Text
                    
^0 а'^ас [)=»Ь
Г. Г. Левитас
Карточки для коррекции знаний

8-9 классы


Г. Г. Левитас
КАРТОЧКИ
ДЛЯ КОРРЕКЦИИ ЗНАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ
для 8—9 классов

«ИЛЕКСА» Москва 2000
Левитас Г. Г.	'
Карточки для коррекций знаний по математике для 8—9 классов.— М.: Илекса, 2000.— 56 с.
ISBN 5-89237-036-4
Вашему вниманию предлагается система карточек для коррекции знаний по курсу алгебры 8-9 классов.
Карточки охватывают ключевые вопросы курса. Каждая посвящаете* одному отдельному вопросу и состоит из трех частей: инструкции (формулировка правил), образца применения этой инструкции и трех разделов заданий для учащихся.
Карточки предназначены для дополнительных занятий с учащимися (в классе или д ома). Если ученик на таком занятии правильно выполнил первый из трех разделов заданий, этого достаточно. Если же он не смог этого сделать, то учитель должен объяснить ему материал и дать задание из следующего раздела. Если и эти задания ученик не смажет \ выполнить, объяснения продолжаются и решаются остальные задания.
ЛР № 064344 от 9.12.95.
Печать офсетная. Формат 70x90/16.
Тираж 10 000 экз. Заказ 2939
ООО «Илекса», 121354, г. Москва, а/я 282. Заказы по телефонам: в Москве (095) 365-30-55
Ордена Трудового Красного Знамени ГУП Чеховский полиграфический комбинат Министерства Российской Федерации по делам печати, телерадиовещания и средств массовых коммуникаций 142300, г. Чехов Московской области
' Тел. (272) 71-336. Факс (272) 62-636
ISBN 5-89237-036-4
© Левитас Г. Г., 1999
© ООО «Илекса», 1999
Карточка № 1. Основное свойство дроби
ПРАВИЛО	ОБРАЗЦЫ	ЗАДАНИЯ
а _ ас Ъ Ьс Для допустимых значений переменных. !	Задача 1. Сократить дробь ab-bc а2-2ас+с2 Решение’. , ab-bc ' _ b(a - с) _ b а2-2ас+с2	(о-с)2 а-с Задача 2. _	а Привести дробь х-у 2	2 к знаменателю х -у . Решение: а _ а(х + у)	ax + qy х-у (х-у)(х + у) х2—у2’ ••		 	 ' 1	Сократить дроби: П—•	21 7(х2+2ду + у2)	Ь2-4с2 ау’	Зх+Зу ’	' b2—4Ьс+4с2 ' Привести дроби к общему знаменателю: т 'a	3	2 4) и . ;	5)	и п b	ах + ау х-у
		Сократить дроби: тп	-a2 +2ab-b2	4с2-1 6)	;	7>	О ОА	; 8) , л л 2 • тр	2а-2Ь	1-4с + 4с Привести дроби к общему знаменателю: 10)4-Vk^-. у Ч , ! Зх-Зу	х + у
		Сократить дроби: by	3(w2+2w + 1)	9с2-4 ' И) —; 12)	13) —г	. су	Зх+Зу	9с2-12с + 4 Привести дроби к общему знаменателю: 14) и ;	15)	и с d	2p + 2q p-q
Карточка № 2. Сложение и вычитание дробей с общим знаменателем
ПРАВИЛА	ОБРАЗЦЫ	ЗАДАНИЯ
а с _ а+с Ъ + Ъ~ Ъ ’ если 6*0; а с а-с b 6 b ’ если 6*0.	11 %	11 o' $ О	& 1	1 ’м	±. + а. ь-	So- + и %	и 'а' 2 |_ 1 а. 5	$. » + 1	+ *- >3- й« |	ь»	Сг	ь> II	-	II	Найти суммы и разности:
		о+6 а	т-п т+п	а2	Ь2 1)	;	2)	+	;	3)	; 55	а	а	а+Ь а+Ь .. °2 +d2 2cd .	54	х	У . * c-d c-d’	х2-у2 х2-у2’
		в)	7)	+	8) jL	iL; 4	4	Зс Зс	х-у х-у т2 + п2 2тп	а	6 9)	<	,	10) 	; т + п т + п	а -Ъ а -6
		12)£ti-£zi; 13}^	 2	2	2о 2а	а-b а-Ь а-с а-с	Р ~q Р -q
Карточка № 3. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
ПРАВИЛО	ОБРАЗЕЦ ’	ЗАДАНИЯ
1) Найти общий знаменатель. 2) Выполнить действия.	—Х + Л-; (а-b)2 а2 —Ь2 1) Общий знаменатель: (а-Ь)2(а+Ь), 2) —.х + У = (а-Ь)2 а2-Ъ2 х(а+Ь) । (а-Ь)2(а+Ь) | У(а~Ь) (а-Ь)2(а+Ь) _ ax+bx+ay-by (o-i>)2(o+i>) ‘ Краткая запись'. .а + b	а-Ь X \ | (а-Ь)2 (а-Ь)(а+Ь) __ ax+bx+ay-by (a-b)2(a+b) '	Найти суммы и разности дробей:
		х у	а+b а-с	2b2+3ах аЬ+5Ьх Х)т+и; 2>—г+т—; 3)—z	; 3 4	а.-Ь b-а	Ьх	ах 4, 1	I	o	Ь аЧ3 аЧ3'	а2-Ь2 (а-Ь)2'
		71 х + 2 *~3 . о\ 5о2 ~^2 За-2Ь. 5 6*	х—уу—х*	аЬ	b СП 1	1	1 л\	с	d х3>2 x3j2	(а+b)2 а2-b2
		iiic d. ini т+п .т~п. lox Зс2+5аЬ , Ъ2 -Зас^
		1-М , _ »	1	»	।	,	» 3 2	т—п п—т	ас	Ьс ,1	1	, сч х	у 14)	, .	3 1’	1®) t Э	• _2_4	_3 _3	JZ t2	l\2 а с а с	а —о {а-Ь)
Карточка № 4. Умножение дробей. Возведение дроби в степень
ПРАВИЛА	ОБРАЗЦЫ	ЗАДАНИЯ	
		Найти произведение дробей:	
а с _ ас	За1 -6ab а4 -9Ь4	1)	2) 8о264-- 463 а26-463 а2Ь
b d bd при допустимых значениях	о2+362 21(а-2Ь)2 (За2 -6ab)(a4 -964)	14b 3 оч аг-аЬ Ь2	
переменных; [ а 1 а	(a2 +3b2)-2l(a-2b)2 а(а2-2h2) . 1(а-2Ь) ’	b а Вычислить:	ЗаЪ2 а2 -2аЪ з3
1		Найти произведение дробей:	
при b*Q.	2а	. 2a-35db 35ab =	= 2862	2ЪЬ2 5а2 =	’ 2Ь	6) — 126 5 ab+b2 За 8)	9	«к	л 7	4 7) -9х2/ —; Зу3 2	2	2 х -ху X у + ху
			» 2 х +ху уу
	—=(35 У =(-У=	Вычислить:	I-* о -U I 00 w| u
	252 l25j Ы	Найти произведение дробей:	
	= 1,42 =1,96.	2с 5 11) —Ч—; 5d 8	,	. 2 3 ~7»l 12) 4т2пл	 4п4
		„2 А2 А2 131 а ~ъ 	. и) *2-4А х~у
		1OJ	- а2 а	* La' 2	2 х -ху х +2ху
		Вычислить:	15)^-. 183
Карточка № 5. Деление дробей
ПРАВИЛО	ОБРАЗЦЫ	ЗАДАНИЯ
а с ad Ъ d be при допустимых значениях переменных.	2	2 х +ху х-ху 5х2 -5у2 ’ Зх3 +Зу3 (х2 +хуХЗх3 +Зу3) _ (5х2 -5у2Хх2 -ху) х(х+у)-3(х3 +у3) 5(х-уХ^+У)*(х-У) 3(х3+/)_ 5(х-у)2 12jy:8x2 - 12jy - Зу 25z	25z-8x2 50xz"	Найти частное дробей:
		п 4х 6х2	18а26.2 баб3	х2-у2 х+у ' 21/ • 1у ’	Scd Sc2d* ’ ’ 6х2/ ' Зху ’ 4р2 -9g2.2ap+3aq .	. х2 -16 . х2 -25 д 22	"'I	*	2 г ’ 2	.	* 2pq	хл-5х х +4х
		6)5С:^;	7)^:^;	8) d	yz ay	х	У 3/и2-3и2 6m-6n	c+d c2 + cd ' m2p ’ mp ’	’ c-d 2c2-2d2’
		11) ^^:8xy2; 12)	13) -<^~2g:.^ t2?.; 25z	9o2 12o3	a2 -3a a2-9 x2 .	.	Ki a4 ~b4 .a2+b2 14) 2	:	2 ;	15) з .3 : 2 .2 • xi+xy xy+y1	a -b a -b
Карточка № 6. Свойства квадратных корней
ПРАВИЛА	ОБРАЗЦЫ	ЗАДАНИЯ
—  /V Из	а « LS ^• г> — и II	II г. • I* L«i* ti	Упростить: a) 73600, б)	в) 7о2*, • г) {j^xf +4х? . Решение: а) 73600=736 100 = = 736-7100 = 6 10 = 60; /36 736 6 6)fc=^=7= в) 7о26 =4a*--Jb =| о|-7б ; г) (л/-**)2 +7х2” = -х+|х|. и так как подкоренное выражение -х неотрицательно, тох^0,и|х| = -х. Окончательно получаем ответ: -2х.	Упростить:
		1) 725-64 ;	2) 78100; 4)7^;	5)(Тб)2-7бГ;
		6) 7100-4 ;	7) 7490000 ; 8) 7^25; 9) 7з-х4 ;	10) Тй2-(Т7™)2;
		11) 781-36;	12) 7640000; 13) 7<МЮ16; 14) 7о2*4; 15) T^+fT^)2.
Карточка № 7. Вынесение множителя из-под знака корня
ПРАВИЛА	ОБРАЗЦЫ	ЗАДАНИЯ
Jab =Ja--Jb при а>0, Ь>0; 7^ = |а|.	718 =7^9 = 72-79 =зТ2; Jx^ = -^(х3)2 = |х3|; 77-7о-2>2 -|/|-/ (так как у2 > 0 ); /z^ = 7z®Z = Vz*"Vz > так как по условию z7 > 0, откуда z > 0. Но 7? = | z31, а так как z>0, то |z3| = z3. Итак, Jz^ = z3-Jz.	Вынести множитель из-под знака корня:
		1) 712 ;	2) Tsa7; 3) -^iy2 +49Х2 ,гр,е х>0,у<0; 4) 7б4х4 ;	5) 716а3 ;
		/ 6) 720;	7) Тз*7; 8) 7200с2 -Т^7, где c<0,d>0; 9) 749? ; 10) 736Р3 ;
		11) J12;	12) Jim2 ; 13) ^50р2 +-J?7» где р<0, q>0; 14) 78154 ;	15) 749а3 .
Карточка № 8. Внесение множителя под знак корня
ПРАВИЛО	ОБРАЗЕЦ	ЗАДАНИЯ
Чтобы внести множитель под знак корня, нужно 1) удвоить его показатель степени, 2) если этот множитель отрицателен, поменять знак полученного выражения.	Заменить выражение a-Jb квадратным корнем или выражением, ему противоположным. Решение: если а £ 0, то ajb = -yla2b , если же о < 0, то a-Jb = ~^а2Ь. В первом случае получился квадратный корень, а во втором - выражение, противоположное квадратному корню. ч	Заменить выражение квадратным корнем или противоположным ему выражением:
		1)2>/3;.	2) -0,5^2; 3) Ху[у ,где х>0; 4) а-у/а;	. 5) т2-у[т ;
		6) -Зч/2;	7)-ч/б; 3 8) yjx , где у < 0; 9)byPb;	10) пр2;
		И) 5ч/2;	12)0,1-75; 13) c24d; 14) -tPt ;	15) ар2.
Карточка № 9. Решение неполных квадратных уравнений
ПРАВИЛО	ОБРАЗЦЫ				ЗАДАНИЯ
 Уравнение вида ах2 - 0	Решить, уравнения				Решить уравнения:
решается так: ах2 = 0 , х2 = 0 (так как а * 0 ), х = 0.	а) 2х2+8 в) 7х2 -8 Решение:	= 0, б)Зх-2х = 0, = 0, г) 6х2 =0.			1) Зх2+1 = 0; 2) -х2+5х = 0;
Уравнение вида	а) 2х2+8	= 0 —уравнение вида		аг2 + с = 0;	3) 7х2-14 = 0;
ах2 +Ьх = 0 решается так: ах2 +Ьх = 0, х(ах+Ь) = 0,	2х2+8 = 0, 2х2,= —8, х2=-4. Ответ: корней нет. «-V -2 «л	.	_ 	 				1 аг2 +fex-0; ли Зх-2 = 0,	4) -х2=0; 5) 4(х-1)2-16 = 0;
х = 0 или ах+Ь = 0, п	b х = 0 или х =—. а	и; эх — х: Зх2-2х =	с — и — yptLBtivtiiie вид* 0, х(Зх-2) = 0, Х = 0 И			6) 5х2-5 = О;
		о	Г о!		7) Зх2+6х = 0;
Уравнение вида ах2 + с = 0	х = 0 или	х = — - Ответ: ( 0;— 3	1 3J			8) 2х2+8 = 0;
решается так: ах2 + с = 0, ах2 = —с, х2 =	, так как а * 0 ;	в) 7х2—8 7х2-8 = С	= 0 - уравнение вида , 7х2 = 8, х2 = —, х =		ах2 + с = 0; 4.	9) 4х2 =0; 10) 5(х-2)2-45 = 0;
			/	V7	
а		Г7Г1			11) 2х2+8 = 0;
если <0, корней нет; а	Ответ: 	"^7			12) 2х2-Зх = 0;
с если— = 0,то х = 0; а если -— >0, тох = ±, ~—  ,	а	V « 	L-.	г) 6х2 =0 6х2 =0, Ответ:	- уравне х2 =0, х = [о}-	ние вида ах2 = 0.	= 0;	13)	5х2-10 = 0; 14)	х2 =0; 15)	3(х+1)2-27 = 0.
Карточка № 10. Решение квадратных уравнений по формуле
ПРАВИЛО	ОБРАЗЦЫ	ЗАДАНИЯ
Чтобы решить по формуле квадратное уравнение ах2 +Ьх+с = 0, нужно: вычислить его. дискриминант D = b2 -Лас; если£><0, записать ответ: корней нет; если 0 = 0, вычислить единственный корень уравнения по формуле b х =	; 2а если D > 0, вычислить два корня уравнения по формуле -ь±4Б X. 2 =	. *’2	2а	Решить уравнения: а)	8х2 +4х+3 = 0, б)	х2-6х+9 = О, в) 5х2 —Зх—2 = 0. Решение: а)	8х2 +4х+3 = 0; О = 42 -4-8-3 = -80<0. Ответ: корней нет. б)	х2-6х+9 = 0; О = 62-41-9 = 0. х = —= 3. 2 Ответ: {3 }. в)	5х2 -Зх-2 = 0; D = (-3)2 -4-5-(-2) = 49> 0. 3+^49 3±7 Х,’2“ 10	10 ’ Xj = -0,4 , х2 = 1. Ответ: {-0,4; 1}.	Решить уравнения:
		1)	Зх2+5х-8 = 0; 2)	х2+5х+10 = 0; 3)	7х2—14х+7 = 0; 4)	-х2+Зх+4 = 0; 5)	4(х-1)2-16х = 0;
		6)	5х2+х-6 = 0; 7)	Зх2+6х+3 = 0; 8)	х2+4х+5 = 0; 9)	4х2-11х-7 = 0; 10)	5(х-2)2-45х = 0;
		11)	2х2+7х-9 = 0; 12)	2х2-4х+2 = 0; 13)	х2-10х+30 = 0; 14)	х2+5х+6 = 0; ,15) 3(х+1)2-27х = 0.
Карточка № 11. Решение числовых неравенств
ПРАВИЛО	ОБРАЗЕЦ	ЗАДАНИЯ
При решении числовых неравенств можно: - переносить слагаемые из одной части неравенства в другую, изменяя знаки этих слагаемых; -	делить обе части неравенства на одно и то же положительное число; -	делить обе части неравенства на одно и то же отрицательное число, изменяя знак неравенства.	Решить неравенство: -2(х-3) > 3(х+5). Решение: Раскроем скобки: -2х+6 > Зх+15, перенесём слагаемые с неизвестным влево, а слагаемые без неизвестных — вправо, меняя их знаки: -2х-3х > 15-6, приведем подобные: -5х >9, разделим обе части неравенства на отрицательное число -5, меняя знак неравенства: х < 1,8. Ответ: ( -<», -1,8 ). >	Решить неравенства: 1)	х+1 <7; 2)	3-х < 6 ; 3)	2х-7 > х; 4)	6-х < 8+х; 5)	2(х—4) > 5-7х; х+2 >6; 7)	2-х-<7; 8)	Зх-2 > 2х; 9)	2-х < 7+х; 10)	-(х+3) > 4-6х; 11)	х—4 >8; 12)	5+х <9; 13)	-х+3 > х; 14)	4+х < 4+2х; 15)	-3(х+1) <4-х.
Карточка № 12. Разложение квадратного трехчлена на множители
ПРАВИЛО	ОБРАЗЦЫ	ЗАДАНИЯ
Если у квадратного уравнения ах2 +Ьх+с = 0 есть корни х( и х2, то квадратный трехчлен ах2+Ьх+с можно разложить на множители: ах2 +bx+c = a(x-xj)(x-x2). Если у квадратного уравнения ах2-+Ьх + с = 0 нет корней, то квадратный трехчлен ах2 +Ьх+с нельзя разложить на множители. Если у квадратного уравнения ах2 +Ьх+с = 0 есть один корень xj, то квадратный трехчлен ах2 + Ьх+с можно разложить на множители: ах2 +fex+c = a(x—Xj)2.	Следующие квадратные трехчлены разложить на множители, если это возможно: а) 2х2 -5х+2, б) 9х2+6х+1, в) х2 -2х+3. Решение'. а)	Составим уравнение 2х2 - 5х+2 = 0, D = 9> 0, Xj = х2 = 2. Значит, 2х2 -5х+2 = 2^х-^(х-2), что можно записать и так: 2х2-5х+2 = (2х-1)(х-2). б)	9х2+6х+1 = 0, D = 0,Xj=-|. 2	( 1Y 9х +6х+1=Ях+—1 , что можно записать и так: 9х2 +6х+1 = (Зх+1)2. в)	х2 - 2х+3 = 0, D = -8 <0, корней нет. Значит, трехчлен х2 -2х+3 нельзя разложить на множители.	Разложить на множители, если это возможно:
		1)	Зх2+5х-8 = 0; 2)	х2+5х+10 = 0; 3)	7х2-14х+7 = 0; 4)	-х2 +Зх+4 = 0; 5)	4(х—I)2-16х = 0;
		6)	5х2+х-6 = 0; 7)	Зх2+6х+3 = 0; 8)	х2 +4х+5 = 0; 9)	4х2—11х-7 = 0; 10)	5(х-2)2-45х = 0;
		11)	2х2+7х-9 = 0; 12)	2х2-4х+2 = 0; 13)	х2-10х+30 = 0; 14)	х2 +5х+6 = 0; 15)	3(х+1)2-27х = 0.
Карточка № 13. Построение графика квадратичной функции
ГРАБИЛО	ОБРАЗЕЦ										ЗАДАНИЯ
Построить параболу у -ах2 +Ьх+с можно так: 1)	найти абсциссу вершины параболы по формуле b хо =-т-; 2а 2)	найти ординату вершины параболы по формуле D Уо =—г- 4а или по формуле Уо =ах02+6х0+с; 3)	при вершине (х0,у0) построить параболу у~ах2.	Построить график у = -0,5х2 +х-4. 1)	х0=1; 2)	уо=-з,5; 3) X и										Построить графики:
											"°	..	•-	+	— •	И	Г"	И	+ и	«Я	+	см	и ?	+	<7	+	+ <ч И <ч <ч ™ И 1 ИИ и	II II II	II г-1	СМ СО	Ч1 W
											6)	у = х2-х-6; 7)	у = 3х2+6х; 8)	yt=-x2+5; 9)у = 0,5х2+х+0,5; 10) у = х2 -х+1;
					1						
											
					0	j					
											
											
				*				L- -			
					7			V			
					Г1			А			•• см	ч- со	4.	।	см +	и	.►«	+ и	ч-	И	и о	I	сп	+	см + «	1 «	1 <ч	И	сч	И	<ч И	СМ	И	1	И II	II	II	II	II ;ч s	ч И N М Tf Й т-Ч г-4 гН ей гЧ
				i							
									\		
											
Карточка № 14. Решение систем уравнений • £							
ПРАВИЛО	ОБРАЗЕЦ	ЗАДАНИЯ					
Если одно из неизвестных в системе стоит в первой степени, то можно попытаться решить эту систему методом подстановки.	Решить систему: х2 +,у2 =25, х+у = 7; Решение: Из второго уравнения х~7-у. Подставляем это	Решить системы:					
							
		1)<	О' и И + + и to		У х °’	3)< 2х-у+3 = 0;		х2+у2 =25, у = х2 -6;
							
				х2+у2=100, , °)" у = 0,5х2-10;		ху =6, 2х-3у = 6;	
							
	выражение в первое уравнение вместо х: (7-у)2+у2 =25, 2у2-14у+24 = 0, У1 =3, у2 =4. Подставляем и у2	6)<	х2 + у у = х2 9)<	!-12’ 7). У-^ у = 0,5х2-1	х2 +у2 = х+у+2= 10) Э;	« 2	2 х +у = (х-10)2 ч	ху=8, х+у + 3 = 0; 9, у2 =16;
	в уравнениех = 7-у: Xj = 4 , х2 = 3. Ответ: {(4;3),(3;4)}.	11)	х2 +у 5х+у 14)	= 5’	12) = 5; ху + х = —4, х-у = 6;	у-х2 =( х+у = 6; 15)	’	13) х2-3у2 = у—х = 14.	у2-х=-1, х = у+3; = 52,
Карточка № 16. Арифметическая прогрессия
ФОРМУЛЫ	ОБРАЗЕЦ								ЗАДАНИЯ							
°Л+1 ~ ап "*	» а„ = ах + d(n-\).		Заполнить таблицу								Заполнить таблицу						
			п	fli	an	и+1	d				n	"I	а„	л+1	d	
		1)	5	-2			3			1)	—	—	-2		1	
		2)		7	21		2			2)	—	—	6	4		
		8)	—	—	11	9				3)	4	5			1	
		Решение'.								4)	7		-1		-2	
	1)	а„ = a1+J(n-l), an^=an+d, а5 =-2+3-4 = 10, а6 =10+3 = 13. 2)	ап =al+d(n — i), 21 = 7 + 2(и—1), откуда п = 8, а9 =21+2 = 23. 3)	°л+1 =a„+d, 9 = 11 + J, откуда d = -2.									5)	7			-1	-2	
										6)	—	—	8		3	
										7)	—	—	5	2		
										8)	5	4			2	
										9)	6		17		-3	
										10)	4			9	10	
		Ответ’.								И)	—	—	5		7	
			п	at	а.	л+1	d			12)	—	—	3	3		
		1)	d	-2	10	13	3			13)	4	8			-1	
		2)	8	7	21	23	2			14)	5		10		3	
		3)	—	—	11	9	-2			15)	8			6	2	
																
Карточка № 16. Сумма членов арифметической прогрессии
ФОРМУЛЫ	ОБРАЗЕЦ								ЗАДАНИЯ								-
о .Д1+Ди =	п » . 2 2аг+с1(п-1) 5"“	2		Заполнить таблицу								Заполнить таблицу							
			п	«1	а„	d					п	«1		d	S„		
		1)	4	7	21	—				1)	5	-2	6	—			
		2)	5	-2	—	3				2)		7	21		2		
		Решение’.								3)	8		11	9	-		
	1)Яй=^-и, S4 =21^1-4 = 56; 4	2 У5=.2.(^Х2-о.5=2О 5	2									4)	5	-2			3		
										5)		7	21		2		
										6)	4	2	11	—			
										7),		4	-4	•	0		
										8)	5		-22	-10			
										9)	4	0			24		
										Ю)		3	-13		-25		
										11)	5	3	-13	—			
		Ответ:								12)		0	16		40		
			п	«1	а„	d	S«			13)	4		18	10			
		1)	4	7	21	—	56			14)	4	4	-2		0		
		2)	5	-2	—	3	20			15)		2	11		26		
																	
Карточка № 17. Геометрическая прогрессия
ФОРМУЛЫ	ОБРАЗЕЦ								ЗАДАНИЯ							
6B+i =bnq-, Ьп=^. s. х		Заполнить таблицу								. Заполнить таблицу						
			п	61	ья	6я+1	9				п	61	6.	6„+i	9	
		1)	5	-2			3			1)	—	—	-2		1	
		2)		7	56		2			2)	—	—	6	4		
		3)	—	—	-18	9				3)	4	5			1	
		Решение:								4)	7		-1		-2	
	1)	’ bs = -2-34 = -162; 6и+1=6„9> 66 =-162-3 = -486. 2) b„=bxqn~\ 56 = 7-2"-1, откуда п = 4, Ь5 = 56-2 = 112. 3)6„+1=6и9,	9 = -189, откуда q =-0,5.									5)	7			-1	-2	
										6)	—	—	8		3	
										7)	—	—	5	2		
										8)	5	4			2	
										9)	6		17		-3	
										Ю)	4			9	10	
		Ответ:								11)	—	—	5		7	
			п	61	ья	6n+i	9			12)	—	—	3	3		
		1)	5	-2	-162	-486	3			13)	4	8			-1	
		2)	4	7	56	112	2			14)	5		10		3	
		3)	—	—	-18	9	-0,5			15)	8			6	2	
																
Карточка № 18. Сумма членов геометрической прогрессии
ФОРМУЛЫ	ОБРАЗЕЦ	ЗАДАНИЯ							
Если q*l, то сумму первых п членов геометрической прогрессии можно найти по формуле: Ь^-Г) - , • 9-1 Если же q = 1, то 5»	Найти сумму первых четырёх -членов геометрической прогрессии, у которой первый член равен 7, а четвёртый член равен - 56. Решение’. Ь}(дп "	9-1 _7(g4-l) . • 9-1 Найдём q: 64=-56; brf = -56; 93=-S; 9 =-2. 7«^-1)=_35 4	-2-1		Заполнить таблицу						
				п	51	ь„	9	s„	
			1)	4	1	-3	—		
			2)		64	1	4	85	
			3)	5	2	—	3		
			4)	4		0,1	0,1		
			5)	10	7	7			
			6)	5	16	1	—		
			7)		1	16	0,25	21	
			8)	4	-1	—	-2		
			9)	5		10	10		
			10)	4	-2	-2			
			11)	6	2	486			
			12) \		64	-1	4	51	
			13)	5	-2	—	-1		
			14)	4		-8	-2		
			15)	100	11	11			
									
Карточка № 19. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии
ПРАВИЛА	ОБРАЗЕЦ	ЗАДАНИЯ					
Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если | q | < 1. У неё (при бесконечном увеличении числа членов) S„ стремится к числу S, называемому суммой прогрессии и вычисляемому по формуле: 1-<7	Найти первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, знаменатель которой равен -0,1, а сумма S равна 6. Решение-. з=-^. 1-9 6=JL, 1+0,1 ^=6,6.		Заполнить таблицу				
					Я	S'	
			1)	5	0,2		
			2)	3	•	21	
			3)		0,5	11	
			4)	5	-0,2		
			5)	-3		21	
			6)	8	0,01		
			7)	4		16	
			8)		7	21	
			9)	4	-0,8		
			Ю)	5		-7	
			И)	7	0,5		
			12)	8		11	
			13)		3	3 1	
			14)	6	-0,7		
			15)	-8-		11	
							
Карточка № 20 а. Основные соотношения между тригонометрическими функциями
«ФОРМУЛЫ	ОБРАЗЦЫ				ЗАДАНИЯ .			
(1)	Заполнить:			Решение:	Заполнить:			
sin2x+cos2x = l,		1)	2)	1	 1	1 1)По формуле (1)1 cosxl = yl-sin2 x = JI—- =—, 1	V 4	2 а так как x лежит в I четверти, то cos х > 0, Уз „ .	sin х cosx = —; По формуле (2) tgx =	=		1)	2)	3)
(2)	X	1ч.	Шч.		X	1ч.	Пч.	Шч.
sinx 	= tgx, cosx	sin x	£ 2			sin x		3 5	
если cosx^O, (3) cosx -ctgx, sinx если sin r at 0 ,	cosx			2	cosx 1 Уз 1 „ .	,	1 /Т — —• 			— .. • Но CDODMVJre (4l СШ X ~	= -V3 .	cosx	£ 3		
	tgx		£ 4	2 2 £з	tgx 1	4 2) По формуле (4) ctg х —	— —; По формуле (6)	tgx			4$
(4) tgX-CtgX = 1 ,	ctgx			tgx 3 ' I	I	1	1	3 1 sin rl —	— —,	— — „а тяк к. я к х	Ctgx			
если sinx * 0	Ответ:			/ч-а^х Lj® 5'				
и cosx^O,		1)	2)	V 9	опростить выражения:			
(5) 1 + tg2 x = —-—,	X	1ч.	Шч.	3 лежит в III четверти, то sin х < 0 , sin х = —;				
	sin x	1	3	5	4)	1	,„2	
COS X если cosx^O, (6) <	„ 2	1		2	?	।	1 I 9	4 По формуле (1) cosx = J1	= —, а так как		2	Ё COS X		X 9
	cosx	Уз 2	4 5	1	1 V 25 5 4 х лежит в III четверти, то cos х < 0, cos х = —.	5)	tgx sinx	•cos2	X .
l+ctg X-	, sin x если sin x Ф 0 .	tgx	1 Уз	2 4	5 3) Упростить выражение: 2 cos2 x-(l-sin2 х). Решение: Используем формулу (1) 2cos2 x-(l-sin2 х)= 2cos2 x-cos2 x = cos2 x.				*
	ctgx		4 3					
Карточка № 20 б. Основные соотношения между тригонометрическими функциями
ФОРМУЛЫ	S'	-		ОБРАЗЦЫ	<	задали;		[
(1) sin2x+cos2x = l,	3ai	полни 1)	:ть: 2)	Решение: 1)По формуле (1)| cosxj = 71-sin2 х = а так как x лежит в Iчетверти, то cosx>0, Уз _	sinx cos x =—; По формуле (2) tg x =	=	J	Запол 6)	LHHTb 7)	8)
(2)	X	1ч.	Шч.		X	ГУч.	1ч.	Шч.
sinx 	= tgx, cosx если cosx^O, (3) cosx —— = ctgx , sinx если sin x & 0 ,	sin x	£ 2			sin x			2
	cosx			2	cosx 1	1 rr X	1/7 = —:— =-pr; По формуле (4) ctgx =	= V3 . 2 2 7з	tgx 1	4 2) По формуле (4) ctg x =	~ ; По формуле (6)	cosx		2 5	
	tgx		2 4		tgx	-1		
(4) tgX-CtgX = l , если sinx*0	Ctgx C	>meem	i:	tgx 3 i i	1	1	3 sinx = .	., •= 	= —, а так как x 71+ctg2x |1+— 5	Ctgx	—		
и cosx^O,		1)	2)	V 9	j простить выпажения:			
(5) l + tg2x-	, COS X если cosx*0	X	1ч.	Шч.	'	3 лежит в III четверти, то sin x < 0, sin x = —;				
	sin x	£ 2	3 5	5 ii/94 По формуле (1) | cosx | = Jl = у, а так как m	4 x лежит в 1П четверти, то cosx<0,cosx = -y. 3) Упростить выражение: 2cos2x-(l-sin2x). Решение: Используем формулу (1) 2cos2 x-(l-sin2 х)= 2cos2 x-cos2 x = cos2 x.	9)ctg2x		1 sin2	X ’
(6) l + Ctg2X-	— , sin x если sinx*0.	cosx tgx	Уз 2 1 VI			10)	cosx . 2 CtgX-sm x		
	Ctgx	Уз	w'l					
Карточка № 20 в.Основные соотношения между тригонометрическими функциями
ФОРМУЛЫ	ОБРАЗЦЫ					ЗАДАНИЯ			
(1)	Заполнить:			Решение:		Заполнить:			
sin2x+cos2x = l,		1)	2)	1)По формуле (1)1 cosxl = -Jl—sin2 х = ,11—— =	Я		11)	12)	13)
(2)	X	1ч.	Шч.	а так как х лежит в I четверти, то cosx > Л _	sinx cos х = —; По формуле (2) tg 				=	2 ’	X	IV4.	1ч.	Пч.
sinx 	= tgx, cosx	sin x	2 2			0,	sin x			Ji 2
если cosx*0, (3) cosx —— = ctgx, smx если sin x & 0 ,	cosx			2	cosx 1	4з	1	„	1 = —: — = —=; По формуле (4) ctg х =	= 2	2	7з	tgx 1	4 TTn ihnnMVJTA й । eta г ==	= — : Пп rhnnMv.	7з .	cosx	2 4		
	tgx		2 4		ntt (fh	tgx		1 43	
(4) tgx-ctgx = l,	ctgx			tgx 3 ' 1. 1	1	1 _з		Ctgx			
если sinx*0	Ответ:			Jl+ctg2x 11+1Ё 5					
и cosx * 0,		1)	2)	V 9		опростить выпажения:			
(5) 1 + tg2 x = —-—,	X	1ч.	Шч.	лежит в III четверти, то sinxcO ,sinx = -	2.				
	sin x	1	3		5	14) sin2x-l			
COS X если cos x # 0,		2	"7	i ./94 По формуле (1) cosx = ,11	= —, а так как		15) (gx-etgx--cos2x.			
(6) , 1	cosx	2	4 5	1	1 V 25	5 х лежит в III четверти, то cosх < 0, cosx =	_4				
1 + Ctg X—	, sin x если sin x Ф 0.	tgx	1 7з	2 4	3) Упростить выражение: 2cos2 x-(l-sin2 Решение'. Используем формулу (1) 2cos2 x-(l-sin2 х)= 2cos2 x-cos2 x = cos2	5 x).				
	Ctgx	7з	4 3		X.				
Карточка № 21. Формулы приведения
ФОРМУЛЫ	ОБРАЗЦЫ	ЗАДАНИЯ
Формулы приведения позволяют выразить тригонометрические функции углов 90°±х, 180°±х ,270°±х, 360е±х через тригонометрические функции угла х. Для этого: 1) функция в правой части равенства берётся с тем же знаком, какой имеет исходная функция, если считать х углом первой четверти; 2) для углов 180°±х и 360° ±х исходная функция сохраняется, а для углов 90°+х и 270° ±х синус меняется с косинусом, а тангенс с котангенсом.	1. Выразить cos (270°+ х) через тригонометрическую функцию от х. Решение'. 1) Еслих — угол I четверти, то 270°+х — угол IV четверти, в которой косинус положителен. В правой части поставим +. 2) Для 270°+х название функции меняется. В правой части пишем sinx . Ответ', cos (270° + х) = sin х . 2. Выразить ctg(180°-x) через тригонометрическую функцию от х. Решение'. 1)	Если х — угол I четверти, то 180°-х — угол II четверти, в которой котангенс отрицательный. В правой части поставим -. 2)	Для 180°-х название функции не меняется. В правой части пишем ctg х. Ответ'. ctg(180°-x) = -ctg х. 3.	Найти значение sin 570° . Решение'. 570о = 360о+210о = 360о+180о+30°, значит, sin 570е = sin (360°+(180°+30°)) = = sin (180°+30°) = -sin 30° = -0,5 .	Выразить через тригонометрические функции углах: l)sin(90°+x); 2)cos(180°-x); 3)tg(270°+x); 4)ctg(360°-x). Вычислить: 5) cos765°.
		Выразить через тригонометрические функции углах: 6)sin(180°+x); 7) cos (270е-х); 8)tg(180°+x); 9)ctg(90°-x). Вычислить: 10) tg 750е.
		Выразить через тригонометрические функции углах: ll)sin(270°+x); 12)cos(90°-x); 13)tg(90°+x); 14) ctg (90°+х). Вычислить: 15)ctgl830°.
Карточка № 22. Формулы сложения
ФОРМУЛЫ	ОБРАЗЦЫ	ЗАДАНИЯ
sin (х+у) = sinxcos у+cosxsin у, sin (х - _у) = sinx cos у-cosx sin у, cos (х+у) = cos х cos у - sin х sin у, cos (х - у) = cos х cos у+sin х sin у, 1-tgxtgy l + tgxtgy	1) Преобразовать по формулам выражение cos(45°+x). Решение: Воспользуемся формулой косинуса суммы: cos(45°+x)=cos45°cosx-sin45°sinx = л/2	л/2 =	cosx	sinx. 2	2 2) Вычислить tg 15°. Решение: Так как 15° = 45о-30°, воспользуемся формулой тангенса разности: tg 15° = tg (45° - 30°) = ^.4У-~-5.?9° = l + tg45°tg30° I*	I* . Уз	Уз 1 1 1	1	1 ‘ 1 + 1-t= l + -j= Уз Уз	Преобразовать по формулам сложения: l)sin(x+30°) ; 2)tg(60°-x). Вычислить: 3)sin75°;	4)cosl05°; 5)tgl50°.
		Преобразовать по формулам сложения: 6) sin(x-45°); 7) tg(30°+x). Вычислить: 8) sinl50°;	9) cos75°; 10) tglO5°.
		Преобразовать по формулам сложения: 11) sin(60°+x); 12) tg(x-45°). Вычислить: 13)sinl05°;	14) cosl50°; 15) tg75°.
Карточка № 23. Формулы двойного угла
ФОРМУЛЫ	ОБРАЗЦЫ	ЗАДАНИЯ
sin 2х = 2sin xcos х, cos2x = cos2 х - sin2 x, ч2х_^_, l-tg2X если: cosx*0, cos2x*0.	1.	Найти sin 2x, если cos x = —, 13 x — угол IV четверти. Решение: sin2x = 2 sin xcos x, так что сначала нужно найти sin х, I . । /,	2 к 25	12 sinx = V1-cos х = ,|1	=—; 11	V 169 13 а так как х — угол IV четверти, п 12 Tosinx<0, откуда sinx = -—. Теперь находим sin 2х: . „	„ .	120 sin2x = 2 sinx cosx =	. 169 2.	Найтиtg2x, если tg х = -Тз . Решение: Воспользуемся формулой тангенса двойного утла: l-tg2x 1-3 — т*	х»	Л	Л 3.	Вычислить 2sin—cos—. 8	8 Решение: Воспользуемся формулой синуса двойного угла, читая её справа налево: _ . п п . _ л . п ^2 2 sin—cos— = sm2 — = sm— 		. 8	8	8	4	2	Вычислить, пользуясь формулами двойного утла:
		l)sin2x, если sin х=^-, х — угол II четверти; 2)	cos 2х, если cos х =	; 3 3)	tg 2х, если tg х = 2; 4)	2sin—cos—;	5) sin 120°; 12	12 /
		6)	sin 2x, если cos x = ±,x— угол I четверти; 2 7)	cos 2x, если sin x = —; 7 8)	tg 2x, если tg x = 3; 9)	2 sin 45° cos 45°;	10) cos 120°;
		2 11)	sin 2x, если sin x = -—, x— угол HI четверти; 12)	cos 2x, если cos x = 0,3 ; 13)	tg 2x, если tg x = -2; 14)	2sin^cos-;	15)tgl20°. 6	6
Карточка № 24. Преобразование сумм в произведения
ФОРМУЛЫ	ОБРАЗЦЫ	ЗАДАНИЯ
_ . х+у х-у sin х + sin у = 2 sin	— • cos	—, 2	2 ~ .	х-у	х+у Sin X - sin у = 2sin		 cos	 2	2 „	х + у	X — у cos X + cos у —'2 cos —• cos — „ . х + у . у — х cosx - cosy = 2 Sin— SHI—, sin(x+у) tgx + tgy =	i	 cosx-cosy sin(x-y) tgx-tgy =	-	— . cos x- cos у \	1) Разложить на множители выражение sin5x+sin2x. Решение: По формуле суммы синусов sin 5x+sin2x = = 2 sin 3,5х  sin 1,5х. 2)Преобразовать в произведение tg2y-tgy. Решение: По формуле разности тангенсов ~	sin у tg2y tgy = cos2у- cosу 3) Вычислить cos 75°-cos 15°. Решение: По формуле разности косинусов cos 75°-cos 15° = = 2 sin 45° • sin (-30°) = -	. 2	Преобразовать по формуле: 1) sin 40°+sin 60° ; 2)tg3x+tgx. Вычислить: ' . 5л	. п	л	5л 3)sin	sin—; 4) cos	cos—; 8	8	12	12 „ Зл	л 5) cos—+cos—. 8	8
		Преобразовать по формуле: 6)sin2y-sin5y; 7)tg(-3x) + tg2x. Вычислить: 8)sin75° +sin 15°; 9)cos—-cos—; 8	8 ,«v	5л	3л 10) cos +COS—. ,	8	8
		Преобразовать по формуле: Il)cos3x-cos5x; 12)tg40°-,tg50°. Вычислить: 13)sin—-sin—; 14) cos -?-+cos—; 8	8	12	12 . 5л . 3л 15) sin—+sin —. 8	8