 и 1, = 0 с вероятностью 1/2, g2fc+i = ti, к = 1, 2, ...
(О, если ^=1.
1, если \ = 0.
5.62. Воспользуйтесь неравенствами j fs {х) dFn (х) < Р (| 3jn — а | ^. е) <
— оо
< i Se(x) dFn (х), где Fn(х) — функция распределения !„, ге = 1, 2, ..., а
—оо
функции /?(х) и ge(x) определяются следующим образом:
f Зе Зе
,,. II при х ^ а — —о~ и ж ^ а -\- —к-,
@ при а — е^ж^а-|-8
Г Зе 1 Г Зе"!
и je{x) линейна на каждом из отрезков а — -тр, а — е и a-j-e, a_|_— ,
1 при х ^.а —'8 и х~^ а -\- е,
0 при а ¦— ~2~ <! х g; a -\- -s-
271

Г El Г ! I
и gs(x) липейпа на каждом из отрезков \а — е, а — -тр I и о + -ту-, я + е I.
5.63. Вообще говоря, нет. Например, в случае, когда все |, |ь 1г, ••• независи-
независимы и одинаково распределены. 5.64. б) Р(|^TtTj^| ^ в) 5гР(|?пг|„| ^: е, \\„\ <:
В силу пункта б) предыдущей задачи t,n 11„ \ -*¦ 0 и, следовательно, 1п — т]п-»- О,
откуда, применяя пункт а) предыдущей задачи, получаем т)п = 2^+ (т)п—
¦— §п) Д. §. 5.66. Сведите задачу к предыдущей, используя тот факт, что из
неравенства \х — г/[^Е|г/| при е <С 1/2 следует неравенство \х — у\ ^
^2в[а;|. 5.67. Последовательность Fi(x), F?(x), ... сходится к функции
q при х ^ О,
— р при х > О
в каждой точке вещественной прямой, за исключением, быть может, точки 0.
5.68. Используйте задачу 5.64. 5.69. Воспользуйтесь предыдущей задачей. 5.70.
% с вероятностью единица принимает значение 0, а каждое %п с вероятностью
1/2" принимает значение 2П и с вероятностью 1 — 1/2" — нулевое значение.
1 1
5.71. In = п с вероятностью —и %п = 0 с вероятностью 1 ——. 5.72. Пример,
когда Egn существует, a Eg — нет: | — любая случайная величина с бесконеч-
бесконечным математическим ожиданием,
§, если
0, если
> л.
Обратный пример: g — случайная величина с конечным математическим
ожиданием, ti — с бесконечпым, |п = | + ~ Т1- 5.73. | Е|„ — Eg | sg Е | ?„ — 11 ^
^ (Е||„ — ЦI/2^- 0 при л->-оо. 5.74. Достаточно доказать, что существуют
такие во > 0 и п0, что для любого в <С е0 и для всех п ^ па
c^ol + z.
A)
Не ограничивая общности, можно считать, что математическое ожидание рас-
распределения равно нулю. Для данного в > 0 найдем такие N > 1 и л0, что при
к = 0, 1, 2
L
xkdF (x)
Г x"dF О- Г JdF (х)
J nK'' J K '
B)
C)
Тогда при n^ n0
272

Применим неравенство Коши — Буняковского:
j x4Fn(x) j dFn{x)^ j z*dFn(x). E)
\х\>У \х\>У |x|>/V
Для последпего слагаемого в правой части D) можно написать неравенство
xdFn(x) j xdFn(x)^2 [ xidFn(x)
xid
n (x)-
-^. j x*dFn(x). F)
- j xdF(x)- \
Iiроме того,
( j xdFn{x)Y=( \ xdFn{x)~ j xdF(x)- \ xdF{x)\ <^_. G)
VlxKJV / \|лГ<ЛГ |xK.V
Неравенства D) —G) означают, что при е<-г~
x2dFn(x)(i-2B)^-E. (8)
|x|>N
5.75. Используйте неравенства B), C), (8) пз решения предыдущей задачи.
5.76. Нет, не обязано. Пример: Ь\ приписывает точкам 0, п, —п вероятности
111
1—___, —,— соответственно, F — вырождепное в пуле распределение.
п2 2д2 In1
В этом случае <з\ = 1, п = 1, 2, ..., Ь = 1, о2 = 0. 5.77. См. решение задачи
5.75. 5.78. Равномерная интегрируемость означает, что для любого положитель-
положительного в существует а > 0, такое, что sup \ \ ?n | dP < e. Отсюда
1?„1>а
sup Е | ! J = sup / \ \ln\d?+ f ||n|dP\<sup(e + a)=e + a<oo.
5.79. Примените обобщенное неравенство Чебышёва. 5.80. I | %n \ d? ^
|T)|dP. 5.81. Докажите, что lim sup | Е?п — Е| |< sup t | %n | <й» +
'"" п 1Е„|>«
I |||^р- 5.82. Покажите, что для тех а, при которых Р(|?| = а) =0
|„ dP->¦ \ ^dP. 5.83. Пологким а = sup Е ||п|, тогда равномерно по п
P(l?n| ^= с) ^ в/с. Фиксируем произвольное е > 0. По условию задачи для
него существует б > 0, такое, что из условия Р(?) ^ <5 следует, что
| |п | <fP < e. Возьмем с^-^-, тогда Р(Ц„|^с)^б и, следовательно,
sup f ||n|<iP<e. 5.84. Нет. Пример: Р(^ = -1) = РEП = 1)= 4-.
{I5l>e}
273

A V
P (! = 0) — P (? = 2) = _i-, o = l. 5.85. Ответ изменится. Имеем | \n \ -*-1 \ |
и значит последовательность ||i|, ||г|, ••• равномерно интегрируема (зада-
(задача 5.82), но тогда равномерно интегрируема и последовательность |?i + a|,
Р
||г + о|, ... Кроме того, \\п + а I -»- 1^+а1, откуда (задача 5.81) следует, что
Е| In + а\ -»¦ Е| 1 + о|. 5.86. Покажите, что для любого вещественного А > 0 су-
/(||n|)dP^/l \ \ln\dV- 5.87. Для любого
а>1 и любого п j |^|r>= j ||п|г>< J ||n|rdP
|ln|r'>« |5ПГ^«Г/Г' Ы>"-т1т>
и, следовательно, sup i I \n jr'dP ^ sup I I \n |rdP -»-0, a->-oo.
n ¦', n •> , ,
5.88. Как следует из задачи 5.79 последовательность! ^ |г , 112 |г , ... равномер-
равномерно интегрируема и, следовательно, в силу задачи 5.81, Е[?п|г сходится к Е |g |j"'.
5.89. |„ сходится по вероятпости к пулю (при любом а); Е||„|г->0 при аг < 1,
при аг = 1 Е|?„|г = 1 для всех п, при аг > 1 Е] 1„|г->-оо. 5.90. Из задачи 5.82
следует, что последовательность ?i, |г, • ¦-, а значит и последовательность
Р
ISi — 1|, |?2—II, ••• равномерно интегрируемы. Кроме того, | 5„ — ||—»0.
Отсюда (задача 5.81) следует, что Е||„ —||-vO. 5.91. Из задачи 5.82 следует,
что последовательность ?i, ?2. • • • равномерно интегрируема. Но тогда в силу
задачи 5.80 последовательность т)|, г|2, ..., а значит и последовательность
Р
|t)i — ill, |тJ—t)|, ... равномерно интегрируемы. Кроме того, I r\n — t)l->-0.
Отсюда (задача 5.81) следует, что Е|т)п — т]|-*•(). 5.92. Если г ^ 1, то
|Е||„|Л — Е|?|г| ^Е||„— ?|г^-0. Если же г > 1, то по неравенству Мпнковско-
го |(ЕЦП|'•)'/'¦— (E\l\r)l/r\ ^ (E|U-?l')l/r-^0. 5.93. Выберем последова-
последовательность Ej, е2, ... так, что sn -*- 0 при п —>- оо, но ряд 2 ^ I ^п 1Р/8п ск°Дится.
П=1
Тогда, в силу неравенства Чебышёва, Р(| |n| ^ En) ^ Е| 1п|?/е^и, следовательно,
оо
2 ' (I ?п I -> еп) < °°i откУДа, применяя задачу 5.18, получаем |п -*¦ 0 н. п.
5.94. Из задачи 5.77 следует, что Е]|„| ->-Е|§| и, значит, (задача E.82)) последо-
последовательность |?i|, |^2|, • ¦ •, а следовательно, и последовательность glt ?2, •••
равномерно интегрируемы. Следовательно, ||i —1|, Цг^Ц, .•• равномерно
Р
интегрируема и, кроме того, | ?п •— | j —> 0 поэтому (задача 5.81) Е ||„ — || ->- 0.
5.95. Решение аналогично решению предыдущей задачи (используйте задачи
5.81, 5.82 и 5.74). 5.96. Из равномерной интегрируемости следует (задача 5.78),
что
supEjg 16<оо. A)
п
С другой стороны, вследствие обобщенпого неравенства Чебышова P(||n| ^ а)^.
«? Е\1п\6/а\ Отсюда и из A) следует, что sup Р ( Цп j > а) < sup E I |n f/a6,
то есть последовательность распределений случайпых величин |i, 1г, ••• плот-
р
на. 5.97. Нет. Действительно, из сходимости (^/"п") —> ° следует сходимость
Р Р
(?V?l")'1/a ~^^ и' таким образом, |E/г|Р-*•(). 5.98. Сходимость по Хинчп-
274

ву, очевидно, эквивалентна тому, что
X
tdFn (t)
A)
n @
Величина, стоящая в числителе, ограничена сверху числом х и если 3;Г1 ¦/*¦ О,
то величина, стоящая в знаменателе, ограничена для некоторой подпоследова-
подпоследовательности п\, П2, ... некоторым положительным числом снизу, то есть B) в
Р
этом случае не имеет места. Таким образом, gn->0. 5.99. Нет. Достаточно
положить
In — 1
О с вероятностью 1
1
re с вероятностью —
у V"
5.100. Соотношения |„-»0и т)Л-»0 эквивалентны соответственно следую-
следующим: Eg<*y E|u -* 0, Ет)(пх)/Е1„ ->- 0 для любого х > 0, где
(см. задачу 5.98). Имеем
Е (Sn -t- Tln) <2
E(^ + ) "
ц(х/2)
I
0, Т1п
<2
l
(:c/2)
5.101. Из условия задачи следует, что
A)
Пусть /„(/)—характеристическая функция случайной величины |п, и =
= 1,2,. ..Из A) следует, что/„ (f)/n+i (—«)-»¦ * и. значит, |/n(f) I |/n+i(—0 | -+
-»1, откуда |/n(f)|-M- Но |/п@|-»- 1/@1, гДе /@— характеристическая функ-
функция случайной величины |. Следовательно, \f(t)\ е^ 1, т. е. 1 имеет вырожден-
вырожденное распределение. 5.102. Покажите, что Р (последовательность ?ь ?2, ••• фун-
фундаментальна) = 0. 5.103. Нет. 5.104. Пусть f{t), /i@, Ы0, ...— характеристи-
характеристические функции случайных величин ?, |i, |г, ••¦ соответственно. Тогда
/п@-*¦/(') и /n(f) =?„(*)«-42/'2,где gi(«), гг(О, ...— некоторые характеристи-
характеристические функции. Имеем gn (t) -*¦ f {t)le-izli, причем предельная функция не-
непрерывна в нуле. Следовательно, она является характеристической функцией.
5.105. Имеем Р U { | lh - цк \ > е} < 2 Р (I ^ ~ % I >*)-*° прип^оо
и, следовательно, в силу задачи 5.13, ?„ — г|„-»-0 п. п. Но тогда (задача 5.12)
?п = (^п —т]п) +г|п->а. 5.106. Используйте равенства
273

5.107. Покажите, что из фундаментальности по вероятности последователь-
последовательности ?i, |2, ... следует фундаментальность по вероятности последовательности
r|i, т]2, ... и воспользуйтесь задачей 5.7. 5.108. Для любого в>0 существуют
положительные бь ..., 6ь, такие, что если | ^i—o-x |^ бх, ..., | xh—xh j^ 6ft, то
lff(*! Xh)-S{x'l< •••'X'h)\<*< ПОТОМУ *(\g(lnl lnk)-g(lv...
"~>o°- 5>l09-
il
¦ ••, in) — характеристическая функция случайпого вектора ?*, j{tu ..., tn) —
характеристическая функция случайного вектора?,ф', («) и ср'(и)—характери-
ср'(и)—характеристические функции (|„, I) и (|, 0 соответственно (I = (lh ..., ?„)). Тогда
fk(tv ..., tn) = q4(l),/(*i, ..., «„) = ф( A) и, следовательно, /A(t,, ..., «„) ->
->-/(<i, ..., <п) для любого (. 5.110. Воспользуйтесь задачами 5.64 и 5.109. 5.111.
Воспользуйтесь тем, что каждый замкнутый ограниченный прямоугольник па
плоскости является компактом и, что каждый компакт можно поместить в не-
некоторый прямоугольник.
Глава 6
6.1. Выполняется. 6.2. Выполняется. 6.3. Да. 6.4. Да. Воспользуйтесь нера-
неравенством Чебышёва и тем, что Ejn = 0, D|n = 1/2. 6.5. Нет. Пусть
е<1. Тогда
n
6.6. Нет. 6.7. Нет. 6.8. Да. 6.9. Да. 6.10. Применим. Воспользуйтесь равенством
12_j_22 + ... + п2 = (ге(ге+ \)_Bп + 1))/6. 6.11. Нет. Так как характеристиче-
характеристическая функция 5п равна cos y« ?, то характеристическая функция (?i+ ... -\-\пIп
t "J/21 1/п г
равна fn {t) = cos — cos —-— ... cos —-—. Пусть 0 < t < я/2 и п — четное.
Тогда 0 </„(«)< cost7?:: ->e~'2'4- 6.12. а < 1/2. 6.13. Воспользуйтесь нера-
неравенством Чебышёва. 6.14. Воспользуйтесь неравенством Чебышёва. 6.15. Пока-
(I. + ... +?„ \ 1 Л
жите, что D <^->DSi. 6.16. Пусть DliS;C, i = 1, 2,...
He ограппчивая общности будем считать, что |* имеют нулевые математиче-
математические ожидания. Имеем D^ J =1 — 1 Е A1 + ... -f gnJ =
и—>-оо. Используя теперь неравенство Чебышёва, получаем утверж-
утверждение задачи. 6.17. Пусть Dg,- sg С, 1 = 1, 2, ... Тогда Р| ' '"
п п
= —Т D|; + ~2 cov (^i' ^) ^~ 2 D^' ^ — 6-18- Воспользуйтесь пера-
t=l гфз 1=1
венством 2 cov (?i? ?j) < 5 (I ' — / I) (of + of) и неравенством Чебышёва.
6.19. Воспользуйтесь равенством Di J=r?( ^°ь;+^соу (Ij, lj) ]•
\j=i i^j /
276

a2 j_ g2' 6.21. Поскольку |г1„ — Ег|„| ^ 2Cn, можно без ограничения
общности считать, что Е?,- = 0, i = 1, 2, ... Пусть Л > 0. Положим ра =
= Р(Ы *S^), 9а = 1-Ра. Тогда Dr|n = ЕгJ < 42^+cVgA<42+ cVgA,
Л2
откуда <?д ^~^ — у 2 ' т- е- 9^ не стремится к нулю при п->- ао. 6.22. Без огра-
ограничения общности можно считать, что |< имеют нулевое математическое ожида-
ожидание. Имеем 1]i+ ¦•• + % ,i±izib +...+! g Пусть /(г)-харак-
теристическад функция 1ь gn(i)—характеристическая функция
" ~ t j _l — t и л„ (г) — характеристическая функция — — -
II =2 Г " • ' ' п ь« Л
Достаточно показать, что hn{t) Al для некоторого «. Поскольку D|i Ф 0,
существует г, такое, что |/(г)|<1. Но |/г„(г) | = \f(t) \ \gn(t) | sg \f(t) |.
Докажем теперь, что для последовательности air|i, агЧг. ••• выполняется ЗВЧ.
Пусть о2 — дисперсия ||. Тогда Danr\n = а'^по'2. Далее, так как о^->-0,
ПРИ
1 \
Отсюда -?г jy Dt^-<-0 при ге->-оо. 6.23. Покажите, что
i=i
: ¦ — 0. 0.24. Пет. 6.25. Нет. 6.26. Воспользуйтесь пера-
¦Бенством Чебышева и следующим утверждением: если а\, аг,... — последователь-
последовательность вещественных чисел таких, что ап—*¦ а при п —>оо, то (а\ -\-... -\-ап)/п -*¦ а
при л ->- ею. 6.27. Нет. Достаточно положить ?< = (—1)'1, где 1 — невырожденная
случайная величина с пулевым математическим ожиданием и ац = 1, а<ц-\ = 0.
С.28. Да. 6.29. Не ограничивая общности можно считать, что с = 1. Пусть fn(t) и
gn(l)—характеристические функции сумм и соот-
ветственпо. Воспользуйтесь тем, что /л (г) =_[| A — 2ph) + /)ft cos —-—
^IT К1 ~ 2<?й) + 7ft cos I—-—)=«„(')• 6.30. См. указание к предыдущей
задаче. 6.31. Нет. 6.32. Пе ограничивая общности будем считать, что Е^ = 6.
Пусть /(/) —характеристическая функция ?, и фп(() — характеристическая
функция (cilt + ... + cnln)ln. Тогда ср„ @ = / у—J f y—j ... f I — j. Далее,
для некоторого б > 0 функция |/(<) | монотонно не возрастает при 0 <С t <С 6.
КИМ
ооразом,
п 1
U
при 0 <С t <C б имеем
/1^
< I "Рд W I
(с t\ о t с
откуда, учитывая, что / | _ZL J _ ^ _ _2_ _j_ 0 (t2^
t-»- 0, получаем, что |ср„(г)|->-1 тогда и только тогда, когда с„/}'л-*-0 при
л->оо. 6.33. Воспользуйтесь теоремой «о двух рядах». 6.34. Пусть fn(t)—характе-
fn(t)—характеристическая функция li + ... + ?п. Тогда /„ (t) = JJ ехр ——^—| =
277

— —- Л aft} и, следовательно,/п(г) сходится к непрерывной в пуле функ-
h=l J
ции тогда и только тогда, когда 2 0? < °°- 6.35. Воспользуйтесь тем, что если
сумма двух независимых случайных величин почти наверное постоянная, то каж-
каждое из слагаемых — почти наверное постоянная. 6.36. Нет. 6.37. Воспользуйтесь
тем, что ^ ?п° = B ?n)<S> 6-38# ПУСТЬ МО и ?"@ —характеристические
п п
функции случайных величин 2 ^ь и 2 ^ft соответственно. По условин>
/п@?"@ —»- ^f @» гДе t|) (г) — характеристическая функция. Отсюда
IMO l2kn@ |2-> |^@ |2. Следовательно, последовательности |/„(г)|2и \gn(t)\z
сходятся к непрерывным в нуле функциям. Но |/я(')|2 и |gn(*)l2— характери-
п п
стические функции случайных величин ^ 1^ и 2 *№ • поэтому ряды
оо оо
2 ^ и 2 ^ почти наверное сходятся. Применяя предыдущую задачу, по-
Т1=1 П=1
лучаем, что для некоторых последовательностей вещественных чисел а,\, а2 ¦ •. и
оо оо
6i, 62, ... почти наверное сходятся ряды ^ {1п~ап) и 2 (^п ~~ *н)" 6.39. По-
П= 1 И=1
оо
кажите, что из сходимости по вероятности ряда 2 ?п вытекает существо-
оо
вание последовательности {пт,} такой, что ряд ^ (^п ~~ ап) сходится с ве-
П = 1
оо
роятностью 1. Тогда будет сходиться ряд 2 °п как разность двух сходя-
п — 1
щихся по вероятности рядов и, следовательно, будет сходиться с вероят-
оо
постью 1 ряд ^ ?»как сумма двух сходящихся с вероятностью 1 рядов.
6.40. Воспользуйтесь результатом предыдущей задачи. 6.41. Воспользуйтесь за-
задачей 6.39. 6.42. Воспользуйтесь задачей 4.54 6.43. Воспользуйтесь результа-
результатами задач 4.54 и 6.37. 6.44. Пусть /п@—характеристическая функция слу-
п
чайной величины 2 ch^k~ Достаточно доказать, что /n(i) сходится в пеко-
торой окрестности пуля к непрерывной в пуле функции. Характеристическая
функция li равна cos t. Существуют положительные а, Ь а б, такие, что
exp {—at2} ^ cos t rg: exp {—bt2} при \l\ ^6. Ho fn{t) = cos C\t cos c2t... cos cnt,
следовательно, exp (— at2 (с\^ ... + c;t)} < /n (t)< exp {— ЬГ (c^ -f ... + c2n)\
при |г|^б.Кроме того, последовательность {fn(t)} монотонно не возрастает, и,,
следовательно, для сходимости ее к непрерывной в нуле функции при \t\ =g: &
оо
необходимо и достаточно выполнения условия ^ с"п < °°- ^-45. См. решение за-
п=1
дачи 6.44. 6.46. См. решение задачи 6.44. 6.47. Достаточность следует из теоремы
о двух рядах. Докажем необходимость. Пусть /(?) —характеристическая функ-
функция случайной величины |п и gn(<) — характеристическая функция частичной
278

n oo
суммы ^ с)Лк- Если ряд 2 cnln почти наверное сходится, то gn(i) сходит-
п с»
ся к непрерывной в нуле функции. Имеем gn (t) = JJ / (cht). Пусть 2 cn *"
k=i n=»i
= oo. Существуют положительные б н в (см. задачу 4.119), такие, что \f(t)\ ^
11 п \\
— е<2 | 2 сл ]}
\ft=»i /I
и, следовательно, ?»»(*)"*¦ О ПРИ 1*1 ^ б, гфО и gn@)->l. Противоречие. 6.48.
См. решение иредыдущей задачи. E.49. Не ограничивая общности, можно счи-
/
тать, что с = 1 так как сходимость ряда 2 5п> очевидно, эквивалентна сходи-
\
ОО
поста ряда ^ с~Х?п )• Тогда D|n < Е1„ и сходимость ряда 2 D^i следует
п=1 / п=1
ОО
яз сходимости ряда ^ ^?п- Остается применить теорему о двух рядах. 6.50. Ис-
71=1
пользуйте неравенство Dgn ^ 2СЕ||„ —Е|п| и теорему о двух рядах. Обратное,
вообще говоря, неверно; рассмотрите, например, последовательность независи-
независимых случайных величин |1( |2, ... таких, что
I Цп с вероятностью 1/2,
п \— 1/га- с вероятностью 1/2.
п
6.51. Характеристическая функция gn(t) частичной суммы ^ ck%h Равна
охр | — 11\ ^ | ск | 1. 6.52. Покажите, что в некоторой окрестности нуля харак-
п
теристическая функция gn(t) частичной суммы ^ c;;gft удовлетворяет нера-
вепствам exp — а \ t \ ^ | си I < Sn (г) < exp |— b \ 11 ^ \ск\\ (а, Ъ — поло-
l a=i 1 I fc=i J
п
гкительпые числа). 6.53. Характеристическая фупкция частичной суммы 2 cft?s
( " 1
равна exp — а | г |а 2| cfc Гг 6.54. Используйте неравенство задачи 4127.
{ fc=i J
С.55. Достаточность вытекает из теоремы о двух рядах. При доказательстве не-
необходимости используйте неравенство задачи 4.127. 6.56. См. решение
задачи 6.47. 6.57. Используйте задачи 4.126 и 6.37. 6.58. В качестве
такой последовательности можно взять, например, последовательность
независимых случайных величин, удовлетворяющую условиям D^ = oo,
oo
?„ = 0 п. п., п = 2, 3, ... 6.60. Покажите, что если ряд 2 ^nz"
п=о
почти наверное сходится при z = z0 > 0, то он почти наверное сходится при
любом \z\ ^ z0. 6.62. Восиользуйтееь теоремой о трех рядах. 6.63. От ус-
условия симметричности отказаться нельзя (пример: l2n-i = 1, bin = —1).
6.64. vn = li + ••• + Sn. гДе ?ь • •-. Sn — независимые одинаково распределеп-
цые случайные величины, Р(|< = 1) = р, P(?j = 0) = 1 — р. 6.65. Поскольку
279

л. н., то— =
I In
т.е. с вероятностью 1 осуществляется лишь конечное число событий | ~^~
>-1«
Отсюда, в силу леммы Вореля — Кантелли следует, что ^] Р (I \п | > п) =
оо
= 2 ** (I ^11 ^ ") ^ °°" Значит, E||i| < оо. 6.66. Воспользуемся следующим
П=1
фактом: если Ь\, Ь2> • ¦ •— возрастающая последовательность положительных чи-
чисел, 6„ -*• оо при п ->- оо и ii, #2 • • •— последовательность чисел таких, что ряд
>! яп сходится, то -г— > Ь;л:,- —¦- 0 при п->оо. Имеем -, =
п t( п
1 " / ? — Е? N
=r~ ^ 6ft I — 1 поэтому достаточно, чтобы почти наверное сходился ргтд
—т , но этот ряд сходится в силу теоремы о двух рядах. 6.С7. Вос-
k
пользуйтесь предыдущей задачей и тем, что ряд ? —;—г—сходится. 6.70.
.*¦ п log re
Рассмотрите последовательность независимых случайных величин li, |г, ¦..,
гДе р (In = п) = р (?„ = — п.) =—5~, Р (? = 0) = 1 — —т для тех п, для ко-
торых а„ ^ п, и РA„ = ап) = P(gn = —ап) = 1/2 для остальных п. Тогда
Е^ = 0, Щ^ = о?. Покажите, что АО п. я. 6.72. Исследуйте
2й+1
— ^ (L — Е|Л на сходимость к 0 с вероятностью 1. 6.76. Воспользуй-
тесь тем, что для последовательности \\, §2, ... выполняется УЗВЧ. 6.77. Пусть
т = Ejji, о2 = D|i. Тогда
lim P(a^T]n^b)=lim P pr < -,=
6.78. 0, если Eli > 0; 1, если Е*, < 0; 1/2, если Е*, = 0. 6.79.
lim P
П-*оо
x = lim P
П-*оо
1
а
¦г
6.80.
1/У2лрA —- p). 6.81. D|i = 1/Уя, где x — решение уравнения Ф(г)=2/3.
6.82. Ф(УЗ) — 1/2. 6.83. {<г„} — любая последовательпость, эквивалентная при
л->оо последовательности (tp/yi2) -j- Уп/2, где tp — решение уравнения
Ф('р) = Р- 6.84. 2ФB<г/х) — 1, где х — решение уравнеппя Ф(а/х) = A + Ъ)/2.
6.85. 0. Воспользуйтесь тем, что Egi = Ef^] -j-E{|i}. 6.86. Распределение, при-
приписывающее точкам 0 и 1/2 вероятность 1/2. Сходимость по вариации будет
иметь место. 6.87. Предельное распределение приписывает точкам га, m —
= 0, ±1, ... вероятности Ф(то + 1)—Ф(т). Сходимость по вариации будет
280

иметь место. 6.88. т] = —у= —, ? = -р х
I ??+••• + ? p
=¦ и ""*" 1 при п -*¦ оо. 6.89. Нормальное распре-
деление с параметрами @, 1). 6.00. Ф(хУ2Д). 6.91. Пусть ?ь ?2, ••• независимы
и одинаково распределены, Е^ = a, D?d = а2. Тогда
при п-+оо для любого т > 0. 6.92. Пусть для последовательности ?ь |г,
выполнено условие Ляпунова, т. е. сп/В„->0 при n-voo, где Сп+б
12+б
5ft. ^ = е?а- Имеем
при n -v oo для любого т > 0. 6.93. ЦПТ выполняется в силу того, что для лю-
любого п (?i + ... + ?n)/l'D(?i + ... + I») имеет нормальное распределение
@, 1). Далее,
h=l
при n ->- oo, так как Т1д=1п~ имеет нормальное распределение с параметрами
а
Ел,, = 0, Dr|n = 1/2. 6.94. По формуле полпой вероятности
/ ft=l \ ^
Но Р( г^:: < г ->-Ф (х) при А; -> оо, следовательно, для любого е > 0
<х\—Ф(х)
существует 1;0, такое, что для любого к ^ ко
в Р
< у. Далее, vn -^оо. Отсюда следует существование п0, такого, что для любо-
8
го п^з п0 Р (vn < /г0) < -j- Следовательно,
19 л. в. Прохоров и др, 281

P.-5b
Ф(х)
для любого п ^г ге0. 6.95. Нормальное распределение с параметрами @, 1).
8.96. Пусть /П(О—характеристическая функция т)„. Воспользуйтесь следую-
следующим равенством:
6.98. Рассмотрите два случая: 1) 11 \ > L~1/3/2, 111< 1/D?„);
2) 111 < L~1/3/2, | г К l/DLn), где?„ = P3/a3 У». 6.99. Воспользуйтесь ре-
результатом предыдущей задачи и неравенством
sup
X
где
;± j
|(Kl/4Ln
Л + С1 (A) Ln,
—постоянная, зависящая только от А. 6.100. Воспользуйтесь резуль-
п.н. Р р
? \ ? ^ ?
татом задачи 5.11. 6.101. Пусть 1п—>?, тогда \п
|
0. Пусть
+1
/„(г)—характеристическая функция ?п. Имеем \]n{t)\ |/n+i(i)|->l и, значит,
Р
JMOI-^ т- е- существует а, такое, что }n(t) -> exp (j'ta). Значит, §д^-а.
Поскольку известно, что ?„ почти наверное сходится, отсюда следует |„->а
Р
п. н. 6.102. Заметим, что сходимость \п —¦ 0 эквивалентна сходимости г\п =
р
= Е
. + ?„)-»• 0. В силу неравенства Чебышёва Р (г)д ^ е) ^ Ет]п/е =
е, откуда следует достаточность. Необходимость следует из равно-
равномерной ограниченности случайных величин г\п и задачи 5.87. 6.103. Применяя не-
неравенство Чебышёва, имеем Р — — 1
при в-*-<». 6.104. Воспользуемся неравенством Чебышёва: Р(|т|я[ > е) <
< Е|т)п|/в = (Е| gi|)n/e->0 при и->оо для любого е > 0. Обратное утвержде-
утверждение (даже в случае, когда ?ь |2, ¦•• одинаково распределены), вообще говоря,
неверно. Действительно, пусть ?„ = 0 с вероятностью 0 < р < 1 и ?п =
= Ь >-. с вероятностью 1 — р. Тогда т\п = 0 с вероятностью 1 —A — р)п и,
1 р
Р
следовательно, т]л-^0 при п->оо, но, # очевидно, Е|^„| = ЬA—р) > 1.
6.105. Применяя неравенство Чебышёва, имеем Р(\п$г\„\ ^ е) ^Е\п$цп\/е =
= п$(Е\ |i |а)"/е -> 0 при п->-оо. 6.106. В случае, когда |i имеют вырожденное
распределение, утверждение задачи очевидно. Пусть ?,• невырождены. Покажи-
Покажите, что если а Ф 0 и Цп 1 Цп , ... — подпоследовательность последовательности
r]i, т|2, . • •, сходящаяся по вероятности к а, то подпоследовательность т)п +1,
282

Tln2+1' ••• пе может сходиться по вероятности ни к какому числу. 6.107. Если
xi, х2, ... — последовательность неотрицательных чисел, сходящаяся к а, то
У^! ... хп -*" а ПРИ и->°°. 6.109. Для любой случайной величины |, имеющей
оо
конечное математическое ожидание, справедливо неравенство 2 р ( I 5 I sS= «) ^
п=1
оо
<Е|?|. Имеем Ет)п = Р(||„| > п'/р) = Р(||п |" > и); отсюда 2 Ет1* =
71=1
оо оо
= 2 Р ( I ?п |Р > п) = 2 Р ( I ?i |Р > п) < Е I ^i |Р- 6Л1°- Рассмотрите случайные
4 = 1 71=1
величины
ГО, если ln = v
" {{', если 1пфцп
и воспользуйтесь предыдущей задачей. 6.111. Нет. Пусть, например, \п прини-
принимает значения 0 и 1/га с вероятностями 1/2, а = 2, р = 1. 6.115. Если \ измерима
относительно остаточной а-алгебры, то для любых а и Ъ вероятность
Р(а^|^Ь) равна либо 0, либо 1. 6.116. Пусть (Q, s?, P)—вероятностное
пространство, Q = [0,1], зФ—а-алгебра борелевских подмножеств, Р — мера
Лебега, In = 1 при ш е @, 1], |„ = 0 при ш = 0. Остаточная а-алгебра состо-
состоит из множеств 0, И, {0}, @, 1]. 6.117. Воспользуйтесь результатом задачи 6.115.
оо
6.118. Покажите, что ряд ^ р(^п) сходится. 6.123. Воспользуйтесь тем, что ес-
71=1
ли последовательность Вп не стремится к оо, то существует ее подпоследователь-
подпоследовательность вт , сходящаяся к конечному пределу В. С125. Вп = ге1/а. Предельный
закон — устойчивый с характеристической функцией ехр {—|([а}. 6.126. Функ-
Функция распределения Коши с плотностью [яA + х2)]. 6.128. Воспользуйтесь
М N — М
результатом задачи 6.91. 6.129. Положим /) = /п~' 9=—~N— и °б°знатшм
gm = P(|.v.w,n = "i). Справедливо неравенство
N j
M
Отсюда sm -*¦ С™РтЯп ™ при N, M -> оо, Ту" ->¦ />¦ 6.130. См. следующую зада-
задачу. 6.131. В доказательстве исиользуются формулы обращения для характе-
характеристических функций:
] [ft to
где qi — 1 — Pj. Дальнейшие оценки основаны на двух неравенствах для ком-
комплексных чисел: 1) |JXaj—JJ^j <% 2 | aj — bj \ при |aj| sc: 1, |6,|sc:l;
I i i j
2) |ez — 1 — z| sg |z|2 при \z\ ^ 1. Тогда для модуля подынтегральной функ-
функции имеем
Р? 1 е» — 1 |а = 26 A — cos О-
283

После интегрирования получаем ответ. 6.132. Условие задачи означает, что при
любом целом к Ее г " ->- Ее , п -*¦ оо, где | имеет равномерное распреде-
распределение на [0, 1). Для произвольного тригонометрического многочлена Ч'(«) =
= 2h=-mcft<?2IUft' получаем E4/(gn)-*-E^d) при п -> оо. Используя вторую
теорему Вейерштрасса, можно показать, что для любой непрерывной периоди-
периодической функции /(() при п-э-оо Е/(|„) ->-Е/(|). Для функции
имеем Eg(|n) = Р(а :=; |„ ^ Р) и Eg(|) = Ji — a. Остается доказать, что
Eo(?n) ~*-Eg(|) при га->-оо. Для этого нужно функцию g(z) доопределить на
всей прямой и аппроксимировать двумя непрерывными периодическими с пе-
периодом 1 функциями, для которых выполнены доказанные предельные соотно-
соотношения. 6.133. Доказательство опирается на предыдущую задачу. 6.134. Можно
воспользоваться приближенной формулой
2Ф(а + -./ ¦ " 1 — 1-
^Vnp(l-p))
Полученпые значения Р C5 < 5„ ^ 65) « 0,99806, РD7 < 5„ < 53) « 0,51608
интересно сравнить со значениями, вычисленными по таблицам биномиального
распределения (точность до К)-5) РC5 ==? Sn ss 65) = 0,99822, РD7 ^ Sn <g 53) =
= 0,51588.
Следует иметь в виду, что оценки вероятностей, близких к 0 или 1, получен-
полученные с помощью центральной предельной теоремы менее надежны. Вычислим
относительную ошибку при оценке вероятности события {?„ < 35, Sn > 65}.
0,00194 — 0,00178
Имеем о'00178 •Ю0%ж9%- Для вероятности события {Sn < 47,
Sn > 53} получаем 0,04%. При значениях п > 100. 6.135. Пользуемся прибли-
S,,
Mteiniofi формулой Р
-1. ТаккакрA — р)-.
^1/4, то 2Ф I e J/ ц_ \ 1>2ФBб~1/")- При заданном а приравниваем
_ а
2ФB8}'га)—1 = 1 — а и разыскиваем корень и = и^ — тт- уравнения Ф(м) =
= 1 —~2- Тогда п ^ и2 а/4е2. Для данных задачи и ^ 16589.
6.136. При задапном а имеем Р { | р — р | ^ е} = Р
Упр A - р)
2Ф е |/ 1 1 — 1 > 2ФBеУп) —1 = 1 —а.
р — р I ^ -?г-[«1 —а, где и а —корень уравнения Ф (и)=1—г>-
2 у п
и неравенство р — и а /2"|/га </>^р + « a/2 ~\/n дает искомый прибли-
приближенный доверительный интервал уровня 1 — а.
Более последовательно результат получается из соотношения 1— a =>
: рп), где рп и рп —
Ч " У
284

корпп уравнения (р —рJ = е2рA — р)/п, именно
„2
рп, рп=
1+1-
Более точный результат получается при использовании оценки скорости
сходимости в теореме Муавра — Лапласа, если дополнительно известно, что
0<6<р<с<
1 при некоторых бис. Тогда PJ \ р — р I ^ 8 у h
2A-2Д2) ф
> 2Ф (s) — 1 — -г-т=—. гДе А = У&A — с). При заданном а находим е „
Д у п ' 1__
2
как наименьшее значение е, удовлетворяющее соотношению Ф (е) ^ 1 -f-
1 — 2Д2 а_
+ Д V-n ~ 2 *
6.137. а) Нужно найти такое п, при котором Pi — — р
,0029 > 0,5.
Используя приближенную формулу Муавра — Лапласа, получаем п ^ 13525.
Отметим, что вероятность получить
--/) <0,0029 при п = 5000 равна при-
приближенно 0,318. б) Приближенный доверительный интервал для я уровня 0,95:
3,0614 < я ^ 3,2642.
6.138. Доверительный интервал для р уровня 0,95: 0,502 ^ р ^ 0,526. Ги-
Гипотезы р = 0,5 и р = 0,55 отбрасываются, гипотезу р = 0,515 можно
считать согласующейся с данными. 6.139. Заключение о том, что доля белых
шаров в урне равна 0,5, сделано на том основании, что в выборке с возвраще-
возвращением объема 100 обнаружено преобладающее количество белых шаров. Вероят-
Вероятность ошибки равна вероятности того, что число белых шаров Sn в выборке
объема п = 100 превзойдет 50, крторая вычислена в предположении, что доля
/ Sn—пр \
белых шаров в урне равна 0,4: Р (S ^ 51) = Р п/ = > 2,245 л; 0,012.
\У«РA —р) /
6.140. Гипотезу симметричности монеты нужно отклонить, так как вероятность
РE„^540), вычисленная при р = 0,5, приблизительно равна 0,006. 6.141. При
и = 0,05 та — ll,645]'npo(l — р0) + "Ро] + 1 (здесь []—целая часть). Гипо-
Гипотеза ра = 0,5 отклоняется, так как Sn ^ 3711. Гипотеза ро = 0,515 может быть
признана удовлетворительной, так как Sn < 3820. 6.142. Для а = 0,05 найдем
8 а = 1,045 из уравнения Ф(е) = 1 — %-ш Заменяя Qx и Q2 приближенными
выражениями в соответствии с формулой Муавра — Лапласа, найдем со-
отношения, связывающие п и т*\ т* = 1,645}'ге;>|A — р{) + nph m* =
= —1,645У«Р2A — Рг)-\-пРъ Значение п, при котором можно различить две
гипотезы при заданных вероятностях ошибок а = § = 0,05, равно приближенно
1,645( /р A - Pl) + Ур2 A - р )) 2
i i-^ =-i — . Для различения вероятностей рх =
Р2 — Рх
= 0,4914 и р2 = 0,5178 в задаче де Мере понадобится около 3895 испытаний.
6.143. Воспользоваться задачей 6.129 и теоремой Пуассона. 6.144. Если |w, м, п
имеет гипергеометрическое распределение, то при сформулированных услови-
ях pfo."."-"^ Л^^^ _„ „_^?. .2 M(N-M)n(N-n)_
2
а2 =
доказательства воспользоваться задачей 6.129 и теоремой Муавра —¦ Лапласа.
С. 145. Воспользоваться центральной предельной теоремой для одинаково рас-
285

пределенпых слагаемых, предварительно вычислив ЕуД и D%^. 6.146. Харак-
Характеристическая функция случайной величины gj, равна е^е ~_. Найти харак-
характеристическую функцию случайной величины щ = (%х — Я)/УЯ и показать, что
при Я->-оо она стремится к ехр {—12/2].
С другой стороны, можно воспользоваться тем, что ?я= *Ъа~* ^о~^"
+ ...+?[" i где^й), к = 1, ..., п, взаимно независимы и имеют одинаковое рас-
распределение Пуассона с параметром Яо, а |ц имеет распределеппе Пуассона с
параметром Я = пк0. По центральной предельной теореме при п—>-оо X -*¦ оо
случайная величина ¦ ,- асимптотически нормальна с параметрами @, 1).
у Я _
6.147. Из предыдущей задачи следует, что пХп имеет асимптотически нормаль-
нормальное распределение с параметрами (гаЯ, пк). Поэтому с вероятностью, близкой
1 — а, выполняется неравенство у п
е,где е = е а есть корень
г~Т
квадратного уравнения (Х
а
уравнения Ф (е) = 1 — -tj-. Границами доверительного интервала служат корни
g2 __ / ~? ^
„ — АJ = е2Я/га: Я,,Яо = а+-—1- 1/ я-;г + Т~2-
1 •* 2гс т " in
При а = 0,01 (е = 2,576) и а = 1,5 получается доверительный интервал:
_ Р
1,22 ^ Я ^ 1,85. Сходимость Хп —¦> Я следует из закопа больших чисел. 6.148.
В силу центральной предельной теоремы случайная величина пХп асимптоти-
асимптотически нормально распределена с параметрами (пО, га/12). Поэтому
Р{УТ2^| х - 61 ^е} ~ 2Ф(е)- 1 и р(х - у— < 9 < х +—1=-1» 2Ф (е) - 1.
Пусть га ^ 100, а = 0,05, х = а. Тогда s = 1,96 и с вероятностью, близкой к
0,95, а — 0,057 ^ 6 ^ а + 0,057. 6.149. В предположении, что ошибки Л,- равно-
равномерно распределены в интервале (—0,5-10~5, 0,5• 10~5), находим ЕЛ4= 0, DAf =
0,25 _,„
=—у—10 . По центральной предельной теореме для А = At + ... + Длг,
N = 10е, имеем Р I ,— ^ е >» 2Ф (е) — 1. По а = 0,05 находим соответству-
[ У DA J
юкдее значение е = 1,96. Отсюда с вероятностью 0,95 |Д| ^: 0,00566. 6.150. Рас-
Рассмотрим при фиксированном N случайную величину t|jv, которая принимает
значения {а}, {2а},..., {Л'а}, с вероятностями 1/Л'. Очевидно, ?{а ^ i)x sc: Ъ) =
= Л'(а, b)/N. Для того чтобы Р(а ^ Цх ^ Ь) -*¦ b — а, достаточно выполнения
соотношения Ее N -у 0 при к =J= 0 и N -*¦ оо. Имеем при к Ф О
= J_^ g2nih{na) __
6.151. Перейти к случайным величинам Д(п> = 10пб(п), 0 ^ Д(п) < 1, и показать,
что при к Ф 0 Ee2nikA -> 0.6.152. Нужно представить Fn(x) в виде F.a (x) =
п
= 2 ^(-оо,ж) (?&)> гДе !¦*¦(%*)> к = 1, ..., га,—индикаторы случайных событий
{|деЛ}. Поскольку BFn{x) = F(x), то можно воспользоваться законом боль-
больших чисел (теорема Бернулли). Верно более сильное утверждение:
Р /sup | Fn (x) — F (х) \ -> 0) = 1 (теорема Гливенко — Кантелли). 6.153. Реше-
286

пие следует из закона больших чисел. 6.154. Воспользоваться центральной пре-
предельной теоремой для независимых одинаково распределенных случайных вели-
_ р
чин. 6.155. Соотношение /п _> / есть выражение закона больших чисел. Для от-
ответа па второй вопрос воспользоваться центральной предельной теоремой:
Уп1^!
<е|«2Ф(е)—1, где а2 = D/(?,) =sS CK 6.156. Функция /(*)
равномерно непрерывна и ограничена на отрезке, |/(z)| ^ К. В силу этого и
закона больших чисел имеем (е > 0, 6 > 0)
)- вп
-~х\>6
п I
К
Последнее выражение меньше 2e при п, начиная с некоторого. 6.157. Доказа-
Доказательство вытекает из усиленного закона больших чисел (теорема Бореля).
Глава 7
7.1. а) 1/6, ее [0, 1/3], 5/12, ае A/3, 1/2), 3/4, ае [1/2, 1]; б) 3/2я, а <=
е [0, 1/3], 3/л, ме A/3, 1/2), 2/л, ше [1/2, 1J; в) 1/27, cos [0, 1/3], 19/108,
ше A/3, 1/2), 7/12, ае [1/2, 1]; г) 5/6, со е= [0, 1/3], 7/12, сое A/3, 1/2), 1/4,
ше= [1/2, 1]; д) 1. 7.2.
!0, ж< 1/6, Г 0, а;< 3/2л,
1/3, 1/6 < к 5/12, 1/3, 3/2я<х<2/л,
1/2, 5/12 < х < 3/4, o)F[x)= 5/6) 2/я<о:<3/п,
10, г< 1/27, Г0, х< 1/4,
1/3, 1/27 < х< 19/108, 1/2, 1/4<х<7/12,
1/2, 19/108<^< 7/12, Г)МЖ>- Ь/3, 7/12<^<5/6,
1, х>7/12; I 1, х>5/6;
f 0, х<1,
д) /''(г) -Ь/3, 1<к2,7.3. а) 1/2; б) 1/6, as [0, 1/3], 1/2, as A/3,2/3],
I 1, *>2.
5/6, сое B/3, 1]; в) | при as [0, 1/2], 3/4 при as A/2, 1]. 7.4. а) а2/12;
6) 1/ (Л,2|х2). 7.5. Нет. Рассмотрите, например, вероятностное пространство
(Q, si-, Р), где Q = [0, 1], si-—а-алгебра борелевских подмножеств, Р — мера
Лебега, \ — случайная величина, равная 1 при ше[0, 1/2] и 2 при аеA/2,1].
В качестве & возьмите о-алгебру, порожденную множествами [0,1/4], A/4, 3/4],
C/4, 1]. 7.6. Покажите, что Ь(\\Ш)— почти наверное постоянная. 7.7. Случайная
величина ср(?) измерима относительно а-алгебры, порожденной \. 7.8. Для
любых борелевских множеств А\ и Л2{Е(||^,) s Л,} е 81 \, {Е(т||^2) еА2} е
е 3S<i и, в силу независимости а-алгебр &\ и ^2, эти события независимы.
7.9. Воспользуйтесь результатом задачи 7.6. 7.10. Воспользуйтесь тем, что а-ал-
а-алгебра, порожденная случайной величиной г\ совпадает со всей а-алгеброй со-
событии. 7.11. Нет. См., например, указание к задаче 7.5. 7.12. Для доказательства
287

равенства Е? = Ет] достаточно взять математическое ожидание от обеих частей
равенства Е(||?) = ц. Обратное, вообще говоря, неверно. 7.13. E(g|g + r|) tr
Е(т)|? + т|) независимы тогда и только тогда, когда они почти наверное по-
постоянные. 7.14. Используйте определение условного математического ожидания.
7.15. Воспользуйтесь результатом предыдущей задачи. 7.16. Е(||^„). 7.17.
Е(?|й\). 7.18. Из определения условного математического ожидания и условии
(|) р у у
задачи следует, что для любых Леа(|) и Веа(г\) I | (ш) Р [da) = I т| (ш) Р {da),
А А
11 (a) P (dw) = Гт] (а) Р (dm). Покажите, что отсюда следует утверждение задачи.
в в
7.19. Вырожденное в точке а распределение. 7.20. Е(г)„|г1л, Цп+и ...)=т)„,
E(Sl|T)n, Г)п+1, ...) =E(g2hn, Т)„+1, ...) = ЕA„ | Т]п, Т]„+Ь ...).
7.21. Поскольку функция ф(х) выпукла, для каждого х0 существует Х(х0), та-
такое, что ф(х) ^ ц>(х0) + (х — хо)Х(хо). Положим х = |, хо = Е(?|#). Тогда
фE) ^ ф(ЕA |^ff)) + (? — Е(||^))Я(Е(||^)). Вычисляя для обеих частей по-
последнего неравенства условное математическое ожидание относительно о-.ал-
гебры 3S и учитывая, что Е(ф(Е(||^)) \Я) =.ф(Е(||^)) получим Е(фE)|^>
ф(Е(? |й?)). 7.22. Используя неравенство предыдущей задачи, имеем
?|?) Е(ЕF|Л))а (Eg)* Е(Е(Е*|Л)) (Е|J Е|'(ПУ 1
7.23. Воспользуйтесь неравенством из задачи 7.21. 7.24. Покажите, что слу-
случайные величины E(n||i), Е(т)||2)> ••• независимы и имеют равномерно ог-
ограниченные дисперсии (см. задачи 7.8 и 7.22). Отсюда, используя закон боль-
больших чисел, получаем утверждение задачи. 7.25. Нет. Пусть на вероятностном
пространстве (Я, зФ, Р), где Q= [0, 11, sf-—о-алгебра борелевских подмно-
подмножеств, Р — мера Лебега, задана последовательность случайных величин
ГО, аен [0, 1/2)
" ~ \l/re, ве[1/2, 1].
Тогда почти наверное ?n(w) ->-?(м) ^ 0. Положим
@, ше= [0,1/2),
Тогда Е(т)Цп)=т1, а Е(т)||)==1/2. 7.26. Используя задачу 7.21, име-
имеем Е1Е(|„|Д)-Е(Е|Л)|р = Е|Е(Е»-||Д)|р<Е(Е(|6„-Е|1'|Л)) =Е|6„-
-||р->0. 7.27. E(g|^) = E(E(g|^n)|^)^-E(T)|«) при п->оо. Но ле-
п.н.
вая часть не зависит от ге, поэтому Е(%\<8) = Е(г)|^). 7.28. Воспользуй-
Воспользуйтесь тем, что для любого п Е(Е (%}?;„)) = Е%. 7.29. Не ограничивая общности,
можно считать, что |—неотрицательная случайная величина. Положим
А =
/со: sup E (| | ak) > el,
/ = 1,2,..., п.
п
Очевидно, Aj не пересекаются и Л = (J А:. Поскольку At e ^j, / = 1, ..., п, то
3=1
Е | Б I > \ gP (d«) = 2 I" ^P <d(u) = S f E (S l^i) P W > e S P (Ai) = eP (Л)'
откуда следует нужное неравенство. 7.30. Воспользуйтесь результатом предыду-
288

щей задачи. 7.31. Воспользуйтесь результатом задачи 7.29. 7.33. Необходимость.
Если I и Я независимы, то ф(?) и Я также независимы. Поэтому в силу
свойств условного математического ожидания Е(ф(?)|.#) = Ьр(?). Достаточ-
Достаточность. Пусть А — любое борелевское множество, ср(?) = /а(|)- Тогда из равен-
равенства Е(гр(|) \38) = Еср(?) следует, что для любого В е Я j /А (?) Р (Ло) =
в
в
7.34. р (^) = е^а = Е (Е (IА 1 ^)) = I р (-^ I -^) р (da>). 7.35. Для любых борелев-
й
ских множеств Л и В Р(? е Л, т) (= B|.s?) =.Е(/а(|)/в(т))) |j# = /А(|)/В(т)) =
= Е(/л(|) |j^)E(/b(ti) |л?) = Р(? *= А|^)Р(т| е.В|.я?). 7.36. Воспользуйтесь
тем, что при .3? ={0, О)Е(ф(^)|^) = Еф(?). 7.37. Пусть даны произвольные
В\ е Я\ п В2 е ^2- Нужно показать, что Е ?/л /п I 3&\ = Е^/п I ^") Е/"/л I i?1)
л. н. равносильно ЕAВ \3135Л— Е IIB \3$\ п. н. Для этого достаточно доказать,
п.н.
что второе равенство равносильно Е//п Е Пв j^^xM^^ = Е Пв е //в |^^|^ V
7.38. Да. Пусть, например,
(О, о) е Л, ГО, со е В,
р(Л) = Р(В) = 1/2, | и г) независимы. В качестве Я возьмите о-алгебру, по-
порожденную случайной величиной %ц. 7.39. Докажите сначала утверждение за-
задачи для кусочно-постоянных случайных величин. 7.40. Воспользуйтесь тем,
что Рс(В) = Р(В), Рс{С) = 1/2. 7.41. Воспользуйтесь тем, что в случае
а) Р(А\Я) =9(А); б) Р{А\Я) = 1А;
р _ BР(ЛП[0, 1/2)), сое @,1/2),
П) ( ' )~~ 12Р^П[1/2, Ц), cos [1/2, Ц.
7.42. а) 9A е А\ Я
ЗР
в)
(А[\
Р(Б
[0
п
. 1/3»,
[1/3, 1]),
Глава
со е
сое
IА [
8
[0, 1/3),
[1/3, И;
•j
о
б)
— 2со
А И
Р (Б е А \ Я)
, сое [0,1/3),
, сое[1/3,1].
8.1. Пусть /@ и g(t)—характеристические функции случайных величин
? и а% + Ь соответственно. Тогда (g@I/n = (eilbf(at)yn = e'ib/"(/(a()I/»
является характеристической функцией при любом целом положительном п.
8.2. Покажем, что характеристическая фупкцня, являющаяся пределом последо-
последовательности безгранично делимых характеристических функций, безгранично
делима. Пусть fn(t) -*¦ /(')• Фиксируем произвольное целое положительное т.
Тогда
(M0I/m(/@)l/m. A)
Из непрерывности /(«) следует непрерывность (/(i)I/m, и, таким образом, A)
означает, что последовательность характеристических функций сходится к не-
непрерывной функции и, следовательно, последняя является характеристической
функцией. 8.3. Воспользуйтесь тем, что характеристическая функция I + г\
289

равна произведению характеристических функций | и г\. 8.4. Докажите снача-
сначала, что 1/@ I2 — безгранично делимая характеристическая функция и восполь-
воспользуйтесь тем, что квадратный корень из безгранично делимой характеристиче-
характеристической функции — безгранично делимая характеристическая функция. 8.5. Пусть
/(О •— безграничпо делимая характеристическая функция. Тогда \f(t) | — также
безгранично делимая характеристическая функция (см. задачу 8.4) и, следова-
следовательно, |/@||/п — характеристическая функция. Далее, последовательность
1/@ I"" ПРИ каждом t монотонно не убывает и, следовательно, стремится при
гс-еоо к пределу g(t). Последний непрерывен в нуле и, значит, является харак-
характеристической функцией. Но g(t) может принимать только два значения: 0 и 1.
Поскольку g-(O) = 1, это означает, что g(t) == 1. Еелп бы существовала точка
<о, такая, что /(io) = 0, было бы g(to) = 0. 8.6. Распределение с плотностью
> 0 и 0 при х < 0. 8.7. Рассмотреть сначала случай,
Г
когда а рационально; в общем случае приблизить а последовательностью ра-
рациональных чисел. 8.8. Покажем, что для любого целого положительного п
(/@I/п ~ характеристическая функция. Фиксируем п. Для каждого пк найдет-
найдется целое неотрицательное 4, такое, что nlk ^ n\ ^ nh+i. Очевидно, 4-*-°°
1
h
n U
1
при к -*¦ оо. Имеем
"Я Я П+1 ft+l
следовательно, (/ (*)) h -*¦ (/ @I/T1 при к-+<х>. Но все (/@) ft —
характеристические функции, а предельная функция (/@I/п непрерыв-
непрерывна в нуле (поскольку f(t) непрерывна в нуле). Отсюда (/@)|/п — ха-
характеристическая функция. 8.9. Покажите, что характеристическая функция
равномерпого на отрезке распределения обязательно обращается в нуль, и вос-
воспользуйтесь задачей 8.5. 8.10. Найдите соответствующую характеристическую
функцию пуассоновского, отрицательного биномиального, нормального распре-
лений и покажите, что корень га-й степени из характеристической функции
пуассоновского, отрицательного биномиального, нормального распределений а
распределения Коши представляет собой соответственно характеристическую
функцию пуассоновского отрицательною биномиального, нормального распре-
распределений и распределения Коши (правда, с другими параметрами). 8.12. См. ре-
решение задачи 8.9. 8.13. Пусть f(t) —характеристическая функция, отвечающая
функции распределения F(x). Тогда функция распределения (F(x) -J-
-f- F(x + а))/2 имеет характеристическую функцию ' , =
= Ll2A -f- cos ta —i sin ta), которая обращается в пуль, например , при t = it/a.
8.14. Покажите, что непрерывная и линейная на каждом отрезке [п, п+1]
функция распределения имеет в качестве компоненты равномерное на отрезке
[0, 1] распределение, и воспользуйтесь задачей 8.9. 8.15. Рассмотрим вероятно-
вероятностное пространство (Q, S&, Р), где Q = {0, 1, 2, ...}, s4- — множество всех под-
подмножеств Q, Р({&}) = e~kkhlk\ (Я > 0). Тогда случайная величина |(ш) = о>
имеет пуассоновское (и, значит, безгранично делимое) распределение, но не
может быть разложена в сумму двух независимых одинаково распределенных
случайных величин (действительно, если это не так, т. е. | = |, + |г, где |i и
^2 независимы и одинаково распределены, то %\ имеет распределение Пуассо-
па с параметром -тг; это означает, что Q можно разбить на непересекающиеся
подмножества Ао, А\, А% ... так, что Р \А^ = е j- /«!, а это невозмож-<
но). 8.16. Предположим противное: | безгранично делима, невырождена и
161 «?*. A)
290

Очевидно, Dg ^ I'2. Далее, при каждом п ?= Si"'+ • • • + &п\ где ?$"\ ..., ?(„п>
независимы и одинаково распределены. Из A) следует, что |?]™ | ^1/п
и, значит,
Dg('2/»». B)
С другой стороны,
DSi"'^^-^, C)
причем Dg'J1) gtO. Разделив B) на C), получим 1 sg PlnD% или Dg ^ Р/п, отку-
откуда в силу произвольности га следует, что D? = 0, т. е. | — вырождена. Противоре-
Противоречие. 8.17. Достаточно доказать, что /(t)—характеристическая функция (так как
(/ (<)I//;l = ехр | — (ф @ — 1) | = ехр {// (ф (?) — 1)}, т. е. имеет тот же вид, что
и f(t)). Пусть га — целое положительное число, такое, что п > р. Положим /n (t) =
// р \ п \п ( р (ф (*) — D\n
= | [ 1 — — -I-— ф (t) = 1 + г При каждом re/n (t) — характе-
\\ п ) п I \ п I
ристическая функция (см. задачу 4.28). Но /„(г) ->-/@ при га-> оо и /(г) непре-
непрерывна в нуле, следовательно, f(t)— характеристическая функция. 8.18. Посколь-
Поскольку /(*)= lim ехр (— ((ф(г)I/п — 1I и (/(<))"" — характеристическая функ-
ция при любом п, то достаточно положить р„ = 1/ге и фп@ = (/@) •
( 1 ^ ( ф(^\
8.19. Имеем In/(<) = In I 1— —1 — In ( 1 —-^—|. Разлагая в ряд и пере-
ходя к экспонентам
, получим / (t) = ТТ ехр \—-^((f (t))h — l)|. Применяя
задачи 8.2, 8.3, 8.17, убеждаемся, что f(t) безгранично делима. 8.20. Восполь-
Воспользуйтесь задачей 8.19 (характеристическая функция геометрического распреде-
распределения равна (р— 1I (р— е"), р>1). 8.21. Покажите, что функция ехр{\Ь(г)/га}
выпукла при t > 0 и воспользуйтесь задачей 4.40. 8.22. Для любых 6, и Ь2
и, значит, /(/) устойчива. Аналогично доказывается устойчивость распределе-
распределения Кошп. 8.23. Нельзя. Например, распределение суммы независимых случай-
пых величин, одна из которых имеет нормальное распределение, а другая
распределение Коши, не является устойчивым. 8.24. Пусть f(t) — произвольная
характеристическая функция. Тогда по определению устойчивости
f(t)f(t) = f(b1t)exp{ia1t},
f (*n-2*) / @ = / (*„_!*) exP{'an_1t}
п, значит, (/@)" = /(bn_i0cxp{i(ai + ... + а„_,)/}, откуда
f t \\п ( 0,-Ь ... + an_j 1
/ т ехр {—i ?}=/(«) и, следовательно,
°n — l
291

nK-l
является характерпстпчекои
функцией. 8.25. Нет. 8.26. Для любых fci и Ь2
/ (V) / (V) = МР I" С I Ь1 Г I * I") 'еХР I" С I Ь2 Г 1 ' '"I =
8.27. Воспользуйтесь каноническим представлением для устойчивых характери-
характеристических функций и задачей 4.94. 8.28. Используя каноническое представле-
представление устойчивой характеристической функции, покажите, что левая производ-
производная в нуле не равпа правой. 8.29. Пусть ? и т| — независимые случайные вели-
величины, имеющие одинаковое пуассоновское распределение, а — иррациональное
число. Тогда \ + ат) имеет безграпичпо делимое распределение (в силу задач
8.1 и 8.3), дискретное, но пе решетчатое (Р(? + ап. = 1) >0 и РA, + ссг\ =
= а) > 0). 8.30. Характеристическая функция, отвечающая плотпости р(х),
п
равна / @ = 2 ah exP{~~ ck I' I }• Два Раза продифференцировав функцию
ft=i
(/(())I/n при t > 0, убедитесь, что она выпукла, мопотонно убывает и, следова-
следовательно (см. задачу 4.40), является характеристической функцией. 8.31. См. ука-
указание к предыдущей задаче. 8.32. Дважды продифференцировал фупкцшо
(/(г)I/п при г > 0 и доказав неравенство f"(t)f(t) Зг (/'(ОJ, убедитесь, что
/(г)I/п выпукла и убывает при t > 0 и, следовательно (см. задачу 4.40), яв-
является характеристической функцией. 8.33. Да, конечно (например, пусть | —
случайная величина с пуассоновским распределением, тогда производя-
производящая функция случайпой величины ? + 1 равна 0 при z = 0). в.З^ Поло-
Положим рк = Р(| = к), к = 0, ±1, Тогда
ОО
Р(| делится па 2) — Р(? пе делится на 2) = 2 ( ~
Пусть /(() — характеристическая функция |. Имеем
Сравнивая A) и B) п учитывая, что характеристическая функция безграпич-
но делимого распределения пе обращается в нуль (задача 8.5), получаем нуж-
нужное утверждение. 8.35. См. решепие предыдущей задачи. 8.3G. Пусть f(t) — ха-
характеристическая функция |. Тогда сущестпует характеристическая функция
/2(<), такая, что /(<) = 1\ (t). Легко видеть, что /2@ отвечает целочисленпо-
му распределению. Пусть р0, pi, p-\, ... — вероятности, которые это распреде-
распределение приписывает точкам 0, +1, —1, ... Тогда (см. решение задачи 8.34)
оо
/2 (я) = ^ (— ^)hPh И> зпачит, /2(я) вещественно. Но тогда/ (я) = f\ (л) > О,
й=— оо
а /(л) = Р(| делится на 2) —Р(| не делится на 2) (см. решение задачи 8.34).
00
8.37. Пусть /(z) — производящая функция |: / (г) = ^ р (I = fe) Z>1- c С11ЛУ
безграничной делимости для каждого целого положительного п существует
производящая фупкцпя ф„ (z), такая, что / (z) = ф™ (г). Пусть <pn(z)= 2 ай"J''*
оо / °° \п
Тогда 2 р E = fc) zft = I 2 aAn)z" » 0ТКУДа P (I =1) = nain) п> следова-
k=0 \ft=0
292

тельно, а^™'>0. Зафиксировав к и положив п = к, получаем Р E=^)^(aj ) >0-
8.38. Не ограничивая общности можно считать, что а = 0. Пусть р(х)— фигури-
фигурирующая в условии задачи плотность распределения, /(()—соответствующая
характеристическая функция. Тогда f(t) >0и (см. задачу 4.116)
оо оо
р (х) = J- Г cos txf (t)dt<A- Г / (t) dt=p @).
2л J 2л J
— ОО —ОО
8.39. См. решение предыдущей задачи. 8.40. Покажите, что f(t) пе может быть
представлена в каноническом виде формула Леви — Хинчина. 8.41. Может.
8.43. Имеем
1\пк = {%пк, 1 + %пк, 2 + • • • + Inft, h) + . . . + (?,nk, n(ft-l) + l + • • • + In*, nh).
Положим
% ~ ?nft,l + • • • + Snft.ft' ¦•¦'In ~ ?n7i,n(h-l)+l + • • • + lnh,nh
Последовательность распределений величин г\пь сходится при п -*¦ оо п. следо-
следовательно, является относительно компактной, а значит, в силу теоремы Про-
Прохорова (см. задачу 5.54), плотной. Легко показать, что из плотности множества
распределений т)пь следует плотность, а значит, в силу теоремы Прохорова,
и относительная компактность множества распределений случайных величии
т}(^'. Отсюда следует существование подпоследовательности га,-, такой, что
In- ~*" Tlf Аналогично т)^/ —» г|2, ..., т|'пи/ —> r\h, причем из независимо-
независимости и одинаковой распределенности т)^1^, ..., г)^ следует независимость и одп-
D
наковая распределенпость т)|, ..., т)ь. Окенчательно получаем w^.^ ~*1lx + ••-
D
• •¦+\ и rin.k—>r), откуда следует, что распределения т] и ri,-f... + iiA
совпадают. В силу произвольности к это озпачает безграничную делпмость
распределения т). 8.44. См. решения задач 8.17 и 8.18. 8.45. Пусть
G(x)—функция распределения, отвечающая характеристической функции
yp(t). Положим Л(и) = ^{y)dy = j j eiyxdG(x)dy. Порядок интегрирования
0 0 — =о
оо
С еЫх — 1
можно измепить, поэтому h (и) = \ rg— dG {х). Обозначим (f (i) =
— оо
t 11 ' ' °°
г* f Г Г С 1 — еП1х
-j j -ф (u) di/ du, тогда ф («) = — I й (и) du = I 1 dG (x) du. Снова
о о
изменив порядок интегрирования, получаем ф(()= I (eitx — 1 — ixt) -—i—,
J x
— оо
т. е. функция /(?) = ехр {ср(/)} допускает канопическое представлепио
Колмогорова и, следовательно, является характеристической функци-
функцией безгранично делимого распределения с копечпой дисперсией. 8.4G. В преды-
предыдущей задаче положите ф@ = е~|(|. 8.47. Воспользуйтесь каноническим пред-
представлением Левп — Хинчипа и периодичностью функции ф(г). 8.48. Ср. с пре-
предыдущей задачей. 8.49. Сходимость ф„(/)->ф(г) эквивалентна сходимости
In ф„ @ "*¦ 1° ф@- 8.50. Покажите, что характеристическая функция случайной
величины г) равна ехр (Л(/(г) — 1)}, где f(t) — характеристическая функция
293

%i, a X — параметр распределения случайной величины v, и примените зада-
задачу 8.17. 8.52. Для нормального распределения параметр f и функция G(x) рав-
равны f = a, G(x) — о2Е(х) (Е(х)—вырожденная в нуле функция распределе-
распределения), где а — математическое ожидание, а о2 — дисперсия. Для пуассоповского
распределения — у = ~х , G (х) = "Т7 Е (х— l)irn,e X — параметр распределения.
8.53. Воспользуйтесь каноническим представлением Леви — Хинчина и предыду-
предыдущей задачей.
Глава 9
9.1. Выразите конечномерные распределения последовательности %а, |,, ...
через начальное распределение и вероятности перехода за один шаг. Восполь-
Воспользуйтесь теоремой Колмогорова о согласованных распределениях. 9.2. Нет. На-
Например, I ). 9.3. Нет. Например, Я<2> = I I- Такую матрицу вероят-
вероятностей перехода за два шага имеют цепи с матрицами вероятностей перехода
/1 (A /U 1\ .Iе 1 — с\
за один шаг I I и . 9.4. Пусть А= —стохастическая
\0 1/ \1 О/ \1 — d d /
I а 1 — а
матрица второго порядка. Предположим, что А = Р2, где Р = {
\1 — ft ft
стохастическая матрица. Тогда
Отсюда с + d = (а + 6 — 1J+ 1 ^ 1. То есть для того, чтобы матрица А яв-
являлась матрицей вероятностей перехода за два шага необходимо, чтобы
с + d Э* 1. Пусть с + d ^ 1. Докажем, что система уравнений
а2+ (i_a)(l_ft) =с, (а+ Ь)(\-а) = 1-е, (a + b)(i-b) = i-d,
b2 + A — a) A — ft) = d имеет такое решение, что Osga-gl, 0 sg 6 sg 1. При
c+d^l из 1-го и 4-го уравнений имеем (а+6—IJ = с + d—1 или
а + b = 1 ± У с + d — 1). Рассмотрим отдельно случаи 1 sg e+a! < 2 и c+d =• 2.
В первом случае из 2-го и 3-го уравнений находим 1 — a =
= A —с)/A ±Ус + d— 1), 1 — ft = A —d)/(l ±/c + d— 1). Легко видеть,
что указанные а и ft удовлетворяют также первому и четвертому уравнениям.
Кроме того, очевидпо, что по крайней мере решения 1 — а =
= A — е)/A + Ус + d— 1) и 1 — 6= A — d)l(\ + Ус + d— 1) удовлетворяют
неравенствам 0^1 — a sg 1, 0^1 — ft^ 1. Случай c+d = 2 (т. е. c = d=l)
тривиален. 9.5. (с + d = 1) U (с2 — с + 1 < d < 1) U (d2 — d + 1 < с ^ 1).
¦у V p/t =i р — i \
9.6- а)
l
2 ¦ • • 2 Р (in = ln | Sn-г = 1п-1) P (Snli = '„-i ?o = '«)
S- 2 p(En-i = «n-i. ¦¦¦>k = ia)
'o 'h-l
= P (?n = *n | 5n-l = !'r,-l
294

в) p(Е„ = '„ 1 Eft = fft. .... ?0= '„) = *+1 P(Efc = ift E0 = t0) =
= 2 ••• 2 p(Sn = 'n. - --• Eft+1 = *h+i | Sfc = *ft) = ¦• (Е„ = *„ l Ел = *fc)'
'ft + l 'n-l
9.7. Пусть Л = {goe^o, ..•, |n-i s/4n_i}, В = {?n+i e Bb ..., gn+m e Bm).
Тогда
9.8. Воспользуйтесь результатами задачи 9.6.
9-9- Р (Ix+n + l = Wl | ^x+n = «п. • ¦ • • Sx = 'о) =
OO
j=0
— 'о) =
) Р (S;+n = «п, • • • . ?J = *0)
Аналогично P(gt+n+i = in+i|?t+n = in) = PFi = in+i|?o= in). Для неоднород-
неоднородных цепей Маркова равенства, вообще говоря, неверны. Рассмотрите пример:
Покажите, что Р(?т+г = 1 I бт+i =1, |х= 1) ^ Р(ёт+г = 1 I %x+i — 1).
9 л п п / ? ; I t ; ? ." \
2 • ¦ • Sр(^„+...+^= '».•¦•• Ц= «ор(Ti = Л) • • •р(тп = /п)
Аналогично P (Stll+...+Tt=
P
)
9.11. Если a + ft = 1, то lim P(n) = P'-n) = [ ° ]i если a + ft = 0 (т. e.
n^oo \1 — a a/
lim P^ =/>("> = f1 °) Если а + 6^1, а + b ф 0, та
«-*» \0 1/
295

/ Ы(а + 6) + A — а — Ъ)па1{а ¦
\bf(a-\-b) — (l — a — b)na/(a-
', + Ь) а/(а + 6) — A — а — b)na/(a + ft)N
¦) а/(а + Ь) + {1— a— b)na/(a + b)t
причем при а + Ь < 2 lim P(n) = I ° " ° , ), а при а + ft = 2, т. е.
7)->эо \&/(a-f-&) al(a -\- Ь)I
а = 6 = 1, lim Я(п' не существует. Указание: запишите уравнение Колмого-
Колмогорова — Чепмена
— а
Ъ
a \
1-б)И
воспользуйтесь методом про-
изводящих функций. 9.12. Покажите, что из условия задачи следует, что матри-
матрицы Р и Р<п> имеют вид
1-а i-a
1
1
a
—
2
—
a
a
1
2
a
—
a
1
2
— a
2
a
(
2
1
„<«>
J
Используя уравнение Колмогорова — Чепмена, покажите, что а(")=
За* (»-« + Lz?. Отсюда a(n) = ± + A ^^i)'1, lim
2 3 3 2
2
1/3,
1,
-г2- Отсюда а(п)= т+т lV
9.13. Покажите, что матрица Р имеет вид
P = \PlnP11 ¦¦¦ Pln-l
5 р U
12 ••• Г1ПГЦ'
9.14. Из уравнения Колмогорова — Чепмена
~1)' и' значит> a;.(n) =
2ift
ft *
Аналогично
ih max p(i"~i
к '
Кромэ того, очевидно, «j(n) ^
татом задачи 9.8. 9.16. Так
=^j (n ~ D. Т-
е-
РН")
» - 1)
n). 9.15. Воспользуйтесь резуль
как |0, \\ ...— независимы, тс
Р(|п+1 = fn+l)?n = in, .. ., |о = к) — P(ln+1 = Jn+l) = P(?n+1 = in+l||n = in)
Кроме того, Pf = P (ln = / Uo = i) = P (ln = /) = P (gn = / | ln_, = t) = Psj
9.17. Если go, 5w ••• независимы, то, как следует из предыдущей задачи, стро
ки матрицы вероятностей перехода за один шаг (и за любое число шагов) оди
паковы. Пусть в матрице вероятностей перехода за один шаг строки одинако
вы, т. е. Ptl = aj, i=l,2,... Тогда' Р (|0= iQ, ^ = ir ..., ln = in) =
P(? P ( |Б " (^ l ^ )
P B0 =
(Si i |оо) (^
ai1' • • ¦ 'ain- C ДРУГОЙ стороны,
P ?i = 4) = 2 P (?э = 'о) P Fi = 'i I Eo ='o) = 2 P (So = 'о) \ = aV
i = 'i) = 2 p (Ex = ;i) «i = «
p (ia =
p (?i =
i.
i)p (S, =
296

Таким образом, P(fe0 = f0, ..., ?„ = in) = Р(?о = i0) • ... • Р(|„ = г„), т. е.
|о, |ь ¦•• независимы. 9.18. Нет. Это легко показать с помощью следующего
примера. Пусть %0, ?ь |2 — случайные величины, такие, что Р(?< = 0) =
= Р(?( = 1) =1/2, P(fe, = г„ g, = Z2)=l/4, Z, =0,1; Z2 = 0,l; Р(Ь = 0,
?, =0, g2 = 0)=P(|0 = 0, |, = 1, Ь=1)=Р(|о=1, &i == 0, fe2=l) =
-=Р(|0=1, ?. = 1, 1г = 0) = 1/6, Р(|о = О, |, = 0, |2=1) =Р(ёо = О,
1, = 1, ?2 = 0) =РAо= 1, l. = 0, ls = 0) =P(lo= I, Ii = 1, 1г=1) =
= 1/12. Очевидно, случайные величины |0, \i, %г попарно независимы, но не
являются независимыми в совокупности (проверьте, что указанные распреде-
распределения согласованы). Для введенных случайных величин Р (§2=0|^1=0, ?0=0) —
2 1
= -rj~ Ф~^~ = р (?2 = ^loj = 0). 9.19. а) является; б) не является; в) по
является, 9.20. а) будет; б) будет; в) не будет. 9.21. а) будет; б) не будет;
в) не будет. 9.22. а) образует; б) образует; в) пет; г) образует; д) образует.
9.23.
Р (Ir, = «„IS,,-! - 'V Р ^„-т
_ Р (Sn-ft+i = 'ь-1' ?п->; — 'ft) _ _
= p К = 'ftpft-i = 'ft-O-
Произвольная перестановка цепь Маркова, вообще говоря, не образует. Пусть,
например, to = ti, ?t = So, ?2 = йг- Тогда P(?2 = 1|?, = 1, '^0 = i) =,
= P(|s = l|Eo=l, 6i = l) =Pn, p (?2 = Я?, = 1) = P («2 = H^o = 1) = -РA2Л
и если Р1ЛфР{$, тоР(Е2= 115i = 1, So = l)) #P(?2= 1|S, =»1). 9.24. Нет.
Пусть, например, go, fei, ••¦ независимы, g, = 1 ' Тогда
10, <jr = 1 — p, рф 1/2.
PE 0 ? ? L
(i . ) (i , )
9.25. Нет. Возьмем, например, цепь Маркова с двумя состояниями {1, 2), матри-
/1/2 1/2 \
цей вероятностей перехода за один шаг I | и начальным распределени-
распределением A/3, 2/3). При таком начальном распределении распределение на ге-м шаге
также будет A/3, 2/3). Легко проверить, что Р(?4 + Is = 3||2 + |3 = 3,
U + h = 3) фР(Ь+\ь = 3||2 + бз = 3). 9.26. Нет. Рассмотрим цепь Марко-
Маркова ?0, ?], ¦•• с тремя состояниями {1, 2, 3}, матрицей вероятпостей перехода
'1/3 1/3 1/3\ /6 5 6N
1/5 2/5 2/5 и начальным распределением [-ту, -ту, -jy J. Распределение
1/2 1/6 1/3/ V '
па п-м шаге также будет F/17, 5/17, 6/17). Легко подсчитать, что Р (г|2 =
= 1 hj = 0, т|п = 1) = -^j, Р (тJ = Ип1 = 0) =^т-. 9.27. а) Да - при р = ? =
= 1/2, нет — при р Ф q. Действительно, Р(т)п = in, r\n-i = in-i, .. -i т)о = io) =
20 а. в. Прохоров и др. 297

= P(?o= )(S ,) (Sn+i lnx) + (b )F )
...XP(|n+i = —«n/in-i), P(rin-i = in-, tio = «o)=PFo = l)P(li = 'OX---
...XP(?n = in-i/««-2) + P(?o = —l)P(li = -'.) ••¦ P(ln = -ln-Лп-г).
Таким образом, при p = g = 1/2 имеем P (rin = г„ | Ц„_-1 = '„-i* • ¦.. \ = '„) =
= —= P (т]п = г„|т)п_1 = in_i)- При р Ф q достаточно взять какую-нибудь
конкретную комбинацию i'o, ..., in, например ij = 1, / = 0, re. Тогда
„n+2, n+2 а3 + р3
p (Л„ = lhn-i = 1, • • ¦. ri0 = 1) =gn+1 + рП+1. a P (»,„ = !!»!„_! = 1) =7^7"
б) Да. в) Да. 9.28. P (цп = ir,|i1n_1 = iI_1 %='0) =
)"~ (ъ"" ln -J"
С другой стороны,
P (Л tK S)
Таким образом, т]0, r]l, ... — цепь Маркова с матрицей вероятностей перехода
за один шаг Р, где Рц = Pj-i. 9.29. Нет. Возьмем, например, две независимые
между собой цепи Маркова {?,-} и {т|*}, такие, что |4 и iii принимают значения
О и 1, начальные _ распределения Р(?о = 0) = Р(|о = 1) = Р(т]о = 0) =
= Р(т)о = 1) = 1/2 и матрицы вероятностей перехода за один шаг для {!<}:
С2 !y>"w (ш 2;d t°- р(ы
+ rio = O) =5/18, а Р(|2 + тJ = 0|ё, + тI = 1) = 1/2.
9.30.
2j--' 2j \=o V ¦•¦''i,i_2 'n-lj
'O hl-2
?i • ' * Zj Vo' 0' ' * * ^77— 9 n—\)
'(I 'n—2
9.31. Множество состояний — {1, 2, ..., n}. Начальное распределение —
P(tio = /) == Poj, / = 1, n- Матрица вероятностей перехода за один шаг —
р (Лп = /K-i = «) = р E|1J = ;) = ^у. * = Г»; / = п~п- 9.32. Воспользуйтесь
результатом задачи 9.31.
9.33. *( A
208

(у %)
= р (\+i е ^ft+i I T'ft ~ Ж7, )• 9-^- "ет- Пусть |о, li, . •.— цепь Маркова с тремя
/1/3 1/3 1/3
состояниями 1, 0, —1, матрицей вероятностей перехода I 1/5 2/5 2/5
\1/2 1/6 1/3
/ К Гл 6 \
п начальным распределением I "ту, -ту, ~ту\- В качестве функции / возьмем
Пх)=х\ Тогда «»(&|=0|5? = 1, S*=0^=2/9; Р (Ц = 0||« = l) =1/4.
fl.35. Пусть Р п Q соответственно матрицы вероятностей пере-
перехода за один шаг для ?о, Si, •¦• " Ца, i'li ... Тогда <?у = Р{]; +
X) ЭО СО
+ 2 2 •¦• 2 PihPllh---pl ,;' 1<*<^. 1</<ЛГ.
n=->/,=.v+i („_,=.v+i "-i;
Указание: воспользуйтесь тем, что Р (г) = iQ, ..., т]/; = i^ =
оо -то ос
^V V V Р 1~ ~~> N Е ¦> yv Е — i ? ^>
О, ] <j,
> N, ..., gjft_r > Л', ljk = «,). 9.36. Нет. 9.37. P.. = { 'J}^ J Д + 1?
0, 7->j + i.
Все состояния, кроме 10, несущественны. Укапаште: пусть т|„ показания счетчи-
счетчика в момент п. Найти Р(лп = in, iln-i = in—j, ..., T)t = i'i).
'10 0 0 ... 0^
q 0 p 0 ... 0
9.38.1 q q о p ___ о I- Состояния 0 и п — существенные, все осталь-
,0000 ... 1.
'0 1 0 ... 0 0 0
q 0 р ... О О О
ные — несущественные. 9.39.1 I. Все состояния — су-
0 0 0 ... q 0 р
ч0 0 0 ... О 1 О
щественные. 9.40. Состояния 1, 2, 3 — несущественные, 4, 5 — существенные.
9.41. Нет. 9.42. Да. Например, для цепи Маркова с матрицей вероятностей пе-
'01000
0 0 10 0
рехода за один шаг} о О О 1 0 ... |-9.43. 1 и 4; 2 и 3. 9.44. а) Так как /-о
0 0 0 0 1
состояние достижимо из i-го, существуют п п цепочка состояний i,, ..., ;'„_],
такие, что Ри Р{ ; ...Pi ^>0. Предположим, что п~^г, тогда: 1) либо
среди состояний it, ..., in-i есть совпадающие; 2) либо одно из состояний
it, ..., in-i совпадает с i или у. Пусть в первом случае ii = h, I < к. Тогда
РЩРН>3 ¦•¦ Pii-iUPWh+i ••• Pin-V >0' т> е- состояние / Достижимо из i за
п — (к — I) шагов. Пусть во втором случае, например, I = гг. Тогда
Р P 0 ' I
у р у, рр д
Р;,- ...P-l ^>0, т. е. состояние /' достижимо из i за п — I шагов.
20* 299

ва с матрицей вероятностей перехода Q = | пи> Dxl li [, где
Рц — вероятности перехода в исходной цепи. Для доказательства необходимо-
необходимости найдите вероятности поглощения в состоянии 0 исходя из состояний
О, 1, 2, ... и покажите, что они образуют искомое решение. Для доказательства
достаточности покажите сначала, что можно выбрать решение и0 = 1. О ^
:g; ut s^ 2. Далее, покажите, что вероятность поглощения в нуле исходя из со-
состояния t меньше или равна Uj. Рассмотрите два случая: 1) существует и*< 1;
2) существует ик > 1. 9.59. Рассмотрите цепь Маркова с матрицей вероятно-
вероятностей перехода Q (см. указание к задаче 9.58). Покажите, что можно считать
все iii > 0. Далее, используя неравенства в условии задачи и то, что и,-*-оо,
докажите существование константы С, такой, что для любого е > 0 вероятность
поглощения в состоянии 0 больше или равна 1 — еС. 9.60. Покажите, что
оо
ко, "i, ••• удовлетворяют соотношениям "j = 2 ui^ij Для Л1°и°го пату-
оо
ральпого п. Используя этп уравнения и перавенство 2 | и\ I < °° из усло-
i=o
вия задачи, покажите, что по крайней мере для одной пары i, ; Р^р ¦/*¦ 0 при
п — I
в->оо. 9.61. Покажите, что и =0, ип = ^ Р; является решением систе-
i=o
мы 2 Pijll}~llv г"^ 0. Воспользуйтесь результатом задачи 9.58. 9.62.
P = I 0 p p л ... I- Пусть /(г) = 2 P/,2 . ТОГДа /'(!) =
то уравнепне /(г) = z имеет решение г0, такое, что
О < го < 1. В случае 2 ^Рь > 1 воспользуйтесь результатом задачи 9.58, взяв
и-х = z* В случае 2 kph^.l воспользуйтесь результатом задачи 9.59,
взяв и,- = /. 9.63. Пусть / — несущественное состояние. Тогда существу-
существует i такое, что PW — 0 для любого п и, следовательно, lim Р\у = 0. 9.64. Рас-
1 П->0О
смотрите, например, цепь Маркова с матрицей вероятностей перехода
/0 1\
за один шаг • 9.65. Покажите, что если Р — стохастическая
п
матрица, то система уравнений х- — 2 х\Рцу / = 1> • • •> ге. имеет неотрица-
тельное решение, отличное от нулевого. 9.66. а) F/17, 7/17, 2/17, 2/17);
б) A/12, 1/4, 5/12, 1/12, 1/6). 9.67. а) пет; б) нет; в) нет; г) да; д) нет; е) да;
ж) нет. 9.68. Пусть iaf — несообщающиеся состояния. Тогда либо P\V =0, ли-
либо Pffl — Q для любого п. 9.69. Воспользуйтесь результатами задачи 9.11.
301

9.70.^=1, , " " „ ),где 0< а < 1. 9.71. Пусть So и 5, соот-
\(р/A—р))а 1 —(/)/A — р))а/
ветственно множества несущественных и существенных состояний рассматри-
рассматриваемой цепи. В силу задачи 9.47 существует s > 0, такое, что Р'|' > О
для любых / е Si. Покажите, что если / — несущественное состояние, то
\т]
max Р'V <; ft*-5 J, где fe = max 2 ^i/t < *• Существование пределов
lim P'"' = Л;>0 при i, / e Si следует из критерия эргодичности нераз-
71-><х>
ложимых цепей Маркова с конечным числом состояний. Ис-
Используя уравнения Колмогорова — Чепмена, покажите, что если i e So,
/ e Si, то lim Р(.п)= я.. 9.72. Так как Рц > 0 для всех Ь и /, то рассматри-
Г!-»оо " '
ваемая цепь эргодична. Следовательно, существуют lim Pffi = л, > О
для всех г, / и nj, ] = 1, ..., m, является единственным стационарным
m
распределением. Далее, lim P(gn = x-) = lim 2 р EП = ^г) р\? ~ лз-
тг-»оо л-»оо ^=1|
Утверждение задачи вытекает теперь из того, что jtj = 1/m, / = 1, ..., m явля-
m m
ется решением системы уравнений л;- = 2 "ч^ч 2 ni = ^ ^•^'- Пусть
i=l i=l
Л|(ЛJ МНОЖеСТВО СОСТОЯНИЙ, ДЛЯ КОТОРЫХ P(j"' > 9;"' (р'П) < ?;"')•
Тогда
Pv + 2
< 2 (р^-^ЦРц-^Рц)- Отсюда 2 |p5
1
m
|p5B+1)-gjn+1)|
2=1 '
1 - 2 min Py 2 | p<») - ,("> |. 9.74. Пусть oj"> =
\ j=i г / i=i i
= min Pj"J. Докажите, что существует 0 < h < 1, такое, что cxln) — f^"' < ft™.
9.75. Воспользуйтесь следующим представлением матрицы вероятностей перехо-
да за п шагов ¦P(y)=2'"fe 2 Су1'^', где А,,, ..., Я,г — собственные значения
^=1 ;=о
матрицы вероятностей перехода за один шаг, S,- — кратность X,-. 9.76. В услови-
условиях задачи цепь |0, 1ь ••¦ неразложима и непериодична. Воспользуйтесь доста-
достаточным условием эргодичности цепей со счетным числом состояний, взяв
щ = /, /о = {0}, и = 1, 8 = 1 - 2 kPk- пусть я w = 2 zRjift' p(г) =
ft=0 ft=B
(z -1) p (Z) (i - 2 >
= 2 2^ft- Tor^a я<г» = г-Р(г)"^0
k=0
h-i Г оо /-1 -j-i
j=l L 1=1 г=1 J
9.78. Воспользуйтесь критерием эргодичности неразложимых цепей со
счетным числом состояний, взяв е > 0 — любое, ]0 = {1}, ге = 1, Uj = /e,
302

= 1,2,... л (z) =
ii — p
-, где р(*)= У zhPk. 9.79.
1 — К U — 4рA — р) z2). 9.80. 1 _2 — jTT"o тт; у^г, если рфЦ2,
k(N—k), если р = 1/2.
9-81- (j>i)/(j?Pi)' ™e Po = 1- Р{ = ПF;/в;)- 9'82- Етл = Л'2.
2 /у 1
9.83. Pffi = — "V cos"-^-cos-тг cos —гг-. Покажите, что cos" дт- cos -у" =
/1=0
N
W cos Al5_. 9.84. Пусть з;п(/) = Р(Л'л@ = /). Используйте соотношения
3=0
п—jJr\ оо
хп d) ~ 2 ^uxn-i (J' ~" ^> J^l"> ^ С) = 2 4?' ^^ Покажите, что
;=i !=n+i
вероятность возвращения в 0 конечное число раз равна нулю.
10.1. a) t, 2t;
Глава 10
1, если min lr~, ..., -г—} > 2,
I С-Ч хп
••' гп) = 1/2, если 1 < min {—,..., — }< 2,
0, если min If-, ..., 7-^} < 1.
10.2. а) каждая реализация равна 1 при ! < („ и 0 при t > га, где 0 ^ ta ^ 1;
1 при min {xv x^ > 1,
tl при 0 <ж1 < 1, а-2 > 1,
«2 При T^l, 0< г2<1,
^.«J при 0<xv г2<1,
0 при min (х , з- I ^ 0.
hn
10.4. Fh tn(xv ...,хп) = Ф(тт{11х1, ..., «Л}), где Ф(ж) - стандарт-
стандартная нормальная функция распределения. Ft _ ( (т1? ..., гп) =
10.5. 1/2. Рассмотрим события {?„ > ?*}, и > г; ^ 0; {т) ^ 0}. Покажем, что
{il>0}= U /?„>?1- Действительно, {?„ > U = {S + "(л + «) > 5 +
>>0 I u "'
>>0
+ y(ri + у)} = {{и — v)r\+ (и — v)(u + v) > 0} = {ri >— (м + у)}, откуда
следует доказываемое равенство. Далее, в силу симметричности г) и условия
р(Г| = 0) = 0 имеем Р(Ц ^ 0) = 1/2. 10.6. a sg —1/2 и а > 1. 10.7. Рассмотрим
303

вероятностное пространство (Й, $(¦, Р), где S5 = [0, 1], s€ — о-алгебра, порож<
денная всеми одноточечными подмножествами П, Р — мера Лебега. В качест-
качестве |( можно взять случайный процесс
A при i = w, *<1/2,
"' [0 при всех остальных со и t.
10.8. Предположите противное. 10.9. Воспользуйтесь результатом предыдущей
задачи. 10.10. Нужно доказать, что для любого е > 0 существует б > 0, такое,
что если (@ фиксировано) \t — to\ sg б, то Р (\ g (lt) — g flt \ I ;> e) < e. Выбе-
Выберем а такое, что если \х — то| sg о, то \g(x) — g{xo)\ ^ e. Выберем теперь в
так, чтобы 9 ( I %t — lt 1^ оЛ < е, если \t — to\ < 6 (это можно сделать в си-
силу стохастической непрерывности процесса ||). Теперь имеем при |?—to] ^9
paF)i)<p(E?l>)<
10.11. Рассмотрите случайный процесс
1, если t = со,
,0, если гфы, 0<«<1,
определенный па вероятностном пространстве (Q, s?, Р), где Q = [0, 1|.
stf-— о-алгебра борелевских подмножеств и Р—-мера Лебега. 10.12. Воспользуй-
Воспользуйтесь тем, что при всех /i и t2 случайные величины ?, — ?, имеют одно и то
1 2
же невырожденное распределение. 10.13. Предположим противное: существует
е>0и две последовательности [t'n\ и («^}, такие, что | t'n — t"n | -> 0 при
¦ ос, но
В силу компактности множества А из \tn]
можно выделить подпоследовательность {tn
to <s А. Очевидно, tn также сходится к t0. Если р
-It
Если р > 1, то
5
сходящуюся к некоторой точке
1, то
-6. р>еА0.
\, -I»
т. е. в обоих случаях приходим к противоречию со стохастической непрерыв-
непрерывностью |( в точке ta. 10.14. Предположим противное: существует последователь-
последовательность {?„} такая, что Е I gf lp-> оо при п -+¦ оо. В силу компактности А из
{гп} можно выбрать сходящуюся подпоследовательность [t'n], tn->-1 . При р^
1 имеем Е
"С
1,-1
. Первый член в скобках
стремится к нулю, второй — ограничен, левая часть стремится к бесконечно-
бесконечности. Противоречие. Случай р < 1 рассматривается аналогично. 10.15. Для до-
доказательства необходимости воспользуйтесь тем, что из сходимости по вероят-
вероятности следует слабая сходимость. Для доказательства достаточности покажи-
покажите, что предельное распределение вектора (|j, |s) при t, s->-to сосредоточено
на биссектрисе первого и третьего координатных углов. Далее, пусть /е(.г) —•
непрерывная функция, равная 0 в нуле и 1 вне е-окрестности нуля. Тогда
P{\it — ls| ^c}^E/e(|( — 5s). Покажите, что математическое ожидание в
правой части неравенства стремится к пулю при t, s -*¦ t0. 10.16. Пусть f(t)
непрерывна в точке (о. Фиксируем произвольное е > 0. По условию
при
Выберем б такое, что
при
; е. Имеем Р ( 11, + / @ - ^ - / (д
304

< P( I lt - l,o I + I / (t) -/(«„) I > e) < P ( | lt - |,o \> |] ->0. Пусть теперь
/(f) разрывна в точке t0. Тогда существует 8 > 0 и последовательность {/,,},
такие, что /„->-*, \}(tn) —f(k)\ ^ е- Отсюда вытекает существование подпосле-
подпоследовательности \tn ) такой, что либо / AпЛ — / (г0) i>6> либо / (гП;,) ~ f Co) ^
<; — е. Пусть, например, первое. Из стохастической непрерывности процесса |(
следует, что при t -> г0 р 11( — ^ ^ — "JT) ~* 0- Окончательно имеем
р [К+; (Ч) - Ч - / Со) < I) =р
)
дователыю, |i + /(г) не является стохастически пенрерывпым в точке ta.
10.17. Воспользуйтесь теп, что суперпозиция измеримых отображений является
измеримым отображением. 10.18. а) да, б) да, в) нет. 10.19. Воспользуйтесь тем,
что из сходимости по вероятности следует слабая сходимость распределений.
10.20. Рассмотрите случайный процесс из задачи 10.12. 10.21. Пусть
Л = {|?<— 5*о I < б}, /л—индикатор события А. Используйте представление
*(М-^о)=[«(Б0-«(Ч)]/л+[г(У-<ГE,в)]/3. 10.22. Пусть |, и
?( — стохастически эквивалеитные процессы. Тогда Р(|( < xv ,.., |( < хЛ-
= "({Ч<*1...../^<*„]п|6<1 = б;1,...,б<п = |;п1}) =
= Р(|, < 2Г ...,|( < гп). 10.23. Пусть tt — стохастически пепрерывпый
процесс, ?( стохастически эквивалентен |(. Имеем для любого 8 > 0
при i ->¦ to. 10.24. Стохастическая непрерывность следует из того, что при лю-
любом t РE<(ш) Ф 0) =0. Разрывность всех траекторий в каждой точке очевид-
очевидна. 10.25. Перенумеруем алементарные события: и>и ш2, ... Тогда
оо
*(\lt — tt\>e)=2ip (|S( К) - It (ak) | > e} ПУСТЬ все траектории непре*
h=l
рывны, тогда ряд справа сходится п каждый его член стремится к пулго при
t -*¦ t0, поэтому сумма ряда также стремится к нулю. Обратно, если стремится
к нулю левая часть, то, очевидно, стремится к пулю каждый член ряда в пра-
правой части, т. е. все траектории непрерывны. 10.26. Перенумеруем значения па-
параметра t: tu t2, ... Для каждого i = 1, 2, ... и для любого борелевского мпо-
жества В на прямой множество |со: ?(.sB) является событием, но тогда
оо
событием является и множество ^со: ^е fl} = U jw: |;.sB|. 10.27. Пусть
А — счетное всюду плотное подмножество множества значений параметра.
Для любых й^бг любого п {со: а < ?, < 6} с=| со: а ——< |t < b +~, t^A\,
и, значит, {со: а < g, < Ъ) с П |со:а —— <|(<6+ —, «s^J =
={со: а<;5(<;Ь, (е4}. Обратное включение {со: a^fci^b, t s А} с {<х>:
305

a ^ l(^ b] очевидно. Следовательно, {со: a^|j^b}={co: a ^ |( ^ b, (еЛ}.
Но последнее множество измеримо. 10.28. Для любого борелевс^ого множества
В на прямой имеем {(со, t): ?((со)е?, со = со0} = {(со, t): ?t(co)e#}n
П {(со, t): со = соо}. Оба множества, стоящие в правой части измеримы, следо-
следовательно, измеримо их пересечение, т. е. множество, стоящее в левой части.
Обратное неверно. Пусть (Я, s>l, Р) — вероятностное пространство, где Q =¦
= [0, 1], зФ— a-алгебра борелевскнх множеств, Р — мера Лебега, 0 ^ t ^ 1.
Пусть А — любое неизмеримое множество на отрезке со = t, 0 ^ t ^ 1. Рас-
Рассмотрите случайный процесс
A при (со, t) e A
1 [0 в остальных случаях.
10.29. См. решение задачи 10.27. 10.30. Пусть V — класс всех открытых иптер-
'валов из [a, b] с рациональными радиусами и центрами в произвольном фикси-
фиксированном счетном всюду плотном мпожестве. Пусть, далее, S^1', k=i, ..., тПг
конечное покрытие отрезка [а, Ь] диаметром ^ 1/«, S^' e V. Возьмем про-
извольные точки tf> s S^K Положим g<n) = I (n) при t <= S<?\ [) sf1*.
'ft 3=1
Очевидно, случайные процессы с,^ измеримы. Покажите, что из последова-
последовательности ||п' можно выбрать подпоследовательность сходящуюся почти всю-
всюду к измеримому случайному процессу ?(. Пусть М\ — множество точек (со, ()
меры нуль, на котором эта сходимость не имеет места, К\ — множество t таких,
что t — сечени» множества Д/i имеют меру отличную от нуля. Покажите, что
случайный нроцесс
l при teXx
fe( If, при 1фКх
является искомым. 10.31. Рассмотрите случайный процесс
g( при
где Кг — множество точек в которых ?j не является стохастически непрерыв-
непрерывным, а К\ и |( определены в указании к задаче 10.30. 10.32. Положим
^>=Шп sup Et,g«> = lim inf I , At={l<f>>t{tJ*lM\. Пока-
( 6\\6 'n 6\\6 'n ' l «
жите, что Р(Л() = 1 и случайный процесс \t = \tIA + S^^-r является
искомым. 10.33. Докажите, что события А = {%t — целые для всех двоично-
рациональных t, т. е. t — А-/2Г:}, В— ||г ^ ^/„ Для всех двоично-рациоиаль-
ных U sg <г}, Cw = {для всех целых г от 0 до |№ существует двоично-рацио-
двоично-рациональное <е [0, iV], такое, что \t = 1} имеют вероятность 1. 10.34. Используйте
Г l
равенство Е| It — ls\2 = Е|?, |2 — Е|Г|. — EE.lt + Е|?,|2. Ю.35. Используйте ра-
равенство E\(l, + h-l,)lh\2=(L(t + h, t + h)-L(t+h, t)—L(l, t + h) +
+ L(t, t))/h2. 10.36. Покажите, что
B\(ll+h-lt)/h\P ~ o|fe|'-РА0. 10.37.
+ L(t, t))/h2. 10.36. Покажите, что lim ^ = 0 по вероятности, по
) @/()
ty hh) = cov B C;V 2
\j h
10.38. ^ c/^ D' lx) = 2 c/ft cov
10.39. У] Л^ (i, s). 10.41. Воспользуйтесь следующими двумя утверждениями:
а) если ЛГ(г, s) —корреляционная функция случайного процесса |( и a > 0,
то aK(t, s) —корреляционная функция процесса Уа?(; б) если случайные про-

цессы ?;*' и |B' независимы и имеют корреляционные функции Ki(t, s) и
K2(t, s) соответственно, то случайный нроцесс f^,1'— Eg^1*]^2'— Е|<2)] име-
имеет корреляционную функцию Kx(t, s), K2(t, s). 10.42. ca/[n(x2 + a2)]. 10.43. До-
Докажите, что из бесконечной дифференцируемости корреляционной функции
по обоим переменным следует бесконечная дифференцируемость процесса в
оо
среднем квадратическом. 10.44. aHs. 10.45. Eg( = 0, К (t) = \ cos yt\i (dy), где
о
ц — конечная мера на [0, оо), определяемая равенством ц(В) — ?A2Ib(i\),
A,
[0, хфВ.
вещественная функция, то функция с<р (?1)9B2) положительно определена.
10.47. [к1 (t, s) + E^Ef*1*] [K2(t, s) + еЦ\*Щ?>]. 10.48. а) p-z+l-p";
A — Р) an_i (z) /1 1/2 —pz \/ 1 1 - \«
б» ?_' _ () (+^)(V)
/2
JB (x) = I ^ ___ D 10.46. Покажите, что если с ^ 0 и <р(() — произвольная
.Y4—4-Vl-^fU-Р)))" ПРИ РФ 42, а„(г)=-
)[ге+1 —п^] при р = 1/2; в) 1_A_г)а%
10.49. а) 1 при />s?l/2, (i-p)lp при 1/2 < р < 1; б) 1 —р'/('-«); в) 1'2 — 1.
10.50. а) р»A - р); б) pi+«+-+«n-1(l-pa'1). Ю.52. /2n+1 +A - р) г * PZ.
1 — /?2
сA — с)
10.53. A — а) а*-1, где «= ^ __ 6 _ с- 10.54. 1 — ехр {—сA — с) г}. 10.55. Вос-
(
пользуйтесь следующими соотношениями: Е {Хп+11 Хп} — Е I ^ ^. | Z
= ^„Е^;- = тХп, где |; — число потомков ?-й частицы и-го поколепия в
(п + 1)-м поколении; E(Znfft+1|Xn) = E(E[Xn+h+i\Xn+)l] \Х„). 10.56. Воспользуй-
|
тесь равенством Р (У„ = А: | Гц = XQ = 1) = ;-jl р ^у i ^ х ^
1 —г еа(A—г)
10.57. а) 1 — ^ при а = 0, 1 — -^ J
при афО, а = 2«2 + оь Ь = 2а2; б) г[ес->)( _ (e(*-D( _ iJA-i]-i/c-D;
в) 1—[1 —е-'/2+е-У1 —z]2; г) 1 — ехр {е-« — 1 + е~» In (I — z)}. 10.58.
а) —1 •— ai/аг, если ai/a2 > —2; 1 в противном случае; б) 0; в) 0; г) i — e~i.
10.59. Воспользуйтесь результатами задачи 10.57. 10.60. Обозначим Q(t) =,
— Р(А'( > 0). Покажите, что Q{t) ->0 при (-»¦» и удовлетворяет дифферен-
dQ{t) 2
циальному уравнению ш = Q (t)(Q (t) — 4), Q@) = 1. • Отсюда Q (t) =
A't \
i+it — [Q(u)du\. 10.61. Положим 1, = X,e-'. Тогда E(|i+T-|,J =
0 /
«= e~*(i — e~z) —>-0 при i->oo. Таким образом, существует случайная
величина ?, такая, что |j сходится при t -*¦ 00 к | в среднем квадратпческом.
Отсюда следует сходимость характеристических функций. Положим, далее,
(Ft, z) = Ez *, <ft (X) = Ee'4f. Тогда, подставляя в уравнение /"(г + т, г) =
= f(T, F(t, z)) значение z = ехр {?Яе-"+т>}, имеем ф1+т(Х) = F{%, tfti^e"'))
307

Отсюда при ?->оо <р (I) = lim <р( (К) — F {x; (file T)). Устремляя т к нулю,
;->оо
еем их = Г—> Ф @) =1
1/A — iX). 10.62. Покажите, что
имеем их = Г—> Ф @) =1- Из последнего уравнения находим <р(Л)
F (t, exp (HP (Xt > 0)}) - F (t, 0)
e {exp {ikxtP {xt > 0)} | xt > 0} = -* P(^>o) •
^z
где F(t, z) = 1 - f A _ z) + t (см. задачу 10.57 а)) и P(X, > 0) = A + t)~\
10.63. Пусть выполняется а), тогда для доказательства б) нужно показать, что
для любого Be^"s»i и любого АеЗГец р (АВ) = \ Р (В \ ST=t) dP. Но
А
Р(АВ) = EP(AB\sr=t) =Е[Р(А\ЗГ^,)Р(В\ЗГ^)]. Далее, f Р (В | S^=() dP =
= Е [Р (В | у=() /а] = ЕЕ [Р (В | у=/) 1А | у^] = Е [Р (В | Г*,) Е (/д | ^=/)] =
= Е [Р (В | &~—t) р (^4 | ^"=t)]. Пусть теперь выполняется б). Тогда для дока-
доказательства а) нужно показать, что для любого СеУ=[ Р (ABC) =
= \P(A\ST==t)P(B\Sr==t)dP, где Л <=#"<«, В<=8Г>(. Имеем Р (ABC) =
p
| )
В|^=() Е GД | ^-=;)[ = Е[Р ) )
«= | Р (Л | S*~=() Р (В | #\_j) dP- Доказательство эквивалентности определения в)
С
аналогично. 10.64. Воспользуйтесь тем, что о-алгебра &~ец (^"х) порожда-
порождается полукольцом событий вида /?4 s Л1, ..., l^eAjA, s^ ..., sm^.t,
А1,...,Ат = Ъ ((ltieBv ...,ltneBny tv ....t^t, Bv ..., BnsS8).
10.65. Воспользуйтесь результатом задачи 10.64. 10.66. См. задачу 10.64.
10.67. Нет. 10.68. а) да, Р (х, А) = | р (u) du; б) да, Р(х, А) = j р (и — a) da;
А А
в) да, Р (я, Л) = f p (u) du. 10.69. Нет. 10.70. Используйте
тах(зс,и)еА
уравнение Колмогорова — Чепмена Py(t + T)= 2 рш^ РЫ^Х)- 10<71< Ис"
fc=o
пользуйте уравнение Колмогорова — Чепмена. 10.73. Пусть i = /. Поло-
Положим <х= sup A — Pi{ (h)yh. Если р<а и A — Рц(к)Iк > Р, то при
to/(n + 1) ^ т < Уп р < — [1 _ Р.. (т)]" Ри (t0 - вг) < 4^ +
_l_ _ Поэтому р < + 1 и так как
о о
lim A — Ри(«0 — «т)) = 0, то для любого р<а существует б такое, что
fi-*оо
308

при т < б Р < ¦ < а, откуда вытекает, что а = lim A — Ри (т))/т.
Пусть теперь I Ф /. Выберем б так, чтобы при 0 < s ^ nh < б Рц (s) > с и
Pa(s) > с- Рассматривая цепь Маркова с вероятностями перехода за один шаг
Рц = P%j(h) можно показать, что Pa(nli) ^ сBс— l)nPij(li). Отсюда
•—~t—^ с Bс — l)"jjl—\-г при t < б. Пусть [я],— целая часть г, тогда
Рц(^) 1 /V["/t]t)
"~г— ^ с Bс — 1) [г/т| т—• Переходя к пределу при т -»0, инеем
_ ?ij (т) " 1 ^ij («)
lim—-—<—то Т\"т—;—< °°» по так как Pn[t)^>*l и PuU)-*¦
—>¦ 1, то с можно выбрать как угодно близким к 1. Отсюда вытекает существо-
существование конечного предела lira P^ {t)/t. Существование конечных аи и равен-
N
ство 2 ан — —ац следуют теперь из соотношения 1—Рц(^) = 2 РИ^Ш
10.74. В качестве множества состояпий процесса возьмем множество А
всех рациональных точек прямой. Пусть ца — показательно распределен-
распределенная с параметром 1/fo случайная величина, причем {т|а} независимы,
2 Vo < °° Ддя любого п, ^ Уа = °°- Положим Paa{t) =P(r|o>i).
«<д asA
Pab(t)=O, b<a, Pab(t)=P f 2 T1a<«< 2 ^«Y Ь>«. Тогда
/
10.75. Прогрессивная измеримость ?< очевидна. Далее,
с (А П (т = т) П (т) = п) П
СО СО
оо со
miT1=n}
Отсюда вытекает утверждение задачи. 10.76. Пусть (»,, г 5s 0; Рх) — семейство
винеровских процессов, выходящих из каждой точки прямой. Положим
Покажите, что семейство (?j, Ра:) является марковским, по не строго Марков-
ским. 10.77. 1 —?-^;(, где >,; = Пш ¦. 10.78. ц{1}=2с, ц{2} = с,
с ^г 0. 10.79. Любая конечная цепь Маркова более чем с одним классом су-
существенных состояний.
f Р (* < S < и + х) dG (x)
Р (т)
10.81. РE<и + Т1|6>Л)
309

= 1 — e au. В частности, полагая Glx) =1 ~~^ '
e dG (x)
о
имеем P(| < и + t|| ^ () =1 — e-au. 10.82. Воспользуйтесь результатом зада-
задачи 10.81. 10.83. В силу определения операции наложения потоков \t =
¦= v^-f- ... -J- v^'{'- Свойства отсутствия последействия и стационарности v( вы-
вытекают из свойств отсутствия последействия и стационарности vj'\ i = l, . ..Д-,
и их независимости. Свойство ординарности следует из того, что сумма к не-
независимых случайных величин, имеющих иуассоиовские распределения с па-
параметрами Xi, ..., Ль имеет пуассоиовское распределение с параметром
(
и равенства р (?t+h ~vt> 2\vt+h ~"t>i)= p ^h ^ n =
10.84. В силу задачи 10.82 исходный ноток — рекур-
рекур= , Aj(ft)r.
рентный с функцией распределения интервалов между поступлением 1 — е~и,
t ^ 0. Докажите, что интервалы времени между поступлениями требований
t-ro подпотока независимы в совокупности и имеют показательное распределе-
распределение с параметром kpt. Затем воспользуйтесь результатом задачи 10.82 10.85.
Пусть zi, z2, ...— интервалы времени между поступлениями требований исход-
исходного пуассоновского потока, иь и2, ... — интервалы времени между поступле-
поступлениями требований просеянного потока. Из определения операции просеивания
следует, что
Щ = Z| + ....+ Zh+l,
 = Zft+2 + . . . + Z2,ft+1),
Un = Z(n-l + +
Отсюда следует, что ult u2, ... независимы в совокупности и одинаково распре-
распределены. Найдем функцию распределения ul4 Для этого надо найти функцию
распределения суммы (/с + 1)-й независимых случайных величин, имеющих
показательное распределение. Докажем, что Р {~г + ... + zft+1 < tj =
м .
= \ -jj- е *Дг\ Воспользуемся методом математической индукции. При к = 0
о
Р|
Тогда Р (zj+ ...+ zn+1< t)=9 ((zx+ ... + zn) + zn+l< t)=
Л1
1 (zx < *) = 1 —- e"w = I e~xdx. Предположим, что P (z^ + ... + 2n < f) =
¦J i«-
0
t %t
fX (Хг*1)" Г :rn—1
(« — 1)! I (n — 1)!
«1
о о
д:
n
'жйл;. 10.86. P (v, = k\\T = n\ = ¦
о
310
P /vr = n, v( =

— v, = n — k, v, = k) P (vr — v, = n. — к) P (v, = k)
P (vr = n) = P(vr = n)
P(vT = n) ,
t \h f t \n-ft
f) \^~T~) ' Ю-87. Пусть Vi—nyaccoHOBCKim потоке интенсивностью
Я, vj —• поток Бернулли на [0, Г], определяемый параметром N. Покажите, что
для любых непересекающихся интервалов А\, Дг, .,.., Дп сг [0, Т] и целых
= kn\vT = п\, где vA. и vA. —число требований, поступивших в интервале
Д( соответственно потока Бернулли и пуассоновского потока. 10.88. Пусть
Z|, 22, ..., И|, и2, ... — интервалы времени между поступлениями требований
соответственно исходного потока и потока оставленных требований, vi V2 . • •—
последовательность независимых в совокупности одинаково распределенных
по геометрическому закону и независящих от z\, гг, ... случайных величин,
P(vi = к) = A — р)рк~{, к = 1, 2, ... Покажите, что
••• Jczvl+...+vk
Исходя из свойств геометрического распределения докажите, что щ, и2, ...
независимы в совокупности и одинаково распределены, т. е. поток оставлен-
оставленных требований — рекуррентный Далее, Р {и^ < t) = P (z1 + ... -j- zv < t\ =
а i e-s
о
1 — a (s)
= a (s) —pa (s) . .^. . Ооращая последнее равенство, получите утвержде-
утверждение задачи. 10.89. Докажите следующее утверждение: если,/(я)—неотрица-
если,/(я)—неотрицательная и неубывающая на отрезке 0 ^ х ^ а функция п f(x-\-y)^Z
^f(x)+f(y) Для любых х, у е @, а), х + у е @, а), то f(x)/x при
ж -»¦ 0 либо неограниченно возрастает, либо стремится к пределу, причем этот
предел равен нулю, только в случае f(a) = 0. Докажите, что функция f(x) =
= 1— Ра(х) удовлетворяет указанным выше условиям. 10.90. Покажем, что
оо
из б) следует а). Положим Ph(t) = P(v( = к). Тогда Р (v, > 2) < 2 kPh (г) ~
°° 1
- yjPk(t) = Xt-P(vt> 1), откуда 0<limyP(v(>2)<X —
-lim -г Р (л'( ;> 1) = Л — [х = 0. Покажем теперь, что из а) следует б). Поло-
m оо с»
жим Fm (t) = 2 Pft О- ТогДа l=2tPl (*) = 2 I1 - Vh (!)]• Покажите,
311

что для стационарного ординарного потока с конечным параметром \х Vт U)
где
(О = 1
о
вероятность того, что в промежутке [0, т) поступило хотя бы одно требование,
а в промежутке [т, t + т) ровно к требований. Отсюда К = [х 2 \ ф& (ЫМИ
СО ОО
и 2(pft(")<l, 0<u<l. Следовательно, Я, sg [х. Но № = ^ kPh(t)^s
ft=O Л=1
ОО
@ = 1- -Ро @-Отсюда \S*A —P0(t))/t и >,>lim(l - /> (*))/«=ц. Таким
ft=i
образом, Я = ц. 10.91. Пусть t^ и f^h) — моменты поступления 1-го и
и
2-го требований к-то потока. Положим Bh (t) = Р (^ < (). Тогда ^ ^ift @ =
" Г Г
S I "ft* "~ "ft I Л (")
du
i' TaK как
''='
Г
I Ah(u
at max IAh (t)}. Далее, ^ ВЛ @ < S ^lft @ \ @<
max {Ah(t)\, max /Л ft (()} < t max /a,}.
Покажите, что при выполнении этих условий справедливо утверждение за-
задачи. 10.92. Случайный процесс w, является регенерирующим, моментами
регенерации служат моменты прихода автобусов: |ь |i -J- Ъ, ?i + ?2+?3, ...
Используя предельную теорему для регенерирующих процессов, имеем
ОО ОО
lim Р lwt < у) = (х Г Р {wx < у, I ^ х) dx = [х (" Р {х < | < х + у) di =
|-»оо •' ^
О О
оо у
= ц Г[б(ж + у)— G(x)]dx. 10.93. ц Г [1 — G{x)\dx.
о о
.94. ц Г [G (х + и) — б (z)] dx. 10.95. [х Г е~Лж i^L[l — б (г)] dx.
10
.„. a)
10.98. P =
10.99. re
312
«¦ p=
п
, где a = Л/ja, P = v/ц.
*+2-
п
а
Ю.100. P^-^
п + т "

?+? 2 (С' -"*•
I ftl sl J
л — интенсивность входящего потока, ц.-1 среднее время обслуживания.
10.101. Л-[2 (^т + 1-^1уг2(^I^ Ю.102. * = ^.2'(^
L l J S=l
1
\Ро- 10л03- Воспользуйтесь формулой
Ll
Г n fe „ т
- V а а vi /а
n== X|'(A; — 1I + "йГ^/" + *Н~
Поллачека — Хинчина, которая в случае
U.
^а) (г — Я ехР (—а (л —
принимает. вид p{z)= у zJn^ = ;
i=o
ОО
= A — Яа) A — z) ^ z3 ехр {а (Я — Яг) /}. Разложите последнее выражение по
з'=о
°° . ^
степеням z. 10.104. Пусть / (г) = ~S\ z}f,, E (s) = I e-**dB (x). Докажите,
что f(z) удовлетворяет уравнепию f(z) = г?(Я — Я/(г)); далее, при
В(д.) = @' х<а'
имеем P(s)=e-'a и, следовательно, /(г) = z ехр {—а(Я — Я/(г))}. Положим
х = ге~1аЯа, y — Xa}(z), Тогда уе~* — х. Это уравнение (относительно i/)
ОО
имеет единственное решение J/= 2 О'/;!)^- Отсюда / (г) =
j=i
е~ 7i z1' ^•^^- ^ силу формулы Поллачека — Хинчпна w(s) =
3=1
Где
о
CO OO
¦= I xdB (x), ш (s) = \ e~sxdW (x), причем для того, чтобы существовал стацио-
о о
парный режим, необходимо, чтобы к$\ < 1. Пусть w*(i) —характеристическая
функция функции распределения W{x), а Р*@ —функции распределения В(х):
ОО ОО
<о*(<) = ^eltxdW(x), $*(t)={eitxdB(x). Тогда из формулы Поллачека — Хинчи*
о о
1
1Яр,
на следует: co*(t)= t _ ^ tp« (t) _ 1]/ар • Покажите, что (р*(г) — l)/(?tpi)
является характеристической функцией. Используя это утверждение и формулу
X
для со* @i докажите утверждение задачи. 10.106. F (х)=ХР1В (*)+A—ЯРХ) I U —
о
21 А. В. Прохоров и др. 313

— е-м*-"'] dB(a). 10.107. Функция n(s) является едипствепным
решением уравнения n(s) «= ^(s + к — Ял(х)) [р + A — p)n(s)], таким, что
\n(s)\ < 1 при Re s > 0. 10.108. Пусть nt — число требований в системе в мо-
оо
мент t, Р (г, 0=2 гПр (nt = ")• ТогДа р М = lim р (z- *) = (Р — ЯРХ) X
Р (X - Ы (г - 1)
X z j/j р) z + «] В (Л. кг) ' Стационарным распределением длины
очереди иногда называют также л*к = lim P\nN=k\, где nN=ntN+0, tN —
JV-»oo
oo
момент TV-го окончания обслуживания. Положим Р* (z) = 2 z nk' Если
0 < р < 1, то P(z) и P*(z) не совпадают:
(Р - XPt) (г —i) Р (Л, — Ъ) [A - р) г + Pi
Р* (z) = z-[(l-p)z + p]PU-Xz)
ж
10.109. F (я) = A - р + ЯРХ) В (г) + (р - XPt) j [I - e-^CC-u)] dB (x).
о
10.110. Po(s) = [* + ^ — ^P(s)], где X — интенсивность входящего потока,
00
Р (s) = 1 e~sxdB (x), В (г)—функция распределения временя обслуживания,
о
10.111. я (,) = р (» + Я) f 1 - -А- р (« + Я)!.
10.112. /(г) =z^(X)[l-z(l —р(Я))]. 10.113. Ez'izf*=.
= ехр {(г^- 1) р (tl) + (,, - 1) zlP ((,) - A - «х) A - z2) p (f2 - *,)}, Где
р (t) = к ^ [1 - В (и)] du. 10.114. ?2^(i z^2 = ехр {(г
о
+ z2 («X ~ 1) (Ч - Р («0)}- Ю.115. Р (»,=». ц^».)^-
10.116. я (s) = pj E + Я — Яя1E)), где jxi (s) — решение уравнения
a<ffl(i), P1 (s) = j e~sxdB1 (x).
о о
10.117. f{z)—z$i(k — kf,(z)), где /, (z) — решение уравнения /,(z)='
= гр(Я — X/i(z)). 10.118. Функция я(я) является решением уравнения n(s) =
= h(s+X-Xn(s)), где fc(») = P(* + v) + [l-P(» + v)]j^g(e), p («) =з
ОО ОО ОО
= 1е-8жсгВ(г), ff^frtfiM, 10.119. Пусть со (s) = {e~sxdW(x),
00 о
тогда со (») = il 21 ' °" , — м- „ = ^dG (х). ю.120. Р («):
s — а + а/i (s) 1 '
z — h(X —
314

10.123. s(l — t). 10.Ш. K{u, v) — min [и, p] - ui;, 10.125. _Очевидно,
пи — гауссовский нроцесс. Найдем ковариационную функцию wt. Так как
wtw,= A + t) w\ft1+t) A + ») <(I+s,= [A + 0 wm+t) - twj X
l A + 0 A +) d + )
[U
0
t)
stw\> To
*)
) *d + ») «'./(i+«)wi
— st = min (i, s). 10.126. Покажите, что процессы ш^1' и w^ гауссовские, най-
найдите их ковариационные функции. 10.127. Независимость приращений
(u^'-f- ioj ')/"|/2 следует из независимости приращений wj1^ u ш^B' и их
независимости. Найдите распределение {w^ — ws^ + ш<2> — "
2 s
= max \smn (t) |; тогда
. max
(«л
Z к 5/i
П-1
;=i
n — m
ICO
VI
2 *2™-i,2«
oo / oo \
< 2 Е(*2п-12п)<°°; Р 2 V-i2»<o° Г1' и поэтому ряд в правой
П = 1 ' \ll=l ' /
части сходится равномерно с вероятностью 1. Теперь достаточпо показать, что
(X)
ts 2 v^ sin ki sin ks
 = min (г, s). 10.130. Предположим, что
| (+ — wt)/h сходится по вероятности к некоторой случайной величи-
величине т). Отсюда следует слабая сходимость распределений г\н к распределению г\.
Но т)Л имеет нормальное распределение N(Q, h~l) и, следовательно,
lim Р (т)Л < х) = 0. 10.131. Воспользуйтесь тем, что iw( — w, имеет нормальное
л-»о
распределение с математическим ожиданием 0 и дисперсией t—s.
10.132.P( 4
v\ ws = м)=Р(ш(-ш5<!;-Ы) = -
10.133. Совместная плотность распределения равна
Bл)"'2 ¦
10.134. Если траектория винеровского процесса дифференцируема в некоторой
точке s (без ограничения общности O^s^l), то \wt — w,\ < l(t — s) при
s < t < s + 5/n, n^ m для некоторого Z ^ 1 и некоторого го ^ 1. Но это
событие содержится в событии
U U П U П U : | wh/n - w{h_1)/n | < —},
21*
315

10.136. Используя строгую марковость виперовского процесса, покажите, что
Р f max w.^z, Wf > z\ = P ( max w ^z, w.<.z). Отсюда Pf max
ws^z, wt>z\ = 2P(wt>z) = 2P(wt^z). 10.137. ptB) (x) =
1 z f z3l
= .— -Trjexpi —-5—f, 2>0. Покажите, что P(t(z) < x) = 2P(wx > z).
10.138. Воспользуйтесь результатами задачи 10.137. 10.139. Так как P(z2x(l) <
< х) :=Р(тA) < x/z2), то плотность распределения z2tA) равна р „ (х) =
1 1 О/ 17 1/
(j'z~2') Z~ - z — 2е~г-/Bх) __ *- ^ — z-lBx) / \
10.140. ехр(—11 + «ГЛ^УТТ]]- 10.141. B/л) arcsin V"UT,. 10.142.
I \ I' I/ J ° x
—7= I e dv, z~> x, ,— \ e dv -f- _. /— I e ao, z^.x.
У2я* J У2л« J ^ У2я« J ^
10.143. F(x) = i — e-2x\ p (x) = ixe~2x2. 10.144. e. 10.145. Для до-
доказательства а) воспользуйтесь утверждением а) задачи 10.126. Для
доказательства б) используйте строгую марковость винеровского процесса.
10.146. Из утверждения б) задачи 10.145 и того, что для любых a, b P(a, b) ^
s^l следует, что Р(а, Ь) = е~аЬ, где а ^ 0. В силу утверждения а) задачи
10.145 отсюда следует, что Р{а, Ь) = е~^аЬ, f^ 0. 10.147. 1 = 2. 10.148. Восполь-
зуйтесь тем, что Р (Ъ,п < хп, g^^ < хп_1
<
X
10.149. Воспользуйтесь тем, что если |ь ..., %п и т|ь ..., т)„ — две независимые
последовательности независимых случайных величин, то случайные величины
?i + t)i, ..., |п + т)„ независимы. 10.150. Если сумма независимых случайных
величин имеет вырожденное распределение, то каждое слагаемое также имеет
вырожденное распределение. 10.151. Для любого t, любого Ai > 0 и любого на-
п
туральиого п имеем lt+M — g, = 2 (&г+йд;/п ~ ^^^-ид^). В правой части
k=i
стоит сумма независимых (процесс с независимыми приращениями), одинако-
одинаково распределенных (процесс однородный) случайных величин. Следовательно,
распределение |(+д(— |j безгранично делимо. 10.152. Докажем непрерывность
справа (непрерывность слева доказывается аналогично). В силу стохастической
Р
непрерывности 5(+д< — g(->-0 при Д?->-0. Пусть /(z) =/(«, At, z) — характери-
характеристическая функция случайной величины |<+д! — Ъи Тогда /(z) ->-l при Д*-^-0,
316

Но ср(t + At, г) =<р(г, z)/(z), следовательно, ф(г-{-Дг, г)->-ф(?, z) при At-*¦().
10.153. Воспользуйтесь следующим фактом: пусть ?ь |2, ...— последователь-
последовательность случайных величин, f\{t), /г@) •••—соответствующая последователь-
последовательность характеристических функций. Если равномерно в некоторой окрестности
Р
нуля fn{t)-+i при re-*-oo, то §„-*•(). 10.154. Воспользуйтесь равенством
hm~%m_1 = 2 Ik и независимостью gi, .... gn. 10.155. Пусть
fc:sm_i«fft<sm
ii < «г. Обозначим через /(z) характеристическую функцию ?, —1( . Тог-
Тогда ф(«2, z)=<p(<i, Z) /(z) И, ПОСКОЛЬКУ |/(z)|s?l, |ф(«2, *)|«?|ф(»1, Z)|.
10.156. ?i+« = 6«+« —?• + ?«. Случайные величины ?(+„ ?*+• — ?•, I, имеют
характеристические функции ф(? + «, z), ф((, z) и ф(«, z) соответственно. Кро-
Кроне того, g(+f — g, и ?« независимы. Таким образом, ф(? + s, z) = ф(*, г)ф(«, z).
10.157. Воспользуйтесь тем, что сумма независимых случайных величин, одна
из которых имеет абсолютно непрерывное распределение, имеет абсолютно
непрерывное распределение. 10.158. Дисперсия суммы независимых случайных
величин равна сумме дисперсий слагаемых. 10.159. Воспользуйтесь следующим
фактом: пусть | — случайная величина, причем для каждого п существуют
независимые одинаково распределенные случайные величины|^п\ ..., \^ такие,
р
что ? = !i- ... + ?«"'• Тогда |(j™' -»-0 при п -*- оо. 10.160. Установите сначала
справедливость требуемого утверждения, когда X — рациональное число. Затем
воспользуйтесь результатом задачи 10.159. 10.161. Вообще говоря, нет. Рассмот-
Рассмотрите случайный процесс ?i: %ь =т), |i = 0 при а ^ t < 6, причем г) имеет не-
невырожденное распределение. 10.162. Воспользуйтесь результатом задачи 3.190.
10.163. ltf) = |,о — lt + lt — l0 + 10. Случайные величины 1(q — |(, |, — |0
и |о независимы и, так как %t почти наверное равна постоянной, каждая
из них также почти наверное постоянная. Отсюда следует, что %t — почти на-
наверное постоянная. 10.166. Воспользуйтесь результатом задачи 10.155. 10.167.
Воспользуйтесь равенством D|< = O\t-\ + Dgi. 10.169. Воспользуйтесь неравен-
неравенством Чебышёва и соотношением Е/|( — ?( \2= D5; — D!t +(Elj —ES; J,
справедливым при t ^ t0. 10.170. Докажите методом от противного. 10.171. Если
|t — процесс с независимыми приращениями, то ?( = |( — 50 + | п \t — |
и |о независимы. Покажите, что это невозможно, если \t имеет показательное
распределение, а \0 — равномерное на отрезке [0, 1]. 10.172. Найдите характе-
характеристическую функцию совместного распределения приращений. 10.175. Пусть
/'—совместное распределение Лит): F(B, С) = РD е В, г) е С) для любых
борелевских множеств В я С. Тогда для любых борелевских множеств А\, .,., Ап
-И1
о о
Р (A cos [ц (t1+h) + ф]е Av ..., A cos [r\ (tn + h) + ф] е= Лп) =
;os [^(^ + fe) + ф] s Л^^, ,.., х cos[?/( *n + Л) -f- ф] S Лп) f (da:, dy) =
OO CX)
= j j P (ф <= Гл) F {dx, dy).
о о
где Гл = {z: a; cos [y(t, + h) + z] s Ль ..., a: cos [г/(«п + fe) + 2] e Л„} f| [0, 2я].
Так как множество Г/, получается из Го сдвигом на yh и приведением по
модулю 2я, а распределение ф — равномерное на [0, 2л], последний интеграл
равен
оо оо
Р(<ре Го) F {dx, dy) = Р (Л cos (r\tx + ф)е= Av ..., A cos (tj^-
0 о
317

10.176. Ет), = 0, Ет),т), = E[(licosA,«+ ?2 sin M) (Si cos Ь + bsin Is)] =
= cos Xt cos Xs + sin Яг sin Xs = cos [X(t— s)], т. e. ii(— случайный процесс,
стационарный в широком смысле. Но, например, Р(г|0 = 1) = P(gi = 1) = 1/2,
/Ij + L \
iJL=n=Pf-2yf-=l 1=0. 10.177. [^(S)]2 + ^(S+0A'(s-0. Ю.178.
l = Ея,+1— Еж= X(t + 1) —Xt = X; Eg,?s = E[(.n,+i — л,)(я3+, — я,)]. Рас-
Рассмотрим три случая. 1. s ^ t — 1. Тогда E[(.it+i — m) (я. + i — я8)] =
= Е(я,+, — я,)Е(я. + 1 —я,) =Я2. 2. s = «. Е(я(+,-л(J = Я2+Я. 3. г-К
< s < t. Так как (я(+1 — я() (я.+i — я.) = [я, + 1 — я3 + 1 + я5+, — л,] X
X [я,+1 — я( + я( — я.] = (я(+1 — я.+i) (яа + 1 — я() + (л,+1 — я(J +
+ (л,+, — л»+1)(Я( —л.) + (я,+1 — я()(Я( — я,), то E|il, = X2 + X — X(t — s).
р
10.179. Пусть lt-*-1, г -»- оо, т. е. для любого е > 0 Р(|?< — ^| ^ е) ->-0 при
t->-o°. Возьмем любые tt <. t2. Тогда для любого Г ** П ^' —Sl^tN^
(\h\) (|)
<P(|lB-^+t2-fl|>e/2) + p(|?r+i2-(l-e|>e/2). Но так как Е«-
стационарный процесс, Р Л |(i — gT |^ е/2)= Р (j Ц — ?r+,2_(i | > е/2 j.
Отсюда | Р (| |A - Б | > е) - Р (| 1,2 - 11 > е) | < Р (| 6Т - g | ^ 8/2) +
+ Р (I ?г+< —г —S I ^ 6/2V II, следовательно, для любого е > 0 и любых
t,<J2P(|l,i-gpe) = P(||B-|pe). Отсюда, в силу Р(| |, - g | ^ е) ->
->0 нри *-»«>, для любого е > 0 РЛ 1^ — II >е) = р (I lt, — 1 >е\ = 0.
Зпачит, и Р Л g(l — |j 1^6^ = 0 для любых /i, г2 и е > 0. Отсюда вытекаег
утверждение задачи. 10.180. Пусть т)(со) = | (Гш). Тогда Ег) == I ц (со) Р (dw).
Сделайте замену переменных Гсо = и и воспользуйтесь тем, что Г — сохраняю-
сохраняющее меру преобразование. 10.181. Для любого Л е S4- А и Г~'Л содержат оди-
одинаковое число элементарных событий. 10.182. Покажите, что мера Jleoeia мно-
множеств [а, Р) и Г-1([а, P)),O^a<ji^l одинакова. Получите отсюда утверж-
утверждение задачи. 10.183. Рассмотрим преобразование Тх = Хх, 0 < X < 1. Пусть
F(x) — функция распределения меры Р, F@) =0. Тогда для любого я>0
[0, а)=Г~1([0, Ха)) и, если Т — сохраняющее меру преобразование, то
Р([0, a)) =F(a) =F{Xa) = Р([0, Ха)). Отсюда F(a) = 1, но F@) =0, что про-
противоречит ненрерывпости F. Аналогично рассматривается преобразование
Тх = х2. 10.184. Обозначим С — класс множеств инвариантных относительно Т.
Тогда, очевидно, йеС. Пусть ЛеС. Тогда, так как ЛДГ-'Л = ЛЛГ~'А,
Р(А А Т~1А) =Р(А А Т~[А) = 0 и, следовательно, АеС. Аналогично прове-
проверяются все остальные условия в определении а-алгебры. 10.185. Пусть ?(ш) —
оо
случайная величина с Eg2 < оо. Тогда ряд Фурье ^ спе2л1п<0?(ш) сходится в
оо
среднеквадратическом, 2 | сп |2 < °° и Б (w) = 2 спе2л"ш почти паверное.
П=— оо
оо
Отсюда gG'co)= V спе2я1псое2л1пЯ-, и если g инвариантна, то
П=—оо
с„A — е2л'"'-) =0. По предположению X иррационально п, значит, для всех
п Ф 1 е2л'п)-^fe 1. Поэтому с„ = 0, га ^ 1, ?(tu) = с0. Отсюда следует, что пре-
преобразование Т эргодично.
Пусть теперь X рационально, т. е. X = к/т, где к и т— целые. Рассмот-
2т — 2
рим множество Л = {со: 0 ^ со < 1/т., Ч/т sg; со < З/m., ..., ———< со <
318

< —-—1это множество является инвариантным, но Р(А) =1/2. Следователь-
Следовательно, Т не эргодично.
10.180. Необходимость. Пусть А — любое множество из С Положим
В = (ю: ?(ш) е=А). Тогда Г-'Д = {со: Ти> е В} = {со: |(Гсо) е А} = В U Л', где
Р(ЛГ)=(). Следовательно, Р(ВЛГ-'В) =0. Отсюда Be С. Достаточность.
Пусть .4 еС. Тогда В = (со: ?(ш) е^е С. Так как Т~1В = (ш: |(Гш) si),
то P((t(w) е= Л) Л (t(rco) e Л)) =0. Следовательно, P(?(w)e=4,
К^ш) <^Л) = Р(?(со) <^л, t(^w) еЛ) =0. Получите отсюда утверждепие за-
задачи. 10.187. Пусть Р(Л Л Т~1А) = 0. Так как A A T~lA = (A\T~lA) U (Т~1А\А),
То Р(Л\Г-'Л) =Р(Г-и\Л) =0. Пусть теперь Р(А\Т~1А) =0. Тогда, так как
Р(А) = Р(Г-'Л), РG'-'Л\Л) = Р(Г-'Л) — Р(ЛПГ-'Л) = Р(Л) — P(A(]T~lA) =
= Р(А\Т-1Л) =0. Значит Р(Л Д Т~*А) = 0. 10Л88. Нет. 10Л89. Для доказа-
доказательства достаточности возьмите в качестве т| и ? индикаторы событий А и В.
Необходимость. Докажите сначала справедливость утверждения для сту-
ступенчатых случайных величин. 10Л90. Вообще говоря, нет. Пусть, например, |0,
Si, ^2 — попарно независимые одинаково распределенные случайные величины,
зависимые в совокупности (постройте пример таких случайных величин!),
?з| 1-1, . • • — независимые в совокупности, одинаково распределенные с go слу-
случайные величины, не зависящие от !о, ?ь ?2. Тогда последовательность ?о. ?ь ...
удовлетворяет условию задачи, но не является стационарной, так как трехмер-
трехмерные распределения (to, |ь t2> и (|3, t*. Ss)i очевидно, не совпадают. 10Л91. Во-
Вообще говоря, нет. 10Л92. Пусть f(x0, ..., xm) и g(xa, ..., ят) — ограниченные
функции, имеющие абсолютно интегрируемые преобразования Фурье. Покажите,
что если ПтЛ(п)=0, то lim Ь/ {? |; .., |П ) ^ (Е , g , ..., |m) =
= Е/ (| , ..., |m) Eg (|n, ..., |т). 10.193. Воспользуйтесь законом 0 или 1 Колмо-
Колмогорова. 10.195. Однородная цепь Маркова to, tb ••• с фазовым пространством
(X, 83) будет стационарной последовательностью, если распределение случай-
случайной величины to: Po(^l) =P(fcoeA), Л s S3, связано с переходной функцией
P(t, х. Г) соотношением Pfl (Г) = \ Р (t, х, Г) Ро (dx) для любых t и Г е S3.
10.19G. Пусть Ль ..., Лп — любые борелевскпе множества. Тогда
POlMi еЛ,, ..., т)А+1 s Ап) =P(/(t*+i, ..., tm+ft+i) s4 ...
..., /(tft+n, ..., tm+й+п) eAn) — P((tft+1, ..., tm+b+n) S B),
где В = {г,, ..., zm+n: f(zu ..., 2m+i) s Л,, ..., /(zn ..., zm+n) s Л»}. Так как по-
последовательность {tn} — стационарная, то
P((?*+l, •¦•, Im + ft+n) SP((tl tm+n) eB) =PA1i S Л1, . . ., T)n S Л„),
10Л97. Достаточность. Пусть
7 - ж v= A. *is^i xm+ie Am+l,
Av...,Am+l\ !>•••' m+i) |g b Противном случае.
Тогда
= E^At Am+1 E/p • ¦ -i 6n+m) =
= EIa, Am+1 F0- • • •- lm) = p (l0 ^ Лх, ..., gm e Лт+1).
Необходимость. Пусть ^(Л1, ..., Am+\) — распределение |n, . •., tn+m.
В силу стационарности последовательности |о, ti> • • • оно не зависит от п. Но
тогда и
E/(Sn- ••- 5n+m) = \---\ f(Xl 'm+l)F(dxv •••' dxm+l)
не зависит от п. 10.198. Пусть А — произвольное инвариантное множество
относительно последовательности т]0, T)i, ... Тогда существует Ве9(Л"),
319

такое, что А = {со: (Tin, г\п+\, ...) ей)) для любого п. Отсюда
А =а {(О; (/(?„, . , ,, ln+m), /(?n+l. . . ., In+m+l), , . .) <= В} =
= {со: (|„, ln+u ...) eC}t
где Сг={г0, «i, .... (/(z0, ..., zm), /(zIt ..., zm+0, ...) e= В}, и, так как
Be^ffl"), а функция /(л:о, ..., xm) измерима, то Cs 5(й"°). Таким образом,
А — инвариантное множество относительно последовательности ?о, ?ь ¦ • • и в
силу эргодичности последней Р(А) =0 или 1. Отсюда следует эргодичность
последовательности г|о, тц, ... 10.199. Стационарность {щ} следует из того,
что совместное распределение (/n(?*+i> •••. ln+*+i), -.-i fn(lh+m, ..., gn+ь+т))
не зависит от к.
Для доказательства эргодичности воспользуйтесь предыдущей задачей.
10.200. Воспользуйтесь результатом задачи 10.194. 10.202. Нанишите конечно-
конечномерные распределения и покажите, что в условиях задачи они не зависят
от сдвига времени. 10.203. Воспользуйтесь тем, что для однородного процесса
с независимыми приращениями
где t|)(X) не зависит от h. 10.204. Пусть At, ..., An — произвольные борелевские
множества. Тогда для любых t\, ..., tn, t
где Bt = {x: <p(U + t + x)<=Au ..., <p(fn + t + x) s An) П [0, T]. Так как
функция ф(в) — периодическая с периодом Т, то множество Si получа-
получается из Во сдвигом на t и приведением по модулю Т. Но ? имеет рав-
равномерное распределение на [0, Т], следовательно, Р B; е В,) = Р (| s BQ) ==
= Р^, e/lj, .... ?,и«=Л \. 10.205. Пусть ?, = |( + i)t, где |« и rii —неза-
—независимые стационарные процессы. Выразите конечномерные распределения ?t
через конечномерные распределения ?t и т|*.
10.206. Р (th+t t=Av..., l
lm+t
\fc=l
= f ••• f pfS*ftcos[fc(eft+fi+0]eili 2 *bcos[fc(eft+<m+t)]
_JOO -CO Vft=l h=l
л:„) =
oo oo
J •¦•
—oo — oo
n
где Bt=(z1,...,zn: 2 xk cos [ft (zA + 'i + ')] s ^i» • • •
...»2 хлсоз[А:(гл + 'т+')]е Лт} П [0, 2я]п, [0,2я]п = [0,2я]Х...Х[0,2я].
Но множество Bt получается из Во сдвигом на (t, 2<, ..., nt) и приведением
по модулю 2я по каждой координате. Так как 6i, .,., 6» независимы и имеют
320

равномерное распределение на [0, 2я], P((9i, ..., 8n) eSt) =P((Gi, ... 0„) <=
ейо). Следовательно, Р^^е^, ..., |/т+/еЛт)= Р (l^e Лх |,те ^т)#
10.207. Сы. указание к задаче 10.202. 10.208. Пусть К(и)—корреляционная
функция процесса
<2-<1
%t.
Тогда
U
= 2('2~'i)~2Re \ 1{{2~ ti)~u] к(и)
о
при (j —
h
оо, если
при г ->- оо. 10.209. Воспользуйтесь тем, что если существует производная ста-
стационарного процесса, то она имеет нулевое математическое ожидание. 10.210.
Вообще говоря, нет. Пусть, например |о, ?i, ... — независимые невырожденные
одинаково распределенные случайные величины и r\ = —to. Тогда последова-
последовательность go, Si, ... — стационарная, a {to + ti, ti + 11, ...} = {0, |i — to, • ¦ •}
по является стационарной. 10.211. Процесс Z (X) постоянен на интервалах
(—оо, —т]), (—т), ti) и (т), <х>), а в точках — т) и т) (при rj > 0) делает скачки,
^- При г| = 0 процесс делает один скачок A cos ф.
- е~1Ч> и ~2
равные -^ е
10.212. Пусть |i = jeiadZ1(X). Тогда t], = j ei
^""Z, (X - Л) + е~'% (Я, + Л)
• 10-213-При
dZ Ш, где Z (%) =
п ?(Sn\o(lo, ..., tm)) =
10.214. E
(Sm
+1
(|о tm)) =
to, ..., Ы) =S
= E (Xmln+1 . „
.., ?„,)) = Xm j
т] =gm. lO^T
Eg. = Xm. 10.215. E(gn |
h=\
10.217. E(^|a(gi I^XE^Jaf^, ...,g,))]* = gj.
10.218. E(Sn|0(to lm)) =5m+E(tm + l + ...+ tn|a(to tm)) > 5m. 10.219.
П силу неравенства Иенсена E(g{Xn)\.Tm) S2 g{E(Xn\&~m)) = g(Xm). 10.220.
Пусть У4 = о(^ь ..., Is) — a-алгебра, порожденная случайными величинами
|i, t*- Используя то, что fn{x, хп) — плотность распределения ti, • • •, tn,
а gn(^i, ..., Хп) —плотность распределения, покажите, что для любого Bf
W =
10.221. См. решение задачи 10.219. 10.222. {тв< гс} = U {^gBjg^.
10.223. Пусть {@~t} — неубывающее семейство a-алгебр, относительно которого
321

х и о являются марковскими моментами. Тогда {т + 1 г? t] = {т ^ t — 1} е
еУнсГ|, {min(t, o)<') = {т^(} U {о^(}еУ|, {тах(т, о) < t) =
= {т^ *}П{о" sj t}^.$~t. 10.224. Вообще говоря, нет. 10.225. Покажите, чю тп —
марковский момент. Далее, так как Ti-^ Тг ^ ... ^ т„ ^ ..., то при т^п
j дгТпр (dco) =22 | xi2p <dM) = 2 .' Z(ip [du)) ~~
A " 'l=1'2='l AD(Tm=/1,Tn=f2) ,^, [АП(%=1!)
J 'l
j Z,i+1P (dco) + ... +
¦АП(тто=г1,тп>'1+1)
j
>п-1) АП(тт=!],тп>п-1)
Далее, так как {*„ > ^ + /} е &~i^+j' то ] Z;!+J+iP (Ло) =
для субл!артингалов) I ^г +JP (do). Следоваюльио,
I X; Р (&о) = (^ для субмартингалов)
=г1,т„=;2)
1 X, P(dco). Отсюда \ Х_ Р (da) = (^ для субмартипгалов)
2 1 Xt Р (da>) = \ Хх Р (da), т.е. 1ХТ |—мартингал (субмартппгал).
'i=1An(Tm=ii) А
10.227. Пусть У, = o(gu, us2 s). Имеем Е(?<|^"«) =Е(ехр {?. — as — 1, — |, —
— a(t — s)}\gr,) =ехр {|, —asJEoxp (g, — |. — a(l — $)), Но
Е ехр (I. — |, — а (г — s))
v ' s >1 при a<A,(e—1).
Отсюда следует утверждение задачи. 10.228. Покажите сначала, что
lim E^lly^ почти наверное существует. Пусть
П-*оо
lim E (| | &~n\, если предел существует и конечен,
¦л=•:«-> °о
I 0 в противном случае
Тогда х\ измерима относительно !F~ и интегрируема. Достаточно показать, что
для любого 4еУ | (со) Р (da) = I rj (со) Р (dco), а для этого достаточно
А А
доказать выполнение указанного равенства для А е U^~n. Пусть Л е ^"п.
Тогда f t] (a) P (da) = |" lim Е (| (со) | згй) Р (dco) = lim j" E (g (со) | 5"ft) P (da) =
A A fe"*°° k~*°° A
= lim Г | (со) P(da)= (" g (co)P (da). 10.229. Так как {|„} — мартипгал, то
А
~п) = In для любого т>0, Покажите, что если {In}—равномерно
322

интегрируемый мартингал, то lim Е (%п+т | #"„) = Е / lim gn+m I ST\.
10.230. Так как {Xn} —мартингал, то B(Xn\X0) = Xo для любого гс Зг 0. Но
E(E(A\,|.Yo)) = ЕХп. 10.231. Пусть 3~s = o{u)u, u ^ s}. Тогда Е(ш(|^".)==
= Е(гс, + Ш( — ш.|#",) = и; + Е((и>» — ш.) |#",) == «.', + Е(ш( — w.) = uv
10.232. См. решение предыдущей задачи. 10.233. Пусть t g? и gs s. Тогда
t V S ( * эй/ (Ь" »e/ J == t [с ( ( ?и Се) ( ? f ' few) I *^ w) J == ^ (&u — fes) /4
= gj — F {s). 10.235. Пусть Tn==a(%i, ..., |n).
(n) ("miri {&=SC n : | |ft | > а}, если такое к существует,
\ п в противном случае.
Тогда т("> — марковский момент относительно семейства {&~h, 1 ^ к ^ и}.
Имеем Р/' sup | g, I > д\=Р A | (Т1) 1>д)< 2" • Но Е |"| .Л2 = Е|2 (для
субмартипгалов Е /"^ (n)V ^ ^5«)- 10.236. Пусть {!„, ^"„} — субмар-
субмартингал, #¦„ = оA, 1„), Д1п = 1п—In-,, п ^ 2, t]i = 1,, tin = tin_i +
+ (Д^п — Е(Д1„|^'п-1)), п ^ 2. Обозначим ti = 0, ?п = ?n-i + E(Aln|#"n_,).
Тогда I» = т|4 + ?». fe ^ 1. Так как {!„} —субмартингал, то E(Agn|^"«_i) ^ 0
и, следовательно, Р@ ^ ?, ^; ^2 ^ ¦ • •) = 1. Далее, очевидно, ?„ измерима отно-
относительно 3~п-\. Покажем, что {т]„} — мартингал. Для этого достаточно
показать, что E(tin|^"n_i) = т|„_|. Имеем E(T)n|^"n-i) = Е[(т|„_, + Д1„ —
— E(Agn|5r'n_i)|5r'n_1]=rin_i + Е((Д1„ —Д1п)|^"„-,) = T|n_i. 10.237. Пусть
,п, ( min Ik ^ п : gft ~^ а\, гели такое к существует,
\ п ъ противном случае.
Е max @,1 ,)
Тогда Р[ sup |ft> a] = Р/| (п) > а~\ = -. Но так как
{gn} — субмартингал, а у = max @, г) —выпуклая функция, то
Е max @, lTln>) г? Е max @, ?„)'. 10.238. Пусть
(I) |min{/t-< n : |,4> а}, если такое А- существует
\ п в противном случае,
Тогда ЕЕХ> Eg (rl)>aP(' sup gft > a\ + I |nP (dco) >
^ ~" '~~ ' sup ?;г<а
~^aPl sup gft > a\ — E max @, — \ny Отсюда P I sup \h ^ a\ ^
Emax@, — Е„) + Eg Emax@, !„) — Egn + ES
^ ¦ = 10.239. См. решения
задач 10.235, 10.237. 10.240. Последовательность {%„} ограничена с вероятностью
1 снизу (нулем) и сверху (в силу задачи 10.237). Пусть, далее, \(а, Ь] —чи-
—число пересечений сверху вниз промежутка (я, Ь] последовательностью {%„}.
Тогда, если {In} — субмартингал (в частности, мартингал), то Ev(a, 6] ^
sup E max @, gn — i)
¦g; i ^г»<гоо (докажите!). Следовательно, Ev(a, 6] < оо для лю-
b — а
Сых а, Ь. Отсюда следует, что Р(Л) = 0, Л = U{«: v(a, b] = оо}, где объеди-
323

нение берется по всем рациональным а, Ь, а < Ь. Так как при а ^ Л Пт |„
существует, а Р(Л) = 0, утверждение задачи доказано. 10.241. Докажи-
Докажите ограниченность снизу последовательности {?п}. Далее доказательство
повторяет решение задачи 10.240. 10.242. Докажите ограниченность последо-
последовательности {§„} сверху. Далее см. решение задачи 10.240. 10.243. Р^ (t) =
10.244. i>(W, Г) = у,
, ОеГ,
(„_ (t/s) т)|
- 2Ht_.)Jt}*u.
, s<o.
10.245. P(s, x,t, Г)=
У 2л (t —
10.246. Е ([я< - я,]») = 2, [Я (* - «)Г Фп(Г.
г=1
n!
10.247. Eexpiip, ,— )= exp
= ехр --о-
при t -*¦ cx>.
10.248. Пусть |[— стационарный гауссовский марковский процесс. Рас-
Рассмотрим случай, когда Е1 ( = 0. Покажите сначала, что для гауссовского
марковского процесса переходная функция P(s, x, t, Г) имеет вид
da, где mst и aj( удовлетворя-
ют соотношениям т,и = mtumst, о?и = m(u а^ + а
*Ъ
t <[и. Если про-
процесс дополнительно является стационарным, то теи = т,-и, а^и = о^_и, при-
причем mt+s = mtm
tms, of+s.=
Кроме того, в силу стационарности
^а
существует о2 такое, что о = т^а + а\. Из полученных условий находим,
чтот, = е-а',а3г 0, о\ = а2 (l — е~2а(). Отсюда R(t)= o2e~2<z|". Случай, ког-
когда Е|( т& 0, рассматривается аналогично. 10.249. Ковариационная функция е~|(|,
спектральная плотность [лA + х2)]~1. 10.250. При х < а
s, ж, t, (-oo.j/)) =
s, a, t, (—
2л (t — 5) J
I
0,
1,
y> a.

10.252. P f sup I w. |<в|ш, = (Л =
0, а<0,
е~2''2а2,а>0.
k=i
10.253. Ковариационная функция равна (|/г — |s|)A2npn |s| ^ |А|, Опри \s\ >
> |Л|. Спектральная плотность [1 — cos ( h\x)]J(nh2x2).
10.254. Л (re)
10.255. R (в)
Um + 1 — re) oa, 0 < re
0,
0,
п> т.
„а2,
10.256. Спектральная плотность равна 5L2 _ 1 + •
2я [а2 + (х - рJ а2 + (г + рJ J
10.257. Воспользуйтесь результатом задачи 10.55.

СПИСОК УЧЕБНЫХ ИЗДАНИЙ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Помещаемый ниже список литературы содержит практически все извест-
известные учебники и сборники задач по теории вероятностей, изданные в нашей
стране за последние пятьдесят лет. Кроме того, в список включены пекоторые
переводные издания, полезные при изучении теории вероятностен в целом или
ее специальных разделов. Перечисленные в пункте III учебные пособия не
используются в университетах, но они содержат материал, представляющий
иптерес для приложений.
I. УЧЕБНИКИ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Берпштейн С. Н. Теория вероятностей.— 4-е пзд.,— М.: Гостехиздат, 1948.
Боровков А. А. Теория вероятностей.— М.: Наука, 1976.
Вентцель А. Д. Курс теории случайных процессов.— М.: Наука, 1976.
Гливенко В. И. Курс теории вероятностей.— М.: ГОНТП, 1939.
Гнеденко В. В. Курс теории вероятностей.— 5-е изд..— М.: Наука, 1974.
Г и х м а н И. И., Скороход А. В. Введение в теорию случайных процес-
процессов.— М.: Наука, 1977.
Г и х м а н И. И., Скороход А. В., Я д р е п к о М. И. Теория вероятностей и
математическая статистика.— Киев: Вища школа, 1979.
Карлин С. Основы теории случайных процессов: Пер. с англ.—М.: Мир,
1971.
Климов Г. П. Теория вероятностей и математическая статистика.— М.: Изд-
во МГУ, 1983.
Коваленко И. Н., Филиппова А. А. Теория вероятностей и математиче-
математическая статистика.— М.: Высшая школа, 1973.
Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей.— 2-е изд.— М.:
Наука, 1974.
Ламперти Дж. Вероятность: Пер. с англ.— М.: Наука, 1973.
Лоэв М. Теория вероятностей: Пер. с англ.— М.: ПЛ, 1952.
Круг лов В. М. Дополнительные главы теории вероятностей.— М.: Высшая
школа, 1984.
Неве Ж. Математические основы теории вероятностей: Пер. с фр.— М.: Мир,
1969.
Партасарати К. Введение в теорию вероятностей и теорию меры.— М.:
Мир, 1983.
Розанов 10. А. Случайные процессы.— 2-е изд.— М.: Паука, 1979.
Розанов Ю. А. Введение п теорию случайных процессов.— М.: Наука, 1982.
Розанов Ю. А. Теория вероятностен, случайные процессы, математическая
статистика.— М.: Наука, 1985.
Севастьянов Б. А. Курс теории вероятностей и математической статисти-
статистики.— М.: Наука, 1982.
Скороход А. В. Элементы теории вероятностей и случайных процессов.—
Киев: Вища школа, 1980.
Ту туба лип В. Н. Теория вероятностей.—М.: Изд-во МГУ, 1972.
У и т т л П. Вероятность: Пер. с англ.— М.: Наука, 1982.
Ф е л л е р В. Введение в теорию вероятностей и ее прилогкения: Пер. с англ.—
3-е изд.— М.: Мир, 1984, т. 1, 2.
320

X е н н е к е н П. А., Т о р т р а А. Теория вероятностей и некоторые ее прило-
приложения: Пер. с англ.— М.: Наука, 1974.
Чистяков В. П. Курс теории вероятностей.— 2-е изд.— М.: Наука, 1982.
Ширяев А. Н. Случайные процессы.— М.: Изд-во МГУ, 1972.
Ширяев А. Н. Вероятность, статистика, случайные процессы.— М.: Изд-во
МГУ, 1973, 1974, т. 1, 2.
Ширяев А. Н. Вероятность.— М.: Наука, 1980.
II. СБОРНИКИ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Гиленко Н. Д. Задачник по теории вероятностей.— М.: Учпедгиз, 1943.
Д о р о г о в ц е в А. Я., Сильвестров Д. С, Скороход А. В., Ядрен-
к о М. И. Теория вероятностей. Сборник задач.— Киев: Вища школа, 1980.
II зрай левич В. Л., С м и р н о в А. К., Ч е р к а с о в И. Д., Черняв-
Чернявский И. Я. Сборник задач по теории вероятностей и математической ста-
статистике.— Саратов: Нзд-во СГУ, 1982.
М е ш а л к и н Л. Д. Сборник задач по теории вероятностей.— М.: Изд-во МГУ,
1963.
Севастьянов Б. А., Чистяков В. П., Зубков А. М. Сборник задач по
теории вероятностей.— М.: Наука, 1980.
III. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ СПИСОК УЧЕБНЫХ ПОСОБИЙ
А р л е й Н., Бух К. Введение в теорию вероятностей и математическую ста-
статистику: Пер. с англ.— М.: ИЛ, 1951.
В е н т ц е л ь Е. С. Теория вероятностей.— М.: Наука, 1964.
В е н т ц е л ь Е. С, О в ч а р о в Л. А. Прикладные задачи теории вероятностей.—
М.: Советское радио, 1982.-
В е н т ц е л ь Е. С, О в ч а р о в Л. А. Теория вероятностей. Задачи и упраж-
упражнения.— М.: Наука, 1969.
Володин Б. Г., Г а н и н М. П., Д и н е р II. Я. и др. Сборник задач по тео-
теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функ-
функций/Под ред. А. А. Свешникова.—М.: Наука, 1965.
Захаров В. К., С е в а с т ь я н о в Б. А., Чистяков В. П. Теория вероят-
вероятностей.— М.: Наука, 1983.
Пугачев В. С. Введение в теорию вероятностей.— М.: Наука, 1968.
С м и р н о в Н. В., Д у н и н - Б а р к о в с к и й Н. В. Курс теории вероятностей
и математической статистики (для технических приложений).— М.: Науки
969.

Александр Владимирович Прохоров
Владимир Георгиевич Ушаков
Николай Георгиевич Ушаков
ЗАДАЧИ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Основные понятия. Предельные теоремы.
Случайные процессы
ИБ JA 12515
Редактор С. Я. Шоргин
Художественный редактор Г. М. Коровина
Технический редактор В. II. Кондакова
Корректоры Л. II. Назарова, О. М. Березина
Сдано в набор 13.05.85. Подписано к печати 18.02.86. Формат 60x90'/is. Бумага тип.•N» 3»
Гарнитура обыкновенная новая. Печать высокая. Усл. печ. л. 20,5. Усл. кр.-отт, 20,5,
Уч.-изд. л. 25,28. Тираж 23 000 экз. Заказ JS5 729. Цена 1 р. 20 к.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
4-я типография издательства «Наука»
630077 г. Новосибирск 77, Станиславского, 25