OPTICAL SOLITONS
From Fibers to Photonic Crystals
Yuri S. Kivshar
Research School of Physical Sciences and Engineering
Australian National University
Canberra, Australia
Govind P. Agrawal
The Institute of Optics
University of Rochester
Rochester, New York, USA
®
ACADEMIC PRESS
2003

Ю.С. Кившарь, Г. П. Агравал
Оптические
солитоны
От световодов
к фотонным кристаллам
Перевод с английского под редакцией
профессора Н.Н. Розанова
МОСКВА
ФИЗМАТЛИТ
2005

УДК 538.9
ББК 22.37
К 38
Кившарь Ю. С, Агравал Г. П. Оптические солитоны. От
волоконных световодов до фотонных кристаллов / Пер. с англ. под ред.
Н.Н. Розанова. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 648 с. - ISBN 5-9221-0584-1.
В книге известных специалистов по нелинейной оптике Ю.С. Кившаря
и Г. П. Агравала систематически изложены результаты теоретических и
экспериментальных исследований различных типов оптических и родственных им
солитонов, а также их информационных приложений. Её материал в
значительной мере основан на оригинальных работах авторов и их коллег. Особенностью
книги служит сочетание энциклопедического, учебного и монографического
стилей изложения материала, что делает её полезной не только для
специалистов по оптике, но и для широкого круга инженеров, аспирантов и студентов
старших курсов.
ISBN 5-9221-0584-1 (русск.) @ Academic Press, 2003
ISBN 00-12-410590-4 (англ.) © ФИЗМАТЛИТ, 2005 (русск.)

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора русского перевода 9
Предисловие 11
Глава 1. Введение 14
1.1. Историческая справка 14
1.2. Пространственные оптические солитоны 17
1.3. Временные оптические солитоны 25
1.4. Решения нелинейного уравнения Шрёдингера 30
1.5. Солитоны некерровских сред 37
1.6. Содержание книги 42
Список литературы 45
Глава 2. Пространственные солитоны 49
2.1. Аналитические решения 49
2.2. Устойчивость солитона и внутренние моды 52
2.3. Критерий устойчивости 57
2.4. Вложенные солитоны 63
2.5. Столкновения солитонов 67
2.6. Бризеры и связанные состояния солитонов 75
2.7. Экспериментальные результаты 78
Список литературы 82
Глава 3. Временные солитоны 86
3.1. Волоконнооптические солитоны 86
3.2. Оптические линии связи на основе солитонов 90
3.3. Солитоны с управляемыми потерями 94
3.4. Солитоны с управляемой дисперсией 102
3.5. Возмущения солитонов 112
3.6. Эффекты высших порядков 116
Список литературы 127
Глава 4. Тёмные солитоны 133
4.1. Керровская среда 133
4.2. Некерровские среды 137

6 Оглавление
4.3. Динамика, вызванная неустойчивостью 143
4.4. Теория возмущений 153
4.5. Временные тёмные солитоны 158
4.6. Экспериментальные результаты 165
Список литературы 177
Глава 5. Брэгговские солитоны 183
5.1. Основные понятия 183
5.2. Фотонная запрещённая зона 185
5.3. Модуляционная неустойчивость 193
5.4. Нелинейное распространение импульса 199
5.5. Нелинейное переключение 207
Список литературы 213
Глава 6. Двумерные солитоны 218
6.1. Поперечная неустойчивость солитонов 218
6.2. Пространственные солитоны в сплошной среде 225
6.3. Экспериментальные результаты 233
6.4. Взаимодействие солитонов и спиральное движение 239
6.5. Солитоны с моментом импульса 246
Список литературы 253
Глава 7. Пространственно-временные солитоны 258
7.1. Пространственно-временная модуляционная неустойчивость 258
7.2. Оптические пули и их устойчивость 262
7.3. Режим нормальной дисперсии 270
7.4. Механизмы подавления коллапса 276
7.5. Эффекты высших порядков 282
7.6. Экспериментальные результаты 292
Список литературы 298
Глава 8. Вихревые солитоны 302
8.1. Введение 302
8.2. Поперечная неустойчивость 304
8.3. Свойства вихревых солитонов 309
8.4. Эффект Ааронова-Бома для вихрей 321
8.5. Решётки вихрей 324
8.6. Кольцевые тёмные солитоны . 328
Список литературы 331

Оглавление 7
Глава 9. Векторные солитоны 335
9.1. Некогерентно связанные солитоны 336
9.2. Многокомпонентные векторные солитоны 343
9.3. Устойчивость векторных солитонов 348
9.4. Когерентно связанные солитоны 355
9.5. Многогорбые векторные солитоны 368
9.6. Двумерные векторные солитоны 374
9.7. Поперечная модуляционная неустойчивость 391
9.8. Тёмные векторные солитоны 394
Список литературы 401
Глава 10. Параметрические солитоны 408
10.1. Параметрические взаимодействия 408
10.2. Волноводная геометрия 411
10.3. Квадратичные солитоны в сплошной среде 426
10.4. Многочастотные параметрические солитоны 437
10.5. Квазисинхронное взаимодействие 442
10.6. Родственные вопросы 449
Список литературы 455
Глава 11. Дискретные солитоны 462
11.1. Дискретное нелинейное уравнение Шрёдингера 462
11.2. Общая теория 467
11.3. Модуляционная неустойчивость 475
11.4. Светлые и тёмные солитоны 479
11.5. Экспериментальные результаты 489
11.6. Родственные вопросы 499
Список литературы 503
Глава 12. Солитоны в фотонных кристаллах 507
12.1. Линейные характеристики 507
12.2. Эффективные дискретные модели 512
12.3. Солитоны запрещённой зоны 516
12.4. Двумерные фотонные кристаллы 523
12.5. Дальнейшие перспективы 527
Список литературы 529
Глава 13. Некогерентные солитоны 533
13.1. Исторический обзор 533
13.2. Теоретические методы 536
13.3. Светлые некогерентные солитоны 543

8 Оглавление
13.4. Тёмные и вихревые солитоны 553
Список литературы 560
Глава 14. Родственные вопросы 564
14.1. Самофокусировка и солитоны в жидких кристаллах 564
14.2. Самозаписанные волноводы 573
14.3. Диссипативные и резонаторные солитоны 583
14.4. Магнитные солитоны 602
14.5. Бозе-эйнштейновский конденсат 610
Список литературы 625
Предметный указатель 632

Предисловие редактора русского перевода
Вслед за предсказанием в 1962 г. Г. А. Аскарьяном возможности
подавления дифракционного расплывания пучков лазерного излучения
в среде с самофокусировочной нелинейностью — первый пример
оптического солитона — оптические солитоны превратились в одно из
важнейших направлений нелинейной оптики и лазерной физики и
техники. Это направление развивалось многочисленными исследователями
во всём мире; в России здесь необходимо выделить разработку теории
солитонов В. Е. Захаровым с сотрудниками, развитие нелинейной
волоконной оптики Е. М. Диановым, А. М. Прохоровым и их сотрудниками,
а также исследования по солитонам в средах с квадратичной
оптической нелинейностью и по диссипативным оптическим солитонам.
Своевременность выхода предлагаемой книги подчёркивается запуском
в 2002 г. в Австралии первой коммерческой линии волоконнооптиче-
ской связи на основе солитонов.
Авторы данной книги успешно сочетают активные теоретические
и экспериментальные исследования на переднем крае науки об
оптических солитонах с педагогической и издательской деятельностью.
В России заслуженной популярностью пользуется переведённая на
русский язык книга одного из авторов (Агравал Г. Нелинейная
волоконная оптика. — М.: Мир, 1996). Несомненным достоинством книги,
предлагаемой вниманию читателя, служит совокупность следующих её
характеристик. Во-первых, это практически энциклопедия по весьма
разнообразным типам оптических и родственных солитонов,
суммирующая теоретические и экспериментальные результаты, а также
основные направления приложений. Во-вторых, это учебник, содержащий
последовательное и ясное изложение предмета, доступное студентам
старших курсов. В-третьих, это монография, которая станет настольной
книгой специалистов, позволив им быстро ознакомиться с
современным состоянием конкретного предмета и найти необходимые ссылки.
Для российского читателя важна также возможность получить в одной
книге информацию, рассеянную по многочисленным и
труднодоступным изданиям. И, наконец, нельзя не упомянуть чрезвычайную
важность и перспективность предмета книги. По нашему мнению, тематика
ряда разделов книги органически связана с интенсивно
проводившимися в 1980-х годах исследованиями по оптической бистабильности
и управлению светом с помощью света, (см. Гиббс X. Оптическая
бистабильность. — М.: Мир, 1988), в том числе направленными на
создание оптических суперкомпьютеров. С появлением новых
оптических сред и технологий, в том числе фотонных кристаллов, такие

10
Предисловие редактора русского перевода
надежды могут стать реальностью, и читатель имеет возможность
способствовать их воплощению в жизнь.
При переводе книги возникли определённые трудности, так как для
многих используемых понятий в российской литературе пока не
сложилась терминология; кроме того, в английском издании содержалось
заметное число опечаток. В преодолении этих трудностей неоценимую
помощь мне оказали авторы и в особенности Ю. С. Кившарь, который
внимательно прочёл перевод и сделал многочисленные уточнения, став
фактически соредактором перевода. Я чрезвычайно благодарен
авторам за такое содействие, а также A.M. Кокушкину за русификацию
рисунков.
При переводе внесены немногочисленные дополнительные ссылки,
помеченные в списке литературы звёздочкой.
Книга написана увлекательно и, несмотря на недавнее издание,
уже приобрела популярность на Западе, о чём свидетельствует её
готовящийся дополнительный тираж. Надеюсь, что русский перевод
будет способствовать возрождению и развитию в России имеющих
стратегическое значение исследований по солитонным технологиям
и новым перспективным методам оптической обработки информации,
в том числе с использованием фотонных кристаллов.
Н.Н. Розанов
Санкт-Петербург, Россия

Нашим родителям и семьям
Предисловие
С тех пор, как в 1965 г. был предложен термин солитон, область
исследований солитонов вообще и оптических солитонов в частности
чрезвычайно расширилась. Основная часть этого развития приходится
на последнее десятилетие, в течение которого были выявлены
многие новые типы оптических солитонов. Список примеров включает не
только пространственные и временное солитоны, описываемые уже
ставшим знаменитым нелинейным уравнением Шрёдингера, но также
многие другие типы солитонов, такие как пространственно-временные
солитоны (часто называемые световыми пулями), брэгговские и
щелевые солитоны в периодически модулированных системах, вихревые
солитоны, связанные с фазовыми сингулярностями в оптике,
параметрические солитоны в нелинейных средах с квадратичной нелинейностью,
дискретные солитоны в связанных волноводах и фотонных кристаллах
и некогерентные солитоны в фоторефрактивных кристаллах. Более
того, вся область оптических солитонов выросла до такой степени, что
уже требует всеобъемлющей книги, которая не только охватывала бы
фундаментальные аспекты, экспериментальные наблюдения и
соответствующие приборные приложения, но и раскрывала связь с другими
родственными направлениями, такими как быстро растущая область
конденсации Бозе-Эйнштейна. В частности, замечательные параллели
между солитонами материи и оптическими солитонами подчёркивают
глубокую связь между классической нелинейной оптикой и
когерентной атомной оптикой и могут вести к многим открытиям в других,
казалось бы отличных направлениях.
Основной целью этой книги служит исчерпывающее изложение
всей области оптических солитонов, так чтобы рассеянные по разным
источникам результаты исследований стали доступными в едином
источнике всем аспирантам, которые хотели бы познакомиться с этой
захватывающей областью. В то же время, эта книга призвана служить
справочником учёным, которые уже вовлечены в изучение оптических
солитонов, и учёным из других областей, связанных с фотонными
кристаллами, бозе-эйнштейновской конденсацией и нелинейными
волнами материи. Мы надеемся, что эта книга сможет выполнить эту
двойную роль, обеспечив также связи с казалось бы совершенно
различными областями нелинейной физики.
Первые четыре основные главы этой книги описывают временное
и пространственные оптические солитоны, как светлые, так и тёмные,
в различных схемах, включая оптические световоды и планарные вол-

12
Предисловие
новоды. Возникающие здесь фундаментальные понятия обобщаются
в следующих главах, охватывая многомерные солитоны и солитоны
в периодических оптических средах, таких как световодные решётки
(брэгговские солитоны), наборы связанных волноводов (дискретные
солитоны) и фотонные кристаллы. Новые свойства обнаруживают
солитоны, несущие угловой момент, такие как вихревые солитоны и
кластеры солитонов. Более того, оптические солитоны могут
формироваться даже частично когерентным излучением, что приводит к новому
понятию некогерентных солитонов. Сравнительно новая область, где
понятие солитонов становится всё более и более важным, связана
с физикой нелинейных фотонных кристаллов, и мы также обсуждаем
самые последние достижения в этой области.
В последней главе книги мы сосредоточили наше внимание на
нескольких направлениях исследований, которые можно связать с
понятием пространственных оптических солитонов, хотя они не всегда
идентифицируются в этом контексте. Эти направления включают
нелинейные эффекты в жидких кристаллах, самозаписанные постоянные
волноводы в фоточувствительных материалах, диссипативные и резо-
наторные солитоны, самофокусировку в тонких магнитных плёнках,
приводящую к магнитным солитонам, и солитоны материи в
конденсатах Бозе-Эйнштейна. Мы включили эти последние направления, хотя
они и не принадлежат области нелинейной оптики, чтобы показать,
что многие понятия, связанные с оптическими солитонами, остаются
общими для всей нелинейной физики.
Мы стремились включить как можно больше последних
результатов, чтобы студенты и исследователи располагали самыми последними
достижениями в этой захватывающей и быстро растущей области.
Список литературы в конце каждой главы более подробен, чем в обычных
учебниках. Цитирование недавних статей представляется полезным
для исследователей в различных областях, использующих эту книгу
как справочник.
В создании материала для этой книги, прямо или косвенно, приняли
участие многие лица. Невозможно указать всех их поимённо. Мы
благодарим наших аспирантов, которые работали с нами в направлениях,
связанных с оптическими солитонами, и помогли нам в развитии этой
формирующейся области нелинейной оптики. Мы благодарны нашим
коллегам и аспирантам Национального университета Австралии и
Института оптики университета Рочестера за многочисленные
обсуждения и полезное сотрудничество и за обеспечение тёплой и
стимулирующей атмосферы.
Многие друзья и коллеги помогли нам, прочтя различные главы
и разделы этой книги и сделав многочисленные полезные советы.
Мы очень благодарны всем им. Хотя список слишком длинен, чтобы
упомянуть всех, мы особенно признательны за чрезвычайно важный
вклад следующим коллегам: Д. Андерсон, Г. Ассанто, Д. Кристодули-
дес, С. Дарманян, В. Ферс, М. Карпиерц, Р. Кусзелевиц, М. Лисак,

Предисловие
13
Л. Луджиато, Т. Монро, Д. Нешев, Е. Островская, Д. Пелиновский,
С. А. Пономаренко, Н. Розанов, И. Шадривов, Д. Скрябин, Г. Стегеман,
А. А. Сухоруков, В. Тараненко, С. Турицын, К. Вайсе и Дж. Янг.
Последнее по порядку, но не по значению. Мы благодарим наши
семьи в Австралии и Соединённых Штатах Америки за понимание,
почему нам потребовалось провести многие выходные дни в работе над
книгой, вместо того, чтобы разделить время с ними.
Юрий С. Кившарь
Канберра, Австралия
ГовиндП. Агравал
Рочестер, штат Нью-Йорк, США

Глава 1
ВВЕДЕНИЕ
Эта глава вводного характера представляет общий обзор оптических
солитонов, причём основное внимание уделяется физическим
принципам и простейшей теоретической модели, основанной на
нелинейном уравнении Шрёдингера (НУШ) и его обобщениях. В разделе 1.1
содержится краткое изложение истории открытия солитонов и
вводятся понятия временных и пространственных солитонов
применительно к нелинейной оптике. Основные физические идеи, связанные
с пространственными и временными солитонами, обсуждаются в
разделах 1.2 и 1.3, соответственно, для простой нелинейности керровского
типа. В разделе 1.4 представлены эффект модуляционной
неустойчивости и основы метода обратной задачи рассеяния; описаны также два
типа солитонов, указанных выше. Более общие модели нелинейности
рассмотрены в разделе 1.5. И, наконец, в разделе 1.6 поясняется
структура дальнейшего изложения материала в этой книге.
1.1. Историческая справка
Уединённые волны, обычно называемые солитонами, служат
объектом интенсивных теоретических и экспериментальных исследований
во многих различных областях науки, включая гидродинамику,
нелинейную оптику, физику плазмы и биологию [1-8]. История
солитонов восходит фактически к 1834 г. О, когда Джеймс Скотт Рассел
обнаружил, что вал воды в канале распространяется без искажений
на протяжении нескольких километров. Его отчёт, опубликованный
в 1844 г., включает следующий текст [9]:
«Я наблюдал за движением баржи, которую быстро
тащила вдоль канала пара лошадей, когда баржа внезапно
остановилась — в отличие от массы воды в канале, которую
баржа привела в движение; вода собралась у носа корабля
в состоянии бурного волнения, затем, внезапно покинув
его, покатилась вперёд с большой скоростью, принимая
О Несколько ранее, в 1831 г., М. Фарадей наблюдал диссипативные соли-
тоны — «кучки» в слое мелкого порошка на колеблющейся платформе [83*];
такие солитоны сейчас называют осциллонами. (Прим. ред.)

/./. Историческая справка
15
форму большого уединённого возвышения, округлого,
гладкого и чётко выраженного вала воды, который продолжал
движение по каналу без заметного изменения формы или
уменьшения скорости. Я последовал за волной верхом на
лошади и догнал её, всё ещё движущуюся со скоростью
восемь или девять миль в час, сохраняющую первоначальную
форму около тридцати футов в длину и от фута до полутора
футов в высоту. Её высота постепенно уменьшалась, и после
преследования на протяжении одной или двух миль я
потерял её в изгибах канала. Так в августе месяце 1834 года
у меня был первый случай наблюдать столь необычное
и прекрасное явление, которое я назвал Волной Переноса».
Позже такие волны были названы уединёнными. Однако, их
свойства не были полностью поняты до введения соответствующих
математических моделей и развития метода обратной задачи рассеяния
в 1960-х годах [10]. Термин солитон был введён в 1965 г., чтобы
отразить частицеподобную природу уединённых волн, которые
сохраняются даже после столкновений [11]. Следует подчеркнуть, что в
физической литературе не всегда делается различие между солитоном
и уединённой волной, и очень часто все уединённые волны называются
солитонами. Мы примем такую же терминологию в этой книге.
В нелинейной оптике солитоны разделяются на временные или
пространственные, в зависимости от того, происходит локализация света
при распространении волны во времени или в пространстве. Временное
солитоны сопоставляются оптическим импульсам, которые сохраняют
свою форму, тогда как пространственные солитоны представляют
самонаправляемые пучки, которые остаются ограниченными в поперечных
направлениях, ортогональных направлению распространения.
Существование обоих типов солитонов вызвано нелинейным (зависящим
от интенсивности света) изменением показателя преломления
оптической среды, что в нелинейной оптике отвечает оптическому эффекту
Керра [12-14]. Зависимость показателя преломления от интенсивности
ведёт к пространственной самофокусировке (или самодефокусировке)
и временной самомодуляции фазы (СМФ) — двум основным
нелинейным эффектам, ответственным за формирование оптических
солитонов. Пространственный солитон формируется, когда самофокусировка
пучка света уравновешивает его обычное дифракционное расплывание.
Напротив, именно СМФ останавливает естественное расплывание
оптического импульса и ведёт к формированию временного солитона [15].
В обоих случаях импульс или пучок распространяется в среде без
изменения формы, что называют его самолокализацией, или самока-
налированием.

16
Гл. 1. Введение
Входной
пучок
Наиболее ранний пример пространственного солитона отвечает
открытию в 1964 г 0. явления самоканалирования пучков непрерывного
излучения в сплошной нелинейной среде [16]. Самоканалирование
не было связано с понятием пространственных солитонов ввиду его
неустойчивого характера. В течение 1980-х годов устойчивые
пространственные солитоны были обнаружены в нелинейных средах, в которых
дифракционное расплывание
ограничивалось одним из поперечных
направлений [17]. На рис. 1.1
представлен пример пространственного
солитона, сформированного
внутри полупроводникового
волновода [18]. При низких мощностях
излучения входной пучок
дифрагирует, но он примерно
сохраняет исходную форму, когда
пиковая мощность выбрана
соответствующей пространственному солитону.
Наиболее ранний пример
временного солитона связан с
открытием явления самоиндуцированной
прозрачности в среде с
резонансной нелинейностью [19] 2). В этом
случае оптический импульс с
некоторой специальной формой и
энергией распространяется в
нелинейной среде без искажений,
несмотря на большое поглощение. Другой
пример временного солитона
найден в 1973 г., когда было
обнаружено, что оптические импульсы
могут распространяться в нелинейном
волоконном световоде с
аномальной дисперсией групповой
скорости (ДГС) без искажений их
формы [20]. Распространение таких солитонов в волоконных световодах
экспериментально наблюдалось в 1980 г. [21]. С тех пор световодные
солитоны нашли практическое приложение при разработке
протяжённых волоконнооптических систем связи [22-25].
Рис. 1.1. Формирование
пространственного солитона в
полупроводниковом планарном волноводе.
Входной пучок (верхний рисунок)
дифрагирует и расширяется при
низких мощностях (средний
рисунок), но сохраняет исходную
форму (нижний рисунок) при
определённом значении входной
мощности [18]
х) Как справедливо отмечают авторы в гл. 2, пространственные оптические
солитоны предсказаны в 1962 г. Г. А. Аскарьяном [84*]. Детальное изложение
теории самофокусировки дано в монографии [85*]. (Прим. ред.)
2) Весьма полное изложение соответствующей теории дано, например, в
монографии [86*]. (Прим. ред.)

1.2. Пространственные оптические солитоны
17
В 1973 г. было обнаружено, что волоконные световоды могут
поддерживать распространение другого типа временных солитонов в
случае «нормальной» ДГС [26]. Такие солитоны проявляются как
провалы интенсивности по отношению к её постоянному (ненулевому)
фону и называются тёмными солитонами. Чтобы чётче различить
эти типы, стандартные солитоны типа импульса называют
светлыми. Временные тёмные солитоны привлекли значительное внимание
в 1980-х гг. [27-30]. Пространственные тёмные солитоны также могут
формироваться в оптических волноводах и в сплошной среде, если
показатель преломления уменьшается при возрастании
интенсивности (самодефокусировочная нелинейность), и они интенсивно
изучались [31-35]. В течение 1990-х годов были открыты и многие другие
типы оптических солитонов. Примерами служат
пространственно-временные солитоны (также называемые световыми пулями), брэгговские
солитоны, вихревые солитоны, векторные солитоны и квадратичные
солитоны. Все они рассматриваются далее в этой книге,
предназначенной дать исчерпывающее и систематическое описание различных
типов оптических солитонов. В этой главе мы концентрируем внимание
на физических основах и главных понятиях, которые потребуются для
чтения последующих глав.
1.2. Пространственные оптические солитоны
Самофокусировка и самодефокусировка пучков непрерывного
оптического излучения в сплошной нелинейной среде изучена достаточно
детально [36-38]. Светлые или тёмные пространственные солитоны
формируются, только если нелинейные и дифракционные эффекты
в точности уравновешивают друг друга. В литературе интенсивно
изучались оба типа пространственных солитонов [39-41]. В этом разделе
мы описываем физические основы и математические методы,
необходимые для изучения пространственных солитонов.
1.2.1. Основные понятия. Чтобы понять, почему
пространственный солитон может формироваться в среде с самофокусировочной
нелинейностью, обсудим сначала, как свет удерживается в оптическом
волноводе. Оптические пучки обладают естественным свойством
расширяться (дифрагировать) при распространении в любой однородной
среде. Однако, эта дифракция может быть скомпенсирована при
использовании рефракции, если в поперечной области, занятой пучком,
показатель преломления среды выше, чем вне этой области. Такая
структура становится волноводом и удерживает свет в области с
большим показателем преломления, обеспечивая баланс между дифракцией
и рефракцией. Распространение света в оптическом волноводе
описывается линейным волновым уравнением, но с переменными
коэффициентами; решение этого уравнения представляет набор направляемых
мод волновода, которые являются пространственно локализованными

18
Гл. 1. Введение
собственными функциями оптического излучения в волноводе,
сохраняют форму и удовлетворяют всем граничным условиям.
Некоторое время тому назад было обнаружено [16], что тот же
эффект — подавление дифракции вследствие локального изменения
показателя преломления — может быть вызван чисто нелинейными
эффектами, если они приводят к такому нелинейному изменению
показателя преломления среды, что он больше в той области, где
больше интенсивность света. По сути пучок света может создать свой
собственный волновод и самоканалироваться в этом самонаведённом
(или самоиндуцированном) световоде. Эту основную идею
иллюстрирует рис. 1.2. Входной пучок при низких мощностях дифрагирует, но
Интенсивность Волновой фронт Интенсивность
Дифракция
Самофокусировка
Пространственный
солитон
Рис. 1.2. Иллюстрация линзовой аналогии для пространственных солитонов.
Дифракция действует как вогнутая линза, тогда как нелинейная среда
действует как выпуклая линза. Солитон формируется, когда эти две линзы
компенсируют друг друга, так что волновой фронт остаётся плоским
может сформировать пространственный солитон, если интенсивность
достаточно велика, чтобы создать самоиндуцированный световод из-за
нелинейного изменения показателя преломления. Такое изменение
наиболее велико в центре пучка, и оно постепенно уменьшается до нуля
у краёв пучка, что отвечает градиентному волноводу (с переменным
показателем преломления). Пространственный солитон можно
интерпретировать как фундаментальную моду этого световода. Подобный
нелинейный световод может даже удерживать и направлять слабый
пробный пучок излучения с другой частотой или поляризацией [42].
Полезно также пояснить формирование пространственного солито-
на с помощью аналогии с линзами. Дифракция искривляет волновой
фронт, подобно тому, как это делает вогнутая линза, и расширяет
пучок. Градиент показателя преломления, создаваемый эффектом
самофокусировки, действует, напротив, подобно выпуклой линзе,
фокусирующей пучок. По существу керровская среда действует как выпуклая
линза. Как видно из рис. 1.2, пучок может стать самозахваченным
и распространяться без изменений формы, если эти два линзовых
на входе
>
>
на выходе
на выходе
>
>
ч
>

1.2. Пространственные оптические солитоны 19
эффекта компенсируют друг друга [16]. Конечно, для полной
компенсации профиль интенсивности пучка должен иметь специальную форму.
Эти пучки со специфическим профилем, связанные с
пространственными солитонами, служат нелинейным аналогом мод линейного
волновода, сформированного самоиндуцированным градиентом показателя
преломления.
1.2.2. Нелинейный отклик. Основное уравнение, описывающее
эволюцию излучения в нелинейной среде, известно как нелинейное
уравнение Шрёдингера (НУШ) [1]. В этом разделе мы наметим
вывод НУШ для пучка непрерывного излучения, распространяющегося
в среде с керровской (кубической) оптической нелинейностью. Из
уравнений Максвелла можно получить следующее волновое уравнение
для напряжённости электрического поля Е, связанного со световой
волной, распространяющейся в такой среде [15]:
где с — скорость света в вакууме и £q — проницаемость вакуума 0.
Поляризация среды Р состоит из двух частей:
Р(г,0 = Рнп(г,*) + Р„1(г,*). (1-2-2)
где линейная Рцп и нелинейная Pni части связаны с электрическим
полем общими соотношениями [12-14]
оо
P.in(r,*) = £<> } x0)(t-t')-E(r,t')dt', (1.2.3)
—оо
оо
Pnl(r.O = £o j jjx(3)(< -t\,t- t2,t- t3) x
— OO
x Е(г,*1)Е(г,*2)Е(г,*з)<й1<й2<Йз, (1.2.4)
a x^ и X^ — тензоры восприимчивости первого и третьего порядков.
Эти соотношения справедливы в электродипольном приближении для
сред с локальным откликом. Здесь мы пренебрегаем нелинейными
эффектами второго порядка, предполагая, что среда имеет центр
инверсии. Нелинейные эффекты второго порядка (квадратичные)
рассматриваются в гл. 10, посвященной квадратичным, или параметрическим
солитонам.
Даже при учёте нелинейных эффектов только низшего порядка
уравнение (1.2.4) слишком сложно, чтобы быть полезным. Значитель-
1) Вид (1.2.1) отвечает параксиальному приближению, а в точном
волновом уравнении вместо оператора Лапласа V фигурирует оператор — rot rot,
см. ниже уравнение (10.1.1). (Прим. ред.)

20
Гл. 1. Введение
ное упрощение достигается в случае, когда нелинейный отклик
предполагается мгновенным, так что временная зависимость х^ описывается
произведением трёх дельта-функций вида S(t-t\). Тогда (1.2.4)
сводится к следующему выражению
Pni(r.t) = £oX(3) E(rft)E(r,*)E(r,t). (1.2.5)
Предположение мгновенности нелинейного отклика эквивалентно
пренебрежению вкладом в х^ молекулярных колебаний (эффект
вынужденного комбинационного рассеяния).
Необходимы и некоторые другие упрощения. Во-первых, Pni
можно рассматривать как малое возмущение к Рнп, поскольку
практически относительные нелинейные изменения показателя преломления
Дп/п < 10~6. Во-вторых, предполагается, что излучение сохраняет
поляризацию на длине среды, так что можно использовать скалярное
приближение. В действительности это не так, если нелинейная
среда двулучепреломляющая. Эффекты, связанные с двулучепреломлени-
ем, рассматриваются в гл. 9 применительно к векторным солитонам.
В-третьих, оптическое излучение считается квазимонохроматическим.
В приближении медленно меняющейся огибающей полезно выделить
быстро меняющуюся часть электрического поля, записав его в виде
Е(г,0 = ^x[E(r9t)exp(-uJot) + K.c]t (1.2.6)
где ш0 — несущая частота, х — единичный вектор поляризации поля
и E(r,t) — медленно меняющаяся функция времени (в масштабе
оптического периода). Компоненты поляризации среды Рцп и Pni также
могут быть записаны в аналогичной форме.
После подстановки (1.2.6) в (1.2.5) находим, что Pni(r,£) содержит
член, колеблющийся с частотой о;о, а также член, колеблющийся с
частотой Зо>о (третья гармоника). Последний член в отсутствие фазового
синхронизма обычно пренебрежимо мал. Тогда медленно меняющаяся
часть нелинейной поляризации среды Рп\(тЛ) сводится к выражению
Pni(r,t) * e0enlE(r,t), (1.2.7)
где нелинейная составляющая диэлектрической проницаемости
определена как Q
eni = lx?UE(r,t)\2. (1.2.8)
Линейная часть поляризации среды согласно (1.2.3) может быть
записана в виде Ру1П = EqXxxE. В результате линейная и нелинейная части
могут быть объединены в следующее выражение для диэлектрической
проницаемости [15]
е(^) = 1+хйН+еп1. (1-2.9)
где знак тильды над величиной обозначает преобразование Фурье этой
величины. Диэлектрическая проницаемость может быть использована

1.2. Пространственные оптические солитоны
21
для определения показателя преломления п и показателя поглощения
а. Однако, ипиа зависят от интенсивности ввиду такой зависимости
величины еп\. Традиционно вводятся величины
п = п0 + п2\Е\2, а = а + а2\Е\2. (1.2.10)
Линейный показатель преломления щ и показатель поглощения а
связаны с вещественной и мнимой частями xiJ. Используя соотношение
е = (п + 1ас/2ш0)2 и уравнения (1.2.8) и (1.2.9), запишем нелинейный,
или керровский коэффициент п2 и коэффициент двухфотонного
поглощения а2 в виде
П2 = -^Ке{х***х)' а2 = 1й1т(х"*х)' (1-2Л1)
где символы Re и Im обозначают, соответственно, вещественную и
мнимую части выражений.
Нелинейная среда, в которой преобладает восприимчивость
третьего порядка и уравнение (1.2.10) достаточно точно описывает
нелинейный отклик, называется керровской. Нелинейные эффекты высшего
порядка могут быть включены феноменологически при замене (1.2.10)
на п = no + nni(/), где пп\(1) представляет нелинейную часть
показателя преломления, зависящую от интенсивности излучения / = \Е\2.
В случае керровской среды пп\(1) = п21.
1.2.3. Нелинейное уравнение Шрёдингера. Зависимость
показателя преломления от интенсивности существенно влияет на
характер распространения электромагнитных волн. Применительно к
пространственным солитонам мы можем упростить анализ, ограничившись
случаем пучка непрерывного излучения. Общее решение (1.2.1) по-
прежнему записывается в виде (1.2.6) с E(r,t) = Л(г)ехр(г/?о^), где
/?о = ^о^о = 27гп0/А — постоянная распространения, выраженная через
длину волны света А = 2пс/ио. Предполагается, что пучок
распространяется вдоль оси Z и дифрагирует (или самофокусируется) по
поперечным направлениям X и У, где X, Y и Z — пространственные
координаты, составляющие г. Функция A(X,Y,Z) описывает эволюцию
огибающей пучка; она была бы постоянной в отсутствие нелинейных
и дифракционных эффектов.
Когда в рассмотрение включены нелинейные и дифракционные
эффекты и огибающая А предполагается медленно меняющейся
функцией Z с масштабом, много большим длины волны А (параксиальное
приближение), так что можно пренебречь второй производной d2A/dZ2, то
оказывается, что огибающая удовлетворяет следующему нелинейному
параболическому уравнению:
2iA,§i + Ш + w) +2^onni(I)A = 0. (1.2.12)

22
Гл. I. Введение
В отсутствие нелинейных эффектов это уравнение сводится к хорошо
известному параксиальному уравнению, широко используемому в
скалярной теории дифракции [43].
Мы остановимся на случае керровской (или кубичной)
нелинейности и положим пп\(1) = пг/, где пг — керровский коэффициент
нелинейной среды. Полезно ввести безразмерные переменные
х=—, у = -, z = £t u = (ko\n2\Ldy/2A, (1.2.13)
wo wo Ld
где wo — поперечный масштаб, связанный с шириной пучка на
входе, и Ld = (3qWq — дифракционная длина (часто называемая длиной
Релея). В этих безразмерных переменных (1.2.12) принимает форму
стандартного (2+ 1)-мерного НУШ:
г^Ы^+^)±Ни=0* о-2-14)
где выбор знака зависит от знака нелинейного параметра п2; знак
минус отвечает случаю самодефокусировки (п2 < 0). Принято говорить,
что в такой записи НУШ обладает размерностью (2+1), где 2 означает
число поперечных измерений и +1 указывает направление
распространения z.
Обычно в НУШ вместо z используют время t, так как
уравнение Шрёдингера происходит из квантовой механики. Конечно, можно
ввести Z = (cjn0)t и записать НУШ с помощью t. Однако, в оптике
обычно используют как эволюционную переменную z. В
нормированном НУШ (1.2.14) нет свободных параметров, и даже множитель 1/2
может быть убран перенормированием х и у, как это часто делается
в литературе по солитонам. Мы сохраняем этот множитель для
простоты обозначений, за исключением некоторых случаев в последних
главах, где это оговаривается непосредственно.
Рис. 1.3. Иллюстрация пространственных солитонов в геометрии планарного
волновода (слева) и сплошной среды (справа). (Рисунок подготовлен А. В. Бу-
ряком)

1.2. Пространственные оптические солитоны
23
Размерность НУШ может меняться в зависимости от геометрии
нелинейной среды. Например, для нелинейной среды в виде планар-
ного волновода излучение ограничено самим волноводом по одному
из поперечных направлений, например вертикальному (ось у)у как
это показано на рис. 1.3. В отсутствие нелинейных эффектов пучок
будет расширяться только по направлению х. Планарный волновод,
в зависимости от его ширины, поддерживает конечное число мод.
Часто его параметры выбирают так, чтобы поддерживалась только
одна — фундаментальная — мода. В этом случае решение (1.2.1) можно
записать в виде (1.2.6), где
£(r, t) = A(X, Z)B(Y) exp (i(lQZ), (1.2.15)
функция B(Y) описывает амплитуду моды, а Д> — соответствующая
постоянная распространения. Используя описанный выше подход, мы
вновь получим нормированное НУШ, но уже без второй производной
по у, а именно
f| + i0±M'u = O. (,.2.16)
Этот вариант НУШ, который называют (1 + 1)-мерным, представляет
простейшую форму НУШ. Мы уделим особое внимание этому
уравнению, так как оно может быть решено точно методом обратной
задачи рассеяния [44-46] для обоих знаков нелинейного члена. Светлые
и тёмные пространственные солитоны отвечают выбору знаков + и -,
соответственно.
1.2.4. Светлые пространственные солитоны. Простой пример
светлого пространственного солитона получим из (1.2.16) со знаком
плюс перед нелинейным членом, полагая, что в самофокусировочной
керровской среде распространяется пучок непрерывного излучения.
Тогда нам нужно решить НУШ вида
'S + iS^MW С2..7)
Хотя для нахождения всех решений этого уравнения необходим
метод обратной задачи рассеяния (МОЗР), вид поля фундаментального
солитона может быть получен прямым решением НУШ. Поскольку
такой подход применим и в случаях, когда неприменим метод обратной
задачи рассеяния, мы обсудим его более детально.
Подход состоит в предположении существования решения НУШ
с сохраняющейся формой вещественной амплитуды V
u(z, x) = V(x) exp [{ф(г, х)}, (1.2.18)
где V не зависит от z, что отвечает сохранению формы солитона при
его распространении. Вещественная фаза ф может зависеть и от z,
и от х. Если подставить (1.2.18) в (1.2.17) и разделить вещественную
и мнимую части, мы получим два уравнения для V и ф. Из уравнения

24
Гл. 1. Введение
для фазы видно, что ф имеет вид ф(г, х) = Kz + рх, где К и р —
постоянные. По физическому смыслу р связано с углом между траекторией
солитона и осью z. При выборе р = 0 нетрудно найти, что V(x) должно
удовлетворять уравнению
^ = 2V(K - V2). (1.2.19)
dx
Это нелинейное уравнение можно решить, умножив его на 2(dV/dx)
и проинтегрировав по х. Результат таков:
(^\ = 2KV2-V4 + C, (1.2.20)
где С — постоянная интегрирования. Граничные условия состоят
в том, что V и dV/dx должны обращаться в нуль при |х| —► оо,
ввиду чего С = 0. Условия, что V = а и dV/dx = 0 в центре
солитона, который располагается при х = 0, определяют постоянную
К = а2/2, так что ф = a2z/2. Уравнение (1.2.20) легко интегрируется,
и в результате находим V(x) = asch(ax), где а — амплитуда солитона
и sch(i4) = l/ch(A) — гиперболический секанс.
Тем самым мы получили, что (1 + 1)-мерное НУШ (1.2.17) имеет
следующее простое решение с сохраняющейся формой:
u(z, x) = a sch(ax) exp -^—. (1.2.21)
Как пояснялось выше, оно представляет фундаментальную моду
оптического волновода, индуцированного распространяющимся пучком
(показатель преломления больше вблизи центра пучка, где больше
интенсивность). Если входной пучок имеет должную форму, в этой
моде будет содержаться вся мощность пучка, и пучок будет
распространяться без изменения формы (дифракционное расширение
отсутствует). Если форма входного пучка не точно соответствует профилю
гиперболического секанса, то некоторая часть мощности будет
связана с высшими ограниченными модами или с излучательными
модами нелинейного волновода. При точном решении (1.2.17) методом
обратной задачи рассеяния можно найти солитоны высших порядков
и излучательные моды.
Важно отметить, что пучок любого размера может быть
самозахвачен в виде пространственного солитона, если его пиковая
интенсивность выбрана надлежащим образом. Требуемая интенсивность может
быть найдена, если записать солитонное решение (1.2.21) в размерных
единицах .у
A(Z,X) = 4/7osch — exp^f-, (1.2.22)
Wo ZLd
где пиковая интенсивность /о = (fco^Ld)"1. Требуемая входная
интенсивность зависит от ширины пучка wq как ги^ , так что для более
узких пучков требуются более высокие интенсивности. Это понятно,

1.3. Временные оптические солитоны
25
так как дифракционные эффекты сильнее для узких пучков. В качестве
примера рассмотрим кварцевый волновод, для которого п2 = 2,4 х
х 10~16 см2/Вт. Требуемая пиковая мощность превышает 10 ГВт/см2
для пучка с шириной w0 = 100 мкм при длине волны света 1,06 мкм.
Она может быть уменьшена в 100 раз и более при использовании
других полупроводниковых или органических материалов. В табл. 1.1
приведены значения керровского коэффициента и показателя
поглощения для некоторых материалов [47]. Отметим, что величина п2
наименьшая для силикатных стёкол и возрастает в 10000 раз для
органических материалов, таких как кристаллы PTS (полидиацетилен
паратолуол сульфонат).
Таблица 1.1. Керровские коэффициенты для некоторых нелинейных сред
Нелинейный
материал
Стекло Si02
ASo,38So,62
AlGaAs
Кристалл PTS
Длина волны
(мкм)
1,0-1,6
1,3-1,6
1,55
1,6
а
(см"1)
<10"6
0,02
0,1
0,8
712
(Ю-14 см2/Вт)
0,0024
4,2
20
220
1.3. Временные оптические солитоны
Можно задать вопрос: существуют ли солитоны в волноводе, в
котором пучок света ограничен по обоим поперечным направлениям?
Ответ определённо отрицательный, если рассматривать
пространственные солитоны, поскольку, если проделать указанные выше выкладки,
в этом случае в (1.2.16) исчезает член с производной по х. Однако,
оказывается, что в таких волноводах может формироваться новый тип
солитонов, если падающее излучение имеет форму импульса. Такие
временное солитоны представляют оптические импульсы,
сохраняющие форму при распространении. Их существование для волоконных
световодов предсказано в 1973 г. [20]. С тех пор волоконнооптические
солитоны интенсивно изучались и даже нашли приложения в области
волоконнооптической связи [22-25].
1.3.1. Распространение импульса в световоде. Для
рассмотрения распространения импульса в волоконном световоде следует
начать с уравнения (1.2.1). Основное отличие от случая непрерывного
излучения, рассмотренного ранее применительно к пространственным
солитонам, заключается в том, что теперь огибающая импульса зависит
от времени и может быть записана в виде
£(r, t) = A(Z, t)F{X, Y) exp (0OZ), (1.3.1)

26
Гл. 1. Введение
где F(X, Y) — поперечное распределение поля, связанное с
фундаментальной модой одномодового световода. Наличие временной
зависимости A(Z,t) приводит к тому, что компоненты поля с различными
частотами распространяются в световоде с различными скоростями из-за
частотной, или хроматической дисперсии. Этот эффект учитывается
следующим изменением вида показателя преломления в (1.2.10):
п = п(ш) + п2\Е\2. (1.3.2)
Частотная зависимость п(и) играет важную роль в формировании
временных солитонов. Она приводит к расширению световых
импульсов в отсутствие нелинейных эффектов и играет роль, аналогичную
дифракции для пространственных солитонов.
Нашей задачей служит вывод уравнения для амплитуды, или
огибающей импульса A(Zyt). Чтобы учесть хроматическую дисперсию,
полезно иметь дело с фурье-преобразованием и рассматривать
нелинейный член как малое возмущение. Оказывается, что фурье-преобра-
зование A(Z,u) удовлетворяет уравнению [15]
Ц=г[/ЗИ + Д/?-й>)А, (1.3.3)
где (3(ш) = коп(и) и Д/? — нелинейный член, определяемый следующим
образом:
JJ \F(x, у) \Uxdy
Д/3 = fcon2|A|2^ = 7|Л|2. (1.3.4)
^\F(x,y)\*dxdy
— ОО
Физический смысл (1.3.3) прозрачен. Каждая спектральная компонента
огибающей импульса приобретает при распространении по световоду
фазовый сдвиг, величина которого зависит как от частоты, так и от
интенсивности.
Теперь мы можем вернуться к временному описанию, выполнив
обратное преобразование Фурье уравнения (1.3.3) и получив
эволюционное уравнение для A(Z,t). Однако, поскольку точный вид зависимости
(3(ш) обычно неизвестен, полезно разложить (3(и>) в ряд Тейлора вблизи
несущей частоты u>q:
/?И = А) + {и - u;o)/?i + ± (и - и0)2Р2 + I (" - "о)3/?з + - . (1-3.5)
^=0 (т=1,2,...). (1.3.6)
Кубический член и члены более высокого порядка в этом
разложении обычно пренебрежимо малы, если спектральная ширина импульса
Да; <С uq. Пренебрежение ими согласуется с использованным ранее

1.3. Временные оптические солитоны
27
приближением квазимонохроматичности. Включение кубического
члена может быть необходимым для некоторых значений и0, когда /32 « О
(например, в окрестности длин волн с нулевой дисперсией световода).
Подставим (1.3.5) в (1.3.3) и выполним обратное преобразование
Фурье. При фурье-преобразовании величина и — и>0 заменяется на
дифференциальный оператор i(d/dt). В результате уравнение для A(Zyt)
принимает вид
дА . Q дА . г/?2 д?А . . А,о А /107.
Параметры /3\ и /% включают эффекты дисперсии первого и второго
порядков, соответственно. По физическому смыслу (3\ = l/vg> где vg —
групповая скорость, связанная с импульсом, а /% учитывает дисперсию
групповой скорости. Ввиду этого /?2 называют параметром дисперсии
групповой скорости (ДГС).
Уравнение (1.3.7) можно свести к (1 + 1)-мерному НУШ при
следующих заменах переменных:
т = 1^р, z = £, u=y/\y\L^A9 (1.3.8)
где Го — временной масштаб (часто выбираемый равным
длительности входного импульса) и Lq = Т^/|/32| — дисперсионная длина.
Переменная г теперь означает время в системе отсчёта, связанной
с движущимся импульсом. В новых переменных (1.3.7) принимает вид
i|-||i±M'u = 0, (,.3.9)
где s = sign(/?2) = ±1 означает знак параметра ДГС. В зависимости от
длины волны параметр ДГС /% может быть положительным или
отрицательным. Нелинейный член положителен для кварцевых световодов,
но он может быть отрицательным для полупроводниковых материалов.
1.3.2. Дисперсионный параметр. Поскольку знак параметра
ДГС играет важную роль при нахождении солитонных решений (1.3.9),
полезно пояснить, как этот параметр меняется в световодах. В
литературе по волоконным световодам дисперсия часто характеризуется
другим параметром [48]:
°=Ш~^
(1.3.10)
Величина D называется дисперсионным параметром и выражается
в единицах пс/(км- нм). На рис. 1.4 показана зависимость D от длины
волны для трёх типов волоконных световодов. Для стандартных
световодов D обращается в нуль на длине волны около 1,3 мкм. Эта длина
волны Azd называется длиной волны нулевой дисперсии.
Параметр дисперсии D положителен на длинах волн А > Azd. но
становится отрицательным для более коротких длин волн. Для све-

28
Гл. 1. Введение
товодов, как это видно из (1.3.10), fa < 0 при А > Azd; тогда ДГС
аномальна и мы должны выбрать в (1.3.9) s = — 1. Напротив, для
нормальной ДГС в области длин волн А < Azd выбирается s = +1.
Длина волны нулевой дисперсии Azd может быть смещена в область
больших длин волн должным выбором схемы волоконного световода.
В случае дисперсионно-
смещённых световодов это
область длин волн
около 1,5 мкм. Для
волоконных световодов
специального типа, известных
как дисперсионно-выров-
ненные, возможны даже
два значения такой длины
волны.
Из-за двух различных
знаков параметра ДГС
волоконные световоды, для
которых п2 > 0, могут
поддерживать два
различных типа солитонов.
Точнее, уравнение (1.3.9)
имеет решения в виде
тёмных временных солитонов
в случае нормальной ДГС
(s = +1) и светлых временных солитонов в случае аномальной ДГС
(s = — 1). Из (1.3.9) не очевидно, почему тёмные солитоны должны
существовать при s = +1 в среде с самофокусировкой, поскольку в
разделе 1.2 такие солитоны связывались с самодефокусирующей средой.
Однако, если записать это уравнение в виде
.ди , s д и ..о г\ /л г> , * \
то ясно, что оно должно описывать тёмные солитоны даже в случае
самофокусировки. Действительно, решение сохранится, если заменить г
на —z. В волоконных световодах с самодефокусировочной
нелинейностью (п2 < 0) ситуация обратная, и светлые солитоны существуют
в случае нормальной ДГС. Поэтому, хотя в (1.3.9) имеются четыре
комбинации, отвечающие знакам ± для дисперсионного и нелинейного
членов, это уравнение описывает только два типа солитонов — светлые
и тёмные.
1.3.3. Пространственно-временная динамика. Как видно из
(1.2.16) и (1.3.9), одно и то же (1 + 1)-мерное НУШ описывает и
пространственные, и временное солитоны. Действительно, с
математической точки зрения распространение непрерывного излучения в пла-
1,5 1,6 1,7
Длина волны, мкм
Рис. 1.4. Типичная зависимость параметра
дисперсии D от длины волны для
стандартного, дисперсионно-смещённого и дисперси-
онно-выровненного световодов

1.3. Временные оптические солитоны
29
нарных волноводах равносильно распространению импульса в
световодах ввиду хорошо известной пространственно-временной
аналогии [36-38]. Эта аналогия используется довольно часто, и она
позволяет развить физическую интуицию. Аналогия основана на том,
что распространение и пучка, и импульса может быть описано одним
и тем же кубическим НУШ [49]. Однако между этими двумя
физическими явлениями существует принципиальное различие. Это отличие
ведёт к различию математического аппарата, развитого для анализа
оптических солитонов — использованию интегрируемых моделей и их
возмущений для временных солитонов и использованию неинтегри-
руемых моделей и неустойчивостей солитонов для пространственных
солитонов.
В случае распространения импульса в волоконном световоде
рабочая длина волны обычно выбирается вблизи длины волны нулевой
дисперсии. В результате абсолютная величина ДГС столь мала, что
может быть скомпенсирована слабой нелинейностью, вызванной
эффектом Керра в световоде (в типичных условиях нелинейное изменение
показателя преломления <10~9). Поэтому нелинейные эффекты в
световодах всегда слабы, и распространение импульса в волоконных
световодах хорошо описывается кубическим НУШ, которое, как известно,
решается методом обратной задачи рассеяния [44-46]. Однако для
сверхкоротких (фемтосекундных) импульсов кубическое НУШ следует
модифицировать включением некоторых дополнительных (всё ещё
слабых) эффектов, таких как дисперсия высших порядков, самообострение
фронта и вынужденное комбинационное рассеяние [15].
Физика, на которой основывается распространение пучков
непрерывного излучения в планарном волноводе и сплошной среде,
совершенно разная. Во втором случае нелинейное изменение показателя
преломления должно компенсировать расширение пучка, вызванное
не слабым эффектом дифракции. Именно поэтому для наблюдения
пространственных солитонов обычно требуются много большие
нелинейности, и они часто оказываются некерровского типа (то есть с
насыщением при высоких интенсивностях). Результирующее обобщённое
НУШ получается из (1.2.14) заменой нелинейного члена |u|2tx на
F(|u|2)u и принимает вид
't + KS + 0)±J?'l"l2)« = 0' С'312»
где функция F(|tx|2) выражается через введённую ранее зависимость
Пп\(1)- Это уравнение не интегрируется методом обратной задачи
рассеяния, за исключением случая F(|u|2) = |u|2 и поперечно-одномерных
структур поля (д2и/ду2 = 0). Оно по-прежнему обладает решениями
в виде уединённых волн, но их свойства весьма отличаются от
описываемых интегрируемым кубическим НУШ. Например, в отличие от
солитонов интегрируемого кубического НУШ, уединённые волны, свя-

30
Гл. 1. Введение
занные с насыщающейся нелинейностью, могут быть неустойчивыми
и обнаруживать интересные свойства при столкновениях, такие как
слияние двух сталкивающихся солитонов.
Второе различие между пространственными и временными солито-
нами связано с их характерными масштабами длины. Для временных
солитонов нелинейные эффекты проявляются на больших
расстояниях — порядка сотен метров или даже километров. Напротив, длины
распространения в случае пространственных солитонов порядка ми-
лиметров или сантиметров. Это отличие вызвано различием значений
длин дисперсии и дифракции. Даже для импульса длительностью 1 пс
дисперсионная длина Ld = Т$/|/?г| = 1 км, если использовать типичное
значение |/?2| = 1 пс2/км. А дифракционная длина Ld = fowl менее
1 мм для пучка света с шириной 20 мкм при длине волны около 1 мкм.
При надлежащих условиях два понятия пространственного и
временного солитонов объединяются в единое понятие
пространственно-временного солитона. Действительно, можно обобщить
уравнение (1.3.12), включив в него как временное, так и
пространственные эффекты при распространении оптических импульсов в сплошной
нелинейной среде, поперечные размеры которой значительно больше
ширины пучка (волноводные эффекты отсутствуют). В этом случае
следует одновременно учесть дифракционные, дисперсионные и
нелинейные эффекты. В рамках обсуждённого выше подхода получим
следующий общий вид (3 + 1)-мерного НУШ (в скалярном приближении):
.ди 1 fd2u . д?и\ s д?и , „,, ,2ч л -,« 0 10Ч
^ + 2^ + ^J~2i7±F(H)U = °- (m3)
Солитоноподобные решения этого уравнения называют
пространственно-временными солитонами, поскольку излучение ограничено и в
пространстве, и по времени. Такие солитоны, обсуждаемые в гл. 7,
называют также световыми пулями. Решения обобщённого НУШ (1.3.13)
получены во многих различных задачах и обнаружены многие
интересные свойства светлых и тёмных солитонов [50-62].
1.4. Решения нелинейного уравнения Шрёдингера
В этом разделе мы рассмотрим простейшее (1 + 1)-мерное НУШ,
описывающее распространение пучка непрерывного излучения в пла-
нарном волноводе или же оптического импульса в волоконном
световоде, и покажем, что это уравнение демонстрирует неустойчивость.
Эта неустойчивость известна как модуляционная неустойчивость,
поскольку она ведёт к пространственной или же временной модуляции
плоской волны с постоянной интенсивностью. Мы также обсудим со-
литонные решения НУШ при различных условиях.

1.4. Решения нелинейного уравнения Шрёдингера 31
1.4.1. Модуляционная неустойчивость. Нелинейное уравнение
Шрёдингера (1.2.16) имеет простейшее решение в форме непрерывной
плоской волны
u(z,x) = щехр(1рг + iqx), (1-4.1)
где щ ~ постоянная, а р и q удовлетворяют дисперсионному
соотношению 2
P=-y+sign(n2)ug, (1.4.2)
где sign(n2) = ±1 в зависимости от знака п2. Это решение показывает,
что плоская волна с амплитудой по распространяется в нелинейной
среде без изменений, за исключением зависящего от интенсивности
фазового сдвига.
Важный вопрос состоит в том, устойчиво ли такое плосковолновое
решение по отношению к малым возмущениям. Ответ даёт линейный
анализ устойчивости этого решения — важный метод, который часто
будет использоваться в следующих главах. Следуя стандартной
процедуре, ищем решение в виде О
и = (щ + щ + iv\) exp (ipz + iqx), (1.4.3)
где щ и v\ представляют малые возмущения. Подставляя (1.4.3)
в НУШ (1.2.16) и линеаризуя получающееся уравнение по
возмущениям, мы приходим к системе двух связанных линейных уравнений
для щ и v\. Ищем решение для этих функций в виде плоских волн
exp(iKz + iQx); тогда мы получим дисперсионное соотношение
/п2 \1/2
К = -qQ ± Q ( <L - sign(n2)^J . (1.4.4)
Плосковолновое решение устойчиво, если возмущения с любым
волновым числом Q не нарастают при распространении. Это будет так, если
только величина К вещественна.
Уравнение (1.4.4) показывает, что решение в виде
монохроматической плоской волны (1.4.1) абсолютно устойчиво только в случае
среды с самодефокусировкой (п2 < 0). Физически в случае
самодефокусировки слабые волны могут распространяться совместно с фоновой
интенсивной плоской волной, хотя их постоянная распространения К
зависит от интенсивности сильной плоской волны и\. Решение (1.4.1)
становится неустойчивым в среде с самофокусировкой при любой
интенсивности, такой что u§ > Q2/4. Это модуляционная неустойчивость.
Её наличие в среде с самофокусировкой тесно связано с
существованием решений НУШ в виде уединённых волн. Более точно,
пространственно локализованные светлые солитоны с амплитудой, убывающей
до нуля при |х| —► оо, возможны, только если плосковолновое решение
1) В нелинейной оптике такой анализ был впервые выполнен Беспаловым
и Талановым [87*] (Прим. ред.)

32
Гл. 1. Введение
неустойчиво. Напротив, тёмные солитоны формируются в среде с
самодефокусировкой (П2 < 0).
Аналогичный анализ может быть выполнен для НУШ (1.3.9),
описывающего распространение импульсов в нелинейной среде с
дисперсией, например в волоконном световоде. Тогда дисперсионное
соотношение имеет вид
1 (1.4.5)
K = -qQ±Q^sQy4 + ul
где s = sign(/?2). Модуляционная неустойчивость возможна только
в случае аномальной дисперсии (/?2 < 0). Напомним, что светлые
солитоны существуют только при этом условии, тогда как тёмные
солитоны возникают при нормальной дисперсии. Нетрудно увидеть, что
дефокусировочная нелинейность в пространственной задаче отвечает
нормальной ДГС (s = + 1) во временной задаче.
В обоих — пространственном и временном — случаях возмущения
с определёнными значениями Q отвечают неустойчивости, когда два
последних члена в НУШ (1.3.9)
имеют одинаковый знак.
Скорость нарастания возмущений g
связана с мнимой частью К
и даётся выражением
g(Q) = lm[K(Q)} =
= Mv^-Q74. 0.4.6)
Эту скорость роста называют
также коэффициентом
усиления для модуляционной
неустойчивости, или инкрементом.
На рис. 1.5 показан
коэффициент усиления в зависимости от
частоты возмущений Q
(пространственной или временной)
-5-4-3-2-10 1 2 3 4 5
Нормированная частота Q
Рис. 1.5. Спектр коэффициента
усиления модуляционной неустойчивости
g(Q) для 1хо = 1 и uq = 2
для щ = 1 и 2. Усиление существует и для положительных, и для
отрицательных значений Q в диапазоне \Q\ < 2u0. Его максимальное
значение дтах = и% достигается при Q = у/2и0. В размерных
единицах максимальное усиление связано с интенсивностью непрерывного
излучения — плоской волны — соотношением дтах = Агопг/о и остаёт"
ся сравнительно малым, пока только интенсивность не станет
большой. Например, чтобы получить дтах = 10~4 см-1, /о должна
превышать 100 МВт/см2 даже для волноводов из AlGaAs, известных
сравнительно большим значением П2 (см. табл. 1.1).
1.4.2. Метод обратной задачи рассеяния. В отсутствие
нелинейного члена в (1.2.16) основной математический метод анализа любого
типа волнового распространения в линейных средах — это стандартный

1.4. Решения нелинейного уравнения Шрёдингера 33
метод преобразования Фурье. Разлагая амплитуду входного пучка
u(z = 0, х) в спектр линейных мод Фурье, мы сначала сводим
задачу распространения пучка к тривиальной осцилляторной эволюции
каждой фурье-компоненты, а затем воспроизводим профиль пучка на
любом расстоянии z, суммируя все частотные компоненты. В случае
однородной линейной среды единственно возможными модами Фурье
служат плоские волны вида ехр(грх), где р указывает компоненту
Фурье и называется также собственным значением моды. Так как
в линейной однородной среде возможны все значения р, спектр
собственных значений непрерывный и решение (1.2.16) для слабых полей
(в пренебрежении нелинейными эффектами) даётся интегралом
u(z'Х) = 2^ I й(°'р) ехр (ipx + %~Чг) dp* (lЛЛ>1
где й(0,р) — фурье-преобразование входного поля u(0,x).
Следует подчеркнуть, что метод преобразования Фурье весьма
общий, и он может быть также применён для анализа распространения
волн в неоднородной линейной среде с пространственным изменением
показателя преломления. В этом случае, в дополнение к
плосковолновым модам со сплошным спектром, появляются также
пространственно направляемые моды, существование которых вызвано именно
неоднородностью линейной среды. Локализованные, или направляемые
моды существуют, однако, только при определённых дискретных
собственных значениях. Поэтому полный набор линейных собственных
состояний, который может быть получен методом Фурье, включает
моды и дискретного, и непрерывного спектра.
Как хорошо известно, метод преобразования Фурье нельзя
применять для нелинейных систем, для которых принцип суперпозиции
не выполняется. Однако, можно попытаться ввести некоторый
вариант нелинейного разложения и получить нелинейные моды, эволюция
которых может быть описана в простой форме, как в методе
преобразования Фурье. Известно, что такое разложение существует только для
специального типа уравнений (так называемые точно интегрируемые
уравнения), и оно называется преобразованием обратного рассеяния,
отвечающим методу обратной задачи рассеяния. В определённом
смысле преобразование обратного рассеяния позволяет провести
аналогию между модами линейных неоднородных систем и модами
нелинейных однородных систем. Оба вида локализованных мод —
направляемые моды в линейном случае и уединённые волны в нелинейном
случае — соответствуют выделенному набору дискретных собственных
значений в линейной системе.
Основная идея нелинейного разложения, используемого в
преобразовании обратного рассеяния, это определение должной линейной
задачи рассеяния, такой, что она включала бы поле на входе u(z = 0,х)
как эффективный потенциал. Задача рассеяния, благодаря её линей-

34
Гл. I. Введение
ности, может быть решена как задача на собственные значения.
Конечно, поле и, следовательно, потенциал задачи рассеяния меняются
при распространении. Однако собственные значения задачи рассеяния
сохраняются при условии, что поле u(z,x) удовлетворяет исходному
нелинейному уравнению. Нахождение задачи рассеяния, спектр
собственных значений которой остаётся инвариантным при изменении
потенциала, это самый критический этап в применении метода обратной
задачи рассеяния, который удаётся реализовать только для небольшого
числа нелинейных уравнений.
Таким образом, метод обратной задачи рассеяния состоит из
следующих этапов. При заданном поле и(г = 0,х) нужно решить
линейную задачу рассеяния для вспомогательной собственной функции
Ф(х;А), где А — собственное значение. Данные рассеяния состоят
из амплитуды прошедшей волны а(А), амплитуды отражённой волны
Ь(А), набора дискретных собственных значений {Ап} и
нормированных коэффициентов Ьп соответствующих собственных функций. Как
и в случае стандартного преобразования Фурье, эволюция данных
рассеяния {а(А),6(А), АП,ЬП} при изменении z тривиальна. Решение
исходного нелинейного уравнения находится тогда при использовании
метода обратной задачи рассеяния, который позволяет построить
потенциал u(z,x) по зависящим от z данным рассеяния. Аналогичный
метод хорошо известен в квантовой механике.
Каждое дискретное собственное значение задачи рассеяния
связано с локализованным решением, отвечающим солитону. Солитоны
сохраняют форму, так как собственные значения не зависят от z.
Более того, инвариантность собственных значений приводит к важному
свойству: два или большее число солитонов сохраняют форму даже
после их столкновений. Следовательно, солитоны важны не только как
сохраняющие форму решения нелинейного уравнения, но и как особые
решения, устойчивость которых гарантируется свойством
инвариантности соответствующей задачи на собственные значения. Кроме того,
при использовании данных рассеяния можно разложить поле любого
входного пучка на набор нормальных (нелинейных) мод, аналогичных
линейным модам Фурье. В таком разложении при определённых
условиях доминируют солитонные моды. Тогда входной пучок
асимптотически преобразуется в нелинейной среде в набор солитонов, связанных
с дискретными собственными значениями, тогда как переход части
его энергии в излучательные моды связан с непрерывным спектром
собственных значений.
Оказывается, что НУШ (1.2.16) точно интегрируется методом
обратной задачи рассеяния для обоих знаков нелинейного члена [44-46].
Задача рассеяния, связанная с этим уравнением, включает две
вспомогательные функции Ф1 и Фг» удовлетворяющие следующим двум
линейным уравнениям [44]:
^ =гАФ! -ш(0,х)Ф2, (1.4.8)

1.4. Решения нелинейного уравнения Шрёдингера 35
^ = -гАФ2-ги*(0.:г)Ф1.
(1.4.9)
где собственные значения Л определяются решением этих
уравнений при заданном входном поле u(0,x). В случае самофокусиро-
вочной нелинейности граничные условия таковы, что |tz(0,x)| —> 0
при |х| —► оо, и решения представляют светлые солитоны. Напротив,
при самодефокусировочной нелинейности, отвечающей знаку минус
в (1.2.16), требуются граничные условия вида и(0,х) —► и0 при х —* +оо
и г*(0, х) —> uoeie при х —► —оо. Здесь щ — амплитуда фона и в —
постоянная фаза. Получающиеся солитоны известны как тёмные, так
как они обладают провалом интенсивности вблизи х = 0.
1.4.3. Светлые и тёмные солитоны. Поскольку решения,
отвечающие монохроматическим плоским волнам, неустойчивы в среде
с самофокусировочной керровской нелинейностью, в этом случае
должны существовать светлые солитоны. Действительно, в 1971 г. Захаров
и Шабат показали, что (1.2.16) точно интегрируется методом обратной
задачи рассеяния [44]. В случае самофокусировки фундаментальный
светлый солитон имеет следующий общий вид:
u(ztx) = asch[a(x — vz)]exp
ivx +
i(a2-v2)z
(1.4.10)
где а — амплитуда солитона и v — его скорость. Этот солитон сводится
к полученному ранее (1.2.21) в пределе v = 0. Для пространственных
солитонов v представляет поперечную компоненту скорости солито-
нов, распространяющихся под углом к оси z. Так как это решение
существует при всех значениях а и v, светлые солитоны образуют
двухпараметрическое семейство.
В случае самодефокусировочной нелинейности решения,
отвечающие монохроматическим плоским волнам с амплитудой \и\ = г/0, всегда
устойчивы по отношению к слабой модуляции. В результате солитон-
ные решения существуют только в виде локализованных «тёмных»
провалов на однородном фоне. По-прежнему НУШ точно интегрируется
методом обратной задачи рассеяния [45], если использовать граничное
условие \и\ = г*о при \х\ —» оо. Общий вид получающегося тёмного
солитона следующий:
u(z,x) = uo{Bth[uoB(x- Ащг)] + iA}exp(-iulz), (1.4.11)
где параметры А и В связаны соотношением А2 + В2 = 1. Полезно
ввести единственный параметр ф соотношениями А = sin0 и В = cos<f>.
Угол ф связан с общим фазовым изменением 7г — 2ф по фронту
тёмного солитона. В отличие от случая светлого солитона (1.4.10),
решение (1.4.11) для тёмного солитона характеризуется единственным
параметром ф (щ представляет амплитуду фона). Величина провала

36
Гл. 1. Введение
в центре определяется значением cos2 ф. Это можно увидеть более ясно,
заметив, что
|tx|2 = Uq{1 — cos20sch2[uocos0(x ~ ЩБтфг)]}. (1.4.12)
Сравнение (1.4.10) и (1.4.11) показывает, что величина щятф играет
роль скорости солитона в направлении х, то есть она представляет
скорость тёмного солитона относительно фона. Важное различие
между светлым и тёмным солитонами заключается в том, что скорость
тёмного солитона зависит от его амплитуды через параметр ф.
В частном случае ф = 0 уравнение (1.4.11) сводится к следующему
u(z,x) = uoth(uox) exp(—utgz). (1.4.13)
Такой тёмный солитон стационарен, поскольку он не движется
относительно фона. Из-за нечётности функции th солитон испытывает скачок
фазы на 7г при х = 0, где интенсивность обращается в нуль; такой
солитон называют чёрным. Напротив, при ф ф 0 минимум
интенсивности отличен от нуля в центре провала; такие солитоны называются
серыми. Другое интересное свойство тёмных солитонов связано с их
фазой. В отличие от светлых солитонов, фаза которых постоянна, фаза
тёмных солитонов меняется вдоль их ширины. На рис. 1.6 показаны
профили интенсивности и фазы при некоторых значениях ф 0. Для
Время г Время г
Рис. 1.6. Профили интенсивности (а) и фазы (б) для тёмных солитонов при
нескольких значениях внутренней фазы ф. Интенсивность падает до нуля в
центре чёрных солитонов
чёрного солитона (ф = 0) скачок фазы на 7г происходит точно в центре
провала. Для других значений ф фаза плавно меняется на величину
7г — 2ф. В случае временных солитонов зависимость фазы от времени
указывает на чирпированную природу тёмных солитонов.
1) Этот и многие последующие рисунки построены с использованием
относительных (безразмерных) величин времени, мощности и т.д. (Прим. ред.)

1.5. Солитоны некерровских сред
37
1.5. Солитоны некерровских сред
В случае обобщённого НУШ (1.3.12) не так легко найти солитон-
ные решения, поскольку это уравнение не интегрируемое. Если
ограничить рассмотрение только одним поперечным измерением, можно найти
решения с неизменной формой в аналитическом виде для некоторых
частных случаев зависимости F(|u|2). В этом разделе мы обсудим
некоторые модели некерровских нелинейностей, которые используются
в следующих главах.
1.5.1. Обобщённые нелинейности. Для нелинейного
показателя преломления пп\(1) используются несколько различных моделей.
Вообще говоря, они могут быть разбиты на три класса, называемые
конкурирующими, насыщающимися и переходными нелинейностями.
Мы рассмотрим каждый класс поотдельности.
Конкурирующие нелинейности. Для достаточно больших интен-
сивностей нелинейный показатель преломления любого оптического
материала начинает отклоняться от зависимости п21. Эти отклонения
наблюдаются экспериментально для таких нелинейных материалов как
полупроводниковые (например, AlGaAs, CdS, CdSi_xSex) волноводы,
стёкла, допированные полупроводниками, и органические полимеры.
Например, измерения для кристалла PTS в области длин волн около
1600 нм показывают, что зависимость нелинейного показателя
преломления от интенсивности может быть аппроксимирована формой третье-
го-пятого порядкок (в поляризации среды по отношению к амплитуде
поля) [63]
nni(/) = n2/ + n3/2, (1.5.1)
где п2 и щ — противоположного знака. Для п2 > 0, но щ < 0 эта
зависимость описывает конкуренцию между самофокусировкой,
происходящей при низких интенсивностях, и самодефокусировкой при
высоких интенсивностях. Ситуация противоположна при п2 < 0, но п3 > 0.
Подобная модель применяется при описании стабилизации явления
коллапса пучка, связанного с (2 4- 1)-мерным НУШ [64]. Нелинейное
выражение в (1.5.1) может быть обобщено таким образом:
nni(/) = npP + n2p/2*, (1.5.2)
где р — положительная постоянная, а коэффициенты пр и п2р имеют
противоположные знаки, так что npn2p < 0. Эта модель сводится к
(1.5.1) при р= 1.
Насыщающаяся нелинейность. Насыщающаяся нелинейность
весьма распространена в нелинейной оптике, и насыщение
нелинейности при высоких мощностях наблюдалось во многих нелинейных
материалах [65]. Наиболее распространённая модель для
насыщающейся нелинейности отвечает двухуровневой атомной системе, для
которой показатель преломления насыщается следующим образом:
п = по(1 +I/IS)~X. Такие модели были предложены более 25 лет то-

38
Гл. 1. Введение
му назад [66-68]. Фоторефрактивные материалы, такие как ЫЫЬОз,
также попадают в этот класс, и в этих материалах тёмные
пространственные солитоны наблюдались в 1990-х годах [59]. В отличие от
феноменологического характера большинства моделей, используемых
для описания насыщения нелинейности, для фотоэлектрических соли-
тонов эта модель может быть строго обоснована [60].
С математической точки зрения функция пп\(1), описывающая
насыщающуюся нелинейность, характеризуется тремя независимыми
параметрами: интенсивностью насыщения /s, максимальным изменением
показателя преломления п^ и керровским коэффициентом щ при
малых /. При феноменологическом описании нелинейная
составляющая показателя преломления считается зависящей от интенсивности /
следующим образом
пп\(1) = п0
1- ■
0 + W
(1.5.3)
где р — постоянная. Это выражение сводится к керровской
нелинейности при / -С 18 и пг = rioop/Is. В то же время при р = 1 эта модель
описывает нелинейность двухуровневой атомной системы. В случае
р = 2 модель позволяет найти локализованные решения для светлых
и тёмных солитонов в явной аналитической форме [58].
Переходная нелинейность. Бистабильные солитоны, исследуемые
с 1980-х годов, требуют особой формы зависимости показателя
преломления от интенсивности, включающей переход от одной
функциональной зависимости к другой при возрастании интенсивности [52].
Мы назозём эту нелинейность переходной ввиду изменения керровско-
го коэффициента пг при изменении интенсивности от малых до
больших значений. При этом виде нелинейности также имеются
бистабильные тёмные солитоны [53]. Простая модель переходной нелинейности
имеет вид
( П2\1, I < icr,
nm(/)= 2\ ' (1.5.4)
I 7l22i, I > hi
^сг*
Скачок, происходящий при I = /сг, может быть сглажен [54]
пп1(/) = п21 {1 + ath [7(/2 - £)]} • (1.5.5)
При I < 1СТ получим nn\(I) ~ n2i/, где п21 = n2[l - ath(7/cr)]» а а
и 7 ~ параметры модели. С другой стороны, при / > /сг будет
nn\(I) ~ ri22L где П22 = ^гО + <*)• Поэтому пг плавно меняется от
одного значения до другого в окрестности J = 1СТ. Пр-видимому, примеры
нелинейных оптических материалов с таким видом зависимости от
интенсивности ещё не известны. Однако бистабильные солитоны
обладают привлекательными свойствами, которые могут оказаться полезными
для приложений к чисто оптическим логическим и переключающим
устройствам.

1.5. Солитоны некерровских сред
39
1.5.2. Пространственные солитоны и линейные волноводы.
В некоторых случаях для нахождения решений обобщённого НУШ
в некерровских средах можно использовать понятие
самоиндуцированного волновода, обсуждавшееся в разделе 1.2 [69-72]. Основная
идея проста и основана на аналогии между направляемыми модами
волноводов и уединёнными волнами, связанными с нелинейным
уравнением.
В качестве простого примера обратимся к задаче о
распространении света в однородной среде с зависящим от интенсивности
показателем преломления. Если рассматривать дифракцию только
в одном направлении, огибающая поля, введённая соотношением
Е = A(x)exp(if3Z — zcjqO» является решением уравнения Гельмгольца
-^+fcgnW)-/?2
\dx< ■ " "-" ' <АМ=°- О'5'6)
где постоянная распространения /? отвечает дискретному собственному
значению, связанному с каждой самоиндуцированной локализованной
модой. Как и следовало ожидать, это уравнение совпадает со
стационарным вариантом НУШ.
Каждое пространственно локализованное решение А(х)
уравнения (1.5.6) можно рассматривать как направляемую моду
эффективного линейного волновода, который наведён соответствующей уединённой
волной. Действительно, определим линейный волновод, используя так
называемое соотношение самосогласованности [71]
п2п(гг) = п2(|Л(х)|2). (1.5.7)
Очевидно, что если А(х) служит решением нелинейного
уравнения (1.5.6), то А(х) будет также и решением линейной задачи на
собственные значения (1.5.6) с определяемым (1.5.7) пространственно
распределённым показателем преломления. Это простое замечание
позволяет привлечь литературу по линейным оптическим волноводам [73]
и находить аналитические решения для нелинейных сред, отвечающие
им. Например, оказывается, что щелевой волновод отвечает пороговой
нелинейности [69]. Кроме того, интерпретация уединённых волн как
мод самоиндуцированных волноводов иногда проясняет физическую
картину и понимание того, какие виды уединённых волн возможны
и какие нет [72].
В качестве примера рассмотрим линейный волновод с профилем
показателя преломления вида
<(*) = "I + ("2 - п^а&Нх/а), (1.5.8)
где величина а связана с шириной этого профиля. Все моды такого
волновода выражаются через функции Лежандра [73]. В частности,
фундаментальная ограниченная мода даётся выражениями
А(х) = A0schb(x/a), (P = (Мое)2 + (6/а)2, (1.5.9)

40
Гл. 1. Введение
где Ь — произвольная постоянная. Соотношение
самосогласованности (1.5.7) позволяет придти к выводу о том, что профиль показателя
преломления (1.5.8) отвечает светлому солитону в керровской среде,
если Ь = 1 при фиксированном значении волноводного параметра V:
V2 = (k0a)2(n2-n2oo) = 2. (1.5.10)
Представленный пример показывает, что светлый солитон можно
рассматривать как ограниченную моду линейного волновода,
наведённого солитоном вследствие нелинейности. Можно задать вопрос:
справедлива ли такая простая интерпретация для тёмных солитонов? Ответ
положительный, при условии, что мы учтём, что свойство
неограниченности тёмного солитона указывает на то, что он не может быть
ограниченной модой самоиндуцированного волновода, но может быть
составлен из излучательных мод (со сплошным спектром) [71]. Такой
подход даёт простую физическую картину тёмного солитона как
безотражательного рассеяния плоских волн на линейном диэлектрическом
волноводе. Для волновода с профилем показателя преломления типа
гиперболического секанса (1.5.8) поле излучательных мод состоит из
падающей и отражённой плоских волн, за исключением целых
значений параметра 6, таких что V2 = b(b+ 1); для этих особых значений b
отражение отсутствует. Например, при 6=1 (V = >/2)
безотражательная излучательная мода волновода типа гиперболического секанса
имеет вид тёмного солитона кубичной (керровской) среды:
A(x) = A0th^/a)ri<ulei^1 (1.5.11)
(1 — iaq)
где q — вещественный параметр, меняющийся непрерывно (0 < q <
< fco^oo), который связан с направлением падающей плоской
волны. Он определяет также постоянную распространения соотношением
/З2 = (fcorioo)2 - q2. Важно, что элементарная физика
безотражательного рассеяния плоских волн на линейном волноводе способствует
пониманию теории тёмных солитонов.
1.5.3. Ограниченность нелинейного уравнения Шрёдингера.
Скалярное НУШ (1.3.13) описывает и временное, и пространственные
аспекты распространения волн и является достаточно универсальным.
Оно выводится на основе весьма общих предположений о
дисперсионных (и дифракционных) эффектах и нелинейных свойствах физических
систем. Однако НУШ неприменимо в ряде случаев, и поэтому следует
помнить о его ограниченности. Здесь мы обсудим два обстоятельства,
из-за которых скалярное НУШ может оказаться неприменимым.
Во-первых, стандартный вывод НУШ основан на асимптотическом
методе многомасштабных разложений, называемом иногда
редукционным методом теории возмущений (см. [74, 75]). При этом
предполагается, что нелинейность имеет нерезонансный характер и что
наиболее важные эффекты описываются огибающей оптического поля
с основной (несущей) частотой ш, распространяющегося с волновым

1.5. Солитоны некерровских сред
41
числом к = п(и)и/с. Все гармоники высших порядков считаются столь
слабыми, что они не влияют на распространение поля с основной
частотой, определяемое НУШ. Однако, если в среде имеются поля
с несколькими частотами, они могут влиять на распространение
основной гармоники, если выполняется так называемое условие фазового
синхронизма [14]. Например, сильное взаимодействие между
основной частотой и и двумя другими частотами и\ и а>2 происходит при
условии согласования частот и обращении в нуль волновой
расстройки Ак = к — (к\ + к2). Такой вид трёхволнового смешения возможен
в среде, для которой нелинейность низшего порядка —
квадратичная и определяется восприимчивостью второго порядка х^« В случае
кубичной нелинейности, определяемой х » взаимодействие возможно
в виде процессов четырёхволнового смешения. Когда выполняется
какое-либо из таких резонансных условий, огибающая основной
составляющей поля становится сильно связанной с одним или несколькими
вторичными полями, так что единственное НУШ становится
недостаточным. В некоторых случаях нелинейная связь многих волн
приводит к многокомпонентным уединённым волнам, которые
значительно отличаются от обычных солитонов скалярного НУШ (см. гл. 10).
Даже для единственной волны в двулучепреломляющей среде её
ортогонально поляризованные компоненты могут становиться
связанными и формировать солитонную пару, компоненты которой взаимно
поддерживают друг друга. Такие векторные солитоны обсуждаются
в гл. 9.
Второй класс задач, для которых нарушается НУШ, связан с
пространственными солитонами, формирующимися в присутствие
некерровских нелинейностей (или неодномерного НУШ для керровской
среды). Действительно, хорошо известно, что (1 + 1)-мерное НУШ
с нелинейностью, более сильной, чем кубичная (например, степенной
нелинейностью вида |u|29u) имеет локализованные решения, которые
«взрываются» при распространении, так что на конечном расстоянии z
возникает сингулярность поля. Это явление происходит при условии
qD ^ 2, где q — степень нелинейности и D представляет размерность
(D+ 1)-мерного НУШ [76]. Этот взрыв (или коллапс) при конечных z
указывает, что (D + 1)-мерное НУШ становится неприменимым как
уравнение для огибающей, поскольку нарушается масштаб,
использованный при выводе в рамках асимптотического метода
многомасштабных разложений. Для пространственных солитонов это означает, что
при D = 2 для коллапса достаточно уже кубичной нелинейности \и\2и.
Если же D = 1, для коллапса требуется нелинейность пятого или более
высокого порядка. Появление коллапса пучка указывает на то, что
исходное НУШ следует модифицировать, учитывая эффекты высших
порядков, связанные с дисперсией высших порядков, вынужденным
комбинационным рассеянием или непараксиальностью
распространения пучка [77-81].

42
Гл. 1. Введение
Таким образом, хотя НУШ весьма полезно, рамки его
применимость должны быть аккуратно учтены. В нелинейной оптике НУШ
служит общей моделью для описания: 1) самоканалируемых пучков
в волноводах и сплошной нелинейной среде, таких как
пространственные солитоны; 2) оптических импульсов в волоконных световодах,
таких как временные солитоны; и 3) самофокусировки с возможным
коллапсом пучка. Когда обобщённое НУШ применимо в
качестве-основного приближения, все поправки к нему могут рассматриваться по
теории возмущений. Однако, включение поправок высших порядков
часто теряет смысл вблизи резонансов, где требуется другой подход.
В качестве примера приведём нарушение приближения огибающей
при распространении ультракоротких импульсов в поглощающей среде
с дисперсией [82].
1.6. Содержание книги
За последнее десятилетие сфера оптических солитонов расширилась
до степени, требующей всеобъемлющей книги, которая охватывала бы
не только фундаментальные аспекты, экспериментальные наблюдения
и некоторые приложения, но и прослеживала бы связь с другими
родственными областями, такими как быстро развивающееся
направление конденсации Бозе-Эйнштейна. Целью этой книги служит такое
всестороннее изложение оптических солитонов. Глава 1 включает
обзор основного материала и математических методов, необходимых для
понимания различных нелинейных эффектов, описываемых в
последующих главах.
В главе 2 основное внимание уделяется светлым
пространственным солитонам, связанным с (1 + 1)-мерным НУШ. В некоторых
случаях эти солитоны могут быть описаны точными аналитическими
решениями обобщённого НУШ. Одно из наиболее важных свойств
таких пространственно локализованных решений неинтегрируемых
нелинейных уравнений — это их устойчивость. Критерий устойчивости
анализируется совместно с понятием внутренних мод солитона при
рассмотрении свойств линейных задач на собственные значения,
связанных с пространственными солитонами. В этой главе также
обсуждаются некоторые аспекты неупругих столкновений солитонов в
реалистических физических моделях с выявлением отличий от
взаимодействия солитонов в интегрируемых моделях, таких как кубическое
НУШ, и в более реалистичных моделях некерровских нелинейно-
стей.
Глава 3 посвящена изучению временных солитонов в волоконных
световодах — вопросу, который привлёк значительное внимание из-за
фундаментальной природы и потенциальных приложений для волокон-
нооптических линий связи. Сначала рассматривается модуляционная
неустойчивость, чтобы подчеркнуть важность взаимодействия между
дисперсионными и нелинейными эффектами, которые могут возникать

1.6. Содержание книги
43
в волоконных световодах в режиме аномальной дисперсии. Далее
вводятся фундаментальные солитоны и солитоны высших порядков
вместе с основами метода обратной задачи рассеяния, используемого
для решения кубического НУШ. В последнем разделе анализируются
нелинейные и дисперсионные эффекты высших порядков.
Тёмные солитоны, связанные с (1 + 1)-мерным НУШ,
рассматриваются в гл. 4. Мы начинаем анализ со случая керровской среды, для
которого кубическое НУШ интегрируется, и затем обращаем основное
внимание на обобщённое НУШ, необходимое для описания некерров-
ских сред. Критерий устойчивости тёмных солитонов обсуждается при
использовании понятия перенормируемых инвариантов и прилагается
к нескольким различным нелинейным моделям. В отдельном разделе
этой главы рассматриваются эффекты, специфические для временных
тёмных солитонов.
Глава 5 охватывает брэгговские солитоны, которые могут
формироваться в нелинейной среде, линейный показатель преломления которой
периодически меняется в продольном направлении. Основное внимание
здесь уделяется одномерной слабомодулированной среде. Пример такой
среды представляют брэгговские решётки в волоконных световодах.
Понятие фотонной запрещённой зоны и вытекающие из её
существования дисперсионные эффекты обсуждаются с помощью теории
связанных мод. В главе описываются такие нелинейные эффекты как
модуляционная неустойчивость, а затем, главным образом, свойства
брэгговских солитонов. Обсуждается также явление нелинейного
оптического переключения как пример потенциальных приложений
брэгговских солитонов.
Глава 6 посвящена двумерным пространственным солитонам,
формирующимся в сплошной нелинейной среде, в которой дифракция
действует по обоим поперечным направлениям. Сначала
рассматривается поперечная неустойчивость, из-за которой вытянутый в одном из
поперечных направлений пучок распадается на набор устойчивых
двумерных солитонов, сохраняющих форму по обоим поперечным
направлениям. В этой главе обобщаются теоретические и экспериментальные
результаты по двумерным пространственным солитонам. Обсуждается
явление взаимодействия солитонов в сплошной среде, а также новый
вид двумерных самоканалированных пучков, обладающих угловым
моментом.
В главе 7 анализируется совместное действие пространственных
и временных эффектов при использовании (3 + 1)-мерного НУШ,
которое описывает самоканалирование и самофокусировку оптических
импульсов в объёмной нелинейной среде с дисперсией. Основное
внимание в этой главе уделяется коллапсу пучка и поперечным неустойчи-
востям, связанным с многомерными солитонами. Обсуждаются также
новые эффекты, связанные с пространственно-временной динамикой
и формированием световых пуль.

44
Гл. 1. Введение
Глава 8 посвящена физике оптических вихрей и оптических
вихревых солитонов. Вероятно, оптические вихри являются наиболее
интересными структурами, которые могут быть созданы
самофокусирующимся светом, поскольку они несут орбитальный угловой момент
света. В некотором смысле оптические вихревые солитоны можно
рассматривать как двумерное обобщение пространственных тёмных
солитонов, описываемых в гл. 4. Свойства оптических вихрей
обсуждаются в рамках (2+ 1)-мерного НУШ с подчёркиванием общих свойств
оптических вихрей и вихрей других полей. Экспериментальные
результаты по оптическим вихрям включают генерацию вихрей в средах
с нелинейной дефокусировкой, вращение и управление вихрей,
генерацию вихрей посредством модуляционной неустойчивости и оптический
аналог волнового эффекта Ааронова-Бома.
В главе 9 многие важные понятия, введённые в предыдущих главах,
обобщаются на случай векторных солитонов в одном и двух
пространственных измерениях. Векторные солитоны состоят из
нескольких компонент с различными частотами или поляризациями. Каждая
компонента солитона, в общем случае, не может выжить по
отдельности, но комбинация всех компонент создаёт устойчивый объект.
В сплошной нелинейной среде могут проявляться многие интересные
эффекты, такие как взаимодействие и спиральное движение, а
также формирование дипольных и мультипольных векторных солитонов.
Многие из этих эффектов наблюдались в эксперименте.
Глава 10 посвящена параметрическим оптическим солитонам,
называемым также квадратичными, причём нелинейные
параметрические взаимодействия происходят из-за наличия восприимчивости
второго порядка. Глава начинается с обсуждения параметрических
процессов и основных нелинейных уравнений. Затем
рассматриваются свойства одномерных квадратичных солитонов, включая вопросы
устойчивости и взаимодействия. Представлены также
экспериментальные результаты по генерации и столкновениям таких солитонов. В
заключительной части главы внимание сосредотачивается на солитонах
в средах с одновременно квадратичной и кубичной нелинейностями,
параметрических вихревых солитонах и их устойчивости, а также
других более специальных вопросах.
Дискретные солитоны служат предметом главы 11. Периодическая
структура, образованная системой связанных оптических волноводов,
создаёт новое устройство, в котором могут формироваться новые типы
пространственных солитонов. Сначала свойства пространственно
локализованных мод анализируются при использовании системы
уравнений, называемых дискретными НУШ. Затем мы представляем
альтернативный подход, в котором система волноводов моделируется как
последовательность тонкослойных нелинейных волноводов, помещённых
в линейную (в их отсутствии) диэлектрическую среду. Мы обсуждаем
модуляционную неустойчивость в такой нелинейной структуре и затем
останавливаемся на светлых и тёмных пространственных солитонах

1.6. Содержание книги
45
различного типа, связанных с этой неустойчивостью. Представлены
также экспериментальные результаты по формированию и управлению
пространственными солитонами в системе волноводов.
Новые представления, связанные с нелинейными фотонными
кристаллами, вводятся в главе 12. Фотонные кристаллы можно
рассматривать как оптический аналог полупроводников в том смысле, что
в них изменяют характеристики распространения света так же, как
атомная решётка изменяет свойства электронов посредством
запрещённых зон. Фотонные кристаллы с включёнными нелинейными неодно-
родностями создают идеальную среду для наблюдения локализованных
мод в форме солитонов. В этой главе мы сосредоточиваем внимание на
таких солитонах; их можно рассматривать как обобщение брэгговских
солитонов (гл.5) и дискретных солитонов (гл.11) на случай двух
и трёх измерений. Мы используем простую модель в форме двумерной
решётки диэлектрических стержней и показываем, что изолированный
дефект может поддерживать линейную локализованную моду и что
система таких дефектов создаёт волновод. Затем мы вводим
эффективное дискретное уравнение, способное описывать квазиодномерные
и двумерные пространственные солитоны в таких фотонных
структурах.
Класс некогерентных солитонов вводится в главе 13. В 1996 г.
было обнаружено, что оптические солитоны, которые, как обычно
считалось, требуют когерентности оптического излучения, в
действительности могут формироваться, даже если входное излучение только
частично когерентно, при условии, что время отклика нелинейной среды
существенно превосходит время когерентности. Сначала излагаются
различные теоретические методы, развитые для анализа некогерентных
солитонов. Затем в этой главе представлены экспериментальные
результаты, полученные при использовании фоторефрактивных
кристаллов с их относительно медленным нелинейным откликом.
Глава 14 посвящена некоторым важным понятиям, которые могут
быть связаны с теорией пространственных оптических солитонов, хотя
они не всегда представляются в этом контексте. Охватываемая
тематика включает нелинейные эффекты в жидких кристаллах,
самозаписанные постоянные волноводы в фоточувствительных материалах,
солитоны в присутствии усиления и потерь и солитоны, формирующиеся
в резонаторе с нелинейной средой (резонаторные солитоны),
самофокусировку в тонких магнитных плёнках, приводящую к формированию
магнитных солитонов и магнитных пуль, и солитоны материи в
конденсатах Бозе-Эйнштейна. Два последних раздела описывают
эффекты, которые имеют мало общего с оптикой. Мы включили эти
вопросы, чтобы продемонстрировать, как много понятий, связанных
с оптическими солитонами, являются общими для всей нелинейной
физики. Например, конденсаты Бозе-Эйнштейна анализируются при
использовании уравнения Гросса-Питаевского, почти
эквивалентного НУШ.

46
Гл. 1. Введение
Список литературы
1. Ablowitz M.J., Clarkson P. A. Solitons, Nonlinear Evolution Equations, and
Inverse Scattering. — N.Y.: Cambridge University Press, 1991.
2. Optical Solitons — Theory and Experiment / Ed. by Taylor J. T. — N.Y.:
Cambridge University Press, 1992.
3. Abdullaev F.K., Darmanyan 5., Khabibulaev P. Optical Solitons. — Berlin:
Springer, 1993.
4. Drazin P.G. Solitons: An Introduction. — N. Y.: Cambridge University Press,
1993.
5. Lamb G.L. Jr., Elements of Soliton Theory. — N. Y.: Dover, 1994.
6. Gu C.H. Soliton Theory and its Applications. — N. Y.: Springer, 1995.
7. Akhmediev N.N., Ankiewicz A. A. Solitons: Nonlinear Pulses and Beams. —
London: Chapman and Hall, 1997. [Имеется перевод: Ахмедиев И.И., Ан-
киевич А. А. Солитоны: нелинейные импульсы и пучки. — М.: Физматлит,
2003.]
8. Miwa Т. Mathematics of Solitons. — N. Y.: Cambridge University Press, 1999.
9. Russell J.S. Report of 14th Meeting of the British Association for
Advancement of Science, York, September 1844. P. 311-390.
10. Gardner С 5., Green J.M., Kruskal M.D., Miura R.M. // Phys. Rev. Lett.
1967. V. 19. P. 1095; Commun. Pure Appl. Math. 1974. V. 27. P. 97.
11. Zabusky N.J., Kruskal M.D. // Phys. Rev. Lett. 1965. V. 15. P. 240.
12. Shen Y.R. Principles of Nonlinear Optics. — N.Y.: Wiley, 1984. [Имеется
перевод: Шен И.Р. Принципы нелинейной оптики. — М.: Наука, 1989.]
13. Butcher P.N., Cotter D.N. The Elements of Nonlinear Optics. — Cambridge:
Cambridge University Press, 1990.
14. Boyd R. W. Nonlinear Optics. — San Diego: Academic Press, 1992.
15. Agrawal G.P. Nonlinear Fiber Optics, 3rd ed. — San Diego: Academic, 2001.
[Имеется перевод: Агравал Г. Нелинейная волоконная оптика. — М.: Мир,
1996.]
16. Chiao R. У., Garmire £., Townes C.H. // Phys. Rev. Lett. 1964. V. 13. P. 479.
17. Barthelemy A., Maneuf 5., Froehly G. // Opt. Commun. 1985. V. 55. P. 201.
18. Silberberg Y., Stegeman G.I. in Spatial Solitons, S. Trillo and W. Torruellas,
Eds. - N. Y.: Springer, 2001. Chap. 1.
19. McCall S.L., Hahn E.L. // Phys. Rev. Lett. 1967. V. 18. P. 908.
20. Hasegawa Л., Tappert F. // Appl. Phys. Lett. 1973. V. 23. P. 142.
21. Mollenauer L.F., Stolen R.H., Gordon IP. // Phys. Rev. Lett. 1980. V. 45.
P. 1095.
22. Hasegawa A., Kodama Y. Solitons in Optical Communications. — N.Y.:
Oxford University Press, 1995.
23. Haus HA., Wong W.S. // Rev. Mod. Phys. 1996. V. 68. P. 423.
24. Mollenauer L.F., Gordon J.P., Mamyshev P. V. Optical Fiber
Telecommunications III / Ed. by LP. Kaminow and T. L. Koch. — San Diego: Academic
Press, 1997. Chap. 12.
25. Agrawal G.P. Applications of Nonlinear Fiber Optics. — San Diego:
Academic, 2001).
26. Hasegawa A., Tappert F. // Appl. Phys. Lett. 1973. V. 23. P. 171.

Список литературы
47
27. Emplit P., Hamaide J.P., Reynaud F. et al. // Opt. Commun. 1987. V. 62.
P. 374.
28. Krokel D., Halas N.J., Giuliani G., Grischkowsky D. // Phys. Rev. Lett. 1988.
V. 60. P. 29.
29. Weiner A.M., Heritage J.P., Hawkins R.J. et al. // Phys. Rev. Lett. 1988.
V.61. P. 2445.
30. Weiner A.M., Thurston R.N., Tomlinson W.J. et al. // Opt. Lett. 1989. V. 14.
P. 868.
31. Andersen D.R., Hooton D.E., Swartzlander G.A. Jr., Kaplan A.E. // Opt.
Lett. 1990. V. 15. P. 783.
32. Swartzlander G.A. Jr., Andersen D.R., Regan J.J. et al. // Phys. Rev. Lett.
1991. V. 66. P. 1583.
33. Allan G.R., Skinner S.R., Andersen D.R., Smirl A.L. // Opt. Lett. 1991.
V. 16. P. 156.
34. Skinner S.R., Allan G.R., Andersen D.R., Smirl A.L. // IEEE J. Quantum
Electron. 1991. V. 27. P. 2211.
35. Luther-Dames В., Yang X. // Opt. Lett. 1992. V. 17. P. 496.
36. Ахманов С.А., Сухорукое А.П., Хохлов Р.В. // УФН. 1967. Т. 93. С. 19.
37. Svelto О. II Progress in Optics. V. XII / Ed. by E. Wolf. - Amsterdam:
North-Holland, 1974.
38. Berge L. 11 Phys. Rep. 1998. V. 303. P. 259.
39. Kelley PL. // IEEE J. Sel. Topics Quantum Electron. 2000. V. 6. P. 1259.
40. Stegeman G.I., Christodoulides D.N., Segev M. // IEEE J. Sel. Topics
Quantum Electron. 2000. V. 6. P. 1419.
41. Spatial Solitons // Ed. by S. Trillo, W. Torruellas. - N. Y.: Springer, 2001.
42. Reynaud F., Barthelemy A. // Europhys. Lett. 1990. V. 12. P. 401.
43. Born M., Wolf E. Principles of Optics, 7th ed. — N. Y.: Cambridge University
Press, 1999. [Имеется перевод: Борн М., Вольф Э. Основы оптики. — М.:
Наука, 1970.]
44. Захаров В.Е., Шабат А.Б. // ЖЭТФ. 1971. Т.61. С. 118.
45. Захаров В.Е., Шабат А.Б. // ЖЭТФ. 1973. Т. 64. С. 1627.
46. Захаров В.Е., Манаков СВ., Новиков СП., Питаевский Л.П. Теория
солитонов: Метод обратной задачи. — М.: Наука, 1980.
47. Luther-Davies В., Stegeman G.J. // Spatial Solitons / Ed. by S. Trillo and
W. Torruellas. - N.Y.: Springer, 2001.
48. Agrawal G.P. Fiber-Optic Communication Systems, 3rd ed. — N. Y.: Wiley,
2002.
49. Boardman A.D., Xie K. // Radio Science. 1993. V. 28. P. 891.
50. Захаров В.Е., Соболев В.В., Сынах B.C. // ЖЭТФ. 1971. Т. 60. С. 136.
51. Захаров В.Е., Сынах ВС. // ЖЭТФ. 1975. Т. 68. С. 940.
52. Kaplan A.E. // IEEE J. Quantum Electron. 1985. V. 21. P. 1538.
53. Mulder L.D., Enns R.H // IEEE J. Quantum Electron. 1989. V. 25. P. 2205.
54. Enns R.H, Mulder L.D. // Opt. Lett. 1989. V. 14. P. 509.
55. Gatz S., Herrmann J. // J. Opt. Soc. Am. B. 1991. V. 8. P. 2296; Opt. Lett.
1992. V. 17. P. 484.
56. Herrmann J. // Opt. Commun. 1992. V. 91. P. 337.
57. Snyder A. W., Sheppard A.P. // Opt. Lett. 1993. V. 18. P. 499.

48
Гл. 1. Введение
58. Krolikowski W., Luther-Davies В. // Opt. Lett. 1992. V. 17. P. 1414; Opt.
Lett. 1993. V. 18. P. 188; Phys. Rev. E. 1993. V. 48. P. 3980.
59. Valley G.C., Segev M.t Crosignani B. et al. // Phys. Rev. A. 1994. V. 50.
R4457.
60. Christodoulides D.N., Carvalho M.I. // J. Opt. Soc. Am. B. 1995. V. 12:
P. 1628.
61. PelinovskyD.E., Afanasjev V. V., Kivshar Yu.S. // Phys. Rev. E. 1996. V. 53.
1940.
62. Micallef R. W., Afanasjev V. V.y Kivshar Yu.S., Love D.J. // Phys. Rev. E.
1996. V. 54. 2936.
63. Lawrence В., Torruellas W.E., Cha M. et al. // Phys. Rev. Lett. 1994. V. 73.
P. 597.
64. Josserand C, Rica S. // Phys. Rev. Lett. 1997. V. 78. P. 1215.
65. Coutaz J.L., Kull M. // J. Opt. Soc. Am. B. 1991. V. 8. P. 95.
66. Gustafson Т.К., Kelley P.L.y Chiao R. K, Brewer R.G. // Appl. Phys. Lett.
1968. V. 12. P. 165.
67. Reichert J.£>., Wagner W.G. // IEEE J. Quantum Electron. 1968. V. QE-4.
P. 221.
68. Marburger J.H., Dawes E. // Phys. Rev. Lett. 1968. V. 21. P. 556.
69. Snyder A. W.% Mitchell D.Ly Poladian L., Ladouceur F. // Opt. Lett. 1991.
V. 16. P. 21.
70. Snyder A. W., Poladian L., Mitchell D.J. // Opt. Lett. 1992. V. 17. P. 789.
71. Snyder A. W., Mitchell D.J., Luther-Davies B. // J. Opt. Soc. Am. B. 1993.
V. 10. P. 2341.
72. Snyder A. W., Mitchell D.J., Kivshar Yu.S. // Mod. Phys. Lett. B. 1995. V. 9.
P. 875.
73. Snyder A. W.y Love D.J. Optical Waveguide Theory. — London: Chapman and
Hall, 1973. [Имеется перевод: Снайдер А.В., Лав Д. Д. Теория оптических
волноводов. — М.: Мир, 1987.]
74. Jeffrey A., Kawahara T. Asymptotic Methods in Nonlinear Wave Theory. —
London: Pitman, 1982.
75. Taniuti Т., Nishihara K. Nonlinear Waves. — Boston: Pitman, 1983.
76. Захаров B.E. // ЖЭТФ. 1972. T. 62. С 1745.
77. Feit M., Fleck J. // J. Opt. Soc. Am. B. 1988. V. 5. P. 633.
78. Fibich G. // Phys. Rev. Lett. 1996. V. 76. P. 4356.
79. Brabec Г., Krausz F. 11 Phys. Rev. Lett. 1997. V. 78. P. 3282.
80. Ranka J.K., Gaeta A.L. // Opt. Lett. 1998. V. 23. P. 534.
81. Lin Q., Wintner E. // Opt. Commun. 1998. V. 150. P. 185.
82. Oughstun K.E.y Xiao H. // Phys. Rev. Lett. 1997. V. 78. P. 642.
83*. Faraday M. // Philos. Trans. R. Soc. London. 1831. V. 122(11). P. 299.
84*. Аскарьян ГА. // ЖЭТФ. 1962. Т. 42. С. 1567.
85*. Власов С.Н., Таланов В. И. Самофокусировка волн. — Н. Новгород: ИПФ
РАН, 1997.
86*. Maimistov A.L, Basharov A.M. Nonlinear Optical Waves. — Dordrecht:
Kluwer, 1999.
87*. Беспалов В.И., Таланов В.И. // Письма в ЖЭТФ. 1966. Т. 3. С. 471.

Глава 2
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СОЛИТОНЫ
Пространственные солитоны в некерровских нелинейных средах
обладают свойствами, резко отличающимися от тех, которые вытекают
из точно интегрируемого НУШ. Эта глава посвящена обсуждению
свойств солитонов, описываемых неинтегрируемым обобщённым НУШ.
В разделе 2.1 представлены примеры явных аналитических решений
для светлых пространственных солитонов в случае самофокусировки.
Устойчивость некерровских солитонов рассматривается в разделах 2.2
и 2.3. В частности, в разделе 2.2 основное внимание уделяется важной
роли внутренних мод солитонов, а линейный анализ устойчивости
кратко описан в разделе 2.3. В разделе 2.4 введено понятие вложенных
солитонов. В разделах 2.5 и 2.6 мы обсуждаем эффекты
взаимодействия солитонов в неинтегрируемых нелинейных моделях с примерами,
относящимися к НУШ с нелинейностью третьего и пятого порядков
и другим возмущённым НУШ. Результатам экспериментов по
генерации, взаимодействию и управлению пространственными солитонами
в сплошной нелинейной среде и в нелинейных вол ново ix посвящен
раздел 2.7. Хотя основное внимание в этой главе уделяется светлым
пространственным солитонам, рассмотрение в разделах 2.4-2.6
применимо также к временном солитонам.
2.1. Аналитические решения
Свойства оптических солитонов в некерровских средах
определяются обобщённым НУШ (1.2.12), с которым мы познакомились в 1.2.3.
Если положить пп\(1) = щР(1) (ri2 > 0), использовать
безразмерные переменные (1.2.13) и остановиться на волноводной геометрии,
(1 + 1)-мерное НУШ примет вид
где / = \и(х, z)\2 — интенсивность излучения и функция F(I)
характеризует нелинейные свойства среды, причём F(0) = 0.
Как обсуждалось в гл. 1, в частном случае керровской
нелинейности [F(I) = /] НУШ (2.1.1) может быть точно проинтегрировано мето-

50
Гл. 2. Пространственные солитоны
дом обратной задачи рассеяния. Односолитонное решение кубического
НУШ имеет следующую наиболее общую форму [1]:
и(х, z)=asch[a(x - Vz)] exp [iVx + i(V2 - a2)z/2 + itp], (2.1.2)
где ip — произвольная фаза. Для пространственного солитона
параметры а и V связаны, соответственно, с амплитудой и поперечной
скоростью солитона. Если V ф 0, солитон распространяется под углом
к оси z и V характеризует скорость поперечного смещения солитона.
Интегрируемое кубическое НУШ связано с бесконечным числом
сохраняющихся величин, называемых интегралами движения [1, 2].
Первые три интеграла определяют мощность Р, импульс М и
гамильтониан Н солитона. Они определяются так:
оо оо
Р= [ \ufdx, М = г [ (u*xu-uxu*)dx, (2.1.3)
— С» —ОО
Н = \ J(K|2-H4)dx, (2.1.4)
—оо
где их означает частную производную их = ди/дх.
Обобщённое НУШ (2.1.1) не может быть проинтегрировано
методом обратной задачи теории рассеяния. Однако оно всё же может
иметь пространственно локализованные решения, сохраняющие форму
при распространении. Чтобы найти такие солитоноподобные
решения (2.1.1), предположим, что они имеют вид
u(x,z) = <f>(x;P)ei(3z, (2.1.5)
где /3 — постоянная распространения солитона (/? > 0) и функция
Ф(х;/3) стремится к нулю при |х| —> оо. Наиболее важной
сохраняющейся величиной для такого солитона служит его энергия Р,
определяемая как
оо оо
Р((3)= | \u(x,z)\2dx= J Ф2(х;/?)<*г. (2.1.6)
—оо —оо
Пространственно локализованные решения (2.1.1) в ряде частных
случаев могут быть найдены в явной аналитической форме 0. Эти
случаи включают степенную нелинейность [3], конкурирующую
нелинейность [4] (в том числе нелинейность третьего-пятого порядков [5]),
О Для произвольного вида нелинейности F(I) решением вытекающего
из (2.1.1) обыкновенного дифференциального уравнения для функции Ф(х)
нетрудно найти в квадратурах обратную функцию х(Ф). Характер решения
очевиден из аналогии с одномерным движением классической частицы
единичной массы в поле с потенциалом U = F(I)dI — (31, где / = Ф2. (Прим. ред.)

2.1. Аналитические решения
51
частный случай насыщающейся нелинейности [6] и пороговую
нелинейность [7]. При двухстепенной конкурирующей нелинейности
нелинейный член в (2.1.1) имеет вид
F(I) = aP + jI2Py
(2.1.7)
где а и 7 — постоянные, выбранные так, чтобы обеспечить насыщение
нелинейности с ростом интенсивности, aj < 0. Параметр р может
меняться, что меняет форму нелинейности. Например, р = 1 для
нелинейности третьего-пятого порядков [8-12], тогда как р= 1/2 для
квадратично-кубичной нелинейности [13]. Другие значения
параметра р описывают более экзотические типы нелинейности [14].
Подставив (2.1.5) и (2.1.7) в (2.1.1), мы получим обыкновенное
дифференциальное уравнение второго порядка для Ф, после однократного
интегрирования которого найдём (в предположении Ф > 0)
ЛФ
dx
/?Ф2 - т-SLr, Ф2'+2 - -r^-jr Ф4р+2 + С
н (р+1) (2р+1)
li/2
(2.1.8)
где С — постоянная. Так как для светлого солитона должны
выполняться условия Ф = 0 и d<b/dx = 0 при |х| —> оо, находим, что С = 0.
В результате (2.1.8) легко проинтегрировать, введя замену переменной
ф = Ф~2р. Окончательно солитонное решение и3(х, z) имеет вид
и3(х, г) =
1 1/(2р)
ch (Dx) + В
№
(2.1.9)
где вещественные параметры A, D и В определены следующим образом
A = 2(p+l)B(3/a, D = 2ps/2J3, (2.1.10)
В = В± = ±
(1+2р)а2
1-1/2
(2.1.11)
a /3 можно считать произвольным параметром. В частном случае р = 1
уравнение (2.1.9) описывает светлые солитоны, связанные с НУШ
третьей-пятой степени, которое изучалось как важное для физики
обобщение кубического НУШ [5],[8-12]. Член пятой степени возникает
при включении восприимчивости пятого порядка.
Решение (2.1.9) полезно во многих отношениях. Например, когда
исчезает один из нелинейных членов в (2.1.7), это решение описывает
солитоны, связанные со степенной нелинейностью [3]. Так, при а = 1
и 7 = 0 солитонное решение можно записать в виде (полагаем В = 1)
u(x,z) = (A/2)l^hchl/p(Dx/2)ei(3z
(2.1.12)
Оно сводится к светлому солитону в керровской среде при р = 1.
Алгебраический вид солитона можно получить в пределе /3 —► +0.

52
Гл. 2. Пространственные солитоны
В этом пределе при а < О решение (2.1.9) сводится к следующему
(1+р)(1+2р)/|а| 1,/(2р)
Ua\(x) =
(2.1.13)
[2р2(1 + 2р)х2 + (1 +р)2(7/а2)_
Такой солитон называется алгебраическим, так как при |х| —* оо его
амплитуда убывает степенным образом в виде и&\(х) ~ \х\~1/р. Это
решение служит обобщением двух частных решений, найденных в [13]
при р = 1/2 и р= 1.
2.2. Устойчивость солитона и внутренние моды
Уединённые волны в некерровских нелинейных средах сохраняют
свою форму, но их устойчивость не гарантирована из-за
неинтегрируемости исходного обобщённого НУШ. Действительно, устойчивость
солитонов по отношению к малым возмущениям весьма важна,
поскольку в эксперименте могут наблюдаться только устойчивые (или
слабо неустойчивые) самоканалируемые пучки. Вопрос устойчивости
изучался в нескольких разных аспектах, включая оптику, плазму
и жидкости. Устойчивость однопараметрического семейства
уединённых волн хорошо изучена для случая фундаментальных (одногорбых)
солитонов [15-27]. Основной результат, известный как критерий Ва-
хитова-Колоколова, был математически строго обоснован в
последующей работе [17]. Выведенные там для скалярного НУШ теоремы
об устойчивости и неустойчивости могут быть обобщены на случай
многопараметрических солитонов [28].
В линейном анализе устойчивости рассматривают эволюцию малого
возмущения, изменяя солитонное решение следующим образом:
и(х, z) = {Ф(х;/?) + [v(x) - w(x)] eiXz + [v*(x) + w*{x)]e-iX*z\ e^\
(2.2.1)
где v(x) и w(x) представляют малые возмущения. Подставив (2.2.1)
в исходное НУШ (2.1.1) и линеаризовав получившееся уравнение,
найдём, что v(x) и w(x) удовлетворяют линейным уравнениям на
собственные значения
L0w = \v, L\v = \wy (2.2.2)
Ь = -Ъ^ + Р-и> (i = o.i), (2.2.3)
где Uq = F(I) и U\ — F(I) 4- 2I(dF/dI) зависят от х через
интенсивность I(x) = |Ф(х)|2.
Солитонное решение уравнения (2.1.1) устойчиво, если ни одна
из мод линейной задачи на собственные значения (2.2.2) не растёт
экспоненциально с ростом z. Это возможно, если все собственные
значения вещественны, то есть если Im(A) = 0. Оказывается, что
связанная с континуумом часть спектра собственных значений, отвечающих

2.2. Устойчивость солитона и внутренние моды 53
уравнению (2.2.2), состоит из двух симметричных ветвей, таких что
собственные значения вещественны и их абсолютная величина |А| > (3.
Моды дискретного спектра разделяются на три следующих категории:
— нейтрально устойчивые внутренние моды с вещественными
собственными значениями;
— моды неустойчивости с мнимыми собственными значениями;
— моды колебательной неустойчивости с комплексными
собственными значениями.
Так как неустойчивость солитонов возникает только в неинтегри-
руемых моделях, можно задать вопрос: какие особые свойства таких
уединённых волн ответственны за эти неустойчивости? Обычно
считают, что солитоны интегрируемых и неинтегрируемых моделей
отличаются только по характеристикам взаимодействия, то есть, в отличие
от случая «собственно» солитонов, взаимодействие некерровских
солитонов сопровождается испусканием рассеянного излучения 0 [23].
Однако, представленный в этом разделе анализ устойчивости
показывает, что различие куда более существенно. Более точно, некерровские
солитоны обладают свойствами, которые являются общими и
возникают независимо от того, имеет ли уравнение (2.2.2) дискретные
собственные значения, подчиняющиеся условию |А| < (3. Например,
даже сравнительно слабое возмущение интегрируемого НУШ может
привести к возникновению внутренней моды солитона [26]. Анализ
таких внутренних мод находится вне рамок стандартной теории
возмущений, так как солитоны интегрируемых НУШ не обладают ими.
В неинтегрируемом случае такие моды могут привнести качественно
новые свойства в динамику системы и, в частности, породить новые
неустойчивости солитонов V.
Чтобы показать общий характер внутренних мод в
неинтегрируемых НУШ, рассмотрим слабо возмущённое кубическое НУШ и
предположим, что нелинейный член в (2.1.1) имеет вид
F(I) = I + ef(I), (2.2.4)
О В оригинале термин «radiation» используется в двух смыслах. Во-первых,
он описывает здесь вообще оптическое излучение, к которому относятся и
солитоны. Во-вторых, он обозначает ту часть излучения, которая принадлежит
как раз несолитонной части (неограниченные волны, волны сплошного
спектра) и возникает при перестройке или взаимодействии солитонов. Во
избежание недоразумений в переводе термин «излучение» применяется в широком
смысле (равносильно «оптическому излучению»), а во втором варианте (волны
сплошного спектра) мы будем говорить о «рассеянном излучении» или «излу-
чательных модах». (Прим. ред.)
2) Внутренние моды представляют и самостоятельный интерес, так как
служат собственными возбуждениями, например, солитонов конденсата Бозе-
Эйнштейна (см. гл. 14), несущими информацию о свойствах этого конденсата
[101*]. При учёте эффектов, нелинейных по амплитуде возмущений,
внутренние моды затухают [102*-104*]. (Прим. ред.)

54
Гл. 2. Пространственные солитоны
где е — малый параметр, а /(/) представляет отклонение от керровской
нелинейности. Возмущённое солитонное решение можно выразить так:
Ф(ж;/?) = Ф0(х) + еФх(х) + 0(е2),
(2.2.5)
-А.
I. A
1* Т
о
-A.lt
где Фо(х) = у/2(3 sch(\/2/?x) отвечает солитону кубического НУШ, а
Ф^гг) — локализованная поправка, определяемая с помощью (2.1.1)
и (2.2.4). В первом порядке по е возникающие в линеаризированной
задаче на собственные значения (2.2.2) потенциалы Uq и U\ имеют вид
С/0 = Ф§ + eU0, С/, = ЗФ§ + eUx, (2.2.6)
U = ДФ2) + 4Ф0Ф1, Й = /(Ф?) + 2Ф§/'(ф2) + 12Ф0Фь (2.2.7)
где штрих означает дифференцирование по /.
Линейную задачу на собственные значения (2.2.2) можно решить
точно при € = 0 [29]. На рис. 2.1, а показано расположение
собственных значений в комплексной плоскости А (вещественные значения
вдоль вертикальной оси). В
керровском случае дискретный
спектр содержит только одно
вырожденное собственное
значение А = 0, которое
отвечает так называемой нейтральной
моде. Как видно из рис. 2.1,6,
малое возмущение создаёт
внутреннюю моду за счёт
возникновения двух симметричных
дискретных собственных значений.
Эти собственные значения
отщепляются от полос
сплошного спектра. Если предположить,
что частоты отсечки (Ат = ±/?)
не сдвигаются из-за
возмущений, собственное значение
внутренней моды на верхней
ветви можно записать в виде
А = /? — е2^2, где к
определяется выражением [26]
-А.
Рис. 2.1. Иллюстрация процесса
возникновения неустойчивостей некерров-
ских солитонов: а) спектр собственных
значений керровских солитонов,
включая нейтральную моду
(вещественные А); б) возникновение
внутренней моды; в) столкновение внутренней
и нейтральной мод. Во всех случаях
кружки показывают дискретные
значения, а заштрихованные области
отвечают непрерывному спектру
вещественных собственных значений
оо
х=^| [v(x,P)UXV{x;(3) + W{x,/3)U0W(x;/?)] dr. (2.2.8)
— oo
Здесь V(x\f3) и W(x\f3) — собственные функции
кубического НУШ, вычисленные на краю сплошного спектра, равные
V{x\P) = 1-2 sch2(4/2^x) и W{x\P) = 1.

2.2. Устойчивость солитона и внутренние моды 55
В качестве важного примера рассмотрим случай НУШ (2.1.1) с
нелинейной функцией
F{I) = I + el\ (2.2.9)
Поправка первого порядка к профилю солитона будет
ф ,х) = \/2/35/2[2ch(2^x) + &(Ау/20х))
3&ъ(у/5(1х)
(2.2.10)
С помощью (2.2.8) нетрудно показать, что солитон возмущённого НУШ
при е > 0 обладает внутренней модой, у которой собственное значение
для верхней спектральной ветви (см. рис. 2.1) даётся выражением
A = /?[l-(^)V + 0(s4)l. (2.2.11)
При больших интенсивностях последний член в (2.2.9) столь велик,
что солитонное решение и соответствующий линейный спектр
приходится определять численно. На рис. 2.2, а показана зависимость мощ-
Мощность
2,5,
2
1,5
1
0,5
ol
V
II 1111
) о,:
i ■
^\
1 . 1 . 1 . 1 . 1
0,001 0,01 0,1 1
Рис. 2.2. Мощность солитона Р(/3) (а) и дискретные собственные значения (б),
отвечающие внутренней моде солитона (сплошные линии) и моде
неустойчивости (штриховые линии). Пунктирные линии во вставке показывают
аналитическую асимптотическую зависимость [27]
ности солитона Р(/3) от постоянной распространения /3, вычисленной
при использовании (2.1.6). Соответствующие дискретные собственные
значения линеаризированной задачи (2.2.2) показаны на рис. 2.2, б

56
Гл. 2. Пространственные солитоны
(см. также рис. 2.1). Представлены как численные, так и
приближённые аналитические результаты. Из рис. 2.2 следует несколько выводов.
Во-первых, приближённая теория (пунктирные линии во вставках)
приводит к достаточно точным результатам для солитонов с малой
интенсивностью, для которых /? < 0.1. Во-вторых, наклон зависимости
мощности изменяется от положительного до отрицательного в точке
/3 = /Зсг, где внутренние моды солитона сливаются с нейтральными
модами и расщепляются на моды неустойчивости, как это показано
на рис. 2.1, в. В этой точке характер солитона и его устойчивости
изменяется из-за появления пары чисто мнимых собственных
значений, величина которых показана пунктирной кривой на рис. 2.2, б. Как
показано в разделе 2.3, имеется прямая связь между устойчивостью
солитона и наклоном зависимости Р((3).
Около (3 = /?сг динамику неустойчивого солитона можно описать
приближённым уравнением, полученным методом многомасштабных
разложений (см. 2.3.3). Однако в общем случае для изучения эволюции
неустойчивого солитона необходимы численные расчёты. В качестве
примера на рис. 2.3 показаны два различных сценария эволюции
солитона, неустойчивого в линейном приближении. В случае рис. 2.3, а
возмущение было выбрано так, что оно увеличивало мощность солитона,
что приводит к неограниченному росту амплитуды солитона и коллапсу
пучка. В случае рис. 2.3, б возмущение уменьшает мощность солитона
на малую величину, что ведёт к его дифракционному расширению
и распаду. Наконец, если в рассматриваемой модели имеются другие
типы солитона (например, с меньшей амплитудой), то неустойчивый
солитон может превратиться в другой солитон, если последний
устойчив. Таким образом, в зависимости от характера нелинейности, могут
существовать три различных сценария динамики солитонов,
вызванной неустойчивостью [25].
Рис. 2.3. Эволюция возмущённого неустойчивого солитона при е = 1 и /? = 2,
демонстрирующая коллапс (а) и распад (б) солитона. Начальная мощность
отличается от мощности невозмущённого солитона на 1 % [27)

2.3. Критерий устойчивости
57
2.3. Критерий устойчивости
В общем случае решить задачу на собственные значения (2.2.2)
аналитически затруднительно. Однако анализ существенно упрощается
для фундаментальных солитонов с единственным горбом, когда узлы
отсутствуют. В этом разделе мы сосредоточимся на таком случае и
выведем критерий устойчивости для светлых солитонов.
2.3.1. Линейный анализ устойчивости. Система (2.2.2),
состоящая из двух уравнений на собственные значения, может быть сведена
к одному уравнению вида
Ь0Ь{у = \2у. (2.3.1)
Для устойчивости требуется, чтобы А2 было положительным.
Нетрудно видеть, что А2 должна быть вещественной. Учитывая, что 2L0 =
= L+L-, где
L±==4+•-(=)• <2'3'2»
мы можем рассмотреть вспомогательную задачу на собственные зна-
чения
L-LlL+v = 2\2v, (2.3.3)
которая сводится к (2.3.1) после подстановки v = L+v. Так как
оператор L~L\L+ эрмитов, все собственные значения А2 уравнений (2.3.1)
и (2.3.3) должны быть вещественными. Это исключает возможность
колебательной неустойчивости для фундаментальных солитонов.
Свойства операторов Lo и L\ хорошо известны из спектральной
теории дифференциальных операторов второго порядка [30]. Мы
используем два общие математические результата этой теории. Во-первых,
для любого линейного оператора L, удовлетворяющего уравнению на
собственные значения L(pn = \п<рп, собственные значения всегда могут
быть упорядочены так, что An+i > Ап, где целое число п ^ 0 определяет
число нулей соответствующей собственной функции <рп. Во-вторых,
собственные значения «более глубокой» потенциальной ямы становятся
меньше (сдвиг вниз).
Обсудим сначала свойства оператора Lq и обозначим его
собственные значения через А0,п- Низшее собственное значение — нулевое и
отвечает нейтральной моде, то есть ЬоФ(х;(3) = 0. Так как Ф(х;/3) > 0 —
это фундаментальное решение без узлов, то А0,„ > Ао.о = 0 для п > 0.
Поэтому оператор L0 положительно определён в подпространстве
функций, ортогональных Ф(х; /?). Это свойство позволяет нам
использовать некоторые общие теоремы для того, чтобы связать устойчивость
солитона с числом отрицательных собственных значений оператора L\,
как это обсуждается в [20-22]. Обозначим собственные значения
оператора L\ через \\tTl. Справедливы два вывода: 1) солитоны
неустойчивы, если имеются два или более отрицательных собственных значения,
то есть если Aiti < 0; 2) солитоны всегда устойчивы, если оператор L\

58
Гл. 2. Пространственные солитоны
положительно определён. В промежуточном случае устойчивость со-
литона определяется наклоном зависимости Р(/3), так что солитон
устойчив, если дР/д/3 > 0 и неустойчив в противном случае. Это
условие называется критерием Вахитова-Колоколова [15]. Его вывод
приводится в следующем разделе.
2.3.2. Критерий Вахитова-Колоколова. При выводе критерия
Вахитова-Колоколова мы следуем [15]. Во-первых, отметим, что для
фундаментальных солитонов без узлов оператор Lq положительно
определён для любой функции, ортогональной Ф(х;/3), так что
обратный оператор L^1 существует в пространстве функций, ортогональных
Ф(х;/?). Применяя этот обратный оператор Ь^х к уравнению (2.3.1),
мы получим другую задачу на собственные значения:
Lxv = \2L~xvy (2.3.4)
где v(x) удовлетворяет условию ортогональности
(и|Ф)= [ v*(x)$(x;(3)dx = 0 (2.3.5)
—оо
и предполагается выполненным условие нормировки (v\v) = 1. Затем,
умножив обе части (2.3.4) на v*(x) и проинтегрировав по х, получим
А2 = ^г. (2.3.6)
(v\L0 v)
Так как знаменатель в этом уравнении положителен для любого v,
удовлетворяющего уравнению (2.3.5), знак этого отношения зависит
только от числителя. Поскольку неустойчивость возникает только если
Л2 < 0 (так что А — мнимая величина), неустойчивость может
появиться при условии
mm(v\L\v) < 0. (2.3.7)
Чтобы определить минимум в (2.3.7) при ограничении (2.3.5) и
нормировке (v\v) = 1, используем метод множителей Лагранжа и ищем
минимум функционала
С = (v\Lxv) - x(v\v) - /х(и|Ф) (2.3.8)
с вещественными неизвестными параметрами х и //. Без потери
общности полагаем /х ^ 0 (в противном случае изменяем знак функции v{x)).
Экстремумы функционала С можно найти из условия SC/6v* = 0, где S
означает вариационную производную. В результате получим
Ь\у = ху + ^Фу (2.3.9)
где величины х и \х должны быть выбраны так, чтобы удовлетворялись
уравнение (2.3.5) и условие (v\v) = 1. Из этого уравнения следует, что
(v\L\v) = x(v\v). Поэтому солитон неустойчив тогда и только тогда,
когда существует решение с х < 0.

2.3. Критерий устойчивости
59
Оператор L\ обладает полным набором ортогональных собственных
функций, таких, что ((рп\<Ртп) = О, если пфтп [30]. Собственные
значения L\ принадлежат дискретному (Ai,n < /3) и непрерывному (Ai?n ^ /?)
спектру (см. (2.2.3)). Полагая собственные функции нормированными,
мы можем разложить v(x) так:
оо
v(x) = *EDn<pn(z)+ \Dn<pn{x)d\x,n, (2.3.10)
ь
где суммирование проводится по дискретным собственным значениям
оператора L\. Коэффициенты в (2.3.10) даются соотношением Dn =
= (<pn\v)- Функцию Ф(х,/3) можно разложить аналогичным образом
с коэффициентами Сп = (<^П|Ф)- С учётом (2.3.9) коэффициенты Dn
равны
d«=t£^) <2-ЗЛ1>
при хф Ai>n.
Чтобы найти множитель Лагранжа х, подставим (2.3.10) и (2.3.11)
в условие ортогональности (2.3.5), что приводит к соотношению
оо
Q(x) = (у\Ф) = Y. C"Dn + J CnD*nd\Xtn = 0. (2.3.12)
(3
Как указывалось ранее, неустойчивость возникает, если это уравнение
имеет решение с к < 0. Так как низшие моды операторов Lq и L\y
соответственно, Ф(х;/3) и </?о, не имеют нулей, коэффициент Со ф 0.
Из вида (2.3.12) следует, что Q(x) > 0, если х < \\$. Поэтому (2.3.12)
имеет решения только при х > Ajto. В свою очередь это указывает, что
если Aito ^ 0, то стационарное состояние Ф(х;/3) устойчиво.
Согласно (2.3.11) и (2.3.12), функция Q(x) монотонна на интервале
(—оо, оо) при /х > 0 и Aito < ус < AitTl, где п ^ 1 отвечает низшему
собственному значению с Сп ф 0. Отсюда непосредственно следует, что
неустойчивость появляется, если Aiti < 0 и С\ ф 0. С другой стороны,
если С\ = 0, то соответствующая мода ip\ удовлетворяет уравнению
(2.3.9) и ограничению (2.3.5) при х = Ajfi и /i = 0. Следовательно
неустойчивость всегда присутствует, если Aiti < 0.
Последний возможный сценарий отвечает А^о < 0, но Ai,i ^ 0. Так
как моды с х = X\tTl не приводят к неустойчивости, ищем решения
с /х > 0. Тогда, поскольку Ai,n > Ai,i ^ 0 при п ^ 2, знак х определяется
величиной Q(0). Если Q(0) > 0, функция Q(x) обращается в нуль
при некотором х < 0, что указывает на неустойчивость, и
напротив, устойчивость при Q(0) < 0. Из (2.3.9) и (2.3.12) следует, что
<2(0) = (Ь^1рФ\Ф). Чтобы вычислить эту величину,
продифференцируем соотношение ЬоФ — 0 по /3, что даёт
Ь.Ц = -Ф. (2-3.13)

60
Гл. 2. Пространственные солитоны
Это уравнение показывает, что знак Q(0) противоположен знаку
производной dP/df3. Поэтому солитонное решение устойчиво тогда, когда
dP/d/З > 0. Это и есть критерий Вахитова-Колоколова устойчивости
солитонов.
Изложенный подход справедлив для оператора L\ общего вида,
например, когда НУШ включает явную зависимость от х, как в случае
волноводов. Важный случай описывает устойчивость солитонов в
однородной среде, когда F(I) не зависит явно от х. В этом случае
фундаментальный солитон имеет симметричный профиль с единственным
максимумом, и d$/dx представляет нейтральную моду оператора L\
первого порядка; то есть \\,\ = 0. Ясно, что устойчивость солитона
снова непосредственно связана со знаком dP/dfi.
Предшествовавший анализ устойчивости следует сравнить с более
общей теоремой устойчивости Ляпунова, которая утверждает, что
устойчивое решение (в смысле Ляпунова) отвечает экстремуму
гамильтониана консервативной системы при условии, что он ограничен снизу.
Для НУШ солитонное решение служит стационарной точкой
гамильтониана Н при фиксированной мощности Р, и оно может быть найдено из
вариационной задачи 6(Н + (ЗР) = 0. Чтобы доказать устойчивость по
Ляпунову, необходимо показать, что гамильтониай имеет минимум при
фиксированном значении Р. Это можно вывести строго для керровской
среды, для которой F(I) = / [18]. Действительно, можно показать, что
H>Hs + (VF-y/P3), (2.3.14)
где индекс s обозначает величины, вычисленные для солитона НУШ.
Условие (2.3.14) доказывает устойчивость солитона и для малых, и для
любых по амплитуде возмущений. Аналогичное соотношение может
быть найдено для некерровской нелинейности, и оно согласуется с
критерием Вахитова-Колоколова [18].
2.3.3. Граница устойчивости: асимптотический анализ.
Представленный выше линейный анализ устойчивости показывает, что
солитоны в однородной среде неустойчивы, если наклон кривой Р(/3)
отрицателен, то есть когда dP/d(3 < 0. Около граничной точки
устойчивости /3 = /Зсг, определяемой условием (dP/dJ3)p=pct = 0, инкремент
неустойчивости мал. Около этой точки мы можем применить
аналитический асимптотический метод, который описывает не только
линейную неустойчивость, но и длительную эволюцию неустойчивых
солитонов. Такой подход основан на нетривиальной модификации теории
возмущений солитонов [23], которая обычно применяется для анализа
динамики солитонов под действием внешних возмущений. Здесь же
мы имеем дело с качественно иной физической ситуацией, в которой
неустойчивый светлый солитон эволюционирует под действием «своих
собственных» возмущений.
Основная идея асимптотического метода состоит в том, что вблизи
граничной точки устойчивости постоянная распространения солитона /3

2.3. Критерий устойчивости
61
медленно меняется вдоль направления распространения. Так как
инкремент неустойчивости вблизи /3 = (3СТ мал, можно предположить, что
форма возмущённого солитона эволюционирует почти адиабатически
при изменении z (то есть, солитон остаётся самоподобным). Поэтому
солитонное решение уравнения (2.1.1) можно записать в виде
z
и = ф(х\ /?; Z) ехр
(2.3.15)
\if30z + ie\p(Z')dZ'l
L о J
где /3 = /?о + £2ft(Z), Z = ez и е < 1. Постоянное значение /30 выбрано
в окрестности граничной точки потери устойчивости (Зст. Применяя
метод многомасштабных разложений в виде
ф{х\ /?; Z) = Ф(х; /3) + е3ф3(х; /?; Z) + 0(е4), (2.3.16)
мы получим следующее уравнение для малого изменения ft постоянной
распространения /3 (см. детали в [31]):
где Р(/3) вычисляется при использовании стационарного солитонного
решения (2.1.5) и М((3) определяется следующим соотношением
—оо О
dx>0. (2.3.18)
Если интерпретировать это уравнение как описывающее динамику
частицы с эффективной массой М, можно прийти к выводу, что
динамика солитонов, подчиняющихся обобщённому НУШ (2.1.1), вблизи
граничной точки потери устойчивости /3 = (Зст может быть описана
простым приближением коллективной координаты. Более точно,
динамика такая же, как у эффективной (инерционной) частицы с массой
■М(/?сг). координата которой ft меняется под действием потенциальной
силы, пропорциональной разности Ро - Р(/3), где Р0 = Р(Ро)- Первые
два члена в (2.3.17) отражают результат линейной теории
устойчивости, согласно которой солитон линейно неустойчив, если dP/d(3 < 0.
Последний нелинейный член в (2.3.17) позволяет описывать
долговременную нелинейную динамику неустойчивого солитона. Это уравнение
можно использовать для выявления качественно различных сценариев
вызванной неустойчивостью динамики солитонов вблизи граничной
точки неустойчивости [25, 31].
2.3.4. Колебательная неустойчивость. Когда условия
применимости критерия Вахитова-Колоколова [15] нарушаются (например, для
солитонов с узлами), исследование устойчивости солитонов требует
численных расчётов. В этом случае не удаётся предложить простые
критерии устойчивости, включающие инварианты системы. Когда одно

62
Гл. 2. Пространственные солитоны
d
<
<
i
-'.'.
» +
»t
'о
u
>t
I
-A.
i
Рис. 2.4. Схематическое изображение
процесса возникновения
колебательной неустойчивости солитона,
порождаемой слиянием двух внутренних
мод. Кружки показывают собственные
значения на комплексной плоскости,
а вертикальные линии отвечают
вещественным Л. Заштрихованные области
обозначают полосы сплошного спектра
или более дискретных
собственных значений
становятся комплексными,
соответствующая неустойчивость
называется колебательной, так как
рост возмущений имеет
колебательный характер.
Колебательные неустойчивости часто могут
быть связаны с резонансом
между двумя или более внутренними
модами солитона или с
резонансом между внутренней модой
солитона и модой, расположенной
на краю сплошного спектра.
Последний случай показан
схематически на рис. 2.4.
Один из первых примеров
колебательной неустойчивости со-
литонов был найден в 1991 г.
при анализе НУШ с
параметрическим возбуждением и
затуханием вида [32]
.ди
1^
+ 2 0*2
+ \и\ги = he2tzu* - iyu,
где h — возбуждающая сила и 7 учитывает потери,
имеет точное солитонное решение
где
и(х, z) = А+ sch(A+x) exp [i(z — 0+/2)],
A% = 1 + y/h2 - 72 , 0+ = arcsin (7//1).
(2.3.19)
Это уравнение
(2.3.20)
(2.3.21)
Колебательная неустойчивость возникает при е > еСТ « 0,1196, где
е = 2y/h2 -72 /А\. Поскольку эта неустойчивость сохраняется в
пределе 7 —» 0 [32], она представляет пример колебательной
неустойчивости в однородных нелинейных гамильтоновых системах. Колебательная
неустойчивость была также найдена для нелинейных направленных
волн в слоистой среде [33, 34]. В действительности эта неустойчивость
характерна для солитонов, описываемых когерентными связанными
НУШ (см. гл. 9) и параметрических солитонов (гл. 10).
Систематический анализ колебательной неустойчивости был
выполнен в 1988 г. в случае щелевых солитонов [35] в рамках теории
связанных мод (см. гл. 5). В частном случае эта система
интегрируема, и это обстоятельство использовалось для изучения бифуркации
отщепления новых собственных значений от края сплошного
спектра, аналогично случаю скалярного слабо возмущённого кубического

2.4. Вложенные солитоны
63
НУШ [26]. Отщепляющиеся собственные значения отвечают
внутренним модам щелевого солитона, а столкновение двух таких собственных
значений приводит к колебательной неустойчивости, характеризуемой
парой комплексных собственных значений с положительной
вещественной частью, аналогично изображённому на рис. 2.4 сценарию.
Существование колебательной неустойчивости обычно связывают с
многопараметрическими уединёнными волнами, описываемыми
связанными НУШ. В случае щелевых солитонов двумя независимыми
параметрами служат их частота и скорость. Другой пример
колебательной неустойчивости найден для векторных солитонов,
распространяющихся в волоконном световоде с двулучепреломлением при наличии
сноса, само- и кросс-модуляции фазы и эффектов четырёхволнового
смешения [36]. Колебательная неустойчивость может также
наблюдаться для тёмных солитонов, подчиняющихся дискретному НУШ [37].
В последнем случае даже слабая естественная дискретность может
приводить к колебательной неустойчивости. В дискретных системах
колебательная неустойчивость может возникать в результате резонанса
между излучательной модой и единственной внутренней модой, либо
между двумя внутренними модами солитона.
2.4. Вложенные солитоны
Многие свойства солитонов могут быть поняты на основании
анализа спектра линейных волн исходного нелинейного уравнения. Так как
солитоны определяются НУШ, содержащим одну или более
производных второго порядка, соответствующий дифференциальный оператор
имеет собственные значения, которые обязательно лежат вне
непрерывного спектра. Ситуация изменяется для солитонов, описываемых
однокомпонентным НУШ, содержащим производные высшего порядка,
или двумя или большим числом связанных НУШ. В этом случае может
оказаться, что частота солитона лежит внутри полосы непрерывного
спектра линейных волн. Тогда существование локализованных
решений необходимо изучать как задачу взаимодействия солитона с
излучением, состоящим из линейных волн [38].
Пространственно локализованные решения, сосуществующие с
линейными волнами, известны как вложенные солитоны [39].
Примеры таких солитонов найдены большей частью в случае нелинейных
задач, описываемых системой уравнений типа НУШ или уравнением
Кортевега- де Фриза с высшими производными [40-49]. Большинство
эффектов, характерных для вложенных солитонов, связано с
фундаментальными свойствами соответствующих линейных уравнений [50].
Линейные уравнения не только определяют асимптотику поля вдали
от солитона, но и предоставляют существенную информацию о
возможных типах солитонных решений. В этом разделе мы рассмотрим
вложенные солитоны, используя простое обобщение НУШ.

64
Гл. 2. Пространственные солитоны
Для большей общности рассмотрим НУШ вида
.ди , 1 дги . д и , ,-,/, ,2\ п /п л i\
1Тг + 2^+е^ + ПЩ)и = 0' (2А1)
где нелинейный член имеет такой вид:
F(\u\2)u = \и\2и + Ъ |^|2W + 72|U|^ -7зН4«. (2.4.2)
Производная четвёртого порядка в (2.4.1) может возникнуть при
континуальной аппроксимации дискретной модели, используемой для
системы волноводов (см. гл. 11), или происходить от дисперсии высших
порядков в случае временных солитонов.
Рассмотрим сначала линейные решения уравнения (2.4.1) в виде
плоских волн u(z,x) = щехр(1(Зг + Исх), полагая F = 0. Постоянная
распространения этих плоских волн должна удовлетворять
дисперсионному соотношению
/3 = -Lk2 + ek4. (2.4.3)
Минимальное значение постоянной /Зт = — (16s)"1 достигается при
к2 = к^ = 1/(4е). Поэтому сплошной спектр занимает
полубесконечную полосу, такую, что рш < Р < оо.
Линейное уравнение, получающееся из (2.4.1) после подстановки
F = 0, имеет следующую функцию Грина, описывающую волны,
уходящие на бесконечность:
w-ZTFzii-^+!;•?•«)■ (*«>
Постоянные к и х получаются из дисперсионного уравнения (2.4.3)
и определяются выражениями
к2 = ^{у/\ + 16е/3 + 1), х2 = ^(х/1 + 16е/3 - 1). (2.4.5)
На интервале /?ш < /3 < 0 в функции Грина нет
экспоненциально убывающего члена, так как х становится чисто мнимым. При
Р < Рт = —1/(1 бе) функция Грина меняет вид:
Gls(x) = 1±e-*MSm(kx + ip), (2.4.6)
где к2 - х2 = 1 и 2хк = у//Зт +/3. Такой вид функции Грина
показывает, что хотя при /3 < рт может существовать солитоноподобное
решение (2.4.1), оно асимптотически затухает, так как теряет энергию,
отдавая её излучению со сплошным спектром. Из анализа функции
Грина вытекают следующие выводы.
— Солитоны с постоянной распространения Р < рт обладают
экспоненциально убывающими осциллирующими «хвостами», поскольку
они отдают энергию линейным волнам.

2.4. Вложенные солитоны 65
— Диапазон /?т < /3 < 0 вообще не может отвечать солитонным
решениям, так как тогда в функции Грина нет асимптотически
убывающих членов.
— Случай /3 > 0 отвечает квазилокализованным колебаниям,
таким, что одна из компонент функции Грина локализована в
пространстве, тогда как другая описывает стоячую волну с постоянной
амплитудой.
Предшествовавшее рассмотрение показывает, что солитонные
решения уравнения (2.4.1) с /3 > 0, как правило, связаны с излучением
линейных волн. Однако, некоторые из таких решений могут
становиться неизлучающими, и тогда они отвечают вложенным солитонам.
Чтобы найти условия, при которых отсутствуют потери на рассеянное
излучение, рассмотрим решения линеаризированного уравнения в
присутствии распределённой силы /(х), приложенной на малом интервале
вблизи х = 0. Общее решение такого линейного уравнения вне области
приложения силы может быть найдено с помощью функции Грина
и даётся выражением
и(х) = (1 + \6eP)-V2[iQ(k)e-ikW + P(k)e~^% (2.4.7)
kQ{k) = [ f{x)eikx dx, хР{х) = [ f(x)eHX dx. (2.4.8)
Осциллирующая часть решения асимптотически убывает, если
удовлетворяется условие Q(k) = 0. Это условие приводит к определённым
значениям параметров, при которых возможны неизлучающие солитоны.
В качестве простого примера рассмотрим обобщённое НУШ (2.4.1)
с 72 = 7з = 0 в (2.4.2). Солитонное решение стандартного НУШ вида
гиперболического секанса
u(xyt) = Bsc\i{xx)ei(*z (2.4.9)
становится неизлучающим солитоном — решением (2.4.1), если
Q(k) = 0. Полагая f(x) = \и(х)\, приводим это условие к виду
\и(х)\ cos(kx)dx = 0. Оно может быть удовлетворено при следующем
выборе параметров:
к2 = Зт^ „2 = 71_142| р = (7L^6\2 _ 1 (2АЮ)
271 271 V 71 / 4' v '
при В2 = (24/71)*2 = (12/7?)(7i - 12).
В другом примере асимметричная двугорбая локализованная
структура вида
и(х, z) = A sh (хх) sch2(xx) e1/3°2 (2.4.11)
становится точным неизлучающим солитоном, когда к2 = Их2, х2 =
= 0,1, /30 = 0,11 и А = у/б/5 [51]. Любое отклонение от этих точных
значений параметров приводит к возникновению рассеянного
излучения. Действительно, решение (2.4.11) является одйим из многих

66
Гл. 2. Пространственные солитоны
локализованных решений аналогичного вида, состоящих из двух
сдвинутых по фазе солитонов типа НУШ, устроенных так, что линейное
излучение захвачено в промежутке между солитонами и полностью
подавлено во внешней области. На рис. 2.5 показана зависимость
мощности Р(/3) для дискретного набора стационарных локализованных
решений уравнений (2.4.1) и (2.4.2) при 7j = 0. Все эти решения имеют
вид двухсолитонных неизлучающих состояний и могут быть названы
двугорбыми вложенными солитонами (см. также [49]). Для малых /3
эти решения выглядят как два солитона НУШ со стоячей волной
рассеянного излучения, удерживаемой между ними.
— 100 —
Рис. 2.5. Зависимость Р(0) для двугорбых вложенных солитонов (кружки).
Чёрный кружок отвечает точному решению, а пуктир указывает мощность для
двух солитонов НУШ. Внизу даны два примера для значений /?, отмеченных
стрелками [40]
Необходимо подчеркнуть, что условия существования вложенных
солитонов и найденный для ряда частных случаев их аналитический
вид не служат доказательством того, что аналитический вид таких
солитонов может быть найден во всех случаях. Однако, эти результаты
действительно показывают, что структура солитонов определяется как
свойствами дисперсионного соотношения линеаризованного уравнения,
так и видом нелинейных членов в исходном обобщённом НУШ. По-

2.5. Столкновения солитонов
67
этому многие из локализованных солитонных решений, найденных
в [52-56] для уравнений типа НУШ с высшими дисперсионными
членами, являются в действительности вложенными солитонами.
Соответственно, они будут порождать рассеянное излучение, если
конкретные соотношения между параметрами солитона не будут соблюдены
в точности.
Самым интригующим свойством вложенных солитонов служит их
динамика под действием возмущений, до сих пор изученная для
обобщённой системы генерации второй гармоники и для модели Кортевега-
де Фриза с дисперсией пятого порядка [39, 47, 48]. И численные,
и аналитические результаты указывают, что вложенные солитоны
полуустойчивы. Это означает, что когда возмущение увеличивает
мощность (или импульс) вложенного солитона, возмущённое состояние
асимпотически приближается к вложенному солитону, тогда как если
возмущение уменьшает мощность (или импульс) вложенного солитона,
возмущённое состояние распадается на излучательные моды. Более
того, когда вложенный солитон возмущён, он испускает
однонаправленное излучение сплошного спектра, причём, вообще говоря, амплитуда
такого излучения конечна при любой величине возмущения.
2.5. Столкновения солитонов
Как видно из (2.1.2), пространственные солитоны могут
распространяться под углом к оси z. Такие солитоны представляют значительный
практический интерес, так как они позволяют управлять направлением
излучения. В рамках обобщённого НУШ (2.1.1) можно ввести понятие
поперечной скорости солитона V, используя преобразование Галилея,
поскольку оно позволяет преобразовать любой стационарный солитон
в движущийся солитон согласно следующему правилу:
u(*f z\ V) -> и(х - Vz, z) exp (iVx - iV2z/2), (2.5.1)
где скорость V называют также скоростью сдвига солитона. Поэтому
два движущихся в поперечном направлении солитона могут
сталкиваться друг с другом. В этом разделе мы обсудим свойства таких
столкновений в нелинейных системах, описываемых НУШ (2.1.1).
2.5.1. Столкновения керровских солитонов. Среди различных
солитонов, описываемых (1 + 1)-мерным обобщённым НУШ, только
частный случай керровской нелинейности интегрируется методом
обратной задачи рассеяния. В число многих свойств интегрируемых
уравнений входит существование точных аналитических решений,
описывающих упругое взаимодействие любого числа солитонов — так
называемые iV-солитонные решения. В этом случае обычно сложное
нелинейное взаимодействие пространственно локализованных волн сводится
асимптотически к простой линейной суперпозиции, так что
столкновения не искажают солитоны, за исключением появления некоторого фа-

68
Гл. 2. Пространственные солитоны
зового сдвига. Сдвиг положений солитонов после столкновений может
быть использован в различных подходах к оптическому переключению,
как показано в [57].
Решение в виде керровского солитона кубического НУШ
даётся уравнением (2.1.2). Параметр V представляет скорость солитона
в поперечном направлении х. С физической точки зрения солитон
распространяется в направлении, составляющем с осью z угол,
называемый углом отклонения, величина которого зависит от значения V.
Интегрируемость кубического НУШ предоставляет нам также явные
аналитические решения, которые описывают упругое взаимодействие
произвольного числа солитонов вида (2.1.2). После окончания
взаимодействия амплитуда a,j и скорость Vj j-ro солитона
восстанавливаются.
Упругий характер взаимодействия идентичных солитонов связан
с существованием бесконечного числа сохраняющихся интегралов
движения в случае кубического НУШ. При взаимодействии N солитонов
с параметрами dj и Vj три сохраняющиеся величины Р, М и Я,
определённые в (2.1.3) и (2.1.4), остаются постоянными и даются
выражениями
P = 2JTajt M-AJTajVj, H = £ {a-Vf - \afj . (2.5.2)
Во время столкновения два сталкивающихся солитона
сливаются, прежде чем разойтись. Метод обратной задачи рассеяния можно
использовать, чтобы найти полное поле до, во время и после
столкновения. В качестве примера представим здесь аналитический вид
двухсолитонного решения, описывающего два идентичных солитона,
распространяющихся вдоль оси z, таких, что а\ = а2 = а и V\ = V2 = 0,
то есть, со скоростями, обращающимися в нуль на бесконечности.
Взаимодействие солитонов описывается аналитическим выражением [58]
, v _ Sia[2axsh (2ах) - ch (2ох) - Aia2z ch (2ах)} /9- 2гч /о с on
U{X'Z) ch(4a*) + l+8aV + 32aV «P(*"*). (2'5-3)
которое имеет единственный максимум \и\ = 4а при х = z = 0, что
указывает на полное перекрытие солитонов в этой точке.
2.5.2. Столкновения некерровских солитонов. В случае некер-
ровских нелинейных сред солитоны взаимодействуют неупруго, так
как (2.1.1) не интегрируется методом обратной задачи рассеяния и
точные N-солитонные решения более не существуют. Неинтегрируемость
приводит к ряду интересных эффектов, наблюдаемых
экспериментально. Многие из эффектов неинтегрируемости можно увидеть на простом
примере НУШ третьей-пятой степени, которое дополнительно к кубич-

2.5. Столкновения солитонов
69
ной нелинейности |u|2u включает нелинейный член пятой степени \и\4и
и записывается в виде
.ди , 1 а и , . .о I i4 /Л г- ^ч
где е характеризует величину возмущения.
Когда е относительно мало, неупругие эффекты, связанные с
неинтегрируемостью, приводят к следующему. В первом порядке по е
результат столкновения двух солитонов с одинаковой амплитудой кри-
Рис. 2.6. Столкновения двух солитонов в рамках НУШ третьей-пятой степени
(2.5.4) при е = —0,2 и трёх значениях их относительной фазы в
тически зависит от их относительной фазы в. На рис. 2.6
иллюстрируется столкновение двух солитонов с совпадающей амплитудой для
трёх значений в при е = 0,2. Два солитона притягивают друг друга при
равенстве фаз (9 = 0) и сливаются, когда угол столкновения меньше
некоторой критической величины. В отличие от случая керровских
солитонов, они не формируют периодическую структуру, так как со-
литоны не остаются неизменными после столкновения. Два
противофазных солитона (в = 7г) отталкиваются, как показано на рис. 2.6, в.
В промежуточном случае, приведённом на рис. 2.6, б, взаимодействие
солитонов сопровождается сильным энергообменом; в наиболее ярком
случае один из солитонов может даже исчезнуть. Эти свойства
радикально отличаются от свойств, проявляемых керровскими солитонами:

70
Гл. 2. Пространственные солитоны
присутствие в (2.5.4) члена пятой степени приводит к неупругости
столкновения солитонов.
Во втором порядке по е дополнительные неупругие эффекты
вызываются рассеянным излучением, которое испускается во время
столкновения солитонов. Такое излучение приводит к изменениям амплитуд
солитонов, независимо от относительной фазы между двумя солито-
нами. Однако, в случае неупругих стокновений трёх (или большего
числа) солитонов обмен энергией между сталкивающимися
уединёнными волнами может происходить без участия рассеянного излучения.
Аналогичные неупругие эффекты вызываются возбуждением
внутренних мод.
В случае двух солитонов с одинаковыми амплитудами, но
противоположными скоростями, сталкивающихся внутри некерровской среды,
в узком диапазоне относительной фазы солитонов их столкновение
становится сильно неупругим, даже если возмущения, вызываемые
членом £, очень малы. Сравнительно большой обмен мощностью,
импульсом и энергией между двумя солитонами может происходить
практически без испускания рассеянного излучения, так что суммарные
значения этих трёх величин сохраняются. Это явление реализуется для
солитонов в различных нелинейных средах, и его основные свойства
можно получить, численно решая НУШ третьей-пятой степени (2.5.4),
хотя конкретный вид возмущения не столь важен [59]. Результаты
показаны на рис. 2.7 для трёх значений относительной фазы солитонов.
Во всех случаях значения мощности Р, импульса М и энергии Н
вычислялись после столкновения и сравнивались с соответствующими
значениями до столкновения.
Траектории двух сталкивающихся солитонов показаны на рис. 2.7
в плоскости x—z изображением линий равной интенсивности для
|Re(u)| > 0,3. Солитоны предполагаются идентичными, но
обладающими противоположными скоростями (V\ = -V2 = 0,05). В
противофазном случае рис. 2.7, а, когда два солитона взаимно отталкиваются
и не перекрываются во время столкновения, это столкновение
практически упругое. В случаях рис. 2.7, б и рис. 2.7, в, в которых солитоны
приблизительно софазны и притягиваются друг к другу, столкновение
неупругое. Когда относительная фаза солитонов равна нулю,
столкновение симметрично, как это видно из рис. 2.7,6. Из-за испускания
рассеянного излучения наблюдается небольшое изменение импульса
солитонов М, но их мощность Р и энергия Н почти не меняются.
Напротив, на рис. 2.7, в, где относительная фаза мала, но отлична
от нуля, наблюдается существенный обмен между солитонами всеми
тремя сохраняющимися величинами.
При \е\ =0,02 мощность солитона меняется на 20%. Их импульс
М также существенно возрастает, что указывает на увеличение
скорости солитонов после столкновения. Такая высокая чувствительность
к величине е наблюдается в узком диапазоне относительной фазы
солитонов, близкой к нулю. Вне этого диапазона влияние возмущений

2.5. Столкновения солитонов
71
200
N
S
5
>стр
g. 100
ина рас
£
0
Г * *
S * a
X 5 е
. s г
х х
• •
! г
1 1
1\
х х
i \
iii I iii
-10 0 10 -10 0 10 -10 0 10
Поперечное расстояние х
Рис. 2.7. Траектории двух пространственных солитонов при е = —0,02 и трёх
значениях относительной фазы солитонов: в = 7Г (а), 0 = 0 (б) и 0 = —0,08 (в).
Два солитона имеют одинаковые амплитуды, но противоположные скорости
(Vi = —V2 = 0,05). Контуры интенсивности получены численным решением
НУШ третьей-пятой степени. (Рисунок подготовлен С. В. Дмитриевым)
на два-три порядка слабее [59], и основные эффекты вызваны
рассеянным излучением, испускаемым сталкивающимися солитонами.
2.5.3. Хаотическое и фрактальное рассеяние солитонов. Так
как неупругие эффекты между двумя сталкивающимися солитонами
усиливаются при убывании их относительной скорости, интересно
рассмотреть предельный случай V\ = V2 = 0. Такие два солитона движутся
вдоль оси z, и расстояние между ними меняется при перекрывании их
хвостов из-за нелинейной связи, вызванной фазовой кросс-модуляцией.
Оказывается, что в этом случае наиболее интересные явления
происходят, если солитоны обладают неравными амплитудами [60].
На рис. 2.8, а показана эволюция двух сталкивающихся солитонов
с отношением амплитуд а2/а\ = ^/9/8 при использовании
интегрируемого кубического НУШ (е = 0); изображены области, где Re(u) > 0,35.
Эти два солитона притягиваются и отталкиваются периодическим
образом. Однако из-за различия амплитуд солитонные периоды Т\ и Т2 для
этих двух солитонов различаются. Отметим, что солитонный период
обратно пропорционален амплитуде, Т\/Т2 = 9/8. Это рассогласование
приводит к колебательному движению с периодом Т = 8Т\ = 9Т2.
Поэтому два перекрывающихся солитона с соизмеримыми
периодами пТ\ = гпТ2, где п и га — положительные целые числа, можно
рассматривать как составное двухсолитонное состояние с периодом
Г = пТ\ = тТ2. Если отношение га/га или тп/п — несократимая дробь
с большими значениями п и га, период Т также велик. Для
иррационального отношения период Г бесконечен и динамика солитонов
становится хаотической.
1\
i
х
\
• в
\S\ I 111

72 Гл. 2. Пространственные солитоны
400
* 300
ее
X
X
а
200
100
0
-5 0 5 х -5 0 5 х
Рис. 2.8. Траектории двух сталкивающихся солитонов с различными
амплитудами (аг/ai = \/9/8) и нулевой скоростью для кубического НУШ (а) и слабо
возмущённого НУШ (б). (Рисунок подготовлен СВ. Дмитриевым)
На рис. 2.8,6 показано, как меняются траектории солитонов при
введении слабой дискретности НУШ, которая играет роль
возмущения [60]. В этом случае притяжение солитонов (когда они софазны),
не полностью компенсируется отталкиванием (когда они не в фазе).
В результате среднее расстояние между солитонами становится всё
меньше и меньше, и наконец солитоны сталкиваются. Другим
важным проявлением возмущения служит обмен энергией и импульсом,
происходящий во время столкновения. После столкновения солитоны
приобретают противоположные скорости и двухсолитонное состояние
распадается на два независимых солитона.
Чтобы более детально изучить распад двухсолитонного состояния
на два отдельных солитона, варьировалась начальная разность фаз
между двумя солитонами и вычислялись скорости солитонов после
распада. Полный импульс двухсолитонной системы должен сохраняться
(именно поэтому после распада солитоны движутся в
противоположных направлениях). В верхней секции рис. 2.9 изображены скорости V\
и Ц как функции относительной фазы в. Видно, что структура са-
моподобна на различных масштабах — свойство, связанное обычно с
фрактальным рассеянием. Это свойство видно и в четырёх остальных
секциях рис. 2.9. Каждая последующая секция показывает
расширенный интервал, отмеченный на секции выше жирной горизонтальной
полосой. Коэффициенты последовательного расширения на рис. 2.9 равны
17,0, 9,45, 10,1 и 9,96. При каждом масштабе функция Vj(9) (j = 1,2)
содержит чередующиеся плавные и хаотические участки. Однако при
большем увеличении каждый хаотический участок вновь включает
хаотические и плавные области. В некоторых секциях ширина плавных
11111. 11
■ ■ i 11

2.5. Столкновения солитонов
73
областей стремится к нулю, а их плотность — к бесконечности. В то же
время высота отклонений сохраняется на всех масштабах. Это значит,
что чувствительность скорости Vj(0) к разности фаз в становится
бесконечно большой. Фрактальная структура скорости солитонов
демонстрирует хаотическую природу слабо возмущённого НУШ.
Относительная фаза
Рис. 2.9. Фрактальная природа взаимодействия солитонов. Каждая секция
рисунка показывает зависимость скорости солитонов после расщепления от
относительной фазы солитонов для пяти различных масштабов. Расширяемый
интервал показан горизонтальной полосой [60]
Фрактальная природа рассеяния солитонов имеет простое
физическое объяснение. Как можно видеть из рис. 2.9, хаотические области
возникают там, где экстраполяция гладких областей приводит к
приблизительно нулевой скорости. В этих областях солитоны приобретают
после столкновения столь малую скорость, что они не могут преодолеть
их взаимного притяжения, и они вновь сталкиваются. Во время
второго столкновения солитоны могут приобрести кинетическую энергию,
достаточную для разрыва связи (из-за обмена импульсом), но всё же
имеется конечная вероятность того, что приобретённая кинетическая
энергия недостаточно велика для разрыва. В последнем случае соли-

74
Гл. 2. Пространственные солитоны
тоны сталкиваются в третий раз, и т.д. Такие множественные
столкновения приводят к резонансному обмену энергией между солитонами
и к фрактальной структуре, показанной на рис. 2.9.
2.5.4. Многосолитонные взаимодействия. Как уже
обсуждалось, упругое столкновение двух солитонов в керровской среде
приводит только к сдвигу их фаз и координат. В случае нескольких
взаимодействующих солитонов сдвиг равен сумме парциальных сдвигов,
происходящих из-за отдельных столкновений с каждым солИтоном [1].
Это означает, что в идеальном случае интегрируемого кубического
НУШ так называемые многочастичные эффекты отсутствуют. Однако,
даже сравнительно слабое возмущение может изменить это свойство.
Для изучения многосолитонных взаимодействий можно вновь
использовать НУШ третьей-пятой степени (2.5.4), рассматривая параметр е
как малое возмущение. Уже в трёхсолитонном случае нетривиальные
эффекты проявляются, в первом порядке по еу при любом значении
относительных фаз между солитонами. В общем случае скорости всех
трёх солитонов после столкновения изменяются [61] .
Аналитические результаты можно получить, рассматривая
столкновение быстро движущегося солитона с амплитудой а/ и скоростью V)
с симметричной парой, составленной двумя медленно движущимися
солитонами с равными амплитудами а3 и противоположными
скоростями V3. В этом частном случае необходимо считать V/ > V3 > а3.
Записав приближённый вид трёхсолитонного решения
и « uf(Vf) + usl(Vs) + usl(-K5), (2.5.5)
мы можем вычислить изменения параметров солитонов за время
столкновения, применяя теорию возмущения солитонов, основанную на
методе обратной задачи рассеяния [61]. Если начальные амплитуды
медленных солитонов равны, скорости солитонов после столкновения
можно записать в виде V} = Vf + AVf и Vs' = V3 - AVS, причём
изменения скорости
AVf = -24еЩ- G(6), AV3 = 48e^ G(6). (2.5.6)
Параметр S = а3(х$ — x^) характеризует начальное расстояние
между двумя медленными солитонами, а функция G(S) определяется так:
и она обращается в нуль в пределах S —>0 и J->oo. В первом
порядке по е амплитуды солитонов не меняются. Нетрудно видеть, что
результаты (2.5.6) согласуются с законами сохранения.
Аналитическое выражение (2.5.6) справедливо в сравнительно
узкой области параметров солитонов. Тем не менее, такие же
свойства видны из численных результатов, показанных на рис. 2.10 для

2.6. Бризеры и связанные состояния солитонов
75
я 0,0025
Б 0,002
| 0,0015
S 0,001
| 0,0005
а> л
х и
| -0,0005
S -0,001
-0,0015
-0.002
ill,,
-
sI2 / \
/
_Л 1 1
\ /
\ /
\ У
1 1 1 1 1
-3,5-3-2,5-2-1,5-1-0,5 0 0,5
Расстояние между солитонами
Рис. 2.10. Изменения скоростей солитонов в зависимости от расстояния хо
между медленно движущейся парой солитонов, которая сталкивается с быстро
движущимся солитоном. Три типа символов указывают численные результаты
для трёх солитонов при е = 0,01 [62]
е = 0,01 [62]. Понятно, что изменения скоростей медленно движущейся
пары солитонов вызваны обменом энергией между тремя солитонами
во время столкновения. Как и следовало ожидать, обмен энергией
сильно зависит от расстояния между сталкивающимися солитонами
в момент столкновения, и он исчезает при больших расстояниях между
солитонами. Интересно, что обмен энергией исчезает также, когда
центры медленных солитонов почти совпадают.
2.6. Бризеры и связанные состояния солитонов
В рамках точно интегрируемого кубического НУШ связанные
состояния, формируемые несколькими солитонами, не существуют.
Однако два или более солитонов НУШ могут образовывать составное
состояние, называемое бризером. Бризер является локализованной
структурой, форма которой периодически осциллирует вдоль z, преобразуясь
периодически из двугорбой в одногорбую. В общем случае такое
решение периодично с периодом Т = 7r/(af - a\). В вырожденном случае
а{ =а,2 = а оно сводится к (2.5.3), описывающему взаимодействие двух
солитонов с равными амплитудами.
Интегрируемость НУШ позволяет получать различные типы бри-
зерных решений как частные случаи более общих JV-солитонных
решений при нулевых скоростях и совпадающих координатах
солитонов. Частный вид двухсолитонного бризера отвечает выбору амплитуд
ах = 3/2 и а2 = 1/2. Этот бризер интересен, поскольку при z = 0 он
имеет простой вид u(0,x) = 2sch(rr). Такое решение кубического НУШ
имеет форму [63]
и(х, z)
i*/2
_ 4(ch3s + 3e4i2 chape
~~ (ch4x + 4ch2:r + 3cos4z)'
(2.6.1)

76
Гл. 2. Пространственные солитоны
Этот бризер часто называют солитоном второго порядка, потому
что он отвечает выбору N — 2 для общего солитона TV-го порядка,
порождаемого входным полем u(0,z) = Nsch(x).
В присутствии возмущений периодические решения типа (2.6.1) не
существуют. Диссипативные возмущения всегда приводят к распаду
бризера; распад может сопровождаться развалом бризера на
составляющие его солитоны [64-67]. Однако более интересна динамика в случае
консервативных возмущений, таких как высшие порядки
нелинейности или дисперсии. Если входное поле имеет вид и(0у z) = 2sch(x),
первоначально по-прежнему формируется бризер, но он не периодичен.
Динамика первоначально сформированного бризера зависит от знака
возмущения [68, 69]. В случае НУШ третьей-пятой степени (2.5.4)
бризер сохраняется при е < 0 (самофокусировочная нелинейность
пятого порядка), но часть его энергии преобразуется в рассеянное
излучение. Это сопровождается перестройкой внутренней структуры бризера,
которую можно рассматривать как рост солитона с большей
амплитудой (а\ = 3/2) за счёт солитона с меньшей амплитудой (аг = 1/2).
Распад солитона с меньшей амплитудой описывается уравнением [70]
а2(г) = [а-3(0)+Г2]-1/3, (2.6.2)
где Г = (3/4)£26§[2ai(0) +a2(0)]3 и 60 и 1,987 получено из численных
расчётов [71]. В противоположном случае е > О (самодефокусировоч-
ная нелинейность пятого порядка) бризер асимметрично расщепляется
на два солитона с различными амплитудами [68, 69]. Расщепление
может быть усилено взаимодействием бризера со слабым пучком [72].
Расщепление бризера можно понять на основе простой физики.
В случае самофокусировки индивидуальные солитоны НУШ,
составляющие бризер, притягивают друг друга и распространяются вместе.
Даже слабая самодефокусировочная нелинейность пятого порядка
ведёт к отталкиванию солитонов, из-за чего два солитона удаляются друг
от друга [68]. Более того, разделяющиеся солитоны выталкиваются
из исходного бризера с конечной скоростью, как это следует из
показанных на рис. 2.11 (справа) результатов численных расчётов. Этот
эффект хорошо описывается теорией возмущений [69], как это видно
из рис. 2.И (слева). Работа, выполняемая силой возмущения по
движению солитона, определяет асимптотическую скорость первоначально
стационарной частицы после её выталкивания.
Как обсуждалось в разделе 2.4, многие свойства солитонов неинте-
грируемого НУШ зависят от характера асимптотики соответствующих
линейных уравнений. В частности, включение производных высших
порядков может приводить к солитонам с убывающими
осциллирующими хвостами, перекрытие которых представляет новый тип
взаимодействия между солитонами. Действительно, осциллирующие хвосты
могут вызывать эффективный захват соседних солитонов, так что они
располагаются в потенциальных минимумах, создаваемых хвостом со-

2.6. Бризеры и связанные состояния солитонов
77
Рис. 2.11. Двухсолитонное связанное состояние (бризер НУШ) под действием
отталкивающего возмущения пятого порядка с е w 0,08. Слева: результаты
теории возмущений. Справа: численные результаты. Оба солитона разбегаются
с ненулевой скоростью [69]
седнего солитона, отделённого потенциальным барьером. Этот
сценарий взаимодействия солитонов приводит к формированию связанных
состояний солитонов [73]. В качестве примера рассмотрим снова
обобщённое НУШ с дополнительным членом — производной четвёртого
порядка [74]
.ди , &*и д4и
dz дх2 дх4
(2.6.3)
где член с четвёртой производной включён со знаком минус.
Ищем стационарные локализованные решения (2.6.3) в виде
u(z,x) = U(x)exp(i/3z), тогда для амплитуды солитона U мы получим
следующее обыкновенное дифференциальное уравнение:
<?Ц d2U
' dxA dx2
ри + и3 = о.
(2.6.4)
Уравнение (2.6.4) отвечает гамильтоновой системе в фазовом
пространстве, образуемом U и производными dU/dx. Его локализованные
решения могут быть найдены только численно. Однако, при /3 = 0,16
уравнение (2.6.4) имеет точное решение вида [53, 54]
U(x) = у/а sch2(6x),
(2.6.5)
где а = 0,3 и Ь = \/20. Хотя другие солитонные решения
уравнения (2.6.4) могут быть найдены только численно, можно определить
асимптотическое поведение, пренебрегая нелинейным членом.
Подставив и ~иоехр(Ах) в линеаризованное уравнение, мы получим для А
алгебраическое уравнение четвёртой степени, корни которого
V2
[iiv/П^З]'/2.
(2.6.6)

78
Гл. 2. Пространственные солитоны
Это соотношение показывает, что при /3 > /?сг = 0,25 все
локализованные решения имеют осциллирующие убывающие хвосты, поскольку
параметр Л имеет ненулевую мнимую часть. В этом случае солитоны
могут соединяться друг с другом, формируя многосолитонные
связанные состояния. Простой анализ показывает, что такие связанные
состояния могут быть симметричными (софазными) или асимметричными
(противофазными), и они неустойчивы [38].
2.7. Экспериментальные результаты
Эксперименты с пространственными солитонами в
действительности предшествовали наблюдению в 1980 г. временных солитонов в
волоконных световодах. Как указывалось в гл. 1 (см. также обсуждение
в [75]), идея, что оптический пучок может индуцировать волновод
и быть захваченным в этом волноводе, была впервые предложена
в 1962 г. [76]. Одним из наиболее ранних наблюдений в нелинейной
оптике, тесно связанным с концепцией солитона, была
самофокусировка оптических пучков в керровской среде [77]. Для теоретического
анализа этого эффекта волновое уравнение в керровской среде —
кубическое НУШ — было проанализировано в 1964 г. для одного
и двух поперечных измерений [78-80]. В частности, было
обнаружено, что двумерные самолокализованные решения кубического НУШ
испытывают катастрофический коллапс, что означает, что ширина
пучка обращается в нуль на конечном расстоянии, так как двумерные
солитоны динамически неустойчивы [80]. Даже одномерные солитоны
в сплошной нелинейной среде неустойчивы и распадаются на нити
(которые по существу являются солитонами высших порядков)
вследствие поперечной модуляционной неустойчивости. В результате
пространственные солитоны в керровской среде экспериментально могут
наблюдаться только в схемах, в которых одно из двух поперечных
измерений исключено 0, то есть, когда дифракция подавлена в одном
из направлений (например, в планарном волноводе).
Наиболее ранние наблюдения пространственных солитонов
относятся к эксперименту 1974 г., в котором было найдено самоканали-
рование оптического пучка в сплошной среде [81]. Это произошло
на 10 лет раньше выполнения солитонных экспериментов в
оптических волноводах [82] при использовании ориентационной
нелинейности жидкости CS2 (сероуглерод). Для подавления дифракции пучка
в одном поперечном направлении использовались два различные
подхода. В первом подходе в одном измерении создавалась
интерференционная структура, то есть последовательность параллельных планарных
1) Более точно, двумерные солитоны существуют и в керровской среде, но
они описываются не скалярным НУШ, а векторными уравнениями Максвелла,
см. непараксиальный подход в гл. 6. (Прим. ред.)

2.7. Экспериментальные результаты
79
волноводов в плоскости, ортогональной этому направлению; свет не
мог распространяться через тёмные зоны интерференционной
структуры. Во втором подходе жидкий сероуглерод размещался между двумя
стеклянными пластинами, эффективно формируя планарный волновод.
Эти эксперименты 1985 г. инициировали многочисленные наблюдения
одномерных светлых пространственных солитонов в 1990-х годах при
использовании столь различных сред как стёкла, полупроводники и
полимеры [83-87].
Открытие фоторефрактивных солитонов послужило поворотной
точкой в области пространственных солитонов, так как они оказались
важными по многим причинам [88-90]. Во-первых, оптическая
мощность, необходимая для формирования фоторефрактивных солитонов,
может быть весьма мала, порядка 1 мкВт. В результате солитонные
эксперименты можно выполнить с помощью непрерывных лазеров
и простого и недорогого оборудования. Во-вторых, фоторефрактивные
солитоны могут непосредственно наблюдаться при распространении
из-за рассеяния на неоднородностях. В-третьих, так как время отклика
фоторефрактивных сред сравнительно велико (>1 мс), можно
использовать как когерентный, так и некогерентный свет, создавая новые
объекты, такие как векторные, многомодовые и некогерентные
солитоны. Фоторефрактивные солитоны полезны также для приложений по
управлению пучками.
На рис. 2.12 показан пространственный солитон,
сформированный внутри фоторефрактивного кристалла ниобата стронция-бария
(SBN) длиной 6 мм при использовании входного пучка шириной
14,5 мкм [90]. Левая колонка показывает входной пучок, который
дифракционно уширяется до 56 мкм, если к кристаллу не прикладывается
напряжение (средняя колонка). Когда напряжение 1,1 кВ
прикладывается вдоль с-оси (между двумя электродами с расстоянием 5 мм
между ними), выходной пучок сужается из-за формирования
пространственного солитона. В трёх нижних рядах рис. 2.12 показаны профили
интенсивности в трёх различных сечениях (штриховые линии) пучка
щелевой формы. Хотя профиль солитона слабо меняется вдоль длины
кристалла (правый ряд), дифракционный пучок (средний ряд) меняется
существенно из-за дефектов и неоднородностей среды. Приложенное
напряжение не только захватывает пучок, но и сглаживает его профиль
интенсивности, так что он в основном не искажается неоднородностями
кристалла. При использовании фоторефрактивного кристалла ВигТЮго
экспериментально также наблюдалась модуляционная неустойчивость
и соответствующая генерация системы солитонов [91].
В ряде экспериментов [92-99] изучались столкновения
пространственных солитонов. Как следует из теории, два софазных солитона
взаимно притягиваются, а противофазные солитоны отталкиваются.
Более сложна ситуация для других значений относительной фазы
солитонов, так как во время неупругих столкновений возможен обмен
энергией. Это свойство чётко наблюдалось в эксперименте 1992 г. [96].

80
Гл. 2. Пространственные солитоны
А
Б
В
A L
Б L
-58
мкм
Входная грань
-58 мкм 58 -58
Выход, дифракция
мкм 58
Выход, сол итон
Рис. 2.12. Наблюдение пространственных солитонов в фоторефрактивном
кристалле. Фотографии показывают пространственные профили входного пучка
с шириной 14,5 мкм (слева), выходной пучок при обычной дифракции
(посередине) и солитонный выходной пучок (справа) для кристалла SBN длиной
6 мм. Три набора контуров отвечают положениям, отмеченным штриховыми
линиями [90]
Когда разность фаз взаимодействующих солитонов была равна 7г/2,
один из солитонов приобретал энергию за счёт другого солитона.
Направление обмена энергией менялось на обратное, когда фаза
возрастала до 37г/2. Наблюдалось также слияние, или «захват» двух
первоначально перекрывающихся пространственных солитонов, движущихся
в различных направлениях [95].
Ещё проще наблюдать взаимодействие солитонов в фоторефрактив-
ных материалах [98, 99]. В [98] изложены экспериментальные
результаты, полученные при использовании фоторефрактивного кристалла
Bii2TiC>2o с приложенным напряжением 1,8 кВ. На выходе при 0 = 0
два солитона сливались, а при в = 0,657г их амплитуды становились
различными из-за обмена энергией, связанного с некерровской
природой фоторефрактивной нелинейности.
На рис. 2.13 показаны результаты экспериментов по
столкновениям двух солитонов, наблюдавшихся Менгом и др. [99]. Сначала два
солитона направлялись на кристалл, как показано на рис. 2.13, а. Без
приложенного напряжения оба пучка дифрагировали и становились
почти неразличимыми, как это видно из рис. 2.13,6. Когда прилагалось
напряжение 1250 В, формировались два пространственных солитона
(рис. 2.13, в). Сплошные и штриховые профили рис. 2.13, а-в указы-

2.7. Экспериментальные результаты
81
■1 111
ими
llmllllllllllll К. i I... I...I... I.... I... I... 1... I... I....
-50 50
MKM
Рис. 2.13. Фотографии и профили излучения, иллюстрирующие
взаимодействие двух пространственных солитонов в фоторефрактивном кристалле: а)
входные пучки, направляемые по отдельности; б) выходные пучки в отсутствие
напряжения; в) выходные пучки при приложенном напряжении; г)-е) выходное
излучение, когда одновременно распространяются два солитона с
относительной разностью фаз 0, 7г/2 и 7г, соответственно [99]
вают, что два пучка направлялись по отдельности и не
взаимодействовали внутри среды. Столкновения наблюдались при одновременном
направлении солитонов. При нулевой относительной фазе на входе
солитоны сливались и формировали выходной пучок с той же шириной,
что на входе, как это видно из рис. 2.13, г. Когда относительная фаза
на входе была равна 7г, солитоны отталкивались, и расстояние между
ними увеличивалось до 46 мкм, так как они расходились (рис. 2.13, в).
В показанном на рис. 2.13, д случае относительной фазы 7г/2 два
солитона распространялись на удалении 35 мкм и имели неравные
амплитуды.
Эти свойства можно понять на языке простой физики волноводов.
Когда два сталкивающихся солитона софазны, интенсивность в
области перекрытия пучков возрастает из-за конструктивной
интерференции. В свою очередь, это приводит к локальному росту показателя
преломления, из-за чего оба пучка притягиваются. Прямо
противоположна ситуация для противофазных солитонов. Тогда интенсивность
света в области.перекрытия падает, как и показатель преломления. Это
приводит к движению пучков друг от друга, что интерпретируется как
отталкивающая сила. Расстояние между противофазными солитонами
на выходе зависит от величины силы взаимодействия, которая в свою
очередь зависит от начального расстояния между солитонами.
Практические применения пространственных солитонов используют
зависимость поперечной скорости солитона V (см. (2.1.2)) от
пространственной фазы. Из-за этого, если фаза пучка до его падения
на нелинейную среду промодулирована как exp(iVx), формирующийся

82
Гл. 2. Пространственные солитоны
150 г
100 Ь
50 Ь
пространственный солитон будет распространяться наклонно к оси z.
Изменяя величину V электрически или оптически, можно направить
солитон в любом направлении. Электрический контроль
направления распространения пространственных солитонов продемонстрирован
в 1998 г. в планарном
волноводе из AlGaAs [100].
Фазовая модуляция достигалась за
счёт изменения показателя
преломления при инжекции
электронов в волновод
приложением внешнего напряжения.
Слабый пробный пучок с
ортогональной поляризацией,
который удерживался эффективным
волноводом, создаваемым соли-
тонным пучком (см. гл. 9),
отклонялся вместе с солитоном.
На рис. 2.14 показано, как
отклоняется пробный пучок при
включении тока 0,5 А (чтобы
отфильтровать
пространственный солитон, использовался
поляризатор). Эти результаты
демонстрируют осуществимость динамически перестраиваемых
оптических межсоединений, основанных на пространственных солитонах.
100 150
Расстояние х
Рис. 2.14. Профили интенсивности,
показывающие отклонение слабого
пробного пучка, захваченного
пространственным солитоном, направлением
распространения которого управляют
приложением электрического тока [100]
Список литературы
1. Ablowitz M.J., Segur И. Solitons and the Inverse Interaction Transform. —
Philadelphia: SIAM, 1981.
2. Захаров В.Е., Шабат А.Б. // ЖЭТФ. 1971. Т. 61. С. 118.
3.Katyshev Yu.V., Makhaldiani N.V., Makhankov V.G. // Phys. Lett. A.
1978. V.66. P. 456.
4. Micallef R. W.y Afanasjev V. V.f Kivshar Yu.S.y Love ID. // Phys. Rev. E.
1996. V.54. 2936.
5. Pushkarov K.I., Pushkarov D.I.y Tomov I.V. // Opt. Quantum Electron.
1979. V. 11. P. 471.
6. Krolikowski W.y Luther-Davies B. // Opt. Lett. 1992. V. 17. P. 1414.
7. Snyder A. W., Mitchell D.J., Poladian L., Ladouceur F. // Opt. Lett. 1991.
V. 16. P. 21.
8. Богдан М.М., Ковалёв АС. // Письма в ЖЭТФ. 1980. Т. 31. С. 213.
9. Cowan S., Enns R.H., Rangnekar S.S., Sanghera S.S. // Can. J. Phys.
1986. V.64. P. 311.
10. Mulder L./., Enns R.H. // IEEE J. Quantum Electron. 1989. V. 25. P. 2205.
11. Gagnon L. II J. Opt. Soc. Am. B. 1989. V. 6. P. 1477.
12. Herrman J. // Opt. Commun. 1992. V. 91. P. 337.

Список литературы
83
13. Hayata К., Koshiba М. // Phys. Rev. E. 1995. V. 51. P. 1499.
14. Pushkarov Kh.I, Pushkarov D.I. II Rep. Math. Phys. 1980. V. 17. P. 37.
15. Вахитов Н.Г., Колоколов А. А. // Изв. вузов. Радиофизика 1973. Т. 16.
С.1020.
16. Колоколов А. А. Ц Изв. вузов. Радиофизика 1974. Т. 17. С. 1332.
17. Shatah J., Strauss W. // Comm. Math. Phys. 1985. V. 100. P. 173; Wein-
stein M.I. II Comm. Pure Appl. Math. 1986. V. 39. P. 5.
18. Kuznetsov E.A., Rubenchik A.M., Zakharov V.E. // Phys. Rep. 1986.
V. 142. P. 103.
\9.МаханьковВ.Г., Рыбаков Ю.П., Санюк В.И. // УФН. 1994. Т. 164.
С. 121.
20. lones С. К. R. Т // J. Diff. Eq. 1988. V. 71. P. 34; Ergod. Theor. Dynam. Sys.
1988. V.8. P. 119.
21. GrillakisM. // Comm. Pure Appl. Math. 1988. V.41. P. 747; Comm. Pure
Appl. Math. 1990. V.43. P. 299.
22. Grillakis M., Shatah I., Strauss W. // J. Funct. Anal. 1987. V. 74. P. 160;
J. Funct. Anal. 1990. V. 94. P. 308.
23. Kivshar Yu.S., Malomed B.A. Rev. Mod. Phys. 1989. V. 63. P. 761.
24. Pelinovsky D.E., Buryak A. V., Kivshar Yu.S. // Phys. Rev. Lett. 1995.
V.75. P. 591.
2b. Pelinovsky D.E., Afanasjev V.V., Kivshar Yu.S. // Phys. Rev. E. 1996.
V.53. 1940.
26. Kivshar Yu.S., Pelinovsky D.E., Cretegny T, PeyrardM. // Phys. Rev. Lett.
1998. V. 80. P. 5032.
27. Kivshar Yu.S., Sukhorukov A.A. // Spatial Solitons / Ed. by S. Trillo and
W. Torruellas. - N.Y.: Springer, 2001. P. 211-246.
28. Pelinovsky D.E., Kivshar Yu.S. // Phys. Rev. E. 2000. V. 62. P. 8668.
29. Каир D.J. II Phys. Rev. A. 1990. V. 42. P. 5689.
30. Titchmarsh E.C. Eigenfunction Expansions Associated with Second-Order
Differential Equations. — London: Oxford University Press, 1958. [Имеется
перевод: Титчмарш Э. Ч. Разложение по собственным функциям
дифференциальных уравнений второго порядка. — М.; Л.: ИЛ, 1950.]
31. Kivshar Yu.S., Afanasjev V. V., Buryak A. V., Pelinovsky D.E. // Physics
and Applications of Optical Solitons in Fibers / Ed. by A. Hasegawa. —
Dordrecht: Kluwer, 1996. P. 75-88.
32. Barashenkov I.V., Bogdan M.M., Korobov V.I. // Europhys. Lett. 1991.
V. 15. P. 113.
33. Tran H. Т., Mitchell ID., Akhmediev N.N., Ankiewicz A. // Opt. Commun.
1992. V.93. P. 227.
34. Akhmediev N.N., Ankiewicz A., Tran H. T. // J. Opt. Soc. Am. B. 1993.
V. 10. P. 230.
35. Barashenkov I. V., Pelinovsky D.E., Zemlyanaya E. V. // Phys. Rev. Lett.
1998. V.80. P. 5117.
36. Mihalache D., Mazilu D., Tomer L. // Phys. Rev. Lett. 1998. V. 81. P. 4353.
37. Johansson M., Kivshar Yu.S. // Phys. Rev. Lett. 1999. V. 82. P. 85.
38. Buryak A. V., Akhmediev N.N. // Phys. Rev. E. 1995. V. 51. P. 3572.
39. Yang I., Malomed B.A., Каир D.J. // Phys. Rev. Lett. 1999. V. 83. P. 1958.
40. Buryak A. V. // Phys. Rev. E. 1995. V. 52. P. 1156.

84
Гл. 2. Пространственные солитоны
41. Kivshar Yu.S.y Champneys Л.У?., Cai D.y Bishop A.R. // Phys. Rev. B. 1998.
V. 58. P. 5423.
42. Champneys A.R.y Malomed B.A. // J. Phys. A. 1999. V. 32. P. L547.
43. Champneys A.R.y Malomed B.A. // Phys. Rev. E. 2000. V. 61. P. 463.
44. Champneys A.R.y Malomed B.A.y Yang /., Каир D.J. // Physica D. 2001.
V. 152. P. 340.
45. Yang /., Malomed- З.А.У Каир D.J.y Champneys A.R. // Math. Сотр.
Simulation. 2001. V.56. P. 585.
46. Yang J. И Stud. Appl. Math. 2001. V. 106. P. 337.
47. PelinovskyD.E.y Yang J. // Proc. Roy. Soc. London A. 2002. V. 458. P. 1469.
48. Tan Yy Yang /., Pelinovsky D.E. // Wave Motion. 2002. V. 36. P. 241.
49. Kolossovski K.y Champneys A.R.y Buryak A. V.y Sammut R.A. // Physica D.
2002. V. 171. P. 153.
50. Косевич A.M. // Физика низких температур. 2000. Т. 26. С. 620].
51. Hook А.у Karlsson M. // Opt. Lett. 1993. V. 18. P. 1388.
52. Громов Е.М., Таланов В.И. // ЖЭТФ. 1996. Т. 110. С. 137.
53. Karlsson М.у Hook A. // Opt. Commun. 1994. V. 104. P. 303.
54. Piche M.y Cormier J.Fy Zhu X. // Opt. Lett. 1996. V. 21. P. 845.
55. Fujioka /., Espinosa А. П J. Phys. Soc. Jpn. 1997. V. 66. P. 2601.
56. Gedalin M., Scott T.C.y Band Y.B. // Phys. Rev. Lett. 1997. V. 78. P. 448.
57. Shi T. T.y Chi S. // Opt. Lett. 1990. V. 15. P. 1123.
58. Akhmediev N.N., Ankiex&icz A. Solitons: Nonlinear Pulses and Beams. —
London: Chapman and Hall, 1997, Chap. 3. [Имеется перевод: Ахмеди-
ee H.H., Анкиевич А.А. Солитоны: нелинейные импульсы и пучки. — М.:
Физматлит, 2003.]
59. Semagin D.A., Dmitriev S. V., Shigenari T. et al. // Physica B. 2002. V. 316.
P. 136.
60. Dmitriev S. K, Shigenari T. // Chaos. 2002. V. 12. P. 324.
61. Kivshar Yu.S., Malomed B.A. // Phys. Lett. A. 1986. V. 115. P. 377.
62. Frauenkron #., Kivshar Yu.S., Malomed B.A. // Phys. Rev. E. 1996. V. 54.
R2244.
63. Satsuma /., Yajima N. /f Prog. Theor. Phys. Suppl. 1974. V. 55. P. 284.
64. Pereira N.R.y Chu F. Y. Я // Phys. Fluids. 1979. V. 22. P. 874.
65. Yamada T.y Nozaki К. /Г J. Phys. Soc. Jpn. 1989. V. 58. P. 1944.
66. Friberg S.R.y DeLong К. Ж // Opt. Lett. 1992. V. 17. P. 979.
67.A[anasjev V.V.y Aitchison J.S.y Kivshar Yu.S. // Opt. Commun. 1995.
V. 116. P. 331.
68. Artigas D.y Tomer L.y Torres J.P.y Akhmediev N.N. // Opt. Commun. 1997.
V. 143. P. 322.
69. Besley J.A.y Miller P.D.y Akhmediev NN // Phys. Rev. E. 2000. V.61.
P. 7121.
70. Malomed B.A. // Phys. Lett. A. 1991. V. 154. P. 441.
71. Buryak A. V.y Akhmediev NN. // Phys. Rev. E. 1994. V. 50. P. 3126.
72. Snyder A. W.y Buryak A. V.y Mitchell D.J. // Opt. Lett. 1998. V. 23. P. 4.
73. Gorshkov K.A.y Ostrovsky L.A. // Physica D. 1981. V. 3. P. 428.
74. Cavalcanti S. V.y Cressoni J.C.y da Cruz H.R.y Gouveia-Neto A.S. // Phys.
Rev. A. 1991. V. 43. P. 61 62.

Список литературы
85
75. Stegeman G.I., Christodoulides D.N., Segev M. // IEEE J. Sel. Topics
Quantum Electron. 2000. V. 6. P. 1419.
76. Аскарьян Г. А. // ЖЭТФ. 1962. Т. 42. С. 1567.
77. Hercher M. // J. Opt. Soc. Amer. 1964. V. 54. P. 563.
78. Chiao R. Y, Garmire £., Townes C.H. // Phys. Rev. Lett. 1964. V. 13. P. 479.
79. Таланов В. И. // Изв. вузов. Радиофизика. 1964. Т. 7. С. 564.
80. Kelley PL. // Phys. Rev. Lett. 1965. V. 15. P. 1005.
81. Bjorkholm J.E., Ashkin A. // Phys. Rev. Lett. 1974. V. 32. P. 129.
82. Barthelemy A., ManeufS., Froehly С // Opt. Commun. 1985. V. 55. P. 201.
83. Aitchison J.S., Weiner A.M., Silberberg Y. et al. // Opt. Lett. 1990. V. 15.
P. 471.
84. Aitchison J.S., Al-Hemyari K., Ironside C.N. et al. // Electron. Lett. 1992.
V.28. P. 1879.
85. Kang J. U., Stegeman G.L, Aitchison J.S. // Opt. Lett. 1995. V. 20. P. 2069.
86. Bartuch U., Peschel U., Gabler Th. et al. // Opt. Commun. 1997. V. 134.
P. 49.
87. Kang J. U., Hamilton C.J., Aitchison IS., Stegeman G.I. // Appl. Phys. Lett.
1997. V.70. P. 1363.
88. Segev M., Crosignani В., Yariv A., Fischer B. // Phys. Rev. Lett. 1992.
V. 68. P. 923.
89. Duree G., Shultz J.L., Salamo G. et al. // Phys. Rev. Lett. 1993. V. 71.
P. 533.
90. Kos K.y Meng //., Salamo G. et al. // Phys. Rev. E. 1996. V. 53. R4330.
91. Iturbe-Castillo M.D., Torres-Cisneros M., Sdnchez-Mondragon I.J. et al. //
Opt. Lett. 1995. V. 20. P. 1853.
92. Reynaud R, Barthelemy A. // Europhys. Lett. 1990. V. 12. P. 401.
93. Aitchison IS., Weiner A.M., Silberberg Y. et al. // Opt. Lett. 1991. V. 16.
P. 15.
94. Aitchison J.S., Weiner A.M., Silberberg Y. et al. // J. Opt. Soc. Am. B.
1991. V.8. P. 1290.
95. Shalaby M., Barthelemy A. // Opt. Lett. 1991. V. 16. P. 1472.
96. Shalaby M., Reynaud F., Barthelemy A. // Opt. Lett. 1992. V. 17. P. 778.
97. Shih M., Chen Z., Segev M. et al. // Appl. Phys. Lett. 1996. V. 69. P. 4151.
98. Carcia-Quirino G.S., Iturbe-Castillo M.D., Vysloukh V.A. et al. // Opt.
Lett. 1997. V. 22. P. 154.
99. Meng H., Salamo G., Shih M., Segev M. // Opt. Lett. 1997. V. 22. P. 448.
100. Friedrich L., Stegeman G.I., Millar P. et al. // Opt. Lett. 1998. V. 23.
P. 1438.
ЮГ. Крепостное П.И., Попов В.О., Розанов Н.Н. // ЖЭТФ. 2004. Т. 125.
С. 315.
102*. Pelinovsky D.E., Kivshar Yu.S., Afanasjev V.V. // Physica D. 1998.
V. 116. P. 121.
103*. Rosanov N.N., Fedorov S. V., Kaliteevskii N.A. et al. // Nonlinear Opt.
2000. V.23. P. 221.
104*. Rosanov N.N., Krepostnov PL, Popov V.O. // Chaos. 2000. V. 13. P. 791.

Глава 3
ВРЕМЕННЫЕ СОЛИТОНЫ
Существование временнйх солитонов в световодах и их
использование для оптической связи было предложено в 1973 г. [1], и уже
в 1980 г. такие солитоны наблюдались экспериментально [2]. С тех пор
быстрый прогресс превратил временное солитоны в реальные
кандидаты для конструирования современных оптических линий связи [3-8].
В этой главе мы обратим особое внимание на свойства светлых
временных солитонов. Основные понятия, связанные с волоконнооптиче-
скими солитонами, вводятся в разделе 3.1, где мы также обсуждаем
свойства светлых солитонов. В разделе 3.2 показано, как временное
солитоны могут быть использованы для оптической связи и как
отличаются схемы солитонных оптических линий связи от обычных систем.
Солитоны с управляемыми потерями и дисперсией рассматриваются
в разделах 3.3 и 3.4, соответственно. Влияние шума усилителя на такие
солитоны обсуждается в разделе 3.5, главным образом,
применительно к флуктуациям времени прихода. В разделе 3.6 мы анализируем
влияние дисперсионных и нелинейных эффектов высшего порядка на
свойства временных солитонов. Вопросы, связанные с физикой тёмных
временных солитонов, обсуждаются ниже в гл. 4.
3.1. Волоконнооптические солитоны
Как обсуждалось в разделе 1.3, временное солитоны формируются
внутри волоконного световода вследствие баланса между дисперсией
групповой скорости (ДГС) и фазовой самомодуляцией (ФСМ),
вызванной керровской нелинейностью. Можно интуитивно понять, почему
возможен такой баланс. ДГС уширяет оптические импульсы при их
распространении в световоде, если только исходный импульс не чирпи-
рован должным образом. Точнее, чирпированный импульс может
сжиматься на начальной стадии распространения, если параметр ДГС /%
и параметр чирпа С имеют противоположные знаки, так что их
произведение fcC отрицательно [9]. Нелинейный эффект ФСМ налагает
на оптический импульс такой чирп, что С > 0. Так как в диапазоне
длин волн 1,55 мкм для кварцевых световодов /% < 0, условие /ЗгС < 0
легко выполняется. Более того, так как вызванный ФСМ чирп зависит
от мощности, нетрудно понять, что при некоторых условиях ФСМ
и ДГС могут взаимодействовать так, что чирп, индуцированный ФСМ,

3.1. Волоконнооптические солитоны
87
в точности компенсируется расширением импульса, вызванным ДГС.
Тогда оптический импульс распространялся бы без искажений в форме
солитона.
3.1.1. Нелинейное уравнение Шрёдингера. Нелинейное
уравнение Шрёдингера (НУШ), описывающее распространение импульса
внутри световода, выведено в разделе 1.3 и имеет вид (1.3.9). Светлые
солитоны существуют при s = — 1 (аномальная ДГС), и тогда это
уравнение принимает форму
В этой главе мы заменили х на т, чтобы подчеркнуть временной
характер солитона. Физический смысл г — это время,
отсчитываемое от центра импульса и нормированное на длительность
входного импульса То. Основное отличие от пространственных солитонов,
обсуждавшихся в гл. 2, в том, что нелинейный член имеет простой
вид, соответствующий керровской среде. Причина этого в том, что
нелинейные эффекты в волоконных световодах столь слабы, что
нелинейность третьего порядка не насыщается и может считаться линейно
возрастающей с ростом интенсивности \u(t)\2.
Как обсуждалось в гл. 1 и 2, к (3.1.1) применим метод обратной
задачи рассеяния, так как это уравнение имеет вид стандартного
кубического НУШ [10]. Поэтому временное солитоны обладают свойствами,
идентичными со свойствами пространственных керровских солитонов.
Основные свойства временных солитонов следующие. Если входной
импульс с начальной амплитудой
w(0,r)=iVsch(r) (3.1.2)
введён в световод, его форма не меняется при распространении, если
N = 1, но она изменяется периодически для целых значений N > 1,
так что исходная форма восстанавливается при z = ттг/2, где га —
целое число. Параметр N связан с параметрами входного импульса
(см. раздел 1.3)
JV2=7ftbD=7ftI?/IA|. (3.1-3)
где Lq — дисперсионная длина; N представляет безразмерную
комбинацию двух параметров импульса (пиковая мощность Ро и
длительность То) и двух параметров световода - ft и 7 = n2Vo/(cAett), где
^eff — эффективная площадь сердцевины световода [9].
Оптический импульс, параметры которого удовлетворяют условию
N = \} называется фундаментальным временном солитоном.
Импульсы, отвечающие другим целым числам N, представляют временное
солитоны высшего порядка. Учитывая, что z = Z/Ld> период соли-

88
Гл. 3. Временные солитоны
тона Zo, определяемый как расстояние, на котором солитоны высших
порядков восстанавливают свою исходную форму, даётся выражением
z«=\L° = \m- (314)
Период солитона Zo и порядок солитона N играют важную роль
при количественной характеризации временных солитонов. На рис. 3.1
показана эволюция солитонов первого (N = 1) и третьего (N = 3)
порядков на протяжении одного периода солитона; изображены
интенсивность излучения |u(z,t)|2 (верхний ряд) и частотный чирп (нижний
ряд), определяемый как временная производная фазы солитона. Только
фундаментальный солитон сохраняет форму и свободен от чирпа при
распространении в волоконном световоде.
Рис. 3.1. Эволюция временнйх солитонов первого (левый ряд) и третьего
(правый ряд) порядков за один период солитона. Нижний ряд показывает
профиль чирпа
Как обсуждалось в разделе 1.3, аналитическая форма
фундаментального временного солитона при N = 1 даётся выражением
u(z,t) = sch(r) exp (iz/2). (3.1.5)

3.1. Волоконнооптические солитоны
89
Отсюда видно, что при распространении в световоде входной импульс
приобретает фазовый сдвиг z/2, но его форма сохраняется. Это
свойство делает временное солитоны идеальным кандидатом для
оптической связи. По существу, эффекты дисперсии в световоде в
точности компенсируются нелинейностью световода, если входной импульс
имеет форму гиперболического секанса и его длительность и пиковая
мощность связаны соотношением (3.1.3) так, что N = 1.
3.1.2. Динамика временных солитонов. Важное свойство
оптических солитонов — это их высокая устойчивость к возмущениям.
Поэтому, хотя для фундаментального солитона и требуются
специальный профиль и определённая пиковая мощность, отвечающая N = 1
в (3.1.3), он может быть создан, даже если форма профиля и пиковая
мощность отклоняются от идеальных условий. На рис. 3.2 показан
результат расчёта эволюции гауссова входного импульса, для
которого N = 1, но и(0, т) = ехр(—т2/2). Как видно из рисунка, импульс
подстраивает свою форму и длительность, приближаясь к
фундаментальному солитону и достигая профиля гиперболического секанса при
z > 1. Аналогично поведение при отклонении N от единицы.
Оказывается, что солитон iV-ro порядка может быть сформирован, если
начальное значение N лежит в диапазоне от N — 1/2 до N + 1/2 [11].
В частности, фундаментальный солитон можно создать для N в
диапазоне 0,5 < N < 1,5. На рис. 3.3 показана эволюция импульса с N = 1,2
на интервале 0 < z < 10, полученная численным решением НУШ с
начальным условием и(0,т) = l,2sch(r). Длительность импульса и его
пиковая мощность сначала осциллируют, но постепенно
стабилизируются, когда наконец параметры импульса будут удовлетворять условию
N= 1 в (3.1.3).
Расстояние
Рис. 3.2. Эволюция импульса с
исходной гауссовой формой и N = 1 на
интервале 0 < z < 10. Импульс
приближается к фундаментальному, изменяя
свою форму, длительность и пиковую
мощность
Рис. 3.3. Эволюция импульса с
исходной формой гиперболического секанса
и N = 1,2 на интервале 0 < z < 10.
Импульс приближается к
фундаментальному солитону (N = 1),
подстраивая свою длительность и пиковую
мощность

90
Гл. 3. Временные солитоны
Может показаться странным, что волоконный световод способен
заставить любой входной импульс приближаться к солитону. Это
свойство просто понять, если интерпретировать оптические солитоны как
временное моды нелинейного волновода. Максимальные
интенсивности в центре импульса создают временной волновод, увеличивая
показатель преломления только в центральной части импульса. Такой
волновод поддерживает временное моды точно так же, как разность
показателя преломления сердцевины и оболочки ведёт к
пространственным модам световода. Если входной импульс не точно соответствует
временной моде, но близок к этому, основная часть энергии импульса
всё ещё может быть связана с временной модой. Остаток энергии
высвечивается в виде рассеянного излучения. Далее будет показано, что
такое рассеянное излучение ухудшает эксплуатационные
характеристики системы и должно быть минимизировано возможно более точной
подгонкой входных условий к идеальным требованиям. Когда солитоны
подвергаются возмущениям адиабатически, для изучения изменений
амплитуды, длительности, частоты, скорости и фазы солитона можно
использовать развитую специально для солитонов теорию возмущений.
3.2. Оптические линии связи на основе солитонов
Временное солитоны привлекательны для оптической связи, так
как они способны поддерживать свою длительность даже в световоде
с дисперсией. Однако, для их использования необходимы
существенные изменения в конструкции системы по сравнению с обычными несо-
литонными системами. В этом разделе мы остановимся на нескольких
подобных вопросах.
3.2.1. Передача информации с помощью солитонов. Основная
идея — использование солитона в каждом битовом интервале для
представления единицы в потоке двоичных сигналов. На рис. 3.4
изображена схема солитонного потока двоичных сигналов 0. Обычно расстояние
между солитонами превышает их полную длительность по уровню
1/2 от максимума (FWHM) в несколько раз. Смысл столь большого
расстояния легко понять, заметив, что длительность импульса должна
составлять лишь малую долю битового интервала, чтобы соседние
солитоны были хорошо разделены. Математически солитонное
решение (3.1.5) справедливо, только если солитон занимает весь временной
интервал (-оо < г < оо). Оно остаётся приближённо справедливым
для последовательности солитонов, если индивидуальные солитоны
хорошо изолированы. Это требование можно использовать, чтобы связать
О RZ — аббревиатура от return-to-zero, что означает возвращение сигнала
к нулю. (Прим. ред.)

3.2. Оптические линии связи на основе солитонов
91
длительность солитона То со скоростью передачи битов В:
где Тв — длительность битового интервала и 2q0 = Тв/То —
расстояние между соседними солитонами в нормированных единицах.
Солитон
Рис. 3.4. Последовательность солитов при двоичном кодировании сигналов в
RZ-формате. Каждый солитон занимает малую долю битового интервала, что
обеспечивает достаточную удалённость соседних солитонов
Характеристики входного импульса, необходимые для
формирования фундаментального солитона, можно получить, положив в (3.1.5)
z = 0. В размерных единицах мощность в импульсе меняется так:
P(t) = \A(Ott)\2 = Posch2^
(3.2.2)
Необходимая пиковая мощность Ро получается из (3.1.3) при N = 1
и связана с длительностью То и параметрами световода следующим
образом:
Ро = Щ. (3.2.3)
7Т0
Параметр длительности То связан с полной длительностью по уровню
1/2 от максимума (FWHM) солитона:
Т5=2Т01п(1+\/2)~1,763Т0.
(3.2.4)
Энергия фундаментального солитона получается интегрированием
мощности ^
(3.2.5)
Es = J P(t)dt = 2P0T0.
В предположении равной вероятности битов 1 и 0 средняя мощность
RZ-сигнала становится Ра = Е3(В/2) = Po/2q0. Например, для соли-
тонной линии со скоростью передачи информации 10 Гбит/с получим
Т0 = 10 пс, если выбрать qo = 5. Длительность импульса по уровню 1/2
при Т0 = 10 пс около 17,6 пс. Пиковая мощность входного импульса
5 мВт при значениях /32 = -1 пс2/км и 7 = 2 Вт_1/км, типичных для
световодов со смещённой дисперсией. Это значение пиковой мощности

92
Гл. 3. Временные солитоны
отвечает энергии импульса 0,1 пДж и уровню средней мощности всего
лишь 0,5 мВт.
3.2.2. Взаимодействие солитонов. Наличие импульсов в
соседних битах искажает временной солитон уже потому, что суммарное
поле не является решением НУШ. Из-за нелинейного взаимодействия
соседние солитоны либо сближаются, либо отталкиваются. Это
явление взаимодействия солитонов детально изучено в [12-16].
Рис. 3.5. Эволюция пары солитонов на 90 дисперсионных длинах,
демонстрирующая эффекты взаимодействия солитонов для четырёх значений отношения
амплитуд г и относительной фазы в. Во всех четырёх случаях начальное
расстояние между солитонами qo = 3,5
Можно понять последствия взаимодействия солитонов, численно
решая НУШ с начальной амплитудой, отвечающей паре солитонов
и(0, т) = sch(r - q0) + r sch[r(r + qo)] exp (i0), (3.2.6)
где г — отношение амплитуд двух солитонов, в — относительная фаза
и 2qo — начальное (нормированное) расстояние. На рис. 3.5 показана
эволюция пары солитонов с до = 3,5 для нескольких значений
параметров г и в. Очевидно, что взаимодействие солитонов сильно зависит
и от относительной фазы 0, и от отношения амплитуд г.

3.2. Оптические линии связи на основе солитонов
93
Рассмотрим сначала случай солитонов с равными амплитудами
(г = 1). Такие два солитона притягивают друг друга в случае их
софазности (в = 0), так что вдоль длины световода они периодически
сливаются. Однако при в = 7г/4 после начального участка притяжения
солитоны удаляются друг от друга. При в = 7г/2 солитоны отталкивают
друг друга ещё сильней и расстояние между ними увеличивается
с пройденным путём. В линиях связи такое поведение недопустимо.
Оно приводило бы к флуктуациям времени прихода солитонов, так как
относительная фаза соседних солитонов не слишком хорошо
контролируется. Один из путей избежать взаимодействия солитонов — это
увеличение qo, потому что сила взаимодействия зависит от расстояния
между солитонами. Для достаточно больших qo отклонения в
положении солитона будут столь малы, что его положение внутри битового
интервала сохранится на всей длине линии передачи.
Зависимость расстояния между солитонами от qo можно изучить
аналитически методом обратной задачи рассеяния [12]. При q0 > 1
можно использовать теорию возмущений. В частном случае г = 1 и в =
= 0 расстояние между солитонами 2qs при любом расстоянии z даётся
выражением [13]
2exp [2(q3 - q0)] = 1 + cos [Azexp (-«,)]■ (3.2.7)
Это соотношение показывает, что расстояние qs(z) между двумя
соседними солитонами периодически колеблется с периодом
zp = \ exp (go). (3.2.8)
Для произвольных q0 справедливо более точное выражение [15]
_ 7Г sh (2q0) ch (q0) n 9 Q,
Zp ~ 2q0 + sh(2qo) ' K }
Уравнение (3.2.8) — достаточно точное при qo > 3. Его следствия
согласуются с численными результатами, приведёнными на рис. 3.5,
где qo = 3,5. Его можно применять для конструирования систем
следующим образом. Если zpLd много больше полной длины линии
передачи Ьту взаимодействием солитонов можно пренебречь, так как
расстояние между солитонами будет лишь незначительно отклоняться от
своего первоначального значения. При qo = 6 получим zp и 634.
Положив дисперсионную длину Ld = 100 км, можно получить Lt < zpLd
даже при LT = 10000 км. Учитывая, что LD = Г02/|/32| и Т0 = (2Bq0)~l
в (3.2.1), условие Lt < zpLd можно записать в форме простого
расчётного критерия:
В2Ьт<*т?Ш. (3.2.10)
8<?о1/?2|
Для иллюстрации выберем /% = -1 пс2/км. Тогда из (3.2.10) следует,
что В2Ьт < 4,4 (Тбит/с)2- км, если для уменьшения взаимодействия
солитонов принять q0 = 6. При заданной скорости передачи инфор-

94
Гл. 3. Временные солитоны
мации В длительность импульса определяется из (3.2.1). Например,
Т3 = 14,7 пс при В = 10 Гбит/с, если qo = 6.
Относительно большое расстояние между солитонами, необходимое
для избежания взаимодействия между ними, ограничивает скорость
передачи информации в солитонных линиях связи. Расстояние можно
уменьшить до значения 2 за счёт неравенства амплитуд соседних
солитонов. Как видно из рис. 3.5, расстояние между двумя софазны-
ми солитонами меняется не более, чем на 10%, при сравнительно
малом начальном расстоянии между солитонами q0 = 3,5, если их
начальные амплитуды отличаются на 10% (г = 1,1). Отметим, что
пиковая мощность или энергия этих солитонов отличается всего на
1 %. Как обсуждалось выше, столь малые изменения пиковой мощности
не препятствуют поддержанию солитонов. Следовательно, эта схема
практически осуществима и может быть полезной для увеличения
производительности системы. Однако, конструирование таких систем
требует внимания ко многим деталям. Взаимодействие солитонов
можно изменить и иначе, например, наложением начального частотного
чирпа на входной импульс.
3.3. Солитоны с управляемыми потерями
Временное солитоны основаны на том, что нелинейное явление
ФСМ поддерживает их длительность даже при наличии дисперсии
световода. Однако, это свойство соблюдается, только если потери
световода пренебрежимо малы. Нетрудно видеть, что убывание энергии
солитона из-за потерь световода ведёт к уширению солитона просто
потому, что уменьшение пиковой мощности ослабляет действие ФСМ,
необходимое, чтобы уравновесить ДГС. Для компенсации потерь
световода можно использовать оптические усилители. В этом разделе
мы сосредотачиваем внимание на управлении потерями посредством
усиления солитонов, рассматривая методы сосредоточенного и
распределённого усиления, схематически показанные на рис. 3.6 и интенсивно
изучавшиеся в 1980-х годах [17-21].
3.3.1. Сосредоточенное усиление. В схеме с сосредоточенным
усилением оптические усилители располагаются периодически вдоль
волоконнооптической линии связи, так что потери световода между
двумя усилителями точно компенсируются усилением. Важным
проектным параметром служит расстояние La между усилителями — оно
должно быть достаточно большим, чтобы минимизировать полную
стоимость. Для несолитонных систем типично La в диапазоне 80-100 км.
Для солитонных систем La ограничено заметно меньшими значениями
из-за солитонного характера распространения сигнала [18].
Физическая причина меньших значений La в том, что оптические
усилители повышают энергию солитона до входного уровня на длине
в несколько метров, а не обеспечивают непрерывное восстановление

3.3. Солитоны с управляемыми потерями
95
Устройства связи
Рис. 3.6. Схемы с сосредоточенным (а) и распределённым (б) усилением,
компенсирующим потери световода в солитонных линиях связи
фундаментального солитона. Длительность усиленного солитона
динамически устанавливается в сегменте световода, следующем за
усилителем. Однако, в процессе установления солитон также теряет часть
энергии в виде рассеянного излучения. Рассеянное излучение может
накапливаться до заметного уровня, и его необходимо избегать. Одним
из способов уменьшения рассеянного излучения служит сокращение
расстояния между усилителями La, чтобы солитон не искажался бы
заметно на такой короткой длине. Численное моделирование [18]
показывает, что это так, если расстояние La мало по сравнению с
дисперсионной длиной (La < Lp)- Дисперсионная длина Ld определяется
длительностью импульса То и параметром ДГС fc и, в зависимости от
этих величин, может меняться от 10 до 1000 км.
Периодическое усиление солитонов можно трактовать
математически, записав НУШ в форме [22]
*й + 5^ + м2и==-5Ги + 5^)11>и' (3'ЗЛ)
NA
где Г = aLo учитывает потери световода, g(z) = ^ gmS(z - Zm),
"a — общее число усилителей и дт — усиление
сосредоточенного усилителя, расположенного при z = zm. Если предположить, что
усилители размещены равномерно, то zm = тгд, где za = La/Ld —
нормированное расстояние между усилителями.
Ввиду быстрых изменений энергии солитона, вызываемых
периодическими изменениями усиления и потерь, полезно выполнить
преобразование
u(z,т) = ^/^ф)ф,т), (3-3-2)

96
Гл. 3. Временные солитоны
где p(z) — быстро меняющаяся и v(z,r) — медленно меняющаяся
функции времени. Подставив (3.3.2) в (3.3.1), найдём, что v(z, t)
удовлетворяет уравнению
i£ + 10+p(2)H2v = 0' С3-3-3)
где p(z) получается решением обыкновенного дифференциального
уравнения
fz=\g{z)LD-T)p. (3.3.4)
Решение можно найти аналитически, заметив, что коэффициент
усиления как раз обеспечивает периодичность функции p(z)\ на каждом
периоде она экспоненциально убывает как p(z) = exp (-Гг), но в конце
периода скачком восстанавливает своё начальное значение р(0) = 1.
На физическом языке p(z) описывает изменения пиковой мощности
(или энергии) солитона между двумя усилителями. Для световода
с потерями 0,2 дБ/км p(z) изменяется в 100 раз, если La = 100 км.
В общем случае изменения энергии солитона сопровождаются
изменениями его длительности. Большие и быстрые изменения p(z)
могут разрушить солитон, если его длительность быстро меняется
с испусканием рассеянного излучения. Понятие усреднённых по длине
солитонов, или ведущих центров основано на том, что солитоны слабо
меняются на расстоянии, коротком по сравнению с дисперсионной
длиной (или солитонным периодом). Поэтому, если za < 1, длительность
солитона практически не меняется, хотя его пиковая мощность
существенно меняется в каждом сегменте между соседними усилителями.
Действительно, если za -С 1, можно заменить в (3.3.3) функцию p(z)
её средним значением р. Введением новой переменной и = y/pv это
уравнение сводится к стандартному НУШ, полученному для световода
без потерь.
С практической точки зрения фундаментальный солитон можно
возбудить, если выбрать входную пиковую мощность Р3 (или энергию)
усреднённого по длине солитона большей в \/р раз. При введении
коэффициента усиления усилителя G = ехр(Г2д) и р = z^1 \ e~Tz dz
о
коэффициент увеличения энергии солитонов с управляемыми потерями
даётся выражением
г Ps 1 TzA GlnG ,QQI-v
/LM = To = P = 1-ехр(-Г*л) = G^T' (3'3-5)
где Ро — пиковая мощность в световодах без потерь. Поэтому
эволюция солитонов в световодах с потерями и периодическим
сосредоточенным усилением идентична эволюции в световодах без потерь при
условии, что усилители разнесены так, что La "С Ld и вводимая пико-

3.3. Солитоны с управляемыми потерями
97
вая мощность больше в Дм раз. Например, G = 10 и Дм « 2,56 для
расстояния между усилителями 50 км и потерь световода 0,2 дБ/км.
На рис. 3.7 показана эволюция солитона с управляемыми
потерями на длине 10000 км при усилении солитонов через каждые 50 км.
Когда длительность входного импульса соответствует дисперсионной
зо ^ о
Время, пс ои
Рис. 3.7. Эволюция солитонов с управляемыми потерями на длине
10000 км при LD = 200 км (а) и 25 км (б), ЬА = 50 км, а = 0,22 дБ/км
и р2 = -0,5 пс2/км
длине 200 км, солитон хорошо сохраняется даже после пути 10000 км,
потому что условие za «С 1 выполнено достаточно хорошо. Однако,
если дисперсионная длина уменьшается до 25 км (za = 2), солитон уже
не может поддерживаться из-за чрезмерного испускания рассеянного
излучения. Условие za < 1 или La < Ld, необходимое для режима
усреднённого солитона, можно выразить через длительность Т0,
учитывая, что Ld = Tq/|/?2|- Получается условие вида
To»v№^- (3.3.6)
Так как скорость передачи информации В связана с То соотношением
(3.2.1), условие (3.3.6) можно записать в виде следующего расчётного
критерия:
B2LA<(4ql\p2\)-1. (3.3.7)
Выбирая типичные значения fc = —0,5 пс2/км, La = 50 км и % = 5,
получим Го > 5 пс и В < 20 ГГц. Очевидно, что использование
усреднённых по длине солитонов накладывает жёсткие ограничения на
скорость передачи информации и на расстояние между усилителями
в солитонных линиях связи.
3.3.2. Распределённое усиление. Условие La <^ Ld,
накладываемое на солитоны с управляемыми потерями при использовании
сосредоточенных усилителей, практически трудно выполнить при
скоростях передачи информации, превышающих 10 Гбит/с. Это условие
существенно смягчается при использовании распределённого усиления.
Схема распределённого усиления по сути превосходит схему с
сосредоточенным усилением, так как она приблизительно приводит к све-

98
Гл. 3. Временные солитоны
товоду без потерь с локальной компенсацией потерь в каждой точке
пути вдоль волоконнооптической линии связи. Эта схема применялась
ещё в 1985 г. при использовании распределённого комбинационного
(рамановского) усиления, когда передающий сигнал световод
накачивался на длине волны около 1,46 мкм лазером на центрах окраски [20].
В другом способе передающий световод может быть допирован ионами
эрбия и периодически накачан, что также обеспечивает
распределённое усиление. В нескольких экспериментах продемонстрировано, что
в таких активных световодах солитоны могут распространяться на
сравнительно большие расстояния [23-27].
Преимущества распределённого усиления можно увидеть из
уравнения (3.3.4), записав его в размерных единицах:
§ = fo(Z)-a]p. (3.3.8)
Если усиление g(Z) постоянно и равно а для любых Z, пиковая
мощность или энергия солитона остаётся постоянной вдоль линии связи.
Это идеальная ситуация, в которой световод эффективно не имеет
потерь. Практически распределённое усиление реализуется
периодическим введением мощности накачки в волоконнооптическую линию
связи. Так как мощность накачки не сохраняется из-за потерь световода
и её истощения (например, поглощения ионами эрбия), усиление g(Z)
не может не меняться вдоль световода. Однако, хотя потери световода
и нельзя компенсировать в каждой точке, возможна их общая
компенсация на расстоянии La при условии
La
[ g(Z)dZ = aLA. (3.3.9)
о
Схема с распределённым усилением проектируется так, чтобы
удовлетворить (3.3.9). Расстояние La называют расстоянием между
пунктами усиления.
Важен вопрос о величине изменения энергии солитона на каждом
цикле усиления-потерь. Рамки изменения мощности зависят от La
и от принятой схемы накачки. Для распределённого комбинационного
усиления обычно используют встречную накачку, так как в такой
схеме обеспечивается высокое усиление, если сигнал сравнительно
слаб. Если пренебречь истощением накачки, коэффициент усиления
в (3.3.8) имеет вид g(Z) = goexp[—ap(LA — Z)], где ар учитывает
потери световода на длине волны накачки. Получающееся уравнение
можно решить аналитически, получив
М-^{аЬЛ[^^-_\]-аг). (3.3.10)
где до выбрано так, что p(La) = 1. На рис. 3.8 показана
зависимость p(Z) вдоль световода при La = 50 км, a = 0,2 дБ/км и ар =

3.3. Солитоны с управляемыми потерями
99
= 0,25 дБ/км. Для сравнения приведён также случай сосредоточенного
усиления. Тогда как для сосредоточенного усиления энергия солитона
меняется примерно в 10 раз, это изменение менее двух раз для
распределённого усиления.
Диапазон изменений энергии можно ещё более сузить при
использовании двунаправленной схемы накачки. В этом случае коэффициент
усиления g(Z) приближённо (в пренебрежении истощением накачки)
записывается в виде
g(Z) = д{ exp {-apZ) + д2 exp [-ap(LA - Z)}.
(3.3.11)
Постоянные д\ и д2 связаны с мощностями накачки, вводимой с обоих
концов. Предполагая мощности накачки равными и решая (3.3.8),
находим изменения энергии солитона
p(Z) = exp
olLa
aZ
(3.3.12)
'sh [ap(Z - La/2)} + sh (aPLA/2)У
2sh(apLA/2)
Этот случай изображён на рис. 3.8 штриховой линией. Очевидно, что
схема двунаправленной накачки лучшая, так как она снижает
изменения энергии ниже 15%. Диапазон, в котором меняется p{Z), возрастает
с ростом La- Тем не менее, он
остаётся заметно меньшим, чем
в случае сосредоточенного
усиления. Например, энергия
солитона меняется в 100 и более раз
при La = 100 км, если
используется сосредоточенное усиление,
и менее чем в два раза,
когда для распределённого
усиления применяется
двунаправленная схема.
Влияние вариаций энергии на
солитоны зависит от отношения
zA = La/Ld- Если za < 1,
происходит слабое изменение формы
солитона. При za > 1 солитоны
меняются адиабатически с некоторым испусканием рассеянного
излучения (квазиадиабатический режим). При промежуточных
значениях za поведение становится более сложным. В частности, рассеянное
излучение и солитоны при za — 47г резонансно усиливаются; такой
резонанс может приводить к неустойчивостям и хаотическому
поведению [21]. Поэтому на практике распределённое усиление используется
при zA <4тг [23-27].
3.3.3. Экспериментальные результаты. Ранние эксперименты по
солитонам с управляемыми потерями выполнялись на схемах с
комбинационным (рамановским) усилением. Эксперимент 1985 г. проде-
30 40 50
Расстояние, км
Рис. 3.8. Изменения энергии солитона
для схем встречной (сплошная линия)
и двунаправленной (штриховая линия)
накачки при La = 50 км. Пунктиром
показан случай сосредоточенного
усиления

100
Гл. 3. Временные солитоны
монстрировал, что потери световода можно скомпенсировать на длине
10 км, пока комбинационное усиление поддерживает длительность со-
литона [20]. В этом эксперименте использовались два лазера на
центрах окраски. Первый лазер генерировал импульсы длительностью
10 пс на длине волны 1,56 мкм, которые вводились в световод как
фундаментальные солитоны. Другой лазер осуществлял непрерывную
генерацию на 1,46 мкм и действовал как накачка для солитонов на
1,56 мкм. В отсутствие комбинационного усиления солитон
расширялся примерно на 50% из-за потерь. Эта величина уширения
согласуется с теоретическим предсказанием Т\/То = 1,51 для z = 10 км
и а = 0,18 дБ/км — значений, использованных в эксперименте.
Когда мощность накачки была около 125 мВт, комбинационное усиление
уровня 1,8 дБ компенсировало потери световода и импульс на выходе
был почти идентичен входному.
В эксперименте 1988 г. солитоны передавались на 4000 км при
использовании схемы комбинационного усиления [3]. В этом
эксперименте применялась волоконнооптическая петля длиной 42 км, в
которой потери точно компенсировались введением накачки непрерывным
излучением лазера на центрах окраски на длине волны 1,46 мкм.
Солитоны могли многократно циркулировать по волоконнооптической
петле и их длительность контролировалась после каждого прохода.
Солитоны с длительностью 55 пс могли циркулировать по петле до
96 раз без заметного уширения, что указывает на сохранение
солитонов на протяжении более 4000 км. При дальнейшей оптимизации это
расстояние можно увеличить до 6000 км. Этот эксперимент впервые
продемонстрировал, что солитоны принципиально возможно передавать
на трансокеанские расстояния. Основным препятствием было то, что
комбинационное усиление требовало для накачки лазеров,
излучающих более 500 мВт непрерывного излучения с длиной волны около
1,46 мкм. В 1988 г. было невозможно получить столь высокую
мощность с помощью полупроводниковых лазеров, а лазеры на центрах
окраски, использованные в эксперименте, были слишком громоздки
для практических систем волоконнооптической связи.
Ситуация изменилась с появлением усилителей на оптическом
волокне, допированном эрбием (УВДЭ), около 1989 г., когда были
выполнены несколько экспериментов с системами на солитонах с
управляемыми потерями. Эти эксперименты можно разделить на два класса,
в зависимости от того, использовалась ли линейная
волоконнооптическая линия связи или же волоконнооптическая петля с
рециркуляцией. Эксперименты с линейной линией связи более реалистичны, так
как они копируют действительные условия эксплуатации. Несколько
экспериментов 1990 г. продемонстрировали передачу солитонов по
световодам длиной от ~100 км при скорости передачи информации до
5 Гбит/с [28-30]. На рис. 3.9 показана схема одного из таких
экспериментов, в котором для генерации входных импульсов применялся лазер
с модуляцией усиления. Для уменьшения частотного чирпа последова-

3.3. Солитоны с управляемыми потерями
101
РОС-лазер Оптический
с переключаемым фильтр LiNb03
усилением
п
г~а
U
модулятор УВДЭ УВДЭ
Световод
УВДЭ
Световод
УВДЭ
ЛЭлектрический
/А усилитель
t Электрический
усилитель
ГГц
Синтезатор
Генератор

последовательности
импульсов
Щелевая
камера
Измерение
частоты
ошибок
InGaAs
детектор
<н
а
Световод
S---S-1
УВДЭ
УВДЭ
Рис. 3.9. Схема эксперимента 1990 г. с передачей солитонов. Два УВДЭ,
расположенные за модуляторами на LiNb03, повышают пиковую мощность
импульсов до уровня фундаментальных солитонов [28]
тельность импульсов фильтровалась и пропускалась через модулятор
на LiNbC>3, чтобы наложить на неё RZ-формат. Созданный
закодированный поток двоичной информации на основе солитонов пропускался
через несколько световодных сегментов, и потери в каждом сегменте
компенсировались использованием УВДЭ. Расстояние между
усилителями выбиралось так, чтобы удовлетворялся критерий La < Ld,
и обычно находилось в диапазоне 25-40 км. В эксперименте 1991 г.
солитоны передавались на расстояние свыше 1000 км со скоростью
10 Гбит/с [31]. Солитоны с длительностью 45 пс в режиме
усреднённого солитона допускали расстояние между усилителями 50 км.
С 1991 г. из-за соображений стоимости в большинстве
экспериментов использовалась конфигурация волоконнооптической петли с
рециркуляцией. Солитонный двоичный поток информации запускался в
петлю и многократно циркулировал в ней при использовании оптических
переключателей. Качество сигнала контролировалось после каждого
прохода, чтобы гарантировать поддержание длительности солитонов
в течение передачи. В эксперименте 1991 г. солитоны передавались со
скоростью 2,5 Гбит/с на 12 000 км при использовании
волоконнооптической петли длиной 75 км, включающей три УВДЭ, расположенные
на расстоянии 25 км друг от друга [32]. В этом эксперименте
произведение скорости передачи на расстояние BL = 30 (Тбит/с) км было
ограничено преимущественно флуктуациями времени прихода,
вызываемыми УВДЭ. При использовании усилителей отношение сигнала
к шуму ухудшается и положение солитонов сдвигается случайным
образом. Этот вопрос обсуждается в разделе 3.5.
Из-за проблем, связанных с сосредоточенными усилителями, был
изучен ряд схем с целью уменьшения флуктуации времени прихода

102
Гл. 3. Временные солитоны
и улучшения характеристик солитонных систем. В 1999 г. был вновь
применён метод комбинационного усиления, и этот метод стал весьма
общим и для солитонных, и для несолитонных систем.
Восстановление этого метода стало возможным из-за технологического прогресса
в области полупроводниковых и волоконнооптических лазеров, где
стал доступен уровень мощности, превышающий 500 мВт. Уменьшению
флуктуации времени прихода способствовало также управление
дисперсией. Далее мы переходим к солитонам с управляемой дисперсией.
3.4. Солитоны с управляемой дисперсией
Управление дисперсией обычно используется в современных
WDM-системах (wavelength-division multiplexed, то есть с разделением
по длинам волн). Оказывается, что характеристики солитонных систем
существенно улучшаются, если параметр ДГС /% изменяется вдоль
световода. Данный раздел посвящен таким солитонам с управляемой
дисперсией. Сначала мы рассмотрим световоды с убывающей
дисперсией, а затем остановимся на дисперсионных схемах, которые
состоят из многих сегментов световодов с постоянной дисперсией.
3.4.1. Световоды с убывающей дисперсией. В 1967 г. была
предложена интересная схема, полностью снимающая ограничение
La < Ld, обычно налагаемое на солитоны с управлением потерями,
за счёт убывания ДГС вдоль длины световода [33]. Такие световоды
с убывающей дисперсией (СУД) построены так, что убывающая ДГС
компенсирует уменьшающуюся ФСМ, испытываемую солитонами,
амплитуда которых убывает из-за потерь световода.
Так как управление дисперсией используется в сочетании с
управлением потерями, эволюция солитона в СУД описывается
уравнением (3.3.3), в котором член со второй производной включает новый
параметр d, зависящий от z из-за изменений ДГС вдоль длины световода.
Модифицированное НУШ принимает вид
.dv . d(z)&v , / м .2 п /о л i\
%YZ + 2д? Р^^ = ^ ^
где v = u/y/p, d(z) = /?2(z)//?2(0) и p(z) учитывает изменения пиковой
мощности, вызванные управлением потерями. Расстояние z
нормировано на дисперсионную длину Ld = Tq/|/?2(0)|, определённую при
значении ДГС на входе в световод.
Уравнение (3.4.1) отличается от стандартного НУШ из-за
зависимости его второго и третьего членов от z. Однако, его можно свести
к НУШ, введя новую эволюционную переменную
z
z'=\d{z)dz. (3.4.2)
о

3.4. Солитоны с управляемой дисперсией
103
Это преобразование перенормирует масштаб длины в зависимости от
локального значения ДГС. После перехода к z' (3.4.1) принимает вид
Если выбрать зависимость ДГС так, что d(z) = p(z) = exp (-Гг),
уравнение (3.4.3) сводится к стандартному НУШ, полученному в
отсутствие потерь световода. В результате эти потери при использовании
СУД не влияют на солитон, несмотря на убывание его энергии.
Сосредоточенные усилители можно размещать на любом расстоянии друг от
друга, не ограниченном условием La < L>d-
Приведённый анализ показывает, что фундаментальные солитоны
могут поддерживаться в световоде с потерями, если ДГС убывает в нём
экспоненциально
|А(*)1 = |А(0)| exp(-az). (3.4.4)
Этот результат можно пояснить качественно, заметив, что пиковая
мощность солитона Ро в световоде с потерями убывает точно так
же (экспоненциально). Из (3.1.3) легко получить, что, несмотря на
потери мощности, требование N — 1 может быть удовлетворено, если
и |/Зг|» и 7 убывают экспоненциально с одинаковой скоростью. Тогда
фундаментальный солитон поддерживает свою форму и длительность
даже в световоде с потерями.
Были изготовлены световоды с приблизительно экспоненциальным
профилем ДГС [34]. Технология производства таких СУД включает
уменьшение диаметра сердцевины по длине световода контролируемым
образом в процессе вытягивания световода. Изменения диаметра
световода меняют вклад в /% волноводного происхождения и уменьшают
величину 02- Обычно ДГС может меняться в 10 раз на длине 20-40 км.
Точность, достигаемая при использовании этого метода, по оценке
лучше чем 0,1 пс2/км [35]. Распространение солитонов в СУД
продемонстрировано в нескольких экспериментах [35-37]. В СУД длиной
40 км солитоны сохраняли длительность и форму, несмотря на потери
энергии более 8 дБ [36]. В петле с рециркуляцией, изготовленной
с использованием СУД, последовательность солитонов длительностью
6,5 пс со скоростью 10 Гбит/с могла бы передаваться на расстояние
свыше 300 км [37].
Световоды с непрерывно меняющейся ДГС не столь легко
доступны. Как альтернатива, экспоненциальный профиль ДГС в СУД
может быть аппроксимирован ступенчатым профилем при соединении
нескольких световодов с постоянной дисперсией с различными
значениями fa. Такой подход изучался в 1990-х годах, и было найдено,
что большая часть преимуществ СУД может быть реализована уже
для четырёх сегментов световода [35-37]. Как следует выбирать длину
и ДГС каждого световода для приближения к СУД? Ответ не очевиден,
и были предложены разные методы. В одном подходе в каждом сег-

104
Гл. 3. Временные солитоны
менте минимизировались изменения мощности [38]. В другом подходе
световоды с различающимися значениями ДГС Dm и длинами Lm
выбирались так, чтобы произведение DmLm совпадало для всех
сегментов. В третьем подходе Dm и Lm выбирались из соображений
минимизации рассеянного излучения [39].
3.4.2. Схемы с периодической дисперсией. Недостатком СУД
служит то, что средняя дисперсия вдоль линии связи часто
сравнительно велика. Вообще говоря, использование солитонов при низкой
средней ДГС улучшает характеристики системы. Схемы с
периодической дисперсией, состоящие из световодов с чередующейся ДГС,
привлекательны, потому что их использование снижает среднюю ДГС всей
линии при достаточно большой ДГС каждого сегмента, что сохраняет
пренебрежимо слабыми эффекты четырёхволнового смешения (ЧВС)
и дисперсию третьего порядка (ДТП).
Наличие управления дисперсией принуждает каждый солитон
распространяться по световоду в режиме нормальной дисперсии на
протяжении каждого периода схемы. На первый взгляд, такая схема даже не
способна работать, так как световоды с нормальной ДГС не
поддерживают светлые солитоны и приводят к значительному уширению и чирпу
импульса. Тогда почему выживают солитоны в волоконнооптической
линии с управляемой дисперсией? Уже в 1995 г. преимущества
использования схем с периодическим изменением дисперсии были отмечены
в теоретических и экспериментальных исследованиях [43, 44].
Интенсивные теоретические исследования, посвященные этой теме с 1996 г.,
привели к прогрессу в понимании и некоторым неожиданным
результатам [45-69]. По физическому смыслу, если период схемы составляет
долю нелинейной длины, нелинейные эффекты сравнительно слабы,
и солитон эволюционирует линейным образом на протяжении одного
периода. На большем масштабе длины солитоны всё ещё могут
формироваться, если эффекты ФСМ уравновешиваются средней дисперсией.
В результате солитоны могут выжить в среднем, хотя не только
пиковая мощность, но и длительность и форма солитона периодически
осциллируют. В этом разделе описаны свойства солитонов с
управляемой дисперсией (УД) и предлагаемые ими преимущества.
Рассмотрим простую дисперсионную схему с чередованием двух
световодов с положительным и отрицательным значениями
параметра ДГС /?2. Эволюция солитона по-прежнему описывается
уравнением (3.4.1), применявшемся ранее для СУД. Однако, из-за изменений
знака параметра ДГС в этом разделе лучше использовать размерные
единицы и записать (3.4.1) в виде
^_m^+^Z)IBfB=0, pas)
где B(Z,t) = A(Z,t)/y/p, Z — размерная длина вдоль световода
и p(Z) — решение уравнения (3.3.8). Параметр ДГС принимает зна-

3.4. Солитоны с управляемой дисперсией
105
чения /?2а и /?2п в сегментах с аномальной и нормальной дисперсией
и длиной 1а и /п, соответственно. Период схемы Lmap = la + 1п может
отличаться от расстояния между усилителями La- Очевидно, что
свойства солитонов с УД зависят от нескольких параметров схемы, даже
если на каждом её периоде используются только два типа световодов.
Уравнение (3.4.5) можно решить численно методом расщепления
и быстрого преобразование Фурье. Расчёты показывают, что часто
можно найти приблизительно периодическое решение подгонкой
параметров входного импульса (длительности, чирпа и пиковой мощности),
даже если эти параметры значительно меняются внутри каждого
периода схемы. Форма таких УД-солитонов обычно ближе к гауссовой,
чем к форме гиперболического секанса, присущей стандартным соли-
тонам [45-49].
Численные решения хотя и важны, но недостаточны для понимания
физики. Для приближённого решения НУШ (3.4.5) были предложены
несколько методов. Общий подход основан на вариационном методе
[50-54], который применительно к НУШ впервые использовался
Андерсеном ещё в 1983 г. [70]. В другом подходе B(Z,t) разлагается по
полной системе функций Эрмита-Гаусса, которые служат решениями
линейной задачи [55, 56]. В третьем подходе решается интегральное
уравнение, выведенное в спектральном представлении при
использовании теории возмущений [46, 58-62].
Для упрощения обсуждения мы остановимся на вариационном
методе, основанном на том, что уравнение (3.4.5) можно вывести из
уравнений Эйлера-Лагранжа при использовании лагранжиана:
*=1(^-*1§И
7р(ад4-/?2(£)
дВ
dt
(3.4.6)
Так как согласно численным расчётам форма УД-солитона близка к
гауссовой, предполагаем, что эволюция солитона следующая
B(Z, t)=a exp [-(1 + iC)t2/2T2 + 1ф], (3.4.7)
где а — амплитуда, Г — длительность, С — чирп и ф — фаза солитона.
Все четыре параметра зависят от Z из-за возмущений, вызываемых
периодическими изменениями /Зг(^) и p(Z).
Используя вариационный подход, получим четыре
обыкновенных дифференциальных уравнения для четырёх параметров
солитона. Можно исключить амплитудное уравнение, так как
а2Т = а§То = Ео/у/к не зависит от Z и связано с энергией входного
импульса Eq. Можно также опустить фазовое уравнение, поскольку Г
и С не зависят от ф. Тогда УД-солитон отвечает периодическому
решению следующих двух уравнений для длительности импульса Т
и чирпа С:
§=/%(*)?. (3-4-8)

106
Гл. 3. Временные солитоны
Эти уравнения решаются с периодическими граничными условиями
То = Г(0) = T(LA), Со = С(0) = C(LA), (3.4.10)
чтобы обеспечить восстановление начального состояния солитона
после каждого усилителя. Периодические граничные условия фиксируют
значения начальной длительности То и чирпа Со при Z = 0, для
которых солитон может распространяться с периодическими колебаниями
при заданном значении энергии импульса Ео. Новым свойством УД-со-
литонов является то, что длительность входного импульса зависит
от схемы и не может выбираться произвольно. Действительно, То не
может быть ниже критического значения, определяемого самой схемой.
Рис. 3.10. а) Зависимость То (верхние кривые) и Тт (нижние кривые) от
энергии входного импульса Ео для а = 0 (сплошные линии) и 0,25 дБ/км
(штриховые линии). Вставка показывает изменение начального чирпа Со в этих двух
случаях, б) Эволюция УД-солитона на одном периоде схемы при Ео = 0,1 пДж
и La = 80 км
На рис. 3.10 показано, как зависят длительность импульса То
и чирп Со возможных периодических решений от энергии входного
импульса для конкретной дисперсионной схемы. Приведено также
минимальное значение Тт длительности импульса, достигаемое в
середине сегмента схемы с аномальной ДГС. Схема предназначена для
скорости передачи информации 40 Гбит/с и состоит из чередующихся
световодов с ДГС —4 и -1-4 пс2/км с длинами 1а « 1п = 5 км, такими,
что средняя ДГС равна -0,01 пс2/км. Сплошные линии показывают
случай идеального распределённого усиления, для которого в (3.4.9)
p(Z) = 1. Случай сосредоточенного усиления отвечает на рис. 3.10
штриховым линиям при расстоянии между усилителями 80 км и
потерях 0,25 дБ/км в каждом сегменте световода.

3.4. Солитоны с управляемой дисперсией
107
Из рис. 3.10 следуют несколько выводов. Во-первых, при
возрастании энергии импульса Т0 и Тт быстро убывают. Во-вторых, Т0
достигает минимального значения при некоторой энергии импульса Ес, тогда
как Тщ продолжает медленно убывать. В-третьих, Т0 и Тт значительно
отличаются между собой при Е0 > Ес. Это указывает на
существенное изменение длительности импульса в каждом сегменте
световода при установлении такого режима. Пример осцилляции импульса
показан на рис. 3.10, б при Ео = 0,1 пДж в случае сосредоточенного
усиления. В этом случае чирп входного импульса Со сравнительно
велик (Со « 1,8). Наиболее важным свойством рис. 3.10 служит
существование минимального значения Т0 при определённом значении
энергии импульса. Интересно, что минимальное значение Го лишь
слабо зависит от потерь световода и примерно то же для сплошной
и штриховой кривых, хотя значение Ес значительно больше в случае
сосредоточенного усиления из-за потерь в световоде.
Как видно из рис. 3.10, и длительность импульса, и пиковая
мощность УД-солитона значительно меняются внутри каждого периода
схемы. На рис. 3.11, а изображены изменения длительности и чирпа
на одном периоде схемы для УД-солитона, показанного на рис. 3.10, б.
Длительность импульса изменяется более чем в два раза и достигает
минимума приблизительно в середине каждого сегмента световода,
где частотный чирп обращается в нуль. Самым коротким импульс
становится в середине сегмента с аномальной ДГС. Для сравнения
на рис. 3.11,6 показаны изменения длительности и чирпа УД-солитона
с входной энергией, близкой к Ес, когда входной импульс наиболее
короткий. В этом случае осцилляции импульса значительно
уменьшены, как и диапазон изменения чирпа. В обоих случаях УД-солитон
существенно отличается от стандартного фундаментального солитона,
так как он не сохраняет форму, длительность или пиковую мощность.
Однако его параметры повторяются от периода к периоду по всей
схеме. Ввиду этого УД-солитоны можно применять для оптической
связи, несмотря на осцилляции длительности импульса. Более того,
эти солитоны обладают преимуществами с системной точки зрения.
3.4.3. Вопросы проектирования. Из рис. 3.10 и 3.11 видно, что
уравнения (3.4.8)-(3.4.10) допускают периодическое распространение
многих различных УД-солитонов в той же самой схеме за счёт выбора
различных значений £Ь, То и Со. Какой выбор следует сделать при
проектировании солитонной системы? Необходимо избегать энергий,
много меньших Ес (отвечающих минимальному значению То), так как
низкая средняя мощность приведёт к быстрой деградации отношения
сигнала к шуму из-за нарастания шума усилителей при
распространении. С другой стороны, если Ео > Ес, то большие вариации
длительности импульса в каждом сегменте световода усиливают
взаимодействие солитонов, если соседние солитоны начинают перекрываться.
Поэтому для проектирования систем на УД-солитонах наиболее под-

108
Гл. 3. Временные солитоны
о 5
с
л
£ 3
с
I 2
J3
ноет
§ °
s 1
-5 2
Г Л ° "i
\ / \ /
- \ / \ / -
к /.
\ / -
\ /
i i i i * i i i i
5
4
3
2 5
о.
s
1 V
0
-1
о
0 123456789 10
Расстояние, км
о 5
с
л 4
4
I3
1 2
4
s
3 о
s
§
Г б "
_ _
.
"\ ^
: \ /х -
^•х
" 1 1 1 1 1 L 1 1 1
5
4
3
2 5
о.
s
1 г
0
-1
о
0 123456789 10
Расстояние, км
Рис. 3.11. Изменения длительности импульса (сплошные кривые) и чирпа
(штриховые кривые) на одном периоде схемы для УД-солитонов при входной
энергии Ео > Ес = 0,1 пДж (а) и Eq, близкой к Ес (б)
ходит область вблизи Eq = Ес. Этот вывод подтверждают численные
решения (3.4.5).
Схема отвечающей рис. 3.10 и 3.11 системы со скоростью передачи
информации 40 Гбит/с возможна только потому, что период схемы
£тар был выбран много меньшим, чем расстояние между усилителями
(80 км) — конфигурация, называемая плотным управлением
дисперсией. Если I/map возрастает до 80 км при la « k = 40 км и
сохранении того же значения средней дисперсии, минимальная длительность
импульса, поддерживаемого схемой, возрастает втрое. Тогда скорость
передачи информации ограничивается величиной 20 Гбит/с. В общем
случае при возрастании скорости передачи информации требуется
более короткий период схемы.
Значения То и Тт можно найти решением вариационных уравнений
(3.4.8)-(3.4.10). Интегрирование (3.4.8) позволяет связать Т с С:
T2(Z)=T* + 2\p2(Z)C(Z)dZ.
(3.4.11)
Уравнение для чирпа проинтегрировать нельзя, но численные решения
показывают, что C(Z) изменяется почти линейно в каждом сегменте
световода. Как видно из рис. 3.11, C(Z) изменяется от Cq до -Со в
первом сегменте и затем наоборот до Со во втором сегменте. Учитывая,
что отношение (1 +С2)/Т2 связано со спектральной шириной, которая
слабо меняется на одном периоде схемы, если нелинейная длина
значительно превосходит локальную дисперсионную длину, усредним его
по периоду схемы. Тогда получим соотношение между То и Cq:
Lmap1
fl+C02
|Со|
Т _ ( IftnftaUal V/2
(3.4.12)

3.4. Солитоны с управляемой дисперсией
109
где Ттар — параметр с размерностью времени, включающий только
четыре параметра. Он предоставляет временной масштаб для
произвольной дисперсионной схемы такой, что устойчивые периодические
решения имеют длительность входного импульса, близкую к Ттар
(с точностью до множителя около 2). Минимальное значение То
достигается при |С0| = 1 и равно T0min = ч/2Гтар. Уравнение (3.4.12)
позволяет найти наиболее короткий импульс в схеме. Напомним, что
импульс становится самым коротким в точке, в которой чирп
распространяющегося импульса обращается в нуль; тогда
т — ^о
■Lm. —
Когда входной импульс имеет минимальную длительность (С0 = 1), Тт
в точности совпадает с Ттар. При таких условиях оптимальное
значение фактора удлинения импульса равно \/2. Эти выводы согласуются
с численными результатами, показанными на рис. 3.11 для конкретной
схемы, в которой Ттар «3,16 пс. Если в этой схеме не использовать
плотное управление дисперсией и принять Lmap = La = 80 км, то Гтар
возрастёт до 9 пс. Поскольку тогда средняя длительность входного
импульса по уровню 1/2 превышает 21 пс, такая схема не подходит
для солитонных систем со скоростью передачи 40 Гбит/с. В общем
случае требуемый период схемы становится более коротким по мере
возрастания скорости передачи, как это видно из определения Гтар
(3.4.12).
Полезно рассмотреть другие комбинации параметров схемы,
которые важны при проектировании УД-солитонных систем. Для этого
полезно определить два параметра [51]
~п Р2п*п ~Ь /%а'а г» Р2п»п ~ Р2а*а /о л i о\
Н2 — TZTl * m — ^2 » УОЛЛЗ)
tn"t"*a iFWHM
где Tfwhm ~ l,665Tm — длительность импульса по уровню 1/2, там,
где она _минимальна в сегменте с аномальной ДГС. По физическому
смыслу /% представляет среднее значение ДГС всей линии связи, тогда
как вариабельность схемы Sm — это мера того, насколько меняется
ДГС между двумя соседними световодами в каждом периоде схемы.
Решение (3.4.8)-(3.4.10) ^зависимости от вариабельности схемы S
для различных значений /% выявляет неожиданную возможность
существования УД-солитонов даже при нормальной средней ДГС при
условии, что вариабельность схемы превышает критическое значение
SCT [63-68]. Более того, если 5т > 5СГ и /?2 > 0, в системе возможно
совпадение характеристик периодического режима при двух различных
значениях энергии входного импульса. Численное решение (3.4.1)
подтверждает эти предсказания, но критическое значение вариабельности
схемы оказывается равным 3,9 вместо получаемого из вариационных
уравнений значения 4,8 [51].

по
Гл. 3. Временные солитоны
Существование УД-солитонов в схемах с нормальной средней ДГС
вызывает удивление, так как можно представить себе дисперсионные
схемы, в которых солитон распространяется в режиме нормальной
ДГС большую часть времени. Примером служит дисперсионная схема,
в которой короткий сегмент стандартного световода {fi2a ~ —20 пс2/км)
чередуется с длинным сегментом световода со смещённой дисперсией
(/?2n ~ 1 пс2/км), так что параметр /32 близок к нулю, но положителен.
Формирование УД-солитонов при таких условиях можно понять,
заметив, что когда Sm превышает 4, входная энергия импульса настолько
велика, что его спектральная ширина значительно больше в сегменте
с аномальной ДГС, чем в сегменте с нормальной ДГС [53, 67, 68].
Заметив, что сдвиг фазы каждой спектральной составляющей
локально меняется как /?2^2, можно ввести эффективное значение средней
ДГС [68]
lf-Уф, (3.4.14)
2 (ft2) v J
где Q — локальное значение спектральной ширины и угловые скобки
означают усреднение за период схемы, ^сли (32 отрицательна, УД-со-
литон может существовать, даже если (32 положительна.
В схемах с вариабельностью ниже критического значения (из
численных расчётов около 3,9) для УД-солитонов средняя ДГС аномальна.
Тогда естественно сравнить УД-солитоны со стандартными,
распространяющимися в световодной линии с однородной ДГС с fa = /?2- При
относительно малых значениях Sm вариации длительности импульса
и чирпа пренебрежимо малы. Основное различие между солитонами
с усреднённой ДГС и УД-солитонами состоит в том, что для
поддержания УД-солитонов необходима более высокая пиковая мощность.
Фактор увеличения энергии для УД-солитонов определяется так [45]:
nDM
/dm = ^, (3.4.15)
и он может превышать 10, в зависимости от конструкции системы.
Большие энергии УД-солитонов благоприятны для солитонных систем
по ряду причин. В частности, это обстоятельство улучшает отношение
сигнала к шуму и ослабляет флуктуации времени прихода.
Схемы с управлением дисперсией использовались для солитонов
ещё в 1992 г., хотя они назывались иначе — частично солитонная
связь и распределение дисперсии [71]. В простейшей форме
управления дисперсией сравнительно короткий световод с компенсированной
дисперсией (СКД) периодически вставляется в передающий световод,
что и составляет дисперсионную схему, аналогичную используемым
в несолитонных системах. В экспериментах 1995 г. было найдено,
что СКД значительно уменьшает флуктуации времени прихода [44].
В этих экспериментах со скоростью передачи 20 Гбит/с флуктуации
времени прихода при уменьшении средней дисперсии до значения

3.4. Солитоны с управляемой дисперсией
111
около -0,025 пс2/км становились столь низкими, что сигнал мог бы
передаваться со скоростью 20 Гбит/с на трансокеанские расстояния.
С 1996 г. многие эксперименты показали преимущества УД-соли-
тонов для систем передачи информации [72-81]. В одном из
экспериментов использование схемы с периодической дисперсией позволило
осуществить передачу потока солитонных двоичных сигналов со
скоростью 20 Гбит/с на расстояние более 5520 км в световодной линии,
включающей усилители с интервалом 40 км [72]. В другом
эксперименте со скоростью передачи 20 Гбит/с [73] солитоны могли
распространяться свыше 9000 км без применения каких-либо оптических
фильтров, так как периодическое использование СКД ослабляло временное
флуктуации более чем в три раза. В эксперименте 1997 г. изучалась
передача УД-солитонов в дисперсионных схемах, в которых
солитоны большую часть времени распространялись в режиме нормальной
ДГС [74]. В этих экспериментах со скоростью передачи 10 Гбит/с
сигналы проходили 2,8 • 107 м при использовании световодных петель
с рециркуляцией, состоящих из 100 км световода с нормальной ДГС
и 8 км световода с аномальной ДГС, так что средняя ДГС была
аномальной (около —0,1 пс2/км). В таком петлевом световоде также
наблюдались периодические изменения длительности импульса [75].
В последующем эксперименте петля была изменена так, чтобы
сделать среднее значение ДГС нулевым или слегка положительным [76].
По-прежнему наблюдалась передача солитонов со скоростью 10 Гбит/с
на расстояние 2,8 • 107 м. Во всех случаях экспериментальные
результаты хорошо согласовались с численными расчётами [77].
Важное применение управления дисперсией состоит в адаптации
существующих наземных сетей, построенных на стандартных
световодах [78-81]. В эксперименте 1997 г. для компенсации
дисперсии использовались световодные решётки (см. гл. 5) и была
реализована передача солитонов со скоростью 10 Гбит/с на
расстояние свыше 1000 км. Большие расстояния передачи были
достигнуты при использовании световодных петель с рециркуляцией [79],
состоящих из стандартного световода длиной 102 км с аномальной
ДГС (/?2 ~ -21 пс2/км) и СКД длиной 17,3 км с нормальной ДГС
(/?2 « 160 пс2/км). В этом эксперименте вариабельность схемы S была
сравнительно большой, причём в петлю вводились импульсы
длительности 30 пс (по уровню 1/2). В 1999 г. УД-солитоны могли
передаваться на расстояния свыше 1,6- 107 м по стандартному световоду при
минимизации взаимодействия солитонов надлежащим расположением
усилителей [80] 0.
1) В 2002 г. в Австралии запущена первая коммерческая линия связи на
УД-солитонах протяжённостью 3875 км. В режиме плотного разделения по
длинам волн (DWDM) со 160 частотными каналами скорость передачи
информации в каждом из каналов составляет 10 Гбит/с, так что общая скорость
передачи достигает 1,6 Тбит/с [156*]. (Прим. ред.)

112
Гл. 3. Временные солитоны
3.5. Возмущения солитонов
Появление оптических усилителей резко ускорило развитие систем
на основе солитонов. Однако при их применении возникают
ограничения, накладываемые шумом усилителей. В этом разделе мы сначала
обсудим метод, обычно используемый для анализа влияния малых
возмущений солитонов, и затем применим его для изучения
проявлений потерь световода и шумов усилителей. Роль дисперсионных
и нелинейных эффектов высших порядков рассматривается в разделе
3.6. Предполагается, что световод обладает однородной дисперсией, так
что солитоны имеют форму гиперболического секанса и поддерживают
её в отсутствие возмущений.
3.5.1. Теория возмущений. Рассмотрим возмущённое НУШ,
записанное в виде
{ё + !0 + м2и = ад> (3'5Л)
где е(и) — малое возмущение, которое может зависеть от и, и* и их
производных. В отсутствие возмущений (е = 0) солитонное решение
НУШ известно. Тогда ставится вопрос: что произойдёт с этим соли-
тоном, если е Ф 0? Для ответа на этот вопрос разработаны несколько
методов теории возмущений [82-89]. Во всех них предполагается, что
функциональная форма солитона сохраняется, но параметры солитона
зависят от z, когда солитон распространяется вдоль световода. В
наиболее общем виде возмущённый солитон записывается так:
u(zyr) = 7]{z) sch[rj(z)(r - q(z))]exp[i</>(z) - iS(z)r]. (3.5.2)
Зависимость rj, 5,q и ф от z подлежит определению. В отсутствие
возмущений (е = 0) rj и S — постоянные, a q(z) и <f>(z) находятся
решением простых обыкновенных дифференциальных уравнений
Й--* g-Jtf-*). (3-5.3)
Теория возмущений, развитая для солитонов, включает
адиабатическую теорию возмущений, теорию возмущений в методе обратной
задачи рассеяния, метод преобразования Ли и вариационный метод.
Во всех них получают систему следующих четырёх обыкновенных
дифференциальных уравнений для четырёх параметров солитона [4]:
g = Re | e(u)ti*(r)drf (3.5.4)
— оо
оо
^ = -Im | e(u)th[ij(T-?)]«*(r)dT, (3.5.5)

3.5. Возмущения солитонов
113
оо
dz
-оо
— Re [ e(u)(T-q)um(T)dT, (3.5.6)
оо
g=Im | £(u){l/^-(T-g)th[J7(r-9)]K(r)dr + I(J72-J2) + ^>
(3.5.7)
где Re и Im означают вещественную и мнимую части, соответственно.
Эту систему четырёх уравнений можно также получить, используя
адиабатическую теорию возмущений или теорию возмущений на
основе метода обратной задачи рассеяния [82-89].
Как простой пример рассмотрим влияние потерь световода на со-
литоны, считая, что усилителей в схеме нет. Потери световода
вредны уже потому, что они уменьшают пиковую мощность солитонов,
нарушая баланс между дисперсионными и нелинейными эффектами.
В результате длительность солитона при его распространении
увеличивается. Математически потери световода учитываются добавлением
члена с потерями в НУШ, которое приобретает вид
где Г = aLo = аТ$/|/?г| и а — параметр потерь.
Если Г< 1, член с потерями можно рассматривать как слабое
возмущение. Подставив е(и) = —Ти/2 в (3.5.4)-(3.5.7) и выполнив
интегрирования, найдём, что только амплитуда солитона rj и фаза ф
подвержены действию потерь и меняются вдоль световода [17]
ф) = ехр (-Гг), ф(г) = ф(0) + [1 - ехр (-2Гг)]/(4Г), (3.5.9)
где мы считали, что rj(0) = 1, 6(0) = 0 и g(0) = 0. И 6, и q
остаются равны нулю вдоль световода. Так как амплитуда и длительность
солитона обратно пропорциональны, уменьшение амплитуды приводит
к уширению солитона. Действительно, если записать г)(т — q) в (3.5.2)
как Т/Т\ и ввести г = Г/То, найдём экспоненциальное возрастание Т\
вдоль световода
Тх (z) = Т0 ехр (Гг) = Т0 ехр (aZ). (3.5.10)
Это уравнение остаётся справедливым, пока Г < 1.
3.5.2. Шум усилителей. Использование оптических усилителей
существенно влияет на эволюцию солитонов. Причина в том, что
усилители, необходимые для восстановления энергии солитона, вводят
также шум, вызванный усиленным спонтанным излучением (УСИ).
Чтобы изучить влияние УСИ на эволюцию солитона, рассмотрим, как
воздействует шум усилителя на четыре параметра солитона в (3.5.2).
УСИ вводит случайные изменения величин ту, q, 5 и ф на выходе каждо-

114
Гл. 3. Временные солитоны
го усилителя. Дисперсию (в статистическом смысле) таких флуктуации
четырёх параметров солитона можно найти, рассматривая УСИ как
возмущение.
Для сосредоточенного усиления солитоны возмущаются УСИ
дискретным образом в месте расположения усилителей. Однако, так как
расстояние между усилителями удовлетворяет неравенству za < 1,
допустим, что шум распределён по всей длине световода. Такой подход
полезен, и он может быть применён также к случаю распределённого
усиления с небольшими изменениями. Полагая, что потери световода
полностью компенсируются усилением и добавляя шум, запишем НУШ
в виде
4l + i0 + M2" = *n(*'r)' (3-5Л1)
где п(г,т) — марковский стохастический процесс с гауссовой
статистикой с (п(г,т)) = 0 и корреляционной функцией
(n(z, r)n*{z\ т')> = SnS(r - t')6(z - z'l (3.5.12)
где Sn связана со спектральной плотностью УСИ 5sp = nsphvo(G — 1)
и nsp — фактор спонтанного излучения (с типичными значениями в
интервале 1,3-1,6). В солитонных единицах
S„ = „,PMC-.)£| = ^. (3.5..3)
где Fn = 2nsp — параметр шума усилителя и величина
FG = {G — 1)2/(G In G) выражается через усиление G = ехр(аЬд).
В (3.5.13) iVph = 2PoTo/hvo — это среднее число фотонов в импульсе,
распространяющемся как фундаментальный солитон.
Подставив е(и) = n(z, r) в (3.5.4)-(3.5.7), мы можем найти, как
флуктуируют четыре параметра солитона из-за шума усилителей.
Полезно ввести четыре новые случайные переменные [7]
оо
7ii(z) = Re [ n(z,T)Fi{T) dr, (3.5.14)
— ОО
где i = rj,6,q и ф. Вид функций Fj(r) следует из (3.5.4)-(3.5.7), так
что F^t) = u*(t) и т.д. Их корреляционные функции вычисляются
при использовании (3.5.4)-(3.5.7), и результат следующий
(щ{г)п^)) = SiSijSiz - z'). (3.5.15)
Положив (rj) = 1, найдём спектральные плотности для г = 7/, (5, q и ф
в виде [7]
Sv = Sn, SS = ^., Sq = ^Sn, 5*=(l + ^)^. (3.5.16)

3.5. Возмущения солитонов
115
Вычислим, например, амплитудные и частотные флуктуации,
вызванные УСИ. Интегрируя (3.5.4) и (3.5.5), найдём
Z Z
ф) = 1 + ^nri(z)dz, 6(z)=ln6(z)dz, (3.5.17)
о о
где для фундаментального солитона, вводимого в световод при z = О,
считается ту(0) = 1 и 6(0) = 0. Дисперсия флуктуации равна
al = Snz, a2s = Snz/3. (3.5.18)
Этот результат показывает, что дисперсия и амплитудных, и частотных
флуктуации возрастает линейно с длиной световода из-за эффекта
накопления УСИ. Амплитудные флуктуации ухудшают отношение
сигнала к шуму солитонного потока информации. Это ухудшение, хотя
и нежелательное, ещё не является главным ограничивающим
фактором. Действительно, частотные флуктуации влияют на характеристики
системы гораздо сильнее, вызывая флуктуации времени прихода
импульсов. Далее мы рассматриваем именно этот вопрос.
3.5.3. Флуктуации времени прихода. Солитонная система связи
работает надёжно, только если все солитоны поступают на приёмник
в должном битовом интервале. Имеются несколько физических
механизмов, вызывающих отклонения положения солитона от его
первоначального положения в центре битового интервала. Среди них
практически часто доминируют вызванные УСИ флуктуации времени прихода.
Причину таких флуктуации можно понять, заметив, что изменение
частоты солитона на величину 8 меняет скорость, с которой солитон
распространяется по световоду. Если 6 флуктуирует из-за шума
усилителей, время прохода солитона через световодную линию становится
случайным. Вызванные УСИ флуктуации времени прихода солитона
называют флуктуациями времени прихода Гордона-Хауса [90-93].
Флуктуации положения солитона получают
интегрированием (3.5.6) и вычислением дисперсии q(z). Следуя указанной ранее
процедуре, находим (статистическую) дисперсию
(7,2 = i5nz3 + ^5n2, (3.5.19)
где и (5, и q считаются равными нулю при z = 0. Второй член
показывает прямое воздействие УСИ на положение солитона. Первый член
отвечает флуктуациям времени прихода, вызванным частотными
флуктуациями, и он практически доминирует из-за кубической зависимости
от времени распространения. При сохранении только первого члена
флуктуации времени прихода приближённо равны

116
Гл. 3. Временные солитоны
где мы использовали (3.5.13) и (3.5.18). После подстановки ая = crt/7o,
г = LT/LDy Nph = 2P0T0/hv0, А = (t^d)"1, Fn = 2nsp и FG = (G -
- 1)//lm, дисперсия времени прихода в размерных единицах
записывается так [91]
а2 r^ nsphi>oi\P2\(G - \)L\ (3.5.21)
* 9Т01м/ьм
Так как время прибытия солитона должно быть в пределах
соответствующего битового интервала для его правильной идентификации
на приёмнике, флуктуации времени прихода должны быть малой
долей битового интервала Тв. Это требование можно записать в виде
vt/Тв < /б» где /ь — доля битового интервала, на которую может
сдвинуться солитон без сбоя приёма. Используя это условие и введя
скорость передачи посредством В = \/Тв = (2<7<До)_1, можно
переписать (3.5.21) как критерий проектирования:
BLT <
Qf2r f "11/3
huQFn{G - l)wy|A|
(3.5.22)
Допустимая величина /ь зависит от приемлемой частоты ошибок и
деталей устройства приёмника; обычно Д < 0,1. Чтобы увидеть, как шум
усилителя ограничивает дальность передачи, рассмотрим конкретную
солитонную систему связи, работающую на длине волны 1,55 мкм. При
использовании типичных значений параметров д0 = 5, 7 = 3 Вт""1 /км,
/% = — 1 пс2/км, Fn = 3, La = 50 km, G = 10 и Д = 0,1, величина
BLt должна быть меньше 80 (Тбит/с)- км. Для системы со скоростью
передачи 40 Гбит/с дальность передачи ограничивается 2000 км.
Аналогичные ограничения применимы к системам с управлением
дисперсией [92] и распределённым усилением [93]. Оказывается, что оба этих
метода позволяют уменьшить флуктуации времени прихода. В 2001 г.
была также выведена функция распределения вероятности времени
прихода [94].
3.6. Эффекты высших порядков
Рассмотренные выше свойства оптических солитонов основаны на
НУШ (3.1.1). Когда входные импульсы короче 4-5 пс, необходимо
учитывать нелинейные и дисперсионные эффекты высших порядков.
В солитонных единицах, введённых в разделе 1.3, (3.1.1) принимает
форму
.ди . 1 д*и , . ,2 т ^и • д п i2 \ . дМ2 /о с i\
%Tz + 2 а? + Ии = гб3^? ~ ls¥?(H u) + TRUaF' (361)
где считается, что потери световода скомпенсированы усилением.
Параметры <$з, s и тц характеризуют, соответственно, эффекты дисперсии

3.6. Эффекты высших порядков
117
третьего порядка (ДТП), самообострения фронта импульса и
вынужденного комбинационного саморассеяния и определяются так:
* = бИ5ь- s=zk' Т« = Ч- (3-6-2>
Все три параметра обратно пропорциональны длительности импульса
и пренебрежимо малы при То » 1 пс. Они становятся заметными для
фемтосекундных импульсов. Например, 8$ и 0,03, s и 0,03 и тд и 0,1
для импульса длительностью 50 фс (Т0 « 30 фс) с длиной волны
1,55 мкм, распространяющегося в стандартном кварцевом световоде,
если принять Тд = 3 фс. Далее мы рассмотрим каждый эффект
высшего порядка в отдельном разделе.
3.6.1. Дисперсия третьего порядка. Если спектр оптического
импульса сравнительно далёк от длины волны, отвечающей нулевой
дисперсии в световоде, эффекты ДТП слабы и могут анализироваться
по теории возмущений. Чтобы упростить изучение этих эффектов,
положим в (3.6.1) s = 0 и тд = 0 и рассмотрим член с 5$ как малое
возмущение. Подставив в (3.5.4)-(3.5.7) е(и) = 6з(д*и/дт3), нетрудно
показать, что амплитуда г/, частота S и фаза ф солитона из-за ДТП не
меняются. Меняется, однако, положение максимума q [4]
g = -«5 + W- (3-6.3)
Для фундаментального солитона с rj = 1 и S = 0 пик солитона
сдвигается линейно по z, так что q(z) = S^z. На физическом языке ДТП
замедляет солитон и в результате пик солитона сдвигается на
величину, линейно возрастающую с расстоянием. Этот вызванный ДТП
сдвиг пренебрежимо мал в большинстве световодов для пикосекундных
импульсов и даже больших расстояний z = 100 до тех пор, пока /32 не
близка к нулю.
Что будет, если оптический импульс распространяется в условиях
близости к длине волны нулевой дисперсии световода, так что /?2
близка к нулю? Для понимания характера распространения в этом режиме
была выполнена значительная работа [95-101]. В этом случае нельзя
использовать (3.6.1), так как при его выводе применялась
неподходящая нормировка. Нормируя длину распространения на L'D = Tq/|/?3|,
так что z' = z/L'Dy получим следующее уравнение:
i0-sign(/33)i|j + H2U = O, (3.6.4)
где и = NU, а N определяется соотношением
N2 = ^°- = 2g^. (3.6.5)
bNL |Рз|
На рис. 3.12 показаны форма и спектр импульса при z' = 3 и N = 2
и их сравнение с характеристиками входного импульса при z' = 0.

118
Гл. 3. Временные солитоны
0,4 0,8
Частота
Рис. 3.12. Форма (а) и спектр (б) импульса с исходной формой
гиперболического секанса при распространении до z/Z/^= 3 на длине волны нулевой
дисперсии с пиковой мощностью, отвечающей N = 2. Для сравнения
пунктирные кривые показывают начальные профили на входе световода
Наиболее ярким является расщепление спектра на два хорошо
разрешённых спектральных пика [95]. Эти пики отвечают крайним пикам
спектра, уширенного ФСМ. Из-за красного сдвига пика в области
аномальной ДГС энергия импульса в этом спектральном диапазоне
может сформировать солитон. Энергия в другом спектральном
диапазоне просто рассеивается, так как эта часть импульса испытывает
нормальную ДГС. Рассеивается задняя часть импульса, так как там
ФСМ порождает фиолетовое смещение. Форма импульса на рис. 3.12
включает длинный задний фронт с осцилляциями, которые
продолжают отделяться от центральной части с ростом z'. Важно отметить, что
из-за вызванного ФСМ спектрального уширения входной импульс не
распространяется в действительности на длине волны нулевой
дисперсии, даже если первоначально /32 = 0. Действительно, импульс сам
создаёт |)921 посредством ФСМ. Эффективное значение |/?2| даётся
уравнением (3.4.14), и оно больше для импульсов с большей пиковой
мощностью.
Интересен вопрос: существуют ли солитоноподобные решения на
длине волны нулевой дисперсии световода? Представляется, что (3.6.4)
не интегрируется методом обратной^ задачи рассеяния. Численное
решение [97] показывает, что при N > 1 импульс формы
гиперболического секанса преобразуется на расстоянии z' ~ 10/N2 в солитон,
содержащий примерно половину энергии импульса. Остальная энергия
переносится осцилляторной структурой около заднего фронта,
которая рассеивается при распространении. Эти свойства были изучены
количественно приближённым решением (3.6.4) [97-101]. В общем
случае солитоны на длине волны нулевой дисперсии требуют меньше
мощности, чем в режиме аномальной ДГС. Это можно увидеть из
сравнения (3.1.3) и (3.6.5). Чтобы достичь тех же значений N и N, для

3.6. Эффекты высших порядков
119
импульсов, распространяющихся на длине волны нулевой дисперсии,
требуется меньшая мощность, отличающаяся множителем То|/?2/Дз|-
С возникновением методов разделения по длинам волн (WDM —
wavelength-division multiplexing) и управления дисперсией были
разработаны специальные световоды, в которых /?з близко к нулю в
определённом диапазоне длин волн, тогда как |/Зг| остаётся конечной. Такие
световоды называют дисперсионно выровненными. При их
использовании необходимо рассмотрение влияния на солитоны дисперсионных
эффектов четвёртого порядка. Тогда НУШ принимает вид
.ди . 1 д*и . | ,2 с д4и /осм
1-д-г + 2Ъ? + Щи = 5*~д?' (3'6'6)
где 6< = /У(24|/?2|Г02).
Параметр 64 при То > 1 пс сравнительно мал, и его влияние можно
рассмотреть с помощью теории возмущений. Однако 8^ может стать
достаточно большим для ультракоротких импульсов, и тогда теория
возмущений неприменима. Солитоноподобное (с сохранением формы)
решение (3.6.6) можно найти, положив u(z,r) = V(r) exp (iKz) и
решив получающееся обыкновенное дифференциальное уравнение
относительно V(t). Решение следующее [102]
u(z, т) = ЗЬ2 sch2(6r) exp (8ib2z/5), (3.6.7)
где b = (40<$4)~^2 Отметим профиль амплитуды sch2-THna, в отличие от
обычной формы гиперболического секанса в случае стандартных
светлых солитонов. Подчеркнём, что и амплитуда, и длительность солитона
однозначно определены параметрами световода. Такие солитоны с
фиксированными параметрами сосуществуют с рассеянным излучением (со
сплошным спектром), и их иногда называют вложенными солитонами
(см. гл. 2).
3.6.2. Самообострение фронта импульса. Самообострение
фронта импульса интенсивно изучалось в [103-107]. Чтобы выявить
эффекты самообострения, определяемые параметром 5, удобно
положить в (3.6.1) (53 = 0 и тд = 0. Тогда эволюция импульса
в световоде определяется уравнением
'if+\ 37+|u|2u+isTr(|u|2u)=°- (3-6-8)
Самообострение в отсутствие ДГС приводит к возникновению
оптической ударной волны на заднем фронте импульса. Это явление вызвано
зависимостью групповой скорости от интенсивности, из-за чего пик
импульса движется медленнее его крыльев. ДГС значительно
сглаживает ударную волну и задний фронт. Однако самообострение всё ещё
проявляется в виде сдвига центра импульса.
Вызванный самообострением сдвиг показан на рис. 3.13, где
приведена форма импульса при z = 0, 5 и 10 при s = 0,2 и N = 1, полученная

120
Гл. 3. Временные солитоны
численным решением (3.6.8) с начальным условием и(0, т) = sch(r).
Так как при 5^0 пик движется медленнее крыльев, он запаздывает
и представляется сдвинутым к заднему фронту. Запаздывание хорошо
аппроксимируется простым выражением т<* = sz при s < 0,3. Его можно
также вычислить, рассматривая
член с 5 в (3.6.8) как малое
возмущение. Хотя при
распространении импульс слегка уширяется
(на ~20% при z = 10), он тем
не менее сохраняет солитонную
природу. Поэтому можно
предположить, что (3.6.8) имеет со-
литонное решение, к которому
входной импульс приближается
асимптотически. Действительно,
такое решение существует и
имеет вид [70]
u(z,t) = V(r - Mz) x
xexp[i(ffz-Afr)]f (3.6.9)
где величина М связана со
сдвигом несущей частоты. В
результате этого сдвига меняется
групповая скорость.
Запаздывание пика, видное из рис. 3.13, вызвано этим изменением групповой
скорости. Явный вид функции V(t) зависит от М и s [107]. В
пределе s = 0 эта функция сводится к гиперболическому секансу (3.1.5).
Отметим также, что (3.6.8) можно преобразовать к так называемому
модифицированному НУШ, которое интегрируется методом обратной
задачи рассеяния и интенсивно изучалось в физике плазмы [108-111].
Влияние самообострения на солитоны высших порядков
примечательно тем, что оно приводит к их распаду на составляющие —
явление, называемое распадом солитона [104]. Это явление иллюстрирует
рис. 3.14 для солитона второго порядка (N = 2) при 5 = 0,2. При
этом сравнительно большом значении s два солитона отделяются друг
от друга на расстоянии, равном двум солитонным периодам, и
продолжают отдаляться при дальнейшем распространении по световоду.
Качественно аналогично поведение при меньших значениях 5, только
для распада солитона требуются большие расстояния. Распад солитона
можно объяснить, используя метод обратной задачи рассеяния с
членом, описывающим самообострение, действующим как возмущение.
В отсутствие самообострения (s = 0) два солитона образуют связанное
состояние, так как они распространяются с одинаковой скоростью
(собственные значения имеют одинаковую вещественную часть).
Возмущающий член разрушает это вырождение, так что два солитона
Рис. 3.13. Форма импульса при z = 5
и 10 для фундаментального
солитона в условиях самообострения фронта
(s = 0,2). Для сравнения штриховая
кривая показывает начальную форму.
Сплошные кривые совпадают со
штриховой при 5 = 0

3.6. Эффекты высших порядков
121
3
82
енси!
Е1
к
0
j = 0,2 1 !
N=2 1
]i^\\Zci
^<Т.. ./|\Гм |,, ,^" *
-10 0 10 0
Время т
J
\%
^
^2 ]
и
<^
'асстояние z/zn
Рис. 3.14. Распад солитона второго порядка (N = 2), вызванный
самообострением (s = 0,2). Показана эволюция на протяжении пяти солитонных периодов
распространяются с различными скоростями. В результате они
удаляются друг от друга, и расстояние между ними растёт почти линейно
с пройденным путём [105]. Отношение высот пиков на рис. 3.14 около
9, что согласуется с ожидаемым отношением {щ/г]\)2, где г)\ w щ —
мнимые части собственных значений, связанных с преобразованием
обратной задачи рассеяния. Солитоны пятого и высших порядков имеют
аналогичный характер распада. В частности, солитон третьего порядка
(N = 3) распадается на три солитона, высоты пиков которых также
согласуются с теорией обратной задачи рассеяния.
3.6.3. Вынужденное комбинационное саморассеяние. Среди
нелинейных эффектов высших порядков наиболее важно
вынужденное комбинационное (рамановское) саморассеяние, экспериментально
обнаруженное в 1985 г. [112]. Его влияние на солитоны описывается
последним членом (3.6.1). Необходимость учёта этого члена стала
очевидной, когда в 1986 г. [113] было обнаружено новое явление,
называемое самосдвигом частоты солитона, и оно было объяснено
при учёте инерционности вынужденного комбинационного рассеяния
(ВКР) [114]. С тех пор этот нелинейный эффект высшего
порядка интенсивно изучался [115-132]. С физической точки зрения ВКР
приводит к непрерывному сдвигу вниз несущей частоты солитона,
когда спектр импульса становится столь широким, что
высокочастотные компоненты импульса могут передавать энергию низкочастотным
компонентам того же импульса посредством комбинационного
усиления. Вызванный ВКР сдвиг частоты пренебрежим при То > 10 пс, но
становится важным для коротких солитонов (То < 5 пс).
Чтобы выделить эффекты вынужденного комбинационного
саморассеяния, полезно положить в (3.6.1) 5$ = 0 и 5 = 0. Тогда эволюция
импульсов в световоде описывается уравнением
.ди , 1 д2и . | ,2 д\и\ /Q a 1Пч
^ + o7i + M " = Т*и-кг' (3.6.10)
dz 2 дт2
дт

122
Гл. 3. Временные солитоны
Подставив в (3.5.4)-(3.5.7) е(и) = -1тви{д\и\2/дт), нетрудно увидеть,
ВКР не влияет на амплитуду солитона 77, но меняет частоту 6:
£ = -£т*д (3.6.П)
Это уравнение легко интегрируется при постоянном г/, тогда 5(z) =
= -(8тя/15)г74г. При rj = 1 и z = z/Lq = I^z/Tq сдвиг частоты,
вызванный ВКР, в размерных единицах записывается так:
Aur{z) = ~81здГ' (3-6Л2)
Отрицательный знак указывет, что несущая частота уменьшается, то
есть спектр солитона сдвигается в сторону больших длин волн
(«красный» сдвиг).
Физический смысл красного сдвига можно пояснить в рамках ВКР.
При длительности импульса ~1 пс или менее спектральная ширина
импульса столь велика, что ВКР может усилить низкочастотные
(красные) компоненты спектра импульса за счёт низкочастотных (синих)
компонент того же импульса, действующих как накачка. Процесс
продолжается вдоль световода и энергия непрерывно перекачивается от
синих компонент к красным. Такая перекачка энергии проявляется как
красный сдвиг спектра солитона, причём сдвиг возрастает с
расстоянием. Как видно из (3.6.12), частотный сдвиг возрастает линейно
вдоль световода. Что ещё более важно, сдвиг меняется с
длительностью импульса как Т0~4, что указывает, что он может становиться
весьма большим для коротких импульсов. Например, частота
солитона меняется со скоростью ~50 ГГц/км для импульса
длительностью 1 пс (То = 0,57 пс) в стандартных световодах с /?2 = -20 пс2/км
и Тд = 3 фс. Спектр таких импульсов будет смещаться на 1 ТГц
через 20 км распространения. Это большой сдвиг, так как спектральная
ширина (по уровню 1/2) такого солитона менее 0,5 ТГц. Обычно
сдвигом частоты вследствие вынужденного комбинационного
саморассеяния нельзя пренебрегать для импульсов короче 5 пс.
Красный сдвиг солитонов вследствие ВКР наблюдался в 1986 г.
для импульсов длительностью 0,5 пс, полученных в лазере на центрах
окраски с пассивной синхронизацией мод [113]. Было найдено, что
спектр импульса сдвигается на 8 ТГц на длине световода менее 0,4 км.
Наблюдавшийся сдвиг спектра был назван самосдвигом частоты
солитона, потому что он индуцирован самим солИтоном. Фактически
именно при попытке объяснения наблюдавшегося красного сдвига
впервые была осознана инерционная природа ВКР-отклика при передаче
ультракоротких импульсов [114].
Влияние вынужденного комбинационного саморассеяния на
солитоны высших порядков такое же, как в случае самообострения. В
частности, даже при сравнительно малых величинах tr происходит
распад солитонов высших порядков на их составляющие [120]. Такой

3.6. Эффекты высших порядков
123
Расстояние z/zn
-10 0 10
Время х
Рис. 3.15. Распад солитона второго порядка {N = 2), вызванный вынужденным
комбинационным саморассеянием (tr = 0,01)
распад показан на рис. 3.15 для солитона второго порядка (N = 2);
распад получен численным решением (3.6.10) при tr = 0,01. Сравнение
рис. 3.14 и 3.15 показывает сходства и различия двух нелинейных
механизмов высших порядков. Важное отличие состоит в том, что
относительно малые, по сравнению с s, величины tr могут вызвать
распад солитона на заданном расстоянии. Например, если положить
s = 0,01 для рис. 3.14, солитон не расщепится на расстоянии z = 5zq.
Это свойство указывает, что влияние гд, скорее всего, практически
будет доминировать над влиянием самообострения.
Другое важное различие, видное из рис. 3.14 и 3.15, состоит в том,
что в случае самообострения оба солитона сдвинуты к заднему фронту
импульса, тогда как в случае
ВКР солитон с малой
интенсивностью сдвинут к переднему
фронту импульса. Это
поведение можно качественно
объяснить, привлекая рис. 3.16, где
спектр импульса при z = 5zo
сравнивается со спектром
входного солитона второго
порядка, чья эволюция показана на
рис. 3.15. Самое
примечательное свойство — это
гигантский красный сдвиг спектра
солитона — примерно в
четыре раза превышающий
спектральную ширину на входе при
tr = 0,01 и z/zo = 5.
Сдвинутый в красную область
широкий спектральный пик отвечает
на рис. 3.15 сдвигу направо ин-
0 1 2
Частота (v - у0)Г0
Рис. 3.16. Спектр импульса при z/zq =
= 5 для параметров рис. 3.15.
Штриховая кривая показывает спектр входного
импульса

124
Гл. 3. Временные солитоны
тенсивного солитона, тогда как сдвинутая в синюю сторону
спектральная структура отвечает другому пику, движущемуся налево на этом
рисунке. Так как компоненты, сдвинутые в синюю область,
распространяются быстрее, чем сдвинутые в красную область, они опережают
остальные, которые запаздывают по сравнению с входным импульсом.
Это как раз то, что видно на рис. 3.15.
Можно задать вопрос: существуют ли солитоноподобные решения
уравнения (3.6.10)? Оказывается, что если включён ВКР-член, то им-
пульсно-подобных решений не существует, главным образом потому
что соответствующее возмущение не гамильтонова типа [87]. Это
свойство ВКР-члена можно пояснить, заметив, что вызванный ВКР
красный сдвиг не сохраняет энергию импульса, так как часть этой
энергии диссипирует из-за возбуждения молекулярных колебаний. Однако,
были найдены топологические солитоны типа фронта (с бесконечной
энергией) в виде [129]
„(,,>=(|l)[exp(g) +■]-'%(£!). (3.6ЛЗ,
Солитоны типа фронта (кинки) возникают во многих физических
системах, динамика которых описывается уравнением синус-Гордона.
Применительно к волоконным световодам эти солитоны представляют
фронт оптической ударной
волны, которая сохраняет форму при
распространении вдоль
световода. На рис. 3.17 профили
фронта показаны как зависимости
\u(z, т)|2 для нескольких
значений tr. Крутизна фронта зависит
от тя, так что фронт
становится всё более резким при
уменьшении tr. Хотя параметр N
возрастает при убывании тд,
уровень мощности Р0 (определяемый
как мощность при г = 0)
сохраняется. Это можно увидеть,
выразив Pq через параметр Tr
при учёте (3.1.3) и (3.6.2),
так что Р0 = 9|/?2|/(1б7Г£). При
типичных параметрах световода
Ро ~ 10 кВт. Экспериментально наблюдать такие оптические фронты
затруднительно из-за высоких требований к мощности.
Солитон-фронт (3.6.13) получен при предположении u(zyr) =
= V(t) exp (iKz) решением соответствующего обыкновенного
дифференциального уравнения для V(r). Решение показывает, что солитоны-
фронты образуют однопараметрическое семейство с различными зна-
-2024
Нормированное время, т
Рис. 3.17. Временные профили
интенсивности солитонов типа фронта
в виде оптической ударной волны для
нескольких значений tr [129]

3.6. Эффекты высших порядков
125
Расстояние z/z0
чениями К и существуют даже в области нормальной дисперсии
световода [130]. Они по-прежнему существуют, даже если в (3.6.1)
включён член, отвечающий самообострению. Аналитический вид (3.6.13)
получен только для частного значения К = 9/(8тд). Если К < Тд,
монотонно убывающие хвосты, видные на рис. 3.17, превращаются в
осциллирующие структуры.
3.6.4. Распространение фемтосекундных импульсов. Для фем-
тосекундных импульсов с длительностью То < 1 пс необходимым
становится включить в (3.6.1) все члены высших порядков, так как
все три параметра — #з, s
и tr — оказываются
значимыми. Эволюция таких
ультракоротких импульсов
изучается численным
решением (3.6.1) [133-136].
Как пример, на рис. 3.18
показаны форма
импульса и спектр при вводе
в световод солитона
второго порядка при £з = 0,03,
s = 0,05 и тд = 0,1. Эти
значения отвечают
импульсу длительностью 50 фс
(То « 30 пс),
распространяющемуся в области длин
волн 1,55 мкм
стандартного кварцевого световода.
Распад солитона
происходит на солитонном периоде
(го « 5 см) и главный пик
смещается при увеличении
расстояния к заднему фронту с большой скоростью. Этот временной
сдвиг вызван убыванием групповой скорости vg = (d/J/do;)"1,
возникающим в результате красного сдвига спектра солитона. Сдвиг несущей
частоты солитона меняет его скорость из-за частотной зависимости vg.
Если положить То = 30 фс, чтобы привести результаты рис. 3.18 к
размерным единицам, несущая частота импульса длительностью 50 фс
будет сдвинута почти на 40 ТГц, или на 20%, после прохождения
расстояния всего 15 см.
Если входная пиковая мощность достаточно велика, чтобы
возбудить солитон высшего порядка с N > 1, спектр импульса
преобразуется в несколько полос, отвечающих расщеплению исходного импульса
на фундаментальные солитоны. Такой вид эволюции наблюдался при
распространении импульсов с длительностью 830 фс с пиковой
мощностью 530 Вт на расстояние до 1 км [134]. Спектральный пик в дальней
Расстояние z/zn
Рис. 3.18. Эволюция формы импульса и
спектра в случае N = 2. Значения остальных
параметров: 6$ = 0,03, s = 0,05 и tr = 0,1

126
Гл. 3. Временные солитоны
красной области был связан с солитоном, длительность которого была
наименьшей («55 фс) при 12 м и затем возрастала вдоль световода.
Экспериментальные результаты согласуются с вытекающими из (3.6.1).
Комбинированное воздействие ДТП, самообострения и
вынужденного комбинационного саморассеяния на солитон высшего порядка
состоит в его расщеплении на составляющие. В действительности
ДТП приводит к распаду солитона даже в отсутствие нелинейных
эффектов высших порядков, если параметр 6$ превышает пороговое
значение [135]. Для солитона второго порядка (N = 2) пороговое
значение fa = 0,022 и оно уменьшается до «0,006 при N = 3. Для
стандартных кварцевых световодов 6$ превышает 0,022 при 1,55 мкм
для импульсов короче 70 фс. Однако, порог может быть достигнут
для импульсов с примерно в 10 раз большей длительностью, если
используются световоды со смещённой дисперсией.
Интересен вопрос: допускает ли (3.6.1) солитоноподобное
решение с сохраняющейся формой при каких-либо условиях? При
использовании различных методов были найдены некоторые такие
решения [137-152]. В большинстве случаев решение существует только
при специальном выборе комбинации параметров. Например,
фундаментальный солитон и солитоны высших порядков найдены при tr = 0
и 5 = -2^з или s = — 6(5з [144]. С практической точки зрения такие
решения (3.6.1) не столь полезны, так как затруднительно найти
световоды с параметрами, удовлетворяющими необходимым ограничениям.
Хотя (3.6.1) позволяет успешно моделировать распространение фем-
тосекундных импульсов в волоконных световодах, оно всё же
приближённое. Более точное рассмотрение должно учитывать временную
зависимость нелинейного отклика. В простой модели присутствующий
в (3.6.1) нелинейный член \и\2и заменяется обобщённой
нелинейностью F(\u\2)u, где
т
F(\u\2)= | \u(t')\2R(T-t')dt', (3.6.14)
—оо
a R(t) — функция отклика, связанная с нелинейностью световода. Она
может быть записана в виде [121-127]
R(t) = (1 - /яЖ«) + /яМ«). (3.6.15)
где /я представляет парциальный вклад инерционного отклика ВКР
в нелинейную поляризацию. Функция комбинационного отклика h,R(t)
ответственна за комбинационное усиление и может быть определена
по экспериментально измеренному спектру комбинационного усиления
в кварцевых световодах [121]. Приближённый аналитический вид этой
функции следующий [122]:
2 2
М«) = 21±т1 exp(-t/r2)sin(t/T,). (3.6.16)
Т\Т2

Список литературы
127
Параметры т\ и тг подгоночные и выбираются так, чтобы
обеспечить лучшее согласие с действительным спектром ВКР-усиления.
Их примерные значения т\ = 12,2 фс и тч = 32 фс [122]. По оценке
/я «0,18 [121-124].
Инерционный характер молекулярного отклика не только приводит
к самосдвигу частоты солитона, но и влияет на взаимодействие
соседних солитонов [125]. Для численного анализа влияния вынужденного
комбинационного саморассеяния в световодах на эволюцию фемтосе-
кундных оптических импульсов использовалось (3.6.1) [126-128]. Для
импульсов короче 20 фс даже применение этого уравнения
проблематично из-за принятого при его выводе приближения медленно
меняющейся огибающей (см. раздел 1.3). Так как столь короткие импульсы
могут генерироваться современными лазерами с синхронизацией мод,
были предприняты попытки усовершенствовать это приближение, всё
ещё имея дело с огибающей импульса [153-155]. Для предельно
коротких импульсов, включающих только несколько оптических колебаний,
необходимо наконец отказаться от понятия огибающей и решать
непосредственно уравнения Максвелла, применяя соответствующий
численный алгоритм.
Список литературы
1. Hasegawa A, Tappert F. // Appl. Phys. Lett. 1973. V. 23. P. 142.
2. Mollenauer L.F., Stolen R.H., Gordon J. P. // Phys. Rev. Lett. 1980. V. 45.
P. 1095.
3. Mollenauer L.F., Smith K. // Opt. Lett. 1988. V. 13. P. 675.
4. Hasegawa A, Kodama Y. Solitons in Optical Communications. — Oxford:
Clarendon Press, 1995.
5. Mollenauer L.F.y Gordon J.P., Mamychev P. V. // Optical Fiber
Telecommunications IIIA / Ed. by I. P. Kaminow and T. L. Koch. — San Diego:
Academic Press, 1997. Chap. 12.
6. Essiambre /?./., Agrawal G.P. // Progress in Optics / Ed. by E. Wolf.
V. 37. — Amsterdam: Elsevier, 1997. Chap. 4.
7. lannone £., Matera F., Mecozzi Л., Settembre M. Nonlinear Optical
Communication Networks. — N.Y.: Wiley, 1998. Chap. 5.
8. Agrawal G.P. Fiber-Optic Communication Systems, 3rd ed. — N. Y.: Wiley,
2002. Chap. 9.
9. Agrawal G.P. Nonlinear Fiber Optics, 3rd ed. — San Diego: Academic Press,
2001. [Имеется перевод: Агравал Г. Нелинейная волоконная оптика. —
М.: Мир, 1996.]
10. Захаров В.Е., Шабат А. Б. // ЖЭТФ. 1972. Т. 64. С. 1627.
11. Satsuma /., Yajima N. // Prog. Theor. Phys. 1974. V. 55. P. 284.
12. Karpman V.I.% Solov'ev V. V. // Physica. 1981. V. 3D. P. 487.
13. Gordon IP. И Opt. Lett. 1983. V. 8. P. 596.
14. Mitschke F.M., Mollenauer L.F. // Opt. Lett. 1987. V. 12. P. 355.
15. Desem C, Chu PL. // IEE Proc. 1987. V. 134. P. 145.

128
Гл. 3. Временные солитоны
16. Kodama У., Nozaki К. // Opt. Lett. 1987. V. 12. P. 1038.
17. Hasegawa Л., Kodama У. // Proc. IEEE. 1981. V.69. P. 1145; Opt. Lett.
1982. V.7. P. 285.
18. Kodama У, Hasegawa A. // Opt. Lett. 1982. V. 7. P. 339; 1983. V. 8. P. 342.
19. Hasegawa A. // Opt. Lett. 1983. V. 8. P. 650; Appl. Opt. 1984. V. 23.
P. 3302.
20. Mollenauer L.F., Stolen R.H., Islam M.N // Opt. Lett. 1985. V. 10. P. 229.
21. Mollenauer L.F., Gordon J.P., Islam M.N. // IEEE J. Quantum Electron.
1986. V.22. P. 157.
22. Hasegawa A.t Kodama Y. // Phys. Rev. Lett. 1991. V. 66. P. 161.
23. Spirit D.M., Marshall I. W., Constantine P.D. et al. // Electron. Lett. 1991.
V. 27. P. 222.
24. Nakazawa M., Kubota #., Kurakawa K. et al. // J. Opt. Soc. Am. B. 1991.
V.8. P. 1811.
25. Kurokawa K.y Nakazawa M. // IEEE J. Quantum Electron. 1992. V. 28.
P. 1922.
26. Rottwitt K., Povlsen /.//., Gundersen 5., Bjarklev A. // Opt. Lett. 1993.
V. 18. P. 867.
27. Lester C, Bertilsson #., Rottwitt K. et al. // Electron. Lett. 1995. V.31.
P. 219.
28. Nakazawa M.y Suzuki K., Kimura Y. // IEEE Photon. Technol. Lett. 1990.
V.2. P. 216.
29. Olsson N.A., Andrekson P. A., Becker PC. et al. // IEEE Photon. Technol.
Lett. 1990. V. 2. P. 358.
30. Iwatsuki K.y Nishi S., Nakagawa K. // IEEE Photon. Technol. Lett. 1990.
V. 2. P. 355.
31. Yamada £., Suzuki K., Nakazawa M. // Electron. Lett. 1991. V. 27. P. 1289.
32. Mollenauer L.F., Nyman B.M., Neubelt M.I. et al. // Electron. Lett. 1991.
V.27. P. 178.
33. Tajima K. // Opt. Lett. 1987. V. 12. P. 54.
34. Bogatyrjov V.A., Bubnov M.M., Dianov E.M., Sysoliatin A. A. // Pure
Appl. Opt. 1995. V.4. P. 345.
35. Richardson D.J., Chamberlin R.P., Dong L.y Payne D.N. // Electron. Lett.
1995. V.31. P. 1681.
36. Stentz A.I., Boyd /?., Evans A.F. // Opt. Lett. 1995. V. 20. P. 1770.
37. Richardson D.J., Dong L., Chamberlin R.P. et al. // Electron. Lett. 1996.
V. 32. P. 373.
38. Forysiak W., Knox F.M., Doran N.I. // Opt. Lett. 1994. V. 19. P. 174.
39. Georges Т., Charbonnier В. // Opt. Lett. 1996. V. 21. P. 1232; IEEE Photon.
Technol. Lett. 1997. V. 9. P. 127.
40. Cardianal S., Desurvire E., Hamaide J.P., Audouin O. // Electron. Lett.
1997. V.33. P. 77.
41. Hasegawa A.y Kodama У., Murata A. 11 Opt. Fiber Technol. 1997. V. 3.
P. 197.
42. Kumar 5., Kodama K, Hasegawa A. 11 Electron. Lett. 1997. V. 33. P. 459.
43. Knox P.M., Forysiak W., Doran N.I. // J. Lightwave Technol. 1995. V. 13.
P. 1955.

Список литературы
129
44. Suzuki M, Morita /., Edagawa N. et al. // Electron. Lett. 1995. V. 31.
P. 2027.
45. Smith N.J., Knox F.M., Doran N.J. et al. // Electron. Lett. 1996. V. 32.
P. 54.
46. Gabitov /., Turitsyn S.K. // Opt. Lett. 1996. V. 21. P. 327.
47. Nakazawa M.y Kubota H., Tamura K. // IEEE Photon. Technol. Lett. 1996.
V. 8. P. 452.
48. Nakazawa M.9 Kubota #., Sahara Л., Tamura K. // IEEE Photon. Technol.
Lett. 1996. V. 8. P. 1088.
49. Grudinin А.В., Goncharenko I.A. // Electron. Lett. 1996. V. 32. P. 1602.
50. Габитов //., Турицын С.К. // Письма в ЖЭТФ. 1996. Т. 63. С. 814.
51. Berntson A., Doran N.J., Forysiak W.y Nijhof J.H.B. // Opt. Lett. 1998.
V. 23. P. 900.
52. Kutz J.N., Holmes P., Evangelides S.G. et al. // J. Opt. Soc. Am. B. 1998.
V. 15. P. 87.
53. Turitsyn S.K., Shapiro E. // Opt. Fiber Technol. 1998. V.4. P. 151.
54. Turitsyn S.K., Gabitov /., Laedke E.W. et al. // Opt. Commun. 1998.
V. 151. P. 117.
55. Турицын С. К., Мезенцев В.К. // Письма в ЖЭТФ. 1998. Т. 67. С. 616.
56. Lakoba 7./., Каир D.J. // Electron. Lett. 1998. V. 34. P. 1124; Phys. Rev.
E. 1998. V. 58. 6728.
57. Turitsyn S.K., Shapiro E.G. // J. Opt. Soc. Am. B. 1999. V. 16. P. 1321.
58. Gabitov /./?., Shapiro E.G., Turitsyn S.K. // Phys. Rev. E. 1997. V. 55.
3624.
59. Ablowitz M.J., Bioindini G. // Opt. Lett. 1998. V. 23. P. 1668.
60. Захаров В.Е., Манаков СВ. // Письма в ЖЭТФ. 1999. Т. 70. С. 573.
61. Turitsyn S.K., Schaefer T.% Spatschek K.H., Mezentsev V.K. // Opt.
Commun. 1999. V. 163. P. 122.
62. Pare C, Belanger P. A. // Opt. Lett. 2000. V. 25. P. 881.
63. Nijhof J.H.B., Doran N.J., Forysiak W., Knox FM. // Electron. Lett. 1997.
V.33. P. 1726.
64. Grigoryan V.S., Menyuk C.R. // Opt. Lett. 1998. V. 23. P. 609.
65. Kutz J.N., Evangelides S.G. // Opt. Lett. 1998. V. 23. P. 685.
66. Chen K, Haus HA. // Opt. Lett. 1998. V. 23. P. 1013.
67. Turitsyn S.K., Shapiro E.G. // Opt. Lett. 1998. V.23. P.683.
68. Nijhof J.H. Д., Forysiak W.t Doran N.J. // Opt. Lett. 1998. V. 23. P. 1674.
69. Turitsyn S.K., Nijhof J.H.B., Mezentsev V.K., Doran N.J. // Opt. Lett.
1999. V.24. P. 1871.
70. Anderson D., Lisak M. // Phys. Rev. A. 1983. V. 27. P. 1393.
71. Kubota H., Nakazawa M. // Opt. Commun. 1992. V.87. P. 15;
Nakazawa M., Kubota H // Electron. Lett. 1995. V. 31. P. 216.
72. Naka A., Matsuda Т., Saito S. // Electron. Lett. 1996. V. 32. P. 1694.
73. Morita /., Suzuki M., Edagawa N et al. // IEEE Photon. Technol. Lett.
1996. V.8. P. 1573.
74. Jacob J.M., Golovchenko E.A., Pilipetskii A.N et al. // IEEE Photon.
Technol. Lett. 1997. V. 9. P. 130.
75. Carter G.M., Jacob J.M. // IEEE Photon. Technol. Lett. 1998. V. 10. P. 546.

130
Гл. 3. Временные солитоны
76. Grigoryan V.S., Ми Д.ЛГ, Carter G.M., Menyuk C.R. // IEEE Photon.
Technol. Lett. 2000. V. 10. P. 45.
77. Mu R.M.y Menyuk C./?., Carter G.M., Jacob J.M. // IEEE J. Sel. Topics
Quantum Electron. 2000. V. 6. P. 248.
78. Grudinin А.В., Durkin M., Isben M. et al. // Electron. Lett. 1997. V. 33.
P. 1572.
79. Fame F, Le Guen D.% Georges T. // J. Lightwave Technol. 1999. V. 17.
P. 1032.
80. Penketh I.S., Harper P., Aleston S.B. et al. // Opt. Lett. 1999. V. 24. P. 803.
81. Zitelii M.% Fame F., Le Guen D., Del Burgo S. // IEEE Photon. Technol.
Lett. 1999. V.9. P. 904.
82. Карпман В.И., Маслов Е.М. // ЖЭТФ. 1977. Т. 73. С. 537.
83. Каир D.J., Newell А. С. // Ргос. R. Soc. London, Ser. A. 1978. V.361.
P. 413.
84. Карпман В. И. // ЖЭТФ. 1979. Т. 77. С. 1382; Physica Scripta. 1979. V. 20.
P. 462.
85. Kivshar Y.S., Malomed В.A. // Rev. Mod. Phys. 1989. V. 61. P. 761.
86. Haus H. H J. Opt. Soc. Am. B. 1991. V. 8. P. 1122.
87. Menyuk C.R. // J. Opt. Soc. Am. B. 1993. V. 10. P. 1585.
88. Georges 7\ Fame F // J. Opt. Soc. Am. B. 1993. V. 10. P. 1880.
89. Georges T. // Opt. Fiber Technol. 1995. V. 1. P. 97.
90. Gordon J.P., Haus HA. // Opt. Lett. 1986. V. 11. P. 665.
91. Marcuse D. // J. Lightwave Technol. 1992. V. 10. P. 273.
92. Santhanam /., McKinstrie С J., Lakoba 7\ Agrawal G.P. // Opt. Lett. 2001.
V.26. P. 1131.
93. Putrina £., Agrawal G.P. // IEEE Photon. Technol. Lett. 2002. V. 14. P. 39.
94. Falkovich G.y Lebedev V.t Kolokolov /., Turitsyn S.K. // Phys. Rev. E. 2001.
V. 63. 25601.
95. Agrawal G.P., Potasek M.J. // Phys. Rev. A. 1986. V. 33. P. 1765.
96. Boyer G.R., Carlotti X.F. // Opt. Commun. 1986. V. 60. P. 18.
97. Wai P.K., Menyuk C.R., Chen HH, Lee Y.C. // Opt. Lett. 1987. V. 12.
P. 628; IEEE J. Quantum Electron. 1988. V. 24. P. 373.
98. Desaix M.y Anderson D., Lisak M. // Opt. Lett. 1990. V. 15. P. 18.
99. Mezentsev V.K., Turitsyn S.K. // Sov. Laser Commun. 1991. V. 1. P. 263.
100. Kivshar Y.S. // Phys. Rev. A. 1981. V.43. P. 1677; Opt. Lett. 1991. V. 16.
P. 892.
101. Karpman V.I. // Phys. Rev. E. 1993. V. 47. P. 2073; Phys. Lett. 1993. V. 181.
P. 211.
102. Karlsson M., Hook A. // Opt. Commun. 1994. V. 104. P. 303.
103. Tzoar N., Jain M. // Phys. Rev. A. 1981. V. 23. P. 1266.
104. Головченко Е.А.У Пианов Е.М., Прохоров A.M., Серкин В.Н // Письма
в ЖЭТФ. 1985. Т. 42. С. 74; ДАН СССР. 1986. Т. 288. С. 851.
105. Ohkuma К., Ichikawa Y.H.% Abe Y. 11 Opt. Lett. 1987. V. 12. P. 516.
106. Kamchatnov A.M., Darmanyan S.A., Lederer F. // Phys. Lett. A. 1998.
V. 245. P. 259.
107. Ihong W.P., Luo H.J. И Chin. Phys. Lett. 2000. V. 17. P. 577.
108. Mjolhus E. II J. Plasma Phys. 1976. V. 16. P. 321; 1978. V. 19. P. 437.

Список литературы
131
109. Mio К., Ogino Г., Minami К. et al. // J. Opt. Soc. Japan. 1976. V.41.
P. 265.
110. Wadati M, Konno K.t Ichikawa Y.H. // J. Phys. Soc. Japan. 1979. V.46.
P. 1965.
111. Ichikawa Y.H, Konno tf., Wadati M. et al. // J. Opt. Soc. Japan. 1980.
V. 48. P. 279.
112. Пианов E.M., Карасик А.Ю., Малышев П. В. и др. // Письма в ЖЭТФ.
1985. Т. 41. С. 242.
113. Mitschke F.M., Mollenauer L.F. // Opt. Lett. 1986. V. 11. P. 659;.
114. Gordon J. P. II Opt. Lett. 1986. V. 11. P. 662.
115. Kodama Y., Hasegawa A. // IEEE J. Quantum Electron. 1987. V.QE-23.
P. 510.
116. Zysset B.y Beaud P., Model W. // Appl. Phys. Lett. 1987. V. 50. P. 1027.
\\7. Выслоух В.А., Матвеева Т.А. // Квантовая электроника. 1987. Т.4.
С. 792.
118. Грудинин А.Б., Пианов Е.М., Коробкин Д. В. и др. // Письма в ЖЭТФ.
1987. Т. 46. С. 175.
119. Gouveia-Neto A.S., Gomes A.S.L.f Taylor J.R. // IEEE J. Quantum
Electron. 1988. V.24. P. 332.
120. Tai K.t Hasegawa A., Bekki N // Opt. Lett. 1988. V. 13. P. 392.
121. Stolen R.H., Gordon J.P., Tomlinson W.J. et al. // J. Opt. Soc. Am. B.
1989. V. 6. P. 1159.
122. Blow K.L, Wood D. // IEEE J. Quantum Electron. 1989. V. 25. P. 2665.
m.Afansasyev V.V., Vysloukh V.A.y Serkin V.N. // Opt. Lett. 1990. V. 15.
P. 489.
124. Mamyshev P. K, Chernikov S. V. // Opt. Lett. 1990. V. 15. P. 1076.
125. Hong B.J., Yang C.C. // Opt. Lett. 1990. V. 15. P. 1061; J. Opt. Soc. Am.
B. 1991. V. 8. P. 1114.
126. Mamyshev P. V., Chernikov S. V. // Sov. Laser Commun. 1992. V. 2. P. 97.
127. Stolen R.H., Tomlinson W.J. // J. Opt. Soc. Am. B. 1992. V. 9. P. 565.
128. Kurokawa K.t Kubota #., Nakazawa M. // Electron. Lett. 1992. V.28.
P. 2050.
129. Agrawal СР., Headley С III // Phys. Rev. A. 1992. V. 46. P. 1573.
130. Kivshar Y.S., Malomed B.A. // Opt. Lett. 1993. V. 18. P. 485.
Ш. Serkin V.N, Vysloukh V.A., Taylor J.R. // Electron. Lett. 1993. V.29.
P. 12.
132. Liu S., Wang W. // Opt. Lett. 1993. V. 18. P. 1911.
133. Hodel W., Weber HP. // Opt. Lett. 1987. V. 12. P. 924.
134. Beaud P., Hodel W., Zysset В., Weber HP. // IEEE J. Quantum Electron.
1987. V.QE-23. P. 1938.
135. Wai P.K.A., Menyuk C./?., Lee Y.C., Chen H.H. // Opt. Lett. 1986. V. 11.
P. 464.
136. Trippenbach M., Band Y.B. // Phys. Rev. A. 1998. V. 57. P. 4791.
137. Christodoulides D.N., Joseph R.I. // Appl. Phys. Lett. 1985. V. 47. P. 76.
138. Gagnon L. // J. Opt. Soc. Am. B. 1989. V. 9. P. 1477.
139. Грудинин А.Б., Меньшов В.Н, Фурса Т.Н. // ЖЭТФ. 1990. Т. 97. С. 449.
140. Gagnon L., Belanger PA. // Opt. Lett. 1990. V. 9. P. 466.

132
Гл. 3. Временные солитоны
141. Potasek М.У., Tabor М. // Phys. Lett. A. 1991. V. 154. P. 449.
142. Florjanczyk M., Gagnon L. // Phys. Rev. A. 1990. V. 41. P. 4478; Phys.
Rev. A 45, 6881 (1992).
143. Potasek M.J. // J. Appl. Phys. 1989. V.65. P. 941; IEEE J. Quantum
Electron. 1993. V. 29. P. 281.
144. Liu 5., Wang W. // Phys. Rev. E. 1994. V. 49. P. 5726.
145. Frantzeskakis £>./., Hizanidis K., Tombrasand G.S., Belial. // IEEE
J. Quantum Electron. 1995. V. 31. P. 183.
146. Porsezian K., Nakkeeran K. // Phys. Rev. Lett. 1996. V. 76. P. 3955.
147. Dong G./., Liu Z.Z. // Opt. Commun. 1996. V. 128. P. 8.
148. Gedalin M., Scott T.C., Band Y.B. // Phys. Rev. Lett. 1997. V. 78. P. 448.
149. Mihalache D.% Truta N., Crasovan L.C. // Phys. Rev. E. 1997. V. 56. 1064.
150. Palacios S.L., Guinea A., Fernandez-Diaz J.M., Crespo R.D. // Phys. Rev.
E. 1999. V. 60. R45.
151. Zaspel C.E. // Phys. Rev. Lett. 1999. V. 82. P. 723.
152. Li Z., Li L., Tian #., Zhou G. // Phys. Rev. Lett. 2000. V. 84. P. 4096.
153. Brabec Т., Krausz F. // Phys. Rev. Lett. 1997. V. 78. P. 3282.
154. Ranka J.K., Gaeta A.L. // Opt. Lett. 1998. V. 23. P. 534.
155. Lin <?., Wintner E. // Opt. Commun. 1998. V. 150. P. 185.
156*. Ultra Long-Haul Photonic Line System (June 2004). — http://www.
marconi.com.

Глава 4
ТЁМНЫЕ СОЛИТОНЫ
В этой главе описываются свойства и пространственных, и
временных тёмных солитонов размерности (1 4- 1). В разделе 4.1 мы
сосредоточим внимание на тёмных солитонах в керровской среде, такой
как волоконный световод. В этом случае кубическое НУШ точно
интегрируется методом обратной задачи рассеяния и можно найти
аналитические решения для тёмных солитонов. Разделы 4.2 и 4.3 посвящены
изучению тёмных солитонов в некерровских средах, таких как
органические, фоторефрактивные и полупроводниковые материалы. В
частности, в разделе 4.2 показано, что тёмные солитоны с малой амплитудой
хорошо описываются интегрируемым уравнением Кортевега-де Фриза
(КдФ), хотя само обобщённое НУШ не интегрируемо методом обратной
задачи рассеяния. Устойчивость тёмных солитонов изучается в
разделе 4.3, где мы также обсуждаем асимптотические аналитические
результаты, относящиеся к динамике некерровских тёмных солитонов
в условиях неустойчивости. В разделе 4.4 представлена теория
возмущений для тёмных солитонов и описаны некоторые важные свойства
динамики, вызванной неустойчивостью пространственных и временных
тёмных солитонов. Такие особенности временных тёмных солитонов
как флуктуации времени прихода, самосдвиг частоты вследствие
комбинационного рассеяния и дисперсия третьего порядка, обсуждаются
в разделе 4.5. Экспериментальные результаты, связанные с
наблюдением временных и пространственных тёмных солитонов и их
взаимодействия в различных нелинейных средах, представлены в разделе 4.6.
4.1. Керровская среда
Обобщённое НУШ (2.1.1) применимо также и к описанию тёмных
солитонов при условии, что основной член в разложении нелинейной
функции F(I) отрицателен (/ = \и\2 — интенсивность). В частном
случае керровской среды с самодефокусировкой F(I) = -/ и НУШ
принимает форму
В этом разделе мы сосредоточимся на свойствах тёмных солитонов,
связанных с этим уравнением.

134
Гл. 4. Тёмные солитоны
4.1.1. Метод обратной задачи теории рассеяния. Как
обсуждалось в 1.4.2, НУШ (4.1.1) точно интегрируется методом обратной
задачи теории рассеяния [1]. Линейная задача на собственные
значения для этого уравнения та же самая, что и для светлых солитонов,
и она формулируется уравнениями (1.4.8) и (1.4.9). Единственное
отличие состоит в граничных условиях, которые для тёмных солитонов
принимают вид
(
ще%$х, х —► -оо,
«(<>.*) = { .. (4.1.2)
ще™2% х —► +оо,
где но — амплитуда фона, а в\ и 02 — постоянные фазы.
Линейная задача рассеяния для тёмных солитонов обладает
набором N дискретных собственных значений, таких что |А| < гхо, и их
можно найти аналитически для некоторых случаев начальных условий.
Эти собственные значения остаются неизменными, даже когда u(z,x)
изменяется вместе с z. Каждое вещественное собственное значение
можно представить в виде An = nosing, и это отвечает тёмному соли-
тону, в центре которого амплитуда равна uocos0n и который движется
по отношению к фону с поперечной скоростью Vn = uosin0n. Так как
асимптотическое поведение для любого входного пучка определяется
дискретными собственными значениями задачи рассеяния, на
достаточно больших расстояниях пучок преобразуется в некоторый набор
тёмных солитонов.
Для некоторых входных полей имеется только единственное
дискретное собственное значение. В этом случае может быть создан
единичный тёмный солитон. Самый общий вид тёмного солитона
приводился в разделе 1.4, и его можно записать следующим образом
u(x, z) = щ {cos ф th [uq cos ф(х — zuo sin ф)] + i sin ф} ехр (-ivfiz + г#о).
(4.1.3)
где ф — угловая переменная, которая параметризует собственное
значение, и во — произвольная фаза. Это решение (4.1.1) описывает тёмный
солитон, движущийся относительно фона с постоянной
интенсивностью |ио|2.
Метод обратной задачи рассеяния позволяет найти более общие
решения, описывающие взаимодействие N тёмных солитонов с
произвольными параметрами [1]. На основе этого метода в 1985 г. были
получены решения с многими тёмными солитонами [2], а в 1990-х
годах в нескольких работах изучались столкновения тёмных солитонов
[3-5]. Точное двухпараметрическое аналитическое решение
кубического НУШ (4.1.1), описывающее взаимодействие двух тёмных солитонов
с равными амплитудами, можно записать в форме
и(х, z) =
л rj ch (2ar)z) — ia sh (2arjz)
71 a ch (2rjt) + щ ch (2arjz) " ^°
exp(-iugz), (4.1.4)

4.1. Керровская среда
135
где 77 и а — произвольные параметры. Решение (4.1.4) описывает
столкновение двух тёмных солитонов. Для солитона с постоянной фазой при
z = 0 это решение описывает также рождение двух тёмных солитонов
с противоположными скоростями из исходного чётного
(симметричного) пучка. Этот случай детально обсуждается далее. Более общие
решения с процессами генерации многих солитонов можно получить
численно по данным рассеяния [6-8].
4.1.2. Генерация тёмных солитонов. Метод обратной задачи
рассеяния может быть использован для анализа генерации тёмных
солитонов при произвольной форме входного пучка в рамках кубического
НУШ. Для эксперимента важно знать решение линейной задачи
рассеяния для конкретных профилей входного пучка. Например, рассмотрим
входной пучок вида
u(0,x) =uoth(ax), (4.1.5)
где отношение щ/а произвольно. В этом случае задача
рассеяния (1.4.8), (1.4.9) решается аналитически и даёт следующие
собственные значения дискретного спектра [9]
Ai = 0, А2п = -A2n+i = \jul - wl, (4.1.6)
где п= 1,2,...,JVb и
^-Ч1-?)- (417)
Целое число Nq равно наибольшему целому, удовлетворяющему
условию No < щ/а. Первое — основное — собственное значение Ai
отвечает чёрному солитону, в центре которого интенсивность обращается
в нуль. Чётное число дополнительных собственных значений в (4.1.6)
соответствует Nq симметричным парам серых солитонов,
распространяющихся слева и справа от чёрного солитона. Поэтому общее число
тёмных солитонов, созданных входным пучком (4.1.5), N = 2No + 1,
где Nq зависит от отношения щ/а. В частном случае щ ^ а создаётся
только чёрный солитон, так как No = 0.
Если интенсивность входного пучка не обращается в нуль ни в
одной точке, чёрные солитоны не генерируются. На рис. 4.1 показаны два
характерных примера генерации тёмных солитонов. В первом случае,
показанном на рис. 4.1, а, всегда генерируется единственный чёрный
солитон, как это описано выше. Во втором случае, показанном на
рис.4.1,6, входной пучок выбран в форме tz(0,x) = щ[1 — bsch (ax)]
с 6 = 0,9 и щ = I. Как видно из рис.4.1,б, генерируются только
пары серых солитонов. Оба типа задач генерации тёмных солитонов
можно анализировать вариационным методом, развитым для задач
рассеяния [10].
Другой входной профиль, представляющий значительный
интерес — ступенчатый, вида (4.1.2) со скачком фазы величины 02 — в\ при
я = 0 [11]. Оказывается, что при этом профиле всегда генерируется

136
Гл. 4. Тёмные солитоны
О -20
О -40
Рис. 4.1. Два сценария генерации тёмных солитонов для входных пучков вида
и(0,х) = uoth(ax) (а) и и(0,х) = ио[\ — b sch2(ax)] при b = 0,9 (б). В обоих
случаях a = 0,9 и щ = 1. (Рисунок подготовлен А. А. Сухоруковым)
единственный тёмный солитон, отвечающий собственному значению
Л, = -uocos [(02 - 0i)/2]. Это собственное значение обращается в нуль
при 02 - в\ = Ш7Г, где т — целое число. Чёрный солитон с нулевой
интенсивностью в центре формируется только при этих частных
значениях скачка фазы.
Для генерации нескольких тёмных солитонов методом модуляции
фазы можно использовать входной пучок с несколькими скачками
фазы. В частности, при N фазовых скачках можно генерировать N
тёмных солитонов в асимптотической области z > 1 при условии [12]
Axj > (2щ)
-1
ctg
2
+ ctg
Ъ
(4.1.8)
где Axj — расстояние по х между двумя соседними скачками фазы
и 0j — величина j-ro скачка фазы. В частности, два скачка
одинаковой величины, но противоположного знака всегда порождают два
тёмных солитона с противоположными скоростями [13]. Аналогична
картина в случае, когда модулируется не фаза, а амплитуда фона.
Простой случай прямоугольного входного пучка (прямоугольная яма)
анализировался ещё в 1973 г. в предположении, что интенсивность
внутри ямы обращается в нуль [1]. Этот анализ в 1989 г. был обобщён
на случай конечной минимальной интенсивности [11]. В 1997 г. был
развит вариационный метод анализа задачи на собственные значения
в общем случае ямы произвольной формы с конечной минимальной
интенсивностью [10]. Этот метод позволяет приближённо определить
параметры солитона, даже если задача на собственные значения не
решается точно.
Самое интересное свойство тёмных солитонов — это их безпоро-
говая генерация [14]. Как показано в гл.2, формирование светлых
солитонов в керровской среде требует превышения входной мощности
над минимальным значением, зависящим от ширины профиля входного

4.2. Некерровские среды
137
пучка. Точнее, светлые солитоны создаются, если [15]
+оо
| |u(0,x)|cfa>|. (4.1.9)
—оо
Напротив, тёмные солитоны могут быть созданы произвольно малым
провалом на фоне непрерывного излучения. Рассмотрим входной пучок
общей формы
и(0,х) = ще1в + щ(х)9 (ti||W-,oo -> 0), (4.1.10)
где считается, что |ui(rr)| достаточно быстро убывает при |х| —► оо.
Если предположить, что [14]
Д = Ые(е-*' [ ux(x)dx\ < 0, (4.1.11)
— оо
то всегда существуют два дискретные значения соответствующей
задачи рассеяния, такие что X\t2 = ±uo[l — (Д2/2)]; они отвечают паре
тёмных солитонов с равными амплитудами щА и противоположными
скоростями. Из-за этого провал интенсивности входного импульса
всегда порождает по меньшей мере одну пару тёмных солитонов.
Формирование тёмных солитонов входным полем вида и(х,0) =
= ехр [iS(x)] детально изучено применительно к когерентным волнам
материи в конденсате Бозе-Эйнштейна (см. гл. 14) и методу наложения
фазы [16] (см. также [17]). В этом случае обратную задачу рассеяния
на собственные значения можно решить сведением её к классической
задаче о вынужденных колебаниях маятника с затуханием. Так, можно
получить аналитическую формулу для числа тёмных солитонов; она
описывает нечётное и чётное числа генерируемых солитонов,
распространяющихся в обоих направлениях. Аналитическое решение
возможно также в случае, когда и амплитуда, и фаза входного поля кусочно
постоянны [18]. В этом случае формирование и чётного, и нечётного
числа тёмных солитонов можно описать трансцендентным уравнением
для собственных значений. Во всех случаях суммарное изменение фазы
по входному полю играет ключевую роль в формировании тёмных
солитонов, а малое изменение фазы может изменить число солитонов
на выходе керровской среды.
4.2. Некерровские среды
В случае некерровских сред функция F(I) в обобщённом НУШ
(2.1.1) уже не имеет столь простого вида F(I) = —I. Для анализа
тёмных солитонов запишем (2.1.1) в форме

138
Гл. 4. Тёмные солитоны
где функция -F(H2) отрицательна в пределе \и\2 —* 0. В общем случае
это уравнение нельзя решить методом обратной задачи рассеяния.
Однако оно сводится к уравнению КдФ в приближении малой амплитуды,
в котором провал интенсивности, присущий тёмному солитону,
предполагается малым по сравнению с фоновой интенсивностью [19-23].
Сначала мы и остановимся на этом случае.
4.2.1. Приближение малой амплитуды. Чтобы обсудить
динамику тёмных солитонов в приближении малой амплитуды, будем
искать решения (4.2.1) в виде
u(z> x) = [uq + a(z, x)] exp [-ш^г + 1ф(г, ж)], (4.2.2)
где щ — амплитуда фона вдали от тёмного солитона с амплитудой
а «С но и фазой ф. Подставив (4.2.2) в НУШ (4.2.1), получим два
уравнения для функций а и ф. Для решения этих уравнений применим
метод многомасштабных разложений и введём две новые переменные
£ = е(ж-сг), С = е3*, (4.2.3)
где е — малый параметр, связанный с малостью амплитуды солитона а,
а с — поперечная скорость солитона (подлежит определению). Затем
мы ищем решение в виде асимптотических рядов по е:
а = е2ао + еАах + ..., ф = ефо + е3ф\ + .... (4.2.4)
В низшем порядке фаза солитона определяется из уравнения
^ = -^, (4.2.5)
а амплитуда солитона удовлетворяет следующему уравнению КдФ [22]
2с|? - 2Uoa„[3F'(t4) + ^'{иЩ - I ^ = 0, (4.2.6)
где штрих означает производную по аргументу и с = ijlq\F'(uI)\1/2 —
предельная скорость линейных волн, связанных с (4.2.1).
В случае керровской среды F(I) = —I. Тогда F' = -1, F" = 0 и
(4.2.6) сводится к стандартной форме уравнения КдФ:
*$+*-•!?-if?-* (4'27)
Известно, что (4.2.7) точно интегрируется методом обратной задачи
рассеяния и имеет решение вида sch (£). Поэтому керровский тёмный
солитон в пределе малой амплитуды может быть найден из уравнения
КдФ [21]. Эта связь между солитонами НУШ и уравнения КдФ (4.2.7)
не столь полезна, как это могло бы показаться, так как оба нелинейные
уравнения точно интегрируются и, вообще говоря, можно получить
аналитические решения каждого из этих уравнений по отдельности.
Однако примечательно, что эта связь существует также и для обоб-

4.2. Иекерровские среды
139
щённого НУШ, что позволяет изучить солитоны НУШ, даже когда это
уравнение не интегрируемо. Кроме того, основанный на приближении
малой амплитуды подход полезен при анализе влияния различных
возмущений на динамику тёмных солитонов при использовании
известных аналитических результатов для солитонов КдФ [21-23]. Для
временных солитонов подобный подход можно применять в случаях
и нормальной, и аномальной дисперсии (24], а также для изучения
столкновений тёмных солитонов вблизи точки нулевой дисперсии [25].
4.2.2. Интегралы движения. Естественно считать, что тёмные
солитоны, служащие решениями (4.2.1), имеют вид, аналогичный
случаю керровской нелинейности, если функция F(|u|2) не слишком
отличается от керровской формы. Поэтому уместно общий вид тёмного
солитона в некерровской среде записать так:
u(x, z) = щ {В th [щВ(х - vz)\ + iA} exp (ikx - ifiz + г0о), (4.2.8)
где /3 = (fc2/2) -I- Uq характеризует дисперсионное соотношение для
фоновой волны, 0о — постоянная фаза, а четыре параметра — txo, А% В
и v — связаны соотношениями
щА = v - к% А2 + В2 = I. (4.2.9)
Поэтому тёмный солитон (4.2.8) характеризуется тремя независимыми
параметрами; два из них — uq и к — описывают, соответственно,
амплитуду и волновое число непрерывного фона, а остающийся
параметр А характеризует собственно тёмный солитон. Асимптотика (4.2.8)
совпадает с однородным решением уравнения (4.2.1). Однако, наличие
тёмного солитона на фоне проявляется в различии фазы при х —► ±оо,
то есть фаза плоской волны сдвинута. Полный сдвиг фазы на тёмном
солитоне даётся выражением
Ав = 2 [arctg (|) - \] = -2axctg (|) . (4.2.10)
Так как кубическое НУШ (4.1.1) точно интегрируется, оно обладает
бесконечным числом интегралов движения; первые три из них
приведены в разделе 2.1. Для тёмных солитонов их можно записать так:
оо оо оо
Р= | |tt|2«fe, M = i J«U-UlU*)dx, #=i j (|UX|2+ |«|4)dz,
—oo —oo —oo
(4.2.11)
где их = ди/дх. Единственное отличие возникает в Я, куда член
Н4 входит для тёмных солитонов с положительным знаком из-за
отрицательного знака нелинейного члена в (4.1.1). Другое отличие
между светлыми и тёмными солитонами вызвано различием граничных
условий при |х| = оо. Нетрудно видеть, что для ненулевых граничных
условий, отвечающих тёмным солитонам, три интеграла (4.2.11)
расходятся. Эта расходимость неудивительна, так как она имеет место

140
Гл. 4. Тёмные солитоны
и для точного однородного решения (4.1.1) вида и = щехр({кх — i/3z),
где (3 = (к2/2) + Uq. В этом случае интегралы легко вычисляются:
Pcw = и20Х0, Mcw = ku%X0, #cw = \ 4(к2 + и20)Х0, (4.2.12)
где Хо обозначает пространственную ширину однородного пучка в
направлении х. Ясно, что эти выражения неограничены в пределе
Хо —► оо, и та же проблема сохраняется для тёмных солитонов. Если,
однако, устранить вклад фона, можно ввести конечные
(перенормированные) выражения для трёх инвариантов, связанных с самим тёмным
солитоном. Далее мы рассмотрим такую перенормировку в более
простом случае к = 0, когда однородный фон представляет плоскую волну,
распространяющуюся вдоль оси z.
Очевидно, мощность тёмного солитона следует определить как
разность между мощностью однородной волны Pcw в (4.2.12) и
мощностью Р в (4.2.11). Тогда перенормированная мощность равна
оо
Pr= J {ul-\u\2)dx. (4.2.13)
— ОО
Величину Рг часто называют дополнительной мощностью тёмного
солитона. Подставив сюда вид и(х, z) (4.2.8), найдём Рг = 2щВ.
Аналогично можно перенормировать гамильтониан, получив
Яг = 1(с2-*;2)3/2, (4.2.14)
о
где с = щ — предельная скорость тёмных солитонов.
Перенормировка импульса поля несколько более сложна. Из
определения М (4.2.11) следует вычесть вклад фона, связанный с
перепадом фазы (4.2.10). Так как импульс однородного фона имеет вид
М = кицХо [см. (4.2.12)], эта разность фаз даёт ненулевой вклад
даже при к = 0. Действительно, можно найти, что этот вклад равен
Uq k(x) dx = UqД0, где к(х) описывает локальное изменение
волнового числа фона. В результате перенормированный импульс тёмного
солитона определяется как Мг = М — и%А0. Подставив АО (4.2.10)
и вычислив М с помощью (4.2.11) и (4.2.8) при к = 0, найдём
МТ = -2vy/c2-v2 + 2c2arctg X£_iL. (4.2.15)
Дифференцируя Нг и Mr no v, получим простое соотношение
дНг/дМг = v. Это указывает на то, что перенормированные интегралы
движения удовлетворяют стандартным соотношениям классической
механики. Поэтому тёмный солитон можно рассматривать как
эффективную классическую частицу, как и светлый солитон.

4.2. Некерровские среды
141
Для обобщённого НУШ (4.2.1) можно также ввести
перенормированные инварианты, свободные от расходимостей и характеризующие
собственно тёмный солитон, используя следующие определения:
оо
Pr= J (v%-\u\2)dx, (4.2.16)
—оо
оо
мт = \ \ «и - ихи*)(1 - i%/\u\2)dx, (4.2.17)
—оо
Hr= J {l|lf+ \[F(u2o)-F(I)]dl}dx. (4.2.18)
Все три интеграла остаются конечными для любой нелинейной
функции F(I), фигурирующей в обобщённом НУШ,
4.2.3. Примеры тёмных солитонов. Рассмотрим обобщённое
НУШ (4.2.1) и будем искать стационарные решения с однородным
фоном в виде
и{ху z) = яр(х, z) exp [iF(q)z], (4.2.19)
где q = Uq — интенсивность фона, а гр удовлетворяет условию
\ip(x,z)\2 —► q при |х| —> оо. Для гр НУШ (4.2.1) принимает форму
lTz + 51? + [Fm2) ~ РШ = а (4-220)
Тёмный солитон ф8 — это локализованное движущееся решение
(4.2.20) вида
lMO = *(0e,ett). (4.2.21)
где £ = х — vz и вещественные функции Ф и в зависят от двух
параметров — скорости солитона v и интенсивности q однородного
фона. Эти функции удовлетворяют следующим обыкновенным
дифференциальным уравнениям:
5 $ + Т (ф " $) + №**> ~ F(,)l* = °' (4'223)
Решения этих двух уравнений описывают семейство тёмных солитонов
с помощью параметров v и q.
Три перенормированных инварианта (4.2.16)—(4.2.18) можно
записать через Ф:
оо °°
P.(v, q)=\ (Ф2 - q) di, M3(v, q) = -v J &-^- d£, (4.2.24)

142
Гл. 4. Тёмные солитоны
«.<«.<> 4 [Ktz+^+b»-^'
<%. (4.2.25)
Мы находим также следующее аналитическое выражение для полного
изменения фазы S9 фона на всём протяжении тёмного солитона:
оо
S.{v,q) = v | (l-^)^- (4-2.26)
— ОО
В качестве характерного примера тёмных солитонов рассмотрим
конкурирующие степенные нелинейности вида
F(I)=l-(aP-(3I2*), (4.2.27)
где и а, и /3 положительны. Первый член описывает
самофокусировку, реализующуюся при низких интенсивностях и препятствующую
существованию чёрных солитонов с нулевой минимальной
интенсивностью. При р = 1 обобщённое НУШ (4.2.20) с нелинейной функцией
F(I) (4.2.27) описывает самофокусировочную керровскую
нелинейность, насыщающуюся при больших интенсивностях. Примечательно,
что в этом случае (4.2.20) обладает аналитическим решением с явным
видом тёмного солитона [26]. В частности, точное решение в виде
тёмного солитона для нелинейности третьего-пятого порядков (4.2.27)
при р = 1 можно записать как
где к — свободный параметр, а параметры а и Ь следующие:
a=(|/?-l), 6=(a2-|^2)'/2. (4.2.29)
Для простоты мы выбрали такую нормировку, что q = Uq = 1 и a = 2.
В дополнение к тёмным солитонам (4.2.28) конкурирующие
нелинейности (4.2.27) допускают новый вид локализованных солитонов,
известных как солитоны типа фронта. Такой солитон описывается
следующим точным решением обобщённого НУШ (4.2.20) с р = 1
в (4.2.27):
-.1/2
Яс
lfctt.*) =
1+ехр(±Д0
exp(2u;cz), (4.2.30)
где qc = За/40, шс = 2(3ql и Д2 = За2/4/3. Солитон типа фронта (4.2.30)
связывает два устойчивых фона, а именно, однородный фон с
интенсивностью qc и фон с нулевой интенсивностью.

4.3. Динамика, вызванная неустойчивостью
143
В случае насыщающейся нелинейности функция F(I) имеет вид
1
ПП = \
(1+.0/)1
- 1
(4.2.31)
где р — параметр насыщения, а параметр а обратно пропорционален
интенсивности насыщения /8. Такой вид нелинейности используется
при анализе насыщения нелинейного показателя преломления при
высоких интенсивностях (см. раздел 1.5). Случай р = 1 применим для
фоторефрактивных материалов [27, 28]. В случае р = 2 известно явное
решение в виде светлых и тёмных солитонов [29, 30]. Эти точные
решения показывают, что тёмные солитоны в среде с
насыщающейся нелинейностью могут обладать сдвигом фазы, превышающим
предельное значение 7г, достигаемое для керровских тёмных солитонов
сг; = 0 [31].
Взаимодействие тёмных солитонов в некерровских средах
качественно не отличается от их взаимодействия в керровской среде. В
обоих случаях новым свойством служит то, что взаимодействие не
зависит от фазы солитонов. Однако, взаимодействие солитонов становится
гораздо более интересным, если сосуществуют несколько типов
тёмных солитонов. Например, при нелинейности третьего-пятого порядков
взаимодействия могут вовлекать тёмный и антитёмный солитоны [32],
и на них может влиять наличие солитона типа фронта [33].
4.3. Динамика, вызванная неустойчивостью
В этом разделе мы остановимся на вопросах устойчивости тёмных
солитонов обобщённого НУШ (4.2.1). Сначала мы обобщим критерий
устойчивости раздела 2.3 на случай тёмных солитонов. Для анализа
динамики неустойчивых тёмных солитонов мы разовьём
многомасштабный асимптотический анализ и применим его к нескольким
частным случаям.
4.3.1. Критерий устойчивости. Устойчивость светлых солитонов
и динамика, вызванная их неустойчивостью, интенсивно изучалась
в рамках обобщённого НУШ в [34-39]. Как обсуждалось в разделе 2.3,
устойчивость светлых солитонов определяется простым критерием,
согласно которому солитоны устойчивы, если dP/d/З > 0, где Р —
мощность солитона и (3 — постоянная распространения. Кроме того, был
развит асимптотический метод [40], описывающий динамику светлых
солитонов, испытывающих вызванный дифракцией распад или
переключение в новое устойчивое состояние. Поэтому можно заключить,
что сценарии неустойчивости светлых солитонов хорошо изучены.
Напротив, устойчивость тёмных солитонов обобщённого НУШ
(4.2.1) привлекла меньшее внимание. Действительно, в 1990-х
годах вопросы устойчивости трактовались противоречиво. Например,
в 1989 г. для этого было привлечено понятие дополнительной мощно-

144
Гл. 4. Тёмные солитоны
сти [41, 42]. Такой анализ привёл к неправильному выводу о том, что
чёрный солитон (с нулевой интенсивностью в центре) всегда
устойчив [38]. Однако, как указывают расчёты, дополнительная мощность
не определяет устойчивость тёмных солитонов [31].
Исторически проблема устойчивости тёмных солитонов была
поставлена в численных расчётах [43], где изучалась неустойчивость
локализованных волн разрежения конденсата Бозе-газа — так
называемых пузырей. Эти нетопологические уединённые волны связаны
в одномерном случае с семейством тёмных солитонов, отвечающих
НУШ третьего-пятого порядков, и они продолжают существовать и для
высших размерностей [26]. Хотя показано, что пузыри неустойчивы
при любой размерности [44, 45], численные расчёты
продемонстрировали, что движущиеся пузыри могут стабилизироваться при ненулевых
скоростях. Позже это явление было объяснено многозначной
зависимостью энергии пузыря от его импульса [46, 47].
Долгое время считалось, что тёмные и, в частности, чёрные
солитоны всегда устойчивы [38]. Однако, в численном анализе 1995 г. [48]
было найдено, что чёрные солитоны неустойчивы в случае
насыщающейся нелинейности ср = 2 в (4.2.27). Использованный вариационный
подход связал неустойчивость с существованием многозначных
решений в зависимости от инвариантов системы и позволил вывести
условие неустойчивости при использовании асимптотического разложения.
С некоторого времени было известно, что критерий устойчивости
тёмных солитонов можно выразить через перенормированный импульс
сол итона: ,яг
d-w>o- <«•■>
Этот критерий согласуется с результатами численных расчётов [44, 49]
и вариационного метода для тёмных солитонов типа пузыря и
фронта [46, 48]. Строгое доказательство этого критерия устойчивости
получено в 1996 г. с помощью функции Ляпунова [50]. К тому же
условию приводит асимптотическое разложение вблизи порога
неустойчивости [51]. Первый подход не описывает собственно неустойчивость,
а только доказывает устойчивость, если она имеет место. Второй
подход справедлив только в окрестности порога неустойчивости и поэтому
не может предсказать область устойчивости.
Условие устойчивости тёмных солитонов можно сформулировать с
помощью другого определения перенормированного импульса [52]:
Мг = 111 [{и - l)V±u* - (и* - l)V±u] dr, (4.3.2)
где Vj_ означает поперечную часть оператора градиента в многомерном
случае. Это определение использовалось в 1995 г. в анализе
поперечной неустойчивости тёмного солитона в виде полосы и вихревых
линий применительно к многомерному кубическому НУШ [53]. В этой
главе мы следуем подходу, основанному на методе многомасштабных

4.3. Динамика, вызванная неустойчивостью
145
разложений [51], так как он позволяет описывать и линейную, и
нелинейную стадии динамики, вызванной неустойчивостью тёмных солито-
нов. Мы обсудим также результаты численных расчётов, описывающие
различные сценарии эволюции неустойчивых тёмных солитонов.
4.3.2. Метод многомасштабных разложений. Анализ
вызванной неустойчивостью динамики тёмных солитонов можно выполнить
в рамках теории возмущений, если все параметры солитона медленно
меняются в процессе его распространения [51]. Это как раз случай
порога неустойчивости, где скорость v неустойчивого тёмного соли-
тона близка к критическому значению vc, определяемому из условия
dMs/dv\v=Vc = 0. Кроме того, если предположить, что возмущения
остаются малыми, можно ввести малый параметр е 4С 1, который
характеризует амплитуду возмущений, и искать решения (4.2.20) в виде
следующего асимптотического многомасштабного разложения:
1> = [МО + &1>\ К; X, Т) + е2гр2(Ь Х> Т) + 0(е3)] ехр [Ж(Х, Г)],
(4.3.3)
где
т
Х = еху T = ez, £ = х-±Х3(Т), XS(T) = \v(T')dT'. (4.3.4)
о
Величины v(T) и R(XtT) представляют скорость и локальную фазу
солитона, соответственно, X и Г обозначают медленные переменные,
а Х3(Т) отвечает положению центра тёмного солитона, где его
амплитуда минимальна (провал интенсивности).
Подставив (4.3.3) в (4.2.20), мы получим систему уравнений для
Vm.^2 и т.д. Вообще говоря, решения этих уравнений могут
расходиться при £ —► оо, что указывало бы на расходимость
асимптотического разложения. Однако, в окрестности порога неустойчивости, где
dMs/dv ~ 0(e), поправку первого порядка ф\ можно найти в неявной
форме, обеспечивающей ограниченное решение для гр2 [51].
Используя метод сшивания асимптотик, можно показать, что
скорость солитона v, выведенная из условия сохранения импульса,
удовлетворяет уравнению [51]
г (*•£ + ?)-*•(»)'• (4А5>
где М3 — импульс солитона, определяемый (4.2.24), а коэффициенты
fis и К3 даются соотношениями
ы**-чт+ьт- <«-б>
Ks(v,q) = —2 JT
(с -v )
а \ dv ) "•" dv dv + 2с V dv J
(4.3.7)

146
Гл. 4. Тёмные солитоны
В этих уравнениях вид Р9 и Ss дан в (4.2.24) и (4.2.26),
соответственно, q = Uq и с — предельная скорость линейных волн: с2 = qF'{q).
Используя (4.2.24) и (4.2.25), можно показать, что поправки
первого порядка SM и SH для возмущённого тёмного солитона связаны
соотношением v6M + SH = 0. Однако, ни импульс, ни энергия
возмущённого тёмного солитона не сохраняются. Такое свойство раскрывает
существенно диссипативный характер динамики неустойчивых тёмных
солитонов. Это можно понять, заметив, что неустойчивость
сопровождается испусканием рассеянного излучения, которое распространяется
в оба направления от возмущённого тёмного солитона. Суммарное поле
излучения, распространяющегося в направлениях ±х, при X = Х3(Т)
можно записать так [51]:
U±(v,q) = W±(v,q)^,
где коэффициенты даются выражениями
Уравнение (4.3.5) для скорости солитона не всегда можно решить
в аналитическом виде. Тем не менее, оно простым образом описывает
как динамику тёмного солитона, так и эволюцию рассеянного
излучения посредством (4.3.8). Можно выяснить важные свойства
неустойчивости солитонов, решая (4.3.5) приближённо. Рассмотрим сначала
линейное приближение и подставим в (4.3.5) v = vo + v\ exp(AT), где
vo — (начальная) скорость невозмущённого тёмного солитона и v\ —
малое отклонение от неё. Линеаризуя (4.3.5) по v\, находим скорость
нарастания возмущений:
А-^МмИ^)-,.- («-ID)
Так как величина fis(vo,q) всегда положительна, приходим к выводу,
что тёмный солитон становится неустойчивым, если dM9/dv\v=Vo < 0.
Поэтому все тёмные солитоны с отрицательным наклоном зависимости
перенормированного импульса Ma(v) неустойчивы.
Проанализируем далее общие условия, при которых может
возникать неустойчивость тёмных солитонов. Рассмотрим предел малых
амплитуд, в котором |v| близка к с. В этом пределе тёмные солитоны
можно описать эффективным уравнением КдФ и производную dMs/dv
можно вычислить явно [51], причём оказывается, что она всегда
положительна. Поэтому тёмные солитоны с малой амплитудой всегда
устойчивы и неустойчивость может возникать только для тёмных
солитонов с большей амплитудой или меньшей скоростью v.
(4.3.8)

4.3. Динамика, вызванная неустойчивостью
147
В пределе малых скоростей (v
отрицательным, когда
0) наклон dM8/dv может стать
дБ,
dv
2Р.
v=0
<0.
г=о
(4.3.Н)
Для многих нелинейных моделей тёмных солитонов полный фазовый
сдвиг S, является монотонной функцией скорости, возрастающей от
значения -п при v = 0 (чёрный солитон) до нуля при v —► с (серые со-
литоны). Такая ситуация типична для степенной нелинейности в виде
F(I) ~ Р (включая керровский случай при р = 1) и для нелинейности
вида F(I) = I + /JJ2. Для этих двух вариантов наклон dSa/dv всегда
положителен и неустойчивость тёмных солитонов не может возникать.
Однако для более сложных, но важных физических нелинейных
моделей тёмные солитоны могут становиться неустойчивыми. Два
таких примера показаны на рис. 4.2, где перенормированный импульс
изображён как функция v/c. В обоих случаях отрицательный наклон
(штриховая часть) указывает неустойчивые тёмные солитоны.
г
р
I
^к я
^ 1
"Ч
1 *—
1 ^
1 ^^^
1
1 J ]
б
1
0,0 0,5 1,0 -1,0
Скорость солитова Wc
-0,5
0,0 0,5
Скорость
1,0
v/c
Рис. 4.2. Нормированный импульс M9(v) как функция скорости v/c в случаях,
когда при v -► 0 минимальная интенсивность обращается в нуль (а) или
остаётся конечной (б). Прямые линии отвечают устойчивым тёмным солитонам
в керровской среде [51]
Нелинейная динамика таких неустойчивых тёмных солитонов
проанализирована в [51]. Вблизи порога неустойчивости можно
использовать нелинейное приближение малых амплитуд. Подставив
v = vo + eV(T) в (4.3.5), можно свести последнее к виду
Это уравнение напоминает уравнение движения классической частицы
с эффективной массой fia и скоростью V под действием нелинейной
диссипативной силы. Характер неустойчивости в этом случае
существенно зависит от знака начального возмущения и конкретного вида
Ms(v). В общем случае тёмные солитоны с большей интенсивностью

148
Гл. 4. Тёмные солитоны
и меньшей скоростью неустойчивы, тогда как солитоны с малой
амплитудой и скоростью, близкой к предельной скорости с, устойчивы.
Кроме того, так как вторая производная в последнем члене (4.3.12)
положительна, любое возмущение с V(0) = V6 > 0 приводит к
конечному изменению скорости солитона. Поэтому неустойчивость
преобразует неустойчивый тёмный солитон со скоростью Vo в устойчивый
солитон с большей скоростью и меньшей амплитудой. В этом случае
решение (4.3.12) следующее [51]
у(Т) = Щя , (4.3.13)
(Vf - Ц>)е'хт + Vb V '
где, при определении (4.3.10), А > 0 и конечная скорость устойчивого
солитона , о ч ,
*--!(£)„.(£)-,■ (43-14)
Предшествовавший анализ справедлив, только если
перенормированный импульс возмущённого солитона сохраняется в процессе
преобразования. Однако, эта величина сохраняется только с точностью до е2.
Изменение ДМ = М/ - Мо можно найти непосредственно из (4.3.5):
AM = e J Ks(v,q)(^J2 dT=ej\(Vf-Vo)2Ks(vo,q), (4.3.15)
—оо
где коэффициент Ks приведён в (4.3.7). Так как Ks может быть и
положительным, и отрицательным, при преобразовании неустойчивого
тёмного солитона в устойчивый импульс солитона может возрастать
или убывать. Направление изменения импульса определяется балансом
между полем рассеянного излучения С/+, распространяющегося в том
же направлении, что и возмущённый тёмный солитон, и полем [/",
распространяющимся в противоположном направлении. Поле излучения
можно также вычислить аналитически с помощью (4.3.8):
Эта функциональная форма совпадает с профилем тёмного солитона
вида sch2, найденным ранее в приближении малых амплитуд.
Эволюция поля излучения, даваемая (4.3.16), асимптотически
подчиняется уравнению КдФ, приведённому выше. Хорошо известно, что
начальные условия вида sch в уравнении КдФ приводят к
формированию солитонов, только если амплитуда поля отрицательна. В
противном случае начальный профиль (4.3.16) преобразуется в линейные
рассеивающиеся волны. Простой анализ показывает, что в пределе
vo —► 0 коэффициент W+ положителен, тогда как W- отрицателен
[51]. Кроме того, знак коэффициента W- не меняется во всей области
неустойчивости, так что распространяющееся навстречу излучение,
[/*(*,Г) = J \Vf - Vb|W±(t;o,<z)sch2
(4.3.16)

4.3. Динамика, вызванная неустойчивостью
149
описываемое функцией [/", всегда должно генерировать устойчивый
(малоамплитудный) тёмный солитон в результате преобразования
исходного неустойчивого тёмного солитона. С другой стороны, поле
излучения, описываемое функцией С/+, может или распасться в из-
лучательные моды, если W+(vo,q) > 0, или создать дополнительный
(устойчивый) тёмный солитон, если W+(vo,g) < 0.
4.3.3. Два примера. В случае конкурирующих нелинейностей
(4.2.27) тёмные солитоны уравнения (4.2.20) отличаются от солито-
нов кубического НУШ. Например, из-за самофокусировки при малых
интенсивностях минимальная амплитуда тёмного солитона может не
достигать нуля даже при v = 0, если параметр кубичной
нелинейности достаточно велик. В результате полный фазовый сдвиг Ss(v) и,
следовательно, перенормированный импульс M9{v) стремятся к нулю
при v —* 0 и v —* с. Это обстоятельство приводит к появлению
отрицательного наклона зависимости M3(v) при малых v, откуда следует
неустойчивость тёмных солитонов, изображённая на рис. 4.3.
Хотя последующий анализ качественно справедлив при любом
значении р в (4.2.27), мы остановимся для конкретности на случае
р = 1. Амплитуда солитона к в (4.2.28) связана со скоростью
солитона v соотношением к2 + v2 = (3 — 1. Из условия к2 > 0 следует
\v\ < с((3) = у/(5 — 1. Это условие показывает, что тёмный солитон
существует только при (3 > 1 (см. рис. 4.3, а). Используем теперь
критерий устойчивости и оценим наклон функции Ms(v). Тёмный солитон
становится неустойчивым при dM9(v)/dv < 0. Мы находим, что наклон
Ms(v) отрицателен, только если 1 < /3 < 1,5. В этом диапазоне тёмный
солитон обладает нулевой скоростью (v = 0) и конечной амплитудой
в минимальной точке, где Ф2(0) = (3 - 2(3)/(3. Функция М8(у) в случае
/3= 1,2 показана на рис. 4.3, б, а область неустойчивости изображена
на рис. 4.3, а.
Для изучения эволюции неустойчивых тёмных солитонов
необходимо численное моделирование. В [51] на тёмный солитон вида (4.2.28)
накладывалось симметричное возмущение с амплитудой £, так что
VWt(£) = {Ф(0 + Ф -&№}ет)' (4-ЗЛ?)
а фаза солитона не менялась. Начальная скорость vo солитона
выбиралась в области неустойчивости, а е менялось в интервале 0,0001 < \е\ <
< 0,02. Численное моделирование выявило два резко различающихся
сценария динамики неустойчивых тёмных солитонов в зависимости от
знака е.
Первый сценарий наблюдается при е > 0, то есть при начальном
малом убывании амплитуды солитона. Эффективно это отвечает
«толчку» неустойчивого солитона по направлению к устойчивой ветви на
рис. 4.3, б (стрелка 1). На рис. 4.4 приведён пример расщепления
солитона при vo = 0,04. Первоначальный экспоненциальный рост
амплитуды возмущения насыщается при z « 55, после чего неустойчивый тем-

150
Гл. 4. Тёмные солитоны
,0' ' ' ' '
0,8 U
1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
Параметр р
'0,0 0,
0,2
0,3 0,4 0,5
Скорость солитона v
Рис. 4.3. а) Условие |v| < с, изображённое в зависимости от /?. Область
неустойчивости |v| < vCt(P) заштрихована, б) Импульс Ma(v) тёмного соли-
тона в зависимости от его скорости при /3 = 1,2. Область неустойчивости
с отрицательным наклоном показана штриховой линией. Тонкая сплошная
линия показывает минимальную интенсивность в солитоне [51]
ный солитон расщепляется на два устойчивых солитона с меньшими
амплитудами, которые после расщепления двигаются в
противоположных направлениях. Когда начальная скорость солитона выбрана далеко
от порогового значения vCT> генерируется большее число вторичных
солитонов.
В случае е < 0 неустойчивый тёмный солитон «толкается» вглубь
области неустойчивости (стрелка 2 на рис. 4.3, б), что приводит к
формированию двух фронтов, распространяющихся в противоположных
направлениях. Этот сценарий неустойчивости солитона можно назвать
разрушением тёмного солитона. В этом случае экспоненциальный рост
начального возмущения допускает обращение в нуль минимальной
интенсивности. Затем область нулевой интенсивности начинает
расширяться, тогда как интенсивность фона во внешней области возрастает.
Этот процесс приводит к формированию двух структур типа фронта
формы (4.2.30).
Другой пример, который мы обсудим теперь — это обобщённое
НУШ (4.2.20) с насыщающейся нелинейностью вида (4.2.31).
Численное моделирование показывает, что тёмные солитоны при насыщаю-

4.3. Динамика, вызванная неустойчивостью
151
-60-40-20 0 20 40 60
Координата х
Рис. 4.4. Расщепление неустойчивого тёмного солитона, полученное численно
при Р = 1,2, vq = 0,02 ие = +0,005. Профили интенсивности при z = 0
(сплошная кривая) и z = 100 (штриховая кривая) (а); контурный (б) и трёхмерный
(в) графики, показывающие динамику распространения [51]
щейся нелинейности при некоторых значениях параметров устойчивы.
Для таких солитонов был выполнен также анализ устойчивости [48].
Хотя мы остановимся на случае р = 2, те же качественные свойства
можно ожидать и для других значений р в (4.2.31).
На рис. 4.5 представлены результаты, полученые численным
решением (4.2.20) с функцией F(I) вида (4.2.31) при р = 2 и q= 1.
Параметр а изменяется в диапазоне от 1 до 50 на рис. 4.5, а, где
показана зависимость v = с(а) и область неустойчивости, где v < vCT(a).
Штриховая линия изображает область, в которой полный сдвиг
фазы тёмного солитона больше, чем 7г [31]. Перенормированный
импульс Ms(v) и полный сдвиг фазы S3(v) показаны при а = 6 (кривая
1) и а = 12 (кривая 2) на рис. 4.5, б, в, соответственно. Появление
большого сдвига фазы указывает на неустойчивый характер таких тёмных
солитонов. Однако, среди всех тёмных солитонов с фазовым сдвигом,
превышающим 7г, существуют как устойчивые солитоны с меньшими
амплитудами и большими скоростями, так и неустойчивые солитоны
с большими амплитудами и меньшими скоростями.
Правая часть рис. 4.5 показывает, что происходит с неустойчивыми
солитонами. Оказывается, что вызванная неустойчивостью динамика
солитонов в случае насыщающейся нелинейности обладает свойства-

152
Гл. 4. Тёмные солитоны
0,20
о
о.
о
0,00
10 20 30 40 50
Параметр насыщения а
л £
а ч
о >»
II
О.
О
ас
з
3
•е-
и
-1
-2
-3
"сг
2\
11
б
i
>я
3
X
О
С
0
-1
-2
-3
-4
-5
С4
IL
2
/]
1 в
«с>2)!С(".)
II 1
-0,06
-0,03 0,00 0,03 0,06
Скорость солитона v
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20
Скорость солитона v
-200
1000 2000 3000
Расстояние z
Рис. 4.5. Неустойчивость тёмных солитонов в случае насыщающейся
нелинейности, а) Область неустойчивости с v < vcr (заштрихована) и кривая v = с(а).
Импульс солитона M3(v) (б) и полный сдвиг фазы S3(v) (в) при а = 6
(кривая 1) и а = 12 (кривая 2). Критическая скорость уст(о) отвечает порогу
неустойчивости, г) Зависимости импульса Ms(v), показывающие
преобразование неустойчивого чёрного солитона в устойчивый серый солитон. Глубина
провала (д) и его положение (е) в зависимости от z [51]
ми, резко отличающимися от наиденных для случая конкурирующих
нелинейностей. Точнее, неустойчивый чёрный солитон постепенно
преобразуется в устойчивый серый солитон, скорость которого больше,
чем у исходного солитона. Изменение скорости происходит из-за
того, что наклон функции Ms(v) должен меняться от отрицательного
до положительного для устойчивых солитонов, как это показано на
рис. 4.5, г. Несмотря на сравнительную малость изменения скорости,
минимальная интенсивность в провале, показанная на рис. 4.5, д, и
положение провала (рис. 4.5, е) сначала экспоненциально растут и затем
насыщаются на уровне, отвечающем устойчивому серому солитону.
Направление, в котором движется серый солитон, зависит от знака
начального возмущения чёрного солитона, как показано на рис. 4.5, е.
Аналогична динамика неустойчивого серого солитона.

4.4. Теория возмущений
153
4.4. Теория возмущений
Перенормированные интегралы движения тёмных солитонов
позволяют использовать последовательный метод описания динамики,
вызванной возмущениями. Такой подход — более простой и прямой, чем
метод на основе обратной задачи рассеяния [54]. В этом разделе мы
применим теорию возмущений на основе инвариантов для анализа
нескольких важных физических систем.
4.4.1. Случай постоянного фона. Сначала рассмотрим случай
постоянного фона, когда возмущение не меняет параметров
однородного решения. Основная идея состоит в записи обобщённого НУШ как
возмущённого НУШ в виде
<£ + i£-MWP(«). (4-4.1)
где член еР(и) в правой части означает малое возмущение. Так как мы
считаем, что возмущение не меняет постоянного фона, Р(и) должно
стремиться к нулю при |х| —> оо. Тогда удобно исключить щ введением
новых, перенормированных переменных:
£ = v%z, £ = uq£, u(x, z) = щу(х, z) exp (—Iuqz). (4.4.2)
Для нового поля v(C»£) получим следующее уравнение:
где eP(v) — перенормированное возмущение. Если е = О, решение для
тёмного солитона можно записать в виде
«(£,£) = cos0tg6 + zsin0, 6 = т?(£ - ПС). (4-4-4)
где Tf = cos0 и ft = sin0 связаны с фазовым углом солитона ф,
введённым в 1.4.3 (|0| < 7г/2). Как там уже пояснялось, ф описывает
«темноту» солитона (ф = 0 для чёрного солитона). _
Для аналитического описания влияния малого возмущения eP(v)
на параметры тёмного солитона (4.4.4), используем так называемое
адиабатическое приближение [54], согласно которому солитон
сохраняет форму, но его параметры медленно меняются в зависимости от z.
Поэтому возмущённый солитон описывается (4.4.4), но параметр 6 так
зависит от £:
(4.4.5)
0 = cos ф(0 Ге — J" sin <£(С'Х

154
Гл. 4. Тёмные солитоны
Чтобы изучить эволюцию фазы солитона 0(C). обратимся к
перенормированному гамильтониану невозмущённой системы
оо
Г.Л.. i2 _ ol
d£. (4.4.6)
«-Щ1Г+<м°-о!
Отметим, что для солитона (4.4.4) Нг = (4/3) cos3 ф [см. также
(4.2.14)]. Вычислив производную dHr/d£ и использовав (4.4.3),
найдём [55] ^
?-!=$»•( 1^4 (4Л7)
—оо
где интеграл следует вычислить в адиабатическом приближении при
использовании решения (4.4.4). То же уравнение получается в
эквивалентном подходе на основе лагранжевой формулировки [56].
Если возмущение eP(v) в (4.4.7) не стремится к нулю при |х| —> оо,
оно определённо искажает фон. Именно это происходит в случае дис-
сипативных возмущений, которые приводят к медленному убыванию
амплитуды фона [57]. Применительно к эволюции неподвижного фона
щ(г), беря предел \х\ —► оо, мы получим следующее уравнение для
амплитуды фона щ:
i^ - Ы2щ = еР(щ). (4.4.8)
Уравнение (4.4.8) позволяет описывать эволюцию фона в
присутствии возмущений. Общее решение (4.4.8) можно записать в виде
щ(г) = uo(z)exp[iO(z)], где 110(2) и 0(z) характеризуют вызванные
возмущением изменения амплитуды и фазы фона, соответственно. Для
описания тёмного солитона на таком меняющемся фоне следует
устранить фон преобразованием
u(z, х) = uo{z)eie^v(xt z) (4.4.9)
и получить эффективное нелинейное уравнение для функции v(x, z).
Во многих случаях получающееся уравнение после изменения
переменных может быть преобразовано в возмущённое НУШ (4.4.3), что
позволяет применить результат, сформулированный в (4.4.7).
Вообще говоря, для вывода адиабатических уравнений для
параметров солитона можно использовать теорию возмущений, основанную
на обратной задаче рассеяния, аналогичную развитой для светлых
уединённых волн НУШ и других нелинейных моделей [54]. Развитие
последовательной теории возмущений для тёмных солитонов,
основанной на методе обратной задачи рассеяния, всё ещё остаётся открытой
проблемой. Такая теория должна описывать не только эволюцию
параметров солитона, но и структуру рассеянного излучения, порождаемого

4.4. Теория возмущений
155
действием внешних возмущений (см. обсуждение важности эффектов
рассеяния излучения в [58]).
4.4.2. Влияние усиления и потерь. Распространение
пространственных солитонов обычно связано с двухфотонным поглощением
(ДФП) — явлением, сопровождающим любую нелинейность третьего
порядка и проявляющимся в зависимости поглощения света от
интенсивности [59]. В некоторых случаях ДФП сменяется зависящим от
интенсивности усилением. В присутствии ДФП или нелинейного
усиления стационарные самолокализованные состояния уже невозможны,
но стационарные решения в форме фундаментального тёмного солитона
могут существовать, если ДФП компенсируется усилением.
Для упрощения описания влияния ДФП на тёмные солитоны
рассмотрим сначала НУШ для керровской среды и перепишем его
так [57, 59]:
ipz+^-\u\*u = -iK\u\\ (4.4.10)
где К = a2/2fcott2 — нормированный коэффициент ДФП, ко — 27г/А,
а ol<i и П2 — коэффициенты ДФП и нелинейности показателя
преломления, соответственно. В случае нелинейного усиления К отрицателен.
В отсутствие ДФП (К = 0) уравнение (4.4.10) имеет однородное
решение и = щехр(—{щг), описывающее волну фона, и это решение
модуляционно неустойчиво. Даже слабое нелинейное поглощение (или
усиление) приводит к ослаблению (или усилению) однородного фона.
В результате амплитуда и фаза фона зависят от z:
щ(г) = -г^Ш -, (4.4.11)
^l+2ffug(0)z
0(z) = | v%(z') dz' = ± In [1+ 2Kv%(0)z]. (4.4.12)
о
Чтобы разделить эволюцию фона и тёмного солитона, введём
преобразование u(z,x) = uo(z)eie^v(z,x); тогда получим следующее
уравнение для v.
Ч + 2 ^
где новые координаты С и f связаны с z и х соотношениями
*S + i 3 - (н2 - !>* = -**(н2 - ^ (4-4ЛЗ>
C = Jtig(z)ifcf ( = \uo(z)dx. (4.4.14)
о о
Получившееся после преобразования уравнение включает возмущение,
обращающееся в нуль на бесконечности, и его можно рассмотреть
изложенным выше методом теории возмущений для тёмных солитонов.

156
Гл. 4. Тёмные солитоны
Уравнение для фазового угла солитона ф при исходной переменной z
примет вид
g = !*Ǥ(*) sin (20, (4.4.15)
где амплитуда фона uo(z) изменяется согласно (4.4.11). Нетрудно
решить (4.4.15) и получить окончательный результат
ф(г) = arctg {tg0(O) [1 + 2Ku20{0)z]1/3} . (4.4.16)
Как приложение этого результата рассмотрим влияние ДФП на
угол отклонения х тёмных солитонов [60]. Нетрудно показать, что
полный сдвиг хо тёмного солитона в поперечном направлении выражается
интегралом
x0{z) = [ d^tio(z')sinks')- (4.4.17)
о
Поэтому угол поворота х можно выразить через локальную
поперечную скорость
W(z) = dxo/dz = tgx(z) = uo(z)sin<£(20. (4.4.18)
Из этого уравнения следует важный вывод. Если тёмный солитон
распространяется в присутствии ДФП на убывающем фоне щ{г), функция
sin0(z) медленно возрастает при сохранении произведения в правой
части (4.4.18) почти постоянным, по крайней мере для исходно малых
значений ф [57]. В результате угол отклонения для переключающих
устройств на основе тёмных солитонов почти сохраняется в среде
с керровской нелинейностью даже в присутствии ДФП.
0,0 1,0 2,0 3,0 -40 -20 0 20 40
Расстояние z Расстояние х
Рис. 4.6. а) Изменение функций uq(z)} sin</>(2;) и W(z) в керровской среде
с ДФП (К = 0,05) и ф(0) = 0,17г. Результаты численного моделирования
показаны знаками ромба, б) Контурные графики эволюции тёмного солитона
при тех же условиях [55]
Это свойство показано на рис. 4.6, а в виде эволюции фона щ{г),
sin<£(z) и поперечной скорости W(z) = 110(2) sin 0(z). Видно, что угол

4.4. Теория возмущений
157
поворота почти сохраняется при условии малости ф(0). Аналитические
результаты (сплошные линии), основанные на (4.4.11) и (4.4.16),
согласуются с результатами численного моделирования (знаки ромба).
Их малые отклонения вызваны рассеянием излучения, которое слегка
меняет интенсивность фона, как это ясно видно из рис. 4.6, б, где
эволюция тёмного солитона показана в плоскости x—z.
Важно сравнить результаты (4.4.18) с соответствующими
результатами учёта линейного поглощения, описываемого возмущением
еР(и) = -ryu в правой части (4.4.10) вместо члена -iK\u\2u. В этом
случае фон убывает экспоненциально, щ{г) = uo(0)exp(-^z)t а
фазовый угол солитона не меняется (d<t>/dz = 0). Подобный вывод следует
и из анализа, представленного в [61, 62], где использован другой
подход, который не допускает обобщения на случай нелинейных потерь.
4.4.3. Стабилизация тёмных солитонов. И линейное, и
нелинейное поглощение искажает фон, но оно может быть скомпенсировано
введением усиления. Если усиление линейно (не зависит от
интенсивности), фон может быть стабилизирован, но тёмный солитон остаётся
неустойчивым [55]. Этот результат теории возмущений согласуется
с существованием точного решения основного уравнения Гинзбурга-
Ландау, которое, как известно, неустойчиво [63, 64].
Оказывается, что тёмный солитон можно стабилизировать, если
сделать усиление также нелинейным [65]. В этом разделе мы
рассмотрим этот случай 0 и включим члены высших порядков, используя
следующий вид возмущения:
еР(и) = 6и + 7i H2u + ъН4и. (4.4.19)
Тогда угол тёмного солитона эволюционирует следующим образом:
fz = {% tig(z) - ^ Ug(z)[2cos2 ф - 5]} sin(2ф), (4.4.20)
где поле фона щ{г) удовлетворяет уравнению
^ = -(JU0 + 7lU2 + 72U4)U0i (4.4.21)
Последнее уравнение показывает, что стационарное решение но = 1
устойчиво при условиях 6 + 71 + 72 = 0 и 71 + 272 > 0. Эти условия
позволяют управлять тёмными солитонами, изменяя нелинейное
усиление [65]. Кроме того, использование нелинейного усиления приводит
к устойчивым связанным состояниям тёмных солитонов [66]. Этот
вывод был проверен прямым численным решением возмущённого НУШ.
Тёмные солитоны можно также стабилизировать
синхронизированной фазовой модуляцией [67]. В этом подходе возмущения НУШ
возникают в форме еР(и) = /xcos(cjx)u, где коэффициент /х пропорционален
') Фактически здесь идёт речь о диссипативных оптических солитонах,
более детально рассматриваемых в разделе 14.3. (Прим. ред.)

158
Гл. 4. Тёмные солитоны
глубине фазовой модуляции. Частота модуляции и синхронизирована
с первоначальным расстоянием между импульсами в
последовательности тёмных солитонов. Это возмущение ведёт к нетривиальному
изменению фазы солитонов, проявляющему устойчивую динамику около
неподвижной точки ф = 0 (отвечающей чёрному солнтону с нулевой
минимальной амплитудой в его центре) из-за фазового захвата между
солитоном и периодически изменяющимся возмущением.
Интересный метод компенсации амплитудных изменений тёмного
солитона в поглощающей среде предложен в [68]. В этом методе
тёмные солитоны стабилизируются при совместном использовании фазо-
чувствительного усиления и спектральной фильтрации. В системе с
периодическим усилением спектральная фильтрация подавляет
неустойчивости боковых полос, которые возникают и для плоских волн, и для
солитонов [69]. В то же время фазочувствительное усиление подавляет
неустойчивость однородного фона, вызванную фильтрацией [68].
4.5. Временные тёмные солитоны
Развитая в предыдущем разделе теория возмущений может быть
также применена к анализу временных тёмных солитонов. Наиболее
распространённая среда, используемая для временных тёмных
солитонов, та же, что и для временных светлых солитонов, а именно,
волоконный световод, с оговоркой, что для тёмных солитонов требуется
нормальная ДГС (/% > 0). В субпикосекундном режиме необходим учёт
некоторых дисперсионных и нелинейных эффектов высших порядков,
аналогичных рассмотренным в разделе 3.6 применительно к светлым
солитонам [70]. В этом разделе мы остановимся на влиянии эффектов
высших порядков на временные тёмные солитоны.
4.5.1. Комбинационный сдвиг частоты. Как обсуждалось в
разделе 3.6, явление вынужденного комбинационного рассеяния (ВКР)
может приводить к комбинационному сдвигу частоты светлых
солитонов [71-73]. В случае тёмных солитонов появление таких частотных
сдвигов в начальной стадии эволюции [74] постепенно приводит к
развалу тёмных солитонов [75-77]. Как обсуждалось в 3.6.3, эффекты
ВКР можно описать возмущённым НУШ следующего вида [78]:
.ди 1 д?и , , ,2 д\и\2 /л с i\
где tr = Tr/To — параметр ВКР, введённый в (3.6.10); обычно для
волоконных световодов Tr = 3 фс [70]. Как это делалось в гл. 3, мы
заменили х нормированным временем т, чтобы подчеркнуть то, что
рассматриваются временные солитоны. Дисперсионный член записан
в (4.5.1) с отрицательным знаком, так как тёмные солитоны
существуют, только если дисперсия групповой скорости (ДГС) нормальная.

4.5. Временные тёмные солитоны
159
Напротив, для волоконных световодов нелинейный керровский член
положителен.
Теорию возмущений, развитую для пространственных солитонов,
можно применить к (4.5.1), если изменить знаки всех членов, умножив
это уравнение на -1, и заменить z на -z. Влияние ВКР на тёмные
солитоны анализировалось и аналитическими, и численными
методами [74-80]. В 1990-х годах был рассмотрен предел малых амплитуд
при использовании асимптотического подхода на основе возмущённого
уравнения КдФ [75]. Общая формула, описывающая эволюцию
тёмного солитона в присутствии ВКР, получена в работе 1993 г. [77].
Для более точного рассмотрения влияния запаздывающего
нелинейного отклика, чем в принятой приближённой форме возмущения
в (4.5.1), можно использовать общий вид нелинейности (3.6.14). Для
функции отклика (3.6.15) можно записать возмущённое НУШ в виде
-{Tz + 5 57 " |U|2" = fRU I МТ " *>l«C*)|2rf*. (4-5.2)
—оо
где /ifl(t) — функция отклика ВКР и численный множитель /д « 0,18
означает вклад ВКР в общий нелинейный отклик. Так как величина
/яЛд(^) сравнительно мала, можно рассматривать правую часть (4.5.2)
как возмущение. Применяя развитую в предыдущем разделе теорию
возмущений, получим следующее уравнение для фазового угла соли-
тона: оо
^ = /*uocos<£ J Mtsc0/uo)F(tJAt (4.5.3)
—оо
где 0
= 2[*(3-th2t)-3tM (4 5 4)
Интеграл в (4.5.3) можно вычислить приближённо, если время
отклика ВКР мало по сравнению с длительностью солитона (txocos^)"*1.
Тогда можно представить разложение функции F(t) в ряд Тейлора
в виде F(t) ~ F(0) + tF'(0) и получить [55, 77]
g = ±r^cos4 (4.5.5)
оо
где гя = /д [ h,R(t)tdt. To же уравнение получается при использова-
—оо
нии возмущения в виде правой части (4.5.1).
Эволюция тёмного солитона в присутствии ВКР показана на
рис. 4.7 при тд = 0,1. Сплошные кривые на рис. 4.7, а получены
решением (4.5.5) при 0(0) = —0,27г и ф(0) = +0,27г. Для сравнения символы
ромбов указывают результаты численного моделирования. Очевидно,
что (4.5.5) хорошо описывает динамику солитона. Эволюция тёмного
солитона изображена на рис. 4.7, б, в для двух начальных значений

160
Гл. 4. Тёмные солитоны
Рис. 4.7. Изменение угла тёмного солитона, вызванное ВКР, при е = 0,1 для
начальных значений ф — ±0,27г (а). Ромбами отмечены результаты численного
моделирования. Контурные графики показывают эволюцию тёмного солитона
при ф = -0,2тг (б) и ф = 0,2тг (в) [55]
фазы. Отметим изгиб траекторий. На физическом языке, вызванный
ВКР сдвиг частоты преобразует тёмный солитон с произвольными
параметрами в малоамплитудный солитон посредством непрерывного
сдвига частоты и положения солитона.
4.5.2. Флуктуации времени прихода тёмного солитона. При
распространении тёмных временных солитонов на большие
расстояния потери световода должны быть скомпенсированы периодическим
усилением. Как обсуждалось в 3.5.3, нежелательным эффектом
периодического усиления служат флуктуации времени прихода светлых
солитонов из-за случайных сдвигов частоты [81-83]. Эти флуктуации
называются флуктуациями Гордона-Хауса.
Для светлых солитонов временные флуктуации оценивались в 3.5.3
методом теории возмущений. Тот же результат можно получить,
привлекая инварианты мощности и импульса, Р и М. Мы используем
эти два инварианта, чтобы найти флуктуации времени прихода тёмных

4.5. Временные тёмные солитоны
161
солитонов. Конечно, для тёмных солитонов требуются
перенормированные инварианты Рг и #г, определённые ранее в (4.2.13) и (4.2.14).
Вычислив величины Мг и Нг для тёмных солитонов, мы найдём
Мг = 2 sin ф cos ф и Hr = (4/3)uo cos3 ф.
Как обычно, сначала мы устраняем фон, применяя в НУШ
преобразование и = uoexp(mo^). Тогда функция v(z, т) удовлетворяет
модифицированному НУШ [84]
ig-igl + W-O-O. (4.5.6)
Как и в случае светлых солитонов, мы следуем подходу [81] и
рассматриваем эффект, добавляя малое возмущение Sv к полю солитона vs,
так что и = щ(ь3 + 6v)exp(iuQz). На физическом языке Sv
представляет флуктуацию, вызванную спонтанным излучением в усилителях,
размещённых периодически по линии связи. Возмущение Sv — это
гауссовский стохастический процесс со статистическими свойствами
(6v(t)) = (6v*(t)) = 0, (Sv(t)6v*(t')) = ^Щ- ?), (4.5.7)
щ
где параметр D пропорционален среднему числу фотонов на одну моду
на выходе усилителя. В первом порядке такое возмущение вызывает
изменения параметров солитона, тогда как радиационные поправки
возникают во втором порядке по Sv.
Отклонения частоты SO от её невозмущённого значения О = uosin^
зависят от флуктуации амплитуды фона 8щ и от фазового угла 5ф. Из
сохранения гамильтониана и импульса находим, что SO = а(ф)5Нг +
4- (3(ф)6Мг определяется выражениями
оо
«1 = 2 Im|[ 6v [а(ф)?£ - №%} *}. (4-5.8)
— СЮ
3sin</> ШАЛ — ^o^sin 0 + cos ф)
4 cos ф 4 cos ф
а{ф) = ;S17 , (3(ф) = "°^S№ У*™5*). (4.5.9)
Теперь мы можем вычислить статистическую дисперсию частотных
флуктуации (SO2), используя (4.5.7) и (4.5.8). Приходим к следующему
результату ^
k>£-M)£.f
(5№)
_2£> f
~ £ J
'dz ^XT'dt
dt. (4.5.10)
Подставив в (4.5.10) солитонное решение и выполнив интегрирование,
получим окончательный результат [84]
(5Q?) = Щсо83ф[а(ф)ио5тф- 0(ф)}2 = §cos^. (4.5.11)
Зио b

162
Гл. 4. Тёмные солитоны
Чтобы сравнить случаи светлых и тёмных солитонов, следует
рассмотреть тёмный солитон с той же амплитудой, что у светлого соли-
тона, и положить щ = I и ф = 0. При таком выборе параметров мы
получим простое соотношение
№2)dark = i(<K22)bright. (4.5.12)
Как обсуждалось в 3.5.3, флуктуации частоты приводят к различию
времени прихода различных солитонов на выход волоконнооптической
линии связи. Эти временные флуктуации имеют статистическую
дисперсию of, которая прямо пропорциональна (5Q,2) и потому
уменьшается в два раза для тёмных солитонов. Собственно флуктуации
времени <rt уменьшаются в у/2 раз при замене светлых солитонов
на тёмные. Этот результат согласуется с численным моделированием,
основанным на НУШ [85]. Влияние ВКР на флуктуации времени
прихода изучалось также в [86]. Одновременное наличие вызванных
усилителями частотных флуктуации и сдвигов частоты из-за ВКР
в некоторых случаях может уменьшить флуктуации времени прихода
ещё более. Например, при флуктуациях фона флуктуации времени
прихода полностью исчезают на определённых расстояниях.
4.5.3. Дисперсия третьего порядка. Экспериментальная
демонстрация в 1995 г. передачи на большое расстояние сигнала с помощью
тёмных солитонов [87] привела к возобновлению попыток
использования этого вида кодировки сигнала для оптической связи. Применение
тёмных солитонов требует значительно большей мощности, так как
основную часть времени сигнал остаётся во включённом состоянии.
Уровень мощности можно уменьшить при выборе рабочей длины
волны вблизи длины волны нулевой дисперсии световода. Однако тогда
тёмные солитоны подвержены действию дисперсии третьего порядка
(ДТП).
Влияние ДТП на светлые солитоны интенсивно изучалось в
[88-90]. Под воздействием ДТП у светлого солитона развивается
длинный хвост, простирающийся далеко от пика солитона [90].
Амплитуда хвоста зависит от параметра ДТП /?з как ехр(—1//?з) и может
быть вычислена асимптотическим методом [89]. Этот результат
согласуется с гипотезой жёсткости [91], согласно которой автономные
однородные гамильтоновы возмущения интегрируемых уравнений приводят
к решениям в виде уединённых волн, рассеянное излучение которых
отсутствует во всех порядках теории возмущений.
Влияние ДТП на тёмные солитоны исследовалось с 1991 г. в
приближении малых амплитуд [92]. В этом случае справедливо
эффективное уравнение КдФ, которое показывает, что ДТП не сильно влияет
на существование и свойства серых солитонов [21]. Однако было
найдено интересное свойство тёмных солитонов вблизи /?2 = 0. Возможно,
несколько удивляет, что в этой области тёмные солитоны могут
существовать как «горбы» (вместо «провалов») на постоянном фоне [23].

4.5. Временные тёмные солитоны
163
Такие антитёмные солитоны точно соответствуют обычным тёмным
солитонам в критических точках, где их можно описать
модифицированными вариантами уравнения КдФ. Так как тёмные и антитёмные
солитоны могут существовать в одной и той же области параметров,
возможными становятся их лобовые столкновения. Такие
столкновения исследовались аналитически методом асимптотического
разложения; было показано, что эти солитоны сохраняют свою идентичность
только до второго порядка [25]. Влияние ДТП на тёмные солитоны
с большими и умеренными амплитудами исследовалось аналитически
и численно в [93, 94].
Распространение оптических импульсов вблизи длины волны
нулевой дисперсии волоконных световодов описывается возмущённым
НУШ [70] 3
.ди 1 О U . | |9 с д U /л с to\
1Тг-2Ъ? + Щи = г5гЪ?' (4'5ЛЗ)
где <$з = /Зз/(6/?2То) определяет величину ДТП. Если 6$ ф 0,
существование локализованных решений можно выявить из анализа
асимптотического поведения. Для этого положим и = (щ + w) exp (2ш§г) и
линеаризуем (4.5.13) по малому w. Затем для плоской волны, движущейся
со скоростью v, ищем решение в виде w = (wr + iWi)exp(ikQ, где
£ = т — vz\ получим следующее уравнение для х = k2(v):
(v-63xf=(Z+uiy (4.5.14)
Это квадратное уравнение имеет два корня. При \v\ < с = щ один из
корней, обозначаемый х_, всегда отрицателен и его наличие можно
игнорировать, так как он ведёт к экспоненциально убывающему
возмущению. Другой корень (х+) положителен и описывает формирование
осциллирующего хвоста на фоне тёмного солитона.
Существование неубывающих хвостов обычно можно
рассматривать как резонансную генерацию рассеянного излучения. Этот процесс
имеет место при условии, что скорость v тёмного солитона совпадает
с фазовой скоростью V^h рассеянного излучения. Действительно,
условие Vph = v немедленно приводит к (4.5.14). С точки зрения физики
этот результат означает, что уединённая волна действует как источник
осцилляции заднего фронта при распространении переднего фронта
с групповой скоростью Vg. Этот процесс иллюстрируется на рис. 4.8
для чёрного солитона при <$з = 0,18. На ранних стадиях эволюции
солитона некоторая часть энергии высвечивается из-за вызванных ДТП
возмущений тёмного солитона. Это рассеянное излучение
распространяется со скоростью с и быстро отделяется от тёмного солитона, как
это видно из рис. 4.8, а. Рассеянное излучение создаёт также
малоамплитудный тёмный солитон (движущийся налево на рис. 4.8, а),
который устойчив в присутствии ДТП. В то же время в правой части
солитона формируется осциллирующий хвост и его фронт распространяется
с групповой скоростью Vg, которая отличается и от скорости тёмного

164
Гл. 4. Тёмные солитоны
-20 -10 0 10 20
Время /
Рис. 4.8. а) Контуры интенсивности, показывающие формирование
осциллирующего хвоста чёрного солитона, распространяющегося в волоконном световоде
с 6$ = 0,18. Белые линии отвечают распространению волн со скоростями с
и Vg. б) Профиль интенсивности тёмного солитона при z = 10 [94]
солитона v, и от предельной скорости с. Из-за непрерывного роста
хвоста тёмный солитон распадается так, что его амплитуда убывает,
а скорость возрастает. Аналогичное поведение найдено и для исходно
серых солитонов с умеренной амплитудой [94].
Вычисление амплитуды осцилляции нетривиально, так как требует
включения всех порядков асимптотического разложения [89, 95].
Однако качественно правильный результат можно получить, рассмотрев
линейное уравнение для возмущений солитона w = и — us.
Соответствующее решение громоздко [93], но его общий вид таков:
w = Лв(С)в(Ч + Vgz) sin (д/ЗЕ^С + Ф)< (4.5.15)
где С = t — vz и ступенчатая функция G(x) = 1 при х > 0 и 0 в
противном случае. Амплитуда хвоста А зависит от параметров солитона
как [94]
А ~ C£(*+)csch( *^e J*f I . (4.5.16)
\U()COS0V J
где С — постоянная и В — алгебраическая функция положительного
корня (4.5.14) х+. Используя разложение первого порядка при
малых /?з, к = у/Щ. « <$з/2, нетрудно видеть, что амплитуда хвоста
зависит от /?з экспоненциально, то есть аналогично случаю светлых солито-

4.6. Экспериментальные результаты
165
нов [89]. Однако, особенностью тёмных солитонов служит присутствие
в показателе экспоненты множителя у/\ — ^/с2, из-за чего амплитуда
излучения становится бесконечно малой при любом фиксированном
значении /?з в пределе |v| —► с. Это свойство подчёркивает
справедливость приближения малых амплитуд. Оно показывает, что амплитуда
осцилляции на хвосте становится малой при \v\ —►сив этом пределе
рассеянное излучение, испускаемое солитоном, пренебрежимо мало.
В некоторых частных случаях обобщённого НУШ и при
специальном выборе их параметров известно, что точные аналитические
решения для тёмных солитонов типа th существуют даже в присутствии
высших порядков линейной и нелинейной дисперсии [96-98]. Такие
тёмные солитоны сосуществуют со сплошным спектром излучательных
мод, и их можно рассматривать как вложенные солитоны,
обсуждавшиеся в гл. 2. Вероятно, такие солитоны неустойчивы, и они могут
испускать рассеянное излучение при любом возмущении солитона или
изменении значений параметров.
4.6. Экспериментальные результаты
Хотя формирование тёмных солитонов в волоконных световодах
было предсказано в 1973 г. [99], тёмные солитоны оставались
математическим курьёзом вплоть до 1987 г. Напротив, светлые солитоны
наблюдались уже в экспериментах 1980 г. [100], а их использование
в оптической связи интенсивно исследовалось [73]. Этот прогресс
стимулировал изучение временных тёмных солитонов, и они были
найдены экспериментально в 1987 г. Эксперименты с пространственными
тёмными солитонами начались примерно тогда же.
4.6.1. Временные тёмные солитоны
Генерация тёмных солитонов. Генерация тёмных солитонов в
волоконных световодах не столь проста, как в случае светлых
солитонов, так как тёмные солитоны требуют локального изменения фазы
и конечной амплитуды фоновой волны. В ранних экспериментах как
фон использовался оптический импульс с длительностью много
большей длительности тёмного солитона, который возникал как провал
в центре фонового импульса [101-103]. В последующих экспериментах
квазинепрерывная последовательность тёмных солитонов получалась
при столкновении двух оптических импульсов в световоде [104-106].
В 1990 г. была предложена генерация непрерывной последовательности
тёмных солитонов при использовании электрооптических модуляторов
[107]. Такие последовательности можно также генерировать при
использовании временного формирования с помощью спектральной
фильтрации [108] или при биениях двух непрерывных сигналов в световоде
с дисперсионным сужением [109]. Кодирующий информацию поток
тёмных солитонов был получен с помощью модулятора на ЫЫЬОз
в эксперименте по передаче данных в 1995 г. [87].

166
Гл. 4. Тёмные солитоны
Метод спектральной фильтрации был использован для генерации
тёмных солитонов в волоконных световодах в эксперименте 1987 г.
[101]. Основная идея состоит в создании оптического импульса со
скачком фазы 7г в его центре. Когда такой импульс распространяется
в световоде, появляется тёмный солитон в виде провала в центре
импульса. Этот провал, или тёмный импульс, аналогичен по свойствам
фундаментальному тёмному солитону. В этом эксперименте не
демонстрировалось распространение тёмных солитонов на большие
расстояния из-за сравнительно больших потерь световода на рабочей длине
волны 600 нм. Действительно, дисперсионная длина при
распространении солитона (~220 м) превышала длину ослабления, составлявшую
140 м.
В эксперименте 1988 г. [103] симметричный тёмный импульс (без
скачков фазы) преобразовывался в симметричную пару тёмных
импульсов с малой амплитудой, которые, несомненно, распространялись
как солитоны в соответствии с предсказаниями численного
моделирования [2] и общей теории генерации пар [14]. В этом эксперименте
получены тёмные импульсы длительностью 0,3 пс на фоне
импульсов длительностью 100 пс; импульсы вводились в кварцевый световод
длиной Юме сохранением поляризации. Выходной сигнал измерялся
на нескольких уровнях мощности при использовании автокоррелятора.
При высоких мощностях (>9 Вт) входной импульс преобразовывался
в два тёмных солитона, движущихся относительно фона с
противоположными скоростями. Это поведение отличается от наблюдаемого при
низких мощностях, когда нелинейные эффекты пренебрежимо малы.
Экспериментальные результаты прекрасно согласовались с численным
решением НУШ. Создание пары тёмных солитонов с
противоположными скоростями и равными амплитудами связано с тем, что в этом
эксперименте входной импульс не обладал скачком фазы, необходимым
для создания одиночного тёмного солитона.
Метод профилирования импульса, основанный на спектральной
фильтрации со стандартным сжатием дифракционной решёткой,
использован в другом эксперименте 1988 г. для создания тёмного
оптического импульса со скачком фазы 7г в его центре [102]. Такие тёмные
импульсы с нечётным временным профилем длительности 185 пс
имели форму фундаментального тёмного солитона и сохраняли форму при
распространении по световоду длиной 1,4 м. На рис. 4.9, а показаны
экспериментальные результаты (пунктир) и их сравнение с численными
предсказаниями (сплошные кривые) на основе НУШ. Верхняя
кривая указывает форму входного импульса, измеренную методом кросс-
корреляции. Длительность центрального провала составляет 185 фс,
тогда как фоновый импульс почти в 10 раз дольше (1,76 пс по уровню
1/2). При низкой мощности (пиковая мощность на входе 1,5 Вт) провал
расширялся, так как распространение было почти линейным. При
возрастании мощности фоновый импульс расширялся и приобретал
прямоугольную форму из-за комбинированного воздействия нелинейности

4.6. Экспериментальные результаты
167
и дисперсии. В то же время длительность тёмного импульса
уменьшалась. При входной мощности 300 Вт тёмный импульс на выходе имел
по существу ту же длительность, что и входной импульс. Эксперимент
чётко показал, что при достаточно высоком уровне мощности тёмный
импульс распространяется как тёмный солитон, хотя при этом и
происходит существенное уширение и чирп фонового импульса с конечной
длительностью. Численные решения НУШ качественно согласуются
с экспериментальными данными.
Лк
I I I Г
I Г
ЛК
JY±
i г- Т *п 1
I Г Г
/ЛГч
I т 1 г 1
-4-2 0 2 4
Время, пс
Рис. 4.9. Измеренные (пунктир) и вычисленные (сплошные линии) данные
кросс-корреляции, показывающие эволюцию тёмных солитонов: (а) — тёмный
импульс с нечётной симметрией с начальной пиковой мощностью (сверху вниз)
0, 1,5, 52,5, 150 и 300 Вт; (б) — тёмные импульсы с чётной симметрией
с начальной пиковой мощностью 0, 2,5, 50, 150 и 285 Вт [102]
Методом спектральной фильтрации можно также получать тёмные
импульсы с чётной симметрией без скачков фазы. Результаты
экспериментов с такими импульсами приведены на рис. 4.9, б. Верхняя
кривая вновь показывает измерения кросс-корреляции для входного
импульса. Сравнение левых и правых рисунков демонстрирует
принципиальные изменения, вносимые скачком фазы за время импульса.
В отсутствие скачка фазы поведение такое же, как в [103], а именно
формируются два тёмных солитона с малой амплитудой, расстояние
между которыми увеличивается с увеличением входной мощности.
Снова экспериментальные данные хорошо согласуются с результатами
численного решения НУШ, показанными на рис. 4.9 сплошными
линиями. Эти эксперименты подтверждают чрезвычайно важную роль фазы
входного пучка. Только нечётный тёмный импульс распространяется

168
Гл. 4. Тёмные солитоны
без искажений в виде тёмного солитона; чётный импульс расщепляется
на пару серых солитонов.
Нелинейные временные и спектральные сдвиги тёмных солитонов
наблюдались в экспериментах 1989 г. [74]. Такие эффекты хорошо
известны для светлых солитонов [73]. В случае тёмных солитонов
эти сдвиги становятся всё более выраженными по мере увеличения
интенсивности и длины световода. Экспериментальные данные
находятся в хорошем согласии с численным моделированием на основе
модифицированного НУШ, включающего вклад ВКР в нелинейный
показатель преломления. Аналитическое описание этого эффекта дано
в 4.5.1.
Нелинейное распространение тёмных импульсов нечётной
симметрии длительностью 5,3 пс через 1 км одномодового световода на 850 нм
реализовано в 1993 г. [110]. Выбор такой длины волны обеспечил
распространение тёмных солитонов в условиях, более приемлемых для
связи. Этот эксперимент показал, что возможно солитонное
распространение в световоде в 2,5 более длинном, чем солитонный период zo,
несмотря на конечный фон и наличие потерь световода. Во временных
и спектральных измерениях было найдено хорошее согласие с
численными расчётами.
Комбинационное усиление использовано в эксперименте 1996 г.
для компенсации потерь световода [111]. Как усиливающая среда
использовался допированный Ge кварцевый световод длиной 395 м.
В световод вводился тёмный импульс длительностью 2,7 пс на
фоновом импульсе длительностью 39 пс (на 883 нм). Импульс на выходе
анализировался щелевой камерой. Для обеспечения комбинационного
усиления до 3 дБ использовался лазер накачки со встречными пучками
со средней мощностью 190 мВт, что полностью компенсировало потери
световода на уровне 6 дБ/км.
Тёмные солитоны и оптическая связь. Хотя изложенные
исследования распространения одиночных импульсов подтвердили
основные свойства тёмных солитонов, для приложений к оптической
связи существенно использование последовательности тёмных солитонов.
В ранних экспериментах такие последовательности создавались
столкновением двух светлых импульсов, вводимых в световод с временной
задержкой и распространяющихся в условиях нормальной дисперсии
световода [104-106]. Процесс создания последовательностей тёмных
солитонов включает три стадии. На первой эти два импульса
нелинейно уширяются, формируя импульсы прямоугольной формы с частотным
чирпом. Чирпированные импульсы со временем расширяются
настолько, что начинают перекрываться и интерферировать, формируя импульс
с синусоидальной амплитудной модуляцией с чередующимися фазами.
В конце концов воздействие нелинейности на эту модуляцию приводит
к последовательности тёмных солитонов.
В экспериментах 1992 г. [105] импульс лазера на красителе
длительностью 2 пс расщеплялся интерферометром на пару входных им-

4.6. Экспериментальные результаты
169
пульсов и вводился в волоконный световод длиной 100 м. Выход
анализировался щелевой камерой. При изменении входной мощности
и интервала между импульсами наблюдался переход от почти
синусоидальной модуляции к структуре типа тёмных солитонов.
Последующие работы расширили возможности генерации
последовательностей тёмных солитонов до высоких скоростей повторения (до 60 ГГц)
и дальности распространения этих последовательностей до 2 км [106].
В эксперименте 1994 г. [109] температурная подстройка двух лазеров
с распределённой обратной связью (РОС) обеспечивала непрерывную
генерацию двух пучков с разностью частот 100 ГГц. Затем эти два
пучка одновременно вводились в световод длиной 1,5 км, дисперсия
которого была нормальной и медленно уменьшающейся вдоль длины.
Выходной сигнал представлял последовательность тёмных солитонов
с частотой повторения 100 ГГц. Длительность каждого тёмного со-
литона измерялась автокоррелятором и составляла 1,6 пс. Этот метод
аналогичен предложенному впервые для светлых солитонов [112] и
реализованному в 1992 г. [113].
Регулярная последовательность импульсов может быть
использована для передачи информации, только если её можно закодировать
так, чтобы получилась псевдослучайная последовательность битов 1
и 0. В 1995 г. Наказава и Сузуки удалось получить псевдослучайную
последовательность тёмных солитонов. Их экспериментальная схема
показана на рис. 4.10 [87]. Электрический сигнал в формате без
возвращения к нулю (NRZ-формат, от nonreturn-to-zero) комбинируется
с регулярным периодическим сигналом внутри вентиля логического
И. Результирующий сигнал управляет триггерной схемой, которая
создаёт битовый поток электрических тёмных импульсов. Последние
управляют быстрым модулятором на ЫЫЬОз, генерирующим
оптически кодируемую последовательность тёмных солитонов длительностью
50 пс.
Кодированная последовательность тёмных солитонов со скоростью
10 Гбит/с передавалась через волоконнооптическую линию связи
длиной 1200 км в условиях нормальной дисперсии. Выходной сигнал
детектировался схемой, изображённой на рис. 4.10, б. Входящая
последовательность тёмных солитонов расщеплялась на две части, формируя
два плеча интерферометра Маха-Цендера (М.-Ц.). В одно плечо
интерферометра вводился временной сдвиг в один бит. Интерференция
двух таких оптических сигналов создавала последовательность,
инвертированную по отношению к исходной последовательности NRZ-дан-
ных. В результате её можно было обработать, используя стандартный
приёмник. Результаты показали, что энергетические потери были ниже
2,5 дБ, что приводило к частоте ошибок по битам 10"10 или менее
на 1200 км. Этот эксперимент продемонстрировал, что основные
проблемы, связанные с генерацией, кодированием и детектированием
последовательностей временных тёмных солитонов, могут быть решены,

170
Гл. 4. Тёмные солитоны
-p>t-J J
\ оьэ1гп z оьэ1ш tfoxne
tl-'Vt 'ft-'П tl'Yi
00
о
н
s
о
о
X
3
X
S
о
о
X
л
•=:
й
09
О
С*
»Х
О
Я
X
СО
со
о
сх
X
§
X
СО
m
о
а.
X
н
X
X
X
СО
О)
X
и
X

4.6. Экспериментальные результаты 171
хотя для больших скоростей передачи информации потребуется более
сложное оборудование.
Некоторые интересные свойства тёмных солитонов до сих пор не
были наблюдены экспериментально. Сюда входит возможность
уменьшения флуктуации времени прихода [84] и большие длины
столкновений по сравнению со случаем светлых солитонов [9]. В результате
тёмные солитоны можно упаковать более плотно, что позволяет
увеличить скорость передачи информации. Средняя мощность, необходимая
для передачи тёмных солитонов, обычно больше, но она может быть
приемлемой для определённых схем. Однако, так как полная фаза
тёмного солитона меняется с удвоенной скоростью по сравнению со
случаем светлого солитона, тёмные солитоны более чувствительны
к периодическим возмущениям на той же длине передачи.
Взаимодействие тёмных солитонов. Взаимодействие между
чёрными и серыми солитонами наблюдалось в экспериментах 1996 г.
при использовании световода длиной 1 км с эффективной
площадью сердцевины 28 мкм2 и дисперсией 90 пс/нм/км [114]. Длина
световода была столь велика,
что превосходила семь солитон-
ных периодов. Пара тёмных
солитонов с регулируемой
«темнотой» генерировалась при
использовании пары фазовых пластин.
Мощность, введённая в световод,
слегка превышала уровень
фундаментального тёмного солитона,
чтобы частично скомпенсировать
потери световода. Импульсы на
выходе анализировались щелевой
камерой, а взаимодействие
между парой солитонов исследовалось
измерением изменения их
времени прихода по сравнению со
случаем без взаимодействия.
Изображения на щелевой
камере на рис. 4.11 показывают
временные профили на входе (слева)
и выходе (справа) в трёх
различных ситуациях. На рис. 4.11, а
наблюдается движение одиночного
серого солитона (В2 = 0,78) с
переднего фронта (—10 пс) к
заднему фронту (+4 пс) импульса
фона. В то же время импульс фона уширяется из-за дисперсии и фазовой
самомодуляции. Серый солитон также уширяется после
распространения из-за потерь световода, которые уменьшают амплитуду импульса
/\
I
Л
\ А-
1_ /
W
\:
ki
-25 0 25 -25 0 25
Время, пс
Рис. 4.11. Изображения на щелевой
камере, показывающие форму
импульсов на входе (слева) и выходе
(справа) световода длиной 1 км; а)
одиночный серый солитон; б)
одиночный чёрный солитон; в)
взаимодействие между серым и чёрным
солитонами. Чёрные солитоны расположены
в центре импульса фона
(вертикальная сплошная линия), а серые
солитоны отмечены штриховыми
линиями [114]

172
Гл. 4. Тёмные солитоны
фона. На рис. 4.11,6 показан случай чёрного солитона, первоначально
расположенного в центре импульса фона. Ни его ширина, ни
положение не изменились после распространения, как это и следует из
теории. Случай, когда одновременно присутствуют чёрный и серый
солитоны, представлен на рис. 4.11, е. За время распространения
серый солитон проходит через чёрный, и в результате взаимодействия
двух солитонов серый солитон запаздывает на 3 пс, как это видно
из вертикальных штриховых линий. Чёрный солитон, расположенный
в центре импульса, также сдвигается к переднему фронту импульса
фона на 2 пс вследствие взаимодействия между двумя солитонами. Эти
результаты подтверждают характер отталкивания при взаимодействии
двух тёмных солитонов и могут быть воспроизведены численным
моделированием на основе кубического НУШ [114, 115].
4.6.2. Пространственные тёмные солитоны. Как и в случае
временных солитонов, светлые пространственные солитоны сначала
наблюдались в керровских материалах, таких как кварцевое стекло
и полупроводники [116, 117], до того, как начались эксперименты
с тёмными пространственными солитонами. Почти одновременно были
выполнены несколько экспериментов по наблюдению
пространственных тёмных солитонов в самодефокусирующей сплошной среде и в пла-
нарных световодах [118-121].
Генерация тёмных солитонов. В случае сплошных нелинейных
сред обычно используют амплитудные и фазовые транспаранты в виде
полос, решёток или крестов, накладываемых на поперечное сечение
непрерывного пучка. В эксперименте 1991 г. [119] пучок непрерывного
излучения от частотно-стабилизированного лазера на красителе с
мощностью 100 мВт пропускался через проволочную сетку и затем его
изображение переносилось линзами в ячейку длиной 18 мм,
заполненную парами натрия (концентрация ~1012 см~3). Настройкой лазерного
пучка ниже атомного резонанса D<i был получен сильный дефокуси-
рующий отклик с эффективной нелинейностью n<i « — 3 • 10~7 см2/Вт.
Интенсивность в дальней зоне регистрировалась на расстоянии более
1 м от выхода ячейки. Когда лазер был отстроен далеко от резонанса,
наблюдалась обычная картина дифракции на сетке, так как нелинейные
эффекты были слабы. Однако, при приближении к резонансу D<i
картина подвергалась значительному преобразованию с формированием
хорошо упорядоченного массива квадратных точек растра. Численное
моделирование НУШ показало, что формирование регулярных
структур тёмных точек с фоном является универсальным явлением и связано
с формированием множественных тёмных солитонов.
Для подтверждения создания именно тёмных солитонов была
предпринята последующая серия экспериментов с использованием слабо
поглощающих жидкостей в качестве нелинейной среды с тепловой
дефокусировкой. Применение амплитудного транспаранта (проволочный
крест) или транспаранта со сдвигом фазы на 7г (тоже в форме креста)

4.6. Экспериментальные результаты
173
в нелинейном режиме приводило к созданию одиночного тёмного соли-
тона или пары тёмных солитонных полос на однородном фоне.
Поперечная скорость пары полос, созданных амплитудным транспарантом,
изменялась в зависимости от толщины проволоки предсказываемым
теорией одномерных тёмных пространственных солитонов образом.
Аналогичное поведение наблюдалось в раннем эксперименте, в котором
вместо транспаранта использовалась единственная проволочка [118].
Хорошо известно, что такие квазиодномерные структуры
подвержены поперечной модуляционной неустойчивости, так как они
не существуют как устойчивые аналитические решения основного
(2 4- 1)-мерного НУШ (см. гл.6). Однако экспериментальные и
численные результаты, представленные в этих статьях, надёжно
свидетельствуют о том, что наблюдаемое поведение действительно вызвано
созданием пространственных тёмных солитонов. Отсутствие
поперечной модуляционной неустойчивости в этих экспериментах обусловлено
рядом факторов. Во-первых, использование умеренных интенсивностей
излучения вело к стабилизации из-за конечного размера лазерного
пучка (то есть, наиболее быстро растущая мода неустойчивости имеет
больший период, чем размер пучка). Во-вторых, некерровский характер
нелинейности среды позволяет устранить модуляционную
неустойчивость. Например, известно, что диффузионная природа тепловой
нелинейности [119] подавляет коллапс пучка [122, 123]. Поперечная
модуляционная неустойчивость подавлялась не всегда, и она наблюдалась
в экспериментах со средами с большими нелинейностями и
локальным откликом [124, 125]. Эта неустойчивость приводит к змеевидным
искажениям солитонных полос и их постепенному развалу на пары
оптических вихревых солитонов. Такой эффект обсуждается в гл. 8.
Как указывалось ранее, серые пространственные солитоны
обладают конечной поперечной скоростью относительно поддерживающего их
фона. Пояснить это движение можно, учтя, что ненулевая
интенсивность на оси может возникнуть, только если солитон пересекается
бегущей волной. Если фон —это плоская волна (то есть характеризуется
единственным волновым числом), то для создания бегущей компоненты
солитон должен двигаться под некоторым углом к фоновой волне.
Направление движения солитона определяется его «серостью», которая
в свою очередь зависит от изменения фазы на солитоне. Отсюда
следует, что управление изменением фазы на солитоне позволяет сдвигать
его относительно фоновой волны. Это свойство впервые наблюдалось
в 1992 г. для одиночных тёмных солитонов [60] и позднее для массива
тёмных солитонов, как пространственных, так и временных [126-128].
Пространственные тёмные солитоны наблюдались также при
использовании в качестве нелинейной среды объёмного
полупроводникового кристалла ZnSe [120, 121]. В этих экспериментах импульсы
второй гармоники Nd:YAG лазера (длина волны 532 нм) длительностью
30 пс пропускались через фазовый или амплитудный транспарант и
фокусировались на кристалле ZnSe длиной 2 мм. В этой среде дефоку-

174
Гл. 4. Тёмные солитоны
сировочная нелинейность вызвана дисперсионными изменениями,
связанными с двухфотонным поглощением. Выход кристалла отображался
на щелевую камеру. Когда использовался транспарант со сдвигом фазы
на 7г, результаты показывали зависящее от интенсивности сужение
центральной тёмной области, сопровождаемое расфокусировкой
фона — характерный признак формирования тёмного солитона. Интерфе-
рограммы выходного пучка при фазовом и амплитудном транспарантах
демонстрировали структуры, которые и следовало ожидать для чёрных
и серых солитонов, соответственно.
Начиная с 1995 г., для наблюдения пространственных солитонов
использовались фоторефрактивные материалы [129-134]. В этом
случае нелинейный отклик вызван фотоэлектрическими эффектами, и его
можно моделировать обобщённым НУШ с насыщающейся
нелинейностью. Фоторефрактивные тёмные солитоны впервые наблюдались
в эксперименте 1995 г. [129]. Тёмная полоса сначала создавалась
скачком фазы на 7г в центре пучка аргонового ионного лазера и затем
направлялась в кристалл ниобата стронция-бария (SBN). Внешнее
электрическое поле с напряжённостью 400 В/см прикладывалось
параллельно с-оси кристалла. В отсутствие этого поля полоса с
начальной шириной 21 мкм дифракционно уширялась до размера 35 мкм.
При включении напряжения дифракция полностью компенсировалась
и полоса формировала тёмный солитон, тогда как дефокусировка фона
сохранялась. Важной чертой фоторефрактивных солитонов является их
нечувствительность к величине интенсивности света. Действительно,
не наблюдалось изменений формы и размера тёмного солитона при
изменении входной мощности в интервале от 3 до 300 мкВт.
Экранированные тёмные солитоны также наблюдались впервые
в 1995 г. [130]. Физику процесса проще пояснить, рассматривая узкую
тёмную полосу на однородной в других местах бесконечной плоской
волне, распространяющейся в фоторефрактивной среде с
приложенным напряжением. В освещенных областях удельное сопротивление
убывает. Поэтому падение напряжения происходит преимущественно
на тёмной области, что приводит к локальному возрастанию поля
и соответствующему локальному изменению показателя преломления
из-за эффекта Поккельса. Полосы тёмных солитонов с шириной около
20 мкм создавались, когда кристалл титаната висмута (ВТО)
освещался пучком He-Ne лазера при приложении электрического поля
с напряжённостью 7,5 кВ/см и некогерентным фоновым пучком.
Недавно формирование солитонов высших порядков, включающих
нечётное и чётное число тёмных солитонов, наблюдалось без какой-либо
однородной засветки [135]. На рис. 4.12 приведён пример
экспериментальных результатов [131]. В этом эксперименте тёмная полоса
на входе имела ширину 7 мкм (слева) и дифрагировала до ширины
12 мкм (посередине) после прохождения 5 мм без внешнего поля. Когда
прикладывалось напряжение 150 В, полоса самозахватывалась снова

4.6. Экспериментальные результаты
175
до ширины 7 мкм без фонового освещения, в соответствии с теорией
экранированных тёмных солитонов.
Для наблюдения тёмных солитонов использовался также
фотоэлектрический эффект в кристалле ЫЫЬОз [136]. Непрерывное излучение
л
[й профит
ас
tr
о.
с
a
11
0
Вход
vAv^/Wv^
V
l I I l
1 1
50 100 150 200 0
мкм
Выход, дифракция
^\г\ 11 / \ А. /V
1 1 1 1
. |>
50 100 150 200 0
мкм
Выход, солитон
^(V/V
у
1 1 1 1
50 100 150 200
мкм
Рис. 4.12. Поперечные профили пучка (сверху) и фотографии (снизу): входного
пучка (слева), выходного пучка при обычной дифракции (посередине) и
выходного пучка в форме тёмного солитона (справа) после прохождения кристалла
SBN длиной 5 мм [131]
аргонового ионного лазера с длиной волны 488 нм со скачком фазы 7г
в центре пучка направлялось на кристалл LiNb03 ортогонально его
с-оси. При интенсивностях ~10 Вт/см2 тёмные солитоны с шириной
около 20 мкс формировались после экспозиции 15 мин. Солитоны
создавались, только если градиент интенсивности был параллелен с-оси.
Эти фотоэлектрические волноводы сохранялись до 39 часов после
выключения излучения, формировавшего солитон. С помощью
фотоэлектрических солитонов могут быть созданы даже Y-соединения [132].
Недавно было найдено, что тёмные фотоэлектрические
пространственные солитоны — фундаментальный и второго порядка — формируются
в волноводе ЫЫЬОз, слабо допированном Fe [137]. Тёмные солитоны
возникали после распада исходной светлой полосы в результате
поперечной модуляционной неустойчивости.
Большая часть экспериментов с фоторефрактивными материалами
сосредотачивалась на экранированных солитонах [138-141]. Для
создания локальной области экранирования важна однородность
облучения кристалла до его краёв, и это может быть достигнуто
некогерентным фоновым освещением [130] или расширением размера фонового
пучка до полной апертуры кристалла [131]. Экранированные солитоны
использовались для создания волноводных Y-соединений. С их
помощью можно также продемонстрировать некоторые типы солитонных

176
Гл. 4. Тёмные солитоны
эффектов, таких как солитоны высших порядков [138], пары тёмных
и светлых солитонов [139], поперечный распад полос тёмных солито-
нов [140] и их расщепление на вихревые солитоны [141].
Y-соединения на основе тёмных солитонов. С прикладной точки
зрения возможность изменения направления распространения тёмных
пространственных солитонов полезна применительно к оптическому
переключению. Хотя существует много подходов к такому
переключению, оптическое переключение с помощью тёмных солитонов является
перестраиваемым, так как основывается на идее волноводов,
индуцированных светом. Пространственные солитоны можно считать
самоведомыми волнами, то есть они «записывают» волновод в нелинейной
среде, в которой они распространяются как моды этого волновода.
Светлые солитоны являются ограниченными модами волновода,
индуцированного ими, тогда как тёмные солитоны служат
безотражательными модами излучения индуцированного волновода [142, 143].
Общим предметом экспериментов с фоторефрактивными солитона-
ми служит демонстрация их использования как волноводов,
индуцированных светом. Отчасти это вызвано сравнительной медленностью
фоторефрактивного отклика, что ведёт к квазипостоянным структурам.
Особенно это относится к случаю фотоэлектрических
пространственных солитонов, когда освещение нелинейной среды приводит к
фототоку, который уносит заряды вдаль от освещенной области,
преимущественно вдоль с-оси сегнетоэлектрического кристалла. Сегне-
тоэлектрические солитоны существуют, только если имеется
составляющая градиента интенсивности вдоль с-оси. Так как физический
механизм генерации солитона включает разделение и захват зарядов,
возмущения показателя преломления сохраняются в темноте и могут
использоваться для создания почти стационарных волноводов для длин
волн, на которых среда нечувствительна к свету.
Для реализации переключения необходимо уделить значительное
внимание «записи» оптических волноводов в нелинейных средах при
использовании тёмных пространственных солитонов. На рис. 4.9, б
показано создание пары серых солитонов из провала интенсивности в
импульсе для случая временных солитонов. В пространственном случае
пара тёмных солитонов, порождаемых скачком амплитуды в
поперечном профиле входного пучка, представляет оптическую структуру,
которая действует как самоиндуцированное волноводное Y-соединение
[144-146]. Измеренные экспериментально соответствующие структуры
поля на входе и выходе показаны на рис. 4.13, и они хорошо
согласуются с численными расчётами. Прямоугольное возмущение
трансформируется в пару расходящихся тёмных солитонов и создаёт структуру
типа расщепителя на основе Y-соединения. На рис. 4.13, г показан
экспериментальный результат, когда пробный пучок шириной 40 мкм
запускался вместе с солитонным пучком с возмущением амплитуды.
Пробный пучок плавно расщепляется на пару независимых ведомых
пучков, так что более 98% входной мощности содержится в паре

Список литературы
177
Рис. 4.13. Экспериментальные профили интенсивности, показывающие
формирование волноводов, индуцированных светом: входной пучок (а); выходной
пучок с тёмными солитонами (б); входной пробный пучок (в); выходной пробный
пучок при наличии тёмных солитонов (г) [144]
выходных пучков. Такое устройство нечувствительно к длине волны
пробного излучения.
Другое интересное свойство тёмных пространственных солитонов
обнаруживается при их столкновениях. Численное моделирование
показывает, что индуцированные солитонами Х-соединения, создаваемые
при таких столкновениях, формируют соединения без потерь, через
которые может передаваться пробное излучение [144]. Такие
Х-соединения трудно реализовать экспериментально в средах с нелокальной
нелинейностью, но они наблюдались в фоторефрактивных
кристаллах [133]. Основное затруднение для приложений тёмных
пространственных солитонов связано с медленной скоростью переключения,
что вызвано длительным временем отклика фоторефрактивных
материалов (до нескольких секунд). В некоторых случаях отклик может
быть радикально улучшен изменением концентрации носителей заряда
и ловушек.
Список литературы
1. Захаров В. Е., Шабат А. Б. // ЖЭТФ. 1973. Т. 64. С. 1627.
2. Blow К J., Doran N.J. II Phys. Lett. A. 1985. V. 107. P. 55.
3. Thurston R.N., WeinerA.M. // J. Opt. Soc. Am. B. 1991. V. 8. P. 471.
4. Gagnon L. // J. Opt. Soc. Am. B. 1993. V. 10. P. 469.
5. Akhmediev NN, Ankiewicz A. // Phys. Rev. A. 1993. V. 47. P. 3213.
6. Osborne A.R. II Phys. Lett. A. 1993. V. 176. P. 75.
7. West C.S., Kennedy T.A.B. // Phys. Rev. A. 1993. V. 47. P. 1252.
8. Lundquist P.В., Andersen D.R., Swartzlander G.A. Jr. // J. Opt. Soc. Am.
B. 1995. V. 12. P. 698.

178
Гл. 4. Тёмные солитоны
9. Zhao W., Bourkoff Е. // Opt. Lett. 1989. V. 14. P. 703.
10. Abdullaev FKh., Nurmanov N.K., Tsoy E.N. // Phys. Rev. E. 1997. V. 56.
3638.
11. Gredeskul S.A., Kivshar Yu.S. // Opt. Lett. 1989. V. 14. P. 1281.
12. Kivshar Yu.S., Gredeskul S.A. // Opt. Commun. 1990. V. 79. P. 285.
13. Gredeskul S.A., Kivshar Yu.S., Yanovskaya M. V. // Phys. Rev. A. 1990.
V.41. P. 3994.
14. Gredeskul S.A., Kivshar Yu.S. // Phys. Rev. Lett. 1989. V. 62. P. 977.
15. Kivshar Yu.S. // J. Phys. A. 1989. V. 22. P. 337.
16. Wu В., Liu J., Niu Q. II Phys. Rev. Lett. 2002. V. 88. 034101(4).
17. Shvartsburg А.В., Stenflo L., Shukla P.K. // Physica Scripta. 2002. V. 65.
P. 164.
18. Slavin A.N., Kivshar Yu.S., Ostrovskaya E.A., Benner H. // Phys. Rev.
Lett. 1999. V. 82. P. 2583.
19. Cramer M.S., Watson L. T. // Phys. Fluids. 1984. V. 27. P. 821.
20. Makhankov V.G. Soliton Phenomenology. — Dordrecht: Kluwer, 1990.
P. 218.
21. Kivshar Yu.S. // IEEE J. Quantum Electron. 1993. V. 28. P. 250.
22. Kivshar Yu.S., Anderson D., Lisak M. // Physica Scripta. 1993. V.47.
P. 679.
23. Kivshar Yu.S., Afanasjev V. V. // Phys. Rev. A. 1991. V.44. R1446.
24. Frantzeskakis D.J. // J. Phys. A 1996. V. 29. P. 3631.
25. Huang G., Velarde M.G. // Phys. Rev. E. 1996. V. 54. 3048.
26. Barashenkov I. V, Makhankov V.G. // Phys. Lett. A. 1988. V. 128. P. 52.
27. Valley G.C., Segev M., Crosignani B. et al. // Phys. Rev. A. 1994. V. 50.
R4457.
28. Christodoulides D.N., Carvalho M.I. // J. Opt. Soc. Am. B. 1995. V. 12.
P. 1628.
29. Krdlikowski W., Luther-Davies B. // Opt. Lett. 1992. V. 17. P. 1414.
30. Krdlikowski W., Luther-Davies B. // Opt. Lett. 1993. V. 18. P. 188.
31. Krdlikowski W., Akhmediev N.N., Luther-Davies B. // Phys. Rev. E. 1993.
V. 48. P. 3980.
32. Kivshar Yu.S., Afanasjev V.V., Snyder A. W. // Opt. Commun. 1996.
V. 126. P. 348.
33. Kim W.-S., Moon И.-Т. // Phys. Lett. A. 2000. V. 266. P. 364.
34. Вахитов Н.Г., Колоколов А. А. // Изв. вузов. Радиофизика. 1973. Т. 16.
С. 1020.
35. Weinstein M.I. // SIAM J. Math. Analysis. 1985. V. 16. P. 472.
36. Kuznetsov E.A., Rubenchik A.M., Zakharov V.E. // Phys. Rep. 1986.
V. 142. P. 113.
37. Kusmartsev F. V. // Phys. Rep. 1989. V. 183. P. 1.
38. Mitchell D.J., Snyder A. W. // J. Opt. Soc. Am. B. 1993. V. 10. P. 1574.
39. Jones C.K. R. Т., Moloney J. V. // Phys. Lett. A. 1986. V. 117. P. 175.
40. Pelinovsky D.E., Afanasjev V.V., Kivshar Yu.S. // Phys. Rev. E. 1996.
V.53. 1940.
41. Enns R.H., Mulder L.J f/ Opt. Lett. 1989. V. 14. P. 509.

Список литературы
179
42. Bass F.G., Konotop V.V., Puzenko S.A. // Phys. Rev. A. 1992. V. 46.
P. 4185.
43. Barashenkov I. V., Kholmurodov Kh.T. // JINR Preprint. P. 17-86-698,
Dubna, Russia (1986).
44. Barashenkov I. V., Gosheva A.D., Makhankov V.G., Puzynin I. V. // Phys-
ica D. 1989. V. 34. P. 240.
45. De Bouard A. // SIAM J. Math. Anal. 1995. V. 26. P. 566.
46. Богдан М.М., Ковалёв А. С, Косевич A.M. // Физика низких температур.
1989. Т. 15. С. 511.
47. Barashenkov I. V., Panova Е. Yu. // Physica D. 1993. V. 69. P. 114.
48. Kivshar Yu.S., Krdlikowski W. // Opt. Lett. 1995. V. 20. P. 1527.
49. Kivshar Yu.S., Afanasjev V. V. // Opt. Lett. 1996. V. 21. P. 1135.
50. Barashenkov I. V. // Phys. Rev. Lett. 1996. V. 77. P. 1193.
51. Pelinovsky D.E., Kivshar Yu.S., Afanasjev V.V. // Phys. Rev. E. 1996.
V. 54. 2015.
52. Jones С A., Roberts P.M. // J. Phys. A 1982. V. 15. P. 2599.
53. Kuznetsov E.A., Rasmussen J.J. // Phys. Rev. E. 1995. V. 51. P. 4479.
54. Kivshar Yu.S., Malomed B.A. // Rev. Mod. Phys. 1989. V. 61. P. 763.
55. Kivshar Yu.S., Yang X. // Phys. Rev. E. 1994. V.49. P. 1657.
56. Kivshar Yu.S., Krdlikowski W. // Opt. Commun. 1995. V. 114. P. 353.
57. Yang X., Kivshar Yu.S., Luther-Davies В., Andersen D. // Opt. Lett. 1994.
V. 19. P. 344.
58. Burtsev S., Camassa R. // J. Opt. Soc. Am. B. 1997. V. 14. P. 1782.
59. Silberberg Y. // Opt. Lett. 1990. V. 15. P. 1005.
60. Luther-Davies В., Yang X. // Opt. Lett. 1992. V. 17. P. 1775.
61. Lisak M., Andersen D., Malomed B.A. // Opt. Lett. 1991. V. 16. P. 1936.
62. Giannini J.A., Joseph R.I. // IEEE J. Quantum Electron. 1990. V. 26.
P. 2109.
63. Sakaguchi H. // Prog. Theor. Phys. 1991. V. 85. P. 417.
64. Chen Y. II Phys. Rev. A. 1992. V. 45. P. 6922.
65. Ikeda Т., Matsumoto M., Hasegawa A. // Opt. Lett. 1995. V. 20. P. 1113.
J. Opt. Soc. Am. B. 1997. V. 14. P. 136.
66. Afanasjev V.V., Chu PL., Malomed B.A. // Phys. Rev. E. 1998. V.57.
1088.
67. Maruta A., Kodama Y. // Opt. Lett. 1995. V. 20. P. 1752.
68. Kim A.D., Kath W.L., Goedde C.G. // Opt. Lett. 1996. V. 21. P. 465.
69. Allen K.M., Doran N.J., Williams J. A. R. // Opt. Lett. 1994. V. 19. P. 2086.
70. Agrawal G.P. Nonlinear Fiber Optics, 3rd ed. — San Diego: Academic,
2001. [Имеется перевод: Агравал Г. Нелинейная волоконная оптика. —
М.: Мир, 1996.]
71. Mitschke F.M., Mollenauer L.F. // Opt. Lett. 1986. V. 11. P. 659.
72. Gordon J. P. II Opt. Lett. 1986. V. 11. P. 662.
73. Hasegawa A., Kodama Y. Solitons in Optical Communications. — Oxford:
Oxford University Press, 1995.
74. WeinerM.J., Thurston R.N., Tomlinson W.J. etal. //Opt. Lett. 1989. V. 14.
P. 868.

180
Гл. 4. Тёмные солитоны
75. Kivshar Yu.S. // Phys. Rev. A. 1990. V.42. P. 1757.
76. Kivshar Yu.S., Afanasjev V. V. // Opt. Lett. 1991. V. 16. P. 285.
77. Uzunov I.M., Gerdjikov V.S. // Phys. Rev. A. 1993. V. 47. P. 1582.
78. Stolen R.H., Gordon J.P., Tomlinson W.J., Haus HA. // J. Opt. Soc. Am.
B. 1989. V.63. P. 1159.
79. Zhao W., Bourkoff E. // J. Opt. Soc. Am. B. 1992. V. 9. P. 1134.
80. Kivshar Yu.S., Turitsyn S.K. // Phys. Rev. A. 1993. V.47. R3502.
81. Gordon LP., Haus HA. // Opt. Lett. 1986. V. 11. P. 665.
82. Mollenauer L.F., Gordon J.P., Mamychev P. V. // Optical Fiber
Telecommunications IIIA / Ed. by I. P. Kaminow and T. L. Koch. — San Diego:
Academic Press, 1997. Chap. 12.
83. Agrawal G.P. Fiber-Optic Communication Systems, 3rd ed. — N. Y.: Wiley,
2002. Chap. 9.
84. Kivshar Yu.S., Haelterman M., Emplit Ph., Hamaide J.P. // Opt. Lett. 1994.
V. 19. P. 19.
85. Hamaide LP, Emplit Ph., Haelterman M. // Opt. Lett. 1991. V. 16. P. 1578.
86. Panoiu N.-C, Mihalache D., Baboiu D.-M. // Phys. Rev. A. 1995. V. 52.
P. 4182.
87. Nakazawa M., Suzuki K. // Electron. Lett. 1995. V. 31. P. 1076; Electron.
Lett. 1995. V.31. P. 1084.
88. Wai P.K.A., Menyuk C.R., Lee Y.C., Chen H.H. // Opt. Lett. 1986. V. 11.
P. 464.
89. Wai P.K.A., Chen H.H, Lee Y.C. // Phys. Rev. A. 1990. V.41. P.426.
90. Menyuk C.R., Wai P.K.A. // Optical Solitons - Theory and Experiment /
Ed. by J.R. Taylor. — Cambridge: Cambridge University Press, 1992.
P. 332-346, 359-369.
91. Menyuk C.R. // J. Opt. Soc. Am. B. 1993. V. 10. P. 1585.
92. Kivshar Yu.S. // Phys. Rev. A. 1991. V. 43. P. 1677.
93. Karpman V.I. // Phys. Lett. A. 1993. V. 181. P. 211.
94. Afanasjev V.V., Kivshar Yu.S., Menyuk C.R. // Opt. Lett. 1996. V.21.
P. 1975.
95. Kivshar Yu.S., Malomed B.A. // Phys. Rev. Lett. 1991. V. 60. P. 129.
96. Potasek M.J., Tabor M. // Phys. Lett. A. 1991. V. 154. P. 449.
97. Palacios S.L., Guinea A., Ferndndez-Di'az J.M., Crespo R.D. // Phys. Rev.
E. 1999. V. 60. R45.
98. Palacios S.L., Ferndndez-Diaz J.M. // Opt. Commun. 2000. V. 178. P. 457.
99. Hasegawa A., Tappert F // Appl. Phys. Lett. 1973. V. 23. P. 171.
100. Mollenauer L.F, Stolen R.H., Gordon J. P. // Phys. Rev. Lett. 1980. V.45.
P. 1095.
101. Emplit Ph., Hamaide J.P., Reynaud F. et al. // Opt. Commun. 1987. V. 62.
P. 374.
102. Weiner A.M., Heritage J.P., Hawkins R.J. et al. // Phys. Rev. Lett. 1988.
V.61. P. 2445.
103. Krokel D., Halas N.J., Giuliani G., Grischkowsky D. // Phys. Rev. Lett.
1988. V.60. P. 29.
104. RothenbergJ.E. // Opt. Commun. 1991. V. 82. P. 107.
105. RothenbergJ.E., Heinrich H.K. // Opt. Lett. 1992. V. 17. P. 261.

Список литературы
181
106. Williams J.A.R., Allen К.М., Doran N.J., Emplit Ph. // Opt. Commun.
1994. V. 112. P. 333.
107. Zhao W., Bourkoff E. // Opt. Lett. 1990. V. 15. P. 405.
108. Haelterman AT, Emplit Ph. // Electron. Lett. 1993. V. 29. P. 356.
109. Richardson D.J., Chamberlin R.P., Dong L., Payne D.N. // Electron. Lett.
1994. V.30. P. 1326.
110. Emplit Ph., Haelterman M., Hamaide J.P. // Opt. Lett. 1993. V. 18. P. 1047.
111. Foursa D., Emplit Ph. // Electron. Lett. 1996. V. 32. P. 919.
112. Dianov E.M., Mamyshev P. V., Prokhorov A.M., Chernikov S. V. // Opt.
Lett. 1989. V. 14. P. 1008.
113. Chernikov S. V., Mamyshev P. V., Dianov E.M. et al. // Sov. Lightwave
Commun. 1992. V. 2. P. 161.
114. Foursa £>., Emplit Ph. // Phys. Rev. Lett. 1996. V. 77. P. 4011.
115. Diankov G.L., Uzunov I.M. // Opt. Commun. 1995. V. 117. P. 424.
116. Aitchinson J.S., Weiner A.M., Silberberg Y. et al. // Opt. Lett. 1990. V. 15.
P. 471.
117. Reynaud F, Barthelemy A. // Europhys. Lett. 1990. V. 12. P. 401.
118. Andersen D.R., Hooton D.E., Swartzlander G.A. Jr., Kaplan A.E. // Opt.
Lett. 1990. V. 15. P. 783.
119. Swartzlander G.A. Jr., Andersen D.R., Regan J.J. et al. // Phys. Rev. Lett.
1991. V.66. P. 1583.
120. Allan G.R., Skinner S.R., Andersen D.R., Smirl A.L. // Opt. Lett. 1991.
V. 16. P. 156.
121. Skinner S.R., Allan G.R., Andersen D.R., Smirl A.L. // IEEE J. Quantum
Electron. 1991. V. 27. P. 2211.
122. Турицын С. К. И ТМФ. 1985. Т. 64. С. 226.
123. Suter D., Blasberg Т. // Phys. Rev. A. 1993. V. 48. P. 4583.
124. Mamaev A. V., Saffman M.f Zozulya A.A. // Phys. Rev. Lett. 1996. V. 76.
P. 2262.
125. Tikhonenko V., Christou J., Luther-Davies В., Kivshar Yu.S. // Opt. Lett.
1996. V.21. P. 1129.
126. Bosshard C, Mamyshev P. V., Stegeman G.J. // Opt. Lett. 1994. V. 19.
P. 90.
127. Mamyshev P. V.y Bosshard Ch., Stegeman G.J. // J. Opt. Soc. Am. B. 1994.
V. 11. P. 1254.
128. Mamyshev P. V., Wigley P.G., Wilson J. et al. // Appl. Phys. Lett. 1994.
V. 64. P. 3374.
129. Duree G., Morin M., Salamo G. et al. // Phys. Rev. Lett. 1995. V. 74.
P. 1978.
130. Jturbe Castillo M.D., Sdnchez-Mondragdn J.J., Stepanov S.I. et al. // Opt.
Commun. 1995. V. 118. P. 515.
131. Chen Z., Mitchell M., Shih M. et al. // Opt. Lett. 1996. V. 21. P. 629.
132. Taya M., Bashaw M. C, Feier M.M. et al. // Opt. Lett. 1996. V. 21. P. 943.
133. Segev M., Shih M., Valley G.C. // J. Opt. Soc. Am. B. 1996. V. 13. P. 706.
134. Chen Z, Segev M., Singh S.R. et al. // J. Opt. Soc. Am. B. 1997. V. 14.
P. 1407.

182
Гл. 4. Тёмные солитоны
135. Mendez-Otero М.М., Iturbe-Castillo M.D., Rodriguez-Montero P.,
Marti'-Panameno E. // Opt. Commun. 2001. V. 193. P. 277.
136. Taya M., Bashaw M. С, Fejer M.M. et al. II Phys. Rev. A. 1995. V. 52.
P. 3095.
137. Chauvet M, Chauvin S., Mailotte H. // Opt. Lett. 2001. V. 26. P. 1344.
138. Chen Z, Mitchell M, Segev M. // Opt. Lett. 1996. V. 21. P. 716.
139. Chen Z., Segev M., Coskun Т.Н. et al. // Opt. Lett. 1996. V. 21. P. 1821.
140. Mamaev A. K, Saffman M., Anderson D.Z., Zozulya A. A. // Phys. Rev. A
1996. V.54. P. 870.
141. Mamaev A. K, Saffman M., Zozulya A. A. // Phys. Rev. Lett. 1996. V. 77.
P. 4544.
142. Snyder A. W., Mitchell D.J., Luther-Davies B. // J. Opt. Soc. Am. B. 1993.
V. 10. P. 2341.
143. Miller P.D. II Phys. Rev. E. 1996. V. 53. 4137.
144. Luther-Davies В., Yang X. // Opt. Lett. 1992. V. 17. P. 496.
145. Liu S.% Zhang ft, Tian G. et al. // Appl. Opt. 1997. V. 36. P. 8982.
146. Andrade-Lucio J.A., Mendez-Otero M.M., Gdmez-Sarabia CM. et al. //
Opt. Commun. 1999. V. 165. P. 77.

Глава 5
БРЭГГОВСКИЕ СОЛИТОНЫ
Новый тип солитонов, называемых брэгговскими, или щелевыми
солитонами, может формироваться в нелинейных средах, показатель
преломления которых слабо меняется периодическим образом в
зависимости от длины. Такая среда служит примером более общего класса
материалов, называемых фотонными кристаллами. В фотонном
кристалле линейный показатель преломления может быть периодической
функцией всех трёх пространственных координат; формирующиеся
в таких средах солитоны будут рассмотрены в гл. 12. Здесь мы
остановимся на одномерных периодических средах и предположим, что
показатель преломления периодичен по направлению, совпадающему
с направлением распространения света, а его модуляция слаба.
Примером такой среды служат волоконнооптические брэгговские решётки,
представляющие существенный элемент современной техники
оптической связи и широко используемые в оптических
телекоммуникационных системах. В разделе 5.1 мы обсудим историю волоконнооптических
решёток и введём понятие брэгговской дифракции, ответственной за
создание встречной волны. Теория связанных мод, применимая к
случаю неглубоких решёток и слабых нелинейностей, описана в разделе
5.2, где вводятся также представления о фотонной запрещённой зоне
и вызванных ей дисперсионных эффектах. Раздел 5.3 посвящен
нелинейным эффектам, таким как модуляционная неустойчивость, которая
преобразует непрерывное излучение в последовательность импульсов.
Затем в разделе 5.4 мы останавливаемся на свойствах брэгговских
солитонов и сравниваем их со стандартными временными солитонами
в волоконнооптических световодах, обсуждая также их новые свойства.
Как пример потенциальных приложений брэгговских солитонов в
разделе 5.5 обсуждается явление нелинейного оптического переключения.
5.1. Основные понятия
Кварцевые световоды могут надолго изменять свои оптические
свойства под действием интенсивного лазерного излучения в
ультрафиолетовой области спектра. Этот эффект светочувствительности
можно использовать для наведения периодических изменений показателя
преломления вдоль длины световода, что приводит к формированию
брэгговской решётки внутри сердцевины. Могут быть разработаны

184 Гл. 5. Брэгговские солитоны
решётки для работы в широком диапазоне длин волн, простирающемся
от ультрафиолетовой до инфракрасной области спектра. Область длин
волн около 1,5 мкм представляет особый интерес из-за её значимости
для волоконнооптических систем связи.
Брэгговские решётки внутри волоконных световодов впервые были
получены в 1978 г. облучением кварцевого световода, допированно-
го германием, в течение нескольких минут интенсивным излучением
аргонового ионного лазера [1]. Период решётки определялся длиной
волны аргонового ионного лазера, и решётка отражала свет только
в узком интервале около этой длины волны. Было найдено, что 4%-ное
отражение на границах раздела световода и воздуха создаёт структуру
стоячей волны и что лазерное излучение поглощается только в светлых
областях. В результате структура стекла менялась так, что в светлых
областях показатель преломления постоянно возрастал. Хотя это
явление привлекло некоторое внимание в следующем десятилетии, только
после 1989 г. световодные дифракционные решётки стали областью
интенсивных исследований, что отчасти инициировалось
наблюдением генерации второй гармоники в светочувствительных световодах.
Причиной такого возобновления интереса послужила статья 1989 г.,
в которой для изготовления световодных решёток с контролируемым
периодом использовался голографический метод с боковой экспозици-
ей [2].
Голографический метод, ввиду его значимости для
волоконнооптических систем связи, был быстро принят для изготовления световодных
решёток для длин волн вблизи 1,55 мкм [3]. В начале 1990-х
годов была выполнена значительная работа по выяснению физического
механизма светочувствительности световодов и разработке методов
достижения больших изменений показателя преломления. К 1995 г.
световодные решётки стали коммерчески доступными, а с 1999 г. они
служат стандартным элементом техники оптической связи [4-7].
Рис. 5.1. Схема световодной брэгговской решётки. Тёмные и светлые области
внутри сердцевины световода показывают периодические изменения
показателя преломления
На рис. 5.1 схематически показано, как меняется показатель
преломления внутри световодной решётки. Строго говоря, дополнительно
к периодической зависимости показателя преломления вдоль оси
световода z необходимо включать его частотную зависимость и зависимость
11111111111

5.2. Фотонная запрещённая зона
185
от интенсивности:
71(0;, z, /) = п(ш) + n2I + 6ng(z), (5.1.1)
где П2 — керровский коэффициент и Sng(z) учитывает периодическое
изменение показателя преломления внутри решётки. До рассмотрения
нелинейных эффектов, определяемых пг, мы положим ri2 = 0 и
зададимся вопросом, что случится со светом, когда непрерывное излучение
вводится в такую одномерную слабо промодулированную
периодическую среду, как световодная решётка.
Теория дифракционных решёток показывает, что когда свет падает
под углом 6i к плоскости постоянного показателя преломления, свет
дифрагирует на угол 0Г, такой что [8]
sin в{ - sin вг = гаАДтгЛ), (5.1.2)
где Л — период решётки, А/тГ — длина волны света в среде со средним
показателем преломления пит — порядок брэгговской дифракции.
Это условие можно рассматривать как условие фазового синхронизма,
аналогичное возникающему при четырёхволновом смешении, и его
можно записать в виде
ki - kd = mkg, (5.1.3)
где к» и к^ — волновые вектора, связанные с падающим и
дифрагированным светом, соответственно. Волновой вектор решётки к^ имеет
величину 27г/Л и направлен вдоль направления, в котором
периодически меняется показатель преломления.
В случае одномодовых световодов все три вектора направлены по
оси световода. В результате к^ = — кг и дифрагированный свет
распространяется назад. Поэтому, как это изображено на рис. 5.1,
световодная решётка действует как зеркало для определённой длины волны
света, для которой выполняется условие фазового синхронизма. Для
фигурирующих в (5.1.2) углов в{ = 7г/2 и 0Г = -7г/2. Если т = 1,
период решётки связан с длиной волны в вакууме так: А = 2тгЛ. Это
соотношение известно как условие Брэгга, а удовлетворяющие ему
решётки называют брэгговскими. По физическому смыслу, условие
Брэгга обеспечивает сложение в фазе слабых отражённых волн по
всей длине решётки, что и приводит к сильному отражению. Для
световодных решёток, отражающих свет для длин волн около 1,5 мкм,
период решётки Л w 0,5 мкм.
5.2. Фотонная запрещённая зона
Для изучения влияния брэгговской решётки на распространение
света используются два различных подхода. В одном из них к брэггов-
ским решёткам применяют метод волновых функций Блоха, который
обычно используется для описания движения электронов в
полупроводниках [9]. В другом подходе волны, распространяющиеся в прямом

186
Гл. 5. Брэгговские солитоны
и встречном направлениях, рассматриваются независимо, а брэгговская
решётка обеспечивает их связь. Этот метод известен как теория
связанных мод, и он успешно применялся в различных областях [10-12].
В этом разделе мы выведем уравнения связанных мод и рассмотрим
с их помощью распространение слабого непрерывного излучения через
брэгговскую решётку. Мы введём также понятие фотонной
запрещённой зоны и используем его, чтобы показать, что брэгговская решётка
вносит значительную хроматическую дисперсию.
5.2.1. Уравнения связанных мод. Теория связанных мод
интенсивно использовалась для изучения распространения волн в линейных
периодических средах [10-12]. Среди иных приложений эта теория
применялась к полупроводниковым лазерам с распределённой обратной
связью (РОС) [13]. Для диспергирующей нелинейной среды
показатель преломления даётся (5.1.1). Теория связанных мод может быть
обобщена для учёта нелинейных явлений, если нелинейное изменение
показателя преломления щ! в (5.1.1) столь мало, что может
рассматриваться как возмущение [14].
Исходным служит решение уравнений Максвелла с показателем
преломления, представленным (5.1.1). Если нелинейные эффекты
сравнительно слабы, можно перейти к частотному представлению и решать
уравнение Гельмгольца
V2E + n2(u;, z)lj2/c2E = 0, (5.2.1)
где Е означает временное фурье-преобразование электрической
напряжённости.
Учитывая, что п — периодическая функция z, удобно разложить
Sng(z) в ряд Фурье:
оо
6ng(z) = ^2 6птехр[2тт(г/А)]. (5.2.2)
т=—оо
Так как нужно учесть волны, распространяющиеся и вперёд, и назад,
Е в (5.2.1) запишем в виде
Ё(г,и>) = F(x,y)[Af(ztuj)exp{i0Bz) + Ab{z,v)exp(-ipBz)], (5.2.3)
где Рв = тг/Л — брэгговское волновое число для решётки первого
порядка. Оно связано с брэгговской длиной волны условием
Брэгга Хв = 2пЛ и может использоваться для определения брэгговской
частоты ив = 7гс/(пЛ). Поперечные изменения для двух встречных
волн определяются тем же самым модовым распределением F(x,y)
одномодового световода (см. 1.3.1). _ _
Из (5.1.1)—(5.2.3), предполагая, что А/ и Аь медленно меняются
в зависимости от г и сохраняя только резонансные члены, получим

5.2. Фотонная запрещённая зона
187
уравнения связанных мод в частотном представлении [10-12]
Ц^ = i[6(u) + AflAf + гхЛь, (5.2.4)
-Ц± = Щи) + ЩАЬ + txA/, (5.2.5)
где S — мера отстройки от брэгговской частоты, определяемая
соотношением -
6(ш) = 5 (о; - шв) = /?(ы) - /?Б. (5.2.6)
Нелинейные эффекты учитываются посредством Д/3. Коэффициент
связи х определяет вызванное решёткой взаимодействие прямой и
встречной волн. Для решёток первого порядка х даётся выражением
оо
fco J | 8n\\F(x,y)\2dxdy
х = -^ . (5.2.7)
\\\F{xyy)\*dxdy
—оо
В этой общей форме х может учитывать поперечные изменения 5пд,
возникающие при неоднородных по сечению сердцевины светоинду-
цированных изменениях показателя преломления. Для поперечно
однородной решётки х = 2тг6п\/\, как это следует из (5.2.7), если
положить 8п\ постоянной величиной и подставить ко = 27г/А. Для
синусоидальной решётки вида 6пд = па cos (2nz/A) будет 6п\ = па/2
и коэффициент связи х = 7гпа/А.
Уравнения (5.2.4) и (5.2.5) нужно преобразовать к временному
представлению. Предположим, что полную напряжённость
электрического поля можно записать в виде
Д(г,t) = \ F{xy y)[Af(z,t)eV** + Ab(z, г)е'^вХ]е'^ + к.с, (5.2.8)
где и>о — центральная частота спектра импульса. Разложим (3(ш) в
(5.2.6) в ряд Тейлора в виде [15]
/?М = А) + (" - "o)/?i + \ (" - "о)2/?2 + | (" - и>о)3/?з + . •. (5.2.9)
и сохраним члены до второго порядка по (о; — ио). Получившиеся
уравнения можно преобразовать к временному представлению заменой
(о; -о>о) на дифференциальный оператор i(d/dt). В результате
уравнения связанных мод принимают вид [6]
т£+а^ + т^=iSAf+ЫАь+i7(|j4/|2+2|^|2)Л/•
(5.2.10)

188
Гл. 5. Брэгговские солитоны
~i£+л ж + тif = iMb+ixA/+i7(|Ab|2+2|Л/|2)Ль'
(5.2.11)
где S вычисляется по (5.2.6) при ш = о;о, так что 6 = (щ — шв)/у9.
В действительности член с 5 можно исключить из уравнений
связанных мод, если заменить в (5.2.8) шо на ив- Здесь /3\ = l/vg обратно
пропорциональна групповой скорости, (32 определяет дисперсию
групповой скорости (ДГС) и нелинейный параметр 7 связан с п2
соотношением 7 = Щ^о/icAeff), где Ajff — эффективная площадь сердцевины.
Нелинейные члены во временных уравнениях связанных мод
включают вклад фазовой самомодуляции (ФСМ) и кросс-модуляции
(ФКМ). Уравнения связанных мод аналогичны системе двух
связанных НУШ, описывающих распространение двух попутных волн
в волоконных световодах [15]. Двумя главными отличиями служат,
во-первых, отрицательный знак перед членом дАь/dz в (5.2.11),
вызванный встречным направлением распространения Аъ и, во-вторых,
наличие линейной связи между встречными волнами, определяемой
параметром х. Эти два отличия радикально меняют характер
распространения волн. Перед обсуждением общего случая полезно
рассмотреть вариант, когда нелинейные эффекты столь слабы, что
световод представляет линейную среду.
5.2.2. Стационарное решение в линейном случае. Сначала мы
остановимся на линейном случае и предположим, что интенсивность
на входе столь мала, что можно пренебречь нелинейными эффектами.
После пренебрежения в (5.2.10) и (5.2.11) членами, представляющими
ФСМ и ФКМ, получающиеся линейные уравнения легко решить для
фурье-преобразования. В действительности можно использовать (5.2.4)
и (5.2.5). Эти уравнения связанных мод в частотном представлении
включают ДГС во всех порядках. Положив нелинейный вклад А(3
равным нулю, получим
^=i6Af+ixAb, (5.2.12)
-^=i6Ab + ixAf, (5.2.13)
где 6(и) определяется соотношением (5.2.6).
Общее решение этих линейных уравнений принимает вид
Aj(z) = А\ exp (iqz) + A<i exp (-iqz), (5.2.14)
Ab(z) = B\ exp (iqz) + B2exp(-iqz), (5.2.15)
где q подлежит определению. Постоянные А\, A<i, B\ и B<i
взаимосвязаны и удовлетворяют следующим четырём соотношениям:
(q - S)Ai = xB{, (q + S)B{ = -хАх, (5.2.16)
(q - 6)В2 = хАъ (q + 6)A2 = -хВ2. (5.2.17)

5.2. Фотонная запрещённая зона
189
Эти соотношения удовлетворяются для ненулевых значений А\, A<i, В\
и В2, если возможные значения q подчиняются дисперсионному
соотношению .
q = ±s/62-*2. (5.2.18)
Это уравнение чрезвычайно важно для решёток. Его смысл будет
вскоре пояснён.
Из (5.2.14)—(5.2.17) можно исключить Лг и Вь записав общее
решение с помощью эффективного коэффициента отражения r(q)
Af(z) = А\ exp (iqz) + r(q)B2 exp (-iqz),
Ab(z) = B2 exp (-iqz) + r(q)A\ exp (iqz),
где
r(q) =
q-6
x
q + 6'
(5.2.19)
(5.2.20)
(5.2.21)
Зависимость г от q и дисперсионное соотношение (5.2.18) показывают,
что модуль и фаза отражения зависят от частоты и. Знак в (5.2.18), то
есть знак q, нужно выбирать так,
чтобы выполнялось |г(<7)| < 1.
Дисперсионное соотношение
для брэгговских решёток
обладает важным свойством,
видным из рис. 5.2, построенного
по (5.2.18). Если частотная
отстройка 5 падающего излучения
попадает в диапазон -х < 6 < х,
то q становится чисто мнимым.
В этом случае большая часть
падающего излучения отражается,
так как решётка не
поддерживает распространение волн.
Диапазон \6\ ^ х называют фотонной
запрещённой зоной, по аналогии
с зонами энергии электронов в кристаллах. Его также называют зоной
остановки (stop band), так как пропускание света через решётку
останавливается, когда его частота попадает в фотонную запрещённую
зону.
5.2.3. Дисперсия, вызванная решёткой. Что произойдёт, когда
оптический импульс распространяется в световоде с несущей
частотой о>о вне запрещённой зоны, но близко к её краям? Чтобы понять
это, отметим, что эффективная постоянная распространения волн,
распространяющихся вперёд и назад, как это следует из (5.2.3) и (5.2.14),
равна /?е = Рв± <7, гДе Q определяется (5.2.18) и зависит от оптической
частоты посредством 6. Такая частотная зависимость (Зе указывает,
что решётка обладает дисперсией, даже если она изготовлена из
Рис. 5.2. Кривые дисперсии,
показывающие зависимость S от q и
существование фотонной запрещённой зоны для
световодной решётки

190
Гл. 5. Брэгговские солитоны
недиспергирующего материала. В волоконных световодах дисперсия,
вызванная решёткой, добавляется к дисперсии среды и волновода.
В действительности вклад решётки доминирует среди всех факторов,
ответственных за дисперсию. Чтобы продемонстрировать это,
разложим /Зе в ряд Тейлора, аналогично (5.2.9), около несущей частоты
импульса ш$. Результат таков:
/J.M = $ + (w - а*)# + 5 (« - "o)2/?f + g (« - wo)*% + ...,
(5.2.22)
где /?g, при m = 1,2,... определяются так:
\vg) d6m'
& = £*«( г") ^ (5-223)
а производные вычисляются при а; = а^. Верхний индекс д означает,
что причиной дисперсии служит решётка. В (5.2.23) vg — групповая
скорость излучения в отсутствие решётки (х = 0). Она возникает
естественным образом при учёте в (5.2.6) частотной зависимости п.
В (5.2.23) пренебрегается дисперсией vg, но её легко учесть.
Рассмотрим сначала групповую скорость импульса внутри решётки.
Полагая Vg = l//3f, с учётом (5.2.23) получим
VG = ±vg у/1 - х2/62, (5.2.24)
где выбор знака ± зависит от направления движения импульса
вперёд или назад. Вдали от краёв зоны (\6\ » х) решётка не влияет
на оптический импульс, и он распространяется с той же групповой
скоростью, что и в отсутствие решётки. Однако, когда \8\ приближается
к х, групповая скорость убывает и обращается в нуль на двух краях
запрещённой зоны, где Щ = х. Поэтому вблизи запрещённой зоны
оптический импульс испытывает значительное замедление внутри
решётки. Например, его скорость уменьшается на 50% при |Д|/х« 1,18.
Дисперсионные свойства решётки второго и третьего порядков
определяются /?| и /?|, соответственно. С учётом (5.2.23) и
дисперсионного соотношения, эти параметры даются соотношениями
д _ siga(S)x2/v2g g_ 3\6\х2/угд (^оок\
Р2~ (62-х2)*'2' Р*~ (62-х2)*'2' [Ь Ь)
Вызванная решёткой ДГС, определяемая параметром /?|, зависит от
знака отстройки S. ДГС аномальна на верхней ветви дисперсионной
кривой на рис. 5.2, где S положительна и несущая частота
превышает брэгговскую. Напротив, ДГС становится нормальной (/?f > 0) на
нижней ветви дисперсионной кривой, где 6 отрицательна и несущая
частота меньше брэгговской частоты. Отметим, что дисперсия третьего
порядка положительна на обеих ветвях дисперсионной кривой. На двух
краях запрещённой зоны /?| и /?f обращаются в бесконечность.

5.2. Фотонная запрещённая зона
191
10 см"
бООг
400 t"
4> 200 Е-
*£•
-200 f-
-400 Р-
-600
>VL^L-J\
_i_L
-20 -10
10
20
(5, см"
Рис. 5.3. Вызванная решёткой
дисперсия групповой скорости в зависимости
от S для нескольких величин
коэффициента связи х
Дисперсионные свойства волоконных решёток совершенно отличны
от случая однородного световода. Во-первых, /3| меняет знак с двух
сторон от запрещённой
зоны с центром при брэгговской
длине волны, положением
которой можно легко управлять
и сдвигать в любую область
оптического спектра. Это резко
отличается от свойств
однородных световодов, в которых /?2
меняет знак на длине волны
нулевой дисперсии, которую
можно менять только в диапазоне
от 1,3 до 1,6 мкм. Во-вторых, /?|
аномальна в коротковолновой
области по сравнению с
запрещённой зоной, тогда как /% Для
световодов становится
аномальной для длин волн, больших
длины волны нулевой
дисперсии. В-третьих, величина /?|
многократно превышает величину /%. На рис. 5.3 показана
зависимость /3| от расстройки 6 для нескольких значений к. Видно, что для
световодной решётки |/3|| может превышать 100 пс2/см. Это свойство
можно использовать для компенсации дисперсии в линиях
передачи [16]. Обычно решётка длиной 10 см может компенсировать ДГС,
накопленную в световоде длиной 50 км или более. Чирпированные
решётки могут обеспечить ещё большую дисперсию, если падающее
излучение находится внутри запрещённой зоны, хотя они отражают
дисперсионно компенсированный сигнал [7].
5.2.4. Решётка как оптический фильтр. То, что произойдёт
с оптическими импульсами, падающими на световодную решётку,
сильно зависит от положения спектра импульса по отношению к
запрещённой зоне, введённой решёткой. Если спектр импульса целиком
попадает в запрещённую зону, весь импульс отразится решёткой. С
другой стороны, если часть спектра импульса находится вне запрещённой
зоны, эта часть будет распространяться через решётку. Поэтому форма
отражённого и прошедшего импульсов будет существенно отличаться
от формы падающего импульса из-за расщепления спектра и
дисперсионных свойств световодной решётки. Если пиковая мощность
импульсов столь мала, что можно пренебречь нелинейными эффектами,
можно сначала вычислить коэффициенты отражения и прохождения
для каждой спектральной составляющей по отдельности. Затем форма
прошедшего и отражённого импульсов получается интегрированием по
спектру падающего импульса. Значительные искажения могут возни-

192
Гл. 5. Брэгговские солитоны
кать, если спектр импульса либо шире запрещённой зоны, либо лежит
в окрестности края запрещённой зоны.
Коэффициенты отражения и пропускания можно вычислить,
привлекая (5.2.19) и (5.2.20) с соответствующими граничными условиями.
Рассмотрим решётку длиной L и предположим, что свет падает только
на её передний край, расположенный при z = 0. Тогда коэффициент
отражения
= Аь(0) =В2 + г{д)А{
Гд 1/(0) Al+r(q)B2'
(5.2.26)
Если подставить в (5.2.20) граничное условие Аь(Ь) = 0, то
В2 = -r(q)A{ exp (2iqL). (5.2.27)
Подставив в (5.2.26) это значение В2 и r(q) из (5.2.21), получим
ix sin (qL)
q cos (qL) — i5 sin (qL)'
(5.2.28)
Коэффициент пропускания tg находится аналогично. Частотная
зависимость гд и tg демонстрирует свойства фильтра, связанные со свето-
водной решёткой.
5 г
-10 -5
5 10
Отстройка
5 10
Отстройка
Рис. 5.4. Отражательная способность \гд\2 (а) и фаза коэффициента отражения
гд (б) в зависимости от отстройки S для двух значений xL
На рис. 5.4 показана отражательная способность \гд\2 и фаза
коэффициента отражения гд в зависимости от отстройки S для двух
значений нЬ. Отражательная способность решётки в запрещённой зоне
приближается к 100% при xL = 3 или более. Максимум
отражательной способности достигается в центре запрещённой зоны и, как это
следует из (5.2.28) при 6 = 0, даётся выражением
Rms* = \rg\2 = thz{xL).
(5.2.29)

5.3. Модуляционная неустойчивость
193
При xL = 2 получим Дтах = 0,93. Условие xL > 2 с х = 2тг6п\/Х
можно использовать для оценки длины решётки, необходимой для
высокой отражательной способности внутри запрещённой зоны. При
5п\ w 10~4 и А = 1,55 мкм длина L должна превышать 5 мм, чтобы
обеспечить xL > 2. Этим требованиям легко удовлетворить
практически. Действительно, отражательная способность свыше 99% была
получена для решётки длиной в несколько сантиметров.
Нежелательное с практической точки зрения свойство, видное из
рис. 5.4, состоит в наличии множественных боковых полос с каждой
стороны от запрещённой зоны. Эти боковые полосы вызваны слабым
отражением от двух краёв решётки, где показатель преломления
меняется резко по сравнению с его значением в области вне решётки. Хотя
изменение показателя преломления обычно меньше 1 %, отражения на
двух краях решётки формируют резонатор Фабри-Перо со своей
собственной зависимостью пропускания от длины волны. Для устранения
боковых полос, видных на рис. 5.4, обычно используется метод апо-
дизации [4]. В этом методе интенсивность ультрафиолетового
лазерного излучения, применяемого для формирования решётки, делается
неоднородной таким образом, что интенсивность плавно приближается
к нулю вблизи двух краёв решётки.
5.3. Модуляционная неустойчивость
Распространение волн в нелинейной одномерной периодической
среде изучалось применительно к ряду задач [17-37]. В случае свето-
водной решётки наличие зависящего от интенсивности члена в (5.1.1)
приводит к ФСМ и ФКМ встречных волн. Эти нелинейные
эффекты могут быть изучены решением нелинейных уравнений связанных
мод (5.2.10) и (5.2.11). В данном разделе эти уравнения используются
для анализа стационарного решения и его дестабилизации посредством
модуляционной неустойчивости.
5.3.1. Нелинейные дисперсионные соотношения. Почти во
всех практически интересных случаях членом /?2 в (5.2.10) и (5.2.11)
можно пренебречь. Для типичных длин решёток (<1 м) членом с
потерями тоже можно пренебречь, полагая а = 0. Тогда нелинейные
уравнения связанных мод примут вид:
{4t+ v Чг+5Л'+нАь+7(|Л/|2+2^A»^Af=°- (5-зл>
_ilr + v ж+5Аь+хА{+7(|Аь|2+2\А№Аь=0> (5-3-2)
где vg — групповая скорость вдали от запрещённой зоны, связанной
с решёткой. Эти уравнения описывают многие нелинейные эффекты.
Мы начнём с рассмотрения стационарных решений (5.3.1) и (5.3.2) без
наложения каких-либо граничных условий. Хотя с практической точки

194
Гл. 5. Брэгговские солитоны
uf
зрения это нереалистично, получающиеся дисперсионные соотношения
значительно проясняют физический смысл. Отметим, что все
вызванные решёткой дисперсионные эффекты включены в эти уравнения
через член х.
Для решения (5.3.1) и (5.3.2) в стационарном пределе пренебрежём
членами с временной производной и предположим следующий вид
решения:
Af = Uf exp (iqz), Аь = щ ехр (iqz)> (5.3.3)
где и/ и щ не меняются по длине решётки. После введения параметра
/ = щ/uf, показывающего, как полная мощность Р$ = и* + и\ делится
между прямой и встречной волнами, it/ и щ можно записать так:
'Ш" Щ = 1Ш'- (5'34)
Параметр / может быть и положительным, и отрицательным. При
значениях |/| > 1 доминирует встречная волна. Как следует из (5.3.1)-
(5.3.4), q и 5 зависят от / и даются соотношениями
*(1-/2) 7Ро/1-/2\ с *(!+/') 37Р0 (535)
q~ 2/ 2-\Т^7)' 6~ 2? 2— (535)
Для выявления физического смысла (5.3.5) рассмотрим сначала
случай малых мощностей, так что нелинейные эффекты пренебрежимо
слабы. Если в (5.3.5) положить 7 = 0» нетрудно найти, что q2 = 62 — к1.
Это как раз дисперсионное соотношение (5.2.18), полученное ранее.
Когда / меняется, q и 6 прочерчивают дисперсионные кривые,
показанные на рис. 5.2. Точнее, / < 0 на верхней ветви, а положительные
значения / отвечают нижней ветви. Два края запрещённой полосы
соответствуют / = ±1. Практически отстройка S стационарного
излучения от брэгговской частоты определяет значение /, по которому
в свою очередь находятся значения q из (5.3.5). Групповая скорость
внутри решётки также зависит от / и равна
*-*а|-Ч7Т#- (5'36)
Как и следовало ожидать, Vq обращается в нуль на краях запрещённой
зоны, отвечающих / = ±1. Отметим, что Vq становится отрицательной
при |/| > 1. Это не удивительно, если учесть, что в этом случае более
интенсивна встречная волна. Групповая скорость значительно
уменьшается, когда частота излучения приближается к краю запрещённой
зоны. Например, она уменьшается на 50%, когда /2 = 1/3 или 3.
Можно использовать (5.3.5), чтобы найти, как нелинейность
световода влияет на дисперсионные соотношения. На рис. 5.5 показаны
соответствующие дисперсионные кривые при двух уровнях
мощности. Нелинейность качественно меняет верхнюю ветвь дисперсионной
кривой, приводя к формированию петли при превышении мощностью

5.3. Модуляционная неустойчивость
195
Рис. 5.5. Кривые нелинейной дисперсии, показывающие зависимость отстройки
6 от q при *уРо/х = 2 (а) и 5 (б); х = 5 см"1. Штриховые кривые показывают
линейный случай (7 = 0)
критического уровня. Это критическое значение Ро можно найти,
определив значение /, при котором q обращается в нуль при |/| ф 1.
Из (5.3.5) находим, что это происходит, когда
Поэтому петля образуется только на верхней ветви, где / < 0. Более
того, она формируется, только если полная мощность Ро > Рс* где
Рс = 2х/7- По физическому смыслу, рост показателя преломления
моды из-за нелинейного члена в (5.1.1) увеличивает брэгговскую длину
волны и сдвигает запрещённую зону в сторону низких частот. Так
как величина сдвига зависит от полной мощности Ро» свет на частоте,
близкой к краю верхней ветви, может сдвинуться от резонанса при
изменении мощности. Если бы нелинейный параметр 7 был
отрицательным (среда с самодефокусировкой, п^ < 0), петля формировалась
бы на нижней ветви рис. 5.5, как это следует также из (5.3.7).
5.3.2. Линейный анализ устойчивости. Вопрос устойчивости
чрезвычайно важен и должен быть изучен для стационарных решений,
полученных выше. Аналогично анализу 1.4.1, модуляционная
неустойчивость может дестабилизировать стационарное решение и приводить
к периодическому выходному сигналу, даже если на вход световод-
ной решётки падает непрерывное излучение [38-43]. Кроме того,
существование модуляционной неустойчивости служит важным этапом
в формировании локализованных структур, связанных с брэгговскими
солитонами.
Обсудим для простоты модуляционную неустойчивость, используя
уравнения (5.3.3) и (5.3.4), полученные без наложения граничных

196
Гл. 5. Брэгговские солитоны
условий на краях решётки. Согласно стандартной процедуре, к
стационарному решению добавляется слабое возмущение
Aj = (uj + aj) exp (iqz), (j = /, 6), (5.3.8)
и (5.3.1) и (5.3.2) линеаризируются в предположении малости
возмущений aj. Получаем уравнения [43]
{4t+ vlit+хаъ"х/а/+г[(а/+а^+2/(аь+а*ь)]=°* (5-39)
~1ж + ^i£+xaf-jab+г[2/(а/+a*f]+/2(аб+а*ь)] = а
9 (5.3.10)
где Г = 7Д)/(1 + /2) ~~ эффективный параметр нелинейности.
Эту систему двух линейных уравнений можно решить, приняв
решения в виде плоских волн
aj = Cj exp [i(Kz - Ш)] + dj exp [-i(Kz + Sit)], (5.3.11)
где индекс j = f или b. В результате получим систему четырёх
однородных уравнений для Cj и dj. Эта система имеет нетривиальное
решение, только если обращается в нуль определитель, образованный
коэффициентами матрицы (4x4). Такое условие приводит к
следующему алгебраическому уравнению четвёртой степени:
(52 _ #2)2 _ 2„2(52 _ #2) _ ^f2{s + R)2 _
- х2/"2^ - ЛГ)2 - 4хГ f(s2 - ЗАГ2) = 0, (5.3.12)
где введена нормированная пространственная частота s = £l/vg.
Устойчивость стационарного решения определяется четырьмя
корнями (5.3.12). Однако сначала следует решить тонкий вопрос.
Уравнение (5.3.12) четвёртого порядка и по 5, и по К. Спрашивается,
какая из этих двух величин определяет усиление, связанное с
модуляционной неустойчивостью? В световодах с однородным показателем
преломления усиление д можно связать с мнимой частью К, когда свет
распространяется только вперёд. В световодной решётке свет
распространяется одновременно и вперёд, и назад, и только время движется
вперёд для обеих волн. В результате (5.3.12) следует рассматривать
как уравнение для s, корни которого зависят от К. Коэффициент
усиления модуляционной неустойчивости получается как p = 2Im(sm),
где sm — корень с наибольшей мнимой частью.
Анализ корней (5.3.12) приводит к нескольким интересным
выводам [43]. На рис. 5.6 показан спектр коэффициента усиления
модуляционной неустойчивости в областях аномальной и нормальной ДГС,
отвечающих верхней и нижней ветвям дисперсионной кривой, при двух
значениях Г/х. В случае аномальной ДГС и сравнительно малых
мощностей (Г < х) спектр усиления аналогичен найденному для световодов

5.3. Модуляционная неустойчивость
197
40
30
20
10
-
\
\
\
1
1 1 1 1 1 I I 1
б
/
1
1
1 М 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0 25 50
Отстройка, см"1
-100 -50
0 50 100
Отстройка, см"1
Рис. 5.6. Спектр усиления модуляционной неустойчивости в областях
аномальной (а) и нормальной (б) ДГС световодной решётки (/ = ±0,5) при двух
уровнях мощности, отвечающих Г/х = 0,5 (сплошные кривые) и 2 (штриховые
кривые)
с однородным показателем преломления. Как показано ниже в этом
разделе, нелинейные уравнения связанных мод сводятся к нелинейному
уравнению Шрёдингера (НУШ) при Г < х. При больших Ро» таких,
что Г > х, усиление существует даже при s = 0, как это видно из
рис. 5.6, а при Г/х = 2. Поэтому стационарное решение становится
неустойчивым даже относительно флуктуации с нулевой частотой при
высоких уровнях мощности.
Модуляционная неустойчивость может возникать и на нижней
ветви дисперсионной кривой (/ > 0), где вызванная решёткой ДГС
нормальна. Неустойчивость возникает, только если Р$ превышает
некоторое значение, так что
Р0>±*(1+/2)2/р,
(5.3.13)
где р = 1, если / ^ 1, и р = -3, если / > 1. Наличие модуляционной
неустойчивости в области нормальной ДГС является свойством,
вызванным именно решёткой.
Проведённый анализ полностью игнорировал граничные условия.
Для решётки конечной длины нужно исследовать устойчивость
стационарных решений, выражаемых через эллиптические функции. Такой
анализ сложен и требует численного решения нелинейных уравнений
связанных мод [39]. Результаты показывают, что неустойчивость
стационарного решения сохраняется, приводя к формированию
последовательности импульсов посредством модуляционной неустойчивости.
Получающаяся последовательность импульсов не обязательно
периодична и, при некоторых условиях, наблюдается удвоение периода
и оптический хаос.

198
Гл. 5. Брэгговские солитоны
5.3.3. Эффективное НУШ. Сходство спектра усиления на
рис. 5.6 со случаем однородных световодов (см. 1.4.1) указывает,
что при не слишком больших мощностях нелинейные уравнения
связанных мод предсказывают свойства, совпадающие со свойствами
НУШ. Действительно, при некоторых условиях (5.3.3) и (5.3.4) можно
строго свести к эффективному НУШ [44-48]. Для доказательства
такой эквивалентности обычно используется метод многомасштабных
разложений; детали можно найти в [29].
Метод сведения нелинейных уравнений связанных мод к
эффективному НУШ использует формализм Блоха, хорошо известный в физике
твёрдого тела. Даже в отсутствие нелинейных эффектов собственными
функциями, связанными с фотонными зонами, отвечающими
дисперсионному соотношению q2 = б2 — х2, являются не Aj и Аь, а блоховские
волны, образованные линейной комбинацией Aj и Аь- Если принять
этот базис для нелинейной задачи, (5.3.3) и (5.3.4) сводятся к
эффективному НУШ при следующих двух условиях. Во-первых, пиковая
мощность импульса должна быть достаточно мала, так чтобы
нелинейное изменение показателя преломления пг/о в (5.1.1) было много
меньше максимального значения 6пд. Это условие эквивалентно
требованию 7fl) <£ Ху или xLnl > 1, где Lnl = (тД))"1 — нелинейная
длина. Практически этому условию легко удовлетворить даже для столь
высокого уровня интенсивности как 100 ГВт/см2. Во-вторых, вызванная
решёткой дисперсия третьего порядка /?| должна быть пренебрежимо
мала.
Когда два указанных условия удовлетворены, распространение
импульса в световодной решётке описывается следующим НУШ [43]:
vgat 2xsign(/) ас2 2{6 wWl</-o. v-6lv
где £ = z — Vet- Мы ввели фактор уменьшения скорости, связанный
с параметром / через (5.3.6)
Групповая скорость уменьшается, в силу множителя v, у края
запрещённой зоны и обращается в нуль на двух краях (г; = 0), отвечающих
/ = ±1. Причина, по которой первый член представляет временную
производную, обсуждалась ранее. Это можно также пояснить
физически, если отметить, что переменная U отвечает не амплитуде прямой
или встречной волны, а амплитуде огибающей, связанной с блоховской
волной, формируемой суперпозицией А/ и Аь.
Уравнение (5.3.14) записано для случая, когда доминирует вклад
Af (|/| < 1), так что огибающая всей блоховской волны
распространяется вперёд с уменьшенной групповой скоростью Vq- Имея это
ввиду, введём z = Vet как расстояние, пройденное огибающей, и учтём

5.4. Нелинейное распространение импульса
199
изменения её формы переменной локального времени, определяемой
как Т = t - z/Vg- Тогда (5.3.14) может быть записано в стандартной
форме НУШ:
*%-%%?+ъ1и?и-0' (5316)
где эффективный параметр ДГС /?| и параметр нелинейности jg
определяются как
Привлекая (5.3.15), можно показать, что параметр ДГС /?| тот же, что
в (5.2.25).
При сравнении со стандартным НУШ, полученным в гл. 1,
целесообразно отметить несколько свойств (5.3.16). Во-первых, переменная U
представляет амплитуду огибающей, связанной с блоховской волной,
формируемой суперпозицией Af и Аь- Во-вторых, параметры /3| и jg
не постоянны, а зависят от фактора уменьшения скорости v. Оба
они возрастают при убывании v и обращаются в бесконечность на
краях запрещённой зоны, где v = 0. Ясно, что в этой точке (5.3.16)
несправедливо. Однако, оно сохраняет справедливость вблизи, но вне
запрещённой зоны. Вдали от запрещённой зоны (v —► 1) параметр /?|
становится весьма малым (<1 пс2/км при типичных значениях х).
Тогда необходимо учесть ДГС световода и заменить /?| на /%. Так как
7$ = 7 ПРИ v = 1, (5.3.16) сводится к стандартному НУШ и U отвечает
амплитуде прямой волны, поскольку при этих условиях встречная
волна не возникает.
Прежде чем мы сможем использовать (5.3.16) для вычисления
усиления модуляционной неустойчивости и частоты, при которой усиление
максимально, нужно узнать полную мощность Pq внутри решётки при
падении на её край, расположенный при z = 0, непрерывного излучения
с мощностью Pin- Вопрос этот сложен для аподизированных световод-
ных решёток, так как в них х меняется в переходной области. Однако,
заметив, что из нелинейных уравнений связанных мод следует
постоянство |;4^| - |j4£| вдоль решётки, найдём, что полная мощность Ро
внутри решётки усиливается в l/v раз [49]. Следствия (5.3.16)
согласуются с анализом модуляционной неустойчивости, основанным на
нелинейных уравнениях связанных мод, если 7Р0 < х [43]. В пределах
своей применимости НУШ представляет упрощённый подход к
описанию временной динамики в решётках.
5.4. Нелинейное распространение импульса
Как указывалось выше, модуляционная неустойчивость часто
указывает на возможность формирования солитонов. В случае брэгговских
решёток она тесно связана с новым видом солитонов, называемых

200
Гл. 5. Брэгговские солитоны
брэгговскими, или щелевыми солитонами. Такие солитоны были
открыты ещё в 1981г. [50]. В 1987 г. они были названы щелевыми
солитонами применительно к периодическим структурам, известным
как сверхрешётки [20], так как они существуют только внутри
запрещённой зоны. С тех пор более широкий класс брэгговских солитонов
был выявлен аналитическим решением (5.3.1) и (5.3.2) [51-54] или их
обобщениями [55].
Появление световодных решёток послужило в 1990-х годах
стимулом к изучению распространения коротких оптических импульсов
в таких решётках [56, 57]. Для брэгговских решёток из кварцевых
световодов пиковые интенсивности, необходимые для наблюдения
нелинейных эффектов, довольно высоки (типично >10 ГВт/см2) вследствие
короткой длины взаимодействия (обычно <10см) и малого значения
нелинейного параметра пг- Использование световодов из халькогенид-
ного стекла для изготовления решёток позволило снизить пиковые
интенсивности в 100 и более раз из-за высоких значений n<i в таких
стёклах [68].
5.4.1. Брэгговские солитоны. В 1989 г. стало понято, что
уравнения связанных мод (5.3.1) и (5.3.2) совпадают с хорошо известной
моделью Тирринга [69], если обратить в нуль член ФСМ. Известно, что
модель Тирринга с ненулевой массой квантовой теории поля
интегрируется методом обратной задачи рассеяния [70-73]. После включения
члена ФСМ уравнения связанных мод становятся неинтегрируемыми
и солитоны в строгом математическом смысле не существуют. Однако
сохраняющие форму уединённые волны могут быть получены
соответствующим преобразованием солитонов, существующих в модели
Тирринга с ненулевой массой. Эти уединённые волны отвечают
следующему решению [52]:
Af(z,t) = a+sch(C - ty/2)e*f (5.4.1)
Аь(г, t) = a_ sch(C + #/2)e**, (5.4.2)
где
, fl±v\l/4 /x(l-tl) . , , z-VGt . , ,-A^
a± = 4l^J V^3^ c = 7n^xsinV;' (5A3)
в = V{*~^] xcosip- j^j axctg[|ctg(V/2)|cth(C)]. (5.4.4)
Это решение представляет двухпараметрическое семейство
брэгговских солитонов. Параметр v принадлежит диапазону —1 < v < 1,
а параметр гр можно выбрать в любой точке диапазона 0 < г/> < 7г.
Частный случай ф = 7г/2 отвечает центру запрещённой зоны [51]; со-
литонные решения такого типа впервые были получены аналитически
в 1981 г. [50]. Физически брэгговские солитоны представляют
определённые комбинации встречных волн, которые объединяются таким

5.4. Нелинейное распространение импульса
201
образом, что движутся вместе с уменьшенной скоростью Vq = vvg. Так
как v может быть отрицательным, солитон может двигаться вперёд или
назад. Длительность солитона Ts также связана с параметрами v и ф
и даётся выражением
Т, = Ш*. (5.4.5)
ус Vg smtf) ч '
Можно пояснить уменьшение скорости брэгговского солитона,
заметив, что встречные волны образуют единую структуру, которая
движется с общей скоростью. Относительные амплитуды двух волн,
участвующих в образовании солитона, определяют скорость солитона.
Если доминирует А/, солитон движется в прямом направлении, но
с уменьшенной скоростью. Противоположна ситуация, если больше Аъ-
В случае равных амплитуд солитон вообще не двигается, так как Vq
обращается в нуль. Этот случай отвечает стационарным щелевым
солитонам, предсказанным для сверхрешёток [20]. В
противоположном пределе, в котором \v\ -* 1, брэгговские солитоны прекращают
существование, так как решётка становится неэффективной.
Другое семейство уединённых волн получено нахождением
общего класса сохраняющих форму локализованных решений нелинейных
уравнений связанных мод [53, 54]. Такие уединённые волны
существуют и внутри, и вне запрещённой зоны для фокусирующей и дефоку-
сирующей нелинейностей. В некоторых частных случаях они сводятся
к брэгговским солитонам, описываемым (5.4.1)-(5.4.4). На нижней
ветви дисперсионной кривой, где ДГС нормальна, такие уединённые
волны представляют тёмные солитоны, аналогичные обсуждавшимся
в гл. 4.
На рис. 5.7 показаны несколько типов щелевых солитонов, которые
могут формироваться при различных значениях двух нормированных
параметров — S и v (\v\ < 1). При изменении этих двух параметров
профили интенсивности качественно меняются. Во-первых, отметим,
что две компоненты покоящегося щелевого солитона (v = 0) имеют
равные интенсивности для решений внутри (\8\ < 1) и вне (\6\ > 1)
запрещённой зоны вследствие того, что полный поток фотонов равен
нулю. Однако, не так обстоит дело с относительной фазой фТ двух
составляющих. В результате щелевой солитон светлый внутри
запрещённой зоны (фг = 0), но формирует пару тёмного и антитёмного
солитонов вне зоны (фг = 7г). Кроме того, амплитуда внутризонного
(светлого) солитона возрастает, а его длительность убывает при
изменении 5 в диапазоне от —1 до 1.
Как видно из рис. 5.7, симметрия между встречными волнами
нарушается для движущихся щелевых солитонов, обладающих более
сильной составляющей в направлении движения (вставка АС).
Более важно, что светлые щелевые солитоны с большими амплитудами
(вставка БА) вблизи верхнего края запрещённой зоны сначала приоб-

202
Гл. 5. Брэгговские солитоны
ретают лоренцевскую форму (вставка Л), а затем превращаются в пару
тёмного (Т) и антитёмного (AT) солитонов вне запрещённой зоны.
Отстройка
Рис. 5.7. Различные типы щелевых солитонов, формирующихся в самодефоку-
сировочном случае при изменении v и S. Вставки показывают амплитудные
профили \Af\ и \Аь\ в нескольких точках (чёрные кружки). Светлые щелевые
солитоны с малой амплитудой (МА), большой амплитудой (БА) и
асимметричным (АС) профилем существуют внутри запрещённой зоны. БА-солитоны
становятся лоренцевского (Л) типа вблизи правого полукруга, а затем
преобразуются в пары тёмного (Т) и антитёмного (AT) солитонов. В самофокусиро-
вочном случае справедлива та же картина с инвертированной симметрией [54]
Недавно была проанализирована устойчивость щелевых солитонов,
отвечающих нелинейным уравнениям связанных мод [74-79].
Применением сингулярной теории возмущений к обобщённой модели Тиррин-
га при малых значениях члена ФСМ было найдено, что
колебательная неустойчивость щелевых солитонов связана со столкновениями
внутренних мод солитонов [74]. Однако было показано, что в пределе
применимости НУШ все щелевые солитоны устойчивы. При изменении
соотношения коэффициентов ФСМ и ФКМ сценарий неустойчивости
многогорбых щелевых солитонов существенно изменяется [78]. В
случае доминирования члена ФКМ щелевой солитон крайне неустойчив
и часто распадается на два импульса. Когда же доминирует член
ФСМ, сохраняется только колебательная неустойчивость с малыми
инкрементами нарастания. В общем случае единственным средством
изучения такой колебательной неустойчивости служит численный
анализ устойчивости, но результаты сильно зависят от шага
дискретизации и могут быть искажены численными неустойчивостями [77, 79].
Резонансный механизм колебательной неустойчивости локализованных
структур в нелинейных периодических системах более детально
обсуждается в гл. 11.

5.4. Нелинейное распространение импульса
203
Следует отметить, что нелинейные уравнения связанных мод,
которые обладают точными аналитическими решениями в виде двух-
параметрического семейства щелевых солитонов, обсуждались также
применительно к другим областям. Примером служат нелинейные
решётки, состоящие из атомов двух сортов, с локальной нелинейностью;
было найдено, что такие решётки обладают щелевыми солитонами
[80-83]. Соотношение между этими и оптическими щелевыми
солитонами было выяснено в [84], где показано, что основные уравнения [80]
представляют обобщение уравнений связанных мод, которые
возникают и в оптике в случае так называемых глубоких решёток [55].
Как и пространственные и временные солитоны, обсуждавшиеся
в главах 2 и 3, щелевые солитоны в присутствии внешних
возмущений ведут себя подобно классическим частицам [84-86]. В частности,
взаимодействие щелевых солитонов с дефектами решётки проявляет
такие свойства как захват, отражение и прохождение щелевых
солитонов [86]. Например, при достаточно малых скоростях щелевой
солитон, падающий на дефект, может передавать энергию моде
нелинейного дефекта, локализованной у дефекта, при условии, что такая
мода обладает той же частотой (резонанс) и интенсивностью, меньшей
интенсивности щелевого солитона (энергетическая доступность).
5.4.2. Соотношение с солитонами НУШ. Как обсуждалось
выше, нелинейные уравнения связанных мод сводятся к НУШ при
jPq <С х, где Ро — пиковая мощность импульса, распространяющегося
в решётке. Так как НУШ интегрируется методом обратной задачи
рассеяния, фундаментальные солитоны и солитоны высших порядков
НУШ должны существовать и в световодных решётках. Тогда
возникает вопрос об их связи с брэгговскими солитонами,
описываемыми (5.4.1) и (5.4.2).
Для ответа на этот вопрос запишем НУШ (5.3.16) в стандартной
форме в солитонных переменных
,*+'£ + М».-«. (5.4.6)
где £ = z/LDl г = Г/Т0, и = yJlgLD и LD = T02/|/?f | — дисперсионная
длина. Фундаментальный солитон этого уравнения имеет следующий
наиболее общий вид
и(£, т) = rjsch[rj{T -т3+ е£)] ехр [г(т/2 - е2)£/2 - гет + гфа)ч (5.4.7)
где rj, £, rs и ф8 — четыре произвольных параметра,
представляющие амплитуду, частоту, положение и фазу солитона,
соответственно. Длительность солитона обратно пропорциональна его амплитуде,
Ts = Tq/tj. Физическая природа таких солитонов та же, что и у
обычных солитонов, за исключением того, что ДГС вызывается
преимущественно решёткой, а не дисперсией среды.

204
Гл. 5. Брэгговские солитоны
На первый взгляд, (5.4.7) выглядит совершенно непохожим на
описываемые (5.4.1)-(5.4.4) брэгговские солитоны. Следует, однако,
напомнить, что и представляет амплитуду блоховской волны,
формируемой суперпозицией А/ и Аь- Если рассмотреть полное оптическое поле
и предел низкой мощности (7-Р0 <£ ")» брэгговские солитоны, конечно,
сведутся к фундаментальному солитону НУШ [29]. Модель Тирринга
с ненулевой массой допускает также солитоны высших порядков [87].
Можно ожидать, что они связаны с солитонами высших порядков
НУШ в соответствующем пределе. Было показано, что любое решение
НУШ (5.3.16) можно использовать для построения приближённого
решения уравнений связанных мод [48].
То обстоятельство, что брэгговские солитоны описываются
эффективным НУШ в пределе xLnl ^> U где Lnl — нелинейная длина,
позволяет использовать понятия солитона порядка N и периода соли-
тона го, введённые в гл. 3. Эти параметры определяются так:
дг2 _ LD - ЪР0Т0 ^-lr„ = lj[L (КАЯ\
N -L*L~ |/9f| ' *-2LD-2|#r (5A8)
Нужно аккуратно интерпретировать значение пиковой мощности Ро»
так как солитон НУШ представляет амплитуду блоховской волны,
формируемой комбинацией Af и Аь. Этот вопрос обсуждается далее
в этом разделе.
Интерес представляют столкновения брэгговских солитонов. Так
как брэгговские солитоны, описываемые (5.4.1) и (5.4.2),
являются только уединёнными волнами (из-за неинтегрируемости основных
нелинейных уравнений связанных мод), они могут не сохраняться
при столкновениях. С другой стороны, солитоны НУШ безусловно не
искажаются столкновениями друг с другом. Численное
моделирование на основе (5.3.1) и (5.3.2) показывает, что брэгговские солитоны
действительно проявляют свойства, напоминающие солитоны НУШ
в пределе низких мощностей 7Р0 ^ к [64]. Более точно, два
брэгговских солитона притягиваются или отталкиваются в зависимости от их
относительной фазы. Новой чертой служит зависимость относительной
фазы от начального расстояния между двумя солитонами.
5.4.3. Формирование брэгговских солитонов. Формирование
брэгговских солитонов в световодных решётках впервые наблюдалось
в эксперименте 1996 г. [56]. После этого были выполнены более
тщательные эксперименты и выявлены многие свойства брэгговских
солитонов. При сравнении экспериментальных результатов с теорией
связанных мод необходимо корректно учесть граничные условия.
Например, пиковая мощность Ро брэгговского солитона, формирующегося
внутри решётки под действием введённого импульса, отличается от
пиковой мощности на входе Р1П. Причину можно пояснить, заметив,
что групповая скорость импульса меняется, когда входной импульс
пересекает передний край решётки, расположенный при z = 0. Поэтому

5.4. Нелинейное распространение импульса
205
протяжённость импульса, равная vgTo вне решётки, меняется на VqTq
при пересечении поверхности раздела при 2 = 0 [9], и пиковая
мощность импульса увеличивается в v9/Vg раз. Математически из
уравнений связанных мод можно показать, что Pq = \A2j\ + \Al\ = P\n/v>
где v = Vc/vg — введённый ранее фактор уменьшения скорости.
Рассмотрение усложняется для аподизированных световодных решёток,
часто используемых на практике, так как в переходной области н
изменяется [61]. Однако такое же увеличение мощности происходит
в конце переходной области.
С практической точки зрения необходимо знать величину
пиковой мощности Pin, необходимую для возбуждения фундаментального
брэгговского солитона. Период солитона zo является другим важным
параметром, существенным для формирования солитона, так как он
устанавливает масштаб длины, на котором изменяется солитон. Для
оценки обоих параметров можно использовать (5.4.8) с N = 1. С
учётом выражений для /3| и jg (5.3.17) входная пиковая мощность и
период солитона даются выражениями
Яп =
_ 2(1-V>
2чЗ/2
v(3-v2)v2gT$x-yy
zo =
7Tv\2gToX
2(1 - и2)3'2'
(5.4.9)
15 h
юЬ
5h
где То связано с длительностью по уровню 1/2 (FWHM) соотношением
Tfwhm ~ 1,76 То. И Pin, и zq зависят посредством v от отстройки
лазерной длины волны от края
запрещённой зоны, расположенного
при 6 = х. Так как v —> 0
вблизи края, мощность Pjn становится
бесконечно большой, когда zq
стремится к нулю.
Брэгговские солитоны
формировались в аподизированной све-
товодной решётке длиной 7,5 см
при использовании импульсов
длительностью 80 пс, получаемых от
Nd:YLF^a3epa с модулированной
добротностью и синхронизацией
мод, генерировавшего на длине
волны 1053 нм [65]. На рис. 5.8
показана форма импульсов при
пиковой интенсивности на входе
11 ГВт/см2. Коэффициент связи х
для этой решётки оценивался как
7 см-1, а параметр отстройки 6
менялся в диапазоне от 7 до 36 см-1
в синей стороне от запрещённой
зоны (аномальная ДГС). Время
X
Е
S
400 500
Время, пс
Рис. 5.8. Форма импульса на
выходе для различных 6 при
распространении импульсов с
длительностью 80 пс и пиковой
интенсивностью 11 ГВт/см2 через световодную
решётку длиной 7,5 см. Значения S
слева направо: 3612, 1406, 1053,
935, 847, 788 и 729 м"1 [65]

206
Гл. 5. Брзгговские солитоны
прибытия импульса зависит от 6 из-за уменьшения групповой скорости
при уменьшении 5 и настройке ближе к краю запрещённой зоны. Эта
задержка происходит, даже когда нелинейные эффекты пренебрежимо
малы.
При высоких пиковых интенсивностях, показанных на рис. 5.8,
ФСМ совместно с вызванной решёткой аномальной ДГС приводят
к формированию брэгговских солитонов. Однако, так как и /?|, и уд
зависят от параметра отстройки S посредством v, брэгговский солитон
существует только в ограниченном диапазоне S. С учётом этого можно
понять форму импульсов на рис. 5.8. Расстройка столь велика и /?|
столь мала для левой кривой, что импульс приобретает некоторый
чирп из-за ФСМ, но его форма остаётся практически неизменной. Это
свойство можно пояснить также с помощью (5.4.9), согласно которому
период солитона становится столь большим при v —► 1, что на
решётке длиной в несколько сантимеров с импульсом ничего не может
произойти. При уменьшении 5 длительность импульса значительно
сокращается. Из рис. 5.8 видно, что сокращение длительности импульса
в три раза происходит при S = 1053 м"1. Такое сужение импульса
служит признаком начала формирования брэгговского солитона.
Однако, период солитона ещё много больше длины решётки. Другими
словами, решётка недостаточно длинна, чтобы можно было наблюдать
окончательную стационарную форму брэгговского солитона. Наконец,
при приближении к краю запрещённой зоны, когда 6 становится
сравнимой с ну ДГС столь велика, что импульс не может формировать
солитон и его длительность превышает длительность входного
импульса. Это свойство также следует из (5.4.8), которое показывает, что
и N, и zq стремятся к нулю при стремлении /3| к бесконечности.
Брэгговский солитон может формироваться при N > 1/2. Так как
вблизи края запрещённой зоны дисперсионная длина меньше длины
решётки, импульс может испытывать значительное расширение. Как
раз это и наблюдается при наименьшем значении 5 на рис. 5.8.
Аналогичное поведение наблюдалось в широком диапазоне энергии
импульса при определённых признаках солитона второго порядка для
пиковых интенсивностей на входе свыше 20 ГВт/см2 [65]. Тщательное
сравнение результатов эксперимента и теории, основанной на
нелинейных уравнениях связанных мод и на эффективном НУШ, показало, что
эффективное НУШ даёт достаточно точное описание в пределах
своей применимости. На рис. 5.9 сравниваются измеренные значения
длительности импульса с двумя теоретическими моделями при пиковых
интенсивностях 3 и 6 ГВт/см2. НУШ справедливо при xLnl > 1-
Полагая х = 7 см"1, мы оценим, что для справедливости НУШ пиковая
интенсивность должна быть не более 50 ГВт/см2. То же было найдено
в [65].
Щелевые солитоны, формирующиеся внутри запрещённой зоны све-
товодной решётки, не наблюдались из-за того, что брэгговская решётка
отражает свет с длинами волн, попадающими в запрещённую зону. Ре-

5.5. Нелинейное переключение
207
б
Ц
{ У
"*и 1000 2000 3000 1000 2000 3000
Отстройка, м~х Отстройка, м~1
Рис. 5.9. Измеренная длительность импульсов на выходе (кружки) в
зависимости от отстройки для входных импульсов длительности 80 пс с
пиковой интенсивностью 3 ГВт/см2 (а) и 6 ГВт/см2 (б). Для сравнения показаны
предсказания теории связанных мод (сплошные линии) и эффективного НУШ
(штриховые линии) [65]
шение этой проблемы может обеспечить ВКР, так как импульс
накачки, введённый на длине волны, далёкой от запрещённой зоны, может
возбудить комбинационный щелевой солитон, который захватывается
внутри решётки и распространяется много медленнее, чем сам импульс
накачки [67]. Энергия такого щелевого солитона медленно вытекает
через края решётки, но он может сохраняться дольше 10 не, даже хотя
возбуждается импульсами накачки длительности около 100 пс.
5.5. Нелинейное переключение
Световодная решётка может обладать бистабильным
переключением, даже если на неё падает непрерывное излучение [17]. Однако,
из-за больших значений интенсивности, необходимых для наблюдения
вызванного ФСМ нелинейного переключения, практически следует
использовать оптические импульсы. Мы обсудим в этом разделе
оптическое переключение для непрерывного и импульсного излучения.
5.5.1. Оптическая бистабильность. Простое стационарное
решение (5.3.3) значительно изменяется при введении граничных условий
на двух краях решётки. Для решётки конечных размеров
простейшим проявлением нелинейных эффектов служит оптическая
бистабильность, впервые предсказанная в 1979 г. [17].
Рассмотрим непрерывное излучение, падающее на край решётки,
и зададимся вопросом, как нелинейность световода влияет на
пропускание излучения через решётку. Очевидно, что важную роль будут
10U
140
е120
о
5 юо
£
£ 80
60

208
Гл. 5. Брэгговские солитоны
играть и интенсивность излучения, и положение его длины волны по
отношению к запрещённой зоне. Математически следует решать (5.3.1)
и (5.3.2) с наложением соответствующих граничных условий при z = 0
и z = L. Решение этих уравнений можно выразить через эллиптические
функции, см., например, [17]. Аналитическое решение довольно
громоздко и даёт только неявное соотношение для прошедшей мощности
при z = L. Детали можно найти в [29].
3Г *£ = 2 (5/91 =
Отпадающая мощность
(нормированная)
Рис. 5.10. Прошедшая мощность в зависимости от падающей мощности для
трёх значений отстройки внутри запрещённой зоны [17]
На рис. 5.10 показана зависимость прошедшей мощности от
падающей (обе нормированы на критическую мощность РСТ = 4/(3^L)) для
нескольких значений отстройки внутри запрещённой зоны при нЬ = 2.
Подобные S-образные зависимости хорошо известны в оптической
бистабильности, когда нелинейная среда помещена внутрь
резонатора [88]. Линейный анализ устойчивости показывает, что средняя ветвь
каждой кривой бистабильности с отрицательным наклоном
неустойчива. Понятно, что прошедшая мощность будет проявлять бистабиль-
ность и гистерезис, показанный стрелками для сплошной кривой. При
низких мощностях пропускание мало, как это предсказывает линейная
теория, так как нелинейные эффекты сравнительно слабы. Однако,
выше некоторой входной мощности большая часть падающей мощности
пропускается. Переключение между состояниями с низким и высоким
пропусканием можно качественно пояснить, заметив, что эффективная
отстройка 6 в (5.3.1) и (5.3.2) становится зависящей от мощности из-за
нелинейного вклада в показатель преломления в (5.1.1). Поэтому свет,
который при низких мощностях преимущественно отражается, так как
его длина волны находится внутри запрещённой зоны, может сам
сместить отстройку на попадающую вне запрещённой зоны и пройти
через решётку, когда нелинейное изменение показателя преломления
станет достаточно большим.

5.5. Нелинейное переключение
209
Наблюдение оптической бистабильности в световодных решётках
затруднено большими значениями мощности переключения (Pq > Рст >
> 1 кВт). Для увеличения пиковой мощности часто используют
короткие оптические импульсы. Даже в этом случае необходимы пиковые
интенсивности, превышающие 10 ГВт/см2. Поэтому бистабильное
переключение впервые наблюдалось в 1980-х годах при использовании
полупроводниковых усилителей, в которых вызванные носителями
большие нелинейности снижают порог переключения до уровня энергии
ниже 1 мВт [89-91]. Нелинейное переключение в пассивной решётке
наблюдалось в эксперименте 1992 г. при использовании
полупроводниковой волноводной решётки [26]. Нелинейный отклик таких решёток
не принадлежит к керровскому типу, представленному в (5.1.1), из-за
наличия свободных носителей (электронов и дырок), конечное время
жизни которых ограничивает время нелинейного отклика. Мощность
переключения можно также понизить, введя фазовый сдвиг 7г/2 в
середине брэгговской решётки [92]. Такие решётки называют сдвинутыми
на А/4 или сдвинутыми по фазе, так как длина А/4 (50% периода
решётки) отвечает фазовому сдвигу 7г/2. Они часто используются для
организации распределённой обратной связи (РОС)
полупроводниковых лазеров [13].
Бистабильное переключение не всегда приводит к постоянному
выходному сигналу, когда через решётку пропускается непрерывное
излучение. Ещё в 1982 г. численное решение (5.3.1) и (5.3.2) показало,
что при некоторых условиях прошедшая мощность может стать не
только периодической, но и хаотической [18]. На физическом языке
участки верхней ветви рис. 5.10 могут стать неустойчивыми. В
результате выходное излучение становится периодическим или хаотическим,
когда интенсивность излучения превышает порог переключения.
5.5.2. Переключение, вызванное ФСМ. Нелинейное
переключение в световодной брэгговской решётке наблюдалось в 1998 г. в
области длин волн 1,55 мкм, используемой для волоконнооптической
связи [60]. Эксперимент проводился с решёткой длиной 8 см с
брэгговской длиной волны около 1536 нм. Пиковое отражение решётки
98%, а ширина её запрещённой зоны составляла только 4 ГГц. Входные
импульсы длительностью 3 не были получены усилением выходного
излучения импульсного РОС-полупроводникового лазера вплоть до
уровня мощности 100 кВт. Их форма была сильно асимметричной из-за
насыщения усиления в цепочке усилителей. Длина волны лазерного
излучения попадала внутрь запрещённой зоны с её коротковолновой
стороны и настраивалась весьма близко к краю (сдвиг около 7 пм, или
0,9 ГГц).
На рис. 5.11, а показано резкое увеличение пропускания от
нескольких процентов до 40% при превышении пиковой мощностью входных
импульсов уровня 2 кВт. На физическом языке, нелинейное
возрастание показателя преломления при высоких мощностях сдвигает брэггов-

210
Гл. 5. Брэгговские солитоны
Входная пиковая мощность, кВт Время, не
Рис. 5.11. Пропускание в зависимости от пиковой мощности на входе,
демонстрирующее нелинейное переключение (а); форма импульсов на выходе при
нескольких уровнях пиковой мощности (б) [62]
скую длину волны так, что импульсы оказываются вне запрещённой
зоны и переключаются на верхнюю ветвь кривой бистабильности,
показанной на рис. 5.10. Форма импульсов, приведённая на рис. 5.11,6,
показывает, что происходит с прошедшим импульсом. Начальный всплеск
вблизи t = 0 на этих кривых вызван резким передним фронтом
асимметричного входного импульса, и его следует игнорировать. На выходе
решётки формируются множественные импульсы, число которых
зависит от уровня мощности на входе. При уровне мощности 3 кВт виден
единственный импульс, но их число увеличивается до пяти при уровне
мощности 8 кВт. Длительность импульсов минимальна (около 100 пс)
вблизи переднего фронта последовательности импульсов и
существенно возрастает для импульсов у заднего фронта.
Из этих результатов следуют несколько выводов. Во-первых,
верхняя ветвь кривой бистабильности на рис. 5.10 может быть
неустойчивой, и тогда квазинепрерывный сигнал преобразуется в
последовательность импульсов [18]. Во-вторых, устанавливается постоянная
длительность каждого импульса. Импульсы вблизи переднего края
обладали временем распространения в решётке, достаточным для
стабилизации их длительностей. Эти импульсы можно рассматривать как
щелевые солитоны, так как они формируются, даже хотя входной
сигнал находится внутри фотонной запрещённой зоны и отразился
бы полностью в отсутствие нелинейных эффектов. В-третьих,
импульсы у заднего фронта шире просто потому, что световодная решётка
недостаточно длинна, чтобы они успели полностью эволюционировать
к щелевому солитону. Такая интерпретация была подтвержена
последующим экспериментом, в котором длина решётки была увеличена
до 20 см [66]. Найдено, что в такой решётке формируются до шести
щелевых солитонов при уровне пиковой мощности 1,8 кВт. Данные

5.5. Нелинейное переключение
211
наблюдений согласуются с теорией на основе нелинейных уравнений
связанных мод.
Нелинейное переключение, показанное на рис. 5.11, называют
вызванным ФСМ или самоиндуцированным переключением, так как
импульсы изменяют показатель преломления, чтобы переключиться
в состояние высокого пропускания. Ясно, что другой сигнал с
отличающейся длиной волны также может вызвать переключение импульса,
изменяя показатель преломления посредством ФКМ, что приводит
к переключению, вызванному ФКМ. Это явление впервые
наблюдалось в 1991 г. в виде возрастания пропускания сигнала на 514 нм,
вызванного излучением накачки на 1064 нм [24]. В этом эксперименте
возрастание пропускания было меньше 10%.
Позже было предположено, что ФКМ могла бы использоваться для
формирования «метлы», так что слабое непрерывное излучение (или
импульс большой длительности) сметалось бы сильным импульсом
накачки и его энергия скапливалась бы на переднем фронте этого
импульса [93]. Основная идея «оптической метлы» проста. Если длина
волны импульса накачки далека от запрещённой зоны, тогда как длина
волны сигнала близка к краю, но вне запрещённой зоны (нижняя ветвь
дисперсионной кривой), то накачка движется быстрее сигнала. В
области перекрытия накачки и сигнала вызванный ФКМ чирп изменяет
частоту сигнала так, что он движется вместе с передним фронтом
импульса накачки. При последующем движении импульса накачки он
сметает всё большую часть энергии сигнала и накапливает её на
своём переднем фронте. По сути накачка действует подобно метле.
На выходе решётки значительная часть энергии сигнала появляется
одновременно с импульсом накачки в виде резкого всплеска, так как
ФКМ вызывает увеличение скорости сигнала. Такой эффект метлы
наблюдался в эксперименте 1997 г. [94].
5.5.3. Влияние двулучепреломления. Двулучепреломление
световода проявляется как малое различие показателей преломления для
ортогонально поляризованных компонент оптической моды. Оно играет
важную роль и значительно влияет на нелинейные явления. Его
влияние необходимо учитывать, если брэстовская решётка сформирована
внутри сердцевины световода, сохраняющего поляризацию. Нетрудно
обобщить теорию связанных мод для учёта двулучепреломления
световода [95-98]. Однако, задача становится весьма сложной, так как
нужно решать уже систему четырёх связанных уравнений,
описывающих эволюцию двух ортогонально поляризованных компонент, каждая
из которых содержит волны, распространяющиеся вперёд и назад. Это
усложнение, однако, ведёт к широкому классу нелинейных явлений
с важными приложениями, такими как оптические логические вентили.
С физической точки зрения две ортогонально поляризованные
компоненты имеют слегка разные индексы мод. Так как брэгговская длина
волны зависит от индекса моды, запрещённые зоны двух мод имеют

212
Гл. 5. Брэгговские солитоны
одинаковую ширину, но слегка сдвинуты друг от друга. В результате,
даже если поляризационные компоненты имеют ту же длину волны
(или частоту), одна из них может попадать внутрь запрещённой
зоны, тогда как другая будет оставаться вне её. Кроме того, так как
две запрещённые зоны сдвигаются вследствие изменения нелинейных
показателей преломления, сдвиги могут быть различными для двух
ортогонально поляризованных компонент из-за комбинации эффектов
ФСМ и двулучепреломления. Именно это свойство приводит в
разнообразным интересным нелинейным эффектам.
В случае непрерывного излучения система четырёх связанных
уравнений решалась численно в 1994 г., причём были выявлены несколько
нелинейных эффектов, связанных с двулучепреломлением [96]. Один
из них относится к появлению поляризационной неустойчивости,
хорошо известной для векторных солитонов (см. гл. 9). Критическая
мощность, при которой возникает эта неустойчивость, может быть
значительно снижена присутствием брэгговской решётки [99, 100].
Нелинейное двулучепреломление влияет также на брэгговские
солитоны. В пределе НУШ (7-Р0 <^ х) четыре уравнения сводятся к паре
связанных НУШ, аналогичных приведённым в гл. 9. Для световодов со
слабым двулучепреломлением две поляризационные компоненты имеют
весьма близкие групповые скорости и связанные НУШ принимают
следующий вид [95]:
ть+ Ч^=^ (|с/«|2+Ьи*?)и»+^£fc*A*. <5-5-2)
где Д/3 = fox - Роу связана с длиной биений Lb соотношением
Д/3 = 2п/Ьв- Эти уравнения имеют решение в виде векторного соли-
тона с равными амплитудами, такими, что пиковая мощность,
необходимая для каждой компоненты, сводится только к у/3/5 мощности,
необходимой при наличии только одной компоненты. Такой векторный
солитон называют связанным щелевым солитоном [95].
Связанный щелевой солитон можно использовать для построения
чисто оптического и- (Аыо)-вентиля. Поляризационные х- и у-компо-
ненты входного излучения представляют биты для вентиля, каждый
из которых принимает значение 0 или 1, в зависимости от отсутствия
или присутствия соответствующего сигнала. Для вентиля и нужно,
чтобы выходной импульс появлялся, только если присутствуют обе
компоненты одновременно. Этого можно достичь, настроив обе
поляризационные компоненты внутрь запрещённой зоны, но вблизи верхней
ветви дисперсионной кривой. Их суммарная интенсивность может
настолько увеличить показатель преломления (вследствие комбинации
ФСМ и ФКМ), что обе компоненты будут пропущены. Однако, если

5.5. Нелинейное переключение 213
одна из компонент отсутствует на входе (0 бит), вклад ФКМ
исчезает и обе компоненты отражаются решёткой. Причина в том, что
у связанного щелевого солитона уровень пиковой мощности ниже,
чем у брэгговского солитона, отвечающего каждой индивидуальной
компоненте [95].
£
Л
о
Л
&
с
Я
ж
Я
U
а,
<и
X
Г)
X
Л
в
э
о
р.
С
25
20
15
10
5
0
Падающая пиковая мощность, кВт
Рис. 5.12. Зависимость пропускания решётки от пиковой мощности на входе,
демонстрирующая действие и-вентиля (а), и форма импульса на выходе при
уровне пиковой мощности 3 кВт, когда на вход подана только одна (штриховая
линия) или обе (сплошная кривая) поляризационные компоненты (б) [62]
Чисто оптический и-вентиль был реализован в эксперименте
1988 г., в котором был получен контраст переключения 17 дБ при
пиковой мощности 2,5 кВт [59]. На рис. 5.12 показано отношение
прошедшей энергии к полной энергии импульса в зависимости от
пиковой мощности на входе (а) и форма прошедшего импульса
при пиковой мощности 3 кВт (б). Когда на вход подаётся только
одна поляризационная компонента, решётка пропускает малую часть
энергии. Однако, когда подаются обе поляризационные компоненты, на
выходе решётки наблюдается интенсивный импульс, что соответствует
предсказаниям на основе связанных НУШ.
Вызванная ФКМ связь может быть полезна, даже если
поляризационные компоненты имеют различные длины волн. Например, её
можно применить для переключения пропускания непрерывного сигнала
с низкого на высокое, используя ортогонально поляризованный
короткий импульс накачки с длиной волны, далёкой от ширины запрещённой
зоны для сигнала [101]. В отличие от самоиндуцированного бистабиль-
ного переключения, обсуждавшегося выше, вызванное ФКМ биста-
бильное переключение может происходить для непрерывного сигнала,
который слишком слаб для самостоятельного переключения. Более
того, короткий импульс накачки вызывает постоянное переключение
сигнального излучения в состояние с высоким переключением.

214
Гл. 5. Брэгговские солитоны
Список литературы
1. Hill КО., Fujii Y., Johnson DC, Kawasaki B.S. // Appl. Phys. Lett. 1978.
V. 32. P. 647.
2. Meltz G., Morey W. W., Glen W.H. // Opt. Lett. 1989. V. 14. P. 823.
3. Kashyap R.t Armitage J.R., Wyatt R. et al. // Electron. Lett. 1990. V.26.
P. 730.
4. Kashyap R. Fiber Bragg Gratings. — San Diego: Academic Press, 1999.
5. Othonos A., Kalli K. Fiber Bragg Gratings. — Boston: Artec House, 1999.
6. Agrawal G. P. Applications of Nonlinear Fiber Optics. — San Diego:
Academic Press, 2001.
7. Agrawal G.P. Fiber-Optic Communication Systems, 3rd ed. — N. Y.: Wiley,
2002.
8. Born M., Wolf E. Principles of Optics, 7th ed/ - N.Y.: Cambridge
University Press, 1999. Section 8.6. [Имеется перевод: Борн M., Вольф Э.
Основы оптики. — М.: Наука, 1970].
9. Russell P.S.J. II J. Mod. Opt. 1991. V. 38. P. 1599.
10. Haus H.A. Waves and Fields in Optoelectronics. — Englewood Cliffs:
Prentice-Hall, 1984. [Имеется перевод: Хаус X. Волны и поля в оптоэлек-
тронике. — М.: Мир, 1988].
11. Marcuse D. Theory of Dielectric Optical Waveguides (Academic Press,
San Diego, 1991). [Имеется перевод: Маркузе Д. Оптические
волноводы. -М.: Мир, 1974].
12. Yariv A. Optical Electronics in Modern Communications, 5th ed. — N.Y.:
Oxford University Press, 1997.
13. Agrawal G.P, Dutta N.K. Semiconductor Lasers, 2nd ed. — N. Y.: Van Nos-
trand Reinhold, 1993.
14. Crosignani В., Cutolo A., Porto P.Di. // J. Opt. Soc. Am. B. 1982. V. 72.
P. 515.
15. Agrawal G.P. Nonlinear Fiber Optics, 3rd ed. (Academic Press, San Diego,
2001). [Имеется перевод: Агравал Г. Нелинейная волоконная оптика. —
М.: Мир, 1996.]
16. Litchinitser N.M., Eggleton В. J., Patterson D.B. // J. Lightwave Technol.
1997. V. 15. P. 1303.
17. Winful H.G., Marburger J.H., Garmire E. // Appl. Phys. Lett. 1979. V. 35.
P. 379.
18. Winful H.G., Cooperman G.D. // Appl. Phys. Lett. 1982. V. 40. P. 298.
19. Winful H.G. II Appl. Phys. Lett. 1985. V. 46. P. 527.
20. Chen W., Mills D.L. // Phys. Rev. Lett. 1987. V. 58. P. 160; Phys. Rev. В
1987. V.36. P. 6269.
21. Mills D.L., Trullinger S.E. // Phys. Rev. B. 1987. V. 36. P. 947.
22. de Sterke CM., Sipe J.E. // Phys. Rev. A. 1988. V. 38. P. 5149; Phys. Rev.
A. 1989. V. 39. P. 5163.
23. de Sterke СМ., Sipe J.E. // J. Opt. Soc. Am. B. 1989. V. 6. P. 1722.
24. Larochelle S., Mizrahi V., Stegeman G. // Electron. Lett. 1990. V.26.
P. 1459.
25. de Sterke СМ., Sipe J.E. // Phys. Rev. A. 1991. V. 43. P. 2467.

Список литературы
215
26. Sankey N.D., Prelewitz D.F., Brown T.G. // Appl. Phys. Lett. 1992. V. 60.
P. 1427; J. Appl. Phys. 1993. V. 73. P. 1.
27. Feng J. II Opt. Lett. 1993. V. 18. P. 1302.
28. Kivshar Y.S. // Phys. Rev. Lett. 1993. V. 70. P. 3055.
29. de Sterke СМ., Sipe IE. in Progress in Optics. V. 33. E. Wolf, Ed. -
Amsterdam: Elsevier, 1994, Chap. 3.
30. Russell PS. J., Archambault J.L. // J. Phys. Ill France. 1994. V. 4. P. 2471.
31. Scalora M., DowlingJ.P, Bowden СМ., Bloemer M.J. // Opt. Lett. 1994.
V. 19. P. 1789.
32. Radic S., George N., Agrawal G.P. // Opt. Lett. 1994. V. 19. P. 1789; J.
Opt. Soc. Am. B. 1995. V. 12. P. 671.
33. Radic S., George N., Agrawal G.P. // IEEE J. Quantum Electron. 1995.
V.31.P. 1326.
34. Champneys A.R., Malomed B.A., Friedman M.J. // Phys. Rev. Lett. 1998.
V.80. P. 4169.
35. Kozhekin A.E., Kurizki G., Malomed B. // Phys. Rev. Lett. 1998. V. 81.
P. 3647.
36. Conti C, Asanto G., Trillo S. // Opt. Exp. 1998. V. 3. P. 389.
37. Logvin Y.A., Volkov V.M. // J. Opt. Soc. Am. B. 1999. V. 16. P. 774.
38. de Sterke СМ., Sipe J.E. // Phys. Rev. A. 1990. V. 42. P. 2858.
39. WinfulH.G.,ZamirR.,FeldmanS. //Appl. Phys. Lett. 1991. V. 58. P. 1001.
40. Aceves А.В., De Angelis C, Wabnitz S. // Opt. Lett. 1992. V. 17. P. 1566.
41. de Sterke CM. // Phys. Rev. A. 1992. V. 45. P. 8252.
42. Eggleton B.J., de Sterke СМ., Slusher R.E., Sipe J.E. // Electron. Lett.
1996. V.32. P. 2341.
43. de Sterke CM. // J. Opt. Soc. Am. B. 1998. V. 15. P. 2660.
44. Sipe J.E., Winful H.G. // Opt. Lett. 1988. V. 13. P. 132.
45. de Sterke СМ., Sipe J.E. // Phys. Rev. A. 1990. V. 42. P. 550.
46. de Sterke СМ., Salinas D. G., Sipe J.E. // Phys. Rev. E. 1996. V. 54. 1969.
47. Iizuka Т., Wadati M. // J. Opt. Soc. Am. B. 1997. V. 14. P. 2308.
48. de Sterke СМ., Eggleton B.J. // Phys. Rev. E. 1999. V. 59. P. 1267.
49. Eggleton B.J., de Sterke СМ., Aceves A.B. et al. // Opt. Commun. 1998.
V. 149. P. 267.
50. Волощенко Ю.И., Рыжов Ю.Н., Сотин В.Е. // ЖТФ. 1981. Т. 51. С. 902.
51. Christodoulides D.N., Joseph R.J. // Phys. Rev. Lett. 1989. V.62. P. 1746.
52. Aceves A.B., Wabnitz S. // Phys. Lett. A. 1989. V. 141. P. 37.
53. Feng J., Kneubuhl F.K. // IEEE J. Quantum Electron. 1993. V. 29. P. 590.
54. Conti C, Trillo S. II Phys. Rev. E. 2001. V. 64. 036617.
55. Iizuka Т., de Sterke CM. // Phys. Rev. E. 2000. V. 61. P. 4491.
56. Eggleton B.J., Slusher R.R., de Sterke CM. et al. // Phys. Rev. Lett. 1996.
V. 76. P. 1627.
57. de Sterke СМ., Broderick N.G.R., Eggleton B.J., Steel M.J. // Opt. Fiber
Technol. 1996. V. 2. P. 253.
58. Eggleton B.J., de Sterke СМ., Slusher R.E. // J. Opt. Soc. Am. B. 1997.
V. 14. P. 2980.

216
Гл. 5. Брэгговские солитоны
59. Taverner D.f Broderick N.G.R., Richardson D.J. et al. // Opt. Lett. 1998.
V. 23. P. 259.
60. Taverner D.t Broderick N.G.R., Richardson D.J. et al. // Opt. Lett. 1998.
V. 23. P. 328.
61. de Sterke CM. // Opt. Exp. 1998. V. 3. P. 405.
62. Broderick N.G.R., Taverner D.y Richardson D.J. // Opt. Exp. 1998. V. 3.
P. 447.
63. Eggleton B.J., Lenz G., Slusher /?.£., Litchinitser NM. // Appl. Opt. 1998.
V. 37. P. 7055.
64. Litchinitser N.M.y Eggleton B.J., de Sterke CM. et al. // J. Opt. Soc. Am.
B. 1999. V. 16. P. 18.
65. Eggleton B.J., de Sterke СМ., Slusher R.E. // J. Opt. Soc. Am. B. 1999.
V. 16. P. 587.
66. Broderick N.G.R., Richardson D.J., Isben M. // Opt. Lett. 2000. V. 25.
P. 536.
67. Winful H.G., Perlin V. // Phys. Rev. Lett. 2000. V. 84. P. 3586.
68. Asobe M. И Opt. Fiber Technol. 1997. V. 3. P. 142.
69. Thirring W.E. II Ann. Phys. (NY) 1958. V. 3. P. 91.
70. Михайлов А. В. Ц Письма в ЖЭТФ. 1976. Т. 23. С. 356.
71. Кузнецов Е.А., Михайлов А.В. // ТМФ. 1977. Т. 30. С. 303.
72. Каир D.J.y Newell A.C // Lett. Nuovo Cimento. 1977. V. 20. P. 325.
73. Каир D.J.y Lakoba T.J. // J. Math. Phys. 1996. V. 37. P. 308.
74. Barashenkov I. V., Pelinovsky D.E., Zemlyanaya E. V. // Phys. Rev. Lett.
1998. V.80. P. 5117.
75. De Rossi A., Conti C, Trillo S. // Phys. Rev. Lett. 1998. V. 81. P. 85.
76. Schollmann /., Scheibenzuber /?., Kovalev A.S. et al. // Phys. Rev. E. 1999.
V.59. P. 4618.
77. Barashenkov I. V.t Zemlyanaya E. V. // Сотр. Phys. Commun. 2000. V. 126.
P. 22.
78. Schollmann /., Mayer A. P. // Phys. Rev. E. 2000. V. 61. P. 5830.
79. Schollmann J. // Physica A. 2000. V. 288. P. 218.
80. Kivshar Yu.S., Flytzanis N. // Phys. Rev. A. 1993. V. 46. P. 7972.
81. Huang G. II Phys. Rev. E. 1994. V. 49. P. 5893.
82. Kivshar Yu.S. // Int. J. Mod. Phys. B. 1995. V. 9. P. 2963.
83. Kovalev A.S., Usatenko O. V., Gorbatch A. V. // Phys. Rev. E. 1999. V. 60.
P. 2309.
84. de Sterke CM. // Phys. Rev. E. 1993. V. 48. P. 4136.
85. Steel M.J., de Sterke CM. // Phys. Rev. A. 1993. V. 48. P. 1625.
86. Goodman R.H., Slusher /?.£., Weinstein M.I. // J. Opt. Soc. Am. B. 2002.
V. 19. P. 1635.
87. David D., Hamad /., Shnider S. // Lett. Math. Phys. 1984. V. 8. P. 27.
88. Gibbs H.M. Optical Bistability: Controlling Light with Light. — San Diego:
Academic Press, 1985). [Имеется перевод: Гиббс X. Оптическая биста-
бильность: Контроль света светом. — М.: Мир, 1988.]
89. Kawaguchi Н., /поие К., Matsuoka Г., Otsuka К. // IEEE J. Quantum
Electron. 1985. V.21. P. 1314.
90. Adams M.J., Wyatt R. // IEE Proc. 1987. V. 134. P. 35.

Список литературы
217
91. Adams M.J. // Opt. Quantum Electron. 1987. V. 19. S. 37.
92. Agrawal G.P., Radic S. // IEEE Photon. Technol. Lett. 1994. V. 6. P. 995.
93. de Sterke CM. // Opt. Lett. 1992. V. 17. P. 914.
94. Broderick N.G.R., Taverner D., Richardson D.J. et al. // Phys. Rev. Lett.
1997. V. 79. P. 4566; Opt. Lett. 1997. V. 22. P. 1837.
95. Lee S., Ho S. T. // Opt. Lett. 1993. V. 18. P. 962.
96. Samir W., Garth S./., Pask С // J. Opt. Soc. Am. B. 1994. V. 11. P. 64.
97. Samir W., Pask C, Garth S.J. // Opt. Lett. 1994. V. 19. P. 338.
98. Pereira 5., Sipe J.E. // Opt. Exp. 1998. V. 3. P. 418.
99. Slusher /?.£., Spatter S., Eggleton B.J. et al. // Opt. Lett. 2000. V. 25.
P. 749.
100. Pereira 5., Sipe J.E., Slusher /?.£., Sputter S. // J. Opt. Soc. Am. B. 2002.
V. 19. P. 1509.
101. Broderick S. // Opt. Commun. 1999. V. 148. P. 90.

Глава 6
ДВУМЕРНЫЕ СОЛИТОНЫ
В предшествовавших главах мы имели дело с одномерными со лито-
нами, которые сохраняют форму при изменении времени или одной из
пространственных координат. Когда такой пространственный солитон
распространяется в сплошной (неограниченной) нелинейной среде, он
принимает вид планарной солитонной полосы и испытывает
модуляционную неустойчивость, называемую поперечной неустойчивостью,
потому что она приводит к модуляции в поперечных направлениях.
Во многих случаях эта неустойчивость ведёт к формированию набора
устойчивых двумерных солитонов, которые сохраняют форму в обоих
поперечных направлениях. Можно даже представить себе трёхмерные
солитоны, способные сохранять форму и во временном измерении.
В этой главе мы остановимся на двумерных солитонах и проследим
соотношение между солитонами в планарных волноводах и в
неограниченной среде. Раздел 6.1 посвящен поперечной неустойчивости,
связанной с солитонной полосой. Теоретические и экспериментальные
результаты по двумерным солитонам суммированы в разделах 6.2
и 6.3, соответственно, где мы рассматриваем также непараксиальные
эффекты. Взаимодействие солитонов в сплошной среде обсуждается
в разделе 6.4. А в разделе 6.5 мы вводим новые типы кольцеобразных
пространственных солитонов, которые обладают ненулевым угловым
моментом.
6.1. Поперечная неустойчивость солитонов
Физический механизм, лежащий в основе поперечной
неустойчивости, которая вызывает самофокусировку солитонных полос,
аналогичен механизму, ответственному за самофокусировку и модуляционную
неустойчивость малоинтенсивных квазимонохроматических волновых
пакетов [1]. Неустойчивость возникает, когда поперечная модуляция
волнового фронта планарной солитонной полосы уменьшает локальное
значение энергии солитона. Для изучения поперечной неустойчивости
солитонов можно применить два аналитических метода —
приближение геометрической оптики и линейный анализ устойчивости. Оба
метода рассмотрены в этом разделе.

6.1. Поперечная неустойчивость солитонов
219
6.1.1. Приближение геометрической оптики. Приближение
геометрической оптики основано на предположении, что поперечно
промодулированная плоская волна остаётся локально близкой к
своему стационарному профилю, так что каждый индивидуальный сегмент
волны распространяется вдоль индивидуального луча [2]. Это
предположение справедливо, если солитон устойчив относительно
продольных возмущений, которые сохраняют его симметрию. Приближение
геометрической оптики для описания поперечной самофокусировки
солитонов впервые развито в 1976 г. [3, 4].
1(ф
У k
l/(V+Vfidfi)da
а = const
И
Рис. 6.1. Обозначения и система координат, используемые в приближении
геометрической оптики (а). Иллюстрация самофокусировки и механизма
неустойчивости солитона (б) [5]
Чтобы представить существенные черты этого метода, введём
ортогональную систему координат (а,/?), показанную на рис.6.1,а, и
рассмотрим эволюцию локальной скорости солитона V, ширины Д
лучевой трубки и фазового угла в между лучем и осью х [5]. В
обозначениях Да = дк/да. nVp = dV/dfi величины V и Д связаны следующими
кинематическими соотношениями:
да ^ Д ЭР '
д±_\_дА=0
д0 V да
(6.1.1)
где s — расстояние вдоль луча. Эта система уравнений замыкается при
использовании закона сохранения энергии
A(V)W{V) = const, (6.1.2)
где W — плотность энергии. Получившаяся замкнутая система
уравнений оказывается эллиптического типа при условии dV/dA > 0, и она
предсказывает поперечную неустойчивость солитона. Так как ширина
лучевой трубки Д обратно пропорциональна амплитуде солитона,
лучевые уравнения представляют следующий универсальный критерий са-
мофокусировочной неустойчивости солитонов в изотропной среде:
поперечная самофокусировка планарного солитона происходит, если его

220
Гл. 6. Двумерные солитоны
скорость убывает при возрастании его амплитуды. На рис. 6.1,6
показано, что соответствующие лучи формируют сходящуюся
цилиндрическую волну.
Этот простой физический механизм объясняет поперечную
неустойчивость тёмных керровских солитонов [6], для которых
зависимость скорости V от амплитуды а описывается соотношением V =
= (uq — а2)1/2, где но — амплитуда фона (см. 4.1.1). Естественно
обобщение (6.1.1) и (6.1.2) на случай модуляции частоты солитона, а не его
скорости. В результате справедлив тот же критерий самофокусировки
солитона, когда частота солитона и убывает вместе с амплитудой
солитона а. Это случай светлых керровских солитонов, для которых
постоянная распространения /3 находится внутри эффективной щели
в линейной спектральной полосе и даётся выражением /3 = (Зс - ja2,
где /Зс — значение отсечки линейной полосы и 7 положительна.
Действительно, с 1973 г. известно, что светлые солитоны неустойчивы по
отношению к поперечным возмущениям [7].
6.1.2. Линейный анализ устойчивости. В линейном
анализе устойчивости, обсуждавшемся в разделе 1.4.1, мы имели
дело с неустойчивостью однородной плоской волны. Однако, тот же
основной подход можно применить для анализа самофокусировоч-
ной неустойчивости солитонной полосы. В нём анализируется
линейная задача на собственные значения, получающаяся линеаризацией
(2 + 1)-мерного НУШ около точного одномерного солитонного
решения. Так как солитонное решение зависит только от небольшого числа
параметров (таких как амплитуда и фаза), можно разделить
динамические переменные и свести соответствующую линейную задачу
к анализу спектра собственных значений линейного оператора.
В случае светлых солитонов НУШ в керровской среде мы
рассмотрим (2+ 1)-мерное НУШ (1.3.12) с F(\u\2) = \и\2. Введя гр = у/2 и,
запишем это уравнение в виде
где параметр a<j = ±1 введён, чтобы включить случай, в котором
переменная у отвечает временной переменной (о^ = — 1 в случае
нормальной дисперсии). Планарный светлый солитон описывается не
зависящим от у решением НУШ (6.1.3), имеющим общий вид
ф(х, z) = Ф3(х - хо - 2vz\0) exp [i(vx - v2z + (3z + 0)], (6.1.4)
где хо — положение пика солитона, 2v представляет поперечную
скорость солитона, /? — постоянная распространения, в — фаза солитона,
а форма солитона определяется соотношением
Ф5(х;/3) = уД sch^x). (6.1.5)

6.1. Поперечная неустойчивость солитонов
221
Для анализа устойчивости такого солитона по отношению к
поперечной модуляции введём малое возмущение вида
5ф = ф(х, У. z) ~ $s{x\ (3)ei/3z = [и(х) + iw(x)] exp (if3z + Tz + гру),
(6.1.6)
где р — поперечное волновое число вдоль оси у, а инкремент Г(р)
определяет скорость роста этого возмущения по z. После линеаризации
НУШ получим, что вещественные функции и(х) и w(x) удовлетворяют
следующей линейной задаче на собственные значения:
(£i + adp2)u = -ГЪ, (Со + adp2)w = Ги, (6.1.7)
где введены два линейных оператора
Со = -&/дх2 + /3 - 2ф2, С{=С0- 4ф2. (6.1.8)
Точные аналитические решения этой линейной задачи на
собственные значения не найдены. Однако, некоторые аналитические методы
позволяют оценить отвечающее неустойчивости собственное значение
Г(р) и найти пороговое условие возникновения поперечной
неустойчивости. Два таких метода основаны на асимптотическом разложении,
справедливом либо для малых волновых чисел (р —> 0), либо для
конечных волновых чисел, близких к критическому значению рсг (р —> рсг).
Мы назовём эти асимптотические приближения длинноволновым и
коротковолновым разложениями, соответственно, так как
пространственный период s модуляции зависит от р как s = 2тг/р.
Метод длинноволнового разложения основан на разложении
Тейлора отвечающего неустойчивости собственного значения при
малых значениях р [7-11]. Такой метод иногда называют методом
р-разложения. Он часто позволяет определить существование самофо-
кусировочной неустойчивости, так как поперечная неустойчивость
начинается для возмущений с большими периодами (то есть, малыми р).
Используя моды дискретного спектра линейной задачи на собственные
значения при р = 0 и Г = 0, обычно известные в явной аналитической
форме (так называемые нейтральные моды), можно построить
собственные функции и собственные значения соответствующей
линейной задачи и найти первый главный член в асимптотическом
разложении. Этот член определяет пространственную симметрию
возмущений, приводящих к поперечной неустойчивости, и позволяет
найти приближённое выражение для инкремента неустойчивости Г(р)
при малых р. Так как инкремент зависит от знака параметра сг<*, мы
рассмотрим отдельно два случая.
Обратимся сначала к случаю ad = +1, в котором НУШ
принадлежит эллиптическому типу. Этот случай отвечает двумерным светлым
пространственным солитонам и впервые изучался в 1973 г. [7].
Функции и и w вблизи р = 0 — это просто и = 0 и w = Фв(х; /3), а инкремент

222
Гл. 6. Двумерные солитоны
даётся выражением
Г2(р) = W - | (l + £) р4 + 0(р6). (6.1.9)
В противоположном случае a<j = — 1 НУШ принадлежит
гиперболическому типу. Физически эта ситуация отвечает оптическому импульсу,
распространяющемуся в пленарном волноводе. Функции и и w вблизи
р = 0 теперь такие: w = 0 и и = дФа/дх, а инкремент [8]
Г2{р) = |^р2-| (£ - l)p4 + 0(pe). (6.1.10)
Численные коэффициенты в (6.1.9) и (6.1.10) слегка отличаются от
приведённых в оригинальных работах [7, 8] из-за опечаток.
В коротковолновом асимптотическом методе разложение Тейлора
проводится вблизи не нуля, а вблизи рсг, где рст — критическое
значение (отсечки), при котором Г обращается в нуль, то есть Г(рсг) = 0.
В этом методе используются собственные моды линейной задачи на
собственные значения при р = рст и Г = 0 [12-14]. Такие собственные
моды часто можно найти прямым анализом линеаризированных
уравнений. Инкремент Г(р) вновь зависит от знака параметра а&- В случае
&d = +1, Per = y/W* собственные функции и = sch2(v7?z) и w = 0,
а инкремент даётся соотношением [13]
Г2(р) = ^(Рсг-р) + 0[(рсг-р)2]. (6.1.11)
7Г -6
В противоположном случае ad = — 1, Рст = %/3, собственные функции
имеют вид и = 0 и w = th(\//?aO, а для инкремента имеем [14]
Г2(р) = ^^У+0(рсг-р). (6.1.12)
Отметим, что в этом случае собственная функция w не локализована.
Сплошная линия на рис. 6.2 показывает инкремент Г в зависимости
от р, найденный численно. Аналитическое приближение на основе
длинноволнового асимптотического метода изображено штриховой
линией. Оно вполне удовлетворительно для значений р, не превышающих
0,6, но начинает значительно отклоняться от численного вблизи р = 1.
Точками показаны результаты другого численного анализа [9].
Основной вывод состоит в том, что инкремент Г принимает максимальное
значение при некоторой величине р. В результате солитонное
решение (6.1.4) становится промодулированным на этой пространственной
частоте.
6.1.3. Уравнения для параметров солитона. Проведённый
анализ поперечной неустойчивости основан на двух различных
приближениях. Подход геометрической оптики описывает эволюцию
сильно нелинейных длинноволновых возмущений в отсутствие дифракции
(или дисперсии), тогда как линейный анализ устойчивости позволяет

6.1. Поперечная неустойчивость солитонов
223
описать эволюцию возмущений любых масштабов, но в (линейном)
приближении малых амплитуд.
Важен вопрос: какова эволюция солитонной полосы после
возникновения поперечной неустойчивости? Для ответа на этот вопрос
необходимо включить в рассмотрение нелинейные эффекты, уже просто
потому, что предсказываемый
линейным анализом
экспоненциальный рост возмущений не может
продолжаться, когда возмущение
достигает конечного уровня. Для
вывода модуляционных
уравнений в нелинейном режиме в
солитонной литературе
использовались несколько различных
аналитических методов. В этом разделе
мы дадим обзор одного из этих
методов и обсудим его
ограничения.
В следующем анализе
делаются два основные
предположения. Во-первых, планарный
солитон считается устойчивым
относительно всех возмущений,
сохраняющих симметрию. Во-
вторых, неустойчивость
возникает, когда период поперечной модуляции много больше ширины соли-
тона (амплитуда такой модуляции не предполагается малой). Тогда
модуляционные уравнения можно вывести вариационным методом,
основанным на представлении об усреднённой плотности лагранжиана.
Эти уравнения приводят, в основном порядке, к некорректно
поставленной (эллиптической) задаче и отвечают динамике неустойчивого
газа. Их решение демонстрирует развитие сингулярностей на
конечной длине среды. Оказывается, однако, что газодинамические
уравнения представляют бездисперсионный предел НУШ. Можно расширить
применимость таких асимптотических уравнений, продолжив теорию
возмущений до высших порядков и включив дисперсионные и/или
диссипативные эффекты [5].
Вариационный метод служит частным случаем общей
модуляционной теории Уитема (15]. Основная идея состоит в представлении НУШ
с помощью плотности Лагранжиана С и введении действия S
г оо
5 = f dz^C(x,y,z)dxdy. (6.1.13)
О —оо
Затем выбирается пробная функция в форме стационарного солитона,
но её параметры могут медленно меняться с изменением z. Вариации
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 р
Рис. 6.2. Найденный численно
инкремент Г(р) поперечной неустойчивости
солитона в самофокусировочной среде
(ad = +1) в зависимости от
пространственной частоты р (сплошная линия).
Штиховая кривая показывает
аналитическое приближение (6.1.9), а
точками отмечены результаты другого
численного решения [10]

224
Гл. 6. Двумерные солитоны
солитонных параметров приводят затем к модуляционным уравнениям,
ответственным за самофокусировку солитона [16, 17]. Однако,
прямое применение вариационного метода часто встречает затруднения,
вызванные появлением расходящихся интегралов, что связано с
рассеянным излучением, испускаемым уединёнными волнами. Для решения
этой проблемы пробная функция должна включать составляющую,
отвечающую нелокализованному излучению.
Рассмотрим как пример светлый пространственный солитон,
выбирая в (6.1.3) ad = +1. Для этого НУШ плотность лагранжиана
оказывается равной
с = | (ръ - Wz) - Ы - Ш2 + Ж4. (6.1.14)
где нижний индекс обозначает частную производную. В качестве
пробной функции выбираем решение в виде светлого солитона НУШ (6.1.4)
и предполагаем для простоты хо = 0 и v = 0. Однако, /3 и в могут
меняться при изменении у и z, что включает в рассмотрение модуляцию,
вызванную поперечной неустойчивостью. Мы вводим также параметр
возмущения е, записывая решение в виде ф = Ф9(х\ (3) exp (i0/e). После
интегрирования £ по а; усреднённый лагранжиан выражается через
параметры солитона /3 и в следующим образом:
(£) = i J C(x1z)dx = -y/p(ez + el)^l0y2-s2^/%
(6.1.15)
где \х = (1/12)(1 +7г2/12) и нижний индекс означает производную.
Варьирование (С) по в ведёт к закону сохранения энергии, тогда
как варьирование по /3 приводит к уравнению эйконала.
Модуляционные уравнения для солитонов впервые были получены этим методом
Маханьковым [16], а впоследствие они были обобщены включением
дисперсионных и диссипативных эффектов. Стационарное решение
получившихся уравнений отвечает невозмущённой планарной солитонной
полосе. Например, модуляционные уравнения для керровского
солитона имеют решение /3 = /?о и в = ujqz + 0q» где u>o и 0q — постоянные;
это решение отвечает светлому солитону НУШ.
Хотя газодинамические уравнения для эллиптической задачи
неустойчивости приводят к возникновению сингулярностей,
дисперсионные или диссипативные эффекты высших порядков могут
подавить экспоненциальное нарастание модуляции. В зависимости
от типа эффекта высшего порядка в общем случае можно выделить
четыре различных сценария динамики самофокусировки, вызванной
неустойчивостью:
— волновой коллапс, или формирование цепочки двумерных
локализованных сингулярностей вдоль фронта планарного солитона;
— монотонный переход от планарного солитона к периодической
цепочке двумерных солитонов;

6.2. Пространственные солитоны в сплошной среде 225
— распад планарного солитона на локализованные состояния,
которые постепенно расплываются из-за дисперсии;
— квазиповторение, то есть периодический рост и убывание
поперечной модуляции вдоль фронта планарного солитона.
Обобщённые модуляционные уравнения, способные описать эти
четыре сценария, обычно необходимо решать численно. Как исключение,
можно найти явное аналитическое решение, если исходное
нелинейное уравнение интегрируется методом обратной задачи рассеяния [5].
Часто можно найти приближённые аналитические решения
модуляционных уравнений, используя малоамплитудные асимптотические
разложения. Применяя такие методы, можно показать, что светлые
солитоны эллиптического НУШ (сг^ = 4-1) представляют первый
сценарий, а светлые солитоны гиперболического НУШ (ad = -1) следуют
третьему сценарию. Тёмные солитоны, в зависимости от начальных
параметров, могут демонстрировать второй или четвёртый сценарий
динамики, вызванной неустойчивостью.
6.2. Пространственные солитоны в сплошной среде
В этом разделе мы остановимся на распространении пучков
непрерывного излучения в сплошной нелинейной среде и выберем сг^ = 4-1
в НУШ (6.1.3). В отсутствие нелинейности пучок расширяется из-за
дифракции. Возможность самофокусировки и самоканалирования
оптических пучков в нелинейных средах была предсказана в начале
1960-х годов [18, 19]. С тех пор эти явления интенсивно изучались
теоретически и экспериментально [20-23]. Самоканалированный
пучок непрерывного излучения представляет пространственный солитон,
ограниченный в обоих поперечных направлениях. Такие солитоны
можно найти, анализируя осесимметричные решения (2-1- 1)-мерного
НУШ. В этом разделе мы остановимся на форме и устойчивости таких
решений.
6.2.1. Структура и устойчивость солитонов. Как обсуждалось
в 1.2.3, распространение оптического пучка линейно поляризованного
непрерывного излучения в среде с насыщающейся самофокусировочной
нелинейностью описывается уравнением (1.2.12). Если принять модель
насыщения нелинейности в виде пп\(1) = П2//О + I/h)* где Is —
интенсивность насыщения, и использовать нормировку, аналогичную
применённой в (1.2.13), мы получим следующее (2+ 1)-мерное НУШ:
Поперечный лапласиан в цилиндрических координатах имеет вид
Т72 _ д2 . д? д2 . 1 д 1 д /г00\
v^e? + a^ = ^ + r^ + ?W (622)

226
Гл. 6. Двумерные солитоны
Чтобы найти солитонные решения, примем, что решение имеет
форму и = Uexp(iqz), где U не зависит от z, a q играет роль
собственного значения, представляющего сдвиг постоянной распространения
(О < q < 1). Полагая, что пучок сохраняет осевую симметрию при
распространении, так что U не зависит от 0, сводим (6.2.1) к простому
обыкновенному дифференциальному уравнению для U(r):
I (<?и 1 du\
2\dr2 r dr)
\u\2u _
= qU.
(6.2.3)
1+|£/|2
Считая, что амплитуда пучка максимальна при г = 0 и стремится
к нулю при г —► оо, найдём, что это уравнение следует решать при
граничных условиях
d£
dr
r=0
dU
dr
= 0.
(6.2.4)
4
0 h
-2 L
л = 0
л=1
л = 2
Л\
Нетрудно показать, что (6.2.3) при каждом значении q имеет много
решений, каждое из которых представляет ограниченное состояние,
такое, что форма пучка сохраняется при распространении [24-26].
Принято обозначать это
семейство двумерных
пространственных солитонов как Un(r\q), где
целое число п принимает
значения п = 0,1,2,... и
выбирается так, что n-е решение
имеет п узлов, где поле
обращается в нуль. На рис. 6.3
показаны три первые профиля
амплитуды, полученные численно
при q = 0,5 и п = 0,1,2.
Каждый из этих профилей
отвечает двумерному
пространственному солитону. Безузловое
решение (п = 0) называют
фундаментальным солитоном.
Устойчивость
фундаментального солитона можно изучить,
применяя общую теорию
устойчивости, развитую в гл. 2 для одномерных солитонов. В рамках
обобщённого НУШ устойчивость можно определить, вычислив мощность
оо
самоканалированного ограниченного решения Рп = 27г J A„(r) r dr
о
и применив критерий устойчивости Вахитова-Колоколова dPo/dq > 0.
Оказывается, что фундаментальные двумерные солитоны НУШ (6.2.1)
всегда устойчивы в среде с насыщающейся нелинейностью (но не
в керровской среде). Устойчивость солитонов высших порядков сп^ 1
10
Радиальная координата
20
Рис. 6.3. Радиальный профиль
двумерных пространственных солитонов,
формирующихся в среде с
насыщающейся нелинейностью при q = 0,5 [26]

6.2. Пространственные солитоны в сплошной среде 227
не описывается этим критерием и должна быть изучена численно.
Численное моделирование показывает, что все солитоны высших порядков
неустойчивы и распадаются при распространении [26-28]. Однако,
инкремент неустойчивости зависит от типа нелинейности и может быть
кардинально уменьшен в средах с насыщающейся нелинейностью.
На рис. 6.4 показано, как поперечная неустойчивость для моды
с п = 1 может быть ослаблена при использовании большой входной
мощности. При низких уровнях мощности (Р <С Р3) нелинейная среда
аналогична керровской, и ограниченная мода после распространения на
расстояние 25 дифракционных длин распадается на пять филаментов
(левый ряд). Такой распад пучка непрерывного излучения называют
филаментацией пучка. При высоких уровнях мощности (Р ^> Ps) фи-
ламентация не происходит вплоть до z = 25, как это видно из правого
ряда рис. 6.4. Подчеркнём, что неустойчивость не устраняется, а только
ослабляется. Если пучок непрерывного излучения распространяется на
длинной трассе, он постепенно распадётся на филаменты, независимо
от уровня входной мощности.
z = 25 z = 25
Рис. 6.4. Подавление поперечной неустойчивости солитона первого порядка
(п = 1) при высоких входных мощностях. Профили входных (сверху) и
выходных (внизу) пучков при низком (слева) и высоком (справа) уровнях
мощности [28]
Аналогично случаям, обсуждавшимся в гл. 2, динамика устойчивых
двумерных солитонов включает продолжительные осесимметричные

228
Гл. 6. Двумерные солитоны
осцилляции амплитуды солитонов [29, 30] — явление, которое можно
объяснить в помощью внутренних мод, связанных с нарушением
фазовой симметрии [31]. Внутренние моды служат собственными
функциями линейного оператора, получающегося линеаризацией НУШ около
солитонного решения. Для определения внутренних мод запишем
возмущённое солитонное решение в виде
[/(г, 0; z) = U9(r) + фк(г) exp [i(\z + кв)] + фЦг) ехр [-»(А** + кв)],
(6.2.5)
где Us(r) представляет фундаментальный солитон, фк и грк служат
малыми возмущениями, А — собственное значение и к — целое число,
представляющее угловую зависимость возмущения. В случае
насыщающейся нелинейности могут быть найдены по меньшей мере четыре
такие внутренние моды (к = 0,1,2,3) [28].
Численные результаты, полученные при возмущении амплитуды
солитона домножением её на множитель (1 + е) с е — 0,2, изображены
на рис. 6.5. Левый рисунок показывает, как осциллирует при
распространении амплитуда в центре пучка (при г = 0). Частота осцилляции
близка к частоте, связанной с внутренней модой с к = 0 (примерно
0,2187 в нормированных единицах). Для анализа радиационного
затухания этих осцилляции на рис. 6.5,6 показаны радиальные профили
\U(r)\ при трёх значениях расстояния. Примечательно, что испускание
рассеянного излучения из-за этих внутренних осцилляции
чрезвычайно мало, что указывает на то, что осцилляции сохраняются на очень
больших расстояниях 0.
50 100 150 200 250
z
z = 40
z=120
z = 200
Рис. 6.5. Эволюция фундаментального солитона под действием осесимметрич-
ных возмущений: зависимость осевой амплитуды солитона \и(г = 0, z)\ от z
(а); профили солитона при трёх значениях z (б) [28]
Осцилляции, вызванные внутренней модой с к ф 0, изменяют не
только амплитуду, но и форму двумерного солитона. Если солитон
') Аналитический расчёт нелинейного затухания таких внутренних мод
содержится в [136*]. (Прим. ред.)

6.2. Пространственные солитоны в сплошной среде 229
Рис. 6.6. Эволюция фундаментального солитона под действием возмущения,
возбуждающего внутреннею моду с к = 2. Контуры амплитуды солитона
\U(r,z)\ показаны в плоскости х—у для пяти расстояний [28]
возмущён только модой с к = 2, такие осцилляции весьма устойчивы.
Действие возмущения в виде внутренней моды состоит в удлинении
фундаментального солитона в одном направлении; визуально
представляется, что солитон в возмущённом состоянии испытывает вращение.
Это видно из рис. 6.6, где форма солитона показана контурами его
амплитуды |t/(r, z)\ в плоскости х—у для пяти расстояний. Видно, что
фундаментальный солитон под действием возмущения в виде
внутренней моды с к = 2 вращается против часовой стрелки. Это является
интересным и наглядным свойством внутренних осцилляции,
связанных с двумерными солитонами. Если солитон возбуждён одновременно
модами с к = 2 и к = —2, его эволюция существенно отличается.
6.2.2. Непараксиальные солитоны. (2+ 1)-мерное НУШ (6.2.1),
использованное в предшествовавшем анализе, основано на скалярном
и параксиальном приближениях. Когда ширина пучка уменьшается
вследствие самофокусировки, оба этих приближения начинают
нарушаться. Тогда для оценки важности эффектов, не учитываемых
скалярным НУШ, существенно использование полной системы уравнений
Максвелла.
Параксиальное приближение или, эквивалентно, приближение
медленно меняющейся амплитуды справедливо, когда характерный
поперечный масштаб (такой как ширина пучка w) много больше
длины волны света А. Ограниченность применимости скалярного НУШ
становится ясной из анализа самофокусировки в керровской среде.
Действительно, в этом случае НУШ предсказывает катастрофический
коллапс осесимметричных оптических пучков, когда входная мощность
превышает критическое значение (см. гл. 7). Очевидно, однако, что при
коллапсе пучка его ширина будет приближаться к оптической длине
волны А, и в этом случае параксиальная теория неприменима.
Непараксиальные и все другие эффекты высших порядков можно
полностью учесть прямым решением полной системы уравнений
Максвелла. В одном из подходов строгое решение этих уравнений ищется
в форме
Е(х, у, z, t) = А(г±) exp (ipz - iu0t), (6.2.6)

230
Гл. 6. Двумерные солитоны
где z — направление распространения излучения, г± = (х2 + у2)1/2 —
радиус в поперечной плоскости и /? — постоянная распространения при
оптической частоте о>о- Это решение отвечает пространственному соли-
тону, так как его огибающая не зависит от z. Такие непараксиальные
решения в виде самоканалированных пучков (то есть
непараксиальные солитоны) были получены ещё в 1964 г. [32, 33]. Показано, что,
в отличие от основанной на НУШ параксиальной теории, результаты
весьма чувствительны к поляризации излучения. Для
поперечно-электрической (ТЕ) поляризации с единственной ненулевой составляющей
электрической напряжённости Ех непараксиальный солитон является
решением скалярного волнового уравнения и имеет ту же форму, что
и солитон НУШ в параксиальном приближении [34]. В геометрии
планарного волновода это решение имеет привычную форму
гиперболического секанса, так что Ах = asch(ax). Ширина солитона w ~ a"1
может быть произвольно мала при достаточно большой постоянной
распространения /3. Для поперечно-магнитной (ТМ) поляризации
электрическая напряжённость имеет две ненулевые составляющие, Ех
и EZy и форма солитона может быть найдена только численно [35-37].
Оказывается, что ширина таких солитонов не может быть произвольно
малой, и её минимально возможное значение wmm ~ А/2 [38-40].
Возможны также состояния со смешанным состоянием поляризации [41].
Аналогично одномерным скалярным солитонам НУШ, все
одномерные непараксиальные солитоны в сплошной самофокусирующей среде
неустойчивы из-за поперечной неустойчивости, обсуждавшейся в
разделе 6.1 и приводящей к филаментации в ортогональном поперечном
направлении (вдоль оси у).
С 1977 г. начали исследоваться двумерные непараксиальные
солитоны с распределенностью по обоим поперечным направлениям [42-49].
Уравнения Максвелла допускают решения в форме осесимметричных
солитонов. Однако, оказывается, что по крайней мере часть таких
непараксиальных солитонов неустойчива. Это обстоятельство было
продемонстрировано для сред с керровской и насыщающейся нелиней-
ностями для солитонов с единственной тангенциальной составляющей
поля [46]. Новый тип устойчивых, но неосесимметричных
пространственных солитонов был обнаружен в 1999 г. для керровской
нелинейности [47] и в 2001 г. для насыщающейся нелинейности [49]. Была
также предложена возможность формирования устойчивых сверхузких
субволновых двумерных пространственных солитонов (так называемых
оптических игл) [48].
6.2.3. Коллапс пучка и фи ламентация. Использование полной
векторной теории несущественно для учёта непараксиальных
эффектов. Можно стабилизировать двумерный пространственный солитон
даже в рамках скалярного приближения, как это обсуждалось ещё
в 1972 г. [50]. С тех пор во многих работах, основанных на скалярном
уравнении Гельмгольца, было показано, что поляризационные эффекты

6.2. Пространственные солитоны в сплошной среде 231
несущественны для стабилизации двумерных пространственных соли-
тонов [51-58] 0.
Основная идея исследований, основанных на скалярном волновом
уравнении, состоит в сохранении НУШ при его обобщении включением
непараксиальных поправок. Следуя выводу НУШ, указанному в
разделе 1.2.3, но, сохраняя непараксиальный член d2A/dz2, мы можем
записать обобщённое НУШ в следующей безразмерной форме:
ifz + ^iu + \u\\ + e^ = 0, (6.2.7)
где последний член учитывает непараксиальные эффекты. Малый
параметр е определяется как е = (l/2)(/?owo)~2. гДе ^о характеризует
ширину пучка. Уравнение (6.2.7) представляет некорректно
поставленную задачу Коши, ввиду чего его прямое численное решение
часто вызывает затруднения [56]. Однако, эти проблемы разрешимы,
и в 1988 г. было найдено, что при включении в (6.2.7)
непараксиального члена сингулярность не возникает [52]. Этот численный результат
подтверждается асимптотическим анализом Фибича [55], показавшего,
что коллапс пучка действительно подавляется при любом ненулевом
значении е [59, 60].
Рис. 6.7. Эволюция самофокусирующегося оптического пучка в керровской
среде, описываемая НУШ с учётом непараксиальных эффектов [57]
На рис. 6.7 демонстрируется, что непараксиальные эффекты могут
подавлять коллапс пучка 2). Полученная численным решением (6.2.7)
с входным пучком шириной wq « ЗА эволюция самофокусирующегося
') Для устойчивых поперечно двумерных пространственных солитонов,
которые согласно [47-49] могут служить конечной стадией самофокусировки
пучков с закритической мощностью, удельный вес векторных и скалярных
факторов в непараксиальных эффектах сопоставим. Поэтому рассмотрение
развитой самофокусировки в керровских средах с игнорированием векторного
характера электромагнитного поля имеет только качественный характер.
Пренебрежение векторными эффектами возможно для широких пучков, например
в средах с насыщающейся нелинейностью. (Прим. ред.)
2) Более точно, расчёты [57] выполнены для поперечно одномерных пучков,
для которых коллапс отсутствует даже в параксиальном приближении. (Прим.
ред.)

232
Гл. 6. Двумерные солитоны
пучка в керровской среде показана в плоскости x—z. Отметим, что на
этом рисунке поперечный и продольный масштабы различны. Пучок
начинает схлопываться и его ширина становится меньшей длины волны
света А на расстоянии ЗОА. Однако, непараксиальные эффекты в этой
области становятся столь сильными, что пучок не коллапсирует, а
проявляет квазипериодическое поведение и многократно испытывает
самофокусировку. В то же время часть мощности пучка рассеивается в виде
излучения сплошного спектра. Оказывается, что ответственными за
такое рассеянное излучение являются высокочастотные
пространственные составляющие, возникающие в фокальных областях. Динамика
пучка на рис. 6.7 проявляет не только колебательный характер
оптического поля, но и постепенное затухание этих колебаний, приводящее
в конце концов к формированию солитоноподобного пучка с шириной,
близкой к А. Это конечное состояние отвечает непараксиальному
пространственному солитону с ТЕ-поляризацией.
Более точные модели непараксиальной самофокусировки должны
учитывать векторные эффекты, которые связывают составляющие
с ТЕ- и ТМ-поляризациями и ведут также к обратному рассеянию,
что вызывает дополнительные энергетические потери. Векторная связь
становится существенной, когда ширина пучка сравнима с длиной
волны. Рассмотрение подавления коллапса с полным учётом векторности
выполнено в [61] и [62]. Развита также приближённая аналитическая
теория [63] на основе двух более ранних публикаций [42, 64].
Основной вывод состоит в том, что связь ТЕ- и ТМ-составляющих может
подавлять коллапс и что поляризационные эффекты того же порядка
величины, что и непараксиальные [63].
В большей части исследований коллапса пучков анализировалось
излучение с линейной поляризацией. Распространение лазерных
пучков с круговой поляризацией рассмотрено в работе 2002 г. [65]. Этот
анализ выявил принципиальное различие между двумя типами
поляризаций: линейная поляризация нарушает осевую симметрию входного
пучка, а круговая поляризация сохраняет симметрию. В результате
использование круговой поляризации более подходит для подавления
множественных филаментов. Так как создание множественных фила-
ментов ограничивает мощность каждого из филаментов, использование
круговой поляризации может приводить и к другим различиям между
этими двумя состояниями поляризации.
Численное моделирование для оптических пучков с круговой
поляризацией выявило интересное свойство двумерных пространственных
солитонов [65]. Хотя осесимметричный пучок и не разбивается на фи-
ламенты, даже слабое отклонение от совершенной симметрии
(например, слегка эллиптическая форма пучка) может приводить к филамен-
тации. Такое поведение показано на рис. 6.8 для гауссова пучка. Когда
пучок слегка эллиптичен, он трансформируется в пространственный
солитон и сохраняет форму при Р = 5Ро (рис. 6.8, а), но разбивается
на филаменты при большей мощности Р = 8,ЗРо (рис. 6.8, б). Здесь

6.3. Экспериментальные результаты
233
Рис. 6.8. Эволюция гауссова пучка эллиптической формы с круговой
поляризацией в режиме самофокусировки при мощности Р = 5Ро (а) и Р — 8,ЗР0 (б).
Осесимметричный пучок в присутствие шума при Р = ЮРо (в) [65]
Р0 — критическая мощность, при которой пучок с линейной
поляризацией испытывает коллапс. Другое найденное из расчётов
свойство состоит в том, что наличие амплитудного шума может
приводить к формированию множественных филаментов даже для пучка
с круговым сечением (рис. 6.8, в), так как амплитудные флуктуации
нарушают осевую симметрию. Поэтому для подавления филаментации
пучков с круговой поляризацией следует обращать особое внимание на
обеспечение совершенно осесимметричного входного пучка, в большей
степени, чем на формирование совершенной круговой поляризации.
Важно отметить, что для пучков с линейной поляризацией нельзя
подавить формирование множественных филаментов за счёт использования
осесимметричного входного пучка.
В нескольких других работах непараксиальные эффекты
рассматривались как для линейного, так и нелинейного режимов
распространения пучка [66-68]. В работе 1996 г. учитывались векторные явления,
но игнорировались скалярные непараксиальные эффекты [69]. Наличие
векторных явлений способствует существованию устойчивых самока-
налированных пучков, в которых связанные поперечные и продольные
поля сравнимы по величине [37]. Действительно, на окончательной
стадии самофокусировки самоканалируемый пучок приобретает форму
«оптической иглы» [49]. В случае ультракоротких лазерных
импульсов также учитывались «поперечные» непараксиальные эффекты [70].
Возможно, что наиболее точным при рассмотрении режима коллапса
пучков является численное моделирование на основе зависящих от
времени уравнений Максвелла [71, 72]; оно обсуждается в гл.7
применительно к оптическим пулям.
6.3. Экспериментальные результаты
Исторически, начиная с 1965 г., явление самофокусировки
изучалось в нескольких экспериментах при использовании таких
нелинейных сред как оптические стекла, органические и неорганические
жидкости и пары [73-78]. В то время самоканалирование не связывалось
с понятием солитонов, и его соотношение с двумерными простран-

234
Гл. 6. Двумерные солитоны
ственными солитонами было выявлено только в 1980-х годах. В 1965 г.
Пилипецкий и Рустамов впервые обнаружили формирование до трёх
филаментов при самофокусировке лазерного пучка в органических
жидкостях [73]. Годом позже Гермайер и др. наблюдали самоканали-
рование оптического пучка в жидкости CS2 [74]. Было найдено, что
входной пучок с осевой симметрией сжимается и формирует светлый
филамент с диаметром, достигающим 50 мкм. Пороговая мощность,
длина самоканалирования и вызванное нелинейностью возрастание
показателя преломления в области каналирования согласовались с
теоретическими предсказаниями. Оглядываясь на прошлое, мы можем
сказать, что это было первой экспериментальной демонстрацией объекта,
который сейчас называют пространственным солитоном.
В эксперименте Гермайер и др. пучок рубинового лазера
мощностью 10-100 кВт пропускался через диафрагму с отверстием 1 мм
для формирования дифракционно ограниченной плоской волны [74].
Диаметр пучка изменялся расположением за диафрагмой различных
линз. Развитие самоканалирования внутри ячейки с CS2 изучалось
введением пластинок микроскопа через каждые 2 см вдоль пучка для
вывода малой доли мощности вне ячейки. На рис. 6.9 показана схема
экспериментальной установки с увеличенными изображениями (8х)
профиля пучка при семи различных положениях в ячейке. Верхний
ряд (а) показывает контрольный пучок от газового лазера, а ряды
(б)-(г) отражают эволюцию самоканалированного пучка при
возрастании мощности. Обычная дифракция удваивала бы размер такого пучка
между каждыми стеклянными пластинками. Однако, из-за нелинейных
эффектов пучок распространялся без расширения и сохранял диаметр
порядка 100 мкм.
Так как интенсивность использованного в эксперименте
рубинового лазера значительно превышала порог самоканалирования для CS2
(около 25 кВт), можно было наблюдать не только формирование колец
вокруг самофокусированного пучка, но также и рост многочисленных
филаментов при мощностях, значительно превышающих порог, для
визуально однородного пучка диаметром 1 мм. Первый из двух эффектов
можно связать с осесимметричными солитонами высших порядков [24],
показанными на рис. 6.3, а второй эффект служит прямым
проявлением поперечной неустойчивости, способной вызвать пространственную
модуляцию сравнительно широкого пучка.
Детальное изучение пространственного распада широкого
оптического пучка выполнено в эксперименте 1973 г. при использовании
ячейки CS2 длиной 50 см [77]. Было найдено, что осесимметричные
кольца, создаваемые круговыми апертурами, разбиваются на
фокальные пятна, характеризующиеся угловой симметрией и регулярными
расстояниями между ними. Такой эффект можно связать с
поперечной неустойчивостью квазиплоских светлых колец, созданных входным
пучком. Действительно, число светлых пятен и критические мощности
находятся в хорошем качественном согласии с простой теорией попе-

6.3. Экспериментальные результаты
235
H->[:::::::i:":::^ $ fr fr ft $ fri
e # # • m ~m щ % ш *•*<?**
г # ^ ■*
«щ%^ \ ** ч^?ут' щ щщ Hi Hi НИН
Рис. 6.9. Самоканалирование оптического пучка внутри ячейки с CS2.
Показаны размеры пятна в семи различных поперечных сечениях. Ряды справа
отвечают введению дополнительной ячейки с CS2 (показана штрихами) для
добавления 25 см оптической трассы, а) Контроль с помощью газового лазера;
б)-г) самофокусировка при возрастающих мощностях; д) выходной пучок от
диафрагмы диаметром 1 мм [74]
речной неустойчивости [78]. В эксперименте 1975 г. использовалась
искусственная керровская среда, состоящая из субмикронных частиц
в жидкой суспензии [79]. Самоканалированные филаменты в этом
эксперименте обладали наименьшим диаметром (~2 мкм). В более
недавнем эксперименте для наблюдения самоканалирования в
спектральной области около 1600 нм использовался органический нелинейный
кристалл полидиацетилен паратолуол сульфонат [80]. Нелинейность
такого кристалла одна из самых больших, так как в этом эксперименте
пороговая мощность составляла только 1 кВт.
Вихревые кольца впервые наблюдались в эксперименте 1995 г. [81].
Вихревое кольцо отвечает светлой области формы кольца и обладает
ненулевым моментом импульса. Оно создавалось пропусканием
лазерного пучка через дифракционный фазовый транспарант и последующим
прохождением внутри ячейки с парами рубидия длиной 20 см. В
последующем эксперименте [82] использовалась среда с квадратичной
нелинейностью (кристалл КТР). Момент импульса, которым обладал
входной пучок, сильно влиял на динамику светлых пятен (то есть
пространственных солитонов), которые создавались поперечной
неустойчивостью вихревых колец; они могли притягиваться или
отталкиваться, а при некоторых условиях даже сливаться.
В эксперименте 1991 г. самофокусировка в парах натрия при
изменении мощности входного пучка от 30 до 460 мВт приводила к
множеству пятен, причём каждое пятно представляло светлый пространствен-

236
Гл. 6. Двумерные солитоны
ный солитон [83]. Наблюдалась последовательность бифуркаций,
вызванных пространственной неустойчивостью, которая усиливала
преднамеренно введённые искажения. В этом эксперименте для изменения
волнового фронта входного пучка использовался вид зависимости
коэффициента усиления поперечной неустойчивости, так что ускорялся
рост определённых частот из области неустойчивости. В результате при
изменении интенсивности излучения или настройке длины волны света
вблизи атомного резонанса могла создаваться сложная
пространственная структура; такие структуры обладали «сложностью и красотой,
соперничающими с наблюдаемыми в калейдоскопе» [83].
Анализ пространственных неустойчивостей, бифуркаций и
формирования пространственных солитонов, основанный на (2+ 1)-мерном
НУШ, справедлив, строго говоря, только для пучков непрерывного
излучения. Практически он применим и для оптических импульсов, если
они достаточно длительные. Напротив, короткие импульсы,
испытывающие самофокусировку, не схлопываются до размеров порядка длины
волны. В нескольких экспериментах было выявлено отсутствие
самоканал ирования для коротких импульсов (~50 фс) [84]. Причина связана
с наличием дисперсии групповой скорости, которая играет важную
роль и должна быть учтена. В гл. 7 такие пространственно-временные
эффекты рассматриваются при использовании (3+ 1)-мерного НУШ.
Начиная с 1993 г., для изучения самоканалирования и солитонов
используются фоторефрактивные нелинейные среды [89-97]. Их
применение позволило формировать двумерные пространственные
солитоны при сравнительно низких мощностях. В эксперименте 1996 г. [92]
к кристаллу ниобата стронция-бария (SBN) прикладывалось
электрическое поле с напряжённостью 5,8 кВ/см. Экранированные солитоны,
самоканалированные по обоим поперечным направлениям, получались
при введении пучка с необыкновенной поляризацией при А = 524 нм.
Профили пучка измерялись по всему протяжению кристалла. Самока-
налирование пучка приводит к филаментам с размером 9,6 мкм при
микроваттных уровнях мощности. Для создания (почти) осесиммет-
ричного солитона нужно было приложить напряжение 3400 В вдоль
кристаллической с-оси между двумя электродами, разнесёнными на
5,5 мм. При несколько меньшем напряжении генерировался
эллиптический солитон, более узкий в направлении, параллельном внешнему
полю. Напротив, при несколько большем напряжении создавался
солитон, более узкий в направлении, перпендикулярном полю.
На рис. 6.10 сравнивается эволюция входных пучков различной
ширины при несколько различающихся условиях эксперимента [92].
В случае рис. 6.10, а входная грань фоторефрактивного кристалла
располагалась в перетяжке пучка (где волновой фронт плоский), а для
рис. 6.10,6 эта грань расположена на расстоянии 0,5 мм от перетяжки
пучка. В каждом из этих случаев верхние рисунки показывают
профили интенсивности входного пучка (шириной 12 мкм по уровню 1/2),
на средних рисунках изображён дифракционный выход при нулевом

6.3. Экспериментальные результаты
237
Вход (перетяжка)
Горизонтальный Вертикальный
Вход (0,5 мм от перетяжки)
Горизонтальный Вертикальный
-40
40
0 40 -40 0
Выход, дифракция
Горизонтальный Вертикальный
-40
40 -40
40
Выход, солитон
Горизонтальный Вертикальный
-40
40 -40
40
-40
д. .La.
40
0 40 -40 0
Выход, дифракция
Горизонтальный Вертикальный
-40
40 -40
40
Выход, солитон
Горизонтальный Вертикальный
-40
40 -40
40
мкм
Рис. 6.10. Профили интенсивности вдоль двух поперечных направлений для
входного пучка (верхний ряд), дифракционного выхода (средний ряд) и со-
литонного выхода (нижний ряд) в случаях, когда входная грань кристалла
расположена в плоскости перетяжки входного пучка (а) и на расстоянии 0,5 мм
от плоскости перетяжки (б) [92]
напряжении (линейное распространение), а нижние рисунки
демонстрируют солитонный выход, когда за счёт приложения напряжения
смещения включаются нелинейные эффекты. Хотя два входных пучка
отличаются по ширине на 40% и более, профили солитонов на выходе
почти идентичны. Степень изменения формы пучка видна из сравнения
с профилями дифрагированных пучков в среднем ряду. В линейном
случае форма пучка заметно искажена неоднородностями среды, но
профили солитонов, показанные в нижнем ряду, сравнительно гладкие.
Вызванный модуляционной нестойчивостью распад квазипланарной
светлой пространственной солитонной полосы на последовательность
двумерных солитонов наблюдался в эксперименте [98], в котором
пучок непрерывного излучения гелий-неонового лазера (Л = 632,8 нм,
мощность 10 мВт) использовался для создания высокоэллиптичного
пучка (поперечное сечение 15 мкм х 2 мм). Этот пучок направлялся
на фоторефрактивный кристалл SBN. Переменное напряжение
прикладывалось вдоль с-оси кристалла для использования наибольшей
составляющей электрооптической нелинейности и для изменения его
амплитуды контролируемым образом.

238
Гл. 6. Двумерные солитоны
На рис. 6. И показаны распределения в ближней зоне входного (а)
и выходного (б-е) пучков при различных приложенных напряжениях
^^ (то есть различных значениях
И нелинейности). В отсутствие
напряжения (V = 0) выходной
пучок расширяется из-за
дифракции (б). При увеличении
напряжения пучок начинает
самофокусироваться (в) и формирует
самоканалированный пучок
света (г). Дальнейшее возрастание
нелинейности ведёт к
поперечной неустойчивости, и
самоканалированный щелевой пучок
распадается на набор филаментов,
как это видно из фотографий (д)
и (е). Так как к входному
пучку не добавлялся какой-либо
искусственный шум как источник
возмущений, неустойчивость
развивалась от естественного уровня
шума, присутствующего в
лазерном пучке, или шума,
добавленного внутри кристалла [99].
Необходимо отметить, что
поперечная неустойчивость планар-
ной солитонной полосы в фоторе-
фрактивных средах представляет
значительно более сложное
явление, чем в случае керровской
среды. Причина в том, что
приложенное электрическое поле
делает среду анизотропной. Для учёта этих эффектов можно обобщить
теоретический анализ 6.1.2, получив в результате следующую систему
двух уравнений для нормированной амплитуды поля и и
нормированного электростатического потенциала ф, наведённого пучком
излучения [99]:
0, (6.3.1)
Рис. 6.11. Эволюция узкой
солитонной полосы внутри фоторефрактив-
ного кристалла; (а): входной пучок,
(б)-(е): выходной пучок при
приложенном напряжении 0, 620, 900, 1290
и 1790 В, соответственно [98]
l~dz 2 1U ^xU
Vi0 + Vj.ln(l4-|u|2)V±(/>=^ln(l + |u|2).
(6.3.2)
Численное моделирование, основанное на этих уравнениях,
показывает, что по-прежнему может происходить самофокусировка
солитонной полосы. Действительно, каждое однородное решение (6.3.1)
и (6.3.2) удовлетворяет НУШ с эффективной насыщающейся
нелинейностью, так как тогда интегрирование (6.3.2) приводит к соотноше-

6.4. Взаимодействие солитонов и спиральное движение 239
нию дф/дх = (\и\2 — Uq)/(\ + Н2), где щ — постоянная. Поперечная
неустойчивость получающегося солитонного решения анализировалась
в случаях самофокусировки и самодефокусировки при использовании
метода асимптотического разложения [100].
6.4. Взаимодействие солитонов и спиральное
движение
Физика когерентного взаимодействия пространственных
солитонов сравнительно слабо зависит от типа нелинейной среды, в которой
распространяются солитоны. Как обсуждалось в гл. 2 и 3, характер
когерентного взаимодействия двух одномерных солитонов существенно
зависит от их относительной фазы в [101]; солитоны притягиваются
при б = 0и отталкиваются при в = 7г. При промежуточных значениях
солитонной фазы 0 < в < 7г солитоны взаимодействуют неупруго и
обмениваются друг с другом энергией. Это свойство сохраняется и для
двумерных солитонов. Оказывается, что в случае сплошной среды
возникают такие новые свойства как изменение направления движения
солитонов [102], их слияние [103] и даже спиральное движение вокруг
друг друга [104, 105]. В данном разделе мы остановимся на этих новых
свойствах.
6.4.1. Взаимодействие двух солитонов. Так как в керровской
среде двумерные пространственные солитоны неустойчивы,
взаимодействие и спиральное движение солитонов можно наблюдать только
в некерровских средах. Взаимодействие можно теоретически
моделировать, используя НУШ с насыщающейся нелинейностью [106] или
НУШ третьей-пятой степени [107]. Если двумерные пространственные
солитоны рассматриваются как «эффективные частицы», потенциал их
взаимодействия можно вычислить с помощью подхода коллективной
координаты [107-109]. В этом случае взаимодействие солитонов
описывается эффективным гамильтонианом
Яе<г = ?(^)2+с/ея(д) (641)
с эффективным потенциалом
Ua{R,e) = -^-I(R,e). (6.4.2)
LVdri
где т = д/2, \х — Е\Е2/{Е\ + Еъ) — приведённая масса двух солитонов
и Еп = | \ип\2 dv отвечает мощности n-го солитона (п = 1,2). Далее,
I(R) = J |ti,(|r - r,|)|2M|r - r2|)|2 dr (6.4.3)

240
Гл. 6. Двумерные солитоны
представляет интеграл перекрытия солитонов с амплитудами щ и u<i,
a R = ri - Г2 — относительное расстояние между ними. Параметр
M° = f(Rx §)•**• <6-4-4>
где ez — орт вдоль оси z, является сохраняющейся величиной,
связанной с начальным моментом импульса двух солитонов; Ма отличается
от нуля, если траектории солитонов не лежат на одной прямой линии
и прицельный параметр столкновения отличен от нуля.
Взаимодействие солитонов оказывается сравнительно сложным из-
за того, что потенциал взаимодействия C/eff зависит от относительной
фазы в. При фиксированном значении относительной фазы динамика
взаимодействия такая же, как у частицы в центральном потенциале.
В результате она должна включать различные типы замкнутых
траекторий, в том числе спиральное движение солитонов вокруг друг
друга [104]. Однако, зависимость потенциала от относительной фазы
усложняет характер взаимодействия солитонов. В частности,
спиральное движение становится неустойчивым. На рис. 6.12 показаны два
примера численных расчётов взаимодействия солитонов в случаях,
когда подход коллективной координаты предсказывает спиральное
движение вокруг друг друга. В зависимости от начального значения момента
импульса Ма два солитона в конце концов либо сливаются (ряды (а)
и (б)), либо отталкиваются (ряды (в) и (г)) из-за изменения фазы.
Отметим, что эволюция двух взаимодействующих солитонов визуально
одинакова вплоть до момента, когда они сливаются или отдаляются.
Устойчивое спиральное движение двух солитонов становится
возможным для некогерентных солитонов, так как тогда проявления фазовых
изменений подавляются [ПО, 111]. Этот случай обсуждается в гл.9
применительно к векторным солитонам.
6.4.2. Многосолитонные кластеры. В этом разделе в качестве
простого расширения задачи взаимодействия двух солитонов мы
рассмотрим возможность формирования стационарной конфигурации N
когерентно взаимодействующих солитонов. Естественно искать такую
стационарную структуру в геометрии типа кольца, аналогично
случаю движения по спирали двух солитонов. Оказывается, однако, что
такая конфигурация радиально неустойчива ввиду эффективного
напряжения, вызываемого изгибом расположения солитонов. Кольцо N
солитонов либо сжимается, либо расширяется, в зависимости от того,
является взаимодействие соседних солитонов притягивающим или
отталкивающим.
Кольцеподобную конфигурацию N солитонов может
стабилизировать простой физический механизм. Идея состоит во введении
дополнительной фазы, которая сдвигается на 2тгтп, где га — целое число,
при обходе кольца. Эта фаза вводит эффективную центробежную силу,
которая может уравновесить влияние напряжений и стабилизировать

6.4. Взаимодействие солитонов и спиральное движение 241
Рис. 6.12. Спиральное движение двух пространственных солитонов в некерров-
ской среде, приводящее к их слиянию (ряды (а) и (б)) или отдалению (ряды
(в) и (г)), в зависимости от начального момента импульса солитонов [106]
кольцеобразный солитонный кластер. Благодаря общему моменту
импульса, вызванному таким распределением фазы, солитонный кластер
будет вращаться с угловой скоростью, зависящей от числа солитонов
и целого числа т. На самом деле эта картина несправедлива для
малого числа солитонов в кольце. В частности, она неприменима к случаю
двух солитонов, так как, чтобы сделать взаимодействие солитонов
притягивающим, разность фаз соседних пучков должна быть меньше 7г/2.
Вместо этого для спирального движения двух солитонов необходим
ненулевой начальный момент импульса, как это обсуждалось выше.
Для аналитического описания солитонного кластера рассмотрим
когерентную суперпозицию N солитонов с огибающими ип(х, у, z),
где п меняется от 1 до N. Полное поле и = ^ип удовлетворяет
НУШ. Для кольца одновременно падающих на среду слабо перекры-

242
Гл. 6. Двумерные солитоны
вающихся одинаковых солитонов мы можем анализировать эволюцию
кольца, применяя следующее гауссово описание каждого двумерного
пространственного солитона:
ип = А ехр (- |r^r2w|2 + ian\ , (6.4.5)
где гп = (хпуУп) описывает положение n-го солитона и ап — его фаза.
Введённые в разделе 2.1 для одномерных солитонов три интеграла
движения могут быть обобщены на случай двух поперечных
измерений. Новой чертой двумерных солитонов является то, что следует
различать две векторные величины — импульс и момент импульса.
Действительно, для двумерных пространственных солитонов должны
сохраняться следующие три величины:
Р = [ \и\2 dr, Mi = Im IVVudr, Ma = Im l и*(г x Vu) • ez dr,
(6.4.6)
где интегрирование проводится по всей плоскости х—у. Отметим, что
в (6.4.6) фигурирует z-я составляющая момента импульса. Подставив
сюда и = ^2 ип с ип из (6.4.5), получим следующие три сохраняющиеся
величины для солитонного кластера:
Р = тга2А2 £ £ ехр (-Ynk) сое*»*, (6.4.7)
п=\ k=\
М< = \ А* Е Е ехР (-Ynk)(rn - г*) anOnk, (6.4.8)
n=lfc=l
N N
Ма = тгА2 £ Е ехр(-Уп*)(гп х r*)sin0nfc, (6.4.9)
где Ynk = |гп - rfc|2/4a2 и 0nfc = an - a^. Когда пучки расположены в
кольцевой форме, то гп = (Rcos6n, i?sin0n), где 0n = 2irn/N1 и можно
считать Ynk = (i?/a)2sin2[7r(n - fc)/iV].
Для анализа многосолитонных кластеров мы исключим движение
центра масс, полагая Mj = 0. Накладывая это ограничение на (6.4.7)-
(6.4.9), получим, что фазы солитонов должны удовлетворять условию
ai+n — a» = a]fc+n - а*. Это условие выполняется, если фаза ап зависит
от п линейно, то есть ап = п0, где в — относительная разность фаз
между двумя соседними солитонами в кольце. Привлекая для кольца N
солитонов условие периодичности an+w = ап + 27гга, где га — целое
число, найдём угол в:
0 = 2тг^. (6.4.10)
В теории поля (6.4.10) отвечает условию равенства нулю потока
энергии, так как импульс Mj = j(r)dr выражается через локальную
плотность тока j = Im (u*Wu). Поэтому (6.4.10) определяет нетриви-

6.4. Взаимодействие солитонов и спиральное движение 243
альное фазовое распределение, при котором солитоны вдоль кольца
эффективно взаимодействуют упруго. Если кольцо состоит только из
двух солитонов (N = 2), это условие даёт только два состояния с
нулевой энергией обмена. Для чётных т два солитона притягиваются
(в = 0). Напротив, они отталкиваются, если т нечётное (в = 7г).
При N > 2 условие (6.4.10) предсказывает существование
дискретного набора разрешённых состояний, отвечающих совокупности
значений в = в^ с т = 0, ±1, ....±(N - 1). Здесь знаки «+» и «-»
отвечают знаку момента импульса (аналогично случаю вихревых
солитонов, обсуждаемых в гл. 8). При любом га, таком, что в^ лежит
в интервале 7г < \в\ < 2к, соответствующий угол для — т находится
в интервале 0 < \в\ < 7г. Поэтому т и — га описывают одно и то же
стационарное состояние. Например, при N = 3 три состояния с
нулевым обменом энергией отвечают 0(°) =0, 0^ = 27г/3 и 0^ = 47г/3,
так что 0(±!) *-» в^2\ Поэтому целесообразно ограничить допустимые
значения в интервалом 0 ^ в ^ 7г, учитывая, что все разрешённые соли-
тонные состояния дважды вырождены по отношению к знаку момента
импульса. Абсолютная величина момента импульса обращается в нуль
на обоих краях этого интервала, когда m = 0 при любом N и когда
т = N/2 при чётном N. Число т определяет полный набег фазы по
кольцу и играет роль топологического заряда для соответствующей
дислокации волнового фронта.
Чтобы объяснить основные свойства солитонных кластеров
кольцевой формы, рассмотрим среду с насыщающейся керровской
нелинейностью с F(I) = 1/(1 + si), где / = |гх|2. Во-первых, мы применим
вариационный метод и найдём параметры одиночного солитона,
аппроксимируемого (6.4.5). При s=l/2 получим А = 3,604 и а = 1,623.
Далее, подставив (6.4.5) в гамильтониан
оо
[[ [^|2-^М2 + ^1п(1Ч-5Н2)] dxdy, (6.4.11)
н =
мы можем вычислить эффективный потенциал взаимодействия U(R)
U(R) = H{R)/\H(oo)\. (6.4.12)
При любом значении N мы найдём три различных типа потенциала
взаимодействия (6.4.12). Они показаны на рис. 6.13 при N = 5. Так как
только один из этих трёх потенциалов имеет минимум при конечном
расстоянии Я, кластер, устойчивый по отношению к сжатию или
расширению, может формироваться только при этом потенциале.
Детальное численное моделирование на основе НУШ для
различных значений N подтверждает предсказания подхода эффективных
частиц. Согласно рис. 6.13, при ш = 0 эффективный потенциал
всегда притягивающий, и поэтому кольцо из пяти софазных солитонов
должно испытывать осцилляции и, возможно, слияние. Именно такое

244
Гл. 6. Двумерные солитоны
О 12 3 4 5 6 7
Радиус кольца R
Рис. 6.13. Три примера эффективного потенциала для кольца из пяти соли-
тонов. У каждой кривой указан соответствующий топологический заряд га.
Динамически устойчивое связанное состояние возможно только при га = 1
поведение наблюдается на рис. 6.14, а. Хотя осцилляции кольца
хорошо описываются эффективным потенциалом С/(Я), динамика кольца,
наблюдаемая при численном моделировании, более сложна. Кривая
га = 2 на рис. 6.13 отвечает отталкивательному потенциалу (9 = 47г/5).
В расчётах, относящихся к этому случаю, кольцо солитонов
расширяется, как это показано на рис. 6.14, г. Эволюция связанного состояния
солитонов, отвечающая минимуму эффективного потенциала U(R) на
рис. 6.13 (для га = 1), показана на рис. 6.14, б. В этом случае
ненулевой момент импульса приводит к отталкивающей центробежной силе,
которая уравновешивает эффективное притяжение между солитонами.
Чтобы провести аналогию между кластером солитонов и твёрдым
телом, нужно сосчитать момент инерции I кластера и его угловую
скорость £2:
I = | \u\2r2dr, П = Ма/Х. (6.4.13)
В случае, изображённом на рис. 6.14,6, найденное из расчёта значение
угловой скорости О, ~ 7г/20 ~ 0,157, тогда как из (6.4.13) следует
И = 0,154. Численное моделирование выявляет существование
«возбуждённых состояний», связанных с этим стационарным состоянием.
Одно из таких состояний показано на рис. 6.14, в; в нём присутствуют
колебания вокруг положения равновесия с периодом zp = 22. Такое
колебательное состояние «TV-солитонной молекулы» демонстрирует
радиальную устойчивость связанного состояния, что согласуется с
приближением эффективных частиц.
Предыдущий анализ справедлив для любых N, и он позволяет
классифицировать все возможные сценарии по величине скачка фазы в
между соседними солитонами в кольце. Главные результаты анализа
следующие. При в = 0 кольцо N солитонов сжимается после несколь-

6.4. Взаимодействие солитонов и спиральное движение 245
z = 0
z = 8
J I L
z=12
J I L
•o:
z = 20
о
z = 24
-10 0 10
a
0
z = 0
J L
ф
z = 20
J L
t
z=30
J L
Ф
z = 40
z = 0
Сж>
У
Z=ll \
J I L
Г5
J I L
z = 33
J L
z = 44
z = 0
J ! L
о о
z = 4
J I L
z=8 w
J ! L
Mm
@
-10 0 10
б
-10 0 10 -
(в
z=16 ©
10 О 10
Рис. 6.14. Четыре сценария эволюции кольца из пяти солитонов в среде
с насыщающейся нелинейностью, а) т = 0, сжатие и слияние,
сопровождающиеся осцилляциями; б) т = 1, стационарное связанное состояние с До = 3;
в) т = 1, возбуждённое связанное состояние с периодом осцилляции zp — 22;
г) т = 2, отталкивание солитонов. Начальный радиус кольца Я = 5 во всех
случаях, за исключением (б)
ких осцилляции. Если значение в лежит в диапазоне 0 < в ^ 7г/2,
взаимодействие между солитонами будет притягивающим, величина
наведённого момента импульса ненулевой, и становится возможным
вращающееся связанное состяние N солитонов. Напротив, если в на-

246
Гл. 6. Двумерные солитоны
ходится в диапазоне 7г/2 < в ^ 7г, взаимодействие солитонов отталки-
вателъное и кольцо солитонов расширяется с вращением или без него
(при в = 7г), аналогично обсуждаемым ниже пучкам типа ожерелья
[112-115]. Например, в случае N = 3 возможны два состояния с в = О
и в = 27г/3 > 7г/2, но ни одно из них не стационарно.
При N = 4 и га = 1 значение 0 будет 7г/2, и стабилизация
взаимодействующих солитонов в кольцевом кластере вполне возможна.
При численном моделировании найдено, что такие кластеры являются
долгоживущими объектами, которые вращаются при распространении
на много дифракционных длин. Однако, аналогично сценарию
распада вихря, обсуждаемому в следующем разделе, кластеры солитонов
азимутально неустойчивы, и они распадаются после сравнительно
длительного распространения на несколько фундаментальных солитонов,
которые разлетаются в разных направлениях. Вращение различных
кластеров, наблюдаемое в численном моделировании (см. рис. 6.14)
всегда по часовой стрелке при положительных га в (6.4.10); то есть,
кластер вращается в направлении, противоположном градиенту фазы,
что резко отличается от поведения пучка типа ожерелья [114],
показанного ниже на рис. 6.17.
Отталкивание и последующая дифракция индивидуальных
субпучков в самоканалированной кольцеподобной структуре служит главным
физическим механизмом её распада. Как обсуждается ниже в этой
книге, некогерентное взаимодействие между составляющими
векторного кольцеобразного пучка позволяет компенсировать отталкивание
субпучков и создать новый тип квазистационарной самоканалируемой
структуры, которая проявляет свойства пучков типа ожерелья и
солитонов типа кольцевого вихря. Физический механизм создания таких
составных векторных кольцеобразных кластеров напоминает механизм,
ответственный за формирование так называемых солитонных глюонов
[116] и многогорбых векторных уединённых волн [117]. Его можно
объяснить балансом сил взаимодействия, действующих между
когерентными и некогерентными компонентами составного солитона.
6.5. Солитоны с моментом импульса
Явление самоканалирования обычно связывают с оптическими
пучками, для которых область с существенной интенсивностью является
односвязанной (оптические поля без узлов). Однако, с 1966 г. было
известно, что квазиустойчивое самоканалирование может также
происходить с оптическими пучками, которые обладают осевой симметрией,
но имеют одно или несколько колец [25]. Недавно было найдено, что
неосесимметричные пучки формы «ожерелья» квазиустойчивы в том
смысле, что они сравнительно медленно расширяются в
самофокусирующей керровской среде [112]. Все эти самоканалированные структуры
обладают нулевым моментом импульса, и поэтому при
распространении они не вращаются.

6.5. Солитоны с моментом импульса
247
Новый класс вращающихся самоканалированных оптических
пучков был введён в 1985 г. Кругловым и Власовым [118] О. Такие
пучки имеют кольцевую форму, и интенсивность обращается в нуль
в центре пучка и вне кольца. Они также имеют винтовую
структуру волнового фронта с сингулярностью на оси, представляющей
дислокацию волнового фронта и напоминающей структуру оптического
вихря [119]. Такой оптический пучок можно интерпретировать как
пространственный солитон высшего порядка, несущий ненулевой
угловой момент импульса. Его называют также вихревым солитоном.
В течение 1990-х годов такие кольцеобразные вихревые солитоны были
найдены для различных видов нелинейной среды [120-122], включая
среды с квадратичной нелинейностью [123-126]. Кроме того, численно
и аналитически было показано, что такие кольцеобразные вихревые
пучки испытывают неустойчивость, нарушающую осевую симметрию,
и постепенно распадаются на несколько фундаментальных солитонов
[120-126]. Эта неустойчивость, нарушающая симметрию, наблюдалась
экспериментально для сред с керровской и квадратичной
нелинейностью [81, 82].
Стабилизация кольцеобразных вихревых солитонов возможна в
некоторых исключительных случаях, например при конкурирующих
квадратичной и самодефокусировочной нелинейностях [127-130].
Оказывается, что кольцеобразные структуры, несущие целый или дробный
момент импульса квазиустойчивы, когда они имеют вид
модулированных пучков формы ожерелья [112] или векторного солитона формы
кольцеобразного ожерелья [131]. Для векторного пучка возможно
также самоканалирование вращающихся структур в виде
«пропеллерных солитонов» [132]. В этом разделе мы остановимся на скалярных
вращающихся солитонах с ненулевым моментом импульса и обсудим
эффекты векторного и параметрического взаимодействия в гл. 9 и 10,
соответственно.
6.5.1. Вращающиеся солитоны. Исходным служит (2 + 1)-
мерное НУШ
i^ + V2±u + F{I)u = Q, (6.5.1)
где / = \и\2 представляет локальную интенсивность излучения. Для
среды с насыщающейся нелинейностью функция F(I) = 1/(1 + si).
В случае слабого насыщения (si ^ 1) можно использовать разложение
F(I) = I - si2, приводящее к НУШ третьей-пятой степени.
') Такие пучки являются частным случаем рассмотренных в 1978 г.
Власовым, Гапоновым, Ерёминой и Пискуновой [137*] векторных пучков
(характеризуемых в общем случае матрицей четырёх индексов — азимутальным
и радиальным для каждой из двух круговых поляризаций), получаясь из них
при совпадении индексов для этих двух поляризаций, см. также гл. 9. (Прим.
ред.)

248
Гл. 6. Двумерные солитоны
Мы ищем пространственные солитоны, сохраняющие при
распространении профили интенсивности и фазы, полагая, что решение
имеет вид
и(х, у, z) = U{x, у) exp [ikz + 1ф(х% у)), (6.5.2)
где U и ф представляют амплитуду и фазу солитона, соответственно, и
к — постоянная распространения. Подставив (6.5.2) в (6.5.1), получим
два связанных уравнения для амплитуды и фазы солитона:
Vif/ - kU - (Vi^f U + F(U2)U = О, (6.5.3)
Vi0 + 2(V±0)(V± In U) = 0. (6.5.4)
Рассмотрим сначала случай постоянной фазы, положив ф = фо. Этот
случай уже анализировался ранее, в разделе 6.2, где было показано,
что все локализованные решения должны иметь осевую симметрию,
так что U(x,y) = С/(г), где г = у/х2 + у2. Решения этого типа
включают фундаментальный (колоколообразный) солитон и солитоны
высших порядков с несколькими кольцами вокруг центрального пика [24,
25]. Основным параметром, характеризующим такой пространственный
солитон, служит его мощность Р, определяемая (6.4.6). Семейство
поперечно движущихся солитонов можно получить, применив
преобразование Галилея г —► г — 2qz и ф —> ф + q- (г — qz), где v = 2q —
поперечная скорость солитона. Такие движущиеся солитоны
характеризуются импульсом
Mi = Im [vTVudv = | V0 U2 dr. (6.5.5)
Для фундаментального солитона М/ = qP, где Р — мощность
солитона.
Вихревые светлые солитоны, впервые обсуждавшиеся в 1985 г.
[118], отвечают светлым пространственным солитонам, чьё поле
зависит не только от радиальной координаты г, но и от
азимутальной координаты (угла) в. Это обстоятельство приводит к ненулевому
моменту импульса таких солитонов. Вихревые солитоны отвечают
решениям (6.5.3) и (6.5.4) с осесимметричной амплитудой U(r), такой,
что U = 0 в центре пучка г = 0. Они обладают также вращающейся
спиральной фазой, изменяющейся линейно при изменении полярного
угла в, так что ф = тв. Скорость вращения квантована условием, что
поле не должно меняться при изменении в на 2п. Из этого условия
следует, что т должно быть целым. На рис. 6.15, а показаны
распределения интенсивности для нескольких значений ш, включая
фундаментальный солитон (га = 0) и вихревые солитоны (га ^ 1) в среде
с насыщающейся нелинейностью при s = 0,5. Радиальные профили для
различных га различаются. Кроме того, мощность солитона растёт при
возрастании параметра насыщения 5, как это показано на рис. 6.15, б
и обсуждается в [133].

6.5. Солитоны с моментом импульса
249
Радиальная координата г Параметр насыщения s
Рис. 6.15. а) Осесимметричные вихревые солитоны в среде с насыщающейся
нелинейностью при s = 0,5 и различных значениях топологического заряда
га; га = 0 отвечает фундаментальному солитону. б) Возрастание мощности
солитона с ростом параметра насыщения s [133]
Физически индекс га означает фазовый набег при обходе центра по
кольцу максимальной интенсивности; он называется обычно
топологическим индексом или топологическим зарядом вихря. Интегралом
движения, связанным с этим видом солитонов, является аксиальная
составляющая момента импульса, определённая ранее в (6.4.6). Она
связана с фазой солитона соотношением
Ma = ^U2(r)dr, (6.5.6)
где для определения Ма через амплитуду и фазу солитона
использовалось (6.5.2). Момент импульса Ма служит важной характеристикой
вихря и рассматривается обычно как спиновый момент импульса,
чтобы отличить его от орбитального момента импульса, обсуждаемого
применительно к кластеру нескольких взаимодействующих солитонов.
Отношение S = Ма/Р можно отождествить со спином солитона.
Подставив ф = 7710 в (6.5.6), найдём, что спин вихревого солитона просто
равен его топологическому заряду, то есть S = га, и он обращается
в нуль для фундаментального солитона.
Существование кольцеобразных уединённых волн можно пояснить
с помощью простой физики. Как обсуждалось в разделе 6.1, солитон-
ные полосы, образуемые одномерными солитонами, испытывают
поперечную неустойчивость при распространении в сплошной керровской
среде [5]. Одним из способов подавить эту неустойчивость служит
использование кольцевой структуры, создаваемой из одномерной соли-
тонной полосы закручиванием вокруг её хвостов [134]. Оказывается,
что когда фаза поля зависит от радиальной координаты, кольцо квази-
стабилизируется, и даже первоначально расширяющийся пучок может
сжиматься и схлопываться [122]. Спиральные пучки с вращающейся

250
Гл. 6. Двумерные солитоны
фазой представляют другой пример нестационарных кольцеобразных
уединённых волн [120].
о
1 i i i
1
о
• •
••
1-
•
\ • 1
•
1 i
z = 0 z = 40 z = 45 z=50
Рис. 6.16. Распад вихревых солитонов с топологическим зарядом т=\ (а)
и m = 2 (б). Штриховые линии при z = 50 показывают начальные кольца
и траектории, вдоль которых разлетаются солитоны [133]
Вихревые и кольцеобразные светлые солитоны испытывают в
самофокусирующей среде другую поперечную неустойчивость, называемую
азимутальной неустойчивостью. Из-за неё кольцо распадается на
несколько движущихся фундаментальных солитонов, которые
отлетают от кольца [120-123]. На рис. 6.16 приведён пример расчёта
вызванного неустойчивостью такого распада для двух вихревых солитонов
с различными топологическими зарядами. Исходные кольцеобразные
вихри распадаются в присутствии численного шума на два или
четыре фундаментальных солитона, в зависимости от их топологического
заряда (ш = 1 или 2). Так как полный момент импульса должен
сохраняться при распаде, солитоны отлетают от кольца вдоль
касательных траекторий [123]. Другими словами, исходный спиновый
момент импульса вихря преобразуется в суммарный орбитальный момент
импульса нескольких разлетающихся солитонов [108]. Такой эффект
наблюдался экспериментально для керровской [81] и квадратичной [82]
нелинейных сред.
6.5.2. Пучки в форме ожерелья. Так как распад вихревых
солитонов связан с азимутальной модуляцией их распределения
интенсивности, вызванной разрушающей симметрию неустойчивостью, можно
пытаться стабилизировать кольцевую структуру, модулируя
интенсивность или фазу входного пучка перед тем, как он падает на нелинейную
среду. Чтобы понять такой подход и связать его с вихревыми пучками,

6.5. Солитоны с моментом импульса
251
1 1
1 *•**
Г • * •
1 * • *
1- •
•
г * *
г • • ♦
1 •
L •••
г ♦
1 # *
•
♦
г • *
L • « ♦
г 1
I J
Г • л •
20
-20
it
1 • > •
* #
***
Г 1 1 #
L ♦ • 1
# 1
♦ § •
Г * # *
4 *
L |
1 # 1
L * т *
[ Ш \
*
к!
Г * *
*
1
2 = 0
г = 20
2=30
2 = 40
Рис. 6.17. Распад кольцеобразного вихря с т = 6 при различных значениях
параметра модуляции р: р = 0,95 и S ~ 5,992 (а), р = 0,5 и 5 = 4,8 (б) и р = 0
W [133]
предположим, что исходное поле (при z = 0) имеет вид
u(r, 0, 0) = С/(г) [cos (m0) + ip sin (m0)],
(6.5.7)
где p — параметр модуляции со значениями в интервале 0 < р < 1.
Структура (6.5.7) отвечает вихрю с топологическим зарядом га при
р = 1. Спин этой нестационарной структуры
5 =
2тр
1+р2
(6.5.8)
и он обращается в нуль при р —> 0.
На рис. 6.17 показаны численные результаты для такого пучка,
распространяющегося в среде с насыщающейся нелинейностью, при
трёх значениях р для 5 = 0,5 и га = 6. Если кольцевой вихрь промоду-
лирован слабо (а), при распаде он трансформируется в сложную
структуру из-за конкуренции различных мод неустойчивости. Направление
вращения этой структуры определяется, согласно (6.5.5) и (6.5.7),
градиентом фазы, который возрастает против часовой стрелки при
т > 0. При расширении кольцеобразной структуры угловая скорость
уменьшается.

252
Гл. 6. Двумерные солитоны
Когда модуляция становится более глубокой, исходный
кольцеобразный вихрь преобразуется в структуру с формой ожерелья,
показанную на рис. 6.17,6. Промодулированная кольцеобразная структура не
распадается, но расширяется при медленном вращении. По сравнению
со случаем рис. 6.17, а вращение много медленнее, потому что
начальный момент импульса (или спин) много меньше. Подобные
кольцеобразные структуры впервые были предложены в [114], вместе с
понятием дробного спина и вращающимися структурами интенсивности 0.
Когда исходный момент импульса равен нулю (р = 0), пучки с формой
ожерелья расширяются без вращения. Эти пучки формы ожерелья
детально изучены для самофокусирующих керровских сред [112], где
они испытывают квазистабильное расширение. Причина, по которой
пучки формы ожерелья не существуют в виде стационарных структур
с постоянным радиусом, связана с тем, что соседние «жемчужины»
ожерелья взаимодействуют и отталкивают друг друга [113], когда силы
их взаимодействия не сбалансированы.
Рис. 6.18. Распространение пучков Лагерра-Гаусса в керровской среде: а)
входной пучок, б) дифрагирующий пучок при низкой интенсивности, в) само-
каналируемый пучок в форме ожерелья при высоких интенсивностях [135]
Экспериментальные результаты по самоканалированию пучков
формы ожерелья появились в 1993 г. [135], ещё до развития концепции
таких пучков. На рис. 6.18 показаны экспериментальные результаты
для случая, когда входной пучок вида моды Лагерра-Гаусса высшего
порядка (рис. 6.18, а) падал на вход кюветы с CS2. Диаметр пучка
был 260 мкм а ширина лепестка около 80 мкм. Картина на выходе,
после 5 см распространения, показана на рис. 6.18,6 в случае, когда
интенсивность была достаточно низкой и нелинейные эффекты
пренебрежимо малыми. Как и следовало ожидать, диаметр пучка из-за
') Устойчивые структуры с вращающимся распределением интенсивности
известны для диссипативных оптических солитонов, рассматриваемых ниже
в гл. 14, причём вращение может происходить как при наличии дислокаций
волнового фронта, так и в их отсутствие [138*]. (Прим. ред.)

Список литературы
253
дифракции возрос до 265 мкм, тогда как ширина лепестков оставалась
близкой к 80 мкм. Когда мощность пучка постепенно возрастала,
ширина лепестков уменьшалась из-за самофокусировки. Размер лепестков
уменьшался до 30 мкм при интенсивности на уровне 5 • 107 Вт/см2
[115]. Такие самоканалируемые структуры примечательно
стабильны и позволяют транспортировать оптические пучки с мощностью,
в несколько раз превышающей критическую, при которой отдельные
гауссовы пучки из-за самофокусировки схлопнулись бы.
Список литературы
1. Кадомцев Б. Б. Коллективные явления в плазме. — М.: Наука, 1976.
2. Anile A.M., Hunter J.К., Pantano P., Russo G. Ray Methods for Nonlinear
Waves in Fluids and Plasmas. — Essex: Longman Scientific Technical, 1993.
3. Островский Л. А., Шрира В.И. // ЖЭТФ. 1976. T. 71. С 1412.
4. Шрира В. И. И ЖЭТФ. 1980. Т. 79. С. 87.
5. Kivshar Yu.S., Pelinovsky D.E. // Phys. Rep. 2000. V. 331. P. 117.
6. Кузнецов E.A., Турицын С.К. // ЖЭТФ. 1988. Т. 94. С. 119.
7. Захаров В.Е., Рубенчик A.M. // ЖЭТФ. 1973. Т. 65. С. 997.
S.KuznetsovE.A., Rubenchik A.M., Zakharov V.E. // Phys. Rep. 1986.
V. 142. P. 103.
9. Pereira N.R., Sen A., Bers A. // Phys. Fluids. 1978. V. 21. P. 117.
10. Anderson D., Bondeson A., Lisak M. // Phys. Scripta. 1979. V. 20. P. 343.
11. Кадомцев Б.Б., Петвиашвили В.И. // ДАН СССР. 1970. Т. 192. С. 753.
12. Janssen Р.А.Е.М., Rasmussen J.J. // Phys. Fluids. 1983. V. 26. P. 1279.
13. Кузнецов E.A., Мушер С.Л., Шафаренко A.B. // ЖЭТФ. 1983. Т. 37.
С.204.
14. Pelinovsky D.E. // Math. Comput. Simulations. 2001. V. 55. P. 585.
15. Whitham G.B. Linear and Nonlinear Waves. — N. Y.: Wiley, 1974. [Имеется
перевод: Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. — М.: Мир, 1977.]
16. Makhankov V.G. // Phys. Rep. 1978. V. 35. P. 1.
17. Trubnikov B.A., Zhdanov S.K. // Phys. Rep. 1987. V. 155. P. 137.
18. Аскарьян Г. А. // ЖЭТФ. 1962. Т. 42. С. 1567.
19. Chiao R. Y, Garmire E., Townes СИ. // Phys. Rev. Lett. 1964. V. 13. P. 479.
20. Shen Y.R. // Prog. Quantum Electron. 1975. V. 4. P. 1.
21. Marburger J.H. // Prog. Quantum Electron. 1975. V. 4. P. 35.
22. Shen Y.R. The Principles of Nonlinear Optics. - N.Y.: Wiley, 1984).
[Имеется перевод: Шен И. Р. Принципы нелинейной оптики. — М.: Наука,
1989.]
23. Власов СИ., Таланов В.И. Самофокусировка волн. — Н. Новгород:
Институт прикл. физ. РАН, 1997.
24. Янкаускас З.К. // Изв. вузов. Радиофизика. 1966. Т. 9. С. 412.
25. Haus НА. // Appl. Phys. Lett. 1966. V. 8. P. 128.
26. Soto-Crespo J.M., Heatley D.R., Wright E.M., Akhmediev NN // Phys.
Rev. A. 1991. V.44. P. 636.
27. Edmundson D. // Phys. Rev. E. 1997. V. 55. 7636.

254
Гл. 6. Двумерные солитоны
28. Yang J. // Phys. Rev. E. 2002. V. 66. 026601.
29. Malkin V.M., Shapiro E.G. // Physica D. 1991. V. 53. P. 25.
30. Vidal F, Johnson T. W. // Phys. Rev. E. 1997. V. 55. 3571.
31. Skryabin D. V. // J. Opt. Soc. Am. B. 2002. V. 19. P. 529.
32. Таланов В. И. // Изв. вузов. Радиофизика. 1964. Т. 7. С. 564.
33. Литвак А.Г. // Изв. вузов. Радиофизика. 1966. Т. 9. С. 675.
34. Laine Т. A., Friberg А. Т. // J. Opt. Soc. Am. В. 2000. V. 17. P. 751.
35. Елеонский В.М., Силин В. П. // Письма в ЖЭТФ. 1971. Т. 13. С. 167.
36. Елеонский В.М., Силин В.П. // ЖЭТФ. 1971. Т. 33. С. 1039.
37. Елеонский В.М.У Оганесьянц Л.Г., Силин В.П. // ЖЭТФ. 1973. Т. 36.
С. 282.
38. Granot £., Stemklar S., Isbi Y. et al. // Opt. Lett. 1997. V. 22. P. 1290.
39. Granot £., Stemklar S., Isbi Y. et al. // Opt. Commun. 1999. V. 166. P. 121.
40. Granot £., Stemklar S., Isbi Y. et al. // Opt. Commun. 2000. V. 178. P. 431.
41. Snyder A. W., Mitchell D.J., Chen Y // Opt. Lett. 1994. V. 19. P. 524.
42. Абакаров Д.И., Алопян А.А., Пекар СИ. // ЖЭТФ. 1967. Т. 25. С. 303.
43. Pohl D. И Opt. Commun. 1970. V. 2. P. 307.
44. Pohl D. II Phys. Rev. A. 1972. V. 5. P. 1908.
45. Елеонский B.M., Оганесьянц Л.Г., Силин В.П. // ЖЭТФ. 1972. Т.63.
С. 532.
46. Кирсанов Д. А., Розанов И. И. // Опт. спектроск. 1999. Т. 87. С. 390.
47. Семёнов В.Е., Розанов #.#., Высотина И. В. // ЖЭТФ. 1999. Т. 116.
С. 458.
48. Розанов И.И., Высотина И.В., Владимиров А.Г. // ЖЭТФ. 2000. Т. 118.
С. 1307.
49. Rosanov N.N., Semenov V.E., Vyssotina N.V. // J. Opt. B. 2001. V.3.
S.96.
50. Дарзниек С А., Сучков А. Ф. // Квантовая электроника. 1971. №4.
С. 109.
51. Тихонов Н.А. Ц ДАН СССР. 1976. Т. 231. С. 592.
52. Feit M.D., Fleck J. A. Jr. // J. Opt. Soc. Am. B. 1988. V. 5. P. 633.
53. Akhmediev N., Ankiewicz A, Soto-Crespo J.M. // Opt. Lett. 1993. V. 18.
P. 411.
54. Soto-Crespo J.M., Akhmediev N.N. // Opt. Commun. 1993. V. 101. P. 223.
55. Fibich G. // Phys. Rev. Lett. 1996. V. 76. P. 4356.
56. Sheppard A.P., Haelterman M. // Opt. Lett. 1998. V. 23. P. 1820.
57. Изъюров С. А., Козлов С. A. 11 Письма в ЖЭТФ. 2000. Т. 71. С. 666.
58. Chamorro-Posada P., McDonald G.5., New G.H. C. // Opt. Commun. 2001.
V. 192. P. 1.
59. Fibich G., Papanicolaou G.C // Phys. Lett. A. 1998. V. 239. P. 167.
60. Fibich G., Papanicolaou G.C. // SIAM J. Appl. Math. 1999. V. 60. P. 183.
61. Колоколов А.А., Суков А.И. 11 Прикл. механика и теор. физ. 1977. Т. 6.
С. 77.
62. Власов СИ. Ц Квантовая электроника. 1987. Т. 14. С. 1868.
63. Chi S.t Qi Guo II Opt. Lett. 1995. V. 20. P. 1598.
64. Lax M, Loisell W.H., Khight W.B. // Phys. Rev. A. 1975. V. 11. P. 1365.

Список литературы
255
65. Fibich G., Шап В. // Phys. Rev. Lett. 2002. V. 89. 013901.
66. Crosignani В., Di Porto P., Yariv A. // Opt. Lett. 1997. V. 22. P. 778.
67. Ciattoni A., Di P., Porto Crosignani В., Yariv A. // J. Opt. Soc. Am. B.
2000. V. 17. P. 809.
68. Ciattoni A., Crosignani В., Di Porto P. // Opt. Commun. 2002. V. 202.
P. 17.
69. Milsted C.S., Cantrell CD. // Phys. Rev. A. 1996. V. 53. P. 3536.
70. Blair S.t Wagner K. // Opt. Quantum Electron. 1998. V. 30. P. 697.
71. Joseph R.M., Goorjian P.M., Taflone A. // Opt. Lett. 1993. V. 18. P. 491.
72. Goorjian P.M., Silberberg Y. // J. Opt. Soc. Am. B. 1997. V. 14. P. 3253.
73. Пилипецкий И. Ф., Рустамов А.Р. // Письма в ЖЭТФ. 1965. Т. 2. С. 88.
74. GarmireE., Chiao R. Y, Townes C.H. // Phys. Rev. Lett. 1966. V. 16. P. 347.
75. Grishkowsky D. // Phys. Rev. Lett. 1970. V. 24. P. 866.
76. Bjorkholm J.E., Ashkin A. // Phys. Rev. Lett. 1974. V. 32. P. 129.
77. Campillo A.J., Shapiro S.L., Suydam B.R. // Appl. Phys. Lett. 1973. V. 23.
P. 628.
78. Campillo A. J., Shapiro S.L., Suydam B.R. // Appl. Phys. Lett. 1974. V. 24.
P. 178.
79. Ashkin A., Dziedzic J.M., Smith P. W. // Opt. Lett. 1982. V. 7. P. 276.
80. Torruellas W., Lawrence В., Stegeman G.I. // Electron. Lett. 1996. V. 32.
P. 2092.
81. Tikhonenko V., Christou /., Luther-Davies B. // J. Opt. Soc. Am. B. 1995.
V. 12. P. 2046; Phys. Rev. Lett. 1996. V. 76. P. 2698.
82. PetrovD. V., Tomer L., MartorellJ. et al. // Opt. Lett. 1998. V. 23. P. 1444.
83. Grantham J. W., Gibbs H.M., Khitrova G. et al. // Phys. Rev. Lett. 1991.
V.66. P. 1422.
84. Strickland D.y Corkum P.B. // J. Opt. Soc. Am. B. 1994. V. 11. P. 492.
85. RankaJ.K., Schirmer R.W., Gaeta A.L. // Phys. Rev. Lett. 1996. V. 77.
P. 3783.
86. Alfano R.R., Shapiro S.L. // Phys. Rev. Lett. 1970. V. 24. P. 584, 592.
87. Diddams 5.Л., Eaton H.K., Zozulya A. A., Clement T.S. // Opt. Lett. 1998.
V. 23. P. 379.
88. Zozulya A.A., Diddams S.A., Clement T.S. // Phys. Rev. A. 1998. V. 58.
P. 3303.
89. Duree G.C. Jr., Shultz J.L., Salamo G.J. et al. // Phys. Rev. Lett. 1993.
V. 71. P. 533; Opt. Lett. 1994. V. 19. P. 1195.
90. Iturbe-Castillo M.D., Marquez P.A., Aquilar J.J., Sanchez-Mondragon
Stepanov S., Vysloukh V. // Appl. Phys. Lett. 1994. V. 64. P. 408.
9\.ShihM.R, Segev AT, Valley G.C. et al. // Electron. Lett. 1995. V.31.
P. 826.
92. Shih M.F., Leach P., Segev M. et al. // Opt. Lett. 1996. V. 21. P. 324.
93. Crosignani В., Degasperis A., DelRe E. et al. // Phys. Rev. Lett. 1999.
V.82. P. 1664.
94. She W.L., Lee K.K., Lee W.K. // Phys. Rev. Lett. 2000. V. 85. P. 2498.
95. DelRe £., Ciattoni A., Agranat A.J. // Opt. Lett. 2001. V. 26. P. 908.
96. She W.L., Chan С W., Lee W.K. // Opt. Lett. 2001. V. 26. P. 1093.
97. Petter /., Denz C, Stepken A. et al. // Soc. Am. B. 2002. V. 19. P. 1145.

256
Гл. 6. Двумерные солитоны
98. Mamaev A.V., Saffman М., Anderson D.Z., Zozulya A. A. // Phys. Rev. A.
1996. V.54. P. 870.
99. Mamaev A. V., Saffman M., Zozulya A. A. // Europhys. Lett. 1996. V. 35.
P. 25.
100. Infeld E., Lenkowska-Czerwirlska T. // Phys. Rev. E. 1997. V. 55. 6101.
101. Stegeman G.J., Segev M. // Science. 1999. V. 286. P. 1518.
102. Drohm J.K., Kok L.P., Simonov Yu.A. et al. // Phys. Lett. A. 1981. V. 101.
P. 204.
103. Berge L., Schmidt M.R., Rasmussen J.J. et al. // J. Opt. Soc. Am. B. 1997.
V. 14. P. 2550.
104. Poladian L., Snyder A. W., Mitchell D.J. // Opt. Commun. 1991. V. 85.
P. 59.
105. Edmundson D.E.t Enns R.H. // Opt. Lett. 1993. V. 18. P. 1609.
106. Schj0dt-Eriksen J., Schmidt M.R., Rasmussen J.J. et al. // Phys. Lett. A.
1998. V.246. P. 423.
107. Malomed B.A. // Phys. Rev. E. 1998. V. 58. 7928.
108. Десятников А. С., Маймистов А. И. // Квантовая электроника. 2000.
Т. 30. С. 1009.
109. Mitchell D.J., Snyder A. W., Poladian L. // Electron. Lett. 1991. V. 27.
P. 848.
110. Shih M., Segev M., Salamo G. // Phys. Rev. Lett. 1997. V. 78. P. 2551.
111. Buryak A. V., Kivshar Yu.S., Shih M., Segev M. // Phys. Rev. Lett. 1999.
V.82. P. 81.
112. Soljadid M., Sears S., Segev M. // Phys. Rev. Lett. 1998. V. 81. P. 4851.
113. Soljadid M, Segev M. // Phys. Rev. E. 2000. V. 62. P. 2810.
114. Soljadid M., Segev M. // Phys. Rev. Lett. 2001. V. 86. P. 420.
115. BarthelemyA., Froehly C, Shalaby M. // Proc. SPIE. 1994. V. 2041. P. 104.
116. Ostrovskaya E.A., Kivshar Yu.S., Chen Z, Segev M. // Opt. Lett. 1999.
V. 24. P. 327.
117. Ostrovskaya E.A., Kivshar Yu.S., Skryabin D. K, Firth W. // Phys. Rev.
Lett. 1999. V. 83. P. 296.
118. Kruglov V./.f Vlasov R.A. // Phys. Rev. A. 1985. V. 111. P. 401.
119. Kivshar Yu.S., Ostrovskaya E.A. // Opt. Photon. News. 2001. V. 12(4).
P. 27.
120. Kruglov V.I., Logvin Yu.A., Volkov V.M. // J. Mod. Opt. 1992. V. 39.
P. 2277.
121. Atai J., Chen Y, Soto-Crespo J.M. // Phys. Rev. A. 1994. V. 49. R3170.
122. Afanasjev V. V. // Phys. Rev. E. 1995. V. 52. P. 3153.
123. Firth W.J., Skryabin D. V. // Phys. Rev. Lett. 1997. V. 79. P. 2450.
124. Skryabin D. V., Firth W.J. // Phys. Rev. E. 1998. V. 58. 3916.
125. Tomer L., Petrov D. V. // Electron. Lett. 1997. V. 33. P. 608.
126. Tomer L., Petrov D. V. // J. Opt. Soc. Am. B. 1997. V. 14. P. 2017.
127. Quiroga-Teixeiro M., Michinel H. // J. Opt. Soc. Am. B. 1997. V. 14.
P. 2004.
128. Towers I., Buryak A. V., Sammut R.A., Malomed B.A. // Phys. Rev. E.
2001. V.63. 055601 (R); Phys. Lett. A. 2001. V. 288. P. 292.

Список литературы
257
129. Malomed В. A., Crasovan L.-C, Michalache D. // Physica D. 2002. V. 161.
P. 187.
130. Michinel //., Campo-Tdboas /., Garcia-Ferndndez R. et al. // Phys. Rev. E.
2002. V. 65. 066604; J. Opt. B. 2001. V. 3. P. 314.
131. Desyatnikov Л.5., Kivshar Yu.S. // Phys. Rev. Lett. 2001. V. 87. 033901.
132. Carmon T.t Uzdin /?., Pigier С et al. // Phys. Rev. Lett. 2001. V. 87.
143901.
133. Desyatnikov A.S., Kivshar Yu.S. // J. Opt. B. 2002. V. 4. S. 58.
134. Lomdahl P.S., Olsen O.H., Christiansen P.L. // Phys. Lett. A. 1980. V. 78.
P. 125.
135. Bathelemy A., Froehly C, Shalaby M. et al. // Ultrafast Phenomena VIII /
Ed. by J.J. Martin et al. - Berlin: Springer, 1993. P. 299-305.
136*. Витенберг А.Б., Крепостное П.И., Попов В.О.% Розанов И.И. // Опт.
спектроск. 2002. Т. 92. С. 603.
137*. Власов С.И.у Гапонов В.А., Ерёмина И.В., Пискунова Л.В. // Изв.
вузов. Радиофизика. 1978. Т. 21. С. 521.
138*. Розанов Н.Н., Фёдоров А.В., Фёдоров СВ., Ходова Г.В. // Опт.
спектроск. 1995. Т. 79. С. 868.

Глава 7
ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫЕ СОЛИТОНЫ
Пространственные и временные солитоны, обсуждавшиеся в
предыдущих главах, служат частными случаями более широкого класса
нелинейных явлений, в которых пространственные и временные
эффекты взаимосвязаны и протекают одновременно. Когда импульс-
пучок оптического излучения распространяется в сплошной
нелинейной среде, он одновременно испытывает действие дифракции и
дисперсии, но в то же время эти два эффекта становятся связанными
из-за нелинейности среды. Такая пространственно-временная связь
приводит к множеству новых нелинейных эффектов, включая
возможность пространственно-временного коллапса или расщепления
импульса и формирования световых пуль. Эта глава посвящена изучению
таких эффектов. В разделе 7.1 вводятся основные понятия
применительно к пространственно-временной модуляционной неустойчивости.
(3 + 1)-мерное нелинейное уравнение Шрёдингера (НУШ) решается
в разделе 7.2 с особым вниманием к явлениям коллапса пучка и
формирования световых пуль. В разделе 7.3 мы остановимся на изучении
расщепления импульса, происходящего при распространении
сверхкороткого импульса в керровской среде с нормальной дисперсией. Раздел 7.4
посвящен механизмам подавления коллапса импульса в случае
аномальной дисперсии. Влияние эффектов высших порядков обсуждается
в разделе 7.5. В разделе 7.6 суммируются основные экспериментальные
результаты.
7.1. Пространственно-временная модуляционная
неустойчивость
Как обсуждалось в 1.4.1, модуляционная неустойчивость может
быть чисто пространственной (ведущей к филаментации пучка) или
же чисто временной (приводящей к формированию последовательности
импульсов), в зависимости от того, ответственна за неё дифракция
или дисперсия. Когда оба этих фактора присутствуют одновременно,
эта неустойчивость приобретает пространственно-временной характер,
так что пучок непрерывного излучения становится промодулирован-
ным и в пространстве, и по времени. Такая неустойчивость изучалась

7.1. Пространственно-временная модуляционная неустойчивость 259
в нескольких различных областях, включая гидродинамику, физику
плазмы и оптику [1-9].
Исходным служит (3+ 1)-мерное НУШ (1.3.13), допускающее учёт
дифракционных и дисперсионных эффектов, одновременно
существующих в нелинейной среде. Для обсуждения модуляционной
неустойчивости полезно записать это уравнение в ненормированной форме:
oz + 2/эь [ax*+ 8Y*) 2 ат2 +7|Л| А_0- (711)
Это уравнение совпадает с (1.2.12), за исключением того, что в
соответствии с (1.3.7) введён дополнительный член с временной
зависимостью, а также запаздывающее время Т = t- (3\z. Все параметры
в этом уравнении были введены в гл. 1. По физическому смыслу
Ро — постоянная распространения, /% — параметр дисперсии групповой
скорости (ДГС), а параметр нелинейности у = (2тг/Х)п2 ответствен за
самомодуляцию фазы (СМФ). Два последних параметра -Ди)-
могут быть положительными и отрицательными, в зависимости от типа
нелинейной среды.
В случае модуляционной неустойчивости на вход нелинейной
среды, расположенный при Z = О, падает плоская монохроматическая
волна. Нетрудно видеть, что (7.1.1) допускает плосковолновое решение
вида
А = у/10 ехр (г<£мь), (7.1.2)
где /о — интенсивность падающего излучения и 0nl = 7I0Z —
нелинейный фазовый набег, вызванный СМФ в нелинейной среде. Это
решение показывает, что, вообще говоря, плоская монохроматическая
волна могла бы распространяться без искажений, за исключением
нелинейного сдвига фазы.
Важен вопрос об устойчивости плосковолнового решения (7.1.2)
относительно слабых возмущений. Для ответа на этот вопрос следует
выполнить линейный анализ устойчивости, вводя слабое возмущение
стационарного состояния, так что
А = (у/lo +а)ехр(г</>кь), (7.1.3)
и изучая эволюцию слабого возмущения a(XtYtZ,T) в нелинейной
среде. Подставив (7.1.3) в (7.1.1) и линеаризуя по а, находим, что
эволюция а описывается уравнением
<й+2к(!?+1рН!^«°+°->=0- (7Л-4)
Линейное уравнение (7.1.4) легко решить, применяя преобразование
Фурье. Его общее решение имеет вид
а(г, Г) = а, ехр [г(К • г - ПГ)1 + а2 ехр [-г(К • г - ПГ)], (7.1.5)

260
Гл. 7. Пространственно-временные солитоны
где г = (X, У, Z), а К и О, — волновой вектор и частота плоской волны,
соответственно, связанные с отдельной компонентой Фурье
возмущения. Уравнения (7.1.4) и (7.1.5) приводят к системе двух однородных
уравнений для а\ и a<i. Эта система имеет нетривиальные решения,
только если К и ft удовлетворяют следующему дисперсионному
соотношению:
AftKl = (К2Х + К2у- fh№2){Kl + K2y- ftftft2 - 47fl>). (7.1.6)
Это дисперсионное соотношение сводится к полученному в 1.4.1 в
пределе Кх = Ку = 0 (в волноводе возмущения не дифрагируют) или
в пределе Ку = £2 = 0 (нет дисперсии, а дифракция происходит только
по одному поперечному направлению).
Дисперсионное соотношение (7.1.6) показывает, что устойчивость
плосковолнового решения (7.1.2) критически зависит не только от
пространственных и временных частот возмущения, но и от знаков
параметров 02 (нормальная или аномальная ДГС) и 7 (самофокусировка
или самодефокусировка). Плосковолновое решение (7.1.2) становится
неустойчивым, если только Кг в (7.1.6) имеет мнимую часть, так
как тогда возмущение экспоненциально нарастает с коэффициентом
усиления по интенсивности д = 2 lm(Kz). В общем случае д зависит
от Кх, Ку и П. Однако, д зависит от Кх и Ку только посредством
Ks = (К2 + Ку)х12. Полезно ввести пространственную частоту Q,s
следующим образом:
«■-(Зиг1) (71J)
С помощью частот О, и £2S коэффициент усиления модуляционной
неустойчивости можно записать в виде
3(П.П.) = |/%|(nj - Sdn2y/2(sntfc + sdtf - П*)"2, (7.1.8)
где Sd = sign(/?2) = ±1, в зависимости от знака /%, sn = sign(7) = ±1,
в зависимости от знака j (или пг), и О,2 определяется следующим
образом:
Нелинейная длина Lnl вводится как Lnl = (тЛ))"1'» она
уменьшается при возрастании интенсивности Iq. Решение (7.1.2) становится
неустойчивым, если величина g(il,ils) вещественна и положительна
для некоторых значений О, и £2а.
Уравнение (7.1.8) показывает, что, в зависимости от характера ДГС
и нелинейности (знаки Sd и sn), решение НУШ (7.1.1) в виде плоской
монохроматической волны может стать неустойчивым. Такая
неустойчивость называется пространственно-временной неустойчивостью,
так как она приводит к одновременной пространственной и
временной модуляции пучка непрерывного излучения. Нетрудно видеть, что

7.1. Пространственно-временная модуляционная неустойчивость 261
неустойчивость не возникает, когда одновременно /% и пг
отрицательны (sd = sn = —1). Для трёх остальных вариантов sj и sn существует
некоторый интервал П и Па, в котором g вещественно и положительно.
На рис. 7.1 показаны области неустойчивости в плоскости П—П8 для
этих трёх случаев. В каждом из них штриховая линия отвечает
условиям максимального усиления, а сплошные линии показывают контур
нулевого усиления.
Частота Q
Рис. 7.1. Области неустойчивости (ограничены сплошными линиями) в
плоскости П—Q3 при Sd = 1, sn = 1 (a), Sd = — 1, Sn = 1 (б) и Sd = 1, sn = — 1 (в).
Штриховые линии представляют линии максимального усиления [7]
В отсутствие дифракционных эффектов (fl5 = 0)
пространственно-временная неустойчивость сводится к временной модуляционной
неустойчивости, наблюдающейся в волоконных световодах [10]
только при аномальной ДГС (sd = -1) и положительном n<i (sn = 1).
В сплошной керровской среде наличие дифракции может приводить
к пространственным осцилляциям, которые сопровождают временные
осцилляции. Интересно, что пространственно-временная
неустойчивость не обязательно требует аномальной ДГС и может происходить
даже в среде с нормальной дисперсией. В среде с самофокусировкой
(sn = 1) и нормальной ДГС (s<* = 1) усиление возмущений происходит
на таких частотах, что
tf3 - n2<n4nj. (7.1.10)
Аналогична ситуация для среды с самодефокусировкой (sn = — 1)
с нормальной ДГС (s<f = 1), за исключением того, что О, теперь огра-

262
Гл. 7. Пространственно-временные солитоны
ничена интервалом Л
П*<П2^П* + П2С. (7.1.11)
В обоих случаях пространственно-временная модуляционная
неустойчивость может превратить пучок непрерывного излучения в
последовательность сверхкоротких импульсов, одновременно разбивая его на
пространственные нити. Случай самодефокусировки более интересен,
так как частоту повторения последовательности импульсов можно
сделать весьма большой за счёт увеличения П8 и flc.
7.2. Оптические пули и их устойчивость
Наличие пространственно-временной модуляции означает, что
комбинация самофокусировки, дифракции и дисперсии может приводить
к формированию световых волновых пакетов, которые остаются
ограниченными по всем трём пространственным координатам (конечная
длительность импульса отвечает его конечной длине по направлению
распространения). Такой ограниченный волновой пакет часто называют
световой пулей, и он представляет обобщение самоканалированных
оптических пучков во временную область. Существование и
устойчивость самоканалированных пучков в нелинейной среде изучается
с 1964 г., когда впервые было обнаружено это явление [11-14] 0.
7.2.1. Решения с сохраняющейся формой. В предыдущих
главах мы видели, что в одномерном случае НУШ имеет решения,
сохраняющие форму при распространении. Зададимся вопросом, существуют
ли такие решения в многомерном случае. Чтобы найти решения (7.1.1)
с сохраняющейся формой, удобно записать это уравнение в
безразмерной форме, введя
z = Z/Ld, x = X/w0t y = Y/w0, (7.2.1)
г = T/{wl№)U2> и = (7Ld),/2A (7.2.2)
где wo ~ масштаб пространственной ширины и Ld = AjWq —
дифракционная длина. Для нормированной амплитуды и (7.1.1) можно
записать так:
lTz + 2 (ft? + V " Sd^J + Н U = °* (7'2'3)
где sd = sign(/32).
Последнее уравнение показывает полную эквивалентность между
пространственными и временной координатами, если дисперсия
аномальна (/?2 < 0). Мы остановимся на случае аномальной ДГС и
используем эту симметрию для решения (7.2.3), положив Sd = — 1. Полезно
') Напомним, что самоканалирование световых пучков предсказано
в 1962 г. Г. А. Аскарьяном, как это и указывают авторы в гл. 2. (Прим. ред.)

7.2. Оптические пули и их устойчивость
263
ввести трёхмерный вектор R с компонентами х, уйти записать (7.2.3)
в компактной форме:
г| + ±У2ди+|и|2и = 0,
(7.2.4)
где Уд — оператор Лапласа.
Сохраняющие форму решения (7.2.4) можно получить, если искать
решение в виде
и(х, у, т, z) = U{x, у, т) exp (ixoz),
(7.2.5)
где щ — постоянная распространения. Так как U не зависит от z,
такой импульс распространялся бы без изменения пространственной
или временной формы, что приводит к световой пуле. Если записать
лапласиан в (7.2.4) в сферических координатах и ограничиться
сферически симметричными решениями, U(xty,r) будет зависеть только от
R = (я2 + у2 + т2)1/2 и удовлетворит обыкновенному
дифференциальному уравнению
\d2U (JD-1) dU_]
dRl
R dR
-xqU + U6 = Q.
3_,
(7.2.6)
Это уравнение следует решать с граничным условием £/(оо) = 0.
Параметр D принимает значения 1, 2 и 3, в зависимости от размерности
вектора R. Одномерный случай (D = 1) отвечает чисто
пространственным или временным солитонам, обсуждавшимся в предыдущих
главах. Двумерный случай (D = 2) применим к самофокусировке
пучков непрерывного излучения, он рассматривался в гл. 6. Он также
описывает распространение
импульса внутри планарных
волноводов. Трёхмерный случай
отвечает коротким оптическим
импульсам, распространяющимся в
объёмной нелинейной среде.
Как обсуждалось в 1.2.4, при
D = 1 легко найти
аналитическое решение (7.2.6) в виде
sch(fl), отвечающее либо
пространственному (R = х), либо
временному (R = т) солитону.
Для D > 1 (7.2.6) можно решить
численно. Такие численные
решения были получены при D = 2
в 1960-х годах [11]. В
действительности было найдено
бесконечное число решений (7.2.6), аналогичных фундаментальному
решению и решениям высших порядков при D = 1 [12]. Решение т-го
0 12 3 4 5
Нормированная радиальная координата
Рис. 7.2. Сохраняющие форму решения
НУШ при D = 1,2,3. Амплитуда
нормирована на 1 при R = 0 [15]

264
Гл. 7. Пространственно-временные солитоны
порядка при D = 2 проявляется как центральное пятно, окружённое га
кольцами.
В случае D = 3 (7.2.6) решалось численно. Основной интерес
представляет решение низшего порядка, так как оно отвечает световой
пуле. Это решение показано на рис. 7.2, где представлена зависимость
U(R)/U(0) от Й и её сравнение с соответствующими решениями при
D = 1 и 2. Постоянная распространения хо в каждом случае
различается и имеет значение 0,5 (D = 1), 0,2055 (D = 2) и 0,05316
для D = 3 [15]. Пиковая амплитуда Щ также различна в этих трёх
случаях. Полезно ввести параметр, представляющий энергию импульса
и определяемый соотношением
E = \\u\2dDR, (7.2.7)
где интегрирование проводится по всей области D измерений. Для
фундаментальных решений, показанных на рис. 7.2, Е = 2 при D = 1,
Е = 7,850 при D = 2 и Е = 28,87 при D = 3. Отметим, что в чисто
пространственном случае пучка непрерывного излучения Е имеет смысл
полной мощности излучения.
7.2.2. Пространственно-временной коллапс. Устойчивость
любого решения с сохраняющейся формой, найденного решением (7.2.4),
следует проверить линейным анализом устойчивости, аналогичным
применявшемуся для непрерывного излучения в разделе 7.1. Такой
анализ [16] показывает, что решения с сохраняющейся формой
устойчивы только при D = 1. При D > 1 малые флуктуации интенсивности,
ширины пучка или длительности импульса могут нарастать при
распространении и приводить к явлению, называемому пространственно-
временным коллапсом (или коллапсом пучка применительно к пучку
непрерывного излучения). Вследствие этой неустойчивости импульс
с энергией, превышающей критическое значение Ес, сжимается таким
образом, что интенсивность \и\2 становится бесконечно большой на
конечном расстоянии, тогда как пространственная и временная
протяжённость пучка стремится к нулю.
Коллапс пучков непрерывного излучения интенсивно изучался
применительно к самофокусировке [17-25]. Использованные при этом
методы могут быть применены и для изучения
пространственно-временного коллапса [26]. Для решения этой задачи полезен
вариационный метод, основанный на лагранжевой формулировке классической
механики [27]. Здесь мы следуем методу моментов, основанному на
теореме вириала [13]; в 1994 г. он был применён для изучения
влияния пространственного и временного чирпа на порог пространственно-
временного коллапса [28].
Как показано в гл. 2 и 4, для анализа свойств солитонов весьма
полезно использование законов сохранения, связанных с (1 4- 1)-мерным
НУШ. Многомерное НУШ (7.1.1) также обладает несколькими
сохраняющимися величинами [14, 21]. Энергия импульса Е, определя-

7.2. Оптические пули и их устойчивость
265
емая (7.2.7), служит трёхмерным аналогом мощности Р, введённой
как сохраняющаяся величина в (2.1.3). Инвариантность НУШ по
отношению к сдвигам координат и времени приводит к двум другим
сохраняющимся величинам:
М = Yi \ (u*VrU ~ uVru*) dDRy (7.2.8)
H=l-\(\VRu\*-\u\*)dDR. (7.2.9)
По физическому смыслу М и Н аналогичны импульсу и
гамильтониану, соответственно, введённым ранее в 2.1.1.
В методе моментов эти три сохраняющиеся величины — Еу М
и Я — используются для нахождения первого и второго моментов
величины R = (х2 + у2 + г2)1/2, определяемых соотношением
\Rn\u\2dDR
(Rn) = L. , (7.2.10)
\\u\2dDR '
где п — целое число. Пространственно-временной коллапс изучается
с помощью (статистической) дисперсии
a2 = (R2)-(R)2f (7.2.11)
где а характеризует пространственную и временную протяжённость
оптического импульса. Если а стремится к нулю, размеры пучка
уменьшаются по всем трём измерениям (х, у и г) одновременно, и пучок
подвергается пространственно-временному коллапсу.
Из (7.2.8)—(7.2.11) следует, что а2 удовлетворяет обыкновенному
дифференциальному уравнению второго порядка [28]
dz2 E
4я-^-т-2)|Ы4^я
-(£>-2)JN4<
(7.2.12)
Если выражение в квадратных скобках отрицательно, а2 убывает
монотонно с ростом длины среды z, обращаясь в нуль на конечном
расстоянии, отвечающем пространственно-временному коллапсу. В общем
случае (7.2.12) не решается из-за последнего члена. Особым является
двумерный случай (D = 2), так как тогда этот член исчезает. Мы
рассмотрим сначала случай D = 2.
7.2.3. Распространение импульса в планарных волноводах.
Рассмотрим сверхкороткий импульс, распространяющийся в планар-
ном волноводе так, что пучок дифрагирует в направлении оси х, но
ограничен по оси у. Даже в этом случае характер пространственно-
временного коллапса зависит от входных параметров, таких как
ширина пучка, длительность импульса и его энергия. Он зависит также
от того, является ли входной импульс чирпированным и искривлён

266
Гл. 7. Пространственно-временные солитоны
ли волновой фронт. Для определённости положим, что поле на входе
можно записать в виде
ti(x,T,0) = щехр
*2 J2
-0+^)^-(1+гС,)^
(7.2.13)
2Wls 2Wt
где Wa и Wt — нормированные ширина и длительность, а С3 и Ct —
параметры чирпа в пространственном и временном измерениях,
соответственно. Такое распределение поля отвечает чирпированному гауссову
импульсу в виде гауссова оптического пучка с искривлённым
волновым фронтом. Положительные и отрицательные значения С8 отвечают
сходящемуся и расходящемуся волновому фронту, соответственно.
Применительно к (7.2.13) можно легко выполнить интегрирование
в (7.2.7)-(7.2.9) и получить
Е = 7rWsWt\uo\2, M = О, (7.2.14)
-I
1+С' l+Ct Е
+
w! w? *WtW.
(7.2.15)
При D = 2 можно проинтегрировать (7.2.12) и найти, как меняется а2
при распространении излучения в нелинейной среде. Результат даётся
соотношением
a2{z) = а\ - (С, + Ct)z + (2H/E)z2, (7.2.16)
где сто — значение а при z = 0, связанное с Ws и Wt так: а\ =
= (W2 + W?)/2.
Рассмотрим сначала случай нечирпированного импульса, так что
С9 = Ct = 0. Из (7.2.16) следует, что пространственно-временной
коллапс возможен только при Н < 0. Из (7.2.15) следует, что это может
быть, только если энергия импульса превышает критическое значение,
такое что
Е > Ес = tt(Ws2 + W?)/(WsWt). (7.2.17)
Расстояние, на котором происходит коллапс, отвечает значению z, при
котором в (7.2.16) (7 = 0; оно даётся выражением zc = (-E/2H)xI2<tq.
Критическая энергия Ес и расстояние коллапса zc — это два
важные параметра, характеризующие пространственно-временной коллапс.
В частном случае W9 = Wt = 1 эти параметры следующие
Ес = 2тг, zc = (Е/Ее - 1)"1/2. (7.2.18)
Этот случай отвечает ситуации, в которой длительность входного
импульса То и ширина входного пучка wo выбраны так, что
дисперсионная длина, определяемая как Ld = T02/|/32|, равна дифракционной
длине Ld = Pow%.
Параметры пространственного и временного чирпа существенно
влияют на Ес и zc. Действительно, критическая энергия зависит от

7.2. Оптические пули и их устойчивость
267
того, положителен или отрицателен полный чирп С = C9 + Ct.
Используя (7.2.14)-(7.2.16), можно показать, что Ес и zc даются выражениями
. _ irW.Wt \(r2 , FnW! + W?\/2 r
(7.2.19)
(7.2.20)
где в(С) — ступенчатая функция Хевисайда (в = I, если С > 0, и в = 0
в противном случае). Величина Е' определяется так:
Е' = п[(1 + С23)Щ + (1+С?)Щ}=Ес + 0(С)
(7.2.21)
Поэтому Е' = Ес только если С = С3 + Ct < 0.
В качестве примера рассмотрим снова частный случай Ws = Wt= I.
Согласно (7.2.19), критическая энергия даётся соотношением
Ес={ l + (Ca-Ct)2/4
Ео \ 1
(7.2.22)
(С > 0),
+ (С2 + С?)/2 (С<0),
где Ео = 27Г — критическая энергия нечирпированного импульса.
Понятно, что чирпирование — пространственное или же временное —
способствует повышению порога
пространственно-временного
коллапса. Влияние
пространственного чирпа хорошо известно для
самофокусировки пучков
непрерывного излучения. Влияние
временного чирпа на
самофокусировку очевидно из (7.2.22).
Действительно, когда С3 и Ct равны,
порог коллапса не меняется,
если оба эти параметра
положительны, но возрастает в 1 + С\
раз, если они отрицательны. Это
можно понять, отметив, что
временной чирп, вызванный СМФ,
и пространственный чирп, вызванный самофокусировкой, оба
положительны.
Общий случай, когда Wa^Wu иллюстрирует рис. 7.3, где фактор
увеличения энергии Ес/Е0 изображён как функция Wt для нескольких
значений Ct при Ws = 1 и Са = 0. Эти значения характерны для
чирпированного гауссова импульса произвольной длительности в виде
пучка гауссовой формы, падающего на планарный волновод с плоским
волновым фронтом. Очевидно, что чирпирование импульса значительно
повышает порог коллапса.
0 12 3 4
Нормированная длительность
Рис. 7.3. Фактор увеличения энергии
для чирпированных гауссовых
импульсов. Ec/Eq в зависимости от Wt
при нескольких значениях Ct

268
Гл. 7. Пространственно-временные солитоны
7.2.4. Распространение импульса в сплошной керровской
среде. В случае сплошной керровской среды следует учесть
дифракцию в обоих поперечных направлениях. Для пучка с гауссовым
пространственным профилем при допущении различных ширин пучка
по осям х и у (пятно эллиптической формы) уравнение (7.2.13) для
входного поля принимает вид
и(х, у, т, 0) = щ ехр
(1 +tC«) х2 (1+iCy) 2 (1 +iCt) r2
2Wl 2Wl ml
(7.2.23)
где Wx и Wy — пространственные ширины, а Сх и Су — параметры
исходного чирпа во входной плоскости z = 0. Пучок дифрагирует по
пространственным направлениям х и у и расширяется по временному
измерению т. Как и ранее, можно вычислить три сохраняющиеся
величины, подставив (7.2.23) в (7.2.7)-(7.2.9):
Е = TrV2WxWyWt\uo\2, M = 0, (7.2.24)
1+С? Е
Н-Е
W? n3/2WxWyWt,
(7.2.25)
где г = х, уий случае D = 3.
Пространственно-временной коллапс импульса описывается (7.2.12)
с D = 3. Однако, это уравнение нельзя решить аналитически, так
как последний член включает объёмный интеграл и содержит поле
и(х, у, г, z), которое известно только после решения самого НУШ.
Однако, легко получить верхнюю границу для этого члена, предположив,
что импульс ограничен в пространстве и времени [28]. Действительно,
из неравенства Коши-Буняковского следует
\\u\UDR<E2/Vy (7.2.26)
где постоянная V представляет объём, в котором сосредоточена
основная часть энергии импульса. Это неравенство позволяет найти
верхнюю границу критического значения энергии импульса при
использовании обсуждавшегося выше метода. Результат даётся выражением [28]
Е = 7rV2^VWxWyWt у- 1+С? С2 ,7 2 27)
С V + 7rV2^WxWyWt^ W? ^И^ + И^ + И^У
где С = Сх 4- Су + Ct — полный чирп.
Как и в обсуждавшемся ранее случае D = 2, на процесс
пространственно-временного коллапса существенно влияет величина полного
чирпа. В качестве простого примера рассмотрим нечирпированный
импульс с одним и тем же размером пятна г^о в двух поперечных
направлениях (круговое пятно) и длительностью импульса То выбранной так,

7.2. Оптические пули и их устойчивость 269
что Ld = Ld- Для такого пучка Wx = Wy = Wt = l nCx = Cy = Ct = 0.
Тогда порог энергии пространственно-временного коллапса
WSv (7228)
Обычно V » 7г\/27г, и тогда 2?с « 37г\/27г « 23,6 даёт верхнюю границу
величины Ес. Её следует сравнить с величиной Ес = 27г, найденной
при D = 2. Влияние пространственного и временного чирпа состоит
в возрастании ЕС1 как и в случае D = 2. Фактор увеличения Ec/Eq =
= 1 4- (С| + С^ 4- С?)/3 может быть весьма большим, если полный чирп
С = Сх + Су 4- Ct отрицателен.
х Ю1
I I I I I I I I
0,00 0,05 0,10 0,15 0,00 0,05 0,10 0,15
Расстояние Расстояние
Рис. 7.4. Возрастание пиковой интенсивности при распространении чирпиро-
ванных гауссовых импульсов в керровской среде с аномальной (а) и
нормальной (б) ДГС. Изображена найденная численно зависимость \u(z, R = 0)|2/i«o
от z для трёх значений С при щ = ЬиСх = Су = 0 [28]
Численное решение многомерного НУШ, основанное на методе
расщепления Фурье [29], подтверждает, что временной чирп играет
важную роль в процессе пространственно-временного коллапса. Для
сокращения времени вычислений обычно предполагают, что пучок сохраняет
осевую симметрию. Тогда для пространственных измерений можно
применить быстрое преобразование Ханкеля [30-32]. На рис. 7.4
показано, как возрастает пиковая интенсивность вдоль длины среды для
чирпированного гауссова импульса с начальной амплитудой (7.2.23)
при щ = 5, Wx = Wy = Wt = 1 и Сх = Су = 0. Временной чирп
меняется от -5 до 5. Нечирпированный импульс (Ct = 0) с такими
параметрами коллапсирует на расстоянии z и 0,15. Однако, тот же
импульс коллапсирует быстрее при Ct = 5 и много медленнее при
Ct = -5. На рис. 7.4 показан также случай нормальной дисперсии,
в котором коллапс не происходит ни при каких значениях Ct. Ввиду

270
Гл. 7. Пространственно-временные солитоны
радикального отличия такого поведения мы обсудим распространение
импульса в нелинейной среде с нормальной дисперсией в следующем
разделе.
7.3. Режим нормальной дисперсии
Пространственно-временной коллапс, происходящий в случае
аномальной ДГС, заменяется явлением расщепления импульса, если ДГС
в нелинейной среде нормальна (/% > 0). Случай нормальной ДГС
интенсивно изучался, и для него были найдены некоторые интересные
особенности [33-43]; мы остановимся на этом случае в данном разделе,
включая локализованные волны в форме Х-волн.
7.3.1. Решения с сохраняющейся формой. Аналогично случаю
аномальной ДГС, рассмотрим сначала решения многомерного НУШ
(7.2.3) с сохраняющейся формой. При нормальной ДГС это уравнение
принимает вид
Представляется, что точных аналитических решений этого уравнения
не существует. Однако, в 1993 г. методом факторизации было найдено
приближённое решение типа уединённой волны [35].
Рассмотрим распространение короткого импульса в планарном
волноводе, положив член с производной по у равным нулю, и примем
следующий вид решения с сохраняющейся формой:
u(z, х, т) = f(x)g(r) exp {IKqz), (7.3.2)
где вид пространственной и временной функций ещё подлежит
определению. Подставив (7.3.2) в (7.3.1), получим
\ (я£ - /0) + (1/1V - Ko)fg = 0. (7.3.3)
Умножив (7.3.3) на д* и проинтегрировав результат по времени,
найдём, что /(я) удовлетворяет уравнению
Ш + (a/l/|2 + I*' " *°) 7 = °" (7-3-4)
где постоянные а/ и Ь/ определяются соотношениями
оо оо
J |p|4dr | \dg/dr\2dr
а/ = == , h = ^ . (7.3.5)
J \9\2dr J \g\2dr
—oo —oo

7.3. Режим нормальной дисперсии
271
Аналогично, умножив (7.3.3) на /* и проинтегрировав по
пространственной координате, найдём уравнение для д(т):
~l2j?+ (а*1Л2 " \Ья ~ *о) 9 = 0, (7.3.6)
где постоянные ад и Ьд определены так:
оо
[ \df/dx\2dx
=2^5 . (7.3.7)
\ \ffdx
— ОО
Нетрудно найти решения (7.3.4) и (7.3.6) в виде светлого
пространственного солитона и тёмного временного солитона, соответственно:
/(*) = schf^SJx), д(т) = th (у/а^т). (7.3.8)
При этом постоянная распространения Ко удовлетворяв? условию
Ko=\{af + bi) = ag-X-bg. (7.3.9)
Для определения четырёх параметров можно использовать (7.3.8), и
результат оказывается следующим:
о/ = 1, 6/ = 0, ад = 2/3, Ъд = 1/3. (7.3.10)
Подставив эти значения в (7.3.9), мы найдём самосогласованное
решение типа уединённой волны с Ко = 1/2.
Метод факторизации можно также использовать в трёхмерном
случае. Задавая вид решения (7.3.1) для уединённой волны (7.3.1)
u(zt х, 2/, г) = f(x)g(y)h(r) exp (iK0z) (7.3.11)
и применяя тот же подход, найдём
f(x) = sch(v/ax), g(y) = sch(y/ay), h{r) = th (or) (7.3.12)
при a = 2/3 и Ко = 2/9. Поэтому решение типа уединённой волны
имеет форму светлого солитона по двум пространственным переменным
и тёмного солитона по времени. Следует подчеркнуть, что это решение
не является точным решением (7.3.1). В действительности погрешность
можно оценить, подставив его в НУШ [25]. Устойчивость этого
решения также не гарантируется, и её следует проверить либо аналитически
линейным анализом устойчивости, либо численно. Оказывается, что
это решение типа уединённой волны неустойчиво.
7.3.2. Численное моделирование. Многомерное НУШ (7.1.1)
решалось численно методом расщепления Фурье или
конечно-разностным методом, например, методом Кранка-Николсона. Результаты
показывают, что в режиме нормальной дисперсии (/% > 0) распростра-
оо
II/I4
dx
аа =
9 — оо
| l/l2^
ь9 =

272
Гл. 7. Пространственно-временные солитоны
няющийся импульс испытывает самофокусировку по
пространственным направлениям и сначала также сжимается по времени. Однако,
значительный рост пиковой мощности в центре импульса приводит
к расщеплению импульса из-за чирпа и спектрального уширения,
вызванного СМФ.
-0,Ю
-0,05
Q05 0,10
Время, пс
Рис. 7.5. Расщепление импульса (с исходной формой гиперболического
секанса) длительностью 50 фс с гауссовым пятном размером 0,5 мм. Штриховые
кривые показывают осевую интенсивность, а сплошные — полную
интегральную мощность. Длина распространения 17,53 (а), 18,60 (б), 18,79 (в), 18,86
(г), 18,92 (д), 18,98 (е) и 19,04 см (ж). Пунктирные прямые указывают уровень
критической мощности [34]
На рис. 7.5 показан пример расщепления импульса, когда на вход
нелинейной среды падает импульс с амплитудой
А(х,у,0,Т) = у/Г0ещ> Г- (^Г-)| sch (J) , (7.3.13)
где Го — длительность импульса, го — ширина пучка и /о — пиковая
интенсивность при z = 0. Численное моделирование выполнено для
импульсов длительностью 50 фс (по полувысоте) с размером пятна
0,5 мм (тоже по полувысоте). Пиковая входная мощность,
определённая соотношением
сю
P(z = 0,Т) = ^ \A(x,y,0,T)\2dxdy, (7.3.14)

7.3. Режим нормальной дисперсии
273
в три раза превышала критическую мощность (15 МВт), оцененную
для катастрофического коллапса гауссова пучка. Штриховые кривые на
рис. 7.5 показывают осевую интенсивность |А(0,0, z,T)\2, а сплошные
кривые — проинтегрированную по поперечным координатам мощность
P(z,T). Варианты (а)-(ж) отвечают длине распространения в
диапазоне от 17,53 до 19,04 см. Расщепление импульса ясно видно из
штриховых кривых, которые показывают интенсивность в центре
пучка. Как видно из этих кривых, ДГС переносит энергию импульса из
его центра к крыльям до тех пор, пока пиковая интенсивность не
опустится ниже критического уровня, тем самым прекращая коллапс
центра импульса [34].
На рис. 7.6 показан другой пример расщепления импульса для
входного импульса с амплитудой вида (7.3.13). Численные
значения параметров импульса отвечают реальному эксперименту, в
котором импульсы титан-сапфирового лазера с синхронизацией мод
(А0 = 0,8 мкм) распространялись в объёме образца плавленного
кварца [43]. Пространственно-временные профили, показанные на рис. 7.6,
получены на расстояниях 2 и 3 см при го = 70 мкм, Го = 90 фс
и /0 = 87 ГВт/см2.
Рис. 7.6. Расщепление импульса в плавленном кварце в режиме нормальной
ДГС. Пространственно-временные профили на расстояниях 2 и 3 см показаны
вместе с изменениями длительности импульса (а) и осевой интенсивности (б)
в зависимости от z. Входной импульс имеет форму гиперболического секанса
с пиковой интенсивностью /о = 87 ГВт/см2 [43]

274 Гл. 7. Пространственно-временные солитоны
На рис. 7.6 показаны также изменения длительности импульса
и интенсивности в центре пучка с пройденным расстоянием. Сначала
интенсивность резко возрастает, а длительность импульса убывает —
свойства, проявляющиеся и в области аномальной ДГС и
приводящие к пространственно-временному коллапсу. Однако, для нормальной
дисперсии на расстоянии около 1,95 см импульс расщепляется на две
части. После этого интенсивность в центре пучка уменьшается. Два
импульса начинают отдаляться и их длительность также возрастает
после достижения минимального значения около z = 2,5 см. Последнее
свойство вызвано эффектами высших порядков, обсуждаемыми ниже
в разделе 7.5.
7.3.3. Нелинейные Х-волны. Так как в режиме нормальной ДГС
невозможна пространственно-временная локализация в виде световых
пуль, эволюция поля тогда приобретает качественные отличия и
включает такие сложные явления как временное расщепление и дробление
спектра. Поэтому не были предприняты попытки ответить на
фундаментальный вопрос: имеются ли какие-либо виды вызываемой
нелинейностью локализации в средах с нормальной дисперсией? И только
в 2002 г. было отмечено существование нового типа локализованных
волн в форме нелинейных Х-волн, или Х-волновых солитонов [44].
Х-образные волны хорошо известны в области линейного
распространения акустических [45] и электромагнитных [46] волн. Они
представляют полихроматическое обобщение бездифракционных
бесселевых пучков [47] О, которые наблюдались в акустических [48] и
оптических [49] экспериментах при использовании методов формирования
пучка. С помощью численного моделирования Конти и др. [44] нашли,
что концепция Х-волн может быть распространена и на нелинейный
режим. Принципиальное отличие между линейными и
нелинейными Х-волнами состоит в том, что формирование нелинейных волн
Х-формы происходит самопроизвольно при высоких интенсивностях
посредством самоиндуцированного изменения спектра, инициируемого
механизмом конического излучения. Поэтому следует ожидать, что
нелинейные Х-волны имеют более важное значение для экспериментов,
чем линейные Х-волны.
Чтобы найти нелинейные Х-волны, мы исходим из уравнения (7.3.1)
и ищем его солитоноподобные осесимметричные решения в виде
и(х,у,z,t) = щи(г,т) ехр(—ibz/2). Тогда нормированная амплитуда
U(r, г) удовлетворяет следующему уравнению:
g + i» ^ + Ю + ^=0, (7.3.15)
дг2 г дг дт2
где параметр 7 = 2uq характеризует уровень нелинейности.
') Критический анализ работы [47] содержится в [102*]. (Прим. ред.)

7.3. Режим нормальной дисперсии
275
Уравнение (7.3.15) следует решать при граничных условиях С/(г, т =
= ±оо) = О, U(г = оо, г) = 0 и ди(0,т)/дг = 0. Тогда как в режиме
аномальной ДГС при 6 < 0 гарантируется существование почти
раздельных световых пуль с экспоненциально затухающими хвостами,
характер локализованных решений, если только они существуют,
кардинально меняется, так как в режиме нормальной ДГС низкоинтенсивные
хвосты не могут затухать экспоненциально. Чтобы найти
локализованные решения в этом случае, в [44] использовался псевдоспектральный
численный метод для решения (7.3.15) как динамической
эволюционной задачи по г с должной дискретизацией по времени [50]; это метод
хорошо подходит для поиска сильно перекрывающихся объектов с
медленным пространственно-временным убыванием. Сходимость была
относительно быстрой при использовании в численном моделировании
следующей пробной функции:
и{г,т) = Re[(A - irf + r2]"1/2. (7.3.16)
Эта функция представляет Х-образное решение в линейном пределе
(7 = 0) при 6 = 0. Здесь Д — свободный параметр. Чем меньше
величина Л, тем сильней локализация.
На рис. 7.7 показаны два нелинейные Х-волновые решения,
полученные численным решением (7.3.15) при Д = 1 в (7.3.16). При
i) = 0 и умеренных нелинейностях (7=1) показанная в части (а)
«фундаментальная» мода обладает чёткой Х-формой в плоскости х—т
(или же V-формой в плоскости r—т). Она представляет резко
ограниченную структуру с медленным радиальным убыванием (~1/г),
сопровождающимся увеличивающимся с радиусом временным расщеплением
импульса. В случае 6=1, хотя поле сохраняет основную Х-форму,
в пространственных измерениях развиваются затухающие осцилляции,
как это видно из рис. 7.7,6 для сильно нелинейного случая (7 = 10).
13 Время Время
Рис. 7.7. Пространственно-временной профиль и(х, у = 0, т) Х-волновых соли-
тонов в керровской среде с нормальной дисперсией при 6 = 0, 7 = 1 (я) и 6 = 1,
7 = Ю (б) [44]

276
Гл. 7. Пространственно-временные солитоны
Эти результаты показывают, что в керровской среде с нормальной
дисперсией может существовать новый вид
пространственно-временной локализации. Возникающий пространственно-временной солитон
представляет недифрагирующий и бездисперсионный волновой пакет
Х-формы, и он медленно затухает в пространственных измерениях.
Такие высокоинтенсивные Х-волны, в отличие от линейных, могут
возникать самопроизвольно посредством инициирующего механизма
конического излучения и, вероятно, играют важную роль в
экспериментах.
7.4. Механизмы подавления коллапса
До сих пор рассмотрение в этой главе основывалось на
многомерном НУШ (7.1.1) для керровской среды с показателем
преломления вида п = щ + П2\А\2. В конце 1960-х годов было выяснено,
что изменение керровской нелинейности может остановить коллапс
пучков непрерывного излучения [51-53]. Примеры таких нелинейных
механизмов включают самообострение [51], насыщающуюся
нелинейность [52] и нелинейное поглощение [53]. Некоторые другие
эффекты также могут остановить коллапс пучков непрерывного излучения.
Например, если линейная составляющая показателя преломления щ
пространственно неоднородна, пространственно-временной коллапс
оптического импульса может остановиться даже в режиме аномальной
ДГС. В этом разделе мы рассмотрим несколько механизмов подавления
коллапса.
7.4.1. Насыщающаяся нелинейность. В среде с насыщающейся
нелинейностью показатель преломления сначала, при низких интенсив-
ностях J, растёт с ростом /, но затем начинает насыщаться, когда
интенсивность становится достаточно большой. Показатель преломления
такой среды можно записать в форме п = щ + П2-Р(/), где вид функции
F(I) зависит от деталей механизма насыщения. Для большинства
нелинейных сред эта функция имеет вид
^) = Т+17ли/(1-//и (7-4.1)
где Is — интенсивность насыщения; приближённый вид F(I)
справедлив при /</s. Такой тип насыщающейся нелинейности привлёк
значительное внимание [54-58].
Для среды с насыщающейся нелинейностью форма НУШ (7.1.1)
сохраняется, но в нелинейном члене \А\2 заменяется на F(|j4|2). При
использовании безразмерных переменных, введённых в 7.2.1,
нормированное НУШ принимает вид
.ди . 1 /аи t д и д и\ . „/, ,9\ л fn A rt\
гд-,+ 5 (а? + ё? ~*<Ъ?) + F(|u| )u = °- (742)

7.4. Механизмы подавления коллапса
277
Решения этого уравнения в виде пули существуют только в случае
аномальной дисперсии. Выбирая Sd = — 1, решения с сохраняющейся
формой вида
и(х, у, т, z) = U(R) exp {ix^z) (7.4.3)
получим решением обыкновенного дифференциального уравнения
- xqU + F(U2)U = 0, (7.4.4)
d2U (D-\) dU
dR2 R dR
где R = (x2 + y2 + r2)1/2; £> = 2 для планарных волноводов и D = 3
для сплошной нелинейной среды.
Численное решение (7.4.4) показывает, что U(R) зависит от R
качественно так же, как это показано на рис. 7.2 в частном случае
F(U2) = U2. Решение низшего порядка обладает единственным
максимумом при Д = 0 и отвечает световой пуле. Энергия импульса Еу
определяемая (7.2.7), зависит от х&, и производная dE/dxo позволяет
судить об устойчивости решения. Более точно, решение устойчиво,
если dE/dxo > 0. В отличие от керровского случая (когда отсутствует
насыщение нелинейности), в котором эта производная всегда
отрицательна, световые пули устойчивы для достаточно мощных импульсов,
в которых / превышает интенсивность насыщения Is.
Большего понимания можно достичь, применяя вариационный
метод, основанный на плотности лагранжиана [57]
г — р£>-1 I ди
+ 5*
D-\
[uTz-u-k)+RD~Xm^ (7A5)
X
где f(x) = \F(x)dx. (D + 1)-мерное НУШ можно вывести из £,
о
применяя уравнение Эйлера-Лагранжа. В вариационном методе
решение (7.4.4) низшего порядка аппроксимируется гауссовой функцией.
При допущении чирпа решение u{Ry z) принимает вид
и( Д, z) = А ехр
_(1+ib)£_ + ^
(7.4.6)
чирп и ф — фаза,
где А — максимальная амплитуда, а — ширина, Ь
причём все эти параметры зависят от z.
Следуя стандартному методу [57], можно вывести эволюционные
уравнения для этих четырёх параметров. Амплитудное уравнение
излишне, так как A2aD = со выражается через энергию импульса Е.
Постоянную движения со можно использовать для нахождения Л, если а
известно. Параметр чирпа также можно выразить через а, используя
простое соотношение
«*> = £& (7-4-7)

278
Гл. 7. Пространственно-временные солитоны
Эволюция a{z) определяется уравнением
U = 4 - \ №*) - А-*ЦА% (7.4.8)
dz a a
где штрих означает производную и функция h(x) определяется
выражением оо
Л(х) = f^j2)\yD~iF[xexp(-y2)]dy. (7.4.9)
О
Решение в виде пули отвечает случаю, в котором параметры импульса
не меняются при распространении. Из (7.4.8) ясно, что а не зависит
от z, если правая часть (7.4.8) обращается в нуль. Это условие
приводит к стационарному значению ао размеров пули (одновременно по
пространственным переменным и времени) в виде
оо = V2[h'(Al) - Л0-:ЭД)]-,/2. (7-4.10)
где Aq в свою очередь выражается через ао таким образом: А% = со/а^.
Устойчивость световой пули можно проверить, применяя линейный
анализ устойчивости. Линеаризация (7.4.8) по 6а = а - ао — малому
отклонению от oq — приводит к следующему уравнению для 6а:
^6а + К26а = 0, (7.4.11)
dz
где постоянная распространения К зависит от параметров пули:
К = а0~2[4 + 2D - Da0c0/i,,(4)]1/2, (7.4.12)
Решение вида пули устойчиво, если постоянная К вещественна или
К2 > 0. Это условие можно записать как dco/dAo > 0, что
эквивалентно условию устойчивости, приведённому выше.
Приведённый вариационный анализ применим к любому виду
насыщающейся нелинейности. В качестве примера рассмотрим случай
D = 3 со слабо насыщающейся нелинейностью, приведённой в (7.4.1).
Полагая F(x) =x — дх2, где \i обратно пропорционально интенсивности
насыщения, найдём функцию /(х) = х2/2 - /хх3/3 в (7.4.5). Теперь мы
можем найти h(x), вычислив интеграл в (7.4.9), и получить
h(x) = 2~ъ'2х2 - 3-5/2(2/х)х3. (7.4.13)
Подставив (7.4.10) и (7.4.12), мы сможем найти ао и условие
устойчивости этого решения. Условие устойчивости оказывается следующим
дЛЦ = £ > Щ* * 0,344, (7.4.14)
где /о — пиковая интенсивность пули. Эта величина только
приближённая, так как она основана на подстановке гауссовой формы.
Однако, можно вывести общее заключение о том, что для устойчивости

7.4. Механизмы подавления коллапса
279
пуль в среде с насыщающейся нелинейностью входная интенсивность
должна быть сравнима с интенсивностью насыщения.
Численные результаты, полученные прямым решением НУШ
(7.4.2), качественно согласуются с предсказаниями вариационного
анализа. На рис. 7.8
показана световая пуля, формиру- g 1,0
ющаяся при 10 = Is и та- | jj,8j
ких параметрах входного им- 5 0'41
пульса, что со = Aquq = 50. g од]
В этом случае сначала им- "
пульс расширяется по
пространственным переменным
и времени, но после
нескольких дифракционных длин
формируется пуля.
В случае нормальной
дисперсии в НУШ (7.4.2)
Sd = 1. В этом случае
сферически симметричных решений не существует. Всё ещё можно
использовать вариационный анализ со следующей подстановкой для
решения [58]:
Расстояние
Рис. 7.8. Световая пуля, формирующаяся
внутри среды с насыщающейся
нелинейностью при /о = Is [57]
u(R, z) = Аехр
(7.4.15)
где as и at представляют, соответственно, пространственную ширину
и временную длительность импульса, a bs и bt — соответствующие
параметры чирпа. Анализ в случае нормальной дисперсии более сложен
из-за двух дополнительных параметров. И численные, и аналитические
результаты показывают возможность нового эффекта. Если
интенсивность в импульсе превышает интенсивность насыщения и используется
приближённый вариант (7.4.1), импульс может сжиматься во времени
даже при его пространственном расширении. Этот эффект вызван тем,
что при таких условиях нелинейность становится самодефокусировоч-
ной. В действительности при I > 13 нельзя применять приближённый
вариант (7.4.1), а нужно использовать более точный вид насыщения
нелинейности.
7.4.2. Градиентные нелинейные среды. В этом разделе
изучается возможность избежать пространственно-временной коллапс при
использовании неоднородной керровской среды, в которой линейная
часть показателя преломления зависит от пространственных координат
[59-62]. Как простой пример, мы рассмотрим нелинейную среду с
градиентным показателем преломления, который можно записать в виде
п(х, у, и) = п0М + п\ (х2 4- у2) + п2/,
(7.4.16)

280
Гл. 7. Пространственно-временные солитоны
где щ определяет изменение показателя преломления в поперечных
направлениях х и у. Пример такой нелинейной среды представляет
кварцевый световод с плавным изменением показателя преломления,
для которого щ < 0.
Нетрудно обобщить НУШ, включив в него пространственную
зависимость показателя преломления (7.4.16). В нормированной форме
НУШ можно записать в виде
.ди . 1 (ои . д и cru\ . / 2 i 2\ i i i2 n tn л \п\
%Тг + 2\Ъ? + tf~Sdd?) +Зз{ Х +У)П +|U|U = 0' (7417)
где sg = sign(n0, а ширина пучка wq в (7.2.1) выбрана так, что
wq = (2к$\п\\)~1'А. Численные решения этого уравнения определяют,
будет ли входной импульс коллапсировать в пространстве и времени
или же формировать световую пулю. В дальнейшем мы остановимся
на случае аномальной ДГС (sj = -1) и световода с градиентным
показателем преломления с более высоким показателем преломления
на оси (sg = —1).
Как и ранее, для понимания физики можно использовать
вариационный метод. Плотность лагранжиана, отвечающая (7.4.17), даётся
выражением
r i f ди + ди\ , 1 (\ди\2 , \ди\2\ ,
ч
\ди\
\дт\
' + i(«, + »8)Ml-5M4- (7-418)
Принципиален выбор пробной функции. Так как одномерное НУШ
(х = у = 0) поддерживает светлые сблитоны типа гиперболического
секанса по времени, а градиентный показатель преломления
поддерживает фундаментальную пространственную моду гауссовой формы,
подходящая пробная функция имеет вид
, ч EWC1
_(l+iCs)^-±fi sch(-^)x
2W29 J \WtJ
xexp(i<t>-iCtr2/2)t (7.4.19)
где Е — энергия импульса, определённая в (7.2.7). Параметры
И^, Ws, Ct, C8 и ф могут зависеть от z и представляют,
соответственно, длительность, ширину, временной чирп, пространственный чирп
и фазу импульса.
Следуя стандартному методу [61, 62], мы найдём эволюционные
уравнения для этих пяти параметров импульса. Уравнение для фазы

7.4. Механизмы подавления коллапса
281
не связано с остальными и его можно игнорировать. Остаются четыре
уравнения:
— = -— (7 4 20)
Ж± = (w* _ ЛЛ + ^ , (7.4.21)
dz \ 9 wl) \2vW*Wt V '
^ = -CtWu (7.4.22)
Щ± = (c\ - -*Л + -^4—. (7.4.23)
Стационарные состояния, отвечающие световой пуле, находим,
полагая равными нулю производные по z в четырёх последних
уравнениях. Все такие решения не имеют чирпа, то есть С3 = С% = 0.
Из (7.4.23) следует, что длительность импульса для решения типа пули
выражается через ширину: Wt = 4nW%/E. Тогда, согласно (7.4.21), W*
удовлетворяет кубическому уравнению
W* - W] + £2/(48тг2) = 0. (7.4.24)
Имеющие физический смысл (W* > 0) корни этого уравнения
существуют, если нормированная энергия импульса Е ниже критического
значения ЕС1
Е<ЕС = 4тг(4/3)1/4 « 13,5. (7.4.25)
Поэтому пространственно-временной солитон может формироваться
в керровской среде с градиентным показателем преломления, если
энергия импульса ниже критического значения.
Устойчивость солитона в форме световой пули можно исследовать
линеаризацией (7.4.20)-(7.4.23) около стационарного значения. Такой
линейный анализ устойчивости показывает, что при одном и том же
значении энергии импульса Е существуют два решения типа пули,
но устойчиво только одно из них, для которого dWs/dE < 0 [61].
Приближённое значение ширины можно получить из (7.4.24), заметив,
что при Е <&ЕС величина Ws близка к единице и даётся выражением О
W9 « [1 - £2/(48тг2)]1/4. (7.4.26)
Соответствующая длительность импульса даётся соотношением Wt =
= 4nWg/E. Как пример, рассмотрим световод с градиентным пока-
') В этом пределе поперечная ширина близка к ширине низшей моды
градиентного волновода гио и поперечное ограничение вызвано линейным
фактором — градиентным волноводом. Поэтому здесь естественней говорить не
о подавлении коллапса и трёхмерном солитоне, а о квазиодномерном
(временном, см. гл.3) солитоне, поскольку нелинейность ограничивает волновой
пакет только по одному (продольному) направлению. Квазиодномерность
задачи и поясняет отсутствие коллапса. (Прим. ред.)

282
Гл. 7. Пространственно-временные солитоны
зателем преломления, в котором коэффициент щ выбран так, что
масштабный фактор wq = 50 мкм. Для энергии импульса Е = 2п
ширина и длительность световой пули будут около 45 мкм и 28 фс,
соответственно, если принять /?2 = -20 пс5/км на рабочей длине волны
1,55 мкм. Формирование устойчивой световой пули в такой керровской
среде возможно исключительно вследствие неоднородности
нелинейной среды.
Градиентные нелинейные среды предоставляют также возможность
формирования пули в случае самодефокусировки и нормальной
дисперсии [62]. Этот случай отвечает sj = 1, sg = — 1 и отрицательному
знаку перед нелинейным членом в (7.4.17). Без градиента показателя
преломления формирование световой пули невозможно, так как
самодефокусировка ведёт к быстрому возрастанию Ws. Однако, фокусировка,
вызванная градиентом показателя преломления, может уравновесить
это пространственное расплывание, приводя к формированию световой
пули.
7.5. Эффекты высших порядков
Для ультракоротких импульсов с длительностью меньше 1 пс
следует обобщить многомерное НУШ, включив некоторые новые эффекты,
такие как дисперсию и дифракцию высших порядков, вынужденное
комбинационное рассеяние, генерацию плазмы вследствие
многофотонного поглощения и самообострение [63-77]. В этом разделе мы
рассмотрим некоторые эффекты высших порядков и обсудим их влияние
на пространственно-временной коллапс.
7.5.1. Обобщённое нелинейное уравнение Шрёдингера.
Различные эффекты высших порядков можно разбить на две категории,
называемые здесь линейными и нелинейными 0. Линейные эффекты
высших порядков проистекают из дисперсионного соотношения
kz = [(32(u)-(kl + kl)}l/>, (7.5.1)
где кх, ку и кг — компоненты волнового вектора в среде. Разлагая
в ряд (3(и), как в (1.3.5), около несущей частоты а;о, можно записать кг
в виде [64]
*.-а+£+$**Чаи,-&(,-яЬ)-Й+ •(7-52)
где vg = l//?i — групповая скорость, Л = и — uq и к29 = к% + ку.
При преобразовании этого уравнения в пространственно-временную
') Для волновых пакетов с пространственными размерами, сравнимыми
с длиной волны, существенны также векторные (поляризационные)
непараксиальные эффекты, обсуждавшиеся для двумерных солитонов в разделе 6.2.2.
{Прим. ред.)

7.5. Эффекты высших порядков
283
область fcx, fcy, kz и £2 заменяются соответствующими
пространственными и временными производными. Следуя такому подходу, нужно
обобщить НУШ, включив новые эффекты высших порядков,
проистекающие из таких членов как k^il и fcf. Эти члены становятся важными,
только если пространственные размеры и длительность столь малы,
что приближение медленно меняющейся огибающей и параксиальное
приближение начинают нарушаться из-за значительного уменьшения
ширины пучка и длительности импульса. Однако, такое уменьшение
естественно происходит в режиме коллапса пучка, и тогда необходимо
учитывать линейные эффекты высших порядков.
Основные нелинейные эффекты высших порядков связаны с тем,
что и электронное, и ядерное движение вносят вклад в нелинейную
поляризацию вида
t
РкфЛ) = е0х{3)Е(тЛ) \ H(t-*i)|£?(p,*i)|2ctti. (7.5.3)
—оо
Функция отклика даётся выражением
R(t) = (1 - /лЖ«) + /лМ«). (7.5.4)
где /я представляет долю комбинационного рассеяния из-за ядерного
движения, а Лд(£) — функция отклика комбинационного рассеяния.
Электронный отклик по сравнению с комбинационным рассеянием
почти мгновенный. В кварцевом стекле /д « 0,18 [78].
Для ультракоротких импульсов с большой энергией следует
рассмотреть также некоторые другие нелинейные эффекты, и они
становятся особенно важными, когда импульсы распространяются в воздухе
или воде [73-77]. Новое физическое явление, которое нужно учесть —
это генерация плазмы из-за многофотонного поглощения. Этот
процесс влияет на эволюцию импульса по двум причинам. Во-первых,
многофотонное поглощение, в отличие от однофотонного — процесс
нелинейный. Во-вторых, генерируемая плазма сама поглощает свет
и может менять показатель преломления нелинейным образом.
Подставив (7.5.2)-(7.5.4) в уравнения Максвелла, получим
обобщённое НУШ. В нормированной форме оно имеет следующий вид:
ipz + \V2lU - 5 *£} + Hd{u) + Нр{ч) +
Т
и = 0, (7.5.5)
где V^ — поперечный оператор Лапласа, а То = (т^/Зо^)^2 — масштаб
длительности импульса, введённый в (7.2.2). Функция Hd{u)
учитывает дисперсионные и дифракционные эффекты высших порядков

284
Гл. 7. Пространственно-временные солитоны
и содержит производные и третьего и высших порядков. Её
функциональную форму можно записать на основе (7.5.2):
Hd{u) = -«t^J - iSst-^ (V2±u) + 69V4Lu +..., (7.5.6)
где три малых параметра определены следующим образом
St = wk' 6з1 = 2г^дь' 5a = mrd- (75J)
Функция Нр(и) в (7.5.5) учитывает нелинейные эффекты,
вызванные генерирующей плазмой. Предполагая, что плазма возникает
из-за поглощения га фотонов одновременно, можно записать этот член
так [75]:
Нр(и) = am|u|2m"2 + tfp | \и\2т dr, (7.5.8)
-оо
где ат связано с коэффициентом m-фотонного поглощения, а параметр
6Р учитывает поглощение плазмой.
7.5.2. Пространственно-временная фокусировка.
Относительная значимость линейных эффектов высшего порядка
определяется значениями трёх параметров (7.5.7). Для импульса
длительностью 100 фс, распространяющегося в кварцевом стекле на длине
волны 1,55 мкм и обладающего таким пространственным размером, что
wo = 50 мкм, примерные значения параметров следующие: 6t = 0,05,
Sst = 0,009 и Ss = 1,5 • 10"6. Генерация плазмы актуальна только при
чрезвычайно больших энергиях импульса. Во многих экспериментах
энергия импульса значительно ниже порога генерации плазмы.
Если остановиться на этом случае и предположить, что длительность
импульса 100 фс или более, можно пренебречь на начальной стадии
распространения таких импульсов всеми членами (7.5.6), за
исключением первого, ответственного за дисперсию третьего порядка. Однако,
когда ширина пучка уменьшается в процессе распространения из-за
самофокусировки, начинают становиться важными дифракционные
эффекты высших порядков. Например, если ширина пучка уменьшается
до 10 мкм, то 6st « 0,04 И(55и 0,003. В 1991 г. было показано, что при
учёте члена с даже меньшим 63 коллапс пучка непрерывного излучения
в самофокусировочной керровской среде может быть устранён [63].
Роль члена с 6st, содержащего смешанные
пространственно-временные производные в (7.5.6), впервые была изучена в 1992 г.
численно [64]. Этот член ответствен за явление пространственно-временной
фокусировки, вызванной изменением групповой скорости компонент
импульса с внеосевыми пространственными частотами. На рис. 7.9
иллюстрируется влияние пространственно-временной фокусировки на
пространственно-временной коллапс импульса формы
гиперболического секанса длительностью 50 фс с гауссовым пятном размером 80 мкм,

7.5. Эффекты высших порядков
285
-0,02 -0,01
0,02
Время, пс
Рис. 7.9. Влияние пространственно-временной фокусировки на
катастрофический коллапс начального импульса формы гиперболического секанса
длительностью 50 фс с гауссовым пятном размером 80 мкм. Для нескольких
расстояний распространения показана зависимость осевой интенсивности от
времени при учёте (сплошные кривые) и без учёта (штриховые кривые) члена,
ответственного за пространственно-временную фокусировку. Для простоты
сравнения масштаб по ординате во всех случаях разный [64]
распространяющегося в кварцевом стекле в режиме аномальной
дисперсии (/% = —22 пс2/км при А = 1,55 мкм). Пиковая мощность
входного импульса 29 МВт в 1,9 раза превышает критическую мощность
соответствующего гауссова пучка непрерывного излучения. Штриховые
кривые показывают, что импульс быстро сжимается до длительности
всего в несколько фемтосекунд, если эффекты высших порядков
игнорируются. Такое сжатие импульса, происходящее в режиме аномальной
дисперсии, вызвано явлением пространственно-временного коллапса,
обсуждавшегося выше. При включении в рассмотрение эффектов
пространственно-временной фокусировки (сплошные кривые) импульс всё
ещё сжимается, но детали сжатия совсем другие, как это видно из
рис. 7.9. Точнее, импульс задерживается, приобретает асимметричную
форму и сжимается много слабее. Кроме того, представляется, что
вблизи заднего фронта сжатого импульса формируется ударная волна
и развиваются дополнительные субимпульсы. Такое поведение
показывает, что на пространственно-временной коллапс существенно влияют
линейные эффекты высших порядков.

286
Гл. 7. Пространственно-временные солитоны
7.5.3. Вынужденное комбинационное саморассеяние. Как
видно из (7.5.5), относительная значимость нелинейных эффектов высших
порядков определяется параметром /я, функцией комбинационного
отклика Ля(£) и длительностью импульса Го. Член, пропорциональный
1/иоТо, приводит к явлению самообострения. Так как эта величина
весьма мала, пока длительность импульса не сокращается до
нескольких оптических периодов, самообострение часто можно игнорировать.
Однако, член комбинационного рассеяния ответствен за эффект,
называемый вынужденным комбинационным саморассеянием, и он
становится важным для импульсов длительностью уже несколько пико-
секунд. Его физический смысл таков. Высокочастотные компоненты
оптического импульса накачивают низкочастотные компоненты того
же импульса вследствие вынужденного комбинационного рассеяния.
В результате спектр импульса сдвигается в сторону низших частот по
мере распространения импульса в нелинейной среде. Такой
спектральный сдвиг проявляется как изменение положения импульса, так как
скорость света в среде с дисперсией зависит от частоты.
Для изучения эффектов вынужденного комбинационного
саморассеяния нам потребуется вид функции отклика комбинационного
рассеяния Ля(£). Из физических соображений следует ожидать, что
зависимость h,R(t) обладает затухающими колебаниями и может быть
аппроксимирована так [79]:
М*) = 1~±Ш^- exp (-t/Tr) sin (Qrt), (7.5.9)
S2rir
где fir и rr представляют, соответственно, частоту и время затухания
колебаний, выбираемые из условия наилучшего соответствия
реальному спектру комбинационного усиления.
Для импульсов короче 5 пс, но ещё содержащих большое число
оптических периодов (длительность >10 фс), можно упростить (7.5.5),
полагая 2
|«(t-f)|2«|«(t)|2-f^.. (7.5.10)
Введя первый момент функции нелинейного отклика
оо с»
TR= | tR(t)dt = fR J thR(t)dt, (7.5.11)
—оо —оо
и сохраняя в (7.5.5) только основные члены, мы можем записать
обобщённое НУШ таким образом:
.ди . 1п2 .г д /Г72 \ 1 о и .г д и ,
'Ж + 2Vi" "rf*5F<У^"> " 2"S? -%S,t?+

7.5. Эффекты высших порядков
287
Это уравнение учитывает большинство эффектов высших порядков
и справедливо для импульсов, даже содержащих только несколько
оптических периодов.
Численное моделирование показывает, что учёт вынужденного
комбинационного саморассеяния влияет на эволюцию импульса в случаях
и нормальной, и аномальной дисперсии. На рис. 7.10 показано, как
эффект расщепления импульса, существующий в режиме нормальной
дисперсии, меняется под действием комбинационного саморассеяния
при /д = 0,18, Тг = 50 фс и £2ГГГ = 4,2 [43]. Этот рисунок
следует сравнить с рис. 7.6, в котором комбинационным саморассеянием
пренебрегалось. Амплитуда входного поля бралась в форме (7.3.13)
с го = 70 мкм, Го = 90 фс и /0 = 87 ГВт/см2. Слева представлены
пространственно-временные профили на расстояниях 2 и 3 см. Справа
показано, как меняются при распространении длительность импульса
и интенсивность в центре пучка.
Рис. 7.10. Влияние вынужденного комбинационного саморассеяния на
расщепление импульса в режиме нормальной ДГС в плавленном кварце. Показаны
пространственно-временные профили на расстояниях 2 и 3 см (слева), а также
зависимости от z длительности импульса (а) и осевой интенсивности (б).
Параметры импульса те же, что на рис. 7.6 [43]
Основное проявление вынужденного комбинационного
саморассеяния на рис. 7.10 состоит в возникновении асимметрии двух
субимпульсов, возникающих после расщепления исходного импульса. При
z = 3 см интенсивность переднего субимпульса почти вдвое больше,
чем у заднего субимпульса. Такое поведение можно объяснить сов-

288
Гл. 7. Пространственно-временные солитоны
местным действием нормальной ДГС и комбинационного усиления.
Вынужденное комбинационное рассеяние усиливает сдвинутые в красную
область частотные компоненты импульса за счёт компонент, сдвинутых
в синюю область, а из-за ДГС красные компоненты обгоняют синие.
Общий результат состоит в том, что при распространении энергия
передаётся от заднего субимпульса к переднему. Такая
интерпретация подтверждается изменениями длительности импульса и пиковой
интенсивности. Перед расщеплением импульс сжат и его пиковая
интенсивность увеличивается в 10 раз при распространени на 2 см. Когда
начинается расщепление, пиковые интенсивности обоих субимпульсов
быстро падают, а их длительности начинают возрастать. Отметим, что
когда импульс только начинает расщепляться, пиковая интенсивность
заднего импульса больше, чем у переднего. Однако, эта тенденция
вскоре сменяется обратной из-за вынужденного комбинационного
рассеяния, и передний субимпульс становится более интенсивным.
В некоторых практических ситуациях можно пренебречь всеми
эффектами высших порядков за исключением члена, отвечающего
комбинационному рассеянию. Тогда (7.5.12) сводится к следующему более
простому НУШ:
*£+\ (v^ - °Щ+м*и - т*и&¥-=°- <7-5ЛЗ)
где коэффициент 1 — /д перед членом |u|2u устранён нормировкой и.
Важен вопрос: допускает ли (7.5.13) формирование устойчивых
пространственно-временных солитонов в случае аномальной дисперсии?
Оказывается, что хотя при учёте комбинационного рассеяния
решения типа пули не существуют, в случае аномальной ДГС (sd = — 1)
имеется приближённое аналитическое решение (7.5.13), описывающее
солитон типа фронта [35]. Точное решение (7.5.13) для солитонов
типа фронта впервые найдено в 1991 г. [80] для одномерного случая
(V^u = 0). Когда в рассмотрение включён дифракционный член,
временной солитон типа фронта связан с пространственным солитоном
таким образом, что солитоны в этой паре взаимно поддерживают друг
друга. Приближённую аналитическую форму этого решения можно
найти и для планарного волновода (дифракция только в одном
поперечном направлении), и для сплошной нелинейной среды [35]. Метод
нахождения такой солитонной пары тот же, что и использованный
в разделе 7.3. В случае волновода решение имеет вид (7.3.2), а функции
f(x) и д(т) следующие
f(x) = 8сЬ[Зл/3 */(4тд)], д(т) = ехр (Зг/4гд)[8сЬ(Зт/2гд)]1/2.
(7.5.14)
Представленное рассмотрение показывает, что при анализе
пространственно-временных эффектов для фемтосекундных импульсов
необходимо учитывать проявления комбинационного рассеяния.

7.5. Эффекты высших порядков
289
7.5.4. Многофотонное поглощение. Как упоминалось ранее, для
ультракоротких импульсов с высокой энергией необходимо учитывать
явление генерации плазмы посредством многофотонного поглощения.
В воздухе такие импульсы могут распространяться на значительные
расстояния (~100м) вследствие формирования филаментов при
генерации плазмы из-за многофотонной ионизации воздуха [73-77]. В этом
случае дисперсионные эффекты не столь существенны. Основной
механизм формирования филаментов связан с динамическим балансом
между керровской самофокусировкой и дефокусировкой, вызванной
плазмой [75].
-50
Н150Р 8зоо|Л=1,4з
-Jiooj
450
-50
ю-2
fio-*
р
и
1<Гб
"' к '
; lvw=1,7
1 \ \1,63\
-п
in
50 100 150
Частота <5о)Т„
3200 h
100 [-
Ь <р*--
I И —Интсн
Г И—Чирп
J -100
—Интенсивность
-4 -200
-300
-2 -1
0 1 2
Время х/хр
ю-2
S ю-4
и
10"6
■т 1 1
-■ /, ■ /
R
V4"
\ \
-1
1.53]
-100
) 100
Частота до)хл
Рис. 7.11. Осевая интенсивность (сплошные кривые), чирп (пунктир) и спектр
импульса на нескольких расстояниях без учёта (левый ряд) и с учётом (правый
ряд) плазменных эффектов. Пиковая мощность входных импульсов
длительностью 70 фс такова, что Р/РСТ = 1,8 в левом ряду и 2 для кривых в правом
ряду. Штриховые линии показывают полный спектр импульса [72]
Многофотонное поглощение и вызванная им генерация плазмы
существенно влияют уже на явление катастрофического коллапса пучка.
В 2000 г. в расчётах было найдено, что в конце ультракороткого
импульса, распространяющегося в керровской среде с аномальной ДГС,

290
Гл. 7. Пространственно-временные солитоны
формируется резкий фронт (оптическая ударная волна), как только
импульс приближается к точке коллапса [72]. В то же время в спектре
импульса образуется широкий пьедестал, сдвинутый в синюю область.
Это приводит к широкому спектру, называемому суперконтинуумом.
Из рис. 7.11 видно влияние плазмы на форму импульса и его спектр при
различных условиях. Хотя оптическая ударная волна и суперконтинуум
возникают и в отсутствие плазменных явлений, оба этих эффекта
существенно изменяются при формировании плазмы. Эти расчёты были
выполнены для импульсов длительностью 70 фс, распространяющихся
в образце сапфира; аналогичные эффекты ожидаются и для других
нелинейных сред.
7.5.5. Прямое решение уравнений Максвелла. Для
использования даже обобщённого НУШ при описании распространения
оптических импульсов в нелинейной среде имеется несколько
ограничений. Так, НУШ основано на приближении медленно меняющейся
огибающей, справедливом, только если пространственное и временное
изменение происходит на масштабах, значительно превышающих
оптическую длину волны и период оптических колебаний,
соответственно. Другое важное ограничение связано с пренебрежением векторной
природой электромагнитных полей. Действительно, при использовании
скалярного НУШ поляризационные эффекты полностью игнорируются.
Все эти ограничения можно устранить, если непосредственно решать
уравнения Максвелла.
Для линейных сред давно известны алгоритмы прямого решения
уравнений Максвелла методом конечных разностей со временем как
эволюционной переменной [81]. Этот метод, известный как метод
конечных разностей с временной эволюцией (КРВЭ) и
распространённый в 1990-х годах на случай нелинейных сред, применялся для
изучения эволюции фемтосекундных оптических импульсов [82-89].
Основное принципиальное различие метода КРВЭ и метода
расщепления Фурье, обычно используемого для решения НУШ, состоит в том,
что в первом из них во всех компонентах электромагнитного поля
не выделяется несущая частота и потому автоматически учитываются
все линейные и нелинейные эффекты высших порядков, если принят
должный метод расчёта поляризации оптической среды.
Численное моделирование, выполненное методом КРВЭ,
показывает, что катастрофический коллапс действительно не происходит, если
отклик нелинейной среды описывается (7.5.3), хотя керровская
нелинейность и доминирует. Ещё интересней то, что
пространственно-временные солитоны в форме световых пуль могут формироваться для
импульсов со столь короткой длительностью как 10 фс [88]. На рис. 7.12
показаны результаты решения уравнений Максвелла для планарного
стеклянного волновода при входном сигнале
Еу(Х9 0, t) = So sch[(t - Td)/T0] sch{X/w0), (7.5.15)

7.5. Эффекты высших порядков
291
Рис. 7.12. Электрическое поле для пространственно-временного солитона,
формирующегося в планарном стеклянном волноводе, в моменты времени 155, 310,
465 и 620 фс [88]
где Т0 = 10,3 фс, Td = 61,8 фс, w0 = 0,2 мкм и Е0 = 29 ГВ/м. Четыре
рисунка показывают напряжённость электрического поля в
моменты времени 155, 310, 465 и 620 фс. После начального установления
электрическое поле остаётся практически неизменным на расстояниях
распространения в 28 дифракционных длин. Это свойство указывает
на устойчивый (жёсткий) характер световой пули, формирующейся
в нелинейной среде.
Важен вопрос: являются ли такие уединённые волны действительно
солитонами, которые могут сохраняться при столкновениях? Чтобы
ответить на этот вопрос, два одинаковых импульса направлялись так,
что они распространялись в нелинейной среде в противоположных
направлениях. Результат показан на рис. 7.13. Очевидно, что солитоны
остались после столкновения практически неискажёнными.
Действительно, сравнение конечной формы импульсов на рис. 7.12 и 7.13 после
620 фс показывает, что они в сущности идентичны, за исключением
слабого запаздывания, возникающего при столкновении. Это хорошо
известное свойство одномерных солитонов, описываемых стандартным
(1 4- 1)-мерным НУШ. Новым свойством столкновения двух
многомерных солитонов служит лёгкое пространственное смещение их
траекторий. Это свойство может служить основой нелинейнооптического
переключения [88].
Метод КРВЭ определённо точнее НУШ, потому что им решаются
непосредственно уравнения Максвелла при минимальном числе
приближений. Однако, такое повышение точности достигается за счёт
заметного роста вычислительных ресурсов. Для пояснения заметим,
что временной шаг, необходимый для разрешения несущей частоты,
составляет долю периода оптических колебаний и практически должен
быть меньше 1 фс. Шаг по длине среды также должен составлять долю

292
Гл. 7. Пространственно-временные солитоны
Рис. 7.13. Столкновение двух пространственно-временных солитонов в планар-
ном стеклянном волноводе. Четыре рисунка показывают электрическое поле
в моменты времени 155, 310, 465 и 620 фс [88]
длины волны света. В результате практически использование метода
КРВЭ ограничивается импульсами с Го < 1 пс. В то же время полная
длина нелинейной среды должна быть не более 1 см. Такие расстояния
всё ещё достаточно велики для изучения световых пуль, поскольку при
фокусировке пучка в пятно с размером, сравнимым с длиной волны,
дифракционная длина уменьшается до 10 мкм или менее. Следует
подчеркнуть, что для таких вычислений суперкомпьютер не обязателен.
Например, результаты, показанные на рис. 7.13, получены за 12 минут
на однопроцессорной рабочей станции с рабочей частотой 250 МГц.
7.6. Экспериментальные результаты
Пространственно-временные эффекты для ультракоротких
импульсов наблюдались для различных нелинейных сред с 1995 г. [90-101].
В большинстве этих экспериментов использовались импульсы короче
100 фс с острой фокусировкой пучка на нелинейной среде, ввиду чего
и дифракционные, и дисперсионные эффекты играли важную роль при
распространении импульса. В этом разделе мы по отдельности
обсудим основные экспериментальные результаты, полученные в режимах
нормальной и аномальной ДГС в нелинейной среде. Сама нелинейная
среда может варьироваться от стекловолоконного световода до
открытого воздуха.
7.6.1. Режим нормальной дисперсии. Свидетельство
расщепления импульса в режиме нормальной ДГС нелинейной среды впервые
получено в эксперименте 1996 г. [42]. Импульс от лазера с
синхронизацией мод длительностью 85 фс на длине волны 800 нм с
гауссовым пятном размером 55 мкм пропускался через образец стекла ВК7
длиной 2,54 см; было найдено, что он расщепляется на два, когда

7.6. Экспериментальные результаты
293
пиковая мощность превышает 3 МВт (на 70% выше критической
мощности самофокусировки). Наличие расщепления вытекало из
регистрации трёх пиков автокорреляционной функции. В последующем
эксперименте режим расщепления импульса был изучен более детально
с использованием автокорреляционного метода, позволившего прямое
точное измерение формы импульса [69]. В этом эксперименте импульс
титан-сапфирового лазера на длине волны 795 нм длительностью 78 фс
фокусировался в пятно размером 75 мкм на передней грани
образца кварцевого стекла длиной Зсм. На рис. 7.14 показана измеренная
форма импульса и спектра при уровнях пиковой входной мощности
Pq = 5,1 и 5,9 МВт. Критическая мощность коллапса пучка (в
отсутствие эффектов дисперсии) в этом эксперименте оценивалась как
3 МВт. Наличие нормальной дисперсии (/?2 = 385 фс2/см) устраняло
коллапс из-за расщепления пучка.
Наиболее примечательны две особенности рис. 7.14. Во-первых,
расщепление асимметрично в том смысле, что высоты двух
субимпульсов разные. Во-вторых, хотя при Ро = 5,1 МВт передний субимпульс
более интенсивный, при Ро = 5.9 МВт ситуация обратная. Все
экспериментальные наблюдения можно объяснить на основе
обобщённого НУШ с учётом эффектов пространственно-временной фокусировки
и самообострения, нормированная форма которого следующая:
где 6st — введённый ранее малый параметр, ответственный
одновременно за пространственно-временную фокусировку и самообострение.
Результаты численного решения этого уравнения хорошо согласуются
с экспериментом, как это видно из рис. 7.14. Это указывает на то, что
вынужденное комбинационное рассеяние не играет главной роли в
эксперименте. Найдено также, что плазменные эффекты пренебрежимо
слабы при энергиях импульсов, использованных в этом эксперименте.
В другом эксперименте 1998 г. по расщеплению импульса для
прямого измерения формы импульса и фазовых профилей использовался
метод частотно-разрешённого оптического стробирования (ЧРОС) [43].
Параметры в этом эксперименте были близки к использованным на
рис. 7.6. На рис. 7.15 показаны ЧРОС-распределения (сверху) и форма
интенсивности, фазы и спектра импульса (внизу) длительностью 92 фс,
прошедшего через образец кварцевого стекла длиной 2,54 см. Пиковая
интенсивность входного импульса была 88 ГВт/см2 (на 90% выше
критической мощности).
Примечательны следующие особенности рис. 7.15. Во-первых,
измеренные и ЧРОС-обработанные спектры импульса согласуются
достаточно хорошо. Во-вторых, измеренные профили фазы указывают,
что при прохождении импульса через нелинейную среду он становится
чирпированным. В-третьих, хотя из рис. 7.15, в очевидно расщепление
импульса, два субимпульса асимметричны, в отличие от численных

294
Гл. 7. Пространственно-временные солитоны
-400
0 400
Задержка, фс
700 750 800 850 900
Длина волны, нм
-5
О 5
Время т/т
700 750 800 850 900
Длина волны, нм
Рис. 7.14. Сравнение измеренной (а, в) и рассчитанной (б, г) формы импульса
и спектра для импульса длительностью 78 фс, прошедшего через 3 см
кварцевого стекла. Профили осевой интенсивности (левый ряд) и спектра мощности
(правый ряд) приведены внизу для пиковой входной мощности 5,1 МВт (а, в)
и 5,9 МВт (б, г). Форма и спектр входного импульса изображены пунктирными
кривыми [69]
результатов, показанных на рис. 7.6. Как обсуждалось выше, эта
асимметрия вызвана эффектами высших порядков, которые необходимо
учитывать для импульсов короче 100 фс.
В зависимости от экспериментальных значений параметров
важными могут становиться различные эффекты высших порядков. Для
объяснения эксперимента 1999 г., где импульсы длительностью 90 фс
с размером пятна 70 мкм (обе величины по уровню 1/2 интенсивности)

7.6. Экспериментальные результаты
295
-300
0 300
Задержка, фс
-300
О 300
Задержка, фс
-200
250
Время, фс
а о,о
760 780 800 820 840
Длина волны, нм
Рис. 7.15. Измеренные (а) и восстановленные методом ЧРОС (б) распределения
при прохождении импульса длительностью 92 фс через 2,54 см кварцевого
стекла; (в): профили интенсивности (тонкая линия) и фазы (жирные точки)
выходного импульса; (г): измеренные (тонкая линия) и полученные ЧРОС-об-
работкой (чёрные квадраты) спектры выходного импульса [43]
пропускались через Зсм кварцевого стекла [95], необходимо было
учесть все члены высших порядков в (7.5.12). При рабочей длине
волны 800 нм кварц обладает нормальной ДГС с /% = 360 фс2/см
и /33 = 275 фс3/см. В результате при высоких пиковых интенсивностях
вместо пространственно-временного коллапса ожидается расщепление
импульса. На рис. 7.16 показаны теоретические и экспериментальные
результаты представлением временной зависимости осевой
интенсивности (х = у = 0) в ближней и дальней зонах при уровнях мощности
на входе 3,9 (верхний ряд), 4,6 (средний ряд) и 5,4 МВт (нижний
ряд). Экспериментальные данные для дальней зоны находятся в
поразительном согласии с предсказаниями на основе (7.5.12) при /д = 0,15,
Тг = 50 фс и ПГТГ = 4,2 — вполне разумных для кварцевого
стекла значениях. Асимметрия, видная в профилях импульса в ближней
и дальней зонах, вызвана исключительно эффектами высших порядков.
7.6.2. Режим аномальной дисперсии. Режим аномальной
дисперсии нелинейной среды представляет значительный эксперименталь-

296
Гл. 7. Пространственно-временные солитоны
Ближнее поле,
теор.
Дальнее поле,
теор.
Дальнее поле,
эксп.
в \\-
-200 0 200 -200 0 200 -200 0
Время, фс
200
Рис. 7.16. Теоретические и экспериментальные распределения осевой
интенсивности (х = у = 0) в ближней и дальней зонах в зависимости от времени
при уровнях входной мощности 3,9 (верхний ряд), 4,6 (средний ряд) и 5,4 МВт
(нижний ряд). Профиль фазы обозначен кружками [95]
ный интерес из-за возможности наблюдения
пространственно-временных солитонов в форме световых пуль. К сожалению, большинство
нелинейных сред обладает нормальной дисперсией в спектральной
области около 800 нм, в которой титан-сапфировые лазеры способны
генерировать оптические импульсы столь короткие, как 5 фс. Ввиду
этого в эксперименте 1999 г. использовалась каскадная квадратичная
нелинейность в виде генерации второй гармоники в нелинейном
кристалле [97]. Этот вариант обсуждается в гл. 10, посвященной
квадратичным солитонам. Применение оптических параметрических
усилителей и генераторов до некоторой степени решило проблему дисперсии,
так как такие генераторы могли производить импульсы короче 100 фс
в спектральной области за 1,3 мкм, где кварцевое стекло обладает
аномальной дисперсией.
В эксперименте 2001 г. для изучения пространственно-временных
эффектов импульсы длительностью 60 фс пропускались через планар-

7.6. Экспериментальные результаты
297
-300 -200 -100 0 100 200 300 -300 -200 -100 0 100 200 300
Время, фс Время, фс
Рис. 7.17. Пространственные профили (а) и временные автокорреляционные
измерения (б) при нескольких уровнях пиковой мощности на входе для
импульса длительностью 60 фс, прошедшего стекловолоконный световод длиной
3 см. Соответствующие численные результаты показаны на рисунках (в) и (г).
Во всех случаях пиковая мощность на входе возрастает от нижних кривых
к верхним в диапазоне от 0 до 1 МВт [101]
ный стекловолоконный световод длиной Зсм [101]. Аномальная
дисперсия на длине волны импульса 1,52 мкм была достаточно большой
и размер пятна падающего пучка достаточно малым для того, чтобы
длины дисперсии и дифракции были близки в этом эксперименте.
На рис. 7.17 показаны пространственный и временной
автокорреляционные профили выходного импульса при нескольких уровнях
мощности, а также результаты численного моделирования. При
возрастании входной мощности пучок сужался и в пространственном, и во
временном измерениях, как этого и следует ожидать для импульсов,
распространяющихся в самофокусирующей керровской среде. Однако,
после достижения уровня пиковой мощности 600 кВт дальнейшее
увеличение мощности не приводило в сокращению ширины пучка и
длительности импульса. Эти две величины оставались почти постоянными
в диапазоне мощности 600-800 кВт и даже начинали возрастать при
дальнейшем увеличении входной мощности. Этот уровень мощности
значительно превышает критическую мощность самофокусировки по-

298
Гл. 7. Пространственно-временные солитоны
рядка 160 кВт, при которой предсказывался коллапс пучка.
Обобщённое НУШ может качественно объяснить наблюдения, если учесть
эффекты вынужденного комбинационного рассеяния и многофотонного
поглощения. Основной вывод состоит в том, что в нелинейных средах
керровского типа коллапс пучка не происходит из-за эффектов высших
порядков и что пространственно-временной солитон, напоминающий
световую пулю, может формироваться в определённом диапазоне
мощностей.
Список литературы
1. Литвак А.Г., Таланов В.И. // Изв. вузов. Радиофизика 1967. Т. 10.
С. 539.
2. Martin D.U., Yuen Н.С // Phys. Fluids. 1981. V.21. P. 881.
3. Литвак Л.Г., Петрова Т.А., Сергеев A.M., Юнаковский А.Д. // Физика
плазмы. 1983. Т. 9. С. 495.
4. Newton P.К., Keller IB. // SIAM J. Appl. Math. 1987. V. 47. P. 959.
b.Akhmediev N.N., Korneev V.I., Nabiev R.F // Opt. Lett. 1992. V. 17.
P. 393.
6. Aceves А.В., De Angelis C, Wabnitz S. // Opt. Lett. 1992. V. 17. P. 1758.
7. Liou L. W.f Cao X.D., McKinstrie C./., Agrawal G.P. // Phys. Rev. A 1992.
V. 46. P. 4202.
8. Shih M.F., Jeng C.C., Sheu F. W.t Lin С Y. // Phys. Rev. Lett. 2002. V. 88.
133902.
9. Wen S. C, Fan D. Y. // J. Opt. Soc. Am. B. 2002. V. 19. P. 1653.
10. Tai K., Hasegawa A.f Tomita A. // Phys. Rev. Lett. 1986. V. 56. P. 135.
11. Chiao R. У., Garmire £., Townes СИ. // Phys. Rev. Lett. 1964. V. 13. P. 479.
12. Янкаускас 3.K. // Изв. вузов. Радиофизика. 1966. Т. 9. С. 412.
13. Власов С. Н., Петрищев В. А., Таланов В.И. // Изв. вузов. Радиофизика.
1971. Т. 14. С. 1453.
14. Захаров В.Е., Соболев В.В., Сынах B.C. // Письма в ЖЭТФ. 1971. Т. 14.
С. 564.
15. Silberberg Y. // Opt. Lett. 1990. V. 15. P. 1282.
16. Вахитов И.Г., Колоколов А. А. // Изв. вузов. Радиофизика. 1973. Т. 16.
С. 1020.
17. Захаров В.Е.У Сынах В. С // ЖЭТФ. 1975. Т. 68. С. 940.
18. Shen Y.R. // Prog. Quantum Electron. 1975. V.4. P. 1.
19. Marburger J.H. // Prog. Quantum Electron. 1975. V.4. P. 35.
20. Berkshire F.H., Gibbon J.D. // Stud. Appl. Math. 1983. V. 69. P. 229.
21. Rasmussen У.У., Rypdal K. // Phys. Scr. 1986. V. 33. P. 481.
22. Rypdal /t, Rasmussen J.J. // Phys. Scr. 1986. V. 33. P. 498.
23. Малкин B.M. // Письма в ЖЭТФ. 1988. Т. 48. С. 603.
24. Власов СИ., Пискунова Л.В., Таланов В.И. // ЖЭТФ. 1989. Т. 95.
С. 1945.
25. Захаров В.Е., Косматое Н.Е., Швец В.Ф. // Письма в ЖЭТФ. 1989.
Т. 49. С. 431.

Список литературы
299
26. Berge L. // Phys. Rep. 1998. V. 303. P. 259.
27. Desaix M., Anderson D., Lisak M. // J. Opt. Soc. Am. B. 1991. V. 8.
P. 2082.
28. Cao ID., McKinstrie C.J., Agrawal G.P. // Phys. Rev. A. 1994. V. 49.
P. 4085.
29. Agrawal G.P. Nonlinear Fiber Optics, 3rd ed. — San Diego; Academic,
2001. [Имеется перевод: Агравал Г. Нелинейная волоконная оптика. —
М.: Мир, 1996.]
30. Siegman А.Е. // Opt. Lett. 1977. V. 1. P. 13.
31. Agrawal G.P, Lax M. // Opt. Lett. 1981. V. 6. P. 171.
32. Lax M., Batteh J.H., Agrawal G.P. // J. Appl. Phys. 1981. V. 52. P. 109.
33. Chernev P., Petrov V. // Opt. Lett. 1992. V. 17. P. 172; Opt. Commun. 1992.
V. 87. P. 28.
34. RothenbergJ.E. // Opt. Lett. 1992. V. 17. P. 583.
35. Hayata K., Koshiba M. // Phys. Rev. E. 1993. V. 48. P. 2312.
36. Luther G.G., Moloney J. V., Newell A.C, Wright E.M. // Opt. Lett. 1994.
V. 19. P. 862.
37. Strickland D., Corkum P.B. // J. Opt. Soc. Am. B. 1994. V. 11. P. 492.
38. Fibich G., Malkin V.M., Papanicolaou G.C. // Phys. Rev. A. 1995. V. 52.
P. 4218.
39. Berge L., Rasmussen J.J. // Phys. Rev. A. 1996. V. 53. P. 4476.
40. Berge L., Rasmussen J. J., Kuznetsov E.A. et al. // J. Opt. Soc. Am. B.
1996. V. 13. P. 1879.
41. Trippenbach M., Band Y.B. // Phys. Rev. A. 1997. V. 56. P. 4242.
42. Ranka J.K., Schirmer R. W., Gaeta A.L. // Phys. Rev. Lett. 1996. V. 77.
P. 3783.
43. Diddams S.A., Eaton H.K., Zozulya A.A., Clement T.S. // IEEE J. Sel.
Topics Quantum Electron. 1998. V. 4. P. 306.
44. Conti C, Trillo 5., Di Trapani P. et al. // E-print arxiv:
arXiv.org/physics/0204066.
45. Stepanishen PR., Sun J. // J. Acoust. Soc. Am. 1997. V. 102. P. 3308;
Salo /., Fagerholm /., FribergA. Г., Salomaa M.M. // Phys. Rev. Lett. 1999.
V.83. P. 1171.
46. Salo /., Fagerholm /., Friberg А. Г., Salomaa M.M. // Phys. Rev. E. 2000.
V.62. P. 4261; Reivelt K., Saari P. // J. Opt. Soc. Am. A. 2000. V. 17.
P. 1785.
47. Durnin /., Miceli J. J., Eberly J.H. // Phys. Rev. Lett. 1987. V. 58. P. 1499.
48. Lu /., GreenleafJ.F. // IEEE Trans. Ultrason. Ferrelec. Freq. Contr. 1992.
V.39. P. 441.
49. Saari P., Reivelt K. // Phys. Rev. Lett. 1997. V. 79. P. 4135; Sonajalg #.,
Ratsep M, Saari P. // Opt. Lett. 1997. V. 22. P. 310.
50. Canuto C, Hussaini M. K, Quaternoni Л., Zang M.A. Spectral Methods in
Fluidodynamics. — N.Y.: Springer, 1988.
51. DeMartini F., Townes C.H., Gustafson Т.К., Kelly PL. // Phys. Rev. 1967.
V. 164. P. 312.
52. Dawes E.L., Marburger J.H. 11 Phys. Rev. 1969. V. 179. P. 862.

300
Гл. 7. Пространственно-временные солитоны
ЪЪ.Дышко А.Л., Луговой В.Н., Прохоров A.M. // ЖЭТФ. 1971. Т. 61.
С.2305.
54. Soto-Crespo J.M., Heatley D.R., Wright Е., Akhmediev NN. // Phys. Rev.
A. 1991. V.44. P. 636.
55. Akhmediev N.f Soto-Crespo J.M. // Phys. Rev. A. 1993. V. 47. P. 1358.
56. McLeod R., Wagner K., Blair S. // Phys. Rev. A. 1995. V. 52. P. 3254.
57. Skarka V., Berezhiani V.I., Miklaszewski R. // Phys. Rev. E. 1997. V. 56.
1080.
58. Skarka V., Berezhiani V.I., Miklaszewski R. // Phys. Rev. E. 1999. V.60.
P. 7622.
59. Karlsson M.f Anderson D., Desaix M. // Opt. Lett. 1992. V. 17. P. 22.
60. Manassah J. T. // Opt. Lett. 1992. V. 17. P. 1259.
61. Yu S.S., Chien СИ., Lai Y., Wang J. // Opt. Commun. 1995. V. 119. P. 167.
62. Raghvan S., Agrawal G.P. // Opt. Commun. 2000. V. 180. P. 377.
63. Karpman V.I. // Phys. Lett. A. 1991. V. 160. P. 531.
64. RothenbergJ.E. // Opt. Lett. 1992. V. 17. P. 1340.
65. Manassah J. T, Gross B. // Laser Phys. 1996. V. 6. P. 363.
66. Fibich G., Papanicolaou G.C // Opt. Lett. 1996. V. 22. P. 1379.
67. Brabec T, Krausz F. // Phys. Rev. Lett. 1997. V. 78. P. 3282.
68. Mlenjek M., Wright E.M., Moloney J. V. // Opt. Lett. 1998. V. 23. P. 382.
69. Ranka J.K., Gaeta A.L. // Opt. Lett. 1998. V. 23. P. 534.
70. Zozulya A.A., Diddams S.A., Clement T.S. // Phys. Rev. A. 1998. V. 58.
P. 3303.
71. Band Y.B.y Trippenbach M. // Phys. Rev. A. 1998. V. 57. P. 4791.
72. Gaeta A.L. // Phys. Rev. Lett. 2000. V. 84. P. 3582.
73. Mlejnek N.y Kolesik M.t Moloney J. V., Wright E.M. // Phys. Rev. Lett.
1999. V.83. P. 2938.
74. Mlejnek N., Wright E.M., Moloney J. V. // IEEE J. Quantum Electron. 1999.
V.35. P. 1771.
75. Akozbek N., Bowden СМ., Talebpour A., Chin S.L. // Phys. Rev. E. 2000.
V.61. P. 4540.
76. Akozbek N, Scalora M.y Bowden CM.y Chin S.L. // Opt. Commun. 2001.
V. 191. P. 353.
77. Akozbek N.9 Bowden СМ., Chin S.L. // J. Mod. Opt. 2002. V. 49. P. 475.
78. Stolen R.H., Tomlinson W.J. // J. Opt. Soc. Am. B. 1992. V. 9. P. 565.
79. Blow K.J., Wood D. // IEEE J. Quantum Electron. 1989. V. 25. P. 2665.
80. Agrawal G.P., Headley С III // Phys. Rev. A. 1991. V. 46. P. 1573.
81. Taflove A.y Hagness S.C. Computational Electrodynamics: The
Finite-Difference Time-Domain Method, 2nd ed. — Norwood: Artech House,
2000.
82. Goorjian P.M., Taflove A. // Opt. Lett. 1992. V. 16. P. 180.
83. Goorjian P.M., Taflove A., Joseph R.M., Hagness S. С // IEEE J. Quantum
Electron. 1992. V. 28. P. 2416.
84. Joseph R.M., Goorjian P.M., Taflove A. // Opt. Lett. 1993. V. 17. P. 491.
85. Ziolkowski R. W., Judkins J.B. // J. Opt. Soc. Am. B. 1993. V. 10. P. 186.
86. Zoboli M., Di Pasquale F, Selleri S. // Opt. Commun. 1993. V. 97. P. 11.

Список литературы
301
87. Hile С. К, Kath W.L. // J. Opt. Soc. Am. В. 1996. V. 13. P. 1135.
88. Goorjian P.M., Silberberg Y. // J. Opt. Soc. Am. B. 1997. V. 14. P. 3523.
89. Eisenberg H.S., Silberberg Y. // Phys. Rev. Lett. 1999. V. 83. P. 540.
90. Braun A.t Кот G., Liu X. et al. // Opt. Lett. 1995. V. 20. P. 73.
91. Nibbering E.T.J., Curley P.F., Grillon G. et al. // Opt. Lett. 1996. V.21.
P. 62.
92. RankaJ.K., Schirmer R.W., Gaeta A.L. // Phys. Rev. Lett. 1996. V. 77.
P. 3783.
93. Brodeur A., Chien С. К, Ilkov E.A. et al. // Opt. Lett. 1997. V. 22. P. 304.
94. Diddams S.A., Eaton H.K., Zozulya A.A., Clement T.S. // Opt. Lett. 1998.
V. 23. P. 379.
95. Zozulya A.A., Diddams S.A., van Engen Л.С., Clement T.S. // Phys. Rev.
Lett. 1999. V. 82. P. 1430.
96. Brodeur A., Chin S.L. // J. Opt. Soc. Am. B. 1999. V. 16. P. 637.
97. Liu X., Qian L.J., Wise F. W. // Phys. Rev. Lett. 1999. V. 82. P. 4631.
98. Koprinkov I. G., Suda A., Wang P., Midorikawa K. // Phys. Rev. Lett. 2000.
V. 84. P. 3847.
99. Gaeta A.L., Wise F. W. // Phys. Rev. Lett. 2001. V. 87. 229401.
100. Wise F W. // Pramana. 2001. V. 57. P. 1129.
101. EisenbergM.S., Morandotti Д., Silberberg Y. et al. // Phys. Rev. Lett. 2001.
V. 87. 43902.
102*. Ананьев Ю.А. // Опт. спектроск. 1988. Т. 64. С. 1211.

Глава 8
ВИХРЕВЫЕ СОЛИТОНЫ
Вихревые оптические солитоны могут рассматриваться как
обобщение тёмных пространственных солитонов, обсуждавшихся в гл. 4,
на случай двух поперечных измерений. Вихревой солитон связан
с самоканалированием сингулярности волнового фронта, внедрённой
в широкий оптический пучок в среде с самодефокусировкой.
Экспериментально вихревые солитоны возникают естественным образом
при поперечной неустойчивости полос тёмных солитонов в сплошной
нелинейной среде (см. гл.6). В отличие от вращающихся солитонов
(см. раздел 6.5), которые обладают угловым моментом и возможны
только в среде с самофокусировкой, обсуждаемые в этой главе
вихревые солитоны существуют только в среде с самодефокусировочной
нелинейностью (пг < 0). Во вводном разделе 8.1 обсуждается связь
вихревых оптических солитонов с аналогичными солитонами в других
областях. В разделе 8.2 мы анализируем поперечную неустойчивость
полос тёмных солитонов и как она приводит к формированию вихревых
солитонов. Основные свойства вихревых солитонов рассматриваются
в разделе 8.3 вместе с экспериментальными методами их генерации.
Раздел 8.4 посвящен эффекту Ааронова-Бома применительно к
рассеянию вихрей. Решётки вихрей обсуждаются в разделе 8.5. Раздел 8.6
посвящен тёмным солитонам кольцевой формы.
8.1. Введение
Пространственные солитоны, обсуждавшиеся в гл. 2 и 4,
формируются внутри планарного оптического волновода, и их можно
рассматривать как одномерные объекты, эволюция которых определяется
(1 + 1)-мерным НУШ. Однако для сплошной нелинейной среды
необходимо рассмотреть дополнительное поперечное измерение. Как
указывалось в гл.6, соответствующее (2+ 1)-мерное НУШ допускает светлые
двумерные солитоны, которые в среде с самофокусировкой ограничены
нелинейными эффектами по обоим поперечным направлениям.
Естествен вопрос: каково двумерное обобщение тёмного
пространственного солитона в среде с самодефокусировкой? Можно полагать,
что простейшим таким объектом была бы тёмная полоса, которая
распространяется без искажений как квазиодномерный тёмный
солитон. Этот подход можно обобщить и рассмотреть такие объекты,

8.1. Введение
303
как, например, тёмный крест (две взаимно перпендикулярных
полосы), тёмная решётка, формируемая наложением многих тёмных
полос в двух поперечных направлениях [1], и суперпозиция светлых
и тёмных пространственных солитонов [2]. Оказалось, однако, что все
такие протяжённые объекты неустойчивы по отношению к поперечной
модуляционной неустойчивости [3], так как она приводит к
пространственной модуляции в поперечных направлениях. В случае тёмных
солитонов линейный анализ устойчивости впервые выполнен в 1988 г.
для сред с керровской самодефокусировочной нелинейностью при
использовании кубического НУШ [4]. Было найдено, что полосы тёмных
солитонов всегда неустойчивы по отношению к длинноволновой
модуляции (или же низким пространственным частотам) в поперечных
направлениях. Такую неустойчивость можно подавить, если изогнуть
полосу в кольцо с радиусом, меньшим минимальной неустойчивой
длины волны [5]. Однако, такие тёмные солитоны кольцевой формы не
существуют как стационарные объекты; в зависимости от начальных
условий они либо расширяются, либо схлопываются.
Тогда встаёт важный физический вопрос: какие типы устойчивых
стационарных структур могут существовать в (2 4- 1)-мерной
геометрии? В случае самофокусировки поперечная неустойчивость полос
светлых солитонов приводит к созданию двумерных светлых солитонов
с осевой симметрией, которые могут быть устойчивы в некерровской
сплошной среде [3]. Аналогичный сценарий ожидается и для тёмных
солитонов. Действительно, и численное моделирование, и
асимптотическая аналитическая теория, и эксперименты указывают, что поперечная
неустойчивость полос тёмных солитонов приводит к генерации пар
оптических вихрей с чередующейся полярностью [6-12].
Важно, что оптические вихри возникают даже в линейной оптике
как сингулярности волнового фронта оптических пучков [13]. Однако,
подобно всем линейным пучкам конечных размеров, они дифрагируют
и сингулярные «дыры» расширяются. И только в нелинейной среде
сингулярность может самоканалироваться и сформировать устойчивую
стационарную структуру, представляющую вихревой солитон.
Действительно, вихревые солитоны — единственные устойчивые двумерные
стационарные структуры в случае сплошной среды с
самодефокусировкой. Оптические вихревые солитоны иногда описывают как
устойчивые, чёрные, самоканалируемые пучки с осевой симметрией [14].
Такие объекты впервые встречались ещё в 1958 г. в форме
топологических возбуждений неидеального Бозе-газа применительно к
сверхтекучести [15, 16].
Вихревые солитоны можно обобщить для учёта поляризации
света, причём возможны два таких обобщения. Во-первых, два
оптических поля с различными поляризациями могут иметь вихреподобную
структуру. Такой тип солитона с двойным вихрем известен в других
областях [17-19], а в 1994 г. он был введён в нелинейной оптике [20,
21]. Во-вторых, вихрь с одной поляризацией может удерживать оп-

304
Гл. 8. Вихревые солитоны
тическое излучение с другой поляризацией, что ведёт к двумерному
обобщению пар светлого и тёмного солитонов [19, 22] (такие объекты
рассматриваются в гл. 9). Вихревые солитоны можно также обобщить,
включив временное измерение, как это обсуждалось в гл. 7. Такое
обобщение применительно к светлым солитонам ведёт к понятию
световых пуль [23]. В случае тёмных солитонов вихревой солитон
в (3 + 1)-мерном пространстве (два поперечных измерения и время
+ измерение вдоль направления распространения) формирует так
называемую вихревую линию, которая сама неустойчива по отношению
к поперечной модуляции [24]. Эта неустойчивость могла бы вести
к формированию тёмных световых пуль в режиме аномальной
дисперсии среды. Ситуация здесь далека от ясной в случае нормальной ДГС,
даже для среды с самофокусировкой. В этом случае солитоноподобные
объекты обладают нетривиальной структурой фазы и ещё недостаточно
изучены.
8.2. Поперечная неустойчивость
В случае пучка непрерывного излучения, распространяющегося
в сплошной нелинейной среде, тёмные солитоны можно наблюдать
экспериментально в виде тёмных полос или решёток со свойствами,
аналогичными свойствам одномерных тёмных солитонов [1].
Однако, из линейного анализа устойчивости следует, что такой тёмный
солитон неустойчив по отношению к поперечным возмущениям [4].
Численное моделирование показывает, что в результате развития этой
неустойчивости каждая тёмная полоса распадается на набор вихревых
солитонов с чередующимися полярностями [6-12]. В этом разделе мы
остановимся на основных свойствах такой поперечной неустойчивости.
8.2.1. Линейный анализ устойчивости. Распространение
пучка непрерывного излучения в сплошной среде с самодефокусировкой
описывается (2+ 1)-мерным НУШ. В случае керровской нелинейности
нормированная форма этого уравнения следующая
.ди , 1 (&и , д?и\ | |2 л /ос>1\
1ъ + 2{ё? + ё7)-ми=°- (8-21)
Аналогично анализу раздела 4.4, мы исключим постоянную амплитуду
фона щ преобразованием
z' = UqZ, x' = щх, у1 = ноу, и = uoipe~lu°z (8.2.2)
и получим следующее уравнение для новой амплитуды ip:
^ + ^1Ф + (1-т2)Ф = 0, (8.2.3)
где для простоты обозначений мы опустили штрихи. Безразмерная
амплитуда определена так, что \ip\ -* 1, если х и у —► ±оо. НУШ (8.2.3)

8.2. Поперечная неустойчивость
305
имеет точное решение, описывающее полосу тёмного солитона,
например, параллельную оси х или у. Для тёмной полосы, расположенной
вдоль оси у, это решение можно записать так:
чрз(х, y,z) = a th [a(x - vz)] + iv, (8.2.4)
где параметр амплитуды а (0 < а < 1) и поперечная скорость v (v2 ^ 1)
связаны соотношением а2 + v2 = 1.
Линейный анализ устойчивости этого решения можно выполнить
методом, указанным в разделе 6.1. Если рассмотреть возмущение вида
ехр(ру), то окажется, что тёмная полоса неустойчива при всех
значениях р, таких что р < Рсг(^), где критическое значение р [4]
р2ст(к) = к2 - 2 4- 2у/к4 - к2 + 1. (8.2.5)
Область неустойчивости ограничена кривой р = рСг(&)» и если мы
введём периодическое возмущение с любым волновым числом р < рСг(&).
модуляция амплитуды тёмного солитона будет экспоненциально
нарастать по направлению z. Конечно, экспоненциальный рост остановится,
когда возмущение станет столь большим, что линейный анализ
устойчивости будет неприменим. Нелинейная стадия такой неустойчивости
изучалась численно [6, 7], а также асимптотическим методом,
справедливым вблизи граничной точки устойчивости [9]. Результаты
показывают, что тёмный солитон распадается на цепочку оптических вихрей
так, что соседние вихри обладают противоположными полярностями.
Такой тип вызванной
неустойчивостью эволюции реализуется
для чёрного солитона (с
нулевой интенсивностью в центре).
Серый солитон не распадается
на вихри, а испытывает
осцилляции, сохраняющиеся на
больших длинах и
сопровождающиеся испусканием излучения,
распространяющегося вдоль фона.
Поперечная неустойчивость
тёмного солитона в оптической
среде с сильным насыщением
также изучалась в рамках
обобщённого НУШ, как
аналитически, так и численно [25].
Применив метод асимптотического
разложения для возмущений с малыми волновыми числами (р < 1),
найдём инкремент Ах поперечной модуляции
\±=Р(дР3/ду)1/2у/Н~3, (8.2.6)
0,25х-
га
0 5 10 15 20
Параметр насыщения
Рис. 8.1. Максимальный инкремент
поперечной неустойчивости в среде
с насыщением нелинейности в
зависимости от параметра насыщения з.
Кресты указывают численные
результаты [25]

306
Гл. 8. Вихревые солитоны
где P3(v) и Hs(v) — введённые в гл.4 для тёмных солитонов
нормированные импульс и гамильтониан, соответственно. Индекс s
указывает, что эти инварианты вычисляются с применением стационарного
решения (8.2.4). На рис. 8.1 показан максимальный инкремент А™ах
поперечной неустойчивости в зависимости от параметра насыщения
5, причём нелинейность насыщается с ростом интенсивности / как
(1 + s/)"1. Ясно, что насыщение нелинейности способствует
ослаблению поперечной неустойчивости.
8.2.2. Экспериментальные наблюдения. Любой эксперимент
с тёмными пространственными солитонами должен использовать
фоновый пучок конечных размеров, хотя в теоретическом анализе
поперечной неустойчивости предполагается, что фон простирается до
бесконечности. Однако, при достаточно сильных нелинейностях
поперечная неусточивость наблюдалась даже для пучков конечных размеров
в нескольких экспериментах, выполненных со столь различающимися
нелинейными средами как пары рубидия и фоторефрактивные
кристаллы [10-12].
В эксперименте 1996 г. с парами рубидия [10] пучок непрерывного
излучения был линейно поляризован, его гауссова форма была слегка
эллиптической, а длина волны настроена вблизи атомного резонанса
около 780 нм. Скачок фазы на 7Г налагался через центр пучка при
помощи маски (транспаранта) и прошедший пучок фокусировался на
нелинейную среду. Плотность пара могла быть повышена до 1013 см~3
изменением температуры ячейки. Ближнепольные изображения пучка
на выходе ячейки регистрировались с помощью ПЗС-камеры. Схема
экспериментальной установки для наблюдения вихревых солитонов
показана на рис. 8.2. Важными моментами, позволившими наблюдение
поперечной неустойчивости, служили, во-первых, резонансное
усиление нелинейности при подстройке частоты лазера к линии D<i атомов
рубидия (отстройка <1 ГГц) и, во-вторых, использование
максимального давления газа, совместимого с допустимым поглощением. Входной
пучок обладал мощностью 240 мВт и шириной перетяжки 0,3 мм (по
уровню 1/е2). В этом эксперименте максимальное нелинейное
изменение показателя преломления оценивалось как ~10~4. О
Т1
Ti:Sp
Тр
Т2
ИП ЦИ *-"ЙИ
ПЗС-камсра
Рис. 8.2. Схема экспериментальной установки для наблюдения поперечной
неустойчивости и вихревых солитонов [10]
') На рис. 8.2 символы Т1 и Т2 обозначают телескопы, Тр — транспарант.
(Прим. перев.)

8.2. Поперечная неустойчивость
307
На рис. 8.3 приведена серия распределений выходной
интенсивности, полученных численно (левый ряд) и наблюдённых
экспериментально (правый ряд) при возрастании плотности пара за счёт
повышения температуры ячейки при постоянной отстройке 0,85 ГГц. При
наименьшей плотности пара (а) нелинейные эффекты пренебрежимо
слабы. В результате тёмная полоса и фоновый пучок расширялись.
При возрастании температуры (то есть при большей нелинейности)
фоновый пучок расширялся ещё более из-за самодефокусировки и в его
центре выявлялась узкая полоса тёмного солитона, как это видно из
рисунка (б). Дальнейший рост температуры приводит к
периодической модуляции тёмной полосы, видной на рисунке (в). При большей
температуре начинается распад полосы, сначала проявляющийся как
«змеевидный» изгиб (рисунок (г)), а затем распад на тёмные пятна
в точках перегиба изогнутой полосы (рисунок (д)). При наибольшей
нелинейности тёмные пятна приобретают круговую симметрию,
видную на рисунке (е). Эти тёмные пятна представляют предсказываемое
формирование пар вихревых оптических солитонов.
Описанный сценарий распада чувствителен к величине фазового
скачка, налагаемого на входной пучок. Даже слабое отклонение
фазовой маски от оптимального положения (отвечающего скачку фазы,
близкому к 7г) прекращало формирование пар оптических вихрей на
конечной стадии. При таких условиях наблюдался только змеевидный
изгиб солитонной полосы. Это наблюдение подтверждает теоретическое
предсказание того, что инкремент неустойчивости для полос серых
солитонов уменьшается.
Результаты численного моделирования на основе обобщённого
НУШ, с учётом насыщения и диссипативных эффектов для лучшего
сравнения с экспериментальными результатами [10], показаны в левом
ряду рис. 8.3. Согласие теории и эксперимента весьма хорошее, в том
смысле, что экспериментальные особенности воспроизводятся вполне
хорошо. Даже скорость роста неустойчивости, видной в эксперименте,
хорошо аппроксимируется в вычислениях. Однако, период
поперечных возмущений, отвечающий максимальному инкременту,
оказывается меньшим, чем в эксперименте, примерно в 1,5 раза. Это различие
скорее всего вызвано более сложным нелинейным откликом атомов
рубидия, чем принятым в вычислениях. Ответственной за это различие
может быть и сложность точного задания входного пучка, так как было
найдено, что численные результаты весьма чувствительны к его точной
форме. Необходимо отметить, что такая чувствительность к форме
входного излучения в экспериментах не наблюдалась; это означает,
что процесс распада может быть частично стабилизирован другими
физическими механизмами, не учитываемыми в модели.
Аналогичное поведение наблюдалось в экспериментах с фоторе-
фрактивными кристаллами, используемыми в качестве нелинейной
среды [11, 12]. Кристалл SBN под напряжением смещения облучался
пучком непрерывного излучения мощностью 10 мВт (от He-Ne лазера),

308
Гл. 8. Вихревые солитоны
Расчет
Эксперимент
Рис. 8.3. Распределения интенсивности на выходе, показывающие
возникновение поперечной неустойчивости тёмного солитона при возрастании
нелинейности за счёт изменения давления пара при изменении температуры. Температура
ячейки: 40 (а), 72 (б), 82 (в), 90 (г), 112 (д) и 125°С (е). Сохранялась
постоянной отстройка лазера 0,85 ГГц [10]

8.3. Свойства вихревых солитонов
309
содержащим фазовый скачок. Эффективная нелинейность
варьировалась увеличением напряжения смещения. В отсутствие напряжения
смещения тёмная полоса расширялась, как и фоновый пучок. При
возрастании напряжения смещения формировалась полоса тёмного со-
литона. Дальнейший рост напряжения до 990 В приводил к
змеевидному изгибу полосы, аналогичному показанному на рис. 8.3, в. Однако,
последующая эволюция при больших напряжениях существенно
отличалась от представленной на рис. 8.3, в том смысле, что вихревые
солитоны, тем не менее, не были чётко видны. Интерферометрические
измерения выходного пучка указывали, что амплитуда поля
периодически обращалась в нуль с периодом около 40 мкм.
8.3. Свойства вихревых солитонов
Как хорошо известно в оптике и акустике, вихри могут
возникать как особые моды линейного волнового уравнения, и они связаны
с сингулярностями волнового фронта линейно дифрагирующих полей
[26-29]. Сингулярность волнового фронта, называемая также
винтовой дислокацией волнового фронта, может возникать, например, при
отражении света или звука от шероховатой поверхности [30, 31].
В среде с самодефокусировочной нелинейностью такие винтовые
дислокации могут создать стационарный пучок с сингулярностью волнового
фронта, формирующий вихревой солитон. В этом разделе мы
сконцентрируемся на изучении свойств и динамики вихревых солитонов.
8.3.1. Стационарные решения. Существование вихревых
решений (2+ 1)-мерного кубического НУШ можно установить, используя
аналогию между оптикой и гидродинамикой. Привлекая
преобразование Маделунга [32-34]
tl>(r,z) =х(г,г)ехр[г<р(г,2:)], (8.3.1)
где г — двумерный вектор координат х и у, можно преобразовать НУШ
(8.2.3) к системе двух связанных уравнений:
^ + Vx-(x2Vx?) = 0, (83.2)
g + |(Vx^)2=l-X2 + ^- (8-3.3)
Эти уравнения можно трактовать как сохранение массы и импульса
сжимаемой невязкой жидкости с плотностью р = х2, скоростью V =
= Vj_</? и давлением, определяемым как р = р2/2. Ещё важней, что
такая аналогия между оптикой и гидродинамикой сохраняется даже
для обобщённого НУШ (4.2.1) с произвольной зависимостью F(|u|2),
если эффективное давление определить как

310
Гл. 8. Вихревые солитоны
Такая аналогия, однако, не вполне точна, так как, дополнительно
к стандартной форме давления, (8.3.3) включает второй член, не
имеющий аналога в гидродинамике. В сверхтекучести этот член происходит
от так называемого квантово-механического давления.
Преобразование Маделунга сингулярно в точках, где х = 0. Вблизи
этих точек на плоскости (х, у) циркуляция V равна не нулю, а 27г.
Эти точки являются топологическими дефектами скалярного поля
и называются вихрями. Для нахождения стационарного решения,
отвечающего вихревому солитону (тёмный солитон с осевой симметрией)
ищем решение кубического НУШ в полярных координатах г и 0,
полагая, что решение (8.2.3) имеет вид
ф(г,0\г) = и(г)ё
гтв
(8.3.5)
где целое число га — так называемый азимутальный индекс, или же
заряд вихря, а вещественная функция U(r) удовлетворяет уравнению
K^f-^-K'-^-0 <8'з'в>
1,0
I
5 0.5U
\-
*~
т =
Г,
т
/г
J
3/
'т
= 4
1 1 1
с граничными условиями
£/(0)=0, С/(оо) = 1.
(8.3.7)
К первому условию приводит
непрерывность и при г = 0,
а £/(оо) = 1 отвечает
однородному фону с интенсивностью Щ
при г —► оо.
Численным решением (8.3.6)
можно найти форму вихревых
солитонов для различных
значений т. На рис. 8.4
изображена функция U{r) для четырёх
значений m [35, 36]. Область
в окрестности г = 0, где U(r) значительно меньше единицы, называется
ядром вихря. Функциональный вид U(r) вблизи г = 0 и г = оо можно
установить непосредственно из (8.3.6) в соответствующем пределе
<
О 3 6 9 12
Радиальная координата
Рис. 8.4. Профили вихрей в самоде-
фокусировочной керровской среде для
четырёх значений целого заряда вихря
т [35]
U(r)
arlwl+0(rH+2)f
l-^+0(l/r4),
О,
оо.
(8.3.8)
Структуру вихревого солитона при произвольном виде
нелинейности можно найти тем же методом, численно решая уравнение для

8.3. Свойства вихревых солитонов
311
амплитудной функции U(r). Для нелинейности с насыщением не было
найдено качественных отличий [37]. Однако эффективный диаметр
ядра вихря возрастает почти линейно с ростом параметра насыщения
s = Io/Is> где 13 и /о — интенсивность насыщения и фоновая
интенсивность, соответственно [38].
Устойчивость вихревых солитонов — решений обобщённого
НУШ — ещё недостаточно изучена. Однако, считается, что вихри
с азимутальными числами т = ±\ топологически устойчивы, но
вихри с большими значениями \т\ неустойчивы и распадаются на
|ш| вихрей с единичным зарядом. Применительно к сверхтекучести
найдено, что многозарядные вихревые солитоны обладают
сравнительно большим временем жизни [39]. Аналогичное поведение
найдено в оптике [40]. Поэтому многозарядные вихри причисляют
к числу метастабильных. Например, введение возмущений в вихрь
с тройным зарядом приводит к его неполному распаду на долго
живущий вихрь с двойным зарядом и вихрь с одиночным зарядом [41],
причём подтверждается эффективное ослабление неустойчивости при
насыщении нелинейности. Необходимо, однако, подчеркнуть, что
многозарядные вихри сильно неустойчивы в анизотропных нелинейных
средах [42].
8.3.2. Вращение и снос вихрей. Экспериментально вихревой
солитон проявляется как тёмная область, сохраняющая форму на
дифрагирующем фоновом пучке; такой солитон характеризуется
нетривиальным динамическим поведением. Часто в экспериментах наблюдают
такие явления как вращение и радиальный снос вихря относительно
фонового пучка непрерывного излучения, хотя их и нельзя вывести
из простого анализа стационарных решений НУШ. Должное
теоретическое описание этих эффектов требует применения особых
аналитических методов, способных учесть движение вихря [43, 44]. По
физическому смыслу такие динамические свойства как вращение или
снос вихревого солитона происходят из-за неоднородности профиля
интенсивности фона — обычно гауссова пучка. Стационарные решения,
показанные на рис. 8.4, получены в предположении фонового пучка
бесконечной протяжённости и постоянной интенсивности.
Как обсуждалось в разделе 1.2, распространение пучка
непрерывного излучения в сплошной нелинейной среде с зависящим от
интенсивности показателем преломления п = по + пп\(1) в параксиальном
и скалярном приближении описывается уравнением (1.2.12). Вместо
того, чтобы применить нормировку, принятую в предыдущих главах,
полезно ввести безразмерные переменные, используя значение
фонового поля в центре вихря /о = Д(го)- Если определить характерную
длину нелинейности как Ln\ = (&о|п2|/о)_1 и использовать
преобразование
z = Z/LnU r = RV2A)/£ni, A = Bu, (8.3.9)

312
Гл. 8. Вихревые солитоны
где В = у/Ть ехр (г0&) — фоновое поле, поле вихря u(r, z) будет
удовлетворять следующему уравнению [45]:
где g(I) = (|n2|Io)_1rcni(-0 и комплексный вектор f зависит от
градиента поля фона
f = fr + i{i = V±B = ±V±lnIb + iV±eb. (8.3.11)
При больших значениях г ставится граничное условие |и| —► 1. Само
поле фона В(г, z) удовлетворяет обобщённому НУШ
4f + V2xB + <7(|B|2)i? = 0. (8.3.12)
Физический смысл (8.3.10)—(8.3.12) следующий. Неоднородное
поле фона эволюционирует согласно (8.3.12). Радиальная зависимость
интенсивности J& и фазы вь фона создаёт силу f, под действием которой
эволюционирует поле вихря. Основным проявлением силы служит снос
вихря из исходного положения и, возможно, даже его вращение. Снос
характеризуется скоростью вихря V, определяемой так
$^ = V, (8.3.13)
az
где го означает положение вихря.
Рассмотрим сначала более простой случай керровской среды с
самодефокусировкой, положив пп\(1) = — \n2\I. Тогда (8.3.10) примет вид
возмущённого НУШ (ср. с (8.2.3)):
^ + V2j_u + | (1 - \и\2)и = -(V±tt, f). (8.3.14)
Это уравнение можно применить к анализу медленного движения
вихря под действием слабых градиентов поля фона, используя метод
сшивания асимптотических разложений [44]. Точнее,
асимптотические разложения поля вихря в областях вблизи и вдали от центра
вихря сшиваются для нахождения поля на промежуточных
расстояниях — метод, успешно использовавшийся в нескольких других задачах
[46-48]. В данном случае метод основан на предположении, что
интенсивность 1ь и фаза вь фона меняются медленно на масштабе вихря.
Тогда задача состоит в описании изменения положения вихря tq(z)
(снос вихря) под действием медленно меняющегося поля фона. Чтобы
понять значение поля фона, можно представить его как поле, которое
существовало бы, если бы вихри каким-то образом были удалены.
Основная идея состоит в преобразовании (8.3.14) к системе отсчёта,
движущейся со скоростью сноса вихря V(z), чтобы в новой системе
отсчёта вихрь был стационарным. Для этого мы делаем преобразование
(г — Yz) —► г. Кроме того, так как поле фона не меняется заметно

8.3. Свойства вихревых солитонов
313
на масштабе длины, связанном с вихрем, член h/h в (8.3.14) можно
разложить вблизи г = го
h/Io « 1 + (г, V±ln/6|r=ro) = 1 + (r,f0r), (8.3.15)
где fo — значение f в месте расположения вихря г = го, а индекс
г означает вещественную часть величины. Так как в новой системе
отсчёта и не зависит от 2, (8.3.14) сводится к следующему уравнению:
V\_u + (1 - \и\2)и = cFp(u), (8.3.16)
где е означает малость возмущения Fv(u)% определяемого как
Fp(u) = ((iV - f0), Vx«) - (r.fe-Xl - |u|2)u. (8.3.17)
Уравнение (8.3.16) можно решить методом теории возмущений. Для
этого разложим поле вихря и в ряд по параметру возмущения и = щ +
+ ещ +... и подставим это разложение в (8.3.16). В нулевом порядке
по е получим стандартное стационарное НУШ для вихря в виде
Viuo + (l4<zo|2H = 0. (8-3.18)
В полярных координатах в движущейся системе отсчёта это решение
можно записать в форме щ = С/(г)ехр(гт0), где т — заряд вихря.
Радиальная функция U(r) удовлетворяет следующему обыкновенному
дифференциальному уравнению:
^ + !^+Л_1^-[/2>\[/ = 0. (8.3.19)
dr2 г dr \ г2 )
Решение этого уравнения описывает вихрь, сформировавшийся на фоне
с постоянной интенсивностью. Впервые оно изучалось применительно
к сверхтекучести [15].
Влияние неоднородности фона возникает в первом порядке теории
возмущений по е и описывается следующим линейным неоднородным
уравнением:
Vi^i + щ - 2|uo|2ui - и20и\ = Fp(tio). (8.3.20)
Для нахождения уравнения движения ядра вихря можно использовать
условия разрешимости (8.3.20). Эти условия состоят в ортогональности
члена неоднородности Fp(uq) двум компонентам трансляционной
собственной функции Vj_Uq сопряжённого однородного уравнения. Тогда
метод сшивания асимптотик позволяет записать условие разрешимости
в следующей векторной форме [44]:
^ = V(z) = (-Vxft, + у CJVxOn h))
(8.3.21)
lr=r0
где С — медленно меняющаяся функция интенсивности фона Д,
С(1Ь) = - In [с exp (7e)|VxJbl/4Jb]. (8-3.22)

314
Гл. 8. Вихревые солитоны
В этих уравнениях с определяется численно (с « 1,126 для кубичной
нелинейности), je — постоянная Эйлера (*уе « 0,577) и матрица
"(? о )
(8.3.23)
dz х д(1о)
u = -(V±tiff). (8.3.24)
Уравнение (8.3.21) описывает движение ядра вихря при неоднородном
фоне для керровской среды с самодефокусировкой.
В случае некерровской среды с нелинейностью д(1) в (8.3.10)
можно следовать тому же подходу и найти, что (8.3.14) нужно заменить на
следующее уравнение
9(h) j
Уравнение нулевого порядка для стационарного профиля вихря теперь
принимает вид
Vi<xo + (1 - G(|iio|)2)tio = 0, (8.3.25)
где G(x) = g(Iox)/g(Io). В первом порядке мы вновь получаем (8.3.20),
но с изменённым видом возмущения Fp(uo). В результате
дальнейший анализ сохраняет силу. Точнее, движение вихря по-прежнему
определяется (8.3.21). Даже коэффициент С в (8.3.22) имеет тот же
вид. Единственное отличие возникает в использованной нормировке.
А именно, нелинейное изменение показателя преломления т^/о нужно
заменить на его некерровское значение пп\(1о). В случае
насыщающейся нелинейности можно использовать д(1) = 1/(\ 4-5/), где большие
значения 5 отвечают более сильному насыщению нелинейности.
Параметр с в (8.3.22) меняется от 1,126 при 5 = 0 до 1,412 при s = 1 и 1,639
при 5 = 2 [44].
Чтобы описать снос и вращение вихря, вызванные
дифрагирующим полем фона, нужно сначала знать эволюцию фона, после чего
по (8.3.21) можно рассчитать радиальную и угловую скорости
движения вихря. Часто предполагают, что поле фона в отсутствие вихря
эволюционирует приблизительно так же, как при наличии вихря. Даже
качественная информация о характере распространения поля фона
может быть использована, вместе с (8.3.21), для предсказания движения
вихря, внедрённого в это поле. Описание движения вихря таким
методом проиллюстрируем на примере вихря, введённого в гауссов пучок
[43].
Скорость вихря в поперечной плоскости х—у описывается (8.3.21)
и имеет две компоненты, возникающие из-за градиентов фазы и
интенсивности поля фона в месте расположения вихря. Первая компонента
—Vj_0fc направлена нормально к волновому фронту фона (в
направлении потока энергии) и приводит к радиальному движению
вихря. Вторая компонента (l/2)mCJVj_(ln/b) направлена вдоль линий
уровня интенсивности (называемых изофотами) фона с направлением
движения, задаваемым зарядом вихря га = ±1. Для фона гауссовой

8.3. Свойства вихревых солитонов
315
формы изофота в любой поперечной плоскости является окружностью,
и вторая компонента скорости описывает угловое движение вихря [49].
Постепенное уплощение профиля интенсивности, вызванное
самодефокусировкой фона, уменьшает градиент интенсивности и замедляет
вращение, испытываемое вихрем при линейном распространении. Для
уплощённых профилей интенсивности движение вихря зависит в
основном от волнового фронта фона, и мы вновь получаем результаты,
найденные в этом пределе [50, 51]. Качественно аналогичное поведение
наблюдалось при численном моделировании на основе комплексного
уравнения Гинзбурга-Ландау [52].
Уравнение (8.3.21) можно решить аналитически в случае фона
в виде гауссова пучка с линейной дифракцией [43]. Хотя в таком
приближении не учитывается нелинейная эволюция поля фона, тем
не менее оно полезно для понимания физики. Если пренебречь
нелинейным членом в (8.3.12), то дифракция гауссова пучка описывается
выражением
Я(г, z) = b exp (-Ьг2/2), (8.3.26)
где Ь = (1 + izLn\/Ld)~x и Ld = fowl — дифракционная длина для
входного гауссова пучка с шириной wo- Решая (8.3.21) в полярных
координатах (го, ф) для вектора положения вихря го, получим простые
соотношения
Ш = 1ё- «M-«W> + »cJ^. (".27)
о
где ширина пучка на расстоянии z равна [53]
w(z) = w0[\ + (zLm/Ld)2]1'2. (8.3.28)
Эти соотношения полезны в задачах управления вихрями [44].
Используя изложенный подход, можно изучить и взаимодействие
вихрей, если принять, что поле фона в (8.3.10) включает не только фон,
но и остальные вихри, тогда как поле и отвечает рассматриваемому
вихрю. Одиночный вихрь обладает круговыми изофотами с центром
в ядре вихря. Поэтому вихрь, взаимодействующий с фоновым полем,
образованным другим вихрем, будет двигаться в направлении,
ортогональном линии, соединяющей его ядро с вихрем фона. Точно та же
ситуация для другого вихря, формирующего пару. Поэтому
результирующее движение пары вихрей может быть только круговым или
параллельным, в зависимости от знаков зарядов вихрей. Возможно также
учесть неоднородность фона и оценить её влияние на взаимодействие
между двумя вихрями [49].
Физический механизм, определяющий движение вихря, можно
пояснить следующим простым соображением. Рассмотрим «импульс»
малого элемента поля фона, окружающего ядро вихря и определяемого
как \ IV±.вdr. Предположим сначала, что интенсивность однородна.

316
Гл. 8. Вихревые солитоны
Тогда импульс пропорционален сумме градиентов фаз вихря и фона
вблизи вихря. Так как вклад последнего обращается в нуль, элемент
вблизи ядра обладает импульсом, пропорциональным градиенту фазы
фона в месте расположения вихря. Во втором случае предположим, что
фаза фона однородна. Тогда градиент фазы фона вблизи вихря равен
нулю, а импульс элемента пропорционален интегралу от градиента
фазы вихря с весовым фактором, равным интенсивности фона вблизи
вихря. Из представлений о суммировании векторов ясно, что любая
неоднородность интенсивности фона в малой области около ядра вихря
приведёт к суммарной компоненте импульса в направлении,
ортогональном градиенту интенсивности (то есть вдоль изофоты). То, что
природа динамики вихрей может быть объяснена таким простым
физическим рассуждением, приводит к мысли, что уравнение движения
может оставаться справедливым даже вне частных предположений,
сделанных для его формального вывода.
8.3.3. Экспериментальные результаты. Вихревые оптические
солитоны впервые наблюдались в эксперименте 1992 г. при
использовании самодефокусировочной тепловой нелинейности и фазовой маски,
которая налагала приблизительно геликоидальную структуру
волнового фронта оптического вихря на входной пучок [55]. Маска состояла
из областей с толщиной, отвечающей фазовому набегу 0, 7г и 27Г,
окружающих некоторую точку в плоскости маски. На выходе
нелинейной среды на пучке непрерывного излучения наблюдалось тёмное
пятно, расположенное в этой точке. Интерферометрические измерения
указывали на наличие дислокаций волнового фронта в этой точке,
подтверждая предположение о формировании вихревого оптического
солитона. Пропусканием пучка He-Ne лазера как волноводной моды
через созданную структуру было выяснено, что в окрестности вихря
существует двумерный волновод.
Был предложен и более удобный метод наложения геликоидальной
структуры волнового фронта на входной пучок [28] О В этом методе
фазовая маска синтезировалась с помощью компьютера с численным
расчётом интерференционной структуры от осевой сферической
волны (или внеосевой плоской волны). Дифрагированный пучок первого
порядка от такой маски обладал структурой волнового фронта,
требуемой для формирования оптического вихря. Этот метод применялся
в нескольких экспериментах [56-58]. Главное его преимущество в том,
что можно точно управлять и числом, и закруткой (по часовой стрелке
или против) вихрей, создаваемых во входном пучке. Другой метод
создания вихрей основан на том, что дальнее поле одиночного вихря
совпадает с модой Лагерра-Гаусса первого порядка оптического
резонатора [59].
') См. также [94*]. (Прим. ред.)

8.3. Свойства вихревых солитонов
317
Для наблюдения вращающихся вихревых солитонов в эксперименте
1994 г. применялся аналогичный метод фазовой маски и создавалась
пара вихрей, смещённых симметрично от центра пучка и обладающих
одинаковым зарядом [49]. Каждый внеосевой вихрь при
распространении от перетяжки пучка до бесконечности вращался вокруг оси
гауссова фонового пучка на 90° [54]. Это вращение в точности
отвечает хорошо известному сдвигу Гуи, который характеризует суммарное
изменение осевой фазы гауссова пучка относительно фазы плоской
волны. Роль дефокусировки в нелинейной среде состоит в уплощении
волнового фронта фонового пучка, что уменьшает суммарный сдвиг Гуи на
фиксированном расстоянии. Следовательно, нелинейность уменьшает
естественное вращение вихря, испытываемое им при линейном
распространении (для плоской однородной волны вращение отсутствует). При
использовании паров рубидия, резонансно накачанного вблизи 780 нм,
и фокусированного гауссова пучка с конфокальным параметром, много
более коротким, чем длина ячейки, при увеличении нелинейности
можно было наблюдать поворот вихря примерно на 90° при малом
изменении радиальной координаты вихря. Такое движение может быть
полезным при создании оптических вращающих переключателей на
основе вихревых солитонов.
В нескольких экспериментах для изучения вихревых солитонов
использовался нелокальный отклик фоторефрактивных кристаллов
[60-62]. В этих целях часто применяется кристалл SBN. В
эксперименте 1994 г. входной пучок был когерентной лазерной модой формы
бублика, либо такая форма пучка создавалась искусственно
комбинацией двух независимых пучков с вертикальной и горизонтальной
щелями и относительной фазой 7г/2 между ними [60]. В обоих методах
получался пучок Лагерра-Гаусса с требуемой азимутальной
зависимостью фазы, который мог создавать вихревой солитон на выходе
нелинейной среды. Несмотря на анизотропию нелинейного отклика
фоторефрактивных сред, можно было генерировать почти круговые
вихревые солитоны при соответствующих условиях на входе.
На рис. 8.5 показаны фотографии и профили интенсивности
оптического пучка на входной (колонка (а)) и выходной (колонки (б)
и (в)) гранях кристалла. Размер вихря был 18 мкм (по 1/2
интенсивности) на входе (а), и он дифрагировал примерно до 43 мкм на
выходе (б), если к кристаллу длиной 11,7 мм не прикладывалось
напряжение смещения. Когда напряжение смещения прикладывалось по
оси кристалла с, кристалл становился самодефокусирующей средой.
Рисунок 8.5, в получен при приложенном напряжении -450 В (между
электродами, разнесёнными на 5,3 мм) и отношении интенсивностей
(отношение пиковой интенсивности вихревого пучка и суммой фоновой
освещённости и освещённости в тёмном пятне) равном 0,95.
Очевидно, что вихрь самоканалирован по обоим поперечным направлениям
и обладает примерно круговой формой. Так как вихрь каналируется на
уровне исходной ширины и поскольку самоканалирование сохраняется

318
Гл. 8. Вихревые солитоны
Рис. 8.5. Создание вихревого солитона в кристалле SBN длиной 11,7 мм:
входной пучок (а), выходной пучок при напряжении V = 0 (б) и выходной
пучок при V = —450 В (в). Поперечные (горизонтальный и вертикальный)
профили интенсивности показаны в этих трёх случаях в среднем и нижнем
рядах, соответственно [61]
в стационарном состоянии, такой вихрь называют экранированным
вихревым солитоном [61]. Для генерации таких вихревых солитонов
критичен выбор правильных условий эксперимента. Если
контролирующие нелинейность значения приложенного напряжения или отношения
интенсивностей заметно отклоняются от тех, при которых формируется
круглый вихревой солитон, то форма вихря становится скорее
эллиптической.
Несколько других экспериментов показывают весьма высокую
чувствительность вихревых солитонов к входным условиям. В работе
1996 г., где изучалась пространственная динамика вихрей в
анизотропной фоторефрактивной среде [62], экспериментальные и расчётные
результаты указывали на расширение вихря и его последующий распад.
Иногда распад одиночного вихревого солитона приводил к связанному
состоянию двух вихрей с противоположным направлением вращения.

8.3. Свойства вихревых солитонов 319
Эти результаты ясно указывают высокую чувствительность к
начальным условиям при генерации вихревых солитонов в фоторефрактивных
средах. Они также свидетельствуют о важности конечной ширины
фона, которая может приводить к изменению заряда вихря. Дальнейшие
экспериментальные исследования будут способствовать решению этих
проблем.
Во многих других экспериментах изучались создание и динамика
оптических вихревых солитонов в средах с насыщением
нелинейности [6, 10]. В эксперименте 1996 г. [63] одиночные оптические вихри
генерировались в парах рубидия (см. детали эксперимента в [25]).
Сравнение результатов численного моделирования и эксперимента
показало, что для получения разумного согласия необходимо учитывать
и насыщение, и поглощение. Взаимодействие вихревого солитона со
слабым когерентным пучком можно использовать для управления со-
литоном. Эта идея тесно связана с явлением управления, возникающим
для вихрей, помещённых в линейно распространяющийся пучок [29].
Управление вихревыми солитонами реализовано в эксперименте
1996 г. [43], в котором использовалась когерентная фоновая волна
с интенсивностью ~20% от интенсивности фонового пучка,
содержавшего внеосевой вихрь. При настройке относительной фазы фоновой
волны положение вихря можно
было сдвигать в любое
выбираемое угловое положение в выходном
пучке. Для описания движения
вихря можно применить
аналитическую модель, развитую в 8.3.2.
Из неё следует, что движение
вихря можно представить как
комбинацию радиального сноса,
пропорционального градиенту фазы
фонового пучка, и азимутального
сноса, пропорционального градиенту
интенсивности (ранее этот эффект
наблюдался при численном
моделировании [64]). При гауссовой
аппроксимации фоновой волны
было найдено, что радиальное
смещение вихря увеличивается в фактор,
равный отношению радиусов
пучка при самодефокусировке и без
неё. Экспериментальные
результаты подтверждают это
предсказание, даже когда фон
отличается от точной гауссовой формы.
На рис. 8.6 показаны радиальная
(а) и угловая (б) координаты вихря
0,60 0,80
А, ГГц
Рис. 8.6. Радиальная (а) и угловая
(б) координаты вихря в зависимости
от отстройки ниже резонанса в
ячейке Rb при температуре 88°
(квадраты) и 108°С (кресты). Сплошные
кривые показывают аналитические
результаты [44]

320
Гл. 8. Вихревые солитоны
на выходе ячейки Rb в зависимости от отстройки ниже атомного
резонанса (которая меняет величину самодефокусировки). Для оценки
влияния негауссовости фона численное моделирование выполнялось
с реальной формой фона и привело к прекрасному согласию с
экспериментальными данными. Интересно, что малое, но конечное насыщение
функции передачи наблюдалось даже тогда, когда вихрь располагался
вблизи края фонового пучка.
1,5 2,0 2,5
Параметр насыщения
3,0 3,5
Рис. 8.7. Экспериментально измеренные значения диаметра вихря (сплошная
кривая с указателями погрешности) в насыщающейся среде в зависимости от
параметра насыщения s. Соответствующие теоретические значения в
стационарном режиме показаны штриховой кривой. Пунктирная кривая представляет
эффективное расстояние распространения [38]
Детальное сравнение теоретических и измеренных
экспериментально значений диаметра вихря выполнено для среды с насыщающейся
самодефокусировкой [38]. Насыщение характеризовалось
безразмерным параметром насыщения s = Io/Is, где /о и Is — интенсивности
фона и насыщения, соответственно. Было отмечено, что профиль вихря
и его диаметр сильно зависят от степени насыщения и что диаметр
вихря (по уровню 1/2 интенсивности) почти линейно возрастает с
ростом s. Для связи аналитической теории, в которой рассматриваются
стационарные решения при бесконечном однородном фоне, с
экспериментом, где используются входные пучки с произвольным в
некоторой степени профилем интенсивности и геликоидальным волновым
фронтом, выполнено численное моделирование, позволившее изучить
формирование вихревого солитона для нескольких типичных профилей
входного пучка [38]. В то же время динамика распространения вихря
была изучена экспериментально в парах Rb — среде с варьируемой
насыщающейся нелинейностью. При формировании солитона
наблюдалось вращение первоначально эллиптического ядра вихря. Измеренный

8.4. Эффект Ааронова-Бома для вихрей
321
диаметр вихря как функция параметра насыщения показан на рис. 8.7.
Приблизительно линейный рост размера вихря с ростом s,
предсказываемый теорией, можно было наблюдать только в области глубокого
насыщения, где эффективное расстояние распространения (показанное
на рис. 8.7 пунктирной кривой) было достаточно велико для
достижения стационарного режима. При более низких уровнях насыщения
измеренный диаметр вихря был меньше теоретического предсказания.
Эти результаты указывают, что экспериментально наблюдаемый вихрь
далёк от стационарного.
Как возможное приложение вихревых солитонов упомянем
трёхмерный захват частиц с низким показателем преломления (полые
стеклянные сферы с диаметром 20 мкм в воде) при использовании сильно
сфокусированного гауссова пучка, содержащего оптический вихрь [65].
Поперечный захват вызван градиентной силой, направленной к центру
вихря; она позволяла захватывать частицы с высоким показателем
преломления в кольцевые структуры. В этом эксперименте оптический
вихрь генерировался голографическим методом.
8.4. Эффект Ааронова-Бома для вихрей
Известно, что магнитный векторный потенциал влияет на динамику
заряженной частицы, даже если магнитное поле обращается в нуль
(например, когда магнитное поле ограничено цилиндром, внутрь
которого заряженная частица проникнуть не может). Это явление известно
как эффект Ааронова-Бома [66]. Эффект связан с более общим
явлением геометрической фазы, вызванной дислокациями волнового
фронта [67]. Было также показано, что он имеет классический аналог
при рассеянии линейной волны на вихре [68, 69]. В работе 1999 г.
изучение взаимодействия волны
s^<0
,<z<0
z = 0
в воде с вихрем [70]
выявило как сходство, так и
различия с эффектом Ааронова-Бома,
позволив наблюдать
непосредственно макроскопический
аспект геометрической фазы.
Аналогичное явление — рассеяние
оптического вихря в сплошной
нелинейной среде —
реализуется и для оптических
вихрей в рамках НУШ и приводит
к оптическому аналогу эффекта
Ааронова-Бома [71].
Задача рассеяния
схематически изображена на рис. 8.8.
Рассмотрим фронт плоской волны, движущейся со скоростью v и
падающей на вихрь. В результате рассеяния волновой фронт деформирует-
Рис. 8.8. Деформация и расщепление
волнового фронта при рассеянии
плоской волны на вихре [71]

322
Гл. 8. Вихревые солитоны
ся, как это показано на рис. 8.8, б. После рассеяния волновой фронт
разделяется на две части на величину Ах = —2ж/у. В линейном
пределе скорость v совпадает со скоростью звука и результат справедлив
в длинноволновом приближении, когда дисперсия волн пренебрежимо
мала и все линейные волны распространяются с одинаковой скоростью.
Явление расщепления фронта волны после рассеяния на вихре прямо
связано с эффектом Ааронова-Бома [72, 73].
В нелинейном режиме рассеяния плоская волна заменяется на
полосу тёмного пространственного солитона, сформированную в среде
с самодефокусировочной нелинейностью [74]. Соответствующая
нелинейная задача рассеяния довольно сложна. Она была изучена только
приближённо на больших расстояниях от ядра вихря с помощью
многомасштабного асимптотического анализа [71]. Найдено, что деформация
полосы тёмного солитона при её взаимодействии с вихрем такова:
h(y,z) = -/-shL(y,z), (8.4.1)
v — А
где hb(y,z) — деформация в линейном пределе, v — скорость солитон-
ной полосы и А — собственное значение задачи рассеяния.
Уравнение (8.4.1) описывает результат нелинейного рассеяния
Ааронова-Бома на вихре. Этот эффект сильнее его линейного аналога
в v2/(v2 - А2) раз, при условии А < v. Найденное в [71] общее
аналитическое решение описывает экспоненциальный рост возмущений
полосы тёмного солитона. Нелинейную стадию этой неустойчивости
затруднительно исследовать аналитически, но численное моделирование
предоставляет удобный способ для её рассмотрения. При численном
моделировании контраст, или амплитуда полосы тёмного солитона
(то есть, её поперечная скорость) варьировалась, чтобы проследить
деформацию полосы при разных расстояниях распространения.
Рассеяние малоамплитудной полосы тёмного солитона на оптическом
вихре отвечает рассеянию линейного волнового пакета, связанному
с эффектом Ааронова-Бома. Мгновенные фотографии процесса
рассеяния на рис. 8.9 показывают детали деформации полосы (сначала
симметричной, а потом асимметричной) в процессе рассеяния. Сам
вихрь во время рассеяния смещается. Поперечная неустойчивость
полосы начинает развиваться при не слишком малых амплитудах
и сопровождается формированием смешанных (краевых и винтовых)
и позже винтовых дислокаций волнового фронта. Соответственно,
полоса распадается на вихри с противоположными зарядами таким
образом, который напоминает формирование вихрей в гидродинамике.
Это явление можно интерпретировать как эффективное
«расстегивание» полосы тёмного солитона в сильно нелинейном режиме рассеяния
Ааронова-Бома — примечательного нелинейного эффекта.
Первоначальный вихрь после рассеяния испытывает большой сдвиг
относительно своего исходного положения. Этот сдвиг служит
следствием нового типа взаимодействия, связанного с процессом рождения

8.4. Эффект Ааронова-Бома для вихрей
323
Рис. 8.9. Мгновенные снимки полосы тёмного солитона, рассеянной на
оптическом вихревом солитоне, при различных её начальных скоростях v. Расстояние
распространения z = 16 (в единицах дифракционной длины). Начальное
смещение хо полосы выбиралось так, чтобы она достигала центра (х = 0) при
z = 8 в отсутствие вихря. В этом случае xq = 2,5 при v = 0 [71]
и аннигиляции пары вихрей [71]. На физическом языке, при
взаимодействии часть полосы, ближайшая к вихрю, распадается, порождая пару
вихрей с противоположными зарядами. Один из новых вихрей
аннигилирует с первоначальным, эффективно заменяя его новым вихрем из
порождённой пары. Это изменение в идентичности вихрей проявляется
как большой сдвиг положения исходного вихря.
Взаимодействие вихревого солитона с полосой тёмного солитона
в сплошной среде с дефокусировочной нелинейностью изучено в
эксперименте 2000 г. [75], в котором наблюдались и вызванный вихрем
изгиб, и распад полосы. Пучок непрерывного излучения от титан-
сапфирового лазера фокусировался в ячейку паров рубидия после того,
как его фаза была изменена так, что возникал вихрь и солитонная
полоса вблизи него. Эксперимент был аналогичен выполненному ранее
для наблюдения распада полосы и управления вихрем [43]. Выходное
излучение лазера было линейно поляризованным слегка
эллиптическим гауссовым пучком, настроенным вблизи атомной резонансной
линии около 780 нм (отстройка 0,8 ГГц). Полоса тёмного солитона
создавалась с помощью скачка фазы величиной 7г маской, наложенной
через центр пучка. Без вихря этот фазовый скачок
трансформировался в почти прямолинейную полосу тёмного солитона, как видно
из рис. 8.10, б. Вихрь создавался изображением перетяжки пучка на
созданной с помощью компьютера фазовой маске [43]. Затем пучок

324
Гл. 8. Вихревые солитоны
отображался на входное окно ячейки с парами рубидия длиной 20 см
(при 101 °С). Вихревой солитон мог формироваться в любом месте
гауссова пучка; его экспериментально полученное изображение в
отсутствие полосы показано на рис. 8.10, а. Когда комбинацией двух
фазовых масок создавались и вихрь, и полоса, они взаимодействовали
в нелинейной среде. В результате взаимодействия полоса изгибалась,
а сам вихрь слегка смещался, как это видно на рис. 8.10, е. Когда
нелинейность возрастала при настройке частоты ближе к атомному
резонансу, полоса разбивалась на пары составляющих вихрей, как вид-
Рис. 8.10. Экспериментальные фотографии вихревого солитона (а),
взаимодействующего с полосой тёмного солитона (б). При взаимодействии полоса
сначала изгибается (в), а затем распадается (г) на многочисленные вихри [75]
но на рис. 8.10, г. Для изолированной полосы тоже могла развиваться
поперечная неустойчивость, но для этого требовалась гораздо большая
мощность, чем использованная здесь (60 мВт).
8.5. Решётки вихрей
Когда сформированы несколько вихрей, они могут проявлять
интересное поведение, часто напоминающее гидродинамическое движение.
Распространение их простейшей группы — пары вихрей — изучалось
в нескольких экспериментах [76, 77]. Вращение пары вихрей с
одинаковыми топологическими зарядами, сформированными на
фокусированном гауссовом пучке, контролировалось изменением интенсивности
излучения, что меняло положение перетяжки пучка внутри среды [49].

8.5. Решётки вихрей
325
Сравнение между поворотом пары вихрей в линейном и нелинейном
режимах показывает, что эффект вращения в нелинейном режиме
может быть больше более чем в три раза [79]. Такое увеличение
вызвано сжатием ядра вихря, что позволяет вихрям распространяться
как вихревым филаментам. Близкие эффекты наблюдались для более
сложных конфигураций, таких как линейный ряд вихрей [80, 81].
В режиме малой интенсивности ряд вихрей получался с помощью
изогнутой стеклянной пластины. При больших интенсивностях
наблюдалось нелинейное вращение вихрей; было найдено, что оно зависит
от плотности вихрей и не одинаково для различных пар вихрей из-за
взаимодействия между вихрями.
Когда многозарядные вихри генерируются в конфигурации,
устойчивой только для однозарядных вихрей (т = ±1), они не только
распадаются на множество вихрей с га = ±1; новые вихри ещё и формируют
структуру, напоминающую гексагональную кристаллическую
решётку [78]. При распространении в среде с самодефокусировочной
нелинейностью такая структура представляет двумерную периодическую
моду, индуцирующую периодическую модуляцию показателя
преломления. Индуцированное изменение показателя преломления достаточно
велико, чтобы вызвать дифракцию слабого пробного пучка,
распространяющегося в нелинейной среде. Дифракцией можно управлять, меняя
поворот всей решётки [78].
Несколько структур в виде различных решёток были изучены
численно. В каждом случае два соседних вихря либо обладали одинаковым
топологическим зарядом, либо заряд чередовался от +1 до —1. В
зависимости от топологических зарядов решётки могли вращаться или не
вращались [78]. Решётки также проявляли упругость при смещении
одного или более вихрей из равновесного положения. Эти свойства
наблюдались в эксперименте 2002 г., в котором решётки оптических
вихрей распространялись в среде с насыщающейся нелинейностью
[82]. Здесь необходимо подчеркнуть тесную связь между нелинейной
оптикой и когерентными волнами материи в виде конденсата Бозе-
Эйнштейна. В последнем случае в нескольких экспериментах
анализировались группы, ряды и решётки вихрей [83-85].
На рис. 8.11 показаны численные результаты, полученные
решением обобщённого НУШ [82] для двух решёток с различной
геометрией и различными топологическими зарядами. При
распространении вихревых структур не наблюдалось качественных отличий для
разных геометрий решётки (квадратной или гексагональной).
Напротив, существенные отличия возникают для решёток, сформированных
с одинаковыми или чередующимися зарядами. Очевидны два главных
отличия. В случае одинаковых топологических зарядов суперпозиция
фаз всех вихрей создаёт градиент фазы, который вызывает вращение
всей структуры. В то же время, эта фазовая структура приводит к
усиленному расширению фонового пучка, видному на рис. 8.11, б. В случае
чередующихся топологических зарядов вращения не происходит, так

326
Гл. 8. Вихревые солитоны
Рис. 8.11. а) Входные оптические пучки, содержащие вихри в виде квадратных
и гексагональных решёток; выходные пучки, полученные численно при z = 10
для вихрей с совпадающими (б) и чередующимися (в) зарядами [82]
как фазы в среднем нейтрализуются. По той же причине фоновый
пучок расширяется слабей. Подчеркнём, что эти оба эффекта
топологические. Действительно, зависимость от интенсивности фонового пучка
в расчётах пренебрежимо слаба. Однако, расширение фонового пучка
в случае чередующихся топологических зарядов (рис. 8.11, в) вызвано
совместным действием дифракции и самодефокусировочной
нелинейности и не зависит от интенсивности фонового пучка. Влияние структуры
решётки на рис. 8.11 можно понять из предшествовавшего обсуждения.
Так как вращение в обоих случаях вызвано градиентом фазы, который
больше для более плотной решётки, квадратная решётка вращается
быстрее гексагональной.
Экспериментальная установка, использованная для наблюдения
этих эффектов, аналогична применявшейся в предшествовавшей
работе [86]. Пучок излучения аргонового ионного лазера (на 488 нм)
использовался для воспроизведения компьютерно-генерированной
фазовой маски с наложенной на неё структурой решётки.
Дифракционные dbl-е порядки разделялись диафрагмой и фокусировались на
вход нелинейной среды, содержащей органический краситель. Выход
регистрировался на ПЗС-камере, а для избежания её насыщения
использовались нейтральные светофильтры [82]. Нелинейные
характеристики красителя были измерены при двух концентрациях. Найдено,
что при низкой концентрации мощность, необходимая для
формирования полосы тёмного солитона, Psoi си 22 мВт, а мощность насыщения

8.5. Решётки вихрей
327
Psat ~ 60 мВт [86]. При более высокой концентрации эти величины
составляли Psoi ^ 20 мВт и Psat ~ 16 мВт. Распределение интенсивности
для двух гексагональных решёток с чередующимися и равными
зарядами показано на рис. 8.12 (при низкой концентрации красителя). Число
Рис. 8.12. Экспериментальные изображения решёток вихрей на выходе ячейки
с красителем длиной 10 см. а) гексагональные решётки с чередующимися
зарядами при мощностях 10 и 50 мВт. б) гексагональные решётки с равными
зарядами при тех же двух уровнях мощности. Вставки показывают ориентацию
и размер элементарной ячейки [82]
вихрей в решётке было меньшим в случае равных зарядов из-за
технических трудностей синтезирования голограммы. Однако, основная
геометрическая характеристика — элементарная ячейка — была в
обоих случаях одной и той же. Характеристики же распространения для
двух решёток, показанных на рис. 8.12, совершенно различны. Решётка
с чередующимися зарядами (а) распространялась стационарно, тогда
как решётка с одинаковыми зарядами (б) поворачивалась (примерно
на 28° против часовой стрелки). Фоновый пучок сильнее расширялся

328
Гл. 8. Вихревые солитоны
в случае чередующихся зарядов, хотя это обстоятельство и не очевидно
из рис. 8.12 из-за разного числа вихрей в каждой решётке. Сравнение
элементарных ячеек для двух решёток показывает, что размер решётки
с равными зарядами на 18% больше.
Нелинейные эффекты очевидны из рис. 8.12 при сравнении
изображений каждой решётки при уровнях мощности 10 и 50 мВт.
Увеличение мощности пучка не влияет на поворот решётки. При большей
мощности главным образом увеличивается расширение пучка. Из
сравнения размеров элементарной ячейки решётки при обеих мощностях
было оценено, что в этих двух случаях происходит 15%-е и 12%-е
расширение. Различие этих двух случаев связано с увеличением размера
пучка из-за начального топологического расширения в случае равных
зарядов.
8.6. Кольцевые тёмные солитоны
Как указывалось в разделе 8.4, полосы тёмных солитонов
неустойчивы по отношению к длинноволновой модуляции. Область
неустойчивости характеризуется критическим волновым числом рсг, таким что
солитонная полоса устойчива по отношению к поперечным
возмущениям с длинами волн Aj_ < Асг, где Асг = 2тг/рСТ. Рассмотрим петлю
тёмного солитона радиуса Л, сформированную квазидвумерным
тёмным солитоном. По физическому смыслу ясно, что поперечные
неустойчивости будут подавлены при условии R < Асг. Следует ожидать, что
петля с низшей энергией обладает осевой симметрией. Поэтому можно
полагать, что тёмные солитоны кольцевой формы в среде с самодефо-
кусировочной нелинейностью будут устойчивы [5].
Для анализа свойств кольцевых тёмных солитонов [87] рассмотрим
осесимметричные решения (2+ 1)-мерного НУШ на фоне с единичной
интенсивностью (щ = 1) в виде
u(z, г) = {cos0 th[cos0(r - R)] + zsin</>}e~tz, (8.6.1)
где <f>(z) и R(z) — два медленно меняющихся параметра солитона,
представляющие угол и центр солитона, соответственно, так что \ф\ < 7г/2.
По физическому смыслу угол ф описывает контраст кольцевого тёмного
солитона (В2 = cos2 ф) и связан со скачком фазы 2ф на кольце, если
вычислить разность фаз между внешней и внутренней областями,
разделёнными кольцом. Переменная R(z) представляет радиус кольца
на расстоянии z.
Для больших значений радиуса солитона кольцевой солитон можно
рассматривать как квазиодномерный объект, а его кривизну — как
возмущение. Это обстоятельство позволяет изучить эволюцию
параметров солитона, используя теорию возмущений, развитую для тёмных

8.6. Кольцевые тёмные солитоны
329
солитонов (см. раздел 4.4), где эффективным параметром возмущения
служит г""1. Получающиеся уравнения эволюции принимают вид [5, 87]
ёф (D-l) , dR . . /осо\
Tz=3R cos<^ d7 = sin^- (8*6-2)
Решая эти связанные уравнения, найдём, что радиальная скорость
кольцевого солитона зависит от его радиуса R как
W ее g = я [l - cos2 фо (Ro/RfD_l)/3]1/2, (8.6.3)
где х = sign[sin0o] = ±1, а фо и До представляют начальные значения
параметров. Уравнение (8.6.3) показывает, что минимальный радиус
сжимающегося кольцевого тёмного солитона определяется начальными
условиями
ilmin = i?o[cos0o]3/(D",), (8.6.4)
а при R = Дт1п тёмный солитон обладает максимальным контрастом.
В зависимости от начального значения фо фазы солитона ф тёмный
солитон может сжиматься, достигая Rm\n, или расширяться с
уменьшением контраста.
Из линейного анализа устойчивости следует, что полоса тёмного
солитона устойчива при условии (см. 8.2.1) [4]
Р± > Рсг(Ф) =
2^/sin40 + cos2</> -(l+sin2<£)
-I 1/2
(8.6.5)
Это показывает, что полоса неустойчивости исчезает для
малоамплитудных тёмных солитонов, для которых соьф —► 0. Поэтому когда длина
кольца 2nRmm меньше минимальной длины волны 27г/рсг(0),
связанной с поперечной неустойчивостью, ожидается, что кольцевой тёмный
солитон будет устойчив, поскольку при расширении он становится
«более серым» и ещё более устойчивым. Это соображение приводит
к следующему условию устойчивости:
Дш1пРсг(0) < 1. (8.6.6)
Численное моделирование, выполненное на основе НУШ [5],
находится в прекрасном согласии с представленными выше аналитическими
результатами. На рис. 8.13 показана эволюция кольцевого тёмного
солитона в диапазоне z от 0 до 9 (нормировка на дифракционную длину).
Сначала тёмное кольцо сжимается, достигая минимального значения
при z = 6 (в), а затем начинает расширяться (г). В точке поворота
справедливость адиабатического приближения нарушается и тёмное
кольцо расширяется слегка отличным от предсказаний теории образом.
Тем не менее, уединённая волна весьма устойчива и идеально
сохраняет осевую симметрию, как это видно из рис. 8.13. В малоугловом
приближении, обсуждавшемся в разделе 4.2, кольцевые тёмные соли-

330
Гл. 8. Вихревые солитоны
Рис. 8.13. Эволюция кольцевого тёмного солитона при z = 0 (a), z = 3 (б),
z = 6 (в) и z = 9 (г). Для (б) и (в) кольцо сжимается, после чего начинает
расширяться [5]
тоны можно описать цилиндрическим уравнением Кортевега-де Фриза,
которое, как известно, точно интегрируется [5].
Интересна идея использования кольцевых тёмных солитонов как
волноводов для пучков, содержащих много светлых солитонов [88].
Действительно, тёмное кольцо действует как чисто оптический кабель
применительно к передаче (2+ 1)-мерных светлых солитонов. Эта идея
приложима также к передаче световых пуль через волноводы,
«записанные» тёмными солитонами. Однако, тогда как полоса тёмных
солитонов испытывает поперечную модуляционную неустойчивость,
кольцевой тёмный солитон формирует устойчивый искривлённый волновод.
Эта идея служит нетривиальным обобщением подхода наведённых со-
литоном волноводов, обсуждавшегося ранее для одномерных тёмных
солитонов. Это позволяет использовать более чем один сигнальный
пучок, а также обеспечивает устойчивость к разъюстировке, аналогичную
устойчивости, присущей парам светлого и тёмного солитонов [89].
Существование кольцевых тёмных солитонов было проверено
экспериментально [90] помещением амплитудной маски, состоящей из
непрозрачных «точек» с диаметром от 50 до 250 мкм, перед средой
с тепловой нелинейностью (красный краситель, содержащий этанол).
Для генерации фонового пучка использовался лазер на парах меди

Список литературы
331
(средняя мощность 4 Вт). При оптимальном уровне мощности
наблюдалось формирование одиночного тёмного кольца. При больших
мощностях формировались структуры в виде двойного кольца, разделяющего
области с примерно однородной интенсивностью. Зависимость
поперечной скорости кольца от интенсивности измерялась при фиксированном
значении его диаметра. Результаты качественно согласуются с теорией
и численными расчётами [5, 91]. Измерение профиля фазы кольцевых
тёмных солитонов [92, 93] подтвердило, что тёмные кольца отвечают
областям, где происходит скачок фазы примерно на 7г по диаметру
фонового пучка.
Список литературы
1. Swartzlander G.A. Jr., Andersen D.R., Regan J.J. // Phys. Rev. Lett. 1991.
V.66. P. 1583.
2. Hayata K., Koshiba M. // Phys. Rev. E. 1993. V. 48. P. 2312.
3. Kuznetsov E.A., Rubenchik A.M., Zakharov V.E. // Phys. Rep. 1986. V. 142.
P. 113.
4. Кузнецов E.A., Турицын С.К. // ЖЭТФ. 1988. Т. 94. С. 119.
5. Kivshar Yu.S., Yang X. // Phys. Rev. E. 1994. V. 50. R40.
6. Law С. Т., Swartzlander G.A. Jr. // Opt. Lett. 1993. V. 18. P. 586.
7. McDonald G.S., Syed K.S., Firth W.J. // Opt. Commun. 1993. V. 95. P. 281.
8. Josserand C, Pomeau Y. // Europhys. Lett. 1995. V. 30. P43.
9. Pelinovsky D.E., Stepanyants Yu.A., Kivshar Yu.S. // Phys. Rev. E. 1995.
V.51. P. 5016.
10. Tikhonenko V., Christou J., Luther-Dames В., Kivshar Yu.S. // Opt. Lett.
1996. V. 21. P. 1129.
11. Mamaev A. V., Saffman M., Zozulya A. A. // Phys. Rev. Lett. 1996. V. 76.
P. 2262.
12. Mamaev A. V., Saffman M., Anderson D.Z., Zozulya A.A. // Phys. Rev. A
1996. V. 54. P. 870.
13. Soskin M. S., Vasnetsov M. V. // Progress in Optics / Ed. by E. Wolf. V. 42. -
Amsterdam: Elsevier, 2001.
14. Snyder A. W., Poladian L., Mitchell D.J. // Opt. Lett. 1992. V. 17. P. 789.
15. Питаевский Л. П. // ЖЭТФ. 1961. Т. 40. С. 646.
16. Гинзбург В.Л., Питаевский Л.П. // ЖЭТФ. 1958. Т. 34. С. 1240.
17. Perivolaropoulos L. // Phys. Lett. В. 1993. V. 316. P. 528.
18. Pismen L.M. // Physica D. 1994. V. 73. P. 244.
19. Pisman L.M. // Phys. Rev. Lett. 1994. V. 72. P. 2557.
20. Law СТ., Swartzlander G.A. Jr. // Chaos, Solitons, Fractals. 1994. V.4.
P. 1759.
21. Velchev /., Dreischuh A., Neshev £>., Dinev S. II Opt. Commun. 1996. V. 130.
P. 385.
22. Sheppard A.P., Haelterman M. // Opt. Lett. 1994. V. 19. P. 859.
23. Silberberg Y. // Opt. Lett. 1990. V. 15. P. 1282.
24. Kuznetsov E.A., Rasmussen J.J. // Phys. Rev. E. 1995. V. 51. P. 4479.

332
Гл. 8. Вихревые солитоны
25. Luther-Davies В., Christou /., Tikhonenko V. V. et al. // J. Opt. Soc. Am. B.
1997. V. 14. P. 3045.
26. Nye J.F., Berry M. V. // Proc. R. Soc. Lond. A. 1974. V. 336. P. 165.
27. Bazhenov V. Yu., Soskin M.S., Vasnetsov M. V. // J. Mod. Phys. 1992. V. 39.
P. 985.
28. Heckenberg N.R., McDuff Д., Smith C.P., White A.G. // Opt. Lett. 1992.
V. 17. P. 221.
29. Basistiy I. K, Bazhenov V. Yu., Soskin M.S., Vasnetsov M. V. // Opt. Com-
mun. 1993. V. 103. P. 422.
30. Freund I. // J. Opt. Soc. Am. A. 1980. V. 11. P. 1644.
31. Баранова Н.Б., Зельдович Б.Я., Мамаев А.В. и др. // ЖЭТФ. 1981. Т. 33.
С. 206.
32. Spiegel Е.А. // Physica D. 1980. V. 1. Р. 236.
33. Donnelly R.J. Quantized Vortices in Helium II. — Cambridge: Cambridge
University Press, 1991.
34. Nore C, Brachet M.E., Fauve S. // Physica D. 1993. V. 65. P. 154.
35. Neu J. С II Physica D. 1990. V. 43. P. 385.
36. Velchev /., Dreischuh A., Neshev D., Dinev S. // Opt. Commun. 1997. V. 140.
P. 77.
37. Chen Y.t Atai J. // J. Opt. Soc. Am. B. 1992. V. 9. P. 2252.
38. Tikhonenko V.t Kivshar Yu.S.f Steblina V. V. et al. // J. Opt. Soc. Am. B.
1998. V. 15. P. 79.
39. Aranson /., Steinberg V. // Phys. Rev. B. 1996. V. 53. P. 75.
40. Dreischuh A., Paulus G.C., Zacher F. et al. // Phys. Rev. E. 1999. V. 60.
P. 7518.
41. Dreischuh A., Paulus C.G., Zacher F. et al. // Phys. Rev. E. 1999. V. 60.
P. 6111.
42. Mamaev A. V., Saffman M., Zozulya A. A. // Phys. Rev. Lett. 1997. V. 78.
P. 2108.
43. Christou /., Tikhonenko V.y Kivshar Yu.S., Luther-Davies B. // Opt. Lett.
1996. V.21. P. 1649.
44. Kivshar Yu.S.t Christou J., Tikhonenko V. et al. // Opt. Commun. 1998.
V. 152. P. 198.
45. Kivshar Yu.S., Yang X. // Opt. Commun. 1994. V. 107. P. 93.
46. Rubinstein /., Pismen L.M. // Physica D. 1994. V. 78. P. 1.
47. Pismen L.M., Rodriquez ID. // Phys. Rev. A. 1990. V. 42. P. 2471.
48. Pismen L.M., Rubinstein J. // Physica D. 1991. V. 47. P. 353.
49. Luther-Davies В., Powles /?., Tikhonenko V. // Opt. Lett. 1994. V. 19.
P. 1816.
50. Staliunas K. // Chaos, Solitons, and Fractals. 1994. V. 4. P. 1783.
51. Roux FS. II J. Opt. Soc. Am. B. 1995. V. 12. P. 1215.
52. Staliunas K. 11 Opt. Commun. 1994. V. 90. P. 123.
53. Butylkin V.S., Kaplan A.E., Khronopulo Yu.G., Yakubovich E.I. Resonant
Nonlinear Interactions of Light with Matter. — Berlin: Springer, 1989.
[Русское издание: Бутылкин B.C., Каплан А.Е., Хронопуло Ю.Г.,
Якубович Е.И. II Резонансные взаимодействия света с веществом. — М.: Наука,
1973.]

Список литературы
333
54. Indebetouw G. // J. Mod. Phys. 1993. V. 40. P. 73.
55. Swartzlander G.A. Jr., Law C. // Phys. Rev. Lett. 1992. V. 69. P. 2503.
56. Swartzlander G.A. Jr., Law C. // Opt. Phon. News. 1993. V. 10(12).
57. Tikhonenko V, Christou J., Luther-Dames B. // J. Opt. Soc. Am. B. 1995.
V. 12. P. 2046.
58. Tikhonenko V, Christou J., Luther-Davies B. // Phys. Rev. Lett. 1996. V. 76.
P. 2698.
59. Duree G., Morin M., Salamo G. et at. // Phys. Rev. Lett. 1995. V. 74. P. 1978.
60. Segev M., Valley G.C., Crosignani В., et al. // Phys. Rev. Lett. 1994. V. 73.
P. 3211.
61. Chen Z., Shih M., Segev M. et al. // Opt. Lett. 1997. V. 22. P. 1751.
62. Mamaev A. V, Saffman M., Zozulya A.A. // Phys. Rev. Lett. 1996. V. 77.
P. 4544.
63. Tikhonenko V, Akhmediev NN. // Opt. Commun. 1996. V. 126. P. 108.
64. McDonald G.S., Syed K.S., Firth W.J. // Opt. Commun. 1992. V. 94. P. 469.
65. Gahagan K. T, Swartzlander G.A. Jr. // Opt. Lett. 1996. V. 21. P. 827.
66. Aharonov Y, Bohm D. // Phys. Rev. 1959. V. 115. P. 485.
67. Berry M. V II Proc. R. Soc. London A. 1984. V. 392. P. 45.
68. Сонин Э.Б. И ЖЭТФ. 1975. T. 69. С 921.
69. Berry M. V et al. I/ Eur. J. Phys. 1980. V. 1. P. 154.
70. Vivanco F et al. // Phys. Rev. Lett. 1999. V. 83. P. 1966.
71. Neshev D., Nepomnyashchy A., Kivshar Yu.S. // Phys. Rev. Lett. 2001. V. 87.
043901.
72. Питаевский Л. П. // ЖЭТФ. 1958. Т. 35. С. 1271.
73. Pismen L.M. Vortices in Nonlinear Fields. — Oxford: Clarendon, 1999.
Sec. 4.3.4.
74. Kivshar Yu.S., Luther-Davies B. // Phys. Rep. 1998. V. 298. P. 81.
75. Kivshar Yu.S., Nepomnyashchy A., Tikhonenko V et al. // Opt. Lett. 2000.
V.25. P. 123.
76. Rozas D., Sacks Z.S., Swartzlander G.A. Jr. // Phys. Rev. Lett. 1997. V. 79.
P. 3399.
77. Rozas D., Law СТ., Swartzlander G.A. Jr. // J. Opt. Soc. Am. B. 1997.
V. 14. P. 3054.
78. Neshev D., Dreischuh A., Assa M., Dinev S. // Opt. Commun. 1998. V. 151.
P. 413.
79. Rozas D., Swartzlander G.A. Jr. // Opt. Lett. 2000. V. 25. P. 126.
80. Kim G.H., Jeon J.H., Noh YC. et al. // Opt. Commun. 1998. V. 147. P. 131.
81. Kim G.H., Jeon J.H., Noh YC. et al. // Phys. Soc. 1998. V. 33. P. 308.
82. Dreischuh A., Chervenkov S., Neshev D. et al. // J. Opt. Soc. Am. B. 2002.
V. 19. P. 550.
83. Madison K. W., Chevy F, Wohlleben W., DalibardJ. // Phys. Rev. Lett. 2000.
V. 84. P. 806.
84. Anderson B.P., Haljan P. C, Regal С A. et al. // Phys. Rev. Lett. 2001. V. 86.
P. 2926.
85. Abo-Shaeer JR., Raman C, Vogels J.M., Ketterle W. // Science. 2001.
V. 292. P. 476.

334
Гл. 8. Вихревые солитоны
86. Dreischuh A., Neshev D., Paulus G.G. et al. // J. Opt. Soc. Am. B. 2000.
V. 17. P. 2011.
87. Kivshar Yu.S., Yang X. // Chaos, Solitons, and Fractals. 1994. V. 4. P. 1745.
88. Dreischuh A., Kamenov K, Dinev S. // Appl. Phys. B. 1996. V. 63. P. 145.
89. Sheppard A.P., Kivshar Yu.S. // Phys. Rev. E. 1997. V. 55. 4773.
90. Baluschev S., Dreischuh A., Velchev I. et al. // Phys. Rev. E. 1995. V. 52.
P. 5517; Appl. Phys. B. 1995. V. 61. P. 121.
91. Kamenov K, Dreischuh A., Dinev S. // Phys. Scripta. 1997. V. 55. P. 68.
92. Dreischuh A, Fliesser W„ Velchev I et al 11 Appl. Phys. B. 1996. V.62.
P. 139.
93. Neshev Z)., Dreischuh Л., Kamenov V. et al. // Appl. Phys. B. 1997. V. 64.
P. 429.
94*. Баженов В.Ю., Васнецов М.В., Соскин М.С. // Письма в ЖЭТФ. 1990.
Т. 52. С. 1037.

Глава 9
ВЕКТОРНЫЕ СОЛИТОНЫ
Все обсуждавшиеся ранее солитоны описывались НУШ для
единственного скалярного поля. Такие скалярные солитоны формируются,
когда в нелинейной среде распространяется единственная волна и её
поляризационное состояние сохраняется. Когда эти условия
нарушаются, необходимо рассматривать взаимодействие нескольких компонент
поля с различными частотами или поляризациями и решать
одновременно систему связанных НУШ. Решения этих уравнений с
сохраняющейся формой называются векторными солитонами из-за их
многокомпонентной природы. В некоторых случаях составляющие солитона
отвечают компонентам векторного поля, связанного с солитоном, но
в общем случае термин векторный солитон весьма широк и
охватывает различные типы многокомпонентных солитонов. Эта глава
посвящена векторным солитонам. В разделе 9.1 вводится простейшая
физическая модель двухкомпонентного поля, описываемого двумя связанными
НУШ, что отвечает связи между двумя импульсами,
распространяющимися в оптических световодах. Эта модель обобщается в разделе 9.2
на случай TV-компонентных векторных солитонов, описываемых
системой N некогерентно связанных НУШ. В разделе 9.3 мы
останавливаемся на вопросах устойчивости таких векторных солитонов. Раздел 9.4
посвящен свойствам пространственных векторных солитонов,
описываемых когерентно связанными НУШ. В нём рассматривается пример
пространственных векторных солитонов, формирующихся в планар-
ном полупроводниковом волноводе из-за нелинейной связи поперечно-
электрических (ТЕ) и поперечно-магнитных (ТМ) мод. В разделе 9.5
мы рассматриваем структуру и устойчивость многогорбых векторных
солитонов. Обобщение векторных солитонов на случай двух
пространственных измерений обсуждается в разделе 9.6, где рассматриваются
радиально симметричный и несимметричный случаи. В разделе 9.7
мы останавливаемся на поперечной неустойчивости полос векторных
солитонов. В заключительном разделе мы обсуждаем несколько типов
векторных солитонов, связанных с тёмными солитонами, таких как
тёмно-светлые векторные солитоны, стенки поляризационных доменов
и векторные вихревые солитоны.

336
Гл. 9. Векторные солитоны
9.1. Некогерентно связанные солитоны
В этом разделе мы остановимся на двухкомпонентных векторных
солитонах. Такие солитоны могут быть пространственными или
временными и формироваться двумя ортогонально поляризованными
компонентами единого оптического поля или двумя полями с
различными частотами, но с одинаковой поляризацией. Мы выведем основные
некогерентно связанные НУШ на примере временнбго векторного
солитона с двумя различными частотными компонентами и объясним,
как изменяются эти уравнения в случае пространственных солитонов.
Как поясняется в разделе 9.4, аналогичные уравнения возникают для
пространственных векторных солитонов, формирующихся в планарных
волноводах.
9.1.1. Связанные нелинейные уравнения Шрёдингера. В
случае одиночного импульса, распространяющегося в многомодовом
световоде, векторные солитоны могут формироваться из-за связи между
различными модами, вызванными нелинейностью световода.
Математически распространение импульса в многомодовом световоде
описывается системой некогерентно связанных НУШ [1]. Даже в одномодовом
световоде одиночный импульс может формировать векторный солитон,
если эффект двулучепреломления приводит к связи двух ортогонально
поляризованных компонент [2]. В этом случае, однако, нужно
учитывать когерентный характер связи, как это поясняется в разделе 9.4.
В этом разделе мы остановимся на случае двух импульсов с
различными несущими частотами, распространяющихся вдоль направления Z
в одномодовом световоде [3]. Полное оптическое поле в любой точке
внутри световода можно записать как
Е(г, t) = Re {xF(X, Y)[A\ exp {i/3wZ - uj\t) + A2 exp (ifooZ - iubt)]},
(9.1.1)
где x — единичный вектор поляризации, F(X, Y) описывает
пространственное распределение поля моды, и\ и ш2 — несущие частоты двух
импульсов и /3jo — член нулевого порядка в разложении Тейлора
постоянной распространения 0j(u) (j = 1,2):
РМ = &0 + (" - "i)fti + 5 (" - <"*)2А-2 + -, (9.1.2)
где pjk = {dhPjldwk)USSUJ..
Следуя методу, указанному в разделе 1.3, найдём, что медленно
меняющиеся огибающие импульсов А\ и А2 удовлетворяют следующей
системе двух уравнений [3]:
^(И+^1ж)-т^+7,(|л,|2+а|Л2|2)л,=0- (913)

9.1. Некогерентно связанные солитоны
337
где 7j = n2Vj/(cAett) — нелинейный параметр и Аея —
эффективная площадь сердцевины. Нелинейная связь двух полей
определяется членом кросс-модуляции фазы (КМФ), содержащим параметр а.
В рассматриваемом случае а = 2, но это значение может меняться
в зависимости от физической задачи. Например, <т = 2/3, когда два
поля имеют одинаковую частоту, но различные поляризации [3]. Это
различие происходит из-за тензорного характера нелинейной
восприимчивости третьего порядка х^-
Как и в предыдущих главах, полезно нормировать (9.1.3) и (9.1.4),
введя
х = (t - P\rZ)/T0t z = Z/LD, Uj = y/iTLDAji (9.1.5)
где Ld = To/|/?2r|, To служит мерой длительности импульса, a /?ir, /?2r
и 7r — опорные значения, используемые для нормировки. В
безразмерных переменных (9.1.3) и (9.1.4) принимают вид
Ч^+^) + 1^+^(|и2|2+<т|и,|2)и2=0, (917)
где новые безразмерные параметры определены таким образом:
6, ~ (Pji - Pir)Ld/T0, dj = -falfa> 1$=7i/7r (9.1.8)
для j = 1 или 2. Эти шесть параметров определяют свойства двухком-
понентных векторных солитонов. Их число можно уменьшить до пяти,
выбрав /?1Г = (/3\\ +/?2i)/2 как среднее значение, так что групповая
скорость импульсов определяется в системе отсчёта, движущейся со
скоростью
VgT = \/рХт = Vg\V1ft/(Vgl+Vg2). (9.1.9)
При таком выборе 5 = 6\ = —62 определяет рассогласование групповой
скорости двух импульсов.
Главное препятствие для формирования векторных солитонов —
это рассогласование групповых скоростей Sj, фигурирующих в (9.1.6)
и (9.1.7). В отсутствие нелинейных эффектов два импульса будут
отдаляться друг от друга после прохождения расстояния, называемого
длиной сноса и определяемого как [3]
Lw=To/\0u -02i\ = LD/\6i-62\. (9.1.10)
Однако, возможен сдвиг частот солитонов таким образом, что быстрее
движущийся импульс замедлится, а медленнее движущийся импульс
ускорится так, что два импульса будут перекрываться неограниченно
долго. Это и есть основной механизм формирования векторных
солитонов, несмотря на рассогласование групповых скоростей. Матема-

338
Гл. 9. Векторные солитоны
тически можно исключить члены с 5j в (9.1.6) и (9.1.7), выполнив
преобразование:
Uj = Uj exp (iKjZ - tiljx). (9.1.11)
Тогда (9.1.6) и (9.1.7) сводятся к следующим уравнениям
^ + |2L + 7.(l^|2 + ^2|2)C/,=0) (9.1.12)
^ + f^+72(|f/2|2 + ^№ = 0, (9.1.13)
при условии, что Qj = Sj/dj и Kj = 5?/(2dj). Для упрощения
обозначений здесь и далее опущены штрихи у j.
Уравнения (9.1.12) и (9.1.13) служат простейшими связанными
НУШ. Говорят, что они связаны некогерентно, потому что связь
зависит только от локальных интенсивностей и поэтому не чувствительна
к фазе. Та же система уравнений применима к случаю двух пучков
непрерывного излучения, распространяющихся в планарном
оптическом волноводе, в котором свет дифрагирует только по направлению х.
Единственное отличие в том, что параметры dj (j = 1,2) будут связаны
не с дисперсией, а с дифракцией, и определятся как dj = А)г/^о» где
Д)г — опорное значение. Конечно, как указывалось в гл. 1, в
пространственном случае dj принимает только положительные значения, но
может быть и положительным, и отрицательным во временном случае,
в зависимости от характера дисперсии (аномальной или нормальной).
Нелинейный параметр 7j положителен при самофокусировочной
нелинейности, но принимает отрицательные значения в самодефокусиро-
вочной нелинейной среде. Для некерровских сред уравнения (9.1.12)
и (9.1.13) следует обобщить, заменив в нелинейных членах |l/j-|2
функцией F(|[/j|2), как это делалось в гл. 2.
Связанные НУШ, подобные (9.1.12) и (9.1.13), интенсивно
изучались для нахождения решений, представляющих два пространственных
(или временных) солитона, чья форма не меняется при
распространении. Такие векторные солитоны иногда называют связанными, или
симбиозными солитонами, чтобы подчеркнуть зависимость
различных компонент векторного солитона друг от друга. В случае
самофокусировочной нелинейности временные векторные солитоны можно
разделить на следующие пять классов:
— Обе компоненты векторного солитона являются светлыми соли-
тонами, для каждого из них дисперсия аномальна (d\ > 0 и d<i > 0).
Этот случай отвечает двухкомпонентному светлому векторному со-
литону [4-10].
— Светлый солитон с аномальной дисперсией (d\ > 0) связан с
тёмным солитоном, для которого дисперсия нормальна (cfo < 0). Этот
случай отвечает «нормальной» тёмно-светлой солитонной паре [11-17].

9.1. Некогерентно связанные солитоны
339
— Светлый солитон с нормальной дисперсией (d\ < 0) некогерентно
связан с тёмным солИтоном с аномальной дисперсией (d^ > 0). Этот
случай отвечает «инвертированной» тёмно-светлой паре [11, 18].
— Два связанных тёмных солитона распространяются в режиме
нормальной дисперсии (d\ < 0 и d% < 0). Это случай двухкомпонентно-
го тёмного векторного солитона [19-25].
— Светлый импульс связан с тёмным солитоном, и оба
распространяются в области нормальной дисперсии (d\ < 0 и d<i < 0), в которой
сами по себе светлые импульсы существовать не могут [24, 26-30].
В этом случае светлый импульс поддерживается в волноводе,
созданном тёмным солитоном.
Важное обобщение включает случай когерентной нелинейной
связи двух компонент, и он обсуждается позже на примере
пространственных векторных солитонов. Следует отметить, что существуют
и другие типы связи мод и, соответственно, другие типы связанных
НУШ. Хорошо известным примером служит нелинейный
направленный ответвитель, в котором связаны моды в пространственно
разделённых сердцевинах световода. Такой нелинейный ответвитель можно
использовать для чисто оптического переключения [31].
9.1.2. Волноводы, наведённые солитонами. Для понимания
физического смысла существования двухкомпонентных векторных
солитонов полезно обсудить сначала явление наведённых солитонами
волноводов. Эта идея впервые была предложена Манассахом [32] для
временных солитонов. Позже она применялась к пространственным
солитонам, что позволило осуществить их экспериментальное
наблюдение [33-35]. Необходимо, однако, подчеркнуть, что основная идея
этого явления обсуждалась ещё в 1962 г. Аскарьяном [36] при
анализе влияния градиента интенсивности света на электроны и
атомы. Мы обсудим эту основополагающую идею, используя связанные
НУШ (9.1.12) и (9.1.13).
Рассмотрим случай, когда одно из полей столь слабо по сравнению
с другим, что не может влиять на распространение интенсивного поля.
Однако, интенсивное поле воздействует на слабое за счёт вызванной
КМФ связи. При определённых условиях солитон может полностью
захватить слабое поле вследствие формирования наведённого
солитоном волновода. По физическому смыслу интенсивное поле,
распространяющееся как солитон, изменяет показатель преломления нелинейной
среды и создаёт эффективный волновод. При должных условиях слабое
поле будет сосредоточено в этом волноводе и будет распространяться
как его мода, что представляет простейший пример векторного
солитона.
Предположим, что в связанных НУШ (9.1.12) и (9.1.13) \U{\2 >
> Ц/г!2- Если фиксировать d\ = 1 и 71 = 1 (используя поле U\ как

340
Гл. 9. Векторные солитоны
опорное для нормировки), эти уравнения примут вид
if + 1^ + 1^^,-0. (9.1.14)
^ + !^ + 7ИС.|2С2 = 0. (9.1.15)
Уравнение (9.1.14) — это стандартное НУШ, рассмотренное в гл. 1,
и оно имеет решение в виде фундаментального солитона U\(x,z) =
= sch(z)eiz/2. Если подставить это решение в (9.1.15) и искать решение
с сохраняющейся формой в виде U2(x,z) =/(x)etAz, то f(x) будет
удовлетворять следующему уравнению на собственные значения:
^ ах ch i
где собственное значение Л подлежит определению. Физический
смысл (9.1.16) прозрачен. Светлый солитон увеличивает показатель
преломления, зависящий от интенсивности, и создаёт градиентный
волновод, в котором может распространяться слабое поле Uz-
Задача на собственные значения (9.1.16) возникает во многих
разделах физики. В частности, она изучалась применительно к линейным
градиентным световодам с распределением показателя преломления
вида sch2x [37]. При d<i > 0 эта задача имеет ограниченные решения,
такие, что f(x) —> 0 при |х| —> оо, только если Л < 720" (ведомые
моды). Число таких ограниченных мод зависит от а. В частности, при
а = 2 и 72 ~ 1 существуют два локализованных решения [37]. Решение
низшего порядка (симметричное) имеет вид f(x) = schI/(x) с v = 1,56.
При &2 < 0 (9.1.16) не имеет локализованных собственных мод, так
как этот случай отвечает так называемому «антиволноводу».
Приведённое обсуждение показывает, что при некоторых условиях
интенсивное оптическое излучение может индуцировать волновод для
более слабого излучения посредством вызванной КМФ связи. Это
явление наведённого солитоном волновода наблюдается
экспериментально при введении пробного пучка непрерывного излучения в среду
с самофокусировочной керровской нелинейностью вместе с пучком
интенсивного непрерывного излучения, мощность которого выбрана так,
что он распространяется как светлый пространственный солитон [35].
Такой захват слабого пучка и его удержание интенсивным солитоном
наблюдалось во многих экспериментах с применением различных типов
сред с самофокусировкой [38-47] и часто используется для
практических приложений в основанных на солитонах У-соединениях,
светоделителях и направленных ответвителях [41-45]. Индуцированный
солитоном волновод ведёт также к эффективной генерации второй
гармоники [42]. Было также предложено и проверено экспериментально
использование тёмных солитонов для индуцирования волноводов [49].

9.1. Некогерентно связанные солитоны
341
9.1.3. Точные решения. Эффект обеспечения солИтоном
распространения волн показывает, что можно использовать солитон на одной
длине волны для каналирования слабого излучения на другой длине
волны. Даже если второй пучок становится столь интенсивным, что
предположение \U\\2 » \U2\2 уже не выполняется в связанных НУШ, то
можно ожидать продолжения взаимного каналирования при некоторых
условиях. Действительно, (9.1.12) и (9.1.13) имеют точные
аналитические решения в форме солитонных пар, сохраняющих форму из-за
взаимной КМФ [4-24]. Так как такие векторные солитоны
характеризуются особым типом профилей интенсивности обоих пучков (или
импульсов), всегда возникающих парами [50, 51], их называют также
КМФ-связанными солитонами или симбиозными солитонами.
Интересен пример инвертированной тёмно-светлой солитонной
пары, формирующейся при /3\2 < 0 и /?22 > 0. Такое решение (9.1.3)
и (9.1.4) при сг = 2 впервые было получено в 1988 г. [18] и имеет вид
A\(Z,t) = B,th[W(*- Z/V))exp[i(KxZ -Hit)], (9.1.17)
A2(Zt t) = B2 sch[W{t - Z/V)) exp [i{K2Z - П2*)Ь (9.1.18)
где V — общая групповая скорость. Амплитуды солитонов
определяются из соотношений
В\ = (27./322 + 72|/?!2|)И'7(37.72), (9.1.19)
В\ = (272|/?.2| + 7ift2)W2/(37.72), (9.1.20)
а волновые числа К\ и К2 даются выражениями
Кх = ЪВ\ - |0,2|nf/2, К2 = Да(П2 " ^V2' (9Л-21)
Эффективную групповую скорость пары солитонов получают из
равенств
У1 =vjl - \Рп\П{=у^+(322П2, (9.1.22)
где vg = 1//?п — групповая скорость импульса в отсутствие
нелинейных эффектов (предполагается одинаковой для обоих импульсов).
Как видно из (9.1.22), частотные сдвиги П\ и £12 должны иметь
противоположные знаки и не могут выбираться произвольно.
Параметр W определяет длительность импульса и амплитуды солитонов
посредством (9.1.19) и (9.1.20). Поэтому два участника солитонной
пары имеют одинаковые длительности и групповые скорости, но разные
профили и амплитуды, такие, что они поддерживают друг друга за
счёт КМФ-связи. Самая удивительная черта этой солитонной пары
в том, что тёмный солитон распространяется в режиме аномальной
ДГС, а светлый солитон — в режиме нормальной ДГС, что в точности
противоположно ситуации в отсутствие КМФ. Физика такого
необычного формирования пары поясняется так. Так как КМФ вдвое сильней
СМФ, она может противодействовать временному расширению
оптического импульса, вызванному комбинацией СМФ и нормальной ДГС,

342
Гл. 9. Векторные солитоны
при условии, что индуцируемый КМФ чирп противоположного знака
по сравнению с наведённым СМФ. Тёмный солитон может производить
такой тип чирпа. В то же время, индуцированный КМФ чирп для
тёмного солитона таков, что светлый и тёмный солитоны в паре могут
взаимно поддерживать друг друга .
Тёмный солитон внутри пары не обязательно должен быть чёрным.
Даже серый солитон может составлять пару со светлым солитоном.
Такая солитонная пара может быть получена решением (9.1.3) и (9.1.4)
подстановкой
Aj(Z, t) = Qj(t - Z/V) exp [i(KjZ - fyt + 0,)], (9.1.23)
где V — общая скорость солитонной пары, Qj определяют форму
солитона, a <j>j — фазы (J = 1,2). Решение имеет вид [13]
Q{(r) = В,[1 - b2sch2(Wr)]t Q2(r) = B2sch(Wr), (9.1.24)
где т = t — Z/V. Параметры W и Ь зависят от амплитуд солитона В\
и B<i и от параметров световода посредством соотношений
Постоянные К\ и К2 также определяются различными параметрами
световода и амплитудами солитона. Фаза светлого солитона постоянна,
а фаза тёмного солитона ф\ зависит от времени. Сдвиги частоты Q\
и Йг связаны со скоростью солитонной пары, как в (9.1.22).
Отличие КМФ-связанной солитонной пары в (9.1.24) в том, что
тёмный солитон теперь «серого» типа. Глубина провала интенсивности
для серого солитона определяется параметром Ь. Оба солитона имеют
одинаковую длительность W, но различные амплитуды. Кроме того,
два параметра ДГС могут быть и положительными, и отрицательными.
Однако, солитонная пара существует только при определённых
условиях. Солитонное решение всегда возможно, если (3\2 < 0 и /?22 > О,
но оно не существует, когда /?i2 > 0 и /?22 < 0. Как пояснялось выше,
это свойство противоположно тому, что можно было бы ожидать,
и вызвано исключительно КМФ. Если оба солитона обладают
нормальной ДГС, то светло-серая солитонная пара может существовать, если
7i/?22 > 272А2. Аналогично, если ДГС аномальна для обоих солитонов,
то солитонная пара может существовать, если 27i|/%2| < 72|/?12|-
Приведённые выше решения в виде солитонных пар не являются
единственно возможными точными решениями (9.1.12) и (9.1.13). Эти
уравнения допускают также решения в виде пар двух светлых или
двух тёмных солитонов, в зависимости от значений различных
параметров [11]. Простой способ найти условия, при которых могут
существовать КМФ-связанные солитоны, состоит в постулировании вида
соответствующего решения, подстановке его в (9.1.12) и (9.1.13) и
последующем исследовании того, могут ли быть определены физически

9.2. Многокомпонентные векторные солитоны
343
допустимые значения параметров солитона (амплитуда, длительность,
групповая скорость, частотный сдвиг и волновое число). Устойчивость
КМФ-связанных солитонов не всегда гарантируется. Мы обсудим этот
вопрос позже в разделе 9.3.
Связанные НУШ (9.1.12) и (9.1.13) имеют также периодические
решения, которые представляют две последовательности импульсов,
распространяющихся в световоде без искажений из-за индуцированной
КМФ связи между ними. Одно из таких периодических решений в виде
эллиптических функций было найдено в 1989 г. в частном случае,
когда обе последовательности импульсов в световоде имеют
одинаковую групповую скорость и аномальную ДГС [52]. К 1998 г. были
найдены девять периодических решений, записываемых как различные
комбинации эллиптических функций [53]. Во всех этих решениях
предполагаются одинаковые групповые скорости и аномальная ДГС
для обеих последовательностей импульсов.
9.2. Многокомпонентные векторные солитоны
Понятие двухкомпонентных векторных солитонов нетрудно
обобщить на случай многокомпонентных векторных солитонов. Такие
временные солитоны могут формироваться, например, когда
многочастотные составные оптические импульсы передаются через тот же
самый световод в режиме WDM — разделения по длинам волн
(wavelength-division-multiplexed) — в системах оптической связи [54,
55] или когда схема передачи битов параллельно по длинам волн
используется для высокопроизводительной связи [56-61].
9.2.1. Системы связанных НУШ. Для описания одновременной
передачи N импульсов с различными длинами волн через одномодо-
вый световод мы обобщим анализ раздела 9.1 и получим следующую
систему N некогерентно связанных НУШ [1]:
где опорное значение (3\r = l/vgr отвечает среднему каналу и
выбрано так, что Sj = О для этого канала и принимает положительные
и отрицательные значения для каналов по разные стороны от
среднего. Типичное значение дисперсии световода для среднего канала
/?2г ~ -5 пс2/км. Тогда дисперсионная длина ~10км для импульсов
длительности ~10 пс. Предположим, что параметры схемы таковы, что
параметр рассогласования групповой скорости \Sj\ не превышает 5 для
каждого канала. При возрастании \5j\ становится затруднительным
распространение всех компонент с общей групповой скоростью. Так
как интервал между каналами обычно меньше 1 нм, параметры dj и 7j
различаются мало и имеют значения, близкие к единице [56-60].

344
Гл. 9. Векторные солитоны
Обсуждавшееся выше представление о волноводах, наведённых со-
литонами, можно обобщить на случай многих оптических пучков или
импульсов. Во временном случае один интенсивный импульс может
создать волновод, в котором распространяются несколько более слабых
импульсов как линейные направляемые моды эффективного волновода,
наведённого первичным солитоном [33]. Это явление иногда называют
сопровождением импульсов. Математически можно показать, что
система (9.2.1) имеет стационарные решения в виде многокомпонентного
векторного солитона, такие, что интенсивный управляющий импульс
принуждает все другие малоамплитудные импульсы распространяться
с его скоростью и оставаться синхронизованными.
Чтобы найти солитонные решения (9.2.1), ищем решение в
виде (9.1.11), так что Uj удовлетворяют обыкновенному
дифференциальному уравнению
+ (ъШ2 + * £ -rrn\Um\2)Uj = XjUi. (9.2.2)
dj d2Uj
2 dx2 ч
где, как и ранее, частотный сдвиг Ctj = 6j/dj и Xj = Kj — 5j/(2dj). Это
преобразование устраняет из эволюционных уравнений член сноса и
переводит его в частотный сдвиг каждого индивидуального импульса.
В более строгом анализе движущиеся солитоны могут быть найдены
прямым образом в присутствии сноса. Конечно, два описания приводят
к одинаковым результатам.
При некоторых условиях система уравнений (9.2.2) имеет точное
аналитическое решение [62, 63]. Чтобы найти эти условия, обозначим
центральный канал индексом j = 0 и используем его как опорный, так
что do = 7о = 1- Нормируя х так, что \/2Аох —* х, перепишем систему
(9.2.2) в виде
Ы2и0
2 dx2
(\Uo\2 + aJ2UUn\2)u0 = \uQl (9.2.3)
\ na£0 /
П#0
у^ + (ln\Un\2 + о £ lm\Um\2\un = AnC/n, (9.2.4)
где dn и 7П перенормированы.
В отсутствие членов КМФ (9.2.3) имеет аналитическое решение
^о(#) = sch(x). Предположим, что при наличии КМФ все компоненты
векторного солитона имеют ту же форму гиперболического секанса,
но с разными амплитудами, так что Un(x) = ansch(x). Подставив это
решение в (9.2.4), найдём, что амплитуды ап должны удовлетворять
следующей системе N связанных алгебраических уравнений:
а0 + ° £ lnd2n = 1» 7n«n + ^ Ц 7mGm = dn. (9.2.5)
п=1 тфп

9.2. Многокомпонентные векторные солитоны
345
До тех пор, пока все параметры dn и 7п близки к 1, это решение
описывает векторный солитон с N компонентами с примерно равными
интенсивностями. В вырожденном случае dn = 7п = 1 амплитуды
можно выразить точной формулой Un = [1 + сг(ЛГ — I)]"1/2 [58].
Приближённые аналитические решения (9.2.4) можно получить в
волноводном пределе, в котором амплитуда Щ центрального канала
много больше, чем во всех других каналах [33]. Линеаризация (9.2.4)
при Un <C f/o приводит к (N — 1) несвязанным линейным уравнениям
для Un (n ^ 0). Каждое из этих уравнений обладает локализованным
решением при условии (предполагая а = 2)
Ап = Лп = (dn/8)[l - ч/1 + Шп ]2. (9.2.6)
Вблизи этой точки, называемой бифуркационной, в пространстве
параметров цетральный солитон (управляющий импульс) можно
интерпретировать как эффективный волновод, поддерживающий
фундаментальную моду ип, с соответствующей частотой отсечки Лп. Можно
показать, что при dn и 7п» близких к 1, наведённый солитоном волновод
обладает не более двумя модами (фундаментальной и первой
возбуждённой) с той же длиной волны, но со значительно различающимися
собственными значениями Ап. В результате эффективный волновод,
наведённый управляющим импульсом, остаётся преимущественно од-
номодовым для всех рабочих длин волн.
Следует отметить, что частный случай, в котором нелинейные
члены в системе (9.2.2), отвечающие СМФ и КМФ, равны (7m = 7j = О»
отвечает iV-компонентному обобщению модели Манакова для
векторных солитонов [5]. Известно, что в этом частном случае (9.2.2)
обладает точными iV-солитонными решениями, которые описывают структуру
и взаимодействие многокомпонентных векторных солитонов [64-67].
Такие солитоны изучены применительно к некогерентным солитонам
(см. гл. 13).
9.2.2. Бифуркационная диаграмма для векторных солитонов.
В этом разделе мы обсудим физический механизм сопровождения
импульсов, ведущий к формированию векторных солитонов. Этот
механизм тесно связан с обсуждавшимся ранее явлением наведения
волновода солитоном и представляет математический инструмент для
описания различных типов векторных солитонов. С математической
точки зрения этот механизм связан с бифуркациями скалярных
солитонов [68, 69].
Для лучшего физического понимания рассмотрим сначала
простейший случай N = 2. Если импульсы в двух каналах (п = 0,1) не
взаимодействуют друг с другом посредством КМФ, несвязанные НУШ (9.2.3)
и (9.2.4) обладают скалярными солитонными решениями
U0{x) = sch(x), Ui = (2Al7i/di)1/2sch(v/2A77d7x). (9.2.7)

346
Гл. 9. Векторные солитоны
А 1
10 t 10
J I I I I I
0,0 0,5 1,0 1,5
*i
Рис. 9.1. Бифуркационная диаграмма для векторного солитона с двумя
компонентами. Кривые с отметками (0) и (1) показывают мощности двух
индивидуальных компонент в отсутствие связи. Кривая (0+1) показывает полную
мощность векторного солитона. Две вставки представляют две компоненты но
(сплошные кривые) и щ (штрихи) в точках Л и Б, отмеченных чёрными
кружками [61]
оо
Соответствующие нормированные мощности Рп = \ \Un\2(x)dx
даются соотношениями
Р0 = 2, Р, = 2(2Al7i),/2dr3/2- (9.2.8)
Эти решения показаны кривыми с отметками (0) и (1) на рис. 9.1, где
изображена зависимость мощностей солитонов от Aj. Когда два
распространяющихся в одном направлении импульса взаимодействуют из-за
КМФ, возникает новая ветвь векторного солитона (ветвь с отметкой
(0 + 1)). Эта ветвь характеризуется полной мощностью Р{\\) = Ро + Р\
и соединяет две ветви Po(^i) и Pi(Ai) в бифуркационных точках 0\
и Ог, соответственно. Вблизи точки 0\ векторный солитон состоит из
интенсивной компоненты, которая наводит волновод для много более
слабой компоненты второго поля U\. Как пример, вставка А показывает
две компоненты в точке А, близкой к 0\. Точка 0\ отвечает условию
отсечки Ai = Ai для моды U\t которая ведётся волноводом,
созданным управляющим импульсом Щ. Форма и амплитуды двух компнент
меняются при изменении Х\. Например, компонента U\ становится
доминирующей в точке Б, как это видно на вставке Б рис. 9.1. Амплитуда
компоненты Uo обращается в нуль в бифуркационной точке Ог-
Теперь рассмотрим более сложный случай (N = 4), в котором
управляющий импульс наводит волновод для трёх импульсов (п = 1,
2 и 3) и формируется векторный солитон с четырьмя компонентами.
Бифуркационная диаграмма в этом случае показана на рис. 9.2 при
о
о.
S
о.
о
as
2,0
1,5
1,0
0,5
0>/
(0)
%-L£-""""(o+i)

9.2. Многокомпонентные векторные солитоны
347
■ ■ ■ i ■ ■ ■ ■ i ■ ■ ■ ■ i
0,0 0,5 1,0 1,5
X
Рис. 9.2. Бифуркационная диаграмма для векторного солитона с четырьмя
компонентами, показанная изображением Р(Л) для невзаимодействующих
импульсов (самые верхние пунктирная, штриховая и штрих-пунктирная кривые
и горизонтальная прямая) и импульсов с парным или тройным
взаимодействием (тонкие сплошные линии). Жирные сплошные линии отвечают случаю
четырёх взаимодействующих импульсов. Кружки отмечают бифуркационные
точки, а вставка показывает амплитуды в точке Л, где доминирует Щ
(сплошная линия) [61]
а, = 7i = 0,65, с*2 = 72 = 0.81 и аз = 7з = 1- Такие четырёхкомпонент-
ные векторные солитоны могут быть найдены численно как
локализованные решения (9.2.3) и (9.2.4). В этом случае картина довольно
сложна из-за наличия трёх параметров Аь Аг и Аз- На рис. 9.2 показан
случай, в котором Ai = Аг = Аз = А. Самые верхние пунктирная,
штриховая и штрих-пунктирная кривые на рис. 9.2 отвечают случаю трёх
импульсов без КМФ-взаимодействия. Второй набор пунктирной,
штриховой и штрих-пунктирной кривых отвечает парному взаимодействию
трёх импульсов с центральным, но не друг с другом; как и следовало
ожидать, бифуркационная картина для каждого из них аналогична
показанной на рис. 9.1. Тонкие сплошные линии представляют другие
комбинации взаимодействующих импульсов. Естественно, что кривые
с тройным взаимодействием импульсов отщепляются от кривых,
отвечающих парному взаимодействию. Когда все четыре импульса
взаимодействуют друг с другом, мы получаем жирную сплошную линию,
соединяющую бифуркационные точки Оз и 0\. Эта линия отвечает четы-
рёхкомпонентному (04-14-2 + 3) векторному солитону и представляет
полную мощность всех четырёх компонент такого солитона. Профили
импульсов для такого солитона показаны на вставке к рис. 9.2. Это
решение соответствует режиму сопровождения, в котором интенсив-

348
Гл. 9. Векторные солитоны
ный центральный импульс захватывает и каналирует три более слабые
импульса с различными длинами волн.
Из рис. 9.2 очевидно, что, начиная с ветви центрального импульса
(горизонтальная прямая), решение испытывает каскад бифуркаций:
0\ —» Ог —> Оз —► О*. После каждой бифуркации формируются
векторные солитоны с различными компонентами. После 0\ формируется
векторный солитон (0+ 1), и он трансформируется в солитон (0+1+2)
в 0<i> который в свою очередь преобразуется в солитон (0+1+2 + 3)
в Оз- В точке 0± этот четырёхкомпонентный солитон переходит в ветвь
солитонов (1+2 + 3) с только тремя компонентами. Значения
параметров на рис. 9.2 выбраны так, чтобы представить ясную
бифуркационную картину, хотя они отвечают интервалу между длинами волн
много большему, чем обычно используемому в эксперименте [57-60];
в типичных условиях 7n/7n+i ~ 0,997. Если параметры мод выбраны
ближе друг к другу, проявляется тенденция к исчезновению двух
первых звеньев бифуркационного каскада. В пределе равных параметров
бифуркационные точки Ог и Оз сливаются в точке 0\у а семейство
четырёхмодового солитона (жирная линия на рис. 9.2) ответвляется
непосредственно от ветви центрального импульса. Эта качественная
картина бифуркационного каскада, найденная для N = 4, сохраняется
и для других значений N.
9.3. Устойчивость векторных солитонов
Как пояснялось в разделе 2.3, устойчивость скалярных солитонов
определяет критерий устойчивости Вахитова-Колоколова. Желательно
найти аналогичный критерий для векторных солитонов. Однако для
них линейный анализ устойчивости значительно сложнее. Хотя во
многих случаях единственно возможно прямое численное решение
соответствующей задачи на собственные значения, в некоторых случаях
удаётся обобщить на случай векторных солитонов скалярный анализ
устойчивости. Следуя [70], мы покажем, как критерий устойчивости
Вахитова-Колоколова может быть обобщён на случай N связанных
НУШ. Такой анализ включает как частный случай бифуркационный
анализ вблизи границы устойчивости.
9.3.1. Общий анализ устойчивости. Можно расширить
изложенный в разделе 9.2 метод на случай N нелинейно взаимодействующих
оптических полей и вывести следующую систему N некогерентно
связанных НУШ:
{dJk + T**U» + ( £ 7nm|£U2Vn = 0, (9.3.1)
\т=1 /
где члены СМФ и КМФ объединены введением нелинейной матрицы 7»
диагональные элементы которой учитывают СМФ. Мы обобщили
также НУШ для нескольких пространственных измерений, введя оператор

9.3. Устойчивость векторных солитонов
349
Лапласа V£ в D-мерном пространстве. Это обобщение позволяет
рассматривать векторные солитоны в двумерном пространстве, положив
D = 2. Может быть рассмотрен даже пространственно-временной
случай при D = 3, если одна из координат означает время. Тогда (9.3.1)
описывает пространственно-временную динамику многокомпонентных
световых пуль.
Аналогично обсуждавшемуся в гл.2 скалярному случаю, (9.3.1)
обладает несколькими сохраняющимися величинами. Считая
выполненным условие симметрии упт = 7mn. найдём, что для этой системы
НУШ сохраняется гамильтониан
Н = \- } (Efl^nl2-!? £ -Упт\ип\2\ит\2у°х. (9.3.2)
Кроме того, сохраняются мощности индивидуальных мод
Рп = J \Un\2dDx, где dDx — dx\ ...dx^, а также полный импульс.
Локализованные решения (9.3.1) в виде многокомпонентного
векторного солитона можно получить в стандартном виде, положив
Un = ^n(x)ei/3nZ, где Фп(х) — вещественные безузловые функции,
а /Зп — соответствующие положительные постоянные
распространения. Векторные солитоны отвечают стационарным точкам функционала
Ляпунова
А[и]=Я[и] + £д1Рп[и], (9.3.3)
где [U] означает совокупность (U\, U2,..., Un). В каждой стационарной
точке обращается в нуль первая вариация (5Л[[7], тогда как вторая
вариация — <52Л[С7] — определяет свойства устойчивости. Точнее,
отрицательные направления во второй вариации отвечают неустойчивым
собственным значениям задачи устойчивости солитона.
Задача устойчивости решается минимизацией второй вариации
функционала Ляпунова
ОО
<52Л= | Ac[(v|L,v) + (w|Low>], (9.3.4)
— ОО
где v(x) и w(x) — возмущения векторного солитона вида
U' = U + [v + tw]eAz, (9.3.5)
а скалярное произведение определяется как (f|g) = J^ fn9n- Оператор
n=l
Lq имеет диагональный вид с элементами
(Lo)nn = -у V2 + Д, - £ 7шпФ2т. (9.3.6)

350
Гл. 9. Векторные солитоны
а элементы оператора Lj даются выражениями
N
(Li)„„ = ~Vi + /?n - £ 7пшФ^ - 27nn*i
2 ~ ~, ■" (9.3.7)
nn^n*
(L\)nm = -27„тФпФ,
m*
^ = ^>0. (9.3.10)
Аналогично обсуждавшемуся в гл. 2 скалярному случаю, матричные
операторы L»o и L\ отвечают линейной задаче на собственные значения
L,v = -Aw, L0w = Av. (9.3.8)
Как в задаче на собственные значения (9.3.8), так и в задаче
минимизации (9.3.4) должны также удовлетворяться N дополнительных
ограничений
Fn = J с*х<Фпе„|у> = 0, (9.3.9)
— ОО
где еп — единичные вектора. Эти ограничения соответствуют
сохранению индивидуальных мощностей Рп при наличии векторного
возмущения (v,w).
Напомним (см. раздел 2.3), что скалярные солитоны (N = 1)
устойчивы в рамках вариационной задачи с ограничениями,
описываемой (9.3.4)-(9.3.9), если
d2A9 = dPi
Когда это условие выполнено, задача (9.3.8) не имеет собственных
значений с положительной вещественной частью. Критерий устойчивости
для скалярных солитонов НУШ соблюдается, когда самосопряжённый
оператор Li имеет единственное отрицательное собственное значение,
то есть когда вторая вариация в (9.3.4) имеет одно отрицательное
направление в отсутствие ограничения (9.3.9). Если последнее условие
не выполнено, что справедливо для многогорбых солитонов с узлами,
скалярный критерий устойчивости солитонов применять нельзя из-за
наличия более общих механизмов осцилляторных неустойчивостей,
связанных с комплексными собственными значениями линейной задачи
на собственные значения.
К счастью, скалярный критерий устойчивости можно обобщить
на случай одногорбых векторных солитонов некогерентно связанных
НУШ. Предположим, что число отрицательных направлений
(собственных значений) второй вариации 62А постоянно и обозначим его
через п(Л). Отвечающие неустойчивости собственные значения А
задачи на собственные значения (9.3.8) связаны с отрицательными
собственными значениями функциональной матрицы U с элементами
тт - &*А* - дРп - дРтп (q ъ m
Unm - адЖ: - ад; - Ж" [ }

9.3. Устойчивость векторных солитонов
351
Обозначим число положительных собственных значений матрицы
U через p(U), а число её отрицательных собственных значений через
n(U). Очевидно, что p(U) + n(U) ^ N, так как некоторые собственные
значения могут равняться нулю в вырожденном (бифуркационном)
случае. Как показано в [70], p(U) и n(U) удовлетворяют дополнительному
ограничению вида
p(U) ^пип{ЛГ,п(Л)}, n(U) ^тах{0,ЛГ-п(Л)}. (9.3.12)
В этих обозначениях можно вывести следующие результаты по
устойчивости многокомпонентных векторных солитонов [70]:
— Задача на собственные значения (9.3.8) имеет не более п(Л)
неустойчивых собственных значений А, таких, что все они
вещественны и положительны.
— Векторный солитон линейно неустойчив, если p(U) < п(Л).
Тогда задача на собственные значения (9.3.8) имеет п(Л) - p(U)
вещественных собственных значений.
— Векторный солитон линейно устойчив, если p(U) = п(Л) ^ N.
В случае п(Л) = N этот критерий означает, что поверхность энергии
Лв(р) в пространстве р имеет вогнутую форму.
— Единственное собственное значение А пересекает границу
области устойчивости, когда матрица U обладает нулевым собственным
значением, становящимся отрицательным при возмущении.
Вызванная неустойчивостью динамика векторных солитонов
определяется уравнением, напоминающим уравнение движения
классической частицы в TV-мерном потенциальном поле с полной энергией
s=!e e m-^^7+w(p-v)- (9-злз)
где v — вектор, описывающий возмущение параметров солитона р, а
элементы положительно определённой «матрицы массы» имеют вид
Мпт =\dxJ2 Gkn(x)Gkrn(x), (9.3.14)
-оо *=1
где х
о
Эффективная потенциальная энергия в (9.3.13) даётся выражением
W(p,v) = Д#(р) + £ (А* + Уп) ДРп(Р), (9.3.16)
п=\
где
ДЯ(р) = Я(р + и) - #(р), ДРп(р) = Pn(P + v) - Pn(p). (9.3.17)

352
Гл. 9. Векторные солитоны
Мы отсылаем читателя к [70] за деталями вывода этих результатов
и их сравнением с теоремами Гриллакиса [71-74].
9.3.2. Две связанные моды. Чтобы продемонстрировать, как
представленная общая теория может быть применена к конкретным
физическим задачам, рассмотрим случай двух некогерентно связанных
НУШ простейшего вида:
*?г + S1 + т*+аШ2щ = 0> (9318)
*Ж + 1$ + (W + ^ilV« = О- (9.3.19)
Эти уравнения получаются из (9.3.1) при N — 2, d\ = d<i = 2, 711 =
= 722 = 1 и 712 = 721 = 0- Их явное солитонное решение легко найти
при /?1=/32 = /?и<7>-1в форме
Ф,(х) = Ф2(х) = ^у^ sch(y/px). (9.3.20)
Это решение описывает векторный солитон, две компоненты которого
имеют равные амплитуды. На плоскости параметров (/ЗьДг) это
отвечает прямой линии /3\ = /?2 в общем двухпараметрическом семействе
векторных солитонов уравнений (9.3.18) и (9.3.19). При -1 < о ^ 0
двухпараметрические солитоны существуют на всей плоскости (/?i,/?2),
тогда как при а > 0 область их существования ограничена двумя
бифуркационными кривыми, определяемыми условиями
±2
А =ь>±(°)Ри "±(а) = (ч/ГТ^~1) (9-3.21)
Приближённое аналитическое решение для двухкомпонентных
векторных солитонов можно также получить вблизи бифуркационных
кривых (9.3.21), так как в этой области одна из компонент сравнительно
мала, а другая описывается скалярным НУШ. С физической точки
зрения эта область отвечает ситуации, когда более сильная компонента
создаёт эффективный волновод, в котором поддерживается мода более
слабой компоненты (эффект сопровождения, описанный в разделе
9.2). Предполагая, что более сильной компоненте отвечает Ф\, можно
записать решение с помощью малого параметра е [70]
Ф, (х) = Ло(х) + e2R2(x) + 0(е4), Ф2(х) = eSl(x) + 0(е3), (9.3.22)
где основные члены даются выражениями
До(х) = УЗД sch^rr), Si(x) = y/fasch^(y/p~lx). (9.3.23)
Это решение справедливо вблизи бифуркационной кривой
02 = "+(*)/Ji + г Wa)/J, + ОИ, (9.3.24)

9.3. Устойчивость векторных солитонов
353
где U2+ даётся формулой
оо
[ {S\ + 2(jRoR2S\)dx
U2+
(9.3.25)
[ S\{x)dx
— ОО
Можно также найти поправку второго порядка Дг(^)» решив уравнение
--^1 + Р\ ~ 6^i sch2(4/A х) I Д2 = o-RoSl (9.3.26)
dx J
В области а > О, где существует двухкомпонентный солитон,
из (9.3.25) следует, что и;2+(сг) > 0 при 0 < а < 1, но эта величина
становится отрицательной при а > 1. Если сг = 1, это семейство двух-
параметрических векторных солитонов становится вырожденным в том
смысле, что (3\ = /?2, но форма получающегося векторного солитона
отличается от приведённой в (9.3.20). Известно, что векторный
солитон устойчив в интегрируемом случае а = 1, как это впервые было
показано Манаковым [5]. Здесь мы применим теорию устойчивости
и покажем, что все двухкомпонентные векторные солитоны устойчивы
при а ^ 0, но становятся неустойчивыми при а < 0.
Для этого оценим сначала число положительных собственных
значений p{U), используя явные решения в виде (9.3.20). Элементы
функциональной матрицы U в (9.3.11) оказываются следующими [70]
£/и=£/22 =
(1 +0)
(9.3.27)
(1+*)
Легко показать, что эта функциональная матрица имеет два
положительных собственных значения (р(£/) = 2) при — 1 < а < 1 и только
одно положительное собственное значение при а > 1.
Найдём теперь число п(Л) отрицательных собственных значений
линейного матричного оператора Lj, определяемого (9.3.7). Его
можно диагонализировать, используя линейные комбинации собственных
функций v\ = щ + U2 и V2 = щ — щ, такие, что
[-^+/?-6/?sch2(^x)l
Ы = цу\,
(9.3.28)
ах
(з-
0+")
а) sch2
(у/Р*)
Щ = №•
(9.3.29)
Оба этих уравнения на собственные значения включают потенциалы
типа гиперболического секанса, и их нетрудно решить и найти
собственные значения. Первое уравнение всегда имеет единственное
отрицательное собственное значение /х = —3/3. Второе уравнение не имеет
отрицательных значений при а > 1, имеет единственное отрицательное

354
Гл. 9. Векторные солитоны
собственное значение при 0 < а < 1 и более одного отрицательного
собственного значения при —1 < а < 0. Поэтому п(Л) превышает 2 при
— 1 < о < 0, равно 2 при 0 < а < 1 и равно 1 при а > 1. Применяя
анализ устойчивости [70], мы приходим к выводу, что солитонное
решение с равными амплитудами (9.3.20) устойчиво при а > 0, так
как в этой области p(U) = п(Л), но оно становится неустойчивым при
-1 < а < 0, так как в этом случае p(U) < п(Л).
Другой предельный случай, связанный с эффектом сопровождения,
в котором амплитуды сильно различаются, можно проанализировать
тем же способом. Элементы (9.3.11) функциональной матрицы U вновь
можно получить в явной аналитической форме. Оказывается, что
функциональная матрица U имеет два положительных собственных
значения (p(U) = 2) при 0 < а < 1 и только одно при <т > 1. Линейный
матричный оператор Li не диагонализируется для управляющего соли-
тона (9.3.22), за исключением случая е = 0. В последнем расцепленном
случае Lj имеет единственное отрицательное собственное значение
/i = -3/?i и дважды вырожденное нулевое собственное значение. При
е ф 0 нулевое собственное значение сдвигается и становится равным
/х = — 2u72+(cr)/?i£2. Поэтому для матричного оператора L\
управляющего солитона (9.3.22) п(Л) = 2 при 0 < а < 1 и п(Л) = 1 при а > 1.
Так как p(U) = п(Л) при а > 0, мы приходим к заключению, что
управляющий солитон устойчив при а > 0.
9.3.3. Эффект сноса. Из представленного обсуждения следует,
что стационарные векторные солитоны, в которых интенсивная
компонента управляет несколькими слабыми, линейно устойчивы. Однако,
эффект сноса, вызванный рассогласованием групповых скоростей, мог
бы нарушить целостность такого составного солитона. В случае двух
компонент со сравнимыми амплитудами нелинейность может служить
эффективным механизмом захвата, который удерживает импульсы
вместе [2, 75-77]. В режиме сопровождения один или несколько
интенсивных импульсов создают эффективный потенциал притяжения, который
захватывает слабую компоненту, если её групповая скорость меньше
скорости утечки, связанной с этим потенциалом.
В действительности все компоненты векторного солитона обладают
ненулевыми значениями параметров сноса. Эту ситуацию трудно
рассмотреть аналитически. На рис. 9.3 показаны результаты численного
моделирования, полученные при задании на входе точного четырёх-
компонентного векторного солитона, показанного на вставке к рис. 9.2.
В отсутствие сноса все компоненты эволюционировали бы без
изменения формы. При наличии слабого или умеренного сноса четыре
компоненты остаются локализованными и взаимно захваченными, но
их положения слегка сдвигаются, как это видно в верхнем ряду рис. 9.3
при 5\ = 0,45, &2 = —0,35 и 5з = 0,25. Однако, при больших
значениях относительного сноса векторный солитон начинает заметно терять
энергию, как видно из нижнего ряда при 6\ = 62 = <$з = 0,9. Более

9.4. Когерентно связанные солитоны
355
Рис. 9.3. Эффект рассогласования групповых скоростей в режиме
сопровождения для векторного солитона, отвечающего точке А на рис. 9.2. Четыре
компоненты Uq (сплошные линии, доминирующая компонента), U\ (пунктир),
Ич (штриховые линии) и С/з (штрих-пунктир) при z = 50 (а) и сдвиг положения
четырёх компонент с ростом z при 6\ = 0,45, <fe = —0,35, 6$ = 0,25 (б). Рисунки
(в) и (г) показывают поведение при 6\ = 62 = £3 = 0,9 [61]
вероятно, что в экспериментах реализуется последняя ситуация, так
как для импульсов с различными длинами волн ожидается различное
рассогласование групповых скоростей [58]. В этом случае оценку для
пороговых величин 5j можно получить, только если управляющий
импульс много интенсивней захваченных слабых импульсов, которые
можно рассматривать как невзаимодействующие фундаментальные
моды эффективного волновода, наведённого управляющим импульсом.
Во всех других режимах необходим численный линейный анализ
устойчивости.
9.4. Когерентно связанные солитоны
Обсуждавшиеся до сих пор векторные солитоны называются
некогерентно связанными, в том смысле, что связь не чувствительна к
фазе. Другой важный класс векторных солитонов связан с
когерентной связью оптических полей, когда связь зависит от относительных
фаз взаимодействующих полей. Когерентное взаимодействие возникает

356
Гл. 9. Векторные солитоны
для слабо анизотропных или двулучепреломляющих сред. Когерентно
связанные векторные солитоны обладают многими свойствами,
отличающимися от случая некогерентной связи. Здесь мы остановимся
на этих отличиях, рассматривая двухкомпонентные векторные
солитоны, сформированные в планарных волноводах посредством нелинейной
связи ТЕ и ТМ пространственных мод. Такие планарные волноводы
перспективны для создания компактных устройств, в которых для
изготовления волновода применяется слой полупроводника AlGaAs.
Причина в том, что вредные последствия двухфотонного поглощения могут
быть полностью исключены при работе в области 1,5 мкм, где энергия
фотона меньше половины ширины запрещённой зоны. В то же время
керровский коэффициент пг почти на три порядка величины больше,
чем для кварца [78, 79]. Несмотря на то, что объёмный кристалл GaAs
не обладает двулучепреломлением, выполненный из этого материала
волновод приобретает слабое двулучепреломление из-за наличия
неизбежных при росте напряжений в центральной области волновода.
9.4.1. Когерентно связанные НУШ. Основные уравнения,
описывающие распространение ортогонально поляризованных ТЕ- и ТМ-
мод волновода, можно получить в рамках стандартной теории
связанных мод [80-82]. Полное поле в волноводе на частоте и можно
записать в форме
Щи) = Re [xAx(u)eik'z-iuot + уАу(и)е{кУг-^г], (9.4.1)
где ка — постоянная распространения при а = х и у для ТЕ- и
ТМ-мод, соответственно. Нелинейную поляризацию третьего порядка
также можно разложить на ТЕ- и ТМ-составляющие: Р = Re [(хРх +
+ уРу)е~ш°г}. После введения восприимчивости третьего порядка кер-
ровской среды компоненты поляризации записываются в виде
РаИ = £ X{XAA^A>iik0^~kff)z + А^АуАае^к^к^к^г +
+ АрА* д^Л^+М*]. (9.4.2)
Далее мы предположим соблюдение симметрии Клейнмана и
отметим также, что полупроводниковые кристаллы типа цинковой обманки,
такие как GaAs, обладают кубической симметрией. Тогда тензор
восприимчивости третьего порядка х^ имеет только четыре независимых
компоненты: Ххххх, Ххуух* Ххуху и Хххуу [83]. Сохраняя в (9.4.2) только
ненулевые компоненты, получим
Рх = ^ (ах\А*\2 + §4*1 V + ^А*хА\е-^к'Ук**, (9.4.3)
Ру = Ц (ау\Ау\> + faAv\Ax\> + ^AlAle^y^, (9.4.4)

9.4. Когерентно связанные солитоны
357
где а = Ххххх, Ь = Хххуу + Ххуху +_ХхУУх и ДА: = 2(кх - ку). Для
кубических классов симметрии 432, 43т и тЗт вдали от резонансов
Хххуу = Ххуху [84]. Отклонения от изотропии обычно характеризуются
параметром rj = 1 - 6/а [85]; в изотропных кристаллах г\ = 0.
Последний член в (9.4.3) и (9.4.4) зависит от фазы и ответствен за
когерентную связь. Если расстройка волновых векторов ДА;
достаточно велика (предел сильного двулучепреломления), этот член быстро
осциллирует и может быть устранён при усреднении по фазе [2].
Получающиеся уравнения тогда связаны некогерентно и ситуация сводится
к обсуждённой в предшествующих разделах. В случае слабого
двулучепреломления членами когерентной связи нельзя пренебрегать, и они
играют важную роль. Эволюционные уравнения для двух ортогонально
поляризованных компонент в пределе слабого двулучепреломления
принимают вид [86]
4г + к ^ " ^г11 л-+т К W+WM. + ва&] = о,
, 2 (9-4-5)
1Чт + к т* ~ {±жА Ау+7 №А*? + \А«^Ау+ВА№ = °-
Х (9.4.6)
где к = (ку + кх)/2 = кой, ко = ш/с, п — средний показатель
преломления, 7 = П2&о/йе и de — эффективная толщина волновода.
Некогерентная связь характеризуется параметром
А = 2Ь/(За) = 2(2Хххуу + ХхУух)/^Х хххх ), (9.4.7)
а некогерентная — параметром В = b/За. Если ТЕ-мода поляризована
вдоль оси х, то В = А/2. Однако в общем случае А, В и коэффициент
СМФ (1 в нашем случае) зависят от ориентации волнового вектора по
отношению к направлению главных осей нелинейного кристалла [84].
Для некоторых ориентации волновода эти коэффициенты начинают
различаться для ТЕ- и ТМ-мод [85, 87].
Связанные уравнения (9.4.5) и (9.4.6) описывают динамику двух
когерентно связанных полей в среде керровского типа в частном случае
более общего процесса четырёхволнового смешения (ЧВС). Солитоны
в таких обобщённых ЧВС-моделях также изучались [88-90], но многие
важные вопросы ещё остаются открытыми. Однако, модель генерации
третьей гармоники изучена более детально [91].
Как обычно, полезно нормировать (9.4.5) и (9.4.6). Используя
преобразования
x' = kx, z' = kz% U=yJ^AXl V = y/lAy, (9.4.8)
мы получим следующую систему двух связанных НУШ:
{lk " PU + 5 0 + (|С/|2 + A\V\2)U + BU*y2 = °* (9А9)

358
Гл. 9. Векторные солитоны
г^- + f3V + I ^ + (A\U\2 + \V\2)V + BV*U2 = О, (9.4.10)
где параметр /3 = (ky — kx)/(2k) определяет степень двулучепреломле-
ния. Для простоты обозначений штрихи у х и z опущены.
Предполагается, что ТМ-компонента с амплитудой V имеет большую постоянную
распространения, чем ТЕ-компонента, что выполняется в типичных
экспериментальных условиях. В этом случае параметр /? положителен,
хотя он может быть отрицательным при некоторых условиях [80, 92].
Та же система уравнений (9.4.9) и (9.4.10) получается и во временном
случае, когда короткие импульсы распространяются в световоде со
слабым двулучепреломлением, если координату х интерпретировать
как временную переменную. Временной случай интенсивно изучался
в нелинейной оптике световодов [93-98].
Несмотря на очевидное совпадение основных уравнений в
пространственном и временном случаях, ни результаты, ни выводы не
могут быть непосредственно перенесены в пространственную область
из соответствующего анализа во временной области. Причина связана
с анизотропией нелинейной среды в пространственном случае. В
изотропных средах, таких как волоконные световоды, параметры А и В
полностью определяются свойствами симметрии тензора
восприимчивости и имеют значения А = 2/3 и В = 1/3. Напротив, в анизотропной
среде фиксировано только отношение этих коэффициентов, но их
абсолютная величина может меняться в зависимости от природы тензора
восприимчивости третьего порядка [78]. Например, коэффициент А
близок к единице в кристаллах GaAs в области длин волн 1,5 мкм [86],
что позволило впервые экспериментально наблюдать солитон Манако-
ва [99] — точное решение (9.4.9) и (9.4.10) при А = 1 и В = 0. Точные
решения этих уравнений при В = 0 были найдены даже при А ф 1
[100, 101].
Необходимо отметить, что (9.4.9) и (9.4.10) включают класс
некогерентно связанных НУШ (при В = 0 и /? = 0), обсуждённый выше,
и анализ их стационарных локализованных решений аналогичен.
Основное отличие между некогерентно и когерентно связанными НУШ
и описываемыми ими векторными солитонами состоит в динамическом
энергообмене между компонентами, реализующемся при В ф 0.
Мы пренебрегли членом пространственного сноса в когерентно
связанных НУШ (9.4.9) и (9.4.10). Это часто оправдано в режиме
слабого двулучепреломления. Влияние этого члена аналогично
рассогласованию групповых скоростей ортогонально поляризованных
импульсов, распространяющихся в световодах с двулучепреломлением [97].
Влияние эффекта сноса на устойчивость пространственных солитонов
рассмотрено в [103].
9.4.2. Решения с сохраняющейся формой. В этом разделе мы
остановимся на сохраняющих форму решениях (9.4.9) и (9.4.10),
называемых векторными солитонами. Аналогично скалярному случаю,

9.4. Когерентно связанные солитоны
359
обсуждавшемуся в разделе 2.1, эти уравнения имеют две
сохраняющиеся при распространении величины. Одна из них — это суммарная
мощность обеих компонент
оо
Р= J (\U\2 + \V\2)dx. (9.4.11)
— ОО
Второй инвариант — это гамильтониан системы, определяемый как
B_J[«OT-,vrt+'(|«|\|£f)-
- \{\и\А + И4) - л\и\2\у\2 - § (u2v*2 + [ГV)
dx. (9.4.12)
Каждое решение (9.4.9) и (9.4.10), отвечающее стационарному солито-
ну, можно представить как точку в двумерном фазовом пространстве
величин Р и Н. Аналогично скалярному случаю, функциональная
зависимость гамильтониана Н от мощности Р позволяет судить об
устойчивости стационарных решений (если у соответствующей
линейной задачи нет комплексных собственных значений).
Отражающий двулучепреломление член с (3 в (9.4.9) и (9.4.10)
приводит к фазовому сдвигу, в дополнение к фазовому сдвигу, вызванному
нелинейностью. Из-за этих фазовых сдвигов член когерентной связи,
ответственный за энергообмен, становится чрезвычайно важным ввиду
его зависимости от фазы. Оказывается, что энергообмен приводит
к эффекту захвата фаз: обе компоненты поля могут быть захвачены
по фазе и формировать векторный солитон [97].
Чтобы описать эффект захвата фазы, ищем стационарные решения
(9.4.9) и (9.4.10) в форме
U = u(x,q)exp(iqz + i(p\), V = v(x,q)exp(iqz Н-г^г), (9.4.13)
где и(х, q) и v(x, q) определяют форму двух ортогонально
поляризованных компонент. Параметр q представляет сдвиг волнового числа для
обеих компонент. Решения с сохраняющейся фазой существуют, только
если разность фаз двух компонент А(р = (р\ — ц>2 принимает значения
0, 7г или ±7г/2. Подставив (9.4.13) в (9.4.9) и (9.4.10), найдём, что и
и v удовлетворяют следующим двум связанным дифференциальным
уравнениям:
^-(q + P)u+[\u\2 + (A±B)\v\2]u = 0, (9.4.14)
^2-(q-P)v+[\v\2 + (A±B)\u\2]v = 0, (9.4.15)
L dx

360
Гл. 9. Векторные солитоны
где знак плюс выбирается при Д<р = 0 или 7г, а знак минус — при А<р =
= ±7г/2. Первый случай отвечает линейно поляризованным векторным
солитонам, а в последнем случае солитон поляризован эллиптически.
Для нахождения таких векторных солитонов два последних уравнения
должны быть решены с такими граничными условиями, что ut v и их
первые производные стремятся к нулю при х —► ±оо.
Уравнения (9.4.14) и (9.4.15) имеют простые точные решения
в форме ТЕ- и ТМ-поляризованных светлых скалярных солитонов. В
ТЕ-случае v = 0, а и даётся выражением
ио(х, д) = \/2(q + P) *b(y/2(q + 0)x). (9.4.16)
Напротив, в ТМ-случае и = 0, а для v имеем
vo(x,q) = ^/2{q - /3) *h(y/2{q-0)x). (9.4.17)
Из этих решений видно, что ширина пучка (или длительность
импульса во временном случае) определяется параметром двулучепреломле-
ния /3.
Векторные солитоны формируются, когда обе величины uwv
отличны от нуля. Такие решения (9.4.14) и (9.4.15) можно найти численно,
и они образуют непрерывное семейство по отношению к параметру
q [104]. Мы характеризуем это семейство на рис. 9.4, представляя
мощность солитона P{q) в левой колонке и инвариант Н(Р) в правой
колонке. Три ряда отвечают различным значениям А при В = А/2
и /3 = 1. Эти результаты получены методом стрельбы в комбинации
с методом релаксации [105].
Для значений q меньше критического значения qCT или при Р,
меньших Рсг, существуют только ТЕ- и ТМ-решения, показанные
сплошными линиями. Однако, когда q превышает qCT или Р ^ Рсг, возникают
две новые ветви, отвечающие двум различным семействам векторных
солитонов. Бифуркационные точки, указанные на рис. 9.4 чёрными
кружками, можно найти, используя теорию возмущений, аналогичную
применявшейся ранее для некогерентно связанных НУШ.
Рассмотрим бифуркацию ТЕ-моды, то есть ответвление от решения (ио,0).
В окрестности точки бифуркации выполняется условие v/u ~ е < 1.
Поэтому можно разложить и и v в ряд по е:
и = щ + е2и2, v = ev\. (9.4.18)
Подставив эти разложения в (9.4.14) и (9.4.15) и линеаризировав их
вблизи точного решения г&о, получим следующее уравнение для v\:
vx =0. (9.4.19)
Это уравнение представляет линейную задачу на собственные
значения, которая может быть решена аналитически. Собственные функции
1 d2vx
2 dx2
+
(B±A)(q + P)
КЧ Р) ch2K/2(<7+ /?)*]

9.4. Когерентно связанные солитоны 361
Рис. 9.4. Зависимости P(q) (слева) и Н(Р) (справа) при А = 1/3 (а), 1Л =; 1
(б) и А = 4 (в). Во всех случаях Б = А/2 и 0 = 1. Сплошные кривые отвечают
скалярным ТЕ- и ТМ-солитонам. Векторные солитоны возникают после точек
бифуркации (чёрные кружки) и поляризованы линейно или эллиптически* на
штриховых ветвях, помеченных как «Лин.» и «Элл.», соответственно [104]
имеют следующий общий вид , . ! (
V|=(l_^/2F(i/-5,i/ + 5+l,i/+l,-^),; i '(9ЛЩ

362
Гл. 9. Векторные солитоны
где F — гипергеометрическая функция [106] и
£ = \Ь[у/Щ[+Щх)% U=)l^> 8 = ±(-1 + у/1+4(В±А)).
(9.4.21)
Локализованные собственные функции (v\ —► 0 при |х| —► оо)
существуют при 5 — и = п, где п — целое число. В этом случае
гипергеометрическая функция сводится к полиному Якоби п-го
порядка [106]. В зависимости от численного значения параметров А и В
могут существовать N дискретных собственных значений An = q — /?,
где 1 ^ N < s — (1/2). Поэтому параметр среды А определяет общее
число локализованных решений v\n. Каждое собственное значение Ап
отвечает единственному значению параметра солитона qn, такому, что
<?п = Т^Т' "± = i И* + 2п) + ,/1+4(В±А)]. (9.4.22)
|l-i/±| 2
Каждое q^ при п = 0,1,2,... yN отвечает ответвлению нового
векторного решения с компонентами (uo,vin), где v\n = v\(xyqn). При
знаке плюс относительная фаза этих компонент 0 или 7г, что
ведёт к линейно поляризованным векторным солитонам. Напротив, при
выборе знака минус эти две компоненты сдвинуты по фазе на 7г/2
и образуют эллиптически поляризованный векторный солитон.
Аналогичный бифуркационный анализ можно выполнить для скалярного
ТМ-солитона, и он показывает, что линейно и эллиптически
поляризованные векторные солитоны снова могут формироваться в результате
множественных бифуркаций.
Фундаментальный векторный солитон отвечает собственному
значению низшего порядка (п = 0). Вблизи бифуркационной точки этот
солитон имеет две симметричные компоненты типа гиперболического
секанса. На рис. 9.5 приведены два примера поперечных профилей для
линейно и эллиптически поляризованных векторных солитонов. Для
векторных солитонов высшего порядка форма двух компонент может
существенно отличаться. Например, в окрестности второй
бифуркационной точки (п = 1) возникает антисимметричное решение сижщ и
v « sh [y/2(q + /3)x]drl"+l)[y/2(q + P)x]. (9.4.23)
При бифуркациях высшего порядка (п ^ 1) могут формироваться мно-
гогорбые векторные солитоны. Такие бифуркации могут возникать
даже в отсутствие члена, ответственного за энергообмен (В = 0), как
поясняется в [107, 108].
9.4.3. Динамика поляризации. Поляризационное состояние
векторного солитона может меняться при распространении. Строго говоря,
для векторных солитонов поляризация не однородна в поперечном
сечении, как это очевидно из рис. 9.5, где отношение vq/uq
различно в различных точках поперечного сечения пучка. Однако, часто

9.4. Когерентно связанные солитоны
363
Рис. 9.5. Поперечные профили векторных солитонов с эллиптической (а) и
линейной (б) поляризацией в центре пучка при А = 1/3, В = А/2, /3 = 1
ид = 4 [104]
можно использовать приближение среднего профиля для вычисления
поляризационного состояния пучка как целого. Численное
моделирование подтверждает достаточную точность этого приближения [109].
Однако, нужно помнить, что оно не учитывает рассеянного излучения,
испускаемого векторным солитоном, или изменения формы компонент
солитонов [95].
Чтобы проследить поляризационную динамику, рассмотрим
эволюцию вектора Стокса на сфере Пуанкаре. Состояние поляризации
векторного солитона, определяемого (9.4.9) и (9.4.10), можно описать
следующими четырьмя параметрами Стокса [110]:
s0 = \U\2 + \V\\ 5, = |С/|2-И2, s2 = Re(UV*), s3 = Im(UV*)>
(9.4.24)
которые удовлетворяют условию Sq = s2{ + si + s2. Это позволяет
отображать состояние поляризации солитона концом вектора Стокса
s = {5ь52,5з} на сфере Пуанкаре [110]. Все траектории,
представляющие эволюцию состояния поляризации, расположены на этой сфере
фиксированного радиуса so-
Вектор Стокса s описывает состояние поляризации в одной точке
профиля солитона и меняется при изменении как х, так и z. Чтобы
обсуждать поляризацию солитона в целом, предположим, что форма
обеих компонент совпадает и не меняется при распространении, и
запишем U = f(x)X(z) и V = f(x)Y(z), где f(x) представляет форму
векторного солитона, г X и Y — меняющиеся амплитуды компонент
солитона. В рамках этого приближения мы можем ввести новые
параметры Стокса, усреднённые по профилю солитона [109]
ОО / ОО
Si(z)= | Si(x,z)dx/ | f2(x)dx. (9.4.25)

364
Гл. 9. Векторные солитоны
Вновь 5д = S\ + Sf + Sf и поляризационное состояние всего солитона
можно представить движением вектора Стокса S = {S\,S2,Sz} на
сфере Пуанкаре.
Привлекая (9.4.9) и (9.4.10), находим, что три компоненты вектора
Стокса удовлетворяют следующей системе дифференциальных
уравнений первого порядка:
^ = AgS2S3i (9.4.26)
^ = 2/?S3 - (1 - A/2)gStSb (9.4.27)
^ = -2/?S2 + (1 - ЗЛ/2)^5,52, (9.4.28)
az
где считалось В = Л/2 и параметр # определялся как
оо / °°
0= [ f4(x)dx/ [ /2(i)dx. (9.4.29)
— ОО ' —ОО
Траектории на сфере Пуанкаре описываются единственным
параметром д, и он неявно зависит от мощности пучка Р. Приняв профиль
пучка как f(x) = y/2q sch(^gx), что отвечает линейно
поляризованному решению (9.4.16) при /? = 0, получим д = 4д/3. Это соотношение
позволяет нам установить соответствие между бифуркационными
картинами, показанными на рис. 9.4 с помощью зависимостей P(q)
и Н(Р), и траекториями на сфере Пуанкаре, определяющими
эволюцию состояния поляризации.
До анализа траекторий вектора Стокса на сфере Пуанкаре выявим
сначала так называемые неподвижные точки (9.4.26)-(9.4.28), положив
dSi/dz = 0 для г = 1, 2, 3. Эти точки отвечают решениям (9.4.9)
и (9.4.10) в виде стационарных солитонов. Так как эта система га-
мильтонова, то точки могут быть только фокусами или сёдлами,
отвечающими устойчивой или неустойчивой динамике стационарных
решений, соответственно. Основное свойство этих решений в том,
что оси эллипса поляризации не меняют длины или ориентации при
распространении.
Две неподвижные точки на сфере — {-So, 0,0} и {So, 0,0} —
соответствуют скалярным ТМ- и ТЕ-решениям (9.4.9) и (9.4.10). Они
существуют при любых значениях мощности пучка. Кроме того, при
высоких мощностях происходит бифуркация неподвижных точек и мы
находим четыре стационарные решения, которые отвечают либо
эллиптической, либо линейной поляризации. Их существование зависит
от параметра </, который имеет два критических значения. Нормируя
полную мощность так, что So = 1, найдём, что эти критические
значения следующие
ft. = 1^75. я-= 7^72- (9-4-30>

9.4. Когерентно связанные солитоны
365
Между бифуркациями собственных состояний поляризации и
показанными на рис. 9.4 бифуркациями семейств солитонов существует прямое
соответствие.
Когда д ^ |pei| (и q ^ qe\), на сфере Пуанкаре появляются две
неподвижные точки, отвечающие векторным солитонам с
эллиптической поляризацией. В этих неподвижных точках вектор Стокса имеет
компоненты
Si=ge\/g, 52 = 0, 53 = ±^/l - (де\/д)2. (9.4.31)
Точки, расположенные выше и ниже линии экватора (5з = 0), отвечают
правой и левой эллиптическим поляризациям, соответственно. Две
компоненты векторного солитона сдвинуты по фазе на +7г/2 и -7г/2,
соответственно, в этих двух случаях. Две другие неподвижные точки
представляют линейно поляризованные векторные солитоны,
компоненты которых отличаются по фазе на 0 или 7г, и которые существуют
при д ^ |<7нп|. Они расположены на линии экватора и имеют
компоненты
Si=<W<7. S2 = ±yjl-(glin/g)2, 53=0. (9.4.32)
Плоскость поляризации ориентирована по-разному для этих двух
неподвижных точек.
Как видно из рис. 9.4, число и расположение бифуркационных точек
зависит от значения параметра среды А > 0. В общем случае имеются
две точки бифуркации, где две пары векторных солитонов с
линейной и эллиптической поляризацией отщепляются от скалярных ТЕ- и
ТМ-солитонов. Эти солитоны со смешанной поляризацией существуют,
только если мощность пучка Р превышает пороговое значение,
определяемое (9.4.22). Новые стационарные решения (9.4.9) и (9.4.10) могут
начинаться с одной и той же или с разных ветвей, в зависимости от
значения параметра А. Если А > 2, то обе ветви новых стационарных
решений отщепляются от ТМ-ветви (см. рис. 9.4). Если А < 2/3, то
пары новых стационарных решений ответвляются от ТЕ-ветви. При
2/3 < А < 2 эллиптически поляризованные векторные солитоны
отщепляются от ТЕ-ветви, тогда как линейно поляризованные солитоны
ответвляются от ТМ-ветви, как это видно из рис. 9.4, б.
Хотя бифуркационная картина для собственных состояний
поляризации идентична для пространственных солитонов и поляризационно
неустойчивых волн непрерывного излучения, приведённый сценарий
эволюции для пространственных солитонов не имеет аналога в случае
непрерывного излучения [93, 94]. В случае непрерывного излучения
нестационарное решение не может приближаться к устойчивому
собственному состоянию поляризации из-за сохранения полной
мощности So. В результате представляющая точка на сфере Пуанкаре
движется по траекториям, получаемым решением (9.4.26)-(9.4.28).

366
Гл. 9. Векторные солитоны
Соответствие между динамикой, основанной на (9.4.26)-(9.4.28)
и на исходных уравнениях (9.4.9) и (9.4.10), можно установить
численным решением последних уравнений. Профили пучка U(x,z) и V(x,z)
вычислялись в каждой точке z
стандартным методом
расщепления [3] и компоненты вектора
Стокса определялись по
соотношениям
Линейная
поляризация
Si(z) =
оо
Sj(x, z)dx
—оо
"оо '
sq(x, 0) dx
(9.4.33)
Рис. 9.6. Сравнение траекторий
вектора Стокса на сфере Пуанкаре.
Тонкие кривые вычислены
приближённо аналитически, а толстые кривые
получены численным решением
связанных НУШ. Стрелки указывают
переход от поляризационно
неустойчивого ТМ-солитона к устойчивому
линейно поляризованному
векторному солитону (Рисунок подготовлен
Е. Островской)
Результаты в двух случаях
сравниваются на рис. 9.6, который
показывает, что вычисления на
основе (9.4.9) и (9.4.10)
приводят к качественно тем же
свойствам, что и на основе
приближения усреднённого
профиля. Из рис. 9.6 ясно видна
сходимость соответствующих
траекторий к неподвижным точкам
на сфере Пуанкаре. Если
входной пучок вводится в сильно
неустойчивом ТМ-режиме с
мощностью, превышающей
бифуркационный порог, тогда этот ТМ-со-
литон трансформируется в новый, линейно поляризованный векторный
солитон после испускания рассеянного излучения.
9.4.4. Экспериментальные результаты. Ещё в 1996 г. увлечение
и каналирование двух первоначально перекрывающихся ортогонально
поляризованных пространственных солитонов наблюдалось в
волноводе из пластинки AlGaAs [111]. Взаимное каналирование было вызвано
КМФ и когерентной связью поляризационных ТЕ- и ТМ-компонент
и представило косвенное доказательство существования векторных
солитонов со смешанной поляризацией.
Экспериментально трудно изучать изменения параметров пучка при
изменении пройденного расстояния внутри волновода, но свойства
нестационарных векторных пучков в зависимости от пиковой
мощности входного излучения можно легко определить при фиксированной
длине волновода. Так как форма и длина стоксовской траектории при
фиксированной длине образца зависит от входной мощности,
характеристики векторных солитонов со смешанной поляризацией можно на-

9.4. Когерентно связанные солитоны
367
блюдать при уровнях мощности, превышающих критический (то есть,
за бифуркационной точкой). Используя типичные значения
параметров для волновода на AlGaAs, n<i « 1,5 • 10"13 см2/Вт, de « 1,8 мкм,
До = 1,55 мкм, п = 3,3, /3 = 2,5 • 10~5 и полагая А = 0,95 — значение,
близкое к экспериментально измеренному [112] — оценим пороговые
мощности как 300 и 330 Вт для бифуркаций ТЕ- и ТМ-солитонов,
соответственно.Такие уровни мощности легко достигаются практически.
<, -У 2 У ТЕ 1 I/ ТЕ
3
Рис. 9.7. Схема экспериментальной установки для исследования векторных
ТЕ-ТМ-солитонов, формирующихся в волноводе на AlGaAs (отмечен как 2).
Другие оптические элементы: (1) — поляризационный светоделитель, (3) —
поляризатор и (4) — регистратор инфракрасного излучения [99]
Экспериментальная установка для наблюдения векторных солито-
нов со смешанной поляризацией показана на рис. 9.7 [112]. Лазер на
центрах окраски, работающий вблизи 1,55 мкм, использовался, чтобы
гарантировать отсутствие двухфотонного поглощения. Лазер с
синхронизацией мод генерировал импульсы длительностью 670 фс с
частотой повторения 76 МГц. Волновод длиной 15 мм состоял из ведущих
слоев Alo.ieGao.82 As толщиной 1,5 мкм, нижней оболочки толщиной
4 мкм и верхней оболочки толщиной 1,5 мкм (обе из Alo.24Gao.76As).
Измеренные потери этого волновода 0,16 см"*1 на рабочей длине
волны пренебрежимо малы. При разработке волновода минимизировалось
двулучепреломление, а различие показателей преломления ТЕ-ТМ-мод
около 0,0004 вызвано двулучепреломлением из-за остаточных
напряжений. Для создания нужной поляризации входного пучка
использовалась комбинация поляризатора и четвертьволновой пластинки. Этому
пучку придавалось эллиптическое поперечное сечение с размерами
5 х 35 мкм (радиус по уровню 1/е2) с помощью цилиндрической
линзы, и он вводился в волновод через микрообъектив. Для измерения
параметров пучка на выходе волновода применялись четвертьволновая
пластинка, поляризатор, поляризационный светоделитель и
регистратор инфракрасного излучения.
Обычные скалярные солитоны можно было формировать,
ориентируя поляризацию входного пучка вдоль ТЕ- или ТМ-осей. При входной

368 Гл. 9. Векторные солитоны
мощности около 600 Вт либо ТЕ-, либо ТМ-поляризованных пучков,
вводимых по отдельности, ширина выходного пучка примерно
совпадала с шириной на входе в обоих случаях, как и следовало ожидать
для скалярных (фундаментальных) солитонов. Для обнаружения
формирования векторного солитона со смешанной поляризацией входной
пучок был линейно поляризован под углом 45° к оси ТЕ-режима, так
что обе компоненты вводились с равными мощностями. Профили
интенсивности ТЕ- и ТМ-компонент измерялись с помощью поляризатора
и регистрирующей камеры.
На рис. 9.8 показана доля мощности в ТЕ- и ТМ-компонентах.
Ясно, что перераспределение мощности начинается при уровне входной
мощности выше 50 Вт
вследствие нелинейного вращения
эллипса поляризации.
Однако, направление перекачки
мощности сменяется на
обратное при мощности
около 330 Вт (заштрихованная
область рис. 9.8). Этот
уровень входной мощности
близок к значениям критических
мощностей в волноводе.
Разброс точек при очень низких
входных мощностях (<50 Вт)
вызван шумом в
эксперименте (в этой области
поляризация на выходе имеет
интенсивные флуктуации из-за
дифракции). Недавние
эксперименты представляют
свидетельства поляризационной
неустойчивости пространственных векторных солитонов [114, 115].
Наблюдавшаяся неустойчивость вызвана связью компоненты с
большей скоростью распространения с излучательными модами компоненты
с меньшей скоростью вследствие фазового синхронизма.
9.5. Многогорбые векторные солитоны
До сих пор мы рассматривали векторные солитоны,
формирующиеся в среде с керровской самофокусировочной нелинейностью. Однако,
векторные солитоны могут формироваться и в других типах некерров-
ских сред, и такие солитоны изучались в фоторефрактивных
кристаллах [116, 117]. Нелинейный отклик такой среды столь инерционен,
что нелинейный показатель преломления An = nil зависит от полной
0 100 200 300 400 500
Входная пиковая мощность, Вт
Рис. 9.8. Доля выходной мощности ТЕ-
(чёрные кружки) и ТМ- (серые
кружки) поляризационных компонент при
линейной поляризации входного пучка под
углом 45° к ТЕ-направлению. Сплошная
и штриховая линии показывают
результаты численного моделирования при тех же
условиях [113]

9.5. Многогорбые векторные солитоны
369
интенсивности излучения /, так что (см. также гл. 13)
/(*,*) =
N
*Е№(х9г)\', (9.5.1)
где 23j (j> = 1, 2,... , TV) — электрическая напряжённость j-й
компоненты векторного солитона с N компонентами. Формирование солитонов
в этом случае можно интерпретировать в рамках теории линейных
волноводов [118]. Доминирующая компонента векторного солитона
создаёт волновод, в котором сам солитон распространяется как
фундаментальная мода. Другие компоненты векторного солитона могут
распространяться как высшие моды того же волновода. Простейший
двухмодовый солитон этого типа состоит из фундаментальной
(безузловой) и первой (с единственным узлом) мод волновода,
распространяющихся как многогорбая структура. Форма векторного солитона может
стать весьма сложной, если участие принимают более чем две моды
волновода [119]. Оказывается, что двухпиковые структуры могут быть
динамически устойчивы в некоторой области своего существования, но
все трёхпиковые структуры неустойчивы [120].
Для анализа устойчивости многогорбых солитонов рассмотрим
сначала простейшую модель двух оптических пучков, некогерентно
взаимодействующих в фоторефрактивной среде [117]. Такой двухком-
понентный солитон описывается следующей системой двух
связанных НУШ: . 2 2
ф + ^+ Ц(Н +N) _ц = 0> (9.5.2)
dz 2 дх2 1 + s(|u|2 + \w\2) V '
ffi+*g?™ + ™(M2 + N2) _Xw = 0i (9.5.3)
dz 2 dx2 l+s(M2 + N)
где параметр А представляет отношение нелинейных постоянных
распространения /?i и /?2 двух компонент и s — эффективный параметр
насыщения.
Мы ищем не зависящие от z локализованные решения (9.5.2)
и (9.5.3), такие, что и(х) и w(x) стремятся к нулю при |х| —* оо.
Различные типы таких двухкомпонентных векторных солитонов
можно характеризовать их полной мощностью Р(А, s) = Ри + Pw, где
оо оо
Ри = | \u\2dx и Pw = | \w\2dx. Если одна из компонент слаба (на-
—оо —оо
пример, w/u ~ е < 1), уравнения (9.5.2) и (9.5.3) расцепляются.
Уравнение (9.5.2) для компоненты и в низшем порядке сводится к обычному
НУШ и имеет солитонное решение ио(х) типа гиперболического
секанса без узлов. Тогда уравнение для w принимает вид
\fw + _w^L_Xw = 0 (9.5.4)
2 dx2 1+э\щ\2

370
Гл. 9. Векторные солитоны
Его можно рассматривать как задачу на собственные значения для
«мод» wn(x) волновода, созданного солитоном щ(х). Параметр s
определяет общее число локализованных мод и значения отсечки An(s)
для каждой из мод. Такой векторный солитон имеет две компоненты
и состоит из фундаментального солитона с амплитудой щ и моды
п-го порядка наведённого солитоном волновода, имеющей в профиле
амплитуды п узлов. Для простоты записи мы обозначим этот солитон
его «вектором состояния» |0, п).
*1 150 г
100 h
L
... i
г
1111,11
Д^
А
i . . . i
Еу
у^в,
'jLs'
1 1 1 1
50
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
-10 -5
Рис. 9.9. Диаграмма бифуркаций солитона при s = 0,8. Кривые а-в и г-е
отвечают солитонам |0,1) и |0,2), соответственно. Горизонтальная прямая
показывает фундаментальный солитон и. Шесть вставок представляют и (тонкие
линии), w (штриховые линии) и полную интенсивность (жирные линии) в
шести отмеченных точках [120]
На рис. 9.9 изображена полная мощность обеих компонент Р(А)
как функции параметра А при s = 0,8. Тонкая горизонтальная
прямая указывает мощность только одного фундаментального солитона.
Жирные сплошные линии представляют две ветви, а именно
солитоны |0,1) (ветвь АБВ) и |0,2) (ветвь ГДЕ), причём ветви возникают
в двух бифуркационных точках. Показана также форма двух компо-

9.5. Многогорбые векторные солитоны
371
нент векторных солитонов в шести точках, отмеченных чёрными
прямоугольниками [120]. Модовое описание справедливо только вблизи
бифуркационных точек. При больших значениях А амплитуда
компоненты w возрастает и самонаведённый волновод деформируется. Двух-
и трёхгорбые солитоны входят в семейства солитонов |0,1) (ветвь
АБВ) и |0,2) (ветвь ГДЕ), соответственно. Вблизи бифуркационной
точки компонента w столь мала, что все солитоны в состоянии |0, п)
остаются одногорбыми, как видно на вставках (а) и (г) к рис. 9.9.
Так как амплитуда компоненты w растёт с увеличением А, в профиле
полной интенсивности 1(х) = и2(х) + w2(x) возникают два или три
горба, как видно из вставок (б) и (д). Для достаточно больших А
сама компонента и становится многогорбой, как видно из вставок (в)
и (е). Расстояние между горбами солитона стремится к бесконечности
при А —* 1.
Для линейного анализа устойчивости этих многогорбых солитонов
ищем решения (9.5.2) и (9.5.3) в форме
и(ху z) = и0{х) + e[Fu(x, z) + iGu(x, z)], (9.5.5)
w(x, z) = wn(x) + e[Fw(x, z) 4- iGw(x, z)], (9.5.6)
где e «C 1. Полагая Fq ~ Jq{x)e^z и Gq ~ gq(x)e^zy где q = и и w,
получим следующие два уравнения на собственные значения:
£i£og = -Ag, 4>£if = -Af, (9.5.7)
где Л = /х2, g = {gUi9w)T> f = (fu*fw)T и Два матричных оператора
определены как
С -I "25? + 1"а- >
где т = 0 или 1, ао = со = //(1 4- 5/), aj = ао + 2wq/(1 4- s/)2, 6i =
= -2tlotl7n/(l + Sl)\ b0 = О И С, = CO + 2*4/(1 + s/)2.
Так как операторы С\Со и £o£i взаимно сопряжены и имеют
совпадающий спектр, мы можем рассмотреть спектр только одного из них,
например £\Со- Нетрудно показать, что сплошной спектр лежит в
области -оо < Л < -А2. Стационарные ограниченные собственные моды
дискретного спектра, так называемые внутренние моды солитона,
могут иметь собственные значения только в интервале —А2 < Re Л < 0.
Как и в общей теории, представленной в гл. 2, векторный солитон
устойчив, если все собственные значения Л имеют отрицательную
вещественную часть.
Численное решение задачи на собственные значения (9.5.7)
показывает, что многогорбые векторные солитоны устойчивы только в
некоторой части области существования. На рис. 9.10 показаны области
устойчивости двух- и трёхгорбых векторных солитонов, представлен-
(9.5.8)

372
Гл. 9. Векторные солитоны
0,6 0,8 1,0
Параметр солитона А.
существования и
и трёхгорбых со-
ных на рис. 9.9. Кривые, помеченные X\(s) и Аг(5), отвечают
бифуркациям двух- и трёхгорбых векторных солитонов, соответственно.
Заштрихована область, где
двугорбые солитоны неустойчивы.
Неустойчивость появляется
после того, как профиль
полной интенсивности /
становится двугорбым (штриховая
линия) и пара внутренних мод
солитона отщепляется от
сплошного спектра в щель. Квадраты
и кружки отвечают
полученным численно порогам
неустойчивости для двух- и
трёхгорбых солитонов, соответственно.
Аналитическим
асимптотическим методом можно
показать, что векторный солитон
с компонентами и и w
становится неустойчивым, когда
отрицательные значения
принимает определитель
дРи dPw dPw дРи
ds дХ ds дХ
(9.5.9)
Это обобщение
представленного в гл. 2 критерия
устойчивости Вахитова-Колоколова на
случай двухкомпонентных
векторных солитонов. Однако, как
мы указывали в разделе 9.3, такое обобщение обосновано только для
фундаментальных компонент (без узлов), тогда как здесь мы имеем
дело с солитонами высших порядков, которые могут содержать узлы.
Поэтому возможны другие неустойчивости, которые не связаны с
бифуркационным условием J = 0 и могут иметь большие инкременты.
Как раз такова ситуация с трёхгорбыми солитонами. Устойчивость же
двугорбых солитонов полностью определяется условием на
определитель, что подтверждается численными результатами, приведёнными на
рис. 9.10.
Понятие векторных солитонов весьма широко; многокомпонентные
солитоны теоретически предсказаны для различных типов нелинейных
сред [121-127], но существование многомодовых векторных солитонов
следует тесно связывать с их устойчивостью. Представленный
анализ устойчивости выполнен для случая насыщающейся нелинейности.
В ряде теоретических исследований было показано, что многомодовые
Рис. 9.10. Области
устойчивости двух-
литонов. Сплошные кривые показывают
пороги Ai(s) и X2(s) для солитонов в
состоянии |0,1) и |0,2), соответственно.
Штриховая линия обозначает границу
возникновения горбов у суммарной
интенсивности, а заштрихованная область
показывает область неустойчивости
двугорбых солитонов. Квадраты и
кружки отвечают численным результатам для
двух- и трёхгорбых солитонов,
соответственно [120]
J =

9.5. Многогорбые векторные солитоны
373
векторные солитоны неустойчивы в случае чисто керровской
нелинейности [9, 122, 126]. Точнее, когда величина члена КМФ больше, чем
члена СМФ (что и выполняется для керровских сред), многомодовый
солитон испытывает неустойчивость к нарушению симметрии
относительно пространственной инверсии.
Поперечная координата Поперечная координата
Рис. 9.11. а) Огибающие компонент круговой поляризации двухкомпонентного
векторного солитона. б) Линии уровня, показывающие эволюцию векторного
солитона (а) при его слабом возмущении шумом [128]
Как видно из рис. 9.11, многомодовый солитон обладает обычно
двугорбым распределением интенсивности — свойство, которое делает его
аналогичным направленному ответвителю на основе волновода с
двумя сердцевинами. Так как нечётная мода нелинейного направленного
ответвителя неустойчива по отношению к нарушению симметрии (так
называемый быстрый режим неустойчивости), следует ожидать, что
показанный на рис. 9.11, а многомодовый солитон будет неустойчив по
той же причине. Это можно проверить, численно решая систему двух
связанных НУШ. На рис. 9.11, б показано распространение многомо-
дового солитона, изображённого на рис. 9.11, а. Видно, что энергия,
сначала равномерно распределённая между двумя сердцевинами
наведённого волновода, резко переходит из одной сердцевины в другую,
вызывая в конце концов разрушение этого волновода. Интересно, что
после переходного процесса поле сосредотачивается в форме
одногорбого распределения (то есть, оба поля становятся пространственно
чётными), что и следует ожидать для фундаментального эллиптически
поляризованного векторного солитона.
Неустойчивость нарушения симметрии пространственной инверсии
экспериментально наблюдалась в керровской среде в 2002 г. [128].
Эксперимент выполнен для CS2 планарного волновода, а для двух
компонент векторного солитона использовались ортогональные круговые
поляризации входного пучка. Частота повторения лазерных импульсов

374
Гл. 9. Векторные солитоны
10 Гц позволяла регистрировать большое число реализаций по
отдельности и анализировать их статистику. Было найдено, что около 62%
лазерных вспышек характеризовались сильной асимметрией, когда
выходной пучок смещался налево или направо от исходной оси пучка.
Это согласуется с интерпретацией неустойчивости двухкомпонентного
пространственного солитона, разрушающей симметрию по отношению
к пространственной инверсии в керровской среде.
9.6. Двумерные векторные солитоны
Понятие пространственных векторных солитонов можно обобщить
на (2 + 1)-мерную геометрию, в которой каждая компонента
дифрагирует по двум поперечным направлениям. Такие векторные
солитоны могут обладать сложной внутренней топологической структурой,
в некоторой степени аналогичной формированию «солитонной
молекулы» из элементарных составляющих. Примером служит вихревой
векторный солитон [129], одна из компонент которого имеет форму
вихря. Такие осесимметричные кольцевые векторные солитоны
(аналогичные по форме модам Лагерра-Гаусса цилиндрического волновода)
могут подвергаться неустойчивости нарушения симметрии [130],
которая преобразует их в азимутально асимметричные дипольные
векторные солитоны даже в идеально изотропной нелинейной среде.
Дипольные векторные солитоны возникают из-за каналирования моды
Эрмита-Гаусса (ЭГ) HGoi волноводом, созданным более
интенсивной компонентой. Хотя можно создать много других топологически
сложных структур, представляется, что только дипольные векторные
солитоны динамически устойчивы. В частности, при вводе излучения
с ненулевым угловым моментом такая дипольная структура выживает
в виде «пропеллерного солитона» [131].
В этом разделе мы обобщим анализ раздела 9.2 некогерентно
связанных векторных солитонов на случай двумерных векторных
солитонов в сплошной керровской среде 0. Как обсуждалось в гл. 6,
двумерные скалярные солитоны коллапсируют в среде керровского
типа, но устойчивы в среде с насыщающейся нелинейностью.
Интересен вопрос: остаются ли устойчивыми векторные солитоны в
керровской среде, когда включено дополнительное измерение? Для ответа на
него мы рассмотрим сначала простой случай керровской нелинейности
и векторных солитонов, формируемых из-за некогерентной связи двух
фундаментальных безузловых солитонов. Затем мы проанализируем
х) При этом игнорируются непараксиальные эффекты, подавляющие
коллапс пучков с закритической мощностью (см. (6.2.2)). При учёте их в среде
с электронной керровской нелинейности возникает связь волн с
противоположными поляризациями, что ведёт к захвату их постоянных распространения
[192*]. {Прим. ред.)

9.6. Двумерные векторные солитоны
375
векторные солитоны вихревого и дипольного типа в некерровской среде
с насыщающейся нелинейностью.
9.6.1. Осесимметричные векторные солитоны. Рассмотрим два
некогерентно взаимодействующие пучка, распространяющиеся в
направлении оси z в сплошной керровской среде. В этом случае
векторные солитоны описываются связанными НУШ (9.1.12) и (9.1.13), с тем
отличием, что дифракционный член должен включать производные
и по х, и по у. Предположим, что длины волн двух пучков достаточно
близки, так что мы можем положить d\ = d^ = 2 и 7i = 72 = 1-
Получающиеся уравнения принимают вид
В зависимости от состояния поляризации двух пучков, природы
нелинейности и анизотропии среды, величина а меняется в широких
пределах. Для керровской электронной нелинейности а ^ 2/3, тогда как
а ^ 7 для нелинейности, вызванной изменением ориентации
молекул [132].
Мы используем вместо х и у цилиндрические координаты г и <р
и ищем решения (9.6.1) и (9.6.2) в форме
(9.6.3)
U2(r, <p,z) = y/jT\ v(r) eiw"eiAz,
где /?i и /?2 — две независимые постоянные распространения. Целые
числа mi и гаг представляют топологические заряды. Измеряя
радиальную координату в единицах у/]3\ и вводя параметр солитона —
отношение постоянных распространения А = /%//?!, получим из (9.6.1)
и (9.6.2) следующую систему двух обыкновенных дифференциальных
уравнений, описывающих осесимметричные огибающие и и v:
fu + l^_riu_u+(u2 + <7V2)u = 0t (964)
QT Г О/Г т
£v + ld»_r4v_Xv + {v2 + au2)v = 0 (965)
dr г аг г
Следуя обозначениям, введённым в [120], мы припишем таким
векторным солитонам «вектор состояния» |mi,m2).
Рассмотрим сначала случай т\ = гаг = 0, так что векторный соли-
тон |0,0) осесимметричен. Это семейство векторных солитонов
характеризуется единственным параметром А и существует в диапазоне между
значениями отсечки Х\ и Аг, которые зависят от величины параметра

376
Гл. 9. Векторные солитоны
связи а. На рис. 9.12 показаны значения отсечки Aj и Аг в зависимости
от а. Вблизи двух точек отсечки (А « Х\ или А « Аг) формирование
векторных солитонов можно интерпретировать как создание
доминирующей компонентой поля волновода, в котором более слабая компонента
распространяется как мода высшего порядка этого наведённого
волновода. Два примера солитонов |0,0) показаны на рис. 9.12 при а = 2
в точках, отмеченных чёрными кружками.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Параметр солитона X
А, = 0,6
2k
б
Х = 3
10
г
10
г
Рис. 9.12. Область существования векторных солитонов |0,0) (заштрихована).
Сплошные линии показывают полученные численно значения величин
отсечки Ai и Аг в зависимости от а. Штриховые линии отвечают результатам
вариационного анализа. Приведены также профили амплитуд и (сплошная
линия) и v (штрихи) векторного солитона в точках а и б [130]
Пересечение областей существования Ai(cr) и А2(ст) происходит
в точке А = а = 1. Естественно, что при а = 1 векторные солитоны
|0,0) существуют только при А = 1 и по свойствам напоминают
солитоны Манакова [5]. Такие солитоны можно найти преобразованием
и = U cos в и v = U sin в в (9.6.4) и (9.6.5), где в — произвольный угол,

9.6. Двумерные векторные солитоны
377
a U удовлетворяет скалярному уравнению
dr'
т dr
(9.6.6)
Для аналитического определения области существования
векторных солитонов можно использовать вариационный метод [133]. Ищем
стационарные решения (9.6.4) и (9.6.5) в виде
u(r) = Aexp(-r2/a2), v(r) = Яехр(-г2/Ь2), (9.6.7)
где параметры А, В, а и Ь зависят от z. Чтобы найти зависимость
этих параметров от z, используем эффективный лагранжиан. Такой
подход позволяет найти следующую аналитическую аппроксимацию
двух сплошных кривых рис. 9.12:
ст(Х) = (1 + х/^)2/4, *(А) = (1 + УА07(4А,).
(9.6.8)
Штриховые кривые на рис. 9.12 показывают, что вариационный анализ
достаточно точно описывает область существования векторных
солитонов, хотя в нём и используется гауссовы пробные функции, и поэтому
его можно считать альтернативным численному подходу, который часто
требует много большего времени расчёта.
15 г
о
ас
В
о
2
Параметр солитона X
А., X 4
Параметр солитона X
Рис. 9.13. Полная мощность векторных солитонов в зависимости от А при
а = 2/3 (а) и а = 2 (б). Мощность индивидуальных компонент показана
штриховыми и штрих-пунктирными линиями [130]
Важной физической характеристикой векторных солитонов являет-
оо
ся их полная мощность Р — 27г | {и2 + v2)rdr. На рис. 9.13 показана
зависимость полной мощности двумерного векторного солитона от А
при а = 2/3 (а) и а = 2 (б). Видно, что случаи а < 1 и а > 1
качественно отличаются. В первом случае полная мощность
векторного солитона больше, чем мощность скалярного солитона (Ро ^ И»7),
существующего при а = А = 1 (см. рис. 9.13, а). Этот результат важен,

378
Гл. 9. Векторные солитоны
так как широко распространено противоположное мнение, что
формирование векторных уединённых волн всегда требует меньшей входной
мощности по сравнению со скалярными солитонами. При а > 1
ситуация противоположна и векторные солитоны существуют при меньших
мощностях, чем требуется для скалярных солитонов. Это объясняет
эффективное подавление коллапса пучка, наблюдавшееся численно
при а = 2 в частном случае А = 1, в котором при использовании
подстановки типа Хартри можно найти аналитический вид векторного
солитона [134].
9.6.2. Кольцеобразные векторные солитоны. Теперь мы
остановимся на векторных солитонах высших порядков |шь гпг) с
топологическими зарядами. В простейшем случае солитонов |0, ±1) т\ = О,
ат2 = ±1. Такие векторные солитоны можно найти решением (9.6.4)
и (9.6.5), см. два примера, показанные на рис. 9.14, где представлена
полная интенсивность 1(г) = \и\2 + М2, а также интенсивности
индивидуальных мод. Аналогично случаю солитонов |0,0), вблизи
отсечки более слабая компонента возникает как высшая мода волновода,
созданного более сильной компонентой. Тогда полная интенсивность
имеет максимум в центре пучка. Однако, вдали от отсечки
распределение полной интенсивности может принять кольцеобразную форму, как
видно из рис. 9.14,6. В этом случае компонента v становится столь
интенсивной, что деформирует волновод и уменьшает интенсивность
компоненты и вблизи центра пучка.
Полная
Л = 0,5
Радиальная координата
Радиальная координата
Рис. 9.14. Профили интенсивности солитонов |0, ±1) для двух значений Л.
Сплошные кривые показывают полную интенсивность, а штриховые — форму
индивидуальных компонент [130]
Важен вопрос об устойчивости векторных солитонов типа |0,0)
и |0,1). Численный анализ устойчивости и критерий устойчивости
Вахитова-Колоколова, обобщённый для векторных солитонов [120],
показывают, что все такие солитоны линейно неустойчивы, и наличие

9.6. Двумерные векторные солитоны
379
второй компоненты не может предотвратить коллапс, характерный для
скалярных двумерных солитонов в керровской среде.
С учётом устойчивости одномерных векторных солитонов в
среде с насыщающейся нелинейностью [120] можно рассмотреть
двумерные кольцеобразные векторные солитоны типа |0,1) в такой
среде [129]. В фоторефрактивных средах насыщающаяся нелинейность
такова, что нелинейные члены в (9.6.4) и (9.6.5) имеют множитель
(1 4- \и\2 4- И2)-1. Ищем стационарные решения в виде (9.6.3) и вводим
относительную постоянную распространения А = (1 - /?2)/(1 - Р\)\
тогда получим следующую систему двух уравнений [116, 135]:
d2
dr£
и . 1 du rri\
Н ; ±U-U +
r dr
d v . 1 dv mo x
Т7 + --; ±V- \v +
dr'
r dr
Iu
1+5/
Iv
1+3/
= 0,
= 0,
(9.6.9)
(9.6.10)
где / = и2 + v2 и s = 1 - /?i играет роль параметра насыщения. При s =
= 0 эта система уравнений описывает случай керровской нелинейности
с а = 1. В этом случае солитоны низшего порядка |0,0) существуют
только при А = 1. В остальной области плоскости параметров (s, A)
векторные солитоны типа |0,1) существуют и имеют кольцеобразную
форму вдали отсечки, как и в обсуждавшемся выше случае керровских
сред. На рис. 9.15 изображена эволюция такого солитона при s = 0,65
и А = 0,6. Численное моделирование показывает, что хотя насыщение
и оказывает сильное стабилизирующее воздействие на солитон |0,1),
векторные солитоны этого типа линейно неустойчивы. Неустойчивость,
хотя и сильно ослабленная насыщением, инициирует распад солитона
и формирование дипольной структуры, обсуждаемой в следующем
разделе.
Рис. 9.15. Эволюция солитона |0,1) в среде с насыщающейся нелинейностью
при s = 0,65 и А = 0,6. а) Интенсивность при z = 0; б) эволюция профиля
интенсивности при у = 10; в) интенсивность при z = 100 [130]
9.6.3. Мультипольные векторные солитоны. Как подсказывает
название, мультипольные векторные солитоны не обладают осевой
симметрией. Чтобы найти их, мы снова рассмотрим случай насыщающей-

380
Гл. 9. Векторные солитоны
ся фоторефрактивной среды и выпишем два связанные НУШ (9.6.1)
и (9.6.2) в виде
l!b+{-^ + W)-i + \uS + \u2?-0' (9-6Л1)
г^Г + {-bJ + WJ - i + \uf + \u2\> - a (9-6Л2)
Чтобы найти их локализованные решения с сохраняющейся формой,
сделаем подстановку
U\ = у/р~\ и{х,у) exp(i/?iz), U2 = у/Р\ w(x,y) ехр(г/?2^), (9.6.13)
где /3i и /?2 — две независимые постоянные распространения.
Измеряя поперечные координаты в единицах у/Щ и введя параметр
Л = (1 - /%)/(1 -/?i), мы получим следующие два уравнения для и
д?и д?и _ 1и
а? ду*~и TTii
<?w , Л* %... . Iw =a (9615)
2+Н-^+Т^Г7=0^ (96.14)
дх2 ду2 1+s/
где / = и2 + w2 и 5 = 1 — /3\ — эффективный параметр насыщения.
Предел s —► 0 отвечает случаю керровской среды. Эти уравнения следует
решать с граничными условиями обращения в нуль и и w при г —> оо.
Когда одна из компонент, например, w, слаба, мы можем
использовать представление о наведённом солитоном волноводе. Если
волновод наводится фундаментальным по компоненте и солитоном типа
гиперболического секанса, локализованные моды образуют систему,
аналогичную модам Эрмита-Гаусса (HG) или Лагерра-Гаусса (LG)
осесимметричного волновода [136]. В зависимости от того, какая мода
наведённого волновода возбуждается слабой компонентой,
фундаментальный солитон может захватывать и распространять пучки с
различной топологией. Если возбуждённая мода отвечает LGoi,
получающаяся структура осесимметрична, и такой солитон называют вихревым
векторным солитоном [137]. Напротив, если слабая компонента
отвечает моде HGoi, то векторный солитон становится неосесимметричным
и называется дипольным векторным солитоном ввиду подобия его
структуры диполю [138, 139]. Эти представления можно обобщить
на случай большего числа компонент, и, в частности, в случае трёх
компонент формируется устойчивая структура с двумя ортогональными
диполями, каналируемыми фундаментальной модой третьей
компоненты [140, 141].
На рис. 9.16 показан пример векторных солитонов дипольного
(левая колонка) и вихревого (правая колонка) типов. В верхнем и среднем
рядах представлены распределения интенсивности компонент и и к;,

9.6. Двумерные векторные солитоны
381
Рис. 9.16. Примеры дипольных (a, s = 0.3) и вихревых (б, s = 0.65) векторных
солитонов. В верхнем и среднем рядах показаны профили интенсивности
компонент и и w, а в нижнем ряду изображены профили фазы компоненты
w [139]
соответственно. В нижнем ряду приведён профиль фазы компоненты w,
который ответствен за различие свойств этих двух типов векторных
солитонов. При фиксированной величине s решения характеризуются
определённым значением отсечки А, выше которого появляется ди-
польная мода. Вблизи отсечки векторный солитон можно приближённо
описать теорией линейных волноводов. При возрастании А
компонента w растёт и деформирует эффективный волновод, созданный
фундаментальной модой и, так что при больших интенсивностях профиль
компоненты и вытягивается в одном направлении и теряет осевую
симметрию. Анализ линейной и динамической устойчивости диполь-
ного векторного солитона выявляет его повышенную устойчивость по
отношению как к малым, так и большим возмущениям [138].
Динамическая устойчивость проверялась численно для длин распространения
до нескольких сотен дифракционных длин.
Распределение фазы осесимметричного вихревого солитона,
показанное на рис. 9.16, отвечает вихрю с единичным зарядом в ком-

382
Гл. 9. Векторные солитоны
поненте w. Анализ динамической и линейной устойчивости выявил,
что все такие векторные солитоны становятся неустойчивыми при
некотором удалении от бифуркационной точки. Аналогично случаю
скалярного вихревого пучка, который в самофокусировочной среде
неустойчив [142-144], солитон вихревого типа испытывает
неустойчивость с нарушением симметрии и при распространении распадается
на несколько фрагментов. Оказывается, что он может
преобразоваться в азимутально асимметричный солитон дипольного типа, который
обладает ненулевым угловым моментом и может распространяться на
весьма большие расстояния [138].
В отличие от асимметричных солитонов дипольного типа, осесим-
метричные решения (9.6.14) и (9.6.15) можно найти численно
простыми методами пристрелки или релаксации. Таким методом можно найти
целое семейство солитонов вихревого типа с зарядом m = 1 в
компоненте w. На рис. 9.17, а для этого семейства солитонов показана
зависимость Р(Х) при 5 = 0,5; приведены полная мощность и мощности
индивидуальных компонент. Пунктирная и штриховая линии
указывают уровни мощности скалярных солитонов типа гиперболического
секанса и типа вихря. Точка А отмечает положение бифуркации,
где скалярный солитон преобразуется при увеличении А в векторный
солитон. В бифуркационной точке Б векторный солитон преобразуется
вновь в скалярный вихревой солитон. Профили амплитуды двух
компонент векторного солитона в окрестности бифуркационных точек А и
Б показаны на рис. 9.17, в, г.
Вблизи бифуркационной точки Б вихревая компонента w
становится столь сильной, что наводит эффективный волновод, который
захватывает компоненту и. Форма компоненты и усложняется, как показано
на рис. 9.17, г, в том смысле, что интенсивность имеет неглубокий спад
вблизи центра пучка. Этого и следовало ожидать для наведённого
волновода с провалом показателя преломления. Диапазон существования
векторных солитонов зависит от параметра насыщения s. Эта
зависимость представлена на рис. 9.17, б, где представлено положение точек
А и Б в пространстве параметров (A, s). При фиксированном
значении параметра насыщения s векторная структура может существовать
только в диапазоне А, ограниченном бифуркационными точками.
Экстраполируя результаты теории линейных волноводов на
нелинейный режим, в котором w и и сравнимы по величине, можно
ожидать, что при взаимном захвате двух пучков могут возникнуть
структуры, напоминающие форму мод Эрмита-Гаусса или Лагерра-Гаусса
высшего порядка. Действительно, найдено, что (9.6.14) и (9.6.15)
обладают семейством солитонов, которые можно определить как мулыпиполь-
ные векторные солитоны. Однако, их модовая структура сложнее, чем
у мод HGmn и LGmn в нелинейном режиме, так как она определяется
нелинейным взаимодействием обеих компонент и поэтому не может
быть описана линейной теорией. Прямые численные методы решения
стационарных связанных НУШ часто оказываются единственным сред-

9.6. Двумерные векторные солитоны
383
1,0 г
0,4 0,6 0,8
Параметр солитона Я.
0,2 0,4 0,6 0,8
Параметр солитона X
0,0 2,5 5,0 7,5
Радиальная координата г
0,0 2,5 5,0
Радиальная координата г
Рис. 9.17. Характеристики векторных солитонов вихревого типа при s = 0,5. а)
Полная мощность Рп и мощности индивидуальных компонент Pu, Pw в
зависимости от Л. Пунктирная и штриховая линии показывают уровень мощности
скалярных солитонов типа гиперболического секанса и типа вихря, б) Область
существования в пространстве параметров (Л, s). Точки А и Б представляют
две бифуркационные точки. Профили амплитуды вблизи этих точек приведены
при (в) Л = 0,3 (в) и Л = 0,75 (г) [139]
ством анализа нелинейного режима, особенно для неосесимметричных
солитонов [138].
Некоторое физическое представление о природе мультипольных
векторных солитонов можно получить при использовании
вариационного подхода [145] для описания структуры локализованных
решений (9.6.14) и (9.6.15). В цилиндрических координатах (г, (р)
лагранжиан, отвечающий этим уравнениям, можно записать в форме
~(
ди
дг
dw
дг
+ 1
г
ди
д<р
J г \д(р\
+ г (Н2 + АН2 - *- + 4 1п 0 + 5/)) .
(9.6.16)

384
Гл. 9. Векторные солитоны
где / = \и\2 + |гу|2. По аналогии с линейной теорией считаем, что одна
компонента осесимметрична, и(хуу) = й(г), но другая имеет общий вид
w (х, у) = w(r) [cos (пир) 4- ip sin (m<p)]. (9.6.17)
Целое число р позволяет различать мультипольные (р = 0) и вихревые
(р = ±1) векторные солитоны. Другое целое число га определяет заряд
вихря.
Применяя вариационный подход, мы интегрируем лагранжиан
2тг
(9.6.16) по (р: (L) = | Ld(p. Тогда мы получим следующие уравнения
о _ _
Эйлера-Лагранжа для осесимметричных функций и(г) и w(r):
0 + ;f + j[l-e-/i(«,u;)]u = 0, (9.6.18)
d £y 1 сйу 1
dr2 г dr 5
1 -sA- ^/ - h{u,w)
r
w = 0, (9.6.19)
где функции /| и /г определяются как
/i(2,«0 = [(1 + su2 +p2stu2)(l + su2 + sui2)]-'/2, (9.6.20)
g/iO + str) + q'fisw* + 9
и<7 = (р2+1)/2.
При р = 0 и га = 1 (9.6.18) и (9.6.19) описывают
обсуждавшийся выше векторный солитон дипольного типа. Вариационные
результаты довольно близки к получаемым численным решением (9.6.14)
и (9.6.15). Преимуществом вариационного метода перед прямым
численным решением служит то, что гораздо проще решать (9.6.18)
и (9.6.19), так как это обыкновенные дифференциальные уравнения,
а не уравнения в частных производных. На рис. 9.18 вариационное
решение сравнивается с численным при 5 = 0,5. Хотя и имеются
количественные различия, особенно при больших значениях А,
вариационный анализ отражает все качественные свойства. А именно, при
любом значении s солитонные решения характеризуются определённым
значением отсечки А, выше которого могут формироваться солитоны
дипольного типа. Оказывается также, что асимметричный мультиполь-
ный векторный солитон всегда имеет наименьшую возможную
мощность среди решений с различными значениями риш.
При р = 0 и га > 1 вариационные результаты свидетельствуют
о возможности двумерных векторных солитонов с более сложной
пространственной структурой. Например, при га = 2 ожидаются структуры
квадрупольного типа, состоящие из четырёх лепестков. При га = 3
должна формироваться шестилепестковая структура. Как показано на
рис. 9.19, численные расчёты подтверждают это ожидаемое поведение.

9.6. Двумерные векторные солитоны
385
Рис. 9.18. б) Сравнение вариационных (штриховые линии) и численных
(сплошные линии) результатов для компонент солитона дипольного типа при
s = 0,5 и Л = 0,5; а) соответствующие распределения интенсивности, в)
Полная Рп и индивидуальные мощности двух компонент Pu, Pw в зависимости
от Л, полученные вариационным (сплошные кривые) и численным (символы)
методами при s = 0,5 [145]
Части (а) и (б) этого рисунка представляют структуру интенсивности
(\и\2 и \w\2) при т = 2 и 3, соответственно. Многолепестковая
структура интенсивности компоненты w вызвана скачками фазы на 7г,
происходящими между соседними лепестками. Ещё более сложные структуры
были обнаружены при численном решении (9.6.14) и (9.6.15). Двумя
примерами служат части (в) и (г) рис. 9.19. В части (г)
структура типа двенадцатиугольника напоминает солитоны типа «ожерелья»,
обсуждавшиеся ранее в гл. 6 и представляющие расширяющиеся
скалярные структуры в самофокусировочной керровской среде [146, 147].
Структуры, показанные на рис. 9.19, были получены при
использовании приближённого вариационного решения как начального условия
для численного решения. Хотя вариационное решение не является
точным и сначала меняется при распространении, оно быстро сходится
к конечному стационарному солитону. Для представленных на рис. 9.19
примеров численные решения после всего лишь нескольких
дифракционных длин сходятся к конечному стационарному состоянию, которое
затем остаётся неизменным на протяжении десятков дифракционных
длин. Необходимо подчеркнуть, что если компонента w этих солитонов
распространяется отдельно (в отсутствие компоненты и), она быстро
распадается из-за сил отталкивания между противофазными
соседними лепестками.
9.6.4. Влияние анизотропии и нелокальности. До сих пор
мы обсуждали мультипольные солитоны при изотропной нелинейно-

386
Гл. 9. Векторные солитоны
-20 0 20 -20 0 20
Рис. 9.19. Примеры мультипольных векторных солитонов высших порядков:
а) квадрупольный солитон (т = 2) при s = 0,5 и Л = 0,5; б) шестилепестковый
солитон (т = 3) при s = 0,7 и А = 0,3; в, г) примеры более сложных восьми-
и двенадцатилепестковых структур [139]
сти. Однако, в экспериментах в качестве нелинейной среды часто
применяют фоторефрактивные кристаллы, которые, как известно,
обладают сильно анизотропным и нелокальным нелинейным
откликом [148-150]. С учётом сильной анизотропии фоторефрактивной
нелинейности важно выяснить, сохраняются ли теоретические
предсказания о мультипольных векторных солитонах, сделанные для
изотропных нелинейных сред, в случае анизотропных нелокальных самофоку-
сировочных сред. Для ответа на этот вопрос мы покажем, используя
простую модель, что устойчивые векторные солитоны дипольного типа
могут существовать и в анизотропной среде с нелокальным нелиней-

9.6. Двумерные векторные солитоны
387
ным откликом, проявляя ряд новых свойств, вызванных анизотропией.
Более точно, динамические свойства всех таких векторных солитонов
с нарушением осевой симметрии зависят от ориентации. Некоторые из
этих свойств уже наблюдались экспериментально [151].
Нелинейное взаимодействие двух оптических пучков,
распространяющихся в анизотропной нелокальной нелинейной среде, такой как
фоторефрактивный кристалл, зависит от приложенного внешнего
напряжения. Если характерные пространственные масштабы (например,
дифракционная длина) превышают длину Дебая (радиус
экранирования заряда), распространение вдоль оси z фоторефрактивного
кристалла, к которому приложено внешнее электрическое поле вдоль оси у,
описывается следующей системой уравнений [148-150]:
*% + №Ч = -$Щч 0=1,2), (9.6.22)
У1Ф + У±ФУ±1п(1+/) = £0яо|-1п(1+/), (9.6.23)
где д — эффективный параметр нелинейности, Eq — внешнее поле,
/ = \U\\2 + |1/г|2 — полная интенсивность, Vj_ = x(d/dx) + y(d/dy)
и Ф- электростатический потенциал, наведённый оптическими
полями. Как обычно, z выражается в единицах дифракционной длины,
а поперечные координаты нормированы на ширину входного пучка х$.
Из наличия в (9.6.22) и (9.6.23) членов с производной по у
очевидно, что эти уравнения характеризуют сильную анизотропию и не
допускают осесимметричных солитонных решений. Поэтому ищем
стационарные решения в виде
U\{x,y) = u(x,y)exp(i\iz),
(9.6.24)
Щх, у) = w(x, у) exp (i\2z)
и решаем численно получающуюся двумерную задачу на собственные
значения для амплитуд и и wy используя итерационную
релаксационную схему. Мы ищем векторный солитон дипольного типа,
возникающий, когда более сильная компонента, скажем, U\, распространяется
как обычный пространственный солитон (единственный пик в центре)
и наводит волновод, который захватывает и ведёт более слабую
компоненту С/г в виде моды HGoi с двумя лепестками с противоположной
фазой [138]. В случае изотропной нелинейности такая структура типа
диполя произвольно ориентирована в плоскости х-у. Однако, в
анизотропном случае стационарные решения этого типа существуют только
при определённой ориентации оси диполя, а именно,
перпендикулярно направлению внешнего поля. На рис. 9.20 показан пример такого
векторного солитона дипольного типа, найденного численно. За
исключением ориентации диполя, другие свойства солитона качественно те
же, что в изотропном случае.

388
Гл. 9. Векторные солитоны
1,0 г
Рис. 9.20. Пример дипольного векторного солитона, формирующегося в фото-
рефрактивном кристалле с электрическим полем, приложенным вдоль оси у
при д = 0,5, £Ь = 2,5 и A2/Ai = 0,5 [151]
Более детальное исследование устойчивости векторных солитонов
дипольного типа показывает, что такой солитон может также
формироваться с ориентацией оси диполя вдоль направления
приложенного поля, но тогда он только квазиустойчив. Напротив, векторный
солитон, ось диполя которого перпендикулярна полю, отвечает
устойчивому состоянию. Из численного моделирования следует, что когда
мы вводим в кристалл начальные пучки с «правильной» ориентацией
диполя (устойчивое направление), они создают очень устойчивый
солитон дипольного типа, в том смысле, что рост входной интенсивности
осесимметричной компоненты приводит лишь к малым осцилляциям
интенсивности около стационарного значения. Напротив, когда
начальные условия отвечают возбуждению векторного солитона с осью
диполя, ориентированной вдоль направления приложенного поля, более
слабая компонента начинает дифрагировать, если интенсивность более
сильной компоненты возрастает. Однако, дифракционное расширение
оказывается весьма медленным, так что векторный солитон можно
наблюдать на протяжении многих дифракционных длин, прежде чем он
погибнет. По этой причине этот солитон называют квазиустойчивым.
Если ось диполя наклонена по отношению к стационарному положе-

9.6. Двумерные векторные солитоны
389
нию, его динамика становится значительно более сложной. А именно,
диполь начинает качаться вдоль вертикальной оси, медленно
дифрагируя при этом в процессе распространия. Аналогично ведут себя
и другие типы мультипольных солитонов [151].
9.6.5. Экспериментальные результаты. Мультипольные
векторные солитоны наблюдались в фоторефрактивном кристалле ниобата
стронция-бария (SBN) [151-153]. Схема эксперимента показана на
рис. 9.21. Интенсивный лазерный пучок на длине волны 532 нм
расщепляется на две части. Один из пучков пропускается через фазовый
транспарант (набор стеклянных пластинок), чтобы наложить на пучок
фазовый профиль, необходимый для создания структуры дипольного
типа (фазовый скачок на 7г на пучке вдоль одного из поперечных
направлений). Для создания структур высшего порядка, состоящих из
чётного числа симметрично расположенных (противофазных)
лепестков, можно использовать различные фазовые транспаранты. Второй
пучок объединялся с первым без каких-либо изменений, а затем оба
пучка фокусировались с помощью сферических и цилиндрических линз
на входную грань фоторефрактивного кристалла.
Фазовый
транспарант
32,ПЭП
Рис. 9.21. Схема эксперимента по наблюдению мультиполярных векторных
солитонов; 3, Л, СД и ПЭП означают зеркало, линзу, светоделитель и
пьезоэлектрический преобразователь, соответственно [151]
В эксперименте использовались два кристалла SBN, допированные
церием (0,002% по весу). Как хорошо известно, фоторефрактивные
кристаллы в сильном электростатическом поле проявляют большую
положительную или отрицательную нелинейность в зависимости от
полярности поля [154-156]. В эксперименте на кристалл подавалось
внешнее напряжение 1,5-2,5 кВ вдоль оптической оси, что приводило
к насыщающейся самофокусировочной нелинейности. Степень
насыщения контролировалась освещением кристалла широким пучком белого
света. Так как обе компоненты, формирующие векторный солитон,
должны быть взаимно некогерентными, один из пучков отражался от
осциллирующего зеркала (32). Это накладывало на пучок быстрое
изменение фазы и делало обе компоненты эффективно некогерент-

390
Гл. 9. Векторные солитоны
Рис. 9.22. Двухкомпонентные векторные солитоны на выходе кристалла SBN
длиной 1 см. а) Дипольный солитон (Ve = 2 кВ); б) квадрупольный солитон
(Ve = 2,3 кВ); в) шестилепестковый солитон (Ve = 2 кВ). Левая колонка:
интенсивности двух компонент на входе с мощностью 0,3 мкВт. Средняя
колонка: интенсивности на выходе, когда каждая компонента распространяется
независимо. Правая колонка: интенсивности на выходе, когда компоненты
распространяются одновременно [151]

9.7. Поперечная модуляционная неустойчивость 391
ными внутри кристалла из-за медленности его фоторефрактивного
отклика.
Типичные результаты эксперимента представлены на рис. 9.22 для
дипольного (а), квадрупольного (б) и шестилепесткового (в) векторных
солитонов. В первой колонке этого рисунка показаны интенсивности
обеих (и и w) компонент на входе, вторая колонка изображает
интенсивности на выходе, когда каждый пучок распространяется независимо
от других, и на последней колонке показаны результаты, когда оба
пучка распространяются одновременно. Когда два пучка
распространяются по отдельности, компонента и (без фазового скачка) всегда
формирует фундаментальный солитон, тогда как компонента w
формирует несколько фундаментальных солитонов, которые отталкивают
друг друга из-за исходно наложенной разности фаз 7г между ними.
Однако, когда эти два пучка распространяются совместно, как
показано в правой колонке рис. 9.22, нелинейная связь между ними создаёт
эффективный волновод, который захватывает все лепестки
компоненты iy, что и приводит к формированию мультипольного векторного
солитона.
Хотя наблюдавшиеся мультипольные векторные солитоны
представляются достаточно устойчивыми, они могут быть легко
дестабилизированы малым сдвигом разности фаз между двумя компонентами.
Единственным исключением служит дипольный векторный солитон,
что подтверждает устойчивый характер этого векторного солитона в
согласии с численным моделированием [138]. Все другие мультипольные
солитоны распадаются на несколько фундаментальных и дипольных
солитонов; найдено, что на процесс распада сильно влияет
анизотропия фоторефрактивной нелинейности. Численное моделирование также
указывает на сильное влияние анизотропии на формирование и
распространение дипольных и мультипольных векторных солитонов. В
согласии с предсказаниями численных расчётов, мультипольные векторные
солитоны экспериментально наблюдаются только при определённых
ориентациях лепестков пучка.
9.7. Поперечная модуляционная неустойчивость
В этом разделе мы обсудим другой аспект двумерных векторных
солитонов, а именно, поперечную модуляционную неустойчивость
одномерных полос векторных солитонов. Как указывалось в гл. 6,
поперечная неустойчивость скалярных солитонов впервые была
предсказана в 1973 г. [157] и с тех пор интенсивно исследовалась [70].
Такая неустойчивость наблюдалась экспериментально и для светлых,
и для тёмных скалярных солитонов [158-163]. Оказывается, что
нелинейное взаимодействие различных компонент векторного солитона
вносит новые особенности в поперечную неустойчивость [120, 164,
165]. В частности, некогерентная связь между компонентами состав-

392
Гл. 9. Векторные солитоны
ного тёмно-светлого солитона может подавить поперечную
неустойчивость [166, 167].
Как пояснялось в гл. 6, неустойчивости, развивающиеся под
действием пространственных и временных возмущений высших порядков,
могут инициировать распад солитонной полосы на множество
фрагментов. Известны несколько различных сценариев такого распада [70],
и в некоторых из них могут возникать новые локализованные
структуры, которые устойчивы в двух измерениях. В скалярном случае эта
ситуация отвечает распаду полосы светлого солитона на множество
двумерных светлых солитонов в самофокусировочной среде. В случае
полосы тёмного солитона эта неустойчивость порождает набор вихрей.
В случае же полосы векторного солитона поперечная неустойчивость
оказывается ещё более интересной. Действительно, если полоса
векторного солитона создаётся фундаментальными модами, она
распадается на набор двумерных векторных солитонов (см. [165]). Однако, если
полоса состоит из взаимно связанных фундаментальных мод и мод
первого порядка, может быть вызван распад квазиодномерного векторного
солитона на набор векторных солитонов дипольного типа [168]. Этот
эффект предоставляет дополнительное свидетельство чрезвычайной
устойчивости векторного солитона дипольного типа; применительно
к рассмотрению их динамики можно считать, что они напоминают
«молекулы света».
Любое исследование модуляционной неустойчивости использует
линейный анализ устойчивости. Для изотропной керровской среды
необходимо линеаризировать (9.6.1) и (9.6.2) и решить получающуюся
систему линейных уравнений при использовании асимптотического
анализа. Такой подход показывает, что полосы векторных солитонов
действительно поперечно неустойчивы, а инкремент (или коэффициент
усиления) д этой неустойчивости даётся выражением д(р) = ру/2/р,+,
где р — волновое число поперечного возмущения и /х+ —
положительное собственное значение функциональной матрицы. Эта матрица была
введена ранее в (9.3.11) и имеет компоненты Uij = dPi/dfy, где г, j = 1
оо
и 2, Pi = j \Ui\2dx — сохраняющаяся мощность г-й компоненты
—оо
и ft - соответствующая постоянная распространения. На рис. 9.23
показан инкремент д(р), полученный численно (кружки). Штриховая
прямая отвечает результатам асимптотического анализа, справедливого
при малых значениях р. Сплошная линия указывает простую
аппроксимацию численных результатов вида д = ар(\ — р/рСг)/2 при а = 0,89
и Рсг = 1,36.
Для исследования поперечной неустойчивости двух
некогерентно связанных пучков в фоторефрактивной среде необходимо
решить (9.6.22) и (9.6.23) численно методом расщепления. Чтобы найти
полосу векторного солитона с компонентами U\(x) и U\(x)y сначала эти
уравнения решаются без члена с производной по у. Затем учитываются

9.7. Поперечная модуляционная неустойчивость 393
производные по у и те же уравнения решаются с начальными данными,
отвечающими полосе векторного солитона с поперечным возмущением:
U{{x,y,0) = [l+eq{x,y)]Ui(x),
(9.7.1)
Щ(х,у,0) = и2(х),
где q(x,y) представляет шум с амплитудой е ~ 10~5.
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4
Р
Рис. 9.23. Инкремент д(р)
поперечной неустойчивости, найденный
численно (кружки) и аналитически
асимптотическим методом
(штриховая прямая). Сплошная кривая
показывает простую аппроксимацию
численных результатов [168]
Рис. 9.24. Экспериментальное
наблюдение поперечной модуляционной
неустойчивости полосы векторного
солитона. Мощность на входе для
верхней и нижней компонент
составляет 20 и 8 мкВт,
соответственно [168]
Для наблюдения поперечной неустойчивости использовалась та же
экспериментальная установка, схема которой приведена на рис. 9.21,
но с заменой сферических линз на набор цилиндрических, так что два
входных пучка были столь широки в одном поперечном направлении,
что формировали полосу векторного солитона при распространении
в кристалле. На рис. 9.24 показан пример картины, наблюдаемой на
выходе кристалла. Изображения ПЗС-камеры представляют
распределение интенсивности, наблюдаемое для фундаментальной (сверху)
и дипольной (внизу) компонент после прохождения кристалла SBN
длиной 15 мм. Отметим, что оба пучка распадаются на двумерные
векторные солитоны. Кроме того, более слабая компонента распадается на
набор векторных солитонов дипольного типа. Эти дипольные солитоны
создаются вертикально вдоль направления приложенного
электрического поля. Представляется, что анизотропия только слабо влияет и на
начальный распад полосы, и на формирование набора диполей. В
результате основные качественные свойства хорошо отражаются даже
изотропной моделью.

394
Гл. 9. Векторные солитоны
9.8. Тёмные векторные солитоны
До сих пор в этой главе мы изучали светлые векторные солитоны.
Как обсуждалось в разделе 9.1, можно создать векторные солитоны,
одна или несколько компонент которых отвечают тёмному солитону.
Во временном случае возможность разных знаков дисперсионного
члена (нормальная или аномальная дисперсия) приводит к нескольким
различным комбинациям пар светлых и тёмных солитонов,
формирующих векторный солитон. В этом разделе мы рассмотрим несколько
типов векторных солитонов, связанных с тёмными солитонами.
9.8.1. Стенки поляризационных доменов. Интересный класс
векторных солитонов в форме двух связанных солитонов типа
фронта может формироваться при нелинейном взаимодействии двух
ортогонально поляризованных компонент в изотропной среде [169-175].
Солитон типа фронта представляет фронт волны, амплитуда которой
резко меняется в узкой области, но амплитуда не стремится к нулю
при х —► ±оо. Такой солитон называют иногда доменной стенкой, так
в нём разделяются две пространственно различные области.
Математически векторные солитоны типа доменной стенки
также описываются (9.4.9) и (9.4.10). Если вместо компонент
линейной поляризации использовать компоненты круговой поляризации
с U± = (U\ ±гС/2)/л/2, мы получим следующую систему двух
связанных НУШ [171]:
г^ ± I ^± + (|С/+|2 + v\U-\*)U+ = 0, (9.8.1)
1Щг±Х2^г+(|с/-12+а\и^и-=°- (9-8-2)
где а = (1 4- В)/{\ - В) — коэффициент связи. Эти уравнения могут
также описывать временной случай импульсов, распространяющихся
в волоконном световоде с высоким двулучепреломлением [2]. Выбор
знака минус отвечает нормальной дисперсии во временном случае или
среде с самодефокусировкой в пространственном случае.
Простейшее решение (9.8.1) и (9.8.2) имеет вид пучка линейно
поляризованного непрерывного излучения, так что
U+ = U. = y/F0 exp [г(1 + *)/%*], (9.8.3)
где Ро — начальная мощность пучка. Линейный анализ устойчивости
этого решения был выполнен ещё в 1970 г., и было найдено, что
стационарное решение неустойчиво [4]. Если ввести возмущение решения
U± = (у/Ъ +а±)ехр[г(1 +аЩг], (9.8.4)
линеаризовать (9.8.1) и (9.8.2) при малых возмущениях а± и искать
решение в форме а± = b± exp (Az) cos (fix), для определения собственных

9.8. Тёмные векторные солитоны
395
значений А мы получим алгебраическое уравнение четвёртой степени.
В случае среды с самодефокусировкой один из корней (собственных
значений) этого уравнения может стать отрицательным при высоких
мощностях. Этот корень даётся выражением
А, = Пу/(а-1)Р0-№/4. (9.8.5)
Максимальный инкремент такой модуляционной
неустойчивости Атах = (сг - 1)Р0 достигается при пространственной частоте
fim = [2(<7 - 1)Ро]1^2- Этот вид модуляционной неустойчивости
возникает в режиме нормальной дисперсии в среде с самофокусировкой
и называется поляризационной неустойчивостью. Отметим, что
неустойчивость отсутствует при а < 1.
Как обсуждалось в гл. 1, модуляционная неустойчивость всегда
связана с существованием локализованных солитоноподобных
решений. Действительно, скалярные светлые солитоны связаны с
модуляционной неустойчивостью скалярного НУШ. Привлекая эту аналогию,
естественно искать векторные солитоны, связанные с (9.8.1) и (9.8.2),
в случае, когда перед членом со второй производной стоит знак
минус [3]. Действительно, Хаелтерман и Шеппард нашли в 1994 г. так
называемые стенки поляризационных доменов как векторные
солитоны, связанные с этим типом поляризационной неустойчивости [21].
Как обычно, для нахождения векторных солитонов мы ищем
локализованные решения (9.8.1) и (9.8.2) в форме [21]
t/+(x, z) = u(x)ei(3z, C/_(x, z) = v{x)e^\ (9.8.6)
где функции и(х) и v(x) вещественны и (3 — постоянная
распространения. При этой подстановке (9.8.1) и (9.8.2) сводятся к следующим
связанным обыкновенным дифференциальным уравнениям:
* Щ = -ри + и* + av2Uj (9.8.7)
2 dx
*±l = -pv + v* + au2v. (9.8.8)
^ dx
В общем случае необходимо решать эти два уравнения численно.
Физическую картину можно представить, привлекая механическую
аналогию, для чего заметим, что те же уравнения описывают движение
частицы (единичной массы) в плоскости (u,v), если частица
подвержена действию силы с потенциалом
U(u, v) = Р(и2 + v2) - I (и4 + v4) - <n/V. (9.8.9)
Солитонные решения отвечают траекториям — сепаратрисам этого
потенциала. Сепаратрисы соединяют пары максимумов, соответствую-

396
Гл. 9. Векторные солитоны
щих тёмным солитонам с левой и правой круговыми поляризациями
и амплитудами
и(х) = у/р th{y/J3x), v(x) = О,
v(x) = у/р th (у/0х), и(х) = 0.
(9.8.10)
(9.8.11)
Сепаратриса, соединяющая пару противоположных седловых точек,
соответствует тёмным солитонам с линейной поляризацией и
амплитудами
и(х) = ±v{x) = y/p/{l + a) th{y/J3x). (9.8.12)
Сепаратрисы, соединяющие соседние максимумы потенциала U(u,v),
можно найти только численно при каждом значении сг. Они отвечают
векторным солитонам типа фронта, примеры которых показаны на
рис. 9.25 для четырёх значений а. Решение такого типа соединяет
две области, отвечающие устойчивым состояниям с ортогональными
поляризациями в керровской среде; поэтому его называют стенкой
поляризационного домена. Оно описывает изменение эллиптичности
поляризации света от q = +1 до q = — 1, где q определяется как
q = (и - v)/(u + v). Отметим, что q = 0 отвечает линейно
поляризованному оптическому излучению.
1
0,5
и
V ч
б
1
1
0,5
L _ и
\ f^
\ J
J \
в
—J
о»5 г
-5
-5
Рис. 9.25. Огибающие и(х) и v(x) стенки поляризационного домена, найденные
численно при сг = 1,2 (а), 2 (б), 7 (в) и 40 (г). Во всех случаях 0 = 1
Выводы на основе (9.8.7) и (9.8.8) были проверены численным
решением (9.8.1) и (9.8.2) [21]. Результаты подтверждают, что такие
решения действительно существуют и устойчивы. Стенку
поляризационного домена можно рассматривать как предельный случай
периодического решения, и её можно интерпретировать как уединённую волну,
связанную с поляризационной неустойчивостью. Доменные стенки
известны также в других областях. Двумя примерами служат, во-первых,

9.8. Тёмные векторные солитоны
397
доменные стенки, разделяющие конвективные структуры с различной
симметрией, описываемые двумя связанными уравнениями Гинзбурга-
Ландау [176, 177], и, во-вторых, щелевые солитоны, разделяющие
различные стоячие волны в дискретной решётке [178, 179].
Экспериментально стенки поляризационных доменов наблюдались
при смешении двух интенсивных встречных лазерных пучков в
нелинейном изотропном диэлектрике [180] и в результате
модуляционной неустойчивости в двумодовом световоде с нормальной
дисперсией [181].
9.8.2. Векторные солитоны, созданные оптическими вихрями.
Как описано в гл. 8, вихревые солитоны являются тёмными солитона-
ми, самозахваченными в двух пространственных измерениях и
обладающими фазовой сингулярностью [182]. Понятие вихревых солитонов
можно обобщить на случай векторных солитонов [183-185], но более
интересное обобщение связано с волноводными свойствами вихревых
солитонов. Действительно, вихревые солитоны, подобно светлым со-
литонам, создают волноводы, которые могут удерживать и направлять
другой пучок, что приводит к перестраиваемой чисто оптической схеме.
Тёмные солитоны и вихри более привлекательны для волноводных
приложений из-за их большей устойчивости и управляемости. В частности,
продемонстрировано, что оптические вихри могут использоваться для
захвата малых частиц [186]. Численые и аналитические результаты
указывают, что хотя большая часть волноводных свойств вихрей
аналогична таковым для планарных тёмных солитонов, возможны также
некоторые новые свойства.
Рассмотрим два некогерентно связанных пучка непрерывного
излучения с различными частотами и>\ и с^2, распространяющихся в самоде-
фокусировочной керровской среде. Их эволюция описывается (9.1.12)
и (9.1.13). Эти уравнения можно записать в следующей форме,
заметив, что dj и jj (j = 1,2) зависят от несущей частоты пучков [187]:
*1г + (S1 + w) ~(тГ W+am2)Ul = °' (9813)
ш+Ш+Ш)±№|2+а|г/,№=°- (9-8Л4)
где ц^иЦш] и x = U2/u>\. Для самодефокусировочной среды
нелинейные члены отрицательны. Те же уравнения описывают
взаимодействие двух пучков с ортогональными поляризациями с совпадающей
частотой, если положить г) = х = 1. Для фоторефрактивной среды
нелинейные члены могут иметь противоположные знаки для двух
поляризационных компонент [188]. Мы допускаем такую возможность
посредством выбора знака, так что компонента С/г может испытывать
и дефокусировку, и фокусировку.

398
Гл. 9. Векторные солитоны
Чтобы найти векторные солитоны, создаваемые оптическими
вихрями, рассмотрим ситуацию, в которой U\ отвечает вихревому соли-
тону, а С/г описывает либо фундаментальную моду, либо моду первого
порядка волновода, наведённого вихрем. Поэтому мы ищем осесиммет-
ричные решения (9.8.13) и (9.8.14) в виде
Ut(R,(p\z) = T){/2B0u(R)e-iB°2zein*, (9.8.15)
U2(R,<p\z) = 7T1/2Bo^fl)e-i(A/x)B°Vm*, (9.8.16)
где Во — фоновое поле, связанное с вихрем, R = у/х2 + у2, апит-
топологические заряды. Переходя в (9.8.13) и (9.8.14) к
цилиндрическим координатам, получим следующие связанные уравнения для
вещественных функций и w v\
^+lrt-7u + u-[u2 + i(T/T,)v2]u = 0' (9817)
^+lrfr-^V + Xv±[v2 + ^ = °- (9'8Л8)
где г = RBo- Мы полагаем п = ±1, рассматривая вихрь единичного
заряда.
Для любых а, г/ и Л уравнение (9.8.17) допускает решение в форме
скалярного вихревого солитона с и = щ(г) и v = 0. При
фиксированных значениях а и 7] семейство векторных солитонов, для
которых v ф 0, описывается единственным параметром А. При Н/|гх| <С 1
уравнение (9.8.18) для v(r) отвечает линейной задаче на
собственные значения с эффективным потенциалом, созданным вихрем. Если
нелинейный член отрицателен, то потенциал притягивающий и он
может поддерживать пространственно локализованные решения как
направляемые моды волновода, наведённого вихрем, причём каждая
из них появляется после значения отсечки А. Если нелинейный член
положителен, то потенциал отталкивателъный и в линейном пределе
волноводное распространение невозможно.
Теперь остановимся на случае притягивающего потенциала, когда
возможны направляемые моды. При возрастании амплитуды
направляемой моды приближение линейного волновода становится
неприменимым. В таком нелинейном режиме направляемая мода столь
интенсивна, что она деформирует наведённый вихрем волновод и вместе
с вихрем они формируют составной векторный солитон [189]. Для
нахождения таких солитонов нужно численно решить (9.8.17) и (9.8.18)
с такими граничными условиями, что и —* 1 и v —► 0 при г —► оо. Были
найдены многочисленные решения, и они классифицировались по
порядку направляемой моды [190]. На рис. 9.26 представлены несколько
примеров при т = 0, то есть когда вихрь направляет фундаментальную
моду волновода. Показана также область существования таких реше-

9.8. Тёмные векторные солитоны
399
ний на плоскости параметров (А,сг), а точки от (а) до (г) отвечают
четырём представленным примерам.
5
4
ь
1
5 3
b
1 2
•в-
3
1
г ' • /
; 1 / /
1 //
1 //
1 //
шв б а /
."• • fy
: i у
.' г
^ 1 1_
Параметр солитона Л
и, v
Рис. 9.26. Область существования (заштрихована) для фундаментальной моды,
направляемой вихрем. Чёрные кружки отвечают четырём примерам,
представленным внизу. Сплошная и штрих-пунктирная кривые показывают отсечку
моды, найденную численно и вариационным методом, соответственно.
Штриховая кривая указывает параметры, при которых амплитуда направляемой моды
сравнивается с фоном [137]
В плоскости (А, а) отсечка фундаментальной моды характеризуется
кривой <т(А), изображённой сплошной жирной линией на рис. 9.26.
Вблизи этой кривой амплитуда направляемой моды мала, что отвечает
режиму линейного волновода. Линеаризуя (9.8.17) и (9.8.18) около
вихревого решения, можно получить следующие два связанные уравнения:
d?uo I du0 п2 ,3л
агг г dr r
т
cPv 1 dv
dr2 r dr r2
v — Xv + ul(r)v = О,
(9.8.19)
(9.8.20)

400
Гл. 9. Векторные солитоны
Эффективный волноводный потенциал для компоненты v зависит от
формы вихря щ, явный вид которой неизвестен. Поэтому задачу на
собственные значения для моды v(r) нельзя решить аналитически.
Однако, используя стандартный вариационный метод, можно получить
оценку отсечки.
В вариационном методе мы фиксируем форму вихря, используя
простую пробную функцию щ(г) = thn(ar). Учитывая, что (9.8.19)
имеет лагранжиан
ь« = г{^)2 + 7^ + Г2{1 + и2°)2' (9-8'21)
мы найдём усреднённый лагранжиан
оо
(L) = а~х I Lu(x)dx,
о
где х = аг. Варьирование (L) по а приводит к следующему выражению
для параметра а:
оо
а= Ц [х[1 -th2n{x)]2dx\. (9.8.22)
Этот вариационный результат служит разумным приближением к
численному решению при п ^ 3. При его использовании форма
эффективного потенциала, созданного вихрем с единичным зарядом (п = 1),
оказывается равной u\(r) = th2(0,554r) « 1 - ехр(—г2/4). Подставив
это выражение в (9.8.20), можно получить следующее простое
аналитическое выражение для отсечки:
а = JL [1 + 24А + 16А2 - (1 - 4А)3/2 sign(l - 4А)] . (9.8.23)
Этот результат хорошо согласуется с найденным численно значением
отсечки, как это видно из рис. 9.26.
Свойства наведённых вихрем волноводов и соответствующих
векторных солитонов различаются в зависимости от того, а < 2 или же
с > 2. При а > 2 амплитуда направляемой моды растёт при
убывании А. В результате амплитуда направляемой моды достигает
фонового значения вихря далеко от точки отсечки (штриховая кривая на
рис. 9.26) и спадает ниже фонового значения до того, как решение
исчезает (пунктирная кривая на рис. 9.26). Вблизи этого предела
решение отвечает типу стенки поляризационного домена [190]. При а < 2
сценарий аналогичен, если А возрастает, но амплитуда моды никогда
не достигает уровня фона до того, как решение исчезает на другой
границе штриховой кривой на рис. 9.26. В случае самофокусировочной
нелинейности ограниченные моды вихревого антиволновода не могут

Список литературы
401
существовать в линейном режиме (\v\ <C \и\). Однако, численные
результаты приводят к выводу, что при больших интенсивностях светлой
компоненты возможно взаимное каналирование [137]. Этот эффект
аналогичен существующему в нелинейных антиволноводах в
присутствии внешнего потенциала [191].
Список литературы
1. Crosignani В., Di Porto P. // Opt. Lett. 1981. V. 6. P. 329; J. Opt. Soc. Am.
B. 1982. V. 72. P. 1136.
2. Menyuk C.R. II IEEE J. Quantum Electron. 1989. V. 25. P. 2674.
3. Agrawal G.P. Nonlinear Fiber Optics, 3rd ed. — San Diego: Academic,
2001. [Имеется перевод: Агравал Г. Нелинейная волоконная оптика. —
М.: Мир, 1996.]
4. Берхоер А.Л., Захаров В.Е. // ЖЭТФ. 1970. Т. 58. С. 903.
5. Манате СВ. // ЖЭТФ. 1974. Т. 67. С. 543.
6. Tratnik М. V, Sipe J.E. // Phys. Rev. A. 1988. V. 38. P. 2011.
7. Christodoulides D.N., Joseph R.I. // Opt. Lett. 1988. V. 13. P. 53.
8. Haelterman M., Sheppard A.P., Snyder A. W. // Opt. Lett. 1993. V. 18.
P. 1406.
9. Haelterman M., Sheppard A. P. // Phys. Rev. E. 1994. V. 49. P. 3376; Phys.
Lett. A. 1994. V. 194. P. 191.
10. Segev Af.f Valley G. C, Singh S.R. et al. // Opt. Lett. 1995. V. 20. P. 1764.
U.Afanasjev V.V., Kivshar Yu.S., Konotop V.V., Serkin V.N. // Opt. Lett.
1989. V. 14. P. 805.
12. Afanasjev V V, Dianov E.M., Serkin V.N. // IEEE J. Quantum Electron.
1989. V.25. P. 2656.
13. Lisak ЛГ, H66k A., Anderson D. // J. Opt. Soc. Am. B. 1990. V. 7. P. 810.
14. Wang L., Yang CC II Opt. Lett. 1990. V. 15. P. 474.
15. Hong B.J., Yang C.C, Wang L. // J. Opt. Soc. Am. B. 1991. V. 8. P. 464.
16. Kivshar Yu.S. // Opt. Lett. 1992. V. 17. P. 1322.
17. Buryak A. V., Kivshar Yu.S., Parker D.F. // Phys. Lett. A. 1996. V.215.
P. 57.
18. Trillo 5., Wabnitz S., Wright E.M., Stegeman G. // Opt. Lett. 1988. V. 13.
P. 871.
19. Kivshar Yu.S., Turitsyn S.K. // Opt. Lett. 1993. V. 18. P. 337.
20. Haeltreman M., Sheppard A. P. // Phys. Rev. E. 1994. V. 49. P. 4512.
21. Haelterman Л1, Sheppard A. P. //Phys. Lett. A. 1994. V. 185. P. 265.
22. Tran H Т., Sammut R.A. // Opt. Commun. 1995. V. 119. P. 583.
23. Radhakrishnan R.f Lakshmanan M. // J. Phys. A 1995. V. 28. P. 2683.
24. Sheppard A.P., Kivshar Yu.S. // Phys. Rev. E. 1997. V. 55. 4773.
25. Seve £., Millot G., Wabnitz S. // Opt. Lett. 1998. V. 23. P. 1829.
26. Inoue Y. II J. Plasma Phys. 1976. V. 16. P. 439.
27. Shalaby M., Barthelemy A.J. // IEEE J. Quantum Electron. 1992. V. 28.
P. 2736.

402
Гл. 9. Векторные солитоны
28. Carvalho M.I., Singh S.R., Christodoulides D.N., Joseph R.I. // Phys. Rev.
E. 1996. V.53. R53.
29. Chen Z., Segev M., Coskun Т.Н. et al. // Opt. Lett. 1996. V. 21. P. 1821.
30. Keqing L., Shixing Q., Wei Z. et al. // Opt. Commun. 2002. V. 209. P. 437.
31. Agrawal G.P. Applications of Nonlinear Fiber Optics. — San Diego:
Academic Press, 2001. Chap. 2.
32. Manassah J. T. // Opt. Lett. 1990. V. 15. P. 670.
33. Manassah J. T. // Opt. Lett. 1991. V. 16. P. 587.
34. De La Fuente /?., Barthelemy A, Froehly С // Opt. Lett. 1991. V. 16.
P. 793.
35. De La Fuente R., Barthelemy A. // IEEE J. Quantum Electron. 1992. V. 28.
P. 547.
36. Аскарьян Г. А. // ЖЭТФ. 1962. Т. 42. С. 1567.
37. Snyder A. W.y Love D.J. Optical Waveguide Theory. — London: Chapman and
Hall, 1983. [Имеется перевод: Снайдер А.В., Лав Д. Д. Теория оптических
волноводов. — М.: Мир, 1987.]
38. Kang J. U., Stegeman С./., Aitchison J.S. // Opt. Lett. 1995. V. 20. P. 2069.
39. Morin M., Duree G., Salamo G., Segev M. // Opt. Lett. 1995. V. 20. P. 2066.
40. Shih M.t Chen Z, Mitchell M. et al. // J. Opt. Soc. Am. B. 1997. V. 14.
P. 3091.
41. Lan S., DelRe £., Chen Z. et al. // Opt. Lett. 1999. V. 24. P. 475.
42. Lan S., Shih Л1, Mizell G. et al. // Opt. Lett. 1999. V. 24. P. 1145.
43. Lan S., Anastassiou C, Segev M. et al. // Appl. Phys. Lett. 2000. V. 77.
P. 2101.
44. Fazio £., Zitelli Af., Bertolotti M. et al. // Opt. Commun. 2000. V. 185.
P. 331.
45. Klotz M., CrosserM., Guo A. et al. // Appl. Phys. Lett. 2001. V. 79. P. 1423.
46. Guo A., Henry M, Salamo G.J. et al. // Appl. Phys. Lett. 2001. V. 26.
P. 1274.
47. Lan 5., GiordmaineJ.A., Segev Af., Rytz D. // Opt. Lett. 2002. V. 27. P. 737.
48. Torres-Cisneros G.E., Sanchez-Mondragon J.J., Vysloukh V.A. //Opt. Lett.
1993. V. 18. P. 1299.
49. Luther-Davies В., Yang X. // Opt. Lett. 1992. V. 17. P. 496; Opt. Lett. 1992.
V. 17. P. 1775.
50. Makhankov V.G., Makhaldiani N. K, Pashaev O.K. // Phys. Lett. A. 1981.
V.81. P. 161.
51. De La Fuente /?., Barthelemy A. // Opt. Commun. 1992. V. 88. P. 419.
52. Florjanczyk Л1, Tremblay R. II Phys. Lett. A. 1989. V. 141. P. 34.
53. Hioe F. T. II Phys. Lett. A. 1997. V. 234. P. 351; Phys. Rev. E 1997. V. 56.
P. 2373; Phys. Rev. E 1998. V. 58. P. 6700.
54. Hasegawa A. // Opt. Lett. 1980. V. 5. P. 416.
55. Agrawal G.P. Fiber-Optic Communication Systems, 3rd ed.' — N. Y.: Wiley,
2002. Chap. 9.
56. Bergman L.A., Mendez A.J., Lome L.S. // SPIE Crit. Rev. 1996. V. CR62,
P. 210.
57. Yeh C, Bergman L. // J. Appl. Phys. 1996. V. 80. P. 3174; Phys. Rev. E
1998. V.57. P. 2398.

Список литературы
403
58. Bergman L., Morookian J., Yeh С // J. Lightwave Technol. 1998. V. 16.
P. 1577.
59. Yeh C, Berman L., Morookian J., Monacos S. // Phys. Rev. E. 1998. V. 57.
6135.
60. Yeh C, Bergman L. // Phys. Rev. E. 1999. V. 60. P. 2306.
61. Ostrovskaya E.A., Kivshar Yu.S., Mihalache D., Crasovan L.-C. // IEEE
J. Sel. Topics Quantum Electron. 2002. V. 8. P. 591.
62. Hioe F. T. // Phys. Rev. Lett. 1999. V. 82. P. 1152.
63. Nakkeeran K. // Phys. Rev. E. 2000. V. 62. P. 1313.
64. Nogami Y, Warke CS. // Phys. Lett. A. 1974. V. 59. P. 251.
bb.Petnikova V.M., Shuvalov KK, Vysloukh V.A. // Phys. Rev. E. 1999.
V. 60. P. 1009.
66. Q-Han Park, Shin H.J., Kim J. // Phys. Lett. A. 1999. V. 263. P. 91.
67. Sukhorukov A. A., Akhmediev NN. // Phys. Rev. Lett. 1999. V. 83. P. 4736.
68. Ахмедиев H.H., Елеонский В.М., Кулагин Н.Е., Шильников Л.П. //
Письма в ЖТФ. 1989. Т. 15. С. 19.
69. Елеонский В.М., Королев В.Г., Кулагин Н.Е., Шильников Л.П. //
ЖЭТФ. 1991. Т. 99. С. 1113.
70. Pelinovsky D.E., Kivshar Yu.S. // Phys. Rev. E. 2000. V. 62. P. 8663.
71. Grillakis M., Shatah J., Strauss W. // J. Funct. Anal. 1987. V. 74. P. 160.
72. Grillakis M. // Comm. Pure Appl. Math. 1988. V. 41. P. 747.
73. Grillakis M. // Comm. Pure Appl. Math. 1990. V. 43. P. 299.
74. Grillakis M., Shatah J., Strauss W. // J. Funct. Anal. 1990. V. 94. P. 308.
75. Kivshar Yu.S. // J. Opt. Soc. Am. B. 1990. V. 7. P. 2204.
76. Mesentsev V.K., Turitsyn S.K. // Opt. Lett. 1992. V. 17. P. 1497.
77. Cao X.D., McKinstrie C.J. // J. Opt. Soc. Am. B. 1993. V. 10. P. 1202.
78. Hutchings D.C., Aitchison J.S., Wherrett B.S. et al. // Opt. Lett. 1995.
V.20. P. 991.
79. Aitchison J. 5., Hutchings D. С, Kang J.U. et al. // IEEE J. Quantum
Electron. 1997. V. 33. P. 341.
80. De Sterke C.M.y Sipe J.E. // J. Opt. Soc. Am. A. 1990. V. 7. P. 636.
81. De Sterke СМ., Sipe J.E. // Opt. Lett. 1991. V. 16. P. 202.
82. Akhmediev NN., Ankiewicz A. Solitons: Nonlinear Pulses and Beams. —
London: Chapman and Hall, 1997. Chap. 7. [Имеется перевод:
Ахмедиев H.H., Анкиевич А. А. Солитоны: нелинейные импульсы и пучки. — М.:
Физматлит, 2003.]
83. Shang С. С, Hsu Н // IEEE J. Quantum Electron. 1987. V. QE-23. P. 177.
84. Frey /., Frey /?., Flytzanis С et al. // J. Opt. Soc. Am. B. 1992. V. 9. P. 132.
85. Hutchings D.S., Aitchison У.5., Arnold J.M. // J. Opt. Soc. Am. B. 1997.
V. 14. P. 869.
86. Villeneuve A, Kang J. U., Aitchison У.5., Stegeman G.I. // Appl. Phys. Lett.
1995. V.67. P. 760.
87. Hutchings DC, Wherrett B.S. // Phys. Rev. B. 1995. V. 52. P. 8150.
88. Chen K, Atai J. // Opt. Lett. 1994. V. 19. P. 1287.
89. Lundquist P.B., Andersen DR. // J. Opt. Soc. Am. B. 1997. V. 14. P. 87.
90. Lundquist P. В., Andersen DR., Kivshar Yu.S. // Phys. Rev. E. 1998. V. 57.
3551.

404
Гл. 9. Векторные солитоны
9\.Sammut R.A., Buryak A.V., Kivshar Yu.S. // Opt. Lett. 1997. V. 22.
P. 1385; J. Opt. Soc. Am. B. 1998. V. 15. P. 1488.
92. Wang D., Bardie Я., Rivoire G. II J. Opt. Soc. Am. B. 1998. V. 15. P. 2731.
93. Blow K.J., Doran N.J., Wood D. // Opt. Lett. 1987. V. 12. P. 202.
94. Anderson D., Kivshar Yu.S., Lisak M. // Physica Scripta. 1991. V.43.
P. 273.
95. Akhmediev N.N, Soto-Crespo J.M. // Phys. Rev. E. 1994. V. 49. P. 5742.
96. Akhmediev NN., Butyak A., Soto-Crespo J.M. // Opt. Commun. 1994.
V. 112. P. 278.
97. Akhmediev N.N., Buryak A. V., Soto-Crespo J.M. et al. // J. Opt. Soc. Am.
B. 1995. V. 12. P. 434.
98. Soto-Crespo J.M., Akhmediev NN, Ankiewicz A. // J. Opt. Soc. Am. B.
1995. V. 12. P. 1100; Phys. Rev. E. 1995. V.51. P. 3547.
99. Kang J.U., Stegeman G.I., Aitchison J.S., Akhmediev NN // Phys. Rev.
Lett. 1996. V. 76. P. 3699.
100. Winful H.G. II Opt. Lett. 1986. V. 11. P. 33.
101. Tratnik M. V., Sipe J.E. // Phys. Rev. A. 1988. V. 38. P. 2011.
102. Mihalache D., Mazilu D., Tomer L. // Phys. Rev. Lett. 1998. V. 81. P. 4353.
103. Mihalache D., Mazilu D., Crasovan L.-C. // Phys. Rev. E. 1999. V.60.
P. 7504.
104. Ostrovskaya E.A.y Akhmediev N.N, Stegeman G.J. et al. // J. Opt. Soc.
Am. B. 1997. V. 14. P. 880.
105. Press W.H.y Teukolsky S.A., Vetterling W.T., Flannery B.P. Numerical
Recipes in C: The Art of Scientific Computing. — Cambridge: Cambridge
University Press, 1992.
106. Ландау Л. Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская
теория. - М.: Наука, 1989.
107. Yang J. II Physica D. 1997. V. 108. P. 92.
108. Dowling R.J. H Phys. Rev. A. 1990. V. 42. P. 5553.
109. Evangelides S.G.t Mollenauer L.F., Gordon J. P. et al. // J. Lightwave
Technol. 1992. V. 10. P. 28.
110. Born M., Wolf E. Principles of Optics. — N. Y.: Cambridge University Press,
1999). [Имеется перевод: Борн М., Вольф Э. Основы оптики. — М.:
Наука, 1970.]
111. Kang J. U., Stegeman G./., Aitchison J.S. // Opt. Lett. 1996. V. 21. P. 189.
112. Kang J. U., Aitchison J.S., Stegeman G.J., Akhmediev NN. // Opt. Quantum
Electron. 1998. V. 30. P. 649.
113. Aitchison У.5., Hutchings D.C., Arnold J.M. et al. // J. Opt. Soc. Am. B.
1997. V. 14. P. 3032.
114. Friedrich L., Malendevich /?., Stegeman G.J. et al. // Opt. Commun. 2000.
V. 186. P. 335.
115. Malendevich /?./?., Friedrich L., Stegeman G.J. et al. // J. Opt. Soc. Am.
B. 2002. V. 19. P. 695.
116. Christodoulides D.N, Singh S.R., Calvalho M.J., Segev M. // Appl. Phys.
Lett. 1996. V.68. P. 1763.
117. Mitchell M., Segev M, Christodoulides D.N. // Phys. Rev. Lett. 1998. V. 80.
P. 4657.

Список литературы
405
118. Snyder A. W., Kivshar Yu.S. // J. Opt. Soc. Am. B. 1997. V. 14. P. 3025.
119. Kutuzov V., Petnikova V.M., Shuvalov V. K, Vysloukh V.A. // Phys. Rev.
E. 1998. V. 57. 6056.
120. Ostrovskaya £., Kivshar Yu.S., Skryabin D., Firth W.J. // Phys. Rev. Lett.
1999. V.83. P. 296.
121. Snyder A. W., Hewlett S.J., Mitchell D.J. // Phys. Rev. Lett. 1994. V. 72.
P. 1012.
122. Silberberg K, Barad Y. // Opt. Lett. 1995. V. 20. P. 246.
123. Yang J., Benney D.J. // Stud. Appl. Math. 1996. V. 96. P. 111.
124. Yang J. II Physica D. 1997. V. 108. P. 92.
125. Barad Y, Silberberg Y. // Phys. Rev. Lett. 1997. V. 78. P. 3290.
126. Kochaert P., Haelterman M. // J. Opt. Soc. Am. B. 1999. V. 16. P. 732.
127. Yew A.C., Sandstede В., Jones C.K.R.T. // Phys. Rev. E. 2000. V.61.
P. 5886.
128. Cambournac C, Sylvestre Т., Maillotte H. et al. // Phys. Rev. Lett. 2002.
V. 89. 083901.
129. Musslimani Z.H., Segev M., Christodoulides D.N., Soljadid M. // Phys.
Rev. Lett. 2000. V. 84. P. 1164.
130. MalmbergJ.N., Carlsson A.H., Anderson D. et al. // Opt. Lett. 2000. V. 25.
P. 643.
131. Carmon Т., Uzdin R., Pigier С et al. // Phys. Rev. Lett. 2001. V. 87. 14309.
132. Boyd R. W. Nonlinear Optics. — San Diego: Academic Press, 1992.
133. Anderson D. // Phys. Rev. A. 1983. V. 27. P. 3135.
134. Hayata K., Koshiba M. // Opt. Lett. 1994. V. 19. P. 1717.
135. Buryak A. V., Kivshar Yu.S., Shih M., Segev M. // Phys. Rev. Lett. 1999.
V.82. P. 81.
136. Gagnon L., Pare С // J. Opt. Soc. Am. A. 1991. V. 8. P. 601.
137. MalmbergJ.N., Carlsson A.H., Anderson D. et al. // Opt. Lett. 2000. V. 25.
P. 643.
138. Garcia-Ripoll J.J.y Perez-Garcia K, Ostrovskaya E.A., Kivshar Yu.S. //
Phys. Rev. Lett. 2000. V. 85. P. 82.
139. Desyatnikov A.S., Neshev D., Ostrovskaya E.A. et al. // J. Opt. Soc. Am.
B. 2002. V. 19. P. 586.
140. Desyatnikov A.S.t Kivshar Yu.S., Motzek K. et al. // Opt. Lett. 2002. V. 27.
P. 634.
141. Motzek K., Kaiser F., Weilnau С et al. // Opt. Commun. 2002. V. 209.
P. 501.
142. Tikhonenko K, Christou /., Luther-Davies B. // Phys. Rev. Lett. 1996.
V. 76. P. 2698; J. Opt. Soc. Am. B. 1995. V. 12. P. 2046.
143. Firth W.J., Skryabin D. V. // Phys. Rev. Lett. 1997. V. 79. P. 2450.
144. Skryabin D. K, Firth W.J. // Phys. Rev. E. 1998. V. 58. 3916.
145. Desyatnikov A.f Neshev D., Ostrovskaya E. et al. // Opt. Lett. 2001. V. 26.
P. 435.
146. Barthelemy A., Froehly C, Shalaby M. // Proc. SPIE. 1994. V. 2041. P. 104.
147. Soljadid M., Sears 5., Segev M. // Phys. Rev. Lett. 1998. V. 81. P. 4851.
148. Zozulya A.A., Anderson D.Z. // Phys. Rev. A. 1995. V. 51. P. 1520.

406
Гл. 9. Векторные солитоны
149. Zozulya A. A., Anderson D.Z., Mamaev A. V.t Saffman М. // Phys. Rev. A.
1998. V.57. P. 522.
150. Krolikowski W.y Saffman M, Luther-Davies В., Denz С // Phys. Rev. Lett.
1998. V.80. P. 3240.
151. Neshev D., McCarthy G., Krolikowski W. et al. // Opt. Lett. 2001. V. 26.
P. 1185.
152. Krolikowski W., Ostrovskaya E.A., Weinau C. et al. // Phys. Rev. Lett.
2000. V. 85. P. 1424.
153. Carmon Г., Anastassiou C, Lan S. et al. // Opt. Lett. 2000. V. 25. P. 1113.
154. Iturbe-Castillo M.D., Marquez-Aguilar P.A., Sanchez-Mondragon J.J.
et al. H Appl. Phys. Lett. 1994. V. 64. P. 408.
155. Segev M., Valley G.C., Crosignani B. et al. // Phys. Rev. Lett. 1994. V. 73.
P. 3211.
156. Shin Л1, Segev M., Valley G.C et al. // Electron. Lett. 1995. V. 31. P. 826.
157. Захаров B.E.% Рубенчик A.M. // ЖЭТФ. 1973. T. 65. С 997.
158. Mamaev A. V., Saffman M., Zozulya A. A. // Phys. Rev. Lett. 1996. V. 76.
P. 2262.
159. Tikhonenko K, Christou /., Luther-Davies В., Kivshar Yu.S. // Opt. Lett.
1996. V.21. P. 1129.
160. Fierst R.A., Baboiu D.-M., Lawrence B. et al. // Phys. Rev. Lett. 1997.
V. 78. P. 2756.
161. Liu X., Beckwitt K., Wise F. // Phys. Rev. Lett. 2000. V. 85. P. 1871.
162. Anastassiou C, Solja6i6M.y Segev M. et al. // Phys. Rev. Lett. 2000. V. 85.
P. 4888.
163. Fang #., Malendevich /?., Schiek /?., Stegeman G.I. // Opt. Lett. 2000.
V.25. P. 1786.
164. Skryabin D. V, Firth W.J. // Phys. Rev. Lett. 1998. V. 81. P. 3379.
165. Skryabin D. K, Firth W. // Phys. Rev. E. 1999. V. 60. P. 1019.
166. Musslimani Z.H., Segev M., Nepomnyashchy A., Kivshar Yu.S. // Phys.
Rev. E. 60, Rl 170 (1999).
167. Musslimani Z.H., Yang J. // Opt. Lett. 2001. V.26. P. 1981.
168. Neshev D., Krolikowski W., Pelinovsky D.E. et al. // Phys. Rev. Lett. 2001.
V. 87. 103903.
169. Haelterman Af., Sheppard A.P. // Opt. Lett. 1994. V. 19. P. 96.
170. Haelterman M., Sheppard A. P. // Chaos, Solitons, and Fractals. 1994. V. 4.
P. 1731.
171. Haelterman M., Sheppard A. P. // Phys. Rev. E. 1994. V. 49. P. 3389.
172. Haelterman M. // Opt. Commun. 1994. V. 111. P. 86.
173. Malomed B.A. // Phys. Rev. E. 1994. V. 50. P. 1565.
174. Haelterman M, Badolo M. // Opt. Lett. 1995. V. 20. P. 2285.
175. Louis Y., Sheppard A.P.% Haelterman M. // Opt. Commun. 1997. V. 141.
P. 167.
176. Malomed B. A, Nepomnyashchy A. A., Tribelsky M.I. // Phys. Rev. A. 1990.
V. 42. P. 7244.
177. Aranson /., Tsimring L. // Phys. Rev. Lett. 1995. V. 75. P. 3273.
178. Kivshar Yu.S. // Phys. Rev. Lett. 1993. V. 70. P. 3055.

Список литературы
407
179. Kivshar Yu.S., Haelterman M, Sheppard A.P. // Phys. Rev. E. 1994. V. 50.
P. 3161.
180. Pitois S., Millot G.f Wabnitz S. // Phys. Rev. Lett. 1998. V. 81. P. 1409.
181. Pitois S., Millot G., Grelu P., Haelterman M. // Phys. Rev. E. 1999. V. 60.
P. 994.
182. Kivshar Yu.S., Luther-Davies B. // Phys. Rep. 1998. V. 298. P. 81.
183. Pismen L.M. // Phys. Rev. Lett. 1994. V. 72. P. 2557.
184. Velchev /., Dreischuh Л., Neshev D.y Dinev S. // Opt. Commun. 1995.
V. 130. P. 385.
185. Axenides Af., Perivalaropoulos L. // Phys. Rev. D. 1997. V. 56. P. 1972.
186. Gahagan K. 7., Swartzlander G.A. Jr. // Opt. Lett. 1996. V. 21. P. 827.
187. Tran H. 7., Sammut R.A. // Phys. Rev. A. 1995. V. 52. P. 3170.
188. Krolikowski W.y Akhmediev N.N., Luther-Davies B. // Opt. Lett. 1996.
V. 21. P. 782.
189. Ostrovskaya E.A., Kivshar Yu.S. // Opt. Lett. 1998. V. 23. P. 1268.
190. Sheppard A.P., Haelterman M. // Opt. Lett. 1993. V. 19. P. 859.
191. Gisin B. V.% Hardy A. A. // Phys. Rev. A. 1993. V. 48. P. 3466.
192*. Высотина Н.В., Розанов Н.Н., Семёнов В.Е. и др. // Опт. спектроск.
2005. Т. 98. С. 987.

Глава 10
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ СОЛИТОНЫ
Оптические солитоны, обсуждавшиеся до сих пор, были основаны
на кубичной нелинейности, описываемой восприимчивостью третьего
порядка х®\ возникающей, когда оптическое излучение меняет
показатель преломления среды и тем самым модифицирует свойства своего
собственного распространения. Параметрические солитоны
составляют специальный класс солитонов, в котором два или более
оптических полей становятся связанными внутри нелинейной среды так, что
их связанное состояние распространяется как солитон. Когда связь
вызывается квадратичной нелинейностью, описываемой
восприимчивостью второго порядка \^2\ такие параметрические солитоны
называют квадратичными солитонами. Эта глава посвящена квадратичным
параметрическим солитонам. В разделе 10.1 вводятся общие понятия
двух- и трёхволнового параметрического взаимодействия и
представлены исходные нелинейные уравнения. В разделе 10.2 описаны
свойства (1 + 1)-мерных двухволновых квадратичных солитонов,
формирующихся внутри планарных волноводов; основное внимание уделяется
устойчивости, взаимодействиям и сносу. Этот раздел включает также
обсуждение соответствующих экспериментальных результатов и
краткий анализ тёмных солитонов. Раздел 10.3 посвящен (2 + 1)-мерным
квадратичным солитонам. Многочастотные параметрические солитоны
представлены в разделе 10.4, а раздел 10.5 посвящен параметрическим
солитонам в структурах с квазисинхронным взаимодействием (КСВ).
В разделе 10.6 обсуждаются некоторые другие типы параметрических
солитонов, включая вихревые солитоны, временные солитоны,
световые пули и солитоны в средах с одновременно квадратичной и
кубичной нелинейностями.
10.1. Параметрические взаимодействия
Историю квадратичных солитонов можно проследить, начиная
с 1967 г., когда Островский [1] обнаружил, что самоиндуцированные
изменения фазы оптического пучка, обычно связываемые с керров-
ской нелинейностью, могут происходить и в нецентросимметричных
нелинейных кристаллах, когда одновременно присутствуют несколько
компонент с различными частотами и они взаимодействуют
параметрически. Около 1975 г. Карамзин и Сухорукое теоретически предсказали

10.1. Параметрические взаимодействия
409
существование двухволновых квадратичных солитонов в волноводах
и сплошной среде [2, 3]. Вскоре были теоретически исследованы более
общие трёхволновые параметрические солитоны [4, 5].
Эти ранние теоретические результаты, опубликованные главным
образом в российской литературе, хорошо изложены в монографии
Сухорукова [6], опубликованной в 1988 г. (на русском языке).
Однако, только в 1996 г. было сообщено об экспериментальном
наблюдении квадратичных солитонов. Основной причиной такой задержки
был недостаток высококачественных материалов. Кроме того,
преимущества, предлагаемые квадратичными солитонами для практических
приложений, были не очевидны. Ситуация изменилась в 1990-х
годах вместе с переоткрытием эффекта самовоздействия в х^ -средах
и с появлением оптических материалов с высокой лучевой
прочностью и достаточно большой длиной распространения [7]. В течение
нескольких лет квадратичные солитоны были найдены в таких средах
как планарные волноводы на ЫЫЬОз и объёмные кристаллы КТР.
Прогресс, достигнутый в 1990-х годах, обсуждается в нескольких
обзорах [8-12]. Весьма вероятно, что с приходом метода квазисинхронизма
и ожидаемыми продвижениями в росте и разработке \^-материалов
параметрические солитоны найдут практическое применение.
Теория квадратичных солитонов основывается на анализе
взаимодействия трёх оптических полей в нелинейной среде, в которой
Х^ ф 0. Такой параметрический процесс известен как трёхволновое
смешение. Если на среду падает единственный пучок с частотой и>,
параметрическое взаимодействие может происходить, если волна
накачки находится в условиях фазового синхронизма со своей второй
гармоникой (ВГ) с частотой 2а;. Этот процесс известен как генерация
второй гармоники (ГВГ) и служит частным случаем трёхволнового
смешения. Условие фазового синхронизма для ГВГ может быть
удовлетворено в анизотропной диэлектрической среде двумя способами,
известными в теории ГВГ как тип I и тип II [13-15]. В
анизотропном кристалле для любого направления волнового вектора k/fc можно
найти два различные значения k(u)\ они отвечают обыкновенным
и необыкновенным волнам с различными состояниями поляризации
и фазовыми скоростями. Направление волнового вектора к совпадает
с направлением вектора Пойнтинга S только для обыкновенной волны.
Сначала мы рассмотрим общий случай трёхволнового смешения
и параметрического взаимодействия трёх монохроматических волн
с электрическими полями Ej = Re [Aj ехр (гк; • r — iu>jz)], где j = 1,
2 и 3 и Re означает вещественную часть. Три частоты удовлетворяют
условию сохранения энергии и\ 4- и>2 = ^з- Условие фазового
синхронизма предполагается выполненным приближённо и допускается малая
волновая расстройка Ак между тремя волновыми векторами, то есть
ДА: = fci(o;i) 4- М^г) - М^з)- В общем случае три волны не
распространяются вдоль одного и того же направления и пучки уходят друг
от друга (сносятся) при распространении в кристалле. Мы выберем

410
Гл. 10. Параметрические солитоны
ось z вдоль направления kj и ось х в плоскости, определяемой ki и
направлением сноса энергии. Если все три волновых вектора направлены
одинаково, все компоненты распространяются в одном направлении
и не испытывают поперечного сноса.
Теория вызванного х^ трёхволнового смешения доступна
в нескольких учебниках по нелинейной оптике [13-15]. Исходными
служат уравнения Максвелла, записанные в системе МКС в виде
VxVxE+iff = —Lf£, (10.1.1)
с2 dt2 е0с2 dt2
где во — электрическая проницаемость вакуума и с — скорость света
в вакууме. Индуцированная поляризация в частотном представлении
записывается так:
Р(г,ы) = ^Х(1)Ё + еоХ(2)ЁЁ + ..., (10.1.2)
где тильда означает преобразование Фурье. Используя приближение
медленно меняющейся огибающей и параксиальное приближение,
можно вывести следующую систему трёх связанных уравнений,
описывающую параметрическое взаимодействие трёх волн при фазовом
синхронизме типа II:
2ik^ + V2XA, + ЦхМА3А*2е-1Ак* = 0, (10.1.3)
vz вое
2ik2 (^ - л,**) + VU2 + ^X(2)A3A*ie-iAkz = 0, (10.1.4)
2гк3 (^ - pj-g) + V2XA3 + М хтл,*ё"*' = 0, (10.1.5)
где Vj_ — поперечный оператор Лапласа, рш и р2и — два параметра
сноса и х^ — элемент тензора восприимчивости второго ранга. Эти
уравнения описывают случай, в котором пространственный снос всех
волн происходит в одной плоскости. Формально это справедливо
только для одноосных кристаллов, но это ограничение нетрудно ослабить.
В случае ГВГ типа I на нелинейный кристалл падает только один
пучок с частотой накачки ш\, а новое поле с частотой 2и\ генерируется
в процессе ГВГ. К этому случаю можно применить (10.1.3)—(10.1.5)
при минимальных изменениях. А именно, мы положим в этих
уравнениях ыз = 2и>\, А\ = Ач и ри = 0. Два первых уравнения совпадут,
так что одно из них можно опустить. Поэтому процесс ГВГ типа I
описывается следующей системой двух связанных уравнений 0:
2ikx4t + V2±A[ +2k\dA*A*e~iAkz =0, (10.1.6)
*) Более точный учёт анизотропии среды приводит к увеличению числа
уравнений за счёт появления дополнительных поляризационных компонент
пучков накачки и ВГ [174*, 175*]. (Прим. ред.)

10.2. Волноводная геометрия
411
Шз (iSr " p2»it)+у2±Лз+8k*dA*eiAkz=°. (101-7)
где d = (c^i/£:onic)x^2^ — параметр нелинейности и ДА: = 2к\ - к$ —
волновая расстройка. Как обсуждалось в гл. 1, эти уравнения можно
обобщить на случай оптических импульсов, добавив дисперсионный
член вида (32{uj){d2Aj/dt2), где j = 1 или 3 и /% — параметр дисперсии
групповой скорости (ДГС) [16-36]. Параметр ДГС обычно различен
для пучков накачки и ВГ и может быть как положительным, так и
отрицательным.
Как и в предыдущих главах, полезно нормировать (10.1.6) и
(10.1.7). Однако, мы не можем применить то же нормирование, что
и раньше, из-за наличия волновой расстройки ДА;. Сначала введём
нормированные амплитуды v и w
Ах = (0/d)v exp(t/fc), Аг = ((3/2d)w exp[t(2/J +Дф], (10.1.8)
где /3 отражает сдвиг фазовой скорости, вызванный нелинейным
взаимодействием. Если затем нормировать пространственные координаты
х' = {2кфУ'2х, у' = {2кфУ12у, zf = 0z, (10.1.9)
то мы придём к следующей системе двух безразмерных связанных
уравнений для нормированных огибающих полей v и w [16]:
ip. + y\v + r^ -v + wv*=0, (10.1.10)
. dw .£dw . ^2 ■ &*w , V2 л /,л, ,,\
гад7" &7 ±w s~d? ~~aw T = ' (Ю.1.11)
где a = a(2 -f ДА;//3) и a = Л:з//с1 « 2. Величина a представляет
эффективный параметр волновой расстройки и играет важную роль в
последующей теории квадратичных солитонов. Параметр 6 = {2к\ЦЗ)х^2р2ш
учитывает эффекты сноса. Мы добавили также члены ДГС и ввели
параметры г и s, которые положительны или отрицательны в
зависимости от характера дисперсии (нормальная или аномальная). В случае
пространственных солитонов, возбуждаемых пучками непрерывного
излучения, г = s = 0. Уравнения (10.1.10) и (10.1.11) описывают
процесс ГВГ типа I при весьма общих предположениях и используются
в следующих разделах для изучения свойств различных типов
квадратичных солитонов. Для упрощения обозначений мы опустим далее
штрихи у пространственных переменных.
10.2. Волноводная геометрия
В этом разделе рассматривается случай, когда ГВГ происходит
в планарном волноводе. Предполагается, что толщина волновода столь
мала, что он направляет только одну моду по направлению у на
основной и удвоенной частотах. Используя метод разделения переменных,

412
Гл. 10. Параметрические солитоны
мы полагаем в (10.1.6) и (10.1.7) Aj(xyy> z) = Fj(y)Bj(x,z) при j = 1
и 3, умножаем эти уравнения на FJ(y) и интегрируем по у, полностью
устраняя зависимость от у. В использованной ранее схеме нормировки
связанные уравнения принимают следующий вид:
i^L + ТЩ -v + wv* = 0, (10.2.1)
Oz Qx
га^ гд^- + s—j - aw + — = 0. (10.2.2)
oz ox Qx 2 2
Эти уравнения записаны таким образом, что их можно использовать
для описания и пространственных, и временных солитонов. В случае
пространственных солитонов выбираем г = s = 1. Напротив, г и s
могут быть отрицательными для временных солитонов, когда х
интерпретируется как нормированная временная переменная. В этом случае
входной импульс считается жёстко ограниченным в обоих поперечных
направлениях, так что при распространении он не дифрагирует.
10.2.1. Одномерные квадратичные солитоны. Нетрудно
пояснить, почему следует ожидать солитоноподобных решений (10.2.1)
и (10.2.2). Рассмотрим предел а > 1, отвечающий большим
положительным значениям волновой расстройки ДА:. Тогда (10.2.2) имеет
приближённое решение w « v2/2a. Подставив его в (10.2.1), мы вновь
получаем стандартное НУШ
i^+rpt-v + (2a)-l\v\2v = 0, (10.2.3)
OZ Qx
за исключением коэффициента (2а)"1 у нелинейного члена. Даже этот
коэффициент можно устранить перенормировкой v (vf = (2a)-1/2v).
Как мы видели в предыдущих главах, НУШ имеет решения в виде
светлых солитонов при г = -1-1 и тёмных солитонов при г = — 1.
Предел больших волновых расстроек (а ^> 1) известен как
каскадный предел, так как в этом пределе два квадратичных (х^) эффекта
связываются каскадным образом и приводят к эффективной кубичной
нелинейности керровского типа. НУШ (10.2.3) можно вывести более
строго для среды с квадратичной нелинейностью методом
многомасштабных разложений [37-40]. Оно ясно показывает возможность
существования солитонов типа НУШ в х^-средах. Конечно, ожидается,
что солитоны сформируются только после того, как пучок накачки
пройдёт расстояние, достаточно большое для генерации пучка ВГ,
взаимодействующего с накачкой, так что оба поля будут распространяться
без изменения распределения интенсивности.
Квадратичный солитон имеет две компоненты, как и в случае
векторных солитонов (гл. 9), но здесь эти компоненты обладают
весьма отличающимися длинами волн и связаны параметрически. Чтобы
найти распределение интенсивности двух компонент, мы можем
решить (10.2.1) и (10.2.2) в асимптотическом пределе. Для упрощения

10.2. Волноводная геометрия
413
анализа пренебрежём эффектами сноса и положим в (10.2.2) 6 = 0.
Полагая производные по z в (10.2.1) и (10.2.2) равными нулю, мы
получим следующую систему двух связанных обыкновенных
дифференциальных уравнений:
.А/
dx2
r±^-v + wv*=0, (10.2.4)
8^-aw + £=0. (10.2.5)
dx *
Эти уравнения можно решить в виде асимптотического ряда, члены
которого при а > 1 убывают по величине [17]. Решения различаются
при г = ±1, так как эти два случая отвечают светлым и тёмным
квадратичным солитонам [41]. В случае светлых солитонов (г = +1)
решение следующее
v(x) = 2yfc sch x (l + * th2x + ...) , (10.2.6)
w(x) = 2sch2x [l + Ц (4 - 5sch2x) + ...1 . (10.2.7)
В случае тёмных солитонов (г = —1) решение имеет вид
v(0 = yfia [thC + J sch2C(C - thC) + ...], (Ю.2.8)
w(0 = th2C + - sch2<(2CthC - 4 + 5sch2C) + ..., (10.2.9)
где С = х/у/2. Главный член в асимптотических рядах отвечает
решению НУШ (10.2.3).
Так как свойства керровских солитонов уравнения (10.2.3) хорошо
известны, существование асимптотических решений приводит к
выводу, что при а » 1 процесс ГВГ в х^-средах должен эволюционировать
таким образом, что поля накачки и ВГ формируют взаимно
поддерживающиеся пары в виде светлых солитонов при г = -1-1 и тёмных
солитонов при г = — 1. Однако, прежде чем придти к такому выводу,
необходимо убедиться, что эти солитоны устойчивы по отношению к
возмущениям. Неустойчивость может возникнуть, если солитон испускает
рассеянное излучение из-за его взаимодействия с линейными волнами.
В случае тёмных солитонов решение может также стать неустойчивым
из-за параметрической модуляционной неустойчивости [16, 42, 43].
10.2.2. Светлые квадратичные солитоны. В этом разделе мы
остановимся на случае светлых пространственных квадратичных
солитонов и положим г = 5 = -И в (10.2.1) и (10.2.2). Такие солитоны
обладают многими интересными свойствами, которые найдены и для
других типов некерровских нелинейностей. Мы покажем, что
существует целое семейство таких солитонов при различных значениях
параметра а и что одномерные солитоны могут иметь один или несколько

414
Гл. 10. Параметрические солитоны
горбов. Мы обсудим свойства этих типов квадратичных солитонов,
а также экспериментальные результаты.
Семейство одногорбых солитонов. Светлые квадратичные
солитоны существуют как решения (10.2.1) и (10.2.2) при г = 1 и а > 0
в виде одногорбых пространственных профилей v(x) и w(x), которые
поддерживают форму при распространении в нелинейной среде.
Семейство таких связанных параметрических солитонов было найдено
в 1994 г. численным решением (10.2.1) и (10.2.2) [25, 28].
Различные члены этого семейства отвечают различным значениям параметра
волновой расстройки а. На рис. 10.1 показаны два примера таких
связанных солитонов при а = 0,2 и а = 10. Всё семейство характери-
1,5 г
s
с
<
1 ь
0,5 k
0
-15-10 -5 0 5 10 15
Поперечная координата дг
I I ^Накачка
/ V Вторая
/ V/ гармоника
Ж .
-10 -5 0 5 10
Поперечная координата х
Рис. 10.1. Отношение максимумов wm/vm в зависимости от а и
пространственные профили v(x) и w(x) солитонной пары для двух значений а,
отмеченных белыми кружками. Чёрный кружок отвечает точному аналитическому
решению, найденному при а = 1. Штриховая кривая показывает предсказания
асимптотической теории [16]
зуется отношением wm/vmi где vm и wm — пиковые амплитуды полей
накачки и ВГ, соответственно. Численно полученные значения этого
отношения указаны на рис. 10.1 сплошной линией для всего семейства.
При а > 1 амплитуда накачки v(x) много больше w(x)t так как
процесс ГВГ неэффективен из-за большой волновой расстройки. Этот
случай соответствует асимптотическому решению, даваемому (10.2.6)

10.2. Волноводная геометрия
415
и (10.2.7). Сохраняя только главные члены, можно записать решение
при а>1 в форме
v(x) « 2Va sch(x), w(x) w 2sch2(x). (10.2.10)
В этом частном случае отношение пиковых амплитуд wm/vm = a-1/2.
Штриховая линия показывает это приближение на основе
асимптотической теории. Как и следовало ожидать, согласие вполне хорошее при
а ^> 1. Чёрный кружок на рис. 10.1 отвечает аналитическому решению,
впервые найденному Карамзиным и Сухоруковым в 1974 г. [2] при
а = 1 и имеющему вид
v(x) = V2w{x) = (3/л/2)зсЬ2(д:/2). (10.2.11)
Для нахождения приближённой аналитической формы профиля
квадратичных солитонов при произвольных значений а
использовался вариационный подход [41, 44]. Такой подход требует начального
предположения о форме солитона. Он представляет разумное
приближение для большинства характеристик уединённых волн, но не
способен воспроизвести точную форму пространственных изменений
в области хвостов квадратичного солитона. Чтобы улучшить точность
приближённой формы солитонов, Сухорукое предложил
полуаналитический метод, основанный на свойствах подобия квадратичных
солитонов [45]. Он приводит к следующему приближённому решению (10.2.4)
и (10.2.5):
v(x) = vmschp(x/p), w(x) = wmschp(x/p)t (10.2.12)
где параметры vm, wm и p находятся из соотношений
*-=*г- '-drr- -*&*■ <'°-2-|3>
При заданном значении а параметр wm удовлетворяет кубическому
уравнению. После того, как амплитуда wm определится из этого
уравнения, все остальные параметры солитонного решения (10.2.12)
будут найдены из (10.2.13). Нетрудно показать, что 1 < wm < 2
при 0 < а < оо. Параметр р может поэтому меняться в диапазоне
1 < р < оо. При а = 1 найдём р = 2 и пиковые значения амплитуд
vm = 3/\/2 и wm = 3/2. Тогда решение (10.2.12) сводится к точному
аналитическому решению (10.2.11). Кроме того, решение (10.2.12)
правильно описывает асимптотическое решение (10.2.10) при а ^> 1.
Результаты, показанные на рис. 10.1, представляют
решения (10.2.1) и (10.2.2) с сохраняющейся формой. Практически на вход
^(2)-среды подаётся только пучок накачки. Однако, квадратичные со-
литоны могут генерироваться при широком классе начальных условий.
На рис. 10.2 показан пример того, как пучки накачки и ВГ
превращаются в пространственный солитон, при изображении изменений
пиковых амплитуд vm и wm вдоль длины среды. Считается, что падающий

416
Гл. 10. Параметрические солитоны
пучок накачки имеет профиль интенсивности вида sch2(x) и условие
фазового синхронизма приблизительно выполнено. Из-за дифракции
пучок накачки сначала расширяется, когда он генерирует пучок ВГ.
Рост пучка ВГ посредством
каскадной нелинейности
обеспечивает механизм самофокусировки
накачки. После нескольких
колебаний, во время которых два
пучка дифрагируют и
самофокусируются, амплитуда и
ширина каждого из пучков перестаёт
меняться и формируется
связанное состояние в виде солитона
в каждой компоненте. Такое
поведение возможно только ввиду
существования непрерывного
семейства устойчивых
квадратичных солитонов.
Вопрос устойчивости имеет
важнейшее значение для
квадратичных солитонов. Линейный анализ устойчивости светлых
квадратичных солитонов, описываемых (10.2.1) и (10.2.2), впервые был
изучен в 1995 г. при использовании асимптотического
бифуркационного анализа (около границы устойчивости) соответствующей линейной
задачи [46]. В [47] область неустойчивости была найдена в подходе
на основе гамильтониана. Приведённый в гл. 2 критерий устойчивости
Вахитова-Колоколова применим и к квадратичным солитонам [46].
Этот критерий показывает, что устойчивость параметрических
солитонов зависит от численных значений параметров а и а. В каскадном
пределе (а > 1) квадратичные солитоны всегда устойчивы, но они
становятся неустойчивыми при а —* 0. Например, квадратичный соли-
тон, показанный на рис. 10.1, при а = 0,2 неустойчив в режиме
пространственного солитона (а = 2). Однако, параметрические солитоны
становятся устойчивыми даже при а ~ 1, если а меньше критической
величины <тсг. При фиксированном значении а неустойчивость имет
место при а < аСТ. В пространственном случае (а = 2) асг « 0,21.
Аналогично случаю некерровских пространственных солитонов,
изученных в гл. 2, устойчивые параметрические солитоны могут
испытывать колебания амплитуды, которые сохраняются на очень больших
длинах (см. рис. 2 в [26]), в отличие от показанного на рис. 10.2 случая.
Такие долго длящиеся осцилляции вызываются возбуждением
внутренних мод солитона [48]. Эти моды отвечают дискретным собственным
значениям линейной задачи, отвечающей параметрическим солитонам,
и отражают особенность уединённых волн в неинтегрируемых моделях
(см. гл. 2). Детальный анализ показывает, что долго длящиеся осцил-
ляциии, часто наблюдаемые при численном моделировании, происхо-
\Г\
к\Л^
Накачка
Вторая гармоника
J L
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
Нормированное расстояние z
Рис. 10.2. Формирование
квадратичного солитона при входном пучке
накачки формы sdr(x). Показана эволюция
пиковых амплитуд накачки и второй
гармоники вдоль длины среды [16]

10.2. Волноводная геометрия
417
дят, когда амплитуда волны накачки превышает пороговое значение,
и они исчезают в пределе больших а [49]. Однако, такие осцилляции
всегда присутствуют, если условие фазового синхронизма точно
выполняется (Д/с = 0) 0.
Многогорбые квадратичные солитоны. В дополнение к
локализованным решениям с единственным пиком или горбом, численное
моделирование выявляет существование светлых квадратичных солитонов
с двумя или более горбами при всех значениях параметра фазовой
расстройки а, причём представлено строгое доказательство их
существования [50]. Многогорбый светлый солитон можно рассматривать
как связанное состояние нескольких одногорбых солитонов [29-32].
Физический механизм существования таких солитонов аналогичен
обсуждавшемуся в гл. 9 для солитонов связанных НУШ и отвечает
модам высшего порядка эффективного наведённого солитоном волновода.
Несколько примеров многогорбых солитонов показаны на рис. 10.3 при
фиксированном значении а. Как видно из рисунка, амплитуда
накачки (сплошные кривые) обращается в нуль в нескольких точках, как
в случае мод высших порядков волновода. Численное моделирование
указывает, что все многогорбые квадратичные солитоны
неустойчивы [50-52] и расщепляются на устойчивые одногорбые солитоны или
полностью распадаются. Последний сценарий реализуется при
достаточно малых значениях а, при которых устойчивые одногорбые
солитоны не существуют. Эти свойства аналогичны имеющим место для
других векторных солитонов со связанными полями.
Временные квадратичные солитоны обладают некоторыми особыми
свойствами, связанными с параметрами г и s в (10.2.4) и (10.2.5).
Оба этих параметра могут быть положительными или отрицательными,
в зависимости от характера дисперсии х^_среды. Мы выберем г = 1,
что отвечает аномальной ДГС на частоте накачки. Параметр s может
быть отрицательным, если ДГС нормальна на частоте ВГ. Хотя в
эффективное НУШ (10.2.3) в каскадном пределе не входит параметр 5,
солитоноподобные решения (10.2.4) и (10.2.5) могут быть совершенно
различными при s = ±1. Случай 5 = 4-1 применим к временным соли-
тонам, если дисперсия аномальна и для накачки, и для ВГ. В другом
случае (s = -1) дисперсия для двух полей противоположная.
Оказывается, что в этом случае одногорбые квадратичные солитоны не
существуют как устойчивые объекты, так как они находятся в резонансе
по крайней мере с одной ветвью линейных волн [16]. В результате они
теряют энергию, испуская рассеянное излучение, и распадаются.
Хотя устойчивые одногорбые солитоны не существуют при s = — 1
из-за резонанса с линейными волнами, численный анализ (10.2.4)
и (10.2.5) представляет свидетельства существования двугорбых соли-
') Анализ нелинейного затухания внутренних мод квадратичных солитонов
содержится в [176*, 177*]. (Прим. ред.)

418
Гл. 10. Параметрические солитоны
-20-10 0 10 20 -20-10 0 10 20
Нормированная поперечная координата
Рис. 10.3. Примеры многогорбых квадратичных солитонов. Сплошные и
штриховые кривые показывают профили амплитуды накачки и второй гармоники,
соответственно, и п указывает число узлов в поле накачки [32]
тонов. Такие солитонные состояния аналогичны вложенным солито-
нам, обсуждавшимся в гл.2. В случае х^-сРеД каждый вложенный
солитон можно рассматривать как безизлучательное связанное
состояние двух одногорбых солитонов. Для таких связанных состояний
рассеянное излучение во внешней области подавлено, но оно существует
между солитонами в виде захваченной стоячей волны; число узлов
определяет порядок солитона. Один пример вложенных солитонов был
найден в явной аналитической форме в случаях г = + 1 и 5 = — 1 [24].
Это решение (10.2.4) и (10.2.5) существует при а = 2 и имеет форму
v(x) = 6\/2 th(z)sch(x), w(x) = 6sch2(x). (10.2.14)
Оказывается, что решение (10.2.14) представляет простейший вариант
дискретного набора двухсолитонных вложенных связанных состояний,
существующих из-за захвата рассеянного излучения [16]. Как и в
большинстве случаев вложенных солитонов, дискретные решения этого
типа также были найдены неустойчивыми.
10.2.3. Сносимые квадратичные солитоны. Уравнения (10.2.1)
и (10.2.2) содержат параметр сноса 6, который до сих пор был выбран
равным нулю. Практически процесс ГВГ в анизотропной среде часто
приводит к пространственному разделению пучков ВГ и накачки
из-за различия направлений распространения энергии и волнового
фронта. Этот эффект описывается в (10.2.2) членом с 6. Снос пучка
всегда присутствует в экспериментах, использующих для реализации

10.2. Волноводная геометрия
419
фазового синхронизма двулучепреломление или температурную
настройку [7].
Влияние пространственного сноса на квадратичные солитоны
изучалось ещё в 1978 г. в случае трёхволнового параметрического
взаимодействия в планарном волноводе [4]. Много позже был выполнен
детальный анализ процесса ГВГ в присутствии пространственного сноса
(или временного сноса в случае временных солитонов) [53-55] и
было предсказано существование так называемых сносимых солитонов.
Такие солитоны формируются, когда пучки накачки и ВГ захватывают
друг друга таким образом, что они вместе движутся (сносятся) под
некоторым углом к исходному направлению распространения накачки
внутри среды с х^- Для сносимых солитонов необходим наклон
волнового фронта (определяемый как поперечная производная фазы),
который аналогичен чирпу для временных солитонов. На рис. 10.4
представлены два примера сносимых солитонов. Такие «чирпированные»
квадратичные солитоны устойчивы только ниже некоторого значения
параметра сноса [55]. В литератуде исследовалось также обобщение
таких солитонов на случай ГВГ типа II и трёхволнового
параметрического взаимодействия [36].
8
-8
0.5 г
J-1,5
2ш
8-8 0
Поперечная координата
-8
2,5
2ш
хи^Л
8-8 0
Поперечная координата
Рис. 10.4. Примеры сносимых солитонов при двух значениях параметра сноса.
В каждом случае показаны амплитуда (левый ряд) и наклон волнового фронта
(правый ряд) [54]
Все квадратичные солитоны, включая многогорбые, могут быть
обобщены на случай эффекта сноса [56]. Хотя линейный анализ устой-

420
Гл. 10. Параметрические солитоны
чивости показывает, что чирпированные сносимые солитоны всегда
неустойчивы, при некоторых значениях параметров инкремент крайне
мал. Кроме того, такие двугорбые солитоны испытывают спонтанное
нарушение симметрии, что может быть использовано для чисто
оптического переключения [56]. Другие сценарии распада, изученные
численно, включают расщепление солитона и преобразование двугорбого
солитона в одногорбый с уничтожением другого горба.
Торнер [57] ввёл представление о так называемых сносимых со-
литонах ведущего центра при рассмотрении самоканалирования
света в периодической среде с х® ПРИ значительном сносе и анализе
формирования солитонов в структурах с квазисинхронизмом (см.
раздел 10.5). На каждом интервале такой структуры снос слишком велик,
чтобы существовал солитон, но, тем не менее, может формироваться
усреднённый солитон ведущего центра, параметры которого медленно
меняются периодическим образом.
10.2.4. Экспериментальные наблюдения. В отличие от случая
волоконных световодов, где длины распространения составляют сотни
дисперсионных длин, в экспериментах с пространственными солито-
нами расстояния обычно меньше пяти дифракционных длин. Такое
расстояние достаточно для формирования самоканалированного пучка,
но слишком мало, чтобы проследить до конца столкновения солитонов.
Для формирования квадратичных солитонов при разумных уровнях
мощности накачки необходимо работать вблизи условия фазового
синхронизма. Поэтому нелинейные материалы, применяемые для
наблюдения квадратичных солитонов, те же, что и используемые для ГВГ.
Пространственные квадратичные солитоны в волноводной
геометрии впервые наблюдались в эксперименте 1996 г. [58], в котором
фазовый синхронизм в волноводе на ЫЫЬОз длиной 5 см достигался
управлением температурой волновода [59]. Относительное постояннство
температуры по большей части волновода следовало из эффективности
преобразования во ВГ более 50%. При мощностях накачки на входе
выше 1 кВт (лазер с модулированной добротностью и синхронизацией
мод на длине волны 1320 нм), наблюдалось самоканалирование пучка
накачки. Оно было вызвано слабым пучком ВГ в области
положительной волновой расстройки. Слабость процесса ГВГ отвечала каскадному
пределу, и эффективно он действовал как нелинейный процесс
третьего порядка. На рис. 10.5 показаны наблюдавшиеся пространственные
профили пучка накачки на выходе волновода при пиковой мощности
в диапазоне 0,3-1,9 кВт вместе с результатами численного
моделирования. Как и следовало ожидать, при низких мощностях пучок
накачки дифрагировал. Однако, при высоких пиковых мощностях (выше
1,5 кВт) каскадная самофокусировочная нелинейность уравновешивала
дифракцию и приводила к формированию пространственного солитона.
Формирование солитона наблюдалось даже ближе к условию фазового
синхронизма, но при большем истощении накачки.

10.2. Волноводная геометрия
421
j—I i i i i i I i I i—i
-300 -200 -100 0 100 200 300 -300 -200 -100 0 100 200 300
Поперечная координата, мкм Поперечная координата, мкм
Рис. 10.5. а) Профили интенсивности накачки на выходе при температуре
335°С. Пучок накачки сжимается и формирует пространственный солитон при
возрастании его пиковой мощности от 0,32 до 0,76, 1,5 и 1,9 кВт. б) Результаты
численного моделирования при тех же условиях [59]
Сносимые квадратичные солитоны регистрировались также в
экспериментах с использованием фазового синхронизма типа I. Для пучка
накачки с ТМ-поляризацией групповая и фазовая скорости в
волноводе LiNb03 всегда коллинеарны, но ТЕ-поляризованный пучок ВГ
распространяется под некоторым углом к оси х. Сносимые
солитоны формируются, когда пучки накачки и ВГ взаимно захватываются
и имеют одинаковое направление групповой скорости, между
направлением распространения в отсутствие сноса и направлением сноса.
Это важное свойство квадратичных сносимых солитонов наблюдалось
в эксперименте 1999 г. [60] при изучении процесса ГВГ при
различных условиях фазового синхронизма и различных мощностях накачки.
Более точно, наблюдалась зависимость нелинейного сдвига положения
пучка накачки на выходе от мощности входного пучка, что тем самым
демонстрирует взаимный захват пучков накачки и ВГ.
10.2.5. Столкновения солитонов. Так как квадратичные
солитоны описываются системой двух или трёх уравнений, которые не
интегрируются методом обратной задачи теории рассеяния, их
столкновения не упруги (за исключением каскадного предела). В результате
можно ожидать сильно неупругих эффектов, таких как испускание
рассеянного излучения и чувствительность к фазе, аналогично случаю
других некерровских солитонов. Действительно, численное решение
исходных уравнений выявило, что такие столкновения сильно зависят
от начальной относительной фазы в между двумя сталкивающимися
солитонами [61-64]. В каскадном пределе, в котором справедливо
эффективное НУШ (то есть, при больших положительных волновых
расстройках), свойства столкновений такие же, как у керровских
солитонов. При меньших значениях а поведение весьма различное, в
зависимости от величины в. При в = 0 два солитона с одинаковой
амплитудой либо сливаются, либо проходят друг сквозь друга почти упруго,

422
Гл. 10. Параметрические солитоны
в зависимости от начальных условий. Напротив, они отталкивают друг
друга при в = 7г/2 [61]. При промежуточных значениях относительной
фазы наблюдается сильно неупругое поведение с нарушением
симметрии. Точнее, два исходно одинаковых солитона с равными амплитудами
приобретают после столкновения различные амплитуды [61]. Когда
солитоны сливаются в единый солитон, наблюдаются долгоживущие
осцилляции амплитуды солитона; эти осцилляции связаны с
возбуждением внутренних мод солитона в результате столкновения [62].
400
300
200
й юо
генсивны
о
1
- 1
-
-
_J
.1.1
а
1
1
> 1 i I i I
J_
_L
_L
_L
-400 -200 0 200 400 -400 -200 0
Поперечная координата, мкм
200 400
Рис. 10.6. Пространственные профили на выходе, когда два пучка накачки
направлены параллельно и сталкиваются внутри нелинейного волновода.
Разность фаз между двумя пучками 0 (а), 7г/2 (б), 7г (в) и 37г/2 (г) [65]
Столкновения квадратичных солитонов наблюдались в
эксперименте 1997 г. при использовании планарного волновода на LiNb03 и
фазового синхронизма типа I [65]. Результаты показывают, что в
каскадном режиме квадратичные солитоны взаимодействуют почти упруго,
в соответствии с НУШ [61]. Однако, в других режимах наблюдалось

10.2. Волноводная геометрия
423
неупругое поведение. В эксперименте два пучка накачки запускались
в волновод на LiNbC>3 в параллельной и скрещенной конфигурациях.
На рис. 10.6 показаны результаты их взаимодействия в
параллельном случае; относительная фаза между двумя вводимыми пучками
управлялась двумя стеклянными клиньями. Для двух софазных пучков
накачки два солитона сливаются, как показано в части (а). Напротив,
в противофазном случае они просто проходят друг сквозь друга, как
видно из части (в). При других значениях разности фаз столкновение
было неупругим, с обменом энергией между двумя солитонами (см.
части (б) и (г)). Наблюдавшееся поведение согласуется с результатами
численного моделирования и с общей картиной взаимодействия соли-
тонов в неинтегрируемых нелинейных моделях. Действительно,
результирующее поведение близко к наблюдаемому для солитонов в среде
с насыщающейся керровской нелинейностью.
Когда волновая расстройка меняется с положительной на
отрицательную (то есть, а < 2сг), динамика взаимодействия солитонов также
меняется, так как солитоны становятся далёкими от предела НУШ.
Когда разность фаз между двумя сталкивающимися солитонами
обращается в нуль, они по-прежнему сливаются, но изменение от притяжения
(в = 0) к отталкиванию (в = 7г/2) между сталкивающимися солитонами
более плавное и менее чувствительное к изменениям фаз [61]. При
малых значениях параметра сноса эти результаты не меняются, однако
при больших значениях возникают новые свойства [64]. Например,
при некоторых значениях параметров солитонов характер их
взаимодействия меняется от притягивающего на отталкивающее при переходе
параметра сноса р2Ш через критическое значение 0,53 [64]. Если угол
сноса мал, два софазных солитона сливаются. Однако, при
сравнительно большом сносе (р2Ш = 0,8) при столкновении сохраняются два
солитона с некоторым обменом энергией. Это свойство можно пояснить,
отметив, что относительная фаза между солитонами в присутствии
сноса меняется во время столкновения.
10.2.6. Квадратичные тёмные солитоны. В каскадном пределе,
в котором процесс ГВГ хорошо описывается эффективным НУШ,
следует ожидать формирование тёмных солитонов при г = -ь1 и 5 = +1,
так как эти значения отвечают дефокусировочному типу кубичной
нелинейности. Численные результаты подтверждают это
предположение [18] и указывают, что устойчивые (безизлучательные) тёмные
квадратичные солитоны существуют как решения (10.2.4) и (10.2.5)
при г = s = -1. Действительно, при 0 < а < оо существует
непрерывное семейство квадратичных тёмных солитонов. В интервале 0 < а < 8
такие солитоны могут обладать осциллирующими хвостами. Два
примера квадратичных тёмных солитонов показаны на рис. 10.7 при а = 1
и 10.
В каскадном пределе (а > 1) решение можно записать в виде
рядов (10.2.8) и (10.2.9). Асимптотическое разложение не способно

424
Гл. 10. Параметрические солитоны
воспроизвести осциллирующие хвосты при а < 8. Всё семейство
тёмных солитонов можно характеризовать минимальной амплитудой ВГ
w(0) в области провала. Зависимость w(0) от а показана на рис. 10.7, в.
При больших значениях а эта зависимость приближается к
описываемой асимптотической штриховой кривой w(0) « 1/а, получаемой
в каскадном пределе. Следует отметить, что квадратичные тёмные
солитоны обладают модуляционно устойчивым фоном только в некотором
диапазоне параметров а и а. При а ~ 1 фон солитона модуляционно
устойчив при 2 < а < оо.
5 Г
Накачка
1>5 Г
Накачка
__5 I i i i i l i i i i I i i i i I i i i i I
-10 -5 0 5 10
Поперечная координата
-15 -10 -5 0 5 10
Поперечная координата
м<0)
1,2 |
1
0,8
0,6
0,4
0,2
'' ^О^
■ i i ■ i i i i ■ i ■ i ■
....!..
в
i ■ ■ 1
12
Рис. 10.7. Профили амплитуды пучков накачки и второй гармоники для двух
квадратичных тёмных солитонов при а = 10 (а) и а = 1 (б); w(0) в области
провала в зависимости от а (в). Штриховая кривая показывает каскадный
предел [16]
Из-за существования безизлучательных осциллирующих хвостов
тёмный солитон может захватить другой солитон и сформировать
связанное состояние с двумя провалами интенсивности [17]. Такие
тёмные солитоны с двойным провалом могут также формироваться для

10.2. Волноводная геометрия
425
других некерровских солитонов, но тёмные солитоны с несколькими
провалами на основе х^"сРеД представляют представляют первый
пример непрерывного семейства устойчивых связанных состояний
тёмных солитонов 0. При а —► 8 расстояние между соседними тёмными
солитонами стремится к бесконечности и такие связанные состояния
прекращают существование при а > 8. Другое семейство
квадратичных тёмных солитонов было обнаружено при г = -5 = +1, но они
существуют только при 0 < а < 2 [31]. Эти тёмные солитоны также
обладают безизлучательными осциллирующими хвостами и поэтому
могут формировать связанные состояния.
Аналогично случаю светлых квадратичных солитонов, безизлуча-
тельные тёмные солитоны не существуют в рамках (10.2.1) и (10.2.2)
при г = s = — 1. В этом случае был найден только дискретный набор
вложенных солитонов в виде безизлучательных связанных состояний
двух или нескольких солитонов [17]. Точное аналитическое решение
существует при а = 1 и имеет вид [66]
v(x) = л/2 w(x) = л/2 [l - ! sch2 (I)] . (10.2.15)
Оно представляет двухсолитонное связанное состояние, существующее
как вложенный тёмный солитон при фиксированном значении а. Все
такие связанные состояния неустойчивы из-за параметрической
модуляционной неустойчивости. Такую неустойчивость можно подавить
в среде с двумя конкурирующими нелинейностями [67], и только
в этом случае этот тип тёмных солитонов становится устойчивым.
10.2.7. Трёхволновые квадратичные солитоны. Как
обсуждалось в разделе 10.1, самое общее параметрическое взаимодействие
в х^-среде включает смешение трёх волн, описываемое системой трёх
связанных уравнений (10.1.3)—(10.1.5). Ту же систему уравнений
можно использовать в случае ГВГ типа II, в котором два ортогонально
поляризованных пучка накачки генерируют пучок ВГ. Вслед за анализом
1975 г. трёхволнового смешения [3], эта модель была детально изучена
в 1981 г. в случае идеального фазового синхронизма [5]. С тех пор
в нескольких исследованиях были найдены семейства параметрических
солитонов, в которых три волны формировали светлые или тёмные
солитоны, связанные таким образом, что они взаимно поддерживали
друг друга, сохраняя форму [68-76].
Трёхволновые солитоны, формирующиеся в случае ГВГ типа II,
имеют те же свойства, что их двухволновые аналоги. Однако, некоторые
их свойства более сложны из-за наличия дополнительного
параметра — различия мощностей двух поляризационных компонент основного
пучка. Это различие мощностей приводит к новым эффектам, таким
') Ранее осциллирующие хвосты и устойчивые связанные состояния
светлых и тёмных оптических солитонов были найдены в нелинейных
интерферометрах, см. [178*] и гл. 14. (Прим. ред.)

426
Гл. 10. Параметрические солитоны
как поляризационное переключение [73]. Кроме того, из-за наличия
двух независимых параметров линейный анализ устойчивости выходит
за рамки стандартного критерия устойчивости Вахитова-Колоколова.
Аналогично случаю двух некогерентно связанных НУШ (см. гл. 9),
условие границы устойчивости определяется более общим детерми-
нантным критерием:
dPv8Pu dPvdPu^n nn9lfix
Ж Ж 'Ж Ж -0' (10"2лб)
где /3V и (Зи — постоянные распространения, a Pv и Ри — мощности
двух ортогонально поляризованных пучков накачки.
10.3. Квадратичные солитоны в сплошной среде
Как обсуждалось в главах 6 и 7, многомерные солитоны обычно
неустойчивы в сплошной керровской среде, так как кубическое НУШ
не имеет устойчивых решений для геометрии (2 + 1) или большего
числа измерений. Неустойчивость проявляется в виде катастрофического
коллапса, когда пучок сжимается до нулевой ширины на конечных
расстояниях распространения. Однако некоторые физические механизмы
могут ограничить или устранить такой вид коллапса [77]. Связь пучков
посредством параметрического взаимодействия играет важную роль
среди таких механизмов подавления неустойчивости. Действительно,
в среде с х^ параметрическое взаимодействие приводит к устойчивым
квадратичным солитонам даже в высших измерениях [5, 78].
Исторически двумерные квадратичные солитоны были обнаружены
сначала в процессе ГВГ типа I [3] и затем в процессе трёхволнового
смешения в частном случае идеального фазового синхронизма [5].
Возможность устойчивых неколлапсирующих солитонов в высших
измерениях (например, световых пуль) была отмечена ещё в 1981 г.
Хайата и Кошиба в 1993 г. вновь нашли точное решение Карамзина
и Сухорукова [2] в одномерном случае [21]. Они также
применили подход типа Хартри для построения приближённой многомерной
уединённой волны со сферической симметрией при частном значении
параметра волновой расстройки. Численное моделирование [33]
выявило формирование двумерных квадратичных солитонов при ненулевом
значении параметра волновой расстройки даже в присутствии сноса
пучка [79, 80]. В последующих исследованиях основное внимание
уделялось столкновениям и управлению такими солитонами [71-73].
Двухпараметрическое семейство устойчивых двумерных
квадратичных солитонов было найдено в 1995 г. численно [34, 81]; двумя
параметрами служили волновая расстройка и интенсивность пучка
накачки. Частное решение [21] оказалось просто одним из
представителей этого семейства солитонов. Приближённую форму двумерных
квадратичных солитонов можно найти вариационным методом [41].
Такие солитоны могут также формироваться в присутствии одновре-

10.3. Квадратичные солитоны в сплошной среде 427
менно кубичной и квадратичной нелинейностей [82] или в керровской
среде с самодефокусировкой [83, 84]. Они могут также существовать
при наличии эффекта сноса (сносимые солитоны) или дисперсионных
эффектов, ведущих к формированию световых пуль [86-87].
10.3.1. Двумерные пространственные солитоны. В случае
процесса ГВГ типа I двумерные пространственные солитоны отвечают
сохраняющим форму решениям (10.1.10) и (10.1.11) с г = s = 0. Такие
решения можно найти, положив производные по z равными нулю. Для
простоты мы остановимся на осесимметричных солитонах и примем
обозначения v(x,yyz) = V(r) и w(xyy,z) = W(r), где г = у/х2 + у2 —
радиальная координата. Если пренебречь эффектами сноса, положив
8 = 0, и записать оператор Лапласа в цилиндрических координатах,
то радиальный профиль квадратичных солитонов можно получить
решением следующих двух связанных обыкновенных дифференциальных
У + WV = 0, (10.3.1)
aW+^-=0. (10.3.2)
В общем случае эти уравнения можно решить только
численно. Однако, значительного понимания можно достичь, переписав их
как уравнения Ньютона движения частицы в эффективном
потенциале U(W, V) = - (V2W - olW2 — V2). В этой механической
аналогии производные первого порядка в (10.3.1) и (10.3.2) играют роль
«анизотропной» диссипации. Решение этих уравнений отвечает
особым (сепаратрисным) траекториям в четырёхмерном фазовом
пространстве (V, W,dV/dr,dW/dr). Эти траектории начинаются в точке
(Vmt lVm, 0,0) при г = 0 и асимптотически приближаются к точке
(0,0,0,0) при г —> оо. Сеператрисы и соответствующие профили
солитонов можно найти численно методом стрельбы [34, 47]. Результаты
суммированы на рис. 10.8 изображением пиковых амплитуд Vm и Wm
в зависимости от параметра волновой расстройки а. Показаны также
радиальные профили для двух членов этого семейства солитонов.
Приближённые аналитические выражения для профилей пучка
можно получить при произвольном а вариационным методом с
плотностью лагранжиана
£ = I [(V±W02 + (ViF)2 4- W2 + aV2 - VW2]. (10.3.3)
Для применения вариационного метода нужно предположить
конкретную форму двух радиальных профилей. Часто в этих целях используют
гауссов вид [41]:
W{r) = Ae-"r\ V(r) = Ве-^г\ (10.3.4)
d2V 1 dV
dr2 r dr
d2W 1 dW
dr2 r dr

428
Гл. 10. Параметрические солитоны
О 5 10 15
Радиальная координата
4 8
Радиальная координата
Рис. 10.8. Пиковые амплитуды пучков накачки и второй гармоники в
зависимости от параметра волновой расстройки а (а). Профили пучка при а = 0,1 (б)
и а = 9 (в) [34]
где А, В, >с и 7 — функции а. Подставив эти выражения в (10.3.3), мы
получим систему четырёх уравнений для А, В, к и 7 из вариационной
задачи. Эти уравнения легко решаются. Решение для к получается из
кубического уравнения
32л:3 + 2ах - а = 0.
(10.3.5)
Остальные параметры связаны с к следующим образом
7 = 4^, В = (1+ 2х)2, А = у/а/Е(1 + 2х)2/х.
(10.3.6)
После нахождения х решением (10.3.5) все параметры солитона будут
известны при любых значениях а. Вариационные результаты хорошо
согласуются с численным решением [41].
Двумерные квадратичные солитоны могут также формироваться
в присутствии пространственного сноса (или относительной
расстройки групповых скоростей в случае временных солитонов). Михалаче
и др. численно нашли двухпараметрическое семейство таких
уединённых волн с нетривиальным наклоном волнового фронта [85, 87].
Особенность таких солитонов в том, что их профиль интенсивности
не круговой, а эллиптический; представляется, что асимметрия свя-

10.3. Квадратичные солитоны в сплошной среде 429
зана со сносом. Как и в одномерном случае [53], двумерные
сносимые солитоны распространяются под некоторым углом к направлению,
определяемому эффектом сноса. В отличие от одномерных сносимых
солитонов это семейство сносимых солитонов описывается решением
системы двух уравнений в частных производных — очевидно более
сложная задача. Численные результаты указывают немонотонную
зависимость мощности солитона от постоянной распространения. Это
свойство означает, что такие сносимые солитоны могут стать
неустойчивыми. Область неустойчивости зависит от двух параметров: волновой
расстройки а и параметра сноса S. Строгий анализ устойчивости этого
класса уединённых волн ещё остаётся открытым вопросом.
Другое обобщение двумерных квадратичных солитонов состоит
в учёте дисперсионных эффектов для пучков накачки и изучении
формирования световых пуль. Для анализа таких квадратичных
солитонов в виде световых пуль использовался вариационный метод [88-90]
приближённого решения (10.1.10) и (10.1.11). Сухорукое развил другой
аналитический подход на основе свойств подобия квадратичных
солитонов [45]; он приводит даже к лучшей аппроксимации радиальных
профилей двумерных квадратичных солитонов.
10.3.2. Экспериментальные результаты. Формирование
устойчивых пространственных солитонов в сплошной нелинейной среде
требует некоторого вида насыщения нелинейности. В 1995 г. было
экспериментально показано, что вызванная х^ параметрическая связь
может приводить к насыщению и, тем самым, к формированию
устойчивых квадратичных солитонов с одновременной компенсацией
эффектов дифракции и сноса [91-93]. В этих экспериментах импульсы
гауссовой формы длительностью 35 пс NdiYAG-лазера с длиной волны
1064 нм и частотой повторения 10 Гц фокусировались на кристалл КТР
толщиной 1 см, формируя пятно размерами 20 или 40 мкм, отвечающее
дифракционной длине около 0,5 или 2 мм, соответственно. Для пучка
диаметром 20 мкм длина кристалла была достаточно большой (20
дифракционных длин) для формирования солитона. На рис. 10.9
показаны профили пучка накачки на выходе при двух пиковых интенсивно-
стях. При низких интенсивностях пучок дифрагирует, как и должно
быть в отсутствие нелинейных эффектов. Однако, выше порогового
уровня интенсивности пучок на выходе прекращает дифрагировать
и даже становится уже, чем входной пучок (правая колонка). Чёткий
осесимметричный профиль наблюдался для пучков как накачки, так
и ВГ. Численное моделирование показывает, как меняется форма
пучка внутри кристалла в процессе ГВГ. В эксперименте использовался
фазовый синхронизм типа II. Энергия импульсов накачки истощалась
более чем на 50% вблизи идеального фазового синхронизма.
При фазовом синхронизме типа II используются два ортогонально
поляризованных пучка и включается параметрическое взаимодействие
трёх волн (два пучка накачки и один пучок ВГ), описываемое (10.1.3)-

430
Гл. 10. Параметрические солитоны
(10.1.5). В этих уравнениях р^ и р2Ш, соответственно, углы сноса
пучков накачки и ВГ, распространяющихся как необыкновенные
волны. Для использованного кристалла КТР эти углы имеют значения
0,19° и 0,28°. Коэффициенты
нелинейной связи по
вычислениям составляли 6 см"1 при
входной интенсивности 1 ГВт/см2.
Для кристалла длиной 1 см
можно было пренебречь
линейным и нелинейным поглощением.
В режиме сильной связи процесс
трёхволнового смешения весьма
отличается от случая кубичной
нелинейности, описываемого
кубическим НУШ. Как видно из
рис. 10.9, численные
предсказания прекрасно согласуются, как
качественно, так и
количественно, с экспериментальными
измерениями ширины пучка.
На рис. 10.10, а показано, как
зависит ширина пучка от
пиковой интенсивности вблизи
фазового синхронизма. Когда
интенсивность превышает 10 ГВт/см2,
ширина пучка становится
меньше, чем её входное значение
(20 мкм), и ограничивается
размером 12,5 мкм для интенсивно-
стей выше 80 ГВт/см2, что
ясно демонстрирует процесс
формирования квадратичного солитона.
Тот же вид эволюции
наблюдается на самофокусировочной стороне от фазового синхронизма (ДА: > 0),
за исключением того, что пороговое значение интенсивности накачки
уменьшается. В отличие от этого, существенные изменения
наблюдаются при отрицательных значениях волновой расстройки (ДА: < 0).
На рис. 10.10,6 показана зависимость ширины выходного пучка от
интенсивности накачки при ДА: L = —5п. Сначала ширина пучка
возрастает до больших значений (100 мкм) из-за самодефокусировки,
происходящей при этих условиях. Однако она начинает быстро убывать,
когда интенсивность превышает 15 ГВт/см2, и при интенсивностях,
превышающих 30 ГВт/см2, формируется квадратичный солитон с
диаметром около 16 мкм. Это свойство связано с волноводным
распространением, вызванным параметрическим усилением. При больших пиковых
интенсивностях на входе рост ВГ истощает оба пучка накачки. Со вре-
Рис. 10.9. Профили входного и
выходного пучков при пиковых
интенсивностях 100 МВт/см2 (слева)
и 10 ГВт/см2 (справа),
наблюдавшиеся в процессе ГВГ внутри
кристалла КТР длиной 1 см. Результаты
численного моделирования показаны
посередине. При высоких
интенсивностях ясно виден пространственный
снос [91]

10.3. Квадратичные солитоны в сплошной среде 431
О 20 40 60 80 100 120 0 20 40 60 80 100
Пиковая интенсивность, ГВт/см2
Рис. 10.10. а) Измеренная ширина пучка в зависимости от пиковой
интенсивности вблизи фазового синхронизма для пучка накачки с шириной на
входе 20 мкм. б) То же, что (а), но при отрицательной волновой расстройке
(AkL = —57г), приводящей к самодефокусировке при низких мощностях [91]
менем энергия от пучка ВГ передаётся накачке посредством
преобразования с понижением частоты. Результирующее параметрическое
усиление направляет два поля накачки, которые в свою очередь канали-
руют поле ВГ.
Векторный характер процесса ГВГ типа II в кристалле КТР можно
использовать для чисто оптического переключения [71-73]. Если
интенсивности накачки 10 и 1е (обыкновенной и необыкновенной волн,
соответственно) на выходе различаются, явление, называемое
увлечением солитона, может сместить положение квадратичного солитона,
и этот сдвиг можно использовать для чисто оптического
переключения. Например, если интенсивность обыкновенного пучка больше,
чем у необыкновенного, направление распространения солитона
«затягивается» в сторону обыкновенного пучка накачки. На рис. 10.11
показаны численные результаты для пропускания через апертуру,
расположенную на выходе кристалла КТР длиной 1 см. Полная мощность,
прошедшая через апертуру, падает от 45% до менее 5%, когда
относительное различие интенсивностей, определяемое как (1е — 10)/1оу
меняется от отрицательных значений к положительным. Это изменение
вызвано боковым смещением квадратичного солитона. Ожидается
резкое отклонение пучка в зависимости от различия интенсивностей, так
как положение солитона смещается на столь большую величину как
60 мкм вблизи определённого значения различия интенсивностей. Это
наблюдалось экспериментально при введении полуволновой пластинки
на пути входного пучка накачки для управления различием
интенсивностей. Когда вход был смещён к обыкновенной поляризации, квад-

432
Гл. 10. Параметрические солитоны
ратичный солитон распространялся в направлении, перпендикулярном
входной грани кристалла. При сдвиге в сторону необыкновенной
поляризации солитон распространялся под углом, близким к углу сноса.
При определённом положении полуволновой пластинки на выходе
кристалла одновременно наблюдались два солитона.
20
о |
«г
I
-20 В
2
о
о
-40 §
О
W
-60
-0,09 -0,06 -0,03 0,0 0,03 0,06
Различие интенсивностсй
Рис. 10.11. Доля мощности, прошедшей через узкую диафрагму, в зависимости
от относительного различия интенсивностей двух ортогонально
поляризованных пучков накачки. Пунктирной линией показан сдвиг положения пучка
накачки [93]
Большая часть экспериментов с квадратичными солитонами
требует входных интенсивностей выше 10 ГВт/см2, так как нелинейности
второго порядка обычно ~1 пм/В. Прогресс в методе квазисинхронного
взаимодействия (КСВ) для параметрических процессов привёл к
разработке образцов объёмного LiNb03 с эффективной нелинейностью
около 17 пм/В. Такие устройства были использованы в эксперименте
1999 г., в котором применение фазового синхронизма типа I привело
к формированию квадратичных солитонов при интенсивностях накачки
только 1 ГВт/см2 на длине волны 1064 нм [94]. Такая геометрия имеет
дополнительное преимущество в том, что в ней нет сноса между
пучками накачки и ВГ.
В другом эксперименте [95] формирование квадратичных солитонов
наблюдалось в более общем трёхволновом параметрическом процессе.
Как параметрический генератор использовался кристалл трибората
лития (LBO) длиной 15 мм. Он накачивался импульсами длительностью
1,5 пс на длине волны 527 нм. Так как сигнальная и холостая волны
нарастали из квантового шума, их частоты ш3 и ис определялись усло-
j I i I i I i I i I i U

10.3. Квадратичные солитоны в сплошной среде 433
виями фазового синхронизма и сохранения энергии 2ир =ш3 +<*>с. где
шр — частота накачки. Когда энергия импульса превышала I мДж при
входном диаметре пучка накачки 57 мкм, выходной пучок сокращался
до пятна диаметром только 12 мкм. Из численного моделирования на
основе (10.1.3)—(10.1.5) и экспериментальных результатов можно
придти к выводу о формировании трёхволновых параметрических солитонов
вследствие взаимного каналирования трёх пучков.
В родственном эксперименте [96] кристалл КТР использовался
для создания вырожденного параметрического усилителя, в котором
ш3 = <*>с = с^р/2. Этот случай был изучен теоретически в [73]. В
эксперименте для инициирования трёхволнового параметрического
смешения вводился слабый затравочный пучок на сигнальной частоте.
Детально исследовалось влияние отстройки от точного условия
фазового синхронизма. Интересен результат, что мощность квадратичного
солитона, связанного с выходным сигналом, была постоянной при
изменении величины входного сигнала на пять порядков. Это является
следствием высокого параметрического усиления и свойств солитонов
как собственных мод, определяемых в этом случае исключительно
интенсивностью пучка накачки.
10.3.3. Поперечная модуляционная неустойчивость. Как
обсуждалось в предыдущих главах, формирование оптических
солитонов тесно связано с явлением модуляционной неустойчивости [77].
Поперечная модуляционная неустойчивость ассоциируется с распадом
оптического пучка по обоим поперечным направлениям с
формированием множественных пространственных филаментов. Для квадратичных
солитонов такая неустойчивость была впервые изучена теоретически
в [97-100]. Экспериментально она наблюдалась при использовании
кристалла КТР длиной 1 см [101]. Пучок накачки в этом
эксперименте по ГВГ имел форму сильно вытянутого эллипса, показанную
на рис. 10.12, а. Когда интенсивность накачки на входе приближалась
к критическому значению, выходной пучок преобразовывался в
одиночный солитонный пучок [102]. При уровне интенсивности на
входе 48 ГВт/см2, превосходившем это критическое значение более чем
в четыре раза, наблюдался набор четырёх солитонов (рис. 10.12,6),
причём каждый солитон имел приблизительно круговую форму [101].
Число солитонов возрастало до шести, когда интенсивность на входе
увеличивалась до 57 ГВт/см2. Генерацию такого набора квадратичных
солитонов можно пояснить простыми физическими аргументами.
Поперечная неустойчивость разбивает пучок на множественные филамен-
ты, которые в свою очередь испытывают самофокусировку, формируя
множественные солитоны. В процессе этой эволюции часть энергии
высвечивается, но каждый двумерный солитон является устойчивым
объектом.
Ситуация несколько иная в щелевом волноводе, в котором
размер пучка в одном поперечном направлении определяется волноводом.

434
Гл. 10. Параметрические солитоны
Рис. 10.12. Фотографии, показывающие формирование набора квадратичных
солитонов посредством развития поперечной модуляционной
неустойчивости: эллиптический входной пучок (а); выходной пучок при интенсивности
48 ГВт/см2 (б); выходной пучок при интенсивности 57 ГВт/см2 (в) [101]
Входной пучок вновь разбивается на множественные филаменты
вследствие модуляционной неустойчивости. Однако филаменты не
развиваются в квадратичные солитоны, так как они не могут изменить свой
размер в направлении, определяемом волноводом. В образцах
практически используемой длины (несколько дифракционных длин) солитоны
не формируются. Фактически сильное взаимодействие множественных
филаментов существенно затрудняет интерпретацию наблюдаемых
результатов.
В эксперименте 2000 г. [103] пучок накачки в виде
последовательности сверхкоротких импульсов вводился в кристалл ВВО, вырезанный
для фазового синхронизма типа I, в конфигурации, близкой к
использованной в более раннем эксперименте [104]. Длина кристалла была
17 или 25 мм. Наблюдалось, что из-за наличия дисперсии групповой
скорости пространственно-временная неустойчивость ведёт к
квадратичным солитонам и их зависящей от интенсивности филаментации.
Физика формирования солитонов отчасти напоминает наблюдавшуюся
в кристаллах КТР [101]. Основное отличие в том, что квадратичные
солитоны локализованы также во времени, аналогично световым
пулям.
Квадратичные солитоны могут также генерироваться вследствие
других видов неустойчивости [77]. Например, введённые во входной
пучок вихри (с интенсивностью, достаточной для создания
квадратичных солитонов) могут испытывать различные типы поперечной
азимутальной неустойчивости, которая приводит к формированию
множественных квадратичных солитонов [105]. Обычно в эксперименте
формировались три квадратичных солитона, когда кольцеобразный
вихревой пучок с фазовой сингулярностью распадался вследствие
неустойчивости.
10.3.4. Рассеяние и слияние солитонов. Система уравнений
(10.1.10) и (10.1.11) не инвариантна по отношению к преобразованию
Галилея. Однако, при а = 2 (то есть, для пространственных солитонов)

10.3. Квадратичные солитоны в сплошной среде 435
эти уравнения становятся инвариантными к такому преобразованию.
Тогда можно ввести квадратичные солитоны, движущиеся с
постоянной скоростью, посредством следующего калибровочного
преобразования:
V(r, z) = V8(r - Cz) exp [г(С • r)/2 - iC2z/4], (10.3.7)
W(r, z) = Ws{t - Cz) exp [г(С • r) + i5Cxz - iC2z/2], (10.3.8)
где вектор «скорости» С = (СХ,СУ) характеризует скорость смещения
пучка в поперечной плоскости х-у.
С учётом этого преобразования можно исследовать различные
типы столкновений двумерных квадратичных солитонов, численно
решая (10.1.10) и (10.1.11). Такие столкновения интенсивно изучались
в одномерной геометрии [61-64]. Аналогично случаю керровских
солитонов, характер столкновений сильно зависит от начальной
относительной фазы между двумя квадратичными солитонами.
Аналогичное поведение наблюдалось для лобовых столкновений двумерных
квадратичных солитонов [34, 107]. Когда относительная фаза двух
сталкивающихся солитонов равна нулю, солитоны притягивают друг
друга и в конце концов сливаются в одиночный двумерный солитон
с большей амплитудой. Амплитуда этого «сплавленного» солитона
осциллирует, что указывает на возбуждение внутренней моды [48].
Однако, когда фазы двух сталкивающихся солитонов значительно
отличаются (7г/4 < Аф < 77г/4), взаимодействие между ними становится
отталкивательным и оба солитона сохраняются после столкновения
при некотором обмене энергией.
Экспериментальное наблюдение устойчивых двумерных
солитонов в средах с насыщающейся нелинейностью инициировало
детальное изучение взаимодействия квадратичных солитонов; была
развита теория непланарных (то-есть, полностью трёхмерных)
столкновений х^"солитонов [106]. В аналитической модели, способной
описать рассеяние, спиральное движение и слияние солитонов, (10.1.10)
и (10.1.11) преобразуются в консервативную механическую систему,
описываемую лагранжианом
С = i MRR2 + i М^ф2 - U{R,1>), (10.3.9)
где R = у/Х2 + Y2 — относительное расстояние между
взаимодействующими солитонными пучками, X и Y — расстояния между солитонами
по направлениям х и у и *ф = ф\ — <1>2 — относительная фаза между
солитонами. Эффективные массы зависят от профилей интенсивности
двух пучков и вычисляются по соотношениям
MR = тг | J(|t/(r)|2 + 2a\w(r)\2)r dr, Мф = -2^, (10.3.10)
—оо

436
Гл. 10. Параметрические солитоны
где г = у/х2 + у2. Интеграл в последнем уравнении вычисляется
численно через профили интенсивности осесимметричных квадратичных
солитонов [34]. Эффективная потенциальная энергия, описывающая
притяжение или отталкивание двух солитонов, определяется как
U{Ryxl>) = ^-^ + Ux(R)cosip + U2(R) cos (2iP), (10.3.11)
где U\ и С/г зависят от степени перекрытия двух солитонов.
Прицельный параметр s связан с расстоянием До между траекториями
невзаимодействующих солитонов и С = До — относительная скорость
солитонов до их взаимодействия.
Когда расстояние между двумя взаимодействующими солитонами
велико, их взаимодействие определяется перекрытием хвостов.
Вдали от центра пучка амплитуды солитона можно найти приближённо
асимптотическим методом и они даются выражениями
v(r) ~ -7=-ехр(-л/19г), w(r) ~ —= ехр [-у/а(20 + Д) г].
(10.3.12)
Используя эти результаты, находим U\ и С/г:
В
С/,(Д) = --^ехр(-^Д), U2(R) = --^ехр[-^(Д + 2/3)Д],
(10.3.13)
где положительные постоянные А и В определяются численно.
Механическую модель с
лагранжианом (10.3.9) можно применить
для предсказания результата
столкновений солитонов. Как показано
на рис. 10.13, характер сил
взаимодействия сильно зависит от
относительной фазы ip [107]. В случае
противофазных столкновений (ф = 7г)
«центробежная сила», определяемая
первым членом в (10.3.11), и сила
прямого взаимодействия,
описываемого вторым членом (U\(R)cosxp),
обе отталкивающие. В
результате два солитона не могут
сблизиться. Действительно, они
отталкивают друг друга и отражаются
назад, как видно из рис. 10.13, а,
после взаимного спирального
движения. Сценарий взаимодействия
сильно отличается для софазных
солитонов (гр = 0). Этот случай
показан на рис. 10.13,6. Когда 5 сравни-
Рис. 10.13. Трёхмерный вид двух
взаимодействующих квадратичных
солитонов: отталкивание и
спиральное движение солитонов при
гр = тг и s = 3,6 (а); притяжение
и слияние солитонов при ф = 0
hs= И (б) [107]

10.4. Многочастотные параметрические солитоны 437
тельно мало, два солитона сливаются. Это поведение квадратичных
солитонов наблюдалось экспериментально [108]. Два квадратичных
солитона с близкими порогами генерировались в кристалле КТР длиной
2 см запуском двух пучков накачки, пересекающихся внутри
кристалла. Кристалл был достаточно длинным для формирования двух
солитонов и их столкновения. Как известно из теории неинтегрируемых
систем, при управлении углом пересечения пучков можно наблюдать
квазиупругие и неупругие (слияние) столкновения.
10.4. Многочастотные параметрические солитоны
Каскадный режим двух или нескольких нелинейных эффектов
второго порядка в х^ -материалах предлагает такие возможные
приложения как чисто оптическая обработка информации и оптическая связь.
Параметрический процесс с единственным взаимодействием с фазовым
синхронизмом приводит к двухэтапному каскадированию [7].
Например, процесс ГВГ с фазовым синхронизмом типа I включает генерацию
ВГ (о; + и = 2а;) и восстановление поля накачки через параметрический
процесс преобразования частоты вниз (2а; — о; = о;). Эти два процесса
управляются одним взаимодействием с фазовым синхронизмом и они
различаются только направлением преобразования мощности. В ряде
ситуаций возможен одновременный фазовый синхронизм нескольких
параметрических процессов. Интенсивно был изучен простейший
случай двойного фазового синхронизма [109-113]. Он также
перспективен для таких приложений как чисто оптические транзисторы,
увеличенные наведённые нелинейностью фазовые сдвиги и поляризационное
переключение.
10.4.1. Многоэтапное каскадирование. В простейшем варианте
многоэтапного каскадирования пучок накачки с частотой и, падающий
на х^-среду, сначала создаёт ВГ с частотой 2и (процесс ГВГ), а затем
генерируются высшие гармоники в процессе генерации суммарной
частоты. Например, пучки накачки и ВГ могут генерировать третью
гармонику (о; + 2а; = За;) или даже четвёртую гармонику (2а; 4- 2а; = 4а;),
если для этих процессов, как и для ГВГ, одновременно удовлетворяется
условие фазового синхронизма [114]. Когда такие процессы находятся
в приблизительном синхронизме, это может приводить к большому
нелинейному сдвигу фазы волны накачки [111]. Такое многоэтапное
каскадирование может создать новый тип трёхволнового
пространственного солитона, в котором все три волны сохраняют форму внутри
Х^-среды.
Рассмотрим каскадный процесс, в котором единственная накачка
генерирует одновременно вторую и третью гармоники. Следуя методу
раздела 10.1, можно вывести систему трёх уравнений, аналогичную

438
Гл. 10. Параметрические солитоны
(10.1.3)—(10.1.5). Если пренебречь эффектами сноса и ограничиться
волноводной геометрией, эти уравнения можно переписать в виде
2zfc, ^ + ^ф + 2MtA3A*2e~iAk>z + 2k2d2A2A*{e-iAk2Z = 0, (10.4.1)
Qz дх
Ukx ^ + ^ф + 8fc,d, АгА\е~^к** + Akxd2A\e^z = 0, (10.4.2)
oz Qx
Ык{ %k + ^ф + 18Mi A2A{eiAk*z = 0, (10.4.3)
OZ Qx
где di и cfe связаны с элементами тензора у^. В этих уравнениях
А\% Ач и Аз — огибающие полей накачки, второй и третьей гармоник,
соответственно, Д&2 = 2к\ — к2 — волновая расстройка процесса ГВГ
и Д&з = &i + к2 - &з ~" волновая расстройка процесса суммирования
частот.
Как и ранее, полезно ввести нормированные огибающие
AX = -^L, A2 = ^e2i'}*+iAk>*, Az = ^e3i^iAkz, (10.4.4)
2y/did2 "2 2di
где ДА: = Д&2 + Д&з- Перенормировав переменные г и х как z —> z//?
и х —* х/у/2(3к\, получим следующую систему трёх связанных
уравнений: «
г-^- Н j" — w + w v + v и = 0» (10.4.5)
Oz Qx
2i^ + <^-av+X-w2 + w*u = 0, (10.4.6)
dz дх2 2
Зг-^ + —^ - aju 4- xvw = 0, (10.4.7)
OZ Qx
где введены два безразмерных параметра
а = 2(2у9 + Д*а)//3, а, = 3(3/3 + ДВД, (10.4.8)
характеризующих волновую расстройку между двумя фигурирующими
параметрическими процессами. Целиком нелинейное взаимодействие
описывается единым безразмерным параметром среды \ = (3d\/d,2)2 ~
~ 1, чьё точное значение зависит от используемого типа фазового
синхронизма.
Уравнения (10.4.5)-( 10.4.7) описывают параметрическое
взаимодействие трёх волн посредством двухэтапного каскадного процесса в
отсутствие эффектов сноса. Их решение представляет двухпараметри-
ческое семейство квадратичных солитонов, причём роль параметров
играют q и Qj, Аналогично случаю невырожденного трёхволнового
смешения, эти уравнения имеют точное аналитическое решение при
а = а\ = 1. Чтобы найти его, сделаем подстановку
w = wq sch2(rjx)y v = vq sch2(7yx), и = щ sch2(rjx) (10.4.9)

10.4. Многочастотные параметрические солитоны 439
и получим три алгебраических уравнения для четырёх неизвестных
параметров. Их можно решить при Т] = 1/2, когда амплитуда vq
является решением квадратного уравнения 4\Vq + 6vo = 9. Затем находим
амплитуды wo и щ в виде
wl = 9V(3 + 4xu0), щ = {2/3)Xw0vo. (10.4.10)
Двум различным решениям квадратного уравнения (-3(1 ± \/5)/(4х))
отвечают два различных солитона.
В общем случае параметрические солитоны как решения (10.4.5)-
(10.4.7) можно найти только численно. На рис. 10.14 приведены два
примера таких солитонов для двух наборов параметров расстройки а
1,2 г
1,0 b-
I 0,8F
| 0,6 f-
< 0,4
0,2 Ь
0,0
■ ■ ■
-40 -20
J 0,0
0 20 40
Координата х
-10
-5
5 10
Координата х
Рис. ЮЛ4. Примеры трёхволновых параметрических солитонов: а = 0,05 и
а, = 5 (а); а = 5 и а, = 0,35 (0) [112]
и а\. Случай а\ > 1, показанный на рис. 10.14, а, отвечает процессу
генерации суммарной частоты вне условий синхронизма, что приводит
к малой амплитуде третьей гармоники (и обращается в нуль при а\ —»
-* оо). В случае рис. 10.14,6 а много больше, чем а\у и и превышает
амплитуду ВГ v.
10.4.2. Наведённые параметрическим солитоном волноводы.
Когда единственный пучок накачки вводится так, что две его
ортогонально поляризованные компоненты (обыкновенная и необыкновенная
волны в двулучепреломляющем кристалле) создают две ортогонально
поляризованные волны ВГ, может реализоваться другой тип
многоэтапного каскадного параметрического процесса, который включает только
две частоты: и и 2ш. Если обозначить ортогонально поляризованные
компоненты накачки как А и В, а аналогичные компоненты ВГ как S и
Т, то многоэтапный каскадный процесс состоит из следующих этапов.
Сначала волна накачки А генерирует S посредством ГВГ типа I
(обозначаем как AA-S). Затем S и А могут смешиваться и создавать В через
процесс генерации разностной частоты, обозначаемый SA-B. Наконец,
исходная волна накачки А вновь генерируется в процессе SB-A или по
пути AB-S, за которым следует SA-A. Два основных процесса второго

440
Гл. 10. Параметрические солитоны
порядка — AA-S и AB-S — отвечают двум различным компонентам
тензора х^- Различные типы таких многоэтапных каскадных
процессов систематизированы в табл. 10.1.
Таблица 10.1. Различные типы многоэтапных каскадных процессов
Тип
а
б
в
г
Главный процесс
(AA-S, AB-S)
(AA-S, AB-T)
(AA-S, BB-S)
(AA-S, AA-T)
Эквивалентные процессы
(BB-S, AB-S); (АА-Т, АВ-Т); (ВВ-Т, АВ-Т)
(BB-S, АВ-Т); (АА-Т, AB-S); (ВВ-Т, AB-S)
(АА-Т, ВВ-Т)
(BB-S, ВВ-Т)
Чтобы обсудить некоторые уникальные свойства многоэтапного
каскадирования, рассмотрим, как оно может быть использовано в
наведённых солитоном волноводных эффектах в квадратичной среде. Для
этого мы выберем в табл. 10.1 основной процесс (в) в волноводной
геометрии. Он описывается следующей системой трёх связанных урав-
нений: я а &а
2ik{ ^ + ^ 4- 2k{d{SA*e'
dz дх
= 0,
2ikx ?jL + ^4 + 2k{d{SB*e-iAkiZ = 0,
dz дх
(10.4.11)
(10.4.12)
4tfc, 5? + £| + 4fc,di A2eiAkiZ + 4k2d2B2eiAk2Z = 0, (10.4.13)
oz дх
где Afci и Д&2 — параметры расстройки для параметрических
процессов AA-S и BB-S, соответственно.
Как и ранее, введём нормированные огибающие соотношениями
А =
ие
i0z-iAk]z/2
4kixld\
В =
ve
i0z-iAk2z/2
S =
we
2i0z
(10.4.14)
4kiXoy/did2 2k[Xod2
где zq = (/? — Afci/2)"1 и хо = (zo/2k\)1/2 нормируют продольную
и поперечную координаты z и ж, соответственно. Результирующие
нормированные уравнения принимают вид
.ди , ёРи , * л
t-3- + —J - и + u*w = 0,
dz дх2
.8v , d2v , * л
0.dw . d2w . 1 f 2 , 2\ n
(10.4.15)
(10.4.16)
(10.4.17)
где x = Xilx\ и Два параметра волновой расстройки определяются как
(10.4.18)
/?-Afc2/2
1 р-Ыц/2'
4/3
а р-Ыц/2"

10.4. Многочастотные параметрические солитоны 441
Теперь мы ищем сохраняющие форму решения (10.4.15)—(10.4.17).
Прежде всего, отметим, что при v = 0 (или и = 0) эти уравнения
сводятся к (10.2.1) и (10.2.2) для процесса ГВГ типа I, обсуждавшегося
в разделе 10.2 (если положить г = s = 1). Поэтому в этом пределе
солитонное решение даётся (10.2.6) и (10.2.7). Точнее, мы вновь
получаем семейство квадратичных солитонов при различных значениях
параметра волновой расстройки а, как видно из рис. 10.1. При а = 1
известно аналитическое решение.
Когда все три поля отличны от нуля, необходимо решать (10.4.15)-
(10.4.17) численно, положив производные по z равными нулю. Однако,
если считать, что амплитуда v вещественна и много меньше двух
других полей, уравнение (10.4.16) для v можно записать в форме
следующей задачи на собственные значения для эффективного волновода,
созданного полем ВГ wo(x), где wo — решение, полученное при v = 0:
44 + [хт(х) - ai]v = 0. (10.4.19)
ах
На физическом языке дополнительный параметрический процесс
позволяет распространяться пробному пучку на частоте накачки с
ортогональной поляризацией как направляемой моде эффективного
волновода, созданного квадратичным солитоном, генерируемым пучком
накачки с определённой поляризацией. Этот тип волновода отличается
от изучавшегося для солитонов керровскогд типа, так как он связан
параметрически с направляемыми модами. В результате физическая
картина направляемых мод справедлива, грубо говоря, только в случае
стационарных пучков в условиях синхронизма.
Чтобы найти моды параметрического волновода, захваченные
квадратичным солитоном, мы решим (10.4.19), используя решение wo(x),
которое может быть найдено численно. Аналитически мы можем
решить задачу только приближённо, привлекая аналитическое
решение (10.2.12). Направленные моды существуют только при некоторых
дискретных значениях параметра aj, даваемых соотношениями
ajn) = (S-n)2/p2. s = -\ + \{\+AwmXPl)4\ (Ю.4.20)
где целое число п обозначает номер моды (п = 0,1,...) и
локализованные решения возможны при условии п < s. Пространственный профиль
направляемых мод имеет вид
vn(x) = Fschs-n(x/p)ff(-n,25-n+l,5-n+l;C/2), (10.4.21)
где С = 1 - th(x/p) и Я — гипергеометрическая функция. Амплитуда
моды V не может быть определена в рамках линейного анализа.
Поэтому двухволновой параметрический солитон создаёт многомодовый
солитон; при малых значениях а существует большое число
направляемых мод.

442
Гл. 10. Параметрические солитоны
Так как квадратичный солитон создаёт наведённый волновод,
который параметрически связан с его направляемыми модами с
ортогональной поляризацией, динамика направляемых мод может
кардинально отличаться от имеющей место в обычных волноводах на основе
нелинейности керровского типа. На рис. 10.15 показаны два примера
эволюции таких направляемых мод. В первом примере слабый пучок на
частоте накачки усиливается из-за параметрического взаимодействия
внутри наведённого волновода. По мере распространения мода
обменивается мощностью периодическим образом с полем ортогонально
поляризованной накачки. Этот процесс сопровождается только слабым
искажением наведённого волновода, как следует из вида пунктирной
кривой рис. 10.15, а. Из (б) и (в) видно, что такое поведение можно
интерпретировать как обмен энергией между двумя направляемыми
модами с ортогональными поляризациями в волноводе, созданном
полем ВГ. Во втором примере мощность пучка остаётся постоянной при
его распространении в нелинейной среде, как видно из рис. 10.15, г.
Когда ни одно из полей в (10.4.15)—(10.4.17) не мало,
пространственные профили интенсивности трёхкомпонентного солитона можно
найти численно при произвольных значениях параметров волновой
расстройки. Однако, при некоторых частных значениях этих параметров
решения можно выразить в явной аналитической форме. Например,
при а\ = 1/4 найдены два семейства трёхкомпонентных
квадратичных солитонов при а ^ 1, причём при а = 1 происходит бифуркация.
Их можно классифицировать как направляемые моды нулевого и
первого порядков наведённого волновода. Направляемая мода нулевого
порядка имеется при х = 1/3 и характеризуется пространственными
профилями [113]
и(х) = (З/л/2) sch2(:r/2), v(x) = c2 sch(x/2), w{x) = (3/2) sch2(x/2),
(10.4.22)
где c<i = ^3(а — 1). Мода первого порядка имеется при \ = *•
Её пространственные профили даются выражениями и(х) =
= С! sch2(rr/2), v(x) = c2sch2(x/2)sh(a:/2) и w(x) = (3/2)sch2(x/2),
где с, = (9/2 +с2)1/2.
10.5. Квазисинхронное взаимодействие
Хотя квадратичные солитоны наблюдались в кристаллах КТР и
волноводах LiNb03, эффективность процесса ГВГ была сравнительно
низкой и для экспериментов требовалось использование импульсов
модулированной добротности с синхронизацией мод и высокими пиковыми
мощностями. Низкая эффективность частично была вызвана
ограничениями, налагаемыми традиционными методами фазового синхронизма,
основанными на двулучепреломлении и температурной настройке.
В течение 1990-х годов значительное внимание привлёк метод
квазисинхронного взаимодействия (КСВ), повышающий эффективность

10.5. Квазисинхронное взаимодействие
443
40 г
0 -6
О -6
Рис. 10.15. а) Изменения мощности пучков для накачки и (сплошная кривая),
второй гармоники w (пунктир) и пробного пучка v (штриховая линия).
Эволюция v и w показана на (б) и (в), соответственно, г) Стационарное
распространение накачки при \ = 1. Во всех случаях а = 4и исходно vmzx = 0,1 [113]
ГВГ и других параметрических процессов [115]. Метод КСВ
основывается на периодической модуляции нелинейной восприимчивости.
Периодический характер модуляции создаёт решётку х^2\
способствующую компенсации волновой расстройки между волнами накачки и ВГ.
В методе КСВ фазовый синхронизм становится осуществимым при
температурах окружающей среды и без эффектов сноса. Кроме того,
можно использовать новые материалы с сильными нелинейностями,
в которых нельзя добиться фазового синхронизма угловой или
температурной настройкой. Идея КСВ была известна с 1962 г. [116], но только
в течение 1990-х годов экспериментальные трудности были преодолены
при использовании таких методов как инверсия доменов в сегнето-
электрических материалах [117], протонный обмен [118] и травление

444
Гл. 10. Параметрические солитоны
с последующим покрытием [119]. В этом разделе мы опишем свойства
квадратичных солитонов в структурах с КСВ.
10.5.1. Солитоны с квазисинхронным взаимодействием.
Рассмотрим взаимодействие пучка накачки и её ВГ внутри щелевого
волновода с КСВ, как показано на рис. 10.16. Параметрическое
взаимодействие по-прежнему описывается (10.1.6) и (10.1.7), причём d
предполагается меняющимся периодически вдоль оси z и параметр
сноса р положен равным нулю. Ограничивая дифракцию только одним
пространственным измерением и вводя нормировку как в разделе 10.1,
мы можем переписать эти уравнения в виде
i^ + ^ + d(z)WVe-**=0,
dz
.dw i d2w
1 dz + 4 дх2
+ d(z)V2ei0z=O,
(10.5.1)
(10.5.2)
где V и W представляют нормированные амплитуды пучков накачки
и ВГ. Параметр волновой расстройки /3 = Ak(\k\ \xq), где ДА; = 2к\ — к^.
Переменная х нормирована на ширину входного пучка накачки хо, a z
измеряется в единицах дифракционной длины 1<*=|^||хо- Нелинейный
параметр d является периодической функцией z и может быть разложен
в ряд Фурье
ф)= £ dnein*z, (10.5.3)
п=—оо
где х= 27г//р, а 1Р — период х^-решётки.
,(2)
и ■
^
2тг/х
?шшпи
Рис. 10.16. Схема структуры с КСВ, в которой х*2* периодически промодули-
ровано вдоль длины устройства [120]
Во многих физических приложениях решётка КСВ хорошо
аппроксимируется прямоугольной формой, изображённой на рис. 10.16. Тогда
ряд Фурье (10.5.3) содержит только нечётные гармоники, так что
d>2n = 0 и d,2n+\ = 2do/[in(2n + 1)]. При некоторых частных значениях п
(например, т), процесс ГВГ синхронизирован нелинейной решёткой,
так что тх « /3. Если к достаточно велика, динамика хорошо
описывается усреднёнными уравнениями. Физически неравенство тх » 1

10.5. Квазисинхронное взаимодействие
445
означает, что длина когерентности 1С = 27г/ДА; много меньше
дифракционной длины 1^ потому что /3 = 2тг1а/1с-
Мы применим метод усреднения [120] и рассмотрим наиболее
эффективное КСВ первого порядка, положив га = 1. При неточном
фазовом синхронизме в анализе следует учесть остаточную расстройку
/3 = /3 — я. Если разложить V и W в ряд Фурье и сохранить только
главные члены нулевого порядка vq и wo, мы получим следующую
систему связанных уравнений [120]:
*?£ + 5 7ПГ - iXVoti + 7(Ь|2 - М2Ь = 0, (Ю.5.4)
dz 2 дх2
.dwo , 1 SFwq -х 2 о i i2 л
1~дГ + 4 ~faF " Z*^ ~ 27hl™0 = 0,
(10.5.5)
где коэффициенты квадратичной и кубичной нелинейности известны
в явной форме: \ = 2/я- и 7 = (1 — 8/7г2)/х. Отметим сдвиг фазы на
7г/2 в квадратичных членах (множитель г) и противоположные знаки
членов с само- (СМФ) и кросс-модуляцией фазы (КМФ) в (10.5.4).
Можно численно найти солитонные решения (10.5.4) и (10.5.5)
и изучить эволюцию пиковых интенсивностей и пространственных
профилей [120]. Результаты показывают, что свойства квадратичных со-
литонов, полученные при 7 = 0, не сильно меняются при учёте членов
с эффективной кубичной нелинейностью 7- Точность (10.5.4) и (10.5.5)
проверялась прямым решением (10.5.1) и (10.5.2). Пространственные
профили полей КСВ-солитона, найденные-решением (10.5.4) и (10.5.5),
использовались как начальные условия при решении (10.5.1) и (10.5.2).
На рис. 10.17 показаны численные результаты при /? = 0 и х = 10.
Солитон распространяется неискажённым вдоль оси г, хотя пиковые
интенсивности осциллируют с периодом 7г/х.
х
6г
-3 к
-6
10
20 30
2,4
!lt9
2 и
8 я 1,4
9 «
К
0,4
40
z
Рис. 10.17. Контуры интенсивности для пучка накачки в плоскости z—x для
интенсивностей в диапазоне 0,1-1,92 (а\. Пиковые интенсивности для накачки
и второй гармоники при /? = 0 и х = 10 (б) [120]
Усреднённый квадратичный солитон в нелинейной среде с КСВ
можно рассматривать как пространственный аналог солитона ее-

446
Гл. 10. Параметрические солитоны
дущего центра, найденного при распространении импульса в
волоконных световодах с периодическим усилением и управлением
дисперсией [121]. Однако, в отличие от солитона ведущего центра, при
периодической модуляции квадратичной нелинейности не чередуются
типы нелинейности, а вносятся нелинейности высших порядков.
10.5.2. Квазипериодические параметрические солитоны.
Обычно солитоны считаются когерентными локализованными
модами нелинейных систем с частицеподобной динамикой, которая
весьма отличается от нерегулярного и стохастического поведения,
наблюдаемого в хаотических системах. Однако, если нелинейность
достаточно сильна, она может действовать как эффективный механизм
фазового захвата, приводя к большому частотному сдвигу компонент
со случайной фазой. По существу, она может вводить дальний
порядок в некогерентный волновой пакет, тем самым обеспечивая
формирование локальной структуры для квазипериодических мод.
В этом разделе мы покажем, что такие солитоны могут существовать
в форме квазипериодических нелинейных локализованных мод. Как
пример такого явления, мы рассмотрим процесс ГВГ в сверхрешётке
Фибоначчи [125]. Численные результаты показывают возможность
локализованных волн, амплитуда огибающей которых меняется
квазипериодически при сохранении устойчивой хорошо определённой
пространственной формы. Мы назовём такие объекты
квазипериодическими солитонами.
Рассмотрим КСВ-структуру, в которой х^ меняется не
периодически, а квазипериодическим образом. Такие оптические
сверхрешётки служат одномерными аналогами квазикристаллов [123]. Обычно
они предназначены для изучения андерсоновской локализации в
линейном режиме распространения волн. Например, наблюдалось, что
пропускание через квазипериодическую многослойную стопу тонких
плёнок Si02 и ТЮг сильно ослаблялось из-за андерсоновской
локализации [124]. Для процесса ГВГ формировалась нелинейная
квазипериодическая сверхрешётка ЫТаОз, в которой два антипараллельных
домена сегнетоэлектрика расставлялись в порядке последовательности
Фибоначчи [125]. Такие устройства могут генерировать ВГ с
энергетической эффективностью преобразования в диапазоне 5-20%. Их
можно также использовать для эффективной генерации третьей
гармоники [126].
Квазипериодическая КСВ-структура схематически показана на
рис. 10.18, а. В ней используются два типа слоев (отмеченных А и Б)
различной длины 1а и 1в, которые упорядочены по последовательности
Фибоначчи. В каждой паре два слоя имеют х^ с противоположными
знаками, но равными модулями, реализованными в виде
положительных и отрицательных сегнетоэлектрических доменов. Длины 1а
и 1в выбраны так, что 1а = /(1 + ц) и 1В = 1(\ — rrj), где г) и г —
две постоянные. В одной серии расчётов они были выбраны так, что

10.5. Квазисинхронное взаимодействие
447
8°'5Г
* 0,4 L
§ Г
« 0,3 L
S Г Go,i
2 о,2 U
Я ■ Га
и
ЦиЖ
'2.3
ALL
^llu,
20 40 60 80 100
Пространственная частота
Рис. 10.18. Щелевой волновод с квазопериодической КСВ-структурой
суперрешётки, составленной из строительных блоков Л и Б (а); рассчитанный спектр
амплитуды d(z) (б) [122]
77 = 2(т — 1)/(1 4- г2) = 0,34, где т = (1 + \/5)/2 было так называемым
золотым отношением.
По-прежнему для описания процесса ГВГ в такой структуре можно
использовать (10.5.1) и (10.5.2), но функция решётки d(z) уже не
периодична. Однако, так как она следует последовательности Фибоначчи,
её можно разложить в двойной ряд Фурье:
Ф) = £ £ dmn exp (tGm.ns), Gm,n = (m + пт)(2тг/£>), (10.5.6)
где D = tIa + 1в- Так как целые числа тип принимают и
положительные, и отрицательные значения, спектр dmn состоит из большого числа
пространственных частот, находимых сложением и вычитанием
величин, кратных основным волновым числам х\ = 2it/D и k<i = 27rr/D.
Эти спектральные компоненты плотно заполняют всё пространство
Фурье, так как щ и н^ несоизмеримы. На рис. 10.18,6 показан
рассчитанный спектр Фурье dmn при I = 0,1. Наиболее интенсивные пики
отмечены как Gm,n, и они отвечают сравнительно малым значениям
\т\ и |п|.
Для анализа процесса ГВГ в такой квазипериодической КСВ-решёт-
ке (10.5.1) и (10.5.2) решались численно при гауссовой форме пучка
накачки на входе. На рис. 10.19 показана эволюция пучков накачки
и ВГ при низкой (верхний ряд) и высокой (нижний ряд) мощностях
накачки. При низких мощностях накачки нелинейные эффекты
сравнительно слабы. В результате оба пучка расплываются, не формируя
квадратичный солитон. При высоких мощностях накачки нелинейность
становится столь сильной, что приводит к самофокусировке и
взаимному каналированию двух полей с формированием квадратичного
солитона, несмотря на непрерывное рассеяние на квазипериодической
решётке.

448
Гл. 10. Параметрические солитоны
-10h »
-201 I I I I I
0 20 40 60 80 100
2
Рис. 10.19. Контуры интенсивности для пучков накачки (а) и ВГ (б) при
низких входных мощностях (V(0) = 0,25). Ha (в) и (г) демонстрируется, как
при большой мощности накачки (V(0) = 5) формируется квазипериодический
солитон [122]
Важно отметить, что такие квадратичные солитоны не
сохраняют форму точно. Как видно из рис. 10.19, пучки и накачки, и ВГ
самоканалированы, но их пиковые интенсивности и ширины
меняются квазипериодически. Оказывается, что после окончания начального
переходного процесса пиковые интенсивности обоих пучков
осциллируют противофазно и следуют квазипериодическому характеру d(z).
Это иллюстрирует рис. 10.20. На рис. 10.20,6 показан более детально
асимптотический режим вместе со структурой КСВ-решётки. Спектр
амплитудных осцилляции близок к спектру КСВ-решётки,
приведённому на рис. 10.18,6.
Численные результаты показывают, что квазипериодические
солитоны могут генерироваться в широком диапазоне параметра волновой
расстройки /3. Амплитуда и ширина солитонов зависят от эффективной
расстройки, определяемой различием между (3 и ближайшим сильным
пиком Gm,n в спектре Фибоначчи, показанном на рис. 10.18. Поэтому
низкоамплитудные широкие солитоны возбуждаются при значениях (3
между спектральными пиками, но высокоамплитудные узкие солитоны
генерируются, когда величина /3 близка к сильному пику. Важно,
0 20 40 60 80 100

10.6. Родственные вопросы
449
90 92 94 96 98 100 99,2 99,6 100
z z
Рис. 10.20. Осцилляции пиковой интенсивности пучков накачки и ВГ (а).
Детальный вид в диапазоне z от 99 до 100 (б). Показаны также строительные
блоки Фибоначчи Л и Б [122]
что такое самоканалирование происходит так, что квазипериодичность
нелинейной решётки проявляется в изменениях амплитуды обеих
компонент КСВ-солитона.
10.6. Родственные вопросы
10.6.1. Конкурирующие нелинейности. Нелинейный отклик
любого х^-материала всегда включает нелинейность следующих
порядков (кубичную, или х^)» которая при определённых условиях
может стать достаточно важной, чтобы конкурировать с
х^-нелинейностью. Влияние кубичной нелинейности на ГВГ и другие
параметрические процессы второго порядка изучалось с начала 1980-х годов;
показано, что она ведёт к таким эффектам как искажения спектра ВГ
и насыщение эффективности конверсии во ВГ [127-129].
Существуют несколько физических механизмов, приводящих к
конкуренции двух типов нелинейности. Прежде всего, любой
х^-материал имеет собственную х^-нелинейность, которая становится важной
при высоких мощностях, когда накачка и её ВГ не точно
синхронизированы. Второй механизм относится к методу КСВ. Как обсуждалось в
разделе 10.5, процесс ГВГ в КСВ-среде всегда подвержен действию
наведённой кубичной нелинейности, проистекающей из некогерентной
связи волн при дифракции на пространственной (КСВ) решётке [120].
Другой механизм, который может приводить к кубичным
нелинейным членам в обычной модели параметрических процессов на основе
Х^2\ вызван некогерентной связью двух основных взаимодействующих
волн с другими модами, которые могут существовать и возбуждаться
из-за каскадных эффектов высших порядков. Такова ситуация,
например, когда ГВГ происходит в волноводе, который поддерживает
единственную моду на частоте накачки о;, но две моды на частоте
2и. Аналогичная ситуация может возникнуть в случае многоэтапного
каскадирования, когда учитывается влияние других процессов второго

450
Гл. 10. Параметрические солитоны
порядка, включая генерацию суммарных и разностных частот [112,
113]. Если условия синхронизма приблизительно выполнены только
для одного из таких процессов, остальные можно рассматривать в
каскадном пределе, который всегда приводит к кубичным нелинейным
членам. Коротко говоря, любая параметрическая связь с ненулевой
расстройкой приводит к эффективной кубичной нелинейности в
динамических уравнениях для параметрически связанных гармоник. Ясно, что
конкуренция квадратичной и кубичной нелинейностей является общим
физическим явлением и происходит во многих физических ситуациях.
Эволюция параметрических солитонов в нелинейных средах с
конкурирующими квадратичной и кубичной нелинейностями привлекла
значительное внимание в недавние годы [130-136].
10.6.2. Параметрические вихревые солитоны. Как
обсуждалось в гл. 8, вихревые солитоны с центральным провалом могут
формироваться в кубичной нелинейной среде, так что пучок имеет форму
«бублика». Естественно рассмотреть существование и устойчивость
таких уединённых волн с осевой симметрией в среде с квадратичной
нелинейностью. В случае кубичной среды вихревые солитоны могут
облад^ь осевой симметрией без какой-либо угловой зависимости [137]
или же они могут иметь спиральный вид [138]. В квадратичных
средах ожидается существование обоих типов параметрических вихревых
солитонов. Для таких солитонов пучки и накачки, и ВГ имеют форму
бублика с вихревой структурой.
Чтобы найти решения (10.1.10) и (10.1.11) с нетривиальной угловой
зависимостью, нужно искать решения с осевой симметрией в форме
v(x,y,z) = V(r) exp [t(xz + 1ф)], (10.6.1)
w(x,y,z) = W(r)exp[2i(xz + l<f>)], (10.6.2)
где г = у/х2 + у2 — радиальная координата, ф — полярный угол
и целое число I характеризует угловой момент квадратичного соли-
тона. Случай I = 0 отвечает двумерным квадратичным солитонам,
обсуждённым выше в разделе 10.3. Локализованные решения с Z Ф 0
могут существовать, только если V и W одновременно обращаются
в нуль при г —► 0. Такие осесимметричные кольцеобразные
уединённые волны называют бубликовыми солитонами [139]. Они обладают
конечным орбитальным угловым моментом, характеризуемым /, и
обычно неустойчивы и распадаются на несколько филаментов, которые
разлетаются по касательным к исходному кольцу как свободные
частицы. Аналогичный сценарий реализуется для вихревых солитонов,
формирующихся в кубичной среде с насыщающейся нелинейностью
и наблюдавшихся экспериментально в парах Rb [139-141].
Параметрические вихревые солитоны анализировались численно
и наблюдались экспериментально [142-146]. В численном
моделировании решались (10.1.10) и (10.1.11) с входным пучком накачки, облада-

10.6. Родственные вопросы
451
ющим дислокацией волнового фронта
v(r, 2 = 0) = Ar^eil<t,e-r^w\ (10.6.3)
Процесс ГВГ приводил к генерации пучком накачки нескольких
пространственных солитонов, которые образуются после распада
неустойчивого параметрического вихревого солитона [142]. Численное
моделирование показывает, что все такие вихревые солитоны азимуталь-
но неустойчивы и распадаются на несколько устойчивых двумерных
квадратичных солитонов [144]. В зависимости от характера исходного
возмущения бубликовые вихревые солитоны с / = 2 и 3 распадаются
на четыре или пять индивидуальных квадратичных солитонов.
Обобщение вихреподобных квадратичных солитонов возможно
также в случае трёхволнового параметрического взаимодействия при
фазовом синхронизме типа II [145, 146]. В этом случае вихревой или
бубликовый солитон имеет три компоненты, отвечающие трём
параметрически взаимодействующим волнам, и каждая компонента
обладает конечным орбитальным угловым моментом, определяемым целым
числом /. Как и при двухволновом смешении, все такие солитоны
неустойчивы и распадаются на несколько трёхволновых квадратичных
солитонов с осевой симметрией. Было предложено использование таких
вихревых солитонов для разработки оптических устройств, в которых
информация обрабатывается смешением орбитальных угловых
моментов (называемых также топологическим зарядом) трёх оптических
пучков [146].
Квадратичные вихревые солитоны с ненулевым фоном
представляют обобщение тёмных вихревых солитонов, формирующихся в
х^-среде (см. гл. 8), на х^_сРеДУ- Впервые они анализировались в 1998 г.
в форме двух параметрически связанных вихревых мод [67]. Для
возбуждения таких солитонов необходимо поле накачки с закруткой фазы
на 27Г в центре пучка ВГ. Возможны два типа таких параметрических
вихрей [136]. В случае гало-вихря два связанные ядра вихря окружены
светлым кольцом его ВГ. В другом случае кольцеобразного вихря
поле ВГ направляет кольцеобразную структуру на частоте накачки.
Важным свойством таких параметрических вихрей служит требование
вклада х^ с дефокусировочным типом нелинейности, что приводит
к стабилизации неустойчивых в противном случае фоновых пучков
накачки и ВГ. Однако такие солитоны трудно наблюдать
экспериментально, так как в реальных х^_матеРиалах кубичная нелинейность
обычно приводит к самофокусировке. Тем не менее, они были созданы
в эксперименте [147], в котором комбинация конечного размера пучка
и поперечного сноса позволила устранить параметрическую
модуляционную неустойчивость. Наблюдалось формирование устойчивого
квадратичного вихревого солитона, у которого в центрах пучков накачки
и ВГ имелись дислокации волнового фронта.

452
Гл. 10. Параметрические солитоны
10.6.3. Параметрические световые пули. Как пояснялось
в гл. 7, световыми пулями называют трёхмерные солитоны, которые
сохраняют форму и во времени, и в пространстве. В случае х^-среды
световые пули представляют сферически симметричные решения
(3 4- 1)-мерного НУШ с керровской или некерровской (переходной
или насыщающейся) нелинейностью [148-150]. Обобщение понятия
световых пуль на случай параметрических солитонов в х^_сРеДах
далеко не очевидно. Основная трудность связана с зависимостью
дисперсии групповой скорости (ДГС) от несущей частоты импульса.
В результате члены ДГС для импульсов накачки и ВГ имеют
различную величину. Это свойство делает многомерные солитоны
сферически асимметричными, причём асимметрия зависит от
отношения коэффициентов ДГС 6Ш = /?2(u>)//?2(2w).
Возможность формирования устойчивых
пространственно-временных х^-солитонов обсуждалась ещё в 1981 г. в частном случае 6Ш = 1
и для идеального фазового синхронизма [5]. В 1990-х годах
рассматривались также некоторые другие частные случаи [21, 78]. В более общей
формулировке эта задача решалась вариационным методом [88-90].
Этот подход можно применить для нахождения приближённых
профилей световых пуль в х^'Средах. В частном случае 6Ш = 1 численные
результаты находятся в разумном согласии с полученными
вариационным методом. Изучалась также устойчивость таких световых пуль
при использовании как критерия Вахитова-Колоколова, так и прямого
численного моделирования [88, 89]. Найдено, что х^-световые пули
всегда устойчивы, если импульсы основной и второй гармоник
распространяются в режиме аномальной дисперсии. Если дисперсия
аномальна только для накачки, х^~пУли квазиустойчивы, если параметр \6\
достаточно мал [88]. Более реалистический случай \6\ > 1 также был
проанализирован теоретически [86, 151].
Экспериментальное наблюдение х^-пуль затруднялось отсутствием
подходящих материалов с достаточно высокой нелинейностью и
большими значениями ДГС с правильным знаком на частотах накачки
и ВГ. В 1998 г. был применён разумный подход, включающий
наклонные волновые фронты, и было продемонстрировано формирование
пространственно-временных х^-солитонов в одном пространственном
измерении [152]. В этом подходе наводилась большая эффективная
(положительная или отрицательная) ДГС и демонстрировалось
пространственно-временное самоканалирование на протяжении одной
дисперсионной длины. Даже в этом случае для формирования
пространственно-временных х^-солитонов требовались длинный нелинейный
кристалл и сверхкороткие импульсы с длительностью <50 фс. Кроме
того, на эволюцию импульса влияли дисперсионные, рефрактивные
и абсорбционные эффекты третьего порядка, и их нужно было
должным образом учитывать при сравнении экспериментальных результатов
с численными. Эксперимент был выполнен в каскадном пределе, в
котором из-за большой положительной волновой расстройки компонента

10.6. Родственные вопросы
453
ВГ квадратичного солитона уменьшалась до столь малых величин, что
достаточно было управлять только ДГС для импульса накачки [152].
В двух экспериментах 1999 г. было реализовано самоканалирование
и в пространстве, и во времени при использовании кристалла LiNbC>3
длиной 1 см, вырезанного для фазового синхронизма типа I [153],
и кристалла метабората бария (ВагВО^ или ВВО) длиной 2,5 см [104].
Для управления ДГС использовался наклон волнового фронта в
каскадном пределе в одном пространственном измерении, и
дифракционная длина в этом измерении была сделана равной дисперсионной
и нелинейной длинам выбором диаметра входного пучка и пиковой
интенсивности. Размер пятна пучка во втором пространственном
измерении выбирался столь большим, что на длине кристалла не
происходило заметной дифракции. Эволюция временного и пространственного
профилей показана на рис. 10.21, где заметна лёгкая асимметрия. Эти
результаты представляют первый пример пространственно-временных
квадратичных солитонов, или параметрических световых пуль, но при
ограничении дифракции только в одном пространственном измерении.
200 400
Задержка, фс
Рис. 10.21. Временное (а) и пространственные (б) профили пространственно-
временного солитона, наблюдавшегося в кристаллах ВВО различной длины
при пиковой интенсивности накачки 8 ГВт/см2 [104]
10.6.4. Дискретные квадратичные солитоны. Для
изготовления молекулярных кристаллических многослойных структур,
аналогичных неорганическим сверхрешёткам, и структур квантовых ям можно
использовать метод молекулярно-лучевой эпитаксии (МЛЭ) [154-157].
Этим методом могут быть выращены даже органические
многослойные структуры высокого оптического качества [156]. Поверхностные
нелинейности в таких материалах могут приводить к новым линейным
и нелинейным оптическим эффектам. Например, были предсказаны

454
Гл. 10. Параметрические солитоны
новые локализованные состояния, названные модами поверхностного
резонанса Ферми [158-161]. Наличие таких состояний может
приводить к формированию нового типа солитонов — солитонов
поверхностного резонанса Ферми [162, 163]. Существование этих
состояний может усилить квадратичную и кубичную нелинейные
восприимчивости [159]. Действительно, резонанс Ферми в молекулярных
системах вполне аналогичен ГВГ в оптике, а поверхностные
солитоны аналогичны квадратичным солитонам, обсуждаемым в этой главе.
Например, точное двухволновое солитонное решение в [162]
представляет переоткрытие решения для квадратичного солитона, известного
в нелинейной оптике с 1974 г. [2]. Аналогично, вариационный подход,
развитый в [44], подобен использованному в нелинейной оптике [41].
Наиболее интересным свойством мод резонанса Ферми,
локализованных на поверхности, служит дискретность модели нелинейной решётки
[164-168].
В этом разделе мы рассмотрим нелинейную решётку, каждый
элемент которой состоит из основной моды, резонансно
взаимодействующей с её В Г [165-169]. Этот вид нелинейной у}^-решётки описывает
набор слабо взаимодействующих идентичных оптических волноводов.
Математически нелинейный процесс описывается системой уравнений,
получаемой дискретизацией (10.2.1) и (10.2.2):
{^t + 77v(Vn+1 + Vn~l) + V*nWn = °' (10'6*4)
г^ +^К+1 + </;»_,) + ^2=0, (10.6.5)
где мы положили г = s = 1 и £ = 0 (снос отсутствует). Параметры r]w
и r\v определяют силу взаимодействия между полями соседних
волноводов. Целое число п меняется в диапазоне от 1 до N, где N —
общее число волноводов. Уравнения (10.6.4) и (10.6.5) можно
рассматривать как обобщение дискретных НУШ, анализируемых в гл. И. Как
указывается там, дискретные НУШ применимы к набору нелинейных
волноводов с кубичной нелинейностью [170], простейшим примером
которых служит направленный ответвитель [171].
Уравнения (10.6.4) и (10.6.5) можно решить точно только при N = 1
и они становятся неинтегрируемыми уже при N = 2. Действительно,
случай N = 2 применим к так называемому х^"ДимеРУ> который,
как известно, обладает хаотической динамикой [165]. Однако,
нетрудно найти стационарные (не зависящие от z) солитоноподобные моды
Х^-Димера, и их устойчивость также анализируется стандартным
образом. Кроме того, в каскадном пределе (большие значения волновой
расстройки) (10.6.4) и (10.6.5) при N = 2 сводятся к интегрируемой
модели направленного ответвителя [171]. Банг и др. [165]
рассматривали этот почти интегрируемый предел и показали, как происходит
переход от стационарных мод к хаотической динамике.

Список литературы
455
Случай больших N более сложен и менее изучен, хотя
стационарные решения 00-6.4) и (10.6.5) известны при N = 4 и 6 [164].
Показано, что при N > 1 эти уравнения поддерживают сильно
локализованные самоканалируемые состояния с чётной и нечётной
конфигурацией, включающей только несколько ближайших ячеек [166-168].
Эти состояния называют дискретными квадратичными солитонами.
В пределе малых амплитуд эти солитоны обладают свойствами,
близкими к наблюдаемым для квадратичных солитонов в континуальной
модели, в том смысле, что они могут не только двигаться поперёк
решётки, но и сливаться при столкновениях.
Нелинейные локализованные моды могут также возникать в
фотонных кристаллах с квадратичной нелинейностью, в которых
периодически меняется линейный показатель преломления [172]. Квадратичная
нелинейность вводилась в тонкие слои, периодически размещённые
в линейной структуре. Анализировались различные типы нелинейных
мод в таких структурах. Детально был изучен случай одного
нелинейного слоя в линейной периодической структуре. Было найдено, что
некоторые свойства двухчастотных нелинейных локализованных мод
близки к свойствам квадратичных солитонов, возбуждаемых в
однородной среде [173].
Список литературы
1. Островский JI.A. И Письма в ЖЭТФ. 1967. Т. 5. С. 331.
2. Карамзин Ю.Н., Сухорукое А. П. // Письма в ЖЭТФ. 1974. Т. 20. С. 730.
3. Карамзин Ю.Я., Сухорукое А. П. // ЖЭТФ. 1975. Т. 68. С. 834.
А.Карамзин Ю.Н., Сухорукое А.П., Филипчук Т.С // Вестник Моск.
ун-та. 1978. Т. 33. С. 73.
5. Kanashov А.А.% Rubenchik A.M. // Physica D. 1981. V. 4. P. 122.
6. Сухорукое А. П. Нелинейные волновые взаимодействия в оптике и
радиофизике. — М.: Наука, 1988.
l.Stegeman G.I., Hagan D.J., Tomer L. // Opt. Quantum Electron. 1996.
V.28. P. 1691.
8. Tomer L. // Beam Shaping and Control with Nonlinear Optics / Ed. by
F. Kajzer and R. Reinish. - N. Y.: Plenum, 1998.
9. Kivshar Yu. S. // Advanced Photonics, with Second-order Optically Nonlinear
Processes / Ed. by A. Boardman et al. — Dordrecht: Kluwer, 1999.
10. Etrich C, Lederer R, Malomed B.A. et al. // Progress in Optics. V.41 /
Ed. by E. Wolf. - Amsterdam: Elsevier Science, 2000. P. 483-568.
11. Torruellas W., Kivshar Yu.S., Stegeman G.I. II Spatial Solitons / Ed. by
S. Trillo and W. Torruellas. - Berlin: Springer, 2001. P. 127-168.
12. Buryak A. K, Di Trapani P., Skryabin D. K, Trillo S. // Phys. Rep. 2002.
V. 370. P. 63.
13. Shen Y.R. The Principles of Nonlinear Optics. - N. Y.: Wiley, 1984.
[Имеется перевод: Шен И.Р. Принципы нелинейной оптики. — М.: Наука,
1989.]

456
Гл. 10. Параметрические солитоны
14. Butcher P.Ny Cotter D. The Elements of Nonlinear Optics. — Cambridge:
Cambridge University Press, 1992.
15. Boyd R. W. Nonlinear Optics. — San Diego: Academic Press, 1992.
16. Buryak A. V.y Kivshar Yu.S. // Phys. Lett. A. 1995. V. 197. P. 407.
17. Buryak A. V.9 Kivshar Yu.S. // Phys. Rev. A. 1995. V. 51. R41.
18. Buryak A. V.y Kivshar Yu.S. // Opt. Lett. 1995. V. 20. P. 834.
19. Buryak A. V.y Kivshar Yu.S. // Opt. Lett. 1995. V. 20. P. 1080.
20. Bang O. II J. Opt. Soc. Am. B. 1997. V. 14. P. 51.
21. Hayata K.y Koshiba M. // Phys. Rev. Lett. 1993. V. 71. P. 3275.
22. Schiek R. // J. Opt. Soc. Am. B. 1993. V. 10. P. 1848.
23. Werner M.J.y Drummond P.D. // J. Opt. Soc. Am. B. 1993. V. 10. P. 2390.
24. Werner M.J.y Drummond P.D. // Opt. Lett. 1994. V. 19. P. 613.
25. Buryak A. V.y Kivshar Yu.S. // Opt. Lett. 1994. V. 19. P. 1612.
26. Tomer L.y Menyuk C.R., Stegeman G.I. // Opt. Lett. 1994. V. 19. P. 1615.
27. Ferro D.y Trillo S. // Phys. Rev. E. 1995. V. 51. P. 4994.
28. Tomer L. // Opt. Commun. 1995. V. 114. P. 136.
29. Boardman A.D.y Xie K.y Sangarpaul A. // Phys. Rev. A. 1995. V. 52.
P. 4099.
30. Mihalache D., Lederer Fy Mazilu D.y Crasovan L.-C. // Opt. Eng. 1996.
V.35. P. 1616.
3\.HeH.y Werner M.J.y Drummond P.D. // Phys. Rev. E. 1996. V. 54. 896.
32. Haelterman M., Trillo S., Ferro P // Opt. Lett. 1997. V. 22. P. 84.
33. Tomer L.y Menyuk C.R., Torruellas W.E.y Stegeman G.I. // Opt. Lett. 1995.
V.20. P. 13.
34. Buryak A. V.y Kivshar Yu.S.y Steblina V. V. // Phys. Rev. A. 1995. V. 52.
P. 1670.
35. Buryak A.V.y Kivshar Yu.S.y Trillo S. // Phys. Rev. Lett. 1996. V. 77.
P. 5210.
36. Mihalache D.y Mazilu D.y Crasovan L.-C.y Tomer L. // Phys. Rev. E. 56,
R6294 (1997).
37. Guo Q. II Quantum Opt. 1993. V. 5. P. 133.
38. Kalocsai A. G.y Haus J. W. // Opt. Commun. 1993. V. 97. P. 239.
39. Kalocsai A.G.y Haus J. W. // Phys. Rev. A. 1994. V. 49. P. 574.
40. Kalocsai A.G.y Haus J. W. // Phys. Rev. E. 1995. V. 52. P. 3166.
41. Steblina V. V.y Kivshar Yu.S.y Lisak M.y Malomed B.A. // Opt. Commun.
1995. V. 118. P. 345.
42. Trillo S.y Ferro P. // Opt. Lett. 1995. V. 20. P. 438.
43. He //., Drummond P.D.y Malomed B.A. // Opt. Commun. 1996. V. 123.
P. 394.
44. Agranovich V.M.y Darmanyan S.A.y Dubovsky O.A. et al. 11 Phys. Rev. В
53, 15451 (1996).
45. Sukhorukov A.A. 11 Phys. Rev. E. 2000. V. 61. P. 4530.
46. Pelinovsky D.E.y Buryak A. V.y Kivshar Yu.S. // Phys. Rev. Lett. 1995.
V. 75. P. 591.
47. Tomer L.y Mihalache D.y Mazilu D.y Akhmediev N.N. // Opt. Lett. 1995.
V.20. P. 2183.

Список литературы
457
48. Etrich С, Peschel U., Lederer F. et al. // Phys. Rev. E. 1996. V. 54. 4321.
49. Pelinovsky D.E., Sipe /.£., Yang J. // Phys. Rev. E. 1999. V. 59. P. 7250.
50. Yew A.C., Champneys A.R., McKenna P.J. // J. Nonlinear Sci. 1999. V. 9.
P. 33.
51. Etrich C, Peschel U., Lederer F. et al. // Opt. Quantum Electron. 1998.
V.30. P. 881.
52. Yew A.C, Sandstede В., Jones C.K.R.T. // Phys. Rev. E. 2000. V.61.
P. 5886.
53. Tomer L., Mazilu D., Mihalache D. // Phys. Rev. Lett. 1996. V. 77. P. 2455.
54. Tomer L., Mihalache D., Mazilu D. et al. // J. Opt. Soc. Am. B. 1998.
V. 15. P. 1476.
55. Etrich C, Peschel U., Lederer F.y Malomed B.A. // Phys. Rev. E. 1997.
V. 55. 6155.
56. Etrich C, Peschel U., Lederer F. et al. // Opt. Quantum Electron. 1998.
V.30. P. 881.
57. Tomer L. // Opt. Lett. 1998. V. 23. P. 1256.
58. Schiek #., Baek Y., Stegeman G.I. // Phys. Rev. E. 1996. V. 53. 1138.
59. Baek Y. Cascaded Second-Order Nonlinearities in Lithium Niobate
Waveguides. Ph.D. Thesis. — Orlando: Department of Physics, University of
Central Florida, 1997.
60. Schiek /?., Baek Y.t Stegeman G./., Sohler W. // Opt. Lett. 1999. V. 24.
P. 83.
61. Baboiu D.-M, Stegeman G./., Tomer L. // Opt. Lett. 1995. V. 20. P. 2282.
62. Etrich C, Peschel U., Lederer F.t Malomed B.A. // Phys. Rev. A. 1995.
V. 52. P. 3444.
63. Clausen C.B.y Christiansen PL., Tomer L. // Opt. Commun. 1997. V. 136.
P. 185.
64. Baboiu D.-M., Stegeman G.I. // J. Opt. Soc. Am. B. 1997. V. 14. P. 3143.
65. Baek Y, Schiek /?., Stegeman G.I. et al. // Opt. Lett. 1997. V. 22. P. 1550.
66. Hayata K.% Koshiba M. // Phys. Rev. A. 1994. V. 50. P. 675.
67. Alexander 7.У., Buryak A.V., Kivshar Yu.S. // Opt. Lett. 1998. V. 28.
P. 670.
68. Malomed B.A., Anderson D.y Lisak M. // Opt. Commun. 1996. V. 126.
P. 251.
69. Tran H. T. II Opt. Commun. 1995. V. 118. P. 581.
70. Peschel U.y Etrich C, Lederer F., Malomed B.A. // Phys. Rev. E. 1997.
V. 55. 7704.
71. Leo G., Assanto G., Torruellas W.E. // Opt. Lett. 1997. V. 22. P. 7.
72. Leo G., Assanto G., Torruellas W.E. // Opt. Commun. 1997. V. 134. P. 223.
73. Leo G., Assanto G. // Opt. Lett. 1997. V. 22. P. 1391.
74. Азимов B.C., Сухорукое А.П., Трухов Д.В. II Изв. АН СССР. Сер. физ.
1987. Т. 51. С. 229.
75. Capobianco A.D.y Costantini В., De Angelis С. et al. // Opt. Quantum
Electron. 1998. V.30. P. 483.
76. Buryak A. K, Kivshar Yu.S., Trillo S. // J. Opt. Soc. Am. B. 1997. V. 14.
P. 3110.
77. Kivshar Yu.S., Pelinovsky D.E. // Phys. Rep. 2000. V. 331. P. 117.

458
Гл. 10. Параметрические солитоны
78. Berge L., Mezentsev V.К., Rasmussen J. J., Wyller J. // Phys. Rev. A. 1995.
V. 52. R28.
79. Tomer L., Torruellas W.E., Stegeman G.I., Menyuk C.R. // Opt. Lett. 1995.
V.20. P. 1952.
80. Tomer L., Wright E.M. // J. Opt. Soc. Am. B. 1996. V. 13. P. 864.
81. Tomer L., Mihalache D., Mazilu D. et al. // Opt. Commun. 1995. V. 121.
P. 149.
82. Berge L.y Bang O., Rasmussen J. J., Mezentsev V.K. // Phys. Rev. E. 1997.
V. 55. 3555.
83. Bang O., Kivshar Yu.S., Buryak A. V. // Opt. Lett. 1997. V. 22. P. 1680.
84. Bang O., Kivshar Yu.S., Buryak A. V. et at. // Phys. Rev. E. 1998. V. 58.
5057.
85. Mihalache D., Mazilu £>., Crasovan L.~C., Tomer L. // Opt. Commun. 1997.
V. 137. P. 113.
86. Mihalache /)., Mazilu D., Dorring /., Tomer L. // Opt. Commun. 1999.
V. 159. P. 129.
87. Mihalache D.t Mazilu D., Malomed B.A., Tomer L. // Opt. Commun. 1999.
V. 169. P. 341.
88. Malomed B.A., Drummond P., He H. et al. // Phys. Rev. E. 1997. V. 56.
4725.
89. Skryabin D. V.f Firth W.J. // Opt. Commun. 1998. V. 148. P. 79.
90. Skryabin D. V.y Firth W.J. // Phys. Rev. Lett. 1998. V. 81. P. 3379.
91. Torruellas W.E., WangZ., Hagan D.J. et al. // Phys. Rev. Lett. 1995. V. 74.
P. 5036.
92. Torruellas W.E., WangZ., Tomer L., Stegeman G.I. // Opt. Lett. 1995.
V.20. P. 1949.
93. Torruellas W.E., Assanto G., Lawrence B.L. et al. // Appl. Phys. Lett.
1996. V.68. P. 1449.
94. Bourliaguet В., Couderc V., Barthelemy A. et al. // Opt. Lett. 1999. V. 24.
P. 1410.
95. Di Trapani P., Valiulis G., Chinaglia W., Andreoni A. // Phys. Rev. Lett.
1998. V.80. P. 265.
96. Canva M.T.G., Fuerst R.A., Baboiu D. et al. // Opt. Lett. 1997. V. 22.
P. 1683.
97. De Rossi A., Trillo 5., Buryak A. K, Kivshar Yu. S. // Opt. Lett. 1997. V. 22.
P. 868.
98. De Rossi A., Trillo S.f Buryak A. V., Kivshar Yu.S. // Phys. Rev. E. 56,
R4959 (1997).
99. Baboiu D.-M., Stegeman G.I. // Opt. Lett. 1998. V. 23. P. 31.
100. Skryabin D. V. // Phys. Rev. E. 1999. V. 60. P. 7511.
101. Fuerst R.A., Baboiu D.M., Lawrence B. et al. // Phys. Rev. Lett. 1997.
V. 78. P. 2756.
102. Fuerst R.A., Lawrence B.L., Torruellas W.E., Stegeman G.I. // Opt. Lett.
1997. V.22. P. 19.
103. Liu X.t Beckwitt K.% Wise F. // Phys. Rev. Lett. 2000. V. 85. P. 1871.
104. Liu X.y Beckwitt tf., Wise F // Phys. Rev. E. 2000. V. 62. P. 1328.
105. Petrov D. V., Tomer L., Martorell J. et al. // Opt. Lett. 1998. V. 23. P. 1444.

Список литературы
459
106. Steblina V. V., Kivshar Yu.S., Buryak A. V. // Opt. Lett. 1997. V. 23. P. 156.
107. Steblina V. V., Buryak A. V. // J. Opt. Soc. Am. B. 1999. V. 16. P. 245.
108. Costantini В., De Angelis C, Barthelemy A. et al. // Opt. Lett. 1998. V. 23.
P. 1376.
109. Assanto G., Torelli /., Trillo S. // Opt. Lett. 1994. V. 19. P. 1720.
110. Boardman A.D., Bontemps P., Xie K. // Opt. Quantum Electron. 1998.
V.30. P. 891.
111. Koynov K., Saltiel S. // Opt. Commun. 1998. V. 152. P.96.
112. Kivshar Yu.S., Alexander T.J., Saltiel S.M. // Opt. Lett. 1999. V. 24.
P. 759.
113. Kivshar Yu.S., Sukhorukov A.A., Saltiel S.M. // Phys. Rev. E. 1999. V. 60.
R5056.
114. Ахманов С.А., Дубовик А.И., Салтиел СМ. и др. // Письма в ЖЭТФ.
1974. Т. 20. С. 264.
Ub.Fejer М.М., Magel G.A., Jundt D.H., Byer R.L. // IEEE J. Quantum
Electron. 1992. V. 28. P. 2631.
116. Armstrong J. A., Bloembergen N., Ducuing J., Pershan P.S. // Phys. Rev.
1962. V. 127. P. 1918; Franken P.A., Ward J.F. // Rev. Mod. Phys. 1963.
V. 35. P. 23.
117. Urn E.J., Fejer M.M., Byer R.L. // Electron. Lett. 1989. V. 25. P. 174.
118. Mizuuchi K., Yamamoto K., Taniuchi T. // Appl. Phys. Lett. 1991. V. 58.
P. 2732.
119. Fujimura Г., Suhara 7., Nishihara H. // Electron. Lett. 1991. V. 27. P. 1207.
120. Clausen CB.y Bang O., Kivshar Yu.S. // Phys. Rev. Lett. 1997. V. 78.
P. 4749.
121. Agrawal G.P. Applications of Nonlinear Fiber Optics. — San Diego:
Academic Press, 2001.
122. Clausen СВ., Kivshar Yu.S., Bang O., Christiansen P.L. // Phys. Rev. Lett.
1999. V.83. P. 4740.
123. Schechtman D., Blech /., Gratias D., Cahn J. W. // Phys. Rev. Lett. 1984.
V.53. P. 1951.
124. Gellermann W., Kohmoto M., Sutherland В., Taylor P. С. // Phys. Rev. Lett.
1994. V.72. P. 63.
125. Zhu S., Zhu Y, Qin Y et al. // Phys. Rev. Lett. 1997. V. 78. 26752.
126. Zhu S., Zhu Y, Ming N. // Science. 1997. V. 278. P. 843; Zhu Y. et al. //
Appl. Phys. Lett. 1998. V. 73. P. 432.
127. Телегин JI.C, Чиркин А. С. // Квантовая электроника 1982. Т. 9. С. 2086.
128. Trillo S., Wabnitz S. // Opt. Lett. 1992. V. 17. P. 1572.
129. Kobyakov A., Lederer F., Bang O., Kivshar Yu.S. // Opt. Lett. 1998. V. 23.
P. 506.
130. Комиссарова М.В., Сухорукое А.П. // Изв. АН СССР. Сер. физ. 1992.
Т. 56. С. 1995.
131. Karpierz М.А. // Opt. Lett. 1995. V. 20. P. 1677.
132. Buryak A. V., Kivshar Yu.S., Trillo S. // Opt. Lett. 1995. V. 20. P. 1961.
133. Trillo S., Buryak A.V., Kivshar Yu.S. // Opt. Commun. 1996. V. 122.
P. 200.
134. Bang O., Berge L., Rasmussen J.J. // Opt. Commun. 1998. V. 146. P. 231.

460
Гл. 10. Параметрические солитоны
135. De Rossi A, Assanto G., Trillo S., Torruellas W.E. // Opt. Commun. 1998.
V. 150. P. 390.
136. Alexander T.J., Kivshar Yu.S., Buryak A. V, Sammut R.A. // Phys. Rev.
E. 2000. V. 61. P. 2042.
137. Янкаускас 3.K. // Изв. вузов. Радиофизика 1966. Т. 9. С. 412.
138. Kruglov К/., Vlasov R.A. // Phys. Lett. A. 1985. V. 111. P.401.
139. Firth W.J., Skryabin D. V. // Phys. Rev. Lett. 1997. V. 79. P. 2450.
140. Tikhonenko V., Christou /., Luther-Davies B. // J. Opt. Soc. Am. B. 1995.
V. 12. P. 2046.
141. Tikhonenko V.t Christou /., Luther-Davies B. // Phys. Rev. Lett. 1996.
V. 76. P. 2698.
142. Tomer L.y Petrov D. V. // Electron. Lett. 1997. V. 33. P. 608.
143. Tomer L.y Petrov D. V. // J. Opt. Soc. Am. B. 1997. V. 14. P. 2017.
144. Torres J.P., Soto-Crespo J.M., Tomer L. et al. // J. Opt. Soc. Am. B. 1998.
V. 15. P. 625.
145. Torres J.P., Soto-Crespo J.M., Tomer L.t Petrov D. V. // Opt. Commun.
1998. V. 149. P. 77.
146. Tomer L., Torres J.P., Petrov D. K, Soto-Crespo IM. // Opt. Quantum
Electron. 1998. V. 30. P. 809.
147. Di Trapani P, Chinaglia W.y Minardi 5., Piskarskas A., Valiulis G. // Phys.
Rev. Lett. 2000. V. 84. P. 3843.
148. Silberberg Y. // Opt. Lett. 1990. V. 15. P. 1282.
149. Edmundson D.E.y Enns R.H. // Opt. Lett. 1992. V. 17. P. 596.
150. Edmundson D.E., Enns R.H. // Opt. Lett. 1993. V. 18. P. 1609.
151. Mihalache D., Mazilu D., Malomed В., Tomer L. // Opt. Commun. 1998.
V. 152. P. 365.
152. Di Trapani P., Caironi D., Valiulis G. et al. // Phys. Rev. Lett. 1998. V. 81.
P. 570.
153. Liu X, Qian L.J., Wise F. W. // Phys. Rev. Lett. 1999. V. 82. P. 4631.
154. So F.F., Forrest S.R., Shi Y.Q., Steier W.H. // Appl. Phys. Lett. 1990.
V. 56. P. 674.
155. Imanishi Y., Hattori S., Kakuta A., Numata S. // Phys. Rev. Lett. 1993.
V.71. P. 2098.
156. Nanaka T.t Mori Y, Nagai N. et al. // Thin Solid Films. 1994. V. 239.
P. 214.
157. Bulovic V., Forrest S.R. // Chem. Phys. Lett. 1995. V. 238. P. 88.
158. Agranovich V.M., Dubovsky O.A. // Chem. Phys. Lett. 1993. V. 210. P. 458.
159. Agranovich V.M., Dubovsky O.A., Kamchatnov A.M. // J. Chem. Phys.
1994. V.28. P. 13607.
160. Agranovich V.M., Reineker P., Yudson V.I. // Synthetic Metals. 1994.
V.64. P. 147.
161. Agranovich V.M., Dubovsky O.A., Kamchatnov A.M. // Chem. Phys. Lett.
1995. V. 198. P. 245.
162. Агранович В.М., Камчатное A.M. // Письма в ЖЭТФ. 1994. Т. 59.
С. 397.
163. Agranovich V.M., Darmanyan S.A., Kamchatnov A.M. et al. // Phys. Rev.
E. 1997. V.55. 1894.

Список литературы
461
164. Dubovsky S.A., Orlov А V. // Phys. Solid State. 1996. V. 38. P. 675; Phys.
Solid State. 1996. V. 38. P. 1067.
165. Bang O., Christiansen PL., Clausen C.B. // Phys. Rev. E. 1997. V. 56.
7257.
166. Darmanyan S., Kobyakov A, Lederer F. // Phys. Rev. E. 1998. V. 57. 2344.
167. Darmanyan S., Kamchatnov A., Lederer F. // Phys. Rev. E. 58, R4120
(1998).
168. Peschel Т., Peschel U., Lederer F // Phys. Rev. E. 1998. V. 57. 1127.
169. Kobyakov A, Darmanyan S., Pertsch T. et al. // J. Opt. Soc. Am. B. 1999.
V. 16. P. 1737.
170. Aceves А.В., De Angelis C, Peschel T. et al. // Phys. Rev. E. 1996. V. 53.
1172.
171. Jensen S.M. // IEEE J. Quantum Electron. 1982. V. 18. P. 1580.
172. Sukhorukov A.A., Kivshar Yu.S., Bang O., Soukoulis CM. // Phys. Rev.
E. 2001. V. 63. 016615.
173. Sukhorukov A.A., Kivshar Yu.S., Bang O. // Phys. Rev. E. 1999. V. 59.
R41.
174*. Rosanov N.N., Fedorov S. V. // Phys. Rev. E. 2001. V. 63. 066601.
175*. Розанов H.H. // Опт. спектроск. 2002. Т. 93. С. 808.
176*. Крепостное П.И., Попов В.О., Розанов И.И. // Опт. спектроск. 2002.
Т. 89. С. 964.
177*. Rosanov N.N., Krepostnov PL, Popov V.I. // Chaos. 2003. V. 13. P. 791.
178*. Rosanov N.N., Khodova G. V. // J. Opt. Soc. B. 1990. V. 7. P. 1057.

Глава 11
ДИСКРЕТНЫЕ СОЛИТОНЫ
Периодическая система связанных оптических волноводов
представляет собой особый тип систем, в которых могут быть возбуждены
и экспериментально изучены новые типы пространственных солитонов.
Свойства пространственно локализованных мод в системе волноводов
обычно анализируются в рамках системы уравнений связанных мод,
каждое из которых описывает изменение амплитуды в конкретном
волноводе с учётом его связи с соседними волноводами. В разделе 11.1
мы рассмотрим такую систему связанных волноводов, описываемую
дискретным нелинейным уравнением Шрёдингера (НУШ), и обсудим
локализованные решения этого уравнения, известные как дискретные
солитоны. В разделе 11.2 мы обсуждаем другой метод и моделируем
систему волноводов как периодическую структуру, сформированную
последовательностью тонкоплёночных нелинейных волноводов,
помещённых в линейную на остальных участках диэлектрическую среду.
Эта модель выходит за рамки приближений, принятых при
использовании дискретного НУШ, что позволит нам изучить некоторые
интересные свойства более реалистических систем волноводов. В
разделе 11.3 мы обращаемся к модуляционной неустойчивости,
возникающей в таких нелинейных системах, а в разделе 11.4 описываем светлые
и тёмные пространственные солитоны различных типов, связанные
с этой неустойчивостью. Экспериментальные результаты по генерации
и управлению пространственными солитонами в системах волноводов
суммируются в разделе 11.5. В разделе 11.6 мы представляем два
обобщения дискретных солитонов. Во-первых, мы обсуждаем идею
двумерных сетей, основанных на дискретных солитонах, которые могут
быть полезными в таких операциях обработки информации как
маршрутизация и временная селекция. Во-вторых, мы описываем недавние
идеи и экспериментальные результаты по системам оптически
наведённых волноводов.
11.1. Дискретное нелинейное уравнение Шрёдингера
Дискретные пространственные солитоны были введены впервые
в 1988 г. Кристодулидесом и Джозефом [1], которые изучали
теоретически пространственно локализованные моды оптических структур
(созданных связанными оптическими волноводами) на основе аналогии

//./. Дискретное нелинейное уравнение Шрёдингера 463
с локализованными модами дискретной решётки [2, 3]. Хотя после
1988 г. дискретные пространственные солитоны интенсивно изучались
теоретически [4-9], экспериментально они наблюдались только после
1998 г. в системе одномодовых нелинейных оптических волноводов
[10-15].
11.1.1. Системы связанных нелинейных волноводов.
Стандартный теоретический подход к изучению дискретных
пространственных солитонов основан на анализе решений эффективного дискретного
НУШ [9]. Родственный подход в физике твёрдого тела известен как
приближение сильной связи. Применительно к системе оптических
волноводов это уже приближение слабой связи волноводов, которое
отвечает предположению, что фундаментальные моды всех волноводов
только слабо связаны. Понятие слабой связи возникает и в других
областях, включая изучение нелинейной динамики бозе-эйнштейнов-
ского конденсата в оптических решётках [16].
В I
50мкм
Рис. 11.1. Система слабо связанных оптических волноводов на основе
полимеров (перед нанесением полимерного покрытия), состоящая из 75 одномодовых
волноводов [15]
На рис. 11.1 показан пример системы волноводов, изготовленной
из органического полимера. В общем случае теоретическая модель,
описывающая динамику такого периодической системы нелинейных
оптических волноводов, основывается на обобщении теории двужильного
направленного ответвителя на случай N связанных волноводов [17].
Основное предположение модели состоит в том, что эволюция
медленно меняющихся огибающих поля, связанных с индивидуальными
направляемыми модами однородной системы одномодовых волноводов,
можно описать системой связанных уравнений, учитывающих
взаимодействие только ближайших соседей, возникающее из-за слабого
перекрытия направляемых мод. В случае идеальной системы волноводов
бесконечных размеров (без потерь) с чисто керровской нелинейностью
эта система уравнений принимает вид [1]
№+0An + C{An-i+An+l) + y\An\2An = O, (11.1.1)

464
Гл. 11. Дискретные солитоны
где Ап — амплитуда моды n-го волновода, /3 — линейная постоянная
распространения, С — коэффициент связи и 7 = (^o^VfcA^ff) —
нелинейный параметр, введённый в гл. 1. Здесь щ — оптическая
частота, связанная с модами, n<i — керровский коэффициент и Аек —
эффективная площадь волноводных мод. Производные второго порядка
в (11.1.1) не возникают, потому что мы пренебрегаем всеми
дисперсионными и дифракционными эффектами в каждом волноводе. Эту
бесконечную систему уравнений называют дискретным НУШ. Она
описывает физическую ситуацию разумно хорошо, если пучок
непрерывного излучения падает на большую систему, в которой каждый
волновод описывает единственную моду и ограничивает её по обоим
поперечным направлениям (дифракция отсутствует).
Для системы конечных размеров, состоящей из N волноводов,
индекс п в (11.1.1) меняется от 1 до N с граничным условием
Ао = j4jv+i = 0. Когда N = 2, (11.1.1) описывает хорошо известный
случай нелинейного направленного ответвителя, который полностью
интегрируется [18, 19]. Однако (11.1.1) не интегрируется аналитически
даже при N = 3 и описывает самоканалирование, а также хаотическую
динамику [20, 21]. Нетрудно показать, что при любых N (11.1.1)
обладает следующими двумя интегралами движения:
Р = £ |ЛП|2, Я = £ (р\Ап\* + С\Ап - Ап.х |2 - 2 |АП|4) .
(11.1.2)
Они связаны с двумя сохраняющимися величинами — полной
мощностью Р и гамильтонианом Я, или полной энергией системы [3].
11.1.2. Дискретная дифракция. Хотя внутри каждого волновода
дифракция не происходит, оптический пучок тем не менее может
расширяться в системе в целом из-за связи между волноводами. Обычно
это расширение называют межволноводной, или дискретной
дифракцией. Дифракционные свойства всей системы описываются линейными
членами (11.1.1). Эти уравнения можно решить аналитически, если
пренебречь нелинейным членом. Решение имеет вид плоской волны
Ап — i4oexp(mfcxd + zfczz), где d представляет расстояние между
центрами волноводов в направлении х. Подставив это решение в (10.1.1)
при 7 = 0» мы получим следующее дисперсионное соотношение
между kx nkz [22]:
kz=(3 + 2Ccos(kxd). (11.1.3)
Следуя стандартному определению дисперсии групповой скорости
(ДГС) для оптических импульсов [23], мы можем ввести
дифракционный параметр для системы в целом V = dPkz/dkx. Тогда из (11.1.3)
следует
V = -2Cd2 cos (kxd). (11.1.4)
Важным свойством дисперсионного соотношения (11.1.3) служит
его периодичность по кх. Действительно, вследствие периодичности

//./. Дискретное нелинейное уравнение Шрёдингера 465
и непрерывности этого дисперсионного соотношения существует
максимальный угол 0тах для дифракции плоской волны в системе. В
стандартной терминологии физики твёрдого тела зона Бриллюэна
формируется в диапазоне \kxd\ < п. Собственные моды периодической системы
известны как волны Флоке-Блоха. Такие волны встречаются и в
других разделах оптики, таких как распространение света в волоконнооп-
тических брэгговских решётках или гофрированных планарных
волноводах [24-26]. Они также применялись в области двумерных
оптических решёток [27]. Вообще говоря, подход Флоке-Блоха не основан на
приближении слабой связи и позволяет более общее изучение свойств
периодических сред. Тем не менее, как и в физике твёрдого тела, оба
подхода приводят к качественно одинаковым результатам [28].
Наиболее важной особенностью (11.1.4) применительно к системам
волноводов служит изменение знака дифракционного параметра V во
внешней части зоны Бриллюэна. Положительные значения V в
диапазоне 7г/2 < |fcxd| ^ 7г аналогичны аномальной дисперсии оптических
импульсов. В этом диапазоне дифракционные свойства аномальны,
в том смысле, что они противоположны встречающимся в природе.
Кроме того, дифракция полностью исчезает в двух точках kx = ±7r/2d.
Аналогичные свойства возникают в фотонных кристаллах [29].
Как и для оптического пучка, распространяющегося в сплошной
среде, дифракция в системе волноводов расширяет пучок от одного
волновода к другому при низких мощностях, при которых можно
пренебречь кубическим членом в (11.1.1). В этом линейном случае
бесконечная система уравнений решается аналитически [30]. Если
сначала возбуждён только один волновод, так что Ап = 0 при z = 0
для всех п^О, решение имеет вид
An{z) = A0inJn{2Cz) exp(i(3z), (11.1.5)
где Jn — функция Бесселя n-го порядка. На физическом языке при
распространении пучка непрерывного излучения вдоль волноводов его
мощность рассеивается в большое число соседних волноводов
симметричным образом, так что интенсивности распределены как J„(2Cz)
при любых z. На таком расстоянии, что 2Cz « 2,405, Jo обращается
в нуль и вся мощность в исходном волноводе исчезает. Часть мощности
появляется вновь при дальнейшем распространении, как это
предписывается функцией Бесселя нулевого порядка.
11.1.3. Дискретные пространственные солитоны. Когда
входная интенсивность достаточно велика, так что керровским членом
пренебречь нельзя, (11.1.1) в общем случае аналитически не
решается. Однако, если интенсивность медленно меняется между соседними
волноводами (то есть связь слаба), дискретную систему обыкновенных
дифференциальных уравнений (11.1.1) можно свести к единственному
континуальному НУШ [8], которое может быть решено и которое
описывает одномерные пространственные солитоны, обсуждавшиеся

466
Гл. 11. Дискретные солитоны
в гл.2. Действительно, численное решение (11.1.1) показывает, что
при достаточно высоких уровнях интенсивности распределение поля
в системе хорошо описывается выражением
An(z) = A0sch{Xn/X0)exv(iPz + 2iCz)1 (11.1.6)
где Хп = nd — положение n-го волновода и Хо — ширина дискретного
солитона [1, 7]. Конечно, Хо сравнительно велико, так как хвосты
солитона распространяются на большое число волноводов.
В общем случае умеренной или сильной связи можно найти
численные решения (11.1.1) в форме нелинейных мод, локализованных на
малом числе волноводов [31, 32]. При каждом уровне мощности
имеется решение с центром на одном волноводе и другое решение с центром
между соседними волноводами. На рис. 11.2 показаны примеры двух
типов таких дискретных солитонов. Оказывается, что солитон,
центрированный на одном волноводе, устойчив, так как отвечает минимуму
гамильтониана [5]. Если дискретный солитон принуждён двигаться
в поперечном направлении, он должен перемещаться от одного
волновода к другому, проходя от устойчивой конфигурации к неустойчивой.
Разность между гамильтонианами в двух случаях — так называемый
потенциал Пайерлса-Набарро — учитывает сопротивление, которое
солитон должен преодолеть при поперечном распространении [33].
Этот потенциал возрастает при росте входной мощности. В результате
солитон локализуется на единственном волноводе и эффективно
изолируется от остальной системы. При некоторых входных параметрах
могут формироваться и движущиеся дискретные солитоны, но они
обладают более сложной структурой волнового фронта [31, 34].
Рис. 11.2. Два примера дискретных солитонов, найденные численным
решением дискретного НУШ. Устойчив только солитон, показанный слева (а)
Численное моделирование показывает, что дискретные солитоны
разделяют некоторые основные свойства со стандартными
пространственными солитонами, но отличаются по другим свойствам.
Например, дискретные солитоны, как и пространственные, не всегда распро-

11.2. Общая теория
467
страняются вдоль оси волноводов. Когда дискретный солитон вводится
с линейным градиентом фазы в сечении волноводов, он
распространяется под углом к оси волноводов. Однако, при возрастании
мощности солитона он может менять направление распространения. Было
предложено использование этих свойств дискретных солитонов для
оптического переключения и отклонения пучков на основе солитонов
в системах волноводов [35-40].
Дискретное НУШ (11.1.1) можно также использовать для описания
динамики временных солитонов в системах волоконных световодов,
при его обобщении с включением дисперсионных эффектов,
описываемых параметром /% [23], для каждого индивидуального световода
добавлением члена вида /32(d2An/dt2). Известно, что получающаяся
система N связанных НУШ обладает сложной динамикой даже в
простейшем случае N = 3 [41]. Однако, при всех значениях N эта
система уравнений имеет особые решения, представляющие устойчивые
солитоноподобные импульсы, локализованные не только во времени,
но и в пространственном направлении, перпендикулярном
направлению распространения [42-45]. Такие многомерные пространственно-
временные солитоны могут формироваться даже в случае керровской
нелинейности, так как коллапс предотвращается дискретностью
системы волноводов. Этот механизм подавления коллапса пучка сначала был
найден для (1 + 1)-мерного обобщённого НУШ со степенной
нелинейностью [46, 47].
11.2. Общая теория
Теория дискретных солитонов, основанная на дискретном НУШ,
не учитывает должным образом многие результаты экспериментов для
периодических структур с более сложной геометрией. Когда связь
волноводов не слаба, применимость приближения слабой связи и
следующего из него НУШ становится проблематичной. Например, недавние
эксперименты [48] по измерению структуры запрещённых зон и мод
Флоке-Блоха системы волноводов не могут быть объяснены в рамках
дискретного НУШ, так как оно описывает только одну зону. В этом
разделе мы обратимся к усовершенствованной аналитической модели,
учитывающей структуру зон периодических систем.
11.2.1. Обобщённая аналитическая модель. Существенным
свойством распространения волн в любой периодической структуре
(которое вытекает из теории Флоке-Блоха) является наличие одной
или более запрещённых зон в спектре пропускания. Любой падающий
свет полностью отражается, если его частота попадает в одну из этих
зон. Нелинейные эффекты могут изменить это свойство, так как они
могут привести к формированию локализованных состояний внутри
таких зон. Как указывалось в гл. 5, такие локализованные состояния
называют иногда щелевыми солитонами. Дискретное НУШ, выведен-

468
Гл. 11. Дискретные солитоны
ное в приближении слабой связи, описывает только одну полосу
пропускания, окружённую двумя полубесконечными запрещёнными
зонами. С другой стороны, теория связанных мод, развитая для щелевых
солитонов, описывает только моды, локализованные в изолированной
узкой зоне (см. гл. 5 и [49-52]). В результате она не позволяет
рассмотреть одновременно щелевые солитоны и обычные
пространственные солитоны.
Учёт полной структуры запрещённых зон весьма важен для анализа
устойчивости нелинейных локализованных мод [53]. Особенно важен
такой анализ для нелинейных локализованных мод в фотонных
кристаллах (см. [54] и гл. 12). Поэтому мы рассмотрим периодическую
систему тонкоплёночных нелинейных волноводов, расположенных в
линейной в прочих местах диэлектрической среде [55-57]. Такую
структуру, показанную схематически на рис. 11.3, можно рассматривать как
нелинейный аналог так
называемой гребенчатой решётки
Дирака [58]. В ней явно учитываются
линейные эффекты
периодичности и спектр запрещённых зон;
нелинейные эффекты входят че-"
рез граничные условия и могут
быть изучены аналитически.
Рассмотрим
электромагнитную волну,
распространяющуюся вдоль направления Z
такой структуры, созданной
периодической системой
тонкоплёночных нелинейных волноводов
(см. рис. 11.3). Предполагая, что
структура поля в направлении Y
определяется линейной направляемой модой W(Y; X) щелевого
волновода, запишем полное поле как £(X,Y,Z) = W(X\X)A(X,Z). Тогда
эволюция огибающей А(Х, Z) вдоль оси Z описывается параксиальным
уравнением
^ + щ^+е(Х)коА + д(Х)\А\Ч = 0, (11.2.1)
где ко = ljq/c для пучка непрерывного излучения с частотой щ.
Линейное распространение направляемой волны определяется
диэлектрической проницаемостью е(Х), а д(Х) характеризует керровский
нелинейный отклик тонких слоев. Мы будем считать, что е{Х) и д(Х) —
периодические функции X. Периодичность д{Х) описывает нелинейную
тонкоплёночную многослойную структуру, изображённую на рис. 11.3
[59-61]. С другой стороны, периодичность е(Х) отвечает примесной
зоне в глубокой фотонной запрещённой зоне [62].
Рис. 11.3. Система тонкоплёночных
нелинейных волноводов,
размещённых в линейном щелевом волноводе.
Штриховка указывает
пространственный профиль нелинейной
локализованной моды

11.2. Общая теория
469
Для уменьшения числа физических параметров нормируем (11.2.1),
введя
A(XyZ) = A0<tp(x,z)exp{iekoZ), x = X/d, z = Z/(2kd2), (11.2.2)
где ё представляет среднее значение е(Х), d — характерный
поперечный масштаб (обычно период системы) и Aq — типичная величина
амплитуды поля. Тогда нормированное НУШ примет вид
i^ + ^+?(l;x)4> = 0, (11.2.3)
где / = Щ2 — нормированная интенсивность, а вещественная функция
•jF(/;x)==(2M2){kW-^]fco+^)|A0|2/} (П.2.4)
описывает нелинейные и периодические свойства слоистой среды.
В отсутствие потерь (11.2.3) отвечает гамильтоновой системе, и
для её пространственно локализованных решений сохраняется полная
мощность, определяемая как
оо
Р= [ \rp(x,z)\2dx. (11.2.5)
— СЮ
Важно также отметить, что (11.2.3) описывает эволюцию пучка в
параксиальном приближении и справедливо для волн,
распространяющихся преимущественно вдоль направления z [63]. Точнее, оно
справедливо, если характерная длина, на которой пучок непрерывного
излучения меняет форму, много больше, чем его ширина в поперечном
направлении х. Это приводит к условию, что диэлектрическая
проницаемость должна быть слабо промодулирована: \е(Х) —ё\ < \ё\.
Мы ищем сохраняющие форму локализованные решения (11.2.3)
в виде
1>(x,z) = u{x\P)exp(iPz), (11.2.6)
где Р — постоянная распространения. Подставив (11.2.6) в (11.2.3),
найдём, что и(х\ /3) удовлетворяет следующему обыкновенному
дифференциальному уравнению:
^f+.F(J;aOti = /?ti.. (11.2.7)
dx
Если нет потока энергии в поперечном направлении х, функция и(х)
вещественна (с точностью до постоянной фазы, которая устраняется
сдвигом координаты z —► z — zq). Это всегда выполняется для
пространственно локализованных решений, у которых и(х -* ±оо) = 0.

470
Гл. //. Дискретные солитоны
Для упрощения дальнейшего анализа мы предположим, что
линейная периодичность связана только с наличием системы
тонкоплёночных волноводов, и примем следующую форму зависимости Р(1;х):
+оо
T{I\x)= J2 (<* + lI)S(x-nh), (11.2.8)
п=—оо
где h — расстояние между соседними тонкими плёнками (период
решётки) и га — целое число. Полный отклик каждой тонкой плёнки
аппроксимируется дельта-функцией и вещественные параметры а и 7
описывают линейные и нелинейные свойства слоя, соответственно. Без
потери общности нелинейный коэффициент 7 можно нормировать на
единицу, так что 7 = +1 отвечает самофокусировочной, а 7 = -1 —
самодефокусировочной нелинейности. Линейный коэффициент (а > 0)
описывает отклик слабого сигнала и характеризует силу связи между
волноводами. Эта модель, основанная на (11.2.8), впервые была
проанализирована в [56, 57], и её можно рассматривать как нелинейный
аналог гребенчатой решётки Дирака [58].
11.2.2. Дисперсионные характеристики. Мы можем
преобразовать (11.2.7) в дискретное НУШ, представив собственные моды этого
уравнения в виде [63]
и{х) = апе-^х-п^ + Ъпе+^х-п^, (11.2.9)
где nh ^ х ^ (га + \)h и /х = у/]5. Коэффициенты ап и Ьп можно
выразить через амплитуды ип = u(hn) и un+i = u(nh 4- h) на двух
сторонах га-го волновода:
^W' Ьп = ип-ап. (11.2.10)
Подставив (11.2.9) и (11.2.10) в (11.2.7) и (11.2.8), мы найдём, что
нормированные амплитуды Un = \£j\l/2un удовлетворяют следующему
разностному уравнению:
vUn + (Un-l+Un+l) + X\Un\2Un = 0, (11.2.11)
где х = sign (£7)» а параметры £ и rj определяются как
£ = sh(/x/i)//i, n = -2 ch(jih) + а£. (11.2.12)
Оба этих параметра зависят от /? через /х = у/^.
Можно записать линейные решения (11.2.11) при х = 0 в Ф°Р"
ме Un = С/о exp (iKn) и вывести дисперсионное соотношение г) = —
-2 cos If. Поэтому плосковолновые решения с вещественными К
существуют только при 1771 < 2. С другой стороны, нелинейные
локализованные моды с экспоненциально убывающими хвостами могут возникнуть
только при \т)\ > 2 (при мнимом К). Это условие определяет структуру
запрещённых зон в спектре собственных значений. Зависимость rj и £
от постоянной распространения /? показана на рис. 11.4, где полосы

11.2. Общая теория 471
пропускания указаны штриховкой. Последняя полубесконечная
запрещённая зона отвечает полному внутреннему отражению (ПВО).
Другие запрещённые зоны вызваны резонансным брэгговским отражением
(Бр) от периодической структуры.
Линейный анализ устойчивости локализованных мод можно
выполнить, записав решение в виде
1>(x,z) = [u(x) + v(x)eir* + w*(x)e-irz] eif3z (11.2.13)
и рассматривая эволюцию слабых возмущений v и w. Как обычно,
подставив этот вид решения в (11.2.3), мы получим линейную задачу
на собственные значения для
v(x) и w(x). В общем случае
решения этой задачи на
собственные значения попадают в одну из
следующих категорий: (1)
внутренние моды с вещественными
собственными значениями,
которые описывают периодические
осцилляции («дыхание»)
локализованного состояния, (2)
моды неустойчивости,
отвечающие чисто мнимым собственным
значениям с Im (Г) < 0, и (3)
моды колебательной
неустойчивости, которые возникают,
когда собственные значения
комплексны и Im (Г) < 0. Кроме
того, могут существовать
убывающие моды, когда 1т(Г) > 0.
Однако, из структуры уравнений
на собственные значения
следует, что спектр собственных
значений инвариантен к
преобразованию Г —► ±Г*, если
амплитуды ип вещественны (с точностью
до произвольной постоянной
фазы). В этом случае экспоненциально возрастающие и убывающие моды
всегда сосуществуют, и последний вариант не влияет существенно на
динамику. Важно отметить, что функции г/(/?) и £((3) полностью
характеризуют существование всех локализованных и нелокализованных
решений (11.2.3) с функцией отклика (11.2.8).
11.2.3. Аналитические приближения. Теоретическую модель на
основе (11.2.3) и (11.2.8) можно решить аналитически в нескольких
приближениях. Здесь мы рассмотрим три такие случая, называемые
-50-25 0 25 50
-50 -25 0 25 50
Р
Рис. 11.4. Зависимость ц и f от
постоянной распространения /3 для
линейной периодической структуры
с h = 0,5 и а = 10. Штриховка
отмечает полосы пропускания.
Запрещённые зоны, помеченные Бр и ПВО,
отвечают, соответственно, брэгговско-
му и полному внутреннему
отражению [56]

472
Гл. П. Дискретные солитоны
приближением слабой связи, методом связанных мод и двухкомпо-
нентной моделью.
Приближение слабой связи. Если каждый тонкоплёночный
волновод периодической структуры одномодовый, то есть поддерживает
единственную моду, которая слабо перекрывается с модами двух
соседних волноводов, то моды только слабо связаны посредством малого
изменения показателя преломления в волноводах. Тогда свойства
дискретных солитонов можно проанализировать в рамках приближения
слабой связи, обсуждавшегося выше [64].
Для использования этого приближения мы сначала проанализируем
свойства одиночного тонкоплёночного волновода в линейном режиме
и решим (11.2.7) с F{I\x) = аб(х), чтобы найти пространственный
профиль линейной направляемой моды. Решение даётся выражением
ы,(я) = ехр(-а|х|/2), (11.2.14)
а соответствующее значение постоянной распространения /3S = a2/4.
Затем мы рассмотрим взаимодействие между волноводами,
предполагая, что полное поле можно записать как суперпозицию слегка
возмущённых волн, локализованных на изолированных волноводах.
Точнее, предположим, что постоянная распространения остаётся
близкой к своему невозмущённому значению (33 и пренебрежём малыми
изменениями в пространственном профиле локализованных мод. Таким
образом, мы ищем общее решение (11.2.3) и (11.2.8) в форме
+оо
tp{xtz) = ]Г 1>n(z)ua(x-nh). (11.2.15)
п=—оо
В этом приближении эволюция волны характеризуется только
амплитудными функциями ^pn(z).
Чтобы получить соответствующее эволюционное уравнение,
подставим (11.2.15) в (11.2.3) и (11.2.8), умножим получившееся уравнение
на us(x-mh) и проинтегрируем по поперечному профилю моды.
Следуя исходному предположению о слабости взаимодействия волноводов
(справедливому при ah > 1 и Hl^nC-z)!2 «С а), мы используем
приближение \ip(nh, z)\2 ~ \rpn(z)\2 и пренебрежём интегралами перекрытия
оо
и9(х - nh)us{x - rnh) dx при \п - т\ > 1. Тогда мы придём к сле-
—оо
дующей системе связанных дискретных уравнений для амплитуд поля
в нелинейных слоях:
i^+Mn + f'ak/2(i-i + Vw.) + f IW.IV» = 0. (11.2.16)

11.2. Общая теория
473
Стационарные решения (11.2.16) можно записать в виде (11.2.11),
если ввести ipn = \£i\~l/2Unetf3z и определить параметры г\ и £ как
П = -*-(р-^\е°Ы\ £ = 1е°Л/2. (11.2.17)
Q \ 4 / ^
Эти соотношения представляют разложение в ряд исходного
дисперсионного соотношения (11.2.12) у краёв первой полосы пропускания
при ah » 1.
Теория связанных мод. Теперь рассмотрим противоположный
предел a/i « 1, в котором первая брэгговская запрещённая зона узкая
(см. рис. 11.4). Математически мы считаем, что разность \(3\ - /?г|
мала по сравнению с \(3\\ и |/?2|, которые представляют постоянные
распространения на краях запрещённой зоны и получаются
подстановкой условия т)((3) = 2 в (11.2.12). Из этого уравнения следует, что
/?2 = -{к/К)2 и р\ ~ /% + 2a/h + 0[(аЛ)3/2]. Чтобы найти решения
вблизи брэгговской запрещённой зоны, запишем полное поле в виде
i/>(x, z) = a\ (х, г)иь{х\ /3\) + а2(х, г)щ(х; /%), (11.2.18)
где dj с j = 1,2 — неизвестные амплитуды, a Ub(x\(3j) — линейные
функции Блоха, удовлетворяющие (11.2.7) и (11.2.8) при 7 = 0- Эти
функции Блоха можно выписать в явной форме
иь{х\Р2) = sin(хтг/h), щ{х + nft;/?i) = (-l)nsin [y/\J3\\{h/2 - x)]t
(11.2.19)
где 0 ^ х ^ Л. Отметим, что амплитуды поля на слоях равны ип ~
~ (—l)nai(n/i), так как щ{пЬ,;(32) = 0.
Чтобы найти эволюционные уравнения для амплитуд aj и а2,
подставим (11.2.18) в исходные уравнения (11.2.3) и (11.2.8). Затем учтём
то обстоятельство, что запрещённая зона узкая и что вблизи её краёв
функции Блоха промодулированы слабо, то есть \da,j/dx\ «С \a,j/h\
при j = 1,2. Это предположение позволяет сохранить только члены
низшего порядка. Если умножить получающееся уравнение на Ub(x,Pj)
и проинтегрировать его по одному периоду, уравнения связанных мод
примут форму
t^+Ao!-^^=0. (11.2.21)
Уравнения (11.2.20) и (11.2.21) позволяют прямое сравнение
решений теории связанных мод и решений, получаемых в предположении
a,j(x, z) = bj(x)e{Pz, где bj не зависят от z и j = 1 или 2. Кроме того,
так как функции cij промодулированы слабо, их пространственные
производные можно аппроксимировать конечными разностями вблизи
краёв запрещённой зоны, где /? ~ /3j. После простых алгебраических

474
Гл. //. Дискретные солитоны
преобразований мы получим дискретное НУШ (11.2.11) с
параметрами ?7 и £, определяемыми выражениями
тК/?) = 2--^03-/?,)(/?-ft), £(/*) = £(0-ft). (Ц.2.22)
47Г 27Г
Аналогично приближению слабой связи, эти дисперсионные
соотношения можно найти из общего результата (11.2.12) разложением в ряд
около значения /% вблизи края запрещённой зоны.
Двухкомпонентная модель. Принципиальное ограничение
приближения слабой связи и теории связанных мод состоит в том, что
они справедливы только в узких областях около краёв запрещённой
зоны. Действительно, эти два подхода применимы, если
безразмерный параметр ah либо мал, либо велик. В промежуточных случаях
необходимо прибегать к численным решениям точных дисперсионных
уравнений (11.2.12). Однако полезно рассмотреть упрощённую модель,
которая может описывать, по крайней мере качественно, ситуацию
вблизи зоны брэгговского отражения (/?~/?i) и которая справедлива
при ah ~ 1. Для этого мы обобщим приближение слабой связи и
соответствующее дискретное НУШ на этот новый режим.
Уравнение (11.2.16) можно рассматривать как грубую
дискретизацию исходной модели (11.2.3), такую, что на периоде располагается
только один узел при х = nh. Естественное обобщение состоит в
добавлении линейного узла, расположенного между нелинейными слоями
в положениях х = (n + 0,5)/i. Такое обобщение отвечает двухкомпо-
нентной сверхрешётке. Так как показатели преломления в узлах теперь
различаются, мы получим следующую систему связанных дискретных
уравнений:
^+/3l^n + Pl(^n-l/2+^n+l/2)+7|^n|Vn=0, (11.2.23)
*^^+A^n+i/2+«(!fci + ^i+i) = 0> (11.2.24)
где постоянные р\ и рг зависят от а и Л, а 7 — коэффициент
нелинейности, пропорциональный 7-
Как и ранее, в стационарном режиме профиль дискретного солитона
можно выразить через амплитуды Un. Эти амплитуды удовлетворяют
нормированному дискретному НУШ (11.2.11) со следующими
параметрами:
77(/3)=2-(PlP2)-,(i9-/31)(/3-/32), (11.2.25)
e(/3) = 7(7PiP2)-l(^-/?2), (П.2.26)
где параметры р\$ и /?i,2 выбраны так, чтобы удовлетворить точному
дисперсионному соотношению [56].
Нетрудно придти к выводу, что новая модель описывает систему
с полубесконечной запрещённой зоной ПВО и брэгговской зоной с
конечной шириной. Хотя новые дисперсионные соотношения (11.2.25)

11.3. Модуляционная неустойчивость
475
и (11.2.26) похожи на найденные в теории связанных мод (11.2.22),
теория связанных мод справедлива только вблизи единственной
изолированной запрещённой зоны брэгговского отражения. Поэтому двух-
компонентная дискретная модель на основе (11.2.23) и (11.2.24)
представляет важное обобщение теории дискретного НУШ и имеет более
широкую область применимости, чем теория связанных мод.
Три приближённые модели, обсуждённые в этом разделе, позволяют
достичь важного физического понимания, так как они допускают
аналитические решения в некоторых предельных случаях. Мы используем
их в следующем разделе для анализа важных свойств локализованных
и нелокализованных мод в системе нелинейных волноводов.
11.3. Модуляционная неустойчивость
До обсуждения свойств дискретных солитонов,
описываемых (11.2.3) и (11.2.8), полезно рассмотреть устойчивость
плосковолновых решений этих уравнений. Как и в предыдущих главах,
плосковолновое решение становится неустойчивым при некоторых
условиях из-за возникновения модуляционной неустойчивости.
11.3.1. Плосковолновое дисперсионное соотношение.
Плосковолновое решение (11.2.3) и (11.2.8) отвечает одинаковой
интенсивности /о во всех нелинейных слоях и принадлежит к первой полосе
пропускания на рис. 11.4. Это решение можно найти, решив (11.2.11)
подстановкой Un = Uoexp(iKn), где волновое число К лежит в первой
зоне Бриллюэна (\К\ ^ 7г). Привлекая (11.2.11), мы получим
дисперсионное соотношение
К(Р) = Tare cos (I \r,{fi) + апЩ) . (11.3.1)
где мы заменили а в (11.2.12) на а+ 7^0» чтобы учесть нелинейность
слоев. Так как полоса пропускания отвечает условию \т]\ < 2, структура
полосы сдвигается при возрастании интенсивности. Действительно,
из дисперсионного соотношения мы находим следующее соотношение
между постоянной распространения и интенсивностью:
m = -^+m. (п.з.2)
В первой полосе пропускания (3 > -(ir/h)2, что обеспечивает
неравенство £(/?) > 0 (см. рис. 11.4). Из (11.2.12) следует, что при росте
интенсивности постоянная распространения /? возрастает в самофоку-
сировочной среде (7 > 0) и убывает в самодефокусировочной среде
(7 < 0).
Чтобы описать свойства устойчивости этого плосковолнового
решения, мы рассмотрим эволюцию слабых возмущений [65],
подставив (11.2.13) в (11.2.3) и линеаризовав получающиеся уравнения по v
и w. Из периодичности стационарного решения и теоремы Блоха еле-

476
Гл. 11. Дискретные солитоны
дует, что собственные моды линейной задачи на собственные
значения также должны быть периодическими. Если мы выберем решение
в форме
v{x + h) = v{x)e{(q+K\ w(x + h) = w(x)e^q-K\ (11.3.3)
то собственные значения Г находятся из условия разрешимости
[Ч(/3 + Г) + 27«/3 + Г)/0 + 2 cos (q + К)] х [ч(/3 - Г) +
+ 27£(/? - Г)/0 + 2 cos (, - /Г)] = 72£(/? + Щ0 - Г)/02, (11.3.4)
при условии, что все пространственные частоты модуляции q
вещественны. Спектр собсвенных значений состоит из зон и, таким образом,
скорость роста (инкремент) может меняться непрерывно только от нуля
до некоторой максимальной величины. Кроме того, так как спектр
симметричен относительно замены Г —► ±Г*, достаточно рассмотреть
только решения с Re (Г) ^ 0.
11.3.2. Синфазные и противофазные моды. Для нахождения
собственных значений Г условие устойчивости (11.3.4) следует решать
численно. Ниже мы остановимся на двух частных случаях К = 0 и 7г,
которые отвечают двум краям зоны Бриллюэна, и рассмотрим функций
<2(Г) = cos [q(r)]. Стационарные решения для К = 7г и К = 0 называют
противофазными и синфазными модами, соответственно. Амплитуда
моды имеет одну и ту же фазу (Un > 0) для синфазной моды, а для
противофазной моды фазы чередуются между 0 и 7г.
Стационарное решение устойчиво при вещественных Г и
становится неустойчивым, если Г становится комплексным. Предполагая, что
мнимая часть Г сравнительно мала, мы разложим Q в ряд Тейлора
Q(Re Г + zlm Г) = Q(Re Г) + Q;(Re Г)(г Im Г) +
+ iQ//(Rer)(iImr)2 + ...i (11.3.5)
где штрихи означают дифференцирование по аргументу. Так как
функция Q должна оставаться вещественной, второй член этого ряда
должен обращаться в нуль. Поэтому комплексные собственные значения
могут появляться только в критических точках, где dQ/dT = 0.
Этот интересный результат показывает, что неустойчивость можно
предсказать, зная функцию <2(Г) только на вещественной оси и затем
продолжая решение в комплексную область в критических точках
(если они имеются). Частота пространственной модуляции q = arc cos (Q)
вещественна в интервале — 1 ^ Q ^ 1. В результате модуляционная
неустойчивость возникает только в критических точках, где |Q| = 1
или dq/dT = 0. На рис. 11.5 показаны Re (Г) и 1т(Г) в зависимости
от q. Штриховая линия ограничивает область, в которой
модуляционная неустойчивость возникает из-за того, что 1т(Г) становится
ненулевой.

11.3. Модуляционная неустойчивость
477
300 -12 -6
Re Г
12
1шГ
Рис. 11.5. Модуляционная частота q в зависимости от вещественной (слева)
и мнимой (справа) частей собственных значений Г для самофокусировочной
среды с К = 7г, /3 = 7, а = 3, h = 0,5 и \ = + 1- Штриховые линии указывают
неустойчивые области [56]
Модуляционная неустойчивость нелинейных волн Блоха в
периодической среде исследовалась также для бозе-эйнштейновских
конденсатов, формирующихся в оптических решётках [65].
Динамика таких конденсатов описывается в приближении среднего поля
уравнением Гросса-Питаевского, которое математически
эквивалентно (11.2.3) с T(I\x) = v(x) + jl. Было найдено, что синфазные
моды всегда модуляционно неустойчивы в среде с самофокусировкой
(X = sign (7) = +1), но они устойчивы в среде с
самодефокусировкой (х = —1). Тот же вывод сохраняется для дискретных солитонов.
Действительно, так как синфазные моды представляют
фундаментальные нелинейные моды в периодическом потенциале, их осцилляторная
неустойчивость невозможна, а модуляционная неустойчивость может
соответствовать только чисто мнимым собственным значениям Г.
Такая неустойчивость могла бы появиться в критических точках, где
dQ/dT = 0. Найдены две критические точки, возникающие при Q = 1
и Q = г\ + 3. Поэтому модуляционная неустойчивость реализуется
в диапазоне частот 0 < q < axe cos (77 + 3) при — 4^77<-2иО<д^7г
при 7/ < -4. Отметим, что при малых интенсивностях (rj ~ -2)
модуляционная неустойчивость в самофокусировочной среде отвечает
длинноволновым возмущениям.
В самодефокусировочной среде даже противофазные волны Блоха
(X = -1) становятся модуляционно неустойчивыми [65]. Это
происходит из-за того, что противофазные волны характеризуются
эффективно нормальной дифракцией [13]. Такие волны существуют при
rj > 2. Аналогично случаю синфазных волн в самофокусировочной
среде, мы находим, что диапазон частот, отвечающих неустойчивости

478
Гл. 11. Дискретные солитоны
с чисто мнимыми собственными значениями (Re Г = 0), составляет
0 < q < arc cos (3 — rj) при 2<т/^4и0<^<7г при г\ > 4.
Наконец, проанализируем устойчивость противофазных волн Блоха
в самофокусировочной среде (х = +0- Так как такие моды существуют
при т] < 2, область 1 < Q{T) <
< 3 - г) при Re (Г) = 0 не
отвечает физически возможным
частотам модуляции. Однако,
вследствие резонанса между
модами, принадлежащими
различным зонам, могут
появиться осцилляторные
неустойчивости (то есть отвечающие
комплексным Г). Как показано на
рис. 11.6, такие неустойчивости
возникают в определённом
диапазоне интенсивностей и
исчезают, когда параметр а
превышает определённое значение
(неустойчивость существует при
ah < 3,57). Были найдены
приближённые аналитические
выражения для границ области
неустойчивости. Нижняя
граница определяется выражением
Рис. 11.6. Область модуляционной
неустойчивости противофазных мод
Блоха (заштрихована) в
самофокусировочной среде (х = 1). Интенсивность
на границе области неустойчивости
показана в зависимости от а при h = 0,5.
Штриховые линии показывают
аналитические приближения в пределах
малых и больших интенсивностей [56]
7/0min к а + ^ а3'2 + 0(а2).
7Г
Верхняя граница отвечает соотношению
а ~ 47/0max exp (-7CX W
(11.3.6)
(11.3.7)
Эти аналитические оценки показаны на рис. 11.6 штриховыми
линиями.
Интересно сравнить эти результаты с полученными в рамках теории
связанных мод (см. 11.2.3), справедливой для узкой запрещённой зоны
(то есть, для малых а и /о). Хотя коэффициент нелинейной связи
в (11.2.20) отличается от такового в теории связанных мод для
неглубоких решёток [66], главный результат анализа устойчивости остаётся
тем же: осцилляторная неустойчивость возникает выше некоторого
критического значения интенсивности, пропорционального ширине
запрещённой зоны. В нашем случае ширина запрещённой зоны
приближённо равна 2а/Л, что приводит к хорошему согласию с результатами
теории связанных мод. Однако, уравнения связанных мод (11.2.20)
и (11.2.21) не могут описать область устойчивости при высоких интен-
сивностях просто потому, что они в этой области несправедливы.

11.4. Светлые и тёмные солитоны
479
В пределе больших а динамику волн Блоха можно изучить
в приближении слабой связи (см. 11.2.3). Эффективное дискретное
НУШ (11.2.16) предсказывает устойчивость противофазных мод в са-
мофокусировочной среде [67-69]. Численные и аналитические
результаты подтверждают, что стационарные решения действительно
устойчивы в соответствующем диапазоне параметров.
Двухкомпонентная дискретная модель, введённая в 11.2.3,
предсказывает существование осцилляторной неустойчивости волн Блоха
в некотором интервале /?. Что ещё важней, (11.2.23) и (11.2.24)
описывают основные черты осцилляторной модуляционной неустойчивости:
(1) неустойчивость возникает только в определённом диапазоне интен-
сивностей, когда глубина решётки (а) меньше критического значения,
и (2) она полностью подавляется при больших а. Таким образом,
в отличие от дискретного НУШ, двухкомпонентная дискретная модель
качественно описывает все основные свойства модуляционной
неустойчивости, возникающей в периодической среде.
Представленный анализ показывает, что противофазные волны
Блоха (К = 7г) в самофокусировочной среде всегда устойчивы по
отношению к низкочастотной модуляции. Однако, при возрастании
интенсивности вблизи края зоны Бриллюэна возникают частоты,
отвечающие неустойчивости, и когда частота сдвигается к краю q = 7г,
достигается наибольшая скорость роста (инкремент). Модуляционная
неустойчивость в этом интервале проявляется в виде удвоения периода
модуляции.
11.4. Светлые и тёмные солитоны
Как обсуждалось ранее, нелинейные локализованные моды в
виде дискретных светлых солитонов могут существовать только внутри
запрещённой зоны (\tj\ > 2). Кроме того, такие решения возможны,
только если нелинейный и дифракционный параметры имеют
противоположные знаки, то есть, когда rjx < -2. Из (11.2.12) следует,
что (3 > -(ir/h)2 и(>0в зоне ПВО и в первой брэгговской зоне
(см. рис. 11.4). Самофокусировочная нелинейность (х = +1) может
поддерживать светлые солитоны в области ПВО, где 7] < — 2 (обычный
волноводный режим). Даже в случае самодефокусировки (х = +1)
светлые солитоны могут существовать в первой брэгговской
запрещённой зоне благодаря тому, что при rj > 2 знак эффективной дифракции
инвертируется. В этом случае мода формируется в так называемом
антиволноводном режиме. В этом разделе мы рассмотрим оба этих
режима.
11.4.1. Чётные и нечётные светлые солитоны. Как показано на
рис. 11.2, в системе волноводов могут существовать два типа светлых
дискретных солитонов. Солитон с центром внутри нелинейного
волновода называется нечётным, потому что фаза поля противоположна по

480
Гл. 11. Дискретные солитоны
две стороны от этого волновода (а также из-за нечётности
фигурирующего числа волноводов). Солитоны другого типа — с центром между
соседними волноводами — называют чётными. Если эти два волновода
нумеруются индексами п = 0 и п = 1, свойства симметрии таковы, что
J/|n| = xs£/_|ni-s> где s = 0 для нечётных солитонов и s = 1 для чётных
солитонов [/0]. В обоих случаях мода «софазная» (то есть Un > 0),
если 7] < —2. С другой стороны, (11.2.11) обладает симметрией
Un^(-l)nUn при г; ^ -77, Х--Х- (П.4.1)
Это показывает, что решения становятся «противофазными» при 7) > 2.
Ввиду этой симметрии достаточно найти солитонные решения (11.2.11)
при г) < -2 и х = +1-
Приближённые решения, основанные на дискретном НУШ, дают
точные результаты либо в случае остролокализованных мод, для
которых |т/| » 2 [9, 71], либо в континуальном пределе, справедливом при
J77I ^2 [6]. Для описания профиля солитона при произвольных
значениях rj мы применим новый подход, основанный на физических
свойствах локализованных решений. Этот подход опирается на следующие
обстоятельства. При больших значениях т\ нелинейные
локализованные моды подобны примесным состояниям, как это видно из наличия
одного или двух резких пиков на рис. 11.2. С другой стороны, хвосты
любых локализованных мод всегда достаточно гладкие. Поэтому мы
можем сконструировать приближённую форму солитона при любых
значениях ту, сшивая хвосты солитона с центральным «примесным»
узлом.
Рассмотрим сначала хвост солитона. Его профиль из-за
гладкости хорошо аппроксимируется в континуальном пределе дискретного
НУШ. В простом, но эффективном подходе мы сшиваем дискретное
решение в начале хвоста, которое мы определяем как точку нулевой
вогнутости, и тем самым обеспечиваем соответствие асимптотики
хвоста линейному пределу. В континуальном пределе, справедливом
при больших п, (11.2.11) можно преобразовать в следующее
приближённое уравнение для хвостов солитона:
h.JV=XU-U\ (11.4.2)
р an
где А = -(т; + 2) > 0 и р = Arch(l -f A/2). При граничном условии
U(n) —> 0 при |п| —> оо мы находим простое решение
U{n\ ns) = л/А sch[p(n + na)], (11.4.3)
где параметр ns отражает сдвиг солитона. В пределе А —* 0 получим
р = у/Х, так что мы снова приходим к стандартному результату,
следующему из непрерывного НУШ [1].
Теперь построим центральную часть солитона. Центр нечётного
солитона расположен в центральном узле п = 0, тогда как чётный

11.4. Светлые и тёмные солитоны
481
солитон имеет два максимума, расположенные по обе стороны от узла
п = 0. Ввиду симметрии профиля солитона нам достаточно вычислить
его только при n ^ 0. Предположим, что можно использовать (11.4.3)
при всех значениях п ^ 1, то есть Un « U(n; п3) при n ^ 1. Для
двух узлов — п = 0 и 1 — мы решаем исходные дискретные
уравнения (11.2.11). Тогда найдём, что амплитуды С/о и U\ удовлетворяют
уравнениям
(2 - s)U\ + Ul = (2 - 5 + \)U0, (11.4.4)
U0 + U2 + Uf = {2 + X)Uu
(11.4.5)
где 5 = 0 и 1 для нечётных и чётных мод, соответственно. Эти
уравнения можно решить численно, используя U\, U% и ns из (11.4.3)
и рассматривая п3 как неизвестный параметр. При всех А > 0
существует решение, которое плавно переходит в решение континуального
предела при А —> 0. На рис. 11.7 и 11.8 показаны зависимости Р(/3)
для нечётных (сплошные линии) и чётных (штриховые линии) мод
в случаях самофокусировочной и самодефокусировочной
нелинейности, соответственно. В каждом из случаев приведены также примеры
нечётного и чётного дискретных солитонов.
x + h/2
Рис. 11.7. Полная мощность в зависимости от постоянной распространения для
нечётных (сплошная линия) и чётных (штриховая линия) солитонов в
самофокусировочной (х = 1) среде. Все чётные солитоны неустойчивы. Штриховка
отмечает полосу пропускания. Показаны также профили интенсивности
локализованных мод, отвечающие отмеченным точкам (а) и (б). Кружки
представляют аналитическую аппроксимацию амплитуд в узлах. Параметры те же, что
на рис. 11.4 [56]

482
Гл. П. Дискретные солитоны
x + h/2
Рис. 11.8. То же, что на рис. 11.7, но для среды с самодефокусировочной
нелинейностью (х = — 1) [56]
Сравнение аналитического приближения с точным численным
решением исходного уравнеия (11.2.11) показывает, что погрешность
пиковой амплитуды Uq не превышает 1,5% для нечётных и 0,8% для
чётных солитонов. Профили мод также хорошо передаются
аналитическим приближением, как это видно из рис. 11.7 и 11.8. Таким образом,
процедура сшивания позволяет получить с разумной точностью
аналитические решения во всём диапазоне параметров, включая крайние
пределы А —> 0 и Л —► +оо.
Анализ устойчивости показывает, что чётные моды всегда
неустойчивы по отношению к сдвигу вдоль оси х. С другой стороны, нечётные
моды всегда устойчивы в самофокусировочном режиме (см. рис. 11.7),
но могут испытывать осцилляторную неустойчивость в самодефоку-
сировочном случае, когда мощность превышает определённое значение
(см. рис. 11.8). При этом значении собственная мода
линеаризированной задачи вступает в резонанс с краем запрещённой зоны и величина
/? — Re Г сдвигается в сторону зоны, в то время как у Г возникает
и увеличивается мнимая часть. Это поведение иллюстрируется
примером на рис. 11.9, где вещественное собственное значение Г
превращается в комплексное в точке бифуркации около /3 = —18. Этот
сценарий неустойчивости близок к выявленному ранее в гл. 5 для
щелевых солитонов [72]. Он реализуется также для мод, локализованных
в единственном нелинейном слое в линейной периодической
структуре [53]. Последний пример демонстрирует глубокое сходство между
периодическими системами с локализованными и распределёнными
нелинейностями.

11.4. Светлые и тёмные солитоны
483
Рис. 11.9. Пример осцилляторной неустойчивости для нечётного солитона,
вызванной резонансом с краем запрещённой зоны. Параметры те же, что на
рис. 11.7 [56]
11.4.2. Сцепленные моды. Периодическая модуляция линейного
показателя преломления может приводить к связанным состояниям
двух дискретных солитонов [73]. Примером такого связанного
состояния служат так называемые сцепленные моды. Впервые их
существование было предсказано в 1998 г. на основе дискретного НУШ [74-76].
Они представляют комбинацию двух противофазных светлых
дискретных солитонов [73]. Такие солитоны не имеют аналога в непрерывном
слуЯае. Действительно, они могут существовать, только если эффекты
дискретности сильны, то есть когда параметр |г/| превышает некоторое
значение г)СТ-
Свойства сцепленных мод зависят от пространственного
разделения между индивидуальными модами, формирующими связанное
состояние. Рассмотрим связанное состояние двух солитонов низшего
порядка. Оба они могут быть либо чётными модами с нулевыми
узлами (ш = 0) между пиками, или же нечётными модами с одним
узлом (ш = 1) посередине, так что Щ = 0. Свойства симметрии таких
связанных солитонов указывают, что C/|n|+m = -Xm+1^-|n|-i- Ввиду
симметрии (11.4.1) нам достаточно построить решение при \ = +1-
Предположим, что хвосты солитона при п> т можно
аппроксимировать как
Un = U(n-m\ n,)f (11.4.6)
где U{n\n8) даётся уравнением (11.4.3). Условия сшивания для Um
и п3 получаются из (11.2.11) и сводятся к уравнениям
-(3-m + A)C/m + C/m+1-fC/^ = 0, (11.4.7)
-(2 + A)C/m+1+C/m + C/m+2 + ^+i=0, (11.4.8)
где, как и ранее, А = -(т/ + 2) > 0.

484
Гл. П. Дискретные солитоны
Можно найти решение (11.4.7) и (11.4.8), стартуя от остролокали-
зованной моды, описанной ранее в пределе А » 1 [74], и затем
постепенно уменьшая параметр А. Оказывается, что решение существует при
А > Асг > 0, но прекращает существовать, когда пв(Асг) = 0. Подставив
это условие в (11.4.7), найдём, что критическое значение г\ составляет
Tfer ^ 3,32 при га = 0 и т}ст — 2,95 при га = 1. Эти аналитические
значения согласуются с численными результатами с точностью до 1 %.
Кроме того, приближённое решение очень точно описывает профили
сцепленных мод. На рис. 11.10 и 11.11 показаны зависимости Р(/?)
для нечётных (сплошные линии) и чётных (штриховые линии)
сцепленных мод в случаях самофокусировочной и самодефокусировочной
нелинейности, соответственно. Для каждого случая приведён также
Рис. 11.10. Мощность солитона в зависимости от постоянной распространения
для нечётных (сплошная линия) и чётных (штриховая линия) сцепленных
солитонов в самофокусировочной (х = 1) среде. Штриховка отмечает полосу
пропускания. Показаны также профили амплитуды локализованных мод,
отвечающих отмеченным точкам (а) и (б). Обозначения и параметры те же, что на
рис. 11.4 [56]
пример чётного и нечётного дискретных солитонов. Как видно из
рисунков, относительная погрешность для амплитуды в любом узле
менее 0,5%.
В режиме самофокусировки характер устойчивости сцепленных
солитонов в запрещённой зоне ПВО аналогичен найденному ранее в
рамках дискретного НУШ [74-76]. В примере, показанном на рис. 11.10,
солитоны устойчивы при больших значениях постоянной распростране-

11.4. Светлые и тёмные солитоны
485
ния ft, но испытывают осцилляторную неустойчивость вблизи границы
области существования. Важно, что область устойчивости много шире
в случае нечётных сцепленных мод ввиду большего разделения между
индивидуальными солитонами связанного состояния.
Рис. 11.11. То же, что на рис. 11.10, но для среды с нелинейностью самодефо-
кусировочного типа (х = — 1) [56]
Характеристики сцепленных мод в брэгговской запрещённой зоне
существенно отличаются по сравнению с предыдущим случаем
запрещённой зоны ПВО. Во-первых, значение ту ограничено сверху (2 < г\ <
< *7тах) и поэтому некоторые семейства сцепленных мод с m < mcr
могут не существовать. Например, для параметров среды, отвечающих
РИС. 11.4, Г]сг < 7]тах ~ 3,18 При 771 = 1 И 77тах < ^?сг При 771 = 0. При
этих условиях даже сцепленные моды с га = 0 не могут
существовать в брэгговском режиме. Напротив, нечётные сцепленные моды
с га = 1 не только существуют, но и устойчивы в широком диапазоне
параметров, как видно из рис. 11.11. В общем случае осцилляторные
неустойчивости для ПВО- и брэгговских сцепленных мод связаны
с экспоненциальным ростом модуляции амплитуды и испусканием
рассеянного излучения.
11.4.3. Дискретные тёмные солитоны. Аналогично случаю
непрерывного НУШ с самодефокусировочной нелинейностью,
обсуждённому в гл. 4, или случаю дискретного НУШ, рассмотренному в
разделе 11.1 [78-80], модель на основе (11.2.11) поддерживает тёмные
дискретные солитоны в виде локализованных провалов на фоне волны

486
Гл. П. Дискретные солитоны
Блоха. Новое свойство состоит в том, что тёмные дискретные
солитоны могут существовать в периодической среде при любых знаках
нелинейности (то есть даже в среде с самофокусировкой). Это
является прямым проявлением аномальной дифракции, которая может
происходить в оптических средах с периодически меняющимся
показателем преломления. Для конкретности мы рассмотрим случай фона,
отвечающего решению для волны Блоха, полученному в разделе 11.3
при К = 0 и К = 7г. Тогда тёмные солитоны могут возникнуть у края
запрещённой зоны, где т/ = 2х = 2 sign (7), так как в этом случае
нелинейные и дисперсионные члены имеют одинаковые знаки [77].
Как и для светлых дискретных солитонов, можно выделить два типа
тёмных дискретных солитонов: нечётные солитоны с центром внутри
нелинейного тонкоплёночного волновода и чётные солитоны с центром
между двумя соседними волноводами [79]. Оба типа удовлетворяют
условию симметрии
иы+3 = -(-хУ+1и.ы.и (11.4.9)
где s = 0 для чётных и 1 для нечётных мод. Фон в виде волны Блоха
синфазен при х = — 1 и противофазен при х = +1; соответствующие
решения можно найти из (11.2.11) с помощью преобразования симметрии
Un -* (-1)П(7П. Однако, свойства устойчивости этих двух состояний
фона могут кардинально отличаться. Как обсуждалось в разделе 11.3,
противофазный фон может стать неустойчивым в самофокусирующей
среде (х = + 0» тогда как синфазный фон всегда устойчив, если
Чтобы найти приближённые аналитические решения для тёмных
солитонов, рассмотрим случай х = ~~ U решения при х = + 1 можно
получить, применяя преобразование симметрии (11.4.1). В этом случае
решение (11.2.11) вблизи уровня фона имеет вид (Uoo - Un) ~ е*"1, где
Uoo = у/\ — амплитуда фона, р = Arch(l -I- A) — параметр
локализации и А = 77 4- 2 > 0. Тогда хвосты тёмного солитона приближённо
описываются следующим непрерывным уравнением, справедливым при
больших п: 2
\и+ЦЦ--и3 = 0. (11.4.10)
р dn
Легко найти решение этого уравнения:
U{n;ns) = V\ thp{n + na). (11.4.11)
В пределе А —► 0 получим р —► у/Х и вновь придём к обычным
непрерывным тёмным солитонам.
Аналогично случаю светлых дискретных солитонов, мы найдём
полное решение, сшивая хвосты солитона с центральной часть тёмного
солитона, получаемой решением (11.2.11). Условия сшивания приводят

11.4. Светлые и тёмные солитоны
487
к уравнениям
(А - 3 + s)U0 + (1 - s)f/i - С/03 = °. (11.4.12)
(А - 2)С/, + С/0 + 02 - 0? = 0. (11.4.13)
Их можно использовать для определения параметра сдвига п3 и
амплитуд С/о и C/i. Конечно, для нечётных мод [70 = 0 в соответствии с их
симметрией.
Рис. 11.12. Зависимость дополнительной мощности от постоянной
распространения для нечётных (сплошная линия) и чётных (штриховая линия) тёмных
дискретных солитонов в среде с самофокусировкой \\ = +1). Обозначения
и параметры те же, что на рис. 11.4 [56]
На рис. 11.12 для самофокусировочного случая и рис. 11.13 для
самодефокусировочного случая показаны два типа тёмных
пространственных солитонов при синфазной и противофазной фоновой волне
Блоха. В каждом случае семейство тёмных солитонов характеризуется
при использовании понятия дополнительной мощности, введённой
в гл. 4 как
+nh
Pc = nUmoo J (\u(x + 2nh)\2 - \и(х)\2) dxy (11.4.14)
-nh
где п — целое число. Приведённые на рис. 11.12 и 11.13 зависимости
РС(Р) характеризуют семейство нечётных (сплошные линии) и чётных

488
Гл. 11. Дискретные солитоны
(штриховые линии) тёмных солитонов. На рисунках приведены также
примеры каждого типа солитонов. Аналитические и численные
результаты для амплитуды солитонов в нелинейных слоях хорошо
согласуются. Действительно, погрешность не превышает 2% для нечётных и 1%
для чётных мод. Форма солитонов напоминает найденную в динамике
сверхтекучести при периодическом потенциале [81].
Рис. 11.13. То же, что на рис. 11.12, но для самодефокусировочной
нелинейности (х = -1) [56]
Дискретность, присущая нелинейным системам, может качественно
изменить их динамические свойства по сравнению с их непрерывными
аналогами — свойство, справедливое и для тёмных солитонов. В
частности, дискретность может вызвать новые механизмы формирования
солитонов, приводя к существованию ударных волн с двумя конечными
уровнями фона и асимметричным тёмным солитонам [82]. Такие
тёмные солитоны обладают нетривиальной внутренней динамикой фазы
в том смысле, что их фон осциллирует на двух разных частотах и
переходная область характеризуется комбинацией этих частот 0. Было
также найдено новое семейство симметричных тёмных солитонов без
скачка фазы на 7г в центре солитона. Эти нелинейные локализованные
1) Подобные волны автомодуляции возможны и в континуальных нелиней-
нооптических системах, таких как нелинейные интерферометры, возбуждаемые
внешним излучением [109*, 110*]. (Прим. ред.)

11.5. Экспериментальные результаты
489
моды устойчивы только в пределе сильной дискретности и, таким
образом, их существование вызвано эффективным механизмом захвата
на решётке.
Численное моделирование показывает, что, как и в случае
светлых дискретных солитонов, тёмные дискретные солитоны чётного типа
неустойчивы по отношению к асимметричным возмущениям. Напротив,
нечётные моды могут быть устойчивыми или слабо неустойчивыми.
Тёмные солитоны испытывают также осцилляторную неустойчивость
вблизи континуального предела, но детальный анализ вызванной
дискретностью осцилляторной неустойчивости пока выполнен только для
тёмных солитонов дискретного НУШ [79] и для неограниченных
стоячих волн [83].
11.5. Экспериментальные результаты
Как обсуждалось выше, распространение света в системе связанных
волноводов позволяет управлять дифракцией, что обычно невозможно
в сплошной среде или в одиночном волноводе. Причину такой
возможности можно пояснить, заметив, что расширение светового пучка
в системе определяется величиной связи между соседними
волноводами. В результате скорость расширения, или «дискретной дифракции»
зависит от величины связи, которой можно легко управлять. Можно
даже выбирать знак дифракции в данной системе волноводов,
управляя условиями на входе. Эти свойства служат прямым проявлением
дискретности системы и наблюдались в ряде экспериментов. Большая
часть экспериментов была выполнена на том же материале AlGaAs,
что и использовавшемся для наблюдения пространственных солитонов
в одиночном щелевом волноводе [10]. Только недавно для наблюдения
дискретных солитонов была применена система одномодовых
полимерных волноводов [15].
11.5.1. Режим самофокусировки. В экспериментах на основе
материала AlGaAs система одномодовых волноводов шириной 4 мкм
создавалась методом ионного травления [10]. Обычно система состояла
из 40-60 волноводов с составом Alo,i8Gao,82As, и они разделялись
оболочкой, включающей 24% А1. Управление связью между соседними
волноводами достигалось изменением расстояния между волноводами
в диапазоне от 2 до 7 мкм. Схема всего волновода показана на
вставке к рис. 11.14. Для наблюдения дискретных солитонов
использовался синхронно накачиваемый оптический параметрический генератор.
Он излучал импульсы длительностью от 100 до 200 фс, центральная
длина волны которых перестраивалась в области 1,5 мкм.
Соответствующий частотный интервал лежит ниже половины ширины запрещённой
зоны AlGaAs, что позволяет подавить эффекты двухфотонного
поглощения. Короткие импульсы были необходимы для достижения требу-

490
Гл. //. Дискретные солитоны
емых пиковых мощностей; максимально доступная пиковая мощность
составляла 1,5 кВт.
В эксперименте 1998 г. Айзенберга и др. [10] входной пучок
фокусировался в единственный волновод системы длиной 6 мм и
распределение интенсивности на выходе регистрировалось, как показано
на рис. 11.14. Получающееся на выходе распределение интенсивности
представлено на рис. 11.15 при трёх уровнях входной мощности: 70,
320 и 500 Вт. При наименьшей мощности распространение было ли-
ИК-камсра
Об. X 40
Об. X 25
СД 50/50%
Рис. 11.14. Экспериментальная установка для наблюдения дискретных солито-
нов. На вставке схематически показана конструкция волновода [10]
нейным и пучок расширялся, охватывая более 30 волноводов (верхняя
фотография). Из этого распределения интенсивности длина связи
оценивалась как примерно 1,4 мм. При возрастании входной мощности
выходной пучок распространялся на несколько волноводов (средняя
фотография), пока наконец не был максимально ограничен пятью
волноводами при мощности 500 Вт (нижняя фотография).
Когда свет вводится в единственный волновод, дискретный солитон,
который постепенно формируется, распространяется вдоль системы.
Однако, дискретные солитоны не обязательно распространяются в
направлении оси волноводов. Если входной пучок с линейным наклоном
волнового фронта вводится в несколько волноводов, поперечный
импульс ведёт к поперечному движению дискретного солитона (поперёк

11.5. Экспериментальные результаты
491
Рис. 11.15. Изображения выходной грани системы волноводов длиной 6 мм с
расстоянием между волноводами 4 мкм при входной пиковой мощности 70 (а),
320 (б) и 500 Вт (в). Дискретный солитон формируется в последнем случае [10]
волноводов). Кроме того, свойства такого дискретного солитона зависят
от направления ввода. Даже без наклона волнового фронта дискретный
солитон может заметно сместиться при малых изменениях положения
входного пучка [11]. На рис. 11.16 показаны экспериментальные
результаты при изменении положения ввода пучка на 15 мкм.
Согласно теории, имеются два типа солитонов,
распространяющихся вдоль волноводов: один с центром симметрии распределения
интенсивности, совпадающим с каким-либо волноводом, и другой,
у которого такой центр расположен посередине между волноводами.
В экспериментальных результатах Морандотти и др. [И], показанных
на рис. 11.16, солитоны смещались вбок вследствие асимметрии при
вводе излучения. Когда входное распределение было центрировано на
волноводе или в точности посередине между волноводами, солитон
распространялся в направлении волновода без какого-либо
поперечного движения. Однако, когда условия на входе были асимметричными,
наблюдалось поперечное движение из-за наклона волнового фронта,
наводимого вследствие эффекта Керра. Из рис. 11.16 ясно виден
периодический характер положения пучка на выходе.
Формирование дискретных солитонов в системах волноводов
вследствие самофокусировки подобно самофокусировке в одиночном планар-
ном волноводе. Однако, так как система обладает много более сложной
зонной структурой, самофокусировку можно наблюдать в различных
запрещённых зонах, как и в случае щелевых солитонов в световод-
ных решётках. В одном из экспериментов Манделик и др. измерили
полную структуру зон волноводной системы и наблюдали возбуждение
мод системы, принадлежащих высокочастотным полосам [48]. Такие
дискретные солитоны называют солитонами Флоке-Блоха или, проще,
дискретными щелевыми солитонами, так как они представляют
обобщение щелевых солитонов на дискретный случай.

492
Гл. //. Дискретные солитоны
Координата входа = 3,2 мкм Координата входа = О
-75 -50 -25 0 25 50
Координата на выходе, мкм
Координата входа, мкм
Рис. 11.16. Отклонение дискретного солитона за счёт внутренне наведённой
скорости, а) Распределения выходной интенсивности для двух положений
входного пучка при фиксированой входной пиковой мощности 1500 Вт; б)
распределения на выходе при различных положениях входного пучка; в) результаты
численного моделирования при тех же условиях. Сплошная белая вертикальная
линия отмечает центр волновода, а штриховые белые линии центрированы
между двумя волноводами [11]
Полная зонная структура системы волноводов не может быть
описана дискретным НУШ, и для строгого анализа следует использовать
усовершенствованную аналитическую модель. Однако, в некоторых
случаях дискретные щелевые солитоны можно описать обобщением
двухкомпонентной дискретной модели, которое учитывает многие их

11.5. Экспериментальные результаты
493
свойства более простым образом. На основе этих результатов был
предложен новый подход к конструированию системы [84]. Основная
идея состоит в использовании бинарной волноводной системы,
составленной из чередующихся широких и узких волноводов.
Распространение оптических волн в такой структуре можно приближённо описать
дискретным НУШ с тем отличием, что постоянная распространения /3
не константа, а принимает два значения. Такой подход учитывает
структуру первой запрещённой зоны и может служить хорошим
приближением для более сложной аналитической модели, обсуждавшейся
ранее.
11.5.2. Управление дифракцией. Дифракцией в системе
волноводов можно управлять выбором условий на входе, а при некоторых
условиях можно даже обратить знак дифракции. Такая аномальная
дифракция представляется противоречащей интуиции, так как из неё
следует, что компоненты с высокими пространственными частотами
имеют меньшую поперечную скорость по сравнению с
низкочастотными компонентами. Экспериментально это происходит, когда входной
пучок имеет наклонённый волновой фронт, так что соседние волноводы
возбуждаются в противофазе. Пока рассматривается линейная оптика,
и «нормальная», и «аномальная» дифракция приводят к расплыванию
оптического пучка с конечной шириной. Однако, как и в случае
временной дисперсии, изменение знака дифракции может привести
к тому, что самофокусировочная керровская среда будет испытывать
самодефокусировку.
Такое аномальное поведение действительно наблюдалось в
эксперименте 2001 г. [14] в специально разработанном образце из 61 волновода
с шириной 3 мкм каждый и расстоянием 3 мкм между соседними
волноводами. Эксперимент позволил наблюдать самофокусировочное
и самодефокусировочное поведение в одной и той же системе
волноводов при слегка различающихся начальных условиях. При нормальной
дифракции, то есть когда входной пучок падал нормально на входную
грань, он расширялся при низких мощностях и сужался при высоких
мощностях, формируя дискретный светлый солитон, как и должно быть
при самофокусировочной нелинейности (см. рис. 11.15). Однако, когда
входной пучок вводился под углом 2,6 ± 0,3°, он испытывал
аномальную дифракцию и расширялся при высоких входных мощностях ещё
больше из-за самодефокусировки, вызванной обращением дифракции.
В этом случае оптические поля в соседних волноводах различаются по
фазе на 7г.
Аномальные дифракционные свойства системы волноводов можно
использовать для создания структур с заданной дифракцией и
изготовления систем волноводов с уменьшенной, ликвидированной или даже
обращенной дифракцией [13]. Экспериментальные результаты,
полученные на таких волноводах, согласуются с предсказаниями на основе
дискретного НУШ и теории связанных мод. Основная идея иллю-

494 Гл. //. Дискретные солитоны
стрируется на рис. 11.17. Вместо наклона входного пучка он вводится
в волноводы нормально, но система была ориентирована наклонно по
отношению к нормали к входной грани. Угол наклона а определяет
поперечное волновое число кх через в = kxdy где d — расстояние между
центрами двух соседних волноводов. Так как в может меняться от О
до 7г, в экспериментальной конфигурации максимальное значение 7г
эквивалентно углу наклона а = axe sin (в/kxd) « 1,5°.
На рис. 11.17 показано распределение интенсивности выходного
пучка для образца длиной 6 мм с d = 9 мкм (длина связи около 2 мм).
Входной гауссов пучок
шириной 21 мкм возбуждал главным
образом три волновода. Пучок
расширялся до 42 мкм при
распространении в незаклоненной
системе, тогда как он
расширялся до 54 мкм в
однородном щелевом волноводе. При
в = 7г/2, когда дифракция
должна исчезнуть, выходной пучок
расширялся только до 29 мкм.
Его профиль становился также
асимметричным из-за
остаточной дифракции третьего порядка.
Эти результаты аналогичны
случаю оптического импульса,
распространяющегося в волоконном
световоде. Действительно, форма
на выходе при в = 7г/2
напоминает временной профиль
оптического импульса при fa = 0
(дисперсии групповой скорости нет),
так что импульс подвержен
только дисперсии третьего порядка.
Экспериментальное
наблюдение аномальной дисперсии в
системе волноводов стимулировало
разработку новой теоретической модели, предложенной для описания
распространения оптического пучка в системе нелинейных
волноводов с управлением дифракцией [90, 91]. В этой модели возможны
дискретные солитоны, ширина пучка и пиковая амплитуда которых
меняются при распространении периодически. Медленная эволюция
амплитуды солитона описывается нелокальным интегральным
уравнением. Это новое дискретное уравнение допускает существование
нового типа дискретных пространственных солитонов, которые при
распространении «дышат» (меняют ширину периодическим образом)
и их волновой фронт имеет нелинейный чирп. Как и в случае солитонов
-100 -50 0 50 100
Координата, мкм
Рис. 11.17. Дифракционное
управление в системе волноводов. Входной
пучок шириной 21 мкм расширяется до
54 мкм при непрерывной дифракции
и до 42 мкм в случае системы
параллельных волноводов. Наклон
волноводов подавляет дифракцию и
пучок сжимается до 29 мкм.
Остаточное уширение вызвано
дифракционными эффектами высших порядков [13]

11.5. Экспериментальные результаты
495
с управляемой дисперсией, обсуждавшихся в гл. 3, дискретный солитон
восстанавливает свою начальную мощность и форму в конце
каждого дифракционного периода. Это свойство открывает возможность
разработки систем волноводов с заданными свойствами, в которых
существовали бы дифракционно управляемые пространственно
ограниченные дискретные солитоны.
11.5.3. Взаимодействие дискретных солитонов. Волноводы,
созданные в периодически промодулированных структурах, обладают
многими интересными свойствами. Например, возможно безизлуча-
тельное (волноводное) распространение излучения через сердцевину
с пониженным показателем преломления; этот эффект нельзя
реализовать в обычных волноводах, основанных на полном внутреннем
отражении [85, 86]. Такой вид локализации может происходить только
в брэгговской запрещённой зоне, где характер дифракции эффективно
инвертирован. Этот эффект был найден в неоднородной системе
волноводов [87], в котором ширина одного из волноводов была уменьшена
по сравнению со всеми другими. Такой «дефект» уменьшает
эффективный показатель моды в выделенном волноводе. При низких
мощностях дефектный волновод поддерживает линейные направляемые моды
в режиме брэгговского отражения, так что их профиль напоминает
профиль щелевых солитонов.
Дефекты также можно создать уменьшением или увеличением
расстояния между парой волноводов. Такой подход использовался в
эксперименте 2002 г. [88] для исследования взаимодействия дискретных
солитонов с дефектами, и было найдено, что результат сильно зависит
от угла наклона входного пучка. При малых углах солитон отражается
от дефекта из-за малой скорости. С другой стороны, при больших
углах наблюдается пропускание. Ещё более интересное поведение
наблюдается, когда входной пучок центрирован на дефекте, как
показано на рис. 11.18. Притягивающий дефект, созданный уменьшением
расстояния между волноводами, увеличивает потенциал Пайерлса-
Набарро, и для ухода солитона от дефекта необходимы большие углы
наклона (см. рис. 11.18, а, б). Напротив, для отдаления солитона от
отталкивающего дефекта достаточны меньшие углы (см. рис. 11.18, в, г).
Последний эффект потенциально полезен для приложений к
оптическому переключению, так как положение выхода очень чувствительно
к знаку угла наклона. Эта чувствительность вызвана неустойчивостью,
родственной неустойчивости нарушения симметрии «чётных»
локализованных мод.
Экспериментально наблюдалось также туннелирование солитонов
через широкую щель между двумя однородными волноводными
системами [88]. Такая щель создаёт эффективный отталкивающий дефект;
однако, имеются некоторые отличия от случая узких дефектов. Было
найдено, что умеренно локализованные дискретные солитоны могут
захватываться краем границы волноводов. При больших входных мощ-

496
Гл. 11. Дискретные солитоны
Угол ввода, град
Рис. 11.18. Генерация нелинейных дефектных мод и дискретных солитонов,
центрированных на дефекте (помечен линией со стрелкой). Показаны
экспериментальные (левый ряд) и теоретические (правый ряд) результаты для
притягивающего (сверху) и отталкивающего (снизу) дефектов [88]
ностях формируются остро локализованные солитоны и они
отражаются от границы. В обоих случаях солитоны туннелируют через щель,
когда угол наклона входного пучка превышает некоторое критическое
значение.
Эксперименты по взаимодействию солитонов в нелинейном
дискретном волноводе обнаруживают радикальные различия между
случаями низких (но отвечающих нелинейному режиму) и высоких ин-
тенсивностей, когда исходно возбуждаются два или три канала и их
относительная фаза меняется [89]. При инжекции двух
параллельных пучков с одинаковой поляризацией в систему слабо связанных
AlGaAs-волноводов и изменении фазы первого пучка с помощью
высокоточной линии задержки можно было проверить устойчивость
относительной фазы интерферометрически. При наименьших входных
мощностях каждый из пучков сильно дифрагировал в отсутствие другого

11.5. Экспериментальные результаты
497
пучка. При росте входной мощности пучки коллапсировали вследствие
самофокусировки. При средней мощности 6 мкВт узкие солитоноподоб-
ные пучки обладали шириной, сравнимой с шириной входного пучка.
При умеренных входных мощностях и разности фаз, близкой к нулю,
два пучка сливались в один пучок, остро локализованный в канале
между двумя падающими пучками. Когда разность фаз двух входных
пучков равна 7г, получаются два выходных пучка с большим
расстоянием, чем у входных пучков. Однако, при других значениях
относительной фазы выходной пучок не обладал фиксированным положением.
Скорее, его положение менялось в пространстве, периодически
переключаясь между тремя положениями, так что большая часть энергии
локализована только в нескольких каналах.
11.5.4. Осцилляции Блоха. Такие дискретные системы как
полупроводниковые сверхрешётки и системы волноводов имеют много
общих интересных свойств. Одним из наиболее примечательных явлений
служат осцилляции Блоха [92, 93], когда носитель заряда в идеальном
кристалле испытывает периодические осцилляции в присутствии одно-*
родного электрического поля. На физическом языке, носитель
ускоряется электрическим полем, пока его импульс удовлетворяет условию
Брэгга, связанному с периодическим потенциалом, и затем отражается
назад. Аналогичный эффект известен в полупроводниковых
сверхрешётках, где при приложении постоянного электрического поля
генерируется переменный ток, в отличие от постоянного тока в однородных
средах [94]. Из-за фундаментальной значимости дискретности в
природе следует ожидать аналогичных эффектов и в системах совершенно
другого типа. Действительно, осцилляции Блоха были предсказаны
в молекулярных цепочках [95] и периодически расположенных
изогнутых оптических волноводах [96], и они были экспериментально
наблюдены для холодных атомов в оптических решётках [97, 98].
В 1998 г. было высказано предположение, что системы волноводов
с пространственным изменением показателя преломления в
индивидуальных волноводах представляют идеальную среду для наблюдения
оптических осцилляции Блоха [99].
Морандотти и др. [12] наблюдали оптические осцилляции Блоха
в системе волноводов, в котором эффективный показатель преломления
возрастал линейно внутри каждого индивидуального волновода и играл
роль эффективного постоянного электрического поля в
полупроводниковых сверхрешётках. В линейном режиме (при малых входных
мощностях) профили на выходе при различных длинах
распространения указывали на периодическое поперечное движение оптического
пучка и полное восстановление начального возбуждения в прекрасном
согласии с основной теорией осцилляции Блоха. В отличие от этого,
широкий пучок двигался через систему без значительного изменения
формы. При большей входной мощности нелинейные эффекты вели
к искажениям восстановления входного поля и подавлению осцилляции

498
Гл. 11. Дискретные солитоны
Блоха из-за нарушения симметрии и вызванного нелинейностью
расширения пучка. В другом эксперименте оптические осцилляции
Блоха наблюдались при использовании системы полимерных волноводов,
в которых линейное изменение показателя преломления достигалось
введением градиента температуры [100].
Экспериментально наблюдавшиеся эффекты, вызванные
нелинейностью, хорошо воспроизводились при численном моделировании.
Их можно объяснить нелинейным фазовым сдвигом, который нарушает
линейный характер фазовых соотношений и делает восстановление
неполным. В результате распределение поля начинает расплываться.
В общем случае, с возникновением нелинейных эффектов проявляется
тенденция к хаотизации распределения поля. Строгая когерентность
исчезает и свет начинает вести себя более традиционным образом.
Аналогичные эффекты наблюдаются в квантовомеханических системах при
столь высоких плотностях, что когерентное восстановление
подавляется рассеянием и частицы ведут себя как классические объекты. Такие
нелинейные изменения распределения поля могут быть полезными для
приложений к сдвигу сигналов и переключению, так как пучок может
быть смещён почти по всей системе [12].
В 2002 г. было предсказано существование гибридных дискретных
солитонов в системах волноводов с линейным изменением
эффективного показателя преломления [101]. Такие солитоны можно
рассматривать как связанные состояния обычного дискретного солитона и хвоста
сателлита линейной моды Ваннье-Штарка. Существуют различные
семейства солитонов, характеризуемые симметрией (чётные или
нечётные) и пространственным разделением между двумя солитонными
компонентами в связанном состоянии. Такое разнообразие состояний
можно рассматривать как нелинейный аналог линейного спектра в виде
лестницы Ваннье-Штарка.
Линейный анализ устойчивости и прямое численное
моделирование выявили, что гибридные солитоны со значительным
присутствием сателлита неустойчивы. Примечательно, что даже когда солитон
распадается из-за развития неустойчивости, его мощность остаётся
локализованной. Это происходит, потому что при расширении соли-
тона нелинейность ослабевает и поле эволюционирует как линейная
суперпозиция состояний Ваннье-Штарка, которые локализованы.
Динамика возбуждения гибридных солитонов также необычна. Профиль
реалистического входного пучка не может точно совпадать с профилем
солитона, и поэтому возбуждаются также излучательные моды.
Однако, так как линейные волны локализованы, излучение не может
рассеиваться, в отличие от однородных волноводных систем, где
излучательные моды могут свободно распространяться. Поэтому устойчивые
гибридные солитоны могут возбуждаться, только если они не будут
разрушаться при повторяющихся взаимодействиях с излучательными
волнами [101].

11.6. Родственные вопросы
499
11.6. Родственные вопросы
Понятие дискретных оптических солитонов может быть обобщено
в различных направлениях, и в этом разделе мы обсудим два из
них. В первом рассматривается использование дискретных солитонов
в двумерных сетях нелинейных волноводов, что может быть полезным
при разработке схем обработки информации на основе волноводных
систем. Другое обобщение связано с дискретными солитонами,
возбуждаемыми в оптически наведённых системах волноводов.
11.6.1. Сети на основе дискретных солитонов. Приложения
дискретных солитонов к обработке информации ограничены
одномерной топологией систем волноводов. Понятие дискретно-солитонной
сети, введённое в 2001 г., в значительной мере решает эту
проблему [102-104]. В таких сетях оптические пучки вводятся в двумерную
систему волноводов, которые действуют как оптические провода, вдоль
по которым распространяются дискретные солитоны. Основные
ограничения происходят от отражений на соединениях, где скрещиваются два
или более волноводов. При должной конструкции потери на отражения
при таких резких изгибах в двумерной системе волноводов могут быть
почти полностью устранены.
Рассмотрим двумерную сеть нелинейных волноводов, включающих
идентичные элементы. Каждая ветвь состоит из регулярно
расположенных волноводов, разделённых расстоянием d. Каждый волновод
построен так, что поддерживает единственную моду на рабочей длине волны.
Умеренно ограниченный дискретный солитон (перекрывающий пять-
семь волноводов) возбуждается в одной из ветвей сети. На рис. 11.19, а
изображено распространение такого солитона вдоль ветви. Как
показано в разделе 11.5, профиль огибающей такого солитона
аппроксимируется выражением и(п) = tto sh(nd/xo)exp(ianD), где а описывает
наклон волнового фронта, необходимый для поперечного движения
солитона в системе. Наложением линейного чирпа фазы (наклона) на
профиль пучка можно привести солитон в движение вдоль любой ветви
сети. Важен вопрос об изменениях солитона при его распространении
через резкий изгиб в ветви.
Для ответа на этот вопрос было выполнено численное
моделирование для сети кварцевых волноводов [102-104]. Волноводы с
круговым сечением имели радиус ядра 5,3 мкм и были расположены
на расстоянии 15,9 мкм друг от друга. Они формировались
увеличением показателя преломления на 0,003 от фонового значения 1,5.
На рис. 11.19, а показан дискретный солитон, распространяющийся
вдоль ветви с изгибом на 120°. Он плавно движется вдоль
горизонтальной ветви и после прохождения межсоединения переходит на верхнюю
ветвь. На рис. 11.19,6 показано, что такой переход происходит почти
без изменения профиля интенсивности или скорости солитона. Ещё
более важно, что вызванные изгибом потери чрезвычайно низки (менее
0,7%). Другими словами, система ведёт себя как солитонный провод.

500
Гл. 11. Дискретные солитоны
У, мкм
150
-50
200
^Ww.
1
150 0
У, мкм
150
0
-150_
.yvM/W
,
150 0
а
i
150
у\| МКМ
А
J
• в
i
150
Ху\
UKM
5
* 1 2
g 1,2
| °-8
Ш
X
S 0,4
К
; J
- ..м
1
1
'%*. ,
0 2 50
5, мкм
5 1,2
й 0,8
о
о
X
а
g 0,4
X
S
X
S
:.3
l'
»vvu_ ,
150 0 150
У, мкм
Рис. 11.19. а) Дискретный солитон, распространяющийся вдоль 120°-изгиба;
б) интенсивность солитона после прохождения изгиба; в) то же, что на (а),
для 90°-изгиба; г) интенсивность солитона после изгиба вдоль вертикальной
ветви [102]
Столь низкий уровень потерь на 120°-соединении приводит к мысли,
что дискретные солитоны можно использовать как носителей
информации в сетях типа сотовых. Аналогичные результаты были получены для
изгибов на 90°, как это показано на рис. 11.19, в, г. В этом случае
потери энергии возрастали до 5% из-за резкости изгиба, но форма солитона
и распределения интенсивности оставались практически неизменными.
Это свойство напоминает волны, распространяющиеся вдоль резких
изгибов в фотонных кристаллах [105].
Потери при отражении, происходящие вдоль очень резких
изгибов в двумерной дискретно-солитонной сети, можно почти полностью
устранить модификацией ведущих свойств волноводного угла [103].
Аналитические и численные расчёты показывают, что этого можно
достичь, введя дефект в узел, отвечающий углу изгиба. Кроме того,
используя векторное или некогерентное взаимодействие в соединении
сети, можно направлять солитонные сигналы по разным маршрутам,
то есть, дискретный солитон можно передвигать по всей двумерной
сети нелинейных волноводов. Возможности реализации таких полезных
операций как блокировка, маршрутизация, логические функции и
временная селекция обсуждены в [102]. При соответствующем построении
узловых элементов эффективность таких соединений может быть ещё
более улучшена [106].

11.6. Родственные вопросы
501
11.6.2. Оптически наведённые волноводы. В системе
волноводов оптический пучок с малой интенсивностью, сфокусированный в
выбранный волновод, расширяется и в соседние волноводы посредством
дискретной дифракции, так что интенсивность концентрируется в
значительной степени во внешних областях. Если нелинейность
достаточно высока (например, при высоких интенсивностях, если нелинейность
керровского типа), нелинейные эффекты подавляют взаимодействие
между соседними волноводами. Комбинация дискретной дифракции
и нелинейности приводит к дискретным солитонам. В недавней
теоретической работе [107] было показано, что такой подход можно
распространить на ситуацию, когда волноводная система не фиксирована как
объект до падения света, а наводится оптически при использовании
фоторефрактивной нелинейности. Фоторефрактивная нелинейность
используется для создания системы волноводов в реальном масштабе
времени (в одном или даже двух измерениях) интерференцией пары
плоских волн. Этот подход обладает значительной гибкостью, в том
смысле, что один и тот же фоторефрактивный волновод может
испытывать самофокусировку или самодефокусировку в зависимости от
полярности внешнего напряжения смещения, с перестраиваемыми
параметрами решётки.
Создание оптически наведённой системы волноводов требует,
чтобы каждый волновод был как можно более однородным. Поэтому
связь между интерферирующими плоскими волнами (используемыми
для формирования волноводов) должна быть исключена, чтобы
интерференционная картина не менялась в направлении распространения.
С другой стороны, сигнал, формирующий солитон, должен
испытывать возможно большую нелинейность. Для достижения этих двух,
казалось бы, противоречащих друг другу требований нужно выбрать
фоторефрактивный кристалл с сильной электрооптической
анизотропией, интерферирующие волны с поляризацией в неэлектрооптическом
направлении и в то же время сигнальный пучок с поляризацией в
направлении ориентации кристалла, приводящей к наибольшей
нелинейности. При таком выборе две (или более) интерферирующие плоские
волны, поляризованные перпендикулярно кристаллической с-оси, будут
распространяться почти линейно, тогда как сигнальный пучок,
поляризованный вдоль оси с, будет подвержен действию как периодического
потенциала, так и значительной (экранирующей) нелинейности.
При экспериментальной реализации такой схемы [108]
использовался кристалл SBN длиной 6 мм, так как этот кристалл
обладает наиболее подходящими значениями электрооптических параметров
(гзз ~ 1340 пм/В и из ~ 67 пм/В). Одномерная оптически наведённая
решётка создавалась интерференцией «обыкновенно поляризованных»
плоских волн с помощью интерферометра Маха-Цендера. Сигнальный
пучок был «необыкновенно поляризован» и вводился в центральный
волновод. Внешнее электрическое напряжение устанавливало фоторе-
фрактивную экранирующую нелинейность: она увеличивала (при нели-

502
Гл. 11. Дискретные солитоны
нейной зависимости от интенсивности) контраст показателя
преломления, а также вела к локализации сигнального пучка. В то же
время, ненулевой электрооптический коэффициент для интерферирующих
волн позволял прикладывать достаточно сильное электрическое поле
для создания двумерной системы волноводов разбиением одномерной
интерференционной картины вследствие поперечной модуляционной
неустойчивости.
Рис. 11.20. Формирование дискретного солитона в оптически наведённой
системе волноводов при усилении самофокусировочной нелинейности
приложением внешнего электрического напряжения от 200 до 1000 В. Слева показаны
фотографии выходной грани кристалла, а справа — соответствующие профили
интенсивности на оси [108]
На рис. 11.20 показаны экспериментальные результаты [108].
Изображено преобразование сигнального пучка с дискретной дифракцией
в дискретный солитон, когда самофокусировочная нелинейность
усиливается при возрастании внешнего электрического напряжения от 200 до
1000 В. Расстояние между волноводами в решётке составляло 8,8 мкм,
а мощность лазера 200 мВт делилась между пучком, создающим
систему, и сигнальным пучком в отношении 5:1 (по интенсивности). При
низких интенсивностях сигнальный пучок испытывает линейную
дискретную дифракцию (верхний ряд). Хотя первоначально он возбуждает
только один волновод, на выходе появляются два пика интенсивности
(разделённые тремя волноводами). При напряжении 600 В включаются
нелинейные эффекты и выходное излучение становится однопучковым,
хотя пучок по-прежнему сильно дифрагирует (средний ряд). В сильно
нелинейном режиме формируется остролокализованный дискретный
солитон, как видно из нижнего ряда рис. 11.20. Для периода решётки
7,8 мкм на выходе зарегистрировано наличие синфазных или
противофазных светлых солитонов. Противофазный дискретный солитон
формировался на краю первой зоны Бриллюэна. В этом случае централь-

Список литературы
503
ный пик должен быть в противофазе с соседними пиками; это свойство
было подтвержено наблюдением конструктивной интерференции в
центре и деструктивной интерференции на краях. Аналогичный подход
можно использовать для создания двумерных дискретных солитонов 0.
Список литературы
1. Christodoulides D.N., Joseph R.I. // Opt. Lett. 1988. V. 13. P. 794.
2. Scott A. C, Macneil L. 11 Phys. Lett. A. 1983. V. 98. P. 87.
3. Eilbeck J.C., Lomdahl P.S., Scott A.C. // Physica D. 1985. V. 14. P. 318.
4. Kivshar Yu.S. // Opt. Lett. 1993. V. 18. P. 1147.
5. Krolikdwski W., Kivshar Yu.S. // J. Opt. Soc. Am. B. 1996. V. 13. P. 876.
6. Aceves А.В., De Angelis C, Peschel T. et al. // Phys. Rev. E. 1996. V. 53.
1172.
7. Darmanyan S.y Kobyakov A., Schmidt £., Lederer F. // Phys. Rev. E. 1998.
V. 57. 3520.
8. Lederer F.t Aitchison J.S. // Optical Solitons: Theoretical Challenges and
Industrial Perspectives / Ed. by V. E. Zakharov and S. Wabnitz. — Les Ulis:
EDP Sciences, 1999. P. 349-365.
9. Lederer F., Darmanyan S., Kobyakov A. // Spatial Solitons / Ed. by S. Trillo
and W. Torruellas. — Berlin: Springer, 2001. P. 267-290.
10. Eisenberg Я.5., Silberberg Y.y Morandotti R. et al. // Phys. Rev. Lett. 1998.
V.81. P. 3383.
11. Morandotti /?., Peschel U., Aitchison J.S. et al. // Phys. Rev. Lett. 1999.
V. 83. P. 2726.
12. Morandotti /?., Peschel U., Aitchison J.S. et al. // Phys. Rev. Lett. 1999.
V. 83. P. 4756.
13. Eisenberg H.S., Silberberg Y, Morandotti R., Aitchison J.S. // Phys. Rev.
Lett. 2000. V.85. P. 1863.
14. Morandotti Д., Eisenberg Я.5., Silberberg Y. et al. // Phys. Rev. Lett. 2001.
V. 86. P. 3296.
15. Pertsch Т., Zentgraf Т., Peschel U. et al. // Phys. Rev. Lett. 2002. V. 88.
093901.
16. Trombettoni A., Smerzi A. // Phys. Rev. Lett. 2001. V. 86. P. 2353.
17. Agrawal G.P. Applications of Nonlinear Fiber Optics. — San Diego:
Academic Press, 2001. Chap. 2.
18. Jensen S.M. // IEEE J. Quantum Electron. 1982. V. 18. P. 1580.
19. Майер А. А. // Квантовая электроника. 1984. Т. 11. С. 157.
20. Molina M.I., Tsironis G.P. // Phys. Rev. A. 1992. V. 46. P. 1124.
21. Finlayson N., Blow K. J., Bernstein L. J., DeLong K. W. // Phys. Rev. A 1993.
V. 48. P. 3863.
22. Somekh 5., Garmire £., Yariv A. et al. II Appl. Phys. Lett. 1973. V. 22.
P. 46.
') Отметим также существование диссипативных (см. раздел 14.3)
дискретных оптических солитонов [11 Г]. См. также недавние обзоры [112*, 113*]
(Прим. ред.)

504
Гл. 11. Дискретные солитоны
23. Agrawal G.P. Nonlinear Fiber Optics, 3rd ed. — San Diego: Academic Press,
2001. Chap. 1. [Имеется перевод: Агравал Г. Нелинейная волоконная
оптика. — М.: Мир, 1996.]
24. Yariv Л., Gover A. // Appl. Phys. Lett. 1975. V. 26. P. 537.
25. Russell P. St.I II Appl. Phys. B. 1986. V. 39. P. 231.
26. Russell P. St J. II Phys. Rev. A. 1986. V. 33. P. 3232.
27. Feng /., Ming N.B. // Phys. Rev. A. 1989. V. 40. P. 7047.
28. Russell P. St. J. // Opt. Commun. 1983. V. 48. P. 71.
29. Kosaka #., Kawashima Г., Tomita A. et al. // Appl. Phys. Lett. 1999. V. 74.
P. 11.
30. Yariv A. Optical Electronics. — Philadelphia: Saunders College Publishing,
1991. P. 519-524.
31. Duncan D.B., EilbeckJ.C, Feddersen //., WattisJ.A.D. // Physica D. 1993.
V.68. P. 1.
32. Lahiri A, Panda 5., Roy Т.К. // Phys. Rev. Lett. 2000. V. 84. P. 3570.
33. Kivshar Yu.S., Campbell D.K. // Phys. Rev. E. 1993. V.48. P. 3077.
34. Flach S.y Kladko K. // Physica D. 1999. V. 127. P. 61.
35. Krolikowski №., Trutschel U.t Cronin-Golomb M, Schmidt-Hatten-
berger С // Opt. Lett. 1994. V. 19. P. 321.
36. Muschall R.f Schmidt-Hattenberger C, Lederer F. // Opt. Lett. 1994. V. 19.
P. 323.
37. Aceves A.B.y De Angelis C, Trillo S., Wabnitz S. // Opt. Lett. 1994. V. 19.
P. 332.
38. Matsumoto AT, Katayama 5., Hasegawa A. // Opt. Lett. 1995. V. 20.
P. 1758.
39. Peschel 7\ Muschall /?., Lederer F. // Opt. Commun. 1997. V. 136. P. 16.
40. Cai £>., Bishop Л./?., Gr0nbech-Jensen N. // Phys. Rev. Е. 1997. V. 56. 7246.
41. Abrarov R.M., Christiansen P.L., Darmanyan S.A. et al. // Phys. Lett. A.
1992. V. 171. P. 298.
42. Aceves А.В., De Angelis C, Rubenchik A.M., Turitsyn S.K. // Opt. Lett.
1994. V. 19. P. 329.
43. Aceves А.В., De Angelis C, Luther G.G., Rubenchik A.M. // Opt. Lett.
1994. V. 19. P. 1186.
44. Aceves А.В., Luther G.G., De Angelis С et al. // Phys. Rev. Lett. 1995.
V. 75. P. 73.
45. Laedke E. W.y Spatschek K.H., Turitsyn S.K., Mesentsev V.K. // Phys. Rev.
E. 1995. V. 52. P. 5549.
46. Bang O., Rasmussen J.J., Christiansen P. L. // Nonlinearity. 1994. V. 7.
P. 205.
47. Laedke E.W., Spatschek K.H.y Turitsyn S.K. // Phys. Rev. Lett. 1994.
V. 73. P. 1055.
48. Mandelik D., Eidenberg H.S., Silberberg Y. et al. // Proc. Nonlinear Guided
Waves and Their Applications. — Washington: Optical Society of America,
2002.
49. Волошенко Ю.И., Рыжов Ю.Н., Сотин В.Е. // ЖТФ. 1981. Т. 51. С. 902.
50. Chen W., Mills D.L. // Phys. Rev. Lett. 1987. V. 58. P. 160.
51. Christodoulides D.N., Joseph R.I. // Phys. Rev. Lett. 1989. V. 62. P. 1746.

Список литературы
505
52. de Sterke СМ., Sipe J.E. // Progress in Optics. V. 33. Ed. by E. Wolf. -
Amsterdam: North-Holland, 1994. P. 203-260.
53. Sukhorukov A. A., Kivshar Yu.S. // Phys. Rev. Lett. 2001. V. 87. 083901.
54. Mingaleev S.F., Kivshar Yu.S. // Phys. Rev. Lett. 2001. V. 86. P. 5474.
55. Герасимчук И.В., Ковалёв А.С // Физ. низких темп. 2000. Т. 26. С. 799.
56. Sukhorukov A.A., Kivshar Yu.S. // Phys. Rev. E. 2002. V. 65. 036609.
57. Sukhorukov A. A., Kivshar Yu.S. // J. Opt. Soc. Am. B. 2002. V. 19. P. 772.
58. Dowling J.P., Bowden CM. // Phys. Rev. A. 1992. V. 46. P. 612;
Alvarado-Rodriguez I., , P. Halevi. Sanchez A.S. // Phys. Rev. E. 2001.
V. 63. 056613.
59. Grebel H., Zhong W. // Opt. Lett. 1993. V. 18. P. 1123.
60. Nabiev R.F., Yeh P.y Botez D. // Opt. Lett. 1993. V. 18. P. 1612.
61. Tocci M.D., Bloemer M.J., Scalora M. et al. // Appl. Phys. Lett. 1995.
V. 66. P. 2324.
62. Lan S., Nishikawa S., Wada O. // Appl. Phys. Lett. 2001. V. 78. P. 2101.
63. Sukhorukov A.A., Kivshar Yu.S., Bang O., Soukoulis CM. // Phys. Rev.
E. 2001. V.63. 016615.
64. Mookherjea S., Yariv A. // Opt. Exp. 2001. V. 9. P. 91.
65. Bronski J.C, Can L.D., Deconinck B. et al. II Phys. Rev. E. 2001. V. 63.
036612.
66. de Sterke CM. 11 J. Opt. Soc. Am. B. 1998. V. 15. P. 2660.
67. Kivshar Yu.S., Peyrard M. // Phys. Rev. A. 1992. V. 46. P. 3198.
68. Kivshar Yu.S., Salerno M. // Phys. Rev. E. 1994. V.49. P. 3543.
69. Darmanyan S., Relke I., Lederer F. // Phys. Rev. E. 1997. V. 55. 7662.
70. Kivshar Yu.S., Campbell D.К. // Phys. Rev. E. 1993. V.48. P. 3077.
71. Malomed В., Weinstein M.I. // Phys. Lett. A. 1996. V. 220. P. 91.
72. Barashenkov I. V., Pelinovsky D.E., Zemlyanaya E. V. // Phys. Rev. Lett.
1998. V.80. P. 5117.
73. Kivshar Yu.S., Champneys A.R., CaiD., Bishop A.R. // Phys. Rev. B. 1998.
V. 58. P. 5423.
74. Дарманян С, Кобяков А., Ледерер Ф. // ЖЭТФ. 1998. Т. 113. С. 1253.
75. Kevrekidis P. G., Bishop A.R. Rasmussen К. 0. // Phys. Rev. E. 2001. V. 63.
036603.
76. Kapitula Т., Kevrekidis P.G., Malomed B.A. // Phys. Rev. E. 2001. V.63.
036604.
77. Kivshar Yu.S., Luther-Davies B. // Phys. Rep. 1998. V. 298. P. 81.
78. Kivshar Yu.S., Krdlikowski W., Chubykalo O.A. // Phys. Rev. E. 1994.
V. 50. P. 5020.
79. Johansson M., Kivshar Yu.S. // Phys. Rev. Lett. 1999. V. 82. P. 85.
80. Konotop V. V., Takeno S. // Phys. Rev. E. 1999. V. 60. P. 1001.
81. Barra R, Gaspard P., Rica S. // Phys. Rev. E. 2000. V. 61. P. 5852.
82. Дарманян С, Кобяков А., Ледерер Ф. // ЖЭТФ. 2001. Т. 120. С. 486.
83. Morgante A.M., Johansson AT., Kopidakis G., Aubry S. // Phys. Rev. Lett.
2000. V. 85. P. 550.
84. Sukhorukov A.A., Kivshar Yu.S. // Proc. Nonlinear Guided Waves and
Their Applications. — Washington: Optical Society of America, 2002.

506
Гл. П. Дискретные солитоны
85. Yeh P., Yariv A. // Opt. Commun. 1976. V. 19. P. 427.
86. Cho A. Y., Yariv Л., Yeh P. // Appl. Phys. Lett. 1977. V. 30. P. 471.
87. Peschel U.t Morandotti /?., Aitchison J.S. et al. // Appl. Phys. Lett. 1999.
V.75. P. 1348.
88. Morandotti /?., Eisenberg H.S., Mandelik D. et al. // OSA Trends in Optics
and Photonics. V. 74. — Washington: Optical Society of America, 2002.
P. 239.
89. Meier /., Stegeman G., Eisenberg H.S. et al. // Proc. Nonlinear Guided
Waves and their Applications. — Washington: Optical Society of America,
2002.
90. Ablowitz M.J., Musslimani Z.H. // Phys. Rev. Lett. 2001. V. 87. 254102.
91. Peschel U.y Lederer F. // J. Opt. Soc. Am. B. 2002. V. 19. P. 544.
92. Bloch F. II Z. Phys. 1928. V. 52. P. 555.
93. Zener С /I Proc. R. Soc. London A. 1932. V. 154. P. 523.
94. Waschke C, Roskos #., Schwendler R. et al. II Phys. Rev. Lett. 1993. V. 70.
P. 3319.
95. Cai D.y Bishop A., Gronbech-Jensen N, Salerno M. // Phys. Rev. Lett. 1995.
V.74. P. 1186.
96. Lenz G., Talanina /., de Sterke CM. // Phys. Rev. Lett. 1999. V. 83. P. 963.
97. Dahan M.9 Peik £., ReichelJ. et al. // Phys. Rev. Lett. 1996. V. 76. P. 4508.
98. Niu <?., Zhao X.-G., Georgakis С.Л., Raizen M.G. // Phys. Rev. Lett. 1996.
V. 76. P. 4504.
99. Peschel U., Pertsch Г., Lederer F. // Opt. Lett. 1998. V. 23. P. 1701.
100. Pertsch Г., Dannberg P., Elflein W., Bruuer A, Lederer F. // Phys. Rev.
Lett. 1999. V. 83. P. 4752.
101. Pertsch 7., Peschel U., Lederer F // Phys. Rev. E. 2003. V. 67.
102. Christodoulides D.N., Eugenieva E.D. // Phys. Rev. Lett. 2001. V. 87.
233901.
103. Christodoulides D.N., Eugenieva E.D. // Opt. Lett. 2001. V. 26. P. 1876;
Opt. Lett. 2002. V. 27. P. 369.
104. Eugenieva E.D., Efremidis N.K., Christodoulides D.N. // Opt. Photon.
News. 2001. V. 12(12). P. 57.
105. Joannopoulos J.D., Villeneuve P./?., Fan S. // Nature. 1997. V. 386. P. 143.
106. Eugenieva E.D., Efremidis N.K., Christodoulides D.N. // Opt. Lett. 2001.
V.26. P. 1978.
107. Efremidis N.K., Sears S.y Christodoulides D.N. et al. // Phys. Rev. E. 2002.
V. 66. 046602.
108. Fleischer J. W.y Carmon Г., Segev M. et al. // Phys. Rev. Lett. 2003. V. 90.
109*. Rosanov N.N., Fedorov A. V., Khodova G. V. // Phys. Stat. Sol. B. 1988.
V. 150. P. 545.
110*. Розанов Н.Н., Ходова Г.В. // Квантовая электроника 1989. Т. 16. С. 785.
111*. Efremidis N.K., Christodoulides D.N. // Phys. Rev. E. 2003. V. 67. 026606.
112*. Christodoulides D.N., Lederer F., Silberberg Y. // Nature. 2003. V.424.
P. 817.
113*. Campbell D.K., Flach 5., Kivshar Yu.S. // Physics Today. 2004. January.
P.43.

Глава 12
СОЛИТОНЫ В ФОТОННЫХ КРИСТАЛЛАХ
Фотонные кристаллы можно рассматривать как оптический аналог
полупроводников, в том смысле, что они меняют характеристики
распространения света так же, как атомная решётка изменяет свойства
электронов вследствие существования запрещённой зоны. Фотонные
кристаллы с внедрёнными нелинейными неоднородностями называются
нелинейными фотонными кристаллами, и они служат идеальной
средой для генерации и наблюдения локализованных структур в
виде солитонов. Такие солитоны можно рассматривать как обобщение
концепции дискретных и щелевых солитонов на случай двух (и даже
трёх) пространственных измерений. Кроме того, в случае коротких
импульсов, распространяющихся в волноводах и схемах на основе
фотонных кристаллов, концепцию таких солитонов можно обобщить
и на временное измерение. Ввиду этого теория нелинейных
локализованных структур в фотонных кристаллах объединяет целый ряд
фундаментальных концепций физики солитонов и нелинейной оптики.
В этой главе мы остановимся на солитонах, формирующихся внутри
фотонных кристаллов. В разделе 12.1 рассматривается простая модель
двумерного фотонного кристалла в виде решётки диэлектрических
стержней и показывается, что изолированный дефект может
поддерживать линейную локализованную моду, тогда как набор таких дефектов
создаёт волновод. В разделе 12.2 представлены несколько подходов
к изучению нелинейных эффектов в фотонно-кристаллических
волноводах, основанных на определённых упрощениях нелинейных моделей.
Кроме того, в этом разделе вводится система дискретных уравнений,
которые могут описывать такие волноводы в фотонных кристаллах.
Свойства квазиодномерных пространственных солитонов (нелинейных
локализованных структур) в фотонных волноводах обсуждаются в
разделе 12.3, а в разделе 12.4 суммируются результаты по двумерным
солитонам в фотонных кристаллах. Раздел 12.5 посвящен свойствам
квадратичных фотонных кристаллов.
12.1. Линейные характеристики
Перед рассмотрением нелинейных эффектов, таких как
формирование солитонов, важно выяснить, как фотонный кристалл влияет
на распространение света даже в отсутствие нелинейных эффектов.

508
Гл. 12. Солитоны в фотонных кристаллах
Важным свойством фотонных кристаллов служит существование
полностью запрещённой зоны (для любых поляризаций и направлений
распространения света) — падающий свет с частотой, попадающей в эту
запрещённую зону, не может распространяться в фотонном кристалле.
Для анализа этого свойства мы рассмотрим в этом разделе простую
фотонно-кристаллическую структуру. Хотя мы ограничим
последующее обсуждение более простым двумерным случаем, оправданным для
планарных структур с фотонной запрещённой зоной, многие из этих
результатов можно распространить на более общий трёхмерный
случай, допускающий полностью запрещённую зону.
Квадратная решетка
о о о
о о о
о о о
Зона Бриллюэна
-л/а 0 л/а
т
1Г|М
Рис. 12.1. Структура зон фотонного кристалла, образованного квадратной
решёткой диэлектрических стрежней (справа), включающая запрещённую зону
(заштрихована). Две вставки показывают квадратную решётку и
соответствующую зону Бриллюэна; неприводимая зона также заштрихована
12.1.1. Фотонная запрещённая зона. Известно, что многие типы
двумерных (2D) и трёхмерных (3D) периодических диэлектрических
структур обладают полностью запрещённой зоной [1-4]. В качестве
простого примера рассмотрим 20-фотонный кристалл, показанный
схематически на рис. 12.1 и созданный периодической решёткой
бесконечно длинных стержней, расположенных вертикально (параллельно оси
z). Распространение световых волн в такой структуре определяется
диэлектрической проницаемостью е{т) = е(х,у). Фотонный кристалл
такого типа может обладать полностью запрещённой зоной, если
напряжённость электрического поля Е направлена вдоль оси z и волна
распространяется в плоскости (х,у). Тогда эволюция поля описывается
скалярным волновым уравнением
V2E(r,t)-\^{e(r)E} = 0,
с ot
(12.1.1)
где V2 = д2/дх2 + д2/ду2 — оператор Лапласа. Как обычно, введём
медленно меняющуюся огибающую излучения Л (г, £), записав электри-

12.1. Линейные характеристики
509
ческое поле в виде
Е{тЛ) = Re[A(r,t)e-iuJt]. (12.1.2)
В предположении медленности изменения А по времени t (12.1.1)
сводится к следующему уравнению
A(r,*)»-2fc(r)Sj|i. (12.1.3)
Для непрерывного излучения А не зависит от t. Тогда (12.1.3)
описывает задачу на собственные значения, которую можно решить хорошо
известным методом разложения по плоским волнам [5].
В совершенном фотонном кристалле диэлектрическая
проницаемость е(г) = ер(г) является периодической функцией:
eP{T + Sij) = £р(г), s{j =tai + ja2, (12.1.4)
где i и j — произвольные целые числа, a ai и а2 — два вектора решётки
вдоль направлений х и у. На рис. 12.1 показана структура зон такого
20-фотонного кристалла при использовании обозначений физики
твёрдого тела [6, 7]. Считается, что цилиндрические стержни образуют
квадратную решётку с расстоянием а между соседними стержнями,
так что ai = ат\ и а2 = аг2, где ri и г2 — единичные вектора решётки.
На рис. 12.1 показана структура зон такой квадратной решётки для
одинаковых стержней радиуса го = 0,18а с диэлектрической
проницаемостью во = 11,56. Структура зон показана при использовании
неприводимой треугольной области, образующей зону Бриллюэна
(заштрихованная область на рис. 12.1), три угла которой помечены буквами Г, М
и X. Такой 20-фотонный кристалл обладает полностью запрещённой
зоной в частотном диапазоне а;а/(27гс) от 0,303 до 0,444. Он
применялся для изучения связанных состояний [7], пропускания света
через резкие изгибы [8], волноводных ответвителей [9], волноводных
межсоединений [10], фильтров выделения канала [11], нелинейных
локализованных структур [12—14] и дискретных пространственных со-
литонов [15]. Этот тип фотонных кристаллов был также изготовлен
из пористого кремния с а = 0,57 мкм, где была найдена полностью
запрещённая зона при 1,55 мкм [16].
12.1.2. Моды дефектов. Одним из наиболее интересных свойств
фотонных кристаллов служит появление локализованных мод,
которые могут возникать в его фотонной запрещённой зоне, когда внесён
дефект в совершенный (в отсутствие дефекта) фотонный кристалл.
Простейший способ создания дефекта в 20-фотонном кристалле —
это введение «дефектного стержня» с радиусом г<* и диэлектрической
проницаемостью Ed- При представлении полной диэлектрической
проницаемости в виде
e(r)=ep(r) + ed(r) (12.1.5)

510
Гл. 12. Солитоны в фотонных кристаллах
уравнение (12.1.3) примет вид
V2 +
A(r,t) = -CA(r,t),
где для удобства введён оператор
£=(|)2ed(r) + 2ie(r)^|.
(12.1.6)
(12.1.7)
с" dt
Уравнение (12.1.6) можно решить методом функции Грина, и
решение имеет вид
A(r,t)= J G(r,r')CA(r'tt)d2r',
где функция Грина G(r, г') удовлетворяет уравнению
^r.r'^H-^r-r').
(12.1.8)
(12.1.9)
Свойства функции Грина совершенного 20-фотонного кристалла
описаны в [5]. Два из них наиболее примечательны: свойства
симметрии и периодичности, выражаемые соотношениями
G(r,r') = G(r',r), G(r + Sii,r' + Si.,) = G(r,r'), (12.1.10)
где Sij определяются в (12.1.4). Функцию Грина можно вычислить с
помощью преобразования Фурье
оо
G(r,r';w) = [ G(r,r',t)eiutdt. (12.1.11)
— ОО
Тогда зависящая от времени функция Грина удовлетворяет уравнению
+-i*ir
G(ry,t) = -6(t)5(r-r'),
(12.1.12)
которое может быть решено методом конечных разностей по времени
(МКР) [17].
Когда функция Грина известна, можно уже найти дефектные
моды прямым решением (12.1.8). Рассмотрим в качестве примера снова
20-фотонный кристалл, изображённый на рис. 12.1. На рис. 12.2, а
показана дефектная мода, созданная единственным дефектным стержнем
с меньшим радиусом (г<* = 0,1a), но с той же диэлектрической
проницаемостью, что у стержней 20-решётки с го = 0,18а и ео = 11,56.
Контуры амплитуды поля показывают, что свет с частотой, лежащей внутри
запрещённой полосы, остаётся локализованным в области дефекта.
На рис. 12.2,6 показана зависимость частоты дефектной моды от г<*.
Сплошная кривая получена численным решением (12.1.8), а штриховая
линия отвечает приближённому решению [18]. Хотя прямое
численное решение интегрального уравнения (12.1.8) и возможно в случае

12.1. Линейные характеристики
511
о
о
о
о
о
о
|о
о о
о о
о о
о т
о та
о о
о о
о о
о о
о о
-g^
W
ESSi
f 9
о о
о о
о
о
о
[<*■
и
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
0,45
Д 0,4 U
а
0,35 к
0,05
0,1
0,15 0,2 0,25
Радиус дефекта rd
Рис. 12.2. а) Локализованная мода, поддерживаемая единственным
дефектным стержнем с радиусом г<* = 0,1а в 2Е)-решётке стержней с го = 0,18а
и ео = 11,56. Положение стержней указано кружками, б) Частота дефектной
моды в зависимости от радиуса стержня г<*. Штриховая линия отвечает
приближённому решению [18]
одного или нескольких дефектных стержней, необходимые
вычислительные ресурсы становятся излишне обременительными, когда число
дефектных стержней возрастает. В действительности приближённые
численные методы необходимы для исследования линейки дефектов,
формирующей волновод, и изгиба или пересечения нескольких таких
волноводов.
12.1.3. Волноводы в фотонных кристаллах. Одно из наиболее
привлекательных приложений структур с фотонной запрещённой зоной
(ФЗЗ) — это возможность создания нового типа световодов. В
традиционных световодах, таких как волоконные световоды, свет
удерживается полным внутренним отражением, происходящим из-за различия
показателей преломления сердцевины и оболочки. Недостатком таких
световодов служит невозможность их резких изгибов, потому что если
радиус изгиба не велик по сравнению с длиной волны, значительная
часть света вытекает из сердцевины. Это служит серьёзным
препятствием для создания «интегральных оптических схем», в которых часто
нет места для изгибов с большим радиусом.
В волноводах на основе материалов с ФЗЗ используется другой
физический механизм. А именно, свет распространяется вдоль
линии связанных дефектов, каждый из которых поддерживает
локализованную моду с частотой внутри ФЗЗ. Простейший ФЗЗ-волновод
может быть создан прямой линией дефектных световодов, как
показано на рис. 12.3. Вместо единственного локализованного состояния
изолированного дефекта волновод поддерживает распространяющиеся
состояния (направляемые моды) с частотами в узкой полосе внутри
запрещённой зоны совершенного кристалла. Профиль таких
направляемых мод вдоль волновода периодический, и они экспоненциально

512
Гл. 12. Солитоны в фотонных кристаллах
ОООООООООООО
ОООООООООООО
*оЩ}™о™о™оЩэ^оЩо
ОООООООООООО
ОООООООООООО
Рис. 12.3. Контуры амплитуды поля для линейной моды в волноводе, созданном
набором дефектных стержней. Положение стержней указано кружками
убывают в поперечном направлении. Действие фотонно-кристалличе-
ских волноводов аналогично резонаторам, так как в однородной среде
распространение направляемой моды запрещено. Из-за этого свойства
свет при изгибе волновода удерживается в нём независимо от
резкости изгиба. Конечно, от очень резких изгибов часть энергии может
отражаться. Однако, как показывают численные расчёты [6] и как это
продемонстрировано в экспериментах с микроволнами [8] и оптическим
излучением [19], можно достичь высокого пропускания почти для всех
частот, поддерживаемых ФЗЗ-волноводом.
12.2. Эффективные дискретные модели
12.2.1. Общий обзор. Прямой путь к анализу свойств фотонных
кристаллов и фотонно-кристаллических волноводов состоит в
использовании непосредственного численного моделирования, хотя
аналитические подходы, если они возможны, обеспечивают более ясное
физическое понимание. Оказывается, что основные свойства ФЗЗ-волново-
дов, образованных цепочками дефектов, могут быть описаны в рамках
применяемого в физике твёрдого тела приближения сильной связи. При
использовании этого подхода в 2002 г. было показано, что
пространственно-временные дискретные солитоны могут распространяться
без искажений вдоль цепочки связанных дефектов, расположенных
в фотонно-кристаллической структуре, и формировать нелинейный
высокодобротный микрорезонатор [20]. Такие состояния возможны в
результате баланса между эффектами дискретной дисперсии и
нелинейности среды. Кроме того, такие самолокализованные объекты способны
обладать весьма низкими групповыми скоростями, в зависимости от
силы связи между соседними микрорезонаторами; вообще говоря, они
даже могут оставаться неподвижными. В предположении слабой связи
дефектных мод такие дискретные солитоны описываются дискретным
НУШ.

12.2. Эффективные дискретные модели
513
В другой работе [21] аналогичное дискретное уравнение было
получено применением метода преобразования Фурье. Это позволило
теоретически и численно описывать связанные дефекты в ФЗЗ-кри-
сталлах с помощью системы обыкновенных дифференциальных
уравнений. Реальное расположение дефектов (цепочка, решётка, изгиб или
какое-либо другое) входят в уравнение как линейная связь между
соседними дефектами. Результаты этого подхода сравнивались в [21]
с результатами численных методов, метода матриц переноса и МКР,
причём найдено хорошее согласие. Было также изучено нелинейное
распространение импульса в оптических волноводах на основе
связанных резонаторов (ОВСР) [22, 23] при использовании непрерывного
аналога дискретных уравнений (см. [24]).
Численное решение не всегда приводит к физическому пониманию.
Кроме того, выведенные в [20, 21] эффективные дискретные уравнения
применимы только для описания наборов слабо связанных дефектных
мод. Поэтому в данном разделе мы выведем эффективные дискретные
уравения, используя обсуждавшийся выше метод функций Грина.
Оказывается, что эти дискретные уравнения достаточно точно описывают
многие свойства фотонно-кристаллических волноводов и схем, включая
спектры пропускания волноводов с резким изгибом [25]. Отчасти эти
уравнения аналогичны уравнениям Кирхгофа для электрических цепей,
но, в отличие от электроники, в фотонных кристаллах становятся
важными дифракция и интерференция, а также необходим учёт эффектов
взаимодействия на больших расстояниях.
12.2.2. Метод функции Грина. Исходным служит уравнение
(12.1.8). Фигурирующий в этом уравнении оператор С состоит из двух
членов, как это видно из (12.1.7). Если рассматривать непрерывное
излучение и пренебречь членом с временной производной, задача
описания распространения света в ФЗЗ-волноводе сводится к решению
следующего интегрального уравнения [12]:
A(r,w)=(£\ | G(r,r',w)5e(r')A(r',w)d2r', (12.2.1)
— ОО
где ($£(г;) обозначает возмущение диэлектрической проницаемости,
вызванное формирующими волновод дефектами. Частотная зависимость
функции Грина G указана явно, чтобы подчеркнуть зависимость
результатов от частоты оптического поля А(г,и).
Единственный дефектный стержень описывается возмущением
Se(r) = £d/(r), где /(г) означает положение дефекта. Этот дефект
может поддерживать несколько локализованных мод, каждую из
которых можно найти решением задачи на собственные значения
A,(r.w) = (^)2 J G(r,r',u;)£d/(r')^(r',u,)dV, (12.2.2)
— ОО

514
Гл. 12. Солитоны в фотонных кристаллах
где Ш1 — частота (дискретное собственное значение) 1-й собственной
моды и Ai(r) — соответствующее оптическое поле в неограниченной
структуре.
Когда число дефектных стержней в ФЗЗ-волноводных схемах
возрастает, становится трудным численное решение интегрального
уравнения (12.2.1), так как это требует значительных вычислительных
ресурсов [6-11]. Дискретная модель упрощает эту задачу за счёт
рассмотрения мод единственного дефекта, связанных с модами только
ближайших соседей. Такой подход близок к применённому в гл. 11 для
дискретных солитонов в наборе волноводов. Математически
оптическое поле представляется в виде линейной комбинации
локализованных мод Aj(r), поддерживаемых изолированными дефектами:
Мт9 ш) = £ £ 1>ЦЧш)Мт - г„), (12.2.3)
I п
где гп означает положение n-го дефекта.
Подставив (12.2.3) в (12.2.1), умножив результат на Л^(г —гп/)
и проинтегрировав по г, получим следующую систему дискретных
уравнений для амплитуд щ) собственных мод (с индексом I) п-го
дефектного стержня и его связи с соседними дефектными стержнями:
EE^u'vi0 = EEE^:;n>M°, (12.2.4)
In I n m
Кп = \ М* ~ гп)^(г - г„-)d2r, (12.2.5)
— ОО
/&:>)=(f)2 }<*2глг,(г-гп,)х
— ОО
ОО
х J G(r,r',o;)/(r'-rm)A{(r'-rn)dV. (12.2.6)
— ОО
Необходимо подчеркнуть, что дискретные уравнения (12.2.4)-( 12.2.6)
выведены при использовании только приближения, свойственного
разложению (12.2.3). Сравнение их решений с прямым численным
решением (12.2.1) показывает, что это приближение очень точное и может
быть использовано во многих физических задачах.
Эффективные дискретные уравнения (12.2.4) всё ещё весьма
сложны. В некоторых случаях их можно упростить, сохраняя разумную
точность. Хороший пример представляют фотонно-кристаллические
волноводы, созданные далеко отстоящими дефектными стержнями. Такие
волноводы называют ОВСР, или оптическими волноводами на основе
связанных резонаторов [26-28]. Из-за большого расстояния между
дефектными стержнями локализованные моды каждого дефекта только

12.2. Эффективные дискретные модели
515
слабо связаны с модами соседних дефектов. Как обсуждалось в гл. 11,
такая ситуация может быть достаточно точно описана приближением
слабой связи [29]. Его использование предполагает, что \\£ и /i{^nm
обращаются в нуль при \п' — п\ > 1 и \nf -т\> 1. Наиболее важное
свойство схем ОВСР состоит в том, что при их изгибах отражение
отсутствует в целой полосе [28]. Это резко отличается от свойств
обычных фотонно-кристаллических волноводов, создаваемых
удалением или внесением близко расположенных дефектных стержней, для
которых известно, что 100%-ное пропускание через изгиб волновода
происходит только при некоторых резонансных частотах [6]. Несмотря
на это преимущество, структуры ОВСР имеют очень узкую полосу
пропускания, и в результате для них пропускание является 100%-ным
только в узкой полосе частот.
Наибольшее упрощение (12.2.4) происходит, если связь между
удалёнными дефектными модами, вызванная медленным убыванием
функции Грина, имеет ограниченный диапазон, то есть /i{ £m = 0 при
\п' — п\ > N, где число N эффективно связанных дефектов лежит
в диапазоне между пятью и десятью. Этот тип взаимодействия, прене-
брегаемый в приближении слабой связи, важен для понимания
характеристик пропускания фотонно-кристаллических волноводов. При его
применении можно даже пренебречь прямым перекрытием собственных
мод ближайших соседей и использовать приближение
Кп=*Н'***'> Йш = ° ПРИ п*гп. (12.2.7)
Учёт этого перекрытия приводит только к малым поправкам.
Предполагая, что дефекты поддерживают только одну
собственную моду (I = 1), можно достаточно точно вычислить коэффициенты
в (12.2.5) и (12.2.6), даже в приближении, что поле остаётся
постоянным внутри дефектных стержней, то есть A\(r) ~ /(г). Это
приближение отвечает усреднению поля в интегральном уравнении (12.2.1)
по поперечному сечению дефектных стержней [12, 30]. Получающиеся
приближённые дискретные уравнения для амплитуд Еп(и) = il>xn{w)
собственной моды, возбуждённой в местах расположения дефектов,
можно записать в матричной форме
£M„m(a;)SmM = 0, (12.2.8)
т
где матрица М зависит от диэлектрической проницаемости дефектов:
МптИ = ed(Em)Jnm(cj) - <Jnm. (12.2.9)
Коэффициенты СВЯЗИ Jn,m(w) = Mlim.m^) можно ВЫЧИСЛИТЬ В ПриблИ-
жении j4i(r) ~ /(г), используя соотношение
Jnm(w) = g)2 J G(r„,rm + r')W)dV, (12.2.10)

516
Гл. 12. Солитоны в фотонных кристаллах
где интегрирование проводится по площади дефекта. Отметим, что
матрица М полностью определяется функцией Грина 20-фотонного
кристалла без каких-либо дефектов [12].
Чтобы проверить точность дискретной модели, применим её к
простому случаю единственного дефекта, расположенного в точке го-
В этом случае решение (12.2.9) существует при условии
МооН = edJoo{u>) -1=0. (12.2.11)
Решение уравнения (12.2.11) Joo(^d) = 1/^d определяет частоту и)д
дефектной моды. Если дефект создаётся удалением единственного
стержня, это условие приводит к частоте ид = 0,391 • 27гс/а, которая
только на 1 % отличается от значения ud = 0,387 • 2тгс/а, получаемого
из полного численного расчёта [31].
Выполненный анализ можно обобщить, включив в него
нелинейность дефектных стержней, считая, что диэлектрическая
проницаемость Sd зависит от интенсивности поля в месте
расположения дефекта. В случае керровской нелинейности положим в (12.2.9)
£d(Em) = Sdo + 62\Em\2. Мы также распространим анализ на случай
оптических импульсов, используя (12.1.7). Вновь считая, что
оптическое поле внутри дефектного стержня почти постоянно, мы найдём
для амплитуд поля в дефектных стержнях следующее зависящее от
времени дискретное нелинейное уравнение:
i<j^t En-En + Y: Jn-m(u)(edo + \Ет\2)Ет = 0. (12.2.12)
m
Параметр нелинейности в2 устранён нормировкой поля. Как и ранее,
параметр а и коэффициенты связи Jn—m = Jnm определяются
функцией Грина G(r,r',a;) совершенного фотонного кристалла. Мы ввели
более простое обозначение
Jn—m* так как Jnm в (12.2.10) зависит
только от разности п-т.
12.3. Солитоны запрещённой зоны
Одна из важнейших физических концепций, связанных с
нелинейностью, относится к самоканалированию и локализации. В линейном
случае локализация в периодической среде всегда связана с
нарушением порядка, что разрушает трансляционную инвариантность.
Однако, недавно было выяснено, что локализация может происходить
и в отсутствие любого нарушения порядка, если нелинейность
приводит к появлению собственных локализованных мод [32, 33]. Строгое
доказательство существования таких нелинейных мод существует для
широкого класса гамильтоновых нелинейных решёток типа связанных
осцилляторов [34, 35]. Во многих других случаях могут быть найдены
приближённые аналитические решения, что демонстрирует общность
понятия нелинейных локализованных мод.

12.3. Солитоны запрещённой зоны
517
Хотя нелинейные локализованные моды можно легко выявить
численным моделированием молекулярной динамики, используя несколько
различных физических моделей [32], только недавно они
наблюдались экспериментально в комплексах переходных металлов
переменной валентности [36], квазиодномерных антиферромагнитных
цепочках [37] и в последовательности переходов Джозефсона [38, 39].
Важно, что аналогичные типы пространственно локализованных
нелинейных мод наблюдались экспериментально в макроскопических
механических [40] и направляющих оптических [41] системах. С точки
зрения практических применений существование нелинейных
локализованных мод в оптических системах является многообещающим,
так как оно может приводить к чисто оптическим устройствам
переключения. Нелинейные локализованные моды в фотонных кристаллах
особенно привлекательны, потому что ЗБ-фотонные кристаллы для
видимой области уже успешно изготовлены и изучаются применительно
к созданию перестраиваемых переключателей на основе запрещённой
зоны и оптических транзисторов, оперирующих полностью со светом.
12.3.1. Нелинейные фотонные кристаллы. Для реализации
потенциала фотонно-кристаллических волноводов чрезвычайно важно,
чтобы их пропускание было перестраиваемым. Для этих целей были
предложены несколько подходов. Например, численно [42] и
экспериментально [43] было найдено, что спектр пропускания прямых и резко
изогнутых волноводов в квазипериодических фотонных кристаллах
столь богат по структуре, что полное пропускание происходит вблизи
некоторых отдельных частот. В этой области полезен также фильтр
переключения каналов. Он состоит из двух параллельных волноводов,
связанных точечными дефектами между ними, и допускающих
частотно-селективную передачу мощности за счёт создания резонансных
дефектных состояний с различной симметрией [11]. Однако, такие
устройства не допускают динамической перестраиваемости из-за их
частотно-селективной природы. Динамическую перестройку можно
реализовать, используя волноводы, сформированные внутри нелинейных
фотонных кристаллов. Такие волноводы создаются внесением
дополнительного ряда стержней из нелинейных материалов, обладающих
квадратичной [44] или кубичной [12] нелинейной восприимчивостью.
В этом разделе мы обсудим свойства нелинейных фотонных
кристаллов в рамках дискретной модели, развитой в разделе 12.2. Для
определённости мы предположим, что нелинейные дефектные стержни
внедрены в фотонный кристалл вдоль выбранного направления s^-, то
есть они расположены в точках rm = ro + msjj. Изменяя радиус г<*
этих дефектных стержней или их расположение го в кристалле, можно
создать нелинейные волноводы с весьма различными свойствами.
В дискретной модели требуется решить уравнение (12.2.12),
коэффициенты Jn-m которого зависят от функции Грина G(r, г',о;).
Как указывалось выше, функция Грина обладает большим масшта-

518
Гл. 12. Солитоны в фотонных кристаллах
бом и только медленно убывает при удалении от выбранного
положения [12]. Это можно увидеть из рис. 12.4, где показан типичный
пространственный профиль функции Грина. Вдоль направлений soi
и ею коэффициенты связи (12.2.10) можно аппроксимировать
экспоненциальными функциями:
|J»M|«J0(w)e-e<w>l»lf (12.3.1)
где характерная скорость убывания а(и>) может быть столь малой как
0,85, в зависимости от значений а;, Го и г<*. Она может быть даже
меньше для других типов фотонных кристаллов.
Рис. 12.4. Функция Грина G(r, го + r',u>) фотонного кристалла, показанного
на рис. 12.1, при го = ai/2 и ш = 0,33 • 2тгс/а [12]
При такой форме Jn уравнение (12.2.12) является
нетривиальным, с учётом дальнодействия, обобщением 2Э-дискретного
нелинейного уравнения Шрёдингера (НУШ) главы 11 [45-47]. Это позволяет
использовать аналогию между рассматриваемой задачей и классом
НУШ, описывающих нелинейные возбуждения в квазиодномерных
молекулярных цепочках с дальнодействующим взаимодействием
(например, диполь-дипольным) между частицами и локальной
нелинейностью [48, 49]. Нелокальность взаимодействия частиц вносит некоторые
новые черты в свойства нелинейных локализованных мод (такие как
бистабильность их спектра пропускания). Коэффициенты связи Jn(o;)
могут быть либо синфазными (Jn(^) = | Jn(^)|), либо противофазными
и осциллировать от стержня к стержню, так что Jn(w) = (-l)nl«Ai(^)|-
Поэтому можно ожидать, что нелокальный характер линейных и
нелинейных членов в (12.2.12) приведёт к новым свойствам нелинейных
локализованных мод, возбуждаемых в фотонно-кристаллическом
волноводе.
12.3.2. Синфазные и противофазные моды. Подобно
обсуждавшемуся в гл. 11 случаю дискретных солитонов, нелинейные
локализованные моды ФЗЗ-волновода могут быть классифицированы как

12.3. Солитоны запрещённой зоны
519
синфазные или противофазные. В этом разделе мы обсудим свойства
этих двух типов мод.
Как можно видеть из структуры функции Грина на рис. 12.4, Jn(u)
меняется немонотонно для волновода, ориентированного в направлении
soi с го = aj/2. На рис. 12.5,а показана структура запрещённой зоны
в этом случае при значениях параметров ео = е& = 11,56, го = 0,18а
и Td = 0,1а. Сплошная линия внутри запрещённой зоны показывает
частоту линейной направляемой моды. Нормированная частота и(а/2тгс)
в точках А и Б принимает значения 0,378 и 0,412, соответственно.
Так как эта частота минимальна при к = 0, следует ожидать, что
соответствующая нелинейная мода синфазна.
Волновое число ka/(2ir) Частота ufa/(2irc)
а б
Рис. 12.5. а) Дисперсионное соотношение (сплошная линия) для ФЗЗ-вол-
новода, ориентированного вдоль направления вю. Серые области показывают
зонную структуру совершенного 20-фотонного кристалла, б) Мощность
нелинейной моды Q(ijj). На правой вставке изображена зависимость Jn(u) от п при
о; = 0,37(27гс/а), а левая вставка показывает амплитуду солитона [12]
Численное решение (12.2.12) показывает, что нелинейность
может приводить к существованию направляемых мод, которые
локализованы по направлению, перпендикулярному волноводу, дефектными
стержнями и вызванным нелинейностью самоканалированием в
направлении волновода. На рис. 12.5, б показаны результаты для
волновода, ориентированного вдоль направления soi; приведена мощность моды
Q = ^2 \Еп\2 как функция частоты нелинейной моды, которая
соответствует пространственному солитону. Частоты таких нелинейных мод
ниже частоты линейной направляемой моды волновода, то есть ниже
частоты в точке А рис. 12.5, а. Колоколообразный профиль нелинейных
мод указывает, что они действительно синфазные. Мощность моды Q
тесно связана с энергией, запасённой в нелинейной моде в 20-фотон-
ном кристалле.
Из изображённой на рис. 12.4 структуры функции Грина следует,
что случай противофазной связи отвечает волноводу,
ориентированному по направлению вю с го = ai/2. На рис. 12.6,а показана зонная

520
Гл. 12. Солитоны в фотонных кристаллах
структура такого волновода при тех же значениях параметров, что на
рис. 12.5. Нормированная частота иа/(27гс) в точках А и Б теперь
принимает значения 0,346 и 0,440, соответственно. В данном случае
эта частота линейной направляемой моды достигает минимума при
к = п/а. Соответственно, следует ожидать противофазных
направляемых мод, локализованных вдоль направления волновода, с частотой
ниже наименьшей частоты линейной направляемой моды, достигаемой
в точке А. На рис. 12.6,6 показана мощность таких мод в зависимости
от их частоты. Профиль амплитуды таких 20-нелинейных
локализованных мод приведён на левой вставке.
Волновое число ка/(2п) Частота ша/(2жс)
а б
Рис. 12.6. а) То же, что на рис. 12.5, за исключением того, что волновод
ориентирован вдоль направления ею, как показано на вставке, б) Мощность
нелинейной моды Q(u>). Штриховая линия демонстрирует случай полностью
нелинейного кристалла. На правой вставке изображена зависимость Jn(cj) для
п ^ 1 (J0 = 0,045) при ш = 0,33 • 27гс/а, а левая вставка показывает амплитуду
солитона [12]
Эти результаты получены для линейных фотонных кристаллов
с нелинейными волноводами, созданными рядом дефектных стержней.
Такой же анализ можно выполнить в общем случае полностью
нелинейного фотонного кристалла, в котором стержни различных размеров
изготовлены из одного и того же нелинейного материала. Оказывается,
что результаты почти совпадают и разница мала, если только
нелинейность сравнительно слаба. Например, штриховая линия на рис. 12.6,6
показывает мощность моды Q для полностью нелинейного фотонного
кристалла. Прямое сравнение показывает, что мощность моды почти
совпадает в двух случаях при Q < 20.
12.3.3. Устойчивость солитона. Рассмотрим ФЗЗ-волновод,
созданный рядом дефектных стержней, расположенных вдоль прямой,
проходящей через точку го = (ai + аг)/2 и направленной вдоль ею
или soi. Так как коэффициенты связи Jn медленно убывают с
номером позиции п, эффективное взаимодействие ослабевает на масштабах
длины, больших, чем в рассмотренных выше двух случаях. Численные

12.3. Солитоны запрещённой зоны
521
результаты для этого варианта показаны на рис. 12.7 при тех же
значениях параметров, что на рис. 12.5 и 12.6. На рис. 12.7, а приведена
зонная структура для волновода, показанного на вставке.
Нормированная частота а;а/(27гс) в точках А, Б и В принимает значения 0,352,
0,371 и 0,376, соответственно. Снова частота линейной направляемой
моды минимальна в точке А, где к = тг/а. Соответственно, нелинейная
противофазная мода, локализованная вдоль направления волновода,
существует при частотах ниже наименьшей частоты линейной
направляемой моды в точке А. На рис. 12.7,6 показана мощность таких мод
в зависимости от их частоты. Левая и правая вставки представляют,
соответственно, пример профиля моды и коэффициенты связи Jn(w)
для п ^ 1 (Jo = 0,068) при и = 0,345 • 2-кс/а.
Волновое число ка/(2тг) Частота ша/(2тгс)
а б
Рис. 12.7. а) То же, что на рис. 12.5, за исключением того, что волновод
ориентирован, как это показано на вставке, б) Мощность Q(u>) нелинейной
моды. Левая и правая вставки демонстрируют пример амплитуды моды и
коэффициентов связи, соответственно [12]
Сравнение рис. 12.6 и 12.7 выявляет новое свойство мощности
моды. Как и в случае дальнодействующего дисперсионного
взаимодействия [48, 49], мощность моды Q изменяется немонотонно для
этого типа нелинейного ФЗЗ-волновода. Точнее, Q{w) возрастает
в частотном интервале 0,344 < и>а/(2пс) < 0,347. На рис. 12.8 эта
область заштрихована и помечена как «интервал неустойчивости». В этом
частотном интервале нелинейные локализованные моды неустойчивы
и в конце концов распадаются или преобразуются в моды с большей
или меньшей частотой [50]. Кроме того, такой нелинейный волновод
проявляет оптическую бистабильность, то есть при одном и том же
значении мощности моды сосуществуют две устойчивые нелинейные
моды с различной шириной. Так как мощность моды тесно связана
с её энергией, удельная энергия моды также немонотонно зависит от ш
и демонстрирует бистабильность. Это является прямым проявлением
нелокального характера эффективного (линейного и нелинейного)
взаимодействия между дефектными стержнями.

522
Гл. 12. Солитоны в фотонных кристаллах
оооооооооооо
оооооооооооо
°°0»°#tfAi%0-0°0
о и : щоЩсЩеФШ<жсР с о о
оооооооооооо
оооооооооооо
ооооооооооо
ооооооооооо
о
о
о о
о
О I
• О О О О О (
ооооооооооо
ооооооооооо
0,32 0,33 0,34
Частота и>а/(2пс)
0,36
Рис. 12.8. Примеры симметричной и антисимметричной локализованных мод
(сверху). Мощность Q моды в зависимости от её частоты показана для двух
типов мод; область бистабильности заштрихована и отмечена как неустойчивая
(внизу) [18]
Такие нелинейные ФЗЗ-волноводы поддерживают
антисимметричные локализованные моды в дополнение к симметричным. На рис. 12.8
показаны зависимости Q(u>) для ветвей симметричных и
антисимметричных мод, вместе с примером распределения интенсивности для
каждого типа локализованных мод. Эти численные результаты
показывают, что мощность Q(u) антисимметричных мод всегда больше,
чем у симметричных (для всех значений и и всех типов волноводов).
Поэтому следует ожидать, что антисимметричные моды неустойчивы
и преобразуются в симметричные с меньшей энергией. Различие между
мощностями двух этих типов мод определяет потенциал Пайерлса-
Набарро. Из рис. 12.8 можно видеть, что этот барьер пренебрежимо
мал в интервале 0,347 < иа/(2пс) < 0,352, и поэтому такие моды
должны быть движущимися. Однако, барьер Пайерлса-Набарро
становится достаточно большим для нелинейных мод в интервале частот
ш < 0,344 • 27гс/а, так что эти моды неподвижны. Следовательно, это
явление бистабильности может быть полезным [49] для переключения
между неподвижными локализованными модами (используемыми для
хранения энергии) и движущимися локализованными модами
(используемыми для транспортировки энергии).

12.4. Двумерные фотонные кристаллы
523
12.4. Двумерные фотонные кристаллы
Пучок с малой интенсивностью не может распространяться в
фотонном кристалле, если его частота попадает в запрещённую зону. Однако,
в случае 20-периодической среды с нелинейностью керровского типа
свет с высокой интенсивностью может распространяться, даже если
его частота находится внутри запрещённой зоны. Распространение
происходит в форме уединённых волн, называемых 2D-щелевыми со-
литонами, которые оказываются устойчивыми [51, 52]. Этот вывод
основан на использовании уравнений связанных мод, справедливых
только при слабой модуляции диэлектрической проницаемости е(г).
В реальных фотонных кристаллах глубина модуляции проницаемости
е(т) сравнима с её средним значением. Поэтому результаты [52] не
всегда можно применять для обсуждения свойств локализованных мод
реальных фотонных кристаллов.
Более точно, уравнения связанных мод справедливы, если и только
если ширина запрещённой зоны Д исчезающе мала. Параметр Д связан
с малым параметром метода многомасштабных разложений [53]. Если
применить такой анализ к описанию нелинейных мод широкозонных
фотонных кристаллов, мы получим (2+ 1)-мерное НУШ, которое не
обладает устойчивыми локализованными решениями. Кроме того,
следует ожидать, что 20-локализованные моды уравнений связанных мод
проявляют колебательную неустойчивость, которая реализуется для
широкого класса уравнений связанных мод типа Тирринга [54].
Поэтому, если нелинейные локализованные моды действительно
существуют в реальных ФЗЗ-средах, их устойчивость должна быть связана с
другими физическими механизмами, не учитываемыми упрощёнными
континуальными моделями.
В этом разделе мы следуем [15] и рассматриваем свойства
нелинейных локализованных мод 2Е)-фотонного кристалла, показанного
на рис. 12.9. Он состоит из двух типов цилиндрических стержней.
Стержни радиуса го, изготовленные из линейной диэлектрической
среды, помещены в углах квадратной решётки с постоянной решётки а,
а стержни радиуса г<* из нелинейной диэлектрической среды
размещены в центре каждой ячейки. Такие фотонные кристаллы с пониженной
симметрией привлекли значительное внимание, так как они обладают
много более широкими полностью запрещёнными зонами [55].
Структура зон в этом фотонном кристалле показана на рис. 12.9. Видно, что
кристалл обладает двумя запрещёнными зонами, первая из которых
располагается от и = 0,426 • 2ттс/а до и = 0,453 • 2ттс/а.
«Двухатомный» фотонный кристалл с пониженной симметрией,
изображённый на рис. 12.9, можно рассматривать как квадратную
решётку «нелинейных дефектных стержней» малого радиуса r<* (r<f < го),
вставленную в обычный фотонный кристалл, сформированный
квадратной решёткой одинаковых стержней большего радиуса го в
воздухе. Тогда положение дефектных стержней можно описать вектора-

524
Гл. 12. Солитоны в фотонных кристаллах
Квадратная решетка
с пониженной
Рис. 12.9. Зонная структура фотонного кристалла с пониженной симметрией
(показанного справа) при го = 0,1а, г<* = 0,05а, и е = 11,4 для обоих типов
стержней. Сплошные линии вычислены при использовании полной нелинейной
модели, а штриховая линия получена из дискретной модели. Верхняя вставка
иллюстрирует поперечное сечение 20-фотонного кристалла. Нижняя вставка
показывает соответствующую зону Бриллюэна [15]
ми rnjn = nai -f таг, где aj и аг — элементарные вектора
решётки 20-фотонного кристалла. В отличие от фотонно-кристаллических
волноводов, обсуждавшихся в предыдущем разделе, нелинейные
дефектные стержни характеризуются двумя целыми индексами пит.
Нетрудно, однако, обобщить (12.2.12) и получить следующее
приближённое 20-дискретное нелинейное уравнение:
г<7-| Еп,т - Еп,т + £ Jn-k,m-i(u)(ed0 + \ЕкЛ\2)Екл = 0, (12.4.1)
где EntTn(t,uj) = J5(rn>m,£,u;) — амплитуда электрического поля внутри
дефектного стержня, расположенного в ячейке с индексами п,т.
Точность этого уравнения можно проверить, решая его в линейном
пределе. Однако, как видно из рис. 12.10, коэффициенты связи Jn,m{^)
медленно убывают с ростом пит. Поэтому для получения точных
результатов необходимо учитывать взаимодействие по крайней мере
с десятью соседними стержнями. Приведённая на рис. 12.9 структура
зон указывает, что частоты линейных мод (изображены штриховой
линией с минимумом при и = 0,446 • 2-кс/а), вычисленные по (12.4.1),
хорошо согласуются с найденными непосредственно по (12.1.3).
Нелинейные моды, описываемые (12.4.1), можно найти численно
итерационным методом Ньютона-Рефсона. Результат выявляет существование
непрерывного семейства таких мод. Типичный пример нелинейных
локализованных мод показан на рис. 12.11.
На рис. 12.12 показана зависимость мощности моды
QH = £ |Sn,m|2 (12.4.2)
п,т

12.4. Двумерные фотонные кристаллы
525
Амплитуда
X 0,001
-10
-10
Рис. 12.10. Коэффициенты связи Jn,m(w) для фотонного кристалла,
изображённого на рис. 12.9 (не приведено значение Jo.o = 0,039). Частота ш = 0,4456
попадает в первую запрещённую зону [15]
оооооосоо
о о о о о с -j» ооо
О О О О О О С О О О О
О О О О
о с о
tLQ О О О
О О
о
о°
ооо oqj Lp°
ооо o.jm[^Fl
о о
о о с
о\>
от
О О O^t^FS^Pt^CFO О О
о о п о РмД^ о ооо
о г о с ЩРРШПк' о о с о
о о о о О'аигго о о о о
о о о о о Щг о о о о о
о о о о оАр cl о о о о о
ооооосооооо
оооооооооооо
-3
Расстояние л
-3
Расстояние т
Рис. 12.11. Вид сверху (слева) и объёмный вид (справа) нелинейной
локализованной моды в первой запрещённой зоне 20-фотонного кристалла [15]
от частоты ш фотонного кристалла, изображённого на рис. 12.9. Как
обсуждалось в гл. 2, эта зависимость служит важной характеристикой
нелинейных локализованных мод, так как она позволяет определить их
устойчивость по критерию устойчивости Вахитова-Колоколова. Более
точно, для неустойчивых мод dQ/duo > 0. Этот критерий был обобщён
также на модели, описываемые двумерными НУШ [56].
В случае 20-дискретных кубических НУШ устойчивы только
высокоамплитудные локализованные моды, а в континуальном пределе
устойчивых мод не существует [56-58]. Высокоамплитудные моды
также устойчивы (см. вставку на рис. 12.12), но они недостижимы
при реальных условиях. Чтобы возбудить такие моды, необходимо
повысить показатель преломления в центре моды более чем в два раза.
Поэтому для реалистических условий и сравнительно малых величин

526 Гл. 12. Солитоны в фотонных кристаллах
100 —
С» 80 -
I
I 60-
i
I
40 -
20
0,425 0,43 0,435 0,44 0,445
Частота ша/(2пс)
Рис. 12.12. Зависимость мощности моды Q от частоты моды и при двух
значениях е<ю для нелинейных локализованных мод, существующих в 20-фо-
тонном кристалле, изображённом на рис. 12.9. Штриховые линии указывают
неустойчивые моды. Вставки показывают типичные профили устойчивых мод
и увеличенные части кривых Q(ur). Серые области отмечают нижнюю и
верхнюю зоны нелокализованных мод, окружающие запрещённую зону [15]
Х^ в эксперименте могут быть возбуждены только низкоамплитудные
локализованные моды. Однако, такие моды всегда неустойчивы; они
или схлопываются, или расширяются [45]. Их можно стабилизировать
некоторыми внешними силами (например, взаимодействием с
поверхностями или разупорядочением [59]), но в этом случае возбуждения
будут точечными и их нельзя использовать для передачи энергии или
сигнала.
В резком противоречии с моделями 20-дискретных НУШ,
низкоамплитудные локализованные моды (12.4.1) можно стабилизировать
благодаря их нелинейной дальнодействующей дисперсии,
свойственной фотонным кристаллам. Важно отметить, что такая стабилизация
не происходит в моделях с только линейной дальнодействующей
дисперсией [45]. Для лучшего понимания механизма стабилизации
можно решить (12.2.12) для экспоненциально убывающих
коэффициентов связи Jn,m- Результаты показывают, что наиболее важным
фактором, определяющим устойчивость низкоамплитудных
локализованных мод, является отношение коэффициентов локальной нелинейности
(~Ло,о) и нелинейной дисперсии (~Jo,i)- Если коэффициенты связи
Jn,m убывают с ростом пит быстро, низкоамплитудные моды (12.4.1)
с edo = П.4 весьма устойчивы при Jo,o/Jo,\ ^ 13. В нашем случае эта
оценка обычно ниже, так как стабилизации благоприятствует дально-
действующее взаимодействие.
27-я
26-1
25 I
0,425 0,43 0,435
—^|fV^~
Бл"

12.5. Дальнейшие перспективы
527
Необходимо отметить, что стабилизация низкоамплитудных 20-ло-
кализованных мод свойственна не любым типам нелинейных фотонных
кристаллов. Напротив, фотонные кристаллы должны быть
тщательно разработаны для поддержания устойчивых низкоамплитудных
нелинейных мод. Например, для фотонного кристалла, рассмотренного
в этом разделе, такие моды устойчивы при условии 11 < еао < 12, но
они становятся неустойчивыми при Sdo ^ 12 (см. рис. 12.12).
Устойчивостью этих мод можно также управлять изменением параметров
фотонного кристалла. Поэтому для экспериментального наблюдения
нелинейных локализованных мод требуется не только использование
фотонных сред со сравнительно большим показателем преломления
(таких как периодические структуры GaAlAs/AlAs или кристаллы
полимеров PBG [60-62]), но и точная настройка параметров фотонного
кристалла. Последнего, в принципе, можно достигнуть, используя
метод поверхностной связи [63], способный обеспечить связь в отдельных
точках дисперсионной кривой и открывающий прямой путь к
достижению нелинейных эффектов.
12.5. Дальнейшие перспективы
Область нелинейных фотонных кристаллов быстро растёт, и
ожидается, что она в ближайшем будущем будет развиваться на основе
ведущихся исследований. В этом разделе мы укажем направления, на
которые фотонные кристаллы, вероятно, окажут наибольшее влияние.
Недавние исследования показали, что использование квадратичной
(или х^) нелинейности может приводить к сильной и сверхбыстрой
самомодуляции фазы вследствие каскадных эффектов, когда
фундаментальная волна и её вторая гармоника близки к условиям синхронизма.
Как обсуждалось в гл. 10, каскадная нелинейность позволяет
реализовать многие важные эффекты типа х^ ПРИ значительно меньших
мощностях входного излучения [64]. Это обстоятельство вызвало
заметный интерес к приложениям х^-материалов к чисто оптической
обработке информации.
Важная область, в которой каскадные эффекты в фотонных
кристаллах могут играть решающую роль — это смешение частот и
генерация гармоник [65-67]. Важность периодических структур
хорошо известна по методу квазисинхронизма (КС). Традиционный метод
КС основан на одномерной периодической модуляции
восприимчивости второго порядка для компенсации расстройки между волновыми
векторами фундаментальной волны и второй гармоники. Применение
нелинейного фотонного кристалла позволяет расширить эту
концепцию на большее число измерений, где х^ модулируется в двух или
трёх измерениях [68]. В эксперименте 2000 г. была создана двумерная
КС нелинейная структура с гексагональной симметрией с
применением в качестве нелинейного материала ниобата лития [69]. В таком

528
Гл. 12. Солитоны в фотонных кристаллах
нелинейном фотонном кристалле реализуется эффективная (>60%)
генерация второй гармоники при использовании кратных обратных
векторов периодической решётки. Ещё важнее, что такие двумерные
нелинейные структуры на основе х^ могут обеспечить одновременный
синхронизм на нескольких длинах волн [70, 71], открывая тем самым
путь к экспериментальной проверке и практической реализации
теоретических концепций, основанных на параметрическом многоэтапном
каскадировании [72, 73].
На рис. 12.13 показано увеличенное изображение двумерного
квадратично нелинейного фотонного кристалла, изготовленного Бродери-
ком и др. [69]. Каждая гексагональная ячейка является областью среды
с инвертированным доменом квадратичной восприимчивости; полная
инвертированная площадь составляет 30% от всей площади образца.
Периодическая ориентация выполнялась приложением электрического
поля через жидкие электроды на противоположных гранях при
комнатной температуре. Такие квадратичные фотонные кристаллы имели
период, подходящий для неколлинеарного удвоения частот излучения
на 1536 нм, и это обеспечило эффективную генерацию второй
гармоники посредством КС. Так как синхронизм для второй гармоники мог
достигаться одновременно в различных направлениях при
использовании кратных обратных векторов решётки, выход состоял из многих
когерентных пучков.
Рис. 12.13. Гексагонально ориентированный кристалл ниобата лития и его
первая зона Бриллюэна. Период кристалла 18,05 мкм сохраняется на всём
образце [69]
Строго говоря, такие структуры не подходят под классическое
определение фотонных кристаллов [1], так как они не обладают
запрещённой зоной в пределе слабых интенсивностей. Однако наличие
частотной запрещённой зоны не принципиально для наблюдения
интересных эффектов, таких как генерация гармоник, в подобных
нелинейных фотонных кристаллах. Действительно, квадратичные нелинейные
кристаллы представляются наиболее подходящими для наблюдения
многих эффектов на основе квазисинхронных параметрических
взаимодействий. Технология их изготовления чрезвычайно разнообразна

Список литературы
529
и позволяет создать широкий круг двумерных квадратичных
кристаллов, включая квазикристаллы.
Многие другие грани физики фотонных кристаллов и, в
особенности, солитонные аспекты фотонных кристаллов ещё ждут
исследований. Использование нелинейных фотонных кристаллов в чисто
оптических устройствах и схемах активно исследуется с фундаментальной
и прикладной точек зрения. Концепция фотонных кристаллов
обладает огромными потенциальными возможностями в области нелинейной
оптики. Многие из хорошо известных нелинейных явлений, такие как
оптическая бистабильность и чисто оптическое переключение,
изученные ранее в нелинейной интегральной оптике, находят уникальное
и неожиданное проявление в этих новых материалах [74-77].
Фотонные кристаллы представляются идеальными материалами,
в которых многие свойства дискретных оптических солитонов могут
быть сконструированы простым образом. Например, малая групповая
скорость света в фотонно-кристаллических схемах может резко
увеличить суммарный нелинейный набег фазы, требуемый для
эффективного функционирования чисто оптических переключателей [77],
и это привело бы к уменьшению размеров многих фотонных устройств,
работающих на много меньших мощностях. Эти преимущества можно
было бы использовать для разработки чисто оптических логических
элементов с очень малыми размерами при использовании легко
доступных материалов и, возможно, для комбинирования нескольких тысяч
таких устройств в чипе с размерами в несколько сантиметров 0.
Список литературы
1. Joannoupoulos 7.D., Meade R.B., Winn J.N. Photonic Crystals: Molding the
Flow of Light. — Princeton: Princeton University Press, 1995.
2. Krauss T.F., De La Rue R.M. // Prog. Quantum Electron. 1999. V. 23. P. 51.
3. Sakoda K. Optical Properties of Photonic Crystals. — Berlin: Springer, 2001.
4. Johnson S.G., Joannopoulos J.D. Photonic Crystals: The Road from Theory
to Practice. — Boston: Kluwer Academic, 2002.
5. Maradudin A. A., McGurn A.R. // Photonic Bandgaps and Localization,
NATO Series B. V. 308 / Ed. by CM. Soukoulis. - N.Y.: Plenum Press,
1993.
6. Mekis Л., Chen J. C, Kurland I. et al. // Phys. Rev. Lett. 1996. V. 77. P. 3787.
7. Mekis Л., Fan 5., Joannopoulos J.D. // Phys. Rev. B. 1998. V. 58. P. 4809.
8. Lin S.-K, Chow £., Hietala V. et al. // Science. 1998. V. 282. P. 274.
9. Fan 5., Johnson S.G., Joannopoulos J.D. et al. // J. Opt. Soc. Am. B. 2001.
V. 18. P. 162.
10. Johnson S.G., Manolatou C, Fan S. et al. // Opt. Lett. 1998. V. 23. P. 1855.
') Нелинейным фотонным кристаллам посвящен также сборник [78*]
и недавний обзор [79*]. Родственные новые оптические среды —
микроструктурированные волокна — рассматриваются в монографии [80*]. (Прим. ред.)

530
Гл. 12. Солитоны в фотонных кристаллах
11. Fan 5., Villeneuve P.R., Joannopoulos J.D., Haus И. А. // Phys. Rev. Lett.
1998. V.80. P. 960.
12. Mingaleev S.F., Kivshar Yu.S., Sammut R.A. // Phys. Rev. E. 2000. V. 62.
P. 5777.
13. McGurn A.R. II Phys. Lett. A. 1999. V. 251. P. 322.
14. McGurn A.R. II Phys. Lett. A. 1999. V. 260. P. 314.
15. Mingaleev S.F., Kivshar Yu.S. I/ Phys. Rev. Lett. 2001. V. 86. P. 5474.
16. Zijlstra Т., van der Drift £., de Dood M.J. A. et al. // J. Vac. Sci. Technol.
B. 1999. V. 17. P. 2734.
17. Ward A. J., Pendry J.B. // Phys. Rev. B. 1998. V. 58. P. 7252.
18. Mingaleev S.F., Kivshar Yu.S., Sammut R.A. // Soliton-driven Photonics /
Ed. by A. D. Boardman and A. P. Sukhorukov. — Dordrecht: Kluwer, 2001.
P. 487-504.
19. Tokushima M., Kosaka #., Tomita A., Yamada H. // Appl. Phys. Lett. 2000.
V. 76. P. 952.
20. Christodoulides D.N., Efremidis N.K. // Opt. Lett. 2002. V. 27. P. 568.
21. Reynolds A.L., Peschel U., Lederer F. et al. // IEEE Trans. Microwave
Theory and Tech. 2001. V. 49. P. 1860.
22. Mookherjea 5., Cohen D.S., Yariv A. // Opt. Lett. 2002. V. 27. P. 933.
23. Mookherjea S., Yariv A. // IEEE J. Sel. Topics Quantum Electron. 2002.
V. 8. P. 448.
24. Bhat N.A./?., Sipe J.E. // Phys. Rev. E. 2001. V. 64. 056604.
25. Mingaleev S.F, Kivshar Yu.S. // Opt. Lett. 2002. V. 27. P. 231.
26. YarivA.,Xu Y.f Lee R.K, Scherer A. // Opt. Lett. 1999. V. 24. P. 711.
27. Xu Y., Lee R.K., Yariv A. // J. Opt. Soc. Am. B. 2000. V. 17. P. 387.
28. BayindirM., Temelkuran В., Ozbay E. // Phys. Rev. B. 2000. V. 61. Rl 1855.
29. Lidorikis £., Sigalas M.M., Economou £., Soukoulis CM. // Phys. Rev. Lett.
1998. V.81. P. 1405.
30. McGurn A.R. И Phys. Rev. B. 1996. V. 53. P. 7059.
31. Johnson S.G., Joannopoulos J.D. // Opt. Exp. 2001. V. 8. P. 173.
32. Flach S., Willis C.R. // Phys. Rep. 1998. V. 295. P. 181.
33. Braun O.M., Kivshar Yu.S. // Phys. Rep. 1998. V. 306. P. 1.
34. MacKay R.S., Aubry S. // Nonlinearity. 1994. V. 7. P. 1623.
35. Aubry S. II Physica D. 1997. V. 103. P. 201.
36. Swanson £./., Brozik J.A., Love S.P. et al. // Phys. Rev. Lett. 1999. V. 82.
P. 3288.
37.Schwarz U.T., English L.Q., Sievers A.J. // Phys. Rev. Lett. 1999. V. 83.
P. 223.
38. Trias £., Mazo J. J., Orlando T.P. // Phys. Rev. Lett. 2000. V. 84. P. 741.
39. Binder P., Abraimov D., Ustinov A. V. et al. // Phys. Rev. Lett. 2000. V. 84.
P. 745.
40. Russel F.M., Zolotaryuk Г., Eilbeck J.C. // Phys. Rev. B. 1997. V. 55.
P. 6304.
41. Eisenberg Я.5., Silberberg У., Marandotti R. et al. // Phys. Rev. Lett. 1998.
V.81. P. 3383.
42. Cheng S.S. M.y Li L.M., Chan СТ., Zhang Z.Q. // Phys. Rev. B. 1999.
V.59. P. 4091.

Список литературы
531
43. Jin С, Cheng В., Май В. et al. // Appl. Phys. Lett. 1999. V. 75. P. 1848.
44. Sukhorukov A. A., Kivshar Yu.S., Bang O. // Phys. Rev. E. 1999. V. 60. R41.
45. Мезенцев В.К., Мушер С. Л., Рыженкова И.В., Турицын С.К. // Письма
вЖЭТФ. 1994. Т. 60. С. 815.
46. Flach S., Kladko К, MacKay R.S. // Phys. Rev. Lett. 1997. V. 78. P. 1207.
47. Christiansen P.L., Gaididei Yu.B., Johansson M. et al. // Phys. Rev. B. 1998.
V.57. 11303.
48. Gaididei Y.B., Mingaleev S.F., Christiansen P.L. Rasmussen K. 0. // Phys.
Rev. E. 1997. V. 55. 6141.
49. Johansson M., Gaididei Y.B., Christiansen P.L. Rasmussen K.0. // Phys.
Rev. E. 1998. V. 57. 4739.
50. Pelinovsky D.E., Afanasjev V. V., Kivshar Yu.S. // Phys. Rev. E. 1996. V. 53.
1940.
51. John S., Akdzbek N // Phys. Rev. Lett. 1993. V. 71. P. 1168.
52. John S., Akdzbek N // Phys. Rev. E. 1998. V. 57. 2287.
53. Kivshar Yu.S., Chubykalo O.A., Usatenko O. V., Grinyoff D. V. // Int. J. Mod.
Phys. B. 1995. V. 9. P. 2963.
54. Barashenkov I. V., Pelinovsky D.E., Zemlyanaya E. V. // Phys. Rev. Lett.
1998. V. 80. P. 5117.
55. Anderson СМ., Giapis К P. // Phys. Rev. Lett. 1996. V. 11. P. 2949; Phys.
Rev. B. 1997. V.56. P. 7313.
56. Laedke E. W. et al. // Письма в ЖЭТФ. 1995. Т. 62. С. 652.
57. Laedke E. W., Spatschek К.Н., Turitsyn S.K., Mezentsev V.K. // Phys. Rev.
E. 1995. V.52. P. 5549.
58. Gaididei Yu.B., Christiansen P.L. Rasmussen K.0., Johansson M. // Phys.
Rev. B. 1997. V. 55. R13365.
59. Gaididei Yu.B., Hendriksen D., Christiansen P.L. Rasmussen K. 0. // Phys.
Rev. B. 1998. V. 58. P. 3075.
60. Millar P., De La Rue M., Krauss T.F. et al. // Opt. Lett. 1999. V. 24. P. 685.
61. Helmy A.S., Hutchings D.C., Kleckner T.C. et al. // Opt. Lett. 2000. V. 25.
P. 1370.
62. Shoji S., Kawata S. 11 Appl. Phys. Lett. 2000. V. 76. P. 2668.
63. Astratov V.N., Whittaker D.M., Culshaw I.S. et al. // Phys. Rev. B. 1999.
V.60. R16255.
64. Kivshar Yu. S. // Advanced Photonics with Second-order Optically Nonlinear
Processes / Ed. by A.D. Boardman, L. Pavlov, and S. Tanev. — Dordrecht:
Kluwer, 1998. P. 451-475.
65. Xu В., Ming N.-B. И Phys. Rev. Lett. 1993. V. 71. P. 1003.
66. D'Aguanno G., Centini M., Sibilia С et al. // Opt. Lett. 1999. V. 24. P. 1663.
67. Shi В., Jiang Z.M., Wang X. // Opt. Lett. 2001. V. 26. P. 1194.
68. Berger V. // Phys. Rev. Lett. 1998. V. 81. P. 4136.
69. Broderick N G. R., Ross G. W., Offerhaus H.L. et al. // Phys. Rev. Lett. 2000.
V. 84. P. 4345.
70. Saltiel S., Kivshar Yu.S. // Opt. Lett. 2000. V. 25. P. 1204.
71. De Sterke M., Saltiel S.M., Kivshar Yu.S. // Opt. Lett. 2001. V. 26. P. 539.
72. Kivshar Yu.S., Sukhorukov A.A., Saltiel S. // Phys. Rev. E. 1999. V.60.
R5056.

532
Гл. 12. Солитоны в фотонных кристаллах
73. Chowdhury A., Staus С, Boland B.F. et al. // Opt. Lett. 2001. V. 26. P. 1353.
74. Scalora M, Dowling J.P., Bowden СМ., Bloemer M.J. // Phys. Rev. Lett.
1994. V.73. P. 1368.
75. Tran P. II Opt. Lett. 1996. V.21. P. 1138.
76. Mingaleev S.F., Kivshar Yu.S. // J. Opt. Soc. Am. B. 2002. V. 19. P. 2241.
77. Soljacic M., Johnson S.G., Fan S. et al. // J. Opt. Soc. Am. B. 2002. V. 19.
P. 2052.
78*. Nonlinear photonic crystals / Ed. by R.E. Slusher and B.J. Eggleton. —
Berlin: Springer, 2003.
79*. Soljacic M, Joannopoulos J.D. // Nature Materials. 2004. V. 3. P. 211.
80*. Желтиков A.M. Оптика микроструктурированных волокон. — M.: Наука,
2004.

Глава 13
НЕКОГЕРЕНТНЫЕ СОЛИТОНЫ
Одним из основных свойств оптических солитонов, обсуждавшихся
выше, является их когерентная природа. Действительно, амплитуда,
фаза и частота оптического солитона представляют хорошо
определённые величины. Однако, начиная с 1996 г., понятие солитона можно
расширить на более общий класс самоканалируемых пучков, которые
частично когерентны или даже полностью некогерентны. Такие
пространственные солитоны называются некогерентными солитонами\
они обладают некоторыми уникальными свойствами, не имеющими
аналогов в когерентном режиме. В этой главе мы остановимся на
некогерентных солитонах и обсудим их отличия от их когерентных
аналогов. После краткого исторического обзора в разделе 13.1 мы
представим в разделе 13.2 четыре различных теоретических подхода
к их описанию. В разделе 13.3 мы остановимся на свойствах светлых
некогерентных солитонов и опишем некоторые экспериментальные
результаты по самоканалированию некогерентных пучков. В этом разделе
обсуждается также влияние частичной когерентности на
модуляционную неустойчивость. Физика тёмных и вихревого типа некогерентных
солитонов рассматривается в разделе 13.4 вместе с
экспериментальными результатами.
13.1. Исторический обзор
Традиционно оптические солитоны наблюдались только при
использовании когерентных источников света, таких как лазеры.
Возможность самоканалирования импульса со случайно меняющейся фазой
впервые обсуждал Хасегава в 1970-х годах применительно к физике
плазмы [1] при изучении усреднённой динамики квазичастиц,
формирующих плазму, на основе уравнения Власова; этот подход отчасти
аналогичен геометрооптическому подходу. В 1990-х годах в нескольких
работах рассматривался вопрос, как меняются когерентные свойства
частично когерентных пучков в нелинейных керровских средах, но без
обсуждения оптических солитонов [2-8].
В 1996 г. Митчелл и др. выяснили, что инерционная природа
нелинейности является необходимым условием создания некогерент-

534
Гл. 13. Некогерентные солитоны
ных солитонов 0. Они использовали пучок частично (пространственно)
некогерентного света и впервые экспериментально показали, что такой
пучок может самоканалироваться в фоторефрактивном кристалле [9].
В этом эксперименте лазерный пучок направлялся на вращающийся
рассеиватель, который менял фазу по волновому фронту случайным
образом каждую 1 мкс (приблизительно), делая тем самым пучок
пространственно некогерентным. Затем пучок вводился в фоторефрактив-
ный кристалл с медленным откликом. Наблюдалось, что при
подходящих условиях размер пучка в виде узкого филамента становился
постоянным. Можно интерпретировать такой частично когерентный са-
моканалированный пучок как формирующий некогерентный
пространственный солитон, так как дифракционные эффекты уравновешены
нелинейностью среды, как и в случае когерентных
пространственных солитонов. В последующем эксперименте [10] для формирования
некогерентного солитона использовался пучок белого света от лампы
накаливания, хотя такое излучение некогерентно не только
пространственно, но и по времени.
Вскоре после первого экспериментального наблюдения
некогерентного солитона для объяснения его формирования были развиты две
различных теории. В теории плотности когерентности [11] для
нахождения аналитического решения в случае насыщающейся
логарифмической нелинейности использовался метод углового спектра [12].
В модовой теории [13], как подсказывает название, частично
когерентный свет разлагался по отдельным модам. Модовая теория, ввиду
её простоты, стала основной при нахождении некогерентных
солитонов, диапазона их существования и их корреляционных свойств.
В 1998 г. была предложена третья теория, основанная на уравнении
распространения функции взаимной когерентности [14].
Исторически основной подход в этом методе наиболее давний и базируется
на уравнении, выведенном в 1974 г. Пасмаником [15]. Не так давно
как альтернативная статистическая теория для описания динамики
частично когерентных полей, распространяющихся в нелинейной среде,
был предложен четвёртый метод на основе преобразования Вигне-
ра [16] (см. также [17]). Хотя на первый взгляд эти теории кажутся
совершенно различными, в действительности они строго эквивалентны
друг другу [18, 19] и описывают просто различные представления того
же самого процесса распространения, причём каждая из них обладает
своими достоинствами и недостатками.
В дополнение к этим строгим теориям в 1998 г. был предложен
более простой геометрооптический подход [20]. Геометрооптическое
представление некогерентных солитонов почти полностью совпадает
') Теоретический и экспериментальный анализ формирования
некогерентных солитонов в керровской среде с практически безинерционным откликом
содержится в [76*]. (Прим. ред.)

13.1. Исторический обзор
535
с развитым в физике плазмы для солитонов со случайной фазой [1].
Однако, геометрооптический подход предоставляет только простую
и интуитивного уровня информацию о некогерентных солитонах, так
как в нём теряется вся информация о фазе. Например, он не способен
описать свойства когерентности частично когерентных солитонов, так
как в нём рассматривается такой объект, как пучок полностью
некоррелированных лучей.
Для разъяснения понятия некогерентного солитона нужно сначала
напомнить, что означает некогерентность или частичная когерентность
света [21]. Пучок частично когерентного света отвечает излучению,
амплитуда и фаза которого флуктуируют во времени даже в
непрерывном режиме. В результате распределение интенсивности пучка в любой
момент времени состоит из множества мельчайших светлых и тёмных
«пятен» (так называемая спекл-картина), случайно меняющегося по
поперечному сечению [22]. Рассмотрим, как такой пространственно
некогерентный пучок воспринимается медленным фотодетектором
(например, глазом человека). Если отклик такого детектора много
медленней характерного времени флуктуации амплитуды и фазы, детектор
«видит» только усреднённую по времени интенсивность, которая может
казаться вполне однородной, несмотря на исходную спекл-картину.
Однако, такой пучок дифрагирует значительно сильней, чем когерентный
пучок той же ширины, так как каждый мельчайший спекл вносит
вклад в дифракцию усреднённой по времени огибающей пучка. В
предельном случае, в котором спеклы много меньше размера пучка,
дифракция определяется степенью когерентности, а не диаметром пучка.
Мгновенная нелинейность не может захватить некогерентный
пучок и сформировать солитон. Если некогерентный пучок падает на
среду с самофокусировочной нелинейностью с почти мгновенным
откликом (например, керровская среда), каждый спекл формирует
самонаведённый волновод, который захватывает малую часть пучка. Эти
мелкие наведённые волноводы при распространении пучка
пересекаются друг с другом случайным образом. В результате пучок разбивается
на мелкие фрагменты и самоканалирования огибающей пучка не
происходит. Поэтому только нелинейная среда с медленным откликом может
поддерживать некогерентные солитоны. Именно так впервые возникла
идея некогерентных солитонов [23]. Более развёрнуто, медленность
отклика фоторефрактивной нелинейности наводит на мысль, что быстро
меняющаяся пространственная информация, переносимая оптическим
пучком, будет усреднена и что нелинейная среда будет откликаться
только на усреднённую по времени интенсивность излучения.
Итак, инерционность основной нелинейности является
необходимым условием создания некогерентных солитонов. Однако, для
самоканалирования некогерентного пучка необходимо выполнение и
некоторых других условий [22]. Во-первых, время отклика нелинейной
среды должно быть много большим времени флуктуации в некогерентном
пучке. Во-вторых, многомодовая спекл-картина должна индуцировать

536
Гл. 13. Некогерентные солитоны
многомодовый волновод вследствие нелинейности. В третьих, как и для
любых солитонов, самоканалирование требует самосогласованности, то
есть многомодовый пучок должен направлять себя же в
самонаведённом волноводе.
13.2. Теоретические методы
Как указывалось в разделе 13.1, для объяснения экспериментально
наблюдавшихся свойств некогерентных солитонов в течение короткого
периода около одного года были развиты четыре различных метода.
В этом разделе мы обсудим эти четыре метода и выявим их
достоинства и недостатки.
13.2.1. Теория плотности когерентности. Теория плотности
когерентности была первым аналитическим методом описания
экспериментально наблюдавшегося самоканалирования частично когерентного
оптического излучения в средах с инерционной нелинейностью [11].
С помощью этого метода можно изучать интенсивность и
корреляционную статистику пучка частично когерентного излучения по длине
среды, применяя теорему Ван Циттерта-Цернике [21]. На физическом
языке входной некогерентный пучок разбивается на много
когерентных фрагментов, взаимно некогерентных по отношению друг к
другу. Начальный относительный вес каждого фрагмента определяется
по угловому спектру источника. Каждый фрагмент распространяется
в нелинейной среде как когерентный, а полная интенсивность
частично когерентного излучения находится суммированием интенсивностей
этих когерентных частей.
Для описания метода углового спектра, хорошо известного в
линейной оптике [21], мы применим его сначала к решению линейной
дифракционной задачи, а именно, к распространению частично
когерентного пучка в отсутствие нелинейности. В параксиальном
приближении нам нужно решить (1.2.12) с пп\ = 0. Получается следующее
уравнение
**SKS?+£)-a <13'2"
В методе углового спектра это линейное уравнение решается с
помощью двумерного преобразования Фурье
оо
A{r,z)= J a(p,z)exp(t/Jbp-r)<£p, (13.2.2)
— оо
где р = (рх,Ру) и г = (х, у) —двумерные векторы. В физике a(p, z)
называют угловым спектром, так как он представляет амплитуды
плоских волн, распространяющихся в различных направлениях.
Компоненты рх и ру отвечают направляющим косинусам волнового вектора

13.2. Теоретические методы
537
плоской волны по отношению к оси преимущественного
распространения z.
После подстановки (13.2.2) в (13.2.1) угловой спектр при любом
расстоянии z выражается через его начальное значение при z = 0:
a(p,z) = а(р,0)ехр(-г/30р22/2). (13.2.3)
Подставив это соотношение в (13.2.2), мы получим представление
углового спектра оптического излучения в форме
оо
A(r,z)= J a(p,0)exp[i/3b(pT-p2V2)]d2p. (13.2.4)
—оо
Запишем амплитуду поля на входе как А(г,0) = т(г)фо(г)у где
т(г) — комплексная функция модуляции, а фо(т) — амплитуда поля до
модуляции, которая описывает все пространственные статистические
свойства источника. Если считать, что флуктуации источника
представляют стационарный случайный процесс, то для функции
автокорреляции для фо{х,у) выполняется равенство
{Мг)Ф*о(г')) = Я(т-т'). (13.2.5)
Из этого соотношения находим, что автокорреляционная функция
углового спектра удовлетворяет условию
(Фо(р)Фг(р')> = Ш2к)2С(р)52(р - Р'). (13-2.6)
где Фо(р) и G(p) — фурье-преобразования фо(т) и Д(г),
соответственно. Физически G(p) представляет угловой спектр мощности частично
когерентного источника.
Теперь мы можем вычислить интенсивность / в любой точке z,
используя (13.2.2) и определение / = (|А|2). С учётом того, что, согласно
теореме о свёртке, а связано с Фо как
оо
a(p,0)= j М(р-р')Фо(р')<*2Р'. (13.2.7)
— оо
где М(р) — фурье-преобразование функции пространственной
модуляции ш(г), окончательный результат даётся выражением
I(r,z)= J |/(p,r,z)|2d2p, (13.2.8)
— ОО
где передаточная функция /(р, г, z) определена как [22]
/(p,r.z) = ^^IjjM(pl)exp{iA)[p1.(r-pz)-p22/2]}d2p1.
(13.2.9)

538
Гл. 13. Некогерентные солитоны
Вспомогательная функция / имеет простой смысл. Она показывает,
что дифракционные свойства частично когерентного пучка можно
описать, рассматривая все угловые компоненты, находя интенсивность |/|2
конкретной компоненты и затем суммируя вклад в интенсивность всех
фигурирующих компонент. Функция / — это функция плотности
когерентности, характеризующая частично когерентный источник.
Из (13.2.9) нетрудно увидеть, что функция плотности когерентности /
является решением следующего модифицированного параксиального
уравнения:
,(^ + p.Vx/) + ^Vi/ = 0, (13.2.10)
где V± — двумерный оператор градиента. Это уравнение следует
решать с начальным условием /(р,г,0) = у/Щр) га(г).
Уравнение (13.2.10) выведено для линейной среды с пп\ = 0. Однако
его нетрудно обобщить, включив нелинейные эффекты, если вклад
нелинейности зависит только от средней интенсивности /. Это и есть
случай нелинейной среды с медленным откликом. Используя
нелинейный член из (1.2.12), находим, что плотность когерентности в такой
нелинейной среде эволюционирует согласно уравнению [11]
г (U + Р • Vx/) + 2^b vl/ + fco«ma)/ = 0. (13.2.11)
где пп\(1) представляет функциональную зависимость показателя
преломления от средней интенсивности. Теория плотности когерентности
полезна для изучения различных типов динамики частично
когерентных пучков, включая коллапс пучка [24] и формирование
некогерентных пространственных солитонов в изотропных средах с насыщением
нелинейности [25].
13.2.2. Функция взаимной когерентности. В теории плотности
когерентности не фигурирует непосредственно степень когерентности,
связанная с частично когерентным пучком. Теория, которая привлекает
её, хорошо известна и использует функцию взаимной когерентности,
определяемую соотношением [21]
Г(п,г2,2г;«ь<2) = <А(гь z;*i)A*(r2f z;t2)>. (13.2.12)
В большинстве случаев, представляющих физический интерес,
основной стохастический процесс стационарен и функция
когерентности Г зависит только от разности времён г = t\ — t<i. Кроме того,
если эффекты временной когерентности не интересны, можно
выделить эффекты пространственной когерентности, положив t\ = t<i. Тогда
функция пространственной когерентности определяется как
Ji2(ri,r2,z) = Г(гьг2, z;M) = (A(r,,z,t)A*(r2, *,*))• (13.2.13)
С величиной J\2 связана степень пространственной когерентности,
определение которой
l*l2 = J\2/y/JUJ22, (13.2.14)

13.2. Теоретические методы
539
где J\\ = 7(г|,z) и J22 = /(гг. z) — интенсивности в точках ri и гг,
соответственно. Эта величина определяет все свойства пространственной
когерентности пучка.
В случае пучка непрерывного излучения, распространяющегося в
нелинейной среде, A(r\,t) удовлетворяет уравнению (1.2.12), которое
здесь мы запишем в виде
г§~ + Щ^А + МшСМ = 0- (13.2.15)
В 1974 г. было показано, что стандартную теорию когерентности можно
обобщить на случай нелинейных сред [15]. Действительно,
используя (13.2.13) и (13.2.15), нетрудно показать, что функция взаимной
когерентности J\2 удовлетворяет следующему четырёхмерному
уравнению, если в нелинейном члене фигурирует средняя интенсивность:
*ТБГ + 2^(V2±1 " v2±2)Jl2 + *°[Пп1(7,) ~ nnl(/2>]Jl2 = °' (13*2Л6)
где Vxi и Vx2 — операторы двумерного градиента с
дифференцированием по ri и гг, соответственно. Это уравнение представляет
нелинейный вариант линейного уравнения, описывающего распространение
функции взаимной когерентности в параксиальном приближении [21].
Отметим, что для его справедливости требуется также, чтобы
нелинейный отклик среды был медленным.
Функцию взаимной когерентности можно связать с функцией
плотности когерентности /(р, г, z), введённой ранее [26]
оо
*/i2(ri,r2;z)= J /(р,гьг)/*(р,г2,г)ехр[»Д)р-(г1-Г2)](^р.
(13.2.17)
Отметим, что интенсивность в точке Tj можно получить из (13.2.17)
как оо
1, = 1(г,9г) = Ъ = | |/(р,г^)|2<*2р, (13.2.18)
—оо
что совпадает с (13.2.8). Уравнение (13.2.17) представляет
модифицированный вариант теоремы Ван Циттерта-Цернике [27].
Эквивалентность подхода плотности когерентности и метода взаимной
когерентности можно также установить [18], показав, что (13.2.11) и (13.2.17)
приводят к (13.2.16).
Хотя (13.2.16) справедливо для любого вида нелинейной функции
гсыСО. явный вид функции когерентности для частично когерентных
солитонов можно получить только в некоторых случаях, таких как
среда с логарифмической нелинейностью [28]. Этот случай интенсивно
изучался [29-31] и он рассматривается в разделе 13.3.
13.2.3. Модовая теория. Третий подход к описанию самоканали-
рования частично когерентных пучков использует понятие оптических

540
Гл. 13. Некогерентные солитоны
мод, и он проще для интуитивного понимания [13]. Он хорошо
подходит для определения когерентных свойств некогерентных солитонов,
а также диапазона параметров, в котором они существуют. Кроме того,
модовая теория сводится к системе некогерентно связанных НУШ,
аналогичной изучавшейся в гл. 9. Это свойство облегчает
аналитическое решение в ряде случаев, представляющих практический интерес
[32-38].
Основная идея модового подхода хорошо известна в теории
оптической когерентности (см. раздел 2.5 монографии [21]). Для простого
объяснения модовой теории мы предположим, что медленно
меняющуюся огибающую частично когерентного пучка можно записать с
помощью ортонормированной системы мод um(r, z):
A(r,z) = '£cmum(r,z), (13.2.19)
m
где модовые коэффициенты Cm — случайные переменные,
некоррелированные друг с другом, то есть (стС^) = \т6Птп> где Ат (заполнение
мод) — вещественная положительная величина. Этот тип
представления известен как разложение Карунена-Лоэва [21, 39]. Для
справедливости этого разложения функции um(r, z) должны оставаться
ортогональными при распространении, при условии, что при z = 0 это
выполняется, то есть
оо
| um(r,z)u*n{r,z)dxdy = 6nm. (13.2.20)
—оо
Подставив (13.2.19) в (13.2.15), находим, что каждая собственная
функция эволюционирует согласно уравнению
*ТЕГ + WoV2±Um + *°Пп,(/)^ = °' (13.2.21)
где I = ^(l0™!2)!16™!2- Можно показать, что, независимо от характера
m
фигурирующих собственных функций, система ит остаётся
ортонормированной при распространении.
Функцию взаимной когерентности также можно разложить по тем
же ортонормированным собственным функциям:
Ji2(ri,r2;2) = 5:(|cm|2)izm(rl,z)^(r2,z), (13.2.22)
m
где использовано соотношение (сщС^) = (Icml2)^™. Можно
продифференцировать это уравнение по z и получить уравнение (13.2.16) —
основное в методе взаимной когерентности. Главное преимущество
модового подхода в том, что он позволяет описывать эволюцию частично
когерентного пучка с помощью системы некогерентно связанных НУШ
вида (13.2.21), а не решать более сложное уравнение (13.2.16).

13.2. Теоретические методы
541
Как обсуждалось в гл. 9, система некогерентно связанных НУШ
точно интегрируется при некоторых условиях в одномерном случае для
керровской среды с медленным откликом, для которой пп\(1) = пг/,
и в этом случае были найдены явные аналитические решения [32-38].
В таких моделях бесконечная система НУШ обрезается, поскольку
в разложение (13.2.19) вносит вклад только конечное число мод. Тем не
менее они весьма полезны для понимания физики. Например, найдено,
что изменение числа мод от N = 2 до N = 3 приводит к некоторым
новым свойствам. В частности, такие некогерентные солитоны могут
иметь режимы с асимметричной формой и эта форма может меняться
во время столкновений, хотя солитон сохраняет стационарную
структуру [40-42]. Подобное поведение наблюдается в насыщающейся среде,
хотя некогерентный солитон после столкновения расщепляется на
множество пучков [42].
13.2.4. Метод преобразования Вигнера. Недавно была развита
альтернативная статистическая теория описания динамики частично
когерентного излучения, распространяющегося в нелинейной среде [16,
17]. Этот подход основан на функции Вигнера [43], впервые
введённой в статистической квантовой механике в 1932 г. С тех пор он
успешно применялся в связи со слабой турбулентностью плазмы [44]
и нестационарной и релятивистской плазмой [45]. Недавно метод
преобразования Вигнера использовался.для анализа продольной динамики
пучков заряженных частиц в ускорителях [46] и для изучения
динамики конденсата Бозе-Эйнштейна в присутствии случайного внешнего
потенциала [47].
Исходным вновь служит НУШ (13.2.15), которое мы перепишем
в более удобной форме
*1г+ 5у2±л+lG{I)A = а (13-2,23)
где функция G(I) с / = (|А|2) характеризует нелинейные свойства
среды и параметр d учитывает её дифракционные или дисперсионные (во
временном случае) свойства. Как обсуждалось в гл. 7, дифракционные
и дисперсионные эффекты могут быть учтены одновременно введением
дополнительного члена в лапласиан при рассмотрении г как вектора
с тремя компонентами.
Преобразование Вигнера определяется следующим образом [43]
+°°
P(p,r,*) = -J^ } (A*(r + s/2,z)A(r-s/2,z))e*'sdDs, (13.2.24)

542 Гл. 13. Некогерентные солитдны
где г и s — jD-мерные векторы. Нетрудно видеть, что средняя
интенсивность связана с функцией Вигнера р так
+оо
(A*(r,z)A(r,z))= J p(p,r,z)dV (13.2.25)
— оо
Сравнивая это соотношение с (13.2.8), можно убедиться, что функция
Вигнера близка по характеру к функции плотности когерентности.
Применив преобразование Вигнера к (13.2.23), получим следующее
уравнение Вигнера-Муаяля, описывающее эволюцию функции
Вигнера:
|£ + dp • Vrp + 27G(J) sin (I Vr • Vp) p = 0, (13.2.26)
где индекс указывает переменную, применяемую в операторе
градиента. Два оператора градиента в аргументе функции синус действуют
налево и направо, как указывают стрелки над ними. Нелинейный член
довольно сложен, так как включает пространственные производные
всех порядков. Его можно значительно упростить в геометрооптиче-
ском приближении, в котором Др Дг > 27г, где Др — ширина спектра
функции Вигнера и Дг — ширина функции отклика среды. При этом
условии можно использовать приближение sin (x) « х, и тогда
уравнение Вигнера-Муаяля преобразуется в более простое уравнение типа
уравнения Власова:
& 4- dp • Vrp + 7VrG(/) • Vpp = 0. (13.2.27)
Это уравнение представляет уравнение непрерывности, свидетельствуя
о сохранении числа квазичастиц в фазовом пространстве. Привлекая
теорему Лиувилля, можно получить канонические уравнения
Гамильтона движения квазичастицы массы d или, эквивалентно, уравнения
лучей приближения геометрической оптики, в которых г и р играют
роль канонических переменных. Уравнение (13.2.27) аналогично
уравнению переноса излучения, применявшемуся в [48, 49].
Метод преобразования Вигнера предоставляет удобный способ
рассмотрения распространения частично когерентного излучения в
нелинейных оптических средах. Можно показать, что оно эквивалентно
трём другим методам, обсуждавшимся в этом разделе [19]. Для
получения полной информации мы сначала решаем (13.2.26), а затем
выполняем обратное преобразование Фурье от р, получая
оо
Ji2(s.p.z)sJl2(r,,r2,z)= J p(p,8,z)e-iP-,d2p, (13.2.28)
— ОО
где г = (ri - гг)/2 и s = гг — Г|. Основное преимущество этого
метода состоит в значительном упрощении задачи, так как уравнение
Вигнера-Муаяля вещественное и поэтому число подлежащих решению
уравнений сокращается вдвое.

13.3. Gez/цлые некогерентные солитоны
543
13.3. Светлые некогерентные солитоны
В этом разделе мы используем два конкретных типа нелинейности
с медленным откликом, что позволит нам получить аналитический
вид светлых солитонов и использовать его для обсуждения
когерентных свойств таких солитонов. А именно, мы рассмотрим керровскую
нелинейность и логарифмически насыщающуюся нелинейность вида
Пп\(1) = П2 1п(1 + 1/13), где 18 — интенсивность насыщения. Задача
с логарифмической нелинейностью впервые была решена в 1997 г.
методом плотности когерентности [12]; с тех пор применялись и другие
методы [29-31].
13.3.1. Свойства частично когерентных солитонов. Сначала
мы применим модовую теорию в случае логарифмически
насыщающейся нелинейности и обсудим свойства когерентности получающихся
частично когерентных солитонов. Полагая / > 13 и выбирая для
простоты последующего обсуждения одномерный случай, выпишем
уравнение (13.2.21) для когерентных мод
^+^+копН^)ит=о- (13-зл)
Примем гауссову форму для профиля интенсивности входного пучка
7(х,0) = /s6oexp(-x2/wg), (13.3.2)
где гуо — ширина входного пучка, а 6о характеризует максимальную
интенсивность на входе в единицах интенсивности насыщения. Мы
также нормируем (13.3.1), введя
х1 = -*-, z' = -?-, Ld = fowl (13.3.3)
wq Ld
где Ld — дифракционная длина. Тогда модовое уравнение примет вид
*Чг +\i£f + т <1п * -x2)Um = °- (133-4)
где мы опустили штрихи над х и z для простоты обозначений и ввели
безразмерный параметр а, определив его как
о. = woy/2ri2kof3o. (13.3.5)
Чтобы пучок был некогерентным солитоном, его интенсивность не
должна меняться при распространении, то есть должно быть J(x, z) =
= /(х,0) при всех z. Это возможно, если параметры 6о и wq в (13.3.2)
постоянные. Будем считать, что это так. Теперь (13.3.4) можно решить,
выбирая решение в виде um(x, z) = Um(x)exp(i\mz), что приводит к
уравнению (задаче) на собственные значения
^ + a2(ln 6o - x2)Um = 2AmJ7m. (13.3.6)
ах

544
Гл. 13. Некогерентные солитоны
Это стандартное уравнение гармонического осциллятора имеет
решения в виде функций Эрмита-Гаусса. Поэтому собственные функции
и собственные значения даются выражениями
Um(x) = Hm{yfcx)e-ax*l\ \т = \ [a2 In {bo) - (2m + 1)а].
(13.3.7)
Теперь интенсивность в любой точке может быть найдена из
соотношения
I(x,z) = ^(\cm\2)\um(x,z)\2, (13.3.8)
m
где Сщ — коэффициент разложения в (13.2.19). Физически (Ic™!2)
представляет вероятность заселения моды. Оказывается, что (13.3.8)
приводит к гауссову профилю (13.3.2), если (Icml2)! отвечают
распределению Пуассона [33]
(|ст|2> = 6.^, (13.3.9)
где Ь\ и q связаны с параметрами пучка так:
Ь, = Ьое9/2\/Г^2, q = ^|. (13.3.10)
Так как необходимо q > 0, светлый некогерентный солитон может
существовать при логарифмически насыщающейся нелинейности, только
если а > 1. Из (13.3.5) следует, что для существования солитона
нелинейный параметр n<i должен превышать пороговое значение (2fcoLd)_l-
В полностью когерентном случае (q = 0), в котором возбуждена только
фундаментальная мода, требуется а = 1. Полностью некогерентный
случай отвечает д= 1 и достигается при очень больших значениях а.
Свойства когерентности частично когерентного солитона можно
найти из (13.2.22), используя (13.3.7)—(13.3.9). Степень когерентности
получается из (13.2.14) и оказывается равной
/x12(d) = ехр
qd2
(13.3.11)
L 0-9Г
где d — расстояние между двумя пространственными точками при
заданном расстоянии z. Если определить корреляционную длину 1С
(иногда называется радиусом корреляции) как значение d, при котором
/xi2 = 1/е, эта длина даётся выражением
1с _ 1 - q _ 2
™о y/q у/а2- 1
(13.3.12)
В полностью когерентном случае (q = 0), как и следовало ожидать,
1С —► оо. Полностью некогерентный случай отвечает q = 1, тогда 1С —► 0.
При промежуточных значениях q солитон только частично когерентен
и (13.3.11) определяет его степень когерентности. Например, корреля-

13.3. Светлые некогерентные солитоны
545
ционная длина сравнивается с шириной пучка (lc = wo) при а = \/5,
или q « 0,38.
В качестве второго примера частично когерентных солитонов мы
рассмотрим среду с медленным керровским откликом и заменим
в (13.3.1) ln(I/Is) на /. Если считать, что форма солитона остаётся
той же, что и в когерентном случае, так что I = I0 = sch2(x/wo),
и применить нормировку (13.3.3), то (13.3.1) можно переписать в виде
<1§Г + 5 1? + У sch2(a;)u- = °- (13-злз)
где параметр а теперь определён как а2 = /со^пг/о-
Когерентные моды получаются при задании решения (13.3.13)
в форме ит(х, z) = Um(x) exp (i\mz) и решении соответствующего
уравнения на собственные значения. При замене у = th(rr) уравнение
на собственные значения принимает вид [35]
(1 - у^ - 2у*£ + (a* ~f^)um=0 (13.3.14)
и имеет решение Um(x) = P™(thx), где Р™(х) — присоединённая
функция Лежандра, а целые тип определены как Ат = т2/2
и а2 = п(п + 1). Хотя п может быть любой положительной целой
величиной, m ограничено диапазоном от 1 до п. При п = т = 1
возбуждена только одна когерентная мода и мы вновь приходим к
чисто когерентному случаю. При других значениях п получаем
семейство частично когерентных солитонов, содержащих суперпозицию мод.
Уравнение (13.3.8) представляет условие самосогласованности и может
быть использовано для нахождения коэффициентов разложения. Тогда
степень когерентности можно найти указанным выше способом.
Простейший случай отвечает п = 2, и тогда частично когерентный
солитон состоит только из двух когерентных мод, соответствующих
т = 1 и 2. Свойства когерентности таких солитонов можно найти при
любых значениях п, а аналитические выражения для мод и функции
когерентности приведены в [35] вплоть до п = 6. В качестве примера
на рис. 13.1 при п = 2 и 3 показано, как меняется нормированная
функция пространственной когерентности /112(2, d) при изменении d
и х. Эти двумерные графики указывают на сложную природу свойств
когерентности частично когерентного солитона керровского типа;
графики становятся ещё более сложными при увеличении п.
Нетрудно обобщить модовый анализ на случай двух поперечных
измерений и показать, что некогерентные солитоны могут
существовать в виде гауссова пучка с эллиптическим сечением [30].
Можно также применить другие методы, обсуждавшиеся в разделе 13.2,
и они приводят к тем же выводам [29-31]. Теория на основе функции
взаимной когерентности использовалась для нахождения так
называемых сцепленных некогерентных солитонов, фаза которых зависит

546
Гл. 13. Некогерентные солитоны
Рис. 13.1. Функция пространственной когерентности /xi2(x,d) в зависимости
от х и d при п = 2 и 3 для частично когерентных солитонов керровского
типа [35]
от координат и обращается в нуль только в полностью когерентном
пределе [50]. Эту теорию можно также использовать для
доказательства справедливости принципа суперпозиции, согласно которому любая
линейная комбинация частично когерентных солитонов также будет
распространяться как солитон, если все они имеют один и тот же
профиль интенсивности [51].
13.3.2. Модуляционная неустойчивость частично когерентных
пучков. Модуляционная неустойчивость частично когерентных
пучков впервые анализировалась в рамках теории плотности
когерентности [52]. Позже эта теория была распространена на двумерный случай
для рассмотрения неустойчивости, нарушающей симметрию, которая
приводит к формированию структур [53]. Здесь мы применим метод
преобразования Вигнера и рассмотрим модуляционную неустойчивость
частично когерентного пучка непрерывного излучения,
распространяющегося в среде с медленным керровским откликом, на основе (13.2.23)
с G(I) = / = \А\2. Сначала напомним случай полной когерентности,
обсуждавшийся в 1.4.1. Для пучка когерентного непрерывного
излучения с интенсивностью на входе /о (при 2 = 0) (13.2.23) имеет решение
A(r,z) = Aoexp(ijIoz). Такой режим модуляционно неустойчив при
dj > 0 и К < Кс, где К — пространственная частота возмущения
и Кс = (A^Io/d)1/2 — значение отсечки. Инкремент неустойчивости д
в когерентном случае даётся выражением
д(К) = 1т(П) = i dKy/K* - К2. (13.3.15)
В случае пучка частично когерентного непрерывного излучения мы
решаем (13.2.26), полагая, что функция Вигнера может быть записана
в форме
p(p,x,z) = ро(р) + р\ exp[i(Kx — £tz)]y (13.3.16)

13.3. Светлые некогерентные солитоны
547
где ро(р) — стационарная функция распределения, отвечающая плоской
волне с комплексной амплитудой
A(r,z) = y/b) exp[ijl0z + i<j>(x)]. (13.3.17)
Свойства когерентности определяются случайно меняющейся фазой
ф(х). По определению интенсивность на входе удовлетворяет соотно-
+оо
шению /о = [ Po(p)dp. Величина р\ представляет малое возмущение.
—оо
Линеаризуя (13.2.26) по возмущению рь мы получим из
линеаризованного уравнения Вигнера-Муаяля следующее дисперсионное
соотношение [17]:
+оо
—с»
Коэффициент усиления неустойчивости получается решением этого
уравнения относительно fi и использованием соотношения д = 1т(П).
Действительно, подставив в (13.3.18) ро(р) = 1о8(р)> нетрудно увидеть,
что в пределе чисто когерентной волны вновь получается (13.3.15).
Дисперсионное соотношение, вытекающее из линеаризированного
уравнения типа уравнения Власова (13.2.27), имеет вид
+оо
t + l\d$hs+~°- (13'3-,9)
—оо
и его можно непосредственно получить из (13.3.18) в пределе
малых К. Соотношение (13.3.19) аналогично соотношению, получаемому
для волн в электронной плазме. В общем случае интегралы в (13.3.18)
и (13.3.19) можно представить как сумму главного значения и вклада
вычетов, причём последний приводит к затуханию возмущений типа
Ландау, аналогичному существующему в электронной плазме. Этот
стабилизирующий эффект не сводится к обычному диссипативному
затуханию. Скорее он представляет эффект самовоздействия при
сохраняющейся энергии в частично когерентном излучении, вызывающий
перераспределение спектра Вигнера из-за взаимодействия его
различных частей, что останавливает модуляционную неустойчивость.
Аналогичные явления происходят при нелинейном распространении волн
в электронной плазме, взаимодействующих с интенсивным
электромагнитным излучением [44-48], нелинейном взаимодействии между
фотонами со случайной фазой и звуковыми волнами в электрон-по-
зитронной плазме [49] и в продольной динамике пучков заряженных
частиц в ускорителях [46].

548
Гл. 13. Некогерентные солитоны
Для иллюстрации случая частичной когерентности допустим, что
амплитуда излучения (13.3.17) обладает следующей
автокорреляционной функцией:
(А*(х + у/2, z)A(x - у/2, z)) = ехр (-р0|у|), (13.3.20)
гдер^1 — корреляционная длина. Тогда находим, что соответствующая
функция Вигнера обладает лоренцевской формой
А)(Р) = 7-ГЬ- (13.3.21)
* Р +Ро
Подставив эту форму в дисперсионное соотношение (13.3.18), получим
следующее выражение для коэффициента усиления неустойчивости:
д(К) = \dK (у]к*-Ю - 2ро) • (13.3.22)
Этот результат аналогичен полученному в [52] другим способом.
Сравнение (13.3.22) с (13.3.15) показывает, что стабилизирующий
эффект затухания Ландау вызван конечностью ширины полосы ро
лоренцевского спектра (или конечной корреляционной длиной
флуктуации поля). Действительно, если ширина лоренцевского спектра
удовлетворяет условию ро > Рс» где рс = Кс/2 = (jlo/d)1^2,
модуляционная неустойчивость полностью подавляется при всех волновых
числах К. Другими словами, когда затухание Ландау, вызванное
частичной когерентностью пучка непрерывного излучения, достаточно
сильное, оно может преодолеть когерентное возрастание, связанное
с модуляционной неустойчивостью. Этот эффект наблюдался
экспериментально [54].
13.3.3. Экспериментальные результаты. В первом наблюдении
самоканалирования пучка частично когерентного оптического
излучения использовалась нелинейность с медленным откликом фоторефрак-
тивных кристаллов [9]. При должных условиях пучок непрерывного
излучения распространялся как светлый солитон с шириной 30 мкм,
несмотря на его только частичную когерентность. Так как
корреляционная длина в профиле интенсивности пучка была много меньше, чем
ширина пучка, можно было считать, что самоканалированный пучок
сформировал светлый некогерентный солитон.
Схема этого эксперимента, выполненного в 1996 г., показана на
рис. 13.2 [9]. Использовался пучок аргонового лазера с длиной
волны 488 нм, который расщеплялся на две части с ортогональными
поляризациями с помощью поляризационного светоделителя. Пучок
с обыкновенной поляризацией расширялся и использовался как
фоновый для равномерного освещения фоторефрактивного кристалла SBN.
Этот фоновый пучок генерировал некоторый уровень электронов в зоне
проводимости, который оптимизировал фоторефрактивную
самофокусировку. Пучок с необыкновенной поляризацией пропускался через

13.3. Светлые некогерентные солитоны
549
Обыкновенная
поляризация
Поляризационный
светоделитель
Ч
Поляризатор
Аг-лазер
Необыкновенная
поляризация
t Апертура
Вращающийся
рассеиватель
Кристалл
SBN
Рис. 13.2. Экспериментальная схема, использованная для наблюдения самока-
налирования некогерентного излучения, приводящего к формированию
некогерентного пространственного солитона [9]
вращающийся рассеиватель для обеспечения частичной
пространственной когерентности пучка [55]. Рассеиватель вращался с
периодом, много меньшим времени отклика фоторефрактивного кристалла.
Затем пучок посылался на кристалл SBN, ориентированный так, что
поляризация пучка была параллельна оси кристалла с. Наблюдалось,
что самофокусировка возникает при приложении внешнего
электрического напряжения должной величины и полярности. Приложенное
электрическое поле приводило к росту поля пространственного заряда,
которое имело большую компоненту вдоль оси с и усиливало
нелинейность.
На рис. 13.3 показаны горизонтальный и вертикальный профили
входного пучка (в двух ортогональных поперечных направлениях),
дифрагирующий при нулевом напряжении пучок на выходе и самока-
налированный пучок при напряжении 550 В. Так как нелинейная среда
откликается только на интенсивность, усреднённую по времени, она
«не видит» быстро меняющихся спеклов. Однако, когда рассеиватель
не вращается, спекл-картина перестаёт меняться со временем и
пучок разбивается на множество случайно расположенных филаментов.
Когда рассеиватель вращается с периодом, много меньшим времени
отклика нелинейной среды, филаменты исчезают и возникает
единственный самоканалированный пучок. Такое поведение подтверждает,
что самоканалированный пучок действительно является некогерентным
солитоном. Хотя самоканалированный пучок состоит из многих
случайно меняющихся когерентных компонент, усреднённая по времени
интенсивность отвечает единственному гладкому пучку, который
наводит единственный волновод (посредством фоторефрактивного эффекта)

550
Гл. 13. Некогерентные солитоны
Горизонтальный
профиль
Вертикальный
профиль
Входной пучок
Ширина 30 мкм
Дифрагировавший пучок
Ширина 102 мкм
Напряжение 0
Самоканалированный пучок
Ширина 30 мкм
Напряжение 550 В
Рис. 13.3. Экспериментальный результаты по генерации частично когерентных
солитонов. Показаны поперечные (горизонтальный и вертикальный) профили
входного пучка, дифрагирующий при нулевом напряжении пучок на
выходе и самоканалированный выходной пучок, формирующийся при напряжении
550 В [9]
и направляет сам себя самосогласованным образом. В каждый момент
времени, однако, направляемый пучок состоит из спеклов.
Одно из наиболее привлекательных свойств солитонов — это их
способность создавать волновод для пробного пучка.
Применительно к некогерентным солитонам это свойство использовалось для
демонстрации передачи изображения через самофокусировочную среду
с медленным откликом. В одном из экспериментов [56] частично
когерентный солитон применялся для формирования многомодового
волновода в фоторефрактивном кристалле, и моды этого волновода
использовались для передачи некогерентного изображения через нелинейную
среду. Передачу изображения через такую самофокусировочную среду
можно пояснить, заметив, что многомодовый волновод, наведённый
некогерентным солитоном, может действовать как градиентная
линза. Этот метод даёт хорошие результаты только для ограниченных
расстояний распространения, пока межмодовая дисперсия между на-

13.3. Светлые некогерентные солитоны
551
правляемыми модами наведённого солитоном волновода не разрушает
изображение.
Как обсуждалось в 13.3.2, для частично когерентного света
модуляционная неустойчивость имеет более высокий порог и может
наблюдаться, только если мощность на входе превышает
определённое пороговое значение, зависящее от степени когерентности [57-59].
На рис. 13.4 показаны примеры экспериментально наблюдавшихся
пространственных распределений на выходе фоторефрактивной среды,
когда на её вход падает широкий пучок непрерывного излучения [59].
Корреляционная длина в сечении пучка составляет только 13 мкм
и интенсивность в пучке равна интенсивности насыщения
нелинейности среды. Уровень нелинейности управляется внешним
электрическим напряжением, прикладываемым к фоторефрактивному кристаллу.
На фотографии (а) показан профиль пучка в отсутствие
нелинейности (однородное распределение интенсивности). При возрастании
нелинейности сначала достигается порог одномерной модуляционной
неустойчивости (фотография (б)). Здесь может возникать смешанное
состояние, в котором сосуществуют порядок и беспорядок, в том
смысле, что только в некоторых областях развивается филаментация,
а в других интенсивность остаётся однородной. Это обстоятельство
указывает на то, что нелинейное взаимодействие испытывает фазовый
переход порядок-беспорядок. Фотография (в) на рис. 13.4 отвечает
значению нелинейности, значительно превышающему порог
неустойчивости. В этом случае филаменты (солитонные полосы) сформированы
всюду. При дальнейшем возрастании нелинейности происходит второй
переход, показанный на фотографии (г). Полосы становятся
неустойчивыми и начинают распадаться на упорядоченный набор двумерных
пятен, отвечающих двумерным некогерентным солитонам. На всех
изображениях когерентная длина много меньше расстояния между
соседними полосами или филаментами.
Наблюдалась также кластеризация некогерентных солитонов [60].
Процесс кластеризации инициируется определяемой шумом
модуляционной неустойчивостью, которая приводит к формированию соли-
тоноподобных самоканалированных филаментов. Эти солитонные
филаменты притягивают друг друга, формируя со временем кластеры.
Случайный характер волнового фронта (который мог изменяться
контролируемым образом) вместе с инерционной природой нелинейности
вызывает силы притяжения между солитонными филаментами.
Экспериментальные результаты согласуются с теретическими
предсказаниями и подтверждаются численным моделированием.
Подавление модуляционной неустойчивости частично когерентного
излучения было также использовано для формирования устойчивых
одномерных солитонных полос. Обычно в когерентном случае такие
полосы неустойчивы в другом пространственном измерении. Рассмотрим,
однако, полосу, которая полностью когерентна в направлении самока-
налирования, но при этом только частично когерентна в другом попе-

552
Гл. 13. Некогерентные солитоны
Рис. 13.4. Фотографии, демонстрирующие модуляционную неустойчивость
частично когерентного пучка, а) линейное распространение; б) распределение
интенсивности, вблизи порога неустойчивости; в) формирование полос много
выше порога; г) при много больших нелинейностях полосы становятся
неустойчивыми и формируются двумерные структуры [59]
речном направлении. Оказывается, что такие солитонные полосы
становятся поперечно устойчивыми, если корреляционная длина меньше
порогового значения [61]. Экспериментально найдено, что поперечно
устойчивый одномерный светлый керровский солитон может
существовать в сплошной среде, если поперечная неустойчивость солитонной
полосы полностью устранена достижением его достаточной
некогерентности в поперечном направлении [54]. В эксперименте использовалась
установка, аналогичная изображённой на рис. 13.2. Единственное
отличие состоит в применении цилиндрической линзы для фокусировки
пучка только в одном направлении, например, направлении я, с
созданием весьма вытянутого эллиптического пучка в форме полосы.
Нелинейность включалась приложением электрического поля с
напряжением 2,7 кВ/см, и тогда пучок формировал устойчивую солитонную
полосу. Если пучок был полностью когерентным, солитон испытывал
модуляционную неустойчивость и распадался на филаменты. Когда

13.4. Тёмные и вихревые солитоны
553
пучок был сделан некогерентным в направлении у с размером спеклов
около 5 мкм, неустойчивость устранялась и одномерная солитонная
полоса становилась устойчивой. Для устойчивости солитонной полосы
степень когерентности в направлении у должна быть такой, чтобы
уровень нелинейности был ниже порога модуляционной неустойчивости.
13.4. Тёмные и вихревые солитоны
После открытия светлых некогерентных солитонов представлялось
естественным считать, что нелинейная среда с медленным откликом
может также поддерживать тёмные некогерентные солитоны. Однако,
этот вопрос не столь прост, если вспомнить, что, в соответствии с гл. 4,
для тёмных солитонов необходим поперечный фазовый сдвиг в центре
тёмной полосы [62]. Если первоначально фаза однородна в тёмной
области, то пучок не формирует тёмный солитон, а расщепляется на
два расходящихся серых солитона. Напомним также (см. гл. 8), что для
двумерных когерентных вихрей требуется геликоидальная структура
фазы.
13.4.1. Структура тёмных некогерентных солитонов. При
расширении понятия тёмных солитонов на случай частично когерентного
излучения возникает важный вопрос [22]. Если тёмные некогерентные
солитоны действительно существуют, какова должна быть структура
их фазы, которая для светлых некогерентных солитонов была найдена
несущественной? Ответ на этот вопрос получен в 1988 г. в рамках
теории плотности когерентности [26]. Численное моделирование
показывает, что когда некогерентный пучок с центральной тёмной полосой
падает на среду с медленной самодефокусировочной нелинейностью,
пучок претерпевает существенные изменения, но в конце концов
становится самоканалированным с только малыми осцилляциями около
решения в виде тёмного солитона. Удивительно, что для такого
тёмного солитона требуется начальный поперечный фазовый скачок и что
солитон всегда серый (интенсивность не падает до нуля в центре
полосы). Эти теоретические результаты свидетельствуют о том, что
тёмные некогерентные солитоны должны существовать, и
действительно вскоре их существование было подтверждено в нескольких
экспериментах [63-66].
Чтобы подчеркнуть различие распространения когерентного и
некогерентного излучения, полезно сравнить дифракцию провала (тёмной
полосы) в линейной среде при скачке фазы на 7г в центре и без
него. Рассмотрим сначала чисто когерентный случай. В присутствии
фазового скачка полоса сохраняет нулевую амплитуду в центре при
всех длинах распространения, тогда как в отсутствие скачка
дифракция заполняет центральный провал и создаёт в центре конечную
амплитуду. Поэтому следует ожидать, что нелинейное распространение
когерентного пучка, включающего провал, также проявит отмеченное

554
Гл. 13. Некогерентные солитоны
различие между случаями однородной фазы и её скачка на 7г. Точно так
и происходит практически. При наличии фазового сдвига формируется
одиночный тёмный солитон, но в отсутствие сдвига пучок
расщепляется и формирует чётное число серых солитонов [62].
Теперь рассмотрим линейную дифракцию частично когерентного
пучка с центральной тёмной полосой. Оказывается, что дифракционная
картина смазывается на сравнительно коротком расстоянии в
случаях однородной фазы и фазы со скачком на 7г. В обоих случаях
провал быстро уменьшается, независимо от фазы в центре [64]. Это
происходит из-за того, что составляющие пучок независимые спеклы
дифрагируют некоррелировано и размазывают фазовую информацию
по всему пучку. Поэтому довольно удивительно, что тот же частично
когерентный пучок при распространении в нелинейной среде «помнит»
своё начальное распределение фазы и, соответственно, преобразуется
в одиночный тёмный солитон или в два серых солитона [26].
Оказывается, что в случае сред с медленной нелинейностью существует
эффект фазовой памяти, который исчезает в отсутствие
нелинейности [64].
Модовая теория некогерентных тёмных пространственных
солитонов помогает понять некоторые новые свойства некогерентных
тёмных солитонов или, в более общем случае, солитонов с фоном [33]
(см. также [67, 68]). Она показывает, что основная модовая
структура некогерентных тёмных солитонов совершенно иная, чем в случае
некогерентных светлых солитонов. Точнее, тёмные солитоны состоят
не только из ограниченных мод (как в случае светлых солитонов),
но также из излучательных мод. Это свойство объясняет, почему
некогерентные тёмные солитоны всегда серые и почему их наблюдению
способствует поперечный скачок фазы на 7г.
Основная идея модового анализа заключается в изучении эволюции
входного пучка с распределением интенсивности
I{x10) = I0[\-d23sh2x}1 (13.4.1)
которое обладает провалом в центре. Параметр ds определяет
глубину провала и чётко связан с серостью тёмного солитона.
Подставив (13.4.1) с пп\(1) = -I в (13.2.21) и принимая, что решение имеет
вид ит(х, z) = C/m(x)exp(zAmz), получим следующее уравнение на
собственные значения для мод:
^г - 2/3bfco/o[l - d\ sch2 x)Um = XmUm. (13.4.2)
ax
Это уравнение описывает и ограниченные по мощности, и излуча-
тельные моды. Учёт излучательных мод необходим, чтобы обеспечить
конечность интенсивности при |х| —► оо. Профиль интенсивности на
расстоянии z находится из этой суперпозиции ограниченных и излуча-

13.4. Тёмные и вихревые солитоны
555
тельных мод и имеет вид [22]
оо
I = A2sch2х + | D(Q)[Q2 + th2х] dQy (13.4.3)
о
где D(Q) представляет вклад излучательных мод. Первый член в
(13.4.3) возникает из-за связанных мод. Условие самосогласования для
формирования некогерентных солитонов требует, чтобы интенсивность,
даваемая (13.4.3), совпадала с определяемой (13.4.1). Это имеет место,
только если то
/0= j£>(Q)(Q2+l)dQ, (13.4.4)
о
оо
A2=\D(Q)[l-d2s(Q2 + l)]dQ. (13.4.5)
о
Аналитическое решение, даваемое (13.4.4) и (13.4.5), показывает,
что некогерентные тёмные солитоны действительно существуют, но
они включают бесконечное число излучательных мод с амплитудами
D(Q). Вид зависимости D(Q) зависит от свойств входного пучка.
Из (13.4.4) и (13.4.5) очевидно, что функция распределения D(Q)
отнюдь не единственна, и в зависимости от конкретного вида D(Q)
возможны различные самосогласованные решения. Аналогичный
подход может быть также применён для изучения некогерентных светлых
солитонов на конечном фоне, называемых антитёмными солитонами,
так как они имеют большую интенсивность, чем фон [68, 69]. Сам
фон может быть стабилизирован по отношению к развитию
модуляционной неустойчивости, как это обсуждалось выше.
Два примера взаимодействия двух некогерентных солитонов
показаны на рис. 13.5 для случаев самофокусировки (светлые солитоны)
и самодефокусировки (тёмные солитоны). Так как каждый
некогерентный солитон состоит из нескольких когерентных мод, его форма
после столкновения меняется. В частности, симметричный солитон
после столкновения приобретает асимметричную форму. Кроме того,
в отличие от скалярных солитонов такие многокомпонентные солитоны
испытывают во время столкновения большие боковые сдвиги из-за
множественных вкладов всех компонент.
13.4.2. Экспериментальные результаты. Как и в случае светлых
солитонов, в экспериментах с тёмными солитонами для генерации
входного пучка с частичной когерентностью использовался
вращающийся рассеиватель [63]. Схема эксперимента подобна представленной
на рис. 13.2 с той лишь разницей, что после вращающегося рассеивате-
ля пучок отражался от фазового транспаранта (зеркало с возвышением
А/4 в центре пучка). Этот фазовый сдвиг приводил к тёмной полосе на
широком частично когерентном фоне. Пучок, несущий провал, падал

556
Гл. 13. Некогерентные солитоны
Рис. 13.5. Взаимодействие двух некогерентных солитонов на
многокомпонентном фоне в случае самофокусировки (а, светлые солитоны) и
самодефокусировки (б, тёмные солитоны) [68]
на фоторефрактивный кристалл. Самоканалирование тёмной полосы
наблюдалось при определённом поле смещения, которое вводило
необходимую нелинейность, так что дифракция компенсировалась
самофокусировкой.
Экспериментальные результаты по формированию тёмного
некогерентного солитона показаны на рис. 13.6. В согласии с
предсказаниями [26], в отличие от когерентных тёмных солитонов, которые
могут быть и чёрными, и серыми, тёмные некогерентные солитоны
всегда серые. Другое отличие между некогерентными и когерентными
тёмными (или светлыми) солитонами представляет природа временного
отклика нелинейности. Когерентные пространственные солитоны могут
формироваться в средах с мгновенной и инерционной нелинейностью,
но для некогерентных пространственных солитонов требуется
нелинейный отклик, который много медленней, чем временной масштаб
флуктуации, связанных с частично когерентным пучком. Например,
на рис. 13.6, г показано, что происходит, когда вращение рассеивателя
останавливается. Самодефокусировочная среда откликается на
стационарную картину спеклов фрагментацией пучка. Так как в этом случае
самоканалирования не происходит, не наблюдается и формирование
тёмных солитонов. Самоканалирование тёмной полосы резко зависит
от степени пространственной когерентности. Если степень
когерентности уменьшается, самоканалированная полоса становится более серой
и для формирования солитона необходима более сильная
нелинейность [63].

13.4. Тёмные и вихревые солитоны
557
J l_ll l_J I » » i i i I I I I I I
Рис. 13.6. Самоканалирование тёмной полосы и формирование тёмного
некогерентного солитона. Приведены фотографии (верхний ряд) и профили
интенсивности (нижний ряд) входного пучка (а), дифрагировавшего выходного пучка
без нелинейности (б) и самоканалированного выходного пучка (в). Выходной
пучок для когерентного входа (неподвижный рассеиватель) обладает, как
ожидается, спекл-структурой (г) [63]
Роль начального распределения фазы в центре тёмной полосы
частично когерентного пучка исследована в нескольких
экспериментальных и теоретических работах [26, 64]. Результаты показывают,
что начальный фазовый сдвиг в центре полосы принципиально важен
для эволюции тёмных некогерентных солитонов. Если скачок фазы
в центре входного пучка составляет 7г, возникает одиночный серый
некогерентный солитон. Напротив, если фаза на входной тёмной полосе
непрерывна, то появляются два серых некогерентных солитона, и при
распространении они удаляются друг от друга [64]. Это свойство
аналогично возникающему для когерентных тёмных солитонов [62].
Как и в случае светлых солитонов, тёмный солитон также меняет
показатель преломления среды и наводит градиентный волновод.
Интересен вопрос: может ли пучок когерентного света удерживаться
волноводом, созданным некогерентным тёмным солитоном? Полученный
в эксперименте 1999 г. ответ оказался положительным [65].
Экспериментальные результаты показаны на рис. 13.7. Входной тёмный пучок
(а) имел длину когерентности 15 мкм (оценка по среднему размеру
спеклов). Он формировал некогерентный тёмный солитон (б) с
шириной 18 мкм (по уровню 1/2) при напряжении смещения 950 В/см.
В отсутствие нелинейности пробный пучок (нижний ряд)
дифракционно расширялся от 20 мкм до ~68 мкм (рис. 13.7,6), как и следует из
теории дифракции. Однако, если формировался тёмный некогерентный

558
Гл. 13. Некогерентные солитоны
солитон, то, как видно из рисунка (в), дифракция пробного пучка
прекращалась, поскольку он удерживался наведённым солитоном
волноводом. В этом эксперименте некогерентный солитон имел среднюю
интенсивность ~4,5 мВт/см2, тогда как интенсивность пробного пучка
достигала уровня 50 мВт/см2 [65]. На выходе около 80% входной
мощности пробного пучка удерживалось в этом волноводном канале
(с учётом френелевского отражения и поглощения в кристалле).
Характер созданного волновода зависит от начального сдвига фазы,
наложенного на некогерентный пучок. В одномерном случае некогерентные
солитоны, в зависимости от фазового сдвига, формируют либо прямые
планарные волноводы, либо Y-соединения. В двумерном случае такие
солитоны формировали бы цилиндрические волноводы. Эти результаты
указывают на возможность управления мощными лазерными пучками
с помощью маломощных некогерентных источников света.
Рис. 13.7. Фотографии, показывающие волноводное удержание пробного пучка
(нижний ряд) некогерентным тёмным солитоном (верхний ряд): интенсивности
на входе (а) и выходе без (б) и при (в) нелинейных эффектах [65]
Другое интересное наблюдение состоит в том, что степень
пространственной когерентности светлого частично когерентного сигнала
может быть изменена при его взаимодействии с тёмным когерентным
(или некогерентным) пространственным солитоном [66]. На
физическом языке, в процессе нелинейного взаимодействия двух таких
пучков часть некогерентного светлого пучка каналируется тёмной (или
серой) полосой управляющего солитона, формируя тем самым резкие

13.4. Тёмные и вихревые солитоны
559
пики интенсиности. В этой области корреляционная длина
возрастает по крайней мере на два порядка величины. Другими словами,
некогерентный свет может быть эффективно охлаждён (его энтропия
убывает) в любой произвольной точке при использовании тёмного
пространственного солитона. Это единственная известная пассивная
система, в которой одновременно возрастают локальная интенсивность
и локальная когерентность.
Рис. 13.8. Самоканалирование оптического вихря в частично когерентном
пучке. Показаны трёхмерные изображения интенсивности (верхний ряд) и
реальные фотографии (нижний ряд) для входного пучка (а), дифрагировавшего
выходного пучка (б) и самоканалированного выходного пучка (в) [63]
Понятие некогерентных тёмных солитонов нетрудно
распространить на случай двух поперечных измерений, что описывает
формирование некогерентных вихревых солитонов. Экспериментальный
подход аналогичен применявшемуся для когерентных пучков (см. гл. 8).
Точнее, необходимо использовать входной пучок с дислокациями
фазы [62]. В одном из экспериментов входной вихревой пучок
генерировался при использовании геликоидального фазового транспаранта
вместе с вращающимся рассеивателем, создающими оптический вихрь
с единичным топологическим зарядом, который помещался в широком
пространственно некогерентном пучке. Когда этот некогерентный
пучок распространялся через фоторефрактивный кристалл, он
преобразовывался в самоканалированный некогерентный вихревой солитон [63].
Экспериментальные результаты приведены на рис. 13.8, где показаны
дифрагировавший выходной пучок в отсутствие нелинейности (б) и
самоканалированный выходной пучок (в) вместе с входным пучком (а).
Аналогично одномерному случаю, центральный провал интенсивности

560
Гл. 13. Некогерентные солитоны
не доходит до нуля и вихрь оказывается серого типа. Кроме того,
степень когерентности фонового пучка уменьшается, самоканалированный
вихрь становится более серым и для его формирования необходима
большая нелинейность.
Ещё одно интересное свойство некогерентного самоканалирования
состоит в том, что светлый пространственный солитон может быть
направляем частично когерентным фоном. Хотя для тёмных солитонов
необходим фон, для светлых солитонов это не так. В течение
многих лет идея светлого солитона, который может существовать выше
неисчезающего фона (антитёмный солитон) привлекала значительное
внимание [70-75]. Устойчивость антитёмных солитонов оказалась
критическим вопросом, и в когерентном случае устойчивые антитёмные
солитоны существуют только при учёте эффектов высших порядков
или при нетривиальных нелинейностях [74]. Неустойчивость
инициируется модуляционной неустойчивостью когерентного фонового пучка,
необходимого для ограничения светлой части антитёмного солитона.
Однако, как обсуждалось выше в этом разделе, такую
модуляционную неустойчивость можно подавить в некогерентном фоновом пучке.
Существование порога для некогерентной модуляционной
неустойчивости представляет уникальное свойство частично когерентного света,
и такой порог отсутствует в когерентном режиме. Поэтому естественно
ожидать формирование устойчивых антитёмных солитонов при
управлении когерентностью фонового пучка. Это и наблюдалось в
эксперименте 2000 г. [69]. Как численное моделирование, так и эксперимент
указывают, что эти некогерентные антитёмные солитоны
распространяются устойчиво, если пространственная когерентность их фона меньше
порога модуляционной неустойчивости.
Список литературы
1. Hasegawa A. // Phys. Fluids 1975. V. 18. P. 77; Phys. Fluids. 1977. V. 20.
P. 2155.
2. Gross В., Manassah J. T. // Opt. Lett. 1991. V. 16. P. 1835; Opt. Lett. 1992.
V. 17. P. 166.
3. de Araujo M. 7., da Cruz H.R., Gouveia-Neto A.S. // J. Opt. Soc. Am. B.
1991. V. 8. P. 2094.
4. da Cruz H.R., Hickmann J.M., Gouveia-Neto A.S. // Phys. Rev. A. 1992.
V. 45. P. 8268.
5. Elgin J.N. И Opt. Lett. 1993. V. 18. P. 10; Phys. Rev. A. 1993. V. 47. P. 4331.
6. Cavalcanti S.B., Agrawal G.P., Yu M. // Phys. Rev. A. 1995. V. 51. P. 4086.
7. Gamier J., Videau L., Gouedard C, Migus A. // J. Opt. Soc. Am. B. 1998.
V. 15. P. 2773.
8. Cavalcanti S.B. // New J. Phys. 2002. V.4. P. 19.
9. Mitchell M., Chen Z., Shih Af., Segev M. // Phys. Rev. Lett. 1996. V. 77.
P. 490.
10. Mitchell Af., Segev M. // Nature. 1997. V. 387. P. 880.

Список литературы
561
И. Christodoulides D.N., Coskun Т.Н., Mitchell Af., Segev M. // Phys. Rev.
Lett. 1997. V. 78. P. 646.
12. Christodoulides D.N., Coskun Т.Н., Joseph R.I. // Opt. Lett. 1997. V. 22.
P. 1080.
13. Mitchell Af., Segev M.f Coskun T, Christodoulides D.N. // Phys. Rev. Lett.
1997. V. 79. P. 4990.
14. Shkunov V. V., Anderson D.Z. // Phys. Rev. Lett. 1998. V. 81. P. 2683.
15. Пасманик Г. А. // ЖЭТФ. 1974. Т. 66. С. 490.
16. Hall В., Lisak M., Anderson D. et al. // Phys. Rev. E. 2002. V. 65. 035602.
17. Helczynski L., Anderson D., Fedele R. et al. // IEEE J. Sel. Topics Quantum
Electron. 2002. V. 8. P. 408.
18. Christodoulides D.N., Eugenieva E.D., Coskun Т.Н. et al. // Phys. Rev. E.
2001. V. 63. 035601.
19. Lisak M., Helczynski L., Anderson D. (private communication).
20. Snyder A. W., Mitchell D.J. // Phys. Rev. Lett. 1998. V. 80. P. 1422.
21. Mandel L., Wolf E. Optical Coherence and Quantum Optics. — N. Y.:
Cambridge University Press, 1995. [Имеется перевод: Мандел Л., Вольф Э.
Оптическая когерентность и квантовая оптика. — М.: Физматлит, 2000.]
22. Segev M., Christodoulides D.N. // Spatial Solitons / Ed. by S. Trillo and
W. Torruellas. - Berlin: Springer, 2001. P. 87-126.
23. Segev M., Stegeman G.I. II Phys. Today 1998. V. 51. P. 42.
24. Bang O., Edmundson D., Krolikowski W. // Phys. Rev. Lett. 1999. V. 83.
P. 5479.
25. Eugenieva E.D., Christodoulides D.N, Segev M. // Opt. Lett. 2000. V. 25.
P. 972.
26. Coskun Т.Н., Christodoulides D.N, Mitchell M. et al. // Opt. Lett. 1998.
V.23. P. 418.
27. Zel'dovich B. Ya., Pilipetsky N.F., Shkunov V. V. Principles of Phase
Conjugation. — Berlin: Springer, 1985. [Русское издание: Зельдович Б.Я., Пили-
пецкий Н.Ф., Шкунов В. В. Обращение волнового фронта. — М.: Наука,
1985.]
28. Bialynicki-Birula /., Mycielski J. // Physica Scripta. 1979. V. 20. P. 539.
29. Snyder A. W., Mitchell J. // Opt. Lett. 1997. V. 22. P. 16.
30. Christodoulides D.N, Coskun Т.Н., Mitchell M., Segev M. // Phys. Rev.
Lett. 1998. V. 80. P. 2310.
31. Krolikowski W., Eddmundson D., Bang O. // Phys. Rev. E. 2000. V.61.
P. 3122.
32. Nogami Y., Warke CS. // Phys. Lett. A. 1976. V. 59. P. 251.
33. Christodoulides D.N., Coskun Т.Н., Mitchell M. et al. // Phys. Rev. Lett.
1998. V.80. P. 5113.
34.AkhmedievNN, Krolikowski W., Snyder A. W. // Phys. Rev. Lett. 1998.
V.81. P. 4632.
35. Carvalho Af./., Coskun Т.Н., Christodoulides D.N. et al. // Phys. Rev. E.
1999. V.59. P. 1193.
36. Sukhorukov A.A., Akhmediev NN. // Phys. Rev. Lett. 1999. V. 83. P. 4736.
37. Ankiewicz A., Krolikowski W., Akhmediev NN. // Phys. Rev. E. 1999. V. 59.
P. 6079.

562
Гл. 13. Некогерентные солитоны
38. Каппа Т.у Lakshmanan М. // Phys. Rev. Lett. 2001. V. 86. P. 5043.
39. Loeve M.M. Probability Theory. — N.Y.: Van Nostrand, 1955.
40. Akhmediev NNy Krolikowski W.y Snyder A. W. // Phys. Rev. Lett. 1998.
V.81. P. 4632.
41. Krolikowski W.y Akhmediev NNy Luther-Davies B. // Phys. Rev. E. 1999.
V. 59. P. 4654.
42. Litchinitser N.M., Krolikowski W.y Akhmediev N.Ny Agrawal G.P. // Phys.
Rev. E. 1999. V. 60. P. 2377.
43. Wigner E. // Phys. Rev. 1932. V. 40. P. 749.
44. Веденов А. А. Теория турбулентной плазмы // Вопросы теории плазмы.
Вып. 3. - М.: Госатомиздат, 1963. С. 203.
45. Tsintsadze N.L., Mendonca J. Т. // Phys. Plasmas. 1998. V. 5. P. 3609.
46. Fedele /?., Anderson D.y Lisak M. // Physica Scripta. 2000. V. T. 84. P. 27.
47. Gardiner S.A., Jaksch D.y Dum R. et al. // Phys. Rev. A. 2000. V. 62. 023612.
48. Bingham /?., MendonQa J. T.y Dawson J.M. // Phys. Rev. Lett. 1997. V. 78.
P. 247.
49. Shukla PK.y Stenflo L. // Phys. Plasmas. 1998. V. 5. P. 1554.
50. Ponomarenko S.A. // Phys. Rev. E. 2001. V.64. 038818.
51. Ponomarenko S.A. // Phys. Rev. E. 2002. V.65. 055601.
52. Soljacic M.y Segev M.y Coskun T. et al. // Phys. Rev. Lett. 2000. V. 84.
P. 467.
53. Sears S.M., Soljacic M., Christodoulides D.N., Segev M. // Phys. Rev. E.
2002. V. 65. 036620.
54. Anastassiou C, Soljacic M, Segev M. et al. //Phys. Rev. Lett. 2000. V. 85.
P. 4888.
55. Goodman J. W. Statistical Optics. - N. Y.: Wiley, 1985.
56. Kip D., Anastassiou C, Eugenieve E. et al // Opt. Lett. 2001. V. 26. P. 524.
57. Kip D.y Soljacic M.y Segev M. et al. // Science. 2000. V. 290. P. 495.
58. Klinger /., Martin H.y Chen Z. // Opt. Lett. 2001. V. 26. P. 271.
59. Kip D.y Soljacic M.y Segev M. et al. // J. Opt. Soc. Am. B. 2002. V. 19.
P. 502.
60. Chen Z.y Sears S.M.t Martin H. et al. // Proc. Nat. Acad. sci. USA 2002.
V. 99. P. 5223.
61. Torres J.Py Anastassiou Cy Segev M. et al. // Phys. Rev. E. 2001. V.65.
015601.
62. Kivshar Yu.S.y Luther-Davies B. // Phys. Rep. 1998. V. 298. P. 81.
63. Chen Z.y Mitchell M.y Segev M. et al. // Science. 1998. V. 280. P. 889.
64. Coskun T.y Christodoulides D.N.y Chen Z, Segev M. // Phys. Rev. E. 59,
R4777 (1999).
65. Chen Z.y Segev M.y Christodoulides D.N.y Feigelson R.S. // Opt. Lett. 1999.
V.24. P. 1160.
66. Coskun T.H.y GrandpierreA.G.y Christodoulides D.N., Segev M. // Opt. Lett.
2000. V. 25. P. 826.
67. Sukhorukov A.A.y Akhmediev N.N. // Phys. Rev. E. 2000. V. 61. P. 5893.
68. Sukhorukov A.A.y Ankiewicz A.y Akhmediev N.N. 11 Opt. Commun. 2001.
V. 195. P. 293.

Список литературы
563
69. Coskun Т.Н., ChristodoulidesD.N., Kim Y.-R. et al. // Phys. Rev. Lett. 2000.
V. 84. P. 2374.
70. Kivshar Yu.S. // Phys. Rev. A. 1991. V. 43. P. 1677.
71. Kivshar Yu.S., Afanasjev V. V. // Phys. Rev. A. 1991. V. 44. R1446.
72. Gagnon L. // J. Opt. Soc. Am. B. 1993. V. 10. P. 469.
73. Belanger N., Belanger PA. // Opt. Commun. 1996. V. 124. P. 301.
74. Kivshar Yu.S., Afanasjev V. V., Snyder A. W. // Opt. Commun. 1996. V. 126.
P. 348.
75. Frantzeskakis D.J., Hizanidis K., Malomed B.A., Polymilis С // Phys. Lett.
A. 1998. V.248. P. 203.
76*. Picozzi A., Haelterman M., Pitois S., Millor G. // Phys. Rev. Lett. 2004.
V.92. 143906.

Глава 14
РОДСТВЕННЫЕ ВОПРОСЫ
С описанными в предыдущих главах оптическими солитонами
связаны несколько важных направлений. Кроме того, во многих случаях
физика оптических солитонов весьма полезна для более глубокого
понимания новых явлений, описываемых сходными нелинейными
моделями. Целью этой главы служит обсуждение нескольких
родственных вопросов, непосредственно связанных с предыдущими главами.
В разделе 14.1 мы обсудим ориентационные нелинейности в жидких
кристаллах и соответствующие нелокальные солитоны. В разделе 14.2
мы остановимся на физике оптически наведённых волноводов в
светочувствительных материалах. Мы опишем развитие и взаимодействие
самозаписанных филаментов и сравним их с обычными
оптическими солитонами. Раздел 14.3 посвящен физике диссипативных и ре-
зонаторных солитонов. Мы обсудим формирование, распространение
и взаимодействие таких солитонов внутри оптического резонатора для
кубичной (керровской) и квадратичной нелинейностей. Два последних
раздела уводят нас из оптики, но подчёркивают значимость
оптических солитонов для других областей нелинейной физики. В разделе
14.4 мы остановимся на пространственно-временной самофокусировке
спиновых волн в магнитных системах, приводящей к формированию
спинововолновых или магнитных солитонов в ферритовых плёнках.
В разделе 14.5 мы рассмотрим быстро развивающуюся область
когерентных волн материи и нелинейной атомной физики. В частности, мы
опишем нелинейную динамику конденсата Бозе-Эйнштейна и выявим
тесную связь между самофокусировкой света в нелинейной оптике
и динамикой волн материи.
14.1. Самофокусировка и солитоны
в жидких кристаллах
Жидкие кристаллы являются прекрасными материалами с
множеством уникальных свойств и приложений. Однако часто
недооценивается, что они также представляют важную нелинейную среду и имеют
различные приложения в нелинейной оптике [1-3]. В этом разделе
мы обсудим физическую природу оптических нелинейностей в жидких
кристаллах и их использование для изготовления нелинейных планар-

14.1. Самофокусировка и солитоны в жидких кристаллах 565
ных волноводов, способных поддерживать пространственные солитоны.
Мы обсудим также особые свойства этих солитонов, связанные с
нелокальностью отклика ориентационной нелинейности.
14.1.1. Ориентационная нелинейность. Нелинейные эффекты
в жидких кристаллах возникают главным образом из-за тепловых
и ориентационных процессов. Если тепловые эффекты аналогичны
наблюдаемым в других материалах, то ориентационный эффект
служит уникальной характеристикой жидко-кристаллической фазы.
Кубическая (керровского типа) нелинейность, вызванная ориентационным
эффектом в нематической фазе жидких кристаллов, ответственна за
многочисленные нелинейные эффекты, которые не наблюдаются в
других материалах. Ориентационная нелинейность не только вызывает
чрезвычайно большие изменения показателя преломления при
сравнительно низких уровнях мощности; важно, что такими изменениями
можно ещё и управлять внешними оптическими или электрическими
полями. Кроме того, нелинейность зависит от поляризации света, но не
зависит от его длины волны в широком диапазоне. Нелинейная оптика
жидких кристаллов представляет интерес уже много лет, а
теоретические и экспериментальные исследования самофокусировки в таких
материалах датируются началом 1990-х годов [4-7].
Жидкие кристаллы состоят из анизотропных молекул со
стержневой формой. Они ведут себя как жидкости, но обладают дальним
порядком, характерным для всех кристаллов. Жидко-кристаллическая
фаза наблюдается в некотором диапазоне температур для чистых
соединений и смесей (термотропические жидкие кристаллы), для
растворов (лиотропные жидкие кристаллы) и для полимеров. В
термотропических жидких кристаллах наблюдается несколько типов дальнего
порядка, и такие кристаллы классифицируются как смектики, нематики
и холестерики, в зависимости от природы взаимодействия их молекул
дальнего порядка. Простейший тип порядка наблюдается в нематиче-
ских жидких кристаллах, в которых положение молекул произвольно,
но все они ориентированы примерно в одном направлении.
Схематически эта ситуация показана на рис. 14.1. При заданной температуре
молекулы флуктуируют около среднего направления, обозначаемого
единичным вектором п и называемого директором. Ориентационный
Рис. 14.1. Иллюстрация жидко-кристаллического планарного волновода

566
Гл. 14. Родственные вопросы
порядок описывается параметром
5=±(3cos20-l), (14.1.1)
где 0 — локальный угол, который каждая молекула составляет с
директором, а угловые скобки означают усреднение по времени и
пространству. Для кристаллов параметр порядка 5=1, тогда как для
изотропных жидкостей 5 = 0. Для нематиков 0,4 < 5 < 0,7, а для
смектиков 5 « 0,9.
Анизотропия жидких кристаллов проявляется в их различных
свойствах, таких как диэлектрическая проницаемость, магнитная
проницаемость, проводимость и оптическое двулучепреломление. В результате
внешнее электрическое поле Е наводит электрический диполь с
моментом р, не параллельным Е. Соответственно, вращающий момент
р х Е стремится повернуть молекулы, выстроив их вдоль
приложенного электрического поля. Эта переориентация не зависит от знака
электрического поля и происходит также в переменных по времени полях,
включая оптическое излучение. Аналогичное поведение наблюдается
в магнитных полях, но магнитная анизотропия обычно много слабее
электрической. На оптических частотах взаимодействием с магнитным
полем можно пренебречь, и взаимодействие между светом и жидким
кристаллом описывается электрическим диполем.
Вращению, вызванному электрическим диполем, противостоят
силы упругости, поддерживающие дальний порядок в
жидко-кристаллической ячейке. Этими противоположными силами и определяется
ориентация каждой молекулы. Так как двулучепреломление жидкого
кристалла связано с ориентацией молекул, изменения в ориентации
вызывают вращение осей оптического двулучепреломления. На
физическом языке, свет, падающий на жидкий кристалл, изменяет тензор
диэлектрической проницаемости, что приводит к ориентационной
нелинейности. Так как анизотропия жидкого кристалла сравнительно
велика, ориентационная нелинейность может создать большие изменения
показателя преломления при сравнительно низких уровнях мощности
(-1 кВт/см2).
Ориентационную нелинейность можно рассчитать, минимизируя
плотность полной свободной энергии, включающей деформационную
энергию, энергию взаимодействия с внешним полем и эффекты
границ. Ключевой переменной, описывающей задачи ориентации, служит
угол в между директором п и осью, вдоль которой поляризован
падающий свет (см. рис. 14.1). Величина ориентационной нелинейности
зависит от начальной ориентации п и, следовательно, от
конфигурации жидкого кристалла. Для изучения явлений самофокусировки
и пространственных солитонов можно поместить жидкий кристалл
либо в капилляр, либо между двумя пластинками (как показано на
рис. 14.1). Однако, если поперечные размеры жидкокристаллической
плёнки много больше длины волны и размера входного пучка, то

14.1. Самофокусировка и солитоны в жидких кристаллах 567
жидкий кристалл можно рассматривать как сплошную среду. Такая
конфигурация подходит для наблюдения двумерных солитонов.
Когда толщина плёнки сравнима с длиной волны, ситуация аналогична
планарному волноводу. В этом случае большие изменения показателя
преломления (Дп~0,1) могут быть наведены при интенсивности
порядка 10 мВт/мкм. Эта большая нелинейность может быть ещё усилена
на два порядка величины в присутствии органических красителей
в жидкокристаллической смеси [8], но тогда эффект сильно зависит от
длины волны света.
14.1.2. Пространственные солитоны в жидких кристаллах. В
планарных волноводах слой жидкого кристалла может играть роль
сердцевины или оболочки. Кроме того, жидкий кристалл может быть
ориентирован различным образом. Нелинейные эффекты при
распространении оптического излучения в волноводе сильно зависят от
ориентации молекул жидкого кристалла и от состояния поляризации. В
конфигурации, показанной на рис. 14.1, и директор п, и вектор
электрического поля Е лежат в плоскости x—z. Ориентация молекул жидкого
кристалла определяется углом 0, так что директор n = (cos 0,0, sin 0).
Вызванное полем вращение молекулы описывается тогда уравнением
Эйлера-Лагранжа
vi* + €jnf №*Е* + E*Ez)cos{2в) + ™2 ~ !^|2)sin(2^ = а
(14.1.2)
где К — постоянная упругости, ео — диэлектрическая проницаемость и
Ае — мера электрической анизотропии. Это уравнение следует решать
с граничными условиями при х = 0 и х = d вместе с уравнениями
Максвелла для оптического поля. Из-за сложности этих связанных
уравнений решение задачи часто требует использования численных
методов.
Физический механизм самофокусировки в жидкокристаллическом
волноводе можно понять следующим образом. Когда направляемое
поле переориентирует молекулы жидкого кристалла, показатель
преломления среды больше возрастает там, где поле более интенсивно,
что, в свою очередь, изменяет само направляемое поле [9, 10]. Такое
неоднородное изменение показателя преломления за счёт градиента
интенсивности света сходно с общим механизмом самофокусировки,
обсуждавшимся в 1.2.1. Нелинейное изменение показателя
преломления бистабильно и начинается выше некоторого порогового значения
интенсивности света. Оптическая бистабильность вызывается большой
нелинейностью и пороговым характером молекулярной ориентации.
Ориентационный эффект зависит не только от локального значения
электрического поля, но также и от всего профиля поля в сечении
волновода. Нелокальный характер нелинейного ориентационного эффекта
является источником обратной связи, необходимой для оптической
бистабильности. Когда электрическое поле стремится переориентиро-

568
Гл. И. Родственные вопросы
вать молекулы жидкого кристалла (ЖК), расположенные под углом
7г/2, ориентация начинается выше некоторого порогового значения
электрического поля. Это явление называется пороговым эффектом
Фредерикса.
ПЗС-камера
Лазер
Я = 842 нм
чАЖмшш
Синий фильтр
Одномодовый
волоконный г
световод
^
Поляризатор ЖК-волновод L
ili'i'i'i'i'i'i'i'i'i'i'i'i'i'i'i'i'i'i'i'i'ii.
Поляризатор
Источник света
Рис. 14.2. Экспериментальная установка для наблюдения эффекта
самофокусировки в жидкокристаллической ячейке [И]
Явление самофокусировки наблюдалось в жидкокристаллических
волноводах [11] на установке, схематически изображённой на рис. 14.2.
Волновод формировался слоем толщиной 10 мкм нематического
жидкого кристалла, расположенным между двумя стеклянными пластинками.
Свет с длиной волны 842 нм от полупроводникового лазера
направлялся в жидкокристаллический волновод. Распространение
светового пучка внутри жидкокристаллического волновода наблюдалось по
рассеянному свету, детектируемому ПЗС-камерой. Полученные
фотографии показаны на рис. 14.3. При малых значениях мощности
света (Р < 20 мВт) пучок дифрагировал, как и следует ожидать для
линейной среды. При уровне мощности 20 мВт самофокусировка для
ТЕ-поляризованного пучка была неустойчивой и пучок дифрагировал
ещё сильней. Однако ТМ-поляризованный пучок с мощностью 30 мВт
самоканалировался и приобретал вид пространственного солитона.
Измерение двулучепреломления показывает, что молекулы жидкого
кристалла в области пучка вращаются с пространственным периодом,
равным длине двулучепреломления [11]. Найдено, что это наблюдение
согласуется с теоретическими предсказаниями, и это доказывает, что
причиной самоканалирования служит переориентация.
Когда поперечный размер жидкокристаллической ячейки больше
размера пучка, кристалл можно рассматривать как сплошную среду.
Размер ячейки не может быть очень большим из-за трудности удер-

14.1. Самофокусировка и солитоны в жидких кристаллах 569
жания однородной ориентации в толстых слоях. Хотя световой луч
сконцентрирован в малой области, переориентация имеет нелокальный
характер и может проявиться далеко от светового пучка.
Следовательно, важны форма ячейки и ориентация на границах. В общем случае
распространение пучка в сплошной
нелинейной среде в скалярном и
параксиальном приближении
описывается уравнением (1.2.12).
Основная особенность жидкого
кристалла состоит в том, что нелинейное
изменение показателя преломления
зависит от угла 0, который
зависит от интенсивности поля /.
Кроме того, чтобы устранить
пороговый характер нелинейного отклика,
к ячейке прикладывается внешнее
электрическое напряжение.
Поэтому нелинейное волновое уравнение
для огибающей волны А можно
записать как
2ik^ + V2±A +
+ kln2a [sin2 в - sin2 в0] А = 0,
(14.1.3)
где Vjl — поперечный лапласиан,
fco — волновое число в вакууме,
п2 = Пм — п\ — оптическая
анизотропия, к2 = к1(п2± + n2sin20o)
и во — наклон в отсутствие
светового пучка, но при наличии внешнего
квазистатического поля.
В уравнении (14.1.3) пренебрегается поляризационными
эффектами и оно справедливо только для малых углов ориентации. Однако
результаты, полученные на его основе, хорошо согласуются с
экспериментальными [6, 7]. Если внешнее электрическое поле Е приложено
вдоль оси х, динамика ориентации описывается уравнением [2]:
КЧ\в+ \ A£RFS2sin(20) + ieon2|A|2sin(20) = 0, (14.1.4)
где Asrf — низкочастотная анизотропия.
Двумерная самофокусировка светового пучка в объёмных немати-
ках наблюдалась при использовании как капилляров, так и планарных
ячеек. В одной серии экспериментов [4, 5] нематический жидкий
кристалл вносился в стеклянный капилляр с внутренним диаметром
ттттшштттщш.'^- ■ -
Р«20мВт
ШцАй^и^^
Р = 20 мВт, ТЕ
/> = 30мВт,ТМ
Рис. 14.3. Экспериментальные
результаты по самофокусировке в
жидкокристаллическом волноводе.
Оптический пучок дифрагирует при
низких мощностях (сверху), а
также при его ТЕ-поляризации
(посредине), но становится самокана-
лированным для ТМ-поляризации
(внизу). Длина на всех
фотографиях только 0,6 мм, но это отвечает
трём дифракционным длинам [11]

570
Гл. 14. Родственные вопросы
1,5 мм. Оптический пучок от аргонового лазера фокусировался в пятно
размером около 50 мкм. Пучок наблюдался регистрацией рассеянного
света через микроскоп (см. рис. 14.2). Направление поляризации было
перпендикулярно директору жидкого кристалла и поэтому
переориентация достигалась выше порога Фредерикса. При возрастании
мощности пучка сначала наблюдались фокальные пятна (при интенсивностях
~0,6 кВт/см2). Затем пучок начинает испытывать волнообразные
движения при интенсивностях ~1,9 кВт/см2 и, наконец, разбивается на
два чётких филамента при / = 2 кВт/см2 Из-за порогового характера
нелинейности пространственные солитоны не наблюдаются. Эти
экспериментальные результаты согласуются с теорией жидких
кристаллов [6, 7].
В других экспериментах [12, 13] свет от аргонового лазера
направлялся в капиллярную ячейку через волоконный световод. Это
позволяло уменьшить размер входного пучка до диапазона 4-10 мкм.
В капилляре диаметром 250 мкм нематический жидкий кристалл допи-
ровался малым количеством антрахинонового красителя для усиления
переориентации, проистекающей из-за эффекта Яноши [8].
Нелинейная самофокусировка наблюдалась при уровне мощности в несколько
милливатт, вместе с появлением «самоволноводной» структуры.
В другой серии экспериментов [14-16] устойчивые
пространственные солитоны наблюдались при использовании планарной
жидкокристаллической ячейки. На рис. 14.4 показаны экспериментальные
результаты для ячейки нематика размером 75 мм, полученные при
использовании пучка аргонового лазера мощностью 2 мВт. Для
устранения порогового характера нелинейного отклика к ячейке
прикладывалось внешнее электрическое напряжение. Пучок аргонового
лазера до введения в жидкокристаллическую ячейку коллимировался
до перетяжки <2,5 мкм. Без внешнего электрического поля пучок
непрерывного излучения испытывал неустойчивость и часто
распадался на несколько фрагментов. Включение внешнего электрического поля
ориентировало молекулы в направлении поля, приводя к беспороговой
оптической нелинейности. В результате оптический пучок устойчиво
самоканалировался и формировался оптический солитон. Ориентаци-
онное происхождение этого эффекта подтверждалось применением
слабого пробного сигнала коллинеарного He-Ne-лазера, который
удерживался солитоном, только если он имел ту же поляризацию, что и пучок
аргонового лазера.
Двумерные пространственные солитоны могли формироваться даже
при применении пространственно некогерентного излучения [15].
Наведённые солитоном волноводы могли удерживать более слабый сигнал
той же поляризации даже при наличии заметной угловой разъюстиров-
ки — свойство, которое позволяет управлять направлением
распространения сигнала за счёт наклона формирующего солитон пучка [17]. Эти
явления не чувствительны к длине волны вследствие нерезонансного

14.1. Самофокусировка и солитоны в жидких кристаллах 571
>\мкм
О 100 200 300 400 500 600 700 800 900
Z, МКМ
Рис. 14.4. Самофокусировка в ячейке нематика размером 75 мм,
наблюдавшаяся при использовании пучка аргонового лазера мощностью 2 мВт. а)
дифракция пучка с у-поляризацией; б) дифракция пучка с х-поляризацией без
напряжения смещения; в) формирование пространственного волновода для
х-поляризованного пучка с напряжением смещения; г) столкновение двух
солитонов, вводимых под примерно противоположными углами [16]
характера нелинейности, и их можно наблюдать при низких
мощностях, используя светодиоды или источники белого света.
Анализировалось также распространение пучка внутри твист-нема-
тических жидкокристаллических волноводов [18]. Ориентационная
нелинейность в таких волноводах достаточно сильна для наблюдения
пространственных солитонов при входной мощности несколько мили-
ватт. Ориентационная нелинейность не только вызывает
самофокусировку, но и может менять направление распространения пучка.
14.1.3. Нелокальные солитоны. Из-за пространственной
нелокальности отклика жидкокристаллической среды пространственные
солитоны, генерируемые внутри нематических жидких кристаллов,
представляют новый класс самоканалированных оптических пучков,
который существует только в нелокальных нелинейных средах. Записав
угловое распределение в (14.1.3) и (14.1.4) в виде в « во + ф и
линеаризовав эти уравнения по 0, мы получим следующую систему двух

572
Гл. 14. Родственные вопросы
нормированных связанных уравнений [19]:
i^ + Vlu + <t>u = 0, (14.1.5)
Ч2±ф-а2ф+\и\2=0. (14.1.6)
Они напоминают уравнения, описывающие двухчастотные
параметрические солитоны в квадратичной среде (см. гл. 10), с тем отличием, что
второе поле ф вещественно. Можно установить прямую связь между
параметрическими и нелокальными солитонами, как это обсуждается
в [20].
Если член Ч\ф в (14.1.6) пренебрежимо мал, например, при
больших значениях а, можно найти решение (14.1.6) ф— \и\2/а2 и
получить стандартное НУШ. Соответствующие солитоны керровского
типа зависят от интенсивности только локально. Когда членом Ч\ф
пренебрегать нельзя, следует ожидать, что солитон имеет
нелокальный характер, так как он включает зависимости от целого диапазона
интенсивности поля в определённой пространственной области. Такие
решения отвечают так называемым нелокальным солитонам. Они
остаются устойчивыми даже в сплошной керровской среде (в отличие
от стандартных керровских солитонов) и характеризуются дальнодей-
ствующим взаимодействием, то есть они взаимодействуют друг с
другом, даже если расстояния между ними превышают их поперечные
размеры.
Уравнения (14.1.5) и (14.1.6) представляют особый класс НУШ с
нелокальным нелинейным откликом следующего общего вида:
i^ + Viu + tiJv(r-r/)|u(r/)|2dr/ = 0, (14.1.7)
где функция отклика V(R) описывает нелокальный характер
отклика среды. В случае нематического жидкого кристалла V(R) =
= ехр(—|aR|)/|R|. Аналогичное (14.1.7) уравнение появляется в
теории плазмы [21-23] и конденсатов Бозе-Эйнштейна, состоящих из
частиц-бозонов с дальнодействующим дипольным взаимодействием
[24, 25]. В пределе слабой нелокальности (14.1.7) можно свести к
возмущённому НУШ, содержащему нелинейно-дисперсионный член [23];
его решения для светлых и тёмных солитонов можно найти в явной
форме [26]. Наиболее интересен случай сильной нелокальности.
Нелокальность способствует подавлению модуляционной неустойчивости
[27], аналогично случаю насыщающейся нелинейности. Более важно,
что она может полностью устранить коллапс пучка в керровской
среде [28, 29]. Кроме того, нелокальная природа нелинейного отклика
в (14.1.7) меняет характер взаимодействия солитонов, так как оно
зависит от типа функции отклика и может становиться
дальнодействующим, в том смысле, что два солитона, далёких друг от друга,
испытывают силы взаимодействия. Известно, что это отличительное
свойство нелокальных солитонов ведёт к формированию многосолитон-

14.2. Самозаписанные волноводы
573
ных связанных состояний уже в двумерной геометрии, как это впервые
обсуждалось Мироновым и др. в 1981 г. [30] (см. также [31]).
у у мкм у у мкм
Рис. 14.5. Взаимодействие двух идентичных солитонов в
жидкокристаллической ячейке. Фотографии показывают распространение в плоскости у—z двух
гауссовых пучков с шириной перетяжки 10 мкм и расстоянием между осями
28 мкм. а) линейное поведение; б) слабое притяжение при мощности 2,8 мВт;
в) более сильное взаимодействие при мощности 3,6 мВт; г) пересечение и
переплетение при мощности 4,5 мВт [32]
Как типичный пример взаимодействия солитонов в нелокальных
средах, на рис. 14.5 показаны экспериментальные результаты для двух
пространственных солитонов, возбуждённых пучком аргонового лазера
на длине волны 514 нм внутри нематических жидких кристаллов [32].
Два гауссовых пучка с перетяжкой 10 мкм и расстоянием между
осями 28 мкм вводились так, что формировали два пространственных
солитона. Несмотря на сравнительно большое расстояние между ними,
искажения показателя преломления, создаваемые одним пучком, могли
диффундировать и воздействовать на другой пучок, вызывая
притяжение двух солитонов друг к другу. В части (г) рис. 14.5 такое
притяжение ведёт к полному переплетению, если гауссовы пучки вводились
с параллельными осями, разнесёнными на 1 мкм на входной грани.
Отметим, что расстояние, на котором сталкиваются два солитона,
убывает при возрастании мощности на входе.
14.2. Самозаписанные волноводы
Оптические волноводы, которые формируются, когда оптический
пучок самоканалируется в нелинейной среде, имеют переходный
характер, в том смысле, что они исчезают, когда входной пучок,
распространяющийся как пространственный солитон, выключается [33].
Во многих приложениях самонаведённые волноводы используются для
волноводного удержания других пучков с отличающимися
поляризациями или длинами волн. Для этих приложений было бы полезно,
если наведённые солитоном изменения показателя преломления сохра-

574
Гл. 14. Родственные вопросы
нялись бы даже после того, как вызвавший их пучок был выключен,
что означало бы «замораживание» наведённого солитоном волновода.
Это возможно только при использовании светочувствительных
материалов [34]. Этот раздел посвящен явлению светочувствительности
и его приложениям применительно к оптическим солитонам.
14.2.1. Светочувствительные материалы. В 1978 г. было
обнаружено, что когда в волоконный световод, допированный
германием, вводился пучок аргонового лазера, отражённый сигнал в течение
нескольких минут возрастал от своего малого значения 4% до более
чем 60% [35]. Это наблюдение в конечном итоге привело к развитию
волоконнооптических брэгговских решёток, которые широко
используются для многочисленных приложений [36]. Оказалось, что показатель
преломления стёкол, допированных германием, может надолго
возрастать на малую величину (~10~4) при их облучении ультрафиолетовым
излучением на длинах волн вблизи 250 нм [37-39]. Это явление
известно как светочувствительность. Хотя нагрев ускоряет старение
вызванных светочувствительностью изменений показателя
преломления, для практических целей их можно рассматривать как эффективно
постоянные.
Явление самозаписывания наблюдалось в ряде
светочувствительных оптических материалов [40-53]. Перечень их включает запись
сужающихся волноводов в обрабатываемой ультрафиолетом
эпоксидной смоле [41], самоканалирование и самофокусировку,
наблюдавшиеся в фотополимерах, таких как жидкий полимер диакрилат [42, 43],
самозапись в планарных халькогенидных стёклах [44], взаимодействие
самозаписанных волоконных световодов в фотополимеризирующейся
смоле [45-47], микропроизводство посредством одно- и двухфотонной
полимеризации [48-52] и самозаписывание в недопированных стёклах
с помощью фемтосекундных инфракрасных лазерных импульсов [53].
Хотя детали микроскопического механизма изменения показателя
преломления в различных материалах существенно варьируются, для
широкого круга оптических материалов могут быть приняты простые
феноменологические модели.
Физика самозаписывания во всех случаях весьма близка к физике
пространственных солитонов и основана на самовоздействии света.
Рассмотрим гауссов пучок, падающий на однородный планарный
волновод (см. рис. 14.6), изготовленный из светочувствительного материала.
«Светочувствительность» приводит к большим изменениям показателя
преломления в тех местах, где оптическая интенсивность выше.
Сначала пучок дифрагирует в плоскости волновода (верхняя часть рис. 14.6),
но затем он формирует область повышенного показателя преломления
вдоль оси распространения. Это уменьшает дифракцию пучка и пучок
начинает удерживаться в канале, который пучок создал. Если
записывающий пучок сохраняется некоторое время, то распределение
показателя преломления в конце концов превращается в сравнительно од-

14.2. Самозаписанные волноводы
575
нородный канал-волновод, расположенный вдоль оси распространения
(нижняя часть рис. 14.6). Это и есть самозаписанный волновод, так как
пучок света, который создаёт волновод, в последующем удерживается
им. Такой процесс самозаписывания не ограничивается геометрией
планарного волновода и волноводы могут быть также сформированы
в объёмных светочувствительных материалах.
Рис. 14.6. Световой пучок, падающий на светочувствительный нелинейный
материал, сначала дифрагирует (сверху), но затем показатель преломления
начинает изменяться, откликаясь на интенсивность пучка. Спустя некоторое
время пучок удерживается волноводом (внизу), который был самозаписан
им [34]
14.2.2. Теоретические модели. Для понимания процесса
самозаписывания следует применять соответствующую модель, которая
описывает рост самозаписанных волноводов в светочувствительном
материале. Светочувствительный процесс в стёклах и полимерах
оказывается медленным по сравнению с временем распространения света
в материале. Поэтому распространение пучка непрерывного излучения
определяется следующим «стационарным» волновым уравнением для
огибающей поля [34, 54]:
i^ + ^VlA + koAn(I,t)A + fA = 0, (14.2.1)
где Дп представляет изменение показателя преломления вследствие
поглощения света в среде, описываемого коэффициентом затухания а.
Член, содержащий Дп, зависит от времени и отражает изменения
эволюции поля посредством вызванных светочувствительностью
изменений показателя преломления. Отметим, что само оптическое поле
неявно зависит от времени.
Это уравнение следует дополнить соответствующим «материальным
уравнением», описывающим зависимость нелинейного сдвига
показателя преломления Дп(/, t) от времени и интенсивности поля / = \А\2.
В простой феноменологической модели процесса самозаписывания по-

576
Гл. 14. Родственные вопросы
лагается, что наведённый показатель преломления меняется со
временем так [37]:
^ = ВРР, (14.2.2)
где р = 1 или 2, в зависимости от того, вызывается рост показателя
преломления процессами однофотонного или двухфотонного
поглощения. Параметр среды Вр зависит от р, от свойств
светочувствительного материала и от длины волны Ао записывающего пучка [55]. Его
значения обычно положительны (Вр > 0), так как в большинстве
материалов показатель преломления растёт вместе с интенсивностью [56].
Уравнение (14.2.2) выполняется для каждой пространственной точки
локально, но изменение показателя преломления зависит от
предыстории освещения в этой точке.
Хотя простая модель на основе (14.2.2) хорошо работает, если
изменения показателя преломления сравнительно малы, необходимо
включить эффекты насыщения, когда изменения показателя
преломления ограничиваются максимальной величиной Ап3. Лучше эволюцию
показателя преломления описывает следующая модель [34]
9Ап = п_тр(\ --^-
dt
= врр(\-
;)•
(14.2.3)
Эта модель использовалась для описания насыщения в
фотополимерах [42] и светочувствительных стёклах [57] и в обоих этих случаях
она хорошо согласуется с
экспериментальными данными. Она
описывает также
формирование волоконнооптических брэг-
говских решёток [36]. В случае
Ans —► оо (насыщение
отсутствует) (14.2.1) и (14.2.3)
обладают интересными
автомодельными решениями [58]. Однако
в общем случае эти уравнения
следует анализировать
численно [59-61].
В серии численных
расчётов [42] (14.2.1) и (14.2.3)
решались методом
расщепления (или распространения
пучка) с прозрачными граничными
условиями. На рис. 14.7
показано, как гауссов пучок,
распространяющийся в жидком
фотополимере, самоканалируется
после временного интервала 15£о, где to представляет время,
необходимое для достижения критической экспозиции в центральной области
Рис. 14.7. Волноводное
распространение гауссова пучка, создающего
самозаписанный волновод в
фотополимере. Контуры интенсивности в
плоскости x—z показаны при t/to = 0, 5,
10 и 15. Размер отдельного рисунка
100Ао х 10Ао [42]

14.2. Самозаписанные волноводы
577
пучка; to зависит от используемого материала и составляет обычно
~1 мс. В этих расчётах ширина входного пучка была 2Ло и длина
распространения достигала 500Ао, хотя на рис. 14.7 показаны только
первые 100Ао. Так как длина поглощения была только ЮЗАо, после
этого расстояния самоканалирование останавливалось. Отметим, что
масштаб по горизонтали на рис. 14.7 увеличен в 10 раз, чтобы
улучшить поперечное разрешение. Левая фотография иллюстрирует
начальное состояние распространения пучка до наведения каких-либо
изменений показателя преломления. Так как пучок «записывает» волновод,
вызывая увеличение показателя преломления там, где интенсивность
больше, дифракционные эффекты всё более и более сдерживаются
волноводом. Почти полное самоканалирование оптического пучка
очевидно из правой фотографии на рис. 14.7. Осцилляции диаметра пучка
возникают, так как на этапе установления показателя преломления
волновод становится столь сильным, что он начинает поддерживать
более чем одну моду.
Процесс фотополимеризации в светочувствительной смоле более
сложен по двум причинам. Во-первых, реакция полимеризации
начинается с запаздыванием [42]. Во-вторых, при заданном времени
экспозиции полимеризация происходит только в областях, где
интенсивность света превышает некоторое пороговое значение. Пороговый
характер процесса можно учесть, модифицируя (14.2.3) следующим
образом [47]:
дАп
at
= *'('-£){ о,'
Jth, / ^ Jth.
J < Jth,
(14.2.4)
где в предположении процесса однофотонного поглощения
положено р = 1.
400
Рис. 14.8. Установившиеся профили показателя преломления для
самозаписанного волновода при трёх значениях нормированной пороговой интенсивности
/th//o: 0 (а), 0,01 (б) и 0,025 (в). Другие параметры: Апд = 0,02, t0 = 1 мс
и wo = 1 мкм [47]

578
Гл. 14. Родственные вопросы
Использование (14.2.4) приводит к хорошему качественному
согласию с экспериментальными результатами [47]. На рис. 14.8 показаны
результаты численного моделирования в одномерной геометрии для
входного гауссова пучка с амплитудой А(х, z) = у/То exp(—x2/wl) при
трёх различных значениях Jth- Случай Jth = 0 (а) показывает, что тогда
самозаписанный волновод неоднороден, включает осцилляции и
расширяется при отходе от входной грани — свойство, наблюдавшееся также
экспериментально в светочувствительных стёклах [57]. Напротив,
волновод достаточно однороден и его ширина приблизительно постоянна,
когда учтён порог, как видно из (б) и (в). Именно такое поведение
наблюдалось экспериментально в случае фотополимеризующейся
смолы [45].
Уравнения (14.2.1) и (14.2.4) обладают стационарными решениями
(при а = 0), которые описывают свойства самозаписанных волноводом
самосогласованным образом. Вследствие насыщения показателя
преломления после долгого воздействия падающего света, окончательный
профиль показателя преломления имеет следующий простой вид:
где d — ширина волновода. Оптические моды этого волновода должны
удовлетворять условию самосогласованности, даваемому (14.2.4), то
есть \А(х, z)\2 < /th при |х| > d/2 и \А(х% z)\2 > /th при |х| < d/2. Эти
соотношения однозначно определяют профиль оптического поля, когда
асимметричные моды не возникают и волновод поддерживает только
одну симметричную моду. При d < 27г(2/?о&оДп3)~1^ направляемое
поле даётся выражением
E(x, z) = v^th e < (14.2.6)
V ' V \exp[-Q(|*|-d/2)], |s| > d/2, V '
где x — постоянная распространения моды и
Q=V/2A^> Я = \/Шко&п3 - х). (14.2.7)
Постоянную распространения х следует выбрать так, чтобы
удовлетворить условию непрерывности Е(х, z) при |х| = d/2. Это условие
приводит к стандартному уравнению для собственных значений tg (qd/2) =
= Q/q. Оказывается, что волновод, поддерживающий единственную
симметричную моду, может существовать, если /th < h < 7/th- Эти
аналитические результаты объясняют стабилизацию ширины
волновода, когда в численных расчётах возрастает уровень порога.
14.2.3. Экспериментальные результаты. В эксперименте 1992 г.
[40] наблюдалось, что процесс самозаписывания в ионно-импланти-
рованном стекле Bi4Ge30i2 создаёт оптически записанный световод.
Независимо было обнаружено, что постоянные сужающиеся световоды
можно сформировать в коммерчески доступной эпоксидной смоле (со-

14.2. Самозаписанные волноводы
579
держащей акриловую кислоту и гидроксипропилметакрилат), так как
постоянные изменения показателя преломления наводились
излучением с длиной волны 532 нм [41]. В этом эксперименте пучок
непрерывного излучения создавал сужающийся конус, который направлял
пучок в эпоксидной смоле. Так как изменения показателя преломления
были долгоживущими, конусы, записанные таким образом, могли затем
применяться для других длин волн.
В нескольких экспериментах основное внимание уделялось
процессу самозаписывания в светочувствительных стёклах. В эксперименте
1998 г. [57] наблюдалось самоканалирование света в самозаписанном
канале, созданном в волноводе из германосиликатного стекла
посредством двухфотонного поглощения. В этом эксперименте три слоя
кварца осаждались на кремниевой подложке длиной 11 мм. Средний
светочувствительный слой толщиной Змм, содержащий 8% германия,
располагался между двумя недопированными слоями кремния, показатель
преломления которых был меньше на 0,022. Структура выращивалась
в полом катоде с помощью плазменного химического осаждения из
паровой фазы (ХОПФ), которое создавало высокопрозрачные непористые
кварцевые стекла с высокой собственной светочувствительностью [62].
При облучении светом с длиной волны 488 нм показатель преломления
мог возрастать на Ю-3, что уменьшало ширину распространяющегося
пучка в 13 раз.
Рис. 14.9. Фотографии, показывающие распределение люминесценции внутри
(внизу) и вне (сверху) самозаписанного канала в светочувствительном
кварцевом световоде [57]
Сильная люминесценция в красной области спектра,
наблюдавшаяся в процессе записи, служила мерой интенсивности пучка в объёме
пластинки, что использовалось для изучения эволюции
самозаписывающегося световода. На рис. 14.9 показаны две фотографии,
полученные с помощью такой люминесценции. Верхняя фотография
демонстрирует обычную дифракцию в области вне самозаписанного волноводного
канала. Нижняя фотография показывает, как уменьшается расширение
пучка в этом канале. Сначала пучок дифрагирует даже в этой области.
Однако, спустя некоторое время изменение показателя преломления
возрастает так, что преодолевает начальную дифракцию, и пучок фо-

580
Гл. 14. Родственные вопросы
кусируется, создавая перетяжку, называемую «первичным сужением»
[59]. Сравнение с результатами численного моделирования указывает
качественное согласие между экспериментом и теорией,
обсуждавшейся выше, в предположении, что поглощение происходит в процессе
двухфотонного поглощения (р = 2) [57].
Однофотонное поглощение использовалось также для записи
постоянных волноводных каналов в фотополимерах [46, 51]. В
эксперименте [46] оптические волноводы создавались в фотополимеризующей-
ся полимерной смеси при использовании многомодового волоконного
световода для ведения света. Самозаписанный канал формировался
за счёт селективной фотополимеризации мономера с более высоким
показателем преломления под действием пучка аргонового лазера.
Этим методом можно вырастить постоянный прямой волновод. Такой
подход позволяет формировать трёхмерные оптические структуры, так
как допускает вторичный рост волноводов в толстых прозрачных
стеклянных пластинках. Вероятно, это позволит достичь автоматизации
оптических межсоединений и упаковки и потенциально полезно для
волоконнооптической связи.
Фотополимеризующиеся смолы можно использовать для
формирования нескольких волноводов [45], и два таких волновода можно
применить для изучения столкновения солитонов. Экспериментально оба
волновода создавались одновременно расщеплением единого пучка
лазера на Не-Cd (А = 441,6 нм) на два пучка (используя светоделитель),
которые затем фокусировались в растворе фотополимеризирующейся
смолы. Оптические оси двух пучков пересекались внутри раствора, так
что два пучка направлялись самонаведёнными волноводами и в конце
концов сливались внутри светочувствительного материала [47].
Процесс столкновения наблюдался с боковой стороны образца при
использовании ПЗС-камеры. На рис. 14.10, а демонстрируется, что при
столкновении двух самозаписывающихся световодов они сливаются
и формируют единый волновод. После слияния волновод растёт вдоль
направления биссектрисы угла между двумя волноводами,
сформировавшимися до столкновения, потому что мощности двух входных
пучков были равными (0,1 мВт) и уравновешивали друг друга. В этом
случае ширина входного пучка составляла только 0,96 мкм.
Аналогично случаю двух взаимодействующих солитонов [33], слияние
саморастущих волноводов сильно зависело от угла схождения волноводов [45].
В использованной смоле слияние не происходило, если угол схождения
превышал 9°.
На рис. 14.10 показаны экспериментальные результаты для угла
схождения 6,4°, так что растущие волноводы всегда сливались
после столкновения. Видно, что соотношение мощностей двух входных
пучков может менять направление роста волновода после слияния.
Мощность одного входного пучка фиксировалась на значении 0,1 мВт,
а мощность другого пучка менялась от 0,07 мВт (б) до 0,13 мВт
(в). Слившийся волновод растёт вдоль направления входного пучка

14.2. Самозаписанные волноводы
581
с большей мощностью, в отличие от симметричного случая (а), когда
новый волновод растёт в центре. Аналогичный эффект наблюдается,
когда один из пучков включается с задержкой (г). В этом случае
результирующий волновод следует направлению пучка, который входит
в среду первым. Эти свойства резко отличаются от случая
взаимодействия пространственных солитонов с неравными амплитудами [33].
Для изучения взаимодействия двух самозаписывающихся волноводов
использовалась теоретическая модель на основе (14.2.1) и (14.2.4) [47].
Численные результаты хорошо согласовались с экспериментальными
наблюдениями, показанными на рис. 14.10. Они также подтверждают,
что два волновода сливаются, только если угол схождения меньше
критической величины.
Рис. 14.10. Экспериментальные результаты, показывающие столкновение
между двумя самозаписывающимися волноводами. Мощность нижнего пучка
0,1 мВт; мощность верхнего пучка 0,1 (а), 0,07 (б), 0,13 (в) и 0,1 (г) мВт.
Только в случае (г) верхний пучок включается с задержкой. Чёрные линии
слева поясняют структуру волноводов [47]
Интересна ситуация, когда на светочувствительный материал
падает пучок с тёмной центральной областью. В одном из
экспериментов для изменения фазы на 7г в центре пучка применялся
фазовый транспарант [63], и затем пучок направлялся на тонкую плёнку
полимера полиметилметакрилат, допированного органическим
красителем (PMMA/DCM). Было найдено, что формируется устойчивая
структура, подобная тёмному пространственному солитону, так как
нелинейное фотообесцвечивание допированного красителем полимера
приводит к уменьшению локального показателя преломления [64].
Такая структура типа тёмного солитона захватывает пробный
пучок и направляет его как в канальном волноводе. Требуемая для
его формирования интенсивность непрерывного излучения была ни-

582
Гл. 14. Родственные вопросы
же 1 кВт/см2. Эта интенсивность сравнима с используемой для
формирования тёмных пространственных солитонов в фоторефрактивных
материалах. Одним из возможных приложений таких постоянных
наведённых светом волноводов служат сети оптических
межсоединений между линейными наборами оптических излучателей и
приёмников.
В эксперименте 2002 г. было найдено, что облучение
объёмного стекла ВК-7, допированного Nd, излучением лазера на 488 нм
уменьшает показатель преломления на величину ~10~4 [65]. Этот
эффект использовался для демонстрации того, что, как и в более
ранней работе [63], можно применять самозаписывание для
увеличения расходимости гауссова пучка [65]. Для численного моделирования
убывания показателя преломления простая модель на основе (14.2.1)
и (14.2.3) может быть модифицирована, и тогда она хорошо согласуется
с экспериментальными данными. Численное моделирование было
выполнено также для случая, когда входной записывающий пучок имел
форму бублика, аналогично моде Лагерра-Гаусса первого порядка.
На рис. 14.11 показаны изменения показателя преломления при трёх
моментах времени. Области низкого показателя преломления
(затенённые белые) со временем расширяются, так что пучок начинает
дифрагировать ещё сильней. Однако, это расширение пучка способствует
также сужению центральной области с большим показателем
преломления, создавая тем самым однородный канальный волновод в центре
неэкспонированного материала с большим показателем преломления.
Характеристики распространения в сформированном канале
исследовались также численно моделированием прохождения через него гауссова
пучка с большей длиной волны. Было найдено, что такой пучок может
быть ведомым, что показывает, что трубчатая структура, формируемая
Г=8 Г=40 Г=135
Рис. 14.11. Результаты численного моделирования, демонстрирующие, что
трубчатая структура в центре светочувствительного стекла может быть создана
с помощью записывающего пучка формы бублика. Последовательность
фотографий показывает сужение трубки, вызванное дифракционным расширением
записывающего пучка [65]
вследствие уменьшения показателя преломления, может быть
использована для волноводного распространения света с различными длинами
волны [65].

14.3. Диссипативные и резонаторные солитоны 583
14.3. Диссипативные и резонаторные солитоны
Типы оптических солитонов, обсуждавшиеся до сих пор, связаны
с оптическим пучком (или импульсом), который распространяется
через нелинейную среду один раз. Если нелинейная среда помещена
внутрь оптического резонатора, пучок проходит через нелинейную
среду много раз из-за обратной связи, обеспечиваемой зеркалами
резонатора. Хотя пучок может испытывать заметные потери на зеркалах
резонатора, эти потери могут быть компенсированы внешним
пучком. Пространственные локализованные структуры, формирующиеся
в таких оптических резонаторах с внешним облучением, называются
резонаторными солитонами. Хотя резонаторные солитоны обладают
многими свойствами, общими с обычными пространственными
солитонами, оптическая обратная связь вносит также ряд новых свойств.
Например, такие солитоны могут существовать даже тогда, когда в
отсутствие резонатора та же нелинейная среда не поддерживает каких-
либо пространственных солитонов. Так как все резонаторы обладают
потерями и могут даже обеспечивать усиление, если нелинейная среда
должным образом накачана, такие солитоны попадают в общий класс
диссипативных солитонов. В этом разделе мы обсудим основную
физику недифрагирующих локализованных состояний, формирующихся
в нелинейных системах с усилением и потерями.
В нелинейных системах с потерями и накачкой могут существовать
различные типы локализованных структур. Примерами служат лазеры
(вихри), лазеры с насыщающимся поглощением (светлые солитоны),
параметрические усилители (фазовые солитоны) и нелинейные
резонаторы с внешним излучением (светлые и тёмные солитоны) [66].
Во всех случаях солитоны существуют как самоканалированные
области одного состояния поля, окружённые другим состоянием поля.
Так как резонаторные солитоны служат результатом баланса между
усилением и потерями, одно из основных отличий между солитонами
в консервативных и диссипативных системах следующее. Тогда как
консервативные солитоны образуют непрерывные семейства
локализованных решений, диссипативные солитоны связаны с определёнными
дискретными значениями параметров, при которых удовлетворяется
требование баланса энергии. При использовании оптических
импульсов могут быть созданы временные резонаторные солитоны, и они
могут быть использованы для хранения изображений или информации.
Возможность контролировать и управлять резонаторными солитонами
извне полезна для многих приложений. Например, такие солитоны
можно использовать как естественные «биты» при параллельной
обработке оптической информации с применением полупроводниковых
микрорезонаторов.
14.3.1. История и основная физика. Простейший резонатор,
который может поддерживать пространственно локализованные
структуры и сравнительно прост для теоретического анализа, это кольцевой

584
Гл. 14. Родственные вопросы
Вход
Выход
2,1
-0,8
Q8x
-0,64
Q64*
Рис. 14.12. Формирование солитонов в оптически бистабильном кольцевом
резонаторе: а) схема; б) бистабильность плоских волн; в) начало
последовательности солитонов после 23 проходов через резонатор (нижняя кривая
показывает гауссов пучок после одного прохода); г) стационарное состояние
последовательности семи солитонов после 200 проходов [68]
резонатор, содержащий среду с самофокусировочной керровской
нелинейностью, показанный на рис. 14.12, а. Оптическое излучение
распространяется по кольцевому пути внутри резонатора и когерентно
складывается с внешним излучением на входном зеркале. Известно, что
эта нелинейная система обладает оптической бистабильностью —
явление, в котором, при определённых условиях, при заданном входном
сигнале возможны два сигнала на выходе. На рис. 14.12, б
приведена стандартная 5-образная кривая бистабильности для мощности на
выходе в зависимости от мощности на входе. Промежуточная ветвь
этой кривой с отрицательным наклоном неустойчива, что приводит
к бистабильности и гистерезису. Эта кривая отвечает пучку
непрерывного излучения с постоянной амплитудой в поперечных направлениях
(плоская волна).
Наиболее ранние аналитические и численные исследования
поперечных пространственных эффектов в бистабильном резонаторе были
выполнены для входного излучения в виде плоской волны или гауссова
пучка [67-69]. Даже если учитывается только одно пространственное
измерение, огибающая внутрирезонаторного поля Ап(х, z) проявляет
при возрастании числа проходов п интересную динамику. Когда ин-

14.3. Диссипативные и резонаторные солитоны 585
Рис. 14.13. Поперечные профили диссипативных локализованных структур в
бистабильной системе: а, б) «левая» и «правая» волны переключения; в, г)
светлый и тёмный диссипативные солитоны; д) волна переключения, связанная
с солитоном; е, ж) симметричная и асимметричная двухсолитонные структуры;
з) — связанное состояние светлого и тёмного солитонов; и) периодическая
последовательность диссипативных солитонов [66]

586
Гл. 14. Родственные вопросы
тенсивность на входе увеличивается и превышает порог переключения
вверх, центр пучка переключается и из него разбегаются волны
переключения, переключающие большую часть пучка, как показано на
рис. 14.12, е. Затем число границ между «включёнными» и
«выключенными» областями многократно увеличивается, что можно назвать
модуляционной неустойчивостью «включённой» области, так как она
разбивается на ряд чётких пиков, как показано на рис. 14.12, г. Эти
пики в промодулированной структуре Молони и др. [68]
интерпретировали как набор пространственных солитонов, циркулирующих внутри
резонатора. Однако, число пиков примерно пропорционально ширине
резонатора, тогда как истинные резонаторные солитоны создаются
и удаляются индивидуально [70].
В конце 1980-х и в 1990-х годах на основе анализа волн
переключения в оптической бистабильности было введено родственное понятие
дифракционных автосолитонов [71-75] 0. Волны переключения
между сосуществующими устойчивыми состояниями известны во многих
областях (таких, как системы реакции-диффузии). В частности, они
могут существовать как самоканалированная область одного состояния
поля, окружённая другим состоянием. Чисто диффузионные волны
переключения имеют монотонные профили, но дифракция приводит к
осциллирующим хвостам или пульсациям. Волна переключения с
таким осциллирующим хвостом может сцепиться с другой аналогичной
волной, что приводит к формированию различных типов связанных
состояний; некоторые примеры таких связанных состояний приведены на
рис. 14.13. При большем числе измерений волна переключения может
изогнуться и замкнуться на себя же, формируя устойчивые островки
одной фазы в окружении другой фазы, аналогично дифракционному
автосолитону. Такой подход представляет другую физическую
интерпретацию резонаторных солитонов: их можно рассматривать как
самозахваченные волны переключения в системах с усилением и потерями
с несколькими устойчивыми состояниями равновесия.
1) Найденные в [67, 188*] волны переключения в нелинейных резонаторах,
родственные обсуждавшимся в главах 4 и 7 солитонам типа фронта, играют
важную роль в явлении пространственного гистерезиса, собственно и
позволяющего многоканальную запись информации в этих схемах; более подробное
изложение см. в [66, 189*]. Отметим, что пики в структуре типа рис. 14.12, г,
получающиеся вследствие модуляционной неустойчивости в нелинейном
интерферометре, обнаруженной ранее в [67], назывались в работе Молони и др. [68]
уединёнными волнами; по нашему мнению, их нельзя причислить к солитонам,
поскольку одиночные (индивидуальные) пики в этих условиях не существуют.
Диссипативные пространственные солитоны в нелинейных интерферометрах
впервые найдены теоретически в 1983 г. для случая поперечной модуляции
входного сигнала [190*] и в 1988 г. для поперечно однородных схем [71];
резонаторные солитоны в условиях модуляционной неустойчивости
анализировались в [74, 191*]. {Прим. ред.)

14.3. Диссипативные и резонаторные солитоны 587
В анализе резонаторных солитонов 1983 г. [68] входной пучок
с интенсивностью ниже порога переключения не формировал
солитонов, хотя выше порога модуляционной неустойчивости формировались
многочисленные пики. Позже была показана возможность
независимого переключения индивидуальных солитонов [71, 76], например,
используя пучок с пространственно меняющейся амплитудой.
Численное моделирование показало возможность включения и выключения
двумерных битов памяти с помощью адресации противофазного
импульса [77]. Эти ранние исследования были причислены к «каменному
веку» в короткой истории резонаторных солитонов [70], с
переходом в «современный век» около 1990 г. [78]. Недавние достижения
включают экспериментальные наблюдения и инженерные приложения
резонаторных солитонов [70, 79].
14.3.2. Керровские и керроподобные среды. В отличие от
ранних численных исследований локализованных структур,
формирующихся внутри бистабильного кольцевого резонатора [68, 69],
современный подход основан на так называемой модели среднего поля
резонатора. В рамках этого подхода распространение по резонатору
заменяется единым уравнением в частных производных с членами,
описывающими внешний сигнал и потери. Модель среднего поля
резонатора впервые была введена в 1987 г. применительно к формированию
пространственных структур [80] и она основана на возмущённом НУШ
и его модификациях 0.
Модель среднего поля можно понять с помощью простой физики.
Обычное НУШ описывает бесконечную нелинейную среду. В
резонаторе распространение происходит между зеркалами, помещёнными
вблизи нелинейной среды, которые ограничивают пучок в конечном
слое материала. Реальные зеркала и среды обладают потерями, но
потери можно компенсировать «подпиткой» ограниченного в резонаторе
пучка внешним полем. Поэтому соответствующая модель типа НУШ
должна включать члены, учитывающие внешнее поле и потери. После
усреднения уравнения за проход через резонатор и надлежащего
нормирования получается следующее возмущённое НУШ:
i^ + Vlu + \u\2u = ie[-(l+iO)u + uin], (14.3.1)
где е — параметр малости возмущения, иш представляет внешнее
поле и величина в связана с отстройкой частоты поля от резонанса
резонатора. Важное отличие от обычного НУШ состоит в том, что
координата распространения z заменена в эволюционном уравнении
на время £, связанное с числом проходов излучения через резонатор.
А именно, изменение t указывает, как изменяется и(х, t) за многократ-
') Модель среднего поля была введена в 1965 г. Сучковым для описания
динамики поперечной структуры поля в лазерах [192*]. (Прим. ред.)

588
Гл. 14. Родственные вопросы
ные проходы. Замена z на t имеет физический смысл, так как солитоны
ограничены в резонаторе конечной длины.
Члены возмущения включают потери резонатора (е > 0) и частотное
рассогласование или отстройку в между полем резонатора и и внешним
полем Uin. Время нормировано на время отклика резонатора.
Уравнение (14.3.1) применимо в случае малых потерь или высокой
добротности резонатора и в предположении, что возбуждена только одна
продольная мода [70, 81]. Его нетрудно обобщить, включив
нелинейность, отвечающую двухуровневой атомной среде, которая переходит
в керровскую вдали от атомного резонанса [82, 83]. Когда внешнее
поле находится в резонансе с атомной системой, среда действует как
насыщающийся поглотитель без нелинейного вклада в показатель
преломления.
НУШ типа (14.3.1) с комплексными коэффициентами обычно
называют уравнением Гинзбурга-Ландау, и оно интенсивно изучалось, так
как описывает физику огромного ряда явлений от фазовых переходов
второго рода, сверхпроводимости, сверхтекучести и конденсации Бозе-
Эйнштейна до жидких кристаллов и струн в теории поля [84]. Во
временном варианте второй член в (14.3.1) учитывает не дифракцию,
а дисперсию и отвечает волоконнооптическому резонатору, где для
синхронно накачиваемых волоконнооптических петлевых резонаторов
также были найдены и проанализированы солитоноподобные
структуры [85, 86].
Рис. 14.14. Пространственная структура резонаторного солитона, показанная
изображением функции \и(х,у)\2 при в = 1,2 и \и3\2 = 0,9 [81]
Уравнение (14.3.1) при е = 1 аналогично введённому в [80]. В этом
случае, когда внешнее излучение однородно, оно имеет точные
решения вида us = Uin/[1 +г(0 - |us|2)]. При в < \/3 это неявное решение
однозначно, но при в > v3 существуют три решения, что указывает на
оптическую бистабильность. Оказывается, что решение неустойчиво,
если \us\ > 1, и эта неустойчивость ведёт к спонтанному
формированию структур [80]. Основной пространственный элемент, повторение

14.3. Диссипативные и резонаторные солитоны 589
которого формирует структуру, связан с резонаторным солитоном.
Форма этого солитона может быть найдена численно решением (14.3.1)
при подстановке и = us[\ + s(r,ф)]% где г и ф — полярные
координаты. На рис. 14.14 показан пример двумерного резонаторного солитона,
найденный численно в осесимметричном случае. Он состоит из яркого
пика на плоском фоне и9 с несколькими слабыми кольцами. Период
и скорость затухания этих колец определяются хвостами
изолированного резонаторного солитона и описываются парой обобщённых
функций Бесселя [87]. Кольца становятся заметно более выраженными при
\us\ —► 1. Для сравнения резонаторных солитонов с периодическими
решениями, приводящими к структурам, мы показываем на рис. 14.15
ветви для пространственно однородных решений и двумерных
резонаторных солитонов. Ветвь резонаторных солитонов возникает в точке
субкритической бифуркации. Следовательно, резонаторный солитон
можно интерпретировать как одиночное пятно гексагональной
структуры 0.
Устойчивость резонаторных солитонов является важным вопросом
и должна быть тщательно изучена. Линейный анализ устойчивости
показывает, что нижняя ветвь бистабильной петли всегда неустойчива.
Верхняя ветвь может быть устойчивой в некотором диапазоне
параметров. Область устойчивости показана на рис. 14.15 штриховкой. При
больших значениях в возникновение неустойчивости связано с
бифуркацией Андронова-Хопфа, а не с коллапсом, как в случае кубического
НУШ (без резонатора). Точнее, при \щп\2 < 1 пара комплексно
сопряжённых собственных значений пересекает мнимую ось. Численное
моделирование подтверждает результаты линейного анализа
устойчивости. Возмущённые резонаторные солитоны при параметрах в области
устойчивости испытывают затухающие колебания, которые становятся
незатухающими при пересечении границы области устойчивости. При
больших в резонаторный солитон либо распадается, либо становится
весьма узким, что напоминает коллапс, почти как в случае двумерных
керровских солитонов.
Недавние исследования подтвердили устойчивость резонаторных
солитонов, описываемых (14.3.1), при малых отстройках
резонатора [81]. Однако, эти исследования показали, что в той части
области параметров, в которой резонаторный солитон радиально устой-
0 Здесь, как и в приведённом выше обсуждении дифракционных автосо-
литонов, речь идёт только о качественной интерпретации. В
действительности устойчивые локализованные структуры в нелинейном резонаторе могут
существовать и в отсутствие как оптической бистабильности, так и
модуляционной неустойчивости плосковолновых распределений поля [193*]. Заметим,
что обобщение (14.3.1) на случай пороговой нелинейности позволяет получить
аналитические решения и исследовать устойчивость одиночных и связанных
резонаторных солитонов [194*, 189*,66]. Отметим также, что входная и
выходная интенсивности на рис. 14.15 (слева) нормированы различно. (Прим. ред.)

590
Гл. 14. Родственные вопросы
8
сть
§ 6
сив
ЕС
S 4
ЕВ
а
I2
0
0,9
х
+ '
4»
/
[
\
\
\
ч
ч
ч
ч
ч
ч _ _
. 1,,,. 1,.,, 1,,., 1,,,. 1,,
1,0 1,1
Входная интенсивность
--
j_J
1,2
1,4
£
о
I ''2
К
1нте
3 ».°
Вход
0,8
г
S
■
0,8
i
4
^
^
Л
^^^
1,0 1,2 1,4
Отстройка
Рис. 14.15. Слева: ветви, показывающие однородное решение и резонаторный
солитон при в = 1,3. Справа: область устойчивости двумерного резонаторного
солитона (заштрихована) в пространстве параметров [70]
чив, он может стать неустойчивым азимутально. Характер
радиальной неустойчивости объясняется бифуркацией Андронова-Хопфа [88],
и эта неустойчивость приводит к осцилляциям резонаторного соли-
тона, амплитуда которых возрастает вместе с интенсивностью
фона. Осциллирующий солитон весьма устойчив, он не коллапсирует
и не распадается даже заметно выше порога бифуркации Андронова-
Хопфа. Азимутальная неустойчивость зависит от номера моды га для
моды, огибающая которой изменяется как ехр(±гга<^). Оказывается,
что обычно для неустойчивой моды m = 5 или 6. Результирующая
динамика приводит к формированию расширяющейся структуры,
которая сохраняет симметрию пятого или шестого порядка, так как она
отвечает росту возмущений с т = 5 и 6, соответственно. В обоих
случаях возникающая структура динамическая, в том смысле, что
каждое пятно осциллирует с фазой, зависящей от координат. Это
свойство резонаторных солитонов ясно показывает, что они качественно
отличаются от обычных пространственных солитонов консервативных
(или даже слабо возмущённых) систем.
14.3.3. Полупроводниковые микрорезонаторы.
Полупроводниковый микрорезонатор, такой как показанный на рис. 14.16,
обычно используется в поверхностно излучающих лазерах с
вертикальным резонатором, называемых VCSEL (vertical-cavity surface-emitting
laser) [89]. Он включает тонкую центральную область, размещённую
между двумя распределёнными брэгговскими зеркалами (РБЗ).
Центральная область состоит из множественных квантовых ям (МКЯ) —
слоев GaAs/AlGaAs. Такая структура весьма благоприятна для
резонаторных солитонов вследствие их микроскопического размера; длина
резонатора около 1 мкм, хотя поперечный размер может превышать
1 см. Такие короткие и широкоапертурные микрорезонаторы поддер-

14.3. Диссипативные и резонаторные солитоны 591
живают только одну продольную моду, но огромное число поперечных
мод. Эта ситуация позволяет сосуществование большого числа резо-
наторных солитонов. РБЗ, использованные для формирования
резонатора, типа плоских зеркал, что приводит к частотному вырождению
многих поперечных мод и допускает существование разнообразных
структур поля внутри резонатора.
Феноменологическая модель, применимая к широкоапертурному
полупроводниковому резонатору, возбуждаемому внешним
излучением [90-92], несколько отличается от основанной на (14.3.1). Как
и (14.3.1), она описывает оптическое поле и внутри резонатора в
приближении среднего поля. Однако, нелинейное поглощение и
изменение показателя преломления, вызванные внутрирезонаторным полем
в окрестности края полосы МКЯ, считаются пропорциональными
плотности носителей N. Скоростное уравнение для N учитывает эффекты
нерезонансной накачки Р, рекомбинации носителей и их диффузии.
Получающиеся уравнения, описывающие пространственно-временную
динамику и и N, имеют следующий нормированный вид:
^ = Щп - у/Т{[1 + Са"(1 - N)] + i{6 - Ca'N - V2JH (14.3.2)
^ = Р - 7[ЛГ - Н2(1 - N) - dV2±N], (14.3.3)
где комплексный параметр а = а' + га" описывает абсорбционную
и рефракционную нелинейность (поглощения и показателя
преломления), С учитывает насыщающееся поглощение (нормированное на
пропускание РБЗ и считающееся малым), в представляет отстройку
внешнего поля от резонанса резонатора, 7 — отношение времён жизни
фотонов и носителей и d связано с коэффициентом диффузии.
Резонатор возбуждается внешним полем щп. Эта модель весьма точна
при описании резонаторных солитонов. Иногда важен учёт тепловых
эффектов, и тогда анализ становится более сложным, так как
привлекается дополнительное уравнение типа теплопроводности [93].
Линейные эффекты внутри резонатора расширяют входной пучок
(непрерывное или импульсное излучение) из-за дифракции и
дисперсии. Нелинейность среды, которая может уравновесить это линейное
расширение, имеет несколько источников. Одна из возможностей —
это нелинейное изменение добротности резонатора (из-за насыщения
поглощения). Другая возможность связана с изменением длины
резонатора вследствие нелинейного изменения показателя преломления.
Обе эти возможности составляют то, что называют продольными
нелинейными эффектами [94]. Поперечным эффектом нелинейности
показателя преломления может быть самофокусировка или
самодефокусировка, способствующие формированию светлых или тёмных солитонов,
соответственно. Насыщение поглощения (или усиления) также может
приводить к поперечным эффектам вследствие явления выжигания
пространственных дыр. Продольные и поперечные эффекты могут дей-

592
Гл. И. Родственные вопросы
мкя
►
«*
►
■*-
I I I II I
Переднее РБЗ Заднее РБЗ Подложка
Рис. 14.16. Схема полупроводникового микрорезонатора, состоящего из
множественных квантовых ям, заключённых между двумя распределёнными брэг-
говскими зеркалами [100]
ствовать в противоположных или том же направлении, в зависимости
от параметров схемы. Двумя главными внешними контрольными
параметрами являются интенсивность внешнего поля |uin| и отстройка
резонатора в. При интенсивности на входе ниже резонансного порога
свет концентрируется в отдельных пятнах, где локальная
интенсивность достаточно велика для достижения резонансного условия, что
приводит к формированию светло-тёмных структур.
На рис. 14.17 показана схема установки для эксперимента 2001 г.,
выполненного при использовании полупроводниковых
микрорезонаторов, состоящих из множественных слоев GaAs/AlGaAs [95],
размещённых между двумя высокоотражающими (^ 0,995) РБЗ (см. рис. 14.16).
Структура микрорезонатора выращена на подложке GaAs методом
молекулярно-лучевой эпитаксии, позволяющей изготовлять
высококачественные структуры МКЯ с пренебрежимо малыми изменениями
толщины в радиальном направлении. Лучший образец
характеризовался изменениями <0,3 нм/мм резонансной длины волны на всём
поперечном сечении образца. В образец вводился пучок диаметром
50 мкм (число Френеля > 100) перестраиваемого титан-сапфирового
лазера или одномодового лазерного диода в непрерывном режиме.
Тепловые эффекты были ослаблены использованием акустооптического
модулятора.
Часть лазерного пучка отщеплялась от пучка поддерживающего
излучения и затем складывалась с ним в конфигурации интерферометра
Маха-Цендера, служа адресующим пучком. Адресующий пучок резко
фокусировался и направлялся в конкретное место освещенного
образца. Переключающий световой сигнал открывался лишь на несколько
наносекунд с помощью электрооптического модулятора. В случае
некогерентного переключения для избежания интерференции поляризация
адресующего пучка была ортогональна поляризации поддерживающе-

14.3. Диссипативные и резонаторные солитоны 593
Пр. ФД
АОМ Х/2 ПСД
Лазер | О П—►-f^l—►
Образец
Рис. 14.17. Схема эксперимента по получению локализованных структур в
полупроводниковых микрорезонаторах: АОМ — акустооптический модулятор;
А/2 — полу вол новая пластинка; ПСД — поляризационный светоделитель;
ЭОМ — электрооптический модулятор; РТ — расширяющий телескоп; ПЭП —
пьезоэлектрический преобразователь; П — поляризатор; Л — линза; СД —
светоделитель; ФД — фотодётектор; Пр — приёмник; ПЗС — ПЗС-камера [95]
го пучка. В случае когерентного переключения эти два направления
поляризации были параллельными, а для включения и выключения
солитона менялась фаза переключающего пучка. Одно из зеркал
интерферометра могло двигаться с помощью пьезоэлектрического
преобразователя для управления разностью фаз между поддерживающим
и управляющим пучками. Оптическая накачка МКЯ-резонатора
осуществлялась многомодовым лазерным диодом (или одномодовым титан-
сапфировым лазером).
Чтобы найти наиболее устойчивые локализованные структуры,
можно варьировать нелинейный отклик (от абсорбционного до
дисперсионного), меняя частоту (длину волны) поддерживающего излучения
относительно собственных частот резонатора или же населённость
носителей, создаваемых накачкой. При работе на ~30 нм ниже края
полосы поглощения наблюдалось спонтанное формирование
гексагональных структур. Период этой структуры зависел от отстройки как
б"1/2 [96], что указывает на механизм наклонных волн [97] как
ответственный за формирование шестиугольников [98]. Кроме того, при
росте интенсивности поддерживающего излучения тёмные
шестиугольники преобразовывались в светлые. На этом уровне интенсивности
индивидуальные элементы этих структур не могли переключаться
независимо, как и следует ожидать для сильно коррелированной структуры
пятен.
При дальнейшем возрастании интенсивности поддерживающего
излучения светлые пятна гексагональной структуры могли независимо
переключаться с помощью ортогонально поляризованных
(«некогерентных») оптических импульсов [96]. Поэтому при высоких интенсив-

594
Гл. 14. Родственные вопросы
ностях гексагональная структура не была жёстко коррелированной.
Действительно, индивидуальные пятна действовали независимо, даже
когда они были упакованы так плотно, что расстояния между ними
были близки к размеру пятен. Эти экспериментальные наблюдения
можно объяснить, используя модель на основе (14.3.2) и (14.3.3)
в условиях эксперимента [99, 100]. Действительно, было найдено, что
при высоких интенсивностях резонатор обладает достаточным числом
степеней свободы для самосогласованной организации структуры поля,
позволяя тем самым выбор из большого числа возможных устойчивых
структур.
Рис. 14.18. Переключённый пучок, наблюдавшийся в отражённом излучении
при четырёх уровнях интенсивности на входе. За переключением пучка на
верхнюю ветвь бистабильной кривой (а) при возрастании интенсивности
следует формирование одной или нескольких локализованных структур, от (б) до
(г). (Рисунок подготовлен К. О. Вайссом)
Когда длина волны поддерживающего излучения настроена
вблизи края полосы поглощения, полупроводниковый микрорезонатор
поддерживает индивидуальные локализованные структуры [101].
На рис. 14.18 приведены четыре примера таких структур,
наблюдавшихся в отражении (провал отвечает пику в пропускании). В части
(а) показана область оптического пучка, переключённая на верхнюю
ветвь бистабильной кривой. Части от (б) до (г) показывают, как при
возрастании интенсивности на входе спонтанно формируются один, два
и четыре пика. Заслуживает внимания, что форма и размеры светлых
пятен не зависели от формы и интенсивности поддерживающего пучка.
Однако, не было экспериментальных свидетельств того, что пятна
могли переключаться; их можно рассматривать как предвестников
резонаторных солитонов.
Нелинейность структур МКЯ вблизи края полосы
преимущественно абсорбционная. Поэтому, в первом приближении, рефракционной
частью нелинейности в (14.3.2) можно пренебречь. Приведённые на

14.3. Диссипативные и резонаторные солитоны 595
_J I l I I I I l l
-4 -3 -2 -1 О
Отстройка резонатора
Рис. 14.19. Найденные численно области существования бистабильности
(штриховая линия), светлых солитонов (серая область) и тёмных солитонов
(чёрная область). Вставки показывают примеры светлых и тёмных солитонов.
Параметры С = 20, Т = 0,005, а" = 1 и d = 0,01. (Рисунок подготовлен
К. О. Вайссом)
рис. 14.19 результаты численного моделирования подтверждают
существование светлых и тёмных резонаторных солитонов. На этом
рисунке показаны области существования светлых и тёмных солитонов
в плоскости двух параметров: отстройка и интенсивность падающего
излучения. Штриховыми линиями указана также область оптической
бистабильности. Представленные на рис. 14.19 резонаторные
пространственные солитоны следует противопоставить обычным
пространственным солитонам в сплошной нелинейной среде: последние не могут
поддерживаться в насыщающемся поглотителе. При возбуждении над
запрещённой зоной светлые солитоны формируются аналогичным
образом [102]. Численный анализ также показывает, что рост
интенсивности накачки приводит к сокращению области существования
резонаторных солитонов. Кроме того, солитоны формируются при более
низких уровнях интенсивности. Когда интенсивность накачки
приближается к точке прозрачности полупроводникового материала,
формирование резонаторных солитонов прекращается [103]. Однако, они вновь
появляются выше точки прозрачности. В эксперименте вклад мнимой
части комплексной нелинейности был достаточно сильным вблизи края
полосы. Так как точка прозрачности весьма близка к порогу лазерной
генерации, реализовать инверсию без генерации затруднительно.
Способность включать и выключать резонаторные солитоны и
управлять их расположением и движением означает, что такие соли-
й
О
И
I 0,06
§0,05
Л ЛА

596
Гл. 14. Родственные вопросы
(
J
2
1
0
3
1
■
1 Ч
1
37,5
1
■
1. _
1
■
75 112,5 15
i i i i |
^J
i i i i 1
-2,25 -2,00 -1,75 -1,50 -1,25 -2,25 -1,75
в
Рис. 14.20. Поле внутри резонатора в зависимости от отстройки в (слева)
и формирование структур в области, где устойчивые состояния не существуют
(справа). Штриховые линии показывают неустойчивые состояния, а
вертикальная линия разделяет области устойчивости и неустойчивости. Кружки
и квадраты указывают максимальную интенсивность в этих двух областях,
соответственно. Чёрные пятна в устойчивой области отвечают резонаторным
солитонам [104]
тоны могут использоваться как «пикселы» для перестраиваемых схем
и устройств чисто оптической обработки информации. Такая
возможность продемонстрирована в эксперименте 2002 г. при электрической
накачке полупроводникового микрорезонатора над точкой
прозрачности, но несколько ниже порога лазерной генерации [104]. Устройство
имело большой диаметр (150 мкм), что обеспечивало индивидуальное
управление пикселами независимо от граничных эффектов. Входное
излучение настраивалось в диапазоне 960-980 нм, и его интенсивность
менялась с помощью акустооптического модулятора или поляризатора.
Параметр отстройки в варьировался по образцу из-за градиента длины
резонатора. На рис. 14.20 показано вычисленное поле внутри
резонатора в зависимости от параметра отстройки в. Устойчивы состояния,
отвечающие только сплошной части кривой. Так как при в < —1,81
устойчивых стационарных состояний не существует, здесь, только
в левой части образца, ожидается формирование структур вследствие
возникновения модуляционной неустойчивости. Именно это следует
из численного моделирования, показанного на рисунке справа, и из
экспериментальных наблюдений. В однородной области включались
два резонаторных солитона двумя импульсами длительностью 6 не,
посылаемыми в различные моменты времени.
На рис. 14.21 показано, как такие резонаторные солитоны могут
быть включены и выключены при использовании записывающего пучка
со средней мощностью 50 мкВт с хорошо определённой фазой. На 12
рисунках приведены распределения интенсивности на выходе в области
60 х 60 мкм2 в центре образца при различных условиях записи. Пучок
поддерживающего излучения всегда включён (мощность 8 мВт) и все

14.3. Диссипативные и резонаторные солитоны 597
Ш
Рис. 14.21. Операции над резонаторными солитонами с помощью
записывающего пучка. Различные рисунки показывают, как могут быть созданы два
резонаторных солитона в различных местах включением записывающего
пучка, и как они стираются тем же пучком со сдвигом фазы 7г [104]
другие параметры сохраняются постоянными. На рисунке (а) показана
начальная картина без резонаторных солитонов. Одиночный резона-
торный солитон (с размерами 10 мкм) включается на рисунке (б). Как
видно из (в), солитон сохраняется даже после перекрытия
записывающего пучка. На рисунках от (г) до (е) демонстрируется, как создаётся
второй резонаторный солитон в различных местах. На рисунках от (ж)
до (и) одно из пятен стирается сдвигом фазы записывающего пучка
на 7г. Рисунки от (к) до (м) показывают, что второе пятно может
быть стёрто таким же образом. Эти результаты ясно указывают, что
резонаторные солитоны могут служить пикселами, которые могут быть
записанными, стёртыми и управляемыми как объекты, независимые
друг от друга и от границы.
14.3.4. Параметрические резонаторные солитоны. Как мы
видели в гл. 10, параметрические солитоны могут существовать в
случае квадратичной нелинейности как связанная структура основной
и второй гармоник. Естественно ожидать, что аналогичные солитоны

598
Гл. 14. Родственные вопросы
существуют в планарных резонаторах в форме параметрических ре-
зонаторных солитонов. Резонаторы с квадратично нелинейными
средами традиционно использовались для преобразования частоты вверх
и вниз [105, 106]. Поддерживающее излучение на основной частоте
может генерировать в таком резонаторе вторую гармонику, формируя
тем самым двухчастотные параметрические солитоны внутри
квадратично нелинейной среды, некоторые из которых оказываются
устойчивыми [107-112]. Дальнейшее обобщение предусматривает случай
векторных резонаторных солитонов в невырожденных оптических
параметрических генераторах [113, 114].
В планарном резонаторе, содержащем квадратично нелинейную
среду, ситуация аналогична случаю оптического параметрического
генератора (ОПГ). Частоты падающего основного поля и генерируемой второй
гармоники часто близки к резонансам резонатора. Тогда можно
применить хорошо разработанную модовую теорию, использование которой
значительно упрощает анализ по сравнению с рассмотрением волн,
распространяющихся в прямом и встречном направлениях. Должным
образом нормированные эволюционные уравнения для амплитуд
прошедших полей А и В на основной и удвоенной частотах можно
записать в форме [107, 111]
*|£ + viA + to* + А^А + А*в = А™> (14-3-4)
^ + <Я\В + (г7в + Дв)В + А2 = 0, (14.3.5)
где Vj_ — поперечный оператор Лапласа, 7i и Aj» соответственно,
скорость затухания поля в резонаторе и частотная отстройка для двух
полей (J = Л, В) и a — отношение дифракционных длин на основной
и удвоенной частотах. Поля выражены в единицах эффективных
коэффициентов нелинейности, возникающих из восприимчивости второго
порядка и интегралов перекрытия, фигурирующих в модовой теории.
Абсолютная величина интегралов перекрытия критически зависит от
фазового рассогласования между основной и второй гармониками.
Большие значения расстройки для второй гармоники приводят к
самофокусировке (при Ав < 0) или самодефокусировке (при Ав > 0).
Это можно увидеть, если пренебречь в (14.3.5) производными при
больших Ав и подставить результат для В в (14.3.4).
Мы интересуемся светлыми резонаторными солитонами, которые
формируются на конечном фоне. Значительное понимание можно
достичь из анализа плосковолновых решений (14.3.4) и (14.3.5), при
обращении в нуль всех производных. Получающееся кубическое
уравнение имеет три вещественных решения в области параметров,
определяемой условиями [107]
V3|Aa| + 1

14.3. Диссипативные и резонаторные солитоны 599
где считается 7л = 1- Используя линейный анализ устойчивости
с пространственно однородными или модулированными возмущениями,
можно показать, что эти условия отвечают стандартной оптической
бистабильности. Когда рассматриваются пространственно
модулированные возмущения, нижняя ветвь оказывается устойчивой, а верхняя
ветвь неустойчивой по отношению к таким возмущениям.
40,-
^ 20 h
100 г
«- 50 h
0 3 6
Радиальная координата
Рис. 14.22. Профили амплитуды одномерных (а) и двумерных (б) резонаторных
солитонов при Ал = -3, Дв = -5, 7а = 1, 7в = 0,5 и Аш = 5 [111]
Локализованную структуру типа параметрических резонаторных
солитонов можно получить численным решением (14.3.4) и (14.3.5).
Такие солитоны существуют в одномерной и двумерной геометриях.
На рис. 14.22 показана форма солитона в двух случаях. В двумерном
случае солитон предполагается осесимметричным и его пиковая
интенсивность много больше. Это можно пояснить в пределе кубичной
нелинейности. Если пренебречь дифракцией второй гармоники,
процесс преобразования частоты с её повышением и понижением приводят
к фазовому сдвигу основной волны, аналогичному имеющемуся для
кубичной нелинейности. В присутствии кубичной нелинейности
двумерные пучки стремятся к коллапсу, тогда как одномерные
распределения поля устойчивы. Соответственно, в присутствии квадратичной
нелинейности в центре двумерного резонаторного солитона
концентрируется много больше энергии. Отметим, что коллапс легко устраняется
совместным действием потерь и квадратичной нелинейности. И для
одного, и для двух измерений область параметров, где существуют
резонаторные солитоны, существенно ограничена.
Устойчивость параметрических резонаторных солитонов можно
проверить численно, используя метод расщепления или распространения
пучка [107]. В точке, где существует локализованное решение, плоские
волны становятся модуляционно неустойчивыми с конечным или
бесконечным периодом. В последнем случае это происходит в предельной
точке (отвечающей устойчивости относительно однородных
возмущений). Ветвь устойчивых солитонов кончается там, где дестабилизи-

600
Гл. 14. Родственные вопросы
руется фон, то есть в той же точке в пространстве параметров, где
формируются такие солитоны. Действительно, такие солитоны служат
заменителями плосковолнового гистерезиса, даже вне диапазона
оптической бистабильности.
Параметрические резонаторные солитоны могут существовать и в
более сложных вариантах. Например, они были найдены в векторном
случае, когда комбинация двух ортогонально поляризованных
основных волн генерирует вторую гармонику с одной из двух поляризаций
посредством синхронизма типа II в высокодобротном резонаторе Фаб-
ри-Перо, содержащем квадратично нелинейную среду. Модель
аналогична ОПГ, но в ней следует учесть две поляризационные компоненты
поддерживающего поля, действующего как накачка [115]:
^ + Viilj + (гул + AA)Aj + АЪЧВ = АГт, (14.3.7)
*ж+aV2±B+(i7B + Ав>)В+АхМ = а (14,3,8)
где обозначения те же, что ранее, за исключением того, что для учёта
двух поляризационных компонент введён индекс j = 1,2. Как обычно,
неустойчивость плосковолновых решений служит отправной точкой
при поиске поперечных локализованных структур. Наиболее интересны
в этой модели структуры, связанные с эффектами нарушения
симметрии и возникающие, когда оба входных поля обладают одинаковой
интенсивностью.
Имеются две различные, но математически идентичные ситуации,
в зависимости от того, А\ > А% или А\ < A<i. Так как эти состояния
могут сосуществовать, переход между ними может приводить к
формированию одномерного топологического солитона, аналогично
доменам с различной намагниченностью в ферромагнитных материалах.
На рис. 14.23, а такой солитон показан изображением интенсивностей
двух компонент накачки (сплошная и штриховая линии) и второй
гармоники (жирная сплошная линия). Учитывая, что два поля накачки
ортогонально поляризованы, нетрудно увидеть, что центральная область
отвечает поляризационному фронту. При только одной поперечной
координате (например, в тонкоплёночном волноводном резонаторе) этот
солитон устойчив и он остаётся посередине вследствие его симметрии
по отношению к двум компонентам накачки. Однако, когда включается
второе поперечное измерение, поляризационный фронт оказывается мо-
дуляционно неустойчивым по отношению к периодическим
возмущениям, которые растут экспоненциально со временем. Инкремент (скорость
роста) д(к) этих возмущений изображён в части (б) в зависимости
от волнового числа модуляции к. При к = 0 инкремент равен нулю,
так как структура устойчива в одномерном случае. Экспоненциальный
рост приводит главным образом к змеевидной неустойчивости всего
фронта, как это показано в части (в). Поляризационный фронт в конце

14.3. Диссипативные и резонаторные солитоны
601
Рис. 14.23. Параметрический резонаторный солитон, формирующийся, когда
две ортогонально поляризованные основные гармоники (ОП и ОГ2) создают
поляризационный фронт. Параметры Ад = 1, А в = 1,5 и 7л = 1в = 1 (а).
Инкремент поперечной модуляционной неустойчивости для одномерного солитона
(б). Змеевидная неустойчивость поляризационного фронта при Т — 320 (в).
Распад поляризационного фронта при Т = 560 (г) [113]
концов распадается, приводя к сложной движущейся структуре, типа
показанной в части (г).
Нитевидные структуры, приведённые на рис. 14.23, г, обладают
многими интересными свойствами, наиболее важное из которых то,
что они могут быть устойчивыми в двух поперечных направлениях.
Их можно интерпретировать как устойчивую растущую полосу,
аналогичную одномерному солитону, с двумерными движущимися
"головками" с обеих концов. Если такие солитоны двигаются, их
взаимодействие и столкновения представляют чрезвычайно важный вопрос.
Численное моделирование экспериментов по столкновениям указывает,
что такие движущиеся солитоны весьма устойчивы [113]. Центральное
столкновение двух движущихся солитонов приводит к необычному
окончательному состоянию со следующими свойствами. До
настоящего столкновения два солитона останавливаются и формируют
локализованное состояние, состоящее из двух искажённых неподвижных
солитонов. После внеосевого столкновения они не сливаются и не
проникают друг сквозь друга, как в консервативных системах; вместо
этого, они просто стремятся избежать близкого контакта. Взаимодей-

602
Гл. 14. Родственные вопросы
ствие с движущимся искажённым солитоном вызывает полный распад
неустойчивых солитонов в месте столновения; движущиеся солитоны
испускаются попеременно. Со временем развивается древообразная
структура и вся плоскость начинает покрываться структурой типа
валов. Так называемые сносимые резонаторные солитоны были также
изучены применительно к вырожденным ОПГ, работающим ниже
порога [112]. Такие солитоны существуют в присутствие эффекта сноса,
и они напоминают сносимые квадратичные солитоны, обсуждавшиеся
в гл. 10 0.
14.4. Магнитные солитоны
Понятие спиновых волн как динамических возбуждений магнитных
сред было введено Блохом [116], который изучал, как
распространяются через магнитную среду малые возмущения магнитного момента.
Так как спиновые волны почти полностью определяются магнитными
дипольными взаимодействиями, их обычно называют дипольными маг-
нитостатическими спиновыми волнами. Частота о; спиновой волны
зависит от ориентации её волнового вектора q из-за анизотропной
природы магнитостатического дипольного взаимодействия. При
больших значениях q нельзя пренебрегать магнитостатическими
обменными взаимодействиями в спиновых волнах, и результирующие спиновые
волны называют дипольно-обменными спиновыми волнами. В этом
разделе рассматриваются солитоны, связанные со спиновыми волнами
при таких условиях.
14.4.1. Нелинейные спиновые волны. Спиновые волны служат
основой описания пространственной и временной эволюции
распределения намагниченности в магнитной среде при общем предположении,
что длина вектора намагниченности локально постоянна. Это
условие выполняется, когда магнитный образец намагничен до насыщения
внешним магнитным полем смещения и формирует состояние единого
домена. Динамика вектора намагниченности тогда описывается
нелинейным уравнением Ландау-Лифшица для момента вращения [117].
1) Интерес представляют и другие типы диссипативных оптических
солитонов, включая лазерные солитоны в средах или схемах с нелинейным
усилением и поглощением (потерями). Для их существования не являются
необходимыми внешнее излучение и обратная связь, ввиду чего они не
попадают в разряд резонаторных солитонов и могут реализоваться в лазерных
усилителях [66, 189*]. Лазерные солитоны весьма разнообразны. Имеются
одномерные, двумерные и трёхмерные, с различными значениями
топологического заряда (устойчивые), с осесимметричным и асимметричным
(вращающимся) одногорбым и многогорбым распределением интенсивности, стационарные,
пульсирующие и хаотические лазерные солитоны, а также комплексы со слабой
и сильной связью солитонов; последние два типа связи качественно
различаются по виду распределения энергетических потоков [195*]. (Прим. ред.)

14.4. Магнитные солитоны
603
В магнитной плёнке конечной толщины спектр спиновых волн
изменён из-за нарушения трансляционной инвариантности в окрестности
поверхности плёнки. В результате дисперсионное соотношение для
спиновых волн — tj(q) — зависит от нормальных мод плёнки и
приобретает дисперсионные свойства. Конечный результат таков, что магнитная
плёнка при распространении нелинейных спиновых волн действует
как нелинейная дисперсионная среда, которая может поддерживать
солитоны, называемые магнитными солитонами.
С экспериментальной точки зрения нелинейные спиновые волны
могут наблюдаться на микроволновых частотах в монокристаллических
ферритовых плёнках; примером служит плёнка железоиттриевого
граната (ЖИГ) из магнитного материала YaFesO^ с очень узкой
шириной линии ферромагнитного резонанса [118-120]. Кроме того,
нелинейными и дисперсионными характеристиками спиновых волн можно
управлять, меняя величину и ориентацию магнитного поля смещения.
В ферритовых плёнках при умеренных уровнях микроволновой
мощности (<1 Вт) наблюдалось широкое разнообразие нелинейных явлений,
включая самофокусировку пакетов спиновых волн и формирование,
распространение и столкновения светлых и тёмных магнитных соли-
тонов.
Особенно интересны процессы со спиновыми волнами в плёнках,
которые намагничены в плоскости плёнки, так как они обнаруживают
сильную собственную анизотропию для волн с различной ориентацией
компоненты волнового вектора в этой плоскости qz и насыщающуюся
намагниченность. Отношение между параметрами, описывающими
дифракцию и дисперсию, много меньше в тангенциально намагниченных
магнитных плёнках, чем то, которое характерно для оптических
систем. Это свойство облегчает изучение дифракционных и
дисперсионных эффектов одновременно, приводя к формированию
пространственно-временных локализованных структур, или магнитных пуль [121].
Когда намагниченность т в направлении, перпендикулярном оси z>
возрастает, величина намагниченности вдоль оси z — Mz — сводится
к выражению
Mz = Ms^\-{m/Msy « Ms{\ - С/2), (14.4.1)
где U — безразмерная амплитуда переменной намагниченности иМ8-
намагниченность насыщения. Если частотный спектр пакета спиновых
волн узкий, можно разложить нелинейное дисперсионное соотношение
и;(<72, |[/|2) около точки (и>о.<7о)> отвечающей несущей частоте.
Аналогично случаю линейных волн эта процедура приводит к следующему
(2+ 1)-мерному НУШ:

604
Гл. 14. Родственные вопросы
где Vg = (du)/dqz) — групповая скорость, D и S, соответственно,
параметры дисперсии и дифракции, N — коэффициент нелинейности
и шг — параметр диссипации, пропорциональный ширине линии
ферромагнитного резонанса. Заметим, что, в отличие от оптического случая,
эволюционной переменной служит время t. Вектор намагниченности
лежит в плоскости у—г, совпадающей с плоскостью плёнки.
Коэффициенты Vg, Д S и N в (14.4.2) можно рассчитать для
различных направлений распространения спиновой волны [118].
Более строгое вычисление нелинейных коэффициентов использует
формализм гамильтониана [122]. (2+1)-мерное НУШ (две координаты
в плоскости и время) (14.4.2) интенсивно изучалось для описания
нелинейных эффектов, связанных с дипольными спиновыми волнами.
Связь с оптическими задачами самоканалирования и самофокусировки
следует из аналогичности управляющих НУШ. Вклад диссипации,
часто пренебрежимый в оптических задачах, в случае магнитных плёнок
играет важную роль [123].
14.4.2. Светлые и тёмные магнитные солитоны. Для диполь-
ных магнитостатических спиновых волн, распространяющихся вдоль
магнитного поля смещения в тангенциально намагниченной плёнке
ЖИГ, в (14.4.2) нелинейный коэффициент N отрицателен, а параметры
дисперсии D и дифракции S положительны [124]. Такие спиновые
волны удовлетворяют условию модуляционной неустойчивости [125] по
обоим направлениям в плоскости плёнки, так как SN < 0 и DN < 0.
В результате может происходить временная (ведущая к
формированию временных солитонов) и пространственная (приводящая к
формированию пространственных солитонов) модуляция. Оба эти эффекта
наблюдались в плёнках ЖИГ раздельно и совместно, в виде
пространственно-временной самофокусировки [126-131].
Модуляционная неустойчивость в магнитных плёнках впервые
наблюдалась в эксперименте 1988 г. [126]. При использовании
импульсного возбуждения было найдено, что спиновые волны
распространяются в форме солитонов огибающей. Позже было установлено, что
модуляционная неустойчивость может усиливать слабые спиновые
волны, возбуждённые на частоте, близкой к несущей частоте
накачивающей спиновой волны [132]. Это явление наведённой модуляционной
неустойчивости наблюдалось в ферромагнитных плёнках [133]. И
модуляционная неустойчивость, и формирование солитонов подвергались
сильному влиянию диссипации внутри магнитной среды. Диссипация
не только меняет форму пороговой кривой, но и определяет уровень
порога самофокусировки. Вычисленная пороговая кривая формирования
магнитных солитонов из начальных прямоугольных импульсов в
присутствии слабой диссипации [123] хорошо согласуется с измеренной
в плёнках ЖИГ.
Если плёнка ЖИГ сравнительно узкая, то пакет спиновых волн
(эквивалент оптического импульса) локализован в поперечном направ-

14.4. Магнитные солитоны
605
лении и плёнка эффективно превращается в магнитный волновод,
напоминающий оптический волновод. Пакет спиновых волн,
возбуждаемых на входе этого волновода, будет распространяться с групповой
скоростью спиновых волн, подвергаясь при этом действию
дисперсии и нелинейности. Соответственно, можно ожидать формирования
светлого магнитного солитона, если дисперсия и нелинейность
имеют противоположные знаки. Наблюдение такого магнитного солитона
огибающей датируется 1983 г. [134]. Этот эксперимент породил
значительный интерес к изучению магнитных солитонов, описываемых
(1 + 1)-мерным НУШ [135-140].
Ещё более интересные эффекты возможны для широких плёнок
ЖИГ, в которых пространственно-временная эволюция происходит
в двух измерениях в плоскости плёнки [131].
Пространственно-временная самофокусировка дипольных спиновых волн приводит со временем
к формированию в плёнке ЖИГ двумерных волновых пакетов —
магнитных пуль. Такие магнитные пули аналогичны световым пулям,
формирующимся в нелинейной оптической среде [141] и обсуждавшимся
в гл. 7. Так как магнитные пули являются пакетами спиновых волн,
которые сохраняют размеры по обоим направлениям в плоскости
плёнки (у и z), они могут распространяться на значительные расстояния
без изменения пространственных размеров, но они постоянно теряют
энергию вследствие диссипации. Поэтому такие магнитные пули всегда
начинают расходиться, когда их амплитуда становится недостаточной
для самофокусировки.
На рис. 14.24 показаны измеренные экспериментально
распределения магнитной интенсивности в пакете спиновых волн,
формирующиеся при уровне входной мощности Р[п = 460 мВт. Форма волнового
пакета показана при пяти временах задержки после введения пакета
при t = 0. Контуры внизу указывают поперечные сечения волновых
пакетов на уровне, где интенсивность падает на 50%. Показано
также положение входной антенны при z = 0. Как ясно видно, входной
волновой пакет сначала испытывает пространственно-временную
самофокусировку, и его интенсивность максимальна в фокальной точке,
расположенной вблизи z = 2,5 мм (t = 60 не), где также минимальна
ширина пакета вдоль оси у. Эффект самофокусировки иллюстрируется
далее на рис. 14.25, где показаны экспериментально измеренные
ширины волнового пакета по направлениям у и z в зависимости от времени
распространения.
Результаты, приведённые на рис. 14.25, можно пояснить физически
следующим образом. При t < 40 не пакет спиновых волн,
возбуждённых микроволновым излучением антенны, входит в экспериментально
наблюдаемую область плёнки. Поэтому видимый размер волнового
пакета линейно возрастает со временем. При t в диапазоне 40-45 не
наблюдается резкая самофокусировка типа коллапса и ширина пакета
быстро убывает в обоих направлениях в плоскости плёнки. В
дальнейшем схлопывание стабилизируется диссипацией. В результате на

606
Гл. 14. Родственные вопросы
Рис. 14.24. Двумерные распределения пакетов дипольных спиновых волн,
распространяющихся внутри образца ЖИГ при пяти временах задержки.
Мощность на входе 460 мВт. Показаны также поперечные сечения по уровню 1/2
максимальной мощности на плоскости (у, z) [131]
временном интервале 50 < t < 100 не обе ширины
распространяющегося пакета почти постоянны. Это показывает, что на этом интервале
внутри плёнки ЖИГ сформировалась квазиустойчивая магнитная пуля.
При t > 100 не поперечный размер пакета Ly начинает быстро
убывать из-за дифракции, тогда как Lz остаётся примерно постоянным.
Возрастание Ly вызвано уменьшением пиковой мощности ниже порога
самофокусировки. Уменьшение пиковой мощности волнового пакета со
временем показано на рис. 14.25, в. Фокальная точка чётко определена
пиком около t = 60 не, и она отвечает минимальному поперечному
размеру пакета спиновых волн. Результаты численного моделирования,
показанные на рис. 14.25 сплошными линиями, находятся в
качественном согласии с экспериментальными данными. Отсутствие согласия
при t < 40 не вызвано тем, что в расчётах считалось, что при t = 0
в образец попадает всё поле.
Микроволновые магнитные тёмные солитоны впервые
наблюдались в 1993 г. при распространении спиновых волн перпендикулярно
направлению магнитного поля смещения в тангенциально
намагниченной плёнке ЖИГ [142]. В такой геометрии коэффициенты дисперсии
и нелинейности имеют одинаковый знак [143], что делает возможной

14.4. Магнитные солитоны
607
25 50 75 100 125 150 175
Время, не
25 50 75 100 125 150 175
Время, не
Рис. 14.25. Ширины волнового пакета по направлениям у (а) и z (б) в
зависимости от времени распространения (задержки). В части (в) показана
нормированная пиковая мощность волнового пакета при тех же условиях. Для
сравнения сплошными линиями указаны результаты численного
моделирования [131]
генерацию тёмных солитонов. Экспериментальные результаты выявили
необычное свойство: число тёмных солитонов менялось при
возрастании входной мощности от чётного до нечётного. Это можно объяснить,
заметив, что локализованная спиновая волна приобретает
наведённый сдвиг пространственной фазы, который обратно пропорционален
групповой скорости спиновых волн [144]. Такой фазовый сдвиг
пренебрежимо мал при больших групповых скоростях, как это происходит
в световодах. Однако, наведённая фаза не мала для спиновых волн,
где этот эффект становится важным. На основе этого обстоятельства
было найдено, что произвольно малый сдвиг фазы начального
импульса может изменить характер генерации солитона и повлиять на
число тёмных солитонов, формирующихся на выходе. В 1998 г. стало
возможным генерировать последовательность магнитных светлых [145]
и тёмных [146] солитонов в кольцевой геометрии.
14.4.3. Столкновения магнитных солитонов и пуль.
Столкновения магнитных солитонов впервые изучались в эксперименте
1994 г. [147]. Было найдено, что после лобового столкновения двух
таких солитонов их форма существенно не менялась. Так как в
эксперименте применялись узкие полосы магнитных плёнок (волноводы
ЖИГ) с шириной 0,5-1 мм и длиной более 40 мм, для описания
экспериментальных результатов могло использоваться (1 + 1)-мерное
НУШ. Было найдено, что солитоны огибающей спиновых волн устой-

608
Гл. 14. Родственные вопросы
чивы и после столкновений они практически сохраняют форму, даже
если распространяются в среде со сравнительно большой диссипацией
(примерно в 500 раз больше, чем в волоконных световодах). Более
сложна ситуация в случае двумерных магнитных солитонов. Лобовые
столкновения между двумя такими самофокусированными пакетами
спиновых волн наблюдались в эксперименте 1999 г. [148] при
использовании метода рассеяния Манделыитама-Бриллюэна, разрешённого
по пространству и по времени. Было найдено, что хотя формирующиеся
в узких полосах плёнки магнитные солитоны сохраняют свою форму
при столкновениях, формирующиеся в широких плёнках ЖИГ
двумерные волновые пакеты — магнитные пули — во время столкновения
уничтожаются.
Рассмотрим сначала случай (1 4- 1)-мерных магнитных солитонов.
На рис. 14.26 показаны экспериментально измеренные профили
интенсивности двух встречных пакетов спиновых волн в плёнке ЖИГ в
четыре момента времени в течение их лобового столкновения. В каждом
случае нижняя часть изображает область, в которой интенсивность
превышает 50% от пикового значения. Две микрополосковые антенны,
которые возбуждают два распространяющихся в противоположных
направлениях пакета спиновых волн, ориентированы вдоль оси у и
расположены при z = 0 и z = S мм, соответственно. Эффективность
излучения левой и правой входных антенн слегка различалась. Поэтому даже
когда входные микроволновые импульсы, падающие на обе антенны,
были идентичны, пиковая интенсивность волнового пакета,
распространяющегося слева, была примерно на 20% меньше, чем у другого
пакета. В этой плёнке ЖИГ пакеты спиновых волн становились
квазиодномерными после некоторого времени распространения. Как видно
из части (б), два волновых пакета удлинялись вдоль оси у так, что они
занимали почти всю ширину волновода. В этой точке
квазиодномерные магнитные солитоны имели вид сформировавшихся из начальных
двумерных пакетов спиновых волн. Во время столкновения в части (в)
два пакета спиновых волн сначала сливаются, а затем разделяются.
Как видно из части (г), профили солитонов после столкновения почти
такие же, как до столкновения, то есть квазиодномерные магнитные
солитоны ведут себя как стандартные солитоны НУШ и сохраняют
форму после столкновений, несмотря на значительную диссипацию
(отметим изменение вертикального масштаба в части (г)).
Резко отличается от этого случая наблюдаемое поведение в образце
широкой плёнки, в которой поперечный размер спиновой волны не
ограничен поверхностью плёнки. Как и следовало ожидать, сильная
самофокусировка пакетов спиновых волн имеет место в двух
направлениях, и сначала эллиптическое поперечное сечение волнового пакета
становится более узким и почти круговым — свойство, хорошо
известное для волновых пакетов, приближающихся к коллапсу. Коллапс,
однако, ограничивается диссипацией и формируются квазиустойчивые
двумерные магнитные пули [121]. Когда две такие магнитные пули

14.4. Магнитные солитоны
609
Г= 131 нс
1.0-1
°»Н
7-=210нс
Рис. 14.26. Формирование и столкновение квазиодномерных магнитных соли-
тонов в узкой плёнке ЖИГ (построение как на рис. 14.24). В каждом случае
верхний рисунок показывает распределение интенсивности, а нижний —
площадь волнового пакета в поперечном сечении [148]
сталкиваются внутри плёнки, возрастание интенсивности приводит
к катастрофической самофокусировке. В результате равновесие между
самофокусировкой и диссипацией нарушается и обе пули спиновых
волн уничтожаются в процессе столкновения.
Качественные различия между свойствами столкновений
квазиодномерных магнитных солитонов в волноводе и двумерных магнитных
пуль в широкой плёнке показаны на рис. 14.27, где изображены
поперечная (Ly) и продольная (Lz) ширины распространяющихся пакетов
спиновых волн в зависимости от времени распространения. В
случае волновода (левый ряд) после начального периода длительностью
100 нс формирования солитона, в течение которого форма пакета
спиновых волн становится эллиптической и удлинённой в направлении у

610
Гл. 14. Родственные вопросы
К
1,5
1,0
0,5
0,0
4,0
3,0
2,0
1,0
0,0
мм Солитоны
а
шлницннфшшш
1 . II. 1
t
Столкновение
ли 1
г > .
1
1
1
1
|
1
1
"imiiijji Milium
iii»1 Г
■ i i . i
100 150 200 5
Время, не
г
у
ш
-
■■■■
1
0
Пули
в
J Ида
1 Г . 1
t
Столкновение
\
1 2
[uiii "и
i
11 ,,I«l1
1'
l . i
100 150
Время, не
Рис. 14.27. Ширины Lz и Ly двух пакетов спиновых волн в зависимости от
времени при распространении и столкновении внутри волновода (левый ряд)
и широкой плёнки (правый ряд). Момент столкновения указан вертикальными
пунктирными линиями [148]
(Ly/Lz « 2,5), пространственные размеры получающихся магнитных
солитонов остаются практически постоянными и существенно не
меняются даже после столкновения с другим солитоном, происходящим
близко к 165 не (пунктирная вертикальная линия). Свойства же
двумерных пакетов спиновых волн в широкой плёнке (правый ряд)
совершенно иные. Сильная двумерная самофокусировка приводит к
формированию магнитных пуль с примерно круговой формой (Ly/Lz и 1).
Столкновение двух таких пуль при 120 не ведёт к резкому росту
размера пуль по обоим направлениям в плоскости и со временем к их
уничтожению.
14.5. Бозе-эйнштейновский конденсат
Явление бозе-эйнштейновской конденсации (БЭК) было
предсказано в 1924 г. для систем с сохраняющимся полным числом
частиц, подчиняющихся статистике Бозе. Было показано, что существует
критическая температура, ниже которой конечная доля всех частиц
конденсируется в одном и том же квантовом состоянии. С 1995 г.

14.5. Бозе-эйнштейновский конденсат
611
явление БЭК наблюдалось для нескольких типов атомов, помещённых
в магнитную ловушку и охлаждённых до чрезвычайно низких
температур [149-152].
С математической точки зрения динамику волновой функции БЭК
можно описать эффективным уравнением среднего поля, известным
как уравнение Гросса-Питаевского (ГП) [153]. Это классическое
нелинейное уравнение, учитывающее эффекты межчастичного
взаимодействия посредством эффективного среднего поля. Ввиду
аналогичности уравнения ГП в теории БЭК и НУШ в нелинейной оптике многие
явления, предсказанные и описанные в нелинейной оптике, можно
ожидать и в макроскопических квантовых состояниях БЭК,
несмотря на кардинальные различия физических систем. В этом разделе
мы обсудим основы теории и экспериментальные наблюдения тёмных
и светлых солитонов и вихрей в БЭК.
14.5.1. Уравнение Гросса-Питаевского. Полное теоретическое
описание БЭК требует привлечения квантовой теории многих
частиц [153]. Многочастичный гамильтониан, описывающий N
взаимодействующих бозонов, выражается через операторы бозонного поля
Ф(г) и Ф*(г), отвечающие, соответственно, аннигиляции и рождению
частицы в точке г. Приближение среднего поля обычно применяется
для взаимодействующих систем для преодоления проблемы точного
решения полного многочастичного уравнения Шрёдингера. Помимо
избежания тяжёлой вычислительной работы, теория среднего поля
позволяет описать свойства системы с помощью набора параметров,
имеющих ясный физический смысл. Это особенно справедливо в случае
бозонов в ловушке. Действительно, большинство экспериментальных
результатов показывает, что подход среднего поля весьма эффективен
и обеспечивает как качественное, так и количественное описание
статических и динамических свойств сверххолодных газов в ловушках.
Основная идея приближения среднего поля для описания
разреженного Бозе-газа сформулирована в 1947 г. Боголюбовым [154].
Ключевой момент состоит в выделении из оператора бозонного поля вклада
конденсата. Если ввести макроскопическую волновою функцию Ф(г)
как ожидаемое значение оператора поля Ф(г,t) = (Ф(г,£)), её модуль
определяет плотность (концентрацию) конденсата n(r, t) = |Ф(г, t)\2
и она обладает определённой фазой. Макроскопическая волновая
функция Ф(г, t) имеет смысл параметра порядка. Уравнение для Ф(г, t)
напоминает уравнение Шрёдингера для одночастичного квантового
состояния, но включает также учёт межчастичных взаимодействий
посредством нелинейного члена теории среднего поля.
Более конкретно, мы рассмотрим макроскопическую динамику
конденсированного атомного облака в трёхмерном внешнем
параболическом потенциале, создаваемом магнитной ловушкой. Динамика БЭК

612
Гл. 14. Родственные вопросы
описывается следующим уравнением ГП:
ih^- = -£-V4 + У(г)Ф + С/0|Ф|2Ф, (14.5.1)
где Ф(г, t) — макроскопическая волновая функция конденсата, У(г) —
параболический потенциал ловушки и параметр Uq = 47r7i2(a/ra)
характеризует двухчастичное взаимодействие (пропорционален длине
рассеяния 5-волн а). При а > О взаимодействие между частицами конденсата
отпталкивательное, но оно становится притягивающим при а < 0.
Действительно, длину рассеяния а можно непрерывно менять от
положительных до отрицательных значений, изменяя внешнее магнитное
поле около так называемого резонанса Фешбаха [155].
Для упрощения (14.5.1) полезно рассмотреть случай сильно
вытянутой (сигарообразной) ловушки с осевой симметрией, так что
V(r)=l-mwl(rl + \x2), (14.5.2)
где г± = у/у2 + z2, и± — частота колебаний в поперечной
плоскости ловушки и А = и\1ш\. Введя нормированные переменные
И = t{u>±\fo/2), г' = т{ти±у/Х/Пу/2 и Ф' = *(2Uoy/\/hw±)lt2, мы
получим следующий безразмерный вид уравнения:
*1г+у2ф " [л~'(2/2+*2)+*2]ф+а|ф|2ф = a (14*5-3)
где а = sign(a) = ±1, в зависимости от знака длины рассеяния s-волны;
для простоты обозначений мы опустили штрихи у переменных.
Если предположить, что нелинейное взаимодействие слабо по
сравнению с силой потенциала ловушки в поперечных направлениях
(А <С 1), то из (14.5.3) следует, что поперечный размер конденсата
много меньше его длины и конденсат имеет сигарообразную форму.
Если А «С 1, то облако конденсата ограничено в поперечном
направлении и его поперечная структура определяется главным образом
гармоническим потенциалом ловушки [156]. Поэтому можно искать
решение (14.5.3) в виде
Ф(г,М) = Ф(г1)^(х,*)ехр(-2*7*). (14.5.4)
где Ф(г±) — решение следующей вспомогательной задачи для
двумерного осесимметричного квантового гармонического осциллятора:
Ч2±Ф + 27Ф - (г!/А)Ф = 0. (14.5.5)
Основное состояние гармонического осциллятора характеризуется
волновой функцией гауссова вида Фо(г±) = Сехр (—7гх/2), где 7 = 1/л/А.
Используя условие нормировки Г Ф§ drj_ = 1, мы получим С2 = j/n.
После подстановки факторизованного решения в (14.5.3),
умножения его на Ф* и интегрирования по поперечному сечению сигарооб-

14.5. Бозе-эйнштейновский конденсат
613
разного конденсата, мы получим наконец следующий вид одномерного
уравнения ГП:
^ + ТТ-^ + <^|Л = 0. (14.5.6)
Число частиц N даётся выражением N = (hu)/2Uoy/\)Q, где
оо
Q= J \tp(x,t)\2dx (14.5.7)
— ОО
— интеграл движения нормированного уравнения ГП (14.5.6).
Случай, когда поперечные размеры конденсата изменяются вдоль
его длины, можно проанализировать вариационным методом с
поперечной шириной как свободным параметром. Тогда минимизация
лагранжиана системы позволяет вывести эффективное НУШ с
обобщённой нелинейностью [157]. В низшем порядке это уравнение сводится
к НУШ третьей-пятой степени, рассмотренному в гл. 2. Этот подход
позволяет сравнительно просто описать многие свойства реального
трёхмерного конденсата с притягивающим (сг = —1) взаимодействием,
такие как неустойчивость и коллапс. В частности, он предсказывает
коллапс при N > Nc, где Nc = 2ar/3\a\ и ar = y/Ti/mcj± .
14.5.2. Нелинейные моды в параболической ловушке.
Уравнение (14.5.6) описывает продольный профиль конденсата в ловушке,
сильно вытянутой вдоль направления слабого ограничения. В
линейном пределе, то есть, когда формально а —* 0, (14.5.6) превращается
в хорошо известное уравнение одномерного квантового гармонического
осциллятора. Его стационарные решения имеют вид
ф{хЛ) = Ф(х)е'{Ш (14.5.8)
и существуют только при дискретных значениях П, таких что Q = 2п +
+ 1, где п = О,1,2,... Стационарная волновая функция в n-м квантовом
состоянии выражется через функции Эрмита-Гаусса:
фп(х) = спНп(х)е-х2/\ Нп(х) = (-1)^*2/2А^/2), (14.5.9)
гдесп = (2Лп!^)-1/2.
В общем случае локализованные решения (14.5.6) при а ф 0 можно
найти только численно [158]. Все такие решения можно
характеризовать зависимостью инварианта Q в (14.5.7), который аналогичен
мощности пучка в оптике, от нормированного химического
потенциала (энергия на одну частицу конденсата), аналогичного постоянной
распространения в оптике. В некоторых предельных случаях можно
использовать приближённые методы для нахождения локализованных
решений и их характеристик в аналитическом виде.
Для описания эффектов слабой нелинейности мы используем
теорию возмущений, основанную на разложении решения (14.5.6) в бес-

614
Гл. 14. Родственные вопросы
конечный ряд по собственным функциям (14.5.9). Родственное
приближение ранее использовалось в теории временных солитонов при
управлении дисперсией [159]. Для применения теории возмущений мы
ищем решения (14.5.6) в виде (см. (14.5.8))
ф(хЛ) = e~int £ Впфп(х), (14.5.10)
п=0
где фп(х) — собственные функции гармонического
осциллятора (14.5.8). Подставив разложение (14.5.10) в (14.5.6), умножив
на фп и проинтегрировав по х, мы получим следующую систему
алгебраических уравнений для коэффициентов:
(П - Пт)Вт - а £ Vm^lykBnBxBk = 0, (14.5.11)
пЛ,к »
где коэффициенты связи даются выражениями
+оо
Vm,n,l,k = \ фт(х)фп(х)ф1{х)фк(х)(1х. (14.5.12)
—оо
Уравнение (14.5.11) можно переписать в традиционной форме
5(Н + SIQ) =0, где Н — гамильтониан, отвечающий (14.5.6), и это
позволяет развить теорию возмущений при малых нелинейностях.
Например, рассмотрим моду в основном состоянии, для которой п = 0.
Предполагая Во ^ Вт при т ф 0, в случае симметричного решения
ф(х) = ф(—х) мы найдём Q, « fto + <^,о,о,о|2?о|2 и
В2к = ^^\Во\2В0, В2к+1=0. (14.5.13)
Используем разложение инварианта Q при малых налинейностях:
Q = £ \В2к\2 « -аао(П - По)[1 + Ь0(П - fi0)2], (14.5.14)
А:
где коэффициенты даются выражениями
a"=vS' *=£<да?- (14'5|5)
Аналогичным образом могут быть рассмотрены высшие моды, и
результаты близки к (14.5.14), за исключением того, что ао и Ьо заменяются
на зависящие от номера п моды ап и Ьп, соответственно.
В противоположном пределе, в котором члены нелинейного
потенциала велики по сравнению с линейными кинетическими членами
со второй производной, для нахождения локализованных мод можно
использовать два различных приближения. При а = +1 и больших
отрицательных О, локализованные моды описываются стационарными

14.5. Бозе-эйнштейновский конденсат
615
решениями НУШ, так как мы можем пренебречь потенциалом
ловушки. Используя односолитонное решение кубического НУШ
ф3(х) = у/^Ш бсЦхл/^П),
(14.5.16)
мы получим зависимость Q(fi), которая совпадает с инвариантом соли-
тона Q8 = 4\Л-£2. При а = —1 и больших положительных Q, основное
состояние солитона можно получить в так называемом приближении
Томаса-Ферми, основанном на пренебрежении кинетических членом.
В этом случае <j>tf{x) « V& — х2.
Рис. 14.28. Профили плотности конденсата \ip(x)\2 Для трёх первых
нелинейных мод при нескольких значениях ft в случаях а = -hi (верхний ряд) и а = -1
(нижний ряд) [158]
В общем случае, чтобы найти стационарные состояния конденсата
в ловушке, то есть нелинейные моды, нужно решать (14.5.6) численно,
ища решения в виде (14.5.8). На рис. 14.28 представлены три первые
нелинейные моды (14.5.6) изображением плотности БЭК |V>(x)|2 Для
нескольких значений безразмерного параметра ft при а = -hi (верхний
ряд) и а = — 1 (нижний ряд). В обоих случаях при ft —► 1, то есть
в пределе основного состояния гармонического осциллятора, форма

616
Гл. 14. Родственные вопросы
решения близка к гауссовой. Когда П отклоняется от единицы, форма
солитона определяется типом нелинейности. При притяжении (а = +1)
форма приближается к солитону гиперболического секанса, тогда как
при отталкивании (а = — 1) профиль становится более пологим и лучше
описывается приближением Томаса-Ферми.
На рис. 14.29 показана зависимость инварианта Q от параметра П
при а = dbl для двух противоположных знаков длины рассеяния.
Штриховые кривые показывают предсказания на основе НУШ в случае
(7=1. Для моды нулевого порядка штриховая кривая почти совпадает
с соответствующей сплошной кривой. Это обстоятельство означает, что
для такого узкого локализованного состояния влияние
параболического потенциала пренебрежимо слабо и основное состояние конденсата
становится локализованным главным образом вследствие
притягивающего межчастичного взаимодействия. Даже для мод высших порядков
солитонное решение НУШ согласуется с точным (сплошные кривые)
в асимптотической области отрицательных £2 (О, < -5). Напротив,
при больших положительных П влияние потенциала ловушки
принципиально и решение в приближении Томаса-Ферми 0tf(z) = \/fl — x2
определяет асимптотическое поведение не только фундаментальной
моды низшего порядка, но и всех мод высшего порядка. Этот предел
Qtf ~ ~ fi3^2 показан на рис. 14.29 штрих-пунктирными линиями.
Как упоминалось выше, в линейном пределе (а -> 0) (14.5.6)
обладает дискретным набором локализованных мод, описываемых
функциями Эрмита-Гаусса. Такие моды нетрудно рассчитать, используя теорию
возмущений в слабо нелинейном случае. Все они должны существовать
и в сильно нелинейной задаче, так что они служат аналитическим
продолжением линейных мод Эрмита-Гаусса на систему нелинейных
стационарных состояний [160]. Представленные на рис. 14.28(а-е)
результаты численного анализа подтверждают это утверждение. В
пределе <7 —* 0 нелинейные моды преобразуются в соответствующие
собственные функции линейного гармонического осциллятора.
Из рис. 14.28 ясно, что нелинейность проявляется по-разному при
отрицательных и положительных длинах рассеяния. Прежде всего,
в случае притягивающего взаимодействия (а = 4-1) основное состояние
преобразуется в самозахваченное состояние — светлый солитон,
который лишь слегка изменён параболическим потенциалом, тогда как для
отталкивающего взаимодействия (а = -1) локализация вызвана
исключительно потенциалом ловушки. Соответственно, для
отрицательных длин рассеяния (притяжение) моды высших порядков
преобразуются в многосолитонные состояния, состоящие из набора уединённых
волн с чередующимися фазами. Это подтверждает также рис. 14,29,
где все ветви мод высших порядков асимптотически приближаются
к солитонным зависимостям Qn ~ (п + 1)Q8, где п — номер моды
(п = 0,1,...). С физической точки зрения стационарные моды
высших порядков существуют вследствие баланса между отталкиванием

14.5. Бозе-эйнштейновский конденсат
617
между противофазными солито-
нами НУШ и притяжением,
вызванным потенциалом
ловушки. Анализ устойчивости таких
многогорбых солитонов высших
порядков остаётся ещё
открытым вопросом, хотя имеются
некоторые указания, что мно-
гогорбые солитоны могут быть
устойчивыми, по крайней мере
в некоторых нелинейных
моделях [161]. В случае
положительной длины рассеяния (а = -1)
моды высших порядков
трансформируются в
последовательность тёмных солитонов или
кинков [162], так что мода
первого порядка отвечает
одиночному тёмному солитону, мода
второго порядка — паре тёмных
солитонов и т. д. Вновь эти
стационарные решения служат
результатом баланса:
отталкивание между тёмными солитонами в точности компенсируется силой
притяжения потенциала ловушки. Аналогичная физика приложима
и к задачам большей размерности.
14.5.3. Тёмные солитоны. Для изучения динамики тёмных
солитонов мы можем применить теорию возмущений, использованную
в гл. 4, после её модификации с включением потенциала
ловушки [163]. Аналогичные результаты можно получить и другими
методами, включая теорию пограничного слоя, развитую в [164]. В рамках
теории возмущений мы выводим уравнение движения тёмного (или
серого) солитона, распространяющегося через эффективно одномерное
облако БЭК, предполагая только, что плотность фона и скорость
меняются медленно в масштабах солитона. Обозначив координату центра
тёмного солитона через xq, получим это уравнение в виде
Рис. 14.29. Инвариант Q(tt) для трёх
первых нелинейных мод в случае а = 1
(слева) и а — -1 (справа). Штриховые
кривые при а = +1 указывают
предел НУШ. Штрих-пунктирные кривые
при а = — 1 получены в приближении
Томаса-Ферми. Пунктирные линии
показывают результаты теории
возмущений [158]
d2x0 = 1 dV(x0)
dt2 2 dxo '
(14.5.17)
где V(x) — внешний потенциал, входящий в уравнение ГП. В
некоторых исследованиях это уравнение используется без множителя
1/2 [165]. Оказывается, что множитель 1/2 исчезает, если
предположить, что солитон не движется относительно фона [166].
Из (14.5.17) следует, что в гармонической ловушке тёмный соли-
тон осциллирует с частотой, меньшей частоты ловушки в \/2 раз.

618
Гл. 14. Родственные вопросы
Этот результат можно также получить для малых осцилляции, решая
уравнения Боголюбова для неподвижного солитона в ловушке.
Уравнение (14.5.17) справедливо для произвольного потенциала, если только
он меняется медленно на масштабе длины солитона. Точность (14.5.17)
проверялась численным решением уравнения ГП для широкого круга
потенциалов [164]; пример представлен на рис. 14.30, где показана
эволюция тёмного солитона в приблизительно параболической
ловушке. Тёмный солитон туннелирует через малый провал в облаке фона,
вызванный малым горбом в потенциале конденсата, и продолжает
осциллировать вперёд и назад периодическим образом. Так как можно
создавать микроямы или барьеры, используя лазеры, может оказаться
возможным реализовать этот тип потенциала экспериментально.
м2
-15 0 15-15 0 15-15 0 15
ххх
Рис. 14.30. Плотность конденсата |V>|2 при осцилляциях тёмного солитона в
статическом облаке Томаса-Ферми в слабо возмущённом потенциале [164]
Важно оценить эффекты диссипативных потерь, которые
становятся существенным фактором в любом эксперименте и могут привести
к распаду солитона. В конечной ловушке связь с модами фонового
конденсата не может привести к диссипации. Однако, диссипация может
происходить из-за поправок к теории среднего поля, в частности, из-за
столкновений с неконденсированными атомами термического облака,
а также из-за трёхчастичных столкновений. В большинстве
экспериментальных ситуаций с 99% частиц в конденсатной части время жизни
тёмного солитона оценивается на уровне 1 с [167, 168].
Тёмные солитоны волн материи наблюдались в нескольких
экспериментах. В эксперименте 2000 г. [169] использовался метод
создания макроскопической квантовой фазы, фиксирующий специальное
распределение пространственной фазы в облаке БЭК. Макроскопи-

14.5. Бозе-эйнштейновский конденсат
619
ческое квантовое состояние было разработано и создано оптической
фиксацией фазовой картины в БЭК на атомах натрия; для анализа
получающегося распределения фазы использовалась интерферометрия
волн материи с пространственно разрешённым изображением.
Надлежащее распределение фазы создавало тёмные солитоны. Последующая
эволюция таких тёмных солитонов исследовалась экспериментально
и теоретически. Для наблюдения распространения солитона плотность
БЭК измерялась при использовании изображения поглощения.
Конденсат освобождался от магнитной ловушки за 1 мс до
изображения, но расширение освобождённого БЭК за это время было малым.
На рис. 14.31 приведены примеры экспериментальных результатов. При
фиксации фазового скачка 0,57г формировались два тёмных солитона,
и они двигались в противоположных направлениях со скоростью звука
(с экспериментальной точностью). При большем фазовом перепаде 1,57г
два тёмных солитона разбегались с меньшей скоростью, в согласии
с численным моделированием. При ещё большем фазовом перепаде
генерировалось много солитонов, как показано в части (в).
В другом эксперименте [170] тёмные солитоны наблюдались в
сигарообразном БЭК, сформированном из разреженного пара атомов Rb.
Несколько возбуждённых состояний в форме тёмных солитонов
создавались фиксацией локального фазового скачка у волновой функции
БЭК. При наблюдении эволюции профиля плотности было найдено, что
провал плотности двигался с меньшей скоростью, чем скорость звука
в конденсате в ловушке. Сравнением результатов с численным
решением уравнения ГП в условиях эксперимента этот провал плотности мог
быть идентифицирован как движущийся тёмный солитон.
Как и в случае оптических солитонов, полосы тёмных солитонов
подвержены поперечной модуляционной неустойчивости и могут
распадаться на пары вихрей с противоположными топологическими
зарядами [171]. Для наблюдения этой неустойчивости в эксперименте 2001 г.
использовался двухкомпонентный БЭК, в котором тёмный солитон
существует в одной из компонент конденсата, тогда как вторая
компонента заполняет провал [172]. Такие заполненные тёмные солитоны
живут сотни милисекунд. Заполнение было селективно устранено, так
что солитон стал подвержен динамической неустойчивости. Для
конденсата в сферически симметричном потенциале эти неустойчивости
вызывали распад тёмного солитона на устойчивые вихревые кольца,
как это предсказывалось теорией [171].
Изучалась также связь между квантовыми вихрями и тёмными
солитонами в геометрии ловушки типа волновода [173]. Изменение
размера поперечного ограничения приводит к тому, что
квазиодномерный режим, где полосы тёмных солитонов устойчивы, сменяется
двух- или трёхмерным, где полосы тёмных солитонов подвержены
поперечной неустойчивости, называемой «змеевидной неустойчивостью».
В режиме более сильного ограничения тёмные солитоны распадаются
на отдельные деформированные вихри с солитонными свойствами, а не

620
Гл. 14. Родственные вопросы
Время, мс
Рис. 14.31. Измеренное расстояние между двумя тёмными солитонами в
зависимости от времени для фазового перепада 0,57г (квадраты) и 1,57г (кружки)
(а). Штриховые линии показывают результаты численного моделирования.
Кондесат 6 мс спустя фиксации фазы с перепадом 0,57г (б) и 2п (в) [169]
на пары вихрей, как это подсказывает «змеевая» метафора. Дальнейшее
увеличение размера конденсата в поперечных направлениях приводит
к созданию двух и трёх вихрей, в согласии с анализом
устойчивости Боголюбова. Превращение стационарного тёмного солитона в
одиночный солитонный вихрь ожидается экспериментально наблюдаемым
в трёхмерных гармонически ограниченных БЭК.
14.5.4. Вихри. Как уже упоминалось, многие эффекты,
описанные в оптике, могут найти свои аналоги в физике БЭК, включая
динамику вихрей [174, 175]. Исторически квантовые вихри в
помещённых в ловушку атомных газах впервые наблюдались в 1999 г.
при использовании двухкомпонентных конденсатов [176]. Возможность
захвата в ловушке более чем одной компоненты БЭК возникает из-за
сверхтонкой атомной структуры. Атомы в различных квантовых
состояниях с различным полным угловым моментом могут сосуществовать
в БЭК и можно индуцировать переходы между этими состояниями.
Чтобы сформировать вихревой солитон, на одну из компонент БЭК
был наложен градиент фазы, который вызвал её вращение. Система
стабилизировалась в конфигурации, в которой невращающаяся
компонента была локализована в центре ловушки, действуя как
эффективный потенциал на вращающуюся компоненту, которая располагалась
во внешней области.
Основные свойства двухкомпонентного БЭК можно описать,
используя систему двух некогерентно связанных уравнений ГП. Эта
система аналогична двум связанным НУШ, описывающим оптические

14.5. Бозе-эйнштейновский конденсат
621
векторные солитоны, за исключением присутствия потенциала
ловушки, предотвращающего расширение конденсата из-за
отталкивающего взаимодействия. Двухкомпонентное уравнение ГП имеет решения
с примечательными свойствами [175]. В ситуации, когда две
компоненты существенно перекрываются, создание вихря только в одной из них
динамически неустойчиво. Причина в том, что угловой момент может
передаваться за некоторое время от одной компоненты к другой, что
инициирует циклический процесс. Если наблюдать за профилем
плотности двух типов атомов, то представляется, что вихрь со временем
исчезает и появляется периодическим образом.
Если приблизительно двумерная ловушка приведена во вращение,
ситуация качественно меняется. Во вращающейся системе отсчёта
кориолисова сила проявляется дополнительным членом — HLZ в
гамильтониане, где Lz — компонента оператора углового момента L
и £2 — угловая частота [177]. Эта дополнительная сила приводит
к центробежному барьеру, пропорциональному L\, где Lz = mh —
угловой момент на одну частицу. Поэтому всегда энергетически
невыгодно иметь большой угловой момент. Вместо этого при ненулевых
значениях Q, может быть энергетически выгоднее приобрести малые
положительные значения Lz. Если частота О, достаточно велика,
решения с Lz > Ь могут иметь наименьшую энергию; в этой ситуации
создаётся вихрь.
При частоте П, превосходящей критическое значение Qc = 0,22о?о,
где ио — частота ловушки, наименьшая энергия отвечает состоянию
с Lz = Ть. Когда частота возрастает, состояния со всё большими
угловыми моментами становятся эффективно основным состоянием во
вращающейся системе отсчёта, создавая тем самым вихри с топологическим
зарядом га > 1. Такие конфигурации неустойчивы и распадаются на
несколько вихрей с одиночным зарядом [178]. Взаимодействие между
вихрями обычно считается отталкивательным. Поэтому при частотах
вращения, достаточно больших для генерации многих устойчивых
вихрей, вихри стремятся разбегаться друг от друга к границам конденсата,
где они могут исчезать, если их существованию не благоприятствует
вращение. В результате при весьма больших угловых частотах вихри
имеют тенденцию формировать регулярную решётку, что наблюдалось
также экспериментально. На рис. 14.32 показаны примеры вихрей во
вращающемся БЭК пара Rb. Формирование решётки родственно давно
известному для сверхпроводников II рода, где в присутствии
магнитного поля формируется треугольный кристалл вихрей — так называемая
решётка Абрикосова [179].
В другом эксперименте [180] формирование регулярного набора
вихрей наблюдалось в БЭК 87Rb в виде нескольких устойчивых вихрей,
число которых увеличивалось от 0 до 4 при возрастании угловой
частоты. Формирование треугольной решётки вихрей со столь большим
числом как 130 вихрей наблюдалось в эксперименте, где БЭК был
получен из атомов натрия [181]. Конфигурация, оптимальная по размерам

622
Гл. 14. Родственные вопросы
Рис. 14.32. Генерация вихрей и решёток вихрей во вращающемся конденсате
87Rb. (Рисунок подготовлен П. Энгельсом)
и регулярности, достигалась после 500 мс. При меньших временах
порядок был не вполне регулярный и формировалась смазанная структура
вследствие рассогласования некоторых вихрей по отношению к оси
вращения. При временах, больших 500 мс, неупругие столкновения
вызывали потери атомов и убывание числа вихрей.
В нескольких экспериментах изучалось образование вихрей в БЭК,
приводимых в движение лазерным пучком. В одном эксперименте [182]
вихри генерировались в облаке БЭК, движимом лазерным пучком,
и наблюдались абсорбционным изображением во время пролёта. В
зависимости от размера пучков при изменении частоты движения видны
были или дискретные резонансы, или широкополосный отклик.
Движущие пучки, малые по сравнению с размером конденсата, создавали
вихри при частоте вращения, ниже критической для генерации
поверхностных мод, что ведёт к выводу о локальном механизме генерации
вихрей. Кроме того, наблюдалось, что центробежные искажения
конденсата, вызванные вращающейся решёткой вихрей, приводят к изгибу
линий вихрей.
14.5.5. Светлые солитоны. Аналогично расширению оптических
импульсов в диспергирующей среде кинетическая энергия
конденсированных атомов, выпущенных из ловушки, вызывает расширение облака
распространяющихся волн материи. Солитоны могут формироваться,
если нелинейное притягивающее взаимодействие вызывает
самофокусировку пакета волн материи, которая компенсирует расширение.

14.5. Бозе-эйнштейновский конденсат
623
Динамика БЭК описывается уравнением ГП, которое в случае
притягивающего взаимодействия имеет тот же вид, что и НУШ для света,
распространяющегося в среде с керровской нелинейностью. В этом
смысле одномерные светлые солитоны волн материи аналогичны
оптическим солитонам в волоконных световодах. В отличие от тёмных
солитонов в БЭК с отталкиванием, которые живут только короткое
время после того, как конденсат освобождается от ловушки, светлые
атомные солитоны не зависят от ловушки и могут распространяться на
много большие расстояния, и их можно использовать для
формирования нерасширяющихся выходных пучков атомных лазеров [183, 184].
Так как кубичная нелинейность, вызванная взаимодействием
между атомами в приближении среднего поля, не ограничена эффектами
насыщения, динамика БЭК с притягивающим взаимодействием в
геометрии с двумерным или трёхмерным ограничением проявляет явление
коллапса [185, 186] 0. Однако, если пространственное ограничение
сильно анизотропно, устойчивости конденсата можно достичь в
квазиодномерном случае. Степень поперечного ограничения,
необходимая для устойчивости солитона, была исследована теоретически [158,
156, 187]. Основное требование состоит в том, что число заполнения
конденсата N ограничивается таким значением, что N <С аг/\а\, где
ar = (h/mu±y/2 — радиальный масштаб, т — атомная масса и а —
длина рассеяния s-волн.
Формирование последовательности светлых солитонов атомов 7Li
впервые наблюдалось в экспериментах 2002 г. [183, 184]. В [183]
использовалась квазиодномерная оптическая ловушка и магнитная
перестройка межатомного взаимодействия в устойчивом БЭК от оттал-
кивательного к притягивающему. В этом эксперименте конденсат
создавался внутри оптического потенциала осевым смещением фокуса
инфракрасного пучка по отношению к центрам магнитной ловушки
и потенциала типа прямоугольной ямы, формируемого концевыми
заглушками. Концевые заглушки предотвращали движение конденсата
под действием инфракрасного излучения до тех пор, пока эти заглушки
не устранялись и конденсат приводился в движение. Конденсат мог
эволюционировать некоторый период времени перед тем, как
делалось изображение. При отталкивательном взаимодействии БЭК
расширяется, а в случае притягивающего взаимодействия формируются
множественные светлые солитоны. Обычно из исходно стационарного
конденсата создавались четыре солитона посредством модуляционной
неустойчивости. Последовательность распространялась в
параболическом потенциале в течение многих периодов осцилляции, и со временем
солитоны исчезали из-за потерь атомов, наблюдаемых на временах,
') Как отмечают авторы в 14.1.3, такой коллапс ограничивается
нелокальностью межатомного взаимодействия, ввиду чего возможны устойчивые
двумерные и трёхмерные солитоны БЭК [29, 196*]. (Прим. ред.)

624
Гл. 14. Родственные вопросы
превышающих 3 с. На рис. 14.33 показаны три изображения такой
последовательности солитонов около двух точек поворота (сверху и
снизу) и около центра потенциала (посередине).
Рис. 14.33. Генерация последовательности светлых солитонов в БЭК атомов Li.
Три изображения показывают последовательность солитонов около двух точек
поворота (сверху и снизу) и около центра периода осцилляции (посередине).
Число солитонов варьируется от одного изображения к другому из-за
изменений от вспышки к вспышке и из-за медленных потерь атомов в конденсате со
временем [183]
Из относительного движения солитонов можно сделать вывод о
чередовании фаз в последовательности солитонов. Невзаимодействующие
солитоны, одновременно освобождённые от гармонического потенциала
в его разных точках, могли бы проходить друг сквозь друга. Однако
в экспериментах это было не так, что можно увидеть из рис. 14.33,
где расстояния между солитонами возрастали около центра периода
осцилляции, тогда как в конечных точках солитоны сближались. Такое
поведение указывает на наличие короткодействующей силы
отталкивания между соседними солитонами вследствие чередования их фаз.
В другом эксперименте со светлыми солитонами волн материи
для создания облака БЭК использовался сверххолодный газ 7Li [184].
Эффективное взаимодействие между атомами перестраивалось от от-
талкивательного к притягивающему при использовании резонанса
Фешбаха; наблюдалось распространение светлых солитонов на
макроскопические расстояния 1,1 мм. В этом эксперименте ширина со-
литона во все моменты времени оставалась равной пределу
разрешения использованной изобразительной системы и не наблюдался распад
солитона на временном интервале 10 мс, на котором БЭК оставался
в области наблюдения. Однако, значительная доля атомов (>65%)
оставалась в неконденсированном состоянии, создавая пьедестал около
солитона.
Примечательное сходство солитонов волн материи и оптических
солитонов в волоконных световодах подчёркивает близкую связь между
нелинейной атомной оптикой и волоконной оптикой. Однако, многие
вопросы остаются открытыми, включая динамику процесса
формирования солитонов и детальное изучение взаимодействия и столкновений

Список литературы
625
солитонов. «Атомный солитонный лазер», основанный на светлых со-
литонах волн материи, может оказаться полезным для прецизионных
измерений, таких как атомная интерферометрия 0.
Список литературы
1. ТаЫгуап N. V., Sukhov А. К, Zeldovich В. Ya. // Mol. Cryst. Liq. Cryst.
1986. V. 136. P. 1.
2. Khoo I.C. II Progress in Optics. V. 36 / Ed. by E. Wolf. - Amsterdam:
Elsevier, 1988. P. 105-161.
3. Khoo I.C, Wu NT. Optics and Nonlinear Optics of Liquid Crystals. —
Singapore: World Scientific, 1993.
4. Braun £., Faucheux L.P., Libchaber A. et al. // Europhys. Lett. 1993. V. 23.
P. 239.
5. Braun £., Faucheux L.P., Libchaber A. // Phys. Rev. A. 1993. V. 48. P. 611.
6. McLaughlin D. W., Muraki D.J.% Shelley M.J., Wang X. // Physica D. 1995.
V. 88. P. 55.
7. McLaughlin D. W., Muraki D.J.y Shelley M.J. // Physica D. 1996. V. 97.
P. 471.
8. Janossy I. II Phys. Rev. E. 1994. V. 49. P. 2957.
9. Karpierz M.A., Domadski A.W., Sierakowski M. et al. // Acta Phys.
Polonica A. 1999. V. 95. P. 783.
10. Karpierz M.A. // Soliton-Driven Photonics / Ed. by A. D. Boardman and
A. P. Sukhorukov. - Dordrecht: Kluwer, 2001. P. 41-57.
11. Karpierz M.A., Sierakowski M., Swillo AT, Wolinski T. // Mol. Cryst. Liq.
Cryst. 1998. V. 320. P. 157.
12. Warenghem M., Henninot IF., Abbate G. // Mol. Cryst. Liq. Cryst. 1998.
V. 320. P. 207.
13. Warenghem M.y Henninot J.F., Abbate G. // Opt. Exp. 1998. V. 2. P. 483.
14. Peccianti M.% De Rossi A, Assanto G. et al. // Appl. Phys. Lett. 2000.
V. 77. P. 7.
15. Peccianti M.t Assanto G. // Opt. Lett. 2001. V. 26. P. 1791.
16. Peccianti M.t Assanto G. // Phys. Rev. E. 2002. V. 65. 035803.
17. Peccianti M., Assanto G. // Opt. Lett. 2001. V. 26. P. 1690.
\Ъ. Karpierz M.A., Sierakowski M., Wolinski T. // Mol. Cryst. Liq. Cryst.
2002. V.375. P. 313.
19. Conti C, Peccianti M, Assanto G. // Proc. Nonlinear Guided Waves and
Their Applications. — Washington: Optical Society of America, 2002.
20. Shadrivov I. K, Zharov A. A. // J. Opt. Soc. Am. B. 2002. V. 19. P. 596.
21. Литвак А.Г., Сергеев A.M. // Письма в ЖЭТФ. 1978. Т. 27. С. 548.
22. Pesceli H.L., Rasmussen J.J. // Plasma Phys. 1980. V. 22. P. 421.
23. Davydova T.A.y Fishchuk A.I. // Ukr. J. Phys. 1995. V.40. P. 487.
24. Perez-Garcia V.M., Konotop V. V., Garcia-Ripoll J.J. // Phys. Rev. E. 2000.
V. 62. P. 4300.
О См. также нобелевские лекции по физике за 2001г. [197*, 198*].
(Прим. ред.)

626
Гл. 14. Родственные вопросы
25. Ри #., Zhang W., Meystre P. // Phys. Rev. Lett. 2001. V. 87. 140405.
26. Krdlikowski W., Bang O. // Phys. Rev. E. 2000. V. 63. 016610.
27. Krdlikowski W., Bang O., Rasmussen J. J., Wyller J. // Phys. Rev. E. 2001.
V. 64. 016612.
28. Турицын С К. И ТМФ. 1985. Т. 64. С. 226.
29. Rosanov N.N., Vladimirov А. С, Skryabin D. V., Firth W.J. // Phys. Lett.
A. 2002. V. 293. P. 45.
30. Миронов В. А., Сергеев A.M., Ulep E.M. // ДАН СССР/ 1981. Т. 260.
С. 325.
31. Алфимов Г.Л., Елеонский В.М., Мицкевич Н.В. // ЖЭТФ. 1993. Т. 103.
С.1151.
32. Peccianti М., Conti С, Assanto С Ргос. Nonlinear Guided Waves and Their
Applications. — Washington: Optical Society of America, 2002.
33. Stegeman G.I., Segev M. // Science. 1999. V. 286. P. 1518.
34. Monro T.M., De Sterke СМ., Poladian L. // J. Mod. Phys. 2001. V.48.
P. 191.
35. HillK.O., Fujii Y, Johnson D.C, Kawasaki B.S. // Appl. Phys. Lett. 1978.
V. 32. P. 647.
36. Kashyap R. Fiber Bragg Gratings. — San Diego: Academic Press, 1999.
37. Lam D.K. W., Garside B.K. 11 Appl. Opt. 1981. V. 20. P. 440.
38. Meltz G., Morey W. W., Glenn W.H. // Opt. Lett. 1989. V. 14. P. 823.
39. Malo В., Vineberg K.A., Bilodeau F. et al. // Opt. Lett. 1990. V. 15. P. 953.
40. Brocklesby W.S. et al. // Opt. Materials 1992. V. 1. P. 177.
41. Frisken S.J. II Opt. Lett. 1993. V. 18. P. 1035.
42. Kewitsch A.S., Yariv A. // Opt: Lett. 1996. V. 21. P. 24.
43. Kewitsch A.S., Yariv A. // Appl. Phys. Lett. 1996. V. 68. P. 455.
44. Meneghini C, Villeneuve A. // J. Opt. Soc. Am. B. 1998. V. 15. P. 2946.
45. Shoji S., Kawata S. // Appl. Phys. Lett. 1999. V. 75. P. 737.
46. Kagami M., Yamashita Т., Ito H. // Appl. Phys. Lett. 2001. V. 79. P. 1079.
47. Shoji S., Kawata S., Sukhorukov A.A., Kivshar Yu.S. // Opt. Lett. 2002.
V.27. P. 185.
48. Maruo S., Ikuta K. 11 Appl. Phys. Lett. 2000. V. 76. P. 2656.
49. Maruo S., Nakamura O., Kawata S. // Opt. Lett. 1997. V. 22. P. 132.
50. Cumpston B.H., Ananthavel S.P., Barlow S. et al. // Nature. 1999. V. 398.
P. 51.
51. Shoji S., Kawata S. // Appl. Phys. Lett. 2000. V. 76. P. 2668.
52. Kawata S., Sun H.-B., Tanaka Т., Takada K. // Nature. 2001. V.412.
P. 697.
53. Homoelle D., Wielandy S., Gaeta A.L. et al. // Opt. Lett. 1999. V. 24.
P. 1311.
54. Monro T.M., de Sterke СМ., Poladian L. // Opt. Commun. 1995. V. 119.
P. 523.
55. Mizrahi V., LaRochelle S., Stegeman G.I., Sipe J.E. // Phys. Rev. A 1991.
V. 43. P. 433.
56. de Sterke СМ., An S., Sipe J.E. // Opt. Commun. 1991. V. 83. P. 315.
57. Monro T.M., Moss D., Bazylenko M. et al. // Phys. Rev. Lett. 1998. V. 80.
P. 4072.

Список литературы
627
58. Monro Т.М., Miller P.O., Poladian L., de Sterke CM. // Opt. Lett. 1998.
V. 23. P. 268.
59. Monro T.M., de Sterke СМ., Poladian L. // J. Opt. Soc. Am. B. 1996.
V. 13. P. 2824.
60. Monro T.M., Poladian L., de Sterke CM. // Phys. Rev. E. 1998. V. 57.
1104.
61. Monro T.M., de Sterke СМ., Poladian L. // J. Opt. Soc. Am. B. 1999.
V. 16. P. 1680.
62. Bazylenko M., Gross AT, Chu PL., Moss D. // Electron. Lett. 1996. V. 32.
P. 1198.
63. Sarkisov S., Curley M., Wilkosz A., Grymalsky V. // Opt. Commun. 1999.
V. 161. P. 132.
64. Sarkisov S., Taylor A., Venkateswarlu P., Wilkosz A. // Opt. Commun.
1998. V. 145. P. 265.
65. Ljungstrdm A.M., Monro T.M. // Opt. Exp. 2002. V. 10. P. 230.
66. Rosanov N.N. Spatial Hysteresis and Optical Patterns. — Berlin: Springer,
2002.
67. Розанов И.И., Семёнов В.Е. // Опт. спектроск. 1980. Т. 48. С. 108.
68. McLaughlin D. W., Moloney J. V., Newell AC // Phys. Rev. Lett. 1983.
V.51. P. 75.
69. Moloney J. V. II Phys. Rev. Lett. 1984. V. 53. P. 556.
70. Firth W.J., Harkness G.K. // Spatial Solitons / Ed. by S. Trillo and W. Tor-
ruellas. - Berlin: Springer, 2001. P. 343-358.
71. Розанов H.H., Ходова Г. В. // Опт. спектроск. 1988. Т. 65. С. 1375.
72. Rosanov N.N., Khodova G. V. // J. Opt. Soc. Am. B. 1990. V. 7. P. 1057.
73. Rosanov N.N. // Proc. SPIE 1991. V. 1840. P. 130.
74. Fedorov S. V., Khodova G. V., Rosanov NN. // Proc. SPIE. 1991. V. 1840.
P. 208.
75. Rosanov N.N. // Progress in Optics. V. 35 / Ed. by E. Wolf. — Amsterdam:
Elsevier, 1996. P. 1-60.
76. McDonald G.S., Firth W.J. // J. Opt. Soc. Am. B. 1990. V. 7. P. 1328.
77. McDonald G.S., Firth W.J. // J. Opt. Soc. Am. B. 1993. V. 10. P. 1081.
78. Abraham N.B., Firth W.J. // J. Opt. Soc. Am. B. 1990. V. 7. P. 951.
79. Weiss CO., Slekys G., Taranenko V.B. et al. // Spatial Solitons / Ed. by
S. Trillo and W. Torruellas. - Berlin: Springer, 2001. P. 395-416.
80. Lugiato L.A., Lefever R. // Phys. Rev. Lett. 1987. V. 58. P. 2209.
81. Firth W.J., Harkness G.K., Lord A. et al. // J. Opt. Soc. Am. B. 2002.
V. 19. P. 747.
82. Tlidi M., Mandel P., Lefever R. // Phys. Rev. Lett. 1994. V. 73. P. 640.
83. Firth W.J, Scroggie A.J. // Phys. Rev. Lett. 1996. V. 76. P. 1623.
84. Aranson I.S., Kramer L. // Rev. Mod. Phys. 2002. V. 74. P. 99.
85. Wabnitz S. // Opt. Lett. 1993. V. 18. P. 601.
86. Steinmeyer G., Schwache A., Mitschke F. // Phys. Rev. E. 1996. V. 53.
5399.
87. Firth W.J., Lord A. // J. Mod. Phys. 1996. V. 43. P. 1071.
88. Skryabin D. V. // Phys. Rev. E. 2001. V. 64. 056601.
89. Sale Т.Е. Vertical Cavity Surface Emitting Lasers. - N. Y.: Wiley, 1995.

628
Гл. 14. Родственные вопросы
90. Michaelis D.y Peschel U.y Lederer F. // Phys. Rev. A. 1997- V. 56. R3366.
91. Spinelli L., Tissoni G.y Brambilla M. et al. // Phys. Rev. A. 1998. V.58.
P. 2542.
92. Lugiato L.A., Spinelli L., Tissoni G. et al. // J. Opt. B. 1999. V. 1. P. 43.
93. Tissoni G., Spinelli L., Lugiato L.A. et al. // Opt. Exp. 2002. V. 19. P. 1009.
94. Staliunas K.y Sanchez-Morcillo V.J. // Opt. Commun. 1997. V. 139. P. 306.
95. Taranenko V.B., Ganne /., Kuszelewicz /?., Weiss CO. // Appl. Phys. B.
2001. V.72. P. 377.
96. Taranenko V.B., Ganne /., Kuszelewicz /?., Weiss CO. // Phys. Rev. A
2000. V. 61. 063818.
97. Jacobsen P.K., Moloney J. V, Newell A.C, Indik R. // Phys. Rev. A 1992.
V.45. P. 8129.
98. Firth W.J., Scroggie A.J. // Europhys. Lett. 1994. V. 26. P. 521.
99. Taranenko V.B., Weiss CO., Schupers B. // Phys. Rev. A. 2002. V. 65.
013812.
100. Taranenko V.B., Weiss CO. // IEEE J. Sel. Topics Quantum Electron. 2002.
V. 8. P. 488.
101. Taranenko V.B., Weiss CO. // 2002. E-print Arxive: www.arxiv.org/
abs/nlin.PS/0206029.
102. Taranenko V.B., Weiss CO., Stolz W. // J. Opt. Soc. Am. B. 1992. V. 19.
P. 8129.
103. Taranenko V.B., Weiss CO., Stolz W. // Opt. Lett. 2001. V. 26. P. 1574.
104. Barland 5., Tredicce J.R., Brambilla M. et al. // Nature. 2002. V. 419.
P. 699.
105. Byer R.L., Piskarskas A. Eds. // J. Opt. Soc. Am. B. 1993. V. 10. P. 1655;
special issue on parametric oscillation and amplification.
106. Oppo G.-L., Brambilla M., Camesasca D. et al. // J. Mod. Opt. 1994. V. 41.
P. 1151.
107. Etrich C, Peschel U., Lederer F // Phys. Rev. Lett. 1997. V. 79. P. 2454.
108. Lederer F., Etrich C, Peschel U., Michaelis D. // Chaos, Solitons, and
Fractals. 1999. V. 10. P. 895.
109. Skryabin D. V. // Phys. Rev. E. 1999. V. 60. R3508.
110. Oppo G.-L., Scroggie A.J., Firth W.J. // Phys. Rev. A. 2001. V. 63. 066209.
111. Fedorov S.t Michaelis D.t Peschel U. et al. // Phys. Rev. A. 2001. V. 64.
036610.
112. Skryabin D. V., Champneys A.R. // Phys. Rev. E. 2001. V. 63. 066610.
113. Peschel U.y Michaelis D., Etrich C, Lederer F. // Phys. Rev. E. 1998. V. 58.
R2745.
WA.de Valcdrcel G.J., Rolddn £., Staliunas K. // Opt. Commun. 2000. V. 181.
P. 207.
115. Oppo G.-L., Brambilla M., Lugiato L.A. // Phys. Rev. A. 1994. V. 49.
P. 2028.
116. Bloch F. II Z. Phys. 1930. V. 61. P. 206.
\\7.Lax В., Button K.J. Microwave Ferrites and Ferrimagnetics. — N.Y.:
McGraw-Hill, 1962.
118. Nonlinear Phenomena and Chaos in Magnetic Materials / Ed. by
P.E. Wigen. — Singapore: World Scientific, 1994.

Список литературы
629
119. Linear and Nonlinear Spin Waves in Magnetic Films and Superlattices / Ed.
by M.G. Cottam. — Singapore: World Scientific, 1994.
120. Demokritov SO., Hillebrands В., Slavin A.N. // Phys. Rep. 2001. V. 348.
P. 441.
121. Buttner O., Bauer M., Demokritov SO. // Phys. Rev. B. 2000. V. 61. 11576.
122. Slavin A.N, Rojdestvenski I. V. // IEEE Trans. Magn. 1994. V. 30. P. 37.
123. Slavin A.N. // Phys. Rev. Lett. 1996. V. 77. P. 4644.
124. Slavin A.N, Kalinikos B.A., Kovshikov N.G. // Nonlinear Phenomena and
Chaos in Magnetic Materials / Ed. by P. E. Wigen. — Singapore: World
Scientific, 1994. Chap. 9.
125. Lighthill M.J. II J. Inst. Math. Appl. 1965. V. 1. P. 269.
126. Калиникос Б.А., Ковшиков Я.Г., Славин А.Н. // ЖЭТФ. 1988. Т. 94.
С. 159.
127. von Geisau О., Netzelmann U., Rezende S.M., Pelzl J. // IEEE Trans.
Magn. 1990. V. 26. P. 1471.
128. Chen M.t Tsankov M.A., Nash J.M., Patton C.E. // Phys. Rev. B. 1994.
V.49. 12773.
129. Boyle J. W.y Nikitov S.A., Boardman A.D. et al. // Phys. Rev. B. 1996.
V.53. 12173.
130. Bauer M., Mathieu C, Demokritov S. O. et al. // Phys. Rev. B. 1997. V. 56.
R8483.
131. Bauer M., Buttner O., Demokritov S.O. // Phys. Rev. Lett. 1998. V. 81.
P. 2582.
132. Калиникос Б.А., Ковшиков Я.Г., Костылев М.П., Веппег И. // Письма
в ЖЭТФ. 1996. Т. 64. С. 160.
133. Демидов В.Е. // Письма в ЖЭТФ. 1998. Т. 68. С. 828.
134. Калиникос Б.А., Ковшиков И.Г., Славин А.Н. // Письма в ЖЭТФ. 1983.
Т. 37. С. 520.
135. Boardman A.D., Cooper G.S., Maradudin A.A., Shen Т.P. 11 Phys. Rev. B.
1986. V. 34. P. 8273.
136. Boardman A.D., Nikitov S.A., Xie K. et al. // Magn. Mat. 1995. V. 145.
P. 357.
137. Nash J.M., Patton C.E., Kabos P. // Phys. Rev. B. 1995. V. 51. 15079.
138. Kovshikov N.G., Kalinikos B.A., Patton C.E. et al. // Phys. Rev. B. 1996.
V.54. 15210.
139. Xia //., Kabos P., Patton C.E., Ensle H.E. // Phys. Rev. B. 1997. V. 55.
15018.
140. Xia //., Kabos P., Staudinger R.A., Patton C.E. / Phys. Rev. B. 1998. V. 58.
P. 2708.
141. Silberberg Y. // Opt. Lett. 1990. V. 15. P. 1282.
142. Chen M.t Tsankov M.A., Nash J.M., Patton C.E. // Phys. Rev. Lett. 1993.
V.70. P. 1707.
143. Звездин А.К.У Попков А. Ф. // ЖЭТФ. 1983. Т. 84. С. 606.
144. Slavin A.N, Kivshar Yu.S., Ostrovskaya E.A., Веппег Н. // Phys. Rev.
Lett. 1999. V.82. P. 2583.
145. Kalinikos B.A., Kovshikov N.G., Patton C.E. // Phys. Rev. Lett. 1998.
V.80. P. 4301.

630
Гл. 14. Родственные вопросы
146. Калиникос Б. А., Ковшиков И.Г., Паттон К.Е. // Письма в ЖЭТФ. 1998.
Т. 68. С. 229.
147. Калиникос Б.А., Ковшиков Н.Г. // Письма в ЖЭТФ. 1994. Т. 60. С. 290].
148. Buttner О., Bauer М.у Demokritov SO. et al. // Phys. Rev. Lett. 1999.
V. 82. P. 4320.
149. Anderson M.N. et al. // Science. 1995. V. 269. P. 198.
150. Bradley С. С, Sackett C.A.y Tollett /./., Hulet R. G. // Phys. Rev. Lett. 1995.
V.75. P. 1687.
151. Davis КВ., Mewes M.-O., Andrews M.R. et al. // Phys. Rev. Lett. 1995.
V. 75. P. 3969.
152. Fried D.G., Killian T.C.y Willmann L. et al. // Phys. Rev. Lett. 1998. V. 81.
P. 3811.
153. Dalfovo F.y Giorgini S.y Pitaevskii L.P., Stringari S. // Rev. Mod. Phys.
1999. V.71. P. 463.
154. Bogoliubov NN. // J. Phys. (Moscow). 1947. V. 11. P. 23.
155. Inouye S.y Andrews M.R.y Stenger J. et al. // Nature. 1998. V. 392. P. 151.
156. Perez-Garcia V.M., Michinel H.y Herrero H. // Phys. Rev. A. 1998. V. 57.
P. 3837.
157. Salasnich L.y Parola A., Reatto L. // Phys. Rev. A. 2002. V. 65. 043614.
158. Kivshar Yu.S., Alexander T.J., Turitsyn S.K. // Phys. Lett. A. 2001. V. 278.
P. 225.
159. Турицын С.К., Мезенцев В.К. // Письма в ЖЭТФ. 1998. Т. 67. С. 616.
160. Yukalov V.I., Yukalov Е.Р., Bagnato V.S. // Phys. Rev. A. 1997. V. 56.
P. 4845.
161. Ostrovskaya E.A.y Kivshar Yu.S.y Skryabin D. V.y Firth W.J. // Phys. Rev.
Lett. 1999. V. 83. P. 296.
162. Kivshar Yu.y Luther-Davies B. // Phys. Rep. 1998. V. 298. P. 81.
163. Frantzesakakis D.J.y Theocharis G.y Diakonos F.K. et al. // Phys. Rev. A.
2002. V. 63.
164. Busch T.y Anglin JR. // Phys. Rev. Lett. 2000. V. 84. P. 2298.
165. Reinhardt W.P., Clark C. W. // J. Phys. B. 1997. V. 30. P. L785.
166. Morgan S.A.y Ballagh R.J.y Burnett K. // Phys. Rev. A. 1997. V. 55. P. 4338.
167. Muryshev A.E.y van Linden H.B., van den Heuvelly Shlyapnikov G. V. //
Phys. Rev. A. 1999. V.60. R2665.
168. Fedichev P.0.y Muryshev A.E.y Shlyapnikov G. V. // Phys. Rev. A. 1999.
V. 60. P. 3220.
169. Denschlag /., Simsarian J.E.y Feder D.L. et al. // Science. 2000. V. 287.
P. 97.
170. Burger S.y Bongs K.y Dettmer S. et al. // Phys. Rev. Lett. 1999. V. 83.
P. 5198.
171. Feder D.L., Pindzola M.S.y Collins L.A. et al. // Phys. Rev. A 2000. V. 62.
053606.
172. Anderson B.P.y Haljan P.C.y Regal С A. et al. II Phys. Rev. Lett. 2001.
V. 86. P. 2926.
173. Brand J., Reinhardt W.P. // Phys. Rev. A. 2002. V. 65. 043612.
174. Williams J.E.y Holland M.J. // Nature. 1999. V. 401. P. 568.

Список литературы
631
175. Garcia-Ripoll J. J., Perez-Garcia V.M. // Phys. Rev. Lett. 2000. V. 84.
P. 4267.
176. Matthews M.R., Anderson B.P., Haljan P.C. et al. // Phys. Rev. Lett. 1999.
V. 83. P. 2498.
177. Fetter A.L., Svidzinsky A.A. // J. Phys.: Condens. Matter. 2001. V. 13.
R135.
178. Butts D.A., Rokhsar D.S. // Nature. 1999. V. 397. P. 327.
179. Абрикосов A.A. // ЖЭТФ. 1957. T. 32. С 1442.
180. Madison K. W., Chevy F., Wohlleben W., Dalibard J. // Phys. Rev. Lett.
2000. V. 84. P. 806.
181. Abo-Shaeer J.R., Raman C, Vogels J.M., Ketterle W. // Science. 2001.
V. 292. P. 476.
182. Raman C, Abo-Shaeer J.R., Vogels J.M. et al. // Phys. Rev. Lett. 2001.
V.87. 210402.
183. Strecker K.E., Partridge G.B., Truscott A.G., Hulet R.G. // Nature. 2002.
V.417. P. 150.
184. Khaykovich L., Schreck F., Ferrari G. et al. // Science. 2002. V. 296.
P. 1290.
185. Gerton J.M., Strekalov D., Prodan /., Hulet R.G. // Nature. 2000. V.408.
P. 692.
186. Donley E.A., Claussen N.R., Cornish S.L. et al. // Nature. 2001. V.412.
P. 295.
187. Can L.D., Leung M. A., Reinhardt W.P.J. // Phys. Rev. B. 2000. V. 33.
P. 3983.
188*. Розанов H.H. // ЖЭТФ. 1981. T. 80. С 91.
189*. Розанов Н.Н. Оптическая бистабильность и гистерезис в
распределённых нелинейных системах. — М.: Наука, 1997.
190*. Розанов Н.Н., Семёнов В.Е., Ходова Г. В. // Квантовая электроника.
1983. Т. 10. С. 2355.
191*. Розанов Н.Н, Ходова Г.В. // Опт. спектроскоп. 1992. Т. 72. С. 1403.
192*. Сучков А.Ф. Ц ЖЭТФ. 1965. Т. 49. С. 1495.
193*. Розанов Н.Н. // Опт. спектроскоп. 2004. Т. 96. С. 628.
194*. Розанов Н.Н. // Опт. спектроскоп. 70, 1342; 1991. Т. 71. С. 816.
195*. Розанов Н.Н, Фёдоров СВ., ШацевА.Н // ЖЭТФ. 2004. Т. 125. С. 486.
196*. Розанов Н.Н., Рождественский Ю.В., Смирнов В.А., Фёдоров СВ. II
Письма в ЖЭТФ. 2003. Т. 77. С. 89.
197*. Корнелл Э.А., Виман К.Э. // УФН. 2003. Т. 173. С. 1320.
198*. Кеттерле В. // УФН. 2003. Т. 173. С. 1339.

Предметный указатель
NRZ-формат 169
ТЕ-мода 356
ТЕ-поляризация 230, 232
ТМ-мода 356
ТМ-поляризация 230, 232
Х-волна линейная 274
— нелинейная 274
Х-соединение 177
Y-соединение 175, 340, 558
Автокоррелятор 166, 169
Автокорреляционная функция 537,
548
Автосолитон 586
Адиабатическая теория возмущений
113
Адиабатическое приближение 153,
329
Азимутальная неустойчивость 250
Азимутальный индекс 310
Акустооптический модулятор 596
Анализ устойчивости Боголюбова
620
векторного солитона 348
динамической 381
критерий Вахитова-Колоколо-
ва 52
линейный 31, 52, 57, 60, 195,
208, 220, 259, 278, 281, 304, 329,
348,371,392,420,471,476,589
по Ляпунову 60
светлый солитон 52
тёмный солитон 143
Анизотропия 358, 385, 409
— в жидких кристаллах 565
— магнитная 566, 603
— низкочастотная 569
— электрическая 566, 567
— электрооптическая 501
Асимптотический ряд 138, 413
Асимптотическое разложение 144,
163, 164,221,239,305,312,436
многомасштабное 145
Атомная интерферометрия 625
Бесселев пучок 274
Бистабильность 207, 208, 210, 518,
521, 529, 567, 584, 588, 594, 595
Битовый интервал 91, 115, 116
Бифуркационная диаграмма 345
— точка 345, 348, 362, 367
Бифуркация Андронова-Хопфа 589
Блоховская волна 198, 204
Бозе-газ 144, 303
Бозе-эйнштейновский конденсат
463,477,541,572,610-625
Бризер 75
— расщепление 76
Брэгговская дифракция 185
— решётка, см. решётка
Брэгговский солитон 200-207
столкновение 204
формирование 204
Брэгговское зеркало,
распределённое 590
Вариационный метод 105, 135, 223,
243, 277, 280, 377, 384, 427, 452,
613
Вектор Стокса 363, 364
Векторный потенциал 321
— солитон антисимметричный 362
вихревой 374, 380, 397
высшего порядка 362
двумерный 374-391
двухкомпонентный 336-343
дипольный 374, 380
квадрупольный 391

Предметный указатель
633
когерентно связанный 355-368
кольцеобразный 378
линейно поляризованный 362
многогорбый 362, 368
многокомпонентный 343-348
мультипольный 379
некогерентно связанный
336-355
осесимметричный 375-378
со смешанной поляризацией
366
тёмный 394-401
устойчивость 348
фундаментальный 362
шестилепестковый 391
эксперименты 389
эллиптически поляризованный
362
Взаимодействие бризера 76
— дальнодействующее 572
— двух солитонов 239
— дипольное 572
— когерентное 239
— многосолитонное 74, 240
— нелинейное 67, 612
— неупругое 79, 239
— отталкивательное 240, 246, 612,
616, 623
— притягивающее 240, 245, 612,
616, 623
— солитонов 53, 63, 67-75, 572
— среднее поле 623
— упругое 67, 68, 243
Винтовая дислокация 309
Вихревой солитон, см. солитон
Вихрь взаимодействие 315
— волн материи 620
— вращение 311
— двойной 303
— заряд 310
— квантовый 620
— кольцевой 235, 251
— линейно-оптический 303
— решётка 324
-свойства 309-321
— система 324
— снос 311
— эксперименты 316
— ядро 310
Вложенный солитон, см. солитон
Внутренняя мода, см. мода
Волна переключения 586
— переноса 15
Волновая расстройка 411, 443
Волновод AlGaAs 82, 356, 366, 489
— LiNb03 175, 409, 420, 422, 442
— Y-соединение 176
— анти- 340, 400
— гофрированный 465
— градиентный 18, 340, 557
— дефект 511
— ЖИГ 607
— жидкокристаллический 567
— индуцированный светом 176
— канальный 581
— кварцевый 25
— магнитный 605
— многомодовый 441, 536, 550
— на основе связанных резонаторов
514
— наведённый солитоном 330, 339,
370, 380, 417, 439, 551, 558, 570,
574
— нелинейный 24, 463, 520
— оптически наведённый 501
— оптический 17
— планарный 23, 28, 78, 265-267,
288,411,567
— полимерный 489, 498
— полупроводниковый 37
— с двумя сердцевинами 373
— самозаписанный 573-582
— самонаведённый 18, 39, 376, 535,
573
— система 463
— стекловолоконный 297
— стеклянный 290
— тонкоплёночный 468, 472
-Ф33 512, 513
— фотонно-кристаллический 514,
517
— фотонный кристалл 511
— фотоэлектрический 175
— цилиндрический 558
— щелевой 39, 433
— эванесцентно связанный 463

634
Предметный указатель
— эффективный 441
Волновое уравнение 410, 575
скалярное 508
Волновой пакет 262
двумерный 605
спиновых волн 603, 605
Волоконнооптическая петля с
рециркуляцией 100
Восприимчивость второго порядка
41, 527
ранга 410
— модуляция 443
— первого порядка 19
— пятого порядка 51
— третьего порядка 19, 21, 337, 356,
358, 408
Вращающийся рассеиватель 534,
549, 555
Временной солитон 15, 25-30
ведущий центр 96
взаимодействие 92-94
возмущение 112
второго порядка 121
высшего порядка 87
гауссова форма 105
керровский 87
передача информации 90
периодическое усиление 94-97
порядок 88
распад 122
распределённое усиление
97-99
с управляемой дисперсией 111
самосдвиг частоты 122
светлый 87
свойства 87-90
СУД 102-104
тёмный 158-172
теория возмущений 112
третьего порядка 121
управление дисперсией 104
управляемая дисперсия 614
управляемые потери 94
усиление 94-102
усреднённый по длине 96
эффект дисперсии третьего
порядка 117
Выжигание пространственных дыр
591
Вынужденное комбинационное
рассеяние 20, 29, 41, 121, 207
Гамильтониан 50, 60, 140, 162, 265,
349, 359, 464, 614, 621
— многочастичный 611
— перенормированный 154, 161
Гармонический осциллятор 544, 612,
613,616
Гауссова статистика 114
Гексагональная структура 593
Геликоидальный волновой фронт
316
Генерация второй гармоники 184,
340, 409, 420, 437, 447, 528, 597
— плазмы 283, 289
— разностной частоты 439
— суммарной частоты 437
— третьей гармоники 437, 446
Геометрическая фаза 321
Геометрооптическое приближение
533, 534, 542
Гидродинамика 309
Гипергеометрическая функция 362,
441
Гистерезис 208
Глаз, человека 535
Градиентная линза 550
Граница раздела световода и
воздуха 184
— устойчивости 60, 61, 305
Граничное условие 18, 35, 360
периодическое 106
Граничные условия 139
прозрачные 576
Групповая скорость 188, 190, 193,
198, 284, 337
дисперсия 27
рассогласование 337, 343, 354,
358
расстройка 428
спиновых волн 607
эффективная 341
Давление квантово-механическое
310

Предметный указатель
635
— эффективное 309
Данные рассеяния 34
Двулучепреломление 211
— вызванное напряжениями 367
— жидких кристаллов 566
— световода 336, 358
— сильное 357
— слабое 357
— среды 356
— степень 358
Двухволновое смешение 451
Двухфотонное поглощение, см.
поглощение
ДГС аномальная 28, 191, 196, 341,
417
— вызванная решёткой 190
— нормальная 28, 197, 201, 341, 417
Дебая длина 387
Дельта-функция 20
Дефект отталкивающий 495
— притягивающий 495
Дефектный стержень 509, 513-515
нелинейный 517, 524
Диполь-дипольное взаимодействие
518
Дипольное приближение 19
Дипольный момент 566
Дискретный солитон 462-503
взаимодействие 495
гибридный 498
нечётный 479-489
пространственно-временной
512
светлый 479-485
сети 499
тёмный 485-489
чётный 479-489
эксперимент 489-498
Дислокация волнового фронта 243,
247, 451
Дисперсионная длина 27, 30, 93, 97,
166, 203, 452
— схема 110
вариабельность 109
периодическая 104-111
Дисперсионное соотношение 31, 32,
64, 139, 189, 193, 260, 282, 464,
470, 474, 475, 547, 548, 603
Дисперсионный параметр 27
Дисперсия аномальная 16, ПО, 261,
262, 265, 295, 338, 411, 417, 465
— волновода 190
— вызванная решёткой 189, 190
— высших порядков 29, 41, 282
— групповой скорости 16, 27, 86-90,
158, 188, 190,259,411,434,452,
464, 494
— дальнодействующая 526
— дискретная 512
— компенсация 191
— межмодовая 550
— нелинейная 526
-нормальная 104, ПО, 158, 169,
261,270,279,292,338,394,411
— световода, см. дисперсия
— среды 190
— третьего порядка 117, 162, 190,
284, 494
— хроматическая 26
— четвёртого порядка 119
Дифракционная длина 22, 30, 381,
388, 429, 444, 453, 543
Дифракция 17
— аномальная 465, 486, 493
— дискретная 464
— межволноводная 464
— нормальная 493
— управление 493
Диффузия, носителей 591
Длина волны нулевой дисперсии 27,
29, 117, 119, 162, 163, 191
— двулучепреломления 568
— когерентности 445
— ослабления 166
— рассеяния 612, 616
— Релея 22
— сноса 337
Доменная стенка 394
Дополнительная мощность 140, 144,
487
Железоиттриевый гранат 603
Жидкий кристалл 564-573
, волновод из него 568
лиотропный 565
нематик 565

636
Предметный указатель
нематический 568
смектик 565
твист- 571
термотропический 565
холестерин 565
Задача на собственные значения 34,
52, 134, 221, 350, 370, 471, 513
— рассеяния 33
Запрещённая зона 209
брэгговское отражение 471,
475, 479, 495
внутреннее отражение 471, 484
край 190, 192, 198, 486
полностью 508, 523
полубесконечная 471
фотонная 468, 508
Затухание Ландау 547
Захват фазы 359
Зона Бриллюэна 465, 476, 479, 502,
509
Излучение 305
Изотропный кристалл 357
Изофота 314, 316
Импульс гауссов 89, 105, 266, 267
— обмен 72
— перенормированный 140, 144,
146, 148, 151
— поля 140
— пузыря 144
— солитона 50, 70, 145
— сохранение 145, 309
— тёмного сол итона 146, 148
— фона 140
— формы гиперболического секанса
89, 105
— чирпированный 86, 265-267
Интеграл перекрытия 472, 598
Интегралы движения 50, 139
перенормированные 141
Интенсивность насыщения 38, 225,
276,279,311,320,543
Интерферометр Маха-Цендера 169,
501, 592
— Фабри-Перо 193
Ионное травление 489
Истощение накачки 420
Итерационный метод Ньютона-Реф-
сона 524
Калибровочное преобразование 435
Каскадный предел 412, 416, 417,
420, 422, 423, 450, 452, 527
Катастрофический коллапс 289
Квадратичный солитон 408-455
вихревой 450
временной 417
двумерный 426-433
дискретный 453
квазипериодический 446
КСВ 444
многогорбый 417
одногорбый 414
одномерный 412-426
пространственно-временной
453
светлый 413-423
сносимый 418, 421
столкновение 421, 434
тёмный 413, 423-425
трёхволновой 425
устойчивость 416
чирпированный 419
эксперименты 420, 429
Квазикристалл 446, 529
Квазипериодичность 446
Квазисинхронизм 420, 442-449, 527
Квазисинхронное взаимодействие
432
Квантовый шум 432
Кварцевое стекло 172
Керровская нелинейность
насыщающаяся 423
самодефокусировочная 312
самофокусировочная 340
- среда 18, 21, 51, 78, 172, 249, 261,
276, 356, 373, 396, 493, 584
градиентная 281
искусственная 235
неоднородная 279
с медленным откликом 541,
546
насыщением 243
самодефокусировочная 35, 303,
397

Предметный указатель
637
самофокусировочная 23, 35
Керровский коэффициент 21, 22, 25,
38, 185, 356, 464
Коллапс 37, 41, 42, 56, 78, 229, 230,
426, 467
— пучка 173, 264-270, 276, 289, 538
Комбинационное рассеяние
вынужденное 117, 121-125, 158, 282,
285
— усиление 98, 100, 126, 168
встречное 98
Компенсация дисперсии 110
Конденсат Бозе-Эйнштейна 325
Конденсация Бозе-Эйнштейна 588
Конечно-разностный метод 271
Коническое излучение 274
Кориолисова сила 621
Корреляционная длина 544, 548,
551, 552
— функция 114
Коэффициент диффузии 591
— связи 187, 464
— увеличения энергии 96
Кристалл ВВО 434
— GaAs 356, 358
— КТР 409, 429, 431, 433, 437
-LiNb0338, 175
— PTS 25, 37, 235
— SBN 307, 317, 389, 393, 501, 548
Критерий устойчивости Вахитова-
Колоколова 52, 58-60, 226, 348,
372, 378, 416, 426, 452, 525
Кросс-модуляции фазы 63
Кросс-модуляция фазы 337, 340, 445
КСВ 442
Лагранжиан 105, 154, 223, 264, 277,
280, 377, 383, 400, 427, 435, 613
Лазер на центрах окраски 100, 367
Лапласиан 569
Лестница Ваннье-Штарка 498
Ловушка вытянутая 613
— двумерная 621
— квазиодномерная 623
— магнитная 611, 619
— параболическая 613, 618
— частота 621
Логические вентили 211
Локализация 516
— Андерсона 446
Лоренцевский спектр 548
Люминесценция 579
Магнитный диполь 602
Марковский процесс 114
Маска фазовая 306, 307, 316
Метод аподизации 193
— конечных разностей 510
— Кранка-Николсона 271
— КРВЭ 290
— кросс-корреляции 166
— матриц переноса 513
— многомасштабных разложений
40,56,61,412,523
— множителей Лагранжа 58
— моментов 264
— обратной задачи рассеяния 24,
32-35, 50, 67, 74, 93, 121,
134-137, 200
— плоских волн 509
— распространения пучка 576, 599
— расщепления 105, 269, 271, 290,
366, 392, 576, 599
— релаксации 360
— стрельбы 360
— Хартри 378, 426
— ЧРОС 293
Механизм наклонных волн 593
— фазового захвата 446
Механическая аналогия 427, 435
Микрорезонатор 590-597
МКР 510
Многофотонная ионизация 288
Многофотонное поглощение, см.
поглощение
Многоэтапное каскадирование 437
Мода HGoi 380
— LGoi 380
— ТЕ 356
— ТМ 356
— антисимметричная 522
— внутренняя 53, 54, 63, 202, 228,
371,416,422
— волновода 369
— высшего порядка 417
-дефекта 203, 509-512

638
Предметный указатель
— дискретного спектра 33
— излучательная 24, 34, 40, 368,
554
— квазипериодическая 446
— когерентная 446, 543, 555
— Лагерра-Гаусса 252, 374, 380,
382, 582
— локализованная 33, 517, 527
— направляемая 33, 472
— нейтральная 54, 221
— нелинейная 33, 470, 524
— неподвижная 522
— непрерывного спектра 33
— ограниченная 24, 554
— поверхностная 454
— подвижная 522
— противофазная 476, 518-522
— резонанса Ферми 454
— синфазная 476, 518-522
— сцепленная 483
— Флоке-Блоха 467
— Фурье 33
— Эрмита-Гаусса 374, 380, 382, 616
Модель Манакова 345
— Тирринга 200, 202, 204
Модовая теория 534, 539
Модулятор LiNb03 101, 165, 169
— акустооптический 592
— по интенсивности 101
— электрооптический 165, 592
Модуляционная неустойчивость 30,
193, 258, 391, 413, 433, 475-479,
546, 551, 560, 572, 586, 604, 619
подавление 551
поперечная, см.
неустойчивость
спектр усиления 196
управляемая шумом 551
усиление 32
частично когерентного пучка
546
— теория Уитема 223
Молекулярная цепочка 518
Молекулярно-лучевая эпитаксия
453, 592
Момент импульса 240, 246, 249
дробный 247
орбитальный 249
спиновый 249
— магнитный 602
Накачка встречная 98
Наклон волнового фронта 419
Направленный ответвитель 340, 463
нелинейный 339, 373, 464
Нелинейная длина 104, 204
— среда нелокальная 571
с медленным откликом 535
насыщением 248
Нелинейное уравнение Шрёдингера,
см. НУШ
Нелинейность абсорбционная 594
— виды 37
— волоконнооптическая 86
— второго порядка 432
— высшего порядка 446
— градиентная 279
— инерционная 533
— каскадная 296, 416, 420, 527
— квадратичная 41, 247, 296, 412,
427, 445, 527, 597
— керровская 19, 38, 49, 67, 86, 230,
276, 304, 374, 408, 463, 467, 565
— конкурирующая 37, 50, 149, 425,
449
— кубичная 22, 314, 412, 423, 430,
445, 599, 623
— логарифмическая 534, 539, 543
— мгновенная 535
— наведённая кубичная 449
— насыщающаяся 37, 51, 143, 150,
174, 230, 239, 276-279, 306, 314,
325, 372, 375, 379, 543
— некерровская 41
— ориентационная 78, 375, 565-573
— переходная 38
— поверхностная 453
— пороговая 39, 51
— пятого порядка 76
— резонансное усиление 306
— рефракционная 594
— с медленным откликом 548
— самодефокусировочная 28, 338,
484
— самофокусировочная 28, 338, 400,
484

Предметный указатель
639
— световода 194
— степенная 41, 50, 142, 147
-тепловая 173, 330
— третьего порядка 155
— третьего-пятого порядков 37, 50,
142
— фоторефрактивная 38, 386, 391,
501, 535
— экранирующая 501
— электрооптическая 237
Нелинейный отклик 19, 20, 368
инерционный 159
медленный 556
Нелокальные эффекты 385
Непараксиальные эффекты 229
Неравенство Коши-Буняковского
268
Неустойчивость азимутальная 451,
590
— боковой полосы 158
— динамика 143-152
— змеевидная 600, 619
— колебательная 61-63, 202, 523
— коэффициент усиления 548
— модуляционная, см.
модуляционная неустойчивость
— нарушающая симметрию 420, 546
— нарушение симметрии 373
— осцилляторная 479, 485, 489
— параметрическая 413, 425
— поляризационная 212, 368, 395
— поперечная 218-225, 238,
304-309, 433, 552, 619
— порог 147
— пространственно-временная 258,
434
— радиальная 590
— с нарушением симметрии 382
НУШ 21-25, 87-90, 203
— (1 + 1)-мерное 23, 27, 605
— (2 + 1)-мерное 22, 225, 247, 304,
309, 603
— (3 + 1)-мерное 30, 259, 452
— (D+ 1)-мерное 277
— возмущённое 153, 159, 163, 312,
572, 587
— дискретное 63, 454, 462-503, 512
— для решётки 197
— интегрируемое 53
— когерентно связанные 356
— кубическое 29, 50, 51, 75, 87, 135,
139, 310, 430, 615
— неинтегрируемое 53
— некогерентно связанные 336-348,
540
— нелокальное 572
— обобщённое 29, 37, 49, 67, 77,
141,226, 282, 311
— ограничения 40
— решения 30
— системы связанных 343
— скалярное 40, 229
— стандартное 340, 412
— третьей-пятой степени 51, 68, 74,
76, 239, 247, 613
— эффективное 197, 417, 423
Обработка информации 499
Оператор Лапласа 263, 283, 410,
508, 598
Оптическая бистабильность, см. би-
стабильность
— метла 211
— пуля, см. пуля
— связь 16, 168, 184, 209
Оптические иглы 230
Оптический вентиль 212
— транзистор 517
Оптическое межсоединение 582
— переключение 176, 339, 420, 431,
467, 495, 517, 529
Органический краситель 326, 567
— полимер 463
Ориентационный порядок 566
Осцилляции Блоха 497
Отклик ВКР 126, 159
— комбинационного рассеяния 283,
286
Отклонение пучка 467
Отношение сигнала к шуму 101, 115
Параболическое уравнение 21
Параксиальное приближение 21,
229, 283, 410, 469, 536, 569
— уравнение 22, 468

640
Предметный указатель
Параметр волновой расстройки 426,
427, 440, 448
— ДГС 27, 28, 86-90, 199, 411, 452
-насыщения 248, 306, 311, 320,
369, 380, 382
— сноса 410, 418, 423, 429, 444
— шума усилителя 114
Параметрический генератор 432,
489, 598
— процесс каскадный 439
многоэтапный 439
— усилитель 433
Параметрическое взаимодействие
408-455
— усиление 430, 433
Пары натрия 172
-рубидия 306, 317, 323
Переключение бистабильное 207,
209
— вызванное решёткой 208
ФКМ211.213
ФСМ 207
— когерентное 593
— некогерентное 592
— нелинейное 207
Переход Джозефсона 517
Период солитона 88
— схемы 104, 108
Периодическая ориентация 528
— среда 185
ПЗС-камера 306, 326, 393, 568, 580
Плёнка ЖИГ 604, 608
Поверхностно излучающий лазер с
вертикальным резонатором 590
Поглощение двухфотонное 21, 155,
174, 356, 367, 489, 579
— многофотонное 282, 283, 289, 298
— насыщающееся 591, 595
— нелинейное 155, 276, 591
— однофотонное 283, 577, 580
Показатель поглощения 21, 25
Полимеризация 574, 577
Полином Якоби 362
Полное внутреннее отражение 471,
495,511
Поляризационный фронт 600
Поляризация ТЕ 356, 568
— ТМ 356, 568
— доменные стенки 394
— индуцированная 410
— круговая 232
— линейная 232, 362
— нелинейная 356
— необыкновенная 409, 430, 431,
548
— обыкновенная 409, 431
— среды 19
нелинейная 20
— третьего порядка 356
— эллиптическая 362, 365
Поперечная неустойчивость
218-225, 234, 303, 322, 329, 391
тёмной полосы 304-309
эксперименты 306
-скорость 50, 67, 134, 156, 173,
248, 322, 493
Пористый кремний 509
Порог Фредерикса 568, 570
Последовательность Фибоначчи 446
Постоянная распространения 21, 23,
475
-Эйлера 314
Потенциал взаимодействия 239
— ловушки 612
— оптический 623
— Пайерлса-Набарро 466, 495, 522
— параболический 611, 616, 623
— сферически симметричный 619
— электростатический 238
— эффективный 427, 436
Потери вызванные изгибом 499
— при отражении 500
— резонатора 588
Преобразование Вигнера 534, 541,
546
— Галилея 67, 434
— Маделунга 309
-Фурье 20, 26, 33, 510, 536
Приближение геометрической
оптики 218
— квазимонохроматичности 20, 27
— коллективной координаты 61, 239
— медленно меняющейся амплитуды
229
огибающей 20, 283, 290, 410
— сильной связи 467, 512

Предметный указатель
641
— слабой связи 463, 465, 467, 472,
479, 515
— среднего поля 477, 587, 611
— Томаса-Ферми 615
Принцип суперпозиции 546
Прицельный параметр 240, 436
Проводимость 566
Проволочная сетка 172
Произведение скорости передачи на
расстояние 101
Проницаемость вакуума 19
— диэлектрическая 20, 508, 509,
566, 567
периодическая 509
— магнитная 566
Пространственно-временная, см.
неустойчивость
Пространственно-временная
фокусировка 284, 293
Пространственно-временной
коллапс 264-270, 285
Пространственный солитон 15,
17-25
аналитическая форма 49
взаимодействие 239-246, 581
волноводная аналогия 17
двумерный 225-239, 427-433
дискретный 462-503
жидкокристаллический
567-573
кольцеобразный 246
наблюдение 233-239
некогерентный 533-560
непараксиальный 229
светлый 23, 49-82, 172
столкновение 67-75
тёмный 133-177
устойчивость 52-63, 226
фотонная запрещённая зона
516-527
эксперименты 78-82
Противофазная волна Блоха 477
Пузыри 144
Пуля магнитная 603, 605, 606, 608
— многокомпонентная 349
— параметрическая 452
— световая 30, 262-270, 426, 427,
429, 434, 452, 605
— спиновых волн 609
— столкновение 607
Пучок адресующий 592
— бесселев 274
-гауссов 314, 315, 321, 324, 543,
573, 576, 582, 584
— записывающий 596
— коллапс 289
— Лагерра-Гаусса 252, 317
— некогерентный по времени 534
— переключающий 593
— поддерживающий 593
— пространственно некогерентный
534
— самоканалированный 534, 571
— формы ожерелья 247, 250
— частично когерентный 534, 535,
546, 554
— эллиптический 323
Пьезоэлектрический
преобразователь 593
Радиус корреляции 544
Разделение по длинам волн 119
Разложение Карунена-Лоэва 540
Распределение Пуассона 544
Распределённая обратная связь 186,
209
Распределённое усиление 97-99,
106
Рассеяние Мандельштама-Бриллю-
эна 608
Рассеянное излучение 53, 63, 70, 90,
95, 97, 99, 146, 148, 163, 224,
232, 417
Расстояние между пунктами
усиления 98
усилителями 95, 97
Расщепление импульса 272
РБ3 590
Резонанс Ферми 454
— Фешбаха 612
Резонатор бистабильный 584
— волоконнооптический 588
— кольцевой 584
— планарный 598
— полупроводниковый 590-597
— Фабри-Перо 193

642
Предметный указатель
Рефракция 17
Решётка х(2) 444
— Абрикосова 621
— аподизированная 205
— брэгговская 183-213, 574
— вихрей 324, 621
— волоконнооптическая 465, 574,
576
— гексагональная 325
— глубокая 203
— гребенчатая 468
— групповая скорость 194
— Дирака 468, 470
— дискретная 397, 463
— дисперсионное соотношение 189
— дифракционная теория 185
— замедление 190
— зона остановки 189
— квадратная 326, 509, 523
— квазипериодическая 447
— КСВ 444, 447
— линейные свойства 188
— модуляционная неустойчивость
193
— неглубокая 478
— нелинейная 203, 444, 454, 516
— нелинейное переключение 207
— оптическая 463, 465, 477
бистабильность 207
— первого порядка 187
— периодическая 508
— полупроводниковая 209
— поляризационные эффекты 211
— пространственная 449
— световодная 183-213
— сдвинутая по фазе 209
— синусоидальная 187
— солитон 200
— чирпированная 191
Ряд Тейлора 26, 159, 187, 190, 221,
336
-Фурье 186, 447
Самодефокусировка 15, 261, 282,
493
Самозаписывание 574
Самоиндуцированная прозрачность
16
Самоканалирование 16, 78, 225, 262,
420, 464, 535, 556, 568, 577
— пространственно-временное 452
Самомодуляция фазы 63, 259, 267,
445
Самообострение 29, 119-121, 276,
282, 286, 293
Самосдвиг частоты солитона 121
Самофокусировка 15, 18, 78, 225,
233,261,272,493,567,605
Сверхпроводник 621
Сверхрешётка 497
— двухкомпонентная 474
— квазипериодическая 446
— неорганическая 453
— органическая 453
— полупроводниковая 497
— Фибоначчи 446
Сверхтекучесть 303, 311, 313
Световод градиентный 280, 282
— двулучепреломляющий 211, 358,
394
— дисперсионно компенсированный
110
— дисперсионно-выровненный 28,
119
— дисперсионное сужение 165
— дисперсионно-смещённый 28
— дисперсия 27
— допированный германием 184,
574
— кварцевый 27, 184
— многомодовый 336
— одномодовый 26, 336
— при двулучепреломлении 63
— распространение импульса 25-30
— с убывающей дисперсией, см.
световод
— светочувствительный 184
— сохраняющий поляризацию 166,
211
— стандартный ПО, 111
— убывание дисперсии 169
— убывающая дисперсия 102-104
— халькогенидный 200
Световодная петля с рециркуляцией
111
— решётка, см. решётка

Предметный указатель
643
Светодиод 571
Светочувствительность 183,
573-582
Свехрешетка 201
Связанное состояние безизлуча-
тельное 418, 425
вложенное 418
двухсолитонное 425
Связь вызванная КМФ 340
— когерентная 357, 359
— некогерентная 391
Сдвиг Гуи 317
— частоты комбинационный 158
случайный 160
Сегнетоэлектрик 443, 446
Сегнетоэлектрический кристалл 176
Седловая точка 364
Сепаратриса 427
Сероуглерод 78
Сжатие импульса 285
Симметрия Клейнмана 356
— кубическая 356
Сингулярность волнового фронта
303, 309
Синфазная волна Блоха 477
Система бинарная 493
— вихрей 324
— волноводов 64, 463
— нелинейная 463
— оптически наведённая 501
— периодическая 463, 468
Скалярное приближение 30, 229
Скачок фазы 135
Скорость утечки 354
Слой квантовой ямы 453, 590
Случайный процесс 537
Солитон ТЕ 365
— ТМ 366
— Х-волновой 274
— алгебраический 52
— антитёмный 143, 163, 555, 560
— бистабильный 38
— брэгговский 200
— БЭК 613-625
— в решётке 200
— ведущий центр 420, 446
— векторный, см. векторный
солитон
— взаимодействия 67
— вихревой 247, 303, 309-321, 397,
620
некогерентный 559
параметрический 450
— вложенный 63-67, 165, 418
— волн материи 613-625
— волоконнооптический 86-127
— вращающийся 247
— временной, см. временной
солитон
— второго порядка 76, 206
— высшего порядка 204
— дискретный 462-503
— диссипативный 583-602
— история 14
— квадратичный, см. квадратичный
солитон
— квазипериодический 446
— КдФ 139
— керровский 67, 138, 220, 224, 413,
421,552,589
— кластер 240
— КМФ-связанный 341
— кольцевой тёмный 328
— кольцо 244
— КСВ 444
— магнитный 602-610
— Манакова 358, 376
— многогорбый 417, 617
— многомодовый 373
— момент импульса 246
— некерровский 68
— некогерентный 533-560
сцепленный 545
— нелокальный 571
— непараксиальный 229
— нечётный 479
— НУШ 203, 224, 230
— параметрический 408-455,
597-602
— поверхностный 454
— пропеллерный 247, 374
— пространственно-временной
258-298, 452, 467
— пространственный, см.
пространственный солитон
— резонаторный 583-602

644
Предметный указатель
— светлый 17, 23, 35, 49-622
— световоды ый 16
— связанное состояние 75
— связанный 338
— серый 36, 135, 152, 162, 171, 305,
342, 554, 556, 617
— симбиозный 338, 341
— скалярный 230
— слияние 423, 434
— сносимый 419, 421, 429, 602
— со смешанной поляризацией 365
— спин 249
— спиновых волн 602-610
— спиральное движение 239-246,
436
— столкновение 67-75, 79, 204, 580,
607
— тёмный 17, 35, 38, 133-177, 342
— типа фронта 142, 288
— топологический 600
— управляющий 354
— устойчивость 52-63, 520
— Флоке-Блоха 491
— фотонная запрещённая зона
516-527
— фоторефрактивный 79
— фотоэлектрический 38
— фундаментальный 203, 226
— частично когерентный 535
— чёрный 36, 135, 152, 163, 171, 305
— чётный 479
-щелевой 62, 200-204, 467, 491,
523
— экранированный 175, 236
— эксперименты 78, 233-239
Солитонная полоса 392
— система, расстояние между
усилителями 94, 97
управляемая дисперсия
102-111
флуктуации времени прихода
115, 116
формат модуляции 90
шум усилителя 113-115
эксперименты 99
Солитонный период 71
Сопровождение импульсов 344, 345
Сосредоточенное усиление 94-97
Сохранение энергии 433
Спекл-картина 535, 549, 556
Спектральная фильтрация 158, 165
Спектральное уширение, вызванное
ФСМ 118
Спиновая волна 602
дипольно-обменная 602
магнитостатическая 602
нелинейная 602
Спонтанное излучение 161
Среда градиентная 279
Стабильность схемы 109
Статистика Бозе 610
Степень когерентности 535, 538,
544, 553, 558
Стохастический процесс 114, 161
Стоячая волна, захваченная 418
Ступенчатая аппроксимация 103
Суперконтинуум 290
Сфера Пуанкаре 363, 364
Схема накачки двунаправленная 99
Тёмная полоса 302, 305, 307
— решётка 303
Тёмный крест 303
— солитон 581
Y-соединение 176
— — безизлучательный 425
векторный 394-401
взаимодействие 143, 171
вложенный 425
волн материи 617
временной 158-172
высшего порядка 174
генерация 135, 165
двойной провал 424
дискретный 485-489
дополнительная мощность 140
квадратичный 423
керровский 133-137
кольцевой 328
критерий устойчивости 143
некерровский 137-158
некогерентный 553
неустойчивый 143-152
оптическая связь 168
приложения 168

Предметный указатель
645
пространственный 133-158,
172-177
стабилизация 157
флуктуации 160
фоторефрактивный 174
экранированный 175
эксперименты 165-177
Теорема Блоха 475
— Ван Циттерта-Цернике 536, 539
— вириала 264
— Лиувилля 542
— о свёртке 537
— устойчивости Ляпунова 60
Теория возмущений 53, 60, 112
многомасштабная 138
на основе инвариантов 153
— плотности когерентности 534, 536
— связанных мод 186, 356, 473, 478
— Флоке-Блоха 465, 467
Техника оптической связи 184
Топологический дефект 310
— заряд 243, 249, 251, 324, 325, 375,
559, 619, 621
Точка бифуркации субкритическая
589
Трансляционная инвариантность
516
Транспарант амплитудный 172
— фазовый 172, 174
Трёхволновое смешение 41, 409,
425, 426, 430, 438
Тригеррная схема 169
Туннелирование солитонов 495
Увлечение солитона 431
Угловой момент 621
орбитальный 450
— спектр 534, 536, 537
Угол отклонения 68, 156
Ударная волна 121, 285
Удвоение периода 197, 479
Управление дисперсией 119, 446
плотное 108
— потерями 94
Управляемая дисперсия 102-111
Уравнение Вигнера-Муаяля 542,
547
— Власова 533, 542, 547
— Гельмгольца 39, 186, 230
— Гинзбурга-Ландау 157, 315, 397,
588
— Гросса-Питаевского 477, 611-625
— КдФ 146, 148, 159, 162, 330
— Кортевега- де Фриза, см.
уравнение КдФ
— Ландау-Лифшица для момента
вращения 602
— на собственные значения 52, 57,
340, 543, 545, 554
— Ньютона 427
— переноса излучения 542
— эйконала 224
— Эйлера-Лагранжа 105, 277, 384,
567
Уравнения Боголюбова 618
— Гамильтона 542
— Кирхгофа 513
— Максвелла 19, 186, 229, 230, 290,
410, 567
метод КРВЭ 290
прямое решение 288, 290
— связанных мод 523
линейные 188
нелинейные 187, 193, 198
частотное представление 187
Усиление зависящее от
интенсивности 155
— нелинейное 155, 157
Усиленное спонтанное излучение
113
Условие Брэгга 185, 186, 497
— ортогональности 58, 59
— фазового синхронизма 41, 185,
409, 416, 417, 420, 433
Фазовая кросс-модуляция 188
— маска компьютерная 316, 323, 326
— модуляция 157
— самомодуляция 86-90, 118, 171,
188, 527
Фазовый переход 551, 588
— синхронизм двойной 437
идеальный 429, 452
настройка двулучепреломлени-
ем 419
температурой 419

646
Предметный указатель
типа I 409, 421, 426, 432, 434,
453
II 409, 425,429,451
— транспарант 389, 555, 581
геликоидальный 559
Фазочувствительное усиление 158
Фактор увеличения энергии ПО
Ферромагнитный резонанс 603
Филаментация 227, 230, 434
Фильтр, переключения каналов 517
Флуктуации времени прихода 115,
116
Гордона-Хауса 115, 160, 171
управление 102-104
— Гордона-Хауса, см. флуктуации
времени прихода
Фон, амплитуда 134, 154
— бесконечный 311
— волна Блоха 486
-гауссов 311, 315,317, 319
— интенсивность 138, 157
— негауссов 320
— неподвижный 154
— непрерывное излучение 137
— однородный 140, 141, 155, 157
— постоянный 134, 153, 311
— самодефокусировка 315
— убывающий 156, 157
-фаза 142, 154
— эволюция 154, 156, 315
Фотонная запрещённая зона
185-193, 507-516
Фотонный кристалл, волновод 511
двумерный 508
двухатомный 523
дефект 509-512
квадратичная нелинейность
455
квазипериодический 517
линейные свойства 507-516
нелинейный 517
Фотополимер 574, 576
Фоторефрактивный кристалл 79,
174, 237, 317, 368, 387, 389, 534,
556
Фотоэлектрический эффект 175
Фрактальное рассеяние 71, 72
Френелевское отражение 558
Функциональная матрица 350, 353,
392
Функция Бесселя 465, 589
— Вигнера 546
-Грина 510," 513-516, 519
— когерентности 534, 538
пространственной 538
— Лежандра 39„ 545
— Ляпунова 144, 349.
— отклика 572
— Эрмита-Гаусса 105, 544, 613, 616
Халькогенидное стекло 574
Хаос 197, 464
Хаотическое рассеяние 71
Химическое осаждение из паровой
фазы 579
Центр инверсии 19
Центробежная сила 244
Частично когерентный источник
537
— солитонная связь 110
Частотно-разрешённое оптическое
стробирование 293
Четырёхволновое смешение 41, 63,
185
Чирп временной 264, 266, 267, 269
— вызванный ФКМ 211
— - ФСМ 86
— индуцированный КМФ 342
— пространственный 266, 267
— частотный 88, 107
Число Френеля 592
Шелевой солитон 210
Шум усилителя 113
Щелевая камера 168, 169, 171, 174
Щелевой солитон 200-204
движущийся 201
комбинационный 207
лоренцевский 202
нелинейная решётка 203
пара тёмного и антитёмного
солитонов 201

Предметный указатель
647
светлый 201
-—- связанный 212
стационарный 201
тёмный 201
устойчивость 202
Электрическая проницаемость
вакуума 410
Электронный отклик 283
Электрооптичёский коэффициент
502
Эллиптическая функция 343
Эффект Ааронова-Бома 321
— Керра 15, 29, 491
— Поккельса 174
— сноса 354, 358, 410, 411, 413, 419,
427, 429, 432, 438, 602
— сопровождения 347, 352
— Яноши 570
Эффективная площадь сердцевины
171, 188, 337
Эффективность конверсии 449
— преобразования 420, 446
Эффекты высших порядков 282-292
линейные 282
нелинейные 282

Научное издание
КИВШАРЬ Юрий С.
АГРАВАЛ Говинд П.
ОПТИЧЕСКИЕ СОЛИТОНЫ. ОТ ВОЛОКОННЫХ СВЕТОВОДОВ
ДО ФОТОННЫХ КРИСТАЛЛОВ
Редактор Е.С. Артоболевская
Оригинал-макет: В.В. Худяков
Оформление переплета: А.А. Логунов
ЛР JNfg 071930 от 06.07.99. Подписано в печать 16.05.05.
Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 40,5. Уч.-изд. л. 44,4. Заказ JNfe 792.
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАЙК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;
http://www.fml.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов
в ОАО «Чебоксарская типография № 1»
428019, г. Чебоксары, пр. И. Яковлева, 15
ISBN 5-9221-0584-1
9'
105642"

Юрий Кившарь - профессор Центра нелинейной физики
Австралийского национального университета.
Говинд Лгравал - профессор оптики Института оптики
Университета Рочестера, штат Нью-Йорк.
«Оптические СОЛИТОНЫ» - это первая книга,
содержащая детальное рассмотрение различных типов
оптических солитонов и их приложений. Она вводит
фундаментальные представления теории нелинейных волн
и солитонов на основе реалистических моделей нелинейной
оптики. Кроме того, в ней суммируются самые современные
экспериментальные результаты по пространственным
и временным солитонам, а также щелевым, вихревым,
дискретным и некогерентным солитонам и солитонам,
формирующимся в фотонных кристаллах.
Раскрываются связи с другими направлениями
исследований, такими, как спиновые волны и нелинейные
волны материи в конденсатах Бозе-Эйнштейна.
Кившарь - Оптические солитоны
9 78S922 10S842
Цела 454 руб