И. М. ШАПИРО
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ
С ПРАКТИЧЕСКИМ
СОДЕРЖАНИЕМ
В ПРЕПОДАВАНИИ
МАТЕМАТИКИ
“ПРОСВЕЩЕНИЕ’
И. М. ШАПИРО
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ
ЗАДАЧ
С ПРАКТИЧЕСКИМ
СОДЕРЖАНИЕМ
В ПРЕПОДАВАНИИ
МАТЕМАТИКИ
КНИГА ДЛЯ УЧИТЕЛЯ
МОСКВА <ПРОСВЕ1ЦЕНИЕ> 1990
ББК 74.262
Ш23
Рецензенты:
кандидат педагогических наук,
доцент МГПИ им. В. И. Ленина А. Я. Блох;
заслуженный учитель школы РСФСР, учитель школы № I
г. Петушки Владимирской области А. Т. Фомин
Шапиро И. М.
Ш23 Использование задач с практическим содержанием в препо-
давании математики: Кн. для учителя.— М.: Просвещение,
1990.—96 с.: ил.—ISBN 5-09-002725-0
В книге предложены задачи производственного характера. Они охваты-
вают почти все разделы школьного курса математики и позволяют учителю
наглядно показать роль математики в решении практических задач. При
решении этих задач учащиеся познакомятся с понятием математического
моделирования и использованием этого метода на практике.
Книга будет особенно полезна учителям сельских школ.
4306010000—669 |23_90	ББК 74.262
103(03)—90
ISBN 5-09-002725-0	© Шапиро И. М., 1990
Предисловие
Для овладения и управления современной техникой и технологией
нужна серьезная общеобразовательная подготовка, включающая
в качестве непременного компонента активные знания по матема-
тике.
Наличие знаний не означает, что они являются активным запа-
сом учащихся, что ученики способны применять их в различных
конкретных ситуациях. Такая способность не появляется стихийно.
Она формируется в процессе целесообразного педагогического воз-
действия, обеспечивающего приобретение школьниками таких зна-
ний, на которые они смогут широко опираться в трудовой и общест-
венной деятельности. Подобный уровень математической подготовки
достигается в процессе обучения, ориентированного на широкое
раскрытие связей математики с окружающим миром, с современным
производством.
Возможность осуществления таких связей обусловлена тем, что:
а) многочисленные математические закономерности, изучаемые
в школе, широко используются в организации, технологии, эконо-
мике современного производства, в конкретных производственных
процессах;
б) умения и навыки по математике, предусмотренные школьной
программой, находят непосредственное применение в производитель-
ном труде;
в) процесс трудового обучения и воспитания учащихся в совре-
менных условиях немыслим без опоры на математические знания.
Связь преподавания математики с трудом является действен-
ным средством реализации важнейшего принципа советской педаго-
гики — единства теории и практики. Она позволяет «материализо-
вать» знания школьников. Все это помогает ученикам понять
жизненную необходимость знаний, приобретаемых в школе. В этом
воспитательное значение такого обучения.
В осуществлении связи преподавания математики с практиче-
ской деятельностью особую значимость приобретает производствен-
ное окружение школы: именно с ним, как правило, связаны профес-
сиональная ориентация и подготовка, производительный труд уча-
щихся. Это создает предпосылки для реализации такой связи в наибо-
лее естественных и близких ученикам условиях. Немаловажное зна-
чение имеет связь преподавания математики с трудом в сельской
школе. Это объясняется рядом причин.
з
Во-первых, в сельских школах обучаются миллионы юношей
и девушек, трудовая деятельность значительной части которых
будет связана с сельскохозяйственным производством.
Во-вторых, повышающийся уровень технической оснащенности
агропромышленных предприятий предъявляет серьезные требования
к общеобразовательной (включающей математическую) подготовке
тружеников наиболее массовых сельскохозяйственных профессий.
В-третьих, закономерности и методы математики являются со-
ставной частью научных основ современного сельскохозяйственного
производства.
Связь преподавания математики с сельскохозяйственным трудом
двусторонняя. Она предусматривает с одной стороны широкое
использование трудового и жизненного опыта школьников при фор-
мировании математических знаний, с другой — применение знаний
в ходе трудового обучения, общественно полезного и производи-
тельного труда учеников. Эту связь в процессе преподавания
математики (независимо от профиля производственного окружения
школы) представляется возможным наиболее широко осуществлять
при изучении функций (в том числе элементов дифференциального
и интегрального исчислений), уравнений, неравенств и их систем,
измерении геометрических величин, формировании вычислительных,
измерительных, графических, логических умений и навыков. Однако
здесь следует иметь в виду, что применение математики в сельском
хозяйстве связано как со специфичностью процессов сельскохозяй-
ственного производства (сев, пахота, уборка и т. д.), так и с особен-
ностями некоторых вычислительных и измерительных операций,
выполняемых в этой производственной отрасли.
Желательно, чтобы связь с сельскохозяйственным трудом осу-
ществлялась на всех этапах преподавания математики в школе.
Но характер этой связи зависит от уровня математической подго-
товки, производственных знаний, жизненного и трудового опыта
учащихся. В V—VI классах предполагается в основном связь обуче-
ния математике с общественно полезным трудом на пришкольных
опытных участках, в учебных мастерских. В VII—IX классах это со-
держание может быть расширено, так как школьники привлекаются
к участию в работе ученических производственных бригад, лагерей
труда и отдыха. В старших X, XI классах предполагается связь
обучения математике с производительным трудом в сельском хозяй-
стве, базирующемся не только на математических, но и на производ-
ственных знаниях учеников.
1.	Задачи по математике
с практическим содержанием
1.1.	Сущность задач с практическим содержанием. Под мате-
матической задачей с практическим содержанием (задачей приклад-
ного характера) мы понимаем задачу, фабула которой раскрывает
приложения математики в смежных учебных дисциплинах, знакомит
с ее использованием в организации, технологии и экономике совре-
менного производства, в сфере обслуживания, в быту, при выполне-
нии трудовых операций.
1.2.	Требования к задачам. К задачам с практическим со-
держанием предъявляются наряду с общими требованиями следую-
щие дополнительные требования:
а)	познавательная ценность задачи и ее воспитывающее влияние
на учеников;
б)	доступность школьникам используемого в задаче нематема-
тического материала;
в)	реальность описываемой в условии задачи ситуации, число-
вых значений данных, постановки вопроса и полученного решения.’
Желательно знакомить учеников с методами решения задачи,
применяемыми на практике, если эти методы отличны от используе-
мых в школе и доступны для учащихся.
Часть задач, содержащихся в действующих ныне школьных учеб-
никах по алгебре (VII—IX кл.), по алгебре и началам анализа
(X, XI кл.), геометрии может быть отнесена к задачам с практиче-
ским содержанием. Таковы, например, задачи.
1.2.1.	Изменение объема V жидкости в сосуде в зависимости от
высоты h отражено в табл. 1.
Таблица 1
Л, см	3	6	9	12	15	18
V, л	1,2	3,1	5,6	9,7	14,7	21
Постройте график зависимости V от Л. Определите по графику:
а) сколько литров жидкости налили в сосуд, если высота уровня
равна 5 см, 10 см; б) какова будет высота уровня в сосуде, если в него
налить 4 л, 10 л (VII кл.).
1.2.2.	Уборку урожая с участка начал один комбайн. Через
2 ч к нему присоединился второй комбайн, и после 8 ч совместной
работы они убрали 80% урожая. За сколько часов мог бы убрать
5
урожай с участка каждый комбайн, если известно, что первому на
это понадобилось бы на 5 ч больше, чем второму? (VIII кл.)
1.2.3.	Из круглого бревна диаметром 40 см требуется вырезать
балку прямоугольного сечения с основанием b и высотой А. Прочность
балки пропорциональна bh2. При каких значениях b и А прочность
балки будет наибольшей? (X кл.)
Как в действующих учебниках, так и в ряде других учебных и ме-
тодических пособиях встречаются задачи, не удовлетворяющие сфор-
мулированным выше требованиям. Это зачастую объясняется тем,
что авторы Пособий, имея в виду достижение той или иной учебной
цели, не вникают в практическое содержание задач, порой описывают
в них нереальные ситуации. В результате у учеников создаются иска-
женные представления о процессах и явлениях, с которыми чони
знакомятся, решая задачу.
Пример 1. Рассмотрим такую задачу для VII класса: «Сов-
хозное поле 3 трактора могут вспахать за 60 ч. За какое время вспа-
шут это поле 12 тракторов?» При решении этой задачи закреп-
ляются сведения об обратно пропорциональной зависимости. В зада-
че описывается практическая ситуация. Однако, учитывая (при гру-
бом приближении), что сменная производительность трактора при
вспашке составляет (в зависимости от марки трактора, состояния
почвы и других факторов) 5—10 га, совхозное поле имеет пло-
щадь 120—200 га. На вспашку такого поля направить одновремен-
но 12 тракторов нецелесообразно, так как это затруднило бы орга-
низацию вспашки и привело бы к частым непроизводительным пере-
гонам техники с одного поля на другое. Постановка вопроса за-
дачи нереальна.
Пример 2. Рассмотрим задачу для VIII класса: «Чтобы закон-
чить сев в срок, колхоз должен был засевать в день 73 га. Пере-
выполняя план, колхозники засевали в день на 14 га больше, чем
предполагалось по плану, и уже за 2 дня до срока им осталось засеять
только 6 га. Сколько гектаров должен был засеять колхоз?»
Решив задачу, находим, что колхоз должен был засеять 876 га.
Подобную посевную площадь имеют колхозы лЪшь отдельных райо-
нов страны. Для колхозов таких зерновых районов, как Западная
Сибирь, Северный Казахстан, Поволжье, такая посевная площадь
явно мала. Об этом учителям следует сказать на уроке.
Пример 3. В одной из книг для семиклассников предложена
задача, которая сформулирована так: «Тракторная бригада должна
была по плану вспахивать ежедневно 112 га целины. Перевыполняя
план на 8 га в день, бригада уже за день до срока закончила пахоту.
Сколько гектаров целины нужно было вспахать бригаде?»
Решив задачу, находим, что бригаде надо было вспахать 1680 га
целины. Такие массивы целинных земель в масштабе одного совхо-
за (колхоза) в наши дни не вспахиваются.
Пример 4. Во многих задачах, в которых речь идет о движе-
нии по реке катера (теплохода, моторной лодки), употребляется
термин «скорость в стоячей воде». Применение такого термина в де-
6
вятилетнеи школе, где ученики не знакомы с относительностью
Целесообразно употре-
движения, представляется неудачным.
бить термин «собственная скорость катера» (теплохода, мотор-
ной лодки).
Подобные примеры не единичны. Поэтому нужно критическое
отношение учителя к предлагаемым в учебных пособиях задачам
с практическим содержанием. В одних случаях учителю нужно
исправлять допущенные погрешности (примеры 1,3), в других — да-
вать соответствующие пояснения (примеры 2,4).
Совершенно очевидно, что ни один учебник не может раскрыть
все многообразие связей' школьного курса математики с другими
учебными дисциплинами, с производительным трудом, не в состоянии
учитывать производственное окружение разных школ. (Хотя хоте-
лось бы видеть в школьных учебниках большее разнообразие
задач с практическим содержанием.) Поэтому целесообразно учи-
телю самостоятельно дополнять предлагаемые в учебниках системы
упражнений задачами, составленными им самим, совместно с учащи-
мися либо заимствованными из других книг и пособий.
1.3. Разновидности задач. Задачи с практическим содержанием
в школьных учебниках представлены преимущественно в виде
стандартных текстовых алгебраических и геометрических задач.
Содержание используемых в школьном обучении задач приклад-
ного характера можно обогатить, включив в их число следующие
разновидности задач:
1)	на вычисление значений величин, встречающихся в практиче-
ской деятельности;
2)	на составление расчетных таблиц;
3)	на построение простейших номограмм;
4)	на применение и обоснование эмпирических формул;
5)	на вывод формул зависимостей, встречающихся на практике.
1.4.	Методика решения задач. Задачи первого вида — это за-
дачи, решение которых сводится к вычислению числового значе-
ния алгебраического выражения.
1.4.1.	Время наполнения бункера комбайна зерном (при прямом
комбайнировании) вычисляется по формуле:
• 10Мш
(1)
где р — емкость бункера, ц; b — ширина захвата жатки комбай-
на, м; h — урожайность убираемой культуры; ц/га;. v — скорость
движения комбайна, км/ч. Вычислите время наполнения бункера
комбайна зерном при заданных значениях р, b, h, v.
Задача содержит важную информацию, связанную с организа-
цией работы автотранспорта на отгрузке зерна от комбайна.
Учащимся VII класса следует предложить рассчитать время
разгрузки бункеров комбайнов различных марок при заданной уро-
жайности убираемой сельскохозяйственной культуры. Значения р, б,
v учитель может взять из таблиц технической характеристики ком-
7
байнов. Полезно привлекать учащихся к самостоятельному нахожде-
нию значений параметров, пользуясь названными таблицами.
Таким образом, использование данной задачи позволит сообщить
учащимся формулу для вычисления времени наполнения бункера
комбайна, показать им ее применение для различных характеристик
эксплуатируемых в конкретных условиях комбайнов и организовать
впоследствии проверку формулы во время уборки урожая.
1.4.2.	Вычислите чистоту семян по формуле
§ = 100^1	(2)
т2 ’
где б — чистота семян, %; т\ — масса чистых семян, г; т2 — масса
семян вместе с примесями, г.
Перед решением задачи можно провести практическую работу
на уроке биологии, где ученики самостоятельно производят взве-
шивания.
Задачи второго вида. При решении задач на составление рас-
четных таблиц ученикам следует сообщить математическое прави-
ло, на основании которого таблица должна быть составлена. Это
правило чаще всего представляет собой формулу или график, с по-
мощью которых задана конкретная функция.
Дальнейшая работа проводится по следующему плану:
а)	выясняются практически допустимые значения аргумента
(аргументов), для которых целесообразно вычислять значения
функции;
б)	устанавливается шаг таблицы;
в)	определяется практически целесообразная степень точности
вычисления значения функции;
г)	вычисляются значения функции при заданных допустимых
значениях аргумента и заносятся в таблицу.
1.4.3.	Составьте таблицу для вычисления объема стога по эмпи-
рической формуле	1
V=с2 (0,040k - 0,012с),	(3)
где k — длина перекидки стогд, м; с — длина замкнутой кривой,
ограничивающей основание стога, м. (Б о р и н е в и ч В. А. Опре-
деление веса сена и соломы.— М.: Статистика, 1972.)
Одной из центральных народнохозяйственных задач совхозов
и колхозов, культивирующих животноводство, является заготовка
кормов. Определяющими при составлении рационов животных явля-
ются вид корма, его питательность и масса. (JeHO и солома зачастую
складируются в скирдах и стогах. Масса этих видов корма зависит
от объема стога (скирды). Таким образом, умение находить объем
стога (скирды) позволяет определить запасы сена и соломы.
Значения объема целесообразно вычислять для наиболее часто
встречающихся на практике значений: 6,0^6^15,0 и 10,0^с^
^30,0. Следует особо подчеркнуть, что объем возможно вычислить
при 0,0406 — 0,01200, т. е. при 6 > 0,3с. Шаг таблицы целесообраз-
но принять равным 0,1 м, а значения объема стога вычислять с точ-
8
ностью до 0,1 м3. Вычисленные по формуле (3) значения функции
заносятся в табл. 2.
Таблица 2
с	k										
	6.0	6.1	6.2	6.3	6.4	6.5	6.6	• ••	14.8	14.9	15.0
10,0	12,0	12,4									
10,1											
10,2		*						л			
10,3											
10,4											
• • •									1		
29,9											
30,0	—										216,0
Так, при 6=6,0, с = 10,0 V= 10,02(0,040-6,0-0,012-10,0)= 12,0;
при 6 = 6,1 и 6=10,0 V=12,4;
при 6 = 6,0 и 6=30,0 значение объема вычислить нельзя, так
как не выполняется требование 6>0,Зб;
при 6=15,0, 6 = 30,0 V=216,0.
Основная цель решения рассматриваемой задачи — познакомить
учащихся с принципом составления расчетных таблиц. Задание
должно завершиться заполнением табл. 2. Однако, учитывая трудо-
емкость такой работы, связанную с большими затратами времени,
непосредственно не ориентированными на достижение основной
цели, на уроке целесообразно ограничиться вычислением двух-трех
значений объема стога по формуле (3). Выполнение всех вычисле-
ний и заполнение клеток табл. 2 можно поручить в виде индивидуаль-
ных заданий отдельным ученйкам (в частности, членам математи-
ческого кружка). На занятии кружка уместно заслушать сообщения
этих учащихся о выполнении заданий и сравнить составленную ими
таблицу с таблицей, применяемой на практике.
В качестве упражнений можно предложить ученикам составить
таблицы для вычисления: а) длины пути, пройденного комбайном
указанной марки до наполнения его бункера зерном в зависимости
от урожайности убираемой культуры (VIII кл.); б) массы горючего
в цилиндрическом резервуаре, расположенном горизонтально, на 1 м
его длины в зависимости от высоты столба горючего (IX кл.) и не-
которые другие.
Задачи третьего вида. Программа по математике для средней
школы не предполагает ознакомление учащихся с элементами номо-
графии. Однако, учитывая роль номограмм в производственной дея-
тельности (ими снабжены некоторые станки, они применяются для
9
выполнения практических расчетов), целее
разно
рассмотреть
отдельные задачи на построение простейших номограмм и показать
их применение для выполнения практических расчетов.
Решение таких задач осуществляется по следующей схеме:
а) выявляется математическое правило, на основании которого
строится номограмма; это правило представляет собой чаще всего
формулу или таблицу, с помощью которой задана некоторая функ-
ция;
б)	устанавливается область определения функции;
в)	отбираются значения параметра, для которых строятся гра-
фики функций;
г)	строится график функции для каждого значения параметра.
1.4.4. Постройте номограмму перевода различных видов меха-
низированных работ в условную (мягкую) пахоту.
Предварительно учащимся следует пояснить, что трудоемкость
различных видов механизированных работ, выполняемых в сель-
скохозяйственном производстве, различна, и для их сравнения вво-
дится единица измерения — 1 га условной (мягкой) пахоты, харак-
теризующая объем труда, потраченного на вспашку 1 га земли вес-
ной. Зависимость между каждым видом механизированных работ
и условной пахотой прямо пропорциональная, коэффициент про-
порциональности указывает на соотношение между объемом труда,
потраченного на вспашку 1 га земли весной, и объемом труда, затра-
чиваемого на 1 га любого другого вида механизированных работ.
Следовательно, правило, используемое для построения номограммы,
представляет собой формулу y=kx, с помощью которой задается
прямая пропорциональная зависимость на множестве положитель-
ных чисел.
Значения коэффициента пропорциональности k задаются табли-
цей. Рассмотрим фрагмент этой таблицы (табл. 3).
Таблица 3
Виды механизированных работ	k (1 га механизированных работ эквивалентен условной пахоте в га)
Боронование	0.1
Сенокошение	0.2
Обычный сев колосовых	0,3
Уборка комбайном	0,5
Узкорядный сев	0,6
Весенняя вспашка	1.0
Подъем зяби на глубину 27—29 см	1.4
Строим графики прямой пропорциональной зависимости для
каждого из выделенных значений k (все графики строим в одной
системе координат, рис. 1).
В результате получен пучок лучей с общим началом, представ-
ляющий собой номограмму перевода любого вида механизирован-
ных работ в условную пахоту.
При формировании понятия графика функции учащимся можно
ю
дать представление о простейшей но-
мограмме (графике функции, по-
строенном при различных значениях
параметра) и возможности ее исполь-
зования для выполнения практических
расчетов. На уроке достаточно по-
строить на одном рисунке графики
прямой пропорциональной зависим
мости при трех-четырех значениях k
и выполнить несколько упражнений
на чтение этих графиков. В классах с
углубленным изучением математики
или на занятиях математического
кружка в обычных классах целе-
сообразно построить номограмму пе-
ревода в условную пахоту большего
числа механизированных работ, час-
то выполняемых в сельскохозяйст-
Рис. 1
венном производстве.
Номограмма, тщательно построенная на листе миллиметровой
бумаги, может быть использована для непосредственного выполне-
ния практических расчетов.
Ученикам старших классов преимущественно на кружковых и
факультативных занятиях можно предложить среди других построить
номограммы для:
1) расчета сопротивления почвы плугу в зависимости от ее
удельного сопротивления при заданной глубине вспашки (VIII кл.);
2) вычисления наивыгоднейшей ширины загона в зависимости
от его длины при заданных ширине рабочего захвата агрегата
и радиусе его поворрта (XI кл.).
Задачи четвертого вида. Эмпирические формулы находят при-
менение в, практической деятельности. Они не являются результа-
том строгого математического вывода, но их пригодность для
практических целей подтверждается опытом. Представляет интерес
поиск истоков подобных формул, их обоснование с использованием
теоретических знаний. Алгоритмы решения задач на обоснование
эмпирических формул не существуют. Решение таких задач кроме
знаний требует догадки, находчивости, допускает упрощения,
приближенные методы решения.
1.4.5. Обоснуйте эмпирическую формулу для вычисления объема
стога
V= <? (0,0406-0,012с),
(4)
где k — длина перекидки стога, м; с — длина замкнутой кривой,
ограничивающей основание стога, м.
Решение. Рассмотрим два случая: стог имеет остроконечную
или закругленную форму.
В первом случае, допуская упрощение, представим стог как
Рис. 2
Рис. 3
тело, форма которого близка к цилиндру, на который поставлен
конус, имеющий с цилиндром общее основание (рис. 2). Тогда объем
тела приблизительно равен сумме объемов цилиндра и конуса
У=лЯ2Я4
|-лЯ2//1=лЯ2(я4
(5)

где Н — высота цилиндра (MN), Hi — высота конуса (CM), R —
радиус их общего-основания (АН).
Ни одна из этих величин не поддается непосредственному изме-
рению. Поэтому надо найти способ их выражения через величины,
поддающиеся непосредственному измерению, а именно через k и с.
Приняв замкнутую кривую, ограничивающую основание стога,
за окружность (допускаем упрощение), имеем c=2nR, откуда
*=£'	(6)
Для выражения Н и Hi через k и с рассмотрим сечение конуса
BCD. На практике Z. BCD 2>9О°. Обозначим образующую конуса
через I, a Z.BCD через а, получим /?=/sin-2-.
При а=90° Я=1 sin 45° « 0,701;
а= 120° Я=/ sin 60°«0,87/;
а = 150° R=I sin 75° « 0,97/;
а->180° Я->/.
Таким образом, 0,70/ < Ж 1,00/.
Возьмем Я=0,85/(я=°,70/+1,00'=0,85/) , тогда /«1,20/? и
Я1=Л//2—Я2=0,66Я. Так как k=2H+2l(k=AB+BC+CD+DE),
то Я=0,50Л —/=0,50А: —1,20Я.
Подставив значения Н и Hi в формулу (5), получим:
У=лЯ2 (0,50й —1,20/? 4-0,22/?)=лЯ2 (0.50Л—0.98Я).
12
По формуле (6)	значит
V=-£-( 0,50ft —.
4л \	2л /
Примем 4л =12,50, ^^=0,15, тогда
I
г2
У=Т^ (0,50ft —0,15с)=с2 (0,040ft-0,012с).
1 XtOU
Во втором случае стог можно рассматривать как цилиндри-
ческое тело, на которое поставлен полушар, длина радиуса которого
равна длине радиуса основания цилиндра. Тогда объем тела (рис. 3)
приблизительно равен сумме объемов цилиндра и полушара:
У=лЯ2Я+-|-л/?3=л/?2(Я-|--|-Я) ,
(7)
где Н — высота цилиндра, a R — радиус его основания, совпадаю-
щий с радиусом полушара.
Ни одна из этих величин не поддается непосредственному
измерению. Поэтому, как и в первом случае, их надо выразить
через ft и с. Рассуждая так же, как и в предыдущем случае, будем
иметь R=t~ .
2л '
Рассмотрим осевое сечение тела ABtnCD (рис. 3). Перекидка
k=2H-}-nR или ft = 2Я+0,50с; откуда
Я=0,50ft —0,25с.
Подставив (6) и (8) в формулу (7), получим
V=£(0’50ft-°’25c+£) •
4 л \	ол /
(8)
Примем 4л =12,50, ^-=0,10, тогда
у=(0,50ft—0,15с) = с2 (0,040ft - 0,012с).
1 Z.OU
Таким образом, независимо от формы стога его объем можно
вычислять по формуле (4).
Представляется целесообразным на уроке ограничиться рас-
смотрением первого случая, а рассмотрение второго поручить отдель-
ным ученикам в виде индивидуального домашнего задания.
Учащимся могут быть предложены преимущественно на вне-
классных занятиях упражнения на обоснование эмпирических фор-
мул для вычисления объема скирды, площади зеркала испарения
горючего и другие.	'
Задачи пятого вида. Решение задач на вывод формул зависи-
13
мостей, встречающихся на практике,— работа творческая. Алгоритм
их решения указать невозможно. Успешное решение таких задач
возможно лишь при наличии четкого представления о производствен-
ном процессе, о явлении, которое предстоит описать на языке мате-
матики.
1.4.6. Выведите формулу зависимости длины пути, пройден-
ного комбайном до наполнения бункера зерном, от урожайности
убираемой культуры.
Решение. Пусть длина пути, пройденного комбайном до на-
полнения бункера зерном, Z м, а ширина рабочего захвата жатки ком-
байна Ь м. Допуская, что сжатая полоса хлебного поля имеет пря-
моугольную форму, можно заключить, что бункер комбайна напол-
нится зерном^ намолоченным с сельскохозяйственной культуры,
убранной с площади lb м2. Так как на практике эта площадь измеря-
ется в гектарах, можно заключить, что S=-jU lb.
Если бункер комбайна вмещает V ц зерна, а урожайность уби-
раемой культуры составляет h ц/га, то для наполнения бункера зер-
ном необходимо данную культуру убрать с площади S =-^-га.
Как видим, речь идет об одной и той же площади. Поэтому
Ю4 b~ h '
Откуда
' <9>
Найдя по, таблице технической характеристики комбайна зна-
чения V и Ь, можйо в зависимости от конкретной урожайности
зерновых h вычислить значения I.
Представляет интерес задание выяснить вид зависимости I от Л,
выраженной формулой (9). Так как значения b и V для каждого
комбайна имеют (по таблице технической характеристики комбай-
нов) постоянные значения, то- можно принять = const = л и,
значит, Это позволяет сделать вывод, что зависимость длины
п
пути, пройденного комбайном до наполнения бункера зерном, от
урожайности убираемой сельскохозяйственной культуры обратно
пропорциональная.
Такой вывод идеализирован, ибо фактически значение V, зави-
сящее от влажности и засоренности зерна, отличается от указанного
в таблице технической характеристики комбайнов. Но в VII—IX клас-
сах такие уточнения не являются обязательными, и сделанный выше
вывод вполне приемлем. Внимание учащихся следует обратить на
то, что формула (9) имеет важное практическое значение. С ее
помощью становится возможным определить пункты разгрузки бун-
кера комбайна, что позволяет четко организовать работу транспорта
на отгрузке зерна от комбайна.
14
2.	Использование задач с практическим
содержанием на уроках математики
Л
*
2.1.	Мотивировка введения новых математических знаний.'Ис->
пользование задач как средства мотивации знаний, умений и. ме-
тодов создает условия для реализации в процессе введения нового
учебного материала связи обучения математике с жизнью, развития
межпредметных связей.
Предварение изучения математической теории постановкой задач
представляет хорошие возможности для использования на уроках
математики элементов проблемного обучения. Значимость задач
проблемного характера для достижения целей обучения матема-
тике переоценить невозможно. Их использование обеспечивает
более осознанное овладение математической теорией, учит'школьни-
ков самостоятельному выполнению учебных заданий, Диемам
поиска, исследования и доказательства, основным мыслительным
операциям, выделению существенных свойств математических объек-
тов. Для создания проблемных ситуаций целесообразно использо-
вать наряду с другими и задачи с практическим содержанием.
Задачи должны быть подобраны так, чтобы их постановка при-
вела к необходимости приобретения учащимися новых знаний по
математике, а приобретенные под влиянием этой необходимости
знания позволили решить не только поставленную, но и ряд других
задач прикладного характера. Для, создания проблемной ситуации
можно использовать и отдельные фрагменты прикладных задач, а
задачи в целом рассмотреть впоследствии при закреплении и углуб-
лении знаний школьников.
Для постановки проблемы перед изложением нового учебного
материала следует использовать задачи с практическим содержа-
нием, отличающиеся ясностью «фабулы я простотой решения.
2.1.1.	Перед введением понятия линейной функции можно пред-
ложить следующую задачу: «Основной месячный заработок рабо-
чего совхоза 160 р. За производство сверхплановой продукции стои-
мостью и 1 р. ему дополнительно выплачивается 19к. Какой вид зави-
симости общего месячного заработка рабочего от стоимости произ-
веденной им сверхплановой продукцни?>
Решение. Если обозначим стоимость произведенной рабочим
сверхплановой продукции через х р., то дополнительная оплата
составит 0,19* р., а общий месячный заработок ^выразится форму-
лой у= 160-|-0,19*.
2.1.2.	Трактор стоит 1800 р., а годовая амортизация (износу со-
ставляет 280 р. Выразите стоимость трактора в зависимости от вре-
мени его эксплуатации.
Решение. Если обозначим время эксплуатации трактора
через t лет, а фактическую его стоимость через у р., то зависимость
стоимости трактора от времени его эксплуатации выразится форму-
лой у= — 280/4-1800. С подобными зависимостями учащиеся встре-
15
чаются впервые, вид и свойства этих зависимостей им неизвестны.
Рассмотрев еще несколько практических примеров (зависимость
стоимости телеграммы от числа слов в ней, зависимость конечной
скорости равноускоренного движения от времени), учитель вводит
определение линейной функции и рассматривает ее свойства. Здесь
существенно подчеркнуть, что все рассмотренные примеры являются
конкретными моделями линейной функции, имеющими все те свой-
ства, которыми эта функция обладает.
Такой подход к введению математических понятий позволяет
обусловить необходимость их введения потребностями практики.
2.1.3.	Введению понятия линейного уравнения с двумя пере-
менными можно предварить постановку такой задачи: «Надо проло-
жить водопровод длиной 191 м. Для этой цели имеются трубы дли-
ной в 5 м и 7 м. Сколько труб той и другой длины понадобится для
прокладки водопровода?» (Такая практическая ситуация часто
складывается в условиях села: требуется проложить водопровод
к животноводческой ферме, ремонтным мастерским, объектам со-
циально-бытового назначения.)
Решение. Внешне такая задача не вызовет у учащихся за-
труднений. Обозначив через х число труб длиной 5 м и через у число
труб длиной 7 м, они легко приходят к уравнению 5х+7у=191.
Однако с таким уравнением школьники встречаются впервые и,
разумеется, решить его не могут. Такая возможность возникает
лишь после введения понятия линейного уравнения с двумя пере-
менными и объяснения учителя о решении уравнений такого вида.
Таким образом, и в данном случае введение нового матема-
тического понятия обусловлено потребностями практики. Ученики
убеждаются в практической необходимости новых знаний. Это по-
вышает их внимание к изучению учебного материала. Здесь учи-
телю можно особо подчеркнуть, что, овладев новым понятием и ре-
шением линейных уравнений указанного вида, мы получаем возмож-
ность решить не только рассматриваемую, но и другие задачи с прак-
тическим содержанием.
2.1.4.	Введению понятия квадратного уравнения может быть
предпослана среди других такая задача: «Трактор ДТ-54 расхо-
дует в сутки при двухсменной работе на 1,5 кг автола больше, чем
трактор «Беларусь». Определите среднесуточный расход автола
каждым трактором, если ДТ-54 израсходовал 94 кг автола, а трак-
тор «Беларусь», проработав на двое суток больше, 75 кг».
Учащимся целесообразно предложить самостоятельно составить
уравнение по условию сформулированной задачи.
Решение. Обозначив через х кг суточный расход автола
75	94
трактором «Беларусь», они приходят к уравнению--------------  =2.
X X 1 ,о
Выполнив тождественные преобразования, школьники приводят
его к виду
2х24-22х-112,5_ 0
Используя условие равенства дроби нулю, ученики заключают,
что уравнение равносильно системе
f 2^+22*-112,5=0,
U(x4-l,5)#=0.
Решение полученной системы требует умения решить квадратное
уравнение 2x2-f-22x—112,5=0. Однако решать такое уравнение
ученики не умеют,, а следовательно, не могут решить и поставлен-
ную задачу. Для решения квадратны^ уравнений следует овладеть,
соответствующей теорией, что й составляет цель дальнейшей работы
учителя с классом.
2.1.5.	При введении понятия арифметической прогрессии можно
предложить следующий фрагмент производственной задачи: «Выяс-
ните вид последовательности, которую составляют значения ширины
холостого заезда агрегата после обработки каждой из первых k по-
лос» (рис. 16).
Решение. Как видно из рисунка, расстояние х между двумя
последовательными заездами агрегата меняется. (Закругления
траектории движения не учтены.)
Ширина каждого холостого заезда X/ будет:
после обработки полосы 1	- Xi = c—b;
-------»—— 2	Х2=с—2Ь;
------»-------- 3	Хз=с—ЗЬ;
-----—»------- k Xk~c—kb.
Таким образом, значения ширины холостого заезда агрегата
после обработки каждой из первых k полос представляет собой
числовую последовательность с—Ь, с — 2Ь, с—ЗЬ с—kb, каждый
член которой, начиная со второго, меньше предыдущего на Ь. Такой
вид последовательности для учеников нов. Подобная последова-
тельность называется арифметической прогрессией.
2.2.	Иллюстрация учебного материала. Примеры из окружаю-
щей действительности позволяют раскрывать перед учащимися прак-
тическую значимость математики, широкую общность ее выводов.
Эти примеры должны быть простыми, убедительными, доступными
пониманию- школьников.
Особо следует заметить, что многочисленные закономерности
окружающего нас .мира, производства являются конкретными моде-
лями общих математических зависимостей, свойства которых цели-
ком и полностью распространяются на эти модели. Так прямую
пропорциональную зависимость, выраженную формулой y=kx, мож-
но иллюстрировать зависимостями между длиной окружности и ее
диаметром (C=iu/), между стоимостью А купленного товара и его
количеством п (А=ал, где а — цена товара), между расстоянием
при постоянной скорости и временем движения (S=vt). Впоследствии
при обобщении материала об элементарных функциях этот пере-
чень конкретных моделей прямой пропорциональной зависимости
2 Заки 692	17
может быть продолжен зависимостями между понижением точки
замерзания Д/ и числом молей растворимого вещества, приходящего-
ся на 1000 г растворителя с = где К — так называемая криос-
копическая константа), между любым видом механизированных ра-
бот в сельском хозяйстве и условной пахотой и многими другими.
Немаловажное значение имеет привлечение школьников к само-
стоятельному отыскиванию примеров применения математических
знаний в известных им жизненных явлениях и к использованию
этих примеров в своих ответах.
В ряде случаев можно иллюстрировать учебный материал по
математике с помощью примеров реально существующих народно-
хозяйственных сооружений, деталей и узлов машин. Эти объекты
в зависимости от размеров и массы можно демонстрировать в на-
туральном виде, в виде фотографий, макетов, рисунков, чертежей,
технологических схем.
Большую познавательную ценность представляет выполнение
упражнений, связанных с выделением на реальных предметах, их
моделях или чертежах знакомых геометрических форм. Ценность
подобных упражнений в том, что подавляющее большинство дета-
лей и узлов машин и механизмов представляет собой совокупность
геометрических тел, и ученикам надо уметь выделять на них знако-
мые формы. Такая работа способствует развитию пространственных
представлений школьников, расширению их кругозора и является
эффективным средством укрепления связи обучения с жизнью. Ис-
пользуемые примеры следует сопровождать и практическими выво-
дами.
2*2.1. Понятие линейной функции представляется возможным
иллюстрировать многочисленными примерами из физики, химии,
повседневной жизни. Конкретной моделью такой функции является
и зависимость калорийности молока от его жирности, выраженная
эмпирической формулой
Л = а-113,6 + 330,	(10)
где k — калорийность молока в калориях, а — процент жира в мо-
локе.
< При рассмотрении зависимости, выраженной формулой (10),
учащимся могут быть предложены такие задания:
а)	исходя из личного опыта, укажите реальную область опре-
деления функции, заданной формулой (10);
б)	постройте график этой зависимости;
в)	найдите по графику значения k при значениях а, равных
3; 3,5;. 4; 4,5; 5.
Анализ формулы (10) позволяет сделать вывод, что чем выше
процент жирности молока, тем выше его калорийность.
2.2*2.	Для иллюстрации обратной пропорциональной зависи-
мости целесообразно предложить среди других такую задачу
прикладного характера: «Выясните вид зависимости расстояния
между пунктами заправки сеялки семенами и нормой высева>.
18
Решение. Расстояние L между пунктами заправки сеялки
определяется по формуле
nb
м,
(Ц)
где V — емкость ящика сеялки, кг; п — норма высева семян, кг на
1 га; b — ширина захвата сеялки, м.
Учитывая, что V и Ь — постоянные величины, зависимость между
L и п — обратно пропорциональная.
Изучение степенной функции (IX кл.) целесообразно строить
так, чтобы показать учащимся многообразие конкретных моделей
этой функции в окружающем нас мире, в сельскохозяйственном
производстве. С частными видами степенной функции у—ахт, где
т £ Q, ученики встречались и ранее. Так, зависимости между объемом
различных видов механизированных работ и условной пахотой,
между сопротивлением пласта земли плугу и глубиной вспашки
(при данном состоянии почвы) равно как между длиной окружности
и ее радиусом (диаметром) прямо пропорциональные. В этом случае
tn— 1.
Зависимости между тяговым усилием трактора и скоростью его
движения (при заданной мощности трактора на крюке), как и меж-
ду массой тела и ускорением, сообщаемым этому телу постоянной
силой, обратно пропорциональные. В этом случае т = — 1.
Степенными являются функции, выраженные формулой вида
у=ахт и при нецелых значениях т. С частным видом этой функции
мы встречались в VIII классе при изучении функции В этом
1
случае
2.2.3.	Число поворотов тракторного агрегата при круговом дви-
жении определяется формулой
4л=4-л&,	(12)
о V I
где b — ширина рабочего захвата агрегата, м; S — величина обра-
батываемой агрегатом площади, м2; f — коэффициент формы загона
прямоугольной формы, определяемой формулой f=—, где L —
длина загона, ас — его ширина. Определите, моделью какой функ-
ции является зависимость, выраженная формулой (12).
Решение. Так как площадь данного загона постоянна, по-
стоянным является и значение рабочего захвата агрегата, то
\/S=const. Пусть 7S=y. Тогда 4п=-^= (число повбротов
обозначается через 4п, потому что, совершив один круг, агрегат
делает четыре поворота). Таким образом, число поворотов являет-
ся функцией коэффициента формы поля. Зависимость, выраженная
формулой (12),— степенная функция. В этом случае т=—
2*	19
Рис. 4
Рис. 5
Заметим, что анализ формулы (12) приводит к следующему вы-
воду: чисую поворотов агрегата будет тем меньше, чем большим
окажется коэффициент формы обрабатываемого загона. Учитывая,
что уменьшение числа поворотов приводит к уменьшению непроизво-
дительных трудовых затрат, можно прийти к заключению о целе-
сообразности максимального увеличения значения коэффициента
формы загона. Однако следует иметь в виду, что значительное
удлинение загона (в сравнении с его шириной) существенно затруд-
няет обслуживание агрегата. На практике считается наиболее це-
лесообразным разбивать поля, обрабатываемые агрегатами, движу-
щимися вкруговую, на загоны прямоугольной формы, для которых
f удовлетворяет неравенству 6Cf^8.
Целесообразно привести конкретные примеры степенной функции
и при других рациональных значениях т.
2.2.4.	При изучении тел вращения и многогранников можно
предложить учащимся выделить знакомые геометрические формы на
моделях или чертежах деталей и механизмов сельскохозяйственных
машин. Одной из таких задач может быть следующая: «Выделите
на чертеже искроуловителя трактора МТЗ-80 (рис. 4) знакомые
геометрические формы».
Анализ рис. 4 позволяет выделить следующие знакомые формы:
усеченный конус, шаровой сегмент, цилиндр.
2.2.5.	Представляет интерес упражнение на определение видов
сечений пирамиды по чертежу бункера с двумя рукавами (рис. 5).
Ученикам может быть предложено ответить на вопросы: а) Какова
форма самого бункера? б) Какова форма каждого из рукавов?
в) Какие многоугольники получаются в сечениях?
Подобные упражнения важны тем, что их выполнение выраба-
тывает умение читать чертежи.
2.3.	Закрепление и углубление знаний. Различны формы исполь-
зования задач с практическим содержанием для закрепления
20
и углубления знаний учащихся по математике. Эти задачи могут
быть применены и в работе со всем классом, и для индивидуальной
работы с отдельными учениками, и в качестве творческих заданий
школьникам, проявляющим интерес к математике и ее приложениям.
Для закрепления знаний по математике можно использовать
задачи с практическим содержанием,
а)	решение которых ориентировано на применение изучаемого
материала по математике;
б)	фабула которых раскрывает характерные применения мате-
матики в производственной деятельности;
в)	методы и результаты решения которых могут найти приме-
нение на практике.
Для наглядности рекомендуем условия задач сопроводить ри-
сунками, чертежами, схемами, фотографиями.
Опыт показал, что в систему упражнений, предназначенных
для закрепления знаний учеников, целесообразно в числе других
включить задачи с практическим содержанием с недостающими зна-
чениями данных величин, а в отдельных случаях и недостающими
данными. Это создает условия для выработки у учащихся таких
полезных политехнических умений, как выполнение измерений,
использование таблиц и справочников, из которых они смогут взять
значения тех или иных величин либо выяснить, какие данные нужны
для решения той или иной задачи.
В работе по закреплению знаний существенное значение имеет
самостоятельное составление учащимися задач с практическим со-
держанием, для чего могут быть использованы опыт и знания, при-
обретенные учениками в процессе их общественно полезного и произ-
водительного сельскохозяйственного труда. Представляется целе-
сообразным, чтобы в каждой сельской школе имелись таблицы
технической характеристики машин и механизмов, справочные мате-
риалы, что позволило бы работу по составлению задач выполнить
более качественно.
В систему упражнений, предназначенных для закрепления
знаний по теме «Проценты», могут быть включены следующие за-
дачи.
2.3.1.	В составе стада крупного рогатого скота мясного направ-
ления должно быть примерно 35% коров, 32% телок в возрасте до
1 года и 6% бычков старше 2 лет. В совхозном стаде мясного направ-
ления 1400 голов крупного рогатого скота. Сколько в стаде коров,
телок до 1 года и бычков старше 2 лет?
Решение. В совхозном стаде 1400*0,35=490 коров, 1400Х
X 0,32=448 телок в возрасте до 1 года и 1400*0,06 = 84 бычков в
возрасте старше 2 лет.
2.3.2.	В составе стада крупного рогатого скота молочного на-
правления должно быть примерно 60% коров и 28% телок в возрасте
до 1 года. В колхозном стаде молочного направления 1050 голов
крупного рогатого скота. Сколько в колхозном стаде коров и телок
в возрасте до 1 года?
21
2.3.Х	Составьте задачу ня проценты, используя табл. 4, в кото-
рой показана примерная структура стада крупного рогатого скота
при различных направлениях скотоводства (в %).
Таблица 4
''Виды животных	Направления						
	Молочное			Молочно- мясное	Мясо-молочное		Мясное
	Варианты				Варианты		
	I	п	ш		I	II	
Коровы Нетели Телки старше 1 года Телки до 1 года Быки*производители Быки 1—2 года Быки старше 2 лет	65 5 6 23 1	60 4 6 28 1 1	50 4 7 37 1 1	50 3 4 41 1 1	45 2 3 40 1 & 3	40 2 3 34 1 12 8	35 4 12 32 1 10 6
2.3.4.	Выясните общую численность и состав стада крупного
рогатого скота в вашем совхозе (колхозе). Найдите процент коров,
быков и телок разного возраста в стаде. Попытайтесь определить
направление скотоводства в совхозе (колхозе).
2.3.5.	За комплексом по производству говядины закреплено
3400 га посевных площадей. 29% этой площади засеяны многолет-
ними травами, 12% остальной площади заняты кормовой свеклой, а
оставшаяся площадь — зерновыми. Найдите площадь, занятую
зерновыми культурами.
2.3.6.	До просушки влажность зерна составляла 23%, а после
просушки оказалась равной 12%. На сколько процентов уменьши-
лась масса зерна после просушки?
Решение. Пусть первоначальная масса зерна х кг. Тогда сухо-
го вещества в ней 0,77х кг. Масса сухого вещества после просушки
не меняется, уменьшается лишь масса воды. Масса сухого вещества
после просушки составляет 0,88 массы высушенного зерна. Тогда
масса высушенного зерна составит 0,77х:0,88=0,875х кг. Таким
образом, в результате просушки масса зерна уменьшится на
х—0,875х=0,125х кг, или на 12,5%,.
В связи с изучением функционального материала в VII классе
в систему упражнений могут быть включены и такие задачи.
2.3.7.	Выведите формулу, с помощью которой вычисляется масса
семян пшеницы для высева на пришкольном участке. Выясните,
какая функция выражается выведенной формулой. Вычислите,
сколько семян потребуется для высева на делянках площадью
10 м2; 40 м2‘; 0,3 га.
Решение. В ходе беседы с учащимися существенно выяснить,
что норма высева пшеницы в регионе Западной Сибири составляет
примерно 170 кг на 1 га. Так как площади делянок на пришкольном
участке измеряются, как правило, в квадратных метрах, на 1 м надо
22
посеять кг семян. Если площадь делянки составляет S м2, то
масса семян
170-S
т=-юбоо КГ-
(13)
Масса семян зависит только от величины площади делянки.
Функция, выраженная формулой (13),— прямая пропорциональ-
ность. При S=10 m=0,17; при 3=40 m=0,68; при 3 = 3000
m = 51.
В связи с решением подобных задач учителю полезно предложить
упражнения на преобразование формул (изменение коэффициента
в зависимости от единиц измерения), построение графиков и т. п.
Так, при решении задачи необходимо указать учащимся, что в свя-
зи с тем, что площади земельных участков в совхозах и колхозах
измеряются в га, формула (13) упрощается и принимает вид т —
2.3.8.	Составьте формулу для вычисления расхода горючего
трактором МТЗ-80 при 'бороновании поля, если на боронование
1 га расходуется 1,3 кг горючего. Заполните таблицу.
Таблиц'а 5
Площадь, га	3	25	43			
Расход горючего, кг				1	15	20,2
Решение. Расход горючего трактором МТЗ-80 т определя-
ется по формуле
m = l,3S кг,	(14)
где 3 — величина обрабатываемой площади, га.
Ответ на первые три вопроса табл. 5, как правило, затруднений
не вызывает. Чтобы ответить на остальные вопросы, нужно предва-
рительно из формулы (14) выразить S через т: S=-^ .
1,0
Такие преобразования приходится часто выполнять не только на
уроках математики, но и в связи с изучением физики и других учеб-
ных дисциплин. Между тем эти преобразования нередко вызывают
заметные затруднения у школьников. Поэтому следует шире исполь-
зовать не только упражнения, в которых требуется найти значение
величины при данных значениях параметров, но и задания, в кото-
рых требуется выразить одну переменную через другие.
Представляют интерес задания на выявление вида функций по
формулам, составленным по готовым чертежам.
2.3.0.	Составьте формулу для вычисления площади участка,
изображенного в масштабе 1:10 000 на рис. 6 (размеры указаны
в м). Определите вид функции, выраженной составленной формулой.
Решение. Площадь участка
3=58а—135-19.	(15)
23
135
Рис. 6
Функция, выраженная формулой (15),— линейная, так как формула
имеет вид y*=kx+b.
Система упражнений, предназначенных для закрепления выпол-
нения действий с приближенными числами, может содержать наряду
о другими и такие задачи с практическим содержанием.
2.3.10.	Время наполнения бункера комбайна вычисляется по
формуле Т=10?. . Вычислите время наполнения бункера комбайна
СК-5 «Нива», если ширина захвата его жатки 6,0 м, скорость
движения составляет 10,4 км/ч при средней урожайности 25 ц/га.
Предполагается, что значение емкости бункера ученики найдут са-
мостоятельно по технической характеристике комбайнов.
2.3.11.	Скошенная хлебная масса, поступающая с 1 га в моло-
тилку комбайна, определяется по формуле
/п=Л(1+6),
(16)
где h — урожайность убираемой культуры, ц/га; 6 — отношение со-
ломы к зерну по весу в хлебной массе. Вычислите tn, если h =
= 25 ц/га, 6=1,6.
Решение. т=25-2,6= 65 ц/га.
2.3.12.	Сменная производительность тракторного плуга вычис-
ляется по формуле
w=O,lbnvft,
(17)
где w — производительность плуга, га; b — ширина рабочего
захвата одного корпуса плуга, м; п — число корпусов плуга; v —
рабочая скорость трактора, км/ч; f — коэффициент использования
времени; t — продолжительность смены, ч. Вычислите сменную про-
изводительность пятикорпусного плуга ПЛН5-35, ширина захвата,
каждого корпуса которого составляет 0,35 м, если средняя ско-
рость трактора ДТ-75, работающего на четвертой передаче, сос-
тавляет 6,5 км/ч, коэффициент использования времени равен 0,88,
а продолжительность смены 8 ч.
В	С
Рис. 7
Рис. 8
Решение. w=O,l *0,35’5*6,5-0,88*8=8,0 га.
2.3.13.	Одна полеводческая бригада колхоза с площади 752 га
собрала 16 007 ц пшеницы, другая с площади Ъ86 га — 13 958 ц.
Выясните, какая бригада добилась лучших результатов работы.
В систему упражнений по теме «Площади фигур» целесообразно
включать такие задачи. *
2.3.14.	Поле имеет форму прямоугольника, основание которого
840 м, а высота 320 м. Через поле под углом, примерно равным 50° к
основанию, проходит дорога, ширина которой 7 м. Найдите посевную
площадь поля.
2.3.15.	Поле имеет форму прямоугольника ABCD. Разбейте это
поле на две равновеликие части так, чтобы межа проходила через
данную точку, принадлежащую одной из сторон (шириной межи
пренебречь).
В систему упражнений, предназначенных для закрепления зна-
ний учеников по теме «Длина окружности и длина дуги», целесооб-
разно включить некоторые задачи с практическим содержанием,
связанные с вычислением длины различных заездов агрегатов.
2.3.16.	Вычислите длину ABCD холостого беспетлевого заезда
агрегата (рис. 7).
Решение. Длина пути холостого заезда равна сумме длин дуг
АВ, CD и отрезка ВС. Длина холостого беспетлевого заезда агре-
гата
I—	1^ав~}г ВС—/^лв4" 1^cd~\tAD—АО\ — O2D.
Так как AO\=O2D=R, AD=a и <jAB = \jCD, то /=2/мЛВ+
+ а—2/?. Но 1^АВ=^. Следовательно, /=л/?+а—2/?. Откуда
/=а+1,14/?.	(18)
2.3.17.	Вычислите длину грушевидного петлевого заезда агре-
гата (рис. 8), если ширина заезда равна а, а радиус поворота
агрегата R (а и R измеряются в м).
После формулировки условия задачи необходимо выяснить, в
связи с чем образуется петлевой заезд агрегата, и напомнить, что
подобные заезды агрегаты совершают при различных способах
движения «челноком>, «вразвал», диагонально-односледном. Такие
25
заезды совершают не только тракторные агрегаты, но и трамваи.
Существенно подчеркнуть, что петлеобразное движение совер-
шается в связи с тем, что CD <2/? (полезно сравнить с предыду-
щей задачей, где а>2/?).
Решение. Холостой петлевой заезд совершается по кривой
CAtnBD. Длина этого заезда I может быть вычислена по формуле
I= I^АС~\~ t^АтВ~}~ l^BD'> sjAmB^^^R— l^AnB- ТоГДа l = 2ftR ^АпВ~\~
Л-I^ac+I^bd- Пусть Х.ЛО2?=ф, тогда Слпв=/?ф. Так какХ.О1ОЛг=
=4-’Z-OOiW=4—4", откуда Cxc=/veoefl(4—4-)- Таким об"
X	XX	\ X X /
разом, /=2л/?— /?ф + /?(л — ф) = Зя/? — 27?<р,	/=л7? ^3—.
Из ДО,(Ж: sinf=2^=itl=^. Так как 0<f<f,
о ,	• fl 27?
=2arcsin  -т  - .
47?
Отсюда получаем
l=jiR
(19)
Примечание. Учащимся можно предложить самостоятель-
но решить задачу для случая, когда a=2R.
В систему задач, предназначенных для повторения решения
линейных неравенств в XI классе, может быть включена среди дру-
гих такая задача.
2.3.18.	Сколько тракторов ДТ-75 необходимо выделить для
вспашки на глубину 24 см земли площадью 1800 га не более чем
за 12 рабочих дней? Пахота производится пятикорпусными плуга-
ми ПЛН-5-35.
Решение задачи сводится к сравнению объемов работ, которые
должны и могут выполнить тракторы. Для того чтобы вычислить
работу, которую в состоянии выполнить один трактор, необходимо
знать мощность двигателя трактора и время, в течение’ которого
трактор работает. Для вычисления работы, которую тракторы долж-
ны выполнить, необходимо знать величину обрабатываемой пло-
щади, ширину рабочего захвата агрегата, глубину вспашки и удель-
ное сопротивление почвы.
По таблице технической характеристики тракторов найдем мощ-
ность N трактора ДТ-75. Она составляет 55,4 кВт или 75 л. с. По
таблице технической характеристики плугов ширина рабочего за-
хвата плуга ПЛН-5-35 5=0,35-5=1,75 м. Определив вид обраба-
тываемой почвы, находим ее удельное сопротивление. Примем f =
=0,9 кгс/см2. Пусть продолжительность работы тракторов в сутки
при двухсменной работе /=15 ч.
.Далее следует конкретизировать формулировку задачи: «Сколь-
ко тракторов ДТ-75, мощность каждого из которых 75 л. с. (мощ-
26
ность, затрачиваемую на движение самого трактора, не учитываем),
необходимо выделить для того, чтобы вспахать на глубину 24 см
1800 га земли в срок, не превышающий 12 рабочйх дней по 15 ч
ежедневно, если вспашка проводится пятикорпусными плугами
ПЛН-5-35, ширина рабочего захвата каждого из которых 1,75 м?
Удельное сопротивление почвы 0,9 кгс/см2».
Решению задачи следует предварить повторение темы «Работа
и мощность» из курса физики.
Реииение. Один трактор за t с в состоянии выполнить рабо-
ту Л 1 = 75^, кгс*м, где W=75 л. с., а х тракторов — работу А =
=Aix, кгс»м.
Для- вспашки земли площадью S га тракторы должны выпол-
нить работу 42 = 10SSM2.104fS£-dM=10eSM, кгс-м (f=0,9, d=
=0,24,3=1800).
По условию задачи Л^Л2. Отсюда 75Ntx^ 108Sfd; 75-75Х
X12-15-3600	108-1800-0,9-0,24;
108-1800-0,9-0,24 .	->|n с7
75-75-12-15-3600 ’
Таким образом, для выполнения заданного объема работы в
установленный срок необходимо выделить 11 тракторов.
В связи с закреплением знаний по темам. «Объемы многогрант
ников», «Объемы тел вращения» наиболее подготовленным учени-
кам можно предложить следующую задачу.
2.3.19.	Обоснуйте эмпирическую формулу, по которой вычисля-
ется объем прямоугольной скирды:
V=(0,52ft—0,44с) cl,	(20)
где ft — длина перекидки, I — длина скирды, с — ее ширина (все-
измерения в м).
Правомерность, такой постановки задачи возможна, так как.
известно, что все формулы для определения объема скирд основа-
ны на приравнивании: площади поперечного сечения скирды пло-
щади какой-либб геометрической фигуры.
Скирды могут быть различных форм. Рассмотрим наиболее рас-
пространенные прямоугольные скирды.
Решение. Случай 1. Поперечное сечение скирды имеет фор-
му, близкую к изображенной на рис. 9. Пусть Л£)=с, CD=h, EF—
=h\. Тогда AB+BE+EC+CD~k. Обозначим BE=EC=li (пред-
полагаем, что ЬВЕС —’ равнобедренный). Площадь многоугольника
ABECD S=-^-cfti + c/i=c(ft+4'Zl')-
Так как скирды практически островерхими не бывают, то можно
принять 120° ^ВЕС^90°.
Если Z.B£C=90°, то fti=0,5c, Л=0,5с-\/2=0,71с. Тогда k —
=2ft-}-2Zi=2ft +1,42с. Отсюда h=0,50ft—0,71с.
Следовательно, S=c (0,50ft—0,71 с+0,25с) = с (0,50ft—0,46с).
27
Рис. 10
Тогда объем скирды
V=(0,506 —0,46с) с/.	(21)
Если Z. ВЕС =120°, то /LEBC— Z-ECB=30°. Отсюда
А=2Л1, 36?=-£, /ц=^=0,29с.
Следовательно, /i=0,58с, a h=-£—/1, т. е. Л=0,506—0,58с. Отсю-
да S=c(0,506—0,58с4-0,15с)=с(0,506—0,43с). Таким образом
V=(0,506-0,43с) cl.	(22)
Проведенные рассуждения подтверждают целесообразность ис-
пользования формулы (20) для вычисления объема скирды.
Случай 2. Скирда имеет в поперечном сечении фигуру, близ-
кую к изображенной на рис. 10.
Примем величину ^BmFC равной 120°. Площадь ABmFCD
S=SABCD+SBmFC. Обозначим AD—с, OC=R, AB=h. Тогда
abcd—ch.	г	2
^BmFC^ ^сектора OBFC~‘^ABCO’ OBFC~~~ асл * 120= “—
OOU	О
R=^=^=0^c- Soc,-ic-KO.
Так как КО—КС’tg 30°, то КО=4~с-^=0,28с.
Тогда S0CB=0,14 с2. SBm5C=^i^с2-0,14с2=0,35с2-0,14с2 =
О
=0,21^. Отсюда S = c/i+0,21c2 = c(ft+0,21c).
Для нахождения Л выразим перекидку Л: k=2AB~\-l^BmFC—2h-\-
4-^=2Л+^|^=2Л+1,21с. Отсюда 6=0,506-0,61с.
Таким образом, S=(0,506—0,40с) с, а объем
У=(0,506—0,40с) с/.	(23)
28
Рис. 11
Если величина \->BmFC равна 90°, то SOBmFC	. a SABCO=4-c2.
Тогда SBmFC—^----i-Л Так как l?2=-i-c2, то /?=0,71с. Следо-
•	*	лл
вательно, SBnFC=~-—^=-—l=0,14с2.
Для нахождения значения h выразим значение перекидки kt
k—4.h-\-^-. ft=0,50ft —^-=0,50ft —	0,50ft —0,57c. .
2	4.4
Отсюда S=(0,50ft—0,57c+0,14c) c=(0,50ft—0,43c) c.
Таким образом, V=(0,50ft —0,43c) cl.
Имеются также и другие формулы для вычисления объема
скирды:
V=(0,52ft-0,46с) cl, V=(0,56ft-0,55с) cl, У=-у/.
Целесообразность применения той или иной формулы зависит от
соотношения между ширйной и высотой скирды, а также формы ее
вершения.
Подробное изложение случая 1 можно провести на уроке со
всем классом, рассмотрение случая 2 уместно поручить отдельным
ученикам в виде индивидуальных заданий.
В систему упражнений по этой теме могут быть включены и
задачи такого вида.
2.3.20.	Куча песка имеет форму конуса, длина окружности ос-
нования которого 31,4 м, а образующая 5,4 м. а) Сколько трех-
тонных машин потребуется для вывозки песка, если масса 1 м3 пес-
ка составляет 2 т? б) Вычислите объем кучи, используя эмпири-
ческую формулу У=(0,040 П—0,012с) с2 (П — длина перекидки,
с — длина замкнутой кривой, ограничивающей основание кучи).
2.3.21.	Склад заданной длины загружен зерном. Поперечное
сечение загруженной части показано на рис. 11. Какие измерения
необходимо выполнить для определения массы зерна на складе?
2.3.22.	Стальной вал обтачивается на токарном станке, причем
диаметр его уменьшается на 3 мм. Сколько теряет вал в массе при
обточке?
Указание. Для ответа на вопрос задачи необходимо изме-
рить диаметр и длину вала. Часть объема вала, уходящего в струж-
29
ку, находим как разность объемов двух цилиндров одинаковой вы-
соты, разность диаметров которых задана. Для получения ответа
на вопрос задачи используется значение удельного веса стали
(7,6 кг/см3).
В систему упражнений по теме «Сумма членов арифметичес-
кой прогрессии» может быть включена следующая задача.
2.3.23.	Вычислите площадь, обработанную агрегатом, движущим-
ся вкруговую, за и кругов.
Решение. Если загон имеет форму прямоугольника, длина
которого /, ширина с, а ширина рабочего захвата агрегата Ь, то
площадь, обработанная за первый круг: Qi=26 (/-j-c) —4&2, за
второй круг: Сг = 2Ь (/+с)—12ft2 = Qi—862, за третий круг: фз=
=26(/4-с)— 2062 = Qi —-1662, за четвертый круг: Q4=2b (/-J-c)—
— 28&2 = Qi —2462 и т. д.
Последовательность Qi, Q2, Q3, Q4 ... представляет собой ариф-
метическую прогрессию с первым членом Qi и разностью —862.
Следовательно, площадь Q, обработанная агрегатом за п кругов,
может быть найдена по формуле суммы членов арифметической
прогрессии: Q=2g+d^nи, где a = Qi, d=—8b2. Отсюда
2 Q i — 862 (л — 1)	__ 2 (26 (/ + с) - 462) - 862 (п -1)
2	2
= 2 (/+с 4-26 — 4bn) Ьп.
Эту задачу можно решить и проще. Рекомендуемое решение по-
зволяет непосредственно применить формулу суммы членов ариф-
метической прогрессии. Полученная формула удобна для вычисле-
ния площади, обработанной агрегатом, при любых допустимых
значениях размеров загона и числа кругов.
' Например, при значениях /=1200 м и с = 200 м комбайн СК-5
<Нива> (6 = 5 м) может сделать не более -^-=20 (кругов), так как
Например, за 12 кругов он уберет зерновые с площади
Q = 2-(1200 + 200 — 2-5* 12)-5-12 = 153 600= 15,4 га.
В систему упражнений на исследование функций с помощью
производной могут быть включены следующие задачи.
2.3.24.	Из круглого бревна, диаметр которого равен d, требует-
ся вырезать балку прямоугольного сечения так, чтобы площадь
сечения была наибольшей. Каковы должны быть размеры сечения?
2.4.	Особенности применения задач экономического содержания.
Задачи прикладного характера различны по содержанию. Среди них
существенно выделить задачи с экономическим содержанием. Их
значимость обусловлена тем вниманием, которое уделяется в нас-
тоящее время проблеме экономического воспитания и образования
трудящихся.
Использование задач с экономическим содержанием на уроках и
во внеклассной работе по математике создает условия для:
30
а)	разъяснения учащимся сущности экономических терминов,
часто употребляемых в задачах;
б)	формирования у учеников некоторых представлений об эко-
номике страны;
в)	воспитания у школьников бережного отношения к нацио-
нальному богатству страны;
г)	ознакомления учащихся с применением некоторых матема-
тических методов в экономике.
При решении значительного числа задач по математике школь-
ники встречаются с такими экономическими терминами, как план,
оплата труда, производительность труда, норма выработки, цена,
стоимость, грузоподъемность, н другими. Как правило, использо-
вание этих.терминов опирается на интуитивные представления уче-
ников, которые не всегда верны. Поэтому учителю следует сущ-
ность этих терминов разъяснить учащимся. Речь идет не о точных
определениях, а о создании у учеников верных представлений об
употребляемых в задачах экономических понятиях. К сожалению,
учитель математики не. всегда готов к такой работе. В приложе-
нии . 1 приводятся трактовки некоторых экономических понятий,
широко используемых в сельскохозяйственном производстве и
встречающихся в задачах, решаемых в школьном курсе матема-
тики (см. А. В. Моисеев и др. Экономический словарь-спра-
вочник: Учебное пособие для учащихся.— М.: Просвещение, 1985 и
Сельскохозяйственный энциклопедический словарь.— М.: Совет-
ская энциклопедия, 1989), которые не всегда доступны сельскому
учителю.
Рассмотрим отдельные задачи, которые рекомендуем использо-
вать для формирования у учеников верных представлений об эконо-
мических терминах.
2.4.1.	Заработная плата доярки составила в октябре 1988 г.
180 р., в ноябре на 15% больше, чем в октябре, а в декабре на 10%
меньше, чем в ноябре. Найдите среднемесячную заработную плату
доярки в четвертом квартале 1988 г.
Задача может быть включена в систему упражнений в связи
с изучением процентов в VI классе и повторением понятия сред-
него арифметического.
В этой задаче один экономический термин — заработная плата,
сущность которого шестиклассники понимают правильно. Однако
требует пояснения понятие «среднемесячная заработная плата».
В сельской школе это особенно важно, так как часть рабочих сов-
хозов и колхозников находятся не на постоянном окладе и их зара-
ботная плата в разные месяцы различна. Заметное влияние на
среднемесячную заработную плату оказывает дополнительная оплата
труда. Целесообразно в качестве подготовительных рассмотреть
отдельные задачи на нахождение среднего арифметического двух
или нескольких чисел и поручить ученикам найти значение средне-
месячной заработной платы их родителей за последние 3—6 меся-
цев.
31
В связи с изучением приближенных вычислений в IX классе
в систему упражнении может быть включена следующая задача.
2.4.2.	Рассчитайте дополнительную оплату труда в конце кален-
дарного года на каждый рубль основного заработка колхозника,
если плановая валовая продукция колхоза составляет 864 тыс. р.,
а фактически произведенная продукция — 972 тыс. р. На оплату
труда колхозников выделяется 18,7% стоимости валовой продукции.
В этой задаче несколько экономических терминов — валовая
продукция, стоимость, основной заработок, дополнительная оплата
труда. Учителю надо проверить, правильно ли ученики представляют
себе понятия, обозначенные указанными терминами, и при необхо-
димости ввести соответствующие уточнения. Особое внимание сле-
дует уделить разъяснению сущности понятия «валовая продукциям
подчеркнув, что этот статистический показатель характеризует в де-
нежном отношении общий объем производства колхоза.
Решение. Заработок колхозников за производство плановой
продукции составляет 864:100-18,7=162 тыс. р. Заработок за
фактически произведенную продукцию составит 972:100 • 18,7=
= 182 тыс. р. Таким образом, общая сумма дополнительной оплаты
труда колхозников будет 182—162=20 тыс. р. Отсюда на 1 р. основ-
ного заработка получается доплата 20:162 = 0,12 р.
Решив задачу, можно сделать вывод: дополнительная оплата
тем выше, чем больше будет произведено сверхплановой продукции.
Полезно поручить ученикам поинтересоваться у родителей о ве-
личине дополнительной оплаты их труда.
В связи с изучением геометрической прогрессии в IX классе
в систему упражнений среди других может быть включена такая
задача.
2.4.3.	Среднегодовой объем валовой продукции совхоза возрос за
три года двенадцатой пятилетки на 6% и достиг к 1989 г. 2,31 млн. р.
Каков был объем валовой продукции в начале пятилетки?
Предварительного разъяснения требует смысл понятия «средне-
годовой рост объема валовой продукции».
Решение. Пусть объем валовой продукции совхоза в начале
двенадцатой пятилетки составил а р., тогда в конце 1986 г. ее объем
составил а-1,06 р., в конце 1987 г. а-1,062 р., в конце 1988 г.—
д-1,063 р. По условию задачи а-1,063=2,31 млн. р. Таким образом,
решение задачи сводится к нахождению первого члена геометриче-
ской прогрессии, если известны знаменатель, число членов и послед-
ний член прогрессии. Решив составленное уравнение, получим
а=1,94 млн. р.
Следовательно, объем валовой продукции совхоза в начале две-
надцатой пятилетки составил 1,94 млн. р.
Использование в процессе обучения математике задач с эконо-
мическим содержанием позволяет формировать у учеников некоторые
представления об экономике страны, перспективах ее укрепления.
В связи с изучением процентов, приближенных вычислений
целесообразно рассмотреть такие задачи.
32
2.4.4.	В колхозе им. Тельмана Змеиногорского района Алтай-
ского края за последние три года пшеница «Алтайка» выращива-
лась на площади 1977 га. Урожайность пшеницы составила 19,8 ц/га.
Она была реализована по цене 23,56 р. за 1 ц. Затраты колхоза на 1 га
посева составили 261,37-р. Какую прибыль получил колхоз от произ-
водства пшеницы?
Вспомнив, что прибыль — это разница между суммой, получен-
ной от реализации пшеницы, и затратами на ее производство, реше-
ние задачи естественно оформить следующим образом.
Решение. За реализацию пшеницы, полученной с каждого га,
колхоз получил 23,56-19,8=466,48 р., в таком случае прибыль
с 1 га составила 466,48 — 261,37=205,11 р. Прибыль с реализации
пшеницы, собранной со всей посевной площади, составила 205,1 IX
XI977 = 405502 р.
Существенно обратить внимание учащихся на то, что прибыль
колхоза была бы значительно большей, если урожайность оказалась
бы более высокой.
2.4.5.	В 1986 г. посевная площадь пшеницы, возделываемой
в совхозе по интенсивной технологии, составила 1120 га или 28%
посевной площади этой культуры. Сбор зерна с площади, возде-
лываемой по интенсивной технологии, составил 35 840 ц или 47%
общего валового сбора пшеницы в совхозе. Сравните урожайность
пшеницы, полученную в совхозе с использованием интенсивной тех-
нологии и без ее применения.
Требуется разъяснение понятия «интенсивная технология». Для
этого следует воспользоваться трактовкой понятия, приведенной в
приложении 1.
Решение. Посевная площадь пшеницы в совхозе составляет
1120:0,28 = 4000 га.
Следовательно, без применения интенсивной технологии пше-
ница возделывалась на площади 4000—1120 =2880 га.
Общий валовой сбор пшеницы в совхозе составил 35840:0,47 =
=76255 ц.
Таким образом, урожайность пшеницы с 1 га площади, возделы-
ваемой по интенсивной технологии, составила 35840:1120=32 ц,
а с 1 га без ее применения (76255 —35840): 2880= 14 ц.
Как видим, разница огромная. Переход на интенсивную техно-
логию выращивания зерновых культур ведет к увеличению производ-
ства зерна. Учащимся может быть предложено подсчитать, сколько
центнеров пшеницы совхоз получил бы дополнительно, возделы-
вая ее по интенсивной технологии на всей посевной площади.
2.4.6.	Себестоимость товарной продукции совхоза составила
3,4- млн. р., а денежная выручка от ее реализации — 4,2 млн. р.
Найдите уровень рентабельности товарной продукции по ее себе-
стоимости.
Выяснив, что рентабельность (R)- исчисляют как отношение
прибыли (П) к себестоимости (С) продукции R=-p-(это отношение
3 Заказ 692
33
выражают в процентах), решение задачи осуществляется следую-
щим образом.
Решение. Прибыль от реализации товарной продукции состав-
ляет 4,2 —3,4=0,8 млн. р. Тогда искомый уровень рентабельности
будет
0,8:3,4-100=23,5%.
Большое воспитательное влияние на учащихся оказывает исполь-
зование задач, содержание которых раскрывает резервы развития
экономики, создающиеся при бережном использовании материальных
ресурсов, рабочего времени, непримиримом отношении к расточи-
тельству. Таких задач в учебной литературе мало. Учителю следует
составлять их самостоятельно и привлекать к этой работе учени-
ков, используя опубликованные в печати исходные статистические
данные.
Так, за одну минуту в нашей стране в 1986 г. произведено около
3 млн. кВт-ч электроэнергии, более 1000 т нефти, более 1400 т угля,
1,3 млн. м3 газа, более 300 т стали, около 66 т минеральных удобре-
ний, выпущен трактор, введено в действие 225 м2 жилой площади
(около 5 квартир). Потеря одной рабочей минуты в масштабе страны
означает недополучение огромных материальных ресурсов и равно-
значна потере результатов дневного труда 200 000 рабочих.
Обычно на учащихся производит впечатление выполнение рас-
четов, связанных с вычислением затрат государства на обучение
в школе. Учитывая, что затраты на обучение одного школьника
в год составляют более 180 р., обнаруживаем, что обучение одного
класса (30 человек) на протяжении 10 лет обходится более чем в
54 000 р.
Особого внимания заслуживает воспитание у учеников бережного
отношения к главному богатству страны — к хлебу. Если каждый
ученик допустит ежедневно отходы хлеба в 10 г, то эти отходы
в масштабе школы (400 чел.) составят 4 кг в день или более 8 ц за
учебный год, а в масштабе района (7000 чел.) — соответственно
70 кг в день и почти 150 ц за учебный год, а это значит, что потерян
урожай, полученный с 8—10 га посевов. Этим хлебом можно было
бы накормить в день более 30 тыс. чел.
Повседневно следует воспитывать у школьников бережное отно-
шение к расходованию электроэнергии, так как это создает возмож-
ность для увеличения количества стали, угля, нефти, продукции жи-
вотноводства, тканей, строительства предприятий и жилых домов.
Решение задач, связанных с выполнением таких расчетов, а также
ориентированных на бережное отношение к школьному имуществу,
технике и другим материальным ресурсам, формирует у учеников
активную жизненную позицию, воспитывает уважение к труду
взрослых.
Использование приведенных выше статистических данных создает
хорошие условия для самостоятельного составления задач учащи-
мися. Приведем пример такой задачи.
34
2.4.7.	В IV—VIII классах школ страны обучались в 1986/87 уч. г.
22,1 млн. учеников. Подсчитайте потери хлеба за учебный год
(200 дн.), если каждый ученик указанных классов ежедневно до-
пустит отходы 5 г хлеба.
В работе по ознакомлению учащихся с применением матема-
тических методов в экономике естественно выделить два уровня.
На первом из них (на уроках математики этот уровень преобла-
дающий) элементарный математический аппарат используется для
исследования зависимостей, имеющих место в экономике. Так, напри-
мер, зависимость рентабельности выпускаемой продукции от ее
себестоимости может быть объяснена следующим образом.
Пусть п — число единиц выпускаемой продукции, а 3 — затраты
з
на их выпуск, тогда себестоимость единицы^продукции С = —. Извест-
но, что рентабельность выпуска продукции R=-^-, где П — прибыль,
полученная от реализации продукции. П = Мп — 3, где М — цена
единицы продукции.
Отсюда
R==—3~=-3—’•
Так как С=—, Я=-^~ 1.
п	С
Исследование полученной формулы позволяет сделать следующие
выводы.
а)	Если М>С, R>0, то это свидетельствует о рентабельности
выпускаемой продукции.
б)	Если М=С, R = 0, то для вывода о рентабельности выпускае-
мой продукции необходимо изучить дополнительную информацию.
в)	Если М<С, R<0, то это свидетельствует о нерентабель-
ности выпуска этой продукции.
Если принять, что М = const, исследование рассматриваемой
формулы естественно проводить в связи с изучением обратной про-
порциональности. Полезно дать графическую иллюстрацию получен-
ных выводов.	'
На более высоком уровне применение математических методов
в экономике может быть рассмотрено в старших классах. Решение
задач, связанных с поиском путей повышения эффективности работы
машин и механизмов, с прогнозированием объема и себестоимости
продукции сельского хозяйства, с составлением научно обоснован-
ных рационов животных создает хорошие условия для более глубо-
кого понимания путей совершенствования экономики агропромыш-
ленных предприятий. Решение таких задач нуждается зачастую
в серьезном математическом обеспечении и нередко сопряжено
с большими затратами времени. Поэтому рассмотрение этих задач
следует отнести преимущественно на факультативные и внеклассные
занятия по математике. Содержание и решение некоторых задач
указанных видов изложены в последующих параграфах.
з*	35
3.	Пропедевтика математического
моделирования в школе
3.1.	Сущность метода математического моделирования. С по-
мощью практических задач школьники знакомятся с применением
математики в решении отдельных вопросов организации, технологии
и экономики современного производства. Однако использование
этих задач в процессе обучения не раскрывает перед учениками
саму технологию применения математических фактов и методов
к решению практических проблем. Рассмотрение таких задач, вы-
полняющих в обучении важные дидактические и политехнические
функции, лишь в известной мере готовит к решению задач, возни-
кающих на практике. Проиллюстрируем сказанное на примере.
3.1.1.	На какое время, хватит запаса ящика зерна сеялки на
250 кг, если ширина захвата сеялки 3,6 м и движется она со скоростью
3,6 км/ч? Норма высева 150 кг на 1 га.
В условии задачи говорится о конкретном сельскохозяйствен-
ном процессе, использованы величины, непосредственно влияющие на
время опорожнения посевного ящика сеялки, приведены их числовые
значения. Но в таком виде задача в жизни не ставится. Возникающая
в сельскохозяйственной практике необходимость вычислить время
опорожнения посевного ящика сеялки приводит к постановке не
математической, а чисто производственной задачи. Лишь в резуль-
тате глубокого анализа производственного процесса может быть
^составлена ее математическая модель и найден математический
метод ее решения. Однако с точки зрения подготовки учеников к
решению производственной задачи приведенный нами пример поле-
зен, ибо помогает сориентироваться в выявлении основных величин,
влияющих на время опорожнения посевного ящика.
Таким образом, использование в процессе обучения математике
задач с практическим содержанием полезно для подготовки учащих-
ся к решению задач, непосредственно выдвигаемых практикой, но
далеко не в полной мере решает проблемы такой подготовки.
Вместе с тем усиление прикладной и практической направлен-
ности преподавания математики непосредственно связано с форми-
рованием у учащихся представления о математизации науки и произ-
водства, об особенностях применения математики к решению практи-
ческих задач. В связи с этим выявим сущность практических задач
и пути методического обеспечения подготовки учащихся к их решению.
а) Условимся называть задачи, возникающие в производственной
деятельности, в разных отраслях знаний, в окружающей дейст-
вительности, практическими (производственными) задачами.
Эти задачи не являются математическими, но многие из них
могут быть решены средствами математики. Для этой цели необхо-
димы четкое представление о практической ситуации, в которой
ставится задача, поиск возможности перевода ее на язык матема-
тической задачи и применения математических методов для ее
решения.
36
Этот поиск непосредственно связан с выяснением величин,
определяющих изучаемое явление или производственный процесс, с
обнаружением связей между величинами, установлением сущест-
венных и несущественных факторов, влияющих на процесс (явле-
ние), с нахождением, используя справочную литературу, числовых
значений нужных величин. Мы дали далеко не полный перечень дей-
ствий, связанных с поиском возможностей применения аппарата
и методов математики для решения практических задач. На деле этот
процесс сложнее, требует значительных знаний в рассматриваемой
практической проблеме и достаточной математической культуры.
Приведем несколько примеров практических (производствен-
ных) задач.
3.1.2.	Определите сменную производительность тракторного
агрегата при вспашке.
3.1.3.	Определите перспективную урожайность пшеницы в сов-
хозе (колхозе), районе.
3.1.4.	Установите оптимальное сочетание выращиваемых в сов-
хозе сельскохозяйственных культур, обеспечивающее получение
максимальной продукции в кормовых единицах.
Все эти различные по содержанию производственные задачи
могут быть решены методами математики. Эти методы существен-
но отличаются друг от друга по содержанию, по сложности исполь-
зуемого математического аппарата. Решение многих производствен-
ных задач требует математических знаний, выходящих за пределы
возможностей учащихся средней школы. Решение других невозможно
без серьезных производственных знаний, которыми школьники не
всегда владеют. Таким образом, в большинстве случаев решение
практических задач непосильно ученикам из-за недостаточности их
специальной и математической подготовки.
Однако жизнь настойчиво требует постепенного введения уча-
щихся в мир практических задач, создания у них представления
об этих задачах, выработки умения решать простейшие из них. Это
нелегкая педагогическая проблема. Она нуждается в должном мето-
дическом обеспечении.
б) Решение практических задач средствами математики ве-
дется по известной трехэтапной схеме, сущность которой состоит
в следующем.
На первом этапе — этапе формализации — осуществляется пе-
реход от практической задачи, которую предстоит решить, к построе-
нию ее математической модели;
на втором этапе решается математическая задача, сформули-
рованная на первом этапе;
на третьем этапе — этапе интерпретации — полученное решение
математической задачи переводится на язык исходной практической
задачи.
Весь процесс обучения математике в школе включает ознаком-
ление школьников с готовыми математическими моделями. Эти
модели принимают различные формы, в частности и такие: «Найти
37
натуральные значения переменных хну такие, при которых уравне-
ние ах + Ьу = с обращается в верное равенство», «Отыскать корни
уравнения ах2 + Ьх-\-с = 0 (а=/=0)>, «Найти наибольшее (наимень-
шее) значение функции f(x)>. С простейшими видами математических
моделей ученики знакомятся при решении задач в младших классах,
задач на составление уравнений в средних классах.
Таким образом, изучая школьный курс, ученики в известной
степени (в рамках школьной программы) знакомятся со вторым эта-
пом решения практических задач. Работа на первом этапе проис-
ходит, например, при необходимости составить уравнение, нера-
венство или их систему по условию конкретной идеализированной
математической задачи. Но как раз те трудности, с которыми стал-
киваются при математическом моделировании практических задач,
в традиционном обучении математике ускользают из поля зрения
учителя и ученика.
Математическое моделирование настолько широко применяется
для изучения реального мира, что создание у учащихся представ-
ления о его сущности, подведение их к овладению каждым из этапов
должно стать предметом постоянных забот учителя математики.
Математическое моделирование осуществляется по приведенной
выше трехэтапной схеме.
Наиболее ответственным и сложным является первый этап —
само построение математической модели. Оно осуществляется логи-
ческим путем на основе глубокого анализа изучаемого явления
(процесса) и требует умения описать явление (процесс) на языке
математики. В идеале имеет место стремление построить математи-
ческую модель, адекватную исходному прототипу. На деле адекват-
ность не достигается, так как не представляется возможным учесть
и выразить на языке математики все факторы, влияющие на изучае-
мое явление. Поэтому математическая модель лишь приближенно
его отражает, и результаты моделирования тем достовернее, чем
меньше погрешность, допущенная при составлении модели. Реализа-
ция первого этапа требует многих умений, в числе которых весьма
важны умение выделять существенные факторы, определяющие
исследуемое явление (процесс), умение указать те факторы, которые
вызывают погрешность при составлении модели, умение выбрать
математический аппарат для составления модели.
Существенным на втором этапе является умелое планирование
процесса решения сформулированной математической задачи, выде-
ление в нем составляющих задачи, умение анализировать и уточнять
составленную модель, переходить от одной модели к другой и выби-
рать в каждом конкретном случае наиболее целесообразное и вместе
с тем оптимальное решение задачи. Важную роль играет умение дать
качественную оценку количественных результатов, полученных при
использовании исходной информации, выявить источники погреш-
ностей, допускаемых при решении математической задачи, и оцени-
вать их.	а
На третьем этапе главное — умение грамотно перевести результат
38
решения математической задачи на язык исходной задачи.
Важное значение на этом этапе имеет владение методами про-
верки решения практической задачи, умение распространить найден-
ное решение на решение других практических задач, оценить
итоговую степень точности полученных результатов и выяснить ее
влияние _на корректность решения задачи.
Мы остановились лишь на некоторых умениях, имеющих сущест-
венное значение на каждом этапе математического моделирова-
ния. Хорошо понимая, что эти умения затруднительно в полной мере
сформировать у учащихся, полагаем, что имеются возможности
в школе заложить основу таких умений.
3.2.	Создание первоначальных представлений. Подготовку уча-
щихся к математическому моделированию практических задач сле-
дует вести во всех классах, используя для этого уроки и различные
формы внеклассной работы по математике, в связи с решением задач,
выполнением практических и лабораторных работ.
На первых порах в девятилетней школе нецелесообразно зна-
комить учащихся с трехэтапной схемой математического моделиро-
вания практических задач. Здесь следует ориентировать учащихся
на выделение существенных факторов, определяющих изучаемое
явление, на правильный выбор математического аппарата для ре-
шения поставленной проблемы, на верное истолкование получен-
ного решения. Работу можно начать в связи с выполнением практи-
ческих работ на достаточно ранней ступени обучения.
3.2.1.	В V классе при изучении площадей прямоугольников
школьникам может быть предложена практическая работа по дан-
ной теме. Им раздаются модели плоских фигур, имеющих форму
прямоугольников, и поручается вычислить площади этих фигур.
Выполнение работы целесообразно осуществить следующим обра-
зом. Осмотрев модель фигуры, ученики распознают ее форму. Выяс-
нив, что модель имеет форму прямоугольника, школьники вспоми-
нают, значения каких величин надо знать для вычисления его площа-
ди. Выполнив необходимые измерения (пусть обнаружилось, что
длина равна 7 см, а ширина — 4 см), учащиеся формулируют
для себя задачу: «Вычислить площадь прямоугольника, длина кото-
рого 7 см, а ширина 4 см».
Решив задачу, ученики выясняют, что площадь прямоугольника
равна 28 см2. Переведя полученный результат на язык исходного
задания, школьники дают ответ в виде: «Площадь фигуры составляет
28 см2». Частое повторение аналогичных элементарных заданий игра-
ет нужную пропедевтическую роль. Условия для такого повторения
имеются и в пятом, и в последующих классах: практические работы
могут быть предложены ученикам при изучении многих вопросов
школьного курса математики.
Содержание подготовительной работы не может оставаться неиз-
менным. Оно должно постепенно пополняться новыми элементами,
обогащающими представления учеников о математическом модели-
ровании. Эти новые элементы естественно включать в связи с рас-
39
смотрением соответствующего программного материала по математи-
ке. Умение переходить от одной математической модели к другой
удобно реализовать, например, в связи с выполнением измеритель-
ных работ на местности, внимание к которым неоправданно ослабле-
но в школе. Разговор о погрешностях, допускаемых при составлении
модели, естественно акцентировать в связи с изучением приближен-
ных вычислений.
3.3.	Развитие первоначальных представлений. Широкие возмож-
ности для пропедевтики математического моделирования практиче-
ских задач предоставляются в связи с решением задач школьного
курса математики. Начать эту работу можно уже в VII классе реше-
нием задач прикладного характера с недостающими данными. Учи-
тывая, что значения недостающих данных чаще всего можно найти
из таблиц, а табличные значения величин — приближенные числа,
оказывается возможным обратить внимание школьников на один из
источников погрешностей, которые неизменно появляются при состав-
лении математической модели.
В связи с изучением приближенных вычислений (VII—IX кл.)
представляется целесообразным рассмотреть следующие задачи.
3.3.1.	В колхозе получена урожайность зерна 20,6 ц/га. Себе-
стоимость 1 ц зерна составила 4,08 р. Какова себестоимость всего
урожая в колхозе?
Эта задача с недостающими данными. Для того чтобы ответить
на вопрос задачи, надо знать посевную площадь зерновых культур
в колхозе. Предпочтительнее использовать значение посевной пло-
щади местного колхоза (совхоза).
3.3.2.	На ферму завезли 860 ц лугового сена, 310 ц овсяной соло-
мы и 112 ц кормовой свеклы. Сколько центнеров кормовых единиц
завезли на ферму?
Это — задача с недостающими данными. Для ее решения надо
знать, сколько килограммов кормовых единиц содержится в каждом
килограмме перечисленных кормов.
По таблице питательности и состава некоторых кормов (см.
табл. 9) находим, что 1 кг лугового сена составляет 0,46 кг кормо-
вых единиц, 1 кг овсяной соломы — 0,31 кг кормовых единиц и 1 кг
кормовой свеклы — 0,12 кг кормовых единиц.
Сейчас представляется возможным составить «полную» мате-
матическую задачу: «На ферму завезли 860 ц лугового сена,
310 ц овсяной соломы и 112 ц кормовой свеклы. Сколько центнеров
кормовых единиц завезли на ферму, если I кг лугового сена состав-
ляет 0,46 кг кормовых единиц, 1 кг овсяной соломы — 0,31 кг кормо-
вых единиц, 1 кг кормовой свеклы —0,12 кг кормовых единиц?»
Решение задачи сводится к вычислению значения выражения
/(=0,46-8604-0,31’310 + 0,12-112, где К — масса кормовых еди-
ниц, ц. К=505,14 ц.
Внимание учеников следует обратить на приближенный характер
значений данных, означающий, что результат получен с некоторым
приближением.
40
В рассмотренной задаче существенное значение имеют масса
каждого вида завезенного корма и масса кормовых единиц, содер-
жащихся в 1 кг каждого вида корма.
Постепенно уменьшая число данных, учащимся могут быть пред-
ложены отдельные прикладные задачи совершенно без данных. Такие
можно рассмотреть в классе, ученики которого сведущи в данной
прикладной области. Рассмотрим пример такой задачи.
3.3.3.	Определите валовой сбор и среднюю урожайность пше-
ницы в вашем совхозе (колхозе).
Эта задача без данных. Для ответа на поставленные вопросы
надо знать площади всех полей, на которых в колхозе (совхозе)
выращивается пшеница, и ее сбор с каждого из полей.
В целом в V—VIII классах не следует ставить цель сформиро-
вать многочисленные умения, играющие важную роль в математи-
ческом моделировании. Главное — заложить основу таких умений и к
VII, VIII классам довести до понимания учащимися, что для реше-
ния практической задачи составляется математическая модель,
которая может быть представлена, в частности, в виде текстовой
задачи, уравнения, неравенства или их систем, функции, подлежа-
щей исследованию.
Существенно большие возможности для пропедевтики математи-
ческого моделирования практических задач предоставляются в стар-
ших классах. Эта работа в IX—XI классах должна отличаться от
аналогичной работы на предшествующей ступени обучения: старше-
классникам следует явно сообщить трехэтапную схему математиче-
ского моделирования, их целесообразно ознакомить с некоторыми
особенностями реализации каждого из этапов. Так, в связи с раскры-
тием сущности первого этапа особенно важно обратить внимание
школьников на необходимость при составлении математической
модели выделить существенные факторы, влияющие на исследуемое
явление или производственный процесс; обладание каждой матема-
тической модели определенными погрешностями и важность умения
простейшими средствами эти погрешности оценить. На втором этапе
существенны умения перейти от одной математической модели к дру-
гой, выполнить анализ хода решения задачи, обнаружить наиболее
рациональный метод решения. На третьем этапе важное значение
приобретает умение дать верное толкование математического реше-
ния задачи, выявить сущность частных решений, найти практичес-
кие приемы проверки полученного решения, провести исследова-
ние найденного результата.
Особые возможности для пропедевтики математического моде-
лирования практических задач предоставляются при изучении эле-
ментов дифференциального и интегрального исчислений, решении
геометрических задач. Здесь целесообразно использовать задачи
школьных учебников, преимущественно межпредметного характера,
перефразируя в отдельных случаях условия задач.
Рассмотрим, как можно реализовать эти методические соображе-
ния на примере решения ряда задач.
41
3.3.4.	Тело брошено вертикально вверх с некоторой начальной
скоростью. Через сколько времени оно достигнет заданной высоты?
Эта задача рассчитана на девятиклассников, знакомых с
описанным в ее условии физическим явлением, имеющих представле-
ние о решении квадратных уравнений с параметрами.
Решение. Этап I. Перед решением задачи желательно повто-
рить соответствующий материал из курса физики. Выясняется, что
на рассматриваемое физическое явление существенное влияние
оказывает скорость, с которой выполняется бросание: чем выше ско-
рость бросания, тем большей высоты тело достигает.
Переход к математической задаче осуществляется в том же
ключе, как и решение любой алгебраической текстовой задачи.
Обозначив через vq м/с начальную скорость бросания тела, через
h м — высоту, которую тело должно достигнуть, а через t с — время,
через которое тело окажется на высоте Л, и вспомнив, что движение
тела, брошенного вертикально вверх,— равнозамедленное, высоту h
можно найти по формуле
h=vQt—^,	(24)
где g — ускорение свободного падения тела, м/с2.
Уравнение (24) является математической моделью рассматри-
ваемой физической задачи.
Этап II сводится к решению математической задачи, в данном
случае к решению уравнения (24) относительно
Запишем уравнение в привычной для учащихся форме: gt~ —
—2vot-\-2h=O. Дискриминант уравнения: D = vo— 2gh.
Если c/о — 2gft<0, т. е. O<Zvo<.-yj2gh (по смыслу задачи с/0>0),
то уравнение (24) решений не имеет.
Если vo — 2gh = 0, т. е. Vo=-yj2ghi то уравнение (24) имеет одно
ио
решение —.
Если v'o — 2gh>O, т. е. vo>-\}2gh, то уравнение (24) имеет два
Vo--\lvo-—2gh Vq + л/уо— 2gh
различных корня: ——~ g——.
Этап III заключается в интерпретации математического реше-
ния задачи, т. е. в переводе решения уравнения (24) на язык ис-
ходной физической задачи.
При 0<.Vo<.-yj2gh отсутствие решения уравнения означает, что
тело при указанных условиях (при такой начальной скорости) не
достигнет высоты й.
При Vo=~^2gh единственность решения уравнения равнозначна
*	К	^0
тому, что тело достигает высоты п через — с.
При Vo>^2gh решение математической задачи получает такое
толкование: тело окажется на высоте й дважды — поднимаясь вверх,
42
через Uo~	с, а на обратном пути,
опускаясь вниз, через ?°-+	с. g ____________________ДкГ
В систему упражнений на иссле-	I	1
дование функций с помощью произ-	I	I
водной могут быть включены еле-	\	/
дующие задачи.	Л у	"	~¥в
3.3.5.	Из круглого бревна, толщина \	У
которого d см, следует вырезать балку
прямоугольного сечения. Прочность	----
балки пропорциональна ab2 (а, Ь — из-	Рис
мерения сечения балки в см). При каких	ис’
значениях а и b прочность балки будет
наибольшей?
Предварительно следует сообщить учащимся, что под толщиной
круглого бревна понимается диаметр его более тонкого конца.
Решение. Этап I. Первоначально выясним, какие существен-
ные факторы оказывают влияние на прочность балки. Такими фак-
торами являются диаметр бревна, форма и размеры сечения, вид
древесины, из которой балка изготовлена. Так как у нас нет мате-
матических средств выражения зависимости прочности балки от вида
древесины, мы его учитывать при решении задачи не будем, что при-
ведет к погрешности модели относительно исходной задачи.
Обозначим прочность балки через Р, а коэффициент пропор-
циональности через k (fe>0). По условию задачи
P = kab2.
(25)
Тогда математическая задача может быть сформулирована сле-
дующим образом: «При каких значениях переменных а и b функ-
ция Р, выраженная формулой (25), принимает наибольшее зна-
чение?»
В связи с тем что ученики умеют исследовать лишь функции
от одной переменной, воспользовавшись условием задачи, получим
fe2 = d2 — a2 (AB = bt AD = a, BD = d, рис. 12). Отсюда
P=ka (d2 — а2).
(26)
Тогда математическая задача формулируется в виде: «Прй ка-
ких значениях переменной а функция Р, выраженная формулой (26),
принимает наибольшее значение?»
Этап II. Решение задачи выполняется по известной ученикам
схеме исследования функции.
Функция определена на множестве значений а, удовлетворяющих
условию 0<a<d.
Производная функции Р, Pf — k (d2 — 3a2). Для нахождения кри-
тических точек решим уравнение Р'=0. k(d2— За2)=0, откуда а =
43
- или а=—. а=—не принадлежит области определе-
3	л/З	*v3	ч
ния функции. а=— разбивает область определения функции на
уз
о, и (-^=, d} .
два промежутка:
О и, следовательно, функция Р возрастает
в каждой точке этого промежутка.
Следовательно, в точке — функция имеет максимум, совпадающий
в данном случае с наибольшим ее значением. (Если функция, не-
прерывная на промежутке, имеет на нем один экстремум, то он совпа-
дает с наибольшим (наименьшим) значением функции на этом про-
межутке.) Из равенства b2 = d2— а2 имеем 6=-^^-.
Таким образом, функция Р принимает наибольшее значение при
d-x/3	,
3	3 •
Этап III. Полученное математическое решение переводим на
язык исходной задачи: прочность балки будет наибольшей при
d-x/3	1	d-x/6
3	3*
Представляет интерес проведение небольшого исследования полу-
ченного решения.
Как мы йыяснили, при	и Ь =
о
дет наибольшей. Она составит p=?kd .
Зд/З
Будем варьировать значения переменных а и Ь.
а)	При а=-^-, 6=^^. Прочность балки Р=^~. Она умень-
XX	О
шится по сравнению с наибольшей на -- ^^27- k?- или на 2,5%.
б)	При а=4- b =	. Прочность балки составит Р=^-и
о	о	X /
будет меньше наибольшей прочности на (6	8)м ...... oq 1 о/
. гт	d	.	d-y/15 п 15М3
в)	При а=— и b=—±— Р=-—
7	4	.4	64
* о (128 л/5—135) *d3
наибольшей на  ---—-— или на
0/0
Учащимся следует пояснить, что уменьшение прочности балки
при размерах прямоугольного сечения, отличных от оптимальных,
прочность балки бу-'
б) При а=— Ь =
27
. Такая прочность меньше
44
означает, что балка либо не выдержит нагрузки, либо срок ее служ-
g, g>	d л/з г d -у/б
бы будет меньшим, чем при а=—%— и о=—, а это экономиче-
ски не выгодно.
3.3.6. Найдите, при каких условиях расход жести на изготов-
ление консервных банок цилиндрической формы заданной емкости
будет наименьшим.
Решение. Этап I. Составление математической модели об-
легчается тем, что известна форма банки и оговорено, что она долж-
на быть заданной емкости. Это существенно для составления мо-
дели. Существенным является также требование, чтобы расход
жести на изготовление банки был бы наименьшим. Это требование
означает, что площадь полной поверхности банки, имеющей форму
цилиндра, должна быть наименьшей; существенны и значения раз-
меров банки. Несущественны для составления математической мо-
дели конкретное значение емкости банки и вид консервов (мясных,
рыбных, овощных, фруктовых), для которых банка предназначена.
Обозначив емкость банки через V см3, сформулируем матема-
тическую задачу: «Определить размеры цилиндра с объемом V см3
так, чтобы площадь его полной поверхности была наименьшей:».
Этап II. Для решения математической задачи обозначим диа-
метр основания цилиндра через х см, а высоту его через h см. Тогда
объем цилиндра
V=-LnX2A.	(27)
Отсюда h=^ • Полная поверхность цилиндра Sn=2--|-nx2 +лхЛ=
1	2 . Л%4У лх3 + 8У тл	4
=—лх 4-лх-—т=—-7—. Итак
2	лх 2х
(28)
I
Так как переменная х может принимать лишь положительные
значения, решение задачи сводится к нахождению наименьшего
значения Sn на положительной полупрямой. Найдем производ-
ную Sn*.
Для нахождения критических точек решим уравнение Sn = 0, т. е.
уравнение
лх3— 4V_q
(29)
Корень
3 /4 V	л	3 /41/
уравнения ~\—. При 0<х<-д/— Sn<0> а ПРИ
\ л	у Л___
$п>0. Следовательно, в точке х = ~\^_ функция 5 (х)
имеет минимум.
45
Так как уравнение (29) не имеет других, кроме у —, действи-
тельных корней, этот минимум совпадает с наименьшим значением
.	, 4V з/Tv ..	.
функции на рассмотренном промежутке "=zp’= Итак, п =
-?1~4У
=х—\1-----.
V л
Таким образом, площадь полной поверхности цилиндра, имею-
3 /.
щего объем V, будет наименьшей при h=x=~\ —, т. е. когда ци-
V л
линдр равносторонний.
Этап III. Наименьший расход жести на изготовление консерв-
ной банки цилиндрической формы заданной емкости будет достигнут
при условии, что диаметр основания и высота банки равны между
собой по размеру.
Решив задачу, целесообразно провести следующие рассуждения.
При
Пусть х=
что
—. Учитывая,
л
объем цилиндра V, ^=~^ =
•$п,>$п» так как -5-^4 >3^2.
(з / 9V	з/оу \
при х=~\1 и h = 2-\l — \ расход жести увели-
чится более чем на 6% по сравнению с наименьшим. Полезно об-
ратить внимание учеников на то, что в нашей стране выпускаются
ежегодно сотни миллионов банок консервов в жестяной упаковке.
Если эти банки не представляют собой равносторонний цилиндр,
то на их изготовление допускается перерасход жести. Экономия
1% жести на изготовление каждой такой банки позволит за счет
сэкономленного материала дополнительно изготовить миллионы но-
вых банок.
Вместе с тем существенно разъяснить учащимся, что промыш*
46
ленность нередко выпускает консервы в жестяной таре и другой
формы, не обеспечивая наименьший расход материала на изготов-
ление банки. Это обусловлено рядом причин: стремлением к мини-'
мизации отходов при изготовлении банок, соображениями торго-
вой эстетики, возможностями транспортировки и другими.
Подобная подготовительная работа создает условия для рас-:
смотрения на уроках математики в старших классах отдельных
простых практических задач. Для того чтобы эти задачи оказались
посильными для учащихся, можно руководствоваться следующими
соображениями.
1)	Описываемая в задаче практическая ситуация должна быть
ученикам понятна, знакома по опыту их общественно полезного,
производительного труда, содержанию трудового и профессиональ-
ного обучения.
2)	Задача должна быть подобрана с таким расчетом, чтобы
составленная для ее решения математическая модель соответство-
вала уровню математических знаний школьников.
3)	При составлении математической модели допустимы упро-
щения или отказ от некоторых факторов, влияющих на изучение
явления (процесса), применение которых облегчило бы учащимся
решение математической задачи. Подобные упрощения неминуемо
повышают погрешность получаемого результата. Они приемлемы
в той мере, в какой их использование не искажает сути практиче-
ской задачи.
3.	3.7. К животноводческой ферме совхоза нужно проложить во-
допровод. Совхоз располагает трубами одинакового диаметра, но
различной длины. Найти наиболее экономически целесообразное
число труб той и другой длины, которое следует использовать для
прокладки водопровода, учитывая, что разрезать трубы не рекомен-
дуется.
Эту задачу в готовой математической формулировке мы уже
ранее использовали.
Решение. Этап I. Для составления математической модели
этой практической задачи следует выяснить, какие существенные
факторы влияют на прокладку водопровода. Такими факторами
являются: длина водопровода, требование о недопустимости раз-
резать трубы, длины труб, которыми располагает совхоз. Необхо-
димо также вложить конкретный смысл в понятие «Экономически
целесообразно». В данном случае это может означать стремление
совершить возможно меньшее число соединений, что обеспечит боль-
шую прочность водопровода и наименьшие затраты труда на его
прокладку. Другие факторы, влияющие на прокладку водопровода,
учитывать не будем.
Пусть, выполнив необходимые измерения, выясним, что длина
водопровода 191 м и совхоз располагает трубами длиной в 5 м и 7 м.
Тогда математическая модель рассматриваемой практической задачи
примет вид: «К животноводческой ферме совхоза нужно проложить
водопровод длиной 191 м. Совхоз располагает трубами одинакового
47
диаметра длиной в 5 м и 7 м. Сколько нужно тех и других труб, что-
бы сделать наименьшее число соединений? Трубы разрезать не ре-
комендуется».
Обозначим число труб длиной 5 м через х, а число труб дли-
ной 7 м через у\ математическая модель будет выражена уравне-
нием
5х4-7у=191.
(30)
Этап II сводится к решению,уравнения (30). Следует заметить,
что по смыслу задачи x£N, y£N. Уравнение (30) может быть ре-
шено графически. Его решениями являются натуральные коорди-
наты точек, принадлежащих прямой — графику уравнения. Целе-
разно показать ученикам и другой способ решения.
с

Так как 191 не кратно ни 5, ни 7 и учитывая требование задачи
о недопустимости разрезать трубы, можно сделать вывод о том,
что ограничиться трубами одного из двух заданных размеров нельзя.
Для решения уравнения (30) запишем его в виде 5х=191 — 7у
и воспользуемся признаком делимости натуральных чисел на 5.
Уравнению (30) удовлетворяют пары чисел (34; 3), (27; 8),
(20; 13), (13; 18), (6; 23). Таким образом, уравнение (30) имеет
пять различных решений.
Однако нами еще не использовано требование о необходимости
сделать наименьшее число соединений.
При х = 34 и у = 3 потребуется сварить 36 соединений, при х = 27
и у=8 — 34 соединения, при х=20 и у=13 — 32 соединения, при
х=13 и у=18 — 30 соединений, при х=6 и у=23 —28 соедине-
ний.
Таким образом, наименьшее число соединений достигается при
х=6 и у = 23.
Этап III. Для прокладки водопровода экономически целесооб-
разно использовать 23 семиметровых трубы и 6 пятиметровых труб.
3.4. Использование математического моделирования для ре-
шения практических задач. В девятилетней школе (преимущественно
во внеурочное время) целесообразно рассмотреть с учащимися
решение отдельных простых производственных задач.
3.4.1.	Определите сменную производительность тракторного плу-
га ПЛН-5-35.
Решение. Этап I. Для составления математической модели
данной практической задачи следует выяснить, какие величины
надо знать для вычисления производительности плуга. Для этого
необходимо знать величину площади земли, вспахиваемой плугом
за единицу времени (например, за 1 ч), и продолжительность смены.
Для вычисления площади земли, вспахиваемой плугом за 1 ч, надо
знать число корпусов плуга, ширину захвата каждого корпуса и
скорость движения плуга. Эта скорость определяется скоростью
трактора, в агрегате с которым плуг состоит. Скорость агрегата
зависит от передачи, на которой трактор работает, марки трактора
и предельной рабочей скорости плуга. Производительность плуга
зависит еще от ряда факторов (вида почвы, глубины вспашки и
др-)-
Учет всех этих факторов вряд ли в школе целесообразен, так
как это повлекло бы за собой существенное усложнение математи-
ческой модели, решение составленной математической задачи и по-
требовало бы серьезных производственных знаний, которыми уче-
ники не владеют. Отказ от учета этих факторов приводит к погреш-
ности модели. Несколько снижает погрешность введение коэффициен-
та использования времени, но при этом надо учесть, что границы
изменения этого коэффициента чрезвычайно широки (как свидетель-
ствуют многочисленные опыты специалистов, значения коэффициен-
та колеблются в пределах от 0,58 до 0,95). Потери времени обуслов-
лены необходимостью ликвидировать поломки, непроизводительными
заездами пахотного агрегата на поворотных полосах и другими.
Информацию о технической характеристике плуга можно полу-
чить из табл. 6 (см. также С. А. И о ф и н о в и Г. П. Л ы ш к о.
Эксплуатация машинно-тракторного парка.— М.: Колос, 1984).
Таблица 6
Плуги	Число корпусов	Ширина захвата корпуса, см	Глубина пахоты, см	Предельное удельное сопротивление почвы, н/см9	Рабочая скорость, км/ч	Ширина поворотной полосы, м	Агрегатируемые тракторы
ПГП-7-40	а) Н 7	а в е с 40	н ы е 27	плуги 10	ДО 10	24	К-701
ПН-4-40	4	40	35	9	ДО 7	18	Т-74, ДТ-75
ПЛН-4-35	4	35	30	9	ДО 12	12	ДТ-75, Т-150
ПЛН-3-35	3	35	30	9	до 12	8	МТЗ-80,
ПЛН-5-35	5	35	30	9	до 12	14	ЮМЗ-6Л Т-150, Т-4 А,
ПЛП-6-35	6) 6	Полу 35	н а в е 30	с н ы е п 9	Луги ДО 12	14	Т-150К Т-150, Т-4 А,
ПЛП-5-35	5	35	40	13	до 10	18	Т-150К Т-4А, Т-150
ПТК-9-35	9	35	30	9	до 10	24	К-700, К-701
Из табл. 6 видно, что число корпусов плуга и=5, ширина за-
хвата каждого корпуса 6 = 0,35 м, агрегат может развить скорость,
не превышающую 12 км/ч, плуг работает в агрегате с одним из трак-
торов Т-150, Т-4А, Т-150К. -
Информацию о скорости движения тракторов можно получить
из табл. 7 — технической характеристики тракторов (см. также
А. Ф. Барсуков и А. В. Елене в. Справочник по сельско-
хозяйственной технике.— М.: Колос, 1981).
Пусть в агрегате с плугом ПЛН-5-35 работает трактор Т-150
49
Таблица 7
Наименование показателей	Т-130	Т-4А	Т-150	ДТ-75М	ДТ-75	Т-74
Класс тяги. кН	60	40	30	30	30	30
Мощность двигателя, кВт Удельный расход топ-	118	96	111	66	59	55
лива. Г/кВт-ч Колея — расстояние между серединами гусе-	245	252	252	252	252	265
ниц. мм	1880	1384	1435	1330	1330	1435
Ширина башмаков, мм Вместимость топливного	500	420	390	390	390	390
бака, л Скорость движения без учета буксования, км/ч	290	320	315	245	245	218
I передача	3,6	3,5	3,6	5,3	5,4	4,5
II передача	5,1	4,0	8,6	5,9	6,1	5.3
III передача	7,4	4,7	9,7	6.6	6.8	6,5
IV передача	10,2	5.2	10.6	7.3	7.5	8.0
V передача	4,4	6.3	11.4	8,2	8,4	9.5
VI передача	6,1	7.4	12,9	9.0	9,3	И.6
VII передача	8.8	8,5	14.5	11,2	П.5	—
VIII передача	12.5	9.5	15.9	—	—	—
на третьей передаче, тогда скорость его V=9,7 км/ч. Как видим,
такая скорость приемлема для плуга указанной марки. Примем
коэффициент использования времени k=0,8 (вообще следует при-
нять средний коэффициент, сложившийся в совхозе (колхозе), и
продолжительность смены, принятую в хозяйстве). Примем про-
должительность смены / = 8 ч.
Использование перечисленных данных позволяет нам составить
математическую задачу: «Определите сменную (8 ч) производи-
тельность пятикорпусного тракторного плуга ПЛН-5-35, ширина
рабочего захвата каждого корпуса которого составляет 0,35 м, если
средняя скорость трактора Т-150, агрегатируемого с плугом и рабо-
тающего на третьей передаче, 9,7 км/ч, а коэффициент использо-
вания времени 0,8».
Этап II. Для решения задачи выводим формулу w=OylBnVft,
где w — производительность плуга в га.
t0 = O,l-0,35*5-9,7*0,8-8= 10,9 га.
Вычисления целесообразно выполнить с использованием микро-
калькулятора.
Этап III. Сменная производительность плуга ПЛН-5-35 состав-
ляет 10,9 га.
Здесь следует заметить, что производительность существенно
зависит от.марки трактора и передачи, на которой он работает. Так,
например, этот же плуг агрегатируется и с трактором Т-4А, кото-
рый на третьей передаче развивает скорость 4,7 км/ч. В этом слу-
чае сменная производительность плуга составит 5,3 га.
3.4.2.	Составьте рацион коровы на стойловый период.
Решение. Этап /. Для составления математической модели
50
данной практической задачи следует выявить существенные фак-
торы, влияющие на содержание рациона. Рацион зависит от годо-
вого удоя коровы. Зная удой, можно установить, сколько килограм-
мов кормовых единиц следует выделить для кормления коровы на
весь период. Высокую продуктивность обеспечивает рацион, вклю-
чающий различные виды кормов (грубые, сочные, концентраты),
подобранных в соотношении, обеспечивающем достаточную пита-
тельность корма.
Существуют различные варианты рационов коров. Эти вари-
анты зависят от видов кормов, которыми располагает колхоз (сов-
хоз), от региона, в котором он расположен. Для составления рацио-
на следует воспользоваться таблицей 8, содержащей структуру од-
ного из рационов коров в стойловый период. Мы воспользуемся
рационом, составленным для агропромышленных предприятий За-
падной Сибири. Стойловый период в этом регионе исчисляется про-
должительностью в 225 дней.
Таблица 8
Удой, кг		Масса кормовых единиц за стой- ловый период, кг	Питательность, %				
За год	За стойловый период		Грубые корма		Сочные корма		Коицен- траты
			Сено	солома	силос	корне- плоды	
2000	1000	1500	9	12	64	2	13
2500	1250	1810	8	11	59	7	15
3000	1650	2060	8	10	53	10	19
3500	2000	2280	9	9	49	11	22
4000	2400	2400	10	8	38	11	33
4500	2700	2590	11	7	35	11	36
5000	3000	2820	11	6	33	11	39
Для определения массы каждого вида корма, входящего в ра-
цион, надо использовать таблицу питательности кормов (табл. 9).
Пусть годовой удой коровы 3500 кг, из которых 2000 кг надаи-
вают в стойловый период. По таблице 8 находим, что корове потре-
буется на стойловый период 2280 кг кормовых единиц.
Пусть для кормления коров совхоз (колхоз) располагает гру-
быми кормами (сеном, соломой), сочными кормами (силосом, кор-
неплодами) и концентратами.
Для составления рациона воспользуемся таблицей 8, в которой
указано, в каком соотношении должны быть взяты различные виды
кормов, чтобы обеспечить достаточную питательность рациона. Из
таблицы 8 видно, что 18% рациона (в кормовых единицах) должны
составить грубые корма, причем сено и солома поровну — по 9%.
60% рациона должны составить сочные корма, в том числе 49% —
силос и 11 % — корнеплоды. Удельный вес концентратов в рацио-
не—22%.
Остается выяснить массу каждого вида корма, входящего в ра-
51
Таблица 9
№ п/п	Корма	Корм, един , кг	№ п/п	Корма	Корм. 1 един., кг
1.	Трава	суходольного		24.	Солома ячменная	0,33
	луга	0,23	25.	Силос ботвы кормовой	
2.	Трава разнотравного			свеклы	0,13
	луга	0,28	26.	Силос ботвы сахарной	
3.	Трава луговых паст-			свеклы	0,16
	бищ	0,24	27.	Силос кукурузный	0,20
4.	Кукуруза зеленая, целое		28.	Силос кукурузный с по-	
	растение	0,19		чатками	0,20
5.	Кукуруза, початки	0,30	29.	Силос кукурузный без	
6.	Пшеница на зеленый			початков	0,16
	корм	0,20	30.	Силос початков куку-	
7.	Тимофеевка на зеленый			рузы	0,53
	корм	0,25	31.	Брюква	0,13
8.	Суданка на зеленый	-	32.	Свекла кормовая	0,12
	корм	0,22	33.	Картофель	0,30
9.	Ячмень на зеленый		34.	Мука гороховая	1,17
	корм	0,18	35.	Мука кукурузная	1,31
10.	Бобы кормовые	0,16	36.	Мука овсяная	1,09
11.	Горох на зеленый корм	0,16	37.	Мука пшеничная кормо-	
12.	Донник на зеленый			вая	1,13
	корм	0,18	38.	Мука ржаная	1,22
13.	Клевер на зеленый		39.	Мука ячменная	1,47
	корм	0,20	40.	Мука сенная викоовся-	
14.	Люпин на зеленый корм	0,12		пая	0,66
15.	Люцерна на зеленый		41.	Мука травяная	0,66
	корм	0,22	42.	Сенная мука клевера	0,70
16.	Подсолнечник на зеле-		43.	Сенная мука люцерны	0,64
	ный корм	0,16	44.	Отруби пшеничные	0,72
17.	Рапс на зеленый корм	0,12	45.	Отруби ржаные	0,77
18.	Сено луговое	0,46	46.	Отруби ячменные	0,83
19.	Сено бобовое	0,53	47.	Дрожжи кормовые су-	
20.	Сено злаковое	0,50		хие	1,18
21.	Сено разнотравное	0,44	48.	Жмых кукурузный	1,08
22.	Солома овсяная	0,31	49.	Жмых подсолнечный	1,09
23.	Солома пшеничная яро-		50.	Жмых рапсовый	1.11
	вая	0,22	51. ,	Жом кислый сушеный	0,84
			52.	Жом кислый несушеный	0,09
цион. Изучение таблицы 9 показывает, что разные виды сена, со-
ломы, силоса, корнеплодов, концентратов имеют различную пита-
тельность. Поэтому существенно установить, какими видами кормов
располагает совхоз (колхоз). Пусть он имеет в наличии луговое
сено, пшеничную солому, кукурузный силос с початками, кормо-
вую свеклу и подсолнечный жмых. Выяснив по таблице 9, сколько
килограммов кормовых единиц содержится в 1 кг каждого из пере-
численных видов кормов (луговое сено — 0,46, пшеничная солома —
0,22, кукурузйый силос с початками — 0,20, кормовая свекла —
0,12, подсолнечный жмых— 1,09), можно сформулировать матема-
тическую задачу: «Составьте рацион коровы, дающей 3500 кг моло-
ка в год (в том числе 2000 кг в стойловый период), на стойловый
период, если на ее кормление требуется 2280 кг кормовых единиц.
52
Рацион по питательности содержит 18% грубых кормов, по 9% лу-
гового сена и пшеничной соломы, 60% сочных кормов, в том числе
49% кукурузного силоса с початками и 11% кормовой свеклы, а
также 22% подсолнечного жмыха. 1 кг каждого из названных ви-
дов корма содержит кормовые единицы (в кг): луговое сено — 0,46,
пшеничная солома — 0,22, кукурузный силос с початками — 0,20,
кормовая свекла — 0,12, подсолнечный жмых—1,09. Определите
массу каждого вида корма, входящего в рацион коровы на стойловый
период».
Этап II. Исходя из соотношения видов кормов в рационе, найдем,
что сена и соломы в нем содержится по 2280*0,09 = 205 кг кормо-
вых единиц, силоса 2280*0,49= 1117 кг к. е., кормовой свеклы 2280 X
Х0,11=251 кг к. е., подсолнечного жмыха 2280*0,22 = 502 кг к. е.
Учитывая питательность каждого корма (табл. 9), найдем массу
каждого вида корма: лугового сена 205:0,46 = 446 кг, пшеничной
соломы 205:0,22=932 кг, кукурузного силоса с початками 1117:0,20=
= 5585 кг, кормовой свеклы 251:0,12 = 2092 кг, подсолнечного жмы-
ха 502:1,09 = 460 кг.
Расчеты целесообразно выполнить с помощью микрокалькуля-
тора.
Этап III. Рацион коровы в стойловый период при годовом удое
3500 кг молока составляет около 4,5 ц лугового сена, 9,5 ц пшенич-
ной соломы, 56 ц кукурузного силоса, 21ц кормовой свеклы, 5 ц под-
солнечного жмыха.
Примечан ие. Массы кормов взяты с избытком ввиду не-
минуемых потерь при их транспортировке к животноводческой фер-
ме, а также непосредственно к пунктам кормления.
При составлении годового рациона коровы (табл. 8, 9) мы вос-
пользовались результатами обработки многочисленных данных с
помощью ЭВМ (см. ТоммэМ. Ф. и Костенко В. Н. ЭВМ
и кормление животных.— М.: Колос, 1972). Одним из распростра-
ненных методов решения задач на составление рационов живот-
ных является метод линейного программирования. В простейших
случаях удобно графическое решение таких задач. Часто для реше-
ния подобных задач используется симплекс-метод. Этот метод на-
ходит применение и при решении других задач из экономики сель-
ского хозяйства.
Рассмотрим простейшую экономическую задачу, решаемую ме-
тодом линейного программирования.
3.4.3.	Пусть совхоз занимается возделыванием только двух куль-
тур — зерновых и картофеля — и располагает следующими ресур-
сами: пашня — 5000 га, труд — 300 тыс. чел.-ч, возможный объем
тракторных работ — 28000 условных га. (см. Гатаулин А. М.
и др. Экономико-математические методы планирования сельскохо-
зяйственного производства.—. М.: Колос, 1986). Цель производства—
получение максимального объема валовой продукции (в стоимостном
выражении). Найдите оптимальное сочетание посевных площадей
культур.
53
Решение. Этап I. Для составления математической модели
воспользуемся нормативами затрат и выхода продукции для данного
совхоза.
Таблица 10
Культуры	Затраты на 1 га посева		Стоимость валовой продукции с 1 га, р.
	труда, чел.-ч	тракторных работ, усл. га	
Зерновые	30	4	400
Картофель	150	12	1000
Критерием оптимальности является максимум стоимости валовой
продукции. Этот максимум должен достигаться в условиях исполь-
зования ограниченных ресурсов пашни, труда и механизированных
работ.
Задача является многовариантной, так как имеется множество
допустимых вариантов сочетания посевных площадей двух культур,
но не все они равнозначны с точки зрения требования оптималь-
ности.
Допустим, что примем решение всю площадь засеять картофе-
лем, который обеспечивает наибольший выход валовой продукции
с 1 га. Но для возделывания картофеля на площади 5000 га потре-
буется 150-5000 = 750 000 чел.-ч, а мы такими ресурсами не распо-
лагаем. Ясно, что такое решение не является приемлемым. Если
же засеем всю площадь зерновыми, объем валовой продукции не
окажется наибольшим, да и значительная часть трудовых ресур-
сов не будет использована.
Для поиска оптимального решения задачи обозначим через Xi га
площадь, отводимую под зерновые, а через х2 га — площадь, от-
водимую под картофель. Тогда стоимость зерновых составит 400 Xi р.,
а стоимость картофеля — 1000 х<± р. Отсюда стоимость всей вало-
вой продукции составит (400xi4- Ю00х2) Р- Обозначим это выраже-
ние через у и назовем его целевой функцией:
у = 400xi +1000^2.
(31)
Нам надо найти максимум этой целевой функции при соблюде-
нии следующих условий:
а)	общая площадь зерновых и картофеля не должна превы-
шать 5000 га, т. е. Xi 4-*2 ^5000;
б)	общие затраты труда не должны превосходить 300 тыс. чело-
веко-часов, т. е. 30x1 + 150x2^300 000;
в)	общий объем механизированных работ не должен превос-
ходить 28 000 усл. га, т. е. 4xi4"12x2<28 000;
г)	площади, отводимые под зерновые и картофель, могут при-
нимать только неотрицательные значения: xi^O, х2^0.
Таким образом, условия задачи выражаются следующей систе-
мой неравенств
54
Xi+x2<5000,
30*1 + 150x2 <300 000,
4xi +12х2 <28 000,
Х1^0 И Х2>0.
Требуется найти такие значения Xi и х2, при которых целевая
функция (/=400x1 + 1000x2 принимает наибольшее значение.
Этап II. Решим задачу графически.
Построим прямую Х1+х2 = 5000 (рис. 13). Координаты всех то-
чек треугольника LOK удовлетворяют неравенству xi+x2<5000.
Построим прямую 30x1 + 150x2=300 000. Координаты всех точек
треугольника АОС удовлетворяют неравенству 30xi + 150х2<300 000.
Построим прямую 4X1 + 12x2 = 28 000. Координаты всех точек
треугольника BOD удовлетворяют неравенству 4xi + 12x2<28 000.
Неравенствам Xi^O и х2^0 удовлетворяют все точки I четверти
КООрДИНаТНОЙ ПЛОСКОСТИ Х10х2.
Любая точка многоугольника АЕМКО удовлетворяет системе
неравенств. Для нахождения наибольшего значения целевой функ-
ции найдем ее значения в вершинах многоугольника АЕМКО.
Вершина Координаты вершины Значения целевой
функции, р.
А	0;	2000	2 000	000
Е	2500;	1500	2 500	000
М	4000;	1000	2 600	000
К	5000;	0	2 000	000
О	0; 0	0
55
Таким образом, наибольшее значение целевой функции дости-
гается в вершине М9 что соответствует варианту плана, по ко-
торому под зерновые отводится 4000 га, а под картофель —
1000 га.
Этап III. Оптимальное сочетание посевных площадей культур:
зерновые — 4000 га, картофель — 1000 га. Существенно провести
экономический анализ оптимального решения задачи.
При Xi =4000 и х2=Ю00 xi4-x2 = 5000, а это значит, что паш-
ня используется полностью.
4xi 4-12x2=4 *4000+12 *1000=28 000. Это означает, что ресур-
сы тракторного парка используются полностью.
30xi 4- 1 50х2 = 30 • 4000 4-150*1000=270 000. Мы выяснили, что
трудовые ресурсы недоиспользованы на 30 000 чел.-ч. Полное ис-
пользование трудовых ресурсов сдерживается ограниченностью паш-
ни и мощностью тракторного парка. Как видим, для рассмотренного
в задаче совхоза ресурсы имеют разную ценность: человеческих
рук в избытке, а механизированный труд дефицитен.
Можно, конечно, предложить ученикам и аналитический метод
решения задачи, но графический метод представляется более пред-
почтительным в силу его простоты и наглядности.
В связи с тем что введение понятия о линейном программировании
в массовой школе не предусмотрено, такая задача может быть
предложена ученикам на факультативных занятиях или в клас-
сах с углубленным теоретическим и практическим изучением ма-
тематики.
Как видим, при решении практических задач приходится ши-
роко использовать таблицы, применяемые в различных отраслях
сельского хозяйства. Значения величин, взятые из таблиц, выра-
жаются приближенными числами. Оперируя ими, следует соблюдать
правила выполнения действий над приближенными числами. Вместе
с тем надо заметить, что в различных книгах числовые значения
одних и тех же величин даны с различной степенью точности. Для
преодоления такого разночтения уместно условиться брать зна-
чения основных величин, используемых в сельскохозяйственном
производстве, со следующей практически приемлемой степенью
точности:
а) размеры посевных площадей в совхозе (кол-
хозе)	—	1 га;
б)	урожайность зерновых культур	—0,1 ц/га;
в)	урожайность пропашных культур	—	1 ц/га;
г)	скорости движения тракторов на той или иной
передаче	—0,1 км/ч;
д)	скорости движения автомобилей	—	1 км/ч;
е)	ширина захвата корпуса плуга	—	0,01 м;
ж)	ширина захвата борон, лущильников, культи-
ваторов, жаток комбайнов, сеялок	—0,1 м;
з)	часовая, сменная производительность агре- —0,1 га;
гатов
56
и) мощность двигателя автомобиля, трактора — 1 кВт;
к) питательность кормов в кормовых единицах — 0,01 кг;
л) масса корма в суточном рационе животных —0,1 кг;
м) соль, мел, фосфорные добавки в суточном
рационе животных	— 0,1 г.
Решение задач 3.4.1, 3.4.2 требует применения математического
аппарата девятилетней школы. Тем не менее рекомендуем рассмот-
реть эти. задачи в X классе, согласовав их решение во времени с
изучением соответствующего производственного материала в ходе
профессионального обучения школьников. Задачу 3.4.3 естественно
рассмотреть в связи с введением понятия о линейном программи-
ровании.
4. Использование задач с практическим содержанием
во внеклассной работе по математике
Как показал опыт, на кружковых занятиях представляется
возможным рассматривать задачи, связанные с прогнозированием
отдельных экономических показателей, организацией производствен-
ных процессов в сельском хозяйстве, вносить в решение приклад-
ных задач элементы исследования. При достаточно сильном составе
членов кружка целесообразно включить в содержание его работы
решение отдельных серьезных практических задач.
Рассмотрим методику решения некоторых задач, рекомендуемых
для кружковой работы.
4.1. Исследование формул.
4.1 Л. Выясните, насколько эмпирическая формула для вычисле-
ния площади поверхности испарения (зеркала испарения) горючего
в резервуарах цилиндрической формы, расположенных горизонталь-
но, удовлетворяет потребности практики.
Решение.
Зеркало испарения имеет форму прямоугольника. На рисунке
14 оно имеет формулу прямоугольника ABCD. В справочной лите-
ратуре рекомендуется площадь зеркала испарения находить по
формуле
S = 0,865d/,	(32)
где S — рассматриваемая площадь, м2; d — диаметр резервуара, м;
I — его длина, м.
Выясним, насколько целесообразно применять эту формулу на
практике.
Пусть длина цистерны AD = l. Тогда из рисунка 14 следует,
что $=ЛВ*/. Если пользоваться формулой (32), то ЛВ = 0,865d =
Тз
=^-d. Такое соотношение выполняется при /.ЛОК=бО° или
£-АОК= 120°, а это имеет место при Z.AOB = 120° или Z.AOB —
57
= 240°. При Z.AOB = 120° О/(=-£-, а следовательно, и КМ=-^-.
При /_ЛОВ=240°,
Глубину слоя горючего, наполняющего резервуар, принято назы-
вать стрелкой. Таким образом, формула (32) выведена в расчете,
что стрелка /СМ=-^-или КМ=^.
Совершенно очевидно, что такой уровень горючего в резер-
вуаре может оказаться лишь в отдельных случаях. Выясним, на-
сколько существенно отличается площадь испарения от указан-
ной в формуле (32) при значениях стрелки, отличных от указан-
ных выше.
а)	При -£-< КМ	наибольшее отклонение от значения площа-
ди, указанного в формуле (32), получим при КМ=-^. В этом слу-
чае Z.i4OB=180°, a AB = d. Следовательно, Si = dl. Площадь зер-
кала испарения будет максимальной. Относительная погрешность
вычисления составит 13,5%.
При	и ^<ZKM<Z^~ площадь зеркала испарения
отличается от величины площади, указанной в формуле (32), менее
чем на 13,5% от истинного значения.
Если Z.40B = 150° или ^ДОВ = 2Ю°, то АВ =
=^/2/?2 —2/?2 cos 150°=0,965d и S2 = 0,965d/. В этом случае стрелка
KM = 0,26d или KM = 0J4d. Относительная погрешность вычисления
составит 10,4%.
б)	Если KM = 0,15d либо KAf = 0,85d, то Z.4OB=90° либо
Z-AOB=270°. AB = 0,707d и S3=0,707d/. В этом случае относитель-
ная погрешность вычисления составит 22,3%.
в)	Если KAf = 0,07d либо КМ = 0,93d, то АЛОВ=60° или
Z.40B=300°. 4B=0,510d и S4 = 0,510dZ. Относительная погреш-
ность составит около 70%.
г)	Если KAf=0,04d либо /(Af = 0,96d, то Л.АОВ = 30° или
Х-АОВ = 330°. АВ=0,257d, Ss = 0,257d/. Относительная погреш-
ность составит 233%.
Проведенное исследование позволяет сделать вывод, что при
^-<КМ<^- формула (32) приемлема. При О<КМ<-^-я
по мере удаления значений стрелки К.М от у- и
58
отклонения действительной площади испарения от площади, указан-
ной в формуле (32), быстро растут и становятся весьма значитель-
ными. Формула (32) в этих случаях становится неприемлемой.
Учитывая, что в совхозах и колхозах хранятся значительные
массы горючего и что с каждого квадратного метра зеркала еже-
месячно испаряется около 4,8 кг горючего, целесообразно наряду
с формулой (32) иметь формулу, позволяющую более точно вычис-
лять площадь зеркала испарения.
Искомую площадь следует выразить через величины, поддающие-
ся непосредственному измерению,— длину цистерны, диаметр ее
днища (расположенного перпендикулярно поверхности земли) и дли-
ну стрелки.
Из рис. 14 видно, что, обозначив стрелку КМ через Я, полу-
чим —н либ° ОК=4~+Н- Отсюда AB=2^jH(H±d) и,
следовательно,
S =-2l^H{H±d).
(33)
4.2.	Применение отдельных математических методов в экономике.
4.2.1.	Определите перспективную урожайность сельскохозяйст-
венной культуры.
Такая задача решается в связи с перспективным планирова-
нием (в том числе и на пятилетки) производства сельскохозяйствен-
ной продукции. В основу решения задачи положены математико-
статистические методы.
Перспективная урожайность определяется по формуле

(34)
где а — свободный член уравнения, Ь — средняя ежегодная прибав-
ка урожайности, х — число лет с начала отсчета. Числовые значе-
ния параметров а и Ь находятся так называемым способом наимень-
ших квадратов решения системы уравнений:
(35)
Такой подход положен в основу перспективного планирования
урожайности в совхозах (колхозах), районах и более крупных ре-
гионах.
Следует учесть, что чем более достоверными будут используемые
статистические данные, тем надежнее окажется решение задачи.
Наибольшую методическую трудность представляет раскрытие
сущности метода наименьших квадратов. Она состоит в следующем.
59
Рис. 15
Как видно из формулы (34), перспективная урожайность являет-
ся линейной функцией натурального аргумента х. График ее —
множество дискретных точек прямой (рис. 15).
Однако в различные годы имеют место отклонения фактичес-
кой урожайности от расчетной, обусловленные погодными условиями,
качеством семян, подготовки почвы, обработки посевов и другими
причинами.
Значения фактической урожайности на рис. 15 отмечены точ-
ками, не принадлежащими прямой, намечающей график функ-
ции.
Отклонения значений фактической урожайности от расчетной
можно выразить аналитически следующим образом: у,— а — bxj.
Сущность метода наименьших квадратов состоит в том, чтобы
сумма квадратов этих отклонений	(t/,- — a — bXi) была наимень-
шеи.
Это будет иметь место в том случае, когда частные производные
g-=2.(-l).(S y,-na-bZ xi)=0,
^=2‘(—l)-(HyiXi—aS Xi—bX xf)=O.
i	i	i
Таким образом, имеем исходную систему уравнений (35). Изло-
женные соображения адресованы учителю.
Истоки системы уравнений (35) выходят за пределы школьной
программы по математике. Целесообразность сообщения их учащим-
ся зависит от уровня математической подготовки членов кружка
и определяется учителем.
Нуждается в разъяснении смысл знака суммирования
п
S Xi==Xi4-X24-.•• + *«• Для этого полезны упражнения вида:
/=1
4	4
а)	Раскройте смысл S д-. Решение. S a, = ai + <22 + 03 + ^4.
i=\	i=l
функции f по а и b равны нулю
60
5
б)	Дано: i/i = 3, t/2=6, 1/3=8, {/4=9, //8=11. Вычислите S yb
1=1
5
Решение: 2 (/*=3 + 6+8 + 9+11=37.
1=1	x
в)	Дано: Xi = l, X2 = 2, x3=3, x4 = 4, x4s = 5, Хб=6. Вычислите
6
2 xf. Решение. Так как х?=1, x?=4, Хз=9, х4=16, х|=25,
1=1	6
Хб=36, то S х,?= 1+4+9+16+25 + 36=91.
4=1
Для решения системы уравнений (35) составим таблицу, в кото-
рую введем значения фактической урожайности за 5—7 лет, пред-
шествующих году, урожайность в который предполагается прогнози-
ровать (табл. 11). Для этой цели наиболее разумно использовать
значения фактической урожайности, сложившейся в совхозе (колхо-
зе), на территории которого расположена школа.
Нами использованы показатели одного из совхозов Алтайского
края. Пусть следует вычислить перспективную урожайность пшеницы
в совхозе (колхозе) на 1986 г.
Таблица 11
Годы	Число лет xt	Фактическая урожайность, ц/га yi	xt	xtyi
1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985	1 2 3 4 5 6 7	10,8 16,2 14,6 19,8 13,4 20,8 15,6	1 4 9 16 25 36 49	10,8 32,4 43,8 79,2 67,0 124,8 109,2
п = 7	7 S x( = 2ff i=l	7 2 0=111.2 1=1	S х?= 140 /=i	7 2 ед/=467,2 /»1
п
Подставив в систему уравнений (35) значения п, .2 х/,
4 = 1
п	п	п
2 yit 2 х£ 2 xiyi9 придем к системе двух линейных уравнений с
4=1	4=1	4=1
двумя переменными а и Ь:
( 7а + 28 6=111,2,
I 28а+1406 = 467,2.
Решив эту систему, получим а=12,7; 6 = 0,8. По формуле (35)
вычислим перспективную урожайность:
(/=12,7 + 0,8-8=19,1.
61
Итак, перспективная урожайность пшеницы в данном совхозе
на 1986 г. составляет 19,1 ц/га.
4.2.2.	Определите перспективную себестоимость сельскохозяй-
ственной продукции.
Метод решения этой задачи такой же, как и предыдущей.
Решение. Себестоимость сельскохозяйственной продукции
определяется по формуле
У=а+-7”	(36)
где у — себестоимость 1 ц сельскохозяйственной продукции, р.;
х — известная величина урожайности сельскохозяйственной культу-
ры или продукции животноводства, ц/га; а, Ь — коэффициенты,
определяемые методом наименьших квадратов решения системы
уравнений
п	п
na-\-b 2 — = 2 yt,
i=l Xi
Л
i= I
n
(37)
4.2.3.	Определите перспективную себестоимость 1 ц пшеницы
в том же совхозе при той же ее урожайности в 1986 г.
Решение предыдущей задачи позволяет решить данную без допол-
нительной подготовительной работы.
Решение. Составим таблицу, введя в нее значения
п	п	п	п	п
2 х1г	2	yit Si-,	2	2	(табл. 12).
i = 1	i = 1 i == 1	i I	i I
Таблица 12
Годы	XI	yi	1 Xi	1 Xi	yi Xi
1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985	10,8 16,2 14,6 19,8 13,4 20,8 15,6	6,92 4,86 5Д2 4,02 5,68 3,84 5,04	0,0925 0,0617 0,0685 0,0505 0,0746 0,0481 0,0641	0,00861 0,00381 0,00469 0,00255 0,00557 0,00231 0,00411	0,641 0,300 0,351 0,203 0,424 0,185 0,323
л=7	7 2 Xi= 111,2 /-!	iyt= i= 1 = 35,48	7 2 -1=0,460 1-1 x‘	7 2 -1=0,317 Ы xf	2 -^ = 2,43 (=i x‘
Система уравнений (37) примет вид:
Г	7 а+0,4606=35,48,
I 0,460а+0,6317Ь=2,43.
62
Решив полученную систему, получим а= 1,21, 6=58,8. Подставим
58 8
в уравнение (36) значения а и Ь и найдем у = 1,21 Н—При х= 19,1
у= 1,21 +3,08=4,29.
Таким образом, при планируемой средней урожайности 19,1 ц/га
перспективная себестоимость 1 ц пшеницы составляет 4 р. 29 к.
В столбце 3 таблицы 12 указаны значения фактически сложившейся
себестоимости 1 ц пшеницы.
Представляет интерес вычисление себестоимости 1 ц пшеницы по
урожайности с использованием формулы (35).
Так, при х=10,8 у = 6,65; х=16,2 у=4,84; х=14,6 у=5,24;
х = 19,8 у = 4,18; х = 13,4 у = 5,60; х = 20,8 у=4,04; х=15,6 у = 4,98.
Полезно сравнить полученные значения себестоимости со сложив-
шейся себестоимостью (столбец 3 табл. 12) и убедиться в том, что они
разнятся весьма незначительно (отклонения не превосходят 5%).
Внимание учащихся следует обратить на приближенный характер
решения задач 4.2.1 и 4.2.2, обусловленный как приближенными
значениями исходных данных, так и рядом других факторов (по-
годными условиями, качеством обработки почвы и посевов и др.).
Поэтому чем точнее будут учтены исходные данные, тем надежнее
окажется полученный результат.
Решение задач 4.1.1, 4.2.2 связано с выполнением большого
числа громоздких вычислений и создает хорошие возможности для
широкого использования современной вычислительной техники.
4.3.	Решение производственных задач.
4.3.1.	Составьте оперативные таблицы для вычисления числа
автотранспортных единиц, необходимых для отгрузки зерна от ком-
байна на ток.
Исследование проблемы проведено под руководством автора
в совхозе «Долганскийэ Крутихинского района Алтайского края.
С принципом составления таблиц знакомились во внеклассной
работе ученики старших классов ряда сельских школ Алтая.
Первоначально следует выяснить, какие величины надо знать
для составления таблиц. Такими величинами являются:
I — расстояние от поля на ток, км;
v — рабочая скорость автотранспортного средства, км/ч;
Т — продолжительность одного рейса автотранспортного сред-
ства, ч;
т — продолжительность смены, ч;
Г — грузоподъемность автотранспортного средства, ц;
k — коэффициент использования времени автотранспортным сред-
ством;
m — масса зерна в бункере комбайна, ц;
b — ширина рабочего захвата жатки комбайна, м;
—рабочая скорость комбайна, км/ч;
h — урожайность убираемой культуры, ц/га;
п — число автотранспортных единиц;
п\ — число комбайнов;
63
6 — коэффициент использования времени при групповой работе
комбайнов;
t — время наполнения бункера комбайна зерном, ч.
Методика расчета числа автотранспортных единиц такова. За
одну смену автотранспортное средство (автомобиль) сделает
у- рейсов и вывезет с поля на ток Jy ц зерна, а п автомобилей выве-
зут за смену ц зерна. За смену в т ч наполняется у- бункеров
комбайнов. Один комбайн за это время обмолотит у- ц зерна, а п\
комбайнов —ц зерна.
По Веденяпину,
10m
bvp6h *
(38)
(Веденяпин Г. В. и др. Эксплуатация машинно-тракторного
парка.—М.: Колос, 1968.— С. 181.) Тогда п\ комбайнов намолотят
тЛ1дип6Л
за смену —
ц зерна. Для бесперебойной отгрузки зерна от
комбайна
на ток должно выполняться равенство:
Гтл&___xnybvpbh
Т “	10
Отсюда
Tn\bvpbh
10Г&
Рабочая скорость комбайна определяется по формуле
_360-Qn
₽— Q,-b ’
(39)
(40)
где Qn — подача хлебной массы в комбайн, кг/с, Q* — хлебная
масса на 1 га, ц (см. М. А. Портнов. Зерновые комбайны.—
М.: Высшая школа, 1972.— С. 15).
Полная загрузка молотилки комбайна достигается при условии:
Q* Ь=360- Qn.	(41)
Для того чтобы таблицы оказались практически применимыми,
значения среднего времени разгрузки бункера комбайна, среднего
времени, затрачиваемого на взвешивание автомашин и оформление
документации, среднего времени разгрузки автотранспортного сред-
ства целесообразно определять экспериментально. Уборку зерновых
с одного массива предпочтительно осуществлять связками ком-
байнов.
Таблицы уместно составить для различных связок комбайнов
с учетом отношения зерна к соломе 1:1; 1:1,5; 1:2; 1:2,5 при доста-
64
точно широком диапазоне урожайности и шагом в 1 ц/га отдельно
для раздельной уборки и Прямого комбайнирования.
Принцип составления таблиц разъясним на примерах, используя
при этом результаты проведенной нами экспериментальной работы.
(За прошедшее десятилетие изменились уборочная техника, ее
технические характеристики, но принцип составления таблиц остал-
ся неизменным.)
В ходе исследования и изучения специальной литературы полу-
чены следующие результаты:
1.	Оптимальный режим работы комбайнов «СК-4» и «СКД-5»
достигается при скорости движения 5 км/ч — 7,5 км/ч.
2.	Наиболее рациональной является групповая подборка зерно-
вых. Состав связок: 2 «СКД-5»,	4 «СКД-5»,	3 «СК-4»,
4 «СК-4».
3.	Полная загрузка молотилки комбайна достигается при опре-
деленной скорости его движения и урожайности зерновых, даль-
нейшее повышение урожайности на скорость потока зерна не влияет,
а влечет лишь снижение скорости движения комбайна.
4.	Число машин, необходимых для отгрузки зерна от комбайна,
существенно зависит от скорости потока зерна в бункер, времени
движения автомобиля по маршруту ток — поле — ток, грузоподъем-
ности автотранспортного средства.
5.	Скорость потока зерна в бункер зависит от урожайности
зерновых, отношения зерна к соломе, ширины захвата жатки и
скорости движения комбайна.
6.	Среднее время разгрузки бункера комбайна «СКД-5» и
«СК-4» 2 мин 30 с.
7.	Среднее время, затрачиваемое на взвешивание автомашин
и оформление документации, 2 мин.
8.	Среднее время механизированной разгрузки транспортного
средства 3 мин.
9.	Средняя скорость движения автомобилей при удаленности
поля от тока: а) до 3 км составляет 18 км/ч; б) 3—6 км —
20 км/ч; в) свыше 6 км — 24 км/ч.
10.	Коэффициент использования времени автомобилей равен 0,9.
Пусть поле, удаленное от тока на расстояние 5 км, убирается
связкой комбайнов 2 «СКД-5». Средняя скорость автомобиля,
как было установлено в ходе эксперимента, 20 км/ч. Время рейса
складывается из времени движения автомобиля, времени разгрузки
бункеров 2 комбайнов по 13,5 ц каждый, времени разгрузки авто-
мобиля и времени, затраченного на его взвешивание и оформление
документации, т. е.
‘2О’^”2,бо + бо + бО	Ч'
Рабочая ширина захвата жатки «ЖВН-6» 6=5,7 м. Коэффи-
циент 6 при групповой работе комбайнов примем равным 0,76. При
полной загрузке молотилки комбайна скорость его движения оста-
65
егся максимальной (7Т5 км/ч). Урожайность, при которой дости-
гается полная загрузка молотилки, рассчитывается по формуле (41).
Нам известно, что 6=5,7 м, Qn=5,0 кг/с. Значит, op-Qx=
=360-5,0:5,7=316. При ор=7,5 Qx=42,l.
Пусть отношение зерна к соломе 1:1,5. Тогда h=Qx‘.2,5, откуда
6=17,0 ц/пп Следовательно, число машин будет возрастать при
повышении урожайности до 17,0 ц/га.
При<дальнейшем повышении урожайности число машин (рассчи-
танное по формуле (39)) остается неизменным, т. е. таким же, как
и при 6 = 17,0 ц/га.
Если отгрузка зерна выполняется автомобилями грузоподъем-
ностью 4 т, то при различных значениях урожайности h получим
следующие значения п (табл. 13).
Таблица 13
h	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	
п	1.0	ы	1.2	1.3	1,4	1.6	1.7	1.8	1.9	2.0	2.0	2,0	2,0	и т. д.
Например, при 6=16 ц/га, используя формулу (39), получим
„	2-2-5,7-7,5-0,76-16	, Q
ns3~ 3"i6.4d.6,9—==1Д
Как было отмечено, оптимальный режим работы комбайна дос-
тигается при скорости его движения 5,0 км/ч — 7,5 км/ч. При
урожайности по 17 ц/га включительно комбайны будут работать
на максимальной скорости — 7,5 км/ч. При урожайности выше
17 ц/га скорость движения комбайнов будет снижаться до 5,0 км/ч.
Так как up’Qx=319, то при ир=5,0 Qx=63,8, а следовательно,
А=25,5 ц/га. Таким образом, снижение скорости движения комбай-
нов до 5,0 км/ч произойдет по мере повышения урожайности до
25,5 ц/га. При урожайности выше 25,5 ц/га сохранение скорости
хлебного потока влечет дальнейшее снижение скорости движения
комбайнов, что не соответствует оптимальному режиму их работы.
Поэтому дальнейшее снижение скорости движения комбайнов не до-
пускается, а скорость хлебного потока регулируется массой валка.
Выяснив принцип составления таблиц, рассмотрим их описание.
В заголовке каждой таблицы целесообразно указать номер поля^
номер бригады колхоза (отделения совхоза), расстояние от поля
до тока, среднюю скорость движения автотранспортного средства
(и), время оборота транспорта по маршруту поле — ток — поле
(Г), грузоподъемность транспорта (Г), принятую нами во всех расче-
тах за 40 ц, рабочую ширину захвата жатки комбайна (&), связку
комбайнов (табл. 14).
Коэффициенты Л=0,9, 6=0,76, формулы	и n=ZVft
66
используются только для выполнения расчетов. Для работы с табли-
цами они никакой роли не играют.
В правой колонке сверху в четырех строках указаны отношения
зерна к соломе: 1:2,5; 1:2; 1:1,5; 1:1.
В первом столбце слева указаны значения урожайности зерно-
вых (ft) от 8 до 40 ц с шагом 1 ц/га.
В четырех строках сверху указаны скорости комбайнов (и) в за-
висимости от урожайности зерновых и отношения зерна к соломе.
В средней части таблицы указаны значения п в зависимости от
урожайности и отношения зерна к соломе.
Число машин до определенной урожайности следует находить
во втором столбце слева независимо от отношения массы зерна к мас-
се соломы. При любом из указанных таких отношений до урожай-
ности 12 ц/га (см. табл. 14) число машин одинаково* для каждого
значения урожайности. Начиная с урожайности 12 ц/га, число ма-
шин зависит от отношения массы зерна к массе соломы.
Отношению массы зерна к массе соломы 1:2,5 соответствует
верхняя диагональ с левого верхнего угла до правого нижнего, отно-
шению 1:2 — вторая диагональ, отношению 1:1,5 — третья диаго-
наль, отношению 1:1 — четвертая нижняя диагональ.
Правила пользования таблицами:
а)	определяется урожайность на поле, с которого убираются зер-
новые;
б)	вычисляется отношение массы зерна к массе соломы на
том же поле;
в)	отыскивается таблица, соответствующая используемой на
уборке поля связке комбайнов;
г)	отыскивается по таблице число машин.
Пример 1. Подборка ведется на поле, удаленном от тока
на расстояние 5 км. А = 20 ц/га, отношение зерна к соломе 1:2. По
табл. 15 находим п=1,7. Следовательно, для отгрузки зерна надо
направить 2 автомобиля (лучше всего один грузоподъемностью
4 т, другой — 3 т).
Пример 2. Подборка ведется на поле, удаленном от тока
на расстояние 5 км, Л=15 ц/га, отношение зерна к соломе 1:1,
и= 1,8. Для отгрузки зерна надо направить 2 автомобиля; предпочти-
тельнее один — грузоподъемностью 4 т, другой — 3,5 т.
Примечания 1. Таблицы составляются для разных связок
комбайнов отдельно для условий раздельной уборки и прямого ком-
байнирования в зависимости от расстояния от поля до тока.
2. Таблицы составлены в расчете на автомобили грузоподъем-
ности 4 т. Для перевода грузоподъемности различных автомобилей
и прицепов к принятой целесообразно составить и использовать
специальную таблицу.
4.3.2. Определите условия, при которых коэффициент рабочих
ходов при движении тракторного агрегата «вразвал» максимален.
Решение. Первоначально учащимся можно напомнить, что
агрегаты работают способом «вразвал> при пахоте, уборке свеклы
67
o'
00
Таблица 14
ТАБЛИЦА
для вычисления числа автомашин, необходимых для отгрузки зерна от комбайна на ток при раздельной уборке*
2
Поле №	, бригада (отделение) №	, расстояние 5 км; v = 20 км/ч; Т=~ ч; k=0,9; 6=0,76; 6 = 5,7 м;
о
—.pg]fl. л=Хг6. Связка комбайнов: 2 «СКД»-5
h	V																									
	7,5	6,9	6,4	6,0	5,6	5.3,	5,0																			1:2,5
	7,5	7,0	6,6	6,2	6,0	5,6	5,3	5,0																		1:2
	7,5	7,1	6,7	6,4	6,1	5,8	5,5	5,3	5,1			*														1:1,5
	7,5	7,2	6,9	6,5	6,3	6,1	5,8	5,6	5,4	5,3	5.1															1:1
8	1,0																									
9	1.1											1														
10	1,2				•																					
11	1,3																									
12	1,4																									
13	1.6	Д.4																								
14	1,7		1.4																							
15	1,8	1,7		1,4																						
16	1,9		1.7		1,4																					
17	2,0			1,7		1,4																				
18	2,2 	2,0			1,7		1.4							•										1		
19	2,3		2,0	•V		1.7		1.4												•						
																					
												-									
																	1,4		1.7		
																1,4		1,7			2,0
															1.4		1,7			2,0	
														1,4		1,7			2,0		
													1,4		1,7			2,0			
												1,4		1,7.			О СЧ*				2,5
											1,4		1.7			2,0				2,5	
										1,4		1,7			2,0				2,5		
									1.4		1.7			2,0				2,5			
								1,4		1,7			2,0				2,5				
							1.4		1,7			2,0				2,5					
						1,4		1,7		•	О СЧ				ID СЧ						
					1,4		Г1			о сч				2,5							
				FI					2,0				сч								
			1,4		1,7			2,0				2,5									
		1,4		1.7			2,0				Ю СЧ										
	Fl		1,7			2,0				2,5											
		1.7			2,0				2,5												
	1,7			О сч				2,5													
			2,0				2,5														
		О сч“				2,5															
	2,0				2,5																
				2,5																	
			2,5																		
	2,4	ю сч*						-													
	20 		21	22	23	24	25	26	27	28	29	о со	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
																					
69
Рис. 16
свеклокомбайном и некоторых других процессах с тоновым движе-
нием при асимметричном агрегате.
Далее надлежит тщательно разобраться в схеме движения «враз-
вал> (рис. 16).
Целесообразно предложить следующие этапы решения задачи:
Определите: а) длину холостого хода беспетлевого поворота; б) дли-
ну всех холостых беспетлевых заездов; в) длину петлевых заездов;
г) длину всех холостых заездов; д) коэффициент рабочих ходов;
е) наивыгоднейшую ширину загона.
Подробно рассмотрим каждый из этапов решения.
а)	Как видно из схемы движения, агрегат делает некоторое
число беспетлевых и петлевых поворотов. Беспетлевый поворот сос-
тоит из двух поворотов на 90° по окружности радиуса /? и прямо-
линейного хода ВС (рис. 17):
^xB+BC4-/k>CD=^.2+x-2/?=x+l,147?«x+^.
Для выведения прицепных орудий (плугов) на контрольную линию
агрегат проходит путь 2/. Тогда длина холостого хода при беспетле-
вом повороте
1х=== х -f- /? -}“ 2/.
(42)
б)	Расстояние Xi между двумя последовательными заездами ме-
няется. Причем беспетлевые повороты агрегат будет совершать на
части загона ширины от 2R до с.
Ширина каждого заезда Xi будет: после обработки первой полосы
Xi=c — Ь\ второй Х2 = с — 2Ь\ третьей х3 = с —3 Ь\ ...; n-й хп = с— nb.
Тогда длина каждого заезда составит:
70
Рис. 17
/1=с~ b -}* 2ej
/2=с—26 + #+2е;
/з с “ ЗЬ 4“ R—2ej
• ••••••
1п=с—nft+/?+2e.
Отсюда длина всех беспетлевых заездов
=-L (с - b + R 4- 2 е+с - п b + R+2е) п=(с+R+2ё) п - ^£22 ь.
Число беспетлевых поворотов агрегата вычисляется по формуле
п=(с—2/?)/6. Следовательно,
(г-|-7?-|-2е) (с —27?)г —27?
н)

или
5,=£-^(0,5(с-6) + 2Я+2е).	(43)
в)	Петлевые повороты возникнут при x^.2R. Всего петлевых
27?
поворотов будет ——1. Так как длина одного петлевого поворота
/=67?4-2е, то длина всех холостых петлевых поворотов .будет:
S;=(6/?4-2e).(^-l) .
(44-)
г)	Для перехода на соседний загон агрегат проходит путь
Sc=0,5c+/? + 2e,
а для выравнивания огрехов и борозд — путь
S0 = L + 2(c — b) + 2R + 4e.
Тогда длина всех холостых заездов агрегата на загоне ширины х
71
S'=£z^(0,5(c-b)+2/? + 2e)+(6/?+2e).(^ -1) +0,5с+Я +
+2e+L4-2(c—6)4-2/?+4e=
_12/?*-Ь4Яе—5W-2be+0,5c»+cfl+W-0,5cfr+2/?c+2ce—4/?e , . , „„ i
+&?+2,5c—2b.
Слагаемыми, в которые входят только постоянные величины R, Ь,
е пренебрегаем. Так как /?2 велико и сопоставимо со значением
с — ширины поля, то целесообразно им не пренебрегать. Получим:
о,5?—с/г—о.бсб+гяс+гсе+ея*
0,5?+8Я2 + cR+2се+ L+2с _ 0,5?+с (R+2е)+8R2
' b	Ь

Итак, S'=0,5?+с (+-2c)-t-8^+ L 4- 2с.
Если длина поля Дн, то загонов ширины см будет —, а длина
всех холостых ходов S=—S , отсюда
.	5=Л .( 0,5с+Я+2е + (	‘Т+2) •	(45)
д)	Коэффициент рабочих ходов агрегата равен отношению длины
рабочих ходов AL к длине всех ходов A (L-j-S). Тогда коэффициент
рабочих ходов
(46)
е)	Значения R и b для данного агрегата постоянные величины,.
а значение с — переменное. Для того чтобы коэффициент рабочих
ходов агрегата был максимальным, необходимо, чтобы перемен-
ные слагаемые -4— и ( т 4-ь) •—были бы по величине минималь-
ными.
Так как произведение этих положительных слагаемых — постоян-
ная величина, не зависящая от с	—1"^)) ’т0 нам надо вы*
яснить, при каких условиях их сумма принимает наименьшее
значение.
Решим для этого следующую общую задачу: «Пусть имеем два
72
положительных числа у и z, произведение которых равно т. При ка-
ких значениях у и z y-\-z принимает наименьшее значение?»
Рассмотрим функцию f=y-\-z на множестве положительных
чисел. Так как z=— и f=y+—, то f' = l—™ -
При f'=0 у= ±-^пг. у= —-у/т не принадлежит области опреде-
ления функции f. Экстремальная точка одна у=*^т. В этой точке
функция имеет минимум (промежуточные рассуждения опускаем).
В то же время функция f непрерывна в области своего определения,
а следовательно, минимум совпадает с наименьшим значением функ-
ции на множестве положительных чисел. Так как z=—, то z=-\frn,
у v
т. е. y=z.
Таким образом, сумма y+z принимает наименьшее значение
при у= z.
Используем полученный вывод для решения нашей исходной за-
дачи.	откуда 0,5c2 = 8/?2 + &L. Следовательно,
c=V2(L&+8/?2).	(47)
Таким образом, наивысший коэффициент рабочих ходов дости-
гается при ширине загона, вычисляемой по формуле (47), и зави-
сит от длины загона, радиуса поворота агрегата и ширины его рабо-
чего захвата.
Пусть вспашка поля длиной 1100 м проводится трактором Т-150
с прицепкой пятикорпусного плуга (захват каждого корпуса 35 см).
/?= 14 м. Тогда с=д/2 • (1100 5 -0,35 + 8 • 142)=84 м. Ширине рабоче-
го захвата агрегата (1,75 м) кратно число 84, поэтому ширину заго-
на целесообразно взять 84 м. Выбор наивыгоднейшей ширины загона
имеет важный экономический смысл, так как позволяет существенно
повысить производительность агрегата, сэкономить горючее, сокра-
тить время на выполнение работы.
4.3.3. Определите пути повышения коэффициента рабочих ходов
агрегата, движущегося «челноком». Способ движения «челноком» —
тоновый при симметричном агрегате. Таким способом движутся агре-
гаты при культивации, севе, междурядной обработке посевов.
Решение. Рассмотрим схему движения (рис. 18). Первый
рабочий ход совершается по линии 1—2. Когда центр агрегата
будет в точке 2, рабочие органы машины орудия будут находиться
на контрольной линии cd и должны быть выключены. От точки 2
начинается холостой заезд, который состоит из петлевого груше-
видного (если орудие и машина прицепные) или грибовидного
(если орудие или машина навесные) поворота до точки 3.
От точки 3 до точки 4 агрегат движется вхолостую для выведе-
ния рабочих органов на контрольную линию cd. На линии cd рабо-
чие органы включаются и начинается второй рабочий ход от
точки 4 до точки 5 и т. д. Рабочие проходы параллельны друг другу.
73
Рис. 18
прибавить холостой переезд такой
Коэффициент рабочих ходов
агрегата равен отношению дли-
ны рабочих ходов к длине всех
ходов (рабочих и холостых).
Если длину загона обозначим
через L, а длину холостого заез-
да через /х, то коэффициент ра-
бочих ходов ф=^зр-. Поворо-
ты агрегата совершаются по по-
воротной полосе ширины Ш.
Пусть длина петли /, хо-
лостого заезда /х, а ширина ра-
бочего захвата агрегата Ь. При-
мем расстояние 2 — 3 за х, а это
расстояние равно ширине рабо-
чего захвата агрегата. Тогда
х = Ь. Если радиус поворота
/? = &, то /=6/?, а /х=6/? + 2е.
Отсюда
(р== L4-6/?4-2e ’	(48)
Рассмотрим, зависит ли ко-
эффициент рабочих ходов от
ширины загона. Число холостых
заездов на затоне шириной с на
один меньше числа рабочих хо-
дов и составляет 4— 1. Общая
о
длина холостых проходов будет
^х==(т—О l*' ^сли к 9ТОМУ
же длины /х-на соседний загон,
то общая длина всех холостых ходов Sx+i = ^--—1
Общая длина всех рабочих ходов будет -y-L. Тогда

Как видим, коэффициент рабочих ходов от ширины загона не за-
висит. Выбор ширины загона определяется не кинематикой агрегата,
а другими факторами, в частности производительностью агрегата
и сроком его работы на загоне.
Для получения ответа на вопрос задачи исследуем функцию,
выраженную формулой (48). Представим <р в виде:
74
= 1
ф 116^+2е'
Значение <р будет наибольшим, если —а это может
иметь место лишь при £->оо.
Полученный вывод надо разъяснить: чем длинее гон, тем больше
коэффициент рабочих ходов, но неограниченно удлинять гон прак-
тически нецелесообразно.
Для более глубокого изучения характера изменения функция,
выраженной формулой (48), построим* ее график.
Так как
= L 1 =L4-6^+2e	1	1 (6Я4-2*
L4-6/? + 2e’ Ф L ’ ф	L ’
Тогда -—1=®*±*.
ф	L
Очевидно, величины — 1 и £ — переменные, 67?+2е — постоян-
ная. Пусть ——1 =х, L=y, 6/? + 2е=с, тогда ху=с.
Вычертим графики зависимости коэффициента рабочий ходов
при культивации для тракторов МТЗ-80 (рис. 19.1) и, Т-130
(рис. 19.2) и для навесного агрегата (рис. 19;&).
Для трактора МТЗ-80 /? = й=12 м, е=Н м<
Для трактора Т-130 /?=6 = 17 м, е=16 м.
Для навесного агрегата /? = 6==6 м, е=4 м.
Составим таблицу (табл. 15).
Таблица 15
МТЗ-80		Т-130		Навесной агрегат	
L, м	ф	L, м	ф	L, к	ф
50	0,35	50	0,27	50	0,53
100	0,52	100	0,43	100	0,69
200	0,68	200	0,60	200	0,82
300	0,76	300	0,68	300	0,87
400	0,81	400	0,75	400	0,90
500	0,84	500	0,79	500	0,92
Исходя из проведенного исследования, можно сделать вывод,
что коэффициент рабочих ходов увеличивается при, во-первых, рабо-
те на максимальной длине гона, возможной в данных условиях,
во-вторых, применении навесных орудий; для которых значения R и
е значительно меньше, чем для прицепных.
Наиболее подготовленным учащимся можно предложить решить
следующую задачу.
4.3.4. Определите целесообразную форму загона при диагональ-
ном односледном способе движения агрегата.
Задачи 4.3.2—4.3.4 взяты из книги Б. С. Свирщевского (см.
Свирщевский Б. С. Эксплуатация машинно-тракторного
парка.— М.: Сельхозиздат, 1958).
5.	Составление и использование заданий по математике,
связанных с трудовой деятельностью учащихся
Практические и лабораторные работы занимают важное место
в системе подготовки учащихся к практической деятельности. Вы-
полнение этих работ оказывает положительное влияние на развитие
инициативы и находчивости, навыков выполнения вычислений, изме-
рений, построений, чтения графиков, на формирование творческого
стиля мышления.
5.1.	Виды практических работ. В процессе обучения в школе
традиционно применяются так называемые познавательные, трени-
ровочные практические и лабораторные работы, измерительные рабо-
ты на местности.
Познавательные работы имеют целью поставить учеников в усло-
вия «открытия» ими новых математических фактов. Замеченная
в результате выполнения работы закономерность дает ученикам воз-
можность выдвинуть гипотезу, которая либо подтверждается либо
опровергается доказательством.
Например, доказательству теоремы о сумме углов выпуклого мно-
гоугольника целесообразно предварить выполнение такой лабора-
торной работы: каждому ученику выдается модель выпуклого мно-
76
гоугольника (одной части учащихся •модели четырехугольника, дру-
гой части — модели пятиугольника), предлагается измерить каждый
его угол и вычислить сумму углов. (Все одноименные многоуголь-
ники различны и по линейным размерам, и по величине углов.)
В результате выполнения работы оказывается, что сумма углов
каждого четырехугольника приблизительно равна 360°, а пяти-
угольника — 540°. Это дает основание высказать предположение,
что сумма углов любого четырехугольника равна 360°, а любого
пятиугольника — 540°. Доказательство теоремы о сумме углов вы-
пуклого многоугольника подтверждает обоснованность такого пред-
положения.
Тренировочные работы имеют целью выработать у учеников уме-
ние применять теоретические знания по математике к решению кон-
кретных задач. Выполнение таких работ связано с изменением ли-
нейных размеров, площадей плоских фиГур, объемов и площадей
поверхностей пространственных тел.
Например, после доказательства теоремы об объеме пирамиды и
решения отдельных задач по теме учащимся полезно предложить
найти объемы моделей, имеющих форму пирамиды. Ученики вы-
полняют необходимые измерения и, используя изученную теорию,
вычисляют объем данной пирамиды.
Целесообразно предлагать учащимся находить линейные разме-
ры, площади поверхностей и объемы реальных деталей и узлов машин
и их макетов, чертежей. При выполнении работ следует использо-
вать широкий инструментарий, в том числе штангенциркуль,
микрометр, нутромер, кронциркуль, широко применяемые в производ-
ственной практике, знакомые учащимся из их предыдущего обуче-
ния в учебных мастерских.
Измерительные работы на местности связаны с измерением
реальных расстояний, в том числе между недоступными предметами,
высот, площадей земельных участков, съемкой плана местности.
Ценность измерительных работ на местности велика как для
математического образования школьников, так и для приобретения
ими практических умений и навыков. Выполнение таких работ спо-
собствует подготовке к математическому моделированию практиче-
ских задач.
Практические работы рассмотренных трех видов выполняются
на уроках математики и непосредственно не связаны с трудовым
обучением учеников. Однако их выполнение способствует формиро-
ванию тех умений и навыков, стиля мышления, которые необходи-
мы в повседневном производительном труде.
5.2.	Задания, связанные с общественно полезным трудом
школьников. Цели и содержание этих заданий существенно зависят
от уровня математической подготовки учащихся, их трудового опыта.
Основными целями практических заданий в девятилетней школе
являются:
а)	формирование у учащихся умения применять знания по мате-
матике в практической деятельности;
77
б)	выработка у учеников навыков самостоятельной работы;
в)	обучение школьников способам учета результатов своего труда
и выполнению простых практических расчетов;
г)	развитие творческого мышления учащихся.
Содержание заданий непосредственно связано с трудовой прак-
тикой учеников на пришкольных опытных участках, а в VII, VIII клас-
сах частично и с работой в составе ученических производственных
бригад.
Содержание заданий может быть следующим.
V—VI кл. 1. Вычислите урожайность картофеля или сахарной
свеклы на пришкольном опытном участке в пересчете на 1 га.
2.	Подсчитайте число растений пшеницы (ржи, овса) на 1 га.
3.	Составьте задачу по теме «Проценты».
VII кл. 1. Снимите план пришкольного участка.
2. Вычислите площадь прополотой учеником моркови (или дру-
гой культуры) за 1 ч; за 3 ч.
3. Составьте задачу по теме «Уравнение первой степени с одной
переменной».
VIII кл. 1. Выполните расчет рабочего времени, необходимого
звену школьников для прополки сахарной свеклы на закрепленном
за ученической производственной бригадой участке.
2.	Вычислите, какое число коров будет обеспечено в стойловый
период силосом, заложенным из кукурузы, убранной с закреплен-
ного за ученической производственной бригадой поля.
3.	Вычислите число кустов картофеля, посаженного квадратно-
гнездовым способом, на 1 га (практически и теоретически).
4.	Составьте задачу по теме «Дробно-линейное уравнение с
одной переменной».
IX кл. 1. Найдите массу сена в скирде, пользуясь: а) эмпири-
ческой формулой вычисления объема скирды; б) расчетными табли-
цами.
2.	Подсчитайте число автомашин указанной грузоподъемности,
необходимых для вывозки картофеля, убранного с поля, закреплен-
ного за ученической производственной бригадой.
3.	Найдите площадь земельного участка, с которого убран в
день урожай пшеницы одним комбайном.
4.	Составьте задачу по теме «Квадратные уравнения».
Задания составляются учителем математики и согласуются с учи-
телем биологии, руководителем ученической производственной
бригады. Содержание заданий и необходимые указания к их выполне-
нию сообщаются учащимся заблаговременно — до начала трудовой
практики. По окончании практики ученики представляют отчет о
выполнении заданий. Наиболее удачно составленные задачи могут
быть использованы в учебном процессе.
Выполнение заданий способствует формированию у школьников
навыков выполнения вычислений и измерений, пользования табли-
цами, умения решать простейшие практические задачи и содействует
усилению политехнической подготовки учащихся. Самостоятельное
78
составление задач содействует развитию творческих способно-
стей школьников. Выполнение заданий имеет и большую воспи-
тательную значимость: оно активизирует мыслительную деятельность
учеников, позволяет дать количественную оценку труда собствен*
кого и товарищей, осмыслить результаты труда взрослых. Приобре-
тенные знания по математике воспринимаются учениками как необ-
ходимость для каждого труженика.
5.3. Задания, связанные с производительным трудом учащихся.
Задания старшеклассникам даются в связи с их производитель-
ным сельскохозяйственным трудом с учетом объема знаний не только
по математике, но и по основам^ производства.
Выполнение заданий способствует раскрытию некоторых приклад-
ных аспектов математики и тем самым повышению уровня матема-
тической подготовки учеников. Это позволяет также глубже вникнуть
в существо процессов производства и содействует, таким образом,
профессиональной ориентации учащихся.
Основная цель таких заданий — формировать у школьников
умение применять знания по математике непосредственно в производ-
ственной деятельности, давать количественную оценку деятельности
трудовых коллективов, использовать методы математики для повы-
шения эффективности труда.
Содержание заданий подбирается таким образом, чтобы их вы-
полнение способствовало выработке у учеников умения применять
знания по математике для: решения вопросов организации процес-
сов производства; понимания технологии производственных процес-
сов; экономической оценки результатов труда и определения путей
его рационализации.
Рассматриваемые практические задания представляют собой
совокупность взаимосвязанных производственных задач, предла-
гаемых школьникам в связи с их производительным сельскохозяй-
ственным трудом.
Задания могут быть предметными и комплексными. Первые из
них — это задания по отдельным предметам (в частности, по мате-
матике). Выполнение вторых требует применения сведений по не-
скольким учебным дисциплинам (например, биологии, химии, фи-
зике, математике), а также по предметам производственного цикла
(например, машиноведению, основам растениеводства, основам
животноводства). Использование комплексных заданий предпочти-
тельнее, так как они более естественно раскрывают применение
знаний основ наук в реальной производственной обстановке.
Учащимся старших классов сельской школы, работающим в со-
ставе ученических производственных бригад, в школьных лагерях
труда и отдыха и трудовых объединениях, целесообразно предложить
комплексные задания, связанные с их трудовой деятельностью.
Перед производственной практикой следует провести с учащими-
ся беседу о выполнении заданий. Тему беседы лучше согласовать
с учителями других общеобразовательных дисциплин и предметов
производственного цикла. В ней можно дать рекомендации ио
79
использованию специальной и справочной литературы, метопические
указания к выполнению заданий. По окончании трудовой практики
учащиеся представляют отчет о выполненной работе по предложен-
ной учителем форме.
Так, например, математическая часть комплексного задания
учащимся, работающим в составе ученической производственной
бригады на уборке зерновых культур, может состоять из задач 5.3.1—
5.3.4.
Б.3.1. Определите, на какой скорости может работать комбайн
при данной урожайности убираемой культуры и его часовую произво-
дительность. Выясните, как влияют соломистость хлебной массы
и урожайность на скорость движения комбайна.
5.3.2.	Подсчитайте число транспортных единиц, обеспечивающих
бесперебойную отгрузку зерна от комбайна на ток.
 5.3.3. Составьте схему для определения пунктов разгрузки бун-
кера комбайна.
5.3.4. Вычислите среднюю урожайность зерна с одного участка.
Решение (5.3.1). Обозначим урожайность убираемой куль-
туры через h ц/га. Введем понятие ее соломистости у как отношения
массы соломы к массе зерна. Тогда комбайн, переработает с каждо-
го гектара хлебной массы т
т=й(1+т),ц.	(54)
Пусть часовая производительность- комбайна w, тогда
w = 0,lftu, га/ч,	(55)
где b — ширина захвата жатки комбайна, м; v — рабочая скорость
комбайна, км/ч.
Комбайн перерабатывает за один час хлебную массу
mi=mw=O,lh (1 +т) bv.
(56)
Для проведения уборки без потерь хлебная масса, перерабаты-
ваемая за час, не должна превышать пропускной способности
комбайна f, ц/ч:
Есликомбайн будет загружен на полную пропускную способность,
то mi=f или 0,1ft(1 +у)bv—f. Отсюда
°=о,1Л (/+?)<> •	(57)
Пусть, например, пшеница, выращенная на закрепленном за уче-
нической производственной бригадой массиве, убирается комбайном
СК-5 «Нива». Ширина захвата жатки комбайна установлена
в 5,0 м. Пропускная способность молотилки этого комбайна при
влажности хлебной массы 18—20% составляет при соломистости
1:1,5 5,0—6,0 кг/с или 180—216 ц/ч. При средней урожайности
на участке в 18 ц/га
80
180
U =--------------
0.1 • 18-( Ц
=0 f?8 25 5O=12» Км/Ч-
U,1 • 1O*2,D*O,U
При пропускной способности молотилки в 216 ц/ч скорость соста-
вит 14,4 км/ч.
Сведения о технической характеристике комбайна «Колос>
можно получить из табл. 16 (см. также С. А. И оф и нов и
Г. П. Л ы ш к о. Эксплуатация машинно-тракторного парка.— М.:
Колос, 1984). Найденная скорость комбайна не превосходит ука-
занную в табл. 16. Часовая производительность комбайна вычисляет-
ся по формуле (55). В нашем случае она составляет w=0,1 *5,0* 8=
=6 га/ч.
Таблица 16
Названия технических характеристик	Комбайн для прямого комбайнирования		
	СКД-6 «Сибиряк»	СК-5 «Нива»	СК-6П «Колос»
Ширина захвата, м	4,1; 5,0;	3,2; 4,1;	4.1; 5.0; 6,0;
	6,0; 7.0	5,0; 6,0; 7,0	7.0
Ширина молотилки, мм	1200	1200	1500
Диаметр барабана, мм	550	600	600
Пропускная способность молотилки при отношении зерна к соломе 1:1,5, кг/с	5.5—6.5	5.0—6.0	6,0—8.0
Вместимость бункера, м3	4.5	3,0	3,0
Вместимость копнителя, м3	9.0	9,0	и,о
Мощность двигателя, кВт	90	74	110
Производительность при урожай- ности зерна 25 ц/га. га/ч	3,5—4,5	2,8—3,0	3,5—4,5
Производительность, км/ч	до 10,0	7,2	8,5
Скорость движения, км/ч	до 18,7	ДО 18,7	до 9,6
Найденная производительность превосходит указанную в табл. 16.
Это объясняется тем, что приведенная в таблице производитель-
ность рассчитана при существенно большей урожайности (25 ц/га),
а чем больше урожайность, тем меньше площадь, с которой полу-
чим одну и ту же массу зерна. Кроме того, чем больше урожайность
и соломистость, тем меньше скорость движения комбайна. Такой
вывод непосредственно следует из анализа формулы (57).
Действительно, при А = 25 ц/га, А = 6 м и той же соломистости
V=n , 18-0,1’5 =7,2 км/ч, а ИУ=О,1-6,0-7,2 = 4,3 га/ч.
U, 1 * хэ * о,и *
Для выполнения второго задания следует воспользоваться фор-
мулой
n=^L	(58)
60 Г ’
где п — число транспортных единиц, Wi — намолот зерна за 1 ч
81
работы комбайна, ц; t— время, необходимое на один оборот транс-
портной единицы, мин; Г — грузоподъемность транспортной едини-
цы, ц. Сохранив все исходные данные и результаты, найденные
при решении задачи 5.3.1, необходимо дополнительно выяснить, ка-
кие транспортные единицы будут выделены для отгрузки рерна.
Допустим, что представляется возможным выделить самосвалы
ГАЗ-САЗ-535, грузоподъемность которых 3,5 т. Пусть ток нахо-
дится на расстоянии 6 км от убираемого поля и автомобиль спосо-
бен развить на перегонах поле — ток, ток — поле и при движении
по полю среднюю скорость 25 км/ч. Тогда математическая задача
может быть сформулирована так: «Определите, какое число автома-
шин ГАЗ-САо-535, грузоподъемность которых 3,5 т, надо выде-
лить для отгрузки зерна от комбайна СК-5 «Нива» на ток, нахо-
дящийся на расстоянии 6 км от поля, при коэффициенте использова-
ния времени 0,9, урожайности пшеницы 18 ц/га и средней скорости
движения автомобиля 25 км/ч».
Вычислив по формуле (55) часовую производительность комбайна
10=0,1*5,0*8,0*0,9 = 5,4 га/ч и зная урожайность пшеницы
(18 ц/га), найдем у=5,4*18 = 97 ц/ч.
12
На путь с поля на ток и обратно тратится — ч. На погрузку
и разгрузку автомобиля, учитывая его проезд по полю, тратится
97*42
12 мин, следовательно, /=42. Отсюда п= - -, = 1,9.
OU*OD
Таким образом, в указанных условиях для бесперебойной отгруз-
ки зерна от комбайна на ток необходимо выделить 2 автомобиля
ГАЗ-САЗ-535.
Для выполнения третьего задания следует знать длину пути,
пройденного комбайном до наполнения бункера зерном, конфигура-
цию и размеры поля.
По ранее выведенной формуле /=^-при У=16 ц, 6 = 5 м, ft =
= 18 ц/га найдем /=\? ‘*- = 1800 м.
э* 1о
Пусть поле имеет форму прямоугольника ABCD, длина которого
AD= 1000 м, а ширина АВ = 400 м. Схема движения комбайна
изображена на рис. 20. Пункты выгрузки бункера комбайна — F,
К, N, О и т. д.
Выполнение четвертого задания связано с вычислением массы
зерна, намолоченного с убранного поля, и площади этого поля. Тогда
средняя урожайность вычисляется тривиально.
Практические задания могут быть предложены учащимся, рабо-
тающим в составе ученической производственной бригады или лагеря
труда и отдыха, в связи с выполнением работ по севу, обработке
посевов, вспашке закрепленных за школой земельных участков, а
также в связи с работой в животноводстве. Однако требовать их
выполнения всеми учениками не следует. Такие задания естественно
предлагать тем старшеклассникам, которые проявляют интерес к ма-
82
4
Рис. 20
тематике и ее приложениям либо готовят себя к профессиональной
деятельности в сельскохозяйственном производстве.
Может создаться впечатление, что математический аппарат, ис-
пользуемый при выполнении заданий, не соответствует уровню мате-
матической подготовки учащихся, а следовательно, выполнение зада-
ний не способствует ее совершенствованию. Однако подобное впе-
чатление обманчиво. Математический аппарат можно было бы суще-
ственно усложнить, учитывая все факторы, влияющие на условие
и возникающие в процессе решения задач. Но самостоятельное при-
менение сведений по математике непосредственно в производствен-
ных условиях уже представляет для учеников объективную труд-
ность. Увеличение этой трудности может привести к тому, что выпол-
нение заданий окажется непосильным для учащихся.
Поэтому считаем, что применение ранее приобретенных знаний
по математике (даже не в полной мере соответствующих уровню
математической подготовки старшеклассников) в существенно но-
вых условиях способствует качественному изменению знаний, повы-
шению уровня математической культуры учеников.
Приложения
Краткий словарь-справочник экономических терминов
Аренда — предоставление имущества во временное пользование
на договорных началах за определенное вознаграждение.
Аренда земли — предоставление земельного участка его владель-
цем во временное пользование другому лицу — арендатору, кото-
рый выплачивает собственнику земли определенное вознагражде-
ние — арендную плату.
Благосостояние — обеспеченность населения страны необходи-
мыми для жизни материальными и духовными благами; характе-
ризуется уровнем и динамикой доходов, потреблением материальных
благ, обеспеченностью жильем, коммунальными, бытовыми, транс-
портными и другими услугами, развитием просвещения, здравоохра-
нения, культурным обслуживанием, социальным обеспечением, про-
должительностью рабочего дня и свободного времени.
Валовая продукция — статистический показатель, характеризую-
щий в денежном выражении общий объем производства предприя-
тия, отрасли или всего народного хозяйства за определенный период
времени.
Заработная плата — часть национального дохода, выраженного
в денежной форме, которая поступает в личное распоряжение
трудящихся. Заработная плата выдается рабочим и служащим в
соответствии с количеством и качеством труда каждого работника.
Интенсивная технология — совокупность приемов и методов,
обеспечивающих получение сельскохозяйственной продукции на ос-
нове широкого использования средств механизации и автоматиза-
ции производства. Интенсивная технология для каждой культуры,
зоны, хозяйства имеет свои особенности. Но они имеют много об-
щих черт, которые заключаются в следующем: выращивание высоко-
урожайных сортов интенсивного типа; размещение посевов по луч-
шим предшественникам; первоклассный посевной материал; тща-
тельная подготовка почвы; обеспечение растений питательными ве-
ществами и влагой; применение интегрированной системы защиты
сельскохозяйственных культур от болезней, вредителей и сорняков;
своевременное и высококачественное выполнение всех технологи-
ческих приемов ухода за посевами и уборки урожая.
Коэффициент сменности — определяется путем деления общего
количества отработанных машино-смен на число машин, закреплен-
ных за предприятием, участком, цехом.
84
Кормовая единица — единица измерения и сравнения общей
питательности различных кормов для животных. В СССР за единицу
принята питательность 1 кг сухого овса среднего качества.
Научная организация труда — осуществление на каждом рабо-
чем месте, участке, в цехе, на предприятии комплекса мероприятий,
позволяющих наилучшим образом соединить технику и людей в еди-
ном производственном процессе, обеспечивающих наиболее эффек-
тивное использование материальных и трудовых ресурсов, непрерыв-
ное повышение производительности труда, способствующих сохране-
нию здоровья человека, постепенному превращению труда в первую
жизненную необходимость.
Норма — научно обоснованные плановые показатели, регламен-
тирующие максимально допустимые величины расхода материаль-
ных ресурсов и рабочего времени на изготовление единицы про-
дукции.
Посевная площадь — площадь, используемая для посева сельско-
хозяйственных культур.
Премия — дополнительное вознаграждение отдельных лиц или
организаций в целях усиления их материальной заинтересован-
ности в повышении эффективности производства, росте объема реа-
лизации и улучшении качества продукции, экономии материальных
ресурсов, повышении производительности труда и рентабельности
производства.
Производительность труда — эффективность затрат труда. Она
выражается в количестве продукции, производимой работником
в единицу времени, или в величине затрат рабочего времени на
изготовление единицы продукции.
Пропашная культура — сельскохозяйственные растения, для
нормального роста и развития которых необходимы большие пло-
щади питания и междурядная обработка почвы. К пропашным куль-
турам относятся зерновые (кукуруза, гречиха, просо, фасоль), тех-
нические (сахарная свекла, подсолнечник, хлопчатник), овощные
(капуста; томат, огурец, свекла, морковь), кормовые (корнеплоды и др.).
Прибыль — разница между затратами на производство изделия
и ценой, по которой это изделие реализуется.
Рабочий день — установленное законом время суток, в течение
которого трудящийся работает на предприятии или в учреждении.
Рентабельность — обобщающий показатель экономической эф-
фективности работы предприятия за определенное время. Он харак-
теризует степень прибыльности, доходности предприятия. Рента-
бельность исчисляют путем деления годового размера прибыли на
среднегодовую стоимость основных'производственных фондов и обо-
ротных средств.
Розничная цена — включает в себя оптовую цену промышлен-
ной (сельскохозяйственной) продукции и торговую накидку. Торго-
вая накидка устанавливается в размерах, необходимых для покры-
тия расходов торгующих организаций по продаже товаров и других
целей.
85
Сдельная оплата труда — форма оплаты труда, производимая
в соответствии с количеством, и качеством произведенной рабочим
продукции. Широкое распространение имеют такие разновидности
сдельной оплаты труда, как сдельно-премиальная, сдельно-прогрес-
сивная, коллективная, аккордная.
Себестоимость — все денежные затраты предприятия на изго-
товление и реализацию продукции. Себестоимость показывает, во
что обходится предприятию выпускаемая им продукция.
Севооборот — чередование сельскохозяйственных культур на
одной и той же земельной территории на протяжении ряда лет.
Период, в течение которого культуры проходят через каждое поле
в установленной последовательности, называется ротацией севообо-
рота.
Силос — сочный корм для сельскохозяйственных животных, при-
готовленный путем заквашивания измельченной зеленой массы есте-
ственных и сеяных кормовых растений или других сочных кормов
(корнеклубнеплоды, плоды бахчевых культур) в силосных сооруже-
ниях (башнях, траншеях, ямах).
Стоимость — овеществленный в товаре общественный труд това-
ропроизводителя. Величина стоимости товара определяется общест-
венно необходимым трудом.
Товарная продукция — часть валовой продукции, произведенной
сельскохозяйственным предприятием для реализации.
Тариф — цена, устанавливаемая на услуги. Тарифы действуют
на транспорте, в сфере бытового обслуживания и т. д.
Тарифная ставка — определяет размер оплаты труда различ-
ных групп рабочих за единицу времени (час, день, месяц).
Тонно-километр — определяется перемножением веса перево-
зимого груза, выраженного в тоннах, на пройденный путь в кило-
метрах.
Трудоемкость продукции — экономический показатель, харак-
теризуемый количеством рабочего времени, затрачиваемого на
производство единицы продукции или выполнение определенной ра-
боты.
Удобрения — вещества органического и неорганического проис-
хождения, применяемые для улучшения развития сельскохозяйствен-
ного растения.
Урожайность — количество продуктов растениеводства, полу-
ченное с единицы земельной площади. Урожайность исчисляется
в центнерах с 1 га. Продукция теплично-парникового производства
исчисляется в килограммах с 1 квадратного метра.
Фонд заработной платы — планомерно выделяемая государством
сумма денежных средств, используемая для оплаты труда всех
категорий работников за определенный период (месяц, год) по
предприятиям, министерствам, в целом но народному хозяйству.
Фонд накопления — часть национального дохода, используемая
для дальнейшего развития экономики, обеспечения непрерывного
роста и совершенствования производства, увеличения производствен-
86
ных фондов народного хозяйства, увеличения материальных ресур-
сов и создания требуемых материальных резервов.
Фондоотдача — показывает, сколько продукции в денежном вы-
ражении выпущено предприятием за год в расчете на 1 рубль основ-
ных производственных фондов.
Хозяйственный договор — соглашение между предприятиями об
установлении хозяйственных отношений.
Хозяйственный расчет — метод планового ведения хозяйства,
основанного на соизмерении в денежной форме затрат и результа-
тов хозяйственной деятельности.
Цена — денежная форма стоимости товара. Цена продукции
включает в себя ее себестоимость, а также чистый доход, поступаю-
щий в распоряжение предприятия (объединения) и всего общества.
Цена оптовая — цена, по которой предприятия в соответствии
с планом реализуют свою продукцию друг другу, другим предприя-
тиям и организациям.
Цена закупочная — цена, по которой государство закупает сель-
скохозяйственную продукцию у сельскохозяйственных предприятий
и населения.
Энерговооруженность — показатель, характеризующий воору-
женность труда всеми видами энергии (электрической, механиче-
ской и т. д.), показывающий количество энергии, используемой
предприятием в среднем на одного рабочего.
Эффективность производства — важнейший экономический кри-
терий, который характеризуется'соотношением между достигнутым
результатом производства и затратами различных ресурсов. Повы-
сить эффективность производства — значит добиться наибольших
хозяйственных результатов при наименьших затратах материаль-
ных ресурсов и труда.
Некоторые сведения о работе
машинно-тракторных агрегатов
1.	Машинно-тракторным агрегатом называется совокупность
машин с источником энергии при использовании механического
(или электрического) источника энергии (двигателя).
2.	Машинно-тракторным парком называется совокупность мо-
бильных машин предприятия (подразделения, объединения) вместе
с энергетическими средствами и вспомогательными устройствами.
3.	Виды движений агрегатов.
Классификационные признаки	Наименование способа	Характеристика
По организации терри- тории	Загонный Беззагонный	Рабочий участок разбивается на за- гоны Рабочий участок на загоны не разби- вается
87
Продолжение
Классификационные признаки	Наименование способа	Характеристика
По направлению рабо- чих ходов	Тоновый	Рабочие ходы осуществляются вдоль (параллельно) одной из сторон участ- ка (загона)
	Диагональный Круговой	Рабочие ходы осуществляются под углом (диагонально) к стороне участ- ка (загона) Рабочие ходы осуществляются как вдоль, так и поперек участка (загона)
По способам выполня- емых поворотов	Беспетлевой Петлевой	Все повороты беспетлевые Все или часть поворотов петлевые (грушевидные или восьмеркой)
По направлению движе- ния агрегата	Правоповоротный Левоповоротный К центру К периферии	Основное движение (повороты) на загоне осуществляется по часовой стрелке (вправо) Основное движение (повороты) на загоне осуществляется против часо- вой стрелки (влево) Основное движение на загоне осу- ществляется от периферии к центру Основное движение на загоне осу- ществляется от центра к периферии
4.	Способы движения агрегатов и их характеристика.
Всвал	Тоновый, правоповоротный вид движения,
при котором участок (загон) обрабаты-
вается от средней части к боковым сторо-
Вразвал
Комбинированный
Челночный
нам.
Тоновый, левоповоротный вид движения,
при котором участок (загон) обрабаты-
вается от боковых сторон к средней части.
Движение осуществляется на одном заго-
не всвал и вразвал.
Участок (загон) обрабатывается последо-
вательными (чаще всего рядом располо-
женными) ходами с правыми и левыми
поворотами.
Перекрестный	Участок (загон) обрабатывается в двух,
как правило, взаимно перпендикулярных
(или близких к ним) направлениях.
5.	По кинематике применяемых агрегатов сельскохозяйственные
работы можно подразделить на следующие группы:
1 группа	Работы, выполняемые симметричными агрега-
тами при тоновом или диагональном движении.
Таковы посев, культивация, междурядная об-
работка и др. Наиболее часто на этих работах
88
2 группа
3 группа
применяется челночный способ движения.
Работы, выполняемые асимметричными агрега-
тами при гоновом движении. Таковы все виды
пахотных работ, уборка свеклоуборочным агре-
гатом, уборка кукурузным початкоотрывате-
лем. Наиболее часто на этих работах применя-
ются способы всвал и вразвал с чередованием
загонов всвал и вразвал.
Работы, выполняемые агрегатом при круговом
способе движения. Таковы главным образом
работы по уборке зерновых и некоторых других
культур.
Справочные материалы
по сельскохозяйственной технике
Самоходные' кормоуборочные комбайны
Показатели	КСК-100	Е-280
1) Мощность двигателя, кВт	150	ПО
2) Ширина захвата, м		
жатки для скашивания трав	4,25	4,2
жатки для скашивания кукурузы	3,2	2.4
подборщики	2,2	2,1
3) Рабочая скорость, км/ч	До 12	до 9
4) Производительность за 1 час чистой ра-		
боты, Т		
при уборке зеленой травы	36,5	32,3
при подборе провяленной травы	30,5	27,3
при уборке кукурузы на силос	42,3	34,4
5) Измельчитель (в числителе — без швы*		
рялки, в знаменателе — со швырялкой)		
диаметр барабана, мм	750/407	800
длина барабана, мм	635/635	600
частота вращения, мин“1	918/1174	914
количество ножей, шт.	12/6	8
6) Расчетная длина резки, мм	5 ... 101	6,3 ... 120
7) Масса общая, кг	13000	8450
Бороны
Показатели		Зубковые						Дисковые	
		БЗТС-1,0	БЗСС-10	ЗБП-0,6	ЗОР-0,7	БСО-4	БП-8 «	БД-10	БЛИЗ
1)	Ширина захвата сек- ции из трех звень- ев, м Тип зуба	3,0	3,0	1,77	2,2	4,2	♦ 8,4	10,0	3,0 ДИСКОВЫЙ
2)		квадратный	квадратный	круглый,	круглый,	круглый,	пружинный	дисковый	
3)	Число зубьёв (дис- ков) в звене	20	20	заострен- ный 20	заострен- ный 20	тупой 198	85	120	37
4)	Давление на один зуб (диск), Н	22	18	5,9	4,75	9,6	167	до 320	до 240
5) 6)	Шаг зубьев по сле- ду, мм Глубина обработки, см	47 до 10	49 • до 8	37,5 до 5	37,5 до 4	22 до 8	98 до 12	до 10	ДО 10
7)	Рабочая скорость, км/ч	до 12	до 12	до 7	до 7	до 8	до 15	до И	до 10
Лущильники
Показатели	Значения показателей для лущильников				
	дисковых				лемешного
	ЛДГ-5	ЛДГ-10	ЛДГ-15	ЛДГ-20	ППЛ-10-25
1)	Ширина захвата (для дисковых при угле атаки 35°), м 2)	Количество батарей (корпусов) 3)	Диаметр дисков (ширина захвата корпу- са), мм 4)	Глубина обработки, см 5)	Расстояние между лезвиями дисков, мм 6)	Рабочая скорость, км/ч	5 4 450 4 ... 10 169 ДО 10	10 8 450 4 ... 10 169 ДО 12	15 12 450 4 ... 10 169 до 12	20 16 450 4 ... 10 169 до 10	2,5 10 250 8 ... 18 до 12
Культиваторы (пропашные)
Показатели	Значения показателей культиваторов для обработки						
	картофеля		i кукурузы		сахарной свеклы	овощных культур	
	КОН-2.8ПМ	КРН-4.2Г	КРН-4.2	КРН-5,6	УСМК-5,4	КРН-2.8МО	КОР-4,2
1)	Число обрабатывав* мых рядков 2)	Ширина междурядий, см 3)	Ширина захвата, м 4)	Рабочая скорость, км/ч	4 70 2,8 до 8	6 70 4,2 до 9	6 70 4,2 до 9	8 70 5,6 до 9	12 45 5,4 ' 6—9	4 или 6 45, 60, 70 2,8 до 8	। 6 или 8 45, 60, 70 4,2 до 8 i
Валковые жатки
Показатели	ч ЖВН-6А	ЖШН-6	ЖНС-6-12	ЖВС-6	' ЖВР-10	ЖРБ-4,2	ЖНУ-4
1) Ширина захвата, м 2) Тип режущего аппа-	6	6	6	6	10	4,2	4
рата 3) Шаг расстановки паль-	нормальный	нормальный	нормальный	нормальный	нормальный	двухноже- вой, нормаль- ный	двухноже- вой, нормаль- ный
цев и сегментов, мм	76,2	76,2	76,2	76,2	76,2	76,2	76,2
4) Ход ножа, мм 5) Частота вращения кри- вошипа привода ножа,	76,2	76,2	140	76,2	76,2	76,2	76,2
об/мин	506	449	328	560	450	400	400 '
6) Рабочая скорость, км/ч 7) Производительность,	до 18	до 18	до 18	до 18	до 18	до 18	до 15
га/ч	до 4,6	до 4,3	до 6,2 100...250	до 4,5	до 7,0	до 2,5	до 1,6
8) Высота среза, мм	120...250	120...250		60...500	50...250	40...400	50...500 .
9) Масса, кг	1100	' 1300	1350	1400	2020	1108	1050 j 	
8
Колесные тракторы
	Показатели	ч			у - — - - - - - _ — — Марки тракторов				
		К-701	Т-150К	МТЗ-80	МТЗ-82	ЮМЗ-6Л	Т-40М	Т-25А	Т-16М
1)	Номинальная мощ- ность двигателей, кВт	) 218,0	120,0	58,8	58,8	43,5	37,5	18,4	14,7
2)	Масса заправленного трактора, Т	13,4	7,9	3,3	3,4	3,4	2,4	1.6	1,6
3)	Скорость движения, км/ч вперед	2,9...33,3	8,5...30,1	2,5...33,4	2,5...33,4	1,6...25,9	1,8...30,0	1,8...21,9	1,38...20,6
	назад	5,1...24,3	6,6... 10,0	5,7...8,9	5,8...8,9	5,7	5,94	6,4	4,9
4) 5)	Ширина колеи, м Расход топлива, кг/ч	2,115 52	1,68... 1,86 30	15	15	12	9,5	4,2	3,8
6)	Вместимость топлив- ного бака, л	640	315	130	130	100	74	53	40
7)	Класс тяги, кН	50	30	14 V	14	14 *	9	6	6
Автомобили-самосвалы
Показатели	Марки автомобилей							
	КРАЗ-256Б	MA3-503A	Урал-5920	КАМАЗ-55102 1	ЗИЛ-ММЗ- 554М	ЗИЛ-ММЗ- 555	ГАЗ-САЗ- 535	САЗ-3502
1) Грузоподъемность, т	и.о	8,0	8,0	7,0	5,5	4,5	3,5	3,2
2) Мощность двигателя, кВт	176,2	132,2	154,0	154,0	110,0	110,3	85,0	85,0
3) Расход топлива на 100 км, л 4) Вместимость кузова, м3	36,0	32,0		32,5	28,0	28,0	24,0	24,0
	6,0	5,0		7,9	6,0	3,1	5,0	3,78
5) Масса автомобиля, т	10,2	6,8	9,6	8,7	5,1	4,5	3,8	4,0
6) Максимальная ско- рость, км/ч	70	85		80	90	90	85	85
Автомобили с бортовой платформой
Показатели	Марки автомобилей							
	КРАЗ-257	КРАЗ-255-Б	КАМАЗ-5320	ЗИЛ-130	ЗИЛ-131	ГАЗ-53А	ГАЗ-66-01	УАЗ-452Д
1)	Грузоподъемность, т 2)	Мощность двигателя, кВт 3)	Расход топлива на 100 км, л 4)	Вместимость кузова, м3 5)	Масса автомобиля, т 6)	Максимальная ско- рость км/ч	12,0 177,0 36 И,8 10,2 68	8,0 177,0 40 8,2 И,1 70	8,0 154,0 24 7,0 80	5,0 110,0 28 5,0 4,3 90	3,5...5,0 110,0 40 2,9 6,4 80	4,0 84,6 24 5,5 3,25 86	2,0 84,6 24 6,1 3,47 90	0,8 53,0 13 2,2 1,67 95
Справочные материалы о боронах, лущильниках, культиваторах, валковых жатках, колесных тракторах, автомобилях взяты
из книги: Барсуков А. Ф., Еленев А. В. Справочник по сельскохозяйственной технике.— М: Колос, 1981.
Зерновые сеялки
Показатели	СЗ-3,6	СЗП-3,6	СЗУ-3,6	СЗТ-3,6	СЗС-2,1
1)	Ширина захвата, м 2)	Ширина междурядий, см 3)	Глубина заделки семян, см 4)	Емкость ящиков, дм3 для зерна для удобрений для семян трав 5)	Диаметр, см опорно-приводных колес прикатывающих катков 6)	Рабочая скорость, км/ч к	3,6 15 4...8 453 212 124,5 до 15	3,6 15 4...8 453 212 76,5 55,0 ДО 15	3,6 6/9 4...8 453 212 124,5 До 12	3,6 15/7,5 4...8/2...4 453 212 86 124,5 до 12	2,05 22,8 4...10 270 135 55,0 до 12
я
Картофеле! я салки
Показатели	СН-4Б	СКС-4	САЯ-4	СКМ-6	КСМ-4	КСМ-6
1)	Ширина захвата, м 2)	Число рядков, шт. 3)	Рабочая скорость, км/ч 4)	Производительность за 1 час чистой работы, га 5)	Глубина посадки, см 6)	Вместимость бункера для картофеля, кг 7)	Вместимость банок для удобрений, кг 8)	Количество высеваемых удобрений, кг/га 9)	Междурядья, см 10)	Расстояние между клубня- ми в рядке, см 11)	Число клубней на 1 га, тыс. шт. 12)	Агрегатируется с тракто- ром	, ✓	2,8 4 4,8...6,3 . 1,0... 1,2 до 18 360 48 100... 150 70 25...40 40—70 МТЗ-50/52, МТЗ-80/82, Т-74, ДТ-75, ДТ-75М	2,8 4 6,0...9,0 0,8... 1,47 до 18 1500 540 100... 150 70 25...40 ч 40—75 МТЗ-52 МТЗ-80/82 Т-74, ДТ-75М	2,8 4 2,9...7,4 0,5... 1,55 до 6,0...21,0 470 96 100...150 70 18...39 40—65 МТЗ-50/52 МТЗ-80/82 Т-74, ДТ-75	4,2 6 4,3...7,1 1,5...2,1 до 18 1100 864 100... 150 70 20...32 40—70 Т-74, ДТ-75 МТЗ-80/82,	2,8 4 5,0...9,0 2,08...2,18 до 18 1600 800 200... 1000 70 18...30 40—75 МТЗ-50/52 МТЗ-80/82 ДТ-75/75М Т-150	4,2 6 5,0...9,0 2,8 до 18 2000 1200 200...1000 70 18...30 40—75 МТЗ-80/82, ДТ-75/75М, Т-150
Зерноуборочные комбайны
Показатели	Дон-1500	Дев-1200	СК-10 «Ротор»
1)	Пропускная способность молотилки (при отно- шении массы зерна к массе соломы 1:1,5.), кг/с 2)	Производительность за 1 час чистого времени (при отношении массы зерна к массе соло* мы 1:1,5), т 3)	Скорость движения, км/ч рабочая трансяортная 4)	Вместимость бункера, м3 5)	Мощность двигателя, кВт 6)	Ширина захвата жатки, м 7)	Количество молотильных устройств, Шт. 8)	Ширина молотилки, см * 9)	Диаметр барабана, см 10)	Частота вращения барабан, мин*"1 первого второго 11)	Подбарабаны с углом обхвата, град. первого барабана второго барабана 12)	Емкость копнителя, м3 13)	Частота вращения крылача вентилятора, мин-1 14)	Диаметр колес, см ведущих управляемых 15)	Масса, кг f	8 ... 8,5 12 0 ... 10 до 20 6 162 6,0; 7,0; 8,6 1 150 80 512 ... 594 Решетчатые однс 14 187 140 12 650	6 ... 6,5 9 0,81 ... 7,2 до 20 6 118 5,0; 6,0; 7,0 1 120 80 512 ... 954 секционные обратимые, yi 16 ft 187 140 И 670 1	10 14 0 ... 10 до 23,2 6.3 176 6,0; 7,0; 8.6 1 150 77 120 ... 540 гол обхвата 130е * 187 140 15 630
СП
, Список рекомендуемой литературы
А т у т о в П. Р.» Бабкин Н. И., Васильев Ю. К. Связь трудового
обучения с основами наук.— М.: Просвещение, 1983.
А т у т о в П. Р. Политехническое образование школьников: •
сближение общеобразовательной и профессиональной школы.—
Мл Педагогика, 1986.
Барсуков А. Ф., Еленев А. В. Справочник по сельскохозяй-
ственной технике,—М.: Колос, 1981.	=
Болтянский В. Г., Пашкова Л. М. Проблема политехниза-
ции курса математики // Математика в школе.— 1985.— № 5. ' ‘
Г а т а у л и и А. М.,- Харитонова Л. А., Гаврилов Г. В. Экономи-,
ко-математические методы в планировании сельскохозяйственного'
производства.— М.: Колос, 1986.	'	“
И о ф и и о в С. А., Лышко Г. П. Эксплуатация машинно-тра^-
тррного парка.— М.: Колос, 1984.
Кипнис И. М. Задачи на составление уравнений и нера-
венств.— М.: Просвещение, 1980.
Колягин Ю. М., Пикан В. В. О прикладной и практической
направленности обучения математике//Математика в школе.—
1985.— № 6.	-
Максимова В. Н. Межпредметные связи в учебно-воспита-
тельном процессе современной школы.— М.: Просвещение," 1987.
Моисеев А. В., Петросян К. Ц., Пилипенко Н. Н. Экономи-
ческий словарь-справочник: Учебное пособие для учащихся.— М.:
Просвещение, 1985.
Петров В. А. Преподавание математики в сельской школе.—
М: Просвещение, 1986. ,
Тихонов А. Н., Костомаров Д. П. Рассказы о прикладной
математике.— М~ Наука, 1979.
Сельскохозяйственный энциклопедический словарь.— М.: Со-
ветская энциклопедия, 1989.
Фридман Л. М., Турецкий Е. Н. Как научиться решать за-
дачи.— М.: Просвещение, 1989.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие............................................................. 3
1.	Задачи по математике с практическим содержанием...................... 5
2.	Использование задач с практическим содержанием на уроках математики 15
3.	Пропедевтика математического моделирования в школе...................36
4.	Использование задач с практическим содержанием во внеклассной работе
по математике............................................................57
5.	Составление и использование заданий по математике, связанных с трудо-
вой деятельностью учащихся...............................................76
Приложения............................................................. 84
Список рекомендуемой	литературы........................................ 96
Учебное издание
Шапиро Иосиф Максимович
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЗАДАЧ
С ПРАКТИЧЕСКИМ СОДЕРЖАНИЕМ
В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ
Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова
Редактор Т. Ю. Акимова
Младший редактор Е. В. Казакова
Художник Е. М. Молчанов
Художественный редактор Ю, В. Пахомов
Технический редактор С. С. Якушкина
Корректор О. В. Степанова
ИБ № 13441
Сдано в набор 11.12.89. Подписано к печати 06.08.90. Формат 60Х90‘/1б. Бум.
типограф. № 2. Гарнитура литературная. Печать высокая. Усл.-печ. л. 6,0. Усл.
кр.-отт. 6,37. Уч.-изд. л. 6,22. Тираж 140 000 экз. Заказ 692. Цена 15 к.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Министерства
печати и массовой информации РСФСР. 129846, Москва, 3-й проезд Марьиной
рощи, 41.
Саратовский ордена Трудового Красного Знамени полиграфический комбинат Ми-
нистерства печати и массовой информации РСФСР. 410004, Саратов, ул. Черны-
шевского, 59.