ТЙЧССКОГО
анализа
-*L\ &
ЗАДАЧНИК
"-
р.ТЕЛЬо>

За разработку и внедрение
новой концепции изучения курсов алгебры
в общеобразовательных учреждениях
авторам учебно-методических комплектов
для 7 — 11 классов
(руководитель — А. Г. Мордкович)
присуждена премия
Президента Российской Федерации
в области образования за 2001 год

и начала математического анализа
1fl.11
J ._J Ш Ш
В двух частях
классы
Часть 2
ЗАДАЧНИК
для учащихся
общеобразовательных учреждений
If азмый ммшЫ
Под редакцией А. Г. Мордковича
Рекомендовано
Министерством образования и науки
Российской Федерации
10-е издание, стереотипное
Москва 2009

УДК 373.167.1:[512+517]
ББК 22.141я721+22.161я721
А45
На учебник получены положительные заключения
Российской академии наук (№ 10106—5215/9 от 31.10.2007)
и Российской академии образования (№ 01—666/5/7д от 29.10.2007)
Авторы:
А. Г. Мордкович, Л. О. Денищева, Т. А. Корешкова,
Т. Г. Мишустина, П. В. Семенов, Е. Е. Тульчинская
Алгебра и начала математического анализа. 10—11 классы.
А45 В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных
учреждений (базовый уровень) / [А. Г. Мордкович и др.] ; под
ред. А. Г. Мордковича. — 10-е изд., стер. — М. : Мнемозина,
2009. — 239 с. : ил.
ISBN 978-5-346-01137-8
Предлагаемый задачник по курсу «Алгебра и начала математического
анализа» в 10—11-м классах соответствует одноименному учебнику. В
каждом параграфе задачника представлена разнообразная система
упражнений, включающая четыре уровня — по степени нарастания трудности.
УДК 373.167.1:[512+517]
ББК 22.141я721+22.161я721
ISBN 978-5-346-01135-4 (общ.)
ISBN 978-5-346-01137-8(4. 2)
> «Мнемозина», 2000
> «Мнемозина», 2009
> Оформление. «Мнемозина», 2009
Все права защищены

Предисловие для учителя
Издательство «Мнемозина» подготовило учебный комплект
для изучения в 10—11 классах общеобразовательной школы
курса алгебры и начал математического анализа на предусмотренном
государственным стандартом базовом уровне:
А. Г. Мордкович, Алгебра и начала математического анализа.
10—11 классы. В 2 ч. Ч. 1. Учебник.
А Г. Мордкович и др. Алгебра и начала математического
анализа. 10—11 классы. В 2 ч. Ч. 2. Задачник.
Л. А. Александрова. Алгебра и начала математического анализа.
10 класс. Самостоятельные работы / Под ред. А. Г. Мордковича.
Л. А. Александрова. Алгебра и начала математического анализа.
11 класс. Самостоятельные работы / Под ред. А. Г. Мордковича.
У вас в руках вторая книга комплекта — задачник.
Наличие отдельного задачника позволило авторам выстроить
в нем полноценную как по объему, так и по содержанию, систему
упражнений, достаточную для работы в классе, для домашних
заданий, для повторения (без привлечения других источников).
В каждом параграфе представлены упражнения трех уровней
сложности: простые, средние (слева от номера такого упражнения
помещен знак «О») и повышенной сложности (слева от номера
такого упражнения помещен знак «•»). Нумерация упражнений
своя в каждом параграфе. К большинству задач второго и
третьего уровней в конце книги приведены ответы.
В каждом номере одно, два (а) и б)) или четыре (а)—г))
задания. Все они в пределах конкретного номера однотипны, поэтому
советуем вам разбирать в классе пункт а) (или пункты а) и б)),
а на дом задавать пункт б) (или соответственно пункты в) и г)).
Этот задачник естественным образом соотносится с известным
задачником «Алгебра и начала анализа, 10—11» (издательство
«Мнемозина», авторы — А. Г. Мордкович и др.), который с 2000
года используется в общеобразовательных школах России. Но есть
и отличия. Во-первых, появились две новые главы («Числовые
функции» и «Элементы комбинаторики. Теории вероятностей и
математической статистики»), во-вторых, из-за сокращения
количества часов на изучение курса алгебры и начал анализа на базо-
1* 3

вом уровне по сравнению с тем, что было в 2000—2006 гг.,
пришлось несколько сократить содержание практически всех
параграфов. Тем не менее число упражнений остается явно избыточным
по сравнению с тем, что реально можно успеть сделать со
школьниками при предусмотренных учебным планом четырех часах
в неделю на изучение всего курса математики (включая
геометрию). Мы сознательно пошли на это, чтобы у учителя
отсутствовала необходимость обращаться к другим источникам, а учащиеся,
решившие все-таки поступать в вузы негуманитарного профиля,
были бы для этого достаточно подготовлены.
Имеющаяся преемственность с нашим старым задачником даст
учителю, работавшему ранее по задачнику для
общеобразовательной школы, возможность более комфортно перейти на работу по
настоящему задачнику, ориентированному на базовый уровень
изложения материала.
В планы издательства входит выпуск пособия для учителей и
сборника контрольных работ по курсу алгебры и начал
математического анализа для 10—11-го классов (базовый уровень). Пока
их нет, приводим в конце учебника вариант примерного
тематического планирования.
Авторы

I I I
I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
Числовые фунщт
I I I I I I I i I I I I I I I I I I I I I I I
1.1.
§ 1. Определение числовой функции
и способы ее задания
Из заданного соотношения выразите переменную у через
переменную х:
а) Зх + 4z/ = 12; в) 6у - 5х + 1 = 0;
9
г) — - 4 = Зх.
1.2.
O1.3.
б) 2ху + у = -7;
Будет ли полученное соотношение задавать функцию?
Для функции у = f(x), где f(x) = х3 - 5х2 + 7, найдите:
а) /(1); б) /(3); в) Д-2); г) /(1,5).
2х2 + Зх — 4
Для функции у = f(x), где f(x) = —$Х + $—> найдите:
a) f(x - 2); б) Я-д
в) /|^J; г) /(2*2 + Зх + 5).
Найдите область определения функции:
ч Зл: - 2 ч 5 + 6*
6
- 16
25 - х2 #
1.5.
O1.6.
а) у = yjx2 - 3x + 2 ; n)y=yjx2 + 4* - 12 ;
б) = * . Г) = /_3
>/л:2 - 4 '
2л: + 3
а) г/ = >/2л: - 4 +
б)у =
- Зх2 - 3 +
- 2,5* '
Зх
в)у= у/2х2 - Ъх + 2
-4
г) г/ = V*2 - 36 +
V10 - 2л:
5л: + 3
л: - л:2 - 10
25 - 4*2 '
" 2401 •

Постройте график заданной функции, найдите область
определения и область значений функции:
в) у = £ +4;
1.7. а) у = 2х - 3;
6)у = 6-3х;
1.8. а) у = х2 + 2;
б) у = 3 - 2х2;
1.9. а)у=у[х;
б) у = у/х - 3;
О1.10. а) г/ = х2 + Зх - 28;
Ol.ll. а) у = ± + 3;
г)у = -¥ -3.
в)у= |*2-4;
r)z/ = -l,5*2-2.
в) i/ = —Vjc;
г) у = -у[х + 2.
б) г/ = -х2 - 2х 4- 24.
O1.12. а) г/ = |х|; б) г/ = |* - 2|; в) z/ = -|*|; г) у = 3 - |*|.
#1.13. Найдите область определения и область значений функции:
. _ 1 _ 1
*)У ~ 16х2 - 49; В)У " 9 - 25л:2 ;
б) у= у/х2 + \х + 3; г) г/ = V3* - :с2 + 18.
O1.14. Используя график функции г/ = f(x), изображенный на рис. 1,
постройте график функции:
а) у = f(-x); в)у = -f(-x);
т)у = f(x - 1) + 2.
/
/
6/
/|
1
/
\
V
_<
У1
4
1
JD
-2
Л
/
1
J
/
/
/
/
X
РЫС. 1

•1.15. Используя график функции у = /(#), где f(x) = х2- 4х + 3,
постройте график функции:
а) у = f(\x\); 6)y = \f(x)\; в) у = \f(\x\)\; г) у = -\f(\x\)\.
01.16. Решите графически уравнение:
) х — о 4х, в) \х &\— х9
б) у[х = 2х - 6; г) х'2 = Ъх - 4.
01.17. Функция у = f(x) задана следующим правилом: каждому
неотрицательному числу ставится в соответствие вторая
цифра после запятой в записи числа в виде бесконечной
десятичной дроби. Найдите:
r)/((V5)2).
,—, если 0 < х < 1,
01.18. Дана функция у = f(x), где f(x) =
1 1—
если х > 1.
а) Найдите /(6,25); /(0,01); /(-3);
б) постройте график функции;
в) найдите D(f);
г) найдите E(f).
01.19. Дана функция у = /(#), где
х2 + 4х + 5, если -4 < х < 0,
5 - 2х, если 0 < х < 2,
/(*) =
2
—, если х > 2.
л:
а) Найдите /(-5); /(-3); /(0); /(4);
б) постройте график функции;
в) найдите D(f);
г) найдите E(f).
§ 2. Свойства функции
2.1. Используя свойства числовых неравенств, исследуйте
функцию на монотонность:
3
б) у = 5 - 2х; г) у = ^ - -^.
3; в) у = f + 1;
3

Используя свойства числовых неравенств, исследуйте
функцию на монотонность:
2.2. а) у = 2х3 - 3; в) у = | - х3;
б) у = 7 - у; г) у = 4 + х3.
02.3. а) у = х2 + 2х + 1, х > -1; в) г/ = -х2 + 6х - 12, х > 3;
б> У = 7ТЪ> х<-2; т)у= -^т, х > -5.
X -г & X + О
02.4. а) г/ = х3 + 2х; в) у = 4 - х5.
б) у = 5 - х3 - 6х9; г) z/ = х7 + х5 - 3.
02.5. а) у = Vx3 + 1; в) г/ = 2 - Vx;
б) у = 5 - х5 - Тгх3"; r) z/ = Vx7 + х - 1.
Исследуйте функцию на ограниченность:
02.6. а) у = х2 - 8х + 1; в) у = -2х2 - 6х + 15;
_ 2х - 4 Л ч 5 - 2х .
б) г/ = , х > 0; г) г/ = -у——, х < 1.
O2.7. а) г/ = V-x2 + 4х - 5; в) г/ = V-2x2 + 8х + 9;
^ч /Л5 - 4х + 1 ч
б)!/ = V * ; Г) у = v^r
2х2 -4х + 2'
Найдите наименьшее и наибольшее значение функции:
2.8. а) у = 3 - 2х, х 6 [-1; 3];
б) г/ = -2х2 + 2х, х 6 [-3; 2];
в) г/ = 3 - 4х, х 6 (-оо; 3];
г) у = х2 + 4х + 5, х € (0; 1].
2.9. a) z/ = yfc, х 6 [2; +сю); в) у = V^, x 6 [1,44; 6,25];
б) г/ = ->£, х € [1; 9]; г) у = -Ji9 x € (0; 1,69].
О2.10. а) у = 2\х\ - 1, х 6 [-3; 2]; в) у = 1,5 - |5х|, х 6 [-8; 2];
б) у = 3 - |2х|, х 6 (-5; 4]; г) у = б|х| - 2, х 6 [-10; 4).
2.11. Исследуйте функцию на четность:
а) у = х2 4- 2х4 + 1; в) у = ~^^41 ;

Постройте и прочитайте график функции:
13
—, если х < О,
*
Зл/jc, если х > 0.
[4 - 2л:2, если -1 < х < 1,
02.13. у = \ '
[х + 1, если 1 < х < 3.
Г2, если -3 < х < 0,
02.14. г/ = \yfc + 1, если 1 < х < 4,
[(* - 5)2 + 2, если 4 < х < 6.
1л:3, если л: < 0,
-л:2 + 2х + 2, если 0 < х < 2,
л:, если 2 < л: < 4.
§ 3. Обратная функция
Для заданной функции найдите обратную функцию:
3.1. а) у = Зх - 1; в) у = Ьх + 2;
б) у = 2 + 4х; г)у = 3-х.
_ * + 1 3 - 2*
03.2. а) у = 27-3; В>^= 5^ТТ;
^ч 4 - Зх ч 2л: - 5
Для заданной функции найдите обратную; постройте
график заданной функции и обратной функции:
03.3. а) у = х2, х > 0; в) у = (х - I)2, х < 1;
б) г/ = VJc; г) г/ = 4^х-
03.4. a) z/ = х*; в) у = 1 - х3;
б)г/ = (х-2)3; r)z/ = (x + 3)3- 1.
#3.5. Выясните, существует ли обратная функция для заданной
функции. Если да, то задайте обратную функцию
аналитически, постройте график заданной и обратной функций:
а) у = х2 + 4* - 8, х 6 [-3; 0];
б) у = х2 + 4л: - 8, х е (-оо; -2);
в) у = -х2 + 2л: + 6, х € [0; 3];
г) у = -х2 + 2л: + 6, х € [3; +оо).
9

I I I I I I I I I
I I I I I I I I I I I I I
r тригонометрические
r функции
Pi
i i i i
§ 4. Числовая окружность
Горизонтальный диаметр СА и вертикальный диаметр DB
разбивают единичную окружность на четыре четверти:
АВ — первая, ВС — вторая, CD — третья, DA —
четвертая (рис. 2). Опираясь на эту геометрическую модель,
решите следующие задачи.
/
/
\
ч
в
о
D
>
j
/
\
j
А
PUC. 2
4.1. Вторая четверть разделена пополам точкой М, а третья
четверть разделена на три равные части точками К и Р. Чему
равна длина дуги: AM, BK9 MP, DC, KA, BP, CB, BC1
4.2. Первая четверть разделена на две равные части точкой М,
а четвертая — на три равные части точками К и Р. Чему
равна длина дуги: AM, BD, CK, MP, DM, MK, CP, PC?
4.3. Первая четверть разделена точкой М в отношении 2 : 3.
Чему равна длина дуги: AM, MB, DM, MCI
4.4. Третья четверть разделена точкой Р в отношении 1:5.
Чему равна длина дуги: CP, PD, API
10

Найдите на числовой окружности точку, которая
соответствует заданному числу:
4.5.
4.6.
4.7.
4.8.
4.9.
4.10.
4.11.
а)
а)
а)
а)
а)
а)
а)
к.
2'
7я;
к.
3'
2я.
3 '
4л.
3 '
я.
2*
25л.
4 '
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
п;
4я;
я.
4'
Зл.
4 '
5л
3 '
2л.
3 '
26л.
3 '
в)
в)
в)
в)
в)
в)
в)
Зл.
2 '
Юл;
я.
6'
5л.
6 '
7л.
6 '
-2л;
25л.
6 '
г)
г)
г)
г)
г)
г)
г)
2л.
Зл.
л
8*
5л
4 '
11л
6 '
Зл
4 "
16л
3 "
4.12. Что вы можете сказать о взаимном расположении точек,
соответствующих заданным числам, на координатной
прямой и на числовой окружности?
а) t и - t; в) t и t + л;
б) t и t 4- 2rcfc, fc G Z; г) t + л и * - п?
4.13. Найдите все числа, которым соответствует на числовой
окружности точка:
а) Мг(^\ б) М2(5); в) М3(^\ г) М4(-3).
4.14. Найдите все числа, которым соответствуют на числовой
окружности заданные точки (рис. 2):
а) А; б) С; в) А и С.
4.15. Найдите все числа, которым соответствуют на числовой
окружности заданные точки (рис. 2):
а) В; б) D; в) Б и D.
O4.16. Найдите на числовой окружности точку, которая
соответствует числу:
а) 1; б) -5; в) 4,5; г) -3.
11

Какой четверти числовой окружности принадлежит точка,
соответствующая числу:
04.17. а) 6; б) 2; в) 3; г) 4.
04.18. а) 5; б) -5; в) 8; г) -8.
Найдите все числа £, которым на числовой окружности
(рис. 2) соответствуют точки, принадлежащие указанной
открытой дуге (т. е. дуге без ее концов):
04.19. a) AM; б) СМ; в) МА; г) МС.
(М — середина первой четверти.)
04.20. a) DM; б) BD; в) MD; г) DB.
(М — середина второй четверти.)
§ 5. Числовая окружность на координатной тоскости
Центр числовой окружности совпадает с началом
координат на координатной плоскости хОу. Найдите декартовы
координаты заданной точки:
5.1. а) м($); 6)M(j); в) m(j); г) м[|
5.2. а) М{2п); б) м(^0; в) м(-^\ г)
р); б) м(^); в) м[-^]; г) м(-М*).
Найдите наименьшее положительное и наибольшее
отрицательное числа, которым на числовой окружности
соответствует точка с координатами:
5.4. а, „(£, 1}
5.5.
12

Найдите на числовой окружности точки с данной
ординатой и запишите, каким числам t они соответствуют:
5.6. а) у = ^-; б)У = \; в)у = О; ^
5.7. а) У = ~^\ б)у = 1; в)у = -^-; т) у =-1.
Найдите на числовой окружности точки с данной
абсциссой и запишите, каким числам t они соответствуют:
5.8. а) х = ^-; б)* = |; в) * = 1; г)* = ^«
1 Л*
5.9. а)х = О; б)х = -±; в) * = -^-; г) * =-1.
05.10. Укажите знаки абсциссы и ординаты точки числовой
окружности:
а)Я(2); б)#(-4); b)F(-1); r)L(6).
Найдите на числовой окружности точки с абсциссой или
ординатой, удовлетворяющей заданному неравенству, и
запишите (с помощью двойного неравенства), каким
числам t они соответствуют:
05.11. а) х > 0; б) х < -; в) х > -; г) * < о.
05.12. а)*<^; б)*>-^; в) * < -^; г) * > ^.
05.13. а) у > 0; ^^f; в>у>2; г) ^ < °*
05.14. а) у < ^; б) i/ > -^; в) у < -^; г) у > ^-.
§ 6. Синус и косинус. Тангенс и котангенс
Вычислите sin t, cos t и tgt, если:
в.1. a)t = O; б)* = £; в)^ = ^; r) t = п.
6.2. a) t = -2л; 6) t = -^; в) t = -^; r) * = -я.
6.3. a) t = ^; 6)t = ^p; B)t = ^; r) t =—.
6 4 о 4
13

Вычислите sin t, cos t и tg t, если:
6.4. a), = -^; 6)t—if; B)t = -
6.5. a)t = ±f*; 6)t = -*p; в)* = ^; г) *=-П*
о 6 *
Вычислите:
O6.6. a) sin| ~
б) cos — • cos — • cos — • cos —;
6 4 3 2
г) sin- • sin- • sin- • sin-.
O6.7. a) sinf-—1 + cosf--l + sin- • cos£ + cosO • sin-;
4 I \ J
^ч 5л 4я . Зя . 5я Зя
б) COSy + COSy + Siny • Sin— • COSy.
6.8. a) tg ^ + ctg ^; в) tg | - ctg |;
4 4 о о
O6.9. a)tg^sinf -ctgb
6
6) 2 sin n + 3 cos n + ctg -;
в) 2 sin f • cos f - I tg2 f ;
f
r) 2 tgO + 8 cos Щ - 6 sin2 |.
6.10. a) tg \ ■ ctg £; в) tg f • ctg f;
О о 7 7
б) 3 tg 2,3 • ctg 2,3; г) 7 tg — • ctg —.
14

6.11. Докажите тождество:
a) sin t • ctg t = cos *; в) cos t • tg t = sin *;
лч sin £ ч cos t .
6) = cos *; r) = sin t.
tg t ctg *
Об. 12. Упростите выражение:
a) sint - coat • tgt; в) sin21 - tgt • ctgt;
1 - cos21
6) sin t - cos £ • ctg t - 1; r)
1 - sin2
Найдите значение выражения:
O6.13. a) cos 2*, если * = -; в) sin 2f, если * = ~;
2 о
б) sin -, если * = ~; г) cos -, если * = --.
2 о 2 3
Об. 14. a) sin2 * - cos2 *, если * = -;
3
б) sin2 * + cos2 *, если * = —;
4
в) sin2 * - cos2 *, если * = —;
4
г) sin2 * + cos2 *, если * = —.
6
O6.15. Найдите наименьшее и наибольшее значения выражения:
а) 2 sin *; б) 3 + 4 cos *; в) -3 cos *; г) 3 - 5 sin *.
Решите уравнение:
6.16. a) cos* = —; в) cos* = --;
Z 2
б) sin* = --; г) sin* = —.
6.17. a) sinf =-^; в) cost =-^;
6) sin * = 73; г) cos * = -f.
15

6.18. Решите уравнение:
а) sin t + 1 = 0; в) 1 - 2 sin t = 0;
б) cos t - 1 = 0; г) 2 cos t - 1 = 0.
6.19. Укажите все значения t, при которых не имеет смысла
выражение:
ч sin t - 1 ^ cos t + 5 v cos t ч sin £
a) ; o) т=\ в) ; г) .
cost 2sin*-V3 3-3sin* 10-20cos*
Определите знак числа:
06.20. a) sin у; б) cos f ~ J; в) sin —; r) sin [-—
O6.21. a) tg ^; 6) ctg 1^; в) tg fj; r) ctg 1^.
06.22. a) sin (-2); 6) cos 3; в) sin 5; r) cos (-6).
06.23. a) sin 10; 6) cos (-12); в) sin (-15); r) cos 8.
06.24. a) sin 1 • cos 2; в) cos 2 • sin (-3);
06.25. a) cos Ц - tg Щ; в) sin £j - ctg f;
6) tg 1 - cos 2; r) sin 2 - ctg 5,5.
06.26. a) sin 1 • cos 2 • tg 3 • ctg 4;
6) sin (-5) • cos (-6) • tg (-7) • ctg (-8).
06.27. Вычислите:
a) cos 1 + cos (1 + n) + sin — + cos —
3 6
6) sin 2 + sin (2 + tt) + cos2 [ ~ \ + sin2 —.
16

Вычислите:
O6.28. a) sin2 (1,5 + 2nk) + cos2 1,5 + cos I ~ I + sin I ~
6) cos2 (| + 4л 1 + sin2 (| - 44л
O6.29. a) tg 2,5 • ctg 2,5 + cos2 к - sin2 - - cos2 £;
8 8
.2 ЗЛ о 4-«. 1 Л4-~ 1 , 2 Г 37П , . 2 57С
6) sin2 ^ - 2 tg 1 ctg 1 + cos2 -— + sin2 ^.
Решите уравнение:
06.30. a) 10 sin t = 775; в) 8 cos * - 732 = О;
б) л/8 sin * + 2 = 0; г) 8 cos t = -748.
06.31. a) sin21 + cos2 - - 72 sin * = 0;
6) J- cos £ = cos 1 + sin 1.
•6.32. a) Isin *l = 1; в) Icos t\ = 1;
6) 7l - sin2* = i; r) 7l-cos2* = ±±.
2 2
O6.33. Имеет ли смысл выражение:
a) ^/sin 10,2тг; в) ^sin (-3,4тг);
б) yjcos 1,3л; в г) ^/cos (-6,9л)?
#6.34. Сравните числа а иЬ, если:
а) а = sin ^, Ь = sin ^; в) а = cos 5» ^ = cos ^;
б) а = cos 2, & = sin 2; г) а = sin 1, 6 = cos 1.
•6.35. Определите знак разности:
а) sin Ш - sin ±^; в) sin ^ - cos ^;
У У О ~1
б) sin 1 - sin 1,1; г) cos I - cos 0,9.
17

Расположите в порядке возрастания числа:
O6.36. a) sin £, sin £, sin ^, sin ^, sin 4r;
7 5 о 6 о
б) COS ^, COS ^, COS ^, COS ^, COS -^.
•6.37. a) sin 2, sin 3, cos 4, cos 5; в) sin 3, sin 4, sin 6, sin 7;
6) cos 3, cos 4, cos 6, cos 7; r) cos 2, cos 3, sin 4, sin 5.
•6.38. a) 1, sin 1, cos 1, tg 1; 6) 2, sin 2, cos 2, ctg 2.
Решите неравенство:
06.39. a) sin t > 0; в) sin f < 0;
6) sin t < ^; r) sin t > ^.
06.40. a) cos * > 0; в) cos t < 0;
6) cos t < —; r) cos t > —.
O6.41. a) sin * > -^; в) sin t < -^-;
2
6) cos t > -—; r) cos £ < -—.
§ 7. Тригонометрические функции
числового аргумента
Упростите выражение:
7.1. а) 1 - sin2 t; в) 1 - cos2 *;
б) cos2f-l; r) sin2f-l.
7.2. а) (1 - sin t) (1 + sin t); в) (1 - cos *) (1 + cos t);
6) cos21 +1 - sin2 *; r) sin2 * + 2 cos2 * -1.
18

Упростите выражение:
7.3. а) —V-1; в) l--rV;
' cos2t sin2t
^ч 1 - sin21. ч 1 - cos21
cos21 ' 1 - sin21 '
- . v (sin t + cos t)2 . -. 1 - 2 sin f cos f
'* * a' 1 + 2 sin * cos *' ' (cos * - sin t)2 '
7.5. Докажите тождество:
cos21 . . л sin2
sin t = 1; 6)
cos21 . . л si
a) ; : sin t = 1; 6) i
' 1 - sin t ' 1 +
cos t
+ cos t = 1.
O7.6. Докажите, что при всех допустимых значениях t
выражение принимает одно и то же значение:
a) sin41 - cos41 + 2 cos2 *;
. 22^2^
в) sin41 + cos41 + 2 sin2 * cos2 f;
sin4 £ - cos4 t
r)
sin21 - cos2
По заданному значению функции найдите значения
остальных тригонометрических функций:
07.7. a) sinf = -, - < t < к; в) sin* = -0,6, ~ < t < 0;
о 2^ &
б) sin* = -^-, 0 < t < Ь г) sin* = -0,28, тс < * < —.
1о 2 * 2
07.8. a) cos* = 0,8, 0 < * < -; в) cos* = 0,6, Щ- < t < 2л;
2 2
б) cos* = --^, ^ <t <п; г) cost = -|J, n < t < Щ-.
07.9. a) tgt = |, 0 < * < ^; в) tg* = -f, \ < t < п;
4 2 4 г
б) tg* = 2,4, ж t < Ц; г) tgt = —, Щ < t < 2il
19

07.10. По заданному значению функции найдите значения
остальных тригонометрических функций:
а) ctg* = f, ж * < f; в) ctg* = -А, М < t < 2л;
б) ctgt = ^-, 0 < t < £; г) ctgt = -/L, £ < t < к.
O7.ll. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции
s = f(t), если:
а) f{t) = 1 - (cos21 - sin2 0;
б) f{t) = 1 - sin t - cos * • tg *;
в) /(£) = sin * + 3 sin21 + 3 cos2 *.
r) /(*) = cos2 * • tg2t + 5 cos21 -1;
Упростите выражение:
cos t - 1
sin*
O7.12. a) ctg* - ^^—-; в) cos2* - (ctg2* + 1) ■ sin2*;
6) ctg2 * - (sin"2 * -1); r) sin2* ] + tg * • ctg t.
cos * — 1
sin* sin* cos* cos* t
Ю l + cos* + Г^о77; B) 1 + sin* + 1 - sin*'
6) ctg21 ■ (cos21 - 1) + 1; r) ^tgV
Докажите тождество:
O7.15. a)l + sin^C0Sf + ctgf; в)
1 - sin * cos *
ctg * ' cos * 1 + sin *
6) ^— = 1 + cos*; r) = .
tg* 1 - —* ™*
O7.16. a) (dn' + coBQ'-l = 2t 2
ctg * - sin * cos * s
6) sin3 * (1 + ctg *) + cos3 * (1 + tg *) = sin * + cos *.
20

ОТ.П. а) Дано: sin (4л + t) = -, 0 < t < -. Вычислите tg(n - t).
5 2
б) Дано: cos (2л + t) = —, — < * < 2л. Вычислите ctg (л - *).
13 2
O7.18. а) Дано: cost = , 8,5л < t < 9л. Вычислите sin (-£).
13
б) Дано: sin t = -, — < t < 5л. Вычислите cos (-*) + sin (-£).
о 2t
17 7Г
•7.19. Вычислите sin t 4- cos t, если tg ^ - 7—7 = -75- иО<К ^.
•7.20. Постройте график функции:
а) г/ = cos2 л: + sin2 x; в) г/ = sin2 Va: + cos2 yfx;
б)у = cos2 ^ + sin2 i; r) z/ = sin2 —^— + cos2 —^—.
л: л: х2 - 4 л:2 - 4
§ 8. тригонометрические функции
углового аргумента
Переведите из градусной меры в радианную:
8.1. а) 120°; б) 220°; в) 300°; г) 765°.
8.2. а) 210°; б) 150°; в) 330°; г) 675°.
Переведите из радианной меры в градусную:
8.3. а) ^; б)^; в) f; г) ^..
8.4. а) М; 6)g; в) Щ, г).*р.
Вычислите sin a, cos а, tg а, ctg а для заданного
значения угла а:
8.5. а) 90°; б) 180°; в) 270°; г) 360°.
8.6. а) 30°; б) 150°; в) 210°; г) 240°.
Расположите в порядке возрастания числа:
08.7. sin 40°; sin 80°; sin 120°; sin 160°.
08.8. cos 40°; cos 80°; cos 120°; cos 160°.
08.9. sin 20°; sin 110°; sin 210°; sin 400°.
21

Найдите сторону х прямоугольного треугольника,
изображенного на данном рисунке:
8.10. а) рис. 3; б) рис. 4; в) рис. 5; г) рис. 6.
8.11. а) рис. 7; б) рис. 8; в) рис. 9; г) рис. 10.
а
а
N
л
+**
***
4,
<
J
у
/
/
/
/
Рыс. 3
РЫС. 4
Рыс 5
РЫС. 6
А
/
/
\
\
\
X
\
\
а
*^
г—Да-
f
у
Г
\
_ V
\
J
2
J
зо/
V
7
/
X
/
f
РЫС. 7
Л
X
/
/
/
г
2
N
П
\
\
\
60
с
РЫС. 8
РЫС. 9
РЫС. 10
22

08.12. В прямоугольном треугольнике известны гипотенуза с и
острый угол ос°. Найдите катеты, площадь треугольника и
радиус описанной окружности, если:
а) с = 12, а = 60°; в) с = 4, а = 30°;
б) с = 6, а = 45°; г) с = 60, а = 60°.
08.13. Хорда АВ образует с диаметром АС окружности угол а°.
Найдите длину хорды АВу если радиус окружности равен R.
08.14. Докажите, что площадь выпуклого четырехугольника
равна половине произведения его диагоналей на синус угла
между ними.
08.15. В ААВС известно, что АВ= 4^/2 см, ZA = 45°, ZC = 30°.
Найдите ВС, АС и площадь ААВС.
08.16. Высота треугольника составляет 5 см, а углы, прилегающие
к основанию, равны 60° и 45°. Найдите площадь
треугольника.
§ 9. Формулы приведения
Упростите выражение:
9.1. a) sin [--*]; в) cos (— + Л
б) cos (2тс - t); г) sin (тс + t).
9.2. a) sin (тс - t); в) cos (2тс + t);
б) cos - + t k г) sm t
I2 / I2
9.3. a) cos (90° - а); в) sin (270° - a);
6) sin (360° - a); r) cos (180° - a).
.4. a) tg(j-<);
9.4. a) tg(j-<); в) tg (| +
6) ctg (180° - a); r) ctg (360° - a).
9.5. Вычислите с помощью формул приведения:
а) sin 240°; в) cos 330°;
б) tg 300°; г) ctg 315°.
23

Вычислите с помощью формул приведения:
9.6. a) cos —; в) sin ^;
3 Ь
O9.7. a) cos 630° - sin 1470° - ctg 1125°.
б) sin (-7л) + 2 cos Ц± - tg ^;
3 4
в) tg 1800° - sin 495° + cos 945°;
г) cos (-9тс) + 2 sm ctg
L
6 j -{ 4 ;
Упростите выражение:
09.8. a) sin (90° - a) + cos (180° + a) + tg (270° + a) + ctg (360° + a);
6) sin (- + t\ - cos (тс - t) + tg (тс - t) + ctg [ — - t
cos (180° + a) cos (-a) sin (-a) ctg (-a)
09.9. a) O ; в)
sin (-a) sin (90° + a) ' ' cos (360° - a) tg (180° + a)'
sin (я -1) cos (2я -1) л sin (л + t) sin(2K+Q
cos (я - t) + cos ^ - t
O9.10. a) ^
sin (2k - t) - sin 4? "
sin2 (я - t) + sin2 {5 - t
б) ГГ-7—"
O9.ll. Докажите тождество:
sin |
. tg (7C - t)
sin (тс - t) Cg{2 - J cos (2ti - Q _ .
. , ч " , ч * . — Sin Г.
tg(я + O ^/^я , Л sin И)
24

Решите уравнение:
09.12. а) 2 cos (2тс + t) + sin (- + А = 3;
V2 )
б) sin (тс + t) + 2 cos | - + t ] = 3;
в) 2 sin (тс + t) + cos f - - A = --;
\2 ) 2
r) 3 sin f - + t) - cos (2tc + f) = l.
09.13. a) 5 sin (- + Л - sin (— + A - 8 cos (2тс - t) = 1;
6) sin (2tc + 0 - cos f - - t I + sin (тс - t) = 1.
I 2
O9.14. a) sin2 (тс + t) + cos2 (2тс - t) = 0;
6) sin2 (тс + t) + cos2 (2тс - t) = 1.
§ 10. Функция jr= sin лс ее свойства и график
Для функции у = f(x)y где f(x) = sin л:, найдите:
10.1. а)/(тс); б) /Г-|1; в) /(у); г) /(-jj.
10.2. а) Я-*); б) Я2х); в) f(x + 1); г) Дх) - 5.
О10.3. Найдите значение функции:
а) у = 2 sin jc - - + 1 при х = —;
б) г/ = -sin л + 7
B)tf = 2sinx-f+l при х = ±£;
г) у = -sin | л: + ^ j при л: = -—-.
25

10.4. Не выполняя построения, ответьте, принадлежит ли
графику функции у = sin х точка:
a)f-|; -l\ в)(тс; 1);
«(И) г)(¥;-'}
О10.5. Не выполняя построения, ответьте, принадлежит ли
графику функции z/ = -sinjt + -M+2 точка:
V 6)
г)(4тс; 2,5).
010.6. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции
у = sin x:
а) на отрезке -, — ; в) на интервале | -—, — |;
[_4 3 J ^ 2 4 J
б) на луче —, +оо); г) на полуинтервале -тс, — .
L4 / V 3J
Постройте график функции:
010.7. а) у = sin he - - с в) у = sin (л:-тс);
б) у = sin л: + - ; г) у = sin x + -
010.8. а) г/ = sin х - 2; в) у = sin jc + 2;
б) у = sin л: + 1; г) у = sin л: - 3.
010.9. а) у = sin Гх - ^) + 1; б) У = sin [х + ^ j - 1.
010.10. а) г/ = -sin [ х + | t б) у = -sin jc + 3.
26

Решите графически уравнение:
010.11. a) sin х = х + тс; в) sin х + х = 0;
б) sin х = 2х; г) sin х = 2х - 2тс.
•10.12. a) sin х = -х; б) sin х = --х + 3.
к к
010.14. Докажите, что функция у = f(x) является нечетной, если:
х2 - sin х
•10.13. a) sin х - у/х - п = 0; б) -sin х = \[х.
Докажите, что функция у = f(x) явл
а) f(x) = х + sin x; в) f(x) = 2
X — У
б) f(x) = Xs • sin х2; г) f(x) = х3 - sin x.
•10.15. Дано: f(x) = 2x2 -лг + 1. Докажите, что
/(sin х) = 3 - 2 cos2 jc - sin jc.
010.16. Постройте график функции у = f(x)9 где:
\х2у если jc < О,
[sin x, если х > 0;
sin xy если x < 0,
jc2, если jc > 0.
{sin jc, если -тс < х < 0,
л/л:, если л: > 0.
а) Вычислите: /(-£ \ /(0), /(1), /(тс2);
б) постройте график функции г/ =
в) прочитайте график функции у = /(л:).
010.18. Дана функция г/ = f(x)9 где /(^) = *' еСЛИ * < °'
[sin jc, если 0 < х < тс.
а) Вычислите: /(-2), /(0), /(1);
б) постройте график функции у = f(x);
в) прочитайте график функции у = f(x).
27

§ 11. Функция у= cosx, ее свойства и график
Для функции у = f(x), где f(x) = cos x, найдите:
11.1. а) /(j); б)Л-я); в) fi*±y г) ^-Mj.
11.2. а) /(-*); б) /(3*); в) Я* + 2); г) f(x) - 6.
Найдите значение функции:
11.3. у = 2 sin jc + cos x, если:
O11.4. у = 2 cos [ х - - ] - 1, если:
Постройте график функции:
O11.5. а) у = cos | х + | |; в) z/ = cos [ л: - f |;
б) у = cos f д: - %Л г) У = cos fx + у
011.6. а) г/ = cos х + 1; в) г/ = cos л: ;
б) г/ = cos х - 2; г) г/ = cos jc + 1,5.
011.7. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции
у = cos x:
а) на отрезке —; — ;
L6 з J
б) на интервале -тс; —
4
в) на луче ~"Г»
о
г) на полуинтервале
28
[я Зя
~з; Т

O11.8. Постройте и прочитайте график функции у = f(x), где:
[х + 2, если х < О,
a) fix) =
[cos Ху если х > 0;
cos л:, если л: < —,
б) «*) = 2
sin л:, если х > —;
ч */ ч I > еСЛИ * < °'
в) f(x) = < х
[-cos х, если х > 0;
J-cos ху если л: < О,
2л:2 - 1, если х > 0.
Решите графически уравнение:
O11.9. a) cos х = х + -; в) cos Jt = 2x + 1;
б) -cos * = 3* - 1; г) cos x = -х + ^.
•11.10. a) cos л: = Vjc + 1; в) cos x = -{х - тс)2 - 1;
/ТС II
б) cos jc = Jjt ; г) cos x = |jc| + 1.
Oil.11. Докажите, что функция у = f (x) является четной, если:
a) f(x) = х2 • cos х; в) /(*) = j-j ;
б) /(*) = ^^т; г)
4 — х
Oil.12. Докажите, что функция у = f (x) является нечетной, если:
a) f(x) = sin x • cos х; в) f(x) =
х(2Ь-х2У
б) f(x) = хъ • cos 3*; г) /(*) = л:11 • cos х + sin x.
29

•11.13. а) Дано: f(x) = 2x2 - Зх - 2. Докажите, что
-/(cos х) = 2 sin2 х + 3 cos x.
б) Дано: /(*) = 5л;2 + х + 4. Докажите, что
/(cos л;) = 9 + cos л; - 5 sin2 x.
§ 12. Периодичность функций у= smx, y= cosx
12.1. На рисунке 11 изображена часть графика периодической
функции у = f(x) на отрезке [-1; 1], длина которого равна
периоду функции. Постройте график функции:
а) на отрезке [1; 3];
б) на отрезке [-3; -1];
в) на отрезке [3; 7];
г) на всей числовой прямой.
12.2. На рисунке 12 изображена часть графика периодической
функции у = f(x) на отрезке [0; 3], длина которого равна
периоду функции. Постройте график функции:
а) на отрезке [3; 6];
б) на отрезке [-3; 0];
в) на отрезке [6; 12];
г) на всей числовой прямой.
V
\
-1
У1
1
л.
ч
о
1
1
1
X
л
О
/
s
*~
1,
4
5
1
1
N
N
3
X
Рис. 11
PUC. 12
O12.3. Постройте график периодической функции у = f(x) с пе-
риодом Т = 4, если известно, что f(x) = — на отрезке
[-2; 2].
30

O12.4. Постройте график периодической функции у = f(x) с
периодом Т = 2, если известно, что f(x) = jc4 на отрезке [-1; 1].
12.5. Является ли число 32л периодом функции у = sin x,
у = cos х? А основным периодом?
Вычислите, преобразовав заданное выражение (sin t или
cos t) к виду sin t0 или cos t0 так, чтобы выполнялось
соотношение 0 < t0 < 2л или 0 < t0 < 360°.
012.6. a) sin 50,5л; в) sin 25,25л;
б) sin 51,75л; г) sin 29,5л.
012.7. a) sin 390°; в) sin 540°;
б) cos 750°; г) cos 930°.
012.8. Докажите тождество:
а) sin2 (х - 8л) = 1 - cos2 (16л - х);
б) cos2 (4л + х) = 1 - sin2 (22л - х).
012.9. Решите уравнение:
а) sin (х + 2л) + sin (х - 4л) = 1;
б) 3 cos (2л + х) + cos (х - 2л) + 2 = 0;
в) sin (дг + 4л) + sin (#-6л) = л/3;
г) cos (х + 2л) + cos (х - 8л) = л/2.
§ 13. Преобразование графиков
тригонометрических функций
Постройте график функции:
13.1. а) у = 2 sin х; в) у = -sin x;
б) y = -cos х; г) у = 3 cos x.
13.2. а) у = -2 sin x; в) у = 1,5 sin x;
б) у = -3 cos х; г) у = -1,5 cos x.
31

13.3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
у = 2 cos x:
а) на отрезке
_*. «г
2' 2>
б) на интервале | 0; —
Г я Зя
в) на полуинтервале —; —
3 2
г) на отрезке ——; -— .
13.4. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
у = -3sin:c:
а) на луче [0; +оо);
б) на открытом луче | -оо; —
в) на луче ""» +о° »
г) на открытом луче (-оо; 0).
O13.5. Известно, что f(x) = 3 sin x. Найдите:
б) 2/(*); г)/<-*) + /<*).
013.6. Известно, что f(x) = — cos x. Найдите:
а) П-х); б) 2f(x); в) f(x + 2я); г) /(-*)-/(*).
Постройте график функции:
о
013.7. а) у = 2 sin х - 1; в) i/ = — sin д: + 3;
б) i/ = -- cos д: + 2; г) i/ = 3 cos # - 2.
013.8. а) у = 2 sin [ * - | ]; в) у = -sin Где + у \
6) j/ = -3 cos (x + | j; г) у = 1,5 cos (x - у \
32

#13.9. Составьте возможное аналитическое задание функции по
ее графику, изображенному:
а) на рис. 13; б) на рис. 14.
1
-|
V
\
-2
V
\
\
-1
i
4
■ л -
1
м
1
о
(2
л
4
71
X
/
(
2Е
2
1
/
Vi
5
- Л -
1
О
\
1
/
1
2
/
/
/
/
X
Рис. 13
PUC. 14
О13.10. Постройте и прочитайте график функции у = f(x):
a) f(x) =
3 sin х, если х < -,
2 cos x + 3, если д: > —;
(-2 cos ху если д: < О,
—х , если * > 0.
2
O13.ll. Постройте график функции:
а) у = sin -;
о
б) у = cos 2x;
в) у = cos -;
г) у = sin Зх.
O13.12. а) г/ = 3 sin Ь
в) г/ = -3 cos 2#;
б) у = 2,5 cos
г) у = 2 sin |.
013.13. a) i/ = 3 sin (-
б) i/ = -2cos
2-Мордкович, 10-11 кл. Ч. 2
в) i/ = 2 sin (-2
г) у = -3 cos (-д:).
33

013.14. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции
у = sin 2x:
а) на отрезке ~; 0 ;
( к к
б) на интервале "' "~
V 4 2
в) на отрезке ~; j ;
г) на полуинтервале (0; я].
013.15. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции
у = cos —:
а) на луче [0; +оо);
б) на открытом луче (-оо; я);
в) на луче
(к
г) на открытом луче —; +°°
013.16. Известно, что f(x) = cos —. Найдите:
3
а)/(-*); в) f(-3x);
б)3/(х); г) f(-x)-f(x).
013.17. Известно, что f(x) = sin 2x. Найдите:
а) /(-*); в) Л-3*);
б) 2f(x); г) f(-x) + fix).
013.18. Постройте график функции:
а) у = sin 2х - 1; в) у = cos 2х + 3;
б) у = cos ^ + 1; г) I/ = sin Щ - 2.
2 3
013.19. Постройте и прочитайте график функции y = f(x):
(cos 2ху если х < я,
1
--, если * > я;
{-sin Зд:, если д: < 0,
л/л:, если д: > 0.
34

#13.20. Составьте возможное аналитическое задание функции
(предполагается, что D(f) = R) по ее графику, изображенному:
а) на рис. 15; в) на рис. 17;
б) на рис. 16; г) на рис. 18.
\
\
\
1
1
\
о
"1
/
(
ч
Ж
2
\.
)
/
f
\
\
I
L
/
о
л
\
\
71
t
i i
t \
i
i
i
X
PMC. 15
PMC. 16
1
f
\
\
\
\
w
2<
1
/
/
\
о
\
1
0
\
Д
•A
\
\
ч
/
f
j
I
1
ч
-
X
PMC. 17
-
2л
V
\
/
/
J
/
/
-7
/
\
\
Ы
о
Z"
\\
\o
i
1
•**
2л
/
PMC. 18
2*
35

§ 14. Функцииy=tgx,y=ctgx,
их свойства и графики
14.1. Найдите значение функции y = tgx при заданном
значении аргумента х:
а)х = 1; б)х = ^; в)х = ^; т)х = п.
4 3 4
14.2. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции
у = tg х на заданном промежутке:
а) на интервале —; —
^2 2
б) на полуинтервале -^; л ;
I 4 J
в) на отрезке ™; ^ ;
г) на полуинтервале
И)-
O14.3. Решите графически уравнение:
a) tg х = -л/3; б) tg х = 1; в) tg х = -1; г) tg x = 0.
14.4. Найдите значение функции у = ctg x при заданном
значении аргумента х:
а)х = ^; б)* = £; в)х = 2п; г)* = £.
4 о Z
14.5. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции
у = ctg х на заданном промежутке:
г«. «г
а) на отрезке | 7' "о Г в) на интервале (-л; 0);
_ Гя ^ Гл. Зя]
б) на полуинтервале —; я ; г) на отрезке т> -т" •
|_2 J L J
O14.6. Решите графически уравнение:
л/5
a) ctg х = 1; в) ctg д: = -—-;
о
б) ctg х = ^-; г) ctg * = 0.
3
36

O14.7. Исследуйте функцию y = f(x) на четность, если:
а) f{x) = tg x - cos х; в) f(x) = ctg2 х-х4;
б) fix) = tgx + x; г) /(х) = х3 - ctg x.
о
014.8. Известно, что tg (9л - х) = --. Найдите tg x, ctg x.
4
014.9. Известно, что ctg (7л - х) = -. Найдите tg x, ctg x.
014.10. Определите знак разности:
а) tg 200° - tg 201°; в) tg 2,2 - tg 2,1;
б) tg 1 - tg 1,01; г) tg у - tg у.
014.11. Дана функция y = fix)9 где /(x) = tgx. Докажите, что
/(2х + 2л) + /(7л - 2х) = 0.
014.12. Дана функция i/ = /(x), где /(х) = х2 + 1. Докажите, что
/(tg х) = -Л--
COS X
Постройте график функции:
•14.13. а) у = 02 tg х • ctg x;
б) у = tg x • ctg х + Vx.
•14.14. а) у = sin2 (tg x) + cos2 (tg x);
б) у = 2 cos2 (ctg x) + 2 sin2 (ctg x).
•14.15. а) у = tg (cos x) • ctg (cos x);
б) у = -2 tg (sin x) • ctg (sin x). .

I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
тригонометрические
f уравнения -|
Г1 i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i Г
ГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГП
§ 15. Арккосинус. Решение уравнения cost- a
Вычислите:
15.1. a) arccos 0;
в) arccos —;
б) arccos 1;
15.2. a) arccos | -^
6)
arccos -
O15.3. a) arccos (-1) + arccos 0;
1 %/з
6) arccos arccos —;
O15.4. a) sin arccos —
6) tg (arccos ^
Решите уравнение:
15.5. a) cos t = -;
6) cos ^ = —;
15.6. a) cos t = -1;
VI.
r) arccos -.
в) arccos (-1);
r) arccos I —
VI
VI.
B) arccos | —^ I + arccos
r) arccos | — - arccos -.
в) ctg (arccos 0);
r) sin I arccos
6) cos t = —
2 '
в) cos t = 1;
r) cos t = ^-.
в) cos t = —;
Li
r) cos t = -^.
38

15.7. Решите уравнение:
1 3
а) cos t = -; в) cos t = --;
б) cos t = -1,1; г) cos t = 2,04.
015.8. Вычислите:
а) cos 2 arccos 3 arccos 0 - arccos —
б) - arccos - -I- arccos —
31 3 I 3
015.9. Найдите область допустимых значений выражения:
а) arccos x; в) arccos (x - 1);
б) arccos 2х; г) arccos (3 - 2х).
015.10. Имеет ли смысл выражение:
а) arccos л/б; в) arccos -;
5
б) arccos J-; г) arccos (-л/з)?
V 3
015.11. Докажите тождество
tg (arccos 0,1 + arccos (-0,1) + х) = tg x.
Решите уравнение:
Л.е1О ч 8 cos t - 3 л
015.12. а) = 1;
3 cos t + 2
_ 3 cos t + 1 5 cos t - 1 л „„
6) + = 1,75.
015.13. a) 6 cos2 t + 5 cos t + 1 = 0;
6) 3 + 9 cos t = 5 sin2 t.
015.14. Найдите корни заданного уравнения на заданном
промежутке:
а) cos* = —, х е [0, 2к];
б) cos* = --, х е [2ку 4я];
в) cos* = —, х е [-я, Зя];
г) cos л: = -1, хе [-^, 2я].
39

O15.15. Найдите корни заданного уравнения на заданном
промежутке:
а) cosjc = К х е (1, 6);
б) cosjc = -i jc e (2, 10);
в) cos* = ^, х е (-±,
#15.16. Постройте график функции:
а) у = arccos jc 4- arccos (-jc);
б) i/ = cos (arccos jc).
Решите неравенство:
O15.17. a) cos t > -;
6) cos t < -^;
2»
в) cos t > -^-;
r) cos ^ < -.
•15.18.
а) cos t < -;
о
б) cos t > --;
в) cos t > -;
3
r) cos t < —.
•15.19. a) 3 cos2 t - 4 cos t > 4; в) 3 cos2 t - 4 cos t < 4;
6) 6 cos2 t + 1 > 5 cos t; r) 6 cos2 t + 1 < 5 cos t.
•15.20. a) 4 cos2 t < 1;
6) 3 cos2 t < cos t;
в) 9 cos2 t > 1;
r) 3 cos21 > cos t.
•15.21.
Вычислите:
a) sin arccos -
I 5
V
13
•15.22. a) tg [ arccos | -^
40
6) sin (arccos (-0,8)).
6) ctg arccos -
V 5

§ 16. Арксинус. Решение уравнения sin t= a
Вычислите:
16.1. a) arcsin —; в) arcsin —;
б) arcsin 1; г) arcsin 0.
( ЛЛ
16.2. a) arcsin -— ; в) arcsin (-1);
б) arcsin | — ; г) arcsin -—
O16.3. a) arcsin 0 + arccosO;
б) arcsin -*— + arccos -*—;
в) arcsin - — + arccos —;
V 2 ) 2
7з
г) arcsin (-1) + arccos —.
O16.4. a) arccos I — I + arcsin I —
б) arccos arcsin (-1);
V 2 )
в) arccos + arcsin I
r) arccos arcsin -— .
16.5. Решите уравнение:
а) sin t = ^—; в) sin t = 1;
б) sin t = ^f; r) sin * = |.
41

Решите уравнение:
16.6. a) sin t = -1; в) sin t = ~;
б) sin t = -^s г) sin t = -—.
2 2
16.7. a) sin t = -; в) sin t = ~;
4 7
6) sin t = 1,02; r) sin t = -.
3
016.8. Докажите тождество:
а) sin (arccos x + arccos (-*)) = 0;
б) cos (arcsin x + arcsin (-jc)) = 1.
016.9. Найдите корни уравнения на заданном промежутке:
а) sin х = -, х € [0; 2тс];
б) cos х = —, х € [-к; к];
в) sin х = - — , х € [-к; 2я];
2
л/3
г) cos х = — , х € [-2п; к].
2
16.10. Найдите корни заданного уравнения на заданном
промежутке:
6)sinjc = -|,
V2
в) sin х = -g- , jc 6 (-4; 3);
г) sin x = |, xe (-3; 6).
42

016.11. Найдите область допустимых значений выражения:
a) arcsin x;
6) arcsin (5 - 2х);
016.12. Имеет ли смысл выражение:
а) arcsin — ;
б) arcsin 1,5;
Решите уравнение:
016.13. а) (2 cos х + 1)(2 sin х - , ~
б) 2 cos х - 3 sin jc cos jc = 0;
в) 4 sin2 jc - 3 sin jc = 0;
r) 2 sin2 x - 1 = 0.
016.14. a) 6 sin2 jc + sin jc = 2;
6) 3 cos2 jc = 7 (sin jc + 1).
в) arcsin —;
r) arcsin (jc2 - 3).
в) arcsin (3-л/20);
г) arcsin (4-V20)?
= 0;
O16.15.
•16.16.
•16.17.
•16.18.
•16.19.
Решите неравенство:
а) sin t > —;
б) sin t > —;
а) sin t < -;
3
б) sin t > -0,6;
a) 5 sin2 t > 11 sin t + 12;
a) 6 cos2 t + sin t > 4;
Вычислите:
а) cos arcsin -— | ];
I V 13
б) tg (arcsin 0,6);
в) sin t < ^-;
r) sin t < —.
в) sin t > -;
3
r) sin t < -0,6.
6) 5 sin2 t < 11 sin t + 12.
6) 6 cos2 t + sin * < 4.
в) cos arcsin — ;
r) ctg (arcsin (-0,8)).
43

§ 17. Арктангенс и арккотангенс.
Решение уравнений tgx= я, ctgx= a
Вычислите:
17.1. a) arctg ^-; в) arctg 73;
О
б) arctg 1; г) arctg 0.
17.2. a) arctg (-1); в) arctg | -^-
о
6) arctg (-7з); г) arctg --
17.3. a) arcctg —; в) arcctg -—
3 I 3
б) arcctg 1; г) arcctg 0.
O17.4. a) arcctg (-1) + arctg (-1);
б) arcsin + arcctg v~V3 j;
I 2 )
в) arcctg -\ - arctg ^-;
I 3 J 3
r) arccos — - arcctg (-v3).
I 2J
Решите уравнение:
17.5. a) tg x = 1; в) tg x = -1;
17.6. a) tg x = 0; в) tg x = -3;
6) tg x = -2; r) tg x = i
44

17.7. a) ctg x = 1; в) ctg x = 0;
б) ctg x = ->/3; г) ctg х = -^.
3
017.8. a) tg2 х - 6 tg * + 5 = 0;
б) tg2 x - 2 tg x - 3 = 0.
017.9. a) tg (я + x) = 73;
б) 2 ctg (2тс + х) - tg (± + xl = л/3;
в) -л/3 tg (я - х) = 1;
г) ctg (2я - jc) + tg (— + jc J = 2.
017.10. Постройте график функции:
а) у = arccos x + arccos (-jc);
б) у = arccos — + arccos f—j;
в) у = arcctg x + arcctg (-x);
г) у = arcctg Vjc + arcctg (-y[x).
§ 18. Тригонометрические уравнения
Решите уравнение:
018.1. a) sin 2jc = ^-; в) sin - = -;
б) cos - = -i; r) cos 4jc = 0.
3 2
018.2. a) sin ^-| j = £; в) tg {-Ax) = j=;
6) cos (-2*) = -^; r) ctg f-| j = 1.
018.3. a) 2 ooe f- - -5 ] = ч/З; в) 2 sin f 3x - ^1 = -V2;
6) V3 tg (| + jl = 3; r) sin f| - ^ j + 1-0.
45

Решите уравнение:
( \ (тг г\ г-
018.4. a) cos - - 2х = -1; в) 2 sin - - - = V3;
^6 ) [ 3 4 J
б) *« [ " " f I = -1; г) 2 cos (^ - 3jc ) = л/2.
V4 2У
018.5. a) sin - + t - cos (я + t) = 1;
б) sin (я + t) + sin (2я - 0 - cos f — + t | + 1,5 = 0;
в) cos f - - t I - sin (я + 0 = V2;
г) sin (я + *) + cos f £ + 11 = л/3.
V2 )
018.6. a) 3 sin2 x - 5 sin jc - 2 = 0;
б) 3 sin2 2jc + 10 sin 2jc + 3 = 0;
в) 4 sin2 jc + 11 sin x - 3 = 0;
r) 2 sin2 |-3 sin | + l = 0.
018.7. a) 6 cos2 x + cos x - 1 = 0;
б) 2 cos2 3jc - 5 cos Sx - 3 = 0;
в) 2 cos2 jc - cos x - 3 = 0;
r) 2 cos2 | + 3 cos | - 2 = 0.
018.8. a) 2 sin2 jc + 3 cos jc = 0;
б) 8 sin2 2x + cos 2x + 1 = 0;
в) 5 cos2 x + 6 sin x - 6 = 0;
r) 4 sin 3x + cos2 3x = 4.
46

O18.9. a) 3 tg2 x + 2 tg jc - 1 = 0;
б) ctg2 2jc - 6 ctg 2jc + 5 = 0;
в) 2 tg2 x + 3 tg jc - 2 = 0;
r) 7 ctg2 | + 2 ctg f = 5.
18.10. a) sin jc + 7з cos jc = 0; в) sin jc - 3 cos jc = 0;
6) sin jc + cos jc = 0; г) >/з sin x + cos jc = 0.
018.11. a) sin2* + sin x cos x = 0;
б) 7з sin jc cos jc + cos2 jc = 0;
в) sin2 jc = 3 sin jc cos jc;
r) V3 cos2 jc = sin jc cos jc.
018.12. a) sin2* + 2 sin jc cos x - 3 cos2jc = 0;
б) sin2 jc - 4 sin x cos jc + 3 cos2 jc = 0;
в) sin2 jc + sin x cos jc - 2 cos2 jc = 0;
r) 3 sin2 jc + sin jc cos jc - 2 cos2 jc = 0.
018.13. Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку
[0; 2л]:
а) (sin jc - - I (sin jc + 1) = 0;
6) cos jc + — (cos jc - 1) = 0;
V 2J
r) (1 + cos jc)(V2 sin jc - l) = 0.
47

018.14. а) Найдите корни уравнения sinjc = —, принадлежащие
отрезку [0; 4я].
б) Найдите корни уравнения cos х = — , принадлежащие
отрезку [-2я; Зя].
Найдите корни уравнения на заданном промежутке:
018.15. a) sin Зх = ^, [0; 2л]; в) tg - = ^, [-Зл; Зл];
2 2 3
б) cos Zx = ^-, [-к; я]; г) ctg Ах = -1, [0; я].
•18.16. a) sinx = -i, [-4; 4]; б) cos x = l, [-6; 16].
•18.17. a) sin - = 0, [-12; 18]; б) cos Sx = -^-, [1; 7].
O18.18. Решите уравнение sin 2jc - — = -1 и найдите:
а) наименьший положительный корень;
*ч Гл. Зл].
б) корни, принадлежащие отрезку \~z> ~~2\9
в) наибольший отрицательный корень;
г) корни, принадлежащие интервалу -л; —
O18.19. Решите уравнение cos I — - 2jc = - и найдите:
V3 ) 2
а) наименьший положительный корень;
Г л Зл]
б) корни, принадлежащие отрезку ~]7> "5" »
в) наибольший отрицательный корень;
г) корни, принадлежащие интервалу -к; ^
V z
48

Решите уравнение:
018.20. a) sin2 ^ - ^ = sin х - cos2 ^ + 1;
4 2 4
R
б) cos2 2jc - 1 - cos л: = — - sin2 2*.
018.21. a) tg jc - 2 ctg * + 1 = 0; в) 2 ctg x - 3 tg x + 5 = 0;
tg* + 5 _ 1 . 7 - ctg x l
б) о " T^TI' r)
cos л: 7 4 sin л:
018.22. a) 2 cos2 - + 7з cos - = 0; в) 7з tg2 3* - 3 tg 3jc = 0;
б) 4 cos2 * - £ - 3 = 0; г) 4 sin2 \2x + | - 1 = 0.
•18.23. a) sin2 x - 12 ~ ^2 sin x - 3>/2 = 0;
6) cos2 x - 8 " ^3 cos * - 2>/з = О.
018.24. a) sin 2x = cos 2*; в) sin - = 7з cos -;
б) л/3 sin 3x = cos 3jc; г) V2 sin 17* = 7б cos 17*.
018.25. a) 2 sin2 2* - 5 sin 2* cos 2* + 2 cos2 2* = 0;
6) 3 sin2 3* + 10 sin 3* cos 3* + 3 cos2 3* = 0.
018.26. a) sin2 - = 3 cos2 -; 6) sin2 4* = cos2 4*.
018.27. a) 5 sin2 * - 14 sin * cos * - 3 cos2 * = 2;
б) 3 sin2 * - sin * cos * = 2;
в) 2 cos2 * - sin * cos * + 5 sin2 * = 3;
r) 4 sin2 * - 2 sin * cos * = 3.
49

Решите уравнение:
018.28. а) 5 sin2 x + V3 sin x cos x + 6 cos2 x = 5;
б) 2 sin2 л; - 3 sin x cos Jt + 4 cos2 л; = 4.
018.29. a) 3 sin2 2jc - 2 = sin 2x cos 2jc;
6) 2 sin2 4jc - 4 = 3 sin 4x cos 4jc - 4 cos2 4jc.
018.30. a) 4 sin2 - - 3 = 2 sin - cos -;
6) 3 sin2 - + 4 cos2 - = 3 + V3 sin - cos -.
018.31. a) sin f - + 2x |+cos f - - 2x ) = 0;
I2 J I2 J
6) 2 sin (7C - 3x) + cos (27C - 3jc) = 0.
018.32. a) cos | — — — | — 3 cos (n - -1 = 0;
б) 7з sin (7C - -1 + 3 sin ( - - -1 = 0.
3 2 3
•18.33. a) Vl6 - x2 sin x = 0;
6) y/7x - x2 (2 cos x - 1) = 0.
•18.34. a) (V2 cosjc - l)V4jc2 - 7x + 3 = 0;
6) (2 sin jc - yfs^Sx2 - 7x + 4 = 0.
•18.35. Найдите область значений функции:
а) у = cos 3jc + 7cos2 Зх - 1;
б) у = sin 2jc + yjsin2 4л: - 1.

I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
Преобразование
г
f тригонометрических
г выражений
§ 19. Синус и косинус
суммы и разности аргументов
19.1. Представив 105° как сумму 60° + 45°, вычислите:
а) sin 105°; б) cos 105°.
Упростите выражение:
19.2. a) sin (ос + р) - sin а cos P;
б) sin — + а sin а;
I3 J 2
в) sin а sin р + cos (а + Р);
i я^ л/ .
r) cos а + - + — sin а.
4 2
19.3. a) sin | ос cos a;
б) л/3 cos а - 2 cos [ а - - 1;
в) — sin а + cos а ;
г) л/2 sin [а - - |- sii
sin а.
19.4. a) cos (а - Р) - cos а cos P;
б) sin (а + р) + sin (а - р);
в) sin а cos Р - sin (а - Р);
г) cos (а - Р) - cos (а + Р).
51

Докажите тождество:
19.5. a) sin (а + Р) + sin (-а) cos (~Р) = sin p cos а;
б) cos (а + Р) + sin (-а) sin (~P) = cos а cos p.
19.6. а) — cos х sin x = sin х ;
2 2 V3 J
.1 л/3 . (п Л
б) - cos х + — sin х = cos х .
2 2 V3 J
O19.7. a) sin (30°-a)-cos (60°-a) = -V3 sin a;
6) sin (30° - a) + sin (30° + a) = cos a.
19.8. a) sin 5jc cos Sx + cos 5x sin Sx = sin Sx;
6) cos 5jc cos 3jc - sin 5x sin 3jc = cos Sx.
19.9. a) sin 7x cos 4jc - cos 7x sin 4x = sin 3jc;
6) cos 2x cos 12jc + sin 2x sin 12jc = cos IOjc.
Найдите значение выражения:
O19.10. a) cos 107° cos 17° + sin 107° sin 17°;
б) cos 36° cos 24° - sin 36° sin 24°;
в) sin 63° cos 27° + cos 63° sin 27°;
r) sin 51° cos 21° - cos 51° sin 21°.
O19.ll. a) cos ^ cos у + sin ^ sin ^;
6) sin Щ cos ^ + cos Щ sin Ь
15 5 15 5
в) cos — cos — - sin — sin —;
52

Решите уравнение:
019.12. a) sin 2x cos x + cos 2x sin x = 1;
б) cos Зх cos 5x = sin Зх sin 5jc.
019.13. a) sin 6x cos x + cos 6jc sin x = -;
2
л/3
6) cos5jccos7jc - sin5jtsin7jt = .
019.14. a) cos 6jc cos bx + sin 6jc sin 5jc = - 1;
6) sin 3x cos bx - sin bx cos 3x = 0,5.
019.15. Найдите наименьший положительный корень (в градусах)
уравнения:
а) sin х cos 45° + cos x sin 45° =
= cos 17° cos 13° - sin 17° sin 13°;
б) cos x cos 60° - sin x sin 60° =
= sin 200° cos 25° + cos 200° sin 25°.
019.16. Найдите корни уравнения на заданном промежутке:
а) sin 0,2jc cos 0,8jc + cos 0,2jc sin 0,8jc = cos 3jc cos 2jc +
+ sin 3jc sin 2jc, x € [0; Зя];
б) cos 0,7jc cos 1,3jc - sin 0,7jc sin 1,3jc = sin 7x cos 9x -
- sin 9x cos 7jc, x € [-n; к].
019.17. Зная, что sint = -, 0 < t < —, вычислите:
5 2
a) sin - + t \; в) sin - + t
3 2
6) cos - + t ; г) cos -
V2 ) V3
O19.18. Зная, что cost = , — < t < 7С, вычислите:
lo 2
а) sin | t - - ; в) cos \t - - |;
б) cos \ t ; r) sin \t
2 J 12
53

•19.19. Зная, что cos a = Щ, cos р = |, 0 < а < £, 0 < р < £,
найдите значение выражения:
a) sin (а - р); б) cos (а - р).
•19.20. Зная, что sin ос = -, cos p = -—, - < а < л, - < р < л,
5 17 2 2
найдите значение выражения:
а) sin (а - р); б) cos (а - Р).
Вычислите:
O19.21. a) sin 77° cos 17° - sin 13° cos 73°;
б) cos 125° cos 5° + sin 55° cos 85°.
cos 105° cos 5° + sin 105° cos85°.
a) gin 95O cog 5O
sin 75° cos 5° - cos 75° cos 85°
cos 375° cos 5° - sin 15° sin 365°'
Решите уравнение:
O19.23. a) V2 cosf- - jc^| - cosjc = 0,5;
O19.24. a) — sin x - — cos x = 1; в) — cos x + - sin x = 1;
6) sin x - cos x = 1; г) 7з cos x + sin x = 1.
O19.25. a) ^Uinx + ^cos* = 1; в) 2/!со8Л: - Isin* = 1;
z z 2 2
6) sinjc + cosjc = 1; r) V3cosjc - sinjc = 1.
54

#19.26. Решите неравенство:
а) sinjccos3jc + cosjcsin3jc > -;
б) cos2jccos5jc - sin2jcsin5jc < —;
3
в) sin— cos— - cos —sin— < -;
4 ^ 4 2 о
л/3
г) sin2jcsin5jc + cos2jccos5jc > -—.
2
§ 20. Тангенс суммы u разности аргументов
Вычислите:
20.1. a)tg§; М
6)tglO5°; r)tgl65°.
2 a^ tg25o + tg20° , , tg9° + tg51° ,
*- a) l-tg25otg20°' B; l-tg9otg51o)
6. 1 - tg70otg65°. v 1 + tg 54° tg 9°
' tg 70° + tg 65° ; } tg 54° - tg 9° *
O20.3. a) tg Ы - a\ если tg а = |;
6) tgfa + 11 если tga = |;
в) tg f £ + a l если ctg a = |;
\ 2 J 6
r) tg I a - - L если ctg a = 1,6.
020.4. Известно, что tg a = -, tg P = -. Найдите:
2i о
a) tg (a + P); 6) tg (a - P).
2 (n Л
020.5. Известно, что tg a = -, tg - + P = -3. Вычислите:
5 I2 )
a) tg (a + P); 6) tg (a - P).
55

20.6. Упростите выражение:
tg 2,22 + tg 0,92 т tg 1,47 - tg 0,69
1 - tg 2,22 tg 0,92' 1 + tg 1,47 tg 0,69'
ЧНЧН. б)
O20.8. Докажите тождество:
_ tg a + tg p tg a - tg p 2
0) tg(a + p) tg(a-p) Z*
O20.9. Решите уравнение:
tg* + tg3* =
1 tg x tg 3* '
1 - tg x tg 3* ' 1 + tg 3* tg 5*
020.10. Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку
t-л; 2jc]:
^ 6) *"-*", Уз.
tg ^ tg 2л: + 1
5
020.11. а) Найдите tg a, если tg [ a - - | = 3.
б) Найдите ctg a, если tg fa + - I = 0,2.
020.12. а) Зная, что tg a = 3 и tg (a + p) = 1, найдите tg p.
б) Зная, что tg a = - и tg (a - p) = 2, найдите tg p.
4
19 Ятг
020.13. Известно, что sin a = , n < a < —. Найдите:
a)tgfa + ^j; 6) tg fa-^
56

020.14. Известно, что cos ос = -, 0 < а < —. Найдите:
5 2
a)
6)tg|a-||.
#20.15. Докажите, что прямые у = 3х + 1иу = 6-2х
пересекаются под углом 45°.
•20.16. Точка К — середина стороны CD квадрата ABCD. Чему
равен угол между диагональю АС и отрезком ВК1
§ 21. Формулы двойного аргумента
Упростите выражение:
21.1. а)
б)
cost
sin 6* .
cos2 3* '
21.2.
sin 40°.
sin 20°'
6)
cos 80°
cos 40° + sin 40°
в) cos21 - cos 2t;
r) cos2* -sin*.
cos t - sin t
sin 100°
Г)
2 cos 50°;
cos 36° +sin218°
cos 18° '
Вычислите:
21.3. a) 2 sin 15° cos 15°;
6) (cos 75° - sin75°)2;
в) cos2 15° - sin2 15°;
r) (cos 15° + sinl5°)2.
21.4. a) 2 sin — cos —;
8 8
6) sin f cos | + i;
2 К . 2 Я
в) cos sin —;
21.5. a)
l-tff
6)
1_
l-tg275°'
21.6. Докажите тождество:
a) sin — cos — = — sin x;
2k 2i 2i
.2 X
в) sin 2jc cos 2jc = - sin 4jc;
2
6) cos2 - - sin2 - = cos ~; r) cos21 - sin2 - = cos x.
57

Докажите тождество:
21.7. a) cos (2а + 2р) = cos2 (а + р) - sin2 (а + р);
б) sin (2а + 2р) = 2 sin (а + р) cos (а + р).
б) tg (а + Р) =
O21.9. Известно, что sin t = —, — < t < тс. Найдите:
а) sin 2t; в) tg 2t;
б) cos 2t; r) ctg 2t.
021.10. Известно, что cosjc = 0,8, 0 < x < -. Найдите:
а) sin 2x\ в) tg 2x\
б) cos 2x\ r) ctg 2jc.
021.11. а) Дано: cos t = -, 0 < * < -.
4 ^
Вычислите: cos —; sin —; tg —; ctg —.
2 2i £ &
б) Дано: ctg t = -, к < t < —.
Вычислите: cos —; sin -; tg —; ctg —.
2
•21.12. а) Дано: sin 2x = --, - < x < —.
о ^ 4
Вычислите: cos x; sin x; tg x; ctg x.
б) Дано: tg2x = |, it < x < Щ.
4 4
Вычислите: cos jc; sin x; tg jc; ctg x.
58

Упростите выражение:
Q, sin* . ч sin_4£.
В) cos 2*'
ч cos 2t - sin
O21
021
.14.
.15.
б)
а)
б)
а)
2 cos'!'
COS t
cos -jr + sir
sin 2t - 2
cos t -
L2
sin <
1
cos 2t - cos2 t
1 - cos2
2
tg t + ctg
t '
cos 4t
в) sin 2t ctg t-1;
r) (tg * + ctg f)sin 2t.
6) .
tg t - ctg t
021.16. a) (1 - tg2 t) cos2 t; 6) 2 cos2 2-t^- - 2 sin2 ^Ц^.
4 4
Докажите тождество:
021.17. a) (sin t - cos f)2 = 1 - sin 2t;
б) 2 cos2 f = 1 + cos 2t\
в) (sin t + cos £)2 = 1 + sin 2t;
r) 2 sin2 * = 1 - cos 2t.
021.18. a) cos4 t - sin4 t = cos 2f;
6) cos4 t + sin4 t = 1 - - sin2 2*.
021.19. a) ctg t - sin 2* = ctg t cos 2f;
6) sin 2t - tgt = cos 2* tg t.
021.20. a) sin2 2* = 1~Cfi°s4*; в) 2 sin2 2* = l + sin {— -4t\
6) 2 sin2 - + cos t = 1; r) 2 cos2 * - cos 2t = 1.
59

Докажите тождество:
1 + sin (| - 6t
O21.21. a) cos2 3t =
1 - cos t 2 t.
6) T7^7 = tg 2'
1 - cos
021.22. a) 1 + sin a = 2 cos2 f 45° - -
A
б) 2 sin2 (45° - a) + sin 2a = 1;
в) 1 - sin a = 2 sin2 {45° - -");
A
r) 2 cos2 (45° + a) + sin 2a = 1.
021.23. Вычислите (с помощью формул понижения степени):
а) sin 22,5°; в) sin —;
о
б) cos 22,5°; г) cos —.
8
Решите уравнение:
021.24. а) sin 2х - 2 cos х = 0; в) 2 sin х = sin 2x;
б) sin 2х - sin х = 0; г) sin 2x + cos x = 0.
021.25. а) sin x cos х = -; в) cos2 - - sin2 - = -;
4 3 3 2
б) sin Ax cos Ax = -; г) sin2 x - cos2 x = -.
^ 2
O21.26. а) 1 - cos х = 2 sin -; б) 1 + cos x = 2 cos ^.
O21.27. а) 1 - cos x = sin x sin -;
А
б) sin х = tg2 - (1 + cos x).
А
60

021.28. Решите уравнение:
а) sin2 2х = 1; в) sin21 = |;
б) cos2 4х = ±; г) cos2 - = \.
2 4 4
021.29. Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку
[0; 2тг]:
а) cos 2х + 3 sin х = 1; в) cos 2х = cos2 x;
б) sin2 х = -cos 2х; г) cos 2я = 2 sin2 я.
Вычислите:
21.30. a) sin 11°15' cos 11°15' cos 22°30' cos 45°;
б) sin — cos — cos — cos —.
48 48 24 12
1 + cos 40° + cos 80° , дг\°.
021.31. a) Sin 80° + sin 40° ' g ;
1 - cos 25° + cos 50° _ . 65o
6^ sin 50° - sin 25° g '
021.32. Представив Зх в виде х-\-2х, докажите тождество:
а) sin Зх = 3 sin x - 4 sin3 x;
б) cos 3x = 4 cos3 x - 3 cos x.
021.33. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
y = f(x), если:
а) f(x) = 2 cos 2x + sin2 x;
б) f(x) = 2 sin2 Зх - cos 6x.
021.34. Найдите наибольший отрицательный корень (в градусах)
уравнения:
sin 22,5° cos 22,5°
a) cos x = ;
cos2 67,5°-sin2 67,5°
6) sinjc =
sin2 75° - cos2 75°
4 sin 15° cos 15°
O21.35. Решите уравнение:
a) 3 sin 2x + cos 2x = 1; 6) cos 4x + 2 sin 4jc = 1.
61

#21.36. Найдите корни уравнения на заданном промежутке:
а) 4 sin х + sin 2х = О, х е [0; 2тс];
б) cos2 Ux + 5) - sin2 (3* + *1 + ^ = 0, х е [^; я].
•21.37. Сколько корней имеет уравнение 2 cos2 — - cos — = 1
2 9
на отрезке [-2к; 2тс]? Найдите эти корни.
•21.38. Сколько корней имеет уравнение:
a) (cos х - sin x)2 =1-2 sin 2х9
на отрезке fe
[9 9
б) 2 cos2 \2x - J - 2 sin2 J - 2x + 1 = 0,
на отрезке —; — ?
§ 22. Преобразование сумм
тригонометрических функций
в произведения
Представьте в виде произведения:
22.1. a) sin 40° + sin 16°; в) sin 10° + sin 50°;
б) sin 20° - sin 40°; r) sin 52° - sin 36°.
22.2. a) cos 15° + cos 45°; в) cos 20° + cos 40°;
6) cos 46° - cos 74°; r) cos 75° - cos 15°.
22.3. a) sin - - sin —; в) sin £ + sin £;
5 10 6 7
6) sin | + sin Ь г) sin - - sin —.
22.4. a) cos ~- - cos -^-; в) cos £ - cos —-;
^. Ил Зя ч Зя 5л
б) cos \- cos —; г) cos v cos —.
62

Представьте в виде произведения:
22.5. a) sin 3* - sin t;
б) cos (a - 2р) - cos (а + 2р);
в) cos Ы + cos 4£;
г) sin (а - 2р) - sin (а + 2р).
22.6. a) tg 25° + tg 35°; в) tg 20° + tg 40;
022.7. Вычислите:
cos 68° -cos 22°. sin 130° + sin 110°
a) sin 68° - sin 22° ' 6' cos 130° + cos 110°'
022.8. Проверьте равенство:
а) sin 35° + sin 25° = cos 5°;
б) sin 40° + cos 70° = cos 10°;
в) cos 12° - cos 48° = sin 18°;
r) cos 20° - sin 50° = sin 10°.
022.9. Докажите тождество:
sin 2a + sin 6a
cos 2a - cos 4a
6) „ Г"
' cos 2a + cos 4a
Решите уравнение:
022.10. a) cos x + cos 3jc = 0; в) cos x = cos 5x;
6) sin 12* + sin 4x = 0; r) sin Sx = sin
022.11. a) sin* + sin2* - sin3* = 0;
6) cos Sx - cos 5* = sin 4*.
022.12. Представьте в виде произведения:
а) - - cos t; в) 1 + 2 cos t;
с*
б) 2L§. + gin t; r) cos * + sin t.
63

Представьте в виде произведения:
022.13. a) sin5x + 2sin6x + sin 7х;
б) 2 cos x + cos 2x + cos 4*.
022.14. a) sin* + sin2£ + sin3£ + sin4*;
6) cos 2t - cos \t - cos 6* + cos 8*.
022.15. Докажите, что верно равенство:
a) sin 20° + sin 40° - cos 10° = 0;
6) cos 85° + cos 35° - cos 25° = 0.
Решите уравнение:
022.16. a) sin Sx = cos 2x;
6) sin (5tc-jc) = cos (2x + 7k);
b) cos 5x = sin 15jc;
r) sin (7k + x) = cos (9tc + 2x).
022.17. a) 1 + cos 6jc = 2 sin2 bx\
б) cos2 2x = cos2 4x;
в) sin2 - = cos2 —;
r) sin2 x + sin2 Sx = 1.
022.18. a) 2 sin2 x + cos 6x = 1;
6) 2 sin2 Sx - 1 = cos2 4* - sin2 4x.
022.19. a) tg x + tg 5* = 0; в) tg 2* = tg 4*;
6) tg Sx = ctg *; r) ctg | + ctg ^ = 0.
022.20. a) sin x + sin Sx + cos * + cos Sx = 0;
6) sin bx + sin x + 2 sin2* = 1.
•22.21. Сколько корней имеет заданное уравнение на отрезке
N)
а) sin 2х + sin 6х = cos 2x;
б) 2 cos2* - 1 = sin Sx?
64

•22.22. Найдите корни уравнения, принадлежащие интервалу
(0; 2,5):
а) cos 6х + cos 8л; = cos IOjc + cos 12jc;
б) sin 2x + 5 sin 4# + sin 6x = 0.
§ 23. Преобразование произведений
тригонометрических функций в суммы
Преобразуйте произведение в сумму:
23.1. a) sin 23° sin 32°; в) sin 14° cos 16°;
б) cos -5- cos Ь г) 2 sin - cos -.
12 8 8 5
23.2. a) sin (a + P) sin (a - p); в) cos f| + |lcoe f| - |1;
6) cos (a + p) cos (a - p); r) 2 sin (a + p) cos (a - p).
23.3. a) cos a sin (a + p);
б) sin (60° + a) sin (60° - a);
в) sin p cos (a + p);
r) cos f a + - 1 cos a - - I.
Решите уравнение:
O23.4. а) cos (x + |lcos (x - -1 - 0,25 = 0;
023.5. а) 2 sin x cos 3x + sin Ax = 0;
6) sin f sin f = \.
023.6. Докажите тождество:
а) 2 sin t sin 2t + cos 3* = cos t;
б) sin a - 2 sin Ы - 15°lcos Ы + 15°) = |.
З-Мордкович, 10-11 кл. Ч. 2 65

#23.7. Преобразуйте произведение в сумму:
a) sin 10° cos 8° cos 6°; б) 4 sin 25° cos 15° sin 5°.
•23.8. Вычислите:
а) cos2 3° + cos2 1° - cos 4° cos 2°;
б) sin210° + cos 50° cos 70°.
•23.9. Вычислите:
a) ^W - 2 sin 70°; б) -Ни5 + 4 cos
023.10. Решите уравнение:
а) sm Sx cos x = sin — cos —;
2 2
б) 2 sin I - + jclsin (- - x] + sin2* = 0;
4 ) V4
в) sin 2x cos x = sin x cos 2#;
r) cos 2x cosjc = cos 2,5jc cos O,5jc.
023.11. Найдите наименьший положительный и наибольший
отрицательный корни уравнения:
a) sin х sin Зх = 0,5; б) cos x cos 3# + 0,5 = 0.
023.12. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции
у = fix), если:
а) fix) = sir
б) fix) = sir
•23.13. Докажите тождество
cos2 (45° - а) - cos2 (60° + а) - cos 75° sin (75° - 2а) = sin 2а.

I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
производная
§ 24. Предел последовательности
По заданной формуле га-го члена вычислите первые пять
членов последовательности:
24.1. а) {/„ = 3 - 2га;
б) уп = 2га2 - га;
24.2. а) уп = (-1)";
б> "•=£?*
O24.3. а) уп = 3 cos —;
в) ». = п* - 1;
Зп - 1
Г) Уп =
в)
г) у =
2п
Зп - 2
в) 1/л = 1 - cos2 -;
б) */„ = tg (-1)" - ; г) уп = sin кп - cos тт.
O24.4. Найдите сумму первых восьми членов возрастающей
последовательности квадратов простых чисел.
Указание: число 1 не считается ни простым, ни составным.
Составьте одну из возможных формул п-то члена
последовательности по первым пяти ее членам:
24.5. а) 0, 1, 2, 3, 4, ... ;
б) -1, -2, -3, -4, -5, ... ;
24.6. а) 5, 10, 15, 20, 25, ... ;
б) 6, 12, 18, 24, 30, ... ;
O24.7. а)3, 9, 27, 81, 243, ... ;
б) 9, 16, 25, 36, 49, ... ;
3*
в) 5, 6, 7, 8, 9, ... ;
г) 10, 9, 8, 7, 6, ... .
в) 4, 8, 12, 16, 20, ... ;
г) 3, 6, 9, 12, 15, ... .
в) 1, 8, 27, 64, 125, ... ;
г) 2, 9, 28, 65, 126, ... .
67

Составьте одну из возможных формул n-го члена
последовательности по первым пяти ее членам:
O24.8. а) 1, I, I, 1, -L, ... ;
- J 5 7 j, 11
б) 4' 6' 8' 10' 12 "";
вП 1 i i J. .
' ' 8' 27' 64' 125' ""
г) 1 1 1 1 1
3 5' 5 7' 7 97 9 И7 И 13'
24.9. Выпишите первые четыре члена последовательности
десятичных приближений числа V2:
а) по недостатку; б) по избытку.
024.10. Укажите номер члена последовательности уп = ———,
5п + 1
равного:
ЧЛ _ 3 ч 1 v 43
а)0; б)--; в)--; г)-—.
024.11. Последовательность задана формулой
ап = (2п - 1)(3п + 2).
Является ли членом последовательности число:
а)0; 6)24; в) 153; г)-2?
024.12. Какие из заданных последовательностей ограничены снизу?
аМ 1 1 1 • вч I 2 3 4 .
' ' 2' 3' 4' "•' } 2' 3' 4' б'""'
б) -1, 2, -3, 4, -5, ...; г) 5, 4, 3, 2, 1, О, -1, ....
024.13. Какие из заданных последовательностей ограничены
сверху?
а)-3,-2, -1,0,1,...; в) |, |, \, \, \, ...;
б) 1, -1, 1, -2, 1, -3, ...; г) |, |, f, 1 ....
£ о 4 О
68

024.14. Какие из заданных последовательностей являются
ограниченными?
а) - - - 1
а) 2' 3' 4' "" п + l' ""■ '
13 5 2п - 1
* 2' 4' б' "" 2п ' "9
в) 5, -5, 5, -5, ..., (-I)""1 5, ...;
г) -2, 3, -4, 5, ..., (-1)л(л + 1), ....
Выясните, какие из приведенных последовательностей
являются монотонными. Укажите характер монотонности:
024.15. а) уп = 2п - 1;
б) Уп = 5"»;
024.16. а) хп = (-2У;
23.17. Приведите примеры последовательностей:
а) возрастающих и ограниченных сверху;
б) возрастающих и не ограниченных сверху;
в) убывающих и ограниченных снизу;
г) убывающих и не ограниченных снизу.
Вычислите lim xn9 если:
п —> оо
24.18. а) *п =А. в)*в=^;
б)х„ ==¥-; т)хп =-^г.
т)хп =1 + -^-4 + ^-.
69

Вычислите lim хп9 если:
п —» оо
024.20. а, *..*£: **-*тН--
024.21. а) хп = 4; в) лг„ = 7 • 3"";
б) лг„ = ± 5"; г) хп = -^-г.
2 " зп+1
024.22. а) хп = ^-=^; в) хп = ^-^;
г) х„ = 3" - 4 -
§ 25. сумма бесконечной геометрической прогрессии
25.1. Найдите сумму геометрической прогрессии (Ь„), если:
а) &! = 3, ф = -; в) Ьх = -1, g = 0,2;
3
б) &х = -5, g = -0,1 г) Ьх = 2, g = -^
3
25.2. Найдите сумму геометрической прогрессии:
а) 32, 16, 8, 4, 2, ... ; в) 27, 9, 3, 1, -, ... ;
3
б) 24, -8, \, А ... ; г) 18, -6, 2, -|, ... .
О У О
Вычислите:
025.3. а) 2 + 1 + | + ± + ... ; в) | - 1 + | - | + ... ;
б) 49 + 7 + 1 + | + -^ + ... ; г) 125 + 25 + 5 + 1 + ....
025.4. а) - 6 + ^ - А + -?- _ ... ; в) 49 - 14 + 4 --+...;
3 27 243 7
б) 3 + 7з + 1 + 4= + ... ; г) 4 + 2V2 + 2 + V2 + ...
7
70

25.5. Найдите знаменатель и сумму геометрической
прогрессии (Ьп), если:
а) Ь, = -2, Ь2 = 1; в) Ьх = 7, Ъ2 = -1;
б)&х =3, Ъ2 =±; г) Ь, =-20, Ъ2 = 4.
О
25.6. Найдите знаменатель геометрической прогрессии (Ьп),
если:
а) S = 2, ^ = 3; в) S = --, Ьг = -3;
4
б) S = -10, Ъх = -5; г) S = 1,5, Ъх = 2.
25.7. Найдите первый член геометрической прогрессии (Ьп),
если:
а) S = 10, q = 0,1; в) S = 6, q = -0,5;
б) S = -3, q = --; г) S = -21, q = -.
3 7
025.8. Найдите n-й член геометрической прогрессии (&л), если:
а) S = 15, q = --, п = 3;
3
б) S = -20, &! = -16, п = 4;
в) S = 20, Ь, =22, га = 4;
г) S = 21, ? = |, га = 3.
3
025.9. Найдите сумму геометрической прогрессии (&П), если:
025.10. Найдите сумму геометрической прогрессии, если
известно, что сумма первого и третьего ее членов равна 29, а
второго и четвертого 11,6.
025.11. Найдите геометрическую прогрессию, если ее сумма
равна 24, а сумма первых трех членов равна 21.
71

025.12. Составьте геометрическую прогрессию, если известно, что
ее сумма равна 18, а сумма квадратов ее членов равна
162.
025.13. Упростите выражение (при условии, что хф—):
2
а) sin л: + sin2 x + sin3 #+... + sin" x + ... ;
б) cosx - cos2л: + cos3л: - cos4* + ... ;
в) cos2л: + cos4л: + cos6* + cos8* + ... ;
г) 1 - sin3 x + sin6 x - sin9 x + ... .
025.14. Решите уравнение, если известно, что |jt| < 1.
а) х + х2 +л;3 +х4 + ... +л;Л + ... = 4;
б) 2х - 4х2 + 8х3 - 16*4 + ... = -.
о
025.15. Представьте в виде обыкновенной дроби:
а) 0,(15); б) 0,1(2); в) 0,(18); г) 0,2(34).
§ 26. Предел функции
26.1. Какая из функций, графики которых изображены на
рисунках 19—22, имеет предел при х -> +оо? При х —» -оо?
При х -> оо?
\
\
\
\
\
о
Z
1
1
О
i
/
/
/1
/
\
I
J
X
PUC. 19
72

\
\
\
\
-2
\
ч
-1
У)
Q
3"
О-и
2"
1
1 ■
О
/
1
2
3
——
——
PUC. 20
***
со"
У
-2
/
-1
о
о
/
л ..
1 ■
о
S
^ ■
1
\
«
s
\
X
PUC. 21
-3
-2
/
-1
У1
2
1
1
О
\
L
<*
■■-■
г
X
PUC. 22
26.2. Имеет ли функция у = f(x) предел при х —> +оо, при
х —» -оо, или при х —> оо, и чему он равен, если:
а) прямая у = 3 является горизонтальной асимптотой
графика функции на луче (-оо; 4];
б) прямая у = -2 является горизонтальной асимптотой
графика функции на луче [-6; +оо);
73

в) прямая у = -Ъ является горизонтальной асимптотой
графика функции на луче (-оо; 3];
г) прямая у = 5 является горизонтальной асимптотой
графика функции на луче [4; +оо)?
26.3. Постройте эскиз графика какой-нибудь функции у = f(x),
обладающей указанным свойством:
а) lim f(x) = 5; в) lim f(x) = -5;
х —> оо х —> оо
б) lim f(x) = -2; г) lim f(x) = 0.
X —> оо х —> оо
026.4. Постройте эскиз графика какой-нибудь функции у = f(x),
обладающей указанными свойствами:
а) lim f(x) = 5 и f(x) > 0 на (-оо, +оо);
X -> +ОО
б) lim f(x) = 0 и f(x) < 0 на (-оо, +оо).
X —> —ОО
Постройте эскиз графика какой-нибудь функции у = h(x),
обладающей указанными свойствами:
026.5. a) lim h(x) = 4 и функция возрастает;
б) lim h(x) - 1 и функция ограничена снизу;
X —> +оо
в) lim h(x) = 5 и функция убывает;
X —> -ОО
г) lim h(x) = 1 и функция ограничена.
X —> оо
26.6. Известно, что lim f(x) = -3. Вычислите:
X —> оо
a) lim 6f(x); в) lim 8f(x);
X > +ОО X > ОО
б) lim Щ1. Г) Иш (0А№).
26.7. Известно, что lim f(x) = 2, lim g(x) = -3 и lim h(x) = 9.
(X —> OO X —> OO X —> OO
Вычислите:
а) lim (f(x) + £(*)); в) lim
x -> oo x -> оо
б) lim (^(x) ■ f(x)); r) lim
74

Вычислите:
( 1 3
O26.8. a) lim -j + -г
х —> ex» I X X
(2 Ъ
в) lim тт + 7J
O26.9. a) lim
в) lim о ;
х —» оо X ~Г О
г) hm
4х2 + 9
026.10. a) lim * * ; в)
X -» оо Л "Г ^
Зх - 1 IOjc2 + 4jc - 3
б) х И^о jc2 + 7jc + 5 ' Г^ x^cL 5jc2 + 2jc + 1 *
26.11. Какая из функций, графики которых изображены на
рисунках 23—30, имеет предел при х —»3? Чему равен этот
предел?
о
li
о
/>
ч
3
•т ш
X
РЫС. 23
—-*
о
/
\
3
ч
X
*—*
4
о .
о
/
3
Ч
ч,
X
PUC. 24
*/;
/1
о .
О
3
X
PUC. 25
PUC. 26
75

•*-
У±
о
у
/
\
1
1
\
\
3
\
ч
ч
••■■«.
X
PUC. 27
Уь
к
А .
о .
*-•
^**
О
3
^^
^^
X
о
о
о
1
V
\
3
\
ч
X
PUC. 28
Уь
\
\
о
о
о
\
\
ч
V
3
)
1
у
/
/
f
X
PUC. 29
PUC. 30
26.12. Изобразите эскиз графика какой-нибудь функции у = g(x),
обладающей заданным свойством:
a) lim g(x) = 2;
х -> -1
б) lim
2
= -3;
в) lim g(x) = -4;
x -> -7
г) lim g(x) = 3,5.
26.13. На рисунке 31 изображен график функции у = f(x).
Найдите:
а) ^lim^ f(x); в) Jim f(x);
б) lim f(x); r) lim
x -> 0 x -> +oo
У
л
У
о
У
/
/
1
А
/
3
\
S
]
/
/(
X
PUC. 31
76

Постройте эскиз графика какой-нибудь функции у = f(x),
обладающей заданными свойствами:
026.14. a) lim f(x) = 4, lim f(x) = 0;
x -» +00 x -> -00
б) lim f(x) = 10, lim f(x) = -2;
x -> +00 x -> -00
в) lim f(x) = -2, lim f(x) = 1;
X —» +OO X —> -OO
r) lim Д*) = 3, lim f(x) = -4.
x —> +00 x —> -00
026.15. a) lim f(x) = 3 и /(2) - 3;
x -> 2
б) lim f(x) = 4 и lim /(*) = 0;
x -> -6 x -> -oo
в) lim f(x) = 4 и Д-1) не существует;
X -> -1
г) lim /(*) = -1 и lim f(x) = -5.
x -> 3 x -» +oo
Вычислите:
026.16. a) lim (x2 - 3x + 5); в) lim (x2 + 6x - 8);
X -> 1 X -> -1
_ ,. 2jc + 3 ч .. 7x - 14
6) lim A 9 ; г) hm 91<v. , 9.
026.17. a) lim yjx + 4 ; в) lim Vx + 3 ;
x -> 5 x -> 6
5-2jc
- 3 ; r> xh_^i 3x2 - 2x + 4 '
O26.18. a) lim -гЦг; в) lim
x > 0 ^ — ^ x>5
lim
x -> 0
_ ,. x2 -4 ч _. 3 + x
6) limjTT; r) lim -г—r
^ЛЛ ^Л ч ,. sin3x + sinjc ^ч ,. cos 5jc - cos 3x
O26.19. a) lim cos3x + cosx ; 6) hm ^Bx + dnS* •
x ~* 2
26.20. Найдите приращение функции у = 2х-3 при переходе от
точки хо = 3к точке xl9 если:
а) хг = 3,2; б) хг = 2,9; в) xt = 3,5; г) хг = 2,5.
26.21. Найдите приращение функции у = х2 + 2х при переходе от
точки хо=-2 к точке хи если:
а) хх = -1,9; б) хх = -2,1; в) jcx = -1,5; г) хх = -2,5.
77

O26.22. Найдите приращение функции у = >jx при переходе от
точки хо= 1 к точке хх = х0 + Ах, если:
а) Ах = 0,44; в) Ах = 0,21;
б) Ах = -0,19; г) Ах = 0,1025.
26.23. По графикам функций, представленных на рисунках 32 и
33, найдите приращение аргумента и приращение
функции при переходе от точки х0 к точке хх:
1,
У1
о
z
4-
-2-1
О
X
\
\
\
х0
\
д
У>
\
с
О
У
о
У
i
/
/
PUC. 32
PUC. 33
O26.24. Найдите приращение функции у = f(x) при переходе от
точки х к точке х + Ах, если:
O26.25. Для функции у = f(x) найдите А/ при переходе от точки х к
точке х + Ах у если:
= ах2; б) f(x) = ^ .
§ 27. Определение производной
27.1. Закон движения точки по прямой задается формулой
8(t) = 2t + l9 где t— время (в секундах), s(t)—
отклонение точки в момент времени t (в метрах) от начального
положения. Найдите среднюю скорость движения точки
с момента t\ - 2 с до момента:
а) t2 = 3 с; в) t2 = 2,1с;
б) t2 = 2,5 с; г) t2 = 2,05 с.
78

27.2. Закон движения точки по прямой задается формулой
s(t) = t2, где t — время (в секундах), s(t) — отклонение
точки в момент времени t (в метрах) от начального
положения. Найдите среднюю скорость движения точки с
момента tx = 0 с до момента:
а) t2 = ОД с; в) t2 = 0,2 с;
б) t2 = 0,01 с; г) t2 = 0,02 с.
27.3. Закон движения точки по прямой задается формулой
s = s(t), где t — время (в секундах), s(t) — отклонение
точки в момент времени t (в метрах) от начального
положения. Найдите мгновенную скорость движения точки в
момент времени t, если:
a) s(t) = 4* + 1; в) s(t) = 3* + 2;
6)s(t) = 6t - 2; r)s(t) = 5t - 1.
27.4. Функция у - f(x) задана своим графиком. Определите
значения f'(xx) и f(x2)j если график функции изображен:
а) на рис. 34; в) на рис. 36;
б) на рис. 35; г) на рис. 37.
/
/
/
/1
J
й
/
чби
7х*
У;
\
О
\
У
\
/
-!
(х)
*2/
у
|
/
1
/
/
X
PUC. 34
\\
К
/
У1
/
/
/
о
s
х2
\
5(
Ч
)
X
/
/
/
1
У!
N
х,.
\
о
ч
30^
11
if
У
f(x
/•
X
PUC. 35
/
/
/
/
/
' 1 ^
|
1
■
1
yi
\
\
У
\
\
о
\
0
I
I
1
/
X
PUC. 36
PUC. 37
79

27.5. Найдите скорость изменения функции в произвольной
точке х:
а) у = 9,5* - 3;
б) у = -16* + 3;
в) у = 6,7* - 13;
г) у = -9* + 4.
Найдите скорость изменения функции y = f(x) в
указанной точке х0:
27.6. a) f(x) = х\ х0 = 2; в) /(*) = х\ х0 = -2;
б) f(x) = х\ х0 = -1; г) f(x) = х\ х0 = 2.
27.7. a) f(x) = - , х0 = 2;
б)/(*)= ±,хо = -1
в) Я*) = - , х0 = 5;
г) /(*) = i , *0 = -0,5.
027.8. Закон движения точки по прямой задается формулой
s(t) = t2, где t — время (в секундах), s(t) — отклонение точки
в момент времени t (в метрах) от начального положения.
Найдите скорость и ускорение в момент времени t, если:
a) t = lc; в) t = 2 с;
6)t = 2,1 с; г) f = 3,5c.
Указание: ускорение — это скорость изменения скорости.
027.9. На рисунке 38 изображен график движения туриста от
базы и обратно. С какой скоростью он шел первые 2 часа?
Последующие 2 часа? На какое максимальное расстояние
удалился турист от базы? С какой скоростью он шел
назад? Через сколько времени вернулся на базу? Сколько
времени отдыхал в пути?
s (км) А
14
80

027.10. Закон движения точки по прямой задается формулой
s(t) = 2t2 +1, где t — время (в секундах), s(t) —
отклонение точки в момент времени t (в метрах) от начального
положения. Найдите среднюю скорость движения точки
с момента *х=Ос до момента t2, если:
а) t2 = 0,6 с; в) t2 = 0,5 с;
б) t2 = 0,2 с; г) t2 = 0,1 с.
027.11. Закон движения точки по прямой задается формулой
s = s(t), где t — время, s(t) — отклонение точки в момент
времени t от начального положения. Найдите мгновенную
скорость движения точки в момент времени £, если:
а) s(t) = t2 + 3; в) s(t) = t2 + 4;
б) s(t) = t2-t; r) s(t) = t2- 2t.
27.12. Функция y = f(x) задана своим графиком (см. рис. 39).
Укажите любые два значения аргумента хх и х2, при
которых:
а) f(*0 > 0; f'(x2) > 0; в) f(Xl) < 0; f(x2) < 0;
б) fix,) < 0; f(x2) > 0; г) f{Xl) > 0; f'(x2) < 0.
O27.13. Функция y = f(x) задана своим графиком (см. рис. 39).
Сравните значения производной в указанных точках:
a) f (-7) и Г(-2); в) f (-9) и ДО);
б)/'(-4)и/'(2); г) f (-1) и f (5).
V
\
\
i
\
*-'
\
7-
к
ч
3
-1
i/i
о
/
_:
ь
/
1 =
ft
s
f)
\
Li
4
> ^
РЫС. 39
81

27.14. Функция y = q>(x) задана своим графиком (см. рис. 40).
Укажите несколько значений аргумента, для которых:
а) <р'(х) > 0; в) <р'(х) < 0;
б) ф'(*) < 0 и х> 0; г) ф'(*) > 0 и х < 0.
\
к,
/
-8
/
/
/
N
-4
\
\
о
\
А
/
/
1\
/
/
1
\
у=ф(^:
Г
\
\
\
л:
РЫС. 40
§ 28. Вычисление производных
Найдите производную функции:
28.1. а) у = 7х + 4; в) г/ = -6* + 1;
1
б) у - *2;
г) г/ =
28.2. а) г/ = sin*; б) i/ = V^; в) y = cosx; г) у = Ю10.
Найдите значение производной функции у = g(x) в точке х0,
если:
28.3. a)g(*) = Vjc, jc0 = 4; в) #(*) = -Sx - 11, *0 = -3;
б) g(x) = х\ х0 = -7;
г) g(x) = - , х0 = 0,5.
28.4. a) g(x) = sin jc, jc0 = - ^; в) g(x) = cos jc, x0 = -Зя;
6) ^(jc) = cos x, x0 = ^; r) ^(jc) = sin jc, jc0 = 0.
28.5. Найдите скорость изменения функции у = h(x) в точке
хОу если:
а) h(x) =7x- 19, х0 = -2;
б) h(x) = Vjc, jc0 = 16;
в) h(x) = -6х + 4, *0 = 0,5;
г) /*(*) = 4х, хо = 9.
82

б) Ах)
б) f(x)
_ 1_
~ X '
= sin
= cos
х,
х,
J =
Xo
Xq
1
= \
>
к 9
к
'4;
r)f(x
B)f(x
r)/(x
) = x\
') = COS
) = sin
x,
x,
= 2.
Xq = "o" >
28.6. Найдите скорость изменения функции у = h(x) в точке
jc0, если:
а) h(x) = i , jco = -2; в) /i(jc) = jc2, jc0 = -0,1;
б) h(x) = sin jc, jc0 = - -5; r) /i(jc) = cos jc, jc0 = я.
Найдите угловой коэффициент касательной к графику
функции у = f(x) в точке с абсциссой х0:
28.7. а) /(х) = х2, х0 = -4; в) /(х) = \ , *0 = \ ;
28.8.
28.9. Укажите, какой формулой можно задать функцию
у = f(x), если:
а)/'(*) = 2*; б) f(*) = coax; в) f(х) = 3; г) f(х) =-sinх.
Найдите производную функции:
28.10. а) у = х2 - 7х; в) у = 7х2 + Зх;
б) у = Vx - 9jc2; г) у = у[х - ЪхК
28.11. а) у = 1 + 4х;
б) у = -
28.12. а) у = sin* + 3;
б) у = 4 cos jc;
28.13. а) у = cosjc + 2x; в) г/ = sin* - Sx;
б) г/ = 3 sin x + cos jc; r) i/ = 2 cos jc + sin x.
28.14. a) x = xg; б) у = *10; в) x = хгд; г) у = x201.
83
в)
г)
в)
г)
г/
г/
г/
1 = i " 6^
= 8^ + 1-
= cos jc - 6;
= -2 sin jc.

Найдите производную функции:
28.15.
28.16.
28.17.
O28.18.
28.19.
28.20. 8l) у = xtgx;
б) у = sin x tg x;
Найдите значение производной функции в точке х0:
28.21. а) у = х2 + 2х - 1, х0 = 0;
б) у = х* - Зх + 2, х0 = -1;
в) у = х2 + Зх - 4, х0 = 1;
г) у = хг - 9х2 + 7, *0 = 2.
а)
б)
а)
б)
а)
б)
б)
а)
б)
У
У
У
У
У
У
»
у
У
У
= х3 +
= х4 -
= (*2"
= (х* +
= — +
2х5;
х9;
D(*4 +
lW-
= \fxcosx;
X3
2xJ
хг -
4'
1'
= 3sinx + ctg
= tg*
- cos x;
2);
3);
*;
в)
г)
в)
г)
в)
г)
в)
г)
в)
г)
У
У
У
У
У
У
у
= Xs +4jc100;
= х4 -7х9.
у = {х2 + 3)(х4 - 1);
у = 4х(х4 + 2).
= U + 8 \бх - 2);
= yfx sin jc.
3-4**
х2 +1"
= cos jc + tg jc;
= 6 tg jc - sin jc.
в) у = *ctg*;
г) у = cos jc ctg jc.
28.22. а) г/ = 1, х0 = 4;
в) i/ = - - 6, x0 = 1;
б) г/ = V* + 4, *0 = 9; г) у = у[х + 5, х0 = 4.
O28.23. Вычислите скорость изменения функции i/ = g(x) в
точке х0:
а) в(х) = л:3 + 2jc, х0 = 2;
в)
= jc2 + 4
- 4jc, jc0 = 4;
84

O28.24. Вычислите скорость изменения данной функции в
данной точке х0:
тс
a) y = 2sinx-4x, xQ =-;
о
тс
)у ,хо=--;
в) y = -3cosx + x, х0 = —;
6
ctgx к
т)у = — ,Хо=-.
O28.25. Найдите тангенс угла между касательной к графику
функции у = h(x) в точке с абсциссой х0 и осью х:
а) h(x) = х6 - 4jc, x0 = 1;
б) h(x) = 4х - 3, х0 = \;
в) h(x) = -хъ - 2х2 + 2, х0 = -1;
O28.26. a) fix) = x2 sin x9 f f 11 = ?
б)/(*)= V3sin^+ ^ +xsi
JC(1 +COSJC), f(7l) = ?
= V3cos*-*cosf + T'f(l) = ?
O28.27. а) При каких значениях х выполняется равенство f(x) = 2,
если известно, что fix) = 2у[х - 5х + 3?
б) При каких значениях х выполняется равенство f(x) = 1,
если известно, что fix) = Зх - \[х + 13?
28.28. Найдите производную функции:
= (4*-9)7; в) у = (5* + I)9;
85

Найдите производную функции:
28.29. а) у = sin (Зх - 9); в) у = cos (9x - 10);
б) у = cos [ | - 4*
г) i/ = sin (5 - Зх).
28.30. а) у = л/15 - 7х;
б)у =
0,5*; г) i/ = ^50 _ 0,2*.
O28.31. Найдите значение производной функции в точке хо:
г) у = л/25 - 9х, х0 = 1;
Вычислите скорость изменения функции в точке х0:
O28.32. a) j/ = (2* + I)5, х„ = -1; в) у = 4 , хо = 2;
12; 5
12л; - 5
б) у = yj7x - 3, х0 = 1;
г) у =
, х0 = -1.
O28.33. а) у = sin
б) У =
в) у = cos [ | - 2х \, х0 = f;
г) у = ctg |, х0 = п.
O28.34. Найдите тангенс угла между касательной к графику
функции у = h(x) в точке с абсциссой х0 и осью х:
a) h(x) = (0,5* + З)7, х0 = -4;
86

O28.35. Определите абсциссы точек, в которых угловой
коэффициент касательной к графику функции y = f(x) равен k,
если:
a) f(x) = Vjc - х9 к = 1;
б) fix) = sin x cos x, k
= - ^— ;
— ;
в) f(x) = 4x + 3jc, fc = 4;
r)
= cos2 x, ft = g
O28.36.
O28.37.
O28.38.
O28.39.
028.40.
Решите
a) f(x) =
&)№ =
Решите
а) О.х) =
a) g(x) =
Ошэедел
неравенство
х3 - х*;
sin 2x;
неравенство
• X \ X ,
= cos2 х - sin2
ите абсциссы
f(x) < 0,
б)
б)
g'(x) > 0,
б)
х; б)
точек, в :
если:
/(*) =
f(x) =
если:
g(x)-
g(x) =
KOTODb
I 5 _
-4 cos
4
2 - bx
sin2 x.
| x3 + 6x.
x + 2x.
•
ex касательная к
фику функции y = hix) образует острый угол с
положительным направлением оси х, если:
а) hix) = х3 - Зх2 + 1; в) Цх) = х3 - х4 - 19;
б) hix) = 4V* - х; г) hix) = tg x - Ах.
O28.41. Определите абсциссы точек, в которых касательная к
графику функции у = q>ix) образует тупой угол с
положительным направлением оси х, если:
а) ф(#) = sin х 4- 3;
= 0,2*5 - з|*3 + 9х.
O28.42. При каких значениях аргумента скорость изменения
функции у = f(x) равна скорости изменения функции
y = g(x):
а) /(х) = |х3 - х2, g(x) = 7,5*2 - 16х;
б)/(х)= Vx,«(*)= ^?
87

O28.43. При каких значениях аргумента скорость изменения
функции y = g(x) больше скорости изменения функции
y = h(x):
a) g(x) = х3 - Зх2, h(x) = 1,5*2 - 9;
6)g(x) = sin Ux - -\ h(x) = 6x- 12;
в) g(x) = tg x, h(x) = 4х - 81;
г) g(x) = cos (- - 2х\ h(x) = 3 - у[2х?
O28.44. Найдите значения аргумента, удовлетворяющие условию
f'(x) = g'(x), если:
a) f(x) = sin (2x - 3), g(x) = cos (2x - 3);
в) f(x) = yjSx - 10 , g(x) = V14 + 6х ;
г) f(x) = ctg x9 g(x) = 2x + 15.
O28.45. Определите абсциссы точек, в которых касательные
к графику функции y = h(x) образуют с положительным
направлением оси абсцисс заданный угол а:
a) h(x) = х2 - Зх + 19, а = 45°;
б) h(x) =
#28.46. а) При каких значениях параметра а касательные к
графику функции у = 4х2 - \а\х, проведенные в точках его
пересечения с осью х, образуют между собой угол 60°?
б) При каких значениях параметра а касательные к
графику функции у = х2 + \а\х, проведенные в точках его
пересечения с осью х, образуют между собой угол 45°?
88

§ 29. Уравнение касательной к графику функции
29.1. Определите знак углового коэффициента касательной,
проведенной к графику функции у = f(x),
изображенному на заданном рисунке, в точках с абсциссами а, Ь, с:
а) рис. 41; б) рис. 42.
/
*->
\
ь
У1
\
о
а
1
■
I
/
с
X
\
V
ч
\
с
У1
/*
О
i
\
/
/с
/
s
X
Р\АС. 41 Р\АС. 42
29.2. Укажите точки, в которых производная равна нулю, и
точки, в которых производная не существует, если
график функции изображен на заданном рисунке:
а) рис. 43; б) рис. 44; в) рис. 45; г) рис. 46.
У1
к
А
■>
О
j
/
Zl 2
1
\
\
3,5
V
X
t
~и —*"
к
\
1
1
У1
О
у
/
>
1
1
л
/ft
[\
1 \
1 )
1
4
V
\
V
\
X
PUC. 43
PUC. 44
V
\
3-
А
I
/
/
о
У1
о
(
л
л
1
X
у
-4
/
/
-2
/
/
о
/
/
J
3
{
/
5
X
PUC. 45
PUC. 46
89

29.3. Тупой или острый угол образует с положительным
направлением оси х касательная к графику функции
у = f(x), проведенная в точке с абсциссой х = а, если:
а)/(*) = 4 + х\ а = 2; в) f(x) = (1 - х)\ а = -3;
6) f(x) = 1 - ^ , а = 3; г) /(*) = 2* - *3, а = 1?
29.4. Чему равен угловой коэффициент касательной к параболе
у = 1 - х2 в точке:
а)А(О; 1); в)
б)Б(2; -3); г) D(-l; 0)?
Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной
к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х = а,
если:
29.5. а) /(*) = х3 - 2х2 + 3, а = -1;
б) /(*) = V4-5* , а = 0;
в) /(*) = *4 - 7*3 + 12* - 45, а = 0;
г) /(*) = V10 + * , а = -5.
29.6. a) f(x) = sin x, a = 0; в) f(x) = cos 3x, a = |;
tg2*, а= f; r)/(*) = sin*, а= f.
Определите, какой угол образует с осью х касательная,
проведенная к графику функции y = f(x) в точке с
абсциссой х = а, если:
29.7. a) f(x) = х\а = 0,5; в) f(x) = 0,2*5, а = -1;
б) /(*) = -Зх\ а = |; г) /(*) = -0,25*4, а = 0.
029.8. а) Я*) = *3 ~ Зх2 +2* - 7, а = 1;
б) Я*) = -7*3 + Юл:2 + х - 12, а = 0.
029.9. а)Я*) = fl^, а = |; б)Я*) = ff|, а = 1.
90

Определите, какой угол образует с осью х касательная,
проведенная к графику функции y = f(x) в точке с
абсциссой х = а, если:
029.10. a) f(x) = у/бх + 7 , а = з|; б) f(x) = V5 - 2* , а = 2.
O29.ll. а) /(*) = 7з cos § , а = ^; б) f(x) = | sin 2х, а = |.
Составьте уравнение касательной к графику функции
г/ = /(#) в точке с абсциссой х = а, если:
029.12. a) fix) = x\a = 3;
в) f(x) = x3,a = 1;
г) f(x) = х3 - Зх + 5, а = -1.
029.13. a) fix) = YZT» о = 2; б) fix) = ^rj, a = 4.
029.14. a) fix) = 2л/3х - 5 , а = 2;
б) Л*) = л/7- 2* , а = 3.
O29.15. a) fix) = cos |, а = 0; б) /(х) = sin 2x, a= j.
029.16. a) /(*) = ctg 2x,a=j; б) /(*) = 2 tg f , a = 0.
024.17. Напишите уравнения касательных к графику функции
у = 9 - х2 в точках его пересечения с осью абсцисс.
029.18. Напишите уравнения касательных к параболе
у = х2 - Зх в точках с ординатой 4.
029.19. На графике функции у = х3 -Зх2 + х + 1 найдите точки,
в которых касательная образует с положительным
направлением оси абсцисс угол 45°. Составьте уравнение
каждой из этих касательных.
91

029.20. В какой точке касательная к графику функции у-х2
параллельна заданной прямой:
а)» = 2х + 1; в) У = ^х-2;
б) У = ~\* + 5; г) у = -х + 5?
В каких точках касательная к графику заданной
функции у = f(x) параллельна заданной прямой y-hx + m:
029.21. a) f(x) = — - Зх2 + 10* - 4; у = 3 + х;
3
б) А*) - ^ - х2 + 8, у = 0;
e/ / \Л/ ~~ о •» if ~ Л °>
r) /(*) = ^jc4 - x3 + 6, у = 2?
4
029.22. a) /(*) = sin x, у = -x; в) Дх) = tg х, у = x;
6) f(x) = cos 3*, у = 0; г) /(х) = sin f , у = -1?
029.23. Напишите уравнения тех касательных к графику функ-
ции у - —— 2, которые параллельны заданной прямой:
3
а) у = х - 3; б) у = 9х - 5.
029.24. С помощью формулы f(x) ~ f(a) + f'(a)(x - а) вычислите
приближенно:
а) 0,9985; б) VU>5; в) 1>037; г) ^/3,99.
•29.25. Через точку В проведите касательную к графику
функции у = /(х), если:
a) flx) = л/3 - х, Б(-2; 3); б) /(^) = V3 - х, Б(4; 0).
•29.26. Составьте уравнение касательной к графику функции
у = —, х < 0, отсекающей от осей координат треуголь-
9
ник, площадь которого равна g.
•29.27. Составьте уравнения тех касательных к графику
функции у = ^~- (1 - х2), которые пересекаются под углом 120°
в точке, лежащей на оси у.
92

§ 30. Применение производной
для исследования функций
на монотонность и экстремумы
30.1. Определите, какой знак имеет производная функции
у = f(x) в точках с абсциссами а, Ь, с, d, если график
функции изображен на рисунках:
а) рис. 47; б) рис. 48.
—-
1
о
/
/
1
/
/
/
ь
Л
ч
:
■
j
\
с
\
\
<
i
/
X
PUC. 47
/
1
А
У
//
/
/
/
s
1
1
У*
/
f
/
°\
•
)
•
s
/
z
//
i
/
X
PUC. 48
93

30.2. Определите промежутки возрастания и убывания
функции, график которой изображен на рисунках:
а) рис. 47; б) рис. 48.
30.3. По графику производной, изображенному на рисунках,
определите, на каких промежутках функция у = f(x)
возрастает, а на каких — убывает:
а) рис. 49;
б) рис. 50;
в) рис. 51;
г) рис. 52.
1
\
\
\
\
2
\
О
if
A
f
f(r\
i \
I
j\
1
1
2
л:
Л
-\
\
\
-а
\
У1
о
>
t
d
>
= f(x)
\
о
U
>
^
РЫС. 49
PMC. 50
\
\
\
У1
о
If
—>
\
\
\
V-
X
i
I
f
yi
/-2,5
s
о
)
\
2,5\
V
,\
ч
>
\
\
X
PUC. 51
РЫС. 52
94

30.4. На каком из указанных промежутков функция y = f(x)
убывает, если график ее производной представлен на
рисунке 53:
а) (-2; 1); б) (-сю; 4); в) (4; +сю); г) (-сю; -2)?
-2
yi
О
1
ч»
4
ч*
РМС. 53
30.5. Определите, для какой из функций у = f(x), у = g(x),
y = h(x) отрезок [-1; 1] является промежутком
возрастания, если на рисунках 54—56 изображены графики
производных этих функций.
\
\
\
\
-1\
о
7
У
/
Л
/
•(J
/
У
X
f
—
/
r
yi
/
О
r =
g
\
\
к
•
s
N
X
PMC. 54
PMC. 55
/
+**
A'i
)
f
N
"I
yi
\
\
о
\
\
1
ч
X
PMC. 56
95

30.6. На рисунках 57—59 изображены графики производных
функций y = f(x), y = g(x), y = h(x). Определите, какая из
функций у = f(x), у = g(x), у = h(x):
а) возрастает на Л; б) убывает на R.
-2
О
1
2/ = A*
)
-2
О
У
PUC. 57
РЫС. 58
У
-2
О
2
\
X
PUC. 59
30.7. Изобразите эскиз графика производной функции у = f(x),
если известно, что функция y = f(x) возрастает на луче
(-оо; 1] и убывает на луче [1; +оо).
30.8. Изобразите эскиз графика функции у = f(x), если
промежутки постоянства знака производной f'(x)
представлены на заданной схеме:
а) рис. 60; б) рис. 61; б) рис. 62; г) рис. 63.
-4
Рыс. 60
■+-
-h
x
0 2
Puc. 61
H-
x
-2
4
РЫС. 62
-1
0 1
Рис. 63
96

О30.9. Докажите, что заданная функция возрастает:
а) у = cos * + 2*; в) у = sin* + *3 + *;
б) у = *5 + З*3 + 7* + 4; г) у = *5 + 4*3 + 8* - 8.
030.10. Докажите, что заданная функция убывает:
а) у = sin 2* - 3*; б) у = cos 3* - 4*.
030.11. Докажите, что функция монотонна на всей числовой
прямой; укажите характер монотонности:
а) у = *5 + б*3 - 7; в) у = * - cos* + 8;
б) i/ = sin* - 2* - 15; г) г/ = 11 - 5* - *3.
Определите промежутки монотонности функции:
030.12. а) у = *2 - 5* + 4; в) г/ = -*2 + 8* - 7;
б) г/ = 5*2 + 15* - 1; г) у = *2 - *.
030.13. а) г/ = *3 + 2*;
б) у = 60 + 45* - З*2 - *3;
в) у = 2*3 - З*2 - 36* + 40;
г) у = -*5 + 5*.
Исследуйте функцию на монотонность:
030.14. а) у = *4 - 2*2 - 3; в) i/ = -З*4 + 4*3 - 15;
б) у = -*5 - *; г) у = 5*5 - 1.
030.15. а) у = * " ч " 2 ' *"
х + 3'
3* - 1
б>" = з7ТТ;
О30.16. а) у = V3* - 1;
б) j/ = Vl-x + 2х;
4-Мордкович, 10-11 кл. Ч. 2 97

30.17. По графику функции y = f(x), изображенному на
заданном рисунке, определите точки, в которых ее
производная обращается в 0:
а) рис/64; в) рис. 66;
б) рис. 65; г) рис. 67.
/
/
/
/
а
/
\
\
\
С
У1
\
\
с
О
ч
i
s
/
1
Д
Д
/ \
\
е
\
\
ч
X
PUC. 64
t
\
}
/
/
/
У1
/
о
/
\
\
\
)
\
\
j
1
1
X
PUC. 65
\
\
1
/
А
Л
/
\
\
yi
\
о
i
1
\
X
Рис. 66
98

t
f
/
/
/
f
1
\
\
1
V
\
У1
\
О
\
\
t
\
I
1
(
I
1
I
I
f
i
\
i
\
\/
e
У
X
PUC. 67
30.18. По графику функции y = f(x), изображенному на
рисунке, определите точки, в которых f'(x) не существует:
а) рис. 64; в) рис. 66;
б) рис. 65; г) рис. 67.
30.19. Сколько точек минимума имеет функция у = f(x), график
которой изображен на рисунке:
а) рис. 64; в) рис. 66;
б) рис. 65; г) рис. 67.
30.20. Сколько точек максимума имеет функция у = f(x),
график которой изображен на рисунке:
а) рис. 64; в) рис. 66;
б) рис. 65; г) рис. 67.
30.21. Используя данные о производной f'(x), приведенные
в таблице, укажите:
а) промежутки возрастания функции у = f(x);
б) промежутки убывания функции у = f(x);
в) точки максимума функции у = f(x);
г) точки минимума функции у = f(x).
X
fix)
(-оо; 5)
+
-5
0
(-5;-2)
-
-2
0
(-2; 8)
+
8
0
(8; +оо)
+
4*
99

30.22. а) Постройте эскиз графика функции,
дифференцируемой на интервале (а; Ь), имеющей на этом интервале одну
точку минимума, две точки максимума и не имеющей
наименьшего значения.
б) Постройте эскиз графика функции, дифференцируемой
на интервале (а; Ь)9 имеющей на нем две точки
минимума, две точки максимума, но не имеющей ни
наименьшего, ни наибольшего значений.
30.23. Может ли иметь только одну точку экстремума:
а) четная функция;
б) нечетная функция;
в) периодическая функция;
г) монотонная функция?
030.24. При каких значениях параметра а заданная функция
имеет одну стационарную точку:
а) у = х3 - Sax2 + 27jc - 5;
б) у = х'6 - Sax2 + 75* - 10?
30.25. По графику производной, изображенному на рисунке
(см. с. 222—223), определите, имеет ли функция у = f(x)
точки экстремума:
а) рис. 49; в) рис. 51;
б) рис. 50; г) рис. 52.
Найдите точки экстремума заданной функции и
определите их характер:
030.26. а) у = 7 + 12* - х3; в) у = Sx3 + 2х2 - 7;
б) у = 8 + 2х2 - х4; г) у = х* - Sx2.
030.27. а) у = 2х + ^; в) у = f + -;
X ОХ
г) у = (х-3)\
030.28. а) у = £- - | х2 + 6х - 1;
3 2
б) у = х3 - 27* + 26;
в) у = хв -7х2 -Ьх + 11;
г) у = -2хг + 2Ъ;2 + 19.
100

030.29. а) у = -Ъхь + Зх3;
б) у = х* - 4х3 - 8х2 + 13;
в) у = х* -50л:2;
г) у = 2хъ + 5х4 - Юх3 + 3.
030.30. а) у = х + ±; б) у = ^-^.
030.31. а) у = х - 2<Jx- 2; б) у = ^2х - 1 - х.
030.32. а) у = х - 2 cos x9 x e [-я; я];
б) г/ = 2 sin х - х, х е [п; Зя].
§ 31. Построение графиков функций
Постройте эскиз графика какой-нибудь функции,
обладающей указанными свойствами:
31.1. а) Функция имеет две точки максимума, одну точку
минимума и является ограниченной;
б) функция возрастает при х < 1 и при х > 5 и убывает
на промежутке [1; 5]; точка х = 1 является критической,
а точка х = 5 — стационарной.
31.2. а) Функция имеет разрыв в точке jc = -2, максимум в
точке х = -1 и минимум в точке х=1;
б) функция имеет горизонтальную асимптоту у = 3 при
х —> оо, одну точку максимума и одну точку минимума.
Исследуйте функцию и постройте ее график:
031.3. а) у = Зх2 - 4* + 5; в) У = 7 - х - 2х2\
б) у = 3 + 2х - х2; г) у = Ъх2 - 15х - 4.
031.4. а) у = Зх2 - хг; в) у = х3 + Зх2;
б) у = -9х + х3; г) у = Зх - х3.
031.5. а) у = х3 - Зх2 +2; в) у = -х3 + 6х2 - 5;
б) у = -хг + Зх - 2; г) у = х3 - Зх + 2.
101

Исследуйте функцию и постройте ее график:
031.6. а) у = 2х* + х2 - 8х - 7; в) у = х3 + х2 - х - 1;
X3 о 11 X3 !
Постройте график функции:
031.7. а) у = -х4 + Ъх2 - 4; в) у = 2х* - 9х2 + 7;
б) у = хъ - 5х; г) у = 5х3 - Зх5.
031.8. а) у = (jc - 1)2(х + 2); в) i/ = (я + 2)2(х - 3);
б) у = ——х(х - I)3; г) у = х3(2 - х).
O31.9. а) , = |±|; в) , = £^|;
_ Зх - 4 ч 2х + 1
б) у = ТТТ' г) У = ТТТ
О31.10. а) р = -^; б) » = ^U
•31.11. а) у = ^t^\} б) i/ = ^f •
•31.12. а) у = ^Ц; б)У = ^f
•31.13. а) Постройте график функции у = хА - 2х2 + 3.
б) При каких значениях параметра а уравнение
х4 - 2х2 + 3 = а имеет три корня?
•31.14. аЩостройте график функции у = -jc4 + 2х2 + 8.
б) При каких значениях параметра а уравнение
-х4 + 2дг2 + 8 = а не имеет корней?
•31.15. При каких значениях параметра а:
а) уравнение х3 - Зх = а имеет один корень;
б) уравнение Зх - х3 = а имеет два корня?
102

§ 32. Применение производной для нахождения
наибольших и наименьших значений величин
Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной
функции на заданном отрезке:
32.1. а) у = Зх - 6, [-1; 4];
в) у = -0,5* + 4, [-2; б];
г) у = |, [0,3; 2].
32.2. а) у = 2sin*, -1; тс; в) у = 6cos*. Г--; ol;
б) г/ = -2cos*, Г-2л; -|1; г) у = -0,5sin*, Г-|;
32.3. а) |/ = tg*, Г-|; -|1; в) » = -2tg*, [^0; j];
б) у = -3tg*, [л; Щ г) y = \tgx, [-я; -^j
32.4. &)у = -Jx, [0; 9]; в) у = ->/ж, [4; 16];
б) у = V1^, [-4; 0]; г) у = -уП, [-9; -4].
32.5. а) у = 12*\ [-1; 2]; в) г/ = -З*7, [0; 1];
б) у = -б*5, [0,1; 2]; r) z/ = |*4, [-1; 3].
O32.6. а) у = х2 - 8* + 19, [-1; 5];
б) у = х2 + 4* - 3, [0; 2];
в) у = 2*2 - 8* + 6, [-1; 4];
г) у = -З*2 + 6* - 10, [-2; 9].
103

32.7. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
у = sin х на отрезке:
5, [2*|];
032.8. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
I/ = х3 - 9х2 + 24jc - 1 на отрезке:
а) [-1; 3]; б) [3; в]; в) [-2; 3]; г) [3; 5].
032.9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
у = х3 + 3jc2 - 45jc - 2 на отрезке:
а) [-6; 0]; б) [1; 2]; в) [-6; -1]; г) [0; 2].
032.10. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
у = х3 - 9х2 + 15л: - 3 на отрезке:
а) [0; 2]; б) [3; в]; в) [-1; 3]; г) [2; 7].
032.11. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
у = х4 - 8х3 + IOjc2 + 1 на отрезке:
а) [-1; 2]; б) [1; 6]; в) [-2; 3]; г) [-1; 7].
032.12. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
у = х + на отрезке:
а) [2; 4]; б) [-2; 0].
032.13. Найдите область значений функции:
б) у = 2 sin х - х, х € [0; я];
в) у = 2 cos х + х, х € --1; | ;
г) г/ = tg*-*, *[\
104

Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной
функции на заданном промежутке:
032.14. а) у = х3 - 2х2 + 1, [0,5; +оо);
б) у = х - 2-Jx, [0; +оо);
в) у = \хъ - х\ (-оо; 1];
э
г) У = — , (-оо; +оо).
х4+1
032.15. а) у = х + -9 (-оо; 0);
б) у = -^-, [0; +сх>);
х2 + 3
в) у = -2х - ^, (0; +оо);
г) у = yj2x + 6 - jc, [-3; +оо).
•32.16. а) у = х2 - 4х + 5 + |1 - х\9 [0; 4];
б) у = \хг -1|-3*, [-1; 3].
Найдите область значений функции:
•32.17. а) у = 2х - Vl6* - 4, х е Г±; ^1;
б) у = 2у/х - 1 - 0,5jc, x е [1; 10].
•32.18. а) у = ху/х + 2; б) у = Xyll-2x.
•32.19. У = хг - Зх2 - 9х + V16 - х4 + | Vl6 - х4 - б|.
032.20. Сумма двух целых чисел равна 24. Найдите эти числа,
если известно, что их произведение принимает
наибольшее значение.
032.21. Произведение двух положительных чисел равно 484.
Найдите эти числа, если известно, что их сумма
принимает наибольшее значение.
105

032.22. Разность двух чисел равна 98. Найдите эти числа, если
известно, что их произведение принимает наименьшее
значение.
032.23. Представьте число 3 в виде суммы двух положительных
слагаемых так, чтобы сумма утроенного первого
слагаемого и куба второго слагаемого была наименьшей.
032.24. Представьте число 5 в виде суммы двух положительных
слагаемых так, чтобы произведение первого слагаемого
и куба второго слагаемого было наибольшим.
032.25. Периметр прямоугольника составляет 56 см. Каковы его
стороны, если этот прямоугольник имеет наибольшую
площадь?
032.26. Нужно огородить участок прямоугольной формы забором
длиной 200 м. Каковы должны быть размеры этого
прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?
032.27. Площадь прямоугольника составляет 16 см2. Каковы
должны быть его размеры, чтобы периметр прямоугольника
был наименьшим?
032.28. Огораживают спортивную площадку прямоугольной
формы площадью 2500 м2. Каковы должны быть ее размеры,
чтобы на забор ушло наименьшее количество сетки «ра-
бицы»?
•32.29. Сторона квадрата ABCD равна 8 см. На сторонах АВ и ВС
взяты соответственно точки Р и Е так, что ВР = BE = 3 см.
На сторонах AD и CD берутся точки соответственно К
и М так, что четырехугольник КРЕМ — трапеция. Чему
равна наибольшая площадь такой трапеции?
•32.30. На графике функции у = х2 найдите точку М,
ближайшую к точке А (0; 1,5).
•32.31. На графике функции у = <Jx найдите точку М,
ближайшую к точке А (4,5; 0).
032.32. Открытый металлический бак с квадратным основанием
должен вмещать 32 л воды. При каких размерах на его
изготовление уйдет наименьшее количество материала?
032.33. Закрытый металлический бак с квадратным дном должен
иметь объем 343 м3. При каких размерах на его
изготовление пойдет наименьшее количество материала?
106

032.34. Для перевозки груза требуется изготовить закрытый
короб в форме прямоугольного параллелепипеда, стороны
основания которого относились бы как 2 : 3, а объем
составлял 576 м3. Каковы должны быть измерения
параллелепипеда, чтобы его полная поверхность была
наименьшей?
032.35. Диагональ боковой грани правильной четырехугольной
призмы равна d. При какой длине бокового ребра объем
призмы будет наибольшим?
•32.36. Боковые стороны и одно из оснований трапеции равны
15 см. При какой длине второго основания площадь
трапеции будет наибольшей?
•32.37. Из прямоугольной трапеции с основаниями а и b и
высотой h вырезают прямоугольник наибольшей площади.
Чему равна эта площадь, если:
а) а = 80, Ъ = 60, h = 100;
б) а = 24, & = 8, h = 12?
•32.38. У пятиугольника ABCDE углы А, В и Е — прямые,
АВ = а, BC = b, AE = c, DE = m. Впишите в
пятиугольник прямоугольник наибольшей площади и вычислите
эту площадь, если:
а) а = 7, Ъ = 9, с = 3, т = 5;
б) а = 7, & = 18, с = 3, т = 1.
•32.39. Памятник состоит из статуи и постамента. К памятнику
подошел человек. Верхняя точка памятника находится
выше уровня глаз человека на а м, а верхняя точка
постамента — набм. На каком расстоянии от памятника
должен стать человек, чтобы видеть статую под
наибольшим углом?
•32.40. База находится в лесу в 5 км от дороги, а в 13 км от базы
на этой дороге есть железнодорожная станция. Пешеход
по дороге идет со скоростью 5 км/ч, а по лесу — 3 км/ч.
За какое минимальное время пешеход может добраться от
базы до станции?

I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
ггг
г
г Степени и корни.
г Степенные функции
г.
§ 33. Понятие корня л-й степени
из действительного числа
33.1. Назовите подкоренное число и показатель корня:
a) V3; б) ifE; в) VTT; Г) ^/37.
33.2. Докажите, что верно равенство:
а) л/361=19; в) з/з43 = 7;
J 32 _ 2
Г) V243 3"
33.3. Объясните, почему неверно равенство:
в) -^S = -2;
г) ^625 = -25.
а) д/25 = -5;
б) V-64 = -2;
O33.4. Верно ли равенство:
а)
б)
Вычислите:
33.5. a) ifl6; б) 5V32;
= 2 - V3; в) ^7-4^3 = 7з - 2;
- 3; г) -^15 - бТб = 3 -
в) V81; г) ^/64.
33.6. а) з/0,125; б) 4/0,0625; в) 4/0,0081; г) ?Ж027.
33.7. а)
б) з|з|;
в)
100
121'
33.8. a) J/-128; б) 1-^; в) I/-64; г) ? -
108

33.9. Вычислите:
а) ^/32 + з/18;
б) V625 - I/-125;
в) 3^16 - 4^27;
г) 12-6^/0,125.
033.10. Найдите отрезок [n, n + 1], где п € ЛГ, которому
принадлежит заданное число:
а) 75; б) з/I^; в) ^52; г)
Решите уравнение:
33.11. а) л;3 = 125;
б) *7 = ш;
33.12. а) х* =17;
б) jc* = -16;
33.13. а) 0,02л:6 -1,28 = 0;
б) -|л:8 + 18| = 0;
33.14. a) Vx-5 = -3;
б) V4-5JC = -2;
в) хь = 32;
г) х9 = 1.
в) х6 = 11;
г) Xй = -3.
в) 0,3л:9 - 2,4 = 0;
г) i х4 - 2 = 0.
О
в) V2X + 8 = -1;
г) ^7-4л; = 4.
O33.15. а) ^х2 - 9л; - 19 = -3; в) ^2л:2 + 6л: - 57 = -1;
б) ijx2 - Юл; + 25 = 2; г) V*2 + 7л; + 13 = 1.
O33.16. Расположите числа в порядке возрастания:
а) 2, V5, Vl7; в) 3, 5Vio, */7;
б) ^75, 4, ^/100; г) 2, «УбО,
O33.17. Расположите числа в порядке убывания:
а) -1, ^5, ijoj; в) -2, f^5, f^9;
б) 0, ^/-0,25, ^29; г) 1, ^2, f^.
109

033.18. Определите знак разности:
а) $/1б - ^90; в)
б) 3 - 77l50; г) */300 - 5.
033.19. Расположите числа в порядке возрастания:
в) 72л, |, ^2, 2,5;
г) 2л, V-0^5» 0. ^200-
а) |, s/^12, 2,
б) -, л/л, 1, yj-n;
к
§ 34. Функции у=?[х, их свойства и графики
Постройте график функции:
34.1. а) у = tfx; б) У = л/*; в) у = ifx; г) у = \[х.
34.2. а) у = 2\[х; в) у = ~-|л/^;
б), = 46^
34.3. а) » = V* + l;
34.4. а) р = yfc + 2;
б) » = \[х - 4;
O34.5. а) у = л/л: + 2 - 3;
б) г/ = Vx-1 + 2;
г) I/ = З^ж.
в) у = ^сТЗ;
г) г/ = л/л;-4.
в) г/ = Vx + 1;
г) у = V*" - |.
в) у = V*-l + 3;
г) у = \1х + 4 - 4.
34.6. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
а) на отрезке [0; 1]; в) на отрезке [5; 16];
б) на полуинтервале [1; 3); г) на луче [16; +оо).
34.7. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
а) на отрезке [-1; 1];
б) на луче (~оо; 1];
в) на отрезке [-32; 32];
г) на луче [2; +оо).
110

034.8. Найдите точки пересечения графиков функций:
а) у = >[х и у = х2; в) у = у[х и у = х;
б) у = л/* и у = \х\; Г) у = \[х и у = -х- 2.
034.9. Решите графически уравнение:
а) 4х = -х; в) tfx = 2 - х;
б) Зу[х = 7 - 6х;
г) \[х = -х2.
034.10. Определите число решений системы уравнений:
У = \[х,
а)
У = V*,
2х - Зу = 6;
в)
6 - 2х - Зу = 0;
б)
Зу-4х = 0;
г)
5 + х - 2у = 0.
O34.ll. У =
Постройте и прочитайте график функции:
\2х2, если х < О,
у[ху если х > 0.
—, если л: < О,
O34.12. У = { х
oe, если jc > 0.
O34.13. у =
[л/л;, если jc < О,
у если
0.
Найдите область определения функции:
34.14. а) у = V2jc-4; в) i/ = ^3* - 9;
б) г/ =
34.15. а) г/ = >/*2 +5;
б) » = Vx8-1;
г) у = 12/ГГ
в) У =
г) У '-
111

Найдите область определения функции:
O34.16. а) у = у1Ъх + 8 + $2х - 4;
- 12 -
г) у = л/8 - 16* + ^10* + 20.
O34.17. а) у = yjx2 + 4x - 12;
б)» =
O34.18.
в) г/ = л/л:2 - 8* + 12;
Найдите область значений функции:
034.19. а) у = Мх + 1; в) у = Ух + 3;
034.20. а) г/ = 2 + Vjc; в) у = 6у[х - 3;
б) У = \[х - 3; г) г/ = 2 + \[х.
034.21. Найдите наименьшее значение функции:
б) у =
а) у = л7* - 6* + 8;
•34.22. Постройте график функции:
а) у =
+ 6* + 10.
- 5* + 4.
*-4 '
х2 - х - 6
х - 3
§ 35. Свойства корня п-\\ степени
35.1. Найдите значение числового выражения:
а) ^8 • 27;
б) 4/16 0,0001;
в) ^625 16;
г) ^/0,00032 243.
112

35.2. Найдите значение числового выражения:
35.3. а) ^/24 9; б) */48 162; в) 3/75-45; г) V54 24.
35.4. а) 4^;
V 0,2 '
б)
16 .
I 0,0625'
27 .
10,125'
г)
35.5. а) ^/56 29; б) ^0,210 1010; в) V<>>23 56; г)
35.6. а) 4/И;
26
Упростите выражение, считая, что все переменные
принимают только положительные значения:
35.7. а)
35.8. а)
б)
б)
в) W; г) 2Vn16.
в) tfd™; г)
35.9. a) yja b4; б) yjasb6; в) Va b ; г) yja5b15.
35.10. а)
49a4
б) ^
16а4Ь8
в)
27а6
г)
32атЬю
I 243cls '
Вычислите:
35.11. a) ill ■ ifi; в) V20 • >/5;
б) ^35 • 3/25; г) Vl6 • ^486.
35.12. а)
V54
б)
V256
Q££ 1Q q\ 4/qo Q 4/q ОТ. Л\
oo.io. aj voZ • о • у/о • Zty o)
35.14. Приведите радикалы к одинаковому показателю корня:
а) ^2 и #3; в) ^7 и 4/8;
б) V5 и ^/9; г) ^/3 и \[2.
113

35.15. Приведите радикалы к одинаковому показателю корня:
а) л/3, ^4 и ^7; в) >/б, Vl7 и ^40;
б) V2, V3 и Vi; г) 3/3, ^/2 и 1<S/l00.
O35.16. Сравните числа:
а) ^26 и V5; в) ^7 и ^47;
б) ^/б и л/3; г) -^4 и -^8.
Преобразуйте заданное выражение к виду %]~А:
35.17. a) V2 • V2; в) V2 • ^3;
б) З/з • л/3; г) V2 • л/3.
035.18. a)
б)
035.19. а)
б)
в)
г)
в)
г)
5aV;
035.20. а) $[а* : yfa; в) tfrf : Va;
б) 1^V" : V^~; г) V^V
Возведите в степень:
35.21. а) (Тз)2; б) (лУа)"; в) (ТУ)5;
35.22. а) (2Тб)4; б) (b ■ п[±Т; в) (з ■ в
г) fi
35.23. а) (ТЗ^)9; б) (5а • Та")2; в) (-5 • Та7)"; г) (
35.24. Преобразуйте заданное выражение к виду ч[А:
а) $Z ; б) 3y[j^; в) ^/Va»"; r) >/
114
Т?

O35.25. Решите уравнение:
а) 1
б)
O35.26. Вычислите:
= 6.
а) ^6 +
б) $Г-
-2л/5;
6 + 2-J17;
в)
г)
- V37 •
л/37;
- 3.
O35.27. Решите уравнение:
а) Vx - 2^ = 0;
б) Vjc - 5^с +6 = 0;
x -1 = 0;
в)
г) ifx + 2%[x -3 = 0.
035.28. Докажите, что 2f(x) = f(128x), если f(x) = !fx.
035.29. Докажите, что 2f(x) = /(32*), если f(x) = 2%[х.
035.30. Постройте график функции:
а) у = V(* ~ 2)4 ; в) у =
- Г/ \к~
б) г/ =
§ 36. Преобразование выражений,
содержащих радикалы
Вынесите множитель из-под знака корня:
36.1. а) 720; б) VU7; в) VlO8; r) ^245.
36.2. а) $/24; б) Vl60; в) ^512; г) ^486.
Вынесите множитель из-под знака корня, считая, что
переменные принимают только неотрицательные значения:
36.3. a) V^~; б) V^7; в) tfrf; г) Vi»" •
в)
36.4. a) V25a3; б) ^
115

36.5. Вынесите множитель из-под знака корня, считая, что
переменные принимают только неотрицательные значения:
a) V75*V3; в)
O36.6. Вынесите множитель из-под знака корня, считая, что
переменные могут принимать как положительные, так и
отрицательные значения:
а) Т^Ь; б) №ъ; в) $&Ь; г) 4^Ъ.
Внесите множитель под знак корня:
36.7. а) 2>/5; б) б^А; в) 5л/3; г) 3^.
36.8. a) |V3; б) Jfe в) lj «/з|; г) 0,2^/25.
о А 5 V 7
36.9. Внесите множитель под знак корня, считая, что
переменные принимают только неотрицательные значения:
а) 7а2 Jab; б) 5ab2tfa*b; в) 5xyf2x; г) 2т
036.10. Упростите выражение:
^3; в) 2^64 + ^/486;
6)2^/3 + ^384;
O36.ll. Расположите числа в порядке возрастания:
а) 73; ^4 и ^/l8; в) ^3; ^2 и
б) ^4; ^2 и 1^40; г) ^4; ^/3 и *
36.12. Выполните действия:
а) (^ - 2^п)№ + 2^п); в) (о - Vb)(a
б) (^б - 73)(73 + ^б); г) (^4 + 272)(2л/2
116

Выполните действия:
36.13. a) (Vx + fi){x - фа> + у);
б) (3 + ^
в)
г)
q);
);
36.14. a) (Vm-2Vn) ; в)
б) (^5 - л/з)2; г)
O36.15. а) (а - Ь) : {4а - yfb); в) (т - п) :
б) {k + 0 : (л/£ + л/z); г) (jc - 4у) :
O36.16. а)
Сократите дроби, считая, что переменные принимают
неотрицательные значения.
v yfli + yj21k m
в/ —/= 7=^»
б) зг:
O36.17. а)
б)
л/о -2-</a
O36.18. а) J%
б)
л:9 -1
в)
г)
в)
г)
-t[ad
ifa + yfb
Та + 2л/а2Ь + b'
Vb + 2a,yja2b + а3
а4а
-а3
•+■ v^
— byjb
O36.19. Преобразуйте заданное выражение к виду
а) ^
б)
в)
г)
117

036.20. Преобразуйте заданное выражение к виду
а)
г) Лз<ШЗ.
O36.21. Упростите выражение:
а) 750 - З/з - б72 + 3/24 + ^8;
б) 6^/
O36.22. Сравните числа:
а) -фЩ и -ФИШ; в) *[з и
б) ^2^8 и 3V5; г) -Jtffc и _
O36.23. Расположите числа в порядке возрастания:
а) ТзЩ, v5>/3 и
б) >/4, v3v3 и
в) VW4, л/2 и
г)
и
O36.24. Найдите значение выражения:
4 - 8>/2 .
а)
б)
в)
(V9 + УЗ)2 .
+ 2^/3 + 1'
4V3 + З7б '
г) 1 - 2у/Е + у/Е
O36.25. Выполните действия:
a) (l
б)
118

036.26. Выполните действия:
а) '
б)
Разложите на множители:
036.27. a) J2x - fey + fey -
б)
в)
г)
036.28. а)
б)
036.29. Сократите Дробь:
a) 6^J:^~1;
036.30. Упростите выражение:
Jab ■ ifa a2 +b2
- ab + yfab - ab-Jb.
-6;
+ 6;
a)
6)
a2 -b2'
в)
г)
б)
2(т-п)
•36.31. Решите уравнение:
+ 12;
- 1.
-Sy/mn.
- 1 Цх + 1
+ 2 ^/х +5
§ 37. Обобщение понятия о показателе степени
Представьте степень с дробным показателем в виде корня:
37.1. а) <Д; б) p5i; в) х!; г) г/2з.
37.2. а) 0,20-5; б) *0'8; в) Ь1*; г) 8,50-6.
119

Представьте заданное выражение в виде степени с
рациональным показателем:
37.3. a) VU; б) т||; в) 4Д; г) *fcs.
37.4. а) \[ь*; б) ^о5"; в) Ц/?; г) 5V^.
Вычислите:
37.5. а) 49^; б) 1000^; в) 27з; г) 25^.
4
O37.6. а) 92*; 6)0,16^; в) |з|)3; г) 0,00ll
37.7. Представьте выражение в виде степени и найдите его
значение при заданном значении переменной:
а) д^£- при а = 6; в) /* _ при р = I;
б) -^з- при Ь = |; г) (Г3)2 • j* при t = ОД.
Вычислите:
37.8.
37.9.
037.10.
а)
а)
а)
(27 • З-4
б4 б-9.
б12 '
54 49-3
7"7 • 253
)2;
б)
б)
б)
16 (2
7-.з
8112 •
ю-5
"Г-
,-8
ю-7
2717 '
37.11. Представьте заданное выражение в виде степени с
рациональным показателем:
a) JF?; б) 1^Т; b)-J=; г)
37.12. Вычислите:
a) 4"i; б) 8"^; в) 32"s; г) 16"4.
37.13. Имеет ли смысл выражение:
а) 5"з; б) (-16)1; в) 23"t; г) (-25)"^?
120

37.14. Сравните:
а) 22 и 32; в) 52 и 53;
j. I LI
б) 0,32 и 0,52; г) 7з и 7е.
Упростите выражение:
II -11 2 _1
37.15. а) С2 • СЗ; б) Ь 3 • &2; в) Д3 . а 6; Г)
37.16. а) л:2 : х*; б) у"» : У1; в) 25 : 2"2; г) т\ :
37.17. а) (ФУ; б)(с^)2; b)(J)3; г)
37.18. а) хЪ ■ V*; б) у* ■ ffi; в) z~* ■ Vz; г)
O37.19. а) (а°-4)5 а0-8; в) \х~Ч*-(УхУ* ;
б) ^(с-1'2)^; г) (Ь0'8)^
Найдите значение выражения:
037.20. а) 105 • 10^ • 100Д; в) 49" з • 7Т2 . 7" 4;
б) 21'3 -2"0'7 -40'7; г) 250'3 • 51-4 • 6250'25.
O37.21.
O37.22.
O37.23.
а)
б)
а)
а,
40'6.
39»
(27'
(ii
20-2
64)
•81
Упростите
б)
2
. О"0'6.
1
з;
j.
выражение:
в)
г)
в)
г)
г)
43 2
1
(5-
( ,,
{Ъ1х
з.4з.
1
ч 1
• 0,04 2;
colto
3
-Я.
121

O37.24. Упростите выражение:
а)
б)
_2 5
X 3 • Xs
3
JC5
В) "Г Г
с6 с2
б
У1
(-М2
■\у2)
С" ■ С-
/ 1 3 \20
г)
I 2
а*-Ьъ
Представьте выражение в виде суммы:
/I А\ I I 1 и г з\
37.25. а) \х2 -у2)- х2уг\ в) ЪгсЛьг +сЧ;
2 2/1 1\
3&3U3 + Ь3/;
б) a3&3U3
37.26. a)
^ + п~Ч ;
б) (l - с*) ;
37.27. Раскройте скобки:
а) У+з)У-з);
г) x*i
В) (l + b*) ;
г) (J - 2Ь^)
б) W + ЬЧ\а - аЧ~2 + Ь);
в) Ы - l)(/2 + l);
+{pq
Сократите дробь:
i I 1
а2 — Ь2
37.28. а) Л-^-5 б)
32-3
х + х*
; в)^-; г)
- 5
O37.29. a) c + 3c2d23+d;
122
6)
m + n
2 i_ j. 2 •
3 - m3n3 + л3

Упростите выражение:
037.30. a) (l + с*) - 2сг\ в) У - у*) + 2*М;
б) (ли - тЧ + 2т12; г) yfb + у[с - \Ь~4 + сЧ
/1 п2 / 1 п2
037.31. a) U3 + Ь3) - U3 -ЪЧ ;
/ в i\2
б) U2 + 5аЧ - 10а2.
037.32. а) У + l)(^ - l)y + l);
3 3
nw ^ Q^ Q-b a2 - b2. V^ , V^
O«57.oo. а) — f 1Г7Г~' ") ~I Г —I T#
a2 - Ъ~2 п x2 + y2 x2 - y2
§ 38. Степенные функции, их свойства и графики
Постройте график функции:
38.1. а) у = х10; б) у = х~г; в) у = х5; г) у = х~\
38.2. а) у = Х2; б) У = *4; в) у = х 2; г) у = *4.
38.3. Постройте и сравните графики функций:
г~ - ■ г~ -
а)У = Мх и у = хз; 6)У = у1* и у = х*.
5
38.4. Известно, что f(x) = х2. Вычислите:
а) /(4); б) fU\ в) /(0); г) /(0,01).
_2
38.5. Известно, что f(x) = x 3. Вычислите:
а)/(1); б)/(8); в) fU\ г)/(0).
123

38.6. Исследуйте степенную функцию на четность:
-I 1
а) у = х10; б) У = х з; в) у = лг15; г) У = *3.
38.7. Исследуйте степенную функцию на ограниченность:
-1 2
а) I/ = х8; б) У = х 4; в) I/ = лг5; г) у = х*.
38.8. Исследуйте степенную функцию на монотонность:
Л I
а) I/ = х12; б) у = х ь; в) у = х~и; г) у = х*.
38.9. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции
а) на отрезке [0; 1]; в) на интервале (2; 3);
б) на луче [1; +оо); г) на полуинтервале (5; 16].
38.10. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции
5
а) на луче [0; +оо);
б) на полуинтервале [1; 3);
в) на отрезке [1; 2];
г) на полуинтервале (6; 8].
38.11. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции
2
у-х 3:
38.12.
O38.13.
O38.14.
а)
б)
на отрезке [1; 8]
на интервале (3;
Постройте график
а) у = (х + 2)5;
б)
а)
б)
а)
б)
7
у = х* - 3;
1
у = (х-2)Кб;
У = 2*3;
3
У = -х~*;
5);
в)
г)
функции:
в)
г)
в)
г)
в)
г)
на
на
У
У z
у-
У-
У
У :
луче [1; +оо);
полуинтервале (0; 1].
= (х - 1)'~3;
= х~з + 4.
7
= (л; + 6)4 +2;
-(х-3)2 -1.
1 ^
= -2л:4.
124

038.15. Решите графически уравнение:
а) х2 = 6 - х; в) х* = х3;
б) х* =±;
2
г) л;з = х - 4.
O38.16. Решите графически систему уравнений:
а)
б)
У =
У =
г/ =
в)
г)
у =
У = х
- у -1 = о.
O38.17.
O38.18.
O38.19.
Постройте и прочитайте график функции:
IX, если х < О,
5
х3, если л: > 0.
!/ =
\х\7 если х < 1,
[х3у если л: > 1.
—, если х < О,
д: 2, если д: > 0.
038.20. Известно, что /(х) = х4. Найдите:
а) Д16х); б
г) f{x-%
O38.21. Известно, что f(x) = х 3. Найдите:
a) f(Sx3); б) fix-6); в
^ж|; г) Л*12).
38.22.
38.23.
Найдите производную заданной функции:
а)У = х*; 6)У = х~4; в) У = х*°; г) 0 = -^-.
3 i 7 /_
а) I/ = х5; б) У = у1х5; в) z/ = *2; г) i/ = V^.
125

Найдите производную заданной функции:
38.24. а) у = -±*; б) у = Л; в) у = -±=; г) у
у1х хъ yJX
38.25. а) у = xjx; б) у = ^=\ в) у = &; г) у =
у!х х
38.26. а) у = 2х4 + jcVjc; в) у = х5 - -у=;
/
б) у = -f, + Зх6 - 1; г) у = х"
<1х
038.27. Найдите значение производной функции у = gix) в
заданной точке х0:
а) gix) = х3 - Зл/jc, х0 = 1;
I 2
б) gix) = Ч3х - 1, х0 = -;
о
в) g(x) = х-1 + х-2, х0 = 1;
г) g(x) = |(5 - 2х)'\ х0 = 2.
О
038.28. Найдите угловой коэффициент касательной к графику
функции у = fix) в точке с абсциссой х0:
a) fix) = 4 - Д х0 = 1;
б) f(x) = 12х"2 - х, х0 = 9;
в) /(х) = 2х* -1, х0 = 8;
г) fix) = х-3 + 6Vjc, х0 = 1.
O38.29. Найдите угол, образованный касательной к графику
функции у = gix) с положительным направлением оси
абсцисс в точке с абсциссой х0:
а) gix) = |л/4 - Зх, х0 = |;
__i
б) g(x) = -3(72 + х)"3, х0 = 1 - >/2.
126

038.30. Напишите уравнение касательной к графику функции
у = f(x) в точке с абсциссой х = а:
а) у = х4 -Зх\ а = 2;
б) у = МЗх - 1, а = 3;
в) у = Зх3 - Ъх2 - 4, а = 2;
г) I/ = (2х + Ъ)"\ а = 2.
038.31. Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы:
а) у = |W^ - 2х;
б) у = | х* - х.
038.32. Найдите наименьшее и наибольшее значения заданной
функции на заданном промежутке:
а) у = |W^ - 2х, [1; 9];
б) У = |х* - х, (0; 8);
в) у = |xV^ - 2х, (1; 9);
г) у = | J - х, [0; 8].
#38.33. Постройте график функции:
а) у = 2(х - 1)~3 - 2; в) У = -(* + 2)2 + 1;
_2
б) у = —jl— + 2; г) У = 1,5(х - 3) 7 - 4.
#38.34. Решите графически неравенство:
I _!
а) х2 < 6 - х; в) х 4 < х3;
3 2
б) х2 > х~2; г) х3 > х - 4.
127

#38.35. Решите уравнение g\x) = 0, если:
а) g(x) = 2у[х - х;
9 - 19-
б) g(x) = |х2 - Цх* + 2х;
в) *(х) = |х» - 2х;
Г) Лх) = |х» - |х5 - 2х.
38.36. Проведите касательную к графику функции i/ = f(x),
параллельную заданной прямой у = kx + т:
а) /(х) = 4tfc9y = x-2; б) /(х) = i, у = 5 - Зх.
•38.37. Исследуйте функцию на монотонность и экстремум и
постройте ее график:
а)у=у[х-х; б) y = xylx + 2.
•38.38. Используя свойство монотонности функции, решите
уравнение:
а) 2хь + х3 + 5х - 80 = #14 - Зх;
б) #10 + Зх = 74 - х5 - Зх3 - 8х.
•38.39. Проведите касательную к графику заданной функции из
данной точки М:
а) у = Л, М(0; 1); б) у = х~2 + 4, М(0; 0).

I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
г Показательная т
t и логарифмическая -[
г функции т
Pi I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I Г
§ 39. Показательная функция, ее свойства и график
Найдите значение выражения 2х при указанных
значениях переменной х:
39.1. а) х = 3; б) х = -2; в) х = 5; г) х = -4.
39.2. а) *=■§;
= -|; в)х=|;
39.3. Определите, какое из чисел, 5*1 или 5*2, больше, если:
Л 4,
~ 3 2 ~ 5 '
~ 3 ' 2 ~ 5 '
, _3 _ 4.
^ 1 ~ 5 ' 2 ~ 7 '
1 Г__П
g ' Х2 ~ 9 *
Найдите значение выражения:
39.4. а) 25'3- 2~0'3; в) З6'8- 3~5'8;
б) 7"2 • 73'5; г
39.5. а) 43'5:43; в) 82^ : 8
39.7. а) (2~3)2- 25;
г) f
3 * 3
( ±\* frt\2^ ( ^Y
39.6. а) [24 ; б) |1 j Г; в) [ЗЧ ;
г) [?|
в) (З2'7)3 : 35Д;
5 —Мордкович, 10-11 кл. Ч. 2
129

Решите уравнение:
39.8. а) 3х = 9; в) 3х = 27;
б>3 = 3' г)3 = 81-
39.9. а) 5х =75; в) 8х = ^/8;
•>(iJ-№ *(i)r-S-
039.10. а) 23х = 128; в) 32х = —;
27
б)63х = 216; г) ПИ -
343'
39.11. Среди заданных функций укажите те, которые являются
показательными:
а) у — Ъх\ б) у — х3; в) у = х3; г) У = \V3j .
039.12. Найдите значение аргумента х, при котором функция
у = 2х принимает заданное значение:
а) 16; б) 8^2; в) -*; г) -±_.
V2 32V2
039.13. Найдите значение аргумента х, при котором функция
у = -г принимает заданное значение:
а) ^-; б) 125; в) —^ 5 г) 625 ^5.
39.14. Укажите, какие из заданных функций ограничены снизу:
а) у = 4х - 1; в) i/ = -Зх2 + 8;
б) у = 18*; т)у= f^T.
39.15. Укажите, какие из заданных функций не ограничены
сверху:
ъ)у = -Зх2 + 1; в) у = (7,2)";
б) г/ = (0,6)"; г) у = cos х.
130

39.16. Схематично изобразите график показательной функции:
л)у=Ш)'; 6) у =(£)*; *)У=Ш; ^ У = (^
39.17. Сравните числа:
а) 1,334 и 1,340; в) 12Д7* и ,
/_ \16,2 /7V3 г
б){9) И [я) ; Г) (0'65) И (0'
39.18. Сравните с единицей заданное число:
а) 17^; б) (9,1)^; в
O39.19. Расположите числа в порядке возрастания:
а) 2\ 21'5, 2я, 2"Л, 2м, 1;
1 i^
б) 0,39, 1, 0,3^, О.З1, 0,3"9, 0,35.
Исследуйте функцию на монотонность:
39.20. а) у = (ТзТ; в) у = 21х;
39.21. а) у = 2х; б) у = ^| j ; в) у = 17"*; г) i/ = ^ j .
Решите неравенство:
39.22. а) 4х < 64; б) Г|Т > -|; в) 5х > 25; г) f |Т < -Д .
>81; в) (| )* < ^;
O39.23.
5* 131

Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной
функции на заданном промежутке:
39.24. а) у = 2х, [1; 4]; в) у = f|T, [0; 4];
["4; "21; r)J/ = 2X> [-4; 2].
39.25. а) у = (Тг)1, (-°°; 4]; в) у = (Vis)*. [0; +°°);
039.26. Найдите, на каком отрезке функция у = 2х принимает
наибольшее значение, равное 32, и наименьшее, равное т>.
(\ У
039.27. Найдите, на каком отрезке функция у = -^ принимает
\3)
наибольшее значение, равное 81, и наименьшее, равное -^ .
39.28. Найдите область определения функции:
б) У = 7х ; г) у = дд*-1.
Постройте график функции:
39.29. а) у = 2* + 1; в) у = 4х - 1;
6)i/=(iJ"2; г) у = (0,1)*+ 2.
39.30. а) у = 5х+1; в)у = Зх~2;
( я Y"2 ( 9 Y+0'5
6>i,= (f) ; г)„=(|) .
O39.31. Решите графически уравнение:
а) 3х = 4 - х; в) 5х = 6 - х;
132

O39.32. Решите графически уравнение:
а) 2х = -2х + 8; в) 3х = -х + 1;
б) f|l = х + 11; г) 0,2* = *+ 6.
При каких значениях х график заданной показательной
функции лежит выше графика заданной линейной
функции:
039.33. а) у = 3*, у = -х + 1; в) у = 5*, у = -2х + 1;
б) у = 0,5*, у = 2х + 1; г) у = (|Т, i/ = * + 1?
039.34. а) у = 2х, у = 3 - х; в) у = (V2 )* , i/ = 4 - *;
б) У = f|T , У = -х - 3; г) I/ = (|У , I/ = -х - 2?
O39.35. При каких значениях х график заданной показательной
функции лежит ниже графика заданной линейной
функции:
а) у = 2х, у = -\х - 1; в) у = (\) , у = Зх + 1;
б) у= f|j , у = -х- 2; г) у = Зх, у = -2х + 6?
2 ' еСЛИ * > °*
O39.36. Дана функция у = /(*), где /(*) = J
[ Зх + 1, если jc < 0.
а) Вычислите /(-3); /(-2,5); /(0); /(2); /(3,5);
б) постройте график функции у - f(x);
в) прочитайте график функции.
{4* если х ^ 1
-х + 1, если х > 1.
а) Вычислите /(-3); /(-2,5); /(0); /(1); /(2);
б) постройте график функции у = f(x);
в) прочитайте график функции.
133

l Y
O39.38. Дана функция у = /(*), где f(x) = ' " ' е°ЛИ * < '
vjc + 1, если х > 0.
а) Вычислите /(-5); /(-2,5); /(0); /(4); /(1,69);
б) постройте график функции у = f(x);
в) прочитайте график функции.
, если х < 0,
O39.39. Дана функция у = /(*), где /(*) = <U 4 J
[cos jc, если jc > 0.
а) Вычислите /(-3); /(-2); /(-1,5); /(0); f(±\ f(?£
б) постройте график функции у = f(x);
в) прочитайте график функции.
Найдите область значений функции:
1
2
039.40. а) у = 3 • 2х; в) у = \ • 7х;
039.41. а) у = 3х + 1; в) i/ = 17х - 2;
б) «/=(!)% 6; r)y=(|J-8.
039.42. Докажите, что для функции у = f(x), где f(x) = 2х
выполняется равенство:
a) f(xx) • f(x2) = f(Xl + х2); в) f(-2x) = j^ ;
б) f(x + 1) • f(2x) = 2f(x); г) /(cos2 x) = yJ2f(coS2x) .
§ 40. Показательные уравнения и неравенства
40.1 Решите уравнение:
а) 3* = 9; в) Щ = 1;
б) 2х = 16; г) 0,5* = 0,125.
134

Решите уравнение:
40.2. а) 4х = ^ ;
40.3. a) 10х =3/1000;
б)5* ;
40.4. а) 0,3-
16'
40.5. а) 2х+1 = 4;
б) б3'"1-0,2;
О40,
(1 \2х + 3
I) ;
б)62х~8 = 216х;
О40.7. а)
• л/3 = —;
l
б) 0,5
х2"
040.8. a) 2"(|)*=i;
б>(!Г3'=-
040.9. а) (712)* •
6
b)(|J=36;
г) 0,2х = 0,00032.
в) 0,3х = V0.0081;
ОГ_
и'' ~
logo
343
3Т - 16
2 J " 81*
41-7
в) А = 6Х"Л;
г) Ш = 1,5"
в)
5 = 32; г) 0,1
х2"
1,1=0,001.
в) 5х • 2х = ОД"3;
г)0,Зх-Зх=з/031.
б)
= 243.
135

Решите уравнение:
040.10. а) №М = 0,8Г2х; б) Ш = 20,25х+1.
040.11. а) л/б25 • V5
14x-9
в1"12 ;
б) ^/оТ
040.12. а) 27^ = >/9x + 1;
б) 2^^ = л/2 • л/32; г) (о,
в) 3х- МИ = 243;
3J
040.13. а) 3х- Зх+3=-78;
в) 2 • Ш
Зх+7
=49?
6)5
—
040.14. а) 22* - 6 • 2х + 8 = 0; в
б) 32х - 6 • 3х - 27 = 0; г) Г1) % 5 • (|Т- 6 = 0.
040.15. а) 2 • 4х - 5 • 2х + 2 = 0;
б) 3 • 9х - 10 • 3* + 3 = 0;
г) (0,25)* + 1,5 • (0,5)* -1 = 0.
040.16. а) 4 • | jj; I - 17
(jJ-«-
б) 0,01х + 9,9 • (0,1)х -1 = 0;
136

Решите уравнение:
2х+1
040.17. а) 22х+1 -5 • 2х - 88 = 0;
в)52х+1-26
•40.18. а) 3х"1 - (±Т ' = J-j^- + 207;
УЗ) \9*~*
б) ill6x+l + 188 = 8 -2х - 0,53"х.
'
040.19. а) 2х = 3х;
б) 25х = 72*;
•40.20. а) 3х 7Х+2 = 49 • 4х;
040.21. а) 62х+4 = 28+х • 33х;
040.22. а) 24х + 2 б"311 = 6,25 2Х+1;
040.23.
б) 11 | = 4* + 6;
040.24. а) [ | | = 0,5л + 5;
б) 3х = -х + 4;
•40.25. а) 18х - 8 6х - 9 2х = 0;
б) 12х - 6Х+1 + 8 • 3х =0.
в)||| =8Х;
б) 2Х+1 • 5Х+3 = 250 9х
б) 354х + 2 = 53х + 4 • 75х.
б) 35х"х • 72х"2 = 33х+1.
в) 5х = -х + 6;
r)|i|=3*+l.
в) ^ J= 2х + 9;
г) 3^=-0,5х + 4
137

•40.26. а) -
Решите уравнение:
1 1
3х + 2 3х
б) т^
12х + 143 12х
5х+4 5Х + 1'
8 = _8_
11х + 120 11* +
•40.27. а) 3 • 22х + 6Х - 2 • 32х = 0;
б) 2 • 22х - 3 • 10х - 5 • 52х = 0;
в)32х + 1-4- 21х- 7- 72х = 0;
г) 5 • 32х + 7 • 15х - 6 • 25х = 0.
Решите систему уравнений:
040.28. а) \ " ' в)
б)
040.29. а)
f0,5*x-0,6"=0,6,
[23х-2-"=32;
' + " = 73-727,
[о,1х Ю3* = 10;
г)
в)
б""'=125,
—'=4;
0,6х + !/ 0,6х =0,6,
б)
27»-8* =1,
V-4"*
г)
5* = 125;
5"-25х =625,
27
Решите неравенство:
40.30. а) 2* > 4;
б)2*<|;
40.31. а) 3х < 81;
138
в) 2х < 8;
в) 5х > 125;
г) (0,2)х < 0,04.

Решите неравенство:
40.32. а) З2*4 < 27;
40.33. а)72х-9>73д:-6;
б)0,54х + 3 >0,56х1;
040.34. а)45х-х> 163х+2;
О40.35. а)2
3* + 6
±Т ;
040.36.
•2 > 2,
/ \2x-l
б) $/125 • V5 < 5 • | ;
040.37. a) 7*
6) o,e
040.38. a)
6) 0,
> 27;
040.39.
б) О
<'¥';
2x+2< 20;
■ 1 q2z -3.8
— О < о >
в)541 + 2> 125;
г)(0,1)5х"9<0,001.
7 V3"0'5 / 7 N* + 1>5
в)1Г7я+1< 12Г2*10;
в) 25-3 > [i] ;
Зх
х y°-x
г) 0,25- - >4n/64.
в) H2x2+3x < 121;
г) 0,3х2-1Ox
в) 14х'+х < 196;
,3*2-13х
г) О^6^"1 - 0,36* > 0,7.
139

Решите неравенство:
040.40. а) 32х - 4 • 3* + 3 < 0; в) 0,22* -1,2 • 0,2* + 0,2 > 0;
б)52* + 4-5*- 5 >0; г) (±Г + 6 • [±Т -7<0.
040.41. а) 22*+1 - 5 • 2* + 2 > 0;
б)32х+1- 10- 3* + 3 <0;
«Г"'*»■ (i J - * < *
.бУ^ + З-ф.б)*- 2 >0.
040.42. а) 3* < 5*; б) б1 > 2х; *) (—) < 12х; г) 0,6* > 3*.
040.43. а) 5* < - х + 6;
2i-3
040.44. а) 191 + 2 > 1;
в)
г)
в)
Зх >
[2)
37*
■■ -х + 4.
<0,5*н
-9
t6 <1;
б) 0,36^ < 1; г) (f J1^ > 1.
040.45. а) З^"3 < ^-; в) g^"2 > i;
27 64
; 1^9) 64' [llj 36
040.46. а) 4х ■ Ц J< 2,25; в) 5* • (j| J > |;
б) 9* • f^l > 0,25; г) 3* • f-^j < 0,0625.
040.47. Сколько натуральных чисел являются решениями
неравенства:
а)£<1Г—<512; б) £ < [ij"*< 243?
140

040.48. Найдите наибольшее целочисленное решение
неравенства:
а) 2,52*+3 < 6,25; в) 1,15х"3 < 1,21;
СоЛ7"'9 я
б) 5 >U5; г) 0,79х + 4 > 0,49.
040.49. Сколько целочисленных решений имеет неравенство:
а) б*2"21 <125; в) 2"l2+8l>128;
fl\2x'-3x l
б) Ш >^тт; г)(0,зу-*>
•40.50. Решить неравенство:
а)2х + 2 - х2>3*2~2х + 2;
б) 2*2"4* + 5 > 4л:- 2 - х2.
§ 41. Понятие логарифма
Докажите, что:
41.1. a)log22 = l; б) log 1 1 = 0; B)log0д 0,1 = 1; r)log5l = 0.
з
41.2. a) log4 64 = 3; в) log0 2 125 = -3;
б) log2 4 V2 = 2,5; г) lg 100 5Vl0 = 2,2.
Вычислите:
41.3. a) log2 24; 6) log, (|j ; в) log8 8'3; r) log0д (0,1)5.
41.4. a)log3 ±\ B)lg 0,0001;
6) log0д 0,0001; r) log i 81.
3
O41.5. a) log^ 49; в) log± (225^/l5~);
15
O41.6. a) log^ 1; 6) log0>s -i=; в) log^ 8lV3; г) lg ^.
141

Вычислите:
41.7. a) 3log38; б) 4log<23; в) 12log- w; г) f I f '*
/ \2+logj_ 20
041.8. a)23 + l0g29; 6)71 + log'4; b)U ~6 ; i
041.9. a) 821og»3; б) б"3108'2; в) З41овз 2; г) б"210^ 3.
Решите уравнение:
41.10. a)lgx = l; 6)lgje = -2; B)lgx = 3; r)lgx = -4.
41.11. a) log9 x = g ; в) log8 x = ^ ;
2 3
6) log0,027 Л = 3 5 Г> 1оё0,25 * = 2 *
)logjc
41.12.
2 3
6) logo,i25 Л = ~ 15 r) logo,oi x = - 2 •
41.13. a)log^4 = 2; B)log^49 = 2;
6) log 27 = 3; r) log 125 = 3.
O41.14. a) log;c ± = -3; в) log;t ^ = -4;
6)log,4 = -|; r)log,8 = -|.
41.15. a) 2X = 9; 6) 12* = 7; в) I | | =4; r) (0,2)^ =
O41.16. a) 3*+1 = 14; в) f|T = 11;
O41.17. a) 4x - 5 • 2x = -6; в) 9* - 7 • 3* = -12;
6) 16* = 6 • 4х - 5; г) -9 • 7* + 14 = -49* .
142

Решите неравенство:
O41.18. а) 2* > 9; б) 12* < 7; в) (± V < 4; г) (0,2)* > 5.
V3;
•41.19. а) 4* - 5 • 2* > -6; в) 9х - 7 • 3х < -12;
б) 16* < 6 • 4х - 5; г) 9 • 7* + 14 > -49*.
§ 42. Функция у= \одах, ее свойства и график
42.1. Найдите значение логарифмической функции у = log2x в
указанных точках:
а) х^ = 4, я:2 = "> ^з = 1"» в) *^i = g > *^2 = ^2 ' *^3 = 128 '
б)*1= ТЕ9 *2= 72; г) хх = V82 , л2 = 16 Vl28 -
42.2. Постройте (схематично) график функции:
B)y = \gx;
г) I/ = log0 2 л:.
в) log9 Vl5 и log9 13;
г) log^ ± и log^ |
а)
б)
У = log/i
у = log!
л
, *;
х;
42.3. Сравните числа
а)
б)
log4 7 и
log 2 0,8
3
log4
И 1О|
:
23;
?2i;
3
^ ± и log^ |.
12 12
42.4. Сравните с единицей число:
a) log3 41; б) log23 0,1; в) logi 2,6; г) log^ 0,4.
7
O42.5. Расположите числа в порядке возрастания:
а) log2 0,7; log2 2,6; log2 0,1; log2 |; log2 3,7;
б) log03 17; log03 2,7; log03^; log03 3; log03g.
O42.6. Сравните числа:
a) log3 4 и ^/9; в) log2 5 и ^/7;
6) log053 и sin 3; г) lg 0,2 и cos 0,2.
143

42.7. Исследуйте функцию на монотонность:
а) у = log2 6 х; в)у = log^ x ;
б) У = logg х; г) у = log0 9 х.
4
42.8. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на
заданном отрезке [а, &]:
а) I/ = log3 х, ["!; э1; в) I/ = lg л:, [1; 1000];
б) у =1ов,д:, [|; 1в] ; г),-log,*, [A; fj].
[| ]
O42.9. а) Найдите, на каком промежутке функция у = Iog3;t
принимает наибольшее значение, равное 4, и
наименьшее, равное -2.
б) Найдите, на каком промежутке функция у = Iog05;t
принимает наибольшее значение, равное -1, и
наименьшее, равное -3.
042.10. Найдите наибольшее значение функции:
а) у = log, (х2 + 4); б) у = 1овад (*2 _ 4х + 3).
2
042.11. Решите уравнение:
а) log3 х = 4 - х; в) log5 х = 6 - х\
1 2
б) log! х = х + ^; г) log! *= л: + ^.
Решите неравенство:
42.12. a) log6 х > 2; в) log9 л: < \;
б) log0д л: > 3; г) Iog4 х < 3.
5
42.13. a) log9 д: < -1; в) log5 x > -2;
б) logj х < -4; г) log0 2 х > -3.
з
Постройте график функции:
42.14. а) у = 2 + log3 *; в) у = -3 + log4 x;
б) I/ = -1 + logi л:; г) у = 0,5 + log0д л:.
3
42.15. а) у = 3 log4 л:; в) i/ = 5 log8 x;
б)у= 2 logj л:; г) у = g log0 5 л:.
з
144

42.16. а) у = -2 log7 х; в) у = -0,5 log2 x;
б) у = -4 logi х ; г) I/ = -logg л:.
6 3
42.17. а) у = log2 (х + 4); в) у = log5 (x - 1);
б) г/ = logi (л: - 3); г) у = log03 (x + 5).
5
42.18. Найдите область определения функции:
а) У = log6 (4л; - 1); в) у = log9 (8x + 9);
б) г/ = log! (7 " 2л:); r) i/ = log0 3 (2 - Зл:).
9
042.19. Решите графически неравенство:
а) log2 х > -х + 1; в) log9 x<-x + 1;
б) logg х> 4х - 4; г) logi л:< 2л: - 2.
7 3
042.20. Решите неравенство:
а) log3 х < 4 - л:; в) log5 л: > 6 - х;
б) logi л: < л: + -|; г) logi л: > л: + |.
!-Зх + 3, если л: < 1,
log, л:, если л: > 1.
з
а) Вычислите /(-8), /(-6), ДО), /(3), /(9);
б) постройте график функции.
в) прочитайте график функции.
O42.22. Постройте и прочитайте график функции:
_ /~4л: + 4, если х < 1,
|log2 xy если х > 1;
[-(л: - 4)2, если л: < 5,
б)г/= <L
Ю£л о л:, если л: ^ о:
flog2 ху если 0 < л: < 2,
I-, если л: < О,
л:, если х > 0.
145

042.23. Найдите область определения функции:
а) у = log5 (х2 - Ъх + 6);
б) у = logs (-х2 - Ъх + 14);
в) у = log9 (х2 - 13* + 12);
г) у = log0 2 (-х2 + 8* + 9).
042.24. Найдите область значений функции:
а) у = log^ х; в) I/ = - log^ x;
ю
б) I/ = -22 log7 x; т)у= 12 log^x.
з
042.25. Дано: f(x) = log2 x. Докажите, что выполняется
следующее соотношение:
а) f(2x) = х; б) /(4*) + f(Sx) = Ъх.
§ 43. Свойства логарифмов
Вычислите:
43.1. a) log6 12 + log6 3; в) log26 2 + log26 13;
б) lg 25 + lg 4; r) log12 4 + log12 36.
43.2. a) log144 3 + log144 4; в) log216 2 + log216 3;
6) log! 4 + log! 2; r) logi2 \ + log12 ^-.
8 8 Z 'Z
43.3. a) log3 7 - log3 I; в) logi 28 - logi 7;
2 2
6) log2 15 - log2 30; r) log0 2 40 - log0 2 8.
043.4. a) log^ 6 - log^ 2л/3; в) logg 32 - log^ 243;
3 3
6) log^ 7л/2 - log^ 14; r) log0д 0,003 - log0д 0,03.
043.5. a) (3 lg 2 - lg 24) : (lg 3 + lg 27);
6) (log. 2 + 31og3 0,25) : (log8 28 - log3 7).
043.6. а) Известно, что log3 2 = с. Найдите log3 8.
б) Известно, что log0 5 3 = а. Найдите log0 5 81.
146

043.7. а) Известно, что log5 2 = а. Найдите log5 10.
б) Известно, что log6 4 = т. Найдите log6 24.
043.8. а) Известно, что log6 42 = b. Найдите log6 7.
б) Известно, что log7 35 = п. Найдите log7 5.
Найдите число х по его логарифму:
043.9. a) log2 х = log2 72 - log2 9;
б) log4 x = log4 2 л/2 + log4 8 у/8 ;
в) log7 x = log7 14 - log7 98;
043.10. a) logi x = logi 19 - logi 38 + logi 3;
2 2 2 2
б) log0 2 x = log0 2 93 + log0 2 4 - log0 2 31;
в) log^ x = 2 log^ 4 - log^ 2 + log^ 5;
r) logi x = logi ^ + logi 21-2 logi 7.
3 3 У 3 3
043.11. a) lg x = 2 lg 7 - 3 lg 3 + lg 8;
б) lg x = 2 lg 3 + lg 6 - \ lg 9;
в) lg x = \ lg 3 + | lg 5 - \ lg 4;
Вычислите:
43.12. a) log2 4 • log3 27; в) log0 5 0,25 • log0 3 0,09;
6) log5 125 : log4 16; r) lg 1000 : lg 100.
O43.13. a) logi 4 * lQg3 9 : l°S4\;
2
б) log^Vis : logi>/49 • log5V5;
7
в) log3 81 : log05 2 • log5 125;
r) log^ 5л/5 • log,,,, V^3 : lg
147

Вычислите:
043.14. a) 22+lofe5; б) б"*""1; в) 31+log°8; г)
/ \21ogi 7
043.15. а) 231<*'4; б)(|] 5; в) 52"*'3; г) (0,3)31og«
s \logil3 • \logi5
043.16. a) 81*3; б) (JJ 3 ; в) ЮО*5; Г) ^J *
O43.17.
O43.18.
a)362log6l8;
6)64410*825;
a)^J+0-51oBi14;
б)251-0,5 logsll.
в) 1212 ;
г)25^9.
В)й ! ' ;
Г) 49l-0,51og714>
O43.19. а) з/811ое'6-71ое'9; б) ^tf*5 - 5l0fc 9.
043.20. а) 121^; б) ^; в) ^ ; г)
log7 5 logj 27 log4 6
M
°43'21- a> b^2 ' B> Iog0>510 - log0,5 VlO + log0,54 ;
Iog612 + 21og62 Iog0,316
f log6 27 + 4 log6 2 ' ; log0)315 - Iog0,3 30 "
•43.22. a) log4 sin^ + IiOg4 sin3 ^ + log4 sin^f;
6) I log8 f cos I - sin |1 - log8 (cos I + sin 11 .
43.23. Известно, что положительные числа х, а, Ъ и с связаны
соотношением л: = ^4L-. Выразите logn x через логариф-
/Ь
мы по основанию п чисел а, Ь, с
43.24. Прологарифмируйте по основанию 2:
a) 16a2 Ь3; б) ^a{y[bY; в) 48aVa-fe4; г) ^-.
148

43.25. Прологарифмируйте по основанию 5:
а) 125а4 : Ь4; в)
с3
Л-З
625(лМ\ Г_
б) с* ' lJ
Решите уравнение:
43.26. a) log4 л: = log4 2 + log4 7; в) log9 л: = log9 5 + log9 6;
б) logj^ x - logj 7 = logj^ 4; г) logi x - \og± 9 = logj^ 5.
3 3 3 4 4 4
43.27. a) log6 12 + log6 x = log6 24;
б) log0 5 3 + log0 5 x = log0 5 12;
в) log5 13 + log5 x = log5 39;
r) logi 8 + logi x = logi 4.
3 3 3
43.28. a) log2 3x = log2 4 + log2 6;
6)
в) log4 5x = log4 35 - log4 7;
O43.29. a) log^ 8 - log^ = 2; в) log^ 3 + \ogx9 = 3;
6) log, 2 + log, 8 = 4; r) log, S + log, (25 ^5 ) = 3.
43.30. Положительное число b записано в стандартном виде
Ъ = Ьо- 10л , где 1 < Ьо < 10 и п — целое число. Найдите
десятичный логарифм числа Ь:
а) Ъ = 9 • 102; в) Ъ = 9 • 104;
б) Ь = 9 • 10~3; г) Ъ = 9 • 10~5.
(Для справок: lg 9 ~ 0,95.)
43.31. Найдите десятичный логарифм числа:
а) lg 50; в) lg 5000;
б) lg 0,005; г) lg 0,00005.
(Для справок: lg 5 — 0,7.)
149

O43.32. Вычислите:
(\ / \
cos — + sin — + logx cos — - sin — I;
6 6/ 2 ^ 6 6'
/ K\ ( k\
b) logx 2 sin — + logx cos —- ;
2 \ 12/ 2 V 12/
г) 1(«л (cos j£ ~ sin y^) + 1о^л (cos Y2 + sin 12) *
2 2
O43.33. Известно, что log3 2 = а и log3 5 = b. Выразите через а
a) log3 10; 6) log3 20; в) log3 50; r) log3 200.
#43.34. Сравните числа:
а) log3 4 и л/2; 6) log2 3 и >/7.
Постройте график функции:
043.35. а) у = log2 8х; в) у = log3 ±- ;
б) у = logi4*; г) bgx £.
2 з у
043.36. а) I/ = log2 х3; в) i/ = log3 ^ ;
б) i/ = logx —; г) I/ = logx х3.
3 *
2
O43.37. а) У = log21-; в) у = log3 9 х3;
б) tf = logi|^; г) у = 108! ?.
§ 44. Логарифмические уравнения
44.1. Решите уравнение:
а) log2 (Зх - 6) = log2 (2х - 3);
б) log6 (14 - 4х) = log6 (2x + 2);
в) logi (7* " 9) = 1°^1 х'
r) log02 (12ж + 8) = log02 (llx + 7).
150

Решите уравнение:
O44.2. a) log3 (л:2 + 6) = log3 5л: ;
б) logi (7*2 ~ 20°) = loSi 50*'
2 2
B)lg(x2-6) =
044.3. a) log0Д (л:2 + 4л: - 20) = 0; в) log7 (л:2 - 12* + 36) = 0;
б) logi (х2 - 10* + 10) = 0; г) log12 (х2 - 8х + 16) = 0.
з
044.4. a) log3 (х2 - 11л: + 27) = 2; в) log2 (л:2 - Зл: - 10) = 3;
б) logi (л:2 + х - 5) = -1; г) logi (л:2 + Зл: - 1) = -2.
7 3
044.5. a) log2 (л:2 + 7л: - 5) = log2 (4л: - 1);
б) log0 з (-л:2 + Ъх +7) = log0 з (Юл: - 7);
в) log2 (л:2 + х - 1) = log2 (-л: + 7);
г) log0 2 (-л:2 + 4л: + 5) = log0 2 (-л: - 31).
044.6. a) logi х- 4 log2 х + 3 = 0;
б) log42 х - log4 x - 2 = 0;
в) log2, x + 3 lo£i ^ + 2=0;
2 2
Г) log2 2 X + logQ 2 X ~ 6 = 0.
044.7. a) 2 log2 л: + 5 log5 x + 2 = 0;
б) 3 log2 л: - 7 log4 х + 2 = 0;
в) 2 log2 з л: - 7 log0 з х - 4 = 0;
г) 3 log2 л: + 5 lo»i* " 2= °-
2 2
44.8. a) log2 х = Iog23 + Iog25;
б) log7 4 = log7 x - log7 9;
в) logi 4 + bgi ^ = logi I8 5
3 3 3
r) log0 4 9 - log0 4 x = log0 4 3.
151

Решите уравнение:
О44.9. а) 2 log8 х = log8 2,5 + log8 10;
б) 3 log2 | - log2 32 = bg2 x;
в) 3 logj x = logi 9 + logj 3;
7 7 7
r) 4 log01 x = lg01 2 + log01 8.
044.10. a) log3 (x - 2) + log3 (x + 2) = log3 (2x - 1);
б) logu (x + 4) + logn (x - 7) = logu (7 - jc);
в) log0 6 (x + 3) + log06 (x - 3) = log06 (2* '- 1);
r) log04 (x + 2) + log04 (x + 3) = log04 (1 - x).
044.11. a) log23 (2x - 1) - log23 x = 0;
б) log0>5 (4* - 1) - log05 (7x - 3) = 1;
в) log3 4 (x2 - 5x + 8) - log3 4 jc = 0;
r) logi (x + 9) - logi (8 - 3jc) = 2.
2 2
044.12. a) log, (2x2 + x - 2) = 3;
6) log,, (12*-x2- 19) = 3.
O44.13. a) lg2 x - lg x + 1 = 9
lglOx'
6) log32 x + 3 log3 jc + 9 - —2L
в) lg2 x - 2 lg x + 4 = 9
lgl00*'
r) log/ ;c + 7 log2 * + 49 = 218
1U62l28
044.14. a) lg 100x lgx = -1;
6) lg210* + lg 10* = 6 - 31g-.
044.15. a) log5 (6 - 5*) = 1 - x; 6) log3 (4 • 3*1 - 1) = 2x - 1.
152

O44.16. а)*1о*'*=81;
o> x
D Л' - i.
O44.17. а)
6) jclog»sX-2= 0,125;
r) x1"*"-4 = 27.
O44.18. a)
Решите систему уравнений:
Iog2(*2 + Зх - 2) - log2 у = 1,
Зх - j/ = 2;
б) { log3(x2+4*-3)-log3j/ =
O44.19. a)
б)
log5 (x + у) = 1,
log6 х + log6 у = 1;
[log0iS (л: + 2i/) = log0j5
[log7 (л;2 - у) = log7 x.
О44.20. а)
Uog9(x- у) = -,
log64 л; - log64 у = i;
flogl (3x -y) = logi (дс + 4),
6) J з з
log9 (x2 + x - у) = log9 x2.
044.21. а) \Г '2V "16> 6)
log3 x + log3 у = 1;
T f±T - ±
044.22. a) -j^J ^3j 27' 6)
[log2 2x - log2 у = 2;
9х • 3» = 81,
log2 x + log2 у = 1.
log4 i/ - log4 jc = 1.
153

§ 45. Логарифмические неравенства
45.1.
45.2.
O45.3.
O45.4.
Решите неравенство:
a) log2 х > 4;
б) log2 х < -3;
a) logi *** 2;
3
б) logi х ^ ~3;
2
a) log5 (Зх + 1) < 2;
б) log0>5 1 > "2;
a) log5 х > log5 (Зх - 4);
в)
г)
в)
г)
в)
г)
в)
log2 х < g ;
logjjJO-g
log0 2 X < 3
log0д *> -
log, | > 1;
log^j (2jc -
log, (5* -
;•
1
t
3)<4.
9) > log
3 3
б) log06 (2х - 1) < log06 x; r) log3 (8 - 6х) < log3 2jc.
O45.5. a) log2 (5* - 9) < log2 (3jc + 1);
б) log04 (12x + 2) > log04 (IOjc + 16);
в) logi (-*) > bgi (4 " 2jc);
з з
r) log25 (6 - x)<log2>5 (4 - 3x).
O45.6. a) log3 (x2 + 6) < log3 bx;
б) log06 (6x - x2) > log0>6 (-8 - x);
в) lg (x2 - 8) < lg (2 - 9*);
r) log^ (x2 + 10x) > log^ (x - 14).
O45.7. a) logi (6 " x) > logi x^
2 2
б) log0 з (x2 + 22) < log0>3 13*;
в) logi(-x-6)< logi (6-A
4 4
r) log05 (x2 - 27) > log05 6*.
154

Решите неравенство:
O45.8. a) log8 (х2 - 7х) > 1; в) log2 (х2 - 6х + 24) < 4;
6) logi (х2 + 0,5х) < 1; г) к^ (-х2 + —^) > 2.
2 3 У
O45.9. a) log* х > 41og2 л: - 3; в) log* х + log4x < 2;
б) log' * + 3 logi л: < -2; г) bgo,2 л: > 6 - log0 2 х.
2 2
045.10. a) log3 х > log3 72 - log3 8;
б) 3 logi x < logi 9 + logi 3;
3 3 3
в) log5 x - log5 35 < ^
r) 4 log0 6 x > log0 6 8 + log0 6 2.
045.11. a) logi x + log^^ (4 - x) > -1;
¥ з
б) log2 (7 - x) + log2 л: > 1 + log2 3;
в) lg(7 - x) + lgx> 1;
r) logi x + logi (10 - x) > -1 + logi 4,5.
2 2 2
045.12. a) 2 log§ x + 5 log5 x + 2 > 0;
в) 3 logl * " 7 log4 x + 2 < 0;
6)2 1og2,3x -71og0)3x-4<0;
r) 3 log| x + 5 logi * " 2 > 0.
з
O45.13. a) logf x2 - 15 log2 x - 4 < 0;
б) log? *2 - 7 logi x + 3 < 0;
3 3
в) logl x2 + 13 log3x + 3 < 0;
r) logf x2 - 31 logi x - 8 < 0.
5 5
155

O45.14. Найдите наибольшее целочисленное решение
неравенства:
a) log7 (6* - 9) < log7 (2х + 3);
б) logi (2 - х) > logi (2* + 4);
5 5
в) lg (8* - 16) < lg (3x + 1);
г) log0 4 (7 - х) > log0,4 (3* + 6).
O45.15. Сколько целочисленных решений имеет неравенство:
а) log12 (х2 - х) < 1;
б) logi^ (х2 - 10* + 9) > 0;
2
в) log9 (х2 - 8х) < 1;
г) log0>3 (-х2 + 1х - 5) < 0?
Решите систему неравенств:
3) > log2 (x - 2),
O45.16. a) I
[loge (3jc - 1) < log6 (9л: + 4);
flog, (6* - 1) < log3 (9x + 11),
[log6 (3 - x) > log6 (4* - 1);
O45.17. a) |
[logo.2 (x - 1) < 0;
(logi x2 > logi 28 - bgi 7,
б) \ 2 2 2
[log3 (4x - 1) > 0.
|logo,i(*2-12) < log0>i(-A-),
O45.18. a)
gx2
logi(jc2+3)
6) -il_-. /„2
156

§ 46. Переход к новому основанию логарифма
046.1. Вычислите:
а) log21 + log4 9; в) log25 9 - log5 3;
б) logs 3>/2 + log31; r) log16 4 - log4 8.
046.2. Известно, что log2 3 = а. Найдите:
a) log3 2; 6) log3 |; в) log3 4; r) log3 -g .
046.3. Известно, что log5 2 = b. Найдите:
a) log2 25; 6) log2 7^ ; в) log2 125; r) log2
046.4. Известно, что log2 3 = а. Найдите:
а) log4 9; 6) log8 18; в) log4 81; r) log8 54.
Сравните числа:
046.5. a) log2 7 и log7 4; в) log3 5 и log5 4;
б) log6 9 и log9 8; r) logn 14 и log14 13.
046.6. a) log2 6 и log4 5; в) log9 6 и log3 7;
6) logi 3 и logL 1,5; r) logi 4 и logi 7.
2 4 3 9
Решите уравнение:
046.7. a) log4 x + log16 x + log2 x = 7;
6) log3 x + log^ x + log^^ x = 6.
3
046.8. a) Slog2, x = —^— + 2; б) 2log2 x = —^— + 3.
logx 3 logx 2
Вычислите:
046.9. а) 91огз4 + log^ • Iog336;
б) Iog381og227-3log*25;
в) 341og32 +log5V2 Iog425;
г) ю0'51^16 + 141og3V2 • Iog481.
Iog256 Iog27 Iog3135 _ Iog35
0# a* log28 2 ~ Iog2242' 6* log45 3 Iog12153*
157

#46.11. Известно, что lg 2 = a, lg 3 = Ь. Вычислите:
a) log4 12; б) log6 18; в) log0 5 3; г) logi 24.
з
#46.12. Известно, что log2 5 = a, log2 3 = b. Вычислите:
а) log3 15; б) log8 75; в) log16 45; г) log15 12.
Решите уравнение:
O46.13. a) log3 х + 1 = 2 logx 3; в) log7 x - 1 = 6 log^ 7;
б) 2 log, 5 - 3 = -log5 х; г) log2 x + 9 log, 2 = 10.
#46.14. a) Iog4(x + 12) • logx 2 = 1;
б) 1 + logx5 • log7x = Iog535 • logx5.
•46.15. a) log2x + 1 (5 + 8x- 4x2) + Iog5_2x(l + 4x + 4x2) = 4;
6) log3:c + 7 (9 + 12* + 4*2) = 4 - log2, + 3 (6x2 + 23x + 21).
#46.16. Решите неравенство:
a) log9 x2 + log| (-*) < 2; 6) log4 x2 + logj (-x) > 6.
§ 47. Дифференцирование показательной
и логарифмической функций
47.1. Найдите производную функции у = f(x).
а) /(х)=4-в*; в) f(x) = -8ex;
б) /(х)= х»в*; г) /(*)=§-•
Найдите значение производной заданной функции в
указанной точке х0:
47.2. а) у = ех + л:2, х0 = 0; в) у = ех - х, х0 = 1;
б) у = в* (л + 1), х0 = -1; г) у = ^-, х0 = 0.
47.3. а) у = в8"1, *0 = |; в) у = е4"9*, х0 = |;
б) у = Зе6 + Х, х0 = -5; г) у = е0'5"3, х0 = 4.
O47.4. Найдите угловой коэффициент касательной к графику
функции у = f(x) в точке с абсциссой xQ:
а) /(*) = #с • е\ х0 = 1;
в) /(х) = 4в* + 3, х0 = -2;
б) /(х) = ^, *0 = 1.
г) /(х) = 0,1е* - 10*, х0 = 0;
158

047.5. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику
функции у = h(x) в точке с абсциссой х0:
а) h(x) = flj, x0 = 0; в) Цх) = ± + х\ х0 = -1;
б) h(x) = е~х + 2, х0 = 2; г) h(x) = я + е2*"3, х0 = 1,5.
047.6. Найдите угол, образованный касательной к графику
функции у = h(x) с положительным направлением оси абсцисс
в точке с абсциссой х0:
а) Цх) = \еЬх'\ х0 = 0,2; в) h(x) = \el~*\ x0 = \;
Э О О
б) h(x) = e~x~r\ х0 = S; г) Цх) = е*"~\ х0 = 7з.
Напишите уравнение касательной к графику функции
y = f(x) в точке с абсциссой х = а:
047.7. а) у = ех, а = 1; в) у = ех, а = 0;
б) I/ = ех, а = 2; г) у = ех, а = -1.
047.8. a) S/ = eZx~\ а = ±; В) У = Ау а = 0;
б) z/ = хе-2л+1, а = 0,5; г) у = ^-jf а = 0.
Постройте график функции:
047.9. а) У = ех + 4; в) i/ = ^"3;
б) У = ^"х + 1; г) у = ех~2 - 3.
047.10. а) у = In(х - 4); в) у = \п(х + 3);
б) I/ = In ex; r) i/ = In -.
е
047.11. Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы:
а) у = х2е*; б) у = хе2х~4; в) у = х*ех; г) У = ^.
047.12. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции
у = х2ех на заданном отрезке:
а) [-1; 1]; б) [-3; 1]; в) [-3; -1]; г) [1; 3].
47.13. Найдите производную функции:
а) у = х2\пх; в) У = ^;
б) у = 3 In х + sin 2х; г) S/ = 2 cos | - 5 In x.
159

Найдите значение производной заданной функции в
указанной точке:
47.14. а) У = In х + х, х0 = ±;
б) у = х3\пх, х0 = е;
в) у = х2 - In х, х0 = 0,5;
г)!/^, *о =1.
47.15. а) у = In (2л: + 2), л:0 = --;
4
б) г/ = In (5 - 2л:), л:0 = 2;
Составьте уравнение касательной к графику функции
у = f(x) в точке с абсциссой х = а:
047.16. a) f(x) = хь - In х, а = 1; в) /(л:) = -2л: In л:, а = е;
б) /0*0 = ——у а = 1; г) /(л:) = vx In л:, а = 1.
047.17. а) У = xe2x~ly a = |; в) г/ = л:31пл:, а = в;
б) У = ^Й, а = 2; г) г/ = (2х + l)el~2\ a = \.
Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы:
047.18. а) г/ = х + lni; б) у = х4 - 4 In x.
047.19. а) у = е2х - 3ех + х + 4; б) г/ = 1 - Зл: + 5ех - е2х.
047.20. а) У = 2 In л:3 - 5л: + ^-; б) У = In -^- + х2 + л: + 3.
047.21. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции
у = х - In х на заданном отрезке:
)[i;el; б) [г, И].
O47.22. Найдите наименьшее и наибольшее значения заданной
функции на заданном отрезке:
а) у = х + 1п(-х), [-4, -0,5];
б) у = х + е~х, [-In 4, In 2].
160

047.23. Напишите уравнение той касательной к графику
функции y = fix), которая параллельна данной прямой
у = kx + т:
а) fix) = е2ху у = 2ех - 5;
б) fix) = ln(3x + 2), у = х + 7.
047.24. Решите уравнение f'(x) = а, если:
а),(х)=8е»\« = »;
е
б) f(x) = 2 + ±е-**13, а = -2;
в) f(x) = 2e-7x + \ а—14;
г) f(x) = 42 - е0**-4, а = ОД.
047.25. Решите неравенство g'\x) < а, если:
a)ff(*) = 6-!e*-»f a = ±;
б) ё{х) = х + е4*"3, а = 5;
г) ^(л:) = в9дс + 21 - х, а = 8.
•47.26. Проведите касательную к графику заданной функции так,
чтобы она проходила через начало координат:
- £
а) у = е2; в) у = е3;
б) у = In л:; г) г/.= In л:3.
•47.27. При каком значении параметра а:
а) прямая у = Зх - 4 + а является касательной к графику
функции у = In (Зл: - 4);
б) прямая у = 2л: + 3 + а является касательной к графику
функции у = In (2л: + 3)?
•47.28. При каких значениях параметра а функция у = х6е~х на
интервале (а, а + 7):
а) имеет одну точку экстремума; в) убывает;
б) имеет две точки экстремума; г) возрастает?
6-Мордкович, 10-11 кл. Ч. 2

I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
угггггггггггггггггггггггг
Г "Г
г Первообразная т
г и интеграл ~-[
i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i Г
ггггггггггггггггггггггггг
§ 48. Первообразная
Докажите, что функция у = F(x) является
первообразной для функции у = fix), если:
48.1. a) F(x) = x2+x\ f(x) = 2x + 3x2;
б) F(x) = x4- xl\ f(x) = 4х3 - Их10;
в) F(x) = x7 +x\ f(x) = 7х6 + 9х8;
г) F(x) = х13 - х19, f(x) = 13л:12 - 19л:18.
48.2. a) FC*:) = 3sii^, f(x) = 3 cos x;
б) F(x) = -4 cos х, /(л:) = 4 sin л:;
в) F(x) = -9sinx, f(x) = -9cosx;
г) F(x) = 5cosx, f(x) = -5 sin x.
Для функции у = f(x) найдите хотя бы одну первообразную:
48.3. a)
48.4. a) f(x) =
48.5. a) f(x) = х2 + л:16;
6) f(x) =
- -±; r) fix) -
б)
б) fix) = -^.
У/Х
в) fix) = х13 + л:18;
1
1.
48.6. a) fix) = 4л:3 - 6х2;
б) fix) = -3 sin x + 2 cos x;
в) /(л:) = 5л:4 - Зл:5;
5
г) fix) = -13 sin x +
cos х
162

48.7. a) f(x) = e' +-; в) fix) = х3 - х 3;
48.8. а) у = sin2 # + cos2 л:; в) у = 1 + tg2 x;
б) i/ = 2sin— cos—; г) у = 1 + ctg2x.
O48.9. a) /(x) = sin Гзж + |\ в) /(x) = cos (4x-3);
б) /(х) = cos (* - 2х\ г) f(x) = sin f 2 - |\
048.10. a) f(x) = ; в) fix) =
(6л: + 1)г l ; Цх
6) f(x)= ' ; г)
У7х-9
O48.ll. a) f(x) = sin 2х; в) /(*) =
б) /(х) = e2jt-5 - cos3x; r) fix) =
2 —
O48.12. Для данной функции найдите ту первообразную,
график которой проходит через заданную точку М:
а) y = smx, М -; - ; в) z/ = cosx, М -; 1 ;
б) У = -Л", ^fl'"1) г> ^ = ^' М(х; 4
cos2 л: 1^4 ) sin2| V4 /
048.13. Точка движется по координатной прямой, ее скорость
задана формулой v = 1 + 2t, t — время движения. Найдите
закон движения, если известно, что в момент времени
t = 2 координата точки равнялась числу 5.
048.14. Скорость движения точки по координатной прямой
задана формулой v = -4 sin St, t — время движения.
Найдите закон движения, если известно, что в момент времени
t = 0 координата точки равнялась числу 2.
6* 163

O48.15. Скорость движения точки по координатной прямой зада-
на формулой v= . =, t — время движения. Найдите
J2t l
J
закон движения, если s(0) = 3.
048.16. Ускорение движения точки по координатной прямой
задано формулой a(t) = 2{t + I)2, t — время движения.
Найдите закон изменения скорости v = u(t) и закон
движения s = s(t), если v(0) = 1, s(0) = 1.
048.17. Для функции y = g(x) найдите ту первообразную, график
которой проходит через заданную точку М:
a) g(x) = 8sin| cos|, м(Ь 3
б) g(x) = 2 cos2 § - 1, M -£; 16
в) g(x) = cos2 ^ - sin2 ^, M(0; 7);
r) g(*) = l-2sin2f, m(J; 15
048.18. Найдите ту первообразную для заданной функции у = /(л:),
график которой касается оси х:
a) f(x) = 2х + 3; б) /(*) = 12(3л: - I)3.
048.19. Некоторая первообразная функции z/ = 3cos3x + 6 sin 6x
принимает в точке х = ^ значение 6. Какое значение
принимает та же первообразная в точке х = ^ ?
•48.20. Найдите ту первообразную для заданной функции у = f(x),
график которой касается заданной прямой y = kx + m:
a) f(x) = 2х, у = х + 2; б) /(*) = З*3, у = Зх + 4,75.
•48.21. Известно, что функция у = F(x) является первообразной
для функции у = f(x). Найдите точки экстремума
функции у = F(x), если:
а) f(x) = *2 -j^6; в)
V* - 1
б) f(x) = (25л:- л:3) In л:;
164

•48.22. Известно, что функция у = F(x) — первообразная для
функции у = f(x). Что больше — F(a) или F(b), если:
а) f(x) = (2х - Щу/х - 3, а = 3,3, Ъ = 4,1;
б) f(x) = (Зх + 60)^/2* - 4, а = 15, & = 17?
§ 49. Определенный интеграл
Вычислите:
13 9
O49.1. а) \хЧх; б) f^; в) |x4dx; r) №.
J2 i*2 Л iV^
049.2. a) fsinxdx; б) \-Щ-\ в) fcosxdx; г) f-^L.
J J^cos л: ^ Jsin2*
2 4 ~^ 4
1 1 0 1
049.3. a) jexdx; б) J3exdx; в) )\exdx\ г) j-2exdx.
0 -1 -1 -2
4 4
049.4. a) je^'^dx; в) J e°'25jc+1dx;
4
6) je2x+1dx;
-i
г) J e~2x+2dx.
-0,5
О
O49.5. a) j3y/l-2xdx; в)
-1
5
O49.6. a) |^*;
165

O49.7. Вычислите:
O49.8. Материальная точка движется по прямой со скоростью,
определяемой формулой и = v(t) (время измеряется в
секундах, а скорость — в сантиметрах в секунду). Какой
путь пройдет точка за 3 секунды, считая от начала
движения (t = 0)?
a) v(t) = St2 - 4t + 1; в) v(t) = 4t3 - 6t2;
1 ... 1
6)
r)
O49.9. Дан прямолинейный стержень длиной I. Он неоднороден
и его плотность в точке, удаленной от левого конца на х,
0 < х < Z, определяется по формуле р = р(х). Найдите массу
стержня, если:
а) р(х) = х2 - х + 1, 1 = 6;
-J—г, 1 = 3;
( 3)
в) р(х) = -х2 +
1
г) р(х) =
(2x +1)2
1 = 2;
1 = 1.
049.10. Вычислите f f(x)dx, если график функции у = f(x) изо-
-2
бражен на:
а) рис. 68; б) рис. 69.
s
ч
\
1
I
2-JQ
I
л
\
X
\
\
-2-
\
-
\
1
\
О
л
о
о
о
1
ч
\
/
/
/
I
/
*х
PUC. 68
РЫС. 69
166

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
049.11. а) у = х2, у = О, х = 4;
б) у = х\ у = О, х = -3, х = 1;
в) У = х2, у = 0, х = -3;
т) у = х4, у = 0, х = -1, х = 2.
049.12. а) у = х* + 2, г/ = 0, х = О, х = 2;
б) у = -х2 + 4х, у = 0.
049.13. а) У = -^, г/ = 0, * = 1, х = 2;
б) у = -Ц у = 0, х = 1, х = 9.
049.14. а) у = sin х, у = 0, л: = |;
5;
б) г/ = cos 2х, у = 0, х = -J,
в) г/ = cos я, г/ = 0, л: = ~, х = ^;
г) г/ = sin|, г/ = 0, х = |, х = п.
049.15. а) у = 1 + |cosx, у = 0, х = -|, х = |;
б) г/ = 1 - sin 2л:, z/ = 0, jc = 0, х = я.
049.16. а) у = 0, л: = 4, у = у[х;
б) г/ = 0, х = 1, х = 3, у = -2-;
в) у = 1, х = 0; у = \[х;
т) у = 2, х = 0, у = у[х.
049.17. а) г/ = Vx, г/ = -2л/х, х = 4;
б) г/ = 2-Ух, г/ = -Vx, x = 9.
167

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
049.18. а) у = О, х = О, х = 3, у = ех;
б) у = О, х = О, х = 4, у = е~х;
в) у = О, х = -1, х = 1, у = ех;
г) у = 0, х = -2, х = 0, у = е~х.
049.19. а) х = 1, у = ех, у = е~х;
б)у = ±, у = 1, х = -1;
в) у = ех, х = 2, х + 2у = 2;
г) У = ех, у = -ех,х = 2,х = 0.
049.20. а) у = 0, х = 1, х = е, у = -;
б) у =
= -i, у = -
в) у = 0, х = е, х = е2, у = -;
г) г/ = 0, х = 2, х = Ъ, у = .
= К х = 2, х = 3;
O49.21. а) У = е*
б) у = ^, г/ = 1, х = 5;
в) г/ = \/л:, г/ = -, * = 4;
г) г/ = - -^, У = -1, х = в.
O49.22. Найдите площадь фигуры, изображенной на:
а) рис. 70; б) рис. 71; в) рис. 72; г) рис. 73;
W
Я-
7.
i
f»
О
Р*-
0
J.-
о^
О
О-
1 я
1-
1
Ш
1
I
^||
Ш
.г
1
—
ха
X
л
о
]
[
я
2
s:
п
РЫС. 70
РЫС. 71
168

Mi
1
о
4
4
щ
Ш
щ
^*
Ш
п
2
У
s:
5s
п
7
X
I
X
РИС. 72
РИС. 73
Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками
функций:
049.23. а) у = 1 - х2, у = -х - 1;
б) у = х2 - Зх + 2, у = х - 1;
в) у = х2 - 1, у = 2х + 2;
г) у = -х2 + 2х + 3, у = 3 - х.
049.24. а) у = х2 - 4х, у = -(я - 4)2;
б) у = #2 + 2* - 3, у = -х2 + 2х + 5.
049.25. а) г/ = я2 - 6х + 9, i/ = (х + l)(3 - х);
б) у = х2 - 4х + 3, у = -х2 + 6л: - 5.
а) у = 3 - х\ у = 1 + |х|; б) у = *2, у = 2 - |х|.
•49.26
•49.27
Вычислите:
б
a) jf(x)dx, где
б) J/(x)dx, где
\х2, если -3 < х < 2,
[6 —дг, если х>2;
1
-, если 0<л: < 1,
х3, если х>1.
O49.28. Используя геометрические соображения, вычислите
интеграл:
4 О
а) f Vl6 - x2dx; б) J yJ25 - x2dx.
О -5
169

Используя геометрические соображения, вычислите
интеграл:
4 О
•49.29. a) jyl4x-x2dx; б) j^-x2 -2xdx.
о -1
у[2 4
•49.30. a) J V4 - x2dx; б) j^64-x2dx.
О -4
•49.31. Найдите площадь параболического сегмента,
изображенного на:
а) рис. 74; б) рис. 75.
-1
1
/\
I
1
yi
1
г
щ
%
V
ч
г
Г 1
о
О
у
щ
\
-
\
-
\
2-
Л
A
У1
&
1
t
I. -
1
i
л
|]
JSSN
1
j
\
\-
x.
PUC. 74
PUC. 75
•49.32. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) у = sin 2jc, у =
16*2
v (2х Л
в)у = cos х>У=[—-1)'>
б) у = х2 - 1, у = cos -g-; г) у = х2 - 2х, у = sin -g-.
•49.33. а) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком
функции у = Xs, касательной к нему в точке х = 1
и осью у.
б) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком
функции у = х3 и касательными к нему в точках х = О
и д: = 1.
•49.34. а) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком
функции у = Xs - 6х2 + 9х + 1 и касательной к нему в
точке jc = 3.
б) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком
функции у = х3 - Зх и касательной к нему в точке х = -1.

I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
ггггггггггггггггггггггггу
Г Элементы математической
С статистики, комбинаторики
и теории вероятностей
§ 50. Статистическая обработка данных
050.1. Ученик выписал из дневника свои отметки за март. Вот
что получилось:
4, 4, 3, 2, 5, 3, 3, 4, 5, 4, 4, 4, 5, 4, 2, 4, 4, 5, 3, 3.
а) Составьте сгруппированный ряд этих данных.
б) Чему равна мода этого измерения и какова ее
кратность?
в) Выпишите таблицу распределения данных.
г) Найдите среднее значение отметок за март.
050.2. В очередном туре футбольного чемпионата состоялись
10 матчей. Вот их результаты:
3:1, 0:2, 1:1, 0:0, 0:4, 0:1, 2:2, 0:3, 1:0, 1:1.
Футбольный статистик подсчитал результативность
матчей (количество голов).
а) Выпишите (не сгруппированный) ряд полученных данных.
б) Сгруппируйте его и составьте таблицу распределения
данных и распределения их частот (в процентах).
в) Постройте гистограмму распределения данных.
г) Найдите среднюю результативность матчей в этом туре.
050.3. Лидеру партии принесли следующую сводку данных о
проголосовавших за его партию, по пяти избирательным
участкам одного округа:
Процент проголосовавших
за партию
Число голосовавших,
тыс. чел.
Избирательный участок
№1
7
14
№2
8
12
№3
10
10
№4
2
20
№5
9
11
а) Найдите среднее результатов в процентах.
б) Подсчитайте общее количество голосовавших на этих
пяти участках.
171

в) Подсчитайте количество проголосовавших за партию
на каждом участке.
г) Пройдет ли партия 7% -ый барьер в этом округе?
О50.4. По приведенной гистограмме распределения данных (рис. 76)
найдите:
а) количество вариант и объем измерения;
б) размах и моду измерения;
в) таблицу распределения данных;
г) среднее результатов измерения.
11--
5-
4 ■
3-
23456789 10
PUC. 76
#50.5 а) Найдите частоту каждой из букв в строке «Октябрь уж
наступил...» из стихотворения «Осень» А. С. Пушкина.
б) Найдите частоту (в процентах) букв слова «гром»
среди всех букв двустишия «...Как бы резвяся и играя /
Грохочет в небе голубом...» из стихотворения Ф. И. Тютчева.
в) Найдите моду и ее кратность среди всех букв
двустишия «Это дерево сосна, / И судьба сосны ясна...» из
стихотворения Ю. Минералова.
г) Измеряется длина слов в отрывке из поэмы А. С.
Пушкина «Медный всадник». Составьте ряд данных и
постройте гистограмму распределения этих данных.
«...Ужасен он в окрестной мгле!
Какая дума на челе!
Какая сила в нем сокрыта!
А в сем коне какой огонь!
172

Куда ты скачешь, гордый конь,
И где опустишь ты копыта?...»
О50.6. Каждый из трех участников статистического
эксперимента 200 раз бросил игральный кубик и записал, сколько
раз выпало каждое из возможных чисел очков.
Получились такие данные:
Результаты
участника № 1
Результаты
участника № 2
Результаты
участника № 3
Число очков
1
45
31
27
2
29
32
40
3
35
41
23
4
31
34
39
5
28
36
30
6
32
26
41
Сумма
200
200
200
а) Составьте гистограмму распределения данных
участника № 1;
б) Составьте гистограмму распределения данных
участника № 2;
в) Для общего числа данных, полученных участниками
№ 1 и № 2, составьте таблицу распределения и
гистограмму.
г) Для общего числа данных, полученных участниками
№ 1—3, составьте таблицу распределения и гистограмму.
О50.7. По приведенным данным из сводной таблицы
распределения результатов некоторого измерения:
Кратность
Частота
Частота, %
Варианта
№1
№2
X
23* -105
№3
У
у2-у-70
№4
х + у
Сумма
50
а) найдите х;
б) найдите у;
в) восстановите всю таблицу;
г) найдите моду этого распределения.
173

Ниже, в задачах 50.8—50.11, рассматриваются
результаты одного и того же измерения: речь идет об
отметках, которые получили выпускники одной из школ за
сочинение. Выставлялись две отметки: первая — по
литературе, вторая — по русскому языку. Отметки эти
таковы:
5/4
4/4
2/3
4/5
4/2
4/3
3/1
2/1
5/4
4/3
3/5
2/3
2/3
3/4
3/3
3/3
4/3
4/3
5/5
5/3
4/4
3/3
5/4
1/2
2/2
050.8. Для отметок по литературе:
а) выпишите сгруппированный ряд данных;
б) составьте таблицу распределения кратностей;
в) постройте многоугольник распределения процентных
частот;
г) найдите среднее.
050.9. Для отметок по русскому языку:
а) выпишите сгруппированный ряд данных;
б) составьте таблицу распределения кратностей;
в) постройте многоугольник распределения процентных
частот;
г) найдите среднее.
О50.10. Итоговая отметка за сочинение была выставлена по
инструкции: «2», если сумма отметок меньше 5; «3», если
сумма отметок равна 5 или 6; «4», если сумма отметок
равна 7 или 8, и «5» — в остальных случаях.
а) Определите число итоговых двоек.
б) Определите число итоговых пятерок.
в) Составьте таблицу распределения итоговых отметок.
г) Нарисуйте гистограмму распределения итоговых
отметок.
•50.11. а) Вычислите дисперсию и среднее квадратичное
распределения отметок по литературе.
б) Вычислите дисперсию и среднее квадратичное
распределения отметок по русскому языку.
в) По какому предмету отметки в среднем выше?
г) По какому предмету отметки имеют более устойчивый
характер?
174

§ 51. Простейшие вероятностные задачи
051.1. Перед новогодним праздником Деду Морозу выдали
набор подарков. Все подарки сделаны в виде одинаковых
по размеру пластмассовых шаров. Всего в мешок Деда
Мороза положили 12 красных, 14 белых, 13 синих и 11
оранжевых шаров. Какова вероятность того, что первый
вытащенный подарок будет:
а) белого цвета;
б) красный или оранжевый;
в) одного из цветов российского флага;
г) не оранжевого цвета?
051.2. На координатной плоскости отмечены все точки,
абсциссы и ординаты которых равны одному из следующих
чисел: -4, -1, 1, 4, 8 (повторения допускаются). Из
отмеченных точек случайным образом выбирают одну.
Найдите вероятность того, что она лежит:
а) правее оси ординат;
б) ниже оси абсцисс;
в) в четвертой координатной четверти;
г) ниже прямой у = х.
051.3. В круге радиуса >/з с центром в начале координат
отмечены все точки, абсциссы и ординаты являются целыми
числами. Из отмеченных точек случайным образом
выбирают одну. Найдите вероятность того, что:
а) она лежит на оси ординат;
б) она лежит не на координатных осях;
в) она лежит в ьфуге радиуса 1 с центром в начале
координат;
г) ее абсцисса и ордината отличаются более чем на 2.
•51.4. Составили множество всех чисел вида х = 2а5\ где а,
Ъ € {0, 1, 2, 3, 4} (совпадения допускаются). Из этого
множества случайным образом выбрали одно число. Какова
вероятность того, что оно будет:
а) больше 1;
б) меньше 20;
в) нечетным;
г) не оканчиваться нулем?
175

51.5. Для заданного события назовите противоположное:
а) мою новую соседку по парте зовут или Таня, или Аня;
б) явка на выборы была от 40% до 47% включительно;
в) из пяти выстрелов в цель попали хотя бы два;
г) на контрольной я не решил одну или две задачи из
пяти.
51.6. Назовите событие, для которого противоположным
является данное событие:
а) на контрольной работе больше половины класса
получили пятерки;
б) все семь пулек в тире у меня попали мимо цели;
в) в нашем классе — все и умные, и красивые;
г) в кошельке у меня есть или три рубля одной монетой,
или три доллара одной купюрой.
051.7. Ученику предложили написать на доске любое
натуральное число от 100 до 200. Найдите вероятность того, что:
а) это число нечетно;
б) среди цифр этого числа есть 3;
в) это число не является кубом целого числа;
г) сумма его цифр больше 3.
051.8. Игральную кость бросили дважды. Найдите вероятность
того, что:
а) среди выпавших чисел нет ни одной пятерки;
б) среди выпавших чисел есть или пятерка, или шестерка;
в) сумма выпавших чисел меньше 11;
г) произведение выпавших чисел меньше 25.
051.9. Из костей домино выбрали одну. Какова вероятность того,
что:
а) она является дублем;
б) на ней выпала «шестерка»;
в) произведение очков на ней меньше 26;
г) модуль разности очков больше 1?
•51.10. В русском языке 33 буквы: 10 гласных, 21 согласная и
две специальные буквы (ъ и ь). Два ученика независимо
друг от друга выбрали по одной букве русского
алфавита. Какова вероятность того, что:
а) были выбраны различные буквы;
б) обе выбранные буквы — гласные;
в) среди выбранных букв есть согласные;
г) это две соседние буквы алфавита.
176

051.11. Из пяти чисел 1, 2, 3, 4, 5 поочередно выбирают два.
Найдите вероятность того, что:
а) первое из чисел меньше второго;
б) эти два числа — длины катетов прямоугольного
треугольника с целочисленной гипотенузой;
в) произведение этих чисел оканчивается нулем;
г) первое из чисел делится на второе.
051.12. Случайно и поочередно нажимают три клавиши одной
октавы. Найдите вероятность того, что:
а) не была нажата «фа»
б) не были нажаты ни «до», ни «си»;
в) была нажата «ля»;
г) получилось до-мажорное трезвучие «до-ми-соль».
§ 52. Сочетания м размещения
052.1. Двузначное число составляют из цифр 0, 1, 3, 4, 5, 6, 9
(повторения цифр допустимы).
а) Сколько всего можно составить чисел?
б) Сколько всего можно составить чисел, больших 50?
в) Сколько всего можно составить нечетных чисел?
г) Сколько всего можно составить нечетных чисел,
меньших 55?
052.2. В шахматном зале — 5 столов. Для проведения игры за
каждый стол садится по одному шахматисту из двух
встречающихся команд. В каждой команде 5
шахматистов.
а) Найдите число всех возможных составов матча
(Иванов — Петров, Сидоров — Каспаров и т. д.).
б) То же, но для двух независимо проводимых матчей.
в) То же, но если во втором матче участвует по три
лучших шахматиста из каждой команды.
г) То же, что и в пункте б), но если во втором матче
капитаны команд обязательно играют между собой.
O52.3.
Вычислите:
7! + 8!.
а) 5! ч
, ю ,
б) 4! + 5! "
630
6! '
в)
_\
г)
!
6!
7
11
!
+ 5!
(10!)2
(8!)2
49
- (9!)2
- (7!)2
7-Мордкович, 10-11 кл. Ч. 2 177

O52.4. Найдите наименьшее натуральное число я, для которого:
а) верно неравенство (я + 1)! > (0,99я + 5) • п\
б) верно неравенство (п + 1)! > (п + 333) • (п - 1)!
2"
в) число —г меньше единицы;
ты
г) число п\ составляет более 1000% от числа (п - 1)!
•52.5. Сколькими нулями оканчивается число:
а) 10!; б) 15!; в) 26!; г) 100!?
O52.6. В правильном 17-угольнике провели все стороны и все
диагонали.
а) Сколько всего провели отрезков?
б) Сколько провели сторон?
в) Сколько провели диагоналей?
г) Сколько диагоналей, которые отсекают треугольник от
17-угольника?
52.7. Важен или нет порядок в следующих выборах:
а) капитан волейбольной команды и его заместитель;
б) три ноты в аккорде;
в) «шесть человек останутся убирать класс!»?
г) Придумайте 4 различные ситуации, в двух из которых
порядок выбора важен, а в двух — нет.
Вычислите:
52.8. а) С27 и А217; б) С2100 и А2100; в) С\ и А35; г) С\ и А\.
O52.9. а) С227 - С226; б) #; в) #; г) С5п ~ <*х.
Решите уравнение:
052.10. a) Cl = 2С!; в) С2Х + С2х + 1 = 49;
б) СГ2 = 15; г) С1 = 70.
052.11. а) А! - 18AX4.2; в) С3Х = А2Х;
б) Ах2_, - С\ = 79; г)С4х = А3х + Сх.
•52.12. Решите неравенство:
а) 120 < Af _3 < 140; в) С\о < А2Х < 60;
б) С\< А2п< Cl; г) С\9 <А2х + С2 < 200.
178

#52.13. Найдите значение л, при котором:
а) число Cl + 1 составляет 80% от числа Cl;
б) число Csn + i составляет 120% от числа С*;
в) число С\*х составляет 56% от числа С^'Д»
г) число Сгп+з составляет 120% от числа С^Л»
O52.14. «Вороне где-то Бог послал кусочек сыра», брынзы,
колбасы, сухарика и шоколада. «На ель Ворона
взгромоздясь, позавтракать совсем уж было собралась, да
призадумалась»:
а) если есть кусочки по очереди, то из скольких
вариантов придется выбирать;
б) сколькими способами можно составить «бутерброд» из
двух кусочков;
в) если съесть сразу три кусочка, а остальные спрятать и
съесть завтра и послезавтра, то из скольких вариантов
придется выбирать;
г) сколько получится, если один кусочек все-таки бросить
Лисе, а потом ответить на вопрос а)?
•52.15. Три клавиши из семи клавиш, соответствующих нотам
до, ре, ми, фа, соль, ля, си одной октавы, можно нажать
либо одновременно (аккорд), либо поочередно (трезвучие).
а) Найдите число всех возможных трезвучий.
б) Найдите число всех возможных аккордов.
в) Найдите число всех возможных аккордов, содержащих
ноту соль.
г) Найдите число всех возможных аккордов, в которых
нет подряд идущих нот.
O52.16. Из колоды в 36 карт выбирают 5 карт и потом
одновременно открывают их. Найдите:
а) число всех возможных вариантов открытых карт;
б) число вариантов, при которых среди открытых карт
есть 4 туза;
в) число вариантов, при которых все открытые карты
пиковой масти;
г) число вариантов, при которых все открытые карты
одной масти.
7* 179

O52.17. За четверть в классе прошли 5 тем по алгебре. Для
подготовки к контрольной работе составлено по 10 задач к
каждой теме. На контрольной будет по одной задаче из
каждой темы. Ученик умеет решать только по 8 задач в
каждой теме. Найдите:
а) общее число всех вариантов контрольной работы;
б) число тех вариантов, в которых ученик умеет решать
все пять задач;
в) число тех вариантов, в которых ученик ничего не
может решить;
г) число тех вариантов, в которых ученик умеет решать
все задачи, кроме первой.
#52.18. Встретились несколько человек и стали здороваться друг
с другом. Рукопожатий было от 60 до 70. Сколько всего
человек встретилось, если известно, что:
а) каждый здоровался с каждым;
б) только один человек не здоровался ни с кем;
в) только двое не поздоровались между собой;
г) четверо поздоровались только между собой?
#52.19. Из 20 вопросов к экзамену ученик 12 выучил, 5 совсем
не смотрел, а в остальных что-то знает, а что-то нет.
На экзамене в билете будет три вопроса.
а) Найдите количество возможных вариантов билета.
б) Сколько из них тех, в которых ученик знает ответы
на все вопросы?
в) Сколько из них тех, в которых есть вопросы всех трех
типов?
г) Сколько из них тех, в которых ученик выучил
большинство ответов на вопросы?
#52.20. В театре 10 певцов и 8 певиц, а в хоре из премьерной
оперы 5 мужских партий и 3 женские партии.
а) Сколько существует различных составов хора?
б) То же, но если известно, что певцы А и Б ни за что не
будут петь вместе.
в) То же, но если известно, что певец А будет петь тогда
и только тогда, когда будет петь певица В.
г) То же, если 6 певцов накануне сорвали голос на
футболе и одной певице придется петь мужскую партию.
180

§ 53. Формула бинома Ньютона
53.1. Раскройте скобки в выражении:
а) (х + I)7; в) (х2 + 2)5;
б) (2х - у)'; г) (1 - х3)4.
O53.2. Найдите коэффициент при первой степени переменной х
у многочлена Р(х):
а) Р(х) = (1 + х)7; в) Р(х) = (3 - 2х)5;
б) Р(х) = (1 + Зх)4; г) Р(х) = (х + 2)5 - (2л: + I)4.
•53.3. Найдите коэффициент при х3 у многочлена Р(х):
а) Р(х) = (1 + Зх)4; в) Р(х) = (х + 2)5 - (2х + I)4;
б) Р(х) = (3 - 2х)5; г) Р(х) = (х2 - х)4 + 3 - -
•53.4. Найдите член разложения, не содержащий переменных:
053.5. В разложении х + — по степеням переменной х ука-
V х)
жите:
а) одночлен, содержащий х8;
б) одночлен, содержащий х4;
в) одночлен, содержащий х~2;
г) свободный коэффициент (одночлен, не содержащий х).
053.6. Чему равен наибольший коэффициент в разложении
(а + Ъ)п, если сумма биномиальных коэффициентов
разложения равна: а) 1024; б) 512? Сколько в разложении
членов с этим наибольшим коэффициентом?
•53.7. Докажите, что для любого натурального числа п > 1 и
любого положительного числа х справедливо неравенство
(1 + х)п > 1 + пх.
§ 54. Случайные события и их вероятности
O54.1. На стойке для CD-дисков в беспорядке расположены
20 (с торца неразличимых) дисков с копиями
компьютерных игр. Из них 12 — «квесты», а остальные — «рокады».
181

Десятиклассник случайным образом выбирает два диска.
Какова вероятность того, что:
а) оба они окажутся с «квестами»;
б) оба они — с «рокадами»;
в) эти диски — с играми разных типов?
г) Чему равна сумма вероятностей в пунктах а), б), в)?
054.2. Из колоды в 36 карт вытаскивают две карты и
одновременно открывают их. Найдите вероятность того, что:
а) обе карты черной масти;
б) обе карты пиковой масти;
в) обе карты крестовой масти;
г) одна из карт пиковой масти, а другая — крестовой.
054.3. В темном ящике — 9 билетов, разложенных по одному в
одинаковые конверты. Из них 5 выигрышных билетов и
4 проигрышных. Вы наудачу вытаскиваете 3 конверта.
Найдите вероятность того, что:
а) все билеты выигрышные;
б) есть ровно один проигрышный билет;
в) есть ровно один выигрышный билет;
г) есть хотя бы один выигрышный билет.
•54.4. Карточка лотереи «Спортлото» содержит 49 чисел. В
итоге тиража выигрывают какие-то 6 чисел. Какова (в
процентах) вероятность того, что на Вашей карточке, где
отмечены 6 чисел, верно угадано ровно:
а) 0 чисел; б) 1 число; в) 2 числа; г) 3 числа?
054.5. Красивых учеников в классе всего 22, а умных 18. Всего
в классе 30 учеников и каждый из них умный или
красивый. Какова вероятность того, что случайно вызванный
по списку класса ученик:
а) и умный, и красивый;
б) умный, но не красивый;
в) красивый, но не умный.
Измените в условии число 30 (сохранив 18 умных
учеников) так, чтобы ответы в пунктах а) и в) были одинаковы.
054.6. При подготовке к экзамену один ученик решил 44
задачи из общего списка в 50 задач, а второй ученик решил
26 задач из этого же списка. Известно, что каждую
задачу из общего списка задач кто-то из учеников решил.
Какова вероятность того, что случайным образом
выбранную из списка задачу:
182

а) решили оба ученика;
б) решил первый, но не решил второй ученик;
в) решил второй, но не решил первый ученик?
Измените в условии число 50 (сохранив 26 задач для
второго ученика) так, чтобы ответы в пунктах а) и б) были
одинаковы.
054.7. Опишите произведение следующих событий:
а) А — у случайным образом составленного квадратного
уравнения есть корни; В — дискриминант уравнения
отрицателен;
б) А — у случайным образом составленного квадратного
уравнения нет корней; В — дискриминант уравнения
неположителен;
в) А — случайным образом выбранная функция у = f(x),
х € R возрастает; В — верно неравенство Д99) < /(100);
г) А — случайным образом выбранная числовая
последовательность является геометрической прогрессией; В —
первые два ее члена положительны, а следующие два —
отрицательны.
054.8. Найдите вероятность Р(А + В) суммы двух независимых
событий А и В, если известно, что:
а) Р(А) = 0,5, Р(В) = 0,5; в) Р(А) = 0,9, Р(В) = 0,9;
б) Р(А) = 0,9, Р(В) = 0,1; г) Р(А) = 0,99, Р(В) = 0,01.
054.9. Два стрелка независимо друг от друга по одному разу
стреляют в мишень. Вероятности попадания в мишень по
отдельности равны соответственно 0,8 и 0,6. Найти
вероятность того, что мишень:
а) будет поражена дважды;
б) не будет поражена ни разу;
в) будет поражена хотя бы один раз;
г) будет поражена ровно один раз.
054.10. Пусть вероятность «успеха» в одном испытании Бернул-
ли равна 0,7. Пользуясь теоремой Бернулли, составьте
формулы для следующих событий:
а) при трех независимых повторениях испытания будет
ровно 2 «успеха»;
б) при четырех независимых повторениях испытания будет
ровно 2 «неудачи»;
в) при пяти независимых повторениях испытания будет
ровно 3 «успеха».
Вычислите вероятности в а) — в).
183

#54.11. Каждый из четырех приятелей выучил ровно 5 вопросов
из 20 заданных к зачету. На зачете они отвечали в
разных аудиториях и получали вопросы независимо друг от
друга. Найдите вероятность того, что:
а) каждому достался тот вопрос, который он выучил;
б) никому не достался вопрос, который он выучил;
в) только одному из них достался тот вопрос, который он
не выучил;
г) хотя бы одному из них достался тот вопрос, который
он выучил.
054.12. Случайным образом выбирают одно из решений
неравенства х2 < 9. Найдите вероятность того, что оно является
решением неравенства:
а) х2 < 10; б) 2х - 3 < 17; в) х2 > 10; г) х*+ 2х > 0.
054.13. Случайным образом выбирают одно из решений
неравенства 1 < \х - 3| < 5 . Найдите вероятность того, что оно
является решением неравенства:
а) |х| < 2; б) |х-6|<2; в) |х| < 1; г) К \х - 6| < 2.
054.14. В прямоугольнике ABCD со сторонами АВ = 2, ВС = 5
случайно выбирают точку. Найдите вероятность того, что она
расположена:
а) ближе к прямой АВ, чем к прямой CD;
б) ближе к вершине А, чем к вершине С;
в) ближе к прямой АВ, чем к прямой ВС;
г) ближе к вершине А, чем к точке пересечения
диагоналей.
#54.15. Внутри окружности, описанной около прямоугольного
треугольника с катетами 6 и 8, взята точка. Найдите
вероятность того, что она:
а) лежит внутри треугольника;
б) лежит внутри окружности, вписанной в треугольник;
в) лежит вне треугольника;
г) лежит внутри треугольника, но не внутри вписанной в
него окружности.
#54.16. Карточка лотереи «Спортлото» содержит 49 чисел. В итоге
тиража выигрывают какие-то 6 чисел. Какова (в
процентах) вероятность того, что на вашей карточке, где
отмечены 6 чисел, верно угадано:
а) хотя бы одно число; в) не менее трех чисел;
б) не более одного числа; г) 4, 5 или 6 чисел?
184

O54.17. Из чисел 1, 2, 3, 4, 5 одновременно выбирают три.
Найдите вероятность того, что:
а) существует прямоугольный треугольник с такими
сторонами;
б) существует треугольник с такими сторонами;
в) их произведение оканчивается на ноль;
г) их сумма меньше 10.
•54.18. Вы находитесь в круглом зале с 10 дверями, из которых
какие-то 4 заперты. Вы случайным образом выбираете две
двери. Найдите вероятность того, что:
а) вы не сможете выйти из зала;
б) вы сможете выйти из зала, но вернуться через другую
дверь уже не сможете;
в) вы сможете через одну дверь выйти, а через другую
вернуться в зал;
г) хотя бы через одну дверь вы сможете выйти из зала.
•54.19. У каждого из туристов есть или тугрики, или евро.
У 100 туристов есть только тугрики, у 38 туристов есть
только евро, а у 31% туристов есть обе валюты.
а) Сколько туристов имеют только одну валюту?
б) Сколько всего туристов?
в) Сколько туристов имеют тугрики?
г) Сколько туристов имеют евро?
054.20. Вероятность Р(А + В) суммы двух независимых событий А
и В равна 0,9. Найдите, чему равна вероятность Р(В)
события Б, если известно, что вероятность Р(А) события А равна:
а) 0,1; б) 0,5; в) 0,8; г) 0,89.
•54.21. Два стрелка независимо друг от друга по одному разу
стреляют в мишень. Вероятность попадания в мишень
одного из них равна 0,5. Найти вероятность попадания в
мишень другого стрелка, если известно, что:
а) вероятность того, что мишень будет поражена дважды,
равна 0,4;
б) вероятность того, что мишень не будет поражена ни
разу, равна 0,45;
в) вероятность того, что мишень будет поражена хотя бы
один раз, равна 0,8;
г) вероятность того, что мишень будет поражена хотя бы
один раз, равна 0,999.
185

#54.22. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при одном
выстреле, равна 0,4. Стрелок независимо производит
5 выстрелов.
а) Заполните таблицу распределения вероятностей Ръ (к)
того, что из 5 выстрелов будет ровно k попаданий:
Число попаданий, k
P5(k)= Cl • 0,4* • 0,65"*
б) Найдите вероятность того, что стрелок ни разу не
промажет.
в) Найдите вероятность того, что стрелок поразит мишень
не менее двух раз.
г) Каково наиболее вероятное число попаданий в мишень?
#54.23. Случайным образом выбирают одно из решений
неравенства у[х < 10. Найдите вероятность того, что оно:
а) является решением неравенства у[х < 1;
б) принадлежит области определения функции
у = In (40* - 39 - х2);
в) является решением неравенства л]х - 10 < 5;
г) принадлежит области значений функции
у - 0,5 sin
т| + 1-
054.24. Произвольно выбирают числа х и у так, что |х|<1и|г/|<1.
Точку (х, у) отмечают на координатной плоскости.
Какова вероятность того, что:
а) эта точка лежит в первой координатной четверти;
б) х + у < 0;
в) эта точка лежит или во второй, или в четвертой
координатной четверти;
г) х + у > 0, а ху < 0?
054.25. Точка случайным образом выбрана из фигуры,
ограниченной параболой у - х2, осью абсцисс и прямой х = 3.
Найдите вероятность того, что она лежит:
а) левее прямой х = 1; в) выше прямой у = 4;
б) правее прямой х = 2; г) ниже прямой у = 1.

I I I I I I I I I I I I I I I I I I
I I I I I
Г Уравнения и неравенства.;
С Системы уравнений
Г и неравенств
Pi
§ 55. Равносильность уравнений
55.1. Равносильно ли уравнение 2х = 256 уравнению:
а) log2 х = 3; в) Зх2 - 24х = 0;
б) х2 -9*+ 8 = 0; г) ^ = 2?
55.2. Равносильно ли уравнение sin x = 0 уравнению:
а) cos л: = 1; в) cos2x = 1;
б) tgx = 0; г) у1х - 1 • sinjc = 0?
55.3. Придумайте три уравнения, равносильные уравнению:
а) V2X-1 = 3; в) lg x2 = 4;
б) cos л: = 3; г) ^1 = _i#
Равносильны ли уравнения:
55.4. а) л/2х2 + 2 = л/л:4 +3 и 2л:2 + 2 = х4 + 3;
б) ^sin2x + 1 = 1 и sin2 л: = 0?
55.5. а) 3^ + 4 • f|T = 1 и 4i + 4 - х = 0;
б) 7^5" 2х2V2 =4 и х2-- + - = 2?
55.6. а) ^а+ 3^-1 = з и jc2 + Зх - 1 = 3jc2 + 3;
х + 1
б) sinx + 1 = 0,5 и sin* + 1 = 0,5 sin* + 1?
sin x + 2
187

Докажите, что уравнение не имеет корней:
O55.7. а) у/Зх-5 = л/9 - 7х;
б)
- 4 + \/l - х2 = 4.
055.8. a) lg(jc2 - 9) + lg(4 - jc2) = 1;
6) lg(*2 - 3jc)- lg(2jc - jc2) = 0,5.
Решите уравнение:
055.9. a) V7jc -6 = jc;
6) x + 3 = л/2х + 9;
055.10. а) V*4 - 3* - 1 = jc2 - 1;
в) V6.
г) -x
в) л/jc
- 5
4 + .
= yffx
х-9 =
-1;
+ 23.
: 1- J
б) >/л:4 - Зх - 1 = 1 - jc2; г) V*4 + * - 9 = х2 - 1.
•55.11. a) (jc2 - 9)(л/3-2х - jc) = 0;
б) (х2 - 16)(V4 - 3jc - jc) = 0.
•55.12. a) sin 2х V4 " *2 = 0;
б) (cos 2jc - 1) д/9 - jc2 = 0;
в) (cos2 jc - sin2 jc) • x/l - jc2 = 0;
r) tg jc • л/16 - jc2 = 0.
§ 56. Общие методы решения уравнении
56.1. Будет ли уравнение вида h(f(x)) = h(g(x)) равносильно
уравнению /(jc) =
а) 32"x=3x2-4x; в) 3V7-jc = 3V5jc + 1;
б) (3jc2 - 2)4 = (jc - З)4; г) lg I = lg(2jc - 7)?
188

Решите уравнение:
O56.2. а) 2^^ = I 732;
б) l0log2(x-3) 0,00001 = 0,llog2<* "7).
ч sin2* - 1
O56.3. a) 0,5sin
X - COSJT
ШЭ
O56.4. a) loga(x2 - 10* + 40) = Iog3(4x - 8);
х-2 , л: + 1
= log,, -.
2x -4
б) log
056.5. а) (х2 - 6*)5 = (2х - 7)5;
б) (■
056.6. а) (22* + 16)20 = (10 2х)20;
б) (log2 л: - 2)3 = (21og01x + I)3
056.7. а) 2*2+3 - SX + 1 = 0; б) 275"х2- 3х2"1 = 0.
056.8. a) (V3T* = Щ; б)
3
O56.9. a) log£ (7x + 9) - Iog2(8 - x) = 1;
3 3
6) log1>2 (3* - 1) + log1-2 (Зл: + 1) = lo^ 2 8.
Решите уравнение методом разложения на множители:
056.10. а) х3 - 9х2 + 20* = 0;
б) х3 + х2 - 9х - 9 = 0.
056.11. a) V^" - З^х3 - 187* = 0;
б) tfx* - 2i[x* -15ifx = 0.
189

Решите уравнение методом разложения на множители:
056.12. а) 2х х - Ах - 4 + 2х = 0;
б) 3х • х - Зх + 1 + 27 = 9х.
056.13. а) 2л:2 sin х - 8 sin х + 4 = х2;
б) 2х2 cos х + 9 = 18 cos x + *2.
056.14. a) sin 2x = sin x;
б) cos2 (л - х) + sin 2х = 0;
в) ^совЗ*
г) sin21 п + £ I - i sin jc = 0.
2 ) 2
Решите уравнение методом введения новой переменной:
O56.15. а) 8*6 + 7х* - 1 = 0; б) Xs + Зх4 - 4 = 0.
O56.16. а) V*2 + 1 - 2х - бу/х-1 = 7;
б) л/л:2 - Ах + 4 - 6 = 5yl2-x.
^~* нт ч 2X + S А \2X-1
O56.17. a) J- 7 + 4./^ г =4;
056.18. а) 2х + 21х = 3;
б) 25х -50 = 5Х + 1;
056.19. a) 72x + 1 -50 Г = -7;
б) log2 х + 12 = 7 log2 x;
056.20. a) lg2 х2 + lg lOx - 6 = 0;
б) 3х +3"x + 1 = 4;
в) 2 cos2 x - 7 cos x - 4 = 0;
г) 52^ +125 = 6 5^ + 1.
190
6)J^i+5j^i=e.
в) 5х + 4 = 52х + 1;
г) Зх + 1 -29 = -18 3х.
в) 4 sin2* + 4 = 17 sinx;
г) %fc - %[х - 2 = 0.

Решите уравнение, используя
функционально-графические методы:
056.21. а) х = Ух;
056.22. а) 2* = 6 - х;
056.23. а) (х - I)2 = log2x;
056.24. а) 1 - 4х = In x;
б) |х|= V*.
б) UX = х + 4.
б)
б) V*~ - 2 = -.
Решите уравнение:
O56.25. а) (* - I)4 + 36 = 13(*2 - 2л: + 1);
б) (2х + З)4 - 9 = 8(4*2 + 12* + 9).
O56.26. а)
- 3 = л/5* - 2; б)
- 5jc =
+ 2х - 5.
O56.27. a) V2*2 - Их + 6 = 2х - 9; б) V*2 + 2х - 8 = 2* - 4.
в) 3* - 8-У^с +5 = 0;
г) 5-У* + 3 + * + 3 = 6.
O56.28. а) 16* - 15V* -1 = 0;
б) 2- х + 3^2 - х = 4;
056.29. &) 5у[х -
б) V^ +
056.30. a) V^T
2 = 0;
-3 = 0;
^1 = ^;
в) V* - б^с +8 = 0;
г) 6V* - 2^с -4 = 0.
б)
O56.31. a) V3* -1 + V6* + 2 = л/9* + 1;
б) >/б* - 14 + л/5 - * = л/5* - 9.
O56.32. а) *2 - 4* - 6 = л/2*2 - 8* + 12;
б) л/*2 - 3* + 5 + *2 = 3* + 7.
191

Решите уравнение:
056.33. a) sin2* + cos22* = 1;
б) cos2 3* - sin2 3* - cos 4* = 0.
056.34. a) cos 5* + cos 7x - cos 6* = 0;
6) sin 9x - sin 5* + sin Ax = 0.
056.35. a) cos 6* - cos 2x + cos Sx - cos Ax = 0;
6) sin 3x - sin x + cos 3x - cos x = 0.
056.36. a) 3tg2* - 8 = 4cos2*; 6) 4sin2* = 4 - 9tg2x.
•56.37. a) sin * cos * - 6 sin * + 6 cos * + 6 = 0;
6) 5sin2* - 11 sin* = 11 cos* - 7.
l+x
•56.38. а) 2х 5 х = 50; в) 3х1 625х1 = 225;
б) 3х 2* = 24; г) 5х 2^ = 40.
•56.39. a) tf'^fsinx - ^ )logo,5 (* + 4) = 0;
V 2 /
6) (sin 2* + cos 2*)(* - 8V2* - 15) = 0.
•56.40. a) sin^* = *2 - 4* + 5; 6) -cos7tc* = *2 - 6* + 10.
4
•56.41. a) V*2 - 2* + 2 + log3 V*3 - 2* + 10 = 2;
6) (* - 7)6 + logs V*2 - 14* + 74 = 1.
•56.42. a) log2 (*2 - 4* + 8) = sin— - cos—;
4 ^
6) log3 (*2 + 4* + 13) = cos7C* - sin—.
4
§ 57. Решение неравенств с одной переменной
57.1. Придумайте три неравенства, равносильные неравенству:
а) *2 -9<0; б) ^<|.
57.2. Являются ли равносильными неравенства:
а) sin * + 2 log3 * > 20 и sin * > 20 - 2 log3 *;
б) *™х > 1 и sin* > ylx2 +1;
Jx
в) 13 - 13х2"4 > 10х и 13 > 10х + 13х2"4;
г) 104x1 lg(*2 - 4) < 0 и lg(*2 - 4)<0?
192

57.3. Данное неравенство замените более простым
равносильным неравенством:
а) lg(x2 + 9) > lg(2x2 +4);
б) 1,47*"9 < 1,4х2-6;
в) %/4х - 9 > 4lx + 9;
г) log02 (16х2 + 8) < log0>2 (х2 + 1).
Решите систему неравенств:
057.4. а)
057.5. а)
б)
б)
Зх - 11 > 2х + 13,
17* + 9 < 9х + 99;
(х + I)2 -(х- I)2 > 12,
(х + 4)(х - 4) - (х + 2)2 < 9;
(х - 2)(х2 + 2х + 4) - х3 < 8х,
Зх - 16 < х.
6х + 2 < 4л: + 24,
2х - 1 > л: + 7.
Решите систему неравенств:
057.6. а)
'- " 5-
24
057.7. a) i х + 2 (х + 2)2
I-Зх < 9;
б) ■
б)
X
X
3»
+ 5 <1
Ах-2
х2- 1,5* -7,
(X-4Y '
<25.
Решите совокупность неравенств:
\х2 - 4 > О,
O57.8. а)
х - 6 < 0;
Гх(х + 1) < 0,
[З* - 9 > 0.
O57.9. а)
(х + З)3 > 27,
- 1 <
б)
+ ЗХ*2 - Зх + 9) < 54,
- 9 > 0.
Решите неравенства, применяя теоремы о равносильности:
057.10. a) log14 (х - 1) < log14 (2х + 3);
б) log03 (2х + 1) < log03 (х - 3).
193

Решите неравенства, применяя теоремы о равносильности:
057.11. a) log^x2 - 5х) > logA(2x - 3);
ТС Я
б) lg (5х2 - 15х) < lg (2x - 6).
л/3
057.12. а) 2^ > JVl28; б) 0,5smx + T < 1.
057.13. а) (х2 - 6л:)5 > (2х - 7)5; б) (х2 - 2х)9 < (2х - х2 - 2)9.
•57.14. а) (2х + 1+1)6 >(2х+17)6;
б) (2 0,Г + З)10 < (0,Г + ЮЗ)10.
•57.15. а)(3 - 31og0>2*)13 < (Iog0,2^ + ?)13;
б) (3 log7 х - 24)5 > (2 log7 х - 22)5.
Решите неравенство методом введения новой переменной:
057.16. а) г2х - 2 3х - 3 > 0; б) 2 52х - 5х - 1 < 0.
057.17. а) 31 + Х 21х + 3х • 2х < 10,5;
б) 2х 51х +2Х + 1 5х > 2,8.
057.18. а) *4х~ - 6у[х - 2 > 0; б) Ъ4х~ - 61$х + 8 < 0.
057.19. а) 3х + 3Х + 1 < 4; б) 25х - 50 > 5х+ 1.
057.20. a) log^ х - 7 log2 х + 12 < 0;
б) 31ogj х - lOlogi* + 3 > 0.
3 3
•57.21. a) log^ (x - 1) + 3 log2 (x - 1) + 2 > 0;
5) 9log0lX - 4 • 3log0>lX + 0,llog0'3 < 0.
•57.22. a) 2sin2* - 3sinx + 1 < 0; 6) cos2* - 5cosjc + 4 < 0.
Решите неравенство, применяя
функционально-графические методы:
O57.23. а) 3х > 12 - 1,5*; в) 3х < 12 - 1,5*;
6) 2х > Vi7; г) 2х < 4х.
194

O57.24. a) log2 x < 6 - х; в) log2 х > 6 - х;
б) log3* > л:3; г)
•57.25. а) х2 + 1 > cos х; в) х2 + 1 < cos x;
б) sin* < -(* + |1 - 1; г) sin* > -(x + |1 - 1.
Решите неравенство:
57.26. а) 9х + 2+4 32х + 2 > 4-; б) 8'2+3 23х"2 < 24-.
3 2
57.27. а) 4Л - 9 ■ 2Гх + 8 < 0; б) 9Л - 10 ■ Зл + 9 < 0.
•57.28. а) (х - 2)log4 (x + 2) > 0; б) (Ъ-х}^\о%г (х + 5) < 0.
•57.29. а) (2х - 3)(3х - 4) < 0; б) (31og3x - 1)(3* - 4) > 0.
•57.30. а) (х + 3)log, х < 0; в) ^"g1 > 0;
б) (х - 5>yjx + 1 < 0; г) Xylx + 7 < 0.
•57.31. а) (х2 - 2x)(tg2 a; + 2* + 1) < 0;
б) (х2 - 4x)(ctg2 х + 3х1) < 0.
•57.32. a) ^/sin х - 1 < 4 - х2; б) ^cos л: - 1 > х2 - 49.
•57.33. a) 61og3 к - 1| < 14 + 2х - х2;
б) log2 (х2 + х - 10) > 25 - 2х - 2х2.
§ 58. Уравнения и неравенства с двумя переменными
Постройте график уравнения:
58.1. а) х2 = 1; в) х2 - 2х + 1 = 0;
б) у2 = 9; г) i/2 - Ьу + 8 = 0.
58.2. а) х = у; в) х + у = 2;
б) Зх - 4у = 12; г) 2i/ - х - 4 = 0.
195

Постройте график уравнения:
058.3. а) х2 - Зху = 0; в) ху - 2у2 = 0;
б) (х - 1)0/ + 5) = 0; г)ху-5х + у = 5.
058.4. а) х2 - у2 = 0; в) х2 + 2ху + у2 = 0;
б) х2 + 1ху - 18у2 = 0; г) х2 - Зху + 2у2 = 0.
Постройте график уравнения:
O58.5. а) - = 1;
в)
- 2
ЛС+ Z/
г)
2а;2 - 4х - 2ху + Зу - 5 =
•58.6. а) |*| + \у\ = х + у;
б) |*| + \у\ = у - ж;
058.7. а) у = V4~
б) \у\ = V4 - х2;
058.8. а) у = VI - ж2;
б)
в) |ж| + |j/| = х- у;
г) |х| + \у\ = -х-у.
= -л/1-(ж-1)2;
•58.9. а) (ж - I)2 + (j/ - 2)2 = 16;
б) (ж - I)2 + (\у\ - 2)2 = 16;
в) (|*| - I)2 + (у - 2)2 = 16;
г) (|*| - I)2 + (\у\ - 2)2 = 16.
•58.10. Постройте график уравнения и вычислите площадь
фигуры, которая ограничена этим графиком:
а) 2|ж| + 3\у\ = 6; б) 0,5|*| + | \у\ = 2.
Решите уравнение в целых числах:
058.11. а) ж + 2i/ = 7; б) 5ж + у = 17.
058.12. а) 7ж + 2у = 1; б) 7ж - 12у = 1.
•58.13. а) ж2 - 5ху + 6у2 = 2; б) ж2 + 2ху - 8у2 = 7.
196

Постройте множество точек координатной плоскости,
удовлетворяющих неравенству:
58.14. а) х < 5; б) х > -4; в) у > -3; г) у < 2.
58.15. а) х + 2у < 3; в) Зх + 2у > -5;
б) х - у > -4; г) х - Зу < 4.
Постройте на координатной плоскости множество точек,
координаты которых удовлетворяют системе неравенств:
O58.16. а)
б)
х + у > 3,
2х - Зу < 1;
* - У > 1,
* + У < 1,
в)
г)
х - 2у > 3,
х + 3i/ < -2;
х - у > 2х,
х + у < Зу,
6х < 2у - 7.
Постройте множество точек координатной плоскости,
удовлетворяющих неравенству:
•58.17. а) 2\х - 3\ + 2х - Зу < 0; б) х - 3 +\у + 2| > 2х + 5.
•58.18. а) \х + 1/| + 2х - у > 3;
б)
х + |х + у| + у < 4.
058.20. а)
•58.21. а)
< 2; б) г/ < ^ ; в) |х| • z/ < 2; г) \х\ < -.
•58-22- а> 2х Vsf- 6 > 0;
б) 2\х\ + %| < 6.
х2 + у2 - 4
O58.23. Найдите площадь фигуры, заданной системой неравенств:
х < 9, \х + у < 12,
а)
б) JJ/ - х<12,
2х + 5у> 10;
197

#58.24. Случайным образом выбирают одно из решений системы
1* -У\<2,
неравенств ,. .
\\х + у\ < 2.
Найдите вероятность того, что выбранная точка
расположена:
а) ниже прямой у = 1; в) правее прямой х = 1;
б) выше прямой у = 0,5; г) выше параболы у = х2.
§ 59. Системы уравнений
Решите систему уравнений методом подстановки:
[ х + у = 3,
O59.1. а) \
[ х2 + 2у2 - ху + 2х - Зу = 3;
[ х + у = 5,
б)
я3 + i/3 = 35;
в) V? - 6* - г/2 = у + 5,
I 1
Г х + 2у = 1,
1 2х2 + Зху - Зу2 = 6.
= у + l,
-2х + 2 „у-4х + 1 л.
= 7 +6;
х = 2у,
' 1лТ1 (2у + х) + log! (х - у + 1) = log3
Решите систему уравнений методом алгебраического
сложения:
- j/ = -3; [ 2j/2 + х2 = 3;
б | 24х Z^y 1, j ^ + Vy = 3,
[ 7^ ^ = 4; {
198

.4.a){1Og2*-1
[21og2x +
= 0;
в)
= 6,
у -2* + 2y = -2;
I cos* + cos2i/ = -0,5, r 2sin2x + tg3i/ = 2,
\ 3 cos 2y - cos л: = 2,5; r { 6 sin 2* - 2 tg 3i/ = 1.
Решите систему уравнений методом введения новых
переменных:
5 + 3 = _2 3,6
O59.5. a) Sx~y X~Sy б)
Зл: - у х - Зу
х + у х - у
— = -1,
5 +-в- = -2.
х + у х - у
ху
= 21og6 xi/
ylx.Jy= 10
2х-5у = 6.
•59.7. a)
= Iog216x2, [ Зх"у - 7|2» - х| = 2,
°" б)
log2x2 + 2%Jx + i/ = 6;
= 6; [\2y-x\-3*-»-1 =-2.
O59.8. Применяя графический метод, определите, сколько
решений имеет система уравнений:
а)
б)
У = х2,
у = cos x;
х2 + у2 = 4,
У = 2-х2;
в)
г) •<
у = sin х,
У = 0,1*;
у + 2 = у1х + 4,
у + хг = 0.
O59.9. а)
•59.10. а)
Решите графически систему уравнений:
у + х = 3, Г у = Х(Х - 4),
б) \
ху = 2;
Г2Х + 1 =1,
Ух + 2 = у;
б)
I/ + 8 = 2х.
У = 2-\
199

Решите систему уравнений:
O59.ll. а)
у + 2х = 3,
х2 + у2 = 2;
б)
1=1
9 3
у = log2 х.
O59.12. a) j 2 Sin {X + У) ~ 3 COS (X ~ У) = 5'
[ 7 cos (jc - y) + 5 sin (jc H- i/) = -2;
V - / = 15,
б)
4 + у* = 17.
O59.13. а)
1
2'
O59.14. а)
л/л: + 1 - j/ = 2,
log7 (4 - х) = у;
(2х + у)(х + Зу) = 48,
O59.15. а) \ 2х + у 3.
5
л: + Sy
x-S
б) \ У + 2
= 4,
б)
= 3.
+ jc = 1,
O59.16. а)
б)
200
- У + Vх +
2* - i/ = 4;
6jc + 2i/ = 10,
y]2x + y + 7&Ё~
=4,

O59.17. a)
Решите систему уравнений:
*£ + З/у = 5,
б)
ху = 216;
Ix + Зу 9 _ о / У + 5
O59.18. a) {i у + 5 \х + 3у'
ху + 2х = 13 - 4j/;
х2 + 4jc - j/2 - Зу = О,
= 4.
2х 0,25-* = 512,
O59.19. а) \ ^ б)
= 5;
=729,
059.20.
б)
O59.21. а)
log3 х - 1 = log3 2 - log3 у;
log7 (x + у) = 4 log7 (л: - у),
bg7 (д: + у) = 5 log7 3 - log7 (x - у).
sin x + cos у = О,
sin2* + cos2j/ = -;
6)
cos x + cos у = 0,5,
sin2* +sin2i/ = 1,75.
Решите систему трех уравнений с тремя переменными:
' Зх - Ъу + z = -13,
б)
Г х + 2у - Зг = -3,
•59.22. a) J2x - Зу + z = 8,
1-х + i/ - 5г = -8;
•59.23. а)
л: + у = -1,
JC - 2 = 2,
ху + xz + yz = -1;
б)
jc + Зу - 22 = 5,
2jc - 2i/ + 52 = -6.
л: + i/ + 22 = О,
х + 2у + z = 1,
х2 + у2 + z2 = 5.
201

#59.24. Составьте уравнение параболы у = ах2 + Ъх + с , если
известно, что она проходит через точки М, Р, Q :
а) М(1; -2), Р(-1; 8), Q(2; -1);
б) М(-1; 6), Р(2; 9), Q(l; 2).
#59.25. Сумма цифр задуманного трехзначного числа равна 8,
а сумма квадратов его цифр равна 26. Если к
задуманному числу прибавить 198, то получится число,
записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите
задуманное число.
#59.26. Три целых числа в заданном порядке образуют конечную
геометрическую прогрессию. Если второе число
увеличить на 6, то получится конечная арифметическая
прогрессия. Если после этого третье число увеличить на 48,
то снова получиться геометрическая прогрессия. Найдите
три исходных числа.
#59.27. Три бригады, работая вместе, выполняют норму по
изготовлению подшипников за некоторое время. Если бы
первые две бригады работали в 2 раза медленнее, а третья
бригада — в 4 раза быстрее, чем обычно, то норма была
бы выполнена за то же время. Известно, что первая и
вторая бригады при совместной работе выполняют норму
в 2 раза быстрее, чем вторая бригада совместно с третьей.
Во сколько раз первая бригада производит подшипников
за 1 ч больше, чем третья?
§ 60. Задачи с параметрами
060.1. При каких значениях параметра т уравнение тх - х +
+ 1 = т2:
а) имеет ровно один корень;
б) не имеет корней;
в) имеет более одного корня?
060.2. При каких значениях параметра Ъ уравнение Ъ2х - х + 2 =
= Ъ2 + Ъ:
а) имеет ровно один корень;
б) не имеет корней;
в) имеет более одного корня?
060.3. Решите уравнение (относительно х):
202
а) а2х - 4х + 2 = а; б) - + х - 1 = а.

060.4. Решите неравенство (относительно х):
а) тх - х + 1 > т2; б) Ь2х - х + 1 > Ь.
060.5. Рен1ите неравенство (относительно х):
а) Ъ2х - Ьх > Ь2 + Ъ - 2; б) - + х < а + 1.
060.6. При каких значениях а уравнение ах2 + 4д;-а + 5 = 0:
а) имеет два различных корня;
б) имеет ровно один корень;
в) не имеет действительных корней?
060.7. При каком значении а:
а) прямая у = 6х + а касается графика функции у = х2;
б) прямая у = 4х имеет только одну общую точку с
графиком функции у = х2 + а?
060.8. При каких значениях Ь графики функций имеют общие
точки:
а) у= х2 - 4х + 2 и у = -2х + Ь;
б) у = х2 + 6х + 7 и у = 2х + Ь?
060.9. При каких значениях а система уравнений имеет решения:
6)
у = Зх + а; { у = -10* + а?
060.10. При каких значениях а неравенство ах2 + 4х - 3 + а > 0:
а) выполняется при любых х;
б) не имеет решений?
060.11. При каких значениях а:
а) ось симметрии параболы у = 2х2 - Sax + 2
пересекает ось абсцисс левее точки (-3; 0);
б) ось симметрии параболы у = Ьх2 - 2ах + 2 пересекает
ось абсцисс правее точки (4; 0)?
#60.12. Решите неравенство (относительно х):
a) ylx-2(x-a) > 0; б) (6-x)yJx-a > 0.
#60.13. Найдите наименьшее целочисленное значение параметра Ь,
при котором уравнение имеет два корня:
а) х2 - 2Ъх + Ъ2 - 4& + 3 = 0;
б) х2 + 2{Ь - 2)х + Ь2 - 10& + 12 = 0.
203

#60.14. При каких значениях а:
а) вершина параболы у = (За + 1)х2 + 2х - 5 лежит
внутри четвертой координатной четверти;
б) вершина параболы у = Зх2 + (4а -1) х + 3 лежит внутри
первой координатной четверти?
•60.15. При каких значениях а > 0:
а) уравнение (log3 а) х2 - (2 log3 a-l)x + log3 а - 2 = 0
имеет единственный корень;
б) уравнение (log4a)jc2 + (21og4a + l)x + log4a + 2 = 0 не
имеет корней?
#60.16. Найдите, при каких значениях параметра а не имеет
корней уравнение:
а) 48 • 44 27 = a + a • 4Х + 2;
б) 9* + 2a 3X + 1 + 9 = 0.
•60.17. При каких значениях а:
а) уравнение 52х -3-5* + а-1 = 0 имеет единственный
корень;
б) уравнение 0,01* - 2(а + 1) • 0,1* + 4 = 0 не имеет
действительных корней?
#60.18. При каких значениях а имеет ровно 3 корня уравнение:
а) х(х + З)2 + a = 0; б) х3 - 12* + 1 = а?
#60.19. При каких значениях а:
а) уравнение х4 - 8х2 + 4 = а не имеет корней;
б) уравнение Зх4 + 4хг - 12л;2 = а имеет не менее трех
корней?

ОТВЕТЫ
ГЛАВА 1
§1
2х2 - 5jc - 2 2jc6 - Зх3 - 4 2 + 3* - 4x2
1'3-a) 3jc-3 ;б) 3-3*3 ;B) Зх + Зх2 ;
8*4 + 24*3 + 64*2 + 69* + 61 ^ „ ч rt ^ ,tf4O oro*
r) 6jc2 + 9x + 18 " *6' a) * < ; 6) < * < ' ' ' < X ;
b)*<|,2<*<5 r) 6 < * < 7, 7 < * < 10. 1.13. a) £>(/) : x * ±1,75,
£(/) = (-oo; -i] u (0; +oo); 6) Z)(/) = (-oo; -3) U (-1; +oo), E(f) = [0; +oo);
в) D(f):x*±0,6, E(f) = (-oo; 0) u [J; +oo); r) i)(/) = [-6; 3], £(/) = [0; 4,5].
1.16. a) 1; 6) 4; в) 3; г) 1. 1.17. a) 5; 6) 1; в) 6; г) 0. 1.18. в) D(f) = (0; +оо);
г) E(f) = [1; +оо).
§2
2.3. а), г) Возрастает; б), в) убывает. 2.4. а), г) Возрастает; б), в) убывает.
2.5. а), г) Возрастает; б), в) убывает. 2.6. а), г) Ограничена снизу; б), в)
ограничена сверху. 2.7. а), г) Ограничена снизу и сверху; б), г) ограничена
снизу. 2.10. а) -1; 5; б) уийкб = 3; в) -38,5; 1,5; г) -2; 58.
§3
Зл; + 1^ч 4-х ч 3-х ч
= х\х>0;в)у = 1- Jx;r)y = -х\ х>0. 3.4. э)у = Ух ;б) у = 2
в)у = л/1-х ; г) у = у/х + 1 - 3. 3.5. а), в) Не существует; б) у = -2 - у/х + 12;
г) у = у/7 - х + 1.
ГЛАВА 2
§4
4.17. а) IV; б) II; в) II; г) III. 4.18. а) IV; б) I; в) II; г) III.
4.19. a) 2nk < t < ^ + 2nk; б) -п + 2nk < t < % + 2nk;
4 4
в) 5 + 2nk < t < 2л + 2nk; г) -А + 2nk < t < n + 2nk.
4 4
4.20. a) -£ + 2nk < t < ^ + 2nk; 6) £ + 2nk < t < ^ + 2rcfe;
2 4 ^ <2
205
в) ^ + 2rcfe < t < ^ + 2nk; r) -£ + 2rcfc < t < % + 2nk.
4 z Z Z

§5
5.10. а) -, +; б) -, +; в) +, -; г) +, -. 5.11. а) ~ + 2nk < t < ^ + 2nft;
б) £ + 2nk < t < ^ + 2nk; в) ~ + 2nk < t < £ + 2nk;
3 3 3 3
г) £ + 2nk < t < ^ + 2nk.
5.12. a) J + 2яй < t < ^ + 2я/г; б) ~ + 2nk < t < ^ + 2nk;
в) Ц- + 2nk < * < ^ + 2яЛ; г) -5 + 2л£ < * < #
о обо
5.13. a) 2nk < t < n + 2nk; б) ~ + 2nk < t < % + 2nk;
о о
в) 5 + 2nk < t < ^ + 2nk; г) -я + 2nk < t < 2nk.
о о
5.14. а) ~ + 2nk < t < ^ + 2nk; б) ~ + 2nk < t < ^ + 2яй;
4 4 4 4
в) 4г + 2nk < * < ^ + 2яЛ» г) ?
о 3 3
§6
6.6. а) >^-^2+1; б) 0; в) 1; г) ^ . 6.7. а) 1; б) 0. 6.9. а) |; б) -3; в) 0;
г) 4,5. 6.12. a) sin2 t; б) -sin2 t; в) -cos2 t; г) tg2 t. 6.13. a) -1; 6) --|;
B) -S± ; Г) >^L. 6.14. а) 0,5; б) 1; в) 0; г) 1. 6.15. а) -2; 2; б) -1; 7; в) -3; 3;
г) -2; 8. 6.20. а) +; б) -; в) -; г) -. 6.21. а) -; б) +; в) -; г) +. 6.22. а) -;
б) -; в) -; г) +. 6.23. а) -; б) +; в) -; г) -. 6.24. а) -; б) -; в) +; г) -.
6.25. а) -; б) +; в) +; г) +. 6.26. а) +; б) -. 6.27. а) 0; б) 1. 6.28. а) 2+Ь
б) 1. 6.29. а) 1; б) 0. 6.30. а) ^ + 2яй; Щ + 2nk; б) ^ + 2nk; ^ + 2nk;
в) ±£ + 2nk; г) ±^ + 2nk. 6.31. а) £ + 2nk; ^ + 2nk; б) ±£
4 6 4 4 о
206

6.32. a) f + nk; б) ± « + nk; B) nk; r) 7 + -«-• 6.33. а) Да; б) нет; в) да;
г) нет. 6.34. а) а > 6; б) а < Ь; в) а > &; г) а > Ь. 6.35. а) +; б) -; в) -; г) -.
6.36. a) sin^r» sin-ir> sin J, sin £, sin 4?; б) cos 4r» cos ^r» cos 5»
36753 643
cos -?, cos —. 6.37. a) cos 4, sin 3, cos 5, sin 2; 6) cos 3, cos 4, cos 7, cos 6;
4 о
в) sin 4, sin 6, sin 3, sin 7; r) cos 3, sin 5, sin 4, cos 2.
6.38. a) cos 1, sin 1, 1, tg 1; 6) ctg 2, cos 2, sin 2, 2.
6.39. a) 2nk < t < n + 2кк; 6) -4r + 2nk < t < % + 2nk;
о о
в) -я + 2nk < t < 2nk; r)^ + 2nk <t <^ + 2%k.
о о
6.40. a) ~ + 2nk < t < £ + 2nk; 6) £ + 2nk < t < Ц- +
в) ^ + 2яй < t < 4г + 2яЛ; г) -^ + 2яЛ < t < ^ + 2nk.
Z о 4 4
6.41. a) -^ + 2яй < t < ^ + 2nk; 6) -^ + 2nk < t < ^ + 2nk;
4 4 о о
в) 4я + 2яй < t < Ц- + 2яЛ; г) ^ + 2тсДг < * < ^ + 2тсДг.
4 4 6 о
§7
7.7. a) cos t = -|; tg * = -|; ctg t = -|; б) cos t = ±|; tg t = ^;
^; в) cos^ = 0,8; tg t = ~; ctgt =-|; r) cos t = -0,96;
5 4 о
~Ь: Ctg^ = T* 7.8. a) sin ^ = 0,6; tg f = |; ctg ^ = |; 6) sin t = —;
~; ctg t = ~; в) sin t = -0,8; tg t = -|;
207

7 7 24_л..З ^ 4
г) sin* = -7—; tg£ = tttJ ctg* = -=-. 7.9. a) sin £ = —; cosr = -.;
25 24 7 о 5
_+fr . _ 4. _ . 12 5 , 5 ч 3
ctg t - -, 6) sin t = -—; cos t = -—; ctg * = —; в) sin t = -~;
° lo lo 1Z О
cos * = -—; ctg t = --; r) sin t = -—-; cos * = —: ctg t = ——.
об 13 13 5
7.10. a) sin* = -A. cos* = -if; tg * = A; 6) sin* = -; cos* = ±;
ОA 1 О e 19 ic
i ^ » «b^. ч , *-£i t . О , . \.Ci % \ citi + •
Q IK
cosf = -—; tg* = -—. 7.11. a) 0, 2; 6) shuh6 = 1, shuhm не существует;
в) 2, 4. г) sHaii6 = 4, sHaHM не существует; 7.12. а) ^-^ ; б) 0; в) -sin2 t;
7.17. а) -|; б) ^. 7.18. а) -||; б) -1,4. 7.19. 1,4.
§8
8.7. sin 160°, sin 40°, sin 120°, sin 80°. 8.8. cos 160°, cos 120°,
cos 80°, cos 40°. 8.9. sin 210°, sin 20°, sin 400°, sin 110°. 8.12. a) 6,
6>/3, 18V3, 6; б) 3>/2, 3>/2, 9, 3; в) 2, 2>/з, 2>/з, 2; г) 30, 30>/3, 450>/з, 30.
8.13. 2i*cos(x. 8.15. ВС = 8 см, АС = 4(7з + 1) см, S = 8(7з + 1) см2.
816 25(3W3) см2
О
§9
9.7. а) -1,5; б) 2; в) -V2 ; г) -1. 9.8. а) 0; б) 2cos t. 9.9. a) ctg a;
б) cos t; в) ctg а; г) -cos t. 9.10. a) -1; б) —. 9.12. a) 2nk; б) -^ + 2nk;
cos t Z
в) 5 + 2кй; ^ + 2nk; r) ±^ + 2лй. 9.13. a) ±% + 2nk; 6) f
boo о ^
9.14. a) Корней нет; б) t — любое действительное число.
208

§ 10
10.3. а) 0; б) & ; в) 1; г) -1. 10.5. а) Да; б) да; в) да; г) нет. 10.6. а) & , 1;
б) -1, 1; в) -1, 1; г) -1, ^f. 10.11. а) -я; б) 0; в) 0; г) я. 10.12. а) ±Ц\ 0;
б) |. 10.13. а) тс; б) 0. 10.17. а) -1, 0, 1, тс. 10.18. а) -0,5, 0, sin 1.
§11
11.4. а) -72-1; б) 1. 11.7. а) -|, ^; б) {/вм1б = 1; в) -1, 1; г) -1, 1.
11.9. а) -|; б) 0; в) 0; г) |. 11.10. а) 0; б) |; в) тс; г) 0.
§12
12.9 а) ^ + 2лЛ; ^ + 2яЛ; б) +^ + 2тсЛ; в) £ + 2nk; Ц-
о о о об
г) ±^
4
§13
13.5. a) -3sinjc; б) 6 sin х; в) 6 sin л: + 1; г) 0. 13.6. а) -0,5 cos л:;
б) -cos x; в) -0,5 cos x; г) 0.
Ix2, если х < 0,
1 б) у =
— sin х, если 0 < х < я;
1,5 cos х, если -— < х < —,
х - ^, если х>^.
13.14. а) -1; 0; б) уваи6 = 1; в) -1; 1; г) -1, 1. 13.15. а) -1, 1; б) -1, 1;
в) -1, 1; г) -1, 1. 13.16. a) cos £; б) 3 cos §; в) cos х; г) 0. 13.17. a) -sin 2x;
о «*
[-х, если х < 0,
б) 2 sin 2х; в) -sin 6х; г) 0. 13.20. а) у = \
[sin 2л;, если х >0;
Icos 3jc, если х < —» г • о ^ л
3 ч sm2jc, если л: < 0,
в) у = <
-1, если*>|; 12со8д:>если*>0;
1-2 sinjc, если х < 0,
cos —, если х > 0.
2
8-Мордкович, 10-11 кл. Ч. 2 209

§14
14.3. а) ~ + я*; б) \ + nk; в) -j + nk; г) я£. 14.6. а) | + nk;
б) -г + я£; в) -£■ + я£; г) ^ + nk. 14.7. а) Ни четная, ни нечетная; б) нечет-
о о £
3 4 7 5
ная; в) четная; г) нечетная. 14.8. -т\ ^. 14.9. -^; -у. 14.10. а) -; б) -;
в) +; г) -.
ГЛАВА 3
§15
15.3. а) Зя б) Я; в) тс; г) £. 15.4. а) Щ-; б) ^; в) 0; г) Щ-.
2 6 3 2 о 2
15.8. а) 0; б) \- 15.9. а) -1 < х < 1; б) -^ < х < h в) 0 < х < 2;
г) 1 < л: < 2. 15.10. а) Нет; б) да; в) да; г) нет. 15.12. a) 2nk; б) ±| + 2nk.
15.13. а) ±^ + 2nk; arccos f^l+ 27cfe; 6) ±arccos ^ + 27cfe. 15.14. a) ^
u>; „ |, !0.; в)±«, л ^ г)_„. 15.15. a) ._ |; 6) |, |,
to. „) « Л_ fc 15Я. r)±2« 15.1T. а)-1
34444 4 о
6) ^ + 2nk<t<^ + 2nk; в) -М + 27tfe < t <
4 4 4 4
г) ^ + 2nk < t < ^ + 2nk.
3 3
2 2
15.18. a) arccos - + 2nk < t < 2n - arccos - + 2nk;
3 3
6) -arccos I —- I + 2nk < t < arccos -•- + 2nk;
2 2
в) -arccos - + 2nk < t < arccos - + 2nk;
О О
г) arccos | -— | + 2nk < t < 2n - arccos | ~ | + 2nk.
210
.-*)■

о (2
15.19. a) arccos I —§ + 2nk < t < 2к - arccos ~ I + 2nk;
3 1 I o
6) ~ + 2nk < t < ^ + 2nk; arccos - + 2nk < t < 2n - arccos - + 2nk;
3 3 3 3
o (
в) -arccos | —- + 2nk < t < arccos —- | + 2nk;
r) -arccos -| + 2nk < t < ~ + 2nk; ^ + 2nk < * < arccos -|
15.20. a) % + nk < t <^£ + nk; 6) ~ + 27cfe< * <- arccos i
о о Z 3
arccos - + 2nk< t <5 + 2я£; в) -arccos - + nk< t <arccos - + nk;
3 2 3 3
r) ^ + 2nk < t < ^ + 2nk; -arccos ■§ + 2nk < t < arccos ■§ + 27cAj.
^j 2 о о
15.21. a) |; 6) 0,6. 15.22. а) -Щ; 6) |.
о 5 о
§16
16.3. a) |; 6) f; в) ^; r) -|. 16.4. a) |; б) ^; в) |; r) ||.
bo d3 4444 666
1С1Л чя 5я 137С. 5я 7тс 11л. 5 л; к Зк ч Зтс к 5тс
16.10. a) g, 6 , 6 , 6)--g-, -g-, -g-, b)--j, ^, -j, r)--j, -^, -j-,
^. 16.11.а)-Кл:<1;б)2<л:<3;в)-2<л:<2;г) -
16.12. а) Да; б) нет; в) нет; г) да. 16.13. а) НГ^ + ** ± ^ +
б) | + тгё, (-l)Vcsin | + nk; в) (-l)Vcsin | + nk, nk; r) J + Щ.
16.14. a) (-I)*? + яЛ, (-lf+1arcsin | + 7cfe; 6) -| + 27cfe.
8* 211

16.15. а) £ + 2nk < t < Щ^ + 2nk; б) -£ + 2л£ < t < ^ + 2rcfc;
о о о о
в) -^ + 2nk < t < £ + 2кк; г) ^ + 2nk < t < Цр- + 2nk.
о 3d о
16.16. а) -п - arcsin - + 2nk < t < arcsin - + 2nk;
о о
б) -arcsin 0,6 + 2nk < t < к + arcsin 0,6 + 2nk;
в) arcsin - + 2nk < t < 7C - arcsin - + 27cfe;
о о
г) тс + arcsin 0,6 + 2л£ < t < 2к - arcsin 0,6 + 2nk.
16.17. а) к + arcsin 0,8 + 2nk <t< 2n - arcsin 0,8 + 2nk;
6) -arcsin 0,8 + 2nk < t < к + arcsin 0,8 + 2nk.
16.18. a) -5 + 2nk < t < arcsin - + 2nk; n - arcsin ■= + 2nk < t < -^ + 27cfe;
о о о о
п sy 7ir 1 1 it
6) arcsin =- + 2nk < t < n- arcsin - + 2nk\ -^ + 27cfe < t < ^ + 2nk.
о 6 Ь О
16.19. a) ||; б) |; в) Щ; r) -|.
§17
17.4. a) |; б) ||; в) |; r) -J. 17.8. a) ±| + nk; 6)nk; - arctg | +
q 2 7Г
в) tarctg - + nk; г) nk; arctg - + nk. 17.9. a) — + nk; arctg 5 + nk;
6) -j + nk; arctg 3 + тсЛ. 17.10. a) ^ + 7cfe; 6) ^ + nk; в) ^ + nk; r) -^ + Tcfe.
§18
18.1. a) (-1)"# + ^; б) ±2тс + бтсл; в) (-1)*^ + 4лл; г) £ + -^.
о Ci О о 4
18.2. а) (-1)л + 1^+ Зли; б) ±|| + 27сл; в) --^ +-^; г) ^+ 27сл.
18.3. а) -^ + 4nk; 4nk; б) -g + Зя£; в) -^-; -^ + -^-; г) - -^
212

18.4. а) у| + nk; б) я + 2я£; в) Snk; -|^ + 8я£; г) | + -^;
18.5. а) ±-| + 2nk; б) -| + 2nk; ^ + 2nk; в) ^ + 2я£; -^
г) 4f + 2яй; ^ + 2я£. 18.6. a) (-1)*+1 arcsin ± + я£;
б) (-1)*+1-| arcsin ± + Ц-; в) (-1)* arcsin ± + я*; г) тс + 4я£; (-1)*J +
л 1 Qir Oirb
18.7. a) ±-g- + 2nk; ± arccos - + 2тсЛ; б) ±-g- + -g-5 в) тс + 2тсЛ; г) ±тс + бтсЛ.
18.8. а) ±Щ + 2тс£; б) | + тсЛ; в) | + 2тс£; (-l)Vcsin | + тс£; г) ^ + ^.
18.9. a) -J + тсЛ; arctg | + nk; б) | + Щ-; | arcctg 5 + ^;
в) arctg | + тс&; -arctg 2 + тсй; г) ^ + 2nk\ 2 arcctg | +
18.10. а) ~ + nk; б) -£ + nk; в) arctg 3 + nk; г) ~ + nk. 18.11. a) nk;
о 4 °
-^ + nk; б) ^ + я£; - - + nk; в) я£; arctg 3 + nk; г) -р + ли; ^ + ли.
4 2 6 Z о
18.12. а) ^ + я£; -arctg 3 + nk; б) ^ + nk; arctg 3 + nk; в) ^ + ^fc;
4 4 4
-arctg 2 + nk; г) —£ + nk; arctg f + я£. 18.13. a) 5» ^г> %5
4 о 6 6 2
fi\ 0 — — 2тг- r^ п ^П In, \ ТС Зя 1ft 14 я^ л ^Я 13я 17я
о) 0, 3 , 3 , Л, в) -, _, _, г) 4, 4 , я. 18.14. а) _, _, _, __;
бч 4я 2я 2я 4я 8л 1815 а^ JL ^ М Ш Ш 1^.
3 3 3 3 3 12 4 4 12 12 12
к\ +JL +Ш +13тс. ч 5я я 7я. v Зя 7я 11я 15я
0) "18' " 18 ' " 18 ' в) " 3 ' 3' 3 ' Г) 16' 16' 16 ' 16 '
18.16. а) -5, -4г, ?; б) 0, 2я, 4я. 18.17. а) -2я, 0, 2я, 4я;
6 6 6
Лч 11я Г9я 5я 13я 7я 1ft 1ft v 7я. ЛЧ я 7я. ч я. ч я
0) 12 ' 12 ' 12' 12 ' 4 в 1Ь1*' а) 8 ' 0) 8' Tf B) 8' Г) 8*
18.19. а) |; б) 0, |, я, ^; в) -^; г) -f, 0, |. 18.20. a) (-if1 \ + яЛ;
б) ±^£ + 2яЛ. 18.21. а) Щ + яЛ; -arctg 2 + nk; б) -^ + nk; arctg - + яЛ;
о 4 4 z
213

в) arctg 2 + nk; -arctg \ + nk; r) ^ + тс£; arcctg f + nk. 18.22. а) тс + 2тс£;
3 4 4
,5ТС . . -,. П , , . TCfc. TC TCfc. . П nk П nk
±- + 4nk; 6) - + nk; nk; в) T; 9 + -g-; r) -^ + T; -^ + -y.
18.23. a)(-l)*+1J + Jtfe; 6) ±^ + 2nk. 18.24. a) | + Щ\ б) ^ + "f'
в) ^ + 2тсЛ; г) ^ + Щ- 18.25. a) i arctg 2 + ^; | arctg I + **;
б) -| arctg 3 + f; -\ arctg | + f. 18.26. a) ±f + 2^; 6) ±£ + f.
18.27. a) arctg 5 + nk; -arctg - + nk; 6) -^ + nk; arctg 2 + nk;
в) -j + лЛ; -arctg \ + лЛ; г) ~ + Ttfe; arctg 3 + nk.
18.28. a) | + nfc; -^ + 7cfe; 6) nk; -arctg 1,5 + nk.
18.29. a) -§ + f; | arctg 2 + f; 6) f; -\ arctg 1,5 + f.
18.30. a) -5 + 2rcfc; 2 arctg 3 + 2rcfc; 6) ^ + ЗтсЛ; 5 + 3rcfc. 18.31. a) -^ + Щ-\
2 2 2 о z
6) -| arctg | + Y- 18.32. a) -2 arctg 3 + 2nk; б) -л + Snk. 18.33. a) 0, тс,
-тс, 4, -4; 6) |, Y' °' 7- 18'34- a> x' I' "4' *! + 2тсЛ(Л = ±1, ±2, ±3, ...);
6) 1, |, y + 27C*> f + 27cfe(fe = ±x' ±2' •••)• 18-35. a) {-1, 1};
,, Г -Л -Л\
б) Г~2~' ТУ
ГЛАВА 4
§19
19.10. а) 0; б) \ ; в) 1; г) \ . 19.11. а) ^; б) ^; в) |; г) -|.
19.12. a) f + ^; б) А + ^. 19.13. а) Н)*тт> +-^5 б) ±|? + ?•
О О АО о tcZ | IZ О
19.14. а) л + 2тсЛ; б) (-1)*+1 А + ^г- 19.15. а) 15°; б) 75°. 19.16. а) ^; Щ Щ^;
1Z Z 4 4 4
_ 5тс тс. Зтс. 7тс .о.- ч 4>/з + 3 _ 3 ч 4 ч 4 - 3>/з
б) "Tf "8' Tf Т- 19Л7- а) 10 ; б) ~5; В) 5; Г) 10 *
12УЗ + 5. 12. -5V3 + 12. 5 1Q1Q . 13. 84
1Л8' а) 2в ' б> 1Я' в> 2в ' г> 1Я- 19Л9' а> "85' б> 85'
19
214

19.20. а)-||; б) -|§. 19.21. а) ^; б)-|. 19.22. а) 1; б) 1.
19.23. а) (-1)*^ + nk; б) ±£ + 4nk. 19.24. а) ^ + 2лЛ; б) | + 2nk; n + 2кк;
о о 4 ^
в) ^ + 2**; г) 2 + 2тгё; - £ + 2тгё. 19.25. а) £ + 2я£; б) 2л£; £ + 2nk;
о 2 о 4 ^
в) -| + 2nk; г) £ + 2кк; -£ + 2жк. 19.26. а)£ + ^<*<^ + ^;
2я - arccos I —^
б) - arccos I --
в) -4 arcsin - + Snk < x < 4я + 4 arcsin - + 87cfe;
о о
5я , 2jcfe 5я
§20
20.3. а) ±; б) - —— 80; в) -il. г) -А. 20 4 а) 1; б) 1 20 5 а) П.
б) -у. 20.7. а) 1; б) 1. 20.9. a) jg + ^; б) ^ + ^. 20.10. а) -^, j|,
W^ б> -W' "и' f' W' Ш' % 20.11.а)-2;б) -|. 20.12.а) -I;
б) -lj. 20.13. а) -2|; б) ^. 20.14. а) ~Щ^; б) ^i«.
20.16. arctg3.
§21
21
в)
21
б)
.9. а
т;
.12.
cos
) -
г,
.)■
2
т§;б
"io':
-sin2;
' 16
.11.
ш
в)
2
в)-]
v л/14
' 4 '
3 Х-
sin 2t;
б)
г)
г) -Ш. 21 1.
; 120
3 1 ]
>/io' VIo' s
1
cos 2f + sin 2t'
O.a)
21.
i
1'
21
14.
; б) к
-2> 4
.13. a) U
a) 2 sin
Л
t;
■>
6)
-l;
215

в) cos 2t; г) 2. 21.15. a) sin 2t; 6) -tg 2t. 21.16. a) cos 2t; 6) -2sin-|.
2->/2 ;
21.23. а), в) v2->/2 ; 6), r) ^2 + ^ . 21.24. a) £ + rcfc; 6) nk; ±| +
2 2 ^ о
в) nk; г) |
*. 21.25. a) (-1)*£ + f; 6) £ + f;
в) ±| + Зл£; r) ±| + Kk. 21.26. а) 2л£; к + 4л£; б) л + 2л£; 4nk.
21.27. а) 2л£; 6) 2nk; $ + 2л£. 21.28. a) ^ + ^; б) А + ^; в) ±4?
Z 4 Z 1O о а
r) ±^ + 4;cfe. 21.29. a) 0; n; 2n; 6) |; ^; в) 0; к; 2к; г) |; ^; 4-f; Ши
21.30. а) |; б)-^. 21.31. а) 1; б) 0. 21.33. а) 2, -1; б) 3, -1.
о 16
21.34. а) -120°; б) -240°. 21.35. a) nk; arctg 3 + nk; б) ^; \ arctg 2 + ^.
21.36. а) 0; п; 2л; б) ^. 21.37. ±|; ±ip. 21.38. а) 2; б) 4.
§22
22.7. а)-1; б) -Ж 22.10. а) | + nk; | + Ц-; б) ^; в) Щ-; Щ; т)Щ-;
-£: + ^. 22.11. а) ^; ±Щ + 2icft; б) ?; (-!)*£ + nk.
20 10
22.12. а) 2 sin | i - ^ | • sin | ^ + ^ ]; б) 2 sin | + ^ ]cos | i - £
в) 4 cos 11-^ | cos
| + |\ r)
V2 sin ft + ^\ 22.13. a) 4 sin6* cos2 |;
| sin Ц;
6) 4 cos x cos2 ^. 22.14. a) 4 cos * cos | sin Ц; 6) -4 sin t sin 2* cos 5*.
22.16. а) Ш + ^-; б) - + —; в) — + -; - + -9 г) ^ + -g-.
OO IT ч Л . «*. Я _,_ ЛЛ -v 7Cfe. Л 7С 7Cfe. П nk. П nk. П nk
22.17.а)- + —; ^ + ^; б) —; в) ^ + т> ^ + т> г) ^ + т, g + -j.
22.18. а) ^; Ш; б) ^ + f. 22.19. a)f.
;
216

в) М; г) | + nk; n + 2nk. 22.20. а) | + я*; -| + ^;
б> f+ т; ^*s+ т • 2221*а) 3 корня; б) 2 корня'22Жа) f; S; т;
п 4я. 5я. 2я Тк fiv тс. тс. Зтс
3' 9 ' 9 ' 3 ' 9 ' °' 4' 2' 4 '
§23
23.4. а) я*; б) | + я£; 23.5. а) ™; ±| arccos ± + кп; б) | + тсд;
±5 + 2тт. 23.7. а) | (sin 24° - sin 4° + sin 12° + sin 8°); 6) cos 35° - cos 45° +
3 ^
+ cos 5° - cos 15°. 23.8. a) 1; 6) \ . 23.9. a) 1; 6) 2. 23.10. a) nk; ±| + 2nk;
6) | + Kk; в) nk; r) 2nk; ±Щ- + 2nk. 23.11. a) ±|; 6) ±|.
23.12. а) унаиб = |, унаим = ~; б) унамб = ^, унаим = -|.
ГЛАВА 5
§24
24.3. a) 3; -3; -|; 0; 3 cos 0,4л; б) -1; 1; -1; 1; -1; в) 0; 1; f; i; sin2 |;
r) 1; -1; 1; -1; 1. 24.4. 1027. 24.7. a) 3n; 6) (n + 2)2; в) д3;
г) и3 + 1. 24.8. а) ^; б) |^|; в) -L; г) (2я + щгя + 3)" 24Л0' а> 2;
б) 5; в) 13; г) 45. 24.11. а) Нет; б) да; в) да; г) нет. 24.12. а), в) Ограничены
снизу. 24.13. б), в), г) Ограничены сверху. 24.14. а), б), в) Ограничены.
24.15. а) Возрастает; б) убывает; в) возрастает; г) убывает. 24.16. а) Не
является монотонной; б) возрастает; в) возрастает; г) возрастает. 24.19. а) 0;
б) 6; в) 0; г) -4. 24.20. а) 5; б) 7; в) 3; г) |. 24.21. а) 0; б) 0; в) 0; г) 0.
24.22. а) 2; б) 1; в) -1; г) -2.
§25
25.3. а) 4; б) 57^; в) 0,9; г) 156,25. 25.4. а) -5,4; б) |7з(7з + l); в) 38^;
г) 4V2(V2 + l). 25.8. а) г|; б) -0,128; в) -0,022; г) з|. 25.9. а) 12,5;
217

б) -8|; в) 9; г) -36. 25.10. 4l|. 25.11. Ъх = 12; q = 0,5. 25.12. Ьх = 12;
1 sin х cos x _ 1
9 = 3- 25.13. а) ТТГ^^; б) Г^^ в) ctg2*; г) ^T^V 25.14. а) 0,8;
б) 0,3. 25.15. а) ^; б) ||; в> п: г) !§§•
§26
26.8. а) 0; б) -2; в) 0; г) 6. 26.9. а) 1; б) 1,5; в) 1; г) 1±. 26.10. а) 4;
О
б) 0; в) 0; г) 2. 26.16. а) 3; б) 1; в) -13; г) 3 А . 26.17. а) 3; б) 1,4; в) 3; г) ^ .
15 **
26.18. а) 0; б) -4; в) 10; г) -|. 26.19. а) 0; б) 0. 26.22. а) 0,2; б) - 0,1;
в) 0,1; г) 0,05. 26.24. а) ЗА*; б) -2jcAjc - (Ajc)2; в) -2Д*; г) 4хАх + 2(Д*)2.
Ал:
26.25. а) 2ахАх + а(Ах)2; б) ~"
§27
27.8. а) 2 м/с, 2 м/с2; б) 4,2 м/с, 2 м/с2; в) 4 м/с, 2 м/с2; г) 7 м/с,
2 м/с2. 27.10. а) 2,2 м/с; б) 1,4 м/с; в) 2 м/с; г) 1,2 м/с. 27.11. a) 2t м/с;
б) 2* - 1 м/с; в) 2t м/с; г) 2* - 2 м/с. 27.13. a) f (-7) < f (-2); б) f (-4) < f (2);
в) f(-9) < f(0); г) f(-1) > f(5).
§28
9о lft яч *2(* + 3>. « 2* . 2*(3-2*). 1-х2
28.18. а) (х + 2)2 , б) -^П7' В) (3-4х)2' Г> ^Т^'
28.23. а) 14; б) 1,5; в) 5; г) 72. 28.24. а) -3; б) |; в) -|; г) ~ .
28.25. а) 2; б) 1; в) -1; г) -16. 28.26. а) тс; б) 2^; в) 0; г) _5 + 3^.
о о
28.27. а) ^; б) ^. 28.31. а) 3 77; б) -2; в) 3; г) -l|. 28.32. а) 10; б) 1,75;
в) -^-; г) -|. 28.33. а) 0; б) 12; в) -V3; г) -|. 28.34. а) 3,5; б) 1,6;
218

в)-8; г)-0,5. 28.35. а) ^; б) ±^ + та, п eZ; в) ±; г)(-1)л+1^ + Щ-,
28.36. а) х > -л; б) -л/3 < jc < -V2; V2 < х < >/&
4
28.37. а) £ + я* < х < ^ + я*; б) ~ + 2яЛ < х < ~ +
4 4 о о
о 2 2 тг
28.38. а) -4 < х < 0; х > 0; б) х < -; х > -. 28.39. а) —= + тел < л: < кп;
4 о о z
б) кп < х < % + кп. 28.40. а) л: < 0; х > 2; б) 0 < х < 4; в) х < 0; 0<х<^;
z 4
г) 5 + кп < х < ^ + кп. 28.41. а) £ + 2кп < х < -^ + 2кп; б) -3 < х < -1;
о о 2 2
1 < х < 3. 28.42. а) 1; 16; б) ^/i. 28.43. а) л: < 0; х > 3; б) таких значений нет;
в) 7т + 7Ш<лс<— + яд; — + лл<дс<— + 7т; г) ~ + кп < х < ^ + кп.
о 2 Z о 2 4
28.44. а) —-— + "о"» ^) таких значений нет; в) 9; г) таких значений нет.
о Z
28.45. а) 2; б) 0; -4; в) г|; г) g + ^. 28.46. а) ±7з, ±^; б) ±Л ±1.
§29
29.8. а) 135°; б) 45°. 29.9. а) 45°; б) 135°. 29.10. а) 30°; б) 135°.
29.11. а) 150°; б) 135°. 29.12. а) у = 6* - 9; б) у = 2 - х; в) у = 3* - 2;
г) I/ = 7. 29.13. а) у = 7х - 10; б) у = Ъх - 17. 29.14. а) у = 3* - 4;
б) I/ = -х + 4. 29.15. а) у = 1; б) i/ = 1. 29.16. a) i/ = £ - 2х; б) у = \х.
29.17. у = -6х + 18; I/ = 6х + 18. 29.18. i/ = 5х - 16; у = -5х - 1.
29.19. х1 = 0, у = х + 1; х2 = 2, i/ = х - 3. 29.20. а) х = 1; б) * = -i;
о
г) хх = 0; х2 = 0,6. 29.22. а) х = к + 2лл; б) х = ^п; в) х = кп; г) х = Щ
в) х = ■§; г) х = -0,5. 29.21. а) х = 3; б) х. = 0; х2 = V2; х3 = -л/2; в) х = 1;
о
219

29.23. а) у = х - |; у = х - |; б) у = 9х - 20; у = 9* + 16. 29.24. а) 0,99;
б) 1,025; в) 1,21; г) 1,9975. 29.25. а) у = -0,1* + 2,8, у = -0,5* + 2;
б) у = -0,5* + 2. 29.26. у = ±* + |. 29.27.j/= -^(*-l),i/= ^ (* + 1).
§30
30.11. а) Возрастает; б) убывает; в) возрастает; г) убывает. 30.12. а)
Убывает на (-оо; 2,5], возрастает на [2,5; +оо); б) убывает на (-оо; -1,5],
возрастает [-1,5; +оо); в) возрастает на (-оо; 4], убывает на [4; +оо); г)
убывает на -оо;
— , возрастает на —; +оо . 30.13. а) Возрастает на R;
б) возрастает на [-5; 3]; убывает на (-оо; -5] и на [3; +оо); в) возрастает
на (-оо; -2] и на [3; +оо); убывает на [-2; 3]; г) убывает на (-оо; -1] и на
[1; +оо); возрастает на [-1; 1]. 30.14. а) Убывает на (-оо; -1] и на [0; 1];
возрастает на [-1; 0] и на [1; +оо); б) убывает на R; в) возрастает на
(-оо; 1]; убывает на [1; +оо); г) возрастает на R. 30.15. а) Убывает на
(-оо; -3) и на (-3; +оо); б) возрастает на -оо; - — и на I —; +оо ;
V 3) V 3 )
в) убывает на (-оо; 0) и на (0; +оо); г) убывает на (-оо; -1,5) и на
(-1,5; +оо). 30.16. а) Возрастает на —; +оо ; б) возрастает на -оо; — ;
L3 ) { 16J
убывает на —; 1 ; в) убывает на I -оо; — ; г) возрастает на —; 1 ;
[16 j v 2J L2 J
убывает на [1; +оо). 30.24. а) При а = ±3; б) при а = ±5. 30.26. а) х = -2 —
точка минимума, х = 2 — точка максимума; б) х = -1, х = 1 — точки
4
максимума, х = 0 — точка минимума; в) х = -■= — точка максимума,
у
х = 0 — точка минимума; г) х = -2, х = 2 — точки минимума, х = 0 —
точка максимума. 30.27. а) х = -2 — точка максимума, х = 2 — точка
минимума; б) точек экстермума нет, функция возрастает на —;
в) х = -5 — точка максимума, х = 5 — точки минимума; г) х = 3 —
точка минимума. 30.28. а) х = 2 — точка максимума, х = 3 — точка
минимума; б) х = -3 — точка максимума, х = 3 — точка минимума; в) х = —ц —
точка максимума, х = 5 — точка минимума; г) х = 7 — точка максимума,
220

х = 0 — точка минимума. 30.29. а) х = 0,6 — точка максимума,
х = -0,6 — точка минимума; б) х = -1, х = 4 — точки минимума,
х = 0 — точка максимума; в)л: = -5,д: = 5 — точки минимума, х = 0 —
точка максимума; г) х = -3 — точка максимума, л; = 1 — точка
минимума. 30.30. а) х = -2 — точка максимума, л; = 2 — точка минимума,
б) х = -3 — точка максимума, х = 3 — точка минимума. 30.31. а) л; = 3 —
точка минимума, б) х = 8,5 — точка максимума. 30.32. а) х = -— — точ-
о
ка минимума, х = —^ — точка максимума; б) х = — — точка мини-
О о
7
мума, х = — к — точка максимума.
о
§31
31.13. б) При а = 3. 31.14. б) При а > 9. 31.15. а) При а < -2 или а > 2;
б) а = ±2.
§32
32.6. а) 28; 3; б) 9; -3; в) 16; -2; г) -7; -199. 32.8. а) 19; -35; б) 35; 15;
в) 19; -93; г) 19; 15. 32.9. а) 173; -2; б) -43; -72; в) 45; 173; г) -2;
-72. 32.10. а) 4; -3; б) -12; -28; в) 4; -28; г) 4; -28. 32.11. а) 20; -7;
б) 4; -124; в) 121; -44; г) 148; -124. 32.12. а) 6; 5; б) -3; -4.
32.13. а) </наиб=| + 1, </HaHM=f -1; б) </наиб= Ц^, </наим = -я;
в) */наиб= >/3 + J, </_ = -f; г) У1— = 3^3-я, !/наим = 0. 32.14. а) Умвне су-
ществует, 1/наим = -—; б) 1/наиб не существует, 1/наим= -1; в) */наиб= 0,
#наим не существует; г) 1/наиб не существует, #наим= 0. 32.15. а) 1/наиб= -2,
*/на„м ^ существует; б) 1/наиб = £9 унйим= 0; в) уийиб= -2, 1/наим не су-
о
ществует; г) */наиб= 3,5, уяаим не существует. 32.16. а) 8, 1^; б) 17, -3.
32.17. ., [-§; 1} „ [-1,1]. И.И. а, [-А -) «, (-« f ].
32.19. [-17; 10]. 32.20. 12, 12. 32.21. 22, 22. 32.22. -49, 49. 32.23. 2 + 1.
32.24. 1,25 + 3,75. 32.25. 14 см, 14 см. 32.26. 50 х 50 м. 32.27. 4 х 4 м.
32.28. 50 х 50 м. 32.29. 32 см2. 32.30. (1; 1), (-1; 1). 32.31. (4, 2). 32.32. 4 дм,
4 дм, 2 дм. 32.33. 7м, 7м, 7м. 32.34. 4^5 м; 6^5 м; Щ^-м. 32.35. ^-.
32.36. 30 см. 32.37. а) 6000; б) 108. 32.38. а) 21; б) 32,4. 32.39. 4ab.
32.40. 3 ч.
221

ГЛАВА 6
§33
33.4. а) Да; б) нет; в) нет; г) да. 33.10. а) [2; 3]; б) [2; 3]; в) [2; 3];
г) [3; 4]. 33.15. а) 1; 8; б) 1; 9; в) -7; 4; г) -4; -3. 33.18. а) -; б) +;
в) -; г) -.
§34
34.8. а) (0; 0), (1; 1); б) (0; 0), (1; 1); в) (0; 0), (1; 1); г) (-1; -1).
34.9. а) 0; б) 1; в) 1; г) -1; 0. 34.10. а); б); в) одно решение; г) нет
решений. 34.16. а) [2; +оо); б) Г-2; |1; в) [4; +оо); г) [-|; ±].
34.17. а) (-оо; -6] U [2; + оо); б) [-3; 5]; в) (-оо; 2] U [6; +оо); г) [-4; 1].
34.18. a) f-oo; -l|"j U [8; +оо); б)**~l|; в) х * 3,5; г) (-4,5; |J.
34.19. а) [0; +оо); б) (-оо; +со); в) (-со; +оо); г) [0; +оо). 34.20. а) [2; +оо);
б) (-со; +со); в) [-3; +оо); г) (-со; +оо). 34.21. а) 0; б) 1.
§35
35.16. a) %V26>V5; б) %V5<>/3; в) ^7>%747; г) -Vi>-#3. 35.18. а)
б) ^32?; в) ^в; г) б/з^. 35.19. а) «Д^; б) ^V; в)
г) ^2l6x7z23 . 35.20. а) fc б) ^; в) tfj; г) 2%пЬ21. 35.25. а) 200;
6)4- 35.26. а) 2; б) -2; в) 3; г) 2. 35.27. а) 0; 64; б) 16; 81; в) ^; г) 1.
I Ь4
§36
36.6. а) |a|>/b; б) а^Ь; в) \a\ijb; г) a2 Jab. 36.10. а) ^/З; б) 4^3; в) 7^/2;
г) 3i/2. 36.11. а) ^/4; ^8; >/§; б) ^2; '^40; Vi; в) ^3; '^30; ^2; г) $/3;
^2; VI. 36.15. a)V^+Vb; б) №-Ш+№; в)
г)
6.16. а)
, б)
-, в) ^-^-, г) ^-^
36.17. а) ^-З/б; б) ,/-1 ..-; в) * г; г) aV^ + Vb. 36.18. а) V^+Vft;
б) ^ + V? + 1; в) ljb-aja~; г) $/a~+&tf+b. 36.19. а) VJW; б) 1^9^У;
в) ^64fe¥; г) 3^2pY- 36.20. а) 4ji; б) ^^; в) ^Щ; г) з/д.
222

36.21. a) V2 + З/З; б) 5*/х + б^ху. 36.22. а) -^2^10 < -^
36.23. а) у!&Л; ^100; V^/4; б) $Ц/з; ^4; 1^25; в) ^2; ^2^2;
г) 4^777; foy/lJE; 1^64. 36.24. а) -1; б) 3; в) 1; г) |. 36.25. а) 1 - а;
б) т - п. 36.26. а) ^[гах - %/ЗЬх; б) k
36.27. a) (V2 - >/з)(>/х + V*/)*> б) (Vi + V:
\ / — i l\ /3/ 3/ж_1 \ / ж_ 11 ■ /L 11 1 /^*1»1 tfb/> ал \ / 8/ oil 8/ -л-. ■ л L
В) (Л Н~ O)\yJCl — VP/I Г) -уЛО V-*- + vO^VJ- ~ \по), оЬ.аО. а) \KjTJl — OJyKjTn + Z/5
Л\ I 4/ZZT | О 11 4/ | о) \ 1 10/ | л\(\о1 | о 1 \ /б/ 1 Vo6/ "II
о) w/^i + Z)\yjm + о;; в) ^ va + 4Д\га + 3j; г) ^vx - 1Д2>/х + lj.
^4. Зб.зо. а) г^-; б) ' ^ -ч2
36.29. а) ,,- ; б)
36.31. а) 8; б) 27.
§37
||;
37.6. а) 243; б) 0,064; в) ||; г) 0,01. 37.10. а) ^; б) ^q- 37.19. а) а;
б) -^=; в) л:2; г) 1. 37.20. а) 10; б) 4; в) -^; г) 125. 37.21. а) 4;
б) 9; в) 8; г) 1. 37.22. а) 12; б) 6; в) 30; г) 20. 37.23. а) —; б) -; в) у/х;
т х
г) |^. 37.24. а) **; б) у; в) с2; г) аъЪ\ 37.29. а)
; б) щ"+т".
12 II
37.30. а) 1 +с; б) т2+т3; в) х + у; г) -2^Ьс. 37.31. а) 4а3Ь3; б) a3+25a.
37.32. а) х - 1; б) Vfe-Vz. 37.33. а) г г\ б)
§38
38.15. а) 4; б) 1; в) 0; 1; г) 8. 38.16. а) (1; 1); б) (1; 1); в) (0; 0), (1; 1); г)
(1; 1). 38.20. а) 2х4; б) Зх; в) |*4; г) х"2. 38.21. а) кх~2; б) *4; в) эД
г) х~\ 38.27. а) 1,5; б) 1; в) -3; г) 2. 38.28. а) |; б) -l|; в) |; г) 0.
223

38.29. а) ^; б)|. 38.30. а) у = -4х; б) У = \х+\\ в) у = 16л: - 32;
т) У = ~пп ~ ~ойх' 38.31. а) Убывает на [0; 4], возрастает на [4; +»); х = 4 —
g
точка минимума, ymin = —«'» б) возрастает на [0; 1], убывает на [1; +оо),
|. 38.32. а) -|;
х = 1 — точка максимума, i/max =|. 38.32. а) -|; 0; б) */наиб = |; */наим не
О 1
существует; в) */наим = -^; */наиб не существует; г)-2; -. 38.34. а) 0 < х < 4;
О £л
6)х> 1; в) х > 1; г) 0 < х < 8. 38.36. а) у = л; + 3; б) у = 4 - 3* и z/ = -4 - Зх.
1 4
38.37. а) х = -г — точка максимума; б) х = —« — точка минимума.
38.38. а) 2; б) 2. 38.39. а) у = j х + 1; б) у = Зх.
ГЛАВА 7
§39
39.10. а) I; б) 1; в) -1,5; г) |. 39.12. а) 4; б) 3,5; в) -0,5; г) -5,5.
о о
39.13. а) 2; б) -3; в) 2,5; г) -4,5. 39.19. а)2 ^, 1, 2*, 2м, 2^, 21'5.
б)0,39, 0,32, озз, iy 0,3"^, 0,3"9. 39.23. а) х < -4; б) х < -2; в) х > -3;
г) л; > -8. 39.26. [-1; 5]. 39.27. [-4; 3]. 9.31. а) 1; б) -1; в) 1; г) -1.
39.32. а) 2; б) -2; в) 0; г) -1. 39.33. а) х > 0; б) х < 0; в) х > 0; г) х < 0.
39.34. а) х > 1; б) (-оо; +оо); в) х > 2; г) (-оо; +оо). 39.35. а) х < -1;
б) нет таких значений; в) х > 0; г) х < 1. 39.36. а) /(-3) = -8; /(-2,5) = -6,5;
/(0) = 1; /(2) = 4; /(3,5) =8^ 39.37. а)/(-3) = ^; /(-2,5) = ^; /(0) = 1;
/(1) = 0; /(2) = -3. 39.38. а) /(-5) = 32; /(-2,5) = 4>/2; /(0) = 1 ; /(4) = 3;
/(1,69) = 2,3. 39.39. а) /(-3) = 64; /(-2) = 16; /f-|l = 8; /(0) = 1;
f[i]= 2* /(i7C]= °*39#40# а) (0; +оо); б) (0; +оо); в) (0; +оо); г) (0; +оо)*
39.41. а) (1; +оо); б) (6; +оо); в) (-2; +оо); г) (-8; +оо).
§40
40.6. а) -2; б) -8; в) 2; г) 0,2. 10.7. а) ±1; б) 0; в) ±1; г) ±>/3.
40.8. а) -2; б) 1,5; в) 3; г) |. 40.9. а) -1; б) 2,5. 40.10. а) ~, 3; б) -6, -2.
о о
40.11. a) h б) 1^. 40.12. а) 2; 5; б) ±2; в) 8; г) 3. 40.13. а) 1; б) 1; в) -3;
о 18
224

г) 0,4. 40.14. а) 1, 2; б) 2; в) -1; г) 0. 40.15. а) ±1; б) ±1; в) 1; г) 1. 40.16. а) ±1;
б) 1; в) 1; г) 1. 40.17. а) 3; б) -3; в) ±1; г) -2. 40.18. а) 6; б) 5. 40.19. а) 0;
б) 0; в) 0; г) 0. 40.20. а) 0; б) 0. 40.21. а) 4; б) 2. 40.22. а) -1; б) 1.
40.23. а) -1; б) -1; в) 1; г) 0. 40.24. а) -2; б) 1; в) -1; г) 2. 40.25. а) 2;
б) 1, 2. 40.26. а)—г) 0. 40.27. а) 1; б) -1; в) -1; г) 1. 40.28. а) (1; 3);
б) (1; -2); в) (2; 1); г) (-1; 3). 40.29. а) (2; 1); б) (-0,6; 0,2); в) (-1; 2);
г) (2,2; -0,4). 40.34. а) х < -5; б) х > -1; в) х > 7; г) х > 1. 40.35. а) х < -0,8;
б) нет решений; в) х > -5; г) -оо < х < +оо. 40.36. а) х > 0,5; б) х < \;
4
В) х > Л; Г)Х> 13,5. 40.37. а) 2 < х < 3; б) -2 < х < 3; в)-2 < х < \\
г) 4 < х < 6. 40.38. а) -оо < х < +оо; б) х < 1; х > 3; в) -2 < х < 1;
г) \ < х < 4. 40.39. а) х < 2; б) х < 1; в)х < -if; г)х < |. 40.40. а) 0 <
о об
< х < 1; б) х > 0; в) х < 0; х > 1; г) х > 0. 40.41. а) х < -1; х >1;
б) -1 < х < 1; в) л: > 1; г) х < 1. 40.42. а) х > 0; б) х > 0; в) х > 0; г) х < 0.
40.43. а) х < 1; б) х < 0; в) х > 1; г) х > -2. 40.44. а) х < -2; л: > 1,5;
б) -i < х < 2; в) -6 < х < 1,8; г) х < 2; х > 6. 40.45. а) 0 < х < 4;
б) 0< х < ^; в) 0 < х < 2; г)х < -|; х > 0. 40.46. а) х < 2; б) х < 2; в) х < 2;
7 о
г) х > 2. 40.47. а) 2; б) 4. 40.48. а) -1; б) 1; в) 0; г) -1. 40.49. а) 5; б) 3;
в) 5; г) 2. 40.50. а) х = 1; б) (-со; +оо).
§41
41.5. а) 4; б) 5; в) -2^; г) -6. 41.6. а) 0; б) 2,5; в) 9; г) ~. 41.8. а) 72;
о о
б) 28; в) |; г) 24,5. 41.9. а) 9; б) |; в) 16; г) |. 41.14. а) 3; б) -^; в) 2;
г) ^. 41.16. a) log314 - 1; б) lPgl^±i; в) з - logf И; г) *
41.17. а) 1; Iog23; б) 0; Iog45; в) 1; Iog34; г) 1; Iog72. 41.18. а) х > Iog29;
б) х < Iog127; в) x>-log34; г) х<-1. 41.19. а) х < 1; х > Iog23;
б) 0 < х < log45; в) 1 < х < Iog34; г) -оо < х < +оо.
§42
42.5.a)log20,l, Iog2|, log2 0,7, log2 2,6, log2 3,7; 6)log0317, Iog033, Iog032,7,
1о£о,з |» bg0>31. 42.6. a) Iog34 < ^9; 6) logo* 3 < sin3; в) bg2 5 > W;
225

г) lg 0,2 < cos 0,2. 42.9. а) Г^; 811; б) [2; 8]. 42.10. a) -2; б) не существует.
42.11. а) 3; б) i; в) 5; г) \. 42.19. а) х > 1; б) 0 < х < 1; в) 0 < х < 1; г) х> 1.
Z о
42.20. а) 0 < х < 3; б) л: > 1; *) х > 5; г) 0 < х < \. 42.21. а) /(-8) = 27;
2 о
Д-6) = 21; /(0) = 3; /(3) = -1; /(9) = -2. 42.23. а) (-оо; 2) U (3; оо); б) (-7;
2); в) (-оо; 1) и (12; оо); г) (-1; 9). 42.24. а), б), в), г) (-оо; оо).
§43
43.4. а) 1; б) -1; в) 5; г) 1. 43.5. а) -0,25; б) -2,5. 43.6. а) Зс; 4а.
43.7. а) а + 1; б) m + 1. 43.8. а) Ъ - 1; б) п - 1. 43.9. а) х = 8; б) х = 64;
в) х = у ; г) х = Y^g. 43.10. а) х = 1,5; б) х = 12; в) х = 40;
I 2
1 QQ9 Ч2 • ^3 г-
г) * = { . 43.11. а) л; = ^ ; б) л; = 18; в) х = ^-^- ; г) х = V5.
43.13. а) 4; б) -1,5; в) -12; г) 3. 43.14. а) 20; б) 3,2; в) 24; г)^г. 43.15. а) 64;
64
б) 49; в) 9; г) 216. 43.16. а) 27; б) 169; в) 25; г) 625. 43.17. а) 18; б) 5; в) 35;
г) 3. 43.18. а) 3,5; б) 2—; в) 2; г) 3,5. 43.19. а) 3; б) 2. 43.20. а) 2; б)|; в) 2;
11 о
г) |. 43.22. а) 0,5; б) ~. 43.29. а) 2; б) 2; в)3; г) 5. 43.32. а) -1; б) 1;
о о
в) 1; г) 1. 43.33. а) а + Ь; б) 2а + Ь; в) а + 2Ь; г) За + 26. 43.34. a) log3 4 > ^2;
б) log2 3 > W.
§44
44.2. а) 2; 3; б) 10; в) 7; г) -10. 44.3. а) -7; 3; б) 1; 9; в) 5; 7; г) 3; 5.
44.4. а) 2,9; б) -4, 3; в) -3; 6; г) -5; 2. 44.5. а) 1; б) 2; в) 2; -4; г) нет
корней. 44.6. а) 2; 8; 6)1; 16; в) 2; 4; г) 0,04; 125. 44.7. а)^'> 25»
6)^/4; 16; в)0,0081; ^; г)^; 4. 44.9. а) 5; б) 4; в) 3; г) 2. 44.10. а) 3;
6) нет решений; в) 4; г) -1. 44.11. а) 1; б) нет решений; в) 2; 4; г) -4.
44.12. а) 2; 6) 3. 44.13. а) 100; б) 81; в) 10; г) 32. 44.14. а) -^; 6) -jj^; 100.
44.15. а) 0, 1;б)0, 1.44.16. а)|; 9; 6)1; 4; в) I; 4; г)|; 9. 44.17. а)|; 3;
226

б)|; 2; в)|; ±; г)|; ^. 44.18. а) (1; 1); (2; 4); б) (-12; 31); в) (2; 3).
44.19. а) (2; 3); (3; 2); б) (3; 6). 44.20. а) (4; 1); б) (4; 4). 44.21. а) (1; 3); (3; 1);
б) (1; 2). 44.22. а) (2; 1); б) (-1; -4).
§45
45.3. а) -| < х < 8; б) 0 < х < 12; в)0 < х < 1,25; г) 1,5 < х < 6.
О
45.4. a) l\ < х < 2; б) х > 1; в) 1,8 < х < 9; г) 1 < х < 1^.
О О
45.5. а) 1,8 < х < 5; 6) ~ < х < 7; в) х < 0; г) х < -1. 45.6. а) 2 < х < 3;
о
б) нет решений; в) -10 < х < -2>/2; г) х > 14. 45.7. а) х < -3; 2 < х < 6;
б) 0 < х < 2; х > 11; в) нет решений; г) 3>/3 < х < 9. 45.8. а) х < -1;
х > 8; б) х < -1; х > \; в) 2 < х < 4; г) 0 < х < ^; 1 < х < 1^.
45.9. а) 0 < х < 2; х > 8; б) 2 < х < 4; в) ^ < х < 4; г) 0 < х < —;
1о 25
х > 125. 45.10. а) х > 9; б) х > 3; в) 0 < х < 5; г) 0 < х < 2.
45.11. а) 0 < х < 1; 3 < х < 4; б) 1 < х < 6; в) 2 < х < 5; г) 0 < х < 1;
9 < х < 10. 45.12. а) 0 < х < 0,04, х > -Ц; б) 0,0081 < х <
V5 о
в) ^/4 < х < 16; г) 0 < х < ^-, х > 9. 45.13. а) ^05 < х < 16; б) ^ <
< *< vi7; в) ^< х < ж; г) ^ < ^"" ^-45Л4-а) 2; б) 1; в) 3; г) 6-
45.15. а) 6; б) 0; в) 2; г) 4. 45.16. а) х > 2; б) 0,25 < х <? 0,8. 45.17. а) х > 5;
б) \ < х < 2. 45.18. а) Нет решений; б) 1 < х < 3.
§46
46.1. а) 0; б) 2; в) 0; г) -1. 46.2. а) -; б) --; в) -; г) --. 46.3. а) |;
а п а а о
б) -|; в) |; г) -|. 46.4. а) а; б) ^^; в) 2а; г) ^. 46.7. а) 16;
б) 27. 46.8. а) 9, -^; б) 8, J=. 46.9. а) 20; б) 4; в) 16,5; г) 18. 46.10. а) 6; б) 6.
227

46.11. а) 1 + А; б) 2±*. в) Л. г) -*±». 46.12. а) *±»; б) *±*;
в) ^Ь + ^а; г) ^-|. 46.13. a) i; 3; б) 5; 25; в) 343; -£-; г) 2; 512.
Z 4 а + и 9 49
46.14. а) 4; б) 7. 46.15. а) 0,5, 1; б) -0,25. 46.16. а) -3 < х < ~; б) л: < -4;
-g < л; < 0.
§47
47.4. а) ^; б> ~^; в> 4» г) ~9»9- 47-5- а) -1; б) -1; в) ъ~е> г) 3-
47.6. а) Ь б) §тс; в) f тс; г) £. 47.7. а) у = ех; 6) у = е2х - е2; в) у = х + 1;
4 4 4 о
г) у = £ + |. 47.8. a) iy = Зд:; б) z/ = 0,5; в) z/ = -2л: + 2; г) z/ = 1.
47.11. а) Возрастает на (-оо; -2], [0; +оо), убывает на [-2; 0], х = 0 — точка
минимума, л; = -2 — точка максимума; б) возрастает на [-0,5; +оо), убывает
на (-оо; 0,5], х = -0,5 — точка минимума; в) убывает на (-оо; -3],
возрастает на [-3; +оо), х = -3 — точка минимума; г) убывает на (-оо; 0] и
на (0; 1), возрастает на [1; +оо), х = 1 — точка минимума. 47.12. а) 0; е;
б) 0; е; в) -^ 4» г) е; 9е\ 17.16. а) у = 4х - 3; б) у = х - 1; в) у = -4х + 2е;
1 7 11
г) у = х - 1. 47.17. а) у = 2х - ~z\ 6) у = —х - —; в) у = 4е2х - Зе3;
г) у = -2х + 3. 47.18. а) Убывает на (0; 1], возрастает на [1; +оо), х = 1 —
точка минимума; б) убывает на (0; 1], возрастает на [1; +оо), х = 1 — точ-
ка
на
минимума. 47.19. а) Возрастает на -оо; In - и на [0; +оо); убывает
In —; 0 ; д: = In g — точка максимума, х - 0 — точка минимума;
б) убывает на (-оо; 0] и на [In 1,5; +оо); возрастает на [0; In 1,5]; х = 0 —
точка минимума, х = In 1,5 — точка максимума. 47.20. а) Возрастает на
(0; 2] и на [3; +оо); убывает на [2; 3]; х - 2 — точка максимума,
х = 3 — точка минимума; б) возрасает на [1; +оо); убывает на [0; 1]; х = 1 —
точка минимума. 47.21. а) 1; е - 1; б) е - 1; е2 - 2. 47.22. а) -4 + In 4, -1;
б) 1,4 - In 4. 47.23. а) у = 2ех; б) у = х - 4 + In 3. 47.24. а) -5; б) ~;
о о
в) -; г) нет решений. 47.25. а) (-оо; +оо); б) -оо; — I; в) (-оо; -2);
г) f-oo; -2|\ 47.26. а) у = \х\ б) у = ~х; в) у = |х; г) у = ~х. 47.27. а) -1;
б) -1. 47.28. а) а е (-7; -1] и [0; 6); б) а <Е (-1; 0); в) а е (-со; -7] и
и [6; +оо); г) нет таких а.
228

ГЛАВА 8
§48
48.8. а) х; б) -cos x; в) tg x; г) -ctg x. 48.9. а) -^со
б) -|dn[f-2x]s в) Isin(4*-3); г) 2cos(2-f ]. 48.10. а) —£>.;
б) |ч/7*-9; в)
у г) -|^42-3*. 48.11. а) -| cos 2*; б) |е2-* _
- | sin Зх; в) 2 tg |; г) \ ?J(3x - I)4 - | In |2 - 7*|. 48.12. a) -cos л: + |;
б) tg дс - 2; в) sin х + 0,5; г) -3 ctg § + 3.48.13. s = f2 + t - 1.
О
48.14. S = | cos 3* + f. 48.15. S = 6>/2* + 1 - 3. 48.16. s = ^ (1 + t)A +
3 3 о
+ 3 ^ + 5 5 у = -(1 + 03 + -• 48.17. a) -4 cos x + 3; 6) sin x + 15;
в) sin x + 7; r) sin x + 14. 48.18. a) x2 + 3x + 2,25; 6) (3* - I)4. 48.19. 8.
48.20. a) x2+^; 6)-x4 + 7. 48.21. a) x = 2 — точка максимума, л; = 3 —
4 4
точка минимума; б) х = 1 — точка минимума, л; = 5 — точка максимума;
в) х = -2 — точка максимума, л; = 2 — точка минимума; г) х = -3 — точка
минимума, л: = 0 — точка максимума. 48.22. a) F(a) > F(b); б) F(a) < F(b).
§49
49.1. а) ^; б) |; в) 6,6; г) 2. 49.2. а) 1; б) 2; в) 2; г) 1. 49.4. а) |(?2 - 1);
б) ^р; в> 4<е2 - 1); г) ^(е - 1). 49.5. а) -| (l - З^/з); б) |; в) 87,5;
г) | (2 - $/з). 49.6. a) In 2; б) ег - е + In 2; в) 0,1 In 2; г) | (е4 - е2) + 2 In 2.
49.7. а) ^ In 2,2; б) ^ In Ц-\ в) ^ In 3; г) In 4. 49.8. а) 12 см; б) 1,2 см;
£ 5 6 4
в) 27 см; г) | см. 49.9. а) 60; б) \; в) 9^; г) \. 49.10. а) 9,5; б) 6,5.
7 о о о
49.11. а) 21^; б) 20,5; в) 9; г) 6,6. 49.12. а) 8; б) ю|; 49.13. а) 0,5; б) 4;
О О
49.14. а) 1; б) >/1; в) V2; г) ^2. 49.15. а) к + 1; б) я; 49.16. а) 5-; б) |;
в) 1; г) 2-. 49.17. а) 16; б) 54. 49.18. а) е3 - 1; б) ^—^; в) ^-^;
4 3 е4 е
229

г) е2 - 1. 49.19. а)
; б) е - 2; в) е2 - 2; г) 2(е2 - 1). 49.20. а) 1;
6) In 3; в) 2; г) \ In 10. 49.21. a) ez - е2 + In |; б) 4 - In 5; в) 4- - In 4;
г) е - 2. 49.22. а) 12; б) | - 1; в)ю|; г) 2. 49.23. а) 4,5; б) 1±; в) ю|;
г) 4,5. 49.24. а) 2§; б) 2\\; 49.25. а) 2§; б) 9. 49.26. а) 2^;
б) 2±; 49.27. а) 19§; б) 4,75. 49.28. а) 4л; б) 6,25л. 49.29. а) 2л; б) ^.
о о 4
49.30. а) 5 + 1; б) ^(2л + 3>/3). 49.31. а) 4,5; б) 4,5. 49.32. а)
2t о
12 '
4(3 + л). 6 - л. 4(3 + л)
в)
49.33. а) -т5 б) т^ • 49.34. а) 6,75; б) 6,75.
ГЛАВА 9
§50
50.1. а) 2,2, 3,3,3,3,3, 4,4,4,4,4,4,4,4,4, 5,5,5,5; б) мода 4, ее кратность 9;
в)
Кратность
Варианта
двойка
2
тройка
5
четверка
9
пятерка
4
Сумма
20
г) 3,75.
50.2. а) 4, 2, 2, 0, 4, 1, 4, 3,1, 2; б) 0, 1,1, 2,2,2, 3, 4,4,4
Кратность
Частота
Частота, %
Варианта
0
1
0,1
10
1
2
0,2
20
2
3
0,3
30
3
1
0,1
10
4
3
0,3
30
Сумма
10
1
100
г) 2,3.
50.3. а) 7,2; б) 67 000; в) № 1—980, № 2—960, № 3—1000, № 4—400, № 5—
990; г) нет, не пройдет, так как за нее проголосовало 4330 избирателей —
менее 6,5% участников.
50.4. а) 9 вариант; объем равен 50; б) 8 — размах, 7 — мода;
в)
Кратность
Варианта
2
5
3
6
4
3
5
7
6
4
7
11
8
5
9
4
10
5
Сумма
50
г) 6,04.
2 1
50.5. а) Частота букв «т» и «у» равна zr=, всех остальных — zr=\ б) всего
10
38 букв, из них 10 букв «г, р, о, м»; частота равна -оТТ» в процентах —
230

примерно 26%; в) мода буква «с», ее кратность равна 6; г) 6, 2, 1, 9, 4 /
5,4,2,4/5,4,1,3,7/1,1,3,4,5,5/4,2,7,6,4/1,3,8,2,6.'
50.6. в)
Результаты
участников №1,2
Число очков
1
76
2
61
3
76
4
65
5
64
6
58
Сумма
400
г)
Результаты
участников №1,2,3
Число очков
1
103
2
101
3
99
4
104
5
94
6
99
Сумма
600
50.7. в)
Кратность
Частота
Частота, %
Варианта
№1
20
0,4
40
№2
jc = 5
0,1
10
№3
У = Ю
0,2
20
№4
15
0,3
30
Сумма
50
1
100
г) варианта № 1.
50.8. а) 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, ..., 4, 5, 5, 5, 5, 5;
8
б)
Кратность
Оценка по литературе
1
1
2
5
3
6
4
8
5
5
Сумма
25
11 + 25 + 36 + 48 + 55 о АЛ
г)М= 25 =3,44.
50.9. а) 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, ..., 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5;
2 S~T^ " " ^~^
11
б)
Кратность
Оценка по русскому языку
1
2
2
3
3
11
4
6
5
3
Сумма
25
г)М=
12 + 23 + 311+ 46 + 53
25
231

50.10. а) 4; б) 5;
в)
Кратность
Итоговая отметка
2
4
3
7
4
9
5
5
Сумма
25
50.11. а)
Отклонение от среднего
Квадрат отклонения
Кратность
1
-2,44
5,9536
5
-1,44
2,0736
6
-0,44
0,1936
8
0,56
0,3136
5
1,56
2,4336
Сумма квадратов равна 1 5,9536 + 5 2,0736 + 6 0,1936 + 8 0,3136 +
+ 5 2,4336 = 32,16; D= -^r- = 1,2864, G = Vl) -1,134;
6)
Отклонение от среднего
Квадрат отклонения
Кратность
2
-2,2
4,84
3
-1,2
1,44
11
-0,2
0,04
6
0,8
0,64
3
1,8
3,24
Сумма квадратов равна 2 4,84 + 3 1,44 + 11 0,04 + 6 0,64 + 3 3,24 = 28;
28 i—
D = ~n£ = 1,12, a = \ID ~ 1,0583; в) по литературе; г) по русскому языку.
§51
51.1. а) 0,35; б) 0,65; в) 0,725; г) 0,725. 51.2. а) 0,6; б) 0,4; в) 0,24; г) 0,4.
51.3. а) |; б) |; в) |; г) 0. 51.4. а) 0,96; б) 0,28; в) 0,2; г) 0,36. 51.7. а) щ;
•> го--» го"» ш- ™ ■> я"» §"> и-' !■5'-9- •> t- 6> *
19 1к оо /1 о Л2 /19\2 fi4
в) ^f; г) ||. 51.10.а) ||; б) £ «0,092;в)1- || »0,868;г) ^ =0,059.
51.11. а) 0,5; б) 0,1; в) 0,2; г) 0,25. 51.12. а) ^; б) |; в) |; г) ^г.
§52
52.1. а) 42; б) 20; в) 24; г) 14. 52.2. а) 5! = 120; б) (5!)2 = 14400; в) 5! 3! = 720;
г) 5! 4! = 2880. 52.3. а) 54; б) 1; в) 0; г) 5184. 52.4. а) 401; б) 19; в) 4; г) 11.
52.5. а) 2; б) 3; в) 6; г) 24. 52.6. а) С\ч = 136; б) 17; в) 119; г) 17. 52.9. а) 26;
б) 6; в) 224; г) 0. 52.10. а) 8; б) 6; в) 7; г) 4. 52.11. а) х = 9 или х = 10;
б) х = 11; в) 8; г) 31. 52.12. а) 15; б) 5; в) 8; г) 12. 52.13. а) 7; б) 8; в) 12; г) 3.
52.14. а) 5! = 120; б) С\ = 10; в) С\ -2 = 20; г) 4! = 24. 52.15. а) 210; б) 35;
232

в) 15; г) 10. 52.16. а) С^ = 376992; б) С\2 = 32; в) С% = 126; г) 4 - С% = 504.
52.17. а) 105 = 100 000; б) 85 = 32 768; в) 25 = 32; г) 2 84 = 8192. 52.18. а) 12;
б) 13; в) 12; г) 15. 52.19. а) С\о = 1140; б) С32 = 220; в) 180; г) 748.
52.20. а) 14 112; б) 10 976; в) 7056; г) 280.
§53
53.1. в) jc10 + IOjc8 + 40jc6 + 80jc4 + 80jc2 + 32; г) 1 - 4xs + 6jc6 - 4jc9 + jc12.
53.2.a) C\ I6 I1 = 7; 6) C\ l4 31 = 12;в) С\ З4 (-2)1 = -810; r) C\ I1 24-
- C\ 21 I3 = 72. 53.3. a) 108; 6) -720; в) 8; г) -|. 53.4. a) 60; б) С93 36.
53.5. a) IOjc8; 6) 120jc4; в) 210лг2; г) 252. 53.6. a) C?o — один член С\оаъЪъ\
б) С49а4Ъ5+ С\аъЪ\
§54
54.1. а) ||; б) i|; в) ||; г) 1. 54.2. а) |^; б) ^; в) ^; г) ^-. 54.3. а) ^;
б) ^; в) -^-; г) |^. 54.4. а) 43,6; б) 41,3; в) 13,2; г) 1,77. 54.5. а) |; б) ^;
2л. 14 21 о 15
в) 0,4. Заменить 30 на 29. 54.6. а) 0,4; б) 0,48; в) 0,12. Заменить 50 на 48.
54.7. а) Невозможное событие; б) дискриминант этого уравнения
отрицателен; в) само событие А; г) невозможное событие. 54.8. а) 0,75; б) 0,91; в) 0,99;
г) 0,9901.54.9. а) 0,48; б) 0,08; в) 0,92; г) 0,44.54.10. а) С\ 0,72 0,3\ Р = 0,441;
б) С\ 0,72 0,32, Р = 0,2646; в) С3. 0,73 • 0,32, Р = 0,3087. 54.11. а) С\ Р4 (f =
= 0,254 - 0,004; б) C°AP°q4 = 0,754 - 0,316; в) С\ • Р3 • с?4"3 = 4 • 0,253 0,75 =
= 0,252 0,75-0,047;г) 1 -Р4(0)-0,684.54.12.а) 1;б) 1;в)0;г)0,5.54.13.а)0,5;
б) 0,5; в) 0,25; г) 0,25.54.14. а)0,5; б) 0,5; в) 0,2; г) 0,21.54.15. а) ^- - 0,306;
24 — 4л:
б) 0,16; в) «0,7; г) —— - 0,146. 54.16. а) 56,4; б) 84,9; в) 1,9; г) 0,13.
Zdk
54.17. а)0,1; б)0,3; в)0,5; г)0,6.54.18.а) у|; б) ^; в) |; г) ^|. 54.19. а) 138;
б) 200; в) 162; г) 100. 54.20. а) |; б) 0,8; в) 0,5; г) -у. 54.21. а) 0,8; б)0,1; в) 0,6;
г) 0,998.
233

54.22. а)
Число попаданий, к
Рь(к) = Cl 0,4* 0,65*
0
0,078
1
0,259
2
0,346
3
0,23
4
0,077
5
0,01
б) 0,01; в) 0,346 + 0,23 + 0,077 + 0,01 = 0,663; г) наибольшая вероятность
получается при k = 2.
54.23. а) 0,01; б) 0,38; в) 0,25; г) 0,01. 54.24. а) 0,25; б) 0,5; в) 0,5; г) 0,25.
ГЛАВА 10
§55
55.9. а) 1, 6; б) 0; в) 2, 6; г) нет корней. 55.10. а) 2; б)-|; в) нет корней;
г) -2,5; 2. 55.11. а) 1, -3; б) 1, -4. 55.12. а) 0, ±|, ±2; б) 0, ±3; в)±1; ±|;
г)О,±тс; ±4.
§56
56.2. а) 5,25; б) 11. 56.3. а) ^ + тш; б) £ + кп; 56.4. а) 6, 8; б) 0.
4 Z
56.5. а) 1; 7; б) 2^; 56.6. а) 1, 3; б) 10, 0,001. 56.7. а) 3, 0; б) ±2.
о
56.8. а) ^ + кп; б) ±Щ- + 2кп. 56.9. а) ~; б) 1. 56.10. а) 0, 4, 5; б) -3,
4 о ^о
-1, 3. 56.11. а) 0, 6; б) 0, 5. 56.12. а) 2, -1; б) 2, 3. 56.13. а) ±2;
(-1)п% + кп; б) ±3; ±% + 2кп. 56.14. а) пп, ±£ + 2кп; б)£ + тт,
о о о Z
-arctg| + кп; в)£ + Н, (_1)л| + 2gL; г) 2тт, | + 2тт. 56.15. а) -1; |;
б) ±1. 56.16. а) 50; б) -34. 56.17. a) l|; б) 1, -3,8. 56.18. а) 1, 0;
б) -log510; в) 0; г) 2, log3 2-1. 56.19. а) ±1; б) 8, 16; в) (-1)" arcsin i + кп;
г) 64. 56.20. а) 10, 10 4; б) 0, 1; в) ±=£ + 2кп; г) 1, 4. 56.21. а) 0, ±1;
о
б) 0, 1. 56.22. а) 2; б) -1. 56.23. а) 1, 2; б) ± 56.24. а) 1, б) 9.
56.25. а) 3, 4, -1, -2; б) 0, -3. 56.26. а) 1; б) 2,5. 56.27. а) 5; 7,5; б) 2; 4.
234

56.28. а) 1; б) 1; в) 1; ^; г) -2. 56.29. а) 1024; б) 1; в) 64; 4096; г) 1.
56.30. а) 1; б) 1; 13. 56.31. а)|; 6)5, 2±. 56.32. а) 6, -2; б) 4, -1.
56.33. а) ^; 6) ^. 56.34. а) А + ^г> ± 5 + 2тт; б) ^, - + —,
о о \dt do 2 9 9
£ + Щ±. 56.35. а) ^, ^; б) кп, § + ^. 56.36. а) +| + ли; б) +£ + кп.
О О О ^ о Z о О
56.37. а) ^ 4- 2кп, к + 2лп; б) ~ + (-1)" arcsin ^ + кп. 56.38. а) 1,
log2 5; 6) 1, 3 log3 2; в) 3, log3 0,12; г) 1, log5 4. 56.39. а) -3; (-1)" | + ли
(neZ,n> 0); б) 8, 120, -| + | (п € Z, n > 6). 56.40. а) 2; 6) 3. 56.41. а) 1;
б) 7. 56.42. а) 2; 6) -2.
§57
57.4. а) Нет решений; б) 8 < х < 11. 57.5. а) х > 3; 6) -1 < х < 8.
57.6. а) х < -5; - < х < 1; б) х < --; - < х < 7. 57.7. а) -3 < х < -2;
о I Z
-2 < х < 4; б) -5 < х < -2; 3,5 <х<4;4<х<5. 57.8. а) -оо < х < +оо;
б) -1 < х < 0; х > 3. 57.9. а) х>~4; б) х < 3; х > 3. 57.10. а) х > 1;
о
б) х > 3. 57.11. а) 2,5 < х < 3; б) нет решений. 57.12. а) х > 2,25;
б) -^ + 2кп < х < Щ + 27Ш. 57.13. а) х < 1; х > 7; б) х = 1.
57.14. а) х > 4; 6) х > -2; 57.15. а) 0 < х < 5; г) х > 49. 57.16. а) х > 1;
б) х < 0. 57.17. а) х < 1; 6) х < 1. 57.18. а) х > 64; 6) 210 < х < 220.
57.19. а) 0<х<1; б) x<log50,l. 57.20. а) 8 < х < 16; 6) 0 < х < -£=;
х > 4-- 57.21. а) 1<х<1,25; х > 1,5; б) 0,1 < х < 1.
^/З
57.22. а) 5 + 2тт < х < -^ + 2тт; б) х = 2тт. 57.23. а) х > 2; б) х > 0;
о о
в) х < 2; г) нет решений. 57.24. а) 0 < х < 4; 6) нет решений; в) х > 4;
г) х > 0. 57.25. а) -оо < х < +оо ; б) х = ~; в) х = 0; г) -оо < х < +оо.
57.26. а) х > -1,5; б) х < |. 57.27. а) 0 < х < 9; б) 0 < х < 4.
о
57.28. а) -2 < х < -1; х > 2; 6) х > 3, х = -4. 57.29. а) | < х < log2 3;
о
б) 0 <х < |; х > ^/3. 57.30. а) х > 1; б) -1 < х < 5; в) х < -8, х > 4;
О О
г) -7 < х < 0. 57.31. а) 0 < х < |; | < х < 2; б) -4 < х < -л, -л < х < 0.
57.32. а) |; б) 0, ±2л. 57.33. а) -2 < х < 1, 1 < х < 4; б) х < -4, х > 3.
235

§58
58.11. а) х = 7 - 2ft, у = ft, где ft € Z; б) х = ft, у = 17 - 5ft, где k € Z.
58.12. a) x = 1 - 2ft, у = Ik - 3, где k € Z; 6) x = 12ft - 5, у = 7ft - 3, где ft € Z;
58.13. a) (4; 1), (-4; -1), (-1; -1), (1; 1); 6) (5; -1), (3; 1), (-5; 1), (-3; -1).
58.23. a) 3,2; 6) 144. 58.24. a) |; б) ^; в) |; г) ^.
§59
59.1. a) (1; 2), (1,5; 1,5); 6) (2; 3), (3; 2); в) (-1; -2); г) (З; -1); (9; -4).
59.2. a) (0; -1); 6) (I; ±\ 59.3. a) (-1; 2); 6) (4; 1); в) (1; 1), (1; -1);
г) (8; 1). 59.4. a) (|; o\ 6) (n + 2nk; ± J + Ttftj; B) (§; §);
!)*§ + T: 12 + t} 59-5> a) (2; 1); 6)(1; ~2)- 59'6- a) (3: 2); 6) (8; 2)-
59.7. a) (2; 6), (-2; 10); 6) (5; 3), (3; 1). 59.8. a) 2; 6) 3; в) 7; г) 1. 59.9. a) (1; 2),
(2; 1); 6) (2; -4), (4; 0). 59.10. a) (-1; 1); 6) (1; 1). 59.11. a) (1; 1), (1,4; 0,2);
6) (2; 1); 59.12. a) №■ + n(n + ft); -| + n(n - k)\ 6) (2; 1); (-2; 1); (2; -1),
(-2; -1). 59.13. a) (a; 3a), где a > 0; 6) (|; |). 59.14. a) (3; 0); 6) (2; -1).
59.15. a) (2; 2); (-2; -2); 6) (7; -1), (-1; -3). 59.16. a) (4; 4), (3; 2); 6) (1; 2).
59.17. a) (8; 27), (27; 8); 6) (16; 1). 59.18. a) (3; 1), (2; 1,5); 6) (-4; 0),
(~; ~\ 59.19. a) (1; 4); Ш; Щ; 6) (4; 1). 59.20.a)(2; 3), (3; 2);
б) (42; 39). 59.21. a) [(-iff + *ft; ±4^ + &*1, [(-1)*+1| + nk; +| + 2*ftl;
6)f| + lift; ±| + 2itft j, f+| + 2jtft; | + Jtftl. 59.22. a) (2; -1; 1); 6) (-1; 2; 0).
59.23. a) (1; -2; -1), (-3; 2; -5); 6) (2; 0; -1), (-Щ; ||; ^].
59.24. а) у = 2x2 - bx + 1; б) у = Зх2 - 2x + 1. 59.25. a) 143. 59.26. 3, 9, 27.
59.27. 4.
§60
60.1. a) m * 1; б) таких значений т нет; в) т = 1. 60.2. a) b * +1; 6) b = -1;
в) b = 1. 60.3. a) x = -, если а Ф ±2; x — любое действительное число,
a + Z
если а = 2; нет корней, если а = -2; б) х = а, если а * -1, 0; х — любое
236

действительное число, если а = -1; нет корней, если а = 0. 60.4. а) х > т + 1,
если т > 1; х < m + 1, если m < 1; -оо < х < +оо, если m = 1; б) х > т—т»
0 + 1
если 6 < -1, Ь > 1; х < -—т, если -1 < Ь < 1; -оо < х < +оо, если 6 = -1;
нет решений, если 6=1. 60.5. а) х > + , если 6 > 1, Ъ < 0; jc < Ь + 2,
если 0 < 6 < 1; -оо < jc < +оо, если 6 = 0, 6 = 1; б) х < а, если а > 0, а < -1;
jc > а, если -1 < а < 0; -оо < jc < +оо, если а = -1; нет решений, если а = 0.
60.6. а) а < 0; 0 < а < 1; а > 4; б) а = 0, 1, 4; в) 1 < а < 4. 60.7. а) -9;
б) 4. 60.8. а) Ъ > 1; б) 6 > 3. 60.9. а) а > -7; б) а > -5. 60.10. a) a > 4;
б) а < -1. 60.11. а) а < -4; б) а > 20. 60.12. а) х > 2, если а < 2; jc > а или
jc = 2, если а > 2; б) а < jc < 6, если а < 6; нет решений, если а > 6.
60.13. а) 1; б) 2. 60.14. а) а < -|; б) -^ < а < ^ 60.15. а) а= 1; а = -^;
5 4 4 ^/3
б) а > V2. 60.16. а) а < 3, а > 27; б) а > -1. 60.17. а) а = ^, а < 1;

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие для учителя 3
глава 1. Числовые функции
§ 1. Определение числовой функции и способы ее задания 5
§ 2. Свойства функций 7
§ 3. Обратная функция 9
глава 2. Тригонометрические функции
§ 4. Числовая окружность 10
§ 5. Числовая окружность на координатной плоскости 12
§ 6. Синус и косинус. Тангенс и котангенс 13
§ 7. Тригонометрические функции числового аргумента 18
§ 8. Тригонометрические функции углового аргумента 21
§ 9. Формулы приведения 23
§ 10. Функция у = sin х, ее свойства и график 25
§ 11. Функция у = cos х, ее свойства и график 28
§ 12. Периодичность функций у = sin х, у = cos x 30
§ 13. Преобразование графиков тригонометрических функций 31
§ 14. Функции у = tg х, у = ctg jc, их свойства и графики 36
глава з. Тригонометрические уравнения
§ 15. Арккосинус. Решение уравнения cos t = а 38
§ 16. Арксинус. Решение уравнения sin t = a 41
§ 17. Арктангенс и арккотангенс.
Решение уравнений tg х = a, ctg х = а 44
§ 18. Тригонометрические уравнения 45
глава 4. Преобразование тригонометрических выражений
§ 19. Синус и косинус суммы и разности аргументов 51
§ 20. Тангенс суммы и разности аргументов 55
§ 21. Формулы двойного аргумента 57
§ 22. Преобразование сумм тригонометрических функций
в произведения 62
§ 23. Преобразование произведений тригонометрических
функций в суммы 65
глава 5. производная
§ 24. Предел последовательности 67
§ 25. Сумма бесконечной геометрической прогрессии 70
§ 26. Предел функции 72
§ 27. Определение производной 78
§ 28. Вычисление производных 82
§ 29. Уравнение касательной к графику функции 89
§ 30. Применение производной для исследования функций
на монотонность и экстремумы 93
238

§ 31. Построение графиков функций 101
§ 32. Применение производной для нахождения
наибольших и наименьших значений величин 103
глава 6. Степени и корни. Степенные функции
§ 33. Понятие корня п-й степени из действительного числа 108
§ 34. Функции у = \]х, их свойства и графики 110
§ 35. Свойства корня п-й степени 112
§ 36. Преобразование выражений, содержащих радикалы 115
§ 37. Обобщение понятия о показателе степени 119
§ 38. Степенные функции, их свойства и графики 123
ГЛАВА 7. показательная и логарифмическая функции
§ 39. Показательная функция, ее свойства и график 129
§ 40. Показательные уравнения и неравенства 134
§ 41. Понятие логарифма 141
§ 42. Функция у = loga х, ее свойства и график 143
§ 43. Свойства логарифмов 146
§ 44. Логарифмические уравнения 150
§ 45. Логарифмические неравенства 154
§ 46. Переход к новому основанию логарифма 157
§ 47. Дифференцирование показательной
и логарифмической функций 158
глава 8. первообразная и интеграл
§ 48. Первообразная 162
§ 49. Определенный интеграл 165
глава 9. Элементы математической статистики,
комбинаторики и теории вероятностей
Статистическая обработка данных 171
Простейшие вероятностные задачи 175
Сочетания и размещения 177
Формула бинома Ньютона 181
Случайные события и их вероятности 181
глава ю. Уравнения и неравенства.
Системы уравнений и неравенств
Равносильность уравнений 187
Общие методы решения уравнений 188
Решение неравенств с одной переменной 192
Уравнения и неравенства с двумя переменными 195
Системы уравнений 198
Задачи с параметрами 202
Ответы 205
239
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.

Учебное издание
Мордкович Александр Григорьевич,
Денищева Лариса Олеговна,
Корешкова Татьяна Александровна и др.
АЛГЕБРА
И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
10—11 классы
В двух частях
Часть 2
ЗАДАЧНИК
для учащихся общеобразовательных учреждений
(базовый уровень)
Генеральный директор издательства М. И. Безвиконная
Главный редактор К, И. Куровский
Редактор С. В. Бахтина
Оформление и художественное редактирование: Т. С. Богданова
Технический редактор И. Л. Ткаченко
Корректоры Л. В. Аввакумова, Л. А. Ключникова
Компьютерная верстка: А. А. Горкин
Санитарно-эпидемиологическое заключение
№ 77.99.60.953.Д.003577.04.09 от 06.04.2009.
Подписано в печать 15.06.09. Формат 60х90У16. Бумага офсетная № 1.
Гарнитура «Школьная». Печать офсетная. Усл. печ. л. 15,0.
Доп. тираж 100 000 экз. Заказ № 23141 (K-Sm).
Издательство «Мнемозина». 105043, Москва, ул. 6-я Парковая, 29 6.
Тел.: 8 (499) 367 5418, 367 5627, 367 6781; факс: 8 (499) 165 9218.
E-mail: ioc@mnemozina.ru www.mnemozina.ru
Магазин «Мнемозина»
(розничная и мелкооптовая продажа книг, «КНИГА — ПОЧТОЙ»).
105043, Москва, ул. 6-я Парковая, 29 б.
Тел./факс: 8 (495) 783 8284; тел.: 8 (495) 783 8285.
E-mail: magazin@mnemozina.ru
Торговый дом «Мнемозина» (оптовая продажа книг).
Тел./факс: 8 (495) 665 6031 (многоканальный). E-mail: td@mnemozina.ru
Отпечатано в ОАО «Смоленский полиграфический комбинат».
214020, г. Смоленск, ул. Смольянинова, 1.

Формулы дифференцирования
С'
' = ех
(е*)' = е
(xr)' = гхг~г (loga x)1 = ——
7 v & ' xlna
(sin х)' = cos jc (tg jc) ' =
COS2JC
1
(cos x)1 = —sin д: (ctg x)1 = — Z|
Правила дифференцирования
(и + vy = и' + v' (feu)1 = feu1 I
1 -i/',> +1/,,' (u\ u'v-uv1 I
Vu/ i;2
(/(feA: + m))1 = fe/'(fe^ + m)
log Ь =rlog Ь