М'А-БАНТ08А, Г В-БЕПЬТЮКОВАМЕТОДИКА
ПРЕПОДАВАНИЯ
МАТЕМАТИКИ
В НАЧАЛЬНЫХКЛАССАЖ
от АВТОРОВПредлагаемая книга «Методика преподавания математики в начальных
классах» является учебным пособием для учащихся школьных педагогических
училищ.При переработке настоящего пособия авторы учли изменения, внесенные
в программу по математике для начальных классов школы (1979 г.).В пособии раскрыта методика изучения всех основных разделов началь¬
ного курса математики, приведены задания для практических занятий по
методике математики с учащимися педагогических училищ, а также задания
для самостоятельной работы учащихся педагогических училищ.Авторами глав являются;глава I —М. А. Бантова, Г. В. Бельтюкова, Н. Г. Казанский, Т. С. На*
зарова;глава И — М. А. Бантова, Г. В. Бельтюкова, А. М. Полевщикова,
П. И. Шурыгина;глава П1 —М. А. Бантова;глава IV — М. А. Бантова, Г. В. Бельтюкова, Г. Г. Шмырева;глава V — Г. В. Бельтюкова;глава VI — Г. В. Бельтюкова;глава VII — М. А. Бантова;глава VIII — Г. В. Бельтюкова, Н. И. Шурыгина.Задания для практических занятий и для самостоятельной работы со¬
ставлены М. А. Вантовой и Г. В. Бельтюковой.' I
Глава IОБЩИЕ ВОПРОСЫ МЕТОДИКИ
НАЧАЛЬНОГО ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ§ 1. Методика начального обучения математике
как учебный предмет в педагогическом училищеВ настоящее время, в период стремительного научно-техни¬
ческого прогресса, возросла роль математики, а поэтому при¬
обрело большую общественную значимость математическое об¬
разование.Коммунистическая партия и Советское правительство поста¬
вили задачу совершенствовать систему образования и воспита¬
ния молодежи в соответствии с возросшими требованиями жиз¬
ни. Школа должна давать учащимся прочные знания основ на¬
ук, формировать у них высокое коммунисти'1еское сознание,
готовить к жизни, к сознательному выбору профессии.В целях реализации поставленных задач в 60—70-е годы бы¬
ла проведена большая работа по перестройке школьного обра¬
зования, в результате чего введены новые программы почти по
всем предметам, в том числе и по математике, усовершенство¬
ваны методы обучения.На XXVI съезде КПСС было отмечено, что необходимо по¬
высить качество обучения, улучшить трудовое и нравственное
воспитание учащихся, укрепить связь обучения с жизнью, улуч¬
шить подготовку школьников к общественно полезному труду.
Все эти требования необходимо осуществлять и при обучении
детей математике.Чтобы успешно обучать математике учащихся начальных
классов, начинающий учитель должен овладеть уже разрабо¬
танной системой обучения математике, т. е. методикой препода¬
вания математики в начальных классах и на этой основе при¬
ступить к творческой самостоятельной работе.Методика преподавания математики рассматривает прежде
всего цели обучения младших школьников математике в об¬
щей системе их обучения и воспитания. В методике раскрыва¬
ется содержание и построение начального курса
математики, т. е. указывается, какой материал по матема¬
тике изучается в начальных классах и почему отобран именно
этот материал, на каком уровне обобщения изучается в началь¬
ных классах каждый отдельный вопрос курса, в каком порядке
рассматриваются темы курса и почему этот порядок более ра¬
ционален. В методике начального обучения математике раскры-
гаются частные методы изучения каждого раздела курса и
каждого вопроса в этом разделе (например, как изучать сложе¬
ние и вычитание чисел в пределах 10 и как, в частности, рас¬
крыть в этой теме переместительное свойство сложения). Мето¬
дика преподавания математики дает обоснованные рекоменда¬
ции, как подвести учащихся к усвоению теоретических знаний,
приобретению ими умений применять знания при решении раз¬
нообразных практических задач, как сформировать у учащихся
прочные навыки.Как известно, обучение носит воспитывающий харак¬
тер, следовательно, задача методики — вооружить учителя таки¬
ми приемами обучения математике, которые способствовали бы
воспитанию нового человека, человека коммунистиче¬
ского общества, умственному развитию школьников, стимулиро¬
вали бы их интерес к математике, развивали положительные
черты характера.В методике раскрываются различные формы организа¬
ции обучения математике, их связи и условия наиболее эф¬
фективного использования каждой из форм. Методика рассмат¬
ривает также средства обучения математике, приемы их при¬
менения при изучении каждой из тем.Таким образом, методика математики в настоящее время
представляет собой систему знаний о целях, содержании, ме¬
тодах, формах организации и средствах обучения математике.
Вместе с тем методика рассматривает и процесс овладения уча¬
щимися знаниями, умениями и навыками по математике.Методика преподавания математики имеет очень тесные свя¬
зи с другими предметами, изучаемыми в педагогическом учи¬
лище.Прежде всего методика преподавания математики органи¬
чески связана со своей базовой наукой — математикой. На
отбор содержания школьного курса математики всегда оказы¬
вал влияние уровень самой науки математики: в соответствии
с тем, какие идеи математики являются в тот или иной период
времени ведущими, отбирается содержание материала и дается
та или иная трактовка вводимых понятий. От того, какие ма¬
тематические идеи будут раскрываться в начальном курсе ма¬
тематики, зависят методы обучения математике. Для глубокого
понимания методики и ее твор«1еского применения в практике
работы школы от учителя требуется хорошее знание курса ма¬
тематики и ознакомление с современной трактовкой главнейших
математических понятий.Методика преподава!1ия математики тесно связана с педа¬
гогикой и педагогической психологией. При построе¬
нии курса математики и отборе методов обучения математике,
при установлении целей и задач обучения математике методика
математики опирается на те общие закономерности обучения,
которые раскрыты в педагогике и педагогической психологии.
Мовые закономерности относительно обучения, открытые педа¬
гогикой или психологией, всегда находят свое отражение в ме¬
тодике, а частные положения методики являются в свою оче¬
редь материалом для педагогических и психологических обоб¬
щений. Осознанное усвоение методики математики и правильное
использование ее на практике возможно только тогда, когда в
каждом методическом приеме, в системе упражнений учитель
видит проявление педагогических и психологических закономер¬
ностей, когда учитель опирается на них при разработке каждого
урока, использует их, добиваясь усвоения глубоких знаний каж¬
дым учеником.Методика преподавания математики имеет много общего с
другими методиками (методика преподавания русского языка,
трудового обучения, рисования и др.) в решении образователь
ных и воспитательных задач обучения младших школьников.
Учителю очень важно учитывать это, чтобы правильно осуще¬
ствлять межпредметные связи.Методика математики исторически складывалась как обоб¬
щение передового опыта учителей. В настоящее время этот ис¬
точник также используется, но основным стал другой источник:
новые методы обучения математике являются результатом на¬
учного исследования; при этом учитываются новые направле¬
ния в самой науке математике и достижения психолого-педаго-
гических исследований. Результаты научного исследования
сначала проверяются в практике работы отдельных учителей,
а затем методы, оказавшиеся эффективными, внедряются в мас¬
совую школу.§ 2. Начальный курс математики как учебный
предмет в I—III классахЦели начального обучения математикеОбучение математике, так же как обучение любому другому
учебному предмету в школе, должно решать образователь¬
ные, развивающие и воспитательные цели.Прежде всего в процессе изучения математики учащиеся
должны овладеть системой теоретических знаний,
а также рядом умений и навыков, которые опреде¬
ляются программой. Обучение должно обеспечить овладение
учащимися осознанными знаниями и на достаточно высоком
уровне обобщения. Это может быть достигнуто в том случае,
если обучение будет развивающим, т. е. будет обес¬
печивать достаточный уровень интеллектуального развития
школьников, их познавательных способностей и интересов, бу¬
дет вооружать их приемами познавательной деятельности.6
При обучении математике должны закладываться начатки
материалистического мировоззрения учащих¬
ся. Именно в начальных классах школы, где берут начало та-
кие мятрмятицргц^ир ппня^^^Я. кзк ЧИСЛО, арисЬметические деи-
стпия' система счисления, геометрическая фигура и др., школь¬
ник должен утвердиться в том, что «математика имеет своим
объектом пространственные формы и количественные отноше*
ПИЯ действительного мира, стало быть — весьма реальный мате¬
риал», что «понятия числа и фигуры взяты не откуда-нибудь, а
только из действительного мира»‘. Поэтому важно постоянно
осуществлять связь обучения математике с жизнью.
С одной стороны, научить школьников распознавать в явле¬
ниях окружающей жизни математические факты (абстракции)
и, с другой стороны, применять математику к решению конк¬
ретных практических задач, вооружить учеников практически¬
ми умениями, необходимыми каждому человеку повседневно,
например: выполнить вычисление или измерение, произвести не¬
сложный расчет и т. п.Обучение математике должно способствовать реализации за¬
дачи воспитания людей коммунистического об¬
щества, любящих свою Родину, преданных делу Коммунисти¬
ческой партии, осознающих благородные цели нашего общест-
»а, готовых отдать свои знания для претворения в жизнь
коммунистических идеалов.Обучение математике должно решать задачу фор миро-
11 а и ия таких черт личности, как трудолюбие, аккурат¬
ность, всемерно способствовать развитию воли, внимания, вооб¬
ражения учащихся, положительного отношения к учебному
груду.Необходимо сформировать у детей умение учиться, приемы
работы над тем или иным материалом и привить навыки са¬
мостоятельной работы.	“(*^яи»л<аииц	чягтяи, ппчнавательный число-иой матспиал, а также сама организация учебной работы на
уроке математики должны сппспбг.тионять рршрнию дядяч нряд-
(•ТНСНЩ1Ш, эстетического и труЦОВбго воспитания, профориента¬
ции у<1ан1ихся..иоученис математике в начальных классах должно обеспе¬
чить надежную основу КЭК в отношении знаний и умений
учащихсЯ", Тйк и И игнушпши их развития, для дальнейше¬
го изучения математики в IV—X классах.Отбор содержания обучения математике в I—П1 классах,
расположение этого материала в определенной системе, выбор
МОГОЛ01) и средств, а также организационных форм обучения —
исе это должно быть подчинено решению основных целей обу¬
чения.' Энгельс Ф. Лнтн-Дюрииг. М., 1970, с. 33.
Содержание и построение
начального курса математикиНачальный курс математики, изучаемый в I—III классах
школы, является органической частью школьного курса мате¬
матики. Это значит, что курс математики для IV—X классов —
продолжение начального курса, а начальный курс—его исход¬
ная база. В соответствии с этим начальный курс математики
включает арифметику целых неотрицательных чисел и основ¬
ных величин, элементы алгебры и геометрии.Начальный курс математики имеет свои особенности
построения.Арифметический материал составляет главное содержание
курса. Основой начального курса является арифметика нату¬
ральных чисел и основных величин. Кроме того, в него входят
элементы геометрии и алгебраической пропедевтики, которые
по возможности включаются в систему арифметических зна¬
ний, способствуя более высокому уровню усвоения понятий о
числе, арифметических действиях и математических отношени¬
ях, т. е. элементы алгебры и геометрии не составляют особых
разделов курса математики, а органически связываются с ариф¬
метическим материалом.Такая связь дает возможность, с одной стороны, раньше при¬
общить детей к идеям алгебры и геометрии и с другой —до¬
стичь более высокого уровня усвоения младшими школьниками
арифметических знаний.Арифметический материал вводится концентрически. Снача¬
ла изучается нумерация чисел первого десятка, которые не под¬
лежат десятичному расчленению, вводятся цифры для записи
этих чисел, изучаются действия сложения и вычитания. Затем
рассматривается нумерация чисел в пределах 100, раскрыва¬
ется понятие разряда, позиционный принцип записи чисел, ко¬
торые подлежат десятичному расчленению, изучается сложе¬
ние и вычитание двузначных чисел, вводятся два новых ариф¬
метических действия: умножение и деление. Далее изучается
нумерация чисел в пределах 1000. Здесь рассматриваются три
разряда (единицы, десятки, сотни), составляющие основу ну¬
мерации многозначных чисел, обобщаются знания об арифме¬
тических действиях, вводятся приемы письменного сложения и
вычитания. Наконец, изучается нумерация многозначных чисел,
рассматривается понятие класса, обобщается знание принципа
поместного значения цифр, изучаются приемы письменных вы¬
числений. Таким образом, в курсе выделены четыре концентра:
десяток, сотня, тысяча, многозначные числа. Од¬
новременно и в тесной связи с рассмотрением нумерации и
арифметических действий изучаются другие вопросы: величи¬
ны, дроби, алгебраический и геометрический материал. Схема-
1ИЧ0СКИ расположение мате-
[шпла изображено на рисун¬
ка I.Выделение именно таких
1(1 III центров объясняется осо-
Оспиос гями десятичной системы
1Ч11сления и вычислительных
приемов: в каждом концентре
рискрываются новые вопросы,
сиязанные с системой счисле¬
ния и арифметическими дейст-
ииями. Как показал опыт, кон¬
центрическое расположение
материала соответствует воз¬
можностям младших школьни¬
ков: обучение математике на¬
чинается с небольшой области
чисел, доступной детям и известной им до школы; эта область
чисел постепенно расширяется и постепенно вводятся новые
понятия; при таком построении курса обеспечивается система¬
тическое повторение и вместе с тем углубление изученного, так
как полученные ранее знания, умения и навыки находят при¬
менение в новой области чисел. Все это способствует'лучшему
усвоению курса.Вопросы теории и вопросы практического характера органи¬
чески связываются между собой. Многие вопросы теории вво¬
дятся индуктивно, а на их основе раскрываются вопросы прак^
тического характера. Например, распределительное свойство
умножения вводится на основе обобщения частных фактов, пос¬
ле чего, используя это свойство, раскрывается прием умноже¬
ния двузначного числа на однозначное:17-3= (10 + 7) •3=10-34-7-3 = 51При такой взаимосвязи хорошо усваиваются теоретические
понросы и формируются осознанные практические умения.Математические понятия, свойства, закономерности раскры-
паются в курсе в их взаимосвязи. Это не только связь между
прифметическим, алгебраическим и геометрическим материа¬
лом, но и так называемые внутренние связи между различны¬
ми понятиями курса, свойствами, закономерностями. Так, при
изучении арифметических действий раскрываются их свойства,
с'мязи и зависимости между их компонентами и результатами.
Это дает возможность глубже раскрыть понятие арифметиче¬
ских действий, обогатить детей функциональными представле¬
ниями. Такое построение обеспечивает более глубокое усвоение
курса, так как учащиеся будут овладевать не только отдель¬
ными вопросами курса, но одновременно и связями между ними.
уКурс математики строится так, что в процессе его изучения
каждое понятие получает свое развитие. Например, при изуче¬
нии арифметических действий сначала раскрывается их конк¬
ретный смысл, затем свойства действий, связи и зависимости
между компонентами и результатами действий, а также между
самими действиями. Такой подход к введению понятий соответ¬
ствует возрастным возможностям младших школьников, обес¬
печивает доступность овладения математическим материалом.Опыт показал, что целесообразно рассматривать в сравне¬
нии сходные или связанные между собой вопросы. В этом слу¬
чае сразу же можно выделить существенное сходное и различ¬
ное, а это предотвратит ошибки, которые допускают учащиеся,
смешивая сходные вопросы. Поэтому программа предусматри¬
вает сближение во времени изучения некоторых вопросов курса
(например, действия сложения и вычитания вводятся одновре¬
менно), а также введение новых вопросов в сравнении со сход¬
ными, ранее изученными.Таковы основные особенности построения начального курса.
Рассмотрим теперь его содержание и особенности
раскрытия главнейших понятий.Арифметический материал включает нумерацию целых не¬
отрицательных чисел и арифметические действия над ними, све¬
дения о величинах, их измерении и действиях над ними, поня¬
тие о дробях.Изучение этого материала должно привести учащихся к ус¬
воению системы математических понятий, а также к овладению
прочными и осознанными умениями и навыками.Одним из центральных понятий начального курса является
понятие натурального числа. Оно трактуется как ко¬
личественная характеристика класса эквивалентных множеств.
Раскрывается это понятие на конкретной основе в результате
практического оперирования множествами и величинами (дли¬
на отрезка, масса, площадь и др.). Как показал опыт, форми¬
рование понятия натурального числа не только в процессе сче¬
та предметов, но и в процессе измерения величин обогащает
содержание этого понятия, позволяет с самого начала связать
обучение с практической деятельностью детей, опереться на
имеющиеся у них числовые представления. Этим объясняется
знакомство с отрезком, единицами длины и измерением отрез¬
ков, начиная с изучения нумерации чисел первого десятка. При
изучении нумерации натуральное число получает дальнейшее
развитие: оно выступает как элемент упорядоченного множест¬
ва или как член натуральной последовательности. В связи с
рассмотрением свойств натуральной последовательности рас¬
крывается количественное и порядковое значение натурального
числа. При изучении арифметических действий натуральное
число выступает в новом качестве — в качестве объектов, над
которыми выполняются арифметические действия.10
Число, полученное в результате арифметического действия,
может быть выражено через те числа, над которыми выполня¬
лось действие (заменено суммой или произведением чисел —
состав чисел из слагаемых или из множителей). Таким обра¬
зом, в начальном курсе математики раскрываются различные
способы образования натурального числа (счет, измерение, вы¬
полнение арифметических действий).Число нуль трактуется в начальном курсе как количествен- ЮО У
пая характеристика класса пустых множеств. Включение в на-	*чальный курс математики числа и цифры нуль позволяет рас¬
ширить числовую область и создать надлежащие условия для
«владения учащимися областью целых неотрицательных чисел.Пуль как число и как цифра вводится в I классе. Сначала нуль
рассматривается как цифра, обозначающая на линейке начало
отмеривания, затем вводится число нуль при вычитании вида;2	— 2, 3—3, что соответствует правильному толкованию сущно¬
сти этого нового числа как количественной характеристики клас¬
са пустых множеств. Далее нуль выступает как компонент дей¬
ствий первой ступени: 5+0, 0+9, 8 — 0, 0 + 0, 0—0, а при изуче¬
нии действий умножения и деления (II класс) как компонент
»тйх действий; 0-4, 3-0, 0-0, 0:4. Здесь же рассматриваетсяне-
нозможность деления на нуль. Цифра нуль используется для
обозначения отсутствия единиц какого-либо разряда в записи
числа (70, 30 000, 204).В начальных классах дается наглядное представле¬
ние о д р о б и. Во II классе вводится понятие доли как од¬
ной из равных частей целого (круга, куска шпагата *и т. п.),
дается запись долей. Поскольку суть понятия доли очень ярко
раскрывается при решении задач на нахождение доли от чис¬
ла и числа по его доле, то эти задачи включены в курс, изучае¬
мый во II классе. В III классе вводится дробь как совокупность
долей, запись дроби, преобразование и сравнение дробей на на-( 1 2 3 4 \— = —; —< — , задачи на нахожде-
2 4 5 5 /1111С дроби числа.Понятие о системе счисления раскрывается при
коицептрическом построении курса постепенно, в процессе изу-
Ч1'ния нумерации натуральных чисел и арифметических дейст-
мий над ними. При этом понятие разряда, класса, разрядной и
кллссиой единицы, разрядного числа, как уже указывалось, на¬
ходит свое развитие от концентра к концентру, т. е. постепенно
гчюдится новые разряды и классы, их название и в связи с этим
ршч'митринаются образование, название, запись и чтение чисел,
их д«читмчи1.1Й состан.Л р п ф м с т и ч с с к н е действия занимают центральное
место и ипчальном курсе математики. Это сложный и много-
грппмый попрос. Он включает раскрытие конкретного смысла
ирифмстичоских действий, свойств действий, связей и зависи-11к.-и
мостей между компонентами и результатами действий и между
самими действиями, а также формирование вычислительных
умений и навыков, умений решать арифметические задачи.Как и другие математические понятия, каждое арифметиче¬
ское действие раскрывается на конкретной основе в процессе
выполнения операций над множествами: сложение — на основе
операции объединения множеств, не имеющих общих элемен¬
тов, вычитание — на основе операции удаления части множе¬
ства (подмножества), умножение —на основе операции объеди¬
нения множеств одинаковой численности и деление — на основе
операции разбиения множества на ряд равночисленных непере-
секающихся множеств. Такой подход позволяет опереться на
опыт детей и создать наглядную основу формируемого знания.Одновременно с раскрытием конкретного смысла каждого
арифметического действия вводится соответствующая симво¬
лика (знаки действий) и терминология: название действия, на¬
звание компонентов и результатов действия. Здесь же начина¬
ется работа над понятием математического выражения, сначала
рассматриваются простейщие выражения вида: 7-1-3, а позд¬
нее более сложные вида; 9—(2 + 3).Начальный курс математики включает ряд свойств арифме¬
тических действий. Это переместительное свойство сложения и
умножения, свойства прибавления числа к сумме, вычитания
числа из суммы, прибавления суммы к числу, вычитания сум¬
мы из числа, прибавления суммы к сумме, вычитания суммы
из суммы, умножения числа на сумму и суммы на число, деле¬
ния суммы на число, умножения числа на произведение, деления
числа на произведение.Каждое из названных свойств раскрывается на основе прак¬
тических операций над множествами или над числами, в ре¬
зультате чего учащиеся должны прийти к обобщению. Для
усвоения свойств в курсе предусматривается система специаль¬
ных упражнений, но главная сфера применения свойств —это
раскрытие на их основе вычислительных приемов.
Например, уже в I классе после изучения переместительного
свойства сложения вводится прием перестановки слагаемых для
случаев вида: 2-Ьб; случаю 54 — 20 предшествует рассмотрение
разных способов вычитания числа из суммы, на основе чего
раскрывается вычислительный прием:54-20= (50 + 4) -20= (50-20) +4 = 34.Опираясь на конкретный смысл арифметических действий,
их свойства, связи и зависимости между результатами и ком¬
понентами действий, а также десятичный состав чисел, раскры¬
ваются приемы устных и письменных вычислений. Такой под¬
ход к изучению приемов вычислений обеспечивает, с одной сто¬
роны, формирование осознанных умений и навыков, так как12
У'ппциеся смогут обосновать любой вычислительный прием, а
с другой стороны, при такой системе лучше усваиваются свой-
пиа действий и другие вопросы курса.Одновременно с изучением свойств арифметических дейст-
кмй и соответствующих приемов вычислений раскрываются на
основе операций над множествами или над числами связи
между компонентами и результатами арифме¬
тических действий (например, если из суммы вычесть од¬
но из слагаемых, то получится другое слагаемое), ведутся и а -
блюдения за изменением результатов арифме¬
тических действий в зависимости от изменения
одного из компонентов (например, если одно из сла¬
гаемых увеличить на несколько единиц, а другое оставить без
изменения, то сумма увеличится на столько же единиц).В начальном курсе математики предусматривается систе¬
ма упражнений, направленных на выработку у
учащихся вычислительных навыков. Это трениро¬
вочные упражнения различного характера: решение отдельных
примеров, заполнение таблиц, подстановка числовых значений
букв и нахождение значений полученных выражений и т. п.
В формировании навыков предусматривается разная степень их
автоматизации: навыки сложения и умножения табличных слу¬
чаев и обратные по отношению к ним случаи вычитания и де¬
ления должны быть доведены до полного автоматизма (так,
учащиеся должны быстро и правильно воспроизводить, что
3+8=11, 7-6 = 42, 12 — 5 = 7, 56:8 = 7). Автоматизируется и вы-
гюлнение отдельных операций; например, при сложении чисел
18 и 7 быстро выполняются операции: 8 + 7=15, 10+15 = 25 или
7 = 2 + 5, 18 + 2 = 20, 20 + 5 = 25.Все названные вопросы, относящиеся к арифметическим дей¬
ствиям, рассматриваются в тесной взаимосвязи друг с другом.В связи с изучением арифметического материала вводятся
элементы алгебры: на конкретной основе раскрываются
понятия равенства, неравенства, уравнения, переменной.Начиная с I класса рассматриваются числовые равенства
и неравенства3=3, 5=1+4, 3<4, 7 + 2>7, 9-3<9-2 и т. п.Их изучение непосредственно связывается с изучением ариф¬
метического материала и помогает более глубоко раскрыть его.
Здесь же рассматриваются уравнения сначала вида: ;с+6 = 9,
10—д:=2 и т. п., а позднее, начиная со II класса, вида: (48+
+;с)—24 = 36. Решение уравнений выполняется на основе связи
между компонентами и результатами арифметических дейст¬
вий, а также способом подбора. Наряду с решением уравнений
ведется обучение решению задач с помощью составления урав¬
нений. Во II классе вводится буква как символ для обозначе¬
ния переменной. В связи с этим рассматриваются выражения
с переменной (а + &, 20 —с и др.) и неравенства с переменной13
(9—с<5), значения переменной в которых находится способом
подбора.Геометрический материал служит главным обра¬
зом целям ознакомления с простейшими геометрическими
фигурами и развитию пространственных представлений школь¬
ников. Поэтому в начальный курс математики, начиная с [клас¬
са, включены геометрические фигуры: прямые, кривые и лома¬
ные линии, точка, отрезок прямой, многоугольники (треуголь¬
ник, четырехугольник и др.) и их элементы (вершины, сторо¬
ны, углы), прямой угол, прямоугольник (квадрат), окружность,
круг, центр и радиус круга. Учащиеся должны научиться раз¬
личать эти фигуры, называть их и выполнять простейшие пост¬
роения на клетчатой бумаге. Кроме того, они должны овладеть
умением находить длину отрезка (1 класс), длину ломаной и
периметр многоугольника (II класс), площадь геометрической
фигуры (III класс). Курс математики предусматривает разно¬
образные задачи геометрического характера, направленные на
формирование пространственных представлений учащихся. Все
вопросы геометрии раскрываются на наглядной основе.В тесной связи с изучением арифметического, алгебраиче¬
ского и геометрического материала раскрывается понятие
величины и идея измерения величин. Ознакомление
с такими величинами, как длина, масса, время, емкость, пло¬
щадь, с единицами их измерения й с измерением величин вы¬
полняется практически и тесно связывается с формированием
понятия числа, десятичной системы счисления и арифметических
действий, а также с формированием понятия геометрической
фигуры. Вследствие такой связи становится возможным вести
обучение, опираясь на наглядные образы, связывая обучение с
практической деятельностью детей.Задачи являются теми упражнениями, с помощью которых
прежде всего раскрываются многие вопросы начального курса
математики. Например, с помощью решения задач раскрыва¬
ется конкретный смысл арифметических действий, свойства дей¬
ствий, связи между компонентами и результатами арифметиче¬
ских действий и др. В «Объяснительной записке» к программе
указывается, что изучение арифметики натуральных чисел и
нуля строится на системе целесообразных задач и практических
работ. Это значит, что формирование каждого нового понятия
всегда связывается с решением тех или иных задач, требующих
применения или помогающих уяснить его значение. Таким об¬
разом, задачи являются средством связи обучения математике
с жизнью, той сферой приложения математических знаний, ко¬
торая позволяет обеспечить достаточно разнообразные жизнен¬
ные ситуации для раскрытия разных сторон понятий. Кроме
того, в процессе решения задач учащиеся овладевают практиче¬
скими умениями и навыками, необходимыми им в жизни, зна¬
комятся с полезными фактами, учатся устанавливать связи и14
Тйииеимости между величинами, часто встречающимися в жиз¬
ни, В начальный курс включены задачи несложной структуры
с арифметическим и геометрическим содержанием.§^) Методы начального обучения математикеВопрос о методах — это вопрос о том, как учить, чтобы
добиться высоких образовательных и воспитательных результа¬
тов в обучении.В педагогике рассматриваются различные методы, которые
используются в начальных классах при обучении любому
и]кольному предмету. Так, имея в виду совместную деятель¬
ность учителя и ученика, выделяют такие методы: ^бъягне-
пие материала учителем, беседа, самостоятельная работа уча-
П1ИХСЯ. В^Мвисимбсти от способа приобретения знаний детьми
различают методы: догмахический, эвристический и исследова¬
тельски.. Если рассматривать методы с точки зрения пути, по
которому движется мысль учащихся, то говорят об индуктив-
иом, дедуктивном методах и аналогии. Все эти методы исполь¬
зуются и при обучении математике с учетом особенностей са¬
мого учебного предмета, выступая во взаимосвязи, в единстве.
Например, при ознакомлении учащихся с новым материалом
может быть использован метод беседы эвристического характе¬
ра, в процессе проведения которой учащиеся индуктивным пу¬
тем подводятся к новым знаниям. Конкретное применение ме¬
тодов при обучении математике учитывает специфику содержа¬
ния начального курса математики. Так, методы обучения мате¬
матике отличаются от методов обучения чтению, методы изуче¬
ния геометрического материала отличаются от методов изуче¬
ния арифметического материала. Вопрос о методах изучения
конкретного содержания будет раскрыт при рассмотрении ме¬
тодики работы над отдельными разделами начального курса
математики. В этом параграфе будут раскрыты особенности ис¬
пользования методов при изучении математического мате¬
риала.Отбор методов обучения определяется многими факторами:
общими задачами обучения, которые ставятся перед школой
и современных условиях, содержанием изучаемого материала,
уровнем подготовленности детей к овладению соответствующим
материалом и др.Как известно, основными образовательными задачами обу¬
чения математике являются формирование у детей знаний на
достаточно высоком уровне обобщения и выработка у них опре¬
деленных умений и навыков. Эти задачи могут быть успешно
решены, если в методике изучения математического материала
предусмотреть определенные ступени: подготовку к изучению
нового материала, ознакомление с новым материалом, закреп¬
ление знаний, умений или навыков.15
Особенность изучения математинеского материала в началь¬
ных классах состоит в том, что подготовка к изучению нового
материала, ознакомление с новым материалом и закрепление
соответствующих знаний, умений или навыков осуществляется
через выполнение учащимися системы упражнений, т. е.
определенных математических заданий. Упражнения могут быть
различными по своей математической структуре, в зависимости
от содержания материала; нахождение значений выражений,
сравнение выражений, решение уравнений, решение задач и др.
Упражнения могут предлагаться по-разному: могут быть запи¬
саны на доске, взяты из учебника или продиктованы учителем;
могут быть даны в обычной форме или в занимательной, в фор¬
ме дидактической игры и т. п.Рассмотрим, какие методы целесообразно использовать на
разных ступенях работы над программным материалом, чтобы
добиться успеха в решении главных задач обучения мате¬
матике.Подготовительная работа должна обеспечить не¬
обходимые условия для успешного усвоения материала всеми
учащимися класса. Система упражнений на этой ступени долж¬
на способствовать созданию или расширению опыта детей, ко¬
торый ляжет в основу ознакомления с новым материалом, вос¬
произведению материала, на который придется опираться при
раскрытии нового. Например, в основе ознакомления с ариф¬
метическими действиями лежат операции над множествами:
объединение множеств, не имеющих общих элементов, удале¬
ние части множества и т, д. Поэтому до ознакомления с дейст¬
виями, используя метод беседы, надо предложить учащимся
упражнения по оперированию множествами.Положите 5 кружков и еще 2 кружка. Придвиньте 2 кружка.
Сколько стало кружков? Уберите 3 кружка. Сколько теперь
кружков?Еще пример. До введения приема перестановки слагаемых
надо повторить переместительное свойство сложения. С этой
целью учащимся предлагают упражнения, при выполнении ко¬
торых они должны применить переместительное свойство сло¬
жения. В этом случае целесообразно использовать метод бе¬
седы.На доске запись; 5 + 22	+ 5Решите первый пример. Сколько получилось? Сравните вто¬
рой пример с первым: чем они похожи? чем отличаются? Кто
может сказать, не вычисляя, ответ второго примера? Почему
получилось тоже 7?Во многих случаях подготовительные упражнения могут вы¬
полняться учащимися самостоятельно, т. е. можно использовать
в этом случае метод самостоятельной работы. Например, до
ознакомления с решением уравнений вида л*3=51 можно пред-16
ложить учащимся самостоятельно выполнить упражнение —
найти результат каждого второго примера, пользуясь первым:8-6=48	7-9 = 63	6-4 = 2448:8=	63:9=	24:6=Объясняя выполнение этого упражнения, учащиеся форму¬
лируют правило; если произведение разделить на один из мно¬
жителей, то получится другой множитель. Опираясь на это
знание, учителю легко подвести детей к решению уравнений
названного вида.Есть еще одна важная сторона в подготовке ученика к ус¬
воению нового материала — это формирование	у ‘неГО^умен^--выполнять умственные операции: умение выТГолйять анализ,синтёз,'сравнивать объекты, выделять существенное общёё" (нбг-'	полнять обобщение), отвлекаясь от несущественного. Работа
по формированию названных умственных операций должна на¬
чинаться с первых дней обучения детей в школе и органически
связываться с изучением материала. Особое внимание должно
быть уделено обучению сравнивать объекты, так как для сравне¬
ния надо выполнять анализ и синтез, а сама операция сравне¬
ния лежит в основе обобщения.Формируя у детей умение сравнивать, надо больше вклю¬
чать упражнений на сравнение математических выражений, чи¬
сел, задач, геометрических фигур и т. п. При этом можно ис¬
пользовать такой прием: предложить детям рассказать все,
что знаешь о сравниваемых выражениях, числах и т. п., а
затем сказать, чем они похожи и чем отличаются.
Например, при сравнении выражений 7-1-3 и 7 + 2 в соответст¬
вии с названными заданиями ученики рассуждают: первый при¬
мер на сложение, первое слагаемое 7, второе 3, сумма 10; вто¬
рой пример тоже на сложение, первое слагаемое 7, второе 2,
сумма 9; сходное в примерах: они на сложение, первые слагае¬
мые одинаковые; различное: вторые слагаемые различные, в
первом примере больше; суммы различные, в первом примере
больше. Сначала такие рассуждения проводятся вслух, а затем
про себя, в результате чего у детей вырабатывается умение
сравнивать.Ознакомление с новым материалом осуществля¬
ется преимущественно через систему упражнений, выполняемых
учащимися. При этом в зависимости от содержания материала
и целей его изучения используются различные методы.При ознакомлении с теоретическим материалом типа сведе¬
ний (правила порядка выполнения арифметических действий в
выражениях, ознакомление с терминами и т. п.), при ознаком¬
лении с некоторыми приемами вычислений (прибавить и вы¬
честь число 2 и т. п.), при инструктаже учеников по использо¬
ванию инструментов (линейки, циркуля и т. п.) и в других по¬
добных случаях используется метод изложения (объяснения)2 Зака* № 4487	17
учителем нового материала. Учитель при этом излагает (объяс¬
няет) материал, а учащиеся воспринимают его, т. е. приобре¬
тают знания в готовом виде.Изложение материала должно быть четким, доступным, не¬
продолжительным по времени. При этом по мере надобности
используются наглядные пособия. Например, при ознакомлении
с терминами — названиями компонентов арифметических дей¬
ствий, результата и соответствующего выражения полезно ис¬
пользовать такие плакаты;Слагаемое Слагаемое	Сумма5	+ 3	=	8СуммаЕще пример. Объясняя прием прибавления числа 2, учитель
на наборном полотне, а дети у себя на партах выполняют соот¬
ветствующие операции над множествами. Например, к пяти
палочкам присоединяют две палочки по одной, после чего вы¬
полняют запись; 5+1 + 1. Здесь операции над множествами и
соответствующая запись являются наглядной основой приема
вычисления. В результате объяснения учителя и выполнения
ряда практических операций учащиеся знакомятся с приемом
вычисления.При ознакомлении учащихся с математическими понятиями
(число, арифметические действия и др.), с теоретическими зна¬
ниями типа закономерностей (свойства арифметических дейст¬
вий, связи между компонентами и результатами арифметиче¬
ских действий и т. п.) чаще всего используется метод беседы.
Система упражнений в этом случае должна вести детей от част¬
ных фактов к общему выводу, к «открытию» той или иной за¬
кономерности, т. е. здесь целесообразна эвристическая беседа,
обеспечивающая индуктивный путь рассуждения.При ознакомлении с новым материалом индуктивным путем
учитель, проводя беседу, предлагает учащимся ряд упражне¬
ний. Учащиеся выполняют их, затем, анализируя, выделяют
существенные стороны формируемого знания, в результате че¬
го делают соответствующий вывод, т. е. приходят к обобщению.Рассмотрим, как можно ознакомить учащихся I класса со
связью между суммой и слагаемыми, подводя их к выводу ин¬
дуктивным путем, используя эвристическую беседу.Возьмите 4 синих кружка, придвиньте к ним 3 красных.
Сколько получилось кружков? (7.) Как узнали? (К 4 приба¬
вить 3.)Записывают: 4 + 3 = 7.Как называется число 4? (Первое слагаемое.) Число 3?
(Второе слагаемое.) Число 7? (Сумма.)18
Учитель записывает на доске;4—первое слагаемое
3—второе слагаемое
7— суммаПокажите на кружках, как вы изобразили первое слагаемое
(показывают 4 синих кружка), второе слагаемое (показывают
3 красных кружка), сумму (показывают все кружки). Ото¬
двиньте синие кружки. Сколько кружков осталось? (3.) Как
узнали? 'Записывают: 7—4 = 3.Сравните этот пример с первым. Как получили этот пример
из первого? (Из 7, из суммы, вычли 4, первое слагаемое, полу¬
чили 3, второе слагаемое.) Придвиньте синие кружки к крас¬
ным. Отодвиньте теперь красные кружки. Сколько кружков
осталось? (4.) Как получили? (Из 7 вычли 3, получили 4.) За¬
пишите этот пример под вторым и сравните его с первым при¬
мером. (Здесь из 7, из суммы, вычли 3, второе слагаемое, полу¬
чили 4, первое слагаемое.)Далее выполняется еще ряд подобных упражнений с други¬
ми числами, в результате чего дети сами формулируют общие
выводы; если из суммы вычесть первое слагаемое, то получит¬
ся второе, а если вычесть второе слагаемое, то получится
первое.К системе упражнений при индуктивном пути ознакомления
с новыми теоретическими знаниями предъявляется ряд требо¬
ваний.Система упражнений должна обеспечить наглядную
основу формируемого знания. Поэтому при выполнении уп¬
ражнений важно во многих случаях использовать наглядность.
При ознакомлении с математическими понятиями и закономер¬
ностями в начальных классах часто используют для этой цели
операции над множествами и записи соответствующих ариф¬
метических действий. Так, в нашем примере учащиеся объеди¬
няли два множества кружков и выполняли запись: 4-ЬЗ=7,
затем удаляли часть множества и снова записывали соответст¬
вующее арифметическое действие: 7 — 4 = 3 или 7 — 3 = 4. Это и
явилось наглядной основой для «открытия» ими связи; если из
суммы вычесть одно из слагаемых, то получится другое сла¬
гаемое. Важно, чтобы каждый ученик сам выполнял операции
над множествами, а не только наблюдал за действиями учи¬
теля и чтобы учащиеся научились самостоятельно пользоваться
наглядностью, что поможет им впоследствии воспроизводить
забытое.Упражнения надо подбирать так, чтобы, анализируя их, уча-
П1иеся смогли бы выделить все существенные сторо-
II ы формируемого знания. С этой целью надо прежде всего
подбирать упражнения так, чтобы сохранялись Неизменными2*	19
гущосчшчтыс стороны формируемого знания, а несуществен-
111Л! изменялись. Кроме того, должно быть достаточное число
упражнений, т. е. столько, сколько потребуется для того, чтобы
каждый ученик на основе их анализа сам пришел к обобщению.В рассмотренном нами примере ознакомления со связью
между суммой и слагаемыми несущественным являются числа,
их надо брать в каждой сумме различными: 7 + 3, 1+6, 5+4
и т. д., существенным является сама связь: если из суммы вы¬
честь одно слагаемое, то получится другое слагаемое; наблюде¬
ние этой связи и должно быть главным при проведении беседы.
Если же будет сохраняться несущественное, то учащиеся могут
сделать неверное или узкое обобщение. Например, связь между
суммой и слагаемыми в одном из классов была рассмотрена
на примерах: 4+1, 7+1, 9+1, учащиеся сформулировали такой
вывод: если из суммы вычесть единицу, то получится первое
слагаемое. Здесь сохранялось неизменным несущественное —
одинаковое второе слагаемое, вследствие чего учащиеся приня¬
ли несущественный признак за существенный. Поэтому во мно¬
гих случаях целесообразно указывать и на несущественные сто¬
роны (например, указать, что можно брать любые числа).В начальном курсе математики есть сходные вопросы (на¬
пример, переместительное свойство сложения и переместитель¬
ное свойство умножения) и есть противоположные (например,
сложение и вычитание). При знакомстве с новым материалом,
■который сходен с уже изученным, надо так подбирать упраж¬
нения, чтобы раскрывать новый материал в сопо¬
ставлении со сходным, т. е. сравнивать этот новый во¬
прос со сходным, выделяя существенное сходное. Раскрывая
противоположные понятия, надо подбирать упражнения так,
чтобы можно было использовать прием противопостав¬
ления, т. е. выделить существенное различное. Приемы сопо¬
ставления и противопоставления помогают правильному обоб¬
щению формируемого знания, предупреждают смещение.Таким образом, при ознакомлении учащихся с новым теоре¬
тическим материалом (вводя понятия, раскрывая свойства, свя¬
зи и т. п.) учитель через систему упражнений подводит детей
к обобщению. Обобщение выражается в речи: ученики форму¬
лируют соответствующий вывод. Важно, чтобы ученики сами
сформулировали вывод. Это покажет учителю, что они пришли
к обобщению. Не следует бояться не очень гладких формулиро¬
вок. Постепенно под руководством учителя на следующей сту¬
пени в процессе применения знаний формулировки приобретут
и соответствующую форму.При ознакомлении с вопросами практического характера,
которые вводятся на основе теоретических знаний (ознакомле¬
ние с многими вычислительными приемами, с решением урав¬
нений и т. п.), также используется эвристическая беседа, одна¬
ко здесь система упражнений должна обеспечить дедуктивный20
путь рассуждения; от общего положения к частному, подведение
частного под общее.Например, при ознакомлении с решением уравнений вида
л--3=51 учащиеся должны опираться на знание связи: если
произведение разделить на один из множителей, то получится
другой множитель. Это и есть общее знание, на которое опира¬
ются при решении данного конкретного уравнения. Беседу при
этом можно провести так:На доске запись: х-3=51.Что здесь записано? (Уравнение.) Что известно? (Произве¬
дение—51 и второй множитель—3.) Что неизвестно? (Первый
множитель.) Как его можно найти? (Произведение разделить
на второй множитель.) Почему так можно? (Мы знаем, если
произведение разделить на один из множителей, то получится
другой множитель, значит, чтобы найти неизвестный множи¬
тель, надо произведение разделить на известный множитель.)Как видим, знакомясь с решением уравнения, учащиеся
исходили из известного им вывода о связи между произведе¬
нием и множителями, т. е. к решению частного вопроса они
пришли от общего.В применении дедуктивного рассуждения наибольшую труд¬
ность для детей представляет само подведение частного факта
под общий вывод. Так, решая уравнение дс*3 = 21, некоторые
ученики находят неизвестное умножением, т. е. используют дей¬
ствие, указанное в уравнении. Правильному применению дедук¬
ции помогают упражнения в конкретизации (ученики приводят
свои примеры на определенное правило, или сами используют
наглядность), упражнения в классификации понятий (напри¬
мер, выписывают из данных чисел сначала однозначные, а по¬
том двузначные).В начальных классах иногда при ознакомлении с новым ма¬
териалом используется метод самостоятельных работ; учащиеся
самостоятельно выполняют упражнения и приходят « выво¬
ду, т. е. в приобретении знаний они используют исследователь¬
ский метод. Например, составляя неоднократно таблицы умно-
лсения (3-3; 3-4; 3-5 и т. д.), они замечают, что каждое новое
произведение увеличивается на число, равное первому множи¬
телю; в дальнейшем, при составлении таблиц, они используют
это знание. Чаще метод самостоятельных работ применяется
при ознакомлении с вопросами практического характера, когда
учащиеся самостоятельно находят на основе полученных знаний
новые вычислительные приемы, новые способы решения задач
и т. п.Самостоятельная работа как метод обучения дает возмож¬
ность ученику сознательно и прочно усвоить материал, про¬
явить умственную активность.Закрепление знаний, умений и навыков происхо¬
дит на следующей ступени в результате выполнения учащими-21
ся системы упражнений на применение знаний. Эта система
упражнений также должна удовлетворять ряду требований. Уп¬
ражнения должны постепенно усложняться, обогащать форми¬
руемое знание, раскрывая новые его стороны, способствовать
установлению связей между новыми и уже имеющимися зна¬
ниями.Рассмотрим систему упражнений на закрепление знания о
связи между произведением и множителями.На этапе ознакомления с новыми знаниями учащиеся
II класса пришли к обобщению: если произведение двух чисел
разделить на первый множитель, то получится второй множи¬
тель, а если разделить на второй, то получится первый мно¬
житель.На этапе закрепления этого знания сначала ставится за¬
дача добиться осмысления этого правила. С этой целью пред¬
лагаются упражнения на непосредственное примене¬
ние знания:I)10101010скВычислите произведения и, пользуясь ими, покажите, что
при делении произведения на один из множителей получается
другой множитель.2) По каждому примеру на умножение составьте два при¬
мера на деление: 3-4, 8-4, 10-7 и т. п.Затем ставится цель научить детей использовать знание
взаимосвязи для решения простейших уравнений вида: х-3=]2.
Здесь опосредованное применение знаний; учащиеся долж¬
ны переосмыслить известный им вывод — чтобы найти неизвест¬
ный первый множитель, надо произведение разделить на второй
множитель. Далее учащиеся применяют этот новый вывод при
выполнении таких упражнений:1)	Найдите неизвестное число:л:-5=106-0 = 6к-2^122) Произведение равно 8, первый множитель 2. Найдите
второй множитель и т. п.Чтобы предупредить смешение формируемой связи с ранее
усвоенной связью между компонентами и результатом действия
сложения, надо предусмотреть специальные упражнения на
противопоставление. Например, предлагаются уравнения, в ко-22
торых неизвестно слагаемое или множитель; а-3=12 и
а + 3=12. После решения сравниваются уравнения, а также спо¬
собы их решения.Далее знание формируемой связи используется для нахож¬
дения табличных результатов деления по известным результа¬
там умножения. Вновь предлагаются упражнения:1)	Если известно, что 7-4 = 28, то какие примеры на деле¬
ние можно решить?2)	Найдите частное, пользуясь примерами на умножение:12:6=	15:3=	18:6 =6-2=12	3-5-=15	3-6=18В дальнейшем, переходя от одной темы к другой, учащиеся
вновь и вновь переосмысливают знание установленной связи.Каждое новое знание должно быть включено в систему ра¬
нее усвоенных знаний. Поэтому на ступени закрепления вклю¬
чаются упражнения в систематизации знаний. Например, после
изучения нумерации чисел первого десятка учащиеся под ру¬
ководством учителя систематизируют знания о числе, указывая,
как образуется число из предыдущего и следующего за ним в
натуральном ряду, на сколько оно больше предыдущего и мень¬
ше следующего и т. д.Наряду с усвоением знаний по математике учащиеся долж¬
ны овладеть вычислительными, измерительными, графическими
умениями и навыками, а также умениями решать задачи. Для
формирования умений и навыков также используются упраж¬
нения: учащиеся выполняют упражнения на вычисление, изме¬
рение, построение, решают задачи.Система упражнений в этом случае также должна удовлет¬
ворять определенным требованиям. Прежде всего она должна
обеспечить осознанное овладение умениями и навыками, т. е.
ученик должен осознавать, какие теоретические знания он ис¬
пользует, выполняя вычисления, решая задачи и т. д. Например,
умножая 14 на 5, ученик должен понимать, что он сначала за¬
меняет число 14 суммой разрядных слагаемых 10 и 4, а затем
умножает сумму на число:14-5= (10 + 4)-5= 10-5 + 4-5 = 70Чтобы сформировать прочные умения и навыки, необходимо
включить достаточное число упражнений.Система упражнений должна предусмотреть сопоставление
и противопоставление сходных вопросов, чтобы предупредить их
смешение. Например, чтобы учащиеся не смешивали свойства
умножения суммы на число И прибавление числа к сумме, пред¬
лагаются для решения пары примеров вида: (10 + 4)+5 и
(10 + 4)-5. После решения сравниваются сами примеры, а за¬
тем способы их решения,23
Через систему упражнений учащиеся усваивают иекоторые
общие умения: умения вычислять, умения решать задачи и др.
(подробнее об этом будет сказано дальше).При формировании умений и навыков широко используется
метод самостоятельных работ, при этом чрезвычайно полезно
предлагать упражнения дифференцированно, учитывая возмож¬
ности каждого из детей.§ 4. Средства начального обучения математикеОсуществляя учебный процесс, применяя разнообразные ме¬
тоды обучения математике, учитель использует различные сред¬
ства обучения: учебник, учебные пособия для учащихся (тет¬
ради на печатной основе, карточки с математическими зада¬
ниями, справочники* и т. п.), инструменты (линейка, угольник,
циркуль и др.), специальные наглядные пособия (предметы и
их изображения, модели геометрических фигур, счетные палоч¬
ки, разрезные цифры и т. п.), а также технические средства обу¬
чения. Использование средств обучения делает процесс овла¬
дения знаниями, умениями и навыками более эффективным.Учебники математики и учебные пособияУчебник является основным средством обучения. Все дру¬
гие средства разрабатываются в соответствии с учебником и
используются во взаимосвязи с ним.Учебники математики составляются в строгом соответствии
с программой по математике для начальных классов, причем
для каждого класса издается отдельный учебник.Учебники включают теоретический материал (определения
некоторых понятий, свойства, правила, математическая терми¬
нология и др.), который располагается в определенной системе
и является логическим стержнем курса. С ним связываются во¬
просы практического характера. Это вопросы, которые раскры¬
ваются на основе теоретических знаний (обоснование приемов
вычислений, приемов решения уравнений, неравенств и т. п.).
Кроме того, учебник включает и систему упражнений, с помо-
ш,ью которой учащиеся должны усвоить как теоретические зна¬
ния, так и приобрести умения и навыки, определяемые програм¬
мой. Таким образом, учебник является одновременно и сбор¬
ником упражнений.Система изложения в учебнике теоретического материала и
вопросов практического характера определяется требованиями
программы. В соответствии с этими требованиями при раскры¬
тии в учебнике каждого вопроса предусматривается подготовка
к введению нового материала, ознакомление с новым материа¬
лом, его закрепление. На каждой из этих ступеней предусмат-24
рипается система специальных упражнений, выполнение кото¬
рых учащимися должно обеспечить осознанное и прочное усвое¬
ние теоретических знаний, выработку умений и навыков.Упражнения предлагаются в различных формах, что сти¬
мулирует активность детей, возбуждает интерес. Часто зада¬
ния носят занимательный характер. С помощью упражнений
предупреждаются ошибки, допускаемые учащимися в резуль-
•Н1те смешения сходных вопросов курса; в этом' случае предла¬
гаются задания на выявление различного путем сравнения
(сравнение задач, приемов вычислений и т. п.). Многие упраж¬
нения, предлагаемые в учебниках, носят комплексный характер.
Например, учащимся II класса предлагается заполнить таб¬
лицу:1114Ьс1416Затем ставятся вопросы: может ли произведение быть равным
первому множителю? второму множителю? первому и второму
множителям одновременно?Как видим, выполняя это упражнение, ученик применяет це¬
лый комплекс знаний: правило умножения единицы и на еди¬
ницу, правило нахождения неизвестного множителя, знание
сути буквенной символики. Дополнительные вопросы требуют
от ученика наблюдения и установления определенных законо¬
мерностей. Такие упражнения чрезвычайно полезны: они по¬
могают установить связи между различными вопросами кур¬
са, стимулируют активность детей, развивают математическую
зоркость.При подготовке к уроку учителю очень важно увидеть на¬
значение каждого упражнения и правильно использовать их.Как уже указывалось, почти все новые вопросы курса вво¬
дятся на основе практических операций над множествами, по¬
этому в учебниках много иллюстративного материала, который
должен помочь детям перейти от конкретного к абстрактному.
В зависимости от содержания материала и подготовленности
детей иллюстрации от класса к классу изменяются: еслиI)	I классе даны преимущественно предметные картинки, то во
II классе и особенно в III — преимущественно схематические
рисунки, таблицы и чертежи. В учебниках даются образцы за¬
писей: решение примеров с объяснением, решение уравнений,
нахождение значений выражений при заданных значениях букв.25
входящих в выражение, и др. Ученик в случае надобности всег¬
да может обратиться к образцу, данному в учебнике.Материал в учебниках раскрывается по темам, которые оп¬
ределены программой. Темы разделены на небольшие, логически
законченные части, каждая из которых предназначается для
изучения на одном уроке.В учебнике в поурочной разбивке представлен материал
для большинства, но не для всех уроков, отводимых на изуче¬
ние курса. Материал для остальных уроков подбирает сам
учитель в соответствии с особенностями его класса. Эти уроки
отводятся на закрепление знаний, умений и навыков. Для этих
уроков в учебниках также предусмотрен материал, он дан в
специальных разделах, которые названы «Упражнения для за¬
крепления». Материал из этих разделов может быть исполь¬
зован и для дифференцированных заданий.Как известно, в начальных классах проводятся преимуще¬
ственно комбинированные уроки, поэтому материал учебника,
предназначенный на урок, предусматривает упражнения для
подготовительной работы к изучению нового материала, рас¬
сматриваемого на этом уроке или же на последующих, для
ознакомления с новым материалом и для закрепления знаний
только что изученного материала и ранее изученного. Новый
материал включается в уроки небольшими частями. Как пока¬
зал опыт, это способствует лучшему его усвоению. В отдель¬
ных случаях материал учебника определяет иную структуру
уроков; есть уроки, на которых закрепляются ранее получен¬
ные знания, есть уроки, полностью посвященные изучению но¬
вого, есть уроки, отведенные проверке знаний. Учитель, гото¬
вясь к уроку, должен тщательно отобрать материал, используя
не только учебник, но и другие учебные пособия.К учебнику для каждого класса издаются в помощь учителю
методические пособия, в которых дается: тематическое плани¬
рование по каждому разделу курса; требования к знаниям, уме¬
ниям и навыкам учащихся по каждой теме и по всему мате¬
риалу за год; материал для устных упражнений и указания
к большинству уроков. Планирование уроков является пример¬
ным, т. е. учитель, сообразуясь со своим классом, может вно¬
сить изменения в порядок ведения вопросов, изменять время,
отводимое на изучение той или иной темы. Однако при этом
должен быть изучен материал, предусмотренный программой
на каждый учебный год и на соответствующем уровне.Кроме учебников, издается ряд дополнительных учебных по¬
собий как для учащихся, так и для учителей. Это тетради на
печатной основе, сборники упражнений, которые может ис¬
пользовать учитель, проводя устные упражнения на уроках,
предлагая самостоятельные и контрольные работы, а также ин¬
дивидуальные задания. Издаются также материалы для инди¬
видуальной работы с учащимися, которые оказывают большую26
помощь учителю в осуществлении дифференцированного обуче¬
ния. Это различные дидактические материалы, представляю¬
щие собой систему упражнений по темам программы. Эти уп¬
ражнения оформляются на отдельных карточках, которые
использует учитель для индивидуальной работы с детьми, учи¬
тывая различный уровень их подготовленности.Издается также литература для проведения внеклассной
работы по математике с учащимися начальных классов.Начинающему учителю полезно знакомиться с опытом пре¬
подавания математики лучшими учителями, который освещает¬
ся в методическом журнале «Начальная школа».Наглядные пособия и технические средства обученияОсуществляя принцип наглядности на уроках математики,
опираются, с одной стороны, на восприятия учащихся, а с дру¬
гой— на их представления. В первом случае необходимы на¬
глядные пособия, во втором можно обойтись без наглядных
пособий, тогда необходимо активизировать прошлый опыт де¬
тей, накопленные ими ранее представления. Например, знакомя
детей с треугольником, учитель использует модели различных
треугольников, подчеркивающие существенные признаки фигур
такой формы (3 угла, 3 вершины, 3 стороны). Вместе с тем
учитель предлагает детям вспомнить, какие предметы имеют
форму треугольника. Таким образом при обучении математике
используют в сочетании непосредственные восприятия и пред¬
ставления учащихся.Математика изучает не сами предметы и явления окружаю¬
щей жизни, а «пространственные формы и количественные от¬
ношения действительного мира» (Ф. Энгельс), поэтому при
обучении математике стремятся вычленить именно эти стороны;
качественные же признаки предметов становятся несуществен¬
ными. Часто для изучения математических отношений и опе¬
раций используют специально созданные пособия. Такие посо¬
бия являются более эффективными, чем сами предметы или
ситуации, взятые из окружающей жизни.Правильное использование наглядности на уроках матема¬
тики способствует формированию четких пространственных и
количественных представлений, содержательных понятий, раз-
пивает логическое мышление и речь, помогает' на основе рас¬
смотрения и анализа конкретных явлений прийти к обобще¬
ниям, которые затем применяются на практике.Виды наглядных пособий. Знание видов наглядных пособий
дает возможность учителю правильно их подбирать и эффек¬
тивно использовать при обучении, а также изготовлять самому
или вместе с детьми необходимые наглядные пособия.Учебные наглядные пособия принято делить на натуральные
и изобразительные.27
Рис. 2*****Рис. 3ОООРис. 4
□к натуральным наглядным
пособиям, используемым на
уроках математики, относятся
предметы окружающей жизни:
тетради, карандаши, палочки,
кубики и т. п.Среди изобразительных на¬
глядных пособий выделяют об¬
разные: предметные картинки
(рис. 2), изображения предме¬
тов и фигур из бумаги и кар¬
тона (рис. 3), таблицы с изо¬
бражениями предметов или
фигур (рис. 4). Другой разно¬
видностью изобразительных
наглядных пособий являются
условные (символические) по¬
собия: карточки с изобран<е-
ниями математических симво¬
лов (цифр, знаков действий,
знаков отношений «>», «<;»,
« = »), схематические рисунки
(рис. 5), чертежи (рис. 6).
К изобразительным нагляд¬
ным пособиям относятся так¬
же экранные наглядные посо¬
бия: учебные фильмы, диа¬
фильмы, диапозитивы.С точки зрения использова¬
ния наглядные пособия делят
на общеклассные и индивиду¬
альные. Общеклассными поль¬
зуется сразу весь класс (их
иногда называют демонстраци¬
онными), индивидуальными50.чм В час60 км б чйс2руб.на 1 ру5. больше500 км28Рис. 5Рис. 6
пользуется каждый ученик в отдельности. Часто общеклассные
II индивидуальные пособия бывают одинаковыми по содержа¬
нию и отличаются лишь размерами: модели геометрических фи¬
гур, разрезные цифры, чертежные инструменты и др. Важно
правильно располагать как общекЛассные, так и индивидуаль¬
ные пособия, чтобы ими было удобно пользоваться на уроках.
Например, цифры хранят в общеклассных и индивидуальных
кассах, модели фигур в конвертах и т. п.С точки зрения изготовления различают наглядные посо¬
бия, изготовленные типографским способом или на фабрике,
н самодельные, изготовленные учителем или детьми.Самодельные пособия дополняют готовые наглядные посо¬
бия. Это различные рисунки и чертежи для составления задач,
сборные геометрические фигуры, таблицы, в которых можно
заменять цифры и отдельные слова, электрифицированные таб¬
лицы умножения и сложения и др.К изготовлению наглядных пособий полезно привлекать де¬
тей. Это имеет большое образовательное и воспитательное зна¬
чение, содействует сознательному и прочному овладению зна¬
ниями и умениями, помогает выработке определенных трудовых
навыков. Так, изготовляя модель прямого угла из бумаги и мо¬
дель подвижного угла из двух палочек, скрепленных кусочком
пластилина (см. рис. 57), ученики получают представление об
углах; изготовляя модели линейного и квадратного сантиметра,
дециметра, метра, учащиеся получают нагляд¬
ное представление о единицах длины и пло¬
щади. Работая с пособиями, изготовленными
своими руками (например, пособие для иллю¬
страции двузначных чисел — см. рис. 7), ре¬
бенок учится уважительно относиться к труду.Самодельные пособия должны быть не¬
сложными в изготовлении, должны отвечать
требованиям эстетики и нормам школьной ги¬
гиены.Использование наглядных пособий. В про¬
цессе обучения наглядные пособия использу¬
ют с различными целями; для ознакомления с
новым материалом, для закрепления знаний,
умений, навыков, для проверки их усвоения.Когда наглядное пособие выступает как ис¬
точник знаний, оно особенно должно под¬
черкивать существенное — то, что является
основой для обобщения, а также показывать
несущественное, его второстепенное значение.Так, модели прямоугольников надо взять раз¬
личных размеров — это дает возможность де¬
тям увидеть, что равенство противоположных	^
сторон есть общее свойство любых прямо- Рис. 7фффофоооооооооооооо29
угольников, оно не зависит от длины его сторон. Слово усили¬
вает восприятие, поэтому нужны точные вопросы учителя, на¬
правляющие наблюдения ученика.Знакомя с новым материалом, учитель часто использует на¬
глядное пособие с целью конкретизации сообщаемых знаний.
В этом случае наглядное пособие выступает как иллюстрация
словесных объяснений. Например, помогая детям в поисках
рещения задачи, учитель делает схематический рисунок или чер¬
теж к задаче; объясняя прием вычисления, сопровождает по¬
яснение действиями с предметами и соответствующими запися¬
ми и т. д. При этом важно использовать наглядное пособие
своевременно, иллюстрируя самую суть объяснения, привлекая
к работе с пособием и пояснению самих учащихся. При раскры¬
тии приема вычисления, измерения, решения задачи и т. д.
надо особенно четко показывать движение (прибавить — при¬
двинуть, вычесть — убрать, отодвинуть и т. п.). Сопровождая
объяснение рисунком (чертежом) и математическими записями
на доске, учитель не только облегчает детям восприятие мате¬
риала, но и одновременно показывает образец выполнения ра¬
боты в тетрадях, например: как расположить чертеж и запись
решения в тетради, как обозначить многоугольник с помощью
букв и т. п. Поэтому чертежи и записи на доске необходимо
выполнять грамотно, красиво располагать их на доске и сле¬
дить за тем, чтобы они были хорошо видны всем детям.При ознакомлении с новым материалом и особенно при за¬
креплении знаний и умений надо так организовывать работу
с наглядными пособиями, чтобы учащиеся сами оперировали
ими и сопровождали действия соответствующими пояснениями
(объединяли множества предметов при изучении сложения,
моделировали замкнутые и незамкнутые ломаные линии, поль¬
зуясь палочками и т. п.). Качество усвоения материала в этих
случаях значительно повышается, так как в работу включают¬
ся различные анализаторы (зрительные, двигательные, рече¬
вые, слуховые). При этом дети овладевают не только матема¬
тическими знаниями, но и приобретают умения самостоятельно
использовать наглядные пособия. Учитель должен всячески по¬
ощрять детей к использованию наглядных средств при само¬
стоятельной работе.На этапе закрепления знаний и умений широко используют
для разнообразных упражнений справочные таблицы, таблицы
для устного счета, рисунки, схемы, чертежи для составления
задач детьми. Для выработки измерительных навыков вклю¬
чают упражнения в черчении и измерении с помощью чертеж¬
но-измерительных инструментов. Рекомендуется практиковать
воспроизведение наглядно воспринятого путем моделирования,
рисования, словесного описания.Наглядные пособия иногда используют для проверки знаний
и умений учащихся. Например, чтобы проверить, как усвоили30
ЙГП1 понятие многоугольника, можно предложить им с помо-
иц.ю палочек сложить многоугольник указанного вида или вы-
ииспть их номера, рассмотрев соответствующий кадр из диа¬
фильма. Используя раздаточный дидактический материал (кар-
((•чки с отрезками, с многоугольниками и др.)* учитель прове¬
рти умения измерять длину отрезков, площадь и периметр мно-
тугольников и др.Важным условием эффективности использования наглядных
шн’обий является применение на уроке достаточного и необхо¬
димого количества наглядного материала (в меру, без изли¬
шеств). Если наглядные средства применяются там, где этого
(■(шсем не требуется, они играют отрицательную роль, уводя
детей в сторону от поставленной задачи. Подобные факты
И( тречаются в практике; например, первоклассник обучается
иыбору арифметического действия (сложения или вычитания)
мри решении арифметических задач. Учитель привлекает для
итой цели картинку, на которой нарисованы птички, сидящие
и:1 ветке и подлетающие к ним (или, наоборот, улетающие от
них). Ученик, глядя на эту картинку, находит ответ задачи
простым пересчитыванием, не выполняя никакого арифметиче-
|'кого действия над числами. Наглядность, использованная в этом
случае, не только не помогает, но, наоборот, задерживает фор¬
мирование умения рещать задачи, т. е. выбирать действие над
числами, данными в условии. Другой пример: известно, что
необходимо иллюстрировать незнакомые детям предметы, встре¬
чающиеся в задаче, показом соответствующей картинки (мет-
|>о, завод, трамвай и др.— сельским детям; ферма, подвода,
стог, скирда и т. п.— городским детям). Однако нет необходи¬
мости в показе картинок известных детям предметов.В процессе обучения важно своевременно переходить от
предметных и образных наглядных пособий к условной (симво¬
лической) наглядности. Например, если вначале при ознаком¬
лении с решением задач нового вида содержание задачи иллю-
<'трируют действиями с предметами, то позднее достаточно за¬
писать задачу кратко. Если при ознакомлении с приемом вы¬
числения дети сначала опираются на соответствующие действия
е предметами, то затем достаточно опоры на запись приема вы¬
числения и т. п. Роль символической наглядности возрастает
г накоплением у детей математических знаний и развитием
мышления учащихся, символическая наглядность (схемы, чер¬
тежи, математические записи и т. п.) становится основным
гредстном наглядного обучения математике.§ 5. Урок и другие формы организации обучения
математике в I—III классахОбучение мптемятике и начальных классах осуществляетсяII	1ПК0ЛС II форме урокоп и внеурочных занятий (индивидуалъ-31
ных и групповых); дома или в группе продленного дня — в фор¬
ме домашней самостоятельной работы; в природе, музее, на
производстве — в форме экскурсий.Урок математикиОсновной формой организации учебной работы по матема¬
тике, как и по другим предметам, является урок. Особенности
урока математики обусловлены прежде всего особенностями
самого учебного предмета. Начальный курс математики пост¬
роен так, что одновременно с изучением арифметического
материала включаются элементы алгебры и геометрии. Следо¬
вательно, на одном уроке очень часто рассматривается, кроме
арифметического материала, алгебраический и геометрический.
Включение материала из разных разделов курса, безусловно,
влияет на построение урока математики и методику его про¬
ведения.Другой особенностью начального курса математики являет¬
ся рассмотрение во взаимосвязи теоретических и практических
вопросов. Поэтому на каждом уроке математики работа над
усвоением знаний идет одновременно с выработкой умений и
навыков.На уроке реализуется, как правило, несколько дидактиче¬
ских целей: по отношению к одному материалу ведется заблаго¬
временная подготовительная работа, по отношению к друго¬
му— ознакомление с новым и его первичное закрепление, по
отношению к третьему—ранее изученному материалу — прово¬
дится закрепление с целью обобщения и систематизации зна¬
ний, с целью выработки прочных умений и навыков. Одновре¬
менно осуществляется контроль и учет знаний, умений, навы¬
ков учащихся. В этих условиях чрезвычайно важно по каждому
вопросу соблюдать преемственность в работе от урока к уро-
ку^ Это возможно только в том случае, когда учитель хорошо
знает, какими знаниями, умениями, навыками должны овладеть
дети в результате изучения темы, четко видит всю систему уро¬
ков по теме.Специфика уроков математики обусловливается также осо¬
бенностями усвоения детьми математического материала: абст¬
рактный характер материала требует тщательного отбора на¬
глядных средств, методов обучения, разнообразия видов дея¬
тельности учащихся в течение урока.На уроках математики необходим постоянный контроль за
ходом усвоения материала, чтобы учитель мог успешнее уп¬
равлять деятельностью детей и осуществлять дифференцирован¬
ное обучение. Когда дается несколько вариантов заданий, то,
как правило, проверяется выполнение трудных вариантов зада¬
ний, с тем чтобы все учащиеся класса уяснили, как выполнять
это задание, и чтобы проверка содействовала обогащению зна¬
ний учеников всего класса.32
Па уроках математики в комплексе решаются образова-
|гл1.11ые, развивающие и воспитательные задачи. Определить
поразовательные задачи урока — значит определить, чему учить
У'пицихся: 1) какие знания дать и 2) какие способы и приемы
фирмировать.|}ажно не только учителю, но и учащимся осознать, чему
учились на уроке. Для этого учителю необходимо четко ставить
перед учащимися задачи, которые нужно освоить по ходу уро¬
ки, а в конце урока ставить перед детьми вопрос: «Чему учи¬
лись на уроке?» (Что нового узнали? Что повторили?)Осознание детьми процесса учения уже способствует их раз-
питию. Вместе с тем нужно и специально формулировать раз¬
минающие задачи урока. Они могут быть направлены на раз-
иитие мышления, речи, наблюдательности учащихся и т. д.Особое внимание на уроках уделяется развитию у детей
митсреса к математике и воспитанию у них навыков самостоя-
и'Л1.ной работы. Интерес к предмету и умственная самостоя-
чельность тесно взаимосвязаны. Когда детям интересно на уро¬
не, тогда они проявляют значительно большую активность и
сммостоятельность в учебной работе. В свою очередь актив¬
ность и самостоятельность, проявленные детьми в приобрете-
мин знаний, возбуждают у них интерес к предмету.Для воспитания у учащихся умственной самостоятельности
и развития интереса к математике большое значение имеет пра«
пильный отбор методов обучения.Одним из эффективных методов обучения является само-
(чоительная работа учащихся. На уроках математики само-
сюнтельные работы проводятся с целью подготовки к изуче-
иик) нового материала, при ознакомлении с несложным новым
материалом, при закреплении знаний, умений и навыков, а так¬
же для проверки усвоения изученного материала.При изучении нового материала важно создать такие ус-
Л11ПИМ, чтобы дети стали непосредственными участниками добы-
мииим И(м1ых знаний. С этой целью можно перед началом изуче¬
нии моиого материала предложить учащимся практическую за-
личу, для решения которой недостаточно имеющихся у детей
ииитП, нужны новые знания, которые и становятся затем пред-
М1ЧЧ1М изучения на данном уроке, т, е. создается «проблемная
••игупиия*, «ситуация затруднения».Гак, например, на уроке математики в I классе при изуче-
иии темы «Метр» учительница обращается к детям: «Нам нуж¬
но купить дорожку для комнаты. Как мы узнаем, какой длины
КИМ нужна дорожка?» «Надо измерить»,— отвечают дети. «Нам
длм чтого нужно измерить длину комнаты. Как мы измерим
р(ич'Т(»»1мис от одной стены до другой?» Кто-то из детей пред-
.||||К1ет и:)ме|)ить шагами. Учительница вызывает ученицу и
придлагпет ей измерить длину классной комнаты шагами. По-
1ИМ ‘»1(> же задание выполняют еще два ученика. У учащихся1 1(41(41 » 4187	33
получается разное число шагов: 14, 12, 7. Возникает законный
вопрос: как же измерить длину комнаты?С целью развития интереса к математике на уроках вклю¬
чают дидактические игры и занимательные упражнения. Уча¬
щиеся с большой охотой выполняют работу, если задание дает¬
ся в необычной форме: не просто решить примеры, а найти
примеры, решенные неверно, и решить их правильно, запол¬
нить таблицу (см. с. 25)', хотя ее заполнение сводится к ре¬
шению ряда примеров, и т. п. Включение игр и заниматель¬
ных упражнений оживляет работу на уроке, вызывает актив¬
ность детей.Организуя работу по изучению нового материала, необ¬
ходимо помочь учащимся не только активно и самостоятельно
усвоить учебный материал, но и воспринять и осознать приемы
и способы работы с этим материалом. Поэтому надо обращать
внимание детей на способы выполнения заданий, делать сами
способы предметом рассмотрения.На уроке математики решаются разнообразные воспитатель¬
ные задачи: формирование инициативы, ответственности и до¬
бросовестности в работе; выработка четкости и аккуратности в
вычислениях, измерениях, формулировках и записях; воспита¬
ние привычки систематически трудиться и преодолевать труд¬
ности.Решению воспитательных задач на уроке содействуют не
столько отдельные «воспитательные моменты», а весь урок,
весь учебный процесс в целом: содержание обучения, кото¬
рое в нашей школе отличается научностью, идейностью, жиз¬
ненностью; методы учебной работы, направленные на всемер¬
ное развитие активности и самостоятельности учащихся; чет¬
кая организация урока. Руководящая роль в достижении
воспитывающего характера учебной работы принадлежит учи¬
телю, так как и содержание, и методы, и организацию работы
на уроке определяет учитель.Типы уроков. В зависимости от основной дидактической це¬
ли урока, которая подчиняет все другие цели, выделяются сле¬
дующие типы уроков: урок изучения нового материала; урок
закрепления знаний, умений, навыков; урок контроля и учета
знаний, умений, навыков. Если урок имеет несколько равноправ¬
ных дидактических целей, то такой урок называют комбини¬
рованным.Комбинированные уроки наиболее распространены в I—III	классах, что объясняется возрастными особенностями млад¬
ших школьников, а также особенностями построения начального
курса математики.Структура уроков комбинированного типа может быть раз¬
личной: 1) закрепление и проверка знаний ранее изученного‘ Все указанные здесь и далее страницы относятся к настоящему по¬
собию,34
Мйк'рмала; 2) изучение нового материала; 3) закрепление это-
1(1 митериала; 4) задание на дом, или: 1) изучение нового ма-
И'рпала; 2) закрепление изученного на данном уроке и ранее
пройденного; 3) задание на дом; 4) подготовительная работа
к и.чучснию следующей темы.На уроке комбинированного типа тратится примерно одинЗ’
и1»и(»е время на повторение и проверку ранее изученного и на
и (умение нового и его закрепление. При этом часто одновре¬
менно с закреплением ранее изученного учитель, проверяет, как
Д1Ч11 усвоили этот материал; попутно с изучением нового мате-
римла ведется закрепление знаний, умений и навыков по ново¬
му материалу, закрепление сочетается с подготовкой к изуче¬
нию следующей темы и т. п. Этим обеспечивается активная
работа учащихся на протяжении урока.Уроки изучения нового материала. В младших классах спе-
ципльных уроков математики, целиком посвященных изучению
ппиого материала, нет. Новый материал небольшими частями
рпссматривается почти на каждом уроке. Но бывают уроки, на
1ч1Горых изучение нового материала является основной ди¬
дактической целью. Этой работе отводится большая часть уро¬
ни, при этом другие части урока также подчинены изучению
111И10Г0. Для того чтобы установить связь нового материала с
и (ученным, чтобы новые знания включить в систему, повторяют
|г разделы и вопросы, которые подготавливают учащихся к
Ц(ц'11риятию новых знаний, помогают им сделать самостоятель-
И(.(с ныводы и заключения. Помимо знакомства с новым мате¬
риалом на таком уроке происходит первичное закрепление
полученных знаний.(/груктура данного типа урока может быть такова; 1) по-
ик'репие материала, необходимого для сознательного усвоения
И(И1ы\ математических знаний; 2) изучение нового материала;II)	(((.'.рвичное закрепление изучаемого материала; 4) задание
и а дом. Последовательность структурных элементов урока мо-
« I I быть и другой, но в любом случае основная часть урока
ла(1иого типа посвящается работе над новым материалом.Уроки закрепления знаний, умений и навыков. Основное
М('1 го па уроках данного типа занимает выполнение учащимися
|||( 1ЛИЧМЫХ тренировочных упражнений и творческих работ.
11р|'Члагаются упражнения в определенной системе. Большое
М('1 к» па этих уроках отводится самостоятельной работе уча¬
щими, Структура этих уроков, как правило, следующая: 1) вос-
Ирми 1(1одение учащимися знаний, умений и навыков, которые
11(м рсбуются для выполнения заданий; 2) самостоятельное
И(1*((1»л(|спнс учащимися различных упражнений; 3) проверка
|и.(((ил(пч1мя работы и подведение итогов; 4) задание на дом.(шми.ю развития знаний, умений и навыков на таких уро-
|и(н 1((1(1гдп включаются элементы нового. Кроме того, попутно
ими с ((омощью специальных упражнений проводится подгото¬II*	35
вительная работа к изучению следующих тем. Но эти дидакти¬
ческие цели подчиняются основной цели урока — закреплению
изученного материала. В начале учебного года или четверти
проводятся уроки закрепления изученного с целью повторения
и систематизации тех знаний, которые необходимы для изуче¬
ния новых тем. В конце изучения темы или раздела на уроках
закрепления включаются упражнения обобщающего и система¬
тизирующего характера.Контрольные или учетные уроки. Основное место на таких
уроках отводится устной и письменной проверке усвоения изу¬
ченного материала. Проверка, как правило, сочетается с закреп¬
лением знаний, умений и навыков. Самостоятельные письмен¬
ные работы занимают от 15 до 30 мин, остальное время отво¬
дится на закрепление ранее изученного. В конце урока, если
проверка проводилась в устной форме, учитель, как правило,
дает краткую характеристику знаниям, умениям и навыкам
учащихся, указывает на достижения, недостатки и пути их пре¬
одоления. Если проверка проводилась в письменной форме,
то последующий урок посвящается анализу результатов конт¬
рольной работы, исправлению типичных ошибок, повторению
и закреплению тех разделов, которые оказались хуже усво¬
енными.Каждый урок математики является отдельным звеном в
системе уроков по той или иной теме. Систему уроков учитель
намечает, составляя тематическое планирование (на отдельную
тему или на определенный период—месяц, учебную четверть).
Планируя работу по теме, учитель делит материал этой темы
на небольшие части (уроки), намечает основные дидактические
цели каждого урока. Тематическое планирование, составлен¬
ное опытными учителями-методистами, систематически публи¬
куется в методической литературе. Опираясь на это планиро¬
вание и учитывая особенности своего класса, учитель состав¬
ляет свой календарный тематический план.Готовясь к уроку, учитель прежде всего по календарному
плану устанавливает тему урока, его содержание и основные
дидактические цели. Учитывая результаты работы на преды¬
дущем уроке (как дети усвоили материал, что успели и что не
успели сделать на уроке и др.), учитель уточняет содержание
и задачи урока. Затем определяется методика работы на уро¬
ке, подбираются соответствующие наглядные пособия, намеча¬
ется система упражнений, наиболее четко и доступно раскры¬
вающая материал урока. При этом учитель стремится вклю¬
чать упражнения информационного (познавательного), разви¬
вающего и тренировочного характера, а там, где возможно, со¬
четать несколько целей, предлагать упражнения комплексного
характера. Например: решите задачи и сравните их решения;
решите данные пары примеров и составьте сами похожую пару
примеров:36
6+3	4+4	5+49-3	, 8-4	9-5Учитель продумывает, как будут выполняться эти упражне¬
нии на уроке — устно или письменно, с пояснением перед тем,
как записать в тетрадь, или с пояснением после выполнения их
II тетрадях, с записью на доске или без записи и т. п. При этом
учитывается необходимость смены видов работы, чтобы рабо¬
тоспособность детей сохранялась на протяжении всего урока.В результате намечается план урока — определяются основ¬
ные части урока, их последовательность, время на их прове-
Д1М1ие, намечаются учащиеся, которых нужно спросить, выписы-
Лмются отдельно те записи, которые будут сделаны на доске
(|1 тетрадях). Все это оформляется в виде развернутого плана
урока. В отдельных случаях составляется конспект урока, в
котором ход урока излагается более подробно, записываются
иоиросы учителя и предполагаемые ответы детей. Приведем для
примера развернутый план урока математики в I классе.Тема урока: «Устная нумерация чисел в пределах 20».Дидактические цели урока: изучение нового мате¬
риала и закрепление ранее изученного.Задачи урока: 1) ознакомить детей с десятком как
ИОНОЙ счетной единицей (раскрыть его образование из единиц,
показать, что десятки можно считать так же, как простые еди¬
ницы); 2) закреплять навыки сложения и вычитания в преде¬
лах 10 и умение решать простые задачи изученных видов;
И) учить делать обобщения и выводы; 4) учить использовать в
жизни приобретенное умение считать десятки.Оборудование: палочки (по 2 десятка палочек у де¬
тей, несколько десятков палочек у учителя), 3 полоски с при-
к.||1ч:нными на них кружками (по десять на каждой).Ход урока.1.	Устные упражнения, а) Решение примеров детьми
У1ГИО с показом ответов разрезными цифрами: найдите сумму
Ч11с('л 2 и 8; найдите разность чисел 9 и 6; увеличьте 7 на 2 и
уменьшите полученный результат на 4. б) Устное решение задач
1‘ показом действия соответствующим знаком, а ответа задачи—
ци(|»рой: «Девочка принесла в школу 2 кг макулатуры, а маль¬
чик иа 3 кг больше. Сколько килограммов макулатуры принес
М11Л1.ЧИК?»; «Девочка принесла в школу 2 кг макулатуры, а
мпльчик 5 кг. На сколько килограммов макулатуры больше
ириисс мальчик, чем девочка? На сколько килограммов мень-
1И1- ирииссла макулатуры девочка, чем мальчик?» в) Составле-
ии.' :и|дач по выражению: 8 — 5. г) Счет тетрадей—20 штук
(шлипть несколько учеников продолжать счет).1*11 бота над новым материалом. Объяснение
пели урока —будем учиться считать предметы, когда их больше
деен 1и.37
а)	Подготовительные упражнения. Отложить 10 кружков,
разложить их парами. Сколько пар? (Сосчитать хором.) Раз¬
ложить пятками. Сколько пятков? (Спросить нескольких уче¬
ников.) Сложить все вместе — это 10, или 1 десяток. (Выста¬
вить на наборное полотно полоску с 10 наклеенными кружка¬
ми.) Сколько десятков кружков на наборном полотне?б)	Образование десятка из единиц. Отсчитать 10 палочек
и завязать их в пучок-десяток. Обвести 10 клеток и раскра¬
сить их.Работа по учебнику.в)	Счет десятков. Сколько десятков палочек я показываю?
(2.) Это больше, чем 2 палочки? Сколько десятков кружков
стоит на наборном полотне? (3.) А отдельных кружков здесь
больше, чем 3? Сосчитайте, сколько десятков палочек есть у
мальчиков, которые сидят в этом ряду. Что считают десятками?г)	Сравнение чисел, полученных при счете десятков: где
больше десятков кружков: в левой или в правой руке? Где
больше десятков палочек: у Вити или у Саши?д)	Сложение и вычитание десятков. Сложите вместе пучки
палочек, которые у вас есть на одной парте. Сколько стало
десятков палочек? Сложите вместе пучки-десятки, выставленные
на наборном полотне. Решите задачу: «Купили 5 десятков яиц.
За неделю съели 2 десятка. Сколько десятков яиц осталось?»Вывод: когда предметов много, их можно считать десят¬
ками.е)	Самостоятельная работа. Обвести и раскрасить 2 десят¬
ка клеток. При проверке сосчитать, сколько отдельных клеток
обведено (вызвать того, кто умеет считать).3. Работа над ранее изученным материалом.а)	Решение задачи (с. 74). Дать прочитать задачу детям и
рассмотреть рисунок в учебнике. Что значит «тяжелее», «легче»?
Как узнать, на сколько одно число больше или меньше другого?
Решение задачи записать самостоятельно. Проверка решения:
какую гирю поставим на ту чашку весов, где лежит кочан ка¬
пусты, чтобы стало поровну на обеих чашках весов?б)	Самостоятельная работа: решение по вариантам приме¬
ров из учебника.На приведенном уроке решались две основные дидактиче¬
ские цели: знакомство с новым материалом и закрепление ра¬
нее изученного. Следовательно, это урок комбинированный.
Структура урока такова: закрепление ранее изученного, зна¬
комство с новым материалом, закрепление новых знаний.
При проведении урока учитель стремится выполнить намечен¬
ный план и добиться усвоения материала всеми детьми. По
ходу урока можно внести изменения, если в этом будет необ¬
ходимость. Например, если все намеченные упражнения вы¬
полнены, но материал еще не усвоен детьми, выполняются до¬
полнительно новые упражнения. Этой главной задаче — добить-38
1М усвоения материала учащимися — подчиняется вся работа11,1	уроке: контроль за ходом усвоения материала детьми, темп
||пботи на уроке, число упражнений, смена видов деятельности
и Л['.Важно создать на уроке обстановку общей заинтересован-
1ККТИ в положительных результатах работы каждого ученика:
пиимательно выслушивать ответы детей, не перебивая замеча¬
ниями, привлекать к поискам наилучшего решения задания
И(ч'х учащихся, своевременно давать отдых, меняя виды работы
или включая небольшие физкультминутки, и т. д.Для начинающих учителей большую трудность представля¬
ет распределение внимания (не удается следить одновременно
1/1 работой всех детей и своей собственной), а также распреде¬
ление времени в соответствии с планом (много времени уходит
Ил проверку знаний учащихся, остается мало времени на озна¬
комление и закрепление нового материала, домашнее задание
дмгтся после звонка и т. п.). В связи с различным темпом
рпботы детей не удается организованно переключать их с од¬
ного вида работы на другой, недооценивается роль отметки как
средства активизации работы детей.большую помощь в овладении методикой проведения уро-
Кои оказывает посещение уроков опытных учителей с после¬
дующим анализом просмотренного урока, а также анализ соб-
писимых уроков. При этом прежде всего учитывается тема
урока, его дидактические цели, образовательные, развивающие
и иоспитательные задачи, структура и тип урока. Рассматрива-
I |»'»| содержание каждой части урока и методика ее проведе-
иин; научность и идейная направленность материала, связь с
жи (иыо и опора на личный опыт детей, доступность материала,
ди||»(|)ерс11циация учебной работы, соответствие методов обуче¬
нии содоржанию и целям работы, направленность методов на111)1 итнпцию и самостоятельность мыслительной деятельности
У'||1тих('мI	« ми ми уроке давались самостоятельные работы, а также
Ломиитее шдппие, то анализируется их содержание, объем,
И1Н1рум11ж к выполнению и т. д. Оценивается распределение
кримгии им проиедеиие основных частей урока, отбор упражне-
ммН, ич оПр,'1.«)иатсльная, развивающая и воспитательная цен¬
или, Дттеи оцопка знаиий детей, их умений и навыков. Важ-1)0 оО»удиг|. (имникптс при анализе (своего или чужого) урока
(Циицимс.еиии МО улучшению построения и методики проведения,
Чп«Г(м и ли.'и.иепми'м учесть их п работе.Д||у1И» фирмы ор1 ниитции учебной работы по математикеИм» (1Щ'1Ии формы оргпиитцпи учебной работы по матема-
1Ик1> н1|1'урочи1.1и ии;1ипидупл1.пые и групповые занятия, до-
ММИ1МИИ I ИМ11М"И|г 11,11(1*1 рибош, экскурсии — тесно связаны
I У|1|ИИ1М и ||<11ПИИ1'М1.| |<му.ЗЭ
Внеурочные занятия по математике проводятся либо
с целью углубления и расширения знаний, полученных на уро¬
ках, либо с целью ликвидации пробелов в знаниях, умениях и
навыках. В первом случае это осуществляется через различные
формы внеклассной работы по математике, во втором случае
организуются индивидуальные или групповые учебные занятия
по мере надобности с теми детьми, у которых обнаружилось
отставание по предмету и они не могут далее продвигаться впе¬
ред вместе с классом.Пробелы в знаниях, умениях и навыках могут появиться у
ученика в результате пропуска уроков по болезни, а также в
результате систематического отставания ученика на уроке по
причине пониженной работоспособности, недостаточного внима¬
ния к его работе со стороны учителя, особенностей нервной си¬
стемы и др. К внеурочным занятиям учитель тщательно под¬
бирает материал, продумывает методику работы. Особенно цен¬
ны упражнения с наглядными пособиями, которыми оперирует
сам ученик, а также упражнения в пояснении приемов решения
примеров и задач с опорой на рисунки, схемы, чертежи. Наме¬
тившиеся сдвиги в знаниях и умениях ученика учитель поддер¬
живает и развивает на уроках, предлагая ученику во время са¬
мостоятельных работ специально подобранные упражнения.Домашняя самостоятельная работа по мате¬
матике содействует вооружению учащихся умением самостоя¬
тельно овладевать знаниями, дает возможность учителю и роди¬
телям быть в курсе успехов школьника, помогает организовать
свободное время детей дома, содействует воспитанию у них цен¬
ных качеств: трудолюбия, организованности, дисциплинирован¬
ности, аккуратности и др.Домашние задания могут иметь разные цели: закрепление
знаний и практических умений (решение примеров, задач), си¬
стематизация и обобщение приобретенных знаний и умений (со¬
ставление примеров на изученный прием вычисления, составле¬
ние задач и т. п.); подготовка учащихся к работе, которая
будет проводиться на предстоящем уроке (наблюдения за жиз¬
ненными явлениями, сбор числового материала, изготовление на¬
глядных пособий и т. д.).Домашние задания могут быть общие, индивидуальные и
групповые, когда группа учащихся выполняет какое-то задание,
являющееся частью общего классного задания. Например, при
сборе числового материала одна группа узнает цены учебных
принадлежностей, другая — цены продуктов, третья — цены иг¬
рушек и т. д. Групповые домашние задания содействуют воспи¬
танию учащихся в духе коллективизма, формированию у детей
чувства ответственности за порученное дело.Руководство домашней учебной работой учитель осуще¬
ствляет через инструктирование учащихся и через проверку вы¬
полненной работы. Важно, чтобы ученику была ясна цель до-40
мшипего задания, тогда он может с увлечением проделать не-
иигоресную, но нужную работу. Ученику необходимо знать, что
ему задано на дом и как он будет выполнять это задание. По¬
тому, предлагая задание на дом, нужно обязательно говорить,
||Г() надо сделать, и разъяснять, как это делать, переходя от
подробной инструкции к более краткой.Объем домашних заданий не должен быть слишком боль¬
шим. Установлены примерные нормы времени на выполнение
домашних заданий учащимся по всем предметам (русскому язы¬
ку, чтению, математике и др.) во втором полугодии I класса доI	ч; во II классе — до 1,5 ч; в III классе —до 2 ч. В первом
классе в первое полугодие домашние задания разрешается да-
п.'пь только по чтению, в субботу домашние задания в началь¬
ных классах давать запрещается.«Задавание уроков на дом тогда только целесообразно, если
|||)1 анизован учет выполнения заданий, качества выполнения
них заданий»,—писала Н. К. Крупская.Проверка домашних заданий может осуществляться разны¬
ми путями. Письменные работы проверяются учителем как до¬
ма, так и в классе на уроке. Проверка и письменного, и устно-II)	домашнего задания может осуществляться на любом этапе
урока. Целесообразно использовать проверку для подготовки
к изучению нового материала. Очень часто проверка домаш-
И( 10 задания служит проверкой и оценкой знаний изученного
материала (соединяется с устным опросом или самостоятельной
работой учащихся).Для правильной организации домашней учебной работы де-
|гй необходимо тесное сотрудничество учителя с семьей учени¬
ка, II также с воспитателем группы продленного дня. Надо разъ-
Н1'ият1. родителям и воспитателям, как оказывать учащимся
ра1^м11ук) помощь н выполнении домашних заданий..•)к1'курсия проподится с целью накопления непосредствен-
111.14 1ИК иртп нП II наблюдс'пий учащимися объектов и явлений,I	|'Ншнных с 1Г1учсии1‘М материала по математике. Проводя
»К1 кургии, ирсдуомотрсииые программой, в природу и на про-
шиолспю (||ан1)11Мор, и сад, на ферму, фабрику, строительную
площадку и т. п.), учитель организует наблюдения за количест-
И>'И11ЫМ11 изменениями, сбор числового материала и т. п.Экскурсия может явиться началом работы по теме програм-
М1.1, Цель ее — вызвать у учащихся интерес к изучению темы,
й»д('1к'т1)0вать накоплению материала, необходимого для после-
;1ую|ц<'й работы по теме. Примером такой экскурсии является
‘•кскурсии на шоссе или городскую улицу, во время которой
ум ники знакомятся с различными видами движения (III класс)
перед решением задач на движение.Экскурсия может быть организована в процессе работы над
н'мой. Ее назначение — содействовать частичной проверке уже
полученных знаний и умений, а также дополнить материал, не¬41
обходимый для дальнейшей работы по теме. Примером может
служить экскурсия в магазин при изучении связей между ве¬
личинами: цена — количество — стоимость, масса одного пред¬
мета— количество — общая масса и др. (И класс). На экскур¬
сии в магазине дети наблюдают процесс купли-продажи, про¬
слеживают некоторые зависимости (больше купили — больше
заплатили и т. п.), узнают цены товаров, правила пользования
весами и т. д. Все это используется при составлении задач на
последующих уроках.Экскурсия может подвести итог работы по теме или несколь¬
ким темам. Цель такой экскурсии — закрепить и расширить
знания учащихся, обобщить материал, полученный на уроке или
ряде уроков. Пример экскурсии такого рода — измерительные
работы на местности после изучения темы «Площадь геометри¬
ческих фигур».Для того чтобы экскурсия достигла успехов, она должна
быть тщательно подготовлена и методически правильно прове¬
дена.^Проверка и оценка знаний, умений
и навыков учащихся по математикеПроверка и оценка знаний, умений и навыков учащихся —
неотъемлемая составная часть учебного процесса в начальных
классах.На уроках математики, так же как и на других уроках, про¬
верка выступает в основном в трех видах в зависимости от
того, на каком этапе учебного процесса она используется.Предварительная проверка имеет место в начале учеб¬
ного года или перед началом изучения новой темы. Ее задача —
выяснить, готовы ли учащиеся к изучению нового материала.Текущая проверка организуется по ходу учебного процес¬
са. Она дает возможность учителю проверить, как идет усвоение
нового материала: все ли учащиеся включились в работу, какие
затруднения они встречают. При этом учитель проверяет и себя:
насколько он успешно работает, насколько правильны и эффек¬
тивны методические приемы, которые он использует при обуче¬
нии математике. В соответствии с результатами текущей про¬
верки учитель может внести в учебный процесс необходимые
изменения и исправления.Итоговая проверка проводится или в конце изучения те¬
мы, раздела, или в конце четверти, учебного года. Ее задача —
выявить результаты обучения, проверить качество приобретен¬
ных учащимися знаний, умений, навыков.Основными методами проверки усвоения учащимися про¬
граммного материала являются устный опрос и письменные ра¬
боты учащихся.42
Устный опрос. При проведении устного опроса учитель
прсмнтся проверить, насколько учащиеся овладели учебным
мшч'риалом, и, кроме того, вовлечь по возможности всех уча-
ти.чся в активную работу.Для решения этих задач большое значение имеет характер
шдаиий и вопросов учителя. Следует чаще предлагать вопросы,
грсОующие объяснения; объясни, как ты решил эту задачу, это
У11пт1ение и т. п. Полезно включать задания на сравнение: срав¬
ни решение примеров; 92 — 50 и 90—52; сравни решение этих
шдач, сравни эти четырехугольники и т. д. Сознательно ли ус-
гоем материал — помогают выявить нетрафаретные задания,
исобонно задания, требующие применения знаний к решению
м(и.'1иенных задач (подсчитать затраты на покупку учебных при-
нмдлежностей к началу учебного года, сравнить площадь пола
и классе и в коридоре и т. п.).Устный опрос позволяет обстоятельно выяснить знания уча¬
щихся, однако он требует много времени, что ограничивает воз¬
можность проверить большое количество учащихся. Кроме того,II	устном опросе вопросы учителя и ответы учащихся нигде не
фиксируются. Это лишает учителя возможности сравнивать от-
ш'ты разных учащихся на один и тот же вопрос, ответы одного
и того же ученика, данные им в разное время учебного года.Эти недостатки устного опроса в значительной степени уст¬
раняются при проверке усвоения материала путем письмен-111.1	X работ. Самостоятельные письменные работы проводятся
!• целью текущей и итоговой проверки знаний, умений, навы-
|(()|), При текущей проверке самостоятельные работы невелики
МО объему, содержат задания в основном по той теме, которая
•мучается в это время. Проверка в этом случае тесно связана
г процессом обучения на уроке, подчинена ему. Поэтому само-
(юятельная работа может быть проведена по частям, которые
иключаются по ходу урока 2—3 раза (по 3—10 мин). Например,
и I классе на уроке по закреплению приема прибавления и вы¬
читания числа 3 можно сначала включить для самостоятельной
работы 4—6 примеров на эти и ранее рассмотренные случаи
сложения и вычитания, а затем после коллективного решения
Ийдачи предложить самостоятельно решить аналогичную зада¬
чу или задачу ранее рассмотренного вида, при решении кото¬
рой нужно прибавлять или вычитать число 3.При итоговой проверке самостоятельная письменная работа
включает обычно больше заданий и на ее выполнение отводятII	I классе 20—25 мин, а во И—П1 классах—30—40 мин. При
‘ЛОМ стремятся проверить знания, умения, навыки по всем ос-
||(1тп.1м разделам, изученным за определенное время (за месяц,
•н учебную четверть). В этом случае контрольная работа может
годгржать различные задания; решение примеров в одно или не-
( К0Л1.К0 действий, решение задач, уравнений, неравенств, зада¬
нии, связанные с измерением и построением геометрических43
фигур и др. Для каждой такой работы надо отбирать задания
так, чтобы они были четкими и доступными для всех учащихся,
чтобы количество заданий позволяло их выполнить без спешки
в отведенное время. Если же требуется проверить усвоение боль¬
шого материала (например, за полугодие или за год) и коли¬
чество заданий велико, то контрольную работу рекомендуется
проводить в два приема; часть заданий дать в один день, а дру¬
гую часть на следующий день. В противном случае, если про¬
водить такую работу на одном уроке или даже на двух уроках
в один день, трудно судить о качестве знаний, умений и навыков
учащихся, так как дети допустят ошибки по причине сильного
утомления.Итоговые контрольные работы могут проводиться по отдель¬
ным темам, когда ставится задача проверить знания, умения и
навыки по какому-то одному разделу программы. В этом случае
включают также различные задания, но по однородному мате¬
риалу. Например, итоговая контрольная работа по умножению
многозначных чисел должна выявить усвоение детьми различных
случаев умножения (умножение многозначного на однозначное,
на двузначное, на трехзначное число, умножение чисел, в запи¬
си которых в середине и на конце имеются нули, умножение
величины на натуральное число). Задания могут быть такими:I	вариант	II вариант1.	Решите задачу:Для детского сада купили Для туристов сшили 46 рюк-
48 столов и 180 стульев. Стул заков и 24 палатки. На один
стоит 4 руб. 25 коп., а стол в рюкзак расходовали 1 м 50 см3	раза дороже. Сколько стой- материала, а на палатку в
ла вся покупка?	7 раз больше. Сколько всегоматериала израсходовали?2.	Решите уравнение;400-д:: 28=344	1 ;с:70-+-951 =9863. Найдите значение выражения:730-296 4-506-308	I 640•570 - 304■602Содержание и форма заданий контрольной работы опре¬
деляются особенностями проверяемого материала. Если, напри¬
мер, проверяются навыки устных вычислений, то включают10—12 примеров и проводят проверочную работу в виде мате¬
матического диктанта: учитель диктует задания, дети записы¬
вают только ответ. Если проверяются измерительные навыки
учащихся, то каждый учащийся получает карточку с соответст¬
вующими чертежами или модели геометрических фигур, исполь¬
зуя которые он производит необходимые измерения и вычис¬
ления,44
Каждая письменная самостоятельная работа проверяется
учителем. Учителю необходимо при этом учесть ошибки, допу-
1'кт’мые каждым учеником в каждой работе.На практике оправдало себя ведение учителем специальной
учспюй тетради. Она может быть оформлена наподобие класс¬
ного журнала: к первой странице приклеивается слева список
учптихся класса, чтобы его не переписывать на каждой стра¬
нице, а на странице справа записывается дата работы, задания
и ошибки, допущенные каждым учеником. Так, в I классе на
уроке по закреплению знаний приема прибавления и вычитания
числа 3 были, например, включены для самостоятельной рабо-11,1	следующие задания:1)	Решите примеры: 5 + 3, 7—2, 8+2, 10—3.2)	Решите задачу: «На лугу гуляли 6 серых гусей, а белых
им 3 меньше, чем серых. Сколько белых гусей гуляло на лугу?»Одновременно с проверкой детских работ учитель так
оформляет страницу тетради:Самостоятельная работаЗадания и их выполнение5+37-28-210-3Задача1.	Акимова2.	Алимов
>'). Вакоиина4.	Блинов5.	Васильев
(). Викторова
7, Вакулин6+36-3=4Такая фиксация ошибок дает возможность учителю сразу
уиидеть, какие вопросы усвоены всеми учащимися, какие тре-
йуют доработки, какие ошибки являются типичными, а какие
Л<и1ускаются отдельными учениками, кому из детей необходимо
(1К11.чать помощь и какую именно, помогает проследить продви-
Ж'чтс каждого ученика.Учет основных пробелов в знаниях и умениях учащихся дает
(имможность учителю проводить специальную работу над ти-
иичиыми ошибками со всем классом, а также наладить индиви-
дуил1.||ую работу с детьми по исправлению ошибок, что будет
С1ии‘()бствовать предупреждению неуспеваемости.Проверка знаний, умений и навыков всегда сопровождается
• мкчжой, которая может быть выражена в форме эмоцио-
1И1,)||,иого отношения к работе ученика (слово, жест, ми¬
мики), п форме оценочного суждения (качественная ха-
(ишк'ристика ответа ученика), в форме отметки (по пяти-
^ниии.мой системе).45
Оценка достигает наибольшего эффекта тогда, когда она со¬
впадает с самооценкой, которую дает себе ученик. Задача учи¬
теля— содействовать формированию объективной самооценки
учащихся. В этих целях очень важно систематически оценивать
работу учащихся, характеризовать достижения и недочеты уча¬
щихся, что поможет им разобраться в своих успехах и недостат¬
ках, будет стимулировать ученика к лучшей работе. Формиро¬
ванию объективной самооценки учащихся содействует также
привлечение их к анализу ответов и работ своих товарищей.
Так, учителя начиная с I класса предлагают учащимся вни¬
мательно слушать товарища и делать замечания по его ответу
или предлагают детям поменяться тетрадями, посмотреть ра¬
боты друг у друга и дать отзывы (в устной форме) о выполнен¬
ной работе, указав ее достоинства и недостатки.Документом, обязательным для руководства в работе каж¬
дого учителя, являются «Нормы оценок», систематически пуб¬
ликуемые в нормативных документах и в журнале «Начальная
школа».При выставлении отметок на уроках математики за устные
ответы учитель соблюдает те же требования, что и на других
уроках, а именно: объективность отметок, дифференцированный
характер их, сопровождение цифровой отметки оценочным суж¬
дением.Отметка может ставиться не за отдельный вид работы, а за
ряд работ, выполненных на протяжении всего урока (устные
вычисления, формулировка правила, самостоятельная работа на
уроке, объясне1ше решений примера или задачи и др.). В этом
случае отметка объявляется учителем в конце урока: такой при¬
ем проверки и оценки знаний, умений, и навыков получил на¬
звание поурочного балла. Для проверки знаний с помощью по¬
урочного балла рекомендуется намечать на урок не более 2—3	учеников, иначе учителю трудно осуществить проверку и дать
объективную оценку их знаний. Поурочный балл позволяет учи¬
телю всесторонне проверить знания, умения и навыки учащих¬
ся, активизирует работу детей в течение всего урока, но по¬
урочный балл не исключает другие виды проверки и оценки
знаний и должен применяться в сочетании с ними.На основании текущих отметок с учетом фактических зна¬
ний, умений и навыков учащихся к концу четверти или учеб¬
ного года учитель выставляет четвертную (годовую) отметку
по математике. При этом следует учитывать различные виды
работ ученика: итоговые контрольные работы, самостоятельные
работы, проверочные работы по устным вычислениям и др.В I классе знания учащихся за I четверть не оцениваются
цифровой отметкой. Впервые это делается в конце первого по¬
лугодия, т. е. в конце второй четверти, когда можно уже судить
о качестве знаний, умений, навыков, приобретенных при обуче¬
нии в школе.46
|/7уОсобенности организации обучения математике
в малокомплектной школеВ малокомплектной школе учитель ведет занятия одновре-
мгпмо с двумя или тремя классами. В течение урока работа с
учителем и самостоятельная работа детей чередуются несколь¬
ко раз: в то время, когда учащиеся одного класса работают под
ш посредственным руководством учителя, учащиеся других клаС'
•■(III работают самостоятельно.Большое значение для эффективной работы с несколькими
илмссами имеет правильно составленное расписание учеб¬
ных занятий. Как показывает опыт работы, лучше состав-
,м»1ть расписание так, чтобы одновременно во всех классах шли
уроки математики. Это не исключает и других сочетаний (на¬
пример, математика и чтение, математика и природоведение),
ио сочетание уроков математики во всех классах наиболее про¬
дуктивно. В этом случае учителю легче переключать свое вни¬
мание при переходе от одного класса к другому, однородный
миториал меньше отвлекает детей во время их самостоятельной
цпботы. Кроме того, создаются условия для организации об-
ии-й работы детей всех классов. Например, при проведении
устных упражнений можно предложить записанные на доске
числа увеличить на несколько единиц (I класс), увеличить вне-
гколько раз (И класс), умножить на 10, 100, 1000 (III класс).
При проведении измерений общим может быть задание изме¬
рить длину и ширину прямоугольника, имеющегося у каждого
ученика (рис. 8), после чего учащиеся I класса составят и ре-
ншт задачу на разностное сравнение (на сколько сантиметров
ллииа прямоугольника больше его ширины), учащиеся II класса
пойдут сумму длин сторон его, а учащиеся III класса — пло-
ИИ1Д1, прямоугольника. Используя один и тот же чертеж (рис. 9)
ни доске, можно дать посильные задания каждому классу: пер-
иоилтсникам -сосчитать треугольники внутри четырехугольни-
к.| и нокпмать их; нтороклассникам — обозначить вершины фи-
|ур буквами и пынисать треугольники; третьеклассникам — про-
лилжить стороны данного четырехугольника так, чтобы полу¬
чился треугольник (два решения). Иногда можно проводить847
во всех классах однотемные уроки; решение задач, практи¬
ческие работы по измерению, по взвешиванию, экскурсии в при¬
роду и на производство. Такая работа возможна только в том
случае, когда по расписанию уроки математики идут одновре¬
менно во всех классах.Большое значение для эффективности обучения математике
имеет планирование работы. Очень поможет учителю в по¬
вседневной работе подробное тематическое планирование (на
четверть или полугодие), которое составляется не в отдельности
для каждого класса, а для всех классов с указанием темы каж¬
дого урока, материала для повторения и для подготовки к изу¬
чению следующих тем, содержания проверочных и контрольных
работ. При этом рекомендуется составлять план так, чтобы
изучение нового в одном классе сочеталось с закреплением прой¬
денного в других классах. Учитель намечает, сколько времени
на какой материал и на каком этапе урока будет отведено для
непосредственных занятий с учениками каждого класса. Уста¬
навливает для каждого класса содержание и характер заданий
самостоятельной работы и форму ее проверки. Планирует по¬
рядок чередования самостоятельной работы и занятий с учите¬
лем на весь урок так, чтобы все классы были, в поле зрения
учителя. Чтобы целесообразно распределить время, надо учи¬
тывать уровень подготовки детей и их умение самостоятельно
работать, степень трудности изучаемого материала, а также ди¬
дактическую цель урока в каждом классе (где изучается новый
материал, где закрепляется изученное, где проверяются и учи¬
тываются знания).Больше времени учитель отводит на работу с тем классом, в
котором изучается новый материал, постоянной помощи требует
младший класс, где навыки самостоятельной работы слабее. Но
во всех случаях работа должна быть спланирована так, чтобы
все классы в течение урока поработали с учителем, поэтому
переходы учителя из одного класса в другой должны быть на¬
мечены четко.Работа с учителем проводится при объяснении нового мате¬
риала, первичном его закреплении, обобщении изученных знаний
(по теме, разделу), когда проверяют и учитывают знания уча¬
щихся, когда дается инструктаж к выполнению самостоятельной
работы. Самостоятельная работа предлагается при проверке до¬
машнего задания, при подготовке к изучению нового материала,
при изучении несложного нового материала, при закреплении
ранее изученного и нового материала.Уроки математики, как и другие уроки, расчленяются на не¬
сколько организационных этапов, каждый из которых должен
быть логически завершенной частью. Особенно важно пра¬
вильно организовать начало урока так, чтобы все классы сра¬
зу включились в продуктивную работу. Приведем один из вари¬
антов организации урока в I—П1 классах, который рекомен-48
Про-
долж.
этапоп
(и мин)Организация работы по классамIIII ЙРабота с учите¬
лем. Проверка до¬
машней работы.
Объяснение зада¬
ния для самостоя¬
тельной работыУ1>II II20Самостоятельная
работа. Трениро¬
вочные упражне¬
ния (примеры, за¬
дачи)Самостоятельная
работа. Выполне¬
ние тренировочных
упражнений (при¬
меры и задачи)Самостоятельная ра¬
бота. Самопроверка
результатов домашней
работыРабота с учителем.
Объяснение нового
материала, первичное
закрепление10Работа с учите¬
лем. Проверка ре¬
зультатов работы.
Обобщение. Зада¬
ние для последую¬
щей работыСамостоятельная
работа. Работа с
геометрическим ма¬
териаломСамостоятельная ра¬
бота. Первичное за¬
крепление (упражне¬
ния, составление за¬
дач по заданному чис¬
ловому материалу)10Самостоятельная
работа. Составле-
иио II преобразо-
ийпме япдамРабота с учите¬
лем. Проверка ре¬
зультатов работы,
обобщение и вы¬
воды по пройден¬
ному материалуЙ (IПодисдопие итогов урока, задание на дом1. .И ' 1' 1 II)|1И11111Н 1учи 11"11<М1П1222( имисгппТМЛ1.ИМИ рпЙ<1111:к)3323ДУ1МСН дли иторого полугодия, когда первоклассники уже
ИМ1'И)| некоторые' пииыки самостоятельной работы'.1мк11Н орг анизация урока часто практикуется и соответствует
111пу уроки; об'ьяспеиис нового материала в одном классе, за-
йргнипии- н:)учснно1о н двух других. Возможны и другие типы
урмими 11(1 нссх классах закрепление изученного материала, в
дмун 1>,11кчах 11;»учспие нового материала, в одном — закрепле-
11111' При однонремсмшых занятиях трех классов следует избе-Г1-' 11|ии1 и.1 нмструктивно-методического письма МП РСФСР (см. «На-
ИЙ/И|И1)и ПИ111/1П», 1’.)70, К» 7).4 Й«1И) № 41Н/	49
гать одновременного изучения нового материала во всех клас¬
сах.Занятия с учителем должны отличаться особой четкостью,
продуманностью всех деталей, целенаправленностью, так как от
этого зависит результат работы не только на данном, но и на
следующем этапе — при самостоятельном выполнении заданий.
Хорошее знание материала, точные вопросы к учащимся, тща¬
тельный отбор упражнений и наглядных пособий, заблаговре¬
менное оформление необходимых записей на доске, наборном
полотне, плакатах и т. п.— все это помогает учителю проводить
занятия при активной работе детей.Часть времени занятий под руководством учителя необходи¬
мо выделять на обучение детей приемам самостоя¬
тельной работы, на формирование у них общих методов
работы над математическим материалом. Работая самостоя¬
тельно значительную часть всех уроков, ученик должен посте¬
пенно овладеть такими общими приемами самостоятельной ра¬
боты, как ясное представление цели работы, выполнение ее,
проверка и исправление ошибок.Чтобы сформировать у детей общие приемы работы над ма¬
тематическим материалом, учитель во время занятий с классом
намечает вместе с детьми последовательность операций, кото¬
рая поможет самостоятельно решать аналогичные примеры,
уравнения, неравенства, задачи. Эти «опорные пункты» либо за¬
писываются на доске (иногда кратко, условно), либо называ¬
ются устно. Например, обобщая наблюдения учащихся III клас¬
са, которые ознакомились по учебнику с умножением величин
на натуральные числа, учитель не только предлагает им объ¬
яснить решение двух-трех примеров, но и подводит детей к фор¬
мулировке операций, выполняемых при этом: выразить величину
Б мелких мерах, умножить, выразить результат в крупных ме¬
рах; для этого на доске делается запись, которой дети поль¬
зуются при выполнении самостоятельной работы.Для лучшего усвоения разработанной последовательности
операций можно каждому ученику дать готовую карточку с за¬
даниями, например: «Как решать задачу», «Как решать пример
на деление многозначного числа» и т. д. Задания могут быть
оформлены в виде настенной таблицы. Чтобы дети успели во¬
время закончить самостоятельную работу и чтобы хватило за¬
даний на то время, пока учитель работает с другим классом,
предусматривается, кроме основной части, дополнительная: ос¬
новная часть обязательна для выполнения всеми учащимися,
дополнительная выполняется только теми учениками, которые
быстро справляются с основной частью.Предлагая задания для самостоятельной работы, необходимо
дать краткие, четкие указания не только по ее содержанию, но
и по оформлению. Устные пояснения лучше всего подкрепить
образцом записи на доске решения одного примера (задачи,50
урмииения, неравенства и т. д.). Чтобы проверить, правильно ли
Д(Ч II поняли задание, можно предложить одному-двум ученикам
риссказать, как они будут выполнять задание, или выполнить
ученику одно задание для образца на доске. В том случае, ког-
Д|| задание предлагается устно, надо записать его на доске хо-
|и бы условно, кратко, указать номер задания и страницы из
учебника; при составлении примеров с одинаковым ответом этот
ищет обозначить разрезной цифрой или сделать условную
;»М1111сь вида: □ + □ = 6, □ — □=6 и т. п.Для самостоятельной работы наряду с учебником следует
систематически использовать тетради на печатной основе.Задания для самостоятельной работы иногда даются каждо¬
му учащемуся индивидуально. В этом случае можно дифферен-
ци|)Овать задания с учетом возможностей каждого ученика, чем
обеспечивается более высокая степень самостоятельной работы.
.Чадания оформляются на небольших карточках. Есть готовые
кнрточки, которые выпущены большими тиражами (авторыII.	С. Попова, Г. Б. Поляк, М. И. Моро, И. Д. Павлов,II.	Ф. Вапняр и др.). Аналогичные карточки составляет учи¬
тель или может привлекать к изготовлению карточек учащихся,
причем выполняется эта работа попутно, когда ученики по зада¬
нию учителя на уроке самостоятельно составляют примеры,
делают краткие записи к задачам, записывают решение задачи,
заполняют таблицу, магический квадрат и т п. и всю рабо¬
ту оформляют на листочке. На следующих уроках эти карточки
используются с обратными заданиями: решить данные примеры,
составить задачу по краткой записи и решить ее; проверить,
правильно ли заполнена таблица, является ли данный квадрат
мнгическим и т. д.Надо стремиться к тому, чтобы работа, выполненная на уро-
|ч‘ детьми самостоятельно, была бы в какой-либо форме прове¬
рена в классе; учитель должен выделить время хотя бы на про¬
смотр выполнения и высказать свою оценку, отметить лучшие
рнботы, помочь найти ошибку. В малокомплектной школе осо-
Леино большое значение приобретает обучение детей различным
ирнемам самоконтроля. С этой целью, предлагая задания
для самостоятельной работы, следует постоянно выяснять, как
нроиерить правильность выполнения заданий, и чаще предла-
111Т1. выполнять задания с проверкой.Несмотря на определенные трудности работы учителя в
малокомплектной школе (отсутствие постоянного общения с
коллективом учителей, сложность подготовки и проведения уро-
иои) имеется ряд положительных моментов в этой работе. Мно-
1110 учителя малокомплектных школ работают без второгодни-
11011 и дают своим ученикам глубокие и прочные знания по ма-
и'мпгике, навыки самостоятельной работы. Учителя малокомп-
лсктных школ имеют богатый опыт организации внеклассной
рмбогы, в частности внеклассной работы по математике.4*	51
Глава IIМЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ НУМЕРАЦИИ ЦЕЛЫХ
НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ И АРИФМЕТИЧЕСКИХ
ДЕЙСТВИИ НАД НИМИВ начальном курсе математики нумерация целых неотрица¬
тельных чисел и действия над ними являются центральными
темами. В тесной связи с ними рассматривается весь другой
материал: вопросы алгебры и геометрии, измерение величин,
решение задач.Основная цель изучения этого раздела программы — сфор¬
мировать у учащихся начальных «лассов определенный круг
теоретических знаний и вместе с тем выработать у них осознан¬
ные вычислительные навыки и умения решать арифметические
задачи.Материал по нумерации и арифметическим действиям изуча¬
ется по концентрам. Всего выделяется четыре концентра: деся¬
ток, сотня, тысяча, многозначные числа. В каждый следующий
концентр включаются новые вопросы, и наряду с этим полу¬
чают развитие вопросы, раскрытые в предыдущих концентрах.^ДесятокВыделение темы «Десяток» в особый концентр объясняется
рядом причин.Нумерация и арифметические действия в пределах 10 име¬
ют некоторые особенности. Десять — основание десятичной си¬
стемы счисления, поэтому числа от 1 до 10 образуются в ре¬
зультате счета простых единиц (без использования других
разрядных единиц). Для обозначения каждого из чисел первого
десятка применяется в устной речи особое слово, а на письме —
особый знак./ Арифметические действия (сложение и вычитание) непосред-
’ ственно связаны с операциями над множествами. Случаи сло¬
жения и вычитания в пределах 10 являются табличными, они
заучиваются наизусть.	_Небольшие числа создают хорошие условия для раскрытия
учащимися математических понятий. Опираясь на имеющийся у
детей опыт, а также используя практические действия с пред¬
метами, можно сформировать такие понятия, как натуральное52
число, равенство и неравенство чисел, действия сложения и вы-
’ДЛтння.	""г И теме «Десяток» начинается изучение многих вопросов,
ртт<»ота над которыми продолжается в последующих концент-
|»мх. Так, счет в пределах 10 —основа овладения счетом вообще,
Итому что другие разрядные единицы (десятки, сотни и т.д.)
«"пггают точно так же, как и простые единицы. Названия и обо-
иипчсния чисел первого десятка служат исходными для назы-
нииня и обозначения любых многозначных чисел. Сложение и
ры'штание в пределах 10 составляют основу выполнения устных
и письменных вычислений за пределами первого десятка.и изучении концентра «Десяток» выделяют три этапа: под-
штопительный период, изучение нумерации, изучение сложения
и иычитания.Подготовительный периодВ подготовительный период учителю надо выявить запас ма¬
гматических знаний и умений у детей, поступивших в школу,
и подготовить их к работе над первой темой программы — ну-
М('рацией чисел в пределах 10.Важно на этом этапе установить, умеет ли ребенок считать
предметы и в каких пределах, понимает ли смысл терминов
чЛольше», «меньше», «столько же» (одинаково, поровну), каков
у него запас пространственных представлений (т. е. в какой
м(фс он владеет понятиями «слева — справа», «вверху—вни-
,1у*, «впереди — позади», «перед — после—меладу» и др.).В непринужденной беседе (желательно до начала обученияII	I классе) учитель предлагает ребенку выполнить несколько
заданий, чтобы выяснить, каков запас знаний и умений у уче¬
ника. Задания могут быть примерно такими:1)	Умеешь ли ты считать? Сосчитай эти картинки. Сколько
|ДОСь картинок? (10—15 штук.)2)	Возьми в левую руку столько же карандашей, сколько их
лежит на столе (4—7 штук).3)	Узнай, каких кружков больше: синих или красных
{() больших красных и 7 маленьких синих).4)	Посмотри на картинку (к сказке «Репка») и скажи, кто
стонт перед Жучкой, после кошки, между внучкой и кошкой.В том случае, когда ученик успешно справляется с этими
;и|даниями, можно предложить ему один-два вопроса по мате¬
риалу, который предстоит изучать (примеры или задачи на
сложение и вычитание в пределах 10, задания на различение
и называние геометрических фигур, на узнавание цифр и др.).Полученные сведения полезно записать в таблицу так, чтобы
ииоследствии учитель мог использовать их на уроках, проводя
индивидуальную работу с детьми.В подготовительный период и далее при изучении нумера¬
ции чисел у детей должно постепенно формироваться _понят^53
у-1- •Рис. 10е. они должны усвоить разные способы получения (об-
■])азовання) чисел; в процессе счета, измерения, а также путем
выполнения арифметических действий. Прежде всего важно
отработать умение считать, поэтому упражнения в счете пред¬
метов включаются на каждом уроке подготовительного перио¬
да (именно счет предметов, а не так называемый «отвлечен¬
ный» счет, т. е. только называние чисел в прямом и обратном
порядке). Дети считают предметы окружающей обстановки;
предметные картинки, выставленные на наборном полотне; пред¬
меты, изображенные на картинках в учебнике, а также палоч¬
ки, кружки, треугольники и др. Этот материал удобно хранить
в арифметических кассах или в самодельных пеналах, из¬
готовленных из спичечных коробок (рис. 10).Упражняясь в счете, учащиеся с помощью учителя должны
установить, что при счете Щёльзя пропускать предметы] или со¬
считывать один и тот ж^ предмет нескольюэ раз. К такому
выводу они подойдут сами, сопоставляя правильный и непра¬
вильный счет предметов.Считая предметы в различном порядке, учащиеся своими
словами формулируют вывод о том, что результат счета не за¬
висит от порядка счета. Например, один ученик считает пред¬
меты, расположенные в ряд, слева направо, а другой — справа
налево. Учащиеся убеждаются, что считали по-разному, а полу¬
чилось одно и то же число. Аналогично выполняются другие
упражнения, например счет сверху вниз и снизу вверх ступенек
лестницы, этажей в доме и т. п.Надо научить детей пользоваться при счете как количест¬
венными, так и порядковыми числительными, предлагая упраж¬
нения; «Считай так; один, два, три...» или «Считай так; первый,
второй, третий...». Учащиеся постепенно должны усвоить, что
если последний предмет оказался пятым при счете, то всего
предметов пять, и, наоборот, если всего предметов пять, то
последний предмет пятый, но вместе с тем «пятый»—это только
один предмет.С первых же уроков подготовительного периода отрабаты¬
вается умение сравнивать численности множеств. С этой
целью предлагаются детям такие задания; «Скажите, на кото¬
ром окне цветов больше; в каком ряду елочек на рисунке мень-54
те; каких кружков больше, а каких меньше на наборном по¬
лотне и т. п.».Упражнения на сравнение множеств даются так, чтоб|и дети
нынолняли их не только с помощью счета, но и путем соотне¬
сения элементов «один к одному», т. е. через установление вза¬
имно однозначного соответствия, например: а) положите на
марту 7 треугольников; на каждый треугольник положите по
кружку; кто, не считая, скажет, сколько кружков положили, как
догадались; б) положите в ряд несколько квадратов; как, не
считая, положить столько же палочек; в) возьмите, не считая,
несколько больших и несколько маленьких кружков; разложите
их друг под другом так, чтобы сразу было видно, каких круж¬
ков больше, каких меньше; г) нарисуйте в тетради три тре¬
угольника, затем нарисуйте под каждым треугольником квадрат
и снрава еще один квадрат, каких фигур меньше, каких боль¬
ше (рис. 11).Сравнение множеств путем соотнесения предметов «один к
одному» дает возможность уже в этот период устанавливать не ^
только где больше, а г д е меньше предметов, но и н а с к о л ь -
ко больше, на сколько меньше. При выполнении этих уп¬
ражнений, опираясь на наглядность, учитель должен каждый
раз обращать внимание детей на взаимосвязь отношений «боль¬
ше» и «меньше»; например, если квадратов на 1 больше, чем
треугольников (показывают «лишний» квадрат), то треугольни¬
ков на 1 меньше, чем квадратов (показывают место «недо¬
стающего» треугольника).Уже в подготовительный период включают упражнения на
преобразование неравночисленных множеств в равночис¬
ленные и обратно. Например, дети установили, что яблок на 1
меньше, чем груш, а груш на 1 больше, чем яблок. Учитель ста-
11ИТ вопросы: «Что надо сделать, чтобы яблок стало столько,
сколько груш?» (Положить еще одно яблоко.) «Что надо сде¬
лать, чтобы груш стало столько, сколько яблок?» (Убрать одну
грушу.) Важно, чтобы дети поняли, что уравнивание можно вы-ооЛААоооо□□и'Рис. 11
полнить по-разному: либо увеличить число предметов там, где их
меньше, либо уменьшить там, где их больше. Если при сравне¬
нии окажется груш столько же, сколько яблок, то можно дать
детям задание — сделать так, чтобы, например, груш стало на
одну больше, чем яблок. Учащиеся должны увидеть, что здесь
также можно поступить по-разному; либо добавить 1 грушу,
либо убрать 1 яблоко.На подготовительном к изучению чисел этапе важно прове¬
сти работу с некоторыми величинами (длина, масса, емкость),
чтобы в процессе практических упражнений научить детей срав¬
нивать предметы и устанавливать отношения «больше», «мень¬
ше», «одинаково» (карандаш длиннее ручки, тетради, одинако¬
вые по ширине, тетрадь легче учебника и т. п.). Для формиро¬
вания обобщенного понятия о единице наряду со счетом
отдельных предметов, а также одинаковых групп предметов
(пар, троек, пятков) полезно включать счет мерок при измере¬
нии (например, сколько шагов отмерит ученик, сколько стака¬
нов воды помещается в банке и т. п.).В подготовительный период с помощью практических упраж¬
нений уточняются пространственные представления
учащихся. Этой цели служат задания такого рода: положите
тетради слева, а учебники справа; найдите картинку в
верхнем правом углу этой страницы; отступите от края
тетради слева и сверху на две клетки и поставьте точку;
нарисуйте березку между елочками и т. п. Четкие пространст¬
венные представления необходимы не только для ориентиров¬
ки на странице тетради, учебника, в окружающей обстановке,
но и для усвоения порядковых отношений чисел в натуральной
последовательности. Следует особо остановиться на отношениях
порядка: перед — после — между. Например, построив перед
классом несколько детей в ряд друг за другом, учитель пред¬
лагает детям сказать, кто стоит перед Толей, после него, меж¬
ду Толей и Олей; указать, где именно в ряду стоит тот или
другой ребенок, и т. п. Аналогичные упражнения предлагаются
неоднократно не только на уроках математики, но и на других
уроках.Как показывает практика, дети, поступающие в школу, сла¬
бо подготовлены к письму. Поэтому начиная с первого дня за¬
нятий необходимо ежедневно включать -подготовительные уп¬
ражнения к письму цифр, учить детей правильно держать перо,
выделять строку и клетку, красиво располагать записи в тет¬
ради. С этой целью полезно предлагать рисование так назы¬
ваемых «бордюров», т. е. узоров из точек, палочек, знаков
«плюс», «минус», геометрических фигур.В подготовительный период учитель знакомит детей с учеб¬
ником по математике, тетрадью, дидактическим материалом, ли¬
нейкой. Необходимо обеспечить этими пособиями каждого уче¬
ника и учить ими пользоваться. На этих же уроках учащиеся56
должны ознакомиться с основными правилами поведения в клас¬
се, относить к себе обращенные ко всему классу задания и по¬
нимать, что их надо выполнять быстро и точно.1/ну мерация чисел первого десятка	^При изучении нумерации учащиеся должны усвоить^ как_на-	^мьтается каждое число и как оно обозначается печатной и пись-"'	”цифрой. Неорганической связи с этим (Ьормйиу<^ТОи ни- —*
иитие начального отрезка натуральной последовательности, а
ткже понятие натурального числа как члена этой последова-
и'льности, т. е. учащиеся должны усвоить:во-первых, как образуется каждое число при счете из преды-
дущегб <1исла и"единицы, а тз1^е из следующего за ним числа '
и единицы;во-вторых, на сколько каждое число больше непосредственно
ир^шестнутпгпргп рму и МРНЫ11Р нрпосредственно следующего за
мим при счете числа:' в-третьих, какое мйто занимает каждое число в ряду чи-
(ЧУ1 от 1 до 10мюсле какош ЧИИ.Т5 И Иёред каким числом назы-иают его при счете. —— - —— —		 —	_ .'"■УсШёние этих знаний продвигает ученика на новую ступеньII	осознании понятия числа: число выступает не обособленно, а
1Ю взаимосвязи с другими числами, у детей начинает форми¬
роваться представление о натуральном ряде чисел.Одновременно с рассмотрением ну мер а ции_ ведется подгото-
||цтельна>1 работа'к изучению действий сложения и вычитания.Кроме того, включается ряд вопросов алгеораического и гео-
М('трического характера. Дети учатся сравнивать числа и обозна-"
чат_ь отнощения «больше», «меньше», «равно» соответствующими
знаками (>, <, =). Таким образом, они получают первые све¬
дения о равенствах и неравенствах. В это же время происходит
.'шакомство с точкой, прямой линией, отрезком прямой и раз¬
личными многоугольниками. Учащиеся знакомятся с сантимет¬
ром и приступают к измерению и черчению отрезков, длина ко¬
торых выражается целым числом сантиметров. Большинство из
'<тих вопросов непосредственно связывается с изучением нуме¬
рации чисел первого десятка и помогает ее усвоению.Образование каждого числа из других чисел, отношения меж¬
ду числами можно раскрыть только в том случае, если рассмат¬
ривать одновременно несколько последовательных чисел. По-
‘»тому изучают не отдельные числа, а отрезки натурального ря¬
да от единицы до того числа, которое введено последним: 1, 2;I,	2, 3; 1, 2, 3, 4 и т. д.Рассмотрим методику изучения основных вопросов нуме-<^1 избое^число в натуральной последовательности, кроме
числа 11^М1^н6 получить (о^бр^	так: прибавить единицу
к непосредственно предшествующему числу (3 — это 2 и еще
один) или вычесть единицу из следующего за ним числа (3 —
это 4 без одного). О б д а зов а н и е__ч и с е л раскрывается с
помощью таких упражн’ёний:	*-щгнс'Ч'ИТЕГ'Втсчитывание по 1 (с иллю¬
страцией на предметах). Например, при изучении чисел 1—4
учитель предлагает детям положить 2 палочки, затем положить
едце 1 палочку. Выясняют, сколько стало палочек и как полу¬
чили 3 палочки. Далее присоединяют еще I палочку и снова
отвечают на те же вопросы: сколько стало палочек, как полу¬
чили 4 палочки? Затем из 4 палочек берут (отодвигают) 1 па¬
лочку и выясняют, сколько осталось палочек и как теперь полу¬
чили '3 палочки. Из 3 палочек убирают 1 палочку и поясняют,
как получили 2 палочки. Аналогичные упражнения выполняются
с другими предметами по рисункам в учебнике, в тетрадях, что
дает возможность детям обобщить операции над множествами
(к 2 палочкам присоединили 1 палочку, стало 3 палочки; к 2
девочкам подошла 1 девочка, стало 3 девочки и т. п.), перейти
к действиям над числами и понять их' образование (к 2 при¬
бавить 1, получится 3; 2 и 1 составляют число 3; число 3 со¬
стоит из чисел 2 и 1).Образование числовых последовательностей
(«числовых лесенок»). Гак, при изучении чисел 1—4 проводится
такая работа:«Положите 2 круга; ниже положите столько же треуголь¬
ников; придвиньте еще 1 треугольник. Сколько стало всего тре¬
угольников? Как получили 3 треугольника? Каких фигур боль¬
ше: треугольников или кругов? На сколько больше?Положите в следующий ряд столько квадратов, сколько у
вас лежит треугольников. Что надо сделать, чтобы квадратов
стало больше на 1? Положите еще 1 квадрат. Сколько стало
квадратов? Как получили 4 квадрата?А если к 3 флажкам присоединить еще 1 флажок, сколько
станет-флажков? Если к 3 ученикам подойдет еще 1 ученик,
сколько их всего будет? Если к числу 3 прибавить число 1,
какое число получится? Запишем это разрезными цифрами:
3+1=4».Аналогично строится убывающая «числовая лесенка»: «По¬
ложите 4 кружка, ниже положите столько же квадратов, убери¬
те 1 квадрат. Сколько получилось квадратов? Как получили3	квадрата? И т. д.».На наборном полотне (или в тетрадях у детей) появляются
такие иллюстрации (см. рис. 11).Обобщая несколько раз выполненные операции удаления
части множества (из 4 флажков убирают 1 флажок, от 4 уче¬
ников отходит один и т. п.), формулируют вывод: из числа 4
вычесть число 1, получится число 3; появляется соответствую¬
щая запись: 4—1 = 3.53
Рсшениезадачс помощьюиллюстраций. Напри-
Г1г|), при изучении чисел 1—6 учитель предлагает детям решить
шдичу: «В коробке лежало 5 карандашей (считают); туда поло-
тили еще 1 карандаш (кладут и закрывают коробку). Сколько
( шло карандашей?» Как решили задачу? Проверим. (Считают
ипрандаши в коробке.) Аналогично работают над задачей:•	|1 коробке лежало 6 карандашей, 1 карандаш вынули. Сколько
имрлидашей осталось?» Как решили задачу? Проверим. (Счи-
11110Т оставшиеся карандаши.)Черчение и измерение отрезков, длина которых
|||^ражается целым числом сантиметров. После того как дети
тиакомятся с отрезком и единицей длины — сантиметром, обра-
шишие чисел можно иллюстрировать с помощью таких упраж-
игипй;!|) Начертите отрезок длиной 6 см, увеличьте его на 1 см.
Кикой длины получился новый отрезок?б)	Начертите отрезок длиной 7 см, а ниже начертите отре-
||)к на 1 см короче. Какой длины второй отрезок?Кргда изучают нумерацик^исел первого десятка, то на уроке
МО иы^ру учит^ёляГпаётс^^ упраЖнёнМг~с1ШГБКо~!1ОТ^'-
,бус‘гся для усвоения учащимися~~образ^ания того или иного
чисЛаг' '		**"‘~~3н а комство с печатной и письменной цифрой.
11:|учасмые числа обозначают сначала печатными цифрами,
которые выстанляют на наборном полотне рядом с соответст¬
вующим множеством предметов. Учитель поясняет: можно ска-
цмть — три квадрата, три стула, три человека, а можно обо-
ииичить числа.3 вот таким знаком, такой цифрой. Дети находят
Иоиую цифру в своих кассах, рассматривают и присоединяют к
ципкомым цифрам. Для закрепления сразу же включают уп-
^жпения на установление соответствия между числом и циф-
«Покажите с помощью палочек, какое число обозначает
1ТИ цифра?»; «Покажите цифрой число треугольников, которые
у меня в руках».Знакомя с письменной цифрой, учитель показывает образец
Шитсания цифры на доске. Дети усваивают направление дви-
(вптя руки, рисуя цифру в воздухе или обводя образец, данный
утиггс'лем в тетрадях. Далее учащиеся пишут 2—3 цифры. Учи-
Мми. проверяет и отмечает наиболее удачную. Затем учащиеся
пишут одну-две строчки цифр.;1нание цифр закрепляется на последующих уроках, когда
У'иицимся предлагают выполнить различные упражнения по ну¬
мерации, а ответ либо показывать цифрой, либо записывать в
и градь. Например, какое число получится, если к 7 прибавить 1
(|'сли из 6 вычесть 1)? Какое число больше, чем 5, на 1 (мень-
1И1«, чем 10, на 1)? Какое число называют при счете после чис-
'III (> (перед числом 7)? И т. п.59
Сравнение последовательных чисел натурального ряда
вначале выполняется с опорой на сравнение множеств. Число
предметов обозначают цифрами, а отношение между числами —
знаком «>», «<», или « = ».Знаки «>», «<», « = » можно ввести так: предложить де¬
тям нарисовать слева один флажок и справа один, флажок,
затем слева нарисовать еще один флажок. Дети скажут, что
слева флажков больше, чем справа. Далее обозначают число
флажков цифрами и устанавливают, что число 2 больше, чем
число 1. Учитель показывает знак «>», поясняя, что он обозна¬
чает «больше». Появляется запись: 2>1. Дети учатся читать
ее: «Два больше, чем один». Так же рассматривают: 1<2, 2 = 2.
Затем учащиеся упражняются в чтении равенств и неравенств
по учебнику или с доски, сравнивают числа и записывают полу¬
ченные равенства и неравенства.Чтобы учащиеся запомнили написание самих знаков и не
смешивали знаки «>» и «<», полезно на видном месте в клас¬
се вывесить таблички с образцами записей, например: 1<2,
2>1, 2 = 2. Можно обратить внимание детей на то, что верши¬
на «уголка», который обозначает «больше» или «меньше», на¬
правлена (показывает) на меньшее число и что записи со зна¬
ками «>», «<» читают слева направо.Уже при изучении чисел первого пятка учащиеся подходят
к обобщениям: каждое следующее число больше на 1, а каж¬
дое предыдущее меньше на 1. Поэтому при сравнении чисел
постепенно переходят от сравнения совокупностей к выяснению
места сравниваемых чисел в натуральной последовательности:
6 больше, чем 5, потому что 6 при счете называют после чис¬
ла 5; 5 меньше, чем 6, потому что 5 при счете называют перед
числом 6.Сознательному усвоению отношений чисел первого десятка
способствует выполнение детьми разнообразных упражнений’:
сравнить данные числа и вставить пропущенный знак «>»,«<»
или « = » (4*5, 4*3, 4*4); проверить, правильно ли сравнили
числа, и исправить неверные знаки: 7<8, 7<6, 7=7; подобрать
пропущенные числа □>!, 5>П, □<□ так, чтобы получились
верные записи.Порядок следования чи^р?! и нзтуроп.-цпм ряпу выясняют
сначала с опорой на множества ппелметов. Составляя из пред¬
метов или зарисовывая «числовые лесенки», дети убеждаются
в том, что числа упорядочены по величине: после числа 1 на¬
зывают при счете число 2, которое больше его на 1; после чис¬
ла 2 идет число 3, которое больше его на 1; перед числом 4
называют число 3, которое меньше его на 1; перед числом 3
называют число 2, которое меньше его на 1. Между числами 2
и 4 находится число 3, которое больше, чем 2, и меньше, чем 4,
на 1 и т. д.60
М дальнейшем порядок следования чисел дети устанавли-
опираясь на знание натуральной последовательности, на¬
пример; «Назовите (напишите) пропущенные числа: 1, □, 3,
I I, I;], 6, 7, □, □, 10; расположите данные числа сначала в том
(юрндке, в каком они идут при счете, а потом в обратном по-
|(мдк(‘: 2, 8, 4, 10, 6; присчитывайте (отсчитывайте) по одно¬
му, начиная с числа 5»./1,сти должны постепенно усвоить последовательность чиселI	И) и уметь называть их в прямом и обратном порядке, а
Кроме того, научиться называть сразу место любого числа, не
(««■производя всего ряда чисел, начиная с единицы. Это уме-
М1П' вырабатывается в процессе многократных упражнений ви-
ди; «Назовите число, которое при счете следует за числом 4.
Кикос число называют при счете перед числом 7 (между чис-
лпмп 8 и 10, после числа 4)? После какого числа (перед каким
числом) называют при счете число 6?»При выполнении упражнений по нумерации наряду с разда-
ючпым дидактическим материалом целесообразно использо-
11ПТ1, наглядное пособие «Числа 1—10», которое должно созда-
ИМГ1.СЯ постепенно, по мере изучения чисел, и, пока идет работа!
илд темой, находиться перед глазами учащихся. Это пособие
гомдает наглядный образ натуральной последовательности, ил¬
люстрирует количественные и порядковые отношения чисел
(рис. 12).Прочную наглядную основу для усвоения нумерации чисел
«шдает изучение геометрического материала, поскольку здесь
учпщиеся выполняют практические работы, моделируют, чер-
И1Г, измеряют. Так, знакомясь с многоугольниками, дети пока-Рис. 1261
зывают и считают углы, вершины и стороны, сравнивая их чис¬
ло у разных многоугольников. Ознакомившись с точкой, прямой
и отрезком прямой, дети учатся проводить прямую через одну
и через две точки, соединять две точки отрезком, измерять и
чертить отрезки заданной длины (в сантиметрах), сравнивать
отрезки. Все эти упражнения не только формируют геометри¬
ческие и пространственные представления, измерительные и гра¬
фические умения, но и закрепляют знания по нумерации.Изучая числа первого десятка, дети знакомятся также и сч и]с_Д-сш^ и у7ГКППонятие об этом числе дети получают, выпол¬
няя ряд упражнений в отсчитывании предметов по одному до
тех пор, пока не останется ни одного (облетают листья с ветки,
улетают птенцы из гнезда; ученик отдает тетради и т. п.).Ла;
тем .вводится обозначение числа нуль цифрой. Учащиеся реша¬
ют, например, такие задачи: 1) На ветке висели 2 вишни, упа¬
ла. Сколько вишен осталось? 2) На ветке висела 1 вишия, за¬
тем она упала. Сколько вишен осталось? Задачи решают,
записывают решения, формулируют ответы. Решение второй за¬
дачи: 1 — 1 = 0 (из одного вычесть один, получится нуль). Ответ:
на ветке не осталось вишен.Далее число О сравнивают с числом 1. Опираясь на решение
задачи, выясняют, сколько вишен было, сколько упало, больше
или меньше стало вишен после того, как одна вишня упала.
Результат сравнения записывают: 0<1. На основе таких упраж¬
нений устанавливают, что в ряду чисел О должен стоять перед
числом 1, так как О меньше, чем 1, на 1.В целях подготовки к изучению сложения и вычитания сле¬
дует показать, что прибавлять и вычитать можно разные числа,
а не только единицу. Поэтому уже при изучении нумерации
рассматриваются все случаи сложения и вычитания в пределах
пяти (2 + 2, 3 + 2, 1 + 3, 2 + 3, 1 + 4, 4 — 2, 5 — 2 и т. д.), а также
отдельные случаи в пределах 10. Результаты действий находят
путем соответствующих операций над множествами, что помо¬
гает детям понять конкретный смысл этих действий. После того
как дети найдут результат сложения, сразу выясняют, как по¬
лучили этот результат. (Сколько получится, если к 3 приба¬
вить 2? Как получили число 5? Из каких чисел состоит чис¬
ло 5?) На основе таких упражнений, как решение примеров,
размен монет, раскрашивание в два цвета нарисованных пред¬
метов, учащиеся постепенно запоминают не только результаты
действий в пределах 5, но и состав чисел 2, 3, 4 и 5 из слагае¬
мых. Зцание состава чисел первого пятка из слагаемых н^бхо-
димо для и^чения случаев сложения и вычиташПГЩд^^а.±3, а±4, когда детям приходится прибавлять и вычитать вто¬
рое число по «частям», заменяя его суммой (например, к 6 при¬
бавляя 4, ученик должен свободно представлять 4 как 2 и 2,
чтобы все внимание сосредоточить на самом вычислении:
6 + 2 = 8, 8 + 2=10, значит, 6 + 4=10).62
(;«и'тап же чисел 6, 7, 8, 9, 10 хотя и иллюстрируется с по-
М01Ц1.К) операций над множествами, однако усваивается детьми
1МИЖ1', при изучении сложения и вычитания в пределах 10.\уЬложение и вычитание в пределах 10При изучении этой темы необходимо обеспечить усвоение
«г II,ми рациональных вычислительных приемов слож^иа_л.1Ч.1Ч1ГГЛИИЯ в пределах первого десят^ка; сформировать прочные
имчислительные навыки; добиться запоминания наизусть ре-
г,л1.тгп'ов сложения и вычитания, а также состава чисел из ела-'
ии'мых. Кроме этого, учащиеся должны научиться решать про-I	1ы»1 ладачи на сложение и вычитание различных видов (нахож-
мсмио суммы, остатка, увеличение и уменьшение числа на не-
11ч)Л1,ко единиц, разностное сравнение, нахождение неизвестного•	шилсмого).И органической связи с изучением сложения и вычитания
милючаются элементы алгебры и геометрии: дети знакомятся с
млп;матическими выражениями (сумма, разность), учатся их
митть и записывать, а также приступают к сравнению выраже¬
ний, па основе чего получают числовые равенства и неравенст-
им нида: 4 + 2>7, 7-3<7-ьЗ, 34-2 = 2 + 3. Здесь же учащиеся
1И11К0МЯТСЯ с уравнениями вида л:—3=7, 5-Ьх: = 9 и учатся их
ргшать. Закрепляются умения чертить и измерять отрезки,
пилючаются задачи на составление геометрических фигур, из
аидпппых фигур, и на вычленение знакомых геометрических фи-
|у|) из данной фигуры.Изучение сложения и вычитания в пределах 10 можно про-тн по такому плану:I.	Подготовительный этап: раскрытие конкретного смысла
дгПстиий сложения и вычитания, запись и чтение примеров, слу-
•иш прибавить и вычесть 1, где результаты находятся на основе
ишими образования натуральной последовательности чисел.II.	Изучение приемов присчитывания и отсчитывания по од¬
ному н группами для случаев прибавить и вычесть 2, 3, 4.III.	Изучение приема перестановки слагаемых для случаев
Ирпблпить 5, 6, 7, 8, 9. Таблица сложения и состав чисел из1,'1М11К'МЫХ.	,IV.	Изучение приема вычитания на основе знания связи меж¬
ду суммой и слагаемыми для случаев вычесть 5, 6, 7, 8, 9.Подготовительная работа к изучению сложения и
шпитапия начинается с первых уроков рассмотрения нумера¬
ции. Мри этом наряду со случаями по образованию чисел в на-
|урллы10й последовательности (а±1), как уже отмечалось, рас¬
пит |)т1аются и другие случаи сложения и вычитания. Выпол-
иин многократно операции над множествами при нахождении
|н‘|ул1.татов этих действий, а также при решении задач, уча-
Нкигсн уясняют, что* операции объединения соответствует дейст-63
вне сложения, а операции удаления части множества — дейст¬
вие вычитания. Кроме того, обращается внимание детей на то,
что, когда прибавляют, становится больше, чем было; когда вы¬
читают, становится меньше.К концу изучения нумерации учащиеся должны прочно усво¬
ить способы образования любого числа первого десятка присчи¬
тыванием и отсчитыванием единицы и, используя этот прием
(а не пересчитывание), свободно выполнять сложение и вычи¬
тание с единицей. Постепенно дети обобщают свои наблюдения
и формулируют выводы: прибавить 1 к числу — значит назвать
следующее за ним число; вычесть 1 из числа — значит назвать
предшествующее ему число. На специально отведенном уроке
приводят в систему все изученные случаи а±1, под руководст¬
вом учителя дети составляют таблицы «прибавить 1» и «вы¬
честь 1» и затем заучивают их наизусть.На втором этапе рассматривают случаи сложения и
вычитания вида; а±2, а±3, а±4, результаты которых нахо¬
дятся присчитыванием или отсчитыванием.Чтобы подчеркнуть, с одной стороны, сходство вычислитель¬
ных приемов, а с другой стороны, противоположный характер
действий сложения и вычитания, случаи «прибавить 2» и «вы¬
честь 2» так же, как позднее случаи «прибавить 3» и «вы¬
честь 3», затем «прибавить 4» и «вычесть 4», изучаются одно¬
временно в сопоставлении друг с другом.Работа над вычислительными навыками строится по тако¬
му плану:1)	подготовительные упражнения;2| знакомство с приемами вычисления;3)	закрепление знания приемов, выработка вычислительного
навыка;4)	составление и заучивание таблиц.Рассмотрим методику ознакомления с вычислительным прие¬
мом «прибавить и вычесть 2».На подготовительном этапе (за 1—2 урока до изучения те¬
мы) рекомендуется научить детей решать примеры в два дей¬
ствия вида: 6+1-М, 9—1 — 1, чтобы дети закрепили умения при¬
бавлять и вычитать единицу и накопили наблюдения: если при¬
бавим (вычтем) 1 и еще 1, то всего прибавим (вычтем) 2. Вна¬
чале решение таких примеров иллюстрируют действиями спред-
метами, например: «Положите 4 синих квадрата, придвиньте1	желтый квадрат. Сколько квадратов получилось? Придвиньте
еще 1 желтый квадрат. Сколько квадратов получилось? Запи¬
шите пример: 4+1 + 1; объясните, как решаем такой пример
(к 4 прибавить 1, получится 5; к 5 прибавить 1, получится 6)».Так же рассматривается пример 7—1 — 1.На уроке по ознакомлению с новыми приемами вычислений
вначале так же выполняют несколько подготовительных упраж¬
нений: дети решают примеры (8+1 + 1, 9 —1 — 1 и т. п.) с пояс-64
|(»'1тс‘м каждого примера. Учитель ставит вопрос: «Если приба-
Имли 1 и еще 1, то сколько всего прибавили (если вычли 1 и
тис 1, то сколько всего вычли)?»Лптем приступают к рассмотрению приема прибавления и
ймчитання числа 2.Учитель ставит цель перед детьми — научиться прибавлять
Н пмчитать число 2. Решение первых примеров выполняется с
опорой на предметное действие. Решается пример 4 + 2. Пусть
91 и букеты на окне изображают число 4, а эти 2 букета на сто¬
ле - число 2. Покажите, как эти 2 букета присоединить к тем 4
Сукетам (ученик переносит цветы на окно; сначала один букет,
11()1Ч)М второй). Запишем то, что сделал Вова. Сколько сначала
к 4 прибавили? Сколько получилось? Как же можно прибавить
У к 4? Чтобы прибавить 2 к 4, надо прибавить сначала 1 к 4,
имлучится 5, а потом прибавить к 5 еще 1, получится 6).На доске запись:4	+ 2 = 64	+ 1 = 55+1=6Далее ученики выполняют задание; рисуют в тетрадя.х, на¬
пример, 7 яблок, затем 2 яблока раскрашивают, записывают
пример 7 — 2 и, опираясь на свою практическую работу (снача-
лп раскрасили 1 яблоко, а потом еще 1 яблоко), объясняют,
инк вычесть 2 (из 7 вычесть 1, получится 6; из 6 вычесть 1, по¬
лучится 5).11	таком же плане рассматривается еще пара заданий (на¬
пример, по иллюстрациям в учебнике), а затем уже переходят
к решению примеров с пояснением приемов вычислений. В ре-
:|ул1.тате такой работы дети к концу урока усваивают, как мож¬
но прибавить 2 к любому числу и как вычесть 2 из любого
числа.С помощью аналогичных упражнений раскрываются приемы
И|||Ч11слений для случаев а±3 и а±4. Чтобы дети применяли
МД1Ч1. свои умения прибавлять и вычитать 2, при решении при-
М1’рои на сложение и вычитание с числами 3 и 4, они должны
(шсдставить 3 как 2 и 1 или как 1 и 2, а число 4 как 2 и 2,
Приемы вычислений также иллюстрируют действиями с предме-
И1МИ и на первых порах несколько примеров решают с подроб-
(11)11 .'шмисью приема;4+3=7	9-3=64+2=6	9-1=86+1=7	8-2=6Дли приемов а±4 запись может быть такой же, но целесо-
Ы'рпшее п{1чать записывать по-другому; 5 + 4 = 5 + 2+2 = 9,10	'1 10 -2-2 = 6. Такие записи готовят детей к изучению• № Ш1	65
свойств действий, тождественным преобразованиям выражений,
обоснованию вычислительных приемов сложения и вычитания в
пределах 100.После знакомства с вычислительными приемами на ряде
уроков проводятся упражнения в вычислениях, для того чтобы
знания о приемах вычисления превратились в умения, а затем
стали прочными навыками. Вначале примеры решаются с под¬
робными пояснениями приема вычисления вслух, постепенно
пояснения сокращаются, затем проговариваются кратко про се¬
бя. С целью выработки навыков включаются устные упражне¬
ния (устный счет, игры «молчанка», «эстафета», «лесенка»,
«круговые примеры» и др.). Очень полезны арифметические
диктанты — устные вычисления с показом ответов разрезными
цифрами или записью ответов в тетрадях. Выполняются также
разнообразные письменные упражнения в решении примеров и
задач. Особенно ценны упражнения с элементами творчества,
догадки: составить примеры, задачи, исправить неверно решен¬
ные примеры, вставить пропущенное число или знак действия в
примерах: □—3 = 7, 8—111=6, 8+□ = 10; 6*4=10, 6*4 = 2.Эффективными для формирования вычислительных навыков
являются упражнения с равенствами и неравенствами: сравнить
выражения и вставить знаки «>», «<» или « = »: 7 + 2*7,10	— 3*4; проверить, правильно ли поставлены знаки в задан¬
ных равенствах и неравенствах: 6 + 4<10, 6-|-3>10, 8+2=10;
вставить подходящее число, чтобы получилась верная запись:
10-4<П, 5 + 2>П, 5 + 3=П.Сравнение выражений выполняют на основе сравнения их
значений (5+2>6, так как 7 больше, чем 6), поэтому дети с
помощью таких упражнений закрепляют навыки вычислений.Важно, чтобы учащиеся поняли, что, сложив два числа, по¬
лучаем новое число и что соответственно это число может быть
выражено суммой двух чисел: если 6 + 2=8, то 8=6 + 2; если
5+3 = 8, то 8=5+3 и т. д. С этой целью предлагают специ¬
альные упражнения, например: «Составьте примеры на сложе¬
ние с ответом 7 и замените число 7 суммой по образцу
□ + □ = 7, 7=0 + 0».Завершающим моментом в работе н^ каждым из приемов
а±2, й±3, а±4 является^'уоставлёнйё~~ТГ аарМйани^~~тяШшС
Часть каждой таблицы составляется коллективно под руковод¬
ством учителя, часть — самостоятельно. Одновременно с табли¬
цами сложения и вычитания полезно составить таблицу состава
чисел из слагаемых, например;2+2=4	4=2+2	4-2=23+2=5	5=3+2	5-2=34+2=6	6=4+2	6-2=48+2=10 10 = 8 + 2 10-2 = 866I I
Цн чюм этапе изучения сложения и вычитания учащиеся
Кимится с терминами: сложение, вычитание, слагае-
|4>в, сумма, а позднее с терминами — уменьшаемое, вы-
гм с мое, разность. Сначала эти термины употребляет
учип'ль (например, когда диктует примеры детям для устного
КЧ*'И1), однако надо детей всемерно побуждать к употреблению
ШИН поных слов, предлагая им читать примеры по-разному (при
(фми-рке самостоятельной работы), заполнять таблицы вида:СлагаемоеСлагаемоеСуммаПолезно проследить попутно, как изменяется сумма (раз-
Щц'и.) — увеличивается или уменьшается и при каких условиях
||1» происходит.Пи следующем, третьем этапе изучают прием сложения
|Л« случаев «прибавить 5, 6, 7, 8, 9». При сложении в преде-
цлч К) в этих примерах второе слагаемое больше первого (1+9,
К 4 7, 3 + 5, 4+6 и т. п.). Если при вычислениях применить пе-
«(И'гмповку слагаемых, то все эти случаи сведутся к ранее изу-
Ц1<и11мм видам: а+1, а + 2, а + 3, а+ 4. Чтобы применение прие-
Ы* 111‘рестановки было осознано детьми, целесообразно вначале
|кн|»ыть им суть переместительного свойства сложения.переместительным свойством сложения можно
О'ИЙкомить детей так. Учащимся предлагают, например, поло-
ти11| 4 синих треугольника и придвинуть к ним 3 красных тре-
у|ил1.иика. Сколько всего треугольников? Как узнать? (Запи-
н<Ш111()г 4 + 3=7.) Затем дается задание поменять местами си-
ии«* и красные треугольники и к 3 красным треугольникам при-
Л»ииу1ь 4 синих треугольника. Записывают, какой пример те-
ргпшли (3+4 = 7). Читают оба примера с названием чисел
1'ложении. Сравнивают примеры, т. е. находят, чем приме¬
ни (иличаются и чем они похожи (слагаемые переставлены, их
1|1гМ*ч1или местами, а сумма получилась одинаковая).Лиллогично рассматривают еще 2—3 такие пары примеров
(ём иллюстрации на доске, по картинкам в учебнике и т. п.).
Литм с помощью учителя дети формулируют вывод: от пере-
411М|<11кки слагаемых сумма не изменяется.Дплсс раскрывают прием перестановки слагаемых, т. е. по-
йммииют, когда именно в вычислениях используют перемести-
свойство. С этой целью решают задачи практического
ЛИ(««мп'ри. Например, надо сложить вместе 2 мешка и 7 мешков67
N3муки, стоящие порознь. Как удобнее это сделать: принести2	мешка к 7 мешкам или 7 мешков к двум мешкам? Дети, опи¬
раясь на жизненные наблюдения, дают ответ на вопрос задачи.
Затем решают с пояснением пары примеров вида: 1+3, 3+1,2	+ 4, 4 + 2; сравнивают приемы вычислений и выясняют, как
быстрее сложить числа. На основе таких упражнений дети при¬
ходят к выводу: легче к большему числу прибавить меньшее,
чем к меньшему прибавить большее, а переставлять числа при
сложении всегда можно — сумма от этого не изменяется.Затем показывают, как использовать прием перестановки
при решении примеров и задач на сложение в пределах 10 (при¬
бавить 5. в, 7, Я, 9), В процессе упражнений у детей формиру¬
ется умение применять прием перестановки слагаемых. После
этого составляется 1фэткая табллцд-х:ложения в пределах 10,
зная которую можно решать^все примеры на сложение в пре¬
делах первого десятка:2	+ 2 = 43	+ 2 = 54+2=6	3+3=65+2=7	4+3=76+2=8	5+3=8	4+4=87+2=9	6+3=9	5+4=98+2=10	7+3=10 6 + 4=10 5 + 5=10Рассмотрев таблицу, дети сами могут пояснить, почему
включены только эти случаи и почему не включены остальные.На данном этапе продолжается работа над усвоением со¬
става чисел из слагаемых. Систематически предлагаются уча¬
щимся задания на замену каждого из чисел второго пятка сум¬
мой слагаемых, на дополнение этих чисел до указанного числа
(например, до 10, до 9), на подбор монет (например, какими
двумя монетами можно уплатить 6 коп., 7 коп., 8 коп., 10 коп.?).
Это подготавливает детей к изучению вычитания на следующем
этапе.На четд|ртом этапе изучается прием вычитания, осно¬
ванный на связи между суммой и слагаемыми для нахождения
результатов в случаях «вычесть 5, 6, 7, 8, 9». Чтобы решить,
скажем, пример 10 — 8, йадо"заме>1ИТЬ число 10 суммой чисел 8
и 2 и вычесть из нее одно слагаемое—8, получим другое сла¬
гаемое—2. Для использования такого приема надо знать со¬
став чис'ел из слагаемых, а также знать, как связаны между
собой сумма и слагаемые.Подготовка к усвоению связи между компонентами и резуль¬
татом действия сложения проводится с самого начала работы
над сложением и вычитанием. С этой целью предусматриваются
специальные упражнения; по данному рисунку (1 большой мяч
и 2 маленьких мяча) составить примеры на сложение и вычи¬
тание или л<е по одному и тому же рисунку составить задачу68ч
па сложение и задачу на вычитание; решить и сравнить пары
примеров вида: 4 + 3 и 7—3.Ознакомлению со связью между компонентами и ре-
(ультатом действия сложения отводится специальный урок. Ра¬
боту над новым материалом можно провести так.Учитель предлагает детям проиллюстрировать красными и
синими кружками пример на сложение (5 + 4 = 9). Пример чи¬
тают с названием чисел при сложении. Затем предлагают ш
нсех кружков убрать (отодвинуть) красные кружки, выясняют,
какие кружки остались и сколько их. Записывают новый при¬
мер; 9 — 5 = 4 и читают, называя числа так, как они называлисьII	первом примере (из суммы 9 вычли первое слагаемое, полу¬
чили второе слагаемое 4). Аналогично рассматривают пример:
9-4 = 5.Подобных упражнений надо выполнить достаточное коли¬
чество, чтобы на основе своих наблюдений дети смогли сами
сделать вывод; если из суммы вычесть первое слагаемое, полу¬
чится второе слагаемое; если из суммы вычесть второе слагае¬
мое, получится первое слагаемое.Для закрепления знаний связи между суммой и слагаемы¬
ми учащиеся выполняют такие упражнения: по данному при¬
меру на сложение составляют два примера на вычитание и ре-
1нают их (2 + 4 = 6, 6—4= , 6—2= ), с тремя данными чис¬
лами (4, 3, 7) составляют и решают четыре примера (4 + 3,3	+ 4, 7-4, 7-3).Знание связи между компонентами и результатом действия
сложения используется для нахождения результатов вычита¬
ния (случаи «вычесть 5, 6, 7, 8, 9»). На уроке, посвященном
ознакомлению детей с этим приемом вычитания, прежде все¬
го повторяют состав чисел 6, 7, 8 и др., а также закрепляют
знание изученной взаимосвязи.Затем приступают к раскрытию нового приема вычитания.
Учитель предлагает детям объяснить, как можно решить при¬
мер 10 — 8 (на доске прикреплены кружки на резинке, с по¬
мощью которых удобно провести объяснение). Учащиеся, как
правило, сначала называют прием отсчитывания (вычесть 5 и
еще 3, вычесть 4 и 4 и т. п.). Выслушав предложения детей,
учитель ставит задачу — найти более удобный прием вычисле¬
ния.«Вот у нас записан состав числа 10 из различных слагае¬
мых. 10 — это 8 и еще сколько? (10 — это 8 и 2. Обозначает на
кружках состав числа 10.) Этот пример будет нашим помощ-У	10«=8-]-2 \ником. Записывает: 	^ > Если из суммы 8 и 2 вычесть 8,V	10—8= /сколько получится? (Получится 2, записывает ответ, показывает
на крулчках, повторяет рассуждение.) Теперь нам надо решить
пример 10-6. Кто догадался, какими слагаемыми надо заме-
нить число 10, чтобы вычесть число 6? Назовите пример-помощ-69
ник. Продолжите пояснение (10 —это 6 и 4, вычтем 6, полу¬
чится 4)».Аналогично рассматриваются другие примеры.На следующих уроках для выработки навыка вычислений
включаются разнообразные упражнения.; В процессе изучения сложения и вычитания продолжается
у; формирование понятия<^чйслгт;щ?Ж:> Вначале изучения дейст-
^ Бий включают такие случаи вычитания, когда вычитаемое равно
уменьшаемому (2 — 2, 3 — 3 и т. д.). Опираясь на операции над
множествами, на решение задач (У девочки было 2 тетради, она
отдала учителю 2 тетради. Сколько тетрадей осталось у девоч¬
ки?), учащиеся постепенно усваивают понятие о числе пуль
как характеристике численности пустого множества. В конце ра¬
боты над темой «Десяток» включаются случаи сложения и вы¬
читания с нулем: 6 + 0, 6 — 0. Решение таких примеров выпол¬
няется на данном этапе на основе соответствующих иллюстра¬
ций (в одной коробке 6 карандашей, в другой —ни одного,
придвигают или убирают вторую коробку).Заканчивается работа над «Десятком» повторением и за¬
креплением изученного. Наибольшее значение приобретает в
это время выработка беглости вычислений, поэтому на каждом
уроке включаются разнообразные тренировочные упражнения,
упражнения занимательного харай-ера и игры. Закрепление на¬
выков вычислений продолжается и при изучении следующей
темы; «Нумерация чисел в пределах 100».отняНумерация чисел в пределах 100 и четыре арифметических
действия над ними выделяются в особый концентр по следую¬
щим причинам.Здесь учащиеся знакомятся с новой счетной единицей —
десятком и с важнейшим понятием десятичной системы счисле¬
ния— понятием разряда. Усвоение принципов образования,
называния и записи двухзначных чисел — основа для усвоения
устной и письменной нумерации чисел за пределами сотни.Изучая арифметические действия над числами в пределах
100, учащиеся овладевают основными приемами устных вычис¬
лений и одновременно усваивают лежащие в их основе свойст¬
ва действий, связи между результатами и компонентами. Таким
образом, это важная ступень в формировании у детей знанийоб	арифметических действиях и вычислительных навыков.Здесь учащиеся усваивают наизусть таблицу сложения и
таблицу умножения (запоминают результаты действий над од¬
нозначными числами). Знание этих таблиц дает возможность
быстро выполнять и соответствующие случаи обратных дейст-70
1111Й — вычитания и деления. Прочное усвоение таблиц сложе¬
ния и умножения — это база для овладения в дальнейшем не
только устными, но и письменными вычислениями с многознач¬
ными числами.В концентре «Сотня» изучаются следующие вопросы; нуме¬
рация чисел, сложение и вычитание, умножение и деление.В тесной связи с изучением нумерации и арифметических
действий формируется понятие о величинах и их измерении,
ведется работа над простыми и составными задачами, рассмат¬
риваются числовые равенства и неравенства, простейшие урав¬
нения и неравенства с одной переменной. Учащиеся знакомятся
с буквой ка.к символом переменной, начинают оперировать бук¬
венными выражениями. Продолжается работа над геометриче¬
ским материалом: вводится прямой угол, прямоугольник, обо¬
значение буквами точек, отрезков, углов, многоугольников, рас¬
сматривается ломаная, длина ломаной, периметр многоугольни¬
ка, решаются задачи с геометрическим содержанием.^/Нумерация чисел в пределах 100Задача учителя при изучении этой темы — научить детей
считать до 100, показать, как образуются числа из десятков и
единиц, научить читать и записывать двузначные числа на ос¬
нове твердого знания о том, что единицы пишутся на первом,
а десятки — на втором месте, считая справа налево. Необхо¬
димо также добиться усвоения учащимися новых понятий и
терминов: единицы первого и второго разряда, разрядное
число, сумма разрядных слагаемых, однозначное и двухзначное
число.В изучении нумерации выделяются две ступени; сначала
изучается [нумерация чисел 11—20,^а^затем чисел 21—ши/Т а ко й
порядок изучения обусловлен тем, что названия чисел второго
десятка образуются из тех же слов, что и названия разрядных
чисел (20, 30, ..., 90). Однако слова «два», «три», «пять» и т. д.
в числительных две-на-дцать, три-на-дцать и т. д. обозначают
число единиц, а в числительных два-дцать, три-дцать и т. д.
обозначают число десятков (исключение составляют числитель¬
ные «сорок» и «девяносто»).^Кроме т(ггп^пои написании только
чисел второго десятка порядок называния .составляющих их
^зрядаШ чисел илорндок записи ае совпадает: сначала назы-
сакй^я'^дйнйцы (три-1Га-дцать), а пишется первым десяток (13),
в то время как во всех остальных случаях чтение и запись раз¬
рядных чисел совпадают (23, 145, 1972 и т. п.). Эти особенности
нумерации требуют того чтобы числа втооог^десятка были'
рассмотрены^ отдельна(^^Ь вместе с тем нумерация двузначных
чисел до 20 и свыше 20принципиально сходна: устаая и пись¬
менная нумерация этих чисел опирается на десятичную группи-71
ровку единиц при счете и на принцип поместного значения цифр
^Г1ри записи чисел, поэтому изучение нумерации чисел от Ш до
20 подготавливает детей к изучению чисел от до 1цО.*	Подготовительная работа к изучению ’нумерации^чисел вто-
рого десятка провоАнтся п{)и повторении материала по теме
«Десяток». С этой целью включаются упражнения в счете пред¬
метов с выходом за десяток (например, сколько учеников в пер¬
вом ряду, во втором ряду? Сколько всего учеников в классе?
И т. п.), а также упражнения в счете групп предметов (напри¬
мер, сколько пар детей стоит у доски? Сколько на картинке пар
лыж, пар обуви? И т. п.).Изу^нлце устной нумерации чисел второго десятка
начинаё'тся еЦ)орьшрова1ШЯ V детей понят^ о десятке. Отсчи-
А т'ыва'я по 10 палочек и завязывая их в пучки, учащиеся узнают,
/ что десять единиц образуют десяток. Затем, выполняя упраж¬
нения в счете десятков палочек, сложении и вычитании десят¬
ков с использованием палочек, дети убеждаются, что десятки
,/ можно считать, гкляпынять и вычитать как простые единицы
^ (см^урок на с. '61). ^/Далее 'рассматривается^бразование чисел от 11 до 20 из
десятков й рпинип и ппягняютгя их названия.' НапримерГучащимся предлагают положить 1 палочку на пу¬
чок-десяток палочек и посчитать, сколько всего палочек ста¬
ло.	опираясь на иллюстрацик5,^д^и устанавливают_деся-
тичны^состав полученного чисда^Далеё' вспоминают, как по-
луч1ить ^следующее число, присоединяют к 11. палочкам еще1	палочку и объясняют, что «две на десять» — это двенадцать,
что число 12 состоит из 1 десятка и 2 единиц. ДМ^ак же-рассматривается образование и название других чи¬
сел второго десятка и одновременно ^^рпяда^^-^^x_I;лед^"^ТЛтаимо^п^лочек, в качестве наглядного пособия используют
. ПО.ЛОГКИ, на каждой из которых по 10 кружков (десятки), и по¬
лоски с 1, 2, 3, . . . ,9 кружками (единицы).Учащиеся сами изготовляют это наглядное пособие из при¬
ложения к учебнику 1 класса.Натуральное следование чисел удобно иллюстрировать с по-
мошыо^ самодельных бумажных полосок длиной 20 (потом
100) см. Используя «ленту двадцати», дети устанавливают, ка-
'	за ка*ш*-след'у?г. какому прёдшествует, между какЯ-		аходится.	“Для закрепления знаний д^ти^шог^состдва^^ натуралыюго
следования чисел ^предолах 20 предлагают учащимся — сна¬
чала с опорой на наглядные'Тт^о^я, а потом без них — такие
упражнения: «Отсчитайте 15 палочек; узнайте, сколько это со¬
ставляет десятков палочек и сколько отдельных палочек; возь¬
мите 1 десяток палочек и еще 4 палочки. Сколько всего палочек
взяли? Сколько десятков и единиц в числе 17? Какое число72
ДесяткиЕдиницыРис. 13сосгоит из 1 десятка и 9 единиц?Положите 13 палочек, придви-
шитс теперь по одной палочке и
илзывайте, сколько палочек ста¬
новится (до 20—25); положите
17 палочек; откладывайте в сто¬
рону по одной и называйте,
сколько палочек остается (до7	-8); начиная с числа 8 при¬
считывайте по одному и называй¬
те* полученные числа; отсчиты-
иайте от 20 по одному, пока не
получится 10».Далее учащиеся знакомятся
со второй единицей длины — де¬
циметром как десятком санти-
"метров. Включаются упражненияII	черчении и измерении отрезков,длина которых выражается как в единицах одного наименова¬
ния (12 см, 15 см и т. п.), так и в единицах двух наименований
(1 дм 5 см, 1 дм 8 см и т.п.). Опираясь на сравнение отрезков,
дети постепенно овладевают умениями заменять крупные еди¬
ницы мелкими (1 дм 3 см =13 см) и обратно (20 см = 2 дм).
При этом закрепляются знания десятичного глртявя. Например,
Гдм~3'Т5ЖТ1адо выразить в сантиметрах. Ученик рассуждает
так: 1 дм — это 1 десяток сантиметров; 1 десяток и 3 см со¬
ставляют 13 см. Аналогично выражая 15 см в дециметрах и сан¬
тиметрах, в числе 15 см выделяют 1 десяток сантиметров (т. е.1 дм) и 5 см.На следующем этапе приступают к изучению письмем-
ной нумерац.и.д- Чтобы раскрыть помес^^^^ШШ^
записи двузначных чисел, используют абщ^—таОлинуг^^Я^ ^
рядами карманов: один ряд — для палочек, >ру-сой — для раз- ^
резных цифр (рис. 13). Знакомя с пособием, учитель-по^^азы-
нает, как ставят в верхних карманах палочки, когда их 5, 9^10, 14 штук. Затем ученикам предлагают разложить в карманы,!^
например, 15, 17 палочек.	\Переходя к обозначению чисел, обязательно выясняют деся-д^
тичныи состав'{Шждого «шсла й,'‘бТГЩга'теь Бй" него, записывают
1Ш$23.МИ,Гскольк6'в этом числГ^С5т«в и сколь кроме того,
(’диниц. Сразу закрепляют полученные знания о принципе за¬
писи двузначных чисел: что обозначает цифра 7, которая стоит в
записи числа 17 на первом месте справа, и что обозначает циф¬
ра 1, которая стоит на втором месте справа.	/Аналогично рассматривают еще несколько чисел, а затем де-/III	записывают числа в своих тетрадях в таблицах с надписями
«десятки» и «единицы» и объясняют значение каждой цифры.73
^,,.^^со§2_^^дссмат^иваетс^	чисел 10 и 20: цифра 1 (2)показывает, что в числе содержится 1 десяток (2 десятка), циф¬
ра О— Б числе отсутствуют единицы.Упражняясь в записи чисел, учащиеся закрепляют знания
де(^1<ЫНого с<^тяая II натурального следования чисел в преде¬
лах 20^ Например, учитель предлагает записать число, которое
“состоит из 1 десятка и 9 единиц; записать число, которое сле¬
дует при счете за числом 19 (предшествует числу И); которое
больше (меньше) на 1 числа 15; решить примеры 12+1, 18—1
и записать ответы. Дети записывают ответы и объясняют, поче¬
му они записали то или иное число. Так, выполняя последнее за¬
дание, учащиеся поясняют: к 12 прибавить 1, получится 13, по¬
тому что, прибавляя к числу 1, получаем число, которое следует
за ним при счете.Опираясь на наглядные пособия, учащиеся знакомятся со
случаями сложения и вычитания вида: 10 + 5, 15—5, 15—10. Вы-
' полняя такие вычисления, учащиеся закрепляют знаКйЯ деся¬
тичного состава ^чисел: например, 10 + 5^ десять — это 1 "^сяток,
'Т'десятоЕТГ5"ёдиниц составляют число 15; 15—10, пятнадцать —
это 1 десяток и 5 единиц, вычтем 10, или 1 десяток, получится5	единиц.Сопоставляя числа, учащиеся устанавливают, что для запи-
I си числа, состоящего из единиц, требуется одна цифра (один1	знак); для записи числа, состоящего из десятков или десятков
я еднни1й~~тре6уётсядве цифры (два знака). Вводятся термины
«однозначные» и «двузначные» числа. Дети приводят примеры
однозначных и двузначных чисел, выполняют упражнения на
различение однозначных и двузначных чисел, например: «Выпи¬
шите из ряда чисел сначала однозначные, а потом двузначные
числа: 2, 13, 8, 17, 15, 6, 11, 10; запишите 4 любых однознач¬
ных числа и увеличьте каждое на 10. Какие числа у вас полу-
чились, как можно их назвать?Г°*ПЙ”з4? д е и и е нумерации чисел в пределах 100 идет
|в таком же .плане, как и^^гГ]^дПах~120Г снЖ изучается уст-
шаяГ затем письменная'нумерация.I	«Г основе “счетя яйгУткоя "(1 дес., 2 дес., 3 дес. и т. д.) рас-
^крывается образование и название чисел 20, 30 и т. д., а затем
основе счета'десятков и единиц образование и название чи-^ вида 25. 37 (4 дес. 5 ед.— это 45 и т. пТТТ		(Усвоению десятичного состава чисел способствуют упражне-
в образований и разложении чисел. (Какое число состав¬
ляют 5 дес. 7 ед.? Сколько десятков и единиц в числе 62?
Щ т. п.) С этой же целью рассматривается сложение и вычита¬
ние вида: 70+5, 8+20, 34 — 4, 48—40. Приемы вычислений здесь
те же самые, что и для аналогичных случаев в пределах 20, и
методика работы сходна.Как и при изучении нумерации чисел второго десятка одно¬
временно с нумерацией отвлеченных чисел рассматривается из-/74
мерение величин, сравнение значений величин, замена крупных
('диииц мелкими и мелких крупными.Одновременно с десятичным составом рассматривается ла-
туральное следование чисел первой сотни. Для этого включа-
■р'^ся’ упражнения в счете предметов, в присчитывании по^<}дн5^по д€сять)с опорой на наглядное "пособие — «лен'- 	^'?!^имёня1оТся^нания о натуральнЩ последовательности чисел
при выполнении таких упражнений: «Перед каким числом назы¬
вают при счете число 79? После какого числа при счете назы¬
вают число 100? Между какими числами называют при счете
число 50? Решите примеры: 89+1, 70—1. Решите задачу: «На
лестничной площадке три квартиры. Номер одной из них 30.
Какими могут быть номера у двух других квартир?»При изученци.ШсШёнЦйк нУМёраций] чисел в пределах 100^
опираются на умшГие учащихся аддисывать^чисЖ второго де^
сятКа: а также на знания десятичного сбст^в^'ЧиЬел первой сот-
^н|С'таачалТ~чйслаГ1?ллюстрирую^ палочкаЩ[ *УТ1УчкакУ~па^^
чте'^а ^баке, после чего обозначают число единиц и чййПТ
десятков^разрезными цифрами. Рассмотрев таким образом не¬
сколько ^чисёл(напр?ш	66, 60 и др.), учащиеся делают
вывод о том, что в. двузначном числе единицы пишутся на пер¬
вом месте, а десятки — на втором, считая справа налево. Ус-
ватгвзЕГСЯ этот'^вод в процессе выполнения таких упражне¬
ний: «Объясните, что обозначает каждая цифра в записи чисел
(77, 25, 52, 90 и т. п.), запишите с помощью данных цифр (на¬
пример, 5, 7, 1) всевозможные двузначные числа (при записи
отдельных чисел можно использовать одну и ту же цифру дваж¬
ды)».При изучении письменной нумерации учащиеся знакомятся
с п^азрядом и разрядным числом. Уаитель поясняет.
что, например, в числе 57 содержится 5 десяДов и 7' единиц
•лли^шГаче^можно сказаты 5 единиц второго разряда й 7 единиц
исрнпГо разряда. Полезно при этом использовать нагляд1юё®ЭД^
с(юие-^^рточкм с разрядными числами (рис. 14), которые
имеются в приложении к учебнику математики I класса. Прак-
тичсские действия с карточками помогают детям_овладеть^ ум^
ийем представлять ЧИС.ПО в виде суммы, разрядных .слараемых
(48=40-1^8 и т. п.), что необходимо для выполнен^г^ЯVдействий
илд двузначными числами.С целью систематизации знаний по нумерации полезно в
конце работы над темой включать задания по характеристике
;)адапных чисел. Характеризуя,
иапример, число 33, учащиеся
могут назвать его десятичный со¬
став (в этом числе 3 дес. и 3 ед.,
или 3 сд. II разряда и 3 ед.I	разряда), сказать о месте это¬
го числа в натуральной иоследо-	Рис. 1450 7 5775
вательности (число 33 называют при счете после 32 и перед 34),об	особенностях записи этого числа (это число двузначное, для
его записи использована 2 раза цифра 3).Усвоение нумерации требует длительных упражнений, поэто¬
му в дальнейшем, при изучении сложения и вычитания в преде¬
лах 100, систематически включают в устные упражнения зада¬
ния по устной и письменной нумерации чисел.)/ Сложение и вычитание в пределах 100В результате изучения темы «Сложение и вычитание» уча¬
щиеся должны научиться осознанно выполнять сложение и вы¬
читание любых чисел в пределах 100, твердо усвоить табличные
случаи сложения и вычитания с переходом через десяток, а так¬
же ряд теоретических вопросов.Как и при изучении первого десятка, приемы сложения и
вычитания в пределах 100 раскрываются в органической связи
с изучением теоретического материала. При таком подходе
лучше усваиваются вопросы теории, так как они находят при¬
менение, и быстрее формируются более осознанные вычисли¬
тельные навыки.Анализ приемов сложения и вычитания лисед в пределах 100
показывает, что для их осознанного выподншия. учащиеся дол-
жпы хорошо знать нумерацию чисел в пределах 100, твердо
знать таблицу сложения и соответствуюшие случаи вычитания
в пределах 10 и. кроме того, усвоить следующие свойства дей¬
ствий сложения и вычитания: прибавление числа к сумме, вычи¬
тание числа из суммы, приВавление суммы к числу, вычитание
суммы из числа, прибавление суммы к сумме и вычитание сум¬
мы из суммы.Сложение и вычитание рассматриваются в таком порядке.Б I классе сначала изучается сложение и вычитание разряд¬
ных чисел (70Т2^,~Б0^40). 2а.тем рассматривается свойство
прибавления числа к сумме, пользуясь'"которым и ранее усвоен¬
ными знаниями вводятся приемы для случаев: 46+20, 46+2.
Здесь же, используя прием перестановки слагаемых, рассмат¬
ривают случай 2+46. Далее изучается свойство вычитания чис-'
ла из суммы и приемы для~случаев: 4'8—30, 48 — 3 и 40 — 3. Оле-
^ющим рассматривается свойство прибавления суммы к числу.
на основе'которого ^раскрШЯТб^я табличные случаи сложе н и яперехпппм через десяток (9+3). Вслед за этим изучается
свойство вычитания суммы из числа и табли’чные случаи вычи¬
тания (12 — 5). Наконец, рассматриваются парами приемы сло¬
жения и вычитания, бСМбванные на двух последних свойствах:
47 + 9 и 47-9: 30+12 и 30-12; 65+14 и 65-14; 36+19 и
36—19. Во II классе изучаются свойства прибавления суммы
к сумме и вычитания суммы из суммы, на основе которых вво¬
дятся приемы поразрядного сложения и вычитания.76
Рассмотрим подробнее методику изучения свойств и вычи-
б1^ительных приемов.<^ложение и в ы ч и т а н не двузначных оа з р я д -
и ы X чисел сводится к сложению й вычитанию однозначнШ"
чисел, которые выражают число десятков. Например, чтобы к
50 прибавить 30, достаточно к 5 десяткам прибавить 3 десятка,
получится 8 десятков, или 80, а чтобы из 50 вычесть 30, доста¬
точно из 5 десятков вычесть 3 десятка, получится 2 десятка,
или 20. Объяснение решения двух-трех примеров сопровожда¬
ется иллюстрацией и такой записью:70 + 20	60-407	дес. + 2 дес. = 9 дес.	6 дес. —4 дес. = 2 дес.70 + 20 = 90	60-40 = 20В дальнейшем, на последующих двух-трех уроках, ученики
проговаривают объяснение вслух, а затем про себя. В резуль¬
тате упражнений у учащихся постепенно вырабатывается навык.Введению свойства прибавления числа к сумме
должна пЪедшестБ0ватГ1;пециаЖна5П^0 д г ^ о в и т ё'л ь н
а б о т результате которой"учащиеся знакомятся с матё^
магическими выражениями «сумма чисел.,.»~й «разность чи-
сел...», учатся читать и записывать выражения со скобками, за-
менять двузначные неразрядные числа суммой их разрядных
слагаемвх- Эти вопросы рассматриваются при изучении сложе¬
ния и вычитания чисел в пределах 10 и нумерации чисел в пре¬
делах 100.		(Изучение каждого с в о й с т в а.^'строится примерно по
одному плану; сначала, йШШЛЪЭуя'Т(аглядныё
рта^ШТб'сут'ь сШого'своЙстъаТ'Мтём'научить детей применять
его при ~вып6.^ении различных упражнений учебного' характе¬
ра, и, наконец, научить, поЖзуясь_зн'а^шем свойства, находить
рациональные приемы вычислений с учетом особенностей каж¬
дого конкретного случая.			Рассмотрим, как можно провести Го з н а к ом~л е н и'^ детей У,
со свойством прибавления числа к сумке.		Раскрывая~еуть свойства, надо показ~ать детям, что число ксумме можно прибавлять^азличныш^спосббжт^гожнсг вычис¬
лить сумму и к полученному результату'1Г|^6авитъ число, можно
прибавить число к первому слагаемому и к полученному резуль¬
тату прибавить второе слагаемое, а можно прибавить число ко
второму слагаемому и полученный результат сложить с первым
слагаемым.Покажем, как это можно сделать.Учитель пишет на доске выражение (5+3)+2.Прочитайте пример. (К сумме чисел 5 и 3 прибавить 2.)
Назовите сумму. (5 плюс 3.) Назовите первое слагаемое этой
суммы. (5.) Назовите второе слагаемое. (3.) Назовите число,77
Рискоторое надо прибавить к этой сумме. (2.) Как найти резуль¬
тат? (Вычислю сумму, получится 8; прибавлю 2, получится 10.)На доске запись: (5+3)+2=8 + 2= 10.Сегодня вы научитесь прибавлять число к сумме и другими
способами.Учитель вывошивает на доске рисунки двух гаражей и пред¬
лагает ученикам приготовить прямоугольники голубого, зеле¬
ного и красного цветов, вырезанные из бумаги.Это гаражи. Число машин в первом гараже будет изобра¬
жать первое слагаемое. Сколько машин надо поставить в пер-
вый гараж? (5.)Учитель вставляет в прорези 5 машин голубого цвета, выре¬
занные из картона, а учащиеся раскладывают на партах 5 го¬
лубых прямоугольников.Число машин во втором гараже будет изображать второе
слагаемое. Сколько машин поставим во второй гараж? (3.)Учитель «ставит» во второй гараж 3 зеленые машины, а де¬
ти раскладывают на партах 3 зеленых прямоугольника.Приехали еще две машины (прикрепляют к доске две крас¬
ные машины, а учащиеся кладут на парту два красных прямо¬
угольника).На доске располагаются рисунки (рис. 15).Красные машины надо поставить в гараж. В какой гараж
их можно поставить? (В первый или во второй). Поставим их
в первый гараж. (Учитель «ставит» машины в первый гараж,
а дети придвигают красные прямоугольники к голубым.) Как
теперь узнаем, сколько всего машин? (К 5 Прибавить 2, полу¬
чится 7, и еще прибавить 3, получится 10.) Да, число 2 мы при¬
бавили к 5, первому слагаемому, потом к полученному резуль¬
тату, к 7, прибавили второе слагаемое 3. Сравните ответы. (По¬
лучилось тоже 10.) Если получилось столько же, сколько при
решении первым способом, значит, можно прибавлять число к
сумме и таким способом. Кто расскажет, как мы сейчас при¬
бавляли число к сумме? (Ученик рассказывает.)78
Аналогичным образом с использованием тех же пособий
раскрывается еще один способ: можно прибавить число ко вто¬
рому слагаемому — к 3 и полученный результат сложить с пер-
|)ым слагаемым — с 5.Сколько способов прибавления числа к сумме мы рассмот¬
рели? (Три.) Да, три способа: можно решить пример так, как
и раньше это делали — вычислить сумму чисел 5 и 3 и к резуль¬
тату, к 8, прибавить число 2; можно прибавить число 2 к пер¬
вому слагаемому, к 5, и к полученному результату, к 7, приба¬
вить второе слагаемое 3; а можно прибавить число 2 ко второму
слагаемому, к 3, и полученный результат, 5, сложить с первым ^слагаемым — с 5. 					г Далей _1^к рассматривается решение тремя способам 1Г7^
~еще одного примера~)на прибавление ЧНсЛа к суймё. При этом
используется то же Наглядное пособие.	1При раскрытии свойства можно использовать и другие посо- I
бия, например: в ведра вливать воду литрами, в конверты вкла- '
дыватТГоткрытки, в тарелки раскладывать фрукты и т. п.На следующем уроке, рассматривая три способа прибавле¬
ния числа к сумме, одновременно с использованием наглядных
пособий выполняют развернутую запись. Эту запись учитель
"выполняет на"д^оске или на гглакате, а учащиеся в тетрадях.
Например, решение тремя способами примера (4 + 2)-+-3 сле¬
дует записать следующим образом:1)	(4 + 2)+3 = 6 + 3 = 9;2)	(4 + 2)+3={4 + 3)-Ь2 = 7+2 = 9;3)	(4 + 2)+3 = 4+(2+3) =4 + 5 = 9.Выполнение каждой записи учащиеся сопровождают объяс¬
нением сначала под руководством учителя, а потом самостоя¬
тельно. На этом этапе не следует требовать от детей обобщен¬
ной формулировки правила прибавления числа к сумме, доста¬
точно, чтобы они умели объяснять решение различными спосо¬
бами данных конкретных примеров.В таком же плане проxодит^)абота и над другими свойства-
ми.**Рднако по мере рассмотрения новьгх свойств увёлйчнвается
Д1мя самостоятельного участия детей в «открытии» различных
гппгпбпр н^упжлрция ррчуттьтятпв.акрепление знания свой сТвруоторые дети форму-
ли^руют в виде правил (и называют правилами), происходит в
результате их применения при выполнении специальнШ"^упраЯР:
нении. "Это нахождение' Зйачёнйй' данных выражениСдазными
'способами и наиболее удобным способом, преобразование вы-
ражений, решение задач различными способамид_^р.	Д1^п^имер, усвоению Свойства прибавленйя числа к сумме
бу^^спосо^вовать такие упражнения:Прочитайте пример и вычислите результат разными спо-
сомми: (6+1)+2.79
а)	Вычислю сумму, получится 7; прибавлю к ней число 2,
получится 9;(6+1)+2 = 7 + 2 = 9б)	Прибавлю число 2 к 6, к первому слагаемому, получится
8; к этому результату прибавлю второе слагаемое 1, получится
тоже 9:(6 + 1)+2=(6 + 2) + 1=8+1=9в)	Прибавлю число 2 к 1, ко второму слагаемому, получит¬
ся 3; этот результат прибавлю к первому слагаемому — к 6,
получится тоже 9;(6+1)+2 = 6+(1+2)=6 + 3 = 9Найдите результат удобным способом:(8+6)+4 (30 + 7)+20 (60+5)+4Выполняя такие упражнения, ученики мысленно воспроизво¬
дят все три способа нахождения результата 11'выбирают наибо¬
лее рациональный. Первое время учителю надо подводпть детей
к выбору такого способа. Например, н а ходя _ зн а че н ие лер вого
выражения, ^итель говорит, что легче (лучше) прибавить"? к
тойу'чтгету, при сложении с которым получится 10, так как
к 10 легче прибавлять; находя значения двух других выраже-
чий.»-^нлхель указывает, что удобнее десятки прибавлять к де-
сятж-вм, а единицы'к единицам,( 3.^Закончите запись:^ (8+7)+2= (8+2)... (40+3)+5=40+(...).Ученик дает примерна_1акоб.лб'ьяснеиие: слева записано, что
надо к сумме чисел 8 и 7 прибавить 2, а справа записано, что
число 2 прибавили к 8, к первому слагаемому; чтобы справа
получилось столько ж€, сколько слева, надо к полученной сум-
ме прибавить второе слагаемое 6.Г~^воению своисТВ^;помогает также решение некоторых задач
разными способами и сравнение решений.■■*^ак^[;ол^ц^о__&уд§т^:с^^оеI^й^св9&^^
^ршю^вьпи^ит^ых^^1рнемот^^^	соответствую-а б о т ы над каждым вычислитель-
н ьГм п р иё м(^строи^Л1римерц5’~5^ одно^
ведется- подготовка к ознакомлению с приемом, затём вЪодится~прием и палее выполняются упражнения, направленные на фор¬
мирование умр.ния применять прием в разных конкретных усло¬
виях и на Формирование вычислительного навыка.Рассмотрим, как можно провести работу над приемами
для случаев: 46 + 20 и 46 + 2, которые вводятся после усвое¬
ния учащимися свойства прибавления числа к сумме.80
0оо00оо0о0о0оооо0о0о0о000оо0о000о0о0уо0Рис. 16В качестве подготовки
предлагается решение наибо¬
лее удобным способом приме¬
ров вида; (50-1-3)4-40 и
(30-|-6)-Ь2. При решении та¬
ких примеров учащиеся долнс-
ны уяснить, во-первых, что
удобнее десятки прибавлять к
десяткам, а единицы к едини¬
цам, и, во-вторых, что в пер¬
вом случае прибавляли 40 к
числу 53, а во втором — при¬
бавляли 2 к 36.При ознакомлении с приемом надо, выполняя соответ¬
ствующие действия, опираться на наглядность, сопровождая их
соответствующими записями и словесными пояснениями.На доске запись: 46-1-20. Дети читают пример и иллюстри¬
руют числа с помощью полосок с круж^ками или с помощью
палочек — все у себя на партах, а один ученик на доске
(см. рис. 16).Суммой каких разрядных слагаемых заменим число 46?
(40 и 6.) Покажите, как изображены эти слагаемые. (Показы¬
вают полоски.) Заменим число 46 суммой разрядных слагаемых.Запись на доске; 464-20= (40-1-6) -1-20.Прочитайте пример, который получился. (К сумме чисел 40
и 6 прибавить 20.) Как удобнее вычислить результат? (Приба¬
вить число 20 к 40, к первому слагаемому, и к полученному
результату прибавить 6, второе слагаемое.) Выполним это на
полосках. (К 4 полоскам придвигают 2 такие же полоски и еще
6 кружков.) Вычислите результат. (К 40 прибавить 20, полу¬
чится 60; к 60 прибавить 6, получится 66.)Запись; 46 + 20= (40-Ьб) 4-20= (404-20) 4-6 = 66.Аналогично рассматривается случай 464-2.Теперь полезно выяснить, чем похожи способы решения (в
обоих случаях заменяли первое число суммой разрядных сла¬
гаемых и к сумме прибавляли число) и чем отличаются (в пер¬
вом примере прибавляли десятки, их удобнее прибавлять к де¬
сяткам, а во втором примере прибавляли единицы, их удобнее
прибавлять к единицам).Чтобы предупредить неправильные обобщения, надо, сказать
детям, что здесь заменяли суммой первое число (46), а в других
случаях будет удобнее заменять суммой второе число.Затем можно рассмотреть решение с объяснением аналогич¬
ных примеров, опираясь на иллюстрации, после чего решить ряд
примеров с развернутой записью и подробным объяснением
сначала под руководством учителя, а потом самостоятельно.Очень важно с самого начала научить детей выделять при
объяснении решения примеров главные моменты, т. е. надо до-6	Заказ № 448781
биться, чтобы ученик вел рассуждение по определенному пла¬
ну. Так, уже на втором уроке учитель может сказать, что легче
решать такие примеры, если будем вести рассуждение в опре¬
деленном порядке: сначала заменим число суммой,
потом прочитаем полученный пример, затем
решим его удобным способом.Вот как будет выглядеть рассуждение ученика при решении
примера 23 + 4: «Заменю число 23 суммой разрядных слагаемых
20 и 3; получился пример: к сумме чисел 20 и 3 прибавить 4;
решу его удобным способом; здесь удобнее число 4 прибавить
к 3, ко второму слагаемому, получу 7, прибавлю полученный
результат к 20, к первому слагаемому, получится 27»Одновременно выполняется запись;23+4= (20 + 3) +4 = 20+ (3 + 4) =27.Такое рассуждение сначала выполняется под руководством
учителя; учитель сообщает план объяснения и записывает его
кратко на доске:Заменю . . .Получился пример . . .Удобнее . . .Постепенно дети овладевают указанной последовательностью
операций: выполняют и называют их самостоятельно. Это обес¬
печивает в дальнейшем самостоятельное нахождение учаш,ими-
ся новых вычислительных приемов.Подробное объяснение решения, которое дают учащиеся,
надо постепенно сокращать. Например, уже на втором уроке
наряду с подробным объяснением и развернутой записью дети
объясняют решение примера 56 + 30 следующим образом:56	— это 50 и 6, прибавлю 30 к 50, получится 80, да еще 6, полу¬
чится 86. В дальнейшем объяснение еще сокращается: 50 и 30—
это 80, да 6, всего 86. Однако время от времени надо требовать
подробного объяснения иногда с развернутой записью, чтобы
дети в случае затруднений всегда могли воспроизвести всю
последовательность операций.На последующих уроках рассматриваются случаи: 27+3 и6	+ 42, которые принципиально не отличаются от ранее рассмот¬
ренных, поэтому ученики сами дают объяснение. В первом
случае — сумма единиц составляет десяток, его надо прибавить
к десяткам; во втором случае надо слагаемые переставить (этот
прием уже известен детям).Как только будет усвоен вычислительный прием, необходимо
проводить специальную работу по формированию вычис¬
лительных навыков. Навык вырабатывается в результа¬
те тренировки, поэтому на каждом уроке должны включаться
примеры ка« для устной, так и для письменной работы. При82
этом новые случаи должны включаться в перемежении с ранее
изученными.Одновременно с работой над формированием вычислитель¬
ных навыков для рассмотренных случаев изучается свойство
вычитания числа из суммы по такой же методике, как
и свойство прибавления числа к сумме. Как только учащиеся
усвоят его, вводятся сначала одновременно приемы для случа¬
ев: 57 — 30 и 57—3, а несколько позднее — прием для случая
60-3.В качестве подготовки « раскрытию первых двух приемов
предлагается решить наиболее удобным способом примеры вида:
(60 + 8)—50 и (60 + 8)—5. Выполняя такие задания, учащиеся
замечают, что здесь удобнее единицы вычитать из единиц, а
десятки из десятков.Новые приемы для случаев 57 — 30 и 57 — 3 раскры¬
ваются примерно так же, как аналогичные приемы сложения.
При этом учащиеся должны под руководством учителя, но с
большей долей самостоятельности дать пояснение в соответствии
с ранее данным им планом. Приводим рассуждение ученика:57	— 30. Заменю число 57 суммой разрядных слагаемых50 и 7; получился пример: из суммы чисел 50 и 7 вы¬
честь 30; удобнее вычесть 30 из 50, из первого слагаемого,
и к полученному результату, к 20, прибавить 7, второе слагае¬
мое, получится 27.Запись: 57-30= (50 + 7)-30= (50-30)+7 = 27.Аналогичное объяснение дается для случая 57—3.Случай 60 — 3 отличается от предыдущего тем, что здесь
уменьшаемое является разрядным числом и его нельзя заменить
суммой его разрядных слагаемых. Находя результат, удобнее
уменьшаемое заменить суммой таких двух слагаемых, одно из
которых 10. Такие слагаемые называют «удобными» (разряд¬
ные слагаемые тоже удобные). Чтобы научить детей выделять
такие удобные слагаемые, предусматриваются специальные уп¬
ражнения:1)	Замените число суммой по образцу:30 = 20+10, 40=П + 10, 90=П + 10, 50=0 + 10.( 2) Решите примеры удобным способом;^ (50+10)-7, (90+10)-3.Из какого числа вычли 7; 3?При ознакомлении с приемом используются пучки палочек
I, (один пучок развязывают).Ученики дают такое объяснение:60—3. Заменю число 60 суммой удобных слагаемых 50 и 10;
получился пример: из суммы чисел 50 и 10 вычесть 3; удобнее
вычесть 3 из 10, из второго слагаемого, и полученный резуль¬
тат (7) прибавить к 50, к первому слагаемому, получится 57.
: Запись: 60-3= (50+10)-3=50+(10-3) =57.С*	83
Рис. 17В дальнейшем включаются упражнения для выработки вы¬
числительных навыков. Одновременно с этим изучается свой¬
ство прибавления суммы к числу, так же как и ранее
рассмотренные свойства. На основе полученных знаний учащие¬
ся должны прежде всего овладеть приемом сложения однознач-
ных~ чисел с переходом через десяток, т. е. т а б л и ч н ы м и
случаями сложения с переходом через десяток
(9+3),_а.пр,зднее и другими приемаИзучению табличных случаев сложения надо уделить особое
внимание, так как здесь учащиеся должны не только усвоить
п рием, но и запомнить табличные результаты.целях подготовки к ознакомлению/с новым случаем сло¬жения надо ознакомить детей с приемом дополнения однознач¬
ных чисел до 10. Учитель поясняет, что дополнить число, на¬
пример 6, до 10 —значит подобрать другое число, которое надо
прибавить к 6, чтобы получить 10. Затем предлагает упражне¬
ния на дополнение чисел до 10.Кроме ознакомления с приемом дополнения, предлагается
решение наиболее удобным способом примеров вида: 5+(5 + 4),
8-1- (6+2) и т. п. Учащиеся объясняют, что здесь удобнее приба¬
вить сначала то слагаемое, которое дополняет первое число
ло Ю—потому что к числу 10 легко прибавить другое слагаемое.[При ознакомлении^с приемом можно использовать специаль-
ное наборное полотно с двумя десятками карманов, расположен¬
ных в два ряда, и двумя десятками двуцветных кружков, кото¬
рые вставляются в карманы (рис. 17).Иллюстрируя, например, прием для случая 9 + 3, в один ряд
вставляем 9 кружков одного цвета, затем выясняем, сколько
кружков еще можно вставить в этот ряд, т. е. сколько надо
прибавить к 9, чтобы дополнить до 10 (1) и сколько осталось
прибавить (2). Один кружок другого цвета вставляем в первый
ряд, а два таких же кружка в другой ряд. Учитель поясняет,
что здесь число 3 заменили суммой удобных слагаемых 1 и 2.
Дети объясняют, почему эти слагаемые являются удобными
(одно из них дополняет первое число до 10, а к 10 легко при¬
бавлять).Одновременно выполняется запись:84
9 + 3=9+(1 + 2) = (9 + 1)+2= 12.Аналогично рассматриваются на этом же уроке другие слу¬
чаи: 8 + 6, 7 + 5 н т. п. Решм примеры, учащиеся самостоятель-
ио выполняют развернутую запись и да!бт соответствующие по-
ясн^шщ. например:■^+5Л^Заменю число 5 суммой удобных слагаемых 3 и 2;
потгу?йлся пример; к числу 7 прибавить сумму чисел 3 и 2; удоб¬
нее прибавить к 7 число 3, первое слагаемое, и к полученному
результату, к 10, прибавить 2, второе слагаемое, получится 12.Запоминание табличных результатов должно идти постепен¬
но. Сначала заучиваются случаи равных слагаемых: 6 + 6, 7+7,
8+8, 9 + 9. Здесь полезно показать, как, пользуясь результата¬
ми этих случаев, найти результаты в примерах вида: 6 + 5, 6 + 7,7	+ 8 и т. д. (прибавили на единицу больше или меньше и полу¬
чится на единицу больше или меньше).В заключение составляется таблица всех случаев сложения
с переходом через десяток:9 + 2=11	8 + 3=11	7 + 4=11	6 + 5=119 + 3=12 8 + 4=12 7 + 5=12 6 + 6=12
9 + 4=13 8 + 5=13	7 + 6=139 + 5=14 8 + 6=14 7 + 7=14
9 + 6=15 8 + 7=15
9 + 7=16 8+8=16
9 + 8=179	+ 9=18Пусть учащиеся проследят, как можно получить в каждом
столбике следующий результат из данного, а сравнив резуль¬
таты по строчкам, установят, что они одинаковы (9 + 2=11,
8+3=11 и т. д.). Надо обратить внимание детей на то, что
каждая таблица заканчивается случаем сложения равных сла¬
гаемых, и выяснить, почему не надо продолжать таблицу.Запоминанию табличных результатов помогают разные фор¬
мы заданий, например: записать все примеры на сложение чисел
с ответом 11 (12, 13, ..., 18); записать все однозначные числа
и увеличить каждое на 9 (на 8, на 7 и т. д.) и др. Полезно пред¬
лагать тренировочные упражнения в форме игр.Для подготовки учащихся к приему вычитания, основанному
на знании таблицы сложения, надо включать специальные уп¬
ражнения, направленные на усвоение состава чисел второго де¬
сятка. Так, пользуясь составленной таблицей, учащиеся назы¬
вают, суммой каких двух однозначных чисел является, напри¬
мер, число 11 (12, 13, ..., 18), и записывают 11=9+2, 11=8+3
и т. д.После изучения гнпйгтва вычитания		ил_числа по той же методике, как и другие свойства, рассматри-
вШот^вычитТнТГё вида 12 — 5.^				85
Для этого случая вычитания целесообразио рассмотреть три
приема: первый основывается на использовании свойства вычи¬
тания суммы из числа, второй — на использовании свойства вы¬
читания числа нз суммы, а третий — на знании состава чисел
второго десятка и связи между суммой и слагаемыми.Подготовкой к введению первого приема будет решение удоб¬
ным способом примеров вида 13—(3-1-2). При ознакомлении
с приемом используется то же наборное полотно, которое при¬
менялось при раскрытии приема сложения вида 9-1-5
(см. рис. 17).Предлагается решить пример 12 — 5. Каждый ученик у себя
на парте, а один из них на доске, откладывает на наборном
полотне 12 «ружков. Учитель спрашивает, как удобнее вычесть5	из 12. Ученики предложат вычесть сначала 2 (вынимают2	кружка), а потом еще 3 (вынимают 3 кружка). Выясняется,
что число 5 заменили суммой удобных слагаемых 2 и 3, вычли
сначала одно слагаемое, а потом из полученного результата
другое.Запись: 12-5= 12- {2 + 3) = (12-2) -3 = 7.При этом ученик ведет объяснение, руководствуясь ранее
данным планом: «Заменю число 5 суммой удобных слагаемых2	и 3; получился пример: из 12 вычесть сумму чисел 2 и 3;
удобнее сначала вычесть 2, первое слагаемое, а из получен¬
ного результата, из 10, вычесть 3, второе слагаемое, получится 7».Не исключено, что сами дети предложат прием замены
уменьшаемого суммой разрядных слагаемых:12-5= (10 + 2)-5= (10-5)-^-2 = 7В этом случае после коллективного разбора надо сказать
детям, что можно пользоваться и таким способом. Если уче¬
ники сами не придут к этому способу, то учителю следует ввести
его, но несколько позднее.В качестве подготовки к приему, основанному на знании со¬
става чисел второго десятка, надо повторить аналогичный прием
с числами первого десятка, больше уделить внимания работе
над составом чисел второго десятка и провести ряд специальных
упражнений на нахождение результатов вычитания по соответст-
вуюш,ему результату сложения (например, найти результаты
второго и третьего примеров по результату первого: 7 + 5, 12—7,
12—5). После такой подготовки учащиеся сами находят для
случая вида 14 — 5 третий прием: 14 — это сумма чисел 5 и 9;
если из 14 вычесть 5, получится 9.После введения приемов, как и в других случаях, ведется
работа по формированию вычислительных навыков.Как показал опыт, в это время учащиеся смешивают приемы
для случаев: 13 — 4 и 14 — 3, т. е. прием, основанный на свойст¬
ве вычитания суммы из числа, и прием, основанный на свойстве
вычитания числа из суммы. Чтобы предупредить ошибки такого86
рода, полезно рассмотреть эти случаи вычитания в противопо¬
ставлении, выяснив, чем главным отличаются приемы (в первом
случае из 13 вычли 3 и из результата вычли 1, а во втором
случае из 4 вычли 3 и результат (1) прибавили к 10).^алке иыцДигся ^в противопоставлении аналогичные случаи
слшк'ёния И Вычитания парами. М^одиче^:кий подход к раскры¬
тию этих случаев остается_^щён«^и^ ^а^1_ала ведет^ подгото¬
вительная работа, затем учащиеся змко^ятс^с новыи^случая-
ми сложения и вычитание, после чего ведется_раЗота по форми-
рованик! навыка. Рассмотрим для остальных случаёв” о^яс-
нения, которые должны давать учащиеся, и соответствую¬
щие записи. Сначала на одном уроке рассматриваются слу¬
чаи:47+9. Заменим число 9 суммой удобных слагаемых 3 и 6;
получится пример: к 47 прибавить сумму чисел 3 и 6; удобнее
к 47 прибавить 3, первое слагаемое, и к полученному результа¬
ту, к 50, прибавить 6, второе слагаемое, получится 56.Запись; 47-1-9 = 47+ (3+6) = (47 + 3) +6 = 56.47—9. Заменим число 9 суммой удобных слагаемых 7 и 2;
получится пример: из 47 вычесть сумму чисел 7 и 2; удобнее
из 47 вычесть 7, первое слагаемое, из полученного ревультата,
из 40, вычесть 2, второе слагаемое, получится 38.Запись: 47-9 = 47-(7 + 2) = (47-7)-2=38.Далее на одном уроке рассматриваются случаи: 30+12 и
30-12.*'" - - --30+12. Заменим число 12 суммой разрядных слагаемых10	и 2; получится пример: к 30 прибавить сумму чисел 10 и 2;
удобнее к 30 прибавить 10, первое слагаемое, и к результату,
к 40, прибавить 2, второе слагаемое, получится 42.Запись: 30+ 12 = 30+ (10 + 2) = (30+ 10) +2 = 42.После рассмотрения этого приема сложения можно подвести
учащихся к новому приему сложения двузначного числа с одно-
значным, когда есть переход через десяток.47+9. Заменим число 47 суммой разрядных слагаемых 40 и 7;
получится пример: к сумме чисел 40 и 7 прибавить 9; удобнее'
прибавить 9 к 7, ко второму слагаемому, и результат (16) при-/
бавить к 40, к первому слагаемому, получится 56.Запись: 47 + 9= (40+7) +9=40+ (7+9) =56.30—12. Заменим число 12 суммой разрядных слагаемых 10"
и 2; получится пример: из 30 вычесть сумму чисел 10 и 2; удоб¬
нее из 30 вычесть 10, первое слагаемое, а из результата, из 20,
вычесть 2, второе слагаемое, получится 18.Запись: 30-12 = 30- (10 + 2) = (30- 10) -2= 18.Затем рассматриваются одновременно случаи: 65+14 и
65—14 и, наконец, также одновременно случаи с переходом
через десяток: 36+19 и 36-19. Приведем для них развернутую
запись решения;87
65+ 14 = 65+ (10 + 4) = (65+ 10) +4 = 7965- 14 = 65- (10 + 4) = (65- 10) -4 = 5136+ 19 = 36+ (10 + 9) = (36+ 10) +9 = 5536-19 = 36-(10 + 9) = (36-10)-9= 17Для этих случаев учащиеся сами находят приемы вычисле¬
ний и дают соответствующие пояснения, так же как и для пре¬
дыдущих случаев.Для двух последних случаев учащиеся обычно предлагают
и другие приемы: заменяют суммой разрядных слагаемых не
только первый компонент, но и второй или же заменяют один
из компонентов суммой удобных слагаемых. Например, для слу¬
чая 36+19 учащиеся находят такие приемы:36+ 19= (30 + 6) + 19= (30+ 19) +6 = 5536+ 19 = 36+ (4+ 15) = (36 + 4) + 15 = 5536+19= (35+1) + 19=35+(1 + 19)=55 и т. д.Во II классе после изучения свойств прибавления
суммы к сумме и вычитания суммы из суммы вводятся
приемы поразрядного сложения и вычитания
двузначных чисел.К этому времени учащиеся настолько овладевают общим
приемом использования свойств для обоснования вычислитель¬
ных приемов, что способны самостоятельно найти новые приемы.
Затем, решая примеры, они так записывают рещение:65+ 14= (60 + 5) + (10 + 4) = (60+ 10) + (5 + 4) =7965-14= (60 + 5)-(10 + 4) = (60-10)+ (5-4) =51Одновременно дают объяснение: заменим каждое число сум¬
мой разрядных слагаемых, получится пример: к сумме чисел 60
и 5 прибавить сумму чисел 10 и 4; удобнее сложить первые сла¬
гаемые (60 и 10), затем вторые слагаемые (5 и 4), сложить ре¬
зультаты, получится 79.На этапе закрепления знания приема и формирования вы¬
числительного навыка в отношении всех рассмотренных случа¬
ев вычислений ученики должны выполнять краткое объяснение
сначала вслух, а затем про себя: называть только, какие дей¬
ствия и над какими числами они выполняют и какие получили
результаты. Например, для случая 30—12 краткое объяснение
будет таким: из 30 вычту 10, получится 20; из 20 вычту 2, по¬
лучится 18. При этом запись тоже надо выполнять кратко: за¬
писывать пример и результат (30—12=18). Для выработки вы¬
числительного навыка, как и при изучении сложения и вычи¬
тания в пределах 10, важно на каждом уроке включать различ¬
ные упражнения на вычисление результатов сложения и вычита¬
ния в пр1еделах 100 для устного и письменного выполнения.В целях предупреждения ошибок в вычислениях необходимо
научить детей выполнять проверку сложения и вычитания И;88
что очень важно, воспитать у них привычку проверять решение
постоянно. При изучении рассматриваемой темы надо ознако¬
мить детей со способом проверки, который основывается на свя¬
зи между компонентами и результатом действий сложения и
вычитания: для проверки сложения вычитают из полученной
суммы одно из слагаемых; если получится другое слагаемое, то
можно считать, что пример решен правильно; для проверки вы¬
читания надо к полученной разности прибавить вычитаемое; ес¬
ли пример решен правильно, то получится уменьшаемое, или на¬
до из уменьшаемого вычесть полученную разность, тогда, если
пример решен правильно, получится вычитаемое. Кроме этого
способа, как и при сложении и вычитании чисел первого десят¬
ка, надо использовать способ прикидки результата (сравнивать
полученный результат с компонентами). Для ряда случаев
можно выполнять проверку путем решения примеров разными
способами: если при решении разными способами получатся оди¬
наковые результаты, то можно считать, что пример решен пра¬
вильно.Умножение и деление в пределах 100Одной из основных тем программы по математике для II клас¬
са является умножение и деление в пределах 100. Эта тема вклю¬
чает ряд вопросов теории, на основе которой изучается таб¬
личное умножение и деление, внетабличное умножение и деле¬
ние, деление с остатком и особые случаи умножения и деления
(с единицей и нулем).К табличному умножению относят случаи умножения одно¬
значных натуральных чисел на однозначные натуральные чис¬
ла, результаты которых находят на прнпвр идуц^рртрпго смысла
действия умножения (находят суммы одинаковых слагаемых),
например: 8-2, 6-5, 5-4.Соответствующие этим примерам случаи деления тоже на¬
зывают табличными, например: 16:2, 18:6.К внетабличным случаям относят умножение и деление в
пределах 100 двузначного числа на однозначное, умножение од¬
нозначного на двузначное, а также деление двузначного числа
на двузначное, например: 16-4, 4-16, 51:3, 51:17.К особым случаям относят умножение и деление с числом
нуль, а также умножение и деление на 1.В результате изучения умножения и деления в пределах 100
учащиеся должны усвоить понятия о действиях умножения и
деления (конкретный смысл этих действий), связь между ком¬
понентами и результатами этих действий, переместительное свой¬
ство умножения, свойство умножения суммы на число, числа на
сумму, деления числа на сумму; должны знать наизусть табли¬
цу умножения и соответствующие случаи деления; усвоить при¬
емы вычислений для случаев умножения и деления с числа¬
ми 10, единица, нуль, а так;-ке для внетабличных случаев умно¬89
жения и деления; овладеть вычислительными навыками в отно¬
шении перечисленных случаев умножения и деления.Раскроем методику работы над каждым из разделов рас¬
сматриваемой темы.Табличдое умножение " дадаим» Вопросы этого раздела рас¬
сматриваются в следующем порядке: сначала раскрывается
конкретный смысл лействий умножения и деления и на этой ос-
"Иовё вводятся первые приемы умножения и деления, составляет¬
ся таблица умножения двух и деления на 2; затем изучается пе¬
реместительное свойство умножения, на основе которого состав¬
ляется таблица умножения на 2; далее изучаются связи между
компонентами и результатами действий умножения и деления,
на их основе рассматриваются табличные случаи деления с
частным 2, приемы умножения и деления с числами I и 10, а
также остальные таблицы умножения и деления; после этого
вводятся приемы умножения и деления с числом нуль.Раскрывая конкретный смысл _^^мяожения, следует прежде
всего расширить опыт учапхихся в выполнении соответствую¬
щих операций над множествами. Еще в I классе при изучении
нумерации, сложения и вычитания в пределах 10 и 100 целе¬
сообразно ввести счет пар предметов, троек и т. д. и предлагать
задачи (примеры) на нахождение суммы одинаковых и неоди¬
наковых слагаемых:1)	В трех коробках лежит по 6 карандашей в каждой.
Сколько всего карандашей в коробках?2)	В первой коробке 3 карандаша, во второй — 6, в треть¬
ей— 8. Сколько всего карандашей в коробках?Подобные задачи (примеры) полезно иллюстрировать пред¬
метами или рисунками. Следует включать и обратные упражне¬
ния: по данным рисункам составить задачи (примеры) на сло¬
жение (рис. 18).Решая такие задачи и примеры, учащиеся замечают, что есть
суммы с одинаковыми слагаемыми, и считают, сколько таких
слагаемых.Во II классе сумма одинаковых слагаемых заменяется про¬
изведением (6-1-6-1-6 + 6 = 24; 6-4=24). Выполняя эту опера-РР РРРР РРР
РРРР РРРР РРРР4 + 4*4Рис. 1890
цию, дети знакомятся с действием умножения, с записью ум¬
ножения, усваивают роль мнол{ителей.Покажем, как это можно сделать.Учитель предлагает решить задачу; «Девочка наклеила мар¬
ки на 4 страницы альбома, по 5 марок на каждую. Сколько все¬
го марок наклеила девочка?» Выполнив иллюстрации, учащие¬
ся записывают решение: 5 + 5 + 5+5 = 20.Что можно сказать о слагаемых этой суммы? (Одинаковые.)
Сколько их? (4.) Здесь по 5 взяли 4 раза. Если слагаемые оди-
1!аковые, то сумму можно записать иначе: 5-4 = 20. Читают эту
запись так: по 5 взять 4 раза, получится 20. (Дети повторяют.)
Можно прочитать по-другому: 5 умножить на 4, получится 20.
(Повторяют.) Здесь выполнили действие умножения. Сложение
одинаковых слагаемых называют умножением. (Повторяют.)
Умножение обозначают знаком—^ точкой. Что показывает в этой
записи число 5? (Число 5 берется слагаемым.) Что показывает
число 4? (Сколько раз взяли слагаемым число 5.)Затем выполняется несколько упражнений на замену сум¬
мы произведением. При этом дети устанавливают, что показыва¬
ет каждое число в новой записи.Очеиь важно, чтобы учащиеся поняли, при каких условиях
возможна замена суммы произведением и когда она невозмож¬
на. Этому помогает решение примеров с одинаковыми и раз¬
ными слагаемыми.На доске пример; 7 + 7 + 7.Замените пример на сложение примером на умножение (7-3).
Можно ли пример 2 + 3 + 7 заменить примером на умножение?
(Нельзя.) Почему? (Слагаемые разные. Слагаемые неодинако¬
вые.) Всегда ли можно пример на сложение заменить приме¬
ром на умножение? (Не всегда.) В каких случаях это сделать
можно? (Когда слагаемые одинаковые.)Далее вводится первый вычислительный прием нахождения
произведения, основанный на конкретном смысле умножения,—
это замена произведения суммой и выполнение сложения. На¬
пример, предлагается найти результат; 3-4.Прочитайте пример. (3 умножить на 4.) Что в этой записи
показывает число 3? (Это число берется слагаемым.) Что обо¬
значает число 4? (Столько берется слагаемых.) Заменим при¬
мер на умножение примером на сложение. Запись: 3 + 3 + 3+3=
= 12.Надо уделить особое внимание закреплению знаний этого
приема, так как в дальнейшем он используется при составле¬
нии всех таблиц умножения. С этой целью полезно научить де¬
тей вести рассуждение при замене произведения суммой по оп¬
ределенному плану: назвать первый множитель и сказать, ка¬
кое число берется слагаемым; назвать второй множитель и ска¬
зать, сколько надо взять таких слагаемых; вычислить сумму.
Например, вычисляя произведение 5-3, дети рассуждают: пер-91
Бое число (первый множитель) 5, значит, берем слагаемым
число 5; второе число (второй множитель) 3, следовательно,
слагаемых будет 3; вычисляем: 5 + 5 + 5=15.„	5-3= 15Запись: 		-—-5+5+5= I оПри вычислении некоторых сумм одинаковых слагаемых
целесообразно ознакомить детей с приемом группировки сла¬
гаемых (не вводя этого термина) и использовать этот при¬
ем тогда, когда это удобно. Например, вычисляя сумму2	+ 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2, надо обратить внимание детей, что сумма
пяти слагаемых равиа 10, а к 10 легко прибавить сумму осталь¬
ных слагаемых: 10 + 4=14. Этот прием используется в дальней¬
шем при составлении таблиц умножения.Закреплению знания конкретного смысла действия умноже¬
ния и вычислительного приема, основанного на этом знании, по¬
могают такие упражнения:1)	Составьте по данному рисунку примеры на сложение. За¬
мените, где возможно, примеры на сложение примерами на ум¬
ножение (рис. 19). Чем сходны и чем отличаются эти примеры?2)	По данным примерам 4 + 3 и 4-3 сделайте рисунки. Срав¬
ните примеры и решите их.3)	Замените примеры на умножение примерами на сложе¬
ние и решите их: 7-4, 1-5, 10-6, 15-4.4)	Решите задачу сначала сложением, а затем запишите ре¬
шение умножением: «5 пионеров вырезали для октябрят по4	звездочки каждый. Сколько звездочек вырезали пионеры?»5)	Сравните выражения и поставьте вместо звездочек знак
«>», «<» или « = »:18-2*18-3	3-4»2-44	+ 4 + 4«4-2	4-7 + 4*4-9Приведем объяснение ученика при выполнении последнего
задания: слева по 4 взяли 7 раз и прибавили 4, всего по 4 взяли8	раз, а справа по 4 взяли 9 раз, значит, слева меньше, чем
справа, ставлю знак «<».6)	Найдите результат второго примера, пользуясь первым:2-7=14 2-10 = 20 7-4 = 28 5-8 = 40 16-2 = 32
2-8=	2-9=	8-4=	6-8=	16-3 =Рассуждение ученика: в первом примере по 2 взяли 7 раз,
получилось 14, во втором примере по 2 взяли 8 раз, на однуАА ААА АЛА3*2^5	3-2^5Рис. 1992
двойку больше, значит, в результате получится на 2 больше:
14 + 2=16.Сначала при выполнении подобных упражнений надо, что-|
бы ученики заменяли произведения суммами:2-7=2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2=142-8=2 + 2+2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2=14 + 2=16Этот прием нахождения произведения с опорой на другое
произведение, в котором один из множителей на единицу боль¬
ше или меньше, используется при составлении таблиц умноже¬
ния, поэтому ему надо уделить особое внимание.Используя изученные приемы, составляется таблица ум¬
ножения двух, которую дети должны будут постепенно за¬
помнить. Другие таблицы составляются несколько позднее. Это
позволит рассредоточить во времени изучение материала, кото¬
рый надо запомнить наизусть.При составлении таблицы умножения двух результат нахо¬
дят сложением, используя при этом наглядные пособия, напри¬
мер квадрат с уголком (рис. 22), или обводят в тетради 9 ря¬
дов клеток, по 2 клетки в ряду. Таблица на доске и в тетрадях
записывается так:2-2 = 4 2+2 = 43=6	2+2+2=64=8	2+2+2+2=85=10	2 + 2 + 2 + 2 + 2=106=12	2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2=127=14	2 + 2+2 + 2 + 2 + 2 + 2=148=16	2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2+2=169=18	2 + 2+2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2=18При вычислении результатов дети используют известные им
приемы:Как решите пример 2-2? (2 + 2=4.) Как теперь можно ре¬
шить пример 2-3? (Здесь на одну двойку больше; надо к 4 при¬
бавить 2, получится 6.)Так же вычисляются другие произведения. Дойдя до случая2-5, надо обратить внимание детей, что здесь результат ра¬
вен 10, а к 10 легко прибавлять другие числа. Далее, выделив
пять слагаемых, дети находят результат, прибавляя к 10 сумму
остальных слагаемых.Таблицу умножения двух на данном этапе читают так: 2 ум¬
ножить на 2, получится 4, или по 2 взять 2 раза, получится 4.
Для заучивания таблицы надо включать специальные трениро¬
вочные упражнения, предлагая их в занимательной форме.Конкретный смысл деления раскрывается в про¬
цессе решения простых задач на деление по содержанию и на
равные части (см. главу III). Ученики должны научиться вы-93
полнять по условию задачи операцию разбиения данного мно¬
жества на ряд равночисленных подмножеств и связывать эту
*^!»}перацию с действием деления, научиться записывать решение
задач с помощью этого действия.На знании конкретного смысла действия деления основыва¬
ется первый вычислительный прием деления: ученики находят
частное, выполняя действия с предметами. Например, чтобы
найти частное 8:4, берут 8 кружков (палочек и т. п.), раскла¬
дывают их по 4 и считают, сколько раз получилось по 4 круж¬
ка, или раскладывают 8 кружков на 4 равные части и считают,
сколько кружков получилось в каждой части.Для закрепления знания конкретного смысла действия де¬
ления и вычислительного приема, основанного на этом знании,
включается решение простых задач на деление по содержанию
и на равные части, а также решение примеров на деление с по¬
мощью действий с конкретными предметами (кружки, палочки
и т. п.). В это время ученики знакомятся с названиями компо¬
нентов и результатов действий умножения и деления: первый
множитель, второй множитель, произведение, позднее — дели¬
мое, делитель, частное. Здесь же дети узнают, что термины
«произведение» и «частное» обозначают не только результат
действия, но и соответствующее выражение, например: 4-3 и
20:5. В связи с введением терминов дается еще один способ
чтения примеров на умножение и деление, например 4-3: пер¬
вый множитель 4, второй множитель 3, найти произведение;
20:5: делимое 20, делитель 5, найти частное. Выражение дети
читают так: произведение чисел 4 и 3, частное чисел 20 и 5.Далее изучается переместительное свойство ум-
н о же и и я. Знать это сйВЙС’Гво нужно прежде всего для усвое-
' НИИ Дйй^;Тв'ия умножения, а кроме того, знание этого свойства
дает возможность почти вдвое сократить число случаев, которые
необходимо запомнить наизусть. Вместо двух случаев (8-3 и3-8) ученики запоминают только один.Переместительное свойство умножения учащиеся могут «от¬
крыть» сами, используя наглядные пособия в виде рядов кле¬
ток (кружков, пуговиц, звездочек и т. п.). Например, дети чер¬
тят прямоугольник, разбивают его
на квадраты (рис. 20).Предлагается узнать двумя
способами, сколько всего квад¬
ратов получилось (4-3=12 и3-4=12). Сравнив полученные
примеры, учащиеся замечают,
что множители одинаковые, толь¬
ко поменялись местами, произве¬
дения равны. После выполнения
нескольких аналогичных упраж-
Рнс. 20	нений учащиеся формулируют94
свойство; «От перестановки множителей значение произведения
не изменяется».С целью закрепления знания переместительного свойства умг'
пожения предлагаются такие упражнения:1)	Решите второй пример, пользуясь первым:7-6 = 42 6-7=2)	Вставьте вместо звездочки знак «>», «<» или « = »:3-6»6-3Сравнив в приведенных упражнениях данные выражения, де¬
ти должны заметить, что в произведениях множители перестав¬
лены, следовательно, их значения равны.3)	Вставьте вместо звездочки пропущенный знак действия:7-2 = 2*74)	Вставьте пропущенное число:2-9 = 9-ППри выполнении последних упражнений также применяется
знание переместительного свойства умножения.После выполнения достаточного числа упражнений на за¬
крепление переместительное свойство записывается в общем ви¬
де с помощью букв: а-Ь = Ь-а.На основе переместительного свойства умножения согтяв.пя-
ется таблица умн о же и и я н а'"2Г "Учен и ка м предлагается
самим составить эту таблицу, пользуясь известной им таблицей
умножения двух. Получается запись:2-2 = 42-3 = 6	3-2 = 62-4 = 8	4-2 = 8	и т. д.Ученики рассуждают: 2 умножить на 3, получится 6, пере¬
ставим множители и умножим 3 на 2, получится тоже 6 и т. д.
Здесь следует ввести еще один способ чтения таблицы: дваж¬
ды два — четыре, дважды три — шесть и т. д., пояснив смысл
слов «дважды», «трижды» и т. д. (два раза, три раза). Чтобы
ученики быстро воспроизводили результаты таблицы умноже¬
ния на 2, необходимо соответствующие случаи умножения ча¬
ще включать в устные упражнения и в письменные работы.На основе переместительного свойства умножения надо рас¬
смотреть прием перестановки множителей. С этой целью пред¬
ложить учащимся найти с помощью сложения значения про¬
изведений, отличающихся только порядком множителей, напри¬
мер: 2-6 и 6-2, 3-7 и 7-3 и т. п. Сравнив решения, ученики при¬
ходят к выводу, что легче находить результат умножения сло¬
жением, когда большее число умножаем на меньшее, так как
будет меньше слагаемых. В дальнейшем при составлении таблиц95
и□□□□ □□□□ □□□□Рис. 21умножения ученики могут, где это удобно, переставлять множи¬
тели и находить результат нового произведения. Так, случай3-7 они могут заменить случаем 7-3 и сложить три семерки,
вместо того чтобы складывать семь троек.Далее изучаются связи между компонентами и ре¬
зультатами действий умножения и деления. На
основе этих связей вводятся приемы для табличных случаев
делення.Связь между компонентами и результатом действия умно¬
жения раскрывается с помощью наглядных пособий. Учащимся
предлагается составить пример на умножение по рисунку
(рис. 21).Ученики составляют пример: 4-3= 12. Назовите первый мно¬
житель. (4.) Назовите второй множитель. (3.) Назовите произ¬
ведение. (12.) Пользуясь этим же рисунком, составьте два при¬
мера на деление. (12:4 = 3, 12:3 = 4.) Получается запись:4-3=12
12:4= 3
12:3= 4Сравните примеры на деление с примером на умножение.
Как получили второй множитель 3? (Произведение 12 разде¬
лили на первый множитель 4.) Как получили первый множи¬
тель 4? (Произведение 12 разделили на второй множитель 3.)После выполнения нескольких аналогичных упражнений уче¬
ники делают вывод: если произведение двух чисел разделить на
первый множитель, то получим второй множитель, а если про¬
изведение двух чисел разделить на второй множитель, то полу¬
чим первый множитель.	,Позднее эти два вывода объединяют в один: если произве¬
дение двух чисел разделить на один из множителей, то получим
другой множитель.Чтобы добиться усвоения учащимися связи между произве¬
дением и множителями, предлагаются такие упражнения.1)	Объясните, как можно решить второй и третий приме¬
ры, пользуясь первым:6-3=18 18:6= 18:3 =Объяснение: здесь произведение 18 разделили на первый мно¬
житель 6, значит, получится второй множитель 3; потом произ¬
ведение 18 разделили на второй множитель 3, значит, получит¬
ся первый множитель 6,96
2)	Решите примеры на деление, пользуясь примерами на
умножение;5-8=40	3-9 = 27 10-5 = 50 8-7 = 56
40:5= 27:9= 50:10= 56:7=3)	По каждому примеру на умножение составьте два приме¬
ра на деление:5-4 7-3 10-4 12-2Ученики делят значение произведения, которое вычисляют
сложением, на один из множителей.4)	Решите примеры:3-5	5-3	15:3	15:57-2	2-7	14:7	14:26-4	4-6	24:6	24:6Ученики решают примеры первого столбика, пользуясь сло¬
жением, затем находят результат соответствующего примера из
второго столбика, используя переместительное свойство умно¬
жения, наконец, решают примеры третьего и четвертого стол¬
биков, пользуясь знанием связи между множителями и произ¬
ведением.5)	Составьте два примера на умножение и два примера на
деление с числами 9, 2, 18.Рассуждение аналогично предыдущему.6)	Решите уравнения: 7-х=21, х-4—\2.На этом же этапе на основе связи между произведением и
множителями рассматриваются табличные случаи деле¬
ния с числом 2. Ученики записывают по памяти известную
им таблицу умножения на 2. Затем, используя знание связи
между компонентами и результатом действия умножения, на¬
ходят результаты соответствующих случаев деления. Получа¬
ется запись:2-2 = 4	4:2 = 22-3 = 6	6:2 = 3	6:3 = 22-4 = 8	8:2 = 4	8:4 = 2 и т. д.Ученики рассуждают: произведение чисел 2 и 3 равно 6; ес¬
ли произведение 6 разделить на первый множитель 2, то полу¬
чится второй множитель 3, а если произведение 6 разделить на
второй множитель 3, то получится первый множитель 2 и т. д.Чтобы ученики усвоили рассмотренные случаи деления с чис¬
лом 2, их надо чаще включать в устные упражнения и в пись¬
менные работы.Аналогичным образом изучаются связи между компонента¬
ми и результатом деления: если частное умножить на делитель,
то получится делимое, а если делимое разделить на частное, то
получится делитель.7	Заказ № 4487	97
При закреплении знания этих связей надо ознакомить уча¬
щихся с приемом подбора частного. Например, надо 18
разделить на 6, для этого подбираем такое число (частное), при
умножении которого на делитель 6 получается делимое 18; это
число 3, так как 6-3=18. Этот прием в дальнейшем широко
используется при делении чисел в пределах 100.На основе изученного материала вводятся приемы умно¬
жения и деления с числами 1 и 10.Сначала рассматривается прием умножения единицы на чис¬
ла, большие единицы. Учащиеся решают ряд примеров, находят
результат сложением: 1-2=1-Ы = 2; 1-3= И-1-1-1 = 3 и т. д. За¬
тем, сравнив в каждом случае результат с множителями, они
приходят к выводу: при умножении единицы на любое число
получается то число, на которое умножали. В дальнейшем ана¬
логичные примеры решаются на основании этого правила.Затем вводится правило умножения на 1: при умножении
любого числа на 1 получается то число, которое умножали, на¬
пример: 4-1=4, 12-1 = 12, а-\—а. Здесь невозможно использо¬
вать прием замены произведения суммой, на этом же основа¬
нии нельзя опираться и на перестановку множителей. Поэтому
надо сообщить детям это правило и в дальнейшем использо¬
вать его в вычислениях.Деление на число, равное делимому (3:3=1), раскрывается
на основе конкретного смысла деления: если, например, 3 ка¬
рандаша разложить в 3 коробки поровну, то в каждой короб¬
ке окажется по одному карандашу. Рассуждая таким образом,
ученики решают несколько аналогичных примеров: 4:4=1,
6:6=1 и т. п. При этом замечают, что при делении на число,
равное делимому, в частном получается 1.Деление на 1 вводится на основе связи между компонента¬
ми и результатом действия умножения: зная, что 1-4 = 4, най¬
дем, что 4:1=4. Решив таким образом ряд примеров и сравнив
их между собой, ученики делают вывод: при делении любого
числа на единицу в частном получается это же число. Этим
выводом они пользуются в дальнейшем при вычислениях.При умножении 10 на однозначные числа ученики пользу¬
ются приемом: чтобы умножить 10 на 2, можно 1 дес. умно¬
жить на 2, получится 2 дес., или 20. Умножая на 10, дети ис¬
пользуют переместительное свойство умножения: чтобы 2 ум¬
ножить на 10, можно 10 умножить на 2, получится 2 дес., или
20. При делении используется знание связи между компонента¬
ми и результатом действия деления: чтобы 20 разделить на 10,
надо подобрать такое число, при умножении которого на 10
получится 20; это 2; значит, 20:10 = 2. Так же находим, что
20:2=10.Для закрепления знаний таблиц умножения и деления с чис¬
лом 2, а также вычислительных приемов с числами 1 и 10 вклю¬
чаются специальные тренировочные упражнения.98
Знания о действиях умножения и деления, а также умения,
юлученные учащимися на первом этапе, являются основой изу-
1СНИЯ на втором этапе табличных случаев умно¬
жения и соответствующих случаев деления.Табличное умножение и деление изучается совместно, т. е,
13 'каждого'сличая умноженШ!! [Тб^чают соответствующие слу¬
чаи деления; если 5-3=15, то 15:5=3 и 15:3 = 5. Основой для
лого служит знание учащимися связи между компонентами и
результатом действия умножения.Сначала рассматриваются все табличные случаи умножения
и деления с числом 3, затем 4, 5 и т. д.Табличные случаи умножения и деления с каждым числом
изучаются примерно по одному плану.Прежде всего составляется таблица умножения по постоян¬
ному первому или второму множителю. Если составить табли¬
цу по постоянному первому множителю (3-3, 3-4, 3*5 и т. д.),
то учащиеся легко будут находить результат последующего при¬
мера, пользуясь результатом предыдущего (3*5=3-44-3), но в
этом случае будет в некоторых суммах много слагаемых (2*9—
девять слагаемых). Если же составлять таблицу по постоянно¬
му второму множителю (3-3, 4-3, 5-3 и т. д.), слагаемых будет
меньше. Эта таблица удобнее для запоминания наизусть, но за¬
то здесь труднее находить результат: слагаемые каждого сле¬
дующего примера другие (3-3 = 3 + 3 + 3, 4-3 = 4 + 4+4 и т. д.);
чтобы найти результат следующего примера, пользуясь преды¬
дущим, придется рассуждать так: 4-3 = 3-3 + 3, 5-3=4-3 + 3.Учитель может выбрать любой из этих двух вариантов.Как и при составлении таблицы умножения двух, для на¬
хождения результата используют различные приемы: произве¬
дение заменяют суммой (3-4=3 + 3 + 3 + 3=12); к результату
предыдущего примера из таблицы прибавляют соответствую¬
щее число: 3 умножить на 4, получится 12, а при умножении3	на 5 получится на одну тройку больше и результат вычис¬
ляют так: 12 + 3=15; можно также из известного результата
вычесть соответствующее число; ученики знают, что 8-10 = 80,
а в произведении 8-9 будет на одну восьмерку меньше, значит,
получим: 80—8 = 72; используют и перестановку множителей
(3-5 = 5-3).После того как составлена таблица по постоянному перво¬
му множителю, из каждого примера на умножение учащиеся
составляют еще один пример на умножение (переставляют мно¬
жители) и два примера на деление (на основе связи между
компонентами и результатом умножения).Каждая таблица умножения по постоянному первому мно¬
жителю составляется начиная со случая равных множителей
(3-3, 4-4 и т. д.), поскольку случаи, предшествующие этим,уже
были рассмотрены ранее в других таблицах. Примеры на ум¬
ножение читаются по-разному: по 5 взять 3 раза, получится 15;7*	99
Рис. 22б	умножить на 3, получится 15;
произведение чисел 5 и 3 равно 15;
первый множитель 5, второй — 3,
произведение —15; трижды пять —
пятнадцать; позднее: 5 увеличить в3	раза, получится 15. Примеры на
деление читаются так: 15 разделить
на 3, получится 5; частное чисел 15
и 3 равно 5; делимое 15, делитель 3,
частное 5; позднее: 15 уменьшить
в 3 раза, получится 5.Рассмотрим в качестве примера
методику работы по изучению таб¬
лицы умножения четырех и соот¬
ветствующих случаев деления.Вы уже знаете таблицу умножения двух и трех, а сегодня
составим таблицу умножения четырех и будем делить на 4.Учитель открывает заранее записанную на доске таблицу
умножения четырех {4-4, 4-5, . . ., 4-9) и предлагает пе¬
реписать ее в тетрадь.Прочитайте первое произведение. (4 умножить на 4.) Изо¬
бразите произведение этих чисел, используя квадрат с уголком
(рис. 22). (Ученики показывают 4 ряда квадратов, по 4 квад¬
рата в каждом.) Вычислите это произведение (16.) Как вы¬
числяли? (4 + 4-1-4-1-4=16.) Запишите эту сумму внизу под таб¬
лицей умножения. (Выполняют.) Сколько же получится, если 4
умножить на 4? (16.) Запишем в таблице умножения. Теперь
вычислим следующее произведение: 4-5. Как вы изобразите его
на квадратах? (Дети показывают 5 рядов квадратов, по 4 квад¬
рата в каждом.) Сколько всего квадратов? (20.) Как узнали?
(4-Ь4-ь4Н-4-Ь4 = 20.) Запишем эту сумму под первой. Как мож¬
но вычислить вторую сумму, пользуясь первой? (16-Н4 = 20.)
Как еще можно вычислить результат? (Переставить множите¬
ли: 5-4 — это 5-Ь5-Ь5-1-5 = 20.) Сколько же получится, если 4
умножить на 5? (20.) Какой следующий пример будем решать?
(4 умножить на 6.) Решите и назовите результат. (24.) Как
вычисляли? {4 + А + 4 + 4 + А+4 = 24.) Запишем. Как по-другому
можно решить этот пример? (Прибавить к предыдущему ре¬
зультату, к 20, число 4 или переставить множители: 6-4 — это6-Ьб-Ьб-1-6 = 24; можно и так вычислить; 4 + 44-4=12 и еще
4+4 + 4=12, 12+12 = 24.)В таком же плане рассматриваются и другие случаи умно¬
жения, после чего ученики читают таблицу умножения.Объясните, почему начали составлять таблицу со случая4-4? (Другие случаи уже были в таблицах.) Какие еще приме¬
ры на умножение можно составить с такими же результатами?
(Переставим множители и получим примеры на умножение
на 4.)100
Рядом с таблицей умножения четырех ученики сами запи¬
сывают таблицу умножения на 4 и читают ее по-разному.Какие примеры на деление можно составить по этим при¬
мерам на умножение? Начинайте со второго примера (20:4 = 5,
20:5 = 4). Запишите это. Как вы получили эти примеры? (Про¬
изведение делили на один из множителей и в результате полу¬
чали другой множитель.)Ученики составляют по каждому примеру на умножение два
примера на деление и записывают их. Последними составляют¬
ся примеры к случаю 4-4; здесь получаются одинаковые при¬
меры на деление.Полезно предложить ученикам рассмотреть все примеры пер¬
вой таблицы и сказать, что интересного они заметили. Дети
должны ответить, что первые множители одинаковые, вторые
множители увеличиваются на единицу, а произведения на 4 еди¬
ницы. Так же сравниваются примеры и других столбиков.Таблицу умножения четырех надо выучить наизусть, чтобы
каждый раз не вычислять результат. Обведите ее красным ка¬
рандашом, а дома выпишите эту таблицу на отдельный листок.Запись в тетрадях может быть выполнена, например, так:4-4=1616:4 = 44-5 = 205-4 = 2020:4 = 520:5 = 44-6=246-4 = 2424:4 = 624:6=44-7=287-4 = 2828:4 = 728:7=44-8=328-4 = 3232:4 = 832:8=44-9 = 369-4 = 3636:4=936:9 = 44+4+4+4=16
4+4+4+4+4=204	+ 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 24
4+4+4+4+4+4+4=28
4+4+4+4+4+4+4+4=324	+ 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4+4 = 36Можно в тетрадях записать только столбики примеров на
умноисение и деление.Учитель стирает на доске результаты всех примеров и пред¬
лагает закрыть тетради. «Повторим таблицу умножения четы¬
рех, умножение на 4 и все случаи деления».Учитель вызывает к доске четырех учеников, каждый из ко¬
торых говорит пример (начать лучше со случая 4-5).Первый ученик. 4 умножить на 5, получится 20.
Второй ученик. 5 умножить на 4, получится тоже 20.
Третий ученик. 20 разделить на 4, получится 5,
Чертвертый ученик. 20 разделить на 5, получится 4.
Так повторяют все случаи.Как уже отмечалось, аналогично проводится работа над дру¬
гими таблицами. Число новых случаев в каждой следующей101
таблице уменьшается. Учащиеся от таблицы к таблице прояв¬
ляют больше самостоятельности в их составлении. Они быстро
замечают, что в каждой таблице умножения по постоянному
первому множителю первым берется пример с одинаковыми
множителями, что в каждом следующем примере на единицу
больше второй множитель (2-3, 2-4). Все это помогает уча¬
щимся самим и составить очередной новый пример, и решить
его. Уже при составлении таблицы умножения четырех или пя¬
ти можно предложить учащимся самим назвать первый, второй
и т. д. примеры таблицы по порядку.Приведем краткую таблицу умножения, подлежащую запо¬
минанию наизусть. Зная эту таблицу, можно решить все приме¬
ры, относящиеся к табличному умножению и делению.2-2=43-2=64-2	= 85-2=106-2=127-2=148-2=16
9-2=186-6=367-6=428-6=489-6=543-3	= 94-3=125-3=156-3=187-3	= 218-3	= 249-3	= 277-7	= 498-7=569-7=634-4=165-4 = 205-5 = 256-4 = 246-5=307-4 = 287-5 = 358-4 = 328-5=409-4 = 369-5 = 458-8 = 649-8=729-9=81Рассмотрев таблицу, ученики сами могут пояснить, почему
включены только эти случаи и почему здесь отсутствуют ос¬
тальные.В ходе изучения таблиц и позднее необходимо уделять боль¬
шое внимание упражнениям на запоминание табличных резуль¬
татов: составить четыре примера на умножение и деление с оди¬
наковыми числами (4-3=12, 3-4=12, 12:4 = 3, 12:3 = 4), повто¬
рить таблицы по порядку и вразбивку, составить по памяти таб¬
лицу умножения двух или на 2, трех или на 3 и т. д., заменить
число (24) произведением соответствующих множителей (8-3,6-4), отгадать задуманное число (если его умножили на 8 и
получили 72). Полезно в этих целях вместе с учащимися со¬
ставить таблицу умножения Пифагора и научить ею пользо¬
ваться.Заметим, что заучиваются наизусть только результаты ум¬
ножения, соответствующие же случаи деления учащиеся долж¬
ны уметь быстро находить, пользуясь таблицей умножения.
Зная, например, что 7-8 = 56, они должны быстро решать при¬
меры: 56:7 = 8 и 56:8 = 7. В процессе тренировки учащиеся дол¬
жны твердо запомнить тройки чисел, например: 3, 7, 21;
9, 8, 72 и т. д.102
Запоминание табличных результатов требует времени, по¬
этому учителю надо как во II, так и в III классе систематически
проводить упражнения, направленные на запоминание таблицы
умножения.После изучения всех таблиц умножения рассматриваются
случаи умножения и деления с нулем.Сначала вводится случай умножения нуля на любое число
(0-5,0-2,0-7). Результат учащиеся находят сложением (0-2 =
=0 + 0 = 0, 0-3 = 0 + 0 + 0 = 0). Решив ряд аналогичных примеров,
ученики замечают, что при умножении нуля на любое число
получается нуль. Этим правилом они в дальнейшем и руковод¬
ствуются.Если второй множитель равен нулю, то результат нельзя
найти сложением, нельзя использовать и перестановку множи¬
телей, так как это новая область чисел, в которой перемести¬
тельное свойство умножения не раскрывалось. Поэтому второе
правило; «Произведение любого числа на нуль считают равным
нулю»—учитель просто сообщает детям.Затем оба эти правила применяются при выполнении раз¬
личных упражнений на вычисления.Деление нуля на любое число, не равное нулю (0:6), рас¬
сматривается на основе связи между компонентами и резуль¬
татом деления. Ученики рассуждают так: чтобы О разделить
на 6, надо найти число, при умножении которого на 6 полу¬
чится 0. Это нуль, так как 0-6 = 0. Значит, 0:6 = 0. В результа¬
те решения ряда аналогичных примеров ученики замечают,
что при делении нуля на любое число, не равное нулю, частное
равно нулю. В дальнейшем учащиеся пользуются этим пра¬
вилом.Как известно, делить на нуль нельзя. Этот факт сообщается
детям и поясняется на примере: нельзя 8 разделить на О, так
как нет такого числа, при умножении которого на нуль полу¬
чится 8.Необходимо чаще включать в тренировочные упражнения
случаи умножения и деления с числами О и 1, сравнивая соот¬
ветствующие приемы (5-0 и 5-1), чтобы предупредить их сме¬
шение.Внетабличное умножение и деление. Случаи внетабличного
умножения и деления изучаются в следующем порядке.
Сначала рассматриваются свойства умножения числа на сум¬
му и суммы на число. Затем изучается умножение и деление
чисел, оканчивающихся нулем, вводится умножение двузначного
числа на однозначное и умножение однозначного числа на дву¬
значное. Далее вводится свойство деления суммы на число, на
основе которого раскрывается прием деления двузначного числа
на однозначное. Наконец, рассматривается деление двузначного
числа на двузначное. При изучении этой темы вводится про¬
верка умножения и деления.103
Методика изучения свойств умно¬
жения и деления суммы на число и
умножения числа на сумму сходна сиспользовалась в
^ классе при раскрытии свойств при¬бавления числа к сумме, вычитания9— чис^а из суммы и др.Подготовкой к изучению свой^
ства умножения числа на сумму бу¬
дет хорошее знание конкретного смыс¬
ла действия умножения и правил о
порядке выполнения арифметических00001	II	I действий в выражениях без скобок(подробнее см. с. 247).При знакомстве со свойством
Рис. 23	умножения числа на сумму можно ис¬пользовать такой прием. Учащиеся
читают выражение 4-(3-1-2) и вычисляют его значение уже из¬
вестным способом:4-	(3 + 2)=4-5=20Этот способ полезно еще раз пояснить с помощью следую¬
щего рисунка (рис. 23).Пользуясь этим же рисунком, ученики могут отыскать и
другой способ: сначала узнаем, сколько черных кружков (4-3),
потом сколько белых кружков (4-2), наконец, сколько всего
кружков (4-3-Ь4-2).Запись:4-	(3-^2)=4-3 + 4-2 = 20В этом случае умножили число на каждое слагаемое и по¬
лученные результаты сложили. Сравнив полученные результа¬
ты при решении примера разными способами, учащиеся заме¬
чают, что они одинаковые.Далее ученики решают двумя способами примеры вида8-(2-1-4), 10-(64-4) и убеждаются, что каждый раз получаются
одинаковые результаты. На этом основании они делают вывод,
что умножать число на сумму можно разными способами, полу¬
чая одинаковые результаты: можно вычислить сумму и умно¬
жить число на полученный результат, а можно умножить чис¬
ло на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.Для закрепления знания свойства предлагаются такие
упражнения:1)	Вычислите результат разными способами: 10-(6-1-2).Дети решают пример двумя известными им способами.2)	Вычислите результат удобным способом:8-(104-2) 9-(6-^4) 5-(4 + 2)1С4
Ученики устанавливают, что в первом случае удоОнее ум¬
ножить число 8 на каждое слагаемое и сложить результаты; во
втором — вычислить сумму и умножить на нее число 9; в треть¬
ем — оба способа одинаково удобны.3)	Замените сумму произведений произведением числа на
сумму; 6-4-1-6-5.Рассуждение: число 6 берется слагаемым 4 раза, а затем это
же число 6 берется слагаемым еще 5 раз, всего (4 + 5) раз, мож¬
но записать: 6-4 + 6-5=6-(4 + 5).Надо обратить внимание учащихся на условие, при кото¬
ром такая замена возможна, т. е. на равенство первых множи¬
телей. Поэтому полезно предлагать и такие произведения, в ко¬
торых первые множители разные, например: 4-3+5-6. Дети
должны убедиться, что такую сумму двух произведений нельзя
заменить произведением числа на сумму.С той же целью рассматриваются задачи, запись рещения
которых в виде выражения представляет собой сумму двух про¬
изведений с одинаковыми или разными множителями.Аналогично вводятся другие свойства — умножение суммы на
число и деление суммы на'Чйсло'!—Заметим, что )тщШ:1Г,' ознакомившись со свойствами ум¬
ножения числа на сумму и суммы на число, иногда смешивают
их с ранее усвоенными свойствами прибавления суммы к числу
и числа к сумме, например: (10+6) -4= 10-4 + 6. Здесь учащиеся
умножили на число 4 только первое слагаемое, а затем приба¬
вили второе, т. е. они поступили так же, как и прибавляя число
к сумме. Поэтому полезно вводить специальные упражнения,
которые предупредили бы смешение изученных свойств. Так,
можно предлагать решение и последующее сравнение пар при¬
меров вида: (6 + 4)-3 и (6 + 4)+3; целесообразно включать уп¬
ражнения, в которых требуется закончить запись, например:8-(10 + 2)=8-10 + . . . и 8+(10+2) = (8+10)+. . . и др.При сравнении надо выделить существенное различие: при¬
бавляя сумму к числу, прибавляем к нему одно из слагаемых
и к результату прибавляем другое слагаемое, а при умножении
числа на сумму умножаем число на каждое из слагаемых и
результаты складываем.Изученные свойства лежат в основе соответствующих вычис¬
лительных приемов внетабличного умножения и деления. Рас¬
смотрим методику их изучения.Сначала вводятся приемы для случаев умножения и де¬
ления чисел, оканчивающихся нулем. Решение та¬
ких примеров сводится к умножению и делению однозначных
чисел, выражающих число десятков, например:20-3	80:42	дес.-3 = 6 дес.	8 дес.:4 = 2 дес.20-3 = 60	80:4 = 20105
у\/При умножении однозначных чисел на двузначные разряд¬
ные числа используется прием перестановки множителей
(4-20=20-4).Деление двузначных чисел, оканчивающихся нулем, выпол¬
няется способом подбора частного на основе связи между ком¬
понентами и результатом деления. Например, чтобы 60 разде¬
лить на 20, надо подобрать такое число, при умножении кото¬
рого на 20 получится 60. Сначала пробуем: 2 —мало, 3 —под¬
ходит, так как 20-3 = 60. Значит, 60:20 = 3.После изучения свойства умножения числа на сумму и сум¬
мы на число вводятся приемы, основанные на этих свойствах.
Прием умножения двузначного числа на одно¬
значное не требует особых разъяснений. Учащиеся могут са¬
мостоятельно отыскать способ решения новых примеров: 12-4,
24-3 или же самостоятельно объяснить ход решения нового при¬
мера по развернутой записи его решения:12.3= (10+2)-3= 10.3-1-2-3=36Учащиеся должны сами выделить три основных этапа, из
которых складывается решение примера: заменить первый мно¬
житель суммой разрядных слагаемых; прочитать полученное
выражение (10+2)-3 и вычислить произведение удобным спо¬
собом: умножить на число каждое слагаемое в отдельности и
полученные произведения сложить.Важно своевременно сократить объяснение: 12-3, десять ум¬
ножить на 3, получится 30; 2 умножить на 3, получится 6; к 30
прибавить 6, получится 36. В необходимых случаях можно вновь
обратиться к подробному объяснению.При умножении однозначного числа на двузначное исполь¬
зуется свойство умножения числа на сумму, например:6.12=6-(10 + 2) =6.10+6.2 = 72Можно использовать и переместительное свойство умноже¬
ния;612=12-6 = 72Полезно сопоставить умножение двузначного числа на одно¬
значное и умножение однозначного на двузначное, обратив вни¬
мание учащихся на большое сходство этих случаев умножения.
Целесообразно также сравнить приемы умножения и сложения,
например:3.14 = 3. (10 + 4) =3-10+3-4 = 4230+14 = 30+(10 + 4) =30+10 + 4 = 44При пелении лвузначного числа на однознач¬
ное используется свойство деления суммы на число. Этот слу¬
чай внетабличного деления усваивается учащимися труднее, чем
умножение двузначного числа на однозначное. Дело осложняет-106
ея тем, что при делении двузначного числа на однозначное
встречаются разные группы примеров:1)	46:2=(40 + 6):2 = 40:2 + 6;2=20 + 3=232)	50:2= (40+10):2 = 40;2+10:2 = 20+5 = 253)	72:6=(60+12):6=60:6+12:6=10 + 2=12В первом примере (46:2) приходится делимое заменять сум¬
мой разрядных слагаемых (40 + 6), во втором (50:2) — суммой
удобных слагаемых, которыми будут разрядные двузначные
числа (40+10), в третьем (72:6) — суммой двух чисел, одно из
которых — двузначное разрядное число, а другое — двузначное
неразрядное (60+12). Во всех примерах данные слагаемые бу¬
дут удобными в том смысле, что при делении их на данный
делитель получаются разрядные слагаемые частного. Именно
нахождение удобных слагаемых часто затрудняет учащихся.В целях подготовки к раскрытию нового приема полезно
предлагать такие упражнения: выделять двузначные разрядные
числа, которые учащиеся уже умеют делить на 2 (10, 20, 40, 60,
80), на 3 (30, 60, 90), на 4 (40, 80) и т. д.; представлять раз¬
ными способами числа в виде суммы двух слагаемых, каждое
из которых делится на данное число без остатка: например,
24 можно заменить такой суммой, каждое слагаемое которой де¬
лится на 2; 20 + 4, 12+12, 10 + 14 и т. д.; решать разными спо¬
собами примеры вида: (18+45) :9.После подготовительной работы сначала рассматриваются
примеры первой группы, при решении которых приходится де¬
лимое заменять суммой разрядных слагаемых, например: 36:3 =
= (30+6) :3 = 30:3 + 6;3= 12. Этот материал для детей явля¬
ется легким, а поэтому они могут сами установить способ ре¬
шения новых примеров или дать объяснение по развернутой
записи их решения.Затем изучаются примеры второй группы, при решении ко¬
торых приходится делимое заменять суммой удобных слагае¬
мых, например:30:2=(20+10):2 = 20!2+10:2=1б78:6=(60+18):6=60:6+18:6=13Здесь подобрать удобные слагаемые труднее, чем в приме¬
рах первой группы. Поэтому следует уделить большое внима¬
ние замене делимого суммой удобных слагаемых и выбору са¬
мого удобного способа. Так, пример 42:3 может быть решен
разными способами:42:3= (30+12) :3 = 30:3+12:3=1442:3=(27+15):3 = 27:3+1б:3=144213= (24+18):3=-24:3+18:3=14 и др.107
к самому удобному способу здесь надо отнести первый спо¬
соб, так как при делении удобных слагаемых (30 и 12) получа¬
ются разрядные слагаемые частного (10 + 4=14).Учащимся надо сказать, что при делении двузначных чисел
на однозначные делимое заменяем суммой удобных слагаемых,
при этом первым удобным слагаемым надо выделять число, ко¬
торое выражает наибольшее число десятков, делящееся на де¬
литель; вычтя это число из делимого, найдем второе удобное
слагаемое, например:96:4= (80-Ы6) :4 = 80:4+16:4 = 24Работе над приемами для случаев вида 96:4 надо уделить
особое внимание, поскольку они являются наиболее трудными
для усвоения.К внетабличному делению относится также деление дву¬
значного числа на двузначное. В этом случае, как и
при делении на двузначные разрядные числа, используется спо¬
соб подбора частного, который основан на связи между компо¬
нентами и результатом действия деления; подбирают частное,
а затем умножают на него делитель и смотрят, получилось ли
делимое. Так, при рещении примера 81:27 ставится вопрос: на
какое число надо умножить делитель 27, чтобы получить дели¬
мое 81? (На число 3.) Значит, 81:27 = 3.При делении двузначного числа на двузначное следует пока¬
зать детям некоторые приемы подбора частного. Учащиеся
сначала находят частное медленно, берут числа по порядку: 2,
3, 4 и т. д. Постепенно число проб будет сокращаться, если учи¬
тель будет учить детей подбирать частное. Так, при делении 77
на И нет необходимости перебирать много чисел, здесь надо
внимательно посмотреть на делимое и делитель, и будет ясно,
что в частном получится 7. При делении 90 на 15 также после
первой пробы (15-2 = 30) полезно сравнить числа 30 и 90. (Ес¬
ли 2 раза взять по 15, то получится 30, а если нам нужно, что¬
бы получилось 90? Сколько же раз надо взять по 15? 2 раза,
еще 2 раза и еще 2 раза, а всего 6 раз. Проверим: 15-6 = 90,
значит, 90:15=6.)Для формирования навыка подбора частного большое зна¬
чение имеют также упражнения тренировочного характера и
знание наизусть некоторых случаев внетабличного умножения.В процессе изучения внетабличного умножения и деления
вводится проверка умножения и деления.Деление ученики проверяют устно. Возьмем пример: 54:3 =
= 18. При проверке умножают полученное частное на делитель;
18-3 = 54. Получилось делимое. Если при умножении частного
на делитель не получится делимое, значит, в вычислениях допу¬
щена ошибка.Умножение проверяется делением. Возьмем пример: 24-4 =
= 96. Для проверки делим произведение на второй множитель108
(или первый): 96:4 = 24 (96:24 = 4). Получился первый множи-
к’ль (второй). Если при делении произведения на один из двух
множителей не получится другой множитель, значит, в вычис-
лоииях допущена ошибка.Деление с остатком. Деление с остатком изучается во II клас¬
се после завершения работы над внетабличными случаями ум¬
ножения и деления. Здесь рассматриваются только такие слу¬
чаи деления с остатком, которые сводятся к табличному деле¬
нию.Особенностью деления с остатком по сравнению с известны¬
ми детям действиями является тот факт, что здесь по двум дан¬
ным числам — делимому и делителю — находят два числа; част¬
ное и остаток.В методике изучения деления с остатком следует предусмот¬
реть такой порядок введения вопросов: сначала раскрыть конк¬
ретный смысл деления с остатком, затем установить отноше¬
ние между остатком и делителем, далее ознакомить с приемом
деления с остатком.Конкретный смысл деления с остатком раскры-
мается при решении простых задач на деление по содержанию
и на равные части с помощью выполнения операций с предме¬
тами: ученики убеждаются, что не всегда можно выполнить раз¬
биение данного множества на равночисленные подмножества и
что в таких случаях операция разбиения связывается с дейст-
иием деления с остатком.Сначала решение задач дети выполняют практически: ответ
на вопрос задачи они находят с помощью оперирования пред¬
метами, не выполняя действия деления. Например, предлагает¬
ся разложить 11 кружков по 2 кружка и узнать, сколько раз
110 2 кружка получится и сколько кружков останется; разло¬
жить 14 кружков на 4 равные части и узнать, сколько кружковII	каждой из равных частей и сколько кружков осталось
(рис. 24). Ученики отвечают на поставленные вопросы с помо-
1Ц1.Ю счета.Затем выполняемые операции с предметами надо связывать
с действием деления с остатком. Например, предлагается ре¬
шить задачу: «16 карандашей разложили в 3 коробки поровну,
сколько карандашей положили в каждую коробку и сколько00100|00100|00|0ОООЮООЮООЮООЮОРис. 24109
карандашей осталось?» Один ученик у доски, а остальные у се¬
бя на партах раскладывают 16 карандашей (палочек) на 3 рав¬
ные части, затем выясняют, что получилось по 5 карандашей в
коробке и еш,е остался 1 карандаш. Учитель говорит, что ре¬
шение таких задач тоже выполняется делением, только здесь
деление с остатком: 16 разделили на 3, получилось 5 и 1 в ос¬
татке.Решение задачи записывается так; 16:3=5 (ост. I).Ответ: 5 карандашей и останется 1 карандаш.Так же ведется работа по решению задач на деление по со¬
держанию.Далее раскрывается отношение между делителем и остат¬
ком, т. е. ученики устанавливают: если при делении получается
остаток, то он всегда меньше делителя. Для этого сначала ре¬
шаются примеры на деление последовательных чисел на 2, за-
тем на 3 (4, 5), например:10:2 = 5	12:3 = 4	16:4 = 411:2 = 5 (ост. 1)	13:3=4 (ост. 1)	17:4 = 4 (ост. 1)12:6 = 6	14:3 = 4 (ост. 2)	18:4 = 4 (ост. 2)13:2 = 6 (ост. 1)	15:3 = 5	19:4 = 4 (ост. 3)14:2 = 7	16:3 = 5 (ост. 1)	20:4 = 517:3 = 5 (ост. 2)	21:4 = 5 (ост. 1)18:3 = 6	22:4 = 5 (ост. 2)23:4 = 5 (ост. 3)
24:4 = 6Учащиеся сравнивают остаток с делителем и замечают, что
при делении на 2 в остатке получается только число 1 и не
может быть 2 (3, 4 и т. д.). Точно так же выясняется, что при
делении на 3 остатком может быть число 1 или 2, при делении
на 4—только числа 1, 2, 3 и т. д. Сравнив остаток и делитель,
дети делают вывод, что остаток всегда меньше делителя.Чтобы соотношение это было усвоено, целесообразно предла¬
гать упражнения, аналогичные следующим:Какие числа могут получиться в остатке при делении на 5,7,	10? Сколько различных остатков может быть при делении на8,	11, 14? Какой наибольший остаток может быть получен при
делении на 9, 15, 18? Может ли при делении на 7 получиться
в остатке 8, 3, 10?Для подготовки учащихся к усвоению приема деления с ос¬
татком полезно предлагать следующие задания:Какие числа от 6 до 60 делятся без остатка на 6, 7, 9? Ка¬
кое ближайшее к 47 (52, 61) меньшее число делится без остат¬
ка на 8, 9, 6?Раскрывая общий прием деления с остатком, лучше брать
примеры парами: один из них на деление без остатка, а другой
на деление с остатком, но примеры должны иметь одинаковые
делители и частные, например:ПО
18:3 = 6	45:9=5	56:8=719:3=6 (ост. 1) 48:9=5 (ост. 3) 59:8=7 (ост. 3)Далее решаются примеры на деление с остатком без прим^г
ра-помощника. Пусть надо 37 разделить на 8. Ученик должен
усвоить следующее рассуждение: «37 на 8 без остатка не делит¬
ся. Самое большое число, которое меньше, чем 37, и делится
на 8 без остатка, 32. 32 разделить на 8, получится 4; из 37 вы¬
чтем 32, получится 5, в остатке 5. Значит, 37 разделить на 8,
получится 4 и в остатке 5».Выполняя деление с остатком, учащиеся иногда получают
остаток больше делителя, например: 47:5 = 8 (ост. 7). Чтобы
предупредить такие ошибки, полезно предлагать детям неверно
решенные примеры, пусть они найдут ошибку, объяснят причи¬
ну ее появления и решат пример правильно.Навык деления с остатком вырабатывается в результате
тренировки, поэтому надо больше включать примеров на деле¬
ние с остатком как в устные упражнения, так и в письменные
работы, при этом обращать внимание, что частное находят
делением, а остаток вычитанием.§ 3. ТысячаНумерация чисел в пределах 1000 и арифметические дейст¬
вия над ними выделяются в особый концентр по следующим
причинам.Здесь заканчивается изучение нумерации чисел первого клас¬
са — класса единиц, что является основой для усвоения нумера¬
ции многозначных чисел, так как следующие классы: второй
класс — класс тысяч, третий класс — класс миллионов и т. д.-^
строятся по аналогии с первым классом. Поэтому устная и
письменная нумерация трехзначных чисел должна быть прочно
и осознанно усвоена детьми.В концентре «Тысяча» закрепляются знания устных приемов
вычислений. Как и раньше, приемы вычислений раскрываются
с опорой на теорию арифметических действий (свойства, взаимо¬
связь прямых и обратных действий). Это дает возможность
учащимся не только самостоятельно объяснять ранее изученные
приемы вычислений, применяемые теперь к трехзначным чис¬
лам, но и «открывать» новые вычислительные приемы.В этом концентре начинается работа над письменными прие¬
мами сложения и вычитания, поскольку здесь можно рассмот¬
реть важнейшие случаи и раскрыть письменные приемы этих
действий, а также показать преимущество письменных приемов
над устными при вычислениях с многозначными числами.Тема «Тысяча» изучается во втором полугодии II класса.
Материал рассматривается в таком порядке: нумерация, сложе¬
ние и вычитание (устные, а затем письменные приемы вычисле-111
л/.ний), умножение и деление (устные приемы вычислений). Одно¬
временно ведется работа над составными задачами, продолжает¬
ся работа над числовыми и буквенными выражениями, над
равенствами и неравенствами, уравнениями, а также над геоме¬
трическим материалом (закрепляются умения измерять и вычи¬
слять периметр фигур, чертить круг и называть его элементы).Нумерация чисел в пределах 1000Задача учителя при изучении нумерации — научить детей11	считать предметы в пределах 1000 (путем присчитывания по
одному и используя группировку предметов в десятки и сотни).^ Необходимо научить детей называть, записывать и читать трех-
(/значные числа. Дети должны понять образование этих чисел
из сотен, десятков и единиц, а также усвоить названия разряд-
ных единиц и их соотношение, уметь представлять чйСЛО КйТГ
сумму разрядных слагаемых, находить общее число единиц лю-
П5ого разряда в данном числе. Надо закрепить также знаниТ'
учащихся о натуральной последовательности чисел.Подготовительную работу к изучению нумерации
целесообразно начинать заранее, до перехода к концентру
«Тысяча», систематически включая устные упражнения на по¬
вторение нумерации чисел первой сотни:1)	Сколько десятков в сотне? Во сколько раз десяток боль¬
ше единицы? На сколько десяток меньше, чем сотня?2)	Какое число состоит из 5 десятков и 7 единиц; из 6 еди¬
ниц II разряда и 3 единиц I разряда? Сколько единиц каждо¬
го разряда в числах 49, 94?3)	Присчитывайте по 1 (по 5, по 10), начиная с числа 10
(20 и т. п.); назовите еще несколько чисел, следующих в ря¬
ду 34, 35, 36, ...; назовите соседей числа 99 при счете. Как
образуются эти числа?Кроме того, рекомендуется создать у детей интерес к «боль¬
шим числам». Названия новых чисел должны зазвучать на уро¬
ках прежде, чем эти числа станут предметом специального изу¬
чения. С этой целью на заключительном этапе работы над пер¬
вой сотней полезно выяснить, кто из детей умеет считать «даль¬
ше ста». Можно также включить упражнения по называнию
чисел, выходящих за пределы первой сотни; например, предло¬
жить назвать еще 5—7 чисел в каждом ряду: а) 95, 96, 97, ...;б)	50, 60, 70, ...; в) 92, 94, 96	Это поможет учащимся осо¬
знать, что существуют числа больше ста, что они имеют сходст-
ва.'О числами, которые известны детям./ Изучение устной нумерации в пределах 1000 начи¬
нается с формирования у детей понятия о сотне кяк п новой
счетной единице. Для этого считают какие-либо предметы по
одному, десятками, сотнями. В практике часто используют па¬
лочки и пучки палочек, можно также использовать наглядное112
пособие «Квадраты и полоски»'. Оно изготовляется из плотной
бумаги, единицы обозначаются квадратами (квадратный санти¬
метр), десятки — полосками, по 10 квадратов в каждой, а сот¬
ни— квадратами, по 10 полосок в каждом (квадратный деци¬
метр). Такое пособие для индивидуального пользования можно
изготовить с детьми на уроках труда. С этой же целью можно
использовать кубики и бруски «арифметического ящика».С помощью наглядных пособий учащиеся отсчитывают 10 де¬
сятков и заменяют их одной сотней, затем отсчитывают 10 сотен
и заменяют их одной тысячей. Под руководством учителя дети
устанавливают и записывают соотношения между разрядными
единицами:10 единиц составляют 1 десяток,10 десятков составляют 1 сотню,10 сотен составляют 1 тысячу.Далее идет счет сотен (1 сот., 2 сот., 3 сот. и т. д.), сложе¬
ние и вычитание сотен (3 сот.+ 4 сот., 8 сот.— 5 сот. и т. п.).
На основе этих упражнений делается вывод о том, что сотни
считают так же, как десятки или простые единицы.Затем вводят названия новых разрядных чисел — круглых
сотен (1 сотня квадратов — это сто квадратов, 2 сотни квадра¬
тов—двести квадратов и т. д.).Чтобы у детей не сложилось неправильное представление о
натуральной последовательности чисел за пределами первой
сотни (будто после числа 100 сразу при счете идет число 200,
а за ним сразу 300 и т. д.), следует включать упражнения в
счете предметов или в присчитывании по одному. В последнем
случае используют наглядное пособие, иллюстрирующее нату¬
ральную последовательность чисел (так называемая «лента ты¬
сячи»). Лента шириной 3—5 см и длиной 10 м изготавливается
из плотной бумаги, на ней различным цветом обозначены метры
(сотни), дециметры (десятки) и сантиметры (единицы). Можно
так же использовать рулетку.После того как учащиеся установят, что длина ленты 10 м,
можно предложить им узнать, сколько это составляет санти¬
метров. Поскольку дети уже знают, что в 1 м содержится 100 см,
то к этому числу и начинают присчитывать сантиметры: сначала
по 1 см (101 см, 102 см, ...), затем по 10 см (110 см, 120 см, ...).
При переходе через сотню целесообразно вновь присчитывать
по одному (198 см, 199 см, 200 см, 201 см, ...).Ш-сдедующем этапе учащиеся.,адакомятса, с. образованием
чисел из сотен,’ десятков, единиц. Используя наглядные пособия,
дети изображают числа, которые состоят из разрядных чисел
(например, 2 сотни, 3 десятка, 5 единиц; 2 сотни 5 единиц;2	сотни 3 десятка и т. п.), и учатся называть такие числа. Пред-‘ Пособие предложено Н. С. Поповой.8 Зака» № 4487	ЦЗ
лагаются и обратные упражнения-^указать, сколько сотен, де¬
сятков и единиц содержится в названных числах.Знания десятичного состава трехзначных чисел применяются
также при устном решении примеров вида: 100+20 + 5, 125 — 5,
125—20, 125—20 — 5 и т. п., которые выполняются сначала с ис¬
пользованием наглядных пособий: квадратов или «ленты тыся¬
чи». Важно, чтобы учащиеся не просто называли результат,
а объясняли прием вычисления, что послужит закреплением зна¬
ний по нумерации. Например; 300 + 50; 300 —это три сотни, 50-
это 5 десятков; 3 сотни и 5 десяпков составляют число 350.При изучении устной нумерации дети учатся устанавливать
общее число единиц и общее число десятков, содержащихся в
числе. Опираясь на наглядные пособия, учитель показывает, что,
например, в числе 345 имеется 4 десятка, но если сосчитать все
десятки, т. е. и те, «оторые сгруппированы в сотни, то в данном
числе всего содержится 34 десятка (в 3 сотнях 30 десятков, да
еще отдельные 4 десятка). Аналогично разъясняется, что в этом
числе 5 единиц, а если сосчитать все единицы, содержащиеся
Б сотнях и десятках, то всего получится 345 единиц. Необходимо
добиться того, чтобы дети быстро и безошибочно устанавливали,
сколько всего единиц и сколько всего десякков в том или ином
чйсде.Одновременно с рассмотрением десятичного состава чисел
ведется работа над натуральной последовательностью. С этой
целью включают упражнения, выполняемые сначала с опорой
на наглядность, например: «Покажите часть ленты длиной
290 см, присчитывайте (отсчитывайте) по 1 см (по 10 см, по
100 см); покажите часть ленты длиной 300 см. Какой длины
станет лента, если ее увеличить (уменьшить) на 1 см? Найдите
на «ленте тысячи» числа 400, 399. Какое из этих чисел больше?
Какое меньше? На сколько? В каком порядке идут эти числа
при счете? Назовите число, следующее при счете за числом 799
(предшествующее при счете числу 1000)».Важно, чтобы учащиеся, выполняя эти задания, использовали
свои знания о натуральной последовательности чисел, получен¬
ные при изучении тем «Десяток» и «Сотня». Поэтому дети долж¬
ны обосновывать свои ответы, ссылаясь на ранее усвоенные вы¬
воды (каждое следующее число при счете больше на единицу;
если вычесть 1, то Получится число, называемое при счете перед
данным, и т. п.). В этом случае у учащихся будет формировать¬
ся правильное понятие о натуральной последовательности чисел
от 1 до 1000.Чтобы подготовить учащихся к изучению письменной нуме¬
рации, рекомендуется на уроках, посвященных устной нумера¬
ции чисел в пределах 1000, повторить письменную нумерацию
двузначных чисел: учащиеся записывают под диктовку, объяс¬
няют, какими цифрами они записали числа и чтр обозначает
каждая цифра в записи этих чисел (например, 67, 76, 60, 1б,114
Сотни } IДесятки! |Единнцы|■121 151 [31Рис. 25100); повторяют выводы о том, что единицы пишутся на первом
месте, считая справа налево, а десятки — на втором, что нуль
в записи числа обозначает отсутствие единиц данного разряда.При ознакомлении с письменной нумерацией чисел
в пределах 1000, опираясь на умения детей записывать двузнач¬
ные числа, надо показать, что сотни, т. е. единицы III разряда,
записывают на третьем месте, считая справа налево.На первом уроке по данной теме учащиеся иллюстрируют
числа с помощью наглядных пособий (палочек или квадратов)
и обозначают их цифрами, например: 65, 165, 365, 360, 305.
Целесообразно при этом располагать палочки (или квадраты)
в таблице под соответствующими названиями разрядов: сотни,
десятки, единицы (рис. 25).Далее учащиеся записывают несколько чисел в таблице раз¬
рядов на доске и в тетрадях (например, число, которое состоит
из 7 сотен, 8 десятков и 5 единиц; из 7 сотен и 8 десятков;
из 7 сотен и 5 единиц). Дети знают, что простые единицы — это
единицы I разряда, десятки — единицы II разряда; теперь они
узнают, что сотни — это единицы III разряда, и записывают
числа, состоящие, например, из 6 единиц III разряда, 5 единиц
I разряда, а также могут откладывать их на счетах. Вводится
термин «трехзначное число». На основе наблюдений учащиеся
делают вывод о том, что единицы пишутся на 1-м месте, десят¬
ки на 2-м, а сотни на 3-м месте, считая справа налево, и что
если в числе отсутствуют единицы I или II разряда, то на их
месте пишется нуль.Закреплению знаний и умений по письменной нумерации спо¬
собствует выполнение таких заданий:1)	Что обозначает каждая цифра в записи чисел 657, 765,
576?2)	Что обозначает цифра 4 в записи каждого из чисел: 473,
49, 504, 444?8*115
3)	Сколько всего цифр и сколько различных цифр исполь¬
зовано при записи каждого числа: 35, 33, 535, 555, 700, 1000?4)	С помощью цифр 2, 3, 4 запишите 6 различных трехзнач¬
ных чисел.5)	С помощью цифр 7 и 8 запишите все возможные одно¬
значные, двузначные и трехзначные числа (при записи отдель¬
ных чисел каждую цифру можно использовать несколько раз).Особое внимание следует уделять числам, в записи которых
имеются нули.С целью закрепления знания десятичного состава чисел пред¬
лагаются упражнения на преобразование значений величин,
например: узнать, сколько копеек составляют 2 руб. 36 коп.
(сколько сантиметров в 3 м 2 дм, 2 м 07 см), выразить в более
крупных единицах (600 коп., 308 см, 240 см), сравнить числа
и вставить знаки >, <, = (900 см* 10 м, 140 коп.»2 руб.).Упражнения на преобразование значений величин, выра¬
женных в мерах длины, сначала выполняются с использованием
«ленты тысячи». При этом учащиеся рассуждают так: метр —
это 1 сотня сантиметров, а дециметр — это 1 десяток сантимет¬
ров; значит, 3 м и 2 дм — это 3 сот. и 2 дес. сантиметров, или
320 см; 405 см составляют 4 сот. см и 5 см, или 4 м и 5 см.
(Запись: 405 см = 4 м 05 см.)Усвоению знаний о десятичном составе чисел помогают так¬
же упражнения на сложение и вычитание вида: 300-1-40 + 8,
725—700, 725 — 20 и т. п. и на замену данного числа суммой
разрядных слагаемых (725=700 + 20 + 5). При выполнении этих
упражнений рекомендуется использовать наглядное пособие —
карточки с разрядными числами, аналогичные тем, что исполь¬
зовались в «Сотне» (см. рис. 14), но с добавлениями новых раз¬
рядных чисел (100, 200, ..., 900). Для фронтальной работы с
классом необходимо иметь хотя бы один набор таких карто¬
чек. С помощью этого пособия учащиеся наглядно убеждаются
в необходимости обозначать нулями отсутствие единиц I и
П разряда: например, число 340 составляется из чисел 300 и 40,
число 304 из 300 и 4 — каждый раз не хватает какой-нибудь
карточки, отсутствует какое-то разрядное число.В процессе изучения письменной нумерации учащиеся за¬
крепляют знания натуральной последовательности чисел, выпол¬
няя письменно упражнения на установление предыдущего и сле¬
дующего числа по отношению к данному, решая примеры вида:
а±1. Наглядное представление натуральной последовательности
чисел от 1 до 1000 создается у детей, когда они с помощью
учителя выписывают последовательности однозначных, двузнач¬
ных и трехзначных чисел и устанавливают, что при счете снача¬
ла называют однозначные числа (их 9, счет начинают с едини¬
цы), затем двузначные числа (их 90), затем трехзначные числа
(их 900). В ряду трехзначных, так же как и в ряду однозначных
и в ряду двузначных, есть первое, самое маленькое (наимень-116
шее) число и последнее, наибольшее число. Наглядно это мож¬
но изобразить так:и 2, 3	7, 8, 9^_Ш. И, 12	,97,98,^100, 101, 102	 997, 998, 999Заканчивая изучение нумерации, целесообразно привести в
систему знания детей по данному разделу. Можно включить
несколько раз такое задание —рассказать о заданном числе
(например, 244, или 303, или 900) все, что дети знают. Так, о
числе 244 можно сказать, что оно состоит из 2 сотен, 4 десят¬
ков и 4 единиц; всего десятков в нем 24, а всего единиц 244;
это числб можно представить в виде суммы разрядных слагае¬
мых: 200 + 404-4; в ряду чисел оно стоит после числа 243 и пе¬
ред числом 245; число 244 трехзначное; для записи его потребо¬
валось три цифры, а различных цифр две (2, 4) и т. д.Знания и умения по нумерации требуют длительного закреп¬
ления.Сложение и вычитание в пределах 1000В концентре «Тысяча» изучаются сначала устные, а затем
письменные приемы сложения и вычитания.Устные приемы сложения и вычитания (для случаев 260± 120,
570±280 и др.), так же как и в пределах 100, опираются на
свойства прибавления числа к сумме, суммы к числу, суммы к
сумме, а также на соответствующие правила вычитания. Эти
теоретические знания усвоены детьми при изучении действий в
пределах 100, а здесь они закрепляются в процессе применения
на новом числовом материале. Поэтому в методике изучения
устных приемов сложения и вычитания в пределах 1000 много
сходного с методикой работы над аналогичной темой в «Сотне».
Так же, как и там, знание свойств действий дает возможность
детям самим «открыть» вычислительные приемы, основанные на
этих свойствах; сходные приемы вычислений изучаются одно¬
временно в сопоставлении друг с другом, что помогает лучшему
их усвоению; для выработки вычислительных навыков исполь¬
зуются разнообразные упражнения, которые вместе с тем спо¬
собствуют закреплению теоретических знаний. При изучении
сложения и вычитания в пределах 1000 широко опираются на
знания и умения детей, сформированные при изучении темы
«Сотня», часто используют приемы сравнения и аналогии.Устные приемы сложения и вычитания в пределах 1000 изу¬
чаются одновременно и рассматриваются в следующем порядке.
На подготовительном этапе рассматриваются простейшие слу¬
чаи, непосредственно связанные с применением знаний по нуме¬
рации вида; а) 700 + 40, 820 + 8, 948-40, 948-8; б) 789+1,
870-1, 699+1; в) 400 + 200, 800-500.117
На первом этапе раскрываются случаи, где сложение выпол¬
няется на основе правила прибавления числа к сумме, а вы¬
читание— на основе правила вычитания числа из суммы
(360+200, 360 + 20, 560+40, 560-200, 380-20, 600-40). На вто¬
ром этапе вводятся случаи, где сложение выполняется на осно¬
ве правила прибавления суммы к числу, а вычитание — на ос¬
нове правила вычитания суммы из числа (400+120, 430+120,
60+70, 460+170, 600-240, 460-130, 430-70, 430-170). Одно¬
временное изучение случаев сложения и вычитания, сгруппиро¬
ванных по сходству вычислительных приемов, дает возможность
сопоставить эти вычислительные приемы между собой, а также
свойства, лежащие в их основе.Рассмотрим методику изучения приемов.Приемы сложения и вычитания, непосредственно связанные с
применением знаний по нумерации, служат закреплению этих
знаний и рассматриваются в основном при изучении нумерации.
Случаи' 400+200, 800 — 500 сводятся к действиям над разряд¬
ными числами (4 С0Т. + 2 сот. = 6 сот.; 8 сот.—5 сот. = 3 сот.).
Такие вычисления закрепляют знания по нумерации и подго¬
тавливают детей к изучению более сложных случаев сложения
и вычитания.На первом этапе учащиеся сначала знакомятся с прие¬
мами сложения и вычитания вида: 540±300, 540±30. Прежде
всего дети повторяют правила прибавления числа к сумме и
вычитания числа из суммы, выполняя знакомые упражнения
с двузначными числами. Например, выполнить вычисления
удобным способом: (40 + 6)—30, (40+6)—4, объяснить приемы
вычислений: 54 — 30, 54 — 3. Используя соответствующие нагляд¬
ные пособия (например, квадраты — сотни и полоски — десят¬
ки), дети без особых затруднений догадываются, как решить
эти примеры, и объясняют приемы вычислений:540+300= (500+40) +300= (500 + 300) +40 = 840540 + 30= (500 + 40) +30 = 500+ (40 + 30) =570Как и раньше, учащиеся объясняют приемы вычислений, за¬
тем сравнивают их и устанавливают, чем эти приемы похожи
и чем отличаются, почему в первом примере число прибавляют
к 500, а во втором — к 40 (удобнее прибавлять сотни к сотням,
а десятки к десяткам).Затем в сопоставлении с двумя предыдущими случаями ана¬
логично рассматриваются случаи вычитания вида; 540—30
и 540-300.Следует показать детям и другой прием сложения и вычи¬
тания, который сводится к сложению и вычитанию двузначных
чисел, выражающих число десятков, например;540 + 30	540-30054	дес.+З дес.*=57 дес.	54 дес. —30 дес. = 24 дес.540 + 30=570	540-300=240118
Использование этого приема подготавливает детей к изучению
приемов умножения и деления в пределах 1000, а также
письменных приемов этих действий над многозначными числами.Отдельно останавливаются на случаях вида; 560+40,600—40.
Прием сложения здесь не представляет ничего нового — сумма
десятков составит сотню, которую надо прибавить к сотням.
При вычитании же вида 600 — 40, 900 — 80 приходится заменять
уменьшаемое суммой удобных слагаемых, выделяя одну сотню
из общего числа сотен:500-40= (400+ 100) -40 = 400+ (100-40) =460.Целесообразно этот прием проиллюстрировать на наглядных
пособиях.На втором этапе рассматриваются случаи сложения и
вычитания, основанные на использовании правил прибавления
суммы к числу и вычитания суммы из числа. Методика работы
над ними аналогична методике, использованной на первом этапе:430+210=430+ (200+10) = (430 + 200) + 10=640540-430=540- (400 + 30) = (540-400) -30= 110Для случаев сложения и вычитания трехзначных чисел без
перехода через разрядную единицу (вида: 430 + 210, 540—430)
наряду с приемами последовательного прибавления и вычита¬
ния используются также приемы поразрядного сложения и вы¬
читания:430 + 210= (400 + 30) + (200+10) = (400 + 200) ++ (30+10) =640540-430= (500 + 40) - (400 + 30) = (500-400) ++ (40-30) = 110Как видно, эти приемы опираются на правила сложения сум¬
мы с суммой и вычитания суммы из суммы, которые предвари¬
тельно повторяют.Приемы поразрядного сложения и вычитания служат подго¬
товкой к изучению письменных приемов выполнения этих дей¬
ствий, поэтому им надо уделять больше внимания.При сложении и вычитании с переходом через разрядную
единицу второе слагаемое (вычитаемое) представляют в виде
суммы таких удобных слагаемых, чтобы одно из них дополняло
первое слагаемое до круглых сотен (чтобы при вычитании од¬
ного из них получались круглые сотни), например:80 + 60 = 80+ (20 + 40) = (80 + 20) +40= 140140-60= 140- (40 + 20) = (140-40) -20 = 80Здесь удобен также прием выполнения действий над десят¬
ками: 8 дес. + б дес., 14 дес.~6 дес., который надо показать
детям.119
в качестве подготовительных упражнений « сложению и вы¬
читанию с переходом через разрядную единицу включают уп¬
ражнения на дополнение данных чисел до ближайшего разряд¬
ного, например: дополнить до 100 числа 90, 70, 40, 10; допол¬
нить до 300 числа 270, 250, 220 и т. п.Аналогично рассматриваются случаи вида: 280 + 60, 340 — 60
и затем 280+160, 340—160. Учащиеся, пользуясь ранее усвоен¬
ными приемами, могут дать различные способы решения этих
примеров. Приведем некоторые из них:280 + 160 - 280 + (100 + 60) = (280 + 100) + 60 = 440280+160 = 280+ (20+ 140) = (280 + 20) + 140 = 440280+ 160= (200 + 80) + (100 + 60) == (200+100)+ (80 + 60) =440 и др.Аналогичные способы учащиеся предлагают и при выполне¬
нии вычитания.Раскрывая любой из приемов сложения и вычитания, реко¬
мендуется решать примеры с подробной записью только при
первичном знакомстве, затем довольно скоро следует перехо¬
дить к кратким пояснениям и краткой записи решения и, нако¬
нец, к быстрым устным вычислениям без записи решения.Для выработки навыков вычислений использую!- разнообраз¬
ные письменные и устные упражнения: решение примеров в од¬
но и более действий, нахождение числовых значений выражений
при данных значениях букв, решение уравнений, сравнение вы¬
ражений и запись числовых равенств и неравенств и др.Применение знакомых детям свойств к новой области чисел
позволяет значительно усилить самостоятельность работы уча¬
щихся при изучении нового материала. Это помогает также
сформировать в короткое время осознанные вычислительные
навыки и приступить к расширению знаний о свойствах дей¬
ствий. Учащиеся самостоятельно могут установить, как можно
прибавлять число к сумме трех слагаемых и вычитать число
из суммы трех слагаемых; ка1к прибавлять сумму трех сла¬
гаемых к числу и вычитать сумму трех слагаемых из числа;
как сложить сумму с суммой и вычесть сумму из суммы не¬
скольких слагаемых. Работа над этими правилами подготав¬
ливает детей к изучению следующей темы.Письменные приемы сложения и вычитания в пределах 1000
раскрываются вслед за устными приемами. Усвоение письмен¬
ных приемов сложения и вычитания трехзначных чисел является
условием успешного применения их к числам любой величины.
Сначала изучают письменные приемы сложения, а затем вычи¬
тания.При сложении столбиком используется правило сложения
суммы с суммой. Это правило повторяют перед тем, как озна¬
комить детей с письменным приемом сложения. Для этого ре¬
шают примеры вида: (8 + 7)+ (2 + 3) или (20 + 4) и (10 + 6).120
Учащиеся вспоминают, как можно по-разному вычислить резуль¬
тат. Затем правило применяется к сложению сумм нескольких
слагаемых с числами в пределах 1000, например:(300+40 + 5) + (200 + 20 + 4) == (300 + 200) + (40 + 20) + (5 + 4) =569(300 + 40 + 5) + (200+4) = (300 + 200) +40+ (5 + 4) =549(300 + 40 + 5) + (20 + 4) =300+ (40+20) + (5 + 4) =369Решив несколько таких примеров, дети замечают, что удоб¬
нее складывать сотни с сотнями, десятки с десятками, единицы
с единицами. При этом полезно установить, какие числа скла¬
дывали (345 и 224, 345 и 204, 345 и 24).Такой подготовительной работы вполне достаточно, чтобы
ввести общеизвестную запись письменного приема сложения
столбиком. Учащиеся понимают целесообразность такой запи¬
си— сложение при этом выполняется быстро, так как промежу¬
точные результаты записываются по мере их получения каж¬
дый на своем месте.Письменное сложение изучается в таком порядке: 1) случаи,
где сумма единиц и сумма десятков меньше 10; 2) случаи, где
сумма единиц или сумма десятков (либо и та, и другая) рав¬
ны 10; 3) случаи, где сумма единиц или сумма десятков (либо
и та, и другая) больше 10.Прежде всего решаются примеры на сложение без перехода
через десяток: 232 + 347, 235+43. Учащиеся решают их снача¬
ла устно с подробной записью в строчку приема вычисления,
затем учитель показывает запись этих примеров в столбик, по¬
ясняя: числа записывают так, чтобы единицы второго числа
были под единицами первого, десятки под десятками, сотни под
сотнями. Дается объяснение приема сложения:К 2 единицам прибавим 7 единиц, получится 9 еди-
,232 ниц. Записываем 9 в сумме под чертой на месте еди-347	ниц; к 3 десяткам прибавим 4 десятка, получится7	десятков. На месте десятков в сумме пишем 7.
К двум сотням прибавим 3 сотни, получится 5 сотен. На месте
сотен в сумме пишем 5. Сумма равна 579.Дети упражняются в записи и объяснении решений приме¬
ров, запоминают, что сложение в столбик начинают с единиц.При решении примеров вида 427+133, 363 + 245, 236 + 464
легко показать, почему письменное сложение следует начинать
не с высших разрядов, как устное сложение, а с единиц I раз¬
ряда: пусть дети решат один из примеров (457 + 243), начиная
сложение с сотен — они сами убедятся в неудобстве такой по¬
следовательности вычисления, поскольку цифру сотен и десят¬
ков придется исправлять.Перед решением примеров на сложение с переходом через
десяток необходимо повторить таблицу сложения и включить121
подготовительные упражнения вида; 8 ед. + б ед., 6 дес. + 7 дес.
и т. п., в которых требуется выразить результат в более крупных
единицах. Так же, как и на предыдущем этапе, сначала приме¬
ры решаются с подробным объяснением:К 4 единицам прибавим 8 единиц, получится 12 еди-
_1_544 ниц, или 1 десяток и 2 единицы. 2 единицы пишем^18 под единицами, а один десяток прибавим к десяткам
и т. д.Постепенно надо перейти к краткому пояснению: 4 да 8 —
двенадцать, 2 пишу, 1 запоминаю; 4 да 1 —'пять, да еще 1—
шесть, 6 пишу; 5 и 2 — семь, всего 762. Подробного пояснения
требуют от ученика, если он допустил ошибку.На заключительных уроках изучения письменного сложения
учащиеся знакомятся с формой записи и рассуждением при сло¬
жении нескольких слагаемых.Помимо усвоения учащимися приема выполнения письменно¬
го сложения, на всех этапах изучения данной темы необходимо
добиваться выработки навыка быстрых и правильных вычис¬
лений. С этой целью включают в достаточном количестве раз¬
нообразные упражнения: решение примеров, задач, уравнений
и др.Чтобы учащиеся наряду с письменными упражнялись в уст¬
ных вычислениях, полезно давать такие задания: «Записывайте
решения примеров столбиком только тогда, когда устно решить
трудно (например: 610-Ь290, 6384-294, 605-1-295)».Работа над письменными приемами вычитания строится ана¬
логично. Сначала рассматривают правило вычитания суммы из
суммы, а затем раскрывают прием письменного вычитания. Пер¬
выми вводятся самые легкие случаи вычитания вида: 563 — 321.
Детям предлагается вычислить результат устно и выполнить
подробную запись приема вычисления:563-321 = (500 + 60 + 3) - (300 + 20+ 1) =»= (500-300) + (60-20) + (3- 1) =242Они сами догадываются, что проще и быстрее найти резуль¬
тат, если записать пример столбиком, как при сложении.На первых порах вычитание выполняется с подробным пояс-
пением, затем вводятся краткие пояснения.Далее рассматривают случаи вычитания чисел с ,нулями в
середине или на конце (547—304, 547—340, 507 — 304). Перед
их включением целесообразно повторить действия с нулем
(5 + 0, 5—0, 0 — 0, 7-0 — 0, 0:9 + 0 и т. п.).Следующими рассматриваются случаи вида: 540—126 и
603-281.Предварительно нужно повторить соотношение между раз¬
рядными единицами. (Сколько единиц в 1 десятке? Сколько
десятков в 1 сотне?) Сначала решение примеров сопровождает¬122
ся подробным пояснением: «Из нуля не можем вы-
_^_540 честь 6 единиц. Берем из 4 десятков 1 десяток. Чтобы126 не забыть об этом, ставим точку над цифрой 4. В 1 де¬
сятке 10 единиц. Из 10 вычтем 6 единиц, получится4	единицы. Запишем ответ под единицами. Из 3 десятков выч¬
тем 2 десятка, получится 1 десяток и т. д.». Аналогично объяс¬
няется решение примера 603 — 281, когда приходится «зани¬
мать» 1 сотню, раздроблять ее в десятки и вычитать 8 десятков
из 10 десятков. Точка над цифрой сотен (6) показывает, что
уже взяли одну сотню и осталось 5 сотен.Затем вводятся примеры вида: 875 — 528, 628 — 365 и, нако¬
нец, примеры вида; 831—369. Во всех этих примерах приходит¬
ся «занимать» (один или два раза) единицу соседнего высшего
разряда. В качестве подготовительных упражнений полезно по¬
вторить табличные случаи вычитания и включить такие устные
задания, как 1 дес. 6 ед. —7 ед., 1 сот. 5 дес. —8 две. и т. п.
Следует также повторить соотношение разрядных единиц и пре¬
образование единиц высших разрядов в единицы соседних низ¬
ших разрядов.Решая пример 875 — 528, ученик рассуждает так: «Из 5
_875 единиц не можем вычесть 8 единиц; берем 1 десяток
628 из 7 десятков (ставим точку над цифрой 7); 1 дес. и5	ед.— это 15 единиц, из 15 единиц вычтем 8 единиц, по¬
лучится 7 единиц, записываем ответ под единицами и т. д.»На одном из подобных примеров можно пояснить, почему
удобнее письменное вычитание начинать с единиц.Наиболее трудным является решение примеров вида:
900—547, 906—547, 1000 — 456, которые рассматриваются в
III классе. Затруднения здесь возникают в связи с тем, что
преобразование одних разрядных единиц в другие приходится
выполнять несколько раз (1000 — 456, так как единиц, десятков
и сотен нет, берем 1 тысячу, раздробляем ее в сотни, получаем
10 сотен; из 10 сотен берем одну сотню — ставим точку и запо¬
минаем, что осталось 9 сотен; 1 сотню раздробляем в десятки,
получаем 10 десятков и т. д.). Можно еще раз обратиться к
наглядным пособиям (квадратам или счетам) и показать, что1	сотня — это 9 десятков и 10 единиц, 1 тысяча — это 9 сотен,9	десятков и 10 единиц.Для выработки вычислительных навыков на каждом этапе
изучения вычитания необходимо давать достаточное количество
упражнений тренировочного характера. В процессе выполнения
этих упражнений рассуждения учащихся должны становиться
более краткими, а вычисления выполняться быстрее.Примеры упражнений:1)	решите примеры на сложение и проверьте их вычитанием;2)	решите примеры на вычитание и проверьте Их вычитанием;3)	решите в столбик только те из данных примеров, которые
устно решить трудно;123
4)	объясните ошибки, допущенные при письменном решении
данных примеров;5)	вставьте пропущенные цифры:_252	_625	_857	_86518.	1..	.2.	2.7..4 , .23	6.8	6586)	решите данные примеры, установите, чем похожи прие¬
мы вычислений в каждом столбике, составьте к каждому стол¬
бику и решите еще 2 (3, 4) подобных примера:567-209	478-89	538-229684 - 406	234 - 65	465 - 156395-107	356-78	644-335Позднее включаются упражнения с равенствами, неравен¬
ствами, уравнениями, в которых приходится применять пись¬
менные вычисления.Умножение и деление в пределах 1000В концентре «Тысяча» рассматривают только устные приемы
умножения и деления, при этом ограничиваются следующими
случаями; 1) умножение и деление круглых сотен на однознач¬
ное число (например, 200-3, 800:4); 2) умножение круглых де¬
сятков на однозначное число и соответствующие случаи деле¬
ния (например, 60-7, 240:3).Приемы вычислений в примерах первой группы сводятся
к табличному умножению и делению круглых сотен:200-3	800:42	сот.-3 = 6 сот.	8 сот.:4 = 2 сот.200-3 = 600	800:4 = 200Решение примеров второй группы сводится к табличному
умножению и делению круглых десятков. Пояснить решение
примеров можно так:60-7	240:36 дес.-7 = 42 дес.	24 дес.:3 = 8 дес,60-7 = 420	240:3 = 80Вычислительный прием учащиеся могут дать сами. В случае
затруднений надо включать упражнения на преобразование чи¬
сел, например: «Сколько всего десятков в числах 60, 90, 120,
240?» Полезно сопоставить данные примеры с примерами на
табличное умножение и деление: 6-4, 60-4, а также 32:8 и
320:8.124
Для выработки вычислительных навыков устного умножения
и деления включаются разнообразные тренировочные упражне¬
ния, аналогичные упражнениям для сложения и вычитания.В результате изучения действий над числами в пределах 1000
учащиеся должны овладеть навыками устных вычислений, а
также усвоить алгоритмы' письменного сложения и вычитания.
Кроме того, более прочными и более обобщенными должны
стать их знания об арифметических действиях (смысл дейст¬
вий, свойства, взаимосвязь результатов и компонентов).§ 4. Многозначные числаНумерация многозначных чисел и действия над ними выде¬
ляются в особый концентр потому, что нумерация чисел за пре-
делами 1000 имеет свои особенностиГмногозначные числа обра¬
зуются. называются, записываются с опорой не только нй ПбНй-
тйё разряда, но и на понятие класса. Необходимо р'ас^КРЫТЬ ^т6
важнейшее понятие нашей системы счисления!	^—-Арифметические действия над многозначными числами вы¬
полняются с использованием как устных, так и письменных
приемов вычислений. Выработка осознанных и прочных навы¬
ков письменных вычислений — одна из основных задач изучения
действий над многозначными числами.Порядок изучения вопросов в концентре «Многозначные
числа» такой: нумерация, сложение и вычитание, умножение и
деление. Одновременно рассматриваются задачи, измерение ве¬
личин, алгебраический и геометрический материал.Нумерация многозначных чиселОсновные задачи учителя при изучении этой темы — форми¬
ровать понятие о новой счетной единице — тысяче как единице
втпрпгг. кляс^ся: опираясь на понятие класса, научить читать и
З^исыьать мнотозначные числа; обобщить знания детей о нуме-
раи.ии целых нео1'рицательных 'чпсел.На этапе подготовки к изучению темы необходимо
закрепить знания детей о соотношении известных им разрядных
единиц, о десятичном составе трехзначных чисел, о натуральной
поглеловятельности чисел в пределах 1цци. о принципах записи'
трехзначных чисел. С этой целью на уроках, предшествующих
изучению нумерации многозначных чисел, включают такие за¬
дания:1)	Сколько единиц в одном десятке, сколько десятков в од¬
ной сотне, на сколько одна сотня меньше тысячи, во сколько* Алгоритм —точное предписание, правило о выполнении в опреде¬
ленном порядке некоторой системы операций, позволяющее решать совокуп¬
ность задач определенного класса. (Толковый словарь математических тер-
минов/Под ред. В. А. Диткина. М., 1965.)	^125
раз десяток больше единицы, во сколько раз десяток меньше
сотни, как по-другому называется десяток миллиметров, сотня
сантиметров и т. п.?2)	Какое число состоит из 7 сотен 5 десятков; из 2 единиц
III разряда, 2 единиц И разряда и 2 единиц I разряда? Сколько
единиц каждого разряда в числе 995? Сколько в нем всего
единиц, сколько всего десятков? Замените число 380 (308,
388) суммой разрядных слагаемых.3)	Присчитывайте (отсчитывайте) по 1 (по 10, 50, 100), на¬
чиная с числа 500; назовите число, следующее при счете после
числа 199, предшествующее числу 300.4)	Запишите число 909. Сколько всего цифр потребовалось
для записи? Сколько различных цифр использовано? Что обо¬
значает каждая цифра? Запишите этими же цифрами другое
число. Что теперь обозначает цифра О (отсутствие единиц I раз¬
ряда)? Запищите с помощью цифры 8 трехзначное число. Что
обозначает цифра 8, стоящая в числе на 1-м (2-м, 3-м) месте
справа?При ппнтопении нумерации чисел в пределах 1000 целесооб¬
разно уп^ажня^'дётейв'обозначении чисел на счетах.Полезно заранее сообщить детям о том, что они скоро будут
учиться считать до миллиона и записывать многозначные числа,
пре{1лпжить несколько устных заданий на присчитывание с вы¬
ходом за 1000. Это способствует появлению интереса у детей
к данной теме, активизирует их самостоятельную познаватель¬
ную деятельность.Изучение нумерации многозначных чисел начинают с
того, чр повторяют, как мВжнц'ййлучИГьНтасячу.! ПрИ1.чн[ыиццпо одному, начиная, например, с числа 995, учащиеся выписы¬
вают ряд чисел до 1000 включительно и устанавливают, что
ппга-р ияийплыттего трехзначного числа идет первое, самое ма¬
ленькое четырехзначное— ЮППГ Используя счеты, повторяют
также образование разрядных единиц в результате группировки
предшествующих, более мелких единиц (10 ед.= 1 дес.;
10 дес. = 1 сот.: 10 сот.= 1 тыс.).	^Основными наглядными посооиями являются счеты и нуме¬
рационная таблица (таблица разрядов и классов). Полезно эти
пособия иметь не только для общеклассного, но и для индиви¬
дуального пользования.Учитель поясняет, что тысячи можно считать как простые
едишшы—IX тыс.. 'I тыс. и т. д.) и^руппировать их в десятки
и сотни. И(;:пользуя<^чет[7^ велут с'Гет единиц тысяч (отклады¬
вая их на ч?ТБ^ртойТ1ровЬлоке Снизу) до 10 тысяч, »^тг>рир
меняют 1 десятком тысяч (птклапывяют на пятой проволоке
г.н^1яу), яятем считают ^тегятки тысяч и, пплучив Ш десятков ты-
сяч..заменяют их 1 сотней тысяч (откладывают на шестой про-
в0Л0|Ке снизу), наконец, считают сотни тысяч пп 10 и яяменяшт10	сотен тысяч I миллионом (откладывают на седьмой проволо-126
кеснизу). Целесообразно образование новых разрядных еяиниц
зафиксировать в записи: 10 ед. тыс.= 1 дес. тыс.. 10 лес. тыс.=
"■=1 сот, тыс., ш сот. тыс.-=1 млн., расположив ее столбиком
рядом с предыдущими записями, ^го поможет детям увидеть
сходство в образовании и названиях разрядных единиц (10 еди¬
ниц составляют 1 десяток, 10 единиц тысяч составляют 1 деся-1^ток тысяч и т. д.).				^И Затем идет работа с^}Умерационной таблид^, в которой
/обозначены (или обозначайся самими детьми) названия всех
разрядных единиц от единиц до сотен тысяч. Учитель дает по-
у{;нинт?ё (или лети чита1от_по учебнику) о.том, что единицы.
десятки и сотни обряяуютП кляс^сУ или класс единиц, а единицы
тысяч, десятки тыгяч. готни тысяч обра^тю! И клаот; или класс
тьГсяч '(соответствующие записи внося ген в таблицу). Полезно
затем	и установить их сходство и разли¬чие: в каждом классе по три разряда, единица каждого раз¬
ряда в 10 раз больше предыдущей, но в I классе считают и
группируют единицы, а во II кдае«а^=::^т^ячи.Далее изучаются числа<^ класса Округлые тыся¬чи). Начать работу можно с изттбпЗ^ния чжел на счетах.
Йета вспоминают, где на счетах'откладывают еданицы7д5сЙ1'ки,
сотни (т. е. числа I класса), а где единицы тысяч, десятки ты¬
сяч, сотни тысяч (числа II класса). Помочь детям запомнить
расположение на счетах разрядных единиц можно так: на вер¬
тикальную планку счетов прикрепить бумажную полоску с но¬
мерами классов и разрядов. Сначала учащиеся обозначают на
счетах числа I класса (например, 7, 97, 697, 600 и т. п.), а за¬
тем числа II класса (7 тыс., 47 тыс., 547 тыс.). Последнее уп¬
ражнение можно повторить, отложив на счетах числа «потруд¬
нее»: 670 тыс., 600 тыс., 70 тыс.Аналогичная работа может быть проведена по нумерацион¬
ной таблице (начерченной на доске и в тетрадях или данной
в учебнике), но основное внимание теперь надо обратить на осо-
блшссш^ап^ чисел II класса; Ш1	крцде сбр^начащо^<рр[сувие йдй1^иц I. II и 1П разрядов, т. ег отТутствие 1едннйпI	класса "(но'не отсутствие самих разрядов или класса, как го¬
ворят иногда дети).На этом этапе рассматривается также десятичный состав
чисел II класса: «Назовите число, в котором 3 сотни тысяч и
б десятков тысяч (3 сотни тысяч и 5 единиц тысяч и т. п.).
Сколько единиц каждого разряда в числе 782 тыс.? Сложите
числа 500000 + 40 000 + 8 000; замените число 675000 суммой
разрядных слагаемых». Этому же способствуют устные вычис¬
ления вида: 200 тыс.+ 60 тыс., 375 тыс. —75 тыс. и т. п. В ре¬
зультате выполнения таких упражнений учащиеся придут к
обобщению: числа И класса образуются из тысяч точно так же.
как ЧИСЛ=1 !	<.пицни; ПОИ ЧТе1|ИИ. ЧИС6Л II К.ПаСГЯ —бавляют слово «тыг^чи:» я на письме пишут в клясге тыгяч.т.е.127г
ьпишут цифрами на четвертом, пятом и шестом местах, считая
справа налево.На следующем этапе приступают к изучению нумера-
ии многозначных чисел, состоящих из единиц
первого и второго класса. Первые упражнения можно
провести, используя нумерационную таблицу. Например, наВторой класс-класс тысячПервый класс —класс единицVI разряд
сотнн тысячV разряд
десятки тысячIV разряд
тысячиIII разряд
сотниII разряд
десятки1 разряд
единицытаблице обозначено число 438000. После выяснения зна¬
чения трех нулей в записи этого числа к нему прибавляют чис-0	I класса (положим, 127). Карточки с цифрами, обозначаю¬
щими число I класса, помещаются прямо на нули в записи
|Числа II класса. Это дает возможность наглядно иллюстриро¬
вать затем запись чисел с нулями (вида 438107, 438120,
438 007). Аналогично рассматривается еще несколько много¬
значных чисел. Учащиеся читают числа, записывают их снача¬
ла в таблице разрядов, а затем без нее. Для закрепления уме¬
ний читать и записывать многозначные числа полезно сразу же
включить упражнение, обратное первому,— на замену много¬
значного числа суммой чисел I и II класса (35 708 = 35 000 + 708,
400 009 = 400 0004-9 и т. п.). Обратить внимание детей, что при
записи чисел полезно отделять классы небольшим промежутком.На уроках по изучению нумерации важно использовать ма¬
териал, взятый из жизни, характеризующий развитие нашей
страны и братских стран социализма, достижения в завоевании
космоса, интересные числовые данные о животных и растениях
и т. п. С ЭТОЙ целью полезно организовать сбор детьми инте-
ресных числовых данных с записью иу в инпииилуяльные или
ЫщекласСНЫё Справочники. Числовой материал учащиеся соби¬
рают на экскурсиях, при чтении газет, журналов, книг, а также
узнают из бесед со взрослыми (например, о выпуске продукции
тех предприятий, на которых трудятся родители).Далее учащиеся не только учатся читать и записывать мно¬
гозначные числа в пределах миллиона, но и более подробно
останавливаются на десятичном составе чисел, а также на их
натуральной ^оследоватёЛЬНйсТИ.	вОИрисы рассматри-ваю1^сн Ц7~Взаим^вязи. Нагтцимгр. названное учителем число
600 040 дети разбирают по составу: «В этом числе 600 единицII	класса и 40 единиц I класса», объясняют запись и записы¬
вают: «Пишу сначала 600 тысяч, так как отсутствуют сотни,128
на их месте пишу нуль, а затем пишу число 40». Это же число
может быть отложено на счетах: «Здесь 6 ед. VI разряда —
откладываю 6 на шестой проволоке и 4 ед. II разряда— откла¬
дываю 4 на второй проволоке». Полезно установить место этого
числа в ряду чисел, т. е. назвать число, которое при счете пред¬
шествует ему и которое следует за ним. Наконец, можно обра¬
тить внимание на особенности записи числа: «Это число шести¬
значное, но использованы всего три различные цифры: 6, О, 4».
Дети объясняют значение каждой цифры в записи числа.Необходимо обобщить знание детей о натуральном ряде
чисел, называя неиосцелсшиннц следушШЕГ И ■П&аДШД^П^тицт. ■
число относительно данного, решая п^меры видд-
щ.иёся вспоМИНак)т. как~ооразуются числа при счете (в нату-
рально^Г~ряДУ). -С;1едуе;0||УГЯН1тит.ыа- Ья рягрмптррнии ппг^.
•йовательности однозначных, двузначных и т. д. чисел, в каждой
1^3 которых есть первое (наименьшее~) и Нбследнее (наибольшее)~~
число, полезно вместе с детьми сделать такую схематическуюзапись: 1, 2, 3, ..., 9, 10, ..., 99, 100	999, 1000	 9999, 10000,..., 999 999, 100 000, ..., 999 999, 1000000	Используя такую запись, дети легко подмечают, что после
нар1бпл*ьп1егп ллнозначного идет наименьшее двузначное, после _
наибольшего двузначного идет наименьшее трехзначное и т. д.
К{Гоме того, выписав наименьшее и наибольшее шестизначное
ч1^ло. они без труда устанавливают, что можно и далее назы¬
вать ЧИР1Я, прнгчитывая-яе-одному. и что затем пойдут сешГ
значные. восьмизначные и т. д. числа. Таким оора^бМ уча¬
щиеся подходят к пониманию бесконечности натурального ряда ~
г-	-—.—					следующем этапе переходят кзакреплению знаний
и умений учащихся.Раскроем методику работы над отдельными вопросами.Увеличение и уменьшение числа в 10. 100. 1000 раз основы-,^
■вается" на примё11епЧи имеющихся у детей знаний о плмротнпм
значении цифр при записи чисел. Учитель организует наблюде¬
ния детей за изменением значения цифры при перемещении ее
в записи числа, которое происходит, если приписать к числу
или отбросить один, два, три нуля. Так, приписав справа нуль
к числу 5, дети отмечают, что теперь цифра 5 стоит на втором
месте, считая справа налево, и обозначает десятки, а 5 десятков
больше, чем 5 единиц, в 10 раз. Аналогично сравнивают 7 и 70,9 и 90 и т. п. и делают вывод, что если припишем к числу нуль
справа, то оно увеличится в 10 раз. Так же подводят детей к
выводу об увеличении числа в 100 и 1000 раз. Рассматривая
уменьшение числа в 100, 1000 раз, берут числа, оканчивающиеся
нулями, и, получив из них отбрасыванием одного, двух, трех
нулей новые числа, производят сравнение и делают выводы.
Эти знания учащиеся сразу же применяют к решению приме¬
ров на умножение и деление чисел на 10, 100 и 1000.9 Заказ № «87	129
^ Закреплению знаний по нумерации помогают упражнения в
преобразовании натуральных чисел и величин — замена мелких
единиц крупными и, обратно, замена крупных единиц мелкими.
гШ1^але эти задания выполняются да^снове нумерации, а по-,
дпм уже способы преобразований обобищотся. в видёП1оавш^
Так, заменяя единицы десятками, учащиеся пбксняют преоВра-^
зования:50 = 5 дес., 100=10 дес., 120=10 дес. + 2 дес.= 12 дес.,1120=100 дес.+ Ю дес. + 2 дес.= 112 дес. и т. п.Сравнивая числа, дети делают вывод: чтобы выразить в де¬
сятках круглое число, надо отбросить в нем справа один нуль.
Так же можно подвести детей к выводу о замене единиц сотня¬
ми (отбросить в числе справа два нуля) и тысячами (отбросить'
в числе справа три нуля). Аналогично учащиеся подводятся к
выводу о том, как произвести обратное преобразование, т. е.
как заменить десятки, сотни и тысячи простыми единицами
(к числу десятков надо приписать справа один нуль, к числу
СОт«	ддд-цупд, цирпу ТЪ1СЯЧ — ТрИ нуЛЯ).преобразования величин чисёлусводятся к соответст-
вуюйщм 6перйЦи;ш над иа1у[)альнь1МИ числами: чтобы устано¬
вить, сколько метров содержится в 7200 см, вспомним, что
каждая сотня сантиметров составляет метр; най¬
дем, сколько сотен в данном числе (72)—сколько будет мет¬
ров. Чтобы выразить 12 руб. в копейках, вспомним, что 1 руб.
равен 1 сотне копеек, значит, 12 руб. равны 12 сотням
копеек, или 1200 коп.Далее рассматриваются ^олее трудные случаи преобразова¬
ния натуральных чисел и велйТин. папример, требуется найти,
сколько всего десятков (сотен, тысяч) в числах вида 75 475,
70009 и т. п., заменить значение величины, выраженной в еди¬
ницах одного наименования, значением той же величины, выра¬
женной в единицах двух наименований: 1845 см = П м □ см и,
обратно: 25 кг 500 г = 0 г, 75 руб. 05 коп.= П коп. и т. д. Не¬
сколько упражнений сначала выполняются с подробными поясне¬
ниями вычислений (например, в числе 75 475 содержится всего
7547 десятков, так как 7 дес.+ 40 дес.4-500 дес.-Ь 7000 дес.=
= 7547 дес.; в этом числе 754 сотни, так как 4 сот.-1-50 сот.+
4-700 сот. = 754 сот.). Затем на основе сопоставления полученно¬
го числа и данного учащиеся приходят к выводу: чтобы узнать,
сколько десятков содержится во всем числе, надо отбросить в
нем единицы и прочитать оставшееся число; чтобы узнать, сколь¬
ко сотен содержится во всем числе, надо отбросить единицы и
десятки и прочитать оставшееся число, и т. д.Эти же правила используются при выполнении преобразо¬
ваний величин. Например, надо установить, сколько центнеров
и килограммов составляют 75 475 кг; так как центнер — этот
1	сотня килограммов, значит, центнеров будет столько, сколько
всего сотен в этом числе, а число, меньшее 1 сотни, покажет,
сколько будет килограммов (754 ц 75 кг).Существуют и другие приемы объясйения преобразований
числовых значений. При выборе приема необходимо помнить,
что данные упражнения должны служить закреплению знаний
■ч /и умений по нумерации.о	На следующем этапе работы учащиеся знакомятся с ну^
мерацией 7—9-з начных чис ел. что дается также в ос-
новном с целью закрепления и обобщения знаний о десятичной
системе счисления и натуральном ряде чисел. Работа над этими
числами строится по такому же плану, как и над 4—6-значными
числами.Заканчивая рабату над темой, целесообразно систематизи¬
ровать знания детей по нумерации. С этой целью можно пред¬
ложить учащимся охарактеризовать какое-либо данное много¬
значное число (например, 9409). Обобщая ответы детей, учитель
формулирует ряд заданий, которые следует написать либо на
листочках каждому ученику, либо дать на большом плакате как
общеклассное пособие. «Схема разбора числа» может иметь сле¬
дующие задания (в скобках даны образцы ответов, в памятке
их писать не следует):1)	Прочитайте число (девять тысяч четыреста девять).2)	Назовите число единиц каждого разряда и каждого клас¬
са (9 ед. I разряда, или 9 ед.; 4 ед. III разряда, или 4 сотни;
9 ед. IV разряда, или 9 тысяч; 409 ед. I класса и 9 ед. II класса).3)	Назовите общее число единиц каждого разряда (9409 ед.,
940 дес., 94 сот., 9 тыс.).4)	Замените число суммой разрядных слагаемых (9409 =
= 9000+4004-9).5)	Назовите число, предшествующее при счете данному, и
число, следующее при счете за данным (9408, 9410).6)^	Назовите наименьшее и наибольшее числа, которые
имеют столько же разрядов, что и данное число (1000, 9999).7)	Укажите, сколько всего цифр понадобилось для записи
данного числа и сколько среди них различных (всего 4 цифры,
различных 3).8)	Используя все цифры данного числа, запишите наимень¬
шее и наибольшее числа (4099, 9940).Учащиеся читают задание по таблице вслух или про себя
и выполняют его устно или письменно. Можно иногда предла¬
гать не все, а часть заданий. «Схема разбора числа» помогает
закреплять знания детей по основным разделам нумерации.Расширить и углубить знания по нумерации можно на
внеклассных занятиях (например, на тему «Как считали люди
в далеком прошлом», «Числа-великаны» и др.).9*	131
Сложение и вычитание многозначных чиселПри изучении этой темы основными задачами учителя явля¬
ются: обобщить и систематизировать знания учащихся о дейст¬
виях сложения и вычитания, закрепить навыки устного сложе¬
ния и вычитания, выработать осознанные и прочные навыки
письменных вычислений. Сложение и вычитание многозначных
чисел изучаются одновременно. Это создает лучшие условия для
овладения знаниями, умениями и навыками, так как вопросы
теории этих действий взаимосвязаны, а приемы вычислений
сходны.Подготовительную работу к изучению темы начи¬
нают еще при изучении нумерации многозначных чисел. С этой
целью прежде всего повторяют устные приемы сложения и вы¬
читания и свойства действий, на которые они опираются, напри¬
мер: 8400-1-600, 9800-700, 2000-1700, 740 000+160 000 и т. п.
Повторяют также письменные приемы сложения и вычитания
трехзначных чисел. Полезно в устные упражнения включить за¬
дания на сложение и вычитание разрядных чисел с пояснениями
вида: 6сот.+ 8сот. = 14 сот.= 1 тыс. 4сот.; 1 сот. тыс. 5дес. тыс.——	7 дес. тыс.= 15 дес. тыс. —7 дес. тыс. = 8 дес. тыс. Такая под¬
готовительная работа создает возможность учащимся самостоя¬
тельно объяснить письменные приемы сложения и вычитания
многозначных чисел.При ознакомлении с письменным сложением и вычитанием
многозначных чисел учащиеся решают такие примеры, где каж¬
дый последующий включает в себя предыдущий, например:,752 ,4752 ,54752 _837 _6837 _76837 _376837
■^246 ■^'3246 ■^43246 425 2425 52425 152425После решения таких примеров учащиеся сами сделают вы¬
вод о том, что письменное сложение и вычитание многозначных
чисел выполняют так же, как и письменное сложение и вычи¬
тание трехзна^ных чисел.Далее случаи сложения и вычитания вводятся с нарастаю¬
щей трудностью: постепенно увеличивается число переходов
через разрядную единицу; включаются случаи вычитания, когда
в уменьшаемом содержатся нули; изучается сложение несколь¬
ких слагаемых, а также сложение и вычитание величин. Знако¬
мясь с новыми случаями, дети сначала дают подробные поясне¬
ния вычислений (называют разрядные единицы и выполняемые
преобразования), например:К 9 единицам прибавим 7 единиц, получится 16 еди-
47099 ниц, или 1 десяток и 6 единиц; 6 единиц записываем
‘ ^007 под единицами, а десяток прибавим к десяткам. К9де-
53106 сяткам прибавим О десятков, получится 9 десятков,
да еще 1 десяток — получится 10 десятков, или 1 сот¬
ня, на месте десятков в сумме пишем О, а 1 сотню прибавим132
к сотням, о сот.+О сот. = 0 сот., О сот.+ 1 сот.= 1 сот. К 7 ты¬
сячам прибавим 6 тысяч, получится 13 тысяч, или 1 десяток
тысяч и 3 единицы тысячи. 3 единицы тысячи записываем, а
1 десяток тысяч прибавим к 4 десяткам тысяч, получится 5 де¬
сятков тысяч. Сумма 53 106.После того как дети усвоят прием вычисления, переходят к
сокращенным пояснениям решения: вслух и про себя. Покажем
на этом же примере: 9 да 7 — шестнадцать, 6 пишем, 1 запоми¬
наем; 9 да О —девять, да 1 —десять, О пишем, 1 запомина¬
ем; О плюс О — нуль, да 1 — один (записываем) и т. д. Краткие
пояснения способствуют выработке навыков быстрых вычис¬
лений.Некоторую трудность представляют случаи вычитания, когда
уменьшаемое выражено разрядным числом. Последовательное
раздробление единиц высшего разряда в единицы низшего удоб¬
но проиллюстрировать на счетах (1000 можно представить как9	сот., 9 дес., 10 ед.; 10 000 —как 9 тыс., 9 сот., 9 дес., 10 ед. и
т. д.). Полезно, кроме того, включить в устные упражнения ре¬
шение с пояснением таких примеров: 1 дес.—2 ед., 1 сот.—5 дес.,1	тыс. —7 сот. и т. п. Особое внимание следует уделить случаям
вычитания, в которых последовательное раздробление единиц
высшего разряда выполняется неоднократно, например;
400 100 — 205708. Целесообразно подобные случаи сопоставить
с предыдущими (700000—4097 и 701 000 — 4097 и т. п.), а также
требовать подробного объяснения решения примеров. Например;Из нуля единиц не можем вычесть 8 единиц. Берем• . • » 1 сотню (ставим точку над сотнями) и раздробля-
сотню в десятки. В 1 сотне 10 десятков, берем
205 708	десятков 1 десяток (запомним, что осталось9	десятков). Раздробляем десяток в единицы, по¬
лучаем 10 единиц. Из 10 единиц вычитаем 8 единиц, получается2	единицы. Из 9 десятков вычитаем О десятков, получается 9 де¬
сятков. Из нуля сотен не можем вычесть 7 сотен. Берем 1 сот¬
ню тысяч, раздробляем ее в десятки тысяч, получаем 10 десят¬
ков тысяч, из них берем 1 десяток тысяч и раздробляем его в
единицы тысяч (запомним, что осталось 9 десятков тысяч) и т. д.
Позднее дети кратко поясняют решение примеров на вычитание.
Приведем сокращенное пояснение к рассмотренному примеру:
берем 1 сотню, из 10 вычитаем 8, получится 2; из 9 вычитаем
нуль, получится 9; берем 1 сотню тысяч, из 10 вычитаем 7, по¬
лучится 3; из 9 вычитаем 5, получится 4; из 9 вычитаем О, полу¬
чится 9; из 3 вычитаем 2, получится 1; разность 194 392.Как и в других случаях, для выработки навыков вычислений
необходимо включать разнообразные упражнения. Следует как
можно чаще предлагать задания: решить и выполнить проверку
решения примеров одним из способов или реже двумя спосо¬
бами. Это помогает не только закрепить знания связей между
результатами и компонентами действий, но и способствует вы¬133
работке вычислительных навыков и воспитывает привычку конт¬
ролировать себя.При изучении сложения и вычитания многозначных чисел
важно уделить внимание устным приемам выполнения этих дей¬
ствий, иначе, овладев письменными приемами вычислений, дети
начинают применять их как для письменных, так и для устных
случаев. С этой целью необходимо при решении примеров пред¬
лагать учащимся самим выбирать примеры, которые они могут
решить устно (с записью в строчку), и лишь наиболее трудные
примеры решать с помощью письменных приемов (с записью
в столбик). В устных упражнениях следует систематически за¬
креплять приемы устного сложения и вычитания 2—3-значных
чисел, а также многозначных с применением приемов переста¬
новки и группировки при сложении нескольких чисел, с исполь¬
зованием там, где уместно, приема округления одного из ком¬
понентов сложения и вычитания.Вслед за изучением сложения и вычитания многозначных
чисел приступают к сложению и вычитанию величин, выражен¬
ных в единицах двух наименований, так как приемы этих вы¬
числений сходны. Умение выполнять действия над величинами
необходимо для решения задач. Действия над величинами мож¬
но выполнять по-разному: либо сразу складывать (вычитать)
единицы одинаковых наименований, начиная с низших, попутно
выполняя соответствующие преобразования, либо сначала пере¬
вести данные величины, выраженные в единицах двух наимено¬
ваний, в величины, выраженные в единицах одного наименова¬
ния; выполнить действие и результат выразить в единицах двух
наименований. Н тот и другой прием показывают учащимся.Первый способ экономный в записи, хорошо иллюстрирует
аналогию действий над натуральными числами и величинами,
но несколько труден для детей. Использование его следует ог¬
раничить 2—3 упражнениями, цель которых — сопоставить при¬
емы вычислений:,12647 ,12 т 647 кг ,12 км 647 м 13086 13 км 086 м5384 5 т 384 кг 5 км 384 м 8265 8 км 265 м(10 сотен образуют 1 тысячу, которую прибавляем к тысячам,
...10 сотен килограммов образуют 1 тысячу килограммов, или
1 т, которую прибавляем к тоннам, и т. п.; из О сотен 2 сотни
не вычесть, берем I тысячу, 1 тысяча составляет 10 сотен, из10	сотен вычитаем 2 сотни и аналогично: ...занимаем 1 км, в1	км—1000 м, или 10 сотен метров, из 10 сотен метров вычи¬
таем 2 сотни метров.) Как видно, здесь приходится детям опе¬
рировать числами вида 10 сотен килограммов, 10 сотен мет¬
ров, 10 десятков копеек и т. п., которые имеют двойные наиме¬
нования — единиц счета и единиц измерения, что, безусловно,
затрудняет их преобразования и действия над ними.134
Второй способ сложения и вычитания величин гораздо про¬
ще, хотя и более громоздкий в записи,— наиболее широко ис¬
пользуется при решении примеров и задач. Чтобы сократить за¬
писи, перевод величин из одних единиц в другие можно выпол¬
нять устно и не записывать:124 руб.—78 руб. 50 коп. = 45 руб. 50 коп. _1240078504550 (коп.)Несколько позднее изучается сложение и вычитание вели¬
чин, выраженных в единицах времени. Эти вычисления гораздо
сложнее, потому что единицы времени находятся в недесятич¬
ных соотношениях. На это специально обращают внимание де¬
тей, предлагая им сравнить решение примеров (т. е. найти сход¬
ное и различное в приемах вычислений):.13 м 54 см .13 ч 54 мин 	12 м 34 см 	12 ч 34 мин6 м 46. см 6 ч 46 мин 8 м 56 см 8 ч 56 мин20 м 00 см 20 ч 40 мин 3 м 78 см 3 ч 38 минСложение и вычитание величин, выраженных в двух едини¬
цах времени, целесообразно выполнять, не производя перевода
их в величины, выраженные в единицах одного наименования,
например:Из 10 мес. нельзя вычесть 11 мес., берем
_12 лет 10 мес. 1 род и выражаем его в месяцах—12 ме-5	лет 11 мес. сяцев. 12 мес. да 10 мес.— это 22 мес. Из6	лет И мес. 22 мес. вычтем 11 мес., получим 11 мес.,из 11 лет вычтем 5 лет, получим 6 лет.Упражнения на сложение и вычитание величин, выраженных
в единицах времени, с небольшими числами надо выполнять
устно, без записи вычислений столбиком.В процессе изучения сложения и вычитания многозначных
чисел повторяют и закрепляют знания о действиях: названия
компонентов и результатов действий, свойства, нахождение не¬
известных компонентов, рассматривается вопрос об измене¬
нии суммы и разности при изменении одного из компонентов.Умножение и деление многозначных чиселВ процессе изучения умножения и деления многозначных чи¬
сел учащиеся должны усвоить основные устные и письменные
приемы умножения и деления, овладеть соответствующими вы¬
числительными умениями и навыками, расширить, углубить и
систематизировать знания о действиях умножения и деления, их
свойствах, о взаимосвязях между результатами и компонента¬
ми действий, об изменении произведения и частного при изме¬
нении одного из компонентов.135
Приемы умножения и деления многозначных чисел сущест¬
венно различны и значительно сложнее приемов сложения и
вычитания многозначных чисел. Поэтому приемы умножения и
деления многозначных чисел вводятся перемежаясь, при этом
выделяются три этапа: I этап — умножение и деление на одно¬
значное число; И этап —умножение и деление на двузначные
и трехзначные разрядные числа; П1 этап — умножение и деле¬
ние на двузначное и трехзначное число. На каждом из данных
этапов сначала изучается умножение, а затем деление. Такой
порядок Изучения умножения и деления многозначных чисел со¬
здает благоприятные условия для усвоения как особенностей
каждого действия, так и существующих связей между умноже¬
нием и делением. Кроме того, перемежение вносит разнообра¬
зие в уроки математики, дает возможность решать задачи
различных видов. Все это положительно влияет на усвоение
многих вопросов программы.На каждом этапе наряду с умножением или делением на¬
туральных чисел изучается умножение или деление величин на
число. Например, после умножения на однозначное число на¬
туральных чисел рассматривается умножение на это же число
величин.В умножении и делении многозначных чисел выделяют част¬
ные случаи. К частным случаям умножения относят случаи с
нулями (нулем) в множителях: первый или второй множитель
оканчивается нулями (87 600-4 и 376-240), нули в середине вто¬
рого множителя (875-304), а также различные сочетания этих
случаев (170-230; 1360-103). К частным же случаям деления
относят случаи с нулями (нулем) в частном: частное оканчи¬
вается нулями (227 200:4 = 56 800); нули в середине частного
(72 450:7=10 350).Частные случаи вводятся постепенно, вслед за соответствую¬
щими общими случаями. Так, например, при изучении письмен¬
ного умножения на однозначное число вводится частный слу¬
чай с нулями (нулем) на конце первого множителя—17 800-7.
Такой порядок введения частных случаев помогает усвоению как
общих, так и частных случаев умножения и деления многознач¬
ных чисел.Для удобства изложения мы рассмотрим сначала методику
изучения умножения, а затем деления многозначных чисел.Умножение многозначных чисел на однозначное число. Под-
готовительная работа к изучению письменного умноже¬
ния сводится к повторению и обобщению ранее изученного ма¬
териала.В это время обобщаются знания учащихся о конкретном
смысле действия умножения. Выполняя упражнения на замену
суммы одинаковых слагаемых произведением и, обратно,' про¬
изведения суммой, учащиеся поясняют: умножить число 15 на3	— значит взять число 15 слагаемым три раза: 15-3=15-М5-Ь136
+ 15; умножить число а на 4 —значит взять его слагаемым4	раза: а-А = а + а + а+а. Обобщению знаний способствует ре¬
шение простых задач на умножение с буквенными данными, а
также составление задач по выражениям вида а-Ь.Повторяются случаи умножения с единицей и нулем. Выпол¬
няя упражнения вида; 1*12, 1-й, 14-1, с-1, 0-15, 0-/г, 13-0,
Ь-0, учащиеся повторяют правила умножения чисел с едини¬
цей и нулем.Рассматривается умножение разрядных чисел на однознач¬
ное: 400-2, 6000-3, 50 000-7. Учащиеся могут сами предложить
прием вычисления: 4 сот.-2 = 8 сот., 400-2 = 800.Включается умножение двузначного числа на однозначное,
при этом учащиеся повторяют свойство умножения суммы на
число: 13-4 = (10 + 3)- 4= 10-4 + 3-4 = 52.Затем учащимся предлагается проверить, применимо ли из¬
вестное им свойство, если в сумме не два, а три, четыре и бо¬
лее слагаемых. Берутся упражнения с небольшими числами, на¬
пример:1)	(8 + 5 + 4)-3=-17-3=512)	(8+5 + 4)-=8-3 + 5-3+4-3=51Вычислив разными способами значения выражений, дети
убеждаются, что умножение на число суммы трех, четырех и
более слагаемых можно выполнить по известному им правилу:
найти сумму и умножить ее на число или умножить каждое сла¬
гаемое этой суммы на число и полученные результаты сложить.
Свойство умножения суммы на число на данной ступени изуче¬
ния умножения учащиеся могут применить самостоятельно к
устному умножению многозначных чисел на однозначное, на¬
пример:2100-3= (2000+100)-3 = 2000-3+100-3 = 6300
5007-4= (5000 + 7)-4 = 5000-4 + 7-4 = 20 028Переход от устного умножения к письменному необходимо
построить так, чтобы учащиеся поняли, что сущность вычисли¬
тельного приема как при устном, так и при письменном умно¬
жении на однозначное число одна и та же: в обоих случаях
используется свойство умножения суммы на число, но письмен¬
ное умножение начинается с низших разрядов, устное — с выс¬
ших. Кроме того, дети должны осознать, что к письменному ум¬
ножению обращаются в том случае, когда устно вычислять
трудно.	'При ознакомлении учащихся с письменным умножением луч¬
ше взять такой пример на умножение трех- или четырехзнач¬
ного числа на однозначное, где были бы переходы через деся¬
ток или через сотню, т. е. где устно умножать трудно. Возьмем
пример; 418-3. Сначала учащиеся решают его знакомым им
способом: заменяют первый множитель суммой разрядных сла¬
гаемых и умножают сумму на число;137
418-3= (400+10+8)-3 = 400.3+10-3 + 8-3== 1200 + 30 + 24=1254Далее предлагается решить еще раз этот же пример, пере¬
ставив разрядные слагаемые:418-3= (8+10 + 400) -3 == 8-3 +10-3 + 400-3 = 24 + 30 +1200= 1254После этого учитель знакомит учащихся ^Е письменным ум¬
ножением на однозначное число: показывает новую запись стол-
"биком и дает подробное объяснение решения этого же примера.
Надо умножить 418 на 3. Записываем второй множи-
418 тель под единицами первого множителя. Проводим чер-
X 3 ту. Слева ставим знак умножения «X» (надо пояснить
" - детям, что умножение обозначается не только точкой,
но и таким знаком, хотя и здесь можно использовать
точку).Начинаем письменное умножение с единиц. Умножаем 8 еди¬
ниц на 3, получается 24 единицы. Это два десятка и 4 едини¬
цы. 4 единицы пишем под единицами, а 2 десятка запомним,1	десяток умножим на 3, получим 3 десятка, да еще 2 десят¬
ка, получим 5 десятков. Пишем их под десятками, 4 сотни ум¬
ножаем на 3, получим 12 сотен. Это 1 тысяча и 2 сотни. 2 сот¬
ни пишем под сотнями и 1 тысячу пишем на месте тысяч. Про¬
изведение 1254.От подробного объяснения решения примеров учащиеся под
руководством учителя переходят к краткому объяснению, когда
опускается название разрядных единиц и выполняемых преоб¬
разований, например:578 Надо умножить 578 на 4. Умножаю 8 на 4, получится 32.
^ 4 2 пишу, а 3 запоминаю. 7 умножу на 4, получится 28,
—да 3. Всего 31; I пишу, а 3 запоминаю. Умножаю 5 на 4,
получится 20, да 3. Всего 23; записываю 23. Произведе¬
ние 2312. Можно объяснить и так: четырежды восемь —трид¬
цать два. 2 пишу, 3 запоминаю. Четырежды семь — двадцать
восемь и т. д. Запись можно выполнять и в строчку: 578-4 =
= 2312.В начале изучения темы учитель сам сообщает ученикам,
что письменное умножение на однозначное число начинается с
единиц, а позднее полезно разъяснять, почему письменное ум¬
ножение, подобно сложению и вычитанию, начинают с низшего,
а не с высшего разряда.. С этой целью один и тот же пример
решают двумя способами:184	1842	3_	^ 3\\2’	55255138
Оказывается, что начинать письменное, умножение на одно¬
значное число с единиц высшего разряда неудобно, потому что
приходится зачеркивать ранее записанные цифры.Рассмотрим случаи с нулями в первом множителе. Пусть на¬
до 42 300 умножить на 6.Решение таких примеров записывают следующим образом:^ 42300	423 сот.^ а	А253800	2538 сот.Объяснение; подписываю второй множитель 6 под пер¬
вой отличной от нуля цифрой первого множителя, под циф¬
рой 3; в числе 42 300 содержится 423 сотни; умножаем 423 сот¬
ни на 6, получится 2538 сотен, или 253 800.При решении аналогичных примеров с подробным объясне¬
нием надо обратить внимание детей, что в таких случаях вы¬
полняют умножение, не обращая внимания на нули, записан¬
ные в конце первого множителя, и к полученному произведе¬
нию приписывают справа столько же нулей, сколько их запи¬
сано в конце первого множителя. При этом ведется краткое объ¬
яснение: трижды шесть—18, восемь пишу, 1 запоминаю, дваж¬
ды шесть ... припишу справа два нуля, получится 253 800.На данном этапе следует предлагать учащимся и умноже¬
ние однозначных чисел на многозначные: 9-136, 4-2836, 7-1230.
При решении таких примеров используется переместительное
свойство умноисения: 136-9, 2836-4, 1230-7.Ученики, ознакомившись с письменными приемами вычисле¬
ний, часто используют их в тех случаях, когда легко выполнить
вычисление устно. Важно предупредить этот нежелательный пе¬
ренос. С этой целью надо больше включать в устные упраж¬
нения соответствующие случаи умножения, а также сравнивать
письменный и устный приемы умножения на однозначное число.Вслед за умножением на однозначное число натуральных
чисел дается умножение величин, выраженных в метрических
единицах, например: 9 т 438 кг-3; 7 км 438 м-6. Эти примеры
можно решать по-разному: сразу выполнить умножение или
сначала заменить величины, выраженные в единицах двух наи¬
менований, величинами одного наименования и выполнить дей¬
ствие:9	т 438 кг-3 = 28 т 314 кг9	т 438 кг	9438^3	^328 т 314 кг	28314 (кг)Первый способ чаще применяется на практике при умноже¬
нии величин, выраженных в единицах стоимости (18руб. 25коп.-
■3=18 руб.-3+25 коп.-3 = 54 руб. 75 коп.). Второй же способ139
используется при решении задач, а также в дальнейшем при
умножении величин на любое двузначное и трехзначное число.Умножение на разрядные числа. После того как учащиеся
твердо усвоят умножение на однозначное число, рассматрива¬
ются приемы умножения на 10, 100, 1000, а затем на 40, 400,
4000.Умножение на 10, 100, 1000 здесь рассматривается в порядке
повторения. Впервые этот прием раскрывается в связи с изу¬
чением нумерации многозначных чисел (см. с. 125).При умножении на двузначные — четырехзначные разрядные
числа используется свойство умножения числа на произведе¬
ние, например: 14-60=14 • (6 -10) = 14-6 -10=840.Для знакомства с этим свойством учащимся предлагается
вычислить разными способами значение выражения 16-(5-2).
Под руководством учителя они находят значение выражения
такими способами:16-(5-2) = 16-10=16016. {5.2) = (16-5) .2=80.2= 16016. (5-2) = (16.2) .5=32-5= 160Учащиеся замечают, что в первом случае они умножили чис¬
ло 16 на произведение чисел 5 и 2; во втором — число 16 ум¬
ножили на первый множитель 5 и полученное произведение^
умножили на второй множитель 2; в третьем —число 16 умножи¬
ли на второй множитель 2 и полученное произведение умножи¬
ли на первый множитель 5; значения выражений одинаковые.
После выполнения нескольких таких упражнений учащиеся
формулируют свойство: «Чтобы умножить число на произве¬
дение, можно найти произведение и умножить число на по¬
лученный результат, а можно умножить число на один из
множителей и полученный результат умножить на другой
множитель».Свойство умножения числа на произведение применяется при
выполнений разнообразных упражнений: решение примеров и
задач различными способами, например: 8-(10-3); удобным
способом, например: 25-(2-7) = (25-2)-7 = 350; сравнение выра¬
жений, например: 24-5-10 и 24-50 и др.	^Затем это свойство используется для раскрытия вычисли¬
тельного приема умножения на двузначные — четырехзначные
разрядные числа.Предварительно вводятся подготовительные упражнения па
зам.ену разрядных чисел произведением однозначного числа и10	(100, 1000), например: 70=7-10, 600 = 6-100.Далее рассматриваются устные приемы умножения на раз¬
рядные числа. Например, надо 15 умножить на 30; представим
число 30 в виде произведения удобных множителей 3 и 10, по- .
лучим пример: 15 умножить на произведение чисел 3 и 10; здесь140
удобнее умножить число 15 на первый множитель — на 3 и по¬
лученный результат 45 умножить на второй множитель —на 10,
получится 450. Запись:15-30= 15-(3-10) = (15-3)-10 = 450Учащиеся иногда смешивают свойство умножения числй на
произведение со свойством умножения числа на сумму. Напри¬
мер, ошибка вида 15-12 = 300 свидетельствует о таком смеше¬
нии; ученик умножает 15 на 2 и полученный результат умножает
на 10, т. е. он заменил число 12 суммой разрядных слагаемых10	и 2, а далее умножал как на произведение этих чисел, т. е.
на число 20. Аналогичная ошибка встречается также при вы¬
полнении упражнений на сравнение выражений, например:27-7-10 = 27-7+27-10Чтобы предупредить такие ошибки, полезно предлагать уп¬
ражнения на сравнение соответствующих приемов вычислений.
Например, учащиеся решают с комментированием и .подробной
записью следующие примеры:6-50=6- (5-10)=6-5-10=300
6-15 = 6- (10+5)=6-10 + 6-5=90Затем выясняется, что в обоих примерах одинаковые первые
множители, но разные вторые; при решении примеров второй
множитель (50) заменили произведением удобных множи¬
телей (5 и 10) и использовали свойство умножения числа на
произведение: умножили число 6 на первый множитель и по¬
лученное произведение умножили на второй множитель. Во вто¬
ром примере множитель 15 заменили суммой разрядных сла¬
гаемых 10 и 5 и использовали свойство умножения числа на
сумму; умножили число 6 на первое слагаемое, потом умножи¬
ли это же число 6 на второе слагаемое и полученные результа¬
ты сложили.Полезно предлагать детям и упражнения на сравненте вы¬
ражений (поставить вместо звездочек знак «>», «<» или
« = »):36-10-4*36-14	17-5-10*17-5045-6 + 45-10*45-60	16-3-10*16-3+16-1021-4 + 21-3*21-12	18-9+18-10*18-19В целях предупреждения ошибок в смешении свойств ариф¬
метических действий, изучаемых в 1—111 классах, надо чаще
выполнять упражнения в их сравнении.После изучения приемов устного умно'жения на разрядные
числа вводятся приемы письменного умножения. Предлагается
решить пример 546-30.Будем вычислять письменно, запишем пример так:141
у 546 Число 546 сначала умножим на 3 и полученный ре-
^ 30 зультат умножаем на 10. Умножаем 546 на 3: триж-
100^0 ды шесть—18, восемь пишем, 1 запоминаем; триж¬
ды четыре—12, да 1, получится 13, три пишем, 1 за¬
поминаем; трижды пять—15, да 1, получится 16, записываем
16, получаем 1638. Умножаем 1638 на 10, для этого приписыва¬
ем к полученному числу справа один нуль. Произведение
16 380.Заметим, что здесь при умножении на однозначное число
(546-3) пользуемся кратким пояснением. Аналогично следует
поступать и в дальнейшем, когда в новых, более сложных слу¬
чаях умножения составной частью является умножение на од¬
нозначное число.Умножение на трехзначные и четырехзначные разрядные
числа выполняется так же, как и умножение на двузначные раз¬
рядные числа.Особого внимания заслуживают те случаи, в которых оба
множителя оканчиваются нулями, например; 20-30, 400-50:,
800-70, 4000-60 и т. д. Сначала при решении таких примеров
учащиеся рассуждают следующим образом: чтобы умножить
300 на 50, надо 3 сотни умножить на 5, а затем полученное
число умножить на 10, будет 150 сотен, или 15 000. Такие при¬
меры записываются в строчку и решаются устно.Аналогичным образом рассуждают ученики и при письмен¬
ном умножении в том случае, когда оба множителя оканчи¬
ваются нулями.Записывать такие примеры в столбик удобнее следующим
образом:^ 7800	3670	^ 1320^ 30	20	^ 400234000	73400	528000Наблюдая за выполнением умножения чисел, оканчиваю¬
щихся нулями, ученики приходят к выводу, что сначала в этих
случаях надо умножать числа, которые получатся, если отбро¬
сить эти нули, а затем к полученному произведению приписать
справа столько нулей, сколько их записано в конце обоих мно¬
жителей вместе. В дальнейшем при умножении чисел, оканчи¬
вающихся нулями, учащиеся руководствуются этим выводом.Умножение на двузначное и трехзначное число. Умножение
на двузначное и трехзначное число рассматривается на основе
свойства умножения числа на сумму.Полезно начать работу с устного умножения двузначного
числа на двузначное. Для ознакомления с приемом подбира¬
ются более легкие случаи, например:16-12= 16-(10-1-2) = 16-10+16-2= 160+32= 192Затем надо предложить более трудный случай, например:142
87-64 = 87-(60+4) =87-60+87-4Дети убеждаются, что устно решить такой пример трудно. Учи¬
тель предлагает выполнить вычисления письменно;V 87	^87	^ 522060	^4	+3485220	348	5^	,Далее учитель показывает более короткую запись и дает со¬
ответствующее объяснение:X «I Чтобы умножить 87 на 64, надо сначала умножить
87 на 4, затем умножить 87 на 60 и полученные чис-348	ла сложить.5220 Умножаем 87 на 4: четырежды семь—28; 8 запишем,
ГГ77 2 запоминаем; четырежды восемь —32, да 2, получим
34, записываем 34. Получили 348. Теперь умножЬем 87
1111 60. Для этого надо 87 умножить на 6 и полученное число ум-
иожить на 10, т. е. приписать к нему справа нуль, пишем нуль на
месте единиц. 7 умножить на 6 — 42, 2 пишем на месте десят¬
ков, 4 запоминаем. 8 умножить на 6 — 48, да 4 — 52, пишем 52.
Получим 5220. Сложим числа 348 и 5220. Произведение 5568.Здесь 87 и 64 — множители, 348—первое неполное про¬
изведение, 5220— второе неполное произведение, 5568—
окончательный результат или произведение чисел 87 и 64.■Полезно, чтобы при объяснении вычислительного приема
учащиеся сначала указывали все основные операции в опреде¬
ленной последовательности. Это способствует пониманию места
и значения каждой операции. Подробное объяснение дается
только тем операциям, которые являются новыми для учащих¬
ся, знакомые же операции выполняются самостоятельно, при
чтом даются краткие пояснения.После решения нескольких примеров (134-46, 268-37,
451-32) учитель обращает внимание учащихся на особенность
(П'орого неполного произведения; оно всегда оканчивается ну¬
лем, следовательно, при сложении неполных произведений еди-
ииц всегда будет столько, сколько их в первом неполном про-
и.шедении, значит, нуль можно не писать, а второе неполное
произведение начинать записывать под десятками.Так же ведется объяснение умножения на трехзначное число.Па первых порах изучения умножения на двузначное и осо¬
бенно на трехзначное число наряду с решением примеров по-
лемио включать упражнения на составление плана решения, ко-
юрый записывают в виде выражения, но самого действия не
1И.М10ЛИЯЮТ, например;286-374 = 286-4 + 286-70 + 286-300Целесообразно предлагать и обратные упражнения, когда
III» плану решения (84-6+84-30) надо составить пример (84-36),143
а в целом можно записать следующее равенство: 84-6 +84-30 =
= 84-36.Подобные упражнения фиксируют внимание учащихся на
вычислительном приеме и том свойстве, которое лежит в его ос¬
нове.Следует обратить внимание еще на одну группу упражнений,
цель которых состоит в том, чтобы предупредить смешение
сходных вычислительных приемов при умножении на двузнач¬
ные числа. Укажем некоторые из них.1)	Учащимся предлагается рассказать способ рещения па¬
ры примеров, составленных с таким расчетом, чтобы на фоне
сходного ярче выступало различие приемов. Как умножить
письменно 138 на 14? (Надо 138 умножить на 4, 138 умножить
на 10, полученные результаты сложить; 138* 14= 138-4+138-10.)Как умножить 138 на 40? (Надо 138 умножить на 4 и по¬
лученный результат умножить на 10; 138-40=138-4-10.)2)	Упражнение, обратное первому. Если 376 умножили на 4,
376 умножили на 10 и полученные числа сложили, то на ка¬
кое число умножили 376? (376-14.) И вопрос, и ответ можно
записать так: 376-4-Ь376-10 = 376-14. Если 376 умножим на 4
и полученный результат умножим на 10, то на какое число ум¬
ножили 376? (376-40.) Запись: 376-4-10=376-40.3)	Устное и письменное решение пар примеров в одно дей¬
ствие: 25-12 и 25-20; 194-16 и 194-60, а также письменное ре¬
шение пар примеров в несколько действий и сравнение их. Что
больше и на сколько: произведение 346-7-10 или сумма про¬
изведений 346-7-+-346-10?4)	Решение примеров разными способами, например:25-16=25-(4-4)=25-4-425-16 = 25-(2-8)=25-2-8; 25-16 = 25- (10 + 6)25-16=16-25=16-(5-5) = 16-5-5 и др.5)	Решение примеров наиболее удобным способом:32-2.50 = 32-100	73-6-3 + 73-2 = 73-2054-80 + 54-20=54-100 83-16+17-16= 100-16Учитель записывает на доске только левую часть приведен¬
ных равенств, а правую часть записывают учащиеся.После того как общие случаи умножения на двузначное и
трехзначное число рассмотрены, включаются частные случаи
умножения: умножение чисел, в записи которых на конце или
в середине множителей есть нули. При изучении этих случаев
умножения учащиеся имеют дело с уже знакомыми им приема¬
ми, только в новых условиях, поэтому им надо предоставлять
как можно больше самостоятельности.Приведем образцы записей и дадим объяснения для некото¬
рых из таких случаев умножения:144
X3402413668Чтобы умножить 340 на 24, надо 34 десятка умно¬
жить на 24, получим десятки, их заменим едини¬
цами, приписав справа нуль.8160421^30521051263128405Чтобы умножить 421 на 305, надо 421 умножить
на 5, 421 умножить на 300 и полученные числа сло¬
жить. Умножаем 421 на 5 (краткое пояснение).
Получаем первое неполное произведение — 2105
единиц. Умножаем 421 на 300. Получаем второе
неполное произведение— 1263 сотни, или 126 300.
Сложим неполные произведения. Получим оконча¬
тельный результат 128405.Чтобы умножить 316 на 240, надо 316 умно¬
жить на 24 и полученный результат умножить на
10. (Ученики умеют умножать на 24 и на 10.)Чтобы умножить 3740 на 206, надо 374 десятка
умножить на 206, получим десятки, их заменим
единицами.Кроме записи в столбик, полезно объяснение
решения примера иногда записывать в строчку, на¬
пример;421 -305 = 421 -5 + 421 •300 = 2105126300= 128 405316-240 = 316- (24-10) =316-24-10=7584-10== 75840После умножения на двузначное и трехзначное число нату¬
ральных чисел вводится умножение величин, выраженных в
единицах двух наименований. При этом используется один спо¬
соб: величину, выраженную в единицах двух наименований, вы¬
ражают в единицах одного наименования, умножают эту вели¬
чину на число и результат выражают в единицах двух наиме¬
нований, например:7	м 64 см-37 = 282 м 68 см764
^ 37316240126463275840^ 3740
^ 20622447487704405348229228268 (см)При изучении всех случаев умножения прежде всего необ¬
ходимо добиться понимания вычислительного приема, после че¬
го вести работу по формированию вычислительных навыков. Для
выработки навыков большое значение имеет, во-первых, своевре-10 Заказ № 4487145
менное сокращение объяснений решения примеров и соответст¬
вующих записей, во-вторых, тщательно продуманная система
тренировочных упражнений.Приведем некоторые из таких упражнений: «Решите приме¬
ры и сделайте проверку, используя прием перестановки мно¬
жителей; решите письменно только те из данных примеров, ко¬
торые устно решить трудно; составьте и решите два примера на
умножение четырехзначного числа на двузначное без нулей и с
нулями во множителях; найдите произведение чисел 2435 и 148;
увеличьте 738 в 276 раз и увеличьте 738 на 276; найдите значе¬
ние второго выражения, пользуясь значениями первого, напри¬
мер: 134-4 и 134-8; 78-45 н 78-46; 54-6 и 54-60».Целесообразно время от времени предлагать учащимся най¬
ти и объяснить, какие ошибки допущены в вычислениях, напри¬
мер:^137 ^734 .^7056 ^7056
^204 ^ 60	® 		§1548 4404	6048	572482743288В первом примере ученик неправильно подписал второе не¬
полное произведение, во втором — забыл подписать нуль в про¬
изведении, т. е. не умножил на 10, в третьем — нуль не умно¬
жил на 8, а в четвертом — нуль умножил на 8 и получил 8.Для предупреждения ошибок надо приучить детей выполнять
проверку решения. Письменное умножение проверяют способом
прикидки результата. С этой целью находят произведение чи¬
сел высшего разряда множителей и сравнивают его с получси-
пым результатом. Так, проверяя решение первого из приведен¬
ных примеров, найдем произведение 100-200 = 20 000, в резуль¬
тате же получили только 3288, значит, пример решен непра¬
вильно. Можно также проверять решение примеров на умно¬
жение делением.В связи с изучением умножения многозначных чисел необ¬
ходимо повторять правила порядка выполнения действий; это¬
му способствуют упражнения: «Запишите выражения и найди¬
те их значения — к числу 803 прибавьте произведение чисел 254
и 30; произведение чисел 425 и 168 увеличьте на их разность
и т. п.».Деление многозначных чисел. Как уже отмечалось, деление
многозначных чисел целесообразно изучать параллельно с ум¬
ножением, выделяя при этом следующие этапы: после умноже¬
ния на однозначное число вводится деление на однозначное чис¬
ло, вслед за умножением на разрядные числа дается деление
на разрядные числа, сразу же после изучения умножения на
двузначное и трехзначное число изучается деление на двузнач¬
ное и трехзначное число.146
Рассмотрим каждый из названных этапов в отдельности.Деление на однозначное число. В качестве подготовки к вве¬
дению приемов деления многозначных чисел следует повторить
и обобщить ранее изученный материал. Рассмотреть на конк¬
ретных примерах, как связано деление с умножением: разде¬
лить 81 на 27 — это значит найти такое число, при умножении
которого на делитель 27 получится делимое 81; это число 3,
значит, 81:27 = 3. Это знание необходимо для нахождения цифр
частного. Повторить свойство деления суммы на число, распро¬
странив его на сумму более чем двух слагаемых. Пусть учени¬
ки проверят, что сумму трех (четырех и более) слагаемых, как
и сумму двух слагаемых, можно делить на число двумя спосо¬
бами, если каждое из слагаемых делится на данное число, на¬
пример:(10-Ы5-Ь5):5 = 30:5=6
(10+15-^5):5=10:5+15:5 + 5:5=2-ьЗ-Ц=6Выполняя такие упражнения, ученики делают вывод, что де¬
ление суммы нескольких слагаемых на число можно вычислить
двумя способами: можно вычислить сумму и разделить ее на
число, а можно разделить на число каждое слагаемое и полу¬
ченные частные сложить.Необходимо также повторить приемы внетабличного деления
и деления с остатком.В период подготовки следует выполнить ряд упражнений по
нумерации, которые помогут ученикам устанавливать число
цифр в частном, например:1)	Сколько цифр будет в записи числа, если высший раз¬
ряд этого числа — сотни (тысячи, десятки тысяч и т. д.)?2)	Какой высший разряд трехзначного (четырехзначного,
пятизначного и т. д.) числа?3)	Сколько всего десятков (сотен, тысяч и т. д.) в числе
38 421?4)	Что обозначает число, записанное одной (двумя, тремя)
цифрой высшего разряда числа 86 307? (8 дес; тыс., 86 тыс.,
863 сот.)Сначала вводятся устные приемы деления на одно¬
значное число. Они сводятся к приемам внетабличного деления,
изученным в предыдущем концентре, поэтому учащиеся могут
сами выполнять соответствующие объяснения.Прием для случаев вида 8408:4 и 365:5 основывается на
свойстве деления суммы на число: делимое заменяют суммой
удобных слагаемых, каждое слагаемое делят на делитель и по¬
лученные частные складывают. Развернутую запись дети вы¬
полняют так:8408:4= (80004-400-1-8) :4 = 8000:4 + 400:4 + 8:4== 2000+100 + 2=2102365:5= (350+ 15) :5 = 350:5+15:5=70 + 3 = 73
10*	147
Рассуждение ведется по тому же плану, что и в концентре
«Сотня» (заменяю ..читаю пример ..решаю ...), позднее
ведется краткая запись и краткое рассуждение. В первом при¬
мере удобными оказались разрядные слагаемые числа. Во вто¬
ром примере в качестве удобных слагаемых выделяли наиболь¬
шее число единиц каждого разряда, которое делится на дели¬
тель (35 дес. и 15 ед.). При делении удобных слагаемых и в том
и в другом случае получались разрядные слагаемые частного.
Последнему случаю надо уделить особое внимание, так как он
непосредственно подводит к письменному приему деления.Прием для случаев вида 360 000:9 сводится к табличному
делению, т. е. к делению числа десяткО'В, сотен, единиц тысяч
и т. д. на однозначное число (в приведенном примере надо
36 дес. тыс. разделить на 9, получится 4 дес. тыс., или 40 000).
При решении таких примеров, как только будет найдена цифра
высшего разряда частного (4 дес. тыс.), надо спрашивать де¬
тей, сколько цифр будет в частном (5 цифр).Прием письменного деления включает такие опера¬
ции; замену делимого суммой удобных слагаемых, деление на
делитель каждого из слагаемых и сложение полученных част¬
ных. Так, при делении 875 на 7 удобными слагаемыми будут
700, 140 и 35. Чтобы подобрать цифры частного, в отличие от
устных приемов деления сначала выделяют неполные де¬
лимые, которые и делят на делитель (в приведенном приме¬
ре это 8 сот., или 800, 14 дес., или 140, и 35). При умножении
каждой цифры частного на делитель получают соответствующие
удобные слагаемые. Письменное деление, как и устное, всегда
начинают с высших разрядов.Таким образом, при письменном делении выполняют сле¬
дующие операции: образуют первое неполное делимое и уста¬
навливают число цифр частного, неполное делимое делят на де¬
литель, чтобы найти соответствующую цифру частного; найден¬
ную цифру частного умножают на делитель, для того чтобы уз¬
нать, сколько единиц соответствующего разряда разделили;
полученное произведение вычитают из неполного делимого, для
того чтобы узнать, сколько единиц этого разряда осталось раз¬
делить; проверяют, правильно ли найдена цифра частного,
сравнив полученную разность с делителем.При ознакомлении с приемом письменного деления на
однозначное число целесообразно сначала выполнить деление
устно с развернутой записью и подробным объяснением. Так,
предлагается решить пример 956:4. Ученики выделяют удобные
слагаемые и выполняют деление:956:4= (800+120+36) :4 = 800:4+120:4 + 36:4 == 200 + 30 + 9 = 239Учитель объясняет, что решение этого примера можно вы¬
полнить письменно и записать его в столбик. Показывает за¬
пись и дает такое объяснение:148
956 4 Делимое 956, делитель 4. Первое неполное дели-8	239	значит, в частном будет три цифры.15	Узнаем, сколько сотен будет в частном: разде-^2	ЛИМ 9 на 4, получится 2. Узнаем, сколько сотен		разделили: умножим 2 на 4, получится 8. Узнаем,36	сколько сотен осталось разделить: вычтем 8 из 9,36	получится 1. Одну сотню нельзя разделить на 4О	так, чтобы получить сотии, значит, цифра 2 найде¬на правильно.Образуем второе неполное делимое: 1 сот.— это 10 дес., к10	дес. прибавим 5 дес., получится 15 дес. (или 1 сот. и 5 дес.—
это 15 дес.). Узнаем, сколько десятков будет в частном: раз¬
делим 15 на 4, получится 3 и т. д.Частное 239.В случаях, когда число единиц высшего разряда нельзя раз¬
делить на делитель так, чтобы получить единицы этого разряда,
то первым неполным делимым будет двузначное число, запи¬
санное двумя цифрами высших разрядов. Например, при деле¬
нии 657 на 9 рассуждение будет таким: образуем первое не¬
полное делимое: 6 сот. нельзя разделить на 9 так, чтобы полу¬
чить сотни, берем 65 дес., значит, в частном будет двузначное
число и т. д.Усвоению приема письменного деления помогает использо¬
вание памятки с заданиями, записанными на карточках или в
виде плаката, выполнение которых в указанном порядке при¬
водит к нахождению частного.Приводим задания памятки:1.	Прочитай и запиши пример.2.	Выдели первое неполное делимое и установи число цифр
в частном.3.	Раздели неполное делимое на делитель и найди цифру
частного.4.	Умножь цифру частного на делитель и узнай, сколько
единиц этого разряда разделили.5.	Вычти полученное произведение из неполного делимого
и узнай, сколько единиц этого разряда осталось разделить.6.	Проверь, правильно ли подобрана цифра частного.7.	Образуй следующее неполное делимое и продолжай де¬
ление так же до конца.При объяснении приема письменного деления этой памяткой
руководствуется учитель. Затем ею пользуются ученики: сп.а-
чала проговаривают вслух каждое задание и ответ на него, за¬
тем задания читают про себя, а выполнение комментируют
вслух, далее про себя выполняют и рассуждение.Постепенно сокращается объяснение и запись письменного
деления. Так, через несколько уроков можно дать краткую
запись деления на однозначное число, требуя краткого объяс¬
нения:149
29165136б	2916 делю на 6. Первое неполное делимое—29 сот.
4^0 В частном трехзначное число. Делю 29 на 6, по¬
лучится 4. Умножаю 4 на 6, получится 24. Вычи¬
таю 24 из 29, получится 5. Делю 51 на 6, получит-
0	ся 8 и т. д.Как видно из приведенного примера, и при кратком пояс¬
нении сначала называют первое неполное делимое и устанав¬
ливают число цифр частного. Далее кратко поясняется выпол¬
нение остальных операций: называют только соответствующие
арифметические действия и результаты выполненных действий.При работе над первыми примерами на деление полезно
после их решения выписать неполные делимые и удобные сла¬
гаемые. Надо при этом пронаблюдать, что в частном всегда по¬
лучается столько цифр, сколько неполных делимых, что сумма
удобных слагаемых равна делимому, если деление выполняется
без остатка, и что деление сводится к делению суммы на число.
Например, после решения примера 652:4 ученики выписывают
неполные делимые; 6 сот., 25 дес., 12 ед., затем выписывают
удобные слагаемые: 4 сот., 24 дес. и 12 ед. (или: 400, 240 и 12),
выполняют запись: 652:4= (400-1-2404-12) :4 = 400:4-Ь240:4+
-М2:4= 100-1-60-1-3= 163. Эта запись помогает увидеть, что
удобными слагаемыми являются такие числа, при делении ко¬
торых на данный делитель получаются разрядные слагаемые
частного.Полезно выполнить и обратное упражнение: составить при¬
мер по сумме частных с одинаковыми делителями: 400:4 +
+ 240:4+12:4. Ученики пишут равенство 400:4 + 240:4+12:4 =
= 652:4. В правой части можно записать: (400 + 240+12) :4.
Можно объединить в одной записи все три выражения: 400:4 +
+ 240:4+12:4= (400 + 240+12) :4 = 652:4.Такие упражнения можно включать и позднее, при изуче¬
нии деления на двузначное и трехзначное число.Примеры на деление многозначных чисел на однозначное
надо усложнять: постепенно увеличивать число разрядов в де¬
лимом, т. е. ученики учатся делить трех-, четырех-, пяти- и ше¬
стизначные числа на однозначное число, при этом в частном
должно получиться или столько же цифр, сколько их в дели¬
мом, или на одну цифру меньше, например; 5592:3=1864 и
3744:4=936. Большое внимание необходимо уделить частным
случаям деления, когда при делении в записи частного встре¬
чаются нули на конце или в середине, например;22720 4 22 720 разделить на 4. Первое неполное делимое ——	22 тыс., в частном будет 4 цифры. Делю 22 на 4,получится 5. Умножу 5 на 4, получится 20. Вычи-
32	таю 20 из 22, получится 2. Делю 27 на 4, получит-^	ся 6. Умножаю 6 на 4, получится 24. Вычитаю 24из 27, получится 3. Делю 32 на 4, получится 8.150
8.	Делю нуль на 4, получится нуль Частное 5680.4254Рассмотрим другой частный случай:—	4254 разделить на 6. Первое неполное делимое —	 709 42 сот., в частном 3 цифры. Делю 42 на 6, полу-54	чится 7. Умножу 7 на 6, получится 42. Нельзя5	дес. разделить на 6, чтобы получились десятки,^	^	I ШЛ к	11С4 ЧУ»	#1 I I I упоэтому на месте десятков пишем нуль. Делю 54 па6,	получится 9. Частное 709.Известно, что при решении таких примеров некоторые уча¬
щиеся пропускают нули в частном. Чтобы предупредить эти
ошибки, используют следующие приемы: устанавливают число
цифр в частном до выполнения деления (можно на месте цифр
частного ставить точки), а после выполнения деления прове¬
ряют, получилось ли столько цифр в частном; проверяют ре¬
шение и с помощью умножения (частное умножают на дели¬
тель); анализируют неправильные решения, устанавливая, ка¬
кая допущена ошибка (например: 3645:9 = 45, здесь в частном
должно быть трехзначное число, а не двузначное, пропущен
нуль в записи частного, частное 405).Рассматриваются не только случаи деления на однозначное
число без остатка, но и с остатком. Рассуждение при делении
с остатком ведется так же, как и при делении без остатка. В за¬
писи решения таких примеров остаток подписывается под по¬
следней чертой, например:3964656Одновременно с делением натуральных чисел рассматрива¬
ется деление величин, выраженных в метрических едини¬
цах, сначала на однозначное число, а позднее на двузначное и
трехзначное. Величину, выраженную в единицах двух наиме¬
нований, выражают в единицах одного наименования, затем вы¬
полняют деление как с натуральными числами и результат де¬
ления выражают в единицах двух наименований.Выполняют также деление двух однородных величин. В этом
случае величины выражаются в единицах одного и того же наи¬
менования, после чего выполняется деление. При этом частное
покажет, сколько раз одна величина содержится в другой.Запись деления выполняется так:6	руб. 75 коп.;5=1 руб. 35 коп.■ Можно рассуждать и так; десятки разделились все, единицы в дели¬
мом отсутствуют, поэтому не будет их и в частном, пишем на месте единиц
нуль.151
6751725135 (коп.)8	м 64 см:9 см = 968645496О2 км;8 м = 250200040О8250Постепенно запись можно сократить: преобразование чисел
выполнять устно.Деление на двузначные и трехзначные разрядные числа.Подготовкой к введению новых приемов деления будет по¬
вторение приемов деления без остатка на 10, 100 и 1000, введе¬
ние приемов деления с остатком на эти числа, а также изуче¬
ние свойства деления числа на произведение.Сначала следует повторить случаи деления без остатка на
10, 100, 1000. Затем рассматриваются случаи деления с остат¬
ком на эти же числа.Пусть требуется разделить 74 на 10. Выделим в делимом
наибольшее число, которое делится на 10 без остатка. Это чис¬
ло 70; разделим его на 10, получим 7, а 4 единицы составят ос¬
таток. Запись: 74:10 = 7 (ост. 4). Сравнив результат с дели-
мьш, ученики делают вывод, что в частном получается столько
единиц, сколько десятков в делимом, а в остатке число единиц
делимого. Этот вывод проверяется при решении других приме¬
рев (97:10, 452:10 и т. п.). Так же ведется работа над приемом
деления с остатком на 100 и 1000. Здесь соответственно в част¬
ном будет столько единиц, сколько в числе сотен (тысяч), а в
остатке число, записанное двумя (тремя) цифрами последних
разрядов делимого, например; 586:100 = 5 (ост. 86), 9450:1000=
= 9 (ост. 450). Закрепление знания этого приема ведется обыч¬
ным образом.Свойство делеиия числа на произведение лежит в основе
устно!^ прйётга-'последовательного деления, поэтоТйу оно изуча¬
ется до введения этого приема.Ознакомление со свойством можно провести, используя гра¬
фическую иллюстрацию (рис. 26). Учащимся предлагается най¬
ти значение выражения 12;(2-3). Сначала они находят произ¬
ведение чисел 2 и 3 и число 12 делят на полученный результат.
Обращаясь к записи и иллюстрации, они формулируют соот¬
ветствующий вывод. Учитель предлагает им рассмотреть сле¬
дующие записи и иллюстрации и сказать, как можно вычис¬
лить значение данного выражения другими способами. Ученики152
й'.(2 з) ^12-6шг
1.ти з)I	^	Iш-и-з) =/2 .^^г=^2Рис. 26указывают, что можно 12 разделить на первый множитель 2
и полученное частное 6 разделить на второй множитель 3, по¬
лучится тоже 2, а можно 12 сначала разделить на второй мно¬
житель 3 и полученное частное 4 разделить на первый множи¬
тель 2, получится тоже 2. Выполнив еще несколько подобных
упражнений с другими числами, ученики формулируют свойство
в обобщенной форме: «Чтобы разделить число на произведе¬
ние, можно вычислить произведение и разделить число на по¬
лученный результат; можно разделить число на первый мно¬
житель и полученный результат разделить на второй множи¬
тель; можно разделить число на второй множитель и получен¬
ный результат разделить на первый множитель».Далее это свойство применяется при выполнении разнооб¬
разных упражнений: решение соответствующих примеров и за¬
дач несколькими способами; решение примеров и задач удоб¬
ным способом; работа с равенствами и неравенствами и др. Все
эти упражнения аналогичны тем, которые выполнялись раньше
для применения других свойств арифметических действий.На основе свойства деления числа на произведение вводят-
ся усГтньГе приемы деления на двузначные и трехзнач-
ныеразрядные числа, при этом берутся случаи, когда в част-
ном получается однозначное число. Сначала рассматриваются
устные приемы деления без остатка. Предлагается решить при¬
мер 240:30. Ученики под руководством учителя дают такое объ¬
яснение: «Заменим число 30 произведением удобных множите¬
лей 10 и 3. Получился пример: 240 разделить на произведение
чисел 10 и 3. Удобнее разделить 240 на 10, на первый множи¬
тель, и полученный результат 24 разделить на 3, на второй мно¬
житель, получится 8». Одновременно ведется зап-ись:240:30 = 240: (10-3) =240:10:3 = 8Так же ведется объяснение при делении на трехзначные раз¬
рядные числа.Далее вводится устный прием деления на разрядные числа
с остатком. Объяснение: «Надо разделить 440 на 60. Разделю
440 на 10 и полученное частное разделю на 6, получится 7. Уз¬153
наю, сколько единиц разделили; умножу 60 на 7, получится 420.
Узнаю, сколько единиц не разделили: вычту 420 из 440, полу¬
чится 20. Это остаток».Запись: 440:60 = 7 (ост. 20).При делении на трехзначные разрядные числа (2800:900)
рассуждение будет аналогичным.Чтобы подготовить переход к письменному приему деления
на двузначные и трехзначные разрядные числа, целесообразно
на этапе закрепления знания рассмотренных устных приемов
деления перейти к краткому объяснению. Ученикам надо ска¬
зать, что при делении на числа, оканчивающиеся нулями ^30,
300 и др.), делить на 10 или 100 будете про себя, а как будете
поступать дальше, говорите вслух. Тогда объяснение будет та¬
ким: «Чтобй 300 разделить на 50, разделим 30 на 5, получит¬
ся 6».Теперь можно перейти к ознакомлению с приемом пись¬
менного деления на двузначные и трехзначные разрядные
числа. На первых уроках объяснение будет подробным, напри¬
мер:Первое неполное делимое — 498 дес., значит, в ча-4980480стном будет 2 цифры. Узнаем, сколько десятков
83 будет в частном: разделим 498 на 10 и получен-
180	ное частное 49 разделим на 6, получится 8. Узна-180	ем, сколько десятков разделили: умножим 60 на 8,^	получится 480. Узнаем, сколько десятков осталосьразделить: вычтем 480 из 498, получится 18. Нель¬
зя 18 дес. разделить на 60 так, чтобы получились десятки, зна¬
чит, цифра десятков подобрана правильно. Образуем второе
неполное делимое: 18 дес.—это 180 единиц. Разделим и т. д.1275012020	После решения нескольких примеров с подроб¬ным объяснением можно перейти к краткому, на-425 пример: 12 750 разделить на 30. Первое неполное
75	делимое —127 сот., в частном 3 цифры. Делю 12760	на 30, для этого достаточно 12 разделить на 3, по-150	лучится 4. Умножу 30 на 4, получится 120. Вычту150	120 из 127, получится 7. Делю 75 на 30 и т. д.Чтобы дети осознали, что они пользуются за-меной делимого суммой удобных слагаемых и свой¬
ством деления суммы на число, полезно после решения некото¬
рых примеров записывать решение иначе: 12 750:30= (12 000+
-I- 600 + 150): 30 = 12 ООО: 30+ 600:30 + 150:30=400 + 20+5=425.В процессе формирования соответствующего умения учителю
важно обратить внимание на наличие разнообразных примеров
на деление. Может быть различное число цифр в делимом, а
отсюда и в частном, например: 1400:40=35 и 14 820:60=247.
Может быть одинаковое число цифр в делимом, а в частном
разное, например: 480:20 = 24 и 150:30 = 5. Случаи деления без154
остатка и с остатком полезно давать вперемежку, например;
690:30 = 23 и 970:30 = 32 (ост. 10).Наряду с общими случаями деления включаются и частные,
когда в записи частного на конце или в середине есть нули.
Объяснение решения таких примеров дети могут дать сами по
аналогии с ранее рассмотренными приемами деления на одно¬
значное число.Прием деления на трехзначпые разрядные числа аналоги¬
чен приему деления на двузначные числа, поэтому ученики мо¬
гут сами дать соответствующее объяснение.Деление на двузначное и трехзначное число. При делении
многозначных чисел на двузначное и трехзначное число поль¬
зуются свойством деления суммы на число. Для нахождения
цифр частного пользуются приемом замены делителя разряд¬
ным числом. Во всех предыдущих случаях не приходилось из¬
менять делитель, а поэтому найденную цифру частного записы¬
вали сразу. При делении же на двузначное и трехзначное число,
округлив делитель, получаем так называемую пробную циф¬
ру, которую надо проверять.При ознакомлении с делением на двузначное число -сна¬
чала решаются примеры на деление без остатка и с остатком
трехзначных чисел, когда цифру частного находят в результате
одной пробы и когда в частном получают однозначное число.
Здесь ученики знакомятся с приемом замены делителя ближай¬
шим разрядным числом. Рассмотрим объяснение приема вы¬
числения:3!5315315 разделить на 63. Чтобы найти цифру частного,	 заменим делитель ближайшим меньшим разряд-5	ным числом 60 и будем делить 315 на 60, для это-
0	го достаточно разделить 31 на 6, получим 5.Цифра 5 не окончательная, а пробная, потому что надо быдо
315 делить на 63, а не на 60. Цифру 5 проверим: умножим 63
на 5 (устно), получим 315, значит, цифра 5 верна.Далее рассматриваются случаи деления четырех-, пяти- и
шестизначных чисел на двузначные, когда цифра частного по¬
лучается в результате одной пробы. Здесь можно цвести крат¬
кое объяснение, например: 3456 разделить на 54.
Первое неполное делимое—345 дес., в частном2	цифры. Делю 34 на 5, получится 6. Умножу 54
216	на 6, получится 324. Вычту 324 из 345, нолучит-216	ся 21. Делю 216, для этого делю 21 на 5, получит-^	ся 4. Умножу 54 на 4, получится 216. Частное 64.Закрепив знание рассмотренного приема, надо
включить такие случаи деления трехзначных чисел на двузнач¬
ные, когда в частном получается однозначное число, а цифра
частного находится в результате нескольких проб. При этом
важно, чтобы дети поняли необходимость проверки цифры част¬
ного и овладели приемом такой проверки.1553456324
464 58 Рассмотрим пример; 464:58. Чтобы иайти цифру
464 ^ частного, делим 46 на 5, получим 9. Проверяем эту
0	цифру: умножаем 58 на 9, получаем 522. Оказы¬вается, что цифра 9 не подходит. Уменьшим 9 на
единицу. Возьмем 8. Проверяем: 58 умножим на 8, получится
464. Частное 8.Можно показать детям такой прием проверки пробной циф¬
ры: умножаем 5 дес. на 9, получаем 45 дес., да от умножения
единиц будет 7 дес. (8-9 = 72), всего 52 дес., а в делимом толь¬
ко 46 десятков, значит, цифра 9 не подходит. Возьмем 8 и про¬
верим так же. Цифра 8 подходит.Пробная цифра частного проверяется устно, и в этом ос¬
новная трудность деления на двузначное число.После того как будут рассмотрены разнообразные случаи де¬
ления трехзначных чисел, можно переходить к делению любых
четырех-, пяти- и шестизначных чисел. При этом наряду с об¬
щими случаями деления без остатка и с остатком включаются
частные случаи и объяснение постепенно сокращается.Покажем, как следует объяснять письменное деление мно¬
гозначного числа на двузначное;4Л4-9 4-7	разделить на 47. Первое неполное делимое —-II— 404 десятка, в частном 2 цифры. Найду цифру де-
—86 сятков: разделю 40 на 4, получится 10, но 10 брать
282	нельзя, так как в разряде наибольшее число еди-282	ниц — 9. Беру 9. Проверю: умножу 47 на 9, полу-чится 432, цифра 9 не подходит (можно так про¬
верить подбор цифры; 4 умножу на 9, получится
36, да от умножения единиц еще 6, всего 42, а в неполном дели¬
мом только 40, значит, цифра 9 не подходит). Беру 8. Прове¬
ряю; умножу 47 на 8, получится 376. Цифра 8 подходит и т. д.Выскажем некоторые соображения о приеме замены дели¬
теля ближайшим разрядным числом.В школьной практике часто двузначный делитель в одних
случаях заменяют меньшим разрядным числом, а в других боль¬
шим разрядным числом в зависимости от того, к какому неука¬
занных чисел делитель ближе. Так, делитель 63 заменяют чис¬
лом 60, а делитель 67 — числом 70.Опыт показывает, что при письменном делении на двузнач¬
ное число целесообразнее в большинстве случаев заменять де¬
литель ближайшим меньшим разрядным числом. При этом
меньше изменений вносится в делитель: сохраняется число де¬
сятков, изменяется только число простых единиц; не надо усваи¬
вать два способа нахождения цифр частного, отпадает необхо¬
димость в выборе нужного способа. Прием замены делителя
меньшим разрядным числом становится универсальным. Самое
главное преимущество состоит в том, что легче обнаружить не¬
правильный выбор частного в случае уменьшения делителя
(часто достаточно выполнить только умножение, и получаем156
число больше неполного делимого), чем в случае его увеличе¬
ния (здесь обязательно, кроме умножения, приходится выпол¬
нять и вычитание).Прием деления на трехзначное число аналогичен приему де¬
ления на двузначное, при этом делитель заменяется для на¬
хождения цифр частного трехзначным числом. Например, при
делении на 643 делитель заменяем числом 600 и цифры частно¬
го находим путем последовательного деления числа на 100 и
на 6.Цифра частного проверяется устно, и в этом основная труд¬
ность деления. Можно объяснить детям, что при трехзначном
делителе нет надобности умножать на цифру частного все трех¬
значное число. Достаточно умножить только две цифры высших
разрядов и сопоставить полученный результат с неполным де¬
лимым. Такого рода устные вычисления учашимся III класса
доступны.Поясним сказанное на примере:«Делимое 37 294. Делитель 643. Первое неполное де
лимое — 3729 десятков. В частном будет две цифры37294—58 Чтобы разделить 3729 на 600, достаточно 37 раз
5144	делить на 6, возьмем 6. Проверим эту цифру514Ф	64-6 = 384. Это число уже больше числа 372. Цифл	ра 6 не подходит. Берем 5. Проверяем и эту цифру: 64-5 = 320; 320<372. Цифра 5 подходит. Запи
сываем ее в частном. Узнаем, сколько десятков мы разделили
643-5=3215. Узнаем, сколько десятков осталось: 3729 — 3215 =
= 514. Остаток — 514 десятков нельзя разделить на 643 так, что¬
бы получить десятки, значит, цифру частного нашли верно.Второе неполное делимое 5144. Чтобы разделить 5144 на 600,
достаточно 51 разделить на 6, возьмем 8. При проверке обна¬
руживаем, что цифра 8 подходит. Частное 58.Навыки письменного умножения и деления, особенно умно¬
жения и деления на двузначное и трехзначное число, являются
сложными. Поэтому, чтобы они успешно формировались, уче¬
ник должен выполнить большое количество разнообразных уп¬
ражнений в течение длительного времени. Эта работа продол¬
жается до конца III класса и в IV классе.Наблюдения за изменением результатов
арифметических действийВ начальных классах попутно с формированием вычисли¬
тельных навыков ведутся наблюдения за изменением результа¬
тов арифметических действий в зависимости от изменения од¬
ного из компонентов.Сначала (I—II классы) ученики наблюдают только харак¬
тер изменения результата в зависимости от изменения одного157
из компонентов. Например, если одно из слагаемых увеличить
(уменьшить), а другое оставить без изменения, то сумма уве¬
личится (уменьшится). На сколько единиц или во сколько раз
увеличится или уменьшится результат в зависимости от увели¬
чения или уменьшения соответствующим образом одного из
компонентов. Например, если одно из слагаемых увеличить
(уменьшить) на несколько единиц, а другое оставить без из¬
менения, то сумма увеличится (уменьшится) на столько же
единиц; если один из множителей увеличить (уменьшить) в не¬
сколько раз, а другой оставить без изменения, то произведение
увеличится (уменьшится) во столько же раз.Рассмотрим методику работы на каждом из этих этапов.В I классе в связи с изучением сложения и вычитания рас¬
сматривается характер изменения результатов этих действий в
зависимости от изменения одного из компонентов.Во II классе — характер изменения результатов умножения
и деления в зависимости от изменения одного из компонентов
этих действий.Раскрытие этих вопросов для каждого арифметического дей'
ствия строится примерно по одному плану.Сначала учащиеся прослеживают соответствующие измене¬
ния с опорой на наглядность. Например, прослеживая измене¬
ние суммы в зависимости от изменения одного из слагаемых,
учащимся предлагается положить слева и справа по 4 красных
кружка; затем слева положить еще 3, а справа 2 зеленых круж¬
ка; далее можно выяснить, что слева кружков больше — их 7,
а справа меньше — их 6. Дети прн этом наблюдают: было круж¬
ков поровну, но слева добавили больше, чем справа, и полу¬
чилось больше. Выполняя в дальнейшем аналогичные упраж¬
нения, можно использовать другие пособия.Далее учащиеся прослеживают изменение результатов, опи¬
раясь на соответствующие математические выражения. При
этом они сначала находят значения выражений, сравнивают их
и компоненты.Задания здесь могут предлагаться в самых различных фор¬
мах.Сначала лучше проводить наблюдения при решении пар
примеров вида: 5 + 2 и 6-1-2. Дети решают примеры.Чем похожи примеры? (Оба на сложение, вторые слагаемые
одинаковые.) Чем отличаются примеры? (Первые слагаемые
разные и суммы разные.) В каком примере сумма больше? (Во
втором.) В каком примере слагаемое больше? (Во втором. Во
втором примере первое слагаемое больше и сумма больше, а
вторые слагаемые одинаковые.)Затем можно предлагать упражнения на сравнение выра¬
жений. Например, вместо звездочки надо поставить знак «боль¬
ше» или «меньше»: 5-ЬЗ«-5-н2. Ученики вычисляют результаты,
сравнивают их (8>7), ставят знак между выражениями (5ч-3>158I
>5+2), после чего сравнивают выражения: оба примера иа
сложение, первые слагаемые одинаковые, а второе слагаемое в
первом примере больше и сумма больше.Одновременно ведется работа по таблицам. Например, уча¬
щиеся заполняют таблицу (находят сумму):Слагаемое76543Слагаемое33333Сумма109876После заполнения таблицы наблюдают: первое слагаемое
увеличивается, второе не изменяется, сумма увеличивается (воз¬
растает) .Можно предлагать упражнения, выполнение которых тре¬
бует применения этих знаний, например:1)	Не вычисляя, поставьте вместо звездочки знак «>» или
«<»:42-29*42-35.65+18 # 65 + 27,2)	29+8 53-24
29+6 53-39
29+12 53-173)	Рассмотрите таблицу:Расположите в каждом столбике
примеры так, чтобы результаты
увеличивались. Проверьте себя,
вычислив результаты.Слагаемое766961534524Слагаемое888888Скажите, не вычисляя, как будет изменяться сумма: увели¬
чиваться или уменьшаться. Вычислите суммы и проверьте себя.4)	Подберите подходящее число:68 + 7>68+П,	81-19<П-19.5)	Запишите математическое выражение: сумма чисел с и 8.
Придайте букве с четыре таких значения, при которых сумма
будет,возрастать (для II класса).Выполняя каждое из приведенных и подобных им упражне-
»11ий, ученики прежде всего сравнивают выражения и устанав¬
ливают, какой из компонентов не изменяется, а какой увели¬
чивается или уменьшается; зная, как при этом изменяется ре¬
зультат, ученик выполняет задание. Например, при выполнении159
^			 ^примера на сложение,первые слагаемые одинаковые, а второе слагаемое первой сум¬
мы меньше, чем второй, значит, первая сумма меньше, чем вто¬
рая, ставлю знак «меньше» (65-М8<65 + 27).При наблюдении в III классе количественных изменений ре¬
зультатов действий в зависимости от изменения одного из ком¬
понентов используется та же методика.Для наблюдений следует использовать уже известные де¬
тям упражнения, устанавливая при этом, на сколько единиц
или во сколько раз увеличивали или уменьшали один из ком¬
понентов и как в зависимости от этого изменялся результат. На¬
пример, можно так провести наблюдения за изменением суммы.На доске запись; 70 + 80*70 + 50.Какой знак надо поставить вместо звездочки: «больше» или
«меньше»? (Больше.) Почему? (Первые слагаемые одинаковые,
а второе слагаемое в первом выражении больше, значит, и сум¬
ма больше.) Проверьте. (150>120.) На сколько первая сумма
больше, чем вторая? (На 30.) На сколько второе слагаемое
первой суммы больше, чем второй? (Тоже на 30.) Что вы заме¬
тили? (Второе слагаемое больше на 30 и сумма больше на 30,
а первые слагаемые одинаковые.)На другом уроке учащимся предлагается решить специально
подобранные примеры. На дооке и в тетрадях получается за¬
пись:130+20=150	310 + 50 = 360140 + 20=160	310 + 53 = 363160 + 20=180	310 + 58=368Сравнив примеры, учащиеся формулируют ряд частных вы¬
водов, например: если первое слагаемое увеличить на 10, а вто¬
рое оставить без изменения, то сумма увеличится на 10; если
первое слагаемое уменьшить на 20, а второе оставить без изме¬
нения, то сумма уменьшится на 20; если первое слагаемое ос¬
тавить без изменения, а второе увеличить на 3, то сумма уве¬
личится на 3, и т. п.Подобные наблюдения проводятся и при выполнении других
упражнений (заполнение таблиц на сравнение буквенных выра¬
жений и др.).Аналогичным образом ведется работа по прослеживанию за
изменением произведения и частного.Рассматривая изменение произведения и частного, полезно
использовать наглядные пособия.Для иллюстрации изменения произведения можно исполь¬
зовать прямоугольники, разбитые на квадраты (рис. 27). Пря¬
моугольник I изображает произведение чисел 4 и 2. Увеличим
второй множитель в 3 раза, а первый оставим без изменения:
4-(2-3) и изобразим новое произведение прямоугольником//.
Сразу видно, что второй прямоугольник содержит 3 раза по160
42Пстольку квадратов, сколько их в пер¬
вом, т. е. в 3 раза больше. Таким об¬
разом, второй множитель увеличили в3	раза, произведение увеличилось то¬
же в 3 раза, если первый множитель
не изменяли.Так же иллюстрируются другие
случаи изменения произведения и ве¬
дутся наблюдения за изменением при
выполнении разнообразных упражне¬
ний (сравнение выражений, заполне¬
ние таблиц и др.).Изменение частного можно иллю¬
стрировать отрезками. ,Например, ча¬
стное 6:3 можно изобразить отрезком
длиной 6 см, разделенным на 3 рав¬
ные части. Увеличим делимое в 2 ра¬
за, а делитель оставим без измене¬
ния. Изобразим новое частное (рис.28). Видим, что частное увеличилось
в два раза.При наблюдении предлагаются та¬
кие упражнения, которые могут быть
выполнены как на основе знаний об
изменении результатов действий, так
и на основе других знаний. Приведем
некоторые из них:1)	Как изменится сумма, если первое слагаемое оставить
без изменения, а второе уменьшить на 19 единиц?Учащиеся приводят конкретный пример, а некоторые из них
пользуются ранее сделанным выводом.2)	Сумма увеличилась на 25 единиц, так как изменили од¬
но из слагаемых. Как его изменили?Объяснение аналогично предыдущему.3)	Решите задачи самым легким способом.а)	В одном шкафу стояло 310 книг, в другом — 350 книг.
Сколько книг было в двух шкафах?б)	В первый шкаф поставили еще 35 книг. Сколько книг
стало после этого в двух шкафах? Найдите результат, исполь¬
зуя ответ предыдущей задачи.Решите первую задачу (3104-350 = 660). Какое выражение
вы получили? (Сумму чисел 310 и 350.)Рис. 27Рис. 28II Заказ № 4437161
Прочитайте вторую задачу и подумайте, как можно решить
ее, пользуясь решением первой задачи. (Можно к 660 приба¬
вить 35, получится 695, потому что здесь первое слагаемое уве¬
личили на 35, значит, сумма увеличится тоже на 35.)4)	Вычислите значение второго выражения, пользуясь пер¬
вым:472 + 98=570	(472 + 30)+98Учащиеся сравнивают выражения и замечают, что во вто¬
ром случае одно слагаемое увеличили на 30, а> другое оставили
без изменения, значит, сумма увеличится на 30. Чтобы вычис¬
лить сумму, надо к 570 прибавить 30.5)	Сумму чисел 140 и 60 увеличить на 10.Решение можно выполнить тремя способами:а)	(140 + 60)+ 10 = 200+10 = 210.Сумму увеличили на 10.6)	(140 + 60) +10= (140+10) +60= 160 + 60 = 210.Увеличили на 10 первое слагаемое.в)	(140 + 60) +10= 140+ (60+10) = 140+70 = 210.Увеличили на 10 второе слагаемое.Важно установить, что эти три способа прибавления числа
к сумме уже известны детям.Аналогично рассматривается уменьшение суммы на число.б)	Подберите и запишите в таблице 4 значения буквы с так,
чтобы сумма 12+с увеличивалась на 6.С12+сСначала надо установить, какие значения может принимать
буква с. (Буква с может принимать любые значения.) Первым
можно взять любое число, например 20, а каждое последующее
брать на 6 единиц больше.Подобные упражнения можно задавать и без таблицы!
«Подберите 3 значения буквы й так, чтобы сумма й+\Ъ умень¬
шилась на 5».Знание изменения результатов действий в зависимости от
изменения одного из компонентов используется для обоснова¬
ния новых вычислительных приемов. Так, опираясь на эти зна¬
ния, вводится прием округления при сложении и вычитании и
прием умножения и деления на 5, 25, 50. Например, надо вы¬
числить сумму чисел 65 и 18. Как известно, легко прибавлять
разрядные числа, поэтому заменим число 18 разрядным чис¬
лом— 20, т. е. увеличим число на 2 единицы и прибавим к чис¬
лу 65, получится 85. Так как слагаемое увеличили на 2 едини¬162
цы, то и сумма Увеличилась на 2 единицы. Чтобы получить сум¬
му чисел 65 и 18, надо из 85 вычесть 2 единицы, получится 83.В таком же плане ведется рассуждение и при округлении
первого слагаемого, уменьшаемого или вычитаемого.Для раскрытия приемов умножения и деления на 5, 25, 50
используются знания об изменении произведения и частного в
зависимости от изменения одного из компонентов. Например,
надо 24 умножить на 5. Увеличим второй множитель в 2 раза,
тогда надо будет умножать на 10, что легко сделать: 24-10 =
= 240. Так как множитель увеличили в 2 раза, то и произведе¬
ние увеличилось в 2 раза. Значит, чтобы найти произведение
чисел 24 и 5, надо 240 уменьшить в 2 раза, получится 120. От¬
сюда вытекает прием умножения на 5: чтобы умножить число
на 5, можно умножить его на 10 и полученный результат разде¬
лить на 2. Так же обосновываются и другие из перечисленных
приемов умножения и деления.Изучение вопроса об изменении результатов действий в за¬
висимости от изменения одного из компонентов обогащает уча¬
щихся новыми знаниями и положительно влияет на их разви¬
тие, так как при установлении каждой закономерности учаш,им-
ся приходилось сравнивать выражения, выделяя главное, фор¬
мулировать выводы.§ 5. Методика устных вычисленийВ методике различают устные и письменные приемы вычис¬
ления. К устным относят все приемы для случаев вычислений в
пределах 100, а также сводящиеся к ним приемы вычислений для
случаев за пределами 100 (например, прием для случая 900-7
будет устным, так как он сводится к приему для случая 9-7).
К письменным относятся приемы для всех других случаев вы¬
числений над числами, большими 100.В начальных классах особое место занимает работа по фор¬
мированию навыков устных вычислений, поскольку в течение
трех лет обучения в начальных классах учащиеся должны не
только сознательно усвоить приемы устных вычислений, но и
приобрести твердые вычислительные навыки. Овладение навы¬
ками устных вычислений имеет большое образовательное, вос¬
питательное и практическое значение. Они помогают усвоить
многие вопросы теории арифметических действий (свойства дей¬
ствий, связь между результатами и компонентами действий,
изменение результатов действий в зависимости от изменения
одного из компонентов и др.). Устные вычисления помогают
лучшему усвоению приемов письменных вычислений, так как
последние включают в себя элементы устных вычислений. Прак¬
тическое значение их состоит в том, что быстрота и правиль¬
ность вычислений необходимы в жизни, особенно в тех случаях,П*	163
когда письменно выполнить действия не представляется воз¬
можным, например: при различных технических расчетах у
станка, в поле, при покупке и продаже и т. п. Устные вычисле¬
ния способствуют развитию мышления учащихся, их сообрази¬
тельности, математической зоркости и наблюдательности.Виды упражнений для устных вычисленийНавыки устных вычислений формируются в процессе выпол¬
нения учащимися разнообразных упражнений. Рассмотрим ос¬
новные их виды.Нахождение значений математических выражений. Предла¬
гается в той или иной форме математическое выражение, требу¬
ется найти его значение. Эти упражнения имеют много вариан¬
тов.Можно предлагать числовые математические выражения и
буквенные (выражение с переменной), при этом буквам при¬
дают числовые значения и находят числовое значение получен¬
ного выражения. Например:1)	Найдите разность чисел 100 и 9.2)	Найдите значение выражения с—к, если с=100, А=9.Выражения могут предлагаться в разной словесной форме:из 100 вычесть 9; 100 минус 9; уменьшаемое 100, вычитаемое 9,
найти разность; найти разность чисел 100 и 9; уменьшить 100
на 9 и т. д. Эти формулировки использует не только учитель,
но и ученики.Выражения могут включать одно действие и более чем одно
действие. Выражения с несколькими действиями могут вклю¬
чать действия одной ступени или разных ступеней, например:
47-Ь24 —56, 72:12-9, 400-70-4 и др.; могут быть со скобками
или без скобок; (90 —42):3, 90 — 42:3.Как и выражения в одно действие, выражения в несколько
действий имеют разную словесную формулировку, например:
из 90 вычесть частное чисел 42 и 3; уменьшаемое 90, а вычитае¬
мое выражено частным чисел 42 и 3, и др.Выражения могут быть заданы в разной области чисел: с
однозначными числами (7 — 4), с двузначными (70-40, 72 — 48),
с трехзначными (700—400, 720—480) и т. д., с натуральными
числами и величинами (200—15, 2 м—15 см). Однако, как пра¬
вило, приемы устных вычислений должны сводиться к действи¬
ям над числами в пределах 100. Так, случай вычитания четы¬
рехзначных чисел 7200—4800 сводится к вычитанию двузначных
чисел (72 сот.—48 сот.), следовательно, его можно предлагать
для устных вычислений.Выражение можно задать в форме примера (устно или в
виде записи): 7Ч-2, 30—24:6, а можно задать и в других фор¬
мах, например в форме таблицы:164
Уменьшаемое121415172028Вычитаемое101010101010РазностьВ I классе можно для этих целей использовать заниматель¬
ные фигуры (рис. 29).Задания на нахождение значений выражений можно непо¬
средственно связывать с различными вопросами начального
курса математики: с нумерацией, величинами, дробями и т. п.
Например, найти разность наименьшего трехзначного числа инаибольшего однозначного; найти, сколько сантиметров в м,
и др.Основное назначение упражнений на нахождение значений
выражений — выработать у учащихся твердые вычислительные
навыки. Вместе с тем упражнения на нахождение значений вы¬
ражений способствуют и усвоению вопросов теории арифмети¬
ческих действий.Сравнение математических выражений. Эти упражнения
имеют ряд вариантов. Могут быть даны два выражения, а надо
установить, равны ли их значения, а если не равны, то какое
из них больше или меньше. Например, предлагается сравнить
выражения и вместо звездочки поставить знак «>», «<» или
« = »:6	+ 4*4 + 6	20 + 7*20 + 520-8*18-10	8-9 + 8*8.10При этом выбор знака отношения может быть выполнен
либо на основе нахождения значений данных выражений и их
сравнения (20-8<18-10, так как 160<180), либо на основе при¬
менения соответствующих знаний: переместительного свойстваРис. 29165
сложения (б+4"«4Ч-6). изменения результатов действий в за¬
висимости От изменёййя одного йз компонентов (20 + 7>20 + 5)
и др.Могут предлагаться упражнения, у которых уже дан знак
отношения и одно из выражений, а другое выражение надо со¬
ставить либо дополнить. Например, предлагается закончить
запись: 8-(10 + 2) =8-10 + ... .Можно предлагать упражнения на сравнение выражений с
переменной; например, требуется поставить вместо звездочки
знак «>», «<» или «. = »: а—17*а—12.Выражения в таких упражнениях могут включать различ¬
ный числовой материал: однозначные, двузначные, трехзначные
числа и величины. Выражения могут быть с разными дейст¬
виями.Главная роль таких упражнений —способствовать усвоению
теоретических знаний об арифметических действиях, их свойст¬
вах, о равенствах, неравенствах и др. Кроме того, упражнения
на сравнение выражений помогают и выработке вычислитель¬
ных навыков.Решение уравнений, В качестве устных упражнений пред¬
лагаются и различные уравнения. Это прежде всего простейшие
уравнения (л:+2=10) и более сложные (15-х—9=51).Уравнения можно предлагать в разных формах, например:1)	Решите уравнение 24:х=3.2)	Из какого числа надо вычесть 18, чтобы получить 40?3)	Найдите неизвестное число: 73 —х=73—18.4)	Я задумала число, умножила его на 5 и получила 85.
Какое число я задумала?Назначение таких упражнений — выработать умение решать
уравнения, помочь учащимся усвоить связи между компонента¬
ми и результатами арифметических действий, а также способ¬
ствовать выработке вычислительных навыков.Решение задач. Для устной работы предлагаются задачи как
простые, так и составные (см. главу III).Эти упражнения включаются с целью выработки умений ре¬
шать задачи, они помогают усвоению теоретических знаний и
выработке вычислительных навыков.Здесь рассмотрены основные виды устных упражнений.
В практике школы они изменяются и дополняются самими учи¬
телями. Разнообразие упражнений возбуждает интерес у детей,
активизирует их мыслительную деятельность.Организация занятий по устному счетуЧтобы навыки устных вычислений постоянно совершенство¬
вались, необходимо установить правильное соотношение в при¬
менении устных и письменных приемов вычислений, а именно:166
вычислять письменно только тогда, когда устно вычислить
трудно.Упражнения в устных вычислениях должны пронизывать
весь урок. Их можно соединять с проверкой домашних заданий,
закреплением изученного материала, предлагать учащимся при
опросе.Наряду с этим в практике учителей утвердилась хорошая
традиция: на каждом уроке специально отводить 5—7 мин для
устных вычислений, проводить так называемый устный счет.
Материал для этого этапа урока учитель подбирает из учебни¬
ка, а также из специальных сборников устных задач и упраж¬
нений. Устные упражнения должны соответствовать теме и цели
урока и помогать усвоению изучаемого на данном уроке или
ранее пройденного материала. В зависимости от этого учитель
определяет место устного счета на уроке. Если устные упраж¬
нения предназначаются для повторения ранее пройденного ма¬
териала, формированию вычислительных навыков и готовят к
изучению нового материала, то лучше их провести в начале
урока до изучения нового материала. Если устные упражнения
имеют цель закрепить изученное на данном уроке, то надо про¬
вести устный счет после изучения нового материала. Не следует
проводить его в конце урока, так как дети уже утомлены, а
устный счет требует большого напряжения внимания, памяти,
мышления. Количество упражнений должно быть таким, чтобы
их выполнение не переутомляло детей и не превышало отведен¬
ного на это времени урока.Задания для устного счета предлагают детям так, чтобы они
воспринимали их либо зрительно, либо на слух, либо и
зрительно, и на слух.В первом случае упражнения записываются на доске или
оформляются на плакате, на таблице. Учащиеся зрительно вос¬
принимают задание. Запись задания на доске облегчает вычис¬
ление (не надо запоминать числа). Иногда без записи трудно
и даже невозможно выполнять задание. Например, надо выпол¬
нить действия с величинами, выраженными в единицах двух
наименований, заполнить таблицу или выполнить действия при
сравнении выражений и т. п. Можно в этих целях использовать
счеты.'В отдельных случаях целесообразно предлагать задания для
зрительного и слухового восприятия: кроме того, что упражне¬
ние читается учителем или учеником, оно записывается на дос¬
ке или в тетрадях.При восприятии задания на слух учитель или один из учени¬
ков прочитывает его, а все остальные слушают. Здесь большая
нагрузка приходится на память, поэтому учащиеся быстро утом¬
ляются. Однако такие упражнения очень полезны; они разви¬
вают слуховую память. Рекомендуется чередовать задания всех
трех видов.167
После того как дети выполнят предложенное им задание,
они поднимают руку и по указанию учителя несколько учеников
устно сообщают ответ. Можно предлагать детям показывать от¬
веты с помощью разрезных цифр или на досках, это помогает
включить в работу всех учеников, и, кроме того, учитель сразу
увидит, как дети справились с заданием. Если ученик ошибся,
ему предлагают выполнить вычисления вслух. Для того чтобы
обеспечить большую самостоятельность детей при выполнении
устных упражнений, дают иногда задания по вариантам. Уче¬
ники записывают ответы в тетрадях, затем проверяют правиль¬
ность вычислений, выясняют и исправляют ошибки.В начальных классах рекомендуется как можно больше уст¬
ных упражнений проводить в форме игры. Такая форма заданий
повышает интерес детей к математике. Рассмотрим наиболее
распространенные из математических игр.Игра «Молчанка». Для игры берется какая-либо гео¬
метрическая фигура, в центре которой и по контуру, записыва¬
ются числа. Около числа, расположенного в центре, ставится
знак одного из арифметических действий. Постоянным является
число, записанное в центре (см. рис. 29). Игра проводится так:
учитель показывает указкой на одно из чисел, которое записано
по контуру, а дети выполняют указанное действие с этим чис¬
лом, записанным в центре. Вызванный ученик записывает ре¬
зультат. Остальные ученики поднятием руки сигнализируют,
если допущена ошибка. Вся работа протекает молча. Игра мо¬
жет быть изменена: учитель показывает на число, а дети молча
показывают результат на разрезных цифрах. Большой интерес
вызывают у детей красочно оформленные «молчанки» в виде
«Кто самый лучший капитан или космонавт».Круговые примеры.32:4	36-9	24:83-12	8+16	27-1-5Это круговые примеры. Их составляют так: первый пример
берется произвольно (32:4), результат этого примера должен
быть первым компонентом следующего примера (8+16), ре¬
зультат этого примера будет первым компонентом следующего
примера (24:8) и т. д., результат последнего примера будет пер¬
вым компонентом первого (32). Затем эти примеры записы¬
ваются в произвольном порядке.Игра проводится так: примеры записываются на дооке или
на плакате; ученики решают первый пример; вызванный ученик
называет не результат, а тот пример, который начинается с
числа, равного результату (8+16); дети решают этот пример
и называют следующий пример, который начинается с резуль¬
тата этого примера: 24:8 и т. д., пока не придут к первому
примеру.168
Круговые примеры могут составлять и сами ученики.Угадывание задуманных примеров. На доске
пишутся примеры. Учитель называет ответ одного из них (не
первого), а ученики должны найти задуманный учителем пример
по его ответу. В этом случае учащиеся решают все или почти
все примеры, чтобы найти нужный. Можно изменить игру: вы¬
звать одного ученика и повернуть его лицом к классу, а всем
учащимся предложить решить про себя («задумать») какой-ли¬
бо пример и назвать только его ответ; вызванный ученик дол¬
жен указать задуманный пример. Работу вызванного ученика
после решения нескольких примеров можно оценить.Магические или занимательные квадраты. Это
квадраты, которые состоят из 9, 16, 25 клеток. В клетках долж¬
ны быть записаны такие числа, что сумма их по всем направле¬
ниям (строкам, столбцам и диагоналям) одинакова. В одном
случае все числа даны — квадрат заполнен (см. первый квад¬
рат). Надо проверить, является ли квадрат магическим. В дру¬
гом случае в квадрате не все числа даны, но указана сумма
(см. второй квадрат). Надо заполнить квадрат. В третьем слу¬
чае и числа не все даны и сумма не дана, надо еще найти эту
сумму и после этого заполнить квадрат (см. третий квадрат).611426579510384576Сумма 15Игра «Лото». Эта игра может быть использована для за¬
крепления знаний табличного умножения, а также табличного
вложения. Составление карточек проводится самими учащими¬
ся при изучении и запоминании таблиц умножения. В них вклю¬
чаются те табличные результаты, которые встречаются в раз¬
ных таблицах (16, 18, 24, 36), и часто смешиваются учащимися
(54, 56), и сравнительно трудно запоминаются (27, 28, 42, 49,
63, 64, 72, 81).После изучения таблицы умножения 4 в устном счете дети
записывают в тетрадях ответы примеров; 2-8, 9-2, 4-6, 3-9,4-9, 4-8, 4-7.Ответы проверяются и записываются учителем на доске, а
дети записывают их на заранее приготовленных карточках
(9 СМХ15 см) в разном порядке. После изучения умножения 6
добавляются числа 42, 64, после умножения 7 — 49, 63, 56, ум¬
ножения 8 — 64, 72, умножения 9 — 81.169
в итоге карточка ученика выглядит так:1656247242С432 .2754632849308118Карточки других детей отличаются порядком чисел. Дома
каждый ученик заготовляет 15 фишек (2 смХ2 см) и нумерует
их от I до 15. Во время игры у каждого ученика лежит кар¬
точка и фишки по номерам от 1 до 15. Игра протекает в быст¬
ром темпе. Учитель называет пример на табличное умножение,
дети вычисляют и закрывают фишками соответствующие числа
на карточке. Те, кто хорошо знают таблицу, быстро закроют
фишками нужные числа, и к моменту окончания игры окажут¬
ся лучшими счетчиками. Проверка может проводиться учите¬
лем в конце игры или в ходе игры. Учитель спрашивает, какой
ответ получился в 3, или в 1, или в 12 примерах, объявляется
правильный ответ и выясняются ошибки.Существуют и другие игры: «Лучший счетчик», «Лесенка»,
«Лабиринт», «Математическая эстафета», угадывание чисел, за¬
думанных детьми, и др. Все они способствуют развитию навы¬
ков устных вычислений. Выбирая игру, учитель должен руко¬
водствоваться тем, что это не самоцель, а средство активизации
деятельности детей. При этом надо учитывать, что только та
игра на уроке принесет пользу, которая дает возможность вы¬
полнить наибольшее число операций и охватить всех учащихся.Необходимо систематически проверять умения и навыки уст¬
ных вычислений у детей. Проводя устный счет, учитель ведет
наблюдения за работой отдельных учащихся и учитывает это
при выставлении поурочного балла. Многие учителя с целью
учета навыков вычислений успешно используют математи-
ческиедиктанты. Для этого подбирают 8—10 заданий раз¬
личных видов упражнений по изученному материалу. На уроке
учитель называет каждое задание 1—2 раза, а все учащиеся в
обычных или специальных тетрадях для устного счета записы¬
вают ответы. Проверка проводится или на уроке, или после уро¬
ков, выявляются ошибки. Математический диктант часто ис¬
пользуется с целью обучения и тренировки в вычислениях, но
иногда он может быть контрольным, и тогда работа каждого
ученика оценивается.Полезно проводить контрольные работы по проверке навы¬
ков устных вычислений не реже одного раза в четверть. Они
проводятся в форме математического диктанта или по вариан¬
там, тексты для которых записываются на доске.170
Глава IIIОБУЧЕНИЕ РЕШЕНИЮ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧВведениеАрифметическая задача; виды арифметических задачВ окружающей нас жизни возникает множество таких Я^из-
ненных ситуаций, которые связаны с числами и требуют вы¬
полнения арифметических действий над ними,— это задачи. На¬
пример;1)	Юннатам выделили 15 саженцев яблони и 10 саженцев
сливы. Сколько всего саженцев выделили юннатам?2)	Легковая машина была в пути 4 ч и шла со скоростью
56 км в час. Какое расстояние прошла машина?3)	В магазине продали два куска ситца. За первый кусок
выручили 18 руб., а за второй в 2 раза больше. Сколько денег
выручили за второй кусок?4)	Какое число надо вычесть из 12, чтобы получить 8?Мы рассмотрели несколько арифметических задач. Что об¬
щее у них?Прежде всего каждая задача включает числа данные и
искомые. Числа в задаче характеризуют численности множеств
или значения величин, выражают отношения или являются дан¬
ными числами. Так, в задаче № 1 число 15 характеризует чис¬
ленность множества яблонь. В задаче № 2 число 56 является
значением величины — длины. В задаче № 3 число 2 выражает
отношение двух чисел: стоимости ситца во втором куске и в
первом. В задаче № 4 даны числа 12 и 8, которые являются
соответственно уменьшаемым и разностью.Каждая задача имеет условие и вопрос. В условии
задачи указываются связи между данными числами, а также
между данными и искомым; эти связи и определяют выбор
соответствующих арифметических действий. Вопрос указывает,
какое число является искомым. Например, условие задачи № 2:
«Легковая машина была в пути 4 ч и шла со скоростью 56 км
в час», а вопрос: «Какое расстояние прошла машина?».Решить задачу — значит раскрыть связи между данны¬
ми и искомым, заданные условием задачи, на основе чего вы¬
брать, а затем выполнить арифметические действия и дать от¬
вет на вопрос задачи'.' Здесь говорится о решении задачи в широком смысле. Термин «реше¬
ние задачи» употребляется и в узком смысле, когда говорят о выполнении
действий.171
Рассмотрим решение только что приведенных задач.Условие задачи № 1 определяет операцию объединения мио*
жеств саженцев яблони и сливы. Вопрос задачи указывает на
требование найти численность объединения данных множеств.
Операция объединения множеств связана с действием сложения
данных чисел, которое надо выполнить для решения задачи:
15+10=25. Ответ на вопрос задачи: юннатам выдали 25 са^
женцев.Из условия задачи № 2 известны скорость машины и время
ее движения. Требуется узнать расстояние, пройденное маши¬
ной. Используя связь, существующую между этими величинами,
выполним решение: 56-4 = 224. Ответ на вопрос задачи: маши¬
на прошла 224 км.Для решения задачи № 3 используется знание смысла вы¬
ражения «в два раза больше»: 18-2=36. Ответ на вопрос зада¬
чи: второй кусок стоил 36 руб.Как видим, переход от жизненной ситуации к арифметиче¬
ским действиям определяется в разных задачах различными
связями между данными и искомым.Остановимся на вопросе о классификации задач.Все арифметические задачи по числу действий, выполняемых
для их Т?Ш1еНия«-Лелятся на^рост1ыечи (€^оставны$1 Задача, для
решения которой надо выполнить один раз арифметическое
действие, на^цдается простой. Зддач^ для решения которой
надо выполнить несколько действии, связанных между со¬
бой (независимо от того, будут ли это разные или одинаковые
действия), называется^щтддиой.Простые' зздо^ПГл^бжно разделить на виды либо в зависимо¬
сти от действий, с помощью которых они решаются (простые
задачи, решаемые сложением, вычитанием, умножением, деле¬
нием), либо в зависимости от тех понятий, которые формиру¬
ются при их решении (см. такую классификацию на с. 198).Для составных задач нет такого единого основания класси¬
фикации, которое позволило бы с пользой для дела разделить
их на определенные группы. Однако по методическим сообра¬
жениям целесообразно выделить из всего многообразия задач
некоторые группы, сходные либо математической структурой
(например, задачи, в которых надо сумму разделить на число),
либо способом решения (например, задачи, решаемые спо¬
собом нахождения значения постоянной величины), либо кон¬
кретным содержанием (например, задачи, связанные с движе¬
нием) .В начальном курсе математики рассматриваются простые
задачи и составные преимущественно в 2—4 действия.В близкой связи с арифметическими задачами находятся
упражнения, которые называют задачи-вопросы. В задачах-
вопросах, как и в собственно задачах, имеется условие (кото¬
рое может включать числа, а может и не включать) и вопрос.172
Однако в отличие от задачи для решения задачи-вопроса доста¬
точно установить соответствующие связи между данными и
искомым, а арифметических действий выполнять не надо. На¬
пример: «Из двух поселков выехали одновременно навстречу
друг другу велосипедист и мотоциклист, которые встретились
через 36 мин. Сколько времени был в пути до встречи каж¬
дый?»Роль решения задачВ общей системе обучения математике решение задач яв-
ляется одним из видов эффективных упражнений.Решение задач имеет чрезвычайно важное значение прежде
всего для формирования у детей полноценных
знаний, определяемых программой.Так, если мы хотим сформировать у школьников правильное
понятие о сложении, необходимо, чтобы дети решили доста¬
точное количество простых задач на нахождение суммы, прак¬
тически выполняя каждый раз операцию объединения множеств
без общих элементов. Например, предлагается задача: «У де¬
вочки было 4 цветных карандаша и 2 простых. Сколько всего
карандашей было у девочки?» В соответствии с условием зада¬
чи дети раскладывают, например, 4 палочки, затем придвигают
еще 2 палочки к 4 и считают, сколько всего палочек. Далее
выясняется, что для решения задачи надо к 4 прибавить 2, по¬
лучится 6. Выполняя многократно подобные упражнения, дети
постепенно будут овладевать понятием о действии сложения.
Выступая в роли конкретного материала для формирования
знаний, задачи дают возможность связать теорию с прак¬
тикой, обучение с жизнью. Решение задач формирует
у детей практические умения, необходимые каждому человеку
в повседневной жизни. Например, подсчитать стоимость покуп¬
ки, ремонта квартиры, вычислить, в какое время надо выйтй,
чтобы не опоздать на поезд, и т. п.Использование задач в качестве конкретной основы для
ознакомления с новыми знаниями и для применения уже имею¬
щихся у детей знаний играет исключительно важную роль в
формировании у них элементов материалистиче¬
ского мировоззрения. Решая задачи, ученик убеждается,
что многие математические понятия (число, арифметические
действия и др.) имеют корни в реальной жизни, в практике
людей.Через решение задач дети знакомятся с важными в
познавательном и воспитательном отношении
фактами. Так, содержание многих задач, решаемых в на¬
чальных классах, отражает труд детей и взрослых, достижения
нашей страны в области народного хозяйства, техники, науки,
культуры. Сравнивая эти данные с данными о прошлом нашей173
страны и с данными о капиталистических странах, можно убе¬
дительно показать в доступной детям форме преимущества со¬
циалистического строя.Сам процесс решения задач при определенной методике
оказывает весьма положительное влияние на умственное
развитие школьников, поскольку он требует выполнения
умственных операций: анализа и синтеза, конкретизации и аб¬
страгирования, сравнения, обобщения. Так, при решении любой
задачи ученик выполняет анализ: отделяет вопрос от условия,
выделяет данные и искомые числа; намечая план решения, он
выполняет синтез, пользуясь при этом конкретизацией (мыслен¬
но «рисует» условие задачи), а затем абстрагированием (от¬
влекаясь от конкретной ситуации, выбирает арифметические
действия); в результате многократного решения задач какого-
либо вида ученик обобщает знание связей между данными и
искомым в задачах этого вида, в результате чего обобщается
способ решения задач этого вида.§ 1. Общие вопросы методики обучения решению
задачНаучить детей решать задачи —значит научить их уста¬
навливать связи .между данными и искомым и в соответствии с
этим выбирать, а затем и выполнять арифметические действия.Центральным звеном в умении решать задачи, которым
должны овладеть учащиеся, является усвоение связей между
данными и искомым. От того, насколько хорошо усвоены уча¬
щимися эти связи, зависит их умение решать задачи. Учитывая
это, в начальных классах ведется работа над группами задач,
решение которых основывается на одних и тех же связях
между данными и искомым, а отличаются они конкретным со¬
держанием и числовыми данными. Группы таких задач будем
называть задачами одного вида.Работа над задачами не должна сводиться к натаскиванию
учащихся на решение задач сначала одного вида, затем дру¬
гого*'и т. д. Главная ее цель — научить детей осознанно уста¬
навливать определенные связи между данными и искомым в
разных жизненных ситуациях, предусматривая постепенное их
усложнение. Чтобы добиться этого, учитель должен предусмот¬
реть в методике обучения решению задач каждого вида такие
ступени:1)	подготовительную работу к решению задач;2)	ознакомление с решением задач;3)	закрепление умения решать задачи.Рассмотрим подробнее методику работы на каждой из на¬
званных ступеней.174
Подготовительная работа к решению задачНа этой первой ступени обучения решению задач того или
другого вида должна быть создана у учащихся готовность к
выбору арифметических действий при решении соответствуюш,их
задач: они должны усвоить знание тех связей, на основе кото¬
рых выбираются арифметические действия, знание объектов и
жизненных ситуаций, о которых говорится в задачах.До решения простых задач ученики усваивают знаниесле-
дуюш,их связей:1)	Связи операций над множествами с арифметическими
действиями, т. е. конкретный смысл арифметических действий.
Например, операция объединения непересекающихся множеств
связана с действием сложения: если имеем 4 да 2 флажка, то,
чтобы узнать, сколько всего флажков, надо к 4 прибавить 2.2)	Связи отношений «больше» и «меньше» (на несколько
единиц и в несколько раз) с арифметическими действиями, т. е.
конкретный смысл выражений «больше на . . . », «больше
в . . . раз», «меньше на . . . », «меньше в . . . раз».
Например, больше на 2, это столько же и еще 2, значит, чтобы
получить на 2 больше, чем 5, надо к 5 прибавить 2.3)	Связи между компонентами и результатами арифмети¬
ческих действий, т. е. правила нахождения одного из компо¬
нентов арифметических действий по известным результату и
другому компоненту. Например, если известна сумма и одно из
слагаемых, то другое слагаемое находится действием вычита¬
ния: из суммы вычитают известное слагаемое.4)	Связи между данными величинами, находящимися в пря¬
мо или обратно пропорциональной зависимости, и соответст¬
вующими арифметическими действиями. Например, если извест¬
ны цена и количество, то можно найти стоимость действием ум¬
ножения.Кроме того, при ознакомлении с решением первых простых
задач ученики должны усвоить понятия и термины, относящие¬
ся к самой задаче и ее решению (задача, условие задачи, во¬
прос задачи, решение задачи, ответ на вопрос задачи).При решении составных задач ученики должны уметь
устанавливать не одну связь, а систему связей, т. е. устанав¬
ливать несколько связей, выстраивая их в определенном по¬
рядке. Например, при решении задачи: «За 4 карандаша упла¬
тили 12 коп. Сколько надо уплатить за 6 таких карандашей?»—
устанавливают такую систему связей: если известны стоимость
и количество карандашей, то можно найти их цену действием
деления; зная цену и количество карандашей, можно узнать
их стоимость действием умножения. Следовательно, подготов¬
кой к решению составных задач будет не только усвоение уча¬
щимися соответствующих связей, но и умение вычленять систе¬
му связей, иначе говоря, разбивать составную задачу на ряд175
простых, последовательное решение которых и будет решением
составной задачи.Важно на подготовительной ступени знакомить детей с объ¬
ектами, о которых говорится в задачах (например, с величи¬
нами), а также с соответствующими ситуациями, описанными
в задачах (например, с движением автомашин, поездов и т. п.
в одном направлении или в противоположных направлениях),
организуя специальные наблюдения жизненных ситуаций.Вся подготовительная работа сводится к выполнению уча¬
щимися специальных упражнений, помогающих усвоить им зна¬
ние названных связей и ознакомиться с объектами и жизнен¬
ными ситуациями, отраженными в задачах.При работе над каждым отдельным видом задач требуется
своя специальная подготовительная работа, о чем подробнее
будет сказано при рассмотрении методики обучения решению
задач каждого вида.Ознакомление с решением задачВыполнив соответствующую подготовительную работу, мож¬
но перейти к ознакомлению детей с решением задач рассмат¬
риваемого вида.На этой второй ступени обучения решению задач дети учат¬
ся устанавливать связи между данными и искомым и на этой
основе выбирать арифметические действия, т. е. они учатся пе¬
реходить от конкретной ситуации, выраженной в задаче, к вы¬
бору соответствующего арифметического действия. В результа¬
те такой работы учащиеся знакомятся со способом решения за¬
дач рассматриваемого вида.В методике работы на этой ступени выделяются следующие
этапы:I	этап — ознакомление с содержанием задачи;II	этап — поиск решения задачи;III	этап — выполнение решения задачи}IV	этап —проверка решения задачи.Выделенные этапы органически связаны между собой, и ра¬
бота на каждом этапе ведется на этой ступени преимущест¬
венно под руководством учителя.Рассмотрим подробнее методику работы на каждом этапе.1.	Ознакомление с содержанием задачи. Ознакомиться с со¬
держанием задачи — значит, прочитав ее, представить жизнен¬
ную ситуацию, отраженную в задаче. Читают задачу, как пра¬
вило, дети. Учитель читает задачу лишь в тех случаях, когда у
детей нет текста задачи или когда они еще не умеют читать.
Очень важно научить детей правильно читать задачу: делать
ударение на числовых данных и на словах, которые определя¬
ют выбор действия, таких, как «было», «уехали», «осталось»,
«стало поровну» и т, п., выделять интонацией вопрос задачи.17в
Если в тексте задачи встретятся репонятнйе слова, их наДд
пояснить или показать рисунки предметов, О которых говорит¬
ся в задаче, например: бульдозер, косилка и т. п, Задачу дети
читают один-два, а иногда и большее число раз, но постепенно
их надо приучать к запоминанию задачи с одного чтения, так
как в этом случае они будут сразу читать задачу более сосредо¬
точенно.Читая задачу, дети должны представлять ту жизненную ситу¬
ацию, которая отражена в задаче. С этой целью полезно после
чтения предлагать им представить себе то, о чем говорится в
задаче, и рассказать, как они представили (нарисовать словес¬
ную картинку).2.	Поиск решения задачи. После ознакомления с содержа¬
нием задачи можно приступить к поиску ее решения: ученики
должны выделить величины, входящие в задачу, данные и иско¬
мые числа, установить связи между данными и искомым и на
этой основе выбрать соответствующие арифметические действия.При введении задач нового вида поиском решения руково¬
дит учитель, а затем учащиеся выполняют это самостоятельно.
В том и другом случае используются специальные приемы, ко¬
торые помогают детям вычленить величины, данные и искомые
числа, установить связи между ними. К таким приемам отно¬
сятся иллюстрация задачи, повторение задачи, разбор и состав¬
ление плана решения задачи.Рассмотрим каждый из этих приемов.Иллюстрация задачи — это использование средств на¬
глядности для вычленения величин, входящих в задачу, дан¬
ных и искомых чисел, а также для установления связей между
ними.Иллюстрация может быть предметной или схемати¬
ческой.В первом случае используются для иллюстрации либо пред¬
меты, либо рисунки предметов, о которых идет речь в задаче:
с их помощью иллюстрируется конкретное содержание задачи.Например, надо проиллюстрировать задачу: «Дети катались
с горки. Домой ушли 5 девочек и 2 мальчика. Сколько всего
детей ушло домой?» В этом случае для иллюстрации лучше ис¬
пользовать самих детей: вызвать к доске группу школьников,
которые будут изображать детей, катающихся с горки, затем
показать, что «уходят домой», т. е. отходят в сторону, 5 дево¬
чек, а затем «уходят домой» (присоединяются к девочкам)
2 мальчика. Таким образом будет проиллюстрировано объеди¬
нение множеств и учащимся станет ясно, что задача решается
действием сложения, хотя и говорится, что дети ушли (с этим
глаголом учащиеся обычно связывают действие вычитания).
Чаще, чем сами предметы, используются их рисунки или другие
предметы. Так, для иллюстрации задачи: «Из корзинки взяли
сначала 5 морковок, а потом еще 2 морковки. Сколько всего12 Заказ № 4487	177
морковок вэяли из корзинки?» — не следует приносить в класс
морковь, лучше воспользоваться рисунками морковок, выре¬
занных из картона. Очень важно при этом, чтобы сами дети вы¬
полняли соответствующие операции с пособиями: пусть вместо
морковок они возьмут геометрические фигуры и положат на
партах сначала 5 фигур, потом 2. Надо приучать детей пользо¬
ваться пособиями для иллюстрации содержания задач при са¬
мостоятельной работе.Предметная иллюстрация помогает создать яркое представ¬
ление той жизненной ситуации, которая описывается в задаче,
что в дальнейшем послужит отправным моментом для выбора
действия. Предметной иллюстрацией пользуются только при
ознакомлении с решением задач нового вида и преимуществен¬
но в I классе.Наряду с предметной иллюстрацией, начиная с I класса,
используется и схематическая — это краткая запись за¬
дачи.В краткой записи фиксируются в удобообозримой форме ве¬
личины, числа данные и искомые, а также некоторые слова,
показывающие, о чем говорится в задаче: «было», «положили»,
«стало» и т. п., и слова, обозначающие отношения: «больше»,
«меньше», «одинаковая» и т. п.Краткую запись задачи можно выполнять в таблице и без
нее, а также в форме чертежа. Рассмотрим примеры.Задача 1. Рыболов поймал 10 щук, а лещей на 8 больше,
чем щук. Сколько щук и лещей поймал рыболов?Эту задачу целесообразнее записать кратко без таблицы:Щ.—10 шт.	] ^Л.—на 8 шт. больше ]Задача 2. Трактор израсходовал за 6 ч работы 48 л го¬
рючего. Сколько литров горючего потребуется трактору на 12 ч
работы при той же норме расхода в час?Эту задачу лучше записать кратко в таблице:Норма расхода горючегоВремя работыОбщий расход горючегоОдинаковая6 ч48 л12 ч?Как видно из приведенного примера, при табличной форме
записи требуется выделение и название величин (норма расхо¬
да, время работы, общий расход). Здесь расположение число¬
вых данных помогает установлению связей между величинами:
на одной строке записываются соответствующие значения раз¬
личных величин, а значения одной величины записываются од-178
к.и—"Рис. 30НО под другим; искомое число обозначается вопросительным
знаком.Многие задачи можно иллюстрировать чертежом. Пусть тре¬
буется решить задачу: «Ученику к началу учебного года купили
костюм, ботинки и шапку. Костюм стоит 24 руб. Он в 3 раза
дороже ботинок, а ботинки на 2 руб. дороже шапки. Сколько
стоила вся покупка?» Изобразив 1 руб. отрезком длиной 1 см,
получим чертеж (рис. 30).Иллюстрацию в виде чертежа целесообразно использовать
при решении задач, в которых даны отношения значений вели¬
чин (больше, меньше, столько же), а также при решении за¬
дач, связанных с движением. В последнем случае принято изо¬
бражать отрезком расстояние, пройденное движущимся телом,
стрелкой — направление движения, флажком или столбиком —
«пункты» на пути движущегося тела, при этом скорость под¬
писывают над или под стрелкой, указывающей направление
движения, время —над отрезком, изображающим расстояние,
пройденное за это время, длину пути — под 'соответствующим
отрезком. При этом надо соблюдать указанные в условии отно¬
шения: большее расстояние изображать большим отрезком.
Вот как будет выглядеть чертеж к задаче: «Два пешехода вы¬
шли одновременно навстречу друг другу из сел, расстояние
между которыми 18 км. Первый шел со скоростью 4 км в час,
а второй—5 км в час. Через сколько часов пешеходы встре¬
тятся?» (Рис. 31.)Чертеж наглядно иллюстрирует отношения значений вели¬
чин, а в задачах на движение схематически изображает соот¬
ветствующую жизненную ситуацию.Любая из названных иллюстраций только тогда поможет
ученикам найти решение, когда ее выполнят сами дети, по¬
скольку только в этом случае они будут анализировать задачу
сами. Значит, необходимо учить детей выполнять иллюстрации.
Сначала, при ознакомлении с задачей нового вида, краткая9^ ^тд час18 кмРис. 3112*	179
запись выполняется детьми под руководством учителя, а затем
самостоятельно в тех случаях, когда она помогает найти ре¬
шение.Рассмотрим, как можно провести работу по обучению крат¬
кой записи первой из приведенных задач:Каких рыб поймал рыбак? (Щук и лещей.) Запишем кратко:
Щ.— щуки, Л.— лещи. (Записывают на доске и в тетрадях.)
Известно ли, сколько щук поймал рыбак? (10 штук.) Запишем
на первой строке: «10 шт.». (Записывают.) Известно ли, сколь¬
ко лещей поймал рыбак? (Нет.) Как это записать? (Записать
вопросительный знак.) Но что известно о числе лещей? (Их н^а8	штук больше, чем щук.) Запишем: «на 8 шт. больше». (Запи¬
сывают.) Что требуется узнать? (Сколько всего щук и лещей
поймал рыбак.) Как это записать? (Поставить справа скобку
и вопросительный знак.)Получается запись:Щ.—10 шт.Л.—на 8 шт. больше)Теперь, используя иллюстрацию, ученики повторяют задачу.
При повторении лучше, чтобы дети объясняли, что показывает
каждое число и что требуется узнать в задаче. Например: «Чис¬
ло 10 показывает, сколько щук поймал рыбак. Число 8 показы¬
вает, на сколько больше лещей поймал рыбак. В задаче надо
узнать, сколько всего щук и лещей поймал рыбак».Заметим, что при ознакомлении с задачей нового вида, как
правило, используется какая-либо одна иллюстрация, но в от¬
дельных случаях полезно выполнить предметную и схематиче¬
скую иллюстрацию. Например, при ознакомлении с задачами
па движение можно проиллюстрировать движение на самих
детях, после чего выполнить чертеж. В каждом отдельном слу¬
чае при ознакомлении с задачами нового вида учитель указы¬
вает, какую иллюстрацию лучше выполнить.В процессе выполнения иллюстрации некоторые дети нахо¬
дят решение задачи, т. е. они уже знают, какие действия надо
выполнить, чтобы решить задачу. Однако часть детей может
установить связи между данными и искомым и выбрать соот¬
ветствующее арифметическое действие только с помощью учи¬
теля. В этом случае учитель проводит специальную беседу, ко¬
торая называется разбором задачи.При разборе задачи нового вида учитель должен в каждом
отдельном случае поставить детям вопросы так, чтобы навести
их на правильный и осознанный выбор арифметических дей¬
ствий. 'Например, при разборе задачи: «В пруду плавало 12 гусей,
их было на 2 больше, чем уток. Сколько уток плавало в пру-
ду?»—целесообразно поставить такие вопросы!180
Что требуется узнать в задаче? (Сколько уток плавало в
пруду.) Уток плавало больше или меньше, чем гусей? (Меньше,
потому что гусей было на 2 больше, чем уток, значит, уток бы¬
ло на 2 меньше, чем гусей.) Каким действием решается задача?
(Вычитанием.) Далее выполняется решение.Рассмотрим разбор составной задачи.Допустим, дети прочитали и выполнили иллюстрацию за¬
дачи на нахождение четвертого пропорционального: «В киоске
утром продали 8 конвертов с марками и получили за инх
48 коп., а вечером продали 12 таких же конвертов. Сколько
денег получили за конверты вечером?»Чтобы подвести детей к решению этой задачи, можно так
провести разбор:Что требуется узнать в задаче? (Сколько денег получили
за конверты, проданные вечером.) Больше или меньше получат
денег за конверты, проданные вечером? (Больше.) Почему?
(Больше продали конвертов по такой же цене.)Эти вопросы и подведут детей к решению задачи.Очень важно, чтобы вопросы не были подсказывающими, а
вели бы к самостоятельному нахождению пути решения задачи.
Учитель в дальнейшем предлагает учащимся самим ставить по¬
добные вопросы, чтобы вполне самостоятельно находить реше¬
ние задачи.Разбор составной задачи заканчивается составлением плана
решения.План решения — это объяснение того, что узнаем, выполнив
то или иное действие, и указание по порядку арифметических
действий. Например, составляя план решения к только что при¬
веденной задаче, ученик рассуждает: «Сначала узнаю, сколько
стоит один конверт, для этого выполню действие деление; затем
узнаю, сколько денег получили за конверты вечером, для этогр
выполню действие умножение».Часто при введении задач нового вида ученики затрудня¬
ются самостоятельно составить план решения, тогда им помо¬
гает учитель.В этом случае рассуждение можно строить двумя способами:
идти от вопроса задачи к числовым данным или
жеотчисловыхданных идти квопросу.Рассмотрим рассуждение от вопроса к числовым данным при
составлении плана решения следующей задачи: «Для школы
получили учебники; 8 маленьких пакетов, по 10 штук в каж¬
дом, и несколько больших пакетов, по 20 штук в каждом. Всего
180 учебников. Сколько было больших пакетов?»Что требуется узнать в задаче? (Сколько было больших
пакетов.) Можно ли это узнать сразу? (Нет.) Почему? (Не зна¬
ем, сколько было всего учебников в больших пакетах.) А это
можно сразу узнать? (Нет.) Почему? (Не знаем, сколько учеб¬
ников в маленьких пакетах.) Можно ли сразу узнать, сколько181
учебников в маленьких пакетах? (Можно.) Почему? (Известно,
сколько было маленьких пакетов и сколько учебников в каж¬
дом пакете.) Что узнаем сначала? (Сколько учебников было в
маленьких пакетах.) Каким действием? (Умножением.) Что уз¬
наем потом? (Сколько учебников было в больших пакетах.)
Каким Действием? (Вычитанием.) Что узнаем дальше? (Сколь¬
ко было больших пакетов.) Каким действием? (Делением.) От¬
ветим ли на вопрос задачи? (Да.)Рассуждение от числовых данных к вопросу при составле¬
нии плана решения той же задачи будет выглядеть так;Если известно, что прислали 8 пакетов учебников, по 10
штук в каждом, то что можно узнать? (Сколько учебников в
маленьких пакетах.) Каким действием? (Умножением.) Если
известно, сколько всего учебников прислали и сколько учебни¬
ков было в маленьких пакетах, то что можно узнать? (Сколько
учебников в больших пакетах.) Каким действием? (Вычитани¬
ем.) Если будет известно, сколько учебников в больших паке¬
тах и сколько учебников в каждом большом пакете, то что
можно узнать? (Сколько было больших пакетов.) Каким дей¬
ствием? (Делением.) Ответим ли на вопрос задачи? (Да.)Чаще следует использовать первый способ рассуждения, так
как бн более целенаправлен на составление плана решения:
ученик при этом должен иметь в виду не одно выделенное дей¬
ствие, а все решение в целом. При использовании второго спо¬
соба учитель невольно нацеливает учеников на определенный
способ решения, прямо подводя их к выбору каждого действия;
кроме того, рассуждение от числовых данных к вопросу задачи
допускает «лишние пробы»; если, например, будет известна
масса дыни и масса тыквы, то можно узнать массу дыни и
тыквы вместе, или на сколько дыня легче, чем тыква, или во
сколько раз тыква тяжелее дыни и т. п.3.	Решение задачи. Решение задачи — это выполнение ариф¬
метических действий, выбранных при составлении плана реше¬
ния. При этом обязательны пояснения, что находим, выполняя
каждое действие.Решение задачи может выполняться устно и письменно.
При устном решении соответствующие арифметические дейст¬
вия и пояснения выполняются устно. Решение примерно поло¬
вины всех задач должно выполняться в начальных классах
устно. При этом надо учить детей правильно и кратко давать
пояснения к выполняемым действиям.Например, пусть надо решить устно в П1 классе задачу:
«В новом доме уже заселили 49 квартир, а осталось свободных
на 18 квартир меньше, чем заселенных. Сколько всего квартир
в доме?» Ученик может рассуждать так: «Сначала узнаю, сколь¬
ко осталось свободных квартир, для этого из 49 вычту 18, по¬
лучится 31; теперь узнаю, сколько всего квартир в доме, для
этого к 49 прибавлю 31, получится 80; ответ: в доме всего 80182
квартир». Можно сначала называть действия, а потом пояс¬
нять их: сначала из 49 вычту 18, получится 31—столько квар¬
тир еще не заселили и т. д.При письменном решении записываются действия, а поясне¬
ния к ним учащиеся либо записывают, либо проговаривают
устно.В начальных классах могут быть использованы такие основ¬
ные формы записи решения:1)	составление по задаче выражения и нахождение его
значения;2)	составление по задаче уравнения и его решение;3)	запись решения в виде отдельных действий.Выражение с несколькими действиями или уравнение можносоставлять и записывать сразу, выполняя устно или письменно
пояснения к действиям, а можно записывать их постепенно.Рассмотрим каждую из названных форм записи решения на
примере такой задачи: «В магазине за 8 пар туфель ценой по9	руб. получили столько же денег, сколько за 6 пар ботинок.
Сколько стоила одна пара ботинок?»1)	Запись решения в виде выражения:а)	Постепенная запись выражения с записью пояснений:9-8 (руб.) — стоимость туфель или ботинок;(9-8):6 (руб.)—цена ботинок;(9.8):6=12	(руб.).Ответ: 12 руб.б)	Постепенная запись выражения без записи пояснений:9-8 (руб.)(9-8) :6 (руб.)(9-8);6=12 (руб.)Ответ: цена ботинок 12 руб.в)	Запись выражения без записи отдельных действий и по¬
яснений: "(9.8):6=12	(руб.)Ответ: цена ботинок 12 руб.2)	Запись решения в виде уравнения:а)	Постепенное составление уравнения с записью поясне¬
ний:X (руб.) — цена ботинок;9-8 (руб.) — стоимость туфель;л:-6 (руб.) — стоимость ботинок;л:-6 = 9-8; д:-6 = 72; л:=72:6; л:=12.Ответ: 12 руб.183
б) Постепенная запись уравнения без записи пояснений:X (руб.) — цена ботинок;х-6=9-8; х=72:6;
х-6=72-	х=12.Ответ: цена ботинок 12 руб.3)	Запись решения в виде отдельных действий:а)	С записью пояснений:1)	9-8=72 (руб.) —стоимость туфель или ботинок;2)	72:6=12 (руб.) —цена ботинок.Ответ: 12 руб.б)	Без записи пояснений:1)	9-8 = 72 (руб.)2)	72:6=12 (руб.)Ответ: цена ботинок 12 руб.Пояснения к действиям можно формулировать не только
в утвердительной форме, но и в вопросительной. Например:1)	Сколько стоили все туфли или все ботинки?9-8 = 72 (руб.)2)	Сколько стоила одна пара ботинок?72:6«12 (руб.)Формулировки в утвердительной форме более краткие и
требуют использования терминов названий величин (цена, стои¬
мость), что помогает их усвоению.В I классе достаточно научить детей записывать решение в
виде выражения, при этом решение дети должны выполнять
без записи пояснений, поскольку они еще слабо владеют на¬
выками письма. Во П классе можно ввести все три формы
записи решения как с пояснениями, так и без пояснений. Не¬
обходимо специально обучать детей записи пояснений: сначала
выполнять запись под руководством учителя, а потом само¬
стоятельно. Разумеется, решение далеко не каждой задачи сле¬
дует записывать с пояснениями.В период ознакомления с задачами нового вида решелие
выполняется, как правило, письменно, причем в I классе пояс¬
нения проговариваются, а во II классе и в III записываются.
При самостоятельной работе учитель указывает, какую форму
записи надо использовать.В большинстве случаев надо отдавать предпочтение первым
двум формам записи решения, т. е. составлению выражения и184
уравнения. При такой записи учащиеся сосредоточивают глав¬
ное внимание на логической последовательности действий, а не
на результатах вычисления, при этом они оперируют выраже¬
ниями, что способствует формированию понятия выражения,
кроме того, само по себе составление по условиям задач урав¬
нения и выражения ценно с точки зрения приобщения детей к
алгебраическому способу решения задач.Запись решения в виде отдельных действий используется, как
правило, тогда, когда уравнение или выражение очень сложно
и громоздко, а иногда их составить и невозможно, и в тех случа¬
ях, когда задача включает большие числа (в III классе).4.	Проверка решения задач. Проверить решение задачи —
значит установить, что оно правильно или ошибочно.В начальных классах используются следующие четыре спо¬
соба проверки:1)	Составление и решение обратной задачи.В этом случае детям предлагается составить и решить зада¬
чу, обратную по отношению к данной. Если при решении обрат¬
ной задачи в результате получится число, которое было извест¬
но в данной задаче, то можно считать, что данная задача реше¬
на правильно.Например, учащимся предлагается решить задачу; «На из¬
готовление 5 чайных ложек, по 20 г каждая, израсходовали
столько же металла, сколько на 2 столовые ложки. Сколько
граммов металла расходовали на столовую ложку?» Решив эту
задачу, дети узнали, что на столовую ложку расходовали 50 г
металла. Далее учитель предлагает составить обратную зада¬
чу, т. е. преобразовать данную задачу так, чтобы искомое дан¬
ной задачи (50) стало данным числом, а одно из данных чисел
(5, или 20, или 2) стало искомым. Учащиеся формулируют од¬
ну из задач, например такую: «Сколько столовых ложек, по 50,г
каждая, можно изготовить из металла, который израсходовали
на 5 чайных ложек, по 20 г каждая?» Если в результате реше¬
ния этой обратной задачи получится число 2, значит, данная
задача решена правильно.Этот способ вводится во II классе. Он применим к любой
задаче, лишь бы обратная задача была посильна детям, а по¬
этому им надо указывать, какое число можно брать искомым
в обратной задаче. Не следует думать, что решение всех задач
надо проверять этим способом, так как он довольно труден и
громоздок. Действительно, надо составить задачу, а затем ре¬
шить ее, причем обратная задача может оказаться труднее дан¬
ной. Однако во многих случаях очень полезны сами упражне¬
ния в составлении и решении обратных задач, поскольку они
помогают уяснить связи между величинами, входящими в за¬
дачу. Поэтому целесообразно проверять решение этим спосо¬
бом всех простых задач, задач на нахождение четвертого про¬
порционального, задач, в которых находится сумма, разность185
или частное двух произведений либо двух частных и обратные
по отношению к ним задачи, а также ряд других задач.2)	Установление соответствия между числа¬
ми, полученными в результате решения задачи,
и д а н н ы ми числами.При проверке решения задачи этим способом выполняют
арифметические действия над числами, которые получатся в от¬
вете на вопрос задачи; если при этом получатся числа, данные
в условии задачи, то можно считать, что задача решена пра¬
вильно.Рассмотрим применение этого способа для проверки реше¬
ния следующей задачи; «Юннаты собрали три мешка карто¬
феля, всего 153 кг. Они взвесили первый и второй мешки —
оказалось 102 кг, взвесили второй и третий мешки — получи¬
лось 99 кг. Сколько килограммов картофеля было в каждом
мешке?»В результате решения этой задачи учащиеся найдут, что в
первом мещке было 54 кг картофеля, во втором — 48 кг, а в
третьем —51 кг. Для проверки решения надо установить, будет
ли в трех мешках 153 кг картофеля: 54 + 48-Ьб1 = 153. Теперь
узнаем, действительно лр в первом и втором мешках 102 кг, а
во втором и третьем—90 кг картофеля: 54 + 48=102; 48 + 51 =
■=99.Числа, .полученные в ответе, соответствуют данным; значит,
можно считать, что задача решена правильно.Этот способ проверки используется начиная со II класса.
Его целесообразно применять для проверки решения задач та¬
кой структуры, в которых можно получить числа, данные в за¬
даче, путем выполнения соответствующих действий над числа¬
ми, полученными в ответе (задачи на пропорциональное деле¬
ние, на нахождение неизвестных по двум разностям и целый
ряд других задач).3)	Решение задачи другим способом. Если зада¬
чу можно решить различными способами, то получение одина^
ковых результатов подтверждает, что задача решена правильно.Например, учащимся III класса предлагается решить задачу
нэ движение: «Из двух поселков, расстояние между которыми
13 км, выехали одновременно навстречу друг другу два мото¬
циклиста и встретились через 5 мин. Один из них проезжал в
минуту 1 км 200 м. Сколько метров в минуту проезжал другой
мотоциклист?»Решение!	Проверка:1)	1200-5 = 6000 (м)	1) 13000:5=2600 (м)2)	13 000-6000 = 7000 (м) 2) 2600-1200 =.1400 (м)3)	7000:5=1400 (м)Ответ: 1400 м.186
При решении задачи разными способами получили одинаШ"
вые результаты, значит, задача решена правильно.Этот способ проверки решения задач вводится в I классе.Заметим, что два способа нельзя считать различными, если
они отличаются только порядком* выполнения действий.4)	Прикидка ответа (установление соответствия иско¬
мого числа области своих значений).Применение этого способа состоит в том, что до решения
задачи устанавливается область значений искомого числа, т. е.
устанавливается, больше или меньше какого-то из данных чи¬
сел должно быть искомое число. После решения задачи опре¬
деляется, соответствует ли полученный результат установлен¬
ной области значений, если он не соответствует установленным
границам, значит, задача решена неправильно.Пусть надо проверить способом прикидки решение следую¬
щей задачи: «Из двух городов, расстояние между которыми
736 км, одновременно вышли навстречу друг другу два поезда.
Первый поезд шел со скоростью 47 км в час, а второй 45 км в
час. Сколько километров прошел каждый поезд до встречи?»До решения задачи выясняется, что каждый поезд прошел
расстояние меньше, чем 736 км, и что первый поезд прошел
большее расстояние, чем второй. Если ученик ошибется И1 по¬
лучит в ответе, например, числа 3760 и 3600, то сразу же за¬
метит, что задача решена неправильно, так как каждое иско¬
мое число должно быть меньше, чем 736.Таким образом, этот способ помогает заметить ошибочность
решения, но он не исключает других способов проверки реше¬
ния задач.Вводится этот способ в I классе. Пользуясь им, проверяют
решение простых, а также составных задач.Итак, мы рассмотрели общие вопросы методики ознакомле¬
ния учащихся с задачами нового вида. Вводя задачу нового ви¬
да, целесообразно соблюдать определенную этапность; сначала
ознакомить детей с содержанием задачи, затем приступить к
поиску решения этой задачи, далее выполнить решение и, на¬
конец, проверить решение. Работа на этой ступени проводится
под руководством учителя. В таком плане достаточно рассмот¬
реть на разных уроках две — четыре аналогичные задачи.Закрепление умения решать задачи рассматриваемого вида.Рассмотрим методику работы на третьей ступени обучения
решению задач отдельного вида, цель которой — закрепить у
учащихся умение решать задачи с определенной связью между
данными и искомым. Иными словами, надо добиться, чтобы уче¬
ник обобщил способ решения и умел решить любую задачу
рассматриваемого вида.Работа над обобщением способа решения задач отдельного
вида не должна подменяться работой по запоминанию спосо¬
ба решения, в результате которой ученик узнает задачу зна¬187
комого вида и вспоминает порядок выполнения действий
при ее решении: сначала сложу, потом разделю... и т. д. Все
усилия ученика должны быть направлены на раскрытие со¬
ответствующих связей между данными и искомым, на основе
чего он будет выбирать соответствующие арифметические дей¬
ствия.Раскроем методические приемы, помогающие детям прийти
к обобщению.Для правильного обобщения способа решения задач опреде¬
ленного вида большое значение имеет си схема подбора и
расположения задач. Система должна удовлетворять
определенным требованиям.Прежде всего задачи должны постепенно усложняться. Ус¬
ложнение может идти как путем увеличения числа действий,
которыми решается задача, так и путем включения новых свя¬
зей между данными и искомым. Например, после ознакомле¬
ния с задачей на нахождение четвертого пропорционального с
величинами: цена, количество, стоимость — включаются зада¬
чи, которые решаются более чем двумя действиями: «Таня ку¬
пила 6 одинаковых блокнотов и уплатила за них 72 коп., а ее
подруга купила на 2 блокнота меньше. Сколько денег уплатила
под)руга?» Можно на этом этапе включать задачи с этими же
величинами, но с обратно пропорциональной зависимостью:
«3 булочки, по 8 коп. каждая, стоят столько же, сколько 4 пи¬
рожка. Сколько стоит пирожок?»Одним из важных условий для правильного обобщения млад¬
шими школьниками способа решения задач определенного ви¬
да является решение достаточного числа их. Однако задачи
рассматриваемого вида должны включаться не подряд, а рас-
средоточенно: сначала включаются чаще, а потом все реже и
реже, в перемежении с другими видами. Это необходимо для
того, чтобы предупредить запоминание способа решения.На этой третьей ступени иначе строится и методика рабо¬
ты надотдельнойзадачей.Надо иметь в виду, что овладение умением решать задачи
определенного вида наступает не у всех детей одновременно.
Так, одна группа детей уже на первом уроке, предназначенном
для обобщения способа решения задач рассматриваемого вида,
может, читая задачу, сразу же установить соответствующие свя¬
зи и правильно выбрать действия. Другая группа детей решит
задачу после того, как выполнит краткую запись или чертеж,
т. е. некоторые дети еще нуждаются в конкретизации условия
задачи. В это время третья группа детей может решить задачу
только после соответствующего разбора под руководством учи¬
теля.Учитывая это, важно создать такие условия, при кото¬
рых каждый из детей будет работать в меру сво¬
их возможностей. Это достигается Путем предъявления188
различ{1ых требований к разным группам учащихся. Практиче¬
ски такой дифференцированный подход реализуется по-раз¬
ному.Например, можно всем детям предложить прочитать одну и,
ту же задачу, затем спросить, кто из них может сам решить эту
задачу. Тем ученикам, которые знают, как решить задачу, пред¬
лагается выполнить решение самостоятельно, а остальным запи¬
сать задачу кратко, сделать рисунок или чертеж; после этого
опять-таки надо спросить, кто теперь знает, как решить зада¬
чу. Еще часть детей включается в самостоятельное решение за¬
дачи. С остальными учащимися выполнить разбор коллектив¬
но, после чего предложить самостоятельно записать решение.
Ученики, справившиеся с решением раньше других, получают
дополнительные задания.Возможен и такой вариант; для самостоятельной работы
предлагается несколько задач рассматриваемого вида, но раз¬
ной трудности, причем задачи подбираются с таким расчетом,
чтобы каждый ученик мог решить легкую задачу, что служило
бы подготовкой к самостоятельному решению более трудной
задачи. Например, предлагается такая пара задач:1)	С трех яблонь собрали 310 кг яблок. С первой яблони
120 кг, а со второй 90 кг. Сколько килограммов яблок собра¬
ли с третьей яблони?2)	С трех яблонь собрали 280 кг яблок. С первой яблони96 кг, а со второй — того, что собрали с первой. Сколько ки¬
лограммов яблок собрали с третьей яблони?Учитель говорит детям, что вторая задача труднее первой,
но можно всем попробовать ее решить; те дети, которые не смо¬
гут решить эту задачу, пусть сначала решат первую, а потом
им легко будет решить и вторую.Полезно время от времени в целях обобщения способа ре¬
шения задачи проводить элементарное исследование
решения задач.Это установление условий, при которых задача имеет или
не имеет решения, имеет одно или несколько решений, а так¬
же установление условий изменения значения одной величины
в зависимости от изменения другой.Например, учащимся предлагается подобрать пропущенные
числа в задаче и решить ее: «Сестра прочитала за месяц . . .
книг, а брат на . . . книг меньше. Сколько книг прочитал
брат?» Проводится беседа:Каким действием будете решать задачу? (Вычитанием.) Что
надо учитывать при подборе первого числа? (Надо взять столь¬
ко книг, сколько можно прочитать за месяц.) Примерно сколь¬
ко? (Примерно 10 или меньше.) Что надо учитывать при, под¬
боре второго числа? (Оно должно быть меньше первого или
равняться ему.) Теперь подберите числа и прочитайте задачу.189
(Сестра прочитала 10 книг, а брат на 2 книги меньше. Сколько
книг прочитал брат?) Решите задачу. (10—2=8, брат прочитал8	книг.) Может ли второе число равняться 10? (Может, тогда
получится, что брат прочитал нуль книг, т. е. не прочитал ни
одной книги.) Может ли второе число равняться 11? (Нет. Нель¬
зя 10 уменьшить на И.)Рассмотрим еще пример. Пусть дети решили задачу: «Из
Москвы и Ленинграда одновременно навстречу друг другу вы¬
шли два скорых поезда. Скорость московского поезда 112 км
в час, а ленинградского 105 км в час. Расстояние от Москвы
до Ленинграда 651 км. Какое расстояние пройдет каждый по¬
езд до встречи?» После решения задачи целесообразно провести
такую беседу:При каких условиях поезда могли встретиться на середине
пути? (Если бы они шли с одинаковой скоростью или если бы
ленинградский поезд вышел раньше московского.) При каких
условиях поезда могли встретиться ближе к Москве? (Если бы
московский поезд шел с меньшей скоростью, чем ленинградский,
или если бы московский поезд вышел позднее ленинградского.)
Если после встречи поезда продолжат свой путь, то который из
них затратит больше времени для прохождения остального пу¬
ти? (Ленинградский, потому что скорость у него меньше, а путь
надо пройти больше, чем московскому поезду.) При каких усло¬
виях в этом случае поезда затратили бы одинаковое время на
прохождение оставшегося пути? (Если бы ленинградский поезд
пошел со скоростью московского, а московский со скоростью
ленинградского, или если бы ленинградский увеличил скорость,
или если бы московский уменьшил скорость.)Такие вопросы могут ставить и сами дети.Выработке умения решать задачи нового вида помогают уп¬
ражнения на сравнение решений задач этого вида и ра¬
нее рассмотренных видов, но сходных в каком-то отношении с
задачами нового вида. Такие упражнения предупреждают сме¬
шение способов решения задач этих видов. Например, следует
проводить сравнение задач на увеличение или уменьшение чис¬
ла на несколько единиц, сформулированных в прямой и косвен¬
ной форме.С этой целью надо включать задачи парами:1)	Неизвестное число больше, чем 15, на 8. Найти неизвест¬
ное число.2)	12 больше неизвестного числа на 7. Найти неизвестное
число.После решения этих задач выясняется, почему они решают¬
ся разнымй действиями, хотя в каждой из них говорится «боль-
1Йе... на». Ученики должны ответить, что во второй задаче го¬
ворится, что 12 больше, чем неизвестное число, на 7, значит,
неизвестное число будет меньше, чем 12, на 7, и задачу надо
решить действием вычитания.190
Выработке умения решать задачи рассматриваемого вида
помогают так называемые упражнения творческого
характера. К ним относятся решение задач повышенной
трудности, решение задач несколькими способами, решение за¬
дач с недостающ,ими и лишними данными, решение задач, имею¬
щих несколько решений, а также упражнения в составлении и
преобразовании задач.К задачам повышенной трудности относят такие
задачи, в которых связи между данными и искомым выражены
необычно, например; «У Пети три куска проволоки, причем вто-5ой кусок длиннее первого на 2 м, а третий длиннее второго на
м. На сколько метров длиннее третий кусок, чем первый?»
Эта задача на нахождение суммы двух чисел, но каждое сла¬
гаемое является разностью.К задачам повышенной трудности относятся также задачи,
вопрос которых сформулирован нестандартно, например: «Хва¬
тит ли 50 коп., чтобы купить 2 блокнота по 18 коп. и линейку
за 8 коп.?» Здесь вопрос задачи требует не нахождения значе¬
ния величины, а сравнения чисел, но для этого необходимо ре¬
шить задачу с другим вопросом: «Сколько стоит покупка?», вы¬
полнив соответствующие вычисления.Решение задач повышенной трудности помогает выработать
у детей привычку вдумчиво относиться к содержанию задачи и
разносторонне осмысливать связи между данными и искомым.
Задачи повышенной трудности следует предлагать в любом
классе, имея в виду одно условие: детям должно быть извест¬
но решение обычных задач, к которым сводится решение пред¬
лагаемой задачи повышенной трудности.Многие задачи могут быть решены различными спосо¬
бами. Поиск различных способов решения приводит детей к
«открытию» новых связей между данными и искомым, а также
к использованию уже известных связей, но в новых условиях.
Например, предлагается задача: «Одна доярка надоила утром
114 л молока, а другая 152 л. Это молоко разлили в бидоны,
по 38 л в каждый. Сколько потребовалось бидонов?» Учаш,иеся,
исходя из конкретной ситуации, решают задачу двумя спосо¬
бами:1) (114+152):38 = 7 2) 114:38+152:38=.7Сравнивая эти способы, они видят, что в первом случае сум¬
му двух чисел разделили на число, а во втором каждое сла¬
гаемое разделили на число и полученные частные сложили.Таким образом, учащиеся еще раз убеждаются, что делить
сумму на число можно разными способами, тем самым они луч¬
ше усваивают свойство и осознают, что это свойство лежит в
основе разных способов решения задачи.Работа над задачами с недостающими и лишни¬
ми данными воспитывает у детей привычку лучше осмысли¬
вать связи между данными и искомым.191
Рассмотрим примеры таких упражнений.Учащимся предлагается решить задачу: «Покупательница
попросила взвесить две селедки. Весы показали 380 г; тогда она
попросила одну из селедок заменить большей; теперь весы
показали 420 г. Какова масса каждой из трех селедок?»
Ознакомившись с содержанием задачи, учащиеся устанавли¬
вают, что можно найти по данным условиям, а также обна¬
руживают, что для решения задачи не хватает данных. Учитель
предлагает дополнить задачу такими условиями, чтобы можно
было ответить на вопрос задачи. Ученики могут назвать усло¬
вия: известна масса одной из селедок, известна масса всех трех
селедок вместе, известно, что масса двух первых селедок оди¬
накова, и т. д. Таким образом, получится несколько различных
задач, решение которых весьма полезно, так как каждый раз
требуется устанавливать новые связи между одними и теми же
данными и искомым.Решение задач с недостающими данными используется так¬
же в целях подготовки к решению составных задач (см. с. 219).Рассмотрим работу над задачей с лишними данными:
«В трех классах школы 96 учеников. В I классе 28 учеников, а
во II на 5 учеников больше, чем в I, и на 2 ученика меньше,
чем в III. Сколько учеников в III классе?»Сначала устанавливают, а потом исключают лишнее данное:
либо «96 учеников», либо «во II классе на 2 ученика меньше,
чем в III». Получаются две различные задачи, которые дети
решают самостоятельно. Заметим, что после исключения лиш¬
него данного должна получиться такая задача, которую дети
могут решить.Полезно включать и решение задач, имеющих не-
сколько решений. Решение таких задач будет способство¬
вать формированию понятия переменной. Например, рассмат¬
ривается задача: «В двух стопках 8 тетрадей. Сколько может
быть тетрадей в каждой стопке?» Решениями здесь будут все
пары целых неотрицательных чисел, сумма которых равна 8;
их можно записать в таблице:I876543210П012345678Всего888888888Дети при этом наблюдают, что каждая величина принимает
различные значения и что число тетрадей в первой стопке192
уменьшалось на 1, во второй — увеличивалось на 1, а общее
число ие изменялось.Упражнения по составлению и преобразованию
задач являются чрезвычайно эффективными для обобщения спо¬
соба их решения.Рассмотрим некоторые виды упражнений по составлению
и преобразованию задач.1.	Постановка вопроса к данному условию задачи или из¬
менение данного вопроса.Такие упражнения помогают обобщению знаний о связях
между данными и искомым, так как при этом дети устанав¬
ливают, что можно узнать по определенным данным. Напри¬
мер, учащимся предлагается поставить различные вопросы к
условию задачи: «В одной коробке 48 карандашей, в другой
12 карандашей». Учащиеся могут поставить такие вопросы:Сколько карандашей в двух коробках?На сколько карандашей больше (меньше) в одной короб¬
ке, чем в другой?Во сколько раз больше (меньше) карандашей в одной ко¬
робке, чем в другой?Сколько карандашей надо переложить из первой коробки
во вторую, чтобы в обеих коробках карандашей было поровну?
И т. д.Во многих случаях целесообразно вводить некоторые огра¬
ничения. Например, предлагается поставить вопрос так, чтобы
задача решалась одним действием, двумя действиями и т. д.,
или чтобы спрашивалось о скорости, о цене и т. п., или чтобы
задача решалась указанным действием.После решения некоторых задач полезно предложить де¬
тям изменить вопрос задачи. Например, пусть ученики решили
задачу: «Два поезда вышли одновременно навстречу друг дру¬
гу из Москвы и Киева. Московский поезд проходил 68 км в час,
а киевский 75 км в час. Через сколько часов поезда встретятся,
если расстояние от Москвы до Киева 858 км?» После решения
задачи можно предложить изменить вопрос так, чтобы спраши¬
валось о расстоянии. Учащиеся могут поставить такие вопросы:На каком расстоянии от Москвы (от Киева) произошла
встреча?Какое расстояние прошел каждый поезд до встречи?Какое расстояние надо пройти каждому поезду после встре¬
чи до места назначения?На сколько километров больше прошел до встречи киев¬
ский поезд? И т. д.2.	Составление условия задачи по данному вопросу.При выполнении таких упражнений учащиеся устанавли¬
вают, какие данные надо иметь, чтобы найти искомое, а это
также приводит к обобщению знания связей между данными
и искомым. Например, дается задание составить условие за¬13 Заказ № 4487	193
дачи с вопросом: «Сколько ведер воды в двух бочках?» Дети
устанавливают, что в условии может быть дано число ведер
воды в каждой бочке или число ведер воды в одной из бочек
и разность или отношение между числом ведер в первой и вто¬
рой бочках и т. п. Каждую из составленных задач учащиеся
решают самостоятельно.Следует ставить вопросы в этих случаях и так, чтобы для
составления задач нужно было выполнить некоторые практиче¬
ские работы: составьте задачу, в которой надо узнать площадь
пола вашей комнаты или сколько потребуется краски, чтобы
выкрасить пол в нашем классе, и т. п.Для составления таких задач полезно, чтобы ученики ис¬
пользовали свои блокноты-справочники, в которых они записы¬
вали числовые данные, беря их из детских газет и журналов,
передач по радио и телевидению, из бесед с родителями, а так¬
же получая данные непосредственно (проводя наблюдения, из¬
мерения и т. п.). На отдельных страницах блокнота они запи¬
сывают данные о своем классе, школе, поселке, городе, обла¬
сти, стране, данные о достижениях промышленности и сельско¬
го хозяйства, интересные данные из жизни животных и расте¬
ний, значения некоторых величин (цены, скорости, нормы выра¬
ботки и т. д.). Весь этот материал учитель может использовать
и в воспитательных целях.3.	Подбор числовых данных или их изменение.Эти упражнения служат главным образом целям знакомст¬
ва учащихся с реальными количественными отношениями. На¬
пример, учащимся предлагается полный текст задачи с пропу¬
щенными числовыми данными: «На . . . одинаковых плать¬
ев пошло . . . метров материи. Сколько таких же платьев
можно сшить из . . . метров такой же материи?» Учащиеся
устанавливают, какие числовые данные можно задать сразу, а
какие получить путем вычисления: сразу можно задать число
платьев, а число метров материи, которое израсходовали, надо
получить путем вычисления, имея в виду еще одно число, кото¬
рое в задачу не включается,— число метров материи, расходуе¬
мое на одно платье.Особый интерес представляют упражнения на замену неко¬
торых числовых данных другими, но так, чтобы задачу можно
было решить каким-то другим способом. Например, учащиеся
решили задачу: «В магазине продали в течение дня 8 пальто
по 53 руб. и 7 плащей по 45 руб. Сколько денег выручил ма¬
газин за эти вещи?» После решения этой задачи учитель пред¬
лагает изменить числовые данные так, чтобы задача решалась
другим способом. Учащиеся должны предложить задать равны¬
ми или число проданных пальто и плащей, или их цену. Зада¬
ча с измененными данными решается другим способом.Полезно включать задания на изменение числовых данных
так, чтобы искомое число увеличивалось или уменьшалось.194
Рис. 324.	Составление задач по
аналогии.Аналогичными называют¬
ся задачи, имеющие одинако¬
вую математическую струк¬
туру.Составление учащимися
аналогичных задач помогает
установлению общих связей
между данными и искомым
при разных жизненных ситуа¬
циях. Аналогичные задачи
надо составлять после реше¬
ния данной готовой задачи, предлагая при этом, когда возмож¬
но, изменять не только сюжет и числа, но и величины. Если,
например, учащиеся III класса решили задачу с величинами:
цена, количество, стоимость, можно предложить составить та¬
кую же (похожую) задачу, но с величинами: скорость, время,
расстояние.5.	Составление обратных задач.Упражнения в составлении и решении обратных задач по¬
могают усвоению связей между данными и искомым.Обратные задачи можно составлять как по отношению к
данной простой, так и к составной задаче, при этом можно со¬
ставить одну или несколько обратных задач в зависимости от
целей этого вида работы. Однако учителю всегда следует про¬
верить, посильна ли детям обратная задача. Составление об¬
ратных задач следует связывать с проверкой решения задач.6.	Составление задач по их иллюстрациям.Полезными являются упражнения на составление задач по
данной картинке, чертежу или краткой записи. Они помогают
детям увидеть задачу в данной конкретной ситуации, например:а)	По картинке (рис. 32) дети могут составить несколько
задач;«Булочка стоит 5 коп., а стакан чаю 3 коп. Сколько стоит
стакан чаю и булочка?»«Булочка стоит 5 коп., а стакан чаю 3 коп. Я купил 2 бу¬
лочки и стакан чаю. Сколько денег я уплатил?» И т. д.б)	По чертежу (рис. 33) учащиеся могут составить такую
задачу: «Из двух поселков, расстояние между которыми 57 км,
вышли одновременно навстречу друг другу отряды туристов:{/■кмбчас13*1«5
пешеходов и велосипедистов. Скорость пешеходов 4 км в час,
а велосипедистов 15 км в час. На каком расстоянии от пер¬
вого поселка встретятся отряды?»Печатала в деньВремя работы6	ч7	чВсего напечатала48 С.?По данной краткой записи дети могут составить следующую
задачу: «Две машинистки печатали в час одинаковое число
страниц. Первая машинистка работала 6 ч и напечатала за это
время 48 страниц, а вторая машинистка работала 7 ч. Сколько
страниц напечатала вторая машинистка?»Прежде чем предлагать детям составить задачу по той или
иной иллюстрации, надо проанализировать эту иллюстрацию,
т. е. провести беседу и выяснить, понимают ли дети, что изо¬
бражено, что обозначают числа, что надо узнать и т. д.7.	Составление задач по данному решению.Формированию умения решать задачи помогают упражне¬
ния, которые можно назвать обратными по отношению к реше¬
нию задач; это воспроизведение задачи по ее решению.Решение может быть дано в любой форме: отдельными дей¬
ствиями, выражением или уравнением как с записью поясне¬
ний, так и без них. При этом решение может содержать как
одно действие, так и несколько.Также эффективны несколько усложненные упражнения: да¬
но решение задачи в виде выражения и иллюстрация, детям
предлагается объяснить, что обозначают эти выражения. На¬
пример, по рис. 33 ученикам I класса предлагается объяснить,
что обозначают выражения: 5-ЬЗ (сколько стоят булочка и ста¬
кан чая), 5—3 (на сколько больше стоит булочка, чем стакан
чая), а ученики И класса объясняют, что показывают выраже¬
ния: 5-4 (стоимость 4 булочек), 3-2 (стоимость 2 стаканов чая),5-2 + 3 (стоимость 2 булочек и стакана чая) и т. п. По чертежу
(рис. 34) учащиеся П1 класса объясняют, что показывают вы¬
ражения: 4+15 (на сколько километров сближались туристы в
час), 57:(4+15) (через сколько часов встретятся туристы, если
выйдут одновременно). Полезно включить и такие выражения,
которые в данной ситуации не имеют смысла; например, по
данной выше краткой записи учитель предлагает объяснить,
что обозначает выражение: 6+48 (это выражение в данной
задаче не имеет смысла).Как видим, здесь для ответа на поставленный вопрос уче¬
ники должны составить задачу по ее решению, обращаясь к си¬
туации, заданной иллюстрацией.196
Предлагая составить задачу, надо сначала проанализиро'
вать данное решение задачи. В отдельных случаях целесооб¬
разно подсказать детям сюжет или же назвать величины. На¬
пример, учитель предлагает учащимся III класса составить за¬
дачу с величинами; скорость, время, расстояние по данному
выражению; (12:3) >2.Какое действие здесь выполнено первым? (Деление.) А за¬
тем? (Умножение.) Надо составить по этому выражению за¬
дачу с величинами: скорость, время, расстояние. Что узнаем,
когда выполним умножение? (Расстояние.) Значит, что обозна¬
чает число 2? (Время движения.) А что обозначает выраже¬
ние: 12:3? (Скорость.) Если это выражение обозначает ско¬
рость, то что показывает каждое число? (12 — пройденное рас¬
стояние, а 3 —время движения.) Составьте задачу.Дети могут составить такую, например, задачу: «Пешеход,
двигаясь с одинаковой скоростью, прошел за 3 ч 12 км. Какое
расстояние пройдет пешеход с такой же скоростью за 2 ч?»Можно предлагать составлять задачи по указанным дейст¬
виям. Например, учитель предлагает составить задачу, при ре¬
шении которой надо выполнить действие умножения, или со¬
ставить задачу, при решении которой надо сначала выполнить
действие сложения, а потом деления.8.	Преобразование данных задач в задачи родственных нм
видов.К задачам родственных видов относятся задачи, в которых
величины связаны одинаковой зависимостью. Так, родственны¬
ми будут задачи на нахождение четвертого пропорционального,
на пропорциональное деление и на нахождение неизвестных по
двум разностям, так как в них величины связаны пропорцио¬
нальной зависимостью. Можно одну задачу преобразовать в
другую родственного вида путем выполнения арифметических
действий над числовыми значениями величин. В результате та¬
кого преобразования и сравнения способов решения задач род¬
ственных видов приведем детей к обобщению способов реше¬
ния этих задач (см. подробнее на с. 232, 235).§ 2. Обучение решению простых задачПростые задачи в системе обучения математике играют чрез¬
вычайно важную роль. С помощью решения простых задач фор¬
мируется одно из центральных понятий начального курса мате¬
матики-понятие об арифметических действиях и ряд других
понятий. Умение решать простые задачи является подготови¬
тельной ступенью овладения учащимися умением решать со¬
ставные задачи, так как решение составной задачи сводится к
решению ряда простых задач. При решении простых задач про-
исходит первое знакомство с задачей и ее составными частями,19Х
в связи с решением простых задач дети овладевают основными
приемами работы над задачей. Поэтому учителю очень важно
знать, как вести работу над простыми задачами каждого вида.Прежде всего рассмотрим классификацию простых задач.Классификация простых задачПростые задачи можно разделить на группы в соответствии
с теми арифметическими действиями, которыми они решаются.Однако в методическом отношении удобнее другая класси¬
фикация: деление задач на группы в зависимости от тех поня¬
тий, которые формируются при их решении. Можно выделить
три такие группы. Охарактеризуем каждую из них.К первой группе относятся простые задачи, при ре¬
шении которых дети усваивают конкретный смысл каждого из
арифметических действий.В этой группе пять задач:1) Нахождение суммы двух чисел.Девочка вымыла 3 глубокие тарелки и 2 мелкие. Сколько
всего тарелок вымыла девочка?2> Нахождение остатка.Пионеры сделали 6 скворечников. Два скворечника они по¬
весили на дерево. Сколько скворечников им осталось повесить?3)	Нахождение суммы одинаковых слагаемых (произведе¬
ния).В живом уголке жили кролики в трех клетках, по 2 кроли¬
ка в каждой. Сколько всего кроликов в живом уголке?4)	Деление на равные части.Два звена пионеров пропололи 8 грядок, каждое поровну.
Сколько грядок пропололи пионеры каждого звена?5)	Деление по содержанию.Каждая бригада школьников вскопала по 12 гряд, а всего
они вскопали 48 гряд. Сколько бригад выполняли эту работу?Ко второй группе относятся простые задачи, при ре¬
шении которых учащиеся усваивают связь между компонен¬
тами и результатами арифметических действий. К ним отно-
‘ сятся задачи на нахождение неизвестных компонентов.и.	Няхожленид первпгп глягяемпгп пп иявестным сумм^ и
второму-, хдага^мому.Девочка вымыла несколько глубоких тарелок и 2 мелкие, а
всего она вымыла 5 тарелок. Сколько глубоких тарелок вымыла
девочка?4—	2) Нахождение второго слагаемого по известным сумме и
первому слагаемому.Девочка вымыла 3 глубокие тарелки и несколько мелких.
Всего она вымыла 5 тарелок. Сколько мелких тарелок вымыла
девочка?3)	Нахождение уменьшаемого по известным вычитаемому и
разности.198
Пионеры сделали несколько скворечников. Когда 2 сквореч¬
ника они повесили на дерево, то у них осталось еще 4 сквореч¬
ника. Сколько скворечников сделали пионеры?4)	_Нахождение вычитаемого по известным уменьшаемому и
разности.Пионеры сделали 6 скворечников. Когда несколько сквореч¬
ников они повесили на дерево, у них еще осталось 4 сквореч¬
ника. Сколько скворечников пионеры повесили на дерево?5)	Нахождение первого множителя по известным произведе¬
нию и второму множителю.Неизвестное число умножили на 8 и получили 32. Найти
неизвестное число.6)	Нахождение второго множителя по известным произведе¬
нию и первому мнол{ителю.9	умножили на неизвестное число и получили 27. Найти
неизвестное число.7)	Нахождение делимого по известным делителю и част¬
ному.Неизвестное число разделили на 9 и получили 4. Найти
неизвестное число.8)	Нахождение делителя по известным делимому и част¬
ному.24 разделили на неизвестное число и получили 6. Найти
неизвестное число.К третьей группе относятся задачи, при решении кото¬
рых раскрываются понятия разности и кратного отношения.
К ним относятся простые задачи, связанные с понятием раз¬
ности (6 видов), и простые задачи, связанные с понятием крат¬
ного отношения (6 видов).1)	Рязнпг.тнпр рряанрннр ЦИРРТ1 или нахождение разности
двух чисел (I вид).Один дом построили за 10 недель, а другой за 8 недель. Да_
сколько недель больше, затратили на строительство первого
долГ5>—Н/— 2) Разностное сравнение чисел или нахождение разности
двух чисел (II вид).Один дом построили за 10 недель, а другой за 8. На сколь¬
ко недель меньше затратили на строительство второго дома?3") Увеличение числа на несколько единиц (прямая форма).Один дом построили за 8 недель, а на строительство второго
дома затратили на 2 недели больше. Сколько недель затратили
на строительство второго дома?4)	Увеличение числа на несколько единиц (косвенная
форма).На строительство одного дома затратили 8 недель, это на2	недели меньше, чем затрачено на строительство второго дома.
Сколько недель затратили на строительство второго дома?5)	Уменьшение числа на несколько единиц (прямая форма),199
На строительство одного дома затратили 10 недель, а дру¬
гой построили на 2 недели быстрее. Сколько недель строили
второй дом?6)	Уменьшение числа на несколько единиц (косвенная
форма).На строительство одного дома затратили 10 недель, это на2	недели больше, чем затрачено на строительство второго дома.
Сколько недель строили второй дом?Назовем задачи, связанные с понятием кратного отношения.1)	Кратное сравнение чисел или нахождение кратного от¬
ношения двух чисел (I вид).Колхоз купил 24 сеялки и 8 тракторов. Во сколько раз боль¬
ше купили сеялок, чем тракторов?2)	Кратное сравнение чисел или нахождение кратного от¬
ношения двух чисел (И вид).Колхоз купил 24 сеялки и 8 тракторов. Во сколько раз мень¬
ше купили тракторов, чем сеялок?3)	Увеличение числа в несколько раз (прямая форма).Колхоз купил 8 тракторов, а сеялок в 3 раза больше. Сколь¬
ко сеялок купил колхоз?4)	Увеличение числа в несколько раз (косвенная форма).Колхоз купил 8 тракторов, их было в 3 раза меньше, чемсеялок. Сколько сеялок купил колхоз?5)	Уменьшение числа в несколько раз (прямая форма).Колхоз купил 24 сеялки, а тракторов в 3 раза меньше. Сколь¬
ко тракторов купил колхоз?6)	Уменьшение числа в несколько раз (косвенная форма).В колхозе было 24 сеялки, их в 3 раза больше, чем тракто¬
ров. Сколько тракторов было в колхозе?Здесь названы только основные виды простых задач. Однакд
они не исчерпывают всего многообразия задач.-Порядок введения простых задач подчиняется содержанию
программного материала. В I классе изучаются действия сло¬
жения и вычитания и в связи с этим рассматриваются простые
задачи на сложение и вычитание. Во II классе в связи с изуче¬
нием действий умножения и деления вводятся простые задачи,
решаемые этими действиями.Раскроем методику работы над простыми задачами каж¬
дой группы, имея в виду те ступени обучения решению задач,
которые были раскрыты в предыдущем параграфе.Методика работы над простыми задачами, раскрывающими
конкретный смысл арифметических действийКак уже указывалось, к задачам, раскрывающим конкрет¬
ный смысл арифметических действий, относятся задачи на на¬
хождение суммы, остатка, произведения, на деление по содер¬
жанию и на равные части.200
адачи на нахождение суммы и/о^ТтГ^ явля-
ются'ТТёрвБши задачами, с которыми встречаются дети, а по-
этому работа над ними связана с дополнительными трудностя¬
ми; здесь учащиеся знакомятся, собственно, с задачей и ее час¬
тями, а также овладевают некоторыми общими приемами ра¬
боты над задачей.Задачи на нахождение суммы и остатка вводятся одновре¬
менно, поскольку одновременно вводятся действия сложения и
вычитания; кроме того, в противопоставлении лучше форми¬
руется умение решать эти задачи.Подготовкой к решению задач на нахождение суммы
и остатка является выполнение операций над множествами;
объединение двух множеств без общих элементов и удаление
части множества (эти термины детям не даются). Дети хорошо
должны усвоить, что операция объединения множеств без об¬
щих элементов связана с действием сложения, а операция уда¬
ления из данного множества его подмножества — с действием
вычитания.Задания по оперированию множествами следует включать в
подготовительный период и в период изучения нумерации чи¬
сел первого десятка. По своей форме они не отличаются от за¬
дач, но выполняются чисто практически. Например, учитель
читает задачу; «Мальчик вырезал 3 красных кружка и 1 голу¬
бой. Сколько всего кружков вырезал мальчик?» Дети выклады¬
вают на партах сначала 3 красных кружка, затем 1 голубой;
соединяют их вместе и находят число всех кружков путем сче¬
та. Выполнив с детьми несколько таких упражнений, учитель
знакомит их с действием сложения; если получим 3 да 1 кру-
жСТГ ИТОи 4 круж1{р; то рвв»|га'1:*Т( '3'11|ГйТГаНйть 1. потГучитсяЧ: ~осЗти получим с».да 'А самолета, всего	7 <!аТ1^блетов,“То говорят:к 5 тг0ба1йИ1ь..2, получится“7ГТ16сле этого ввВ'ДЯТСЯ-ан^КТ^-^йрй-
бавидь». (плюс), «получится» (равно) и запись на разрезных
циф^рах;3+1 = 4.Важно, чтобы эти подготовительные упражнения включа¬
ли разнообразные жизненные ситуации, например;а)	У девочки было 4 цветных карандаша. Брат подарил ей
еще 2 карандаша. Сколько карандашей стало у девочки?б)	В одном аквариуме 3 рыбки, в другом 4 рыбки. Сколько
рыбок в двух аквариумах?в)	Из гаража сначала выехало 6 машин, а потом 3 маши¬
ны. Сколько всего машин выехало йз гаража?Решая задачи, подобные приведенным, ученики выполняют
действШГт*^радметатат!“'--птоэпздч№^^свяЖва]от его ^^йк:твием”сложения? При этом они вслух ведут
рассуждение; у девочки "сталб 4 дй 2 карандаша, всего 6 ка¬
рандашей, значит, к 4 прибавить 2, получится 6.
ар11фметическ.огйлейсхвия в это впшя Дста даходят пу^м сче-201
та предметов, поскольку еще незнакомы с приемами вычис¬
лений.Аналогично проводится подготовительная работа к решению
задач на нахождение остатка. Например, с помощью нагляд¬
ных пособий (квадратов) ученики решают задачу; «У мальчи¬
ка было 5 марок, 2 марки он подарил товарищу. Сколько ма¬
рок у него осталось?» Выполнив действие с предметами, уче¬
ники рассуждают: у мальчика осталось 5 без 2 марок, т. е.3	марки. Выполняется ряд подобных упражнений. После этого
действие с предметами связывается с действием вычитания.
Например, предлагается задача: «На аэродроме было 9 само¬
летов. 5 самолетов улетело. Сколько самолетов осталось?* Вы¬
полнив соответствующую операцию на наглядных пособиях, уче¬
ники рассуждают: на аэродроме осталось 9 без 5 самолетов, т. е.4	самолета, значит, надо из 9 вычесть 5, получится 4. Такими
рассуждениями надо сопровождать решение каждой задачи.При ознакомлении с решением задач на нахождение
суммы и остатка лучше первые задачи предлагать не в гото¬
вом виде, а составлять их вместе с детьми. Покажем, как мож¬
но провести работу над первой задачей.Сегодня вы сами будете составлять задачу про эти грибы,
Нина и Лена пошли в лес за грибами. Для грибов они взяли
корзиночку. (Дает девочкам корзиночку.) Нина нашла подоси¬
новики. (Ученица берет со стола 3 подосиновика и показывает
учащимся.) Сколько подосиновиков нашла Нина? (Три.) Поло¬
жи, Нина, грибы в корзиночку. Лена нашла белый гриб. (Уче¬
ница берет белый гриб и показывает ученикам.) Сколько белых
грибов нашла Лена? (Один.) Нам известно, сколько грибов
нашла Нина и сколько грибов нашла Лена. Это условие за-
д а ч и. Повтори условие задачи. (Ученик повторяет.) А что не-"*
известно про все грибы? Что можно спросить про них? (Сколько
всего грибов нашли девочки?) .Что вопрос загтячи Ппятп-
ри вопрос задачи. (Ученик повторяет.) Условие и вопрос со¬
ставляют всю задачу. Расскажи всю задачу. (Ученик выполня¬
ет.) Как узнать, сколько всего грибов нашли девочки? (Всего
они нашли 3 да 1 гриб, надо к 3 прибавить 1, получится 4.)
Это решение задачи. Повтори решение. (Ученик повторя-
ет!У мы решили задачу, тотому что ответили на вопрос за¬
дачи.В таком же плане ведется работа над задачей на нахожде¬
ние остатка.Далее вводится решение готовых задач сначала под руко¬
водством учителя, а потом самостоятельно.Первоклассники часто затрудняются вычленять из задачи
числовые данные и вопрос. Так, повторяя задачу, они вклю¬
чают в качестве данных ответ или же сразу называют ответ,
не осмыслив соответствующего действия. Поэтому с самого на¬
чала необходимо позаботиться о формировании у детей общего202
приема работы над задачей. В этом отношении вполне опраВ'
дала себя следующая методика работы над простыми задача-
ми рассматриваемых и всех других видов.Прежде всего учитель (а позднее дети) читает задачу, уча¬
щиеся воспринимают ее в целом.При повторном чтении задачи учителем (или детьми) учени¬
ки выкладывают на партах цифры, обозначающие числовые
данные задачи, искомое число обозначают вопросительным зна¬
ком (позднее записывают числовые данные и искомое в тетра¬
дях). Это и есть процесс выделения числовых данных и во¬
проса.Далее ученики объясняют, что показывает каждое число, и
называют вопрос задачи. Здесь происходит осмысливание связи
между данными и искомым.Затем учащимся предлагается представить себе то, о чем
говорится в задаче, и рассказать, как они представили, что
должно привести детей к правильному выбору соответствующе¬
го арифметического действия.Теперь можно предложить ученикам провести соответствую¬
щее рассуждение и назвать действие, которым решается зада¬
ча, выполнить его устно или записать в тетради. Далее форму¬
лируется ответ Н(Э вопрос задачи и записывается тогда, когда
дети научатся писать. Ответ можно записать кратко, дать уст¬
но развернутую формулировку или просто подчеркнуть в записи
решения.	*Выработке у учащихся общего умения работы над реше¬
нием простых задач помогает использование «Памятки», в ко¬
торой записаны в краткой форме задания, соответствующие на¬
званным этапам. Задания учитель может называть устно, а
может записать их на плакате и вывесить в классе. Приведем
один из вариантов таких заданий:1)	Известно . . .2)	Надо узнать , . .3)	Объясняю . . .4)	Решаю . . .5)	Ответ . , .Сначала эти задания называет учитель^ а дети выполняют
их, давая объяснение вслух. Затем задания называют вслух те
ученики, которые умеют читать, другие объясняют выполнение
задания вслух. Далее каждый ученик проговаривает задания
про себя, а один из них дает вслух соответствующее объяснение.
После этого им предлагается про себя воспроизводить задания
и про себя давать объяснение их выполнения.Если при решении задач учащиеся будут много раз выпол¬
нять указанные задания в строго определенном порядке, то у
них постепенно сформируется умение работать над задачей в203
соответствии с этими заданиями. Это даст детям возможность са¬
мостоятельно справляться в дальнейшем с решением задач.Работу с «Памятками» проводят в течение первого полугодия
в I классе, при этом важно постепенно переходить от этапа к
этапу. В дальнейшем следует обраш,аться к «Памяткам» толь¬
ко при введении новых видов простых задач.Решение задач на самых первых уроках следует записывать
в виде выражения с помощью разрезных цифр и соответствую¬
щих знаков, а как только дети научатся выполнять арифмети¬
ческие записи в тетради, можно выполнять запись решения.Для закрепления умения решать простые задачи на на¬
хождение суммы и остатка надо включить достаточное число
упражнений на самостоятельное решение учащимися таких за¬
дач (готовых и составленных самими детьми). При этом важно,
чтобы дети, решая задачи, руководствовались заданиями «Па¬
мятки».Как только будут введены задачи новых видов, полезно рас¬
сматриваемые задачи включать в перемежении с ними; напри¬
мер, предложить задачу на нахождение суммы и сразу же за¬
дачу на нахождение неизвестного слагаемого и сравнить их
решения. Чрезвычайно полезно в тех же целях включать реше¬
ние задач повышенной трудности, например; «С аэродрома ут¬
ром улетело 7 самолетов, а вечером улетело еще 3 самолета.
Сколько всего самолетов улетело с аэродрома?», а также уп¬
ражнения по составлению и преобразованию задач.Аналогичная работа должна проводиться на этапе закреп¬
ления умения решать простые задачи всех других видов.3	а д а.ч и на нахождение гуммм пяинаков ы х
слагаемых (произведения) вводятся во И классе при рас¬
крытии конкретного СМЫС.^'Д	умножения.Подготовительная работа к введению этих задач
начинается в I классе при изучении сложения и вычитания. Она
сводится к решению задач на нахождение суммы одинаковых
слагаемых путем Оперирования предметами, о которых говорит¬
ся в задаче, и выполнения действия сложения.Сначала предлагаются упражнения вида: «Положите по
2 кружка 3 раза. Сколько всего кружков вы положили?» Дети
раскладывают на партах по 2 кружка 3 раза и находят число
всех кружков действием сложения; 2 + 2 + 2 = 6. Далее устанав¬
ливают, что слагаемые этой суммы одинаковые и что их 3.Аналогичным образом рассматриваются сюжетные задачи,
например; «Мама положила пирожки на 4 тарелки, по 3 пи¬
рожка на каждую. Сколько всего пирожков на этих тарелках?»
При решении подобных задач надо разъяснять первоклассни¬
кам, что значит выражение «на каждую» (на первую тарелку
положили 3 пирожка, на вторую—3 пирожка, на третью—3 пи¬
рожка и на четвертую—3 пирожка), В первом классе такие
задачи решаются слом^ением: 3 + 3 + 3 + 3=12 (п.).204
/Полезно в целях подготовки включать упражнения на со¬
ставление задач по их решению. Так, по решению 5+5+5=15
дети могут составить различные задачи, например; «У мальчи¬
ка было 3 монеты по 5 коп. Сколько денег было у мальчика?»Во II классе при ознакомлении с решением задач на
нахождение произведения учащиеся должны усвоить, что если
при решении задачи получаем сумму одинаковых слагаемых, то
задачу можно решить умножением, должны усвоить новую
запись и понимать, что обозначает каждое число в этой записи.Например, предлагается задача: «4 ученика сделали по 2 ку¬
бика каждый. Сколько всего кубиков сделали ученики?» Зада¬
ча иллюстрируется: выставляется 4 раза по 2 кубика. Дети под
руководством учителя рассуждают: «Здесь по 2 кубика взяли
4 раза. Чтобы узнать, сколько всего кубиков, надо к 2 приба¬
вить 2, еще прибавить 2 и еще прибавить 2, получится 8; в сум¬
ме одинаковые слагаемые, их 4, значит, задачу можно решить
умножением: по 2 взять 4 раза, или 2 умножить на 4, полу¬
чится 8».Запись: 2 + 2 + 2 + 2 = 82-4 = 8. Ответ: 8 кубиков.Надо дольше пользоваться такой двойной записью решения,
чтобы дети лучше усвоили смысл каждого компонента умно¬
жения в записи решения задачи.На этапе закрепления умения решать задачи на нахож¬
дение произведения ученики должны постепенно перейти от вы¬
полнения сложения и умножения к выполнению сразу действия
умножения. Сначала им предлагается про себя объяснить ре¬
шение сложением, а вслух назвать или записать решение ум¬
ножением. Например, при решении задачи: «В 4 коробках ле¬
жало по 6 мячей. Сколько всего мячей в этих коробках?»— уче¬
ники дают такое объяснение: «Чтобы узнать, сколько мячей в
4 коробках, надо 6 умножить на 4».Запись: 6-4 = 24 (м.). Ответ: 24 мяча.В результате такой работы все ученики постепенно научат¬
ся выбирать сразу действие умножения, минуя сложение.Особое внимание на этом этапе должно быть уделено реше¬
нию простых задач с величинами, связанными прямо и обратно
пропорциональной зависимостью (цена, количество, стоимость;
скорость, время, расстояние и др.). Методика работы над ними
раскрыта в § 3 этой главы (с. 227—229).'/ Во II классе вводится деление. Конкретный смысл этого
апи^Фметического действия раскрывается при решении задач на
деление по содержанию и на павннр чягти Гняг^яля ивппятгя
задачи на деление по содержанию, а затем на деление на рав-
нь?е части. Это обусловлено тем, что практически легче выпол^
н*ять 01^ёртции над множествами при решении задач на деле-205
ние по содержанию, чем при решении задач на деление на рав¬
ные части; кроме того, операции, выполняемые при решении за¬
дач на деление на равные части, как будет показано дальше,
включают в себя операции, выполняемые при решении задач на
деление по содержанию.Подготовительная работа к решению задач на
деление по содержанию имеет целью обогатить опыт де¬
тей в практическом оперировании множествами. Уже в I клас¬
се целесообразно выполнять устно, т. е. без записи действия, та¬
кие упражнения:а)	Возьмите 8 кружков и разложите их по 2. Сколько раз
по 2 кружка получилось?б)	Учительница раздала ученикам 12 тетрадей, по 3 тетради
каждому. Сколько учеников получили тетради?Дети, пользуясь наглядными пособиями, выполняют соот¬
ветствующие операции и находят результат, сосчитав, сколько
раз получилось по 2 кружка или сколько учеников.получили
тетради. При этом надо обратить внимание, что дети получили
тетрадей поровну.Ознакомление учащихся с решением задач на деление
по содержанию предусматривается во И классе. Например,
предлагается задача: «12 морковок связали в пучки, по 4 мор¬
ковки в каждом. Сколько пучков получилось?» На наборном
полотне один из учащихся раскладывает 12 морковок по 4 мор¬
ковки, а остальные выполняют на партах то же с помощью лю¬
бых предметов (палочек, кружков и т. п.).Сколько раз по 4 морковки получилось? (3 раза.) Вы раз¬
ложили 12 морковок по 4 морковки (поровну) и получили 3 ра¬
за по 4 морковки, значит, получится 3 пучка. Если в задаче из¬
вестно, что какие-то предметы разложили поровну, например
по 4, то, чтобы узнать, сколько раз получится по 4, надо вы¬
полнить действие деления. Решение задачи записывается так:12:4 = 3 (п.). Ответ: 3 пучка.Читают запись так: 12 разделить на 4, получится 3.Таким образом, на этом этапе, как и при решении других
задач этой группы, ученики должны каждый раз объяснять, как
они перешли от операций над реальными предметами к ариф¬
метическим действиям. Например, после иллюстрации задачи:
«12 карандашей надо разложить в коробки по 6 карандашей.
Сколько потребуется коробок?»— ученики рассуждают: здесь12	карандашей разложили по 6 карандашей (поровну), значит,
чтобы узнать, сколько потребовалось коробок, надо 12 разде¬
лить на 6, получится 2; потребуется 2 коробки.При закреплении умения решать задачи на деление по
содержанию учащиеся постепенно переходят к выбору арифме¬
тического действия по представлению, не прибегая к наглядным
пособиям, а результат деления находят, пользуясь таблицей.206
При этом рассуждение постепенно сокращается; учитель пред¬
лагает детям говорить про себя, что и как раскладывали по¬
ровну (12 карандашей разложили по 6, поровну), а вслух ска¬
зать, каким действием решить задачу (надо 12 разделить на 6).
В результате такой работы произойдет свертывание процесса
установления связи, на основе которой выбирается арифмети¬
ческое действие, и учащиеся перейдут к краткому объяснению.
(Чтобы узнать, сколько потребуется коробок, надо 12 разде¬
лить на 6.)Подготовкой к решению задач на деление на
равные части будет практическое выполнение начиная сI	класса упражнений вида;а)	Разложите 6 кружков в 2 ряда поровну. Сколько круж¬
ков в каждом ряду?б)	Юра нашел 12 желудей и разложил их в 4 коробки по¬
ровну. Сколько желудей было в каждой коробке?Сначала работой руководит учитель.Сколько надо взять кружков, чтобы положить в каждый ряд
по одному кружку? Да столько, сколько рядов. Возьмите 2 круж¬
ка и положите в каждый ряд по одному. Возьмите еще столько,
чтобы положить в каждый ряд по одному, и разложите их. Все
ли кружки разложили? Возьмите еще столько кружков, чтобы
в каждый ряд положить по одному, и разложите их. Все ли
кружки разложили? По скольку кружков в каждом ряду? Вы
6 кружков разделили на 2 равные части и получили по 3 круж¬
ка в «аждой части.При таком оперировании предметами явно выступает связь
между задачами на деление на равные части и по содержа¬
нию: в каждой части будет по стольку кружков, сколько раз
по 2 кружка содержится в 6 кружках.В I классе подобные упражнения учащиеся выполняют прак¬
тически, а ответ на вопрос задачи находят путем счета пред¬
метов в каждой части. При этом дети указывают, что в каж¬
дой части предметов поровну.Во И классе вводится решение задач на деление на рав¬
ные части. Сначала решение выполняется путем практическо¬
го оперирования предметами, после чего записывается решение.
Например, предлагается задача: «Мама раздала 6 груш 3 де¬
тям поровну. Сколько груш получил каждый из детей?»Возьмите 6 кружков, пусть это будет 6 груш. Их надо раз¬
дать поровну 3 ученикам. Как это сделать? (Беру столько груш,
чтобы каждому дать по одной, т. е. 3 груши, и даю по одной,
беру еще 3 груши и даю по одной; каждый получил по 2 гру¬
ши, поровну.) Здесь раздали 6 груш 3 детям поровну; чтобы уз¬
нать, сколько груш получил каждый из детей, надо 6 разделить
на 3.Решение записывается так:6:3?;=2 (гр.). Ответ; 2 груши,207
Решая далее задачи на деление на равные части, дети так¬
же выполняют действия с предметами и ведут соответствую¬
щие рассуждения под руководством учителя, формулируя связь
между операцией с реальными предметами и арифметическим
действием (если разложили, раздали и т. п. какие-то предметы
поровну, то, чтобы узнать, сколько предметов в каждой из рав¬
ных частей, надо выполнить действие деления). Результат де¬
ления на этом этапе находят путем счета предметов.Закрепление умения решать задачи на деление на рав¬
ные части ведется так же, как закрепление умения решать за¬
дачи на деление по содержанию.Решая задачи на деление по содержанию и на равные час¬
ти, ученики хорошо усваивают связь: если предметы раздавали,
раскладывали и т. п. поровну, то задача решается действием
деления. Однако при этом часть детей не осознает, что нашли,
выполнив деление, вследствие чего допускаются ошибки в от¬
вете на вопрос задачи. Например, решив задачу; «У школы
поселились 10 скворцов, по 2 скворца в каждом скворечнике.
Сколько скворечников заняли скворцы?»—ученики пишут:10:2 = 5 (с.) Ответ: 5 скворцов.Чтобы предупредить такие ошибки, надо побуждать детей
вести рассуждение про себя, пользуясь «Памяткой», а также
возвращать тех, кто допускает такие ошибки, к оперированию
предметами. Вместе с тем надо чаще включать в перемежении
задачи на деление по содержанию и на равные части.Таким образом, в методике формирования умения решать
простые задачи, раскрывающие конкретный смысл арифметиче¬
ских действий, должна быть предусмотрена следующая работа:На подготовительной ступени надо научить детей путем опе¬
рирования конкретными предметами (множествами) находить
ответ на вопрос задачи, иначе говоря, решать задачи того или
иного вида чисто практически без выполнения соответствую¬
щего арифметического действия.На ступени ознакомления с решением задач каждого вида
следует ознакомить детей со связью между той или иной опе¬
рацией над множествами и соответствующим арифметическим
действием.На ступени закрепления умения решать простые задачи каж¬
дого вида ученики должны научиться применять знание рас¬
крытой связи при решении различных задач этого вида.Методика работы над простыми задачами, раскрывающими
связь между компонентами и результатами
арифметических действи|кЗадачи на нахождение неизвестного ела -аемого, уменьшае¬
мого и вычитаемого вводятся в I классе. _Иу рршрнир иыпппня-
ется на основе конкретного смысла действййсложения и вычи-208
тания и сводится к решению задач известных р^ее видов — на
нахождение суммы и остатка, ьо 11 классё~тзгех11ёнйе этих задач
'выполняется с помощью составления уравнений, что позволяет
закрепить знание связи между компонентами и результатом
действий сложения и вычитания.Задачи на нахождение неизвестного множителя, делимого и
делителя вводятся во II классе. Их решение выполняется путем
составления уравнений.Подготовкой к введению задач на нахождение
неизвестного слагаемого, уменьшаемого и вы¬
читаемого служит знание конкретного смысла действий сло¬
жения и вычитания и умение решать простые задачи на на¬
хождение суммы и остатка.При ознакомлении с каждой из задач на нахождение
неизвестного компонента действий сложения и вычитания сна¬
чала выполняются соответствуюш,ие операции над множества¬
ми, которые связываются с действиями сложения или вычита¬
ния. При этом ученики под руководством учителя должны объ¬
яснить выбор арифметического действия.При ознакомлении с решением задач на нахождение не-
известного слагаемого учащимся может быть предло-
йшТа“ следующая задачаТ~«В ко^бке лежало 6 маленьких мя¬
чей и несколько больших, а всего 9 мячей. Сколько больших мя¬
чей лежало в коробке?» После чтения и краткой записи задача
иллюстрируется.Давайте решим задачу, пользуясь кружками. Разложите на
партах столько кружков, сколько всего мячей было в коробке.
(Выполняют.) Сколько было маленьких мячей? (6.) Отодвиньте
6 кружков. Что обозначают оставшиеся кружки? (Большие мя¬
чи.) Больших мячей было 9 без 6. Как же решить задачу? (На¬
до из 9 вычесть 6.)Как видим, объяснение выбора арифметического действия
такое же, как при решении задач на нахождение остатка.Далее, решая такие задачи, ученики каждый раз объясняют
аналогичным образом выбор арифметического действия сначала
вслух, а затем про себя (например, девочек было 10 без 7,
значит, надо из 10 вычесть 7).При ознакомлении с задачами на нахождение неиз-
вестного уменьшаемого предлагается, например, та- ^
кая задача; «Когда с полки сняли 8 книг, там еще осталось10	книг. Сколько книг было на полке?» После чтения задачи и
ее краткой записи выполняются операции над множествами и
ведется соответствующее рассуждение:Положите слева столько квадратов, сколько сняли книг с
полки, а справа столько, сколько их осталось. На полке были
те книги, которые сняли, и те, которые остались. Это 8 да10	книг. Как же решить задачу? (Надо к 8 прибавить 10.)Решая далее подобные задачи, ученики рассуждают при вы¬14 Заказ № 4487	209
боре арифметического действия так же, как и при решении за^
дач на нахождение суммы.Знакомя с задачами на нахождение неизвестного
вычитаемого, можно предложить задачу: «В гараже стоя¬
ло 18 машин. Когда выехало несколько машин, в гараже оста¬
лось 6 машин. Сколько машин выехало из гаража?» Работа над
решением задачи проводится примерно так.Положите на парту столько кружков, сколько машин стоя¬
ло в гараже. (Выполняют.) Сколько осталось машин в гараже?
(6.) Что случилось с остальными машинами? (Они выехали.)
Выехало 18 без 6 машин. Как решить задачу? (Надо из 18 вы¬
честь 6.)Далее включаются подобные задачи. При их решении уча¬
щиеся рассуждают так же, как при решении задач на нахож¬
дение остатка. (Например, посадили 12 без 8 деревьев, значит,
надо из 12 вычесть 8.)При закреплении умения решать задачи рассмотренных
видов учащиеся постепенно переходят « самостоятельному ре¬
шению задач. Важно, чтобы при этом ученики про себя объяс¬
няли выбор арифметического действия. На этой ступени преду¬
сматривается включение задач с различными усложняющимися
конкретными ситуациями. Полезно предлагать различные твор¬
ческие работы. Особое внимание надо уделить решению троек
задач: на нахождение суммы, неизвестного первого слагаемого,
второго слагаемого; на нахождение остатка, неизвестного умень¬
шаемого, неизвестного вычитаемого. После решения задач каж¬
дой тройки надо сравнить сами задачи и их решения.Задачи на нахождение неизвестного множи¬
теля, делимого и делителя предлагаются только с чис¬
лами. Решение сводится к составлению уравнения и решению
его по правилу.Например, предлагается задача: «Какое число надо умно¬
жить на 7, чтобы получить 42?» Ученик рассуждает: «Обозначу
неизвестное число буквой, например буквой х, и составлю урав¬
нение: х-7 = 42. Здесь неизвестен множитель. Чтобы его найти,
надо произведение разделить на известный множитель: х=42:7,
х=6. Проверю: если 6 умножить на 7, получится 42, значит, не¬
известное число нашли правильно».Методика работы над простыми задачами, раскрывающими
понятия разности и кратного отношенияЗадачи всех шести видов, связанные с понятием разности,
вводятся в I классе в таком порядке: сначала рассматриваются
задачи на увеличение и уменьшение числа на несколько единиц,
выраженные в прямой форме, затем задачи на разностное
сравнение и, наконец, задачи на увеличение и уменьшение чис¬
ла на несколько единиц, выраженные в косвенной форме. Та-210
кой порядок обусловлен тем, что при решении задач на уве¬
личение и уменьшение числа на несколько единиц, выраженных
в прямой форме, легче раскрыть смысл выражений «больше на«меньше на ...», а также двоякий смысл разности (если пер¬
вое число больше второго на несколько единиц, то второе число
меньше первого на столько же единиц), что послужит основой
для решения задач на разностное сравнение и на увеличение и
уменьшение числа на несколько единиц, выраженных в косвен¬
ной форме.Задачи на увеличение и уменьшение числа на
несколько единиц, выраженные в прямой фор-
м е, вводятся одновременно, сразу же после рассмотрения задач
на нахождение суммы и остатка.Сначала вводятся задачи, в которыхдана разность
числелностей множества и его правильной час¬
ти. При решении этих задач усваиваются связи: если приба¬
вить 1 (2, 3, ...), то станет больше на 1 (2, 3, ...); если вычесть \у1	(2, 3, ...), то станет меньше на 1 (2, 3, ...); чтобы стало боль¬
ше на 1 (2, 3, ...), надо прибавить 1 (2, 3, ...); чтобы стало
меньше на 1 (2, 3, ...), надо вычесть 1 (2, 3, ...). Эти соотноше¬
ния можно раскрыть, выполняя такие упражнения:1)	Положите 2 кружка, придвиньте еще 1 кружок. Сколько
стало кружков? (3.) Как узнали? (К 2 прибавили 1, получи¬
лось 3.) Больше или меньше стало кружков? (Больше.) При¬
бавили 1, стало больше на 1.2)	Если к 3 прибавить 1, то получится больше или мень¬
ше, чем 3? На сколько больше?3)	Что надо сделать, чтобы получить число, которое боль¬
ше, чем 7, на 1? (Прибавить 1.)Аналогично строятся упражнения, раскрывающие связь меж¬
ду вычитанием и уменьшением числа на несколько единиц.После такой подготовительной работы проводится
ознакомление с решением задач. Например, предлагается
задача: «Пионеры должны были прополоть 7 грядок, а пропо¬
лоли на 2 грядки больше. Сколько грядок пропололи пионеры?»Сколько грядок надо было прополоть пионерам? (7.) Изо¬
бразим грядки прямоугольниками. (Выполняют.) Что сказано
о числе грядок, которые пропололи пионеры? (Их было на2	больше.) Что это значит? (Они пропололи еще 2 грядки.) Как
это изобразить? (Взять еще 2 прямоугольника.) Возьмите. Пио¬
неры пропололи 7 да 2 грядки. Как решить задачу? (К 7 при¬
бавить 2.)Ученики решают еще несколько аналогичных задач. Каж¬
дый раз они выполняют иллюстрацию и дают такое же объясне¬
ние выбору арифметического действия, как при решении задач
на нахождение суммы, например: вырезали на 5 звездочек боль¬
ше, чем хотели, значит, вырезали 9 да 5 звездочек, надо к 9
прибавить 5.14*	211
Аналогично ведется работа при решении задач на уменьше¬
ние числа на несколько единиц.Подготовительная работа к решению задач на
увеличение и уменьшение числа на несколько
единиц, в которых дана разность численностей двух множеств,
начинается с первых уроков подготовительного периода. Она
сводится к раскрытию или уточнению выражений «столько же»,
«больше на...», «меньше на...» при выполнении упражнений вида:1)	Возьмите в правую руку 4 палочки, а в левую 4 круж¬
ка. Что можно сказать про число палочек и кружков? (Их по¬
ровну; круж«ов столько же, сколько палочек.)2^ Положите в один ряд 6 кружков, а в другой столько же
квадратов. Придвиньте еще 2 квадрата. Каких фигур больше?
Квадратов столько же, сколько кружков, и еще 2; в этом слу¬
чае говорят, что квадратов на 2 больше, чем кружков.3)	Положите слева 4 квадрата, а справа надо положить
треугольники — на 3 больше, чем квадратов. Что значит «на 3
больше»? (Столько же и еще 3.)Аналогично раскрывается смысл выражения «меньше на»:
меньше на 2 — это столько же без двух или не хватает двух,
чтобы было столько же.Теперь может быть введена, например, такая задача: «Де¬
вочка вырезала 4 флажка, а звездочек на 2 больше. Сколько
звездочек вырезала девочка?»Сколько флажков вырезала девочка? (4.) Разложите на пар¬
тах 4 флажка в ряд. (Выполняют.) Что сказано о числе звездо¬
чек? (Их на 2 больше, чем флажков.) Что это значит? (Столь¬
ко же и еще 2.) Разложите звездочки под флажками. (4 звез¬
дочки раскладывают под флажками и две поодаль.) Звездочек
столько же, сколько флажков (показывает), и еще 2. Как ре¬
шить задачу? (Надо к 4 прибавить 2, получится 6.) Почему на¬
до прибавить? (Звездочек вырезали на 2 больше, чем флаж¬
ков, значит, их вырезали столько же, сколько флажков, и еще 2.)Иллюстрация задач на-уменьшение числа на несколько еди¬
ниц выполняется следующим образом. Предлагается задача:
«В большой комнате стояло 6 стульев, а в маленькой на 2 сту¬
ла меньше. Сколько стульев стояло в маленькой комнате?» На
наборном полотне в один ряд ставят 6 стульев (рисунки), в
другой столько же; затем из второго ряда убирают (отодвига¬
ют) два стула.Выбор арифметического действия объясняют так: в малень¬
кой комнате стояло на 2 стула меньше, чем в большой, значит,
там стояло 6 без двух стульев, надо из 6 вычесть 2.На первых порах при решении каждой задачи следует ис¬
пользовать иллюстрации, которые помогут выбору действий, а
позднее достаточно выполнить краткую запись сначала под ру¬
ководством учителя, а потом самостоятельно, анализируя при
этом задачу.212
Решение задач па разностное сравнение может быть
хорошо усвоено, если дети не только осмыслят отношения «боль¬
ше» и «меньше», но и будут понимать двоякий смысл разности;
если первое число больше второго на несколько единиц, то вто¬
рое число меньше первого на столько же единиц. Подготови¬
тельные упражнения и должны обеспечить усвоение уча¬
щимися этой связи. Приведем образцы таких упражнений:1)	Положите в один ряд 7 квадратов, а в другой на 2 квад¬
рата больше. Сколько квадратов во втором ряду? На сколько
квадратов больше во втором ряду? (На 2.) Что можно сказать
о числе квадратов, которые в первом ряду? (Их меньше.) На
сколько? (На 2.) Да, в первом ряду не хватает двух квадратов,
чтобы стало столько же, сколько во втором ряду. Во втором ря¬
ду на 2 квадрата больше, чем в первом, тогда в первом на2	квадрата меньше. (Показывает.)2)	После решения некоторых задач на увеличение и умень¬
шение числа на несколько единиц следует пронаблюдать то же
соотношение.3)	Учащимся предлагают задачи-вопросы, например; «В на¬
шем классе девочек на 3 меньше, чем мальчиков. Что можно
сказать о числе мальчиков?»4)	Задачи с выражением «на столько-то больше» преобразу¬
ются в задачи с выражением «на столько-то меньше» и наобо¬
рот. Например, дети решили задачу; «Длина класса 8 м, а ши¬
рина на 2 м меньше. Чему равна ширина класса?» Учитель
предлагает составить с этими же числами, но со словом «боль¬
ше» новую задачу, в которой надо узнать длину класса.Знакомство с задачами на нахождение разности можно
провести следующим образом. (Прием предложен Н. С. Попо¬
вой.)Учитель прикрепляет на доску слева 6 кружков из зеленой
бумаги, а справа 9 красных кружков; каждый кружок обводит
мелом. Дети считают, сколько кружков слева и сколько спра¬
ва, устанавливают, что справа больше, чем слева.Надо узнать, на сколько красных кружков больше, чем зе¬
леных. Для этого будем снимать сразу по одному красному и
одному зеленому кружку (снимает до тех пор, пока на доске не
останутся только 3 прикрепленных красных кружка и «следы»
от снятых кружков) (рис. 34.)Сколько зеленых кружков сняли? (6.) А красных? (Тоже 6;
столько л<е, сколько зеленых.) Сколько красных кружков оста¬
лось? (3.) На сколько же было больше красных кружков, чем
зеленых? (На 3.) Как узнали? (Из 9 вычли 6, получилось 3.)
Что показывает число 3? (Красных кружков на 3 больше, чемОООООО оооооо««#Рис. 34213
зеленых, а зеленых на 3 меньше, чем красных.) Каким действи¬
ем узнали, на сколько больше красных кружков, чем зеленых,
и на сколько зеленых кружков меньше, чем красных? (Вычи¬
танием, Из 9 вычли 6.)При решении в дальнейшем таких задач надо использовать
аналогичные иллюстрации, обращая каждый раз внимание де¬
тей на то, что, находя, на сколько единиц одно число больше
или меньше другого, надо из большего числа вычесть мень¬
шее. Далее дети решают задачи, опираясь на это правило.Подготовкой к решению задач на увеличение,
и уменьшение числа на несколько единиц, вы¬
раженных в косвенной форме, является хорошее знание
двоякого смысла разности, что и должно быть твердо усвоено
при решении задач на разностное сравнение.Обе эти задачи вводятся одновременно. Первое время не¬
обходимо использовать иллюстрации и тщательно выполнять
анализ задач. Например, учитель предлагает разложить квадра¬
ты и кружки в два ряда так, чтобы квадратов было 6 и чтобы
их было на 2 больше, чем кружков.Сколько кружков вы полом^или? (4.) Как узнали, что надо
положить 4 кружка? (Из 6 вычли 2.) Почему вычитали, ведь в
задаче сказано «на 2 больше»? (Это квадратов на 2 больше,
чем кружков, значит, кружков будет на 2 меньше, чем квадра¬
тов.)После выполнения ряда подобных подготовительных упраж¬
нений можно ознакомить детей с решением задач.Важно при ознакомлении с решением задач обучать детей
анализировать их. При анализе задачи дети должны выделить
искомое число и установить, больше оно или меньше, чем дан¬
ное. В практике работы оправдал себя такой методический при¬
ем обучения анализу задачи. Детям предлагают руководство¬
ваться заданиями:1)	Надо подумать, что спрашивается в задаче.2)	Надо подумать, какое получится число в ответе: боль¬
ше или меньше, чем известное, и сказать, каким действием ре¬
шается задача.Сначала дети пользуются этими правилами под руководст¬
вом учителя, а потом самостоятельно. Так, по отношению к за¬
даче: «В поле работало 10 комбайнов, их было на 4 меньше, чем
грузовых машин. Сколько грузовых машин работало в поле?»—
ученик рассуждает: «Сначала я подумаю, что надо узнать в
задаче: надо узнать, сколько грузовых машин работало в по¬
ле; теперь я подумаю, грузовых машин было больше или мень¬
ше, чем комбайнов: если комбайнов было на 4 меньше, чем гру¬
зовых машин, значит, грузовых машин было на 4 больше, чем
комбайнов. Задачу решаем сложением».Для закрепления умения решать задачи названных ви¬
дов надо сначала предложить детям решать их по представле¬2 И
нию без использования наглядных пособий. При этом пусть
они про себя выполняют развернутое объяснение выбора ариф¬
метического действия, а вслух называют только соответствую¬
щее действие, которое надо выполнить при решении задачи.При решении задач, связанных с понятием разности, у детей
образуются формальные связи: дети часто слово «больше» свя¬
зывают только с действием сложения, а «меньше»—с действи¬
ем вычитания. С этой целью следует предлагать пары задач,
аналогичные следующей:1)	У Миши было 7 кроликов, а у Васи на 2 кролика боль¬
ше. Сколько кроликов было у Васи?2)	У Володи было 10 кроликов, а у Жени 6 кроликов. На
сколько больше кроликов было у Володи, чем у Жени?После решения задач этой пары надо спросить, почему за¬
дачи решаются разными действиями, хотя в обеих есть слово
«больше». Дети должны сказать, что при решении первой за¬
дачи мы находим число, которое больше данного, а при реше¬
нии второй задачи узнаем, на сколько одно число больше, чем
другое.После ознакомления с решением задач на увеличение и
уменьшение числа на несколько единиц, выраженных в косвен¬
ной форме, полезно предлагать такие пары задач:1)	Брату 5 лет, он на 2 года старше сестры. Сколько лет
сестре?2)	Брату 10 лет, а сестра на 3 года старше. Сколько лет
сестре?Ученики должны ответить, почему эти задачи решаются раз¬
ными действиями, тогда как в обеих сказано «старше».Полезно также выполнять упражнения по преобразованию
задач, сформулированных в косвенной форме, в задачи, сфор¬
мулированные в прямой форме, и обратно.В целях обобщения способов решения задач, связанных с
понятием разности, целесообразно использовать прием состав¬
ления и решения учащимися всех шести задач, пар или троек
задач с сохранением одного и того же сюжета и чисел.Простые задачи, связанные с понятием кратного
отношения, вводятся в таком же порядке, как и задачи,
связанные с понятием разности.Решение задач на увеличение числа в несколько
р а зТ в ы ра жен н ы х в прямой форме, опирается на хоро¬
шее понимание конкретного смысла действия умножения и смыс¬
ла выражения «больше в ...». Следовательно, подготови¬
тельная работа и должна быть направлена на изучение
этих вопросов. Для раскрытия смысла выражения «больше в...»
целесообразно выполнить ряд упражнений, подобных следую¬
щим:1)	Положите слева 4 кружка, а справа 2 раза по 4 круж¬
ка. В таком случае говорят, что справа кружков в 2 разаболь-215
ше, чем слева, потому что там 2 раза по стольку кружков,
сколько их слева; слева в 2 раза меньше, чем справа,— там
один раз 4 кружка.2)	Положите слева 2 квадрата, а справа 3 раза по 2 квад¬
рата. Что можно сказать о числе квадратов справа: их больше
или меньше, чем слева? (Их в 3 раза больше, чем слева, а сле¬
ва в 3 раза меньше, чем справа.)3)	Положите справа 3 треугольника, а слева в 4 раза боль¬
ше. Что это значит? (По 3 треугольника взять 4 раза.) Что
можно сказать о числе треугольников справа; их больше или
меньше, чем слева? (Их в 4 раза меньше.)После выполнения нескольких подобных упражнений можно
ввести решение задач.Положите в один ряд 5 квадратов, а в другой в 2 раза боль¬
ше. Как вы это сделаете? (Положим 2 раза по 5 квадратов.)
Сколько всего квадратов во втором ряду? (10.) Как узнали?
(5 умножили на 2.)Теперь можно рассмотреть задачи с конкретным содержа¬
нием, например; «У Вовы было 2 простых карандаша, а цвет¬
ных в 3 раза больше. Сколько цветных карандашей было у Во¬
вы?» Выясняется, что значит «в 3 раза больше», затем задача
иллюстрируется и выполняется решение. Выбор арифметиче¬
ского действия дети объясняют так; цветных карандашей было
в 3 раза больше, чем простых, значит, их было 3 раза по 2, на¬
до 2 умножить на 3.После решения надо спросить; «Что можно сказать о чис¬
ле простых карандашей — их больше или меньше, чем цветных,
и во сколько раз?» Такие вопросы помогут детям осмыслить
суть выражения «меньше в ...».В результате многократного решения таких задач дети усво¬
ят, что увеличение числа в несколько раз выполняется действи¬
ем умножения. При этом объяснение выбора арифметического
действия они дают короче; чтобы получить в 3 раза больше,
надо ... умножить на 3.Решение задач на увеличение числа в несколько раз надо
перемежать с решением задач на увеличение числа на несколь¬
ко единиц, чтобы предупредить их смешение.Задачи на уменьшение числа в неско.пь к оря .ч.
выпаженные в прямой форме, вводятся после того, как
дети приооретут умеНИё рёшать задачи на деление на равные
части, усвоят двоякий смысл отношения; если первое число
больше второго в несколько раз, то второе меньше первого во
столько же раз. Это соотношение дети должны усвоить в про¬
цессе работы над задачами на увеличение числа в несколько
раз.Ознакомить с решением этих задач можно примерно так;Положите в ряд 6 кружков. В другой ряд надо положить
в 3 раза меньше кружков. Если во втором ряду будет в 3 ра-216
за меньше, то что можно сказать о числе кружков в первом
ряду? (Их будет в 3 раза больше.) Значит, в первом ряду 3 ра¬
за по стольку, сколько должно быть во втором ряду. Как же
узнать, сколько кружков должно быть во втором ряду? (Надо
6 разделить на 3, получится 2.) Выполните это с помощью круж¬
ков. (Выполняют.) В каждой части получилось по 2. Во вто¬
ром ряду должно быть 2 кружка, положите их.Выполнив несколько аналогичных упражнений, дети усваи¬
вают, что взять, например, кружков в 2 (3, 4, ...) раза мень¬
ше, чем дано,— это значит данное число кружков разделить на2	(3, 4, ...) равные части и взять столько кружков, сколько их
в одной такой части. Позднее объяснение становится короче:
чтобы получить в 3 раза меньше, надо ... разделить на 3.Далее можно включать задачи с конкретным содержанием,
перемежая их с задачами на уменьшение числа на несколько
единиц.Подготовкой к решению задач на кратное
с р~а^в"^н~е н и е дбЛЖйб бЫТЬ хорошее понимание двоякого СМьк?^
ла «ратноигтношения и сформированное умение решать зада¬
чи на деление по содержанию.Первые задачи решаются путем непосредственного опе¬
рирования предметами. Например, детям предлагается положить
в один ряд 8 треугольников, а в другой 2 треугольника и уз¬
нать, во сколько раз больше треугольников в нервом ряду, чем
во втором. При выполнении задания дети рассуждают так; «Уз¬
наем, сколько раз по 2 треугольника в первом ряду, для этого
разделим 8 треугольников по<2, получится 4 раза по 2, значит,
в первом ряду в 4 раза больше, чем во втором, а во втором в4	раза меньше, чем в первом». После выполнения ряда подоб¬
ных упражнений дети подводятся к выводу: чтобы узнать, во
сколько раз одно из данных чисел больше или меньше .другого,
надо большее число разделить на меньшее. В дальнейшем при
решении задач на кратное сравнение дети опираются на этот
вывод. Как и ранее, задачи берутся с различным содержанием,
при этом задачи на кратное сравнение включаются в переме-
жении с задачами на разностное сравнение.Решение задач на увеличение и уменьшениеч	и с л-а ц II 1!тТГта 1^ » р А-з7Ты~р°а ж е н н ы х в косвенной
форме, основывается на хорошем знании двоякого смысла от¬
ношения и умении решать задачи этих видов, выраженные в
прямой форме.При ознакомлении с решением задач этого вида дети
каждый раз выполняют соответствующую операцию с конкрет¬
ными предметами, связывая ее с арифметическим действием.Разложите квадраты в два ряда так, чтобы в верхнем ряду
было 4 квадрата, их в 2 раза меньше, чем в нижнем. Сколько
квадратов в нижнем ряду? Как узнали? Почему умножали, ведь
в задаче сказано «в 2 раза меньше»?217
Далее, используя ту же методику, что и при решении задач
на увеличение и уменьшение числа на несколько единиц, вво¬
дятся задачи с конкретным содержанием.Эти задачи также предлагаются в перемежении с задачами
на увеличение и уменьшение числа на несколько единиц.Методика работы по закреплению умения решать задачи,
связанные с понятием кратного отношения, аналогична методи¬
ке работы по закреплению умения решать задачи, связанные с
разностью. Однако здесь добавляется еще одна линия работы
по предупреждению ошибок, вызванных смешением аналогич¬
ных задач, связанных с понятием разности и кратного отноше¬
ния. Например, задачи на увеличение числа на несколько еди¬
ниц отдельные ученики решают умножением, а на увеличение
в несколько раз — сложением. Чтобы предупредить появление
таких ошибок, следует проводить сравнение самых аналогич¬
ных задач, а также их решений, выявляя существенное разли¬
чие (в первой задаче требовалось увеличить число на несколь¬
ко единиц, а во второй —в несколько раз; первая задача ре¬
шается сложением, а вторая — умножением).§ 3. Обучение решению составных задачСоставная задача включает в себя ряд простых задач, свя¬
занных между собой так, что искомые одних простых задач
служат данными других. Решение составной задачи сводится к
расчленению ее на ряд простых задач и к последовательному
их решению. Таким образом, для решения составной задачи на-
до установить систему связей между данными и искомым, в
соответствии с которой выбрать, а затем выполнить арифмети¬
ческие действия.Рассмотрим в качестве примера задачу: «В школе дежури¬
ли 8 девочек, а мальчиков на 2 больше. Сколько детей дежу¬
рило в школе?»Эта задача включает две простые;1)	В школе дежурили 8 девочек, а мальчиков на 2 боль¬
ше. Сколько мальчиков дежурило в школе?2)	В школе дежурили 8 девочек и 10 мальчиков. Сколько
всего детей дежурило в школе?Как видим, число, которое было искомым в первой задаче
(число мальчиков), стало данным во второй (10 мальчиков)у
Последовательное решение этих задач является решением со-\
ставной задачи: 1) 8+2=10; 2) 8+10=18.В решении составной задачи появилось существенно новое
сравнительно с решением простой задачи: здесь устанавлива¬
ется не одна связь, а несколько, в соответствии с которыми вы¬
бираются арифметические действия. Поэтому проводится спе-218
циальная работа по ознакомлению детей с составной задачей,
а также по формированию у них умений решать составные за¬
дачи.Ознакомление с составной задачей и формирование
умений решать составные задачиПри ознакомлении с составными задачами ученики долЖ'
ны уяснить основное отличие составной задачи от простой — ее
нельзя решить сразу, т. е. одним действием, а для ее решения
надо выделить простые задачи, установив соответствуюш,ую си¬
стему связей между данными и искомым. С этой целью преду¬
сматриваются специальные подготовительные упражне¬
ния:1)	Решение простых задач с недостающими
данными, например;а)	В колхозе были грузовые машины и 4 легковые. Сколь¬
ко всего грузовых и легковых машин было в колхозе?б)	На экскурсию поехали мальчики и девочки. Сколько все¬
го детей поехало на экскурсию?После чтения таких задач учитель спрашивает, можно ли
узнать, сколько всего машин было в колхозе (сколько детей
поехало на экскурсию), и почему нельзя (неизвестно, сколько
было грузовых машин, или неизвестно, сколько было девочек
и сколько мальчиков). Далее дети подбирают числа и решают
задачу.Выполняя такие упражнения, ученики убеждаются, что не
всегда можно сразу ответить на вопрос задачи, так как может
не хватать числовых данных, их надо получить (в данном слу¬
чае подобрать числа, а при решении составных задач найти,
выполнив соответствующее действие).2)	Решение пар простых задач, в которых число,
полученное в ответе на вопрос первой задачи, является одним
из данных во второй задаче, например;а)	У девочки было 3 кролика, а у мальчика на 2 кролика
больше. Сколько кроликов у мальчика?б)	У девочки было 3 кролика, а у мальчика 5 кроликов.
Сколько кроликов у них вместе?Учитель говорит, что такие две задачи можно заменить
одной: «У девочки было 3 кролика, а у мальчика на 2 кролика
больше. Сколько кроликов у них вместе?»В дальнейшем дети сами будут заменять пары подобных
задач одной задачей.3)	Постановка вопроса к данному условию.Я скажу условие задачи, говорит учитель, а вы подумайтеи скажите, какой можно поставить вопрос: «Для украшения
школы ученики вырезали 10 красных флажков и 8 голубых».
(Сколько всего флажков вырезали ученики?)219
4)	Выработка умений решать простые задачи,
входящие в составную. Надо иметь в виду, что необ¬
ходимым условием для решения составной задачи является
твердое умение детей решать простые задачи, входящие в со¬
ставную. Следовательно, до введения составных задач опреде¬
ленной структуры надо сформировать умение решать соответ¬
ствующие простые задачи.Все эти упражнения надо включать при работе над просты¬
ми задачами до введения составных задач.Для .чнякпм(^тпя с составной задачей специаль-
но. отводится'в I классе два-три урока, на которых цсоООё ЦН1Т-
мание уделяется установлению связей между данными и иско-
мь1М Доставлению плана решения и записи решения.11ервыми ЛУЧ1НР включятк чяпяци при ррпУении которых на¬
до. выполнить два различных арифметических действия: сложе¬
на Iе_^а.,_вычитан^ При этом содержание задач должно позвб-
лить иллюстрировать их.Возникает вопрос: какой математической структуры задачи
ввести первыми? На этот счет существует два мнения:1)	Начать с решения задач в два действия, включающих
простые задачи на нахождение суммы и на нахождение остат-
ка, например: «Мам*а сор'вала с одной яблони 5 яблок, а с дру¬
гой 3" Яблока; 6 яблок она отдала детям. Сколько яблок оста¬
лось у мамы?» После этого включать составные задачи другой
структуры.2)	Начать с задач в два действия, которые включают про¬
стые задачи на уменьшение числа па несколько единиц и на
нахождение суммы, например: «В одной вазе 7 конфет, в дру¬
гой на 4 конфеты меньше. Сколько конфет в двух вазах?»
Позднее рассмотреть решение задач другой математической
структуры.Первая из рассмотренных задач явно отличается от про¬
стой—в ее условии три числа, т. е. здесь обе простые задачи
как бы лежат на поверхности. Это должно быстрее привести
детей к уяснению существенного признака составной задачи —
ее нельзя решить сразу, выполнив одно действие. Здесь содер¬
жание задачи помогает правильному установлению связе^^.
В этом случае детям легче составить по задаче выражение.В условии второй из приведенных задач два числа, что де¬
лает ее сходной с простой задачей, а поэтому учащиеся склон¬
ны решать такие задачи, выполнив одно действие. Кроме того,
простая задача на уменьшение числа на несколько единиц, вхо¬
дящая в эту составную, труднее задачи на нахождение остат¬
ка, которая входит в первую составную задачу. Как видим, ре¬
шение этих задач сопряжено с целым рядом трудностей. По¬
этому, как показал опыт, лучше начинать с решения составных
задач, включающих три числа. Покажем, как это можно сде¬
лать,220
Учитель читает задачу: «Мама сорвала с одиой яблони 5 яб¬
лок, а с другой 3 яблока; 6 яблок она отдала детям. Сколько
яблок осталось у мамы?»Что известно о яблоках? (Мама сорвала с одной яблони
б яблок, а со второй—3.) Запишем это кратко. Еще что из¬
вестно? (Мама отдала детям 6 яблок.) Запишем.Что надо узнать? (Сколько яблок осталось у мамы.) Запи¬
шем.Получается запись:Сорвала —5 ябл. и 3 ябл.Отдала —6 ябл.Осталось — ?Объясните, что показывает каждое число в этой записи.
(Объясняют.) Назовите вопрос задачи. (Сколько яблок оста¬
лось у мамы?)Выполняется иллюстрация: вызванная к доске ученица берет
из одного ряда наборного полотна 5 яблок, вырезанных из
картона, и кладет их в корзиночку, а из другого ряда берет3	яблока и кладет их в ту же корзиночку; затем вынимает6	яблок и отдает их детям. Оставшиеся яблоки скрыты, их нель¬
зя сосчитать.Можно ли сразу узнать, сколько яблок осталось у мамы?
(Нет.) Почему? (Не знаем, сколько всего яблок сорвала мама.)
Можно ли сразу узнать, сколько всего яблок сорвала мама?
(Можно.) Как? (К 5 прибавим 3.) Запишем сумму, но вычис¬
лять не будем. (Запись: 5-ЬЗ.) Что обозначает эта сумма? Что
узнаем, когда вычислим? (Сколько всего яблок сорвала мама.)
Сколько яблок отдала мама детям? (6.) Можно ли узнать,
сколько яблок осталось у мамы? (Можно.) Как? (Из суммы
вычесть 6.)На доске и в тетрадях записывается выражение: (5-1-3)—6.При разборе задачи, естественно, могут быть отклонения,
если учащиеся дадут неправильные ответы. Например, часто
одно из действий ученики выполняют про себя, не осознавая,
что они выполнили действие, а при записи решения пользуются
полученным результатом. В этом случае разбор можно про¬
вести так:Можно ли сразу узнать, сколько яблок осталось у мамы?
(Мон4но.) Как это узнать? (Из 8 вычесть 6.) Как появилось
число 8, ведь его нет в задаче? (Я сложил 5 и 3.) Значит, ты
нашел не сразу, а что сначала узнал? И т. д.Далее на этом и на следующих уроках решаются анало¬
гичные задачи, но с большей долей самостоятельного участия
детей.Через 2—3 урока можно ввести составные задачи, в условии
которых даны два числа, включающие такие простые: одну на
уменьшение числа на несколько единиц, а другую на нахожде-221
пие суммы, например: «У Миши было 10 книг, а у Жени на 3
книги меньше. Сколько книг было у Миши и Жени вместе?»Работа над задачами этого вида ведется примерно в том
же плане, как и над рассмотренными ранее задачами.В период ознакомления с составными задачами очень важ¬
но добиться различения детьми простых и составных задач.
С этой целью надо чаще включать составные задачи в противо¬
поставлении с простыми, выясняя каждый раз, почему одна из
них решается одним действием, а другая — двумя. Полезно так¬
же предлагать упражнения творческого характера. Это прежде
всего преобразование простых задач в составные и обратно.
Например, дети решили задачу: «В зимние каникулы учащиеся
отдыхают 10 дней, а в весенние на 2 дня меньше. Сколько дней
отдыхают ученики в весенние каникулы?» Учитель предлагает
изменить вопрос задачи так, чтобы задача решалась двумя дей¬
ствиями. (Сколько дней отдыхают ученики в зимние и весен¬
ние каникулы?)В это же время наряду с решением готовых задач надо вклю¬
чать упражнения на составление задач, аналогичных решен¬
ной, на составление задач по данному ее решению, по краткой
записи и др.В дальнейшем в 1, II и III классах решаются составные
задачи, которые органически связываются с изучаемым мате¬
риалом. Так, в I классе изучаются действия сложения и вычи¬
тания и соответственно включаются составные задачи, решае¬
мые этими действиями; во II классе изучаются действия умно¬
жения и деления, в соответствии с этим вводятся составные
задачи, решаемые этими действиями, при изучении свойств
арифметических действий рассматривается решение задач раз¬
ными способами.По мере продвижения учащихся задачи усложняются. Ус¬
ложнение может идти либо по линии включения новых связей,
т. е. новых видов простых задач, либо по линии увеличения
числа выполняемых действий. Однако задачи не должны быть
слишком трудными и не должны включать много действий).
В этом отношении предусматриваются определенные ограниче¬
ния: в I классе решаются задачи в два действия, во II классе —
преимущественно в два-три действия и в III классе — в два —
четыре действия.Методика работы над каждым новым видом составных за¬
дач ведется в соответствии с теми основными тремя ступенями,
которые раскрыты в первом параграфе этой главы.В связи с работой над задачами очень важно научить детей
общим приемам работы над задачей. Это значит
научить детей самостоятельно анализировать задачу, устанав¬
ливая соответствующие связи, использовать при этом различ¬
ные иллюстрации, составлять план решения, выполнять решв'
ние и проверять правильность решения.222
в практике работы школы оправдала себя следующая мето¬
дика формирования умения решать задачу. Учащиеся получают
инструкцию в виде заданий (памятку), как работать над за¬
дачей. Задания записываются на карточках и раздаются уча¬
щимся. Выполняя каждый раз при решении задачи указанные
в карточках задания в строго определенном порядке, учащиеся
приобретают умение работать над задачей именно так, как пред¬
писывается заданиями, т. е. у них формируется общий метод ра¬
боты над задачей.Приводим один из вариантов таких заданийЧ1.	Читай задачу и представляй себе то, о чем говорится в
задаче.2.	Запиши задачу кратко или выполни чертеж.3.	Объясни, что показывает каждое число, и назови вопрос
задачи.4.	Подумай, какое число получится в ответе: больше или
меньше, чем данные числа.5.	Подумай, можно ли сразу ответить на вопрос задачи, ес¬
ли нет, то почему. Что можно узнать сначала, что потом? Со¬
ставь план решения.6.	Выполни решение.7.	Ответь на вопрос задачи.8.	Проверь решение.Чтобы работа с карточками действительно помогла учащим¬
ся овладеть умением самостоятельно решать задачи, надо пре¬
дусмотреть определенные этапы.На первом этапе дети должны усвоить суть каждого
отдельного задания и научиться выполнять их. Например, по¬
нимать, что значит «представить себе то, о чем говорится в за¬
даче», что значит «составить план решения» и т. д., а также
уметь представить себе то, о чем говорится в задаче, уметь со¬
ставить план решения и т. д.Этот этап овладения отдельными умениями проходит в
I классе, когда учитель каждый раз при решении задачи сам
называет задания и учит их выполнять.На втором этапе (П класс, начало учебного года) уча¬
щиеся знакомятся с системой заданий и учатся ими пользо¬
ваться при решении задач.Учащиеся получают карточки, на которых записаны зада¬
ния. При работе над каждой задачей, примерно в течение 6—
10 уроков, каждое задание читается одним из детей вслух и
при их выполнении рассуждение тоже ведется вслух.' Есть и другие варианты таких заданий; Менчинская Н. А. и
Моро М. И. Пути повышения эффективности обучения арифметике. Сбор¬
ник «Пути повышения качества усвоения знаний в начальных классах». М.,
1962, с. 207; Жигалкина Т. К. Как научить учащихся самостоятельно
решать задачи.— Начальная школа, 1964, №7; Пой а Д. Как решать за¬
дачу? М., 1961.223
На третьем этапе учащиеся должны усвоить систему
заданий и самостоятельно пользоваться ими при решении за¬
дач. С этой целью на последующих 10—15 уроках при решении
задач учащиеся продолжают пользоваться карточками с зада¬
ниями, но задания читают про себя, а рассуждение ведут вслух.
В результате такой работы учащиеся непроизвольно овладева¬
ют системой заданий.На четвертом этапе ученики про себя называют зада¬
ния и про себя выполняют их, т. е. вырабатывается умение ра¬
ботать над задачей в соответствии с заданиями. На этом этапе
карточки не нужны детям, так как вся система заданий усвое¬
на ими в такой мере, что учащиеся руководствуются ими, ведя
рассуждение про себя и очень быстро. Это и есть показатель
того, чтр у учащихся сформировался метод работы над за¬
дачей.В дальнейшем учащиеся будут пользоваться этим методом
как при работе над задачей нового вида, так и при закрепле¬
нии умения решать задачи знакомой математической структуры.Формируя общий метод работы над задачей, учитель дол¬
жен иметь в виду, что не все дети одновременно овладевают
этим методом: если одним детям достаточно месяца работы
по карточкам, то другим надо два-три месяца. Поэтому не сле¬
дует запрещать пользоваться карточками тем учащимся, кото¬
рые еще не овладели общим методом. Но ни в коем случае
нельзя специально разучивать эти задания — они должны быть
усвоены непроизвольно в результате многократного их выпол¬
нения.Работая над задачей отдельного вида, надо по-разному под¬
ходить к использованию заданий: на ступени ознакомления с
задачей нового вида чаще выполняют все задания, а на ступени
закрепления умения решать задачи этого делать не требуется,
иначе выполнение заданий превратится в самоцель и будет тор¬
мозить обобщение способа решения. На этой ступени, когда
формируется умение решать задачи какого-либо вида, учащиеся
должны выполнять задания по порядку до тех пор, пока не най¬
дут способ решения. Так, если после чтения задачи ученик уже
знает, как ее решить, то пусть решает, а если не знает, пусть
выполнит следующее задание, «позовет следующего помощни¬
ка»: запишет задачу кратко и попробует ее решить и т. д.
В крайнем случае, если, выполнив все задания, ученик все же
не найдет решения, на помощь приходит сам учитель.Опыт показал, что при использовании карточек с заданиями
формируется более полноценное умение решать задачи и фор¬
мируется оно гораздо быстрее. Кроме того, умением решать
задачи овладевают не только сильные и средние по успевае¬
мости учащиеся, но и слабые-224
Л\етодика работы над задачами, связанными
с пропорциональными величинамиВ начальных классах рассматривается решение задач, свя
занных^с пропорциональШтг~ВёличинашГ;^ задачи на нахож- X
дение четве^ого пропорционального (на простое тройное пра¬
вило),на пропорциональное деление н^а нахождение неиз-
пестиых по двум разностям, кроме того, специально рассмат-
рпваются^;5адачн, связанные с движеннетд:^Решение этих задач основывается на знании соответствую¬
щих связей между величинами; например, если известны цена
товара, его количество, то можно найти стоимость, выполнив
действие умножения. Следовательно, для успешной работы по
решению задач этих видов надо предусмотреть в подготови¬
тельной работе знакомство с новыми величинами и раскрытие
связей между ними.Рассмотрим методику работы над этими задачами.В задачах на нахождение четвер того п ро п о р-
ционального даны три величины, связанные прямо или
обратно пропорциональной зависимостью, из них две перемен¬
ные и одна постоянная, при этом даны два значения одной
переменной величины и одно из соответствующих значений дру¬
гой переменной, а второе значение этой величины является ис¬
комым. Используя любые три величины, связанные пропорцио¬
нальной зависимостью, можно составить шесть видов задач на
нахождение четвертого пропорционального.В таблице (см. с. 226) дана классификация задач на
нахождение четвертого пропорционального с величинами; цена,
количество, стоимость.Как видно из таблицы, первые четыре задачи с прямо про¬
порциональной зависимостью величин, а две последние с об¬
ратно пропорциональной.Каждую из этих шести задач можно решить способом
нахождения значения постоянной величины, т. е.
сначала найти значение постоянной величины, а затем, исполь¬
зуя его, найти искомое'. Например, решение этим способом за¬
дачи 1 будет таким: 30:2-6=90 (сначала узнали цену морко¬
ви— значение постоянной, а затем стоимость 6 кг). Для задач
I и И видов этот способ называется также способом приведе¬
ния к единице. В начальных классах преимущественно исполь¬
зуется этот способ, а начиная с III класса можно использовать
составление уравнений (см. подробнее на с. 266—271). Эти
задачи решаются во И и III классах. Во II классе рассматри¬
ваются преимущественно задачи с прямо' пропорциональной
зависимостью (I—IV виды), при этом включаются задачи с та-/‘ Название способов решения задач детям по сообщается.15 Заказ № 4487	225
ЦенаКоличествоСтоимость5 коп.4 блокнотаЧто известно в этой задаче? (Цена и количество.) Что тре¬
буется узнать? (Стоимость.) Если известны цена и количество,
то каким действием находят стоимость? (Умножением.)Далее начинается собственно игра: один ученик назначается
продавцом, а несколько учеников покупателями. Покупатели
по очереди подходят к продавцу и покупают несколько вещей.
Ученики, сидящие в классе, составляют задачи про эти покупки,
записывают их кратко в таблице и решают, причем каждый раз
устанавливают связь: известны цена и количество, находили
стоимость действием умножения. (Этот вывод специально за¬
учивать не следует.)Так же на других уроках раскрываются связи: если извест¬
ны стоимость и количество, то можно найти цену действием
деления; если известны стоимость и цена, то можно найти ко¬
личество действием деления.Для закрепления знания связей между величинами надо
включать простые задачи для устного решения, при этом по¬
лезно выполнять упражнения на составление и решение обрат¬
ных задач по отношению к данной простой задаче. Кроме того,
для письменного решения следует предлагать составные зада¬
чи с теми же величинами, например: «К началу учебного года
ученик купил 10 тетрадей по 3 коп. и тетрадь для рисования за
6 коп. Сколько всего денег уплатил ученик?» В этих случаях
не следует требовать от учеников каждый раз объяснять вы¬
бор действия.Аналогичным образом ведется работа по ознакомлению с
величинами других групп и по раскрытию связей между ними.
При этом на этапе ознакомления со связями очень важно вы¬
полнять предметные иллюстрации (например, на плакате нари¬
сованы 3 пакета, под каждым пакетом написано «2 кг»), а при
выборе арифметического действия сначала опираться на конк¬
ретный смысл арифметических действий (например, в первом
пакете — 2 кг муки, во втором—2 кг и в третьем—2 кг; по 2
взяли 3 раза, надо 2 умножить на 3), после чего формулиру¬
ется вывод (если известна масса пакета и их число, то можно
найти общую массу действием умножения; массу одного паке¬
та умножить на число пакетов). На этапе закрепления умения
решать простые задачи с пропорциональными величинами уча¬
щиеся опираются на усвоенный вывод.Одновременно с закреплением знаний о связях между вели¬
чинами в процессе решения простых и составных задач по ме¬
ре возможности следует наблюдать за изменением одной из трех228
величин в зависимости от изменения другой при неизменной
третьей. Например, предлагается упражнение в решении ряда
односюжетных задач: «Блокнот стоит 5 коп. Сколько будут сто¬
ить 2 блокнота; 3 блокнота; 4 блокнота; 12 блокнотов; 15 блок¬
нотов?» Решение целесообразно записать в таблице;Цена блокнотаЧисло блокнотовСтоимость блокнотов10121520601575Прослеживая изменение величин, дети устанавливают: при
увеличении или уменьшении числа блокнотов их стоимость уве¬
личивается или уменьшается, если блокноты пркупают по од¬
ной и той же цене. Можно пронаблюдать и другую зависи¬
мость: если число блокнотов увеличить или уменьшить в не¬
сколько раз, то их стоимость увеличится или уменьшится
во столько же раз, если цена останется неизменной.После проведенной подготовительной работы реше¬
ние задач на нахождение четвертого пропорционального спо¬
собом нахождения значения постоянной величины не вызывает
затруднений у учащихся. Поэтому при ознакомлении с ре¬
шением задач очень важно правильно осуществить руко¬
водство работой детей. Рассмотрим особенности работы над
задачами этого вида.Первыми лучше включить задачи с величинами: цена, ко¬
личество, стоимость, поскольку дети имеют больший опыт опе¬
рировать этими величинами, причем сначала надо рассмотреть
задачи I вида. Первые из рассматриваемых задач полезно ил¬
люстрировать рисунком и выполнить краткую запись в таблице.
Например, предлагается задача: «Ученик купил по одинаковой
цене 6 тетрадей в клетку и 3 тетради в линейку. За тетради
в клетку он уплатил 18 коп. Сколько он уплатил за тетради в
линейку?» После чтения задачи учитель выполняет на доске
рисунок или пользуется готовым (рис. 35).Рис. 35229
Затем под руководством учителя выполняется кряткпя за¬
пись:Цен*КоличествоСтоимостьОдинаковая6 тетрадей
3 тетради18 коп.
?При повторении задачи дети объясняют, что показывает
каждое число: 6—это количество тетрадей в клетку, 18 коп.—
их стоимость и т. п.Полезно до решения задачи сделать прикидку, т. е. устано¬
вить, какое число получится в результате решения: больше или
меньше какого-либо из данных чисел, и объяснить почему.
Например, учащиеся устанавливают, что тетради в линейку бу¬
дут стоить меньше, чем 18 коп., потому что их купили меньше,
чем тетрадей в клетку, а цена тетрадей одинаковая.Решение первых задач следует записывать с пояснениями,
а позднее по указанию учителя — иногда с пояснениями, а иног¬
да без пояснений выполняемых действий.Проверка решения выполняется способом составления и
решения обратных задач и способом установления границ
ответа.На этапе закрепления умения решать задачи после ре¬
шения нескольких задач I вида с величинами цена, количест¬
во, стоимость вводятся задачи этого же вида с другими вели¬
чинами, а затем предлагаются задачи других видов. Прово¬
дятся также различные упражнения творческого характера.
Особенно полезны упражнения по сравнению задач различных
видов, связанных с одной какой-либо группой величин. Напри¬
мер, предлагаются для самостоятельного решения задачи I, 11.1
и V видов с величинами: цена, количество, стоимость (см. таб¬
лицу 1 на с. 226). После решения устанавливают сходство
и различие как между самими задачами, так и между их реше¬
ниями. Можно предлагать для решения и последующего срав¬
нения задачи одного вида, но с различными группами пропор¬
циональных величин. Предлагая упражнения на составление
задач учащимися, надо добиваться, чтобы они воспроизводили
различные варианты жизненных ситуаций. Например, учащим¬
ся предлагается составить задачу по ее решению, записанному
в виде выражения: (24:2)-5. Они могут составить задачу с ве¬
личинами: цена, количество, стоимость: «2 м драпа стоят 24 руб.
Сколько будут стоить 5 м такого драпа?» Учащиеся могут так¬
же составить задачу с величинами: скорость, время движения и
пройденное расстояние: «За 2 ч велосипедист проехал с одина-230
Таблица 2мзадачВеличиимколичествостоимостьЗадачиПостоян¬наяДаны два
или более
значенийДанз сумма
значений, соот¬
ветствующих ко¬
личеству. Най¬
ти слагаемыеУченица купила по
одинаковой цене 6 тет¬
радей в клетку и 4 тет¬
ради в линейку. Всего
она уплатила 30 коп.
Сколько стоили тетради
в клетку и в линейку в
отдельности?Постоян¬наяДана сум¬
ма значе¬
ний, соответ¬
ствующих
стоимости.
Найти сла¬
гаемыеДаны два или
более значенийУченица купила по
одинаковой цене тетра¬
ди в клетку и линейку,
всего 10 штук. За тет¬
ради в клетку она упла¬
тила 18 коп., а за тет¬
ради в линейку 12 коп
Сколько было куплено
тетрадей в клетку и о
линейку в отдельности?IIIДаны два
или более
значенийПостоян¬ноеДана сумма
значений, соот¬
ветствующих
цене. Найти
слагаемыеВ магазине продали
одинаковое количество
шапок и шарфов. Шап¬
ка стоила 5 руб., а шарф
3 руб. За все продан¬
ные вещи выручили
160 руб. Сколько стои¬
ли все шапки и шарфы
в отдельности?IVДана сум¬
ма значений,
соответст¬
вующих сто¬
имости. Най¬
ти слагае¬
мыеПостоян¬ноеДаны два или
более значенийВ магазине продали
одинаковое количество
шапок и шарфов. Шап¬
ка с шарфом стоили
8 руб.. За все шапки вы¬
ручили 100 руб., а за все
шарфы 60 руб'. Сколько
стоили шапка и шарф в
отдельности?НОВОЙ скоростью 24 км. Какое расстояние он проедет за 5 ч с
такой же скоростью?» Могут составить и другие задачи. Упраж¬
нения, подобные приведенному, помогут детям увидеть, что
одному решению соответствуют различные жизненные ситуации.Задачи на пропорциональное деление вводят-
<м в III классе. Эти задачи включают две переменные вели-231
чипы, связанные пропорциональной зависимостью, и одну или
больше постоянных, причем даны два или более значений одной
переменной и сумма соответствующих значений другой перемен¬
ной, слагаемые этой суммы являются искомыми. Применитель¬
но к каждой группе величин, связанных пропорциональной за¬
висимостью, можно выделить 6 видов задач на пропорциональ¬
ное деление, четыре из которых с прямо пропорциональной за¬
висимостью величин, а две с обратно пропорциональной зависи¬
мостью.В начальных классах решаются задачи на пропорциональ¬
ное деление только с прямо пропорциональной зависимостью
величин. Эти задачи представлены в таблице 2.В начальных классах задачи на пропорциональное деление
решаются только способом нахождения значения постояннойвеличины.							—' ГПутГго т о в к о й к решению задач на пропорциональное
деление надо считать твердое умение решать задачи на нахож¬
дение четвертого пропорционального.При ознакомлении с задачами на пропорциональное
деление лучше предлагать их не в готовом виде, а составить
вместе с детьми из задач на нахождение четвертого пропорцио¬
нального. Это поможет детям увидеть связи между задачами
этих видов, что быстрее приведет учащихся к обобщению спо¬
соба их решения.Учащимся предлагается составить задачу по ее краткой
записи;ЦенаКоличествоСтоимостьОдинаковая6 тетрадей
4 тетради18 коп.
?После решения задачи, составленной по данному условию,
учитель записывает вместо вопросительного знака число, полу¬
ченное в ответе (12 коп.). Затем он предлагает найти сумму
чисел, которые показывают стоимость тетрадей (30 коп.), и со¬
ставить задачу по новому условию:ЦенаКоличествоСтоимость! Одинаковая6 тетрадей
4 тетрадиу 1 30 коп.232
Дети составляют задачу на пропорциональное деление,
ставя два вопроса: «Сколько уплатил первый покупатель?» и
«Сколько уплатил второй покупатель?» Учитель поясняет, что
эти два вопроса можно заменить одним: «Сколько денег упла¬
тил каждый покупатель?» В окончательном виде задача фор¬
мулируется примерно так: «Два мальчика купили тетради по
одинаковой цене. Первый купил 6 тетрадей, а второй—4. Всего
они уплатили 30 коп. Сколько денег уплатил каждый мальчик?»Что требуется узнать в задаче? Что значит «каждый»? Мож¬
но ли сразу узнать, сколько уплатил первый мальчик? Почему
нельзя? Можно ли сразу узнать цену тетради? Почему нельзя?
Можно ли сразу узнать, сколько купили тетрадей на 30 коп.?
Почему можно? Что узнаем первым действием; вторым; треть¬
им; четвертым?Решение задачи записывается в форме отдельных действий
с пояснениями.Далее включается решение готовых задач. В этом случае
надо сначала расчленить вопрос задачи на два вопроса; затем
выяснить, которое из искомых чисел должно быть больше и
почему; далее перейти к составлению плана решения, ведя рас¬
суждение от вопроса к числовым данным. Проверка решения
выполняется способом установления соответствия между числа¬
ми, полученными в ответе, и данными: надо сложить числа, по¬
лученные в ответе, и должно получиться число, данное в задаче.Возможны и другие подходы к введению задач на пропор¬
циональное деление. Можно, например, начать с решения гото¬
вых задач, а позднее выполнить работу по преобразованию
задачи на нахождение четвертого пропорционального в задачу
на пропорциональное деление, сравнив как сами задачи, так
и их решения.Для обобщения способа решения в дальнейшем
включаются задачи на пропорциональное деление I вида с дру¬
гими группами величин, после чего вводятся задачи II вида,
а несколько позднее III и IV видов (см. таблицу на с. 231).
При этом наряду с решением готовых задач следует включать
упражнения творческого характера на составление и преобра¬
зование задач.V Задачи на нахождение неизвестных по двум
разностям также вводятся в III классе. Они включают две
переменные и одну или несколько постоянных величин, причем
даны два значения одной переменной и разность соответствую¬
щих значений другой переменной, а сами значения этой пере¬
менной являются искомыми. По отношению к каждой тройке
величин, находящихся в пропорциональной зависимости, можно
выделить шесть видов задач на нахождение неизвестных по двум
разностям. Однако в начальных классах ограничиваются рас¬
смотрением двух следующих видов задач (см. таблицу на
с. 234).233
Таблица 3№задачВеличиныколичествостоимостьЗадачиПостоянгнаяДаны два
значенияДанараз-ностьзначе.„ний, соответст¬вующихколи-честву..Найти: каждоезначе-ниеНа костюмы для уча-|
стников хора купили по
одинаковой цене два
куска шелковой мате¬
рии: в одном было 18 м,
в другом 15 м. За пер¬
вый кусок уплатили на
21 руб. больше, чем за
второй. Сколько стоил
каждый кусок материи?Постоян¬наяДана раз¬
ность значе-
нийг, соответ¬
ствующих
стоимости.
Найти каж¬
дое значениеДаны два зна¬
ченияНа костюмы участни¬
кам хора купили по оди¬
наковой цене два куска
шелковой материи: за
один кусок уплатили
126 руб., а за другой
105 руб. В первом куске
было на 3 м материи
больше, чем во втором.
Сколько метров материи
было- в каждом куске?Сначала рассматриваются задачи I вида, а затем II вида.
Эти задачи решаются только способом нахождения значения
постоянной величины.В качестве п о д г о т о в и т е л ь н ы х у п р а ж н е н и й к вве¬
дению задач этого типа полезно предлагать задачи-вопросы и
простые задачи повышенной трудности, которые помогут детям
уяснить соответетвие между двумя разностями, например:1)	Сестра купила 5 одинаковых тетрадей, а браг 8 таких же
тетрадей. Кто. из них больше уплатил денег? Почему? За сколь¬
ко тетрадей брат уплатил столько же денег, сколько уплатила
сестра?2)	Брат и сестра купили тетради по одинаковой цене. Брат
купил на 3- тетради больше, чем сестра, и уплатил на 9 коп.
больше, ч«М' сестра. Сколько стоила 1 тетрадь?Выполняя предметную иллюстрацию, надо показать детям,
что брат купил столько же тетрадей, сколько сестра, и еще3	тетради и уплатил денег столько же, сколько сестра, и еще9	коп. Отсюда можно заключить, что 3 тетради стоят 9 коп.,
значит, можно узнать, сколько стоит 1 тетрадь.Такие упражнения надо включать с различными группами
пропорциональных величин.234
Методика работы гго о з н-а к® м лению с задачами на
нахождение 'неизвестных по двум разностям аналогична мето¬
дике введения задач на пропорциональное деление: сначала
можно предлагать задачи не в готовом виде, а составлять их
из задач на нахождение четвертого пропорционального, затем
включать готовые задачи, а можно начать с готовых задач.
Рассмотрим это на конкретном примере.Детям предлагается составить задачу по ее краткой записи;ЦенаКоличество<СтоииостьОдинаковаяI — 6 м
П —4 м30 руб. __
?После ее решения в краткую запись подставляется число,
полученное в ответе,—^20 руб. Учитель предляЕает найти раз^
ность чисел, показывающих стоимость (.10 руб„). Выясняется,
что показывает это число. Учитель выполняет ла ,доске новую
краткую запись:ЦенаКоличествоСтоимостьОдинаковаяI— 6 м
II—4 м? на 10 руб. больше
?Дети составляют по краткой записи такую задачу: -«Два по¬
купателя купили материю по одинаковой цене: первый—6 м,
второй — 4 м. Первый покупатель уплатил на 10 руб. больше.
Сколько денег уплатил каждый покупатель?»На доске и в тетрадях можно выполнить иллюстрацию
(рис. 36)-:Выясняется, почему первый покупатель уплатил больше
денег, чем второй; за сколько метров материи первый покупа¬
тель уплатил столько же денег, сколько второй; за какую ма¬
терию уплатил он 10 руб.На чертеже появляется запись (рис. 37) :Рис. 36Рис. 37235
/Теперь легко составить план решения и выполнить его. Ре¬
шение записывается в форме отдельных действий сначала с
записью пояснений, а позже пояснения формулируются устно;1)	6 — 4 = 2	(м) — материи можно купить на 10 руб.;2)	10:2 = 5	(руб.)—цена материи;3)	5-6=30	(руб.) — уплатил первый покупатель;4)	5-4 = 20	(руб.) — уплатил второй покупатель.Проверка решения выполняется способом установления соот¬
ветствия между числами, полученными в ответе, и данными в
условии задачи: узнаем, действительно ли первый покупатель
уплатит на 10 руб. больше, чем второй: 30 — 20=10; значит,
можно считать, что задача решена правильно.Для закрепления умения решать задачи предлага¬
ются готовые задачи на нахождение неизвестных по двум раз¬
ностям I вида с различными группами пропорциональных ве¬
личин и проводятся различные упражнения творческого харак¬
тера. Затем по такой же методике вводятся задачи на нахож¬
дение неизвестных по двум разностям II вида.В целях обобщения способа решения задач всех рассмотрен¬
ных видов полезно предлагать упражнения на преобразование
задач. Например, можно по задаче на нахождение четвертого
пропорционального составить две задачи на нахождение неиз¬
вестных по двум разностям, решить их и сравнить решения;
можно составить по задаче на нахождение четвертого пропор¬
ционального задачу на пропорциональное деление и задачу на
нахождение неизвестных по двум разностям, решить их и
сравнить решения. Такие упражнения помогут детям увидетьсходное в способах решения.	Г~ 3 а д а ч и , связанны ё~с движением^ т. е. задачи с ве-
лй^ПШ^мйТ скорость^ время, расстояние, рассматриваются
в III классе.Подготовительная работа к решению задач, свя¬
занных с движением, предусматривает обобщение представле¬
ний детей о движении, знакомство с новой величиной — ско¬
ростью, раскрытие связей между величинами: скорость, время,
расстояние.С целью обобщения представлений детей о движении полез¬
но провести специальную экскурсию по наблюдению за движе¬
нием транспорта, после чего провести наблюдение в условиях
класса, где движение будут демонстрировать сами дети. На
экскурсии и во время работы в классе пронаблюдать за движе¬
нием одного тела и двух тел относительно друг друга. Так,
одно тело (трамвай, машина, человек и т. п.) может двигаться
быстрее и медленнее, может остановиться, может двигаться по
прямой или кривой. Два тела могут двигаться в одном направ¬
лении, а могут двигаться в противоположных направлениях:
либо приближаясь одно к другому (двигаясь навстречу одно236
Рис. 38К другому), либо удаляясь одно от другого. Наблюдая указан¬
ные ситуации в условиях класса, надо показать детям, как вы¬
полняются чертежи: расстояние принято обозначать отрезком;
место (пункт) отправления, встречи, прибытия и т. п. обознача¬
ют либо точкой на отрезке и соответствующей буквой, либо чер¬
точкой, либо флажком; направление движения указывают стрел¬
кой. Например, встречное движение двух тел изображается так
(рис. 38):Здесь отрезок обозначает расстояние, которое должны прой¬
ти тела до встречи, флажок — место встречи, точки А и В —
пункты выхода тел, стрелки — направление движения. Полезно
выполнять и обратные упражнения: по данному чертежу выпол¬
нять соответствующее движение.При ознакомлении со скоростью целесообразно так органи¬
зовать работу, чтобы учащиеся нашли скорость своего движе¬
ния пешком. Для этого можно начертить во дворе, в спортзале
или коридоре «замкнутую дорожку» (рис. 39). На дорожке
надо отметить расстояния по Юм, чтобы удобнее было нахо¬
дить, какой путь прошел каждый ученик. Учитель предлагает
детям идти по дорожке, например, в течение 4 мин. Учащиеся
сами легко найдут по десятиметровым отметкам пройденное
расстояние. На уроке каждый из детей может вычислить, какое
расстояние он проходит за 1 мин. Учитель сообщает, что рас¬
стояние, которое прошел ученик за минуту, называют его ско¬
ростью. Ученики называют свои скорости. Затем учитель назы¬
вает скорости некоторых видов транспорта. Эти данные уча¬
щиеся могут записать в своих справочниках и использовать
в дальнейшем при составлении задач.Раскрытие связей между величинами: скорость — время —
расстояние ведется по такой же методике, как и раскрытие свя-237
зей между другими пропорциональными величинами. В резуль¬
тате решения соответствующих простых задач ученики долж¬
ны усвоить такие связи: если известны расстояние и время дви¬
жения, то можно найти скорость действием деления; если из¬
вестны скорость и время движения, то можно найти расстояние
действием умножения; если известны расстояние и скорость, то
можно найти время движения действием деления.Далее, опираясь на эти знания, дети будут решать состав¬
ные задачи, в том числе задачи на нахождение четвертого про¬
порционального,, на пропорциональное деление, на нахождение
неизвестных по двум разностям с величинами; скорость, время,
расстояние. При работе над этими задачами надо чаще исполь¬
зовать иллюстрации в виде чертежа, так как чертеж помогает
правильно представить жизненную ситуацию,, отраженную
в задаче^Так же как и при решении задач других видов,, следует
включать упражнения творческого характера на преобразова¬
ние и составление задач.Одновременно а решением задач названных видов в 1ТТклас-
се вводятся задачи на встречное движение и движение в про¬
тивоположных направлениях Каждая из этих задач имеет три
вида в зависимости от данных и искомого;I вид — даны скорость каждого из тел и время движения,
искомое — расстояние;М вид — даны скорость каждого из тел и расстояние, ис¬
комое—время движения;III вид —даны расстояние, время движения и скорость
одного из тел, искомое — скорость другого тела.В целях подготовки к введению задач на встречное дви¬
жение очень важно сформировать правильные представления
об одновременном движении двух тел: дети должны хорошо
уяснить, что если два тела вышли одновременно навстречу друг
другу, то до встречи они будут находиться в пути одинаковое
время и при этом оба пройдут все расстояние между пунктами,
из которых они. вышли. Чтобы дети осознали это, следует вклю¬
чать задачи-вопросы, аналогичные следующим;1)	Из двух городов одновременно отплыли навстречу друг
другу два теплохода и встретились через; 3 ч. Сколько времени
был в пути до встречи каждый теплоход?2)	Из колхоза в город вышел пешеход и в это время из го¬
рода навстречу ему выехал велосипедист, который встретил
пешехода через 40 мин. Сколько времени был в пути до встречи
пешеход?' Здесь использованы традиционно сложившиеся названия видов задач,
но правильнее было бы называть так: задачи на движение в противопо¬
ложных направлениях в случае сближения и в случае удаления движущих¬
ся тел.238
Теперь можно ознакомить детей с решением задач на
встречное движение, причем целесообразно на одном уроке
ввести все три вида, получая шовые задачи азутем преобразова¬
ния данной в обратные. Такой прием позволяет детям само¬
стоятельно найти решение, поскольку задача нового вида будет
получена из -задачи, уже решенной детьми. Раскроем это на
конкретном примере.Учитель читает задачу: «Из двух поселков выехали одно¬
временно навстречу друг другу два велосипедиста и встрети¬
лись через 2 ч. Один ехал со скоростью 15 -км в час, а второй
со скоростью 18 км в час. Найти расстояние между поселками».Что известно о движении велосипедистов? Что надо узнать?
Пусть это будет поселок, из которого выехал первый велосипе¬
дист. (Учитель вставляет в наборное полотно карточку с рим¬
ской цифрой «Ь.) А это поселок, из которого выехал второй
велосипедист. (Вставляет карточку.) Двое из вас будут вело¬
сипедистами. (Выходят два ученика.) С какой скоростью ехал
первый? (15 км в час.) Это твоя скорость. (Дает карточку, на
которой написано число 15.) Это твоя скоросшь. >(Дает второму
ученику карточку.) Сколько времени они -буяу.т .двигаться до
встречи? (2 и.,) Начинайте .двигаться. Прошел час. (Дети встав¬
ляют одновременно свои карточки в наборное полотно.») Про¬
шел второй час. (Дети вставляют карточки.) Встретились ли
велосипедисты? (Да.) Почему? (Шли до встречи по 2 ч.) Обо¬
значу место встречи флажком. ;(Вставляет флажок.) Что надо
узнать? (Все расстояние.) Обозначу вопросительным знаком.
Получается иллюстрация (рис. 40).После такого разбора учащиеся сами находят два способа
решения. Решения надо записать с пояснениями сначала от¬
дельными действиями, а позднее можно записать выражение
или уравнение.Первый способ;1)	15-2='30 '(км)—проехал первый велосипедист;2)	18-2 = 36 (км)—проехал 'второй велосипедист;3)	30 + 36=66 (км)—расстояние между поселками.Рис. 40239
Второйспособ:1)	15+18=33 (км) — сближались велосипедисты в час;2)	33'2 = 66 (км) — расстояние между поселками.Если дети затруднятся в решении вторым способом, надо
вновь проиллюстрировать движение: прошел час — сблизились
на 33 км, еще час — еще сблизились на 33 км, т. е. велосипе¬
дисты проехали 2 раза по 33 км.Учитель на доске, а дети в тетрадях выполняют чертеж к
решенной задаче (рис. 41):15 км в часгчА1в км в часаРис. 41Выясняется, который из велосипедистов прошел до встречи
большее расстояние и почему.Учитель изменяет условие задачи, используя тот же чертеж
(рис. 42):?13	КМ в час	^	18 км Ь час^		ч П66 км
Рис. 42Дети составляют задачу по этому чертежу, затем задача
коллективно разбирается, после чего записывается решение
с пояснениями:1)	15+18=33 (км) — сближались велосипедисты в час;2)	66:33=2 (ч) — время движения до встречи.Условие задачи еще раз изменяется (рис. 43):24/в км в час66 кмРис. 43Ученики составляют задачу, после чего коллективно разби¬
раются два способа решения:240
Первый способ:1)	18-2=36 (км) — проехал до встречи второй велосипедист;2)	66—36=30 (км)—проехал до встречи первый велосипе¬
дист;3)	30:2=15 (км в час) —скорость первого велосипедиста,Второй способ:1)	66:2 = 33 (км) — сближались велосипедисты в час;2)	33—18=15 (км в час)—скорость первого велосипедиста.На последующих уроках проводится работа по закрепле¬
нию умения решать задачи рассмотренных видов. С этой целью
включаются готовые задачи на встречное движение, при этом
учащиеся сами выполняют чертеж, выясняя предварительно,
ближе к какому пункту произойдет встреча. Как и при работе
над другими задачами, следует выполнять различные упраж¬
нения творческого характера.Аналогичным образом ведется работа над задачами на дви¬
жение в противоположных направлениях.16 Заказ № 4487
Глава IVМЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО
МАТЕРИАЛАВ соответствии с действующей программой учащиеся I—
III 1слассов должны получить 1первоначальные сведения о ма¬
тематических выражениях, 'числовых равенствах и неравенст¬
вах, ознакомиться с буквенной символикой, с переменной, на¬
учиться решать несложные уравнения и неравенства, приобре¬
сти умения решать некоторые простые и составные задачи с
помощью уравнений.Алгебраический материал изучается начиная с I класса в
тесной связи с арифметическим и геометрическим. Введение
элементов алгебры способствует обобщению понятий о числе,
арифметических действиях, отношениях и вместе с тем готовит
детей к изучению алгебры в следующих классах.§ 1. Математические выраженияПрограммой по математике в I—III классах предусматри¬
вается научить детей читать и записывать математические вы¬
ражения; ознакомить с правилами порядка выполнения дей¬
ствий и научить ими пользоваться при вычислениях, познако¬
мить учащихся с тождественными преобразованиями выраже¬
ний.При формировании у детей понятия математического выра¬
жения необходимо учитывать, что знак действия, поставленный
между числами, имеет двоякий смысл: с одной стороны, он обо¬
значает действие, которое надо выполнить над числами (на¬
пример, 64-4 — к шести прибавить четыре); с другой стороны,
знак действия служит для обозначения выражения (6 + 4 — это
сумма чисел 6 и 4).Понятие о выражении формируется у младших школьников
в тесной связи с понятиями об арифметических действиях и
способствует лучшему их усвоению.О	зЛ-а_ко^^1 е н и е с	ч и с л о в ы ми выражениями.В методике работы" над выражениями предусматриваются два
этапа. На первом из них формируется понятие о простейшихI242
выражениях (сумма, разность, произведение, частное двух чи-
сел), а на втором — о сложных (сумма произведения и числа,
разность двух частных и т. п.).Знакомство с первым выражением — сумшой двух чисел
происходит в. I классе: при изучении сложения и вычитания в
пределах Ш.ВЫПОЛНЯЯ’ операции над множествами,, дети прежде всего
усваивают конкретный смысл сложения и вычитания, поэтому
в записях вида, 5+1, 6 — 2 знаки действий осознаются ими как
краткое обознанение слов; «прибавить», «вычесть». Это находит
отражение в чтении (к пяти прибавить один^ получится шесть;
из шести вычесть два, получится четыре). В дальнейшем поня¬
тия об этих действиях углубляются. Учащиеся узнают, что, при¬
бавляя нескоашко единиц, увеличиваем число на столько же
единиц, а вычитая:—уменьшаем его на столько же- единиц.
Это также находит отражение в новой форме чтения записей
(4 увеличить. ИЗ) 2, получится-6; 7 уменьшить на 2, получится б).
Затем дети узнают названия: знаков действий: «плюс», «минус»
и читаюзр примеры, называя знаки действий (4 плюс 2- равно
шести, 7 минус 2. равно пяти.)Ознакомившись с названиями компонентов и результата
действия сложения, учащиеся используют термин «сумма» для
обозначения числа, являющегося результатом сложения.Перед изучением приема вычитания вида 9 — 7, когда воз¬
никает практическая необходимость представлять число (умень¬
шаемое) в виде суммы двух чисел, учащихся знакомят с мате¬
матическим выражением—суммой двух чисел. Опираясь на
знания детей о; названиях, чисел при сложении, учитель поясня¬
ет, что в примерах на сложение запись, состоящая из двух чи¬
сел, соединенных знаком «плюс», называется так же, как и
число, стоящее по другую сторону от знака «равно» (9—сумма,6-1-3 тоже, сумма). Наглядно это изображается так:6+3сумма	сумма.Чтобы дети усвоили новое значение термина «сумма» как
название выражения, даются такие упражнения: «Запишите
сумму чисел (например, 7 и 2); вычислите, чему равна сумма
чисел (3 и 4>; прочитайте запись (например, 6 + 3), скажите,
чему равна сумма;, замените число суммой чисел (например:
9=П + П); сравните суммы чисел (например, 6 + 3 и 6+2),
скажите, какая из них больше, запишите со знаком «>» и- про¬
читайте запись». В процессе таких упражнений учащиеся по¬
степенно осознают,двоякий смысл термина «сумма»: как назва¬
ния самого выражения и как названия значения выражения, а16*	243
также усваивают выводы: чтобы записать сумму Чисел, надо нх
соединить знаком «плюс»; чтобы найти значение суммы, надо
сложить заданные числа.Примерно в таком же плане идет работа над следующими
выражениями: разностью (I класс), произведением и частным
двух чисел (II класс). Однако теперь каждый из этих терми¬
нов вводится сразу и как название результата действия, и как
название выражения. Умение читать и записывать выражения,
находить их значение с помощью соответствующего действия
вырабатывается в процессе многократных упражнений, анало¬
гичных упражнениям с суммой.При изучении сложения и вычитания в пределах 10 вклю¬
чаются выражения, состоящие из трех и более чисел, соединен¬
ных одинаковыми или различными знаками действий вида:
3-Ь1-Ы, 4—1 — 1, 24-24-24-2, 7-44-2, 6-ЬЗ —7. Раскрывая смысл
таких выражений, учитель показывает, как их читают (напри¬
мер, к трем прибавить один и к полученному числу прибавить
еще один). Вычисляя значения этих выражений, дети практи¬
чески овладевают правилом о порядке выполнения действий в
выражениях без скобок, хотя и не формулируют его. Несколь¬
ко позднее детей учат преобразовывать выражения в процессе
вычислений, например: 10—74-5«=34-5=8. Такие записи явля¬
ются первым шагом в выполнении тождественных преобразо¬
ваний.Знакомство первоклассников с выражениями вида
10—(6+2), (7—4)+5 и т. п. готовит их к изучению свойств
прибавления числа к сумме, вычитания числа из суммы и др.,
к записи решения составных задач, а также способствует бо¬
лее глубокому усвоению понятия выражения.Методика ознакомления учащихся с выражениями вида
104-(6—2), (54-3) —1 может быть различной. Можно сразу
учить читать готовые выражения по аналогии с образцом и
вычислять значения выражений, поясняя последовательность
действий. Рассматривая конкретные примеры, надо показать
детям, что здесь прибавляют или вычитают сумму (разность)
чисел, поэтому сумму (разность) заключают в скобки и сна¬
чала вычисляют, чему равна сумма (разность), а потом уже
выполняют действие с этим полученным числом.Возможен и другой путь ознакомления детей с выражения¬
ми данного вида — составление этих выражений учащимися из
заданного числа и простейшего выражения.В качестве подготовки в устные упражнения включается ре¬
шение составных примеров с пояснением, например: к сумме
чисел 6 и 10 прибавьте 1. Что сначала находили? Чему равна
сумма чисел 6 и 10? Что сделали потом?Так же рассматриваются задания: 1) к числу 2 прибавить
сумму чисел 6 и 4; 2) к разности чисел 10 и 7 прибавить 3;3)	из 8 вычесть разность чисел 6 и 2.244
Далее проводится работа по сравнению выражений, запи¬
санных па доске; надо вставить знак «>», «<»: 17—7*11,
15+1*5+10, 17—1*17—10. Учащиеся выполняют упражнение
в тетрадях. Затем вызванные ученики делают соответствующие
записи на доске и дают пояснения, например, к первому зада¬
нию;Ученик. Будем сравнивать разность чисел 17 и 7 с чис¬
лом 11. Разность чисел 17 и 7 равна 10 (пишет во второй стро¬
ке), а здесь у нас 11 (пишет рядом), 10 меньше, чем 11 (встав¬
ляет знак «<»), значит, разность чисел 17 и 7 меньше, чем 11
(пишет вместо звездочки знак «<»).Затем учитель выставляет на наборном полотне цифры 5
и 2, знаки « + » и « —» и дает задание: составить примеры, ис¬
пользуя эти числа и какой-нибудь один из знаков. Учащиеся
составляют и читают простейшие выражения (сумма чисел 5
и 2, сумма чисел 2 и 5, разность чисел 7 и 2). Учитель ставит
на наборное полотно табличку с записью 5+2, во втором ряду ■
выставляет число 10, в третьем — знак « + » и предлагает со¬
ставить новый пример из этой суммы, числа 10, знака « + ».Вызванный ученик пишет на доске: 10+5 + 2. Учитель пред¬
лагает прочитать запись, напоминая детям, что пример состав¬
ляли из числа 10 и суммы чисел 5 и 2. С помощью учителя
дети читают: к числу 10 прибавить сумму чисел 5 и 2. Затем
учитель поясняет: «Чтобы выделить сумму чисел 5 и 2 и что¬
бы сразу было ее видно в таком примере, где есть и другие
числа, сумму записывают в скобках (ставит скобки, объясняет,
как их пишут)». Учащиеся записывают, читают выражение (к10	прибавить сумму чисел 5 и 2), находят его значение. Далее
такая же работа проводится над выражениями: (5 + 2)+ 10,
10-(5 + 2), 10+(5-2), (5-2) + 10.В дальнейшем в процессе разнообразных упражнений пер¬
воклассники постепенно овладевают умениями читать, записы¬
вать и находить значение таких выражений.Чтобы помочь детям научиться правильно читать выраже¬
ния, можно рекомендовать им выполнять практические дейст¬
вия в такой последовательности: сначала посмотреть на знак
действия в скобках и сказать, что записано — сумма или раз¬
ность, потом посмотреть на другой знак действия и сказать,
что надо сделать — прибавить или вычесть, затем уже читать
всю запись.Умение составлять и находить значение выражений исполь¬
зуется учащимися при решении задач, вместе с тем здесь про¬
исходит дальнейшее овладение понятием выражения, усваива¬
ется конкретный смысл выражений в записях решений таких
задач.Во II классе наряду с выражениями, рассмотренными ра¬
нее, включают выражения, состоящие из двух простых выраже¬
ний, например: (50 + 20)±(30+10), а также состоящие из чис-245
45—17+15=13, 50:10-5= 1,- почему они неверны, какие зна¬
чения в действительности имеют эти выражения.	;Аналогично изучают порядок действий в выражениях со
скобками вида: 85—(46—14), 60: (30-20), 90: (2-5). С такими
выражениями учащиеся также знакомы и умеют их читать,
записывать и вычислять их значение. Объяснив порядок выпол¬
нения действий в нескольких таких выражениях, дети формули¬
руют вывод: в выражениях со скобками первым выполняется
действие над числами, записанными в скобках. Рассматривая
эти же выражения, нетрудно показать, что действия в них вы¬
полняются не в том порядке, в каком записаны; чтобы показать
другой порядок их выполнения, и использованы скобки.Наиболее трудным является правило порядка выполнения
действий в выражениях без скобок, когда в них содержатся
действия первой и второй ступени. Поскольку правила поряд¬
ка действий приняты по договоренности, учитель сообщает иу
детям или же учащиеся знакомятся с ними по учебнику.Можно перед этим создать проблемную ситуацию: предло¬
жить детям вычислить значение заданного выражения, выпол¬
няя действия в разном порядке. Например, для выражения
21 + 9:3 ученики получат два значепия; 10 и 24. Теперь легко
показать, что необходимо договориться о порядке выполнения
действий Б таких выражениях.Чтобы учащиеся усвоили введенные правила, наряду с тре¬
нировочными упражнениями включают решение примеров с по¬
яснением порядка выполнения их действий. Эффективны также^
упрал<нения в объяснении ошибок на порядок выполнения дей¬
ствий. Например, из заданных пар примеров предлагается вы¬
писать только те, где вычисления выполнены по правилам по¬
рядка действий:20 + 30:5=10	42-12:6 = 40	6-5 + 40:2 = 5020 + 30:5 = 26	42-12:6 = 5	6-5+40:2 = 35После объяснения ошибок можно дать задание: используя
скобки, изменить порядок действий так, чтобы выражение име¬
ло заданное значение. Например, чтобы первое из приведенных
выражений имело значение, равное 10, надо записать его так;
(20+30):5= 10.Особенно полезны упражнения на вычисление значения вы¬
ражения, когда ученику приходится применять все изученные
правила. Например, на доске (в тетрадях) записывается выра¬
жение 36:6+3-2. Учащиеся вычисляют его значение. Затем учи¬
телем (или детьми) изменяется с помощью скобок порядок дей¬
ствий в выражении:36:6 + 3-2	36: (6+3-2)36: (6+3)-2	(36:6+3)-2248
Интересным, но более трудным является обратное упражне¬
ние: расставить скобки так, чтобы выражение имело заданное
значение:72-24:6 + 2=66	72-24:6+2-672-24:6 + 2=10	72-24:6+2 = 69Выполняя такие упражнения, учащиеся убеждаются в том,
что значение выражения может измениться, если изменяется
порядок действий.Для усвоения правил порядка действий необходимо во II и
III классах включать все более усложняющиеся выражения,
при вычислении значений которых ученик применял бы каждый
раз не одно, а два или три правила порядка выполнения дей¬
ствий, например: 90-8—(240+170) +190, 469 148-148-9 +
+ (30 100-26909). При этом числа следует подбирать так, что¬
бы они допускали выполнение действий в любом порядке, что
создает условия для сознательного применения изученных
правил.Ознакомление с тождественными преобразованиями выра¬
жений. Тождественное преобразование выражения — это заме¬
на данного выражения другим, значение которого равно значе¬
нию заданного выражения. Учащиеся выполняют такие преоб¬
разования выражений, опираясь на свойства арифметических
действий и следствия, вытекающие из них (как прибавить сум¬
му к числу, как вычесть число из суммы, как умножить число
на произведение и др.).При изучении каждого свойства учащиеся убеждаются в том,
что в выражениях определенного вида можно выполнять дей¬
ствия по-разному, но значение выражения при этом не изме¬
няется. В дальнейшем знания свойств действий учащиеся при¬
меняют для преобразования заданных выражений в тождест¬
венные выражения. Например, предлагаются задания вида:
продолжить запись так, чтобы знак « = » сохранился:76-(20 + 4) =76-20...(10+7)-5=10-5...60: (2-10) =60:10...Выполняя первое задание, учащиеся рассуждают так: слева
из 76 вычитают сумму чисел 20 и 4, справа из 76 вычли 20;
чтобы справа получилось столько же, сколько слева, надо спра¬
ва еще вычесть 4. Аналогично преобразуются другие выраже¬
ния, т. е., прочитав выражение, ученик вспоминает соответст¬
вующее правило и, выполняя действия но правилу, получает
преобразованное выражение. Чтобы убедиться в правильности
преобразования, дети вычисляют значения заданного и преобра¬
зованного выражений и сравнивают их..249
Применяя знания свойств действий для обоснования прие¬
мов вычислений, учащиеся I—III классов выполняют преобра¬
зования выражений вида;36+20= (30 + 6) +20= (30 + 20) +6=56
72:3=(60+12):3 = 60:3+12:3 = 24
18-30= 18-(3-10) = (18-3). 10=540Здесь также необходимо, чтобы учащиеся не только поясня¬
ли, на основе чего получают каждое последующее выражение,
но и понимали, что все эти выражения соединены знаком « = »,
потому что имеют одинаковые значения. Для этого изредка сле¬
дует предлагать детям вычислять значения выражений и срав¬
нивать их. Это предупреждает ошибки вида: 75—30=70 — 30 =
= 40 + 5 = 45, 24.12= (10 + 2) =24-10 + 24-2 = 288.Учащиеся II—III классов выполняют преобразование выра¬
жений не только на осттове свойств действий, но и на основе
их конкретного смысла. Например, сумму одинаковых слагае¬
мых заменяют произведением: 6+6+6=6-3, и наоборот: 9-4 =
=9+9+9+9. Опираясь также на смысл действия умножения,
преобразуют более сложные выражения: 8-4 + 8=8-5,7-6-7=7.5.На основе вычислений и анализа специально подобранных
выражений учащихся III класса подводят к выводу о том, что
если в выражениях со скобками скобки не влияют на порядок
действий, то их можно не ставить: (30+20) +10=30+20+10,(10-6) :4= 10-6:4 и т. п. В дальнейшем, используя изученные
свойства действий и правила порядка действий, учащиеся уп¬
ражняются в преобразовании выражений со скобками в тож¬
дественные им выражения без скобок. Например, предлагается
записать данные выражения без скобок так, чтобы их значения
не изменились:(65+30)-20	(20 + 4)-396-(46 + 30)	(40 + 24) :4Так, первое из заданных выражений на основе свойства вы¬
читания числа из суммы дети заменяют выражениями:
65 + 30 — 20, 65 — 20 + 30, 30 — 20+65, поясняя порядок выполне¬
ния действий в них. Таким образом, учащиеся убеждаются, что
значение выражения не меняется при изменении порядка дей¬
ствий только в том случае, если при этом применяются свой¬
ства действий.Начиная со И класса ведется работа над выражениями с пе¬
ременной, благодаря чему обобщается понятие выражения и
закрепляются умения оперировать ими.Ознакомление с буквенными выражениями. Подготовитель¬
ная работа к введению выражений с переменной проводится250
по II классе в начале учебного года в связи с повторением дей¬
ствий сложения и вычитания. На этом этапе дети знакомятся с
новыми буквами латинского алфавита (а, Ь, с, й и др.) для обо¬
значения неизвестного числа в уравнениях. Решая примеры и
задачи на нахождение неизвестного компонента, второкласс¬
ники постепенно запоминают запись и названия букв, а также
усваивают тот факт, что неизвестное число можно обозначать
не только буквой х, но и другими буквами.Хорошим упражнением для подготовки к введению буквен¬
ной символики являются задачи с пропущенными числами. На¬
пример: «На уроке труда ученики вырезали ... красных флаж¬
ков и ... зеленых флажков. Сколько всего флажков вырезали
дети?» «В мебельный магазин привезли ... столов. Продали ...
столов. Сколько столов осталось в магазине?»Подбирая числа вместо точек, дети получают арифметиче¬
ские задачи одинакового содержания, решение которых записы¬
вают в таблице:Красных флажков10Зеленых флажков15Всего флажков10-Ь15Первая задача подробно разбирается, и учитель показывает,
как записать ее решение в таблице. При заполнении последней
строки таблицы решение задачи записывается в виде выраже¬
ний, а ответы называют устно.Сравнивая затем задачи, а потом и их решение, учащиеся
подводятся к выводу, что общее заключается не только в сюже¬
те задачи, но и в том, что все задачи решаются одним дейст¬
вием-сложением. Они заключают, что таких задач можно со¬
ставить очень много, а числа брать разные.При введении буквенных выражений важную роль в си-
стая-е у|1Т)йжнь!ний И1'рает ума^^(;^ клмринигонянин ннлтп^^'иннпмг-
и Дедуктивного методов, а соответствии с этим упражнения пое-
дусматривают переходы от числовых выражений к буквенными,	обратно, от буквенных выражений к числовым. Например, на
доску вывешивается плакат с тремя карманами, на которых
написано: «I слагаемое», «II слагаемое», «Сумма». В процессе
беседы с учениками учитель заполняет карманы плаката кар¬
точками с записанными на них числами и математическими
выражениями:251
134120411 слагаемоеII слагаемое5+013+2041+41СуммаДалее выясняется, можно ли еще составить выражения,
сколько таких выражений можно составить. Дети составляют
другие выражения и находят в них общее: одинаковое дейст¬
вие— сложение-И различное — разные слагаемые. Учитель пояс¬
няет, что, вместо того чтобы записывать разные числа, можно
обозначить любое число, которое может быть первым слагае¬
мым, какой-нибудь буквой, например а, а любое число, которое
может быть вторым слагаемым, например буквой Ь, тогда сум¬
му можно обозначить так: а + Ь (соответствующие карточки
вставляются в карманы плаката);1 слагаемоеИ слагаемое505+0132013+20414141+41аЬа+6СуммаУчитель поясняет, что а + Ь (а плюс Ь) также математиче¬
ское выражение, только в нем слагаемые обозначены буквами:
каждая из букв обозначает любые числа. Эти числа называют¬
ся числовыми значениями букв или просто значениями букв.
Аналогично вводится разность чисел, а затем произведение и
частное как обобщенная запись числовых выражений.Чтобы учаашеся осознали, что буквы, входящие в выраже¬
ние, например Ь + с, могут принимать множество числовых
значений, а само буквенное выражение является обобщенной
записью числовых выражений, предусматриваются упражнения
на переход от буквенных выражений к числовым. На первых
порах для этой цели используется тот же плакат с тремя кар¬
манами. Учитель вставляет в карманы плаката карточки, на
которых записано выражение Ь + с п слагаемые бис. Выясня¬
ется, что это сумма чисел 6 и с, что слагаемые Ь к с могут при-252
пнмать любые числовые значения. Затем предлагается вычис¬
лить значение буквенного выражения Ь + с, если буквам Ь и с
придать числовые значения (соответствующие карточки встав¬
ляются в карманы плаката);151 слагаемое4915+21+498+811 слагаемоеСуммаУчащиеся убеждаются, что, придавая буквам различные
числовые значения, можно получить много, сколько угодно чис¬
ловых выражений.В таком же плане проводится работа по конкретизации дру¬
гих буквенных выражений.Усвоению буквенной символики помогают следующие упраж¬
нения:1.	Нахождение числовых значений буквенных выражений
при данных значениях букв, например: «Прочитайте выражение
а + (1. Вычислите значения суммы, если а = 5, 6^ = 20; а=13,
^=8; а=1, с1=\9».2.	Подбор самими учащимися числовых значений букв, вхо¬
дящих в выражение, и нахождение числовых значений этих вы¬
ражений. Например, заполните таблицу:тпт~пДалее в связи с работой над выражениями раскрывается
понятие постоянной. С этой целью рассматриваются вы¬
ражения, в которых постоянная величина фиксируется с по¬
мощью цифр, например: а±12, 8±с. Здесь, как и на преды¬
дущем этапе, предусматриваются упражнения па переход от
числовых выражений к выражениям, записанным с помощью
букв и цифр, и обратно. С этой целью на первых порах ис¬
пользуется плакат с тремя карманами.253
Заполняя карманы плаката' карточками с записанными на
них числами и математическими* выражениями, учащиеся заме¬
чают; что значения первого слагаемого изменяются, а второго —
не изменяются. Далее выясняется, что любое число, которое
может быть значением первого слагаемого, можно обозначить
какой-нибудь буквой, например т.Учитель поясняет, что второе слагаемое можно записать с
помощью щ^фр, тогда сумму чисел можно записать так: гп + 8, и
карточки вставляются в соответствующие карманы плаката:1540154-83-1-840-Ь8ш-|-8I слагаемоеII слагаемоеСуммаАналогичнсп можно. получитБ-математические выражения ви¬
да: 17±п, Л±30, а позднее — выражения вида: 7-Ь, а:8, 48:(1.На данном- этапе* предусматриваются упражнения на на¬
хождение числовыхс значений выражений при данных значени¬
ях буквы, например: «Запишите сумму чисел Ь и 20. Вычислите
значения выражения, если Ь = 5, 6 = 35, Ь = 20». Предлагают¬
ся также упражнения- на! подбор самими учащимися число¬
вых значений буквы, входящей? в> выражение, и нахождение
числовых значений этого выражения, например: «Прочитайте вы¬
ражение с?—13. Придайте букве й два числовых значения и вы¬
числите значения разности».Далее полезно выполнить упражнения на преобразование
таблицы с тремя графами в таблицу с двумя графами и обрат¬
но. Например, заполните таблицу:ь28282828а107028ь+аУстановив, что первое слагаемое Ь принимает одинаковые
значения (28), учащиеся записывают вместо суммы Ь+4 выра¬
жение 28 +с?, переходя к таблице с двумя графами:254
10,2828+аВыполняя такие и обратные упражнения на переход от таб¬
лицы с двумя графами !к'таблице с тремя графами, учащиеся
постепенно усваивают смысл постоянной (принимает одинако¬
вые значения) и переменной (принимает разные значения),
уясняя, что1буква может принимать не только разные'числовые
значения, но и одинаковые.На данном этапе работьпнад ^математическими ьвыражения-
ми в связи с нахождением их значений полезно обращать «вни¬
мание детей на то, какие значения можно придаватыбукве*в за¬
данном выражении. Например, рассматривается 'выражение
37 —&. Учитель предлагает учащимся шридать букве й два зна¬
чения и найти значение разности. Дети выполняют ^задание в
тетрадях. При проверке работы'учитель записывает ша доске
числовые значения буквы к, которые придали ей гдети, а также
выясняет, можно ли придать букве/.^ другие значения, можно ли
ей придать значение 38, 40, |100,*какое1наименьщее значение она
может принимать, какое у'нее здесь может быть самое боль¬
шое значение. Значит (сделает обобщение хучитель), букве к
можно придавать любые числовые значения от О до 37.Подобная работа проводится во —III классах только’под
руководством учителя.Когда учащиеся уяснят смысл (буквенной символики, можно
использовать буквы в к а гвс-пвсе чор е д С1Т1в;а ;о1бо!б1Щ'е-
ни>я 1фор м и руемых \у 1В№х зна'МИ'й, Конкретной базой
для гиспользования буквенной символики >как (средства «обобще¬
ния служат знания обгарифметичееких действиях.!Вся система упражнений з-десь строится в соответствии с
принципом от конкретного к :абстрактному. Буквенная симво¬
лика :будет являться (средством обобщ,ения только тогда, когда
учащиеся много раз наблюдали ша'числовых примерах опреде¬
ленные связи, зависимости, «отнощеиия,1Свойства и'.т. ш., .форму¬
лировали соответствующие !выв0ды, шравила 1или (свойства и
пользовались ими при (выполнении )различных упражнений.На этом этапе улащиеся, выполняя специальные 'упражне¬
ния, овладевают следующими умениями:1.	Записать при помощи букв свойства арифметических дей¬
ствий, связь между компонентами и результатами арифметиче¬
ских действий и т. п. Например, воЧ1 классе действие умноже¬
ния вводится как нахождение суммы одинаковых слагаемых.
Обобщая это знание связи между'суммой «одинаковых слагае¬
мых и произведением, важно показать,'.что'Сумму любых оди¬
наковых слагаемых можно заменить произведением и, наоборот,255
произведение двух чисел, если второй множитель больше еди¬
ницы, можно представить в виде суммы одинаковых слагаемых.
С этой целью предлагаются задания: заменить сумму а + а + а + а
произведением.Учащиеся заменяют сумму а + а + а + а произведением а-4,
рассуждая так: здесь слагаемые одинаковые (а), значит,можно
заменить сумму произведением, первым множителем будет а,
а вторым множителем число 4, так как четыре слагаемых.Выполняя обратное упражнение: заменить произведение с-3
суммой, учащиеся рассуждают так: с умножить на 3 — значит с
взять слагаемым три раза, можно записать: с-3 = с + с + с.2.	Прочитать записанные с помощью букв свойства арифме¬
тических действий, зависимости, отношения и т. п. Например:
«Прочитайте выражение (^-1-35)—^ и найдите, чему оно
равно». Ученики рассуждают следующим образом: «Из суммы
чисел с1 и 35 вычесть первое слагаемое с1, получится второе сла¬
гаемое 35. Запишем: (сЛ-35) — с? = 35».3.	Выполнить тождественное преобразование выражения па
основе знания свойств арифметических действий. Например,
дается задание закончить запись: (5 + ^) •3 = 5-3-Ь... Выполняя
это задание, учащиеся рассуждают так: «В левой части равен¬
ства сумму чисел 5 и 6 умножим на 3; в правой — первое сла¬
гаемое 5 умножим на 3; чтобы справа получилось столько же,
сколько слева, надо умножить второе слагаемое Ь на 3 и ре¬
зультаты сложйть».4.	Доказать справедливость заданных равенств или нера¬
венств при помощи числовой подстановки. Например, предла¬
гается показать, что при любых значениях буквы с верны сле¬
дующие равенства и неравенства: с-ь5 = 5+с, с-Ь 17>с-{-15,
с-0=0, с-1=с, с—17<с—15. Учащиеся сами придают букве с
числовые значения, записывают несколько числовых равенств
и неравенств, вычисляют значения выражений и, сравнивая их,
убеждаются в том, что полученные равенства и неравенства
верны. Выполненная работа помогает учащимся обобщить свои
наблюдения и воспроизвести соответствующие формулировки
свойств и зависимостей арифметических действий и применить
их к заданным равенствам и неравенствам.Таким образом, использование буквенной символики способ¬
ствует повышению уровня обобщения знаний, приобретаемых
учащимися начальных классов, и готовит их к изучению систе¬
матического курса алгебры в следующих классах.§ 2. Равенства, неравенства, уравненияПонятия о равенствах, неравенствах и уравнениях раскрыва¬
ются во взаимосвязи. Работа над ними ведется с I класса, ор¬
ганически сочетаясь с изучением арифметического материала.256
Программа по математике для I—III классов ставит задачу
выполнять сравнение чисел, а также сравнение выражений с
целью установления отношений «больше», «меньше», «равно»:
научить записывать результаты сравнения с помощью знаков
«>», «<», « = » и читать полученные равенства и неравенства.Числовые равенства и неравенства учащиеся получают в ре¬
зультате сравнения заданных чисел или арифметических вы¬
ражений. Поэтому знаками «>», «<», « = » соединяются не лю¬
бые два числа, не любые два выражения, а лишь те, между
которыми существуют указанные отношения. Два равных чис¬
ла или два выражения, имеющие равные значения, соединенные
знаком « = », образуют равенство. Если одно число больше
(меньше) другого или одно выражение имеет значение боль¬
ше (меньше), чем другое выражение, то, соединенные соответ¬
ствующим знаком, они образуют неравенство. Таким образом,
первоначально у младших школьников формируются понятия
только о верных равенствах и неравенствах.Однако в процессе работы над уравнениями, выражениями
и неравенствами с переменной учащиеся, подставляя различ¬
ные значения переменной, накапливают наблюдения и убежда¬
ются в том, что равенства и неравенства бывают как верные,
так и неверные. Такой подход к раскрытию понятий опреде¬
ляет соответствующую методику работы над равенствами, не¬
равенствами, уравнениями.Ознакомление с равенствами и неравенствами в начальных
классах непосредственно связывается с изучением нумерации и
арифметических действий.Сравнение чисел осуществляется сначала на основе
сравнения множеств, которое выполняется, как известно, с по¬
мощью установления взаимно однозначного соответствия. Это¬
му способу сравнения множеств учат детей в подготовитель¬
ный период и в начале изучения нумерации чисел первого де¬
сятка (см. главу II, с. 60). Попутно выполняется счет эле¬
ментов множеств и сравнение полученных чисел (кружков 7,
треугольников 5, кружков больше, чем треугольников, 7 боль¬
ше, чем 5). В дальнейшем при сравнении чисел учащиеся опи¬
раются на их место в натуральном ряду: 9 меньше, чем 10, по¬
тому что при счете число 9 называют перед числом 10; 5 боль¬
ше, чем 4, потому что при счете число 5 называют после
числа 4.Установленные отношения записываются с помощью знаков
«>», «<», « = », учащиеся упражняются в чтении и записи ра¬
венств и неравенств.Впоследствии при изучении нумерации чисел в пределах 100,
1000, а также нумерации многозначных чисел сравнение чисел
осуществляется либо на основе сопоставления их по месту в
натуральном ряду, либо на основе разложения чисел по деся¬
тичному составу и сравнения соответствующих разрядных чи¬17 Заказ № 4487	2">7
сел, начиная с высшего разряда (75>48, так как 7 десятков
больше, чем 4 десятка; 75>73, так как десятков поровну, а
единиц в первом числе больше, чем во втором).Сравнение величин сначала выполняется с опорой на
сравнение самих предметов по данному свойству, а потом осу¬
ществляется на основе сравнения числовых значений величин,
для чего заданные величины выражаются в одинаковых еди¬
ницах измерения. Сравнение величин вызывает трудности у уча¬
щихся, поэтому, чтобы научить этой операции, надо системати¬
чески в I—III классах предлагать разнообразные упражнения,
например;1)	подберите равную величину: 7 км 500 м = П м, 3080 кг =
= □ т □ кг.2)	Подберите числовые значения величин так, чтобы запись
была верной: □ ч<П мин, □ см=П дм □ см, □ т □ ц=
= □ кг.3)	Вставьте наименования у величин так, чтобы запись была
верной: 35 км = 35000 16 мин>16 ..., 17 т 5 ц= 17 500 ... .4)	Проверьте, верные или неверные равенства даны, исправь¬
те знак, если равенства неверны: 4 т 8 ц=480 кг, 100 мин =
= 1 ч, 2 м 5 см = 250 см.Подобные упражнения помогают детям усвоить не только
понятия равных и неравных величин, но и отношения единиц из¬
мерения.Переход к сравнению выражений осуществляется постепен¬
но. Сначала в процессе изучения сложения и вычитания в пре¬
делах 10 дети длительное время упражняются в сравнении
выражения и числа (числа и выражения). Первые нера¬
венства вида 3-Ы>3, 3—КЗ полезно получать из равенст¬
ва (3 = 3), сопровождая преобразования соответствующими опе¬
рациями над множествами. Например, на классном наборном
полотне и на партах отложено 3 треугольника и 3 кружка и
записано: 3=3. Учитель предлагает детям придвинуть к 3 тре¬
угольникам еще 1 треугольник и записать это (3+1—запись
под треугольниками). Число кружков не уменьшилось (3). Уча¬
щиеся сравнивают число треугольников и кружков и убежда¬
ются, что треугольников больше, чем кружков (4>3), значит,
можно записать: 3+1 >3 (три плюс один больше, чем три).
Аналогичная работа ведется над неравенством 3—КЗ (три
минус один меньше, чем три).В дальнейшем выражение и число (число и выражение)
учащиеся сравнивают, не прибегая к операциям над множест¬
вами; находят значение выражения и сравнивают его с задан¬
ным числом, что отражается в записях:5+3>5	2<7-4	7 = 4 + 38>5	2<3	7=7258
ООО#® АААА
ДДААА ОООРис. 44	Рис. 45После знакомства с названиями выражений учащиеся чита¬
ют равенства и неравенства так: сумма чисел 5 и 3 больше, чем
число 5; число 2 меньше, чем разность чисел 7 и 4, и т. п.Опираясь на операции над множествами и сравнение мно¬
жеств, учащиеся практически усваивают важнейшие свойства
равенств и неравенств (если а = Ь, то Ь = а; если а>Ь, то Ь<а).Дети видят, что если кружков и треугольников поровну
(рис. 44), то можно сказать, что кружков столько, сколько тре¬
угольников (34-2 = 5), а также треугольников столько, сколько
кружков (5 = 3 + 2). Если же предметов не поровну (рис. 45),
то одних — больше (3-Ы>3), а других меньше (3<3+1).В дальнейшем при изучении действий в пределах 100, 1000 и1	ООО ООО упражнения на сравнение выражения и числа даются
на новом числовом материале и увеличивается количество чи¬
сел и знаков действий в выражениях.Сравнивая неоднократно специально подобранные выраже¬
ния и числа, например: 17+0 и 17, 19 — 0 и 19, 7-1 и 7, 0:5 и О,
с+1 и с, с:1 и с и т. п., учащиеся накапливают наблюдения
об особых случаях действий, глубже осознают конкретный
смысл действий. Упражнения на сравнение выражений и числа
закрепляют умения читать выражения и способствуют выработ¬
ке вычислительных навыков.Сравнить два выражения — значит, сравнить их зна¬
чения. Сравнение выражений впервые включается уже в конце
изучения сложения и вычитания в пределах 10, а затем при изу¬
чении действий во всех концентрах эти упражнения системати¬
чески предлагаются учащимся. Например, надо сравнить сум¬
мы; 6 + 4 и 6 + 3. Ученик рассуждает так: первая сумма рав¬
на 10, вторая — 9, 10 больше, чем 9, значит, сумма чисел 6 и4	больше, чем сумма чисел 6 и 3. Это рассуждение отражается
в записях:6+4>6+3 7-5<7-3 4+4=10-2
10>9	2<4	8=8При изучении действий в других концентрах упражнения на
сравнение выражений усложняются: более сложными становят¬
ся выражения, учащимся предлагаются задания вставить в од¬
но из выражений подходящее число так, чтобы получить вер-17*	259
)ше равенства или неравенства; проверить, верные ли равенства
(неравенства) даны, неверные исправить, изменив знак отно¬
шения или число в одном из выражений; составить из данных
выражений верные равенства или верные неравенства. Сами
выражения подбираются таким образом, чтобы, сравнивая вы¬
ражения, учащиеся наблюдали свойства и зависимости между
компонентами и результатами действий. Например, после того
как установили с помощью вычислений, что сумма 60 + 40 боль¬
ше суммы 60+30, учитель предлагает сравнивать соответствую¬
щие слагаемые этих сумм, и дети отмечают, что первые сла¬
гаемые в этих суммах одинаковые, а второе слагаемое в первой
сумме больше, чем во второй. Много раз подмечая эту зави¬
симость, учащиеся приходят к обобщению и затем свои знания
используют при сравнении выражений.Таким образом, при изучении всех концентров упражнения
на сравнение чисел и выражений, с одной стороны, способст¬
вуют формированию понятий о равенствах и неравенствах, а
с другой стороны, усвоению знаний о нумерации и арифмети¬
ческих действиях, а также выработке вычислительных на¬
выков,	Н е р а в е н ст^а с' п е р е м е н н о й вида: л: + 3<7, 10 —х>5,х-4>12, 72^:х<36 вводятся во II классе. Заранее ведется соот-
Естствующая подготовительная работа: включаются упражне¬
ния, в которых переменная обозначается не буквой, а «окошеч¬
ком» (квадратом), например: □>0, 6+4>П, 7+□<10 и т. д.
Учащимся предлагается подобрать такое число, чтобы получить
верную запись. При выполнении таких упражнений учитель дол¬
жен побуждать детей к подстановке различных чисел; напри¬
мер, в неравенстве 0>0 можно подставить число 1 (1>0),
можно 2 (2>0), мол<но 3 (3>0) и т. д. После того как назва¬
но несколько чисел, полезно обобщить наблюдения (например,
во втором неравенстве можно подставить любое число, которое
меньше 10 —от О до 9).Рассматривая во II классе, например, неравенство х+3<10,
учащиеся путем подбора находят, при каких значениях буквы
X значение суммы лс + З меньше, чем 10. В каждом таком зада¬
нии дается множество чисел — значений переменной. Ученики
подставляют значения буквы в выражение, вычисляют значе¬
ние выражения и сравнивают его с заданным числом. В резуль¬
тате такой работы выбирают значения переменной, при которых
данное неравенство является верным.Термины «решить неравенство», «решение неравенства» не
вводятся в начальных классах, поскольку во многих случаях
ограничиваются подбором только нескольких значений перемен¬
ной, при которых получается верное неравенство.Позднее в упражнениях с неравенствами значения пере1^)е!1-
ной не даются, учащиеся сами, подбирают их. Такие упражне¬
ния, как правило, выполняются под руководством учителя.2С0
Можно ознакомить детей с таким приемом подбора значе¬
ний переменной в неравенстве. Пусть дано неравенство 7-А<
<70. Сначала устанавливают, при каком значении к данное
произведение равно 70 (при й=10). Чтобы произведение было
меньше, чем 70, следует множитель брать меньше, чем 10. Уча¬
щиеся выполняют подстановку чисел 9, 8 и т. д. до нуля, вы¬
числяют и сравнивают полученные значения выражения с за¬
данным (70) и называют ответ.Упражнения с неравенствами закрепляют вычислительные
навыки, а также помогают усвоению арифметических знаний.
Например, подставляя различные числовые значения компо¬
нентов, дети накапливают наблюдения об изменении результа¬
тов действий в зависимости от изменения одного из компонен¬
тов. Здесь уточняются знания детей о конкретном смысле каж¬
дого действия (так, подставляя значения вычитаемого, дети
убеждаются в том, что вычитаемое не больше уменьшаемого
и т. п.). Подбирая значения буквы в неравенствах и равенст¬
вах вида: 5 + х=5, 5-х=5; 10-л:=10, 10-л:<10, учащиеся за¬
крепляют знания особых случаев вычислений. Работая с нера¬
венствами, учащиеся закрепляют представление о переменной
и подготавливаются к решению неравенства в IV классе.В соответствии с программой в I—П1 классах рассматри¬
ваются уравнения первой степени с одним неизвестным ви-
да'Г — __7+х=10, л;-3=10 + 5, л:-(17-10) =70, л::2-1-10 = 30.Неизвестное число сначала находят подбором, а позднее на ос¬
нове знания связи между результатом и компонентами ариф¬
метических действий (т. е. знания способов нахождения не¬
известных компонентов). Эти требования программы опреде¬
ляют методику работы над уравнениями.На подготовительном этапе к введению первых уравнений
при изучении сложения и вычитания в пределах 10 учащиеся
устанавливают связь между суммой и слагаемыми (см. с. 70).
Кроме того, к этому времени дети овладевают умением сравни¬
вать выражение и число и получают первые представления о
числовых равенствах вида: 6+4=10, 8=5 + 3. Большое значе¬
ние в плане подготовки к введению уравнений имеют упраж¬
нения на подбор пропущенного числа в равенствах вида:4	+ П = 6, 5—111=2, 111—3 = 7. В процессе выполнения таких уп¬
ражнений дети привыкают к мысли, что неизвестным может
быть не только сумма или разность, но и одно из слагаемых
(уменьшаемое или вычитаемое).Знакомство с уравнением происходит при решении задачи
с числами, например: «К неизвестному числу прибавили 3 и
получили 8. Найти неизвестное число». По данной задаче со¬
ставляется пример с неизвестным числом, который может быть261
записан так: П+3 = 8. Затем учитель поясняет, что в матема¬
тике принято обозначать неизвестное число латинскими буква¬
ми. Дается запись и чтение одной из букв —л: (икс). Предла¬
гается обозначить неизвестное число буквой и прочитать при¬
мер. Ставится цель научиться решать такие примеры.Эти уравнения дети решают подбором: вместо неизвестного
подставляют (например, с помощью разрезных цифр) одно за
другим числа из множества чисел, данных учителем, пока не
найдут такое, которое «подходит» (при котором получается
верная запись).Учитель на доске, а дети в тетрадях записывают решение
так:х+3 = 7	х—Ъ — 7	7—лг=5л:=4	х=10	х = 2Учитель поясняет, что такие примеры называют уравнения¬
ми, что найти неизвестное число —значит решить уравнение.
Определение уравнения и корня уравнения не дается в началь¬
ных классах. Учащиеся упражняются в чтении, записи и реше¬
нии уравнений. Показывают разные формы чтения; «К какому
числу надо прибавить 2, чтобы получить 9», «Первое слагае¬
мое 4, второе неизвестно, сумма равна 7; чему равно второе
слагаемое?» При решении первых уравнений дети опираются
на операции над множествами, на знание состава чисел, на ус¬
тановление отношений между результатами и компонентами
действий (при сложении самое большое число — сумма, она со¬
стоит из слагаемых; при вычитании самое большое число —
уменьшаемое, оно состоит из вычитаемого и разности).Примерно в таком же плане во И классе вводятся урав¬
нения вида: дс-3=12, 5-лг=10, д:;2=4, 6:дг=6, которые также
вначале решаются подбором. Данный способ решения применя¬
ют к уравнениям, где вычисления выполняются над табличны¬
ми случаями действий, таким образом, решение уравнений спо¬
собствует усвоению таблиц и состава чисел (из слагаемых, из
множителей).Позднее, когда учащиеся усвоят знания связей между ре¬
зультатами и компонентами арифметических действий, уравне¬
ния начинают решать на основе знаний правил нахождения
неизвестного компонента. Учащиеся объясняют решение урав¬
нения (например, л:+28=40) так: читаю уравнение (первое
слагаемое неизвестно, второе 28, сумма 40); вспоминаю прави¬
ло, как найти неизвестное число (неизвестное слагаемое полу¬
чим, если из суммы 40 вычтем второе слагаемое 28); вычисляю
(40 — 28=12, х—\2)\ проверяю (подставляю число 12 в левую
часть уравнения; вычисляю 12 + 28 = 40, сравниваю 40=40, зна¬
чит, уравнение решено правильно).Теперь решение уравнения оформляется следующим обра¬
зом;262
д: + 5 = 25'	л: —8 = 20д:=25-5	д: = 20 + 8л:=20	л = 2820 + 5 = 25	28-8 = 2025=25	20 = 20С целью формирования умений решать уравнения предла¬
гают разнообразные упражнения;1)	Решите уравнения и выполните проверку.2)	Выполните проверку решенных уравнений, объясните
ошибки в неверно решенных уравнениях:20-д: = 8 л:+7=13	х=13д: = 20-8 д:=13 + 7	х-8=7х=12 х=20	х=7-83)	Составьте уравнения с числами х, 7, 10, решите и про¬
верьте решение.4)	Из заданных уравнений выберите и решите те, в которых
неизвестное число находят вычитанием (делением).5)	Из заданных уравнений выпишите те, в которых неиз¬
вестное число равно 8.6)	Рассмотрите решение уравнения, определите, чем явля¬
ется неизвестное в уравнении и вставьте пропущенный знак дей¬
ствия:х*2=12	х*2=12л:=12:2	л:=12-27)	Решите уравнения; сравните уравнения и их решения:л: + 8 = 40	л:-3 = 24л;-8 = 40	х:3 = 24После того как учаш,иеся научатся решать простейшие урав¬
нения, во II классе включаются уравнения вида: л:+10 = 30 —7,
д:+(45—17) =40 и т. п. Для решения таких уравнений необхо¬
димы знания порядка действий в выражении, а также умения
выполнять простейшие преобразования выражений.Первыми рассматриваются уравнения, в которых правая
часть задается не числом, а числовым выражением, например:
х-Ь25 = 50—14 или х+25=12-3 и т. п. При решении подобных
уравнений учащиеся вычисляют значение выражения в правой
части, после чего уравнение сводится к простейшему. Напри¬
мер, решается уравнение ж—8=70-1-14. Учащиеся читают урав¬
нение (уменьшаемое неизвестно, вычитаемое — 8, разность вы¬
ражена суммой чисел 70 и 14).Сначала вычисляют, чему равна сумма чисел 70 и 14, и запи¬
сывают новое уравнение: л:—8=84. Затем выражают неизвест¬
ное уменьшаемое (д: = 84-ь8) и вычисляют его (х=92). Прове¬
ряют, правильно ли решено уравнение. Для этого подставляют263
найденное значение буквы в выражение и вычисляют его зна¬
чение (92—8=84), значение выражения в правой части уже вы¬
числяли (70+14 = 84), далее сравнивают их (84 = 84): если зна¬
чения выражений равны, уравнение решено верно.На протяжении длительного периода учащиеся упражняют¬
ся в чтении, записи, решении и проверке таких уравнений, при¬
чем в левую и правую части их включаются простейшие выра¬
жения всех видов в различных сочетаниях.Далее включаются уравнения, в которых в виде числового
выражения задан один из компонентов, например: х+ (60 — 48) =
= 20, (35 + 8)—х=30. Полезно учить читать эти уравнения с на¬
зыванием компонентов (например: «Первое слагаемое неизве¬
стно, второе выражено разностью чисел 60 и 48, сумма рав¬
на 20»). Чтобы прочитать уравнение, следует в выражении
установить порядок действий, выделить последнее действие,
вспомнить, как называются числа при выполнении этого дейст¬
вия, и прочитать с названием компонентов и результата. Как
видно, такое чтение требует анализа выражения, при этом сра¬
зу вычленяется неизвестный компонент и указывается, каким
выражением задан известный компонент.Как и в предыдущем случае, сначала упрощают заданное
выражение, а затем решают простейшее уравнение. Например,
в уравнении (35+8)—д:=30 вычисляют, чему равно уменьшае¬
мое, и получают уравнение, равносильное первому: 43—х=30,
которое дети умеют решать. При отработке умений решать урав¬
нение рассматриваемой структуры, включают во И классе урав¬
нения, решение которых опирается на знание связи между ре¬
зультатами и компонентами только действий сложения и вы¬
читания; в III классе —всех четырех действий.Наиболее сложными являются уравнения, в которых один из
компонентов — выражение, содержащее неизвестное число, на¬
пример: (^с+8) — 13= 15, 70+(40—д:) =96 и т. п., так как при
решении уравнений данной структуры приходится дважды при¬
менять правила нахождения неизвестных компонентов. Напри¬
мер, рассматривают на уроке уравнение (12—.у) + 10= 18.Учитель. Научимся решать такие уравнения. Очень важно
правильно прочитать его. Какое действие выполняется послед¬
ним в выражении слева?Ученик. Последнее действие — сложение.Учитель. Вспомните, как называются числа при сложении,
и прочитайте это уравнение.Ученик. Первое слагаемое выражено разностью 12 и х,
второе слагаемое 10, сумма 18.Учитель (прикрепляет соответственно таблички с терми¬
нами «слагаемое», «сумма»). Куда входит неизвестное число?Ученик. В первое слагаемое.Учитель. Как'найти первое слагаемое?Ученик. Чтобы найти первое слагаемое, надо из суммы264
вычесть второе (записывает на доске: 12 —л= 18—10; все уча¬
щиеся пишут в тетрадях).Учитель. Такие уравнения мы решали. Что теперь надо
сделать?Ученик. Вычислить разность чисел 18 и 10 (пишет: 12—х =
= 8).Учитель.,Что здесь неизвестно и как найти это неизвестное
число? Решайте самостоятельно. Надо проверить, верно ли вы
нашли значение х. Что нужно для этого сделать?Ученик. Надо подставить вместо х его значение 4 (пишет:
(12 —4)+ 10), вычислить (пишет: 18) и сравнить с числом в пра¬
вой части (пишет: 18=18).Далее так же рассматривается уравнение 36—(20+а:) = 10.Обучение решению уравнений этого вида требует длитель¬
ных упражнений в анализе выражений и хорошего знания пра¬
вил нахождения неизвестных компонентов. На первых порах
полезны упражнения в пояснении решенных уравнений. Кроме
того, следует чаще решать такие уравнения с предварительным
выяснением, что неизвестно и какие правила надо вспомнить,
чтобы решить данное уравнение. Такая работа предупреждает
ошибки и способствует овладению умением решать уравнения.Наряду с уравнениями, решаемыми на основе знания связей
между результатами и компонентами арифметических действий,
начиная со II класса необходимо предлагать решать некоторые
уравнения, как и неравенства с переменной, способом подбора
значения переменной. Например, после заполнения таблицы
дается задание назвать (записать) значения слагаемого а, при
которых а+26<30, а + 26 = 30, а + 26>30 являются верными:а0I234567а+26Аналогично можно предлагать из заданного ряда чисел под¬
бирать значения бук'вы так, чтобы значение выражения было
равно (больше, меньше) данному числу.Большой интерес вызывают у детей упражнения на подбор
значений буквы в таких уравнениях: дс + х=10, л-л=16, а + а =
= 0 + 6, 7-с?=7, 8-к—О, п+п=п и т. п. Вместе с тем можно пред¬
лагать решать подбором уравнения, в которых переменная при¬
нимает бесконечное множество значений и при этом полу;1аются
верные равенства, например; 7 + а = а + 7, т-0 = 0, с:1=сит. п;
Следует напомнить детям, что в таких случаях буква в обеих
частях равенства должна принимать одинаковые значения. Та¬
кие упражнения выполняются коллективно в классе под, руко¬
водством учителя.265
уз. Решение задач с помощью уравненийЧтобы понять роль решения задач с помощью уравнений,
рассмотрим сначала, в чем суть этого способа. Пусть надо ре¬
шить, путем составления уравнения задачу: «На экскурсию от¬
правились 28 мужчин и несколько женщин. Все они размести¬
лись в двух автобусах, по 25 человек в каждом. Сколько жен¬
щин отправилось на экскурсию?»Обозначим число женщин, которые отправились на экскур¬
сию, какой-либо буквой, например х.Для составления равенства можно выделить различные свя¬
зи, в соответствии с которыми можно составить выражения и,
приравняв их, получить уравнение:а)	В условии задачи сказано, что все мужчины и женщины
поехали в автобусах, значит, можно выразить, сколько мужчин
и женщин поехало на экскурсию (284-х) и сколько мужчин и
женщин разместилось в автобусах (25-2), а затем приравнять
эти выражения; тогда получится уравнение 28-1-л:=25-2; решив
это уравнение, получим ответ на вопрос задачи.б)	В условии задачи сказано, что в каждом автобусе раз¬
местилось по 25 человек, значит, можно выразить число экскур¬
сантов в каждом автобусе через другие числа и приравнять по¬
лученное выражение к числу 25, тогда получится уравнение
(28-Ь л:); 2 = 25.Можно, рассуждая аналогичным образом, составить и дру¬
гие уравнения.Итак, для решения задачи с помощью составления уравне¬
ний обозначают буквой искомое число, выделяют в условии за¬
дачи связи, которые позволяют составить равенство, содержа¬
щее неизвестное (уравнение), записывают соответствующие вы¬
ражения и составляют равенство. Полученное уравнение реша¬
ют. При этом решение полученного уравнения не связывается с
содержанием задачи. Решение любой задачи можно выполнить
путем составления уравнения, руководствуясь указанным пла¬
ном. В этом заключается универсальность способа решения за¬
дач с помощью составления уравнений, что определяет его пре¬
имущества. Кроме того, как видно, решение задач способом
составления уравнений способствует овладению понятием урав¬
нения. Поэтому уже в начальных классах в определенной систе¬
ме ведется обучение решению задач путем составления урав¬
нений.В методике обучения решению задач с помощью составле¬
ния уравнений предусматриваются следующие этапы: сначала
ведется подготовительная работа к решению задач с помощью
уравнений, затем вводится решение простых задач с помощью
уравнений и, наконец, рассматриваются приемы составления
уравнений при решении составных задач.266
На этапе подготовки к решению задач с помощью со¬
ставления уравнений у учащихся прежде всего должно быть
сформировано представление об уравнении как равенстве, со¬
держащем неизвестное число, и умение решать уравнения на
основе знания связей между компонентами и результатами
арифметических действий. Методика работы над этими вопро¬
сами раскрыта на страницах 262—265.Необходимым требованием для формирования умения ре¬
шать задачи с помощью уравнений является умение составлять
выражения по их условиям. Поэтому начиная с I класса
вводится запись решения задач в виде выражения. Учащиеся
упражняются в объяснении смысла выражений, составленных
по условию задачи (например, объясняют, что обозначает сум¬
ма чисел 30 и 3, разность чисел 30 и 3, частное чисел 30 и 3,
если 30 коп.— цена книги, а 3 коп.— цена тетради); сами со¬
ставляют выражения по заданному условию задачи (составьте
выражение, которое обозначает стоимость двух книг, стоимость5	тетрадей, стоимость двух книг и 5 тетрадей вместе), а также
составляют задачи по их решению, записанному в виде выра¬
жений (см. с. 196).На подготовительном этапе важно также научить детей со¬
ставлять числовые равенства, используя числовые неравенства
(преобразовывать неравенства в равенства). Эта работа ведет¬
ся с помощью наглядных пособий. Например, предлагается по¬
ложить в верхний ряд 6 квадратов, а в нижний—8 квадратов,
затем учащиеся устанавливают, что внизу на 2 квадрата боль¬
ше, чем вверху, а вверху на 2 квадрата меньше, чем внизу.
Далее решается вопрос, что надо сделать, чтобы вверху было
столько же квадратов, сколько их внизу (положить еще 2 квад¬
рата), и что надо сделать, чтобы внизу стало столько же квад¬
ратов, сколько вверху (убрать 2 квадрата). Во II классе вы¬
полняются аналогичные упражнения без использования нагляд¬
ных пособий, поскольку ученики уже имеют соответствующие
знания.Например, предлагается сравнить числа 14 и 9 (14>9) и
узнать, на сколько 14 больше, чем 9 (14 — 9=5). Далее уста¬
навливается, как надо изменить число, стоящее в левой части
неравенства, чтобы получить равенство (14 уменьшить на 5),
и как надо изменить число, стоящее в правой части неравенст¬
ва, чтобы получить равенство (9 увеличить на 5). Аналогично
составляются равенства при кратном сравнении чисел;14>9	8<2414-9 = 5	24:8=314-5=9	8-3=2414	= 9 + 5	8=24:3Выполняемые преобразования целесообразно иллюстрировать с
помощью отрезков.267
в III классе подобные упражнения задаются несколько ина¬
че, например: «Запишите следующее предложение в виде ра¬
венства: 360 больше числа 40 в 9 раз». Составляя равенство,-
учащиеся могут рассуждать по-разному: 1) если большее чис¬
ло разделим на меньшее, то частное будет равно девяти
(360:40 = 9); 2) если большее число разделим на 9 (уменьшим
в 9 раз), то частное будет равно меньшему числу (360:9 = 40);3)	если меньшее число умножим на 9 (увеличим в 9 раз), то
произведение будет разно большему числу (40-9 = 360).Решение простых задач с помощью уравнений вводится воII	классе. Сначала рассматриваются задачи на нахождение не¬
известного слагаемого, уменьшаемого, вычитаемого. Перед уча¬
щимися ставится цель: научиться составлять уравнение по за¬
даче.Предлагается задача: «В двух корзинах 13 грибов. В пер¬
вой корзине 8 грибов. Сколько грибов во второй корзине?» Что¬
бы дети усвоили содержание задачи, можно сделать схемати¬
ческий рисунок на доске. Учитель объясняет, что при решении
задачи уравнением необходимо прежде всегр обозначить иско¬
мое число буквой (например, буквой х), а затем составить со
всеми числами (известными и неизвестными) равенство.Сколько грибов было в двух корзинах? (13 грибов.) Как
получили 13 грибов? (8 грибов в первой корзине да х грибов
Е!о второй корзине.) Как можно записать выражение, которое
обозначает, сколько грибов в первой и второй корзинах вместе?
(8 + х.) Что обозначает это выражение? (Сколько грибов в двух
корзинах.) А что сказано о числе грибов в двух корзинах? (Их
13.) Какое можно составить уравнение? (8 + х=13.)Дети объясняют, что показывает в этой записи число 8,
число X и число 13. Затем решают уравнение и выполняют про¬
верку решения задачи (8-^5= 13, получилось, что в двух кор¬
зинах 13 грибов, как и дано в задаче).Аналогично рассматриваются задачи на нахождение неиз¬
вестного уменьшаемого и вычитаемого: после чтения задачи вы¬
полняют иллюстрацию, обозначают неизвестное число буквой,
составляют выражение, затем составляют уравнение, приравни¬
вая выражение к известному числу, решают уравнение, выпол¬
няют проверку решения задачи (в задачах названных видов
проверка решения задачи совпадает с проверкой решения урав¬
нения), называют или записывают ответ.Позднее предлагаются задачи на нахождение неизвестных
компонентов действий умножения и деления. Эти задачи форт
мулируются только с числами, например:1)	Если неизвестное число умножить на 4, то получится 12.
Найти неизвестное число.2)	Уче1гик задумал число, затем разделил его на 2 и полу¬
чил 6. Какое число задумал ученик?268
Учащиеся могут самостоятельносоставить уравнения по таким за-			дачам и решить их.В III классе также решают про- 	стые задачи с помощью составления	^5	уравнений. Особый интерес пред¬
ставляет работа по решению про-
стых задач, связанных с понятием
разности и кратного отношения, таккак, составляя при этом уравнения, ученики лучше осознают,
что составили равенство, содержащее неизвестное. Рассмотрим
решение следующей задачи:«Неизвестное число меньше, чем 42, на 9. Найти неизвест¬
ное число». Условие задачи полезно иллюстрировать чертежом
(рис. 46). Объяснение составления уравнений будет примерно
таким:1)	42 —.« = 9 — из условия задачи известно, что разность чи¬
сел 42 и л: равна 9;2)	л+9 = 42 —если неизвестное число меньше, чем 42, на 9,
то, увеличив его на 9, получим сумму, равную 42;3)	42—9=х — если 42 больше, чем неизвестное число, на 9,
то, уменьшив его на 9, получим разность, равную неизвестному
числу.Заметим, что, кроме отрезков, для иллюстрации отношения
равенства можно использовать чашечные весы, полоски, выре¬
занные из бумаги, и т. п.Начиная с III класса вводится решение составных
задач с помощью составления уравнений.При решении составных задач труднее составлять уравне¬
ния по их условию, поскольку здесь в отличие от простых за¬
дач надо устанавливать не одну связь между данными и иско¬
мым, а несколько. Поэтому в младших классах, когда начина¬
ется работа над составлением уравнений по составным зада¬
чам, надо обучить детей приему составления уравнений.Учащимся предлагается решение таких составных задач,
формулировка которых позволяет составить уравнение в пря¬
мом соответствии с условием задачи, например: «Для пионер¬
ской комнаты купили несколько стульев по 8 руб. и стол за
45 руб. Вся эта мебель стоила 141 руб. Сколько стульев ку¬
пили?»После чтения задачи ее записывают кратко в таблице. В таб¬
лице же записывают и соответствующие выражения, которые
подводят детей к составлению уравнения.Чтобы составить уравнение по данной задаче, обозначим
число стульев буквой х, затем возьмем какое-либо из известных
чисел (например, 141—стоимость всей покупки) и выразим это
число через все другие числа, имеющиеся в задаче, включая
и неизвестное: общую стоимость покупки будет составлять стои¬269
мость стульев (8-д:) и стоимость стола (45); тогда общая стои¬
мость выразится так; 8-л:+45. Теперь можно составить урав¬
нение 8-х+45 = 141.Запись в таблице будет такой:Заплатили за стульяПО 8 руб. X СТ.
8*Заплатили за столЗаплатили за всю
покупку45 руб.
45141 руб.
8-ж-Ь45Далее учащиеся решают составленное уравнение;Для закрепления умения решать составные задачи с помо¬
щью уравнений учащимся предлагают аналогичные задачи. При
этом они постепенно переходят к самостоятельному использо¬
ванию рассмотренного приема составления уравнения. В даль¬
нейшем учащиеся решают составные задачи с помощью урав¬
нений, когда есть на это специальные указания.
Глава VМЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО
МАТЕРИАЛАОсновной задачей изучения геометрического материала в
I—III классах является формирование у учащихся четких пред¬
ставлений и понятий о таких геометрических фигурах, как точ¬
ка, Брямая линия, отрезок прямой, ломаная линия, угол, много¬
угольник, круг.При этом система упражнений и задач геометрического со¬
держания и методика работы над ними должны способствовать
развитию пространственных представлений у детей, умений на¬
блюдать, сравнивать, абстрагировать и обобщать.Одной из задач обучения является выработка у учащихся
практических умений измерения и построения геометрических
фигур с помощью чертежных и измерительных инструментов и
без них (измерить на глаз, начертить от руки и т. п.). Следует
также дать первоначальные представления о точности построе¬
ний и измерений.Учитывая задачи, намеченные программой, при изучении
геометрического материала следует щироко использовать раз¬
нообразные наглядные пособия. Это демонстрационные, обще-
классиые пособия: геометрические фигуры, изготовленные из
цветного картона или плотной бумаги, плакаты с изображения¬
ми предметов различной формы, а также геометрических фи¬
гур, чертежи на доске, диафильмы. Кроме того, требуются ин¬
дивидуальные наглядные пособия — такой раздаточный матери¬
ал, как полоски бумаги, палочки различной длины, вырезанные
из бумаги фигуры и части фигур. При изучении отдельных тем
полезно изготовить с детьми самодельные наглядные пособия:
модель прямого угла, раздвижную модель угла (малку), па¬
летку (см. рис. 57, 66), модели единиц измерения площади и др.В классе необходимо иметь набор чертежно-измерительных
инструментов для выполнения чертежей на доске: линейку, чер¬
тежный треугольник, циркуль. Аналогичные инструменты долж¬
ны бътть и у каждого ученика.Наиболее эффективными приемами изучения геометрическо¬
го материала являются лабораторно-практические: моделиро¬
вание фигур из бумаги, из палочек, из проволоки; черчение, из¬
мерение и др. При этом важно обеспечить разнообразие объек¬271
тов, для того чтобы, варьируя несущественные признаки (цвет,
размер, расположение на плоскости и др.)> помочь детям выде¬
лить и усвоить существенные признаки —форму предметов,
свойства фигур и т. п.Там, где возможно, изучение геометрического материала на
уроке должно связываться с изучением арифметического и ал¬
гебраического материала, хотя формирование геометрических
представлений и понятий представляет самостоятельную и до¬
вольно специфическую линию работы.Раскрывая геометрический материал учащимся I—III клас¬
сов, надо учитывать, что первые представления о форме, раз¬
мерах и взаимном положении предметов в пространстве дети
накапливают еще в дошкольный период. В процессе игр и прак¬
тической деятельности они манипулируют предметами, рассмат¬
ривают, ощупывают их, рисуют, лепят, конструируют и посте¬
пенно вычленяют среди других свойств их форму. К. 6—7 годам
многие дошкольники правильно показывают предметы, имею¬
щие форму шара, куба, круга, квадрата, треугольника, прямо¬
угольника. Однако уровень обобщения этих понятий еще не вы¬
сок: дети противопоставляют квадрат прямоугольнику, не узна¬
ют знакомую форму предмета, если сам предмет им не знаком.
Ребенка приводят в замешательство непривычные соотношения
сторон или углов фигур; иное, чем всегда, расположение на
плоскости и даже очень большие или очень маленькие размеры
фигур. Названия фигур дети часто смешивают или заменяют
названиями предметов (так, треугольник дети называют «угол¬
ком», «крышей», «флажком» и т. п.)Характеризуя положение предметов в пространстве, до¬
школьники более свободно устанавливают пространственные от¬
ношения, если «началом отсчета» является сам ребенок (сле¬
ва— справа, впереди — позади, вверху — внизу, ближе — даль¬
ше и т. д. по отношению к нему). Гораздо труднее ребенок
устанавливает положение предметов на плоскости или в про¬
странстве по отношению к другому предмету или к другому че¬
ловеку.При обучении в школе необходимо опираться на имеющийся
опыт детей, уточнять и обогащать их представления.Точка, прямая и кривая линии, отрезок прямойУ учащихся I—III классов надо сформировать четкие пред¬
ставления точки, прямой и кривой линий, отрезка прямой. За¬
дача учителя — научить вычленять, называть и правильно пока¬
зывать эти фигуры, изображать их на бумаге и на доске, а на¬
чиная со II класса обозначать с помощью букв. Дети должны
научиться измерять и чертить отрезки заданной длины.С точкой учащиеся знакомятся с первых шагов обучения
в I классе. Готовясь к письму цифр, дети по образцу учителяШ
икРис. 47ВЫПОЛНЯЮТ такие задания: поставь¬
те точку в середине клеточки (в ле¬
вом нижнем углу клетки, в середи¬
не одной из сторон клетки и т. п.) ;
соедините поставленные точки от¬
резками по образцу (рис. 47).После знакомства с прямой ли¬
нией дети учатся ставить точки на
прямой, проводить прямые линии
через 1, 2 заданные точки, устанав¬
ливать положение точки относи¬
тельно прямой линии (лежит на
прямой, не лежит на прямой). Пос¬
ле знакомства с отрезком прямой
аналогичные задания выполняютсяс точкой и отрезком, при этом дети убеждаются, что точка, ле¬
жащая между концами отрезка, делит его на два отрезка.Когда происходит знакомство с элементами многоугольника,
учащиеся узнают о том, что верщины многоугольников — это
точки. Например, учитель предлагает детям поставить 3 точки
так, как показано на доске (точки не лежат на одной прямой),
соединить их отрезками и сказать, какая фигура получилась;
затем сосчитать, сколько у нее вершин.Во II классе учащиеся знакомятся с обозначением точек ла¬
тинскими буквами. Учитель поясняет, что для различения точек
на чертеже принято обозначать их заглавными латинскими бук¬
вами, например: О, К, М, О, А, Е м. т. д., которые пишутся, око¬
ло точки (показывается образец на доске). Дети упражняются
в обозначении точек буквами и чтении обозначенных буквами
точек. С этого времени наряду с устными упражнениями можно
включать и письменные, что гораздо эффективнее, так как за¬
ставляет работать каждого ребенка. Например, по чертежу,
данному на доске, предлагают выписать в первую строчку те
точки, которые лежат внутри круга (четырехугольника), во вто¬
рую строчку — точки, которые лежат вне круга (четырехуголь¬
ника), в третью строчку — точки, которые лежат на границе
круга (четырехугольника) (рис. 48).18 Заказ № 4467273-
Формирование у первоклассников представления о прямой
линии происходит в процессе выполнения ими разнообразных
практических упражнений. При этом прямую линию сопостав¬
ляют с кривой. Например, натягивают нить (шнур, шпагат), за¬
тем ослабляют нить так, чтобы -она провисала; рассматривают
рисунки, на которых изображена, положим, прямая дорога и
извилистая тропинка, разрезают лист бумаги по линии, полу¬
ченной перегибанием листа, и т. п. Каждый раз выясняют,
какая получилась линия — прямая или кривая.Дети должны научиться узнавать прямую линию, начерчен¬
ную в любом положении на плоскости, отличать ее от кривой,
уметь проводить прямые, используя линейку. С целью выработ¬
ки этих умений учащиеся чертят в тетрадях прямые и кривые
ЛИ1ШИ, находят и показывают их на окружающих предметах, а
также среди линий, начерченных на доске.В процессе выполнения упражнений в проведении линий че¬
рез точки дети обобщают свои наблюдения; через одну точку
можно провести сколько угодно прямых или кривых линий;
через две точки можно провести только одну прямую, а кривых
сколько угодно.С отрезком прямой учащиеся знакомятся также практи¬
чески; отмечают на прямой две точки, и учитель поясняет, что
эту часть прямой от одной точки до другой называют отрезком
|^ямои, или кратко — отрезком, а точки — концам~и отрёзкаГ
Дети ставят точки на других прямых, начерченных на доскё7 й~*
показывают полученные отрезки и концы отрезков. Затем учи¬
тель показывает, как изображается на чертеже отрезок (концы
отрезка отмечает точками или штрчуямн) сравнивает с изо-
бражениёМ прЯмой. Учащиеся показывают на чертежах и сами
чертят прямые и отрезки прямых и постепенно осознают, что
отрезок ограничен, а прямая не ограничена, мы изображаем на~
бумаге только часть прямой. Закреплению понятия об отрезке
способствуют такие упражнения; показать отрезки прямой на
окружающих предметах; соединить ‘отрёс11<Т)М две точки; про-
вести отрезок через три точта, лёЖащИе на "одной п^ЯМой; по-
кайать Ё'сё н6ЛучииШИёся1Гри этом~~оТРеЗКН! До измерения от-
|^зков дети учатся сравнивать их наложением, чтобы устано¬
вить, какой из них короче (длиннее) или отрезки одинаковой
длины.В дальнейшем после знакомства с сантиметром, децимет¬
ром, метром и т. д. учащиеся выполняют большое количество
упражнений в измерении и черчении отрезков, решают задачи с
отрезками (на увеличение и уменьшение на несколько единиц
и в несколько раз, на разностное и кратное сравнение). Посте¬
пенно учащиеся убеждаются, что равные отрезки содержат оди¬
наковое число выбранных единиц длины, а неравные — неоди¬
наковое число; в том отрезке содержится больше единиц, ко¬
торый длиннее. Таким образом, становится возможным судить274
Рис, 49О равенстве и неравенстве отрезков на основе сравнения их
длин.Выделяя элементы многоугольников, учащиеся устанавли¬
вают. ЧТО стороны многоугольников — отрезки. Упражнения на
выделение отрезков необходимо усложнять постепенно, чтобы
они были посильны учащимся. Так, чтобы дети смогли увидеть
и показать все отрезки на таких чертежах, как третий (рис. 49),
надо научить их выполнять более легкие задания — называть и
показывать отрезки на чертежах, подобных первому и второму
(см. тот же рисунок.)Когда учащиеся ознакомятся во II классе с обозначением
отрезков буквами,, даются письменные упражнения, которые
закрепляют умения выделять отрезки, являющиеся частями дру¬
гих отрезков, а также отрезки, составленные из других отрез¬
ков. Например, предлагают записать все отрезки, которые име-
ются 'на чертеже (,рис. записать отрезки с началом в точ-
кё~0 (рис. 1з1и измерить с помощью линейки и выписать раз-
ные отрезки (рис. 52).Постепенно учащиеся осознают, что отрезок может быть об¬
щей стороной нескольких многоугольников, и, опираясь на это,
во II—III классах выполняют упражнения на построение отрез¬
ков внутри многоугольников, так, чтобы при этом образовыва¬
лись новые фигуры; наппимер, провести внутри пятнугп.гтьникя
один отрезок так, чтобы при разрезании получились треуголь¬
ник и четырехугольник или два четырехугольника, или тпе-
угрльник и щестиугольник (рис. ЬЗ). Учащиеся выполняют зада-'
ние в тетрадях, а затем выявляются и показываются на доске
различные решения каждой задачи.В275
Такие упражнения развивают у де¬
тей воображение и пространственные
представления, а также закрепляют
геометрические понятия.Многоугольник, угол, кругПонятия об этих фигурах формиру¬
ются у детей постепенно в течение все¬
го начального обучения и в последую¬
щих классах.Первоначально, при изучении пер¬
вого ~дёсятка7Т]СПм;^ИН1ШШ13Й1^^^используются как дидактич1ЁскиН, Л1атепиал. Опипаясь на негоГ
дет"Н учачсн Считать, решать задачи, вычислять, составлять ор¬
наменты, сравнивать, классифицировать и др. Попутно уточня¬
ются пррпг.танлвння птп.рпхошу фнгур^ ^яроминаются их назва¬
ния: круг, треугольник, квадрат.Далее приступают к изучению~отдельных видов многоуголь¬
ников. На этом этапе вычленяют элементы многоугольников:
стороны, углы, вершины. Так, при изучении числя 3 пяггмятпи-
вают различные треугольники, па моделях треугольников, из¬
готовленных из цветной плотной бумаги, пластмассы, дерева и
т. п., учащиеся показывают три стороны, три угла и три вер-шины в каждой фигуре. Затем д1та~самТ1 моделирлттсггтреуголь-
ннки из палочек и кусочков пластилина или из полосок бумаги;
обозначив точками вершины, чертят и раскрашивают треуголь¬
ники в тетрадях; находят предметы, имеющие форму тре¬
угольников; отыскивают треугольники среди других геометри¬
ческих фигур, начерченных на доске или выставленных на
наборном полотне в виде моделей из плотной цветной бумаги.
При этом учитель должен позаботиться, чтобы учащиеся рас¬
сматривали различные виды треугольников (равносторонние и
разносторонние, прямоугольные, тупоугольные и остроуголь¬
ные). Это поможет формированию правильного представленияо	треугольнике.В процессе указанных упражнений дети учатся правильно
показывать элементы треугольника: вершины (показывают
точки), стороны (показывают отрезки, проводя указкой от од¬
ного конца отрезка до другого), углы (показывают угол вместе
с его внутренней областью веерообразным движением указки
от одной стороны угла до другой, поместив один конец ее в вер¬
шину угла).Пялее в тяком же плане рассматривают четырехугольники^
ПЯТИУГОЛЬНИКИ и т. д.. приурочивая эту'работу к изучению со-
ответствующих чисел в пределах первпго-ДЁСяхка, Выделяя эле-
метП'Ы мнигоу1'ольнйков, учащиеся подмечают связь между чис-
лом элементов и названием фигурц (три стороны, три верши-276
ны, три угла — треуголь¬
ник; четыре стороны, ч е -
тыре вершины, четыре
угла — четырехугольник и
т. д.). Кроме тпгп, ггйти пгп-
знают, что у многоугольни-Рис. 54ка -одинаковое чисЛ?У уг’ловг
вершин и сторон. Все эти
сведения дети усваивают практически при выполнении упраж¬
нений с готовыми моделями, при вырезывании, черчении и мо¬
делировании многоугольников. Для моделирования лучше ис¬
пользовать набор палочек или бумажных полосок различной
длины, чтобы наблюдения не ограничивались равносторон¬
ними многоугольниками. Кроме того, дети будут сталкиваться
с такими случаями, когда не из любых 3 (4, 5 и т. д.) палочек
оказывается возможным построить соответствующий много¬
угольник.Понятие многоугольника можно ввести как обобщение рас¬
смотрен щx^аидаа-м^шр©^Фвлы^^«ш&."" 'В процессе работы над многоугольниками учащиеся получа¬
ют первые сведения об углах (угол образуют две стороны
многоугольника, выходящие из одной из вершины), учатся по¬
казывать углы многоугольника.Далее первоклассники знакомятся с прямым углом. Это
можй^сГпровести так. Дети под руководством учителя изготов¬
ляют модель прямого угла; они дважды перегибают пополам
лист бумаги произвольной формы и устанавливают, что полу
чнвшиеся при этом две пересекающиеся прямые линии обра
зуют четыре одинаковых угла. Учитель сообщает, что такие уг
лы называют прямыми (рис. 54). Затем дети наложением уста
навлнвают, что, несмотря на различные листы бумаги, все полу
чившиеся прямые углы равны. Пользуясь моделью прямого уг
ла, учащиеся находят прямые и непрямые углы на окружаю
щих предметах, в частности на чертежном треугольнике. Вдаль
нейшем для установления вида угла используют прямой угол
чертежного треугольника (лучше из прозрачной пластмассы)
если углы совпадают (т. е. совмещаются их стороны и верши
ны), то данный угол прямой, если не совпадают — не прямойСХС]С>(>АРис. 55Рис. 56277
Для закрепления представления прямого угла включают спе¬
циальные упражнения. Например, среди разнообразных данных
углов предлагают найти прямые углы (рис. 55); в данных мно¬
гоугольниках найти прямые углы (рис. 56); начертить прямой
угол в тетради, используя ее разлиновку; начертить треуголь¬
ник (четырехугольник), имеющий прямой угол, и др.Чтобы у детей сформировалось правильное представление
угла наряду с бумажными моделями, используют модель «рлзь-
движного угла» (малку). Рекомендуется изготовить каждому
ученику такую модёЛЬ уТла из двух палочек, скрепленных ку¬
сочком пластилина или гвоздиком (рис. 57). С помощью такой
модели дети наглядно убеждаются, что величина угла зависит
не от длины его сторон, а от взаимного положения сторон от¬
носительно друг друга.Понятие угла закрепляется у учащихся в дальнейшем в
процессе изучения многоугольников, например при рассмот¬
рении прямоугольника. Среди нескольких четырехуголь¬
ников (рис. 58) первоклассники с помощью модели прямого уг¬
ла находят четырехугольники с одним-двумя прямыми углами,
а также четырехугольники, у которых все углы прямые. Учи¬
тель сообщает, что в последнем случае четырехугольники на¬
зывают прямоугольниками. Учащиеся находят в окружающей
их обстановке предметы прямоугольной формы, показывают
прямоугольники среди других геометрических фигур, начер¬
ченных на доске или выставленных иа наборном полотне, вы¬
резают их из бумаги в клеточку, чертят по точкам в тетрадях
и т. п. В процессе таких упражнений у детей формируется на¬
глядный ‘образ прямоугольника, запоминается его название.На следующем этапе работы учащиеся I класса знакомятся
с одним из свойств прямоугольника: противоположные стороны
прямоугольника равны между собой. Уточнив сначала, понима¬
ют ли дети, какие стороны прямоугольника можно назвать про¬
тивоположными, учитель предлагает учащимся на бумажных
моделях прямоугольника непосредственным наложением срав¬
нить противоположные стороны. Измеряя противоположные сто¬
роны прямоугольников, данных в учебнике и на доске, детиРис. 58278
также подтверждают и обобщают свои наблюдения. Знание это¬
го свойства сторон прямоугольника закрепляется в дальнейшем,
когда учащиеся чертят прямоугольники по двум заданным его
сторонам (длине и ширине). В I—111 классах учащиеся выпол¬
няют построение прямоугольников с помощью линейки (чертят
прямые углы, пользуясь разлиновкой тетрадей).После того как учащиеся I класса усвоят свойство противо¬
положных сторон прямоугольника, из множества прямоугольни¬
ков вычленяют квадраты — прямоугольники с равными сторо¬
нами.Работа на уроке так и организуется, чтобы учащиеся увиде¬
ли, что квадрат — это частный случай прямоугольника. Детям
предлагается, например, измерить стороны у нескольких прямо¬
угольников, начерченных на доске или вырезанных из бумаги.
Средц_ыих обнаруживаются такие прямоугольники, у каждого
из которых СТОРОНЫ р~авШ~яежду~гобйиГ’Дётй'сами всйом'йн^их назва~ние —^квадраты. ~Что5ы подчёркпуть, что квадраты —
это-прямоугольники С равным-и сторонами, включают такие уп¬
ражнения: «Покажите прямоугольники, которые нельзя назвать
квадратами; найдите среди данных четырехугольников четыре
прямоугольника; найдите среди указанных прямоугольников
два квадрата (рис. 59) и т. п.». В подобных упражнениях дети
должны обосновывать свои суждения, проверяя с помощью
чертежного треугольника, являются ли все углы четырехуголь¬
ника прямыми, а также устанавливая с помощью< линейки, ка¬
ково в нем соотношение сторон.Большое значение для закрепления представлений о много¬
угольниках, а также для развития пространственных представ¬
лений в целом имеют задачи с геометрическим со¬
держанием, которые включаются систематически начиная сI	класса. Это задачи на дел1ение заданных фигур так, что¬
бы получившиеся части'имели указанную форму; задачи на со¬
ставление новых фигур из данных многоугольников (т. е.
конструирование целого из частей), а также задачи на рас¬
познавание (вычленение) всевозможных геометрических
фигур на заданном чертеже. Все эти задачи взаимосвязаны другРис. 59279
Рис. 61С другом. Решение задач каждого вида помогает при решении
задач других видов. Поэтому они включаются, перемежаясь в
определенной системе, так что число частей фигуры (из которых
она составляется или на которые расчленяется) увеличивается
постепенно. Например, разрежьте квадрат так, чтобы получи¬
лось два прямоугольника (два треугольника), а потом 4 тре¬
угольника, четыре квадрата и т. п.; из двух (а затем из четырех)
треугольников (полученных, например, при разрезании квадрата
по его диагоналям) сложите треугольник, четырехугольник
и т. п., при этом вначале дают образец тех фигур, которые
должны получиться при составлении (или при разрезании), а
потом уже задание выполняется без образца. При вычленении
знакомых фигур на чертеже сначала указывают, сколько и ка¬
ких фигур надо показать; найдите на чертеже 3 треугольника и3	четырехугольника (рис. 60), а потом задание усложняется, на¬
пример: сосчитайте, сколько всего прямоугольников изображено
на чертеже (рис. 61), или так; какие знакомые фигуры вы ви¬
дите на чертеже и сколько их. При выполнении таких упраж¬
нений по учебнику можно дать задания по вариантам, а затем
предложить проверить учащимся друг друга. После этого вы¬
званные учаш,иеся показывают фигуры по чертежу на доске, а
остальные проверяют правильность выполнения.Начиная со II класса, когда учащиеся ознакомятся с обозна¬
чениями фигур буквами, подобные упражнения выполняются с
записью решений и необходимых построений в тетрадях.В процессе решения таких задач у детей формируются уме¬
ния воспринимать многоугольник, составленный из частей, и в
то же время видеть многоугольники, являющиеся частями
другого многоугольника; вырабатывается наблюдательность,
зоркость, умение мысленно конструировать геометрические
фигуры.Во II классе учащиеся знакомятся с окружностью,
учатся чертить окружности с помощью циркуля, знакомятся с
элементами окружности и круга — центром и радиусом. Все эти
сведения усваиваются детьми в процессе практических .упраж¬
нений. Например, соединив точки, лежащие на окружности, с
центром и сравнив полученные отрезки, дети убеждаются в ра¬
венстве этих отрезков. Вводится название таких отрезков —ра¬
диус круга или окружности.280
Сопоставив круг с многоугольником, учащиеся устанавлива¬
ют, что границей многоугольника является замкнутая лома¬
ная линия, а границей круга — замкнутая кривая линия — ок¬
ружность.Чтобы учащиеся не смешивали круг и окружность, даютсне-
циальные упражнения, например; проведите окружность и рас¬
красьте круг, отметьте центр круга или окружности, а также
точки, лежащие внутри круга, вне круга, па окружности.Затем в процессе упражнений у детей формируются умения
чертить окружности указанного радиуса, а также делить с по¬
мощью циркуля окружность на 6, 3, 12 равных частей, делить
перегибанием круг на 2, 4, 8 равных частей.Ломаная линия, длина ломаной линии,
периметр многоугольника
•Опираясь на понятие отрезка, учащихся II класса знакомят
с ломаной линией. Для этого по образцу, данному учите¬
лем, предлагают учащимся построить линию из палочек или
бумажных полосок. Учитель дает название новой линии. Можно
изготовить также модель ломаной, «сломав» на глазах у детей
на части тонкую лучинку или кусок проволоки. На доске изо¬
бражают иногда ломаную с помощью цветной нити, натянутой
между несколькими кнопками—«точками», не лежащими на
одной прямой. Учащиеся чертят ломаные линии на доске и в
тетрадях: ставят 3 (4, 5 и т. д.) точки, не лежащие на одной
прямой, и соединяют их отрезками. Каждый раз дети подсчи¬
тывают, сколько отрезков содержит ломаная линия или сколько
у нее звеньев. Так же с опорой на практические работы вводят
понятия неза мкнутой и з а м кну той ломаной линии. Уча¬
щиеся строят из палочек (полосок бумаги, кусочков проволоки)
ломаную линию, находят ее начало (начало первого отрезка) и
конец (конец последнего отрезка). Учитель дает название такой
ломаной — незамкнутая, а затем предлагает по образцу соеди¬
нить начало и конец незамкнутой ломаной линии. Учащиеся
сами догадываются, что такая ломаная линия называется замк¬
нутой. При этом звенья соединяют так, чтобы они, кроме вер¬
шин, не имели общих точек.В процессе упражнений устанавливают связь между замк¬
нутой ломаной линией и многоугольником, для которого лома¬
ная линия является границей; замкнутая ломаная линия из
трех звеньев ограничивает треугольник, из четырех звень¬
ев — ч е т ы р е X у г о л ь н и к и т. д.Затем учащихся знакомят с измерением ломаных линий та¬
ким способом: измерить звенья ломаной и сложить полученные
длины. Чтобы дети усвоили понятие длины ломаной линии, не¬
обходимо включить достаточное количество упражнений в на¬281
хождении длины незамкнутых и замкнутых ломаных линий, ко¬
торые содержат различное число звеньев.Понятие о периметре многоугольника (без ис¬
пользования термина «периметр») во II классе дается в про¬
цессе решения конкретной задачи на нахождение длины замк¬
нутой ломаной линии. Сначала включают задачи на нахожде¬
ние периметра многоугольников с неравными сторонами, в про¬
цессе решения которых закрепляется понятие о длине ломаной
линии. Например, учащимся раздаются вырезанные из бумаги
многоугольники или начерченные на карточках треугольники,
четырехугольники и т. п. и дается задание найти сумму длин
сторон данных фигур. Можно предложить построить многоуголь¬
ники по точкам, не лежащим на одной прямой, соединить их
последовательно отрезками, обозначить и раскрасить получен¬
ный многоугольник, а потом измерить стороны и найти сумму
их длин.Затем специально рассматривается нахождение периметра
равносторонних многоугольников, а также нахождение пери¬
метра прямоугольника. Периметр этих фигур дети находят ста¬
чала, как и на предыдущем этапе: измеряют каждую сторону
и складывают полученные числа. Обращается внимание уча¬
щихся на равенство сторон, и учащиеся сами догадываются,
что при нахождении суммы длин сторон равностороннего тре¬
угольника, квадрата и других многоугольников с равными сто¬
ронами достаточно измерить одну сторону, а затем умножить
ее длину на число сторон многоугольника. При нахождении пе¬
риметра прямоугольника достаточно узнать его длину и шири¬
ну (т. е. основание и высоту), затем умножить каждое из этих
чисел на 2 и полученные произведения сложить. Здесь учащие¬
ся, кроме геометрических, закрепляют также и арифметические
знания. Опираясь на чертеж, они подмечают, что можно посту¬
пить и по-другому: найти сумму длин смежных сторон, а затем
умножить эту сумму на 2. Сравнивая полученные записи, на¬
пример: 4-2н-6-2==20 (см) и (4-Ьб)-2 = 20 (см), дети устанав¬
ливают, что во втором случае умножали сумму на число, а в
первом — каждое слагаемое умножали на это число и результа¬
ты складывали. Так как использованное свойство умножения
суммы на число известно детям, то они убеждаются в правиль¬
ности своих рассуждений при нахождении периметра прямо¬
угольника.В дальнейшем во II и III классах систематически решают
задачи на вычисление периметра, а также задачи, им обрат¬
ные, например:1)	Чему равна сторона квадрата, если сумма длин всех его
сторон равна 2 дм 4 см? Начертите такой квадрат.2)	Участок квадратной формы с трех сторон обнесен забо¬
ром, а одной стороной примыкает к дому, длина которого 9 м.
Какова длина забора?282
3)	в треугольнике одна из сторон равна 10 см, а две дру¬
гие равны между собой. Периметр треугольника 24 см. Какова
длина каждой из равных сторон треугольника?При решении таких задач полезно выполнять чертеж на
доске (хотя бы схематически). Наряду с решением готовых за¬
дач рекомендуется предлагать учащимся задания на составле¬
ние подобных задач с геометрическим содержанием (подобрать
и вставить в условие пропущенные числовые значения; соста¬
вить задачу, обратную решенной; составить задачу по дан¬
ному решению и т. п.). В процессе таких упражнений форми¬
руется понятие периметра многоугольника и умение находить
его, а также развиваются пространственные и геометрические
представления.
Глава VIОБУЧЕНИЕ ИЗМЕРЕНИЮ ВЕЛИЧИНВ начальных классах рассматриваются величины: длина,
площадь, масса, емкость, время и др. Учащиеся должны полу¬
чить конкретные представления об этих величинах, ознакомить¬
ся с единицами их измерения, овладеть умениями измерять ве¬
личины, научиться выражать результаты измерения в различ¬
ных единицах, выполнять арифметические действия над вели¬
чинами.Изучение величин имеет большое значение, так как поня¬
тие величины является важнейшим понятием математики. Каж¬
дая изучаемая величина — это некоторое обобщенное свойство
реальных объектов окружающего мира. Упражнения в измере¬
ниях развивают пространственные представления, вооружают
учащихся важными практическими навыками, которые широко
применяются в жизни. Следовательно, изучение величин — это
одно из средств связи обучения с жизнью.Величины рассматриваются с I по III класс в тесной связи
с изучением натуральных чисел и дробей: обучение измерению
связывается с обучением счету; новые единицы измерения вво¬
дятся вслед за введением соответствующих счетных единиц;
арифметические действия выполняются над натуральными чис¬
лами и над величинами. Измерительные и графические работы
как наглядное средство используются при решении задач. Та¬
ким образом, изучение величин способствует усвоению многих
вопросов курса математики.Длина отрезкаПервые представления о длине как свойстве предметов у
детей возникают задолго до школы. К началу обучения в шко¬
ле дети выделяют, как правило, без ошибок линейную протя¬
женность (длину, ширину, высоту предметов, расстояние ме^кду
ними). Они правильно устанавливают отношения: длиннее —
короче, шире — уже, дальше — ближе и т. п., если различия в
этом плане ярко выражены, а по другим свойствам предметы
сходны (например, имеют одинаковую форму, изготовлены из
одного материала и т. п.).284
с первых дней обучения в школе ставится задача уточгать
пространственные представления детей. Этому помогают упраж¬
нения на сравнение предметов по протяженности, например
«Какая книга тоньше (книги прикладываются друг к Другу)
Кто нижеГСаша или. Оля (дети становятся рядом) 1* ч.то глубг'жеГручей или река (по11редставлёнию)?»~~В процессе этих уп
ражнений отрабатывается умение сравнивать предметы по дли
не, а также обобш,ается свойство, по которому происходит срав
нение — линейная протяженность, длина.Важным шагом в формировании данного понятия является
знакомство с прямой линией и отрезком как «носителем>Г~лТГ
нейгой протяжённости, лишенным по существу других свойств
(смГс. 2/4^. Сравнивая отрезки на глаз, дети получают пред-
ставление об одинаковых и неодинаковых по длине отрез-кахТ”^	^			—Наследующем этапе происходит знакомство с первой едини- ’Д
цей и^епения отрезков. Из множества отрезков выделяется “■
отрезок, который принимают за единицу. Дети узнают его на¬
звание и приступают к измерению с помощью этой единицы.
Имеются различные точки зрения по вопросу о том, какую еди¬
ницу измерения вводить первой. В жизненной практике дети
наблюдают чаще всего измерение с помощью метра. Метр — ос¬
новная единица длины. Метр существует в виде отдельного эта¬
лона (мерки). С помощью его учителю легко показать процесс
измерения (как откладывается мерка на отрезке, как происхо¬
дит подсчет единиц измерения). Поэтому некоторые методисты
рекомендуют первой единицей измерения вводить метр. Однако
при рассмотрении метра трудно провести достаточное количе¬
ство упражнений в измерении отрезков так, чтобы работал каж¬
дый ученик, что совершенно необходимо для понимания самого
процесса измерения. Другие методисты предлагают первой еди¬
ницей измерения ввести сантиметр (так дано и в программе),
что позволит каждому ученику выполнить, сидя за партой,
большое количество работ по измерению. Это не исключает воз¬
можности на подготовительном этапе, опираясь на жизненные
наблюдения детей, вспомнить, как и чем измеряют тесьму, тка¬
ни, ленту и т. п., отмерить для примера 2—3 м шпагата или из¬
мерить длину доски. Не устанавливая соотношений между мет¬
ром и сантиметром, можно ввести сантиметр как мерку для из¬
мерения небольших отрезков, длина которых меньше метра.Чтобы дети получили наглядное представление о сантимет-
ре, следует выполнить ряд упражнений. Например, полезно, что-
бы они сами изготовили модели сантиметра (нарезали из узкой
полоски бумаги в клетку полоски длиной 1 см), начертили от¬
резки длиной 1 см в тетрадях (по клеточкам), нашли, что ши¬
рина мизинца примерно равна 1 см.Далее учащихся знакомят с измерением отрезков. Чтобы
дети ясно поняли процесс измерения и что показывают числа^285
получаемые при измерении, целесообразно постепенно перехо¬
дить от простейшего приема укладывания моделей сантиметра
и их подсчета к более трудному — отмериванию («прошагать»
меркой по отрезку и подсчитать, сколько раз отложилась еди¬
ница измерения). Только затем приступать к измерению спосо¬
бом прикладывания линейки или рулетки к измеряемому от¬
резку.Многие методисты (Н. С. Попова, П. С. Исаков, А. М. Пыш-
кало и др.) советуют сначала пользоваться линейками, которые
изготовляются детьми из листа бумаги в клеточку. На этих ли¬
нейках наносятся сантиметровые деления, но цифры не пишут¬
ся. Пользуясь этими линейками, дети измеряют отрезки, чертят
отрезки на нелинованной бумаге, показывают отрезки заданной
длины на самой линейке. При этом каждый раз дети подсчиты¬
вают сантиметры («прошагивая» их карандашом). Чем больше
упражнений выполнят учаш,неся, пользуясь самодельными ли¬
нейками, тем успешнее овладевают они умением измерять с по¬
мощью обычной масштабной линейки.При работе с масштабной линейкой обращается внимание на
правильность положения линейки при измерении (начало от¬
резка должно совпадать с нулевым делением на линейке). Сле¬
дует научить детей выполнять округление результатов измере¬
ния: если сантиметр уложился 5 раз и остался отрезок, мень¬
ше половины сантиметра, то его отбрасывают и называют дли¬
ну отрезка так: «немного больше 5 см», «около 5 см»; если ос¬
тался отрезок, который равен половине сантиметра или больше,
то его засчитывают за целый сантиметр и результат измерения
называют так: «немного меньше 6 см», «приблизительно 6 см».Для формирования измерительных навыков включается си¬
стема разнообразных упражнений. Это измерение и черчение
отрезков; сравнение отрезков, чтобы ответить на вопрос: на
сколько сантиметров длиннее (короче) один отрезок, чем дру¬
гой; увеличение и уменьшение их на несколько сантиметров.
В процессе этих упражнений у учащихся формируется понятие
длины как числа сантиметров, которые укладываются в данном
отрезке.Позднее, при изучении нумерации чисел в пределах 100,
вводятся новые единицы измерения — дециметр, а затем метр.
Работа проходит в таком же плане, как н при знакомстве с сан¬
тиметром. Затем устанавливают отношения между единицами
измерения (сколько сантиметров содержится в 1 дм, в 1м,
сколько дециметров в 1 м). Дети упражняются в измерении с
помощью двух разных мерок (например, длина крышки парты4	дм 5 см, длина доски 2 м 8 дм). С этого времени приступа¬
ют к сравнению длин на основе сравнения соответствующих
отрезков.Затем рассматривают преобразования величин: замену круп¬
ных единиц мелкими (3 дм 5 см = 35 см) и мелких единиц286
крупными (48 см = 4 дм 8 см). Постепенно узащиеся осознают,
что числовое значение длины зависит от выбора единицы из¬
мерения (например, длина одного и того же отрезка может
быть обозначена и как 3 дм, и как 30 см).Сравнение двух длин, выраженных в единицах двух наиме¬
нований, теперь выполняют на основе преобразования их и
сравнения числовых значений, при которых стоят одинаковые
наименования единиц измерения (4 дм 8 см>39 см, так как
48 см>39 см, или 4 дм 8 см>3 дм 9 см).Во II классе знакомство с единицами длины продолжается:
дети знакомятся с миллиметром, а позднее с километром.Введ|ние миллиметра обосновывается необходимостью
измерять отрезки, меньшие 1 см. Наглядное представление о
миллиметре дети получают, рассматривая деление на обычной
масштабной линейке или на миллиметровой бумаге. Сразу же
устанавливается, сколько миллиметров содержится в I см, и
дети приступают к измерениям с точностью до миллиметра (с
помощью циркуля, а также с помощью линейки). При этом
особое внимание обращается на то, чтобы дети правильно рас¬
полагали глаз при совмещении концов отрезка с делениями
на шкале линейки. Для формирования измерительных навыков
включаются упражнения на измерения не только на уроках ма¬
тематики, но и на других уроках (например, чертежи на уроках
труда тоже должны выполняться с точностью до миллиметра).Для развития глазомера полезно, прежде чем измерять за¬
данные отрезки (в учебнике, на карточках), прикинуть на глаз
их длину. Хорошим средством закрепления измерительных
графических и вычислительных навыков являются задачи на
измерение и вычисление периметра геометрических фигур, уп¬
ражнения в построении отрезков и прямоугольников.При знакомстве с километром полезно провести практи¬
ческие работы на местности, чтобы сформировать представле¬
ние об этой единице измерения. Чаще всего дети вместе с учи¬
телем проходят расстояние, равное I км (или 500 м) (полезно
заметить время, за которое удалось пройти это расстояние).
Измеряют пройденное расстояние либо шагами (2 шага при¬
мерно составляют 1 м), либо с помощью рулетки или мерной
веревки. Попутно дети упражняются в определении некоторых
расстояний на глаз. Если есть возможность, проводят экскур¬
сию на автобусный или железнодорожный вокзал, чтобы уз¬
нать данные о расстояниях до ближайших населенных пунк¬
тов и городов. Этот материал потом используется на уроках
при составлении задач.В III классе учащиеся составляют и заучивают таблицу всех
изученных единиц длины и их отношений. Таблица усваива¬
ется в процессе многократных и систематических упражнений
вида: сколько метров в 1 км? Во сколько раз метр больше де¬
циметра? На сколько сантиметров 1 м больше, чем 1 см? Сколь¬287
ко метров составляет половина километра? четверть километ¬
ра? десятая часть километра? и т. п. Кроме того, продолжается
работа по преобразованию и сравнению длин, выраженных в
единицах двух наименований, изучаются письменные приемы
вычислений над ними.Начиная со И класса дети в процессе решения задач зна¬
комятся с нахождением длины косвенным путем. Например, зная
длину одного класса и число классов на одном этаже, вычис¬
ляют длину здания школы; зная высоту комнат и количество
этажей дома, можно вычислить приблизительно высоту дома
и т. п. Позднее, в И1 классе, после ознакомления со скоростью
движения и изучения связи между величинами скорость — вре¬
мя— расстояние учащиеся узнают о том, что можно вычислять
расстояния, зная скорость и время движения (например, длину
воздушных и морских линий, расстояния, пройденные косми¬
ческими кораблями, спутниками, и т. п.).Работу над этой темой полезно продолжить на внеклассных
занятиях, например: рассмотреть старинные русские меры (вер¬
ста, сажень, вершок и др.), ознакомить учащихся с некоторыми
сведениями из истории развития системы мер длины (можно ис¬
пользовать диафильм «История метра», автор Ю. Альтшуль,
книгу И. Я. Денмана «История арифметики», 2-е изд. М., 1965).чПлощадь геометрической фигурыВ методике работы над площадью фигуры имеется много
общего с работой над длиной отрезка.Прежде всего площадь выделяется как свойство плоских
предметов среди других их свойств. Уже дошкольники сравни¬
вают предметы по площади (не называя само слово «площадь»)
и правильно устанавливают отношения «больше», «меньше»,
«равно» («одинаково»), если сравниваемые предметы очень
резко отличаются друг от друга или совершенно одинаковые.
При этом дети пользуются наложением предметов или срав¬
нивают их на глаз, сопоставляя предметы по занимаемому мес¬
ту на столе, на земле, на листе бумаги и т. п. Например, лист
березы меньше, чем лист клена, каток у школы больше, чем
у нашего дома, все блины одинаковые — не больше и не мень¬
ше и т. п. Однако, сравнивая предметы, у которых форма раз¬
лична, а различие площадей не очень четко выражено, дети ис¬
пытывают затруднения. В этом случае они заменяют сравнение
по площади сравнением по длине или по ширине предметов, т. е.
переходят на линейную протяженность, особенно в тех случаях,
когда по одному из измерений предметы сильно отличаются
друг от друга.В процессе изучения геометрического материала в	I—И классах у детей уточняются представления о площади как о
евойстте плоских геометрических фигур. Более четким стано¬288
вится понимание того, что фигуры могут быть различными и
одинаковыми по площади, сотому способствуют упражнения на
выр«зываниё“фи1'ур из букТаги, черчение и раскрашивание их
в тетрадях и т. п. В процессе решения задач с геометрическим
содержанием (например, составление фигур из заданных час¬
тей, вычленение различных фигур на сложном чертеже и т. п.)
учащиеся знакомятся с некоторыми свойствами площади. Они
убеждаются, что площадь не изменяется при изменении поло¬
жения фигуры на плоскости (фигура не становится ни больше,
ни меньше). Дети многократно наблюдают соотношение между
всей фигурой и ее частями (часть меньше целого), упражняются
в составлении различных по форме фигур из одних и тех же за¬
данных частей (т. е. построении равносоставленных фигур).
Учащиеся постепенно накапливают представления о делении
фигур на неравные и равные части, сравнивая наложением по¬
лученные части (например, во II классе при изучении долей).
Все эти знания и умения дети приобретают практическим пу¬
тем попутно с изучением самих фигур. Важно, чтобы учитель
обращал внимание детей на эти вопросы и тем самым подготав¬
ливал учащихся к изучению в III классе площади фигур.Ознакомление с площадью можно провести так:«Посмотрите на фигуры, прикрепленные к доске (рис. 62), и
скажите, какая из них занимает больше всех места на доске
(квадрат АМКР занимает места больше всех фигур). В этомслучае говорят. 4^(7 п пото п»,	ЙГ.П.1-Т110, ТТ04 гппптппьке?й<дого треугольника и квадрата СРМВ. Сравните площадь
треугольника ЛВС и квадрата АМКО (площадь треугольника
меньше, чем площадь квадрата). Пдсмсирите^^я сравню эти фи¬
гуры наложением— треугольник занимает только часть квадра-
та, значит, действительно плотцадь его меньше площади квад-рата. <^равните на глаз площадь треугольник^ ЛВС и илощадь
треугольника ВОЕ (у них площади одинаковые, они занимают
одинаковое место на доске, хотя расположены по-разному).
Проверьте наложением».Аналогично сравниваются по площади другие фигуры, а так¬
же предметы окружающей обстановки.Однако не всегда так легко установить, какая из двух фи¬
гур имеет большую (меньшую) площадь или они одинаковы по
площади. Чтобы показать это учащимся, можно предложить имС АРис. 6219 Заказ № 4487289
сравнить вырезанные из бумаги прямоугольник и квадрат, не¬
значительно отличающиеся по площади, например: размеры
квадрата 4X4 дм, а прямоугольника 5X3 дм, при этом фигу¬
ры с обратной стороны разбиты на квадратные дециметры. Сна¬
чала учащиеся пытаются сравнить эти фигуры на глаз, а так¬
же путем наложения. Однако оба способа не помогают детям
решить вопрос убедительно. Выслушав различные предположе¬
ния, учитель поворачивает фигуры той стороной, на которой
сделана разбивка на квадраты, и предлагает сосчитать, сколь¬
ко одинаковых квадратов содержит каждая фигура. На этой
основе дети устанавливают, площадь какой фигуры больше, а
какой — меньше. Аналогичные упражнения на сравнение пло¬
щади фигур, составленных из одинаковых квадратоввыпол¬
няются по учебнику, а также по чертежам, данным на доске.
Дети убеждаются в том, что если фигуры состоят из одинако¬
вых квадратов, то площадь той фигуры больше (меньше), ко¬
торая содержит больше (меньше) квадратов. Полезно на этом
же уроке рассмотреть такой случай, когда разные по форме
фигуры имеют одинаковую площадь, так как содержат одина¬
ковое число квадратов (например, квадрат—16 кв. ед. и прямо¬
угольник— 16 кв. ед.). На последующих уроках включаются уп¬
ражнения на подсчет квадратов, содержащихся в заданных фи¬
гурах, предлагается начертить в тетрадях фигуры, которые со¬
стоят из заданного числа квадратов (клеточек тетради). В про¬
цессе таких упражнений начинает формироваться понятие о
площади как о числе квадратных единиц, содержащихся в гео¬
метрической фигуре.На следующем этапе учятиугя чнят^путят о прррой рпннипрй
площади — квадратнЫ'М саншм^тром. Учащиеся чертят в тетра-
дяТ, йЫ{^ёзают ий оумаги в клеточку квадраты со стороной 1 см.
Учитель сообщает; «Это единица площади — квадратный санти¬
метр». Используя бумажные модели квадратного сантиметра,
дети составляют из них различные геометрические фигуры и
находят подсчетом их площадь (рис. 63). Сравнивая площади
составленных фигур, дети еще раз убеждаются, что площадь той
фигуры больше (меньше), которая содержит больше (меньше)
квадратных сантиметров. Площади фигур, содержащих одина¬
ковое число квадратных сантиметров, равны, хотя фигуры мо¬
гут не совмещаться при наложении. Эффективен на этом этапеприем сопоставления знакомых де¬
тям величин — длины отрезка и
площади фигуры, который помога¬
ет предупредить смещение этих ве¬
личин. Выполняя конкретные уп¬
ражнения, обнаруживают некоторое
Рис. 63	сходство и существенное различиеп' Квадраты можно брать произвольных размеров.290
1см3 СМ3 кв. смРис. 64этих величин: сантиметр — единица длины; квадратный санти¬
метр— единица площади; длина отрезка — число сантиметров,
которые содержатся в данном отрезке; площадь фигуры —чис¬
ло квадратных сантиметров, содержащихся в этой фигуре
(рис. 64).В дальнейшем наглядное представление о квадратном сан¬
тиметре и понятие о площади фигур закрепляются. Вклк>чают-
ся упражнения на нахождение площади фигур, разбитых на
квадратные сантиметры. Предлагается при подсчете квадратных
сантиметров группировать их по рядам или столбцам, чтобы
ускорить нахождение их общего числа. Рассматриваются и та-
кие фигуры, которые наряду с целыми квадратными сантимет-
рами содсрнсат-п нёЦ&лые— половины. а также лоли'Нплкша"или меньше, чем пплгчдина 1^пяпр.ятипгг> РЯНТИМРТрЯ ^рИО. 65).
Следует также ознакомить учащихся с н^ож^ением ^^прибли-
женной площади фигуры таким способом: сосчитать все неце¬
лые квадратные сантиметры и общее число их разделить на
два, затем полученное число сложить с числом целых квадрат¬
ных сантиметров, которые содержатся в данной фигуре.Для нахождения площади геометрических фигур, не разде¬
ленных на квадратные сантиметры, используют палетку. П а«
летка — это прозрачная пластинка, разбитая на равные квад¬
раты. Сетка может быть нанесена на кальку или состоять из
нитей, натянутых на рамку. На данном этапе используют палет¬
ку, каждое деление которой равно квадратному сантиметру.
Полезно такую палетку изготовить с детьми на уроке труда
(рис. 66). Наложив палетку на геометрическую фигуру, под¬
считывают число целых и нецелых квадратных сантиметров, ко-Рис. 6619*2»1
торые в ней содержатся. Для нахождения площади фигур,
начерченных в тетрадях, в качестве палетки используют разли¬
новку тетрадей. Каждый раз подчеркивают, что найденная пло¬
щадь равна приблизительно такому-то числу (около 20 кв. см,
приблизительно 15 кв. см).В это же время приступают к сопоставлению площади и пе¬
риметра многдугп.лкникпр о тем, чтобы дети не смешивали эти
понятия, а в дальнейшем четко различали способы нахождений
площади и периметра прямоугольника. Выполняя практические
упражнения с геометрическими фигур'ами, дети подсчитывают
число квадратных сантиметров и тут же измеряют периметр
многоугольника в сантиметрах.^^[а следующем этапе учащиеся знакомятся с приемом вы¬
числения площади прямоугольника (квадрата). Сначала рас¬
сматривают прямоугольники, которые уже разделены на квад¬
ратные сантиметры. Иу ппппг^ли	пппшштп
ратных сантиметров в олном пялу, а затем полученное чиглд_
умножают на число рядов. Например, если в одном ряду 6 кв. см,
а таких рядов 5, то площадь равна 6-5, т. е. 30 кв. см. Очень
важно при этом установить соответствие между длиной прямо¬
угольника и числом квадратных сантиметров, прилегающих к
длине; ширинои прямоугольника и числом рядов7~Т1аниимеи.
если в ряду 6^в-~ см. то ллиня прямоугольника 6 см. а если
рядов 5. то ширина прямоугольника 5 см.Затем дети чертят 11рммоуГольнйк 116 уаданным длинам сто¬
рон, разбивают его на ряды, а один ряд на квадраты и снова
убеждаются в соответствии: если длина 4 см, то в одном ряду,
прилегающем к этой стороне, содержится 4 кв. см, если ширина
3 см, то таких рядов оказывается 3. Число квадратных санти¬
метров равно произведению чисел 4 и 3 (рис. 67). Делается
вывод: чтобы вычислить площадь прямоугольника. нуж~но знать
ёирхлину и ширину (в одинаковых единицах) и найти прои^
ве^ание_эт^^2^чи(;ед..1	' 			Сравнив разные способыназюждеш*»—шшщадИг-лещ1—лама,
могут рёШИ'1Ь "в'бЪрОС, тто легче: измерить длину и ширину6 смIо»Е«оГ2СМРис. 67Рис. 68292
прямоугольника и полученные числа перемножить или разбить
прямоугольник на квадратные сантиметры и сосчитать их.Далёё™§ключаются устные и письменные задания™на вычис¬
ление площади прямоугольников (квадратов) и периметров этих
фигур. Очень полезны упражнения в вычислении площади и пе¬
риметра фигур, составленных из нескольких прямоугольников
(рис. 68). Здесь учащимся приходится вычислять площади каж¬
дого прямоугольника, а затем находить их сумму, т. е. площадь
заданной фигуры.В-процессе решения задач на вычисление площади и пери-мх:тра прямоугольников следует показать, что фигуры, имею¬щие одинаковую плошадь. могут иметь неодинаковые перимет¬
ру.!.' и что фигуры, имеющее одинаковые периметпы. могут иметь
неодинаковые площади. Например, это легко наблюдатГпрй за¬
полнении таблицы вида:Длина7 см6 см5 см4 смШирина1 см2 см3 см4 смПериметр16 см16 см16 см16 смПлощадь7 кв. см12 кв. см15 кв. см16 кв. смПо таблице учащиеся чертят прямоугольники указанных раз¬
меров, вычисляют площадь и периметр и записывают их в таб¬
лицу. Наглядные иллюстрации помогают детям осознать на¬
блюдаемые соотношения. Легко подметить, что наибольшую
площадь при одинаковом периметре имеют прямоугольники с
равными сторонами (квадраты). Аналогичную работу можно
провести по наблюдению изменения периметра в зависимости от
изменения длины сторон при одинаковой площади (например,
прямоугольники со сторонами 12 см и 2 см, 8 см и 3 см, 6 см
и 4 см).Далее учащиеся знакомятся с квадратным дециметром. Как
и при введении квадратного сантиметра, прежде всего форми-
руется наглядный образ новой единицы: дети чертят на клет-
чатой бумаге квадрат со стороной 1 дм и затем вырезают его,
соСтаилнют"Фигуры Ис> нескильКих квад.ратных дециметров.
зыВан ИХ ИЛОшаДЪ и периьГетрТУстанавливается отношение меж^
дУ'"кВадр'а'1'1Ш'Н 71,ЯГйТа'е'1 ром" и квадратным сантиметром, ^^ча-
шиеся сами вычисляют рЛЙШаЯь квадрата со стороной 1**^
в квадратных сантиметрах и записывают: 1 кв.' Щ=“1Ш_кв. см.Затем дети учатся заменять мелкие единицы крупными и’ наУ*
оборот. Решаются задачи на вычисление площади прямоуголь¬
ников (квадратов) и фигур, составленных из прямоугольников,293
стороны которых заданы в дециметрах либо в дециметрах и
сантиметрах.На следующем этапе янялогичип ряггматпивается квадрат-
ный мётр. Ооращается особое внимание на решение практиче-
Д1НХ задач, измерение и вычисление площади пола в классе,
коридоре, комнате, сравнение площадей помещений, имеющих
одинаковую, положим, ширину и различную длину.Наряду г рршргшаи	нахождение плшггяпи пря1у;п.угольника по ланным длине и ширине решают обратные зада-
«ПГ на нахождение одной из сторон по известной площади и
другой"'стороне прямоугольника. Площадь — это произ'в^данТГе
чи'с'бл, полученных при измерении длины и ширины прямоуголь¬
ника, яняиит, няупжпрние ОДНОЙ ИЯ..СТ0р0Н прямоугольника. СВО-
ПИТС.Я к нахожленч'^ г>пипт нч мнпжитрлрй гтп^проичнрлгрнигпИ другому множителю. Кроме простых задач, рериметр, например: «Огород имеет Форму квадрата. ~
которого ^^20 м. Че^^у равна площадь огорода?»*Изучение^пло^ди геошгтриче^1киx_ фигур пцодолжается вIV	клас5гГ”'~'~'*~''~'^^ ^МассаПервые представления о том, что предметы имеют массу,
дети получают в жизненной практике до школы. Взяв в руки
предметы, дети на основе ощущений устанавливают, какой
предмет тяжелее, какой легче или по массе они одинаковы.
Однако чувственный опыт дошкольников недостаточно велик,
поэтому сравнить массу двух предметов на руку дети могут
лишь в том случае, если предметы по данному свойству очень
отличаются друг от друга, а по другим свойствам сходны.
Сильное влияние на оценку массы оказывают размеры пред¬
мета (большой по объему предмет кажется им всегда большим
по массе).В процессе изучения первого десятка необходимо наряду с
непосредственным сравнением предметов по длине (ширине, вы¬
соте) предлагать одновременно сравнивать предметы по мас¬
се. Чтобы помочь детям выделить массу среди других свойств,
следует для сравнения давать предметы, имеющие различную
массу, но сходные по другим свойствам (например, два оди¬
наковых по размерам кубика: один пластмассовый, другой ме¬
таллический).	ДПервая единица массы, с которой знакомятся дети,— кило¬
грамм. Подвести детей к пониманию необходимости измерять
лТЯСсу можно ссылкой на измерение длины, с чем уже знакомы
дети. Учитель приносит на урок несколько предметов, ^асг.а
каждого из которых ряння кидпгрямму (пячкя соли, мешочек с
горохом, пакет с крупой и т. п.). Чтобы сформировать конкрет¬
ные представления о массе в 1 кг, детям дают подержать в294
руках предметы с такой массой и сравнить их с предметами,
которые тяжелее или легче их. Когда дети отберут 2—3 пред¬
мета одинаковой массы, учитель сообщает, что каждый пред¬
мет имеет массу в один килограмм —такую же, как и кило¬
граммовая гиря (гирю тоже предлагают подержать в руках
ЮМУ ученику).1алее с помощью весов иллюстрируют то, что каждый из
отобранных предметов массой в 1 кг, а другие предметы — боль¬
ше или меньше килограмма. Учитель показывает, как пользо¬
ваться для этого весами.Затем выполняются упражнения в отвешивании: отве¬
шивают 1, 2, 3 кг соли, крупы и т. п. Дети должны активно
участвовать в паботе с весами; например, один ученик ставит
гири на левую чашку весов, другой насыпает крупу на правую
чашку весов. Остальных детей привлекают к пояснению про¬
цесса взвешивания (что перевешивает; что надо сделать, что¬
бы весы пришли в равновесие; сколько килограммов крупы, со¬
ли взвешено и т. п.). Попутно происходит знакомство с записью
полученных результатов. Полезно при отвешивании 1 кг ово¬
щей подсчитать (и записать), сколько штук картофеля (лука,
моркови и т. п.) идет на килограмм.Дети знакомятся с набором гирь (1 кг, 2 кг, 5 кг) и затем
приступают к взвешиванию нескольких специально подо¬
бранных предметов, масса которых выражается целым числом
килограммов. Здесь сначала устанавливается на весах груз, а
потом подбираются гири. Полученные величины используются
для составления задач.	"	^	■~Ъ дальнейшем дтпГ^звития у детей умения оценивать мас¬
су на глаз и на руку ученикам предлагают перед взвешивани¬
ем попытаться прикинуть — больше или меньше килограмма
масса этого груза, а затем уже проверить это с помощью взве¬
шивания. Полезно дать детям задание узнать, какова масса
часто встречающихся в быту предметов, таких, как буханка
хлеба, литр молока, ведро картофеля и т. п. Эти данные также
используются при составлении задач детьми. Следует включать
решение задач, которые воспроизводят процесс взвешивания.
Например: «На одной чашке весов стоит ящик с яблоками, на
другой — две гири по 5 кг. Весы находятся в равновесии. Ка¬
кова масса яблок, если масса пустого ящика 1 кг?» Такие за¬
дачи вооружают детей практическими сведениями (учет тары
при взвешивании).Во 11 классе учащиеся знакомятся с новой единицей мас¬
сы — г р а м м о м. Название его известно учащимся. Задача учи-
т'елв — сформировать наглядное представление о грамме. С этой
целью детям дают подержать гирьку в 1 г, а также взвешивают
монеты и устанавливают,'что ~ масса монеты в 1 коп.— 1 г, '2	коп.—2 г! 3 коп.—3 г. я коп.—5 г. Дети знакомятся с на'ЗсЙ’
ром гирь, меньшйХ килограмма, с помощью весов убеждаются,295
что 1 кг равен 1000 г. Затем приступают к. упражнениям в от¬
вешивании с точностью до грамма. Зэпись полученных масс
(460 г, 900 г, 125 г и т. п.), их чтение, сравнение помогает де-
тщи усваивать нумерацию чисел в пределах 1000Г~	' 'Во 11 классе рекомендуется ознакомить учащихся с ци¬
ферблатными автоматическими весами: рассмотреть Ш1(.алу, на-
уинти/'я птгинт>^[вать деления на шкале и читать ее показания,
освоить ппоцесс взвешивания на таких нр.ряу I шлр.чнп прпнргти
экскурсию в ближайший продовольственный магазин и пона¬
блюдать работу на таких весах: посмотреть, как устанавливают
циферблатные весы перед взвешиванием, как взвешивают гру¬
зы больше 1 кг; убедиться, как важно, читая показания шка¬
лы при взвешивании, смотреть на нее прямо, а не сбоку.В III классе учашиеся знакомятся с новыми елинииями
массы —центнером и тонной, устанавливаются их отнптнр^тия с
килограммом, составляется и заучивается таблица единиц массы.
Чтобы дать конкретные представления о новых единицах мас-
сы, используют рисунки и иллюстрированные таблицы единиц
массы (например, 2 мешка сахарного песку имеют массу 1 ц,
масса машины «Москвич» без пассажиров — примерно 1 т
и т, п.). Если есть возможность, надо ознакомить детей с ве¬
сами, на которых взвешиваются тяжелые предметы с массой в
несколько центнеров или тонн, провести экскурсию на склад или ~
базу.На" данном этапе приступают к преобразованию величин, вы-
ряжрТ|нк1х » н>гннн11Ях мм;'Л» Г.'^^яиеняя мел'кир рГТНииТч-.! круп¬
ны м^^.^4—обо^тно)7~Т^ТрЖГТр а В шТвают~ШсШ~ТГ‘тптШ!^
арифметические действия~над ними."'приценке 1 ИХ' V^Гражн?"
ний закреп'ляютСН анания таблицы единиц массы.Ыриная со И класса в процессе решения простых, а з^ем
го^<<^ных аяляч уияупнрлд ултни^^,^пвяют и и(ШОд1зУЮТ~~ВЗа1
|^шпгпяяь мржпу т^еличинами: масса одного предмета — количе¬
ство предметов — и;^общая масса, учатся вычислять каждую
из величин, если известны значения двух других.ВремяВся жизнь человека тесно связана со временем, с умением
измерять, распределять, ценить время. Время течет непрерывно,
его нельзя ни остановить, ни возвратить, поэтому восприятие
промежутков времени, сравнение событий по продолжительно¬
сти очень затруднено. Как известно, наше восприятие времени
несовершенно: нам кажется, что время течет то быстрее, то
медленнее в зависимости от того, чем заполнен тот или иной
промежуток времени. Поэтому время — одна из трудных для
изучения величин. Временные представления у детей развива¬
ются медленно, в процессе длительных наблюдений, накопления
жизненного опыта, изучения других вели'шн,296
Первые представления о времени де¬
ти получают в дошкольный период. Сме¬
на дня и ночи, смена времен года, повто¬
ряемость режимных моментов в жизни
ребенка — все это формирует временные
представления. Однако как временная
последовательность событий (что было
раньше, что позже), так и особенно
представление о продолжительности со¬
бытий усваиваются детьми с большим
трудом. Типичными являются ошибки	Рис. 69детей в установлении последовательно¬
сти событий (например, дети смешивают понятия «вчера» и
«завтра»).Временные представления у первоклассников формируются,
как и у дошкольников, прежде всего в процессе их практиче¬
ской (учебной) деятельности: режим дня, ведение календаря
природы, восприятие последовательности событий при чтении
сказок, рассказов, при -просмотре кинофильмов, ежедневная
запись в тетрадях даты работы — все это помогает ребенку уви¬
деть изменения времени, почувствовать течение времени.Программа предусматривает в I классе знакомство детей
с названиями дней недели и их последовательностью. В качест¬
ве наглядного пособия полезно иметь в классе отрывной кален¬
дарь или модель настольного календаря (рис. 69), работать с
которым надо научить детей.Начиная с I класса необходимо приступить к сравнению
знакомых, часто встречающихся в опыте детей временных про¬
межутков. Например, что длится дольше: урок или перемена,
учебная четверть или зимние каникулы, что короче по времени:
занятия ученика в школе или рабочий день родителей? Такие
задания способствуют развитию чувства времени, В процессе
решения задач, связанных с понятием разности, дети присту¬
пают к сравнению возраста людей и постепенно овладевают
важными понятиями: старше — моложе — одинаковые по воз¬
расту.Ввиду большой практической потребности полезно ознако¬
мить первоклассников с тем, как по часам определяется время,
при этом достаточно, если дети научатся пока вести отсчет вре¬
мени с точностью до часа.Знакомство с единицами времени способствует уточнению
временных представлений детей. Знание количественных отно¬
шений единиц времени помогает сравнивать и оценивать по
продолжительности промежутки времени, выраженные в тех
или иных единицах. Такие единицы времени, как месяц и год,
сутки, час и минута, изучаются во II классе, а век и секунда —
в III классе. Необходимо формировать у детей конкретные
нредставления о каждой единице времени, добиваться усвоения297
их отношений, научить пользоваться календарем и часами и с
их помощью решать несложные задачи на вычисление продол¬
жительности события, если известны его начало и конец, а так¬
же задачи, обратные данной (т. е. на установление начала и
конца события).Чтобы подготовить детей к восприятию единиц времени, не¬
обходимо во II классе продолжать систематическую работу о
календарем, начатую в I классе. Подводя итоги и обобщая на¬
блюдения, полезно обращать внимание детей на последова¬
тельность месяцев и количество дней в каждом месяце. При
записи даты в тетрадях следует также почаще задавать вопро¬
сы на выяснение последовательности месяце?. (Сегодня 1 ок¬
тября. А предыдущий месяц как назывался? Какой следующий
месяц после октября? и т. п.)Знакомя детей с месяцем и годом, учитель использу¬
ет табель-календарь. По нему дети выписывают названия ме¬
сяцев по порядку и количество дней в каждом месяце. Сразу
же выделяют одинаковые по продолжительности месяцы, отме¬
чают самый короткий месяц в году —февраль (28 или 29дней).
По календарю учащиеся определяют порядковый номер меся¬
ца (Как называется пятый месяц в году? Которым по счету
является июль? и т. п.), устанавливают день недели, если из¬
вестно число и месяц, и наоборот, устанавливают, на какие
числа месяца приходятся определенные дни недели (В какой
день недели будет праздник 8 Марта в этом году? На какие
числа приходятся воскресенья в марте? и т. п.).С помощью календаря учащиеся решают задачи н^нахож¬
дение продолжительности события (в пределах одного года).
Например, сколько дней длились весенние каникулы? Сколько
месяцев длятся летние каникулы? Учитель называе’г начало и
конец, каникул, и учащиеся подсчитывают число дней и меся¬
цев по календарю. Надо показать, как быстро подсчитать чис¬
ло дней, зная, что в неделе 7 дней. Аналогично решаются об¬
ратные задачи.Понятие о сутках раскрывается через близкие детям по¬
нятия о частях суток —утро, день, вечер, ночь (или день с
утра до вечера и ночь). Кроме того, опираются на представле¬
ние временной последовательности; вчера, сегодня, завтра.
Детям предлагают перечислить, чем они были заняты от вче¬
рашнего утра до сегодняшнего утра, что будут делать начиная
с сегодняшнего вечера и до завтрашнего вечера и т. п. «Такие
промежутки времени,— сообщает учитель,— называют сутка¬
ми». Дети устанавливают, сколько суток проходит со вчераш¬
него вечера до завтрашнего вечера (от позавчерашнего утра
до послезавтрашнего утра и т. п.), сколько суток прошло от ‘
начала недели (понедельника) до субботы, которые по счету
сутки наступят, объясняют пословицу: «День и ночь —сутки
прочь». Далее можно провести аналогичную работу по кален-298
дарю: сколько полных суток прошло от начала месяца до
сегодняшнего дня, которые по счету сутки наступили? Чтобы
установить связь с изученными единицами времени, можно
предложить задания на сравнение: «Что дольше длится: 5суток
или неделя, 20 суток или 1 месяц?» и т. п.Следующими рассматриваются час и минута. Конкрет¬
ные представления о соответствующих промежутках времени
также формируются через практическую деятельность детей,
через наблюдения. Так, час — это примерно продолжительность
одного урока и перемены. Чтобы ощутить время продолжитель¬
ностью в 1 мин, включают упражнения, с помощью которых де¬
ти узнают, что можно успеть сделать за 1 мин (до какого чис¬
ла успеешь сосчитать, сколько можно решить примеров, какое
расстояние пройти и т. п.). Уместно здесь объяснить смысл по¬
словицы: «Минута час бережет».Большое воспитательное значение имеют примеры из жизни
нашей страны, числовые данные о том, сколько продукции за¬
воды и фабрики выпускают за 1 мин, за 1 ч, за 1 рабочий день.На первом же уроке по знакомству с часом и минутой со¬
общаются отношения между мерами времени: в 1 сутках 24 ча¬
са, в 1 часе 60 минут. Для закрепления включают упражнения
вида: «Сколько часов составляют двое (трое, четверо) суток?
Сколько минут составляет половина часа (треть часа; четверть
часа и т. п.)?»Важным моментом на данном этапе является знакомство с
часами. Чтобы дети научились устанавливать время по часам,
полезно заблаговременно изготовить с учащимися на уроках
труда циферблат с подвижными стрелками и, используя эту
модель часов, выполнять практические упражнения. Учащиеся
вспоминают, с какими часами они знакомы, сталкивались в
жизни. Учитель поясняет, что все часы устроены таким обра¬
зом, что, пока большая стрелка движется от одного маленького
деления до другого, проходит 1 минута, а пока маленькая
стрелка движется от одного большого деления до другого, про¬
ходит 1 час. Счет времени ведется от полуночи до полудня
(12 ч дня) и от полудня до полуночи. Затем предлагаются уп¬
ражнения с использованием модели часов: назвать обозначен¬
ное время и обозначить время, которое называет учитель или
сами ученики. Даются разные формы чтения показаний часов,
например: 9 часов 30 минут, 30 минут десятого, половина деся¬
того; 4 часа 45 минут, 45 минут пятого, без 15 минут пять, без
четверти пять и т. п. С помощью модели часов решаются зада¬
чи. на определение продолжительности события, начала или
конца его (в пределах одних суток).Усвоению отношений между единицами времени помогает
таблица мер, которую следует повесить в классе на некоторое
время, а также систематические упражнения в преобразовании
величин, выраженных в единицах времени (сколько минут со¬299
ставляет 1 час и 30 минут, сколько суток составляет 72 часа
и т. п.), их сравнении, нахождении различных долей любой еди¬
ницы времени, решение задач на вычисление времени.В III классе таблица единиц времени пополняется — уча
щиеся знакомятся с веком и секундой. Конкретное пред
ставление о продолжительности секунды дети получают на ос
нове наблюдения (устанавливают, что можно сделать за 1 с)
Век — самая крупная из рассматриваемых единиц времени
Некоторое представление о продолжительности отрезка време
ни в 100 лет дети могут получить, сравнивая свой возраст, воз
раст близких людей, «возраст» нашего государства с веком
Можно для наглядности начертить соответствующие отрезки на
бумаге, используя масштаб.Знания о системе единиц времени расширяются. Дети уз¬
нают на уроках природоведения, что сутки —время, в течение
которого Земля делает полный оборот вокруг своей оси, и год —
время, в течение которого Земля делает полный оборот вокруг
Солнца. Учащиеся под руководством учителя составляют таб¬
лицу единиц времени, а затем в процессе разнообразных уп¬
ражнений усваивают ее.В III классе рассматривают простейшие случаи сложения
и вычитания величин, выраженных в единицах времени. Необ¬
ходимые преобразования единиц времени здесь выполняют по¬
путно, без предварительной замены заданных величин. Чтобы
предупредить ошибки в вычислениях, которые намного слож¬
нее, чем вычисления с величинами, выраженными в единицах
длины и массы, рекомендуется чаще давать вычисления в сопо¬
ставлении:_30 мин 45 с _30 м 45 см 	30 ц 45 кг20	мин 58 с 20 м 58 см 20 ц 58 кгТак же, как и во II классе, для развития временных пред¬
ставлений используется решение задач на вычисление продол-
-жительности события, его начала и конца. Простейшие задачи
на вычисление времени в пределах года (месяца) решаются с
помощью табеля-календаря, а в пределах одних суток — с по¬
мощью модели часов.Третьеклассники знакомятся с 24-часовым счислением вре¬
мени суток. Они узнают, что началом суток является полночь
(О ч), что счет часов в течение суток идет от начала суток,
поэтому после полудня (12 ч) каждый час имеет другой поряд¬
ковый номер (1 час дня — это 13 ч, 2 часа дня— 14 ч и т. д.).О \ 2 ^ 4 5 в Т $ 9 Ю П 12 О П а № П 18 № го 21 22 ?Э 24Ти.||»|| I ||1и.11||—..А	4...01 			 «				г—I—и01	23Ч661в9ЮИ 12
Рис. 70300
Усвоению этой системы отсчета помогает изображение ее о
помощью отрезка. При решении задач, связанных с вычисле¬
нием времени, учащиеся также пользуются этой иллюстрацией
(рис. 70).Аналогично изображают отрезками на прямой века (столе¬
тия). Пользуясь такой «лентой времени», третьеклассники ус¬
танавливают, в каком веке произошло то или иное историче¬
ское событие, в каком веке мы живем, в каком году начнется21	век и т. п. Это наряду с формированием временных представ¬
лений подготавливает детей к изучению истории в средней шко¬
ле, формирует начатки исторических представлений.В связи с изучением данной темы в 1П классе полезно про¬
вести внеклассное занятие, на котором поставить задачу —
расширить знания детей о времени и его измерении, пробудить
интерес у учащихся к этому материалу. Это могут быть рас¬
сказы о том, как человек измерял время в далеком прошлом,о	первых календарях и часах и др.Программа по математике предусматривает наряду с рас¬
смотренными величинами знакомство с емкостью и ее измере¬
нием с.помощью литра, а также знакомство со стоимостью,
скоростью и др.Изучение этих величин ведется по такой же методике и не¬
посредственно связывается с обучением решению задач.
Глава VIIМЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ДРОБЕЙВ соответствии с программой по математике в начальных
классах должна быть проведена подготовка к изучению дробей
в IV и V классах. Это значит в начальных классах надо создать
конкретные представления о доле и дроби. С этой целью преду¬
сматривается во II классе ознакомить детей с долями, их за¬
писью, научить сравнивать доли, решать задачи на нахождение
доли числа и числа по доле; в III классе ознакомить с дробями,
их записью, научить сравнивать дроби, научить решать задачи
на нахождение дроби числа. Все названные вопросы раохрыва-
ются на наглядной основе.Ознакомление с долямиОзнакомить детей с долями — значит сформировать у них
конкретные представления о долях, т. е. научить детей образо¬
вывать доли практически. Например, чтобы получить одну чет¬
вертую долю круга, надо круг разделить на четыре равные
части и взять одну такую часть; чтобы получить одну пятую
долю отрезка, надо разделить его на пять равных частей и
взять одну такую часть.Для формирования правильных представлений о долях надо
использовать достаточное количество разнообразных нагляд¬
ных пособий. Как показал опыт, наиболее удобными пособиями
являются геометрические фигуры, вырезанные из бумаги; мож¬
но использовать рисунки фигур, выполненные на бумаге или
в диапозитивах (круги, прямоугольники, треугольники, бруски,
отрезки и т. п.). Очень важно, чтобы пособия были не только
у учителя, но и у каждого из учащихся. Правильные представ¬
ления о долях, а позднее о дробях будут сформированы тогда,
когда ученики будут своими руками получать, например, поло¬
вину круга, квадрата и т. п., четверть отрезка и т. п.< Покажем, как можно ознакомить детей с долями.У	каждого из учащихся и у учителя по нескольку одинако¬
вых кругов, прямоугольников (квадратов).Возьмите два одинаковых круга. Один из них разделите на
две равные части (показывает, как надо перегнуть и как раз-302
Рис. 71резать круг). Это целый круг, а это половина круга, иначе
говорят, одна вторая доля круга. Сколько вторых долей
в целом круге? (2.) Покажите их. Возьмите квадрат. Как по¬
лучить одну вторую долю, или половину квадрата? (Разделить
его на две равные части и взять одну такую часть.) Выпол¬
няйте.Учащиеся могут это сделать разными способами, например:
разрезать квадрат по диагонали и получить два равных тре¬
угольника или же разрезать по средней линии, тогда получат¬
ся два прямоугольника. Некоторые учащиеся могут предложить
и другие способы деления квадрата на две равные части
(рис. 71).Как получили одну вторую долю круга? (Разделили круг
на две равные части и взяли одну такую часть.) Как получили
одну вторую долю квадрата? Как иначе называют одну вторую
долю круга, квадрата? (Половина круга, половина квадрата.)
Сколько половин круга в целом круге? (2.)Учащиеся накладывают половины круга на целый круг.Доли записывают с помощью двух чисел. Одна вторая до¬
ля круга, квадрата обозначается так: Число 2 показыва¬
ет, что круг, квадрат или другая фигура (или предмет) разде¬
лена на 2 равные части, а число 1 показывает, что взяли одну
такую часть.Учащиеся записывают на половинах круга « и объясня¬
ют, что показывает в этой записи каждое число.Так же образуются доли	, -1 и д^.При этом учащиеся должны уяснить, что для получения, на,-
пример, — отрезка (прямоугольника, бумажной полоски и т. п.)надо данный отрезок (прямоугольник, полоску и т. п.) разде¬
лить на 5 равных частей и взять одну такую часть, что в дан¬
ном отрезке (прямоугольнике, полоске и т. п.) 5 пятых долей,что одна пятая доля записывается так: что в этой записиОчисло 5 обозначает, на сколько равных частей разделен отре-303
зок (прямоугольник, полоска и т. п.), а число 1 показывает, что
взята одна такая часть. Для закрепления этих знаний и уме¬
ний учащимся предлагаются различные упражнения.Это прежде всего упражнения в назывании и записи долей
(рис. 72). Назовите и запишите, какая доля квадрата (круга)
отрезана (закрашена, заштрихована).Можно предлагать самим детям изобразить какую-либо до¬
лю отрезка (круга, квадрата и др.) и записать эту долю.В каждом случае надо спрашивать, сколько всего долей в
целом. Например, сколько четвертых долей круга в целом круге?
Сколько третьих долей отрезка во всем отрезке? и т. п.Эффективным упражнением для формирования представле¬
ний о долях является сравнение долей одной и той же величи¬
ны, которое выполняется чисто практически с помош,ью нагляд¬
ных пособий.Например, предлагается сравнить доли и и поставитьО	2.знак «>» или «<».Учащиеся изображают доли, например, с помощью отрезков
(рис. 73).Сравнивают их и убеждаются, что меньше, чемО	2.Решение задач на нахождение доли числа и
числа по егодоле также способствует формированию пред¬
ставлений о долях величины. В этом их основное назначение.
Поэтому решение задач на нахождение доли числа и числа по
его доле выполняется на наглядной основе.304
Рассмотрим, как можно ознакомить учащихся с решением
задач каждого вида.Сначала вводятся задачи на нахождение доли числа. Для
ознакомления с решением задач лучше предлагать задачи, ко¬
торые легко иллюстрировать. Например, предлагается задача;«От полоски длиной 15 см отрезали ее. Чему равна длина3отрезанного куска полоски?» Ученики вырезают полоску длиной
15 см. Затем выясняется, как найти одну третью часть полоски
(разделить ее на 3 равные части и взять одну такую часть).
Учащиеся практически выполняют деление (перегибают полос¬
ку), а затем отрезают одну третью часть. Запись решения вы¬
полняется так;15;3 = 5 (см). Ответ; 5 см.При решении других задач достаточно воспользоваться чер¬
тежом; число изобразить отрезком, который учащиеся делят на
заданное число равных частей, обозначают долю, после чего
выполняют решение устно или письменно.В дальнейшем задачи на нахождение доли числа должна
включаться для устной и письменной работы. Следует большевключать заданий вида; сколько сантиметров в 4- м; в — м; в2	44- м? Сколько минут в 4-часа; в — часа; в ~ часа и т.д.?5	2	5	оПри изучении темы «Время» надо объяснить детям, почему
принято говорить; «половина второго», «без четверти 10» и т. п.Задачи на нахождение числа по его доле
вначале надо брать такие, чтобы их можно было непосред¬
ственно иллюстрировать, например; «Сережа отрезал от кускапроволоки 4 см. Это всего куска. Какой длины был кусок3проволоки?»Изобразим кусок проволоки, который отрезал Сережа. (Чер¬
тят отрезок длиной 4 см.) Какую часть всего куска составляетотрезанный кусок?	Как изобразить весь кусок? (Взять3 раза по 4 см.) Почему? (4 см — это куска проволоки, а3во всем куске будет три трети.) Начертите. (Выполняют.) Ка¬
кой длины был кусок? (12 см.) Как узнали? (4-3).Запись решения; 4-3=12. Ответ: 12 см.Далее задачи на нахождение числа по его доле и задачи
на нахождение доли числа включаются вперемежении и пред¬
лагаются как для устного, так и для письменного решения. За¬
метим, что лучше включать задачи с конкретным содержанием,
чтобы учащиеся конкретно представляли долю величины (одну
треть ведра воды, четверть корзины яблок, одну пятую часть
куска ткани, одну сотую часть метра и т. п.).20 Заказ № 4487	305
Во II классе рассматриваются только простые задачи на на¬
хождение доли и числа по его доле, а в III классе эти задачи
включаются в составные.Ознакомление с дробямиОбразование дробей, как и образование долей рассматри¬
вается с помощью наглядных пособий.Разделите круг на 4 равные части. Как назвать каждую
такую часть? Запишите. Покажите три четвертые доли. Вы по¬
лучили дробь — три четвертых. Кто сможет записать эту дробь?
Что показывает число 4? (На сколько равных частей разделили
круг.) Что показывает число 3? (Сколько таких частей взя¬
ли.) Аналогичным образом учащиеся получают и записывают
другие дроби, объясняя, что показывает каждое число.Для закрепления полученных знаний выполняются такие же
упражнения, как и при ознакомлении с долями: по данным ил¬
люстрациям называют и записывают, какие дроби изображены,
или же изображают дробь с помощью чертежа, рисунка. Уяс¬
нению конкретного смысла дроби помогают упражнения на
сравнение дробей, а также решение задач на нахождение дроби
числа.Для сравнения дробей обычно используются иллюстрации с
равными прямоугольниками (рис. 74). Учащимся предлагается
начертить в тетради прямоугольник, длина которого 16 см, а
ширина I см. Это один прямоугольник. Запишем. (В первом
прямоугольнике записывают число 1.) Начертите под первым
прямоугольником такой же второй и разделите его на 2 равные
части. (Выполняют.) Какие доли получили? (Вторые, полови¬
ны.) Сколько вторых долей в целом прямоугольнике? Подпи¬
шите. Ниже начертите такой же прямоугольник и разделите
его на 4 равные части. Как называется каждая часть? Сколько
четвертых долей в целом прямоугольнике? Сколько четвертых
долей в половине? Что больше: одна вторая или одна четвер¬
тая; одна вторая или две четвертые; одна четвертая или три
четвертые; две вторые или четыре четвертые? Начертите четвер-/I141/111т141 I I111 1 111б ,1 .8,,,.в88 1 8в8Рие. 74Зв6
тый такой же прямоугольник и разделите его на 8 равных час-
хей. Как называются полученные доли? Сколько восьмых долей
в целом? Сколько восьмых долей в одной четверти; в половине
прямоугольника? Что больше: три восьмых или одна четвертая?
Какой дроби равна одна вторая?Ответы на все перечисленные вопросы дети дают, глядя на3	1рисунок: сравнивая, например, — и — , они по рисунку ви-3	1дят, что — больше, чем ~ того же прямоугольника. Такимже путем сравниваются и другие дроби, но для их сравнения
выполняются другие иллюстрации: например, для сравнения
дробей со знаменателями 3, 6 и 9 равные прямоугольники де¬
лятся соответственно на 3, 6 и 9 равных частей, а для сравне¬
ния дробей со знаменателями 2, 5 и 10 равные прямоугольники
делятся соответственно на 2, 5 и 10 равных частей.Предлагаются специальные упражнения на сравнение дро¬
бей:1)	Вставьте пропущенный знак «>», «<» или « = »;3	3 4,4 1Т*Т'’Т*‘=Т*Т2)	Подберите такое число, чтобы равенство (неравенство)
было верным:5 0 3^д^ _1_^]а10 2 ’ 8Выполняя такие и подобные упражнения, учащиеся прибе¬
гают к соответствующим иллюстрациям с прямоугольниками
или заново изображают дроби с помощью, например, отрезков.3	3Так, при сравнении дробей — и — ученик выполняет следую-8 4щую иллюстрацию (рис. 75) и рассуждает так: «Изображу наотрезке дробь —; для этого разделю отрезок на 8 равных
8частей и возьму 3 такие части; изображу на таком же отрезке
дробь ; разделю отрезок на 4 равные части и возьму 3 та-Ряс. 7520*	307
2312 мРис. 763	3кне части; сразу видно, что — отрезка больше, чем — его.3 3
Запишу: ~Конкретный смысл дроби очень ярко раскрывается при ре¬
шении задач на нахождение дроби числа. Решение этих задач,
как и задач на нахождение доли числа, выполняется с по¬
мощью соответствующих наглядных пособий.Например, предлагается задача: «У монтера было 12 м про¬
вода. — всего провода он израсходовал. Сколько метров
<5провода израсходовал монтер?»Учащиеся под руководством учителя выполняют чертеж
(рис. 76).Изобразим отрезком кусок провода, приняв 1 см за 1 м.
Какой длины отрезок надо начертить? (12 см.) Ято сказано об2израсходованном проводе? (Израсходовано всего провода.)3Как изобразить израсходованный кусок провода? (Отрезок раз¬
делить на 3 равные части и взять 2 такие части.) Значит, сна¬
чала мы 12 разделим на 3. Что этим узнаем? (Чему равна3провода.) Чему же она равна? (4 м.) Затем результат умно¬
жим на 2. Что этим узнаем? (Чему равны провода.) Сколь-Око же метров провода израсходовал монтер? (8 м.)Запись: 12:3*2 = 8 (м). Ответ: 8 м.В дальнейшем, решая такие задачи, учащиеся должны са¬
мостоятельно выполнять подобные рассуждения. Например, на-до узнать, сколько минут в — ч. Ученик рассуждает: «Най-4ду, сколько минут составляет -- ч, для этого 60 разделю на 4,40получится 15; теперь найду, сколько минут в — ч, для этого415 умножу на 3, получится 45; значит, - ч — это 45 мин».Задачи на нахождение дроби числа должны предлагаться
для устного и письменного решения.308
Несколько поздпее задачи на нахождение дроби числа
должны включаться в составные задачи, например: «Мотоцик-2лист проехал за 3 дня 1250 км. В первый день он проехал —53всего пути, а во второй день — всего пути. Какое расстояниепроехал мотоциклист в третий день?»Записывать решение таких задач лучше в виде отдельных
действий:1)	1250:5-2 = 500 (км)—проехал мотоциклист в первый
день;2)	1250:10-3 = 375 (км)—проехал мотоциклист во второй
день;3)	500+375=875 (км) — проехал мотоциклист за 2 дня;4)	1250—875 = 375 (км)—проехал мотоциклист в третий
день.Ответ; 375 км.Различные упражнения с дробями следует чаще включать
для устных и письменных работ на протяжении всего учеб'
ного года.
Глава VIIIВНЕКЛАССНАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ
И МЕТОДИКА ЕЕ ПРОВЕДЕНИЯВнеклассная работа по математике является составной ча¬
стью всего учебного процесса, естественным продолжением
работы на уроке.Основные задачи внеклассной работы следующие; углублять
и расширять знания и практические навыки учащихся; разви¬
вать логическое мышление, смекалку, математическую зор¬
кость; выявлять наиболее одаренных и способных детей, спо¬
собствовать их дальнейшему развитию, вырабатывать интерес
к математике; вовлекать детей в занимательные занятия, а этим
укреплять дисциплину, воспитывать настойчивость, любовь к
труду, организованность и коллективизм.Внеклассная работа отличается от классной тем, что она
строится на принципе добровольности. Здесь учащимся не вы¬
ставляют оценок, но обоснованность суждений, смекалка, быст¬
рота вычислений, использование рациональных способов реше¬
ния должна поощряться.Для внеклассной работы учитель подбирает доступный ма¬
териал повышенной трудности или материал, дополняющий
изучение основного курса математики, но с учетом преемствен¬
ности с классной работой. В отличие от урока внеклассная ра¬
бота носит характер математических развлечений, игр, сорев¬
нований. Здесь широко используются упражнения в занима¬
тельной форме. Однако, используя занимательность, надо пом¬
нить, что она ценна лишь в том случае, если способствует пони¬
манию математической сущности вопроса, уточнению и углуб¬
лению знаний по математике.Учитель должен тщательно продумать организацию вне¬
классной работы, с тем чтобы она обеспечивала активность,
инициативу и самостоятельность учащихся.Опыт учителей богат различными видами внеклассной ра¬
боты. Это внеклассные занятия, математические уголки, мате¬
матические вечера или утренники, математические кружки, кон¬
курсы, олимпиады.Рассмотрим каждый вид работы.310
Внеклассное занятиеВнеклассное занятие, или, как его иногда называют, «час
занимательной математики», обычно проводится для всего
класса. Продолжительность занятия различна: от 30 до 45 ми¬
нут Б зависимости от возраста учащихся. Такое занятие может
быть 1—2 раза в месяц. По содержанию оно должно быть свя¬
зано с работой на уроке, но здесь решаются задачи повышен¬
ной трудности, задачи-смекалки, задачи-шутки, занимательные
задачи с геометрическим содержанием, логические задачи, при¬
меры, уравнения, для решения которых используются интерес¬
ные приемы. Предлагаются задания на заполнение магических
квадратов, отгадывание задуманных чисел, разгадывание ре¬
бусов, шарад, загадок и др. Работу над этим материалом мож¬
но организовать в форме подвижных и тихих игр. Желательно
использовать красочные плакаты, рисунки, вводить сказочных
героев, чтобы создать эмоциональный настрой детей. На заня¬
тии целесообразно сочетать коллективную и индивидуальную
работу детей. Рекомендуется вести учет выполнения заданий
учащимися путем подсчета очков, при этом следует учитывать
не только правильность выполнения, но и умение его обосно¬
вать. Это даст возможность выявить победителей и отметить их.Рассмотрим внеклассное занятие, проведенное в начале вто¬
рой четверти во II классе при повторении и закреплении сло¬
жения и вычитания в пределах 100 ‘.Учительница сообщает детям, что сегодня внеклассное за¬
нятие по математике. Чтобы узнать, чем будем заниматься, на¬
до прочитать запись на обратной стороне плаката. Но сначала
надо решить самым удобным способом такой пример;1+2 + 3+4-Ь5-Ьб-Ь7-Ь8 + 9+10Первый, кто правильно решил и объяснил решение, повора¬
чивает плакат, на котором написано:Думать, решать, отгадывать.Далее она говорит, что надо быть очень собранным, внима¬
тельным, чтобы быстро и правильно выполнить все задания.
Организуются 3 команды. Каждая команда выбирает себе ка¬
питана. Капитаны занимают места за первыми столами.Первое соревнование — конкурс капитанов. Каждый
из капитанов должен решить за одну минуту примеры. Все на¬
блюдают, вычисляют про себя. На доске примеры в трех вари¬
антах, каждый вариант включает примеры вида:28-Ь36, 46 + 54, 100-7, 64-18, 93-65Выясняют, кто первый правильно решил все примеры.Учительница Кублицкая Н. А., базовая школа Гатчинского педучилни1а311
Учительница говорит, что за выполнение заданий команда
будет награждаться очками-жетонами: первая команда — жето¬
нами красного цвета, вторая — желтого, третья — зеленого. Же¬
тоны будут опускаться Знайке в карманы (вывешивается пла¬
кат с изображением Знайки, проводится краткая беседа о нем).Эстафета. Дается задание каждой команде — рассчитаться
по порядку и каждому участнику запомнить свой номер. Коман¬
да № 1 получает листок с цифрой 5, первый участник этой
команды прибавляет к числу 5 свой номер, следующий — при¬
бавляет к полученному результату свой номер и передает
дальше. Вторая команда получает листок с цифрой 6, тре¬
тья— 7. Последний в команде сдает листок учительнице. За
правильное выполнение — 5 очков. После выполнения задания
учительница проверяет и объявляет результат. Капитаны опу¬
скают жетоны в карманы Знайки. Так же ведется учет работы
и дальше.Решение задач-смекалок. Предлагаются задачи для устного
решения.1.	Из каких неповторяющихся монет можно набрать 20 коп.?
(1 очко.)2.	Слушай и думай: «Володю спросили: «Сколько девочек
в вашем классе?» Володя ответил: «Если из наибольшего дву¬
значного числа вычесть число, которое записывается двумя
восьмерками, и прибавить наименьшее двузначное число, то по¬
лучится число девочек». Сколько девочек было в классе?»
(3 очка.)3.	Дежурный на перемене поставил карточки (на наборноеполотно выставляются карточки с числами: |86 и 661) и спро¬
сил: «Кто из вас увеличит первое число на 12, второе на 33, не
прибавляя числа?» (2 очка.)4.	На одной тарелке на 10 орехов больше, чем на другой.
Сколько орехов нужно переложить с первой тарелки на дру¬
гую, чтобы их стало поровну? (2 очка.)5.	Отец принес корзину и сказал детям: «Вас бив корзинеО	груш. Разделите так, чтобы вам досталось по груше и в кор¬
зине осталась бы одна груша». (1 очко.)6.	Двое играли в шахматы 2 ч. Сколько часов играл каж¬
дый шахматист? (1 очко.)7.	Что больше: полметра, 5 дм или 50 см? (1 очко.)8.	На доске треугольники, четырехугольники, пятиугольни¬
ки, шестиугольники и один круг. Все фигуры из зеленой бумаги,
один четырехугольник — желтый. Вопрос: какая фигура «лиш¬
няя?» Чем она отличается от остальных? (1 очко за каждое ре¬
шение.)Игра «Лови, не зевай, правильно отвечай!»Учительница поясняет правила игры; «Я назову пример и
кому-то из участников игры брошу мяч, он должен быстро
вернуть мне мяч с ответом». Даются примеры:312
100-5; 25+16; 57+17; 67-17; 24 + 35; 27+13; 93-60;
75-15; 83-23; 4 + 27; 70-52.Игра, проходит в быстром темпе.Загадки. Учитель раздает карточки с записанными на ния
загадками капитанам команд. Отгадывать им помогает вся
команда.Бегу при помощи двух ког,Пока сидит на мне ездок.Мои рога в его руках,А быстрота в его ногах.Устойчив я лишь на бегу,Стоять секунду не могу.(2 очка.)Говорит она беззвучно,А понятно и не скучно.Ты беседуй чаще с ней,—Станешь вчетверо умней.(2 очка.)Без ног оно и без крыльев оно.Не видно его и не слышно его.Быстро летит — не догонишь его.(2 очка.)Подведение итогов. Капитаны подсчитывают очки и объ¬
являют результаты. Победителям вручается вымпел «За сме¬
калку».Такие занятия вызывают интерес у детей, их творческую
активность, желание выполнять задания, требующие напряжен¬
ной мыслительной деятельности.Математический уголокВедению внеклассной работы по математике помогает на¬
личие в классе уголка математики. Он создается учащимися под
руководством учителя. В нем могут быть выставки тетрадей
по математике, альбомы вырезок из газет с цифровыми данны¬
ми для составления задач, справочник цен, скоростей, норм по¬
севов, выработок, сборники самостоятельно составленных задач,
математические газеты. Здесь же помещается красочно оформ¬
ленная таблица с заданиями для решения задач, примеров и
различных упражнений. Это дает возможность учащимся в про¬
межутках между внеклассными занятиями получать новые за¬
дания и выполнять их. Название должно быть привлекатель¬
ным, например: «Смекай, решай, отгадывай!» или «Юный ма¬
тематик». В таблице имеется список учащихся, задание на не¬313
делю (или другое число дней) и конверт или коробка для отве¬
тов учащихся. По истечении намеченного срока учитель прове¬
ряет решения учащихся, оценивает работу очками и результа¬
ты заносит в таблицу. Ошибки анализируются или на внекласс¬
ном занятии, или после уроков.Учащиеся активно участвуют и обычно ждут новых заданий.
Одновременно можно предлагать 4—5 заданий: задачу повы¬
шенной трудности, задачу-смекалку или
задачу-шутку, магические квадраты.
Приведем примеры заданий.16Заданиядля I класса1.	Заполни клетки квадрата так, что¬
бы при сложении трех чисел по строкам,
столбикам и с уголка на уголок получи¬
лось одинаковое число.2.	Два отца и два сына пришли в театр и заняли 3 места,
Как это случилось?3.	Переложи одну палочку так, чтобы получилось два тре¬
угольника (рис. 77).4.	Что тяжелее: 1 кг ваты или 1 кг железа?Задания для И класса1.	Мальчику дали четыре фишки с числами и предложили
разложить их по две так, чтобы суммы каждой пары чисел бй-
ли равны между собой. Мальчик разложил фишки на столе так:
11Д \Щ	и никак не мог решить задачу. Помоги ему.2.	Рассмотри внимательно числа первой строки. Каких чи¬
сел не хватает во второй строке? В третьей строке? (Если они
составлены так же, как и числа первой строки.)23233222337677493.	Тройка лошадей проскакала 30 км. Сколько километров
проскакала каждая лошадь?4.	Сколько всего квадратов? (Рис. 78).Задания для П1 класса1.	Сумма и произведение четырех чисел равны 8. Что это
за числа?314
Рис. 77Рис. 782.	Как поставить 16 стульев у четырех стен комнаты, чтобы
у каждой стены стояло по 5 стульев? (Решение выполнить па
рисунке.)3.	Решить устно: (254-399 + 399): (399-256-399).4.	Моя бабушка очень любит день своего рождения и празд¬
нует его, хотя и не каждый год, но каждый раз. В 1968 году
она отпраздновала шестнадцатый раз день своего рождения.
В каком году и какого числа родилась бабушка?Математический вечерМатематический вечер (или математический утренник) ор¬
ганизуется для учащихся двух-трех параллельных классов в
виде соревнующихся команд.В период подготовки математического вечера силами круж¬
ковцев выпускается очередной номер газеты, выбирается жюри
из числа учащихся' старших классов, предлагается соревную¬
щимся командам подготовить интересные вопросы друг другу.Приведем описание математического вечера учащихся двух
третьих классов'.Организация вечера. Ведущий сообщает, что сегодня не¬
обычное занятие, сегодня — математический вечер. На нем бу¬
дут определены классы, которые лучше знают математику и кто
из ребят самый сообразительный. За работу каждого класса
отвечает командир, он же выделяет учащихся для выполнения
отдельных заданий. Называют командиров и представляют
жюри (из числа студентов), которые будут вести учет выполне¬
ния заданий.Беседу. Далее проводится беседа по картине «Устный счет»
Богданова-Бельского. Картина дана в увеличенном плане через
эпидиаскоп. Дети хорошо рассказали содержание картины, а
одна из студенток уточнила, что на ней изображен учитель
С. А. Рачинский со своими учениками, что у него учился ху¬
дожник этой картины и что школа эта была замечательна тем,Вечер провели учащиеся Гатчинского педучилища.315
что учащиеся быстро и правильно считали устно. Далее дети
под руководством студентки решили пример, написанный на
доске:10-10+11-11 + 12-12+13-13+14-14
365Соревнование. Командам даются задания;1.	Решить уравнение: 1 280*д: + 40 = 40.2.	Найти значение выражения; 8-125—(198-2 —99-4).Ответы обосновываются. Ведуш,ин отмечает, что выполне¬
ние этих заданий требует знания действий с нулем, и предла¬
гает прослушать стихотворение о нуле (читает ученица);Когда-то многие считали,Что нуль не значит ничего.И, как ни странно, полагали.Что нуль совсем не есть число.Коль нуль к числу ты прибавляешь
Иль отнимаешь от него,В ответе тотчас получаешь
Опять то самое число.Попав как множитель средь чисел,Он сводит мигом всех на нет.И потому в произведенье
Один за всех несет ответ.А относительно деленья.Во-первых, нужно помнить то,Что уж давно в научном мире
Делить на нуль запрещено.Причина всем ведь очевидна,А состоит причина в том.Что смысла нет в таком деленьи,Противоречье в нем самом.Игра «Арифметический бег». Ведущий говорит, что для бы¬
строго и правильного решения сложных примеров надо хоро¬
шо знать таблицу умножения. Сейчас проверим, как вы ее
знаете. Из каждого класса командиры выделяют по 9 человек,
ведущие прикрепляют им номера от 1 до 9. Ведущий называет
произведения; 56, 54, 10, 12, 24, 5, 27; а «множители» в той и
другой группе встают парами. Учитывают правильность и
быстроту решений.Задачи на смекалку. Кал<дому классу предлагается по од¬
ной задаче:316
тРис. 791.	Имеются три одинаковых на вид кольца, из которых одно
легче каждого из остальных, равных по массе. Как узнать од¬
ним взвешиванием, какое из трех колец легче? (1 очко.)2.	Есть четыре бочки с керосином. Шоферу нужно отвезти
их по две бочки в каждую бригаду так, чтобы в первую брига¬
ду взять не самую большую из двух больших и не самую ма¬
ленькую из двух меньших. Остальные нужно отвезти во вто¬
рую бригаду. Сколько литров керосина отвезли в каждую
бригаду? (Рис. 79.) (1 очко.)Конкурс на лучшего счетчика. Всем участникам вечера вы¬
даются карточки с примерами, которые надо решить в течение5	минут. Карточки даны в разных вариантах, но одинаковой
трудности. Образец карточки;1)9‘3+ 66
-372)27
• ,3
+ 89
-693)564). 565) ’ 808■■ '8“35•9• 9:926-26• 7+ 65По истечении 5 минут жюри проверяет и оценивает работу.
(За каждый верно решенный пример— 1 очко.)Вопросы команд друг другу. Одна команда задала вопрос
геометрического содержания, а другая — загадку. Оценивались
сами задания и их выполнение.Подведение итогов. Появляется Знайка (одна из студенток
оделась в костюм Знайки). Он интересуется успехами и просит
жюри подвести итоги. Жюри обстоятельно рассказывает, как
шло соревнование, в каком классе была высокая активность,
в каком классе наилучший результат. Знайка вручает коман¬
диру памятный приз.Как внеклассное занятие, так и математический вечер мо¬
жет быть обзорным, а также тематическим («Задачи на дви¬
жение», «Метрическая система мер», «Как люди научились счи¬
тать» и др.).В математический вечер или внеклассное занятие могут
быть включены викторины вида «Знаете ли вы математику?».317
включающие вопросы , по разным разделам программы. При¬
ведем пример викторины для учащихся III класса.1.	На сколько 5 единиц второго класса больше 5 единиц
первого класса?2.	Написать наибольшее и наименьшее четырехзначные чис¬
ла цифрами: 7, 8, 9, 0.3.	Восстановить цифры;2?? , ?2?~?6? 2?2128 ?0004.	Во сколько раз произведение двух чисел больше одного
из множителей?5.	Нужно было умножить число на 6, но его по ошибке раз¬
делили на 6 и получили 15. Какой должен быть правильный
ответ?6.	Сколько миллиметров в одном километре?7.	Из четырех пятерок и знаков арифметических действий
образовать число 100.8.	Решить уравнения самым легким способом:1	278-л:=1 278-290 43-л:=90-869.	На сколько единиц увеличится число, если его увеличить
в 3 раза?Математический кружокДля более углубленной работы с детьми, проявляющими
особый интерес к математике, начиная со II—III класса орга¬
низуют математические кружки. Занятия кружка должны про¬
водиться систематически (2—3 раза в месяц) с постоянным со¬
ставом учащихся по определенному плану. Обычно кружок ор¬
ганизуется для учащихся параллельных классов одной школы
или нескольких школ (так называемый клуб юных математи¬
ков). На занятиях кружка детей знакомят с новыми приемами
вычислений, способами решения задач повышенной трудности,
с некоторыми вопросами из истории математики и др. Как и в
других видах внеклассной работы здесь широко используются
занимательные упражнения. Члены кружка привлекаются к
оформлению математических уголков, выпуску газет (напри¬
мер, посвященных юбилейным датам выдающихся математи¬
ков), а также к подготовке математических вечеров. Методика
проведения кружка должна быть такой, чтобы учащиеся не
только с интересом работали на самом занятии, но и активно
готовились к нему. Вот одно из первых занятий кружка, кото¬
рое было проведено в III классе.1.	На доске записано:25+17-^0 12 + 0 +18= 100318
Вместо квадратов поставьте числа, если известно, что спи
равны.2.	Сумму восьми слагаемых: 39+24+17+44 + 56 + 83 +
+ 76+61, найдите с помощью сложения и умножения (не про¬
изводя сложения по порядку).3.	Задачи.а)	Когда Юру спросили, сколько ему лет, он ответил;«Если из наименьшего трехзначного числа вычесть наимень¬
шее двузначное и от результата найти одну десятую часть, то
узнаете, сколько мне лет». Сколько лет Юре?б)	Мама положила конфеты на 6 тарелочек: на первую —1	конфету, на каждую следующую на 2 конфеты больше, чем
на предыдущую. «Все эти конфеты,— сказала она трем своим
дочерям,— я отдам той из вас, которая догадается, как можно
эти конфеты раздать троим поровну, не снимая их с тарелок».
Одна из девочек сделала так, как сказала мама. Как она это
сделала?Для решения этой задачи было разрешено вырезать 6 круж¬
ков-тарелочек и в каждой записать число конфет; 1, 3, 5, 7,9,	П.На последующих занятиях задания усложняются, включа¬
ются частные способы умножения и деления на 5, 25, 50, 125,
решение уравнений, задачи-головоломки, логические задачи.
Очень полезно в конце учебного года провести заключительное
занятие кружка в присутствии всех учащихся этих классов
и родителей.В последние годы широко используется такая форма про¬
ведения внеклассных занятий, математических вечеров, заня¬
тии кружка или клуба юных математиков, как математический
КВН (клуб веселых и находчивых). Тогда всех участников
разбивают на команды, выбирают капитанов и жюри (из ше-
фов-пионеров или родителей). Занятия проводятся в виде со¬
ревнований: конкурс капитанов (ведущий — учитель или ученик
предлагает им по 1—2 задания), вопросы ведущего командам,
соревнования команд (решение примеров, задач, эстафеты и
др.), математические вопросы команд своим «противникам»
(по 3—4 вопроса, подготовленных командой заранее). Победи¬
телей соревнований жюри объявляет тут же, подсчитывает оч¬
ки за правильность и быстроту выполнения, оригинальность
рассуждения, за интересные задания. Вот описание одного из
занятий клуба юных математиков для учащихся II—III клас¬
сов, проведенного в виде КВНДевиз КВН: «Думай, пробуй и ищи, будет трудно — не
пищи».' См.: М. Г. Ганеев. Клуб юных математиков.— Начальная школа,
1971, № П.319
Конкурс капитанов1. Используя три раза цифру 3 и зна¬
ки действий, записать число 30. Какие еще числа можно запи¬
сать при том же условии? (За каждое записанное число 1 оч¬
ко.) 2. Разность каких двух чисел равна их сумме?Вопросы ведущего командам. 1. Мальчик пошел в соседнюю
деревню и за 1 ч 20 мин дошел туда. Когда он шел обратно,
прошло только 80 мин. В каком случае он затратил времени
больше?2.	Отцу 48 лет, а сыну на 2 года больше, чем половина от¬
цовских лет. Сколько лет сыну?3.	Сколько получится, если сложить наибольшее трехзнач-
ное число и наименьшее однозначное?Конкурс команд. Расставить в клетках
числа: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 так, что¬
бы по строкам, столбикам и с уголка на
уголок в сумме получилось 27.Каждому участнику выдается листок с
квадратом для самостоятельного заполне¬
ния. Выигрывает та команда, у которой
будет наибольшее количество правильных
решений.Математическая эстафета. Перед каждой командой выве¬
шивается лист бумаги с примерами, в которых пропущены
знаки действий. Участники команды по очереди решают приме¬
ры. Капитаны имеют право исправить ошибки во всех приме¬
рах. Учитывается правильность и быстрота выполнения всей
работы:4*8*9 = 41	99*19*20=100 56*7*4 = 327*5*25=60 27*3*2=18 124*2*2=124
63*7*3 = 3	66*36*5=6 125*5*2 = 50Конкурс домашних заданий. Участники команд задают друг
другу по четыре математических вопроса. Учитывается, кто
задает наиболее интересные вопросы, и правильность ответов.Жюри подводит итог и объявляет победителей.Конкурсы, олимпиадыДля выявления лучшего математика класса проводятся ма¬
тематические конкурсы. Тема конкурса и время его проведения
намечаются заранее (например: решение задач, устные и пись¬
менные вычисления, геометрические задания и др.). Учитель
проводит соответствующую работу по разъяснению целей и за¬
дач конкурса, с тем чтобы у детей появились интерес и жела¬
ние участвовать в конкурсе, чтобы они смогли готовиться к это-' Здесь приводятся задания для одной команды, задания для другой
команды аналогичны.320
му соревнованию. Задания выполняются письменно н оцени¬
ваются очками.Олимпиады имеют те же цели, что и конкурсы, но они по¬
зволяют из параллельных классов школы выбрать наиболее
способных учащихся, проявляющих особый интерес к матема¬
тике. Победителей олимпиад обычно направляют на городские
или районные, а иногда и областные олимпиады.Проведению олимпиад предшествует решение задач, выпол¬
нение различных упражнений всем классом и проведение тема¬
тических конкурсов. Самостоятельное выполнение таких зада¬
ний поможет выявить устойчивость знаний и способность бы¬
стро ориентироваться в материале. Несколько таких занятий,
а также занятия кружка помогут выявить тех учащихся, кото¬
рых можно допустить к участию в олимпиаде. Олимпиады
обычно проводятся в три тура. Степень трудности от одного
тура к другому повышается. Первый и второй тур можно про¬
вести заочно, третий — очно. Городские (районные) и област¬
ные олимпиады иногда проводятся через детские газеты.Вот материал третьего заключительного тура математиче¬
ской олимпиады, проведенной в Ленинграде и Ленинградской
области в 1969 году.1.	Сумма уменьшаемого, вычитаемого и разности равна 624.
Найти уменьшаемое, вычитаемое и разность, если разность
меньше вычитаемого на 56.2.	Имеются два сосуда вместимостью вЗли5л. Ка ко
помощью этих двух сосудов налить из водопроводного крапа4	л воды?3.	Найти уменьшаемое и вычитаемое:*»«» — *«•* =44.	Не выполняя действия умножения, указать, какое произ¬
ведение больше и на сколько.1	236-738 или 412-2215Правильная организация внеклассной работы по матема¬
тике в значительной степени будет способствовать всесторон¬
нему развитию умственных сил учащихся: их наблюдатель¬
ности, любознательности, интересу к математике.ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙВ процессе изучения курса методики математики будущий
учитель должен не только усвоить основные теоретические по¬
ложения, но и овладеть умением осознанно применять знания
на практике,, научиться работать с методической литературой21 Заказ № 4487	321
в школьными учебниками, приобрести умения плавиретать ра¬
боту по математике, анализировать деятельность учителя иуча-
ш,ихся, выбирать наиболее эффективные методы и средства
обучения математике. Эти умения формируются в результате
выполнения специальных упражнений на занятиях, на педаго¬
гической практике и в процессе самостоятельной работы над
курсом.1При рассмотрении большинства тем курса методики началь¬
ного обучения математике целесообразно выполнить следующие
задания, направленные на воспроизведение и применение тео¬
ретических знаний:1.	Назвать задачи изучения темы, определенные программой,
место этой темы в начальном курсе, связь с другими темами.2.	Раскрыть содержание темы, порядок изучения входящих
в нее вопросов и связь между ними.3.	Охарактеризовать (а при необходимости изготовить) ос¬
новные средства обучения (наглядные пособия, дидактические
материалы, технические средства).4.	Изучить соответствующий раздел учебника, а также пла¬
нирование темы, которое дается в пособиях для учителя «Ма¬
тематика в I (И, III) классе».5.	Провести наблюдения уроков и внеклассных заиятий по
математике в школе, дать их анализ.6.	Дать анализ отдельных уроков, которые приводятся в
методических указаниях и в статьях журнала «Начальная
школа».7.	Разработать конспект наиболее типичного урока по те¬
ме или фрагмент урока, конспект внеклассного занятия.8.	Изучить и законспектировать отдельные статьи из жур¬
нала «Начальная школа» и из других методических пособий по
указанию преподавателя (подробно, кратко, выборочно).9.	Подготовить небольшой доклад (по вопросам историче¬
ского характера, по вопросам, отражающим положительный
опыт учителей советской и зарубежной школы, и др.).10.	Подобрать литературу по теме и составить библиог¬
рафию, дать аннотацию к работам, указанным преподавате¬
лем.11.	Ознакомиться с контрольными работами учащихся по
математике в I—III классах, установить, соответствует ли их
объем и выставленные отметки тем требованиям, которые сфор¬
мулированы в «Нормах оценок по математике».12.	Проверить самостоятельные работы учащихся I—III
классов, выявить типичные ошибки, установить првчийы их
возникновения и составить дифференцированные задания с
Ц€лью устранения выявленных ошибок.322
IIПрактические задания по основным разделам курса
методики математики‘Нумерация1.	Найдите в учебнике по математике для I—III классов
упражнения, с помощью которых раскрываются порядок сле¬
дования чисел при счете, их сравнение, образование, название
и запись. Приведите рассуждения ученика при выполнении этих
упражнений.2.	Укажите, какие знания по нумерации формируются с
помощью следующих упражнений:а)	назовите число, в котором 7 дес. и 8 ед. (6 сот. 5 дес.7	ед. и др.);б)	сколько единиц каждого разряда в числе 45? (273?
7350? и т. п.);в)	запишите число 37 (699, 8032 и др.) в виде суммы раз¬
рядных слагаемых.Найдите в учебнике или составьте сами другие упражне¬
ния, направленные на формирование этих знаний.3.	Приведите пояснения ученика при выполнении следующих
упражнений, назовите, какие знания по нумерации применяют
здесь ученики:а)	Сколько сантиметров в 1 дм? в 2 дм? в 9 дм? Сколько
дециметров составляют 30 см? 40 см? 70 см?б)	Сравни длины отрезков и вставь пропущенные знаки
«>», «<», « = »; 2 дм 18 см, 3 дм 2 см * 32 см, 4 дм 3 см *3	дм 4 см.в)	Рещите примеры: 1 999+1, 7695-600, 17-100, 420:10.4.	Сформулируйте выводы, которые учащиеся усваивают
в процессе изучения нумерации:а)	как записывают двузначные {трехзначные, многознач¬
ные) числа;б)	как читают двузначные (трехзначные, многозначные)
числа;в)	как умножить число на 10, на 100 и 1000;г)	как разделить число на 10, на 100 и на 1 ООО без остатка
и с остатком;я) как узнать, сколько всего в данном числе единиц (де¬
сятков, сотен).5.	Используя эндиклопедни, справочники, периодическую пе¬
чать, подберите числовой материал, имеющий познавательн|гю
и воспитательную ценность, который целесообразно использо¬
вать при изучении нумерации (по концентрам).‘ Приведенные здесь упражнения даны в обобщенном вид-е, но их легка
расчленить и выполнить при изучении отдельных тем.21»	323
6.	Установите причины ошибок учащихся при выполнении
упражнений;а)	какое число при счете идет перед числом 9? (Ответ:
10); б) запишите число сорок тысяч восемьдесят (запись:
40 ООО 80 или 4080).Приведите примеры других ошибок учащихся по нумерации.7.	Используя схему разбора числа (см. с. 131 данного по¬
собия), разберите число 9019. Укажите, какие знания и умения
закрепляются при выполнении каждого задания.Арифметические действия1.	Найдите в учебниках по математике для I—III классов
упражнения, направленные на раскрытие конкретного смысла
арифметических действий. Составьте аналогичные упражнения
и выполните их, используя соответствующие операции над мно¬
жествами.2.	Назовите свойства арифметических действий, связи и
зависимости между компонентами и результатами действий,
которые изучаются в I—III классах. Найдите в учебниках уп¬
ражнения, используемые при подготовке к изучению, при озна¬
комлении и закреплении знаний этих свойств, связей и зависи¬
мости.3.	Выполните действия (где возможно, с развернутой запи¬
сью вычислительного приема), назовите, какие знания приме¬
няют дети при решении каждого примера, приведите полное и
сокращенное объяснение приема:а)	5+1, 5-1, 7+2, 10-4, 2 + 6, 9-7, 0 + 5, 6-0б)	20+7, 36-30, 73 + 20, 48-6, 60-7, 8 + 5, 14-6, 38 + 7,
43-7, 54+12, 96-72, 54+17, 73-58в)	7.4, 36:9, 6-10, 70:7, 12-1, 15-5, 3-18, 72:3, 84:12, 0-4,
0:6, 35:8, 80:20г)	60 + 80, 240-70, 90-6, 420:7, 357 + 268, 806-523д)	90 106-39 507, 165-7, 9600-4, 156-100, 326-40, 5200:80,
346-23, 548-407, 3648:8, 8405:6, 640:10, 7345:100,
1520:37, 780 702:78, 46005:570, 1143:127 (при объясне¬
нии решения примеров на деление используйте схему на
с. 149 данного пособия).4.	Подберите из учебника или составьте сами подготови¬
тельные упражнения, которые целесообразно включать перед
введением следующих приемов вычислений: 10—7, 8+5, 24-3,
72:6, 17-30, 420:70 (сначала назовите, какие знания и умения
должен применить ученик при объяснении каждого из этих
приемов).5.	Установите, на каком этапе формирования вычислитель¬
ного навыка целесообразно использовать каждое из следующих
упражнений. Укажите, в какой последовательности надо вклю¬
чать эти упражнения в процессе обучения:324
а)	решите примеры с подробным объяснением: 16-3, 23-4,
35-2;б)	решите примеры удобным способом: (10 + 7) -4, (20 + 6) -3;в)	решите примеры разными способами: (5 + 4)-6, (20 + 30)-2;г)	объясните решение примера и закончите вычисления:.18-4=(10 + 8)-4= ... .д)	найдите ошибки в решении примеров и решите примеры
правильно:19-4=(10 + 9)-4 = 40 + 32=72
19-4=Ю-4 + 9 = 49
32-3 = 30-3 = 90е)	из данных примеров; 9-10, 15-6, 20-4, 8-8, 3-30, 31-3
выпишите и решите только те, при решении которых пользуют¬
ся правилом умножения суммы на число;ж)	Решите примеры из учебника, записывая в тетради толь¬
ко ответы.6.	Объясните приемы вычислений: а) на этапе ознакомле¬
ния с приемом, б) на этапе закрепления знания приема:740	74^8 ^80Поставьте вопросы учащимся на сравнение приемов вычислений.7.	Приведите подробное и краткое пояснение приема вычис¬
лений:^648
^ 209Прочитайте каждое неполное произведение.8.	Установите причину ошибок, допущенных учащимися, в
следующих вычислениях:а)	6 + 2 = 7б)	8-4 = 8-2 = 6в)	63 + 20= (60 + 3)+20 = 60 + 20 = 80г)	90-24 = 90-(20 + 4) = (90-20)+4 = 74д)	94-20= (90 + 4)-20= (90-20)-4 = 66е)	23 + 4 = 63ж)	63-7 = 64з)	17.4=(10 + 7)-4=10-4 + 7 = 47и)	68:34= (60 + 8): (30 + 4) = (60:30)+ (8:4) =22
к) 65:7 = 8 (ост. 9)Просмотрите тетради учащихся, выпишите типичные ошиб¬
ки, допускаемые ими при выполнении письменных вычислений,
и установите причину их появления.Задачи1.	Назовите виды простых задач, рассматриваемых в на¬
чальных классах. Найдите в учебниках по математике для I—
И классов задачи соответствующих видов и по отношению к325
каждой из них выполните иллюстрацию, запишите решение,
объясните выбор арифметического действия, составьте две
обратные задачи и назовите их вид (используйте «памятку»
на с. 203).2.	Расскажите, какую подготовительную работу целесооб¬
разно провести до ознакомления с решением приведенных ниже
задач, как ознакомить с их решением и как закрепить умение
решать задачи такой структуры. Выполните краткую запись
каждой задачи, запишите решение и его проверку (используйте
<^памятку» на с. 223 данного пособия).а)	На одной улице построили 6 новых домов, а на другой
на 2 дома меньше. Сколько новых домов построили на этих
улицах?б)	За несколько пар коньков, ценой по 5 руб., уплатили
20 руб., а за столько же пар ботинок к ним по одинаковой це¬
не уплатили 56 руб. Сколько стоила пара ботинок?в)	Для двух тракторных бригад было доставлено горючее
в одинаковых бочках. Первая бригада получила 90 ц горю
чего, а вторая 66 ц. При этом вторая бригада получила на8	бочек горючего меньше, чем первая. Сколько бочек горючего
получила каждая бригада?г)	От двух пристаней, расстояние между которыми 357 км,
одновременно отошли навстречу друг другу два быстроходных
катера. Скорость одного из них 61 км в час, а другого — 58 км
в час. Через сколько часов катера встретятся?Выполните такую же работу по отношению к составным
задачам других видов.3.	Найдите в учебнике или составьте упражнения творче¬
ского характера, используемые при решении задач. Как про¬
вести работу с этими упражнениями в классе? Какие вопросы
следует поставить учащимся при выполнении этих упражнений?4.	Объясните причину ошибок, допущенных учащимися при
решении задач:а)	В коробке 8 катушек белых ниток и 2 катушки черных.
На сколько катушек белых ниток было больше, чем черных?Решение; 8 + 2=10 (к.)б)	От одного мотка провода отрезали 6 м, а от другого 4 м.
Сколько метров провода отрезали от этих мотков?Решение: 6 — 4 = 2 (м)в)	Алеше надо было решить 8 примеров, а он решил на2	примера больше. Сколько всего примеров решил Алеша?Решение: (8 + 2)-]-8=18 (пр.)Используя детские работы, найдите другие типичные ошиб¬
ки, допускаемые учащимися при решении задач, и укажите
пути их предупреждения.5.	Прочитайте фрагмент урока, на котором велось обучение
решению простой задачи с использованием «Памятки» (каж¬
дый ученик называл задание «Памятки» и выполнял его).
Первый ученик. Читаю задачу; «В нашем доме 5 эта¬
жей, а в соседнем доме на 4 этажа больше. Сколько этажей
в соседнем доме?»Второй ученик. Называю, что известно: известно, что
в нашем доме 5 этажей и что в соседнем на 4 этажа больше.Третий ученик. Называю, что надо узнать; надо узнать,
сколько этажей в соседнем доме.Четвертый ученик. Объясняю, как решить задачу; в со¬
седнем доме на 4 этажа больше, это значит, столько, сколько
в нашем доме, и еш,е 4 этажа; надо к 5 прибавить 4.Пятый ученик. Решаю задачу; к 5 прибавить 4, полу¬
чится 9.Шестой ученик. Называю ответ; в соседнем доме 9 эта¬
жей.Задание; выпишите задания «Памятки», которыми руко¬
водствовались дети при решении простой задачи, установите,
выполнение каких заданий будет изменяться при решении про¬
стых задач других видов; объясните, в чем эффективность та¬
кого методического приема обучения решению задач.6.	На этапе закрепления умения решать задачи на пропор¬
циональное деление учитель использовал следующий прием
дифференцированного обучения.Учащимся была предложена задача; «В два района отпра¬
вили 10 000 учебников одинаковыми пачками; в один район
200 пачек, а другой 300 пачек. Сколько учебников отправили
в каждый район?» Для учащихся, которые еще не овладели
умением решать задачи этого вида, учитель упростил задачу,
поставив к ней такой вопрос; «Сколько учебников было в одной
пачке?» Для учащихся, которые хорошо овладели умением ре¬
шать задачи на пропорциональное деление, учитель усложнил
задачу, поставив к ней такой вопрос; «На сколько меньше учеб¬
ников отправили в первый район, чем во второй?»Задания; а) объясните,в чем эффективность этого приема
дифференцированного обучения; б) найдите в учебниках по
математике задачи других видов, при работе над которыми
можно использовать этот прием дифференцированного обучения.Алгебраический и геометрический материал1.	Найдите в учебниках упражнения на сравнение чисел, на
сравнение числа и выражения, на сравнение двух выражений.
Приведите рассуждения учащихся при выполнении этих упраж¬
нений. Усвоению каких арифметических знаний и умений спо¬
собствуют эти упражнения?2.	Установите назначение следующих упражнений:1)	прочитать выражения: 7-4, 30-Ь7>4, 85:5—40:8;2)	записать в ^иде выражения; первое слагаемое 19,'второе
выражено частным чисел 72 и 24;
3)	если число 2 ч обозначает время движения, 60 км в час —
скорость автобуса, 180 км — расстояние между городами, то что
обозначают следующие выражения: 60-2, 180:60, 180:2,
180-60-2?Назовите другие упражнения, направленные на формирова¬
ние этих же умений.3.	Установите причину ошибок, допущенных учащимися при
решении уравнений:]6-х=9	90-90:л:=0	24+16-л:=40л=16 + 9	90:л:=90 0	40-л:=40х = 25	90:л:=90	х = 40:40д: = 90:90	х= 1		 24+16-1 = 4090-90:90 = 025-16 = 94.	Установите, какие знания и умения применяют учащиеся
при выполнении следующих упражнений:а)	придайте букве а еще несколько значений так, чтобы
произведение а-4 каждый раз увеличивалось;б)	назовите значения буквы а, при которых верны следую¬
щие равенства и неравенства: а-4<8, а-4 = 8, а-4>8.Предложите учащимся задания на обоснование правильно¬
сти решения.5.	Прочитайте и дайте оценку объяснений, которые дава¬
лись к проверке решения уравнения 560: (л: —9) =56:а)	Проверим, правильно ли решено уравнение. Для этого
подставим значение х в уравнение и проверим, верное ли ра¬
венство получилось. Вычислим левую часть равенства, сравним
с правой частью. Равенство верное, значит, уравнение решено
правильно.б)	Проверим решение уравнения. Подставим значение х
в левую часть уравнения и вычислим значение полученного вы¬
ражения. Сравним его с данным значением. Они равны, значит,
уравнение решено правильно.в)	Чтобы проверить, правильно ли решено уравнение, надо
подставить вместо х число 19 в это уравнение.г)	Чтобы проверить, правильно ли решено уравнение, надо
подставить число 19 в уравнение ;с—9=10, потому что оно
проще.6.	Подберите по учебникам математики для I—И1 классов
разнообразные упражнения с многоугольниками. Укажите, ка¬
кие знания и умения формируются при выполнении каждого
упражнения.7.	Сравните математическое содержание и практическую на¬
правленность следующих задач:а)	Найти сумму длин сторон квадрата, если длина одной
стороны 1 м 5 дм.328
б)	Сколько метров доски потребуется, чтобы сделать песоч¬
ницу квадратной формы, сторона которой равна 1 м 5 дм?Составьте сами пары таких задач на вычисление периметра
и площади прямоугольника.8.	Учитель записал в плане урока: «Практическая работа
учащихся на преобразование перегибанием четырехугольника
в другие многоугольники». На уроке по заданию учителя три
ученика перед классом показали на бумажных моделях, как
можно путем перегибания четырехугольника разделить его на
два треугольника, на два четырехугольника, на треугольник и
четырехугольник. Остальные дети наблюдали за работой этих
учеников.Как правильно назвать упражнение, выполненное на уроке?Какой должна быть организация выполнения данного уп¬
ражнения на уроке, чтобы можно было говорить о практической
работе всех учащихся?Назовите другие практические работы, которые можно про¬
вести при изучении геометрического материала, опишите обо¬
рудование и организацию выполнения этой работы на уроке.9.	Приведите пояснения учеников, которые они дают на раз¬
ных этапах изучения темы «Площадь фигуры» при решении
задачи; «Чему равна площадь прямоугольника со сторонами6	см и 4 см?»Величиныв работе над величинами (длина, площадь, масса, время)
в начальных классах можно выделить условно ряд этапов:1.	Выделение величины как свойства окружающих предме¬
тов, сравнение предметов (явлений) по данному свойству и
установление отношений «больше», «меньше», «одинаково».2.	Знакомство с общепринятыми единицами данной величи¬
ны, формирование наглядных представлений о каждой единице,
усвоение количественных отношений между единицами.3.	Знакомство с измерительными инструментами и прибора¬
ми, с процессом измерения величин, формирование измеритель¬
ных умений.4.	Упражнение в сравнении значений величин, в преобразо¬
вании значений величин (замена крупных единиц мелкими и
обратно, мелких — крупными), в выполнении арифметических
действий над величинами.Установите, на каком этапе работы над длиной отрезка мо¬
гут быть использованы следующие упражнения:1)	Найдите среди этих карандашей такой, который длиннее
(короче), чем зеленый карандаш; найдите карандаши такой же
длины.2)	Сравните длину отрезков и вставьте пропущенные знаки
«>'», «<», « = »: 1м 5 дм * 5 м 1 дм, 2 м 05 см * 205 см,3	м * 9 дм.329
3)	Найдите на руке расстояние, равное 1 дм (приложите
модель дециметра так, чтобы видно было, что эти отрезки оди¬
наковые) .4)	Измерьте и запишите, сколько сантиметров в 1 дм. На
сколько дециметр больше сантиметра?5)	Проведите прямую линию, поставьте точку — это начало
отрезка; приложите линейку так, чтобы начало отрезка совпало
с цифрой нуль на линейке; теперь отсчитайте по линейке 3 см:
от нуля до единицы — первый сантиметр, от единицы до двух —
второй, от двух до трех — третий; поставьте на прямой вторую
точку — это конец отрезка, он совпадает с цифрой 3 на линей¬
ке. Какова длина этого отрезка?6)	Возьмите в руки такую геометрическую фигуру. Что
это? Надо найти сумму длин сторон этого квадрата. Как это
можно сделать? Находите любым способом.7)	Главная улица Ленинграда — Невский проспект — имеет
длину 4 км 300 м. Выразите ее длину в метрах,8)	Вставьте пропущенные наименования единиц длины:а)	длина столовой ложки — 20... ;б)	длина шага — 5... ;в)	высота березы—12... ;г)	толщина спички — 2... .9)	С помощью портновского сантиметра или полоски бума¬
ги определите свой размер шапки, размер по вороту рубашки
для мальчика.10)	Сравните мысленно ширину классной доски (1 м) и вы¬
соту класса. Определите на глаз высоту класса.Задания:а)	Найдите в учебниках математики упражнения, предна¬
значенные для изучения величин — масса, время, площадь,
установите их назначение и место (на каком этапе их целе¬
сообразно включать).б)	Составьте задачи практического содержания или прак¬
тические работы, которые полезно использовать при изучении
величин в I—III классах.в)	Составьте перечень оборудования, используемого при
изучении величин в I—III классах.IIIЗадания для самостоятельной работы
учащихся педагогического училищаИспользуя методическую литературу и наблюдения в шко¬
ле, подготовьте и сделайте сообщения.Примерные темы сообщений (докладов):1.	Связь с жизнью при обучении математике (по классам).330
2.	Самостоятельная работа учащихся на уроках математики
(по классам).3.	Домашние задания по математике, методика их задава¬
ния и проверки.4.	Элементы проблемного обучения на уроках математики.5.	Приемы активизации умственной деятельности учащихся
на уроках математики.6.	Наглядные пособия, их роль и использование при изуче¬
нии следующих тем: нумерация чисел в пределах 100, нумера¬
ция чисел в пределах 1000, нумерация многозначных чисел, сло¬
жение и вычитание в пределах 100, умножение и деление в
пределах 100, обучение решению простых задач, обучение ре¬
шению составных задач, обучение решению задач, связанных с
движением, изучение алгебраического материала, изучение гео¬
метрического материала'.7.	Дифференцированный подход при обучении математике
(по отдельным темам).8.	Пути и средства воспитания у учащихся интереса к ма¬
тематике.9.	Содержание и организация работы математического
кружка в начальных классах.10.	Упражнения занимательного характера, их роль и ис¬
пользование на уроках математики в начальных классах.И. Логические упражнения по математике, их роль и мес¬
то на уроках математики в начальных классах.12.	Творческая работа учащихся начальных классов на уро¬
ках математики:а)	составление учащимися задач, уравнений, математиче¬
ских выражений и т. п.;б)	преобразование задач, математических выражений;в)	решение арифметических задач разными способами.IVПримерная схема наблюдения
и анализа урока математики1.	Школа, класс, дата проведения урока, учитель.2.	Тема урока.3.	Основная дидактическая цель урока, тип урока.4.	Содержание изучаемого материала: какой материал изу¬
чался на уроке, соответствие содержания материала программ¬
ным требованиям.' См. перечень типового оборудоваиия по математике в книге «Оборудо¬
вание педагогического процесса в начальной школе».— М.; Просвещение,
1976, с. 140—147, а также книгу «Средства обучения математике в началь¬
ных классах»/Сост. М. И. Л^оро и А. М. Пышкало.— М.: Просвещение, 1081.331
5.	Образовательные задачи урока: с каким материалом уча¬
щиеся знакомились впервые, какие знания, умения и навыки
закреплялись, по отношению к какому материалу осуществля¬
лась подготовительная работа; осуществление на уроке воспи¬
тательных и развивающих функций обучения.6.	Структура урока: основные этапы урока, их последова¬
тельность и логическая связь, соответствие структуры урока
его содержанию и целям, распределение времени на основные
этапы урока.7.	Методы и приемы обучения: какие методы были исполь¬
зованы на уроке при формировании знаний, умений и навыков,
их эффективность и соответствие целям и содержанию; мето¬
дические приемы проверки и задавания домашнего задания,
проведения устных упражнений, работы над решением задач,
эффективность использования этих методических приемов; уп¬
ражнения, используемые на каждом этапе урока, их роль и ме¬
тодика работы над ними.8.	Организация учебной работы на уроке: постановка целей
работы на каждом этапе урока, чередование различных видов
деятельности в течение урока, контроль и оценка работы де¬
тей, сочетание фронтальной и индивидуальной работы с детьми,
включение приемов дифференцированного обучения, приемы ус¬
тановления рабочей дисциплины и доброжелательной атмос¬
феры.9.	Оборудование урока: цель, место и методика использова¬
ния различных средств обучения — наглядных пособий, учебни¬
ка, дидактических материалов, технических средств обучения.10.	Результаты урока: выполнение образовательных, воспи¬
тательных и развивающих функций обучения.
ЛИТЕРАТУРААктуальные проблемы методики обучения математике в начальных
классах/Под ред. М. И. Моро и др.— М.; Педагогика, 1977.Андронов И. К. Полвека развития школьного математического об¬
разования в СССР.—М.; Просвещение, 1967.В а п н я р Н. Ф. Задания к учебнику математики 2 класса. Пособие для
малокомплектной школы.— М.: Просвещение, 1983.Депман И. Я. История арифметики. 2-е изд.— М.: Просвещение, 1965.Игнатьев В. А. Внеклассная работа по арифметике в начальной шко¬
ле. 3-е изд.— М.: Учпедгиз, 1962.Измерительные работы в начальных классах/Сост. П. С. Исаков.—М.;
Просвещение, 1970.Кравченко В. С., Оксман Л. С.. Янковская Н. А. Устные уп¬
ражнения по математике в 1—П1 классах.— М.: Просвещение, 1979.Ланков А. В. К истории развития передовых идей в русской мето¬
дике математики.— М.: Учпедгиз, 1951.Левеиберг Л. Ш. Рисунки, схемы, чертежи в начальном курсе ма-
тематики/Под ред. М. И. Моро.—М.; Просвещение, 1978.Менчинская И. А., Моро М. И. Вопросы методики и психологии
обучения арифметике в начальных классах.—М.: Просвещение, 1965.Методика начального обучения математике/Под ред. Л. И. Скаткина.—
М.: Просвещение, 1972.Моро М. И., Б а н т о в а М. А., Бельтюкова Г. В. Математика.
Учебник для первого класса. 12-е изд.— М.: Просвещение, 1984.Моро М. И., Бантов а М. А. Математика. Учебник для второго клас¬
са. 15-е изд.—М.: Просвещение, 1983.Моро М. И., Бантова М. А., Бельтюкова Г. В. Математика
в 1 классе. Пособие для учителя. 3-е изд.— М.: Просвещение, 1983.Моро М. И., Бантова М. А. Математика во 2 классе. Пособие для
учителя. 3-е изд.—М.: Просвещение, 1983.Моро М. И., В а п н я р И. Ф. Карточки с математическими заданиями
для I класса.—М.: Просвещение, 1982.Моро М. И., М е л е н ц о в а И. В. Карточки с математическими за¬
даниями для 2 класса. Пособие для учителей. 6-е изд.— М.: Просвещение,
1983.Моро М. И., В а пн яр Н. Ф. Карточки с математическими задания¬
ми для 3 класса. 4-е изд.— М.; Просвещение, 1984.Моро М. И. Наглядные пособия по арифметике для 1 класса.— М."
АПН РСФСР, 1962.Моро М. И. Самостоятельная работа учащихся на уроках арифметики
в начальных классах.— М.: АПН РСФСР, 1963.Моро М. И., Пышка ло А. М. Методика обучения математике в 1—
III классах.— М.; Просвещение, 1975.Начальное обучение математике в зарубежных школах/Под ред.
Л. Н. Скаткина. М.: Педагогика, 1973.Основы методики начального обучения математике/Под ред. А. С. Пчел-
ко.—М.: Просвещение, 1965.333
Пчел ко А. С., Бантов а М. А., Моро М. И., Пышкало А. М.
Математика. Учебник для третьего класса. 14-е изд.—М.: Просвещение, 1983.Пчел ко А. С., Бантова М. А., Моро М. И., Пышкало А. М.
Математика в 3 классе. Пособие для учителей. 3-е изд.—М.: Просвещение,
1983.Поляк Г. Б. Преподавание арифметики в начальной школе.— М.; Уч¬
педгиз, 1959.Попова Н. С. Методика преподавания арифметики.— Л.: Учпедгиз,
1955.П Ь1 ш к а л о А. М. Методика обучения элементам геометрии в началь¬
ных классах. 2-е изд.— М.; Просвещение, 1973.Пчел ко А. С. Хрестоматия по методике начальной арифметики.— М.:
Учпедгиз, 1940.	•"	/)Программа по математике'для I—III классов.— М.: Просвещение^'1982.Свечников А. А. Решение математических задач в 1—111 классах.
Пособие для учителя.— М.: Просвещение, 1976.Скаткин Л. И. Обучение решению простых и составных арифмети¬
ческих задач.— М.; Учпедгиз, 1963.Скаткин Л. И. (Ред.) Методы начального обучения математике. Сбор¬
ник статей.—'М.: Просвещение, 1965.Сорокин П. И. Занимательные задачи по математике. С решениями
и методическими указаниями. Пособие для учителя I—IV классов.— М.:
Просвещение, 1967.Средства обучения математике в начальных классах/Сост. М. И. Моро,
А. М. Пышкало. Пособие для учителя.— М.: Просвещение, 1981.Статкевич В. В. О начальном обучении решению задач.— Минск; На¬
родная асвета, 1970.Т р.у д н е в В. П. Считай, смекай, отгадывай. 4-е изд.— М.; Просвеще¬
ние, 1980.Труднее В. П. Внеклассная работа по математике в начальной шко¬
ле.— М.; Просвещение, 1975.Чекмарева Т. К. Задания к учебнику математики 1 класса. Посо¬
бие для малокомплектной школы. 3-е изд.— М.: Просвещение, 1982.Чекмарева Т. К. Задания к учебнику математики 3 класса. Пособие
для малокомплектной школы. 3-е изд.—М.: Просвещение, 1981.Уткина Н. Г. Материалы к урокам математики. 1 класс. Пособие для
учителя.— М.: Просвещение, 1978.Уткина Н. Г. Материалы к урокам математики. II класс. Пособие
для учителя.—М.; Просвещение, 1979.Уткина Н. Г. Материалы к урокам математики. III класс. Пособие
для учителя.— М.: Пмсвещение, 1980.Уткина Н. Г., П ы ш к а л о А. М. Сборник упражнений и проверочных
работ по математике. 1—111 классы. Пособие для учителя. 3-е изд.— М.:
Просвещение, 1981.Эрдниев П. М. Обучение математике в начальных классах. Опыт
обучения методом укрупненных дидактических единиц.— М.: Педагогика,
1979.Статьи в журналах «Начальная школа» и «Математика в школе».
СОДЕРЖАНИЕОтавторов		 . . '3Глава I. Общие вопросы методики начального обучения математике§ 1. Методика начального обучения математике как учебный предметв педагогическом училище	4§ 2. Начальный курс математики как учебный предмет в I—III классах- 6§ 3. Методы начального обучения математике	15§ 4. Средства начального обучения математике	24§ 5. Урок и другие формы организации обучения математике в I—III классах	31§ 6. Проверка и оценка знаний, умений и навыков учащихся по ма¬
тематике 		42§ 7. Особенности организации обучения математике в малокомплект¬
ной школе	47Глава II. Методика изучения нумерации целых неотрицательных чисел
и арифметических действий над ними§ 1. Десяток	'.52§ 2. Сотня			70§ 3. Тысяча 	111§ 4. Многозначные числа	125§ 5. Методика устных вычислений	163-а»Глава III. Обучение решению арифметических задачВведение 			171§ I. Общие вопросы методики обучения решению задач .... 174§ 2. Обучение решению простых задач	197§ 3. Обучение решению составных задач	218Глава IV. Методика изучения алгебраического материала§ 1. Математические выражения .......... . 242§ 2. Равенства, неравенства, у.цавнения	^6§ 3. Решеинс задач с помощью уравНЯ1К1Т"'	■ . ."		 	Глава V. Методика изучения геометрического материала .... 271Глава VI. Обучение измерению величин	284Глава VII. Методика изучения дробей	302Глава VIII. Инеклассная работа по математике и методика ее прове¬
дении 	И ОЗадании дли практических занятий 	 321Литература	333Я35
Мария Александровна Бантова
Галина Васильевна БельтюковаМЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХРедактор Л. А. Сидорова
Художник Б. Л. Николаев
Художественный редактор Е. Н. Карасик
Технический редактор Г. В. Субочева
Корректор Г. М. МаховаИБ № 7802Сдано в набор 20.11.83. Подписано к печати 08.02.84. Формат 60X90'/
Бум. типограф. № 2. Гарнит. литературная. Печать высокая. Уел. печ. л. 21
Уел. кр.-отт. 21,19. Уч.-изд. л. 21,26. Тираж 155 000 экз. Заказ 44!Цена 85 коп.Ордена Трудового Красного Знамени издательство
«Просвещение» Государственного комитета РСФСР по делам
издательств, полиграфии и книжной торговли.129846, Москва, ГСП-110, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.Областная ордена «Знак Почета» типография им. Смирнова
Смоленского облуправления издательств, полиграфии и книжной торгов,
г. Смоленск, пр. им. Ю. Гагарина, 2.