Text
                    ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
АСТРАХАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Г.Г. Левитас
МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
В ОСНОВНОЙ ШКОЛЕ
Учебное пособие
для студентов, обучающи хся по специальност ям:
050201 Математика;
050200 Физико-математическое образование
Издательский дом «Астраханский университет»
2009


ББК 74.262 Л34 Рекомендовано к печати редакционно-издательским советом Астраханского государственного университета Рецензенты: кандидат педагогических наук, директор школы № 1349 г. Москвы, почетный работник общего образования, член-корреспондент Международной академии общественных наук Э.Ю. Красс; кандидат педагогических наук, доцент кафедры высшей математики Московского государственного гуманитарного университета им. М.А. Шолохова И.В. Гончарова Левитас, Г.Г. Методика преподавания математики в основной школе [Текст] : учеб- ное пособие / Г. Г. Левитас. – Астрахань : Издательский дом «Астрахан- ский университет», 2009. – 179, [3] с. В пособии рассмотрены основные требования, которые предъявляют к преподава- нию математики такие науки, как педагогика, медицина и психология. Автор выстраи- вает систему эффективного преподавания математики в 5–9 классах без использования уровневой дифференциации учащихся. Большое внимание уделяется работе каждого ученика на каждом этапе урока математики. Эти предложения имеют полное теорети- ческое обоснование и надежную экспериментальную проверку. Предназначено для студентов, обучающихся по специальностям «Математика», «Физико-математическое образование», педагогов, а также всех интересующихся мето- дикой преподавания математики. В книге использованы тексты, написанные автором совместно с Е.Б. Арутюнян, В.Г. Болтянским, М.Б. Воловичем, Ю.А. Глазковым, Э.Ю. Крассом и Е.Е. Тульчинской. ISBN 978-5-9926-0174-9 © Издательский дом «Астраханский университет», 2009 © Г.Г. Левитас, 2009 © В.Б. Свиридов, дизайн обложки, 2009
3 ОГЛАВЛЕНИЕ ГЛАВА 1. ОБЩАЯ МЕТОДИКА ...............................................................5 1.1.Общие требования .....................................................................................8 1.1.1. Требования медицины ....................................................................8 1.1.2. Требования педагогики ................................................................10 1.1.3. Требования психологии. Проблемы дифференциации ...........17 Вопросы и задания .........................................................................................22 1.2. Цели обучения .........................................................................................24 1.2.1. Глобальные цели обучения и воспитания .................................24 1.2.2. Локальн ые цели обучения ............................................................27 Вопросы и задания .........................................................................................29 1.3. Содержание обучения ............................................................................29 1.3.1. Математика 1–6 .............................................................................30 1.3.2. Алгебра 7–9 ....................................................................................32 1.3.3. Геометрия 7–9 ................................................................................36 Вопросы и задания .........................................................................................36 1.4. Методы обучения ....................................................................................37 1.4.1. Теория поэтапного формирования умственных действий .....39 1.4.2. От текста учебника  к текстам заданий ...................................41 1.4.3. Методы повторения и коррекции знаний ..................................45 Вопросы и задания .........................................................................................49 1.5. Формы обучения .....................................................................................51 1.5.1. Индивидуальные формы ..............................................................51 1.5.2. Фронтальн ые формы .....................................................................52 1.5.3. Коллективные формы ...................................................................53 1.5.4. Формы введения нового материала ............................................54 1.5.5. Формы закрепления ......................................................................57 1.5.6. Формы контроля знаний ...............................................................59 1.5.7. Классно-урочная форма обучения ..............................................62 1.5.8. Технология учебных циклов ........................................................64 1.5.9. Формы обучения в классах с углубленным изучением математики ................................................76 Вопросы и задания .........................................................................................78 1.6. Средства обучения ..................................................................................81 1.6.1. Объемн ые средства обучения ......................................................82 1.6.2. Печатные средства обучения .......................................................84 1.6.3. Компьютер ......................................................................................88 1.6.4. Кабинет математики ......................................................................89 Вопросы и задания .........................................................................................92 1.7. Подготовка учителя к уроку .................................................................93
4 ГЛАВА 2. ЧАСТНАЯ МЕТОДИКА ......................................................100 2.1. Математика 5–6 .....................................................................................101 2.1.1. Натуральные числа ......................................................................104 2.1.2. Десятичные дроби .......................................................................108 2.1.3. Дроби .............................................................................................111 2.1.4. Рациональн ые числа ....................................................................114 2.1.5. Геометрия в 5–6 классах .............................................................121 2.1.6. Опережающее обучение в 5–6 классах: проценты, текстовые задачи, графики ................................................122 2.2. Алгебра 7–9 ............................................................................................133 2.2.1. Преобразование выражений ......................................................133 2.2.2. Уравнения и неравенства ...........................................................147 2.2.3. Функции и графики .....................................................................152 2.3. Геометрия 7–9 ........................................................................................157 2.3.1. Аксиомы ........................................................................................157 2.3.2. Определения .................................................................................159 2.3.3. Теоремы .........................................................................................163 2.4. Оформление решений типовых задач ...............................................167 2.4.1. Арифметика и алгебра ................................................................167 2.4.2. Геометрия ......................................................................................175
5 ГЛАВА 1. ОБЩАЯ МЕТОДИКА Ваша профессиональная подготовка вступает в новую фазу. Вслед за курсами педагогики и психологии начинается изучение методики осущест- вления избранной Вами профессиональной деятельности  преподавания математики в школе. В чем задача этой дисциплины? Самый общий ответ понятен: научить Вас преподавать математику в школе. От того, как Вы будете преподавать математику, зависит многое. Вос- поминания о школьной математике остаются в памяти многих людей на всю жизнь. Качество преподавания этого предмета сильно в лияет на об- щую успеваемость каждого ученика и на его отношение к школе. И тут нет ничего удивительного. Прежде всего, математика  это «большой» предмет. Количество часов, которое он занимает в российской школьной программе с 1 по 11 классы, больше, чем даже количество часов, отводимых на русский язык. Кроме того, это традиционно трудный курс, требующий постоянного внимания: пропущенная учеником тема оказывает сильное отрицательное влияние на дальнейшее изучение этого предмета. Вместе с тем математика  один из наиболее важн ых предметов. Спи- сок четырех дисциплин, обязательных для изучения в школах Древней Греции при Пифагоре, выглядел так: арифметика, музыка, геометрия, ас- трономия. А слово  обозначало науку вообще. В начале ХII в. в первом европейском университете в г. Болонья снова был введен для изу- чения «квадриум» – четыре предмета списка Пифагора (наряду с «тривиу- мом»: латынь, риторика, логика). Во все времена (кроме рубежа древней истории и средневековья в Европе) этот предмет входил во все образова- тельные программы всех цивилизованных стран. Точно определи л значе- ние математики для человека М.В. Ломоносов: «Математику затем изучать надо, что она ум в порядок приводит». Заметим, что сам М.В. Ломоносов был физиком, химиком, историком, поэтом, филологом, но только не ма- тематиком. В 2007 г. Фонд «Общественное мнение» задал своим реципи- ентам вопрос: «Назовите два школьных предмета, которые пригодились Вам в дальнейшей жизни». Среди ответивших 33 % респондентов назвали математику. Следующий за ней предмет назвали только 20 % опрошенных. Математика в современной российской школьной программе является подлинной школой мысли. Не случайно в задачниках по математике встречаются задачи, не имеющие никакого отношения к содержанию кур- са. Таковы многие текстов ые задачи, например, задачи на взвешивание. Особое значение математики подчеркивается и тем, что только она вместе с родным языком остается обязательной составляющей выпускных экзаменов. Плохое преподавание математики, имеющее место во многих школах, приводит к существенным пробелам не только во всем школьном образовании, но и в воспитательной работе. Ведь все ученики получат до-
6 кумент об окончании школы, в котором будет говориться, что школьник овладел определенной суммой знаний. И если это ложь, то можно утвер- ждать, что работа школы строится на лжи. Какое уж тут воспитание! В настоящее время в нашей стране существует хорошо зарекомендо- вавшая себя школьная программа, создававшаяся трудами отечественных педагогов в течение трехсот лет. Неудачи российского образования объяс- няются не плохи ми программами, а пренебрежением к этим программам в школьной практике. Например, высокие результаты в логическом развитии детей достигались в прежнее время через включение в программу латыни и геометрии. Когда латынь была исключена из программы, эту функцию вы- полняла геометрия, преподававшаяся в первой половине ХХ в. на очень высоком уровне строгости. В наше время геометрия тоже преподается, но во многих школах половина теорем не доказывается, а знать доказательст- во другой половины требуется только от сильных учеников. В результате дети не только не усваивают текущий материал школьной программы, но и не получают (через него!) необходимого воспитания и развития. Только полноценное преподавание математики обеспечивает тот воспитательный эффект, который может дать этот учебный предмет. Могут спросить: «А не слишком ли трудна школьная математика для среднего ученика?» Нет! Наш предмет, зафиксированный в государствен- ной программе, достаточно прост и нормально усваивается всеми здоровы- ми детьми. Недостаточна традиционная методика, сложившаяся в 30-е гг. ХХ в. при установлении в советской школе классно-урочной системы. Эта методика была рассчитана на возможность оставлять на второй (и третий!) год и даже исключать из школы за неуспеваемость. Она совершенно не со- ответствует условиям всеобуча. Всеобуч рассчитан на умение педагогов учить детей и, в частности, добиваться, чтобы все они занимались нашей наукой с необходимым интересом. Что именно нужно человеку, чтобы он мог преподавать математику детям? Есть мнение, что надо, во-первых, знать и любить математику, а во-вторых, знать и любить детей. Это, конечно, необходимо, но, к сожа- лению, не достаточно. Еще надо научиться специальности, приобрести специфическую способность к созданию своей собственной системы преподавания математики. Такой системой, разумеется, владеет каждый хороший учитель. Мы не можем научить Вас давать блестящие уроки. Блестящими можете их сделать только Вы сами, исходя из своих воз- можностей и правильной оценки возможностей своих учеников. Но мы можем научить Вас работать на таком высоком уровне, что на Ваших уроках все дети будут учиться на в ысоком уровне своих возможностей. Говоря более точно, мы не научим Вас педагогическому творчеству, но научим педагогическому мастерству. Владея им, Вы сможете начать свою работу в школе, не делая грубых ошибок, и быстро построить свою собственную методическую систему преподавания математики. В даль-
7 нейшем может оказаться, что наши рекомендации для Вас вполне при- емлемы, и Вы встроите их в свою систему. Может оказаться и так, что они будут Вами отвергнуты и Вы построите свою методику, исходя из особенностей Вашей личности . Но в любом случае, как показала много- летняя практика, наши советы будут Вам полезны. Итак, задача данного курса – подготовка студента к созданию его собственной методической системы преподавания математики. Для решения этой задачи нам потребуется уточнить смысл понятия «ме- тодическая система преподавания». Известный методист А.М. Пышкало в своей докторской диссертации определяет методическую систему препода- вания как структуру, состоящую из следующих основных элементов: 1) цели обучения; 2) содержание обучения; 3) формы обучения; 4) методы обучения; 5) средства обучения. Цели обучения  это ответ на вопрос «зачем учить?». Математику препо- дают с разными целями. Одно дело  обучать ей на курсах кассиров, другое  в математических классах, третье  в общеобразовательной школе. Содержание обучения  ответ на вопрос «чему учить?». Формы обучения  часть ответа на вопрос «как учить?»; это способы организации процесса обучения, зависящие от численности учащихся и учителей. Методы обучения  вторая часть ответа на вопрос «как учить?». Это способы организации процесса обучения, не зависящие от численности учащихся и учителей. Средства обучения  это ответ на вопрос «с помощью чего учить?». К средствам обучения относятся и учебник, и настенные таблицы, и моде- ли, и компьютер; важно понять, как правильно использовать их в препода- вании нашего предмета. Методическая система преподавания математики и есть система, со- стоящая из вышеперечисленных пяти элементов, оказывающи х непосред- ственное влияние друг на друга. Разрабатывая свою методическую систему преподавания математики в общеобразовательной школе, учитель должен исходить из:  целей преподавания математики, сформулированных в государст- венной программе;  необходимости бережного отношения к содержанию школьного кур- са математики, сложившегося в нашей стране;  необходимости отбора форм обучения, соответствующих требовани- ям медицины, педагогики и психологии;
8  необходимости отбора методов обучения, соответствующих требо- ваниям современной педагогической пси хологии;  необходимости разработки средств обучения, позволяющих учителю реализоват ь отобранные формы и методы при изучении всего необходимо- го содержания. Есть учителя, которых называют педагогами от Бога. Дети влюблены в них и занимаются весьма успешно. Но педагог – массовая профессия. Ею может ов ладеть и самый обычный человек. Для этого он должен хорошо себя подготовить. Вопросы и задания 1. Как Вы представляете себе задачи курса «Методика преподавания математики»? 2. Какими профессиональными качествами должен владеть учитель ма- тематики? 3. Почему системы преподавания разн ых учителей могут резко отли - чаться друг от друга? 4. Докажите, что п лохое преподавание математики оказывает отрица- тельное влияние на воспитательную работу школы. 5. Почему может показаться, что школьная математика недоступна многим детям? 6. Почему может показаться, что преподавание школьной математики недоступно многим учителям? 7. Что такое методическая система преподавания математики? Охарак- теризуйте ее составляющие. 1.1. Общие требования Главное в школе – это, конечно, ученики. Преподавая математику, мы должны все время помнить о необходимости охранять здоровье детей, способствовать их общему развитию и воспитанию, учитывать механизмы восприятия детьми нашего предмета. Иначе говоря, методическая система преподавания математики должна строиться с учетом требований медици- ны, педагогики и психологии. 1.1.1. Требования медицины В наше время медики внимательно наблюдают за деятельностью обра- зовательн ых учреждений и разрабатывают для них необходимые инструк- ции 1 . Требования медицины просты и естественны: не допускать пере- 1 Кучма В.Р., Сердюковская Г.Н., Демин А.К. Руководство по гигиене и охране здоровья школьников. М., 2000.
9 утомления учащихся на уроках и перегрузки учащихся домашними зада- ниями; создавать и поддерживать здоровьесберегающую обстановку (этот термин в последние годы стал общепринятым). Переутомления на уроке можно избежать, если добиться, чтобы все учащиеся во время занятия были постоянно занят ы работой. Специальны- ми медицинскими исследованиями доказано, что наибольшее утомление на уроках происходит не от уси ленной работы, а наоборот, от безделья, от тягостного ничегонеделания. Если на уроках дети все время заняты делом, то у них, по сравнению с обычным, резко повышается уровень трудоспо- собности и резко понижается утомляемость. При традиционном обучении дети устают уже ко второму уроку, и уже ко вторнику они достигают пика утомленности за неделю. При большой насыщенности уроков дети устают лишь к пятому уроку, а пика утомленности они достигают только к пятни- це. Но даже на пике утомленности работоспособность сохраняется у них на уровне выше критического. В то же время рекомендуется осуществлять во время урока специаль- ные паузы. Самое простое и весьма эффективное  минута «сна». Учитель предлагает сложить руки на парте и положить на них голову лицом вниз. Он просит всех «уснуть» на одну минуту. Ровно через минуту пауза пре- рывается. Существуют и более сложные варианты. Вот упражнения для снятия утомления туловища, для которых дети должны стоять в проходах между партами. 1. Исходное положение  стойка ноги врозь, руки за голову. На счет 1  резко повернуться направо; на счет 2  резко повернуться налево. Во время поворотов плечевой пояс остается неподвижным. Повторить 4–6 раз; темп средний. 2. Исходное положение  стойка ноги врозь, руки за голову. На счет 1–3  круговые движения тазом в одну сторону, на счет 4–6  то же в другую сторону; на счет 7–8  руки опустить вниз и расслабленно по- трясти кистями. Повторить 4–6 раз; темп средний. 3. Исходное положение  стойка ноги врозь. На счет 1–2  наклон туловища вперед, правая рука скользит вдоль ноги вниз, левая, сгибаясь, вдоль тела вверх; на счет 3–4  исходное положение; на счет 3–4  то же в другую сторону. Повторить 6–8 раз; темп средний2. А вот упражнение для глаз, выполняется сидя на рабочих местах: бы- стро поморгать, закрыть г лаза и посидеть спокойно, медленно считая до 5; повторить 4–5 раз. 2 Кучма В.Р., Сердюковская Г.Н., Демин А.К. Руководство по гигиене и охране здоровья школьников. М., 2000. С. 56.
10 Врачи требуют от нас также следить за осанкой детей, за тем, чтобы дети с дефектами зрения сидели на первых партах (а косоглазые – в среднем ряду), проявлять заботу о левшах (и ни в коем случае не «переделывать» их) и т.д. Важное требование медиков отражено в разработанных ими нормах домашни х заданий. В 1959 г. в «Известиях АПН РСФСР» (вып . 101) была опубликована статья Д.Г. Нусбаум «Гигиеническое обоснование режи ма учебных занятий школьников». В этой статье приводятся научно обосно- ванн ые нормативы продолжительности домашних занятий школьников. Говоря кратко, автор делает вывод о том, что школьник должен тратить на домашние уроки примерно половину того времени, которое он прово- дит на уроках в школе. Эта норма увеличивается в старших классах, но прирост неминуемо поглощается тем все возрастающим объемом литера- туры, которую нужно читать вне зависимости от текущих домашних за- даний. Итак, норматив ы определены. Каждый сорокаминутный урок учи - тель может заканчивать домашни м заданием, рассчитанн ым в среднем на 20 минут работы. Еще лучше вообще не задавать ничего на дом, а делать все в классе. И лишь тогда, когда нужна большая тренировка (скажем, при изучении дробей или квадратных уравнений), задавать, сколько необходимо. Вот в среднем и получатся нормативы Нусбаум3. Заметим, что взрослые обычно не получают на работе задания на дом. Почему же дети должны быть в бо- лее тяжелом положении? Облегчения домашней работы детей можно добиться, если полностью и эффективно использоват ь для обучения все время урока. Резюмируя изложенное, мы можем сформулировать требования ме- дицины так: нужно обучать ребенка на уроке, а не перекладывать эту работу на дом; во время урока проводить краткие оздоровительные ме- роприятия; поддерживать здоровьесберегающую обстановку в учебном помещении; прояв лят ь особое вни мание к детям с ослабленн ым зд о- ровьем (зрением и пр.). 1.1.2. Требования педагогики Требования педагогики  общей науки о воспитании  к системе пре- подавания математики состоят в том, чтобы преподавание шло в соответ- ствии с принципами дидактики  той части педагогики, которая занимает- ся непосредственно обучением. 3 Заметим также, что каждую сделанную дома работу надо проверить (к сожалению, обычно проверяют только, кто работу не выполнил!). А если работа велика, то это непросто сделать.
11 В настоящее время не существует вполне определенного перечня прин- ципов дидактики: у разных авторов они разные. Вот как выглядит один из наиболее полных перечней: 1) принцип воспитывающего обучения; 2) принцип научности; 3) принцип сознательности; 4) принцип активности; 5) принцип систематичности, последовательности; 6) принцип наглядности; 7) принцип доступности; 8) принцип прочности знаний; 9) принцип индивидуального подхода к учащимся; 10) принцип связи теории с практикой. Нужно сказать, что эти принципы формулируются применительно к преподаванию вообще. В преподавании математики они приобретают сле- дующее конкретное звучание. 1. Принцип воспитывающего обучения. Планируя урок, учитель должен иметь в виду не только сообщение учащимся знаний по программе, именно поэтому во многи х школах от учителя требуют формулирования трех целей урока: образовательной, раз- вивающей и воспитательной. Под образовательной целью понимается сама передача ученикам мате- матических знаний, зап ланированных на данный урок по программе; под развивающей – сообщение научн ых знаний, не входящих непосредственно в текущий изучаемый материал, но так или иначе связанный с ним. Осу- ществление образовательной и развивающей целей является умственным воспитанием. Так называемая воспитательная цель урока включает в себя необходи- мые элементы физического, нравственного, трудового, эстетического и коммуникативного воспитания. О физическом воспитании мы уже говорили: здесь требования педаго- гики смыкаются с требованиями медицины. Чтобы понят ь, как осуществляется на уроках математики эстетическое воспитание, обратим внимание на то, как вообще воспитывают взрослые у детей понимание прекрасного. Они обращают его внимание на что-то и го- ворят: «Смотри, как это красиво!» Этот нехитрый и эффективный прием должен быть на вооружении и у учителя математики. Нужно обращать внимание детей не только на красивые геометрические фигуры, но и на красивые условия задачи, красивое ее решение, красоту формул. Напри- мер, изучая формулы сокращенного умножения, важно обратить внимание на их си мметрию. Это полезно и для усвоения формул, и для эстетического воспитания детей.
12 Нравственное воспитание  важная цель урока математики. Об этом много писал известный математик и педагог А.Я. Хинчин4. Он подчерки - вал, что математика как таковая несет в себе много полезного для нравст- венного воспитания ребенка: она приучает к определенности и правдиво- сти суждений. Кроме того, сам процесс изучения математики способствует нравственному совершенствованию человека, воспитывая трудолюбие. Преподавание вообще, и преподавание математики в особенности, должно основываться на некоторых незыблемых нравственных устоях. Главный из них  абсолютное отсутствие лжи. Всякое обещание, данное ученикам, учитель обязан выполнить. Это относится и к обещанию научить на уроке тому или иному умению, вызывать или не в ызыват ь к доске, проверить данную работу к такому-то сроку. Только на этой основе можно требовать правдивости от учащихся. Но высокая нравственность не сводится к одному только требованию отсутствия лжи. Она проявляется в уважении к человеку, в частности к уче- никам. Отношение к ним со стороны учителя должно быть обязательно до- брым. «Из всех возможных решений выбирай самое доброе. Не самое обе- щающее, не самое рациональное, не самое прогрессивное и уж, конечно, не самое эффективное – самое доброе!» – писали Аркадий и Борис Стругацкие в романе «Волны гасят ветер». Трудовое воспитание – это привитие навыков трудовой деятельности (в данном случае – нав ыков умственного труда), что достигается правиль- ной организацией работы учащихся на уроках и дома. Особо нужно сказать о коммуникативном воспитании детей. Мы хо- тим, чтобы в жизни дети умели общаться друг с другом. Но на уроке им запрещают общаться между собой. В жизни мы считаем преступлением неоказание помощи нуждающемуся, а на уроке – все наоборот! Следует добиваться, чтобы уроки математики были уроками сотрудничества не только между учителем и учениками, но и между сами ми детьми. Этому способствуют коллективные формы обучения (см. п. 1.5.3). 2. Принцип научности. Особенностью школьного курса математики является его высокий на- учный уровень. Все учебники математики для основной школы написаны или отредактированы учеными высокой квалификации. Это академики А.В. Погорелов и А.Д. Александров, доктора физико-математических наук Н.Я. Виленкин, С.М. Никольский, С.А. Теляковский, М.И. Башмаков, Л.С. Атанасян и другие. Поэтому учитель, работающий в соответствии с этими учебниками, уже тем самым обеспечивает высокий научный уро- вень обучения. Формулировки и доказательства в учебниках этих авторов изложен ы на высоком научном уровне. 4 Хинчин А.Я. Педагогические статьи. М.: КомКнига, 2006.
13 Однако наши учебники иногда грешат в методическом отношении. Да- леко не все их авторы проверили свои труды личным преподаванием в классе, а потому в учебниках встречаются неудобные для работ ы места. Это заставляет учителя в ряде случаев изменять текст, а иногда даже и за- менять его собственным текстом. Наш совет: никогда не делайте этого, не посоветовавшись с авторитетными лицами, например, с учителем более высокой квалификации. Тем более недопустима бытующая практика, когда учитель математики вообще не пользуется учебником как таковым, а использует его только как задачник. При этом теоретический текст учебника игнорируется. Учитель заменяет его свои м собственным текстом, диктуя его для записи в тетрадях и для выучивания по тетрадям. Мы уже не говорим, сколько грамматиче- ских (да и математических!) ошибок делают дети, записывая эти текст ы. Главное то, что учитель не может считать себя более грамотным матема- тиком, чем автор учебника. На прямой вопрос «Кто из Вас регулярно зада- ет на дом теоретический материал по тексту учебника?», отвечают поло- жительно не более 10 % учителей математики. Этим наши коллеги резко отличаются от учителей истории, химии, биологии и других предметов. И напрасно. Принцип научности означает для современного российского учителя математики следующее: следовать текстам учебника и только в редких крайних случаях, заручившись поддержкой авторитетных лиц, позволять себе отступ ления от этих текстов. 3. Принцип сознательности. Под сознательностью в данном случае понимается осознание смысла изучаемого материала. Дело в том, что одна и та же деятельность может производиться с разными целями и пониматься в разном смысле. В извест- ной притче три человека вблизи французского города Шартра занимались одной и той же деятельностью  обтесывали камни. Но на вопрос «Что ты делаешь?» они дали разн ые ответы. Первый сказал: «Я обтесываю камни», второй: «Я зарабат ываю на хлеб своей семье», а третий сказал: «Я строю Шартрский собор». Здесь подчеркнут разный уровень сознательного от- ношения к делу у этих людей, разное понимание смысла их деятельности. Для того чтобы учебная деятельность ученика была сознательной, А.Н. Леонтьев предложил строить ее только как адекватную изучаемому понятию5, т.е., чтобы ученикам была видна цель деятельности и чтобы эта видимая ими цель совпадала с целью обучения на данном этапе. Недоста- точно сказать: мы будем решать такие-то задачи. Желательно, чтобы уча- щиеся понимали, почему решение именно этих задач позволяет прибли- зиться к цели наши х занятий. 5 Леонтьев А.Н. Психологические проблемы сознательности уч ения // Вопросы психологии понимания. Известия АПН РСФСР. 1947. Вып. 7.
14 В этой связи следует остановиться на так называемых игровых методах работы с детьми. Безусловно, игра во время урока математики очень помо- гает установить контакт учителя с детьми, служит разрядкой и т.д. Но при этом нужно понимать, что в соревновании: кто из учеников какого ряда первым добежит до доски и напишет правильный ответ к задаче,  детей интересует скорость бега не меньше, чем правильность ответа. Деятель- ность неадекватна. Так что игры на уроке математики нужно проводить, помня не только об их положительном влиянии на атмосферу в классе, но и о том, что они могут отвлекать от цели урока. 4. Принцип активности. Этот принцип автоматически обеспечивается при организации дея- тельностного обучения (см. п. 1.5.8). 5. Принцип систематичности, последовательности. В преподавании математики этот принцип обеспечивается при соблю- дении принципа научности. 6. Принцип наглядности. О необходимости наглядного обучения впервые заявил великий чеш- ский педагог Ян Амос Коменский (1592–1670), назвавший наг лядность «золотым правилом дидактики». При этом уже в его работах наглядность вовсе не сводилась к использованию именно зрительных образов , к слову «глядеть». Я.А. Коменский считал, что в обучении нужно использовать все пять органов чувств, если это только возможно. В преподавании математи- ки нам вряд ли удастся использовать обоняние и вкус, но вот зрение, слух и даже осязание использоват ь нужно. Например, очень полезно, чтобы де- ти подержали в руках и ощупали стереометрические модели. В чем связь между чувственным и логическим восприятием математи- ческих объектов, из работ Коменского и других педагогов, много писав- ших о наглядности, не явствует. Кажется, речь идет просто о возможно бо- лее разностороннем восприятии объекта изучения. Но тогда наг лядность не необходимое, а всего лишь желательное требование. Правильную оценку наглядности дал наш замечательный математик и педагог В.Г. Болтянский. Он сформулировал определение: «Наглядность  это изоморфизм п люс простота». Именно так названа его статья в журнале «Советская педагогика» (1970, № 5). Глубокий смысл этой формулы не- трудно понять. Процесс обучения состоит в создании в головах учащихся новой мысленной модели. Эта модель имеется в голове учителя. Но для ее осознания ученик должен эту модель воспринимать, действовать с ней. Это требование яв ляется основополагающим при деятельностном подходе к обучению. Однако если ни учитель, ни ученик не являются экстрасенса- ми, то восприятие учеником мысленной, нематериальной модели невоз- можно. Значит, нужно построить модель, воспринимаемую учеником, его органами чувств. Эта модель должна быть изоморфна мысленной модели, имеющейся в голове учителя. Кроме того, эта модель должна быт ь доста-
15 точно простой, чтобы ее мог воспринять ученик. Вот и получается, что обучение не может происходить без создания изоморфной и простой моде- ли воспринимаемого. А само восприятие с помощью органов чувств (а че- го же еще!) названо наглядностью еще в трудах Я.А. Коменского. Так что без наглядности вообще нет никакого обучения математике (кроме переда- чи мыслей экстрасенсами). Иногда говорят, что наг лядность делает обучение более доступным. Слово «более» здесь лишнее. В многочисленных трудах о наглядности приходится читать о так на- зываемой «чрезмерной наглядности». Если бы не понимание наглядности, по В.Г. Болт янскому, чрезмерная наг лядность была бы просто бессмысли- цей. Ведь надо же как можно больше использовать чувства! Какая же тут чрезмерность? Теперь же все становится на свои места. Если понимание достигнуто, то дальнейшее увлечение наглядностью, дальнейшее предъяв- ление все новых материальн ых объектов делается чрезмерным, отв лекаю- щим обстоятельством, мешающим продвигаться вперед. Наглядность нуж- на постольку, поскольку нужно обеспечить усвоение. Существует много наглядных средств обучения. Разные учителя матема- тики используют их в разной мере, даже при преподавании одной и той же темы. Это, конечно, зависит от уровня учащихся, но во многом  и от лично- сти учителя. Есть учителя, которые могут моделировать объект изучения своим голосом, жестом, наконец, рисунком. Они могут при изложении алгеб- раического материала использовать геометрию (в частности, широко поль- зуются графическими методами решения уравнений и неравенств). Мощным средством наг лядности стали компьютер и интерактивная доска. Они позволяют по-разному моделировать математические объекты, использоват ь эффективные способы демонстрации не только элементов, из которых состоит объект изучения, но и связей между ними. То есть тре- буемый В.Г. Болтянским изоморфизм становится более полным. В послед- нее время появился даже термин «компьютерная наглядность». Вопрос наглядного изложения курса математики  один из самых трудных именно из-за индивидуального характера его решения. Учитель должен им заниматься всегда, черпая необходимый опыт у своих коллег и из литературы. 7. Принцип доступности. Если преподавание не является доступным, то оно и не существует. Мы полагаем, что доступность преподавания математики полностью опре- деляется наличием наглядности. Но в таком заявлении так и чудится по- рочный круг: наглядно  значит доступно, а доступно  значит наглядно. Так как проверить, доступно ли наше преподавание? Эта проверка легко осуществима при деятельностном подходе к обуче- нию. Если ребенок в состоянии выполнять действия, адекватные изучае-
16 мому материалу, то преподавание протекает на удовлетворительном уров- не доступности. 8. Принцип прочности знаний. Прочность знаний исключительно важна при изучении математики. Ка- ждая новая тема курса зиждется на знании предыдущего материала и не может быть понята без него. Ученик, плохо знакомый с прежним материа- лом, чувствует себя на уроке математики, как на уроке незнакомого ему языка. Ведь недаром говорил Н.И. Лобачевский, что математика  это язык. Единственным реальным методом достижения прочности знаний явля- ется повторение. Модные ныне слова некоторых дидактов, что повторение не мать, а мачеха учения, пуст ь остаются на совести авторов. В этом во- просе мы должн ы больше доверять серьезным исследованиям психологов 6. Однако только часть материала повторяется все время по логике изуче- ния курса, а другая  нет. Например, понятие модуля числа вводится в 6 классе (без него невозможно сформулировать правила действий с числа- ми разных знаков), а в 7 классе оно не упоминается вообще. Ясно, что не- обходимо специальное повторение этого понятия в течение всего 7 класса. Очень удобной формой такой работы являются повторительные математи- ческие диктанты (см. п. 1.4.3). 9. Принцип индивидуального подхода к учащимся. Этот вопрос мы обсудим в п. 1.1.3. 10. Принцип связи теории с практикой. Изучение математики имеет важное практическое значение. Некот орые ее разделы просто пронизывают всю практическую жизнь. Таковы разделы о нумерации, о действиях с натуральными числами, десятичными дробями, пропорциями и процентами. Таковы формула площади прямоугольника и формула объема прямоугольного параллелепипеда. Но это не все. Другие важн ые формулы, которыми занимается иногда математика (вроде формулы скорости равномерного прямолинейного дви- жения), изучаются в школьном курсе физики. А такие темы, как квадрат- ные уравнения, могут вообще никогда не пригодиться человеку. Ну, ска- жите, сколько раз Вам приходилось решать квадратные уравнения в прак- тической жизни? Все случаи, в которых математика применяется в жизни, четко просле- живаются во всех учебниках математики. Наивно говорить Вам: не забудь- те научить детей применять формулу п лощади прямоугольника к практи- ческим задачам. Этой формуле посвящен ы сотни задач, в том числе прак- тического содержания. Иногда говорят, что связь с жизнью будет более обеспечена, если учи- тель станет больше решать с учащимися текстовых задач. Это совершенно не так. Настоящее исследование жизненных ситуаций, как правило, недос- 6 Ляудис В.Я. Память в процессе развития. М.: МГУ, 1976.
17 тупно школьной математике. В ней очень часты специально придуманные задачи, позволяющие потренироваться в изучаемом математическом мате- риале, но не имеющие ничего общего с реальной действительностью. Та- ковы, например, задачи на движение, в которых автомобиль движется в те- чение нескольких часов по прямой дороге с постоянной скоростью. Уче- ники прекрасно понимают, что в жизни так не бывает. Из сказанного не следует, что не нужно решать текстовые задачи. Это совершенно необходимо. В процессе их решения ученик учится очень важному  математическому моделированию. Он учится анализу немате- матических ситуаций, учится размышлять. Но это не имеет почти никакого отношения к св язи теории с практикой. К курсу математики этот дидактический принцип имеет то отношение, что он предъявляет известные требования к разработчикам учебников и задачников. Но никаких требований к учителю мы из него не почерпнем. 1.1.3.Требования психологии. Проблемы дифференциации Общая психология требует создания на уроке необходимого микро- климата, что смыкается с вышеприведенными требованиями медицины и педагогики. Для создания такого пси хологического комфорта важно ори- ентироваться на психологические свойства учеников. В последнее время некоторые теоретики обращаются к учителям с тре- бованием повернуться лицом к детям. Не будем говорить о нравственной стороне дела: эти теоретики, как правило, знают школу по очень давним детским воспоминаниям, а российский учитель всегда был настоящим гу- манистом и демократом. Выясним, что это такое: повернуться лицом к де- тям. Оказывается, это значит: учитывать их индивидуальные особенности. А это что такое? Чтобы учитывать индивидуальн ые особенности детей, нужно:  знать, каковы эти особенности;  уметь определять, какие дети ими обладают;  знать, как именно следует учитывать эти особенности при работе с детьми. Например, известной особенностью каждого ученика яв ляется цвет его глаз. Но мы не знаем, как учитывать эту особенность при обучении, а по- тому и не говорим о ней. Другой особенностью яв ляется наличие или от- сутствие абсолютного музыкального слуха. Если ребенка учат игре на скрипке, то эта особенность очень важна. При обучении игре на фортепиа- но она уже не имеет такого значения. А при обучении рисованию или ма- тематике эта особенность может вообще не учитываться. Мы должны здесь говорить о таких особенностях ребенка, которые следует учитывать при преподавании математики. Поэтому вряд ли полезно рассматривать здесь интро- или экстравертность, а также тип нервной деятельности (хо-
18 лерик, сангвиник, меланхолик, флегматик). Мы знаем, что такие особенно- сти у детей есть. И даже можем выяснить, кто из детей ими обладает. Но как и х использовать при обучении математике – не знаем. Правда, го- ворят, что эти особенности нужно учитывать при личном общении учителя с ребенком. Например, что нельзя грубо разговаривать с интравертом. Но для нас безусловно, что грубо разговаривать нельзя ни с кем. Особенностями психики занимаются психологи. Но психологи не тре- буют от нас, чтобы мы в преподавании учитывали эти особенности детей. Говорят об этом только некоторые теоретики-педагоги, не являющиеся психологами по своей специальности. Однако среди индивидуальных особенностей детей есть и такие, кото- рые, быть может, должны быть учтены в нашей учительской деятельности. Например, у одних детей лучше развита зрительная память, а у други х – памят ь слуховая. Это относится не ко всем. Многие дети обладают этими видами памяти в равной степени. Но есть и такие, «однобокие». Что с ни- ми делать? Мнения на этот счет прямо противоположны. Одни говорят: «Надо опираться на тот вид памяти, который более развит, предъявляя по возможности информацию в соответствующей форме». Другие считают, что людям с п лохо развитой слуховой памятью надо давать больше аудио- информации, чтобы развивать слуховую память. Кто прав? Неизвестно. Чтобы это понять, нужно ставить серьезный эксперимент, с хорошо по- строенной нуль-гипотезой и репрезентативной выборкой испытуемых. А пока такие экспери менты не постав лены, нужно делать следующее: и тех, и других детей учить одинаково хорошо, не обращая внимания на эти их особенности. Во время хорошего обучения эти особенности сгладятся, недостатки памяти исправятся. В последнее время стало модным говорить и еще об одном свойстве детей: об их способности к учебе. Не так давно на страницах «Литератур- ной газеты» выступил доктор педагогических наук, профессор Валентин Кумарин. В его статье есть такие слова: «К примеру, математика: совладать с ней способны лишь 10–15 % "сча- стливчиков". Остальные, хоть забей до полусмерти, доведи до психушки или, наоборот, осыпь золотом и завали пряниками, ничего не возьмут. При- рода определила их для других наук: слесарных, столярных, поварских, па- рикмахерских, лоцманских, портновских, официантских, водительских, шахтерских, рыбацких и прочих, фундаментальных в прямом смысле слова, ибо без этих наук все "яйцеголовые" за неделю перемрут от холода и голо- да. Мы потому и нищие, что у нас всего 5 % квалифицированных рабочих»7. Обратите внимание: В. Кумарин говорит не о том, что есть дети, не спо- собные к математике, но способные, скажем, к литературе. Он говорит, что 85–90 % всех детей вообще не способны учиться ничему из того, чему учит 7 Литературная газета. 2002. № 5. 6–12 февраля.
19 школа: ведь ни одну из «наук», перечисленных в процитированном отрывке, в школе не изучают. Заметим и то, что среди перечисленных В. Кумариным «наук» нет специальностей современных рабочих-станочников. А они не- мыслимы без знания школьных наук. Так что сетования автора насчет не- хватки квалифицированных рабочих не коррелируют с его предложением перестать учить той же математике. Возникает вопрос: откуда у профессора такие сведения? Если бы он поделился с нами источником, мы бы могли с ним хоть спорить. А так и спорить не о чем. Все цитированное – ложь. И не простая, а очень удобная. Ведь раз дети не способны учить математику, то какой спрос с доктора педагогических (а не официантских) наук? Ему мож- но вообще ничего не делать в этом направлении. Пусть учатся те дети, у ко- го получается и без его педагогических усилий, а остальные – как хотят. И да здравствует обучение без насилия над личностью! Не надо заставлять ребенка учиться ничему такому, чего он не хотел бы постичь сам! Не надо, например, приучать его сразу после рождения брать грудь, если он этого не хочет (а таких малышей немало)! Не надо приучать его пользоваться горш- ком – этому учиться дети обычно не желают! Не надо приучать его к ложке и вилке! И так далее, и так далее. Правда, Валентин Кумарин может возра- зить, что все здесь перечисленное детям доступно, и это, мол, доказано практикой. Но и школьные науки детям доступны, и это тоже доказано практикой. Просто учить пользоваться горшком умеют все родители, а учить школьным наукам умеют не все учителя. А ведь у многих учителей нет неуспевающих учеников. Например, Р.Г. Хазанкин, С.Н. Лысенкова, а еще Л.Н. Толстой, прекрасно обучавший в Ясной Поляне всех крестьянских детей. Их опыт доказывает теорему суще- ствования – возможно обучать всех даже такому предмету, как математика. Если ребенок ов ладевает курсом без пропусков, если проверяется ре- шение всех необходимых заданий и знание всей изучаемой теории, то он тем самым готов к изучению каждой новой теоремы, определения, алго- ритма. Последовательное ов ладение курсом на основе постоянного учеб- ного труда и постоянного контроля и оценивания со стороны учителя – достаточное условие для успешной работы всех. Так что не надо уверять нас, что мы работаем с недоумками. Наши дети вполне способны учиться. А вот если ребенок на уроке бездельничает, оказывается не в состоянии выполнить домашнюю работу, то каждая новая порция информации будет для него серьезным, а то и непреодолимым препятствием. Не умея добиться того, чтобы хорошее преподавание было повсемест - ным, некоторые учен ые поп ытались найти выход в дифференцированном обучении математике8. Они предложили делить детей в классе на сильных, средних и слабых (так называемая уровневая дифференциация) и учить их математике по-разному. При этом было заяв лено, что если ребенок в груп - 8 Дорофеев Г.В. и др. Дифференциация в обучении математике // Математика в школе. 1990. № 4.
20 пе слабого уровня будет хорошо учиться, то он вполне может перейти в группу среднюю и даже в сильную. Но кончилось все это весьма плачевно. Министерство образования РФ уже в начале текущего века утвердило спе- циальные программы для детей, плохо знающих математику9. Напрасно было ожидать, что в этих программах будет показано, как осуществить обещанный переход детей из слабых групп в средние и си льные. Наоборот, это программы ослабленного типа. Учась по ним, ребенок не может пере- браться в другую группу. В 70–80-е гг. XX в. лаборатория математики научно-исследовательского института школьного оборудования и технических средств обучения Акаде- мии педагогических наук СССР провела эксперимент, в котором более тыся- чи детей обучались с 4 по 11 класс. Детей обучали математике в соответствии с принципами, излагаемыми в этой книге. В начале текущего века этот экс- перимент был возобновлен кафедрой образовательных технологий Академии повышения квалификации и профессиональной переподготовки работников образования в 12 школах г. Старый Оскол. За все время этих экспериментов не было ни одной жалобы учителей и учеников на то, что кто-то не способен к математике. Так что если нормально учить, то способны учиться все. Важно и то, что у нас нет инструмента, позволяющего распределять де- тей на группы по этим уровням. Конечно, самого сильного в классе опре- делить можно и на глаз, самого слабого  тоже. Но как распределить по группам остальн ых детей, которые сегодня получают тройки, а завтра чет- верки? Да и как вообще взять на себя смелость принимать столь судьбо- носные решения? Ведь никакого научно обоснованного метода определе- ния способностей детей у нас нет. Как же должно строиться преподавание математики, чтобы ей смогли ус- пешно обучаться все психически здоровые дети? Оказывается, не нужно диф- ференцировать детей по уровню способностей. Нужно просто выполнить сле- дующие требования к процессу обучения: добиться всеобщей занятости детей на уроках учебным трудом, освободить их от громоздких домашних заданий, проверять и оценивать качество изучения всего теоретического материала и решения всех задач. В результате такого обучения дети узнают, в каких на- правлениях они могут осуществлять свое стремление к познанию, имеющееся у каждого человека. Одни почувствуют тягу к математике, другие – к литера- туре, а третьи действительно поймут, что интеллектуальный труд не их дело. Они займутся одной из тех профессий, о которых пишет В. Кумарин. И выбор этот будет соответствовать их действительным возможностям и желаниям. Однако школьный курс наук, обязательный для нормального развития каждо- го человека, они изучат. И если даже он не потребуется в их профессиональ- ной деятельности, то потребуется им как будущим родителям, умеющим отве- чать на вопросы детей, помогать им в учебе. 9 Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев. Математика: 5–11 классы. М.: Дрофа, 2000. С. 301–313.
21 Для нас существенны не различия, а сходство между детьми, позволяю- щее обучать их при единственно возможной в настоящее время системе массового обучения – классно-урочной системе. Существенно, что у всех учеников имеется врожденный инстинкт «что это?», переходящий при пра- вильной организации обучения в любознательность. Существенно и имею- щееся у каждого человека стремление нравиться, переходящее при пра- вильной организации обучения в стремление к самосовершенствованию. Сделаем в ывод. Не следует внедрять в учебно-воспитательный процесс психологический инструментарий, которым мы можем пользоваться лишь непрофессионально. Как использовать в преподавании личностные данные наших учеников, мы не знаем. Будем преподавать математику и сходя из самых общих свойств ученика: его любознательности и стремления к са- мосовершенствованию. Будем добиваться, чтобы время, проводимое уче- ником на уроке, полностью использовалось для целенаправленной учебной деятельности. Важную роль во всем процессе обучения играет отношение учеников к учителю. Можно сформулировать следующие важн ые требования, кото- рых нам надо придерживаться в нашей работе. 1. Никогда не лгать. Не стесняться на вопрос ученика ответить: «Я по- думаю». Не оставлять невыполненными обещания («Я вас научу», «Я тебя спрошу», «Я проверю ваши знания» и т.д.). Нужно, чтобы Ваша собствен- ная система оценивания воспринималась детьми как справедливая. 2. Владеть предметом. Вы должн ы не просто знат ь и понимать текст учебника, но и понимать научные основы курса. А еще нужно решать за- дачи. Полезно выписать журналы «Квант» и «Математика в школе» и са- мому решать помещаемые в них задачи. Нужно время от времени предла- гать эти задачи детям и разбирать их не только на кружках и факультати- вах, но и при всем составе класса, пользуясь каждой лишней минуткой, а также на специально отводимых для этого уроках. Дети очень высоко ценят учителя математики, который умеет решать трудные задачи. 3. Владеть техникой преподавания. Урок должен проходить при посто- янной занятости всех детей. Ничто так не рон яет авторитета учителя, как возможность бездельничать у него на уроке. 4. Быть оптимистичным. 5. Делиться с детьми своими знаниями вне предмета. Если Вы, напри- мер, играете в волейбол, то нужно играт ь в него с Вашими учениками. Если Вы поете под гитару, это обязательно должно стать общим Вашим занятием с детьми. А если Вы любите поэзию, то обязательно читайте сти хи дет ям.
22 Вопросы и задания 1. На какие науки о человеке должна опираться методика преподавания математики? Почему? 2. Перечислите основные требования медицины к деятельности учителя. 3. От чего, в основном, устают ученики на уроке? 4. Какими дополнительными мерами можно уменьшать усталость уче- ников на уроке? 5. Каков ы нормативы продолжительности домашней работы? 6. Как выяснить продолжительность работы детей над Вашими домаш- ними заданиями? 7. Как добиться в ыполнения нормативов продолжительности домашней работы в среднем? 8. Как Вы лично относитесь к изложенным требованиям медицины? 9. Как называется часть педагогики, непосредственно занимающаяся процессом обучения? 10. Какие принципы дидактики изучены Вами в курсе педагогики? 11. Сформулируйте дидактический принцип воспитывающего обучения. 12. Охарактеризуйте образовательн ые и развивающие цели обучения математике. 13. В каких направлениях можно осуществлять воспитание на уроках математики? 14. В чем состоит физическое воспитание на уроках математики? 15. В чем состоит нравственное воспитание на уроках математики? 16. В чем состоит трудовое воспитание на уроках математики? 17. В чем состоит эстетическое воспитание на уроках математики? 18. В чем состоит коммуникативное воспитание на уроках математики? 19. Сформулируйте дидактический принцип научности обучения. 20. Какие практические рекомендации вытекают из требований науч - ности обучения математике в наше время? 21. Сформулируйте дидактический принцип сознательности обучения? 22. В чем сут ь предложения А.Н. Леонтьева о достижении сознатель- ности обучения? 23. Каково Ваше отношение к игров ым методам обучения математике? 24. Сформулируйте дидактический принцип активности в обучении. 25. Сформулируйте дидактический принцип систематичности и после- довательности в обучении. 26. Сформулируйте дидактический принцип наглядности в обучении. 27. Охарактеризуйте взг ляды на наг лядность Я.А. Коменского. 28. Охарактеризуйте взг ляды на наг лядность В.Г. Болтянского. 29. Что такое «чрезмерная наглядность»? 30. Расскажите о субъективности понятия наглядного обучения. 31. Сформулируйте дидактический принцип доступности обучения.
23 32. Сформулируйте дидактический принцип прочности результатов обучения. 33. Сформулируйте дидактический принцип индивидуального подхода к учащимся. 34. Сформулируйте дидактический принцип связи теории с практикой при обучении. 35. В чем практическая польза изучения математики для повседневной жизни? 36. Приведите примеры знаний из школьного курса математики, не ис- пользуемых в практической жизни. 37. В чем подлинный смысл решения текстовых задач в курсе математики? 38. Как осуществляется св язь с практикой в преподавании курса мате- матики? 39. Что такое, на Ваш взгляд, психологический комфорт на уроках ма- тематики? 40. Что означает требование учитывать пси хологические особенности детей? 41. Какие особенности психики отдельных детей надо, по Вашему мне- нию, иметь в виду, преподавая математику в классе? 42. Одни дети лучше воспринимают зрительную информацию, другие (их меньшинство) слуховую. Как, по Вашему мнению, нужно использовать это при преподавании? 43. Как Вы относитесь к процитированному нами тексту статьи В. Ку- марина? 44. Знаете ли Вы учителей, у которых нет учеников, не способных к восприятию математики? 45. В чем, по Вашему мнению, причина того, что многие дети не справляются со школьным курсом математики? 46. Что такое профильная дифференциация обучения? 47. Каково Ваше отношение к профильной дифференциации обучения математике? 48. Что такое уровневая дифференциация обучения? 49. Каково Ваше отношение к уровневой дифференциации обучения математике? 50. Вспомните 11 класс, в котором Вы учились. Попробуйте мысленно разделить его на групп ы по способностям к математике. Сколько групп получилось? Сколько человек в каждой из этих групп? 51. Как Вы относитесь к такому заявлению: «Знать ребенку нужно как можно больше, чтобы осознанно выбират ь свою будущую профессию»? 52. Какие свойства человеческой природы можно использовать для мо- тивации обучения? 53. Сформулируйте свой кодекс учителя, или свою «Клятву Коменско- го», подобную врачебной «Клятве Гиппократа».
24 1.2. Цели обучения Цели делятся на глобальные (стратегические) и локальные (тактические). Глобальные цели имеют характер идеала, к которому мы стремимся, осуществ ляя ту или иную деятельность. Их удобно формулировать глаго- лами несовершенного вида: учить, формироват ь, воспитывать и т.д. Гло- бальные цели очень важны, это венец наши х стремлений, но они не всегда достижимы. И, во всяком случае, невозможно измерить, насколько эти це- ли достигнут ы в данный момент. Поэтому относительно уровня достиже- ния глобальных целей у каждого наблюдателя может быт ь свое суждение, отличающееся от суждений других наблюдателей. Локальн ые цели, напротив, вполне достижимы и характеризуются гла- голами совершенного вида: достичь, добиться, обучить. Локальные цели должны обладать двумя характеристическими свойствами: диагностично- стью и операциональностью. Диагностичность означает, что в процессе деятельности и по ее окончании можно ставить диагнозы – проверять сте- пень и качество достижения цели. Операциональность означает, что ис- полняющий действие знаком с теми операциями, которые приводят к дос- тижению цели. 1.2.1. Глобальные цели обучения и воспитания Глобальной целью обучения и воспитания во все времена было пре- вращение ребенка в полноценного человека современного общества. Для этого нужно сообщать ему необходимую информацию о том, как устроено это общество, каков ы его (общества) познания и суждения об устройстве мира, каковы его ценности. Полноценный человек должен обладать широ- кой компетентностью в разных вопросах, иначе он не сможет ориентиро- ваться в мире. Он должен быть воспитанным, честным и правдивым, дол- жен стремиться импонировать окружающим и сам быть толерантным. Он должен обладать высоким уровнем духовных потребностей. Он должен быть знакомым с разн ыми сферами человеческой деятельности, чтобы найти достойное при ложение собственных возможностей. Воспитанность человека оценивается по-разному в разных обществах, у разных народов. И, по-видимому, невозможно установить единую для всех народов модель воспитанного человека. Каждому важно воспринять не только устройство всего человечества, но и его собственного народа, проникнуться его мен- талитетом, а это обеспечивается воспитанием патриотизма. Применительно к преподаванию математики сказанное означает, что учитель должен в каждый момент свои х занятий с детьми стараться делать их образованными и воспитанными, честными и правдивыми, знающими и любящими свой народ и его людей. Эти цели всегда надо иметь в виду учителю. Более того, о них надо говорить с детьми, но не как о вполне дос-
25 тижимых, а как об идеалах, к которым надо стремиться. Нельзя подменять эти цели разговорами на тему: «будешь учиться, будешь хорошо зарабаты- вать». Ученики только посмеиваются в ответ, хорошо зная многие контр- примеры. Необходимость достижения глобальных целей полезно подтвер- ждать словами о том, что нынешний ученик  это будущий родитель. А знающий, образованный родитель, при прочих равных условиях, более авторитетен в семье. Глобальные цели учебной деятельности при изучении математики вы- глядят так:  добиваться понимания роли математики в развитии цивилизации;  добиваться понимания сути математического метода познания и усо- вершенствования картины мира;  добиваться усвоения курса математики как важного инструмента для продолжения образования;  добиваться усвоения курса математики как важного средства совер- шенствования личности. Остановимся на этих четырех вопросах несколько подробнее. 1. Создание математической науки является одним из блестящих дос- тижений цивилизации. Рассказывая о тех или иных элементах курса школьной математики, необходимо подчеркивать эту мысль. Нужно рас- сказать, что первым известным нам ученым древности был математик Фа- лес, а вторым таким ученым был математик Пифагор. Нужно подчеркнуть, что книга Евклида «Начала» по своему тиражу вплоть до нового времени уступала только Библии. Нужно сообщить, что петровский вариант устава Российской академии наук сочинялся при деятельном участии математика Г.В. Лейбница. Перв ым учебником, написанным русским автором для рус- ских учеников, была книга Л. Магницкого «Арифметика» (1703). Словом, нужно посвящать детей в историю математики не только затем, чтобы они знали «что, где и когда», но чтобы они представ ляли себе нашу науку как важную ветвь человеческой цивилизации. 2. Изучая школьный курс математики, дети знакомятся с математиче- ским моделированием как способом познания и изменения картины мира. Существуют разные методы познания мира. Один из них  исторический. Для того чтобы разобраться в том или ином явлении, мы часто приступаем к изучению его истории, логики его развития. Другой метод  наблюдение. К нему прибегают естественные науки. Школьники на уроках биологии, астрономии, химии, физики (а иногда и на уроках математики) знакомятся с этим методом познания. Совершенно особым методом познания яв ляется метод математического моделирования. Школьники знакомятся с ним, на- пример, при решении текстовых задач с помощью составления уравнений. Этот метод присутствовал в школьных программах всегда, но только в по- следнее время школьникам стали сообщать истинный его смысл. Эта мысль нашла явное воплощение в новых школьных учебниках по алгебре,
26 написанных А.Г. Мордковичем. Смысл математического метода познания приоткрывается школьникам при решении текстовых задач алгебраиче- ским методом? Вот пример. Задача. В банке сидят 15 жуков и пауков, и всего у них 100 ног. Сколь- ко жуков и сколько пауков в банке? Решение. Обозначим через х число жуков, а через у число пауков и, помня, что жук имеет 6 ног, а паук 8, составим систему уравнений:      100 8 6 15 у х у х . Эту систему можно решать по-разному. Решим ее, например, методом сложения. Для этого обе части первого уравнения умножи м на 3, а обе части второго уравнения разделим на 2. Получим:        50 4 3 45 3 3 у х у х . А теперь сложим эти уравнения и получим, что у = 5, т.е. у = 5. Тогда из первого уравнения найдем, что х = 10. Итак, число жуков равно 10, число пауков равно 5. Задача решена. И вы, может быть, недоумеваете, зачем она приведена здесь. Тем более что ее можно решить и без уравнений. Все так, но интерес- но другое: что это мы такое делали, когда писали, что 3х  4у = –50? А когда складывали 45 и –50? Это было число жуков и пауков или число ног? Оказывается, ни то, ни другое, ни третье. Это были –3х и –4у, 45 и –50. Тут перед нами простой пример математического моделирования. Была ре- альная ситуация. И был реальный вопрос: сколько жуков и сколько пауков в банке? Задачу перевели на математический язык: обозначили одно неиз- вестное через х, а другое неизвестное через у, составили математическую модель данной ситуации (систему уравнений) и забыли и про жуков, и про пауков, и про их ноги, а вспомнили, как работают математики с такой моде- лью. И решили систему: нашли, чему равен х и чему равен у. А потом вспомнили, что х  это число жуков, а у  это число пауков. И совершили обратный перевод. И получили ответ на вопрос задачи. У нас как бы действуют два человека. Один интересуется вопросом о числе пауков в банке. Он обращается к другому  к математику  и описы- вает ситуацию. Математик составляет математическую модель данной си- туации. Он обращаются с нею, как умеет (совершенно не думая о том, что складывает ноги с жуками и пауками), получает ответ и сообщает его пер- вому. Тут чистый перевод с одного языка на другой и обратно. Конечно, математическое моделирование присутствует не только при решении текстовых задач с помощью уравнений. Мы осуществляем его и то- гда, когда решаем алгебраические задачи геометрическими методами, и когда решаем геометрические задачи алгебраическими методами, и во многих дру- гих ситуациях, возникающих в школьном курсе. Знакомство с этим методом познания и развития картины мира очень важно для современного человека.
27 3. Успешное изучение курса математики является основой для продол- жения образования – в самом широком смысле слова. Без него нельзя про- должить образование по тому же предмету на следующем же уроке, так как каждый пробел в изучении математики становится преградой к пре- одолению следующей ступени. Пробелы в изучении математики мешают изучению других школьных дисциплин. И не только тем, что не дают воз- можности на уроках физики понять устройство графика S = vt. Отсутствие тренировки в рассуждениях при изучении математики мешает понимать ход мысли писателя при изучении литературы, логику развития событий при изучении истории, логику влияния условий рельефа на климат при изучении географии и т.д. Сказанное особенно относится к продолжению образования после школы. Не случайно вступительные экзамены по математике проводят те- перь и многие гуманитарн ые вузы. Они стремятся тем самым выяснить степень развитости интеллекта у абитуриентов. 4. Изучение школьной математики приводит к существенному совер- шенствованию личности. Это особенно относится к современной модифи- кации курса, когда большое значение приобретают задачи, в которых глав- ное не применение тех или иных формул, а самые общие гуманитарные умения. Рассмотрим, например, такую задачу. Задача. Докажите, что если выпуклый четырехугольник делится свои - ми диагоналями на треугольники одинакового пери метра, то этот четырех- угольник ромб. При ее решении приходится пользоваться только определением пери- метра и использовать метод от противного, т.е. уметь рассуждать. Никаким математическим аппаратом пользоваться не при ходится. Особое значение в этой св язи приобретают задачи с модулем и задачи с параметрами, все более часто применяемые на вступительных экзаменах. В этих задачах главное – анализ ситуаций, умение ориентироваться в каждой из них. Ну что трудного в задаче построить график у = х2+х+2х1? Только одно: выяснить, на каких участках эта функция – линейная. Здесь опять требуется знание не каких-то сложных формул, а всего лишь форму- лы линейной функции, а еще – понимание ситуации. Так что трудности здесь совсем не математические, а чисто логические. Препятствием в ре- шении этой задачи может явиться общий уровень умственного развития. 1.2.2. Локальные цели обучения Вышеописанные цели воспитания и обучения являются, как уже было сказано, целями глобальными: ни по одной из них нельзя установить объ- ективную шкалу достижений и объективно диагностировать состояние ра- боты. Иное дело обучение конкретному курсу математики: тут существует
28 определенная программа, существуют способы диагностировать состояние изучения каждого пункта программы, имеются способы коррекции недос- татков и приведения знаний ученика в нужное состояние; т.е. цели обуче- ния детей конкретному курсу математики и диагностичны, и операцио- нальн ы. Поэтому это локальн ые цели. Сказанное  это не игра в слова. Недостижение глобальной цели обу- чения и воспитания нельзя считать виной педагогического коллектива школы. Недостижение локальной цели обучения математике яв ляется ви- ной коллектива школы10 по следующим причинам: 1) российская программа по математике вполне доступна для всех ме- дицински здоровых детей (только о таких детях мы говорим в дальнейшем; для детей с отклонениями от нормы существуют особые, доступные им, программы по математике, но преподавание поручается людям, имеющим специальное образование); 2) российская психологическая наука раскрыла механизмы усвоения этой программы каждым ребенком; 3) российская педагогическая наука разработала способы (формы, ме- тоды и средства) обучения всех детей этой программе в соответствии с ре- комендациями психологов; 4) каждый учитель в состоянии применить вышеуказанные результат ы в практике своей работы и добиться необходимого уровня усвоения всего курса математики. Без достижения именно этой локальной цели – полноценного обуче- ния  недостижимы и глобальные цели обучения и воспитани я. Всякие разговоры о том, что основное дело школы – воспитание детей, являются попыт кой уйти от дела, уйти от ответственности: ведь не может быть от - ветственности за недостижение глобальной цели. Чтобы еще более прояснить эту мысль, давайте посмотрим на работу театра. Разве не проводит он колоссальной воспитательной работ ы в наро- де? Конечно, проводит, но не с помощью специальных мероприятий, а ста- вя спектакли (хотя возможны встречи актеров со зрителями и другие до- полнительные мероприятия). Хороший спектакль и является основным воспитательным мероприятием театра, а плохой – актом воспитания со знаком минус. Вот и учитель математики, дающий знания, тем самым воспитывает де- тей. А срывающий эту работу  воспитывает со знаком минус. Существу- ют школы, не имеющие никаких планов воспитательной работы, но ре- шившие все основные проблемы обучения. В этих школах воспитательной работой занимаются все учителя. Во-перв ых, тем, как они учат. А кроме того, обстановка работы в ысокого уровня порождает у учителей желание 10 Именно так: коллектива школы, а не данного учителя, потому что учитель, которому пришлось вести в 11 классе занятия с учениками, не усвоившими программу первых десяти лет, не может считаться винов- ным в отсутствии необходимых результатов.
29 делиться со своими учениками тем, чем они сами обладают. Как писали журналисты о школе № 1199 г. Москв ы, хобби учителей становятся здесь факультативами для учеников. Учитель, знакомый с архитектурой города, водит детей на экскурсии. Учитель, любящий литературу (математик), прочитал им в 8 вечеров роман «Евгений Онегин», директор школы ведет фотокружок и велокружок, а завуч  киноклуб. Все это получается в ре- зультате достижения локальной цели школы – в ысокого уровня обучения. Вопросы и задания 1. Что такое глобальные (стратегические) цели? 2. Что такое локальные (тактические) цели? 3. Что такое диагностичность локальной цели? 4. Что такое операциональность локальной цели? 5. В чем состоит глобальная цель обучения и воспитания? 6. Какими путями можно в преподавании математики добиваться гло- бальной цели обучения и воспитания? 7. Сформулируйте глобальн ые цели обучения математике. 8. Какими путями можно добиваться понимания вклада математиков в развитие цивилизации? 9. Какими путями можно добиваться понимания математического ме- тода познания и усовершенствования картины мира? 10. Приведите пример математического моделирования. 11. Какова роль школьной математики для продолжения образования? 12. Какова роль школьной математики в совершенствовании личности? 13. Что, по Вашему мнению, должно в ходить в локальные цели работ ы школы? 1.3. Содержание обучения Российская школьная программа по математике создавалась в течение трехсот лет многими поколениями учителей. Ее ядро, если не считать не- многих, хотя и очень важных включений последнего полувека (введения элементов векторного исчисления, координатного метода, а в старших классах  начал математического анализа), вполне традиционно и рассчи- тано на далекую перспективу11. В наше время многие говорят об устарелости этой программы. Но они не предлагают чего-либо цельного, говорят, что не знают чему надо учить, ибо не знают, что понадобится в ыпускнику через 11 лет. Наш ответ на эти сомнения очевиден: хотя почти ничего конкретного из нынешнего курса математики не понадобится ни через 11, ни через 5 лет, но учить надо н ы- 11 Математика: 5–11 классы: Программы, тематическое планирование // Программы для общеобразова- тельных школ, гимназий, лицеев / Изд. 4-е, стереотип. М.: Дрофа, 2004.
30 нешнему курсу математики как имеющему громадное образов ательное и воспитательное значение. Российская программа по математике  это программа высокого теоре- тического уровня. Этим она от личается, например, от американской обще- образовательной школы. В американских учебниках можно увидеть фор- мулу объема цилиндра в такой постановке: «Объем цилиндра можно найти по формуле V = r2h, где r – радиус его основания, h – его в ысота. Найдите по этой формуле…». И далее приво- дятся варианты отыскания одной из величин по известным значениям двух других. А вот откуда взялась эта формула – не сообщается. Налицо обуче- ние не логике математической науки, а практике работ ы с формулами, и только. Эта практика доводится до весьма высокого уровня, в том числе с искусным в ладением калькуляторами. Однако такое обучение не развива- ет, а угнетает мышление. В российской программе, разумеется, присутст- вуют упражнения в применении формулы объема цилиндра. Однако преж- де всего эта формула выводится, обосн овывается, ее сообщают не только как некий практический способ найти объем цилиндра, а как доказывае- мую теорему. Сложность математики как школьного предмета усугублялась в преж- ние времена тем, что каждое определение (а также теорема и алг оритм) рассматривалось как некая отдельность. Методическая литература была переполнена соображениями о том, как преподавать каждое из них, как учитывать его особенности. Перелом наступил после проникновения в на- шу методику пси хологической теории П.Я. Гальперина. Он и его последо- ватели разработали методическую систему, при которой все определения преподаются единообразно и то же относится ко всем теоремам и ко всем алгоритмам. Поэтому при анализе школьной программы по математике мы будем делать акценты на том, какие аксиомы, определения, алгоритмы и теоремы в ней изучаются. 1.3.1. Математика 1–6 В течение первых лет обучения, в начальной школе, детей учат началам прикладной математики. Их приучают к сравнению количеств, учат при- менениям простейших правил к жизненным явлениям, понятным им. Здесь еще нет чисел, совершенно оторванных от реальной жизни. 2 + 1 = 3 – это для ребенка не отвлеченность, не сложение числа 2 с числом 1. Это обо- значение того факта, что какие бы две вещи ни взять, если к ним прибавить еще одну вещь, то получится три вещи. (Некоторые учителя так и учат: не тому, сколько будет семью восемь, а тому, сколько орехов в семи карма- нах, если в каждом по восемь орехов.) Дети еще не знают, что 2 можно понимать как нечто отв леченное от каки х бы то ни было вещей, как чисто математическое понятие, имеющее
31 свои особые свойства. Но они уже привыкают так по-разному работать с ним, что подготавливаются к новому взг ляду на числа. В начальной школе ребенок овладевает следующи м материалом:  алгоритмы записи чисел в десятичной системе счисления и знаком- ство с римской системой счисления;  алгоритмы выполнения четырех арифметических действий над лю- быми натуральными числами и нулем;  алгоритмы вычисления значения числового выражения, содержаще- го четыре арифметически х действия, порядок действий, использование скобок;  законы сложения и умножения: переместительный (коммутативный), сочетательн ый (ассоциативный), распределительн ый (дистрибутивный);  алгоритмы нахождения доли числа, а также всего числа по его доле,  теоремы (без доказательств) об изменениях, происходящи х с резуль- татом действия при тех или иных изменениях его компонентов;  алгоритмы решения простейших уравнений вида а * х = b, где а и b  натуральн ые числа или нуль, *  один из четырех знаков арифметических действий, и при этом уравнение имеет единственный корень из множества целых неотрицательных чисел;  алгоритмы решения простейших текстовых задач как арифметиче- ского, так и с помощью состав ления простейших уравнений. Эти умения зиждутся на навыках устного счета в пределах сотни, письменного счета с многозначными числами, а также на в ладении дихо- томией – основой любой классификации. Все эти знания, умения и навыки ребенок получает в результате огромного количества проделанных им уп - ражнений. Разумеется, все эти теоремы и алгоритмы в начальной школе называются правилами. Весь громадный опыт изучения математики у нас и за рубежом под- тверждает доступность этой программы для любого ребенка. Не случайно в начальной школе так много пятерок. Учителя начальной школы умеют обу- чить этой программе. У них есть большой запас знаний о том, как это де- лать. Все учебники по математике для начальной школы учат именно этому, причем более или менее одинаково, как бы ни отличались друг от друга их авторы по своим теоретическим взглядам и какой бы дополнительный мате- риал к вышеуказанному основному они ни включали в свои книги. В 5–6 классах происходит переход к чистой математике: дети овладе- вают работой с абстрактными числами, вводятся нов ые виды чисел (дроби и отрицательные числа). Появ ляются первые строгие доказательства, в ча- стности, доказывается основное свойство пропорции. Вводятся строгие определения, в частности, определение простого и составного числа, про- тивоположных чисел, модуля.
32 Арифметическая часть программы 5–6 классов сводится к построению множества рациональных чисел. Она содержит следующий материал:  определение натурального числа;  определения простого и составного числа, взаимно простых чисел;  алгоритмы нахождения наибольшего общего делителя и наименьше- го общего делителя данных натуральн ых чисел;  признаки делимости на 2, 3, 5, 9 и 10;  определения обыкновенной дроби, числителя, знаменателя, правиль- ной, неправильной дроби, смешанного числа, его целой и дробной части;  теорема об основном свойстве обыкновенной дроби;  определения десятичной дроби, ее целой и дробной части;  определения противоположных чисел и модуля;  алгоритмы выполнения четырех арифметических действий и дейст- вий возведения в квадрат и в куб с десятичными и обыкновенными дробя- ми, а также с положительными и отрицательными числами, то есть с лю- быми рациональными числами;  алгоритмы нахождения дроби и процента числа, а также всего числа по его дроби или проценту, а также отношения двух чисел, в том числе в процентах. При этом также изучаются:  алгоритмы действий с числовой прямой и прямоугольной системой координат;  алгоритмы решения целых уравнений, сводящихся к линейным. Геометрическая часть программы 5–6 классов еще не нашла своего за- конченного оформления. В действующих учебниках представлены вкрап- ления не связанных между собой элементов геометрии. 1.3.2. Алгебра 7–9 Начиняя с 7 класса, школьная математика делится на два больших раз- дела: алгебра и геометрия. Курс геометрии традиционно рассматривается как курс теоретический. В нем большую роль играют определения и тео- ремы. Знание определений и теорем в геометрии считается не менее важ- ным, чем умение решать задачи. Что же касается алгебры, то здесь все не так: школьный экзамен по алгебре сдается только в письменной форме, проверяется только умение решать задачи, а не, например, доказывать формулу квадрата суммы. Конечно, и в алгебре встречаются задачи на до- казательство, но и они рассматриваются именно как задачи. Отрицатель- ное последствие такого преподавания состоит в том, что вместо обучения умению рассуждать («ум в порядок приводить») происходит обучение ре- шению тех или иных задач, фактическое натаскивание.
33 Необходимо и курс алгебры рассматривать как курс теоретический – систему определений, теорем и алгоритмов. Рассмотрим, какие именно оп- ределения, теоремы и алгоритмы изучаются в курсе алгебры 7–9 классов. Группировать и х мы будем по направлениям, выделенным в этом курсе академиком П.С. Александров ым: 1) числа и вычисления; 2) преобразование выражений; 3) уравнения и неравенства; 4) функции и их графики. 1. Числа и вычисления. Здесь перечисляются девять аксиом поля, о которых говорится, что это основные свойства сложения и умножения, из которых выводятся все формулы школьной алгебры. Даются определения вычитания и деления как действий, обратных сложению и умножению. Вводятся следующие оп- ределения и теоремы:  определение рационального числа;  определение действительного числа (как координаты точки числовой прямой);  определение иррационального числа;  определение отношений «больше» и «меньше»;  теоремы о свойствах числовых неравенств;  определение стандартного вида числа. 2. Преобразов ание выражения. Здесь формализуется понятие числового выражения – слóва математи- ческого языка. Изучаются целые выражения, рациональные выражения, иррациональные в ыражения. Преподается следующая система определе- ний, теорем и алгоритмов:  определения выражения, числового выражения, смысла (значения) выражения;  определение степени, ее основания и показателя;  алгоритмы в ычисления значения степени с целым показателем;  определение корня натуральной степени;  алгоритмы в ычисления значения корня;  алгоритм вычисления значения степени с дробн ым показателем;  теоремы о свойствах степени;  теоремы о свойствах корня;  определения одночлена, его стандартного вида, степени одночлена, его коэффициента, подобных одночленов;  определения многочлена, его стандартного вида, степени многочлена;  теоремы о сумме и произведении многочленов;  теоремы о формулах сокращенного умножения;  определение тождества и алгоритмы доказательства тождества;
34  определения тригонометрических в ыражений:  теоремы о свойствах тригонометрических выражений: формулы приведения, формулы суммы, формулы двойного аргумента, преобразова- ние сумм синусов и косинусов в произведения. 3. Уравнения и неравенства. Здесь рассматриваются в общем виде линейные и квадратные уравне- ния с одним неизвестным, системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными, линейные и квадратные неравенства, а также более слож- ные уравнения и системы, сводящиеся одношаговой подстановкой к пере- численным уравнениям и системам. Изучаются следующие определения, теоремы и алгоритмы:  определение линейного уравнения с одним неизвестным и алгоритм его решения;  определения системы и совокупности уравнений и неравенств;  алгоритм графического решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными;  теорема о разрешимости системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными;  алгоритмы аналитического решения системы двух линейных уравне- ний с двумя неизвестными (подстановкой и сложением);  определения квадратного уравнения с одним неизвестным и его видов;  алгоритмы решения квадратных уравнений всех видов;  теоремы Виета (прямая и обратная);  теорема о разложении квадратного трехчлена на множители;  алгоритм решения дробно-рационального уравнения, сводящегося к квадратному или линейному;  алгоритм решения линейного неравенства с одним неизвестным;  алгоритм решения квадратного неравенства с одним неизвестным. 4. Функции и графики. Здесь изучаются линейная функция, прямая пропорциональность, об- ратная пропорциональность, фун кция х у , функция 3 х у , а также чи- словые последовательности (функции натурального аргумента): арифме- тическая и геометрическая прогрессии. Рассматриваются следующие опре- деления, теоремы и алгоритмы:  определение линейной функции;  определение прямой пропорциональности;  определение обратной пропорциональности;  теорема о графике линейной функции (без доказательства);  теорема о графике прямой пропорциональности (без доказательства);  теорема о параллельности графиков линейных функций с одинако- вым коэффициентом при аргументе;
35  определение квадратичной функции;  алгоритм построения графика квадратичной функции;  определение числовой последовательности;  определения арифметической и геометрической прогрессий;  теоремы о формулах n-х ч ленов арифметической и геометрической прогрессий;  теоремы о характеристических свойствах арифметической и геомет- рической прогрессий;  теоремы о суммах первых n-х членов арифметической и геометриче- ской прогрессий;  определение бесконечно убывающей геометрической прогрессии;  определение суммы бесконечно убывающей геометрической про- грессии;  теорема о формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии. В последнее время предпринимаются шаги по внедрению в курс мате- матики начал теории вероятностей и математической статистики. Вот со- держание этих предложений: Элементы статистики и теории вероятностей Статистические данные. Представление данных в виде таблиц, диа- грамм, графиков. Средние результаты измерений. Понятие о статисти- ческом выводе на основе выборки. Понятие и примеры случайных собы- тий. Вероятность. Частота события, вероятность. Равновозможные события и подсчет их вероятности. Представление о геометрической ве- роятности. Это новшество выглядит особенно странно в наши дни, когда многие теоретики (кстати, те самые, которые считают нужным это нововведение) утверждают, что они не знают, чему нужно учить, так как неизвестно, что понадобится человеку через несколько лет, когда он окончит школу. Поскольку на указанное нововведение никаких дополнительных часов не дается, авторы предлагают отказаться от изучения в 9 классе начал три- гонометрии. Столь радикальное изменение программы, положительно за- рекомендовав шей себя на прот яжении многих лет, на наш взгляд, невоз- можно без серьезного научного эксперимента. Поскольку такой экспери- мент никто не проводит, мы считаем данное предложение научно не обос- нованным12. 12 Заметим, что в задания ЕГЭ сведения по статистике и теории вероятностей не включаются.
36 1.3.3. Геометрия 7–9 В 7–9 классах изучается курс планиметрии: плоские геометрические фигуры; геометрические преобразования плоскости; измерение длин пло- ских линий, площадей плоских фигур и величины плоских углов; векторы на плоскости и начала тригонометрии (тригонометрия углов от 0о до 180о). Приведем здесь заголовки больших тем этого курса: 1. Простейшие фигуры и основные соотношения между ними. 2. Треугольники; признаки равенства треугольников. 3. Параллельность на плоскости. 4. Подобие на плоскости. 5. Теорема Пифагора; тригонометрия острого угла. 6. Четырехугольники и их виды. 7. Векторы. 8. Тригонометрия угла от 0о до 180о; решение треугольников. 9. Окружность, углы между радиусами и хордами. 10. Правильные многоугольники. 11. Площади геометрических фигур. Важным достоинством российского школьного курса геометрии (по лю- бому действующему учебнику) является высокий уровень строгости. Важным недостатком этого курса является отрыв планиметрии от сте- реометрии. О том, что такой отрыв крайне нежелателен, говори л еще в XIX в. немецкий геометр Ф. Клейн. Уже в ХХ в. в нашей стране было экспериментально установ лено, что в результате такого отрыва дети в на- чале 10 класса обнаруживают худшее пространственное воображение, чем в 5 классе. Правда, в некоторых современных учебниках планиметрии при рас- смотрении, например, площади треугольников вдруг дается задача подсчи- тать поверхность треугольной пирамиды. Но при этом пирамида вводится без соответствующего теоретического обоснования, и создается впечатле- ние, что геометрия строга только в своей планиметрической части, а это тоже неправильно. О возможном выходе из этого положения говорится в моей книге «Геометрия без доказательств» (М.: Просвещение, 1995). Вопросы и задания 1. В чем состоит особенность российского курса школьной математики? 2. Какие упрощения внесены в методику преподавания математики ра- ботами П.Я. Гальперина? 3. В чем особенность понимания чисел детьми в начальной школе? 4. Охарактеризуйте объем математически х знаний, получаемых детьми в начальной школе. 5. Охарактеризуйте объем математически х знаний, получаемых детьми в 5–6 классах.
37 6. Назовите несколько утверждений в школьных курсах алгебры и гео- метрии, которые называются там теоремами. 7. Какие основные линии выделяет академик П.С. Александров в школь- ном курсе алгебры? 8. Какие числовые множества рассматриваются в курсе алгебры 7–9 классов? 9. Какие виды выражений рассматриваются в курсе алгебры 7–9 классов? 10. Какие виды уравнений неравенств и их систем рассматриваются в курсе алгебры 7–9 классов? 11. Какие виды функций рассматриваются в курсе алгебры 7–9 классов? 12. На какие две большие части делится преподавание геометрии в 7–11 классах? 13. Из каких основных тем состоит школьный курс планиметрии? 14. Каков ы, на Ваш взгляд, достоинства и недостатки школьного курса геометрии? 1.4. Методы обучения Методы обучения математике и формы обучения характеризуют его с точки зрения самих приемов обучения. Это разные ответы на вопрос «Как учить?», ответы, рассматривающие две различные стороны этого вопроса. Формы обучения характеризуют ту сторону процесса обучения, которая связана с организацией работ ы учебного коллектива, отвечая на вопросы о том, как делить (и делить ли) коллектив на отдельные группы, как уст а- навливать (и устанавливать ли) взаимодействие между ч ленами учебного коллектива, как вмешиваться учителю (и вмешиваться ли) в работу кол- лектива в целом, отдельных групп и отдельн ых учеников. Методами обу- чения мы называем такую характеристику этого процесса, которая не зави- сит от числа учащихся и их взаимодействий, а описывает учебную дея- тельность каждого ученика. Ведь в какой бы форме мы ни проводили изу- чение, например, теоремы Пифагора, мы должны добиться, чтобы каждый ученик выучи л текст этой теоремы и научился ее применять. А для этого он должен познакомиться с ее текстом и с типами задач, которые можно решать с ее помощью. Он должен ознакомиться со способами решения этих задач и научиться применять эти способы. Вся эта деятельность должна быть осуществлена каждым учеником, хотя разные ученики могут проделать ее по-разному: одни быстро, другие медленно. Состав этих дей- ствий (состав заданий, которые должен выполнить каждый ученик) не за- висит от того, сколько людей в его классе и каковы организационные фор- мы учебной работы. Эти формы, конечно, в лияют на темпы и успешность выполнения указанных действий, но не должны в лиять на их состав. Итак, термин «методы обучения» мы отождествляем с составом дейст - вий, которых нужно добиться от каждого ученика.
38 То, что успех обучения определяется именно ученической деятельностью (а не, скажем, текстами, произносимыми учителем в классе), отмечал еще в середине XIX в. К.Д. Ушинский. Он утверждал, что главное в обучении не то, что говорит учитель, а то, какие задания выполняют ученики. До сих пор эта мысль не является очевидной для многих наших коллег. Упрек: «Сколько можно повторять одно и то же?»  очень часто слышат от нас дети. В первой половине XX в. трудами психологов С.Л. Рубинштейна, Л.С. Выготского, А.Н. Леонтьева и П.Я. Гальперина был научно разрабо- тан деятельностный подход к обучению. В соответствии с этой психологи- ческой теорией современные методы обучения математике должн ы:  обеспечить учебную деятельность каждого ученика в процессе обу- чения (С.Л. Рубинштейн, Л.С. Выготский);  обеспечить адекватность деятельности учащи хся усваиваемым зна- ниям (А.Н. Леонтьев);  организовать эту деятельность в соответствии с открытыми пси холо- гическими механизмами усвоения (П.Я. Гальперин). Деятельностный подход к усвоению и означает признание того факта, что любое знание невозможно усвоить без собственных действий ученика. При этом важнейшей состав ляющей его действий являются действия умст- венные: физическим действиям всегда сопутствуют умственные, обратное же не всегда имеет место. Учебная деятельность адекватна усваиваемому знанию, если она тако- ва, какую осуществляет с этим знанием профессионал. Весьма плодотворной является мысль видного дидакта С.Г. Шапова- ленко, что методами изучения той или иной науки должны быть методы самой этой науки. Это позволяет объективно решать вопрос о необходимо- сти применения тех или иных методов в преподавании того или иного предмета, об адекватности тех или иных действий изучаемому материалу. Так, эксперимент и наблюдение за живой природой являются методами физики, химии, биологии. Они же являются методами изучения физики, химии, биологии в школе. Обучение с помощью методов самой науки по- зволяет ученику проникать в лабораторию научного открытия, играет важ- ную профориентационную роль. Математические науки пользуются весьма специфическими метод ами изучения и совершенствования картины мира. Это построение абстракт- ных математических теорий и решение разнообразных практически х задач путем математического моделирования реальных ситуаций. В конечном счете, эти методы сводятся к установлению необходимых и достаточных признаков тех или иных уже известных понятий (теоремы), введению но- вых понятий (определения), построению новых теорий (аксиоматики) и методов (алгоритмы). Разумеется, в школе находят место лишь доступные детям варианты использования этих методов науки. Они-то и яв ляются школьными методами ее изучения  методами изучения школьного курса
39 математики. Таковы простейшие индуктивные наблюдения, построенные на рассмотрении простейших свойств чисел и геометрических фигур; де- дуктивные умозаключения в простейших их вариантах; элементы матема- тического моделирования. Усвоение математики происходит в школе через отработку навыков измерений, вычислений, алгебраических преобразова- ний, навыков решения уравнений, неравенств, их систем и совокупностей, навыков исследования фун кций и построения графиков, навыков решения практически х задач. Умственная деятельность при этом характеризуется высоким уровнем абстракции  многоступенчатой абстракцией идеализа- ции. Весьма существенно, что все указанные действия находят свое место при изучении российской школьной программы по математике. Конкретизируя ответ на вопрос, какими должны быть методы препода- вания математики, мы отвечаем на него так: это должна быть система за- даний, обеспечивающих формирование умственных действий, адекватных знаниям, содержащи мся в современном курсе математики российской школы. 1.4.1. Теория поэтапного формирования умственных действий Вот мы и переходим к г лавному – к тому, как происходит сам процесс присвоения знаний учащимися, каким образом эти знания, сообщаемые учителем, встраиваются в их мышление. Ответ на этот вопрос дал в сере- дине прошлого века наш выдающийся психолог П.Я. Гальперин. Согласно П.Я. Гальперину, каждое новое умственное действие человек изучает поэтапно. На первом этапе он ориентируется в новом для него дей- ствии, узнает, из каких операций оно состоит. На втором этапе он пробует совершить эти операции, проверяя правильность каждого шага, как говорит Гальперин, совершает новое действие в материальном (или материализо- ванном) виде. На последнем этапе человек приучается выполнять новое действие быстро, автоматизировано, проверяя только конечный результат (это называется действием во внутреннем плане, или интериоризацией). В соответствии с этим П.Я. Гальперин предложи л осуществлять обуче- ние умственным действиям по следующим этапам: 1) ориентировка учащи хся в новом действии; 2) материальное (материализованное) выполнение действия; 3) действие во внутреннем плане. Очень важно для нас, педагогов, и следующее требование П.Я. Гальпе- рина: если какой-либо из указанных этапов оказывается для ученика не- осуществимым, необходимо вернуть его на предыдущий этап. Нужно сказать, что переход от второго этапа к третьему  к действию во внутреннем плане  весьма непрост, и П.Я. Гальперин указал дополнительные этапы его осуществления: внешняя речь и внутренняя речь (речь про себя).
40 Теория Гальперина в наши дни общеизвестна. Если Вы почему-либо не зна- комы с ней, прочитайте прекрасную книгу П.Я. Гальперина и С.В. Кабыльниц- кой «Экспериментальное формирование внимания» (М.: МГУ, 1974 и др.). Очень удобно и даже очень привычно используется теория П.Я. Галь- перина при изучении алгоритмов. 1. Мы начинаем с того, что сообщаем, из каких действий состоит дан- ный алгоритм. Например, объясняем, что для построения графика квадра- тичной функции y = ax2 + bx + c нужно: а) найти абсциссу х0 вершины параболы по формуле a b x2 0  ; б) найти ординату у0 вершины параболы либо по формуле a ac b y 4 4 2 0    , либо по формуле c bx ax y    0 2 0 0 ; в) построить на координатной плоскости вершину параболы М (х0; у0); г) параллельно перенести параболу y = ax2 на вектор ОМ . Эту информацию вместе с примером такого построения мы тем или иным способом помещаем в поле зрения ученика. Получается, на языке П.Я. Гальперина, ориентировочная основа действий. А сам этот первый этап и яв ляется этапом формирования умственного действия  ориенти- ровкой. 2. Мы организуем выполнение учащи мся указанных действий (а–г), проверяя вместе с учащимися правильность по шагам – это и есть этап ма- териализации. 3. Мы добиваемся быстрого, автоматизированного в ыполнения шагов (а-г) и проверяем правильность выполнения алгоритма по конечному ре- зультату. Это и есть этап интериоризованных действий. Между этапами 2 и 3 мы ведем большую работу, исправ ляя допущен- ные ошибки, предлагая ученику вслух объяснять, какими были его дейст- вия и как их исправить. Получается этап громкой речи. Мы просим учен и- ка подумать и самому найти ошибку, если таковая имеет место. Получает- ся этап внутренней речи, речи про себя. Осмысливая эту обычную практику работы с алгоритмом, можно даже подумать, что П.Я. Гальперин не открыл ничего нового. На самом деле на- учное достижение П.Я. Гальперина состоит в открытии, что именно эта процедура соответствует особенностям формирования у человека любых умственных действий, а не только действий по усвоению алгоритма. Ис- пользование теории П.Я. Гальперина помогает построить технологическую процедуру преподавания не только алгоритмов, но и определений, и теорем. Заметим, что не любое действие мы стреми мся довести до автоматизма. Если наша цель состоит лишь в сообщении учащимся знания о некотором действии, то работа доводится до ориентировки; если цель  добиться уме- ния выполнять это действие, то работа доводится до материализации, и только если цель  сформировать навык, то проводится полная отработ-
41 ка, включающая интериоризацию. Например, легко представить себе чело- века, которые знает о методе Феррари решения уравнений 4-й степени, умеет решат ь уравнения 3-й степени по формуле Кардано и, разумеется, имеет навык решения квадратных уравнений. Использование теории П.Я. Гальперина в школьном преподавании встречает некоторые затруднения. Прежде всего, это связано с тем, что на изучение материала этим методом уходит много времени, поэтому не удает- ся использовать его в полном объеме для каждого изучаемого алгоритма. К тому же среди учащихся имеются дети, способные самостоятельно «пере- скакивать» через этапы формирования умственных действий, поэтому и с- пользование теории П.Я. Гальперина в полном ее объеме было бы педагоги- чески неоправданным. Но, во-первых, эту теорию следует применять во всех особенно важных случаях. А во-вторых, ее следует применять при не- обходимости коррекции знаний. 1.4.2. От текста учебника к текстам заданий Теоретический текст учебника математики состоит из разн ых фрагмен- тов. Если выделить ту часть, которая подлежит усвоению, то ее можно четко разделить на: 1) аксиомы; 2) определения; 3) теоремы с доказатель- ствами или без них; 4) алгоритмы; 5) неалгоритмизируемые методы. Не всегда в школе аксиомы, определения, теоремы, алгоритмы и методы называются именно этими словами. В 5–6 классах распространенным на- званием всего этого многообразия является слово «правило», в более стар- ших классах употребляются такие слова, как свойство, признак, следствие, лемма. И это очень правильно. Все эти слова употребляются в математиче- ской науке. И в классе их нужно называть так, как они названы в учебнике. Но Вы, учитель, должны понимать, что на самом деле можно выделить пять и только пять классов всех значимых математических предложений, кото- рые содержатся в теоретическом тексте школьных учебников. Весь остальной материал в этих текстах  это либо повторение прой- денного, либо связи с другим материалом (используемые обычно для мо- тивации), либо примеры применения нового материала. Впрочем, при мер примеру рознь. Иногда в примере демонстрируется новый метод, о кото- ром в теоретическом тексте не говорится ни слова. Именно так вводятся обычно методы избавления дроби от иррациональности в знаменателе. Учитель математики должен безукоризненно владеть умением анали - зировать текст учебника, выделяя из него нов ые предложения пяти выше- упомянутых видов и четко классифицируя весь остальной текст . Приведенная классификация значимых предложений позволяет в ыра- ботать технологию их отработки в учебном процессе.
42 1. Технология отработки определений. Большинство определений в математике (по мнению В.Г. Болтянского, вообще все определения школьной математики) может быть представлено в виде: T(x)(A(x)B(x)), (1) где Т(х)  предикат «х может быть назван термином Т», А(х)  предикат «х относится к родовому понятию А», В(х)  предикат «х обладает видовы- ми свойствами В». Овладеть таким определением – значит овладеть умением применять в конкретных случаях переходы от одной части (левой или правой) формулы (1) к другой ее части. Поэтому действиями, адекватными определению, как установили П.Я. Гальперин и М.Б. Волович, являются действия вида ( A(x)  B(x)) T(x) (1') и действия вида T(x)  (A(x)  B(x)). (1") Первые из них называются распознаванием. И в самом деле, в ыполняя это действие, мы распознаем, можно ли данный объект х назвать (пользу- ясь только определением) термином Т. Вторые действия называются выведением следствий. В них делаем вы- воды (те, которые позволяет сделать определение) из факта принадлежно- сти (или непринадлежности) объекта х к термину Т. Задания на распознавание можно дать так. Сформулировав определе- ние, учитель демонстрирует учащимся объекты (наглядн ые пособия, над- писи на доске и т.д.), часть которых относится к Т, и ставит вопрос: какие из этих объектов относятся к данному определению (правилу) и почему? Как отметила Е.Б. Арутюнян, хорошим вариантом задач на выведение следствий являются задачи на построение. В самом деле, когда мы строим объект х, не зная никаких его признаков, кроме тех, которые упомянуты в оп- ределении, мы поневоле должны использовать конъюнкцию А(х)^В(х). Мож- но употребить не построение как таковое, а рассказ о построении: «Ваня по- строил параллелограмм, а Петя построил четырехугольник, который не явля- ется параллелограммом. Какие построения они могли при этом совершить?». Задания на распознавание и на выведение следствий достаточны для от- работки определений, потому что всякая работа с определением сводится к выполнению именно этих заданий. Либо нам известно, что данный объект обладает (или не обладает) совокупностью свойств из правой части форму- лы (1), и мы делаем отсюда вывод о принадлежности (или непринадлежно- сти) объекта к Т, а отсюда вывод о возможности (или невозможности) ис- пользовать наши знания о Т. Либо, наоборот, мы знаем, что данный объект относится (или не относится) к Т, и делаем выводы о его свойствах А и В. Многочисленные примеры отработки определений с помощью заданий на распознавание и на в ыведение следствий Вы найдете во второй части этой книги.
43 2. Технология отработки теорем. Большинство теорем школьного курса математики сопровождается до- казательствами. Но ясно, что к доказательству можно обращаться лишь то- гда, когда усвоено содержание теоремы, ее формулировка. Неправы те учителя, которые, сообщив в классе новую теорему, сразу приступают к ее доказательству. Поэтому вполне правомочно говорить отдельно об отра- ботке формулировки теоремы, еще не касаясь проблем, св язанных с дока- зательством. Что же делают с теоремой люди, знающие ее? Две и только две опера- ции: распознают, применима ли теорема к тому и ли иному объекту, и если да  делают в ывод об этом объекте на основании этой теоремы. Именно такими должны быть задания, адекватные формулировке изучаемой тео- ремы. Сформулировав новую теорему, учитель демонстрирует ученикам набор объектов и задает и менно этот вопрос: «К каким из данных объектов относится данная теорема (правило, признак, следствие, лемма и пр.) и что можно о нем сказать на ее основании?». Например, сформулировав теоре- му Фалеса, учитель показывает несколько чертежей и просит установить, какой из них иллюстрирует эту теорему и что можно сказать о фигурах на этом чертеже. Ученики устанавливают, что на одном из чертежей на сто- ронах угла от ложены равные отрезки и через их концы проведены парал- лельн ые прямые, пересекающие другую сторону угла. Значит, говорят они, на этом чертеже проиллюстрирована теорема Фалеса, и можно на основа- нии этой теоремы сделать вывод о равенстве отрезков, образовавшихся на другой стороне угла. На других же чертежах какие-либо из условий теоре- мы Фалеса нарушен ы: на одном прямые не параллельны, на другом отрез- ки не равны, на третьем параллельные прямые не пересекают вторую сто- рону угла. Когда формулировка усвоена, можно приступить к доказательству тео- ремы. Научить доказывать теоремы нельзя (иначе не было бы недоказан- ных теорем). А вот знакомить учеников с разными методами доказательст- ва теорем  очень полезно. И лучшим таким знакомством является показ доказательства. Поэтому Вы и должны обязательно доказывать теоремы в классе и разбирать эти доказательства с учениками. Многочисленные примеры отработки теорем с помощью адекватных систем заданий Вы найдете во второй части этой книги. 3. Технология отработки алгоритмов. Человек, знающий алгоритм, умеет в ыполнять две операции: 1) распознавать ситуацию, в которой данный алгоритм может быть с пользой применен; 2) в соответствующей ситуации использовать данный алгоритм. Освоение этих операций и составляет действие, адекватное усвоению алгоритма. Итак, при обучении алгоритму нужно продемонстрировать уч а- щимся несколько объектов и дать задание: установить, какие из данных
44 объектов подчиняются данному алгоритму (правилу), и применить его к этим объектам. Последнее задание подчеркивает мысль о том, что иногда можно рас- сматривать и преподавать как алгоритм предложение, являющееся опреде- лением (конструктивным определением). Иногда можно преподавать как алгоритм и теорему (таковы, напри мер, теорема Виета и обратная ей). То, что теорема требует доказательств, ничего не меняет: правильность ал- горитма тоже доказывается. Например, алгоритм умножения десятичных дробей обязательно доказывается в 5 классе. Многочисленные примеры отработки алгоритмов с помощью адекват - ных систем заданий Вы найдете во второй части этой книги. 4. Отработка неалгоритмизируемых методов. Здесь пойдет речь о методах и приемах, не являющихся алгоритмами. Это значит, что не существует способа научить детей выполнять эти мето- ды во всех случаях, когда они принципиально применимы. Хорошими примерами являются метод математической индукции или метод освобож- дения дроби от иррациональности в знаменателе. В них все ясно: и после- довательность шагов , и существо каждого шага. И тем не менее известно, как трудно бывает этими методами решать задачи. Чему же мы учим, когда учи м неалгоритмизируемому методу, и чему, когда учим алгоритму? Можно сказать так: когда учим алгоритму, мы учим решать по этому алгоритму любые задачи, которые по нему можно решить. А когда учим неалгоритмизируемому методу, то самому методу, и притом на очень легких задачах. Отсюда следующий подход к обучению методам, не яв ляющимся алго- ритмами. Нужно предъявить точное описание метода, привести примеры его при менения и дать учащимся потренироваться на специально подоб- ранных несложных примерах. 5. Технология отработки аксиом. Изучение в школе аксиоматического метода является сложной пробле- мой, не нашедшей в настоящее время удовлетворительного решения. Нач- нем с того, что само определение аксиомы, бытующее в школьных учебни- ках, по существу, ненаучно. Аксиома в них определяется как предложение, не доказываемое (или не требующее доказательства). Между тем многие теоремы не доказываются в школе. Например, в основной школе не дока- зывается теорема о множестве значений функции у = х2, но от этого она не становится аксиомой. Правильное, научное представление об аксиоме не- возможно без представ ления о системе аксиом (аксиоматике). Аксиома оп- ределяется как одно из утверждений аксиоматики. Математики изучают системы аксиом на непротиворечивость, незави- симость и полноту, что совершенно недоступно даже ученикам математиче- ских классов. Для школы, разумеется, остается работа с аксиомами как с ба- зой для доказательства теорем и решения задач. Остается особо ответствен-
45 ное отношение к точности формулировок аксиом. Например, известно, что даже аксиому о параллельных школьники трактуют очень вольно, считая, что в ней утверждается существование параллели, а не только ее единствен- ность. Преподавая в классе аксиому, нужно обеспечить работу по ее заучи- ванию наизусть и применению ее для обоснования других утверждений. Аксиомы школьной алгебры вводятся в начальной школе: коммутатив- ность (переместительность) и ассоциативность (сочетательность) сложения и умножения, дистрибутивность (распределительность) умножения отно- сительно сложения, свойства нуля при сложении и единицы при умноже- нии. В 5 и 6 классах к ним добавляются аксиомы о противоположных и обратных числах. Тем самым в 5–6 классах дети знакомятся со всеми девя- тью аксиомами поля. В 7 классе вводятся аксиомы планиметрии. Существует простой способ организации работы с аксиомами. Их нуж- но постоянно демонстрировать на настенных таблицах (как демонстриру- ется в кабинете химии таблица Менделеева). Каждая аксиома для легкости ссылок должна иметь на таблице свой номер. Все аксиомы из курса алгеб- ры опубликован ы в сериях таблиц, изданных для 4, 5, 6 классов. Вы легко найдете их в кабинете математики любой школы. Таблицу с аксиомами геометрии придется сделать самостоятельно. Для этого на листе ват мана нужно начертить одинаков ые прямоугольники. Каждый прямоугольник посвящается отдельной аксиоме. На каждом должен быть чертеж, иллюст- рирующий аксиому и хорошо различимый с любого рабочего места в клас- се, а в углу должен быть дан точный текст аксиомы, напечатанный или на- писанный кеглем № 14. Все прямоугольники должны иметь номера, хоро- шо различимые с задней парты класса. Имея такую таблицу, мы можем вести следующую работу:  спрашивать (например, во время диктанта) содержание аксиомы, на- зывая ее номер;  уточнять текст аксиомы по надписям на таблице, читаемым с близ- кого расстояния;  требоват ь кратких ссылок на аксиомы, обозначаемые их номерами. Тем самым происходит вся необходимая работа с аксиомами. 1.4.3. Методы повторения и коррекции знаний Проблемам повторения посвящено много работ. По мнению ведущего специалиста в этой области профессора В.Я. Ляудис, повторение не долж- но быть буквальным, т.е. если вы повторяете с учащимися какой-либо во- прос, нужно подойти к нему не совсем так, как при первом изложении, нужно поставить иные задания, чем те, что были тогда. Из этого основного тезиса Вы и должн ы исходить.
46 Повторять с новой точки зрения удобно, включая повторяемое в но- вый материал. Так и нужно поступать: повторять материал не сам по се- бе, а в связи с изучением нового. Для правильной организации такого повторения полезно составить матрицу действий, которыми учащиеся должны овладеть в ходе изучения вашего курса. В клеточке строчки а и столбца б ставится точка, если действие а используется при выполнении действия б. Имея такую матрицу, учитель видит, что при изучении дей- ствия б нужно повторить действие а. И такое повторение действия а бу- дет отличаться от его первоначального изучения: а в данном случае бу- дет не целью изучения, а средством изучения действия б. А наш извест- ный педагог С.Г. Шаповаленко указывал, что настоящий учебный про- цесс тогда будет успешным, когда мы сумеем изучаемое явление пре- вратить из цели изучения в средство изучения других явлений. Среди разнообразной информации, сообщаемой ученику, есть такая, которая входит в базовую систему знаний, умений и навыков современно- го культурного человека. Это некоторые даты, имена, географические на- именования, физические, химические и биологические законы и константы и пр. К ним добав ляются и такие данные, которые необходимы для нор- мального изучения школьной программы. Например, свойства степени, быть может, необязательн ы для запоминания каждым эрудитом, но без них нельзя понять тему «Корни». Каждый учитель в своей практической работе при лагает усили я, чтобы сделать эту базовую информацию прочным достоянием свои х учащихся. Однако не всегда эти уси лия приводят к цели. И это потому, что не найде- на должная методика повторения. Например, часто учитель просто напо- минает ученикам о нужных фактах. Но ученики не всегда уверены в необ- ходимости владеть ими. И на следующий же день учитель убеждается, что его усилия были напрасн ыми: дети опять не знают необходимых вещей. Так что прост ые беседы и напоминания далеко не всегда эффективны. Иное дело – включение необходимых данных в вопросы математиче- ского диктанта. Ученик не просто слышит о данном факте. Он вынужден ответить на вопрос о нем. Причем не в плане «подумайте и ответьте, если знаете», а в плане «ответьте на оценку». Вопрос, конечно, задан всему классу, но в том-то и дело, что он задан и каждому ученику лично. А во- прос, заданный лично Вам, да еще и на оценку, не может Вас не интересо- вать. Вспомним, как нас вдруг интересует название вулкана в Исландии, если этот вопрос попался нам в кроссворде. Ищем, роемся в энциклопеди- ях и атласах. А почему? Да просто потому, что вопрос этот задан нам лич- но. Но кроссвордами интересуются не все. А математическими диктантами интересуются все ученики, у которых они проводятся. Математический диктант – это такое средство для повторения, которое заставляет повторять всех и делает повторяемый материал интересным для всех.
47 Систематическое использование математических диктантов является вполне технологичным приемом, позволяющим держать высокую планку общей осведомленности учащи хся обо всем ранее пройденном материале. Что же мешает их повсеместному проведению? Только одно: необходи- мость подготовки текстов. Нужно ведь, чтобы каждый диктант составлял часть системы диктантов, чтобы в их совокупности повторялись все важ- ные вопросы программы, притом с разумной частотой. Добиться этого можно только при заблаговременной подготовке к преподаванию всего курса, в крайнем случае – годичного курса. Процедура разработки системы математически х диктантов, предназна- ченных для непрерывного повторения всего ранее пройденного материала, имеет свои особенности. Она состоит в следующем: а) определяется перечень вопросов, необходимых для включения в диктанты; б) определяется общее число диктантов, которые можно будет провес- ти в течение учебного года, а значит, и число вопросов, которые будут в них задан ы (удобно иметь по 5 вопросов в каждом диктанте); в) определяется частота предъявления каждого вопроса из перечня; г) создаются списки вопросов для каждого диктанта. Именно по такой процедуре разработана система диктантов, опублико- ванная в моих книгах «Математические диктанты по алгебре» и «Матема- тические диктанты по геометрии» (М.: Илекса, 2005; 2006). Хорошим способом повторения материала является применение так на- зываемых «шитых задач». Выражение «шитые задачи» любил употреблять В.Г. Болтянский. Так он называл задачи, подобные тем, которые некогда предлагались на выпускн ых экзаменах в дореволюционных гимназиях. Их приводит П.А. Ларичев во второй части своего знаменитого задачника по алгебре. Вот одна из них (№ 1532 по задачнику П.А. Ларичева): Двум бригадам рабочих было заплачено столько рублей, сколько единиц в коэффициенте того члена разложения бинома 13 5 3 3 2    а а , который со- держит а4. Число рублей, полученных каждым рабочим первой бригады, равно числу членов арифметической прогрессии, в которой сумма членов s = 462; а6 = 27; а10 = 43. Число рублей, полученных каждым рабочим вто- рой бригады, равно корню уравнения lg10 + 3 1lg  271 32 х = 2. Сколько ра- бочих было в каждой бригаде, если в первой было на 4 человека больше, чем во второй? Смысл ясен: на одной шитой задаче можно проверить знание сразу не- скольких тем программы. Ныне такие задачи почти не применяются. И тон, которым В.Г. Болтянский говорил о шитых задачах, свидетельство- вал о его неодобрительном к ним отношении.
48 Однако в теории и практике обучения ни одна мысль не пропадает да- ром. Неправомерность применения шитых задач при контроле знаний не означает, что их нельзя использовать в других целях. Законное употребле- ние таких задач – для повторения. Например, если при изучении квадратных уравнений решать не только уравнения относительно х, но и уравнения от- носительно модуля х или синуса х (материал, пройденный к этому времени на уроках геометрии), то и получится повторение темы «модуль» и «синус» при изучении квадратных уравнений. Вот примеры таких уравнений: 5x2+6x–11=0,sin2x5sinx+4=0. Вот как решается последняя задача в 8 классе: sin x = 4 или sin x = 1; первое невозможно, а второе приводит к ответу: x = 90о (других решений в 8 классе дети еще не знают). На уроках повторения необходимо решать задания, не дающие забыть ни один из важных навыков, изученных ранее. Чтобы организовать эту работу, следует в списке действий, о котором мы только что говори ли, проставить частоту необходи мых напоминаний: такое-то действие – раз в неделю, другое – на каждом уроке. После этого следует включить в уроки повторени я задания, обеспечивающие этот план . В последние годы московское издательство «Илекса» выпускает специ- альные карточки для дополнительных занятий с детьми по коррекции их знаний в 5–11 классах. Каждая из этих карточек посвящена одному от- дельному важному вопросу программы. Карточка состоит из трех частей: справочной теоретической (левая часть), справочной практической (сред- няя часть) и рабочей (правая часть). Вот пример такой карточки. Решение неравенств Правило Образец Задания Решить неравенства 1)x+1<7 2)3x<6 3)2х7>x 4)6x<8+х 5)2(х4)>57x 6)x+2>6 7)2x<7 8)3х2>2x 9)2x<7+х 10)(х+3)>46x При решении неравенств можно: 1) переносить слагаемые из одной части в другую, изменяя знаки этих сла- гаемых; 2) делить обе части нера- венства на одно и то же положительное число; 3) делить обе части нера- венства на одно и то же отрицательное число, из- меняя знак неравенства Решить неравенство: 2(х3)>3(x+5) Решение. Раскроем скобки: 2х+6>3x+15. Перенесем слагаемые с не- известным влево, а слагае- мые без неизвестного впра- во, меняя их знаки: 2х3x>156, 5х>9. Разделим обе части нера- венства на отрицательное число 5, меняя знак нера- венства: x<1,8. Ответ: (; 8) 11)x4>8 12)5+x<9 13)х+3>x 14)4+x<4+2х 15)3(х+1)<4x
49 Пятнадцать заданий рабочей части делятся на три группы. Задачи, но- мера которых отличаются на 5 или на 10, совершенно однотипны. Такое строение карточки удобно для организации дополнительного занятия. Вот как протекает это занятие. Ученик получает карточку и задание:  прочитать и переписать в свою тетрадь содержание левой части карточки;  прочитать и переписать в свою тетрадь содержимое средней части карточки;  решить письменно перв ые пять задач из правой части карточки;  показать учителю всю проделанную работу. Если вся работа выполнена правильно, то на этом она и заканчивается. Если при выполнении первых двух частей задания возникают затруднения, учитель помогает ученику справиться с ними. Если ученик не смог само- стоятельно решить какие-либо из задач № 1–5 правой части карточки, учи- тель разъясняет, как нужно было их решить, опираясь на левую и среднюю части карточки. Затем ученику даются соответствующие задания из № 6–10. Если ученик не справляется с какими-либо заданиями и в этот раз, учитель снова объясняет материал и использует задания из № 11–15. Полные наборы карточек для коррекции Вы найдете в моих книгах «Карточки для коррекции знаний» (М., 1999–2003). Вопросы и задания 1. Что такое методы обучения? 2. Что такое деятельностный подход к обучению? 3. Что такое адекватная учебная деятельность? 4. В чем состоит адекватная деятельность при изучении математики? 5. В чем особая ценность современного российского курса школьной математики? 6. Зачем изучат ь в школе квадратные уравнения? 7. Можно ли формировать физические действия по имеющейся теории поэтапного формирования умственных действий? 8. Какие основные этап ы формирования умственных действий выделя- ются в теории П.Я. Гальперина? 9. Дайте характеристику этапа ориентировки. Как и менно она осущест - вляется? 10. Дайте характеристику этапа материальн ых (материализованных) действий. В чем его характеристическая особенность? 11. Дайте характеристику этапа внутренних действий. В чем его харак- теристическая особенность? 12. Каковы ступени перехода от этапа материализации к этапу инте- риоризации? 13. В чем удобство использования теории П.Я. Гальперина при изуче- нии алгоритмов?
50 14. Какое соответствие можно установить м ежду этапами П.Я. Гальпери- на и целями изучения тех или иных фактов? 15. Только ли алгоритмы можно изучать, пользуясь теорией П.Я. Гальперина? 16. Какие виды м атематических предложений составляют содержание курса школьной матем атики? Как они называются в школьных учебниках? 17. Какова роль примеров в текстах школьных учебников математики? 18. Выберите наудачу любой пункт любого школьного учебника и рас- классифицируйте его весь по вышеук азанным категориям. 19. Как записывается в общем виде любое определение школьного курса математики? 20. Какие типы заданий адекватны определению? 21. Какова процедура предъявления задания на распознавание? 22. Какова процедура предъявления задания на вы ведение следствий? 23. Придумайте задания на распознавание и на выведение следствий к оп- ределению трапеции. 24. Придумайте задания, адекватные определению нулевой степени. 25. Как записывается в общем виде любая теорема школьного курса ма- тематики? 26. Правомочно ли изучать текст теоремы до ее доказательства? 27. Какой тип заданий адекватен тексту теоремы? 28. Как следует изучать доказательства теорем? 29. Какой тип заданий адекватен алгоритму? 30. Придум айте задание, адекватное алгоритму нахождения синуса данно- го острого угла. 31. Какое из определений школьной математики вы предпочли бы отраба- тывать как алгоритм? 32. Какую из теорем школьной математики вы предпочли бы отрабаты- вать как алгоритм? 33. Не найдется ли алгоритм, который вы предпочли бы отрабатывать как теорему или к ак определение? 34. Приведите примеры неалгоритмизируемых методов в школьном курсе математики. Как следует проводить их отработку? 35. Как отрабатывать аксиомы, содержащиеся в школьном курсе матема- тики? 36. Нарисуйте эскиз таблицы с аксиом ами стереометрии. 37. Составьте список из десяти определений школьного курса, которые, по Вашему мнению, должен знать каждый культурный человек. 38. Почему оказывается эффективным повторение с помощью математи- ческих диктантов? 39. Какова процедура разработки повторительных матем атическ их дик - тантов? 40. Опишите устройство к арточек для коррекции знаний и методику их использования.
51 1.5. Формы обучения Форма обучения  это способ его организации, учитывающий количе- ство обучаемых в классе. По мнению исследователя этой проблемы про- фессора М.И. Зайкина, форма обучения определяется тремя факторами: 1) способом разбиения учащихся на групп ы (по одному человеку в ка- ждой группе; по несколько человек в каждой группе; отсутствие деления на группы); 2) характером взаимодействия учащихся внутри группы (постоянные связи; временные св язи; отсутствие связей); 3) характером воздействия учителя на работу групп (постоянное руко- водство; вмешательство по мере необходимости; отсутствие воздействий). Эти факторы сочетаются друг с другом. И хот я не все 27 случаев могут быть реализован ы, но разнообразие здесь достаточно велико. Из различных форм обучения особо выделяются три группы: индиви- дуальные, фронтальные и коллективные формы обучения. 1.5.1. Индивидуальные формы Обучение ведется в индивидуальной форме, если осуществляется не- прерывающееся взаимодействие учителя с учеником. Примерами такого обучения являются дополнительные занятия и опрос у доски. При индивидуальном обучении удается наиболее полно реализовать индивидуальн ые возможности ученика, учесть его личностные свойства. Не случайно именно в такой форме ведется обучение будущих актеров и пилотов, да и аспирантов любой специальности. Отметим и недостаток ин- дивидуальной формы обучения: при ней каждый ученик работает сам по себе, вне контактов с другими. Это значит, что не происходит коллектив- ного труда. Ученик не оказывает помощи другому и не получает ее от дру- гих учеников. Индивидуальное обучение десоциализировано. Особо следует остановиться на таком варианте индивидуального обуче- ния, как вызов ученика к доске. Лишь немногие учителя оказываются спо- собными одновременно руководить и действиями ученика у доски, и работой остальных детей. Обычно же учитель бывает вынужден уделять все свое внимание вызванному. Ведь крайне опасно допускать ошибки в устной и письменной речи ученика у доски: велика вероятность усвоения частью уча- щихся этих ошибок. Индивидуальное обучение у доски часто прекращает всякое обучение остальных учеников класса. Поэтому к вызовам к доске сле- дует относиться с большой осторожностью. Однако вызывать к доске учени- ка необходимо, если учащийся желает высказаться, или подготовленного ученика для ответа по теории. Но вызов неподготовленного или вызов для решения на доске неизвестной ученику задачи  вряд ли оправданы.
52 Вызывать учеников к доске, чтобы они излагали теоретический матери- ал, совершенно необходимо. Такие ответы очень ценны в дидактическом отношении. И дело тут не в контроле знаний. Контролировать знания в те- чение 5–10 минут у одного ученика  непростительная роскошь. Важно то, что во время опроса у доски весь класс снова слушает изложение теоретиче- ского материала. Причем не в той форме, в какой это делал учитель, а в сухом, сжатом виде, без добавлений, к которым прибегал педагог, чтобы сделать изложение более интересным. Однако это хорошо только в том слу- чае, когда мы вызываем подготовленного ученика. Как этого достичь? Очень просто: надо заранее предупреждать учеников, которых Вы хоти- те вызвать к доске. Кстати, при этом будут соблюдены и высокие нормы че- ловеческих отношений. Будет снята тревожность, очень сильная у детей в начале учебного дня (вызовут – не вызовут?). Эта мера проверена нами на протяжении многолетних экспериментов и хорошо зарекомендовала себя. 1.5.2. Фронтальные формы При фронтальном обучении осуществляются связи учителя со всем классом. Учитель постоянно и одинаково воздействует на всех. Ответную реакцию (хотя бы исходящую и от одного ученика) учитель воспринимает как реакцию всего класса. Например, услышав, что какое-то место в объ- яснении кому-то неясно, учитель либо повторяет это место всему классу, либо продолжает работу, не обратив внимания на вопрос. При фронтальном обучении удается использовать малое число учите- лей при большом числе обучаемых. Пример фронтального обучения – лек- ция. Она особенно эффективна при участии высококвалифицированных лекторов. Важно, чтобы корифеи-профессора изложили студентам матери- ал так, как только они могут это делать. Однако, как показали специальные наблюдения, даже у луч ших лекторов в особо подготовленных студенче- ских аудиториях (мехмат МГУ им. Ломоносова) непосредственно во время лекции слушатели успевают усвоить приблизительно 40 % материала. Но на мехмате МГУ это не страшно: студенты умело конспектируют, и после лекции они на семинарских занятиях и в индивидуальной домашней рабо- те уверенно достигают необходимого уровня усвоения. А возможно ли это в школе? Да еще на уроках математики? Даже 40-процентная эффектив- ность лекций совершенно недостаточна для школы. Так что не надо в шко- ле читать лекции по тому матери алу, который должен быть прочно усвоен. Пожалуйста, читайте лекции по истории математики, но не про теорему Виета. К тому же и менно лекция требует полного прекращения контакта между учащимися, полного подчинения требованиям формальной дисцип- лины. Таким образом, и фронтальные формы работы влекут за собой десо- циализацию обучения.
53 Без фронтального обучения в школе не обойтись: учитель должен объ- яснять материал всему классу. На наш взгляд, оптимальным является объ- яснение именно всем, без деления учеников на сильных и слабых. Ибо, как уже говорилось, мы не имеем инструмента, позволяющего уверенно отде- лить си льных от слабых. Но никакое объяснение не должно занимать много времени. Об этом говорят специальные исследования, проведенные гигиенистами и дока- зав шие, что произвольное внимание удерживается у человека в среднем около 18 минут. Так что 15 минут – вот норма для объяснения чисто мате- матического материала (а не, например, материала по истории математи- ки). За 15 минут школьники не успеют устать, и все содержание вашего сообщения будет ими услышано. 1.5.3. Коллективные формы Коллективное обучение происходит при наличии связей не только ме- жду учителем и обучаемыми, но и между самими учащимися. Учитель ус- танав ливает, организует, поддерживает эти связи, не дает им прерваться и выродиться в бесполезные разговоры. Для организации коллективной работы надо разделить школьников на группы (рабочие коллективы), поставить перед каждым из этих коллекти- вов учебные задачи, осуществляя при этом разделение труда между уча- щимися внутри группы. Однако не вполне ясно, как подбирать членов групп, которые могли бы эффективно сотрудничать. Столь же неясно, как распределить обязанности между членами группы. Для квалифицированного осуществления этих действий от учителя требуется хорошее знание детской пси хологии, бле- стящее знание каждого ученика и очень трудоемкая подготовка к уроку. Такие знания встречаются нечасто. Никакими четкими рекомендациями на этот счет, облегчающими подготовку к уроку, мы не располагаем. Поэто- му, признавая огромную важность и перспективность исследования и при- менения коллективных форм обучения, мы вынуждены констатировать, что о немедленном продвижении их в школу пока не может быть и речи13. Высказанные опасения не относятся к простейшему виду коллективной работы – к парной работе. Во время нее учащиеся работают по двое – за общим ученическим столом. Нужно просить учеников самих выбрать пары так, чтобы было удобно и приятно работать вместе. Только если потом окажется, что та или иная пара неработоспособна (мешают друг другу, или не могут справиться с материалом, или не хотят сотрудничать), то учитель должен их рассадить. Тем самым снимается трудность разделения класса на рабочие коллективы. Задание, которое дается парам, – работать вместе, 13 Попытка массового внедрения коллективных форм обучения была предпринята в 1920-е гг., на заре советской власти. Она не дала хороших результатов. Провал этого «революционного» начинания был одним из поводов для последующего зажима всякой инициативы в советской школе.
54 советоваться (подробно об этом см. п. 1.5.8). Пары рассматриваются как гомогенные (роли участников одинаковы, точнее – ученики постоянно ме- няются ролями обучающего и обучаемого). Лишь в крайних случаях (при наличии в классе как особо сильных, так и особо слабых детей) можно об- разовать гетерогенные пары (учитель + ученик). Тем самым снимается трудность распределения обязанностей между парами и внутри пар. Эта форма коллективной работы  работа в парах  может и должна занять достойное место на уроках математики. 1.5.4. Формы введения нового материала Обучение математике в школе можно подразделить на три основные состав ляющие: введение нового материала, его закрепление и контроль. При введении нового материала учитель ориентирует учащихся, объ- ясняет, какую новую деятельность предстоит им в ыполнять. Этот этап обу- чения должен удовлетворять следующим требованиям: 1) мотивация; 2) научность; 3) доступность, наглядность; 4) структурирование; 5) доведение до решения типовых задач; 6) обеспечение внимания учащихся. Рассмотри м каждое из этих требований отдельно. Мотивация – это создание и поддержание у слушателей интереса к изучаемому материалу. Чтобы учение было сознательным и успешным, ученик должен видеть, зачем нужен предлагаемый ему материал. Всякая новая мысль, формула, теорема должн ы появляться перед ним как ответ на возникший вопрос, как выход из той или иной проблемной ситуации. Или же они должн ы предстать перед учеником во внешне заинтересов ывающей форме, подавляющей недоуменное «а зачем это нужно?». Необходимый тип мотивации определяется как возрастом учащегося, так и содержанием самого материала. Самый в ысокий  теоретический тип мотивации, опирающийся на выяв ление внутренни х закономерностей курса математики , осуществи м тогда, когда учащийся хорошо понимает строение материала. Такая си- туация часто складывается на факультативных занятиях, она характерна для работ ы с хорошо подготов ленн ыми старшеклассниками, особенно – в математических классах. Иногда мотивация теоретического типа быва- ет уместна и в младших классах общеобразовательной школы. «Мы уме- ем умножать десятичные дроби. Кто скажет, что теперь нам нужно нау- читься делать с десятичными дробями?»  такое начало объяснения те- мы «Деление десятичных дробей» достаточно мотивировано для пяти- классников. И притом это – мотивация высшего типа. Дети исходят
55 (пусть интуитивно) из правильного понимания теории вопроса: числа надо не только умножать, но и делить. Чаще употребляется в школе мотивация среднего уровня, основанная на практической потребности. Например, введение теоремы Виета можно мотивировать необходимостью проверять корни квадратного уравнения; формулу квадрата суммы удобно представить ученикам как способ сокра- щать преобразования. В школьном обучении иногда прибегают к третьему уровню мотива- ции, не связанному с внутренними потребностями предмета (ни с его тео- рией, ни с его практикой). Это мотивация внешнего типа, обычно прибе- гающая к интересн ым сюжетам. Как, например, объяснить школьникам, зачем нужно понятие степени? Так ли часто бывает нужно перемножать одинаков ые числа? Но вот сказка, в которой через поле ведут три тропин- ки, от каждой из них через лес – еще по три, и так далее девять раз – до Тридевятого царства14. Бабу-Ягу интересует, сколько же всего дорог на по- следнем участке пути. И никто не спрашивает, почему от каждой тропинки ведут всегда именно по три тропинки и почему Бабу-Ягу интересует дан- ная проблема. На то она сказка, на то она Баба-Яга. Далеко не всякая рекомендация о том, как проводить мотивацию того или иного вопроса, понравится лично Вам. Если тип мотивации зависит обычно от уровня класса и от самого материала, то конкретный ее вариант главным образом зависит от личности учителя. Ваш кругозор, темпера- мент, вкус, любовь или неприязнь к театрализации и т.д.  все это будет определять пути мотивации на уроках. Мотивация  это то, чем Вы долж- ны заниматься постоянно, узнавая, как проводят ее другие учителя, приме- ряя эти способы к себе, придумывая разн ые ее пути для каждого вопроса, который Вы преподаете. Следующие общепризнанные требовани я к введению нового материа- ла – научность изложения, его доступность, наглядность. О них мы сказа- ли все необходи мое при рассмотрении соответствующи х принципов ди - дактики (см. п. 1.1.2). Структурированность  обязательное требование при введении новой информации. Фактически здесь продолжается наш разговор о наглядности. Рассказ учителя может быть плохо понят, если ученик не увидит логики в изложении. Поэтому опытные учителя сопровождают объяснение состав- лением на доске плана, схемы, конспекта. Благодаря этому рассказ делает- ся легко обозри мым, а также и воспроизводимым. Можно сказать, что кон- спект рассказа – это его изоморфная и простая модель. Итак, необходимо строить на доске конспект изложения материала. От этого конспекта тре- буется то, что вообще должно быть присуще любому конспекту: присутст- вие всех существенных смысловых единиц и связок между ними. Состав- 14 Арутюнян Е.Б., Левитас Г.Г. Сказки по математике. М.: Высшая школа, 1994.
56 ляемые Вами конспекты должны быть образцами для Ваших учеников. Со временем следует переходить к конспектированию материала самими учащимися. Но для этого нужно специально работать: объяснять, как со- ставляются конспекты, что в них должно быть отражено; требовать от учащихся, чтобы они пробовали состав лять конспекты самостоятельно, и анализировать результат ы их деятельности. Важное применение конспектов открыто В.Ф. Шаталовым15. Он исполь- зовал конспект для всеобщего контроля знаний. На следующем уроке после изложения материала его ученики по памяти воспроизводили конспект на листе бумаги (или раскрашивали и дополняли выданные им заготовки) и сдавали эти листы учителю для проверки. Этот способ работы очень ценен. Разрабатывая конспекты по новому материалу, надо иметь в виду, будет ли этот конспект воспроизводиться по памяти. В этом случае к нему предъяв- ляются дополнительные требования, например, требование краткости. Конспект может появиться на доске в разное время. Можно заранее за- готовить его и перед изложением сказать: вот о чем мы будем сегодня го- ворить. Можно открыть заготовленный конспект после изложения: вот краткая запись того, о чем мы говорили. А можно состав лять конспект по ходу изложения. Однако во всех случаях необходимо, чтобы учащиеся пе- ренесли конспект в свои тетради. Введение материала должно доводиться до решения типовых заданий. Цель введения нового не может считаться достигнутой, если ученики не поняли, какие нов ые действия состав ляют содержание нового материала. И еще одно обязательное требование к введению нового материала: обеспечение внимания учащихся. Для этого, прежде всего, объяснение должно быть дельн ым и кратким. Если оно продолжается более 10–15 ми- нут, то внимание учеников трудно удержать. В 5–6 классах за это время вполне можно объяснить весь материал, а в более старши х классах – объ- яснить основное, оставляя подробности для самостоятельной проработки по учебнику. Неоправданно стремление учителя и в старших классах рас- сказывать все. Оно приводит к тому, что дети не учатся важнейшему уме- нию – умению учиться самостоятельно. Важная мера для поддержания внимания при объяснении – задавание вопросов по ходу изложения. Эти вопросы должны быть обращен ы ко все- му классу, и чтобы все ученики отвечали на вопросы. Поймите правильно: вопросы и ответы нужны не для того, чтобы «держать дисциплину» как таковую, а чтобы поддерживать внимание, без которого объяснение не бу- дет полноценно воспринятым. Поэтому вопросы должны быть естествен- ными. Скажем, при изложении теоремы Пифагора можно спросить, к ка- ким треугольникам относится эта теорема. Чтобы на вопрос ответили все, можно предложить всем ученикам записать ответ одним словом. А чтобы 15 Педагогический поиск. М., 1989.
57 выяснить, кто как ответил, можно спросить любого ученика, что именно он написал, и затем спросить всех, согласн ы ли они с таким ответом. Если в классе есть контролирующее устройство, то эта процедура очень облег- чается. Некоторые учителя пользуются разноцветными флажками для по- добных опросов. Но если таких приспособлений у Вас нет, то можно вос- пользоваться приемом «да-нет». Напишите на доске: Да–Нет и попросите поднять левую руку («да») тех, кто согласен с ответом, и пра- вую («нет») тех, кто не согласен. Прием «да – нет» хорош тем, что на во- прос отвечают все одновременно, и видно, кто пишет, а кто не пишет от- вет, кто согласен с озвученным ответом, а кто не сог ласен. Одновремен- ность голосования «за» и «против» обеспечивает однократное участие в нем каждого ученика. После поднятия рук можно либо продолжить объяс- нение, либо обсудить полученные ответы. 1.5.5. Формы закрепления Закрепление – процесс неоднородный. Теоретики различают три вида закрепления: воспроизводящее (репродуктивное), тренировочное и творче- ское (продуктивное). Воспроизводящее закрепление состоит в решении учащимися задач, аналогичных тем, которые решались во время объяснения. Эти новые за- дачи могут отличаться от прежних лишь несущественными деталями. В процессе воспроизводящего закрепления ученики начинают осваивать новую для них деятельность. Тренировочное закрепление состоит в решении задач, аналогичных решенным ранее. В процессе тренировочного закреп ления наращивается техника решения: скорость и автоматизм. Творческое закрепление состоит в решении таких задач, аналогичные которым еще не решались в классе. В процессе творческого закрепления учащиеся применяют новые знания в незнакомых ситуациях, проявляя умение свободно оперировать этими знаниями. В конкретном преподавании можно выделить три этапа закрепления: первоначальное (соответствующее воспроизводящему), тренировочное и итоговое (содержащее элементы тренировочного и элементы творческого закрепления). Первое требование к организации закрепления состоит в том, чтобы не смешивать эти три этапа закрепления. Следующие требования относятся к каждому из них отдельно. Первоначальное закрепление должно организо- вываться как воспроизводящее. Неправы учителя, которые сразу после из- ложения материала дают учащимся творческие задачи. Такое возможно только по отношению к выдающимся ученикам (которые, как говорил В.Г. Болтянский, хорошо усваивают материал при любой методике его пре-
58 подавания). При воспроизводящем закреплении перед глазами школьников должен находиться воспроизводимый материал: алгоритм или пример ре- шения задачи. При этом желательно проводить работу в одном варианте. Одинаковость задания для всех дает возможность тщательно проверить правильность решения каждым учеником. Наоборот, решение разных вари- антов задания затрудняет такую проверку, делает ее неинтересной для уча- щихся, решавших другой вариант. Работа и ее проверка на этом этапе должны быть пошаговыми. Ведь важно добиться не просто правильного от- вета, а воспроизведения каждым учеником правильного хода решения типо- вой задачи. В этом и состоят требования к первоначальному закреплению: 1) наличие перед глазами учащихся четких предписаний о порядк е дейст- вий (ориентировочная основа действий); 2) одновариантность работы; 3) проверка каждого шага деятельности каждого ученика (например, с по- мощью взаимопроверки соседей по столу, голосования «да – нет» и пр.). Ясно, что первоначальное закрепление удобно проводить сразу после объяснения, на том же уроке, имея перед глазами конспект, составленный при изложении. Тренировочное закрепление может быть отнесено к домашней работе. Но еще лучше, если оно будет организовано в классе. Чтобы сделать его дейст- вительно тренировочным, нужно добиться его безусловной доступности для каждого ученика. Вместе с тем требуется добиться всеобщей работы в классе. Это значит, что трудность должна возрастать от одного задания к другому. Пусть самые слабые успеют решить три упражнения, а самые сильные – пять. Но задачи для всех должны быть одинаковыми, с возрастанием их трудности от начала к концу серии заданий. Для того чтобы все включились в работу, нужно организовать консультирование и оценивание всех учащихся. Это дос- тигается, например, парной работой, при которой каждый находит помощь у соседа, а учитель, вместо того, чтобы вызывать к доске, ходит между рядами и консультирует тех, у кого возникли трудности. В конце урока сам учитель и наиболее сильные ученики из класса проверяют и оценивают работу каждого (см. об этом подробно в п. 1.5.8). Подытожим требования к тренировочному закреплению: 1) одновариантность работы; 2) нарастание трудности; 3) при длительных тренировках  коллективность работы (работа в парах); 4) постоянная помощь учителя; 5) выставление оценок всем учащимся. Самое удобное время для тренировочного закреплен ия – специальный урок реш ения задач (см. п. 1.5.8). Итоговое закрепление должно входить в завершающий этап изучения данной темы. Это должно быть закрепление в индивидуальной форме (ведь оно включает в себя творческие задания!).
59 Итоговое закрепление должно отвечать следующим требованиям: 1) наличие тренировочных и творческих заданий; 2) наличие различных (одинаковых по трудности) вариантов; 3) возрастание трудности заданий внутри каждого варианта. 1.5.6. Формы контроля знаний Необходим о различать контроль усвоения получаемых знаний и кон- троль сохранения этих знаний в памяти учащихся, т.е. текущий и отсрочен- ный контроль. И тот, и другой проводятся в форм е опроса, письменного или устного. Ко всякому опросу следует предъявлять требование всеобщности (а не выборочности, не индивидуальности). Опрос должен быть всеобщим уже потому, что всеобщим является в нашей школе само обучение, между тем как выборочный опрос освобождает ученика от необходимости всегда знать все необходимое. Если, например, учитель математики спрашивает доказа- тельство первого признака равенства треугольников лишь у некоторых де- тей, то спрошенные вполне могут не готовиться к ответу по второму и по третьему признакам. А так как все же иногда законы вероятности наруша- ются, то начинается дискомфорт: ребенок не знает, спросят его сегодня или нет16. При таком опросе не может быть и речи о систематических знаниях. Неправильным методом контроля знаний является вызов к доске учени- ка без его предупреждения об этом. Как уже говорилось, при таком вызове нет никаких гарантий, что он будет хорошо отвечать материал. А это зна- чит, что некоторая часть урока пройдет бесполезно (или даже вредно) для класса. Потеря времени урока  вот чем оборачивается система индивиду- ального, а не всеобщего контроля. Другое дело, если у доски – заранее пре- дупрежденный ученик, а все остальные, хотя бы в главном, готовы воспри- нимать его ответ (только что отчитались, воспроизведя конспект). Тогда от- вет сравнительно высокого качества, и полезно его слушать. А само слуша- ние ответа подготовлено, и хотя во время ответа нет всеобщего контроля, но есть всеобщий самоконтроль (сверка ответа у доски с тем, что знают все). Письменный опрос легко сделать всеобщим. А потому все, что можно спросить в письменном виде, нужно спрашивать в письменном виде, в форме всеобщего письменного ответа на вопрос. Например, не нужно вызывать детей к доске для доказательства формулы синуса двойного уг ла, а нужно, чтобы все написали это доказательство на бумаге и сдали работу учителю. 16 Есть такая точка зрения, что ребенок готовится жить. Есть и другая: ребенок уже живет. И почему его жизнь должна быть менее комфортной, чем жизнь взрослого, – непонятно. Ведь взрослый человек, идя на работу, обычно знает, какие главные события его ожидают в этот день. Ребенок же не знает очень важного: спросят ли его сегодня.
60 Но чем старше дети, тем чаще встречается такой теоретический мате- риал, который письменно (и к тому же кратко!) изложить нельзя, а требу- ются подробные устные ответы. Один из таких примеров – признаки ра- венства треугольников (7 класс). В таких случаях необходимо организо- вать устный опрос. Но и он должен быть всеобщи м. Для его осуществле- ния приходится использовать такую процедуру, как опрос одних учеников другими. Об этом подробно рассказано в п. 1.5.8. Текущий контроль (устный или письменный) должен естественно впи- сываться в повседневную работу. Ведь курс математики построен очень логично, и почти всегда следующие порции знаний опираются на непо- средственно предшествующие, так что текущий контроль носит естествен- ный, непрерывный характер. Другое дело  отсроченный контроль. Его цель  обеспечение прочных знаний по всему пройденному курсу. Для этого требуется специально ор- ганизованное непрерывное повторение. Контроль знаний по большим темам курса осуществляется на письмен- ных контрольн ых работах. Правильно поступают учителя, включающие в текст контрольной работы не только решение практических задач, но и во- просы теоретического содержания. Например, первые задания в контроль- ной работе по теме «Квадратные корни» могут быть такими: 1) дайте определение квадратного корня. 2) докажите теорему о квадратном корне из произведения двух чисел. Первое из этих заданий можно в других вариантах заменить теоремами о квадрате квадратного корня и о квадратном корне из квадрата. Второе задание можно заменить теоремой о корне из частного. Многие учителя проводят также устные зачеты по большим темам кур- са. Методика таких зачетов не разработана теоретически, и каждый учи- тель проводит их по-своему. Очень распространенной и совершенно необходимой формой контроля знаний по математике яв ляется контрольная работа Контрольная работа традиционно проводится в два варианта. Эти вари - анты пишутся на доске. Во время работы учитель следит за тем, чтобы она писалась самостоятельно. Всякая попытка общения пресекается. При этом удобно пользоваться следующим простым приемом, аналогичным системе желтых и красн ых карточек у футбольных судей. При первом нарушении порядка фами лия нарушителя записывается на доске, при втором она под- черкивается, при третьем нарушении работа у него отбирается. Еще луч ше, если работа проводится в несколько вариантов, так, чтобы не только рядом, но и впереди и позади ученика не было людей с тем же вариантом. (Речь идет, конечно, о классе обычной наполняемости. Если в классе 7 человек, а помещение обычное, то хватит и одного варианта.) Хо- рошо, если вариантов четыре. Но есть учителя, которые любят, чтобы их число было гораздо больше: десять или даже столько, сколько в классе
61 учеников. Однако такое разнообразие затрудняет и проверку работы, и анализ ее результатов. Написанную работу учитель должен собрать и тщательно проверить. По поводу того, как это делать, существуют различные мнения. Некоторые считают, что в проверяемой работе следует исправить красным каранда- шом все ошибки. Другие полагают, что и справлять ошибки не нужно, но необходимо все их подчеркнуть, причем по-разному: недочеты и описки – волнистой чертой, простые ошибки – прямой, а грубые – двумя чертами. По мнению третьих, вообще ничего подчеркивать и исправлять в прове- ряемой работе не следует, а надо только указать на полях, решена ли каж- дая из задач (при работе над ошибками ученик должен сам найти все свои ошибки, а не найдет – пусть обратится к учителю). Итак, работа написана и проверена. Что делать с теми, кто с работой не справился? Тут все зависит от того, сколько их – этих неудачников. Если немного – нужно провести с ними дополнительную работу (дополнитель- ное занятие или (и) дополнительное домашнее задание). Если же их много, то тут поможет такой прием. Рассадите на следующем уроке всех детей группами по вариантам, которые они писали (иногда для этого полезно пе- редвинуть столы). В каждой группе должен быть ученик, хорошо спра- вившийся с работой (если таки х нет, то надо считать, что работа провали- лась, и следует повторить изучение всего материала в классе). Этот ученик должен обеспечить написание набело всеми учащи мися его группы всей работы. Работа собирается и проверяется либо учителем, либо сильными учениками (можно сделать так, чтобы они проверяли «чужие» группы). Если проверка показывает, что все все поняли, работа с переменой вариан- та переписывается. Важной проблемой при составлении заданий кон- трольной работы яв ляется сопоставление уровня трудности вариантов. И по этому вопросу имеются разн ые мнения. Есть специалисты, которые считают, что варианты должны быть различной трудности. Правда, одни из них полагают, что за сделанную работу следует ставить пятерку вне за- висимости от уровня ее трудности. А другие думают, что оценка должна зависеть от того, какую работу написал ученик: легкую или трудную. Есть и такие, кто предлагает ученикам самим выбирать, какую работу они хотят писать, на какую оценку они претендуют. Мы считаем, что во всяком деле нужно предоставить ученику возможность проявить себя, а не уклониться от работ ы. Поэтому и предлагаем делать все варианты одинаковыми по трудности, располагая задания в каждом варианте по мере возрастания трудности (лесенка трудности). И пусть каждый доберется до того уровня, на который он сегодня способен. Бывают темы (особенно много их в геометрии), по которым трудно со- ставить варианты одинаковой трудности, в которых каждая задача имеет свое лицо, и хочется проверить, как они все решаются. Здесь можно посо- ветовать совершенно особую методику построения контрольной работ ы.
62 Учитель пишет задания (тексты задач или их номера по учебнику) на кар- точках и предлагает детям брать эти карточки из пачки. Каждая задача, взятая учеником, за ним записывается. Он решает задачу или отказывается от нее и в любом из этих случаев берет следующую карточку и т.д. По окончании работы у учителя оказывается список задач, которые дост ались каждому из детей, а также сами работы, в которых решены все или не все из этих задач. Можно эти задачи предварительно рассортировать. Напри- мер, если часть задач ранее решалась в классе, их можно нанести на кар- точки особого цвета или размера и давать учащимся поочередно брать кар- точки то одного, то другого вида. Работа по т акой методике очень нравит- ся учащимся, но она трудна для проверки. Заметим, что слишком частые контрольные работы при интенсивной методике обучения не нужны. Достаточно проводить их по действительно крупным разделам, около 5 контрольных работ в год. На каждую работу полезно в ыделят ь 2–3 часа, из которых один час уходит на проведение са- мой работы, а еще 1–2 часа (накануне контрольной работы и на следую- щий день после нее) – на ее подготовку и анализ результатов. 1.5.7. Классно-урочная форма обучения Классно-урочная система обучения была создана в XVI в. Яном Амо- сом Коменским. В Россию она была принесена последователем Коменско- го Ф.И. Янковичем, сербом по национальности, приглашенным Екатери- ной II для разработки школьного устава, единого для всех государствен- ных школ. Устав был разработан Ф.И. Янковичем и утвержден императри- цей в 1786 г. До этого в российски х школах учитель объяснял материал каждому в отдельности, а остальные ученики в это время должны были за- ниматься самостоятельно. Не было ограничено и время уроков. Его опре- делял сам учитель. При классно-урочной системе учитель стал заниматься сразу со всем классом, и соблюдалась единая для всех продолжительность урока, отмечаемая школьными звонками. Если раньше в классе находились только скамьи и столы, то теперь в нем появилась классная доска. От уче- ников требовалось участвовать в общей работе и при необходимости что- либо сказат ь поднимат ь левую руку. В настоящее время классно-урочная система является всеобщей фор- мой массового школьного обучения во всем мире. Именно классно- урочная система, позволяющая одному учителю обучать одновременно не- сколько десятков учеников, позволяет справляться с проблемой всеобуча. Разумеется, одновременное обучение многих детей  дело весьма слож- ное, и, как мы уже говорили, далеко не все учителя с ним справляются. Это наводит некоторых педагогов на мысль, что классно-урочная система уста- рела. Раздаются голоса о ее несоответствии требованиям XXI в., третьего тысячелетия. Разговоры о веке и о тысячелетии  это, конечно, всего лишь
63 громкие слова. И нужно серьезно разобраться в справедливости обвинений в адрес классно-урочной системы. Эти обвинения сводятся к двум:  классно-урочная система не обеспечивает необходимого уровня ус- воения школьной программы;  классно-урочная система не обеспечивает необходимой индивидуа- лизации обучения. Первое обвинение было полностью опровергнуто в результате мас- сового эксперимента, проведенного лабораторией математики НИИ школьного оборудования и технических средств обучения Академии педагогических наук СССР. Этот эксперимент проводился в школах Москвы, Армении и Латвии. В нем участвовало около 1500 учащихся и 40 учителей. Эксперимент был начат сразу после окончания этими детьми начальной школы и продолжался до самого окончания ими 11 класса. В течение всех этих семи лет математика преподавалась так, что все дети были заняты напряженной учебной работой на каж- дом этапе урока, а домашняя работа была минимизирована. Результ а- ты обучения были доложены на Всесоюзном совещании учителей в ноябре 1989 г. Оказалось, что в условиях классно-урочной системы удается организовать полноценное обучение всего состава учащихся. Тем самым было доказано, что эта система вполне жизнеспособна. В начале нынешнего века высказывались мнения о том, что данные этого эксперимента устарели. Тогда эксперимент был повторен в две- надцати школах г. Старый Оскол. Оказалось, что высказанные опасе- ния необоснованны. Классно-урочная система обладает большими по- тенциальными возможностями и способна полностью обеспечить не- обходимый уровень усвоения школьной программы. Второе обвинение также беспочвенно. Далеко не все школьники нуждаются в индивидуальном подходе к их учебной работе. Наоборот, общая учебная работа в классе весьма импонирует многим детям. Рос- сийская школьная программа в достаточной мере соответствует об- щим возможностям и потребностям детей школьного возраста. Прове- денное нами многократное анкетирование во время вышеописанных экспериментов подтверждает это. Безусловно, есть дети, которые хо- тели бы обучаться по особым программам и в особых условиях. Час- тично эта проблема решена: родители в наше время получили право перевести своего ребенка на домашнее обучение. А полное решение этой проблемы должно быть основано на сложных и дорогостоящих процедурах. Нужно иметь научно разработанную программу выявле- ния детей, действительно нуждающихся в индивидуальном обучении. И нужно иметь особый педагогический инструментарий, позволяю-
64 щий учителям удовлетворить особые индивидуальные потребности этих детей17. То, что предлагается революционерами в области обучения, – бессиль- ная реакция на плохое состояние нынешней школы. Они не знают, как его улучшить, и желают разрушить имеющуюся систему. Они набирают хоро- ших учителей и с ними ставят громкие эксперименты («Школа-сад» и пр.). Однако на простой вопрос, как осуществить такое на всей территории Рос- сии с ее десятками миллионов школьников, ответа нет и быть не может. Только нынешняя классно-урочная система осуществима в наших условиях в десятках тысяч школ. Можно предположить, что через сто лет будет немало школ свободного обучения. В этих школах будут работать учителя, на уроки которых дети идут охотно. Это педагоги милостью Божьей, к которым дети тянутся. На их уроки не нужно отправлять детей в порядке выполнения дисциплинар- ных правил. Учениками в этих школах будут дети, которые не нуждаются во внешних побуждениях для нормальной учебной работы. Но таких уче- ников, а самое главное – таких учителей не будет много. И большинство обычных учителей и обычных учеников будут работать в рамках дисцип- линирующей классно-урочной системы. А что будет лет через двести – сказать трудно. Может быть, все обуче- ние будет виртуальным? 1.5.8. Технология учебных циклов Нам удалось создать систему таких форм обучения, которые наиболее приемлемы в условиях классно-урочного обучения. Получившаяся образо- вательная технология носит название технологии учебных циклов (ТУЦ). Целью применения ТУЦ является обеспечение непрерывности процесса обучения для каждого учащегося общеобразовательной школы. С ее по- мощью удается добиться такого положения, при котором каждый ученик последовательно изучает все разделы учебной дисциплины, постоянно от- читываясь в успешности их изучения. Это приводит к отсутствию отстава- ний, к превращению обучения в бесперебойный производственный про- цесс, о котором с такой надеждой говорил, напри мер, А.С. Макаренко. Нет, мы ни в коем случае не посягаем на систему преподавания луч ших педагогов . Но если учитель не справляется с работой, то мы должн ы ему предложить реальный выход из положения  такую образовательную тех- нологию, которая срабатывала бы бесперебойно. 17 По имеющимся у нас сведениям, эта проблема решена в Великобритании. Там, например, опубликова- ны десятки вариантов различных альтернативных программ обучения математике. Если тот или иной ученик выбирает один из этих вариантов, он и учитель его школы получают бесплатно компьютерное обеспечение для его изучения, а учитель получает дополнительную плату за обучение этого ученика.
65 При использовании ТУЦ:  дети всегда готовы к восприятию нового материала;  дети внимательно слушают учителя;  дети оказываются в состоянии решать предлагаемые им учебные за- дания;  обеспечивается непрерывный контроль усвоения. При этом в ыполняются вышеперечисленные требования медицины, психологии и педагогики. Например, учитывается невозможность решать наши проблемы за счет увеличения домашних заданий  весь основной учебный процесс протекает на уроке. Не используется уровневая диффе- ренциация, ибо не разработаны средства для определения потенциальных возможностей каждого ученика. Вместо этого при меняется «лесенка» сложности и трудности заданий18. ТУЦ от личается большой простотой и доступностью для каждого учи - теля. Компьютер (если учитель им располагает) используется лишь в каче- стве помощника учителя, а не как основное средство обучения. Если же компьютера нет, то это совершенно не препятствует применению ТУЦ. Авторами технологии учебных циклов являются Е.Б. Арутюнян, М.Б. Волович, Ю.А. Глазков и автор этой книги. Важный вклад в наши разработки внесли В.Г. Болт янский, М.Я. Антоновский, В.Г. Ашкинузе, Э.Ю. Красс, В.С. Нодельман, Л.И. Апанасенко, А.О. Антонов, Ю.Г. Гузун, П.М. Камаев, а также многие учителя-экспериментаторы. ТУЦ разработана в НИИ школьного оборудования и технических средств обучения Акаде- мии педагогически х наук СССР в 60–80-е гг. прошлого века. Она провере- на тогда же в многолетнем массовом эксперименте – в непрерывном пре- подавании математики с 4 по 11 класс в школах Москвы, Латвии и Арме- нии (около 1500 учащихся)  и получи ла одобрение Института гигиены детей и подростков Минздрава СССР, а также Всесоюзной конференции учителей математики в ноябре 1989 г . В настоящее время идет повторная успешная проверка ТУЦ в преподавании ряда предметов в двенадцати школах г. Старый Оскол. *** Единицей учебного времени обычно считают урок. Однако в течение урока не всегда удается преподать с начала до конца какую -либо порцию знаний. Урок может быть и началом, и продолжением, и окончанием от- резка времени, в течение которого происходит изучение некоторой темы программы. А весь период такого изучения, состоящий из одного или из нескольки х уроков, естественно назвать учебным циклом. 18 Задача сложная, если она состоит (сложена) из простых (одноходовых) задач. Задача трудная, если трудно додуматься до способа ее решения. Сложность задачи  ее объективная характеристика, труд- ность  характеристика субъективная.
66 Учебный цикл – это фрагмент процесса обучения, в течение которого учащиеся усваивают некоторую отдельную порцию учебного материала. Вот как выглядит принципиальное строение учебного цикла: 1) актуализация знаний, нужн ых для восприятия новой информации; 2) введение новой информации; 3) первоначальное закрепление; 4) тренировочное закрепление; 5) итоговое закрепление; При этом необходимо непрерывно контролировать успешность процес- са обучения. Если все эти этап ы удается уложить в один урок, то в этих редких слу- чаях получаем одноурочные циклы. Приведем пример одноурочного цикла на тему «Построение циркулем и линейкой биссектрисы угла» из курса планиметрии. 1. Учитель раздает учащи мся листы с начерченными на них углами разной величины. Он предлагает вспомнить материал прошлого урока и построить циркулем и линейкой на обратной стороне листа угол, равный данному углу. Ту же работу выполняют на скрытых полях классной доски два ученика (о том, кто именно вызывается к доске, класс был предупреж- ден на прошлом уроке, поэтому вызванные подготовлены к ответу у дос- ки). Через 5 минут учитель собирает работы, а ученики, вызванные к дос- ке, подробно рассказывают материал. Очень поощряются добавления и ис- правления с мест (что способствует подготовке и других учащихся к уроку по учебнику). 2. Учитель вводит новый материал – построение биссектрисы циркулем и линейкой. На доске строится конспект: чертеж с краткими пояснениями и доказательство правильности построения. Дети копируют конспект в тетрадях. 3. Учитель раздает учащимся листы бумаги с начерченными на них уг- лами разной величины и обозначений, не похожие на те, что в конспекте. Учитель дает задание построить циркулем и линейкой биссектрису и дока- зат ь правильность построения. При этом детям рекомендуется пользовать- ся конспектом. 4. После завершения работы она отбирается учителем для оценки. Да- ется домашнее задание: выучить конспект. Назначаются двое учащихся, которые будут на следующем уроке отвечать у доски. Как видно, этот одноурочный цикл содержит все вышеперечисленные этапы учебного цикла. Актуализация знаний произошла на первом этапе; она совместилась с итоговым закреплением материала предыдущего урока. Введение новой информации  на втором. Тогда же произошло первона- чальное закрепление во время копирования учащи мися конспекта. Трени- ровочное закреп ление произошло на третьем этапе. А итоговое закрепле- ние перенесено на следующий урок. И все время проводился контроль
67 знаний. Каждый учащийся получает на этом уроке по две оценки: за рабо- ту на первом и третьем этапах урока. Одноурочные циклы совершенно не характерны для курса математики: ведь в данной порции материала изучается всего одна задача, а обычно в каждой порции этого курса при ходится изучать определения, теоремы и целые классы новых задач. Заметим и то, что одноурочные циклы изли шне кратки. Они не дают времени на осознание, продумывание сколько-нибудь сложного материала. Каждый этап проводится в быстром темпе. И если кто-либо из учеников отвлекся даже на короткое время, это сильно сказы- вается на процессе обучения. Уже двухурочные циклы гораздо эффективнее одноурочных. Двух- урочные циклы состоят из урока изложения нового материала (мы будем называть его уроком И) и урока самостоятельной работ ы (урок С). Урок И состоит из трех этапов: контроль знаний – математический диктант (около 10 минут вместе с проверкой), этап объяснения (15 минут), этап первоначального закрепления. Урок С также состоит из трех этапов. Этап проверки теоретического материала занимает около 10 минут. На этом этапе все учащиеся воспроиз- водят по памяти конспект нового материала, записанный ими на предыду- щем уроке и выученный дома. В то же время один-два ученика, вызванные к доске (предупрежденные об этом накануне!), не только воспроизводят тот же конспект на доске, но и рассказывают после этого весь материал по учебнику (как это делается на уроках истории, географии, биологии, но, к сожалению, обычно не делается на уроках математики). Этап трениро- вочного закрепления занимает около 15 минут. Учащиеся под руково- дством учителя решают задачи, аналогичные первым (самым прост ым) за- даниям самостоятельной работы. Наконец, проводится сама эта работа, за- нимая около 15 минут. Видно, что и во время двухурочного цикла учитель все время руководит работой, а ученики все это время заняты делом и письменно отчитываются в своей работе на каждом этапе. Каждый получает во время двухурочного цикла по три оценки: за диктант, за конспект и за самостоятельную работу19. Двухурочный цикл достаточен для организации обучения, если: 1) не требуется длительного закреп ления материала; 2) опрос по теории можно осуществить с помощью воспроизведенного по памяти конспекта. Если же нарушается какое-нибудь из этих условий, то в учебный цикл нужно вводить дополнительные уроки. Особенно часто нарушается первое условие, так как в большинстве случаев нам необходимо организовать ре- 19 Любопытный вариант был мне предложен учителем истории одной из московских школ. Он соединил обычные одноурочные циклы по своему предмету в двухурочные. Для этого он просто «склеивал» в од- ну порцию два подряд идущих параграфа учебника истории. В этих двухурочных циклах ему недостава- ло лишь одного: дети мало говорили у доски. Эту проблему удалось решить с помощью специальной организации повторительно-обобщающих уроков по большим темам. Их он строил как уроки О.
68 шение большого числа задач по новому материалу. Двухурочный цикл не дает места для такой работы. Для нее нужны специальные уроки. На этих уроках задачи должны решаться всеми учащимися (а не списываться с доски). И необходимо, чтобы каждый ученик получил оценку за такую ра- боту. Это достигается путем специальной организации уроков решения за- дач – уроков Р. Второе затруднение, возникающее на двухурочных циклах – невоз- можность опросить всю теорию по конспектам. Эта проблема решается путем введения в учебный цикл специального урока, посвященного устно- му опросу по теории (урок О). На нем учащиеся прочитывают по учебнику теоретический материал (рассказанный им на предыдущем уроке), а затем «сдают» его учителю либо другим ученикам – помощникам учителя. Весьма интересны пяти- и шестиурочные циклы, использованные мною при построении курса математики в 5–9 классах. Основная идея состоит в делении цикла на две составляющие. На первых двух уроках вводится но- вый материал и проверяется, понят ли он учащимися. Эта часть цикла со- стоит из уроков И и С. На следующих трех или четырех уроках этот матери- ал включается в общую систему знаний. Это происходит на уроках Р и О. Последний урок цикла  итоговая проверочная работа. Такое строение кур- са требует видоизменения планирования, при котором годичный курс мате- матики делится на циклы по укрупненным темам. В 5 и 6 классах получает- ся 30 пятиурочных циклов, в курсах алгебры 7–9 классов  по 16 шести- урочных циклов, в курсах геометрии  по 11 шестиурочных циклов. Учебные циклы (кроме малотипичных одноурочных) состоят из уроков И, Р, О и С. Займемся ими более подробно. 1. Урок И. Первый этап урока И – предметный диктант, занимающий вместе с проверкой около 10 минут. Диктант проводится в один или в два варианта, в зависимости от того, опасается ли учитель списывания. К началу урока на ученических столах лежат чистые лист ы бумаги (в половину тетрадной страницы). В самом начале урока учитель включает магнитофон с вопро- сами диктанта (это особенно важно, если вариантов два; тогда удобно иметь магнитную запись диктанта в два голоса: мужской голос читает один вариант, а женский  другой; этим ликвидируется возможность пута- ницы вариантов. Каждый ученик слушает только свой вариант  мужской или женский голос). Звучат вопросы диктанта. Каждый вопрос повторяется дважды через слово «повторяю». Это нуж- но для того, чтобы ученик мог спокойно воспринять вопрос и чтобы при повторении его он не подумал, что вопрос еще не окончен. Вот при мер текста диктанта: Мужской голос. Вариант первый. Вопрос перв ый. Сколько процентов состав ляет один дециметр от одного метра? Повторяю. Сколько процентов состав ляет один дециметр от одного метра?
69 Женский голос. Вариант второй. Вопрос первый. Сколько процентов состав ляет один сантиметр от одного дециметра? Повторяю. Сколько про- центов составляет один сантиметр от одного дециметра? Ученики отвечают на вопросы в контрольн ых листах и копируют отве- ты в тетради (копии ответов понадобятся для их анализа). После слов «Диктант окончен» контрольные лист ы с ответами сдаются учителю, кото- рые проверяются позже: на перемене или после уроков. Затем учитель включает графопроектор или демонстрирует запись на доске, и ученики видят правильные ответы к заданиям диктанта. По этой записи, пользуясь оставши мися у них копиями ответов, ученики проверяют свою работу. Правильные ответы они отмечают плюсами, неправильные – минусами, не вполне правильные – плюс-минусами. Хорошим приемом является вызов к доске одного или двух учеников перед началом диктанта (если в классе имеется распашная доска или зана- веска, за которой могут спрятаться ученики). Они пишут ответы на скры- тых частях доски, а после диктанта их записи используются для проверки работы. Здесь все время говорится о проведении математического диктанта с помощью звукозаписи. Однако если у учителя такой записи нет, это не повод отказыват ься от диктанта. Просто придется задавать вопросы само- му учителю, хотя это и менее удобно. Очень полезно варьировать способы проверки и оценки диктантов. Иногда это самопроверка. Ученики не сдают лист ы учителю, а сами све- ряют свои ответы с правильн ыми и сообщают результат ы учителю, а учи- тель ставит оценки в журнал. Иногда это взаимопроверка. Ученики, пи- савшие один и тот же вариант, обмениваются своими листами. При сооб- щении ответов учителем ученик ставит плюсы или минусы в лист другого ученика. После этого лист ы возвращаются к их в ладельцам. Они выстав- ляют себе оценки и сообщают их учителю. При таки х видах проверки можно не ставить плохих оценок. А можно вообще выставлять только те оценки, которые устраивают ученика:  У тебя что?  Четыре.  У тебя?  Пять.  У тебя?  Не ставьте. Здесь нужно остановиться еще на одной важной проблеме – проблеме списывания. Списывают, оказывается, не везде. Насколько мне известно, не списывают в школах США. Американские дети, приезжавшие по обме- ну в гости в школу № 45 г. Москв ы, на вопросы о списывании обнаружи- вали удивление, подчеркивая: а) что списывая, не научишься; б) что это нечестно. У нас (и, например, в Германии, и почти повсюду) дети списы-
70 вают. Однако это не дает права учителю подозревать детей в списывании, пока они на этом не попались. Скажем, проводит учитель диктант в два ва- рианта. Ясно, что это плохо: один вариант удобнее и диктовать, и потом разбирать, и проверять. Но дети знают: диктант проводится в два варианта для предотвращения списывания. Имеет место факт подозрев ания детей в том, чего они еще не соверши ли. Нарушается презумпция невиновности. А стоит ли это делать? Ведь списывают, когда не знают (или не уверены, что знают). Если учить так, чтобы знали, так и списывать не будут. Нрав- ственный климат при отсутствии подозрений в списывании намного выше. А в ыговоры, которые нужно делать при каждом обнаружении списывания, будут настоящей борьбой за нравственность (против лжи!), если списыва- ют все реже и реже. Снова мы при ходим к тому же: хорошее обучение по- зволяет пов ысить нравственный уровень. И так как диктант в один вариант полезнее дидактически, то и лучше его проводить в один вариант. Мы по- высим уровень обучения, а это в борьбе со списыв анием луч шее средство, чем грубая борьба с ним20. Второй этап урока И – объяснение материала. На него отводится не более 15 минут. Учитель рассказывает материал и фиксирует на доске конспект, а дети переносят конспект в свои тетради. С помощью системы «да – нет» учи- тель добивается всеобщего участия в беседе по излагаемому материалу. Он показывает, как можно использовать новый материал для решения задач. Третий этап урока И – первоначальное (репродуктивное) закрепление изложенного материала. На него отводится около 15 минут. Учащиеся под руководством учителя решают задачи, аналогичные тем, которые были рассмотрены при объяснении. Учитель добивается проверки каждого этапа решения самими учащимися или и х соседями. Первоначальное закрепление должно быть выполнено с большой чет- костью. Нужны точные вопросы, точные письменные и ли устные ответы, должны быть достигнуты правильные формулировки ответов, всеобщее одобрение их классом (система «да – нет»). К сожалению, обычно этого не происходит. Учитель часто удовлетворяется приблизительными ответами учащихся, а недостатки их исправляет только сам. Но это очень важный этап обучения. П.Я. Гальперин говорил, что успех ориентировки на 40 % определяет успех всего обучения. Поэтому правы те учителя, которые го- товят первоначальное закрепление в виде сценария такого вида: Вопрос: …? Ожидаемый ответ: ... . 20 Осенью 2003 г. я приехал в г. Старый Оскол посмотреть, как в его школах внедряется технология учебных циклов. Я побывал на шести уроках в разных школах города: на уроках физики, географии, биологии и математики. На каждом уроке был диктант. И все эти шесть диктантов писались в один вари- ант. Это было для меня большой и приятной неожиданностью и убедило меня окончательно в том, что вариант в диктанте должен быть один.
71 И всегда добиваются, чтобы ожидаемый ответ прозвучал не только в исполнении учителя, но и в исполнении учащи хся. Еще более эффективно проходит первоначальное закрепление при ис- пользовании тетрадей с печатной основой. Однако не все выпускаемые ныне так называемые «Рабочие тетради» пригодны для этого. В тетради, которая нам нужна, необходимо иметь не только задания, но и решения этих заданий, в которых имеются пропущенные фрагменты. Ученик, за- полняя пропуски, тем самым участвует в обсуждении решения. Тетрадь помогает ему ов ладеть новой деятельностью сразу после полученной ори- ентировки в рассказе учителя. Примеры таких тетрадей Вы найдете в при- ложениях 2–5 к этой книге. На дом дается задание изучить конспект для воспроизведения по памяти на следующем уроке. Учитель назначает двух учеников, которые будут от- вечать у доски. Остальным рекомендуется внимательно прочитать учебник, чтобы квалифицированно выслушать ответ (всякое дельное добавление и исправление во время ответа поощряется). Вот краткая схема урока И. Содержание этапа Время (мин.) Деятельность учителя Деятельность учащихся 1. Математиче- ский диктант 10 Включает магнитофон, наблюдает за работой учащихся; по окончании собирает работы. Демонст- рирует правильные ответы Надписывают листы, записывают ответы и их копии. По окончании сдают работу. Обсуждают результаты 2. Новая информация 15 Ведет рассказ-беседу. Предъявляет конспект Слушают, записывают конспект, участвуют в беседе 3. Первона- чальное закрепление До конца урока Дает задания для пошагового выполнения. Контролирует правильность работы Выполняют задания, контролируя каждый шаг 2. Урок Р. Мы уже говорили об уроке Р, посвященном тренировочному закрепле- нию, – уроке решения задач, на котором учащиеся работают в парах на свои х рабочих местах и все получают оценки за проделанную работу. Рас- скажем об этом уроке подробно. В начале урока учитель знакомит уча- щихся с заданиями, записанными на доске: классн ым заданием и домаш- ним. Ученики приступают к классному заданию, разбившись на пары так, чтобы было приятно и полезно работать с соседом. Учитель просит ответы к задачам обводить рамкой или выписывать на полях для удобства провер- ки. Он предупреждает, что работа будет приниматься от двоих, однако ре- шение каждой задачи должно быть зафиксировано в каждой тетради. По- этому, решив очередную задачу, ученик должен побеспокоиться о том, решил ли ее сосед.
72 Ученики начинают работать. Учитель наблюдает за работой, оказывая помощь тем, кто в этом нуждается, и следя за тем, чтобы каждая пара ра- ботала, не отвлекаясь. Если окажется, что какая-либо пара нетрудоспособ- на, то он рассаживает ее. Однако, в основном, нужно добиваться, чтобы ученики сами определяли, с кем будут сидеть. И еще одно: нельзя во время работы прерывать ее общими замечаниями. Мы считаем, что пары на уроке решения задач должны быть, как пра- вило, гомогенными. Мы против того, чтобы в каждой паре были «учитель» и «ученик». Во-первых, мы не знаем, как разделить класс на две равные части: сильных «учителей» и слабых «учеников», во-вторых, считаем, что такое предварительное навешивание ярлыков вредно, а в -третьих, как уже было ранее сказано, мы считаем полезн ым, чтобы дети выбирали себе пару сами. Гомогенная пара работает, все время меняя роли: то один, то другой объясняет, то один, то другой слушает. Получается общение в процессе обучения, чего мы и добиваемся. Иногда спрашивают: а как будут общаться и сотрудничать самые сла- бые? Чему они научат друг друга? При желании работать двоечник может научить двоечника на 3. Но если такого желания нет, то, конечно, могут получиться неработоспособные пары. И в этом случае учитель должен об- ратить на них особое внимание, часто к ним подходить и помогат ь. Если и этого недостаточно, то в этом (и только в этом!) случае приходится обра- зовывать гетерогенные пары. Сделать это можно, например, так: подсадить к слабому (или даже к паре слабых учеников) сильного и сказать, что он должен объяснить им, как решать данные задачи. При этом надо освобо- дить «учителя» от необходимости самому работать в тетради. Если этого не сделать, то он может не успеть поработат ь со своими «учениками » и просто даст им списать свое решение. Нужно поставить перед «учителем» задачу научить «ученика» на тройку (и тогда «учитель» автоматически по- лучает пятерку), или на четверку (за это «учитель» получает две пятерки), или на пятерку (три пятерки «учителю»). Важнейшая цель на уроке решения задач – оценить работу каждого ученика. На протяжении урока учитель видит, что самые сильн ые пары за- канчивают работу. Он проверяет их тетради, ставит высокие оценки и про- сит приступить к выполнению домашнего задания (записанного на доске). За 5 минут до конца урока учителем должно быть проверено не менее тре- ти всех работ. Тогда за оставшиеся 5 минут учащиеся, у которых работы проверены, смогут проверить работы у других учеников (каждый проверя- ет пару, поэтому одна треть справляется со всеми остальными). Оценка ставится каждому ученику в зависимости от того, сколько за- дач им сделано. Однако необходимо добиваться, чтобы учащиеся работали в парах. Поэтому следует принять такое правило: оценки соседей не могут отличаться более, чем на один балл. Это значит, что, решив, например,
73 четвертую задачу, ученик обязан добиться, чтобы и его сосед решил эту задачу, и только после этого сам он может приступать к пятой задаче. Может ли такой урок не удаться? Разумеется. Может оказаться, что класс не в состоянии работать самостоятельно: в ы дали задание, а дети и не собираются приступать к нему, и угроза двоек в конце урока не особен- но их тревожит. Это значит, что в данном классе такие уроки проводить рано, и в этом случае надо отказаться от уроков решения задач внутри учебного цикла – вести преподавание двухурочными циклами. Нужно, од- нако, сказать, что часто урок решения задач не удается по другой причине: неточно определен объем задания, и учащиеся не успевают решить все за- дачи. Здесь можно поступить по-разному: не проверять работ ы в течение урока, а собрать их для домашней проверки, или даже продолжить работу на следующем уроке. А чтобы правильно задавать объем работы на урок, нужно знать относительную скорость работы данного класса и самого учи- теля. Она в ыявляется с перв ых же дней знакомства с классом и в дальней- шем лишь корректируется. Вот краткая схема урока Р. Содержание этапа Время (мин.) Деятельность учителя Деятельность учащихся 1. Организация работы 2 Просит распределиться по парам для решения задач. Предъявляет задания на урок и на дом Распределяются по парам по собственному выбору 2. Решение задач 30–35 Наблюдает за работой пар, консультирует, проверяет и оце- нивает результаты у первых пар Работают в парах, обра- щаются к учителю за помощью и за оценкой 3. Оценка работы 5 Организует проверку и оценку работ всех учащихся Ученики, проверенные учителем, проверяют и оценивают работу остальных пар По той же схеме протекает и урок повторения, отличающийся от урока решения задач только содержанием самих заданий. Если урок решения за- дач – составная часть учебного цикла, то урок повторения – урок вне цикла, посвящаемый повторению пройденного. Что бы ни изучалось в классе, не- обходимо систематически повторять ранее изученный материал. Для этого можно использовать, например, специальные разделы в учебниках. Но включать их решение в учебный цикл нельзя. Это сильно осложняет всю работу. Если Вы работаете с этим повторительным материалом учебника, то делать это следует на специальных уроках  уроках повторения. Заметим, что если класс еще не готов к урокам типа Р и поэтому нельзя проводить уроки решения задач, то уроки повторения проводить все же можно. Именно на этих уроках можно приучать детей к урокам решения задач.
74 Уроки типа Р имеют большое воспитательное значение. На них осуще- ствляется трудовое воспитание (дети приучаются организовывать свой са- мостоятельный труд), нравственное воспитание (дети несут ответственность за работу своего соседа), коммуникативное воспитание (дети сотрудничают как во время работы, так и во время проверки ее результатов). На этих уро- ках используется коллективная (парная) форма работы в классе. Отметим, что включение в учебный цикл урока решения задач приво- дит к видоизменению последнего урока цикла – урока С. Если в цикле присутствует урок решения задач, то нет нужды на уроке С специально го- товить детей к выполнению первых заданий самостоятельной работы. По- этому можно, опросив их по конспекту и у доски, сразу приступить к са- мостоятельной работе. В этом случае самостоятельная работа может про- должаться до 30 минут. 3. Урок О. Опрос по теоретическому материалу не всегда удается провести в пись- менной форме (в форме опроса по конспекту на уроке С). Дело не только в возрасте учащихся, а в том, что не всякий материал можно спросить в такой форме. Даже в старших классах доказательство многих формул тригономет- рии можно провести именно в письменной форме, то есть в форме опроса по конспекту. А вот доказательство признаков равенства треугольников в 7 классе так спрашивать нецелесообразно. Если ответ по теории должен включать в себя рассуждения, а не только записи, то нужно заменять пись- менный ответ устным. Способ, которым можно устно опросить всех учени- ков по теоретическому материалу, назовем уроком общения (О). Учитель входит в класс и предлагает учащимся рассесться парами для работы над теоретическим материалом. Он говорит, какой материал необ- ходимо прочесть по учебнику и какие задания по этому материалу надо выполнить. Учитель сообщает, на какие вопросы по теории нужно уметь ответить. Эти вопросы должны быть написаны на доске (так же, как и ука- зания страниц учебника и задач). Кроме того, на доске должно быть запи- сано домашнее задание. Ученики рассаживаются по парам и начинают работат ь. Они читают материал в учебнике и отвечают на вопросы друг другу, в ыполняют ука- занные задания. Когда пара считает, что готова отвечать, она сигнализи- руют об этом учителю. Учитель опрашивает только две первые пары, а всех остальных опрашивают учащиеся, успешно ответившие до этого; при этом ни один из них тоже не должен опрашивать более двух пар. Впрочем, это и не требуется. Обычно учеников, готовых опрашивать, бывает вполне достаточно, и в течение урока удается опросить всех. Уроки О позволяют спросить каждого по всему необходимому мате- риалу курса. Исчезают гадания «спросят – не спросят», опрос по теории становится обязательным элементом обучения. И хотя опрос ученика уче-
75 ником теряет в качестве по сравнению с опросом ученика учителем, аль- тернативы этому методу мы пока не знаем. Конечно, не любой класс готов к урокам О. К этим урокам детей гото- вят уроки Р. Более того, даже в подготовленном классе урок О порой не сразу удается. Но если уроки Р в классе проходят успешно, не следует пу- гаться первых неудач в проведении уроков О. Неудав шиеся уроки надо просто продолжить (или доспросить после урока тех, кого не успели спро- сить на уроке). Все сказанное ранее о гомогенных и гетерогенных парах на уроке Р от - носится и к уроку О. Приведем краткую схему урока О. Содержание этапа Время (мин) Деятельность учителя Деятельность учащихся 1. Организация работы 5 Просит учащихся разделиться на пары. Сообщает учащимся о предстоящей работе, записыва- ет на доске вопросы и задачи Распределяются по парам по собственному выбору 2. Изучение материала Различ- но для разных учени- ков Обходит класс, следит за работой, помогает при необходимости Изучают материал по учебнику, отвечают друг другу на вопросы, решают задачи в парах; по окончании отвечают учителю; приступают к домашним заданиям 3. Ответы учащихся До конца урока Опрашивает первые две пары. Руководит дальнейшим опросом Ответившие на «5» опрашивают других (по указанию учителя) Заметим, что введение в учебный цикл урока О приводит к видоизме- нению урока С. Ведь теперь уже не требуется проводить опрос по кон- спекту, поскольку все ученики опрошены по теории. На уроке С остаются только два этапа: консультация по решению задач самостоятельной работы (15 минут) и сама эта работа (25 минут). 4. Урок С. Самостоятельную работу удобно (хотя и не обязательно) строить из шести заданий: первые четыре – это типовые задания по изучаемому мате- риалу, достаточные для получения четверки; пятое – более сложное – для отличников; шестое – пов ышенной трудности – на отдельную пятерку. Первые пять заданий должн ы быть различных вариантов, чтобы обес- печить самостоятельное в ыполнение работы (удобно иметь четыре вариан- та). Шестое задание должно быть в одном варианте: его мало кто в ыпол- нит, а анализировать его в разных вариантах будет трудно. Иногда в классе оказываются ученики, сразу принимающиеся за шестую задачу и в резуль- тате получающие пятерку за шестую задачу и двойку за первые пять задач. Тогда следует изменить норму оценки: за каждую из первых пяти задач
76 ставить один балл, а за шестую – два балла, и при общей сумме в шесть или семь баллов ставить две пятерки. В зависимости от того, имеются ли в учебном цикле уроки Р и О, урок С строится по-разному. В двухурочном цикле он состоит из трех этапов: 1) проверки конспектов и опроса у доски (10 минут); 2) подготовки к решению первых четырех заданий (15 минут); 3) самой работ ы (15–20 минут). Если был урок Р, не нужен второй этап, если был урок О, не нужен первый этап. А так как уроки Р и О становятся системой, начиная с 7 клас- са, то получается, что в 7–9 классах самостоятельная работа занимает весь урок С. *** ТУЦ не единственная образовательная технология, обеспечивающая высокий уровень знаний и соответствующая требованиям медицины, педа- гогики и психологии. В преподавании математики можно с успехом ис- пользовать и так называемую интегральную технологию, разработанную профессором В.В. Гузеевым. Начало работы над темой в интегральной технологии состоит в следующем. 1) всему классу дается задание на несколько минут; 2) по результатам выполнения этого задания класс делится на три группы; 3) далее каждая группа работает на своем уровне. Как видим, здесь имеется весьма тонкая уровневая дифференциация. Она не предполагает деления класса на группы на длительное время, а только на один урок, в зависимости от возможностей ученика именно в этот день. Это позволяет учитывать личностные возможности учащихся. Однако эта технология требует большой и весьма качественной работы учителя как при подготовке к уроку (разработка первого задания и заданий для последующей работ ы групп), так и во время работы на самих занятиях. Использование ТУЦ проще, чем использование интегральной технологии. 1.5.9. Формы обучения в классах с углубленным изучением математики В этих классах все по-разному. Ведь иногда они создаются просто из учеников, неплохо успевающих по математике. А иногда в них удается на- брать очень сильный состав учащихся. В зависимости от возможностей учащихся могут видоизменяться и цели обучения, вплоть до целей воспи- тания настоящих интеллектуалов. Впрочем, цели могут задаваться и извне: например, бывает, что класс создается для подготовки абитуриентов в кон- кретный вуз. Разрабатывая методику преподавания математики в таких классах, мы должны определить глобальные цели обучения. Это могут быть цели, не
77 отличающиеся от обычных. А могут быть и повышенные глобальн ые цели: воспитание интеллектуалов, людей, привыкших к самостоятельному умст- венному труду. В первом случае мы будем преподавать в этих классах так же, как в обычных, меняя лишь программу обучения. Основная часть рабо- ты будет протекать в классе. Во втором случае мы будем делать упор на самостоятельное овладение программой учащимися, на освоение ее в до- машних условиях (наличие людей вокруг и требование соблюдать режим времени не дают работать в классе в индивидуальном ритме). Для выяснения этого вопроса необходимо определить, могут ли наши учащиеся эффективно работать в домашних условиях. Это можно выяс- нить довольно быстро, предлагая им работать по следующей технологии . Если окажется, что учащиеся могут работать по ней, то она должна остать- ся основной в их классе. Учебный цикл в классе с математической специализацией (6–8 уроков) Первый урок. 1. Математический диктант по предыдущему циклу. 2. Введение нового материала. Самое лучшее, если это будет сделано в форме доклада одного из учеников. Хорошо, если при подготовке к докла- ду ученик опирается, как минимум, на два источника (материалы двух раз- ных учебников или статьи из журнала «Квант» и т.д.), иначе его доклад будет прост ым пересказом текста первоисточника. Впрочем, на первых порах и пересказ не так уж плох. После такого доклада ученики читают учебник и составляют письменный краткий конспект нового материала. Можно и просто, вместо доклада указать ученикам, какой материал учеб- ника они должны прочитать на уроке с непременной сдачей конспекта к концу урока. Заметим, что в любом случае конспект должен сопровож- даться примерами по каждому значимому предложению: аксиоме, опреде- лению, теореме, алгоритму, методу рассуждений. 3. Домашнее задание должно быть рассчитано не менее чем на 30–45 ми- нут и должно включать в себя выучивание всех новых значимых предложе- ний, всех содержащихся в тексте доказательств и решение типовых задач. Второй урок. 1. Математический диктант по материалам первого урока. Проверяется знание текстов новых значимых предложений и (если это в озможно в краткой письменной форме) знание доказательств. 2. Самостоятельная работа по новому материалу. В нее включаются доказательства, которые не удалось включить в диктант, а также решение типовых задач по новому материалу. Очень удобно здесь воспользоваться заданиями с выборочными ответами. 3. Домашнее задание: задачи повышенной сложности и повышенной трудности.
78 Третий и следующие уроки  уроки-консультации по решению задач, разобранных в домашней работе. Каждый такой урок предваряется дик- тантом по всему материалу курса математики, начиная с устного счета, за- дач на проценты и модуль и т.д. Система таких диктантов приведена в мо- их книгах «Математика 5–6», «Диктанты по алгебре. 7–11 классы» и «Дик- танты по геометрии. 7–11 классы», выпущенных издательством «Илекса» в 2005–2009 гг. На дом задается очередная порция задач. На последнем из этих уроков на дом задается подготовка к опросу по теоретическому ма- териалу. Предпоследний урок  урок О. Последний урок  урок С. При работе в классе с уг лубленным изучением математики необходимо устраивать зачеты после каждой крупной темы. Перед зачетом полезно проводить уроки повторения материала темы. Эффективна такая организа- ция этого урока. 1. Математический диктант и его немедленная проверка. Учащиеся, от - ветившие на все вопросы, получают пятерки и становятся ассистентами учителя. 2. Подготовка остальн ых учеников к самостоятельной работе. В этом учителю помогают ученики, получившие пятерки за диктант. 3. Тестовая проверочная работа для всех учеников, кроме ассистентов, с немедленной проверкой. Справившиеся с работой получают четверки за урок. Остальные получают письменное домашнее задание на оценку «зачет». Вопросы и задания 1. Что такое формы обучения? 2. Назовите три основные характеристики формы обучения. 3. Приведите примеры форм обучения с различными способами деле- ния класса на учебные группы. 4. Приведите примеры форм обучения с различными способами взаи - модействия учащихся внутри учебной группы. 3. Приведите примеры форм обучения с различными способами в меша- тельства учителя в работу учебных групп. 4. Чем характеризуются индивидуальн ые формы обучения? Приведите пример индивидуальной формы обучения математике в школе. 5. В чем Вы видите достоинства индивидуального обучения математи- ке в школе? 6. В чем Вы видите недостатки индивидуального обучения математике в школе? 7. Охарактеризуйте правомочность и полезность вызова ученика к дос- ке в различных учебных ситуациях на уроках математики. 8. Чем характеризуются фронтальн ые формы обучения? Приведите пример фронтальной формы обучения математике в школе.
79 9. В чем Вы видите достоинства фронтального обучения математике в школе? 10. В чем Вы видите недостатки фронтального обучения математике в школе? 11. Охарактеризуйте дидактическую целесообразность проведения лекции в различных учебных ситуациях на уроках математики. 12. Чем характеризуются коллективные формы обучения? Приведите пример коллективной формы обучения математике в школе. 13. В чем Вы видите достоинства коллективного обучения математике в школе? 14. В чем Вы видите недостатки коллективного обучения математике в школе? 15. Охарактеризуйте парную работу на уроках математики. 16. Что такое гомогенная пара? Что такое гетерогенная пара? Каково Ваше отношение к их использованию на уроках математики? 17. На какие три основные составляющие можно подразделить обуче- ние математики в школе? 18. Какие основные требования следует предъявить к введению нового материала? 19. Что такое мотивация? 20. Назовите три основные уровня мотивации. 21. Охарактеризуйте теоретический уровень мотивации. 22. Охарактеризуйте практический уровень мотивации. 23. Охарактеризуйте внешний уровень мотивации. 24. Из каки х общих положений вытекают требования научности, дос- тупности и наглядности введения нового материала? 25. Каки м основным способом можно добиться структурированности нового материала при его введении на уроке? 26. Каков ы возможные этапы обучения конспектированию на уроках математики? 27. Состав ьте конспект по теме «Теорема Виета» для урока в 8 классе. 28. В чем смысл доведения новой информации до решения типовых за- даний? 29. Какие задания вы хотели бы включить в рассказ о теореме Пифагора? 30. Какими способами можно обеспечивать внимание учеников во вре- мя введения нового материала? 31. В чем состоит прием «да – нет»? 32. Какова цель закрепления новой информации? 33. Каковы три основные вида закрепления? 34. Охарактеризуйте действия учащегося во время репродуктивного (первоначального) закрепления. Охарактеризуйте требования к этому виду закрепления.
80 35. Охарактеризуйте действия учащегося во время тренировочного за- крепления. Охарактеризуйте требования к этому виду закреп ления. 36. Охарактеризуйте действия учащегося во время продуктивного (творческого) закреп ления. Охарактеризуйте требования к этому виду за- крепления. 37. Какие виды контроля следует различать? В каких формах прово- дится контроль на уроках математики? 38. Каково основное требование к контролю знаний на уроке математики? 39. Перечислите основные недостатки системы индивидуального, вы- борочного опроса. 40. Охарактеризуйте вызов ученика к доске как средство контроля знаний. 41. В чем преимущества письменного опроса? 42. Почему нельзя ограничиться только письменным опросом? 43. Как осуществляется текущий контроль? 44. Как нужно осуществлят ь отсроченный контроль? 45. Считаете ли Вы, что в контрольные работы по больши м темам сле- дует вводить вопросы теоретического плана? 46. Разработайте план зачета по одной из больших тем курса математики. 47. Каково Ваше мнение о частоте проведения контрольн ых работ? 48. Сколько времени в учебном плане, по Вашему мнению, должно быть выделено на одну контрольную работу? 49. Назовите автора классно-урочной системы. Сколько времени она существует? 50. Когда и как появилась классно-урочная система в России? 51. Какое значение имеет классно-урочная система при всеобуче? 52. Из-за чего появилось мнение об устарелости классно-урочной сис- темы в наше время? 53. Можно ли считать опровергнутым мнение о неэффективности классно-урочной системы обучения? 54. Как Вы относитесь к мнению о необходимости индивидуализации обучения? 55. Как Вы себе представляете организацию всеобуча в ближайшие сто лет? 56. Какова основная цель применения ТУЦ (технологии учебных циклов)? 57. На каки х учителей рассчитана ТУЦ? 58. Какие требования к учебному процессу выполняются при использо- вании ТУЦ? 59. Требует ли ТУЦ применения компьютера? 60. Когда создана ТУЦ и какую экспериментальную проверку она прошла? 61. Что считается в ТУЦ единицей учебного времени? Как определяет - ся понятие учебного цикла? 62. Каково принципиальное строение учебного цикла? 63. По каким темам Вы бы предложили проводить одноурочные циклы?
81 64. Какие виды уроков рассматриваются в ТУЦ? Каков ы цели каждого из них? 65. Из каких этапов состоит урок И? 66. Как протекает первый этап урока И? В чем его цель? 67. Как протекает второй этап урока И? В чем его цель? 68. Как протекает третий этап урока И? В чем его цель? 69. Какое домашнее задание дается после урока И? В чем его цель? 70. Из каких этапов состоит урок С? 71. Как протекает первый этап урока С? В чем его цель? 72. Как протекает второй этап урока С? В чем его цель? 73. Как протекает третий этап урока С? В чем его цель? 74. Как протекает урок Р? 75. В каких случаях возникает необходимость проводить урок О? 76. Как протекает урок О? 77. Как протекает урок повторения? 78. Приведите возможн ые схемы многоурочных циклов. 79. Какими бывают классы с уг лубленным изучением математики по составу учащихся? 80. Какое различие между такими классами является принципиально важным для выбора технологии обучения? 81. В чем особенность технологии обучения будущих интеллектуалов? 82. В чем особенность роли учителя в такой технологии? 83. Опишите вариант технологии, рассчитанной на домашнюю работу как на основу всего обучения. 84. Опишите процедуру выяснения готовности класса работать по т а- кой технологии. 1.6. Средства обучения Целям обучения может служить любая вещь. Например, стакан и графин с водой помогают объяснить, что такое объем, а перегибаемый лист бумаги  показать, что такое осевая симметрия. Разумеется, и сама речь учителя, и его интонации, и его мимика, и надписи и рисунки, которые он делает на доске, также являются средствами обучения. Средствами обучения оказываются и выступления учащихся перед классом (хотя иногда эти средства оказывают тормозящее влияние на процесс обучения!). Но мы будем говорить сейчас лишь о материальных средствах обучения  о предметах, используемых в его процессе, и даже не обо всех таких предметах, а только о тех, которые специ- ально создаются для этих целей, которые Вам нужно купить или сделать, а потом  хранить и использовать в классе. Более того, мы не будем здесь го- ворить о таких средствах обучения, как тетради, ручки, карандаши и линей- ки. Эти предметы покупают и хранят сами ученики, и учителю математики
82 можно не вмешиваться в то, как они это делают, лишь бы все было в порядке во время работы. Оценивая роль и возможности материальных средств обучения в це- лом, нужно заметить, что они играют в процессе обучения троякую роль. Во-первых, они служат средствами наглядности, повышая доступность обучения. Во-вторых, они дают Вам в руки готовые материалы, предъявляемые ученикам, обеспечивая высокий уровень научности и систематичности курса математики. В-третьих, материальные средства обучения помогают Вам организо- вать преподавание математики в нужных формах и нужными методами. Для подтверждения этой мысли достаточно указать на звукозаписи как на средство проведения математических диктантов. Средства обучения, используемые в преподавании математики, делятся на печатные, объемн ые, экранные и звуковые. К звуков ым средствам относятся звукозаписи математических диктан - тов, полезные при проведении диктанта в два варианта. Из экранных средств еще используются в ряде школ диафильмы, диапозитивы и кино- ленты. Однако они безнадежно устаревают, причем не столько морально, сколько физически. На смену им идут видеоклипы, однако промышленное производство учебных клипов пока не налажено, а самодельное их произ- водство сложно. Поэтому мы будем здесь говорить только об объемных и печатных средствах обучения21, а также об универсальном средстве обуче- ния  компьютере. Приступая к работе в школе, Вы должны выяснить, какие средства обу- чения в ней имеются. Кроме того, Вам необходимо узнать, какие средства обучения имеются в ближайшем магазине учебно-наглядных пособий, и до- биться от администрации приобретения всего необходимого и недостающего. 1.6.1. Объемные средства обучения Объемн ые средства обучения – это приборы, инструменты, модели и приспособления. Покупая и ли разрабатывая их, нужно отдавать себе отчет, зачем они Вам нужн ы, как вы будете их использовать и хранить. Бывает, что учитель, потратив много сил, времени и денег на ту или иную модель, использует ее в классе всего один-два раза, и ученики в это время бывают зан яты не математикой, а разг лядыванием новой для них интересной вещи. А вещь эта занимает много места и требует специального хранилища. Вся- кое объемное пособие, употребляемое в преподавании математики, должно использоват ься многократно и быть посвящено действительно важной те- ме. Совершенно необходимо иметь в кабинете различные наборы стерео- 21 О звуковых средствах обучения  магнитных записях текстов диктантов  сказано выше.
83 метрических моделей. А вот, напри мер, от предлагавшихся некоторыми изобретателями моделей, позволяющих показать встречное движение в текстов ых задачах, лучше отказаться: время использования такой модели невелико, а затрат на ее разработку, изготовление, хранение, да и на саму демонстрацию уходит много. Объемн ые средства обучения делятся на индивидуальные и демонстра- ционные. Индивидуальные объемные средства  это микрокалькулятор, циркуль, транспортир и угольник. Эти предметы обязательно должен иметь каждый ученик у себя дома, о чем необходимо информировать ро- дителей. Но и на уроке без них не обойтись. Мы не можем быть уверены в том, что каждый ученик принесет циркуль и ли транспортир на урок гео- метрии. Значит, мы должны иметь в классе достаточный набор этих инст- рументов. Еще луч ше, если каждое рабочее место ученика будет оборудо- вано комплектом этих средств. В частности, очень полезно, если на каж- дом рабочем месте будет в монтирован микрокалькулятор, электропитание которого включает со свого пульта учитель22. Тогда не будет необходимо- сти запрещать использование калькулятора в тех и ли иных ситуациях. За- метим, что проблема обучения детей пользоваться микрокалькулятором давно устарела. У каждого ученика свой калькулятор, и они достаточно просты для использования. К демонстрационным объемным средствам относятся, прежде всего, укрупненные аналоги индивидуальн ых приборов и инструментов: транс- портир, циркуль, угольник, линейка. Они производятся и продаются в ма- газинах учебно-наглядных пособий. Их надо иметь в классе. Однако перечень необходимых демонстрационных моделей этим не ис- черпывается. Существует необходимость создания материальных моделей абстрактных понятий, изучаемых на уроках математики (см. о наглядности в п. 1.1.2). Чем отличается в дидактическом плане демонстрационная объ- емная модель от модели, представленной в виде мелового рисунка или изо- бражения на настенной таблице? Конечно, не своей трехмерностью. Уче- ник, наблюдающий демонстрационную модель из глубины класса, не вос- принимает ее объема. Он видит ее плоской, двумерной. Существенное от- личие объемной модели от двумерного изображения  в ее подвижности, в возможности перемещать ее отдельные части друг относительно друга и всю ее относительно наблюдателя. Такова, например, модель термометра, состоящая из листа картона со шкалой температур и двумя прорезями, в ко- торые вставлена окрашенная лента, изображающая ртутный столбик. В от- личие от статичного рисунка, на котором фиксируются вполне определен- ные положения столбика (вполне определенные рациональные числа), эта модель позволяет изменять положения столбика, моделирует переход от од- 22 Для этой цели в свое время был разработан и выпускался промышленностью микрокалькулятор МКШ-2.
84 ного числа к другому. Динамизм и является критерием, позволяющим опре- делить, необходима ли объемная модель данного абстрактного понятия. Заметим, что определенным динамизмом обладает одно из экранных средств обучения  слайды для графопроектора. Их сближает с объемными средствами еще и то, что они могут частично заменять их. Так вместо классного транспортира можно использовать индивидуальный прозрачный транспортир. Накладывая его на графопроектор, мы получаем на светлой доске-экране подвижное изображение, позволяющее измерять углы (на- черченные на экране или на слайде) и строить углы нужной величины (на экране). Изо всех демонстрационных геометрических приборов не за- меняется ничем только циркуль. Очень интересным делом была бы орга- низация кружка учащихся по изготовлению этих пособий. 1.6.2. Печатные средства обучения Демонстрационные печатные средства обучения математике  это портреты великих математиков и настенные таблицы. Индивидуальные печатные средства  это учебники и справочники, вычислительные табли- цы (например, четырехзначные таблицы В.М. Брадиса), сборники задач и тестов, а также раздаточные материалы, в том числе карточки с заданиями. Кроме того, в последнее время получили распространение различные ра- бочие тетради (или тетради с печатной основой). В большинстве своем эти средства обучения выпускаются в готовом для использования виде и снаб- жаются подробными методическими указаниями. Здесь мы остановимся на тех из них, использование или выбор которых в той или иной степени про- блематичны: на настенных таблицах, карточках и рабочих тетрадях. 1. Настенные таблицы. Настенные таблицы выполняют важную роль в преподавании матема- тики. Содержание настенной таблицы, висящей в классе, доступно всем ученикам. Важно учитывать, что и учитель, и ученик имеют возможность обратиться к этому содержанию в любой момент. Это особенно важно то- гда, когда дети работают в классе каждый в своем темпе, например, на уроке решения задач. В настоящее время разные издательства выпускают настенные таблицы по математике. Однако не всегда эти таблицы отвечают дидактическим тре- бованиям, которые следует к ним предъявить. Между тем изготовление на- стенной таблицы, а также редактирование имеющейся в продаже  дело не- хитрое, и Вам нужно знать, какими особенностями они должны обладать. Прежде всего, не следует ув лекаться большим числом настенных таб- лиц. В классе перед глазами учащихся должны находиться только те таб- лицы, которые нужн ы на данном уроке. Например, во многих школьных математических кабинетах постоянно демонстрируются таблицы квадра- тов, простых чисел и формул сокращенного умножения. Они занимают ме-
85 сто на стене и не дают возможности, скажем, на уроке геометрии размес- тить действительно нужные таблицы. Более того, они отвлекают внимание детей от темы урока (хотя учитель может этого не замечать). Нужен тща- тельный отбор таблиц, висящих в классе в данный момент данного урока. Для этого нужно, во-первых, иметь возможност ь быстро помещать их на стену класса и снимать со стены, а во-вторых, иметь те таблицы, которые могут понадобиться. Остановимся на тех соображениях, которые могут помочь в отборе нужных таблиц и в изготов лении недостающих. Полезно иметь настенные таблицы трех видов: справочные, рабочие и комбинированные. Так называемые иллюстративные таблицы, служащие для одноразового показа какого-либо изображения, не эффективны. Вме- сто них можно иметь даже небольшую иллюстрацию и показать ее либо на экране, либо путем обхода класса. Справочная таблица несет в себе полную информацию по какому-либо вопросу, является источником этой информации, все время находящимся в поле зрения учащихся. Если такая таблица находится в классе, то ученик имеет опору в своей работе. А если когда-либо требуется, чтобы учащиеся не могли «списать» эту информацию, то учитель должен иметь возмож- ность эту таблицу снять или закрыть. Вся важная информация, необходи- мая для усвоения, должна быть отражена в справочных таблицах. Удобно, если справочная таблица содержит материал, охватывающий большую те- му. В этом случае она является конспектом не одного учебного цикла, а целой группы циклов, входящих в эту тему. Разрабатывая справочные таблицы, желательно сделать так, чтобы са- мо считывание с них информации было обучающей деятельностью. Рас- смотрим, например, очень популярную справочную таблицу «Тригономет- рические функции углов 30, 45 и 60о» . Тригонометрические функции углов 30, 45 и 60о Угол Синус Косинус Тангенс Котангенс 30о 2 1 2 3 3 3 3 45о 2 2 2 2 1 1 60о 2 3 2 1 3 3 3 По таблице 3 можно просто прочитать нужное значение. Для этого не нужно ничего понимать и знать по данному вопросу. Значительно эффективнее таблица, на которой изображены два прямо- угольных треугольника. Синим цветом начерчен равнобедренный тре- угольник, на котором обозначены величины углов 90о и 45о и длины сто- рона,аи 2 а . Красным цветом начерчен треугольник с углами 90о, 30о и
86 60оисосторонамиb,2bи 3 b . По этой таблице тоже можно найти значе- ния тех же тригонометрических функций, но для этого нужно вспомнить их определения. Такая таблица будет полезна во время всех уроков гео- метрии, начиная с введения данного материала и до конца 11 класса. Рабочая таблица содержит неполную информацию, что позволяет ст а- вить по такой таблице фронтальные задания. Примером может служить таблица «Квадратичные функции», на которой приведены 13 изображений прямоугольной системы координат и на них – 26 графиков функций y = ax2+bx+c, отличающихся знаками параметров a, b, c и дискриминанта D (параболы с положительным а – красные, а с отрицательным а – синие). Все 13 чертежей перенумерован ы. По такой таблице можно задавать мно- гочисленные вопросы не только ученикам, вызванным к доске, но и всему классу, в том числе и во время математического диктанта: – Каков знак с на красном графике чертежа 10? – На каки х графиках корни функции оба отрицательные? – Первый вариант: каков знак с на красном графике чертежа 3; второй вариант: каков знак с на синем графике чертежа 4? Аналогичные таблицы полезно и меть по всем видам функций. Что касается комбинированных таблиц, то это таблицы, содержащие различные фрагменты: справочные и рабочие. 2. Карточки. Карточки с текстами заданий или с номерами задач из учебника нужны и для проведения контрольных работ, и для дополнительных заданий са- мым сильн ым, а также и самым слабым ученикам класса. Именно с помо- щью карточек легче всего индивидуализировать работу в классе. Карточки можно сделать разного цвета и формата, и тогда их будет легко различать. И все-таки карточек не должно быть слишком много. На- пример, не следует помещать на карточки задания для самостоятельных работ. Эти работы проводятся часто (в конце каждого учебного цикла), и ориентироваться в таком количестве карточек нелегко. Так что, кроме в ышеуказанных карточек для слабых (тренировочные задачи) и для сильн ых учеников, можно посоветоват ь иметь еще только комплекты карточек для проведения контрольных работ и карточки для коррекции знаний, описанные выше (п. 1.4.3). Для проведения самостоятельных работ желательно иметь в кабинете брошюры с заданиями по вариантам; это тонкие книжки, в каждой из ко- торых содержатся тексты заданий одного варианта ко всем самостоятель- ным работам на целый учебный год. Если вы проводите самостоятельные работы в 4 варианта, а детей у Вас в классе 24, то у Вас должно быть в комплекте по 6 брошюр каждого варианта, да еще 4 брошюры для Вашего личного пользования. На таких брошюрах карандашом надписывается, кто из учеников какого класса данной параллели работает по данной брошюре. И тогда раздача брошюр легко осуществляется любым учеником. Вам уже
87 не приходится давать дополнительные указания, кому по какому варианту работать. При современном распространении множительной техники сде- лать такие брошюры совсем нетрудно. Итак, для работы в каждой параллели необходимо иметь: 1) комп лект брошюр в 4 вариантах «Самостоятельные и проверочные работы»; 2) комплект карточек в 4 вариантах «Контрольн ые работы»; 3) комплект карточек «Задачи повышенной трудности»; 4) комплект карточек «Тренировочные задачи»; 5) комплект карточек для коррекции знаний. 3. Тетради с печатной основой (ТПО). ТПО  это ученическая тетрадь, в которую заранее впечатаны тексты за- даний и необходимые заготовки для их выполнения (печатная основа, обес- печивающая выполнение заданий): тексты, рисунки и чертежи. Учащийся, выполняя задание в такой тетради, дополняет эти тексты (заполняет пробе- лы), достраивает чертежи, проводит измерения, подчеркивает нужные места в тексте, обводит, закрашивает, вычеркивает и т.д. При определении дидак- тических возможностей этого уникального средства обучения следует кри- тически осмыслить тот опыт, который в этом деле имеется. Первая известная нам тетрадь для самостоятельных работ по геомет- рии появилась в России в конце XIX в. Единственный вид заданий в ней  достраивание чертежей. С тех пор рабочие тетради, тетради для само- стоятельных работ и другие аналогичные по названиям появлялись неод- нократно. Так, в Латвии много лет тиражировались тетради по математике Я.Я. Менциса. В левой половине каждой страницы этих тетрадей напеча- тан пример для краткого решения, правая половина страницы  пустая. Примеры расположены по одному на строке: (4х+3)3= Ученик накладывает на пустую половину страницы чист ый лист бума- ги и против каждого примера пишет свой ответ. Тем самым становится не- нужн ым переписывание примеров, а также облегчается проверка работы учителем. Эти и многие другие тетради удачно освобождают ученика от непро- дуктивной, балластной работы (в данном случае  от переписывания зада- ния). Между тем ТПО обладает и более существенными возможностями. Заполнение пропусков в решении задач заставляет ученика внимательно читать текст решения. Этот текст можно сделать развернутым, и тогда ученик будет вчитываться (иначе не заполнишь пропущенного!) в подроб- ное, математически грамотное решение задачи.
88 Вот текст из ТПО по алгебре для 7 класса: Задание 2. Из данных выражений выпишите одночлены: 2004, a+b, x, c–d,a7,3yz3. Решение. 2004 – это число, значит это – _______________. _________ – это сумма, а не число, не переменная, не _ _ _ _ __ __ _ __ __ с натуральным пока- зателем и не их __________________. Значит, это – ___ __________________.Итакдалее. Как видно из данного отрывка, ученик выполняет задание в разверну- том виде, повторяя текст определения одноч лена. Опыт использования таких тетрадей убедительно доказал, что работа в них существенно повышает не только уровень рассуждений, но и гра- мотность и правильность математической речи. Важно и то, что в ТПО ученик работает в своем темпе, и это делает ее незаменимым средством обучения на первых этапах знакомства с нов ым материалом. Ученик, заполн яя пробелы в решении, тем самым получает индивидуальную консультацию. Наиболее удобное место для использова- ния ТПО  первоначальное закрепление сразу после изложения нового ма- териала. Полные тексты ТПО для 5–9 классов Вы найдете в мои х книгах, вы- пускаемых издательством «Илекса». 1.6.3. Компьютер В 1985 г. нами был проведен первый опыт преподавания математики в 5 классе в течение одного двухурочного цикла с использованием персональ- ных компьютеров. Это было сделано в школе № 166 г. Новосибирска, на базе научного учреждения, возглавлявшегося академиком А.П. Ершовым. В тече- ние одного сдвоенного урока (за 1,5 часа) была преподана тема (от начала до итоговой проверочной работы) «Отношения и пропорции». Результаты обу- чения оказались выше, чем у контрольного класса, изучавшего тему обыч- ным образом в течение 5 уроков. Академик А.П. Ершов назвал этот экспери- мент историческим событием, сказав, что впервые компьютер был использо- ван не на каких-либо отдельных этапах урока, а на уроке в целом. За прошедшее с тех пор время накоплен большой опыт использов ания компьютера в преподавании математики. Оказалось, что при наличии спе- циальных программ все средства обучения, рассчитанные на фронтальную работу в классе, можно заменить компьютером. А при индивидуальном обучении компьютер может играть роль организатора учебной деятельно- сти. Так, например, вместо магнитофона или проигрывателя во время ма- тематического диктанта можно использовать звучание колонок компьюте- ра. При этом записи на доске, которые бывают необходимы во время дик- танта, легко осуществить на экране. Для этого учитель нажимает кнопку
89 «Диктант». Изложение нового учитель может провести с помощью компь- ютера, нажав кнопку «Лекция». Но он может изложить материал и сам, со- провождая голосом зрительн ый ряд на экране. Для этого ему нужно лишь отключить звуков ые колонки. Кроме того, во время работы в ТПО компь- ютер может руководить выполнением заданий. Однако это не отменяет ра- боты ученика в ТПО  обычного письма на бумаге. У нас нет надежных данных, позволяющих считать, что замена такого письма нажатием кнопок клавиатуры полезна для умственного развития. Есть опасения, что это со- всем не так. Во время подготовки к самостоятельной работе и при ее про- ведении также можно использовать компьютер: на экране решаются зада- чи, аналогичные перв ым задачам самостоятельной работы, и остаются на нем до конца работ ы. Одна и та же программа может использоваться разными учителями по- разному: 1) в классе целиком, вместо обычного преподавания темы учителем; 2) в классе фрагментами, вместо обычного проведения фрагмента учи - телем; 3) в классе, целиком или фрагментами, без использования звука (озву- чивает учитель); 4) в классе целиком для учеников, не знакомых с темой; 5) в классе на ПК для коррекции знаний (дополнительные занятия); 6) в домашних условиях. 1.6.4. Кабинет математики Кабинеты математики появились в наши х школах в середине прошлого века23. Одной из главных причин, вызвавши х появление и рост числа ка- бинетов математики, явилось внедрение в преподавание различных видов материальных средств обучения. Действительно, при работе мелом на дос- ке кабинет не нужен: доска и мел имеются в каждом классе. Нетрудно также переносить из класса в класс несколько таблиц. Для их демонстра- ции достаточно иметь соответствующие крепления, которые одинаково пригодны для настенных таблиц по любому предмету и могут быть в каж- дой классной комнате. Но если урок проводится с помощью объемных мо- делей, магнитофона и многочисленных раздаточных материалов, то стано- вится необходимым предметный кабинет, в котором находятся все эти ма- териалы. Оборудование кабинета должно обеспечивать максимальн ые удобства для работ ы учителя и ученика. Использование учебных средств не должно тормозиться причинами, связанными с непродуманной организацией ка- 23 До этого времени в школах существовали предметные кабинеты лишь по физике и химии и иногда  по биологии.
90 бинета. Каждое средство обучения (прибор, инструмент, таблица и т.д.) должно составлят ь органическую часть оборудования кабинета математи- ки и использоваться для организации и проведения учебного процесса. Ка- бинет математики не столько помещение для проведения уроков по этому предмету, сколько форма организации системы учебных средств, а еще точнее  сама эта система, поскольку в школьной практике давно уже сло- жились критерии оценки кабинета не только по его оформлению, но, глав- ным образом, по его содержанию. Школьный кабинет математики  это единая, органически св язанная система средств обучения, смонтированная в одном классном помещении. Важность его существования еще более возрастает в случае, когда в распоряжении учителя имеется компьютер. Число кабинетов математики в школе определяется в зависимости от общего числа уроков математики. (Следует рассчитывать на пятичасовую, а не на шестичасовую занятость кабинета в течение учебного дня, чтобы не создавать непреодолимых трудностей в расписании; к тому же нужно иметь возможность проводить в кабинете факультативные и кружковые зан ятия.) Все математические кабинеты нужно расположить в соседних комнатах или, в крайнем случае, на одном этаже. Во-первых, бывает так, что одно и то же пособие приходится переносить из одного кабинета в другой на один урок. А во-вторых, часть школьного коридора, примыкаю- щего к соседним кабинетам, можно оформить в соответствии с нашими потребност ями. Здесь можно разместить стенды «Готовься к уроку», «Го- товься к олимпиаде», «Вести математического кружка», «Календарь зна- менательных дат », «Задача недели» и т.д. Все эти материалы очень полез- ны, но им не место внутри самого математического кабинета. Ведь чем яр- че и интереснее они будут, тем сильнее будут отвлекать учеников от урока. Внутри кабинета все должно быть подчинено интересам урока. Напри - мер, в нем должны быть вывешен ы портреты выдающихся математиков, но место им  только на задней стене, так как иначе они будут отвлекать детей от работы. В поле зрения учеников должны быть только те учебные материалы, которые нужны сегодня, сейчас. Оборудованию кабинета математики посвящена многочисленная лите- ратура. В наше время поиск облегчен Интернетом. Достаточно в Яндексе набрать слова «Оборудование кабинета математики», и Вам предложат не только названия книг на эту тему24, но и само оборудование. Поскольку объем и характер приобретаемого оборудования чрезвычайно разнообраз- ны и зависят от конкретных возможностей Вашей школы, мы ограничимся здесь ли шь наиболее общими и обязательными рекомендациями. 1. Кабинет математики должен отвечать нормам гигиенического харак- тера. Устройство оконных проемов, электрического освещения, окраска стен определяются соответствующими инструкциями, которые постоянно 24 Наиболее полная из них: Болтянский В.Г. и др. Оборудование кабинета математики. М.: Просвещение, 1981.
91 обновляются. Они имеются у администрации школы, и их следует соблю- дать неукоснительно. 2. Классная доска в кабинете математики должна отвечать следующим требованиям: а) доска обязательно должна иметь поле около 1 × 1 м, разлинованное в клетку. Расстояние между линиями 5 см. Линии наносятся острым гвоздем или слесарной чертилкой по металлической линейке. Получаются тонкие царапины, которые быстро забиваются мелом. Они хорошо видны и вместе с тем позволяют писать на этом поле. Пользоваться краской для проведе- ния этих линий не рекомендуется; б) доска должна быть окрашена в светло-зелен ый цвет. в) доска должна быть распашной, с откидными полями. Если этого сде- лать нельзя, то нужно иметь дополнительную съемную или передвижную доску, словом, необходимо иметь такую доску, на которой ученик мог бы работать, будучи скрытым от класса, а затем продемонстрировать классу свою работу; г) желательно иметь на доске поле около 1 × 1 м, которое может слу- жить экраном. При светло-зеленой окраске это требование можно считать излишним; д) желательно иметь на доске поле около 1 × 1 м с магнитными свойст - вами. Это поле может совпадать с клетчатым или с полем-экраном. 2. Под классной доской должен быть помещен стенд для крепления классных инструментов. Каждый из них должен иметь свое место (жела- тельно обвести его красителем) и свою систему креплений. 3. На задней стене кабинета должны быть вывешен ы портреты выдаю- щихся математиков, чьи имена так или иначе упоминаются в преподава- нии. Это могут быть Фалес, Пифагор, Аристотель, Евклид, Архимед, Ф. Виет, Л. Эйлер, К.Ф. Гаусс, Л. Магницкий, Н.И. Лобачевский, Г. Кан- тор, О.Л. Коши, Б. Больцано, Э. Галуа, К.Т.В. Вейерштрасс, Д. Гильберт, А.Н. Колмогоров, П.С. Александров, А.Д. Александров, В.И. Арнольд. Их портреты и меются в книгах 25 . Сделать портреты нужного формат а (не менее А3) можно поручить школьникам, умеющим хорошо рисовать. Под каждым портретом должны быть указаны полное имя и даты жизни. В крайнем случае, можно удовлетвориться тем набором портретов вы- дающихся математиков, которые и меются в продаже. 4. Вдоль всех стен на высоте человеческого роста нужно установить крепления для таблиц. Они должны позволять моментально вывешивать и снимать таблицу. На задней стене можно под портретами оборудовать крепления для подвески таблиц оборотной стороной. Это не лучший, но еще приемлемый способ хранения таблиц, не нужных на данном уроке. Луч ший способ  вертикальные напольные шкафчики по краям передней 25 См., например: Математический энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия, 1988.
92 стены класса с внутренними креплениями, позволяющими хранить табли- цу в несвернутом виде. 5. У задней стены класса нужно расположить шкафы для хранения объ- емных моделей и раздаточного материала. Мы не говорим здесь об оборудовании, связанном с наличием в мате- матическом кабинете тех или иных технических средств обучения. Напри- мер, наличие компьютера с проектором обычно делает ненужным присут - ствие други х экранных средств. Не говорим мы и о таком новшестве, как интерактивная доска. Она по- зволяет извлекать из ее памяти изображения, позволяет изменять и допол- нять их прямо на глазах учащихся и т.д. Однако стоимость такой доски нам кажется несоизмеримой с ее возможностями в преподавании математики. Вопросы и задания 1. Каков ы три основные фун кции материальных средств обучения? 2. Каков ы разновидности материальн ых средств обучения математике? 3. В чем состоит дидактическая необходимость использования индиви- дуальных объемных средств обучения в преподавании математики? Какие из них, по Вашему мнению, наиболее необходимы? 4. В чем состоит дидактическая необходимость использования демон - страционных объемн ых средств обучения в преподавании математики? Какие из них, по Вашему мнению, наиболее необходимы? 5. Почему следует ограничивать количество используемых объемных средств обучения? 6. Какие демонстрационные печатные средства обучения используются на уроках математики? 7. Какие виды настенных таблиц следует использовать на уроках мате- матики? 8. Объясните, почему, имея таблицу квадратов, не нужно вывешивать также и таблицу квадратных корней. 9. Разработайте справочную таблицу по какой-либо теме школьного курса математики. 10. Разработайте рабочую таблицу по теме «Линейная функция». 11. В чем состоит дидактическая необходимость использования карто- чек в преподавании математики? 12. Для каких конкретных видов работ в преподавании математики по- лезно, на Ваш взгляд, использовать карточки? 13. Приведите пример карточки для работы с сильн ым учеником в ка- ком-либо классе. 14. Приведите пример карточки для работы со слабым учеником в ка- ком-либо классе. 15. Как, по Вашему мнению, должны выглядеть карточки для коррекции знаний? Опишите методику использования карточек издательства «Илекса».
93 16. Чем следует заменять карточки при организации част ых самостоя- тельных работ? 17. Какие комплекты индивидуальных печатных средств обучения не- обходимы для работы в одной параллели? 18. Что такое тетрадь с печатной основой (ТПО)? Каковы ее отличи- тельные особенности? 19. Каковы варианты использования ТПО в преподавании математики? 20. Как в лияет использование ТПО на развитие математической речи детей? 21. Почему наиболее удачным этапом для использования ТПО является первоначальное (репродуктивное) закрепление? 22. В чем удобство проверки работы в ТПО? 23. Разработайте материалы ТПО по любому фрагменту школьной про- граммы. 24. Опишите возможности компьютера при фронтальной учебной работе. 25. Опишите возможности компьютера при индивидуальной учебной работе. 26. Когда и по какой причине появились в наших школах кабинеты ма- тематики? В чем смысл и х существования? 27. Как организовать математический уголок в школе? 28. Приведите пример материалов, которым место не в математическом кабинете, а на стенах прилежащих к кабинету коридоров. 29. Какие материалы могут располагаться на передней и боков ых сте- нах кабинета, а какие  только на задней стене? 30. Какие справки об оборудовании школьного математического каби- нета можно получить в Интернете? 31. Где описаны гигиенические нормы оборудования школьного пред- метного кабинета? 32. Каковы требования к классной доске в математическом кабинете? 33. Где и как следует хранить классные чертежные и измерительные инструменты? 34. Как следует хранить и демонстрировать настенные таблицы? 35. Как следует хранить объемные модели? 1.7. Подготовка учителя к уроку Подготовку к любому делу надо начинать с формулирования целей. В наше время во многих школах от учителя требуют отдельно формулиро- вать обучающие, развивающие и воспитательные цели урока. Но если даже такое требование формально не предъявляется, полезно исходить при под- готовке к уроку именно из этих целей. Как уже говорилось (см. п. 1.2.2), обучающей целью урока является обучение вполне определенному программному материалу, в соответствии
94 с планированием, утвержденным администрацией школы к началу учебно- го года. Поэтому подготовка к уроку фактически начинается с обдумыва- ния годового курса. На этом предварительном этапе нужно, прежде всего, ознакомиться с предлагаемым примерн ым планированием, публикуемым в изданиях Министерства образования, в том числе в журнале «Математика в школе»26 и на его основе составить свое п ланирование по той же форме. Это поможет заранее обдумывать курс в целом, подбирать к нему необхо- димые материалы, определять, как будет проводиться в течение этого кур- са повторение всего пройденного материала, какие задачи повышенной трудности можно будет давать детям в течение года, то есть в течение предварительной подготовки желательно составить не только план изуче- ния текущего материала, но и план повторения пройденного и план пропе- девтической работы по следующему материалу. В результате Вы сможете четко сформулировать обучающие цели каждого урока. Развивающие цели также станут довольно ясными, так как Вы увидите курс в целом и поймете, какой материал можно будет связать с другими вопросами из того же курса или из други х областей знания. В частности, Вы увидите, как это можно сделать путем постановки перед учащимися задач пов ышенной трудности. Ведь эти задачи являются прекрасным сред- ством развития. Даже если тот или иной ученик не решит этих задач, он будет присутствовать при разборе их решения. Воспитывающие цели обучения формулируются отдельно по каждому направлению воспитания: физическому, нравственному, эстетическому, трудовому, коммуникативному. Есть учителя, которые не пишут конспектов уроков и, бывает, даже объясняют это тем, что преподавание  дело творческое, и урок должен быть блестящей импровизацией. Что можно на это сказат ь? Только одно: если Ваша импровизация всегда блест яща, то импровизируйте на здоровье. Только не жалуйтесь на Ваших учеников. Ибо на действительно блестя- щих уроках работают все дети. В целом, можно утверждать, что заранее продуманный и зафиксированный на бумаге урок проходит луч ше, чем урок не подготовленный, импровизируемый. Так что давайте начнем с то- го, что будем к урокам готовиться. Давайте перед каждым уроком состав- лять его письменный план, отвечая на основные вопросы:  цели урока (образовательн ые, развивающие, воспитательн ые);  учебное оборудование;  ход урока. Такой письменный план окажется полезным и в будущем, если придет- ся разрабатывать урок на ту же тему. Им удобно пользоваться при обмене 26 Приступая к работе учителя математики, вы обязательно должны выписать этот журнал. Он является незаменимым пособием, информирующим учителя обо всех важных для него событиях, публикующим проблемные статьи по нашей профессии, а также весьма интересные задачи. Рекомендуем также выпи- сать приложение «Математика» к газете «Первое сентября» и журнал «Квант».
95 опытом с коллегами. И даже если при проведении урока Вы от него отсту- пите, прибегните к импровизации, то все равно он поможет Вам, хот я бы как отправная точка. Планируемый Вами урок может быть уроком нестандартным, как ино- гда говорят, авторским уроком. В этом случае никаких советов заранее дать нельзя. Единственное, чего можно заранее потребовать,  это в ыпол- нения требований медицины, психологии и общей педагогики (1.1). Если же урок соответствует некоторой технологии (это нужно указать в плане), то в этой технологии содержатся все требования к нему, и Вам ос- тается только применить эти требования к конкретным условиям. То есть в этом случае нужно буквально переписать предписываемый технологией план урока, встав ляя в него имена учеников и условия заданий. Например, готовя уроки по технологии учебных циклов, планы уроков можно соста- вить в таком виде, в каком они фигурируют в этой технологии под симво- ламиИ,С,Р,О. Урок И Цели урока. 1. Образовательные. Введение и первоначальное закрепление новой информации:  аксиомы (какие);  определения (какие);  теоремы (какие), из них без строгого доказательства (какие);  алгоритмы (какие), из них без строгих обоснований (какие);  неалгоритмизируемые методы (какие), из них без строгих обоснова- ний (какие). 2. Развивающие: сообщение сведений (каких) из истории математики и из других областей знаний, тем или иным образом связанных с темой цикла. 3. Воспитательные:  проведение физминутки.  элементы трудового воспитания (какие).  элементы нравственного воспитания (какие).  элементы эстетического воспитания (какие).  элементы коммуникативного воспитания (какие). Учебное оборудование: 1) распашная доска; 2) компьютер и компьютерные программы (какие); 3) объемные приборы, модели, инструменты и приспособления (какие); 4) настенные таблицы (какие); 5) звукозаписи (или текст) математического диктанта (в скольких вари - антах); 6) тетрадь с печатной основой (какая, какие страницы).
96 Ход урока. 1. Сообщение темы нового цикла  1 минута. 2. Математический диктант (текст диктанта)  8 минут. 3. Сообщение правильных ответов (приводятся)  2 минут ы. 4. Изложение нового (приводится конспект) с экскурсами (какими) в историю математики и в смежные дисциплины (какие) 15 минут. 4. Физминутка (какая) 1 минута. 5. Первоначальное закрепление (тексты ТПО или сценарий беседы с классом)  закончить за 2 минут ы до окончания урока. 6. Домашнее задание: а) закончить работу в ТПО; б) выучить конспект; в) прочитать текст учебника (какой); г) желающим  решить задачи (какие); д) двоим (кому) подготовиться к ответу у доски. Урок С Цели урока. 1. Образовательные. Тренировочное закрепление и проверка усвоенности новой информа- ции:  аксиомы (какие);  определения (какие);  теоремы (какие), из них без строгого доказательства (какие);  алгоритмы (какие), из них без строгих обоснований (какие);  неалгоритмизируемые методы (какие), из них без строгих обоснова- ний (какие). 2. Развивающие: постановка перед учащимися заданий повышенной трудности. 3. Воспитательные:  проведение физминутки;  элементы трудового воспитания (какие);  элементы нравственного воспитания (какие);  элементы эстетического воспитания (какие);  элементы коммуникативного воспитания (какие). Учебное оборудование: 1) распашная доска; 2) компьютер и компьютерные программы (какие); 3) объемные приборы, модели, инструменты и приспособления (какие); 4) настенные таблицы (какие); 5) текст ы самостоятельной работ ы в 4 вариантах.
97 Ход урока. 1. Опрос по конспекту и у доски (кто у доски)  10 минут. 2. Демонстрация решения перв ых четырех заданий (тексты) самостоя- тельной работы  15 минут. 3. Физминутка (какая) 1 минута. 4. Самостоятельная работа  закончить за 2 минуты до окончания урока. 5. Домашнее задание: а) желающим  решить задачи, не решенные ими на самостоятельной работе; б) желающим  решить задачи повышенной трудности (какие). Урок Р Цели урока. 1. Образовательные: включение новой информации в систему знаний по математике путем установ ления связей нового материала с ранее прой- денным (каким). 2. Развивающие: сообщение в текстах решаемых задач сведений (ка- ких) из истории математики и из других областей знаний, тем или иным образом связанных с темой цикла. 3. Воспитательные.  проведение физминутки;  воспитание умения работать совместно с товарищем;  воспитание ответственности за работу товарища;  элементы эстетического воспитания (какие);  воспитание нав ыков толерантного общения. Учебное оборудование: 1) доска; 2) учебник (задачник); 3) компьютер и компьютерные программы (какие); 4) объемные приборы, модели, инструменты и приспособления (какие); 5) настенные таблицы (какие). Ход урока. 1. Математический диктант по ранее пройденному материалу в 1 вари - анте (текст)  5 минут. 2. Подробный анализ содержания диктанта  5 минут. 3. Распределение учащихся по парам (по и х желанию)  2 минуты. 4. Разъяснение порядка и объема работы (какой именно)  2 минут ы. 5. Начало решения задач (каких) в парах  10 минут. На доске  до- машнее задание. 4. Физминутка (какая) 1 минута. 5. Проверка хода работ ы всего класса (обходом).
98 6. Проверка решений у первых пар  закончить проверку у трети класса (у скольки х пар) за 5 минут до окончания урока. Закончившие приступают к выполнению домашнего задания. 7. Проверка остальных пар си лами уже проверенных. Выстав ление оценок в журнал. 8. Домашнее задание: написано на доске. Желающим  решить задачи повышенной трудности (какие). Урок О Цели урока. 1. Образовательн ые: окончательное формирование теоретических пред- ставлений учащихся об изучаемом материале (каком). 2. Воспитательные:  воспитание умения работать совместно с товарищем.  элементы эстетического воспитания (какие).  воспитание нав ыков толерантного общения. Учебное оборудование: 1) доска; 2) учебник. Ход урока. 1. Распределение учащихся по парам (по и х желанию)  2 минуты. 2. Разъяснение порядка и объема работы (какой именно)  2 минут ы. 3. Проверка хода работ ы (у кого). 4. Опрос перв ых двух пар. 5. Проверка остальных пар си лами уже проверенных. Выстав ление оценок в журнал. 9. Домашнее задание: написано на доске. Желающим  решить задачи повышенной трудности (какие). Урок повторения Цели урока. 1. Образовательные. Проверка усвоенности новой информации:  аксиомы (какие);  определения (какие);  теоремы (какие), из них без строгого доказательства (какие);  алгоритмы (какие), из них без строгих обоснований (какие),  неалгоритмизируемые методы (какие), из них без строгих обоснова- ний (какие). 2. Развивающие: постановка перед учащимися заданий повышенной трудности.
99 3. Воспитательные:  проведение физминутки;  элементы трудового воспитания (какие);  элементы нравственного воспитания (какие);  элементы эстетического воспитания (какие);  элементы коммуникативного воспитания (какие). Учебное оборудование: 1) распашная доска; 2) компьютер и компьютерные программы (какие); 3) объемные приборы, модели, инструменты и приспособления (какие); 4) настенные таблицы (какие); 5) текст ы самостоятельной работ ы в 4 вариантах. Ход урока. 1. Опрос по конспекту и у доски (кто у доски)  10 минут. 2. Демонстрация решения перв ых четырех заданий (тексты) самостоя- тельной работы  15 минут. 3. Физминутка (какая) 1 минута. 4. Самостоятельная работа  закончить за 2 минуты до окончания урока. 5. Домашнее задание: а) желающим  решить задачи, не решенные ими на самостоятельной работе; б) желающим  решить задачи повышенной трудности (какие). Итак, шаблоны планов уроков имеются. Осталось оживить их, сделать планами именно Ваших уроков, то есть определить, какие дети будут вы- полнять на уроках те или иные функции. А еще  заполнить шаблоны кон- кретным математическим материалом: текстами диктантов, конспектом нового материала, заданиями ТПО, заданиями для самостоятельной и для проверочной работ, заданиями и вопросами. Где взять все эти материалы? Луч ше всего, если Вы лично разработаете их, подвергнув анализу кон - кретное содержание изучаемого материала и руководствуясь известной Вам психологической теорией усвоения. Но эта работа весьма трудоемка. И в этом деле можно опереться на уже имеющийся опыт, на имеющиеся разработки и вносить в них свои поправки, свое толкование. Во второй главе этой книги приводятся материалы, которые помогут Вам в этом.
100 ГЛАВА 2. ЧАСТНАЯ МЕТОДИКА В первой главе мы говорили о принципах построения преподавания математики в общеобразовательной школе  о методической системе пре- подавания. Во второй главе речь пойдет о конкретном содержании курса математики в основной школе (5–9 классы). Курс математики в основной школе занимает по 5 уроков в неделю. В 5–6 классах он называется «Математика» и включает в себя четыре ос- новные раздела: элементы теории делимости, десятичные дроби, обыкно- венные дроби, рациональные числа. В 7–9 классах курс делится на алгебру и геометрию. В курсе алгебры дается представление о действительных числах, изучаются целые и дробные алгебраические выражения, корни, степени с рациональн ым показателем, функции у = ах + b, у = x k,у=ах2+ bх + с, у = х3, у = х , линейные и квадратные уравнения и их системы, изу- чается тригонометрия любого уг ла в градусной и в радианной мере. В кур- се геометрии изучаются основ ы планиметрии. Как говорилось в первой части этой книги (п. 1.3), мы рассматриваем весь курс математики (а не только геометрию) как курс теоретический, то есть как систему аксиом, определений, теорем, алгоритмов и неалгоритми- зирумых методов:  каждая аксиома должна быть представлена в наглядном виде и явно использоват ься при решении задач и доказательстве теорем;  при изучении каждого определения должн ы быть даны задания на распознавание и на выведение следствий;  при изучении каждой теоремы и каждого алгоритма должны быть даны задания на в ыявление области их применения и на последующее применение;  к каждой теореме должны быть даны задания на выявление условия и заключения, на доказательство и на повторение всех шагов доказательст- ва в конкретных условиях. По каждому типу заданий нужно иметь их около 10. Сказанное определяет необходимый минимум заданий по математике. Всякая возможност ь дополнить работу в классе другими заданиями может только приветствоваться. Но эти дополнительные задачи должны быть на самом деле дополнительными, то есть ставиться не вместо, а вместе с обязательными. Разумеется, точного перечня аксиом, определений, теорем, алгоритмов и неалгоритмизируемых методов, изучаемых в школе, не существует. Их список определяется учебником, который Вы используете в преподав ании. Поэтому мы не можем предложить Вам типовые задания по каждому из них. Нам надо научить Вас составлять их самостоятельно. Отсюда и харак-
101 тер построения этой части книги. Каждому разделу курса математики ос- новной школы мы будем давать общую характеристику, а затем приводить систему типовых заданий для наиболее типичных из его аксиом, теорем, определений, неалгоритмизируемых методов. 2.1. Математика 5–6 Курс математики 5–6 классов делится на четыре раздела: 1) натуральные числа; 2) десятичные дроби; 3) дроби; 4) рациональные числа. В него обыч- но вкрапливают некоторые сведения из геометрии, дают представление о прямоугольной системе координат и учат решать подбором в натуральных числах простейшие уравнения и неравенства. Главное направление этого курса  числа и вычисления. Можно даже сказать, что эта теоретическая линия курса школьной математики фактически и завершается в 5–6 классе, хотя в старших классах происходит расширение понятия числа  вводится множество действительных чисел. Но никакие теоремы о действительных числах в школе не изучаются, а вычисления проводятся, как правило, с их рациональными приближениями. Так что введение действительных чисел в 8 классе не предполагает выработки каких-либо умений и навыков. Даль- нейшее расширение понятия числа  введение комплексных чисел  изъято из школьной программы полвека назад и присутствует теперь только в про- грамме математических классов. Что такое число? На этот вопрос мы не можем дать школьникам удовле- творительный ответ. Существует точка зрения, по которой число  это эле- мент числового поля, и тогда «наибольшим» числовым множеством являет- ся множество комплексных чисел, а гиперкомплексные числа (например, кватернионы) числами не являются. Существует и другая точка зрения, по которой уже комплексные числа – не вполне числа, так как их нельзя срав- нивать по величине, и, значит, понятие числа совпадает с понятием дейст- вительного числа. Заметим и то, что по первой точке зрения натуральные числа и даже целые числа – не вполне числа, так как они не образуют поля. Именно это, а вовсе не «трудность для школьника», делает оправданным такое положение, когда мы отказываемся давать в школе определение поня- тию «число», а даем лишь определения понятиям «натуральное число», «целое число», «рациональное число», «действительное число». Сами определения натуральн ых чисел, целых чисел и рациональных чисел даются в школе в 5–6 классах, однако иначе, чем в науке, на языке, более понятном детям. Числовая линия школьного курса математики состоит в последователь- ном изучении следующих числовых множеств: натуральные числа  поло- жительные дробные числа  рациональн ые числа  действительные числа. Это отличается от порядка изучения действительных чисел в математиче-
102 ской науке: натуральные числа  целые числа  рациональные числа  действительные числа. Считается, что понятие положительной дроби бо- лее доступно младши м школьникам, чем понятие отрицательного целого числа, поэтому они в школе вводятся именно в этом порядке. Что касается последовательности изучения дробных положительных чисел, то на этот счет нет единого мнения. В одних учебниках (например, у С.М. Никольского) изучение начинается с обыкновенных дробей в 5 классе и завершается изучением десятичных дробей в 6 классе. В других (например, у Н.Я. Виленкина) предложен обратный порядок: десятичные дроби изучаются в 5 классе, а обыкновенные  в 6 классе. Вычислительная линия охватывает, по сути, весь курс математики в 5–6 классах. Остальные линии курса математики играют при этом лишь со- путствующую роль. Поэтому важно подумать о стиле преподавания именно этой линии. Некоторые современные учебники (особенно учебники Н.Б. Ис- томиной и Л.Г. Петерсон) ведут этот курс в традициях начальной школы: все новые понятия и утверждения вводятся на примерах, без доказательств. Это- му придумано новомодное оправдание: считать, что 1–6 классы являются «прогимназией», а значит, стиль изложения должен быть во всех этих клас- сах единым. Между тем, необходимо в 5–6 классах приучать детей к идее до- казательства в математике. Иначе 7 класс (геометрия!) сваливается требова- нием доказывать теоремы на неподготовленные головы. Знакомство с дока- зательством утверждений удобно осуществлять при преподавании дробей, а затем  отрицательных чисел. Это нужно делать серьезно, показывая, на что именно мы опираемся при доказательствах и как их проводим. Не произнося еще слова «аксиома», можно напомнить детям основные свойства сложения и умножения, а также определения вычитания и деления – и поместить в классе настенную таблицу с этими утверждениями. Основные свойства сложения и умножения 1. a+b=b+a 2.ab=ba 3. a+(b+c) = (a+b)+c 4. a(bc) = (ab)c 5. a(b+c) = ab+ac 6.a+0=a 7. a1=a 8. a+(a)=0 9. 1 1 а а ,гдеа0 -------------------------------------------------- ab=cb+c=a a:b=cbc=a,гдеb0
103 Значительная часть этой таблицы известна учащимся из начальной школы. Эти сведения надо повторить. Не известно им только свойство 8. Его можно временно закрыть, а можно и просто сказать, что оно будет пройдено после знакомства с отрицательными числами. Сразу возникает вопрос: почему в таблице не сказано, что а ∙ 0 = 0? Если даже дети не спросят об этом, вопрос должен задать учитель. Оказывается, в таблице перечислены лишь основные свойства сложения и умножения. Они потому и называются основными, что все остальные свойства можно доказать, опираясь на них. Можно доказать и свойство нуля при умноже- нии. Хорошо сразу это и сделать (см. доказательство ниже, в п. 2.1.4). В курсе математики 5–6 классов имеются два «труднопроходимых» мес- та. Одно из них  это проценты. В учебниках часто дается неправильное толкование этого понятия – как еще одного способа записи чисел. Напри- мер, в учебнике И.Я. Виленкина читаем: «39 % = 0,39». Правомерна ли та- кая запись? Ведь если х = у, то можно в любой записи заменить х на у. Ме- жду тем, запись 0,39 + 1 имеет смысл, а запись 0,39 % + 1 смысла не имеет. Дело тут в том, что понятие процента лишено смысла, если не указано, что принято за целое, за 100 %. Можно говорить об одной десятой данной величины, а можно и просто об одной десятой  об отвлеченном числе. Но бессмысленно говорить просто о 39 %, не указывая, от какой величины они взяты. Такая особенность понятия «процент» яв ляется главной труд- ностью изучения этой темы. К этому добавляется и еще одно соображение. Все алгоритмы работы с процентами содержат два действия. Этим они от- личаются от тех алгоритмов, с которыми дети знакомились ранее и кото- рые были «в одно действие»27. Проценты не могут быть изучены в течение нескольких часов, отводи- мых на них в обычном планировании. Эта тема должна изучаться длитель- ное время. Весьма продуктивен здесь метод опережающего изучения. В том классе, в котором изучаются проценты (в 5 или 6), мы предлагаем давать ученикам задачи на проценты, начиная с первого дня работы, с сен- тября. Система таких задач, многократно проверенная на практике, приве- дена в п. 2.1.6. Второй трудно усваиваемый материал  решение задач с помощью уравнений. Алгоритм такого решения состоит в том, что, во-перв ых, нуж- но обозначить буквой неизвестную величину, во-вторых, нужно составить выражения, содержащие введенную букву, в -третьих, нужно составить уравнение по условию задачи, в -четвертых, нужно это уравнение решить, в-пятых, нужно осмыслить полученный результат и записат ь ответ. 27 Исключение представляют только алгоритмы нахождения НОД и НОК, очень трудно усваиваемые детьми. Но если без знания НОД и НОК вполне можно обойтись, то о процентах этого не скажешь. Про- центы не только важны для практических целей, на них построена серьезная система задач, играющих большую роль в умственном развитии школьников.
104 Первый из этих шагов в 5–6 классах облегчается очень просто: здесь даются задачи, в которых целесообразно обозначать буквой именно то, что спрашивается. Так что дети быстро натаскиваются в применении первого шага. Но второй, третий и четвертый шаги представляют собой настоящую трудность. Каждому из этих шагов нужно учить. И здесь также хорошим выходом является опережающее обучение. С самого нач ала обучения в 5 классе, с сентября, следует давать на дом, а затем разбирать в классе не- сложные задачи на составление выражений. А затем, примерно с середины 5 класса, с января, давать несложные задачи на составление и решение уравнений. Система таких задач представлена в п. 2.1.6. В учебниках для 5–6 классов имеются немногочисленные выходы за пределы вычислительной линии. Среди них важно от метить введение ко- ординатной плоскости при изучении рациональных чисел. Этот материал присутствует почти во всех учебниках. Но ни в одном из них он не исполь- зуется для знакомства школьников с построением графиков зависимостей между двумя переменными – х и у. Между тем, как показывает более чем сорокалетний практический опыт, такая пропедевтика возможна и очень полезна. Мы покажем это в п. 2.1.6. Итак, в курсе 5–6 класса мы не будем знакомить детей с общим поня- тием числа, а будем изучать натуральные числа, положительные рацио- нальн ые числа, рациональные числа. Для темы «Проценты» и для решения задач с помощью уравнений мы используем опережающее изучение. Уже на этом этапе мы начнем приучать детей к доказательствам. При изучении рациональных чисел мы проведем пропедевтическое обучение умению строить простейшие графики в прямоугольной системе координат. Рассмотри м системы заданий по некоторым важным положениям этих тем. По каждому рассмотренному определению мы даем задания на распо- знавание и на выведение следствий. По каждой теореме и каждому алго- ритму даем задание на отработку и х формулировок. Еще раз подчеркива- ем: рассматриваются не все, а лишь некоторые, наиболее типичные фор- мулировки. Ведь эта книга не справочник, а учебник. 2.1.1. Натуральные числа Изучение натуральных чисел основано на сведениях, полученных уче- никами в начальной школе. Там дети познакомились с целыми положи- тельными числами и нулем, научились производить над ними действия сравнения, сложения, в ычитания, умножения и деления. Они знают наи- зусть таблицы сложения и умножения однозначных чисел, свойства нуля при сложении и умножении и свойство единицы при умножении. Им из- вестны переместительность (коммутативность) и сочетательность (ассо- циативность) сложения и умножения, а также распределительность (дист- рибутивность) умножения относительно сложения и вычитания. Ими ус-
105 воены правила записи натуральных чисел в десятичной системе счисления, разряды и классы. Кроме того, дети знакомы с долями (числами вида n 1, где п  число натуральное). В самом начале курса основной школы, в 5 классе, вводится понятие натурального числа с помощью следующего определения. Определение. Натуральными числами называются числа, которые используются при счете. Понятно, что это определение логически небезупречно. Оно опирается на понятие счета, которое можно определить только зная, что такое нату- ральное число: счет есть установление соответствия между элементами пересчитываемого множества и элементами множества натуральных чисел. Однако строгое, аксиоматическое введение понятия натуральн ого числа (например, с помощью аксиоматики Пеано) считается недоступным для учащихся общеобразовательной школы. И поэтому вводится вышеприве- денное определение. Это определение отрабат ывается на заданиях сле- дующих типов. Задание на распознавание Какие из следующих чисел: 6; 0; 4709; ; 9 1 1  являются натуральными, а какие не являются натуральными? Объясните ответы, ссылаясь на опре- деление натурального числа. Задания на выведение следствий 1. Назовите два натуральных числа, которые понадобятся при подсчете количества детей в вашем классе. 2. Назовите два натуральных числа, которые понадобятся при подсчете ног у сороконожки. 3. Назовите самое большое число, которое понадобится при подсчете ног у жука. 4. Можно ли назват ь самое большое натуральное число? 5. Назовите самое маленькое натуральное число. Знания о натуральных числах обогащаются в 5 классе элементами тео- рии делимости: понятиями делителя, кратного, НОД и НОК, простого и со- ставного числа, признаками делимости. Вот одно из важных определений. Определение. Если натуральное число а делится на натуральное число b без остатк а, то число а называется кратным числа b, а число b называется делителем числа а. Число 0 является кратным любого на- турального числа.
106 Задания на распознавание Среди чисел 10, 20, 30, 40 найдите кратные числа 20; делители числа 20; числа, не яв ляющиеся кратными числа 20; числа, не являющиеся дели- телями числа 20 (вариант: найдите среди них пары чисел, первое из кото- рых  кратное второго, а второе  делитель первого; первое из которых  не кратное второго, а второе – не делитель первого). Задания на выведение следствий Придумайте число, яв ляющееся кратным данного числа; число, не яв - ляющееся кратным данного числа; число, являющееся делителем данного числа; число, не являющееся делителем данного числа (вариант: приду- майте пару чисел, первое из которых  кратное второго, а второе  дели- тель первого; первое из которых  не кратное второго, а второе не дели- тель первого). Определение. Наибольшим общим делителем (НОД) двух или не- скольких натуральных чисел н азывается наибольшее из натуральных чисел, н а которые деля тся без остатка все эти числа. Определение. Наименьшим общим кратным (НОК) двух или не- скольких натуральных чисел н азывается н аименьшее из натуральных чисел, которые делятся без остатк а на все эти числа. Внимание! Желательна одновременная отработка этих определений. Задания на распознавание Среди данных чисел найдите число, являющееся НОД данных чисел, и объясните, почему другие числа не являются НОД данных чисел. Среди данных чисел найдите число, являющееся НОК данных чисел, и объясните, почему другие числа не яв ляются НОК данных чисел. Задания на выведение следствий Найдите НОД данных чисел; найдите НОК данных чисел. Придумайте число, не являющееся НОД данных чисел; не являющееся НОК данных чи- сел. (Предъявляются числа, для которых вычисления выполняются устно.) Определение. Натуральное число называется простым, если оно имеет ровно дв а делителя. Определение. Натуральное число называется составным, если оно имеет более двух делителей. Отработку этих двух определений можно вести одновременно.
107 Задание на распознавание Какие из чисел 6; 0; 5; ; 9 1 4; 1 простые? Какие из них составные? Задания на выведение следствий Выпишите все простые числа из данного промежут ка (например, из первого десятка). Выпишите все составные числа из данного промежутка (например, из первого десятка). Назовите все натуральные числа, которые не являются ни простыми, ни составными. Объясните ответ. Алгоритм. Чтобы найти НОД данных натуральных чисел, нужно разложи ть каждое из них н а простые множители и найти произведе- ние всех общих множителей, имеющихся в разложениях, беря к аждое из них наименьшее число раз. Задание по алгоритму Для каких из данных чисел можно найти наибольший общий делитель? Найдите его. (Пример предъявляемого набора групп чисел: 8 и 0; 5 и ; 9 1 4и6;4и1.) Алгоритм. Чтобы найти НОК данных натуральных чисел, нужно разложи ть каждое из них н а простые множители и найти произведе- ние всех множителей, имеющихся в разложениях, беря каждое из них наибольшее число раз. Задание по алгоритму Для каких из данных чисел можно найти наименьшее общее кратное? Найдите его. (Пример предъявляемого набора групп чисел: 8 и 0; 5 и ; 9 1 4и6;4и1.) Теорема (признак делимости на 2). На 2 делятся все те и только те натуральные числа, десятичн ая запись которых оканчивается на цифру 0, 2, 4, 6 или 8 (вариант: н а четную цифру). Теорема (признак делимости на 5). На 5 делятся все те и только те натуральные числа, десятичн ая запись которых оканчивается на цифру 0 или 5. Теорема (признак делимости на 10). На 10 делятся все те и только те натуральные числа, десятичная запись которых окан чивается на цифру 0. Теорема (признак делимости на 3). На 3 делятся все те и только те натуральные числа, сумма цифр которых делится н а 3.
108 Теорема (признак делимости на 9). На 9 делятся все те и только те натуральные числа, сумма цифр которых делится н а 9. Задания, адекватные этим теоремам, однотипны. Задание на отработку формулировки (на примере признака делимости на 2) Среди чисел 31, 45, 432 найти число, удовлетворяющее признаку дели - мости на 2. Сделат ь выводы. (Решение. Число 31 оканчивается на 1. Оно не удовлетворяет признаку делимости на 2. Значит, оно не делится на 2. Число 45 оканчивается на 5. Оно не удовлетворяет признаку делимости на 2. Значит, оно не делится на 2. Число 432 оканчивается на 2. Оно удовлетворяет признаку делимости на 2. Значит, оно делится на 2.) 2.1.2. Десятичные дроби Явно неудачно определение десятичной дроби как особой формы за- писи дроби со знаменателем вида 10n. Во-перв ых, этому определению не соответствуют бесконечные дроби (периодические и непериодические). Во-вторых, если бы десятичная дробь была дробью, то все теоремы о дро- бях относились бы и к десятичным дробям (как относятся они, напри мер, ко всем правильным дробям). Но это не так. Во всех теоремах о дробях (например, в теореме об основном свойстве дроби) говорится о числите- ле, знаменателе и черте дроби. А десятичная дробь не имеет ни числите- ля, ни знаменателя, ни этой черты. Зато она имеет важный элемент (запя- тую), которого не имеет дробь. Значит, десятичная дробь не является дробью. В таком словоупотреблении нет ничего особенного. Не только в мате- матическом, но и в обычном языке конструкция «существительное + при- лагательное» может определять нечто от личное от этого существительно- го, взятого отдельно. Например, морская свинка  вовсе не свинка. По- французски «земляное яблоко»  pomme de terre  вовсе не яблоко, а кар- тофель, «анатомический театр» не театр, а морг, и, как говорил Г.В. Доро- феев, «бывший муж  не муж». Родов ым понятием для десятичной дроби нужно считать не «дробь», а «десятичное число» (число, записанное в десятичной системе счисления). Определение. Десяти чной дробью называется десятичное число (число, записанное в десятичной системе счисления), имеющее цифры в разрядах правее (меньше) разряда единиц. Эти разряды отделяются от разряда единиц запятой. Число, стоящее в десятичной дроби левее запятой, н азывается целой частью десятичной дроби. Число, стоящее в десятичной дроби правее запятой, называется дробной частью деся-
109 тичной дроби. Цифры, стоящие в дробной части десятичной дроби, на- зываются десятичными знаками. Такое определение десятичных дробей дает возможность изучать их до обыкновенных дробей. Но даже если обыкновенные дроби изучаются до де- сятичных, данное определение ничем не мешает, а только помогает исполь- зовать при изучении десятичных дробей известные ученикам алгоритмы ра- боты с многозначными числами (действия «столбиком» и «уголком»). Задание на распознавание Среди чисел 0,78; 10 9 ; 2 1 ; 23; 23,0 найти те, которые яв ляются десятич- ными дробями, и те, которые не являются ими. Назовите целую часть и дробную часть каждой найденной десятичной дроби и все ее десятичные знаки. (При выполнении задания число 23,0 должно быть признано деся- тичной дробью, а число 23  нет.) Задания на выведение следствий Напишите какую-нибудь десятичную дробь, используя по одному разу цифры 0; 1 и 2. Напишите число, которое не является десятичной дробью, используя указанные цифры (вариант: с целой частью 1 и с десятичными знаками 0 и 2). Алгоритм сравнения десятичных дробей. Чтобы сравнить две деся- тичные дроби, нужно сравнить и х целые части: больше то число, у ко- торого больше целая часть; если целые части равны, то нужно срав- нивать цифры в разряде десятых, сотых и т.д. до обнаружения нерав- ных цифр. Та дробь больше, которая содержит эту большую цифру. Каждая десятичная дробь, имеющая ненулевые десятичные знаки, больше натурального числа, равного целой части этой десятичной дроби, но меньше этого натурального числа, увеличенного н а единицу. Задание по алгоритму Среди данных чисел выберите два числа, которые можно сравнить по этому правилу (дается несколько чисел, среди которых только две деся- тичные дроби, одно натуральное число, а кроме них  несколько чисел ви- дап 1 ) и сравните их. При решении этой задачи ученики убеждаются, что любые десятичные числа можно сравнивать указанным способом. Алгоритм сложения и вычитания десятичных дробей. Десятичные дроби складываются и вычитаются между собой и с натуральными числами по разрядам. При сложении и вычитании десятичны х дробей столбиком они подписываются запятая под запятой.
110 Задание по алгоритму Среди данных чисел в ыберите два числа, которые можно сложить и вычесть по этому правилу (дается несколько чисел, среди которых только две десятичные дроби и одно натуральное число, а кроме них  несколько чисел вида п 1 ). Найдите сумму и разность этих чисел. При решении этой задачи ученики убеждаются, что любые десятичные числа можно склады- вать и вычитать (из большего меньшее) указанным способом. Алгоритм умножения. Чтобы перемножить две десятичные дроби или десятичную дробь и натуральное число, нужно выполнить умно- жение, не обращая внимания на запятые, а затем в произведении от- делить запятой справ а столько десятичных знаков, сколько их всего в обоих множителя х. Задание по алгоритму Среди данных чисел в ыберите два числа, которые можно перемножить по этому правилу (дается несколько чисел, среди которых только две деся- тичные дроби и одно натуральное число, а кроме них  несколько чисел вида п 1 ). Найдите произведение этих чисел. При решении этой задачи уче- ники убеждаются, что любые десятичные числа можно умножать указан- ным способом. Алгоритм деления десятичной дроби на натуральное число. Вы- полняя деление десятичной дроби на натуральное число, нужно разде- лить н а него целую часть делимого; когда заканчивается деление це- лой части (сносится цифра десятых), в частном ставится запятая и де- ление продолжается. Задание по алгоритму Среди данных чисел в ыберите два числа, частное которых можно най- ти по этому правилу (дается несколько чисел, среди которых имеется одно натуральное число и две десятичные дроби, а кроме них  несколько чисел вида п 1 ). Найдите частное этих чисел. Алгоритм деления на десятичную дробь. Чтобы выполнить деление на десятичную дробь, нужно: 1) заменить делитель на натуральное число и выяснить, во сколь- ко раз он от этого увеличился; 2) увеличить во столько же раз делимое; 3) выполнить деление полученных чисел.
111 Задание по алгоритму Среди данных чисел в ыберите два числа, частное которых можно най- ти по этому правилу (дается несколько чисел, среди которых имеется одно натуральное число и две десятичные дроби, а кроме них  несколько чисел вида п 1 ). Найдите частное этих чисел. 2.1.3. Дроби Определение. Дробью называется особая форм а записи частного, при которой делимое записывается над чертой дроби и называется числителем, а делитель записывается под чертой дроби и называется знаменателем. Дробь называется обыкновенной, если ее числитель и знаменатель натуральные числа. Такое определение дробей дает возможность изучать их свойства вне зависимости от того, какими именно числами являются числитель и зна- менатель. В нынешних учебниках отдельно изучаются обыкновенные дро- би (5 или 6 класс) и отдельно дроби алгебраические (8 класс), больше во- прос о дробях не рассматривается. Поэтому, например, в ыражение x x cos sin формально не является дробью, что весьма неудобно. Выход в том, чтобы дать общее определение дроби и установить ее свойства вне зависимости от вида числителя и знаменателя. Задание на распознавание Среди данных выражений ( 3 2;7+8;4–2; 7 , 3 6 , 0;65 , 57 1 ) выберите дроби; назовите их числитель и знаменатель; укажите, является ли каждая из этих дробей обыкновенной дробью. Ответом будут дроби 3 2,7 , 3 6 , 0и65 , 57 1 , причем первая из этих дробей является обыкновенной. Задание на выведение следствий Данную дробь запишите в виде частного с помощью знака деления (двоеточия) и найдите, чему равна эта дробь. (Предъявляются дроби, чис- лители и знаменатели которых являются натуральными числами или деся- тичными дробями.)
112 Теорема. Чтобы получить обыкновенную дробь n m , достаточно раз- делить единицу на п равных частей и взять т таких частей: . ) : 1 (m n n m   Задание по формулировке теоремы Как отметить на числовой прямой точку с координатой 5 2 , используя это правило? Теорема об основном свойстве дроби. Если числи тель и знамена- тель дроби умножить на одно и то же число, не равное нулю, то значе- ние дроби не изменится: bc ac ba ,еслис 0. Доказательство. Мы докажем, что частное от деления числа ac на чис- ло bc равно числу b a , а для этого докажем, что произведение чисел b a иbc равно числу ac. И в самом деле, b a  (bc) по сочетательному свойству ум- ножения равно c b ba    , то есть равно ac, ч.т.д. Внимание! Это первое доказательство, которое мы предлагаем уча- щимся. Мы вовсе не надеемся, что оно будет понято ими всеми, и вовсе не предлагаем задавать его для обязательного усвоения. Мы всего лишь пред- лагаем желающим ученикам воспроизвести его письменно «на пятерку». Смысл наших действий состоит в следующем. Во-перв ых, мы начинаем объяснять детям, что в математике существует такая деятельность  дока- зательство утверждений. Во-вторых, мы получаем право говорить об очень важном (основном!) свойстве дроби как о доказанном. В-третьих, мы вы- являем детей, которым эта деятельность интересна и посильна. В разговоре с таким учеником нужно спросить его, почему при доказательстве мы за- менили выражение b ba  числом а. (Ответ такой: b ba =а,таккакb a=a:b по определению дроби.) Теорема об основном свойстве дроби относится к тем теоремам, в ко- торых доказываются формулы. Задания по формулировк ам этих теорем в общем виде выглядят так: из предъявленных объектов выберите такие, к которым применима данная формула, и примените ее к ним. В данном случае задание может быть таким. Какие из следующи х дробей можно сократить, используя основное свойство дроби: 12 9 ; 5 3 ; 2 46 ; 5 3 5 2    ? Выполните сокращение.
113 Алгоритм сравнения обыкновенных дробей с одинаковыми знаме- нателями. Чтобы сравнить две обыкновенные дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сравнить их числители: больше та дробь, у ко- торой больше числитель. Задание по алгоритму Из данных чисел выберите два числа, которые можно сравнить по этому правилу (дается несколько чисел, среди которых только две обыкновенные дроби, одно натуральное число, две десятичные дроби), и сравните их. Алгоритм умножения дробей. Произведение дробей равно дроби, числитель которой равен произведению числителей данных дробей, а знаменатель произведению их знаменателей: bd ac dc ba  . Задание по алгоритму Среди данных чисел в ыберите два числа, которые можно перемножить по этому правилу (дается несколько чисел, среди которых только три дро- би, а остальные  десятичные дроби и натуральные числа). Найдите произ- ведение этих чисел. Алгоритм деления дробей. Частное от деления дроби на дробь рав- но дроби, числитель которой равен произведению числителя первой дроби на знаменатель второй дроби, а знаменатель равен произведе- нию знаменателя первой дроби на числитель в торой дроби: bd ad dc ba : . Задание по алгоритму Среди данных чисел выберите два числа, частное которых можно най- ти по этому правилу (дается несколько чисел, среди которых только три дроби, а остальные  десятичные дроби и натуральные числа). Найдите частное. Определение. Пропорцией называется верное равенство двух дро- бей. Каждая из дробей в пропорции называется отношением числите- ля к знаменателю. Пропорция d c b a  читается так: а относится к b, как с относится к d. Числа а и d называются крайними членами пропор- ции, числа b и с называются средними членами пропорции. Задание на распознавание Среди данных записей найдите пропорцию, правильно прочитайте ее и укажите ее крайние и средние члены.
114 Задание на выведение следствий Из данных чисел составьте пропорцию. Теорема об основном свойстве пропорции. Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов. Обратно, если произведение двух чисел равно произведению двух других чисел, то из этих чисел можно составить пропорцию. Задание по формулировке Найдите среди данных чисел такие, из которых можно составить про- порцию, и состав ьте ее. Доказательство. d c b adb cb bd adbc ad . Следовательно, d c b abc ad , ч.т.д. Алгоритм отыскания неизвестного члена пропорции. Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, нужно произведение крайних членов этой пропорции разделить на известный средний член. Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, нужно произведение средних членов этой пропорции разделить на известный крайний член. Задания по алгоритму Найдите неизвестные члены данных пропорций. 2.1.4. Рациональные числа Значение этой темы выходит далеко за рамки потребностей вычисли - тельной линии курса. Рассмотрим, например, одно из правил знаков при умножении. В рамках 6 класса оно выглядит так: произведение положи- тельного и отрицательного числа отрицательно. На самом деле, оказывает- ся, что вообще х(у) = ху, независимо от того, каки ми числами являются х и у. Так, если х  число положительное, а у  отрицательное, то по это- му правилу получается, что произведение положительного числа х и поло- жительного числа у положительно. Таким образом, в данной теме изуча- ются общие законы числового поля. Второй важной особенностью данной темы является то, что в ней вво- дится прямоугольная система координат. Этот вопрос не имеет никакого отношения к числовой линии и даже может считаться чужеродным в дан- ной теме. Однако почти во всех учебниках математики 5–6 классов прямо- угольная система координат вводится именно здесь. И это совершенно правильно, так как такая пропедевтическая работа может служить хорошей подготовкой к изучению функций в 7 и следующи х классах. Именно
115 в 6 классе можно научить детей новому для них графическому способу за- дания соотношений между двумя величинами. Еще не называя вещи свои- ми именами, можно научить их строить графики линейных, квадратичных, кусочно-линейных функций  строить по точкам. Этот вопрос изложен нами в п. 2.1.6. Рассмотри м системы заданий к некоторым важн ым предложениям этой темы. Определение. Числа, расположенные на числовой прямой правее начала 28 , называются положи тельными и записываются со знаком «плюс» или вообще без знака; числа, расположенные на числовой прямой левее начала, н азываются отрицательными и записываются со знаком «минус». Число 0 не является ни положительным, ни отри- цательным числом . Задания на распознавание 1. Среди чисел 5; 8; 5,4; 8 1 3 ; 0; 1 выпишите положительные числа в прав ый столбец, а отрицательные  в левый столбец. Все ли числа долж- ны быть в ыписаны? 2. На числовой прямой обозначены по порядку, слева направо, числа a, b, c, d и е. При этом число с совпадает с началом. Какие из этих чисел положительные, а какие отрицательные? Сделайте чертеж. Задание на выведение следствий Начертите числовую прямую и отметьте на ней положительное число х, отрицательное число у и число t, не яв ляющееся ни положительным, ни отрицательным. Определение. Дв а числа, расположенные на числовой прямой по разные стороны от начала и одинаково удаленные от него, н азыва- ются противоположными числами. Число 0 считается противополож- ным самому себе. Число, противоположное числу а, обозначается а. 28 Для сокращения текста везде в дальнейшем, говоря о числовой прямой, мы будем иметь в виду гори- зонтальную числовую прямую с положительным направлением вправо. Если же нам понадобится гово- рить о вертикальной числовой прямой, мы будем считать направление вверх ее положительным направ- лением. Всегда будем считать, что из двух чисел то больше, которое расположено на числовой прямой правее, а на вертикальной числовой прямой выше.
116 Задания на распознавание 1. Среди пяти чисел a, b, c, d и е, расположенных на числовой прямой на данном чертеже, выберите пары противоположных. Запишите это. (Рисунок должен быть таким, чтобы были очевидны соотношения: a = e, e = a, b = d, d= b,c= c.) 2. Какие из следующих чисел взаимно противоположны: 3; 4; 8; 11 3; 11 3;9; 5 2 3 ? Задание на выведение следствий 1. От метьте на числовой прямой числа, противоположные данным на нейчисламa,bиc. 2. Запишите числа, противоположн ые числам 1; 13,5; 0; 2. Определение. Модулем числа называется расстояние от изображе- ния этого числа на числовой прямой до начала (точки О). Модуль числа а обозначается а . Задания на распознавание 1. Какие из следующих равенств верны и почему: 4=4,3=2,0=0,0,1= –0,1? 2. Среди пяти чисел a, b, c, d и е, расположенных на числовой прямой на данном чертеже, выберите числа с одинаковыми модулями. Запишите это. (Рисунок должен быть таким, чтобы были очевидн ы соотношения: a = e, b = d, а число с не имело равного ему по модулю.) Задания на выведение следствий 1. Найдите модули следующи х чисел: 9 4  ; 7; 9,67; 6525; 8 , 0 5 4 . 2. От метьте на числовой прямой число, имеющее такой же модуль, как число а (отмеченное на числовой прямой на доске). Определение. Координатной плоскостью н азывается плоскость, на которой проведены две числовые прямые: горизонтальная и вер- тикальн ая, с общим началом О и с одинаковыми единичными отрез- ками. Горизонтальная прямая обозначается Ох и называется осью абсцисс. Вертикальная прямая обозначается Оу и называется осью ор- динат. Оси Ох и Оу н азываются осями координат. Оси координат де- лят координатную плоскость н а четыре четверти, которые нумеруют- ся, начиная с верхней правой против часовой стрелки.
117 Задание на распознавание Среди данных изображений найдите правильное и полное изображение координатной плоскости и обозначьте ри мскими цифрами ее четверти. Задание на выведение следствий Изобразите координатную плоскость в своей тетради, обязательно рас- ставив на чертеже стрелки на осях, названия осей Ох и Оу и местоположе- ние единиц на осях. Алгоритм определения координат данной точки на координатной плоскости. Чтобы н айти абсциссу данной точки А координатной плоскости, нужно:  провести через точку А вертик альную прямую,  найти точку пересечения этой прямой с осью абсцисс,  определить координату этой точки на оси абсцисс. Чтобы н айти ординату данной точки А координатной плоскости, нужно:  провести через точку А горизонтальную прямую,  найти точку пересечения этой прямой с осью ординат,  определить координату этой точки на оси ординат. Задание по алгоритму На каком из чертежей можно определить координаты точки В? (Даются 3 чертежа. На одном из них имеется только точка В, на другом начерчены оси координат и дана точка В, но не указаны масштабные единицы, на третьем дан полный чертеж.) Сделайте это, подробно объясняя свои дейст- вия по алгоритму. Алгоритм построения точки по ее координатам Чтобы построи ть н а координатной плоскости точку А (a; b), нужно:  отметить на оси абсцисс точку а и провести через нее верти- кальную прямую;  отметить на оси ординат точку b и провести через нее горизон- тальную прямую. Эти прямые пересекаются в точке А (a; b). Задания по алгоритму 1. На каком из чертежей можно построить точку В (2; 3)? (Даются 2 чертежа. На одном из них начерчены оси координат, но не указаны мас- штабные единицы, на втором дан полн ый чертеж.) Сделайте это, подробно объясняя свои действия по алгоритму.
118 2. Начертите координатную плоскость и постройте точку А с одинако- выми абсциссой и ординатой (у = х); точку В с противоположными коор- динатами (у = х); точку С с координатами, равными по модулю (у=х). Определение. Целыми числами называются натуральные числа, числа, противоположные н атуральным, и число нуль. Задание на распознавание Среди данных чисел найдите целые числа. Ответ обоснуйте, ссылаясь на определение. Задание на выведение следствий Запишите все целые числа, лежащие на числовой прямой между числа- ми3,2и 4 3 2. Определение. Рацион альными числами н азываются числа, кото- рые можно записать в виде дроби п т , где т число целое, п число натуральное. Задание на распознавание Среди данных чисел найдите рациональные числа. Ответ обоснуйте, ссылаясь на определение. Задание на выведение следствий Придумайте рациональное число, расположенное между числом 3 и числом 3,14. Ответ обоснуйте, ссылаясь на определение. Алгоритм сложения рациональных чисел на числовой прямой. Чтобы найти сумму чисел a + b, нужно:  отметить на прямой число а;  указать стрелкой направление перемещения от а: если b поло- жительно вправо, если b отрицательно влево;  переместиться в выбранном направлении на столько единиц, сколько их в числе b . Полученная точк а соответствует сумме a + b. Задания по алгоритму 1. В какую сторону и на сколько единиц от нуля нужно переместиться, чтобы получить сумму 0 + (2); 0 + (4)? 2. Какие из следующих чисел можно сложить по этому правилу: а)3,5и5,2;б)4и 3 1 2 ;в)3,5и5,2. 3. Существуют ли такие два числа, которые нельзя сложить по этому правилу? Почему?
119 4. Представьте, каким образом осуществляется сложение с помощью числовой прямой и найдите сумму: 5,853 + (3,44); 7520 + 8869. Алгоритм сложения рациональных чисел бе з помощи числовой прямой. Если одно из слагаемых равно нулю, то их сумма равна второму слагаемому. Если слагаемые одного знака, то их сумма имеет тот же знак, а мо- дуль суммы равен сумме модулей слагаемых. Если слагаемые противоположные числа, то их сумма равна нулю. Если слагаемые разных знаков, но не противоположны, то их сум- ма имеет знак слагаемого, большего по модулю, а модуль равен разно- сти модулей слагаемы х. Задание по алгоритму Подберите к каждой сумме соответствующую часть алгоритма и выпол- нитесложение:10+(13); 0+(3);17+17;4+(3);6+0;25+30. Теорема о вычитании рациональных чисел. Чтобы вычесть из чис- ла а число b, достаточно к числу а прибавить число, противоположное числуb:a b=a+(b). Задание по формулировке теоремы Среди данных выражений найдите такие, к которым применимо это правило,ивоспользуйтесьим:2+3;23;3+2;32;2+(3); 2(3). Это второй случай, когда сформулированное правило (теорему!) следует доказать. Для доказательства мы используем определение вычитания: х  у = z y+z=х,сочетательноесвойствосложения:x+(y+z)=(x+y)+z,свойст- во нуля: х + 0 = х, свойство противоположных чисел: х + (х) = 0. Доказательство. В доказываемом равенстве a  b = a + (b) число а является уменьшаемым, число b  вычитаемым, число a + (b)  разно- стью. Найдем сумму разности a + (b) и вычитаемого b, для чего исполь- зуем сочетательное свойство сложения: (a + (b)) + b = а + ((b) + b). Вы- ражение в скобках есть сумма двух противоположных чисел, а значит, равнонулю.Поэтомуа+((b)+b)=а+0=а.Итак,(a+(b))+b=а,от- кудаab=a+(b),ч.т.д.
120 Теорема об умножении чисел с разными знаками. Произведение числа а и числа, противоположного числу b, есть число, противопо- ложное произведению чисел а и b, то есть а ( b) = (аb). Произведение числа, противоположного числу а, и числа b, есть число, противопо- ложное произведению чисел а и b, то есть а b = (аb)29. Задание по формулировке теоремы Убедитесь, что это правило можно использовать для любых значений а и b, и, применив его к данным парам чисел, найдите их произведения. Это уже третий случай, когда сформулированное правило (теорему!) следует доказать. Но вначале нам придется доказать, что для любого а произведение а  0 равно 0. Запишем это доказательство, помещая под знаком равенства номер того из основных свойств сложения и умножения, на которое мы опираемся (см. таблицу в начале п. 2.1): 0 0 1 ) 0 1 ( 1 7 5 6 7            a a a a a a a . Нами доказано равенство а = а + а 0. К обеим его частям прибавим слева число а: а+а= а+(а+а0). Левая часть равна нулю, а правую част ь можно преобразовать, исполь- зуя сочетательное свойство сложения: 03 (а+а)+ а0. Вскобкахнуль,отсюда0=0+а0,илиа0=0,ч.т.д. Приступаем к доказательству «правила знаков»: а  (b) = (аb). Нужно доказать, что число а  (b) противоположно числу аb, то есть что их сумма равна нулю. Имеем: а(b)+аb 5 а(b+b)8 а0=0,ч.т.д. Но если даже не доказывать этой теоремы, то следствия из нее (сле- дующие теоремы) должны быть доказаны обязательно. Теорема об умножении чисел со знаком «минус»: ( а) ( b) = ab. Задание по формулировке теоремы Убедитесь, что это правило можно использовать для любых данных вам значений а и b, и найдите их произведения. Доказательство. (а)(b)= ((a)b)= ((аb))=аb. 29 Разумеется, детям можно этот текст дать и в таком виде: «Правило. Произведение чисел разного знака имеет знак минус, а его модуль равен произведению модулей данных чисел». Но дело тут в том, что дан- ная теорема верна и при отрицательных, и при нулевых значениях множителей. И доказываться она бу- дет именно в этом, самом общем виде.
121 Теорема о делении чисел с разными знаками. Частное от деления чис- ла а на число, противоположное числу b, есть число, противоположное частному чисел а и b: b a b a   . Задание по формулировке теоремы Убедитесь, что это правило можно использовать для любых данных вам значений а и b, и, применив его к данным парам чисел, найдите их частные. Доказатель ство. b a b a           b a b a) (   b a b a а = а, что верно. Теорема о делении чисел со знаками «минус»: b a b a   . Задание по формулировке теоремы Убедитесь, что это правило можно использовать для любых данных вам значений а и b, и, применив его к данным парам чисел, найдите их частные. Доказательство. b a b a               b a b a b a b a) ( а = а, что верно. 2.1.5. Геометрия в 5–6 классах Геометрический материал в 5–6 классах в каждом учебник е выглядит по- своему. Сравним, например, содержание этого материала в учебниках под ре- дакцией Н.Я. Виленкина и С.М. Никольского. Н.Я. Виленкин. 5 класс: отрезок, прямая, луч, треугольник, площади и объ- емы, угол, градусная мера угла. 6 класс: перпендикулярные и параллельные прямые. С.М. Никольский. 5 класс: прям ая, луч, отрезок, окружность, круг, сфера, шар, угол, градусная мера угла, треугольник, прямоугольник и его площадь, квадрат, прямоугольный параллелепип ед и его объем. 6 класс: геом етриче- ский материал отсутствует. Определяя цели тех или иных включений, авторы не дают общего объяс- нения планируемой ими системы обучения геометрии в 5–6 классах. Напри- мер, перпендикулярность в учебнике Н.Я. Виленкина вводится непосредст- венно перед рассмотрением прямоугольной системы координат. В данном случае геометрический материал выступает не в си стем е геометрических зн а- ний, а как служебный элемент30. 30 Ясно, что для введения прямоугольной системы координат вовсе не требуется введение понятия «пер- пендикулярные прямые». Одна ось должна быть горизонтальной, а другая вертикальной, и нет необхо- димости произносить слово перпендикуляр (в школе не рассматриваются координатные оси, перпендику- лярные друг другу, но расположенные как-нибудь иначе).
122 Эти сведения приведены здесь совсем не для того, чтобы сравнивать дос- тоинства и недостатки учебников, а лишь для подтверждения отсутствия еди- ных требований к содержанию геометрического материала в курсе 5–6 класса. Между тем к геометрическому содержанию курса можно предъявить важные требования. Как показывает специально поставленный экспери- мент, в 5–6 классах можно осуществить первое знакомство со всем содер- жанием курса геометрии средней школы, то есть познакомить детей со всеми изучаемыми в нем геометрическими фигурами, от точки до шара, а также с понятиями параллельности и перпендикулярности, равенства и подобия. Это можно сделать, изучая так называемую «геометрию без дока- зательств». 2.1.6. Опережающее обучение в 5–6 классах: проценты, текстовые задачи, графики Как уже говорилось, в курсе математики имеются некоторые особо трудные темы. В начальной школе это  таблица умножения, а в основной школе  проценты, текстов ые задачи, графики, векторы, тригонометрия. Проблему изучения таблицы умножения в начальной школе решила замечательная московская учительница Софья Николаевна Лысенкова. По программе таблица умножения изучается в конце 2 класса. Но Лысен- кова начинает вводить ее с самого начала этого класса, с сентября. Посте- пенно, в течение целого учебного года, она добивается усвоения таблицы умножения сначала на 2, потом на 3 и так далее, и к концу 2 класса дети знают ее наизусть. Этот прием называется опережающим обучением. Попробуем и мы проводить опережающее обучение трудным темам основной школы. Поскольку в этом разделе книги речь идет о 5 и 6 клас- сах, мы остановимся здесь на процентах, текстовых задачах и графиках. 1. Проценты. По программе школьник должен изучать проценты как обычную тему. Ей посвящен обычный пункт учебника, на него отведено в планировании несколько часов. Мы проводили специальную анкету среди учителей с во- просом: «Сколько времени нужно посв ятить изучению процентов как от- дельному вопросу курса?». Учителя назвали срок в среднем в один месяц. Однако в нашем распоряжении этого месяца нет. И мы прибегнем к опе- режающему обучению. Проценты изучаются в 5 или в 6 классе, в зависимости от того, в каком классе изучаются десятичные дроби. В любом случае изучение процентов размещается в конечной части этой темы. Мы же начнем опережающее обучение с начала изучения темы «Десятичные дроби», а еще лучше  с 1 сентября. Будем каждый день давать на дом по одной задаче на процен- ты, а на следующем уроке включать ее в диктант в качестве дополнитель- ной, шестой задачи, оцениваемой только положительно.
123 Процедуру опережающего изучения процентов можно разбить на т акие этапы: 1) нахождение одного процента от данной величины; 2) нахождение величины, один процент которой известен; 3) знакомство с обозначением % и нахождение нескольких процентов от величины; 4) нахождение величины, несколько процентов которой известны; 5) выяснение, сколько процентов составляет одна величина от другой, для случая, когда это 1 %; 6) выяснение, сколько процентов составляет одна величина от другой, для общего случая. В результате такой работы происходит знакомство с понятием процен- та и со всеми тремя видами задач на проценты (нахождение процента от числа; нахождение числа по его проценту; нахождение процентного отно- шения двух чисел). По каждому этапу необходимо поставить по три одно- типных задачи. Так что на введение этой темы потребуется 18 заданий (18 домашних заданий). По исчерпании этих 18 заданий следует повторять задания указанных трех видов до того момента, когда по программе придет время теоретическо- го изучения этой темы. Задания всех видов в это время даются вразнобой. Давая первую задачу на дом, мы ничего специально не объясняем (кроме важности процентов в практической жизни), а саму эту задачу даем в такой формулировке. Задача 1. Один процент от числа  это его сотая часть. Например, один процент от числа 700 можно найти, разделив 700 на 100. Получится 7. Число 7  это один процент от числа 700, его сотая часть. Найдите один процент от 500. В диктанте мы спрашиваем просто: чему равен один процент от числа 500? В следующих двух задачах требуется найти один процент от имено- ванного числа: от 1200 т и от 750 км. Начиная с седьмой задачи (с третьего этапа), вводится обозначение процента  знак «%», а пишется: «39 % от 1  это 0,39» (но ни в коем слу- чае не пишется: «39 % = 0,39»). И так далее. Будет очень полезно, если дети заведут специальные тетради для реше- ния задач на проценты. После изучения этой темы задачи на проценты будут встречаться в по- вторительных математических диктантах на протяжении всех лет обучения. Предложим, например, первые тридцать заданий о процентах.
124 Первый этап. 1. Один процент от числа  это его сотая часть. Например, один процент от числа 700 можно найти, разделив 700 на 100. Получится 7. Число 7  это один процент от числа 700, его сотая часть. Найдите один процент от числа 500. 2. Найдите один процент от 1200 т. 3. Чему равен один процент от пути длиной 750 км? Второй этап. 4. Найдите число, 1 % которого равен 13. 5. Найдите число, 1 % которого равен 4,8. 6. Найдите число, 1 % которого равен 7,53. Третий этап. 7. Процент обозначается знаком «%». Найдите 5 % от числа 200. 8. Найдите 8 % от числа 300. 9. Найдите 19 % от числа 40. Четвертый этап. 10. Найдите число, 17 % которого равны 68. 11. Найдите число, 18 % которого равны 54. 12. Найдите массу камня, если 20 % ее равны 4,5 кг. Пятый этап. 13. Сколько процентов состав ляет число 8 от числа 800? Почему? 14. Сколько процентов состав ляют 34 копейки от 34 рублей? 15. Сколько процентов состав ляет 17 см от 17 м? Шестой этап. 16. Сколько процентов состав ляет число 6 от числа 6000? 17. Сколько процентов состав ляет число 0,9 от числа 360? 18. Сколько процентов состав ляет 1 см от 2 дм? Дальнейшие задания 19. Найдите, сколько секунд в одном часе и сколько секунд составляют 5 % одного часа. 20. У какого числа 32 % равны 10,24? 21. Прибор стоил 1200 рублей. Он подешевел на 10 %. На сколько руб- лей подешевел прибор? Сколько он теперь стоит? 22. Чему равны 10 % от числа 453,8? 23. 7 % от числа х равны 67,9. Чему равно число х? 24. Чему равны 9 % от числа 2,65? 25. В лаборатории работают 5 мужчин и 4 женщины. На сколько про- центов больше в лаборатории мужчин, чем женщин? На сколько процен- тов меньше в лаборатории женщин, чем мужчин? 26. 5 % числа равны 84. Чему равны 15 % этого числа? 27. Сколько процентов числа составляют 23 % от 46 % того же числа? 28. На сколько процентов увеличили число, если его увеличили в 3 раза? 29. На сколько процентов уменьшили число, если его уменьшили в 4 раза? 30. Сколько процентов состав ляет 1 кг от 2 г?
125 2. Текстовые задачи. Опережающее обучение по этой теме мы разобьем на четыре этапа: 1) обучение составлению выражений по условиям задачи; 2) обучение составлению уравнений по условиям задачи; 3) обучение решению простейших уравнений; 4) полное решение задачи с помощью составления уравнений. Методика работы с этими заданиями та же, что и по предыдущей теме. Однако эта работа рассчитана на целый год. Место ей  в 6 классе. Вот 96 задач по этой теме. Вы легко измените их, если этого потребуют конкретные условия Вашей работы. Одно должно быть неизменным: сис- тематичность заданий. И еще: не переходите к следующему этапу, если все задания по предыдущему не освоены. Первый этап. 1. Ботинки на 2000 рублей дороже шляпы. Цену шляпы в рублях обо- значили буквой x. Выразите через x цену ботинок. Сделайте рисунок31. 2. Скорость велосипедиста в 2 раза больше скорости пешехода. Ско- рость пешехода обозначили буквой x. Выразите через x скорость велосипе- диста. Сделайте рисунок. 3. Одно число в 4 раза больше другого. Меньшее из этих чисел обозна- чили буквой y. Выразите через y большее число. Сделайте рисунок. 4. В первой бригаде на 3 человека больше, чем во второй. Число людей в первой бригаде обозначили буквой x. Выразите через x число людей во второй бригаде. Сделайте рисунок. 5. Рабочий Иванов делает за смену на 10 деталей больше, чем рабочий Петров. Сменную в ыработку Иванова обозначили через x. Выразите через x сменную выработку Петрова. Сделайте рисунок. 6. Скорость вертолета в 3 раза меньше скорости самолета. Скорость вертолета обозначили буквой y. Выразите через y скорость самолета. Сде- лайте рисунок. 7. Путь в гору в 2 раза короче, чем путь по равнине. Путь в гору обо- значили через x. Выразите через х пут ь по равнине. Сделайте чертеж. 8. Тетрадей купили на 8 штук больше, чем карандашей. Число куп лен- ных карандашей обозначили буквой у. Выразите через y стоимость куп - ленных тетрадей, если каждая тетрадь стоит 3 рубля. 9. Тетрадей купили на 6 штук меньше, чем карандашей. Число куп лен- ных карандашей обозначили буквой х. Выразите через х стоимость куп - ленных тетрадей, если каждая тетрадь стоит 2 рубля. 10. Число х увеличили в 2 раза. Получившееся произведение уменьши - ли на 4. Выразите через х число, полученное в результате. 31 Разумеется, рисовать нужно не ботинки и шляпу, а два отрезка, один под другим, разной длины. Около длинного отрезка нужно написать «ботинки», около короткого «шляпа». Под выступающей частью длинного отрезка нужно написать «2000».
126 11. Весь путь равен у км. Пешеход прошел половину этого пути, а по- том еще 2 км. Сколько прошел пешеход? 12. Площадь земельного участка равнялась у га. Ее сначала уменьшили на 4 га, а потом утроили. Сколько гектаров в получившемся участке? 13. От числа х отняли 8 и на полученное число разделили 845. Запиши- те получившийся результат. 14. Составьте в ыражение по условию задачи: «Во сколько раз число 100 больше числа, которое получится, если от числа х отнять число 5?». 15. В кув шин вмещается х литров, а в бидон на 5 литров больше. Сколько литров поместится в четырех таких бидонах? 16. Один угол четырехугольника равен хо, второй угол вдвое меньше первого, а третий угол втрое больше второго. Чему равен третий угол? 17. Скорость одного пешехода 5,4 км/ч, скорость другого пешехода 4,6 км/ч. Они одновременно в ышли навстречу друг другу из пунктов, рас- стояние между которыми равно х км. Через сколько часов они встретятся? Второй этап. 18. Состав ьте уравнение по условию: если к числу х прибавить 45, то получится 184. 19. Составьте уравнение по условию: если от числа х отнять 3,8, то по- лучится 6,9. 20. Составьте уравнение по условию: если от числа х отнять 3,8, то по- лучится 0. 21. Составьте уравнение, зная, что произведение числа х и числа 16 равно 0,48. 22. Составьте уравнение, зная, что если уменьшить число y в 10 раз, то получится число 12. 23. Составьте уравнение, зная, что произведение числа 7 и числа y рав - но 1001. 24. Состав ьте уравнение, зная, что частное чисел x и 4 равно 0,92. 25. Составьте уравнение по следующему условию. Автомобиль дви- жется со скоростью x км/ч; за 4 ч он проехал 350 км. 26. Составьте уравнение по условию задачи. Если скорость поезда х увеличить на 10 км/ч, то он пройдет 300 км за 3 ч. 27. Состав ьте уравнение по следующему условию. Пирожное стоит х рублей, а мороженое на 8,5 рубля дороже, причем известно, что два таких морожен ых стоят 50 рублей. 28. Составьте уравнение по следующи м условиям. Скорость велосипе- диста x км/ч, а скорость автомоби ля 90 км/ч. Скорость автомобиля на 78 км/ч больше скорости велосипедиста. 29. Составьте уравнение по следующему условию. Цена портфеля x рублей; она на 1600 рублей больше, чем цена сумки, равная 1300 рублям. 30. Составьте уравнение по условию: число 15x в 8 раз больше, чем число 15.
127 31. Составьте уравнение, зная, что скорость вертолета x км/ч и что она в 5 раз меньше скорости самолета, равной 900 км/ч. 32. Составьте уравнение по следующим данным. Ученик делает за сме- ну x изделий, мастер – втрое больше, а вместе они за смену делают 480 из- делий. 33. Составьте уравнение по следующим условиям. Площадь сада x га, площадь поля в 4 раза больше, поле на 30 га больше сада. 34. Отрезок AB равен x мм, отрезок CD в 38,2 раза больше; отрезок CD на 6,2 см больше отрезка AB. Составьте уравнение. 35. Составьте уравнение по следующим условиям. Площадь сада x га, площадь поля в 4 раза больше. Площадь поля на 6 га больше площади сада. 36. За месяц первый экскаватор вынул на 1000 т грунта больше, чем второй. При этом перв ый экскаватор вынул x т грунта, а вместе они выну- ли 28000 т. Составьте уравнение. 37. В библиотеке имени Пушкина на 8000 книг больше, чем в библиотеке имени Гоголя. При этом в библиотеке имени Гоголя книг в 1,2 раза меньше, чем в библиотеке имени Пушкина. Обозначьте через х число книг в одной из библиотек и составьте уравнение. 38. Одна из сторон прямоугольника в 2,7 раза больше другой. Площадь этого прямоугольника 999 м2. Обозначьте одну из сторон через x и со- ставьте уравнение. 39. Сторона AB треугольника ABC равна x см, сторона BC в два раза больше стороны AB, сторона AC равна стороне BC, а периметр треуголь- ника ABC равен 30 см. Сделайте чертеж. Составьте уравнение. 40. Одна сторона прямоугольника на 2 см больше другой, а пери метр его равен 20 см. Составьте уравнение. 41. Длина прямоугольника в 2 раза больше его ширины, а периметр ра- вен 24 см. Составьте уравнение. 42. Витя задумал число х, увеличил его в 3 раза, отнял 5 и умножил результат на 2. Получилось 50. Составьте уравнение. 43. Стороны квадрата увеличили в 2 раза. Его площадь стала равна 256 см2. Составьте уравнение, позволяющее найти сторону исходного квадрата. 44. Одну сторону прямоугольника, равную x см, увеличили на 2 см, а другую, равную y см, оставили неизменной. Площадь прямоугольника стала равна 40 см2. Составьте уравнение с двумя неизвестными (x и y). 45. Если расстояние х уменьшить на 2 км, то его можно будет пройти со скоростью а км/ч за 5 ч. Составьте уравнение по условию. 46. Товарный поезд шел со скоростью х км/ч, а пассажирский со скоро- стью 90 км/ч. Выйдя из городов А и В, удаленных на 750 км, они встрети- лись через 5 ч. Составьте уравнение по этому условию. 47. Если скорость поезда х увеличить на 10 км/ч, то он пройдет 420 км на 1 ч быстрее. Составьте уравнение по этому условию.
128 48. Составьте уравнение по условию. Бульдозер за час вынимает х ку- бометров грунта. Если он будет за час в ынимать на 10 кубометров грунта больше, то он в ынет 420 кубометров на 1 ч. быстрее. (Похожие условия последних задач могут помочь вскрыть математическое сходство между этими задачами, совершенно различными по тематике.) 49. Составьте уравнение по следующим условиям. Одно число равно x, а другое на 8 меньше; произведение этих чисел равно 20. Решите уравне- ние подбором. 50. Составьте уравнение по следующим данным. Одно число равно y, а второе меньше его на 3; частное этих чисел равно 1,5. Решите уравнение подбором. Третий этап. 51. Решите уравнение х + 5 = 2х. 52. Решите уравнение 2х  9 = х. 53. Решите уравнение (3х 2)  4 = 12. 54. Решите уравнение (4х  5) : 3 = 12. 55. Решите уравнение 26 : (20х 7) = 2. 56. Решите уравнение 24  (4х + 11) = 360. 57. Решите уравнение (3х + 1)  9 = 36. 58.Решитеуравнение7+8∙(х+4)=55. 59. Решите уравнение 2х + х + 6 = 12. 60.Решитеуравнение7х+12х4=20. 61.Решитеуравнение8х+12+2х=121. 62.Решитеуравнение45х34х=12. 63. Решите уравнение 12х + 23  10х  11 = 71. 64.Решитеуравнение45х+10+2х=8. 65. Решите уравнение 1,5х  0,5х = 9. 66. Решите уравнение 2 , 0 17 8  х . 67. Решите уравнение . 3 2 3  х Четвертый этап. 68. Состав ьте и решите уравнение, зная, что скорость вертолета x км/ч и что она в 5 раз меньше скорости самолета, равной 900 км/ч. 69. Составьте уравнение по следующим данным. У Коли х французских марок, а английских марок втрое больше. Английских марок у Коли на 244 штуки больше, чем французских. Решите это уравнение. 70. Решите задачу с помощью уравнения. Какое число надо прибавить к числу 4,56, чтобы получилось 8? 71. Решите задачу с помощью уравнения. Какое число нужно умножить на 5, чтобы получилось 4,36?
129 72. Решите задачу с помощью уравнения. Какое число надо разделить на 6,8, чтобы получилось число 2? 73. Решите задачу с помощью уравнения. К числу прибавили 32 и по- лучили 56. Найдите это число. 74. Решите задачу с помощью уравнения. Произведение числа х и числа 0,5 равно 87,5. Найдите число х. 75. Решите задачу с помощью уравнения. При выпечке ржаного хлеба получается припек, составляющий 0,3 веса взятой муки. Сколько муки на- до взят ь, чтобы получить 26 кг печеного хлеба? 76. Составьте уравнение по условию задачи. Уравнение решите подбо- ром. Длина прямоугольника вдвое больше его ширины. Его площадь равна 8 см2. Чему равна ширина прямоугольника? 77. Решите задачу двумя способами: с помощью уравнения и без него. На площадке молодняка в зоопарке играют лисята, волчата и медвежата. Ли- сят и волчат поровну, а медвежат на 3 меньше, чем лисят. Всего зверей 12. Сколько медвежат на площадке? 78. Решите задачу с помощью уравнения. Задумано число. Если это число умножить на 3 и к полученному произведению прибавить 17, то по- лучится 62. Найдите задуманное число. 79. Решите задачу с помощью уравнения. На одной чашке весов лежат три равных по весу куска мыла и гиря в 100 г, а на другой чашке их урав- новешивает гиря в 1 кг. Сколько весит один кусок мыла? 80. Решите задачу с помощью уравнения. Ребята вырастили 900 саженцев клена, дуба и липы. Саженцев клена было выращено в 2 раза больше, чем ду- ба, и в 3 раза меньше, чем липы. Сколько было выращено саженцев дуба? 81. Решите задачу с помощью уравнения. Длина прямоугольника 40 м, а ширина 30 м. Найдите сторону квадрата, периметр которого равен пери- метру этого прямоугольника. 82. Решите задачу с помощью уравнения. Бригада лесорубов заготови- ла за три дня 184 кубометра дров, причем в первый день она перевыполн и- ла дневной план на 14 кубометров, во второй день заготовила на 2 кубо- метра меньше плана, а на третий день перев ыполнила план на 16 кубомет- ров. Сколько кубометров бригада должна была заготавливать ежедневно по плану? 83. Решите задачу с помощью уравнения. Варя, Петя и Катя съели 38 карамелек. Петя съел вдвое больше Вари и на 12 карамелек больше Ка- ти. Сколько карамелек съел Петя? 84. Решите задачу с помощью уравнения. Сумма трех последователь- ных чисел равна 246. Найти наименьшее из этих чисел. 85. Решите задачу с помощью уравнения. У треугольника две стороны имеют одинаковую длину, а третья сторона вдвое меньше каждой из них. Периметр треугольника равен 45 см. Чему равна меньшая сторона?
130 86. Решите задачу с помощью уравнения. Вася начертил два прямо- угольника одинаковой ширины. Длина первого прямоугольника равна 15 см, длина второго равна 8 см. Разность п лощадей этих прямоугольников равна 35 см2. Чему равна и х ширина? 87. Решите задачу с помощью уравнения. Варя, Катя и Петя в течение учебного года получи ли по математике 40 пятерок. Варя получила пятерок в три раза меньше, чем Петя, а Катя получила столько пятерок, сколько Варя и Петя вместе. Сколько пятерок получила Варя? 88. Решите задачу с помощью уравнения. На 2100 рублей купили ткани по 80 рублей за метр и по 60 рублей за метр, причем первой ткани купили втрое больше, чем второй. Сколько купили метров более дешевой ткани? 89. Решите задачу с помощью уравнения. В треугольнике АВС сторона АВ на 1 см больше стороны АС, а сторона ВС на 1 см больше стороны АВ. Пери- метр треугольника равен 15 см. Определить длину наименьшей стороны. 90. Решите задачу с помощью уравнения. Маша, Ира и Ксюша вместе прокрутили хула-хуп 350 раз. Ира сделала вдвое больше оборотов, чем Ма- ша, и на 150 оборотов больше, чем Ксюша. Сколько оборотов сделала Ира? 91. Решите задачу с помощью уравнения. Общий вес портфелей всех учеников класса состав ляет 310,5 кг. Портфель старост ы вдвое т яжелее портфеля физорга, а портфель физорга на 5 кг легче портфеля любого дру- гого ученика. Всего в классе 30 человек. Сколько весит портфель физорга? 92. Решите задачи с помощью уравнения. На уроке математики Костя рисовал козликов в своем дневнике. 0,36 всех козликов были черные, се- рых козликов было на 16 меньше, чем черных, а остальных 30 козликов Костя раскрасить не успел, так как учительница Анна Петровна отобрала у него дневник. Сколько всего козликов успел нарисовать Костя (считая и не закрашенных по вине Анны Петровны)? 93. Решите задачу с помощью уравнения. Спортплощадка прямоуголь- ной формы огорожена изгородью общей длиной 210 м. Найдите длину спортплощадки, зная, что она на 15 м больше ее ширины. 94. Решите задачу с помощью уравнения. Сумма углов треугольника АВС равна 1800. Угол А на 400 больше угла В, а угол С на 200 меньше уг- ла А. Найти величину угла А. 95. Решите задачу с помощью уравнения. Сумма уг лов четырехуголь- ника АВСD равна 3600. Угол А равен углу В и на 400 больше угла D, а угол С на 200 меньше угла А. Найдите величину каждого угла. 96. Решите задачу с помощью уравнения. На стоянке находятся авто- мобили и велосипеды, всего их 20. Сколько на стоянке велосипедов, если колес всего 46. (У автомобиля 4 колеса, у велосипеда 2.)
131 3. Графики. Понятие функции изучается, начиная с 7 класса. Это одно из самых сложных понятий в школьной математике. Для обеспечения доступности обучения необходима наг лядность. Естественным средством наглядности при изучении любой функции является ее график. Однако для того, чтобы использоват ь график как средство наглядности при изучении функции, требуется важное условие: график должен появиться и стать привычным для школьника до изучения функции. В традиционном преподавании все обстоит иначе. Например, в учебнике «Алгебра-7» под редакцией С.А. Те- ляковского первый график появляется на странице 43. А уже на странице 56 дается определение линейной функции и формулируется теорема о ее графике. Если посмотреть на планирование, то можно убедиться, что пер- вое представление о графике функции ученик получает примерно за одну- две недели до того, как приступает к изучению линейной функции. Понят- но, что к началу изучения этой функции ученики не успевают усвоить язык графиков. График не служит средством наглядности, а является дополни- тельным (и весьма трудным!) объектом изучения. Выход из такого положения в опережающем обучении. Начинать его нужно в 6 классе, как только удастся ввести прямоугольную систему коор- динат. А это можно сделать сразу после введения понятия числовой прямой. В учебнике Н.Я. Виленкина для 6 класса координатная плоскость появляет- ся в самом конце учебного года. Это не дает возможности построить опере- жающее обучение графикам. Предлагаем переставить тему «Координатная плоскость» в начало изучения положительных и отрицательных чисел. Рассказав о том, как строится координатная п лоскость, мы дадим зада- ние на дом: построить как можно больше точек, у каждой из которых ор- дината равна абсциссе, то есть у = х; построение осуществить на целой тетрадной странице, приняв за единицу масштаба 1 см (две клетки). На следующем уроке мы, обходя класс, проверяем решение этой задачи (как легко проверят ь такое задание!) и вызываем к доске того ученика, кто справился с работой хуже всех (но какие-то точки все же построи л). Мы беседуем с ним у доски, находим еще несколько точек. Затем в ызываем учеников для дополнений. Иногда бывает, что какой-либо ученик додума- ется построить прямую. Либо он, либо учитель в конце обсуждения дол- жен провести эту прямую на доске и попросить учащи хся сделать это в свои х тетрадях. После этого учитель объявляет, что такие работы называются графика- ми и что теперь графики будут задаваться на дом каждый день. Для этого учитель просит завести отдельную тетрадь в клетку «Для графиков ». Каж- дый график должен выполняться на одной стороне листа, а на обороте бу- дет осуществляться исправ ление ошибок. Масштаб всегда 1 см.
132 Больше времени на обсуждение этих вопросов не тратится. На переме- не перед очередным уроком математики один из учеников чертит на доске график, заданный на дом, а учитель проверяет работу обходом класса. Графики на дом задаются вначале в той же форме: построить как мож- но больше точек, у которых… Задания соответствует изучаемым темам. В начале изучаются противоположные числа, затем модуль, затем сложе- ние и вычитание положительных и отрицательных чисел, затем их умно- жение, затем деление. В связи с этим задаются те или иные графики. Каждый график строится по точкам, через которые затем проводится прямая, либо ломаная, либо кривая, сообразуясь со здравым смыслом. Об- разцом для сравнения служит график на доске. В некоторый момент нужно сказать детям, что теперь задания будут даваться в краткой форме: постройте график. Эта методика обучения построению графиков была предложена мною еще в 1972 г. и с тех пор опробована в опыте многи х учителей. Все они подчеркивают, что учащиеся, прошедшие через эту работу в 6 классе, уве- ренно строят графики в 7–11 классах. А то, что уже в 6 классе они строят графики с модулями, и меет особое значение. Вот задания по этой теме. 1. Заведите тонкую тетрадь для графиков. На первой странице начерти- те прямоугольную систему координат с единичными отрезками в 2 клетки (1 см) и постройте как можно больше точек с одинаковыми ординатой и абсциссой (у = х). 2. Постройте как можно больше точек, у которых абсцисса равна нулю (х=0). 3. Постройте как можно больше точек, у которых координаты – проти- воположные числа (у = –х). 4. Постройте как можно больше точек, у которых абсцисса противопо- ложна числу 3 (х = 3). 5. Постройте как можно больше точек, у которых ордината противопо- ложна числу –3 (у = –(– 3)). 6. Постройте как можно больше точек, у которых абсцисса равна моду- лю числа –2 (х = |–2|). 7. Постройте как можно больше точек, у которых ордината равна моду- лю абсциссы (у = |х|). 8. Постройте как можно больше точек, у которых ордината на две еди- ницы больше абсциссы (у = х + 2). Внимание! Начиная с этого урока, задания на построение графиков даются уже в обычной форме: постройте график. 9.у=х+3. 10.у=х+(–2). 11.у=х+(–3). 12.у=2+х.
133 13.у=3+х. 14.у=|х|+2. 15.у=|х+2|. 16.у= –х+2. 17.у= –х+3. 18. у = |–х|. 19.у= –|х|+2. 20.у=х–2. 21.у=х–1. 22.у=|х|–4. 23.у=2х. 24.у= –3х. 25.у=х2(т.е.у=х.х). 26.у=2 x. 27.у= 3 x. 28.у= x 12. Начиная с задания 14, полезно использовать при построении графиков таблицу. Таблицу надо строить такого вида. х 2 1 0 1 2 у Если такой таблицы недостаточно, то график объявляется трудн ым, и за его построение ставятся дополнительные высокие оценки. Таково задание 28. Для построения этого графика нужно таблицу расширить, а в столбце х = 0 поставить прочерк: 2.2. Алгебра 7–9 2.2.1. Преобразование выражений Линия преобразования выражений  это вторая теоретическая линия курса школьной алгебры, названная П.С. Александров ым. Эта линия изу- чается в 7–9 классах и включает в себя в основной школе алгебраические и тригонометрические выражения. Заметим, что в определениях, даваемых школьными учебниками, не все благополучно. Например, не дается общего определения степени, а лишь отдельно определения степени с различными показателями. При этом сте- х 12642101234612 у 
134 пенью с натуральн ым показателем называют произведение одинаковых множителей, если показатель больше единицы, и само основание, если по- казатель равен единице. То есть а2 является видом общего родового поня- тия «произведение», в то время как родовое понятие а1 «число». Более того, при данных определениях теряют смысл такие важные преоб- разования выражений, как преобразование произведения в степень и обратно. А в будущем для вдумчивого ученика станет непонятным, какая разница ме- жду дифференцированием степени и дифференцированием произведения. Сказывается стремление преподавать как в начальной школе, где про- изведением называлась сумма одинаковых слагаемых. Мы предпочитаем идти по другому пути: усложнять преподавание от класса к классу, а вме- сте с тем объединять в сознании учащи хся однородные понятия. Поэтому мы предлагаем считать 32 степенью, а вовсе не произведением 3  3 и, тем более, не суммой 3 + 3 + 3. А вот числовым значением этой степени счи- тать33=9. Еще более странным выглядит в некоторых учебниках определение кор- ня. Он определяется уже просто как «такое число». Между тем «число»  это числовое значение корня, а не сам корень. Кстати, определение квадратного корня в учебниках осложнено при- сутствием понятия «арифметический корень» (от которого авторы затем отказываются). Мы постараемся обойтись без указанных недостатков в оп- ределениях. Свойства выражений  это правила их тождественных преобразов аний. Во всех учебниках эти правила доказываются и почти всегда называются теоремами. Исключение составляют основные свойства сложения и умно- жения (см. таблицу в п. 2.1), на основании которых и строятся все доказа- тельства. 1. Выражения. Определение. Выражением н азывается любое число и любая буква (переменная), а так же любая запись, состоящая из чисел, переменных, знаков действий и символов, включая скобки, если известно, как и в каком порядке должны осуществляться эти действия. Выражение, не содержащее переменных, н азывается числовым выражением. Задания на распознавание Является ли выражением данная запись? Яв ляет ся ли она числовым выражением? Объясните ответ, ссылаясь на определение: с + 3; ; 1 2 3  a a ); 12 ( 7  a a 7:23 1+4:1 ; 3 1 345–12+х.
135 Задания на выведение следствий 1. Используя данные числа, буквы и знаки действий, составьте все воз- можные числовые выражения: а)a,b,3,9; б) – (черта дроби), – (минус), p, q, 2, –3; в),+,а,b,c,3,8,0; г)  (знак модуля), 3 (показатель степени), +, 5, 7, : , 1, –1; д) 2 (показатель степени), + 2, х, у. 2. Запишите в виде выражения: а) сумму числа 5 и произведения чисел 2,5 и 16; б) разность между произведением чисел 7 1 2и5 4 2 и числом 2,4; в) произведение суммы чисел 24 и 5,6 и их разности; г) частное от деления разности чисел 15 8 4и3 1 1 на меньшее из них; д) модуль разности квадратов переменной х и числа 6. 3. Составьте числовое выражение, содержащее а) только одно действие; б) сложение и умножение. 4. Составьте числовое выражение, не используя при этом ни одного действия. Определение. Числовое выражение имеет смысл, если после вы- полнения всех содержащихся в нем действий получается некоторое число, называемое значением выражения. Если выражение состоит из одного числа, то это число н азывается значением этого выражения. Задание на распознавание Какие из данных выражений имеют смысл при всех значениях пере- менных? Объясните ответ. 1); 5 2 x2); 8 72 y3); 3 12  x4); 15 5 z z5). 5 9 b Задание на выведение следствий 1. Из данных чисел, букв и знаков действий составьте в ыражение, имеющее смысл, и выражение, не имеющее смысла. Объясните ответ. а) а, с, – (черта дроби), 0; б) – (черта дроби), – (минус), p, q, 2, –3. 2. Составьте числовое выражение, значение которого равно 6 5 , исполь- зуя при этом: 1) только одно действие; 2) умножение и деление; 3) сложение и вычитание; 4) сложение и деление; 5) модуль и в ычитание.
136 2. Степени с натуральными пок азателями Определение. Степенью н азывается запись вида ab. Число a н азы- вается основанием степени, число b называется показателем степени. Приэтома1=а;аn=a…a–nмножителей. Задания на распознавание 1. Какие из данных записей являются степенями? Какие у них основ а- ния и какие показатели: а) х3; б) 6х; в) (5а)–3; г) а  а  а; д) а3а2. 32 2. Подберите к каждому числу из левого столбика его степень из пра- вого столбика. Укажите, чему равен показатель степени. Объясните ответ. № Числа Степени чисел 1 2 16 2 3 1000000 3 4 9 4 5 625 5 10 2 Задания на выведение следствий 1. Заполните таблицу. № Основание Показатель Степень 1 x 8 2 (–a)3 3 –d 5 4 (x+5)2 5 –cd a 2. Из данных чисел состав ьте все возможные степени, значения кото- рых вы можете вычислить. Найдите их значения. Объясните ответ. а)5;4;б)3;1;в)10;0;г)–5;2. Теорема. Если а – любое число, n, k – натуральные числа, то спра- ведливо равенство: . k n k n a a а    Задания по формулировке теоремы 1. Выделите условие и заключение этой теоремы. 2. Из данных выражений выберите такие, которые можно преобразо- вать по данной формуле. Объясните ответ. Выполните преобразование: 3–538;4241;(2 1)(2 1)3;2540; ; 3 2у x2 3) (b a b a    . 32 Правильные ответы: х3 – степень с основанием х и показателем 3; 6х – степень с основанием 6 и показа- телем х; (5а)–3 – степень с основанием 5а и показателем –3; а  а  а – не степень, а произведение пере- менных, а3а2 – не степень, а произведение степеней.
137 Задание по доказательству теоремы Повторите доказательство этой теоремы, данное в учебнике. Повторите имеющиеся в доказательстве выкладки для случаев: а)а=7,n=4,k=3;б)a=7,n=456,k=m. 3. Многочлены. Определение. Многочленом н азывается одночлен или сумма одно- членов. Одночлены, сумм а которых образует многочлен, н азываются членами многочлена. Задание на распознавание Является ли данное выражение многочленом? Объясните ответ. 1); 4 3b a 2) ; 3 5 2 2y x 3) ; 7 5 32 c y x   4) ; 9 7 5 4 3 4 6 8 d c b a    5) . 11 5 2 10 2 3 5 z z z z    Задание на выведение следствий Даны одночлены: 5a; 4ab; 8a2; 12a; 2,5ab; a2. Составьте из них: 1) многочлен, в котором нет подобных членов; 2) многочлен, в котором есть подобные члены; 3) два многочлена, в каждом из которых нет подобных членов, исполь- зуя при этом все данные одночлены; 4) выражение, которое не является многочленом. Определение. Многочленом стандартного вида называется много- член, все члены которого имеют стандартный вид и никакие члены не являются подобными. Задание на распознавание Имеет ли данный многочлен стандартный вид? Объясните ответ. 1) ; 1 2 3 4 5    x x x 2) xy xy x 2 3 52   ; 3) ; 2 32 x x 4) ; 1 6 7 5 8  x x 5) . 3 12 4 2 2 4 6 x x x x x  
138 Задание на выведение следствий Приведите к стандартному виду многочлен ; 3 12 4 18 15 4 2 2 a a a a a      объясните ответ. Определение. Степенью многочлена стандартного вида называется наибольшая из степеней его членов. Задание на распознавание Определите степень данного многочлена. Объясните ответ. 1); 72 6x x2); 5  x3) ; 1 2 x x 4) ; 6 2 3  x x 5) . 3 12 x x Задание на выведение следствий Даны одночлен ы: а7; . 17 ; 6 ; 3 ; 2 19 8 2 5 x x x x Составьте из них многочлен: 1) пятой степени; 2) второй степени; 3) восьмой степени; 4) девятнадцатой степени; 5) седьмой степени. Теорема. Чтобы умножить многочлен на многочлен , нужно умно- жить каждый член одного многочлена поочередно на каждый член другого многочлен а и полученные произведения сложить. Задания по формулировке теоремы 1. Выделите условие и заключение этой теоремы. 2. Из данных выражений выберите такие, которые можно преобразо- вать, используя эту теорему. Объясните ответ. Выполните преобразование. а) ); 2 )( 1 ( x x б) ). )( ( 2 2 y x y xy x    Задание по доказательству теоремы Повторите доказательство этой теоремы, данное в вашем учебнике ал- гебры. Повторите имеющиеся в нем выкладки для случая а = 2х, b = 1, с=y,d= –2. Способы работ ы с формулами сокращенного умножения покажем на одном примере. Теорема. Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа н а второе плюс квадрат второго числа: (I+II)2=I2+2III+II2.33 33 Обозначения римскими цифрами очень удобны для моделирования слов «первое число» и «второе чис- ло» в развернутых (обязательных для заучивания!) текстах правил.
139 Задания по формулировке теоремы 1. Выделите условие и заключение этой теоремы. 2. Из данных выражений выберите такие, которые можно преобразовать, используя эту теорему. Объясните ответ. Выполните преобразование. а); ) 2 (2  xб); ) 1 2 (2  x в); 3 2 x г); ) 3 (2  x д) . ) (2 5a x Задание по доказательству теоремы Повторите доказательство этой теоремы, данное в вашем учебнике алгебры. Повторите имеющиеся в нем выкладки для случаев: I = 2х, II = 1; I = у, II = –2. 4. Дроби. В этой тем е 8 класса не содержится новый теоретический материал. В 6 классе были изучены (и док азаны!) все правила действий над дробями в самом общем виде, с опорой на свойства деления и умножения. Поэтому те- ма «Дроби» в 6 классе изучена полностью, и в 8 классе не содержится ника- кой новой теории о дробях. В некоторых учебниках для 8 класса объясняется, что вот теперь мы будем иметь дело с рациональными дробями. Такой подход плох в том отношении, что, во-первых, ничего нового к изученному в 6 клас- се не добавляет, а во-вторых, внушает мысль, что при переходе к иррацио- нальным дробям нужны будут новые формулировки свойств дробей или, по крайней мере, новые доказательства этих свойств. Поэтому в 8 классе мы предлагаем изучать тему дроби на основе знаний, полученных ранее. Их нужно актуализировать с помощью настенной табли- цы, постоянно находящейся в поле зрения учащихся. Это должна быть табли- ца, содержащая определение дроби, ее основное свойство и алгоритмы ариф- метических действий над дробями. Можно сделать так, чтобы все примеры были составлены из обыкновенных дробей. Вот пример такой таблицы. ДРОБИ 0 , :   В если B A B A . Например, 5 , 1 2 : 3 2 3   . Основное свойство дроби Вх Ах В А , где х  0. Например, 5 , 1 10 15 5 2 5 3 2 3      . Сложение и вычитание BD BC AD D C В А    . Например: 6 1 3 2 2 1 3 1 3 1 2 1        . Умножение BD AC D C В А  . Например: 6 1 3 2 1 1 3 1 2 1      . Деление BC AD D C В А : . Например: 2 3 1 2 3 1 3 1 : 2 1     .
140 5. Квадратные корни. Определение. Квадратным корнем из неотрицательного числа а на- зывается выражение вида a , где знак корня (он н азывается ра- дикалом), а подкоренное выражение. При этом      2 0 b a b b a . Для отрицательны х а выражение a не имеет смысла. Задания на распознавание 1. Какие из следующих в ыражений равны квадратным корням из неко- торых чисел а? Укажите эти числа а. а); 1 б); 121 в) 12; г) 13. 2. Верно ли следующее равенство? Почему? а) ; 6 36  б) 5 , 1 4 9 ;в); 2а аг) ; 2 4а ад). 3 4 9 7 1 Задание на выведение следствий 1. Из следующих символов составьте верное равенство: 25; 5; . 2. Запишите следующие числа в виде квадратных корней, если это воз- можно: а)6;б)0;в)6. Теорема. Если 0  a , b ≥ 0, то справедливо равенство . b a ab  Задание по формулировке теоремы 1. Выделите условие и заключение этой теоремы. 2. Из данных выражений выберите такие, которые можно преобразо- вать по данной формуле. Объясните ответ. Выполните преобразование. а); 9 4 б) ; 9 64 , 0 36 , 0   в) . 90 10 Задание по доказательству теоремы Повторите доказательство этой теоремы, данное в учебнике. Повторите имеющиеся в доказательстве выкладки для случаев: а)а=4,b=9;б)a=49,b=81. Теорема. Если 0  a , b > 0, то справедливо равенство . b a ba
141 Задание по формулировке теоремы 1. Выделите условие и заключение этой теоремы. 2. Из данных выражений выберите такие, которые можно преобразо- вать по данной формуле. Объясните ответ. Выполните преобразование. а); 25 9б); 16 9 1в). 50 2 3. Докажите, что . 400 20 a a Задание по доказательству теоремы Повторите доказательство этой теоремы, данное в учебнике. Повторите имеющиеся в доказательстве выкладки для случая а = 4, b = 9. Теорема. Для любого действительного числа а . 2a a Задание по формулировке теоремы 1. Выделите условие и заключение этой теоремы. 2. Из данных выражений выберите такие, которые можно преобразо- вать по данной формуле. Объясните ответ. Выполните преобразование: а) ; ) 4 (2  xб) ; 25 10 2  x x в) ; 2 4 4 2    x x x г) . ) 30 6 ( ) 30 5 ( 2 2    Задание по доказательству теоремы Повторите доказательство этой теоремы, данное в учебнике. Повторите имеющиеся в доказательстве выкладки для случаев: а)а=100;б)a=225;в)a= –8. 6. Степени с целыми показателями. Определение. Если а 0  , то а0 = 1. Выражение 00 не имеет смысла. Задание на распознавание Какое из следующих чисел равно нулевой степени числа 97: 0; –97; 97;1; 1? Задание на выведение следствий Чему равна нулевая степень числа: 8; 0,5; 2; 0; 4 3? Определение. Если n – натуральное число и а 0  ,то . 1n n a a  Задание на распознавание Какое из следующих равенств является верным? 1); 9 1 32 2); 4 41   3)81 =; 8 14)53 =–15;5) . 32 1 25 
142 Задание на выведение следствий Вычислите: 1) ; 34 2); 251 3); 92 4); 26 5). 43  Определение. Стандартным видом положительного числа а н азы- вают его представление в виде m a10 0 , где 10 10 a , m – целое число; число m н азывают порядком числа а. Задание на распознавание Какое из следующих чисел записано в стандартном виде: 1)2300;2) ; 10 17 , 211  3) 1,84.10–5; 4) 0,00024; 5) ? 10 3900 4  Задание на выведение следствий Запишите число в стандартном виде и укажите порядок числа: 1) 75 000; 2) 0,00007; 3) 0,73105; 4) 350102; 5) 512103. 7. Тригонометри ческие выражения. Изучение тригонометрии начинается в курсе геометрии 8 класса. Вначале вводятся тригонометрические функции для острых углов, затем  для углов от 0о до 180о. При этом изучаются основные тригонометрические тождества и некоторые из формул приведения. В 9 классе, в курсе алгебры, продолжается изучение тригонометрических функций. Во-первых, расширяется понятие угла и определяются тригонометрические функции любого угла в градусной мере. Во-вторых, вводится радианная мера угла. В-третьих, существенно расширяется запас формул. Имеющиеся попытки изъять тригонометрическую главу из курса ос- новной школы следует признать неправильными. Если сделать это, то уче- ники совсем забудут этот материал к 10 классу, и там придется начинать с затрат времени на повторение, которые полностью перекроют временной выигрыш, полученный от ликвидации этой темы в 9 классе. Кроме того, исчезнет двукратное изучение большого тригонометрического материала в 9 и в 10 классе. Наконец, ученики, закончившие школу в 9 классе, не уз- нают того, что предписано знать по Стандарту. Не случайно и в учебнике с большим стажем под редакцией С.А. Теляковского, и в сравнительно но- вом учебнике А.Г. Мордковича для 9 класса присутствует тригонометри- ческий материал. Определения синуса и косинуса даются в разных учебниках по-разному, и мы не будем здесь разбирать их. Начнем с определения тангенса угла. Определение. Тангенсом угла а н азывается выражение tg a, равное отношению синуса угла a к его косинусу.
143 Задания на распознавание Какое из чисел 0; 1;  1; 3 ; 3 ; 3 3 ; 3 3   равно тангенсу угла 1) 0о; 2) 30о; 3) 45о; 4) 60о; 5) 90о; 6) 120о; 7) 135о; 8) 150о; 9) 180о; 10) 210о; 11) 225о; 12) 240о; 13) 270о; 14) 300о; 15) 315о; 16) 330о; 17) 360о? Задания на выведение следствий Определите знак тангенса угла в 1; 2; 3; 4; 5; 6 радиан. Определение. Котан генсом угла а н азывается выражение сtg a, равное отношению косинуса угла a к его синусу. Задания на распознавание Какое из чисел 0; 1;  1; 3 ; 3 ; 3 3 ; 3 3   равно котангенсу угла 1)0;2)6 ;3)4 ;4)3 ;5)2 ;6)3 2;7)4 3;8)6 5;9);10)6 7; 11) 4 5;12) 3 4;13) 2 3;14) 3 5;15) 4 7;16) 6 11 ; 17) 2? Задания на выведение следствий Определите знак котангенса угла в 1; 2; 3; 4; 5; 6 радиан. Теорема. Для любого угла верно равенство sin2 + cos2 = 1. Задания по формулировке теоремы 1. Выделите условие и заключение этой теоремы. 2. Из данных выражений выберите такие, которые можно преобразо- вать по данной формуле. Объясните ответ. Выполните преобразование. а) sin2150 + cos2150, б) sin4150 + cos4150 , в) sin4150 +2 sin2150cos2150 + cos4150 , г) sin221х + cos221х. Задание по доказательству теоремы Повторите доказательство этой теоремы, данное в учебнике. Повторите имеющиеся в доказательстве выкладки для случаев:  = 1000;  = 1. Теорема. Для любого угла 2 n  верно равенство tg ctg = 1. Задания по формулировке теоремы 1. Выделите условие и заключение этой теоремы. 2. Из данных выражений выберите такие, которые можно преобразо- вать по данной формуле. Объясните ответ. Выполните преобразование: а) tg150ctg150; б) tg4150ctg4150; в) tg221х ctg221х.
144 Задание по доказательству теоремы Повторите доказательство этой теоремы, данное в учебнике. Повторите имеющиеся в доказательстве выкладки для случаев:  = 1000;  = 1. Теорема. Для любого угла 2  + пверноравенство1+tg2 =  2 cos 1. Задания по формулировке теоремы 1. Выделите условие и заключение этой теоремы. 2. Из данных выражений выберите такие, которые можно преобразо- вать по данной формуле. Объясните ответ. Выполните преобразование. а) cos2150; б) 1 + tg221х. Задание по доказательству теоремы Повторите доказательство этой теоремы, данное в учебнике. Повторите имеющиеся в доказательстве выкладки для случаев:  = 1000;  = 1. Теорема. Для любого угла п верно равенство 1 + ctg2 =  2 sin 1. Задания по формулировке теоремы 1. Выделите условие и заключение этой теоремы. 2. Из данных выражений выберите такие, которые можно преобразо- вать по данной формуле. Объясните ответ. Выполните преобразование. а) sin2150; б) 1 + ctg221х. Задание по доказательству теоремы Повторите доказательство этой теоремы, данное в учебнике. Повторите имеющиеся в доказательстве выкладки для случаев:  = 1000;  = 1. Теорема. Для любых углов и верно равенство sin( )=sin cos cos sin . Задания по формулировке теоремы 1. Выделите условие и заключение этой теоремы. 2. Из данных выражений выберите такие, которые можно преобразо- вать по данной формуле. Объясните ответ. Выполните преобразование: а) sin(300 + 450); б) sin(600  450), в) sin350cos50  sin50cos350; г) sin350cos50 + cos50cos350; д) sin350cos250 + sin250cos350.
145 Задание по доказательству теоремы Повторите доказательство этой теоремы, данное в учебнике. Повторите имеющиеся в доказательстве выкладки для случая  = 1000,  = 150. Теорема. Для любых углов и верно равенство cos( )= cos cos sin sin . Задания по формулировке теоремы 1. Выделите условие и заключение этой теоремы. 2. Из данных выражений выберите такие, которые можно преобразо- вать по данной формуле. Объясните ответ. Выполните преобразование: а) cos(300 + 450); б) cos(600  450); в) cos350cos250  sin250sin350; г) cos350cos50 + cos50sin350; д) cos350cos50 + sin50sin350. Задание по доказательству теоремы Повторите доказательство этой теоремы, данное в учебнике. Повторите имеющиеся в доказательстве выкладки для случая  = 1000,  = 150. Теорема. Для любых углов 2 +пи 2 + п,если 2 +п,то tg( )=    tg tg tg tg  1 . Задания по формулировке теоремы 1. Выделите условие и заключение этой теоремы. 2. Из данных выражений выберите такие, которые можно преобразо- вать по данной формуле. Объясните ответ. Выполните преобразование: а) tg(300 +450); б) tg(1200  300) , в) tg(900 +300). Задание по доказательству теоремы Повторите доказательство этой теоремы, данное в учебнике. Повторите имеющиеся в доказательстве выкладки для случая  = 1000,  = 150. Теорема. Для любого угла верно равенство sin2 = 2sin cos . Задания по формулировке теоремы 1. Выделите условие и заключение этой теоремы. 2. Из данных выражений выберите такие, которые можно преобразо- вать по данной формуле. Объясните ответ. Выполните преобразование: а) sin2x; б) sin4y; в) sin150cos150; г) 4sin221х cos221х.
146 Задание по доказательству теоремы Повторите доказательство этой теоремы, данное в учебнике. Повторите имеющиеся в доказательстве выкладки для случаев:  = 1000;  = 1. Теорема. Для любого угла верны равенства cos2 = cos2 sin2 = 1 2sin2 = 2cos2 1. Задания по формулировке теоремы 1. Выделите условие и заключение этой теоремы. 2. Из данных выражений выберите такие, которые можно преобразо- вать по данной формуле. Объясните ответ. Выполните преобразование. а) cos2x; б) cos4y ; в) sin2150  cos2150; г) 1  2sin224х; д) 2cos224х  1. Задание по доказательству теоремы Повторите доказательство этой теоремы, данное в учебнике. Повторите имеющиеся в доказательстве выкладки для случаев:  = 1000;  = 1. Теорема. Для любогоугла 2 4 n  , 2  + п верно равенство tg2 =   2 1 2 tg tg  . Задания по формулировке теоремы 1. Выделите условие и заключение этой теоремы. 2. Из данных выражений выберите такие, которые можно преобразо- вать по данной формуле. Объясните ответ. Выполните преобразование. а) tg2x; б) tg4y; в) o o tg tg 5 , 22 1 5 , 22 22  . Задание по доказательству теоремы Повторите доказательство этой теоремы, данное в учебнике. Повторите имеющиеся в доказательстве выкладки для случаев:  = 1000;  = 1. Теорема. Для любых углов и верно равенство 2 cos 2 sin 2 sin sin           . Задания по формулировке теоремы 1. Выделите условие и заключение этой теоремы. 2. Из данных выражений выберите такие, которые можно преобразо- вать по данной формуле. Объясните ответ. Выполните преобразование: а) sin150 + cos250; б) sin150  sin750; в) sin 15о + sin750.
147 Задание по доказательству теоремы Повторите доказательство этой теоремы, данное в учебнике. Повторите имеющиеся в доказательстве выкладки для случая  = 1000,  = 150. Теорема. Для любых углов и верно равенство   cos 2 cos 2 cos 2 cos         . Задания по формулировке теоремы 1. Выделите условие и заключение этой теоремы. 2. Из данных выражений выберите такие, которые можно преобразо- вать по данной формуле. Объясните ответ. Выполните преобразование: а) sin150 + cos250; б) соs150  соs750; в) соs 15о + соs750. Задание по доказательству теоремы Повторите доказательство этой теоремы, данное в учебнике. Повторите имеющиеся в доказательстве выкладки для случая  = 1000,  = 150. Теорема. Для любых углов и верно равенство 2 sin 2 sin 2 cos cos            . Задания по формулировке теоремы 1) Выделите условие и заключение этой теоремы. 2) Из данных выражений выберите такие, которые можно преобразо- вать по данной формуле. Объясните ответ. Выполните преобразование: а) sin150 + cos250; б) соs150  соs750; в) соs 15о + соs750. Задание по доказательству теоремы Повторите доказательство этой теоремы, данное в учебнике. Повторите имеющиеся в доказательстве выкладки для случая  = 1000,  = 150. 2.2.2. Уравнения и неравенства Линия уравнений и неравенств выполняет особую роль в курсе алгебры и всей школьной математики. Именно в ней школьники знакомятся с ре- шением текстовых задач  самым очевидным и доступным для них приме- нением математического моделирования. Нужно сказать, что умение ре- шать уравнения и неравенства всегда служило и служит показателем уров- ня математической подготовки. Однако при изучении этой линии наблюдается явный перекос в сторону техники при известном пренебрежении к теории вопроса. Уже в самих оп- ределениях, связанных с уравнениями, в школьных учебниках не все обсто- ит благополучно. Например, рассмотрим определение квадратного уравне- ния из учебника «Алгебра-8» под редакцией С.А. Теляковского: «Квадрат- ным уравнением называется уравнение вида ах2 + bx + c = 0, где х  пере-
148 менная, a, b и с  некоторые числа, причем а 0». Это определение неудов- летворительно в двух отношениях. Во-первых, оно не согласуется с ранее введенным определением пере- менной как общего буквенного обозначения числа. В записи ах2 + bx + c = 0 содержатся четыре буквы: а, х, b и c. Эти буквы являются общими обозна- чениями некоторых чисел, а потому все они являются переменными. Так что слова «х  переменная» в данном определении квадратного уравне- ния не несут никакой новой информации. А слова «a, b и с  некоторые числа», по крайней мере, двусмысленны. Они не дают возможности решать квадратные уравнения с параметрами. Во-вторых, в данном определении не сказано, что ах2 + bx + c = 0 явля- ется квадратным уравнением относительно х. А ведь бывает так, что урав- нение ху2 + 3ху + 8 = 0 следует рассматривать как квадратное относительно у или как линейное относительно х. Цитированное нами определение в принципе противоречит таким важным представлениям. Чтобы избежать указанных недостатков, следует подразделять пере- менные, содержащиеся в уравнении, на две категории: неизвестные и па- раметры. И если кажется преждевременным говорить в 7 классе (в котором вводится формальное определение уравнения) о параметрах, то слово «не- известное» должно присутствовать в этих текстах. Определение. Уравнением называется равенство, содержащее пере- менные, если требуется установить, при каких значениях этих пере- менных это равенство становится верным. Эти переменные называют- ся неизвестными и обычно обозначаются буквами х, у или z. Например, если сказано: «решите уравнение ах + с = 0», то нужно на- ходить значение х. А если в том же уравнении нужно найти а, то задание должно быть таким: «решите уравнение ах + с = 0 относительно а». Определение. Решением уравнения называется множество значе- ний входящих в него неизвестных, при которы х уравнение становится верным равенством. Решение уравнения с одним неизвестным назы- вается его корнем. Например, уравнение (х2)2 + у3 = 0 имеет решением пару чисел (2; 3), а уравнение 2z + 8 = 0 имеет корнем число 4. Решить уравнение  значит найти множество его решений. Это множе- ство также называется решением уравнения. Решить уравнение с одним неизвестным  значит найти множество его корней. Это множество назы- вается решением уравнения с одним неизвестным. Совершенно так же вводятся определения, связанные с решением нера- венств. Следует иметь в виду, что у нас нет аналога слова «уравнение» как обозначения неравенства, которое надо решать. Иногда пользуются для
149 этого термином «условное неравенство», но этот термин малоупотребите- лен. Мы его используем всего один раз. Определение. Условным неравенством называют неравенство, со- держащее переменные, если требуется установить, при каких значениях этих переменных это неравенство становится верным. Эти переменные называются неизвестными и обычно обозначаются буквами х, у или z. Например, если сказано: решите неравенство ах + с ≥ 0, то нужно на- ходить значение х. А если в том же неравенстве нужно найти а, то задание должно быть таким: решите неравенство ах + с ≥ 0 относительно а. Определение. Решением неравенства называется множество значе- ний входящих в него неизвестных, при которых неравенство стано- вится верным. Например, неравенство (х2)2 + у3 ≤ 0 имеет решением пару чисел (2; 3), а неравенство 2z + 8≤ 0 имеет решением число 4. Введем определения системы и совокупности уравнений и неравенств. Определение. Уравнения и неравенства образуют систему, если требуется найти пересечение множеств их решений (их общие реше- ния). Уравнения и неравенства образуют совокупность, если требуется найти объединение множеств их решений (множество, включающее все их решения). Определение. Уравнения, неравенств а, их системы и совокупности называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений. Например, неравенство (х2)2 + у3 < 0 равносильно уравнению sin(x+y)=3. Процесс нахождения значений неизвестных состоит в постепенном уп - рощении данного уравнения или неравенства, или системы, или совокуп - ности, пока не будет получено столь простое соотношение, что ответ ста- нет ясным. Упрощая данные соотношения, мы должны знать, что при этом не те- ряются и х решения. Иначе говоря, каждое новое соотношение должно иметь все решения предыдущего соотношения. Здесь возможны два вари- анта: либо все преобразования равносильны (что отмечается знаком  между записями), либо используется неравносильн ый переход, не приво- дящий к потере решений, но, возможно, приводящий к приобретению по- сторонних решений (что отмечается знаком  между записями). В этом последнем случае необходима проверка полученных решений подстанов- кой в исходное уравнение или неравенство. Пример. Решить уравнение 16 8 5 2   х х . Первый способ решения  равноси льными преобразованиями.
150 . 8 8 3 6 , 1 0 24 5 6 , 1 16 8 5 0 8 5 16 8 5 2 2 2                             х х х х х х х х х х х х Ответ {8}. Заметим, что ограничение х2  16 ≥ 0 здесь было бы лишним, так как записано,что5х+8≥0ичто5х+8=х216. Второй способ решения. 16 8 5 2   х х 5х+8=х216 х25х24=0   8 3 х х . Проверка: 1) х =  3, 8 15  не имеет смысла. 3  посторонний ко- рень уравнения; 2) х = 8, 16 64 8 40     верное равенство. Ответ {8}. Рассмотри м в качестве важного примера задания по квадратным урав - нениям. Определение. Квадратным уравнением относительно неизвестного х называется уравнение вида ax 2 +bx+c = 0, где a, b и c – любые числа, причем а . 0  Задания на распознавание 1. Какое из следующих уравнений является квадратным? Чему равны a, b и c в этом уравнении? а) ; 0 6 3   x x б)x+2x21=0;в)4+x=0. 2. Яв ляется ли следующее уравнение квадратным относительно какого- либо выражения? Укажите это выражение. а) ; 0 2 3 2   x x б)sin2х3sinх40; в)2(x2+3)2–7(x2+3)+3=0; г)2(x2+4x)2+17(x2+4x)+36=0; д)4x4–37x2+9=0. Задания на выведение следствий 1.Составьте квадратное уравнение относительно х, у которого коэффи- циент при x2 равен 8, коэффициент при х равен 5, свободный член равен 1. 2. Составьте квадратное уравнение относительно выражения х2 (такие уравнения называются биквадратными) с коэффициентами: a = 1, b = 4, c = –5. Такие уравнения называют биквадратными. Определение. Квадратное уравнение называют приведенным, если его старший коэффициент а равен 1.
151 Задание на распознавание Какое из следующих уравнений является приведенным квадратным уравнением? а)0x2+5x–1=0;б)2x2–6x+3=0;в)x2–0,2x+4=0;г)x2–x–17=0. Задание на выведение следствий Составьте приведенное квадратное уравнение, у которого: а)b=2,c=3;б)b=5 3,c=8 1. Определение. Выражение D = ac b4 2 называется дискриминантом квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0. Задание на распознавание У какого из следующих квадратных уравнений D = 16? а)2x2 +5x+3=0; б)4x2 5x–4=0; в)36x2 +12x+1=0; г)3x2 +2x–1=0; д)x2 +4x+3=0. Задание на выведение следствий Найдите дискриминант квадратного уравнения: а) ; 0 6 5 2   x x б) ; 0 4 7 2   x x в) ; 0 1 8 162   x x г)2х2=5х+2. Алгоритм решения рационального уравнения 1. Избавиться от дробей, умножив обе части уравнения на общий знаменатель. 2. Решить получившееся уравнение. 3. Для каждого полученного корня сделать проверку: удовлетворя- ет ли он условию «знаменатель не равен нулю». Если да, то это – ко- рень заданного уравнения; если нет, то это посторонний корень, и в ответ его включать нельзя. Задание по алгоритму Решите уравнение: 1) ; 3 3 2   x x x x 2) ; 4 3 2 2      x x x x 3) ; 2 2 1 2 10 22      x x x x x
152 4) ; 4 5 16 8 4 12       x x x x 5) . 4 4 14 1 2 5 2      x x x 2.2.3. Функции и графики Эта линия в курсе алгебры основной школы состоит из изучения сле- дующих функций: линейная (в том числе прямая пропорциональность), обратная пропорциональность, степенная фун кция с натуральн ым показа- телем, квадратный корень. Кроме того, рассматриваются функции нату- рального аргумента  числовые последовательности – на примере арифме- тической и геометрической прогрессий. Вводятся и тригонометрические функции, но дело не доводится до сколько-нибудь полного изучения их свойств и до построения их графиков: тригонометрические функции рас- сматриваются здесь как числовые функции «углового аргумента», а графи- ки мы, как известно, строим, откладывая на обеих осях одинаков ые едини- цы. Изучать свойства тригонометрических функций, не опираясь на на- глядность (график), нецелесообразно. Правда, в учебнике «Алгебра-9» А.Г. Мордковича тригонометрические функции вводятся сразу для число- вого аргумента. Однако вызывает сомнение возможность и необходимость такого шага. Кажется более правильн ым сначала познакомить учащихся с тригонометрическими функциями угла (в градусной и в радианной мере, с любыми значениями величины угла, как положительными, так и отрица- тельными). Именно так поступают авторы наиболее распространенного учебника «Алгебра-9» под редакцией С.А. Теляковского. Функция в школьн ых учебниках определяется как зависимость пере- менной у от переменной х, при которой каждому значению х соответствует единственное значение у. В основной школе рассматриваются следующие свойства функций: об- ласт ь определения, область значений, знак, монотонность, четность (не- четность) и периодичность. Вот примеры систем заданий, адекватных этому материалу. 1. Линейная функция Определение. Линейной функцией у от х н азывается функция, ко- торую можно задать формулой у = ах + b, где а и b – любые числа. Задание на распознавание Является ли данная функция линейной функцией? Чему равен коэффи- циент k? а) ; 3 2 x y б) ; 5 4 1 x y в) ; 1 3 x x y    г) ; 2 1 x y д) . 3 2 x y
153 Задание на выведение следствий Придумайте линейную функцию с заданными коэффициентами a и b. Чему равен коэффициент k? а)a=5,b=1;б)a=0,b= –2;в)a=1,b=0. Определение. Прямой пропорциональностью у от х называется функция, которую можно задать формулой у = kх, где k 0. Задание на распознавание Является ли данная функция прямой пропорциональностью? Объясни- те ответ. а); 1 x yб); 4 x yв). 8 1 1x y Задание на выведение следствий Придумайте прямую пропорциональность с заданным коэффициентом, если это возможно. Чему равен коэффициент k? а)k=3;б)k=0;в)k= –2. Теорема (без доказательства). Графиком линейной функции y=ax+b является прямая, проходящая через точки (0; b) и (1; a+b)34. Задания по формулировке теоремы 1. Выделите условие и заключение этой теоремы. 2. Определите значения а и b по данному графику линейной функции (пять графиков на клетчатой бумаге с обозначениями х, у, 0, 1, 1). Объяс- ните ответ. 3. Напишите формулу линейной функции, график которой проходит через данные точки. Объясните ответ. 1)(0;2)и(1;3);2)(0;3)и(1;4);3)(0;–1)и(1;2);4)(0;0)и(1;–3); 5) (0; –2) и (1; –3). 4. Начертите график данной линейной функции, предварительно за- полнив таблицу. х01 у а)у=2х+3;б)у= –х+2;в)у= –2х+3;г)у=2х+2;д)у= –2х+2. Теорема. Графиком прямой пропорциональности y = kx является прямая, проходящая через начало координат и точку (1; k). Доказательство. Прямая пропорциональность y = kx является линей- ной функцией y = ax+b, где a = k, b = 0. Значит, по теореме о графике ли- 34 Эта теорема вводится в начале курса алгебры 7 класса, а доказывается в конце курса геометрии 8 клас- са, и преодолеть это неудобство пока не удалось.
154 нейной функции, графиком прямой пропорциональности является прямая, проходящая через точки (0; 0) и (1; k+0), то есть через начало координат и точку (1; k), ч.т.д. Задания по формулировке теоремы 1. Выделите условие и заключение этой теоремы. 2. Определите значение k по данному графику прямой пропорциональ- ности (пять графиков на клетчатой бумаге с обозначениями х, у, 0, 1, 1). Объясните ответ. 3. Напишите формулу прямой пропорциональности, график которой проходит через данную точку. Объясните ответ. а) (1; 3); б) (2; 4); в) (1; 2); г) (3; –3). 4) Начертите график данной линейной функции, предварительно за- полнив таблицу: х01 у0 а)у=2х;б)у= –х;в)у= –2х;г)у=0,5х;д)у= –0,5х. Задание по доказательству теоремы Повторите доказательство теоремы в общем виде; повторите ее доказа- тельство для случая k =  0,5. 2. Квадратичная функция Определение. Квадратичной функцией у от х называется функция, которую можно задатьформулойy= ax2 +bx+c, где а 0 . Задание на распознавание Какие из следующи х функций являются квадратичными? От каких пе- ременных? Чему равны коэффициенты a, b, c? а) ; 6 5 32    x x y б)y=2x+1;в)y=1–t2. Задание на выведение следствий Составьте, если это возможно, квадратичную функцию c bx ax y   2 , укоторой:а)a=2,b= –1,c=4;б)a=0,b= –1,c=4. Алгоритм построения графика квадратичной функции у = ах2 + bx + c: 1) отметить точку (хо; уо) с координатами хо = – a b 2,yo=–a D 4 =ахo2+bxo+c; 2) построить параболу у = ах2 с вершиной в отмеченной точке.
155 Задание по алгоритму Постройте график функции . 5 4 2    x x y 3. Прогрессии Определение. Функцию вида y = f(x), x N, называют числовой по- следовательностью и обозначают y = f(n) или (уп). Задание на распознавание Является ли заданная функция числовой последовательн остью? а)y=2x–1,x(0;+); б)y=2x–1,xQ; в)y=2x–1,xN; г)y=2x–1,xZ; д) x x x y , 1 2  N. Задание на выведение следствий Составьте математическую модель следующей задачи. Сосулька тает со скоростью 5 капель в минуту. Сколько капель упадет на землю через 1 мин., 2 мин., 3 мин., 17 мин. и т.д. от начала таяния сосульки? Яв ляется ли эта модель числовой последовательностью? Определение. Числовую последовательность, каждый член кото- рой, начин ая со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называют арифмети ческой прогрессией, а число d – разностью арифметической прогрессии. Задание на распознавание Определите, является ли заданная последовательность арифметической прогрессией: 1)2,4,6,8,10,12, …; 2)5,5,5,5,5, …; 3) 13, 10, 7, 4, 1, –2,…; 4)3,1,3,1,3,1, …; 5)3,0, –3, –6, …. Задание на выведение следствий Выпишите первые пять членов арифметической прогрессии, у которой: 1)a1=3,d=7; 2)a1=10,d= –2,5; 3)a1= –21,d=3; 4)a1= –17,5,d= –0,5; 5)a1=0,3,d=1.
156 Теорема. Для любого член а aп арифмети ческой прогрессии спра- ведливо равенство a n = a 1 + d(n–1). Задания по формулировке теоремы 1. Выделите условие и заключение этой теоремы. 2. Из данных последовательностей выберите такую, сотый член кото- рой можно вычислить по данной формуле. Объясните ответ. Выполните вычисление: а) последовательност ь простых чисел; б) последовательность квадратов четных чисел; в) последовательность натуральных чисел, дающих при делении на 6 ос- таток 2. 3. Дана арифметическая прогрессия (an). Вычислите a6, если a1 = 4, d = 3. Задание по доказательству теоремы Повторите доказательство этой теоремы, данное в учебнике. Повторите это доказательство на выбранном вами примере. Теорема. Сумма Sn первых n членов арифметической прогрессии может быть найдена по формулам S n = n n d a 2) 1 ( 21   и . 2 1 n a a S n n   Задания по формулировке теоремы 1. Выделите условие и заключение этой теоремы. 2. Из данных последовательностей выберите такие, сумму первых пят - надцати членов которых можно вычислить по данной формуле. Объясните ответ. Выполните вычисление, пользуясь в первый раз одной формулой, а во второй раз другой формулой: а) последовательност ь кубов натуральн ых чисел; б) последовательность целых чисел, наименьшее из которых 7; в) последовательность натуральных чисел, делящихся на 5. 3. Найдите сумму первых пятидесяти членов арифметической прогре с- сии(an),если известно,что: а)a1=2;а50 =147;б)a1 = –12;d=2. Задание по доказательству теоремы Повторите доказательство этой теоремы, данное в учебнике. Повторите это доказательство на выбранном вами примере. Теорема (характеристическое свойство арифметической прогрес- сии). Числовая последовательность является арифметической про- грессией тогда и только тогда, когда каждый ее член , кроме первого (и последнего, в случае конечной последов ательности), равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.
157 Задания по формулировке теоремы 1. Выделите условие и заключение этой теоремы. 2. Из данных выражений выберите такие, которые можно преобразо- вать по данной формуле. Объясните ответ. Выполните преобразование. 3. Найдите те значения х, при которых числа х, 2х – 1, 5х яв ляются по- следовательными членами арифметической прогрессии. 4. Найдите те значения y, при которых числа 2y + 5, y, 3y – 8 являются последовательн ыми членами арифметической прогрессии. 5. Найдите те значения t, при которых числа 5t + 2, 7t +1, 3t – 6 образу- ют конечную арифметическую прогрессию. Задание по доказательству теоремы Повторите доказательство этой теоремы, данное в учебнике. 2.3. Геометрия 7–9 Преподавание геометрии в школе играет особую роль в умственном воспитании детей. Это единственный школьный курс, имеющий вполне дедуктивный характер. Даже школьная алгебра не может сравниться с этим предметом в данном отношении. Конечно, и в курсе геометрии в школе не все доказывается совершенно строго, и в ряде случаев при дока- зательствах мы используем жизненные представления в место точных тео- ретических обоснований. Но несмотря на это, геометрия (при ее правиль- ном преподавании) обеспечивает логическое развитие учащи хся. Под пра- вильным преподаванием здесь имеется в виду такое преподавание, в кото- ром ни одна теорема, доказываемая в учебнике, не остается без доказа- тельства в изложении учителя и учащи хся. Особое внимание необходимо уделять задачам на построение. Следует считать обязательн ым требование, чтобы каждый ученик свободно в ладел алгоритмами решения следующих задач на построение циркулем и линей- кой, о которых говорится в стандарте образования: деление отрезка попо- лам, построение треугольника по трем сторонам, построение перпендику- ляра к прямой, построение биссектрисы, деление отрезка на n равных час- тей. К этому нужно добавить умение строить угол, равный данному, а так- же (желательно) построение третьего пропорционального к двум отрезкам и четвертого пропорционального к трем отрезкам. Добиваться этого можно, ставя эти задачи в математические диктанты. 2.3.1. Аксиомы В учебниках геометрии по-разному решается вопрос о перечне аксиом, на которых базируется этот курс. Напри мер, в учебнике А.В. Погорелова таких аксиом по планиметрии 10, а в учебнике Л.С. Атанасяна перечня ак- сиом вообще нет (в конце учебника приведена полная система аксиом, но
158 она не используется при построении курса). В учебнике А.Д. Александрова даны аксиомы в нетрадиционном изложении. Поэтому мы не будем здесь обсуждать те или иные тексты аксиом, а определим лишь методы работы с теми аксиомами, которые формулируются в используемом Вами учебнике. Будем учить детей той деятельности, которой занимаются профессио- налы. Математики применяют аксиомы для доказательства теорем и для решения задач. Поэтому и мы будем учить детей именно этому. На первый взгляд, сказанное тривиально, но на самом деле в школьном преподавании планиметрии прямые ссылки на аксиомы являются большой редкостью. Чуть ли не единственным исключением является ссылка на аксиому о па- раллельн ых при доказательстве теоремы о накрест лежащих углах. Обыч- ное объяснение этому состоит в том, что очень трудно запомнить аксиомы и очень хлопотно их точно цитировать, а неточное цитирование аксиом в принципе недопустимо. И это вполне справедливо. Однако есть способ решить данную проблему. Рассмотри м самый трудный для учителя и учащи хся учебник  учеб- ник А.В. Погорелова. Как уже говори лось, в нем сформулировано сравни- тельно большое число аксиом35. Сделаем так, чтобы все эти аксиомы было легко выучить и чтобы на них было легко ссылаться. Для этого поместим на стене нашего учебного кабинета таблицу с чертежами ко всем этим ак- сиомам. Эта таблица занимает целый лист ватмана (А1). На нем распола- гаются десять прямоугольников. В каждом из них дан номер аксиомы, присвоенный ей в учебнике А.В. Погорелова, дан чертеж, иллюстрирую- щий аксиому, и в углу дан мелким шрифтом (кегль 14) текст аксиомы, вы- писанный из учебника. Копии этой таблицы полезно распечатать для уче- ников в формате А4. По этой таблице можно вести , например, такую работу: 1) в математических диктантах просить назвать, глядя на таблицу, но- мер произносимой учителем аксиомы; 2) в математических диктантах просить написать, глядя на таблицу, текст аксиомы, номер которой назван учителем; 3) при анализе ответов на указанные вопросы диктантов зачитывать тексты аксиом по таблице; 4) при необходимости сослаться на аксиому, во время решения задач и доказательства теорем требовать записи только ее номера, что делает за- пись компактной. Как показывает имеющийся оп ыт, систематическая работа с такой таб- лицей приводит к хорошему знанию даже такого большого списка аксиом, который содержится в учебнике А.В. Погорелова. 35 Следует отметить, что система аксиом А.В. Погорелова полна, непротиворечива и ее аксиомы незави- симы. Ее компактность (по сравнению с аксиоматикой Гильберта) объясняется тем, что в ней использу- ется в качестве основы теория действительного числа.
159 При работе с учебником Л.С. Атанасяна можно ограничиться следую- щим списком аксиом планиметрии: 1) через две данные точки проходит единственная прямая; 2) через точку вне прямой нельзя провести двух прямых, параллельных данной прямой; 3) АВ + ВС ≥ АС для любых трех точек плоскости А, В и С, причем ра- венство наступает, только если точка В лежит между точками А и С на од- ной с ними прямой. Эти три аксиомы нужно в ышеописанным образом расположить на на- стенной таблице размером А2. 2.3.2. Определения Все понятия школьного курса геометрии, кроме основных, вводятся определениями. В этом смысле школьная геометрия является уникальной дисциплиной. Даже в алгебре мы имеем в школе понятия, вводимые с опо- рой на здрав ый смысл, без строгой дедукции (например, определение на- турального числа как числа, которое используется при счете). Определения можно четко разделить на конструктивные и дескриптив- ные. Их прекрасное описание дано в следующем тексте нашего отечествен- ного математика и методиста И.М. Яглома. Вот его слова: «Дело в том, что все (жизненные или научные) понятия вводятся двумя принципиально раз- ными путями. Каждое понятие может быть введено при помощи прямого, или конструктивного, определения  явным описанием строения соответ- ствующего объекта… Однако гораздо чаще в жизни и в науке встречаются косвенные (описательные, или дескриптивные) определения, задающие тот или иной объект перечислением требуемых его свойств… При этом все ос- новные стоящие перед людьми задачи обычно сводятся к преобразованию тех или иных дескриптивных определений в конструктивные  таковы, ска- жем, задачи нахождения максимума функции или создания парового двига- теля. Крайне важно, что нахождение конструктивного определения того или иного объекта, ранее заданного лишь дескриптивно, попутно доставляет нам и доказательство его существования, поскольку косвенные определе- ния могут описывать и бессмысленные или вовсе не существующие объек- ты» 36. В качестве такого бессмысленного объекта И.М. Яглом упоминает треугольник, две биссектрисы которого пересекаются под прямым углом. 1. Определения геометрических фигур. Геометрическая фигура в школьном курсе планиметрии  это произ- вольное множество точек. Значит, понятие множества и понятие точки рассматриваются как неопределяемые в данном курсе. И если множество  понятие общематематическое, то понятие точки становится основным по- 36 Яглом И.М. Математические структуры и математическое моделирование. М., 1980. С. 14.
160 нятием планиметрии (и геометрии вообще). В данном случае термин «ос- новное понятие» имеет вполне определенный математический смысл: точ- ка  основное понятие аксиоматики геометрии, определяемое только через саму систему аксиом. Наряду с точкой основными понятиями в аксиома- тике А.В. Погорелова объяв ляются также геометрические фигуры прямая и плоскость (и, кроме того, отношение принадлежности и отношение «ле- жать между» для одной из трех точек прямой). Все остальные геометриче- ские фигуры вводятся с помощью определений. Это отрезок, луч, полу- плоскость, угол и его виды, многоугольник и его виды, элементы много- угольника, окружность и круг и их элементы. Все эти фигуры вводятся как виды или совокупности ранее введенных фигур с помощью указываемых в определениях свойств. Таких определений в курсе несколько десятков. Но система заданий в каждом случае строится по одному и тому же принципу. В заданиях на распознавание ученикам предъявляется некоторое множество фигур, среди которых нужно в ыявить фигуры, удовлетворяющие данному определению. В заданиях на выведение следствий ученикам предлагается построить фи- гуру, удовлетворяющую данному определению, или описать словами такое построение. Заметим, что указанные требования вытекают из теории П.Я. Гальпе- рина. Но они хорошо сог ласуются и с только что приведенными словами И.М. Яглома о конструктивных и дескриптивных определениях. Построе- ние фигуры, соответствующей конструктивному определению,  это про- сто усвоение определения с помощью собственной деятельности ученика. Построение фигуры, соответствующей дескриптивному определению,  это еще и доказательство существования фигуры. В качестве примеров рассмотрим задания по отработке определений медианы и окружности. Определение. Медианой треугольника называется отрезок, соеди- няющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Это конструктивное определение. В его тексте указано, как строится определяемый объект. И поскольку у каждой вершины треугольника есть противолежащая сторона, а у каждой стороны есть середина, и эти две точки (вершину и середину стороны) можно соединить отрезком, то ника- кого доказательства существования медианы не требуется. И задание на выведение следствий необходимо только в дидактическом смысле. Задание на распознавание Среди данных чертежей найдите тот, на котором отрезок АМ является медианой треугольника. (На рисунках несколько треугольников, на кото- рых АМ яв ляется высотой, или медианой, или биссектрисой, и ли средней линией треугольника.)
161 Задание на выведение следствий 1. Постройте треугольник АВС и проведите его медиану АМ. 2. Постройте треугольник АВС и проведите его медианы АN и ВМ. 3. Постройте треугольник АВС и проведите его медианы АК, ВN и СМ. Определение. Окружностью с центром О и радиусом r называется множество точек п лоскости, содержащей точку О, удаленных от этой точки н а расстояние r.37 Это дескриптивное (описательное) определение: в его тексте не сказа- но, как построить определяемый объект. Задание на выведение следствий обеспечивает доказательство существования определяемого объекта. Задания на распознавание 1. Среди данных фигур найдите окружность с центром А и радиусом 5 см. В качестве измерительного инструмента используйте циркуль. (Предъявляется чертеж с несколькими окружностями разных радиусов, на каждом рисунке буквой А отмечена одна из точек. Только на одном рисун - ке радиус равен 5 см и точка А является центром окружности. Учащиеся должны объяснить, почему только одна фигура из имеющихся на чертеже удовлетворяет определению. Для этого они должны показат ь, что все точ- ки этой фигуры удалены от точки А на расстояние 5 см, а у други х фигур имеются точки, удаленные от А на другое расстояние). 2. Докажите, что данная фигура является окружностью и определите ее центр и ее радиус. (доказательством служит проверка с помощью циркуля). 3. Объясните, почему поверхност ь шара не яв ляется окружностью. Задания на выведение следствий 1. Отметьте точку О и постройте с помощью циркуля окружность с центром О и радиусом 3 см. 2. Отметьте на клетчатой бумаге, не пользуясь измерительн ыми и чер- тежными приборами, четыре точки, лежащие на какой-либо окружности. 2. Определение отношения и взаимного расположения фигур. Отношения между фигурами и взаимное расположение фигур (кроме понятия принадлежности точки прямой и понятия «лежать между» для трех точек в учебнике А.В. Погорелова) вводятся в курсе геометрии опре- делениями. В п ланиметрии это отношения: 37 Обычное определение «окружностью называется множество точек плоскости, удаленных от данной точки этой плоскости на данное расстояние» педагогически неудобно. Как выяснилось в результате спе- циального опроса, многие учащиеся считают, что задача «построить окружность, проходящую через ука- занные точки» некорректна, так как по определению центр и радиус окружности должны быть известны заранее (должны быть «данными»).
162 1) взаимного расположения смежн ых уг лов; 2) взаимного расположения вертикальных углов; 3) параллельности прямых, лучей и отрезков; 4) взаимного расположения внутренних накрест лежащи х, внутренних односторонних, соответственных углов, образованных пересечением двух прямых третьей прямой; 5) перпендикулярности прямых, лучей и отрезков; 6) равенства для отрезков, углов и треугольников , а затем и для любых фигур; 7) подобия для любых фигур; 8) касания для прямой и окружности, а также для двух окружностей; 9) взаимного расположения окружности и центрального угла; 10) взаи много расположения окружности и вписанного угла; 11) вписанности и описанности для окружности и многоугольника. Отличие этих определений от определений фигур заключается в том, что речь здесь всегда идет о двух фигурах. Это учитывается в заданиях, адекватных этим определениям. Пуст ь, например, мы отрабатываем опре- деление внутренних накрест лежащих углов. Тогда в задании на распозна- вание мы должны дать чертежи с двумя углами. 3. Определение геометрических преобразований. В курсе планиметрии дается определение движения и его частных слу- чаев: осевой симметрии, поворота, центральной си мметрии (частного слу- чая поворота) и параллельного переноса, а также подобия и его частного случая  гомотетии. В заданиях на распознавание мы должн ы дать две фи- гуры и спросить, может ли вторая фигура являться образом первой фигуры при том или ином преобразовании плоскости. В заданиях на выведение следствий мы просим построить образ данной фигуры при указанном пре- образовании плоскости. 4. Определение вектора. Как вводить вектор в школе  вопрос спорный. В учебниках 1960-х гг., написанных при участии А.Н. Колмогорова, вектор определялся как па- раллельн ый перенос. В учебнике Л.С. Атанасяна вектор определяется как направленный отрезок. В учебнике А.В. Погорелова вектору вообще не да- ется формальное определение. В п ланиметрической части этого курса о векторе говорится как о паре чисел, а в стереометрической части  как о тройке чисел (координат вектора). В традиционном преподавании наиболее принято определять вектор как направленный отрезок. Но это определение нас может удовлетворить, только если будет дано удовлетворительное определение направленного отрезка. Что же это такое  направ ленный отрезок? В учебнике Л.С. Атанасяна об этом сказано так: направленный отрезок  это отрезок, у которого опре-
163 делено, какой конец считать началом, а какой концом. Однако такое опре- деление направленного отрезка неудовлетворительно по следующим при- чинам. Во-первых, вектор  это не отрезок. У него, например, нет середи- ны. И если два отрезка равны при равенстве их длин, то для равенства век- торов этого недостаточно. Следовательно, вектор не обладает некоторыми важными свойствами отрезка, и его нельзя считать «таким отрезком, у ко- торого…». Во-вторых, непонятно, что означают слова о том, что какой-то конец отрезка можно считать его началом, ибо что такое конец отрезка, мы знаем по точному определению из начала курса. А вот что такое начало отрезка, нам так и не сказали. По указанным двум причинам приходится определение вектора как направленного отрезка считать неудачным, либо потребовать другого определения направленного отрезка (например: «на- правленным отрезком называется пара точек»; «направ ленный отрезок изображается на чертеже отрезком с концами в этих точках и со стрелкой около второй точки»; «первая точка называется началом, а вторая  кон- цом направ ленного отрезка»). А еще лучше все эти слова включить в опре- деление вектора. Определение. Вектором н азывается упорядоченная пара точек; первая из этих точек называется началом, а в торая концом вектора. Вектор изображается н а чертеже в виде отрезка с концами в этих точ- ках и со стрелкой около второй точки. Вектор с началом в точке А и с концом в точке В обозначается символом АВ , или АВ , или а , или а . Разумеется, система заданий будет полностью определяться исполь- зуемым определением. Например, если дать определение вектора в указан- ном нами виде, то система заданий будет такой. Задание на распознавание Назовите вектор на этом чертеже, его начало и конец. Почему другие рисун ки на этом чертеже не служат изображениями вектора? (На чертеже даны вектор CD , а также другие близкие по начертаниям и обозначениям фигуры.) Задание на выведение следствий Отметьте точки М и Р и начертите вектор с концом в точке М и нача- лом в точке Р. 2.3.3. Теоремы Теоремы бывают разных видов. Совершенно особо выглядят теоремы существования, формулируемые так: «существует объект, имеющий дан- ные свойства: хА(х)». Особняком стоят и так называемые теоремы единственности: «сущест - вует только один объект, обладающий данным свойством».
164 В большинстве теорем школьного курса математики доказываются те или иные свойства или признаки тех или иных объектов. Строение этих теорем таково: если верно высказывание А(х), то верно высказывание В(х) (хМ(А(х)  В(х)). Например, теорема о вертик альных углах может быть прочтена таким об- разом: для любых двух углов, если верно, что эти углы вертикальные, то вер- но, что эти углы равны. В теоремах можно выделить три части:  разъяснительную часть (хМ), пок азывающую, на каком множестве рассматривается теорема;  условие А(х), показывающее, что известно об объекте х;  заключение В(х), показывающее, что требуется доказать. Если А  В, то А называется достаточным свойством для В, а В – необ- ходимым свойством для А. В школьном курсе математики свойством объекта называется его необ- ходимое свойство, а признаком объекта называется его достаточное свой- ство. Свойство объекта, являющееся и необходимым, и достаточным, на- зывается характеристическим свойством этого объекта. Если у теоремы поменя ть местами условие и заключение, сохраняя разъ- яснительную часть, то получится обратная теорема. Именно, для теоремы хМ(А(х)В(х)) обратной является теорем а хМ(В(х)  А(х)). Напри- мер, для теоремы Пифагора: (в любом треугольнике АВС) (если угол А пря- мой, то АС2 + АВ2 = ВС2) – обратная теорема вы глядит так: (в любом тре- угольнике АВС) (если АС2 + АВ2 = ВС2, то угол А прямой). Если у теоремы заменить условие и заключение их отрицаниями, сохра- няя разъяснительную часть, то получится противоположная теорем а. Так, для теоремы хМ (А(х)В(х)) противоположной явля ется теорема хМ(А(х)  В(х)). Наприм ер, для теоремы Пифагора: (в любом треугольнике АВС) (если угол А прямой, то АС2 + АВ2 = ВС2) – противоположная теорема вы- глядит так: (в любом треугольнике АВС) (если угол А не прямой, то АС2 + АВ2  ВС2). Бывает, что исходная теорема А  В верна, а обратная и противопо- ложная теоремы не верны. Прямую теорему, обратную теорему и две противоположные им теоремы можно изобразить в виде так называемого логического квадрата. АВ ВА А В В А хМ
165 Теоремы, стоящие в противоположных углах логического квадрата, со- единены стрелками не случайно: если верна одна из них, то верна и другая. Докажем, например, равноси льность теоремы А  В и теоремы В А. Для этого составим таблицу истинности этих двух высказываний. А В А В АВ В А И И Л Л И И И Л Л И Л Л Л И И Л И И Л Л И И И И Как видим, два последних столбца полностью совпадают, т.е. высказы- вания АВ иВА равноси льны, ч.т.д. Чтобы доказать все четыре теоремы логического квадрата, достаточно доказать две из них, прилежащие к одной стороне квадрата. Чтобы доказать теорему, лежащую в одной из вершин квадрата, достаточно доказать теоре- му, лежащую на одной с ней диагонали. На этом основано доказательство от противного, когда вместо теоремы А  В доказывают теорему В А. 1. Теоремы о свойствах (необходимых свойствах) фигур. В школьном курсе изучаются как необходимые, так и достаточные свойства фигур. При этом принято необходимые свойства называть просто свойствами, а достаточные свойства называть признаками фигур. Заметим, что никакой специальной работы с терминами «необходимость», «доста- точность», «необходимость и достаточность» в школьном курсе не преду- смотрено. Теорем о свойствах (необходимых свойствах) фигур в курсе планимет- рии много десятков. Все они имеют такой вид: (фигура Р выглядит так) (фигура Р обладает таким-то свойством). Задание, адекватное тексту такой теоремы, состоит в предъявлении учащимся некоторых фигур, из которых одна или несколько и меют вид Р, и в требовании выяснить, к каким из данных фигур относится эта теорема, а затем применить эту теорему к выявленной фигуре. Приведем пример. Теорем а. Ди агонали прямоугольника равны между собой. Задание по тексту теоремы Среди данных фигур найдите ту, к которой относится данная теорема, и примените теорему к этой фигуре. (Среди фигур имеются треугольники, параллелограммы общего вида и 12-угольник в виде креста, у которого все углы по 90 и 270 градусов, а также прямоугольник CDEF. Правильный от- вет: все фигуры, кроме CDEF, не прямоугольники, поэтому к ним данная теорема не относится. Теорема относится к прямоугольнику CDEF. В со- ответствии с этой теоремой СE = DF.)
166 Задание по доказательству теоремы Повторите доказательство этой теоремы, данное в учебнике. Запишите доказательство в краткой форме, изменив обозначения и форму чертежа. 2. Теоремы о признак ах (достаточных свойствах) фигур Теоремы о признаках (достаточных свойствах) фигур в школьном кур- се геометрии встречаются многократно. Они имеют такой вид: (фигура Р обладает таким-то свойством) (фигура Р имеет такой-то вид). Задание, адекватное тексту такой теоремы, состоит в предъявлении учащимся некоторых фигур, из которых одна или несколько обладают не- обходимыми свойствами, и в требовании выяснить, к каким из данных фи- гур относится эта теорема, а затем применить эту теорему к выяв ленной фигуре. Приведем пример. Теорем а. Если диагонали параллелограмм а равны между собой, то этот п араллелограмм является прямоугольником. Задание по тексту теоремы Среди данных фигур найдите ту, к которой относится данная теорема, и примените теорему к этой фигуре. Заметим, что давать для такой работы чертежи было бы неудобно. На них всегда ясно, чему равны углы параллелограмма, и трудно задать ра- венство его диагоналей. Поэтому в качестве фигур луч ше «предъявить» вымышленные, задаваемые описанием. Например, годится рассказ о плот- нике, который измерениями сторон и диагоналей устанавливает, какие из четырехугольных листов фанеры яв ляются прямоугольными. Можно дать задание и в форме таблицы. №АВBC CD AD AC BD Является ли четырехугольник ABCD прямоуголь- ником и почему? 1 3дм 4дм 3дм 4дм 6дм 4дм 2 3дм 4дм 3дм 4дм 5дм 5дм 3 3дм 3дм 4дм 4дм 5дм 5дм Задание по доказательству теоремы Повторите доказательство этой теоремы, данное в учебнике. Запишите доказательство в краткой форме, изменив обозначения и форму чертежа.
167 2.4. Оформление решений типовых задач 2.4.1 Арифметика и алгебра Разумеется, каждый человек свободен в выборе формы изложения своих мыслей. И все же определенные правила существуют. Человечество вырабо- тало специальные приемы, позволяющие людям понимать друг друга. Преж- де всего, это правила выбора языка: язык науки отличается от языка беллет- ристики и от просторечья; письменная речь отличается от речи устной. В школе изучаются лишь самые начала математической науки. Самое важное содержание курса отражено в типовых задачах. Этим задачам со- ответствуют сравнительно несложн ые типовые способы оформления ре- шения. Они-то и яв ляются элементами математического языка, которые должен усвоить школьник. А так как мы с Вами придерживаемся деятель- ностного подхода к обучению, то нам надо договориться о том, какой должна быть деятельность школьника при оформлении решения типовых задач по математике в основной школе. Мы остановимся на следующих типах задач по алгебре: 1) вычисления; 2) доказательство тождеств; 3) аналитическое решение уравнений, неравенств и их систем; 4) доказательство неравенств. 1. Вычисления. Задача 1. Вычислить значение числового выражения. Если все промежуточные действия выполняются устно, «в уме», то вы- числение оформляется цепочкой. При этом допускается и даже весьма же- лательно комбинирование некоторых действий. Однако остается незыбле- мым правило: все, что вычислитель не может сделать в уме, он показывает в тексте. Пример из учебника «Алгебра-8»38. № 418и. Упростите выражение 27 300 1 , 0 75   . Решение: 3 3 3 3 10 1 , 0 3 5 3 9 3 100 1 , 0 3 25 27 300 1 , 0 75              . Если вычисления содержат сложные операции: сложение, вычитание и умножение «столбиком», деление «углом» и т.п. – то они выполняются по действиям. В этом случае предлагается: а) выписат ь данное выражение; б) выполнить отдельно каждое действие; в) результат последнего действия записать после данного в ыражения через знак равенства. 38 При отсутствии указания авторов имеется в виду учебники «Алгебра 7–9» под редакцией С.А. Теляковского.
168 Пример из учебника «Алгебра-7». № 8а. Выполните действия 5 1 2 31 : 5 2 1 15 2 3   = . 15 2 5 1) 5 1 4 5 21 5 3 7 3 1 : 5 2 1     . 2) . 2 5 1 2 5 1 4   3) . 15 2 5 2 15 2 3   Задача 2. Сравнить числовые выражения. Выполним упражнение из учебника «Алгебра-8». № 485а. Сравните числа 200 2 , 0 и8 10 Первый способ: а) каждое в ыражение вычисляется по отдельности: 200 2 , 0 =2 2, 2 20 8 10; б) в ответе записывается результат сравнения: 200 2 , 0 <8 10. Второй способ: а) составляется разност ь данных в ыражений; б) вычисляется значение этой разности; в) в конце вычислений производится оценка: = 0, или > 0, или < 0; г) в ответе записывается результат сравнения: 200 2 , 0 8 10=2 22 20= . 0 2 18  Ответ: 200 2 , 0 <8 10. Третий способ (пригоден, если заранее известно, что оба в ыражения положительны): а) составляется частное данных выражений; б) вычисляется значение этого частного; в) в конце вычислений производится оценка: = 1, или > 1, или < 1; г) в ответе записывается результат сравнения: . 1 1 , 0 2 20 2 2 8 10 200 2 , 0    Ответ: 200 2 , 0 <8 10. Сказанное не исчерпывает всех возможностей решения данной зад ачи. Например, может оказаться, что одно из данных выражений больше, а дру- гое меньше некоторого числа, тогда: а) доказывается, что одно из данных выражений больше некоторого числа; б) доказывается, что другое данное выражение меньше того же числа; в) в ответе выписывается результат сравнения. Пример: сравните числа sin 425 и 5 , 1.
169 Решение: sin 425 < 1, 5 , 1 >1. Ответ: sin 425 < 5 , 1. Задача 3. Вычислить значение буквенного выражения при данных зна- чениях переменных. № 166б («Алгебра-8»). Найдите значение выражения 2 2 25 2 , 0 b ab a   при 6 , 0 , 8  b a . Обычная запись решения: 2 2 25 2 , 0 b ab a   =      36 , 0 25 64 6 , 0 ) 8 ( 2 , 0 … неудовлетворительна, так как в ней не раскрыта логика решения. Взятое само по себе, это равен- ство просто нелепо, а все объяснения остаются «за кадром». Поэтому пред- лагается такая запись решения: а) представить каждое выражение в виде функции от входящих в нее переменных; б) сохраняя введенное обозначение, вычислить значение этой функции при данных значениях переменных. В данном случае имеем: Решение: , 25 2 , 0 ) ; ( 2 2b ab a b a f    . 1 2 , 2 2 , 2 36 , 0 56 , 2 6 , 0 6 , 1 36 , 0 25 64 6 , 0 ) 8 ( 2 , 0 ) 6 , 0 ; 8 (               f Ответ: 1. Нужно заметить, что вводимое таким образом обозначение f(…) со- вершенно понятно ученику. Когда мы впоследствии скажем, что f(x) обо- значает функцию, это будет воспринято вполне осмысленно. 2. Доказательство тождеств. Первый способ. Одно из двух данных выражений переписывается и преобразуется во второе непрерывной цепочкой действий, после чего пишется: ч.т.д. (что и требовалось доказать). Примеры. 1. Доказать, что (х  у)(х + у) = х2  у2. Доказательство:(ху)(х+у)=х2 ху +ху у2 =х2 у2,ч.т.д. 2. Доказать, что х3 + у3 = (х+у)(х2  ху + у2). Доказательство:(х+у)(х2ху +у2)=х3х2у+ху2+х2уху2+у3=х3+у3, ч.т.д. Второй способ. 1. Одно из двух данных выражений обозначается символом f(…) , пе- реписывается и упрощается в некоторое выражение А.
170 2. Другое выражение обозначается буквой g(…), переписывается и упро- щается в то же выражение А. 3. Пишется:  f(…) = g(…), ч.т.д. Пример. Доказать, что (х + у)3 = х3 + у3+ 3ху (х + у). Доказательство:f(х;у)=(х+у)3= х3+3х2у+3ху2+у3;g(х;у)=х3+у3+ 3ху(х+у)=х3+у3+3х2у+3ху2;  f(х; у) = g(х; у), ч.т.д. 3. Доказат ельство неравенств. В простейшем варианте: а) составляется разность двух данных выражений и путем преобразований доказывается, что эта разность, наприм ер, положительна; б) пишется:  (первое выражение) > (второе выражение), ч.т.д. Прим ер. Доказать, что при положительных х и у выполняется неравенство (х+у)2>х2+у2. Доказательство:(х+у)2(х2+у2)= х2+2ху+у2х2 у2=2ху>0 (х+у)2 > х2+у2, ч.т.д. Иногда бывает удобно заменить разность частным (если выражение- делитель положительно). В более сложных случаях бывает удобно заменять доказываемое неравен- ство равносильным. Прим ер. Доказать, что ху у х  2 при неотрицательных х и у. Доказательство. ху у х  2 х2 ху+у≥0 0 2 у х , что верно.  ху у х  2 , ч.т.д. Заметим, что грубой ошибкой является такой «вариант» последней записи: ху у х  2 ,х2 ху+у≥0, 0 2 у х , ч.т.д. Конечно, если последнюю запись прочесть справа налево, то получится правильное доказательство:   0 2 у х ,х2 ху+у≥0, ху у х  2 , ч.т.д. 4. Решение уравнений и неравенств. Обычная запись решения уравнений и неравенств состоит в их последова- тельном упрощении, причем получаемые равносильные уравнения и неравен- ства подписываются одно под другим Задача. Решить уравнение 2х + 5=7(х + 4). Решение. 2х+5=7(х+4) 2х+5=7х+28 2х7х=285 5х=23 х= –4,6
171 Такое оформление решения является наилучшим до тех пор, пока уравнения и неравенства решаются равносильными преобразованиями. Но уже в 8 классе появ ляются дробно-рациональные и иррациональные урав - нения. Вот пример такого уравнения из учебника «Алгебра-8» (№ 599а): х х х 6 2 16 1 21     . При его решении нужно пользоваться символами  и , разъясняющими логику решения. Возможны два способа записи. Первый способ  равноси льными переходами.                                     11 2 6 0 12 64 11 0 2 1 12 6 6 16 16 42 21 0 0 2 0 1 6 2 16 1 21 2 2 2 2 х х х х х х х х х х х х х х х х х х х Ответ: {6; 11 2 }. Второй способ – с переходом к уравнению-следствию и последующей проверкой: х х х 6 2 16 1 21                      11 2 6 0 12 64 11 12 6 6 16 16 42 21 2 2 2 2 х х х х х х х х х х . Проверка. Ни один из корней не обращает знаменателей в нуль. Ответ: {6; 11 2 }. 5. Пример оформления экзаменационной работы по алгебре. Сказанное не исчерпывает всех возможных видов задач. Если задача не решается ни одним из вышеуказанных методов, то ее решение необходимо оформлять в виде рассказа, в котором каждое положение обосновывается ссылкой на известные или ранее доказанные положения. Мы продемонст- рируем это на примере оформления экзаменационной работы по алгебре для 9 математического класса за 2008 год (№ 06-08 А-9МК, вариант 1). 1. Найдите значение выражения 36 12 4 4 2 2      а а а а ,если2≤а≤6. Решение. f(a) = 36 12 4 4 2 2      а а а а = 2 2 ) 6 ( ) 2 (    а а =a2+a6,и таккак2≤а≤6,тоf(a)=(а2)+(6а)=4. 2. Решите систему уравнений   . 4 2 0 2 3 22 2 2         у у х у у х
172 Решение.                                                                           4 4 4 2 2 4 2 1 1 2 4 2 4 2 4 2 2 1 2 4 2 2 4 2 0 2 3 0 2 0 2 4 2 0 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x x y x y y x y y x y y x y y x x y y x y y x x у у х у у х                                                  1 5 2 2 0 2 2 2 2 2 5 5 1 2 2 0 2 y x y x y x x x y x x x y x y y x Ответ: {(2; 0), (2; 2), ( 5 ; –1)}. 3. Сумма пятого и девятого членов геометрической прогрессии равна 7. Найдите сумму и х квадратов, если произведение шестого и восьмого чле- нов этой прогрессии равно 12. Решение. Дано:b5+b9=7,b6b8=12. Найти: 2 9 2 5b b. Имеем: b6b8 = b12q12 = b5b9 =12, b5 + b9 = 7. Таким образом, нам надо найти сумму квадратов чисел, сумма и произведение которых известны. Это делается дополнением суммы квадратов до квадрата суммы: 2 9 2 5b b= (b5 + b9)2  2b5b9 = 72  2  12 = 25. Однако необходимо доказать существо- вание геометрической прогрессии, удовлетворяющей условиям задачи. В данном случае легко подобрать значения b5 и b9, удовлетворяющие усло-
173 виям b5b9 = 12, b5 + b9 = 7. Это, например, b5 = 3, b9 = 4. Отсюда, из уравне- ния b9 = b5 q4, можно в ычислить возможное значение q, а затем и возмож- ное значение b1. Так как все эти вычисления выполнимы, то такая прогрес- сия существует 39. Ответ: 25. 4. На листе клетчатой бумаги нарисован прямоугольник, стороны кото- рого лежат на линиях сетки, а количество клеток, имеющих в ыход к его границе, равно 26. Какую максимальную площадь может иметь такой пря- моугольник, если площадь одной клетки равна 1? Решение. Если все клетки прямоугольника пограничные, то его пло- щадь равна 26 (таковы прямоугольники размерами 1 × 26 и 2 × 13). Пло- щадь будет больше, если прямоугольник содержит не только эти погра- ничные, но и внутренние клетки. В таком случае у него будет 4 угловые клетки. Пуст ь его размеры равны х и у. Тогда число пограничных клеток равно2х+2у4=26,откудах+у=15,иприэтомх≥3,у≥3(рисунок). Пуст ь, например, х ≤ у. Тогда число х может принимать 5 натуральных значений: от 3 то 7, а число у = 15  х может принимать соответственно 5 натуральных значений от 12 до 8. Из получающихся пяти пар (х; у) наи- большее произведение имеют числа 7 и 8. Таким образом, наибольшую площадь будет иметь прямоугольник 7 × 8. Его площадь равна 56 квадрат- ным единицам. Ответ: 56. 5. Про число k известно, что 0 ) 1 )( 3 (5   k kk ,а 0 ) 3 )( 4 (1   k kk . Выясните, можно ли однозначно определить по этим данным знак числа k, и если это возможно, то найдите этот знак. Решение. . 0 4 5 0 4 5 0 ) 3 )( 4 )( 1 )( 3 ( ) 1 )( 5 ( 0 ) 3 )( 4 (1 0 ) 1 )( 3 (5                               k k k k k k k k k k k k k k k k Ответ: k < 0. 6. Постройте график функции x x x x x f 9 9 ) (     и найдите все значения параметра с, при которых уравнение c x f ) ( имеет не более двух корней. Решение состоит из двух частей: построение графика и нахождение значений параметра с. 39 Можно решать задачу и по-другому, вычисляя первый член и знаменатель прогрессии. Это будет ме- нее красиво, зато не придется доказывать существование прогрессии.
174 1. Данная в условии функция ) (x f является четной, так как ее область определения (; 0)  (0; +) симметрична относительно нуля и           x x x x x f 9 9 ) ( ) ( 9 9 x f x x x x     . Поэтому можно построить график этой функции для положительных х, а затем дополнить его отраже- нием относительно оси ординат. При положительн ых х выражение х х9  положительно, а значит, х х x x 9 9   ; выражение х х9  неотрицательно, если x > 3, и отрицательно, если0<x<3,азначит,           3 , 9 3 0 , 9 9 x x x x x х x x .Поэтомупри0<x<3по- лучаем x x x x x x f 2 9 9 ) (          , а при x>3 будет x x x x x x f 18 9 9 ) (          . По этим данным строится график, а затем отражается симметрично отно- сительно оси ординат (рисунок). 2. Уравнение c x f ) ( имеет не более двух корней при таки х значениях параметра с, при которых прямая у = с имеет не более двух общих точек с графиком функции ) (x f .Изчертежасразуследует,чтоеслис≤0илис>6, то эта прямая не имеет с графиком ни одной общей точки, если c = 6, то число общих точек равно 2, а если 0 < c < 6, то общих точек 4. Значит, не болеедвухобщихточекбудетприс≤0иприс≥6. Ответ:с≤0илис≥6. Задание. Решите самостоятельно второй вариант той же экзамена- ционной работы, оформляя решения наилучшим, по Вашему мнению, обра- зом. Выскажите Ваше отношение к нашему оформлению решения. Вариант 2. 1. Найдите значение выражения 25 10 9 6 2 2      b b b b ,если3≤b≤5. 2. Решите систему уравнений   . 9 3 0 3 4 32 2 2         у у х у у х 3. Сумма четвертого и восьмого членов геометрической прогрессии равна 9. Найдите сумму их квадратов, если произведение третьего и девя- того членов этой прогрессии равно 18. 4. На листе клетчатой бумаги нарисован прямоугольник, стороны кото- рого лежат на линиях сетки, а количество клеток, имеющих в ыход к его границе, равно 22. Какую максимальную площадь может иметь такой пря- моугольник, если площадь одной клетки равна 1?
175 5. Про число р известно, что 0 ) 3 )( 4 (5    р р р ,а 0 ) 5 )( 4 (2    p p p . Выясните, можно ли однозначно определить по этим данным знак числа р, и если это возможно, то найдите этот знак. 6. Постройте график функции x x x x x f 4 4 ) (     и найдите все значения параметра с, при которых уравнение c x f ) ( имеет не более двух корней. 2.4.2. Геометрия Задачи по геометрии делятся на четыре группы: измерительные, вычисли- тельные, задачи на построение, задачи на доказательство. 1. Задачи на измерение, вычисление, доказательство. Теоремы. Запись теоремы и задачи на измерение, вычисление или доказательство состоит из пяти частей: 1) краткая запись данных под рубрикой «Дано»; 2) краткая запись вопроса задачи под рубрикой «Доказать» или «Найти»; 3) чертеж; 4) доказательство или решение; 5) слова «что и требовалось док азать» (ч.т.д.) или «Ответ». Заметим, что при оформлении задач любого типа чертеж служит дополне- нием к первым двум записям. Такие условия, как принадлежность точки пря- мой и др., показанные на чертеже, не обязательно фиксировать в записи. Ответ к таким задачам дается в виде именованного числа, характеризую- щего длину, площадь, объем или величину угла. 2. Задачи на построение. Запись реш ения задачи на построение состоит из следующих обязатель- ных частей: 1) краткая запись данных под рубрикой «Дано»; 2) краткая запись вопроса задачи под рубрикой «Построить »; 3) описание построения; 4) чертеж; 5) доказательство правильности построения (то есть соответствия полу- ченной фигуры всем требованиям задачи); 6) исследование условий (выясняется, при каких соотношениях между ус- ловиями получается то или иное число решений). При решении задач на построение часто прибегаю т к аналитическому способу: предполагают, что задача решена, и ищут пути к этому решению. Некоторые методисты требуют, чтобы анализ был обязательным пунктом в записи решения задач на построение. Однако анализ присутствует в решении любых сколько-нибудь трудных задач по любой дисциплине. И всегда счита-
176 ется, что он не входит в сам текст решения. Так что и в этом случае будем считать запись анализа лишней. Приведем примеры. Задача 1. Постройте циркулем и линейкой треугольник АВС по трем сторонам:АВ=15мм,ВС=10мм,АС=20мм. Дано:АВ=15мм,ВС=10мм,АС=20мм. ______________________ _______________ ____ Построить ΔАВС. ______________________ _______________ ____ Построение. 1. Прямая l, точка А. 2. Отрезок АВ= 15 мм. 3. Окружность (А; 20 мм). 4. Окружность (В; 10 мм). 5. Точка С. 6. ΔАВС. Доказательство. В построенном треугольнике АВС все данные отвечают условию: АВ=15мм(2),ВС=10мм(4;5),АС=20мм(3;5). При данных условиях задача имеет единственное решение, так как любой треугольник с указанными длинами сторон будет равен построенному тре- угольнику по третьему признаку равенства. А вот другая задача на то же построение, в которой длины сторон не за- даны. Ученик сам в разделе «Дано» выбирает подходящие данные. Но в кон- це решения он должен ук азать, при каких соотношениях м ежду этими дан- ными задача реш ается и сколько реш ений существует в каждом случае. Задача 2. Постройте циркулем и линейкой треугольник АВС по трем сто- ронам. Дано. ______________________ _______________ ____ Построить ΔАВС: АВ=х,ВС=у,АС=z. ______________________ _______________ ____
177 Построение. 1. Прямая l, точка А. 2. Отрезок АВ= х. 3. Окружность (А; z). 4. Окружность (В; у). 5. Точка С. 6. ΔАВС. (Рисунок здесь аналогичен рисунку в задаче 1). Доказательство. В построенном треугольнике АВС все данные отвечают условию: АВ= х (2), ВС=у(4;5),АС=z(3;5). Если наибольшая из данных сторон меньше суммы двух других сторон, то задача имеет единственное решение, так как любой треугольник с ука- занными длинами сторон будет равен построенному треугольнику по третьему признаку равенства. Если это условие нарушено, то задача не имеет решений в силу неравенства треугольника. Приведем пример более трудной задачи. Задача 3. Построить треугольник по его медиане, биссектрисе и в ысо- те, проведенным из одной вершины. _________________________________________ Построить ΔАВС _________________________________________ Построение. 1. Прямая a, точка H. 2. HN a. 3. HА= ha. 4.AL=la. 5.AM=ma. 6. MP a. 7. Точка D.
178 8. b  серединный перпендикуляр к AD. 9. О (центр описанной окружности). 10. Окружност ь (О; ОА). 11.ТочкиВиС. 12. ΔАВС. Доказательство. В построенном треугольнике АВС все данные отвечают условию (3, 4, 5). Если ha = la = ma то задача имеет бесконечно много решений  все рав- нобедренные треугольники с в ысотой ha, проведенной к основанию. Если одновременно нарушаются условия ha < la < ma и ha = la = ma, то задача не имеет решения, так как известно, что у треугольника должно вы- полняться одно из этих условий. Если ha < la < ma, то задача имеет единственное решение. Чтобы дока- зат ь это, рассмотрим треугольник АВС с данными ha < la < ma. Отрезки МL =  и МH =  определяются по теореме Пифагора одно- значно: , 2 2a ah m MH     , 2 2a ah l LH   LH MH ML     . Выразим через них длину отрезка СМ, равную половине сторон ы ВС. Обозначим СМ через х и воспользуемся следующими соотношениями:             c b x x c h x b h х   2 2 2 2 2 2 ) () (  2 2 2 2 2 2 2 2 ) () ( ) () ( h x h x c b x x             2 2 2 2 2 2 ) () ( ) () ( h x h x x x                              2 2 2 2 2 2 2 ) ) (( ) ( ) ) (( ) ( h x h x x h х х . Единственность решения в этом случае доказана. Хорошее, грамотное оформление решения – важная его часть. Мы рассмотрели основные требования, которые предъявляют к препо- даванию математики такие науки, как педагогика, медицина и психология. На этой основе, используя передовой педагогический оп ыт, мы рассказали о том, как можно построить эффективное преподавание математики в ус- ловиях классно-урочной системы обучения в 5–9 классах. При этом мы от- казались от так называемой уровневой дифференциации учащи хся, так как нам не известны надежные методы такой дифференциации. Мы не делаем ставку на серьезную домашнюю работу учащихся, а обеспечиваем работу каждого ученика на каждом этапе урока математики. Наши предложения нашли полное теоретическое обоснование и надежную экспериментальную проверку.
Герман Григорьевич Левитас МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ В ОСНОВНОЙ ШКОЛЕ Учебное пособие Редактирование Н.И. Ихсановой, Н.А. Шашиной Компьютерная правка, верстка Е.С. Быстровой Заказ № 1697. Тираж 200 экз. (первый завод – 100 экз.) Уч.-изд. л. 11,1. Усл. печ. л. 10,4. Издательский дом «Астраханский университет» 414056, г. Астрахань, ул. Татищева, 20 тел. (8512) 61-09-07 (отдел маркетинга), 54-01-87, тел./факс (8512) 54-01-89 E-mail: asupress@yandex.ru