Математика. Письменный экзамен. 9 класс - Звавич Л., Пигарев Б., Аверьянов Д., Трушанина Т., Козулин Б., Шилейко С.

Арифметика, алгебраические преобразования
Уравнения, неравенства, системы уравнений инеравенств
Степени и корни. Прогрессии и последовательности
Author: Звавич Л. Пигарев Б. Аверьянов Д. Трушанина Т. Козулин Б. Шилейко С.
Tags: математика методика преподавания учебных предметов в общеобразовательной школе задачи по математике 9 класс экзамены
ISBN: 5-85525-009-1
Year: 1998
Similar
Задания для проведения письменного экзамена по математике в 9 классе: Пособие для учителя
Задания для подготовки к письменному экзамену по математике в 9 классе
Сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы. 9 класс
Факультативный курс по математике: Решение задач. Для 10 класса
Text
                    КЛАССИЧЕСКАЯ
учебная литература
МАТЕМАТИКА
9 класс
ПИСЬМЕННЫЙ ЭКЗАМЕН
под редакцией
Л.И. ЗВАВИЧА л
Классическая
учебная литература
МАТЕМАТИКА
9 класс
ПИСЬМЕННЫЙ ЭКЗАМЕН
под редакцией Л.И. ЗваВИЧЯ
Ульяновск
«Книгочей»
1998
УДК 51
ББК 74.26
М34
Авторы:
Л. Звавич, Б. Пигарев, Д.. Аверьянов, Т. Трущанина,
Б. Козулин, С. Шилейко
М34 Математика. Письменный экзамен 9 класс.
/Д, Аверьянов, Б. Пигарев, Т. Трушанина и др.; подред.
Л. Звавича. —Ульяновск. «Книгочей», 1998. — 240 с., илл.
ISBN 5-85525-009-1
В книге содержатся подробные решения задач и упражне-
ний для проведения письменного экзамена по математике в
9-х класах общеобразовательных школ.
Предназначена для учителей и студентов педагогических
ВУЗов, а также может быть использована учащимися для
самостоятельной подготовки к экзаменам.
УДК 51
ББК 74.26
ISBN 5-85525-009—1 С Оформление. ООО «Книгочей», 1998
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящая книга предназначена для проведения письмен-
ного экзамена по математике в общеобразовательных школах
Российской Федерации и состоит из двух частей, имеющих
по шесть разделов каждая.
Первая часть книги содержит подробные решения заданий,
соответствующих требованиям учебной программы к знаниям
и практическим навыкам учащихся, оканчивающим 9-е клас-
сы по общеобразовательному курсу.
Вторая часть книги содержит подробные решения заданий
для учащихся, оканчивающих 9-е классы с углубленным изу-
чением курса математики и профильные классы различных
специальностей.
В книгу включено около 2000 задач и упражнений различ-
ной степени трудности, позволяющих проверить подготовку уча-
щихся по основным разделам курса математики за 5-6-е клас-
сы и алгебры за 7-9-е классы.
Обычно экзаменационная работа состоит из 6 заданий,
поюдному из каждого раздела.-При этом количество заданий,
входящих в первую и вторую части, может быть различным в
зависимости от специализации классов. Так, например, реко-
мендуется для классов с гуманитарной специализацией брать
все задания из первой части; для классов, занимающихся по
обычной программе — 4-5 заданий из первой части, а осталь-
ные — из второй; для классов с углубленным изучением мате-
матики — 1-2 задания из первой части, а остальные — из вто-
рой.
Оценка «5» ставится за правильно выполненные любые
пять заданий экзаменационной работы независимо от успеш-
ности решения оставшегося шестогогзадания.
Заметим, что наша книга не может быть эталоном офор-
мления экзаменационной работы, такого эталона и не сущест-
вует. Любой способ оформления работы, если он не содержит
ошибок, верен и приемлем. Главное — это то, как ученик
мыслит и решает задания, а не то, как он оформляет работу
по какому-либо, пусть даже очень хорошему образцу.
Приведенные в книге решения заданий помогут учите-
лю в организации контрольных работ, фронтального повто-
рения и проверки знаний учащихся на экзаменационных
работах.
Авторы
Арифметика, алгебраические преобразования
Вычислите наиболее удобным способом (1.101-1.107):
ЗАДАЧА 1.101 .........................................
а)4|+Ц-3-9|.
Решение: Заметив, что 1|-3 = 4, а | = имеем: (4-| +
+ 1-91 = -8< = -8т-
Ответ: -8|
б)1|-2|-4 + 2-2|.
Ответ: -4|
ЗАДАЧА 1.102 .........................................
а)21+(31-3^)-11.
Ответ: 21
б) (2,125-1-Ц-1^) : 7,25.
Ответ: у
ЗАДАЧА 1.103 .........................................
а)	12-7,4-(-61)): 5|.
Решение: Переведем десятичные дроби в обыкновенные:
1 If - 9,12 = -7,4. Теперь имеем: - 7,4 - 7,4 • (- 61)= 7,4 • 51 х
х7,4-51:51 = 7,4.
Ответ: 7,4 |
6)	(-6| +1,375-51-0,73).
Ответ: 51
ЗАДАЧА 1.104 .........................................
а)	(7,42 • | - (-11,48): 11): 0,35.
Решение: (7,42 • j - (-11,48): 1 f): 0,35 = (7,42 • j - (-11,48) |):
:0,35 = 1(7,42 +11,48) : 0,35 = f • 18^ • Ж = f f = 30.
[Ответ: 30. |
б)	(-5,17:1| + 1,67-|)(-1^).
Ответ:
ЗАДАЧА 1.105 .........................................
5
ytoiwtawiwwKW. дадвфамжсхае жжобйяамиия
а)	(0,319 • (-1) -1,781: 3,5) 0,048.
Ответ: -11^
б)	(0,014 • 11 - 0,286: (-0,06)): (-0,025).
|	Ответ: — 20
ЗАДАЧА 1.106 ...............................................
а)	0,815 (-|)-1• (-4,385) + 0,815• (-1)-(-4,385)• (-1).
| Ответ: — 2,6 |
б)	(-14,09) • 21 - 6,31(-11) - 21 • 6,31 + (-11) • (-14,09).
Решение: По формуле ab - cd - be + da = (a-c)(b + d),
где а = -14,09, 6 = 2|, с = 6,31, d = 1| имеем: (-14,09)-2|-
- 6,31(-11) - 2|. 6,31 + (-11). (-14,09) = (-14,09-6,31)- (2| - Ц) = <
= -20,4 4 = -13,6.
| Ответ: -13,6
ЗАДАЧА 1.107 ...............................................
а)	74,7. 2 + (-.105,3) • 21 - (-105,3) • £ - 21 • 74,7.
Ответ: -420.
б)	6^.2,391-0,109-1| - If 2,391 + 0,109-6^ = 6^.
Ответ: 101
Вычислите, используя, где возможно, формулы сокращен-
ного умножения (1.108-1.117):
ЗАДАЧА 1.108 ...............................................
а)	4,172-(7,422 +31-0,41).
Решение: 4,172 - (7,422 + • 0,41) = (4,172 - 7,422)+3{ • 0,41 =
= (4,17 - 7,42)(4,17 + 7,42)+0,41 • 3| = 3,25 • 11,59+0,41 • 3£5 = 3,25 х
х(11,59 + 0,41) = 3|- 12 = 3-12 +12| = 36 + 3=39..
Ответ: 39~|
б)	5^-2,8-(6,632 - 3,832).
Решение: 5 $. 2,8 - (6,632 - 3,832) = 5 • 2,8 - (6,63 - 3,83)(6,63 +
+3,83) = 2,8 • 5- 2,8 -10,46 = 2,8 • (5,48 - 10,46) = -2,8 • (5 - 0,02) =
= 14 + 0,056 = 13,944.
[Ответ: -13,944 |
6
Арифметика, алгебраические пиго&хяования
ЗАДАЧА 1.109 ..................................... .....
а)	(17,312 -12,692)-(29,812 -0Д92).
Решение: (17,312 -12,692)-(29,812 - 0Д92) = (17,312 -29,812)-
- (12,692 -0Д92) = (17,31 - 29,81)(17,31 +29,81)-(12,69 -0,19) х
х(12,69 + 0,19) = -12,5 (47,12 +12,88) = -12,5 • 60 = -750.
| Ответ: -750 |
б)	(7,842 -12,162) + (25,662 - 5,662).
Ответ: 540 |
ЗАДАЧА 1.110 ............................................
а)	0,453 -1,453 - 0,45 • 1,45.
Ответ: -3,61
б)	0,5073 + 0,4933 - 0,507 • 0,493.
Решение: 0,5073 +0.4933 - 0,507 • 0,493 = (0,507 +0,493)(0,5072 -
-0,507 • 0,493 + 0,4932) - 0,507 • 0,493 = (0,507 - 0,493)2 = 0,0142 =
=0,000196.
[Ответ: 0,000196 ~|
ЗАДАЧА 1.111 ............................................
а)(£-5|-|):(-|)3+(-1)5.
Ответ:
б)	(121-2-27):(-1)3.
Ответ: 3j
ЗАДАЧА 1.112 ............................................
а)	- 3 • 0,26 • 0,46.
Решение:	-3-0,26-0,46 =	3-0,26х
х 0,46 = 0,462 - 2 • 0,26 • 0,46 + 0,262 = (0,46 - 0,26)2 = 0,22 = 0,04.
| Ответ: 0,04 |
б)	-0,12-1,28.
[Ответ: —0,16 |
ЗАДАЧА 1.113 ............................................
а)	О,3“3 + (|)'1 + (-О,5)"2 • 1 + (-If8 • 6.
7
Арифметика, алгебраические преобразования
Ответ: 48$
б)	0Г2 -(X)-1 +(^)° |-0,25-2 -16.
Решение: (|Г2 - (I)’1 + (£)° • | - 0,25*2 - 16 = (|)2 - 9 +1 -
-0,25-2 -16 = |-9 + {-42 -16 = ^-9-256 = -262|.
Ответ: -2621
ЗАДАЧА 1.114 ..........................................
а)	_ 12,52 -1,22.
Решение:	-12>52 -1,22 =12,52 +U2-12,5-1,2-12,52 -Ц2 =
=1,22 =-12.5-1,2 = -15.
| Ответ: -15
б)	|-(0,873 + 2,133) +3-0,87-2,13.
| Ответ: 9
ЗАДАЧА 1.115 ..........................................
а)	7,4б1^2--- 7,46 - 6,26.
Ответ: 1,44
б)	2^.-Мэ +2,52 +4,42.
Ответ: -11
ЗАДАЧА 1.116 ..........................................
Я)^-((2Х)-2_(114)-2).
Решение:	- ((2^Г2 - (I#)'2) =	- ((И)2 _ (1|)2) =
= 06 , _ /И _ 15 W14 . 15 \ _ 0,6 . JL -	0>6	. JL - 0,6 . JL _
2-2+5"5 ^29 29^'29 + 29' ~	+ 29 “ ф2+(|)2 29 ~	+ 29 “
Ответ: 2^
б) 3-((2|Г2-(Ц)-2)--^.
| Ответ: -3 |
ЗАДАЧА 1.117 ......................................
а)	0,12: ((41)'2 - (31)'2 ) - 0,0283  (-0,0028)'2.
8
Арифметика, алгебраические преобразования
Решение: 0,12:((42)-2 -(3|)’2)-О,О283 • (-Q0028)-2 = 0,12:(ф2 -
-(£)2)-0,0283-0,028-2 -0,Г2 = 0,12:((^-ф(^ + ф)-0,0283-2 х
х 0,Г2 = 0,12: (- • |) - 0,028 • 100 = 0,12: (- ф - 2,8 = -0,12 • 60 -
-2,8 = -10.
Ответ: -10
6)	(-1|):(1^-2 -1,5'2) + (0,275)3-0,0275~2.
Ответ: -35
Выполните действия (1.118-1.123):
ЗАДАЧА 1.118 ...........................................
а)	41’5 -0,5~3:0,008\
Ответ: -2
б)	90,5 + 0,064^  1,6~’.
[Ответ: 3,1 |
ЗАДАЧА 1.119 ...........................................
а)	(-|Г2 + 144*.
Ответ: 24 2;
б)	196^-(-А)2.
Ответ: 6 А
ЗАДАЧА 1.120 ..................................
а)	(-2,9):+ 0,36"2'5 • О,66).
Решение: (-2,9): ((1 ^)ч + 0,36'2-5 • 0,66) = (-2,9): (^ + 0,6’5 х
х 0,66) = (-2,9) :(£ + 0,6) = (-2,9):($ +0,6) = (-2,9):(2|) = (-$) х
х 20 = -2
X 29 Z.
Ответ: -2 |
б)	((Ц)'2>5< ~ 1,65°) • (-0,68).
[Ответ: 0,17 |
ЗАДАЧА 1.121 ..................................
9
^и^етика.алгебгюические ппеобыка/ымыя
а)	(-0,6)-(0,0081^ + (1|)~2): Ц.
Ответ: -0,39
б)	3,5 (0,027* - (11)’1): (-2 £).
Ответ:
ЗАДАЧА 1.122 .............................................
а)	(0,48° +(1£У* :0,8"4) • 0,81 ~'2.
Ответ: 2
б)	(0,49~1,5: (1|)4 + 0,64'*) • 3 £.
Решение: (0,4945:(1|)4 + 0,64'*)- ЗХ = (о,7~3 • (i)4 + 0,8“') х
хЗ ]L = (0,7 +1,25) • 3 £ = 0,15 • 40 = 6.
|	Ответ: 6~~|
ЗАДАЧА 1.123 .............................................
а)	(1,442 .(_|)-2 (1	). (_12)3.
| Ответ: — 691,2 ~|
б)	(0,36'2 (-1|)-3 - 0,008* ):(-0,8)2.
Ответ: -0,625
Не пользуясь микрокалькулятором, сравните два числа и ука-
жите какое-нибудь число, заключенное между ними (если
такое существует) (1.124-1.126):
ЗАДАЧА 1.124 .............................................
я) 1293 _ 1	1	1994
1994	1 и 1	1993 •
Решение:	- 1 = -	= 1 -	. Ясно, что
среднее арифметическое лежит между данными числами.
1995 „ 7 _ 1994
1994 И 2	1995 .
Решение:	= 1	> 1	= 2 -	. Ясно, что число
1 + тат ~ iSsl лежит между данными числами.
ЗАДАЧА 1.125 .............................................
а)	1/26 - 1/27 и 1/27“ 1/28
10
Решение:	Ясно, что число
лежит между данными числами.
б)	1/18 - 1/17 и 1/17 - 1/16
Решение: £-^. Ясно, что число
--±z лежит между данными числами.
ЗАДАЧА 1.126 ...........................................
а)	(1Ц)’1 и 0,56.
Решение: Отт)-1 = 24 = 1-14 <1 “ 25 =<‘й’= Ясно, что
число 1 - -§• = is- лежит между данными числами.
б)	(21)"1 и 0,45.
Решение: (2-j)"1 = ^ = 1- Ц= <1-^ = -^ = 0,45. Ясно, что
число 1 - -Ц = лежит между данными числами.
ЗАДАЧА 1.127 ...........................................
а)	(|)2-(|)3 и 0,92 - 0,93.
Решение: Сравним числа (|-)2 - 0,92 и (|)3 - 0,93. Заме-
тим, что (|)2 -0.92 = (| -0,9)(f +0,9) и (|)3 -О,93 = (|-0,9)- ((f)2 +
+О.92 +0,9-|). Ясно, что |-0,9 < 0 и (| + 0,9) < ((f)2 +0,92 +
+0,9 • f). Значит, (f)2 - (f )3 > 0,92 - 0,93.
6)	1,13 -1,12 и (f)3 -(f)2.
Ответ: (f)2 - (f)3 > 0,92 - 0,93.
ЗАДАЧА 1.128 ...........................................
Какому из двух чисел соответствует точка координатной
прямой, менее удаленная от точки М (1):
а)	1,05 и (1,0s)’1.
Решение: Первое из данных двух чисел отличается от
единицы на 1/20, а второе — на 1/21, откуда сразу следует,
что второе находится ближе к точке М.
6)	2/13 или (Ц)’1.
Решение: Первое из данных двух чисел отличается от
единицы на 1/13, а второе — на 1/12, откуда сразу следует,
что первое находится ближе к точке М.
Арифметика, алгебраические преобразования
Преобразуйте в обыкновенную несократимую дробь раз-
ность чисел тир (1.129-L130):
ЗАДАЧА 1.129 ..........................................
а)	т = 0,6875; р =
Рршрнир* 0 6875 - 11 - -6875. _ П = и-52 _П = П_11 = Л_
гешение.	15-10000 15 ^2* 15	16 15	240 *
б)	т = Ц; /> = 1,4375.
Рршрнир- 23 _1 4375-А-1 4375- 6 - 4375 _ 6 _ И 5* __6 _ 7. —_25
гешение. 17	- 17 рки - 17 10000 - 17	$ - 17 16 - 272 •
ЗАДАЧА 1.130 ..........................................
a)	w = -6^5; р = -6,344.
Рршрнпр* -6 44(-6 344 -0 344- 44 = -Ж- 44 = 41-М = А_
гешение. °1251 о,ж;-и,ж 125	1000 125	125 125	125.
б)	т = 1,766; /> = -^.
Рршрнир- -1 766- 6-1	- ^-0766 -	- .96 _ JL -_L
гешение. 1,/ОО V 1125'	125 Ч,ОО“125 1000 “ 125 125 *“ 125*
Представьте число а в виде несократимой дроби и про-
верьте, является ли неравенство верным при данном значении
а (1.131-1.133):
ЗАДАЧА 1.131 ..........................................
а)	а = ^, 8а-4,7 >0.
Ответ: неравенство неверно.
б)	а = ^, 5,2-9а>0.
Решение: а =	= -Ц, откуда 5,2 - 9а = -^33 <0, т.е. не-
равенство верно.
ЗАДАЧА 1.132 ..........................................
Решение: а =	|, откуда | а -11 = | < 0,5, т.е. нера-
венство верно.
6)	а = ^> |а-1|>|.
Решение: a =	| откуда | а -11 = | < 0,5, т.е. нера-
венство неверно.
ЗАДАЧА 1.133 ..........................................
») О = ТШ’ 2о + |<3.
12
Арифметика, алгебраические преобразования
Решение: а =	откуда2а + ^- = 1^- + -^ = 1^- +
2-|=3-(|-11г)<3, т.е. неравенство верно.
б)	а = 1771> « + |>3-
Решение: а =	=	= откуда а+% =	>4 >3,
т.е. неравенство верно.
Сравните две дроби и представьте меньшую из них в виде
десятичной, округленной до тысячных (1.134-1.135):
ЗАДАЧА 1.134 ........................................
а)	5/3 и 11/7.
Решение: Так как 35 > 33, то 5/3 > 11/7. 11/7» 1,571.
б)	3/7 и 7/15.
Решение: Так как 45 < 49, то 3/7 < 7/15. 3/7® 0,429.
ЗАДАЧА 1.135 ........................................
а) -1| и -1£.
Решение: Сравним — 9/7 и — 17/13. Так как — 117 > —
-119, то - 9/7 > - 17/13. - 17/13®- 1,308.
б)-2#и-2|.
Решение: Так как 17 < 18, то — 2$< -2-|£ = -2|.-2||®
«- 2,824.
Расположите алгебраические выражения а + b, а — b, ab и
а : b в порядке возрастания их числовых значений при дан-
ных значениях а и b (1.136-1.138):
ЗАДАЧА 1.136 ........................................
а)	а = -0,8, b = j.
Решение: a + b = a-b = ab = а : b = -||. Яс-
но, что а-Ь<а '. b < ab < а + Ъ.
6)	о = -1,8, Л = Ц.
Решение: а + Ь = -а - b = -3^, ab = -2^, а : b =
Ясно, что a - b <а . b < ab < а + Ь.
ЗАДАЧА 1.137 ........................................
а) а = 1,8, Л = -Н.
13.
Арифметика. алгебраические преобмзевания
Решение: а+Ь—а - b = &yab -	, а \ b ~	. Яс-
но, что a - b <ab <а + b < а '. Ь.
G)a = \,l,b=±.
Решение: а + b = -Ц-, а - b = ^-,ab =	, а : b = Яс-
но, что a-b<ab<a + b<a:b.
ЗАДАЧА 1.138 .......................................
а)	а = -Ц, Z> = 0,<6.
Решение: а + b = - -j|, a - b = - Q, ab = -Ц, а : b = - .
Ясно, что а : b<a-b<ab<a + b.
Ь)	a = -Q.^ Ь = Ъ(1.
Решение: a+ b = - Q, a-b = -^,ab~^, а : b = ^-.
Ясно, что а : b<a-b<ab<a + b.
Расположите алгебраические выражения (a—b)2, ab, а : b в
порядке убывания их числовых значений при заданных зна-
чениях а и b (1.139-1.140):
ЗАДАЧА 1.139 ...........................,...........
а)	а = 2,75, /> = 1|.
Решение: (а - b)2 =± (1 ^)2 =	, ab = , а : b = $ . Ясно,
что ab > {а - Ь)2 > а : Ь.
6)	а = ^Ь = 0,95.
Решение: (а - b)2 = (^)2 = ab = а : b = ф. Ясно,
что (а-b)2 > а : Ь> а + Ь.
ЗАДАЧА 1.140 .......................................
а) а = -2|, b = -1,2.
Решение: (а - b)2 = (1 ^)2 = ab = Ц, а . b =	. Ясно,
что ab > (а + Ь)2 > а : Ь.
.6) с = --|, Ь = -\Д.
Решение: (а - b)2 = (22)2 =	— ab = l&9a:b-^. Ясно,
что (а - b)2 >ab> а : Ь.
Расположите в порядке убывания числа (1.141-1.142):
44
ЗАДАЧА 1.141 ..........?...........................,.........
а)	(I)2, (4Г3. (4)°, «Г2-
Решение:. Так как 4 / 3 > If, то- (у)2 > (4)°’ > (4)?2 > (4)'3г-
6)	фг1, (4)?,	(F2-
Решение: Так как 2 / 3 < 1, то (|)'2 > (|)*‘ > (|)2 > (|)2.
ЗАДАЧА 1.142 ......................-.........................
а) (£)°, (-1,2)2,1,2-’, (f)2.
Решение: Так как 6 / 5 > 1, и (|)2 = (|)'2; Г,2_1< = | < 1, то
(-Г,2)2 > ф» > 1Т* > (f)2.
6)	(-0,75)~2, (|)2, «У, 0,75°.
Решение: Так как 3/4 <1', и (у)’1 = (4)1 , то (-0,75)-2 >
>0,75° >(4Г1>({)2.
Сравните числа (L143- L144):
ЗАДАЧА Т.143 ..................................................
а)	1,Г2+1,1, и($Г2+$.
Решение: -Так как 1,Г2 < $ и (-Ц)-2 > 1,1, то 1,Г2 +
+1.1<(#)’2+Г
б)	А& + (^)’2, и 0,9 +О^-
Решение: Так как 0,9"2 > и (^)~2 < 0,9, то 0,9”2 +
+0,9 > (^Г2+^-
ЗАДАЧА 1.144 ................................................
а)	-19172 +19132 и -19992 +19952.
Решение: -19172+19132 =-4-(1917 + 1913)>-4 (1999+1995) =
= 19992 +19952.
б)	-19192 +19932 и 19172 -19912.
Решение:	=-74 (1919+1993)<-74 (1917+1991) =
19172 -19912.
Найдите два последовательных целых числа, между кото*-
рыми заключено данное число (L145-L146):
К5
Арифметика, алгебраические преобразования
ЗАДАЧА 1.145 ..........................................
а)	0,027^-0,027”^.
Решение: 0,027^ - 0,027”^ = 0,92 - 0,9’2 = 0,81 - ^. Непо-
средственно видно, что данное число находится между чис-
лами 0 и -1.
б)	0,49“* -0,49L
Решение: 0,49* -0,49* =у--0,73. Легко видеть, что дан-
ное число находится между 1 и 2.
ЗАДАЧА 1.146 ..........................................
а)	(Ц)2+(|)”4.
Решение: (Ц)2 + (|)"4 = у +	• Непосредственно видно,
что данное число находится между числами 2 и 3.
б)	Ц8-3-(1|)2.
Решение: 1,8'3 - (1|)2 =	Легко видеть, что дан-
ное число находится между ~ 3 и ~4 так как 125/729 <1/5,
а 81/25 = 3-» (6/25) > 3+ (1/5).
Упростите выражение (1.147-1.160):
ЗАДАЧА 1.147 ................................................
я\ а+х . х
х + а-х ’
Решение:	= <c~x)(g+A')+x2 = д2-х2+х2 _ д2
х + а_х (а_х)х .
Решение:	=	=	= 2^.-^ =^.
ЗАДАЧА 1.148 ....
К 2х-2у . Зу
Л' -JT- тгр-
Решение:
Зу _ 2(x-j)-3 _ 6
к2-у 2	(х~у)(х+у) хч-у ’
g) а+х . Зх+Зх
Решение:
ЗАДАЧА 1.149 ...............................
16
Арифметика, алгебраические преобразования
а) (Ц±з_ + _^з_\9^1.
7 V-Зх х2+3х/ X 2+9
Решение: L^3-- + *--3-Л	+ ЧЦЛ У-*9"*2). =
V2-3x х2 + 3х/ х2+9	\х(х-3)	л-(лч-З)/	х2+9
(\х+3)(х+3) . (х-3)(х-3) \ -х(х+3)(х-3) _ AfoW-gx^. -х(х+3)(х-3) _
х(х-3)(х+3) "** х(л+3)(х-3))	х2+9	л(х-3)(х+3) А5
= 2(х2+9) . -х(х+3)(х-3) =_?
х(л-3)(х+3) А 9
Ответ:	+ ?~3  Y9*?*3- = -2.
V2~3x х2 + 3х/ х2+9
(-У^_____£±1_¥ —У—
\2у+2	2у-2 J' 4_4у2 •
Решение» (- -2±1_Л •	У - (>z~1 - •v+1 Л -
гешение. 2у_2J.	- ^+1)	)	у -
-	_ (у+1)(у4-1) \ -4(у-1)Си+1) _ у2-2у+1-(у2+2у<Л)
~ \2(у+1)(у-1)	2(у-1)(у+1)7 у ~	2(у+1)(>*-1)
V ~4Су-1)Ь,+1> -	-4у	-4(у-1Х>>+1) — о
Х Д'	2(/+1)(у-1) ’ у °*
ЗАДАЧА 1.150........................................
н)	_________
Ответ:	^ = -6
КЧ f_l±2_ _ 2-t \ . 2/2-8
о; ^4-2/	4+2/)
ЗАДАЧА 1.151
-_з_| ;з
д2-1/	а2-2а+1
Ответ: -Zfr + f—Ц- - -J-) :	— = 2 a+1	V(a-l)2	а2-1/	л2-2а+1	
б) (-Л- - —2_¥ _2	_2£. 7 V2-*	£2+4Л+4/’ (6+2)2	ь~2 ’	
Ответ:		—¥ —^-у - -М- = -2 \$2_4	ь2+4Ь^4/ (д+2)2	ь~2	
ЗАДАЧА 1.152 ....................
а\ »*+МИ6.( ь .	* к
f b \(£>+4)2 + 16-?/ + >>-* '
.17
Лрифуекикв, угебрдцческж, QPW&f&MMm
Решение: *2-n-y±U.. f b + А_Л + * _ х
°	\(b+4y	\6-Ьг)	д“4 ь
у ( Ь(&-4)	Ы№) V 8 _ (2н4)2 .	+
Мй^М) (Ь+4)2(Ь-4))	b (b+4fyb-4)
+_А_ nr._x8_4._8_ =0.
b-4	b-4	b~4 v*
Ответ:
Z>2+86+16 . ( b_______b .	8 _ П
ь к(6+4)2	16-/>V	b-4 - U
б> +
Решение: (-J— ——-
V-9	с-6с+9
1	। с+9 Г с~3	_|_	с+3 I *
(3-с)2	с+3	\(с-3)2(с+3) (с-3)2(с+3)/
х(-(с-3)>?+^ = ^^-(с-3)2 + ^ = ^ + ^ = ^>=1
fe-7dz?): 7W = 3
ЗАДАЧА 1.153 .....................................................
а\ _z_ + f_l_____1_?| • , X
7 У+2	\4-у2	4-4у+у2) ' (2-у)2 ’
Ответ:	-ь(—Ц--------1_1 : —Х_ = о
У+2	\4-yZ	4-4y+y2J	(2-у)2
КЧ х2-10x4-25 . ( х____х | । 5
7 2х	\х2-25	(x-5)2J 5+х-
ТЭршрипА» x 2 _— 10 x + 2 5 , J x _ x 1 -i_ 5 — гешение. 2x	^2_25 (x_5.)2J + 5+x - x f x(x-5)	x(x+5)	+ § = (x-5)2 e	-ЛОх \(x-5)2(x+5)2	(x-5)2(x+5)2/	$+x	(x-5)2(x+5) = _x5	5_ = 0. 5+x	5+x	v		(x-5)2 x 2x, x i +3j7 =
	Ответ:		a_J)+.^_-o 2x	kx2-25	(x-5)2/	5+x	
ЗАДАЧА 1.154 ......................................................
ЯЧ />2-1	. 36-1 _|_ 1
7 362-46+1 b ь *
Решение: —г^-^ + т =	= ^+т = 1+л-
З^г-Л/н-! °	°	(36-1)(0-1) b b b b b
Ответ: -4^1— •	1 = 1 + i
_________3b2-4b+l b b____________b_______
ffl 4сг-Г . 2c+l____1_
7 2c2+c-l * c+2	c-1'
18

Решение:
4 с2 -1	. 2с+ 1	_ _Х	= (2с—1)(2с+1) . с+2_______L.	= £+2	_L_ = с+1 = 1
2С2 + с-1	* с+ 2	с-1	(2с-1)(с+1) 2с+1	с+1	с+1	с+1	с+1 ь
Ответ:	: 2&~-\ = 1
2с2+с-1	с+2	*~1
ЗАДАЧА 1.155 .....................................
Решение: - й): (1 -	- (“«fejg® - &) :
• fd+2 _ 4 Л2 - d2-4d+4 . (d+2)2 _ j . 7
* V+2	d+2/ ~	d+2 Cd-TF ~
ЗАДАЧА 1.156 ................
Решение:
(с+3)2 . /д’-27 хЛ а _ (с+3)2 ./(а-3)(а2+За+9)	а _ (с+3)2 . /fe2+3o+9)
3 ——-------------------°/”з ——
— а — (а*3)2 . 3(д+3) ~ а_ _ (Д+3)2 t а _ 0 _ д+3 _ а _ 1
a JF 3 ” а ‘ а	3 ~ а 3(а+3)	3 “ 3 I “ ь
. Ответ:	д)- f = 1
ЗАДАЧА 1.157 .....................................
Решение:
А> («й- (Hf + rih®-
= а •	. 2(д-/>)	д . -2(д-Ь) __ д <о+2 Ь _ а
a+2b'\a+2b a-2b j а+2Ь ' а+2Ь a+2h -2{а-Ь)	2{а-Ь)'
' • °твет:С»-^(^-(1 + Ль))=2^) '
19
Арифметика, алгебраические преобразования
б)
Решение:^: ((1 -	(1 _ ^_)) =	:
((За-т ,	Зд \ (За+т	_ т	За+т • ( -т . Зд \	За+т • ( ~т	v
5уЗа-л1	Ъа-m'J* \3а+т За+mjJ	За-т ’ уЗа-т * За-mJ	За-т ' уЗа-ш
X За+т\_ За+т . За-т . За = За
За ) За-т -т За+т т ’
ЗАДАЧА 1.158 ..........
> (дЙА + тА^АА)-^-_
Отает: (АА^гА^М-А)-^-^
‘>feAA>aH
°“ет:	е-йм-4
ЗАДАЧА 1.159 ............................
а)	(-г 3аЬ—г - тттгЛ (2 + За'1*?.
7 У4д2+12д/>+9/>2	2a+3bJ\	)
Решение:
G^nXw1 "	(2 + За = (гД^)5 " 23?*)(2 + 3 •) =
= ( ЗаЬ _ д(2а+3/>Л . pfl+3Z>\2 = 3ab-2a2-3ab . (2а+ЗЬ)2 _ ^а2 = ^2
\(2а+3*)2	(2д+ЗЛ)27 \ а /	(2а+ЗЬ)2 а2 а2
°1В"-»-2
Решение:
_ (т(5т-2с) . 2тс Y Ли _ 2сУ _ тУЬт-ЪсуЛпк Ат _ 2с'j _	5m2 х
5т-2с	(Sm-ic)2) V»>	5«/	(5z»-2c)2	(5т-2с)2
Ответ:	+ —г2^—Т}(1-0,4ст	=4
_____\гт~2с 25т-2дт+4с2 7 X______7	5
ЗАДАЧА 1.160 ....................................
а> Й: «а + Ыа - D'2 + (« - D(e + О’2 )•
а + j
20
Арифметика, алгебраические преобразования
Решение: 44: ((а+D(« - D’2 + (« -1)(«+О’2) =	:
а +3	а +3
.( аЯ +	а-1 >	= (а-1)(а+1) .<	(аЯ)3	+	(а-1)3	>	_ (а-1)(аЯ)	.
*\(а-1)2	(аЯ)2/	а2+3 А (аЯ)2(аЯ)2	(а+1)2(а-1)27	а2+3
• (+	(°-1)3 1 = (g-»)(a*D • (аЯ^аЯ)2 _ (аЯ)3(аЯ)3
A (e+lfla-I)2/ а2+3 ' е3+3е2+3е+3+е3-3е2+3е-3
Ответ; j^:((a + l)(a -1)~2 + (а - 1)(а +If2) =
б)	(3d2 +1): ((d +1)2 (d - If1 - (d -1)2 (d + If1 )•
Решение:^2 +l)-((d+l)2(d-l)’1 -(d-l)2(d+l)’1) =
= (3d2 +1): ((d +1)2 (d -1)’1 - (d -1)2 (d +1)’1) = (3d2 +1):	-
_ (gf-l)2>| _ /oj2 . IV f (d+1)3 _ (4-l)?	_ zqj2 . l\. 3d2+l _ Z3j2 , i\
(ЗдГ2+1) V	7___________________________________
Ответ:
(3^+l):((^4-l)2(^-l)'1~(4Z^l)2(tZ+ir1) = (J-l)(4Z+l)
Упростите выражение и найдите все значения перемен-
ной, при которых выражение принимает заданное значение к
(1.161-1.164):
ЗАДАЧА 1.161 ................................................
а) ((1+о)-2-1).^1 + _51-> fc = l.
Решёние:((1 + a)"2 -1) • & +	-1)	+
4-	1	= !-(1+в)2 . а+1 +	1	- -д(2+а) , fl+i +	1	_	+	1	_
а(а+1)	(1+а)2 а+2 а2+а (1+а)2 0+2	в(а+1)	(1+а) а(а+1)
= i^ = 1^a = i-1- Пусть 1-1 = 1, тогда 1 = 2 и а = 1.
Ответ: ((1 + а)’2 -1).л±к.+ _л_= ±-1.
Выражение принимает значение к = 1 при а =
6)	(1-(2Л-1)’2):	, к = -2.
/ V V	2А-1	2Л2-/>
Решение: (1 - (26 - I)"2) :	----1— = (1-----i—у) х
V v ' '	2Л-1	2b2-b V (2b-l)2 ’
v 26-1	1	_ (2b-l)2-l 2&-1	1	_ 46(6-1) . i ... 1	_ 4d
* 6-1	6(26-1) ” (26-1)2	6(26-1) *“ (2b-l) 6-1 6(26-1) * (26-1)
21
алгебраически*
= ¥*2 + l' ПУСТЬ 2Ч = -2> тогда. 1=4 и
ь~-±_____________________________________________
Ответ. (1 - (2Z> -1)’2) :	-4— = 2 + |.
\	\	7	7	2$-1 2b -b	°
Выражение принимает значение -2 при. b =
ЗАДАЧА 1.162 ................................................
а)	* = *
Решение:	 (1 -	+1 =	:
 fl_ at2 /1 .2 - х2-(х-1)2 . (х-1)2-*2 .2 - -<-х2+(х-1)2). <х-1)2
\ (x-l)V х 7	' (х-1)2 х 7	(х-1)2-х2 х
= —^4^- + ^| = -x2+4x-i t Пусть тх2+4.х-.1 = 5, тогда -х2+4х-1=»
= 5х2 и - 6х2 + 4х -1 = 0. Решая это уравнение относительно
х, получаем дискриминант 0 = 42 - 4 • (-6) •(-!) = -8. Так как
дискриминант квадратного уравнения отрицателен, урав-
нение не имеет корней, значит исходное выражение не
принимает значения к = 5 ни при каком значении пере-
менной х.
Ответ: (1-
Выражение не принимает значения к = 5 ни при каком
значении переменной х,
б> (.Sr - (А)'*) : (2* - *)+ Ь * = 1-
Решение:^ - (^у1); (2« - ^)+1 =	_ <ul): ^2 -
a\.2_f а2 _(а+1Й • 2а2+2а-а . 2 _	. (a+tf  2 _ 2а-1
а+1/ а (а+1)я fl(a+Q/ *	а+^ а а(а+Г) а(2а+1) ~ а °(а+0
X -	+ | = -0^.'- -1- +Л	= 2а-1. ПуСТЬ = 1, ТОГ-
а^а+1) a a a(pi+l) ^77 а?	7
да 2а -1 = а2 и (а -1)2 = 0. Это уравнение относительно а
имеет единственный корень а = 1, значит исходное вы-
ражение принимает значение k = 1 только при а = 1.
Ари&метика, алгебраические н&еобраэоввния
Ответ: (д - Ь^)’1): (2а - ^)+1= 2^1.
Выражение принимает значения k-l при д -1 
ЗАДАЧА 1.163 ........................................
Ри“""е:	’ *1 («- 2У '
_ ((q + 2^q2-2q+4)	_ __2 .	1	_ f 02-20+4 __	2q ,	1 _
I 4(9+2)2	ё*7)	(<7-2)2	V 9(9+2) ’	«(g+2)J ’
= 9 ~*40+4 • _1 __	(0~2) е .	1. —	1 TTvctTi	•—	—	тпгпя
9(<7+2) ^)2	“	9(0+2) О.2)2 “ 0(0+2.) ‘ ИУ°ТЬ	^+2) - 3, ТОГДЯ
q(q+2) = 3, и q2 + 2q - 3 = 0. Это уравнение относительно q
имеет 2 корня qx = -3 и q2 = 1, следовательно, исходное
выражение принимает значение к = | при qY = -3 и д2 = 1 •
Выражение принимает значения к = | при
= -3 и при д2=Л.
б)--------(+------1—г + 2£^'1 :(3/> + 1)-2, к = 4.
'к3 1+Зр+9р2	27р’-17 к	’	3
Решение: fl----1—г	: (Зр + 1)’2 =
V 1+3A+9J2	27р -17 v у ’
= fi___1__) • 1 - f »	+	) х
к3 1+Зр+9р2	(Зр-1М9р2+Зр+1)7 ' (Зр+1)2 КЦМр^) Х9р2+Зр+1)7
X (Зр+1)2 =	-(3J> + 1)2 = i(3p + l)2. Пусть 1(Зр+1Я =
= -у , тогда (Зр + 1)2 = 16. Решая уравнение относительно р,
получаем Зр + 1 = 4 или Зр + 1 = —4. В первом случае р = 1,
во втором — р = — у. Исходное выражение принимает
значение к = при pr = 1 и при р2 =	.
Ответ: (I •	+ ^): (3?+°'2 = J(3j>+1)2 *
Выражение принимает значения к = при pv -1 и
! при рг
23
АыиЪметика, алгебраические преобразования
ЗАДАЧА 1.164 ............................................
a)	+ _Л-): (2т -1)'2, к = 9.
7 \14-8ffl3	4ш2-2ш+1 V 7 ?___________________________
Ответ:	(2/л -1)-2 = (2т -1)2.
\l+8m3	4m2-2wi+l/v	'	4	'
Выражение принимает значения к = 9 при т{=2 и
при т2 = -1 •
б)	(.	+ - 4 А (и + 4)Л к = 0,2.
_________________________
О"’6'* С-юГмб» + Л)’ <« + 4>'2 = дат • Выражение
принимает значение к = 0,2 при пг=5 и при п2 = -1.
Представьте выражение в виде многочлена стандартного
вида и найдите его значение при заданных значениях пере-
менных (1.165 — 1.168):
ЗАДАЧА 1.165 ............................................
а)	(а - 2b)(a + 2b)(a2 + 4Z*2) при а = 41 , b = 4з .
Решение: (а - 2b)(а + 2b)(a2 + 4Ь2) = (а2 - 4Ь2 )(а2 + 4Л2) =
= a4 -16b4. Подставляя значения а и b в это выражение,
получаем 414 - 16\/з* = 49 -16 • 3 = 1.
Ответ: (а - 2b)(a + 2b)(a2 + 4b2) -а4 - 16b4.
При заданных aub значение выражения равно 1.
б)	(Зл-р)(3п + р)(9п2 + р2) при п = VI, р-45 .
Ответ: (Зл - р)(3л + р)(9п2 + р2) = 81л4 - р4 . При
заданных пир значение выражения равно 137.
ЗАДАЧА 1.166 ............................................
а)(2/л2 + Зл)(4/л4 -6п?п + 9л2)-28л3 при т = -4з , п = 6.
Ответ:
(2/л2 + Зп)(4т4 - 6т2п + 9л2) - 28л3 = 8/л6 - л3. При
заданных тип значение выражения равно 0._________
б)	(5с - 2р2)(25с2 + 10ср2 4- 4р4) - 126с3 при с = -22, р=VH.
Решение: (5с-2р2)(25с2 4-10ср2 +4р4)-126с3 = (5с — 2/>2)((5с)2 +
4-5с ♦ 2р2 + (2р2)2) - 126с3 = (5с)3 - (2р2)3 - 126с3 = 125с3 -
24
Арифметика, алгебраические преобразования
-126с3 -8р6 = -с3-8р6. Подставляя значения с ир в это вы-
ражение, получаем -(-22)3-8(VH)6 =-(-1-211)3-23((V11)2)3 =
= (211)3-23‘1F = O.
Ответ: (5с - 2р2)(25с2 + Юср2 + 4р4) - 126с3 = -с3 - 8р6.
При заданных сир значение выражения равно 0.
ЗАДАЧА 1.167 ............................................
а)	(2х - у)(2х + у)(16х4 + 4х2у2 + у4) при х = -л/2 , у = Уб .
Решение: (2х - у)(2х + у)(16х4 + 4х2у2 + у4) = (4х2 - у2) х
х ((4х2)2 + 4х2 -у2 + (у2)2) = (4х2)3 - (у2)3 = 64х6 - у6 .
Подставляя значения х и у в это выражение, получаем
64С-72/ - (W = 64((-J2)2)3 - (^б3 )2 = 64 • 23 - 62 = 512 - 36=476.
Ответ: (2х - у)(2х+у)(16х4 + 4х2у2 + у4) = 64х6 - у6.
При заданных хиу значение выражения равно 476.
6)	(a-2Z>)(a + 2Z>)(a4+4a2Z>2+16Z>4) при а = л/5, Ь-Уз.
Ответ: (а - 2b)(a * 2d)(a4 + 4a2Z>2 + 16Z>4) = а6 - 64Z>6 .
При заданных аи Ъ значение выражения равно — 451.
ЗАДАЧА 1.168 ............................................
а) (За + Z>2)(9a2 - 3ab2 + Z>4) - b6 при а = — д/0,12 , b = 2л/4
Ответ: (За + /^)(9а2 - Заб2 + bA)-lfi = 27а2 . При
заданных aub значение выражения равно — 3,24,______
б)(х2 - 2а)(х4 + 2ах2 + 4а2) + 8а3 при а = Л 4 ,
x = -V10.
Решение: (х2 -2а)(х4 +2ах2 +4а2) + 8а3 = (х2 -2а)((х2)2 +
+2а- х2 +(2а)2) + 8а3 = (х2)3 - (2а)3 + 8а3 = х6. Подставляя значе-
ние х в это выражение, получаем (-V10/ = ((-л/10)3)2 = (-10)2 = 100.
Ответ: (х2 - 2а) (х4 + 2ах2 + 4а2) + 8а3 = х6. При
заданных а их значение выражения равно 100.
Разложите многочлен на множители и найдите его зна-
чение при заданных значениях букв (1.169 — 1.170):
ЗАДАЧА 1.169 ............................................
25
Арифметика, алгебраические преобразования
а)	2а2 + За - 2аЬ -ЗЬ при а = -1,5, Ь = 4^-.
Решение: 2а2 + За - 2ab - ЗЬ = а(2а + 3) - Ь(2а 4- 3) =
= (а - Ь)(2а + 3), (а - Ь)(2а + 3) = (-Ц - 4£) • 0=О
Ответ: 2а2 + За - 2аЬ -ЗЬ = (а - Ь)(2а + 3). При
заданных значениях букв значение многочлена равно 0.
б)	2с2 - 5с 4- 2cd - 5d при с = 2,5, d = -8-—.
Ответ: 2а2 + За- 2ab -ЗЬ - (а- Ь)(2а + 3). При
заданных значениях букв значение многочлена равно 0.
ЗАДАЧА 1.170 ..........................................
а)	6х2 + бху - 12х - 12у при х = 6--, у = -6,32.
Ответ: 6х2 +бху - 12х - 12у = 6(х - 2)(х + у) . При
заданных значениях букв значение многочлена равно 0.
б)	5а2 -5аб4-15а-156 при а = 4,88, Ь = 4^~.
Решение: 5а2 - 5аЬ + 15а -156 = 5а(а - Ь) + 15(а - Ь) =
= 5(а + 3)(а - Ь). Подставляя а = 4^88, Ъ =4^- /получаем
а - Ь = 4,88 - 4~ = 4,88 - 4^1 = 4,88 -4-^ ® 0. Следователь*
но, 5(а + 3)(47 - 6) = 4(4,88 + 3) • 0 = 0.
Ответ: 5а2 - 5аЬ + 15а -156 = 5(а + 3)(а - 6). При за-
данных значениях букв значение многочлена равно 0.
Вычислите значение выражения: (1.171 — 1.174):
ЗАДАЧА 1.171 ..........................................
а)	р3 + 64/я3 при р = 5,5 , т = -11 ♦
Решение: Разложим исходный многочлен на множите-
ли: р3 -F64W3 = р3 4- (4m)3 = (р + 4m)(p2 - 4pm+16m2). Подста-
вим р = 5,5, т = ~1-|-, получим р+4т = 5,5-41| =
=5,5-^ =5,5-^ = 0. Следовательно, (р+Ат^р1 -4pm^-l6nf) =
= 0.(5,52 -4.5,5 (-Ц) + 16 (-1|)2) = 0
Ответ: При заданных р, т значение выражения равной.
б)	|а3-/»3 при а = -3,2, т = -1|.
26
АтнЬметыка, сыгебрамче&сие преобразования
Ответ: При заданных а, т значение выражения равна О?)
ЗАДАЧА 1Л72 ...........................................
а)8/Р+^ при р з=	= 4,5
| От&уу При заданных р, Означение выражения равно 0-
б) Ь* 6 - 27а3 при b = -3,5, о -4 ^.
Решение: Разложим исходный многочлен на множите-
ли: д6 - 27а3 = (Z*2)3 - (За)3 = (Zj2 - За)(64 -ьЗ/^а + 9а2)., Подста-
вим b = -3,5, а = 49 получим Ъ2 - За = (- 3,5.)2 - 3- 4=
= ф2 -3~ = ~- ^= 0. Следовательно, (Ь2 -За)(Ь4 + ЗЬ2а +
+9О2) = 0 • ((-3,5)* + X-Д5)  4± + 9 • (4^) = 0.______
| Ответ: При заданных Ь, а значение выражения равно 0.
ЗАДАЧА 4.173 ..........................................
а)	9а2- Ь2, если За + b = 2|, За - b = 2,25
Решение: Разложим исходный многочлен на множите-
ли: 9а2-Ь2 ^(За)2-^2 =(3a-Z>)(3a+/>). ПодставимЗад-Z> = 2|,
За - b = 2,25 , получим (За -_£)(3а + Ь) = 2 } • 2,25 = | • 21 =
= 86
з 4	°
Ответ: При заданных значениях выражений aub>
значение исходного выражения равно 6.
б)	с2 -4J2 , если с -2d = -1 у, a с + 2d = 1,75.
Ответ: При заданных значениях выражений с
значение исходного выражения равно — 2.
ЗАДАЧА 1.174 ..........................................
а) 0,16/и2 - Л2, если 0,4m - к =» 4,4, a 0,4m + к = (2,2)-1.
Ответ: При заданных значениях выражений тик
значение исходного выражения равно 2._______
б) с2 - 0,36р2 „ если с + 0,6р = (0,7} - 1, ах - 0,6р = 2,8 .
Решение: Разложим исходный многочлен на множители;
с2-Q,36p^ = сг-((^р)2 ^(с-(\6р)(с^6р)^ Подставим c+ftfip =
= (0,7)-1, ас-0,6р = 2,8 , получим(с-0,6/>)(с + 0,6р) = 2^х
2Т
Арифметика, алгебраические преобразования
х (О,?)’1 = 2,8 • ^ = ^-= 4.
Ответ: При заданных значениях выражений сир
значение исходного выражения равно 4.
Разложите многочлены на множители и найдите все зна-
чения х, при которых оба многочлена принимают значение
нуль (1,175—1,176):
ЗАДАЧА 1.175 ........................................
а)	16х2 - х3 и х2 + 7х +12.
Решение: Разложим многочлены на множители: 16Х-Х3 =
= х(16-х2) = х(4-х)(4 + х); х2 + 7х+12 = (х+4)(х + 3). Первый
многочлен принимает значение 0 при х = 0, х = 4 и при
х = — 4. Второй многочлен принимает значение 0 при х =
= —4 и при х = ~3. Таким образом, оба многочлена
принимают значение 0 при х = — 4.____________________
| Ответ: Оба многочлена принимают значение 0 при х = —4.
б)	9х - х2 -18 и 2х3 - 18х .
|	Ответ: Оба многочлена принимают значение О при х = 3. |
ЗАДАЧА 1.176 ...............................
Зх3 - 27х и 24х - 5х2 - х3.
Ответ: Оба многочлена принимают значение 0
при х = 0 ц при х = 3.
б) 2х2 - 7х + ,6 и 20х - 5х3.
Решение: Разложим многочлены на множители: 2х2-7х+
+6 = (2х - 3)(х - 2); 20х - 5х3 = 5х(4 - х2) = 5х(2 - х)(2 + х).
Первый многочлен принимает значение 0 при х = | и при
х = 2. Второй многочлен принимает значение 0 при х = 0,
х = 2, х = “2. Таким образом, оба многочлена принимают
значение 0 при х = 2.____________________________
Ответ: Оба многочлена принимают значение 0 при
х = 2.
ЗАДАЧА 1.177 .................................
Пусть а, Ь, с, d — положительные числа. Вычислите:
а)	~г^2 > если a+b=b+c = c+d.
28
Арифметика, алгебраические преобразования
Решение: Если а + b = b 4- с, то, прибавляя к обеим
частям равенства ~ Ь, получим а = с. Аналогично,
прибавляя — с к обеим частям равенства b + с = с + d,
получим b = d. Тогда	= 1.
Ответ: При данных условиях
а2+Ь2 =
c2+J2
б)	— + 4 , если ab = be = cd.
'а £1
Решение: Значение выражения определено, так как а и d
отличны от 0. Поскольку £, с отличны от 0, разделив обе
части равенства ab = Ьс на Ь, получим а = с; разделив обе
части равенства be = cd на с, получим b = d, следователь-
ттл — 4- —	— -4- —
НО>а+ d а + d ___________________________
Ответ: При данных условиях = 2.
Упростите выражения (1.178 — 1.184):
ЗАДАЧА 1.178 ....................................
a) feal фг*	.
Решение: ^2а’ • у/а% •	= ^2а^ • (ак •	=
=f2.2-y .№ = (2-^Ж’ =
24а4Т8 = 2-В-8)аК8) = 212а-4 = 2“ .
1
Ответ:	• у]а* • -^а $
6)»:^.^.
Решение

= (32Z>6)^ •(3-1Z>-2)“ X
. - 1	1 3 оЗ 1 1 e 1	2	3	1	6	6.5
X (З-1/,5)* = 3yZ>5 - 3	» - 3 TZ> ’ =	=
«	3 _ 5	n' 43	43
= 3» 25 25^® 20+ 20 _ 30^3® _
29
Арифметика, алгебраические преобразования
‘ Ответ: ^9^:^-)’^ •	•
ЗАДАЧА 1.179 ......................................
а)	(*)* • (О^с-2)^ :^2с^ •
Ответ: (^-)^ • (0,5с“2)^: ^2с7 =2с~2 .
б)	6 •
Ответ: (3rf I: V7T"81<Г '* = 9d~7.
ЗАДАЧА 1.180
ЧКху-2)-5
Решение: Преобразуем выражение: (лу~2)т • --лУХ^Х, =
Ш’2Г
•» х1у-г I .	- х%7~%  Х ,‘1‘2 2, = Х^у'5 • X  у 2х^(х"Ауп)-« =
(х-5Г2(-5))12
= 'Х-уЪх^ХПу~$ = хЗ+14+Лу"3+2"12 ±=Х2у1.
_s.X 1Q.X
X 12/^12
Ответ: (ху-2)I . —= х2/"1
 *V(xy-2)-5
б) -Ж2=:(ай16)"^.
Ответ: ^а2^  : (аЪ16)"^ = Ь3.
ЗАДАЧА 1.181 ........................................
a)	;^1л-П2.
(а/г2)*
Ответ:	=а24^т?
j	(ab"2)^
30
Арифметика, алгебраические преобразования
Решение: Преобразуем выражение:
(^У^ =
СИ*2?)*)3
( 1 J.! .и Y1 _1 I
х у3э& Зу*3 -х Зу*
_з 1 -I _1 ,1	1 7	1-1-J.+2
= х 2 - у* • у 3Х ° у 12 • X Зуь —X 2 6 3 у* 12 6 =
-2
= X у.
/ 3 _1\“2
I х?-у S I	j
Ответ: —.-====^~ • 6с"2у7¥ = х~2у.
ЗАДАЧА 1.182
Решение: Преобразуем выражение:
2а ? -a 2Vf-f2/L”
Va2(a2-1)
Ответ: f + 1Y (1 - a 1 + i.
I aLai M Г а

Ответ: Г-Ц^~2
V д-1
ЗАДАЧА t.183 ...........„....,..............
a) f -Va\b£l.
'04-20 2+1	/
Ответ: Г--7
^о+2о^+1
-2о2
0-1
-1.
за
Арифметика, алгебраические преобразования
б)	+ /,4: V» .
i I
Решение: Преобразуем выражение:	+ b~? :	=
2(1+Л)	л~|. bl _	2	.1 . (^-D2__2_.
- —j	j	I -t- и . —f	- — j r J	—j	- —I J	-t-
(62-1)2	b? b? b?(bl-\)
+ (b^-1)2 _ 2/>K(Z>T-lp
Ь	b-(b?-l)
Внимание! Скорее всего, в условии опять опечатка: не
хватает скобок в начале и перед ":”!
ЗАДАЧА 1.184 ..............................
Решение: Преобразуем выражение:	+cf’^=
xfl + rf’ =	=
6) (*L1	l;±&.
/ v*
/	2	2
Решение: Преобразуем выражение:
^bt-b$
32
Арифметика, алгебраические преобразования
2	1	2.1
- Ь* . № _	№ 3_______ b _ b .
1-^)з
/2	\ -1
OtRGT* I ц_ h Т I •
в Um	J	»-*•
Упростите выражение и найдите его значение при задан-
ном значении переменной (1.185 — 1.189):
ЗАДАЧА 1.185 ............
Ь+ 1
а)
при d = 3.
Решение: Преобразуем выражение:
(1 - d +</Jj х
d* -d 4 -dJ jft/1 +1) x
+1J =p	+1^ +1) =p -l)p +1] =
d - 1. Подстав-
ляя d = 3, получим d~ 1 = 3—1 = 2.
Ответ: ^1 - d~1^d'1	+ ij —d - 1. При d = 3
значение выражения равно 2. '__________________
б) -1^/>~4 +	+	9 при
Ответ:	+1)^* + Z>^ = b -1. При b = 7
значение выражения равно 6.
ЗАДАЧА 1.186 .......................................
я) (в + а* +	- «T’j при а = 5.
/	2	1\/
Ответ: I а + а1 + ау 111 - а 7 I = а -1. При а = 5
значение выражения равно 4.
б) с3 4-е3 J с3 -1 + с 3 при с = 3.
2-ЗЭ
33
Агш&метика. алгебраические преобразования
(2 1V 1	_1\
€7 ДГ5 -1 + С 5 1-
~С3 +С^ •	=^С- +lj^ -С' +lj =
/ |V
= lc51 +1 = с + 1. Подставляя с = 3, получим с +1 = 3+1 = 4.
Ответ: (с1 + с-1 + с”7) = с +1. При с = 3
значение выражения равно 4.
ЗАДАЧА 1.187 ...................................
а)	-т3 +	+ т3^ при т = 4.
(_1	_2\(	2\
1-т 3 +т II т + т3 I = ти + 1. При т = 4
значение выражения равно 5._________
б)	+ р +	- V7} при р = 6.
( 24\/ _i_7\!
Ответ: I р3 + р + р3 II р 3 - р 3 I = р -1. При р = 6
значение выражения равно 5.\
ЗАДАЧА 1.188 .............................................
/ 1 1
а)	с2-с^	_ с-^ ПрИ с = 1,6. IQ-3 .
Л !_С2 J
( 4- IV
Решение: Преобразуем выражение:	_ с
V 1-С2 /
	1	i	1
—^2=-V=c“2. Подставляя с=1,6-ИГ3 получим =(1,610‘3Р =
U] с2
=	. (Ю*4 )(4> = 1.	= | 102 = 25.
14
АымЬметжа, алге^ан^сие
•Ответ: f 3^3) 1 _ с-| s c-f. При с=1,610“х
ч 1-е^ *
значение выражения равно 25.:
б)	(Лг^1 при а = 2,7 • 10~2 .
УдЗ-1/_____________________________________
Ответ:	1 + а' * ~	. При а = 2,7 - 10“2 значе^
Ч?-1'
ние выражения равно 0,3.
ЗАДАЧА 1.189 .....................
a+gl_____________________________
Ответ:	+ Д-2=|2. -	. При а = 3-| значение >
в+а*
выражения равна 0,3-;
б)	при й = 2|.
ьг-ь
Решение: Преобразуем выражение: Ь~Ъ -	» Ь~^ -
bt-b
3)-i	, f3-tYH+j) f .	,	,
YY-\ » f* - r* > =	H ^'2+н = ^ - ь'^ -
Lx-ii
- b 1 = -b 1. Подставляя b - 2 , получим

£==0,35.
Ответ: b	. При b = 24 значение
выражения равно 0,35.
Дакажшюе, чта мноеочлеи не может принимать отри-
цательных значений ни при. каких значениях племенной
(1.190- Г.19Г):
ЗАДАЧА 1.19G
М	МА« •<•*•*»•• IM«AY>MAWAW“
а) 4х2 + 1-4х
Решение: Выделим в многочлене полный квадрат:
4г2 >i-4x=*(2x-l)2. Так как квадрат любого числа есть
i
35
Арифметика, алгебраические преобразования
число неотрицательное, то данный многочлен не прини-
мает отрицательных значений ни при каких значениях пе-
ременной.
б) 1 + 9х2 - 6х .
Решение: Выделим в многочлене полный квадрат:
1 + 9х2 - 6х = (Зх -1)2. Так как квадрат любого числа есть
число неотрицательное, то данный многочлен не принима-
ет отрицательных значений ни при каких значениях пере-
менной.
ЗАДАЧА 1.191 ........................................
а)	25х4 - ЗОх3 + 9х2 .
Решение: Преобразуем многочлен: 25х4 - ЗОх3 + 9х2 »
= х2(25х2 - ЗОх + 9) = х2(5х - З)2. Так как квадрат любого чис-
ла есть число неотрицательное, и произведение неотрица-
тельных чисел тоже неотрицательно, то данный многочлен
не принимает отрицательных значений ни при каких зна-
чениях переменной.
б)	4х2 - 28х3 + 49х4 .
Решение: Преобразуем многочлен: 4х2 - 28х3 + 49х4 =
= х2(4 - 28х+49х2) = х2<2 - 7х)2. Так как квадрат любого чис-
ла есть число неотрицательное, и произведение неотрица-
тельных чисел тоже неотрицательно, то данный многочлен
не принимает отрицательных значений ни при каких зна-
чениях переменной.
Докажите, что значение выражения не зависит от значе-
ний входящих в него букв (1.192 — 1.193):
ЗАДАЧА 1.192 ........................................
а)	а(а - 6)(я + b) - (а + b)(a2 -ab + b?) + b? + at?.
Решение: а(а - b)(a + b) - (а + b)(a2 -ab + b2) + b3 +ab2 =
= а(а2 -Z>2)-(<? + b3) + b3 + ab2 = a3 -ab2 - a3 -b3 + ab2 = 0.
При любом значении букв значение выражения равно 0.
б)	(c-d)(c? +cd + d2)+d(c-d)2-(с2 -cd)(c+2d).
Решение; (с-d)(c2 + cd + d2) + d(c -d)2 -(c2 -cd)(c + 2d) =
= (c-d)(c2 + cd + d2) + (c-d)(dc-d2)- (c - d)c(c + 2d) = (c~d)x
x (c2. + cd + d2 + dc-d2 -c2 -2dc) = (c-d)- *0 = 0. При любом
значении букв значение выражения равно 0.
36
Арифметика, алгебраические преобразования
ЗАДАЧА 1.193 ........................................
а)	(2d + c)(2d -c)-(3c-d)2+ 2(5с + 2d)(c -d) + d2.
Ответ: При любых значениях букв значение выражения
равно 0.
6)	14о/> + (2а + b)2 - (4b + а)(5а - 2b) + (а - 3b)(a + ЗЬ).
Ответ: При любых значениях букв значение выражения
равно 0.
ЗАДАЧА 1.194 ........................................
а)	Вычислите х : у, если (2х) : (Зу) = 5:6.
Рршриир* — 2 • 2L — JL . 2 • 2L — 3
гешение. Зд, - 6, у - 6 2 > у ~ 4 •
| Ответ: х : у = 5 : 4.
б)	Вычислите а : Ь, если (5а) : (2Ь) = 3:4.
Ответ: аг Ь—3 : 167]
ЗАДАЧА 1.195 ........................................
а)	Вычислите (х 4- 2у -- z): (2х 4- 3z), если х: у: z = 1: 3 : 5.
[ Ответ: (х 4- 2у — z) : (2х 4- 3z) = 2 : 17Т|
б)	Вычислите (2у — z): (Зх + у + z), если х: у : z = 2 : 3 : 4.
Решение: х : у : z — 2 : 3 : 4 означает, что найдется число
к такое, что х = 2£, у = 3£ и z = 4£. Подставим выражения
х, у, z через к в данную пропорцию. Получим (2у — z) : (3x4-
4- у> 4- ?) = (6£ - 4£) : (6А; 4-	4- 4£) = 2£: 1 ЗА; =2:13.
Ответ: (2у — z) : (Зх 4- у + z) = 2 : 13‘ |
ЗАДАЧА 1.196 ............................................
а)	Вычислите *	, если х : у = 3 : 2.
'	2ху-у2 ’	z
Решение: х : у = 3 : 2 означает, что найдется число к
такое, что х = Зк и у = 2к. Подставим выражения х, у через
к в данную дробь, получим = ^7-^2 = -Ж =	•
2ху-у2 12к2-4к2	8Л'2	8
Ответ:	_ 2.
2ху-у2 8
б)	Вычислите	если х : у = 2 : 5.
Ответ:	.
2х2+у2	33
Найдите все целые т, при которых значение данной дроби
является целым числом (1.197— 1.198):
37
Арифметика, алгебраические преобразования
ЗАДАЧА 1.197 .....................................  —
а)	4+5м
Ответ: —1. |
б)	Зт+8 *
Решение: Значение дроби целое число только тогда, ког-
да числитель нацело делится на знаменатель. 1 делится на-
цело только на 1 и на —1, следовательно, значение дроби
будет целым тогда и только тогда, когда Зт + 8 = 1 или
Зт + 8 = —1, то есть когда т = - ~ и когда т = —3.
| Ответ: —3. |
ЗАДАЧА 1.198 .........................................
4-яг
Решение: Преобразуем дробь:	= (т+2Д2-я?) ' ^ри т =
=2 ее значение не определено; при других т ее значение
равно значению дроби . Значение этой дроби целое
число только тогда, когда числитель нацело делится на зна-
менатель. 1 делится нацело только на 1 и на —1, следо-
вательно, значение этой дроби будет целым тогда и только
тогда, когда 2 — т = 1 или 2 ~ т = ~1, то есть когда т = 1
и когда т = 3. При этих т значение исходной дроби
определено, и, значит, тоже будет целым числом.
| Ответ: т = 1 или /и = 3.
Ответ: /и = — 6 или т = —4.
ЗАДАЧА 1.199 ......................................
Докажите, что при всех положительных значениях пе-
ременной выполняется неравенство.
а)	+ 4я3 • \fa > 4az.
Решение: Поскольку а > 0, то \1а = а? определен и при
этом больше 0, деля на а?, получим равносильное
неравенство 1 + 4я3 > Аа5 или, что то же самое,
з з
1 - 4а + 4(а?) > 0. Разлагая на множители, получим нера-
38
Арифметика, алгебраические преобразования
венство, вернее при всех	Следовательно, ис-
ходное неравенство верно при любом а.
6)	9^ + b4b > 6/>3 .
Решение: Поскольку то Jb = Ь* определен и при
этом больше 0, деля на = b4b , получим равносильное
неравенство 9£т + 1 > 6Ь^ или, что то же самое,
9(&Ъ2 - 66* +1 > 0. Разлагая на множители, получим нера-
з
венство, верное при всех b(3b? - if >0. Следовательно, ис-
ходное неравенство верно при любом Ь.
Уравнения, неравенства, системы уравнений
и неравенств.
Решите уравнение (1.201 — 1.210):
ЗАДАЧА 1.201 ................................................
„А_____1_ =	+ _1_
х-4	х+1 jc+1 х-4 ’
Решение: При х = 4 и х = —1 значение дробей в урав-
нении не определено; при других х уравнение равносильно
следующим:	<=> х(х+1)- (х - 4)= (2 - х)(х - 4)+
+3(х +1) (полученное домножением на (х - 4)(х +1)) <=> х2 +
+4 = х2+9х-5 <=> 2х2-9х + 9 = 0. Решая квадратное уравне-
пи? ТТППУЧЛРМ- г - М(-9)2-4-2-9 о Y _ 9-(-9 )2-4-2-9 _ з
ПОЛу*1АеЛ^< ""	2 2 J ~ > -*2 ”	22	” 2 *
Ответ: 3;|
Ответ: 4;|
ЗАДАЧА 1.202 ................................................
а\ 4х-6 х _	9
х+2	х+1 ~ (х+1Х*+2) ’
Ответ: 3;-|
х-1	х+3 (x-lXx+З) ’
Ответ: |;-2
ЗАДАЧА 1.203 .
«)^3+^ = б * * * 10
Ответ: -1;-$
б> ^-^ = 3-
Решение: При х = 0 и х = 3 значение дробей в урав-
нении не определено; при других х уравнение равносильно
следующим:	= 3 <=> (х - З)2 - х(х + 5) = Зх(х - 3) <=>
<=>-11х + 9= Зх2 - Эх <=> Зх2 +2х -9 = 0. Решая квадратное
40
Уравнения, неравенства, системы.
уравнение, получаем: = ~2+~22~3^— =	, х2 =	,
Ответ: sbjV? ;zk2£
ЗАДАЧА 1.204 ..........................................
я\ Зх-1 _ 2x4-1 _ х 1
7	2 ” 14	1 *
Решение: Домножая на 14, получаем равносильное урав-
нение: ^-^=~-1<=>6х-2-14х:-7=х-14<=>йх:=5<=>х=|.
Ответ: х = .
б)	—5--# = -^+!-
Ответ: х = -1.
ЗАДАЧА 1.205 ..............................’...........
а)	(Зх +1)2 + (4х -1)2 = (5х - 2)2.
Ответ: х = 4-.
4
б)	(5х -1)2 + (12х +1)2 = (13х -1)2.
Решение: (Зх-1)2 +(12х+1)2 = (13х -1)2 <=> 25х2 - 10х +1 +
+ 144Х2 +24х + 1 = 169х2 -26х + 1 <=>40х = -1 <=> х = -=1
40
Ответ: х = -=|.
ЗАДАЧА 1.206 ..........................................
Решение: Преобразуем выражение в левой части:
(х - 1Y2 +1 - -к)= (х - if —V, - -7^1 = (х - 1)х
V А х х+2/ \ \ х(х+2) х(х+2) х(х+2)7 \ /
х ~х2^х(х^2)2=х =	• Значение этого выражения не
определено при х = 0, х = —2; равно 0 при х = 1 и х = —1.
Ответ: 1;-1.
6) X + 3^2 + (х+1Хх-2))= 0 ’
Ответ: 0; - 2 .
41

ЗАДАЧА 1.207 ...............................................
я\ 1 ц. 1	_ X2-2x4-4
ал x2+2x+4	x-2~	x3-8	•
Ответ: x = .
6Y ai±2a±2 _ I —	2
7	x?-t-27	x+3	x2-3x+9 *
Решение: л? +27 = (x2-3x+9)(x+3). Уравнение x2-3x+9 = 0
не имеет корней^ так как его дискриминант (-3)2 -4- 9 =-27
отрицателен. Значения дробей в уравнении не определены
при х = — 3; при других х уравнение равносильно следую-
щим:	~х+з ~ У зх+9	+Зх + 9-(х2-Зх + 9) =2(х4-3) (по-
лученное домножением на х3 +27 <=>4х=6<=>х=^). Прих =
значения дробей определены, значит х = j — корень урав-
нения._________________
Ответ: х = .
ЗАДАЧА 1.208 .....................„.........................
\ 2(х2-2х+7> _	1-7х
7	4х2-25.	(5-2х)(2х+5) ’
Решение:4х2 - 25 = (2х + 5)(2х - 5). Значение дробей в урав-
нении не определено прих = -| и х = |; при друшк х урав-
нение равносильно следующим:	= (Г2^Ь+5) ^^х2 -
-4х+14 = 7х-1 <=>2х2 - llx+15 = 0. Решая квадратное уравне-
ние, получим: xt = 3; х2 = |.
Ответ: {3}.
fiY 3(*~|)2.	- Зх2-7х+3
(2-ЗхХЭ^ ^ 9^4 *
Ответ:
ЗАДАЧА 1.209 ...............................................
а\ л2-4х-К _ х2-1х-7
У
Ответ: {-41-
42
Уравнения, неравенства. системы.
б\ х2+2х-4 _ 2х2+9х
7 х2—16 ~ (4-х)(х+4) *
Решение: х2 -16 = (х-4)(х+4), Значение дробей в урав-
нении не определено при х = 4 и х = —4; при других х
уравнение равносильно следующим: **22*б ~ ~
<=>х2 +2х-4 = -2х2-9х <=> Зх2 +11х-4 = 0. Решая квадратное
уравнение, полупим: xt = |, х2 = -4 .
ЗАДАЧА 1,210 ......
я\ х2-4 __ 1-2х
' х3-27 ~ 27-л? *
Ответ: { -1}.
4X4-3 _ х-2х24
хМ - 8+х3
Ответ:
ЗАДАЧА 1.211 .......................................
Найдите все неотрицательные решения уравнения:
а> ^Т + ЗГЗ = х
Решение: х = О является корнем уравнения; при других х
получим	= х	= 1. Значения дробей не
определены при х = — 1 и х = 3; при других х уравнение
равносильно следующим: х-3+х+1= (х - 3)(х +1) <=>
о 2х- 2 = х2 - 2х -3 <=> х2 - 4х -1 = 0. Решая квадратное
уравнение, получаем: Xj = 2 + <5 , х2 = 2 - \[5 . 2 - х/5 < 0.
61	- х =
°* * * 7 2х-1 Л х-5 *
Ответ: х = 0. |
ЗАДАЧА 1.212 .................................
Найдите все положительные решения уравнения:
а\ _х___L_ =	1_______х
7 х+1	х+1	х2-х-4	х2-х-4 '
43
Уравнения, неравенства, системы,
х+2 _ 4 _ _ -х +	2
°' 2х-1	2х-1 ~ х2-2х-6 + х2-2х-6 ‘
Решение: Преобразуем уравнение:	~ х2-2х~-6 +
+ :А 	= -2^-7. х = 2 — корень уравнения, при дру-
x^-zx-o zx-i х -2х-6
гих х получим: уЬт = 2х~б * Многочлен х2 - 2х - 6 имеет
корни jq = 1 + V7 , х2 = 1 - V7 . При этих х и при х = |
значения дробей в уравнении не определены. При других х
уравнение равносильно следующим: у^- =
<=>х2-2х-6= 1-2х <=>х2-7 = 0. x = ±V7. Таким обра-
зом, положительные решения исходного уравнения — х = 2
и х = V7._________
Ответ: <^2; V7
ЗАДАЧА 1.213 ..................................................
Найдите все решения уравнения, принадлежащие отрезку
[-0,5; 2]:
al -2- + _2_-_2_ + _2_
х+2 ф х-1 ” х+1 + х-2 *
Решение: Преобразуем уравнение: з^2 + х?Т = З^Т + х^2<=>
_7_______7_ _ _2__2_	7(х-2)-7(х+2) _ 2(х-1}-2(х4-1)	_28	_
х+2 х-2 “ х+1 х—I (х+2)(х-2) ~ (х+1Хх-1) (х+2)(х-2) “
= (Ж4) « (^Я(х-2> =	• Значение дробей в уравнении
нс определено при х= — 1, х=1, х=2, х = —2; при
остальных х уравнение равносильно следующим:
7(х + 1)(х-1) = (х + 2)(х-2) <=>7х2 -7 = х2 -4 <=>6х2 =3 <=>х2	.
Это уравнение имеет 1 решение, лежащее в указанном
промежутке: х=-^. Второе решение х =	, так как
V2 < 2 и -^=- > -у.
______V2 2
Ответ: х - -к .
__________42
61 -2- 4- X - 2х . х+1
х+1 X (^1F X2 •
Ответах = 1 - V2 .
44
Уравнения, неравенства t системы.
Найдите все х, при которых значения выражений равны, и
если таких х больше одного, то укажите среди них наиболь-
шее по абсолютной величине (1.214 — 1.215):
ЗАДАЧА 1.214 .............................................
2х+3 тл 4+х
' 3-5х-2х2	9-х2
Ответ: х = -^.
*+1 и Зх+1
' х2+4х+4	Зх2+4х-4 ’
Решение: х2 + 4х + 4 = (х + 2)2, Зх2 + 4х - 4 = (Зх - 2)(х + 2),
то есть значения выражений не определены прих=-2» их=^.
Для того, чтобы найти х, при которых значения выражений
равны, решим уравнение -^ =	=
~ (3x-2X*+2) • Прих*-2их*| уравнение равносильно следую-
щему: (х + 1)(3х — 2) = (Зх + 1)(х + 2)<» Зх2+х-2 =
= 3х2+7х+2»6х=-4 •» х =. При х = -^ значения вы-
ражений определены, следовательно, равны.
Ответ: х = - j.
ЗАДАЧА 1.215 .......................................
Л\ х2+2х+4 ы (х-1)(х+1)
х+20 ' И ....~х-2 ________
Ответ:Xj = f; х2 =	|.
х~9 ” х-1 ’
' х2+х+1 и (х+2)2 •
Решение: Многочлен х2 +х + 1не имеет корней, так как
его дискриминант I2 - 4 • 1 • 1 = -3 < 0. Значения выражений
определены при х * -2. Для того, чтобы найти х, при
которых значения выражений равны, решим уравнение,
считаях * -2:^5=-^J<»(x-9Xx+2)2=(x-l)^2+x+l^ полу-
ченное домножением на ^с2 + х + 1)(х + 2)2,« х3 - 5х2 - 32х -
-36 = х3 -1 « 5х2 + 32х + 35 = 0. Решая уравнение, получаем
два корня:	— = -It1- = -1, х2=^?гД = -5.
45
Урарненця. неравенства. системы.
т > кЧГ* так к3* |- 44 > I-14J.
'Ответ: х; = -5; х2 =	-5.
Реянете уравнение (1.216 — 1.217)с
ЗАДАЧА 1.216 ...................................
а)	(1 - 2х)(4х2 + 2х +1) = (2 - 2х)(4 + 4х)Цх + 2>.
Решение: Преобразуем уравнение^ раскрывая скобки:
(1 - 2х)(4х2 + 2х + 1) = (2 - 2х)(4 + 4х)(х + 2) <=> 1 - 8х5 =
= 8х? - 16х2 + 8х +16 •» 16х2 - 8х -15 = 0 . Решая уравнение,
получаем два корня: *i = f , х2 =	.
Ответ: {|;
б> (8х - 16)(х2 -1) = (4х2 -2х + 1)(2х +1).
Ответ?:г
ЗАДАЧА 1.217 ...................................
я) &»—(2 + х2)(2 - х2>= (х2 -2хЯ-‘+4х3'.
Ответ: х = L :
6)	(1 + х2 J + 12х = (х2 - Зх^с2 + 3%у
Решение: Преобразуем уравнение^ раскрывая скобки:
(1+л2^ +12х =	-’Зх^с2 +3x^<=>1+2j^Чгt2x=x4-9х2 <=>
<=> 11х2 + 12х 4-1 = 0 <=> (11х + 1Хх 4- фа» О.
Ответ:
Решит»	ы сравните каждый ега корень с данным
Ответ: х = -— < р. f
б) (х + 4ХЗх-2>-(Зх-1ХЗх + 1)=х2^11-ЗхХ ? = -А5.
Ответ: х = -^<^.
4Й
неравенства. састемы.
ЗАДАЧА 1.219..........................
а)	<^£-(|-1)(2 + х) = -|.у; р = -1|.
Ответ: х = -	> р.
б)	+	+ l)(2-f)= р = 21 .
Ответ: х = 2^- < р .
Решите уравнение указанным способом (1.220 — 1.225):
ЗАДАЧА 1.220 ..................  iiiHiimnitiitii.tiKiin.iiiK  ...а
а) 4(х2 - xf + 9^с2 * я)* 2 = 0, замена переменной.
Ответ:
2фс2 - х +1)+1 = 0, замена переменной.
б) ^x2-x + lj -
Ответ: {ji О}.
ЗАДАЧА 1.221 .................................
а) - 7^тт)+ 5 = 0, замена переменной.
ЗАДАЧА 1.222 ......................................
а)	(^2$ -1 = 0, разложение на множители.
Решение Уравнение равносильно следующим:
Многочлена2 +х+2 не имеет корней, так как его
дискриминант!2 - 4 • 1 • 2 = -7 — отрицателен. Выражение
в левой части не определено при х = —2, равно 0 при х = 2,
х= -1.___________
Ответ: {2; -1}.

Уравнения, неравенства, системы.
6)	j + ^ГГ = 0 > разложение на множители.
\/л Г	ЛгХ
Ответ:	2;
ЗАДАЧА 1.223 ........................................
а)	4^^J + 5 •	+ 1 = 0, замена переменной.
Ответ: х — ~2. |
б)	J “ 2 •	4-1 = 0, замена переменной.
Ответ: xt = -1; х2 = 2 .
ЗАДАЧА 1.224 ........................................
а)	& ’	~ 13 •	4-6 = 0, замена переменной.
| Ответ: х = 0. |
б)	3 • (ЛЙ J 4-10 •	+ 3 = 0, замена переменной.
Ответ: х = ~ .
ЗАДАЧА 1.225 ........................................
а)	4 • (2х - 04 4- 7 • (2х -	-2 = 0, замена переменной.
Ответ: х = 4- или х = -4<
J	о
б)	9 •	4- 04 +14 • (^г + бУ -8 = 0, замена переменной.
Решение: Обозначим 4- $ через Г, тогда у нас есть
уравнение 9/2 4-14/ - 8 = 0, откуда t равно . Так как
квадрат числа не может быть отрицательным, остается
только случай ^ +	= |<=>j| + | = ±j<=>x = -|±|.
Ответ: х = -3 или х = -~.
ЗАДАЧА 1.226 ........................................
а)	Решить систему [Зх + 4У = ~22 .
|7х - Зу = 35
Ответ: (2; - 7);
48
Уравнения, неравенства, системы.
б)	Решить систему
[Ответ: (-3; 3).
2х-5у = -21
Зх + 4у = 3
ЗАДАЧА 1.227 .....................................
чп	\х + 4у = 1
а)	Решить систему < л
’	 [4х + у = 8
Ответ:	j>~|
_	f-Зх ч- у = 2
б)	Решить систему <
[х - Зу = 1
Ответ: (-{;-<).
ЗАДАЧА 1.228 ........................................
\ D	+	= 7
а) Решить систему < „
|7х ч- у = 1
Ответ: (-}; %)._________
{3# 4- 9у = 1
__________________х + 2у = 3
Ответ: 
ЗАДАЧА 1.229 ........................................
. _	[х - Зу + 2 = О
а)	Решить систему <
'____________	|2х - 4у + 1 = О
Ответ:	|).
п	Гх - 5у + 2 = °
б)	Решить систему	,
'______________ 1-2х + у - 1 = О
Ответ: (-}; |).
ЗАДАЧА 1.230 ........................................
.	(Зх - 2у = 12
а)	Решить систему <!
'______________ [7х + 4у = 2
Ответ: (2; ~ 3).
Г5х + 9 у = 3
б)	Решить систему •!	„
|-4х + Зу = 18
49
Упмтения,
Ответ: (-3; 2).
ЗАДАЧА 1.231
а) Решить систему
х-2у 2х + у _ 1
3	+	6	~ 1
-х + 2у 2х + у _ 2_
6	2	“ 3
Ответ: 0-;
х+Зу 4х-2у _ 1 £
4	3	” Х6
х+Зу 2х~у _ 7
6 + 4 ~ 12
Решение: Обозначим х+Зу через г/, а 2х — у — через у.
'3«-8у = -1,4
2и+Зу-7	• ^множив первое уравне-
б) Решить систему«
Получим систему '
ние на 3,
а второе — на 8 и, сложив, получим
U 25
v= 49
Г 25
Итак, мы
уравнения
z-s % =
Л 25
* + = Ц о
. Выразив у из второго
2х - у = 25
и подставив в первое, получим 25х = 23
и тогда у =	.
получил
Ответ:
ЗАДАЧА 1.232
[х-2у = 7
а) Решить систему s о
|х2 + Зху + 9 = 0
Ответ: (3; - 2) и
б) Решить систему
'Зу + х + 1 = О
2х2 - ху - у = 35 *
Ответ: (-4; 1) и (у-
ЗАДАЧА 1.233 ......................
а)	Решить систему	+ 2) - О
[2х2 - у + 5х = О
50

Решение: х — корень первого уравнения,. только если х =
= 3 (тогда из второго уравнения у = 27). или у = — 2 (тогда
из второго уравнения х =	).
ЗАДАЧА 1-234 	 а) Решить систему		+ 1Х2У -1) = о \4ху - х2 - 2у2 = 1
	Ответ: (-1; -1) . '	(2х - 5ХУ + 2) = 0 х2 + ху + у2 = 4
	б) Решить систему	
Ответ: (0; - 2) и (2;. - 2)»
ЗАДАЧА 1.235
а) Решить систему
м=°
2у2 + х2 = 40
Ответ: ^-5; -	.
б) Решить систему
2=^=0
х+2
х2 + ху + 4у2 = tfr
Решение: х — корень первого уравнения только ириу=|,
тогда из второго уравнения х2+Д^ + 9 = 10<»х = у
но х = - Z не подходит, так как тогда первое уравнение,
теряет смысл.
Ответ:
ЗАДАЧА 1.236
а> Решить систему
_ о
х-3 ~ и
2х2 + у2 - 2ху = 13
51
Уравнения, неравенства, системы.
	Ответ: (-5; - 3) .	
	б) Решить систему	х+2у+3 _ л . y-i х2 + 4ху + 5у2 = 10
	Ответ: (-1; -1) .	
ЗАДАЧА 1.237 	 а) Решить систему		(Зх + 7 = 1 |(3х + 7у)(х - Зу) = 11
Решение: Подставим значение Зх + 7у из первого урав-
[Зх + 7у = 1 __
нения во второе и получим	. Умножим второе
уравнение на - 3 и сложим с первым, получим
16у = -32 <=> у = -2 и тогда х = 5.
Ответ: (5; - 2) .
„	[8х - Зу = 1
б)	Решить систему «к	ч
'	7 Цх + 2уХ8х - Зу) = 12
Ответ: (2; 5) .
ЗАДАЧА 1.238
а) Решить систему
х _ У_ _ 5_
3	2 “ 6
(2x-3y)^ + 0=f
Ответ: (7; 3) .
б) Решить систему
х. . у. - 1
4 + 6 " 2
(6х + 4у)^с +	-12
Решение: Заметим, что первый множитель в левой части
второго уравнения равен левой части первого уравнения,
умноженной на 24 и подставим его значение. Получим
[Зх + 2у = 6 z
систему < ~	„ (мы домножили первое уравнение на
|2х + у = -1
12, а второе — на 2). Умножим второе уравнение на “ 2 и
сложим с первым. Получим, что -х = 8 <=> х = -8 и тогда
у =15.
Ответ: (-8; 15) .
52
Уравнения, неравенства, системы.
ЗАДАЧА 1.239 .......................................
а) Решить систему +	~	*-16
[Зх - у = 1
Решение: Разложим разность квадратов в произведение,
выразим из второго уравнения у и подставим. Получим
8х(3х -1) = 16 <=> х = и у =	.
Ответ: (1; 2) и (- ; - з) .
{4х + у +1 = О
_________________0-Х)2- 0 + X)2 = 20
Ответ: (1; - 5) и (- ; 4).
ЗАДАЧА 1.240 .......................................
" _	(ху	=	12
а) Решить систему 1
' \2х + 2у-ху = 2
Ответ: (4; 3) и (3; 4).
(х + Зху + у = -19
о) Решить систему
[ху + 6 = 0
Решение: Подставим значение ху из второго уравнения в
первое и из получившегося уравнения х + у —18 = —19
выразим х и подставим его во второе уравнение, получим
у(-1 - у) + 6 = о «•	СП ГЧ 1 II II
Ответ: (-3; 2) и	(2;-3).
ЗАДАЧА 1.241 ......................................
[_JL + _3_ = 5
а)	Решить систему < х~2
[х - Зу = 4
Ответ: (4; 0) и (|; -.
[Зх	+ у	=	-4
б)	Решить систему	«I	7	_	ю	_ г •
_________________________У	- °
Ответ: (0;-4)и	.
ЗАДАЧА 1.242 ...............................
53
вменения. ншвен<ж1. системы.
а) Решить систему 	4. _ 9. - 7	
	х у х-2 _	-1 - 1  (Г - I
Ответ: {у; "-у^и (1; -3) .		
б) Решить систему -	р- + И = 2 х у 2у+1 , х+4 _ 4 . 6	* 2 “ 3	
Ответ: (1; - и (-5; 5) .
ЗАДАЧА 1.243 ......................................
а)	Найти все пары (х; у), удовлетворяющие (Ю-2х-ЗуУ +
+(-х + 5у - 8)2 = 0.
Решение: Так как оба квадрата неотрицательны, а их
сумма равна нулю, то они оба равны нулю, и мы имеем сис-
о [2x + 3y=10 w
тему уравнении	Л . Умножим второе уравнение
[-х + 5у = 8
на 2 и сложим с первым. Получим 13у = 26 <=> у = 2 и
х = 5у ~8 = 2.____
Ответ: (2; 2) .
б)	Найти все пары (х; у), удовлетворяющие
(- Зх + 4у -15)2 +(2х - у + 5)2 = 0.
Ответ: (-1; 3) .
ЗАДАЧА 1.244 ......................................
а)	Найти все пары (х; у), удовлетворяющие	4-
Ответ:
б)	Найти все пары (х; у), удовлетворяющие	+
+ =°-
Ответ:	.
ЗАДАЧА 1.245 ......................................
54

а)	Решить неравенства 2^х -0+	.
Ответ: х > ~~2.
б)	Решить неравенство ^±£ - -^1 £ 2fx - 1}.
Ответ: х>1 .
ЗАДАЧА 1.246 ............................................
а)	Решить неравенство 2*±Z -
Ответ: х < ± .
б)	Решить неравенство	- 2х.
Ответ: х > 5 .
ЗАДАЧА 1.247 ............................................
. а) Решить неравенство 0,2х ~	< у • ОД -	• 0
Ответ: х>^ .
б)	Решить неравенство О,3х - у > у ~ Т~ 7 •
Решение: Разделим обе части неравенства, на отрица-
тельное число 0,3 - у, при этом знак неравенства поменя-
ется на противоположный, и мы получим х < £•.
Ответ: х < у .
ЗАДАЧА 1.248 ..............   ..........................
а)	Решить неравенство (0,7 -	> (-20)”1.
Решение: Умножим неравенство на отрицательное число
~20 — при этом знак неравенства поменяется, и мы полу-
чим -(14 - 15)х < 1 <=> х < 1.
| Ответ: х < 1.
б)	Решить неравенство (0,3 - 0с <	.
Ответ: х > 1 .
ЗАДАЧА 1.249 .......«....................................
а)	Решить неравенство
Ответ:	.
ээ
Уравнения, неравенства, системы,
б)	Решить неравенство	- 7^=1.
Ответ: х £ у .
ЗАДАЧА 1.250 ...........................................
а)	Решить неравенство (4х - 7Х* + 3) > (2х - 5X5 + 2х).
Ответ: х > - у .
б)	Решить неравенство (1 - 9*Х* + 2) < (5 + ЗхХ5 - Зх).
Ответ: х^-^- .
ЗАДАЧА 1.251 ........................................
а)	Решить неравенство (х - 3\х + 3) > ^ - у)(1 - 2х).
Ответ: х > ^ .
б)	Решить неравенство (2 + х\2 - х) < (0,5х + 1Х2х - 3).
Решение: 4-х2 >х2+0,5х-3<=>0>2(х+2)^с-^<=>-2<х<7.
Ответ: - 2 £ х <	.
ЗАДАЧА 1.252 ........................................
а)	Решить неравенство -2х2 + 9х + 5 > 0.
Ответ: -0,5 <х <5.
б)	Решить неравенство Зх2 - 8х 4- 4 > 0.
Ответ: х > 2 или х < | .
ЗАДАЧА 1.253 .............................,..........
а)	Решить неравенство 15х2 + 8х + 1^0.
Ответ: х £ -1 или х > -1 .
б)	Решить неравенство -12х2 + 17х - 6 > 0.
Ответ: j < х < | .
ЗАДАЧА 1.254 ........................................
а)	Решить неравенство (5х - 8X5 - Зх) > 0.
Ответ: 11 < х < 1 .
б)	Решить неравенство (5х + 6Х~7 - 6х) < 0.
56
Уравнения, неравенства, системы.
Ответ: х < -1 или х >	.
ЗАДАЧА 1.255 ...............................................
а)	Решить неравенство (х -	- ЦЦ-)< 0.
Ответ:	•
б)	Решить неравенство (х +	+ ЦЦ)< 0.
Решение:(х + |)(х + ЦЦ)< 0 <=>	< х < -, так как
5	___1 _ 1995
~ 4 - 1 4	1994 ~ 1994 ’
Ответ: -1 < х <	.
ЗАДАЧА 1.256 ...............................................
а)	(х 4- 2X2 - х) > (х + 2\х 4- 4).
Решение:(х4-2Х2-х)>(х4-2Хх4-4)<=>(х4-2)(2-х)-(х4-2Хх4-4)>
> 0 (х 4-2)(2 - х - х - 4)> 0 «>-(х 4-2)@х 4-2)> 0 <=> (х 4-2)£с 4-1)< О
<=> -2 < х < -1.________
| Ответ: - 2 < х < -1 .
б)	(3 - х\2х 4-1) (х 4- 3X3 - х).
Ответ: х £ 2 или х £ 3 .
ЗАДАЧА 1.257 ...............................................
а)	(4 - ЗхХЗх 4- 4) > (2 4- 9хХ* 4- 8).
Ответ: -	£ х £ 0 .
б)	(4х - 1X9 - х) > (2х - ЗХ2х 4- 3).
Решение:(4х-1Х9-х)>(2х-ЗХ2х4-3)<=>4х2 -9-(-4х2 4-36х+
4-х - 9) < 0 <=> 8х2 - 37х < 0 <=> х^с - ^-)< 0 <=> 0 < х <	.
Ответ: х < -1 или х > 1
ЗАДАЧА 1.258 ..................;............................
а)	(2 4- 7х)2 < (4 - Зх)2.
Решение: (2 4- 7х)2 < (4 - Зх)2 <=>(2 4- 7х)2 - (4 - Зх)2 < 0 <=>
<=> (2 4-7х 4-4 - Зх)(2 4-7х - 4 4- Зх)< 0 «• (6 + 4х)(10х-2)< 0 <=>
57

«>(x + |Xx-|)<0,ts>-l<x<i-
Ответ: - < x < | .
6)	(1-5x)2 ;>(!! +3xf.
Ответ: x 5 - | или x > 6 .
ЗАДАЧА 1.259 .......................................
a> Ь2х — 2x2 < 18.
Решение: 12x-2x2 £ 18<=>2x2- 12x + 18^0<=>x2-6x + 9^0
<=>(x-3)2>0 <=> x — любое действительное число.
Ответ: х — любое действительное ’
число.__________________________
б) 12х2 +12х + 3 <0.
Решение: 12х2 + 12х+3 < 0 <=> 4х2 +4х+1<&<=>(2х + 1)2<0=>
решений нет.
( Ответ: Решений нет. |
ЗАДАЧА 1.260 .......................................
а)	16-40х + 25х2 > 0.
Ответ: х * j.
б)	28х^4 + 49х2.
Решение: 28х £4 +49х2	49х2 -28х+4 £0 о (7х-2)* 0
<=> х = у .
Ответ: х = |.
a)	(2х+7?-(2+7х^ <0.
Ответ: х < -1 или х > 1.
б)	(8-Зх)2-(8-Зх)2 £0.
I*Ответ: х £ -Гили х > 1. [
а)(^_т^о.
Ответ: х < или х > 0.
58
Уравнения, неравенства, системы.
Ответ: -	.
ЗАДАЧА 1.263 .......................................
а)	(2хИ5у <(5x±2iy.
Ответ: х < - 6 или х > б.
б)	(5^1 / - (3^4 j2 < 0 .
Ответ: х < -16 или х > 0.
Найдите область допустимых значений функции (1.264 —
1.268):
ЗАДАЧА 1.264 .......................................
а) у = -^±1.
Решение: Значение выражения определено <=>
Ответ: х > -4- и х * 0 .
Ответ: х < |.
ЗАДАЧА 1.265 .........................................
а)	у = 7з - 5х - 2х2 .
Ответ: -3 < х < .
б)	у = \12х2 - 9х + 9 .
Решение: Значение выражения д/2х2 - 9х + 9 определено
<=> 2х2 -9х + 9>0<=>(х- 3\2х - 3) > 0 <=> (х - 3)(х - -|)> 0 <=>
<=> х < | или х > 3.
Ответ: х < или х > 3 .
ЗАДАЧА 1.266 .........................................
59
Уравнения, неравенства, системы.
а)	у = ..... ,--------
V 2 + 3 х - 5 х 2
Ответ:
6)	У = т—-£------
v3x2+4x+1
Решение: Значение выражения	определено
<=> Зх2 + 4х + 1>0<=>(х + 1ХЗх +1) > 0 <=> (х + 1)(х + |)>°«
Ответ: х < -1 или х >	,
ЗАДАЧА 1.267 ...........................................
а)	у = jl-(2x + 3)2 .
Ответ: -2 < х < -17]
б)	У ~ J(1-3x)2-4 '______
Ответ: х < -1 или х > 1.
ЗАДАЧА 1.268 ..........................................
а)	У = 77-7—о •
_______Ух2-6х+9
| Ответ: х * 3.
6)	5 - л/10х - 25 - х2 .
| Ответ: х = 5 . |
Решите неравенство (1.269 — 1.274):
ЗАДАЧА 1.269 ...................................
Решение:	>О<=>0-2х^+х)>О-»^-^^с+2)<О<=>
« -2 < х < |.
Ответ: -2 < х < .
Ответ: х < -1 или х > 7.
60
Уравнения, неравенства, системы.
ЗАДАЧА 1.270 ............................................
<Л 2±4х < л
** х-0,5 ~ и *____________
Ответ: х < -у или х > у.
Ответ: х<— | или х>
ЗАДАЧА 1.271 .................................................
Л\ 7х-ьЗ > —х
х+3 ~ 2(х4-3) '______________
Ответ: х < -3 или х > - у.
(Л____3_<____Sx—*!—
Зх-2 2(Зх-2) *
°' Зх-2 - 2(Зх-2) '________
Ответ: х < или х S |.
ЗАДАЧА 1.272 ............................................
Л\ 4+х - 5-ьЗх
2х-3	3-2х *
Ответ:
Решение:	+ тЦ- > 0	4*\6 > 0 <s>
<=> 0х + б)(х - 2)> 0 <=> + |)(х - 2)> 0 <=> х < -| или х > 2.
Ответ: х < -у или х > 2.
ЗАДАЧА 1.273 ....................................
«Л 2х+4	3-2х
а' 7-5х	5х-7 '
Решение:	feU о	> о <=>	0 «
<=>7-5x>0<=>5x-7<0<=>x-|<0<=>x<|.
Ответ: х < .
61 х+7 < Ь*
Vf 3-4*	4х-3 ’
Ответ: х > .
61

ЗАДАЧА 1.274
а) 1Т2х>~~
Ответ: х < - j или х > -2.
б)^т>2-
Решение: -Af>2«^r-2
(3 - 2хХ* +1) > 0 <=> - ^х +
Ответ: -1 < х < .
Среди решений данного уравнения найдите те, которые
удовлетворяют данному неравенству (1.275 — 1.278):
ЗАДАЧА 1.275 ......................................
а)	±	= 2; х2 + 5х - 6 < 0.
Ответ: х = - ^.
б)	+ -^ + 2 = 0; - х2 - 2х + 8 > О.
Зх + 4(х +1}+ 2х(х +1) = О
х*0
(-1т + -+2
Решение: x+l х
-х2 - 2х + 8 > О
х2 + 2х-8.<0
2х2 + 9х + 4 = О
х # О
х * -1
х2 + 2х - 8 < О
х2 + 2х - 8 < О
Ответ: х =
ЗАДАЧА 1.276 ...........................
а)	(х + З)2 + (х +1)2, = 20, (Зх + ^Хх~ 2)S О.
| Ответ: х = -5.
б)	(3 - х)2 + (1 - х)2 = 20, (х-4Х5х + 1)^а.
Решение: J<3 ’ х? + (1 ~ *)2 - 20	(Zx2 - 8х + W = 20
[(х - 4Х5х + 1) <; О	Цх - 4Х5х +1) <; О
X4fl Л+1

2 ’
х * О
_ 1
2 •
^мнения, неравенства. системы.
|х2-4х-5 = 0	Г(х-5Хх + 1) = «	I* =
[(х - 4Х5х +1)^ 0	цх - 4Х5х +1) £ О	(
________________________
| Ответ: Таких решений нетТ"
ЗАДАЧА 1.277 .................«...
а\ 3	। 1 _ х-3 2х-1 ч. 5	х+1
Р^+5-х с~’ ~ > 2 ~ '
Ответ: х = 4.
2	. 3 _ 2х+9 х+4 . 13+2х z q с
6) та^+х-^б~ ’—+~г~ < 3>5 •
Ответ: х = -5 .
ЗАДАЧА 1.278 ...........................................
а)	(х2 - 2fx + 2) = х3 +3, X2 + 7х < 0.
| Ответ: х — ~2. |
б)	1 ~ х3 = (х -1)(5 - х2у 4х2 - 9 > 0 .
Ответ: х = - 6.
Решите уравнение и выясните, какому из двух неравенств
удовлетворяет корень уравнения (1.279 — 1.280):
ЗАДАЧА 1.279 .........................................
а)	HF” = * +	~ 3 > О или х2 - 3 < 0.
Решение: ^=2* = 1 +	<=> 3(1 - 2х) = 36 + 2(5х ~ 4) <=> 3 - 6х =
= 36 + 10х -8 <=> 16х+ 25 = 0 <=> х =(-^ = ^ =	< 3.
Ответ: Решение уравнения удовлетворяет неравенству
х2 - 3 < 0 .______________;_________[_________
б)	5±3х _ 2r2L - 1 2 - X2 < О ИЛИ 2 - X2 > 0 .
' 1о о 2 '
Ответ: Решение уравнения удовлетворяет неравенству
2-х2 <0.
ЗАДАЧА 1.280 ...................................
а)	2(х + 2)-^=^+ 1 = 0, х3 +3х2 -4<0 или х3 +3х2-4>0.
Ответ: Решение уравнения удовлетворяет неравенству
х3 + Зх2 - 4 < 0.	
63
Уравнения, неравенства, системы.
б)	- 3 = 6(х - 1), х3 - 4х + 3 > 0 или х3 - 4х + 3 < О .
Решение:	- 3 = 6(х -1) <=> Зх + 2 -12 = 24(х -1) <=> Зх + 2 -
-12-24х+24=0 <=> 14-21х = 0 <»х = $ -4-1+3 = £+3 =
_ 8-72+81 _ 17 П
“ ~~~27— ~ 17 г U ‘_________________________________
Ответ: Решение уравнения удовлетворяет неравенству
х3 - 4х + 3 > 0 .
Среди всех х, при которых данное выражение Р(х) обра-
щается в нуль, найдите такие, чтобы выполнялось неравен-
ство (1.279 - 1.280):
ЗАДАЧА 1.281 .........................................
а)	Зх2 - 4х -14 > 0. Р(х) = (х - 4Хх - 1X2* + 3).
Ответ: х = 4. |
б)	4х2 + 17х + 5 < 0. Р(х) = (х - 2Х2х + IX* + 3).
Ответ: х = -3 и х = - ~.
ЗАДАЧА 1.282 .........................................
а)	- 6х2 + х +13 < 0. Р(х) = (х + 3)(4х2 - 12х + 9).
Решение: Р(х) = 0 (х + ЗХ2х - З)2 = 0 х = | или х = -3.
-6+| + 13 =	+1 + 13 = -12 + 13 =1 > °; -6(-3)2 + 13 =
= 54 +10 = -44 < 0.
Ответ: х = -3. |
б)	2-х- 10х2 > 0. Р(х)== (2х2 + Зх - 2)(1 - 2х).
Решение: Р(х) = 0<=>(х + 2Х2х- 1Х2х-1) = 0<=>х = -2 или х = .
-10 • (-2)3 - (-2) + 2 = -10 • 4 + 2 + 2 =-36 < 0; -10 • (Vf -1 + 2 =
= |-| + 2 =-3 + 2 =-1 <0.
| Ответ: Таких решений нет. |
Найдите все значения х, при которых выражение опре-
делено.
64
Уравнения, неравенства, системы.
Найдите все значения х, при которых значение выраже-
ния равно нулю.
ЗАДАЧА 1.283 ...................................
а	) хл/х2 + 7х-18 .
Решение: Значение выражения х\х2 + 7х -18 определено
<=> х2 + 7х - 18 > 0 <=> (х + 9Х* -2)>0<=>х<-9 или х > 2.
Значение выражения хл/х2 + 7х -18 равно нулю <=> х = -9
или х = 2 (х = 0 не принадлежит области определения
выражения).
Ответ: Значение выражения определено при
х£-9илих^2 Значение выражения равно
нулю при х — — 9 илирс — 2.__________________
б	) хл/11 + 10х - х2 ._______________________
Ответ: Значение выражения определено при
-1< х<11 Значение выражения равно нулю
при X = О, X = — 1 или X = 11.
ЗАДАЧА 1.284
я\ *2-х
а)
Ответ: Значение выражения определено при х < £.
Значение выражения равно нулю при х — 0.
б)
7	л/5 +_2х
Решение: Значение выраженияопределено <=> 5+ 2х
<=>х >	. Значение выражения ^~^х' Равно нулю <=> х = 3
(х == —3 не принадлежит области определения выражения).
Ответ: Значение выражения определено при х < - .
Значение выражения равно нулю при х = 3.
ЗАДАЧА 1.285 .........................................
я\ х2+2х+1
• ____________________________________________________
Ответ: Значение выражения определено при - j < х < j .
Значение выражения равно нулю при х = — L
65
3-99
Уравнения, неравенства, системы.
б) X2-2X4-1
д/4х2-6х___________________________________
Ответ: Значение выражения определено при х < 0.
Значение выражения не обращается в нуль.
Решите двойное неравенство (1.286 — 1.289):
ЗАДАЧА 1.286 ......................................
а)	А <1^ <1,15.
Решение: 4 <	< 1,15	< -| <=> -^ < Зх -1 < -^ <=>
Ответ: --|<х<-у.
6)	-0,88 <^<|.
Ответ: -3,7 < х < - j.
ЗАДАЧА 1.287 ......................................
а)-1| <4^1 <-0,24.
Ответ: -1,375 < х < 0,71.
б) 0,15 <	<; 1|.
Решение: 0,15 <	1| <=>^ <^=^< ^<=>^<7-5х<^<=>
<=>-—•< 5х-7<-рг4=>-4^5х<Й<^-1^х< 1,22.
О	1U	О	XV	О
Ответ: —|-<х<4?22.
ЗАДАЧА 1.288 ......................................
а)	1,75 <4х-х2 <4.
(х2 — 4х +	< О
Решение: 1,75 < 4х - х2 < 4 <^> <	4	<=>
[х2 - 4х + 4 > 0
(х - 2)2 > О I* # 2
Ответ: (};2)U(2;|).
б)	- < х2 + Зх -1 < 3.
Уравнения, неравенства, системы.
Ответ:	4; - y)U(- у J1) •
ЗАДАЧА 1.289 ............
а)	0 < 1 - 2х - Зх2 < 2.
Ответ: -1 < х < |.
б)	-3 < 2х2 - х < 1.
Решение: -3<2х2-х<1<^
[2(х-|У+>>0 i v -
У 4/	8	<=> -X < X < 1 .
(2х4-1/х-1)<0
Ответ: - ^ < х < 1.
2х2 - х + 3 > О
2х2 - х - 1 < О
Решите систему неравенств (1.290 — L294):
ЗАДАЧА 1.290 .....................................
Г(х + 2X2 - х) < (х + 3X4 - х)
а) 1 3+х . 1-2х > 1
I 4 + "Г ~ 1
Г(х+2Х2-х)<(х+ЗХ4-х) |4-х2 <12+х-х2
Решение: i v ~	<=><
р+х + Wx > !	[3(3 + х)+2(1 - 2х) > 12
Гх + 8 > О	[х > -8
<	л	<=>-8<х^-1.
[9 + Зх + 2 - 4х >12 [х < -1
| Ответ: -8 < х < -1. |
б)
(х - IX* + 5) > (х - З)2
5+2х _ 5х-1 о
. 3	6 Z
Ответ: х у.
ЗАДАЧА 1.291 ..........
а)
(8х-1 _ 7х-2	1
15	10	3
(2х + I)2 х(4х + 3)
Ответ: х < - у .
3
67
Уравнения, неравенства, системы.
6)	~5x-3 . 7-2x <11 ~TS~ + ^~ - 3 x(9x - 5) > (1 - 3x)2
Ответ: 1 < х £	.
а)
ЗАДАЧА 1.292 .......
-Зх2 + 8х + 3 > О
7-2х < х +1
.5	2
Ответ: < х < 3 .
6х2 + х - 2 > О
'Зх+1>5Г . 1 •
4 Зл+ 2
Решение:
6х2 + х - 2 £ О
Зх+1 > 5 v . 1
“4“^ ТХ + 2
(Зх + 2Х2х -1)^0
3(3х + 1) :> 20х + 6 **
xs| fx^-^илах^^
Ответ: х £ --j .
ЗАДАЧА 1.293 ....
v [1 х2 - 2х £ О
ч
6)
Решение:
[Ответ: _х £_6.
р-4г5х2>0
-|x-l,4i|(x + 3^)’
2-4,5х2>0
-|х-1,4<;|(х + 3,2)
J(2-3xX2 + 3x)>0	|(2-3xX2 + 3x)<0
[~5х - 8,4 £ Зх + 9,6	|8x £ -18
3 л 3 •
Ответ: - < x < j.
4 - 9х2 > О
-5х- 8,4 < 3(х + 3,2)
4<x<t
—I
ЗАДАЧА 1.294 ...............................
«^4
68
Уравнения, неравенства, системы.
а)
Гх+4 — 4-Зх 1
~ ~4~<6
Зх2 + 7х - б £ О
ЗАДАЧА 1.295 ...............................
Найдите все значения х, при которых одновременно вы-
полняются оба неравенства.
а)	2х2 -5х-З^ОиЗ + 5х- 2х2 < 0.
Решение:
2>?-5х-3£0 . , , „ Л ,	Л
,	<ф2х2-5х-3 = 0»(х-ЗУ2х+1)=О
2х2-5х-3^0	V Л 7
<=>х = 3 или х =
Ответ: х = 3 или х = - j.
6)	2 - 5х - Зх2 а 0 и Зх2 + 5х - 2 s 0.
“Ответ: х = -2или те = |.
Среди всех х, удовлетворяющих первому неравенству, най-
дите все значения, не удовлетворяющие второму неравенству
(1.296 — 1.297):
ЗАДАЧА 1.296 ....................................
а} Зх2 ч- Юх ч- З > 0, Зх2 + 10х + 3 > О.
Ответ: х = -3 или х =	.
б) 5х2+4х-1 20,5х2+4х-1 <0.
Решение: х не удовлетворяет неравенству 5х2 + 4х -1 < О
<=> х удовлетворяет неравенству 5х2 + 4х -1 > 0. Решаем
систему: •Г* +^х	«5х2+4х-1 = 0<=>(х+ lY5x-1) = О
[5х2+4х-1^0	4 Л ’
«> X = -1 или X = J.
69
Уравнения, неравенства, системы.
Ответ: х = -1 или х = |.
ЗАДАЧА 1.297 ........................................
а)	2х2 - Эх + 4 < 0, (х - 4X1 - 2х) > Q .
Ответ: х = 4 или х = ±.
б)	-2х2 - Зх + 9 ;> 0,(х + 3/2х - 3) < 0.
Ответ: х = -3 или х = .
Докажите утверждение (1.298 — 1.299):	5
ЗАДАЧА 1.298 .......................................   j
а)	Если а > b, а b > 2, тоЮа > ЗЬ + 14.	j
Решение: 10а - 36 -14 = 10(а - 6) + 76 -14 = 10(а - 6) + 7(6 - 2) >
> 0 => 10а > ЗЬ 4-14.
б)	Если а < b, а b < 3, то 13а < 4Ь 4- 27.
Решение: 13а-46 - 27 = 13(а-6) + 96-27 = 13(а-6) + 9(6-3)<
<0=»13а >46 + 27 .	!
ЗАДАЧА 1.299 ......................................... j
а)	При а > 0	.
Решение* л+3 6а — (G+3)2-12a	а2+6в+9-12в _ а2-6а+9 __ (в-3)2 > л
гешение. —	--------------
при а > 0, то есть-^ >	, при а > 0, ч.т.д.
б)	При b > 0	.
Решение:
4Ь _ 2Ы. - 8Z>-(2^02 _ 8/>-4Л2-4Л-1 _ _ 4д2-4^1 _
2/>+1	2 " 2(2d+l) ~	2(2Z>+1)	~	2(2/>+1) ~
0 при 6 > 0, то есть	при 6 > 0, ч.т.д.
J
Степени и корни. Прогрессии
и последовательности
Выполните указанные действия (L301 — 1.309):
ЗАДАЧА 1.301 ...................................
а) (Т18 - 798^+(77з^.
Решение: (/18 - 798J + ('Тз^ = 18 - 2718-98 + 98 + 49- 3 =
= 263 - 2 42 = 263-84 =179.
Ответ: 179.
Ответ: 130.
ЗАДАЧА 1.302 ........ ...
а)	778-77 -778+77 .
Ответ: 1. |
6)	7757-75-7Т57 + 72 .
Решение; 7777-72 • 7757+75 = J(/27-T2}(/27+-^)=
= 727-2 = 725 =5.
Ответ: 5. |
ЗАДАЧА 1.303 ...................................
а)	^7б - зТз + 577 -7в)-724 +1871 - 12Тз .
Ответ: 6.
6)	(^Т32-|7з+4715)-712 - 476 - 2475 .
Решение: (|Т32-|73+4715)712 - 476 - 2475 = |7з2-12-
-л5л2+4715Л2 -4Тб-24s/5 = | • 8Тб -1 • 6 + 4 • 675 - 4Тб-
-2475 = -2+(4 -4)/б +@4 -24)?5 = -2.
Ответ: — 2.
ЗАДАЧА 1.304 ...............................
71
Степени и корни. Последовательности.
Решение: ( +. - 2Л)| $-1^+4Ло = $ + $ - bfy
х2>/5-1^5+4710 =1-2л/5+2>/Р5-2-2л/?5-|л/5+4Л0 = |Т5 +
+ 2-4710-175+4710 =2.
| Ответ: 27"]
б) (7з+72 +	(л+л)-
Ответ: — 4. |
ЗАДАЧА 1.305 ....................................
а)	(275 - 73^ + ^+2715^.
| Ответ: 84.
б)	(з77 - 77J - (зТЙ -1$ .
| Ответ: —102.
ЗАДАЧА 1.306 ....................................
а)	(/2+3^+7036+7^69.
[Ответ: 14,4»
б)	(75 -Jij+7^64+ ТйТ-
Решение: (75 - Jlj + 7^64 + 7Щ = 4-5-2-2>/5^1 +| +
+ 0,8 + 1,1 = 20-4 + 0,2 + 0,8 +1,1 = 18,1.
| Ответ: 18,1.
ЗАДАЧА 1.307 ....................................
а) Т034-(Т7-2Т2)(/8 + 77).
Решение: 7^04-(^^2^/2)(/8+77)=0,2-(/7-78)(/7+78)=
= 0,2 - (7 -8) = 0,2 - 7 + 8 = 1,2 .
| Ответ: 1,2.
•б) 7бТ>9 - (7п - 2Тз)(/н + 717).
72
Степени и копни, Последовательности.
[Ответ: 1Д
ЗАДАЧА 1.308 ...............................
а)	^-л/3^(7 + 4л/з)+3^12{ .
Ответ: -у.
б)	(/5 -2^ + 4у/5)-2уЩ.
Ответ:
ЗАДАЧА 1.309 ........................................
а)	42-342-^2-3/243.
Решение: Л-3/2  ^2 -3/243 = 2^4 _з = 21 -3 = 2-3 = -1.
Ответ: — 1.
б)	^. + ^128.
Ответ: 5.
Упростите выражение (L310 — 1.311):
ЗАДАЧА 1.310 .......................................
а)
Ответ: 24b .
б)	f_‘	+ ji-yW-g).
\^fa - 3*fb З-Jb + */а	'
Ответ: -24а .
ЗАДАЧА 1.311 .........................................
Решение:	—!»>	- 4Л .	. Л *
1^-2чЬу<[а+2чЬ)	л/а-44Ь
+ 44ь-л4ь ж л/7.
Ответ: 4а .
73
Степени и корни. Последовательности.
дч 81х-у	г~
Ответ: 9л/х .
Определите, между какими двумя последовательными на-
туральными числами находится число (1.312 — 1.314):
ЗАДАЧА 1.312 ......................................
а)|УбЗ._____________
Ответ: 10 < у л/бЗ <11.
6) |Vil2.
Решение: % V112 =	= л/9- 7 = л/бЗ .
Так как 49 < 63 < 64, то 7 < л/бЗ < 8 .
Ответ: 7 < % л/112 < 8.
ЗАДАЧА 1.313 ......................................
а) .
Ответ: 2 < 3^| < 3.
б) _________________
Ответ: 3 < 2^^ < 4'7
ЗАДАЧА 1.314 ......................................
а)	^ + ^1-
Решение: Так как 9 < 13 <25, To3<i/i3<5=>10<7+V13<12
=>5<{7 + л/1з)|<6.
Ответ: 5 < (7+ V13)-1 < 6.
б)	(10 + V17) |.
Ответ: 4 < ^0 + лКт} | < 5 .
Сравните числа, не пользуясь таблицами и микрокальку-
ляторами (1.315 — 1.316):
->
1
I
j
1
I
74
Степени и корни. Последовательности,
ЗАДАЧА 1.315 ..................................
а)	2-75 -1 и 6 - -75 .
Решение:© <45 <49=>зТ5 <7 =>2-73 +-75 < 6+1=>2Т5 -1 <
<6->/5.________________
Ответ: 2-75 -1 < 6 - -75 
б)	У?-1 и 9-3>/7.
Ответ: -7? -1 > 9 - 3-77 .
ЗАДАЧА 1.316 ..................................
a)	(3V3-71J и +
Ответ: ^1з - J < (VI +	.
б)	^/5+J0 и
Решение:6-75 + 7| J = 4• 5 + 2-2J54+1 = 20 + 4 +1 = 24|;
= 4-7-2-2^Л|+| = 28-4 + | = 24|; 24| >24| =>
(2A + ^>(2Jf-70.
Ответ: (2^+^>^-T0-
ЗАДАЧА 1.317 .................................
Расположите числа в порядке возрастания (без использования
таблиц и МК).
а)	ТОЗ; 0,3; (/5 -	.
Решение: 0,3 < 1 => л/О^З > 0,3; 5>4=>V5>2=> (?5 ->
>1> Дз .
Ответ: 0,3 < ^03 < (?5 -.
б)	ТП7; 1,7; (З -	.
Ответ: (3 - V7 j1 <	< 1,7 .
75
Степени и корни. Последовательности,
Проверьте равенство (1.318 — 1.319):
ЗАДАЧА 1.318 ....................................
а)	_ л/6+i ,
л/б-1	15+W-J2
б)
' V5+T2	15+«Тб
Решение*	-
гешение.
_	л-л
3(5+2V«)	“ 15+6д/« *
ЗАДАЧА 1.319 ....................................
а)	^ + 75^+^75-11^ =20.
Решение: ^ + 75^ + ^75-11^ = 4 + 2-275 + 5+|4Т5-11| =
= 9 + 475+11-475 = 20.
б)	^ + 77^+^77-10^ =18.
Докажите, что число а является корнем уравнения
(1.320 — 1.321):
ЗАДАЧА 1.320 ....................................
а)	х2 + хТЗ + 73-1 = 0, о = 1- 7з.
Решение: о* + оТз + 7з -1 = ^ - 7з^| +^-7з^ + 7з-1 =
= 1-27з+з+^-з+7з-1 = (1+з-з-1)+(-2+1+1)7з =0.
б)	х2-хТ5 -4-275 =0,0 = 2 + 75.
Репкние:о2-оТ5-4-275 =^+75^-^ + 75^/5 - 4 - 275 =
= 4 + 475 + 5 - 275 - 5 - 4 - 275 =(4 + 5 - 5 - 4)+(4 - 2 - 2}/5 =0.
ЗАДАЧА 1.321 ....................................
а)	х(6 - х2)= 4, а = 7з -1.
б)	(х2-17)с = 4, 0=2-75.
ЗАДАЧА 1.322 ....................................
76
Степени и корни, Последовательности.
Решите неравенство:
а) (1-л/2)с;>2-2л/2.
<=> х £ 2.
Ответ: х<,2.
б)
Ответ: х -1.
ЗАДАЧА 1.323 ............................................
Найдите все целые решения двойного неравенства:
а)	j V18 < х < 15^/0,027 .
Ответ: х = 3 или х = 4. |
б)	15^/0,008 <x<|V12.
Решение: 15 ^0,008 = 15 • 0,2 = 3, | >/12 =	= у/ТГ,
что меньше, чем 6, но больше, чем 5. Значит х = 4 или х = 5.
Ответ: х = 4 или х = 5. |
Докажите, что данное выражение является корнем урав-
нениях?' =1 у найдите значение этого выражения(1.324 —
—1.325):
ЗАДАЧА 1.324 ............................................
а)	^-л/5)/9 + 4>/5 .
Решение: - 75^/9+4^ =^-л/5^^+45/5^=^-4>/5+5^<
х (9 +. 4^5) = (9 - 4л/5)(9+4^) = 81 - 80 = 1. £ - tyfa+bls = -1.
Ответ: £ - >/5)/9 + 4л/5 = -1.
б)	- з)/17 + 12л/2 .
Ответ:	- з)Уг7 + 12л/2 = -1.
ЗАДАЧА 1.325 .........................................
77
Степени и корни, Последовательности.
л\ 42+4з-42-4з
я) 42	__________
Ответ: 72+5/3-72-73, = ।
_______42__________
б) , 242—
4з-4И+4з+4ъ
ИС* \	' —	^	—	___8	__- “*
v3—J8+V3+V8 z	3-V8 + Vs+->/8	3-л/8+2^3—s/8^3+T8^t-3+'/8
_	8	_ 8 _ 1	242	> 0 =5 ЗЛ _ 1
6+279^8 6+2 ' 43^+4з+49	4з-49+4з+4ъ
Ответ: -г—2-43г— = 1.
4з-49+4з+4» 
Составьте приведенное квадратное уравнение, корнями ко- ,
торого являются следующие числа (1.326 — 1.327):	I
ЗАДАЧА 1.326 ............................................... Л
а)	3 - 75, 3 + 75 .
Решение: - 77)+^+ 7?)= 6; -75)^+ 7Т)= 9 - 5 = 4 . |
Далее применим обратную теорему Виета.
Ответ: х2 - 6х + 4 = D. -
6)	2 + 77,2-77.	:
Решение: ^ + 77)+- 77)= 4; (2 + 77]£-77)= 4-7 =-3. '
Далее применим обратную теорему Виета.
Ответ: х2 - 4х - 3 = 0.
ЗАДАЧА 1.327 'вед-мв-м-валля.* %•**••*•**>****•*****•********•*•*****•****••* •***•**
а)	273-72, 2л/3+5^.	I
Решение:	- 77)+ (14з +	473; ^7з - Л)£7з + 77)= ;
д12 ~2 = 10. Далее применим обратную теорему Виета.
Ответ: х2 ~ 4д/3х +10 = 0.
б)	572 - 77,572 + 77.
Решение:	- 77)+ ^77+77)= l(h/2; ^77 - 77)^77 + 77)=
=50 — 49 = 1. Далее нримеййм обратную теорему Виета.
Ответ: х2 - 1077х + 1 = 0.
78.
Степени и корни. Последовательности.
Пусть и Оп соответственно первый и п-ый члены ариф-
метической прогрессии, п — число ее членов, Sn — сумма п
первых членов, d — разность прогрессии, аЪ[ЪЬп соответ-
ственно первый и п-ый члены геометрической прогрессии, п -»
число ее членов, Sn — сумма п первых ее членов, q — знаме-
натель прогрессии. По трем данным значениям прогрессии
найдите значения двух остальных (1.328 — 1.345):
ЗАДАЧА 1.328 ..........................................
а)	ах =8, ап = 104, d = 3 .
Решение: п =	+ 1 =	+ 1 = ^- + 1 = 32 + 1 = 33;
а	3	3	’
Sn =	• 33 = 112. • 33 = 56 • 33 = 1848 .
Ответ: й =* 33, Sn = 1848.
б)	л 5, вц = —163, t/ = —7.
Решение: й ±=	'+1 =	+1 =	+1 = 24 +1 = 25;
5л = £1±5к„ _Ь1ё1.25 = =158 -25 =-79 -25 =-1975 .
Ответ: л = 25, Sn = -1975 .
ЗАДАЧА 1.329 .................................  *__
a)	at =5, а„ = 509, п = 100.
Решение:d =-^ = ^ == &; 5И = ^5-и =	• 100 =
= Ж -100 = 257 г Ю0--25700 ,
Ответ: d =	, 5„ = 25700.
б)	а± = 7, ап = -385, п = 50.
Ответ: d = -8, Sn = -9450.
ЗАДАЧА 1.330 ...........................................
а)	а± = 4, ап =100, Sn = 1716 .
| Ответа тг-= 33, J = 3 «.
б)	а( = 96, ап = 4, Sn = 1200 .
Решение: п =	= 24оо _ 24. d -	- 4й^т =
ai+an 9о+4	100	л-1	24-1
79
Степени и корми. Последовательности.
^ = -4.
Ответ: и = 24, d = - 4. |
ЗАДАЧА 1.331 .............................................
a)	q = 137, d = -7, п = 23.
Ответ: ап = -17, Sn = 1380.
6)	flj = 11, <7 = 8, л = 17.
Ответ: ап = 139, S„ = 1275 .
ЗАДАЧА 1.332 .......................................
a)	q = 25, d = -2, Sn = 168.
Решение:^ = ^ л =	|. „2 +
+^ -0-я, значит-и2 +(25-(-!))• и = 168 <=> /I2 - 26/1 + 168 =
= 0 <=> (и- 12)(и -14)= 0 <=> и = 12 или п = 14. Если п = 12, то
а„ = «1 + d • (я -1) = 25 - 2 • 11 = 25 - 22 = 3 . Если л = 14, то
ап =fll+rf(n-l) = 25-2 13 = 25-26 = -l.________
Ответ: либо п = 12, ап = 3, либо п = 14, ап = -1
б)	аг = 5, d = 2,	= 192.
Решение: Sn = п =	= |. й2 +
♦(«’О я, значит я2 +(5-1)л=192<=»? +4»-192=0<=>(л+1б)х
х(и—12)=0<=>л=-16 лям.л=12, значит л = 12. = Оу + d • (л -1) =
= 5 + 2-11 = 5+22 = 27.
Ответ: л = 12, ял = 27 .
ЗАДАЧА 1.333 .......................................
а)	я1=-5, л = 23, 5„ = 1909.
Ответ: яи = 171, d = 8 .
б)	Я] =81, л = 34, 5л=510.
Решение: я„ = ^ - я( -	81 = Ш -81 = 30 -81 = -51;
Ответ: яи = - 51, <7 = - 4.
80
Степени и корни. Последовательности,
ЗАДАЧА 1.334 .........................................
a)	d = -7, п = 23,	= -149.
Решение:=ап - J(»-l) = -149-(-7)(23-l) = -149 + 7-22 =
= 149+154 = 5. S„ = ^л = ^-23 = ^-23 = -72-23 = -1656.
Ответ: aj = 5, S„ = -1656 .
б)	d = 3, л = 15, ап =50.
Ответ: а\ =8, Sn = 435 .
ЗАДАЧА 1.335 ...................................
а) </ = 2, л = 50, Sn =2650.
Решение: S„ =	п = п • at 4- d •	**• ♦ значит
=	=	= 53-49 = 4; a^al+d
("
-1)= 4+ 2-49 = 4+ 98 = 102.
Ответ: щ = 4, а„ = 102.
б) d = -3, л = 40, S„ = 620.
Ответ: aj = 74, ап = - 43.
ЗАДАЧА 1.336 .......................................
a)	d = 3, a„ = 59, S„=610.
Ответ: л = 20,	= 2.
б)	d = -5, а„ = -8, S„ = 145.
Решение: 5Я = ^ л =	п =	n = -d.„2 +
+ ^»+0”’ значит -у-»2+(-8 + у)л = 145о5л2-21л-290 =
=0 о (5л + 29\л -10) = 0 о л = --у или л = 10, значит п = 10.
«I = а„ -</(»-!) =-8-(-5)-9 = -8 + 45 = 37.
Ответ: л = 10, «1 = 37 .
ЗАДАЧА 1.337 .......................................
а)	л = 25, а„ = -12, S„ = 900.
Решение: щ =^-~а„ =^-(-12) =	+12 = 72 +12 = 84;
4-99
8’
Степени и корни. Последователь

SSL.
а _ Дп-gi _ (~12>-84 _ 96 _ л
~	~ 25-1 ~ 24 ~ ‘
Ответ: at = 84, d = - 4.
б)	п = 52, а„ = 106, S„ = 2860.
j Ответ: aj = 4, J = 2 .
ЗАДАЧА 1.338 ..............................................
а)	^=0,5,4, =256,0 = 2.
Ответ: п = 10, Sn = 511,5 .
б)	by = 80, bn = 5, q = 0,5 .
Решение:	= byqn~l; 80 • (0,5)”"1 = 5; п - 1 = 4; и = 5; Sn =
= 6. • ^ = 80--^11 = 80- °'03»25-1 = 160-0,96875 = 155.
1	0,5—I	—0,5
Ответ: п = 5, Sn = 155 .
ЗАДАЧА 1.339 ....................................
а)	^ = 90, £>„=3|,и = 4.
Решение:0 = »-1^ = 4"-}fJ =	= |; Sn = by = 90-i^ =
Ответ: q = j, Sn = 1331.
6)	Z>i =|, Ь„ =81, и = 6.
Ответ: q = 3, Sn = 121|.
ЗАДАЧА 1.340 ........................................
a)	by = 2, bn = 1024, S„ = 2046 .
Решение: S„ =	= bn +	> значиг
9 = 3^ + 1 = 20^lM4+1 = l®l + 1 = 1 + 1 = 2’ b" =brf *; 1024 =
= 2-2"-1; и-1 = 9; и = 10.
Ответ: 0 = 2, и = 10.
82
Степени и корни. Последовательности.
б)	Ьх = 512, bn =\,Sn= 1023 .
Ответ: q = , п = 10 .
ЗАДАЧА 1.341 .........................................
а)	^ = 243, q = -j,n = 6.
Ответ: Ь„ = -32, Sn = 133.
б)	^ = -|,g = 2, л = 7.
Ответ: Ьк = - 96, S„ = 1901.
ЗАДАЧА 1.342 .........................................
а)	= 3, g = 2, S„ = 93.
Ответ: п = 5, Ьп = 48 .
б)	bi = 6, g = -2, S„ =-510.
Решение: SH =	, значит qn = 1 + (g -1) ;то есть
(-2)" = l + (-2-l)-^ = l-3-(-85)=l + 255 = 256, то есть
n = 8; bn = bi qn-' = 6 (-2)7 = -6 128 = -768.
Ответ: n = 8, bn = -768 .
ЗАДАЧА 1.343 .........................................
a)	q = 0,5, n = 6, bn = 3.
Ответ:	= 96, Sn = 186.
6)	q = 3, n = 5,	= 486.
Решение: bn = • qn~l, значит b{ = ~~ = -yr =
Sn = bl •	= 6	= 6 • -24bL = 3.242 = 726.
Ответ:	= 6, Sn = 726 .
ЗАДАЧА 1.344 .........................................
a)	^ = 2, w = U, Sn = 1023,5.
Решение* bi - S - 1023 5 2-1 - 1023,5 - 1023,5 - Q 5-
гешение. q -	2111 - 2048-I ” 2047 “
bn = bi g”-1 = 0,5-210 = 0,5-1024 = 512.
4’
83
Степени и корни, Последовательности.
Ответ:	= 0,5, Ьп = 512.
б)	д = |,л = 5, S„=121.
Ответ:	= 81, bn = 1.
ЗАДАЧА 1.345 .........................................
а)	^ = 0Д Z^=3, 5Л=93
Ответ: п = 5,	= 48.
6)	q =3, b„ = 54, S„=80j.
Решение: Sn=bl-3^ = ^- q^)	=	= А> • Ц-,
значит	=	=
= 1 _ 2 . Ш = 1 _ 242 = _1_. и = 5- А = й	= 54 • З'4 = 54 • -L = 2.
1	3	81	243	243 ’	’ 1 п Ч	J-r J J 81	3
Ответ: п = 5, Ьх » |'
Пусть Ь[ — первый член бесконечной геометрической прог-
рессии, q — ее знаменатель и S — сумма членов. По двум дан-
ным значениям прогрессии найдите значение третьего (1.346 —
- 1.348):
ЗАДАЧА 1.346 .........................................
а)	Л1 = -20;^ = |.
Ответ: S = -231.
б)	=16, 0 = -|.
Ответ: 5 = 12у.
ЗАДАЧА 1.347 .........................................
а)	^ = -|,5=80.
Ответ: ^=130.
б)	? = |, S = 42.
Решение: 5 = -^, значит 1\ =5 (1-^)=42-(1-^=42-4 =24.
Ответ:	= 24.
ЗАДАЧА 1.348 .........................................
84
Степени и корни. Последовательности,
а)	= 15, 5 = 18 .
Решение: 5 =	, значит ^ = 1- у = 1- ]| = -^ = |.
Ответ: q = .
б)	= 18, S = 15 .
Ответ: q = - у .
Напишите формулу п-го члена и суммы п первых членов
арифметической (ап) или геометрической (ЬЛ) прогрессии,
если (L349 - L352):
ЗАДАЧА 1.349 ........................................
а)	^2 +	= 41, а^з = 144.
л	f(at + d} + (а< + 4J) = 41	(2ai+5</®41
Решение: Vl(«i * W) = 144	~ W +	• d = 144 ~
(d = ^
5	<=>5a2+82a1-4a2=720=>a12+82a1-720=0=>
af+fy .^ = 144
(ai + 90/ot -8) = 0=>ai=-90 или Oj = 8. Если q = - 90, to
</=41-^=4Ы80=^1;ай=О1+(/ ,(й_1)=_90+И1
Sn^^n =	= -90И + Ж. frjh . Если q=8.
to = 4Ы8 -41=16 _ » =5; =q+</.(«_i) = 8+5-(»-l)=5«+3:
c °i+a« „ _ 8+(5л+3) _ (5и+11)п
ОЛ -	2 И -	2 п ~	2
Ответ: либо =-90+~(и-1), 5„ =-90л+ ^21 	;
либо а„=5п + 3, S„	.
б)	by -	= 12, 2Ьз + Ь4 = 96.
Решение:	, значит =
b^2-bl-q q2-q q~l ’	tf-1
U -	=8^-8 «>^2 -6g+8 = 0<=>(^-2у^-4) =
= 0 q = 2 или q = 4. Если q = 2, то Л =	Q = 6;
’	’	’	’	1 g^-q 22-2	2
85
Степени и корни. Последовательности.
4,=ft1.9"-l=6'2”’1=3-2n;5„ = ii ^=6-^ = 6 ^"-1). Если
9 = 4,то л1=^ = ^ = ^ = 1;А1 = ^-^-1=1-4й-1=4«-ь
S =Z>l.£zL = l. ^-1 = V-
"	1 q-l 4-1	3
Ответ: либо bn=3-2n, Sn = 6 • (1п - 1); либо
ьп=Ф-\ sn = ^.
ЗАДАЧА 1.350 ..................
a)	bi=8b4, b5 = ^.
Решение:<7 =	= |; ^ =
хГ1=3©Ь1=6.2-“;^=^Й = 3.^ = 3.41 = 6.(1-^).
Ответ: Ьп = 6 • Тп , Sn = 6 • (1 - (0") .
б)	U2 +	= 27, ар = 50.
Решение: (а17 - 15с/) + 2 • (а17 - 134) = 27 => 150 - 414 = 27 =>
414 = 123 => 4 = 3; = а17 -164=50-16-3 = 50 - 48 = 2; ап =
=av + d  (и -1)= 2+3 • (п -1) = Зи -1; S„ = п =	п =	.
Ответ: ап = Зп - 1 , S„ =	.
ЗАДАЧА 1.351 .,....................................
а)	Я2а5 = 112,-^-= 2.
Решение:
^Й?'2
(«j к/Х"1 +4rf) = 112	И«( + ^X«i +4rf) = 112
{Ch = ~Sd
/	ЯЛ ,,^«>(-84 + 4Х-84 + 44)=112=>2842 =112^>
(ai+ 4Х«1 +44) = 112 v Л 7
42 = 4 => 4 = -2 или 4 = 2. Если 4 = —2, то aj = -8 • (-2) = 16;
<?я=в1+4(я-1) = 16-2-(»-1) = 18-2и;5'п = ^и = ^^» =
86
Степени и корни. Последовательности.
- (17 - rfy = 17л - л2. Если d = 2, то = -8 • 2 = —16; ап = +
+ </ (и-1)= -16 + 2 (и-1)= 2п-18; S„ = ^л = ~16^я~18>л =
= (л-17)ч = л2 -17л.
Ответ; либо оя=18-2л, Sn = 17п-п2; либо
а„ = 2л -18, Sn=n* - 17л.
6)	а3а4 = 28, ^-= 13.
	**5____________________________________
Ответ: либо ап = \б-3п, S„ = С29^3”)” ; либ0
а^Зп-Хб, Sn =	.
ЗАДАЧА 1.352 ........................................
а)	6^4=27,^ = 9.____________
Ответ: 4, = ±3"~2, $„ = ±	.
б)	6465=2,^ = 0,25.
Решение: = г?2 =>g = ±J^ = ±^0,25 = ±03. Если q = —0,5,
то 6465 =	0,5)3^i(-0,5)4)= - (0,5)7^!2 = 2 — такого
не может быть. Если q = 0,5, то 6465 = (fy (0,5)3Хб1(0,5)4)=
= (O.S)^2 = 2 => Д2 = 256 => l\ = ±16. 6И =	= ± 16 • (0,5)"_1 =
= ±32.(),5)’; S„ =	= ±16-^1 = B2.(l-(0,5j) .
Ответ: ^ = ±32- (O^/1, S„ = ±32 (1 - (0,5)").
ЗАДАЧА 1.353 ........................................
В арифметической прогрессии вычислите:
a)	ctf + 2а7а5 + oj - (а8 + о4)2.
Решение: в| +2^705 +а£ -(о8 +04)2 = (а7 +а^ -(og +04)? =
=	+ 6</)+ (at +	- ^0} + 7d)+ (oj + 3J))2 =	+ lOdf -
-^o1+10dj! =0.
87
Степени и копни. Последовательности.
Ответ:	+ 2а7а^ +а% - (а% + а^)2 = 0.
6)	4oj - 4^9 + aj - dfa .
Ответ: 4а j - 4а^9 + af -	= 0.
ЗАДАЧА 1.354 ...........................................
а)	Найдите седьмой член арифметической прогрессии,
если а3 + ап = 20.
Решение: #7 = +6d = l(2ai +Ш)= ^((^1 +2d) + (a\ +10</)) =
= |(g3 4-an)= 1-20 = 10.
Ответ: aq = 10 .
б)	Найти знаменатель геометрической прогрессии, если
4- #4 = 2(fe| + />5 ).
Решение: Если by 4- Ьл * 0, то 4^- = т^т = 4^4 = Я >
значит q = 1.
Если же by 4- Z>4 = 0, то q =	= -1.
Ответ: q = или q = “1.
ЗАДАЧА 1.355 ...........................................
а)	В арифметической прогрессии сушиа первых пят-
надцати ее членов на 8 меньше суммы первых двенадцати
ее членов. Найдите и *$27 •
Решение:а^4 = а\ 4-Ш = |(3aj +39d) =	4-12d)+(aj +13rf)+
+ (<?! 4-14J)) = j(a13 4-a14 4-a15) = |(515 -512) = }(“8) = -j;
S27 =	. 27 =	27 = 2(at+\3d) 2? =	2? =
= |.-27 = -72.
Ответ: <?и = -1, *$27 = “^2 .
б)	Сумма первого, четвертого и тринадцатого членов
арифметической прогресии равна — 23. Найдите и 5ц:
Решение:	4-5^ = 1(303 +15d) = l(oi 4-(q 4-3</)4-(aj +W))=
88
Степени и копни. Последовательности,
= |(а1+а4 + а13)=1(-23)=-^ = -7|.
* •	J*	.L	£	3	*Э
Ответ: = -7 j , 5ц = -841.
ЗАДАЧА 1.356 ..........................................
а)	В геометрической прогрессии = $2*,	= 2. Най-
514
дате
Решение:£ = Ц- = 2^;	= 2^;	, откуда:
*14 = 3“-1 _ 3 /
*7	97-1
| Ответ: 3
б)	В геометрической прогрессии = 3, ЪА = л/з^. Най-
*9
дате -тА.
°18_____
Ответ: j.
ЗАДАЧА 1.357 ........................................
а)	Второй член геометрической прогресии составляет
20% от ее первого члена. Сколько процентов составляет
пятый ее член от третьего?
| Ответ: 4% |
б)	Второй член геометрической прогрессии составляет
110% от ее первого члена. Сколько процентов составляет ее
шестой член от четвертого?
Решение: Исходя из условия: b^q = 1Д \ откуда q = 1,1.
Ответ: 121% ~|
ЗАДАЧА 1.358 .......................................
а)	Банк дает своим вкладчикам 25% годовых. Чему ста-
нет равен вклад 100000 р. через 2 года?
Решение: Вклад через год станет равным 100000(1+0,25)=
=125000 р. Еще через год он будет равен 125000(1+0,25)=
=156250 р.
89
Степени и корни. Последовательности.
Ответ: 156250 р.
б)	Снижение себестоимости производства товара равно
5% в год. Первоначальная себестоимость товара равна
10000 р. Чему станет равной его себестоимость через 2 го-
да?^	
Ответ: 9025 р. |
ЗАДАЧА 1.359 ......................................
а)	Найдите квадрат разности девятого и седьмого членов
арифметической прогрессии, если произведение восьмого и
четвертого ее членов на 27 меньше произведения седьмого
и пятого ее членов.
Решение: Исходя из условия^+3J^+7^+27 = (^+4<7)х
х(а{ 4-6J) 21J2 +27 = 24J2; d2 = 9, откуда: (а$=
-0^64/j2 =4J2 =36.
| Ответ: 36.
б)	Второй член арифметической прогрессии в 3 раза
больше девятого ее члена. Найдите сумму первых двадцати
четырех членов этой прогрессии.
Решение: Исходя из условия + d = 3(Ъ1 + 8J); 2ai + 23d = 0,
откуда 5*24 = 24aj +12 • 23 • d = 12(2aj + 23t7) = 0 .
| Ответ: o7~]
ЗАДАЧА 1.360 ......................................
а)	В арифметической прогресии 59, 55, 51,.. найдите сум-
му всех ее положительных членов.
| Ответ: 405. |
б)	В арифметической прогрессии —63, —58, —53,.. най-
дите сумму всех ее отрицательных членов.
Решение: q =-63, <7 = 5. Пустьап — это последний отри-
цательный член прогрессии. Тогда ап - 5(п -1) = -63 и ап > -5,
т.е. Оп = -3,« = 60:5 + 1 = 13 откуда5=^з = -63-13+5-13-6=-429.
| Ответ: —429.
ЗАДАЧА 1.361 ......................................
а)	В арифметической прогрессии девять положительных
членов, первый из которых 8,5, а последний 10,9. Напи-
шите все члены этой прогрессии и найдите их сумму.
90
Степени и корни. Последовательности.
Решение: ах = 8,5, а$ = 10,9 откуда а$ - а\ = Sd = 2,4; d = 0,3 .
Прогрессия выглядит так: 8,5; 8,8; 9,1; 9,4; 9,7; 10; 10,3;
10,6; 10,9. 5 = 8,5 • 9 + 9 • 4 0,3 = 87,3 ,_______
Ответ: Прогрессия выглядит так: 8,5; 8,8; 9,1; 9,4;
9,7; 10; 10,3; 10,6; 10,9. 5= 87,3._____________
б)	В геометрической прогрессии пять положительных
членов, первый из которых 1,5, а последний 24. Напишите
все члены этой прогрессии и найдите их сумму.
Решение: = 1,5; Ь$ = 24 , откуда : bv = д4 = 16; q = 2
(Так как все члены прогрессии по условию положительны).
Прогрессия выглядит так: 1,5; 3; 6; 12; 24.5 = 1,5	= 46,5.
Ответ: Прогрессия выглядит так: 1,5; 3; 6; 12; 24.
5=46,5.
ЗАДАЧА 1.362 ..........................................
а)	В бесконечной геометрической прогрессии^ = ОД
= -0,2. Найдите сумму этой прогрессии.
Решение: я=Z>!:/>2=-|; 1ц = ^=-Q45. S=Д = -^=-(Ц7.
| Ответ: — 0,27.
б)	В арифметической прогрессии а2 = 3,1, а$ = 2,7. Найдите
сумму первых десяти членов этой прогрессии.
Решение:d = а3 - а2 = -0,4; а{ = а2 -d = 3,5; 510 = 3,5• 10-
-5-9-0,4 = 17.
| Ответ: 17?]
ЗАДАЧА 1.363 ......’...................................
а)	Найдите отношение* суммы бесконечной геометри-
ческой прогрессии к сумме квадратов ее членов, если ^ = 2
И « = -|.
Решение: 1ц = 2:- S = - 4= -f • Будем обозначать
члены, знаменатель и сумму прогрессии, состоящей из ква-
дратов членов исходной прогрессии, через bn,q',S'. />]' = 16;
//-I. v-16-JL-64 Л__8.64__1
4 - 4,о -iVj - 3 s, -	3. 3 -	8 .
91
Степени и корни. Последовательности.
Ответ: -1.
б)	Найдите отношение суммы бесконечной геометри-
ческой прогрессии к сумме ее членов с нечетными номера-
ми, если by = 3 и q = |.
Решение: 5 = 3	= 4 • Будем обозначать члены, знаме-
натель и сумму прогрессии, состоящей из членов исход-
ной прогрессии с нечетными номерами через
bf - W -1-5' -З-Ь-22. JL -9.27 _ 4
Чч - Лч - 9 J “ g s, “ 2 * 8 “ 3 ’
Ответ: j.
ЗАДАЧА 1.364 ......................................
а)	В арифметической прогрессии ап = 37,7 - 0,3л . Найди-
те наибольший отрицательный член этой прогрессии.
| Ответ: - 0,1.
6)	В арифметической прогрессии ап = 0,7л - 35,1. Найди-
те наименьший положительный член этой прогрессии.
Решение: Пусть ат есть наименьший положительный
член прогрессии. Тогда ат_[ — наибольший отрицательный
член прогрессии, а, значит, ат_[ >-0,7;am_i -0,7 (т-2) = -35,1;
Откуда ат = 0,6.
| Ответ: 0,6. |
ЗАДАЧА 1.365 ......................................
а)	В арифметической прогресииал = 51 - Зл. Найдите
сумму всех положительных членов этой прогрессии.
Решение: Найдем последний неотрицательный член
прогрессии. Так как 51 делится на 3 и 51:3 = 17, то = 0 .
516 = 4816-38-15 = 408.
Ответ: 408.
б)	В арифметической прогресии ап = 5л -100. Найдите
сумму всех отрицательных: членов этой прогрессии.
| Ответ: — 950. |
ЗАДАЧА 1.366 ......................................
'I
1
92
Степени и корни. Последовательности.
а)	Докажите, что ординаты точек графика функции у =
=0,3* + 1, имеющих абсциссами натуральные числа от 1 до
10, составляют арифметическую прогрессию, найдите ее
сумму.
Решение: Пусть* = п и 1 < п <9. Тогда-уп = 0,3(л +1)+
+1 - (0,3л +1) = 0,3 , то есть это арифметическая прогрессия.
У1 = 1,3; S10 = 1,3 ♦ 10 + 0,3 • 9 • 5 = 26,5 .
| Ответ: 26Д]
б)	Докажите, что ординаты точек графика функции у =
=2 — 0,7х, имеющих абсциссами натуральные числа от 2 до
9, составляют арифметическую прогрессию, найдите ее
сумму._________
[Ответ: —14»8> |
ЗАДАЧА 1.367 .......................................................
а)	Градусные меры углов ап составляют арифметическую
прогрессию, у которой оц = 30°, а2 = 35°. Найдите cosa55 .
Ответ: у.
б)	Градусные меры углов а„ составляют арифметическую
про!рессию, у которой cq = 10°, а2 = 15°. Найдите sina44 .
Решение: d = 15° - 1(У = 5°; 044 = 1(Г +43 • 5° = 225°; яп225° =	.
ЗАДАЧА 1.368 ......................................
а)	Найдите пятый.член арифметической прогрессии, ес-
ли первый ее член равен 14$ -11, а третий 2 - 3V5 .
Решение:2d = o3-ai = 2-375 -^75-11)= 13-575; as =
= a, + 4d = 275 -11 + 2^3 - 575)= 15 - 8V5 .
Ответ. 15 - 875 .
б)	Найдите пятый член неметрической прогрессии, ес-
ли третий ее член равен 2л/2 - 6 , а четвертый 4 - 6л/2 .
Решение:q = ЬА :	= ^2; b5 = bAq = 0 - 6V2^/2 =
= 4-72-12.
93
Степени и корни. Последовательности.
ЗАДАЧА 1.369 ...........................................
а)	Сумма первых восьмидесяти трех членов ариф-
метической прогрессии равна 5623. Найдите сумму первых
восьмидесяти трех членов такой прогрессии, каждый член
которой на 2 больше соответствующего члена данной про-
грессии. (Ответ обоснуйте.)
Решение: Будем обозначать члены и сумму получив-
шейся прогрессии череза'п и S9. Тогдаа’п =an+%Sfa=a{ +
4*. • *+083 = 0[ + 2 + #2 + 2+.. .4^83 + 2 = +.. .4-flg3 4* 2 • 83 = 5623 4*
+2-83 = 5789.
| Ответ: 5789.
б)	Сумма первых ста семи членов арифметической прог-
рессии равна 4835. Найдите сумму первых ста семи членов
такой прогрессии, каждый член которой на 3 меньше соот-
ветствующего члена данной прогрессии. (Ответ обоснуйте.)
Решение: Будем обозначать члены и сумму получив-
шейся прогрессии через Яд ц S'. Тогда а’п = ап -3;5{07 = а[ +
+о2+--=ai -3+С2 -3+...+а1О7 + -3 = а1+...+а107 -3-107 = 4835-
-3-107 = 4514.
| Ответ; 4514.
ЗАДАЧА 1.370 ...........................................
а)	В арифметической прогрессии сумма первых шести-
десяти пяти ее членов равна 1223. Найдите сумму первых
шестидесяти пяти членов такой прогрессии, каждый член
которой составляет 30% соответствующего члена данной
прогрессии. (Ответ обоснуйте.)
Решение: Будем обозначать члены и сумму получив-
шейся прогрессии через а'п и S'. Тогда а'п = 0,Зая;ОД = а[ +
+02+---+аб5 =0,3aj +0>За2 +О,За3+..+О,3^5 = 0,3^+...+^5)== 366,9.
[Ответ: 366,9 |
б)	Сумма первых восьмидесяти членов геометрической
прогрессии равна 2227. Найдите сумму первых вось-
мидесяти членов такой прогрессии, каждый член которой
составляет 40% соответствующего члена данной прог-
рессии. (Ответ обоснуйте.)
Решение: Будем обозначать члены и сумму получив-
шейся прогрессии через Ь'п и S'. Тогда Ь'п = 0,46я;ОД =	+
94
Степени и копни. Последовательности.
4*^2 4. • *4*^85 = 0,4^1 4 0,4Z>2 +.. .40,4^5 = Q>4{Z>j 4.. »4/>в5 = 890,8 .
Ответ: 890,8.
ЗАДАЧА 1.371 .........................................
а)	Докажите, что последовательность, заданная форму-
лой общего члена = Зл-77, является арифметической
прогрессией и найдите сумму всех ее отрицательных чле-
нов.
Решение: ал+1 - ап = 3(л 4 1) - 77 - (Зл - 77) = 3 , откуда
следует, что наша формула задает арифметическую про-
грессию. Теперь найдем наибольший отрицательный член
прогрессии. Так как, если 77 разделить с остатком на 3, то
получится 25 и 2 в остатке, то нам следует найти сумму 25
членов прогрессии. = -74 • 25 4 3 • 12 • 25 = - 950.
[ Ответ: — 950. |
б)	Докажите, что последовательность, заданная форму-
лой общего члена = 83 - 4л , является арифметической
прогрессией, и найдите сумму всех ее положительных чле-
нов;	
| Ответ: 820. |
ЗАДАЧА 1.372 .........................................
а)	Найдите первый член арифметической прогрессии,
если ее разность равна 8, а сумма первых двадцати членов
равна сумме следующих за ними десяти членов этой про-
грессии.
Решение: Исходя из условия 52о =	2^20 = ^зо ♦
откуда 20^ 4	• 8 = 2^0jj 4	• 8)	= - 49.
| Ответ: — 49.
б)	Найдите разность арифметической прогрессии, если
ее первый член равен 69, а сумма первых десяти членов
равна сумме следующих за ними двадцати членов этой
прогрессии.
Ответ:-j.
ЗАДАЧА 1.373 .........................................
а)	Сумма бесконечной геометрической прогрессии рав-
на 7, а сумма квадратов всех ее членов — 14. Найдите 1\ и
95
Степени и корни. Последовательности,
Ответ: bt =	, а .
1	9 ’	*	81
6)	Сумма бесконечной геометрической прогрессии в
1,75 раза больше суммы кубов всех ее членов. Найдите зна-
менатель прогрессии, если 4 =1.
Решение: Будем обозначать члены, знаменатель и сумму
прогрессии, состоящей из кубов членов исходной прог-
рессии, через ty;, q'9 S'. Исходя из условия=1,75^ , так
как q не может быть равно 1, то данное равенство равно-
сильно 1+^+^ =1,75; $ =-4,5 или £ = ОД но -Ц<-1,что не-
возможно.
| Ответ: 0,5.
ЗАДАЧА 1.374 .....................................
а)	Знаменатель геометрической прогрессии равен — 0,5,
а первый член 64. Найдите сумму квадратов первых восьми
членов этой прогрессии.
Ответ: -21331.
б)	Первый член геометрической прогрессии равен а
знаменатель 2. Найдите сумму величин, обратных первым
двадцати членам этой прогрессии.
Решение: Будем обозначать члены, знаменатель и сумму
прогрессии, состоящей из величин,^обратных членам ис-
ходной прогрессии, через Ц, q\ S'. Sfo = b{	•
14
10231025 _ 349525
92u ” 49152
Otrpt' 349525
итвет. 49152 .
ЗАДАЧА 1.375 ..........................................
а)	В арифметической прогрессии, состоящей из двадца-
ти членов, сумма десяти членов с четными номерами на 80
больше, чем сумма десяти членов с нечетными номерами.
Найдите разность прогрессии.
Решение: Обозначим сумму первых 10 членов прогрес-
сии с четными номерами через 5ьас нечетными номе-
рами — через S2 . ТогдаS2 = Si + 80; 10ai + (2+...+18)rf + 80 =
= ВЦ + 1+...+W; d = 8.
96
Степени и корни. Последовательности.
| Ответ: 8~
6)	В геометрической прогрессии, состоящей из тридцати
членов, сумма пятнадцати членов с нечетными номерами в
три раза меньше, чем сумма всех членов прогрессии. Най-'
дате знаменатель прогрессии.
Решение: Обозначим сумму первых 15 членов прогрес-
сии с нечетными номерами через а сумму всех членов
через S. Тогда S = 3Sf,	1 + $ = 3; $ = 2.
| Ответ: 27~|
ЗАДАЧА 1.376 ........................................
а)	Длины сторон прямоугольного треугольника образуют
возрастающую арифметическую прогрессию. Найдите синус
меньшего угла этого треугольника.
Решение: Обозначим длины сторон треугольника через
а. а + rf, а + 2d. Тогда по теореме Пифагора имеем
a2 + (a + d)? = (a + 2^; a2 -2ad -3d1 =0; a^-d или а- 3d.
Но а или d не может быть отрицательным, поэтому а ~ 3d.
Синус меньшего угла равен|.
Ответ: .
б)	Длины сторон прямоугольного треугольника образуют
убывающую геометрическую прогрессию. Найдите косинус
большего угла треугольника.
Решение: Обозначим длины сторон треугольника через
b9 bq> bq2. Тогда по теореме Пифагора имеем: b1 =
q2 иди	Hot?2 не может быть отрицате-
льным, поэтому ^2 =	. Косинус большего острого угла
равен = $2 = дфл.
Ответ; .
ЗАДАЧА 1.377 ........................................
а)	Градусные меры углов прямоугольного треугольника
составляют арифметическую прогрессию. Найдите тангенс
меньшего острого угла треугольника.
97
Степени и корни. Последовательности,
Решение: Обозначим градусные меры углов треуголь-
ника через а, а + d9 90°. Тогда а + 2d = 90°, а по теореме о
сумме углов треугольника имеем: а + а + d = 90е, откуда
а = 30°, tga = -fe.
Ответ:
б)	Градусные меры углов треугольника составляют
арифметическую прогрессию. Найдите тангенс меньшего
угла треугольника, если градусная мера его большего угла
составляет 75°.
Решение: Обозначим градусные меры углов треугольни-
ка через а, а + d, а + 2d. Тогда а + 2d = 75, а по теореме о
сумме углов треугольника имеем: а + а + d = 105, откуда
а = 45°, tga = 1.
[Ответ: 1.~~|
ЗАДАЧА 1.378 ........................................
а)	Первый член арифметической прогрессии равен 111,
а разность — 6. Какое наименьшее число последовательных
членов этой прогрессии, начиная с первого, надо взять,
чтобы их сумма была отрицательной?
Решение: Посмотрим, при каких п sn <0: Sn «Ши-
< о; я(114 - Зл) < 0; так каки>0, то114-3л<0 и »>38.
Итак, еслиЛ’д < 0, то л > 38 Значит, чтобы сумма была от-
рицательной, нужно взять 39 членов прогрессии.
| Ответ: 39. |
б)	Первый член арифметической прогрессии равен —100,
а разность прогрессии 8. Какое наименьшее число последо-
вательных членов прогрессии надо взять, чтобы их сумма,
начиная с первого, была положительной?
| Ответ: 27Т|
ЗАДАЧА 1.379 .......................................
а)	Найдите сумму всех двузначных чисел, кратных пяти.
[ Ответ: 945.
б)	Найдите сумму всех двузначных чисел, кратных трем.
Решение: Первое двузначное число, кратное трем, — это
12. Двузначные числа, кратные трем, составляют ариф-
метическую прогрессию, а последнее число этой прог-
98
Степени и корни. Последовательности.
рессии — это 99. Значит, в ней всего 30 членов. Пос-
читаем Sn у такой прогрессии:	= 12-30+3’ 15 • 29 = 1665.
Ответ: 1665.
ЗАДАЧА 1.380 .........................................
а)	При каких значениях х числа 1 + х, х2 + 4, 2х + 9, Эх
являются четырьмя последовательными членами арифмети-
ческой прогрессии?
Решение: Согласно свойству арифметической прогрес-
сии, каждый ее член есть среднее арифметическое преды-
дущего и следующего за ним членов прогрессии. Применив
это свойство к данной прогрессии, получаем: х2 + 4 =
_	2х2 - Зх-2 = 0; х = или х = 2. Согласно тому
же свойству: 2х + 9 = 9х+(* *?). Подставляя в это уравнение
полученные корни, видим, что только для х = 2 выполняет-
ся равенство. И действительно, в этом случае получаем
прогрессию 3; 8; 13; 18.
| Ответ: 2.
б)	При каких значениях х числа 2х, 5 — х, 7 + х, 20 — 4х
являются четырьмя последовательными членами геометри-
ческой прогрессии?
Решение: Согласно свойству геометрической прогрес-
сии, квадрат каждого ее члена есть произведение предыду-
щего и следующего за ним членов прогрессии. Применив
это свойство к данной прогрессии, получаем: 0 - xj = 2х х
х (7 + х) х2 + 24х - 25 = 0; х = -25 или х = 1 .Согласно тому же
свойству: (7 + х)2 = (5 - хХ20 - 4х). Подставляя в это уравне-
ние полученные корни, видим, что только для х = 1 выпол-
няется равенство. И действительно, в этом случае получаем
прогрессию 2; 4; 8; 16.
| Ответ: 17|
ЗАДАЧА 1.381 .........................................
а)	При каких значениях к числа 2к — 1, 2к + 1, Эк, к + 26
являются четырьмя последовательными членами геометри-
ческой прогрессии?
Ответ: 1.
Степени и корни. Последовательности.
б)	При каких значениях к числа 2к - 2, к2 +1, 4fc, Зк2 -1
являются четырьмя последовательными членами арифмети-
ческой прогрессии?
[ Ответ: 2. |
ЗАДАЧА 1.382 ........................................
а)	Второй член арифметической прогрессии составляет
88% от первого. Сколько процентов от первого члена сос-
тавляет пятый член этой прогрессии?
Решение: Если второй член прогрессии составляет 88%
от первого, то разность прогрессии составляет —12% от
первого члена. Так как а$ = а\ + 4d 9 то пятый член прог-
рессии составляет 100% - 4 • 12% = 52%.
| Ответ: 52%.
б)	Второй член арифметической прогрессии составляет
107% от первого. Сколько процентов от первого члена сос-
тавляет десятый член этой прогрессии?
| Ответ: 163%.
ЗАДАЧА 1.383 ........................................
а)	Найдите знаменатель геометрической прогрессии, ес-
ли отношение суммы первых ее девяти членов к сумме сле-
дующих за ними девяти членов этой же прогрессии равно 512.
Ответ:
б)	Найдите разность арифметической прогрессии, если
сумма первых ее ста членов на пятьдесят больше, чем сум-
ма следующих за ними ста членов этой же прогрессии.
Ответ:-4 а
ЗАДАЧА 1.384 ..................................
а)	В арифметической прогрессии = 15. Найдите
а2	а12
Решение: Исходя из условия, = 15; 14^ = 154rf;
= 1 \d. Отсюда найдем искомое выражение:	?=
= ш±Ж- 31
Ш+Ш ~ 22 •
Ответ: ~
100
Степени и корни. Последовательности.
б)	В арифметической прогрессии^- = 17. Найдите -^Ц-.
Ответ:-—
ЗАДАЧА 1.385..........................................
а)	В геометрической прогрессии = 13. Найдите от-
ношение суммы первых двадцати четырех ее членов к сум-
ме первых ее двенадцати членов.
Ответ: 14?|
б)	В геометрической прогрессии отношение суммы пер-
вых ее восемнадцати членов к сумме первых ее девяти чле-
нов равно 7. Найдите .
Решение: Исходя их условия, 7=^ = 4^-^4^-) =1+^.
Мы видим, что я9 = 6, отсюда найдем искомое	=
= <79 = 6.
Ответ: б.~|
ЗАДАЧА 1*386 .........................................
а)	Сумма членов бесконечной геометрической прогрес-
сии в 3 раза больше ее первого члена. Найдите .
Решение: Исходя из условия,3/^ =	; 1 - g = |= у.
Отсюда найдем искомое: ~	.
Ответ: £.
4
б)	Сумма членов бесконечной геометрической прогрес-
сии в 1,5 раза меньше ее первого члена. Найдите .
°7
Ответ:
о
ЗАДАЧА 1.387 .........................................
а)	Сколько надо взять последовательных натуральных
чисел, кратных трем, начиная с 3, чтобы их сумма была
равна 165?
101
Степени и корни. Последовательности.
Решение: Последовательные натуральные числа, крат-
ные трем, составляют арифметическую прогрессию, у кото-
рой первый член равен трем, а разность также равна трем.
Нам нужно, чтобы = 165, то есть165 = 3н+3^^; и2 + и-
-110 = 0; и = -11 или п = 10 , но натуральное число не может
быть отрицательным, поэтому п = 10.
[Ответ: 10~ |
б)	Сколько надо взять последовательных натуральных
чисел, кратных семи, начиная с 7, чтобы их сушиа была
равна 252?
[Ответ: 8~~|
ЗАДАЧА 1.388 ........................................
а)	Последовательность (е„) задана формулой своего л-го
члена:. Найдите^и номер члена последователь-
ности, равного 1 yf.
Решение: Исходя из заданной формулы, находим пятый
член последовательности:	= 1^.Теперь найдем
номер члена последовательности равного 1^| ;1$ = Ц =
111»+ 37 = 98»+ 245; и = 16.
Ответ: «5 = l-^-, и = 16.
б)	Последовательность (ви) задана формулой своего л-го
члена: ап = -^|. Найдите eg и номер члена последователь-
ности, равного 3	.
Ответ:eg = 2-g, п = 15.
ЗАДАЧА 1.389 ........................................
а)	В геометрической прогрессии первый член равен Д
а седьмой 7128. Найдите восьмой член прогрессии.
| Ответ: 1б7|
б)	В геометрической прогрессии первый член равен 7з,
а пятый V243. Найдите шестой член прогрессии.
102
Степени и корни. Последовательности.
Решение: Исходя из условия задачи, = V3; ^4 = V243 ,
отсюда я4 = л/81 = 9; q = л/З; b6 = btf5 = VJ6 = 27.
| Ответ: 27?
ЗАДАЧА 1.390 .........................................
а)	В геометрической прогрессии первый член равен л/3 ,
а третий л/27. Найдите четвертый член прогрессии.
| Ответ: 9."“"|
б)	В геометрической прогрессии первый член равен
а девятый V512. Найдите десятый член прогрессии.
| Ответ: 32?|
Функции и графики. Квадратный трехчлен.
ЗАДАЧА 1.401 .....................................
Определите какие из указанных точек принадлежат гра-
фику данной функции (ответ обоснуйте).
а) у = х + х°>5 + 1; А (- 4; ~5), В (0; 1), С (4; 7), D (4; 8);
Решение: Dy = [0; + оо], - 4 < 0, поэтому А не принадле-
жит графику.
1 = 0 + О0»5 — верно, значит, В принадлежит графику.
7 = 4 + 40’5 — верно, значит, С принадлежит трафику.
8 = 4 + 4°>5 + 1 — неверно, значит, D не принадлежит
трафику.
Ответ: Ви С принадлежат графику.
б) у = х + X- 0,5; А (- 4; —4,5), В (0; 0), С (1; 2), D (1; |);
Ответ: В принадлежит графику.
ЗАДАЧА 1.402 .....................................
При каких значениях а трафик данной функции прохо-
дит через данную точку К'.
а) у = ах2 —5х —3, К (—1; 3);
Решение: Если трафик функции проходит через точку,
то ее координаты превращают уравнение функции в истин-
ное равенство, т.е. 3 = а • (-1)2 — 5 • (—1) —3, откуда а = 1.
Ответ: а = 1.
б)у=Зх2+ах-1, #(-2; 1);
Ответ: а = 5.
ЗАДАЧА 1.403 .....................................
а)	Найдите уесли у =	+|^Т •
Ответ: 3|.
б)	Найдите у (|), если у =	.
Ответ: 14
ЗАДАЧА 1.404 .....................................
а)	Пусть/(х) = х2 -3. Найдите /(1 - л/З) + /(1 + л/З).
Ответ: 2.
б)	Пусть/(х) = 7 - х2 Найдите /(1 - л/2) + /(1 + л/2).
Ответ: 8.
104
Функции и графики, Квадратный трехчлен.
ЗАДАЧА 1.405 .......................................
а)	Пусть ф(х) = >1х2 -4х + 4 - ^д!**— • Найдите <р 0).
Ответ: —2.
б)	Пусть <р(х) =	- 7х2 -8х + 16. Найдите ф 0).
Решение:	- 7х2 -8х + 16 = 3- х- |х-4]при х # 3 .
/§)-3-{-Н-4| = 3-Д + Д-4-Э-4--1.
Ответ: ~1.
ЗАДАЧА 1.406 .......................................
а)	Пусть а(х) = ^. Найдите ct(Xo +0^)-a(a%), гдехо= 1.
Ответ: - 0,3.
б)	Пусть р(х) = -^. Найдите 0^-0,1)-₽(ль), гдехо = 3.
Ответ: -fa.
Найдите все значения аргумента, при которых f(x) — f (а)
(1.407- 1.409):
ЗАДАЧА 1.407 .......................................
a)	f(x) = £, a = 5;
Ответ: xj = 5; Х2 =
б)	/(х) = ^,а = 2;
Ответ: xi = 2; хг = 3.
ЗАДАЧА 1.408 .......................................
а) /(х) =	+ ^i, а = 3; х*±1 (♦)
Ответ: х\ = 3; Х2 =-^.
Решение:	; 8х2 + 23х + 15 = 0. (х ф 0; х * -3).
хг = -1 не удовлетворяет (*); х2 = - (по теореме, обратной
теореме Виета).
Ответ: х = - -Ц-.
О
ЗАДАЧА 1.409 .......................................
а)	/(х) = W-x, a = 0,4;
105
Функции и графики. Квадратный трехчлен.
Ответ: = 0,4 ; *2 = п •
6)	/(х) = 2х-^, а = 0,25;
Ответ: xt = 0,25; Xj = - .
ЗАДАЧА 1.410 ........................................
а)	Пусть ф(х) = х-3+1;^2. Докажите, что <р (2,5) = <р (0,4).
Решение: 2,5 - 3 +	= - у - ^ = - 4Д;
0,4 - 3 + ^о'”’4 = ~2,6 -1 = - 4,1. - 4,1 = - 4,1, что и требо-
валось доказать.
б)	Пусть у(х) =	- 2-х. Докажите, что у (0,8) = <р(1,25).
Решение:	- 2 - 0,8 = | - 2,8 = -1,05;
—- 2 -1,25 = 2,2 г 3,25 = -1,05, что и требовалось до-
казать.
Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций
(1.411 - 1.412):
ЗАДАЧА 1.411 ........................................
а)	у = X2+yL и у = 4^=15;
Решение: х2	х2 = 4(у^~; #
х2 = 4 (при х ф 4); х = ±2 .
Ответ: Х[ = 2; х^— ”2.
б)	у = х2-^ и у =
Ответ: х = —3.
ЗАДАЧА 1.412 ........................................
а)	у = х2 - Зх +1 и у = х + 7;
Ответ: хи = 2 ± V10.
б)	у = 2х + 3 и у =
Ответ: х1>2 = ^/п.
Найдите ординаты точек пересечения графиков функций
(1.413 - 1.414):
ЗАДАЧА 1.413 ........................................
а)	у = 1 и у = 8х - 2;
106
Функиии и гоаЛики. Квадратный трехчлен.
Ответ: yi = 2; У2 — ~ 4.
б)	у = % и у = Зх + 8;
Решение: 1 = 32*8; Зх2+8х-3 = 0(при x*0).Xj =|;лз =-3.
Ответ: yi = 9; У2 = — 1.
ЗАДАЧА 1.414 .........................................
а)	у = х3 - 5х +1 и у = х3;
Ответ: у =
б)	у = Зх -1 - х3 и у = 1 - х3.
Ответ: у =
Найдите координаты общих точек графиков функций
(1.415 - 1.416):
ЗАДАЧА 1.415 .........................................
а)	у = х2 - Зх -1 и у = 2- 5х2;
Ответ: (1;-3);
б)	у = Зх2 - 7х - 2 и у = 2х2 - 5х + 6.
Ответ: (-2; 24); (4; 18).
ЗАДАЧА 1.416 .........................................
а)	у = ^2. и у = 2х +1;
Ответ: (2; 5); (-1; -1).
6)	У = ^ и У = х-\.
Ответ: (3; 2); (-1; -2).
ЗАДАЧА 1.417 .........................................
Докажите, что графики функций не имеют общих точек:
а)	у = х2 -7х + Зиу=-*2-11х-2
Решение: Решим уравнениех2-7х+3 = -х2-11х-2. Пре-
образуя, получим, уравнение 2х2 + 4х + 5 = 0 , дискриминант
которого D = 16 — 40 < 0. Значит уравнение*2-7*+3 =
= -х2 - Их - 2 не имеет корней, а поэтому графики функ-
ции у = х2 - 7* + Зиу=-х2-11х-2 не пересекаются.
б)	у = и у = 3 - X .
Решение: Решим уравнение -^j= 3 - х. Преобразуя урав-
107
Функиии и графики, Квадратный трехчлен,
некие, получим = о . Это уравнение корней не име-
ет, т.к. D = 16 -20 < 0. Значит, графики функций у =	и
у = 3 - х не пересекаются.
Найдите все такие а, что (1.418 —1.419):
ЗАДАЧА 1.418 ........................................
а)	2/(о)- 3/0= 0,5, где f(x) = Зх + -|.
Решение: Подставляя значения функции в точках а и|,
получаем уравнение l(ia+3^ + 2а)= |, упрощая которое,
получаем^ =	, откуда а = —10.
Ответ: а = —10.
б)	7/(о)+2/0= 4,5, где /(х) = 2х-|.
Ответ: а = —10.
ЗАДАЧА 1.419 ........................................
а)	ф(а) = ф(-а), где ср(а) = Зх4 + х3 - 2х2 - Зх + 5;
Ответ: щ = 0, а^ = ±^3
б)	у(-а) + у(а) = 0, где у(х) = 2х4 -5х3 -4х2 + 7х;
Решение: Подставляя значения функции в точках а и —
а, получаем уравнение 4а4 - 8а2 = 0, решая которое, на-
ходим четыре корня а^ = сз,4 -	.
Ответ:	= 0, #3,4 = ±72 .
При каких значениях b точка графика с абсциссой Xq ле-
жит на оси абсцисс (1.420 — 1.421):
ЗАДАЧА 1.420 ........................................
а)	у = Ьх2 - Зх - 2b +1, хо = -0,9;
Решение: Подставив хо = -0,9 в уравнение у(х) = 0, полу-
чим 0,816 + 0,27 — 26 + 1 = 0, решив это уравнение, полу-
чим 6= 127/119.
Ответ: 6 = |^.
б)	у = Зх2 + 26х -х + 6, хо = -0,7;
Ответ: 6 = 217/40.
108
Функиии и графики. Квадратный трехчлен.
ЗАДАЧА 1.421 ...................................
») уя^+й*’*ов-Ц;
Ответ: Ъ = .
б)	У = ^л~Ьх’ *0 = 2|•
Ответ: b = 22/105.
Найдите нули функции (1422 — 1.423):
ЗАДАЧА 1.422 ...................................
а)	<р(х) = х + ^;
Решение: Решим уравнение х 4- 4—43 = 0. Получаем сис-
{4Х2 + 13х + 3 = 0
, откуда находим = -3 и
4х + 13*0
х2 = -0,25.
Ответ: jq = -3, х2 = -0,25 .
6)	у(х)=2х-^т;
Ответ: Xj = 0,5 , х2 = -0,75.
ЗАДАЧА 1.423 .............................
а)	/(х) = (х2-25)^ + 1)
Ответ: ц = — 5/3, х2 = 5 .
б)	Х*)=£2-Зх)^+з£з)
Решение: Решим уравнение (х2 - 3x)^j + “3)= 0. По-
х2 -Зх = 0
лучаем систему уравнений
[_7х-9 = 0 ,откуда находимXj =0
х2 -9*0
и х2 = 9/7.
Ответ: xt = 0, х2 = |.
Найдите область значения функции и те значения аргу-
мента, при которых f(x) = а. (1.424 — 1.428):
ЗАДАЧА 1.424 ..........................................
109
Фчнкиии и графики. Квадратный трехчлен.
а)	/(х) = л?25 - х2, о = 3;
Решение: Функция /(х) = л/25 - х2 имеет смысл тогда,
когда х2 - 25 < 0 , откуда находим -5 £ х £ 5. Т.е. функ-
ция Дх) определена на отрезке [— 5; 5). Решим уравне-
ние а/25-л? =3. Возводя в квадрат обе части уравнения, на-
ходим х2 = 16. Откуда следует, что = ±4.
Ответ: [-5; 5]; х = ±4.
б)	/(х) = л/х2 -144, а = 5;
Ответ: (-«>;-12]U[12;-k»), х12 = ±13.
ЗАДАЧА 1.425 .....................................
а)	Лх)=^>а = 0>5;
Ответ: х * ±3 ,	= 1, Х2 = 5.
б)	/(x)=|Fpа = 41;
Ответ: х * ±1, Xj = 2, х2 = —11/13.
ЗАДАЧА 1.426 .....................................
а)	/(х) = xV3x-l, а - 0.
Ответ: х £ 1/3, х = 1/3.
б)	/(х) = (х - 1)л/х-2, а = 0;
Ответ: х 2:2 , х = 2.
ЗАДАЧА 1.427 .....................................
а)	/(х) = ^р^,а = О;
Ответ: р / 5;7)Ц(7;+оо), xj = 1, х2 = 3/ 5 .
б)	/(х) = ^^р^,а = О;
Ответ: (-a>;-l)U(-l; 7 / 3], х = 7/3.
ЗАДАЧА 1.428 .....................................
а)	/(х) = ^-, о = 0,75;
Решение: Функция /(х) = р^ определена всюду, т.к.
знаменатель не обращается в нуль. Решим уравнение
110
Функции и графики. Квадратный трехчлен.
= 0,75, получаем уравнение х2 + 3 = 4х, решая которое,
найдем *1 = 1, %2 = 3 •
Ответ: Л; Xi = 1, х2 = 3 .
б)	f(x) = -ЛЦг , о = |;
Решение: Функция /(х) = определена всюду, т.к.
знаменатель не обращается в нуль. Решим уравнение
= |, получаем уравнение х2 + 2 = Зх - 3, которое
корней не имеет.
Ответ: R; нет таких.
Найдите область определения функции (1.429 — 1.432):
ЗАДАЧА 1.429 .......................................
а)	у =—х2 +5х + 1.
Решение: Запишем функцию в видеу=-^с-5/2^ +29/4 S
< 29 / 4. Таким образом, область значения функции есть
(-оо;29/4].
Ответ: (—оо; 29/4].
б)	у = х2-7х-5.
Ответ: (— 69/4; + <ю ).
ЗАДАЧА 1.430 .......................................
а)	у = (Зх-5Х1-х).
Ответ: (-оо; 1/3].
б)	У = (5 - хХЗ - 2х).
Решение: Запишем функцию в видеу=2^с-13/4^ -ф/8^
> - 49 / 8 . Таким образом, область значения функции есть
]-49/8;+оо).
Ответ: ]-^; + <»).
ЗАДАЧА 1.431 .......................................
а)	у = (х -1)2 + (2х - З)2.
Ответ: J1/5; +оо).
ш
Функции и графики. Квадратный трехчлен.
6)	у = (2х - if - (Зх -1)2.
Ответ: (~оо; 1/5].
ЗАДАЧА 1.432 .......................................
а)	у = х - (2х -1)2.
Ответ: (-оо; 9/16].
б)	у = Зх - (х + 2)?.
Ответ: (-оо; — 15/4].
ЗАДАЧА 1.433 .......................................
а)	Пусть <р(х) = х2 +1. Решите уравнение <р(3/ -1) = <р(1 - 2/).
Решение: Решим уравнение (fc-l^+l^l-^f+l. Полу-
чим уравнение 5fr2 - 2/ = 0, решая которое, находим = 0 ,
Г2=0,4.
Ответ: = 0 , /2 = 0,4.
б)	Пусть у(х) « х2 - 2. Решите уравнение у(/ + 5) = у(2 - 4/).
Ответ: Л = - 0,6, t2 = 7/3.
ЗАДАЧА 1.434 .......................................
а)	Пусть /(х) = х + у. Найдите общие точки графиков
функций у = /(х) + 2 и у = /(х).
Ответ: х^ = 1, х2 = -3.
б)	Пусть /(х) = 2х + . Найдите общие точки графиков
функций у = /(4х) + 2 и у = /(х).
Решение: Решим уравнение 8х + £ = 2х + -. Получим
уравнение 6х = -, решая которое, находим jq = -1, х2 = 1.
Ответ: х1>2 = ±1.
ЗАДАЧА 1.435 .......................................
Найдите координаты тех точек графика функции, для
которых абсцисса равна ординате.
а)	у = х2 + 6х + 4.
112
Функции и графики. Квадратный трехчлен.
Решение: Решим уравнение х2 + 6х + 4 = х, имеем х^ = -1,
Хэ = - 4. Получаем А(— 1; —1), В(— 4; — 4).
Ответ: (“1; —1), (- 4; — 4).
6)	у = х2 - 7х + 9.
Ответ: ^-ч/7;4-^7)^ + л/7;4 + л/7).
ЗАДАЧА 1.436 ......................................
а)	Найдите координаты точек графика функции У=х+$,
отстоящие от оси ординат на 1,5.
Решение: Абсциссы нужных точек равны ±1,5, поэтому,
подставляя их в уравнение функции, получаем А(—1,5;
-3,5), В(1,5; 3,5).
Ответ: (-1,5; -3,5), (1,5; 3,5).
б)	Найдите координаты точек графика функцииу=2х-£,
отстоящие от оси ординат на 2,5.
Ответ: (-2,5; -4,6), (2,5; 4,6).
ЗАДАЧА 1.437 ......................................
а)	Найдите координаты точек графика функции у = 2х +
+ \/9х2 -16 , отступающие от оси ординат на 5/3.
Ответ: (-5/3; -1/3), (-5/3; 19/3).
б)	Найдите координаты точек графика функции
у = v25 - 16х2 +5х, отстоящие от оси ординат на 3/4.
Ответ: (-3/4; 31/4), (3/4; 1/4).
ЗАДАЧА 1.438 ......................................
а)	Найдите координаты точек графика функции у = х2-
— 2х - 7 , отстоящие от оси абсцисс на 8.
Решение: Ординаты нужных точек равны ±8, поэтому,
решая уравнения х2 - 2х - 7 = ±8 , получаем четыре корня
Х( 2 = 1»	= 5, Х4 = -3 , откуда находим точки: А (1; —8),
В (5; 8), С (-3; 8).
Ответ: (1; -8), (5; 8), (-3; 8).
б)	Найдите координаты точек графика функции у = -х2 +
+ 6х - 7 , отстоящие от оси абсцисс на 2.
Ответ: (1; -2), (3; 2), (5; -2).
113
5-99

ЗАДАЧА 1.439 .....................................
а)	Найдите координаты точек графика функции у = х +-|,
отстоящие от оси абсцисс на 4.
Ответ: (-3; -4), (-1; -4), (1; 4), (3; 4).
6)	Найдите координаты точек графика функции^=4х-£,
отстоящие от оси абсцисс на 3.
Ответ: (-1; -3), (- 0,25; 3), (0,25; -3). (1; 3).
Постройте график функции у = kx + b и укажите не ме-
нее трех точек, лежащих на этом графике (1.440 — 1.443):
ЗАДАЧА 1.440 .....................................
а)	к = 3,Ь = -5.
Ответ: Точки, лежащие на графике: (Q-5), (|;0) 0;-2).
114
Функции и графики. Квадратный трехчлен:
б)Л«~2, 6 = 6.
Ответ: Точки, лежащие на трафике: (0; 6),(3; 0),(1; 4).
а) к = —2 и трафик проходит через точку М (—3; 8).
Решение: Условие прохождения графика через точку
Л/дает:8 = -2-(-3) + />, Z> = 2.
Ответ: Точки лежащие на графике: (0; 2), (1; 0), (—3; 8).
Уь
5
115
Функции и гра&ики. Квадратный трехчлен.
б)	b = —1 и график проходит через точку К (—1; 5).
Условие прохождения графика через точку К дает:
5 = -1*-1, Jt = -6.
Ответ: Точки, лежащие на графике: (0; -1),	(-1;5).
ЗАДАЧА 1.442 .......................................
а)	Прямая параллельна прямой у = 2х и проходит через
точку К (2; 7).
Решение: Для прямой, параллельной у = 2х, коэффи-
циент к == 2. Условие прохождения через точку К дает:
7 = 2-2 + #, # = 3.
Ответ: Точки, лежащие на графике: (0; 3)^ (-|;0) (2;7).
116
Функции и графики. Квадратный трехчлен.
б)	Прямая параллельна прямой у = —Зх и проходит че-
рез точку Р (1; 4).
Решение:	Для прямой,
параллельной у = -Зх, коэффи-
циент к = —3. Условие прохож-
дения через точку Р при этом
дает: 4 = -3 • 1 + £, b = 7 .
Ответ: Точки, лежащие на
графике: (0; 7} (J;0) (1;4).
ЗАДАЧА 1.443 ........................................
а)График пересекает оси координат в точках А (0; —3),
В (5; 0).
Решение: Из условия прохождения через точки А и В
[-З = к^ + Ь р = -3
имеем: Л ,	.
(0 = £ • 5 + £ [к = I
Ответ: Точки, лежащие на графике: 0,-2) (0;—3), (5;0).
117
Функшш и графики. 4&адмткыи пше&мш
6) График пересекает оси координат в точках М (0; 5),
К(-2;0).
Решение: Из условия прохождения через точки М и К
tt^k-Q+b р> = 5
имеем: {Л t z _ ч	,	< .
|0=:/t-(-2) + ^ (* = |
Ответ: Точки, лежащие на графике: (0; 5), (-2;0)> G^)‘
Постройте график функции у = а(х -	+ Уо > записав
аналитическое задание функции (L444 — L447):
Фгнкшш и графики. Квадратный трехчлен.
б) а = -1, х9 = 3, _у0 = 4.
Решение: y^-(x~$j +4; у = -х* +6х-5. График получает-
ся сдвигом графика функции у = — х2 на вектор (3; 4).
119
Функции и графики. Квадратный трехчлен.
ЗАДАЧА 1.445 ....................................
a)	а = 1 и график проходит через точки М (—2; 0) и
*(4;0).
Решение: у = (х - хд)2 + уд • Условия прохождения графи-
ка через точки М и К дают:
(-2-ль)2 +уд = 0
. Вычитая вто-
{4-лд)г +уд =0
рое уравнение из первого, получаем: 2 + х0 = -(х0 - 4), Xg = 1.
jo=-(4-Xo)2 = -9.
Итак, Xх) = (х “ 0* “ Xх) = х2 - 2х - 8.
^4
120
Функции и графики. Квадратный трехчлен.
б)	а = — 1 и 1рафик проходит через точки А (1; 0) и
В (5; 0).
Решение: у = -(х-л<))2 +уо • Условия прохождения графи-
ка через точки А и В дают:
-(1-хо)2+уо =0
-(5-х0)2+уо =0
. Вычитая из
первого уравнения второе, получаем: 1 - х0 = Xq - 5, Xq = 3.
у0 = (1 - х0)2 = 4 . Итак, у(х) = - (х - З)2 + 4
121
Фтсшш w зйийжи.
ЗАДАЧА 1.446
а)	График пересекает оси координат в точках А (—5; 0),
5(5;0), С(0;3).
Решение: Из условия прохождения графика через точки
а(-5-Дй)2+Л)=0
А, В, С, имеем:-а$-х$ +уц=О . Вычитая из первого урав-
ах^+уй = Ъ
нения второе, получаем: -5 - %о =	- 5, Xg = 0. Из третьего и
второго уравнений получаем при этом:.у0 =Д	=—g *
Итак,у(я) = “^5 %2 + 3.
*4
б)	График .пересекает оси координат в точках К (—2; 0),
Р(2; 0), Г(0;~4).
Решение: Из условий прохождения графика через точки
а(-2-л}))2+Л)=0
К, Р, Тимеем:
0(2-3^)?+^--0 . Вычитая из первого урав-
«•лЬ2+Л>=-4
нения второе, получаем: -2-Xq = Xq-2,	= 0. Из третьего
и второго уравнений при этом имеем: уо = -4 - а • -хр2 = -4,
а = -	= +1. Итак, у(х) = х2 - 4.
122
Фмкиии и графики.
ЗАДАЧА 1.447 ..................................
а) Вершиной графика является точка М (2; 4), и график
проходит через точку Л (1; 5).
Решение: Поскольку в точке М (т.е. при х = 2) находит-
ся вершина графика, имеем: х0 = 2. Из условий прохож-
дения графика через точки А и М имеем:
а(2-2)3+у0=4
а0-2)2+уо=5
Отсюда у0 = 4, а = 1. Итак, у = (х - 2)2 + 4 .
123
Функции и графики. Квадратный трехчлен.
6) Вершиной графика является точка К (3; 5), и график
проходит через точку В (2; 4).
Решение: Поскольку в точке К (т.е. при х - 3) находит-
ся вершина графика, имеем:
^(З-З)2 +у0 =5
а(2-3)2+у0 =4
Отсюда име-
ем: уд = 5, а = -1. Итак, у = - (х - З)2 + 5.
Постройте график функции и укажите интервалы ее зна-
копостоянства (1.448 — 1.451):
124
Функции и гоаЛики, Квадратный трехчлен.
ЗАДАЧА 1.448 ............................................
а) у = х2 - 4х - 5.
Решение: График пересекает ось абсцисс, если
х1 -4х-5 = 0, х = 5; х = -1.
Ответ: х е(-1;5), у <0. х е(-оо;-1)11(5;оо^ д»>0.

-10
125
фун&шш и госиЪики. Квадратный трехчлен.
б) у = -х2 - 2х + 3.
Решение: у = -(х +1)? + 4.
Отсюда ясно, Хо = ~1. Ось
абсцисс пересекается графи-
ком в точках, где у « 0.
- х2 - 2х + 3 = 0, х = 1; х = -3.
ЗАДАЧА 1.449 ...........................................
а)	у = х2 +4х + 3.
Решение: у = (х + 2)2 -1. График пересекает ось абсцисс
в точках х = —1; х = -3. Интервалы знакопостоянст-
ва:х€(-$-1), у < 0. х е (-oo;-3)U(-l;oo)> у > 0 .
Ответ: на (— 3; — 1) у < 0; на (~оо; - 3) и (-1; + а>) у > 0.
126
фуюаши и графики, Кбадмппиый трехчагн.
6)	у = -х2 + 6х - 5.
Решение: у = - (х - З)2 + 4. График пересекает ось абс-
цисс в точках х = 1; х = 5. Интервалы знакопостоянства:
хе(1;5), у >0. х e(-x;l)U(5;w), у <0.
Ответ: на (1; 5) у > 0, на (- qo;1)U(5;<») у < 0.
ЗАДАЧА 1.450 .......................................
а)	у » -х2 + 4х - 4.
Ответ: Интервал знакопостоянства: на
(-co;2)U(2;co) у <0.
функции и графики. Квадратный трехчлен.
6)	у = 2х2 - 4х + 3.
Ответ: Интервал знакопостоянства: на (- оо; оо) у > 0.
ЗАДАЧА 1.451 ......................................
а)	у = -|х2 -х.
Решение: у = -j (х +1)2 + . График пересекает ось абс-
цисс у — 0 при х +1 = ±1, т.е. х = 0; х = -2.
Ответ: на(-2;0) у > 0, на (-оо; 2)U (0; оо) у < 0.
128
Функции и графики. Квадратный трехчлен.
б)	у = 2х2 + 4х .
Решение: у = 2(х +1)2 - 2. График функции у(х) пересека-
ет ось абсцисс при х +1 = ±1, т.е. х = 0; х = —2.
Ответ: на (-2; 0) у < 0, на (- оо; - 2)U (0; °0) У > 0.
Постройте график функции и укажите с его помощью
промежутки монотонности функции (1.452 — 1.455):
ЗАДАЧА 1.452 .......................................
а)	у = х2 - 6х + 9.
Решение: у = (х - З)2. При х = 3 функция достигает ми-
нимума. Промежутки монотонности: х е (- оо; 3), у убывает с
ростом х. х е (3; оо), у возрастает с ростом х.
Ответ: функция убывает на (-оо; 3], возрастает на
[3; +х).
129
футпрш U графики, Квадратный трехчлен.
б) у = -|.
Решение: График функции — гипербола. Функция не
ЗАДАЧА 1.463 .........................................
я) У = | •
Пшене: В точке х = 0 функция не определена. График —
130
Фчнкаии « грвйшаь Квадоатн&и пташек.
б)	у = 0,5х2 + 2х.
Решение: у = ^^с2 +4х)= |(х +2)2-2.
Огаст: Функция убывает на (-оо; - 2] и на [-2; + <ю).
У,
5
ЗАДАЧА 1.454 ..........................
а) У = ~^-
Решение: В точке х = 0 функция не определена.
Ответ: Функция возрастает на <-«; 0) и на (0; +•<»).
131
функции и графики.	tuoeMAUL
Решение:
у = -l^c2 +3х)= -2^с+|^ +|.
Ответ: Функция возрастает на
(-оо; - |J; убывает на [-1; + <©).
ЗАДАЧА 1.455 .......................................
а) у = -^х2 +х~0,5.
Решение: у = -%(*2 + 2х +1)=	(х -1/.
Ответ: Функция возрастает на (-оо; 1]; убывает на
Ш +«>).
132
Функции и графики. Квадратный трехчлен.
б)у = |х2-2х + 3.
Решение: у = | (х2 - 6х + 9)= | (х - З)2.
Ответ: Функция убывает на (-оо; 3]; возрастает на
[3; +оо).
Постройте график функции при указанных значениях х и
определите область значений этой функции при этих х (1.456 —
1.458):
а)	у = х1 - 2х - 3,
х е(-оо;оо).
Решение:
у = (х -1)2 - 4. Наи-
меньшее значение
Уо = ~ 4. Наибольшего
нет.
Ответ: [-4; + оо).
133
Функции и гранки. Квадиатный жрехздгя.
б)	у = -х2 + 4х, х е(-оо;оо).
Решение: у = -(х —2)? +4 .Наибольшее значение у равно 4.
Ответ: (-оо; 4}.
ЗАДАЧА 1.457 .........................................
У=- 3, х е [-3,6].
Решение: График — часть параболы, у которой ветви
вверх^ вершина (0; —3)г проходит через точки (— 3; Я),
(3; 0), (6; 9>.
Ответ: [— 3; 9].
134
Фуюаггт и графики. Квадратный трехчлен.
б) у = 2-^х2, х е[-4; 2].
Решение: График — часть параболы, ветви которой вниз,
вершина (0; 2), проходит через точки (2; 0), (— 2; 0), (— 4; —ф.
Ответ: [— 6; 2].
ЗАДАЧА 1.458 .......
а)
у = 2х2 -4х-1, х е[-1;2].
Решение: у = 2(х -1)2 - 3.
Минимум у — — 3 достигается
при х = 1. Наибольшее зна-
чение у достигается при|х -1[,
т.е. цри ж =. —1 на заданном
интервале., .и равно 5. Область
значений^: >> е£—3;5Д.
135
Фуюааш и графики. Квадратный трехчлен.
б)	у = Зх -0,5х2, х е р;7].
Решение: График — часть параболы, ветви которой вниз,
вершина (3; 4,5), проходит через точки (6; 0), (2; 4),
(7; - 3,5).
Ответ: [— 3,5; 4,5].
Не выполняя построения графиков функций, постройте
прямую через общие точки этих графиков, и задайте анали-
тически уравнение этой прямой (1.459 — 1.460):
ЗАДАЧА 1.459 .......................................
а)	у = х2 - 2х - 3 и у = -х2 + 2х -1.
Решение: Для нахождения общих точек следует прирав-
нять значения функций при одинаковых значениях х:
х2---2х-3 =-х2 +2х-1. х2-2х-1 = 0. х = 1 ± V2. j =-2.
Ответ: у = -2.
136
Функции и графики, Квадратный трехчлен.
б)	у = х2 + 4х + 5 и у = -х2 - 4х -1.
Ответ: у = 2.
ЗАДАЧА 1.460 .........................................
а) у = х2 - 2х и у = 4х - х2 .
Решение: Для нахождения общих точек графиков при-
равняем значения у при одинаковых х: х2 - 2х = 4х - х2. х2 -
-Зх = 0. Xi = 0; х2 = 3. уг = 0; у2 =3. Подставляя эти зна-
чения в уравнение прямой у = ах + Ь9 получаем:
ta 0+Z>=0t Л ' *
1 a a Q*=a*=i.
(a-3+Z> = 3
Ответ: у = х.
137
Функ&мъ графики, Къа&рвгяныЯ тве&меи.
б) у = 2х2 -5х и у = х2 - 2х .
Ответ: у = х.
Решите графически уравнение (1.461 — 1.466):
13В

ЗАДАЧАМ ДБ!_______________________________________
а)	х2 - 3 = 5х.
Решевие: Строим графики функций у = х2 - i и у-5х.
Ответ: х{ » - 0,5; х2 « 5,5 .
б)	2 - х2 = 4х.
Решенкех Строим графикифункдайу ~2-х* и у =» 4Ьс.
Ответ: хг « - 4,5; х2 « 0,4 .
139
Функции и графики. Квадратный трехчлен.
ЗАДАЧА 1.462 .......................................
а) х2 = 2х + 4.
Решение: Строим графики функцийу = х2 и у = 2х + 4 .
Ответ: хг « -1,2; х2 « 3,2 .
Решение: Строим графики функций у = х2 - 2 и у = Зх.
Ответ: Xj « -0,5; х2 « 3,5 .
140
Функшш и аюЛики, Квадратный тпехмяен.
ЗАДАЧА 4.463 .......................................
Решение: Строим графики функций у = £ иу =(х - if.
Ответ: х»1,75.
б)(х + 1)2 = -2.
Решение: Строим графики функций у = (х + 1)2 и у =	.
Ответ: х « -2.
141
функции и якиЬики, Квадратные трехчлен.
ЗАДАЧА 1Л64 ..................................
а)	± « 4х - х2.
Решевие: Строим графики функций у «1 nys-(x-tf+4.
Ответ: х2 » -0,4; х2 « 0,5; х3 « 3,9.
б)	х2 -6x^-2..
Решение: Строим графики функцийу=(х-3)?-9 и у=-
Ответ: х2 ~ -0,7; х2 « 0,8; х3 « 5,9.
ИМ
3,
142
Фидяй» « ДдчШтт ткотш
ЗАДАЧА 1.465 м*ымм'мы^ым«»м*ыым*ы>мм*ы1*ы>ы>1>мы( •«•••*««« •»»••••
а)	'/*=£•
Решение: Строим графики функций у-4х и у = .
Ответ: Xj « 2,1.
6)	(х -1)2 = л/х .
Решение: Строим графики функций у = (х -1)? и у =*4х .
Ответ: Xj » 0,25; х2 » 2,25.
ИЗ
Функиии и графики. Квадратный трехчлен.
ЗАДАЧА 1.466 ....................................
а)	х3 = -Зх + 1.
Решение: Строим графики функций у = х3 и у = -Зх +1.
Ответ: xt * 0,3.
б)	х3 = -х - 3.
Решение: Строим графики функций у = х3 и у = -х- 3.
Ответ: xj « -1,2.
144
Функции и графики. Квадратный трехчлен.
Решите графически систему уравнений (1.467 — 1.472):
ЗАДАЧА 1,467 ...........................................
(2х ч- Зу = 7
а> Ь с •
[Зх - 5у = 2
Решение: Строим графики функций у = у (7 - 2х)
И У = |(Зх-2).
Решение: Строим графики функций у = |(5-Зх) и
у = }(2х-1).
Ответ: xt » 1,1; yt я 0,4.
6-99
145
Функиии и eoatbuKU. Квадратный трехчлен.
ЗАДАЧА 1.468 .................................
a)R = *22
[у = —х2 + 2х +1
Решение: Строим графики функцийу=х2 иу=-(х-1)2 +2.
Ответ: Xj « 0,35, у, « 0,1; х2 « 1,4, у2 * 1,9.
[у = х2 - 4х +1
Решение: Строим графики функций у®л? иу=(х-2)2-3.
Ответ: xt « {, yj « -0,1; х2 « 2,3, у2 » -2,7.

3 трехчлен.
Функции и графики. Ква
ЗАДАЧА 1.469
= 5
(ху = 3
6*
Решение: Строим графики функций у = -^иу = х- 5.
«47
функции и графики, Квадратный трехчлен.
Примечание: Достаточно было найти графическое реше-
ние для х > 0 и у > 0. Вследствие симметрии задачи кроме
решения (х2, у2)> имеется также решение х^ = -у2
и У1 = -Х2.
Решение: Строим графики функций у=3-хиу=^ .
Ответ:	у, » 3|; х2 «-3|, у2 *>
функции и графики. Квадратный трехчлен.
ЗАДАЧА 1.470 .......................................
») I*2 + =
1у-х2 +2=0
Решение: Строим графики: окружность радиусом 2 (пер-
вое уравнение) и параболу у = х2 - 2 (второе уравнение).
Отает: xt » -1,7, yj «1; х2 « 0, у2 » -2; *з * Уз и * •
„ (х2 + у2 =9
(2х + Зу-6 = 0
Решение: Строим графики: окружность радиусом 3 (пер-
вое уравнение) и прямую у = | (6 - 2х).
Ответ: Ху « - 1,1, У[ « 2,8; Х2 « 3, у2 « 0.
149
Функции и графики. Квадратный трехчлен.
ЗАДАЧА 1.471 ............................................
1> = -1
а) ] 2	2 л
\Х1 + у1 = 4
Решение: Строим графики: гипербола (первое урав-
нение) и окружность радиусом 2 (второе уравнение).
Ответ:
X! « -1,9, у, « хг « у2 « 1,9; х3 «у3 » -1,9
х4 « 1,9, у4
б)
у = 4х
X2 +у2 = 16
Решение: Строим графики: у-4х и окружность радиу-
сом 4.
Ответ: Xj » 3,5, yj » 1,8 .
150
Функиии и графики. Квадратный трехчлен.
ЗАДАЧА 1.472 ....
[х2 + у2 =25
Решение: Строим графики: функция у «х3 и окружность
Решение: Строим графики; прямую
у = |(2х-6) и у = -х3.
Ответ: х( « 1,05, У1 «-1,3.
151
Функции и графики. Квадратный трехчлен.
Изобразите фигуру, ограниченную графиками функций (вы-
делите ее штриховкой). Точки границы фигуры считайте при-
надлежащими фигуре (1.473 — 1.475):
ЗАДАЧА 1.473 .....................................
а)	у = х2 и у = 2х + 3. Укажите координаты точки этой
фигуры, имеющей наибольшую ординату.
Ответ: (3; 9).
6)	y = x2Hj = 6- x. Укажите координаты точки этой
фигуры, имеющей наименьшую абсциссу.
Ответ: (-3; 9).
152
Функции и графики. Квадратный трехчлен.
ЗАДАЧА 1.474 .....................................
а)	у = - и у = х + 4 . Укажите координаты точки этой
фигуры, имеющей наименьшую ординату.
Ответ: (— 3; 1).
б)	у = и у = 3-х. Укажите координаты точки этой
фигуры, имеющей наибольшую абсциссу.
Ответ: (2; 1).
153
Фткиии и
ЗАДАЧА 1.475 .......................................
а) Фигура ограничена графиками функций у = х2 - 4 и
у = 2х-х2. Найдите дайну отрезка оси ординат,
заключенного внутри этой фигуры.
Решение: Строим графики функций у = х2-4 и
у=-(х-2)2 +4.
у = х2 + Зх.	Найдите длину отрезка оси абсцисс,
заключенного внутри этой фигуры.
Решение: Строим графики функций у = 9 - х2 иу=^с+^ -
_9
4 •
Ответ: Длина равна 3.
154
1
Функции и графики. Квадратный трехчлен.
Постройте график функции и укажите на нем все точки,
координаты которых удовлетворяют указанному условию.
Найдите координаты этих точек (1.476 — 1.480):
ЗАДАЧА 1.476
а)	у = х2 - 4х + 4 у
абсцисса равна ординате.
Решение: Указанное
условие дает
дополнительное
уравнение у = х. Иско-
мые точки находим из
системы уравнений:
|у = (*-2)2.
1у = х
Ответ: А (1; 1), В (4; 4).
б)	у = х2 + 2х + 2,
сумма абсциссы и
ординаты равна
нулю.
Решение:
Указанное условие
дает дополнительное
уравнение у + х= 0.
Искомые точки
находим из системы
уравнений:
1у = (х +1)2 +1
V = -х
Ответ: А (—2; 2),
^(-1; 1).
155
Функции и графики. Квадратный трехчлен.
ЗАДАЧА 1.477
а)	у = х2 - 3, частное
от деления абсциссы на
ординату равно 0,5.
Решение:	Указанное
условие дает дополнитель-
ное уравнение х/у = 0,5.
Искомые точки находим
из системы уравнений:
Р = Хг - 3
Ь = 2х
Ответ: А (—1; ~2),
В (3; 6).
б)	у = 5 - х2 , сумма абсциссы и ординаты равна 3.
Решение: Указанное условие дает дополнительное урав-
нение х + у — 3. Искомые точки находим из системы урав-
(у = 5 - х2
нений: v
[у = 3-х
Ответ: А (-1; 4), Я (2; 1).
156
функции и графики. Квадратный трехчлен.
ЗАДАЧА 1.478 ......................................
а)	у = 2х + 3 , ордината равна квадрату абсциссы.
Решение: Указанное условие дает дополнительное урав-
нение у = х2. Искомые точки находим из системы уравне-
ний:
(у = 2х + 3
1У = х2
Ответ: Л (-1; 1), В (3; 9).
б)	у = 4 - Зх, абсцисса равна квадрату ординаты.
Решение: Указанное условие дает дополнительное урав-
нение х ~ у2. Искомые точки находим из системы уравне-
ний:1^2 ЗХ-Зу2 +У~4 = °- Л = Уг = ~Ц•
Соответственно: х = 1 при у ж 1, х = при у = -1|.
Ответ. Л (1; 1), В
157

уравнений:
ЗАДАЧА 1.479	..................................
а) у =	, сумма абсциссы и ординаты равна 1,5.
Решение: Указанное условие дает дополнительное урав-
нение х 4- у = 1,5. Искомые точки находим из системы
у =
* .	= 2, Ух = - у, х2 = -1, у2 = 2.
7= 2 х
Ответ: л£-|) 2?(-|;2).
158
Функции и г&аФики. Яевдмттый трехчлен.
6) у = -| , частное абсциссы и ординаты равно 32.
Решение Указанное условие дает дополнительное урав-
нение х/у = 32. Искомые точки находим из системы урав-
нений:
у sl2-
7 X
У = ъх
х = ±8, у = ±|.
Ответ: Л(-8;-1),
•tHmtiiHiwitMtmtWMMtni'tn.ttimMTtiitanHiMiiiiianiaHii*
ЗАДАЧА 1.480
а) у = 4х , разность
абсциссы и ординаты
равна 0,25.
Решение:
Указанное условие дает
дополнительное уравне-
ние х - у = 0,25. Ис-
комые точки находим
из системы
у = 4х
у=Х-|‘
уравне-
ний:
4х =41 + 5/2, х =
~	2 '
Ответ:
159
Функции и графики. Квадратный пцугхчлы.
б)у = х"1, ордината на больше абсциссы.
Решение: Указанное условие дает дополнительное урав-
нение у =х+^. Искомые точки находим из системы уравне-
иий: У_Х 5 -x2+^x-1=Q	+J,-
У-Х+12
Отт:	+	+
Найдите уравнение прямой, параллельной оси абсцисс и
имеющей с (рафиком данной функции ровно одну общую
точку. Сделайте чертеж.
ЗАДАЧА 1.481 ...........,...........................
а)	у = х2 - 6х - 3.
Решение: у = (х - З)2 -12. Искомая прямая проходит через
вершину параболы. В данном случае это точка (3; 12).
Уравнение прямой имеет виду = —12.
160
. Функции и графики. Квадратный трехчлен.
Ответ: у = —12.
б)	у а -X2 + 2х+4.
Решение: у = -(х -1)2 + 5. Искомая прямая проходит через
вершину параболы. В данном случае это точка (1; 5).
Уравнение прямой имеет вид у = 5.
Ответ: у = 5.
161
Функции и яхкЬики. Квадуанмый трехмлен.
На графике функции укажите все точки, равноудаленные
от осей координат. Найдите координаты этих точек (ана-
литически или графически по вашему выбору) (1.482 — 1.483):
ЗАДАЧА 1.482 ....................................
а) у = -2х2 + 4х -1.
Решение: у = -2(х-1)2+1. Точки, равноудаленные от оси
координат, лежат на прямых у = ±х. Для координат имеем
две системы уравнений:	~	+1	“ ~2(х ~ О +1
1У = х	(у = -х
Из первой системы имеем: х «= 1;-|. Из второй системы име-
ем:х = ^;2 + ^.
OiwrftlJ (U)	£ + ^;-2-
162
в>у=х3-6х.
Решение: Точки, равноудаленные от осей координат,
лежат на прямых у = ±х, и для их координат получаем две
системы уравнений: _ “ 3) “ у - (х 3)	. и3 пер-
1У = х	[у = -х
вой системы имеем: х = 0; х — 7, Из второй системы име-
ем: х = 0; х = 5.
Огаст: (0; 0), (7; 7), (5; -5).
163
Функции и графики. Квадратный трехчлен.
ЗАДАЧА 1.483 .......................................
а)	у = -4х"Ч
Решение: Точки, равноудаленные от осей координат,
лежат на прямых у = ±х, и для их нахождения получаем две
[у = -А (у == -А
системы уравнений: 4 х < х . Первая система реше-
[у = X (у = -х
ний не имеет. Из второй системы получаем: х = ±2; у = +2 .
Ответ: (-2; 2), (2; -2).
б)	у = ~х3.
Решение: Точки, равноудаленные от осей координат,
лежат на прямых у = ±х, и для их нахождения получаем две
м [у = -х3 [у = —х3 _
системы уравнении: г г . Первая система имеет
[у = х (у = -х
одно решение х = 0. Из второй системы имеем:
Xj = 0;х2 = 1; х3 = -1 . yj = 0; у2 = -1; у3 = 1 .
Ответ: (-1; 1), (0; 0), (1; -1).
164
функции и графики. Квадратный трехчлен.
Найдите корни квадратного трехчлена и проверьте для
них теорему Виета (проверку запишите аналитически) (1.484 —
- 1.485):
ЗАДАЧА 1.484 .................................
а)	|х2 - у^х-1.
Решение: Решим уравнение Зх2-15х-7 = 0, решая кото-
рое находим xi =	, х2 = 15~^. Проверим теорему
Виета:х1+^=^^+1^ = ^ = и. х. • Xj =	»
*	*	6	6	6	3	1	6	6
- 152-»» _ 225-3» _ 7
~	36	~ 36	“ 3'
Ответ: х =	.
6)	у х2 - у х +1.
Решение: Решим уравнение 2х2-14х+5=0, решая кото-
рое находим xj =	, х2=-~Проверим теорему
Виета: jq ч-х^ =	+H-V236 = 2* = М, х1-х2 =	=
- Н2^36 _ 1%-яб_s
“и “ й _ 2 •
165
Функшш и
Ответ: х =	.
ЗАДАЧА 1.485 ...........................................
а)	-2Х2 + |х + 2.
Решение: Решим уравнение 2х2-х-14=0, решая которое
находим Xi =	, х2 =	. Проверим теорему Виета:
у . ул _ 1 + а/ПЗ , 1-VT13 _ 2 _ 4 у . у _ 1+VU3 . 1-л/ГТз _
Х1 + х2 -  4-------+ 4  - 4 - 2 • Хх • Х2----4------4  -
_ 1-113 -112 _ _ 14
“ 16 “	16 ~ 2 ’
Ответ: х =	.
б)	4х2_1х + 1.
Решение: Решим уравнение х2 + х - 3 =0, решая которое
находим Xj =	, x2=zbSi. Проверим теорему Виета:
у, . v>4 _ -1+V13 . -1-V13 _ 2 _ 1 у . v _ -1+л/Гз . -1-л/13 __ 1-13 _
Л* + Х2 - —2— + —2— " 2 Х4 х2 2--------------2------4“ “
4
Ответ: х =	.
Найдите корни квадратного трехчлена и разложите его на
линейные множители (1.486 — L487):
ЗАДАЧА 1.486
а)	Зх2 - Их - 34 .
Решение: Решим уравнение Зх2 - Их - 34 = 0. Получаем
у _ = Н±23 у = 17 у — _ 7
л1,2 “ б ,Л1	3 ’Л2 “ z-
Ответ: Зх2 -11х - 34 = (х + 2)(3х -17).
б)	2х2 +17х - 26 .
Решение:	Решим уравнение 2х2 + 17х - 26 = 0.
хи------4-•
Ответ: 2^-Л17^ + 17±Лэт).
ЗАДАЧА 1.487 ..
a)	-jX2 +Х + 12.
166
фншаши tt	Квод&отныИ хпмвошшк
У/НПНИ1» —	<WgW^yWfg»<Mra»
Решение: Решим уравнение — 5/3х*+х+12=0. Получаем
D=1+80=81 = 9^, откуда xi2	=-“,л^ = 3
Ответ: -|(х-ЗХ5х + 12).
6)	-2х2 + 2Лх+13.
Решение: Решим уравнение-2х? =2^х = 13=0. Получаем
^ = 6^5+813 = 110^5 = 10^2, откудах^ =2^,^ =^,Xj = -2.
Ответ: -2х2 + 2Дх +13 = (х +1Х^Л “ 2х)*
Определите, при каких из указанных значений х данный
квадратный трехчлен принимает. положительные значения,
отрицательные значения, равен нулю (1.488 — 1.489):
ЗАДАЧА 1.488 ........................................
а)	Зх2 + 5х - 8, при Xi = 1, х2 = -2 2-, х3 = -31, х4 = 0,9,
х5=1 + л/7.
Решение: Непосредственной подстановкой убеждаемся,
’ПО/(Xi) = о, /(х2) = 0, /(х3) =	> 0, /(х4) = - 121 < 0, /(XJ.) =
- 21 +1177 > 0, где /(х) = Зх2 + 5х - 8 .
б)	-2х2 + 7х + 9,приX! = -1, х2 - 4,5, х3 - 4,6, х4 - 3f,
х5 = -1 - -Уз •
Решение: Непосредственной подстановкой убеждаемся,
4To/(xt)= О, /(х2)= О, /(хэ)= --Ц<0, /(х4) = > 0, /(х5>=
= -11 - Зл/З < 0, где /(х) = -2х2 + 7х + 9.
ЗАДАЧА 1.489 ........................................
a)	-9x2+7jc, npHXj = 0, х2 = х3 = Ц,х4 = J + V7,
Х5 = >/3-5.
Решение: Непосредственной подстановкой убеждаемся,
что/(xi) = 0, /(х2) = 0, /(х3) = & > о, /(х4) = -65 -1Ь/7 < 0,
/(х5 ) = -287 + 97^3 < 0, где /(х) = -9х2 + 7х.
б)	8х2 -11х,приХ1 = 1^, х2 = 0, х3 = 1^-, х4 = 2 + л/3,
х5 =V2-11.
167
Функции и графики. Квадратный трехчлен.
Решение: Непосредственной подстановкой убеждаемся,
ЧТО ЛХ0 = 0, /(х2) = о, /(х3) - ft > О, Г(х4) = 45 + 2b/3 > О,
/(х5 ) = 1105 -187л/2 > 0, где /(х) = 8х2 -11х.
Разложите квадратный трехчлен на линейные множите-
ли с целыми коэффициентами (1.490 — 1.491):
ЗАДАЧА 1.490 ........................................
а) 5х2 - Их-42.
Решение: 5х2 -11х - 42 = 5х(х+2) - 21(х + 2) = (5х - 21Х* + 2).
б)7х2-2х-24.
Решение: 7х2 - 2х - 24 = 7х(х - 2)+12(х - 2) = (7х + 12/х - 2).
ЗАДАЧА 1.491 ........................................
а)	-Зх2 + 6х + 24.
Решение: -Зх2 + 6х+24 = -Зх(х+2)+12(х+2) = (12 - Зх^х+2).
б)	—6х2 + 70х - 200.
Решение: -6х2 +70х-200=-6х(х-5)+40(х-5)=(40-6хХх-5).
Сократите дробь и вычислите ее значение прих = хо (1.492 —
- 1.493):
ЗАДАЧА 1.492 ........................................
*)	» ПРИ Хо = - 6,2 .
' -2х2+х+3, ’ г и ’
Решение- /7x1 =	= Рх-Зфх+t) _ j^+1. f(  . 75
гешение. J\xj- _2х2+х+3 - (з-2хХх+1)	х+1 W~ в •
Ответ:
б) 'YXV*3*;2 ’ при *°=4,2 ’
Решение: /(х) =	=-ft•
ЗАДАЧА 1.493 ........................................
а)	^У**-*1» при Хо = —7/6.
Решение: /(х) =	= £ft;/(xe) = | .
б)	,8Х~^С~11 > при х0 =-5/4.
' 16х2+8х+1 ’ г	'
Ревпепие* — 1х2-2х-1 _ (2*~>Х4*+О _ 2х-1 .	7
гешение. дх)- wi5f-8i^ = - ^--у---4^4 ./(х0)- g- •
168
Функции и графики. Квадратный трехчлен.
ЗАДАЧА 1.494 ........................................
Докажите, что данные два квадратных трехчлена имеют
общий корень, и найдите его:
а)	14х2 + 19х - 3 и -14х2 + 37х - 5.
Решение: Из очевидных равенств 14*2 +19*-3=(2х+3)(7х-1)
и -14х2 + 37х - 5 = (7х - 1X5 - 2х) видим, что квадратные трех-
члены имеют общий корень х = 1/7.
б)	-15х2 + 4х + 4 и 15х2 + х - 2.
Решение: Из очевидных равенств-15x^+4x+4=(2-3xX5x+2)
и 15х2 + х - 2 = (Зх - 1Х5х + 2) видим, что квадратные трех-
члены имеют общий корень х = -2/5.
ЗАДАЧА 1.495 ........................................
При каких значениях а данный трехчлен имеет корень
х = х0.
а)	-Зх2 + х - а, х0 = -1/3.
Решение: Подставим в уравнение -Зх2 + х - а значение
хо = —1/3. Получаем -|-|-я = 0, откуда а = -.
б)	5х2 + 2х + а, х0 = 1/5.
Решение: Подставим в уравнение Зх2 + 2х + а значение
Хо = 1/5. Получаем | + j + а = 0, откуда а = -1.
ЗАДАЧА 1.496 ........................................
При каких значениях b данные два квадратных трех-
члена имеют общий корень:
а)	х2 - 4 и х2 + Ьх.
Решение: Решая уравнение х2 - 4 = 0, находим корни
xjj = ±2. Подставим эти корни во второе уравнение и при-
равняем нулю. Получаем 4 ± 2Ь = 0, откуда = ±2.
б)	х2 - b и х2 + 5х .
Решение: Решая уравнение х2 + 5х - 0, находим корни
Xi = 0, х2 = -5. Подставим эти корни во второе уравнение
и приравняем нулю. Получаем два уравнения — b = 0, и
25 — b = 0 откуда Ь[ = О, = 25.
169
Фидуии И	Жм^мвииыД твамми.
Пусть Xj и х2 ~ корни квадратного трехчлена. Найдите
значение выражения и(х^х2)(1.497— 1.498):
ЗАДАЧА 1.497 .........................................
») х2 - 7х -1, и(хьх2) = xj -	.
Решение: Уравнение х2 - 7х -1 = О имеет корни, т.к. D>0.
По теореме Виета*! +х2 =7,*£-*2 = -1. Имеем «(х1>*2) =
= г,__*? л - *Ь*1*2-*? _ *х2 _ _ I
1	Х1+Х2	*1+*2	*1+*2	7 *
б) х2-5х + 1, u(Xi,X2) = ^2~X2.
Решение: Уравнение х2 - 5х +1 = 0 имеет корни, т.к. Z»0.
По теореме Виета Xi +х2 = 5,хх • х2 = 1. Имеем m(xi , х2 ) =
- *2. - X, =	=  *1*2 - _ 1
Г Xl+Xi	*1+*2	*1+*2	* ’
ЗАДАЧА 1.498 .........................................
а)	х2 — 4х — 1, «(xi,x2) = х^ + 2xjx2 + xj .
Решение: Уравнение х2 - 4х -1 = О имеет корни, т.к. D>0.
По теореме Виетах! +х2 = 4,xj х2 = -1. Имеем «(xj, х2 ) =
= х2 + 2х1х1 + xj = (xj + Xj]? = 42 = 16.
б)	х2 + 5х - 3, «(xi,x2) = хрх2 + xjxj.
Решение: Уравнение х2 + 5х - 3 = О имеет корни, т.к. Д>0.
По теореме Виета xt +х2 = -5,Х] - х2 = -3. Имеем k(xj ,х2 ) =
= Xj2Xj + Х^ = X1X2(X! + Xj)= (- 3)(- 5)= 15.
ЗАДАЧА 1Д99
а)	При каких значениях а квадратный трехчлен lx2
принимает только положительные значения?
Решение: Запишем трехчлен Э^+х+ав виде2(х+1/4)2 +
+	1/8, откуда видим, что при а £1/8 квадратный
трехчлен 2х*+х+а принимает только положительные
значения.
170
Функции и графики. Квадратный трехчлен.
Ответ:
б)	При каких значениях b квадратный трехчлен -х2 + 6+b
принимает только отрицательные значения?
Решение: Запишем трехчлен -х2+6+& в виде-^х-З)2 +
+/> + 9, откуда видим, что при Л < -9 квадратный трехчлен
-x2+6+Z> принимает только отрицательные значения.
Ответ: b < -9.
Тригонометрические преобразования
ЗАДАЧА 1.501 .........................................
а)	Дано: sin а = 5/13, 0 < а < я/2. Найдите: cos а, ctg а.
Ответ: cos а = 12/13, ctg а = 12/5»
б)	Дано: cos а = 0,6, 0 < а < я/2. Найдите: sin а, tg а.
I Ответ: sin а = 0,8, tg а = 4/3 .
ЗАДАЧА 1.502 .........................................
я) Дано: tg а == 4/3, 0 < а < р/2. Найдите: sin а.
Ответ: sin а = 0,8,
б)	Дано: ctg а — 24/7, 0 < а < я/2. Найдите: cos а.
Ответ: cos а ~ 24/25 .
ЗАДАЧА 1.503 .........................................
я) Дано: sin а = 0,28. Найдите: sin 2а.
Решение: Находим cos а и используем формулу двой-
ного угла: sin 2а = 2 - cos а - sin а.
| Ответ: sin 2а = 336/625
б) Дано: cos а — 5/13,. Найдите: sin 2 а.
Ответ: sin 2а = 120/169 .
ЗАДАЧА 1.504 .........................................
я) Дано: ctg а == 7/24,. Найдите: sin а, tg 2 а.
Решение: Находим tg а и используем формулу двойного
угла: tg 2 а —
'	________l-Gga)2_____________________
| Ответ: sin а ~ 24/25, tg 2 а = 336/527 .
б) Дано: tg а = 2,4, 0 < а < я/2. Найдите: cos а, ctg 2а .
Ответ: cos а = 5/13, ctg 2а ~ ~ 119/120 .
ЗАДАЧА 1.505 .........................................
я) Дано: ctg а — 0,5. Найдите: tg (| - а).
Решение: Находим tg а и используем формулу тангенса
разности: tg (а - ₽)	•
172
Тригонометрические преобразования.
Ответ: tg (* - а) = - 1/3.
6) Дано: ctg а = 3 . Найдите: tg (| - а).
Ответ: tg (| - а) = 1/2.
ЗАДАЧА 1.506 .........................................
а)	Дано: ctg а = 4 . Найдите: tg 2а.
Решение: Находим tg а и используем формулу двойного
угла: tg 2а = -2^.
| Ответ: tg2a = 8/15.
б)	Дано: ctg a = 1/3 . Найдите: ctg 2a.
|	Ответ: ctg 2a = — 4/3 . |
ЗАДАЧА 1.507 .........................................
а)	Дано: cos a = 0,8, 0 < a < я/2. Найдите: sin (^ + a).
Решение: Находим sin a и используем формулу sin (x +
+y) = (sin x) • (cos y) + (cos x)  (sin y).
Ответ: sin (| - a) = 772/10
б)	Дано: sin a = 12/13, 0 < a < jt/2. Найдите: cos (j - a)
Решение: Находим sin a и используем формулу разнос-
ти: cos (х — у) = (cos х) • (cos у) + (sin х) • (sin у).
Ответ, cos - a) = 17^2/26.
ЗАДАЧА 1.508 .........................................
а)	Дано: cos a = 5/13,0“ < a < 90°. Найдите: cos (90’ + a).
Решение: cos (90* + a) = - sin a.
| Ответ: - 12/13 . |
б)	Дано: sin a = 0,6, O’ < a < 90°.. Найдите: sin (270° — a).
Решение: sin (270° — a) = — cos a.
| Ответ: — 0,8 .
ЗАДАЧА 1.509 .........................................
а)	Дано: cos a = 0,8, sin p = 12/13, 0 < a < л/2, 0 < ft <
< я/2. Найдите: sin (a + p).
173
ТЪихгкшвтпичесхиеккобоаэавмия.
Решение: Используем формулу суммы: sin (х + у) =
e (sin х) • (cos у) + (cos х) • (sin у).
| Ответ: sin (а + Д = 63/65 . |
б)	Дано: sin а = 0,6, cos р = 0,28, 0 < а < я/2, 0 < Р <
< я/2. Найдите,- cos (а — Д).
Решение: Используем формулу разности: cos (х — у) =
=(cos х) • (cos у) + (sin х) • (sin у).
|	Ответ: cos (a — Р) = 4/5 .	|
ЗАДАЧА 1.510 .....................................
а)	Дано: tg а = 3, tg (а + р) = 1. Найдите: tg Д
Решение: Используем формулу суммы: tg(a + Р) =
Имеем 3 + tgff=l — 3- tg р.
Ответ: tg Д = —1/2 .
б)	Дано: ctg а = 1/2, tg (а + Р) = 3. Найдите: ctg р.
Ответ: ctg Д= 7.
ЗАДАЧА 1.511  •••••а
а)	Найдите значение выражения	= у, если tg а =
= —2.
Решение:	| ctg а = |	• (-|) =-^.
Ответ:	I
б)	Найдите значение выражения a”^tn<1, если tg a = 3.
t Ответ: 7.~|
Докажите тождество (1.512 — 1.527):
ЗАДАЧА 1.512 еввееавеееввеевввеваввеааевааавааааеаавааааеаеаеееааааеаааааеа»а««аа«ееаеаа
а\ япа>со»(27&04-д.) — у
Решение: —= 2, что и требо-
2яВуСО8^	г
валось доказать
2(coe2 2a-iin2 2a)	= i
Решение:	= costtia - 1. что и требова-
лось доказать.
174
Т/шгояометгшчеасие преобоазоваты.
ЗАДАЧА 1.513

a)	sin (g- + а) + sin (f-а) - cos а.
Решение: sin (|+а) + sin (|-а) = 2sin ф5	“а))х
х cos (0,5-(| +а-(|-а))) = 2 sin|- cos а = cos а, ч.т.д.
б)	cos (| + а) - cos (f - а) » — sin а.
Решение: cos (f+ а) ~ cos (f-а) = -2 sin ^5-^+а+|-а^х
x(0,5-(f+а-(|-а))) = —2 • sinf- sin а = sin а, ч.т.д.
ЗАДАЧА 1.514 ....................
a)	2 sin2 а + cos 2а = 1.
Решение: По формуле двойного угла имеем: 2 sin2 а +
+cos 2а = 2 sin2 а + cos2 а — sin2 а — cos2 а + sin2 а = 1.
б)	1 + cos 2а = 2 cos2 а.
Решение: Используя формулу двойного угла получим: 1 +
+cos 2а = 1 + cos2 а — sin2 а = cos2 а + (1 — sin2 а) = 2 cos2 а.
ЗАДАЧА 1.515
a)	(1 + tg х)2 - 2 tg х =
Решение: Раскроем скобки, и тогда придем к тождеству:
1 + tg2 х = —V~ •
coszx
б)	(1 + ctg х)2 — —4— = 2 ctg х.
sin х
Решение: (1 4- ctg x)2 — —L— = 2 ctg x <=> (1 •** ctg x)2 — 2x
sin x
xctg x = —V— <=> 1 + ctg2 x = —V-, что представляет верное
sin2 x	sin2 x
тождество.
ЗАДАЧА 1.516
a..•..•«•••••••••.••«•••от...........и».
a)	(tg а + ctg а) • sin 2а = 2.
Решение: (tg а + ctg а) - sin 2а =.(tg a + ctga)*2sinax
х cos a = tga-2cosasina+ctga,2sinacosa = 2 sin2 a +
+ 2 cos2 a = 2.
6)	(ctg a + tg a) • sin 2a » 2 cos 2a.
175
Тригонометрические преобразования.
Решение:, (ctg а 4- tg а) • sin 2а = (ctg а - tg а) • 2 • sin а*
xcos а = 2 ctg а sin а cos а — 2 tg а cos а sin а = 2 cos2 а —
—2 + sin2 а = 2 cos 2а.
ЗАДАЧА 1.517 ...........................................
te<x+1 _ 1
' sina+cosa	cos а '
Решение: Если вынести у первой дроби множитель ,
то ее числитель и знаменатель сократятся, что и обеспечит
равенство.
ctea-i. =_1_
' cosa-sina sin a *
Решение: аналогично пункту а).
ЗАДАЧА 1.518 ...........................................
COS.4алж2..= Ctg2a
' sin2 а
Решение: Если вынести из числителя множитель cos2 а,
то числитель будет равен cos2 а + sin2 а = 1, что и обеспечит
выполнение исходного равенства.
g) sin4 <x+sin2 a cos2 a =	,
9 cos2 a	6
Решение: Аналогично пункту а)..
ЗАДАЧА 1.518 ...........................................
а)	=cos2a.
Решение: 1 -	- = 1 -	= 1 - sin2 а = cos2 а.
2 cos а	2 cos а
б)	l-^^ = sin2a.
Решение:	= 1- 2^in4^“cqga = l~cos2a = sin2a.
2sma	2 sin a
ЗАДАЧА 1.520 ............................................
. совф-<х>-£1п2а _ 2 ,
*' sta0-a)-OJ 2 Sin a.
Решение:	' 2sina =
smCy-abO^ cosa-0p cosa-Op
= 2 sin a.
6) sin 2a + —~ 2cosa.
cos(^f+a)-0^
176
Тригонометрические преобразования.
Решение: ^Л***1»^.*) = sln2a-cosa _ sin a-0,5 . 2 COS a =
cos^+aJ-OjS sina-0,5	sin a-0,5
“2 cos a.
ЗАДАЧА 1.521 .................................................
Решение: Вынесем из числителя множитель tg р, тогда
числитель будет равен знаменателю, что и даст нужное нам
тождество.
= -<*£«•
Решение: Вынесем из числителя множитель, тогда чис-
литель будет равен знаменателю, что и даст нужное нам
тождество.
ЗАДАЧА 1.522 .................................................
а)	= tela .
' cos 3a+cos a
Ренжине* sin3a+sin a _ &*** 2 co$ 2 _ ig 3a+a, _ te2a .
cos3a+cosa 2 cos^y^ cos-^y^ ® 2	®
6)	cQs4^+cps6a =ctea.
' sm6a-sin4a °
Решение: c?e ja+c.os 6<* =	Д = ctg 6a~4a = ctg a.
sm 6a-sin 4 a 2 cos-^y^ sin-6-^4-*	°	2	®
ЗАДАЧА 1.523 ..........................................  ....
x sin(a-p)+2cosasinp _
•' 2cosacosp-cos(a-p) “	* PJ •
p « .	sin(a-p}+2 cos a sin p _ sin a cos p-cos a sin p+2 cos a sin p _
г Ш e. 2cosacosp-cos(a-p) ~ 2 cos a cos p-cos a cos p-sin a sin p ”
— sinttcosp+cosasinp = sin(a+p) =	. n\
cos a cos p-sin a sin p	cos(a+p)	P/*
fi, sin(a+p}-2cosasinp _f . ю
°' 2cosacosp-cos(a+p) “ P+
Pahiahua*	sin(a+p)-2 cos a sin p _ sina cos p+cos a sin p-2 cos a sin p _
Г шен ♦ 2cosacosp-cos(a+p) ~ 2 cos a cos p-cos a cos p+sin a sin p “*
_ sin a cosp-cosa sin p _ sin(a-p) _ . z _ «\
cos a cos p+sin a sin p ~ cos(a-p)	P /’
ЗАДАЧА 1.524 .................................................
a)	sin(a + p) + sin(a-0) = 2sinacosp .
Решение: sin(a + P) + sin(a - p) = sin a cos p + sin p cos a +
-h sin a cos p - sin P cos a = 2sinacosp.
177
7-99
б)	sin (а 4- р)~ sin(a - Р) = 2cosasinp.
Решение: sin(a + Р) - sin(a - Р) = sin a cos р + sin р cos а. -
— sin a cos р + sin р cos а = 2 cos a sin р.
ЗАДАЧА 1.525
gj 1-cosa _ (
Репин,,. 1-cosa -	_ 2sin4 -	- tfl а -
sin a 2sin^cos^ 2sin^cos^ cos*| Ъ
=ctg(j
б)тЙ^=^+4
Решение* sin« = 2sint+cos^ = 2sin^cos^ = sinf = t=
1+cosa l+cos2^-sin2j 2coSy cosj 2
ЗАДАЧА 1.526 ...................................
a)	ts2a Kjf = sin2a-
Решение: tg2a •	= -^5- •	=
l+tg2a l-tg2» l+tg2a l+tg2a (l+tg2a)cos2 a
= 2^naLcosa = 2 sjn a cosa = sin 2a .
sinx a+cosz a
6)	ctg2a •	= cos 2a •
Решение* cta2a •	= fl-tg2a)cos2a =
™ I+tg2a 2tga l+tg2a l+tg2a (l+^2a)cos2a
= cos2a-sm2a = cos2a ,
sinxa+cos a
ЗАДАЧА 1.527
sina । 1+cosa _ 2
' 1+cosa sina sina ‘
Решение* singt + l+cosa = sin2 a+(1+cos a)2 _ 2+2 cos a = _2_
г сшспнс. j+cos a sin a sin a(l+cos a) sin a(l+cos a)	sin a *
g\ sina + sina = 2
' 1+cosa 1-cosa sina *
4. ana - ana(l-cosa><-sina(l+cosa) 2 sin a _ 2
1+cosa 1-cosa	I-cos2a	sin2 a	sina
ЗАДАЧА 1.528
Упростите выражение (L528 — 1.555):

a\ sin3x4-sinx •
a' sin2x ’
Решение: sin3x-j-sinx _ 2sfa2?cosx _ 2cosx.
sin 2x	sin 2x
[Ответ: 2 cos x |
cos4x+cos2x
u' cos3x ‘
Решение: cos4x-i-cos2x _ 2cps3xcosx _ 2cosx.
COSJX	COSJX
|Ответ:2со5х. |
ЗАДАЧА 1.529 ....................................
а\ sin 5 x-sin x
' cos3x
Решение: *nS*~£n* =	= 2sin 2x. ’
COS JX	COS JX
| Ответ: 2sin2x, |
g\ cos3x-cosx
' sinx
Решение:	= ^^x51"* = ~2 shl 2x •
[Ответ: -2sin2x. ]
ЗАДАЧА 1.530 ...........
cosa-cos3 a
sin2 a
Решение: cosa-cos3 a
_____________smza
[Ответ: cosa. |
g\ sina-sin3 a
л cos2 a
Решение:	=
cosz a
| Ответ: sin a. |
ЗАДАЧА 1.531 ...........
1-cos 2a
9 2cos2a
Решение:	а) = tg2a.
2 cos2 a 2 cos2 a
cos a(i-cos2 a)
= ——5---------L = cosa.
l-cos2a
=;sina.
1-sin2 a
Ответ: tg2a.
l+cos2a
2sin2a ’
179
Тригонометрические преобразования.
—	.	« bpcos2a-l) ,
Решение:	_л——I = ctra.•
2 tin2 a	2 sin2 a	*
Ответ: ctg2a.
ЗАДАЧА 1.532 ................................
x (1-cosaXl+cosa)
sin a
Решение:	= l^i« = sin a.
_______________sin a	sma
| Ответ: sin a J
gx (1-sinaXl+sin a)
cos a
Решение:	= bstala . cosa.
_______________cos a	cos о
|Ответ: cosa.|
ЗАДАЧА 1.533 ...................................................
д\ 1-sin 2a
' sina-cosa *
Решение* 1-sin 2a __ sin2 a+cos2 a-2 sin a cos a _ (sina-cosa)2 _
* sina-cosa	sina-cosa ” sina-cosa
^sina-cosa._________________
[Ответ: sina-cosa
g\ 1+sin 2a
9 cosa+sina *
Решение: 1+sin 2a = sin2 a+cos2 a+2 sin a cos a _ (sin a+cos a)2 e
cosa+sina	cosa+sina	cosa+sina
— cosa + sina.______________
I Ответ: cosa + sin a.
ЗАДАЧА 1.534 ...................................................
x l+sinfrt+a)
l-cos(4f+a) ‘
Решение: i+sin(*+a) _ i-sjna = i ф
l-cos(^-+a) 1-sin a
j Ответ: l.~
„ cos(f^a>l
' sin(n-a}4-l
Решение:	= -?ina-> = -1.
sin(«-a)+l sina+1
[Ответ: —1. |
ЗАДАЧА 1.535 ................................
180	i
J
Тригонометрические преобразования.
•) (1 + ctg20- + a))sin2 а •
Решение: ^ч-с^2^ ч-а^йп2й = ^ч-^а^п2 а = ^sin2 а =
“tg2a.
Ответ: tg2a.
б) ^ + ^2^--a^:os2a.
Решение: ^+^20t-a^os2a=^+cfe2a^osJa=^-^ci6?a =
= ctg2a.
Ответ: ctg2a.
ЗАДАЧА 1.536 .....................................................
а\	2 cos a-sin 2а
л sin2 a-sin a+cos2 а *
Рапмьипжа»	2 cos a-sin 2а	_ 2 cos а-2 sin a cos а _ 2cosa(l-sin а) _
sin2 a-sin a+cos2 a 1-sin a	1-sin a
»2cosa._______________
| Ответ: 2 cos a.
2 sin a-sin 2a
V' cosa-1 •
Решение: .?sin<*-si.n.2a = 2sinaz2sinacpsa _ -2 sin a
______________cos a-1	cos a-1
| Ответ: -2 sin a. |
ЗАДАЧА 1.537 ......................................................
ч (sinx-cosx)2
sin2x-l •
Рашмша* (sin-X-cosx) _ sfaZ x-2sinxcosx+cos2 x _ 1-2 sin x cos x _ i
гсжние. san2x-l “ 2sinxcosx-l ~ 2sinxcosx-l ~
| Ответ: HL
(sinx+cosx)2
°' sin2x+l “ *
Pptttpuua* (S^X+COSX)2 _ sin2 x+2 sin x cos x+cos2 x _ 1+2 sin x cos x _ i
гешсмие, sin2x+l “ 2sinxcosx+l " 2sinxcosx+l ~1 *
| Ответ: 1~
ЗАДАЧА 1.538 ........................................i.............
к l-cos(2n-2a)
1-cos2 a i
181
Тюгтююнра^с^и^Ьозоаалш.
Решение: к£2^2“> = l-gg& = 2^а = 2.
____________1-cos2 а sin2 а sin2 а
Ответ: 2.~)
ЗАДАЧА 1.539 .
ctg^-а)
' l+tg2a •

ctg2(^-a) tg2a • о
Решение: ——* =  v- = sin2 а .
l+tg2a l+tg2a
Ответ: sin2а.
б)
l+ctg2a
Решение:	= ctg?“~ = cos2 а.
l+ctg2a, l+ctg2a
Ответ: cos2а.
ЗАДАЧА 1.549 ........................................................
. l-sin2(3f-*)
' cos2(n-x)
Решение: j--n = 1-cos2 x _ sm2 x s *
cos2(n-x) C0S2X C0S2X
Ответ: tg2».
„ cos2(*+x)
7 sin2(n+x) ’
Решение:	c = s*1?2,*"- = ~-?p2~ = -ctg2x.
Sin2(7t+x) sin2* sin2x
Ответ: - ctg2x.
ЗАДАЧА 1.541 ....................................
a)^7"ts₽ctgP-
Решение: —к---tgflctgB = —К-1 = tg2a .
cos2 a r K cos2 a
Ответ: tg2a.
6) ctgatga-^.
Решение; ctgatga- = 1 -	= - ctg2₽ .
Ответ: -ctg20.
П2
Тригонометрические преобразования.
ЗАДАЧА 1.542 ........................................
a)	sin(z~a)+sin^+a)/ga.
Решение: sin(n - a)+ sin0- + a)/ga = sin a + cosa tga = sin a +
4-sin a = 2 sin a .
[Ответ: 2sina.|
6)	sin atg(j - a)-	+ a).
Решение: sin - a)-	+ a)= sinac/ga 4-cos a = cosa +
4-cos a = 2cosa.
Ответ: 2 cos a.
ЗАДАЧА 1.543 ..........................................
я) tg2a + sin2 a--K—.
' °	cos2 a
Решение: tg2a + sin2 a -	= tg2a 4- sin2 ос - (i 4- tg2a)=
= sin2 a -1 - - cos2 a .
Ответ: -cos2a.
6)	ctg2a + cos2 a - -V- .
'	°	sin2 a
Решение: ctg2a + cos2 a -	= ctg2a + cos2 a - (1 + ctg2a) -
= cos2 a -1 = -sin2 a .
Ответ: -sin2a.
ЗАДАЧА 1-544
a) 2rini? .
' 1-cos2 2a
Решение: 2sin-2-^- = 2siy2-^ = —2 sin2 a- r = —Ц—.
1-cos 2a sin22a (2sinacosa)f 2cos a
Ответ: —Ц—.
2 cos2 a
2 dos2 a
1-cos2 2a *
Решение: 2ср522“ = 25^s2 - = —2c-^-oc- . = .........,1g- .
1-cos2 2a sin2 2a	(2 sin a cos a)2	2 sin2 a
Ответ:	.
2 sin2 a
ЗАДАЧА 1.545 ............
а)	(1 + tga)2 + (1 - tga)2.
183
Тригонометрические преобразования.
Решение: (1 + tgctf + (1 - tgacf = 2 + 2/g2a =	.
Ответ: —2—.
_______cos2 a
6)	(1 - ctga)2 + (1 + ctga)2.
Решение: (1 - ctga)2 + (1 + ctga)2 = 2 + 2ctg2a = ^2— .
Ответ: ---2—.
sm2 a
ЗАДАЧА 1.546 ...........................................
a)	sincpcos2(p + cos(psin2(p.
Решение: sin <p cos 2<p + cos <p sin 2<p = sin(2<p + (p) = sin 3<p .
Ответ: sin3q>.
6)	cos3(pcos<p + sin3(psin<p.
Решение: cos 3<p cos<p + sin 3<p sincp = cos(3(p - (p) = cos2(p.
[Ответ: cos2cp. |
ЗАДАЧА 1.547 ...........................................
a)	sinasin(a + p) + cosacos(a + p).
Решение: sinasin(a + P) + cosacos(a + P) = cos((a + p) - a) =
= cosp.
Ответ: cosp.
6)	sin(a + p)cosp - sin p cos(a + p).
Решение: sin(a + p) cos p - sin p cos(a + p) = sin((a + P) - P) =
= sina.__________
Ответ: sin a , |
ЗАДАЧА 1.548 ...........................................
a)	cos 2a + sin 2a tga .
Решение: cos2a + sin2atga = (1 - 2sin2a)+ 2sinacosatga =
= (1 - 2sin2a)+2sin2a = 1.
Ответ: 1.
6)	cos2a-sin2actga.
Решение: cos2a-sin2actga = ^cos2a-l)-2sinacosactga =
== (2 cos2 a - 1)- 2 cos2 a = -1.
184
Тригонометрические преобразования.
[Ответ: —1.
ЗАДАЧА 1.549 ..........................................
а> i^t-2cosa-
Решение:	- 2cosa = ^=2^- 2cosa = 2(1'<7_^cosa) -
— 2 cos a = (2 + 2cosa)- 2 cos a = 2-
| Ответ: 2.~|
6) 2sina + ^g-.
Решение: 2 sin a +	= 2 sin a + 272si"2a = 2 sin a +
1+sin a	1+sm a
+ = 2s5na ( _ 2sin a) = 2
1+sm a	x	7
Ответ: 2. |
ЗАДАЧА 1.550 ..........................................
а)	1 + shi(tc + a)cos (a + cos2 a.
Решение: 1 + sin(ft+a)cos^c+cos2 a = 1 + (-sin a/sin a) -
— cos2 a = 1 -1 = 0.
| Ответ: 0.~~
6)	sin2 a - sin^- + a)cos(rt + a) -1.
Решение: sin2a -sin(| + a)cos(7u+a)-1 = sin2a - (cosaY-cosa)-
— l = l-l = 0.
Ответ: 0."*]
ЗАДАЧА 1.551 ..........................................
a)	sin4 a + sin2 a cos2 a - sin2 a +1.
Решение: sin4a+sin2acos2a-sin2a+l = sin2a^in2a+cos2a)-
— sin2 a +1 = sin2 a - sin2 a +1 = 1.
Ответ: l.^|
6)	sin4 a - cos4 a - sin2 a + cos2 a .
Решение: sin4a-cos4a-sin2a+cos2a = ^in2a-cos2a)(sin2a+
+ cos2 a) - ^in2 a - cos2 a)= ^in2 a - cos2 a)- ^in2 a - cos2 a)= 0.
[Ответ: 0^
185
Трижшшетшмеасие гшеобпдзовашя.
ЗАДАЧА 1.552 ............................................••—....
2sina+sin2a
*' 2sina-sin2a *
Рдш»ии»> 2sma+siri2a = 2smct+2san<xccsa _ 1+cosa
гешение. 2sina-sin2a 2 sin а-2 sin a cosa	l-xcosa ’
1±сма
g\ 2 sin a-sin 2a
' cosa-l+sin2 a ’
Решение* 2sina~sjn 2a = 2 sin a-2 sin a cos a _ 2sina(l-cosa) = 2tga ,
cosa-l+sin2 a cosa-cos2a cosa(l-cosa)
Ответ: 2tga.
ЗАДАЧА 1.553 ..................................................
v .	cos2(180,-a’J
Ж> SUla- Cos(a-270-p
Решение: sina- cos^18°	= sin a-7^ = ^^ + ^7 =
cosia-270 I	-Sin a fflia sin a
1
sin a *
sin a
cos2 (a-90’)
0) cos a —r-A-zrrr •
'	sin(a-90‘)
Решение: cosa - 005= cosa -	= 7777 + 7777 =
sinia-90 )	-cosa cosa cosa
1
cosa *
otBeT:
ЗАДАЧА 1.554 .....
> fc'J-CiJ-51"’
Решение:
= cos2 a.___________
Ответ: cos2a.
6) (tgacosa)2 + (ctgasina)2 - cos2 a.
Решение: (tgacosa)2 +'(ctgasina)2 -cos2 a = sin2 a + cos2 a-
- cos2 a = sin2 a.


Ответ: sin2а.
ЗАДАЧА 1.555 ........................................-...
5Ш2 а ctga
*> —яв2а *
Решение:	= j^ac<”tt = 1.
sm2a	2*sin амина 2
Ответ:
дгч cos2 а tga
б> Жа ♦
Рйп№ивй« cos2 a tga __ cos asina _ j_
решение.	- 2sinacosa “ 2 ’
Ответ: у.
ЗАДАЧА 1.556 ............................................
а)	Определите знают тригонометрических функций сле-
дующих углов: 134°, 1048°,
Решение: Угол 134° лежит во второй четверти, так что
sin 134° >0, cos 134° <0, tgl34°<0. Угол 1048° = 360° • 3 - 32°
лежит в четвертой четверти, так что sin 1048° >0,
cos 1048° >0, tg 1048° <0. Угол у = л + — лежит в третьей
четверти, так что $тДу<0, cos^cO, tg^>0. Угол
1^ = 4 • 2ж+1| лежит в первой четверти, так что
sin у™ >0,cos^^ >0, tg^^>0.
Ответ:
sin 134° > 0, cos 134’ <0 <gl34° < 0, sin 1048’ < 0, cos 1048’ > О,
/£1048° < 0, sin < 0* cos < 0 tg > 0, sin > 0, cos > 0,
>0,____________________________________________
б)	Определите знаки тригонометрических функций сле-
дующих углов: 20Г,1151°,||,1^.
Решение: Угол 20 Г лежит в третьей четверти, так что sin
20Г<0, cos201°<0. Угол 1151° = 360°-3+ 71°лежит в первой
четверти, так что sinll5r>0, cos 1151°. Уголле-
жит во второй четверти, так что sin|| >0,cos|| <0. Угол
187
Тригонометрические преобразования.
лежит в третьей четверти, так что cos^>0
5	Э	3
sin-^ <0.
Ответ:
sinlOr <0,с«»20Г <0, £20Г > 0,smll51’ > 0,
cosllSl* >0, &115Г >0,sin^f>0,cos||>0,^|j>0
sin < О.соз-Ц1- < 0, tg > 0.
ЗАДАЧА 1.557 ........................................
а)	Может ли синус некоторого угла быть равным
2,6; -0,6; 4?
Решение: Синус не может принимать значение 2,6, так
как 2,6 > 1; синус может принимать значение — 0,6, так как
|-0,6|£1; синус не может принимать значение^, так как
4 > 1-
Ответ: 2,6 — не может; — 0,6 — не может;
— не может.
6)	Может ли косинус некоторого угла быть равным
-1,4; 0,4; 4?
Решение: Косинус не может принимать значение — 1,4,
так как — 1,4 < — 1; косинус может принимать значение
0,4, так как|0,4| £ 1; косинус может принимать значение 4,
так как |4| * 1 •
Ответ: —1,4 — не может; 0,4 —может;
4 — может.
Вычислите значение выражения (1.558 — 1.571):
ЗАДАЧА 1.558 ........................................
a)	1 + COS120’.
Решение: l + cosl20°=l—1/2 = 1/2.
| Ответ: 1/2. |
б)	1-cos 120°.
188
J
Тригонометрические преобразования.
б) l-cosl20°.
Решение: 1 - cos!20° =1+1/2 = 3/2.
| Ответ: 3/2. |
ЗАДАЧА 1.550 ...........................................
a)	cos2 67,5° - sin2 67,5°.
Решение: cos2 67,5° - sin2 67,5° = cos^ • 67,5°)= cos 135° = =^-.
Ответ:	.
6)	sin275°-cos275°.
Ответ:	.
ЗАДАЧА 1.560 ...........................................
a)	(cos2 j - sin2 -|У.
Ответ:
6)	^sin2-jjcos jj)* .
Решение: ^sin2 ^cos^)1 = (sin|)1 = 2.
| Ответ: 2.~|
ЗАДАЧА 1.561 ...........................................
a)	^in 10° cos 50° + sin 50° cos 10°)? .
Решение: ^in 10° cos 50° + sin 50° cos 10°)? = (sin(10° + 50°))? =
Ответ:
6)	^os 35° cos 10° - sin 35° sin 10°)?.
Ответ: у.
ЗАДАЧА 1.562 ...........................................
я\ cos 15° sin 20°-sin 15° cos 20°
'	2 sin 5*
189
Тригонометрические преобразования.
Ррпмшпа* cos 15° sin 20е -sin 15° cos 20° _	15°) _ j_
гешение.	2sin5°	- 2sin5e -2.
Решение:	= 4
l-tg2n 2
Ответ: -V.
2V3
6) *4*.
tgj
Решение: —= 2.
tg| Wt) tsl
I Ответ: 2~
ЗАДАЧА 1.564 ...
. sin^-sin$
' cos-||-cos£
[Ответ: —1.
g sin^+sinfr
' cos^f+cos^
sin^f+sin^
Решение: —Д  =-------------------
cos45-+cos4£
18	9	2 cos
_ cos| _ J
sin| ~
[Ответ: 17|
ЗАДАЧА 1.565 ....................................................
я> sin2 26°-sin2 64°
' sin 19° cos 19’
Решение* s»n226‘-sin264‘ _ 2 cos264*-sin3641 _ 2 cos 128* _
sin 19° cos 19’	2 sin 19° cos 19’ sin 38° ~
190
= 2, ~ $in38° — —9
sin 38°
Ответ: —2. |
cos2 33°-cos2 57*
' sin 12е cos 12’
Решение- cos2 33--cos2 57- _ 2 cos2 ЗЗ'-sin2 33J _ 2 ms 66? w
sin 12’cos 12’	2 sin 12’cos 12’ sin 24'
— 9 sin 24’ _ 9
sin 24’
Ответ: 2?~|
ЗАДАЧА 1.566 .................................................
a\ cos 59’-cos 1°
sin 59’-sin Г
Решение:	sinffJ = -tg3O’ = 5I .
sm59’-sin Г 2 sin 29 cos 30’
Ответ:. -=?i. ₽
_________
g\ cos 89°+cos Г
' sin89*+sinl°
Решение: cos8^1±cpsjr = 2cos.45_’_coy.44^ = ctg45° = -1.
icwcnnu. sin^+sinr	2sin45’ cos44’	5
| Ответ:—1. |
ЗАДАЧА 1.567 .................................................
a)	sin^ + sia^|-cos^.
Решение: sin + sin - cos = 2 sin cos (-	cos ~ =
= cos у - cos j = 0.
Ответ: 0.
6)	cos + cos - cos 4? •
36	36 Jo
Решение: cos + cos - cos = 2 cos % cos Q - cos ~~ =
36	36	36	3	36	36
= COS“ - COS^F - 0 •
36	36
| Ответ: 0~|
ЗАДАЧА 1.568 .................................................
a)--	г •
(tglO’tg8O°) I
Решение: -----------r =------------r =	= 1.
(tgl0"tg809"2 (tgTO’ctglO")’2
191
Тригонометрические преобразования.
| Ответ: 1.
б)		1----р.
{tg20,tg70,)*3
Ответ: 1.
ЗАДАЧА 1.569 .............................................
а)		1—?—.
4 cos-^ cos
| Ответ: l.~
6)	2>/2sinfsm^ ’
Решение: — i-------— = —1--------= -=Д— = 1.
2V2 sinf sin^f-	2V2sinfcosJ Vising
Ответ: 1.
ЗАДАЧА 1.570 .............................................
a)	(sin • cos(- .
Решение: (sin . cos(-.
Ответ: .
6)	(cos^ sm(-f)y.
Решение: (cos^ sin^-^
Ответ: .

ЗАДАЧА 1.571 .............................................
a)	sin (10° + a)cos^0° - a)- cos(.0° + a^sin^O" - a).
Решение: sin^O9 + a^cos ^0* - a)- cos (1(7 + a^sin^O* — a)=
=sin((20° + a)+ (1(7 - a))= sin 3CP = |.
Ответ: j.
6)	cos(5(7 + a)cos(>(7 + a)+ sin^O5 + a)sin^W + a).
Решение: cos(50° + a)cos^0" + a)+ sin(50° + a)sin(20° + a)=
= cos^O“ + a)- (^0° + aj)= cos30° = ^.
192
Тригонометрические преобразования.
Ответ; .
Существует ли данное выражение при каждом из указа-
нных значений а (1.572 — 1.573):
ЗАДАЧА 1.572 ..........................................
sin За .я л -
sin4a+sin2a ’ 12 ’ 2 ’‘
Решение: Выражение существует тогда и только тогда,
когда знаменатель не обращается в нуль. При
a = sin 4a + sin 2a = sin £ + sin	* 0 . При
1Z	J	6	2	2
a = y sin 4a + sin 2a = sin 2л + sin л = 0.
При a = л sin 4a + sin 2a = sin 4л ч-sin 2л = 0.
Ответ: Выражение существует при а=^
и не существует при a = j и л.
cos 2a	. я я я
* sin6a-sin2a ’ 12 * 4 * 2 *
Ответ: Выражение существует при a=^
и a = * ине существует при a = у .
ЗАДАЧА 1.573 ..........................................
а> ДНт>22>5°>45°>900-_________________________
Ответ: Выражение существует при a = 22,5° и 45°
и не существует при a = 90° .
б)
' cos За ’	’	’
Решение: Выражение существует если, и только если,
знаменатель не обращается в нуль. При a = 15° cos За =
= cos 45° * 0. При а = 30° cos За = cos90° = 0 . При а = 180>
cos За = cos 540° = 1*0.
Ответ: Выражение существует при а = 15° и 180° и
не существует при а = 30° ___________________
Расположите в порядке возрастания (1.574 — 1.577):
ЗАДАЧА 1.574 ..........................................
a)	sm30°,sin60°,sin210°.
193

Решение: sin30° = sin60° = sin210° = -sin30° =	.
Ответ: sin 210° < sin 30° < sin 60°.
6)	cos 30°, cos 60°, cos 210°.
Решение: cos60° =	cos30° = -y-; sin210° = -cos30° = -~~.
Ответ: cos210° < cos60° < cos30°.
ЗАДАЧА 1.575	VSSSr»*S •• « I	«•••••»*«»••• «st re» ••••	•<*•>
a)	sin40°,sin80°,sin200°.
Решение: sin200° < 0. sin40° > 0 и sin80° > 0. Кроме того,
sin 40° < sin 80° т.к. у = sin а возрастает на отрезке |0°; 90° J.
Ответ: sin200° < sin40° < sin80°.
6)	cos 40°, cos 80°, cos 200°.
Решение: cos200° <0. cos40° >0 и cos80° >0. Кроме того,
cos40° > cos80° т.к. у = cosa убывает на отрезке |(F; 90° J.
Ответ: cos200° < cos80° < cos40°.
ЗАДАЧА 1.576 |ааа||*1аммимм»1в1ш1«»*м»м ss-t »*-*••'•>•>«-»>»	»»««• •
a)	tg40°,tg80°,tgl60°.
Решение: tgl60° < 0. tg40° > 0 и tg80° > 0. Кроме того,
tg40° < tg80° т.к. у = tga возрастает на отрезке [0°; 90° J
Ответ: ,tgl60o < tg40° < tg80°.
6)	ctg40°,ctg80°, ctg!60°.
Решение: ctg 160° < 0: ctg40° > 0 и ctg80° >0. Кроме того,
ctg40° > ctg80°. т.к. у =ctga убывает на отрезке |(Г; 90° J.
Ответ: ctg!60° < ctg 80° < ctg40°.
ЗАДАЧА 1.577 ........................................
a)	sin--, cosj, tg^ .
Решение: sin-—- = -^, cos^ = 0, tg^ = •
3	2	2	6	5/3
Ответ: sin <cos^ < tg^.
194
Тригонометрические преобразования.
6)	cos-^Д, sin ic, ctg у .
Решение: cos^£ = -у-, cos л = 0, ctg у =	(
Ответ: cos < sin л < ctg .
О	□
Вычислите значение выражения при данном значении а,
(1.578 — 1.583):
ЗАДАЧА 1.578 ...............................................
a)	l-c<is<x ПрИ а = 2р.
' 2sin| е -3
Решение: Т.к. sin * О,	= sin£ = sin 4 = -^.
2	’ 2sinf 2sin| 2	3	2
Ответ:
6)	l+cosa ПрИ а = Дл
' 2cos5f r 3
Решение: Т.к. cos £ # 0,	= 2?°S^J = cos§- = cos£ = 4 •
2	’ 2cosj 2cosj 2	3	2
• Ответ: у.
ЗАДАЧА 1.579 .........................................
a)	(sin a - cosa)2 -1 при a =	.
Решение: (sina - cosa)2 -1 = sin2 a - 2sinacosa+cos2 a -1 =
« - sin 2a = - sin v- = - 4- 
о 2
Ответ: - -L.
6)	(cosa + sin a)2 -1 при a = .
Решение: (cosa+sina)2-l = cos2a+2cosasina+sin2a-l =
= sin 2a = sin .
Ответ:
ЗАДАЧА 1.580 ......................
cos^a-Ttj-cos^^+a)	„
а>	sin 2a	При a - -jj .
195
Тригонометрические преобразования.
Решение: Т.к. sin 2a # 0,	,1>~^os2(^+a) = cog? «-sin2 a =
*'*“*'““*'• *	v3 sin 2a	sin 2a	sin 2a
ctg2a = ctg = 7з .
6) -	<; при a = £.
' sm2(J+aJ-sm4(n+a)	о
Решение: Т.к.cos2a*0,	..ч	=
ser(£-Hx)-sm2(it+a) cos2a-sm2a cos 2a
= tg2a-tg| = l.
Ответ: l.~|
ЗАДАЧА 1.581 .......................................
a)	1-sinactgacosa при a = ^-.
Решение:	Т.к. sina * 0,1 - sinactgacosa = 1- cosacosa »
= sin2 a = |.
Ответ: .
6)	1-sinatgacosa при а = ^.
Решение: Т.к. cosa # 0,1 - sinatgacosa = 1 - sin a sina =
= cos2 a = ^.
Ответ: .
ЗАДАЧА 1.582
1-cos 2a+sm 2a
' 1+cos 2a+sin 2a
при a = 30°.
Ответ: -t.
V3
6) l-yosa+cpsla при a = 60’.
7 sin2a-sina F
Решение: Т.к. sin 2a = sin 120° = sin 60° = sin a, знамена-
тель обращается в нуль. Поэтому значение выражения при
данном а не определено.____________________________
Ответ: Значение выражения не определено. |
ЗАДАЧА <583 ........................................
а)	cos 4a cos За + sin 4a sin За при a = ^.
Ответ:
196
Тригонометрические преобразования.
б)	sin5acos4a - cos5asin4a при a = у-.
Решение: sin5acos4a-cos5asin4a = sin(5a-4a) = sina = -Jy.
Ответ: - у-.
Преобразуйте выражение в произведение (1.584 — 1.586):
ЗАДАЧА 1.584 .........................................
а)	sin 2a + 1 + cos 2a.
Решение: sin2a +1 + cos2a = (2sinacosa) + ^os2 a + sin2 a)+
4-(cos2 a - sin2 a) = 2 sin a cos a + 2 cos2 a = 2(cos a sin a + cos a).
Ответ: 2cosa(sina + l).
6)	1 - cos 2a + sin 2a.___
Ответ: 2sina(sina+ cosa).
ЗАДАЧА 1.585 .........................................
a)	l-2cosa + cos2a.
Ответ: 2cosa(cosa-l).
6)	l + 2cosa + cos2a.
Ответ: 2 cos a(cos a +1).
ЗАДАЧА 1.586 .........................................
a)	cosa + sin2a - cos3a .
Решение: cos a + sin 2a - cos 3a = (cos a - cos 3a) 4- sin 2a =
= 2sinasin2a + sin 2a = sin2a(l + 2sina).
Ответ: sin 2a(l + 2 sin a).
6)	cosa + cos2a + cos3a.
Решение: cosa + cos2a + cos3a = (cosa + cos3a) + cos2a =
= 2 cos a cos 2a + cos 2a = cos 2a(2 cosa 4-1).
Ответ: cos2a(2cosa4-l).
Определите наибольшее и наименьшее значение выра-
жения (1.587 - 1.589):
ЗАДАЧА 1.587 .........................................
197
- 2 cos(c
а)	л/2 sina + cosa.
Решение: л/2 sina +л/2 cosa = 2^sin--sina+ eos jcosa)=
= 2cos^x-j). Т.к. наибольшее и наименьшее значения
косинуса равны 1 и ~1 соответственно, наибольшее и на-
именьшее значения данного выражения равны 2 и “2 соот-
ветственно;_____
Ответ: 2; —2. |
б)	V3cosa-sina.
Решение: д/з cos a - sin a = 2(cos % cos a - sin f sin a^=
+ 0- Т.к. наибольшее и наименьшее значения
косинуса равны 1 и —1 соответственно, наибольшее и на-
именьшее значения данного выражения равны 2 и -2 соот-
ветственно;_____
Ответ: 2; —2.
ЗАДАЧА 1.588 .........................................
а)	л/3sina-cosa .
| Ответ: 2; —2. |
б)	V2 cosa - V2 sin a.
| Ответ: 2; —2 |
ЗАДАЧА 1.589 .........................................
3+7cosa
а/ Ю
Решение: Очевидно, выражение принимает наибольшее
(наименьшее) значение, когда cosa наибольший (наи-
меньший). Значит, наибольшее значение ^=1, а наи-
меньшее — ~~ = - 0,4..
Ответ: 1; — 0,4.
ЯЧ 3-7 sin sa
10
Ответ: 1; — 0,4. |
Докажите, что при допустимых значениях^ значение
выражения не зависит от a. Какие из указанных значе*
нийа являются допустимыми (L590 — 1,598):
Т9&
Тригонометрические преобразования.
ЗАДАЧА 1.590
а)	а = |, а = л, а = 2л .
Решение:	-ctga =	-ctga = ctga-ctga = 0.
Ни одно из указанных значений а не является допусти-
мым, т.к. при каждом из этих значений знаменатель дроби
обращается в нуль._____________________________________
Ответ: Ни одно из указанных значений# не является до-
пустимым._____________________________________________
б)	-4s^~Itga;a = 2>“ = я’ а = 2те-
Решение: l~?ofr2_q _ 1 fga _ sin£a-1 ^ga _ 1	_ 1 tga _ д
sin2a 2^	2 sin a cos a 2	2^ 2a
Ни одно из указанных значений а не является допусти-
мым, т.к. при каждом из этих значений знаменатель дроби
обращается в нуль._____________________________________
Ответ: Ни одно из указанных значений а не является до-
пустимым.
ЗАДАЧА 1.591 ..............................................
а)	cos2 a + tg2a cos2 a; a = 0°, a = 45°, a ® 90°.
Решение: cos2 a + tg2a cos2 a = cos2 a + sin2 a = 1. Значе
ние является допустимым, если тангенс определен, т.е.
допустимыми являются значения 0° и 45°.
Ответ: Допустимыми являются значения 0° и 45°. При
этих значениях выражение равно 1.______________________
б)	sin2 a + ctg2asin2 a; a = 0°, a = S0°, a = 90°.
Решение: sin2 a + ctg2a sin2 a = sin2 a + cos2 a = 1. Значе
ние является допустимым, если котангенс определен, т.е
допустимыми являются значения 30° и 90°.___________________
Ответ: Допустимыми являются значения 30° и 90°. При
этих значениях выражение равно 1.
ЗАДАЧА 1.592 i...........™.................................
а\ (cosa+sina)2-! Q	*
sin 2a ,a~u, a-4,a-2.
Paiiiauua» (cosa+sina)2-l _ cos2 a+sin2 a+2 sin a cos a-1 _ 2 sin a cos a _ j
гешение.	-	sin 2a	“ $ш2а *
199
Тригонометрические преобразования.
При а = 0, а = ^исходное выражение не определено, а при
а = j оно равно 1.
Ответ: При а = 0, а = исходное выражение не
определено, при а = j оно равно 1.
б) ^^^Ut82a;a«0>aB|>«sf.
Ответ: При а = исходное выражение не опреде-
лено, при а = ^, а = О оно равно 0.	__
ЗАДАЧА 1.593 ......................................
a) ^^^~|sin2a, а = 180°, а = 45°, а = 135°.
В условии опечатка!
Решеиие: -1sin 2a = -sin a cos a =
_ sin a+cos a-sin 2 a-cos2 a = sin a+cos a-1 _ (sin a+cos a-l/sin a cos a) =
tga+ctga	tga+ctga “ (tga+ctga )(sin a cosa)
= (^t.^Xstoacosa) = sina + cosa_lsinacosa, При a = 180’
sin2 a+cos2 a
выражение не определено, т.к. неопределен котангенс угла
180°, а при a = 45° оно равно 0,5 • ^/2 - 1)и при a = 135° оно
равно 1/2.
Ответ: При a = 180° выражение не определено, при
а = 45° оно равно 0,5 • ^2 - при a = 135° оно равно
_
б> S^sin2“’ a =	« = 45’> « = 135° •
В условии опечатка!
Решение: -&-<*& sin 2a =	= ^.«^^«-cosa) =
sina-cosa	sina-cosa	sina-cosa
sin a + cosa, sin a # cosa. При a = 180° выражение не опре-
делено, т.к. неопределен котангенс угла 180°, при a = 45° оно
также не определено, т.к. sin a = cosa , а при a = 135° оно
равно 0.
200
Тригонометрические преобразования.
Ответ: При а = 180° и при а = 45° выражение не опреде-
лено, при а = 135° оно равно 0.
ЗАДАЧА 1.594 ..........................................
. -Jl sina+2cos(45‘-a')	,	,оло
а)		cosa------> а =135 » а = 90°, а = 180°.
Решение* ’^s‘na+^ccs(^'~g)_ TZsina+^cosa-Viana _ ficcsa. _ J7
* cosa *“	cosa	cosa ’
при cosa *0. При a = 90° выражение не определено, а при
a = 135° или a = 180° оно равно-J1.____________________
Ответ: При a = 90’ выражение не определено, при
a = 135° и при а = 180° оно равно У? .______________
s/З cosa-2cosf30"-a') .	_	_
б)	-----—------l, a = 0, a = 4, a = 4.
'________sin a____’	»> «	4 >	2 ________
Ответ: При a = 180° выражение не определено,
при a = 90° и при а = 135° оно равно >/3 .
ЗАДАЧА 1.595 ..........................................
а> ^-^а)и^+геа)ад0>а = т>а = 1-
Ответ: При а = j выражение не определено, при
а = 0 и а = | оно равно 1.
б> ^k"ctsa)Gik+ctga)a = 0’a= 3>a = i-
Решение:	-ctga)^. +ctga)=	-ctg2a = 1, при уело-
вии существования котангенса. Тогда приа = Означение вы-
ражения не определено, а при a = | и a = | оно равно 1.
Ответ: При а = Означение выражения не определено,
при а = |и а = | оно равно 1.
ЗАДАЧА 1.596 ..........................................
a)	cos,2a/fn2<x,a = 0,a = ^,a = f.
7	1-sin2 а	’	4 ’	2
cos2a+sin2 а _ cos2 a-sin2 a+sin2 а _ cos2 а __ i
Решение: —;—г-й---—-----------й------— —й— = 1, пои
1—sin2 a	cos2	a	cos2 а ’ F
cosa # 0. Тогда приа = j значение выражения не опреде-
201
Тригонометрические преобразования.
лжо, а при а = или а = 0 оно равно 1.
Ответ: При а = значение выражения не определено,
при а = и при а = О оно равно 1.
б)	^й=^2а,а = 0, а = ^,а = $.
z 1-cos2 а ’_________	4	2__________________
Ответ: При а = Означение выражения не определено,
при а = j и при а = j оно равно 1.
ЗАДАЧА 1.597 .............................................
а)	2 sin* а+cos 2а а л а _ я = я
tgf ctg^	’	3 ’ “ 2
Ответ: При а. = й знамение выражения не определено,
при а = ^и при а = у оно равно 1.
б)	а = 0>а = ^,а = Д.
z 2cosza-cos2a	3’	2
Решение: .	=-—у—1—5—- = 1, при условии,
2 cos2 a-cos 2а 2 cos2 a-cos2 а+1	'
что тангенс и котангенс определены и знаменатель дроби
не равен 0. Тогда при данных а значение выражения не
определено.____________________________________
Ответ: При данных а значение выражения
не определено.
ЗАДАЧА 1.598   в  аал r*f iiBiMiiiiuitiM tinniau аала в	в
Определите, верно ли неравенство:
a)	cos(1490 + x)cosx + sin {149° + x)sin x < 0 .
Решение: cos(149° + x)cosx + sin(149° + x)sin x =
= cos ^149° + x)- x)= cos 149° < 0.
Ответ: Неравенство верно.
6)	sin(2870 - x)cosx + cos(287° - x)sin x < 0.
Решение: sin(287° - x)cosx + cos(287° - x)sinx =
= sin((287° - x)+ x)= sin 287° < 0.
Ответ: Неравенство верно.
Текстовые задач»
ЗАДАЧА 1.601
а)	Океанский лайнер отправился в рейс. Когда он ото-
шел от берега на 180 километров, за ним вылетел самолет с
экстренной почтой. Скорость самолета в 10 раз больше
скорости лайнера. На каком расстоянии от берега самолет
догонит лайнер?
Решение: Пусть х км/ч — скорость лайнера, тогда ско-
рость самолета — 10 х . Пусть Тч — время, за которое само-
лет догнал лайнер. Тогда он пролетел расстояние^ равное
(10 х Т) км. Это же расстояние равно искомому и равно
(180+х 7) км. Имеем: 10 х Т = 180 + х •	9 • х • Т = 180
<=> хТ=20^> 10хТ =200.
Ответ: 200 км. |
б)	Велосипедист выехал из пункта А. Когда он был на
расстоянии 200 м от него, за ним вдогонку отправился мо-
тоциклист. Скорость мотоциклиста в 2 раза больше ско-
рости велосипедиста. На каком расстоянии от пункта А
мотоциклист догонит велосипедиста?
| Ответ: 400 м . |
ЗАДАЧА 1.602 в дедедевде* вв»дедевде»де г	в в а в в в в гв де в-в в в в в в в в* ваде вдев вв»ав«~де»
а)	Скорость судна в стоячей воде 50 км/ч. На путь от
А до В по течению реки оно тратит 3 ч, а на обратный путь
4,5 ч. Какова скорость течения реки?
Решение: Пусть х км/ч — скорость течения реки, а 5 км
— расстояние между пунктами А и В. Тогда S = (50 f х) 3 и
5= (50-х) 4, 5. Значит (50 + х) 3 = (50 - х) 4,5 <=> х = 10.
Ответ: 10 км/ч.
б)	Скорость течения реки 5 км/ч. На путь от М до N по
течению пути судно тратит 3 ч, а на обратный путь — 4,5 ч.
Какова скорость судна?
Решение: Пусть х км/ч — скорость судна, а 5 км —
расстояние между пунктами М и N. Тогда S = (5 + х) • 3 и
£ = /х — 5) * 4,5.3начиг, (5 4- х) -3=(х — 5) • 4,5т<=>х = 25.
Ответ: 25 км/ч.
ЗАДАЧА 1.603
ввдедевввдеввввдедевдева еввввв ввдедевв вдевдев в а вав ввваде вавв вдевдедевдедеде
203
Текстовые задачи.
а)	С туристической базы вышел пешеход, его скорость 4
км/ч. Через 4,5 ч по той же дороге выехал автомобиль со
скоростью 76 км/ч. На каком расстоянии от базы авто-
мобиль догонит пешехода?
Ответ: 19 км.
6)	Спортсмен, бегущий по шоссе со скоростью 16 км/ч,
миновал населенный пункт на 20 мин раньше велосипе-
диста, следующего в том же направлении. Через сколько
времени велосипедист догонит бегуна, если скорость бегуна
на 5 км/ч меньше скорости велосипедиста?
Ответ: 1 ч 24 мин.
ЗАДАЧА 1.604 ........................................
а)	Расстояние по реке между пунктами А и В равно 84
км. Из этих пунктов одновременно навстречу друг другу
вышли две моторные лодки, собственные скорости которых
различаются в 1,8 раза. Через 3 ч они встретились. Найдите
собственные скорости лодок.
Решение: Пусть Pi км — скорость моторной лодки с
меньшей скоростью, а х км/ч — скорость реки. Тогда, если
лодка с меньшей скоростью плыла против течения, то
имеем: (И - х) + (1,8 • PJ+ х) = 84/3 = 28 «=> 2,8 •	28 <=>
К1 = 10 км/ч .Значит, скорость второй лодки равна 18 км/ч.
Если против течения плыла другая лодка, то, как легко
проверить, результат не изменится.
| Ответ: 10 км/ч и 18 км/ч |
б)	Расстояние по реке между двумя пунктами равно 60
км. Из этих пунктов одновременно навстречу друг другу
вышли две моторные лодки, собственные скорости которых
различаются в 1,5 раза. Через 2 ч они встретились. Найдите
собственные скорости лодок.
Ответ: 12 км/ч и 18 км/ч.. |
ЗАДАЧА 1.605 ........................................
а)	Путь от города до поселка автомобиль проезжает за
2,5 ч. Если он увеличит скорость на 20 км/ч, то за 2 ч он
пройдет путь на 15 км больший, чем расстояние от города
до поселка. Найдите это расстояние.
Ранение: Пусть 5 км — расстояние между городом и по-
селком, а V км/ч — скорость автомобиля. Тогда 5 = V- 2,5 и
204
Текстовые задачи.
S+ 15 = 2 • (К+ 20).Из второго уравнения имеем: 2,5 • S + 15х
*2,5 = 5 • И+ 5 ’ 20, а из первого — 2 • S — 5 • V. Значит, 2,5х
х S + 37,5 = 2 • 5 -ПОР <=> 0.5 - S = 62,5 <=> S = 125.
| Ответ: 125 км. |
6)	Из Москвы в Санкт-Петербург выехал автобус. Спу-
стя 1 ч вслед за ним вышла легковая машина; скорость ко-
торой на 20 км/ч больше скорости автобуса. Машина обог-
нала автобус и через 5 ч после своего выхода находилась впе-
реди него на 70 км. Найдите скорость автобуса.
Решение: Пусть Vкм/ч - скорость автобуса, тогда (К +
+20) • 5 = 70 + F- (5 + 1) « V=30.
| Ответ: 30 км/ч. |
ЗАДАЧА 1.606 .........................................
а)	Из порта одновременно вышли два катера, один — на
ки*, другой — на север. Через 3 ч расстояние между ними со-
ставило 96 км. Найдите скорость первого катера, если она на
10 км/ч больше скорости второго катера.
Решение: Пусть V км/ч — скорость второго катера, тогда
(К+10) км/ч — скорость первого катера. Имеем: К* 3 + 3 (И+
+ 10) = 96 <=> 2 • V+ 10 = 32 <=> V— 11. Ясно, что скорость
первого катера равна 21 км/ч.
| Ответ: 21 км/ч. |
б)	Моторная лодка плыла по течению реки 3 ч, а на тот
же путь против течения реки моторная лодка затратила 5 ч.
Какова скорость лодки в стоячей воде, если скорость тече-
ния реки равна 10 км/ч?
Решение: Пусть V км/ч — собственная скорость мотор-
ной лодки. Тогда пройденное расстояние равно (V— 10) * 5,
и также равно (V+ 10) -.3, откуда (К— 10) • 5 = (К+ 10) • 3
о 2 • К= 80 <=> К= 40.
| Ответ: 40 км/ч. |
ЗАДАЧА 1.607 .......~.................................
а)	Легковой и грузовой автомобили проезжают расстоя-
ние между двумя сельскими пунктами соответственно за
3 ч и 5 ч. Определите их скорости, если скорость легково-
го автомобиля на 20 км/ч больше скорости гузового.
205
Текстовые задаю/.
Решение: Пусть F< км/ч — скорость грузового автомоби-
ле, a (Ff + 20) (км/ч) — скорость легкового автомобиля.
Тогда (Ft+ 20)- 3 = Ft<=> И • 2 = 60 *> Ft = 30.
Ответ: Скорость легкового автомобиля —
50 км/ч; скорость грузового автомобиля
— 30 км/ч.
б)	Катер проходит одно и то же расстояние по течению
реки за 3 ч, а против течения за 3,5 ч. Найдите скорость
течения реки, если скорость катера в стоячей воде 25 км/ч.
Ответ: 1-Ц км/ч.
ЗАДАЧА 1.608 ....................
а)	Каменщик должен выложить две стены из кирпича.
На первую стену уходит на 2000 кирпичей больше, чем на
вторую, а на обе стены — 6200 кирпичей. Сколько
кирпичей уйдет на каждую стену?
10твет: 4100 кирпичей, 2100 кирпичей. |
6)	Две бригады изготовили 116 деталей, причем первая
изготовила на 4 детали больше, чем вторая. Сколько
деталей изготовила каждая бригада?
| Ответ: 60 деталей, 56 деталей, j
ЗАДАЧА 1.609 ....................  ••••••а» «а 1мыы*м тлеев&ли—еечлч •   а
а)	Трое рабочих сделали 105 тумбочек. Первый рабочий
сделал в 2 раза больше тумбочек, чем второй и третий
вместе, а второй рабочий — на 5 бохипе, чем третий.
Сколько тумбочек сделал каждый?
Решение: Пусть х тумбочек сделал второй рабочий. Тогда
(х — 5) тумбочек сделал третий. Вместе они сделали 2 х — 5
тумбочек. Тогда первый сделал 2  (2  х — 5) тумбочек. По
условию, всего сделано 105 тумбочек. Поэтому х + х — 5 +
2 • (2 • х — 5) = 105, что равносильно 6 - х = 120 . Откуда
х = 20,х-5 = 15, 2 -(2-х-5) = 70.
| Ответ: 70, 20, 15 тумбочек. |
6)	На станции технического обслуживания трое авто-
механиков отремонтировали 68 автомобилей. Первый по-
чинил на 10 автомобилей меньше, чем второй, а третий —
на 15 больше, чем второй.Сколько автомобилей починил
каждый?____________________________
| Ответ: 11, 21, 36 автомобилей. |
296
ТектемьШшь.
ЗАДАЧА 1.610
а) Пешеход рассчитал, что, даигаясь с определенной
скоростью, он пройдет намеченный путь за 2,5 часа. Но,
увеличив скорость на 1 км/ч, он прошел путь за 2 ъ
Найдите длину пути.
|Ответ: 10 км. |
' б) Расстояние между двумя пунктами поезд проходит за
7 ч. Через б ч после отправления он снизил скорость на
10 км/ч, поэтому в конечный пункт пришел с опозданием
на 10 минут. Найдите первоначальную скорость поезда.
Решение: Пусть х км/ч — первоначальная скорость
поезда. Тогда длина пути (7 х) км. Поезд ехал 6 ч со
скоростью х км/ч и 1 ч 10 мин со скоростью (х — 10) км/ч,
проехав при этом то же расстояние. Поэтому 7 • х — 6 • х +
+ (1 +|) ’ (х ~ 1°) ~ f ж 1° + т ~ х = 70.
| Ответ: 70 км/ч. |
ЗАДАЧА 1.611 .......................................
а)	Один насос наполнил бассейн объемом 2000 м3, а
другой за это же время наполнил бассейн объемом 2100 м3.
Какова производительность каждого из насосов, если одан
из них накачивает на 4 м3 в час больше, чем другой?
Решение: Пусть первый насос накачивает за час х м3
воды. Тогда второй — (х + 4)м3 . Время заполнения ~®ч,
оно же а^ч. Поэтому	<=> 2000 • (х + 4) = 2100 • х
<=> 100 • х = 8000. Откуда х = 80, х + 4 = 84.
| Ответ: 80 м3/ч, 84 м3/ч . |
б)	Один насос наполнил бассейн, а другой за это жв
время наполнил бассейн объемом на 100 м3 больше. Опре-
делите объемы бассейнов, если один из насосов накачивает
80 м3 в час, другой — 90 м3.
Решение: Пусть первый бассейн вмещает х м3. Тогда
второй (х + 100) м3. Время заполнения ^ч, оно же ^^ч.
Поэтому -fc = о 80 • (х + 100) = 90 • х еэ 10 • х =
. = 8000. Откуда х = 800, х + 100 = 900.
[ Ответ: 800 м3, 900 м3 |
ЗАДАЧА 1.612 ......................................
207
Текстовые задачи.
а)	Бассейн заполняется водой, поступающей через две
трубы. Одна труба может наполнить бассейн за 12 ч, а дру-
гая за 20 ч. За какое время заполнится бассейн двумя тру-
бами, работающими одновременно?
Решение: первая труба накачивает за час бассейна.
Вторая — Поэтому две трубы накачивают	бас-
сейна в час. И время заполнения равно	равно
[ Ответ: 7,5 часов, |
б)	Одна труба может наполнить бассейн за 6 ч, а другая —
опорожнить за 15 ч. За какое время заполнится бассейн,
если две трубы работают одновременно?
Решение: первая труба накачивает за час £ бассейна.
Вторая Поэтому две трубы накачивают бассейна
в час. И время заполнения равно . Это равно 10.
| Ответ: 10 часов, |
ЗАДАЧА 1.613 .....................................
а)	При выполнении контрольной работы по математике
12% учеников не выполнили ни одного задания, 32%
допустили ошибки, а остальные 14 учеников решили
задания верно. Сколько учеников в классе?
Решение: Всего учеников — 100%. 14 составляют 100 —
—12 — 32 = 56 (%) Один ученик = 4(%), 100% это =
— 25 учеников.________
| Ответ: 25 учеников"]
б)	На заводе были изготовлены легковые и грузовые ма-
шины, причем 35% изготовленных машин — легковые. Оп-
ределите число машин, если грузовых на 240 больше.
Решение: Всего машин - 100%. 35% легковых, грузовых —
100% — 35% = 65%, 240 составляют 65% — 35% = 30%. Одна
машина -^ %	%> 100% это = 800 машин.
| Ответ: 800 машин.
ЗАДАЧА 1.614 ....................................
а)	Определите первоначальную стоимость продукта,
если после подорожания соответственно на 120%, 200% и
100% его стоимость составила 264 р.
208
Текстовые задачи.
Решение: Если продукт стоил а рм то после
подорожания на л % он стая стоить а + а * ^р. Исходя из
этого, при начальной стоимости а конечная составила
а ’ 2, 2 * 3 * 2 = 264, Откуда а = 20 .
| Ответ: 20 рублей.
б)	Предприниматель купил акции и через год продал их
по номиналу, получив прибыль, причем полученная им
сумма составила 11500 р. Сколько акций было продано, ес-
ли прибыль составила 15% от строимости акции и равна
150 р?
Решение: Если акция стоила а р., то прибыль на нее
составила а •	= 150 р. Откуда а = 1000 . Конечная же ее
стоимость 1000 + 150 = 1150 (рублей). Всего получено
11500 р. Следовательно, куплено 10 акций.
| Ответ: 10 акций. ~
ЗАДАЧА 1.615 ........................................
а)	Ромашка теряет при сушке 84% массы. Сколько ки-
лограммов ромашки нужно собрать, чтобы получить 8 кг
сухого растения?
Решение: Если ромашка весила а кг, то после потери
84% она стала весить а \ (1 — 0,84) = 0,16 * а . При
начальной массе а конечная составила 8 кг. Откуда а = 50.
| Ответ: 50 кг. |
б)	При добавлении воды к раствору его объем увели-
чился на 42% и составил 71 л. Определите первоначальный
объем раствора.
Решение: ЕсЛи первоначальный объем а л, то после
увеличения на 42% он стал равен а • (1 + 0,42) = 1, 42 • а и
составил 71 л. Откуда а = 50.
| Ответ: 50 л. |
ЗАДАЧА 1.616 ........................................
я) Первое число равно 0,6, а второе 0,2 . Сколько про-
центов первое число составляет от их суммы?
{Ответ: 75%.
6) Первое число равно 3,6, а второе 0,9 . На сколько
процентов второе число больше первого?
| Ответ: 150% ~
8-99
209
Текстовые задачи.
ЗАДАЧА 1.617 .........................................
а)	Ученики девятых и десятых классов посадили 176
деревьев. Сколько деревьев посадили десятиклассники,
если они посадили на 20% деревьев больше, чем
девятиклассники?
Решение: Пусть х деревьев посадили девятиклассники.
Тогда х • 1,2 деревьев посадили десятиклассники. Всего
посажено 2, 2 * хили 176 деревьев. Откуда х = 80; 1,2 х = 96.
Ответ: 96 деревьев.
6)	Ученики седьмых и восьмых классов получили в
библиотеке 168 учебников, причем восьмиклассники
получили на 10% книг больше, чем семиклассники.
Сколько учебников получили семиклассники?
Ответ: 80 книг.
ЗАДАЧА 1.618 .........................................
а)	Собрали 100 кг грибов, влажность которых составила
99%. Когда грибы подсушили, их влажность снизилась до
98%. Какова стала их масса?
Решение: Изначально был 1% сухого вещества. Это 1 кг.
После сушки этот 1 кг стал соответствовать 2%. Если 1 кг
это 2%, то 100% — это 50 кг.
Ответ: 50 кг.
б)	Собрали 100 кг ягод. После сортировки 60% ягод
были отправлены в магазин для продажи. В магазине 11%
ягод не поступили в продажу. Сколько ягод было продано?
Решение: 60% — это 60 кг. После сортировки от этих
60 кг остались 100 — 11 = 89 %. Если 60 кг — это 100%, то
89% - это 60 ♦ 0,89 = 53,4 (кг).
Ответ: 53,4 кг.
ЗАДАЧА 1.619 .........................................
а)	В спортивном лагере в трех домах живут 149 человек.
В третьем доме на 2 человека больше, чем в первом, а в
первом и во втором вместе на 43 человека больше, чем в
третьем. Сколько человек живет в каждом доме?
| Ответ: 51, 45, 53 человека.
б)	В трех универсальных магазинах работают 168 чело-
век. Во втором магазине работает на 4 человека больше,
чем в третьем, а в третьем на 7 человек больше, чем в пер-
вом. Сколько человек работает в каждом магазине?
210
Текстовые задачи.
| Ответ: 50, 61, 57 человек,
ЗАДАЧА 1.620 .........................................
а)	На изготовление свитера, шапки и шарфа израсхо-
довали 555 г шерсти, причем на шапку ушло в 5 раз меньше
шерсти, чем на свитер и на 5 г больше, чем на шарф.
Сколько шерсти израсходовали на каждое изделие?
[ Ответ: 400, 80, 75~
б)	В трех корпусах туристической базы живут 119 чело-
век. В первом корпусе живет на 4 человека больше, чем во
втором, и на 3 человека меньше, чем в третьем. Сколько
человек живет в каждом корпусе?
Ответ: 40, 36, 43 человека,
ЗАДАЧА 1.621 .........................................
а)	На вопрос учеников о прошедшей контрольной рабо-
те учитель ответил: «Пятерок больше, чем двоек на 3, тро-
ек на 1 меньше, чем четверок, а четверок в 4 раза больше,
чем двоек». Сколько человек получили пятерки и сколько
четверки, если в классе 32 ученика?
Решение: Пусть х учеников получили двойки. Тогда
четверки получили 4 * х учеников, пятерки — х + 3
ученика, тройки 4 • х — 1 .Поэтому 4 * х + 4 • х — 1 + х +
+ 3 = 32 <=> 10 -х = 30 <=> х = 3, 4 • х =, 12, х + 3 = 6.
Ответ: 6, 12 учеников,
б)	На выставке кошек были представлены кошки си-
бирской, ангорской, персидской и сиамской пород. Сиамс-
ких было в 2 раза больше, чем ангорских, персидских в 1,5
раза больше, чем сиамских, а сибирских было на 13 мень-
ше, чем персидских. Сколько было кошек каждой породы,
если всего было представлено 77 кошек?
[ Ответ: 23, 6, 36, 12 кошек,
ЗАДАЧА 1.622 .........................................
а)	В трех поселках живут 6000 жителей. Во втором по-
селке вдвое меньше жителей, чем в первом, а в третьем на
500 жителей меньше, чем во втором. Сколько жителей В
каждом поселке?____________________
Ответ: 3250, 1625, 1125 жителей, |
б)	Три цеха завода изготовили 4200 деталей. Второй цех
изготовил в три раза больше деталей, чем третий, а первый
211 j
Текстовые задачи.
столько, сколько второй и третий вместе. Сколько деталей
изготовил каждый цех?____________
Ответ: 2100, 1575, 525 деталей.
ЗАДАЧА 1.623 ........................................
а)	Один из углов треугольника в 2 раза больше второго,
а третий угол на 30° больше первого. Каковы углы треуголь-
ника?	
Ответ: 60°, 30°, 90°.
б)	Один из углов треугольника в 3 раза меньше второго,
а третий угол на 20° больше первого. Каковы углы треуголь-
ника?
Решение: Пусть первый угол равен х. Тогда второй Зх, а
третий — х+20°. По теореме о сумме углов треугольника
имеем 3 • х + х + х + 20° = 180° 5 • х » 160° х = 32°. 3 • х =
= 96°; 2-х+ 20° =52°.
Ответ: 32°, 96°, 52°.
ЗАДАЧА 1.624 ........................................
а)	Одна из сторон прямоугольника на 20 см больше дру-
гой. Если меньшую сторону увеличить вдвое, а большую
втрое, то периметр нового прямоугольника станет равным
240 см. Найдите стороны прямоугольника.
Решение: Пусть вторая сторона равна х см. Тогда первая —
х + 20 (см). Стороны нового прямоугольника равны 2 х см
и 3(х + 20) По условию имеем 2х + 2-х + 3(х + 20)+
+3(х+20)= = 240 <=> 10 • х = 120 <£> х = 12. х + 20 = 32.
[ Ответ: 12 см и 32 см. |
б)	Одна из сторон прямоугольника на 25 см меньше
другой. Если меньшую сторону уменьшить в 3 раза, а боль-
шую в 4, то периметр нового прямоугольника станет рав-
ным 30 см. Найдите стороны прямоугольника.
Ответ: 40 см и 15 см.
ЗАДАЧА 1.625 ........................................
а)	Два угла равнобедренного треугольника пропорцио-
нальны числам 2 и 5. Каковы углы треугольника?
Решение: Пусть коэффициент пропорциональности ра-
вен к. Тогда первый угол равен2*Л, а второй5«Л. Далее
212
Текстовые задачи.
возможны два случая; первый угол при вершине или при
основании. По теореме о сумме углов треугольника имеем
(первый случай) 2 • к + 2 • 5 • к = 180° <=> 12 • к = 180° о к = 15
или (второй случай) 5 • к + 2 • 2 • к = 180° <=> 9 • к = 180° <=>
<=> к = 20. В первом случае углы получаются равными 30°,
75е, 75е, а во втором 40°, 40°, 100®.
Ответ: 40°, 40°, 100® или 7 5°, 75®,30®.
б)	Две стороны равнобедренного треугольника пропор-
циональны числам б и 8, а его периметр равен 440 см. Ка-
ковы стороны треугольника?_____________
Ответ: 120 см, 160 см, 160 см; 132 см,
132 см, 176 см.
ЗАДАЧА 1.626 .........................................
а)	У Вити было на 10 р. больше, чем у Маши. Когда Ви-
тя потратил половину своих денег, у него стало на 15 р.
меньше, чем у Маши. Сколько денег было у Маши и у Ви-
ти первоначально?
Решение: Пусть у Маши было х р. Тогда у Вити (х +10) р.
После того, как Витя потратил половину своих денег, у
него осталось(х -15)р. (по условию)	= х~15<=>х + 10 =
= 2(х-15)<=>х = 40. х + 10 = 50.
| Ответ: 40 рублей, 50 рублей. |
б)	У Толи и Гриши было 100 р. Когда каждый из них
потратил половину своих денег, у Гриши стало на 10 р.
больше, чем у Толи. Сколько денег было у каждого перво-
начально?______________________
| Ответ: 40 рублей, 60 рублей. |
ЗАДАЧА 1.627 .........................................
а)	Сбербанк в конце года начисляет 20% к сумме, нахо-
дящейся в начале года. Каким станет вклад 500 р. через 3
года?	'
| Ответ: 864 рубля. "|
б)	Сбербанк в конце года начисляет 20% к сумме, нахо-
дящейся в начале года.Каким станет вклад 1200 р.через 4 года?
Решение: Так как банк начисляет 20%, то сумма каждый
раз увеличивается в 1,2 раза. 1200 рублей увеличивается в
1,2 раза 4 раза и получается 1,24 • 1200 = 248832.
213
Текстовые задачи.
Ответ: 2488 рублей 32 копейки. |
ЗАДАЧА 1.628 .......................................
а)	Покупатель пришел в магазин, имея с собой 500 р.
На вторую покупку он потратил денег в 2 раза больше, чем
на первую, а на третью в 4 раза больше, чем на две преды-
дущие вместе. После этого у него осталось 140 р. Сколько
денег покупатель потратил на каждую покупку?
Ответ: 24 рубля, 48 рублей, 288 рублей.
б)	Мальчик пришел в магазин, имея с собой 3000 р. На
первую покупку он потратил денег в 4 раза больше, чем на
вторую, а на третью в 10 раз больше, чем на две пре-
дыдущие вместе. После этого у него осталось 1350 р.
Сколько денег мальчик потратил на каждую покупку?
Ответ: 120 рублей, 30 рублей, 1500 рублей.
ЗАДАЧА 1.629 .......................................
а)	Один раствор содержит 20% кислоты, а второй — 70%
кислоты. Сколько литров первого и второго раствора нуж-
но взять, чтобы получить 100 л раствора с 50% содержа-
нием кислоты?
Решение: Пусть нужно взять х л первого раствора. Тогда
второго (100 — х) л.Кислоты будет 0^-х+Ц7-^00-х)или 50 л.
0,2х + 0,7(100-х) = 50<^0,5’Х = 20<=>х = 40.100-х = 60.
| Ответ: 40 л, 60л.
б)	Имеется кусок сплава меди с оловом массой 15 кг,
содержащий 40% меди. Сколько чистого олова нужно доба-
вить к нему, чтобы получить сплав с 30% содержанием ме-
ди?
Решение: Пусть нужно добавить х кг олова. Тогда масса
нового куска будет (15 + х) кг. Количество меди останется
тем же — 15 0,4 = 6 (кг). Это — 30% от 15 + х . Поэтому
0,3 - (х +15) = 6 <=> 15 + х - 20 х = 5.
| Ответ: 5 кг. |
ЗАДАЧА 1.630 .......................................
а)	Из города А в город Б, расстояние между которыми
20 км, одновременно вышли два пешехода. Скорость одно-
го из них на 1 км/ч больше скорости другого, и он затратил
на весь путь на 60 мин меньше. Какова скорость каждого
пешехода?
214

Решение: Пусть х км/ч — скорость первого пешехода.
Тогда (х — 1) км/ч — скорость второго. Время, затраченное
первым пешеходомч, вторым ~ Поэтому ~~ =
=	+1 х2 - х - 20 = 0 при х*0, х*1. Это уравнение
имеет два корня х = 5 и х = ~4. Но скорость положитель-
на, поэтому х = —4 не подходит.
Ответ: 5 км/ч, 4 км/ч. |
б)	Из города А в город Б, расстояние между которыми
120 км, одновременно выехали велосипедист и мотоцик-
лист. Скорость велосипедиста на 10 км/ч меньше скорости
мотоциклиста, и он затратил на весь путь на 6 ч больше.
Какова скорость мотоциклиста?
] Ответ: 20 км/ч ~]
ЗАДАЧА 1.631 ........................................
а)	Товарный поезд был задержан в пути на 18 мин, а за-
тем на расстоянии в 60 км наверстал это время, увеличив
скорость на 10 км/ч. Найдите первоначальную скорость
поезда.
Решение: Пусть х км/ч — первоначальная скорость. Тогда
(х 4- 10)км/ч — скорость в конце. Время, затраченное поездом
на последние 60 км — —4%-ч, а запланированное — “ ч.
Поэтому^	+0,3 <=>^ =^ + 1 <=>х2 +10-х-2000 = 0 при
х * 0, х ф —10. Это уравнение имеет два корня
х = -5 + 72025 = 40 и х = -5 - л/2025 = -50. Но скорость
положительна, поэтому х = -50 не подходит.
Ответ: 40 км/ч.
б)	Мотоциклист проехал 40 км/ч от пункта А до пункта
Б. Возвращаясь обратно со скоростью на 10 км/ч меньше
первоначальной, он затратил на путь 20 мин больше. Най-
дите первоначальную скорость мотоциклиста.
Ответ: 40 км/ч.
ЗАДАЧА 1.632 ........................................
а)	Теплоход прошел 4 км против течения реки и затем
прошел еще 33 км по течению, затратив на весь путь один
час. Найдите скорость теплохода в стоячей воде, если ско-
рость течения реки равна 6,5 км/ч.
215
Текстовые задачи.
| Ответ: 32,5 км/ч. "|
б)	Моторная лодка прошла 25 км по течению реки и 3
км против течения, затратив на весь путь 2 ч. Какова ско-
рость течения реки, если известно, что она не превосходит
5 км/ч, а скорость лодки в стоячей воде равна 12 км/ч.
Решение: Пусть искомая скорость — и км/ч. Тогда по
течению моторная лодка шла-^^ч, а против течения —
ч.	Поэтому= 2 <=>2и2 -22и + 48 = 0<=>« = 3или
и = 8. По условию, и < 5. Значит и = 3.
Ответ: 5 км/ч. |
ЗАДАЧА 1.633 ....................................
а)	Теплоход прошел по течению реки 48 км/ч и столько
же обратно, затратив на весь путь 5 ч. Определите собст-
венную скорость теплохода, если скорость течения реки 4
км/ч.	
| Ответ: 20 км/ч. |
б)	Глиссер, собственная скорость которого равна 20
км/ч, прошел расстояние по реке, равное 60 км, и вернулся
обратно. Определите скорость течения реки, если на весь
путь глиссер затратил 6,25 ч.
Ответ: 4 км/ч.
ЗАДАЧА -1.634.............................
а)	Пешеход должен был пройти 12 км за определенный
срок, но он был задержан с выходом на 1 ч, поэтому ему
пришлось увеличить скорость на 1 км/ч. С какой ско-
ростью шел пешеход?
| Ответ: 4 км/ч.
б)	Велосипедист проехал с определенной скоростью
путь в 10 км от города до турбазы. Возвращаясь обратно, он
снизил скорость на 5 км/ч. На весь путь туда и обратно бы-
ло затрачено 1 ч 10 мин. Найдите скорость, с которой вело-
сипедист ехал от турбазы до города.
Ответ: 15 км/ч.
ЗАДАЧА 1.635 ....................................
а)	Моторная лодка прошла по течению реки 8 км, а
против течения 3 км, затратив на весь путь 0,75 ч. Найдите
216
Текстовые задачи.
собственную скорость лодки, если скорость течения реки
равна 2 км/ч.______
Ответ: 14 км/ч.
6)	Моторная лодка прошла по течению реки 20 км, а
против течения 30 км. Найдите собственную скорость
лодки, если скорость течения реки 3 км/ч, а на весь путь
затрачено 6 ч 40 мин.
j Ответ: 9 км/ч.
ЗАДАЧА 1.636 .........................................
а)	Расстояние между двумя пристанями равно 24 км.
Двигаясь вниз по течению, катер проходит это расстояние
на 30 мин быстрее, чем в обратном направлении. Найдите
собственную скорость катера, если скорость течения реки
равна 2 км/ч.______
Ответ: 14 км/ч.
б)	Яхта прошла по течению реки 9 км и такой же путь
против течения. Путь по течению занял на 2 ч меньше, чем
путь против течения. Найдите скорость яхты в стоячей во-
де, если скорость течения реки равна 3 км/ч.
[Ответ: 6 км/ч. |
ЗАДАЧА 1.637 .........................................
а)	Автомобиль был задержан в пути на 0,2 часа, а затем
на расстоянии в 60 км наверстал это время, увеличив ско-
рость на 15 км/ч. Найдите начальную скорость автомобиля.
| Ответ: 60 км/ч.
6)	В 9 ч баржа отправилась из пункта А в пункт Б,
который находится в 60 км выше по течению, чем А. Спус-
тя 2 ч после прибытия в Б баржа поплыла обратно и при-
была в пункт А в 19 ч 20 мин того де дня. Определите вре-
мя, в которое баржа прибыла в пункт Б, если скорость те-
чения реки равна 3 км/ч.
Решение: Пусть х км/ч — собственная скорость баржи,
тогда (х — 3) км/ч — скорость баржи против течения,
(х + 3) км/ч — скорость баржи по течению, ч затрачено
баржей на движение из А в Б, -^-ч затрачено баржей на
движение из Б в А. Баржа находилась в пути 19 ч 20 мин;
9 ч 00 мин =10 ч 20 мин 10 ч 20 мин =10|ч. Составляем
217
Текстовые задачи.
уравнение:
60 .9 . 60 -1Л1- JO . 60 — 25. 180(х+3) _ 180(х-3) __
х-3 х + х+3 ~ ш 3 ’ х-3 + х+3 ~ 3 > 3(х+ЗХх-3) “ 3(x+3Xx"3) ~
=	; 5%2 - 72х - 45 = 0 . Получаем: = 15, х2 = -0,6,
V+3AX'3)
нох2 <0, что невозможно. Чтобы достигнуть Б, барже пот-
ребовалось = 5 ч, то есть баржа достигла Б в 14 ч.
| Ответ: В 14 ч. |
ЗАДАЧА 1.638 .......................................
а)	Байдарка проплыла по течению 4 км, а против тече-
ния 6 км, затратив на весь путь 2 ч. Найдите скорость бай-
дарки по течению, если скорость течения реки равна 2
км/ч.	________
Ответ: 8 км/ч. |
б)	Планер, пролетев 15 км по направлению ветра, раз-
вернулся и полетел 10 км против ветра, затратив на весь
путь 1 ч. Найдите скорость планера против ветра, если ско-
рость ветра равна 5 км/ч.
| Ответ: 20 км/ч.
ЗАДАЧА 1.639 .........................................
а)	Некто ехал на автомобиле по проселочной дороге с
постоянной скоростью. Из-за плохого состояния дороги
ему пришлось задержаться на 6 мин. Затем он увеличил
скорость на 4 км/ч и ликвидировал опоздание на перегоне
в 36 км. Найдите первоначальную скорость автомобиля.
| Ответ: 36 км/ч. |
б)	Экскурсионный теплоход должен был пройти 72 км
за 5 ч. Так как из-за плохой погоды достопримечательности
были видны плохо, то первую половину пути он двигался
со скоростью на 3 км/ч меньше расчетной, а вторую
половину пути со скоростью на 3 км/ч больше расчетной.
На сколько минут опоздал теплоход?
Решение: Найдем расчетную скорость теплохода: 72:5 =
= у- км/ч. Скорость теплохода на первой половине пу-
ти: - 3 = у км/ч. Скорость теплохода во второй полови-
не пути: -у + 3 = км/ч. Время, затраченное теплоходом на
всю экскурсию: + 4г = ¥Ло°- =	= 5	• Опоздание
•т- “if" НхЗУ 331	331
218
Текстовые задачи.
теплохода: 5 Щ - 5 = Щ (ч). -Щ ч = мин =13 -Щ мин.
Ответ: 13 41т мин.
ЗАДАЧА 1.640 ........................................
а)	Моторный катер, собственная скорость которого
8 км/ч, прошел по реке расстояние, равное 15 км, вниз по
течению и такое же расстояние вверх по течению. Найдите
скорость течения реки, если время, затраченное на весь
путь, равно 4 ч.____
Ответ: 2 км/ч.
б)	Спортивная лодка прошла расстояние 45 км вверх по
течению реки и такое же расстояние вниз по течению, зат-
ратив всего 14 ч. Определите собственную скорость лодки,
если скорость течения реки 2 км/ч.
Ответ: 7 км/ч.
ЗАДАЧА 1.641 ........................................
* а) Катер прошел по течению реки 5 км, а против тече-
ния 12 км, затратив на весь путь время, нужное для про-
хождения 18 км по озеру. Найдите собственную скорость
катера, если скорость течения реки равна 3 км/ч. .
Решение: Пусть х км/ч — собственная скорость катера,
тогда (х + 3) км/ч — скорость катера по течению, (х —3) км/ч
— скорость катера против течения, ^~ч затрачено катером
19
на путь по течению, ч затрачено катером на путь против
течения, ч тратит катер на прохождение по озеру.
Составляем уравнение: -Ц +	=
х+5 х-3 х ’ х(х+3\х-3) х(х+ЗХ*-3)
=	~12х~162 = °* Получаем: х{ = 27, х2 = -6,
но х2 < 0, что невозможно.
Ответ: 27 км/ч.
6) Моторная лодка прошла по течению реки 10 км, а
против течения 15 км, затратив на весь путь 1 ч 10 мин.
Найдите скорость лодки по течению, если скорость те-
чения реки равна 2 км/ч.
Ответ: 24 км/ч.
ЗАДАЧА 1.642 ........................................
219
Текстовые задачи.
а)	Расстояние между городами равно 200 км. Мотоцик-
лист проезжает это расстояние на 5 ч быстрее вело-
сипедиста. Найдите их скорости, если скорость вело-
сипедиста на 20 км/ч меньше скорости мотоциклиста.
Решение: Пусть х км/ч — скорость мотоциклиста, тогда
(х —20) км/ч — скорость велосипедиста, ч затрачивает
мотоциклист на проезд между городами, -2^ ч затрачивает
на тот же путь велосипедист. Составляем уравнение:
_ 2QQ—5 х2-20х-800 = 0. Получаем: Х\ = 40, х2 = -20,
но х2 < 0, что невозможно. Скорость велосипедиста: 40 —
—20 = 20 (км/ч).___________
| Ответ: 40 км/ч, 20 км/ч |
б)	Теплоход с туристами прошел по течению реки 10 км
и против течения 8 км, затратив на весь путь 3 ч. Найдите
скорость теплохода по течению и против течения, если
скорость самого течения 3 км/ч.
Ответ: 10 км/ч, 4 км/ч |
ЗАДАЧА 1.643 .........................................
а)	Две бригады рабочих должны к некоторому сроку из-
готовить по 300 деталей. Первая бригада, изготовляя в день
на 10 деталей больше второй, затратила на выполнение за-
дания на 1 день меньше. Сколько деталей в день изготов-
ляла каждая бригада?_____________
| Ответ: 60 деталей, 50 деталей |
б)	На обработку одной детали первый рабочий затрачи-
вает на 1 мин меньше, чем второй. Сколько деталей обра-
ботает каждый из них за 0,7 ч, если первый обрабатывает за
это время на одну деталь больше, чем второй?
Решение: Пусть х мин затрачивает на обработку одной
детали первый рабочий, тогда (х +1) мин затрачивает на
обработку одной детали второй рабочий. 0,7 ч = 42 мин. ~
деталей обработает первый рабочий за 0,7 ч, деталей об-
работает второй рабочий за 0,7 ч. Составляем уравнение:
«0  п“>'-
чаем: Х\ = 6, х2 = -7, нох2 < 0, что невозможно. Второй ра-
бочий затрачивает на обработку одной детали 6+1 = 7
220
Текстовые задачи.
мин. За 0,7 ч первый обработает 42 : 6 = 7 (деталей), а вто-
рой 42 : 7 = 6 (деталей).____
| Ответ: 7 деталей. 6 деталей7\
ЗАДАЧА 1.644 ........................................
а)	Оператор ЭВМ, работая вместе с учеником, обраба-
тывает задачу за 2 ч 54 мин. Сколько времени потребова-
лось бы каждому их них на обработку задачи в отдельности,
если ученику нужно для этого на 2 ч больше, чем операто-
ру?
Решение: Пусть х ч требуется оператору на обработку
задачи, тогда (х 4- 2)ч требуется на обработку задачи учени-
ку, ± — такую часть задачи обрабатывает за 1 ч оператор,
£ +	““ такую часть задачи обрабатывают за час оператор
и ученик, работая вместе. 2 ч 54 мин = 2,9 ч. Составляем
уравнение:	=^; 5Х2-19х-29 = 0. Получаем:
х2 =	9 нох2 < 0, что невозможно. На обработку
задачи ученику требуется +2 = ч.
Ответ:	3>±^1Ч.
б)	Заболевшую машинистку заменили две ученицы-пра-
ктикантки, причем одной из них нужно на перепечатку ру-
кописи в 3 раза больше времени, чем заболевшей маши-
нистке, а второй в 2 раза. За сколько времени каждая из
трех машинисток может перепечатать рукопись, если из-
вестно, что ученицы, работая вдвоем, могут выполнить эту
работу за 6 ч?
Решение: Пусть х ч требуется заболевшей машинистке
на перепечатку рукописи, тогда Зх ч требуется на перепе-
чатку рукописи первой практикантке, 2х ч требуется на пе-
репечатку рукописи второй практикантке, — такую часть
рукописи перепечатывает в час первая практикантка,^—
такую часть рукописи перепечатывает в час вторая практи-
кантка. Составляем уравнение: -т-Ц- = 6;	= 6; х2 - 5х = 0.
Получаем:Xj =5, Х2 = 0, нох2 = 0, что невозможно. Таким об-
разом, первой практикантке требуется 15 ч, а второй 10 ч.
221
Тек.дтовы±^ддачи,
Ответ: 5 ч, 15 ч, 10 я. |
ЗАДАЧА 1.645 .........................................
а)	Один рабочий затрачивает на изготовление болта на 6
мин меньше, чем второй. Сколько болтов может изготовить
каждый из них за 7 ч, если первый обрабатывает за это вре-
мя на 8 болтов больше?
Решение: Пусть х мин затрачивает на изготовление бол-
та первый рабочий, тогда (х + 6)мин затрачивает на изгото-
вление болта второй рабочий. 7 ч = 420 мин. 48 болтов из-
готовит за 7 ч первый рабочий, болтов изготовит за 7 я
второй рабочий. Составляем уравнение:	= 8;
--4—хх =	; х2 + 6х-315 = 0. Получаем: я = 15, х? =-21,
х(х+6)	х(х+6) ’	J	z ’
нох2 < 0ч что невозможно. Второй рабочий затрачивает на
изготовление болта 15 4-6 = 21 (мин). За 7 ч первый из-
готовит 420 : 15 = 28 (болтов), а второй 420 : 21 = 20
(болтов)._____________________
Ответ: 28 болтов, 20 болтов.
б)	Ученик тратит на обработку одной болванки на 12
мин больше, чем мастер. Сколько болванок обработает
каждый из них за 6 ч, если ученик обрабатывает за это вре-
мя на 5 болванок меньше, чем мастер?
| Ответ: 15 болванок, 10 болванок. [
ЗАДАЧА 1.646 .........................................
а)	Бассейн, содержащий 30 м5 воды, сначала был опо-
рожнен, а затем снова наполнен до прежнего уровня, для
чего потребовалось 8 ч. Сколько времени заполнялся бас-
сейн, если вливающий воду насос перекачивает в час на
4м3 меньше, чем выливающий?
Решение: Пусть хм3 воды перекачивает в час вливающий
насос, тогда (х -F 4)м3 воды перекачивает выливающий
насос, ч ущло на выливание воды из бассейна, -у ч уш-
ло на заполнение бассейна. Составляем уравнение:	=
-	<	2*г - -30=° • ло»™^
222
Текстовые задачи.
jq = 6, х2 = —|, но х2 < 0, что невозможно. Итак, бассейн на-
полнялся 5 часов.
Ответ: 5 часов. |
б)	Бассейн объемом 1 м3 заполняется двумя насосами
одновременно. Первый насос перекачивает за 1 ч на 1 м3
больше, чем второй. Найдите время, за которое каждый на-
сос в отдельности может наполнить бассейн, если первому
насосу нужно для этого на 5 мин меньше, чем второму?
Решение: Пусть хм3 воды перекачивает в час первый
насос, тогда (х — 1) м3 воды перекачивает в час второй на-
сос,-^ч — за такое время бассейн наполнит первый на-
сос,хЧч ~~ за такое вРемя второй насос наполнит бас-
сейн. 5 мин = ^ч. Составляем уравнение:
“ 12х(л-1) = 12х(х-1)’ “х + 12 = 0- Получаем: х^4, х2=-3,
нох2<0., что невозможно. Второй насос перекачивает в
час 3 м3 воды. Итак, первый насос заполняет бассейн за
1 часа, а второй — за | часа.
| Ответ: 15 мин, 20 мин. j у
ЗАДАЧА 1.647 .........................................
а)	Две бригады, работая совместно, закончили посадку
деревьев за 4 дня. Сколько дней потребовалось бы на эту
работу каждой бригаде в отдельности, если одна из них мо-
жет выполнить эту работу на 15 дней быстрее другой?
Ответ: 5 дней 2^ дней. |
6)	Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить ок-
лейку комнаты обоями за 6 ч. За какое время каждый из
них может оклеить эту комнату обоями, работая в отдель-
ности, если один из них тратит на это на 5 ч меньше, чем
другой?
Решение: Пусть х ч тратит первый рабочий на оклейку
комнаты, работая в одиночку, тогда (х + 5) ч тратит на оклей-
ку комнаты второй, работая в одиночку, — такую часть
работы выполняет в час первый рабочий, -г такую часть
223
Текстовые задачи.
работы выполняет в час второй рабочий» — такую
часть работы выполняют в час рабочие, работая совместно.
^4 = 6; х2 + 7х - 30 = 0.
Составляем уравнение:
= 6;
Получаем: xj = 10,х2 = -3, нох2<0, 470 невозможно. Вто-
рой рабочий тратит на оклейку комнаты 10 + 5 = 15 часов.
| Ответ: 10 часов, 15 часов, |
ЗАДАЧА 1.648 ........................................
а)	Борис и Леонид наполняли газом воздушные шарики,
причем Борису требовалось на наполнение одного шарика
на 1 мин меньше, чем Леониду. Сколько шариков может
наполнить каждый из них за 0,5 ч, если за это время Борис
надувает на один шарик больше, чем Леонид?
| Ответ: 6 шариков, 5 шариков |
6)	Для того, чтобы связать один ряд шарфа, Наташе тре-
буется на 2 мин больше, чем Оле. Сколько рядов может
связать каждая из них за час, если за это время Наташа вя-
жет на 1 ряд меньше, чем Оля?
| Ответ: 5 рядов, 6 рядов. |
ЗАДАЧА 1.649 ........................................
а)	Двое рабочих, из которых второй начинает работать
на 1,5 дня позже первого, могут отремонтировать квартиру
за 7 дней. Если бы ремонт выполнял каждый в отдельно-
сти, то первому потребовалось бы на 3 дня больше, чем
второму. За сколько дней каждый из них, работая в отдель-
ности, может выполнить ремонт квартиры?
Решение: Пусть х дней требуется первому рабочему на
ремонт квартиры, тогда (х —3) дня требуется второму рабо-
чему на ремонт квартиры. Первый работал 7 дней и выпол-
нил^ часть работы; второй работал 5,5 дней и выпол-
нил часть работы, зная, что они выполнили всю работу,
составляем уравнение: 1 + £ = 1;	+	» igzg;
2х2-41х + 42 = 0. Получаем: jq=14,X2=|, hoxj<3, что не-
возможно. Второму рабочему на ремонт квартиры требуется
14 - 3 = 11 (дней).
224

| Ответ: 14 дней, 11 дней. |
6)	Один цех завода должен был изготовить 810 фанер-
ных щитов, а второй 900 таких же щитов. Первый выпол-
нил всю работу, затратив на это на 3 дня больше, чем вто-
рой. Сколько щитов в день делали в каждом цехе, если во
втором делали на 4 щита больше, чем в первом?
I Ответ: 20 щитов, 24 щитаТ]
ЗАДАЧА 1.650 .........................................
а)	Два экскаватора, работая совместно, могут вырыть
котлован за 48 ч. За какое время каждый из них может вы-
рыть котлован, работая в отдельности, если первому нужно
для этого на 40 ч больше, чем второму?
Решение: Пусть х ч первый экскаватор может вырыть
котлован, тогда за (х — 40) ч второй экскаватор может вы-
рыть котлован, ± — такую часть котлована вырывает пер-
вый экскаватор за час, — такую часть котлована выры-
вает за час второй,	— такую часть котлована вы-
рывают в час оба экскаватора, работая вместе. Составляем
уравнение:	= 48;	= 48; х2 - 136х +1920 = 0. Получа-
ем: = 120, *2 =16, но *2 <40, что невозможно. Второй экс-
каватор может вырыть котлован за 80 часов.
| Ответ: 120 ч, 80 ч ~]
б)	Две трубы, работая вместе, наполнили бассейн за 12
ч. Первая труба, работая в отдельности, наполняет бассейн
на 18 ч быстрее, чем вторая. За сколько часов наполняет
бассейн вторая труба?
| Ответ: 36 ч |
ЗАДАЧА 1.651 .........................................
а)	Бригада рабочих должна была изготовить в опреде-
ленный срок 272 холодильника. Через 10 дней после начала
работы бригада стала изготовлять на 4 холодильника боль-
ше, чем предполагалось. За один день до срока было изго-
товлено 280 холодильников. Сколько холодильников в день
должна была изготовлять бригада по плану?
Решение: Пусть х холодильников в день должна была
изготовлять бригада по плану, тогда (х + 4) холодильника в
225
Текстовые задачи.
день стала изготовлять бригада через 10 дней, дней
должна была затратить бригада на изготовление 272 холо-
дильников, Юл холодильников изготовила бригада за пер-
вые 10 дней, после этого бригада работала^——11 дней и
изготовил а(^—11 )(х + 4) холодильника. Составляем
уравнение: 10х + (^ —11)(х + 4) = 280;	=
=	; х2 + 52х -1088 = 0 . Получаем: Х\ = 16, х2 = - 68 , но
х2 < 0, что невозможно.
Ответ: 16 холодильников в день. |
б)	Бригада рабочих обязалась изготовить 432 шины для
колес. Однако 4 рабочих заболели и не вышли на работу.
Каждому из оставшихся пришлось изготовлять на 9 шин в
день больше, чтобы выполнить обязательство. Сколько ра-
бочих числилось в бригаде?
Решение: Пусть х рабочих числилось в бригаде, тогда х —
~4 рабочих выполняли обязательство, шины должен был
сделать один рабочий, пришлось сделать каждому
рабочему. Составляем уравнение: 4— = Я	=
=	5 х2 - 4х ~ 192 = 0 . Получаем: xj = 16, х2 = -12.
| Ответ: 16 рабочих.
ЗАДАЧА 1.652 .........................................
а)	Два грузчика разгружали вагоны с продуктами. Пер-
вый разгружал на 50 ц в день больше второго и разгрузил
300 ц, при этом он работал на 2 дня меньше второго.
Второй грузчик разгрузил 250 ц. Сколько дней работал
каждый?
Ответ: 3 дня, 5 дней.
б)	На строительстве железной лороги работали две
путевые бригада. Первая бригада ежедневно прокладывала
на 40 м путей больше второй и проложила 270 м пути.
Вторая бригада работала на 2 дня больше первой и про-
ложила 250 м. Сколько дней работала каждая бригада?
Ответ: 3 дня, 5 дней |
226
Тсихтовые
ЗАДАЧА 1.653 ..................................~...
а)	Два сборщика винограда, работая вместе, собрали ви-
ноград с определенного участка за 12 ч. Первый сборщик*
работая один, может собрать с этого участка виноград на 10
ч быстрее второго. За какое время каждый сборщик может
выполнить работу?
Решение: Пусть за х ч может собрать виноград с участка
первый сборщик, тогда за (х + 10)ч может собрать виноград
с участка второй сборщик, ± — такую часть участка может
обработать за час первый сборщик,—^— такую часть
участка может обработать за час второй сборщик, ~	—
такую часть участка обрабатывают за час оба сборщика, ра-
ботая вместе. Составляем уравнение: ; Ц- = 12;	= 12;
х2 - 14х-120 = 0. Получаем:Х1 = 20, х2 = -6, нох2 < 0, что
невозможно. Второй сборщик может собрать виноград с
участка за 20 + 10 = 30 часов.
Ответ: 20 ч, 30 ч.
б)	Два компьютера, работая вместе, могут выполнить
определенный, объем работы за 3,75 ч. Работая отдельно,
один из них выполнил бы эту работу на 4 ч быстрее дру-
гого. Сколько времени потребовалось бы каждому компью-
теру для выполнения работы?
Решение: Пусть х ч требуется первому компьютеру на
выполнение задания, тогда (х + 4)ч требуется второму ком-
пьютеру на выполнение задания*— такую часть задания
выполняет за час первый компьютер, — такую часть за-
дания выполняет за час второй компьютер, i — такую
часть задания выполняют за час два компьютера, работая
вместе. Составляем уравнение: ± * = 3,75;	= 3,75; 2х2 -
-7х - 30 = 0. Получаем:хг = 6,	, нох2 < 0, что невоз-
можно. Второму компьютеру на выполнение задания тре-
буется 10 часов.
| Ответ: 6 ч, 10 ч.
227
11
Текстовые задачи,
ЗАДАЧА 1.654 ........................................
а)	Аквариум наполняется водой, поступающей в него •
через две трубки, за 3 ч. За сколько часов может наполнить
аквариум первая трубка, если ей требуется для этого на 2,5
ч меньше, чем второй?
| Ответ : за 5 часов. ]
б)	Двое рабочих вместе могут убрать помещение за 2 ч.
Первому рабочему, если бы он убирал помещение один,
потребовалось бы на 3 ч больше, чем второму. За какое
время может убрать помещение первый рабочий?
| Ответ: за 6 часов.
ЗАДАЧА 1.655 ........................................
а)	В школьном кооперативе две бригады должны были
изготовить по 180 книжных полок. Первая бригада в час :
изготовляла на 2 полки больше, чем вторая, и поэтому за-
кончила работу на 3 ч раньше. За сколько часов каждая 1
бригада выполнила задание?	।
Решение: Пусть х полок в час изготовляла первая бри-
гада, тогда (х — 2) полки в час изготовляла вторая брига-
да, ч работала первая бригада, ч работала вторая бри-
гада. Составляем уравнение: Ж - Ж = 3;	=
=	; х2 - 2х -120 = 0. Получаема» = 12, х2 = -10, но
х2 < 0, что невозможно. Первая бригада работала 15 ч, а
вторая 18 часов»	-
[Ответ: 15 ч, 18ч, ]
б)	На фабрике за смену в первом цехе сшили 320 костю-
мов, а во втором — 270 костюмов. В первом цехе шили в	j
час на 2 костюма меньше, чем во втором, и работали на 5 ч	f
больше. Сколько костюмов в час шили в первом цехе?	,
Решение: Пусть х костюмов в час шили в первом цехе, *
тогда (х + 2) костюма в час шили во втором цехе, ч ра-
ботали в первом цехе, ч работали во втором цехе. Сое- <
тавляем уравнение:^ =5;	х2 -8х'
х х+2	9 х(х+2)	х(х+2)	х(х+2) 9
—128 = 0. Получаем:Xj = 16, х2 = -8, нох2 < 0, что невоз-
можно.	|
I
228	1

Текстовые задачи.
Ответ: 16 костюмов в час.
ЗАДАЧА 1.656 ......................................
а)	Два портальных крана, работая вместе, разгрузили
баржу за 6 я. За какое время может разгрузить баржу, рабо-
тая отдельно, каждый кран, если одному из них нужно для
этого на 9 я меньше, яем другому?
Решение: Пусть за х я первый кран может разгрузить
баржу, тогда за (х + 9) я второй кран может разгрузить бар-
жу, у — такую яасть работы выполняет в яас первый кран,
3^5 — такую яасть работы выполняет в яас второй кран,
— такую яасть работы выполняют в яас два крана,
работая вместе. Составляем уравнение: т Ц— =' 6; *2х+9 = & ♦
х2-Зх-54 = 0. Получаем: Xi = 9, х2 =-6 , нох2<0, <гго
невозможно. Второй кран может разгрузить баржу за 18 ч.
Ответ: 9 ч, 18 ч. |
б)	Два грузовика, работая вместе, перевозили зерно в те-
чение 4 ч. За какое время перевезет то же количество зерна
каждый грузовик, если первому нужно для этого на б ч
больше, чем второму?
Решение: Пусть х ч необходимо для перевозки зерна
первому грузовику, тогда (х — 6) ч необходимо для перевозки
зерна второму грузовику,- — такую часть работы выпол-
няет в час первый грузовик, г — такую часть работы вы-
полняет в час второй грузовик, ±	— такую часть рабо-
ты выполняют в час два грузовика, работая вместе. Состав-
ляем уравнение: --Ц-- = 4;	= 4; х2 - 14х + 24 = 0 . Полу-
чаем: xj = 12, х2 = 2, нох2 < 6, что невозможно. Второму
грузовику для перевозки зерна необходимо 6 часов.
| Ответ: 12 ч, 6 ч. |
ЗАДАЧА 1.657 .....................................
а)	Две бригады рабочих при совместной работе затра-
тили на асфальтирование участка дороги 4,8 ч. Сколько
времени потребуется на асфальтирование этого участка
229
Текстовые задачи.
каждой бригаде в отдельности, если одной на эту работу
требуется на 4 ч больше, чем другой?
Решение: Пусть х ч требуется первой бригаде на асфаль-
тирование участка, тогда (х - 4) ч требуется второй бригаде
на асфальтирование участка,^— такую часть участка ас-
фальтирует первая бригада за час, — такую часть участ-
ка асфальтирует вторая бригада за час,-^ ч-~4 — такую часть
участка асфальтируют за час две бригады, работая вместе.
= 4,8;	= 4,8; 5х2 - 68х + 96 = 0.
ЛХ—4
Составляем уравнение: -щи
Получаем: Xj = 12, х2 = у, нох2 < 4, что невозможно. Вто-
рой бригаде на асфальтирование участка потребуется 8 часов.
Ответ: 12 ч, 8 ч. |
б)	Две бригады работниц сельскохозяйственного коопе-
ратива пропололи по 280 грядок, причем первая бригада,
пропалывая в день на 30 грядок меньше, чем вторая, рабо-
тала на 3 дня больше. Сколько дней работала на прополке
каждая бригада?_________
Ответ: 7 дней, 4 дня. |
ЗАДАЧА 1.658 ........................................
а)	Автобус, выехав из пункта А, движется на север и
приезжает в пункт В. Затем, повернув на запад он едет в
пункт С. Каково расстояние между пунктами А и С, если
расстояние между В и С на 1 км меньше расстояния между
А и С?
Решение: Пусть х км — расстояние между А и С, тогда
(х — 8) км — расстояние между А и В, (х — 1) км —
расстояние между В и С. Треугольник АВС прямоугольный
с гипотенузой АС, по теореме Пифагора имеем:
(х-8)2+(х-1)2 =х2 х2-18х + 65 = 0. Получаем: х^ = 13, х2 = 5 ,
но если АС = 5, то АВ = — 3, что невозможно.
| Ответ: 13 км.
б)	Гипотенуза прямоугольного треугольника меньше од-
ного из катетов на 6 см, а другой катет на 3 см больше пер-
вого. Найдите стороны треугольника.
Решение: Пусть х см — длина первого катета, тогда (х + 3)
см — длина второго катета, (х + 6) см — длина гипотенузы.
230
Текстовые задачи»
По теореме Пифагора получаем: х2 + (х + З)2 = (х + б)2 х2 - 6х -
-27 = О. Получаем: х{ = 9, х2 = -3, нох2 < 0, что невоз-
можно. Итак, первый катет 9 см, второй 12 см, а
гипотенуза 15 см.
I Ответ: 9 см, 12 см, 15 см. |
ЗАДАЧА 1.659 ........................................
а)	Один из катетов прямоугольного треугольника мень-
ше гипотенузы на 2 см. Сумма велечин трех сторон равна
12 см. Найдите эти стороны.
Решение: Пусть х см - длина первого упомянутого в
условии катета, тогда (х 4- 2) см — длина гипотенузы, т.к.
сумма длин трех сторон равна 12 см, то второй катет имеет
длину (12 ~ х — (10 - 2х) см. По теореме Пифагора
получаем: х2 + (10 - 2xf = (х + 2)2; х2 - Их + 24 = 0. Получа-
ем: Xi = 3, х2 = 8, но если первый катет равен 8 см, то вто-
рой равен 10 — 16 = — 6, что невозможно. Итак, первый
катет равен 3 см, второй 4 см, а гипотенуза 5 см.
| Ответ: 3 см, 4 см, 5-см. |
б)	Сумма длин гипотенузы и одного из катетов равна 9
см, а другой катет равен 3 см. Найдите гипотенузу и неиз-
вестный катет.
Решение: Пусть х см — длина гипотенузы, тогда (9 ~ х)
см — длина неизвестного катета, 3 см — длина другого ка-
тета. По теореме Пифагора получаем: (9-х)2 +32 = х2; 18х = 90;
х = 5 . Длина неизвестного катета равна 4 см.
Ответ: 5 см, 4 см.~]
ЗАДАЧА 1.660 ........................................
а)	Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 5 см.
Найдите его катеты, если один из них больше другого в 2
раза.
Решение: Пусть х см — длина меньшего катета, тогда 2х
— см длина большего катета. По теореме Пифагора полу-
чаем: х2 +(2х)2 = 52; 5х2 = 25; х2 = 5. Получаем:= V5, х2 =-х/5 %
нох2<0, что невозможно. Длина большего катета рав-
на 2^5 см.
231
Текстовые задачи.
Ответ: д/5 см, 2^5 см.
6)	В прямоугольнике одна сторона равна 9 см. Найдите
его диагональ, если она больше второй стороны прямо-
угольника в 2 раза.
Решение: Пусть х см — длина второй стороны прямо-
угольника, тогда 2х см — длина диагонали. По теореме Пи-
фагора, примененной к треугольнику, образованному двумя
соседними сторонами прямоугольника и его диагональю,
получаем: х2 + 92 = (2х)?; Зх2 = 81; х2 = 27. Получаем: Xj = Зд/З ,
Х2 = -Зл/З , но xj < 0, что невозможно. Длина диагонали
прямоугольника: 6л/з см.
Ответ: бл/з см.
ЗАДАЧА 1.661 .......................................
а)	В равнобедренной трапеции большее основание рав-
но 8 см. Площадь трапеции равна 20 см2 , меньшее основа-
ние в 2 раза меньше высоты трапеции. Найдите ее боковую
сторону.
Решение: Пусть х см — длина меньшего основания тра-
пеции, тогда 2х — длина высоты трапеции. Зная площадь
трапеции, составляем уравнение: 2х^^)= 20; х2 + 8х - 20 = 0.
Получаем: xj = 2, Х2 =-10, нох2 < 0, что невозможно. Высота
трапеции равна 4 см. Обозначим ЛЯ меньшее основание
трапеции ABCD, CD — большее, AD и ВС — боковые сто-
роны, пусть Л' и Я' проекции точек А и В на большее осно-
вание трапеции. ЛЛ'= 4 — высота трапеции, А'В' = 2,
ЛЛ' = Я'С, значит ЯЛ'= (8 - 2) : 2 = 3 см. Треуголь-
ник ADA1 прямоугольный с гипотенузой ЛД следовательно,
по теореме Пифагора: AD = л/32 + 42 = л/25 = 5 (см).
| Ответ: 5 см. |
б)	Одна из диагоналей ромба в 0,75 раз больше другой.
Площадь ромба равна 96 см 2 . Найдите сторону ромба.
Решение: Пусть х см — вторая диагональ ромба, тогда
0,75х см — первая диагональ ромба. Зная площадь ромба,
составляем уравнение:	96; 0,75х2 = 192; х2 = 256.
Получаем:xi= 1^X2 =-16, нох2<0, что невозможно. Пер-
232
Текстовые задачи.
вая диагональ ромба имеет длину 12 см. Обозначим верши-
ны ромба А, В, С, D по порядку, и чтобы АС была большей
диагональю, за О обозначим центр ромба. АО = ОС = 8,
ВО = OD — 6. Треугольник АОВ прямоугольный с гипоте-
нузой АВ. По теореме Пифагора: Л5=х/б2+82 = х/1бб=10(см).
| Ответ: 10 см.
ЗАДАЧА 1.662 ........................................
а)	Площадь прямоугольного треугольника равна 180
см2 . Найдите катеты треугольника, если один катет боль-
ше другого на 31 см.
Решение: Пусть х см — длина первого катета, тогда х —
31 см — длина второго катета. Зная площадь треугольника,
составляем уравнение:	= 180; х2 + 31х - 360 = 0. Полу-
чаем: Xj =40^ =-9, нохз<0, что невозможно. Длина вто-
рого катета равна 9 см.
| Ответ: 40 см, 9 см.
б)	Площадь прямоугольника равна 84 см2. Найдите
стороны прямоугольника, если одна сторона меньше другой
на 5 см._____________
[Ответ: 7 см, 12 см7"
ЗАДАЧА 1.663 ........................................
а)	В прямоугольном треугольнике один -из катетов на 3
см меньше гипотенузы, а другой на 6 см меньше гипоте-
нузы. Найдите площадь этого треугольника.
Ответ: 54см 2.
б)	Найдите площадь прямоугольного треугольника, если
его гипотенуза равна 20 см, а один катет составляет 75%
другого.
Решение: Пусть х см — длина одного из катетов, тогда
0,75х см — длина другого катета. По теореме Пифагора по-
лучаем: х2 + (0,75х)2 = 202;	_ 400; х2 = 256 . Получаем:
Xi = 16, Х2 = -16, нох2 < 0, что невозможно. Второй катет
равен 12 см, а площадь равна половине произведения длин
катетов, т.е. 96 см2 .
Ответ: 96 см 2 .
< 233
Текстовые задачи.
ЗАДАЧА 1.664 .....................................
*) В прямоугольном Треугольнике сумма гипотенузы и
одного из катетов равна 16 см, а другой катет равен 8 см.
Найдите гипотенузу, первый катет и площадь треугольника.
| Ответ: 10 см, 6 см, 24 см 2 .]
6)	В прямоугольном треугольнике сумма катетов равна
17 см, а длина гипотенузы 13 см. Найдите катеты и пло-
щадь этого треугольника.______
Ответ: 12 см, 5 см, 30 см 2 .
ЗАДАЧА 1.665
а)	От турбазы до озера 8 км. Дорога сначала идет в гору,
затем лесом, потом под гору. До озера туристы шли 1 ч 27
мин, а обратно 1 ч 50 мин. Скорость их в гору 4 км/ч, ле-
сом 5 км/ч, а под гору 6 км/ч. Сколько километров шли ту-
ристы лесом в одном направлении?
Решение: Пусть х км шли туристы по лесу в одном
направлении, у км шли туристы в гору по дороге от турбазы
до озера, и, соответственно, у км шли туристы под гору по
дороге от озера до турбазы, тогда (8 — х —у) км шли туристы
под гору по дороге от турбазы до озера, и, соответственно,
8 — х —у км шли туристы в гору по дороге от озера до
турбазы. Составляем систему уравнений:
2х + 5у = 7
Зх + 5у = 9 ‘
Вычтя из второго уравнения первое, по-
лучаем: х = 2.
| Ответ: 2 км. |
б)	Из города в деревню вышел пешеход. Через 45 мин
после его выхода в том же направлении выехал велоси-
педист. Спустя полчаса он был на расстоянии 2,5 км поза-
ди пешехода, а еще через полчаса велосипедист был на
полкилометра от деревни дальше, чем пешеход. Какова
скорость пешехода и велосипедиста, если расстояние от го-
рода до деревни 30 км?
| Ответ: 6 км/ч, 10 км/ч. |
ЗАДАЧА 1.666 ..............................
234
Текстовые задачи.
а)	Произведение двух чисел равно 10, а их сумма состав-
ляет 70% от их произведения. Найдите эти числа.
Решение: Пусть х — одно число, а у другое, тогда ху =
= 10, а х + у = 7. Составляем систему:	„. Выразим
|х+у = 7
из второго уравнения у и подставим его в первое: у = 7 — х,
х (7 — х) = 10, х2 - 7х + 10 = 0 . Получаем: xj = 5, х2 = 2 ,
если первое число равно 5, то второе равно 2, и наоборот,
если х = 2, то у ~ 5.
[Ответ: 5; 2. |
б)	Если разделить возраст старшего брата на возраст
младшего, то получится |, а сумма их возрастов равна 30.
Сколько лет каждому брату?
Ответ: 16 лет, 14 лет7|
ЗАДАЧА 1.667 .......................................
а)	Во время соревнования по стрельбе одна из команд
поразила на 72 мишени больше другой. Определите, сколь-
ко мишеней поразила каждая команда, если отношение ко-
личества мишеней, пораженных одной командой, к коли-
честву мишеней, пораженной другой, равно отношению
суммы мишеней, пораженных первой командой, и утроен-
ного количества мишеней, пораженных другой командой, к
разности мишеней, пораженных каждой командой.
Решение: Пусть х мишеней поразила первая команда,
тогда (х — 72) мишени поразила вторая команда. Исходя из
условия задачи, составляем уравнение:	=
=	2));х2 - 144х+3888 = 0. Получаем:х{ = 108, х2 =36,
но если первая команда поразила 36 мишеней, то вторая
36 — 72 = — 36, что невозможно. Итак, первая команда
поразила 108 мишеней, а вторая 36 мишеней.
[ Ответ: 108 мишеней, 36 мишеней. |
б)	Одна баскетбольная команда забросила на 36 мячей
больше другой. Определите, сколько мячей забросила каж-
дая команда, если отношение суммы мячей, забитых выиг-
равшей командой, и утроенного количества мячей, забро-
шенных проигравшей командой, к количеству мячей, заби-
235
TffKwwp.MsagaL
тых выигравшей командой, равно отношению разности за-
битых мячей к количеству мячей, заброшенных проиграв-
шей командой._____________
| Ответ: 54 жячд, 18 мячей. |
ЗАДАЧА 1.668 .........................................
а)	Масса туриста с рюкзаком в 5 раз больше массы од-
ного рюкзака. Определите массы рюкзака и туриста в от-
дельности, если сумма масс двух рюкзаков и массы туриста
равна 120 кг.
Решение: Пусть ж кг весит турист, а у кг весит рюкзак.
Исходя из условия задачи, составляем систему уравнений:
|х + у = 5у Вычитая из второго уравнения первое, полу-
lx + 2у • 120
чим: у - 120 — 5у, у = 20. Тогда х = 120 — 40 = 80 (кг).
| Ответ: 80 кг, 20 кг~]
б)	Шесть метров новой веревки имеют такую же массу,
как и пять метров старой. Найдите массу 1 метра новой и
старой веревки в отдельности, если 13 м новой и 12 м ста-
рой веревки вместе весят 5 кг 480 г.
| Ответ: 200 г, 240 г ~|
ЗАДАЧА 1.669 ......................................
а) Если двузначное число разделить на произведение его
цифр, то в частном получится 1, а в остатке 16. Если же к
квадрату разности цифр этого числа прибавить произведе-
ние его цифр, то получится заданное число. Найдите это
число.
Решение: Пусть х — число десятков числа, а у — число
единиц, тогда Юх + у — данное число, ху — произведение
цифр данного числа. Т.к. разность цифр возводится в квад-
рат, то(х - у/ = (у - х)2. Исходя из условия задачи, состав-

ляем систему:
10х + у«лу +16	„	, л
,	Легко видеть, что(х-ур +
(x-yj +Хуж10х + у
+ху = ху + 16 , откуда:(х-у)2 =16. Получаем: х-у = 4 ил и
х-у=-4. Рассмотрим два случая: 1)х-у=4 т.е.у=х-4. Под-
ставим это выражение вместо у в первое уравнение: 10х+х-
-4 = х(х - 4) +16, х2 - 15х + 20 = 0. Получаем: Х| =	,
236
Т^хто^хзаШь.
х^ = 15^61, но Xj и х2 не являются целыми, а потому не мо-
гут быть цифрами данного числа. 2)х-у=-4 т.е.у=х+4. Под-
ставим это выражение вместо у в первое уравнение: 10х +
+х+4 = х(х+4)+16,х2-7х+12 = 0. Получаем: xt =4,х2 = 3.
Получаем у\ = 8, у2 = 7. Т.е. искомое число 48 или 37.
Ответ: 48 или 37
6) Если двузначное число разделить на произведение его
цифр, то в частном получится 3, а в остатке 9. Если же из
квадрата суммы цифр этого числа вычесть произведение
его цифр, то получится данное число. Найдите это число.
Ответ: 63.
ЗАДАЧА 1.670 .......................................
' а) Площадь прямоугольника 60 см2, а его диагональ
равна 13 см. Найдите периметр прямоугольника.
Решение: Пусть х см — длина большей из сторон пря-
моугольника, у см — длина меньшей из сторон прямо-
угольника. По теореме Пифагора:х2 ч-у2 = 132, ху = 60— пло-
щадь прямоугольника, из этих соотношений получаем: х2 +
ч-у2 -2ху = 169-120, (х-у)2 = 49. Т.к. х — большая сторо-
на, то х-у >0, и значитх-у = 7, т.е.у=_х-7. Получаем:
х(х-7) = 60, х2-7х-60 = 0. Получаем:Xj = 12, х2 = -5, но
х2 < 0, что невозможно. Вторая сторона имеет длину 12 —
- 7 — 5 (см). Периметр равен 12 + 12 + 7 + 7 = 38 (см).
Ответ: 38 см.
б) Площадь прямоугольника равна 72 см2 , а его пери-
метр равен 36 см. Найдите стороны прямоугольника.
Ответ: 12 см, 6 см.
ЗАДАЧА 1.671 .......................................
а)	За 5 м одной и 5 м другой ткани было заплачено
100 денежных единиц. Найдите стоимость одного метра
каждой ткани, если 4 м одной стоит столько же, сколько
6 м другой.
237

Ответ: 12 единиц, 8 единиц.
6)	За 8 кг апельсинов и 8 кг яблок было заплачено 256
денежных единиц. Найдите стоимость 1 кг продукта, если
известно, что 2 кг апельсинов стоят столько же, сколько 6
кг яблок._________________________
| Ответ: 24 единицы, 8 единиц. |
ОГЛАВЛЕНИЕ
Арифметика, алгебраические преобразования.......... 5
Уравнения, неравенства, системы уравнений
и неравенств.................................... 40
Степени и корни. Прогрессии и последовательности.... 71
Функции и графики. Квадратный трехчлен............104
Тригонометрические преобразования.................172
Текстовые задачи..................................203
и
Классическая учебная литература
Л. Звавич, Б. Пигарев, Д.. Аверьянов, Т. Трушанина,
Б. Козулин, С. Шилейко
МАТЕМАТИКА
9 класс
Письменный экзамен
Редакторы:
Б. Козулин, С, Шилейко
Изд. лиц. № 065136 от 29.04.97.
Подписано в печать 10.03.98. Формат 84x108/32.
Бум. газетная. Гарнитура тайме. Печать высокая.
Усл. печ. л. 12,60. Тираж 10 000 экз.
Заказ 99
ООО «Книгочей». 432048, г. Ульяновск, ул. Кирова, 30.
Текст отпечатан
во Владимирской книжной типографии
Комитета Российской Федерации по печати
600000, г. Владимир, Октябрьский проспект, 7
Качество печати соответствует качеству
представленных диапозитивов.
ISBN 5-85525-009-1
785855
250091
9