22
3. СВЧ-цепи на отрезках линий передачи
Методика анализа и синтеза, описанная для линии со
стандартной и нестандартной геометрией, будет использована
при расчете и синтезе ряда широко применяемых элементов
цепей. Подобные анализ и синтез существенно облегчаются при
использовании вычислительных программ.
Устройства, описываемые в данном разделе, можно
рассматривать как некоторые базовые элементы, широко
применяемые в радиоэлектронной аппаратуре диапазона СВЧ.
Точный расчет таких элементов часто весьма труден, особенно
на высоких частотах, когда нельзя пренебречь влиянием
неоднородностей и излучением. Используются приближенные
алгоритмы расчета. Однако, опираясь на них можно получить
достаточно хорошее первое приближение для проектируемой
цепи с необходимыми параметрами.
3.1 . Проектирование ФНЧ на сосредоточенных элементах
Проектирование фильтрующих цепей на основе линий
передачи, как правило, начинают с рассмотрения фильтра,
состоящего из сосредоточенных пассивных элемен тов.
Выбранный
соответствующим
образом
фильтр
на
сосредоточенных элементах обычно синтезируется с помощью
таблиц. Электрические характеристики такого фильтра на
сосредоточенных элементах, значение которых определены по
таблицам, примерно совпадают с заданными при синтезе.
Далее по найденным значениям сосредоточенных
элементов
определяются
значения
элементов
с
распределенными параметрами. Необходимые для этого
преобразования рассмотрим ниже. В данном разделе основное
внимание уделено простым вычислительным программам,
освобождающим разработчика от обращения к таблицам.
Рассматриваются фильтры нижних частот (ФНЧ) с двумя
различными частотными характеристиками. Будет показано, как
синтезированный прототип фильтра нижних частот с помощью
несложных преобразований превратить в прототип фильтра
верхних частот или полосового фильтра.

23
Фильтр нижних частот представляет собой частотно-
избирательную цепь с полосой пропускания от нулевой частоты
до некоторой частоты среза ωcp. Амплитудно-частотную
характеристику (АЧХ) идеального ФНЧ (рис. 3.1, а),
реализовать на практике невозможно из-за бесконечно большой
крутизны характеристики на частоте ωcp, но приблизиться к
которой можно различными способами. Один из них
заключается в аппроксимации АЧХ передаточной функцией,
впервые предложенной Баттервортом [1] и описывающей
зависимость коэффициента передачи от частоты:

n
G
2
1
1




, n=1,2,3,...
(3.1)
Фильтры с частотной характеристикой, соответствующей
(3.1), получили название фильтров с характеристикой
Баттерворта, или с максимально плоской характеристикой,
поскольку на частотах, много меньших частоты среза,
коэффициент передачи таких фильтров практически не зависит
от частоты.
Другой хорошо известный способ аппроксимации состоит в
описании АЧХ фильтра следующей передаточной функцией:






2
1
1
n
C
G
, n=1,2,3,...,
(3.2)
где ε – константа; Сn(ω) – полиномы Чебышева первог о рода
порядка n, описываемые выражениями















.
1
,
ch
ar
ch
,
1
0
,
cos
arc
cos
n
n
Сn
(3.3)
Из 3.3 следует
С0(ω)= 1, C1(ω)=ω.

24

G
Рис. 3.1. Идеальная ( а),
максимально плоская (б),
Чебышевская
(в) АЧХ
фильтра нижних частот
Полином Чебышева вычисляют обычно не по формуле (3.3),
а с помощью рекуррентного соотношения, для записи которого
удобно ввести обозначение θ= ar cos ω при 0 ≤ ω ≤ 1.
Тогда
Сn(ω) = cos (nθ),
Cn+1(ω) = cos[(n + l)θ] = cos(nθ)cosθ - sin(nθ) sinθ,
Cn 1(ω)) = cos[(n - 1)θ] = cos(nθ)cosθ + sin(nθ) sinθ.
Складывая два последних равенства, получаем искомое
рекуррентное соотношение
Сn+1 (ω) + Cn 1(ω) = 2cos(nθ)cosθ = 2ωСn (ω),
откуда следует
С2(ω) = 2ωC1(ω) - С0(ω) = 2ω
2
-
1.
Именно так составлена таблица полиномов Чебышева
первого рода (табл. 3.1).
в
Gr
ср
0

25
Таблица 3.1
Полиномы Чебышева 1-го рода
Порядок n
Полином Cn()
0
1
1

2
2
2
-
1
3
4
3
-
3
4
8
4
-
8
2
+1
5
16
5
-
20
3
+5
6
32
6
-
48
4
+18
2
-1
В полосе
пропускания
характеристика
типичной
чебышевской АЧХ фильтра нижних частот (см. рис. 3.1, в) носит
осциллирующий
характер
с
неизменной
амплитудой
осцилляции. Поэтому такие фильтры иногда называют
фильтрами с постоянной амплитудой осцилляции. Амплитуда
осцилляции в полосе пропускания связана с крутизной
характеристики на частотах выше ωср: если при неизменном
числе звеньев фильтра увеличивать крутизну характеристики в
полосе заграждения, то одновременно возрастает амплитуда
осцилляции. Лишь изменяя число звеньев в фильтре, можно
изменять крутизну характеристики при неизменной амплитуде
осцилляции. По сравнению с фильтрами нижних частот
Баттерворта аналогичные чебышевские фильтры имеют явное
преимущество в полосе заграждения: при одинаковом числе
реактивных элементов последние позволяют получить большую
крутизну характеристики, чем первые.
Увеличение числа реактивных элементов приводит к
увеличению нелинейности фазочастотных характеристик (ФЧХ)
фильтров этих типов. По сравнению с ФЧХ соответствующего
чебышевского фильтра ФЧХ фильтра Баттерворта обладает
большей линейностью. В случае, когда начинают доминировать
требования
к
линейности
фазовой
характеристики
проектируемого фильтра, преимущества чебышевского фильтра
могут оказаться не столь существенными из-за недопустимой
нелинейности его ФЧХ. Если линейность ФЧХ фильтра -
главное требование, то предпочтение отдают фильтрам Бесселя,

26
имеющим весьма линейную ФЧХ в полосе пропускания по
сравнению с фильтрами Баттерворта и Чебышева, но гораздо
худшую АЧХ. Фильтры Бесселя
используются
в
фазовращателях и схемах, где требуется обеспечить заданную
временную задержку проходящего сигнала [1]. Мы не
рассматриваем проектирование фильтров Бесселя. Однако
методика расчета фильтров Чебышева и Баттерворта может
быть распространена и на эти фильтры.
Логарифмируя (3.1) и (3.2), получаем формулы для расчета
вносимого фильтром затухания, выраженного в децибелах. Для
фильтра с максимально плоской характеристикой :



n
n
L
2
ср
2
ср
1
lg
10
1
1
lg
20














.
(3.4)
Для фильтра с чебышевской характеристикой:

 









ср
2
1
1
lg
20
n
C
L
,
(3.5)
т.е.при0≤ω≤ωcp:





ср
2
cos
arc
cos
1
lg
10






n
L
,
априω>ωcp:





ср
2
ch
arc
ch
1
lg
10






n
L
,
ε = 10 (ампл. осц. в дБ)/10
-1.
В этих выражениях все частоты нормированы к частоте
среза ωcp.
Обычно при синтезе необходимо по заданному значению
затухания L(ω) на определенной частоте ωcp в полосе
заграждения определять число звеньев в фильтре. Для решения
этой задачи выразим n из (3.4) и (3.5) в явном виде:
для фильтра Баттерворта:


 ср
10
lg
2
1
10
lg





L
n
;
(3.6)
для фильтра Чебышева:


 ср
10
10
ch
ar
1
10
1
10
ch
ar






r
G
L
n
,
(3.7)
где Gr – амплитуда осцилляции в полосе пропускания, дБ. При
вычислениях по (3.7) удобно использовать тождество

27








1
ln
ch
ar
2
x
x
x
.
Рис. 3.2. Затухание, вносимое чебышевским фильтром при амплитуде
осцилляции 2 дБ
Фильтр, как правило, располагается между генератором с
известным внутренним сопротивлением и заданной нагрузкой
(рис. 3.3), причем в большинстве случаев можно считать
внутреннее сопротивление генератора и сопротивление
нагрузки чисто активными. Такое представление весьма удобно,
поскольку во многих работах, посвященных анализу и синтезу
электрических цепей, схемы именно такого типа рассмотрены
наиболее подробно (рис. 3.4). В схеме одного из подобных
фильтров, где использованы общепринятые обозначения,
параметры g связаны с корнями передаточной функции и n-
звенного фильтра. При синтезе фильтра с заданной АЧХ
параметры его элементов вычисляются через значения g.
Фильтр состоит из нескольких Т-образных цепей,
образованных индуктивностями и емкостями. Можно построить
аналогичную схему, дуальную к первой, состоящую из П-
образных цепей, причем в этом случае g1 будет емкостью
-20
-40
-60
-80
-10 0
0,2 0,3 0,4 0,5 1
2
345 10
7
n=1
n=1
75
5
7
З
а
т
у
х
а
н
и
е
,
д
Б
В полосе пропускания
амплитуда осцилляций 2 дБ
Нормированная частота

28
параллельно включенного конденсатора, a g2 – индуктивностью
в последовательной цепи. Если g1 и gn – емкости, то g0 и gn+1 –
соответственно активные сопротивления генератора и нагрузки,
если же g1 и gn – индуктивности, то g0 и gn+1 – активные
проводимости генератора и нагрузки. Существуют простые
формулы для расчета g-параметров при синтезе фильтра на
сосредоточенных элементах [2]. Хотя формулы достаточно
просты, их использование трудоемко. Поэтому в большинстве
случаев разработчики, игнорируя эти формулы, пользуются
таблицами, составленными по результатам численных расчетов.
Для фильтра Баттерворта g-параметры определяются по
следующим формулам:
ωcp=1,g0=gn+1=1,







n
k
gk
2
1
2
sin
2
, k=1,2,3,...n,
где аргумент синуса выражен в радианах.
Значения g распределены симметрично относительно
середины фильтра, что выполняется как при четных, так и при
нечетных значениях n. Поэтому включение такого фильтра
между равными
сопротивлениями
не
приведет
к
рассогласованию.
Рис. 3.3. Представление фильтра в виде четырехполюсника
Рис. 3.4. Фильтр нижних частот, нагруженный с обеих сторон

29
Для чебышевского фильтра, имеющего амплитуду
осцилляции Gr, дБ, в полосе пропускания, g-параметры
вычисляются по следующим формулам:
ωcp=1,g0=1;ωcp=1,g1=2a1/ψ;
1
1
1
4




k
k
k
k
k
g
b
a
a
g
; k = 2,3,...n;






,
четном
при
4
cth
;
нечетном
при
1
2
1
n
n
gn
где


17,37
cth
ln
r
G


;

 n2
sh


;

n
k
ak
2
1
2
sin



;
n
k
bk




2
2
sin
.
При нечетном n значение g распределено симметрично
относительно середины фильтра, тогда как при четном n
симметрия нарушается. Эта особенность фильтра может
оказаться полезной, когда необходимо согласовывать неравные
сопротивления.
Пример 3.1. Рассчитать трехзвенный ФНЧ с максимально
плоской характеристикой, подключенный к генератору с
внутренним сопротивлением 50 Ом и нагруженный на 50-омное
сопротивление. Частота среза фильтра 10 МГц.
Решение
Начнем с расчета параметров фильтра с характеристикой
Баттерворта, нормированных к 50 Ом и при ωср = 1, т. е. g -
параметров:
n=3,g0=1,g4=1;
1
6
1
2
sin
2
1




g
;
2
6
1
4
sin
2
2




g
;
1
6
1
6
sin
2
3




g
.
Теперь необходимо перейти к ненормированным значениям.
Пусть эквивалентная схема фильтра имеет вид, показанный на
рис. 3.5. Конкретные значения элементов в схеме фильтра
рассчитываем через g-параметры, учитывая, что ωср =
= 2107рад/с и Rн = 50Ом:
R0= Rнg0= 50·1 =50Ом;С1= g1/(Rнωср)=318пФ;

30
L1= g1Rн/ωср=1590нГн;С2= g3/(Rнωср)=318пФ.
Обратите внимание на порядок расчета значений элементов
схемы с помощью g-параметров и на то, что значения элементов
схемы симметричны относительно индуктивности фильтра.
Сформулируем
правила,
с
помощью
которых
проводится
пересчет нормированных
значений параметров (g-
параметров) в конкретные
значения
элементов
фильтра:
1) пересчет
при
заданной частоте среза
Рис. 3.5. Схема фильтра к примеру 3.1
заключается в делении
каждого нормированного значения g, относящегося к
конденсатору
или
индуктивности,
на
заданную
ненормированную угловую частоту среза, рад/с; активные
сопротивления в данной операции не участвуют;
2) пересчет по заданному значению сопротивления
нагрузки Rн заключается в умножении всех g, относящихся к
активным сопротивлениям и индуктивностям, на Rн и делении
всех g, относящихся к емкостям, на Rн.
3.2 . Проектирование ФВЧ на сосредоточенных элементах
Результаты расчета нормированных параметров (g-
параметров) фильтра-прототипа нижних частот можно
использовать для получения соответствующих значений эле-
ментов фильтра верхних частот (ФВЧ).
Начнем с частотного преобразования, переводящего
частотную характеристику фильтра-прототипа нижних частот в
соответствующую характеристику фильтра верхних частот.
Преобразо-
вание

G
0
1

G
0
ср

31
Рис. 3.6. Частотное преобразование, переводящее характеристику фильтра
нижних частот в характеристику фильтра верхних частот
Как видно
на
рис.
3.6,
при
преобразовании
идеализированных характеристик необходимо выполнить два
условия:
1) частота ω
1
= 0 должна перейти в частоту ω = ∞;
2) частота ω
1
= 1 должна перейти в ω = ωcp.
В математической форме такое преобразование имеет вид
ω
1
= -ωcp/ω.
Отметим, что форма АЧХ при указанном преобразовании не
меняется.
Чтобы реализовать ФВЧ, воспользуемся схемой фильтра-
прототипа нижних частот (см. рис. 3.5), где заменим
индуктивные элементы на емкостные, а емкостные – на
индуктивные.
Так, нормированная индуктивность gФHЧ преобразуется в
нормированную емкость:
СФBЧ = 1/(ωcp gФHЧ),
а нормированная емкость gФHЧ преобразуется в нормированную
индуктивность:
LФBЧ = 1/ (ωcp gФHЧ).
Значения активных сопротивлений не изменяются при
указанном преобразовании. Поэтому для завершения расчета
ФВЧ следует полученные значения параметров пересчитать с
учетом заданного значения Rн; для этого все индуктивности и
активные сопротивления умножаются на Rн, а все емкости
делятся на Rн (см. пример 3.1).
3.3. Переход от фильтра прототипа нижних частот
к полосовому фильтру
Переход от ФНЧ к полосовому фильтру (ПФ) основан на
преобразовании идеализированных АЧХ (рис. 3.7). В данном
случае необходимо выполнить следующие преобразования:
частота ω
1
= 1 должна перейти в частоту ωв , частота ω
1
=0–в
частоту ω0, частота ω
1
= -1 –вчастотуωн.

32
Требуемое преобразование описывается равенством
н
в
2
0
2
'









.
Центральная частота ПФ находится как среднее
геометрическое значений ωв и ωн:
н
в
0




.
Отметим, что нагруженная добротность ПФ, граничные
частоты ωв и ωн полосы пропускания которого определяются по
уровню 3 дБ, рассчитывается по простой формуле
н
в
в





Q
.
Рис. 3.7. Частотное преобразование, переводящее характеристику фильтра
нижних частот (а) в характеристику полосового фильтра с шириной полосы
пропускания ωв – ωн (б)
Формулы, применяемые при частотном преобразовании,
приведены в табл. 3.2.

G

G

33
Таблица 3.2
Преобразования элементов фильтров
Амплитуда и фаза сигнала на входе и выходе фильтра
различны. Изменение амплитуды обсуждалось ранее. Сигнал на
выходе фильтра запаздывает по фазе, поскольку для его
прохождения через фильтр необходимо определенное конечное
время. Поэтому влияние фильтра на фазу проходящего сигнала
можно оценивать как временем зaдepжки, так и вносимым
фазовым сдвигом. В монографии Вайнберга [1] предложена
методика расчета времени задержки и фазового сдвига сигналов,
проходящих через n-звенные фильтры с максимально плоской и
чебышевской характеристиками.
L
ср
1

C
ср
1

н
в



L
L2
0
н
в




C2
0
н
в




н
в



C