НАЧАЛА АНАЛИЗА
10-11
классы
ЗАДАЧНИК
для общеобразовательных учреждений
2-е издание, исправленное
Допущено
Министерством образования
Российской Федерации
Москва 2001

г
УДК 373.167.1:512+517.1
ББК 22.141я721+22.161я721
А45
Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: Задачник для
А45 общеобразоват. учреждений / А. Г. Мордкович, Л. О. Дени-
щева, Т. А. Корешкова, Т. Н. Мишустина, Е. Е. Тульчин-
ская. — 2-е изд., испр. — М.: Мнемозина, 2001. — 315 с: ил.
ISBN 5-346-00045-3
Предлагаемый задачник по курсу «Алгебра и начала анализа» в 10—11
классах соответствует одноименному учебнику. В каждом параграфе задач-
задачника представлена разнообразная система упражнений, включающая
четыре уровня — по степени нарастания трудности.
УДК 373.167.1:512+517.1
ББК 22.141я721+22.161я721
© «Мнемозина», 2000
© «Мнемозина», 2001
© Художественное оформление.
«Мнемозина», 2001
ISBN 5-34§ИК}045-3. Все права защищены
ПРЕДИСЛОВИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ
Издательство «Мнемозина» выпускает комплект из четырех
книг для 10-11 классов общеобразовательной школы:
А.Г. Мордкович. Алгебра и начала анализа. Учебник.
А.Г. Мордкович и др. Алгебра и начала анализа. Задачник.
А.Г. Мордкович. Алгебра и начала анализа. Методическое по-
пособие для учителя.
А.Г. Мордкович, Е.Е. Тульчинская. Алгебра и начала анали-
анализа. Контрольные работы.
Перед вами — задачник, названия его глав и параграфов в точ-
точности соответствуют учебнику.
Во всех параграфах достаточно материала для работы с учащи-
учащимися на уроках (в том числе для устного решения примеров), про-
проведения самостоятельных работ, выполнения домашних заданий.
Как правило, в каждом номере содержится по 2 или 4 примера с
таким расчетом, чтобы примеры а) [или а) и б)] разбирались в клас-
классе, а примеры б) [или в) и г)] включались в домашнее задание.
К отбору материала и его расположению авторы подходили
очень тщательно. В каждом параграфе упражнения рассредоточе-
рассредоточены по отдельным подтемам, соответствующим теоретическому ма-
материалу учебника; внутри подтем достаточно четко выдерживает-
выдерживается линия нарастания трудности. Это позволит учителю осуществ-
осуществлять дифференцированный подход к обучению.
Задач и упражнений в задачнике избыточно много. Идя на это,
авторы хотели предоставить учителю объемный и разноплановый на-
набор упражнений с тем, чтобы ему не пришлось искать дополнитель-
дополнительный материал в других учебных пособиях и у него была бы воз-
возможность выбора. Разумеется, далеко не все упражнения должны
быть решены учениками в классе, дома или в порядке повторения.
В каждом параграфе упражнения сконцентрированы по двум
блокам. Первый (до черты) содержит задания базового и среднего
уровней трудности; номера примеров среднего уровня трудности
снабжены значком О, к этим номерам даны ответы в конце задач-
задачника. Второй блок упражнений (после черты) включает дополни-
дополнительные задания среднего уровня трудности и задания повышен-
повышенной трудности. Номера трудных примеров отмечены значком •,
ряд этих примеров (в основном те, которые трудны не с техничес-
технической, а с теоретической точки зрения) решены в пособии для учите-
учителя (третья книга указанного выше комплекта). Практически ко
всем примерам второго блока даны ответы.
1* 1

Таким образом, в задачнике вы найдете упражнения четырех
уровней трудности. Не исключено, что в ряде случаев вы не согла-
согласитесь с нами в оценке трудности того или иного задания (напри-
(например, задание помещено в параграфе после черты, а вам представ-
представляется, что его место — до черты). Это вполне возможно, поскольку
определение уровня трудности задания — процедура до некоторой
степени субъективная.
Особое положение в задачнике (как и в учебнике) занимает 8-я
глава, посвященная уравнениям, неравенствам и системам урав-
уравнений. Это, по сути дела, набор упражнений для итогового повто-
повторения, расширения и углубления соответствующих представлений
учащихся, для подготовки к выпускным экзаменам в школе и всту-
вступительным экзаменам в высшие учебные заведения. В этой главе
практически нет легких примеров даже до черты, поэтому ответы
даны ко всем номерам и значок О отсутствует (за ненадобностью).
В указанной главе достаточно много трудных заданий. Будете вы
разбирать их с учащимися или нет, решать вам. При желании часть
материала 8-й главы можно использовать, соответственно, при
изучении предшествующих разделов.
Хотя задачник составляет единое целое с упомянутым выше
учебником, его при желании могут использовать и учителя, рабо-
работающие по другим учебникам алгебры и начал анализа.
Авторы
Глава
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
ФУНКЦИИ
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
Горизонтальный диаметр СА и вертикальный диаметр DB
разбивают единичную окружность на четыре четверти: АВ — пер-
первая, ВС — вторая, CD — третья, DA — четвертая (рис. 1). Опира-
Опираясь на эту геометрическую модель, решите следующие задачи.
—
У
/
с
V
_р
>
г
С
]
0
3
D
м
К.
у
S
N
\
\
}
1
А
)
Рис.1
1. Вторая четверть разделена по-
пополам точкой М, а третья чет-
четверть разделена на три равные
части точками КъР. Чему рав-
равна длина дуги: AM, ВК, МР,
DC, КА, ВР, СВ, ВС?
2. Первая четверть разделена на
две равные части точкой М, а
четвертая разделена на три рав-
равные части точками К и Р. Чему
равна длина дуги: AM, BD, СК,
МР, DM, MK, CP, PC?
3. Первая четверть разделена точкой М в отношении 2 : 3. Чему
равна длина дуги: AM, MB, DM, MCI
4. Третья четверть разделена точкой Р в отношении 1:5. Чему
равна длина дуги: CP, PD, АР?
5. Дуга АВ разделена пополам точкой М. Найдите диаметраль-
диаметрально противоположную точку N на окружности. Чему равна
длина дуги AN?

6. Можно ли на единичной окружности найти такую точку Е,
для которой:
&)АЕ = 2; в)АЯ=6,2;
б)АЕ = 5; г)АЯ = 6,3?
7. К радиусу ОА проведен серединный перпендикуляр MN
(рис. 1). Чему равен центральный угол АОМ? Определите
длину хорды MN, длины дуг AM, MB, AN, NA.
8. К радиусам ОА и ОС проведены серединные перпендикуля-
перпендикуляры MN и PQ соответственно (рис. 1). Докажите, что точки А,
М, Р, С, Q, N делят окружность на шесть равных дуг.
§ 2. ЧИСЛОВАЯ ОКРУЖНОСТЬ
Найдите на числовой окружности точку, которая соответ-
соответствует заданному числу:
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
a)
a)
a)
a)
a)
a)
a)
a)
л .
2'
7л;
л
3'
2л.
3 '
4л.
3 '
л .
12'
л
2'
25л
4 '
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
л;
4л;
л.
4'
Зл
4 '
5л.
3 '
5л.
12'
2л
3 '
26л.
в)
в)
в)
в)
в)
в)
в)
в)
Зл.
Т'
Юл;
~Е'
5л.
6 '
7л.
6 '
Зл
8 '
-2л;
25л.
6 '
г)
г)
г)
г)
г)
г)
г)
г)
2л.
Зл.
л
8*
5л
4 '
11л
6 "
5л
8 "
Зл
16п
3 '
17. Как расположены на координатной прямой и на числовой
окружности точки, соответствующие числам:
а) t и - t; в) t и t + я;
б) t и t + 2nk, keZ; г) t + л и t - я?
18. Найдите все числа, которым соответствует на числовой ок-
окружности точка:
a)
б) М2E); в) М3
Зл
г) М4(-3).
19. Найдите все числа, которым соответствуют на числовой ок-
окружности заданные точки (рис. 1):
а) А; б) С; в) А и С.
20. Найдите все числа, которым соответствуют на числовой ок-
окружности заданные точки (рис. 1):
а) В;
б) D;
в) BnD.
21. Найдите наименьшее положительное и наибольшее отрица-
отрицательное числа, которым на числовой окружности (рис. 1) со-
соответствует:
а) точка А;
б) точка В;
в) точка С;
г) точка D.
22. Найдите на числовой окружности точку, которая соответ-
соответствует числу:
а) 1; б) -5; в) 4,5; г) -3.
Какой четверти числовой окружности принадлежит точка,
соответствующая числу:
23. а) 6; б) 2; в) 3; г) 4.
24. а) 5; б) -5; в) 8; г) -8.
25. а) 10; б) -17; в) 31; г) -95.
Найдите все числа t, которым на числовой окружности
(рис. 1) соответствуют точки, принадлежащие указанной от-
открытой дуге:
26. a) AM, в) МА,
б) СМ; г) МС.
(М — середина первой четверти).
27. a) DM, в) MD,
б) BD; г) DB.
(М — середина второй четверти).
7

28. aJA^M.,; б) МАМХ; в) М3М2; г) MtM3.
(Mv Мг, Mv M4 — середины соответственно первой, второй,
третьей и четвертой четвертей).
§ 3. ЧИСЛОВАЯ ОКРУЖНОСТЬ
НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ
Центр числовой окружности совпадает с началом координат
на координатной плоскости хОу. Найдите декартовы координаты
заданной точки:
29.
30. а) МBя); б) ^[--yl; в) Л*(^1; г) мA5л).
32. a) Щ—j;
31. a) M^fy б) м[^У в) M(lft); г) м(^).
в) М -
б) М|-§1*|;
Найдите наименьшее положительное и наибольшее отрица-
отрицательное числа, которым на числовой окружности соответствует
точка с координатами:
33. а) М\Ц-; |1;
34. а) м|1; ^|;
b)M|-|;-^|;
Найдите на числовой окружности точки с данной ординатой
и запишите, каким числам t они соответствуют. /
35. а) У = &1
36. a)i/ = -^; 6)i/ = l; B)i/ = -^f; r)i/ = -l.
2 2
Найдите на числовой окружности точки с данной абсциссой
и запишите, каким числам t они соответствуют.
37. а)* = ^;
38. a)x = 0;
в)х = 1;
г)' х = &.
/ч
= -±±; г)х = -1.
39. Имеется/ли на числовой окружности точка, абсцисса (орди-
(ордината) которой равна:
а) 0,7;
б)|;
г) 1,27?
Укажите знаки абсциссы и ординаты точки числовой окруж-
окружности:
40. а) ЕB); б) КD); в) F(l); r)LF).
41. а)МA2); б)ЛГA5); в)РD9); r)QA00).
На числовой окружности укажите точку М, координаты ко-
которой удовлетворяют данным условиям, и найдите все числа, ко-
которым соответствует эта точка:
42. а) г/ = -4г» *<<>; в) v = \> *>°;
б) j/ = -|, х<0;
43. &)х = ^-, у>0;
г) У = -&, х>0.
б) * = ~
.
= ~"|' г/>0-

Найдите на числовой окружности точки с абсциссой или ор-
ординатой, удовлетворяющей заданному неравенству, и запишите
(с помощью двойного неравенства), каким числам * они соответ-
соответствуют:
44. а)*>0;
0.
45. &)х<Ц-;
2
46. а) х<&; б) х<-^-; в) х>^-; г) х>-&.
47. а)у>0;
в) г/ >^; г) у < 0.
48. a)j,<^; б) у >-*f;
49. a)«/<4;
§ 4. СИНУС И КОСИНУС
Вычислите sin * и cos *, если:
50. а) * = 0; б) * = |;
51. а)* = -2л; б)* = ~?;
г) * = л.
г) * = -л.
52. а) * = -521;
6
53. &)t = --f;
54.
!
«м--»,
8л.
6
I
4
23л.
5л
10
Вычислите:
О55.
б) cos— • cos— ¦ cos—
6 4 3
r) sin- ¦ sin- ¦ sin- • sin-.
' 6 4 3 2
О56. a) sinf-—J + cosf--J + sin--cos-| + cosO-sin|;
6) cos^ + cos^ + sin^ ¦ sin^ • cos^.
3 3 2 8 2
О 57.
О58.
О 59
60.
О61.
О 62
Найдите значение выражения:
a) cos2*,
б) sin—, если t - -—;
2 3
в) sin2f, если t = —;
6
г) cos—, если* = -—.
a) sin21 - cos21, если t = —; в) sin21 - cos21, если t = —;
6) sin2 * + cos21, если* = —;
4
г) sin2 * + cos2 *,
о
Найдите наименьшее и наибольшее значения выражения:
a) 2sinf; б) 3 + 4cosf; в) -3cosf; г) 3-5sin*.
Упростите выражение:
а) 1-sin2*;
б) 1 - cos21;
в) 1 + sin21 + cos21;
г) sin* - sin t cos21.
а) (sin*-cos*J +2sin*cos*;
б) (sin* + cos*J -2sin*cos*.
Вычислите:
а) sin2(l,5 + 2jifc) + cos2l,5 + cos -— +sin -— ;
б) cos2f- + 4n) + sin2fi- 44я1.
11

Решите уравнение:
63. a) cos* =
2 '
б) sin* = --;
2
64. a) sin* = -^;
б) cos* = л/3;
в) cos* = —;
г) sin* = ^i.
b)cos* = -^1;
Г)
Г) 2 '
65. Синус какого числа из отрезка | — *, * | равен:
аH; 6I;
66. Косинус какого числа из отрезка [0, я] равен:
аH; 6I; в) --|; г) -^'
67. Решите уравнение:
a)sin* + l = 0; B)l-2sin* = 0;
6) cos*-1 = 0;
г) 2cos* + l = 0.
68. Укажите все значения *, при которых не имеет смысла выра-
выражение:
а)
sin t -1
cost
6)
cos t + 5 .
2sint-l'
в)
cost .
1 - sin t!
r)
sint
1 + cos t
Определите знак числа:
69. a) sin4*;
sin^; r) sin(~^\
8 V 8
70. a) sin (-2); 6) cos 3; в) sin 5; r)cos(-6).
71. a)sinlO; 6) cos (-12); в) sin (-15); r) cos 8.
72. a)sinlcos2; в) cos2sin(-3);
12
73. Упростите выражение:
а)
sin2t
1 + cost
6) sin4* + cos4t + 2sin2t cos2*;
в)
cos2t
+ sin*;
1 + sint
г) cos4* + cos2* sin2* - cos2* + 1.
Решите уравнение:
74. a) 10sin* = V75;
6) V
в) 8соз*-л/32 = 0;
г) 8cos* = -V48.
75. a) sin2 - + cos2 - - V2 sin * = 0;
6) J- cos* = cos21 + sin21.
76. a) |sin*| = 1; в) |cos*| = 1;
r) Vl - cos2 * = 2—.
6)
sin2 * = i;
77. Вычислите:
a)
Я 1 ( 1l
— +cos —
6) sin 2 + sinB +л) + cos2 -— +sin2—.
; I 12j 12
78. Имеет ли смысл выражение:
a) Vsin 10,2л;
в)
6) Vcos1,3ji; г) ^cos(-6,97i)?
Решите неравенство (относительно переменной я):
79. a) cos2-B*-l)<0; 6) cos3cos5 -(ж2 -4)< 0.
80. a) (cos*-5)C*-l)>0; 6) B + sin*)-(9-*2)> 0.
13

81. Сравните числа а и Ъ, если:
а) а = sin—, b = sin—;
б) а = cos2, Ъ = sin2; г) а = sinl, b = cosl.
82. Не выполняя вычислений, определите знак разности:
в) а = cos-*-, Ъ = cos-*-;
8 3
У У 8 4
б) sinl-sin 1,1; г) cosl-cos 0,9.
83. Расположите в порядке возрастания числа:
а, Л.5, *!. *,Й. .щЙ. Sinf,
б) cosl, cos«, coe6lt CO.S», coeIS.
8 3 6 4 4
•84. a) sin 2, sin3, cos 4, cos 5;
6) cos3, cos 4, cos 6, cos 7;
•85. Вычислите:
а) л/
в) sin3, sin4, sin6, sin7;
r) cos 2, cos3, sin 4, sin 5.
1 + sin2 2 - 2sinl sin2 +
J- - si
sinl + sin21 +
+ sin22-2sin2;
6) Vcos2 6 + cos2 7 - 2cos6cos7 + J- - cos7 + cos2 7 +
+ Vl + cos26-2cos6.
86. Докажите тождество:
а) sinGt- t)= sint;
б) smBn-t)=-sint;
в) cos(n - t) = - cos t;
r) cosBn-t)= cost.
Решите неравенство:
87. a) sint > 0; 6) sint < —; в) sint < 0; г
88. a) cost > 0; 6) cost < —; в) cost < 0; r) cost >
14
89. a) sin* <--;
2
в) sint >--;
2
6)sint>--;
90. a) cost>-^;
6) cost < —;
91. a) sint <-;
6)
r) sint<-^f.
в) cost<-^;
r) cost > —.
в) sint > -—;
r) cost<^.
§ 5. ТАНГЕНС И КОТАНГЕНС
Вычислите:
92. a)
93.
б) ctg^; в) tg^;
6)ctg|-||;
94.
6)ctgf-tgf;
t/Э. 41J tg— * Sill— Ctg—j
4 3 6
6Jsin|.cosf-Itgf;
96. a) tgf ctgf;
5 5
6) 3tg2,3ctg2,3;
г)
B)tgfctgf;
6 6
в) 2зтл +Зсозл +ctg—;
r) 2tgO + 8cos—-6sinf.
2 3
15

О 97. a)
,5 + cos27i-sin2?-cos2-?;
8 8
б) sin2 — -2tgl- ctgl + cos2(-—) + sin2 —.
98. Определите знак числа:
a) tgf;
в) tgf;
6) ctgi^L;
99. Докажите тождество:
а) sin* ctgt = cos*;
б) sin? =
tgt
0100. Упростите выражение:
а) sin*-cos* tg*;
б) sin* -cos* ctgt -1;
r) ctgl^.
в) cos*-tgf = sin*;
r)
ctg*
=
в) sin2*-tg*ctg*;
. 1 - cos21
Г' l-sin2t'
101. Докажите равенство:
Определите знак выражения:
102. a)cos^-tg^;
6) tgl-cos2;
103. a) sinl • cos 2 • tg 3 • ctg 4;
6) sin(- 5) • cos(- 6) • tg(- 7) • ctg(- 8).
104. Докажите тождество:
а) 1 + tg2 * = cos *;
б) 1 + ctg2 * = sin *;
r) sin2-ctg5,5.
в) sin2*(l + ctg2*) =
r) cos2f(l + tg2 t) =
105. a) tg(n-t) = -tgt;
6) tgBn + t) = tgt;
в) ctg (n-t) =-ctgt;
r)
в) (l-si
r) (l-cos2f)(ctg2f
106. Упростите выражение:
а) cos21 tg21 - sin21 cos21;
б) 1-cos2* + tg2*cos2*;
., __ _ cos21 - sin21
107. Выразите : через:
cos t sin t
a)tg t; 6)ctg *.
• 108. Расположите в порядке возрастания числа:4
а) 1, sin I, cos I, tg 1;
б) 2, sin 2, cos 2, ctg 2.
• 109. Решите неравенство:
а) ctg5-(*-l)>0;
б) М1??Е!B*2-72)<0;
sinl
в) (tg2sin5)-G-5*)<0;
г) tglctg2tg3ctg4-(*2+2)>0.
§ 6. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТА
Упростите выражение:
110. a) 1-sin2*;
6) cos2 * -1;
111. a) (l-sin*)(l + sin*);
6) cos2 * +1-sin2*;
119 „I — 1-
cos2 *
,. l-sin2t
6) 9 »
COS'' *
113. a) (^n< +costJ.
1+ 2sintcost'
в) 1 - cos2 *;
r) sin2 * -1.
в) (l-cos*)(l + cos*);
r) sin2* + 2cos2*-l.
вI-—'
r)
sin21'
1 - cos21
1 - sin21
„v 1 - 2 sin t cos *
6) 7 y--
(cost-sin*f
16
17

114. Докажите тождество:
cos2t
а)
1 -sint
-sin* = 1;
б)
1 + cost
0115. Докажите, что при всех допустимых значениях t выражение
принимает одно и то же значение:
a) (sint + costj - 2sintcost;
6)
2-sin2t-cos2t
3sin21 + 3coe2t'
в) sin41 + cos4 t + 2 sin21 cos21;
r)
sin4 t- cos4t
sin21- cos21'
По заданному значению функции найдите значения осталь-
остальных тригонометрических функций:
О116. a) sinf = ¦?, -
5 2
13'
0117. a) cos* = 0,8,
б)
-
в) sin* = -0,6, --<*<0;
г) sin* = -0,28, л < t < —.
в) cosi = 0,6, —<t<2n;
г)
25
О118.
6)
О119. a) ctgi = ^, 7t<*<-^
5 2
18
r)tg * = --,—<*<2jc;
3 2
A, ±
r)
Найдите наименьшее и наибольшее значение функции
s = f(t), если:
0120. a) f(t) = 1 - (cos21 - sin21);
б) /(t) = 1 - sinf • cost ¦ tgt;
в) /(t) = cos2 i • tg21 + 5 cos2 f -1;
r) f(t) - sint + 3sin21 + 3cos21.
Упростите выражение:
121.
sint
6) ctg2 f - (sin-21 -
в) cos21 - (ctg2 t + l) • sin2 t;
ч^тл**"""-
122.
1 + COS t 1 - COS t '
6) ctg2t(cos2f-l)+l;
123. a) Csint
6) (tgt-a.
cost cost
1 + sint 1-sint'
Dsinf-3cosfJ;
в) sinf cosf(tg* + ctgf);
r) sin21 cos21 (tg21 + ctg21 + 2).
125. a)
6)
Докажите тождество:
tgt
tgt + ctgt
1 + tgt
= sin21;
= cos2
1 + ctgt
= tgt;
126. a) l + sini =
cost + ctgt
ctgt
Лч sint +tgt
6) s_ = i + Cosf;
tgt
B) _^_ = cos^
' tgt + ctgt
в)
r)
1-tgt
1-sint _ cost
cost 1 + sint'
sint 1 + cost
1-cost sint

127.
=
)
ctgt - siat cost
6) sin3 t(l + ctgt) + cos3 t(l + tgt) = sint + cost;
tgf-sinfcosf
. 1-4 sin21 cos21 o . . . n
r) ~7 rj—+ 2sinfcosf = 1.
(sinf + cosf)
128. а)Дано: sinD7i + t) = -, 0<t<-. Вычислите tg(n-t).
б) Дано: cosBn + f) = —, — <t<2л. Вычислите ctg(n-t).
v ' 13 2 v ;
129. а) Дано: cos* = —^, 8,5л <t < 9л. Вычислите sin(-f).
б) Дано: sinf = —, — < t < 5л. Вычислите cos(-f) + sin(-f
130. а) Известно, что sin* + cos* = 0,8. Вычислите sint cos t.
131.
• 132.
• 133.
• 134.
б) Известно, что sin* - cosf = -i-. Вычислите 9sin* cos*.
3
Известно, что tgt + ctgt = 2,3. Вычислите tg2 t + ctg2 t.
Вычислите sin41 + cos4 t, если sin t cos t = -0,5.
Вычислите sint + cost, если tg?-~ = —— и 0<?<—.
tgt 12 2
Постройте график функции:
а) у - cos2 x + sin2 jc; в) У = sin2 Vj^ + cos2 >[x;
б) у = cos2 — + sin2 —; r) у = sin2 —-— + cos2 —-—.
x x ' хг -4 *2-4
§ 7. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
УГЛОВОГО АРГУМЕНТА
Переведите из градусной меры в радианную:
135.
136.
20
а) 120°;
а) 210°;
б) 220°;
б) 150°;
в) 300°;
в) 330°;
г) 765°.
г) 675°.
Переведите из радианнои меры в градусную:
137.
138.
139.
140.
0141.
0142.
0143.
144.
145.
а)
4
5л
б)-г;
5
г» ^.
8 ' 12' 12 ' 9
Вычислите since, cosa, tga, ctga для заданного значения угла а:
а) 90°; 6I80°; в) 270°; г) 360°.
а) 30°; 6I50°; в) 210°; г) 240°.
Расположите в порядке возрастания числа:
sin 40°; sin 80°; sin 120°; sin 160°.
cos 40°; cos 80°; cosl20°; cos 160°.
sin 20°; sin 110°; sin 210°; sin 400°.
Найдите сторону х прямоугольного треугольника, изобра-
изображенного на данном рисунке:
а) рис. 2; 6) рис. 3; в) рис. 4; г) рис. 5.
а) рис. 6; б) рис. 7; в) рис. 8; г) рис. 9.
X
>
1
N
\
\
а"
¦ О
X
s
<\
-«•
А
/
/
/
г
Рис.2
L
ч
1
/
V
>
>
X
\
\
а
h
—га
1
1
/
/
/ L.
к
П
V
\
\
L
<s
Рис.3
J
30
J
/
2
_А
У
/
X
/
/
Рис.4
Рис.5
Рис.6
21

i
к
Is
1
/
i x
1/
I
145"
И
X
\
N
X
I
t
J
/
6C
i
/
f
f
г
2
\
1
>
2
V
°1
X
1
Рис. 7
Рис.8
Рис.9
146. В прямоугольном треугольнике известны гипотенуза с и ост-
острый угол а°. Найдите катеты, площадь треугольника и ра-
радиус описанной окружности, если:
а) с =12, а = 60°;
б) с = 6, а = 45°;
в) с = 4, а = 30°;
г) с = 60, а = 60°.
147. Хорда АВ образует с диаметром АС окружности угол а°. Най-
Найдите длину хорды АВ, если радиус окружности равен R.
148. Докажите, что площадь выпуклого четырехугольника рав-
равна половине произведения его диагоналей на синус угла меж-
между ними.
149. В ЛАВС известно, что АВ = 4>/2 см, ZA = 45°, Z.C = 30°. Най-
Найдите ВС, АС и площадь ААВС.
150. Высота треугольника равна 5 см, а углы, прилегающие к ос-
основанию, равны 60° и 45°. Найдите площадь треугольника.
§ 8. ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ
Упростите выражение:
151. a) s:
б) cosBji-*);
152. a) sin(ji - t);
г) sin (л + t).
в) cosBл + t);
6)cos||
22
153. a) cos(90°-а);
б) sinC60°-a);
154. a) tg(90°-a);
б) ctgA80°-а);
в) sinB70° + a);
r) cos A80° +a),
в) tgB70° + a);
r) ctgC60° + a).
Вычислите с помощью формул приведения:
155. a) sin 240°; 6)tg300°; в) cos 330°; г) ctg 315е
156. а) cos^; б) sinf-i^l; B) sin-^; г
3 \ о J 6
0157. а) cos630°-sin 1470°- ctg 1125°;
б) sin(-7ji)+ 2cos— *^";
в) tg 1800° - sin 495° + cos 945°;
. ( 49тЛ . ( 21тЛ
ЦП — p.tff
r) cos(-9ji) + 2sin -ctg
V 6 ) I 4
Упростите выражение:
0158. a) sin(90°-a) + cos(l80° + a)+tgB70o + a)+ctgC60° + a);
б) sinf| + t\- cos(ji - t) + tg(ji - t) + ctgf^- t\
sin (-a) ctg (-a)
cos C60° - a) tg A80° + a)'
0159. а)
( )Ц)
sin (-a) sin (90° +а) '
д)
Г)
0160. a)
cos(tc- t)+cos
Зтс
—+t
2
cosf -| -
sm\2n-t)-i
sin2(n-t)+sm'\--t\
6> 1. }2 '-wb-t).
23

Докажите тождество:
181.
sinQi-Q Ctg[ 2 ~
cosBji -1)
— ' = Sinf.
sin(-
162. a)
cos2(л- t) + sin2] -| - t ]+ cos(ji + *)cosBji -1)
- cos21;
sin t
6)
: cosBji-*)
= COS f.
Вычислите:
163 a) Ilcos287°-25sin557°.
sinl7° '
164. a)
13sin469°-8cos34r
cos 19°
6)
Решите уравнение:
165. a)
6) si]
в)
г) 3sinf-| + Л-cosBя+ *)=!.
24
166. a) 5 sinf- + t\- sinf — + t] - 8 cosBk - t) = 1;
V2 у V 2 J
6) sinBji + f) - cosf — -1
167. a) sin2 (л + t) + cos2 Bл -1) = 0;
6) sin2(ji + ) ()
§ 9. ФУНКЦИЯ у = sin x, ЕЕ СВОЙСТВА И ГРАФИК
Для функции у = /(*), где /(*) = sin x, найдите:
168. а) /(я); , , ,
169. a)/(-*); 6) fBx); в)
0170. Найдите значение функции:
а) у = 2 sin х - — +1 при х = -
\ О J
б) y = -sin(x + jj прид: = —|;
г)/W - 5.
при * = ^;
г) tf = -
-|l при JC = -
171. Не выполняя построения, ответьте на вопрос, принадлежит
ли графику функции у = sin x точка с координатами:
0172. Не выполняя построения, ответьте на вопрос, принадлежит
( п\
ли графику функции у = - sin х + — \ + 2 точка:
25

0173. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции у - sin *:
¦7>-^г ; в) на интервале [- — ,— 1;
4 3 J \ 2 4 )
б) на луче —, + оо ]; г) на полуинтервале ( - я, — .
L.4 ) \ 3J
Постройте график функции:
в) 1/ = 8т(*-я);
г) 0 = вт[х + ?|.
174. a) j/ = sin\х-\ ;
б) у = sin
175. а) у = sin* - 2;
б) у = sin* + 1;
0176. а) у = si]
в) у = sin* + 2;
г) у = sin*-3.
0177. а) у = -sin\х + ^ ;
б) J/ =
б) i/ = -sin* + 3.
|J -1.
0178. Постройте и прочитайте график функции у = f(x), где:
а) /(*) =
(V, еслижО,
, если*>0;
б) f(x) =
fsina:, если х < О,
\х2, если д: > 0.
0179. Дана функция у = f(x), где f(x) =
|sina:, если -п < х < 0,
если
а) Вычислите: /I -|J, ДО), /A), /(я2);
б) постройте график функции у = f(x);
в) прочитайте график функции у = f(x).
а; вычислите: д-zj, ди>, Д1);
б) постройте график функции у = f(x);
в) прочитайте график функции у = f(x).
— , еслижО,
sin*, если 0 < х < я.
Решите графически уравнение:
181. a) sinх = х + л; в) sinjc + x - 0;
б) sin* = 2х; г) sin* = 2х - 2л.
182. a) sinjc = — x;
б)
4.
71
( ^
183. a) sin* + * + -| + 1 = 0; б) sin* = х2 + 1.
^ 2)
184. Сколько решений имеет система уравнений:
а)
б)
|j/ = sin*,
I у - х2 + 4* -1;
в)
г)
i/ = sin*,
[у = -З*2 - 2;
Iy = sin*,
[|*|-0 = О?
Постройте график функции:
185. a) i/ = sinf* + -yj + -|; в) у = sin(*-n)+2,5;
б) J/ = -sin! *-|-1 + 2; Г) у = -sinl * + -||-2
186. Решите графически уравнение:
а) sin * - — = л - 3*; в) sinl * +
б) sin*->/*-7t =0; r)-sin* = V*.
187. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции
у = sin * - — ] + 0,5 на промежутке:
V 4У
1,^}; в) [0, л);
27

188. Докажите, что функция у = f(x) является четной, если:
2sin-
В) f(x)- 2_.
г)
б) /(*)=
sin1' *
x2-l'
189. Докажите, что функция у = /(*) является нечетной, если:
*2 • sin*.
б) f(x) = х3 -sinх2;
в)
г)
*2-9 '
= х3 - sin*.
190. Дано: f(x) = 2x2 -х + 1. Докажите, что
/(sin*) = 3-2cos2 x- sin*.
191. Дано: f(x) = Зх2 + 2х-1. Докажите, что
/(sin*) = 2sin* - 3cos2 x - 4.
192. Дана функция у = f(x), где f(x) =
2д: + 2я, если д: < - п,
sin*, если - я < х < О,
- 2х, если jc > 0.
а) Вычислите: f(-n - 2), /1 -11, /B);
б) постройте график функции у = f(x);
в) прочитайте график функции у = f(x).
193. Дана функция у = f(x), где f(x) =
-х2,
если х < О,
sin*, если 0 < jc < л,
- (* - лJ, если д: > л.
а) Вычислите: /(-3), / |1, /Bл - 3);
б) постройте график функции у = /(*);
в) прочитайте график функции у =
28
194. Дана функция у=/(*), где f(x) =
sin * + — , если
I 2J 2
еслиО<д:<2;
Jx-2 + 3, если х > 2.
а) Вычислите: /@), /F), /(-л - 2);
б) постройте график функции y=f(x);
в) прочитайте график функции y=ftx).
§ 10. ФУНКЦИЯ у = cos х, ЕЕ СВОЙСТВА И ГРАФИК
Для функции y=f(x), где f(x) = cos x, найдите:
195. a) /(j); б)/(-п); в) /^); г) f\-*L
196. а) /(-*); б)/C*); в) f(x + 2); г) /(*) - 6.
Найдите значение функции:
197. у = 2sin* + cos*, если:
198. I/ = cos д: - хг, если:
199. и = ——, если:
cos*
а) * =
2л
Т'
О200. i/ = 2cos[*-— -1, если:
4/
б) х = л.
б) * =
11л
1 — -2. • 61 * = —
2' 4
201. Не выполняя построения, ответьте на вопрос, принадлежит
ли графику функции у = cos * точка с координатами:
¦>(!# 6>Ki;

О 202. Не выполняя построения, ответьте на вопрос, принадлежит ли
( п)
графику функции у = 2 cos * - — +1 точка с координатами:
V о/
»>M + l); B)(f'2)
4 (И'
Постройте график функции:
203. а) у =
2-\
2 7
в) y = cos\ x-Z\;
204. а) у = cos* + l;
б) у = cos * - 2;
О205. a) y = coslx + -r
г) i/ = cos * + -^Ч.
в) j/ = cos*--|;
г) у = cos*+ 1,5.
.-«Ix-f^f
б) i/ = cos[*-f ] + 2; г) j/ = cosf* + ^l-3.
О 206. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции
J/ = cos *:
[-1 |- ч
—,— ; в)налуче - —,+оо);
6 3 J L 4 у
б) на интервале [ - я, — ]; г) на полуинтервале - — $2-}
\ 4У L 3 2^
О 207. Постройте и прочитайте график функции y=f(x), где:
г Г 9
* + 2, если*<0, --S-, если*<0,
а)/(*)= b)/(jc) = J х
[ cos*, если * > 0.
б) /(*)=
cos*, если * <—,
sin*, если* > —.
2
Г)
если х>0.
с, если *<0,
2*2-1, если * > 0.
30
Решите графически уравнение:
208. a) cos х = х + -?;
б) -coso: =
209. a) cosx-yfx +1;
в) cos* =
г) cos* =
21
2'
б)
2'
в) cos* = -(*- л) -1;
г) cos* = 1*1 + 1.
210. Сколько решений имеет система уравнений:
а)
б)
у = cos*,
-*2 + 2*-3;
= cos*,
в)
г)
I/ = COS *,
j/ = *2-3;
I/ = COS *,
211. Докажите, что функция y=f(x) является четной, если:
а) /(*) = х2 ¦ cos*; в) /(*)
б)/(х)-Й=?-
) /(*) = D + cos*)(sin6 * -1).
4-*2 '
212. Докажите, что функция y=f(x) является нечетной, если:
а) /(*) = sin* • cos*; ~л ""ч - Cos*3
б) /(*) = *б cos3*;
г) /(*) = *и • cos * + sin *.
213. Дано: /(*) = 2*2 - 3* - 2. Докажите, что
-/(cos *) = 2 sin2 * + 3 cos *.
214. Дано: /(*) = 5*2 + ж + 4. Докажите, что
/(cos *) = 9 + cos * - 5 sin2 *.
31

215. Постройте и прочитайте график функции у = f(x), где
/(*) =
sin л:, если х<0,
хг, если 0 < х < —,
tit
cos д:, если х> —.
216. Решите графически уравнение:
a) sin х - cos x;
б) sinjc + cos* = 0.
1
У1
\
-1
1
1
А
/
/\
X
Рис. 10
§ 11. ПЕРИОДИЧНОСТЬ ФУНКЦИЙ у = sin х, у = cos x
217. На рис.10 изображена часть
графика периодической фун-
функции у = f(x) на отрезке
[-1, 1], длина которого равна
периоду функции. Постройте
график функции:
а) на отрезке [1, 3];
б) на отрезке [-3, -1];
в) на отрезке [3, 7];
г) на всей числовой прямой.
218. На рис. 11 изображена часть
графика периодической фун-
функции у = f(x) на отрезке [0, 3],
длина которого равна перио-
периоду функции. Постройте гра-
график функции:
а) на отрезке [3, 6];
б) на отрезке [-3, 0];
в) на отрезке [6, 12];
г) на всей числовой прямой.
32
1
У >
1
0
L
А
/
1
,5
S
\
3
X
Рис. 11
V
219. Постройте график периодической функции у = f(x) с перио-
периодом Г = 4, если известно, что f(x) = — на отрезке [-2, 2].
220. Постройте график периодической функции у = f(x) с перио-
периодом Г = 2, если известно, что f(x) = — на отрезке [-1, 1].
221. Является ли число 32л периодом функции у = sin х, у = cos x?
А основным периодом?
Вычислите, преобразовав заданное выражение (fein t или
cos t) к виду sin t0 или cos ?отак, чтобы выполнялось соотно-
соотношение 0 < t0 < 2л или 0 < t0 < 360° .
222. a) sin 50,5л; б) cos 51,75л; в) sin 25,25л; г) sin 30,5л.
223. a) sin 390°; б) cos 750°; в) sin 540°; г) cos 930°.
224. Докажите тождество:
а) sin2 (х - 8л) = 1 - cos2 A6л - х);
б) cos2 Dл + х) = 1 - sin2 B2л - х).
225. Докажите, что данное число Г является периодом заданной
функции:
а) у - sin2jc, Г = л;
б) j/ = cos3jc, Т = Щ-;
3
= sin-|, Г = 4л;
226. Преобразуйте заданное выражение (sin t ил и cos t) к виду sin 10
или cos t0 так, чтобы выполнялось соотношение 0 < t0 < 2л :
a) sin8; б) cos (-10); B)sin(-25); г) cos35.
227. Вычислите:
а) cos [t + 4л), если cos Bл -t)= - — ;
О
б) sinC2n-f), eams
228. Решите уравнение:
а) sin(t + 2л)+ sin(f-4n)= 1;
б) 3cosBn+f)+cos(f-2n)+2 = 0;
в) sin(f + 4л) + sin(t - 6л) = л/3;
г) cos (t + 2п) + cos (t - 8п) = л/2.
О
13
2. Зак. 2857 Мордкович, 10-11 кл. Задачник.
33

§ 12. КАК ПОСТРОИТЬ ГРАФИК ФУНКЦИИ y=mf (x),
ЕСЛИ ИЗВЕСТЕН ГРАФИК ФУНКЦИИ y = f(x)
Постройте график функции:
229. a)j/ = 2sin*; 6)j/ = 3cos*; в) j/ = -sin*; г) у = -соах.
230. а) у = -2 sin *; в) у = 1,5 sin *;
б) у = -3 cos *; г) у = -1,5 cos *.
231. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
у = 2 cos *:
а) на отрезке
L 2'2J'
в) на полуинтервале
л ЗлУ
б) на интервале I 0, — ]; г) на отрезке ——, — —
\ 2 J I 2 4
232. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
у = -3sin*:
а)налуче [о,+оо); в) на луче 4» + °°
г) на открытом луче (- оо, о).
r)f(-x) + f(x).
г) f(-x)-f(x).
б) на открытом луче - оо, — ;
0233. Известно, что /(*) = 3sin*. Найдите:
а) /(-*); б) 2f(x); в) 2/(*) + 1
0234. Известно, что /(*) = —cos*. Найдите:
а) /(-*); б) 2/(*); в) /(*
Постройте график функции:
О 235. a) j/ = 2sin*-l;
б) у = —|cos* + 2; г) j/ = 3cos*-2.
о
в) у = —sin* + 3;
О236. a) j/ = 2si
б) j/ = -
в) j/ = -sin x
34
237. Составьте аналитическую запись функции по ее графику,
изображенному:
а) на рис. 12;
б) на рис. 13.
—
4-
\
\
\
\
\\
я
\
-1
i
4
1
Г*
V
о
2
7t
-Д
>
л
2
1,5
Г
L
0
\
\
>
/
л
2
/
Рис.12
Рис.13
238. Постройте и прочитайте график функции у - f (x):
а) /(*) =
3sin*, если х < —;
Зж3, если***—;
б) /(*) =
- 2 cosx, если х < 0;
—х*, если*>0.
§13. КАК ПОСТРОИТЬ ГРАФИК ФУНКЦИИ y = f(kx),
ЕСЛИ ИЗВЕСТЕН ГРАФИК ФУНКЦИИ у = f (x)
239. Постройте график функции:
а) у = sin-|;
б) у = cos 2x;
в) J/ = cos-;
г) у = sin 3*.
35

О 240. a) i/ = 3sin-;
б) у = 2,5 cos 2x;
О 241. a) i/ = 3sin(-Jt);
б) у = -2cos(- Вх\
в) у = -3 cos 2л:;
г) у = 2sin-|.
3
в) у = 2вт(-2х\
г) y = -3cos(-x).
О 242. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции j/ = sin 2jc :
а) на отрезке - —, 0 ; в) на отрезке - —, — ;
б) на интервале - — ,— );
4 2)
г) на полуинтервале (О, я].
X
О 243. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции у = cos—:
о
а) на луче [о, +°°); в) на луче [ ~ °°' "jj •
б) на открытом луче (- °о, я); г) на открытом луче ' + °°
О244. Известно, что f(x) = cos--. Найдите:
3
r)f(-x)-f(x).
а) П-х); б) 3f(x); в) f(-3x);
О 245. Известно, что f(x) = sin 2л:. Найдите:
a) f(-x); б) 2/(лО; в) f(-3x);
О 246. Постройте график функции:
а) у = sin2*-l; в) у = cos 2л: + 3;
б) 2/ = cos? + l.; г) 2/ = sin-|-2.
2 о
Постройте и прочитайте график функции у = f(x):
г) /(-*) + Я*).
247. а) /(*) =
б) Пх) =
cos 2л:, если л: < я;
—, если х > я;
- втЗл:, если х < 0;
Jx, если л: > 0.
248. а) /(*) =
- 2 sin х, если jc < 0;
ы2х, если х> 0;
IV- х, еслил:<0:
Зсоэл: - 3, если х > 0.
249. Составьте аналитическую запись функции по ее графику,
изображенному:
а) на рис. 14;
б) на рис. 15;
в) на рис. 16
г) на рис. 17.
§ 14. ГРАФИК ГАРМОНИЧЕСКОГО КОЛЕБАНИЯ
Постройте график функции:
О250. a) y = 3si
О 251. а) у = -
О252. a) y = 2si
О 253. а) у
);
б)У =
б) i/ = -3cos| 2л: +
§ 15. ФУНКЦИИ у = tg x, у = ctg x, ИХ СВОЙСТВА И ГРАФИКИ
254. Найдите значение функции у = tg x при заданном значении
аргумента х:
4' 3 4 '
255. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции у = tg x
на заданном промежутке:
а) на интервале | —, — |;
б) на полуинтервале —, я ;
L 4'6J'
в) на отрезке
г) на полуинтервале я
L
36
37

N
Ч
ч
ч
j
fy
1 J
-i
\
2
\
/
/
/
t
1
I
/
f
J
- 1
0
-1-
J
ж
6
\
V
к к
3
Рис. 14
Рис. 15
J
/
/
\
Я
\
j
2-
1
1
'.У
S
-]
1 —
1
\
L
2
>
71
:
_
У
/
Л
2
Рис. 16
\
S,
>
>
f
"ТГ
/
>
N
>
-1
-2
'У
0
-7
ч
f
•9
?т
мм
г
3
t-
Рис. 17
38
О 256. Решите графически уравнение:
a)tg* = -VI; 6)tg* = l; B
257. Найдите значение функции у = ctg л: при заданном значении
аргумента дг:
4'
в) х — 2тс; г) х .
258. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции
у = ctg jc на заданном промежутке:
в) на интервале (- п, 0);
а) на отрезке —, — ;
б) на полуинтервале | ^' п |5 г) на отрезке
О 259. Решите графически уравнение:
п Зя]
6' 4j'
a)
в) ctgo: = --^-;
-; г) ctg л: = 0.
а
О 260. Исследуйте функцию у = f(x) на четность, если:
а) f(x) = tg л: - cos *; в) /(л:) = ctg2 х - х4;
б) /"(:c) = tg* + Jt:; г) /(л:) = л:3 - <
Постройте график функции:
О261. a) y = tg \х + ? ; в) у = t
1; r)y = tgx-2.
-| j+l;
б) у =
О262. a) y = tgf а: + -| 1+1;
О263. a) y = -tgx;
б) j/ = - tg x + 1;
39

О264. a) i/ =
б) у = ctg* +1;
r) y = ctgx-2.
265. Докажите, что данное число Т является периодом заданной
функции:
266. Докажите, что число я является периодом функции:
б) У = si
267. Известно, что tg(9n- х)=—. Найдите: tgx, ctgx.
4
268. Известно, что ctg^-*)= -.Найдите: tgx, ctgac.
269. Определите знак разности:
a) tg 20^ - tg 201°; в) tg 2,2 - tg 2,1;
г, *&-„&.
б) tgl-tgl,01;
Исследуйте на четность функцию г/ = f(x), если:
270. а) /(*) = tg* • sin2 х; в) f(x) = зс5 tgx;
б)/(,) = -*??•
X2-l
г) Дх) = л:
= л:2
271. a) f(x) = si
г) /(ж) = ctg д: — л; cos зс.
272. Дана функция у = f(x), где f(x) = tg x. Докажите, что:
273. Дана функция у = f(x), где f(x) = д:2 + 1. Докажите, что:
1
COS2 X '
40
274. Дана функция у = /(я), где /(ж) = х2 + 1. Докажите, что:
sin2 х
Постройте график функции:
• 275. a) j/ = 2tg*-ctg*; б) {/ = tg*-ctg* + -fx.
• 276. a) j/ = sin2 (tg x) + cos2 (tg x},
6) j/ = 2cos2(ctg*) + 2sin2(ctg*).
• 277. a) y = tg(cos3?:)ctg(cosx); б) у = -2tg(sin*)-ctg(sin;c).

Глава
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
УРАВНЕНИЯ
§ 16. ПЕРВЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О РЕШЕНИИ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Решите уравнение:
278. a) cost = ^;
б) sint = —|;
279. a) cost = ^-;
6) sint = -Щ-;
в) cost = -—;
?
в) cost = -^-;
r) sint = -^-.
280. a) sint = 1; 6) cost = 2; в) cost = -1; r)sint = -3.
r—
281. a) tgt = V3;
6) ctgt = -^;
282. a) sin tB cos t +1) = 0;
6) (sint-l)(cost + l)=0;
283. a) cosf|-tl = l;
6) cos(t-rc)=0;
r) ctgt = VS.
в) costBsint + l)= 0;
r) Bsint-V2)Bcost + l) = 0.
в) sin(^-t)= 1;
r) si
42
Решите уравнение:
284. a) 3-4sin2t = 0;
6) sin21-sint = 0;
285. a) 3-4cos2t = 0;
6) 2cos2t-cost = 0;
286. a) 2sin2t + 3sint-2 =
6) 2cos2 t-5cost + 2 =
в) 4sin2t-l = 0;
r) 2sin2t
в) 4cos2t-l = 0;
r) 2 cos21 + cos t = 0.
в) 2sin2t +sint-1 = 0;
r) 4 cos21 + 9 cos t + 5 = 0.
287. a) 2cos21 + sint + 1 = 0; 6) sin21 + 3cost- 3 = 0.
288. a) sin[| + tl-cos(rc + t)=l;
б) sin(rc +1)+ sinBrc-1)-cosf— + t)+1,5 = 0;
в) cos[--t|-sin(K + t)= V2;
V2 )
r) si
§ 17. АРККОСИНУС И РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ cos t=a
Вычислите:
289. a) arccos 0; 6) arccos 1; в) arccos
^; г)
1
arccos-.
290. a) arccosl - ^f |;
6) arccos -^—- !
в) arccos (-1);
г) arccos] - —
О 291. a) arccos (-1) + arccos 0; в) arccos I - -=— I + arccos -=—;
Ш
6) arccos | - arccos Ц-;
r) arccos \-1
- arccos |.
43

О 292. a) sin arccos (- -1 ;
( Л)
6) tg arccos — ;
Решите уравнение:
293. a) cosf = -;
6) cosf =
294. a) cosf = -1;
6) cost = --*f;
295. a) cosf = i;
3
6) cosf = -1,1;
в) ctg (arccos 0);
r) sin arccos —
в) cosf = 1;
r)cost = f.
в) cosf = -¦=¦;
r) cosf = -^i.
в) cosf = —;
r) cosf = 2,04.
299. Докажите тождество: tg(arccosO,! + arccos(- 0,l) + x) = tg*.
296. Вычислите:
a) cos 2 arccos — - 3 arccos 0 - arccos - — ;
{ 2 V 2JJ
6) | arccos | +
arccos f - | j .
297. Найдите область допустимых значений выражения:
а) arccos х; в) arccos (* - l);
б) arccos 2х; г) arccos C - 2х).
298. Имеет ли смысл выражение:
а) arccos V5;
б) arccosJ—; г) arccos(- v3j?
в) arccos—;
5
Решите уравнение:
8cost-3
. а)
= 1;
_. 3cost + l 5cost-l , __
б) + = 1,75.
3cost + 2 2 3
301. a) 6cos2f+ 5cosf+ 1 = 0; б) 3 + 9 cost = 5sin21.
302. Постройте график функции:
а) у = arccos* + arccos(- x); б) У = cos (arccos*).
Решите неравенство:
303. a) cost >-;
¦Я
б) cost <--у;
304. a) cosf <-;
О
6) cost >--^;
305. a) 3cos21 - 4cost > 4;
6) 6cos2f+ 1 >5cosf;
306. a) 4 cos2* <1;
6) 3cos2f < cosf;
Вычислите:
( 3"\
307. a) sin arccos — ;
v 5 у
308. a) tg arccos I - -^ 11;
в) cosf >-Ц-\
r) cosf < —.
в) cost >-;
о
r) cost < --.
' 7
в) 3cos21 - 4cost < 4.
r) 6cos2f+ K5cosf.
в) 9 cos21 > 1;
r) 3 cos21 > cos t.
6) sin (arccos (- 0,8)).
6) ctg arccos — 1.
44
45

§ 18. АРКСИНУС И РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ s\nf=a
Вычислите:
314. a) sin* = -1;
лг
309. a) arcsin ^-;
2
б) arcsin 1;
310. a) arcsinl - Щ;
б) arcsin(--|);
Ч ?к/
в) arcsin —;
г) arcsin 0.
в) arcsin (- l);
г) arcsin --^ .
О 311. a) arcsin 0 + arccos 0; в) arcsin - ^Ч + arccos —;
\ 2 ) 2
б) arcsin ^j- + arccos ^-; г) arcsin (- l) + arccos ^-.
О312. a) arccosf - -^J + arcsinf - i);
б) arccos ~—-\ - arcsin(- l);
\ 2 J
в) arccos - ±— + arcsin - ^— ;
\ 2 J \ 2 )
r) arccos 2-— arcsin - ^—\.
2 V 2;
Решите уравнение:
313. a) sint = i?-;
в) sin t = 1;
6) sin^-^;
316. a) sin* = 4;
4
6) sin* = 1,02;
в) sin* = - —;
r) sin* = —I"
в) sin* = --.
r) sint = -|.
О 316. Докажите тождество:
а) sin (arccos x + arccos (- x)) = 0;
б) cos (arcsin x + arcsin (- x)) = 1.
Вычислите:
317. a) sin 2 arcsin — - 3 arccos I ;
6) cos — arcsin 1 + arcsin - ^— .
318. a) tg arcsin & + 2 arccos Ц- ];
6) ctg 3 arccos (- l) - arcsin - — 1 .
319. Найдите область допустимых значений выражения:
а) arcsin х; в) arcsin —;
б) arcsin E - 2х); г) arcsin (я8 - 3\
320. Имеет ли смысл выражение:
в) arcsin (З- V20J;
б) arcsin 1,5; г) arcsin D - V20)?
a) arcsin - — |;
V 3,
47

Решите уравнение:
321. a) Bcosx+ l)Bsinx-л/з)= 0; в) 4sin2 x-3sinx = 0;
б) 2cosx-3sinxcosx = 0; г) 2sin2x-l = 0.
322. a) 6sin2x + sinx=2; б) 3cos2 x = 7(sinx + l).
Решите неравенство:
323. a) sinf :
б) sinf >--|;
324. a) sinf <^;
3
б) sinf >-0,6;
325. a) 5sin2f >llsinf + 12;
326. а) 6 cos2f + sinf > 4;
Вычислите:
в) sinf <-^-;
г) sinf <-i
в) sinf >-;
о
г) sinf < -0,6.
б) 5sin2f <llsinf+ 12.
6) 6cos21 + sint < 4.
327. a) cos arcsinf - \ ] ;
6) tg(arcsin 0,б);
в) cos arcsin — ;
г) ctg (arcsin (- 0,8)).
§19. АРКТАНГЕНС И РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ tg x = а.
АРККОТАНГЕНС И РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ctg х = а
Вычислите:
.Vs.*
т
/г Z ^z, Ч О
328. a) arctg^-; б) arctg 1; в) arctg 7з"; г) arctg 0.
#329. a) arctg (-1);
6) arctg(- л/з);
V
arctg \--r= | •
V V
48
О330. a) arctg 1 - arctg л/3; B) arctg 1 - arctg(- l);
6) arctg (- л/3) + arctg 0; r) arctg ^- + arctg л/з.
.. a) arcctg ^; 2> (*3 arcctg| - ^ |;
6) arcctg 1; "if r) arcctg 0. Q\
О 332. a) arcctg (- l) + arctg (- l);
6) arcsin + arcctg (-v3) ;
в) arcctg -^f- arctgf;
/r) arccos — -arcctg (->/з)
Решите уравнение:
333. a) tgx = l;
334. a) tgx = 0;
6) tgx = -2;
335. a) ctgx = 1;
6) ctgx = л/3;
336. a) ctg x = -л/3;
6)ctgx--l;
в)
в) ctgx = 0;
в)
r) ctg л: = -5.
49

Вычислите:
337. a) 2 arcsin - 2— + arctg(- l) + arccos —¦;
v " ) 2
б) 3 arcsin — + 4 arccos - —¦ - arctg - — ;
I \ 2 ) \ 3
в) arctg (- >/з)
+ arccos - ^ + arcsin 1;
v & )
3i ( л/з^!
г) arcsin(-1)—arccos— + 3arcctg .
v ' 2 2 { 3 J
338. a) sin (arctg (- >/з)); в) cos (arctg o);
; r) ctg(arctg (-1)).
в) cos(arcctg(- l));
6)tg|arctg|-^
339. a) tg(arcctgl);
6) sin(arcctgV3j;
Решите уравнение:
340. a) tg2 x - 3 = 0;
6)
341. a) tg2x-6tgx + 5 = 0;
342. a) tg{n + х) = Л;
б) 2 ctgBit + x) - tg(j- + x) = V3;
в) -V8tg(w-x) = lj
r) ctgBrc - дс) + ctg (я - x) = 2.
Решите неравенство:
343. a) tgx<V3;
6) ctgx > 0;
50
г) ctgl2arcctgl--7=-||.
в) 4tg2x-9 = 0;
г) 3tg2*-2tgx = 0.
б) tg2x-2tgx-3 = 0.
в) tgx<0;
r) ctgx > -1.
344. a) tgx < 3;
6) 3ctg*-l>0;
345. a) tg2 x > 9;
6) tg2x>tgx;
в) ctgx < 2;
r)
в) tg2 x < 9;
r) tg2x<2tgx.
Постройте график функции:
• 346. a) i/= sin (arcsin*) ; в) у = tg (arctg x);
б) у = arctg x+arctg (-x); г) у = arcsinx + arcsin(- x).
• 347. а) у = arccos x + arccos (- x);
б) у = arccos — + arccos ( J ;
в) у = arcctg x + arcctg (- x);
г) У = arcctg V^c + arcctg (- V*).
348. Вычислите:
a) sin f arctg —j ;
в) sin^arcctg^-|JJ;
6) cos (arcctg y) > r) cos f arctg [- ^JJ .
§ 20. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Решите уравнение:
349. а) 2cos* + >/з = О;
б) 2sin* -1 = 0;
в) 2cosx -1 = 0;
г) 2sinx + л/2 = 0.
350. a) tgx +>/з = 0;
б) V3tgx-1 = 0;
в) ctg * + 1 = 0;
г) V3 ctg х - 1 = 0.
51

351. a) sin2x = ^-;
6)cos| = -I;
r) cos Ax = 0.
352.
6)cos(-2x)=-^;
r)ctg|--|| = l.
О353. a)
) 2cos[---|=л/3; в) 2sinCx - -] = -л/2;
V2 6J V 4у
б) V3tg|-+-|=3;
3 6
О354. a) cos|--2x |=-1;
6
г) sinl —-- 1+1 = 0.
' 2 6 '
г) 2 cos (•?- 3x1 = V2.
0355. a) 3sin2x-5sinx-2 = 0;
6) 3sin2 2x + 10sin2x + 3 = i
0356. a) 6 cos2 x + cosx - 1 = 0;
в)
llsin*-3 = 0;
r) 2sin2 - - 3sin- + 1 = 0.
в) 2 cos2 x - cosx - 3 = 0;
6) 2cos23x-5cos3x- 3 = 0; r) 2cos2- + 3cos-- 2 = 0.
3 3
0357. a) 2sin2x + 3cosx = 0; в) 5 cos2 x + 6 sinx - 6 = 0;
6) 8 sin2 2x + cos 2x + 1 = 0; r) 4 sin 3x + cos2 3x = 4.
0358. a) 3tg2x +2tgx-l = 0; в) 2 tg2 x + 3 tgx - 2 = 0;
6) ctg2 2x - 6ctg2* + 5 = 0; r) 7ctg2 - + 2ctg- = 5.
О 359.
а) j^sinx - |)(einx + l) = 0; в) Lex - ^f\Unx + &\ = 0;
б) (cosx + ij(cosx-l) = 0; r) (l + cos х)(л/2 sin x - l) = 0.
52
O360. a) sinx + л/з cosx = 0; в) sinx - 3cosx = 0;
6) sinx + cosx = 0; г) >/з sinx + cosx = 0.
О 361. a) sin2 x + sinx cosx = 0; в) sin2 x = 3 sinx cosx;
б) л/3 sin x cos x + cos2 x = 0; т) ,[з cos2 x = sin x cos x.
О362. a) sin2 x + 2sinxcosx - 3cos2 x = 0;
б) sin2 x - 4 sin x cos x + 3 cos2 x = 0;
в) sin2 x + sin x cos x - 2 cos2 x = 0;
r) 3 sin2 x + sin x cos x - 2 cos2 x = 0;
363. Решите уравнение:
а) sin2 — - & = sinx - cos2 — + 1;
4 2 4
/3
б) cos2 2x - 1 - cos x = i-— sin2 2x.
364. а) Найдите корни уравнения sin x = —, принадлежащие от-
отрезку
[О, 4л].
б) Найдите корни уравнения cos х = - —, принадлежащие от-
Ct
резку [- 2я, Зя].
Найдите корни заданного уравнения на заданном промежутке:
[0 2я]; B)tg| = ^-, [-Зя,
б) cos Зх = ^i, [- я, я^ г) ctg 4х = -1, [о, п\
365. a) sin3x =—, [0, 2я];
. a) sin Зх = - -, [-4,4]; б) cosx = 1, [-6, 1б].
366
367. a) sin- = 0, [- 12, 18]; 6) cos3x = -Ц-, [l, 7].
2 ?
53

368. Решите уравнение sin 2* - — I = -1 и найдите:
а) наименьший положительный корень;
б) корни, принадлежащие отрезку - —, — ;
L 2 2 J
в) наибольший отрицательный корень;
г) корни, принадлежащие интервалу -я, — .
I 2)
369. Решите уравнение cosf — - 2* ] = — и найдите:
V3 ) 2
а) наименьший положительный корень;
б) корни, принадлежащие отрезку - —, — ;
L 2 2 J
в) наибольший отрицательный корень;
г) корни, принадлежащие интервалу -п, — .
I 2)
Решите уравнение:
• 370. a) V16 - *2 • sin * = 0;
б) V7* - х2 ¦ Bcos* - l) = 0.
• 371. a) (V2 cos* - l)>/4*2 - 7* + 3 = 0;
6) Bsin* - >/з)>/3*2 - 7* + 4 = 0.
372. a) tg*-2ctg* + l = 0;
6)
tg* + 5 _ l
в) 2ctg*- 3tg* + 5 = 0;
7 - ctg x _ l
COS'' X
sin2 x
373. a) 2cos2 - + >/з cos- = 0; в) >/з tg2 3* - 3tg3* = 0;
6) 4cosz|*-- [-3 = 0;
374. a) sin2 * -
sin x _
r) 4sin2|2* + - |-l = 0.
= 0;
6) cos2 * - 8~^cos*- 2>/з = 0.
54
375. a) sin 2* = cos 2*; в) sin^ = >/з cos^;
6) J3 sin3* = cos3*; r) V2 sin 17* = V6cosl7*.
376. a) 2 sin2 2* - 5 sin 2* cos 2* + cos2 2* = 0;
6) 3 sin2 3* + 10 sin 3* cos 3* + 3 cos2 3* = 0.
377. a) sin2 ? = 3 cos2 f; 6) sin2 4* = cos2 4*.
378. a) 5 sin2 * - 14 sin * cos * - 3 cos2 * = 2;
б) 3 sin2 * - sin * cos * = 2;
в) 2 cos2 * - sin * cos * + 5 sin2 * = 3;
r) 4 sin2 * - 2 sin * cos * = 3.
379. a) 5 sin2 * + >/з sin * cos * + 6 cos2 * = 5;
6) 2 sin2 * - 3 sin * cos * + 4 cos2 * = 4.
380. a) 3 sin2 2* - 2 = sin 2* cos 2*;
6) 2 sin2 4* - 4 = 3 sin 4* cos 4* - 4 cos2 4*.
381. a) sin2 ^-3 = 2sin^cos|-;
6) 3 sin2 - + 4 cos2 f = 3 + V3sinf cos-f.
3 о 6 6
382. a) sin(- + 2*j+cos --2*1 = 0;
6)
383. а) сое ("I - |) - 3cos(* - |] = 0;
6)
V
3)
2 3
55

384. a) |sinx| = |cosx|;
385. a) sin(^2x - j) +
6) |sin2x| = k/3 cos2x
- 2x] = 0;
386. a) sin2 x - 5 cos x = sin x cos x - 5 sin x;
6) cos2 x - 7 sin x + sin x cos x = 7 cos x.
387. a) sin2x + cos —x sin —x -2cos2x = 0;
\2 ) U )
б) sin23x + 3cos23x-4sin[- + 3x 1 cosf - + 3x 1 = 0;
в) sin2 x + 2 sivin - x) cos x - 3 соз2Bя - x) = 0;
г) эт2Bя-3х)+58т (я-
in2l —-3x =0.
388. a) 3sin2-+sin-sin[---| = 2;
2 2 U 2,
6) 2cos2--3sinf*--| cosf 2u--
2 1, 2) \ 2
в) 4cos2(- + x] + л/3 sinf-^- - x] sin{n + x) + 3cos2(ti + x) = 3;
г) 3sin2fx - —1 - 2cosf-y + xj cos(n + x) + 2sin2(x - я) = 2.
389. a) 2sin2(* + x)-5cos[-+x 1+2 = 0;
U )
б) 2cos2x + 5cos[--x 1-4 = 0;
в) 2cos2x + sinf--x|-l = 0;
U J
r) 5 - 5 sin 3 (я - x) = соз2(я - 3x).
390. a) 2 tg2 2x + 3 tg(n + 2x) = 0; 6) tg2 3x - 6 ctg[ 4 - Зх | = 0.
391. a
6Ktg24x-2ctg(^-4*j =
392. a) tg(n + x) + 2tgf| + xj + 1 = 0;
6) 2ctgx-3ctg|--x
(o_ Л
393. a) sin2 x + cos2 2x + cos2 — + 2x + 2 cos x tg x = 1;
V 2 )
6) 2cos2x-sin x— +tgxtg x + - =0.
V 2J V 2)
Решите неравенство:
394. a) sin 2x < i;
6) 3 cos 4x < 1;
395. a)sin|2x-|j>i;
в) cos 3x
V8
> -—;
r) 7sin- > -1.
B) cos 3x-- >—;
I 6 J 4
Vi
• 396. a) sin2 x - 6 sin x cos x + 5 cos2 x > 0;
6) sin2 x - 6 sin x cos x + 5 cos2 x < 0.
Найдите область значений функции:
• 397. а) у = sinx + V- cos2 х; б) У = cosx + V- sin2 x.
• 398. а) у = cos Зх + Vcos2 Зх- 1; б) У =
sin2 4* - 1.

Глава
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
ВЫРАЖЕНИЙ
§ 21. СИНУС И КОСИНУС СУММЫ АРГУМЕНТОВ
399. Представив 105° как сумму 60°+45°, вычислите:
a) sinlO5°; б) cosl05°.
400. Упростите выражение:
а) sin (а + р) - sin а cos Р;
б) sin | + h
У6
в) sin а sin р + cos(a
Г) cosf а + - |+—
sina.
401. Докажите тождество:
а) sin (a + Р) + sin (-a)cos (~p) = sina cosP;
б) cos (а + р) + sin (-a)sin (~р) = cosacosp.
402. Вычислите:
а) sin 74° cos 16° + cos 74° sin 16°;
б) cos23°cos22°-sin73°sin22°;
в) sin89°coslo + cos89°sinlo;
r) cos 178° cos 2° - sin 178° sin 2°.
58
О 403. Вычислите:
. П 71 71 . 71
a) sin— cos—+cos— sin—;
' 5 20 5 20
6) cos^ cos ^2. - sin^ SinЛИ.
'11 11
. 71 llTl 71 . llTl
b) sin— cos + cos— sin ;
' 12 12 12 12
r) cos-^ cosf -sinffsinf.
15 5 15 5
Докажите тождество:
404. a) *?-cosx + -^sin* = sinl ¦? + x\;
2 2 V о /
6) -cos*--^-sin* = cos|-
405. a) sin 5x cos 3x + cos bx sin Zx = sin Sxr,
б) cos bx cos Zx - sin bx sin Zx - cos 8x;
в) sin 7x cos 4x + cos 7x sin 4x = sin 1 lx;
r) cos 2* cos 12* - sin 2x sin 12* = cos 14*.
Решите уравнение:
О406. a) sin2* cos* + cos2* sin* = 1;
6) cos3* cos 5* = sin3* sin 5*.
O407. a) sin6* cos* + cos6* sin* = —;
•Уз
6) cos 5* cos 7* - sin 5* sin 7* = - ^—.

408. Зная, что sin? = —, 0<t<—, вычислите:
5 2
a) sin \- + t ];
I3
6) cos1|
г) cos I — +1 [ .
3
409. Зная, что cost = , —<t<K, вычислите:
13 2
a) sin
в) cos t +
6 '
410. Зная, что cosa = —, cosP = -, 0<ce<-, 0<p<-, найдите
17 5 2 2
значение выражения:
a) sin (a + p);
6) cos(a + p).
411. Зная,что since = -, cosP = , -<а<л, — <В<тс, найдитезна-
5 17 2 2
чение выражения:
а) sin (a + р);
б) cos (а + р).
412. Зная, что since =—, sinP = , 0<a<—, —<Р<2тс, найдите
значение выражения:
а) sin (a + р); б) cos (a + р).
413. Докажите равенство:
а) sin 75° cos 75° = -;
4
б) cos2 75° - sin2 75° = - ^;
Ci
в) sin 105° cos 105° = --;
4
г) cos2 75° + sin2 75° = 1.
414. Представив 2х в виде х + x, докажите тождество:
а) sin 2x = 2 sin x cos x;
б) cos 2x = cos2 x - sin2 x.
415. Представив ОС —Р в виде ое + (— Р), докажите тождество:
а) sin(a - PJ = sin a cos P - cos a sin P;
б) cos(a - p) = cos a cos P + sin a sin p.
416. Решите уравнение:
а) ^— sin x + i— cos x = 1; в) il Cos x - - sin x = 1;
& & 2 2
б) sin* + cos* = 1; г) -Уз cos* - sin* = 1.
417. Решите неравенство:
а) sin * cos 3* + cos * sin 3* > —;
б) cos 2* cos 5* - sin 2* sin 5* < —;
. x
в) sin * cos — + cos * sin — < - —;
Ci Ci %
r) cos — cos — - sin — sin — > —.
§ 22. СИНУС И КОСИНУС РАЗНОСТИ АРГУМЕНТОВ
418. Используя формулы сложения, преобразуйте выражение:
а) sin F0° - р); в) sin (a - 30°);
б) cos(Р-30°) ; г) cosF0°-а).
Упростите выражение:
419. а) sin —-a —cosa;
I6 J 2
V3
B) —sina + cos a
571
б) л/3 cosa - 2cosfa - |j; г) л/2 sin^a - ^j - since.

420. a) cos(a - p)- cosa cos0; в) sinacosp-sin(a-p);
6) sin(a+P) + sin(a-p); r) cos (a - p)- cos (a + p).
Найдите значение выражения:
421. a) cosl070cosl7° + sinl07°sinl70;
б) cos36°cos24o-sin36°sin240;
в) sin63ocos27° + cos63°sin27°;
г) sin51ocos21°-cos51°sin21°.
О 422. а) cos ^ cos
8
+ sin ^ sin ^;
8 8
8 8
б) sin-^f cos- + cos|f si""?;
15 5 15 5
в) cos — cos -j - sin j- sin —;
r) sin j- cos -j - cos — sin ^.
Докажите тождество:
423. a) ^i
2
1 л/з . frc
б) — cos x + :L— sin x = cos x
'2 2 v3 /
О 424. a) cos (a - p) + sin (- a) sin P = cos a cos P;
б) sin (ЗО° - a) - cos (бО° - a) = -JH sin a;
в) sin (a - p) - cos a sin (- p) = sin a cos P;
r) sin (ЗО° - a) + sin C0° + a) = cos a.
425. a) sin(a-p)-sin(a+P) = -2cosasinP;
6) cos (a - p) + cos (a + p) = 2 cos a cos p.
О 426. Решите уравнение:
а) cos 6x cos 5x + sin 6x sin 5x = -1;
б) sin3je cos5x-sin5x cos3x = 0,5.
Вычислите:
427. a) sin 15°; в) sin 15° cosl5°;
6) cos 15°; r)cos215°-sin215°.
428. a) sin77° cosl7o-sinl3° sin73°;
6) cos 125° cos 5° + sin 55° cos 85°.
429. a) sin\- + t cos --N + sin — + nsinf — — * |i
6) cos - + t cos 1 -cos —t cos —
U J U2 J U J 112
430. a)
6)
cos 105° cos 5° + sin 105° cos 85° _
sin 95° cos 5° - cos 95° sin 185° '
sin 25° cos 5° - cos 25° cos 85°
cos 375° cos 5° - sin 15° sin 365° '
431. Упростите выражение:
sin(a + p) - cosa shift ^
sin (a -
+ cos a sin
(a + ft) + si
(a - p) - si
cos (a + ft) + sin a sin ft #
cos (a - p) - sin a sin p '
sin (a - p) + 2 cos a sin p _ cos (a - p) - 2 sin a sin p
' 2 cos a cos p - cos (a - p)' r^ 2 sin a cos p - sin (a - p)'
432. Зная, что sin? =—, — <t<n, вычислите:
13 2t
a)sin[|-tj;
О О
433. Зная, что cos* = —, — < t < 2л, вычислите:
5 2»
a) sin t -
6)'

434. Зная, что sin a = —, cos р = , — <а<я, ^<Р<я, най-
дите:
a) sin(a-p);
б) cos (a -р).
12
б) cos (a - р).
435. Зная, что sin р = - ~, cos а = -0,8, я < Р < -^, ^ < а < я,
найдите:
a) sin (а - р);
436. Докажите тождество:
V2cosa-2cos |—a
а)
2sin — + a -V3sina
U )
cosa-2cos —+ a
б) f пл —V3tga.
2sin a— -visina
Решите уравнение:
437. а) -Д cos (- - x) - cos л: = 0,5;
\4 /
438. a) — sin x - — cos x - 1;
6) sinx - cosx = 1;
439. Решите неравенство:
a) si
в) —- cos л: + — sin x = 1;
г) ^/з cosx + sinx = 1.
—;
б) cos x cos — + sin x sin — < —;
' 2 2 7
в) sin— cos-^- - cos— sin— < —;
г) sin 2x sin Ьх + cos 2x cos 5дс > - ^—.
64
§ 23. ТАНГЕНС СУММЫ И РАЗНОСТИ АРГУМЕНТОВ
Вычислите:
440. a)tgl5°;
6)tg75°;
. tg25°+tg20° .
> а) l-tg25»tg20°'
в) tg 105°;
r}tgl65°.
tg 9° + tg 51°
6)
-tg70° tg65° .
tg70° + tg65° '
О 442.faT);g D - а), если tg а = %;
\ У 44 / 3
l-tg9° tg51°'
1 +tg54° tg9°
tg54°-tg9°
6)tg(oc + -|), если
\ О/
- + oc], если ctga = -|;
О
r)
te(«-f).
если ctga - —.
5
О 443. Известно, что tg a = —, tg P = —. Найдите:
2 3
6)tg(a-p).
a) tg(a + p);
2 fit }
0 444. Известно, что tga = -, tg — + p =-3. Вычислите:
5 v2 )
a)tg(a + p); 6)tg(a-p).
445. Упростите выражение:
tg 2,22 + tg 0,92 .
&) 1 - tg 2,22 tg 0,92 '
О 446. Решите уравнение:
tg 1,47-tg 0,69
1 + tg 1,47 tg 0,69
tg3*
=
;
3. Зак. 2857 Мордкович, 10-11 кл. Задачник.

447. а) Найдите tg а, если tg | a — | = 3;
4.
б) Найдите ctg a, если tg a + - =0,2.
v 4y
448. а) Зная, что tg a = 3 и tg (a + p) = 1, найдите tg p.
б) Зная, что tg a = i и tg (a - p) = 2, найдите tg p.
4
449. Известно, что sina = , жа<—. Найдите:
13 2
6)tg|a-|J.
450- Известно, что cos a = —,0<a<^. Найдите:
5 2
а)
451. Упростите выражение:
а)
Докажите тождество:
tgD5° + a)-tga
1 + tgD5° + ajtga
452. а) ^^ = tgD5» - а); б)
'l + tga ВХ '
tga
tg(a
tg(a-p)
= 2.
453.
tg* = tg[^ -
+ ^] - tga = 1 +
tg(-| + a]
tga.
454. a) tg(a + p) - (tga + tgp) = tg(a + p)tga tgP;
6) tg(a - p)- (tga - tgp) = tg(p - a)tga tgp.
455. Решите уравнение:
1 + V3 tg x
6)
tg i - tg 2x
456. Представив 2х в виде х + х, докажите тождество:
2tg*
' 1 - tg2 х ' .
457. Дано: a - р = —. Докажите, что:
4
«)
1-tgp
= tga;
458. Докажите, что значение выражения — р— \ не
зависит от значения р.
459. Решите неравенство:
а)
;
tg Зх + 1
• 460. Докажите, что прямые у = '¦
под углом 45°.
= 6-2л: пересекаются
• 461. Точка К — середина стороны CD квадрата ABCD. Чему ра-
равен угол между диагональю АС и отрезком ВК?
§ 24. ФОРМУЛЫ ДВОЙНОГО АРГУМЕНТА
Упростите выражение:
462.
б)
cos*
sin 6* .
cos2 Ш '
в) cos21 - cos 2t;
cos 2*
463. а) 4П4°°
6)
sin 20°
cos 80°
cos 40° + sin 40°
r)
в)
r)
cos t - sin t
sin 100° .
2 cos 50° '
cos 36° +sin218°
cos 18°
- sin t.
3*

Вычислите:
464. а) 2 sin 15° cos 15°;
б) (cos75o-sin75°J;
465.
466.
a)
б)
a)
„ . я я
2 sin— cos—
8 8
. я я
sin— cos— +
8 8
2tgl5°
1 - tg215° '
я
»
1
4*
в) cos215°-sin215°;
r) (cos 15° + sinlS0J.
2 Я . 2 Я
в) cos —sin -;
' 8 8
fz ( я . я
тЛ COS—+ Sin—
' 2 I 8 8
tg75° .
B) 1 - tg2 75° '
r)
1-tg2-
Докажите тождество:
¦I -i
467. a) sin —cos— = — sin x; в) sin2xcos2x = — sin4x;
6) cos2 — - sin2 — = cos —; r) cos2 2- - sin2 %- = cos x.
4 4 ii л ct
468. a) cos Ba + 2(}) = cos2(a + p) - sin2(a + p);
6) si
6) tg(a + P) = -
O470. Известно, что sinf =—, — <t <n. Найдите:
13 2
а) sin 2t;
б) cos 2t;
в) tg 2t;
r) ctg 2f.
О 471. Известно, что cos x = 0,8, 0 < x < -^. Найдите:
а) sin 2x;
б) cos 2я;
Упростите выражение:
в) tg 2x;
г) ctg 2x.
О 472.
О 473.
474.
а)
б)
а)
б)
sin*
2cosi
cost
t t '
cos — + sin —
2 2
sin 2* - 2 sin t
cos i - 1
cos 2t - cos2 *
1 - cos2 t
2
в)
r)
sin4f
cos 2t
cos 2f - sin 2f
cos4i
в) sin2*ctg*-l;
r) (tg* + ctg*)sin2*.
tg t + ctg t
6)
tg t - ctg t
475. a) (l - tg2 t) cos2 *;
6) 2 cos2 ^^ - 2 sin2 ^JJ..
Докажите тождество:
476. a) (sin t - cos tJ = 1 - sin 2f; в) (sin t + cos tJ = 1 + sin 2f;
6) 2 cos2 f = 1 + cos 2t; r) 2 sin2 ? = 1 - cos 2t.
О 477. a) cos4 t - sin4 * = cos 2t; 6) cos4 ? + sin4 f = 1 - -| sin2 2t.
О 478. a) ctg t - sin 2t = ctg * cos 2t; 6) sin 2f - tg * = cos 2t tg *.
Решите уравнение:
479. a) sin 2x - 2 cos x = 0; в) sin 2x - sin * = 0;
6) 2 sin * = sin 2x;
r) sin 2* - cos x = 0.

480. a) sin x cos x = 1;
6) sin Ax cos 4jc = —;
2
0481. a) cos2x + 3sinx = 1;
6) sin2 x = - cos 2x;
в) cos* .|-sin* | = I;
r) sin2 x - cos2 x = —.
в) cos 2x = cos2 x;
r) cos 2x = 2 sin2 x.
Вычислите:
482. a) sinll°15' • cosll°15' cos22°30' cos45°;
488. а) Известно, что sin2oc =-. Вычислите sin4 a + cos4 a;
О
б) Известно, что sin4 a + cos4 a = — и — <a<7t. Вычислите
50 2
sin 2a.
489. Представив Зх в виде х + 2х, докажите тождество:
а) sin3x = 3 sin x - 4 sin3 x;
б) cos Зх = 4 cos3 х - 3 cos x.
490. Докажите тождество:
483. a) 1+cos40°+cos80°.tg40°;
sin80o + sin40°
gx 1-cos25° + cos50°
sin 50° - sin 25°
484. Известно, что tgx = -, n<x<—.Найдите:
4 2
a)sin2x; б) cos 2x; в) tg 2x; г) ctg 2x.
485. Известно, что ctgx = — , — < х < 2п. Найдите:
3 2
a)sin2x; 6)cos2x; в) tg 2x; г) ctg 2x.
Докажите тождество:
cos2f
486. а) -
б) (ctgf - tg*)sin2f = 2 cos 2*.
sin2t-2sin —t
487. a)
cos I --t |-sin t
l 2
1 - cos 2t + sin 2t
' 1 + cos 2t + sin 2t
a) cosx cos 2x
6) cosx cos 2x с
в) sinxcos2x =
г) sinxcos2xc
4 sin x '
sm4x
4 cos*
491. Проверьте числовое
sin8x
8sinac'
sin8x
8cosx
равенство:
а) sin 18°cos 18°cos36° = -sin72°;
4
б) sin 18° cos 36° = -.
4
• 492. Вычислите:
Юл 2я 4я 8я 16я
cos—cos — cos — cos — cos ;
33 33 33 33 33
6) cos ? cos Ш cos $?.
' 7 7 7
Решите уравнение:
493. а) 2 - cos2x + 3sinx = 0;
6) cos6x- cos3x- 2 = 0.
494. a) 26 sin x cos x - cos 4x + 7 = 0;
6) sin4 x + cos4 x = sin x cos x.
70
71

495. a) 3sin2x + cos2x = 1; 6) cos 4* +2sin 4* = 1.
496. a) 4 sin x + sin 2x = 0, x e [0, 2я];
6)
497. Сколько корней имеет уравнение:
fe
k\.
a) (cos x - sin xf = 1-2 sin 2x, на отрезке Г— , ^1;
6)
2x-- |-2sin2l --2x 1 + 1 = 0, на отрезке I -,
л Зл
2 2
498. Докажите тождество:
a) sin х =
2tgf ,
1-tg2
6) cos я =
1+tg2f
499. Используя замену и = tg — и тождества из упражнения 498,
решите уравнение:
a) sin х + 7 cos л: = 5;
Решите уравнение:
1
б) 5 sin х + 10 cos x + 2 = 0.
500. a) cos
х' - п
sin 2x = 8 sin x cos я;
б) 16 sin х cos x + sin 2x sin — = 0.
х
• 501. a) sin 2x + 2 sin * = 2 - 2 cos *;
б) 4 sin 2x + 8(sin x - cos я) = 7.
Решите неравенство:
502. a) sin 2x cos 2* < - ;
4
б) cos2 - - sin2 - > -.
' 4 4 2
503. a) cos2 2х - sin2 2* < - 1; в) sin2 Зх - cos2 Зх < - 1;
б) sin 5я cos 5x > —;
' 2
r)sinfcosf <-1.
72
§ 25. ФОРМУЛЫ ПОНИЖЕНИЯ СТЕПЕНИ
Докажите тождество:
504. a) sin2 2t = 1~cos4^ ; в) 2 sin2 2f = 1 + sinl ^
6) 2 sin2 - + cos t = 1; r) 2 cos2 t - cos 2t = 1.
-4
1 + sin
О 505. a) cos23* = -
*{•-«)
2„ l-cosF*-3n)
в) cos2 3t = ;
' 2
1 + cos t 2
O506. a) l + sincc = 2cos2 45°-- ;
sin t 2
6) 2 sin2D5° - a) + sin 2a = 1;
в) 1-eino = 2sin2^45°-|J;
r) 2cos2D5° + a) + sin 2a = 1.
507. Вычислите (с помощью формул понижения степени):
а) sin 22,5°; в) sin"^;
б) cos 22,5°;
Решите уравнение:
О508. а) 1- cos x = 2 sin~;
б) 1 + cos х = 2 cos —.
О509. а) 1-cos* = sin*sin|;
О 510. а) sin2 2x = 1;
б) cos2 4х = ±;
in x = tg21 (l + cos x).
б) sin x
B)sin2- = -;
г) cos2 - = - .
4 4
73

0511. Сколько корней имеет уравнение 2 cos2 — - cos — = 1 на от-
Li У
резке [-2л, 2л]. Найдите эти корни.
0512. а) Дано: cosf = -, 0<t<—. Вычислите: cos-; sin-;
tgl; etgl.
б) Дано: ctg t = —, n < t < -—. Вычислите: cos - ; sin - ;
4k Ci 2 ^j
0513. а) Дано: sin2* =—, — <x<n. Вычислите: cosx; sin*;tg*;
5 2
ctg*.
б)Дано: tg2* = -, л<*<—. Вычислите: cos*; sin*; tg*;
4 4
ctg*.
Докажите тождество:
\ sin2t coat _ , t
coe2tl
cos —
-. sin2f cost 2 _ , |
l + cos2t 1 + cost j ? 4'
515.
+ sin 2* +
6) 1 + cos 2* - sin 2* _ , [ к _ . I
1 + sin 2t + cos 2* U '*
516. a) cos2 t - cos2[j -tj =± sin^J - 2tj ;
6) sin21 - sin2f^ - t) = -i= sinf2f " "I •
V4 У ^2 ^ 4^
517. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
у = /(я), если:
а) f(x) = 2 cos 2x + sin2 я;
б) /(*)= 2 sin2 3*-cos 6*.
74
518. Упростите выражение -Jl - cos 2f + Vl + cos 2f, если:
Зя
519. Известно, что cos 2x = —. Вычислите:
a) sin4 * + cos4 *;
Решите уравнение:
520. a) sin!
6) cos2(^* + |J = 1;
521. a) 4 sin2 * + sin2 2* = 3;
522. Решите неравенство:
a) 4sin23* < 3;
6) sin8 * + cos8 x.
r) cos 3*— =-.
I 4j 4
6) 4 cos2 2x + 8 cos2 x = 7.
§ 26. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СУММ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ В ПРОИЗВЕДЕНИЕ
Представьте в виде произведения:
523. a) sin40° + sinl6°;
6) sin 20° - sin 40°;
524. a) cosl5° + cos45°;
6) cos46°-cos74°;
525. a) sin ^ - sin -— ;
о XU
6) sin- + sin|;
в) sin 10° + sin 50°;
г) sin 52° - sin 36°.
в) cos 20° + cos 40°;
r) cos 75° - cos 15°.
в) sin^ + sin-;
75

526. a) cos cos—;
10 20
lire Зя
6) cos + cos—;
527. a) sin3* - sint;
6) cos(a-2p)-cos(a +
528. a) tg25o + tg35°;
в) cos ? - cos ~-;
5 11
г) cos^ + cos-^.
в) cos 6t + cos 4t;
г) sin(a-2p)-sin(a +
в) tg20° + tg40°;
. . 7C . 7C
r) tgrtg-.
6)
О 529. Вычислите:
v cos 68° - cos 22°.
sin 68° - sin 22° '
О 530. Проверьте равенство:
а) sin 35° + sin 25° = cos 5°;
б) sin 40° + cos 70° = cos 10°;
О 531. Докажите тождество:
. sin2a + sin6a , .
а) = tg4a;
cos 2a + cos 6a
Решите уравнение:
О 532. a) cos x + cos Зх - 0;
б) sin 12* + sin 4л: = 0;
О 533. а) sin л: + sin 2х + sin3x = 0; б) cos3x - cos 5л: = sin 4*.
sinl30° + sinll0°
cosl30° + cosllO°'
в) cos 12° - cos 48° = sinl8°;
r) cos 20° - sin 50° = sin 10°.
б) сое 2a-cos 4a =tg3atga,
cos 2a + cos 4a
в) cos x = cos 5x;
r) sin3x = sinl7x
Представьте в виде произведения:
534. а) - - cos t;
/о"
б) — + sin t;
535. a) si
в) 1 + 2 cos t;
r) cost + sint.
6)
536. a) sin t + sin 2t + sin 3* + sin 4*;
6) cos 2t - cos 4* - cos 6t + cos 8t.
537. Докажите, что верно равенство:
а) sin 20° + sin 40° - cos 10° = 0;
б) cos 85° + cos 35° - cos 25° = 0.
538. a) sin 87° - sin 59° - sin 93° + sin 61° = sinl°;
6) cos 115° - cos 35° + cos 65° + cos 25° = sin 5°
Докажите тождество:
539.
cos (a + p) + cos (a - p)
6) p !¦ p r- =
sin (a + P) - sin(^a - p)
540. a) sinx + sini/ + sin(a:-j
лх sin x + sin 2x + sin Зл:
. x x x-y
— —cos—cos -:
_ , <*
g
cos x + cos 2x + cos 3x
541. a) sin2(a + p)-sin2(a-p) = sin2a sin2p;
6) cos2(a-p)-cos2(a + p) = sin2a sin2p.
~,n t, sina + sin3a + sin5a+sin7a , . Л о
542. Вычислите , если ctg4a = 0,2.
cos a + cos 3a + cos 5a + cos 7a
#543. Докажите, что если a + p + у = я, то выполняется равенство:
а) tg a + tg P + tg у = tg a tg P tg у;
б) sin a + sin p + sin у = 4 cos ^ cos ^ cos -~.
Lt Ci Ci
• 544. Вычислите:
а) sin210° + sin2130° + sin2110°;
б) cos2 35° + cos2 25° - cos2 5°.
77

Решите уравнение:
545. a) sin3* = cos 2*;
б) sin Eл - я) = cos Bл: + 7л);
в) cos 5л: = sin 15л:;
г) sin Gл + л:) = cos (9л+2л:).
546. а) 1 + cos 6л: = 2 sin2 5л:; в) sin2|; = cos2 у ;
б) cos2 2л: = cos2 4л:; г) sin2 л: + sin2 Зл: = 1.
547. а) 2 sin2 л: + cos 5л: = 1;
б) 2sin^-l = cos^-sin24jc.
548. a) tg л: + tg 5л: = 0; в) tg 2л: = tg 4л:;
б) tgЗл: = ctga:;
г) ctgf + ctg— = 0.
Л Li
549. a) sin л: + втЗл: + cos л: + совЗл: = 0;
б) sin 5л: + sin л: + 2 sin2 л: = 1.
550. Сколько корней имеет заданное уравнение на отрезке 0, — I :
а) sin 2л: + втбл: = cos 2л:;
б) 2 cos2 л: - 1 = sin Зл: ?
551. Найдите корни уравнения, принадлежащие интервалу @, л):
а) cos 6л: + cos 8л: = cos Юл: + cos 12л:;
б) sin 2л: + 5 sin 4л: + sin 6л: = 0.
552. При каких значениях л: числа а, Ь, с образуют арифметичес-
арифметическую прогрессию, если:
а) a =
б) a = sin3x, b = cosx, c = si
78
§ 27. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЙ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В СУММУ
Преобразуйте произведение в сумму:
553. a) sin 23° sin 32°; в) sin 14° cos 16°;
б) cos -^ cos j;
г) 2sinfcos|-.
8 5
. / п\ [01 Pi Г** PI
554. a) sin(a + P) sin(a-P) ; в) cos — н— cos ;
6) cos(a + p) cos(a-P); г) 2sin(a + P) cos(a-P).
555. a) cos a sin(a+P); в) sinP cos(a + P);
6) sinF0°+a) sinF0°-a); r) cos a+- cos a-- .
Решите уравнение:
О556. а) cosf x +--J cosf x - -1 - 0,25 = 0;
6) sinf x + -| cosf л: -—1=1.
О 557 а) 2 sin x cos 3x + sin 4* = 0;
6)sin|sinf -i.
558. Преобразуйте произведение в сумму:
а) sin 10° cos 8° cos 6°; б) 4 sin 25° cos 15° sin 5°.
559. Докажите тождество:
а) 2 sin t sin 2t + cos 3t = cos t;
б) sina - 2 sinf| - 15°) cosf| + 15°) = |.
Вычислите:
560. a) cos2 3° + cos21° - cos 4° cos 2°;
6) sin2 10° + cos 50° cos 70°.
79

б) tg6°°0 +4 cos 100°.
sin 40
Решите уравнение:
5х Зх
562. a) sin Зх cos x = sin—cos—;
2 2
6) 2sin(- + x] sin
4 У
inf- - x] + si
V4 У
sin2 x = 0;
в) sin 2x cos x = sin x cos 2x;
r) cos 2x cos x = cos 2,5л; cos 0,5x.
563. a) sinx sin3x = 0,5;
6) cosxcos3x + 0,5 = 0.
564. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции
у = f(x), если:
a)/(x) = smx+^co8x~i
б) /lx) = sin х— sin х + — .
• 565. Докажите тождество:
cos2 D5° - а) - cos2 F0° + а) - cos75°sin G5° - 2а) = sin2a.
566. При каких значениях х числа а,Ъ,с, образуют геометрическую
прогрессию, если:
а) а = cos 6х, Ъ = cos 4х, с = cos 2x;
б) а = sin 2х, Ъ = sin Зх, с = sin 4x ?
§ 28. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЯ A sin x + В cos x
К ВИДУ С sin (x + /)
Преобразуйте данное выражение к виду С sin (x + t) или
С cos (x + t).
О 567. а) V3 sin х + cos х; в) sin х - cos x;
б) sinx + 7з cosx; г) 2sinх - -Jl2 cosx.
80
О 568. а) 3 sin х + 4 cos x;
б) 5 cos х - 12 sin x;
О 569. Решите уравнение:
а) >/з sin* + cos* = 1;
б) sinх + cosx = V2;
в) 7 sin х - 24 cos x;
г) 8cosx + 15sinx.
в) sinx - V3 cosx = V3;
r) sin x - cos x = 1.
570. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции:
а) у = >/зsinx+cosx; в) i/ = sinx-cosx;
б) у = sinх-л/зcosx; г) i/ = >/6sinx-V2cosx.
571. Найдите область значений функции:
а) и = 3 sin 2х - 4 cos 2х; в) J/ = 7 sin f + 24 cos -;
?t La
б) у = 5 cos Зх + 12 sin Зх; г) У = 8 cos |- - 15 sin |-.
572. Существуют ли значения х, при которых выполняется равен-
равенство:
а) sin 5х + cos 5х = 1,5; в) sin 7х - >/з cos 7х = ^ ;
Li
б) 3 sin 2х - 4 cos 2х = л/26; г) 5 sin x + 12 cos x = Vl70 ?
573. Постройте график функции:
а) у = -/2(sinx + cosx); в) у = sinx - >/з cosx;
б) у = 7з sin х + cos х; г) у = sin х - cos x.
Решите уравнение:
574. a) Cos2x + V3sin2x-л/2;
б) sin 5x - cos 5x =
в) cos| - 7з sin| + 1 = 0;
г) sin| + cos| = 1.
81

575. a) 4 sin x - 3 cos x = 5;
в) 12sinx + 5cosx + 13 = 0;
б) 3 sin 2x + 4 cos 2x = 2,5; г) 5 cos ? - 12 sin ? = 6,5.
2 2
576. Докажите тождество:
а) sin х + cos х + V2 = 2-У2 cos2[ — - -];
V2 8)
б) cos 2x - sin 2x - 72 = -2>/2 sin2f х + - ].
Решите уравнение:
• 577. а) 2 sinl7x + >/з cos5x + sin5x = 0;
б) 5sinx-12cosx + 13sin3x = 0.
• 578. a) (sinx + -Уз cosxf - 5 = cosf- - х\.
б)(>/3
sin x - cos x I + 1 = 4 cos
579. a)
=—x;
6) -v/2(cos x - sin x) = 2x - -.
580. Решите неравенство:
а) V3 sinx + cos x > 1;
б) 3sinx - 4cosx < 2,5.
Глава
ПРОИЗВОДНАЯ
§ 29. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
581. Являются ли числовыми последовательностями следующие
функции:
а) у = Зх2 + 5, х е Z; в) у = 7 - х2, х е Q;
б) у = sinx, хе[0, 2я]; г) у - c°St> xeN?
Постройте график функции:
582. а) у = 2 - х, х е N; в) у = ^-^ , х е iV;
б) J/ = Зх - х2, х е N; г) J/ = х2 - 4х, х е N.
О 583. a) j/ = sin - х, х е iV;
о
в) J/ = tg^x, x eiV;
О
б) у = ctg-Bx + l), x 6 iV; r) j/ = cosnx,
4
584. Приведите примеры последовательностей, заданных:
а) с помощью формулы п-то члена;
б)словесно;
в) рекуррентным способом.
585. Задайте последовательность аналитически и найдите пять пер-
первых членов этой последовательности:
а) каждому натуральному числу ставится в соответствие про-
противоположное ему число;
б) каждому натуральному числу ставится в соответствие квад-
квадратный корень из этого числа;
в)каждому натуральному числу ставитсяв соответствие число-5;
г) каждому натуральному числу ставится в соответствие поло-
половина его квадрата.
83

586. а) Дана возрастающая последовательность всех натуральных
чисел, кратных 6. Укажите седьмой, девятый, двенадцатый,
л-й члены последовательности.
б) Дана возрастающая последовательность всех натуральных
чисел, кратных 7. Укажите ее шестой, десятый, тридцать пер-
первый, n-й члены.
587. а) Найдите пять первых членов возрастающей последователь-
последовательности всех натуральных чисел, которые при делении на 5 дают
в остатке 2.
б) Найдите сумму нервых шести членов возрастающей последо-
последовательности всех натуральных чисел, которые при делении на 4
дают в остатке 3.
588. а) Известно, что ({/„) — последовательность пятых степеней
всех натуральных чисел. Найдите yv у2, уп, yn+v
б) Известно, что (уп) — возрастающая последовательность
всех натуральных степеней числа 3. Найдите у5, ут, у21, у2п,
589. Какие члены последовательности (уп) расположены между чле-
членами:
б) Уп-i и Уп+2>
По заданной формуле п-то члена вычислите пять первых чле-
членов последовательности (?/„):
590. а) уп = 3 - 2п;
б) уп = 2пг - п;
в) Уа = п3 - 1;
Зп - 1
г) Уа =
2п
591. a)j/n =(-
б) Уп ~ п* + 1;
О592. а) уп = Зсов-2-^;
п
6)
84
в) Уп = 1-cos2^-;
п
г) Уп - sinnn - cosn п.
О 593. Найдите сумму первых восьми членов возрастающей последо-
последовательности квадратов простых чисел.
Указание: число 1 не считается ни простым, ни составным.
Составьте одну из возможных формул п-то члена последова-
последовательности по первым пяти ее членам:
594. а) 0, 1, 2, 3, 4, ...; в) 5, 6, 7, 8, 9, ...;
б) -1, -2, -3, -4, -5, ...; г) 10, 9, 8, 7, 6, ... .
595. а) 5, 10, 15, 20, 25, ...;
б) 6, 12, 18, 24, 30, ...;
О596. аK, 9, 27, 81, 243, ...;
б) 9, 16, 25, 36, 49, ...;
в) 4, 8, 12, 16, 20, ...;
гK, 6, 9, 12,15
в) 1, 8, 27, 64, 125, ...;
г) 2, 9, 28, 65, 126
г)
1 А 1 А 11
4' 6' 8' 10' 12' "''
1 I J_ _L _i_
Х' 8' 27' 64' 125'""
1111
3-5' 5-7' 7-9' 9 • 11' 11 • 13'""" *
О 598. Определите значения нескольких первых членов последова-
последовательности и составьте формулу ее п-то члена, если график пос-
последовательности представлен:
а) на рис 18; в) на рис. 20;
б) на рис. 19; г) на рис. 21.
ь
9-
7,5
|
4,5-
1
1,5-
<
L 2 3 4 5 6 п
1
—
1-
-1-
{
1
2
3
4
5
6
Г
п
Рис. 18
Рис. 19
85

1
/ч
8-
7-
6
5-
4
3.
2-
i
1
1
2
3
1
5
5
7
re
—
—
5
о
1-
2-
¦6-
1
2
3
1
3
6
Рис.20
Рис.21
599. Выпишите четыре первых члена последовательности десятич-
десятичных приближений числа v2:
а) по недостатку; б) по избытку.
О 600. Укажите номер члена последовательности уп =
р
5п +
.рав-
.равного:
аH;
б>-й;
Г' 226'
О 601. Последовательность задана формулой ап = Bга - l)Cn + 2).
Является ли членом последовательности число:
а) 0; в) 153;
б) 24; г) -2?
О 602. Какие из заданных последовательностей ограничены снизу?
ч 1 1 1 1 1 1 1 1
а) ' 2* 3' 4""; В) 2' 3' 4' 5'"";
б) -1, 2,- 3, 4, - 5,...; г) 5, 4, 3, 2, 1, 0, - 1
86
О 603. Какие из заданных последовательностей ограничены сверху?
а) -3, -2,-1, 0, 1,...;
2 ' 3 ' 4 ' 5 ' 6
б) 1, - 1, 1, — 2, 1, — 3,...; г) —, , , ,....
О 604. Какие из заданных последовательностей являются ограничен-
ограниченными?
.111 1
аI' I' 4'-' я"" '
1 ? 5_ 2п -
2' 4' 6
б) Т» , » - » —' - "••'
в) 5,-5, 5,-5, ..., (-1Г*-5, ...;
г)-2, 3, -4,5,...,(-l)"(n +
Определите, является ли последовательность (хп) убывающей
или возрастающей:
О605. а) ха = Зга+ 2;
б) *" " п + 3 '
O606.a),n=(l)B+1;
в) хп = п3;
в)хп =61-;
, 2в-1
6)xn=7-*; г)ж. =[-!) .
О 607. Объясните, является последовательность (уп) убывающей или
возрастающей, если для любого номера п выполняется нера-
неравенство:
a) ?/n+i - Уп > 0; в) J/n+1 - уа < 0;
б)
уп > 0);
^<1, (уп<0).
Выясните, какие из приведенных последовательностей явля-
являются монотонными. Укажите характер монотонности:
О 608. а) уп = 2п - 1;
б) ?/„ = 5-»;
в) Уп =п2 + 8;
2
г) У» =
Зп + 1
87

О 609. й)ха -(-2)";
б) Уп = cos—?—;
п + 5
в) уп = ns - 5;
г) уп = V" + 8.
610. Приведите примеры последовательностей:
а) возрастающих и ограниченных снизу;
б) возрастающих и не ограниченных сверху;
в) убывающих и ограниченных снизу;
г) убывающих и не ограниченных снизу.
Напишите первые пять членов последовательности:
611. а) уп = sin-^ _ ctg^Bn + l);
Z 4
б) уп =cos-^
в) уп = nsin-^ + n2cos-^;
2
т)Уп = sin^-n
612. a) ya =
1-2-3 ...¦ n
n3 + 1
1-3
2-4-6--2П
Выпишите первые пять членов последовательности, заданной
рекуррентно:
613. а) *! = 2, ха =5-хя_1;
б) х1 = 2, ха = ха_х + 10;
614. а) X! = 2, ха = nxB.!;
б) х, = -5, ха =-0,5хп_1;
88
в) ж, =-1, ха = 2 +ж..,;
г) Ж1 = 4, хя = ж„_1 - 3.
в) xi = ~2, х„ - -хп_1;
Составьте одну из возможных формул n-го члена последова-
последовательности:
«1* оч 1 3 5 7 9
615. а)--,-, --, -, -10, ....
_2_ ± _6_ 8_ _10_
3 9 27 _81_ 243
В) 4' 16' 64' 256' 1024""'
13 5 7 9
г) -?=» -> —?=» -|
л/2 2 2V2 4
616. а)
16
25
=, i > i » / » / » ••• >
•2 V2-3 V3-4 V4-5 V5-6
5 7 9 И 13
22-32>32-42' 42-52>52-62' 62-72'"*'
14
19
24
ВI-2-3' 2-3-4' 3-4-5' 4-5-6' 5-6-7'""
2 2 2
г) 0, , 0, , 0, ,....
1-2 12.34 1-2-3-4-5-6
617. Постройте график функции:
а) у = (ж
, х е N;
в) у = -
х + 2
б) у = Зх - х2, х е 2V; r) J/ = V* + 3, х е 2V.
Постройте график последовательности:
618. а) уп = 10 - п3; в) уа = п3 - 8;
б) Уп = (- l)"V9n; г) уп = 4 - Vin.
619. а) у„ = 2 sin f л;
6
б) у. =(-l)"tgiBn-l).
620. Выпишите первые шесть членов последовательности (хп), у ко-
которой Xj= 5, х2 = -3 и каждый член, начиная с третьего, равен
полусумме двух предыдущих членов. Составьте рекуррентное
задание последовательности.
89

621. Квадрат со стороной 1 см вписан во второй квадрат таким об-
образом, что вершины первого квадрата являются серединами
сторон второго. Второй квадрат аналогично вписан в третий
квадрат и т.д. Получается последовательность вписанных друг
в друга квадратов. Составьте последовательности периметров
и площадей полученных квадратов. Выпишите по пять пер-
первых членов каждой последовательности. Чему равна длина сто-
стороны одиннадцатого и площадь семнадцатого квадратов?
622. Сколько членов последовательности уп = 2га2 - 7га + 5 при-
принадлежит отрезку [2, 5]?
Начиная с какого номера все члены последовательности (хп)
будут больше заданного числа А?
623. а) хп = Зга - 2, А = 15; в) хп = га2 - 17, А = -2;
б) хп = 5--1, А = 125; г) хп = З»-5, А = 27.
624. а) хх = -14, хп = хп_х + 7, А = 25;
б) хх =3, хп = вхп_х, А = 168;
в) хх = О, хп = хп_х + 3, А = 28;
г) хх =1, хп = 7ха_х, А = 285.
625. Сколько членов последовательности
' 3125' 625' 125
б. 6 11 16
2 2 _2_
729' 243' 81
В) 729 '
гч_2_ _9_ J6_
; 219' 222' 225'""
' 377' 379' 381'""
не превосходит единицы?
626. Какие из заданных последовательностей ограничены снизу?
а) Уя =
п + 1
у. =((-1)
627. Какие из заданных последовательностей ограничены сверху?
а) х„
г) хп =
п2 + 2
90
628. Какие из заданных последовательностей являются ограничен-
ограниченными?
a) cosl, cos 2, cos3,..., cosn,...;
ЙЧ sinl sin2 sinl (-l)"'sin re
6)^-
r) ctg|, ctg|
629. Докажите, что последовательность (хп) ограничена, если:
2п - 1 . „ч v - -Л± •
а) ха =
= _3_.
" 5" '
г) х„ = sin rare.
Изобразите точками на числовой прямой члены последователь-
последовательности. Найдите, если возможно, отрезок, которому принадле-
принадлежат все члены последовательности:
630. а) хп = -;
п
в) хп = IL±^;
D *„=(-!
п + 2
631. а) *! = 1; хп = 3 -
б) Xj = 2; х„ = -2
в) xt = 1; хл = ^-;
г) ж, = 5; хп = «„_! - 4.
632. Найдите минимальный отрезок [о, Ь] с целочисленными кон-
концами, которому принадлежат все члены последовательности:
а) а. =7—•,
п
2п + 1
2п-1

§30. ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
633. Запишите окрестность точки о радиуса г в виде интервала,
если:
а) о = 0, г = ОД; в) о = 2, г = 1;
б) о = -3, г = 0,5; г) о = 0,2, г = 0,3.
634. Окрестностью какой точки и какого радиуса является интер-
интервал:
а)A, 3); в) B,1, 2,3);
б) (-0,2, 0,2); г) (-7, -5)?
635. Принадлежит ли точка xt окрестности точки о радиуса г, если:
а) хг = 1, о = 2, г = 0,5;
б) *! = 1,1, о = 1, г = 0,2;
в) х, = -0,2, о = 0, г = 0,3;
г) ^ =2,75, о = 2,5, г = 0,3?
О 636. Существует ли номер п0, начиная с которого все члены после-
последовательности (хп) попадают в окрестность точки о радиуса
г = 0,1, если:
а) хп = -\, о = 0;
б) ха =±-,а = 1;
в) хп ¦¦ ^—, о = 0;
п + 1
п + 1
Постройте график последовательности (уп) и составьте, если
возможно, уравнение горизонтальной асимптоты графика:
О637. а) уп =-;
п
б) у. = (i);
О638. а) уа = -l + i;
л
=2-J-;
92
b)j/b =2-^-;
г)уп =-3 + ^-.
л
639. Вычислите Итх^если:
5 .
-17
б) ха = —;
-15
О640. а) хл = ^ + -р + -^
г) хл = -j= •
= i + _Z iL + l3-;
хп =
б)
5л + 3
л + 1
7л - 5
л + 2
Зл + 1
О642. а)*„ =—;
б) хп - - 5 ,
О 643. а) ж„ =
2л2 - 1.
,. 1 + 2л + л2 .
в)*. = -г '
в)
г)
в)
г)
в)
Хп
Хп
Х„
Хп
Хп
п +
2л +
Зл -
= 7-3
4
3"»
3 -
л2
Зл -
2 '
1
1
-Я •
1
л2 .
¦ 4 - 2л2
644. Найдите сумму геометрической прогрессии (Ьп), если:
а) Ъг = 3,
в) Ъх = -1, q = 0,2;
1
б) Ьг = -5, q = -ОД; т) Ъг = 2, q
645. Найдите сумму геометрической прогрессии:
а) 32, 16, 8, 4, 2,... ; в) 27, 9, 3, 1, -.
бJ4,-8,|, -|,
г) 18, - 6, 2, - f,
О
93

Вычислите:
О646. a) 2 + 1 + I + I + ... ;
6L9 + 7 + 1 + ^- + ...; г) 125 + 25 + 5 + 1 +
О647. а) - 6 + ^ - -2- + -2- - ... ;
3 27 243
в) 49 - 14 + 4 --+...;
7
б) 3
4= +... 5
V3
648. Найдите знаменатель и сумму геометрической прогрессии (Ьл),
если:
а) &, = -2, Ь2 = 1;
6N, = 3, Ъ2 =1;
в) ft, =7, Ь2 = -1;
г) bj = -20, Ьг = 4.
9
I'
649. Найдите знаменатель геометрической прогрессии (Ьл), если:
а) S = 2, bt = 3; в) S
б) S = -10, Ьг = -5; г) S = 1,5, bt = 2.
650. Найдите первый член геометрической прогрессии (Ьл), если:
a) S = 10, q = 0,1; в) S = 6, q = - 0,5;
6)S = -
3
т) S = -21,
О651. Найдите n-й член геометрической прогрессии (Ьл), если:
в) S = 20, ^=22, n = 4;
a) S = 15, q = --, n = 3;
3
6) S = -20, Ь,=-16, n = 4; г) S = 21, q = |, n = 3.
3
94
Укажите номер п0 того члена последовательности (хп), начи-
начиная с которого все члены последовательности попадут в окрес-
окрестность точки о радиуса г:
652. а) хп =^~, а = 0, г = 0,1;
б) хп =Ъ + \,а = Ъ,г = 0,2;
в) хп = 1 + ^-, о = 1, г = 0,01;
т)хп = --5-.О = 0, г = 0,1.
п
653
. а) ,„=(!)", а - 0, г -i;
654. Постройте график последовательности (ул) и составьте, если
возможно, уравнение горизонтальной асимптоты графика:
б) У„ = (-1) 2 + -;
п
г) у„ = (-1) • 3 - -.
п
655. Верно ли утверждение:
а) если последовательность имеет предел, то она монотонна;
б) если последовательность монотонна, то она имеет предел;
в) если последовательность ограничена, то она имеет предел;
г) если последовательность не монотонна, то она не имеет пре-
предела?
Приведите примеры, подтверждающие или опровергающие это
утверждение.
95

Вычислите предел последовательности (уп):
б)У„=-
в> Уп =-
г) уп=-
657. а) уп =
п + 5
""¦-
n'J
658. Найдите сумму геометрической прогрессии (Ьл), если:
659. Найдите сумму геометрической прогрессии, если известно, что
сумма первого и третьего ее членов равна 29, а второго и чет-
четвертого 11,6.
660. а) Найдите геометрическую прогрессию, если ее сумма равна
24, а сумма первых трех членов равна 21.
б) Найдите седьмой член геометрической прогрессии, если ее
сумма равна 31,25, а сумма первых трех членов равна 31.
661. Составьте геометрическую прогрессию, если известно, что ее
сумма равна 18, а сумма квадратов ее членов равна 162.
662. Вычислите:
а) 2 + 4 + 6+ ... + 20 + - + - + -... ;
2 4 8
б) 1 + 3 + 5 + ... + 99 + - + — + ——... ;
5 25 125
96
в) 21 + 24+27 + ...... ;
3 9 27
г) 1 + 4 + 7 + ... + 100 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + ... .
663. Упростите выражение при условии, что х * — |:
V. 2
а) sinx + sin2 x + sin3 x +... + sin" x + ... ;
б) cosx - cos2 х + cos3 x - cos4 x + ...;
в) cos2 x + cos4 x + cos6 x + cos8 x + ...;
r) 1 - sin3 x + sin6 x - sin9 x +*... .. «
664. Решите уравнение, если известно, что \х\ < 1.
а) х + х2 + Xs + х4 +... + хп + ...= 4;
б) 2х-4*2+8х3-16х4+ ... =- .
8
13
1 7
оок \ 234 п '
665. а) — + х + х +х +х + ...+х +...=—;
б) 2л: + 1 + х2 - х3 + х4 - х3 + ...=
' 6
666. Решите уравнение:
а) sin х + sin2 x + sin3 х +... + sin" x + ... = 5;
б) cos л: - cos2 х + cos3 x -... + (- I/1 cos" х + ... = 2;
в) 1 + sin2 x + sin4 х + ... + (sinxJ" +...= —;
г) 7cos3 x + 7cos6 x +... + 7(cosxKn + ...= 1.
§31. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
667. Какая из функций, графики которых изображены на рис. 22-
25 , имеет предел при х->+оо? При х->-оо? При х->оо?
668. Выясните, имеет ли функция y=f(x) предел х -> +оо, при
х -> -оо или при х -> оо и чему он равен, если:
а) прямая у = 3 является горизонтальной асимптотой графи-
графика функции на луче (-«>, 4];
б) прямая у = -2 является горизонтальной асимптотой графи-
графика функции на луче [-6, +°°);
в) прямая у=-Ь является горизонтальной асимптотой графи-
графика функции на луче (-«>, 3];
г) прямая у=*Ь является горизонтальной асимптотой графика
функции на луче [4, +«>).
4. Зак. 2857 Мордкович, 10-11 кл. Задачник.
97

\
\
\
\
\
\
w
-1
\
ff
2
1
0
к
J
f
1
I
/
/
I
l\
f\
1
Рис.22
I
X
\
V
\
\
4
-1
3-
2
1
к
у
у
1
2
Рис.23
-я
-2
/
/
-1
О
(
>
\
\
л
'
\
\
V
X
-3
«¦«*
-2
i
/
у i
f 1
-1
к
2
>
4
L
2
3
Рис.25
669. Постройте эскиз графика какой-нибудь функции у = f(x), об-
обладающей указанным свойством:
а) lim fix) = 3;
б) lim/(x) = -2;
в) lim /(x) = -5;
г) lim f(x) = 0.
670. Известно lim fix) = -3. Вычислите:
a) lim 6f(x\ в) lim 8/(x);
r) lim@,4/(x)).
671. Известно lim fix) = 2, lim g(x) = -3 и lim h(x) = 9.
X —> 00 X—» 00 X —>00
Вычислите:
г) U
х
б) Urn (/(ж)-
672. Известно lim /(х) = -2, lim g(x) = 7 и lim Л(х) = -2.
Х-»со
Вычислите:
Рис. 24
а) Ш
б)
в) li
г) li
98
4*

673. Известно lim fix) = 6, lim g(x) = -10 и lim л(*) = 25.
H» H» V 1-х» v '
Вычислите:
a) lim
Вычислите:
О 674. a) limfj_ +AV
^2 3 J
О 675. a) Iimf4- + 0;
6) lim[4-l-
О676. a) Iimfl2 - -\) ¦ Щ
*-*«V. x2 J x1
8
x2
О 677. a) lim^^;
i-><» x _ 2
6) lim |^i
**» 2x + 7
h[x)
r) lim
в) limf-^- + -^- +
*»«\х5 хг
f
г) limfj-
( 1^9
a) lim 4 + — • —
*-+»\ x3) xb
в) lim — ;
x-xo x + 3
r) lim t* + ? .
678. Какая из функций, графики которых изображены на рис. 26-
33, имеет предел при х -» 3? Чему равен этот предел?
679. Изобразите эскиз графика какой-нибудь функции у = g(x), об-
обладающей заданным свойством:
а) Jim g(x) = 2; в) Jirn g(x) = -4;
б) lim g(x) = -3; г) lim g(x) = 3,5.
3
0
3
s
N.
x-
Рис. 26
Рис. 28
. j
0
/
I
/
/
/
/
I
I
\
\
\
3
4
в
Рис. 30
Рис. 32
••
1 i
л
3
0
/
4
ч
s
x-
Рис. 27
1 1
4-
0
*
4
'S
X
A
3
0
/
Рис. 29
!/ '
3
0
a»
•*¦
I
1
1
V
\
\
3
4
x-
Рис. 31
1
л
5-
4'
3
0
—<•
- ж —
1
1
\
3
0
V
\
\
з
/
/
/
/
/
/
Рис. 33
100
101

680. На рис. 34 изображен график функции у = f(x). Найдите:
a) lim f(x); в) lim/(x);
х->3
б) Um/(ж);
х-»0
г) lim/(ж).
11 Л
о
4
/
/
/
/
3
Ч
ч
ч
*>.
1 =
¦^
/(.
«•)
¦ям
Рис. 34
Вычислите:
681. а) 1пп(л:2 - Зх + б);
б) lim^Ltl;
Х_Д 4л: + 2
2
682. а) И
х->5
б) lim V2x -6;
х^35
в) lim(x2 + 6* - 8);
г) lim
„_12к+ 2
з
в) limV* + 3;
Х-+ 6
г) \im-j3x -8.
x-ti
683. a) lim
2л:- 1
*->о л:2 + Зл: - 4
3 + 4л:
в) lim
4л: + 7
б) lim
*-и 2л:2 + 6л:- 3
*-+о хг - Ьх + 3 '
г) lim 5~2x .
*-+-! Зл:2 - 2л: + 4
О 684. a) lim
sin ял:
*-** х -
б) lim
X .
2л: + 1
B)limCOS7t*
г) lim
х + 2
cos -^
Зл:- 1
102
О 685. а) И
Х-+0 х2 - X
в) lim
~ Зх
X + 1
*-*-1 X2 + X
б) lim
lim
*-** х-3
х + 5
г) lim
Х-+6 хг + Ьх
О 686. a) li
б) lim
л:-1 7
л:2 -4.
"г 2 + х '
в) li
- 5
г) lim \+ х .
х->-3 Х2 -9
687. Найдите приращение функции у = 2х - 3 при переходе от точ-
точки хо= 3 к точке xv если:
а) жх = 3,2;
б) хх = 2,9;
в) хх = 3,5;
г) *! = 2,5.
688. Найдите приращение функции у = хг+2х при переходе от точ-
точки л:0= -2 к точке л:х, если:
а) жх = -1,9;
б) х, = -2,1;
в) *i = -1,5;
г) Ж1 = -2,5.
689. Найдите приращение функции у = sin л: при переходе от точки
л:0 = 0 к точке xv если:
а) л:г = —; в) л^ = —;
о 4
О 690. Найдите приращение функции у = 2 sin л: cos л: при переходе
от точки л:0= 0 к точке xv если:
б) ж, = —; тЛ v, = _ JL
> 12' T)Xl 12'
О 691. Найдите приращение функции у = >[х при переходе от точки
л:0= 1 к точке л^ = л:0 + Дл:, если:
а)Дд:=0,44; b)Ax=0,21;
б) Ах =-0,19; г) Ах =0,1025.
103

692. По графику функции, представленному на рисунке, найдите
приращение аргумента и приращение функции при переходе
от точки х0 к точке xt:
а) рис. 35;
б) рис. 36.
-i
J
,
у
2
U4.
—:
т)
—X
А
о-
• X
V
\
\
-3
У
\
\\
-1
V 1
\
*1
6
1
/
0
у
/
/
1
у
/
X
Рис. 35
Рис. 36
О 693. Найдите приращение функции у = 4х2 - х при переходе от
точки х к точке х + Дд;:
а) х = 0, Ах = 0,5;
б) * = 1, Ах = -0,1;
в) х = 0, Ах = -0,5;
г) х = 1, Ах = 0,1.
О 694. Найдите приращение функции у = f(x) при переходе от точки х
к точке х + Ах, если:
в) f(x) = 4 - 2х;
а) f(x) = Зх + 5;
б) /(*)=-*';
О 695. Вычислите, чему равно отношение приращения функции
у = хг - 4х + 1 к приращению аргумента при переходе от точ-
точки хо= 2 к точке:
а) х = 2,1;
б) х = 1,9;
в) х = 2,5;
г) х = 1,5.
104
696. Постройте эскиз графика какой-нибудь функции у = /(х), об-
обладающей указанными свойствами:
а) lim /(x) = 5 и/(х)>0 на (-«, +°°);
б) lim /(х) = -3 и/(х) > 0 на отрезке [-7, 3];
в) lim /(х) = 0 и/(х) > 0 на [0, + «-);
г) lim f(x) = 0 и/(х) < 0 на (-«, + «-).
Постройте эскиз графика какой-нибудь функции у = Л(х),
х е R обладающей указанными свойствами:
697. a) lim Л(х) = 4 и функция возрастает;
х-*+°°
б) lim л(х) = 5 и функция убывает;
в) lim л(х) = -2 и функция возрастает;
х-*-°°
г) lim л(х) = -3 и функция убывает.
698. a) lim л(х) = 1 и функция ограничена сверху;
б) lim л(х) = 1 и функция ограничена снизу;
в) lim л(х) = 1 и функция ограничена сверху;
г) lim л(х) = 1 и функция ограничена снизу.
699. a) lim л(х) = -3 и функция ограничена;
х-*+°°
б) lim Л(х)= 4 и функция ограничена;
в) lim л(х) = -2 и функция ограничена;
г) lim л(х) = 1 и функция ограничена
Х-*"
Вычислите:
700. a) li
х-*"
б) hm
х + 2
12*2+5х+2
;
в) lim
г) lim
Зх2 - 8
х* - 1
5*2+2х + 1
105

6) lim
702. a) lim
б) lim-
5-5х .
1хг - 9х '
\;
- 2л:
г) lim
lim 4^
*-*" ас* + 18
lim
х-»» 12ж2 - 6*
в) Ит Зас - 2ас' + 4
х-» Зх' + 2х
г) lim ?~3xl .
Постройте эскиз графика какой-нибудь функции у = /(ж), об-
обладающей заданными свойствами:
703. a)
б) lim fix) = 10, lim fix) = -2;
в) lim/(ж) = -2, lim/(«) = l;
r) lim/(«) = 3, lim fix) = -4.
704. a) lim/(*) = 3 и
в) lim /(ж) = 4 и /(-l) не существует;
г) limf(x) = -l и Um fix) = -5.
x-»3 v ' x->«o v '
Вычислите:
705. a) lim *'+ 2* ~ 8;
I"*1 X 1
6) lim
ас -
х + 2
x-»-2 2*2 - Ж- 6
в) lim х + ;
х->-1 «г - 2а: - 3
г) lim —
3
18
-9
706. a) lim
m JLLL
-2 Xs + 8
в) lim-?-
*« _ 27 '
*->i 1- x2 '
r) lim
4
106
707. a) lim
sinx
в) lim
cosx
ч ,. cos5ac-cos3ac
г) lim-
»->о tgac
limsin3ac-sinac.
!_>л cos Зас + cos ас
2
708. Для функции у = f(x) найдите Af при переходе от точки х к точ-
точке х + Ах, если:
а) f(x) = kx + m;
б) /(*) = ах2;
г) f{x) = 4х~.
709. Для функции у = f(x) найдите —- при переходе от точки х к
точке х + Ах, если:
a) f(x) = kx+m; в) f(x) = —;
' v ас
6)f{x) = ax*; v)f(x)=4x~.
710. Для функции у = f(x) найдите limn -J- при переходе от точки х
к точке л; + Ах, если:
a) f(*) = foc + m;
б)/(*)=а*';
Вычислите:
д: + 6 - 3
m
Ах -*0
г) /(х) =
• 711. a) lim
• 712. a) lim
хг - ЗХ
1 - cos ас .
0 х2
б) li
X -
б) lim"
107

§ 32. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ
713. Закон движения точки по прямой задается формулой s(t) -
= 2* + 1, где t — время (в секундах), s(t) — отклонение точки в
момент времени t (в метрах) от начального положения. Най-
Найдите среднюю скорость движения точки с момента tx=2 с до
момента:
а) *2 = 3 с;
в) *2 =
с;
б)*2 = 2,5 с; г)*2 = 2,05с.
Вычислите мгновенную скорость точки в момент времени t = 2 с.
714. Закон движения точки по прямой задается формулой s(t) =
= t2, где t — время (в секундах), s(t) — отклонение точки в мо-
момент времени t (в метрах) от начального положения. Найдите
среднюю скорость движения точки с момента tt= 0 с до момен-
момента:
a) t2 = 0,1 с;
= 0,2с;
б) t2 = 0,01 с; г) *2 = 0,02 с.
Вычислите мгновенную скорость точки в момент времени t = 1 с.
715. Закон движения точки по прямой задается формулой s =
= s(t), где t — время (в секундах), s(t) — отклонение точки в
момент времени t (в метрах) от начального положения. Най-
Найдите мгновенную скорость движения точки, если:
а) s(t) = 4* + 1;
б) s(t) = 6* - 2;
в) s(t) = 3* + 2;
г) s(t) = 5* - 1.
716. Функция у = f(x) задана своим графиком. Определите значе-
значения f'fa) и f'(x2), если график функции изображен:
а) на рис. 37; в) на рис. 39;
б) на рис 38; г) на рис. 40.
717. Найдите скорость изменения функции в произвольной точке х:
а) у = 9,5л: - 3; в) у = 6,7л: - 13;
б) у = -16л: + 3; . Г) у = -9л: + 4.
108
\Ji\
f
1
' *1
У i
/
на
0
0
>
[/- ft-с
S
X
•/
1
1
г
/
45°
т
У
/
/
t
X
11 1
s
2
N
0
\
\
30°^.
У
у 1(х)^
У
х
Рис.37
Рис. 38
У
-Т(х;
ь
\
\
Ч i
J
/
>
6
S
xi
150°
<
\
s
ч
ч
•
/
/
т
т\
1
1
1
1
X
Ч
л
1
t/.
0
>
ч
/
\J
г
J
f
1
/
X
Рис.39
Рис. 40
Найдите скорость изменения функции у = Дл:) в указанной точ-
точке х0:
718. a) f(x) = х2, х0 = 2; в) f{x) = х2, х0 = -2;
б)/(л:)=л:2, х0 =-1;
719. a)/(x)-i, x0 = 2;
б)
= ^, х0 = -1;
г)/(л:)=л:2, х0 =9.
=1, х0 =5;
txJ-i.Xo.-O.e.
О 720. Закон движения точки по прямой задается формулой s(t) =
= t2, где t — время (в секундах), s(t) — отклонение точки в мо-
момент времени t (в метрах) от начального положения. Найдите
скорость и ускорение в момент времени t, если:
а) * = 1с; б) t = 2,1 с; в) t = 2 с; г)* = 3,5с.
Указание: ускорение — это скорость изменения скорости.
109

721. Найдите точки, в которых производная функции у = х2 прини-
принимает:
а) положительные значения;
б) отрицательные значения.
722. Закон движения точки по прямой задается формулой s(t) =
= It2 + t, где t — время (в секундах), s(t) — отклонение точки в
момент времени t (в метрах) от начального положения. Найди-
Найдите среднюю скорость движения точки с момента tt = 0 с до мо-
момента t2, если:
а)*2 = 0,6с; в)*2 = 0,5с;
б)*2 = О,2с; г)*2 = 0,1с.
723. Закон движения точки по прямой задается формулой s = s(t),
где t — время (в секундах), s(t) — отклонение точки в момент
времени t (в метрах) от начального положения. Найдите мгно-
мгновенную скорость движения точки в момент времени t, если:
а) s(t) = t2 + 3; в) s(t) = t2 + 4;
б) s(t) = t2 -t; г) s(t) = t2 - 2t.
724. Функция у = f(x) задана своим графиком (рис. 41). Сравните
значения производной в указанных точках:
а) /'(- 7) и f'{- 2); в) /'(- 9) и f(o);
б) /'(- 4) и /'B); г) f'(- l) и /'(б).
\
V
\
9 4
\
\
У
-'
\
! -в
V
ч
-3
-2
-1
У
V /
/
У
г
0 3
А
/
У
V
4
= f(x)
s
V
\
,6
\
т
Рис.41
110
725. Функция у = f(x) задана своим графиком (рис. 41). Укажите
два значения аргумента ijHXj, при которых:
а) f(*,) > 0, f'{x2) > 0; в) /'(*,) < 0, f'{x2) < 0;
б) /'(*,)< 0, f'{x2) > 0; г) f(*,) > 0, f'{x2) < 0.
726. Функция у = ф (х) задана своим графиком (рис. 42). Укажите
несколько значений аргумента, для которых:
а) ф'(х) > 0; в) ф'(х) < 0;
б) ф'(х) < 0 и х > 0; г) ф'(х) > 0 и х < 0.
4
V
/
8
4
/
/
-
\
4
ч
\
/ i
\
(
I
/
/
1
1
\
i_
\
V =
\
\\
X
51
х)
*~
х _
Рис. 42
727. Закон движения некоторой точки по прямой задается форму-
формулой s(t) = tz + 4t, где t — время (в секундах), s(f) —отклоне-
—отклонение точки в момент времени t (в метрах) от начального поло-
положения. Найдите скорость и ускорение в момент времени t, если:
а) * = 1с; в) * = 2с;
б) t = 2,1 с; г) t = 3,5 с.
§ 33. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ
Найдите производную функции:
728. а) у = 7х + 4;
б) J/ = *2;
в) у = -6* + 1;
т)У =-¦
111

729. а) у = sinx;
6)y = >[x;
в) J/ = cos*.
r)y = Ю10.
Найдите значение производной функции у - g{x) в точке х0,
если:
730. a) g(x) = Vx, x0 = 4; в) g(x) = -Зх -11, х0 = -3;
б) g{x) = х2, х0 = -7; г) g(x) = -, х0 = 0,5.
731. а) g(x) = sinx, х0 = --; в) g(x) = cosx, х0 = -Зк;
Найдите скорость изменения функции у = Л(х) в точке х0,
если:
732. а) Л(х) =7х- 19, х„ = -2; в) л(х) = -6х + 4, х0 = 0,5;
б) л(х) = 4х, х0 = 16; г) h(x) = Jx, x0 = 9.
733. а) й(х) = -, х0 = -2; в) А(х) = х2, х0 = -0,1;
х '
б) А(х) = sinx, х0 = -|; Г) h(x) = cos д:, д:0 = п.
Найдите угловой коэффициент касательной к графику функ-
функции у = f{x) в точке с абсциссой д;0:
734. a) f(x) = х2, х0 - -4; в) f(x)=ltXo=l;
6)f(x)=±, x0 =-1; T)f(x)=x2t Хо = 2.
735. а) /(*)= sinx,
в)
= cos х, х0 = -|;
О
б) /(х) = cosx, д:0 = -^; г) f(x) = sinXj Жо = _JL.
4 6
112
736. Укажите, какой формулой можно задать функцию у = f(x),
если:
а) f(x) = 2х; в) f'{x) = 3;
б) f'(x) = cos х; г) /'(х) = - sin x.
Найдите производную функции:
737. а) у = х2 - 7х;
б) у = -Зх2 - 13д:;
738. а) I/ = 12д: + Jx;
б)у = у[х~-9х2;
739. а) у = - + 4х;
б) У = -
740. а) I/ =
б) У = -
741. а) у - sin д: + 3;
б) г/ = 4 cos x;
742. а) у = cosx + 2х;
б) у = 2 sin д; - бд;;
743. а) у = 5sinx + cosx;
б) у = 3 sin х + cos x;
744. а) у - х5;
б)у = х">;
745. а) у = х3 +2х5;
б) г/ = х4 - х9;
в) г/ = 7х2 + Зх;
г) у = -х2 + 8х.
в) у = 15х + V*;
г) J/ = -Jx - 5х2.
в) у = — бд:;
X
г) у = \0х2 + -.
в)У =
г) У = -8
в) г/ = cos х - 6;
г) у - -2 sin х.
в) у = sin х - Зх;
г) {/ = 3cosx + 15х.
в) у - sin х - cos x;
г) у = 2 cos х + sin x.
в) у = х4;
г) у = х201.
в) у = Xs + 4х100;
г) у = х4 - 7х9.
113

746. а) У = хь + 9х20 + 1;
б) у = *7 - 4х16 - 3;
747. а) У = (х2 - l)(x4 + 2);
б) у = (ж2 + з)(ж6 - l);
748. а) у = -fx~{2x - 4);
б) у = (х3 + l)VJc;
749. а) у = х sin ж;
б) у = Jx cos ж;
О750. а) у = f^ +
О751. а) у =
б)У =
2x +
X2
хг -
3-Jx
sin л;
4'
Г
9'
б) у =
753. а) у - tg ж;
б) у = ctgx;
754. a) j/ = 3si
б) у = tgx - cos x;
755. a) i/ = ж tg ж;
б) $/ = втж tgx;
114
в) J/ = х6 + 13ж10 + 12;
г) у = х9 - 6х21 - 36.
в) у = {х2 + З){х* - 1);
г) у = {х2 - 2)(*7 + 4).
в) У = х cos д:;
г) У = л/Т
в) J/ =
г) У =
3-4*'
+ 1
г) У =
cos л;
в) У = tg д: + 4;
г) J/ = ctg д: + 8.
в) I/ = cos д: + tg д:;
г) J/ = 6 tg д: - sin д:.
в) I/ = xctgx;
г) i/ = cosx ctgx.
Найдите значение производной функции в точке д;0:
756. а) У = 6х - 9, х0 = 3; в) у = 5х - 8, х0 = 2;
б) У = -Их + 7, х0 =5; г) У = -20х + 3, х0 = 6.
757. а) У = х2 + 2х - 1, х0 = 0; в) у = *2 + Зд: - 4, х0 = 1;
б) у = х3 - Зх + 2, х0 = -1; г) У = *3 - 9х2 +7, х0 = 2.
758. а) У = - - 1. «о = 4;
о
в) I/ = 6, д:0 = 1;
б) у = >/л7 + 4, ж0 = 9; г) г/ = л/лТ + 5, ж0 = 4.
759. а) У = 2 sin ж - 13, ж0 = -|; в) У = - втж - 3, ж0 = -|
б) г/ = - cos ж + 2, ж0 = ¦?;
О760. а) г/ =
4, д:0 = -¦?;
4
б) у = 2ctg^, д:0 =-|;
О761.
б) J/ = -^з|, д:0 = 2;
г) у = 4 cos д: + 1, Хо = ^.
в) г/ = ctgx- 2, х0 = --|;
г) г/ = -4tgx, х0 = 0.
=0.
Вычислите скорость изменения функции у = g(x) в точке д;0:
762. a) g{x)= х3 -t 2x, д:0 = 2;(
б) И*) = W* + l)V^, x0 =1;
в) g(x) = х2 - Зх, х0 = 4;
763. а)
-
= -1;
б) g(x) = 2х3 - 4л: + 3, х0 = 2;
в) g(x) =4x2 -^-, xo= -2;
г) g(x) = -х3 + 2х2 + 1, х0 = 2.
115

764. a) g(x) = 2 sin л; - 4x, x0 = -;
_ _ 71 .
" 3'
в) g{x) = -3cosx + x, x0 = -?;
о
Найдите тангенс угла между касательной к графику функции
у = h(x) в точке с абсциссой х0 и осью х:
765. a) h(x) = х6 - 4х, х0 = 1;
б) h(x) = Jx~ - 3, х0 = ±;
в) h(x) = -хь - 2хг + 2, х0 = -1;
766. a) h(x) = 10 - cos х, х0 = -^;
-;
4
в) Л(ж) = 4 - sin д:, х0 = 6л;
г) h(x)= -4ctgx, x0 = -i
О 767. a) f{x) = хг sinx, ff|l = ?
r)/(x) =
— + xsin-, A- U?
я 6 16;
6 7t
116
О 768. Известна производная функции y-f(x). Укажите, какой фор-
формулой можно задать функцию У = f{x), если:
a) f'(x) = Зх2 + 2х; в) f(x) = 5х4 - 1;
О 769. а) При каких значениях х выполняется равенство f'(x) = 2,
если известно, что f(x) = 2-fx - 5х + 3 ?
б) При каких значениях х выполняется равенство f'{x) = 1,
если известно, что f(x) = Зх - -Jx + 13 ?
Найдите производную функции:
770. а) у = D* - 9O; в) У = (б* + l)9;
12
б) У = I f + 2 | ;
771. а) у = C - *M;
б) у = G - 24хI0;
772. а) у = sinCo:-9);
б) у = sinG-2o:);
773. а) у = cos E*+ 9);
г) 1/ = (l5-9xI3.
в) У = sin - + 1 ;
г) у = sin (б - Зх).
в) у = cos (9x - 10);
774.
б) у =
117

775. а) у = л/15 - 7х;
в) y =
б) у = -у/42 + 0,5л:; г) у = ^50-0,2х.
Найдите значение производной функции в точке л:0:
О776. a) y = Cx-2)\ xo=S; B)y = Bx + ZM, xo=2;
б) 1/ = D-5л:O, л:0=-2; г) y = E-Zx)\ л:0=-1,
О 777. a) y = sii
б) y = sin\^-
в) y = cos\--4x L *0=-;
)
¦
О778.
16
О779. a) y = j6x
б) y = j4-
в) у =
г) у =
Вычислите скорость изменения функции в точке х0:
О 780. a) j/ =
б) у =
118
в) у =
г) у = *
12х-5
, д:0 - 2;
О781.
б) i/ =
в) y =
r)i/ = ctg-^, д:0=л.
о
О 782. Найдите тангенс угла между касательной к графику функции
у = h(x) в точке с абсциссой х0 и осью х:
б) h(x) = у/Ых + 21, х0 = j;
В)Л^= 4^71'^ = 0>5;
г) h(x) = V6 - 2х, х0 = 1.
Найдите производную функции:
783. а) у = (л; - 1)(л;2 + л; + l); в) у = (л; + 1)(л;2 - л; + l);
б) у = {х2 +2х + 4)(х - 2); г) у = (х2 - Zx + 9)(х + 3).
X* + X .
784. а) у =
х9 -3
в) У =
*)y = -zr
-2
785. а) у = cos2 - - sin2 -;
б) у = 2sin| cos|;
в) у - cos2 Зд; + sin2 Zx;
г) у = ~sin| cos|.
786. a) i/ = sin 2x cos д; - cos 2x sin x;
б) у = sin | cos Щ- + cos | sin Щ-;
в) i/ = cos Zx cos 2x + sin Zx sin 2x;
г) у = cos 4 cos -^ - sin-|- sin-^-.
119

787. а) Дано: f(x) = aain2x+bcoax, f'i- j = 2, f(— j = -4. Чему
равны а и ft?
б) Дано: /!(a;) = acos2a;+fesin4a;) f[ —j = 4, f[ —] = 2.Чему
равны a и ft?
Определите абсциссы точек, в которых угловой коэффициент
касательной к графику функции у = f(x) равен ft, если:
788. а) f(x) = V* - *, k = 1; б) /(*) = V* + 3*. ft = 4.
789. а) f(x) = sin x cos *, ft = - ^L;
6) /(*)= cos2*, ft = 1.
Решите неравенство f'\x) < 0, если:
790. a) f(x) = xs - x*; 6) f(x) = ± xs - | x3 + 6x.
791. a) f(x) = sin 2*;
б) f(x) = -4 cos * + 2*.
Решите неравенство ?'(*) > 0 , если:
792. a) g{x) = х3 + х*;
б) g{x) = -^.
793. а) g(;c) = cos2 х - sin2 х; б) ?(*) = sin2 x.
794. а) Найдите корни уравнения /'(я) = 0, принадлежащие отрез-
отрезку [0, 2], если известно, что f(x) = cos2 x + 1 + sin x;
б) Найдите корни уравнения f'(x) = 0, принадлежащие отрез-
ку —, — , если известно, что Дя; = sin2 х - cos х - 1.
|_2 2 J
120
795. Определите абсциссы точек, в которых касательная к графику
функции у = h(x) образует острый угол с положительным на-
направлением оси х, если:
a) h(x) = х3 - Зх2 + 1; в) h{x) = х3 - х4 - 19;
б)
г)
796. Определите абсциссы точек, в которых касательная к графику
функции у = <р(х) образует тупой угол с положительным на-
направлением оси х, если:
a) (p(*) =sina; + 3; в) <р{х) = ctg* + 9*;
г) ф(ж) = V4-2*.
б) (р(х) = 0,2л:5 - 3 i х3 + 9х;
о
При каких значениях аргумента скорость изменения функции
у = f(x) равна скорости изменения функции у = g(x):
797. a) fix) = | х3 - х2, g{x) = 7,5л:2 - 16*;
о
О) JIXI yXj gyXj *
X
798. a) f(x) = cos 2x, g(x) = sin x;
6) f(x) = tgx, g(x)-ctgx?
799. При каких значениях аргумента скорость изменения функции
у = g(x) больше скорости изменения функции у = h(x):
а) g(x) = х3 - З*2, h(x) = 1,5*2 - 9;
б) g\x) = sin 3* - -| L h{x) = 6x - 12;
в) g(x) = tg*, h(x) = 4х - 81;
г) ?(х) = с<
800. Найдите значения аргумента, удовлетворяющие условию
Г{х)= ?'(*), если:
a) f{x) = sin Bx - 3), g{x) = cos {2x - 3);
f\\ nrl — &ix) = •
в) /(*) = >/ "
г) /(х) = ctgx, ^(х) = 2л: + 15.
121

801. Найдите значения аргумента, удовлетворяющие условию
/'(*)< ?'(*), если:
а) f{x) = sin* cos*, g(x) = -|* + 61;
б) /(*) = sin*cos2* + sin2*cos*, g(*) = 35-3*;
в)/(*) = sin2*-cos2*, g(x) = -2x + 9;
r) f{x)= *cos*, g{x)= sin*.
802. Определите абсциссы точек, в которых касательные к графику
функции у = h(x) образуют с положительным направлением
оси абсцисс заданный угол а:
а) h{x) = *2 - 3* + 19, а = 45°;
б) ft(*)=^2' а = 135°;
в) й(*) = 2>/2*-4, а = 60°;
г) h{x)= sinf4*--^\ а = 0°.
I d J
803. а) При каких значениях а касательные к графикам функций
у = *7 и у = *8 в точке * = а не имеют общих точек?
б) При каких значениях а касательные к графикам функций
у - V* и у - 2л/* + 8 в точке * = а не имеют общих точек?
Укажите, какой формулой можно задать функцию у = /(*),
если:
804. а) /'(*) = 6B* - IJ;
б)/
б) f'(x) =
= -20D-5*K.
5
2>/5*-7
4
807. Строится мост параболической формы, соединяющий пункты
А и В, расстояние между которыми равно 200 м. Въезд на мост
и съезд с моста должны быть прямолинейными участками пути,
122
эти участки направлены к горизонту под углом 15°. Указан-
Указанные прямые должны быть касательными к параболе. Составь-
Составьте уравнение профиля моста в заданной системе координат
(рис. 43).
1
5°
1
Л J
0
От
I
¦*¦
R
15
•««
X
Рис. 43
•808. а) При каких значениях параметра а касательные к графику
функции у = 4*2 - | а \ х, проведенные в точках его пересечения
с осью *, образуют между собой угол 60°?
б) При каких значениях параметра а касательные к графику
функции у = х2 + \а\х, проведенные в точках его пересечения
с осью *, образуют между собой угол 45°?
§ 34. УРАВНЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ
809. Определите знак углового коэффициента касательной, прове-
проведенной к графику функции y=f(x), изображенному на задан-
заданном рисунке, в точках с абсциссами а,Ъ,сх
а) рис. 44;
б) рис. 45.
—А
/
\
-Ь
II 1
ч
0
а
1
>
/
J
/
С-
{
X.
s
\
1
J
У 1
0
—
>
г-
/
7
с
—
Рис.44
Рис. 45
123

810. Укажите точки, в которых производная равна нулю и точки, в
которых производная не существует, если график функции
изображен на заданном рисунке:
а) рис. 46; в) рис. 48;
б) рис.47; г) рис. 49.
Рис. 46
Рис.48
124
1
A
\
V
J
f
/
I
'I1
1
1
3,5
^ 1
\
\
X
I
f
¦5ч
N
'si
1
1,5
1
У J
0
i—
t
to
i
/
5
i
/
1
A
f\
|\
\
\5 5
I \
—\ — x
V
1
Рис. 47
V
\
\
4^
¦f
i
Si
—
I
1
1
-
I
¦t—i
0
•4
A
/
V
t
r
/
-5
/
/
J J
0
/
/
/
:
/
i
/
J
/i
f
— x
Рис.49
811. Какой угол (тупой или острый) образует с положительным
направлением оси х касательная к графику функции у = f(x),
проведенная в точке с абсциссой х = а, если:
а) /(*)= 4 + *2, а = 2; в) f{x) = {l - xf, a = -3;
б) f(x) = 1 - i, a = 3; г) /(*) = 2д: - д:3, а = 1.
812. Чему равен угловой коэффициент касательной к параболе
у = 1-х2 в точке:
а) А @; 1);
б)ВB;-3);
г) ?>(-!; 0)?
Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к
графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х = а, если:
813. а) /(ж) = 1 д:2, а = 1; в) /(ж) = 0,25**, а = -1;
б) /(ж) = -2*3, а = 2; г) /(ж) = -*5, а = 1.
814. а) /(ж) = Xs - 2х2 + 3, а = -1;
б>/(*) = ¦?!. « = 1;
в) /(ж) = *4 - 7*3 + 12л: - 45, а = 0;
815. а) /(ж) =
б)/(*) =
-7, а = 8;
-Ъх, а = 0;
в) /(ж) = VlO + ж, а = -5;
816. а) /(ж) = sin*, а = 0;
б) /(ж) = tg2*, а = |;
г) /(ж) = ^/3,5-0,5^, а = -1.
в) f(x) = созЗл:, а = •?;
г) /(*) =
, а = |.
125

Определите, какой угол образует с осью х касательная, проведен-
проведенная к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х=а, если:
817. a) f(x) = х2, а = 0,5; в) f(x) = 0,2*5, а = -1;
б) f(x) = -Зх3, а = |; г) /(*) = -0,25**, а = 0.
О 818. а) /(*) = х3 - Зх2 + 2х - 7, а = 1;
б) /(ж) = -7*3 + \0х2 + х - 12, а = 0.
O819.a)/(*)-ffgL. а--!'
0820. а) /(*) = J6x + 7, а = з|; б) f(x) = 75^2^, а = 2.
0821. a) f(x) = V3 cos|, a = *±; б) /(*) = -|sin2*. а = |.
О 822. a)
б)
iiA а = 3я;
3
Составьте уравнение касательной к графику функции у = f(x) в
точке с абсциссой х=а, если:
823. а) /(*)= х2, а = 3;
б) /(*)= 2-я-*3, а = 0;
в)/(*)= х\ а = 1; "¦¦¦.-.(
г) /(д;) = х2 - Зх + 5, а = -1.
О824. a)
i-x
, а = 2; б)
-л:
, « = 4.
.,fW._J_, о._з; «/
О826. a) f(x) = 2л/Зд:-5, а = 2; б) f(x) = 77^27, а = 3.
126
О827. a) f(x) = cosf, a = 0; в) f{x) = sin2*, a = •?;
3 4
б)
7. г) /(*)= 2tgf, а = 0.
4 о
О 828. Напишите уравнения касательных к графику функции
у = 9 - х2 в точках его пересечения с осью абсцисс.
О 829. Напишите уравнения касательных к параболе у = х2 - Зх в
точках с ординатой 4.
О 830. На графике функции у = Зх3 - 4я2 + 1 найдите точку, в ко-
которой касательная образует с положительным направлением
оси абсцисс угол 45°. Составьте уравнение этой касательной.
О 831. В какой точке касательная к графику функции у = х2 парал-
параллельна заданной прямой:
а)у = 2х + 1; в) У = jX-2;
б) У = -|
г) у = -х + 5 ?
В какой точке графика заданной функции у = f(x) касатель-
касательная параллельна заданной прямой:
О832. а) у = 3 + х, f(x) = — -Зх2 +10*-4;
3
б)у = х-3,
г) 0 = 2,
4
4
О 833. a) f{x) = sin x, у = -х; в) f(x) = tgac, у = х;
б) f[x) = cos Зх, у = 0; г) f(x) = sin|, у = -1?
834. Напишите уравнения тех касательных к графику функции
у = — 2 .которые параллельны заданной прямой:
3
а) у = х - 3;
б) 2/ = 9*-5.
127

К графику заданной функции проведите касательную так, что-
чтобы она была параллельна прямой у = 2 - х:
О835. a) i/ = ^-+-
3 2
X 2
1 = + X -X.
3
О 836. а) у =
x+9
x+8'
О 837. a) y =
б) у = ^\-2х.
С помощью формулы /(#) » /(а)+ /'(а)
ближенно:
- а) вычислите при-
838. a) 0,998s;
О 839. a) Jl,05;
б) 1.037.
б) Д99.
840. Составьте уравнение той касательной к графику функции
У = f(x), которая образует с осью х заданный угол а, если:
а) f(x) = -j=x3 - 3V3*, a = 60°;
6)f(x) = -^x-—x3, a = 30°.
V3 3
841. а) Вычислите координаты точек пересечения с осью у тех каса-
касательных к графику функции у = -^г, которые образуют угол
45° с осью х.
б) Вычислите координаты точек пересечения с осью у тех каса-
у+4
тельных к графику функции у = —-.которые образуют угол
135° с осью х.
842. Составьте уравнение параболы у = х2 +Ьх+с, касающейся
128
843. Проведите касательную к графику функции у = х2 + 1, про-
проходящую через точку А, не принадлежащую этому графику,
если:
а)А(-1;-2); в)А@;-3);
б)А@;0); r)A(-l;l).
Через точку В проведите касательную к графику функции
у = f(x), если:
844. a) f(x) = -х2 - 7х + 8, B(l; l);
б) f(x) = -хг - 7х + 8, В@; 9).
• 845. a) f(x)=j3-x, в{- 2; з); б) f(x)=j3-x, вD; 0).
• 846. a) f(x) = V4x - 3, В B; 3); б) /(*) = ^2х + 1, B(l; 2).
847. а) Найдите все значения а, при каждом из которых касатель-
касательная к графику функции у = cos 7x + 7 cos x в точках с абсцис-
абсциссой а параллельна касательной к этому же графику в точке с
- «я
абсциссой -т .
о
б) Найдите все значения а, при каждом из которых касатель-
касательные к графикам функций у = 2 - 14sin3x и у = 6 sin7:r в
точках с абсциссой а параллельны.
• 848. а) Составьте уравнение касательной к графику функции
у - —, х > 0, отсекающей от осей координат треугольник,
х2
площадь которого равна 2,25.
б) Составьте уравнение касательной к графику функции
у = -=j-, х < 0, отсекающей от осей координат треугольник,
9
площадь которого равна -г.
• 849. а) Составьте уравнение касательной к графику функции
у = х3, х > 0, отсекающей от осей координат треугольник,
площадь которого равна
5. Зак. 2857 Мордкович, 10-11 кл. Задачник.
„ .
129

б) Составьте уравнение касательной к графику функции
у = х3, х < О, отсекающей от осей координат треугольник,
площадь которого равна
27
8 '
• 850. а) На оси у взята точка В, из нее проведены касательные
к графику функции у = 3 - — хг. Известно, что эти касатель-
ные образуют между собой угол 90°. Найдите координаты
точки В.
б) Составьте уравнения тех касательных к графику функции
у = 0,5хг - 2,5, которые пересекаются под углом 90° в точке,
лежащей на оси у.
• 851. а) На оси у взята точка В, из нее проведены касательные к
л/3 „ л/3 „
графику функции у = -^х2 + -1—. Известно, что эти каса-
тельные образуют между собой угол 60°. Найдите координаты
точки В.
б) Составьте уравнения тех касательных к графику функции
у = -^-(l - x2\ которые пересекаются под углом 120° в точ-
точке, лежащей на оси у.
• 852. а) Найдите точку пересечения касательных к графику функ-
функции у = х2 -|2;е-б|, проведенных через точки с абсциссами х = 5,
* = -5.
б) Найдите точку пересечения касательных к графику функ-
функции у = х3 + \х -1|, проведенных через точки с абсциссами х = 2,
• 853. а) При каком значении параметрар касательная к графику фун-
функции у - х3 - рх в точке х = 1 проходит через точку B; 3)?
б) При каком значении параметрар касательная к графику фун-
функции у = х3 +рх2 в точке* = 1 проходит через точку C; 2)?
130
§ 35. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ
ФУНКЦИЙ НА МОНОТОННОСТЬ И ЭКСТРЕМУМЫ
854. Определите, какой знак имеет производная функции у = f(x) в
точках с абсциссами а, Ъ, с, d, если график функции изображен
на заданном рисунке:
а) рис. 50;
б) рис. 51.
1
мм
а
V 1
**•
0
f
/
/I
/'
/ 1
1
1
ъ
1
1
1
\
\
j\
с
V
\
d
* X
Рис.50
а
У
/
>
/
•
/
/
/
V 1
у
i
/
/
/
г^
/
/
Ob
У
/
с
/
/
>
А
d
X
Рис. 51
5*
131

855. Определите промежутки возрастания и убывания функции,
график которой изображен на заданном рисунке:
а) рис. 50; б) рис. 51.
856. По графику производной, изображенному на заданном рисун-
рисунке, определите, на каких промежутках функция у = f(x) воз-
возрастает, а на каких убывает:
а) рис. 52; в) рис. 54;
б) рис. 53; г) рис. 55.
\
\
\
\
\
-?,
\
V '
0
ч
1
/
у-
= f'(x)
1
1
1
/
/1
/
А
f\
X
\
-4
\
-3
ч
у
0
2
u = f(x
^\
3
N
T
— jc-
c~
Рис. 52
Рис. 53
_-4,5
У ~ Г(Х)
/
/-2,5
/
0
У
Л
п
\
2,5\|
\
\
1
J
N
\
- х
ч
—
Рис. 54 Рис. 55
857. На каком из указанных промежутков функция у = Дя)убыва-
ет, если график ее производной представлен на рис. 56:
а) (-2,1); в)D,+=о);
б) (—.4); г)(-~, -2)?
132
1
v_
\
_2
^^
0
^^
4
1
>
ч
4
s
4
4
s
. X
Рис. 56
858. Определите, для какой из функций у = f(x), у = g(x), у = h(x)
отрезок [-1, 1] является промежутком возрастания, если на
рис. 57, 58, 59 изображены графики производных этих функ-
функций.
\
\
\
\
-1
4
i
7
/
y = T{x1
z
/
/
У
/
/
f
/
1
г
.
/
р
-1
/
0
Sj
/ = g'(x
1
s
)
\
>
- J
Рис. 57
Рис. 58
y = h'(x)
*
-i
N
У
. 1
\\
\
\
1
V
X
Рис. 59
133

859. На рис. 60,61,62 изображены графики производных функций
y = f(x), y = g(x), y = h(x). Определите, какая из функций
У = /D У = 44 У = А(*):
а) возрастает на R; б) убывает на В?
1 1
0
ъ
1 =
г
\
—1
У.
1
U '
У
0
i
1
=
'X
У
Рис.60
Рис.61
/
-2
/
i
0
2
ч
\y = h'(x
\
4
x
)
Рис.62
860. Изобразите эскиз графика производной функции у = f(x), если
известно, что функция у = f(x) возрастает на луче (-°°, 1] и убы-
убывает на луче [1, +°°).
861. Изобразите эскиз графика функции у = f(x), если промежутки
постоянства знака производной f\x) представлены на задан-
заданной схеме:
а) рис. 63; в) рис. 65;
б) рис. 64; г) рис. 66.
О 862. Докажите, что заданная функция возрастает:
а) у = cosх + 2х; в) у = sin* + х3 + х;
б) у = х6 + Зх3 + 7х + 4; г) у = х6 + 4х3 + 8х - 8.
134
-4
Я
+
X
—
Рис. 63
—
+
0
?,
—
5
+
X
—
Рис.64
+
-2
—
+
7
X
Рис. 65
+
1
+
(
—
I
+
>
—
X
—
Рис. 66
О 863. Докажите, что заданная функция убывает:
а) у = sin 2х - Зх; б) у = cos 3* + Ах.
О 864. Докажите, что функция монотонна на всей числовой прямой;
укажите характер монотонности:
а) у = хь + 6х3 - 7; в) у = х - cos x + 8;
б) I/ = sin* - 2х - 15; г) у = 11 - Ъх - я3.
Определите промежутки монотонности функции:
865. а) у = х2-5х + 4; в) у = -х2+8х-7;
б) у = 5х2+15х-1; г)у = х2-х.
О866. а) у = х3+2х; в) у = 2х3-Зх2-36х + 40;
б) i/ = 60 + 45*-3*2 -я3; г) у = -хъ +5х.
135

О867.
О 868.
О869.
a) j
6);
a)i
a) i
y = x4-2x2-3;
у = -хъ-х;
1
4 x+3'
У 3*+l'
y = y/3x-l;
в) у = -
г) у = Ъх
в)
r)
2
x
1-2*
3+2*'
б) 2/ = Vl-
в) 2/ = Vl-
г) y = yJ2x
Исследуйте на монотонность функцию y = f(x)w. постройте (схе-
(схематически) ее график:
а) у = х3-
О 870.
О871. a) y = x4-2x2+l;
О 872.
б) у =
873.
б) у = -
Постройте график функции у = f(x\ х е [0, 10], производ-
производная которой равна нулю на интервалах @, 2), B, 6), F, 10),
если известно, что /(l) = 0, f(b) = 3, /(в) = -2.
По графику функции у = f(x), изображенному на заданном
рисунке, определите точки, в которых ее производная обра-
обращается в 0:
а) рис. 67; в) рис. 69;
б) рис. 68; г) рис. 70.
/
/
/
/а
1
Ь
V
\
\
V
d
0
А
У
к
Л
/\
1 W
/1 б
ч
ч
X-
\
a
\
у
(
/
/
/
0
л
А
\
|\
ъ \
\
t
ч
*
/
г
)
/
/
Рис. 68
1
1
1
\
\
ч.
>
' а
1
Л
/\
\
i
b
У '
Q
А
\\
1
г
с
\
Ski
X
Рис. 69
a
/
>
\
у
b
N
У i
ч
0
V
\
/
/
/
с 1/1
\
/ d
/
ZP
ft
\
л
/
f
J
f
1
f
Рис. 67
Рис. 70
136
137

874. По графику функции у = f(x), изображенному на заданном
рисунке, определите точки, в которых не существует произ-
производной:
а) рис. 67; в) рис. 69;
б) рис. 68; г) рис. 70.
875. Сколько точек минимума имеет функция у = f(x), график ко-
кото рой изображен на заданном рисунке:
а) рис. 67; в) рис. 69;
б) рис. 68; г) рис. 70?
876. Сколько точек максимума имеет функция у = f(x), график ко-
которой изображен на заданном рисунке:
а) рис. 67; в) рис. 69;
б) рис. 68; г) рис. 70?
877. Используя данные о производной f(x), приведенные в таблице,
X
Пх)
(-°°, 5)
+
-5
0
(-5, -2)
-
-2
0
(-2, 8)
+
8
0
(8, +°°)
+
укажите:
а) промежутки возрастания функции у = f(x)\
б) промежутки убывания функции у = f(x);
в) точки максимума функции у = f(x);
г) точки минимума функции y = f(x).
878. По графику производной, изображенному на заданном рисун-
рисунке, определите, имеет ли функция у =/(*) точки экстремума:
а) рис. 52;
б) рис. 53;
в) рис. 54;
г) рис. 55.
879. Имеет ли функция стационарные или критические точки:
х+5 .
а) у = 2х2 - Зх + 5;
б) у = j х + 5;
в) У =
т)У =
138
Найдите стационарные и критические точки функции:
О880. а) у = 7+12х-х3; в) у = 2 <
б) у = Зх3+2х2-7;
О 881. а) у = 2х+-;
х
б) у = ^2х-1;
= х4-8х2.
х 5
в) У = - + -\
5 х
О882. a) i/ = 2sin2z-sin4x;
в) i/ = cos3z—cos Ъх;
5
. х х
г) u = sm .
' У 2 4
883.
б) у = cos 2x -х',
Найдите точки экстремума заданной функции и определите их
характер:
а) у = 2*2 - 7х + 1; в) у = 4*2 - 6х - 7;
б) у = 3 - Ъх - х2; г) у = -3*2 - 12* + 50.
О884. а) у = — - -|*2 + 6х - 1; в) у = х3 - 7х2 - Ъх + 11;
3 2к
б) у = х3 - 27л: + 26;
О885. а) у = -Ъхъ+Зх3;
б) у = х*-4х3-8х2+13;
О 886.
О 887.
О 888.
_4
x
г) j/ = -2*3+21z2+19.
в)у = х* -50*2;
г) у = 2*5 + 5*4 - 10*3 + 3.
б) у = •
а) у = х - 2V* - 2;
а) у = х - 2 cos х, х е [-п, я];
б) у = 2 sin х - х, х е [я, Зл].
О 889. При каких значениях параметра а заданная функция имеет
одну стационарную точку:
а) у = х3-Зах2 + 27х-Ъ; б) у = х3-Зах2+7Ъх-10?
139

О 890. Постройте эскиз графика какой-нибудь функции, обладаю-
обладающей указанными свойствами:
а) функция имеет две точки максимума, одну точку минимума
и является ограниченной;
б) функция возрастает при х < 1 и при х > 5 и убывает на про-
промежутке A, 5); точка х = 1 является критической, а точка
х = 5 — стационарной;
в) функция имеет разрыв в точке х = -2, максимум в точке
х = -1 и минимум в точке х = 1;
г) функция имеет горизонтальную асимптоту у = 3 при
х -» оо, од ну точку максимума и одну точку минимума.
Исследуйте функцию и постройте ее график:
в) у = 7 - х - 2х2;
891. а) у = Зх2 - 4х + 5;
б) у = 3 + 2х-х2;
О892. а) у = Зх2 ~х3;
б) у = -9х + х3;
О 893. а) у = х3 - Зх2 + 2;
б) у = -х3 +Зх-2;
О894. а) у = 2х3+х2-8х-7;
б) у = -i3- + *2 +з*
О 895. а) у = -х4 +5х2 -4;
б) у = х5-5х;
О896. а) у = (;с-1J(;с + 2) ;
256
—
О 897. а) у =
б) у =
г) у = 5х2 - 15* - 4.
в) у = х3 + З*2;
г) у = 3x-xs.
г) у = х3 - Зх + 2.
в) I/ = х3 + х2 - х - 1;
в) I/ = 2х4 - 9х2 + 7;
г) у = 5х3 - Зх5.
*)у = (х + 2У(х-3);
г) i/ = x3B-4
2*-3
т)у =
Злг+2"
140
898. По графику функции у = f(x), изображенному на заданном ри-
рисунке, постройте эскиз графика ее производной:
а) рис. 71;
б) рис. 72;
в) рис. 73;
г) рис. 74.
1
/
/
1
/
(
0
4
/
/
f
д
V*
\
е
i — п*)
С"
\
\
\
\
Л
>
1
\
L
f
0
1~Т(х)
}
г
1
/
/
/
ь
Рис. 71
Рис. 72
а
1
/
[
л
/
/
1 j
Ч '
0
Mi
>
\
с
/
/
1 =
и
х)
_
Рис. 73
*
/
/
j
У
7
У
_о
/
1
1
>1
1
/I
/
С 1
Рис. 74
141

899. Постройте эскиз графика функции у = f(x) по графику произ-
производной, изображенному на заданном рисунке:
а) рис. 75; в) рис. 77;
б) рис. 76; г) рис. 78.
¦яя
яяш ¦
¦¦ ¦
¦¦ ¦
а
У
г
i
/
0
4
ь
t
/
4
/
/
г
d
/
/
Рис. 75
>
/
а
/
ч
ч
Ъ
ч
/
У
/
1
0
ч
ч
с
ч
/
/
/
d
ч
ч
ч
х-
Рис. 76
ч
а
ч
ч
¦ян
ь
yj
0
1
ч
г
к
ч
\ d
\
X
/
л
ч
-¦ч
ч
<
/
/
¦
\
>
ъ
и i
\
\
0
ч
>
\
S
с
ч
J
/
/
/
fid
А
1
х-
Рис. 78
900. а) Постройте эскиз графика функции, дифференцируемой на
интервале (а, Ь), имеющей на этом интервале одну точку ми-
минимума, две точки максимума и не имеющей наименьшего зна-
значения.
б) Постройте эскиз графика функции, дифференцируемой на
интервале (а, Ь), имеющей на нем две точки минимума, две
точки максимума, но не имеющей ни наименьшего, ни наи-
наибольшего значений.
901. Может ли иметь только одну точку экстремума:
а) четная функция;
б) нечетная функция;
в) периодическая функция;
г) монотонная функция?
Определите промежутки монотонности и точки экстремума
функции:
Рис. 77
902. а) у = sin х - | х;
б) y =
903. а) У = 2 + cos|;
904. a) y = x-sin2x;
в) у = -г? х + cos x;
V2
г) у = х - sin*.
б) y = x + 4cos—.
142
143

905. а) у = |* - 3| - 2; в) у = |(* - 2)(х + 3)|;
6)J/ = |^-l|; г) у = (\х\-2)\х\.
906. а) у = |*3 - Зх|; б) J/ = |* - х3\.
Докажите, что заданная функция возрастает:
907. а) у = хь +Зх-Ь, на (-оо, +оо);
б) у = 15 --™, на (-оо,0);
X X
в) у = х1 + 7х3 + 2х - 42, на (-оо, +=о);
г) у = 2\х-\, на @, +оо).
908. а) у = 7х - cos 2х, на (-оо, + оо);
912.
ъ) у = -ctgx, на (О, %);
г) I/ = Юх + sin3x, на (- оо, + оо).
909. а) у = 2х3 + 2х2 + Их - 35, на (- оо, + оо);
б) у = Зха - 6х2 + 41* - 137, на (- оо, + оо).
(-оо, 5).
Докажите, что заданная функция убывает:
911. а) у = -ха - 5х + 3, на (- оо, + оо);
б) у = -2х5 - 7х3 - х + 8, на (- оо, + оо);
в) у = -х3 + Зх2 - 6х + 1, на (- оо, + оо);
г) у = -4х3 + 4х2 - 2х + 9, на (- оо, + оо).
144
913. а) у = 7 cos х - 5 sin Зх - 22х, на (- °°, + °°);
б) у = 3cos7x - 8sin-^ - 25х + 1, на (- °°, + °°).
914. При каких значениях параметра а функция возрастает на всей
числовой прямой:
а) у = х3 + ах;
915. а) У = ах- cosx;
б) у =
Ъх-31
б) у = 2 sin 2х - ах ?
916. При каких значениях параметра Ъ функция убывает на всей
области определения:
а) у = 7 + Ьх - х2 - х3; в) у = х3 + Ьх2 + Зх + 21;
б) у = -2у/х + 3 + Ьх; г) у = -2Ьх + у/1-х?
• 917. а) При каких значениях параметра а функция у = 2х3 -
- Зх2 + 7 возрастает в интервале (а - 1, а + 1)?
б) При каких значениях параметра а функция у = -х3 +
+ Зх + 5 убывает в интервале ( а, а + -=• ]?
Исследуйте функцию и постройте ее график:
1 . „ .. _ -2
-1
918. a) » =
919. а) У =
920. a) J/- | + |;
б) J/ =
б) I/ -
хг+2х+\
х2+4
145

922. а) у =
923.
924.
925. а) у = 2-У* - x;
6) y =
2
3
926. а) Постройте график функции у = х* - 2х2 + 3.
б) При каких значениях параметра а уравнение х4 - 2хг +
+ з = а имеет три корня?
927. а) Постройте график функции у = -х* + 2х2 + 8.
б) При каких значениях параметра а уравнение -х4 + 2х2 +
+ 8 = а не имеет корней?
928. Сколько корней имеет заданное уравнение при указанных ог-
ограничениях на параметр:
а) х3 - Зх2 = а, - 4 < а < 0;
б) -*3 + Злг2 - 2 = а, а < -2;
в) Зх2 - х3 = а, 0 < а < 4;
г) х3 - Зх2 + 2 = а, а> 2?
929. При каких значениях параметра а:
а) уравнение х3 - Зх - а имеет один корень;
б) уравнение Зх - х3 = а имеет три корня?
Решите уравнение с помощью исследования функций на моно-
монотонность:
930. а) *3+5 = 15-;с;
б) х6 + Зх3 + 7х - 11 = 0;
146
в) 2хь + 3х3 =17-12*;
г) хъ + 4х3 + 8х - 13 = 0.
• 931. a) sin5x - 2cos* - 8х = хъ - 2;
б) 4cos3* + 5sin
= 4-х3.
932. a) 3cos— + 5sin— + 18x = 46-*5-22*3;
2 2
б) 2 sin-5.x - 2 cos гас - 8х = Xs - 50.
933. Решите графически уравнение:
а) Зл/* + 1 = -х3 + Зх2 + 6;
б) х3 - Зх = (х + lN + 2.
§ 36. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ДЛЯ ОТЫСКАНИЯ
НАИБОЛЬШИХ И НАИМЕНЬШИХ ЗНАЧЕНИЙ ВЕЛИЧИН
Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функ-
функции на заданном отрезке:
934.
/ = 3*-6, [-1,4];
б)У = ~, 7» 8 ;
в) у = -0,5х + 4, [-2, 6];
=~, [0,3, 2].
О935. а) у = х2-8х + 19, [-1,5]; в) у = 2*2 - 8* + 6, [-1,4];
б) у = хг+4:Х-3, [0,2]; г) i/ = -3*2 +6x-10, [-2,9].
936. a) y = 2smx, \~, % ;
L 2 J
= 6cosx, | —, 0| ;
б) i/ = -2cosx, -2я, — ; г) j/ = -0,5sinx, --, -
2 2 2
Я7
937.
3 6
6) y = -3tgx, \n, -j\;
в) y = -2tgx, 0, -|;
1A Г Зл .
г) y = -tgx, -я, -— |.
147

938. а) у = Jx, [О, 9];
6)j/ = V=x, [-4,0];
939. а) у = 12х\ [-1, 2];
б) у = -6х5, [0,1, 2];
в) у = -4х, [4, 16];
r)J/ = -V=Jc, [-9,-4].
в) у = -3х\ [0, 1];
г) У = \х\ [-1, 3].
940.
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
у = sin х на отрезке:
.)
•>[*?]'
-2я, -Щ;
О 941. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
у = Xs - 9х2 + 2Ах - 1 на отрезке:
а) [-1, 3]; в) [-2, 3];
б) [3,6]; г) [3,5].
О 942. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
у = х3 + Зх2 - 45х - 2 на отрезке:
а) [-6, 0]; в) [-6, -1];
б) [1,2]; г) [0,2].
О 943. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
у = х3 - 9х2 + 15* - 3 на отрезке:
а) [0, 2]; в) [-1, 3];
б) [3, 6]; г) [2, 7].
О 944. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
у = xi - 8х3 + 10х2 + 1 на отрезке:
а) [-1, 2]; в) [-2, 3];
б) [1, 6]; г) [-1, 7].
148
О 945. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
4
У = х +
а) [2, 4];
—=—
на заданном отрезке:
б) [-2, 0].
Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функ-
функции на заданном промежутке:
О946. а) у = ctg* + х, [j, -^]; в) y = 2cosx + x, [-|, |];
г) У = tgx - х,
б) у = 2sinx - х, [0, я];
О 947. а) у = хг-2х2+1, [0,5, -нх>); в) у = ^хь-х\ (-ю, 1];
4
б) y = x-2yfx, [0, +оо); r)j/ = __^> (-оо, +оо).
О948. а) !/ = *+-, (-оо,0);
ъ) у = -2х-^, @, -и»);
г) i/ = V2;c + 6-;c, [-3, +оо).
О 949. а) Сумма двух целых чисел равна 24. Найдите эти числа, если
известно, что их произведение принимает наибольшее зна-
значение.
б) Произведение двух положительных чисел равно 484. Най-
Найдите эти числа, если известно, что их сумма принимает наи-
наибольшее значение.
О 950. а) Разность двух чисел равна 10. Найдите эти числа, если изве-
известно, что их произведение принимает наименьшее значение.
б) Разность двух чисел равна 98. Найдите эти числа, если из-
известно, что их произведение принимает наименьшее значение.
О 951. а) Известно, что одно из двух чисел на 36 больше другого. Най-
Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает
наименьшее значение.
б) Известно, что одно из двух чисел меньше другого на 28. Най-
Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает
наименьшее значение.
149

О 952. а) Представьте число 3 в виде суммы двух положительных сла-
слагаемых так, чтобы сумма утроенного первого слагаемого и куба
второго слагаемого была наименьшей.
б) Представьте число 5 в виде суммы двух положительных сла-
слагаемых так, чтобы произведение первого слагаемого и куба
второго слагаемого было наибольшим.
О 953. а) Периметр прямоугольника составляет 56 см. Каковы его сто-
стороны, если этот прямоугольник имеет наибольшую площадь?
б) Периметр прямоугольника составляет 72 см. Каковы его сто-
стороны, если этот прямоугольник имеет наибольшую площадь?
О 954. а) Нужно огородить участок прямоугольной формы забором
длиной 200 м. Каковы должны быть размеры этого прямо-
прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?
б) Нужно огородить участок прямоугольной формы забором
длиной 240 м. Каковы должны быть размеры этого прямо-
прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?
О 955. а) Площадь прямоугольника составляет 16 см2. Каковы дол-
должны быть его размеры, чтобы периметр прямоугольника был
наименьшим?
б) Площадь прямоугольника составляет 64 см2. Каковы дол-
должны быть его размеры, чтобы периметр прямоугольника был
наименьшим?
О 956. Огораживают спортивную площадку прямоугольной формы
площадью 2500 м2. Каковы должны быть ее размеры, чтобы
на забор ушло наименьшее количество сетки « рабицы » ?
О 957. Сторона квадратаАВСО равна 8 см. На сторонах АВ и ВС взя-
взяты соответственно точкиР и? так, что ВР = BE = Зсм. На сто-
сторонах AD и CD берутся точки, соответственно, КиМ так, что
четырехугольник КРЕМ — трапеция. Чему равна наибольшая
площадь такой трапеции?
Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функ-
функции на заданном промежутке без помощи производной:
958. а) у = Vl + cos2х, Г--, -1;
б) у = Vl + sinx, 0, - ;
L 2j
в) у = Vl-sin2x, [о, я];
, --, 0 .
|_ 2 J
г) у = Vl + cosx,
150
959. а) у = 2 - 3sinx + 4cosx; б) i/ = 3sin;c-4cosx + l.
960. Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функ-
функции на заданном промежутке:
а) у = х4 + 8х3 + 24х2 + 32* + 21, [-3, 0];
б) у = х*-4х3 +6х2-4х-9, [0,4].
961. а) у = х2-5\х\+6, [0,4];
б) у = х2-5\х\ + 6, [-5,0];
в) у = х2+8\х\ + 7, [1, 5];
г) у = х2+8\х\ + 7, [-8, -2].
962. a) y = x3 -Зх, (-да, 0];
963. а) у = -?-т, [0, +oo);
x +3 L '
964. a) j/ = sin2^sinx, [-я, О];
6) i/ = cos20,5xcosx, [0, n].
= ха-3х, [0, +оо).
965.
-х\, [0,4]
б) I/ = |х3 -1| - Здсг, [-1,3].
Найдите область значений функции:
966. а) у = 2х-Vl6x-4, хе\-, — ;
L4 4 J
б)
y = 2jx-l-0,5x, xe[l, 10].
967. а) у = W* + 2;
б) у = Wl - 2х.
151

• 968. а) При каком значении параметра а наименьшее значение
функции у = х^х + а равно -6л/3?
б) При каком значении параметра а наибольшее значение
функции у = (а - x\Jx равно Юл/б?
969. а) В арифметической прогрессии с разностью d девятый член
равен 1. При каком значении d произведение четвертого, седь-
седьмого и восьмого членов прогрессии будет наибольшим?
б) В арифметической прогрессии с разностью d второй член
равен 6. При каком значении d произведение первого, третьего
и шестого членов будет наименьшим?
970. а) Найдите длину отрезка наибольшей длины, который зак-
заключен между графиками функций у = 2х2 (снизу), у = 4х
(сверху) и параллелен оси у.
б) Найдите длину отрезка наибольшей длины, который зак-
заключен между графиками функций у = х2 (снизу), у =• -2х
(сверху) и параллелен оси у.
971. а) На графике функции у = х2 найдите точкуМ, ближайшую
к точке А @; 1,5).
б) На графике функции у = V* найдите точку М, ближай-
ближайшую к точке А D,5; 0).
• 972. Боковые стороны и одно из оснований трапеции равны 15 см.
При какой длине второго основания площадь трапеции будет
наибольшей?
• 973.
• 974.
Из прямоугольной трапеции с основаниями а и Ъ и высотой Л
вырезают прямоугольник наибольшей площади. Чему равна
эта площадь, если:
а) а = 80, Ъ = 60, Л = 100;
б) а = 24, Ъ = 8, А = 12?
У пятиугольника ABCDE углы А, В и Е — прямые, АВ = а,
ВС = Ь, АЕ = с, DE = т. Впишите в пятиугольник прямоуголь-
прямоугольник наибольшей площади и вычислите эту площадь, если:
а) а = 7, Ъ = 9, с = 3, т = 5;
б) а = 7, Ь = 18, с = 3, т = 1.
152
• 975. Памятник состоит из статуи и постамента. К памятнику подо-
подошел человек. Верхняя точка памятника находится выше уров-
уровня глаз человека на а м, а верхняя точка постамента — на Ъ м.
На каком расстоянии от памятника должен стать человек, что-
чтобы видеть статую под наибольшим углом?
• 976. База находится в лесу в 5 км от дороги, а в 13 км от базы на этой
дороге есть железнодорожная станция. Пешеход по дороге идет
со скоростью 5 км/ч, а по лесу — 3 км/ч. За какое минимальное
время пешеход может добраться от базы до станции?
977. Открытый металлический бак с квадратным основанием дол-
должен вмещать 32 л воды. При каких размерах на его изготовле-
изготовление уйдет наименьшее количество материала?
978. Закрытый металлический бак с квадратным дном должен иметь
объем 343 м3. При каких размерах на его изготовление пойдет
наименьшее количество материала?
979. Для перевозки груза требуется изготовить закрытый короб в
форме прямоугольного параллелепипеда, стороны основания
которого относились бы как 2 : 3, а объем составлял 576 м3.
Каковы должны быть размеры всех его сторон, чтобы полная
поверхность была наименьшей?
980. Диагональ боковой грани правильной четырехугольной приз-
призмы равна d. При какой длине бокового ребра объем призмы
будет наибольшим?
981. Апофема правильной четырехугольной пирамиды равнар. При
какой высоте пирамиды ее объем будет наибольшим?
982. Периметр осевого сечения цилиндра равенр см. Какова долж-
должна быть высота цилиндра, чтобы его объем был наибольшим?
983. Объем цилиндра равен V м3. Каким должен быть радиус его
основания, чтобы полная поверхность цилиндра была наи-
наименьшей?

Глава
ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ
§37. ПЕРВООБРАЗНАЯ
И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Докажите, что функция у = F\x) является первообразной
для функции у = f(x), если:
984. &)F(x) = x3, f(x) = 3x2;
6)F(x) = x9, f(x) = 9x*;
b)F(x) = x6, f(x) = 6x6;
r) F(x) = xn, f{x) w
985. a) F(x) = x2+x3, f(x) = 2x + 3x2;
6) F(x) = x4+xn, f(x) = 4:X3+llx10;
b)F(x) = x'7+x°, f(x) = 7x6+9x*;
) = 13x12+19xls.
r)
= x13+x19,
986. a) F(x) = 3sinx, f(x) = 3cosx;
б) F(x)
в) F(x)
r) F(x)
154
) = -9cosx;
Для функции у = f(x) найдите первообразную:
987. а)/(*)=-А-; б) /(*) = ^-
988. а) Ах)-.
989. a) f(x)= 4х10;
6)f{x)=-3xe;
990. a) f(x)= х2 +х1в;
б) f{x)= х9 +х33;
991. а)/(*)=-А. + *;
992. a) f(x) = 4х3 - б*2; в) f(x) =
б) f(x) = 13л:в + Эх*; г) f(x) =
+ Зх7.
993. a) fix) = -3 sin x + 2 cos x; в) /(я?) = -4 cos x + . ;
sin x
О 994. a) /(*) = sinf 3x + |1; в) /(*) = cosDx - 3\
\ )
6)/(*)=coef^-2xl; r)/(*)=8inf2-.
О995.
О 996. a)/(*)=
155

Найдите неопределенный интеграл:
997. a) J4sinxdx', в) J6cosxdx;
«J-
998. а) \-Z~dx; в)
б) \-^dx;
г)\Т
О 999. a) J (ха + sinx)dx;
cosx)dx;
6 Х 'd*.
O100°-
O1001. a) \{±;
О 1002. a) JB-9*)ed*;
6) jf—ir
6) JG + 5*I3d;c.
О 1003. Для данной функции найдите ту первообразную, график ко-
которой проходит через данную точку М:
a) y = sinx,
в) y = cosx,
Л
cos2*
О 1004. Точка движется прямолинейно, ее скорость выражается фор-
формулой v = 1 + 2t. Найдите закон движения, если известно, что
в момент времени t = 2 координата точки равнялась числу 5.
О 1005. Скорость движения точки по прямой выражается формулой
v = -4sin3t. Найдите закон движения, если известно, что в
момент времени t = 0 координата точки равнялась числу 2.
156
Найдите функцию i/ = f(x), удовлетворяющую заданному ус-
условию (дифференциальному уравнению):
1006. а) у' = х4 - Зх2;
1007. а) у' = sin x + 1;
1008. а) у' = -^1 + х;
1009. а) у' = j- + sin x;
б) у' = х12 - 8х7.
в) у' = cos х - 9.
б) у' = - -г - cos х.
1010. Скорость прямолинейного движения материальной точки за-
дается формулой v = , . Найдите закон движения, если
V2t+1
s(o) = з.
1011. Ускорение прямолинейного движения материальной точки
задается формулой a\t) = 2\t + l) . Найдите закон изменения
скорости и закон движения, если v{o) = 1, <S@) = 1.
1012. Найдите какую-либо первообразную заданной функции:
a) f(x) = sin2 x + cos2 x; в) f(x) = l + tg2x;
г) f(x) = l + ctg2x.
б)
^ cos|;
1013. Для функции у = g(x) найдите ту первообразную, график ко-
которой проходит через заданную точку М:
Д; з);
а) g(x)= 8sin| cosf,
б) g(x) = 2cos2| - 1, mU; 16J;
в) g(x) = cos21 - sin2 |, M@; 7);
|; 15J.
157

Найдите неопределенный интеграл:
1014. a) l(tg2x + l)dx; в) J(ctg2 х + l)dx;
б) [(cos2 х - sin2 x)dx; г) Jsinx cosxdx.
1015. a) |sin2x sinQxdx; в) Jcos3x cos5xdx;
6) f sin 4x cos 3x dx; r) f sin 2x cos 8x dx.
в) f cos2 x dx;
г) Г cos4 x dx.
• 1016. a) Jsin2 x dx;
6) J sin4 x dx;
•Ю17. a)
x cos2
cos 2* dx
sin2 * cos2 x '
1018. Найдите ту первообразную для заданной функции у = f(x),
график которой касается оси х:
&)f(x) = 2x + 3; б) f(x) = 12C* - lK.
1019. Найдите ту первообразную для заданной функции у = f(x),
график которой касается заданной прямой у = kx+m:
a) f(x) =2х, у = х + 2; б) f(x) = Зх3, у = Зх + 5.
1020. Некоторая первообразная функции у = 3cos 3x+6sin 6x при-
принимает в точке х = ^ значение 6. Какое значение принима-
принимает та же первообразная в точке х = ^ ?
§ 38. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Вычислите определенный интеграл.
1 2
в) jx4dx;
О1021. a) jx3dx;
-1
б)
158
71
О1022. a) Jsinxdx;
в)
COS2 X '
z
01023. a) Jcos2xdx;
-2E.
4
6)j_ 5
dx;
T\ f dx
—
1
в) J2sin|dx;
2
г) f—^—dx.
J поя 3jc
01024. a) f ,dx ;
I ^J2x-1
dx
I VlO-Зл;
О 1025.
a>p
¦dx;
в)
1
-1
-2
5x7-4xe+2x
x*
dx;
2
Л
-2
О 1026. Материальная точка движется по прямой со скоростью, оп-
определяемой формулой v = v(t) (время измеряется в секун-
секундах, а скорость в сантиметрах в секунду). Какой путь прой-
пройдет точка за 3 секунды, считая от начала движения (t = 0)?
а) v(t) = 3t2 - 4t + 1;
б) v{t) =
в) v(t) = 4t3 - 6t2;
О 1027. Дан прямолинейный неоднородный стержень, плотность в
точке х определяется по формуле р = р(х). Найдите массу
стержня длиной I, если:
а) р(х) = х2 - х + 1, I = 6; в) р(х) = -х2 + 6х, I = 2;
г)
159

О 1028. Вычислите \f(x)dx, если график функции у = f(x) изобра-
изображен на заданном рисунке:
а) рис. 79; б) рис. 80.
s
S
\
-2
у 1
\
1
0
4
s
3
X
\
ч
-2
s
ч
-1
ч
0
4
f
<.
-2
1
ч
/
/
/
/
/
/
X-
f
Рис. 79 Рис. 80
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
О 1029. а) у = х2, у = 0, х = 4;
б) у = Xs, у = 0, х = -3, х = 1;
в) у = х2, у = 0, л = -3;
г) у = я4, у = 0, ж = -1, х = 2.
О 1030. а) у = ж3 + 2, j/ = 0, ж = 0, ж = 2;
б) у = -ж2 + 4ж, у = 0;
в) у = 4 - ж2, у = 0;
г) у = -ж3 + 1, у = 0, ж = 0, ж = -2.
О 1031. а) У = ^-, У = 0, ж = 1, ж = 2;
б) у = -?=, у = 0, ж = 1, ж = 9;
в) у = -р., у = 0, ж = 1, ж = 4;
т) У = -хТ' У = 0, ж = -1, ж = -3.
160
О 1032. а) У = втж, у = 0, ж =
б) У = сов2ж, у = о, ж
-?, ж = ¦§;
о 6
в) у = совж, у = 0, ж = --?
4
-?,
4
-?;
4
г) у = sin|, у = 0, ж
= |, ж = л.
О1033.
|, у = 0, ж = -|, ж = ^;
б) у = 1 - 8т2ж, у = 0, ж = 0, х = к;
B)y = 2-2sinx, у = 0, ж = 0, ж = ?;
r)y = 2+cos|, y = 0, ж = 0, х = Щ-.
01034. Найдите площадь фигуры, изображенной на заданном рисунке:
а) рис. 81; в) рис. 83;
б) рис. 82; г) рис. 84.
У i
8
7-
6
5
4
3
2
1
0
i
1
гУ
¦чхи
1
2
,.я
/
0
L
'-¦¦
П
2
- R
in г
Рис. 81
6. Зак. 2857 Мордкович, 10-11 кл. Задачник.
Рис. 82
161

К/
W
\/,
2_
\
У/,
w<
%
V/,
\
L_
U 1
&
Ч
'¦2
У/,
'//.
/\
Y/
л
1
У/,
%
%
%
'&
У/л
W
v<
ty>
'Ж
/А
/
_:
У
= .г2
1
щ
1
_
— •
X-
у ¦
1
0
г ^
=
si:
Рис. 83
Рис. 84
01035. Вычислите площадь фигуры, ограниченной прямыми:
а) у = х, у = -0,5* + 5, ж = -1, ж = 3;
б) у = 2х, у = х - 2, х = 4;
в) у = ~х, у = 3 - ^, л = -2, х = 1;
т)у = 1-х, у = 3-2х, х = 0.
Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками
функций:
01036. а) у = 1 - *2, у = -х - 1;
б) у = х2 -Зх + 2, у = х-1;
в)у = х2-1,у = 2х + 2;
г) у = -х2 + 2х + 3, у = 3 - х.
01037. а) у = х2 - 4х, у = -{х - 4J;
б) у = х2 + 2х - 3, у = -х2 + 2х + 5;
в) I/ = х2 - 6х + 9, у = (* + l)C - х);
г) у = х2 - 4х + 3, у = -х2 + 6х - 5.
О 1038. а) У = cos х, у = -х, х = 0, х = ?;
б) У = sin 2*, i/ = л; - -|, л; = 0;
в) у = sin*, у = -*, л; = 0, х = ¦?;
г) у = cos-|, у = л - л, л; = 0, л; = тс.
162
Вычислите определенный интеграл.
1039
'. a) J^
-i
3 /
х-2
х2+х-2
2
Г) I 2—7 TO— ^•C*
1040. a) [ sin 2* cos 3* dx; в)
0 "
X X
6) J cos2 -| dx; r) Jsin23* d*.
Jt -я
4
3
1041. Вычислите j f(x)dx, если график функции у = /(*) изобра-
-2
жен на заданном рисунке:
а) рис. 85; б) рис. 86.
_-
3_
_-
2_
_-
1
ч
1_
,, 1
У
s
0.
1
«>
о
:
s
\
ч
ч
1
ч
X-
Рис. 85

\
s
-3
4
ч
-я
s
-Л
" i
.0
s
о
1
/
/
2
/
1
/
<
/
/
i
\
i
I
r
1042. Вычислите:
в
a) jf{x)dx, где f(x) =
-3
Рис.86
Ix2, если - 3 < x < 2,
6-х, если х > 2;
к», если 0 < х < 1,
6) ff(x)dx, где f(x) = | V*
7 [x3, если x > 1.
Используя геометрические соображения, вычислите интеграл:
4
1043. a) JVl6-*2d*;
о
4
1044. a) JV4* -
и
б) JV25-*2d;c.
J
-5
О
б)
- л:2 -
V2
V2
• 1045. a) JV4 - x2dx;
о
• 1046. а) '
J
-1
4
-2
4
б) JV64 - *2d*.
-4
5
б) j\x - l|dx.
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
1047. а) У = 2cos3* - 3sin2* + 6, у = 0, х = 0, х = -;
6
б) у = 2 sin 4* + 3 cos 2x + 7, у = 0, л: = —, л; = —.
4 4
S 2
• 1048. а) у = х3, у = 10 - х, х = 0;
б)У = *3, у = 10-*, у = 0;
в) у = -я3, у = 5 + 4*, х = 0;
г) у = -л;3, у = 5 + Ах, у = 0.
• 1049. а) у = |4 у = -|*| + 2;
б) у = |л + l|, у = -(ж - lJ + 2;
в) У = |*| - 2, у = |;
г) у = (* - lJ, у = -|* +1| + 2.
1050. а)у = 3-*2,у = 1 + ДО; б) У = х2, у = 2 - \х\.
• 1051. а) У = sin 2*, у =
в) у = cos*, у = -г-1 J
б) у = х2 - 1, у = cos^; г) У = х2 - 2х, у = sin^.
1052. Найдите площадь параболического сегмента, изображенного
на заданном рисунке:
а) рис. 87; б) рис. 88.
1
-1
i
w
А
>
1
г
-и
г
/
\
/
v
>
\
9
1 * '
А
ч
к
ш
\Ш
-1
П
-2
1
1
0;
Л
УЛ
\>
У
г
/
1
>/ ¦
\
Рис. 87
Рис. 88
164
165

Решите уравнение:
1053. a) J * = x;
1
6)bbd< = 2;
X
в) f * dt = х-11;
X
г) \-^=dt = 2.
z
1054. a) [cos2 t dt = f;
о 2
X X
6) Jcos2*d* + Jsin2*d* = 0;
0
в) 2jsi
о
z
r) JBcos2t + 6cos6t)dt = 0.
о
Решите неравенство:
1055. a) \tdt < 0,5; в) Jt3 dt < 0,25;
о
6) JC*2 -8t + 3)dt > 0; r) JBt + 5)dt > 6.
о о
X XI—
1056. a) \sintdt<\; в) fcostdt<^i;
о 2 0J 2
x x
6) f cos 2t dt > -±=; r) fsin- dt > S.
i 2V2 i 2
2
>1057. а) Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой
У = 2х - х2, касательной к ней в точке * = 1 и осью у;
б) Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой
у = 2х2 - 6х , касательной к ней в точке х = 1,5 и осью у.
166
• 1058. а) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функ-
функции у = х3, касательной к нему в точке х = 1 и осью у.
б) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функ-
функции у = х3 и касательными к нему в точках х = 0 и х = 1.
• 1059. а) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функ-
функции у = S - —х2 и двумя касательными, проведенными к
нему из точки на оси у так, что угол между касательными
равен 90°.
б) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функ-
функции у = 0,5(лс2 + б) и двумя касательными, проведенными к
нему из точки на оси у так, что угол между касательными
равен 90°.
• 1060. а) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции
У =
и двумя касательными, проведенными к нему из точ-
точки на оси у так, что угол между касательными равен 60°.
б) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции
X2
У = -
2>/з
и двумя касательными, проведенными к нему из
точки на оси у так, что угол между касательными равен 120°.
• 1061. а) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функ-
функции у = х3 - 6х2 + 9х + 1 и касательной к нему в точке х = 3.
б) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функ-
функции у = х3 - Зх и касательной к нему в точке х = -1.
• 1062. а) При каком положительном значении параметра а площадь
фигуры, ограниченной линиями у = —,у = 0, х = 1, х = а,
равна -т1
о
б) При каком отрицательном значении параметра а площадь
фигуры, ограниченной линиями у - —j, у = 0, х = -1,
10,
х = а, равна ту «

Глава
СТЕПЕНИ И КОРНИ.
СТЕПЕННЫЕ ФУНКЦИИ
§ 39. ПОНЯТИЕ КОРНЯ л-й СТЕПЕНИ
ИЗ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ЧИСЛА
1063. Назовите подкоренное число и показатель корня:
а) */з; б) \[Е; в) ^/iJ; г)
1064. Докажите, что верно равенство:
a) V361 = 19; в) ?Уз43 = 7;
= -' ¦» «Р^ = -.
2' u O/I О О*
1065. Объясните, почему неверно равенство:
а) V25 = -5;
б) ^64 = -2;
01066. Верно ли равенство:
в) - ^8 = -2;
г) ^625 = -25.
а) ^7-473 = 2 - V3;
- 4л/б = 2 - V5;
б)
Вычислите:
1067. a) Vl6; б) ^/82;
1068. а) 9/512;
в) д/7 - 4-у/з = л/3 - 2;
г) J9 - 4^5 = >/5 - 2 ?
в) V81;
в) 3/1331;
. flOO
г> VT21-
г)
1069. а) з/0Д25;
б) ^0,0625;
1070. аL^Х;
в) ^/0,0081;
г) з/о,О27.
в)
81'
1071. а) V
б) у~ |; г> V" W
1072. а) - 2 V81;
б)-3^64;
1073. а) ^/32 + ^~8;
б) V625 - V- 125;
1074. Имеет ли смысл выражение:
а) VMK; в) ^
б) l/MF; г) ^/(-
в) -
г) 4^27.
в) 3^16 - 4^/27;
г) 12-6^/0,125?
01075. Найдите отрезок [п, п + 1], где п е N, которому принадлежит
заданное число:
Д? ^ г)
в) *5 = 32;
г) л:9 = 1.
в) *6 = 11;
г) *8 = -3.
Решите уравнение:
1076. а) *3 = 125;
1077. а) л:4 =17;
б) *4 = -16;
168
169

1078. a) x3 + 8 = 0;
б) З*8 - 9 = 0;
1079. а) Цх-5 = -3;
б) Ц4-5х = -2;
01080. а) V*2 -9*-19 = -3; в) !J2x2+6х-57 = -1;
б) ijx2 - 10* + 25 = 2; г) V*2 + 7л: + 13 = 1.
О 1081. Расположите числа в порядке возрастания:
а) 2, ^5, Vl7; в) 3, ^40, ^7;
б) ^75, 4, VlOO; г) 2, #), V20.
j О 1082. Расположите числа в порядке убывания:
а) - 1, V^T, ^ОД; в) - 2, ^О5, V1^;
б) О, V- 0,25, V17^; г) 1, V2, ^Т.
1083. Найдите ошибку в рассуждениях:
а) 2 = Vie = ^2^ = V(- 2L = -2;
б) 5 = V15625 =
1084. Определите знак разности:
а) Vl5 - V90;
б) 3 - Vl50;
1085. Решите уравнение:
а) 0,02л:6 - 1,28 = 0;
в) ^40-
г) V300 - 5.
в) 0,3л:9 - 2,4 = 0;
4- —4 - гIл4 _2 = 0.
1086. Расположите числа в порядке возрастания:
о\ " 5/ 10 О **/'7Л« «\ /о_ 7Г 3/ о О с*
б) ±, Ifc, I, V^;
я
г) 2л, 5/-О,5, 0, ^200.
§ 40. ФУНКЦИИ у = ilx. ИХ СВОЙСТВА И ГРАФИКИ
Постройте график функции:
1087. а) У = V»; в) у = V*;
б)У = $[х; г) у = л/л7-
1088. &)у = 2$[х; в) У =-|V«;
в) у = V* + 3;
в) у = л1х+1;
г) y = Vi-i
1089.
1090.
О 1091.
а)
б)
а)
б)
а)
б)
y = V* +
y = V^
У = V* +
y = V^-
у = V7^
у = ^7Т
1—1
2;
2;
4;
I-
1 +
3;
2;
B)y = V*-J
г) у = т[х~+~4: - 4.
1092. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у=у/х:
а) на отрезке [0, 1]; в) на отрезке [5, 16];
б) на полуинтервале [1, 3); г) на луче [16, +°о).
1093. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у=\х :
а) на отрезке [-1,1]; в) на отрезке [-32, 32];
б) на луче (-°°, 1]; г) на луче [2, +°°).
О 1094. Найдите точки пересечения графиков функций:
а) у = V*7 и у = х2; в) у = л/* и у = х;
б) у = Ух и у = |*
г) у = л/л7 и у = -* - 2.
О 1095. Решите графически уравнение:
а) л[х = -л;; в) V* = 2 - л:;
6)^ = 7-6л:; г) V* =--**•
170
171

01096. Определите число решений системы уравнений:
в)
У = V*.
б)
2х - Зу = 6;
У =
6-2х - Зу = 0;
г)
Зу - 4* = 0; [ 5 + х - 2у = 0.
Постройте и прочитайте график функции:
2х2, если лс < О,
01097. у =
О 1098. У =
О1099. У =
у[х, если х > 0.
—, если лс < О,
VX, если х > 0.
VX, если лс < О,
V*, если х > 0.
Найдите область определения функции:
1100. а) у = $}2х - 4;
б) у = V3^ - 9;
1101. а) У = ^/*2 + 5;
б) у = V*3 -1;
О 1102. а) У =
в) У = V2-3*;
г) у = ^1 - 5*.
б) у = V2* + 1 - V5 - Юх; г) У = V8 - 16* +
О 1103. а) У = V*2 + 4* - 12; в) у = V*2 - 8* + 12;
б) У = ^15-** +2х; г) У =
+ 20.
172
У
г) У
= б
7-2*
3-7х
Найдите область значений функции:
01105. а) У = V* + l; в) у = л/л + 3;
б) у = V^-2; г) у = V«-4.
01106. а) у = 2 + $[х; в) у = у[х - 3;
б) У = Vx" - 3; г) у = 2 + Vx.
Постройте график функции:
1107. а) у = Ц-2х\ в) у = V~6x;
1108. а) у = 2 - 5 • Vx-5; в) У = 4 - 2 • V9-x;
б) у = 4 • ^2х + 4 - 1; г) У = 3 • ?УЗх - 6 + 1.
1109. Решите графически уравнение:
а)л/2х"=^1 + 1; b)Vx"=3-2x3;
б) ^/х + 2х + 3 = 0; г) л/Зх - 2 = -^.
Определите число решений системы уравнений:
У = Vx" - 1,
1110. а)
1111. а)
у = х2 - 2х - 8;
б)
б)
= 10х-16-х2.
у =
- 5;
173

Постройте и прочитайте график функции:
л[х, если х < - 1,
1112. у =
1113. У =
- x2, если - 1 < ж < 1,
х - 2, если х > 1.
з(х + if, если - 2 < ж < - 1,
- 2х - 2, если - 1 < х < О,
V*» если х > О.
Найдите область определения функции:
1114. а) у = V25 - ж2 + V*2 - 1;
в) у = Цх2 -4 - V*2 - 25;
г) У = V64 - х2 + Цх2 - 100.
1115. а) У = V*2 - 6л: + 5 - -Jx2 - Зх;
б) У = ^15 - 2л: - х2 + л/л:2 + 6л: + 8.
1116.
• 1117. а) у =
• 1118. а) У =
• 1119. а) у =
• 1120. а) У =
174
х-3 '
Постройте график функции:
= Ух2-5х /2х+3
V х-4 '
с2+7х+12
х+3
б)у=^
х-3
+ 2.
Зхг-8х-3
х-3
-2л:.
§41. СВОЙСТВА КОРНЯ n-й СТЕПЕНИ
Найдите значение числового выражения:
1121. a) V8-27;
в) V625 16;
б) ^16 • 0,0001;
г) ^/0700032 • 243.
1122. a) 5J243 . ±;
~8~.
1123. а) ^24 • 9;
б) {/48-162;
1124. а) ^;
г)
в) 5^75 • 45;
г) ^54 • 24.
I 16 .
б> V 0,0625'
г)
1125. a) V56- 29;
б) ^/0,210 • 1010;
1126. а) 4ЦЕ;
в) V0.23 • 56;
г) ^/363 • 26.
г)
1127.
1128.
1129.
ИЗО.
а)
а)
а)
а)
б) tfa5;
B) ^l
Упростите выражение, считая, что все переменные прини-
принимают только положительные значения:
г) а/?7-
г) 2^".
r)
6) $Jasb6; в)
175

1131. a) Vc2d6;
1132. a)
Вычислите
1133. a) VI VI;
6)
1134. a)
6) Vwi3n9 ; в) 3/*V ;
5>7л6
г)
Л32а4Ь'°
V 243с15
б)
в) V20 • yfE;
г) Vl6 ¦ 3/486.
в)
V256
V256
tf2 '
1135. a) */32-3 • V8-27; б) »/25-72
Приведите радикалы к одинаковому показателю корня:
в) V7 и х$$;
г) ^3 и ^2.
'; в) >/б, Vl7 и
I; г) V3, ^ и
1136. а) зД и $/3;
б) i[E и ^/9;
1137. а) >/з, ^4 и V7;
б) л^, л/3 и VI;
01138. Сравните числа:
а) V26 и V5; в) ^7 и
б) ^5 и л/3; г) - VI и - ^8.
Преобразуйте заданное выражение к виду Va :
1139. a)Vi-V2; в)-у/2>/3;
О 1140. а)
б)
176
г)
О 1141. a)
6)
О 1142. a) Va3" : л/о;
6) 1
Возведите в степень
1143. а) GзJ; б)
1144. a
в)
г)
г) Va3b5 : ^/ab.
в) V7 ;
г) f
1145.
в) (_ 5 ^J;
б)
1147. а)^; б) ^
О 1148. Решите уравнение:
б) i
5
= 6.
Вычислите:
1149.
б)
в)
г)
г)
Преобразуйте заданное выражение к виду 4jA:
1146. а)/У5; б)зЩ; в)з/72; г)
г)
V37;
3 •
-3.
177

1150. a) V3 • $fH • л/27 •
^fi ;
V2
V3
1151. a) ^33 . 42 . ^46 . 35.
6) 3Jt2~~2 ¦ V74 ¦ 22;
Упростите выражение:
1152. a) Viea8^16;
6)
1153. a)
в) V343/n12n9;
г) V0,0081a12b4c20.
в)
J64n'p"' Г)
1154. Преобразуйте заданное выражение к виду !{[Х:
- 1 = 0;
-3 = 0.
1155. Решите уравнение:
а) tfx - 2%[х = 0; в)
б) ^ - Ы[х +6 = 0; г)
1156. Докажите, что 2f(x) = /A28л), если f(x) = -
1157. Докажите, что 2f(x) = fC2x\
1158. Докажите, что 2^х) = g{64x), ecnnf(x) = ifx, g(x) = tfx.
1159. Постройте график функции:
а) У = $1{х - 2L; в) у =
б) У = VB - xf ; Г) у =
178
§42. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ,
СОДЕРЖАЩИХ РАДИКАЛЫ
Вынесите множитель из-под знака корня:
1160. а) >/20; б) Vl47; в) VlO8; г) ^245.
1161. а) 2/24; б) ijbi; в) 8/512; г) ijyfb.
1162. a) V80; б) йДбО; в) ^/405; г) V486.
Вынесите множитель из-под знака корня, считая, что пере-
переменные принимают только неотрицательные значения:
1163. а) V*3"; б) 34^; в)
1164. а) 425а3; б) V405a5; в)
1165. а) V75*4г3;
б) V256a9b13;
в) 8/250л:4у7;
г) V320mn/i15.
О 1166. а) ¦#-•
18 '
х2 J72a'b3.
6)TV343x"
г)
Вынесите множитель из-под знака корня, считая, что пере-
переменные могут принимать как положительные, так и отрица-
отрицательные значения:
О 1167. а) Va^b; б) Va3b; в) Ца4Ь; г) yjasb.
О 1168. а) V50a3 ; б) ^256?; в) ^2Ьх*; г) Vl62a8.
Внесите множитель под знак корня:
1169. а) 2л/5; б) 5л/2; в) 5л/3;
1170. а) 2^/3; б) 6l/U; в) 3^2;
V 9
г) 7
!¦
179

1171. a) |V3;
О
г) 0,2^/25.
1172. Внесите множитель под знак корня, считая, что переменные
принимают только неотрицательные значения:
a) 7a2 Vaft;
6) 5ab2 yfa*
О 1173. Упростите
а) 3/24 -V
б) 2 \7з + V
Ь;
выражение:
3;
Г384;
в)
г)
в)
г)
Ъх-JZx;
2туЗт .
2л/б4 + л/486;
V512 - V2.
О 1174. Расположите числа в порядке возрастания:
а) л/3; ^4 и ^18; в) ^3; ^2 и '^30;
б) ^/4; ^/2 и '^40; г) ifi; ^3 и 3^2.
Выполните действия:
1175. а) (^ - 2\Vn)(^ + 2
б) (V5 - >/з)(л/з +
1176. а) [4х
б) (з + Va)(9 -
в)
г)
1177. а)
180
в) (a -
г)
dll78. а) (a - b): (,/a - S); в) (m - n):
6) (A + /) : (*/* + ^); r) (x - Ay) : (л/^ + 2^).
Сократите дроби, считая, что переменные принимают не-
неотрицательные значения.
а)
\Гх*-\[ху
б) ^-V^ ;
в)
\frk-\Iii '
blUO. a)Va-2;Va-y&W*.
б)
• а) ^
б)
01182.
в)
г)
б)
S-a3 .
aja + yb
•Ja -
Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
1183. а)
3 •
7Г
в)
1184. а) 4-; б) 3 ;
V2 V9
г)
01185. а)
л/5+л/з '
2
в)
г)
Ja
7
л/2+l'
9
181

Вынесите множитель из-под знака корня:
1186. a) V-16&V5;
б) '
в) Vl28aV;
г) V- 64m6n16.
1187. a)^\
Преобразуйте заданное выражение к виду
1188. а)
б)
1189. а)
в)
г)
1190. а) 9/- s/_ a 25 .
Ч 3 23 3 I"
г)
в) V- 2a2ft
т- п )го +,
т- п
1191. a) tiaVaya ¦ 2^о" ;
в)
б) у
1192. Упростите выражение:
a) V50 - ^3 - 6>/2 + ^/24 + V8;
б)
Сравните числа:
1193. а) -в/2У10 и _
и
в) ^3 и
r)-fi*f6 и
182
1194. Расположите числа в порядке возрастания:
а) ТзЩ, ^/бТз и ^/100; в) ^Д, ^ и
6)^/4, ^/1 и '^25;
1195. Найдите значение выражения:
4-ЗЛ .
и
а) t
б)
+ 1
+ УбJ,
4-Уз + 3>/б '
г)
(Я-Щ2
Выполните действия:
1196. а) (l + Vo)(l + Ve)(l - Vo);
6)
1197. a)
б)
Разложите на множители:
1198. а) л/2х -
б) ^47 +
в) 3V^" +
г) fcV<i - afe + Vafe - ab4b.
1199. а) $[т - \[т - 6; в) 5Va +
б) Vm + 5*/m +6; г)
У1200. Сократите дробь:
а + 12;
* - 1-
а)
б)
3>/Jc - 5 Ух - 2
-1
183

1201. a)
Упростите выражение:
•Jab-lla а2+Ъ2
- 3-Jrnn.
1202. Решите уравнение:
6)
+2
= 5.
§ 43. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ О ПОКАЗАТЕЛЕ СТЕПЕНИ
Представьте степень с дробным показателем в виде корня:
1203.
1204.
1205.
1206.
a) 53;
3
a) c*;
a) 0,20-5;
а) Bа)з;
6)
6)
6)
6)
з3Ь
A
,0.8.
3
ax5;
в)
в)
в)
в)
3
68;
3
x*;
ft1-5;
2аЗ;
г)
г)
г)
г)
Л
л
8,50-6.
BftO.
1207. a)
2 2
б) хз -у3;
в) з(а + b)*;
г) *2 +
Представьте заданное выражение в виде степени с рациональ-
рациональным показателем:
б) тД;
1208. а) ^/1^;
1209. a) 5Vft^; б) tja2;
Вычислите:
1210. а) 492; б) 10005;
в)
в)
в) 273;
О 1211. а) 922;
184
б) ОД б12;
г)
г)
г) 252.
в) 3f ; г) 0,0013.
1212. Представьте выражение в виде степени и найдите его значе-
значение при заданном значении переменной:
а)
а-2
а = 6;
при t =
Вычислите:
1213. а) B7-3-4J;
б-1 6s
1214. а)
6-12
с4 . ла-3
01215. а)|=г^г;
б) 16-B3J.
б) 7-'» "
81'2 Ю-7
6J Ю-5 • 2717 '
1216. Представьте заданное выражение в виде степени с рациональ-
рациональным показателем:
б) 1$Г5;
в)
а)
ух'"
1217. Вычислите:
а) 4~?; 6)8"^; в) 32^;
1218. Имеет ли смысл выражение:
а) 5~з; б)(-1б)з; в) 23~f;
1219. Сравните:
I I
а) 22 и 32;
6H,32 и 0,52;
1. i
в) 5 2 и 5з;
к 1
г) 7з и 76.
Упростите выражение:
i 1
1220. а) с2 сз;
б) ft^ ¦ ft^;
1 _I
в) а з а 6;
г)
1
г)
г) 16 4.
г) (- 25L ?
185

I 3
1221. a) *2 : X2;
-I I
б) У 6 : j/3;
1222. a) 6« ;
I -I
в) г» : z 2;
r) m» : m2.
ч I ^3
B)|fl2 ;
-1 ^ 9
1223. а) *2 • V*;
б) *Д
r)
в) z* ¦ ijz;
r) Vc3" • c*.
О 1224. a) (a°-4)i ¦ a0-8;
-1.5
Найдите значение выражения:
2 1
О 1225. а) 105 ¦ 105 . ю°1;
б) 2й .2-ад-40'7;
О 1226. а) 40-7: 20>6;
б) З-Э0
О 1227. а) B7-64I;
-1 J. _3
в) 49 з . 7i2 ¦ 7 *;
г) 250-3 • 51-4 • 625°-25.
в) 43-23:43;
_i ^
r) 8 3163:?/2.
^ 0,04] ¦;
i
186
Упростите выражение:
О 1228. а)
B)|X «
r) (81*-
4 -t
О 1229. а)
х"г
ИГ
св
б)
1
,20
1230
Представьте выражение в виде суммы:
. а) *2 - у I . xlj/l; в) Ь3с4 \Ь3+с4
1 1
I If I
. I i
1231. a) m2 +
в) 1 -
6) 1 + c« ;
1232. а) [дс»+3| *s-3|;
r) I a2 + 2fe2
, i v I i
6) a» +6* a -a2ft2 +b\;
B)|d2 -l}[<P +11;
{pq)ls
187

Сократите дробь:
1233. a)-^-;
32-3
В) Х + х2 ;
б)
1 1
а-Ь '
1234. a)
I I
с + ctd* + d
3 3 '
C2 - d2
г)
б)
2х
-5
р-25'
т + п
2 i I
m' - /7i3n3 +
Упростите выражение:
IУ I
01235. a) 1 + C2 - 2c2 B) \XJ _ yj \ + 2xzyi;
/I Y х /г ( i
б) т* - in» + 2mi2; г) л/Ь +VC -6* +
1 1 \2 / 1 1 ^2
О 1236. a) I a* + fti ) - {at -
3 1
б) аг + 5аз - Юа2.
01237. a) |*4 +
6)
О 1238. a)
- i)Ll + 1 I;
a2 -
a-b
6> i—T+ i-T
X% + yZ X2 — J/2
1239. Упростите выражение:
а) \\c~T ¦ j/-°-4
188
б) РЛ
Вычислите:
1240. a) I • 252 - 8I2 . 125"
-2
r) 4
_L ' .7-1-4 -2-3 :
6)
_i _i
8 3 • 25 2 - 2'1
I I
644•22
Найдите значение выражения:
5 1
1242. а) 4^4 при л; = 1,44; б) fft3j~2'25 при ш = 8.
1243. a)
m3+l,5
при t =9; 6) -1 1— при У =Ю0.
Упростите выражение:
з з
1244. а) а,~Ь1
а-Ь
II
2а2Ъг;
б)
pq
-* +
1 1 т х
jlg'J g _ р
p-q
189

1Oi, . аг+Ъг а2 Ь
1245. а) ; ; г+ j^;
a2 a2-b2 a-c
б)
2a
a + 1
2 1 5 2 „2
as-3o 3 a3-a3
1246.
1247.
1248.
1249.
1250.
1251.
§ 44. СТЕПЕННЫЕ ФУНКЦИИ, ИХ СВОЙСТВА И ГРАФИКИ
Постройте график функции:
а) у = х10; б) у = х-3; в) у = хь; г) у = лг
Постройте и сравните графики функций:
а) у = Чх и у = хз; б) У = V* и у = х*.
Известно, что f{x) = x*. Вычислите:
а)/D); в)/@);
г) /@,01).
Известно, что f(x) = х ». Вычислите:
а)/A); б)/(8); в) /Ш; г)/(о).
Исследуйте степенную функцию на четность:
-I 1
а) у = х10; б)У = х~»: ^„ = ^-15.
) У = х 3; в) у = лг15; г) J/ = хз.
1252. Исследуйте степенную функцию на ограниченность:
а) у = х8;
_з
б)У = Х 4;
1253. Исследуйте степенную функцию на монотонность:
а) у = х12; в) у = х'п;
в) у = х-5;
2
Г) У = X*.
б) j/ =
r) J/ = *7.
190
1254. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции у = х* :
а) на отрезке [0, 1]; в) на интервале B, 3);
б) на луче [1, +°°);
г) на полуинтервале E, 16].
_ „2 .
1255. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции у = х
а) на луче [0, +°°);
б) на полуинтервале [1, 3);
в) на отрезке [1, 2];
г) на полуинтервале F, 8].
_,, з.
1256. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции у = х
а) на отрезке [1, 8]; в) на луче[1,+«>);
б) на интервале C, 5); г) на полуинтервале @, 1].
Постройте график функции:
1257. а) у = (х + 2%
б) у = ж» - 3;
О 1258. а) у = {х + з)в - 1;
б) у = {х - 2)~9 + 5;
i_
О 1259. а) у = 2x3;
_з
б) у = -*~5;
в) J/ = (*-l)~3;
г) J/ = х 3 + 4.
в) j/ = [х + 6)* + 2;
г) J/ = (ж - 3)i - 1.
1 -
в) */ = -2*2;
г) у = -2х*.
Решите графически уравнение:
1 I
01260. а) х~г = 6 - х;
б)*1=*;
в) х* = х3;
з
г) хз = х - 4.
01261.
Решите графически систему уравнений:
1
а)
б)
у = Ь
у = х'
у = 1
г)
191

Постройте и прочитайте график функции:
(х, если х<0
01262. у = <
[х3, если х>0
О 1263.
О 1264.
|х|, если
У = \ 1
s, если х > 1
J/ =
—, если х<0
х 2, если х>0
в)/1^*1;
О 1265. Известно, что f(x) = х*. Найдите:
а) /A6х);
б)/(81х4); г)/(х-8).
01266. Известно, что f(x) = х. Найдите:
а)/(в*8); в>^*
б)/(х-6); г)/(х^). .
Найдите производную заданной функции:
1267. а) у = х8; в) J/ = x40;
б) У = х-4;
1268. а) у = *5;
б) J/ = л/х7;
1269. a) j/ = -L ;
б) у = Л;
192
в) у = *2;
г) у = ^/х.
Г) J/ = "Г •
1270. а) у =
б) у =
1271. a) J/ =
г) у = х V:
в) J/ = х5
г) J/ = х3 - 7xtfx.
1272. a) „ = [|-lj(x-^); в) 1Г
б) у = (Зх3 - 7л: + 5)(У* + з); г) J/ = [ 2х9 +
3 1E - 2*).
1273. а), -
Найдите значение производной функции у = g(x) в заданной
О 1274. a) g{x) = х3 - Зл/х, х0 = 1;
б) g{x) = л/Зл: - 1, х0 = 15
в) g{x)= х-1 + х-2, х0 = 1;
О 1275. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функ-
функции у = f(x) в точке с абсциссой х0:
а) f(x)= 4- x~t, x0 = 1;
б) /(*) = 12х"г - х, х0 = 9;
в) f(x) = 2x1 - 1, х0 = 8;
г) f(x) = х-3 + 6л/х, *0 = 1.
193
7. Зак. 2857 Мордкович, 10-11 кл. Задачник.

О 1276. Найдите скорость изменения функции у — h(x) в точке с абс-
абсциссой х0:
б)Л(х)=х^-A-ЗхI, х0 =0;
B) h\x> = ls+x5' X° =1;
r) h{x) = C - x-1J, x0 =-1.
О 1277. Найдите угол, образованный касательной к графику функ-
функции у — g(x) с положительным направлением оси абсцисс в
точке с абсциссой х0:
1
3
б) *(ж) = -з(У2 + ж)"», х0 = 1 - V2.
О 1278. Напишите уравнение касательной к графику функции
у = f(x) в точке с абсциссой х = а:
а) у = х4 -Зх3, а = 2;
б) J/ = ^Зх - 1, а = 3;
в) J/ = Зх3 - 5х2 - 4, а = 2;
г) J/ =
5)~г, а = 2.
О 1279. Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы:
а) у = \ху[х - 2х;
б) 0 = |*• -ж.
О 1280. Найдите наименьшее и наибольшее значения заданной функ-
функции на заданном промежутке:
a) j/ = fW^-2x, [1, 9]; в) {/ = |*л/^-2х, A, 9);
о о
3 -
б) у = -х3-х, @,8);
г) {/ = |**-*, [0,8].
194
Вычислите интеграл:
1
01281. a) J(*7 +xs)dx;
б)
01282. a) JVl - 2л; dx;
в)
-1
j
г) JE* - 7) Idx.
Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
О 1283. а) у = 0, х = 4, j/ = V*7;
б) j/ = 0, * = 1, * = 3,
в) у = 1, * = 0; у = $Jx;
г) у = 2, х = 0, у = у[х.
-^
1284. Определите число решений системы уравнений:
8
а)
J/ = X 5,
у = х2 - 4х + 1;
1
в)
г)
J/ = x 3,
{/ = 2х2;
2
1285. Постройте график функции:
2 3
а) у = 2(х-1)з-2; в) у = -(ж + 2)«+1;
1 --
Постройте и прочитайте график функции:
х2, если х < 0,
х^, если 0 < х < 1;
1286. у =
7*
—, если х > 1.
195

1287. У = ¦
2, если х < -1,
2х2, если - 1 < х < 0;
*2, если х > 0.
1288. Решите графически неравенство:
а) X2 < 6 - x;
б) x2 > x;
в) x~4 < x3;
2
г) хз > x - 4.
1289. а) Известно, что /(x)=x"J, g(x)=x~2. Докажите, что
б) Известно, что Дх)=х^, g(x)=x~3. Докажите, что
f{27x*)=9{g{x)y.
Найдите производную функции у = /(х):
1290.
б) /(*) = (л/ж-^ - 2хД2 sin 2л: + cos jc);
r)/(x)=L/x7--^ tgCx-5)
1291. a) f{x) = JLX;
¦Jx+1
x+1
1292. Решите уравнение g'{x) = 0, если:
а) g(x) = 2VX7 - x; в)
б) *(*) = |*f - ^x! + 2x; r)
f *3 - f *• - 2x.
1293. Решите неравенство f'(x) > 0, если:
«O/W-f-f;
г)/(ж)=0,4ж« -|ж*.
11294. Исследуйте функцию на монотонность и экстремум и по-
постройте ее график:
У =
- х;
б) у = xyjx + 2.
1295. Используя свойство монотонности функции, решите урав-
уравнение:
a) 2x5 + x3 + 5x - 80 = ^14-3x;
6)
Зх = 74 - хъ - Зх3 - 8х.
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
1296. а) У = лГх, У = -2л[х, х = 4;
б) у - 2л/х, у = -л/х, х = 9.
• 1297. а) У = 2 - Vx, J/ = >/х, Зх + 5j/ = 22;
б) J/ = V*. J/ = 3 - 2л/х, 4х - 5j/ - 21 = 0.
1298. Проведите касательную к графику функции j/ = /(x), парал-
параллельную заданной прямой у — кх + т :
6)/W=~, J/ = 5-3x.
• 1299. Проведите касательную к графику заданной функции из дан-
данной точки М:
а) у = yfx, M@; l);
б) j/ =
4, M@;0).
196

Глава
ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ
И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ
§ 45. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ,
ЕЕ СВОЙСТВА И ГРАФИК
Найдите значение выражения 2х при указанных значениях
переменной х:
1300. а)* = 3; б) л; = -2; в) л: = 5; г) л: = -4.
1301.
1302.
a)*=f;
2
Сравните
a) x1 = |,
1
значения
*2= I'
1
3*1
в)ж=|;
2
, если:
BW -1 v
B) *t - Б ' xi
3
!~ 5 '
3
Г) JCj — 1, #2 ~ о
о "
1303. Определите, какое из чисел 5*1 или Ьн больше, если:
i ~ 3 ' *2 ~ 5 '
_3 „ _ 4.
i ~ 5 ' 2 ~~ 7 '
6
8' 2
Найдите значение выражения:
1304. аJ3 22; в) З2 З3;
198
1305. );
б) 1'\ ¦ 73-5;
1306. аL35:43;
1307. а) 2з ;
1308. а)BJ25;
О 1309. а)
1310. а) 3х = 9;
бK*=|;
1311. а) 5х = ^5;
б) I ¦? I = 81
1312. аJ3х=128;
бN3х = 216;
вK6,8
в) 82з : 82;
2,4 /„N-0,6
(it U
Г)
в) 32 ;
г)
в) (З2-7K : З5-1;
оО,5 . о1,25. „\ з/оТ Q2,6 . ql,6.
Л ' . Л ' , В) \ОХ 'О . О ,
б) </Ю000 • Л: Ю3; г) ^6 • ^28 : 23.
Решите уравнение:
а\ Q* — Q. т»Ч Q* _ ОТ-
aj о — «7, Bj о — Z (,
в) 8* =
г) f =
11
25'
•>*¦-?.
Dlil =зй-
1313. Среди заданных функций укажите те, которые являются по-
показательными:
19»

1314. Найдите значение показательной функции у = ах при задан-
заданных значениях х:
а) у =7Х, хх = 3, х2 =-1, хг = -|;
С* 1315.
Найдите значение аргумента х, при котором функция у = 2*
принимает заданное значение:
а) 16;
б)8л/2;
V2
г)
1316. Найдите значение аргумента х, при котором функция
rN25V5.
у = — принимает заданное значение:
a)JL; 6I25;
1317. Укажите, какие из заданных функций ограничены снизу:
а) у = 4х- 1; в) у
б) у = 18х; г) у-
1318. Укажите, какие из заданных функций не ограничены сверху:
-Зх2+1; в)у = G,2)х;
= @,6)х;
г) у = cosx.
1319. Схематично изобразите график показательной функции:
а)у=(>/2)Х; в)у=(>/7)Х;
1320. В одной системе координат схематично изобразите графики
функций:
1321. Сравните числа:
аI,334и1,340;
в) 12,1^ и
1322. Сравните с единицей заданное число:
аI7~«; 6){9,lf; в> (f) ; г> (l)
Исследуйте функцию на монотонность:
1323. а)у= (&) ; в) у = 21х;
б) у = 0,3х; г) у
1324. а) у = 2; в) у
Решите неравенство:
1325. аL*<64;
вM1>25;
О 1326
• -к
343
8 ;
б) 15* <
200
201

Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной фун-
функции на заданном промежутке:
1327. а) у = 2', [1,4]; b)j/=(^)\ [0,4];
б) !/=(!)', [-4,-2]; г) у = 2', [-4,2].
1328. &)у=[Щ, (-00,4]; в) у = Щх , [О, +°о);
О 1329. Найдите, на каком отрезке функция у = 2х принимает наи-
наибольшее значение, равное 32, и наименьшее, равное -х.
О 1330. Найдите, на каком отрезке функция у = — принимает наи-
большее значение, равное 81, и наименьшее, равное -^ .
1331. Найдите область определения функции:
а)у=4-Ч
б) У =7*5
-+2
г) у= 9,1^-1 •
Постройте график функции:
1332. a) j/ = 2*4-1; в
г) у = @,1)*+ 2.
1333. a)y = 5x+1;
\*-2
«>»- I
Решите графически уравнение:
О 1334.
01335. а) 2х = -2х + 8;
3,
fr)
(¦Т-
ж+ 8.
При каких значениях аргумента график заданной показа-
показательной функции лежит выше графика заданной линейной
функции:
О1336. а)у = 3х, у = -
в)у = 5", у = -2ж+1;
О1337.
= 2ж+1;
= x-2;
О 1338. При каких значениях х график заданной показательной фун-
функции лежит ниже графика заданной линейной функции:
О 1339. Дана функция у = f(x), где f(x) =
2", если х > О,
3x4-1, если х<0.
а) Вычислите /(-3); /(-2,5); /@); /B); /C,5);
б) постройте график функции у = f(x)\
в) прочитайте график функции.
202
203

I A% лл|ттт *• ^ A
О 1340. Дана функция у = f(x), где /(х) = \ '
[-Х +1, если л: > 1.
а) Вычислите /(-3); /(-2,5); /@); /A); /B);
б) постройте график функции у = f(x);
в) прочитайте график функции.
О 1341. Дана функция у = /(зс), где /(зс)
если х < 0,
если х > 0.
а) Вычислите /(-5); /(-2,5); /@); /D); /A,69);
б) постройте график функции у = f(x);
в) прочитайте график функции.
О 1342. Дана функция у = f(x), где /(зс)
-ХОТ-
если х < 0,
cosx, еслих>0.
а) Вычислите /(-3); /(-2); /(-1,5); /@); /f^j;
б) постройте график функции у = f(x);
в) прочитайте график функции.
1343. Расположите числа в порядке возрастания:
а) & , & , z , z , zi , 1,
Л Л П Q^ 1 Л О~>/5 A Q2 Л О~9 л Q3
1344. Исследуйте функцию на монотонность:
= -3 • 12х; в) у = -9
1
@,5f + l' >y~ 4 + 2*'
1345. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на за-
заданном промежутке:
a)j/ = 3I-1 + 8, [-3,1]; в) j, = 7х + 9, [0,2];
, [-1,2];
, [-2,3].
204
1346. Найдите область определения функции:
- 1 в) = * •
х+2 ч 2х +:
1347.
0,5*-2 '
Найдите область значений функции:
1
1348.
1349. Постройте и прочитайте график функции:
4Ж, если зс<0;
а)у=\ соззс, если 0 < х<%',
Х-1Х-1, X > IX.
sinx, если х < —;
х+—1, если —<х < 0;
2 2
— ] , если зс>0.
3 у
Решите уравнение:
1350.
в)Зх-1=--
205

1351.
в) 5X=-|;
1353. а) 2х < -2x + 8;
1354. а) 2х > ^;
Решите неравенство:
1352. а)Зх>4-х; в) 5х < 6 - х\
в)Зх>-*+1;
г) 0,2х < х + 6.
Г)8 х-
1355. Постройте график функции:
а) у = 2N; в) j/ = 41*1;
г) у = 0,21*1.
1356. Докажите, что для функции у = /(*), где f(x) = 2х выполняет-
выполняется равенство:
1
б) f(x + l)fBx) = 2 Р(х); г) /(cos2 x) = yJ2f(coa 2x).
§ 46. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Решите уравнение:
1357. а) 3х = 9;
б) 2х =16;
206
г) 0,5х = 0,125.
/1358. аLх= ^
1359.
1360.
V1361.
а)
б)
а)
б)
а)
б)
5х = ,
0,3х =
2х+1 =
5Зх-1
V1000;
1
1000
" 27 '
= Тб;
= 4;
= 0,2;
©1362.
2ж+3
бN2х"8 = 216х;
01363. а) Я
б) 0,5ж2
О 1364.
-|;
«^1365. а)Зх-Зх + 3 = -78;
г) 0,2х = 0,00032.
в) 0,3х = V0.0081;
343 '
16.
81
г) 4 =1,52х-3.
в) 5х • 2х = 0,Г3;
г) 0,3х-3х = з/0^Г.
3х+7
Зж+8
4
=49;
207

О1366. *аJ2*-6-2*
¦>UJ -5-Ш~6=0;
бK2*- 6- 3*-27 = 0;
|J 4-5-Щ -6 = 0.
ч
Р1367. а) 2 • 4х - 5 • 2х + 2 = 0; в) 4^J + 15 • Q-J -4 = 0;
б) 3 • в*"- 10 • 3* + 3 = 0; г) @,25)* + 1,5 • @,5)* -1 = 0.
О 1368. а) 4 -(yqJ- 17 -({
6H,01* + 9,9 -(ОДI- 1 = 0;
О 1369. ^а) 22l+1 -5 • 21 - 88 = 0;
52l+1 - 26 • 51 + 5 = 0;
О 1370.
б) 25* = 721;
О 1371.
О 1372. а) Г|1 = 0,5x + 5;
б) З1 = - х + 4;
г) 3'=-0,5х +4.
208
О1373. аK-22*4-6*-2-32* = 0; в) 32l+1 - 4 • 21*- 7 • 72*
бJ-22*-3- 101-5-52* = 0; г) 5-32l +7-15*-6 • 25*
Решите систему уравнений:
01374. а)
б)
2ж+"=16,
0,53ж0,5" = 0,5,
О 1375. а)
0,1*-10" =10;
27"-Зж=1,
В)
г)
б2"" =125,
4ж-"=4;
0,6I+,6*=0,6,
10*-10»=@,01)-1.
в)
i ..•-»
5"-25ж=625,
27
Решите уравнение:
1376.
1377. а)
=0,8Г2ж;
1378. а) 7б25-л/514ж-9 =^125-5вж-12 ;
-4_i
1379. а) 27^ =
б)
г) (О
4/Г
UI = 20,25I+1
3
=243;
1
106
209

1380. a) 3*-7*+2=49-4*;
1381. а) б^^г^'-З3*;
б) 2ж+1-5ж+3 =250-9*.
б) 354ж+2=53ж+4-75ж.
1382. а) 24ж+2 -б"* =6,25-2**1; б) З51 -72*-2 =33ж+1.
1383.
1384. а) 8-' - (l)'~* = ^Х + 207;
б) ^/l6I+1 + 188 = 8-2* -О.б3.
1385. a) 24-32*!-3l-2-2-32*2-3*+3:
f\\ fi О*2+5д:+7 , <зд:а+5д:+9 nx2i
1386. аI8ж-8бж-9-2ж=0;
1 1
^1 = 9;
= 2.
1387. а)
б) 12*-в**1+8-8* =0.
1 1 .
2 Зж+1 '
б) о
' 12' +
143
5*+4
8
11'+120
8
1388. а) ^2=
1389. а) 2*2+2*-6
И390. а) б^-'-
б) з2-1-
210
72* _
D 7
= 3,5; б) 32*!+* = 26 + З31'.
• 1391. а) 91 +61 = 22*+1; б) 252*+6 +16-42ж+4 =20102l+5.
Решите систему уравнений:
1392. а)
1393. а)
22ж+": 2ж=б4;
у2+у2х=15;
б)
б)
6'
~ 3'
у*-у Г =-12.
1394. Найдите, при каких значениях параметра а показательное
уравнение имеет корни:
а) 2х = а; в
б) 83l+1 = а + 3;
г)
(*)'-•
• 1395. Найдите, при каких значениях параметра а уравнение не
имеет корней:
а) 48
-4*+2; б) 9х +2а-Зж+1 +9 = 0.
§ 47. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
Решите неравенство:
1396. •аJ1>4;
• бJ-<-|;
1397. а)Зх<81;
в)б1> 125;
1398. aK2l4<27;
вM41+2> 125;
•г) (ОДM19 < 0,001.
211

. 1399. aO2l-9>73*-6;
6H,54l+3>0,56l-x;
О 1400. 'aL5l-x> 163l+2;
*3
c-1
О 1401. aJ3l+6< [i] ;
-2x+3 , N3+2x
1 7
О 1402.
б) лУ125-75 < 5- i ;
v.5/
i О 1403. *aO*2-5* <(yY;
6) 0,6'2- > ^|j";
О 1404. *a) л/гР'-л/г*1-7* > 2;
О 1405. a) 2X + 2X+2 < 20;
6K2x-l_32x-3<|;
О 1406. aK2l-4-3I + 3<0;
6M2l + 4-5I-5>0;
212
<9-2x + 8.
-3x-0,5 / \x+l,5
'г)@,09M1-х<0,31+7.
1
, r) 0,25-\-
В)
в)
< 196;
3x2-13x
> 9.
x+
r) 0,36l-x - 0,361 > 0,7.
bH,22i-1,20,2i+0,2>0;
O1407. aJ2l+1-5-2* + 2>0; в) 11] +15-[i] -4<0;
6) 32l+1- 10 3X + 3 < 0; r) @,5Jl-x + З^О.бI - 2 > 0.
О 1408. 'aK*<5*;
б) 61 > 2х;
О 1409. aMz<
2x-3
x+2
О 1410. a) 19 x+2 > 1;
6) 0,36 ^ <1;
О 1411. a) 5^ < 5.
О 1412.
±;
6x-l
>
81
64
О 1413. a) 4'^|j <2,25;
6)9I(^) >0,25;
г) 0,6х > З1.
Г
г) 31 > - x + 4.
5x-9
в) 37 r+e < 1;
9J-18
У
B) 17^8 > 17;
3xt4
r) @,21)l8 <0
2-х
121
36'
(^) rK"(^J < 0,0626.
01414. Сколько натуральных чисел являются решениями неравенства:
a) 8-2l+8 > 512; в) 25х~7 < 16;
б) [%
П:
г> °'
213

1415.
1416.
1417.
1418.
1419.
1420.
1421.
Решите неравенство:
а)
а)
а)
б)
а)
б)
а)
а)
б)
а)
б)
2--8->8e--V5;
22,+1_32*+1<32*_7.22*
3*+1+3~2+2-3*>2.72*
5I-1-2-2>810^+2;
з21+1.22,-з<81.б1-2*>
22-* > 2х - 3;
д:2+4д:+4 ъ q.
3*-27 " '
0,2* -0,008 „ 0.
x2-10x+25 '
5 ъ 5
12* +143 ' 12*+2 '
16М-42 < 22;
б) З1 -5* <
б)(пГ31
;
hl.
б) 332ж < 2з
25-0,2*
В) 4x2-4x4
г; 2*-4
. 8
в; 11* +120
Г) 51+15 <
226--Лб.
Г36?1+3
HliiJ '
: + 1.
< 0-
> 0
< 8 •
И**2 '
4.
1426.
1422.
1423.
а) 26*-10 - 9 • 23*-5 + 8 < 0; в) 38ж+6 -10 • 34ж+3 + 9 > 0;
б) 52ж+1 -5Ж+2 < 5Ж -5; г) 32*+2 - 31+4 < З1 - 9.
Решите систему неравенств:
**1 > 4, Г 0,4-+3 < 0,16,
в)
0,Р2+1 > 0,01;
1424.
1425.
214
б) i ч^ г)
10'1-1 > 1000; I 0.2м" < 125.
Решите неравенство:
а) (х - б)E* - 25) < 0; б) Bх + 1)(з3 - 9) > 0.
а) B- - 8)C" - 81) < 0; б) Гз-2 - -±Л&-" - 0,2) > 0
Найдите наибольшее целочисленное решение неравенства:
аJ,521+3<6,25; в) 1Д513 < 1,21;
г) 0,7^* > 0,49.
1427.
Сколько целочисленные решений имеет неравенство:
а) 5*2-2* < 125; в) 2~**х > 128;
1
49'
г)@,3)*''*>0,09?
• 1428.
• 1429.
Решите неравенство:
а) 2х + 2 - х2 > 3*2-2*+2; б) 2*2-"*+5 > 4х - 2 - х2.
Температура Г остывающего чайника описывается форму-
Т —Т
лой Т = " t " + Гс, где Го - температура чайника в момент
210
времени t = 0, Гс - температура окружающей среды. В ком-
комнату (Гс= 20°) внесли кипящий чайник (Го = 100°). Сколько
пройдет времени, прежде чем температура воды в чайнике
станет ниже 30°? Чему равен ПтГ? Каков физический
(-MOO
смысл этого предела?
§ 48. ПОНЯТИЕ ЛОГАРИФМА
Докажите, что:
1430. a)log28 = 3;
1431. a)log22 = l;
6)logil = 0;
з
1432. a)log464 = 3;
6)log24V2 =2,5;
Вычислите:
1433. a) log2 24;
B)log,--4;
r)logi 625 = -4.
5
B)log01 0,1 = 1;
r)log5 1 = 0.
B)log02 125 = -3;
=2,2.
в) log8 8;
r)log01@,lM.
215

1434. a)log3 ^;
6) log01 0,0001;
О 1435. a) log^ 49;
6) log^ BVs) ;
B)lg 0,0001;
r)logi 81.
з
1443. a)log4x = —g-;
fi_( 225^5);
15
О 1436. a) log^ 1;
6)
1 .
1 5 —T* '
) log^ 81л/3;
1
r)lg
Найдите значение числового выражения:
1437. a) 3Iog»8; в) 12Iog">x-3;
бL1о««23; г
О 1438. аJ3+10^9;
6Ol+log, 4.
О 1439. аI31о«»4-2;
2+logi 20
г)
вJ,21о«»5-2;
О 1440. а)8210*»3;
б) б10»»2;
Решите уравнение:
1441. a)lgx=l;
1442.
в) 341о«»2;
„ч K-21ogs 3
1) <*
B)lgx = 3;
г) lg x = - 4.
1444. a)logx4 = 2;
6)logl27 = 3;
1445. а) 2х = 9;
б) 12х =7;
Решите уравнение:
6)logxl = 2;
1446.
1447. 1
6)logx4=-|;
1448. aKx+1 = 14;
б) 451-4 = 10;
1449. aJl2+1 = 7;
6)905ia=2;
1450. a) 41-5 2х = -6;
б) 16х = 6 4х -5;
1451. i
216
B)log32 зс = --д ;
3
B)logx49 = 2;
r) logz 125 = 3.
r)logxl = -3.
B)logI7=-g ;
r)logx8=-g-.
в) 91- 7 3х = -12;
г)-9 7х + 14 = - 491
в) 4I+1 + 5 = 24-21-1;
217

Решите неравенство:
1452. аJ*>9;
б) 12* < 7;
1453. a) 3I+1 < 14;
б) 55* > 10;
г) @,2)* > 5.
г)
< 6.
1454. аL*-5-2*>-6; в) 9х- 7 З1 < - 12;
б) 16* < 6 • 41 - 5; г) 9 • 7" + 14 > - 491.
1455. Решите уравнение с параметром а:
а) 4* - 2х + а = а ¦ 2х; б) 9" - Bа + 1) • З1 + а2 + а - 2 = 0.
1456. Постройте график функции:
х X
§ 49. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ,
ЕЕ СВОЙСТВА И ГРАФИК
Найдите значение логарифмической функции у = log2 x
в указанных точках:
1457. а) ^ = 4, х2 = 8,х3=16; в)хг = 32, х2 = 128, х3 = 2;
fiW _I r _1 . 1 - -> 1 - ! - !
о; хх - 2 , х2 - 4 ,.
16 '
8 '
32
128 '
1458.
1459.
218
а)*
х — \2 , х2 — ^8 >
2 4
Вычислите:
аI
6)log3V27;
B)*! =
в) log0
г) log0
л/32 ,х2 =
4
|Д 0,0001;
,2 625.
О 1460.
B)log0>2-^L;
r)log0110Vl000.
1461.
1462.
Постройте (схематично)
а)
б)
а)
б)
у = log2 x;
y=\ogix;
3
у = log^g х ;
j/= logi x;
график функции:
в)
г)
в)
г)
y = lgx;
y = log02x.
V-iogrsx;
У= log! X.
1463. В одной системе координат изобразите графики функций:
а) у = log2 х, у = log9 x; в)у = log5 x, y = log3 x;
б) у = iogL х, у= logL х; г) у = log2 х , у- log,, x .
1464.
1465.
Сравните числа:
a) log4 7 и log4 23;
б) Iog20,8 и log2l;
2 3
Сравните с единицей число
a) log3 41;
в)
г)
:
в)
lOggVl5
log 1 y и
Тг 7
logi 2,6;
7
12
6)log230,l; r
1466. Исследуйте функцию на монотонность:
&)y = log26x; B
b)y=\oglx; r
1467.
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на за-
заданном отрезке [а, 6]:
, [1,1000];
r)y=logx. [А,М
б) у = log,*, [|
219

1468.
»*-*** №?}¦
О 1469. Найдите, на каком промежутке функция у = log3 x принима-
принимает наибольшее значение, равное 4, и наименьшее, равное -2.
01470. Найдите, на каком промежутке функция у = log0 5 x прини-
принимает наибольшее значение, равное -1, и наименьшее, рав-
равное -3.
1471. Найдите, при каком значении х значение функции у = log^ x
равно: *
а) 2;
б)-3;
в) ^;
1472. Найдите, при каком значении х значение функции у = log4 x
равно:
Решите уравнение:
1473. a)log2x = 3;
6)log7x = -l;
B)log03* = 2;
ч, 1
r)log,6x= -z.
1474. a)logx 16 = 2;B)loglA/3 =-1;
i 1
6) logx^ = -3; r) log 9 = ^.
Решите графически уравнение:
01475. a)log2x = -x +1; B)log9x = -x+ 1;
г)]
б) logj x = 2х- 2;
01476. a) log3 х = 4 - х;
б)
= x+ ^;
x = 4x- 4.
в) log5 x = 6 - х;
2
г) log, х = х + -х.
з S
220
О 1477. а) х + 2 = log8 x;
б) logj^ x= - 2х- 5;
Решите неравенство:
1478. a)log6x>2;
б) log0д х > 3;
1479. a)log9x<-l;
б) logiX<-4;
в) Зх + 7 = log7 x;
г) log, х = -5х - 6.
в) log9 х < 2 5
г) log_4 х < 3.
5
в) log5 х > - 2;
г) log
0 2
> - 3.
Постройте график функции:
1480. а) у = 2 + log3 х; в) у = - 3 + log4 x;
б) у = - 1 + logi х;
3
1481. a)t/ = 3log4x;
6)t/= 21ogj x;
в) у = 5 log8 x;
г) J/ = 2 l°go,5 х-
1482. a)y = -2\og7x;
6)t/ = -41ogi x;
в
1483. а) у = log2 (x + 4);
б) J/ = logj (х - 3);
'0,5
B)t/ = -0,51og2x;
г) у = - log a x .
з
в) У = log5 (x - 1);
г) у = log0 з (x + 5).
5
1484. Найдите область определения функции:
а) у = log6 Dх - 1); в) у - log9 (8x + 9);
б) У = log! G - 2х); г) у - log0 з B - Зх).
1485. Расположите числа в порядке возрастания:
a) log2 0,7, log2 2,6, log2 0,1, log2 g , log2 3,7;
6) log03 17, log0 3 2,7, log0 32 ,
2
13"
221

1486. При каких значениях аргумента график заданной логариф-
логарифмической функции лежит выше графика заданной линейной
функции:
а) у = log2 х, у = - х + 1; в) у = logi х , у = 7х;
б) у = log0>5 х, у = х - 1; г) у = log3?x, у = -3х?
1487. При каких значениях х график заданной логарифмической
функции лежит ниже графика заданной линейной функции:
а) у = log4 (х - 1), у = - х + 2;
б) у = logj (х + 4), у = Зх - 2?
1
Решите графически неравенство:
1488. a)log2 х >-х + 1; в) log9 х < - х + 1;
б) logg х > 4х - 4; / г) logi х < 2х - 2.
1489. М) log3 х < 4 - л:; в) log. х > 6 - х;
б) log! х < х + -z;
г) log! х > х + |.
1490. Постройте и прочитайте график функции:
-4х + 4, если д: < 1,
log2 х, если
-(лг-4J, если
log0 2 х, если х>5;
log2 х, если 0 < х < 2,
если
-, еслижО,
с
og^ х, если х > 0.
(-Зх + 3, если х < 1,
logjX, еслид:>1.
з
а) Вычислите /(-8), /(-6), /@), /C), /(9);
б) постройте график функции.
в) прочитайте график функции.
222
1492. Найдите область определения функции:
а) у = log5 (х2 -Ъх + 6); в) у = log9 (х2 - 13х + 12);
б) у = logj (- х2 - Ъх + 14); г) у = log0 2 (-х2 + 8х + 9).
з
Найдите область значений функции:
1493. а) у = log уд х ; в) {/ = - logj_ x ;
ю
б) у = - 22 log7 x; r)t/= 121ogiX.
з
1494. Дано: f(x) = log2x. Докажите, что выполняется следующее
соотношение:
a) fBx) = x;
б) /Dх) + /(8х) = 5*.
§ 50. СВОЙСТВА ЛОГАРИФМОВ
Вычислите:
1495. a) log6 2 + log6 3; в) log26 2 + log26 13;
б) log15 3 + log15 5; г) log12 4 + log12 3.
1496. a)log612 + log63; в) log4 8 + log4 2;
6)lg25 + lg4; r)log124 + log1236.
1497. a) log144 3 + log144 4; в) log216 2 + log216 3;
6) lg 40 + lg 25; r) lg 2 + lg 500.
1498. a) log2 4 + logi 2; в) log^ 4 + log^ 36;
8 8 12 12
6) log8 i + log8 -|; r) logl2 -| + log12 ^.
1499. a) log3 7 - log3^; в) \ogL 28 - \ogL 7;
a 2 2
6) log215 - log2 30; r) log02 40 - log02 8.
1500. a) logjg 6 - log^ 2>/3; в) log2 32 - log2 243;
6) log^ 7-/2 - log^ 14; r) log0 x 0,003 - log0 x 0,03.
223

1501.
1502. a) log!
6)lg
1503. a)C1g2-lg24):(lg3 ++lg27);
6) (log3 2 + 3 log3 0,25) : (log3 28 - log3 7).
01504. a) V5 (log3 36 - log3 4 + 5'°«»8 H>51e5;
01505.
01506.
а) ^/8110»6 -
71087 9.
Сравните числа:
a) log3 4 и
б) Iog0,5 3 и
sin3;
б)
в)
г)
V36'o«
Iog25
lgO,2
>5_ 5К«.9
и 1/Т',
и cos 0,2
01507. а) Известно, что log3 2 = с. Найдите log3 8.
б) Известно, что log0 5 3 = а. Найдите log0 5 81.
О 1508. а) Известно, что log5 2 = а. Найдите log5 10.
б) Известно, что log6 4 = т. Найдите log6 24.
01509. а) Известно, что log6 42 = Ь. Найдите log6 7.
б) Известно, что log7 35 = п. Найдите log7 5.
О 1510. Известно, что logi 7 =d. Найдите logi —.
Найдите число х по данному его логарифму:
1511. a) log2 х = log2 72 - log2 9; B)log7 x = log7 14 - log7 98;
6) log4 x = log4 2 V2 + log4 8 V8 ; r) lg x = lg|+ lg j|g .
224
1512. a) logi x = logi 19 - logj^ 38 + k^ 3;
2 2 2 2
6) log0 2 x = log0,2 93
4 ~
31;
в) log^ x = 2 log^ 4 - log^ 2 + log^ 5;
r) logi x - logi J + logi 21-2 logi 7.
3 3 У 3 3
1513. a)lgx = 21g7-31g3 + lg8;
6)lg* = 21g3 + lg6--|lg9;
1514. a) log0 з * = l°So,3 a ~ 2 l°go,3 &>
б) log2 з х = 4 log2 з с - 3 log2 з Ь;
в) log! д: = 6 logi Ь - logi с;
I 2 2
г) log2 з х = - 2 log2 з а - 5 log2>3 Ь.
1515. a) log2 x = 2 log2 а - log2 Ь + log2 с;
б) log2 x - 4 log2 Ь + 2 log2 а - log2 с;
I I T ¦§
в) log5 x = log5 с - 2 log5 b + log5 a;
r) logi x - 3 log! a - 4 log^ с + logi &•
7 7 7 7
Вычислите:
1516. a)log24- Iog327;
6) log5 125 : log4 16;
в) log0>5 0,25 log0i3 0,09;
r)lgl000: lglOO.
01517. a) logi 4 • log3 9 :
2
б) log^ Зл/З : logi V49 • log5 л/б;
7
в) log3 81 : log0>5 2 •
r)
8. Зак. 2857 Мордкович. 10-11 кл. Задачник.
225

О 1518. a)logl161og5^:3loe;
в) log3 27 : logj 4- log7 3/49;
О 1519. a)
б)
О 1520. a) 2310'»4;
О 1521. a) 8lofe3;
О 1522. a) log'25;
Iog75
Iogi9
6) *-
Iogi27 '
в) 31+l0ft8;
г) 8"*«3-2.
в) 5210;
г) @,3K1о«°Л
в) 25"*'3;
г) U J •
Iog436
Iog46 '
log.,, 32
logo,, 64"
в)
r)
Сравните значения выражений:
1523. a) log7 4 + log7 8 и log7 D + 8);
б) log0 5 12 - log0 5 2 и log0 5 A2 - 2);
в) logj^ 16 + \og^ 4 и log! A6 + 4);
3 3 I
г) log^ 15 - log^ 4 и log^ A5 - 4).
1524. Известно, что положительные числа у, а, Ъ связаны соотно-
соотношением у = ab6. Выразите logc у через логарифмы по основа-
основанию с чисел а и Ъ.
226
1525. Известно, что положительные числа х, а, Ъ и с связаны соот-
аЬ2
ношением х = . Выразите logn x через логарифмы по ос-
основанию п чисел а, Ъ, с.
1526. Известно, что положительные числа х, а, Ъ и с связаны соот-
ношением х =
а 5
. Выразите logn x через логарифмы по ос-
1527.
нованию п чисел а, Ъ, с.
Прологарифмируйте по основанию 2:
аI6а2Ь3; в) 48 а Та Ь4;
чЫЯЛ
г)
1528.
8 \*~/ ' *' 4а5
Прологарифмируйте по основанию 5:
в)
а) 125а4: Ь4;
625(Va b)'
б) ^\ ] ;
г)
-3
1529.
1530.
Решите уравнение:
а) log4 х = log4 2 + log4 7;
б) logj^ x - logj^ 7 = logj^ 4;
3 3 3
а) log6 12 + log6 x = log6 24;
б) log05 3 + log05x = log05 12;
в) log5 13 + log5 x = log5 39;
в) log9 x = log9 5 + log9 6;
r)
x -
j^ 9 = logj^ 5.
4 4
r) logj^ 8 +
3
x = logj 4.
1531.
3 3
a) log2 3x = log2 4 + log2 6;
6) i<«vi(f)= 1о*л6
в) log4 5x = log4 35 - log4 7;
Г)
6-
8*
227

1532. Положительное число Ъ записано в стандартном виде
Ь = Ь0 ¦ 10" , где К Ьо < 10 и п - целое число. Найдите деся-
десятичный логарифм числа Ь:
а) Ъ = 9 102; в) Ъ = 9 • 104;
6N = 9-10-»; г) Ъ = 9 10~5.
(Для справок: Ig9 ~ 0,95)
1533. Найдите десятичный логарифм числа:
а) lg 50;
б) lg 0,005;
в) lg 5000;
г) lg 0,00005.
(Для справок lg 5 ~ 0,7)
Вычислите:
1534. a) log^ (sin|) + log^ Bcos-|);
+sin
71 . 71
6) logj (cos-g- +sin-g-)+ logj (cos-jr-sin-jr);
1 ~2
в) logiBsinY^)+ logi^tcosj^);
Y^
r)
1535. a) log3 B tgf ) - log3 A - tg2f);
в)
1536. aK6lloge18;
в) 121«Iettl8e;
r) 25*
1537.
6J51" 0.
1538. a)
|log364-21og32
Iog612+21og62
Г)
B) logo510 - log0,5Vl0 + Iog0.54 ;
Iogo,3l6
r)
Iog0,315-logo,330-
Сравните числа:
• 1539. a) log3 4 и ^2; 6) log2 3 и ^7
1540. Решите уравнение:
a)log.,.8-log.,.2 = 2; в) log^. 3 + log^.
6) log.,. 2 + log^ 8 = 4; r) log^. ^5 + log
1541. Известно, что log3 2 = аи log3 5 = b. Выразите через аиЬ:
a)log310; B)log3b0;
6) log3 20; r) log3 200.
1542. Известно, что log5 3 = m и log5 2 = n . Выразите через тип:
a) log5 6; в) log5 24;
6)log5l8; r)log572.
1543. Известно, что logi^ 7 = с и log! 3 = a . Выразите через с и а:
a)log! 215
1
в) log, 147;
'>K*i^-
Постройте график функции:
1544. а) у = log2 8 х;
6)j/= log!
1 = log3
27'
DlOg!^.
228
229

1545. а) у = log2 x3;
l
3 *
1546. а) У = log2 4 5
= log39x3;
б) У = log! ?=¦;
3 Л1
§51. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Решите уравнение:
1547. a)log2x = 3;
6)log2x = -2;r
1548. a)log5x = 2;
6) logj x = -l;
в) log2 х = g ;
B)log02x = 4;
r) log7 x = з .
1549. a)log2Cx-6) = log2Bx-3);
6)log6A4-4x) = log6Bx + 2);
в) log^x -9) = logj^x;
6 6
r) Iog0_2 A2x + 8) = log0-2 (llx + 7).
О 1550. a) log3 (x2 + 6) = log3 5x ;
6) log^x2 - 200) = lo^ 50x;
2 2
B)lg(x2-6) = 1
О 1551. a) log0,i(*2 + 4х " 20) = 0;
6) logj^ (д:2 - lOx + 10) = 0;
з
О 1552. a)log3(;c2-llx
230
О 1553. a) log2 (x2 + 7x - 5) = log2 (Ax - 1);
б) log0i3 (-x2 + 5x +7) = log0>3 A0x - 7);.
в) log2 (x2 + x - 1) = log2 (-x + 7);
r) log0>2 (-x2 + Ax + 5) = log0>2 (-x - 31).
в) log? x +
О 1554. a) logjjx - 4log2 x + 3 = 0; в) log? x + 3 logj. x + 2 = 0;
2 2
6) log42 x - log4 x - 2 = 0; r) log22 x + log0>2 x - 6 = 0.
О 1555. a) 21og2 x + 51og5 x + 2 = 0; в) 2 log2 3 x - 71og0>3 x - 4 = 0;
6) 31og| x - 71og4 x + 2 = 0; r) 31og| x + 51ogi x - 2 = 0.
2 2
1556. a)log2x = log23 + log25; в) logi 4 + logj^ x = logx 18;
2 3 3
6) log7 4 = log7 x - log7 9; r) log0>4 9 - log0>4 x = log0>4 3.
О 1557. a) 2 log8 x = log8 2,5 + log8 10;
6K1og2-| -log2g2 =log2x;
в) 3
j^ x = logx 9 +
7 7
j 3;
О 1558. a) log3 (x - 2) + log3 (x + 2) = log3 Bx - 1);
б) logn (x + 4) + logn (x - 7) = logn G - x);
в) log0>6(x + 3) + log06 (x- 3) = log06Bx- 1);
r) log04 (x + 2) + log0>4 (x + 3) = log0>4 A-х).
О 1559. a) log23 Bx - 1) - log23 x = 0;
б) log0>5 Dx - 1) - log0i5 Gx - 3) = 1;
в) log3>4 (x2 - 5x + 8) - log3>4 x = 0;
r)log, (x + 9)-logl(8-3x) = 2.
О 1560. а) Известно, что f(x) = logsEx - 2). Решите уравнение
() ()
б) Известно, что f(x) = Iog2(8x - l). Решите уравнение
+ 5
231

О 1561. Решите систему уравнений:
[log2(x2 + Зх- 2)-log2t/ = 1,
а) \
[Зх - у = 2;
б)
log3(x2+4x-3)-log3{/ = l.
Решите уравнение:
1562. а) 7 log/ B*) - 20 log5 Bx) -3 = 0;
б) log/ (х+х) + log, (я2 + х) = 0;
в) log,,/ (* +1) - 4 log0 j (х + 1) + 3 = 0;
г) log/ \x + - -1 = 0.
1563. a)lg2x-lg*+l =
lg 10* '
6) log3 x + 3 log, x + 9 =-
37
в) lg2 x - 2 lg x + 4 =
9
lg 100* '
r) log/ x + 7 log2 x + 49 = 218
1564. a) *'<*.* = 81;
6)xioeux=±.
1565. t
232
log'lfe
в) x10*** =
г) *Т
в) x5+'°fc*
г) х1<*Г
16;
_ 1
81'
1
16'
4 =27
1566. a) Iog2(x - З)(х + 5) + log21^| = 2;
6)log3(x + 3)(x + 5) + log3f±| = 4.
x
1567. a) lgl00x-lgx = -l; 6) lg210x + lglOx = 6 - 31g-i;.
1568. a) 2 lg x2 - Ig2(- x) = 4; 6) lg2 ж3 + lg*2 = 40.
1569. a) Iog5F-5*) = l-x; 6) log3D-3*-1-l) = 2x-l.
1570. a) log9 (з* + 2x - 20) = x - xlog9 3;
б) 0.41'2*-1 = 6.25-2-1»*2.
1571. a) 6l0*>2* + x10»1 = 12; б) Ю1»2* +9xl*x = 1000.
Решите систему уравнений:
f log5 (x + У) = 1»
[ loge x + loge у = 1;
Iog0,5(* + 2{/) = Iog0>5Cx + y),
1572. a)
6)
[Iog7(x2 - y) = log7 x;
в)
r)
1573. a)
loge4 л - logM у = |;
loge(x2+x-{/)=loge:r2.
2"-2» =16,
Iog3x+log3j/ = l;
в)
9"-3'=81,
x
б) \ {3) {3) 27 г)
log2 2х - log2 у = 2; [ log4 j/ - log4 ж
233

1574. a)
6)
Iog2(x - у) - log2 3 = 2- Iog2(x + у),
Iog3(x + 2y) - 21og3 4 = 1- Iog3(x - 2t/),
= -1.
21og3 у + 3*2+5*-5 = 7, 2^X4-2" +4"-4 =8,
1575. a) ^ 6) i
I 31og3 у - 3'1*»*-» = 3; 31og2* + 2» +4"-4 =11.
§ 52. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
Решите неравенство:
1576. a)log2x>4;
б) log2 х < - 3;
1577. а)
О 1578. a) log5 Cx + 1) < 2;
6) 1о8о,5| > " 2;
О 1579. a) log5 x > log5 Cx - 4);
3 3
6) log0 6 Bx - 1) < log0 6 x; r) log3 (8 - 6x) < log3
O1580. a) log2 Ex - 9) < log2 Cx + 1);
6) log0>4 A2* + 2) > log0 4 A0* + 16);
в) log2 х < -;
r)logg*>~|.
в) log0 2 х < 3;
r)log01x>--.
в) log! | > 1;
45
г) log^ Bx - 3) < 4.
в)^!Eх-9)
r) log2 5 F - x) < log2 5 D-3x).
О 1581. a) log3 (x2 + 6) < log3 5x;
6) log0>6 Fx - x2) > log0>6 (- 8 - x)',
r)
О 1582. a) logi F - x) > \og± x2;
(x2 + 10x) > log^ (x - 14)
в) logi(-x-6) < logiF-x2);
4 4
r)log05(x2-27)>log05Fx).
01583. a)log8(*2-7;t)>l; в)log2(x2-6x + 24)< 4;
6) log, (x2 + 0,5x) < 1;
2
10a;
r) logi (-x2 + —) > 2.
/ x + 5logj^ x - 2 > 0.
2 3
Решите неравенство:
1584. a) log/ x > 41og2 x - 3; в) log/ x + log4x < 2;
6) logi2 * + 3 logj^ x < - 2; r) log0t22 x > 6 -log0 2x.
2 2
1585. a) 21og52 x + 51og5 x + 2 > 0; в) 31og/ x - 71og4 x + 2 < 0;
6) 21og032 x - 71og0 з x - 4 < 0; r)
1586. a) log22 x2 - 151og2 x - 4 < 0;
6) log/ x2 - 7 log i x + 3 < 0;
3 з
B)log32x2 +131og3x + 3 < 0;
r) log/ x2 - 31 log,, x- 8 < 0.
5 5
1587. a) log3 x > log3 72 - log3 8; в) log5 x - log5 35 < log5^;
6) 3 logi x < logi 9 + logi 3; r) 41og0 6 x > log0 6 8 + log0 6 2
3 3 3
234
235

1588. a) logj^ x + logi D - x) > -1;
з з
6) log2 G - x) + log2 x > 1+ log2 3;
B)lgG-x) + lg;c>l;
r) logj^ x + 1<^А A0 - x) > -1 + logj^ 4,5.
2 2 I
1589. Найдите наибольшее целое решение неравенства:
а) log7 Fх - 9) < log7 Bх + 3);
б) logA B-x)> log1 Bх + 4);
5 5
г) log0j4 G - х) > log0 4 (Зх + 6).
1590. Сколько целочисленных решений имеет неравенство:
а) logl2 (х2 - х) < 1; в) log9 (х2 - 8х) < 1;
б) logj^ (х2 - Юх + 9) > 0; г) log0 3 (- х2 + 7х - 5) < 0.
2
Решите неравенство:
1591. a) log5,., 2 < 0; в) Iog2.3x 5 > 0;
б) log3x+4 0,2 > 0. г) log^, 0,3 < 0.
1592. a) Iog2(x2 + 2х + 4)+ Iog2(x - 2) < Iog2(x3 - х2 + 4х - 3);
б) lg(x3-x2-x + 20) > lg(x + 2)+lg(x2
Решите систему неравенств:
[log2Bx + 3) > log2(x-2),
1593. а) \
{logeCx - 1) < loge(9x + 4);
б)
1594. а)
Iog3Fx-l)<log3(9x + ll),
IogeC-x)>logeDx-l);
log3 x2 > Iog3125 - Iog35,
Iog0,2(x - 1) < 0;
logiX2 >logi28-logi7,
[logi
6) *
I log,Dx-l) > 0.
1595. a)
8'
< 9,
6)
I i«i
L 5 5
§ 53. ПЕРЕХОД К НОВОМУ ОСНОВАНИЮ
ЛОГАРИФМА
01596. Вычислите:
a)log2|+log49;
в) log25 9 - log5 3;
г) log16 4 - log4 8.
01597. Известно, что log2 3 = а. Найдите:
a) log3 2; в) log3 4;
6)log3|; r)log34-
01598. Известно, что log5 2 = Ъ. Найдите:
a)log225; B)log2125;
)lg
01599. Известно, что log2 3 = а. Найдите:
a)log49; B)log481;
б) log8 18; г) log8 54.
Сравните числа:
1600. a) log2 7 и log7 4;
б) log6 9 и log9 8;
1601. a) log2 6 и log4 5;
01602.
б) к^Зи logi^l.S;
2 4
Решите уравнение:
в) log3 5 и log5 4;
r)logu 14nlog14 13.
в) log9 6 и log3 7;
г) log, 4 и log, 7.
236
237

01603. a) 31og33* =
log^a
Вычислите:
1604. а) 9'°<м + iogv_3-log336;
6)log38-log227-3loft25;
BK4l0+log5V2-log425;
r)
1605. aM1og29-log364+3lofc8-21<>fc8;
б) 24l0ft3-1+loge3+log364-log43;
в) 16(log9 45 -1) • logn 9 • log5121;
r) Iog1531og531og^5(l+log35).
56
log» 2
2'
0)
log8 135 log3 5
log45 3 log1215 3
1607. Известно, что lg 2 = a, lg 3 = b. Вычислите:
а) log4 12; в) log0>5 3;
6)log618; r)logi24.
з
1608. Известно, что log2 5 = a, log2 3 = ft. Вычислите:
a)log315; B)log1645;, , ,, . .
6)log875; r)log1512. ,
Расположите числа в цорядке возрастания:
1609. a) log2 7, log4 3 и lg 1; B)log79, log3 1 nlog54;
б) log05 0,1, log3 0,5 и lg 1; r) log0 2 0,3, log7 0,6 и log21.
1610. a) 2l°*'5, log12 7, log15 7 и lg 0,3;
238
Решите уравнение:
1611. a) log3 x + 1 = 2 logx 3; B)log7x- 1 = 61ogx 7;
6) 2 logx 5 - 3 = - log5 x; r) log2 x + 9 logx 2 = 10.
1612. а) к
6) 1 + logj 5 • log7 x = log5 35 • log, 5.
1613. a) log0i524*+log2^- = 8;
О
9 9
x + log
6) log
1614. a) logZl+1E + 8x - 4*2) + Iog5.2l(l + 4x + 4x2) = 4;
6) log3x+7(9 + 12x + Ax2) = 4-log2l+3(б*2 + 23* + 2l).
Решите неравенство:
1615. a) log9 хг + Iog32(- x) < 2; 6) log4 *2 + Iog22(- x) > 6.
§ 54. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ
И ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИЙ
Найдите производную функции у = f(x):
1616. a) f(x) = 4 - ех; в) /(*) = ех - 19;
б) f(x) = 13е*; г) /(*) = -8е*.
1617. а) /(*) = хае*; в) /(ж) = х2е*;
Найдите значение производной заданной функции в указан-
указанной точке х0:
1618. а) у = е* + х2, х0 = 0; в) у = е* - х, х0 = 1;
б) у = е*(* + 1), х0 = -1; г) у = -5L., х0 = 0.
1619. а) у = e1', *0 = ^
6)j/ = 3s6+x, х„=-5;
г) у =
= 4.
239

01620. Найдите угловой коэффициент касательной к графику фун-
функции у — f(x) в точке с абсциссой х0:
a) f(x) = 4ех + 3, х0 = -2;
6)f(x) = $fx~ex, xo=l;
в) f{x) = ОДе* - Юх, х0 = 0;
г)/(*) = ?, *0 =1-
01621. Найдите скорость изменения функции у = g(x) в точке с абс-
абсциссой х0:
a) g(x) = ех + sin х, х0 = 0;
в) g(x) = -ex + 3 cos x, x0 = 0;
3
г) g(x) = x2ex, xo=4.
О 1622. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функ-
функции у - h(x) в точке с абсциссой х0:
*о = 0; в)Л(ж) = -^- + жв, ж0 = -1;
б) h(x) = е-*+2, а:0 = 2; г) h(x) = х + в1»"8, х0 = 1,5.
О 1623. Найдите угол, образованный касательной к графику функ-
функции у = h(x) с положительным направлением оси абсцисс в
точке с абсциссой х0: '
a) h{x) = !«»«-», х0 = 0,2; в) h(x) = |ei-»«,
б)
г)
~з~х~
а:0 = V3.
Напишите уравнение касательной к графику функции
у = f(x) в точке с абсциссой х = а:
01624. а) у = ех, а = 1;
б) у = ех, а = 2;
240
в) у = ех, а = 0;
г) J/ = <?х, а = -1.
О 1625. а) У = в3*'1, а = \> в) У = -р-, а = 0;
б)у = хе-2х+\ а = 0,5; г) У = -^, а = 0
Вычислите интеграл:
1 0
1626. a) jexdx; в) j±exdx;
б)
1627. a) J е0-5****;
о
1
б) Je2*+1dx;
-2
в) f e°-2Sx+1dx;
-4
0
г) je~2*+2dx.
-0,5
Вычислите площадь фигуры, ограниченной заданными ли-
линиями:
О 1628. а) у = 0, х = 0, х = 3, у = е*;
б) I/ = 0, * = 0, х = 4, I/ = е-*;
в) у = 0, х = -1, х - 1, у = ех;
г) J/ = 0, х = -2, х = 0, у = е~х.
О 1629. а) х = 1, у = е", у = ех;
б) У = -^, У = 1, х = -1;
в) г/ = ех, х = 2, х + 2у = 2;
г) у = ех, х = 2, х = 0, у = -ех.
О 1630. Постройте график функции:
а) у = <?*+4;
б) у = е* + 1;
в) У = ех~3;
г) у = ех~2 - 3.
241

О 1631. Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы:
а) у = х2ех; в) у = х3ех;
б)у = хе2*-*; T)y = iL.
О 1632. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции
у = х2ех на заданном отрезке:
а) [-1,1]; в) [-3,-1];
б) [-3,1]; г) [1,3].
Найдите производную функции:
1633. a) y = x2lnx;
«ч „ -.iBJL. г) 0 = (х - 5)ln х.
»>"вШ7;
1634. а) у = е*1пх;
б) у = 3 In х + sin 2x;
в) y =
г) у = 2 cos ^ - 5 In х.
2
Найдите значение производной заданной функции в указан-
указанной точке:
1635. а) У = In х + х, х0 = j; в) у = х2 - In x, х0 = 0,5;
In д:
б) y = x3lnx, хо=е;
1636. а) У = 1пB* + 2), х0 = -1;
б) у = 1пE - 2:4 ^о = 2;
в) у = 1п(9 - 5а:), xQ = -2;
г) i/ = -31n(-x+4), *0=-5.
г) У =
, х0 = 1.
О 1637. Составьте уравнение касательной к графику функции у = f(x)
в точке с абсциссой х = а:
б)
lnx
, а =
в) /(я) = -2* In ж, а = е;
Г) f(x)
242
г) г/ = In — .
О 1638. Постройте график функции:
а) i/ = ln(x-4); в) у = 1
б) у = 1пех;
О 1639. Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы:
а) у = х + In —; б) i/ = ж4 - 4 In*.
О 1640 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции
у = х - In х на заданном отрезке:
б) [в, в2] .
О 1641. Напишите уравнение той касательной к графику функции
У = /(ж), которая параллельна данной прямой у = kx + т:
а)
= 2ех-5;
б)
= In(Зх + 2) , у =
Вычислите интеграл:
О 1642.
в)
б)^д)|
г)
fr
-- dx.
а:>
О 1643. а)
в)
-1
Вычислите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:
О 1644. а) У = 0, х = 1, х = е, у = —;
6)y = 0,x = 3,x = -l,y = -L-;
в) у = 0, х = е, х = ег, у = -;
Зх-5"
243

01645. а) У = ех, у = i, х = 2, х = 3;
б) У = -j, У = 1, * = 5;
-,
в) у = 4х
г) У = - —, У = -1. х = е.
1646. Решите уравнение f'(x) = а, если:
е
б) /(*)= 2 + i<r6*-13, а = -2;
3
в) f(x) = 2elx+\ а = -14;
г) /(*) = 42- е0-1*-*, а = ОД.
1647. Решите неравенство g'\x) < а, если:
б)
, a = 5;
г) g(x) = е9х+21 -х, а = 8.
1648. Напишите уравнение касательной к графику функции
у = f(x) в точке с абсциссой х = а:
а) у = хегх~1, а = i; в) у = :~
г) J/ =
, а = -|.
1649. Найдите производную функции:
а) у = 2х - Iog3(* - l); в) у = 5х - 7 logijz + l);
5
б) у = 3"х + 2 log! х; г) у = [ ^-] + Iog5(z + 4).
244
1650. а) у = 7хЫBх + 3);
в) y = x2log1Cx-l) ;
„ ,.
г) У =
1651. а) у = logx(* + l); б) J/ = logx_, х2.
Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы:
а) у = е2х - Зех + х + 4; Q)y = 1-Зх + 5ех - е2х.
1652.
1653.
а) у = 2 In z3 - Ъх + —; б) J/ = In -^- + х2 + х + 3.
Найдите наименьшее и наибольшее значения заданной функ-
функции на заданном промежутке:
1654. а) у = х + In (-x), [-4, -0,5];
б) у = х + е'х, [-In4, 1п2].
1655. а) г/ = 4-23х-27-22х+3-2*+3, [-2,0];
б) у = 33х-2-32х+9-3*-2, [-1, 1].
• 1656.
Проведите касательную к графику заданной функции так,
чтобы она проходила через начало координат:
а) у = <?2;
б) у = In х',
в) у = ез;
г) у = In х3.
• 1657. При каком значении параметра а:
а) прямая у = Зх - 4 + а является касательной к графику
функции i/ = lnCx-4) ;
б) прямая у = 2х + 3 + а является касательной к графику
функции у = 1пBх + 3)?
• 1658. При каких значениях параметра а функция у = я6е * на
интервале (a, a + 7):
а) имеет одну точку экстремума; в) убывает;
б) имеет две точки экстремума; г) возрастает?
245

1659. Вычислите |V(x) dx, если:
4», х<1,
3, x > 1;
, 0 < x < 1,
i r •> 1
Вычислите площадь фигуры, ограниченной заданными
линиями:
1660. а) у = 2х, у = 3 - х, г/ = 0, х = 0;
бI/ = 3*, у = 5-2х, у = 0, х = 0.
1661. а) у =-A-, j/ = 2*-1, х = 2;
б) J/ = -?=, J/ = 2»-», х = 4.
> 1662. a) J/ = ех, у = —, х = е, х = 0, у = 0;
+ 1, х = 2.
б) У = i
Глава
УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА.
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
И НЕРАВЕНСТВ
§55. РАВНОСИЛЬНОСТЬ УРАВНЕНИЙ
1663. Равносильно ли уравнение 2х - 256 уравнению:
а) log2 х = 3; в) Зх2 - 24jc = 0;
б) х2- 9х + 8 = 0;
г)
' X
1664. Равносильно ли уравнение sinx = 0 уравнению:
а) cos х = 1; в) cos 2x = 1;
б) tgx = 0; г) V*-l-sinx = 0?
1665. Придумайте три уравнения, равносильных уравнению:
a) V2x-1 = 3; в) lg x2 = 4;
б) cosx = 3;
г)
= -1.
1666. Укажите уравнение-следствие для уравнения:
а) >/7х + 3 = х; в) sinGi-x)ctgx = -O,5;
б) Iog2(x - l)- log2 x = 0; г) sin(|- xj-tgx = O.
Объясните, почему равносильны уравнения:
1667. а) х37 - 12х2 +1 = 0 и х37+1 = 12х2;
б) З/х2- 2х-3 = 2 и х2-2х-3 = 32.
247

1668. a) y/2x2 + 2 = yjx* + 3 и 2x2 + 2 = x4 + 3;
6) Vsin2 a: + 1 = 1 и sin2 x = 0.
1669. а) зл+4 (|Г =1 и Vx" + 4 - x = 0;
6) VO
= 4 и x2-- + ± = 2.
2 2
1670. a) *4f* * = 3 и х2 + 3* - l = 3x2 + 3;
* +1
6) = 0,5 и sinx + l = 0,5sinx + l.
sinx+2
Докажите, что уравнение не имеет корней:
1671. a) J3x - 5 = J9 - 7х; б) Vx2-4Wl-x2 =4.
1672. a) lg(x2-9)+lgD-x2) = l;
б) lg (x2- Зх) -IgBx-x2) = 0,5.
1673. Решите уравнение:
a)
/ + 9;
в)
- 11 = х - 1;
б) х + 3 =
г) - а: - 5 = лРх + 23.
Решите уравнение:
1674. а) у]х4 - Зх - 1 = х2 - 1; в) V*4 +ж-9 = 1 - ж2;
б) Jx* - Зх - 1 = 1 - х2; г) V*4 + х - 9 = х2 - 1.
1675. а) V*4 - 5х2 - 2,5х = 5 - х2;
б) V*4 - 5х2 - 2,5* = х2 - 5;
в) V*4 - Зх2 - 1,5* = х2 - 3;
г) yjx* - Зх2 - 1,5* = 3 - х2.
1676. а) (х2 - 9)(л/3 - 2х - х) = 0;
б) (х2 - 1б)(л/4 - Зх - х) = 0.
1677. a) sin2x-V4- x2 =0;
б) (cos 2x - l)\J9- x2 = 0;
в) (cos2x - sin2x)-yjl - x2 =0;
r) tgx-^16 - x2 = 0.
> 1678. Найдите целочисленный корень уравнения:
1ое2G+6*-*2)-1ое2(*-2)_2-
а)
Юх-24-х2
б)—-
д
§56. ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
Объясните, можно ли заменить уравнение вида Л(Дх)) = Л(^(х))
равносильным ему уравнением вида Дх) = g{x):
1679. a) 32x=3x'-4x; в) ^/7 - х = ^5х + 1;
б) (Зх2 - 2L = (х - ЗL; г) lgi = lgBx - 7).
1680. а) Bх4 + lM = (l - х3M;
б) Iog0,2B sin x - l) = Iog0i2C - sin2 x);
248
в)
r) cos C* - l) = cos C - 9х).
Решите уравнение:
1681. а) 2^ = 1^32; б) ю"*1^4- 0,00001 = 0,llo<!2(x).
1682. а) О.б"*"""** = 1; б) (v3j 'Зу13 = Ц729.
249

1683. a) Iog3(a:2 - 10a: + 40) = Iog3Da: - 8);
6) log0r8 (9a: - 4x2) = logM (a:3 + 4a:2);
в)
r) log0J л/5х-6 = log0д Va:2 - 2.
1684. a.)(x2-6xf=Bx-7f;
б)
1685. a) si
в '
r) ctg 2x = ctg 3a:.
1686. a) 2*2+3 - 8*+1 = 0; 6) 275"x2 - 3*2-1 = 0.
1687. a) 2lofo ^l0" x2+2'5 = BV2 +1J - 9;
1688. а)
б)
2cmi
1689. a) log 2 Ga: + 9)- Iog2(8 - a:) = 1;
5 з
6) logli2Ca: - l)+ logli2Ca: + l) = loglj2 8.
250
Решите уравнение методом разложения на множители:
1690.
1691.
1692.
1693.
1694.
в) х5 + 8х4 + 12а:3 = 0;
г) х3 + х2 - 9х - 9 = 0.
а) х3 - 9х2 + 20х = 0;
б) х3 - За:2 - 4а: + 12 = 0;
а) -Jx* - Zjx* - 18yfx = 0;
б) V*^ - 2*Ix* - 15 i[x = 0.
а) 2x-a:-4a:-4+2x=0;
б) 3Ix-3I+1 + 27 = 9x.
а) 2a:2 sin x - 8 sin x + 4 = x2',
б) гд^сова: + 9 = 18cosx + x2.
а) sin 2a: = sin x; в) ^3 cos 3a: = sin 6a:;
б) cos2(tt - a:) + sin 2a: = 0; r) sin2] тг + -|] - -|-sin x = 0.
Решите уравнение методом введения новой переменной:
1695.
1696.
а) 8а:6 + 7а:3 -1 = 0;
б) Xs + Зх* - 4 = 0.
а) -у/а:2 + 1 - 2а: - б^х - 1 = 7;
б) Va:2 - 4а: + 4 - 6 = 5>/2-а:.
б)
x+3
5x-l
1697. а) Щ + *Щ - 4;
1698. a) 2x+2bx=3;
6) 25"x - 50 = 5"x+1;
1699. a) 72x+1-50-7x = -7;
6) log22 a:+ 12 = 71og2 x;
1700. a) lg2 x2 + iglOx - 6 = 0; в) 2cos2a:-7cosa:-4 = 0;
= 6.
в) 5х +4 = 52x+1;
г) 3X+1- 29 = -18 Z".
в) 4sin2a: + 4 = 17sina:;
г)
- 2 = 0.
б) 3х + 3-x+1 = 4;
г)
251

Решите уравнение, используя функционально-графические
методы:
1701. а) х = V*; б) |ж| =
1702. а) 2х = 6 - х; б
1703. а) (х - lJ = log2 х; б) log, х = [х + iV.
1704. а) 1 - -Jx = In x;
б)
-2-i.
х
1705. Сколько корней имеет уравнение:
а) log,, х = sin a:; в) log3lt л: = cos x;
б) х2 +1 = cos а:; г) sin х = - х ?
У
1706. Сколько корней имеет заданное уравнение на заданном про-
промежутке:
а) 2х = sin х, [0, + оо); в) 7х = cos х, [0, + оо);
б) D) =cosa:, (-оо, 0]; г) log 3 х = sin х, @, 3]?
Решите уравнение:
1707. а) х3 - 6х2 + Их - 6 = 0; в) х3 + 2х* + Зх + 6 = 0;
б) х3 + 7х2 - 6 = 0; г) х3 + 4х2 - 24 = 0.
1708. а) (х - lL + 36 = 13 {х2 - 2х + l);
б) Bх + ЗL - 9 = 8 Dа:2 + 12* + 9).
1709. а) (х2 -5х + ч)г -(х- 2)(х - з) = 1;
б) ((х-2)(х-4)J + 2(х-3J-2 = 0.
1710. а) х (х - l)(x - 2)(х - з) = 15;
б) (х-1)х(х + 1)
252
17Н.
1+х+х2
= 8-*-*-; б)
х'-
хг-х-2
1712. а) ^бх2 - 3 = J5x - 2; б) JZx2 - 5х = Jx2 +2^-5.
1713. a)
б)
1714. а) 16а: - 15л/л7 -1 = 0; в) За: - 8у[х +5 = 0;
б) 2 - х + 3V2-X = 4;
+ х + 3 = 6.
1715. а) ^/ж - ^ - 2 = О;
б) V^c + 2^ - 3 = 0;
г) bfx
в) V* -
г) 6V^
1716. a) V^ + l + V*-l = л/2; б) -J2x + 1 - V* - 1 = л/з.
+ 8 = 0;
- 4 = 0.
- 14 - л/5- а: = >/5а: - 9.
1718. а) а:2 - 4а: - 6 = ^2х* - 8х + 12;
б) Jx2 - За: + 5 + а:2 = За: + 7.
1719. а) V*2 - За: + 3 + V^2 - За: + 6 = 3;
б) V*2 + х + 7 + V*2 + ж +2 = >/3*2 + За: + 19.
1720. a) sin2 x + cos2 2a: = 1;
б) cos2 За: - sin2 За: - cos 4а: = 0.
1721. a) cos 5а: + cos 7а: - cos 6а: = О;
б) sin 9a: - sin 5a: + sin 4a: = 0.
1722. a) cos 6a: - cos 2a: + cos 8a: - cos 4a: = 0;
б) sin За: - sin х + cos За: - cos x = 0.
1723. а) 3 tg2 х - 8 = 4 cos2 х; б) 4 sin2 х = 4 - 9 tg2 x.
253

1724. a) sin3x - sin2*cos* + 3cos3a: = 3sinxcos2z;
6) sin3 x + 5sin2a:cosa: = 6 cos3 я.
• 1725. a) sin x cos x - 6 sin x + 6 cos x + 6 = 0;
6) 5sin2x - llsinx = llcosa: - 7.
1726. a) 8^ - 3 • АГх - 3 • 2^+1 + 8 = 0;
б) 410*51 - 6 • г10"* + г1025 = о.
• 1727. а) 2х-5* =50; в)
б) Зх-2* = 24;
1728. a) log0>2 л/5а: -4 = log0F2 x;
х-2
2+ж
г) 5х-2 х =40.
б) log7 л/Зх2 -7а: + 9 = log7 (x + 2);
в) log3(a: - l) = log3 л/ба: - 11;
r) log04 а: = log0i4 -Jx2 + х.
1729. a) log
0j
= 71og2a:;
б) log0j ar-61og,
в) 91og82 a: = lllog2a:+12;
r) -v/log2 x +11 == 3 log8 x -1.
1730. a) logx+1(*2 -3a: + l) = 1;
6) logxBa:2 -За:-4) = 2.
1731. a) ln@,2x-7) = ln(9-3-0,2x);
6) 9"** -12 • 3"*x + 3"*27 =0;
r) Iog5B + 3 ¦
= x +1.
1732. a) lo^C'-HM»'**) = @>1)M«««N;
б) lg(9* + 3I+1 - l) - lgC* - 2 • 9х) = 0.
1733.
6) log^ (За: - 2л/Зж-1) = 21og3 Bл/Зж-1 +1 j.
1734.
1735.
1736.
1737.
1738.
• 1739.
= 0.
1740.
1741.
• 1742.
• 1743.
a) lg2 a: - 5|lg x\ = 0; 6) In2 x - -^-r
|lnx|
а) log052 x - 3|log0j5 a:| + log0j5 x = 0;
б) lg2a:-9|lga:|-lga: = 0.
а) logJLBsin x - l) = logJLB - sin2 a:);
в в
б) Iog5Bcos2 x - l) = Iog5(- 11 cos a: + 5).
а) log2 sin a: = Iog2(- cos a:);
б) log3 cos x = Iog3(- sin a:).
a) Jx sin x log2 x = 0; б) л/ЗаГП cos 2a: lg x = 0.
а) г5-1] sin a: - ^Jlog0>5(a: + 4) = 0;
б) (sin 2a: + cos 2a:)(a: - Ъ^2х - 15J = 0.
a) 1 + a:2 = f|j ; 6) 3 - a:2 = 2lxl.
a) 2 - x - $fx = 0; 6) log5 x-l + (x-5f =0.
a) sin^-a: = a:2 - 4a: + 5; 6) -cos7tu: = a:2 - 6a: + 10.
а) Va:2 - 2a: + 2 + Iog3\lx2 - 2a: + 10 = 2;
б) (a: - 7N + V
= 1.
254
255

• 1744. a) log2 (*2 - 4* + 8) = sin Ц±. - cos Ц-;
6) log3 (*2 + 4* + 13) = cosrc* - sin—.
4
§ 57. РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
1745. Придумайте три неравенства, равносильных неравенству:
а)*2-9<0; Ъ^<\-
1746. Придумайте три неравенства-следствия неравенства:
a) log0>2 х < 0; б) 10*-3 < 1.
1747. Являются ли равносильными неравенства:
a) sin х + 2 log3 x > 20 и sin x > 20 - 2 log3 я;
sin*
в) 13 - 13*2-4 > 10' и 13 > 10' + 13*2-4;
г) 104*-1 • lg(*2 - 4) < 0 nlg(*2-4)<0?
1748. Данное неравенство замените более простым равносильным
неравенством:
a)lg(*2+9)>lgB*2+4);
г) Iog0>2(l6*2 + 8) < Iog0>2(*2 + l).
Решите систему неравенств:
' 3* - 11 > 2* + 13,
1749. а)
1750. а)
б)
17* + 9 < 9* + 99;
б)
6а: + 2 < 4а: + 24,
2х - 1 > х + 7.
[(ж + 4)(ж - 4) - (х + 2J<9;
\х-2)(х2 +
Зх - 16 < х.
4)-
х3 < 8х,
1751. а) ¦
1752. а)
б)
1753. а)
7 + Зх < Ьх + 3,
7х - 15 < 4х - 3, б) ¦
- 32 > 13* - 42;
29 + 25* > 2 (l3x + 9),
2* > 5,
3 Eх + 3) < 4 Dх + 3).
3* + 5 10-3* 2* +7 _ 168
~Т~+ 5*3 21'
7* _ 11(* +
3 6
13-*.
X6 < X,
Зх2 - х > 5 - 15*;
24
б)
* + 5
х-7 <
3* + 4
4*-2
> -1.
*2-1,5*-7
1754. а) \ х+2 (*+2)
-3* < 9;
Решите совокупность неравенств:
"*(* + l) < 0,
1755. а)
б)
х2 - 4 > 0,
* - 6 < 0;
(* + ЗK > 27,
4* - К 12*;
в)
г)
3* - 9 > 0;
(* + з)(*2 - 3* + 9) < 54,
х2 - 9 > 0.
256
9. Зак. 2857 Мордкович, 10-11 кл. Задачник.
257

1756. a)
2*-3
x+3
5x+l
в)
4x-2
6)
<
x+3 x
r)
x-2
(*+
2-
x2 <
x-1
8)(*
x2 <
: 25,
^ n
- l) > 0,
0;
x+3
Решите неравенства, применяя теоремы о равносильности не-
неравенств:
1757. a) logu(x - l) < Iog14Bx + з);
б) Iog0j3B* + I)<log0j3(x - 3);
1758. a)logiBa:2 - 5a:) > log^a: - з);
I Я
6)lgEx2 -15a:) <lgBa:-6).
1759. a) 2^*+* >-|Vl28; 6) 0,5&'"*T
1760. a) Iog9(x2 - 10a: + 40) < Iog9Da: - 8);
6) Iog07(9a: - 4a:2) > Iog0,7(a:3 + 4a:2);
:F
r) logiEa: - 4) < logi xK
3 3
1761. a) (x2 - 6xf > Bx - 7M;
6) (x2 - 2xf <Bx -x2- 2)9;
B)(^-10)n <E-2*)n;
г) (бхг -4x- 2O > (x2 +3x + 10O.
1762. a) BX+1+1N>BX + 17N; б) B 0Д
b)C - 3log02xI3 < (log02x + 7I3;
r)C1og7a: - 24M > B1og7a: - 22M.
<(о,Г+1ОЗI0;
258
1763. a) 2*2*3 - 8X+1 > 0;
1764.
б) 275"х2-ЗхМ<0.
б) (л/2J
\2coex
2-2C0"
Решите неравенство методом введения новой переменной:
1765. а) 32х -2-3х -3 > 0; б) 2 ¦ 52х - 5х - КО.
1766. а) 31+х • 21х + 3х • 2х < 10,5; s
б) 2х • б1"' + 2X+1 • .5- > 2,8. ,
1767. а) $[х~ - Ч[х - 2 > 0; б) \[х - бЦ/х + 8 < 0.
1768. а) 3х + З'х+1 < 4; б) 25"х - 50 > 5Х+1.
1769. a) Iog22a:-71og2a: + 12< 0;
б) 31ogj2a: - lOlogj x + 3 > 0.
3 3
< 0.
1770. а)
б) 9EojX-4-3lo'!o1
0;
1771. а) 2 sin2 z-3sina: + l<0;
б) cos2 x - 5 cos x + 4 < 0.
Решите неравенство, применяя функционально-графические
методы:
1772. а) 3х > 12 - 1,5*;
б) 2х > 4х;
1773. a) log2 х < 6 - х;
б) log3 x> х3;
1774. а) х2 + 1 > cos а:;
б) sina: < - I х + ^ - 1;
в) 3х < 12 - 1,5а:;
г) 2х < 4х.
в) log2 х > 6 - х;
г) log3 х < хя.
в) а:2 + 1 < cos x\
г) sina: > - ( х + ^ - 1.
2 /
9*
259

1775. а) 3*"'* > cos*; в) З""'* < cos*;
б) -Jx2 + 1 < - cos *; г) V*2 + 1 > sin *.
1776. a) lg x < ^ - 1;
X
6) log,,, * > i - 1.
1777. Найдите область определения функции:
У9-*2 _ ч/я:2-4
а)У=1ое,B-х); t>jy=log.(«-8)-
Решите неравенство:
1778. а) 9х+2 + 4-32х+2 > Д; б) 8х + 3• 23х~2 < 24^.
3 2
1779. а) 4Л-9-2Л + 8<0; б) 9Л-10-3Л+9<0.
1780. а) *4 - 8* - б*3 + 12*2 > 0;
б) *4 + 12* < 13*2.
1781. а) (* - 2)log4(* + 2) > 0; б) (з - *Vlogs(* + 5) < 0.
1782. a) (*-3,l)ln(*2-10* + 22)>0;
б) (*-7,3Iп(*2 -8* + 8)<0.
1783. а) B* - 3)C* - 4) < 0; б) (з log3 * - l)C* - 4) > 0.
1784. а) (* + 3)logj * < 0;
б) (* - 5O*71 < 0; г) *V* + 7 < 0.
1785. a) Vxlog2(x2-8)>0;
в) V
- х2) < 0;
б)
1786. а)
260
- 4 < 0;
г) B*2-5-0,5)log6Dx + l)
х+2
0,3)
х-2
0,2)
11787. а) (х2 - 2x)(tg2 x + 2*+l) < 0;
б) (х2 + 4x)(ctg2 х + 3х-1) < 0.
1788. а)
б)
0,2**1 0,3
1789. a) (sin2* + l)(lgB*-3)-2) < 0;
б) (v/6* - 1 + б)^*1-1 - 0,2) > 0;
в) cos*B*+3 +3*7)> 0;
г) (г - V3* + i)(iog0,52C* - б) + 2) < о.
1790. a) V3x2 + 1 > х + 1;
б) ¦Jx2~?~x < х + 1;
в) V5*2 + 4 < 7* + 10;
г) V2*2 + 7* > 5 - 2*.
1791. а)
б)
> 1792. а)
б)
> 1793. а)
1794. а) |3* - 9| > 6;
б) 4 - 2*1 < 16;
- 10х - 3 > ¦yjx - 2хг + 3.
-4 - V*-2 < V^2 -
+ 4;
'-»«-
_
> 2; б)
в) |5ж + 10| < 15;
9 + 3*1 > 12.
1795. a) |6* - 1 > 2;
6) |3 + 2x\ < 4;
1796. a) |x + l|<2x;
б) |3ж - 4| > x
r)
в) 9х - l| < 4;
r) |5-6x|>3.
в) \2х -l\> x;
r) |16 - 8*1 < 4* + 2.
261

1797. a) \2x - 1| + \3x - 6| < 12; б) |3x - 4| - \x + 2| > 4.
1798. a) sin 2x > sin x; 6) cos 2x < cos x.
• 1799. a) sinf--xl <sinx; 6) cos(|-xj <cosx.
> 1800. a) cos x > sin 2x - cos 3x; 6) sin x < cos x - sin 3x.
1801. a) I
в) (з-'
6) O,3V^T-2 < i; г) ю1^*-2) -0,1 > A0-1)'4"
1802. a) lg@,2* - 5)<log0il (95 - 3 • 0,2* J;
б) 1<^од(Зл/ЗхТТ - 2) > 0,25 • log0J л/Зх + 1 • lg@,l"8).
1803. a) V32-* -13 < з I +11;
б) (sinx - cosx) <@,5 - cosx) ;
в) (V6x + 5 -
г) V2 In2 x - 3 In x + 5 > V6-41n*.
1804. a) ^/V* + 2 - д/Vx - 1 > 1; в) sinx - Vsinx < 0;
6) Vln x + 3 < In x + 1; r) ^2* +4 - л/2* -4 > 2.
1805. a) log^l - 4x) > 2; 6) log^^x2 - Юх + 9) < 2.
• 1806. a) Vsinx-1 <4-x2; 6) Vcosx-1 >x2-49.
• 1807. a) 61ogs|x - l| < 14 + 2x - x2;
6) Iog2(x2 + x - 10) > 25 - 2x - 2x2.
262
1808. a)
§ 58. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
Решите систему уравнений методом подстановки:
х + у = 3,
х2 + 2у2 - ху + 2х - Зу = 3;
у = 2 + х,
х3-у8 = -8;
б) 1 ... .
в)
х + у = 5,
х3 + у3 = 35;
х + 2у = 1,
2х2 + Зху-3у2=6.
1809. а)
б)
в)
г)
1 .
Зх = у + 1,
х = 2у,
bgiBy
6;
i^ - у + l) = log3 -Jt;
- у2 = у + 5,
у = х - 1.
Решите систему уравнений методом алгебраического сложе-
сложения:
1810. а)
б
Зх + 2у = 1,
х - у = -3;
=4;
в)
г)
х + у2 =2,
2у2 + х2 = 3;
=1.
263

1811. a)
Jlog2x-log3y = -5,
[21og2x + 31og3y = 0;
Г cos* + cos2y = -0,5,
\ 3cos2y - cosx = 2,5;
в)
r)
+ у - 2X+2' = -2;
J2sin2x + tg3y =2,
[6sin2x - 2tg3y =1.
Решите систему уравнений методом введения новых пере-
переменных:
1812. а)
3
Зх-у х-Зу
15 2
Зх-у х-Зу
= -2,
= 1;
б)
х-у
1813. а)
б)
2х + Зу = 12,
log62 xy + 1 = 2 log6
Vx-7y = Ю-Зфсу,
2x - 5u = 6.
^ x + 2»+1 = 5,
1814. a) j 2
2» + log2 x = 5;
Цх + у = Iog216x2,
6) { r)
log2 x2 + 2 2/x + y = 6;
264
1815. Применяя графический метод, определите, сколько решений
имеет система уравнений:
а)
6)
у = cos x;
x2 + y2 =4,
y = 2-x2;
в)
г)
у = sin х,
У = 0,1х;
у + 2 = yJx + 4.,
Решите графически систему уравнений:
:V
У + х = 3,
ху = 2;
у-2^1 =1,
%/х + 2 = у;
1816. а)
1817. а)
и - 1 = sin х —
1818. а) 1 У V 2
б)
б)
б)
у = х(х - 4),
у + 8 = 2х;
I/ — 9*-1
у — & ,
х - 3| = у + 1.
[у = sin 2x,
+ х2 = 0;
1819. Докажите, что система уравнений не имеет решений:
\ 2х + Зу = 1,
а)
4х + 6у = 5;
Г cos(x + у) + sinxy = l,
| 2sinxy + cos(x + у)= -1;
в)
г)
'-'-й-
sin х = у;
л;2+у2 = 4,
у = х - 4.
265

Выберите наиболее приемлемый метод решения системы
уравнений и решите ее:
1820. а)
б)
в)
г)
1821. а)
у + 2х = 3,
х2 + у2 =2;
х* - у* = 15,
х4 + у4 = 17;
2sin(x + у) - 3cos(a: - у) - 5,
7cos(ж - у) + 5sin(a: + у) = - 2;
у
у = log2 х.
\х + 1 - у = 2,
log7D-*) = у;
в)
б)
X 1
I x+y 2 :
2»+» - 3*-» = 1,
2*+» + 3*-» = 3;
У + х = 1,
г)
Решите систему уравнений:
Г {2х + у){х + Зу) = 48,
I»22- *> | 2х+и 9 б)
1823. а)
[ х+Зу 4 '
х2 + у2 = 13,
х4 - у4 = 65;
у + х3 = 4,
б)
= 4
2х4 = х2у2 + 1,
Зх4 = х2у2 + 2.
J У4 + х = 3,
1824> а> 1 Зу + у' + 2x3 = 20; б) { 2х2 _ 5х + Зу4 = L
266
1825. а)
х3уь = 32,
х*у3 = 8;
б)
=9,
1826. а)
1827. а)
- - ху = -9,
2ху - Ц. = 23;
2х2 + ху - у2 = 0,
= 16;
б)
i,
6'
ху-ук
т) --К
2
б)
)
Зх2 - ху = 10у2,
=4.
х2 + Зху + у2 = -1,
х2 + ху + 4у2 = 6,
1828" а> I 2*° - 3*у - Зу^ = -4; б> 1 3^^ + 8у^ = 14.
Найдите рациональные решения системы уравнений:
• 1829. а)
1830. а)
х - 2ху + у = - 17,
х2 + у2 = 25;
б)
б)
х + у + х2 + у2 =18,
ху + х2 + у2 = 19.
у(ж + у) = 20,
7
4
Решите ситему трех уравнений с тремя переменными:
1831. а)
1832. а)
х + 2у - Зг = -3,
2х - Зу + г = 8, б)
- х + у - 5г = -8;
х + у = -1,
х - г = 2, б) i
жу + жг + уг = -1;
Зж - Ъу + г = -13,
х + Зу - 2г = 5,
2ж - 2у + 5г = -6.
х + у + 2г = О,
х + 2у + г = 1,
х2 + у2 + г2 = 5.
267

1833. Составьте уравнение параболы у = ах2 + Ьх + с, если изве-
известно, что она проходит через точки М, Р, Q :
а)МA; -2), i>(-l; 8), Q@; 1);
б) М(-1; 6), РB; 9), Q(l; 2).
Решите систему уравнений:
, Jx- у + Jx + Зу = 4, Г 6х + 2у = 10,
1834. а) \ V V б)
1
1835. а)
2x - у = 4;
у X т л/у — О,
ху = 216;
б)
2-Я
1836. a)-j \ у + 5 ^* + Зу' б)
ху + 2х = 13 - 4у;
=2.
= 4.
+ 4х - у2 - Зу = О,
= 4.
1837. а)
* V2
Jx
' 1838. а) '
б)
1839. а)
б)
+ 1;
1
б)
10
J5x + у + Jbx - у = 4.
х + 2у = 9;
Зх - у = 3,
2V3y + х -
/Зу + х + д/бу - х = Зу;
/2х - Зу + J4x + Зу = 2х,
2у[2х-3у = у/4х + Зу - Зу.
268
1840. а)
= 311+»;
1841. а)
(о
\V,
) -
б)
3437
7»-»
251-»
= 49,
б)
- =4.
f 2х • 0,25" = 512,
1842. а)
[ -4х + 2у]у = 5;
1843. а)
б2* + 6* • у = 12,
у2 + у • б1 = -8;
б)
б)
9х • З"-3 =729,
1844. а)
Iogi3(*2 +У2)= 0,5log, я2,
logg х -1 = logg 2 - logg У'
jg7( y) = 41og7(x-y),
{ log7 (x + у) = 5 log7 3 - log7 (x - y).
log, у + log,
1845. a)
6)
log, x - 2 log, у = 1,
x2 + 2y2 = 3.
1846. a)
log/ у + log2 x log2 у - 21og22 x = 0,
9x2y-xy2 =1;
б)
• 1847. a)
2 log3
ху + — = 28.
У
+ lgx = y2 + lgy,
x - у +
6)
= 4;
- у +
x2 + x + у2 + у = 12.
269

1848.
1849. a)
sinx siny = 0,25,
sin* + cosy = 0,
sin x + cos у = —;
6)
sin2 x + cos2 у = 0,5.
f cosx + cosy = 0,5,
1 sin2 x + sin2 у = 1,75.
• 1850. а) ^ Sm* Зту = "г'
tgx ctgy = 1;
1
. cosy cos* = --,
6) 1 ¦'-.¦¦ :, ¦ 4
tgy = ctg*.
1851. Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 4, а
сумма кубов ее членов равна 192. Найдите первый член и
знаменатель прогрессии.
1852. Сумма цифр задуманного трехзначного числа равна 8, а сум-
сумма квадратов его цифр равна 26. Если к этому числу приба-
прибавить 198, то получится число, записанное теми же цифрами,
но в обратном порядке. Найдите задуманное число.
> 1853. Цифры задуманного трехзначного числа образуют геометри-
геометрическую прогрессию. Если к цифре десятков прибавить 1, то
получится число, цифры которого образуют арифметичес-
арифметическую прогрессию. Найдите задуманное число.
> 1854. Три бригады, работая одновременно, выполняют норму по
изготовлению подшипников за некоторое время. Если бы
первые две бригады работали в два раза медленнее, а третья
бригада — в 4 раза быстрее, чем обычно, то норма была бы
выполнена за то же время. Известно, что первая и вторая
бригады при совместной работе выполняют норму в 2 раза
быстрее, чем вторая бригада совместно с третьей. Во сколь-
сколько раз первая бригада производит подшипников за 1 ч боль-
больше, чем третья?
270
§ 59. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
С ПАРАМЕТРАМИ
1855. При каких значениях параметра т уравнение
тх - х + 1 = т2:
а) имеет один корень;
б) не имеет корней;
в) имеет более одного корня?
1856. При каких значениях параметра Ь уравнение
а) имеет один корень;
б) не имеет корней;
в) имеет более одного корня?
1857. Решите уравнение (относительно х):
&)а2х-4х + 2 = а; б) ^ + х - 1 = а.
Решите неравенство (относительно х):
1858. а) тх - х + 1 > то2; б)Ъ2х-х + 1>Ъ.
1859. а) Ь2х - Ьх > Ь2 + Ь - 2; б) J + * < а + 1.
1860. При каких значениях а уравнение а* +4х-а + 5 = 0:
а) имеет два корня;
б) имеет один корень;
в) не имеет действительных корней?
1861. При каком значении а:
а) прямая у - 6х + а касается графика функции у = х2;
б) прямая у = 4х имеет только одну общую точку с графи-
графиком функции у = х2 + а?
1862. При каких значениях Ь графики функций имеют общие
точки:
а)у=х2-4х + 2 и у = -2х + Ь;
б) у = х2 + 6х + 7 и у = 2х + Ь1

1863. При каких значениях а система уравнений имеет решения:
а)
у = 2х2 - 5х + 1,
у = Зх + а;
б)
у = Зх2 - 4х - 2,
у=-10х + а?
1864. При каких значениях а неравенство ах2 + 4х - 3 + а > 0:
а) выполняется при любых х;
б) не имеет решений?
1865. При каких значениях а:
а) ось симметрии параболы у = 2х2 - Зах + 2 пересекаетесь
абсцисс левее точки (-3; 0);
б) ось симметрии параболы у = Ьх2 - 2ах + 2 пересекает ось
абсцисс правее точки D; 0)?
1866. Решите неравенство:
б) F - х) Jx - а >0.
a) V*-2 (х-а) >0;
1867. Найдите наименьшее целочисленное значение параметра Ь,
при котором уравнение имеет два корня:
а) х2 - 2Ьх + Ь2 - 4Ь + 3 = 0;
б) х2 + 2 (Ъ - 2)х + Ъ2 - 10Ь + 12 = 0.
1868. При каких значениях а:
а) корни уравнения х2 - 8ах + 27 = 0 относятся как 3:1;
б) корни уравнения х2 - Wax + 24 = 0 относятся как 2:3?
1869. При каких значениях а:
а) вершина параболы у = (За + l)x2 + 2х - 5 лежит внутри
четвертой координатной четверти ;
б) вершина параболы у = Зх2 +Dа-1)х + 3 лежит внутри
первой координатной четверти?
1870. При каких значениях а:
а) уравнение (log3a)x2 - B1og3a- l)x + log3a -2 = 0 имеет
единственный корень;
б) уравнение (log4a)x2 + B1og4a + l)x + log4a + 2 = 0 не име-
имеет действительных корней?
272
> 1871. При каких значениях а:
а) уравнение 52* - 3 • 5* + a - 1 = 0 имеет единственный
корень;
б) уравнение 0,01* - 2(а + l)- 0,1* +4 = 0 не имеет действи-
действительных корней?
• 1872. При каких значениях а уравнение имеет хотя бы один ко-
корень:
а) 9х + (а + 4) ¦ 3х + 4а = 0;
б) 25*-(а-2)-5*-2а = 0?
> 1873. Решите уравнение:
а) yjacos2x + 3sin2x = cosx , если известно, что х = 0 — ко-
корень уравнения;
• 1874.
• 1875.
• 1876.
б) V2sin2x - a cos 2л: = -sinx , если известно, чтох = —- —
корень уравнения.
При каких значениях а уравнение имеет ровно три корня:
а) х(х + 3J + а = 0;
б) х3 - \2х + 1 = а?
При каких значениях а:
а) уравнение х* - 8х2 + 4 = а не имеет корней;
б) уравнение Зх4 + 4х3 - 12х2 = а имеет не менее трех кор-
корней?
Сколько корней при различных значениях а имеет уравне-
уравнение:
a)
-х-а;
б) V4-*2 = х + а?
• 1877. При каких значениях р уравнение |3ж + 6| = рх + 2 имеет:
а) один корень;
б) два корня?
273

а) системы
1878. При каких значениях а существуют два решения:
У = |* - 2|,
у = ах + 1;
б) уравнения \х + 4 = ах + 2 ?
> 1879. При каких значениях а уравнение \хг - Ах - 5 = а:
а) имеет два корня;
б) имеет четыре корня?
> 1880. При каких значениях а:
а) у уравнения (х-а) - 12 |ж-а| + 35 = 0 число отрицатель-
отрицательных корней равно числу положительных корней;
б) у уравнения (х + а) -б|ж + а| + 8 = 0 число положительных
корней больше числа отрицательных корней?
ОТВЕТЫ
ГЛАВА 1
§ 2. 23. а) IV; б) II; в) II; г) III. 24. а) IV; б) I; в) II; г) III.
25. а) III; б) II; в) IV; г) IV. 26. a) 2nk<t<j+2nk; б) -n+2nk<t<^
в) ^+2nk<t<2n+2nk;r) j
б) %
Щ- + 2пк; в) ^-
. 27. a) -^
^-+2nk; г) -%
t <%
г) 4
4 4
§ 3. 39. а) Да; б) нет; в) да; г) нет. 40. а) -, +; б) -, -; в) +, +; г) +, -.
41.а)+,-;б)-, +;в)+, -; г)+, -. 42. а) 4^ + 2лл;б) ^ + 2лп; В) |-2
г) -| + 2лге 43 ) +2л/1; б) ;
44.a) -%
г) §
в) -?
'4
б) ^
'о
43. а) |г+2л/1; б)
; б) ^
^+2nJfe. 45.a) f
C 4
; г) ^
'4
?? + 2nk; в) ~
о 'о
47. a) 2nk<t<n + 2nk; б) ~
; в) -| + 2лп; г) ^
; в) -^
О
; б) ~
4
. 46.a) ^
'о
; г) -^
'о
; в) ^
275

г) -n + 2nk<t<2nk. 48. a) -^
; б) -j
б)
^ + 2nk;r)^
4 4
^ + 2nk; В) §
О О
; r) -§
О
§ 4. 55. а)
; б) 0; в) 1; г) ^§-. 56. а) 1; б) 0. 57. а) -1; б) -0,5;
о
&
в) -^ ; г) -&. 58. а) 0,5; б) 1; в) 0; г) 1. 59. а) -2; 2; б) -1; 7; в) -3; 3;
г) -2; 8. 61. а) 1; б) 1. 62. a) ^Ltl; б) 1. 70. а) -; б) -; в) -; г) +. 71. а) -; б) +;
в)-;г)-.72.а)-;б)-;в)-;г)+. 73.а) 1 -cos V, б) 1; в) 1; г) 1. 74. а) |
Щ + 2-nk; б) ^+2лА; ^ + 2кк; в) ±^ + 2кк; г) ±^+2nk. 75. a) J
^ + 2яА; б) ±|
76. а) | + я*; б) ±|+я*; в) лА;г) J+^. 77. а) 0;
б) 1.78. а) Да; б) нет; в) да; г) нет. 79. а) х>\; б)х< -2; х> 2. 80. а) х<|;
б) -3 < х < 3. 81. а) а > Ь; б) а < Ь; в) а > Ь; г) а > Ъ. 82. а) +; б) —, в) -; г) -.
^, sin^, sin?, sin?, sin^;6)cos^, cos^, cos§, cos^, cos^-.
3 о 75 do 434 8
84. a) cos 4, sin 3, cos 5, sin 2; 6) cos 3, cos 4, cos 7, cos 6; в) sin 4, sin 6, sin 3,
sin 7; r) cos 3, sin 5, sin 4, cos 2. 85. a) 0,5; 6) 0,5. 87. а) 2лА < t < n + 2nk;
б) -^
88. a) -|
г)-|
4
в) -|
о
б) Щ
9l.a) -^
в) -|
276
; B) -к
; 6) |
г) 5?
4
t < 2кк; г) |
^+2лА; в) |
^+2кк; в)
. 90. а) -Щ-
о
; г) -^
; б) -M
^ + 2jtA; г) |
§ 5. 97. а) 1; б) 0.100. a) sin21; б) -sin21; в) -cos2 f; г) tg2 f. 102. a) -; 6) +;
l-tg2f
в) +; г) +. 103. а) +; б) -. 106. a) sin4f; б) 2sin21; в) 1; г) 1. 107. а)
ctg2f-l
ctgf
б)-6<х<6;в)х > 1,4; г)-оо
6) °t f • 108.a)cosl,sinl,l,tgl;6)ctg2,cos2,sin2, 2.109. a) a: < 1;
§ 6. 116. a) cosf = -|; tgf = -|; ctgf = -|. 6) cosf=j|; *е' = Д">
ctgf=^; в) cos t = 0,8; tgf = -|; ctgf = -|; r) cos t = -0,96; tg*=-^;
=-^. 117. a) sin t = 0,6; tgt = |; ctgf = |; 6) sinf=^|; tg* = ~^;
= ~; в) sinf = -0,8;
= -|; r) sinf = ~; tg* = ^;
;
24 4 4 4
=-тг- 118. a) sinf = f; cosf=-^; ctgf = -; б)
I 5 5«
= ^; в) sinf = |; cosf=-|; ctgt = -|; r) aint = -&
ctgf = -3. 119.
^-M; в)
к 19 *i 24 7
= -^; cost=~; tgf=^; 6) sinf=2g; cosf=^;
A;
f = -^; r)
tgt = ~- 120> a> 0; 2; 6) yH.»6. = X> Ун.»,..не существует; в) унаиб = 4, уи11в1 не
О
существует; г) 2; 4.121. а) -Лт ; б) 0; в) -sin21; г) -^-. 122. а) -?- ; б) sin21;
sin г sin г Slil *
B)^;r)tgf.l23.aJ;6L;B)l;rI.124.a)^j; 6) ctg6f. 128. a) -|;
б)^. 129.а)-||; б)-1,4.130.а)-0,18;бL. 131.3,29.132.0,5.133.1,4.
§7.141. sin 160°, sin40°, sin 120°, sin 80°. 142. cos 160°, cos 120°, cos 80°,
cos 40°. 143. sin 210°, sin 20°, sin 400°, sin 110°. 146. a) 6, 6>/3, 18>/з, 6;
б) 3, л/2, Зл/2, 9, 3; в) 2, 2л/з, 2л/з, 2; г) 30, ЗОл/з, 450л/з, 30.147.2Дсоэ а.
149. ВС = 8 см, АС=4(л/з+1)см, 5=8(л/3+1)см2.150. 25C^3) см2.
о
277

§ 8. 157. a) -1,5; б) 2; в) -л/2 ; г)-1. 158. а) 0; б) 2cos t. 159. a) ctg a ;
б) cos t; ctg а; г) -cos /. 160. a) -1; б) ——. 163. a) 36; б) 5.164. a) -6; б) 7.
COS t
165. a) 2кк; 6) -?
166. a) ±%
О
б) — + 2nk. 167. а) Корней нет; б) t — любое действительное число.
§ 9.170. a) 0; б) ^; в) 1; г) -1.172. а) Да; б) да; в) да; г) нет. 173. а) & ;
1; б) -1; 1; в) -1; 1; г) -1; Ц-. 179. а) -1, 0, л. 180. а) -0,5, 0, sin 1.
181. а) -л; б) 0; в) 0; г) л. 182. а) ±|; 0; б) |; 183. а) -|; б) нет корней.
184. а) 2; б) бесконечное множество; в) 0; г) 1. 186. а) д? б) л; в) -j~; г) 0.
187. а) |; §; б) умт = -|; в) 1^2; |;г) §; -|. 192. а) -4, -0,5, -4.
193. а) -9, 1, -(л - ЗJ. 194. а) 1, 1, не существует.
§ 10. 200. а) -л/2-1; б) 1.202. а) Да; б) нет; в) да; г) да. 206. а) -\; ^;
б) г/„.„в. = 1; в> -1.1; г) -1,1. 208. а) -|; б) О; в) О; г) |. 209. а) 0; б) |; в) л;
гH. 210. а) 0; б) бесконечное множество; в) 2; г) 2. 216. а) 7 + л*> б) ~7 + "^'
§ 11. 226. a)sin (8 - 2л); б) cos (-10 + 4л); в) sin (-25 + 8л); г) cos C5 - 10л).
227. а) -|; б) j|. 228. а) | + 2лй; ^ + 2лй;б) ±^ + 2лА:; в) |
Щ + 2кк; г) ±^ + 2nk.
о 4
§ 12. 233. a) -3sin х; б) 6sin х; в) 6sin х + 1; г) 0. 234. a) -0,5cos x;
б) -cos x; в) -0,5cos x; г) 0.
IX2, если х<0,
1 .
Sinx, если
б) у =
l,5cosx, если -5
~, если
278
§ 13. 242. а) -1; 0; б) j/h,h6 - 1; в) -1; 1; г) -1, 1. 243. а) -1, 1; б) -1, 1;
)-1,1;г)-1,1. 244.a)cos$;6Kcos^;B)cosx;rH.245.a)-sin2x;6Jsin2x;
о о
B)-sin6x;rH.
fsin2x, если х<0,
[2cosx, если х>0;
К еслих<0, йч cos*, если-f<*<§,
:< б) У — \
[sin2x, если х>0; _г ^дд Х>2Е;
f-2sinx, если -2л<х<0,
з^-, если
§15. 256.a)-f + tfc;6) | + лА; в) -|+nfe; г) nk. 259. а) | + лй;б) | + >Л;
в) ^ +лА; г) -| + лй. 260. а) Ни четная, ни нечетная; б) нечетная; в) чет-
3 &
ная; г) нечетная. 267. |; д- 268- ~5; ~7' 269- а) ~; б) ~; в) +; г) ~'
270. а) Нечетная; б) четная; в) четная; г) ни четная, ни нечетная.
271. а) Нечетная; б) четная; в) нечетная; г) нечетная.
ГЛАВА2
§16. 284.а)±|+2тсй, ±^
г) nk, ±^
285. а) ±|
в) ±|+2лА, ±^+27Й; г) |
б) ±| + 2тй; в) -|
; б) кк, | + 2лй; в) ±| + 2лА:,
^ + 2тй; б) | + я*.
±-у + 2лй. 286. а) | + 2я*.
, ^ + 2тс/г; г) л+2л*. 287. а)
б) 2лй. 288. а) ±| + 2лй; б) | + 2лй, -^ + 2лА!; в) | + 2лй, ^
г) ^
§ 17. 291. a) &t; б) |; в) л; г) |. 292. а) ^; б) ^; в) 0; г)
296. а) 0; б) |- 297. а)-
1;б) -|<лг<-|; в) 0 < х < 2; г) 1 < х < 2.
279

298. а) нет; б) да; в) да; г) нет. 300. а) 2кк; б) ±^ + 2кк 301. a) ±%
О О
arccos
б) *?
4
б) +
303. a) -^
О
^ + 2Kk; в) -Щ
4 4
^ + 2Юг, г) %
4 о
2 9
304. a) arccos^+2 rcfe < ? < 2я -arccos§+2nk;
о о
б) -arccosf -— ]+ 2яй < ? < arccosf -=¦ |+ 2яй;
2 ?
в) -arccosf+27tA:<t<arccos§+2jtfe;
о о
г) arccos -- \+2nk<t<2л-arccos[-•i ]+2т1й.
305. a) arccosf-| |+2я/г<«<2я-arccosf-| 1+2яй;
I 3) I 3)
6) ~
, arccos^
-arccos^
в) -arccos -- +27tft<«<arccos -=- \+2Kk;
\ 3; I 3J
6)
306.a) !
-y+Jtfe; 6) -
fe; в) -
r) ^
4
3
i+27tft;
iUrov/
3
<arccosi + 2Kfe. 307.a) |; 6H,6.
308.8)-^; 6) J.
§ 18. 311. a) |; б) f; в) JL; r) -5. 312. a) |; 6) 5ZF; в)-|: г) ~.
•a) ^-; 6I.318.a)-^; 6) V3. 319.a)-1< x< 1;бJ<х< 3;в)-2<х<2;
г) -2<at<->/2, y/2<x<2. 320. а) Да; б) нет; в) нет; г) да.
280
,
321. а) (-1) з+1«. ±у+2т^; б)
в) (-1)*arcsin| + Jrt, кк; г) 7 + i^- 322. а) (-1
б) -5 + 27ift. 323.a) % + 2nk<t<-? + 2Kk; б) -f
в) -#
о
, (-l)*+1 arcsin|+Kft;
; r) ^+2irfc<t<i^
О О
324. а) -л - arcsin \+2nk < t < arcsin ^+2nk;
о о
6)-arcsin0,6 + 2nk < t< к + arcsin0,6 + 2nk;
в) arcsin\+2nk<t<n-arcsini+2jtfe; г) л + arcsin 0,6 + 2яй < t < 2к-
о о
- arcsin 0,8 + 2nk;
-arcsin 0,6 + 2nk. 325. а) к + arcsin 0,8 + 2rcfc < * <
6) -arcsin 0,8 + 2nk <t< к + arcsin 0,8 + 2nk.
326. a) -|+27ift<f<arcsin|+2jtfe; jt-arcsin|+27tA!<t<^+2jtfe;
о о о о
б) arcsin|+2jtfe<Kjt-arcsin|+2jtfe; ??+2Kk<t<^+2nk. 327. а) то'у
3 3 О О Ао
б) 4; в)-17; г) -4.
§ 19. 330. a) -i; б) -|; в) |; г) |. 332. а) |; б) g; в) |; г) -|.
337. а) -Щ; б) ^"j в) я; г) к. 338. а) -^; б) -^; в) 1; г)-1. 339. а) 1;
б) \; в)-^; г) -V3. 34О.а) ±§ + лЛ; б)яй; -arctgf+яй; в) +arctg|+i^;
^2 о z z
г)
^+Jtfe. 341. а)
; б) ~
342. a) f + itfc б) | + itfe; в) | + it*5 г) ~ + nk. 343. a) -|
б)
^ + Kk; в)—!
г) -
;б)
345. а) -
i+Kfe; B)arcctg2+7tft<at<Jt+7tft;
281

arctg3+nk<x<^+nk; 6) -^
q 10
в)-arctg3 + nk <x<arctg3 + nk;r)nk <x<arctg2 + nk. 379.a) ?; 6) —',
; ink; 6) |+Злй; в) М; |+^; г) -^
§ 20. 353.
354. a) Ц+nk; б) л + 2кк; в) Snk; =^
; г) J + -M; 2|Д
355. a) (-l/^arcsini+rc*; б) (-l)*+1iarcsin|+Щ-; в) (-l/arcsinA+rc*;
г) л+4лй; (-1)*?+2лй. 356. а) ±Щ+2пк; ±arccosi+27ift; б) ±^+М;
в) л+2лй; r) ±л + 6лй. 357. а) ±Щ-+2ъЬ\ б) ?+лй; в) ?+2лй,
(-l)Vcsini+jtfe; г) |+^. 358. a) -j+nk, arctgi+uft; б) |+^»
^; в) arctgi + тсА, -arctg2+rcA; r) ^
359. a) (-1)*|
; б)
в)
-4+Jrft; в)arctg3 + Jtfe;r) -|
4 о
A)^ + яА. 36O.a)^ + Jt
4 4 о
361. a) nk, ~+nk; 6) ^+Jtfe, -#+Jtfe; в) jtfe, arctg3 + rcfe; r) ?+Jtfe, ^ + 7ift.
4 / о /о
362. а) т + яА> -arctg3 + Ttfe; б) ? + яА, arctg3 + Ttfe; в) ?
4 4 4
г) -f
4
arctg|+jtfe. 363. a)
^+jtfe; б)
4
364 a) к 5тг Ш 177С. бч 4тс 2л 2л 4тс 8л 365 а^ — - — —
' 6' Т' ~6~' ~6~' ' ~Т' "Т* Т' Т' Т- 12 4' 4 ' 12 '
17я 19л й. _ л _11л к 11я л 7л 5л. Зл 7л Ил 15л
2"' Т2": } 12' U' 12' Тг"г В) 3' Т' Т' Г) 16' 16' 16 ' 16 -
366. a) -|, -M, 1*.-, б) о, 2л, 4л. 367. а) -2л, 0, 2л, 4л; б) Щ, Щ, ||,
282
13л 7л „.„ . 7л. л. л 7л. . л. . тс «ел \ я. «\ n t — 4л
IF' Т- 368- а) Т* б) ~8' Т; в) "8* Г) "8" ***'а) 3' б) °' 3' * Т
4л.
Т'
В)"Т; Г) ~Т' °' f" 370'&)°'к'-к'4'-4'6) f' Т' °' 7- 371>а) lj I'
f'
= ±1, ±2, ±3, ...); б) 1, |,
, 5
d о о
*; б) -| + лА; arctg|+rcA; ,
= ±1, ±2, ...).
372. a) | |
в) srckg2+nfr, -arctgi+jtfr, г) M+jtfe; arcctg^+tfe. 373. а) л+2-itfe;
±_ + 47tfe;6) з+лА, ли, в) т> ^+т, г) "Y2 + T- +Т'
374. а) (-1)М|+тсА; б) ±^ + 2лА. 375. a) J+^;
б) ^+f ;в) ^ч2лй; г) ? + g. 376. a) |arctg2+f; |arctgl +
б) -Jaictg8+f; -iarctgl.f. 377. a) ±f+2л*; б) ±g+
378. a) arctg5+^, -arctgi + ^; б) -7+It*' arctg2+icA;
в) | + jcfe, -arctgi+лА; г) -|+jcfe, arctgЗ+лfe. 379. а) |
e)irt,-arctgl,5+n* |^ i|^ ^
382. a) -§ + ^5
О Z
38l.a) -5
6) |arctgi+^. 383. a) -Iarctg3 + 2TtA;6) -л+Злй. 384.а) ±| + лА;
б) ±-§ + 2* 385. а) -тгт + ^г; бJлй.386.а) ^+лА; 6) ~ + nk.
О ^ 24 2 4 4
387. а) |+лй, -arctg2+rtfe; б) -§+у. -|^
в) |+лА, -arctgЗ + лfe; г) -|^ ^| у
388. а) ? + 2лА, -2аг^2+2лй; б) % + 2nk, -2аг^^ + 2лй; в) nk, —^
2 Л 4 о
^| +
283

г) I + Kk, -arctgi + Kk. 389. a) (-1)**11 + nk; 6) (-1)* | + jtfc
; г) J+*|*. 39O.a)M,-Iarctg§ + M;
6)^, I
о о
б)Тб" + Т' ~ia
6)
394. а) -Щ
+
' -arctg2+**;
393. a) nk;
б) IarccosI
в) -]| + ^<*<xg + ^p;
395. a) | + |arcsin|
r) ||
i + 4jift<;c<2rc+2arcsini
i + jtfe; б) ^ + 2nk<x<2n+2nk;
3 '
^| + 2jtfe. 396. a)
6) |+icA<JC<arctg5 + Jtfe. 397. a) {-1, 1}; 6) {-1, 1}.
ГЛАВА 3
21. 403. a) % б) -1; в) 0; г) \. 406. а) ? + %^; б) ™+ ТГ- 4°7-
a) (-l)*^ + f; 6) ±f| + f. 4O8.a)
. 6) _3. fl) 4. p)
12л/з-5. йч 12. , -5V3+12 . 5 n 77. 36 84.
26 : 6) 13' 1} — 26 ; r) 13- 410> a) 85' 6) 85' 411> a)"85'
; 6) ^. 416. a) J+27tfe; 6) 2nk, | + 2jtfe; в) -|
284
, -f+211*. 417.a) JL + f <x<|| + f;
$22. 122. a) ^;6) &») |;r) -i. 42в.а)я+ 2я*; 6)(-l)**'i+!f
427.a)
») |;r) . 42в.а)я+ 2я*; 6)(l)i+!f.
428.а)Аб)-1. 429. a)l;6)i.
2 ^ ^
4 4 4 2
430. a) 1; 6) 1. 431. a) 1; 6) tg(a + p); в) 1; r) ctg(a + p). 432. a) -
й. 5 . . 12. . бУз-12
б) 13;в) 3;Г) ~~26~-
434. а) -||;б) |§- 435- а> "I') ~W
3 . 4 .
5'В) 5'г)
Зл/З-4
"Т"
- а)
±f
438. а) ^
4
439. a) 7^
12
;в)
Y^ + 7cfe; 6) 2arccosf ~
1
О
; г)
в) -4arcsini+8jtfe<x<4jt+4arcsini+8jtfe; г) -||
§ 23. 442. a) J; 6)
; B) -|; r)
. 443. a) 1; 6) f
444.a) И; 6) ^. 446.a) ^ + ^; 6) j + ^. 447.a)-2;6) -|. 448. a) -I;
6) -f. 449. a) -f, 6) ^. 450. a) -
; 6)
. 451. a) 1; 6) 1.
455.а) 75 +я*; б) -т^ + Т- 459.а) -^-
461. arctg3.
± + кк; б) f + f
285

§24.470. а) 4§; б> Ш; в)"Ш; Г> ~Ш' 471'а)Й; б) А;в) Т5
г)Х. 472.a)tg|; 6)cos|-sin|; BJsin2<; г)—^. 473. a) 2sin t;
б) -1; в) cos 2f; г) 2. 474. a) sin 2<; б) -tg 2t. 475. a) cos 2t; 6)-2sin|. 479.
a) f+rcft; 6)nk; B)rcfe; ±| + 2тс/г;г)|+тс/г; (-1)* J+icft. 480. a)(-l)*^+M;
|+лА. 481 a) TtA; б)| + яй; в)тсА; г)±|+тс/г.
6)^+T' B>±|+37tfe; :г)±|
482 a)|; 6)^. 483 a) 1; 6) 0. 484 а)Ц; б)^; в)^; г)^.485 а)-Ц;
)&; в)~т; г)"й- 488а>т|; 6)i
1;б)з
arctg3
499.
. 496. aH, я, 2л; б)^. 497. a) 2; 6K.
-2arctgi+2nfe;6Jarctg2+2Kfe, -
M(fe^0). 5Ol.aJ7tfe, f
502. a)!?+^^^
Z4 Z Z4 Z
,. к nk. . rcfe. . Зя , 37tfe
б) + в)ТГ)""" + ^-
^ + 47tfe. 503. a)^
о 4
§ 25. 508. a) 2nk, тс
; б) к + 2nh, 4nk. 509. a) 2nh, 6) 2rcfe.
510. aJ+J*; 6)^+^; в)±^
^+2яА. 511. a)±|, ±^.
, -3, -|;
5l2.a)f, ^i, f V^; 6,-^, A, _2) -1. 513.a
6)—^=,—^1,3. 517. a) 2; -1; 6) 3; -1. 518. aJsinf<-?\
л/10 л/1С n3 ^ 4 J
6Jsinf|-f
519.
286
>f-H-!+f:6)-f+**;B)!+ir;
( i\* t Tcfe KOI o\ Я TCfe.
26. 529. a) -1; 6)-V8: 532. a)|+icfe, J+^J; б)^,^; в)^;
r)f, ^+§. 533. a)f, ±^ ^ ()f
534.aJsin(ff).sin(|+|);6Jsin(|+f).cos(l-f);
+jj. 535.aLsin6a:cos2|;
6) 4cosa:cos2^. 536. aLcos*саи^атЦ-; б) -4sintsin2<cos5t. 542. 5.
клл \ 1 к. я\п к лак. \ я , 2тсА. йч тс , 2тсА. ч тс , тсА тс , тсА. „ч тс . 2тсА
544.аI,5;бH,5.545.а)ш+-Е-; 6)I+-g-; в)^+ш, 2o+-g-; rj^-g-.
кла \ я я* тестей. й. тсА. ч тс . тсА тестей. „чТс^тсА тс^тсА
546> аI6+-8-' 4+Т* б)-б"' В)8+Т'6+Т' ГL+Т'8+Т-
547. а)^*,М; 6)^+^. 548. а)^, то **|
) f+Tcfe, TC + 2TCA. 549. а) ?
T+T' °'4+T'
М;
18 3'
550. a) 3 корня; б) 2 корня. 551. a)f; ?; ^; f; ^; §; ^; ^; ^;
'Ь iJ tf ^) ^У ^y ^^ j|y ^^
Я ЯЛ ТС Я
§ 27. 556. а) - + 7С«; б) нет корней, 557. а) —; б) — + тсп, ± —+ 2ял.
558. а) - (sin 24° - sin 4° + sin 12° + sin 8°); 6) cos 35° - cos 45° + cos 5° - cos 15°.
4
56О.аI;б) -.561.аI;бJ.562.а) nk\ ±-+2тс&; б)-| + тс&; в) nk; г) 2тсА,
4 3 2
, я „ , _„„ . тс тел тс тс тел ltc _„. ч 3
±- + 2тсА. 563. а) -+—', ±ё + тсл; б) -+—; ±-+тсл. 564. а) у^ =-,
3 426 423 4
4
4
= --. 566. а)—; б) тел.
4 ^
287

§28.568.aMsin(x + arccosf \
ь)
в) 25sinf x-arccos-
r)
Jt+2jtfe; B)|
-^l 569. a) 2nk, -
17)
. 570.aJ;-2;6J;-2;в
-л/2; гJл/27 -2л/2. 571« а) [-5; 5]; б) [-13; 13]; в) [-25; 25]; г) [-17; 17].
^ + 4jtfe; -2jt+4jtfe; гNлА; ^ + 6л/г. 575. a)?
13
,-^ + 2rcfe. 579.a)|;
6) arcsin к- - -7Г+2rcfe < a: < arcsin I + 5 + 2rcfe.
oo 5 о
ГЛАВА 4
§ 29. 592. а) 3; -3; -|; 0; 3cos 0,4л; б) -1; 1; -1; 1; -1; в) 0; 1;
Li
~; |; sin21; г) 1; -1; 1; -1; 1. 593.1027. 596.аK"; б)(и + 2J; в) л3; г) л3+ 1.
600. a) 2; 6) 5; в) 13; r) 45.
601. а) Нет; б) да; в) да; г) нет. 602. а), в) Ограничены снизу. 603. б), в), г)
Ограничены сверху. 604. а), б), в) Ограничены. 605. а) Возрастает; б) убы-
убывает; в) возрастает; г) не является монотонной. 606. а) Убывает; б) возрас-
возрастает; в) убывает; г) возрастает. 607. а) Возрастает; б) убывает; в) убывает;
г) возрастает. 608. а) Возрастает; б) убывает; в) возрастает; г) убывает.
609. а) Не является монотонной; б) возрастает; в) возрастает; г) возрастает.
611. а) 2; -1; 0; 1; 2; б) -1; 0; -1; 2; -1; в) 1; -4; -3; 16; 5; г) 0; 1; 2л/2; 4;
А-1- А. 24. 20. бI. 3. _5_- &_¦ 63
)r 9, 14, 65, 21, бJ, 8, 16, 128, 256-
3. аJ;3;2;3;2;
б) 2; 12; 22; 32; 42; в) -1; 1; 3; 5; 7; г) 4; 1; -2; -5; -8. 614. а) 2; 4; 12; 48;
288
|; |;
240; б) -5; 2,5; -^; |; -±; в) -2; 2; -2; 2; -2; г) 1; 10; 100; 1000; 10000.
4 о 10
ч 2п-1
]
5n-l
п(п+1)(п + 2)'
Р3= 8, Р4 - 8л/2, Р.- 16, S, - 1, S, - 2, S, - 4, S4 = 8, S6 = 16; аи - 32,
S17 = 216. 622. у3. 623. а) 6; б) 5; в) 4; г) 9. 624. а) 7; б) 4; в) 11; г) 4.
625. а) 6; б) 124; в) 6; г) 55. 626. а), б), в), г). 627. а), б), г). 628. а), б), в).
632. а) [6; 7], б) [2; 3], в) [1; 2], г) [0; 1].
§ 30. 636. а) Да; б) нет; в) нет; г) да. 637. а) у = 0; б) у = 0; в) у = 0;
г) у = 0. 638. а) у = -1; б) у - 2; в) у = 2; г) у - -3. 640. а) 0; б) 6; в) 0; г) -4.
641. а) 5; б) 7; в) 3; г) д. 642. а) 0; б) 0; в) 0; г) 0. 643. а) 2; б) 1; в) -1; г) -2.
646. а) 4; б) 57|; в) 4,5; г) 156,25. 647. а) -5,4; б) |л/з(>/з + 1); вK8^;
гLл/2(л/2+1). 651. а) 2|; б)-0,128; в)-0,022; г) 3^. 652. а) 6; 6K; в) 15;
г) 31. 653. а) 4; б) 7; в) 8; г) 5. 654. а) у = 2; в) у = -3. 655. а) Нет; б) нет;
в) да; г) нет. 656. а) 2; б) 12; в) 6; г) -2. 657. а) 7; б) 0; в) 1; г) 0. 658. а) 12,5;
б)-8|; в) 22,5; г) 36. 659. 4l|. 660. a) ft, = 12; q = 0,5; б) ^.
661. a) ft, - 12; 9 -1. 662. а) 111; б) 2500|; в) 396,25; г) 1717^.
. 664. а) 0,8; б) 0,3.
665. a) h |; б)тг; -?. 666. a) (-l)Vcsinf+ тс?, fee г; б) нет решений;
в)±|+7с/г, /гег; r)±? + 2jtfe, fee г.
о о
§ 31. 674. а) 0; б) 0; в) 0; г) 0. 675. а) 1; б) -21; в) 9; г) -7. 676. а) 0;
б) -2; в) 0; г) 6. 677. а) 1; б) 1,5; в) 1; r)li. 684. а) 0; б) 0,2; в) 0,5; г) -0,2.
685. а) 0; б) -1; в) 3; г) 0,2. 686. а) 2; б) -4; в) 10; г)- i. 690. а)-^; б) -0,5;
10. Зак. 2857 Мордкович. 10-11 кл. Задачник.
289

в)^; г) -0,5. 691. а) 0,2; б) - 0,1; в) 0,1; г) 0,05. 693. а) 0,5; б) -0,66;
в) 1,5; г) 0,74. 694. а) ЗДх; б) -2хДх - (ДхJ; в) -2Дх; г) 4хДх + 2(ДхJ.
695. а) 0,1; б) -0,1; в) 0,5; г) -0,5. 700. а) 4; б) 2; в) 3; г) 2. 701. а), б), в), г) 0.
702. а)-|; б) 1; в)-|; г) 0. 705. а) 4; б)-±; в)-1; г) 7. 706. а)-1-; б) 1,5;
о о ( 4 J.Z
в)т^; r)i. 707.аI;бH;вI;гH.708.а)йД*;бJахДх + (Дл:J;в)-:
г)
Ах
709. a) k; б) 2ах + Ах; в)- , * .; г)
х(х + Дх)
71О.а)к;бJах;э)-\; г)-±=. 711. а) ^; 6H. 712. a) JL; б)|.
§ 32.720. а) 2 м/с, 2 м/с2; б) 4,2 м/с, 2 м/с2; в) 4 м/с, 2 м/с2; г) 7 м/с, 2 м/с2.
722. а) 2,2 м/с; б) 1,4 м/с; в) 2 м/с; г) 1,2 м/с. 723. а) 2< м/с; б) 2< -1 м/с;
в) 2f м/с; г) 2t -2 м/с. 724. a) f'(-l) < f'(-2); б) /"(-4) < /"B); в) /"(-9) < Г@);
г) /"(-1) > ГE). 727. а) 3 м/с, 2 м/с2; б) 5,2 м/с, 2 м/с2; в) 5 м/с, 2 м/с2;
г) 8 м/с, 2 м/с2.
§ 33. 750. аJ + -35-; бL2 + -Ь
; гJ7 + Д- 751. а)
(х + 2)
3at+8 atsinat-cosa: „2 4
в) -^(8_3а,J: г) -2 • 760. а) 2; б) -2|; в) -4; г) -4. 761. a) --J;
б)-2; в) 4s гJ.767.аOг;бJ|;вH;г)-5-+|^. 768. а)Xя + х2; б) 1; b)x5-x;
л о о х
г)9л/х. 769.а)^;б)^. 776.аK-77;бJ0;вI0-74;г)-768.777.аJ;б)-2;
в) -21; г)Зл/2. 778. а) 4; б) 4; в) 3; г) 4. 779. a)^i; б) -2; в) 0,7-; r)-l|.
780. а) 10; б) 1,75; в) -^; г) -|. 781. а) 0; б) 12; в) S; г) -|. 782. а) 3,5;
б) 1,6; в) -8; г) -0,5. 783. а) Зх2; б) Зх2; в) Зх2; г) Зх2. 784. а) 6* ,+ 9;
х
gs5x14(x10+3) 4x5+5x4+l. sx12(9x4-26) _ак
б> (жю+1I > в> (жв1)» ' Г) (х42J
вH; г)—-cosx. 786.a)cos х; б)cosх; в)-sin х; г)-sin х. 787. а) а = 2, & = 0;
290
б) а = 2,5; ft- 0,75. 788. а) -^; 6)i. 789. а)±|л+тот; б)(-1)"+1 у|+^-
790. а
0
793.
|; б)-
0
. 791. а)
792.а)-|<х<0; х>0; б)х<|; х>|.
4 О О
; б)тот<х<| + тт. 794. а)|, |; б)^, к, ^-.
795. а) х < 0; х > 2; б) 0 < х < 4; в) х < 0; 0<х<|; г)|
К<Х<-х
< 2. 797. а) 1; 16; 6)^4. 798. a)| + jcfe,
f-l)*+1arcsini + jrft; 6)?+^. 799. а) х < 0; х > 3; б) таких значений нет;
v ' 4 4 2
4 4 2
в)
800. а) "Я + ^; б) таких значений нет; в) 9; г) таких значений нет.
M+тш; пег;
4
г)кп<х<к+кп, пег, п>0; -n+nk<x<nk, kez, k<0. 802. а) 2; 6) 0;-4;
вJ|; г)|5 + 1Г- 803. а) |; б) 2-|. 804. а) Bх - IK + С;
о Zi 4 бо
6) D - 5хL + С, где С — любое число. 805. а)^73+С; б)>/5х-7+С,
где С — любое число. 806. aj-jcosf Зх-| )+С; б) ^tgEx-l) + C.
О \ О J д
)-^Л 8O8.a)±V3, ±#; б)±>/2±1.
§ 34. 818. а) 135°; б) 45°. 819. а) 45°; б) 135°. 820. а) 30°; б) 135°.
821. а) 150°; б) 135°. 822. а) 135°; б) 120°. 824. а) у= 7х- 10; б)у = 5х-17.
825. а) у = -Зх - 10; б) у - -*+|- 826. а) у = Зх - 4; б) у = -х + 4.
10*
2»!

827. а) у = 1;б)у = ^-2х; в)у= 1; г)у = -§ х. 828. у = -6х + 18; у = 6х + 18.
с, О
829. у = 5*-6; (/ = -5х-1. 830. ж, - 1; у - ж - 1; ж^-i, у-ж+Ц^.
831. а) л: » 1; б)х = -|; в)х = |; г) х = -0,5. 832. а) х = 3; б) х, = 0,
4 8 *
x2=V2, ха=-42; в)х = 1;г)ж, = 0, х2 = 0,6. 833. а)х = гс + 2кп; б) х = -§га;
о
О л
= х~, у = х~; б)у~9х-20; у = 9х+ 16.
о о
^ / = l|-x, у—ж. 836. а) у- 14-х, у—х-2;
-х-5,у = -х-9. 837.а)у = -х-11;б)(/ = 1-х. 838.аH,99;б) 1,21.
839. а) 1,025; б) 1,99175. 840. &)у = 43х-9, у
= 3 *+Т*
> б) У - -* + 12, У - -ж. 842.
а) у = х2 - Зх + 3. 843. а) у = -6х - 8, у = 2х; б) у = 2х, у « -2х; в) у = 4х - 3,
у = -4х - 3; г) у = 1, у = -4х - 3.844. а) у = 8 - 7х, (/ = -Их + 12; б) у = -9х + 9,
у = -5х + 9. 845. а) у = -0,1х + 2,8, у - -0,5х + 2; б) у = -0,5х + 2.
846. а) </ = 2х-1, </ = 0,4х + 2,2;б) </ = х + 1, у = \х + \. 847. а)о = ^п,
о о 4
:' a = f+fra- 848>
3 - 2х;
849. а) у " Зх - 2; б)у = ^-х+^-. 850. а)Б@; 3,5); б) у = х - 3, у - -ж - 3.
851.а)В@;0);б)(/ = -^(х-1), у = ^-
853. а)р = 0,5;р = -1.
; б)A7;204).
§ 35. 864. а) Возрастает; б) убывает; в) возрастает; г) убывает.
866. а) Возрастает на R; б) возрастает на [-5, 3]; убывает на (-оо, -5] и на
[3, +оо); в) возрастает на (-оо, -2] и на [3, +оо); убывает на [-2, 3]; г) убыва-
убывает на(-оо, -1] и на [1, +оо); возрастает на[-1,1]. 867. а) Убывает на (-оо, -1]
и на [0,1]; возрастает на [-1, 0] и на [1, +оо); б) убывает на Л; в) возрастает
на (-оо, 1];убываетна [1,+оо); г) возрастает на Л. 868. а) Убывает на (-оо, -3)
и на (-3,+оо); б) возрастает на (-оо, —-)ина(~^,+оо); в) убывает на (-оо, 0)
о о
и на @, +оо); г) убывает на (-оо, -1,5) и на (-1,5, +оо). 869. а) Возрастает
292
на[-о , +оо); б) возрастает на (-оо, у- ] убывает на [ j= , 1]; в) убывает на
(-оо, i ]; г) возрастает на [ i , 1]; убывает на [1, +оо). 870. а) Возрастает на
(-оо, -1] и на [1, +°о); убывает на [-1,1],б)возрастаетна(-оо,-5]ина[1,+оо);
убывает на [-5, 1]. 871. а)Убывает на (-оо, -1] и на [0, 1]; возрастает на
[-1, 0] и на [1, +оо). 880. а) -2; 2; б) 0; -|; в) -1; 0; 1; г) -2; 0; 2. 881. а) -2;
2;б)х = 1 — критическая точка; в)-5; 5; г) 3. 882. а) Ц-\ 6)(-l)"+1^L+^;
в)кп, § + ^г-; г)±— + 4я/г. 884. а) х = 2 — точка максимума, х = 3 — точка
о 4 3
минимума; б) х = -3 — точка максимума, х = 3 — точка минимума; в) х = - -~ —
точка максимума, х = 5 — точка минимума; г) х = 7 — точка максимума,
х = 0 — точка минимума. 885. а) х = 0,6 — точка максимума, х = -0,6 —
точка минимума; б) х = -1, х = 4 — точки минимума, х = 0 — точка мак-
максимума; в) х = -5, х = 5 — точки минимума, х = 0 — точка максимума;
г) х = -3 — точка максимума, х = 1 — точка минимума. 886. а) х = -2 —
точка максимума, х = 2 — точка минимума, б) х = -3 — точка максиму-
максимума, х = 3 — точка минимума. 887. а) х = 3 — точка минимума, б) х = 8,5 —
точка максимума. 888. а)х = -^ — точка минимума, х = —^- — точка
к rt
максимума; б) х = -^ — точка минимума, х = ъп — точка максимума.
о о
889. а) при a = ±3; б) при a = ±5.902. а) Возрастает на -¦? + 2яп,
J
убывает на Г- + 2яп, —+ 2пга , х = ~ + 2пп — точки минимума,
|_3 3 J о
х = Ц + 2кп —точки максимума; б) убывает на -^ + 2тсга, -^ + 2кп , воз-
возрастает на -? + 2тсп, -хк+2пп , х = -§ + 2пп — точки максимума,
1_ о о J о
х = ^ к + 2кп — точки минимума; в) убывает на ^ + 2кп
, -^ + 2пп ,
возра-
возрастает на \-Щ + 2кп, Ц- + 2кп ,
L 4 4 J
— точки максимума,
293

возрастает на
х = —
х = ^-+2пп — точки минимума; г) возрастает на R. 903. а) Убывает на
4
[4тсл, 2тс +4тсл], возрастает на [-2тс +4тсл, 4тсл], х = 4кп —точки макси-
максимума, х = 2я + 4тсл —точки минимума; б) убывает на бтсл—4?, 4?+бтсл ,
L 2 2 J
[Яте Qtc ~1 3-тг
•^+6тсл, •^+6тсп , х = 2?+6пп — точки минимума,
Z Z J 2
точки максимума. 904. а) Убывает на --j^+тсл, тг+тсл •
возрастает на ¦?+тел, -^+тсл , х=— + пп—точки минимума, х = --?+тел
|_6 6 J 6 6
— точки максимума; б) убывает на -^+4тсл, -^-+4тсл I, возрастает н<.
[—^-+4тсл, •^•+4тсл , х=^ + 4пп —точки максимума, х=-2Н+4тсп —точ-
о о J о 3
ки минимума. 905. а) Убывает на (-оо, 3], возрастает на [3, +оо), х = 3 —
точка минимума; б) возрастает на (-оо,О) и на [1, +оо), убывает на @; 1],
х = 1 — точка минимума; в) убывает на
(-оо, -3]ина —-~, 2 I, возрастает на -3, — , и на [2; +оо),х = -3иа: = 2 —
точки минимума, * = -4 —точка максимума; г) возрастает на [-1;0] и на
[1, + оо), убывает на (-оо, -1] и на [0,1], х = -1, х = 1 — точки минимума,
х = 0 — точка максимума. 906. а) Убывает на (-оо, --Уз ], на [-1, 0] и на
[1, 7з], возрастает на [-V3,-1], на [0; 1] и на [>/з,+оо), * = ->/з, х = 0,
х = -Уз, — точки минимума, дг = —1, х == 1 — точки максимума; б) возраста-
возрастает на -1, —1= ,на 0, —j=\ и на [1,+оо), убывает на (-оо,-1], на —т=, 0
и на ~7=, l,at = -l,at = O, х = 1 — точки минимума, х = —==, х=—= —
LV3 J V3 V3
точки максимума. 914. а) а > 0; б)--Уб<а<-У5. 915. a) a > 1;
б) а < -4. 916. а) Ь<-\; б) Ъ < 0; в) ни при каких Ь; г) Ъ > 0.. 917. а) а < -1,
О
а>2; б) а <-1,5, а>1. 926. б) При а = 3.927. б) При а > 9. 928. а) 3;бI;
в) 3; г) 1. 929. а) При а < -2 или а > 2; б) а = ±2. 930. а) 2; б) 1; в) 1; г) 1.
931. а) 0; б) 0. 932. а) 1; б) 2. 933. а) 3; б) -1.
294
§ 36. 935. а) 28; 3; б) 9; -3; в) 16; -2; г) -7; -199. 941. а) 19; -35; б) 35;
15; в) 19; -93; г) 19; 15. 942. а) 173; -2; б) -43; -72; в) 45; 173; г) -2; -72.
943. а) 4; -3; б) -12; -28; в) 4; -28; г) 4; -28. 944. а) 20; -7; б) 4; -124; в)
121; -44; г) 148; -124. 945. а) 6; 5; б) -3; -4. 946. а) уваи6 = | + 1,
. У..„.. = -*; в) J/B.Be. =
. = 0.947. a) yaBii6 не существует, у„„м =-^; б)ув
не существует, уыиы = -1; в) увйв6 = 0, увавм не существует; г) ун.в6 не су-
R
ществует, утм_ = 0. 948. а) ув,в6 = -2; y>aini не существует; б) уваи6 =^-,
Уяип.." °: в> Ун.нб. = ~2' Ун.™.не существует; г) уваив = 3,5, ув.вм не существу-
существует. 949. а) 12,12; б) 22, 22. 950. а) -5, 5; б) -49, 49. 951. а) -18, 18; б) -14,
14. 952. а) 2,1; б) 1^, 3-|- 953. а) 14 см, 14 см; б) 18 см, 18 см. 954. а) 50 х
4 4
50 м; б) 60 х 60 м. 955. а) 4 х 4 м; б) 8 х 8 см. 956. а) 50 х 50 м. 957. 32 см2.
958. a) V2; 0; б) у/2; 1; в) ^2; 0; г) у/2; 0; 959. а) [-3; 8]; б) [-4; 6]. 960. а) 21;
5; б) 71; -10. 961. а) 6; -0,25; б) 72; 16. 962. а) уш6 = 2, уяжин не существу-
существует; б) ушшы6 не существует, ував11 = -2.963.аI; 0; 6H; -1. 964. а) 0; ~^;
б) >/2; 1. 965. a)8;l|; б) 19; -3. 966. а)[-|,|]; б)[-|.|].
967. а) -^-, +оо 1; б)I -«, ^ • 968. а) 9; б) 15.969. а) 0,8; б) -4.970. а) 2;
б) 1. 971. а) A; 1), (-Г; 1); б) D, 2). 972. 30 см. 973. а) 6000; б) 108.
974. а) 21; б) 32,4. 975. 4ab. 976. 3 ч. 44 мин. 977. 4 дм, 4 дм, 2 дм.
978. 7м, 7м, 7м. 979. 4^5м;6^5м;^2-м. 980. ^-. 981. „
5 3 3
982. ? 983. (±.
295

ГЛАВА 5
§37.994.a)-|cos^3x + |); 6)-|sin(jb-2x); B)IsinDx-3);
rJcos[2-|]. 995.
; г)
996.1
~л/42-Зх. 999. а)^--cosx + C; бLтг
3 7 3 2
B)^-+sina: + C; r)^--ctgx + C. 1000. a)Vx+^- + C; Q)yfc+*- + C\
3 7 о 2»
1001. a)~+-^+C; 6)-+-|-+C. 1002. a)-~-B-9xO+C;
6)-i-
(
. 1003.a)-cosx + |; 6) tg x - 2; в) sin x + 0,5;
- 1.1005. S=-f |
1007. а) у = -cos x + x + С; б) у = sin x - 9x + С 1008. a) (/ = -—+^-
= -—-2x2 + C. 1009. a)y =—-cosat + C; 6)y =—-sinat + C.
1010. S =
-3. 1011. S=i(
+it+|; V = %(l + tf+L
3 6 3V ' 3
1012. a) x; 6) -cos x; в) tg x; r) -ctg x. 1013. a) -4 cos x + 3; 6) sin x + 1;
в) sin x + 7; r) sin x + 14.1014. a) tg x + C; 6) |sin2x + С; в) -ctg x + C;
r)-icos2x + C.
4
B)-rsin2x+—si
4 lo
1016. a)ix-i
2 4
r)|x+i
о 4
1О18.а)х2
lo
; 6)-4cosx-J_cos7x + C;
о/
|x-^-sin2x+ ^rsin4x + C; B)^x + ^-
о 4 о/ / 4
1017. a)-2 ctg 2x + С; б)—Д
si
2,25;б)(Зх-1L.1019. а) х2+^; б)|х4+^. 1020.8.
4 4 4
296
§ 38.1021. а) ^-; б) |; в) 6,6; г) 2.1022. а) 1; б) 2; в) 2; г) 1. 1023. а)I;
324 3 2
^-1); г)|. 1024. а) 2; б)|. 1025. а) 9; б) 47; в) 34|; г) 7,5.
1026. а) 12 см; б) 1,2 см; в) 27 см; г)|см. 1027. а) 60; б)^; в)э4; г)-|-
7 ода
1028. а) 9,5;бN,5.1029.a) 2li; б) 20,5; в)9; г) 6,6.1030. а)8; б) ю|; вIо|;
о 3 3
гN.1031.аH,5;бL;вJ;г)|. 1032.а) 1;б)^; в)>/2; r)^2. ЮЗЗ.а) л + 1;
о 2
б)я;в)я-2;г)|я+л/з. 1034. а) 12; 6)^-1; вIо|; г) 2. 1035. а) 14; б) 18;
о 2 3
вO|; г) 2. 1036. а) 4,5; 6)li; вIо|; г) 4,5. 1037. аJ|; 6Jl|; вJ|;
г) 9.1038. а) 1 + з1; 6I + ^-; вI + ^-; г) 2+^-. 1039. а)-2|; 6)l|; вJ|;
г)-24|. 1040. а) -0,4; б)|я-^; в)^; г) л. 1041. а) -3;
3 8 4 о
б) 1,5. 1042. аI9|; б) 4,75. 1043. а) 4я; б) 6,25я. 1044. а) 2я; б)^.
1045. а)? + 1; б)^Bя+3>/3). 1046. а) 6,5; б) 8,5. 1047. аI2"; б) 7я.
2 о 12
1048. а) 14; б) 36; в) 2,75; г)|. 1049. а) 2;б)^; вM^; т)\. 1050. aJi;
о О О О о
. 1052.аL,5;бL,5.1053.
6J1. Ю51.а)%^Ь; б)^%^1; b)U^L;
о 12 Зя о
Зя
а) 1;бN;в) 13;гO.1054.а)?и; б)|+^«; в)?в; rj^n; 1055.а)-Кж< 1;
Z о Z Z 4
бH<х<1;х>3;в)-1<х<1;г)х<-6;х>1.1056. а) —1+ 2яи < х <¦? + 2лга;
о 3
-?- + ягс; в) —-
о 3
1057. а) |; б) 2,25. 1058. а) |; б) Д. 1059. а) |; б)|. 1060. а) ^; б)^.
1061. а) 6,75; б) 6,75. 1062. а) 8, ^; б) -11, -ii.

ГЛАВА 6
§ 39.1066. а) Да; б) нет; в) нет; г) да. 1075. а) [2; 3]; б) [2; 3]; в) [2; 3];
г) [3; 4]. 1080. а) 1; 8; б) 1; 9; в) 4; -7; г) -4; -3. 1084. а) "-"; б) "+"; в) "-";
г) "-". 1085. а) ±2; б) ±</б; в) ^2; г) ±2.
§ 40.1094. а) @; 0), A; 1); б) @; 0), A; 1); в) @; 0), A; 1); г) (-1; -1).
1095. а) 0; б) 1; в) 1; г) -1; 0.1096. а); б); в) одно решение; г) нет решений.
1О98.а)[2,+оо);б)[~|, !]; в)[4,+оо);г)[-1, Ij. llO3.a)(-oo,-6]U [2,+оо);
б) [-3, 5]; в) (-оо, 2] U [6, +оо); Г) [-4, 1]. 1104. а)(-оо, -lf)u[8, +oo);
б)х*-|; в)х*|; r)f-4,5, |j. 1105. а) [0,+оо); б) (-оо,+оо); в) (-оо,+оо);
г)[О,+оо). 1106. а) [2,+оо); б) (-оо,+оо); в)[-3,+оо); г)(-оо,+оо). 1109. аH; 2;
б) -1; в) 1; г) 0; 3.1110. а) 1; б) 2.1111. а) 2; б) 0. 1114. а) [-5, -1] U [1, 5];
б) [-4, -3] U [3, 4]; в) (-оо, -5] U [5, +оо); г) пустое множество. 1115. а)
(-оо, 0] U [5, +оо); б) [-5, -4] U [-2, 3]. 1116. а) (-оо, -3] U [2,5, 3) U C, +оо);
б) (-оо,-1,5] U [5,+оо).
§41. 1138. а)>/26>ч/5; б)л/5<>/3; в)^7
1140. а) 4/27^; 6)^32^; в)^; г)фь/. 1141.
V°; г)
И42.
; г) ^^.
1148. а) 200; б)-|. 1149. а) 2; б) -2; в) 3; г) 2. 1150. а) -25; б) -83.
1151. а) 144; б) 98; в) 100; г) 54.1152. а) 2а2Ь*; б) ix2yz3; в) 7т4п3; г) 0,ЗагЬсь.
1153. а)^; б)-^-; ,L*; r)fg
с33; г)л9%-. 1155. а) 0; 64; б) 16; 81; в)^-; гI.
V L От:
. 1167. a) \a\Jb;
б) alfb; в) \a\ijb; г) a2 Jab. H68.aM|a|V2^; б) 2|с|-
1173. a) V3; 6L^3; в) 7^2; г)з</2. И74.
в)^;1^;^; r)V3;^;Vi. 1178.
298
; в) 5|х|;г)За2</2.
1179.
1181.
1182.
б) Va + Va-Vb+Ь. 1185. а)
1186. а)-Зг|*| V11^; б)
)^-^0
|a|
1189. а)
1192. a)>/2 + V3; б) 5l
. 1193. а)-^2^10 < -
1194. a) ^
б) ViW; Vi; '^25; в) ^; ^2^; л/зЛ; г) 4^л/7;
1195. а) -1; б) 1; в) 3; г) -|. 1196. а) 1 - а; б) m - га. 1197
1198. a)(>/2-V3)(^ + Vy);
7/7. 1199.
1190. а
. а) а; б) 1; b)Vx; г) e/^
; г
). 1200. а)
-V«"J. 1202. а) 8; б) 27.
§ 43. 1211. а) 243; б) 0,064; в)||;г) 0,01. 1215. а)^;
1224. а) а; б)-4=; в) х2; г) 1.1225. а) 10; б) 4; в)-^; г) 125.1226. а) 4; б) 9;
л/с 49
в) 8; г) 1. 1227. а) 12; б) 6; в) 30; г) 20. 1228. а)^-; б)-; ъLх; г)|^
27'

1229. a) хг<ь; б) у; в) с2; г) аьЪ\ 1235. а) 1+ с; б) т2 + ms; в) х + у; г) -2ifbc
1236.аLа*&»; 6)a3+25a.l237.a)x-l;6)Vft-Vz. 1238.а) ЛаЬ'¦-;
Va+v&
1239.a)c^-y;6)p2q-3<2. 1240.a)8^; бO|; вM;г)б|. 1241.aK^; 6)-^.
1242. a) 11; б) 0,5. 1243. a) 0,2; б)-12. 1244. a) a + b; 6) ^+y'^-.
yjq-ylp
1245. a) 0; 6H.
§44.1260. aL; 6) 1; в) 0; 1; г)8.1261. a)(l; 1); 6) A; 1); в) @; 0), A; 1);
г) A; 1). 1265. aJx*; б) Зх; в)-|x<;r) x~\ 1266. a)ix; 6) х*; в) 9лг2'3;
3 4
г)лг8. 1274. а) 1,5; 6I; в)-3; г) 2.1275. а) 4; 6)-l|; в)|;гH.1276. а)-3;
4 У о
6)-3;вH;г)8.1277.а)^; 6)f.
6 4
-4х;б)у = ±х+%; в)у=16х-32;
4 4
Т)У = 1ут~Ту7Х- 1279. а) Убывает на [0, 4], возрастает на [4, +«=); х — 4 —
Q
точка минимума, у^а -—^1 б) возрастает на [0,1 ], убывает на[1,+оо),л:=1 —
1 Я 1
точка максимума, увах =-. 1280. а)--; 0; б)г/наи6 = А; у не существу-
8 13 272
ет; в) унаиы =—-; г/яаи6 не существует; г) -2; -. 1281. а)-; б)-jg-.
1282. а)-|+|^/3; б)|; в)87±; r)^B-3S). 1283. а) 5±; б)|; вI; гJ|.
1284. а) 1; 6) 0; в) 1; г) 0.1288. а) 0 < х < 4; 6) х > 1; в) х > 1; г) 0 < х < 8.
1292. а) 1;б) 1; 16; в) 8; г) 64. 1293. &)х>\; б) х < 0; 0 < х < 2; в) х > 0;
4
= -|-точкаминимума.
1295. а) 2; 6) 2. 1296. а) 16; б) 54. 1297. а) 8,5; бI2-§. 1298. а) у = х + 3;
О
/ = -4-3x. 1299. &)у = —
4
300
ГЛАВА 7
§45.1309. а) 1; б) 0,1; в)9^3; г) ^2. 1315. а) 4; б) 3,5; в)-0,5; г)-5,5.
1316. а) 2; б) -3; в) 2,5; г)-4,5.1326. а) х<-4; б)х<-2; в)х>-3; г)*>-8.
1329. [-1; 5]. 1330. [-4; 3]. 1334. а) 1; 6) -1; в) 1; г) -1. 1335. а) 2; б) -2;
в) 0; г) -1. 1336. а) х > 0; б) х < 0; в) х > 0; г) х < 0. 1337. а) (-«=; +оо);
б) (-«=; +оо); в) (-оо; +оо); г) (-оо; +оо). 1338. а) х < - 1; б) нет таких значений;
1340.a)/(-3)=-i-; /(-2,5) = ^;
64 32
~|) = 8; /@)= 1; f{i)=:§"' Г{^У
бH,39, 0,32, 0,33, 1, 0,3~л, 0,3~9. 1344. а) Убывает; б) возрастает; в) возра-
возрастает; г) возрастает. 1345. а) 9, 8^-; 6I21 5,8; в) 10, 9-^; г) 29, 13,5.
81 о 4У
1346. а) (-оо; 0) U @; +оо); б) (-оо; -1) U (-1; +оо); в) (-оо; 2) U B; +оо);
г) (-оо; -3) U (-3; оо). 1347. а) @; +оо); б) @; +оо); в) @; +оо); г) @; +оо).
1348. а) A; +оо); 6) F; +оо); в) (-2; +оо); г)(-8; +оо). 1350. а) ОД; б) 0; в) 0; г) 0.
1351. а) 1; 6) -1; в) 1; г) -1. 1352. а) х > 1; 6) х > -1; в) х < 1; г) х < -1.
1353.а)х<2;6)х < -2;в)х > 0;г)*>-1.1354.а)х<0;х > 1;б)-Кк0;
§ 46. 1362. а) -2; 6) -8; в) 2; г) 0,2. 1363. а) ±1; б) 0; в) ±1; г)±^3.
1364. а) -2; 6) 1,5; в) 3; г)|. 1365. а) 1; б) 1; в) -3; г) 0,4.1366. а) 1, 2; 6) 2;
в)-1; г) 0.1367. а) ±1; б) ±1; в) 1; г) 1.1368. а) ±1; б) 1; в) 1; г) 1. Ufig^a) 3;
б) -3; в) ±1; г) -2. 1370. а) 0; 6) 0; в) 0; г) 0. 1371. а) -1; б)-1; в) 1; г) 0.
1372.а)-2;бI;в)-1;гJ.1373.аI;б)-1;в)-1;гI.1374.а)A;3);б)A;-2);
в) B; 1); г) (-1; 3). 1375. а) B; 1); б) (-0,6; 0,2); в) (-1; 2); г) B,2; -0,4).
1376. а)-1;бJ,5.1377.а)-|; 3;б)-6; -2.1378. а)\\ 6I^. 1379.аJ;5;
3 6 1о
б) ±2; в) 8; г) 3.1380. а) 0; 6) 0.1381. а) 4; 6) 2.1382. а) -1; б) 1.1383. а) 12;
14; б)±1. 1384. а) 6; б) 5. 1385. а) -0,5; 2; б) -3; -2. 1386. а) 2; 6) 1; 2.
1387. а) 0; б) 0; в) 0; г) 0.1388. а) 0; б)-|; в) 2; г) 0,5.1389. а) -4; 2; б) -1,5; 1.
1390. а) 4, -1; 6) 1, 3. 1391. а) 0; б) -3. 1392. а) E; 1); б) @; 1). 1393.
а) A; 3); б) A; 3). 1394. а) а > 0; 6) а > -3; в) а < 0; г) а * 0.1395. а) а < 3;
а > 27;б)а>-1.
301

§47.1400.a)x<-5;б)x > -1;в)х > 7;г)х> 1.1401.а)х < -0,8;б)нет
решений; в) х > -5; г) -оо < х < +оо. 1402. а) х > 0,5; б)х <^;в)х> —^;
г) л: > 13,5. 1403. а) 2 < х < 3; б) -2 < х < 3; в) -2 «х <-; г) 4 < х < 6.
14О4.а)-оо <х<+оо ;б)х<1;х>3;в)-2 < х < 1;г)-|<х<4.1405.а)х < 2;
о
6)x<1;b)x<-i4; г)х<-|. 1406. а) 0 < х < 1;б)х > 0; в) х < 0; х > 1;
о о
г)х>0. 1407. а)х <-1;х>1;б) -1<х< 1;в)х> 1;г)х < -1.1408.а) х> 0;
б) х > 0; в) х > 0; г) х < 0. 1409. а) х < 1; б) х < 0; в) х > -2; г) х > 1.
1410. а) х < -2; х > 1,5; б)-у<х<2; в) -6 < х < 1,8; г) х < 2; х > 6.
1411. а)х > -3; б) х < -6; x>-lf; в) х> 8; г) х< -6; х > 8.1412. а) 0 <х < 4;
бH<х<у;вH<х<2;г)х<-|; х>0.1413.а)х < 2;б)х<2;в)х < 2;г)х>2.
1414. а) 2; 6K; в) 2; г) 1.1415. а) х«-|; б)х > -0,5.1416. а) х> 2; б)х>-2.
1417.а)х>1;б)х<0.1418.а) 1<х<3; б)-2<х< 1.1419.а)х<2;б)х > 1.
1420. а) х = -2; х > 3; б) 3 < х < 5; х > 5; в) х < -2; г) х > 2. 1421. а) х > 0;
6)x>i; в) х < 0; rf х > 1. 1422. а) \\ <х <Л%\ б) -1 < х < 1;
в)х<™; х>—^; г)-2<х<2. 1423. а) К х < 4; б) х <-2; в)-1 <х< 1;
г) 0 < х < 1.1424. аN<х<8;б)-|<х<1. 1425. а) 3 <х<4; б)-5<х<2.
1426. а) -1; б) 1; в) 0; г) -1. 1427. а) 5; б) 3; в) 5; г) 2. 1428. а) х = 1;
б) (-оо, +оо). 1429. Более получаса.
§ 48. 1435. а) 4; б) 5; в)-2-^; г) -6. 1436. а) 0; б) 2,5; в) 9; г)~.
О О
1438. а) 72; б) 28; в) |; ^24,5.1439.^^; б)8;вI||; г)Ш_ш 1440. а) 9;
6)g; BI6;rW. 1446. а) 3; б) нет решений; в) 2; г) нет решений. 1447. а) 9;
б)^; в) 343; г)^. 1448. a)log314-l; б) log^0+4; BK-loglll;
16
302
512"
8 l
; r)±V31oga10-3.
г)8 l0g^6. 1449.а)±>827-1;
1450. a) 1; Iog23; 6) 0; Iog45; в) 1; logs4; r) 1; Iog72.1451. a) -1; Iog32; 6) -1;
Iog53-1; в) -1; Iog25-1; r) -1; -Iog26. 1452. a) x > Iog29; 6) x < Iog127;
в) x>-log34; r) x<-l. 1453. a) x < logg14-l;
B)x>3-log2ll;r)x>-|log56+|. 1454.a)x < l;x > Iog23;6H < x < Iog45;
в) 1 < x < logg4; г) -оо < х < + оо. 1455. а) х = 0 при а < 0; хх = 0, х2 = log2 a
при а > 0; б) при а < -2 решений нет; х = log3 (а + 2) при -2 < а < 1; хх =
= log3 (а + 2), х2 = Iog3(a - 1) при а > 1.
§ 49. 1460. а) 2,5; б) 1,5; в) -1,5; г) -2,5. 1469. [|, 81J. 1470. [2, 8].
1475. а) 1; б) 1; в) 1; г) 1.1476. а) 3; б)±; в) 5; г)-|. 1477. а) — г) Нет реше-
ний. 1485. а) log2 0,1, Iog2|, log2 0,7, log2 2,6, log2 3,7; 6) Iog0317, Iog033,
Iog032,7, logw|, Iog03|. 1486.а)х>1;бH<х<1;вH<х<ф г)х>|.
1487. аI<х<2;б)х>0.1488.а)х> 1; б) 0 <х< 1; в) 0 <х < 1; г)х> 1.
1489.аH<х<3;б)х>|; в)х > 5;гH<х<|. 1491.а)/(-8) = 27; Д-6) = 21;
ДО) = 3; /C) = -1; Д9) = -2.1492. а) (-оо; 2) U C; »); б) (-7,2); в) (-оо; 1) U
A2; оо); г) (-1; 9). 1493. а), б), в), г)(-оо; оо).
§ 50. 1503. а) -0,25; б) -2,5. 1504. а) 5; б) 22. 1505. а) 3; б) 2.
1506. a)log34<</9; 6)log03 3<sin3; B)log25></7; r)lg0,2<cos0,2.
1507. a) 3c; 4a. 1508. а) а + 1; 6) m + 1. 1509. a) b - 1; 6) n - 1. 1510. -2d.
1517. a) 4; 6) -1,5; в) -12; г) 3.1518. а) з|; б) l|; в) -1; г) 2,5.1519. а) 20;
б) 3,2; в) 24; г) Jj. 1520. а) 64; б) 49; в) 9; г) 216. 1521. а) 27; б) 169; в) 9;
г) 625.1522. а) 2; б)|; в) 2; г)|. 1534. а)-1; б) 1; в) 1; г) 1.1535. а) 0; б) 0;
о О
в)-1; г) 0. 1536. а) 18; б) 5; в) 35; г) 3. 1537. а) 3,5; бJ-3-; в) 2; г) 3,5.
2t *¦*¦
303

1538. аI;бI;вI;г)-4. 1539. a)log34>^2; 6)log23<V7. 1540. a) 2; б) 2;
в) 3; г) 5.1541. а) а + Ь; б) 2а + Ь; в) а + 2Ь; г) За + 2Ь. 1542. а) т + п; б) 2т + п;
в)т + Зга; г) 2т + Зга. 1543. а) с + а; 6) 1 - с - а; в) 2с + а; г) 2с--а.
§ 51.1550. а) 2; 3; б) 10; в) 7; г) -10.1551. а) -7; 3; б) 1; 9; в) 5; 7; г) 3; 5.
1552. а) 2,9; б) -4,3; в)-3; 6; г) -5; 2.1553. а) 1; б) 2; в) 2; -4; г) нет корней.
1554. а) 2; 8; 6I; 16; в) 2; 4; г) 0,04; 125. 1555. &)^Щ> 7^'> 6)^4; 16;
/on 3/1
вH,0081; ^|У-; г)^.; 4. 1557. а) 5; б) 4; в) 3; г) 2. 1558. а) 3; б) нет реше-
ний; в) 4; г) -1. 1559. а) 1; б) нет решений; в) 2; 4; г) -4.
1560. а) 0,5; б) 10. 1561. а) A; 1); B; 4); б) (-12; 31); B; 3). 1562. а) 62,5;
г; б) 1, -2,
; в) -0,7; -0,973; г) 1.1563. а) 100; б) 81; в) 10; г) 32.
1564. а)|; 9; 6I; 4; в) I; 4;г)|; 9. 1565. а)|; 3; 6I; 2; в)±; ^;
г)|; -^г. 1566. а) 5; б) 6, -12. 1567. а)^; б)-!^; 100. 1568. а) -100;
— 11
б) 100; 10 9. 1569. а) 0; 1; б) 0; 1. 1570. а) 10; б)^; 105. 1571. а)±; 6;
б)
; 1572- а)B; 3); C; 2); б)C; 6); в) D; 1); г) D; 4)-1573> а) A; 3);
C; 1); б) B; 1); в) A; 2); г) нет решений. 1574. а) C,5; -0,5); б) (8; 2).
1575. а) A; 9); (-6; 9); б) (8; 1); (8; -5).
§ 52. 1578. a)~i<x<8; б) 0<х<12; вH<х<1,25; гI,5<х<6.
О
-. 158О.а) 1,8<л: < 5;
3
1579. a)l-i
о
; вI,8<х < 9;
; в) х < 0; г) х < -1. 1581. а) 2 < х < 3; б) нет решений;
в)-10 <,х <-2л/2; г)х>14.1582.а)х<-3;2 < х<%; бH<х<2;х>11;в)нет
решений;гKл/3<х<9. 1583.\
~
гH<ж<1; 1<ж<1^. 1584. а) 0 < х < 2; х > 8; б) 2< х < 4; вL<*<16;
У У 4
;
У
<^-;л: > 125. 1585. а) 0 < х < 0,04;
6H,0081
^;
3
304
-^;x>9; 1586.
JL<X< 1 ; гL-<*<>/5- 1587.а)л:>9;б)л:>3;вH<л:< 5;
)l < х < 6;вJ<л:<5;гH<л: < 1;
2.
1 2
1589. а) 2; б) 1; в) 3; г) 6. 1590. а) 6; б) 0; в) 2; г) 4. 1591. &)-<х<-\
6)-lI<x<-l;B)x<-;r)x<4.1592.aJ<x<5;6)-2<*< 3.1593.а)х>2;
3 О
бH,25<х<0,8.1594.а)х>5;бI<х<2. 1595. а) Нет решений; б) К х < 3.
§ 53. 1596. а) 0; б) 2; в) 0; г) -1. 1597. a)i; б)-^;в)|; г)-|.
; вJа;
1598. а)|; б)-|; в)|; г)-|. 1599. а) а; б)±^ ^
1602. а) 16; б) 27. 1603. а)9, Лш\ 6)8, -L. 1604. а) 20; б) 4; в) 16,5; г) 18.
v3 v2
1605. а) 68; б) 44; в) 32; г) 2.1606. а) 6; б) 6.1607. а) 1+А; б) ^±f; в) -|;
. 1608.
^ ; B)|ft+Ia; г)|±|. 1609. a) lg I, Iog43,
log27;6)log30,5;lgl,log050,l;B)log3l,log54,log79;r)log70,6;log2l,log020,3.
log, 4
1610. a) lg 0,3, Iog157, Iog127, 2й"'6; 6) log1/7l; Ш ' , Iog67, 9l<"5;15.
1611. а)|; 3; б) 5; 25; вK43; -^; г) 2; 512.1612. аL; б) 7.1613. аJ; ш;
6)9, L 1614. а) 0,5; 1; б)-0,25.1615. а) -3<х<~; б)х<-4; -|
У
§ 54.1620. aL: 6)^; в) -9,9; r)-^. 1621. a) 2; 6) -7; в) -1; г) lie4.
1622.а)-1;б)-1;вM-е; гK.1623. a)-|; б)|тг; в)|тг, г)|.
ех;
е2х-ег;в)у = х+1;г)у = ?+^. 1625.а)у = Зх;б)у = 0,5; в)у = -2х +2;
) у = 1. 1627. а)|(е2-1); б) *lll; в) 4(е2 -1); г)|-(е-1). 1628. а) е3 -1;
305

if-ii-;
6)^-j-i; в)^-^; г) е2 -1. 1629. a)if-ii-; б) е -2; в) е2 -2; г) 2(е2 -1).
1631. а) Возрастает на (-оо, -2]; [0, +оо), убывает на [-2, 0], х = 0 — точка
минимума, х — -2 — точка максимума; б) возрастает на [-0,5, +оо), убы-
убывает на (-оо, -0,5], х = -0,5 — точка минимума; в) убывает на (-оо, -3],
возрастает на [-3, +оо), х = -3 — точка минимума; г) убывает на (-оо, 1],
возрастает на [1, +оо), х = 1 — точка минимума. 1632. а) 0; е; б) 0; е;
в) i; 4-5 г) е; 9е3.1637.
~ -4х + 2е;г)у
1639. а) Убывает на (О, 1], возрастает на [1, +оо), х = 1 — точка минимума;
б) убывает на @, 1], возрастает на [1, +оо), х = 1 — точка минимума.
1640. а) 1; е - 1; б) е - 1; е2 - 2. 1641. а) у = 2ех; б)у = х-\+1пЗ.
3
1642. а) 1п2; б) е2 - е + 1п2; в) 0,11п2; г)|(е4-е2)+21п2. 1643. a)Iln2,2;
^ 2
6)-|ln^; B)iln3; г) 1п4. 1644. а) 1; б) 1пЗ; в) 2; г)^1пЮ.
1645.a)e3-e2 + ln|; бL-1п5;в) ^-1п4; г)е- 2.1646.а)-5; б)~; в)|;
о о 6 7
г) нет решений. 1647. а) (-оо, +оо); б) (-оо,-); в) (-оо, -2); г) (-оо, -7/3).
1648.а)у=2х-|; б)у=1х-Щ в)у~4егх- Зе3; г)у = -2х + 3.1652. а) Воз-
Возрастает на (-оо, In-]; [0,+ео), убывает на [ 1п-|, 0], х = \п)- — точка мак-
максимума, х = 0 — точка минимума; б) убывает на (-оо, 0]; [In 1,5, +оо), воз-
возрастает на [0, In 1,5], х = 0 — точка минимума; х «= In 1,5 — точка макси-
максимума. 1653. а) Возрастает на @, 2]; [3, +оо), убывает на [2, 3], х = 2 — точка
максимума, х = 3 — точка минимума; б) возрастает на [1, оо), убывает на
[О, 1]; х = 1 — точка минимума. 1654. а) -4 + 1п4; -1; б) 1; 4 - 1п4.
1655. а) 1; 5,75; б) 0; 12. 1656. а)у=|х; 6)у = -х; в)у = ^х; г)у = -х.
"боб
1657. а) -1; б) -1. 1658. а) а ? (-7, -1] U [0, 6); б) а ? (-1, 0);
в) а ? (-оо, -7] U [6, +оо); г) нет таких а. 1659. а)~+15; бIп2+-|.
1660. аJ+!^; 6)^4 1661. а)^-1,5; 6)^-2. 1662. а) 2е - 1;
1п2
306
ГЛАВА 8
§ 55.1663. а) Да; б) нет; в) нет; г) да. 1664. а) Нет; б) да; в) да; г) нет.
1673. а) 1, 6; б) 0; в) 2, 6; г) нет корней. 1674. а) 2; б)--^; в) нет корней;
г) -2,5; 2.1675. а) -2; б) 2,5; в) 2; г) -1,5.1676. а) 1, -3; б) 1, -4.1677. а) 0,
±|, ±2; бH,±3;в)±1; ±f; г)О,±т:; ±4.1678. а) 5; б) 3.
§56. 1681. а) 5, 25; б) 11. 1682.а)|+тт; б)|+тт; 1683. а) 6, 8; б) 1;
в) 0; г) 4.1684. а) 1,7; б) 2|; в) 1, 3; г) 10, 0,001.1685. а)-Л+т, g+32;
6)_JL+M; BJHt, -| + 2тт; г) ли. 1686. а) 3, 0; б) ±2. 1687. а) 1;
72 3
11.
б) ±22. +2т. 1в88.аJ.+ЯП; б)±^ + 2тт. 1689.а)-^|; 6I.1690. а) 0,4, 5;
'3 4 о бо
б)-2,2,3;вH,-2,-6;г)-3,-1,3. 1691. аH, 6;6H, 5.1692.аJ,-1; 6J, 3.
1693. а) ±2; (-1)"|+тт; б) ±3; ±|+2тт. 1694. а) пп, ±|+2тт; б)|+тт,
-arctgl+тт; в)|+^, (-l)"f+^: г) 2яп, f+ 2тт. 1695. а)-1; |; б)±1.
1696. а) 50; 6) -34.1697. a)l|; б) 1, -3,8.1698. а) 1, 0; 6) -Iog510; в) 0; г) 2,
Iog32-1.1699. а) ±1; б) 8,16; B)(-l)narcsin-|+7m; г) 64.1700. а) 10, Ю'4;
б) 0, 1; в)±22+2т; г) 1, 4. 1701. а) 0, ±1; 6) 0, 1. 1702. а) 2; б) -1.
О
1703. а) 1, 2;б)^. 1704. а) 1, 6)9.1705. а) 1; б) 1; в) 3; г) 7.1706. а) 0; 6) 1;
в) 1; г) 1. 1707. а) 1, 2, 3; б) -1, -3±Vl5; в) -2; г) 2. 1708. а) 3, 4, -1, -2;
6) 0, -3. 1709. а) 2, 3; б) 2, 4. 1710. аI±^1; 6) 2, -3. 1711. а) 0; ±1; -2;
25
б) 0; 1.1712. а) 1; 6) 2,5.1713. а) 5, 7,5; б) 2, 4.1714. а) 1; б) 1; в) 1; -<р г) -2.
1715. а) 1024; 6) 1; в) 64; 4096; г) 1.1716. а) 1; б) 1,13.1717. а)|; 6M, 2-.
^;
1718. а) 6, -2; б) 4, -1. 1719. а) 1, 2; 6) 1, -2. 1720. а)^; б)^.
-ЛЯ 7t,2TCrt 7t
6) +
71 ТТЛ . Я
1721. а)^+^, +?
5 '
5 ' 2
307

б)™, ?+^. 1723. а) ±|+Я14 б)+?+тт. 1724. а)+?+тт, ? + тт.
1725.а)-?+2тт, ж + 2пп;
2
|in^|-+7trt. 1726.aL,0;6M,25.1727.a)l,log25;6)l,31og32;
в) 3, Iog30,12; г) 1, Iog54. 1728. а) 1, 4; б)-|, 5; в) 6, 2; г) нет корней.
1729. а) 8, 16; б)т. Л; в) 4096; 0,5; г) 32, \. 1730. а) 4; б) 4. 1731. а) Нет
4 1о 4
^ 5§
корней; б) 3, 9; в) 4; г) 0. 1732. &)Щ-, ^±±; б) -1. 1733. а) 99; б)^, 5-§.
3 Зе о о
1734. а) 1, 100000, 0,00001; б)е3, \. 1735. аI, i, 16; б) 1, 1010, 10"8.
е 4
1736. а)? + 2тгл; б) неткорней. 1737. а)^
Z 4
1738.аI;тт
(n e N); б) 1; v+^f1 <л > °>- 1739- а> ~35 (-!)"§+™ (л > 0); б) 8, 120,
-?+-^г (« > 6). 1740. а) 0; б) ±1.1741. а) 1; б) 5.1742. а) 2; б) 3.1743. аI;
6O.1744. а) 2; б)-2.
§ 57.1749. а) Нет решений; б) 8 < х < 11.1750. а) х > 3;б)-1<х < 8.
1751.аJ<х<4;бJ,5<х<11. 1752.а)х<5;б) 2,7<х<6. 1753.а)х<-5;
i<x<l; б)х<-|; -^<х<7. 1754. а)-3<х<-2; -2 <х<4; б)-5<х<-2;
3,5 <х<4;4<х<5. 1755. а) -ео <х<+oo;6)x>-i; в)-1 < х < 0; х>3;
о
г) х < 3; х > 3. 1756. а) х < -3; —=<х<\; х > 1,5; б) х < -3; х > 0;
b)x<-V1; х>1; г)-5<х<5. 1757. а)х> 1;б)х>3. 1758. а) 2,5 <х < 3;
б) нет решений. 1759. а) х > 2,25; б)-§+2тгл <х <^ + 2тгл. 1760. а) 6 < х < 8;
О О
б) 1 < х < 2,25; в) -К х < 0; г) 1 < х < 4. 1761. а) х < 1; х > 7; б) х = 1;
в) -5 < х < 3; г) х < -1; х > 2,4. 1762. а) х > 4; б)х > -2; в) 0<х<5;
г)х>49.1763. а) х < 0;х> 3;б) х<-2; х> 2.1764. а) ~+пп<х <^+жп;
308
6)-4r+27tra<x<4r+27tn. 1765.а)х > 1;б)х < 0. 1766. а) х < 1;б)х < 1.
о о
1767. а) х>64; б) 210<х< 220. 1768. а) 0 < х < 1; б) x<log50,l.
1769. а)8<х<16; 6H<x<-Jy; х>-^. 1770. а) 1<х < 1,25; х > 1,5;
^' v3
).1771.а)-2-+2тт<х<^ + 27т; б)х=2тт. 1772.а)х> 2;б)х > 0;
о о
в) х< 2; г) нет решений. 1773. а) 0<х<4;б)нетрешений;в)х > 4; г)х>0.
1774.a)-oo<x<+oo;6)x = —|; в)х = 0; r)-oo<x<+oo . 1775.а)-оо <х<+оо ;
Ci
б) х = 0; в) х = 0; г) -оо < х < +оо . 1776. аH<х<1;б)х>1.
1777. а) [-3; 1) U A; 2); б) C; 4) U D; +оо). 1778. а) х > -1,5; б)х <|.
1779. а) 0 < х < 9; б) 0 < х < 4.1780. а) х < 0, х > 2; б) -4 < х < 0; К х < 3.
1781. а)-2 <х <-1;х > 2; б) х > 3.1782. а) 3 < х < 3,1; х > 7; б) х < 1;
7<x<7,3.1783.a)|<x<log23; бH<х<|; х >^/3.1784.а)х>1;б)-Кх<5;
в)х<-8, х>\; г)-7<х<0.1785.а)х>3; б) нет решений; в) -Зл/П < х < 0;
о
0; х>2. 1786.а)х<-2;3<х<4,х>4; б)-5<х<-1, -1<х<2.
^; ?<х <2; б)-4<х<-тг, -тг<х<0.1788.а)х > 3;х = -2;
б)~<х<-1. 1789. а) 1,5 < х < 51,5; б)х>-|; в)-?-+2тт <х <^+2тт;
о о ^ л
г)х>2.1790.а)х < 0;х > 1;б)х > 0; в) х > -1; г)х> 1.1791. а) х > 12;
б)-Кх<-|. 1792.а)х=2, х >4-|; а)х = -3, х >9^. 1793.а)х < 0,5 < х<6;
х>9;б)х < -5;х>2. 1794. а) х < 1, х > 5; б) -6 < х < 10; в) -5 < х < 1;
г) х < -7, х > 1. 1795. a)x<-i х>^; б) -3,5 < х < 0,5; в)--^<х<^;
r)x<i х>|. 1796. а)х > 1;б)х<-3-, х>2,5; в)х<^, х>1; г)|<х<4,5.
о о 4 о О
1797. а)-1<х<3,8; б) х <-~, х >5. 1798. а) 2тт <х <f+ 2тт,
я + 2тт <х <^ + 2тгп; б) -—+2тт <х <^
о о о
309

1799. a) -|+ 2кп < x <^+ 2кп; б) -^ + 2пп <х <-|+ 27СЛ.
1800. а)-%
2
?+2тсл,
2
1801. а) х > 3; б) х > 1;в)^ + 2кп<х<^-+2жп; г)х>-Д+ё.
1802. а) -2 < х<-1; б)—-<х<0, х>1. 1803. а) -К х < 2 - Iog313;
^ + 2пп; в)| <х<^?;
о о о
б)х > е;
Д, x>
е
; г) 2
e. 1804. а)
x<log 5.
1805. а) 1 < х < 3; б) х > 9. 1806. а)-?; б) 0, ±2%. 1807. а) -2 < х < 1;
К х < 4; б) х < -4; х > 3.
§ 58.1808. а) A; 2), A,5; 1,5); б) @; 2), (-2; 0); в) B; 3), C; 2); г) C; -1);
(9; -4). 1809. a)(^ + fs -f-f) б) @; -1); в) (|; ±);г) (-1; -2).
1810. а) (-1; 2); б) D; 1); в) A; 1), A, -1); г) (8; 1). 1811. а)(^; э);
б)(тг + 2*й; ij+тс*); в) (§5 §) г)((-1)*?+^; j|+-f )• 1812. а) B; 1);
б)A; -2). 1813. а) C; 2); б) (8; 2). 1814. а) B; 2); б) B; 6), (-2; 10);
в)(^±|+7сА; -|+2тсй); г) E; 3), C; 1). 1815. а) 2; б) 3; в) 7; г) 1.
1816. а) A; 2), B; 1); б) B; -4), D; 0). 1817. а) (-1; 1); б) A; 1). 1818.а)@; 0);
б)(Д; l). 1820. а) A; 1), A,2; 0,2); б) B; 1), (-2; 1), B; -1), (-2; -1);
в) f "x+1 (л+А); —1+ я (л-?)); г) B; 1). 1821. а) C; 0); б) (а; За), где о * 0 —
любое число; B)fi;I); г) B; -1). 1822. а) B; 2); (-2; -2);
б) G; -1), (-1; -3). 1823. а) C; 2), (-3; 2), C; -2), (-3, -2); б) A; 1), (-1; 1),
A; -1), (-1; -1). 1824. а) A; 3), B; -4); б) B; 1), B; -1). 1825. а) A; 2),
310
(-1; -2); б) (-1; 1). 1826. а) F; 2), (-6; -2); б) (х; -2х), (х; -Зх), где х * 0 —
любое число. 1827. а) B; -2); (-2; 2); б) D; 2), (-4; -2), (~|, |), (j|, -|).
1828
. а) A; -2), (-1; 2); б)B; |), (-2; -I)
5 ; 5Т 1829> а) D; 3); C: 4); б) B; 3)> C; 2)-
1830. а) F; 6); б) A; 4), D; 1). 1831. а) B; -1; 1); б) (-1; 2; 0). 1832. а) A; -2; -1),
(-3; 2; -5); б) B; 0; -1), (-Щ-; Ц; ^-). 1833. а) у = 2хг - 5х + 1;
б) г/ = Зх2- -2х + 1. 1834. а) D; 4), C; 2); б) A; 2). 1835. а) (8; 27), B7; 8);
б) A6; 1). 1836. а) C; 1), B; 1,5); б) (-4; 0), (^; -Щ. 1837. а) B; 1),
A; 2); б) A; 4). 1838. а) A; 4), (9; 0); б) D; 9). 1839. а) @; 0), (-3; 1), F; 1),
C; 2); б) @; 0), A,5; 1), A,5; -2), C; -1). 1840. а) C; -2), (-2; -7); б) (-1,6; -2).
1841. а) (8; 1), A; 8); б)^; -|). 1842. а) D; 1), [^-; Щ, б) A; 4).
1843. а) A; -4); б) C; 1). 1844. а) B; 3), C; 2); б) D2; 39). 1845. a)fl; A.);
6)fV2; &\ 1846. а)(|; |); (|; 4); б)(з; |); C; 9). 1847. а) D; 4); б) B; 2).
1848.a)(j + 7tA; J-Ttfe); б)[тс*; J-Ttfe); [-f+*A; |-
1849.
б)[|+тсА; tf
. a)(f +f
|+тс*).
1850
1851.
1852.143.
1853. 842; 248. 1854.4.
311

§ 59.1855. a) m * 1; б) таких значений т нет; в) т — 1.1856. а) о * ± 1;
б)о = -1;в)о = 1.1857. а) х = -, еслиа*± 2;х — любое действительное
число, если а = 2; нет корней, если а = -2; б) х = а, если а * -1, 0; л: —
любое действительное число, если а = -1; нет корней, если а = 0.
1858. а) х > 7п+1,еслитп>1;л: < 7П + 1,еслитп<1; - оо
б) х>-—-, еслиО<-1, Ь> 1; х<1-—, если-1 <Ь< 1; - °° <х<+оо,если
0+1 0+1
о = -1; нет решений, если о = 1.1859. а) л: > , еслир>1,0<-1; х < + ',
0+1 0+1
если -1 <о< 1;- оо<х<+оо,еслио = ±1;б)л: < а, если а > 0, а <-1;х > а,
если -1<а<0; - <*> < х < +оо, если а = -1; нет решений, если а = 0.
1860. а) а < 0; 0 < а < 1; а > 4; б) а = 0, 1, 4; в) К а < 4. 1861. а) -9; б) 4.
1862. а) Ь > 1; б) О > 3.1863. а) а > -7; б) а > -5. 1864. а) а > 4; б) а < -1.
1865. а) а < -4; б) а > 20. 1866. а) х > 2, если а < 2; х > а, если а > 2;
б) а < л: < 6, если а < 6; нет решений, если а > 6. 1867. а) 1; б) 2.
1868. а) ±1,5; б) ±1. 1869. а)а<-|; б)~^<а<Д. 1870. а) а = 1; а=4=;
5 4 4 ^/3
б) а < 0; а>ч/2. 1871. а)а = ^; а < 1; б) а < 1. 1872. а) а < 0; б) а > 0.
1873. a) 27cra; arctg6 + 27сга; б)-| + 27сга; arctgi+7cBn + l). 1874. а) 0 < а < 4;
б) -15 < а < 17. 1875. а) а < -12; б) -5 < а < 0. 1876. а) Нет корней, если
а <~; один корень, если а = ~; или а > 0; два корня, если —=-<а <0;
4 4 4
б) нет корней, если а < -2 или а > 2%/2; один корень, если -2 < а < 2 или
а = 2%/2; два корня, если 2 <а<2%/2. 1877. а) р < -3; р > 3; р = 1;
б)-3<р<1. 1878. a)-i<a<l; 6
б) 0 < а < 9.1880. а) -5 < а < 5; б) а < -2.
^; 1879. а) а = 0; а > 9;
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие для учителя 3
Глава 1. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
§ 1. Введение 5
§ 2. Числовая окружность 6
§ 3. Числовая окружность на координатной плоскости ' 8
§ 4. Синус и косинус 10
§ 5. Тангенс и котангенс 15
§ 6. Тригонометрические функции числового аргумента 17
§ 7. Тригонометрические функции углового аргумента 20
§ 8. Формулы приведения 22
§ 9. Функция у = sin х, ее свойства и график 25
§ 10. Функция у = cos х, ее свойства и график 29
§ 11. Периодичность функций у = sin x,y = cos x 32
§ 12. Как построить график функции y = mf (x),
если известен график функции у — f (x) 34
§ 13. Как построить график функции у = / (kx),
если известен график функции у = f(x) 35
§ 14. График гармонического колебания 37
§ 15. Функции!/ = tg х, у — ctg х, их свойства и графики 37
Глава 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
§ 16. Первые представления о решении тригонометрических
уравнений 42
§ 17. Арккосинус и решение уравнения cos t = a 43
§ 18. Арксинус и решение уравнения sin t = a 46
§ 19. Арктангенс и решение уравнения tg x = а.
Арккотангенс и решение уравнения ctg x = а 48
§ 20. Тригонометрические уравнения 51
313

Глава 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
§ 21. Синус и косинус суммы аргументов 58
§ 22. Синус и косинус разности аргументов 61
§ 23. Тангенс суммы и разности аргументов 65
§ 24. Формулы двойного аргумента 67
§ 25. Формулы понижения степени 73
§ 26. Преобразование сумм тригонометрических функций
в произведение 75
§ 27. Преобразование произведений тригонометрических
функций в сумму 79
§ 28. Преобразование выражения A sin х + В cos х
к виду С sin (x+ t) 80
Глава 4. ПРОИЗВОДНАЯ
§ 29. Числовые последовательности 83
§ 30. Предел числовой последовательности 92
§ 31. Предел функции 97
§ 32. Определение производной 108
§ 33. Вычисление производных 111
§ 34. Уравнение касательной к графику функции 123
§ 35. Применение производной для исследования функций
на монотонность и экстремумы 131
§ 36. Применение производной для отыскания наибольших
и наименьших значений величин 147
Глава 5. ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ
§ 37. Первообразная и неопределенный интеграл 154
§ 38. Определенный интеграл 158
Глава 6. СТЕПЕНИ И КОРНИ. СТЕПЕННЫЕ ФУНКЦИИ
§ 39. Понятие корня n-й степени из действительного числа ... 168
§ 40. Функцииу = ух , их свойства и графики 171
§ 41. Свойства корня n-й степени 175
§ 42. Преобразование выражений, содержащих радикалы ... 179
§43. Обобщение понятия о показателе степени 184
§ 44. Степенные функции, их свойства и графики 190
314
Глава 7. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ
§ 45. Показательная функция, ее свойства и график 198
§ 46. Показательные уравнения 206
§ 47. Показательные неравенства 211
§ 48. Понятие логарифма 215
§ 49. Логарифмическая функция, ее свойства и график 218
§ 50. Свойства логарифмов 223
§ 51. Логарифмические уравнения 230
§ 52. Логарифмические неравенства 234
§ 53. Переход к новому основанию логарифма 237
§ 54. Дифференцирование показательной
и логарифмической функций 239
Глава 8. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА.
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
§ 55. Равносильность уравнений 247
§ 56. Общие методы решения уравнений 249
§ 57. Решение неравенств с одной переменной 256
§ 58. Системы уравнений 263
§ 59. Уравнения и неравенства с параметрами 271
Ответы 275