Р. ЭНГЕЛЬКИНГ
ОБЩАЯ
ТОПОЛОГИЯ
Перевод с английского
м. я. антоновского
и А. В. АРХАНГЕЛЬСКОГО
МОСКВА-«МИР»-1986

Monografie Matematyczne
torn 60
Ryszard Engelking
GENERAL TOPOLOGY
Panstwowe Wydawnictwo Naukowe
Warszawa 1977
Manuscript of the second
edition, 1985

ББК 22.152
Э 62
УДК 515.12
Энгелькинг Р.
Э62 Общая топология: Пер. с англ. — М.: Мир, 1986.
— 752 с.
Энциклопедически полное и сбалансированное изложение обширного круга
вопросов по общей топологии, написанное известным польским математиком.
Книга может использоваться в качестве справочника и как вводное учебное пособие
по общей топологии. Русское издание дополнено новым материалом.
Для математиков разных специальностей, для всех изучающих и использующих
методы общей топологии.
Редакция литературы по математическим наукам
1977, by Paristwowe Wydawnictwo Naukowe
(PWN — Polish Scientific Publishers)
перевод на русский язык, исправления до-
дополнения, «Мир», 1986

ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
Идеи топологии ведут начало от работ выдающихся матема-
математиков XIX века: Н. И. Лобачевского, Римана, Пуанкаре, Фреше,
Кантора, Гильберта и Брауэра.
Оформление общей топологии в самостоятельную область
математики связано с выходом в 1914 г. книги Ф. Хаусдорфа
«Теория множеств».
Важными вехами в истории общей топологии стали выход
{в 1929 г.) «Мемуара о компактных топологических простран-
пространствах» П. С. Александрова и П. С. Урысона, монографии «Торо-
logie» К. Куратовского A933 г.) и знаменитой монографии
«Topologie I» П. С. Александрова и X. Хопфа A935 г.). На этих
книгах, как и на книге Хаусдорфа, воспитывались поколения
топологов во всем мире.
Прошедшие 70 лет развития общей топологии — весьма не-
небольшой срок с точки зрения истории науки — были годами ее
молодости. Это был период активного роста общей топологии,
становления ее направлений, формирования основных принци-
принципов и методов, кристаллизации центральных понятий, создания
архитектуры общей топологии и укрепления ее взаимосвязей
с другими разделами математики, в первую очередь с анали-
анализом (в том числе функциональным), геометрией, математиче-
математической логикой и алгеброй. Довоенный период развития общей
топологии ознаменован построением П. С. Александровым и
П. С. Урысоном основ теории компактных пространств, фунда-
фундаментальной теоремой А. Н. Тихонова о компактности произве-
произведения компактных пространств, построением стоун-чеховского
расширения и теорией компактных расширений, развитой
П. С. Александровым, А. Н. Тихоновым, Э. Чехом, М. X. Стоу-
Стоуном и Г. Волманом.
В то же время были установлены основные факты теории
размерности пространств со счетной базой (П. С. Урысон, В. Гу-
ревич, К. Менгер, Л. А. Тумаркин, Н. Б. Веденисов *)).
*) Н. Б. Веденисов, доцент Московского университета, в 1941 г. вступил
добровольцем в народное ополчение и погиб в ноябре 1941 г. в боях под
Ельней.

б ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
Начало послевоенного периода развития общей топологии от-
отмечено доказательством в 1948 г. А. X. Стоуном одной из наи-
наиболее ярких и важных теорем общей топологии: теоремы о па-
паракомпактности произвольного метрического пространства. На
ее основе в 1950—1951 гг. был получен общий метризационный
критерий Бинга — Нагаты — Смирнова.
Л. В. Келдыш получила глубокие теоремы об отображениях
и размерности множеств в евклидовых пространствах, возгла-
возглавив советскую школу геометрической топологии.
Стремление распространить методы, свойственные теории
метрических пространств, за пределы этого класса привело к по-
построению А. Вейлем теории равномерных пространств, в сферу
действия которой попадают все тихоновские пространства.
В связи с понятиями паракомпактности и равномерного про-
пространства центральное значение приобрели понятие локальной
конечности и отношение звездной вписанности.
К этому моменту стало ясно, что естественная сфера дей-
действия принципов и концепций общей топологии выходит далеко
за пределы класса пространств со счетной базой или класса
метрических пространств. Первый итог развития общей тополо-
топологии, не ограниченный рамками пространств со счетной базой,
был подведен в книге Дж. Л. Келли «Общая топология», вышед-
вышедшей на английском языке в 1955 г. и изданной в русском пере-
переводе в 1968 г.
Главный объект исследования в общей топологии — понятие
непрерывности (моделируемое посредством понятий топологиче-
топологического пространства и непрерывного отображения). Вопросы,
связанные с непрерывностью, занимают центральное место во
многих разделах математики. В каждом из них они выступают
в своем облачении, на своем уровне общности, определяемом
спецификой этого раздела. Компактно-открытая топология и
топология поточечной сходимости функциональных пространств,
слабые топологии банаховых пространств, пространства мер, то-
топологические границы функциональных алгебр — появление этих
топологических объектов (заметим — не «внутри» самой общей
топологии) потребовало построения теории топологических про-
пространств за пределами пространств с первой аксиомой счет-
ности. Возникновение в связи с потребностями алгебраической
геометрии топологий Зарисского показало, что общая тополо-
топология не может априори ограничиваться рассмотрением хаусдор-
фовых пространств.
В настоящее время общая топология достигла того наиболее
естественного уровня общности, который позволяет излагать то-
пологические принципы, концепции и конструкции с наибольшей
прозрачностью и одновременно обеспечить им максимально ши-
широкую приложимость в других разделах математики.

ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ 7
С начала 50-х гг. стал наблюдаться быстрый рост активности
исследований в общей топологии буквально по всему ее фронту.
Возникло много новых, тесно связанных между собой вопросов,
направленных на более глубокое изучение паракомпактности и
близких к ней свойств; это в свою очередь вывело на передний
план метод покрытий и родственный ему метод специальных
баз. В результате в новом свете предстала метризационная про-
проблематика, совершенно по-новому зазвучала классическая тема
моровских пространств, были сделаны заметные продвижения
в теории размерности.
Весьма активно шел процесс построения новых топологиче-
топологических инвариантов; особенно большую роль стали играть карди-
кардинальные топологические инварианты, что объясняется внутрен-
внутренней идейной близостью общей топологии и теории множеств.
Последнее стимулировало глубокое проникновение в теорию то-
топологических пространств методов математической логики и
применение принципов, подобных аксиоме Мартина (см. в связи
с этим недавно вышедшую монографию X. Фремлина «Conse-
«Consequences of Martin's Axiom»). В 60-е и 70-е годы исследование
кардинальных инвариантов (а сюда попадают такие классиче-
классические вопросы, как проблема Суслина) сложилось в один из
центральных разделов общей топологии.
Новые краски обрела теория компактных пространств, в ча-
частности, в связи с исследованием пространств функций и бана-
банаховых пространств со слабой топологией (компакты Эберлейна,
компакты Корсона).
Л. С. Понтрягин еще в 30-е годы обратил внимание на кон-
конструкцию 2-произведения и применил вполне упорядоченные
(трансфинитные) спектры из компактов.
Систематически была развита теория диадических компак-
компактов— непрерывных образов обобщенных канторовых дисконти-
дисконтинуумов. Значение этой разновидности компактов связано, в ча-
частности, с тем, что к ней относятся все компактные группы.
Стержневое положение в теории диадических компактов зани-
занимают кардинальные инварианты.
Активное движение топологических концепций внутри и вне
общей топологии остро поставило задачу укрепления единства
теории топологических пространств. Именно в последние 30 лет
основную объединяющую роль в общей топологии (наряду с ме-
методом кардинальных инвариантов) стал играть метод взаимной
классификации пространств и отображений (и входящий в него
как часть метод обратных спектров).
На языке отображений удалось точно выразить соотношение
между классом метрических пространств и многими более широ-
широкими классами пространств: с первой аксиомой счетности, сек-
секвенциальных пространств, пространств Фреше — Урысона,

8 ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
пространств с равномерной базой, моровских пространств. Отме-
Отметим особо работу Г. С. Чогошвили об обобщенной сходимости.
Были доказаны фундаментальные теоремы о сохранении топо-
топологических инвариантов при отображениях (например, параком-
паракомпактности при замкнутых отображениях и метризуемости при со-
совершенных отображениях). Метод обратных спектров был раз*
вит как в аналитическом, так и в синтетическом направлении.
Это позволило получить глубокие общие теоремы (в частности»
примыкающие к теории диадических компактов), а также по-
построить тонкие примеры, относящиеся к теории кардинальных
инвариантов компактов и теории размерности компактов.
Более глубокое понимание компактности было достигнуто
посредством изучения ее важнейших граней — счетной компакт-
компактности и псевдокомпактности (ограниченности всех непрерывных
вещественных функций). Хотя различить эти понятия нелегко —
для нормальных пространств счетная компактность равносильна
псевдокомпактности, — эти понятия, как выяснилось, разделяет
пропасть: если счетная компактность наследуется замкнутыми
подпространствами, то каждое тихоновское пространство вкла-
вкладывается в качестве замкнутого подпространства в псевдоком-
псевдокомпактное пространство. Всестороннему изучению были подверг-
подвергнуты нормальность и свойство Линделёфа, в частности, был
построен пример нормального не счетно паракомпактного про-
пространства. Много тонких исследований было посвящено свой-
свойствам типа полноты: полноте по Чеху, полноте по Хьюитту, пол-
полноте по Дьедонне и др. Были введены и продемонстрировали
свое важное значение — для создания единой классификации
топологических пространств — новые классы пространств и ото-
отображений: перистые, кружевные пространства, линделефовы
S-пространства, псевдооткрытые, бифакторные отображения.
Во всех этих многообразных направлениях были получены
яркие результаты; технический уровень ведущих исследований
в общей топологии и их интенсивность значительно выросли.
Надо заметить, что это не сопровождалось ростом разобщен-
разобщенности общей топологии и потерей естественности в постановках
задач. Напротив, глубокий результат из одной области проли-
проливал, как правило, новый свет на другие разделы.
Сейчас ежегодно в мире выходит очень много книг, посвя-
посвященных той или иной области топологии. Это главным образом
учебники и монографии по отдельным вопросам алгебраической,
геометрической и дифференциальной топологии. Монографий же,
претендующих на охват всей общей топологии, совсем мало.
Такой монографией стала книга Р. Энгелькинга «Общая то*
пология», вышедшая в 1977 г. Перед ее автором стояла ело ж*
нейшая многоплановая задача. Во-первых,— такого отбора ма-
материала, который бы полно отразил основные достижения и ны-

ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ 9
нешнее состояние во всех главных разделах общей топологии.
Во-вторых, — такой организации этого материала, которая бы
продемонстрировала единство общей топологии на данном этапе
ее развития и определила бы главные дальнейшие ее задачи.
Книга должна была стать основным средством подготовки спе-
специалистов — общих топологов и одновременно быть доступной
и полезной широким кругам математиков, использующих топо-
топологические концепции. На наш взгляд, Р. Энгелькингу удалось
блестяще справиться с этими задачами.
Нет нужды говорить здесь подробно о содержании книги:
об этом хорошо сказал сам автор в своем предисловии и во
введениях к отдельным главам. Однако уместно посвятить не-
несколько слов тому, как автору удалось достичь широкого охвата
материала при сравнительно небольшом объеме и не потерять
в своем изложении единства и гармонии. Одно из средств — это
тщательный отбор материала, основанный на широком личном
опыте автора творческой работы в общей топологии и на
тесных связях автора со специалистами по общей то-
топологии из многих стран. Второе средство — это много-
многоплановая архитектура книги. Об этом следует сказать не-
несколько слов отдельно.
Во всех главах в основном тексте тщательно соблюден ба-
баланс между общими утверждениями (теоремами) и примерами.
Каждый параграф дополнен упражнениями, тесно связанными
с текстом и активно развивающими его во множестве направ-
направлений; более трудные упражнения сопровождаются указа-
указаниями; в целом они выбраны так, что самостоятельная работа
над упражнениями не должна вызывать затруднений у чита-
читателя. Это позволяет охватить множество новых понятий и при-
примеров.
Каждая глава заканчивается параграфом со скромным на-
названием «задачи». Роль этих параграфов, незаметных при чте-
чтении оглавления, чрезвычайно велика. Каждый из них на самом
деле является маленькой главой, в которой излагается множе-
множество продвинутых тем, тонких теорем и примеров в стиле, отлич-
отличном от стиля основного текста книги. Овладение материалом
этой части книги потребует от читателя творческой работы. Мно-
Многие темы задач переходят от одной главы к другой: прослежи-
прослеживается, как в различных главах освещается эта тема. Этим в
немалой степени обеспечивается единство книги: темы задач,
повторяясь, как бы «сшивают» главы воедино. В то же время,
если взять какую-нибудь из этих тем отдельно и проследить ее
движение сквозь книгу, мы увидим, что получится, в сущности,
самостоятельная глава, изложенная хотя и конспективно, но
доступно для читателя, творчески овладевшего основным тек-
текстом. Таких «скрытых» глав в книге очень много, и вес их не

10 ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
меньше веса основных глав. Назовем некоторые из них: линейно
упорядоченные пространства, борелевские множества, карди-
кардинальные функции, многозначные отображения, декартовы произ-
произведения и S-произведения, обратные спектры, пространства
замкнутых множеств, диадические компакты, пространства ото-
отображений.
Последняя важная особенность книги Р. Энгелькинга, кото-
которую хотелось бы здесь отметить, — систематический историко-
библиографический комментарий. Хотя в основном комментарий
весьма лаконичен, читатель получает представление о том, ка-
какую роль в развитии общей топологии сыграли те или иные ма-
математические школы, математические центры и отдельные вы-
выдающиеся математики.
В книге и комментариях отразилась ведущая роль, которую
играла в формировании топологии на протяжении всего 70-лет-
70-летнего периода ее развития московская топологическая школа
П. С. Александрова. Работы П. С. Александрова и П. С. Уры-
сона о компактности и метризации, теоремы А. Н. Тихонова
о компактности произведений и о погружении в тихоновские
кубы, вклад П. С. Александрова в теорию компактных расши-
расширений, труды П. С. Урысона по теории размерности, работы со-
советских математиков послевоенного периода: Ю. М. Смирнова,
A. В. Архангельского, Б. А. Пасынкова, В. И. Пономарёва,
B. В. Федорчука, В. В. Филиппова, М. М. Чобана, Е. В. Ще-
пина органически влились в книгу Энгелькинга, определив су-
существенную часть ее содержания.
По заслугам отражен выдающийся вклад в общую тополо-
топологию польской топологической школы — К. Куратовского, В. Сер-
пинского, В. Кнастера, С. Мазуркевича, 3. Янишевского и более
молодых топологов: Энгелькинга, Хабера, Пшимусинского, Поля
и др. Особенно значителен этот вклад в теорию континуумов,
теорию размерности, дескриптивную теорию множеств, теорию
многозначных отображений. Следует еще раз подчеркнуть тра-
традицию тесных связей между топологами польской и московской
школ, их огромное взаимное влияние.
В связи с изданием настоящего перевода нелишне напом-
напомнить, как высоко ценил П. С. Александров вклад польской топо-
топологической школы и конкретно монографию Р. Энгелькинга. Он
всегда подчеркивал, что для написания хорошей монографий
необходимы три ингредиента: чтобы автор был крупным ученым»
внесшим весомый вклад в развитие соответствующей области,
обладал хорошим вкусом и был исключительно добросовестен
и аккуратен. П. С. Александров с самого появления первого из-
издания монографии Энгелькинга считал необходимым перевести
ее на русский язык. По техническим причинам реализация этого
проекта задержалась на долгие годы и воспринимается сейчас

ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ Ц
как исполнение одного из пунктов завещания Павла Сергеевича
Александрова.
Продолжением традиций советско-польского содружества и
сотрудничества в области топологии явилась работа над пере-
переводом этой книги. Благодаря любезности проф. Р. Энгелькинга
переводчики имели в своем распоряжении исправленный и до-
дополненный текст второго издания книги, которое готовится к вы-
выходу в Польше в 1987 г.; с него и сделан настоящий перевод.
В книге отражен вклад в развитие общей топологии амери-
американских математиков: Э. Майкла, М. Стоуна, А. Стоуна,
Э. Хьюитта, упомянуты яркие результаты М. Э. Рудин, П. Ни-
коша, X. Викке, Дж. Уорелла, В. Флейснера, Ф. Толла, В. Ком-
Комфорта и др.
Читатель получает представление о вкладе в общую топо-
топологию японской группы: Мориты, Нагаты, Нагами, Окуя-
мы и др.
Наконец, отражены значительные достижения в общей топо-
топологии на всех этапах ее развития ученых социалистических
стран: Э. Чеха, М. Катетова, Б. Поспишила,З.Фролика, И.Юха-
са и др.
Не следует, однако, ожидать, что в учебнике по общей то-
топологии сколько-нибудь полно могут быть рассмотрены все ее
вопросы, включая применения. Например, в книге не нашло от-
отражения современное состояние дескриптивной теории множеств
в общих пространствах, ибо этот материал требует отдельной
книги. Не рассматривается метод обобщенных метрик, развитый
в конце 50-х и начале 60-х гг. М. Я. Антоновским, В. Г, Бол-
Болтянским и Т. А. Сарымсаковым. Этот метод позволил доказать
единообразным путем с помощью метризации над топологиче-
топологическими полуполями многие теоремы теории равномерных про-
пространств и пространств близости, а также получить максималь-
максимальное обобщение теорем об открытом отображении и замкнутом
графике и целый ряд результатов в теории топологических ре-
решеток и т. п. Однако книга Энгелькинга обеспечивает очень хо-
хорошую основу для приложений современной общей топологии
в различных частях математики. Она подходит вплотную к та-
таким приложениям в разделах, посвященных пространствам ото-
отображений с различными топологиями, пространствам макси-
максимальных идеалов функциональных алгебр, топологическим груп-
группам и группам гомеоморфизмов, многозначным отображениям,
равномерным пространствам.
Сам спектр приложений, к которым готовит книга Энгель-
Энгелькинга, за последние 30 лет необозримо расширился. Здесь мы
ограничимся только самым кратким обзором некоторых из этих
приложений. В математической логике топологические кон-
конструкции широко применяются при построении моделей, при

12 ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
решении вопросов о независимости и непротиворечивости. Важ-
Важную роль играет здесь счетность числа Суслина тихоновских
кубов.
Хорошо известны приложения теоремы Шаудера о неподвиж-
неподвижной точке, являющейся обобщением классической теоремы
Брауэра и в свою очередь обобщенной А. Н. Тихоновым; тео-
теоремы Банаха о сжимающих отображениях и всевозможные ее
обобщения; приложения метода Лере — Шаудера. Их даль-
дальнейшее развитие в работах Смейла, Атьи, Браудера позво-
позволило перенести упомянутые результаты на поля операторов;
в их конструкции центральное место принадлежит ком-
компактности.
Новое большое направление — теория корректных задач по
Тихонову, существенно обобщающая и развивающая понятия
корректности по Адамару.
С компактностью связано замечательное направление — тео-
теоремы вложения Соболева — Никольского — Шварца. Понятие
локальной компактности весьма плодотворно проявляет себя в
объектах, наделенных одновременно топологией и алгебраиче-
алгебраическими операциями, таких, как топологические группы, кольца,
решетки, булевы алгебры и т. п. Это понятие сыграло значи-
значительную роль в становлении большого направления в современ-
современной математике — абстрактного гармонического анализа, важ-
важного не только своей внутренней красотой, но и новыми прило-
приложениями в функциональном анализе, математической физике»
теории дифференциальных уравнений. В создании этого на-
направления большую роль сыграли работы советских матема-
математиков: Л. С. Понтрягина, А. И. Мальцева, И. М. Гельфанда,
М. Г. Крейна, М. А. Наймарка и зарубежных: А. Вейля,
Э. Хьюитта и др.
Весьма важную роль в приложениях в настоящее время на-
начали играть специальные примеры из общей топологии: канто-
рово совершенное множество, прямая Александрова, ковер Сер-
пинского, пример Кнастера, возникшие ранее из чисто внутрен-
внутренних, логических потребностей топологии. Они легли в основу
новых методов распознавания образов и теории динамических
систем.
Отметим далее, что аппарат теории метрических и псевдо-
псевдометрических пространств нашел приложение в работах по при-
прикладной статистике и распознаванию образов. Для таких прило-
приложений оказались полезными метрики Колмогорова, фон Мизеса*
Байеса и т. п. Специальные метрики в функциональных про-
пространствах позволили Ю. В. Прохорову A956 г.) по-новому по-
подойти к получению предельных теорем теории вероятностей.
Подход Ю. В. Прохорова интенсивно развивался как у нас в
стране, так и за рубежом.

ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ 13
Мы коснулись лишь небольшого числа примеров использова-
использования концепций общей топологии. В заключение еще раз хоте-
хотелось бы подчеркнуть, что данная книга будет интересна широ-
широкому кругу математиков — начиная со студентов и кончая спе-
специалистами. Переводчики благодарят автора — профессора Эн-
гелькинга за внимание к русскому изданию, а также редактора
Н. И. Плутникову за большую работу, которую ей пришлось вы-
выполнить в связи с многочисленными изменениями в процессе под-
подготовки рукописи к изданию.
М. Я. Антоновский
Л. В. Архангельский

Памяти
профессора Казимира Куратовского
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга содержит достаточно полное и современное изло-
изложение общей топологии. Она адресована в первую очередь стар-
старшекурсникам и аспирантам, но может быть полезной для ссы-
ссылок и математикам более высокого уровня.
Глава 1 содержит основные определения и результаты, отно-
относящиеся к общим топологическим пространствам и непрерывным
отображениям. Глава 2 посвящена операциям на топологических
пространствах, т. е. стандартным методам получения новых про-
пространств из старых. В следующих трех главах изучаются клас-
классы компактных, метризуемых и паракомпактных пространств, а
также некоторые отношения между классами пространств. Гла-
Глава 6 содержит обсуждение связности. Глава 7 представляет со-
собой сжатый курс теории размерности в общих топологических
пространствах. Последняя глава посвящена равномерным про-
пространствам и пространствам близости.
Первые пять параграфов гл. 1 вместе с § 2.1 и 2.3 образуют
введение в нашу книгу. Ознакомившись с этим материалом,
читатель сможет продолжить чтение в соответствии со своими
интересами или нуждами. Если же читатель мало знаком с дан-
данным предметом, мы советуем ему изучить § 4.1—4.3; сравни-
сравнительно легкие, они помогут выработать топологическую интуи-
интуицию.
Расположение материала следует предыдущей книге автора
«Outline of general topology», изданной в 1968 г. Однако дан-
данная книга написана заново и значительно более подробно. Около
40 % текста посвящено недавним достижениям общей тополо-
топологии, которые не обсуждались в предыдущей книге.
Каждый параграф оканчивается историческими и библиогра-
библиографическими замечаниями. Затем следуют упражнения, которые
прежде всего предназначены для проверки понимания и усвое-
усвоения материала читателем. Упражнения, которые начинаются
словами «проверьте», «установите», «заметьте» или «убедитесь»,
обычно достаточно легкие. Упражнения, начинающиеся словами
«покажите» или «приведите пример», несколько более трудные,
а те, которые начинаются словами «докажите», могут быть очень
трудными.

ПРЕДИСЛОВИЕ 15
Последний параграф каждой главы посвящен задачам, яв-
являющимся органической частью данной книги. Они часто снаб-
снабжены подробными указаниями, в которых фактически содер-
содержится набросок доказательства. Задачи можно и просто про-
прочитывать, не решая. Несколько серий задач обсуждается на
протяжении многих глав. Они касаются, например, линейно
упорядоченных пространств, кардинальных функций, прост-
пространств замкнутых подмножеств, полунепрерывных функций
и многозначных отображений.
Приведенные в конце книги подробные указатели, таблица
взаимосвязей между различными классами пространств и таб-
таблицы сохранения топологических свойств при операциях и ото-
отображениях позволяют читателю лучше ориентироваться в ма-
материале.
Знаком 1 отмечен конец доказательства или примера. Если
этот знак появляется сразу после утверждения теоремы, пред-
предложения или следствия, это подразумевает, что утверждение
очевидно.
Числа в квадратных скобках после фамилий отсылают чита-
читателя к библиографии в конце книги. Работы каждого автора
пронумерованы независимо, число означает год публикации.
Мне приятно выразить свою признательность ряду коллег.
Многим я обязан за помощь при написании предыдущей книги:
помогали и вдохновляли меня профессора А. Бялыницкий-Би-
руля, Е. Бровкин, М. Карлович, А. Лелек, К. Морен, Я. Мыцель-
ский, Ч. Рылль-Нардзевский, Р. Сикорский и М. Старк. Содер-
Содержание данной книги обсуждалось в 1968—1973 гг. со студен-
студентами, посещавшими мои лекции и семинары в Варшавском уни-
университете. Их замечания позволили сделать ряд упрощений в
доказательствах и указаниях. Я благодарен К. Альстеру, Я.Ха-
беру, Я. Каневскому, П. Минцу, К. Новинскому, Я. Пшитыц-
кому, Э. Поль, 3. Слодковскому и К. Войтковской.
Особенно я обязан двум моим студентам, первым читателям
книги: Р. Полю и Т. Пшимусинскому. Их содержательные за-
замечания и предложения привели ко многим важным улучшениям
книги.
Когда готовилось английское издание книги, во время моего
пребывания в университете Питтсбурга, мне помогали профес-
профессора Д. Латцер и Э. Майкл, которые поправили мой английский
язык и внесли дальнейшие усовершенствования.
Разрешите мне также упомянуть помощь незнакомых читате-
читателей предыдущей книги, которые любезно указали на некоторые
ошибки и неточности в ней.
Варшава, июнь 1976 г.
Рышард Энгелькинг

16 ПРЕДИСЛОВИЕ
* *
*
Русское издание несколько отличается от английского ори-
оригинала: исправлен ряд ошибок, неточностей и опечаток, упро-
упрощены некоторые доказательства, добавлено несколько упраж-
упражнений и задач и включена информация о наиболее важных не-
недавних результатах, связанных с содержанием этой книги.
Я весьма обязан профессорам А. Чассару, Э. ван Дауэну,
М. А. Морису и доктору А. Мысьору, которые внимательно про-
прочитали английское издание и оказали мне большую помощь,
любезно прислав свои замечания и списки замеченных ими опе-
опечаток.
Варшава, март 1984 г.
Р. Э.

ВВЕДЕНИЕ
Все, что требуется для понимания этой книги, — знание ос-
основных фактов теории множеств и некоторых свойств веще-
вещественных чисел. Цель данного введения — перечислить эти фак-
факты и свойства и познакомить читателя с нашей терминологией
и обозначениями. Никаких доказательств в этом введении дано
не будет, за исключением доказательства эквивалентности ак-
аксиомы выбора двум принципам максимума и теореме Цермело.
Это введение ни в коей мере не заменяет курса теории множеств.
1.1. АЛГЕБРА МНОЖЕСТВ. ФУНКЦИИ
Объединение, пересечение и разность множеств А и В обо-
обозначаются соответственно А[]В, А[\В и А\В\ объединение
^l U ^2 U ... [}Ak обозначается также через (J Aiy а пересече-
ние Ах П А2 П ... [\Ak — через [\ At. Пустое множество обозна-
обозначается символом 0. На протяжении всей книги мы свободно
(т. е. не оговаривая этого) пользуемся всеми правилами вычис-
вычислений с множествами и, в частности, широко применяем за-
законы де Моргана
Мы пишем хеД, когда х является элементом множества Л,
и л;^=Л, когда х не принадлежит множеству А. Обозначения
А а В или В гэ А означают, что А содержится в В, т. е. каж-
каждый элемент множества А принадлежит множеству В. Когда
А с= В, мы говорим, что А есть подмножество множества В; если
А а В и А Ф В, то мы называем А собственным подмножеством
множества В.
Множество всех тех элементов множества X, которые удов-
удовлетворяют условию ф(х), обозначается через
{х^Х:у(х)} или {х: ф(х)};
второе обозначение используется тогда, когда из контекста ясно,
какое множество X мы рассматриваем.
Множество, состоящее из конечного числа элементов л*ьХ2, ...
..., xky обозначается через {х\, ..., хк}. Иногда мы не делаем
различия между множеством {х} и элементом х.
2 Зак. 697

18 ВВЕДЕНИЕ
Упорядоченная пара (х,у) есть множество {{х}, {х, у}}. Две
упорядоченные пары (хиу\) и (х2, г/г) равны в том и только
том случае, если xi = хг, у\ = #г-
Декартово произведение (или просто произведение) XX У
двух множеств i и У есть множество упорядоченных пар (*,#),
где хеХ, у ^ Y. Конечное произведение определяется по ин-
индукции формулой
Всякое подмножество произведения X X У есть некоторое
отношение; множество X есть область определения этого отно-
отношения, а множество У — его область значений. Отношение fez
ciXX Y называется функцией из X в У или отображением мно-
множества J в множество У, если для каждого х^Х существует
такой i/eF, что (х,у)е /, и если этот у однозначно определен
элементом х, т. е. из (х, #) <= / и (х, #') е / следует, что # = у\
Если / — функция из "множества X в множество У и хеХ,
то единственное у, удовлетворяющее условию (х,#)^/, обозна-
обозначается через /(х); оно называется значением функции / в точке
х. Образ множества А а X при отображении / есть множество
ДЛ) = {уе У: y = f(x) для некоторого х^Л};
прообраз множества ВсУ при отображении / есть множество
f-4B)=*{x(=X: f{x)<=B).
Прообразы одноточечных множеств при отображении / назы-
называются прообразами точек при отображении f.
Элементарные формулы алгебры множеств, относящиеся к
образам и прообразам множеств, часто используются в этой кни-
книге; к числу важнейших из них принадлежат следующие две
формулы:
Если / — функция из X в У, a g — функция из У в Z, то ра-
равенство (gf) (x) = g(f(x)) определяет функцию gf из X в Z,
композицию функций / и g. Легко видеть, что (gf)~l(B) =
= f~l (S~l (В)) для любого В cz Z.
Отображение / множества X в множество У называется
инъективным, если для любой пары точек хь Х2^ X
из f(x\) — f(x2) следует, что х\ = Х2.
Если отображение / множества X в множество У удовлетво-
удовлетворяет условию f(X)= У, говорят, что / отображает множество X
«а.множество У, или что / есть отображение «на». Для инъек-
тивного отображения множества X на У существует обратное
отображение /-1, являющееся инъективным отображением мно-

I. 1. АЛГЕБРА МНОЖЕСТВ. ФУНКЦИИ 19
жества У на X1); обратное отображение /-1 определяется соот-
соотношением
f~-l(y) = x в том и только том случае, когда f(x) = y.
Тождественное отображение множества X на себя обозначается
через id*; оно определяется формулой idjr(x) = # для любого
х^Х.
Произвольная функция, определенная на множестве всех
положительных целых чисел, называется последовательностью;
значение последовательности в точке п обычно обозначается
через хПу г сама последовательность — через х\, *2, ... или
(xi,X2, ...). Множество, состоящее из всех элементов последо-
последовательности xi, хь ..., обозначается {лсь Х2, .. }. Последователь-
Последовательность множеств Аи Л2, ... называется возрастающей, если Aid
сгЛ/4-1 для f=lf 2, ..., и убывающей, если Л^стЛ,- для
1 = 1,2, ... .
Множества, элементы которых суть множества, называются
семействами или классами множеств, а их элементы называются
членами или элементами семейства; семейства семейств мно-
множеств называются системами или совокупностями. В этой книге
рассматриваются как индексированные, так и неиндексирован-
ные семейства множеств. Индексированное семейство {As}s&s
есть, строго говоря, функция, приписывающая каждому sgS
множество As, а неиндексированное семейство есть просто неко-
некоторое множество множеств. Каждое неиндексированное семей-
семейство зФ можно рассматривать как индексированное: достаточно
взять каждый член семейства в качестве его собственного ин-
индекса, т. е. считать, что ^ = {A}A^t#. В этом смысле все опре-
определенные в тексте для индексированных семейств понятия (на-
(например, локальная конечность или точечная конечность) отно-
относятся и к неиндексированным семействам.
Объединение и пересечение семейства множеств {^4s}ses обо-
обозначаются соответственно (J As и П As'> B случае последова-
оо оо
тельности множеств мы употребляем символы JJ At и f| Ai9
а в случае неиндексироваиного семейства $Ф пишем \}$& и {)sf>.
Объединение и пересечение всех множеств, удовлетворяющих
условию ф(Л), обозначаются соответственно
Ф(Л)} и
Декартово произведение (или просто произведение) семей-
семейства множеств {Л5}5е5, т. е. множество всех функций / из S в
!) Инъективное отображение одного множества на другое называют так-
также взаимно однозначным отображением. — Прим, перев.

20 ВВЕДЕНИЕ
У Ast таких, что f(s)^As для любого 5 e S, обозначается
se=S
оо
И As или Ц A i в случае последовательности множеств
АиА2, ... . Для fGll4 точка f(s)^As называется 5-й коор-
S€BS
динатой /. Элемент произведения Ц Ast 5-я координата кото-
S€=S
рого есть точка xs e ASi будет обозначаться в дальнейшем сим-
символом {*$}. В частности, последовательность х\, хг, ... элемен-
элементе
тов множества Л, являющаяся элементом, ЦАь где At = A для
i = l
/=1,2, ..., будет часто обозначаться через {xt}.
Заметим, что произведение Ц Xs, где 5 ={1,2, ..., k), не
st= S
является в точности тем же самым множеством, что и произве-
произведение Xi X Х2 X ... X Xk\ тем не менее между элементами этих
двух множеств существует очевидное взаимно однозначное соот-
соответствие, и мы будем рассматривать их как одно и то же множе-
множество, элементы которого обозначаются (х\,Х2, ..., **).
Отношение Е на множестве X, т. е. подмножество произведе-
произведения XXX, называется отношением эквивалентности на X, если
оно обладает следующими свойствами (мы пишем хЕу вместо
(х,у)^Е):
(Е1) Для любого х е X имеем хЕх.
(Е2) Если хЕуу то у Ex.
(ЕЗ) Если хЕу и yEzy то xEz.
Всякое отношение эквивалентности Е на множестве X опре-
определяет разбиение X на непересекающиеся множества (классы
эквивалентности отношения Я); два элемента множества X
находятся в одном классе эквивалентности в том и только том
случае, когда они связаны отношением Е. Таким образом,
Х= (J А3 и As П ^4s'= 0, если s Ф sf\
s(=S
кроме того,
х, у ^As для некоторого sgSb том и только том случае, если
хЕу.
Класс эквивалентности, содержащий элемент xt обозначается
[х].
Обратно, всякое разбиение множества X на непересекаю-
непересекающиеся множества {>ls}56=5 задает некоторое отношение эквива-
эквивалентности Е на X, определенное условием
хЕу тогда и только тогда, когда х, y^As для некоторого $,

I. 2. КАРДИНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА 21
1.2. КАРДИНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Множества X и У называются равно мощными, если суще-
существует взаимно однозначное отображение множества X на У.
Каждому множеству X приписывается некоторое кардинальное
число (кардинал); оно называется мощностью множества X и
обозначается ]Х|; равенство |J| = |Y| имеет место в том и
только том случае, если X и У равномощны. Для конечного
множества X мощность X равна числу его элементов. Карди-
Кардинальное число, приписываемое множеству всех положительных
целых чисел, обозначается символом Ко (алеф-нуль), а карди-
кардинальное число, приписываемое множеству всех вещественных
чисел, обозначается с (континуум). Множество называется счет-
счетным, если оно либо конечно, либо имеет мощность Ко-
Для кардинальных чисел определены операции сложения и
умножения. Сумма кардиналов шип равна мощности множе-
множества X U У, где |Х\ = ш, | У| = п и X f| Y = 0. Произведение кар-
кардиналов ш и п — это мощность множества XX У, где |X| = nt и:
|У| = п. Сумма кардиналов тип обозначается т + п, произве-
произведение шип обозначается ш-п или тп. Для каждого карди-
кардинала т число 2т, обозначаемое также ехрш, определено как
мощность семейства всех подмножеств какого-нибудь множества
X, удовлетворяющего условию JX| = m. Доказано, что 28° —с.
Более общо, мы определим nm как мощность множества всех
функций из X в У, где |Аг|=ш, |У| = п. Можно доказать, что
Пусть m и п — кардиналы и |Х| = щ, |У| = п. Мы говорим*
что ш не превосходит п или что п не меньше ш, и пишем m ^ п
или n ^ m, если существует инъективное отображение X в У.
Важным фактом о неравенствах между кардиналами является
следующая теорема Кантора — Бернштейна:
если ш ^ п и п^ш, то щ = п.
Можно доказать также, что \f(X) |^|^| для любого отобра-
отображения /, заданного на X. Отсюда, в частности, следует, что се-
семейство всех подмножеств мощности ^щ произвольного множе-
множества мощности п ^ ш имеет мощность ^ищ.
Сумма двух кардинальных чисел, хотя бы одно из которых
бесконечно, равна не меньшему из них. Подобное утверждение
имеет место и для произведения любых двух кардинальных чи-
чисел, отличных от нуля. В частности,
ш + тп = тп-т = т для

22 ВВЕДЕНИЕ
Если m^tt и тфп, мы говорим, что m меньше п или что
п больше ш, и пишем m < n или п > т. Можно доказать, что
m < 2m для любого кардинального числа т;
в частности, Ко < с.
Наименьшая (точная) верхняя грань произвольного множе-
множества {ttts)s<=s каРДиналов определяется как наименьший карди-
кардинал т, такой, что m ^ ms при всех sgS,h обозначается sup ш$;
можно показать, что такое число всегда существует.
1.3. УПОРЯДОЧЕНИЯ. ПОРЯДКОВЫЕ ЧИСЛА
Пусть X — некоторое множество и < — некоторое отношение
на X. Будем говорить, что < линейно упорядочивает множество
X или что < есть линейный порядок на X, если отношение <
обладает следующими свойствами:
(LO1) Если х < у и у < г, то х < г.
(LO2) ?с./ш х < у, то отношение у <х не имеет места,
(LO3) ?о/ш хФу, то либо х<у, либо у<х.
Множество X вместе с некоторым линейным порядком на
X называется линейно упорядоченным множеством.
Будем говорить, что элемент х0 линейно упорядоченного мно-
множества X является наименьшим элементом множества Х> если
Хо < х для любого jcgA{xo}« Аналогично определяется наи-
наибольший элемент линейно упорядоченного множества. Так как
каждое подмножество линейно упорядоченного множества само
линейно упорядочено, то наибольший и наименьший элементы
подмножества линейно упорядоченного множества определены
корректно. Очевидно, что они не обязательно существуют.
Всякая пара (D,E) подмножеств множества X, линейно
упорядоченного отношением <, такая, что D[}E = X, ОФ
Ф0ФЕ и
из xeD и j/g? следует, что х<у,
называется сечением множества X. Множество D называется
нижним классом, а множество Е — верхним классом сечения;
ясно, что эти классы не пересекаются. Для каждого сечения
всякого линейно упорядоченного множества выполнено в точ-
точности одно из следующих четырех условий:
A) Существует наибольший элемент в нижнем классе и наи-
наименьший элемент в верхнем классе.
B) Существует наибольший элемент в нижнем классе, но не
существует наименьшего элемента в верхнем классе.
C) Не существует наибольшего элемента в нижнем классе,
но существует наименьший элемент в верхнем классе.

1.3. УПОРЯДОЧЕНИЯ. ПОРЯДКОВЫЕ ЧИСЛА 23
D) Не существует наибольшего элемента в нижнем классе
и не существует наименьшего элемента в верхнем классе.
Мы называем сечение скачком, если выполнено условие A),
и щелью, если выполнено условие D).
Линейно упорядоченное множество X называется плотно
упорядоченным, если никакое сечение множества X не является
скачком; если, кроме того, никакое сечение множества X не
является щелью, то X называется непрерывно упорядоченным.
Множество X плотно упорядочено в том и только том случае,
когда для любых двух элементов х, у е X, таких, что х < у,
существует элемент г, такой, что х < z < t/. Множество непре-
непрерывно упорядочено в том и только том случае, если кроме при-
приведенного условия для каждого непустого подмножества Xо с: X
множество
{х ^ X; а < х для каждого а е Хо\ {х}}
либо пусто, либо имеет наименьший элемент.
Линейный порядок < на множестве X называется вполне
упорядочением, а множество X вместе с порядком < называется
вполне упорядоченным, если порядок < обладает следующим
дополнительным свойством:
(WO) Каждое непустое подмножество множества X имеет наи-
наименьший элемент.
Можно доказать, что каждое множество кардинальных чисел
вполне упорядочено отношением <, введенным в предыдущем
параграфе.
Пусть множество X линейно упорядочено отношением <t a
множество У линейно упорядочено отношением <'. Будем гово-
говорить, что отображение f множества X в множество У сохраняет
порядок, если f(x) <'f(y) для всякой пары xjel, такой, что
х < у. Если существует сохраняющее порядок отображение ли-
линейно упорядоченного множества X на линейно упорядоченное
множество У, то X и У называются подобными.
Каждое линейно упорядоченное множество X подобно под-
подмножеству множества всех сечений множества X, удовлетворяю-
удовлетворяющему условиям A), B) или D) и линейно упорядоченному по
следующему правилу:
(D\9 Ei) < (Ds, ?2) в том и только том случае,
если ?>i с D2 и D\ Ф D%.
Указанное подмножество не имеет щелей, и если X плотно упо-
упорядочено, то оно непрерывно упорядочено.
Каждому вполне упорядоченному множеству X приписывает-
приписывается некоторое порядковое число, или ординал, а; оно называется
порядковым типом множества Х\ порядковые типы вполне

24 ВВЕДЕНИЕ
упорядоченных множеств X и Y одинаковы в том и только том
случае, когда X и Y подобны.
Каждое сохраняющее порядок отображение инъективно, по-
поэтому если X и Y подобны, то |Х| = |У|. Следовательно, каж-
каждому ординалу а соответствует некоторый кардинал — мощность
вполне упорядоченного множества типа а; этот кардинал назы-
называется мощностью ординала а и обозначается |а|. Если
| ос | ^ Ко, то ординал а называют счетным.
Пусть а и р— ординалы, являющиеся порядковыми типами
соответственно множеств X и Y. Будем говорить, что а меньше
р или что р больше а, и писать а < р или р > а, если суще-
существует такое t/0 ^ У у что множества X и {у е Y: у < у0} по-
подобны. Можно доказать, что каждое множество ординалов
вполне упорядочено этим отношением <. Всякое вполне упоря-
упорядоченное множество типа а подобно множеству всех ординалов,
меньших а, линейно упорядоченному отношением <.
Ординал X называется предельным, если не существует по-
порядкового числа, непосредственно предшествующего Х> т. е. если
для каждого g < X существует ординал а, такой, что ? < а < X.
Если ординал I непосредственно предшествует а, то говорят,
что g является предшественником а, и пишут а = | + 1; а на-
называют наследником ординала |. У каждого ординала имеется
наследник; для любого ординала а и любого целого я ^ 0 опре-
определим по индукции а + я, положив а + 0 = а и а + п =
= [а +(я— 1)]+ 1 для я ^ 1. Оказывается, любой ординал мо-
может быть единственным образом представлен в виде % -\- п, где
1 — некоторый предельный ординал, а п — неотрицательное це-
целое число. Ординал К + п четный (нечетный), если п четно (не-
(нечетно) .
Если множество всех ординалов, меньших предельного орди-
ординала X, содержит подмножество А типа а, такое, что для каж-
каждого | < к существует 5'еЛ, удовлетворяющее неравенству
I < V < X, то говорят, что ординал а конфинален X.
Бесконечный ординал X (т. е. порядковый тип некоторого
бесконечного вполне упорядоченного множества) называется
начальным (или инициальным) ординалом, если Я, —наимень-
—наименьший среди всех ординалов а, таких, что |оь| = |А,|, т. е. если
|?|<|Л| Для любого ? < X. Инициальный ординал X называет-
называется регулярным, если не существует ос < Я, конфинального X.
Для каждого кардинала щ существует начальный ординал Я,
такой, что |А,| = т, и этот X единствен (см. теорему Цермело
в следующем параграфе). Кардинал щ называется регулярным,
если отвечающий ему начальный ординал X, такой, что |Л,| = Е,
регулярен. Начальный ординал мощности &*0 обозначается че-
через <о0; это порядковый тип множества всех положительных
целых чисел с естественным порядком.

I. 3, УПОРЯДОЧЕНИЯ. ПОРЯДКОВЫЕ ЧИСЛА 25
Наименьший ординал, мощность которого больше Ко, т. е.
наименьший несчетный ординал, обозначается через соь а его
мощность — через Кь Равенство 2**° = К i называется гипотезой
континуума] гипотеза континуума независима от аксиом теории
множеств. Для каждой последовательности ai, аг, ... ордина-
ординалов, меньших соь существует такой ординал a < юь что a* < a
для i= 1, 2, ... . Наименьший ординал мощности, большей Кь
обозначается через сог, а его мощность — через &*2- Более общим
образом, каждому ординалу а соответствуют кардинал Ка и
ординал Фа, являющийся начальным ординалом мощности Ка.
Можно доказать, что каждый кардинал равен Ка для некото-
некоторого а.
Пусть а — некоторый ординал, а X — какое-нибудь множе-
множество; под трансфинитной последовательностью типа а со зна-
значениями в X понимают любое отображение / множества W(a)f
состоящего из всех ординалов, меньших а, в множество X. Эле-
Элемент множества X, поставленный в соответствие ординалу
g < а, обозначается х^ а не /(?), а сама трансфинитная после-
последовательность обозначается хо, хи ..., х^ ..., | < а. Трансфи-
Трансфинитная последовательность Ло, А\, ..., Л^, ..., | < а, множеств
называется возрастающей, если Ара Л|при g7 < | < а, и убы-
убывающей, если Л^ с= А^ при S7 < g < a.
Для определения трансфинитных последовательностей обыч-
обычно применяется
Теорема об определениях по трансфинитной индукции. Пусть
даны произвольное множество Z и некоторый ординал а. Пусть
G — множество всех трансфинитных последовательностей типов,
меньших а, со значениями в множестве Z. Для каждой функ-
функции h из G в Z существует тогда в точности одна трансфинитная
последовательность f типа а, такая, что
f{i) = h{f\W&)) привсехКа,
где f\W(\)—трансфинитная последовательность типа g, полу-
ченная сужением функции f на множество W{\) всех ординалов,
меньших g.
Теорему об определениях по трансфинитной индукции часто
применяют в случае, когда Z есть семейство всех подмножеств
множества X. Функция h определяется при этом обычно тремя
различными формулами. Первая формула дает значения h на
последовательности g типа 0 (где 0 — порядковый тип пустого
множества), являющейся пустой последовательностью, т. е. зна-
значение А@). Вторая формула дает значение h(g) на всех после-
последовательностях g типа g+ 1, и, наконец, третья формула дает
значение h(g) на всех последовательностях gy порядковый тип

26 ВВЕДЕНИЕ
которых является предельным ординалом. Например, первая
формула может быть такой:
вторая может иметь вид
а третьей может быть формула
или
где F и G — данные функции и А — некоторое множество. Тогда
последовательность Ло, Ль ...» Л^, ..., | < а, которая суще-
существует в силу теоремы об определениях по трансфинитной ин-
индукции, удовлетворяет следующим условиям:
Следовательно, для того чтобы определить трансфинитную по-
последовательность Ло, Ль ..., А^, ..., | < а, достаточно опре-
определить Ло и описать, как Л^+1 зависит от Л^ и как А\ зависит
либо от U А*9 либо от П Л|
Пусть множество X вполне упорядочено отношением <;
тогда всякое подмножество Л <^Х, при каждом х0^ X удовлет-
удовлетворяющее условию
если {xgI: х < дго}с:Л, то дг0 е Л,
совпадает с множеством X. Этот факт служит основой для ин-
индуктивных доказательств. Мы будем применять его как в слу-
случае, когда X — множество натуральных чисел (доказательства
по математической индукции), так и в случае, когда X — мно-
множество всех ординалов, меньших данного ординала а (дока-
(доказательства по трансфинитной индукции).
Пусть X — некоторое множество и <; — некоторое отношение
на нем. Мы говорим, что ^ упорядочивает X, или что ^ яв-
является упорядочением {порядком) на X, если отношение ^ об-
обладает следующими свойствами:
(OR1) Если х ^ у и у ^ 2, то х ^ г.
(OR2) Для каждого хеХ имеем х^х.
(OR3) Если х ^ у и у ^ х, то х = у.
Множество X вместе с некоторым порядком ^ на I назы-
называется упорядоченным множеством. Два элемента х и у упоря-
упорядоченного множества X могут быть несравнимыми, т. е. может

I. 3. УПОРЯДОЧЕНИЯ. ПОРЯДКОВЫЕ ЧИСЛА 27
случиться, что не имеет места ни одно из неравенств х^у9
у^х.
Всякое семейство множеств упорядочено отношением вклю-
включения с.
Если X линейно упорядочено отношением <, то, полагая для
любых х, у е X
х ^ у в том и только том случае, когда х < у или х = у9
мы получаем некоторый порядок на X. Следовательно, каждое
линейно упорядоченное множество можно рассматривать как
некоторое упорядоченное множество. Если для каждой пары
х, у элементов подмножества А упорядоченного множества X
имеет место одно из соотношений х ^ у или у ^ х, то, полагая
х < у в том и только том случае, когда х ^ у и хфу,
мы получаем некоторый линейный порядок на Л. Говорят, что
А есть линейно упорядоченное подмножество множества X, упо-
упорядоченного отношением ^.
Элемент и некоторого упорядоченного множества X назы-
называется наименьшей (точной) верхней гранью подмножества
А с= X, если х^и при всех х^А я если всякий элемент уе1,
такой, что х ^ v при всех хеД, удовлетворяет неравенству
и ^ у. Наибольшая (точная] нижняя грань подмножества
AczX определяется аналогичным образом. Зметим, что наи-
наименьшая верхняя грань множества X, если она существует, яв-
является наибольшим элементом множества X, а наибольшая
нижняя грань множества X, если она существует, является наи-
наименьшим элементом множества X.
Пусть X — произвольное множество и ^ — отношение на X.
Мы говорим, что ^ направляет множество X или что X на-
направлено отношением =^, если отношение ^ обладает следую-
следующими свойствами:
(D1) Если х^у и у ^zyro x^z.
(D2) Для всякого х^Х имеем х^х.
(D3) Для любых х, у ^ X существует такой элемент z e X, что
x^z и y^z.
Подмножество Л множества X, направленного отношением ^,
конфинально в Ху если для каждого х^Х существует такое
а^А, что х^.а. Конфинальные подмножества линейно упоря-
упорядоченных и упорядоченных множеств определяются аналогично.
Пусть множества X и У упорядочены (направлены) отноше-
отношениями ^ и </ соответственно; функция / из множества X в Y
называется неубывающей, если f(x)^ff(y) для каждой пары
xt у элементов Ху таких, что x^iy. Невозрастающие функции
определяются аналогично.

28 ВВЕДЕНИЕ
1.4. АКСИОМА ВЫБОРА
Аксиома выбора часто используется в этой книге, хотя факт
ее применения обычно не отмечается. Однако иногда удобнее
пользоваться аксиомой выбора не в ее первоначальном виде,
а в одной из альтернативных форм, которые являются важными
теоремами теории множеств. Ниже мы сформулируем теорему
Цермело о вполне упорядочиваемости и два принципа макси-
максимума, являющиеся альтернативными формами аксиомы выбора,
и докажем равносильность всех четырех утверждений. Прежде
всего дадим два необходимых определения.
Элемент х0 упорядоченного множества X называется макси-
максимальным элементом множества Ху если из х0 ^ jc e I следует,
что хо — х. Пусть дано множество X и свойство ^*, которым мо-
могут обладать подмножества множества X. Говорят, что $Р есть
свойство конечного характера, если пустое множество обладает
этим свойством, а множество А а X обладает свойством 1? в том
я только том случае, когда им обладает каждое конечное под-
подмножество А.
Аксиома выбора. Для всякого семейства {Xs}s^s непустых
множеств существует функция f из S в [] Xs, такая, что
/E) е Xs при всех seS.
Теорема Цермело о вполне упорядочиваемости. На каждом
множестве X существует отношение <, которое вполне упорядо-
упорядочивает X.
Лемма Тейхмюллера — Тьюки, Пусть задано множество X и
некоторое свойство д> его подмножеств. Если 0* есть свойство
конечного характера, то каждое множество А с= X, обладающее
свойством IP, содержится в множестве В а X, которое обладает
свойством 9* и является максимальным элементом в упорядо-
упорядоченном по включению семействе всех подмножеств множества
X, обладающих свойством 3*.
Лемма Куратовского — Цорна. Если для каждого линейно
упорядоченного подмножества А множества X, упорядоченного
отношением ^, существует такой элемент xogX, что х^.х0
при всех х^А, то в X существует максимальный элемент.
Теорема Цермело следует из аксиомы выбора.
Пусть f — функция, приписывающая каждому непустому
подмножеству А множества X некоторый элемент /(Л)еЛ.
Предположим, кроме того, что f@)=x^X. Обозначим через
Ж семейство всех вполне упорядочивающих отношений на под-

I. 4. АКСИОМА ВЫБОРА 29
множествах множества X, и пусть а — наименьший ординал,
больший всех порядковых типов подмножеств множества X, упо-
упорядоченных элементами семейства Ж.
В силу теоремы об определениях по трансфинитной индукции
существует трансфинитная последовательность xq9 x\, ..., х%, ...
..., | < а, такая, что
х$ = f(X\{xy: у < I}) для каждого | < а.
Если х^л:, то ^gI\{jcy:7<?} и a^=??a;y при у < |.
Следовательно, если бы для всех g < а было х$ Ф х, то суще-
существовала бы трансфинитная последовательность типа а, все
члены которой различны и принадлежат множеству X. Но это
невозможно в силу определения а. Поэтому существует наи-
наименьший ординал ?, такой, что л^ = х. Тогда Х = {ху: у < ?},
т. е. все элементы множества X расположены в трансфинитную
последовательность хо, х\, ..., xY, ..., у < |, и xY=^=xY, при
7 =7^ 7Л- Это и означает, что X можно вполне упорядочить. -1
Лемма Тейхмюллера — Тьюки вытекает из теоремы Цермело.
Пусть даны множество X, некоторое свойство 0* (его под-
множеств) конечного характера и множество АсХ, обладаю-
обладающее свойством 3*. В силу теоремы Цермело множество Х\А мо-
может быть вполне упорядочено. Так как каждое вполне упорядо-
упорядоченное множество подобно множеству всех ординалов, меньших
некоторого ординала а, то все элементы множества Х\А можно
расположить в трансфинитную последовательность типа а:
х0, Х\у ..., х%, ..., ! < а.
В силу теоремы об определениях по трансфинитной индук-
индукции, в доказательстве которой не используется аксиома выбора,
существует трансфинитная последовательность Ло, А\, ..., А%, ...
..., I < а + 1» такая, что
ло=л,
{U M U {ч}> если U М U {ч) обладает свойством 9>У
(J А\ в противном случае,
когда \ < а, и
Аа= U ^S-
Легко видеть, что все элементы этой последовательности об-
обладают свойством 9* и что B = Ao,zdAo = A является макси-
максимальным подмножеством множества Ху обладающим свойством
I

30 ВВЕДЕНИЕ
Лемма Куратовского— Цорна следует из леммы Тейхмюл-
лера — Тьюки.
Свойство «быть линейно упорядоченным подмножеством мно-
множества X, упорядоченного отношением О, является свойством
конечного характера. В силу леммы Тейхмюллера — Тьюки, поло-
положив А = 0, можно заключить, что существует максимальное ли-
линейно упорядоченное подмножество В множества Xt упорядо-
упорядоченного отношением ^. Выберем хо е X таким образом, чтобы
х ^ х0 для каждого х<^В. Элемент х0 является максимальным
элементом множества X. В самом деле, для каждого х^Х, та-
такого, что хо ^ х, имеем х0 = х, так как в противном случае
В[){х} было бы линейно упорядоченным подмножеством мно-
множества X, большим 5. 1
Аксиома выбора следует из леммы Куратовского — Цорна.
Пусть {J5}5eS — семейство непустых множеств. Обозначим
через Зв множество всех пар (Tff)t где Т cz S и / — функция из
Т в (J Xs, такая, что f{s)^ Xs для любого s ^ 7. Упорядочим
s eS
множество SB, полагая:
G\> /i)^(^2> /2) в том и только том случае, когда
TxczT2 и f2 (s) = fx (s) для s s= TV
Легко видеть, что для каждого линейно упорядоченного подмно-
подмножества sf* = {{Twt fw)}w <= w множества SB формулы
^O^ U Tw И /O(S) = /.(S) ДЛЯ 5€ЕГШ
ше W
определяют элемент (Г<ь/о) множества SB и (TWjfw)^(TQyfQ)
для каждого ш е IF. По лемме Куратовского — Цорна в SB су-
существует максимальный элемент (Tff)\ мы покажем, что 7 = 5,
и тем завершим доказательство. В самом деле, допустим, что
существует so^S\T; выберем х0 е XSq и положим
Г = ГиЫ, f(s) = f{s) для sgI и f(so)-=*,.
Тем самым определена пара (f,f)€3?, такая, что (Г,/)^
^(Г',/') и {Т>})Ф{Т',$')\ мы пришли к противоречию. ¦
1.5. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА
В этой книге мы пользуемся свойствами арифметических
операций на множестве вещественных чисел, свойствами отноше-
отношения < линейного упорядочения множества вещественных чи-
чисел и свойствами функции абсолютного значения. Мы также
предполагаем у читателя знакомство с понятием предела после-

I. 5. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА 31
довательности вещественных чисел, обозначаемого lim, и поня-
понятием непрерывной функции. Используется также тот факт, что
каждое ограниченное сверху непустое множество вещественных
чисел имеет наименьшую верхнюю грань, т. е. непрерывность
множества вещественных чисел. Наименьшая верхняя грань мно-
множества обозначается через sup, а наибольшая нижняя грань —
через inf (в том случае, когда множества конечны, используются
символы max и min соответственно). При описании некоторых
примеров топологических пространств используются тригономет-
тригонометрические функции, а также координатные системы на плоскости.
Открытые интервалы с концами а и 6, где а < Ь, обозна-
обозначаются через (а, Ь), замкнутые интервалы (отрезки) с концами
а и b — через [а, Ь]\ полуоткрытые интервалы обозначаются
через (а, Ь] и [а, Ь). Множество всех вещественных чисел обо-
обозначается через Rt а множество всех натуральных чисел — через
N. Замкнутый единичный отрезок [0, 1] обозначается через /.
ИСТОРИЧЕСКИЕ И БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Исчерпывающий курс теории множеств представляет собой
замечательная книга Куратовского и Мостовского [1968].
Утверждение о том, что некоторое топологическое высказывание
независимо от аксиом теории множеств, которое делается здесь в
ряде случаев, относится к системе аксиом, приведенной в этой
книге. Наше изложение общей топологии базируется на наив-
наивной теории множеств, однако легко может быть перестроено на
основе указанной системы аксиом.
Лемма Тейхмюллера — Тьюки была доказана Тейхмюллером
[1939] и Тьюки [1940], лемма Куратовского-Цорна доказана
Куратовским [1922] и Цорном [1935].

Глава 1
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
В этой главе мы вводим основные понятия общей топологии.
В § 1.1 определяется понятие топологического пространства»
вводятся открытые множества, окрестности, базы, предбазы и
базы в точке. Мы определяем также вес и характер топологи-
топологического пространства и формулируем аксиомы счетности. Далее
мы вводим замкнутые множества и рассматриваем операторы
замыкания и взятия внутренности. В конце параграфа появляет-
появляется понятие локально конечного семейства множеств.
Параграф 1.2 посвящен различным методам построения то-
топологии в множестве.
Параграф 1.3 является прямым продолжением § 1.1. -Мы
рассматриваем операторы взятия границы и производного мно-
множества и вводим следующие важные классы множеств в топо-
топологических пространствах: всюду плотные множества, коплот-
ные множества, нигде не плотные множества и борелевские
множества (в частности, Fo~ и бб-множества).
В § 1.4 вводится понятие непрерывного отображения, кото-
которое при изучении топологических пространств оказывается не
менее важным, чем само понятие топологического пространства.
Мы рассматриваем также замкнутые отображения, открытые
отображения и гомеоморфизмы; последний класс отображений
приводит к понятию гомеоморфности пространств. Далее мы рас-
рассматриваем инварианты и обратные инварианты одного класса
отображений и в заключение приводим некоторые замечания
о предмете общей топологии.
В § 1.5 обсуждаются аксиомы отделимости, т. е. ограниче-
ограничения различного типа, касающиеся отделимости точек и замкну-
замкнутых множеств в топологических пространствах. В этом парагра-
параграфе мы доказываем лемму Урысона — одну из самых важных
теорем общей топологии.
Последний параграф посвящен направленностям и фильтрам,
которые приводят к двум различным способам описания сходи-
сходимости в общих топологических пространствах. Мы изучаем так-
также два класса топологических пространств, в которых для опи-
описания сходимости и топологии достаточно последовательностей.

I.I. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 33
1.1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА.
ОТКРЫТЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВА. БАЗЫ.
ЗАМЫКАНИЕ И ВНУТРЕННОСТЬ МНОЖЕСТВА
Топологическое пространство — это пара (X, О)у состоящая
из множества X и некоторого семейства О подмножеств множе-
множества X, удовлетворяющего следующим условиям:
@1) 0<=0 иХе±О.
@2) Если Ui^O и U2€=0, то Ui(]U2eC.
@3) Если Ж <= С, то \}& e О.
Множество X в этом случае называется пространством, его
элементы называются точками пространства; подмножества X,
принадлежащие семейству Оу называются открытыми в про-
пространстве Х\ семейство О открытых подмножеств пространства
X называется также топологией на X. Свойства @1) — @3) се-
семейства открытых множеств можно переформулировать следую-
следующим образом:
(О И) Пустое множество и все пространство суть открытые
множества.
@2') Пересечение двух открытых множеств есть открытое
множество.
@3') Объединение любого семейства открытых множеств есть
открытое множество.
Из @2) непосредственно следует, что пересечение любого
конечного семейства открытых множеств есть открытое множе-
множество.
Если для некоторого хе!и некоторого открытого множе-
множества U аХ мы имеем х^. ?/, то U называется окрестностью точ-
точки х. Множество V а X открыто в том и только том случае, если
для каждой точки х е V существует ее окрестность Ux, содер-
содержащаяся в V. Действительно, если V — открытое множество, то
положим Их = V для каждого xgV, Если выполнено это усло-
условие, то V = U Ux открыто в силу @3).
XG.V
Семейство $ с О называется базой топологического про-
пространства (X,0)t если каждое непустое открытое подмножество
пространства X можно представить в виде объединения некото-
некоторого подсемейства семейства ffi. Легко показать, что семейство
$ подмножеств X есть база топологического пространства
(Х,О) в том и только том случае, когда для любой точки
х^Х и каждой окрестности V этой точки существует такое
U е ^, что х е U с: V. Очевидно, что топологическое простран-
пространство может иметь много баз. Всякая база обладает следующими
свойствами:
(В1) Для любых U\y U2^$ и любой точки jce U\ П ^2 суще-
ствует элемент (/gJ, такой, что л:е[/с[/1ПУ2.
3 Зак. 697

34 ГЛ. 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
(В2) Для любого х&Х существует элемент U&38, такой, что
В самом деле, первое свойство вытекает из того, что Ux П ?/г —
открытое множество, а второе есть следствие того, что X — от-
открытое множество.
Множество всех кардинальных чисел вида [#|, где 3S — база
топологического пространства (Х,0), имеет наименьший эле-
элемент (так как всякое множество кардинальных чисел вполне
упорядочено отношением <). Это наименьшее кардинальное
число называется весом топологического пространства (Х,0)
и обозначается через w{{X,0)).
Семейство 3*cz0 называется предбазой топологического про-
пространства {ХУ0)9 если семейство всех конечных пересечений
UxflUzft ... ftUk, где Ut <= 5s для i = 1, 2, ..., ky является ба-
базой пространства (Ху 0).
Семейство ${х) окрестностей точки х называется базой то-
топологического пространства (ХУ0) в точке ху если для любой
окрестности V точки х существует такой элемент U ^3!(хO что
х е U aV> Легко показать, что если $ — база пространства
(X, 0), то семейство &(х), состоящее из всех элементов &у со-
содержащих точку х, есть база пространства (ХУС) в точке х.
С другой стороны, если для каждой точки х^Х задана база
$(х) пространства (X, 0) в точке х, то объединение Ш = U & (х)
xeJf
есть база пространства (ХУ0).
Характер точки х в топологическом пространстве (Ху 0) есть
наименьшее кардинальное число вида |Я(х){, где 3S{x) — база
(Ху 0) в точке х\ это кардинальное число обозначается
%(ху (Х,<У)). Характер топологического пространства (ХУ0)
есть точная верхняя грань всех кардинальных чисел %(xf (X,0))
для х^Х; это кардинальное число обозначается %{{Х,0)).
Если %((ХУ0))^ Ко, то говорят, что пространство (ХУ0)
удовлетворяет первой аксиоме счетности; это означает, что в
каждой точке х^Х существует счетная база. Если w({X,0))^
^ Ко, то говорят, что пространство (Xt0) удовлетворяет второй
аксиоме счетности; это означает, что (Ху 0) имеет счетную базу.
Пусть (Х9 0) — топологическое пространство и для каждого
Х задана база <%(х) пространства (X,0). Семейство
}Х€Ех называется системой окрестностей топологического
пространства (Х,0). Мы покажем, что всякая система окрестно-
окрестностей {$ (х)}хех обладает следующими свойствами:
(ВР1) Для всякого хеХ имеем 3§(х)ф0 и для всякого
(/g^(jc) имеем хе(/.
(ВР2) Если хе(/е^(у), то существует такое ^еШ, что
VczU.

1.1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 35
(ВРЗ) Для любых Uu U2&&(x) существует такое U^9S{x),
что UczUx[\ U2.
Свойство (ВР1) следует непосредственно из определения
базы в точке х. Свойства (ВР2) и (ВРЗ) также следуют из
этого определения, так как U^&(y), a U\ П &2 — открытые
множества, содержащие х*
Пусть (ХУ<У)— топологическое пространство; множество
FczX называется замкнутым в этом пространстве, если его до-
дополнение X\F— открытое множество. Используя законы де
Моргана и свойства @1) — @3) открытых множеств, мы при-
приходим к выводу, что семейство ^ замкнутых множеств обладает
следующими свойствами, двойственными к свойствам (О1) —
@3):
(Cl)
(С2) Если F1 е W и F2 е= «?, то Fx U F2 е= ^.
(СЗ) Если Л с: V, то [\s4> e V.
Эти свойства можно переформулировать следующим обра-
образом:
(С17) Все пространство и пустое множество суть замкнутые
множества.
(С2') Объединение двух замкнутых множеств есть замкнутое
множество.
(СЗГ) Пересечение любого семейства замкнутых множеств есть
замкнутое множество.
Докажем, например, (СЗ). Пусть {F8}s&s— семейство замк-
замкнутых множеств. По определению, дополнение Us === X\FS есть
открытое множество для любого s ^ S. Так как
П fs= П (x\us)=x\ U и.
S S S
и так как объединение U Us открыто в силу @3), то пересе-
чение f) F$ замкнуто.
Множества, которые являются одновременно и открытыми, и
замкнутыми, называются открыто-замкнутыми.
Пусть А а Х\ обозначим через ^А семейство всех замкну-
замкнутых множеств, содержащих А. В силу (С1) имеем *&а Ф0* а из
(СЗ) следует, что пересечение Д = ()фА замкнуто. Легко видеть,
что Л есть наименьшее замкнутое множество, содержащее А;
это множество называется замыканием А. Очевидно, что мно-
множество замкнуто в том и только том случае, если оно совпа-
совпадает со своим замыканием.
Для любых подмножеств Л, В пространства X имеем
A) если AczB, то ЛсВ.

36 ГЛ. 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
В самом^деле, из включения AczB следует, что 9
откуда AczB.
Докажем теперь следующее предложение.
1.1.1. Предложение. Для любого AczX следующие условия
равносильны:
(i) точка х принадлежит Л;
(и) для всякой базы &(х) в точке х и любого U^3S(x)
имеем U [\АФ0\
(ш) существует база 38(х) в точке х9 такая, что 1/(]АФ0
для каждого U^t$(x).
Доказательство. Для доказательства импликации (i)=^(ii)
допустим противное, т. е. что для базы 3§(х) в точке х суще-
существует такое U е $(х), что U [}А=0. Тогда ЛсА(/ и
Х\и^фД. Следовательно, AczX\U и х^ЁА, т. е. (i) не имеет
места.
Импликация (ii)=^(iii) очевидна. Остается показать, что
(iii)=^(i). Допустим, что (i) не имеет места, т. е. хфА. Тогда
существует замкнутое множество F^Wa, такое, что хфр. Для
открытого множества V = X\F имеем
B) xebV n V(}A=0.
Далее, для любой базы ${х) в л; существует такое U^$(x),
что jc g (/ с V, и из B) следует, что Uf[A=09 т. e. (iii) не
имеет места. I
1.1.2. Следствие. Если U — открытое множество и U [)А=0, то
и ?/fU = 0.
В частности,__еслм U и V — непересекающиеся открытые мно-
множества, ToU()V = 0 = OnV.
Доказательство. Допустим, что существует xg U[\A, и, возь-
возьмем в качестве базы 9§{х) в точке х семейство всех окрестно-
окрестностей точки х. Из предложения 1.1.1 следует, что 1)[\АФ0, а
это противоречит нашему предположению. Таким образом,
U0 I
Наиболее важные свойства оператора замыкания перечис-
перечислены в следующей теореме.
1.1.3. Теорема. Оператор замыкания обладает следующими свой-
свойствами:
(СО1) 0 = 0.
(СО2) Л си Л.
(СОЗ) A U B-=A U 5.
(СО4) A) = Л.

1.1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 37
Доказательство. Свойства (СО1) и (СО2) следуют непосред-
непосредственно из определений, а свойство (СО4) вытекает из того, что
А— замкнутое множество.
Из' A) следует, что Ас=А[)В и EczA[)B. Значит,
C) *1Г
В силу (СО2), A cz А, В а В, и потому A\jBczA]jE. По-
Последнее множество как объединение двух замкнутых множеств
замкнуто; отсюда по определению замыкания получаем
D) J{j~Bc
Формулы C) и D) устанавливают равенство (СОЗ). ¦
Внутренность множества A cz X есть объединение всех от-
открытых множеств, содержащихся в Л, или, что эквивалентно,
наибольшее открытое множество, содержащееся в А. Это множе-
множество обозначается IntA. Очевидно, что множество открыто тогда
и только тогда, когда оно совпадает со своей внутренностью.
Следующее предложение является непосредственным след-
следствием определения внутренности.
1.1.4. Предложение. Точка х принадлежит IntA тогда и только
тогда, когда существует такая ее окрестность U, что UczA. I
Как показывает следующая теорема, оператор взятия внут-
внутренности тесно связан с оператором замыкания.
1.1.5. Теорема. Для каждого А си X имеем
ЫА=Х\Х\А.
Доказательство. Из (СО2) вытекает включение Х\А с:
а Х\А\ таким образом,
Так как множество Х\Х\А открыто, то
E) X\l\AczlntA.
Для любого открытого множества U9 содержащегося в Л, имеем
используя A), получаем
X\AczX\Ut или
В частности,
lntAczX\X\A.
Последнее включение вместе с E) и устанавливает наше утвер-
утверждение. I

38 ГЛ. 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Свойства оператора взятия внутренности двойственны свой-
свойствам (СО1) — (СО4) и перечислены в следующей теореме, ко-
которая вытекает из утверждений 1.1.3, 1.1.5 и законов де Мор-
Моргана,
1.1.6. Теорема, Оператор Int обладает следующими свойствами:
A01) ШХ = Х.
A02) Int Лег Л.
A03) lnt(Af\B)=lntA(]lntB.
A04) Int(InM)=InM. I
1.1.7* Пример. Пусть X — произвольное множество и О —
семейство всех его подмножеств. Очевидно, что (Х,0) — топо-
топологическое пространство. Каждое множество Л cz X открыто-
замкнуто. Всякое множество, содержащее точку х, является ее
окрестностью. Семейство всех одноточечных подмножеств мно-
множества X образует базу пространства (Х,0). Эта база имеет
минимальную мощность. Поэтому вес (X, О) равен мощности
множества X. Для любой точки х^Х семейство, состоящее из
единственного множества {х}9 есть база пространства (Х9 О)
в точке х. Это показывает, что (Х9О) удовлетворяет первой ак-
аксиоме счетности. Каждое множество Л cz X совпадает со своим
замыканием и со своей внутренностью.
Такое топологическое пространство называется дискретным
пространством, а О называется дискретной топологией. I
1.1.8. Пример. Пусть X — произвольное бесконечное множество,
xq — некоторая точка в X и О — семейство, состоящее из всех
подмножеств множества Ху не содержащих хо, и всех подмно-
подмножеств множества Xt имеющих конечное дополнение. Легко уста-
установить, что (ХУС) — топологическое пространство. Все одното-
одноточечные подмножества Х9 за исключением множества {xo}f от-
открыто-замкнуты; множество {хо} замкнуто, но не открыто. Се-
Семейство, состоящее из всех одноточечных множеств {х}, хфх0,
и из всех множеств вида X\F, где F — конечное множество, об-
образуют базу пространства [XtO). Эта база имеет наименьшую
мощность. Поэтому вес пространства (X, О) равен мощности
множества X. Семейство, состоящее из всех одноточечных мно-
множеств {х}, х ф х0, и из всех множеств вида Z\ {x}, есть пред-
база пространства (Х,О). Для каждого AczX имеем
-_( А,
если Л конечно,
U {*о}» если Л бесконечно;
если Х\А конечно»
* \ {#о}> если Х\А бесконечно.

1.1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 39
Отсюда вытекает, что любые два бесконечных замкнутых
подмножества множества X имеют непустое пересечение.!
Топологические пространства, построенные в следующих двух
примерах, имеют особенно важное значение в общей топологии.
1.1.9. Пример. Пусть R— множество вещественных чисел и 0—
семейство, состоящее из всех множеств U <zz R, обладающих тем
свойством, что для любого х е U существует такое е > О, что
(л: — е, х + s) с: U. Очевидно, что семейство 0 обладает свой-
свойствами @1) — @3). Из определения предела последовательно-
последовательности следует, что множество AczR замкнуто тогда и только
тогда, когда вместе со всякой сходящейся последовательностью
оно содержит также ее предел. Семейство всех открытых интер-
интервалов с рациональными концами образует базу пространства
(R, 0). Это база минимальной мощности; поэтому (R90) удов-
удовлетворяет второй аксиоме счетности и тем более первой.
Топология О называется естественной топологией веществен-
вещественной прямой. 1
1.1.10. Пример. Пусть / = [0,1] — замкнутый единичный интер-
интервал я 0 — семейство всех множеств вида / f) ?/, где U ci R от-
открыто относительно естественной топологии прямой R. Очевидно,
что (/, 0)— топологическое пространство. Семейство всех ин-
интервалов вида (ги г2), [0, г2) или (п, 1], где п, г2 — рациональ-
рациональные числа и 0 < г\ < т% < 1, является базой пространства
A,0). Все интервалы последних двух типов образуют предбазу.
Пространство A,0) удовлетворяет и первой, и второй аксио-
аксиомам счетности. Множество AazI замкнуто в / тогда и только
тогда, когда А замкнуто в R.
Топология С называется естественной топологией замкнутого
интервала /. 1
Из приведенных выше примеров следует, что для заданного
множества X семейство 0 можно выбрать многими различными
способами, так чтобы (X, 0) было топологическим простран-
пространством. Если 0\ и 02 — две топологии на X и 0%<zz0\, то гово-
говорят, что топология 0i сильнее (тоньше) топологии 0% или что
топология 02 слабее (грубее) 0\. Дискретная топология на X
самая сильная. Слабейшая топология на X состоит только из 0
и Х\ она называется антидискретной топологией на X. Множе-
Множество, снабженное такой топологией, называется антидискретным
пространством. Очевидно, что семейство всех топологий на мно-
множестве X упорядочено отношением включения.
Пусть X — произвольное бесконечное множество, х0 и д:^ —
две различные точки в Х> 0 — топология, определенная в 1.1.8,
и 0' — топология, определенная подобным же образом для

40 ГЛ. 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
точки х'р Легко показать, что топологии О и О' несравнимы;
никакая из них не тоньше другой.
В дальнейшем мы будем обычно рассматривать в ходе от-
отдельного рассуждения одну фиксированную топологию О на
множестве X и для упрощения обозначений будем пользоваться
символом X вместо (Х,0). Соответственно мы будем писать
w(X), %{xyX) и %(Х). Эти обозначения не вполне точны, однако
из контекста будет всегда ясно, какая топология на X имеется
в виду. Часто мы будем говорить просто «пространство» вместо
«топологическое пространство».
Из свойства (СОЗ) оператора замыкания следует, что замы-
замыкание конечного объединения множеств совпадает с объедине-
объединением замыканий этих множеств, т. е. оператор замыкания ко-
конечно аддитивен. Как показывают простые примеры, этот опе-
оператор не является счетно аддитивным (ср. с упр. 1.1.В). Опре-
Определим теперь важный класс семейств множеств, для которых
оператор замыкания аддитивен.
Семейство D}se5 подмножеств топологического простран-
пространства X называется локально конечным, если для каждой точки
jcel существует такая окрестность ?/, что множество (seS:
U f[As?=0} конечно. Если любая точка хе! имеет окрест-
окрестность, которая пересекается не более чем с одним множеством
данного семейства, то мы называем это семейство дискретным.
Очевидно, что любое дискретное семейство, так же как и любое
конечное семейство, локально конечно.
1.1.11. Теорема. Для каждого локально конечного семейства
Ш 5 имеет место равенство (J Л5== U Л5.
s<=S s&S
S
Доказательство. Включение As a [] As для любого s e S
s&S
следует из A); значит, имеет место и включение |J Л5с |J As.
sS &S
Чтобы доказать обратное включение, заметим, что, в силу ло-
локальной конечности семейства MJsges» для л1°бой точки
x ^ U As существует такая окрестность U, что множество
So = {s g S: U(]AS ф 0} конечно. Из 1.1.1 вытекает, что хф
$ е 3T\So
так как
и л= или U
имеем
As— [] As<zz [] As. I

1.1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 41
1.1 Л2. Следствие. Пусть &~ — локально конечное семейство и
F = \J&~. Если все элементы &~ суть замкнутые множества, то и
F — замкнутое множество. Если все элементы $Г открыто-замк-
открыто-замкнуты, то F также открыто-замкнуто. 1
1.1.13. Теорема. Пусть {As}seS— локально конечное (дискрет-
(дискретное) семейство; тогда семейство {A9}s^s также локально конечно
(дискретноI). I
В заключение этого параграфа мы приведем две теоремы
о семействах открытых множеств в пространстве веса щ. Обе эти
теоремы будут применяться в дальнейшем в этой книге.
1,1.14» Теорема. Пусть w{X)^m\ тогда для любого семей-
семейства {Us}s s s открытых подмножеств X существует такое множе-
множество S0 С S, ЧТО \Sq\ ^ Ш U U Us = U Us-
sgSo seS
Доказательство. Выберем базу $ пространства Ху удовлет-
удовлетворяющую условию \&\ ^ ш, и обозначим через $о семейство
всех U е Му таких, что существует s e S, для которого U cz Us-
Всякому и^Ло поставим в соответствие s(U)^S так, чтобы
выполнялось включение
F) U с Usm.
Таким образом определена функция 5 из 380 в S. Покажем, что
множество So = s(^7o)c=S удовлетворяет условию теоремы.
Прежде всего |So| = |s(^o) |^|Л0|^|Л|^ю. Выберем точку
хе U Us. Существуют такое seS, что хе USy и такое Uе$,
S
что x&UczUs- Ясно, что U^&q и s(U)^S0. Из включения
F) вытекает, что
x€*U<=:Us{u)Cz U U,.
Следовательно, U U8 с [} (/s. Обратное включение оче-
видно. ¦
1.1.15. Теорема. Пусть w(X)^Lm,\ тогда для любой базы $ про-
пространства X найдется такая база $о, что \ $ъ \ ^ ш и <%0с:?8.
Доказательство. Пусть сначала m ^ Ко; выберем такую базу
{1^}-г пространства X, что |Г|^ш. Пусть Я = {Us} se s;
1) Способ, которым используются скобки, позволяет нам делать одно-
одновременно два параллельных утверждения. Читая первое утверждение, не
следует принимать во внимание слова, стоящие в скобках. Читая второе
утверждение, следует опустить слова, стоящие непосредственно перед скоб-
скобками.

42 ГЛ. I. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
ПОЛОЖИМ
teT.
Так как М — база пространства X, то |J Us=Wt. В силу
se=S(t)
1.1.14, существует множество So(t)a S(t)f такое, что
G) I «о<<)!<»>
(8) Wt= U «/.= U Us.
ПОЛОЖИМ ^0 = {^}S?s0(O^er- TaK KaK 1Л^Ш> И3 G) И й3
равенства т2 =т следует, что \38о\ ^ ш. Покажем теперь, что ЗВ0
есть база. Возьмем произвольную точку х&Х и ее окрестность
V. Так как $х является базой, то существует такое /еГ, что
xeWtczV. В силу (8), найдется такое s^S0(t), что
Очевидно, что Us^{$o, а это и означает, что ^0 — база про-
пространства X.
В случае конечного щ следует показать, что если $\ — база
и |i?i| = w(X)^.m, то 3$\Ci$\ этот шаг предоставляется чита-
читателю в качестве упражнения. I
1.1.16. Замечание. Заметим, что в доказательстве теоремы
1.1.14 мы не использовали тот факт, что члены семейства $ —
открытые множества. Все, чем мы воспользовались, — это то,
что |J?|s^m и что для каждой точки jcel и ее окрестности V
существует такое U е 3$, что х е U cz V (ср. с понятием сети,
введенным в § 3.1, и теоремой 3.8.12).
ИСТОРИЧЕСКИЕ И БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Возникновение общей топологии есть следствие перестройки
оснований математического анализа, происходившей в течение
XIX столетия. Попытки освободить анализ от наивной геомет-
геометрической интуиции и соображений механики, к которым обра-
обращались создатели анализа И. Ньютон A642—1727) и Г. Лейб-
Лейбниц A646—1716), привели к точному определению предела
(Ж. Даламбер A717—1783) и О. Л. Коши A784—1857)), к
формулировке признаков сходимости бесконечных рядов
(К. Ф. Гаусс A777—1855)) и к прояснению понятия непрерыв-
непрерывной функции (Б. Больцано A781—1848) и Коши). Необходи-
Необходимость постановки анализа на прочный фундамент стала осоз-
осознана всеми после открытия ряда патологических явлений при
изучении сходимости тригонометрических рядов (Н. Г. Абель
A802—1829), П. Г. Лежен Дирихле A805—1859), П. Дюбуа-

1.1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 43
Реймон A831—1889)) и построения первых примеров нигде не
дифференцируемых непрерывных функций (Больцано, Б. Риман
A826—1866) и К. Вейерштрасс A815—1897) соответственно
в 1830, 1854 и 1861 гг.). Последние примеры разрушили обще-
общепринятые представления и привели к пересмотру понятия чис-
числа и к возникновению строгих теорий вещественных чисел. Наи-
Наиболее важными из них были: теория, предложенная независимо
Ш. Мерэ A835—1911) и Г. Кантором A845—1918), в которой
вещественные числа были определены как классы эквивалент-
эквивалентности последовательностей Коши рациональных чисел, и теория,
предложенная Р. Дедекиндом A831—1916), в которой веще-
вещественные числа были определены как сечения в множестве ра-
рациональных чисел. Обе теории давали описание топологической
структуры вещественной прямой.
Общая топология обязана своим возникновением серии ра-
работ Кантора, опубликованных в 1879—1884 гг. Обсуждая про-
проблемы единственности тригонометрических рядов, Кантор сосре-
сосредоточился на изучении множеств «исключительных точек», в ко-
которых можно было опустить некоторые условия теорем, не на-
нарушая их заключений. Впоследствии он посвятил себя исклю-
исключительно исследованию множеств, создав, таким образом, одно-
одновременно теорию множеств и общую топологию. Кантор опре-
определил и изучил несколько фундаментальных понятий топологии
в рамках подмножеств евклидовых пространств. В дальнейшем
ряд важных понятий, также относящихся к подмножествам
евклидовых пространств, были введены в период 1893—1905 гг.
К. Жорданом A838—1922), А. Пуанкаре A854—1912), Э. Бо-
релем A871—1956), Р. Бэром A874—1932) и А. Лебегом
A875—1941).
Решительным шагом вперед стал переход от евклидовых про-
пространств к абстрактным пространствам. Здесь первопроходцем
был Риман. В 1854 г. он ввел и изучил понятие двумерного мно-
многообразия и указал на возможность изучения многообразий бо-
более высоких размерностей, так же как и пространств функций.
Примерно около 1900 г., когда фундаментальные топологические
понятия уже были введены, появилось несколько работ, в кото-
которых некоторые специальные множества наделялись естествен-
естественными для их структур топологиями. Среди них: множество кри-
кривых (Дж. Асколи A843—1896)), множество функций (К. Арце-
ла A847—1912), В. Вольтерра A860—1940), Д. Гильберт
A862—1943), И. Фредгольм A866—1927)) и множество прямых
и плоскостей трехмерного пространства (Борель). Таким обра-
образом была подготовлена почва для аксиоматического подхода к
понятию предела и, более общо, к понятию близости точки и
множества.

44 гл- 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Происхождение общей топологии, которое мы здесь подыто-
подытожили весьма кратко, исчерпывающим образом изложено в книге
Мангейма [1964]. История первых лет общей топологии тща-
тщательно описана у Розенталя и Зоретти [1924] и у Титце и Вьето-
риса [1930]. Богатую историческую информацию можно найти
также в двухтомнике К. Куратовского [1966] и [1968].
Абстрактные пространства с топологической структурой впер-
впервые были введены Фреше [1906] и Риссом [1907], [1908]. Фреше
определил свои пространства в терминах сходящихся последо-
последовательностей (см. задачу 1.7.18), а Рисе — в терминах точек на-
накопления. Серьезным недостатком подхода Фреше было огра-
ограничение счетными последовательностями, что приводило к слиш-
слишком узкому классу пространств. Тем не менее была разработана
теория, основанная на определениях Фреше (см. его книгу
[1926]). С другой стороны, определение Рисса было слишком
общим (оператор замыкания определялся присоединением к
множеству всех его точек накопления и не удовлетворял усло-
условию (СО4)) и слишком сложным. Теория, основанная на этом
определении пространства, за исключением сделанного Риссом
беглого наброска, не получила дальнейшего развития. Первое
удовлетворительное определение топологического пространства
принадлежит Хаусдорфу [1914]. Он определил топологическое
пространство как абстрактное множество, снабженное системой
окрестностей, удовлетворяющей условиям (ВР1) — (ВРЗ) и ус-
условию (ВР4) § 1.5. Хаусдорф развил идею, появившуюся в ра-
работах Гильберта [1902] и Г. Вейля [1913], которые дали аксио-
аксиоматическое описание в терминах окрестностей плоскости (Гиль-
(Гильберт) и римановой поверхности (Г. Вейль). Вклад Хаусдорфа
состоял в том, что он придал необходимую общность понятиям,
введенным предшественниками, и развил систематическую и ис-
исчерпывающую теорию. Книгу Хаусдорфа [1914] стоит просмот-
просмотреть хотя бы для того, чтобы убедиться, насколько прозрачно,
точно и изящно она написана, что позволяет с удовольствием
читать ее и через 70 лет после выхода. Другая система аксиом
была предложена Р. Мором. В своей книге [1932] (исправлен-
(исправленное издание [1962]) он приводит аксиоматическое описание
плоскости и подробно обсуждает абстрактные пространства, опи-
описываемые частичными множествами аксиом; первоначальный
вариант этого подхода можно найти в его статье [1916].
Определение топологического пространства, данное здесь и
принятое теперь повсеместно, было впервые сформулировано
Куратовским [1922] в терминах оператора замыкания, удовлет-
удовлетворяющего условиям (СО1) — (СО4). Понятия открытого и зам-
замкнутого множеств, а также замыкания и внутренности были
введены и изучены Кантором в классе подмножеств евклидовых
пространств. Хаусдорф обобщил их на абстрактные простран-

1.1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 45
ства в своей работе [1914], где изложены также обе аксиомы
счетности. Понятие локально конечного семейства было введено
П. С. Александровым [1924].
УПРАЖНЕНИЯ
1.1.А. Проверьте, что для любых подмножеств А и В тополо-
топологического пространства имеют место включения
Заметим, что включения нельзя заменить на равенства.
1.1.В. Покажите, что для любой последовательности Аи А2, ...
подмножеств топологического пространства имеет место равен-
равенство
Покажите на примере, что это равенство перестанет быть вер-
верным, если опустить второе слагаемое в правой части.
1.1.С (Куратовский [1922а]). Подмножество U топологиче-
топологического пространства, удовлетворяющее условию U = Int ?7, на-
называется каноническим открытым множеством.
(a) Проверьте, что внутренность замкнутого множества есть
каноническое открытое множество.
(b) Покажите, что пересечение двух канонических открытых
множеств есть каноническое открытое множество. Заметим, что
объединение двух канонических открытых множеств может не
быть каноническим открытым множеством.
(c) Проверьте, что для канонических открытых множеств U
и V включение U czV имеет место в том и только том случае,
если О с= V.
(d) Докажите, что для любого семейства {Us}S€sS канониче-
канонических открытых множеств в топологическом пространстве X мно-
множество Int ( (J UА есть наименьшая верхняя грань, а множе-
ство Int ( f] (/Л есть наибольшая нижняя грань семейства
VsgS /
{Us}s^s в семействе всех канонических открытых множеств в X,
упорядоченном по включению.
(e) Подмножество А топологического пространства, удовлет-
удовлетворяющее условию А = Int Л, называется каноническим замкну-
замкнутым множеством. Покажите, что А есть замкнутое множество
в том и только том случае, если его дополнение есть канониче-
каноническое открытое множество.

46 ГЛ. 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Сформулируйте и докажите свойства канонических замкнутых
множеств, двойственные свойствам канонических открытых мно-
множеств, установленным в (а) — (d).
M.D. Покажите, что для любого семейства топологий
{0s}sgS на множестве X существует топология на X, являющая-
являющаяся наименьшей верхней гранью {^}5е5 (т- е- грубейшей топо-
топологией в семействе всех топологий, более тонких, чем любая
0s), а также что существует топология на X, которая является
наибольшей нижней гранью {0s}$€bS (т. е. тончайшей топологией
в семействе всех топологий, которые грубее, чем каждая 0S).
1.2. МЕТОДЫ ВВЕДЕНИЯ ТОПОЛОГИЙ
Пусть X — произвольное множество; под введением тополо-
топологии на X мы понимаем выбор семейства 0 подмножеств X,
удовлетворяющих условиям @1) — @3), т. е. такого семейства
09 что пара (Х90) есть топологическое пространство. Часто бы-
бывает удобнее давать косвенное описание семейства открытых
множеств. Мы приведем несколько методов введения топологий,
которые заключаются в том, что определяется база, или система
окрестностей, или семейство замкнутых множеств, или оператор
замыкания, или, наконец, оператор взятия внутренности.
1.2.1. Предложение. Пусть даны множество X и семейство $
его подмножеств, удовлетворяющее условиям (В1) — (В2). Пусть
0 — семейство всех подмножеств множества X, являющихся
объединениями, подсемейств семейства 3$, г. е.
U е 0 тогда и только тогда, когда U = \}SSoy где $0 — под-
подсемейство семейства $.
Семейство 0 удовлетворяет условиям @1) —@3). Семейство $
является базой топологического пространства (Х,0).
Топология 0 называется топологией, порожденной базой 3$.
Доказательство. Условие @1) выполнено, так как 0 = U^o
при &q = 0 и, в силу (В2), X = U^o при &0 = &. Пусть
Uи U2^0; тогда ^= [] Us и ?/2= [J Ui9 где Us, Ut^3S,
seSH/GT. Так как
tfi№= U
то для доказательства выполнения условия @2) достаточно
показать, что Us f| Ut есть объединение некоторого подсемей-
подсемейства из М.

1.2. МЕТОДЫ ВВЕДЕНИЯ ТОПОЛОГИЙ 47
В силу (В1), для каждого x^Us(]Ut существует такое
U(x)&$9 что xg U(x)cz Us П Uи а это влечет за собой соот-
соотношения
Usf]Ut = ЦЯ0, где 3$о =
Условие @3) выполнено по определению семейства О.
Очевидно, что 31 является базой пространства (X, О). 9
1.2.2. Пример. Пусть К — множество всех вещественных чисел, а
33 — семейство всех интервалов [х, г), где х, г&К, х<гиг —
рациональное число. Легко проверить, что семейство $ обладает
свойствами (В1) —(В2).
Элементы семейства <% суть открыто-замкнутые множества
относительно топологии, порожденной базой 3S. Ясно, что
|&| = с. Покажем, что шG() = с. Пусть 91— семейство открытых
подмножеств в К, такое, что |5?| < с. Существует точка хо е /С,
которая не является точной нижней гранью никакого элемента
семейства 91. Открытое множество [xOixo+l) нельзя предста-
представить в виде объединения подсемейства семейства 91, и, следова-
следовательно, 91 не является базой для К.
Пространство К называется прямой Зоргенфрея. I
1.2.3. Предложение. Пусть даны множество X и совокупность
{&(*)}х^х семейств его подмножеств, обладающих свойствами
(ВР1) — (ВРЗ). Пусть О — семейство всех подмножеств X, яв-
являющихся объединениями подсемейств семейства [} 38 (х). Тогда
семейство (У удовлетворяет условиям @1) — @3). Совокупность
{$(х)}х^хесть система окрестностей топологического простран-
пространства (Х,(У).
Такая топология О называется топологией, порожденной си-
системой окрестностей {&(х)}Х€вХ- И
1.2.4. Пример. Пусть L — подмножество плоскости, определен-
определенное условием у ^ 0, т. е. замкнутая верхняя полуплоскость. Обо-
Обозначим через L\ прямую у = 0 и положим L2 = L\Li. Для каж-
каждого x&Li и г>0 пусть U(xtr)— множество всех точек из L,
лежащих внутри круга радиуса г, касающегося L\ в точке дг.
Пусть далее Ui(x)= U(x, l/i)\j{x}9 t = 1, 2, ... . Для каждого
x^L% и г>0 пусть U{xtr) — множество всех точек из L, ле-
лежащих внутри круга радиуса г с центром в точке х, и пусть
Ui(x)= U(xt l/i)t /=1, 2, ... . Легко проверить, что совокуп-
совокупность {&(x)}XG.L, где #C*) = {?/i(*)}Jli, обладает свойствами
(ВР1) — (ВРЗ).

48 ГЛ. 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Множество L\ замкнуто относительно топологии, порожден-
порожденной системой окрестностей {$ {х)}хеХ.
Пространство L называется плоскостью Немыцкого. i
1.2.5. Предложение. Пусть даны множество X и семейство W его
подмножеств, обладающее свойствами (С1) — (СЗ). Семейство
C={X\F: F <===&}
удовлетворяет условиям @1) — @3). Семейство <& есть семей-
семейство всех замкнутых множеств топологического пространства
(Х,0).
Такая топология О называется топологией, порожденной се-
семейством замкнутых множеств %?. 1
1.2.6. Пример. Пусть X — произвольное бесконечное множество
и <g> — семейство, состоящее из всех конечных подмножеств мно-
множества X и самого X. Легко показать, что семейство *& обладает
свойствами (С1) —(СЗ).
Открытые множества в X относительно топологии, порожден-
порожденной семейством *& замкнутых множеств, суть все дополнения к
конечным множествам и пустое множество. Любые два непу-
непустых открытых множества в X имеют непустое пересечение. I
1.2.7. Предложение. Пусть даны множество X и некоторый one-
ратор, приписывающий каждому множеству AczX множество
AczX так, что выполнены условия (С01) — (С04). Семейство
О = {Х\А: А = А}
удовлетворяет условиям @1) — @3). Для каждого А а X мно-
множество А является замыканием множества А в топологическом
пространстве (Х,0).
Такая топология О называется топологией, порожденной опе-
оператором замыкания - .
Доказательство. Чтобы доказать первую часть предложения,
достаточно показать, что семейство Ф={Л: Л=А} обладает
свойствами (С1) — (СЗ). Так как AczX для любого AczX, то,
в частности, X а X, и потому, учитывая (С02), получаем Х = Х.
В силу (С01), имеем 0 = 0. Таким образом, семейство ^об-
^обладает свойством (С1). Выберем F\, F2^<&, т. е. F\ = Fi и
F2 = F2. В силу (СОЗ),
и потому F\ U F2 е %?. Таким образом, семейство ^ обладает
свойством (С2).

1.2. МЕТОДЫ ВВЕДЕНИЯ ТОПОЛОГИЙ 49
Заметим, что (СОЗ) обеспечивает монотонность оператора
замыкания:
если ЛсВ, то Acz В.
В самом деле, если Acz В, то A\JB ==~ В и А[}В = А[)В = ?.
Последнее равенство означает, что ЛсВ.
Рассмотрим теперь семейство {F8}s^s элементов W, т. е.
пусть Fs = Fst s^S. Так как f] FsczFs, то в силу A),
f] lF8cF8=F8, а отсюда следует, что fl ^^ П /> Последнее
включение вместе с (СО2) показывает, что f| Fs = f] Fs-
s&S s<=S
Таким образом, семейство *g? обладает свойством (СЗ).
Пусть символ А обозначает замыкание множества А в то-
топологическом пространстве (X,(У). Мы должны показать, что
Я = Л для каждого Лс! В силу (СО4), для каждого АсиХ
имеем Лб?5, следовательно, А с: Л. Далее, для любого замкну-
замкнутого подмножества F <=_Я, содержащего Л, т. е. такого, что
р — р и д <= F, имеем AczF—F в силу A). Следовательно,
Л с: Л = П {F: F = F и A cz F}, что и доказывает равенство
Я = Л. 1
1.2.8. Пример. Пусть X — произвольное множество, содержащее
более одной точки, и пусть х0 — некоторая точка_в X. Положим
А—А[}{хо} для каждого непустого AczX и 0 = 0. Опреде-
Определенный таким образом оператор замыкания удовлетворяет усло-
условиям (СО1)—(СО4). Множество {xq}—единственное одноточеч-
одноточечное множество в X, замкнутое относительно топологии, порож-
порожденной этим оператором замыкания. Другие одноточечные мно-
множества открыты, но не замкнуты. 1
1.2.9. Предложение. Пусть даны множество X и некоторый опе-
оператор, ставящий в соответствие каждому множеству АаХ мно-
множество intAczX таким образом, что выполнены условия
A01) —A04). Семейство
0={А\ А = ША}
удовлетворяет условиям @1) — @3). Для любого AczX мно-
множество intA является внутренностью А в топологическом про-
пространстве (Х,0).
Такая топология О называется топологией, порожденной опе-
оператором взятия внутренности Int. 1
1.2.10. Пример. Пусть X — произвольное множество, содержащее
более одной точки, и пусть Хо с= X — такое подмножество, что
4 Зак. 697

50 ГЛ. 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
||> 1. Положим intA = ЛП^о для любого собственного
подмножества АсХ и lntX = X. Определенный таким образом
оператор взятия внутренности удовлетворяет условиям A01)—
(Ю4). Все подмножества множества Хо и все пространство —
единственные подмножества пространства X, которые открыты
относительно топологии, порожденной этим операторов. Если
Хо — пустое множество, то X является антидискретным про-
пространством.
ИСТОРИЧЕСКИЕ И БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Разнообразные методы порождения топологий были впервые
систематически описаны Хаусдорфом [1927]. Прямая Зоргенф-
рея фактически появилась в работе Александрова и Урысона
[1929], но только после появления работы Зоргенфрея [1947]
она стала «универсальным контрпримером» в общей топологии
(см. примеры 2.3.12, 3.8.15 и 5.1.31). Плоскость Немыцкого была
определена (со ссылкой на Немыцкого) Александровым и Хоп-
фом [1935]. Она представляет собой другой «универсальный
контрпример» (см. примеры 1.5.9 и упр. 5.2.С(Ь) и 5.3.В(а)).
Модификации прямой Зоргенфрея и плоскости Немыцкого до
сих пор поставляют важные и интересные примеры (см.
упр. 3.1. I и 5.4. В).
УПРАЖНЕНИЯ
1.2.А. Сформулируйте и докажите предложение, аналогичное
предложениям этого параграфа, о топологии, порожденной пред-
базой.
1.2.В. Пусть X — произвольное множество и ЗВи $2 — две со-
совокупности семейств его подмножеств, удовлетворяющие усло-
условиям (В1) — (В2). Покажите, что топологии, порожденные ба-
базами М\ и ^2, совпадают в том и только том случае, если для
любого х^Х и любого [/e^i, содержащего ху существует та-
такое 1/е^2, что хеУс[/, а для любого Fei2, содержащего
х, существует такое U е 31 и что х е U cz V.
Сформулируйте и докажите аналогичное утверждение для
топологий, порожденных системами окрестностей.
1.2.С. Проверьте, что для топологического пространства
(Х,0) и его базы (системы окрестностей, семейства всех замк-
замкнутых множеств, оператора замыкания, оператора взятия внут-
внутренности) топология, порожденная в X этой базой (системой
окрестностей, и т. д.), совпадает с исходной топологией про-
пространства X.

1.3. ГРАНИЦА МНОЖЕСТВА, ПРОИЗВОДНОЕ МНОЖЕСТВО 51
1.3. ГРАНИЦА МНОЖЕСТВА,
ПРОИЗВОДНОЕ МНОЖЕСТВО.
ПЛОТНЫЕ И НИГДЕ НЕ ПЛОТНЫЕ МНОЖЕСТВА.
БОРЕЛЕВСКИЕ МНОЖЕСТВА
В § 1.1 были определены два оператора на семействе всех
подмножеств топологического пространства: оператор замыка-
замыкания и оператор взятия внутренности. Были также определены и
изучены два семейства подмножеств топологического простран-
пространства: открытые множества и замкнутые множества. Этот пара-
параграф является продолжением § 1.1. Мы определим и изучим
еще два оператора и ряд новых семейств подмножеств в топо-
топологических пространствах.
Для любого подмножества Л топологического пространства
X определим границу множества Л как множество
Из предложения 1.1.1 следует
1.3.1. Предложение. Точка х принадлежит границе Ft А в том
и только том случае, если для каждого элемента некоторой
{или, что эквивалентно, любой) базы 9S{x) в точке х мы имеем
иА0иА 1
Наиболее важные свойства граничного оператора перечис-
перечислены в следующей теореме.
1.3.2. Теорема. Граничный оператор обладает следующими свой-
свойствами:
(i) 1пЫ = Л\РгЛ; (v) Fr(X\4) = Fr4;
(ii) A = A U Fr A; (vi) X=lnt A [} Fr A U Int (X \ А);
(iii) Fr(i4U?)c=Fri4UFr?; (vii) FrlcFiM;
(iv) Fr (А П В) с Fr A U Fr B\ (viii) Fr Int A cz Fr A;
(ix) А открыто тогда и только тогда, когда Fr Л =Л\Л;
(х) А замкнуто тогда и только тогда, когда Fr Л = Л\1п1;Л;
(xi) Л открыто-замкнуто тогда и только тогда, когда
FrA=0.
Доказательство. Свойства (i) — (xi) проверяются простыми
вычислениями. В качестве образца докажем соотношения (i)
и (iii):
Л \ Fr А = А \ [А П Х\А] = (А \ A) U (Л \
4*

52 ГЛ. I. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
c(AUB)f]X\A(]X\Bcz(Af]X\A)\j(B(]X\B) =
= FrA{)FrB. |
Точка х топологического пространства X называется точкой
накопления (предельной точкой) множества АаХ, если х^
gA{jc}. Множество точек накопления множества А называет-
называется производным множеством множества А и обозначается Ad.
1.3.3. Предложение. Точка х принадлежит Ad в том и только
том случае, если каждый элемент U некоторой (или, что экви-
эквивалентно, любой) базы М(х) в точке х содержит хотя бы одну
точку множества Л, отличную от х.
Доказательство. Допустим, что х — точка накопления множе-
множества Л. По определению, хеД{х}. Следовательно, для каж-
каждого U^$t(x) пересечение ?/ПЙ\М) непусто, т. е. U содер-
содержит точку множества Л, отличную от х.
Если каждый элемент U некоторой базы $(х) в точке х со-
содержит некоторую точку множества Л, отличную от х7 т. е.
U[)(А\{х})ф0 для каждого Ue&(x)9 то хеД{^} в силу
1.1.1, а это и означает, что хеДа. I
Точки множества Л\Ла называются изолированными точ-
точками множества Л. Точка х является изолированной точкой про-
пространства X в том и только том случае, если одноточечное
множество {х} открыто. В самом деле, множество {х} открыто
тогда и только тогда, когда {*} = Jf\X\{*}, т. е. когда
х<?Х\{х}.
Доказательство следующей теоремы предоставляется чита-
читателю.
1.3.4. Теорема. Производное множество обладает следующими
свойствами:
(i) A=A[)Ad;
(ii) если Л<=Я, то AdczBd\
(Hi) (AUB)d=Ad{]Bd;
(iv) IU.WU AsY.w
Введем теперь несколько новых семейств множеств в тополо-
топологических пространствах.
Множество Л cz X называется всюду плотным в А", если
Л = Х.
Множество Л сг X называется коплотным в X, если Х\А
всюду плотно.

1.3. ГРАНИЦА МНОЖЕСТВА, ПРОИЗВОДНОЕ МНОЖЕСТВО 63
Множество АаХ называется нигде не плотным в X, если А
коплотно.
Множество АаХ называется плотным в себе, если A cz Ad.
1.3.5. Предложение. Множество А всюду плотно в X тогда и
только тогда, когда любое непустое открытое подмножество в X
содержит точки множества Л.
Множество А коплотно в X тогда и только тогда, когда лю-
любое непустое открытое множество в X содержит точки дополне-
дополнения множества А.
Множество А нигде не плотно в X тогда и только тогда,
когда любое непустое открытое множество в X содержит непу-
непустое открытое подмножество, не пересекающееся с множе-
множеством Л. I
Следующие две теоремы будут часто применяться в дальней-
дальнейшем.
1.3.6. Теорема. Если А всюду плотно в X, то для любого откры-
открытого U czX
О=~Щ]А'.
Доказательство. Для любой точки х е О и любой ее окре-
окрестности W пересечение W{]U открыто и непусто. В силу 1.3.5,
W f\ U{] А Ф 0; тогда из 1.1.1 следует, что xg U(]А. Таким об-
образом, имеет место включение UczUf\A. Обратное включение
очевидно. I
Плотность пространства X определяется как наименьшее кар-
кардинальное число вида |Л|, где А—всюду плотное подмноже-
подмножество пространства X. Это кардинальное число обозначается
d(X). Если d(X)^&Ot то говорят, что пространство X сепара-
бельно.
1.3.7. Теорема. Для каждого топологического пространства X
имеет место неравенство d(X) ^ w(X).
Доказательство. Пусть $ = {?/$} ses— база пространства
X, состоящая из непустых множеств и такая, что |S| = m =
= w (X). Для каждого s ^ S выберем некоторую точку as e Us.
Покажем, что множество A={as\ s e S} всюду плотно в X.
В самом деле, каждое непустое открытое подмножество про-
пространства X содержит некоторое Us ^ $\ следовательно, оно со-
содержит точку as е Л. Так как \А \ ^|S|=m, то d{X)^. w(X). I
1.3.8. Следствие. Каждое пространство, удовлетворяющее второй
аксиоме счетности, сепарабельно. I
1.3.9. Примеры. В дискретном пространстве граница и производ-
производное множество любого множества пусты и единственным всюду
плотным множеством является само пространство. Множество

54 ГЛ. 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
всех рациональных чисел, так же как и множество иррациональ-
иррациональных чисел, оба всюду плотны и коплотны на вещественной пря-
прямой и на прямой Зоргенфрея. Множество L% всюду плотно на
плоскости Немыцкого L, множество L\ нигде не плотно в L. Про-
Производное множество множества L\ пусто, а множество L% плотно
в себе. Точка хо — единственная точка накопления пространства
X из примера 1.1.8, другие его точки изолированы. Вещественная
прямая R, интервал /, прямая Зоргенфрея К и плоскость Не-
Немыцкого L все сепарабельны. Дискретное пространство сепара-
бельно лишь в случае, когда |Х\ ^ No. 1
Как мы знаем, пересечение счетного множества открытых мно-
множеств не обязательно открыто, так же как и объединение счет-
счетного множества замкнутых множеств не обязательно замкнуто.
Все подмножества топологического пространства X, которые мо-
могут быть получены из открытых, а также из замкнутых подмно-
подмножеств пространства X с помощью взятия счетных объединений,
пересечений и дополнения, особенно регулярны с топологической
точки зрения, и семейство таких подмножеств заслуживает изу-
изучения. Под семейством борелевских множеств в топологическом
пространстве- X мы понимаем наименьшее семейство 9 подмно-
подмножеств пространства Ху удовлетворяющее следующим условиям:
(BS1) семейство 9 содержит все открытые подмножества про-
пространства X;
(BS2) если Aez 9, то Х\А е 9\
оо
(BS3) Если At е 9 для i = 1, 2, ..., то [I ^е?.
Существование наименьшего семейства 9, удовлетворяющего
сформулированным условиям, следует из того простого сообра-
соображения, что семейство всех подмножеств пространства X удов-
удовлетворяет условиям (BS1) — (BS3) и что для любой совокуп-
совокупности семейств, удовлетворяющих (BS1) — (BS3), общая часть
всех семейств в данной совокупности есть семейство, удовлетво-
удовлетворяющее указанным условиям. Следовательно, семейство боре-
борелевских множеств в X можно было бы определить как общую
часть всех семейств 9, удовлетворяющих условиям (BS1) —
(BS3). Заметим, что в определении борелевских множеств усло-
условие (BS1) может быть заменено условием
(BS1') семейство 9 содержит все замкнутые подмножества про-
пространства X,
а условие (BS3) может быть заменено условием
оо
(BS3') если Ai<=P,i= 1,2, ..., го [\At^9.
В самом деле, объединение условий (BST) и (BS2) эквива-
эквивалентно объединению условий (BS1) и (BS2), а объединение

1.3. ГРАНИЦА МНОЖЕСТВА, ПРОИЗВОДНОЕ МНОЖЕСТВО 55
условий (BS2) и (BS37) эквивалентно объединению условий
(BS2) и (BS3).
Возникает вопрос, существуют ли подмножества простран-
пространства X, не являющиеся борелевскими множествами. Очевидно,
что ответ зависит от пространства X. Так, например, все под-
подмножества дискретного пространства суть борелевские множе-
множества. Однако, вообще говоря, в топологических пространствах
существуют множества, не являющиеся борелевскими (см.
упр. 1.3.G).
Теория борелевских множеств является хорошо разработан-
разработанной частью общей топологии, но, чтобы получить интересные
и глубокие результаты о борелевских множествах, следует огра-
ограничить класс рассматриваемых пространств (см. задачи 1.7.5,
4.5.7, 4.5.8 и 7.4.22).
Самые привычные борелевские множества кроме открытых и
замкнутых множеств суть счетные объединения замкнутых мно-
множеств и счетные пересечения открытых множеств. Первые на-
называются FVмножествами, а вторые G^-множествами. Очевидно,
что дополнение ^-множества является б6-множеством, и наобо-
наоборот. Пересечение двух ^-множеств есть опять Fo-множество.
оо оо
В самом деле, если?= 1J ?;hF== jj ^/> гДе ?* и Fj— замкну-
ОО
тые множества, то Е П F = [} (Et (]Ff)t так что Е f| F есть Fa-
i. /-I
множество. Подобным же образом объединение двух G6-mho-
жеств есть бб-множество. Очевидно, что счетное объединение
(пересечение) /^-множеств (G^-множеств) есть ^-множество
(б6-множество). Множество всех рациональных чисел является
Fo-множеством на вещественной прямой R. Тот факт, что оно
не является Ge-множеством, не столь очевиден (см. упр. 3.9.В).
ИСТОРИЧЕСКИЕ И БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Понятия границы множества, производного множества, всюду
плотного и нигде не плотного множества были введены Канто-
Кантором, который установил также основные свойства этих объектов.
Сепарабельные пространства были введены Фреше [1906]. Оп-
Определение борелевских множеств впервые было дано Борелем
для подмножеств вещественной прямой. Теория борелевских
множеств была заложена Лебегом [1905] (для евклидовых про-
пространств) и Хаусдорфом [1914] (для метрических пространств).
УПРАЖНЕНИЯ
1.З.А. Проверьте, что если множества А и В удовлетворяют
условию ЛЛЯ = 0=ЛПВ, то F(^(j5) F^UFB

56 ГЛ. 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
1.3.В. Пусть{Л5}5€Е5 — локально конечное семейство подмно-
подмножеств топологического пространства X.
(a) Покажите, что Fr ( [} АЛ с: (J FvAs.
(b) Проверьте, что если все элементы семейства {>ls}ssS
нигде не плотны, то и объединение (J As нигде не плотно в X.
1.З.С. Для каждого положительного целого п множество ,
п-е производное множество подмножества А топологического
пространства X, определяется по индукции формулами
(a) Приведите пример множества вещественных чисел, имею-
имеющего три различных последовательных производных множества.
(b) Приведите пример множества вещественных чисел, кото-
которое имеет бесконечно много отличных друг от друга производ-
производных множеств.
I.3.D. (а) Обобщите 1.3.6, доказав, что для каждого откры-
открытого множества U топологического пространства X и любого
AczX
U{\A=U{\A.
Указание. Примените второе включение из упр. 1.1.А и ра-
равенство и = х\х\ и.
(Ь) Докажите, что для каждого замкнутого множества F то-
топологического пространства X и любого AczX имеет место ра-
равенство
Int(F \JlntA)=lnt(F[}A).
1.3.Е. Проверьте, что объединение коплотного множества и
нигде не плотного множества является коплотным множеством.
Заметим, что объединение двух коплотных множеств не обяза-
обязательно коплотно.
I.3.F. Покажите, что любое открытое подмножество плотного
в себе пространства плотно в себе.
1.3.G. Заметим, что открытые подмножества вещественной
прямой суть /^-множества. Покажите, что семейство всех боре-
левских множеств вещественной прямой может быть представ-
представлено как объединение U !Га, где #"о — семейство всех замк-
<
нутых множеств, ^"а состоит из всех счетных объединений мно-
множеств вида [J #"g, когда а — нечетный ординал, и из всех
1<
1<<1 I I ,7-
счетных пересечении множеств вида (J tF\, когда а — четный

1.4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 57
ординал. Заметим, что все семейства &~а имеют мощность с; вы-
выведите отсюда, что на вещественной прямой существуют множе-
множества, не являющиеся борелевскими.
1.4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ-
ЗАМКНУТЫЕ И ОТКРЫТЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ.
ГОМЕОМОРФИЗМЫ
Пусть (X,О) и (У,С) — два топологических пространства;
отображение f из X в У называется непрерывным, если f~l(U)&
е<7 для любого U е О'у т. е. если прообраз любого открытого
подмножества пространства У является открытым подмноже-
подмножеством пространства X. Тот факт, что / — непрерывное отобра-
отображение пространства X в У, будет часто записываться в виде
f:X-+Y.
Наше определение непрерывного отображения опирается на
понятие открытого множества. В дальнейшем мы будем часто
пользоваться методами введения топологий, описанными в § 1.2,
поэтому удобно иметь критерии непрерывности отображений,^
сформулированные в соответствующих понятиях и терминах.
Критерии такого рода перечислены в следующем предложении.
1.4.1. Предложение. Пусть X и У — топологические пространства
и f — отображение X в У. Следующие условия эквивалентны:
(i) Отображение f непрерывно.
(и) Прообраз любого элемента предбазы 0* в У открыт в X.
(И') Прообраз любого элемента базы $ в У открыт в X.
(Hi) Существуют системы окрестностей {$(x)}XGx в X и
{8)(у)}у^у в У, такие, что для каждого xei и каждого
V &?D(f(x)) найдется U е ?8(х)t удовлетворяющее
включению f(U)c V.
(iv) Прообраз любого замкнутого подмножества простран-
пространства У замкнут в X.
(v) Для любого А с X имеем f(A)cz f(A).
(v7) Для любого BczY имеем f-l(B)a: /-1 (В).
(vi) Для любого BczY имеем /-1 (Int В) cz Int f-1 (В).
Доказательство. Импликация (i)=>(ii) очевидна.
Докажем, что (ii)=^(ii/). Пусть 9* — предбаза пространства
У, такая, что f~l{V) открыто в X для любого Уе^. Выберем
базу $ пространства У, состоящую из всех конечных пересече-
пересечений Vi П УгП ••• П Vk элементов предбазы 9>. Так как
то прообразы всех элементов семейства 08 открыты в X.

58 ГЛ. 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Теперь покажем, что (ii')*4-(iii). Для любого V (f())
существует такое W^&t что /(х)е W czV. Так как f~l(W) от-
открыто в X и х& f~l(W)> то существует ?/е $(х), удовлетворяю-
удовлетворяющее условию Uczf~l(W). Тогда f (U)cz ff~l (W)cz: W cz V.
Докажем импликацию (iii)=^(iv). Пусть В = В— замкнутое
подмножество в У. Так как f-l(B) = X\f~l(Y\B)f то достаточ-
достаточно показать, что прообраз множества Y\B открыт в X. Для
этого покажем, что каждая точка x^f~l(Y\B) имеет окре-
окрестность U, содержащуюся в f-l(Y\B). Для любого хе
^f~l(Y\B) имеем f(x)^ Y\B. Следовательно, существует та-
такое V&2>(f(x))9 что VczY\B. В силу (Hi), найдется U&
e$t(x), удовлетворяющее включению f(U)czV. Очевидно, что
Для доказательства (iv)=^(v) заметим, что f~l(f(A)) яв-
является замкнутым множеством, содержащим Л, и, следователь-
следовательно, A a f~l(f(A)), откуда в свою очередь получаем
Для доказательства импликации (v)=^-(v/) применим усло-
условие (v) к равенству А = f~l (В); получим включение
откуда f~l(B) cz /-1 (В).
Для доказательства того, что (v/)=^(vi), применим условие
(v') к множеству Y\B; получим включение f~l(Y\B)cz
cz f~l(Y\B), из которого следует, что
Чтобы завершить доказательство, остается показать, что
(vi)=>(i). Для каждого открытого множества UaY имеем
(/ = Int?/. Из (vi) получаем, что f-l(U)cz Int fl(U). Таким
образом, f~1(Z7)=Int/-1(Z7), т. е. f~l(U) открыто в X. I
Характеристика непрерывности, данная в (Hi), позволяет
нам определить непрерывность в точке. Будем говорить, что
отображение из X в У непрерывно в точке х^Х, если для вся-
всякой окрестности V с= У точки f(x) существует такая окрестность
U <иХ точки х, что f(U)cz V. Очевидно, что отображение / из X
в У непрерывно в том и только том случае, если оно непрерывно
в каждой точке пространства Л".
Заметим в связи с доказанным выше предложением, что если
/: Х->У, то для любого /^-множества (бб-множества) В cz У

1.4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 59
его прообраз f~l(B) является Fa-множеством (б6-множеством)
в X.
Используя равенство (gf)~1 (U) = /-1 (g~x(U))9 легко прове-
проверить, что если / — непрерывное отображение X в У, а g— непре-
непрерывное отображение У в Z, то композиция gf — непрерывное
отображение X в Z.
1.4.2. Пример. Если X — дискретное пространство, то каждое
его отображение в любое топологическое пространство У непре-
непрерывно. Аналогично, всякое отображение любого топологического
пространства X в любое антидискретное пространство У непре-
непрерывно. I
1.4.3. Пример. Если на множестве X определены две топологии
0\ и 02, то тождественное отображение / = id* — непрерывное
отображение пространства (X, 0{) в пространство (X, 0%) в том
и только том случае, когда топология 0\ тоньше топологии 02- Ш
Пусть X — топологическое пространство, R— вещественная
прямая с естественной топологией и / — замкнутый единичный
интервал с естественной топологией. Из эквивалентности усло-
условий (i) и (iii) в 1.4.1 следует, что отображение / из X в R или /
непрерывно в том и только том случае, если для каждой точки
х е X и любого е > 0 существует такая окрестность U точки
xt что \f(x)—f{x')\< е для любой точки х;е(/. В частности,
отображение / из R в R непрерывно, если для любой точки
x^R и любого 8> 0 существует такое б > 0, что \f(x) —
— /(¦^/)|<в Для любого х'у для которого \х — л/|<6. Непре-
Непрерывное отображение в R или в / будем называть непрерывной
функцией. Эта терминология согласована с терминологией ве-
вещественного анализа.
Легко показать, что для любого f: X^~R функция |/|, где
|/| (x) = \f(x) |, непрерывна. В самом деле, |/| есть композиция
функции / и функции абсолютного значения, которые обе непре-
непрерывны. Подобным же образом легко установить, что для
/, g: X-+R непрерывны функции
= f(x)±g(x), (f
[min(f, g)](x) = min(f(x), g(x))9 [max(/, g)] (x) = max(/(x)9
Если функция /: X-+R не обращается в нуль ни в какой точке
пространства X, то функция 1/f, где A//) (х)= l/f(x), непре-
непрерывна. Подобные же утверждения имеют место для функций
f: Х-*»1 при соответствующих ограничениях.
1.4.4. Пример. Пусть К — прямая Зоргенфрея, определенная
в 1.2.2, и [х, г) — некоторый элемент базы 3§ этого пространства.

60 ГЛ. 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Так как множество [х, г) открыто-замкнуто в X, то формула
° при Х<У<Г>
1 в противном случае,
определяет непрерывную функцию /: /C-W. 1
1.4.5. Пример. Пусть L — плоскость Немыцкого, определенная
в 1.2.4, и Ui(x) — произвольный элемент базы Ш(х) в точке
xgL. Для каждой точки у ^ Ut(x)\{x} обозначим через у'
точку, в которой луч, выходящий из х и проходящий через у,
пересекает окружность, ограничивающую ?/,-(*). Легко пока-
показать, что формула
{0 при # = х,
1 при у e=L\ ?/,(*),
\ХУ\1\*У'\ при y^Ut(x)\{x}9
где \ab\ обозначает длину сегмента, соединяющего точки а и 6,
определяет непрерывную функцию f: L->/. I
1.4.6. Пример. Пусть X — пространство, определенное в 1.1.8.
Покажем, что для любого f: X-+R существует счетное множе-
множество Хо d X, не содержащее Xq и такое, что f {x)= f(x0) для каж-
каждой точки х е Х\Х0.
Множество Xt =X\f-l((f(x0)— i/i, f(xo)+l/t)) замкнуто и
не содержит хо. Таким образом, это конечное множество. Легко
оо
устанавливается, что множество Хо= [} Хг обладает всеми тре-
требуемыми свойствами. 1
Пусть X — топологическое пространство и {ft}—последова-
{ft}—последовательность функций из X в R или /. Говорят, что последователь-
последовательность {ft} равномерно сходится к вещественной функции /, если
для любого е > 0 существует такое &, что |/(л:)— ft(x) | < г при
каждом jcgXh любом i ^ k\ мы выразим это в символах так:
f = Hm fi.
1.4.7. Теорема. Если последовательность {ft} непрерывных функ-
функций из X в R или I равномерно сходится к вещественной функ-
функции /, то f — непрерывная функция из X в R. Если все fi —
функции в /, то f: X->L
Доказательство. Покажем, что для любой точки x0 ^ X и лю-
любого е > 0 существует такая окрестность U точки х0, что \f(xo) —
— f (x') I < е ПРИ всех х' е ?/.
Выберем целое число k так, что
(О |f(jc) — fi(x)\<e/3 при всех

1.4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 61
Так как функция fk непрерывна, то существует такая окре-
окрестность U ТОЧКИ JCo, ЧТО
B) IM*o)—M*0l<e/3 при всех xft=U.
Покажем, что окрестность U обладает требуемыми свой-
свойствами. Пусть /g(/.B силу A) и B),
+ I fk(x') -f(x') | < 8/3 +e/3 + 8/3 = 8.
Очевидно, что если ft(X)czI, i = 1, 2, ..., то f: X-+I. 1
Опишем теперь метод введения топологий с помощью непре-
непрерывных отображений.
1.4.8. Предложение. Пусть даны множество X, семейство {Ys}seS
топологических пространств и семейство отображений {fs}s<=s,
где fs — отображение X в Ys. В классе всех топологий на X, от-
относительно которых все функции fs непрерывны, существует гру-
грубейшая топология. Это топология О, порожденная базой, со-
состоящей из всех множеств вида
п п; (V,),
где 5i, s2, ..., Sk^S и Vi — произвольное открытое подмноже-
подмножество пространства Ysr /= 1, 2, ..., k.
Такая топология О называется топологией, порожденной се-
семейством отображений {/s}seS.
Доказательство. Семейство $, состоящее из всех подмно-
подмножеств вида П frtl(Vi)f обладает свойствами (В1) — (В2), и все
fs — непрерывные отображения относительно топологии О, по-
порожденной (в силу предложения 1.2.1) базой ^. С другой сто-
стороны, легко показать, что если все fs непрерывны относительно
некоторой топологии Of на X, то М с: О'. Отсюда следует вклю-
включение О с О\ означающее, что топология О грубее сК 1
1.4.9. Предложение. Отображение f топологического простран-
пространства X в топологическое пространство У, топология которого
порождена семейством отображений {f5}seSj г^е fs — отображе-
отображение Y в Ys, непрерывно в том и только том случае, если компози-
композиция fsf непрерывна для каждого sgS.
Доказательство. Если /: X-+Y, то fsf непрерывна как компо-
композиция двух непрерывных отображений. Пусть fsf: X-+Ys для
каждого s^S\ обозначим через 0> предбазу пространства У, со-
состоящую из всех множеств вида /71 (Vs)> где Vs открыто в У5.

62 ГЛ. 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
В силу 1.4.1, достаточно показать, что прообразы элементов 9*
при отображении f суть открытые множества в X. Но это сле-
следует из равенства
Если существует непрерывное отображение / пространства X
в пространство У, т. е. отображение /: Х-*- У,такое, что f(X)= У,
то мы говорим, что X может быть отображено на У или что У
есть непрерывный образ пространства X.
1.4.10. Теорема. Пусть У — непрерывный образ пространства X;
тогда d(Y)^d(X).
Доказательство. Пусть А — всюду плотное подмножество в
X, такое, что \А\ — d(X). В силу эквивалентности условий (i) и
(v) в 1.4.1, для отображения /: X-+Y пространства X на про-
пространство У имеем У = f{X) = f(A)a f(A). Таким образом, мно-
множество/(Л) плотно в У. Так как \f(A)\*?\A\ = d(X),?o d(Y)^
d(X) 1
1.4.11. Следствие. Непрерывный образ сепарабельного простран-
пространства сепарабелен. 1
Обратимся теперь к изучению двух важных классов непре-
непрерывных отображений: замкнутых и открытых отображений. Не-
Непрерывное отображение f: X->Y называется замкнутым (от-
(открытым) отображением, если для каждого замкнутого (откры-
(открытого) множества Ас:Х образ f(A) замкнут (открыт) в У. Ото-
Отображения, которые одновременно замкнуты и открыты, назы-
называются открыто-замкнутыми отображениями.
Очевидно, что композиция двух замкнутых (открытых) ото-
отображений является замкнутым (открытым) отображением.
1.4.12. Теорема. Непрерывное отображение f: X-+Y замкнуто
(открыто) тогда и только тогда, когда для каждого В с: У и
каждого открытого (замкнутого) множества А аХ, содержа-
щего f~l(B), существует открытое (замкнутое) множество Ccz У,
содержащее В и такое, что f~l(C)czA.
Доказательство. Мы рассмотрим случай замкнутого /; рас-
рассуждения для случая открытого отображения аналогичны.
Пусть f: X-+-Y замкнуто, Bcz У и А — открытое подмноже-
подмножество X, содержащее f~l(B). Множество С= Y\f(X\A) открыто
в У и содержит В. Кроме того,
Пусть / удовлетворяет указанным выше условиям; выберем зам-
замкнутое множество FczX. Множество А = X\F открыто, и для

1.4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 63
В= Y\f(F) имеем
f-t(B) = X\f-4(F)cX\F =А.
Таким образом, существует открытое подмножество С с У, та-
такое, что Y\f(F)<=:C и f-l(C)czA, т. е. f~l(C)[]F = 0. Послед-
Последнее равенство означает, что Cf[f(F) = 0, т. e. Cc Y\f(F). Сле-
Следовательно, f(F)=Y\C, т. е. множество f(F) замкнуто. I
В случае замкнутых отображений условие в 1.4.12 может
быть заменено следующим более простым условием.
1.4.13. Теорема. Непрерывное отображение /: X-+Y замкнуто
в том и только том случае, если для каждой точки y^Yu каж-
каждого открытого множества U czX, содержащего f~l(у), в Y су-
существует такая окрестность V точки у, что f~l{V)czU.
Доказательство. В силу 1.4.12, достаточно показать, что если
/ удовлетворяет сформулированным выше условиям, то / зам-
замкнуто. Пусть В с= Y — некоторое множество и A czX — открытое
множество, такое, что f~l(B)aA. Для каждого у&В выберем
такую окрестность Vyc:Y точки у, что f-l(Vy)aЛ. Открытое
множество С = (J Vy удовлетворяет включению В czC и
у fi
f-l(C)czA; следовательно, / замкнуто в силу 1.4.12. 1
1.4.14. Теорема. Непрерывное отображение f: X-+Y открыто в
том и только том случае, если существует такая база & про-
пространства X, что f(U) открыто в Y для любого U&$. 1
1.4.15. Примеры. Отображение г: /?->-/, определенное формулой
замкнуто, но не открыто.
Отображение /: L~>R, сопоставляющее точке (х, у) пло-
плоскости Немыцкого ее абсциссу х е /?, открыто, но не замкнуто.
Отображение g: K-+D прямой Зоргенфрея в двухточечное
пространство D = {0, 1}, определенное формулой
0 при х < 0,
1 при #;>0,
открыто-замкнуто. 1
1.4.16. Теорема. Для любого открытого отображения f: X-+Y и
любой точки jcg! имеем y(f(x), Y) ^ y(x, X). Если, кроме того,
f(X)= У, то w(Y)^w(X) и x(Y)^x(X)-

64 ГЛ. 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Доказательство, Отображение f переводит базу в точке х
в базу в точке f(x) и базу пространства X в базу пространства
ПХ).Ш
В отличие от приведенного результата, при замкнутых ото-
отображениях вес и характер могут повышаться (см. теорему
3.7.19).
1.4.17. Пример. Пусть X = R — вещественная прямая и У =
= (R\N)\J{yo}t где N — множество положительных целых чисел
и yo^R. Каждой точке х^Х поставим в соответствие точку
х, если x^X\N,
у09 если x<=N.
Рассмотрим на У топологию, порожденную семейством замкну-
замкнутых множеств ?=={ЛсУ: f~l(M замкнуто в X}. Легко пока-
показать, что f: X-^Y замкнуто и окрестности точки у0 в Y имеют
вид (^\yV)U{yo}, где U открыто в X и содержит множество N.
Пусть (?/i\#)U{#o}i (?/з\#)и{|/о}| .-- — произвольная по-
последовательность окрестностей точки г/0- Для каждого i = l,
2, ... выберем такую точку хг е Ui\N, что xi > L Множество
U = X\{xi,X2, ...} открыто в А" и содержит множество N. Та-
Таким образом, 7 = (?/\Af)U{#o} является окрестностью точки уо.
Так как ни один элемент нашей последовательности не содер-
содержится в V, то пространство У не имеет счетной базы в у0- Та-
Таким образом, х(^)>^о и w(Y)>8q, тогда как w(X) =
Отображение /: X-^Y стягивает замкнутое подмножество
NaiX в точку. Подобным же образом можно получить много
других интересных примеров. Это частный случай операции пе-
перехода к факторпространству, которую мы рассмотрим в § 2.4. 1
Непрерывное отображение /: Х->-У называется гомеоморфиз-
гомеоморфизмом, если / взаимно однозначно отображает X на У и обратное
отображение f из У в X непрерывно. Два топологических про-
пространства X и У называются гомеоморфными, если существует
гомеоморфизм пространства X на пространство У.
Для любого пространства X тождественное отображение
id*: Х-^-Х является гомеоморфизмом. Легко показать, что если
/ — гомеоморфизм, то обратное отображение f~l также гомеомор-
гомеоморфизм. Композиция fg двух гомеоморфизмов / и g является го-
гомеоморфизмом. Таким образом, отношение «X и У гомео-
морфны» есть отношение эквивалентности.
1.4.18. Предложение. Пусть f—взаимно однозначное отображе-
отображение топологического пространства X на топологическое про-
пространство У. Следующие условия равносильны:
(i) / — гомеоморфизм.

1.4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 65
(ii) / замкнуто.
(iii) / открыто,
(iv) Множество f(A) замкнуто в У тогда и только тогда,
когда А замкнуто в X,
(iv') Множество f~l(B) замкнуто в X тогда и только тогда,
когда В замкнуто в У.
(v) Множество /(Л) открыто в У тогда и только тогда,
когда А открыто в X.
(v') Множество f~l(B) открыто в X тогда и только тогда,
когда В открыто в У.
Доказательство. Равносильность (i) и (ii), а также (i) и
(iii) следует из того, что (/~1)-1(Л) = /г(Л) для любого AczX.
Равносильность (ii) и (iv), а также (iii) и (v) следует из ра-
равенства А — f~lf(A). Из равносительности (i) и (iv), а также (i)
и (v) вытекает, что как (iv'), так и (v') равносильны тому, что
/-1 — гомеоморфизм, а это равносильно (i). 1
1.4.19. Примеры. Пусть X — множество вещественных чисел, на-
наделенное одной из следующих топологий: (а) дискретной топо-
топологией; (Ь) естественной топологией; (с) топологией, определен-
определенной в 1.1.8, с хо = О; (d) топологией прямой Зоргенфрея; (е)
топологией, определенной в 1.2.6; (f) топологией, определенной
в 1.2.8, с Хо=О; (g) антидискретной топологией. Для каждого
вещественного числа а > 0 отображение fa: X-+X, определенное
формулой fa (х) s= ах, есть гомеоморфизм. При а < 0 отображе-
отображение fa не является непрерывным относительно топологии (d)f,
но является гомеоморфизмом относительно других рассмотрен-
рассмотренных здесь топологий. 1
Пусть Ж — класс непрерывных отображений, а 0* — некото-
некоторое свойство топологических пространств. Будем говорить, что
9* — инвариант класса Ж или что <Р сохраняется в сторону об-
образа при отображениях из Ж, если свойство 0* сохраняется ото-
отображениями из Ж, т. е. если для каждого f &Ж, где /: Jf-> У и
/(J)=y, пространство У обладает свойством Ф, при условии,
что им обладало пространство X. Используя эту терминологию,
можно переформулировать теорему 1.4.10, сказав, что свойство
«плотность ^т» является инвариантом непрерывных отображе-
отображений. Подобным же образом можно переформулировать тео-
теорему 1.4.16, сказав, что свойства «вес ^т» и «характер ^т»
суть инварианты открытых отображений.
Будем говорить, что свойство 9* есть обратный инвариант
класса Ж непрерывных отображений или что свойство & сохра-
сохраняется в сторону прообраза отображениями из Ж, если для
каждого fej[9 где /: X^Y и /(^)= У, пространство X обла-
обладает свойством {ру при условии, что им обладает пространство У.
Отметим, что свойство 9* есть обратный инвариант класса Ж
5 Зак. 697

66 ГЛ. 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
тогда и только тогда, когда свойство не-^F (т. е. отрицание 9>)
есть инвариант класса Ж. Таким образом, понятие обратного
инварианта сводится к понятию инварианта. Оно введено для
упрощения ряда утверждений. Очевидно, что если Ж\ с: Ж^ то
всякий инвариант (обратный инвариант) класса Ж% является
инвариантом (обратным инвариантом) класса Ж\,
Инварианты гомеоморфизмов являются особенно важными.
Они называются топологическими свойствами. Так как обратное
отображение к гомеоморфизму также является гомеоморфизмом,
то понятия инварианта и обратного инварианта в классе гомео-
гомеоморфизмов совпадают. Таким образом, топологическое простран-
пространство X обладает свойством 9> в том и только том случае, когда
этим свойством обладает любое гомеоморфное X пространство.
Так как гомеоморфизм /: X-+Y устанавливает взаимно одно-
однозначное соответствие между точками и открытыми множествами
обоих пространств, то каждое свойство, определенное в терми-
терминах открытых множеств и в терминах теории множеств, являет-
является топологическим свойством.
Предмет топологии — изучение топологических свойств.
Когда мы рассматриваем отдельное пространство Х7 мы пытаем-
пытаемся определить, какими топологическими свойствами оно обла-
обладает. При построении какой-нибудь общей теории обычно изу-
изучается некоторое конкретное топологическое свойство 9* и его
взаимосвязи с другими топологическими свойствами; мы пы-
пытаемся определить, какие операции над топологическими про-
пространствами не изменяют 9* и каковы классы отображений, от-
относительно которых 9* инвариантно. Таким образом, с тополо-
топологической точки зрения два гомеоморфных пространства можно
рассматривать как один объект.
Мы уже определили несколько топологических свойств; наи-
наиболее важными среди них являются следующие: «вес s^Crn»,
«характер s^ta» и «плотность ^щ».
Любое свойство 9> определяет класс всех пространств, обла-
обладающих этим свойством. Если 9* — топологическое свойство, то
определенный им класс топологически инвариантен, т. е. вместе
с некоторым пространством Ху обладающим свойством 9>, он
содержит все пространства, гомеоморфные X. Топологические
свойства, перечисленные в конце предыдущего абзаца, опре-
определяют (для щ = Ко) соответственно класс пространств со вто-
второй аксиомой счетности, с первой аксиомой счетности и сепара-
бельных. Все эти классы топологически инвариантны. В даль-
дальнейшем мы определим значительное число топологических
свойств, т. е. топологически инвариантных классов топологиче-
топологических пространств. Вводя новый класс пространств, мы обычно
не останавливаемся на его топологической инвариантности. Это
следует, однако, из самого определения, в котором участвуют

1.4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 67
лишь теоретико-множественные понятия и понятия, сводимые
к понятию открытого множества. Классы топологических про-
пространств, не являющиеся топологически инвариантными, не бу-
будут рассматриваться здесь. Подобным же образом мы будем
рассматривать лишь классы топологически инвариантных ото-
отображений, т. е. таких отображений, композиция которых с го-
гомеоморфизмами (с обеих сторон) не выводит из рассматривае-
рассматриваемого класса.
1.4.20. Примеры. Пусть X и У— два множества одной и той же
мощности. Рассмотрим в обоих дискретную топологию. Оче-
Очевидно, что каждое взаимно однозначное отображение X на У яв-
является гомеоморфизмом. С другой стороны, если дискретные про-
пространства X и У имеют различную мощность, они не могут быть
гомеоморфными. Таким образом, дискретное пространство не за-
зависит (с точностью до гомеоморфизма) от природы точек мно-
множества X, а зависит только от мощности пространства X. Ди-
Дискретное пространство мощности ш будем обозначать через
D()
()
То же самое имеет место для бесконечных множеств X и У
с топологией, определенной в 1.1.8. Однако здесь в случае, когда
оба множества имеют одну и ту же мощность, для того чтобы
получить гомеоморфизм, нужно взять такие взаимно однознач-
однозначные отображения X на У, которые переводят хо в у0 — точку на-
накопления пространства У. Пространство, полученное, как в 1.1.8,
из множества мощности m ^ &of будем обозначать через Л(т). I
ИСТОРИЧЕСКИЕ И БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Непрерывные отображения и гомеоморфизмы абстрактных
пространств впервые рассмотрел Фреше [1910]. В более узком
смысле понятие гомеоморфизма было введено ранее Пуанкаре.
Первое систематическое и исчерпывающее изложение этого пред-
предмета дал Хаусдорф [1914]. Топологии, порожденные семей-
семействами отображений, были рассмотрены Бурбаки [1951]. Поня-
Понятие замкнутого отображения введено Гуревичем [1926] и Алек-
Александровым [1927], понятие открытого отображения плоскости
в себя — Г. Вейлем [1913] и Стойловым [1928] (последний пред-
предполагал, что прообразы точек при этих отображениях не содер-
содержат нетривиальных континуумов). Открытые отображения топо-
топологических пространств были определены Ароншайном [1931]
(см. также Серпинский [1930]).
УПРАЖНЕНИЯ
1.4.А. Покажите, что топология прямой Зоргенфрея порож-
порождается семейством отображений в двухточечное дискретное про-
пространство.

68 ГЛ. I. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
1.4.В. Установите, что прямую Зоргенфрея можно отобразить
на Z)(&o), но нельзя отобразить на D(t).
1.4.С. Проверьте, что /: Х-> У есть замкнутое отображение
в том и только том случае, если f(A) = f(A) для каждого А сгХ,
и что / — открытое отображение в том и только том случае, если
f(lntA)<z:Intf(A) для любого АсХ. Приведите пример, по-
показывающий, что в этой характеристике открытых отображений
включение нельзя заменить на равенство.
Покажите, что f: X-+Y является открытым отображением
в том и только том случае, если f~l (В) = f~l (В), или, что экви-
эквивалентно, Intf-1(B)=f-1(IntB) для каждого ВсУ.
I.4.D. Установите следующие утверждения.
(a) Образ канонического замкнутого множества при откры-
открыто-замкнутом отображении есть каноническое замкнутое множе-
множество.
(b) Образ канонического открытого множества при открыто-
замкнутом отображении не является, вообще говоря, канони-
каноническим открытым множеством.
(c) Образ канонического замкнутого множества при замкну-
замкнутом (открытом) отображении не является, вообще говоря, кано-
каноническим замкнутым множеством.
(d) Прообраз канонического замкнутого (открытого) мно-
множества при открытом отображении есть каноническое замкну-
замкнутое (открытое) множество.
(e) Прообраз канонического замкнутого (открытого) множе-
множества при замкнутом отображении не является, вообще говоря,
каноническим замкнутым (открытым) множеством.
1.4.Е. Покажите, что прямая Зоргенфрея и плоскость Не-
мыцкого не гомеоморфны.
Указания. Примените 1.4.4.
1.4.F.(a) Докажите, что если бесконечное пространство У
является непрерывным образом пространства А (ш) при замкну-
замкнутом отображении, то существует такое кардинальное число
п ^ щ, что Y = А (п).
(Ь) Покажите, что отображение f: Л(т)-»-У пространства
А(ш) на некоторое топологическое пространство Y замкнуто
тогда и только тогда, когда для любой пары уи уч различных
точек У существуют открытые множества U\, U^a Y, такие, что
yi ^ Uи #2^ *Л и U\ П О2 = 0у т. е. У — хаусдорфово простран-
пространство (см. следующий параграф).
I.4.G. Установите, что для любого непрерывного отображе-
отображения f: X^-Y прообразы борелевских множеств из У являются
борелевскими множествами в X.

1.5. АКСИОМЫ ОТДЕЛИМОСТИ 69
1.5. АКСИОМЫ ОТДЕЛИМОСТИ
Определение топологического пространства является весьма
общим, поэтому невозможно доказать много интересных теорем
обо всех топологических пространствах сразу. В этой книге изу-
изучаются различные классы топологических пространств, от весь-
весьма общих к более и более специальным. Очевидно, что чем
уже рассматриваемый класс, тем больше теорем имеет место
об этом классе.
Ограничения, которые мы налагаем на топологические про-
пространства, имеют разнообразный характер. Мы уже обсуждали
аксиомы счетности, ограничивающие мощность баз. В этом па-
параграфе мы изучим аксиомы отделимости, касающиеся разделе-
разделения точек и замкнутых множеств в топологических простран-
пространствах.
Топологическое пространство X называется Т ^пространством,
если для каждой пары различных точек х\у Х2^Х существует
открытое множество, содержащее ровно одну из этих точек.
Примерами топологических пространств, не являющихся Го-про-
Го-пространствами, служат антидискретное пространство и простран-
пространство, описанное в 1.2.10. Все другие определенные выше про-
пространства суть Го-пространства.
1.5.1. Теорема. Пусть X есть Т^-пространство; тогда |^!^
^ exp w(X).
Доказательство, Пусть $ — такая база пространства X, что
\ = w(X)y и для любого х^Х пусть 3§(x) = {U^3t: x^U}.
з определения Г0-пространства следует, что ${х)Ф$(у) при
хФу. Так как число всех различных семейств 3§{х) не превос-
превосходит exp|Jf|, то |Х|^ехрш(Х). 1
Топологическое пространство X называется Т{-пространством,
если для каждой пары различных точек xi, Х2^Х существует
открытое множество U а X, такое, что х\ е U и X2^U. Заме-
Заметим, что существует также открытое множество VczX, такое,
что х2 ^ V и х\ ф V; достаточно рассмотреть пару х%, хи В этом
заключено отличие от Го-пространства, в котором для любой
пары несовпадающих точек х\, д:2 может существовать либо
только открытое множество U, такое, что х\ g(/, jc2 ф ?/, либо
только открытое множество V, такое, что д:2 е V, х\ ф. V.
Очевидно, что всякое ^-пространство является Го-простран-
Го-пространством. Пространство, описанное в примере 1.2.8, является Го-
пространством, но не является Ггпространством. Все другие
определенные выше пространства, за исключением описанного
в примере 1.2.10, суть ^-пространства.
Отметим, что X является ^-пространством в том и только
том случае, если каждая точка х^Х является пересечением
всех своих окрестностей. Отсюда, в частности, следует, что каж-

70 ГЛ. I. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
дое одноточечное подмножество ^-пространства с первой аксио-
аксиомой счетности является Gfi-множеством.
Оказывается, что X является ^-пространством тогда и толь-
только тогда, когда для каждого х^Х множество {х} замкнуто.
В самом деле, пусть X есть 7>пространство; тогда для любого
хеХ имеем
{x}=(\{X\U:x&UeO}9
где О — топология в множестве X. Следовательно, множество
{х} замкнуто по (СЗ). С другой стороны, пусть для каждого
х^Х множество {л;} замкнуто; тогда X есть ^-пространство.
Действительно, для каждой пары несовпадающих точек х\,х%^Х
открытое множество U = Х\{х2} содержит хи йо не содержит
х2.
Топологическое пространство X называется Т2-пространством
или хаусдорфовым пространством, если для каждой пары раз-
различных точек jti, Х2 ^ X существуют открытые множества U\, U2>
такие, что х\ е U\9 х2 e U2 и V\ П U2 = 0.
Очевидно, что каждое 72-пространство является Т^-дростран-
ством. Пространство, описанное в примере 1.2.6, является ^-про-
^-пространством, не будучи ^-пространством. Все пространства, опре-
определенные в § 1.1, а также прямая Зоргенфрея и плоскость
Немыцкого являются хаусдорфовыми пространствами.
Заметим, что X есть Г2-пространство в том и только том слу-
случае, если каждая точка х е X есть пересечение замыканий всех
своих окрестностей.
Читатель легко докажет следующее утверждение.
1.5.2. Предложение. Пусть даны множество X и совокупность
№(х)}Хевх семейств его подмножеств, обладающая свойствами
(ВР1) —(ВРЗ). Кроме того, пусть совокупность {$(х)}хеХ обла-
обладает свойством
(ВР4) Для каждой пары несовпадающих точек х, j/g! суще-
существуют открытые множества U&${x) и Уе^(у), та-
такие, что t/Л V = 0.
Тогда пространство X, наделенное топологией, порожденной со-
совокупностью {$ (х)}Х€В х, хаусдорфово.
1.5.3. Теорема. Пусть X — хаусдорфово пространство; тогда
\X\^expexpd(X) и \X\^[d{X)]*w.
Доказательство. Пусть А — всюду плотное подмножество про-
пространства X, такое, что \А\ = d(X)9 и пусть {$ (х)}х&х— неко-
некоторая система окрестностей пространства X.
Для доказательства первого неравенства сопоставим каж-
каждому xel семейство j&(x) = {U[)A: U^3t(x)} подмножеств
множества Л. Из равенства Uf]A = O следует, что пересечение

1.5. АКСИОМЫ ОТДЕЛИМОСТИ 71
замыканий всех элементов семейства зФ(х) равно {#}. Следова-
Следовательно, *$&(х)фз?{у) при хфу. Так как число всех различных
семейств $Ф (х) не превосходит ехр ехр | А \, то | X | <; exp exp d {X).
Предположим теперь, что \&(х)\^%(Х) (где %(Х)*^&о)
для каждого х е X, и обозначим через s&0 семейство всех под-
подмножеств множества Л, мощность которых не больше %(Х).Оче-
%(Х).Очевидно, что \s&o\^\d(X) |эс<*>. Для каждого U^&(x) выберем
точку а(х, U)<= Uf[A и рассмотрим множество А (х) = {а(х, U):
U^&(x)}^s&o. Для доказательства второго неравенства сопо-
сопоставим каждой точке х^Х семейство *s4q(x) = {U()А(х):
U ^M(x)}cz*s&q. Очевидно, что \$?о(х)\^%(Х). Так как хе
^ U(]A(x)cz D для каждого U^&(х), то пересечение замыка-
замыканий всех элементов <s&o(x) равно {#}. Следовательно, $?о(х)Ф
ф^о(у) при хфу. Так как число всех различных семейств
<s4-b{x) не превосходит |«5#о|х(;°> то
\X\^[[d(X)]%{X)]%iX)=[d(X)]x{X).
Когда %(Х) конечно, пространство X дискретное и второе
неравенство теоремы очевидно. 1
В дальнейшем мы будем часто пользоваться следующей тео-
теоремой.
1.5.4. Теорема. Пусть f, g — непрерывные отображения некото-
некоторого пространства X в хаусдорфово пространство У. Тогда мно-
множество
{х<=Х: f(x) = g(x)}
замкнуто в пространстве X.
Доказательство. Мы покажем, что множество А ={х^Х:
}{х)фg(x)} открыто в пространстве X. Для каждого х^А
имеем 1(х)фg(x)\ следовательно, в Y существуют открытые
множества Ui и V%,такие,что f(x)& U\f g(x)^ ?/2и f/j П U2 — 0-
Множество f~x{U\)[\g-l{U2) есть окрестность точки х, содер-
содержащаяся в Л. I
Топологическое пространство X называется Т^пространством
или регулярным пространством1), если X есть ^-пространство
и для любого х^Х и каждого замкнутого множества FaX,
такого, что x^Ft существуют открытые множества U\f ?/2, та-
такие, что
х*=ии FczU2 и Ux[\U2 = 0.
1.5.5. Предложение. Тгпространство X регулярно тогда и только
тогда, когда для каждой точки х е X и любой ее окрестности V
!) Следует предупредить читателей, что некоторые авторы не включают
в определение регулярных, вполне регулярных и нормальных пространств ус-
условие, что X есть f 1 -пространство.

72 ГЛ. 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
из некоторой фиксированной предбазы 9> существует окрестность
U точки ху такая, что ОсК.
Доказательство. Пусть X — регулярное пространство и !? —
предбаза пространства X. Выберем некоторую точку л;е!иее
окрестность Уе^. По определению регулярного пространства
существуют открытые множества U\, U2i такие, что
Тогда U\ czX\U2cz: V, откуда в свою очередь получаем, что
О\ с: V, так как X\U2 замкнуто.
Пусть теперь выполнено условие теоремы. Выберем х е X и
замкнутое множество F так, что x^F. По определению пред-
предбазы существуют такие Vu ^2» • • -» Vk^tf*, что х s f] F/ c:X \
\ jF. Для каждого t=lf 2, ..., А выберем открестность Ш^
точки дса таким образом, что Wt cz Vt. Открытые множества
k k
Ux = П Wt и U2 = X\ji)Wiiie пересекаются, xe[/iH
ft ft
FczX\ П ^с=Х\П Г, = ?/2. I
i-l 1-1
1.5.6. Теорема, Пусть X — регулярное пространство; тогда
X)d(X)
Доказательство. Пусть {Us}seS — семейство всех непустых
открытых подмножеств пространства X. Так как X регулярно,
то семейство {Int?/s}S€5S является базой. Выберем плотное
множество AczX, такое, что \A\ = d(XI и пусть VS = A(]U$
для любого s e S. Для доказательства теоремы достаточно за-
заметить, что, в силу теоремы 1.3.6,
V8 = Vsf влечет за собой US — US' для s> s'eS,
ибо из этого вытекает, что число всех различных множеств
Int Os не превосходит ехр | А |. 1
Ясно, что всякое регулярное пространство X является хаус-
дорфовым. Именно для справедливости этого утверждения мы
предположили (кроме возможности отделять точки от замкну-
замкнутых множеств), что X является 7>пространством. Антидискрет-
Антидискретное пространство обладает требуемым свойством отделимости,
однако не является ^-пространством. Все описанные выше хаус-
дорфовы пространства регулярны. Приведем теперь пример не-
нерегулярного хаусдорфова пространства.
1.5.7. Пример. Пусть X — множество вещественных чисел и
ZczX — множество обратных для всех целых чисел, отличных

1.5. АКСИОМЫ ОТДЕЛИМОСТИ 73
от нуля. Для каждого хеX положим Ui(x) = (x— 1//, х-\- l/i) и
( {?М*))Г=1>
В (х) = \
1 {Ui(x)\Z}~_l9
если * = 0.
Легко показать, что совокупность {&{х)}х<=х обладает свой-
свойствами (ВР1) — (ВР4). Следовательно, пространство X, наделен-
наделенное топологией, порожденной системой окрестностей №(х)}хеХ>
является хаусдорфовым. Множество Z замкнуто в X и O^Z.
Кроме того, для любых открытых множеств U\, ?/2, таких, что
Oe(/i и ZczUz, имеем 1)\[\иъФ0. Следовательно, X не яв-
является регулярным. |
Еще более узкий класс пространств представляют собой ти-
хоновские пространства. Топологическое пространство X назы-
называется Г3 j_ -пространством, или тихоновским пространством, или
вполне регулярным пространством, если X есть ^-пространство
и для любого хе X и любого замкнутого множества FcX,
такого, что x^F, существует непрерывная функция /: X-+I,
такая, что
/(х) = 0 и f(y)=l для ys=F.
Так как для открытых множеств U\ = /~! ([0, 1/2)) и ?/г =
= /-1(A/2,1]) имеют место соотношения
то каждое тихоновское пространство является регулярным про-
пространством.
В определении Т \ -пространств, кроме теоретико-множе-
3Т
ственных понятий и понятий, сводимых к понятию открытого
множества, употребленных при определении ^-пространств
с f ^ 3, использовано понятие непрерывной вещественной функ-
функции. Следовательно, топологическая инвариантность класса
Г3 j_- пространств нуждается в доказательстве, тогда как для
7\-пространств с i ^ 3 она является прямым следствием способа
их определения. Однако для доказательства достаточно заме-
заметить, что композиция fh гомеоморфизма h и непрерывной функ-
функции / в / есть непрерывная функция.
1.5.8. Предложение. Т^пространство X является тихоновским
пространством в том и только том случае, если для каждой точ-
точки х^Х и любой ее окрестности V из фиксированной предбазы
& существует непрерывная функция {: X-+I, такая, что f(x) = O
и }(у)=1 дляу<=вХ\У.

74 ГЛ. 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Доказательство. Необходимость этого условия следует из
того, что XW замкнуто и не содержит х.
Для доказательства достаточности выберем jcel и замкну-
замкнутое множество F такими, что хф.?. По определению предбазы
существуют V\9 ..., Vk^&*t удовлетворяющие условию х е
П
П VtCzX\F. Выберем функции /*: X-+I, /=1,2, ..., А, та-
таким образом, что fi(x) = O и f{(y)= 1 при y^XWi. Легко по-
показать, что для / = max(fi,/2» ..., fk) имеют место равенства
f() 0f()\ F I
f() f(y) py
В примерах 1.4.4 и 1.4.5 мы показали, что прямая Зоргенф-
рея и плоскость Немыцкого являются тихоновскими простран-
пространствами. Очевидно, что все пространства, определенные в § \ЛТ
также являются тихоновскими пространствами.
Примеры регулярных пространств, не являющихся тихонов-
тихоновскими пространствами, сложнее рассмотренных до сих пор при-
примеров. Они не могут быть построены непосредственно; чтобы
получить их, нужно знать некоторые методы построения более
сложных пространств из более простых. Такой пример будет
приведен в следующей главе (см. пример 2.4.21 и замечания к
§ 2.4). Отметим, что существуют даже такие регулярные про-
пространства, на которых каждая непрерывная вещественная функ-
функция постоянна. Однако такие пространства весьма сложны (см.
задачу 2.7.17).
Топологическое пространство X называется Т4-пространством
или нормальным пространством, если X является ^-простран-
^-пространством и для каждой пары непересекающихся замкнутых мно-
множеств Ау BczX существуют открытые множества U, V, такие,
что
A) AczU, 5c=V и U(\V = 0.
Очевидно, что каждое ^-пространство есть ^-пространство.
Из приведенной ниже теоремы 1.5.10 следует, что каждое ^-про-
^-пространство также есть Т3х~ пространство, но этот факт отнюдь
не очевиден. Приведем теперь пример тихоновского простран-
пространства, не являющегося нормальным. Оказывается, таким про-
пространством является плоскость Немыцкого.
1.5.9, Пример. Мы должны показать, что плоскость Немыцкого
L не является нормальным пространством. Мы уже отмечали,
что производное множество L\CzL пусто. Из 1.3.4 следует, что
А& = 0 для любого A d L\ и что любое такое А замкнуто в L.
Пусть С состоит из всех точек L^ обе координаты которых ра-
рациональны. Ясно, что С — всюду плотное подмножество в L.

1.6. АКСИОМЫ ОТДЕЛИМОСТИ 75
Допустим, что L — нормальное пространство; тогда для каж-
каждого A cz L\ существуют открытые множества ?/д, Va cz L, такие,
что
AczUa, Lx\Ac:Va и Ua[\Va = 0.
Каждому Л с: Li поставим в соответствие множество СА =
= С П Uа- Мы покажем, что Сд Ф Св при А Ф В, и придем к про-
противоречию, так как L\ содержит 2е различных подмножеств, в
то время как С содержит только с различных подмножеств.
Пусть A, J3c=Li, АфВ\ без уменьшения общности можно счи-
считать, что А\В Ф 0. Так_как 0 Ф А\В cz ПА П У в и Пв П VB=0,
то, в силу 1Л.2, ЦаФИв- Из последнего соотношения и 1.3.6
следует, что С а Ф Св и потому С а Ф Св- I
Сделанное выше замечание о том, почему в определении ре-
регулярности пространства X требуется, чтобы оно было Ггпро-
странством, относится и к определению тихоновских и нормаль-
нормальных пространств. Иллюстрацией служит антидискретное про-
пространство.
Следующая теорема является одной из фундаментальных.
По историческим причинам она называется леммой Урысона.
1.5.10. Теорема (лемма Урысона). Для каждой пары А, В непе-
непересекающихся замкнутых множеств нормального пространства
X существует непрерывная функция f: X-+I, такая, что
/(х) = 0 при х<=еА и f(x)=l при х<=В.
Доказательство. Для каждого рационального числа ге
е[0,1] определим открытое множество VVcrX, удовлетворяю-
удовлетворяющее условиям
B) VrCzVr', если г<г'\
C) Лс=У0, BczXWx.
Множества W определяются индуктивно. Расположим все
рациональные числа интервала @, 1) в некоторую бесконечную
последовательность гз, Г4, ... , и пусть п = 0, /*2=1. Положим
V0 = U и Vi=X\B,
где U вместе с открытым V удовлетворяют A). Очевидно, что
А с Vo cz X\V = X\V cz Vu следовательно, Voс: Vx.
Условие C), так же как и условие
Bk) Vri cz Vrj, если г, < г, и /, / < *,
выполнено для k = 2.
Допустим, что множества Vт уже определены для i ^
^п(п^2) и выполнено B„). Обозначим через п и rm coot-

76 ГЛ. 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
ветственно те из чисел гь г2, ..., гп, которые ближе всего к гп+г
слева и справа. Так как п < гт, то из BЛ) вытекает, что
Vr, cz УГтГ Из нормальности пространства X мы делаем вывод о
существовании открытых множеств U, V, таких, что
Отсюда следует, что U а X \ V cr VVm, а это в свою очередь
дает UczX\ V = X \V a VTm* Положив 7Гп+1 = U, мы полу-
получим множества Vfl, Fr2, ..., 7г„+1> удовлетворяющие условию
Bл+1). Полученная таким образом последовательность Fn> Vr2». •
удовлетворяет условиям B) и C).
Функцию / из X в / определим формулой
(inf{r:x^Vr} для x&Vu
f{x> = \ 1 для xz=X\Vi.
В силу C), имеем f(A)cz{0} и f(B)cz{l}. Остается доказать,
что / непрерывна. Для этого в силу 1.4.1 достаточно показать,
что прообразы интервалов [0, а) и (Ь, 1], где а ^ 1 и 6^0,—
открытые множества.
Неравенство f(x)< а имеет место в том и только том слу-
случае, если существует такое r<La, что хеУг; следовательно,
множество /-1 ([0, а)) = U { V7: г < а} открыто. Неравенство
f(x) > й имеет место в том и только том случае, если суще-
существует такое г' > й, что хфУг^ Но, в силу B), это означает,
что существует такое г > bt что х ф Vr- Следовательно, мно-
множество
r>b} = X\[\{Vr: r>b}
также открыто. 1
1.5.11. Следствие. Подмножество А нормального пространства X
является замкнутым Об-множеством в том и только том слу-
случае, если существует непрерывная функция f: X-+I, такая, что
A f40)
f4)
Доказательство, Одноточечное множество {0} cz / является
замкнутым Сб-множеством. Поэтому прообраз f~l@) при любом
непрерывном отображении /: Х~>1 является замкнутым G6-mho-
жеством.
Пусть теперь А — замкнутое бб-множество в нормальном
пространстве X. Дополнение множества А есть /^-множество,
оо
т. е. X \ А = U Fty где Ft = Fu i = 1, 2, ... . По лемме Урысона
i

1.5. АКСИОМЫ ОТДЕЛИМОСТИ 77
для каждого t=l, 2, ... существует непрерывная функция
/(•: X-+I, такая, что
fi(x) = O для х^А и /,•(#)=! для x^Ft.
оо
Из 1.4.7 вытекает, что формула f (jc)= У]т М*) определяет
непрерывную функцию f: X-+L Для х^А с очевидностью
/(jc) = O. Если хфА, то существует такое *, что x^Fi, и по-
потому /(*)>-!- ff (x) = -у > 0. Следовательно, Л = f-1 @). 1
Перейдя к дополнениям, можно переформулировать 1.5.11
следующим образом.
1.5.12. Следствие. Подмножество А нормального пространства X
есть открытое Fa-множество в том и только том случае, когда
существует непрерывная функция f: X-+I, такая, что А =
= /-4@,1]). I
Два подмножества А и В топологического пространства X
называются вполне отделимыми, если существует непрерывная
функция /: X-+I, такая, что f(x) = O при х^А и f(x)=l при
хеВ. В этом случае говорят, что / разделяет множества А и
В. Лемма Урысона утверждает, что в нормальном простран-
пространстве два непересекающихся замкнутых множества вполне отде-
отделимы. Легко показать, что если любые два непересекающихся
замкнутых множества в ^-пространстве вполне отделимы, то
пространство нормально.
Подмножество А топологического пространства X называет-
называется функционально замкнутым1), если Л=/~1@) для некото-
некоторого /: Х-*-1. Очевидно, что всякое функционально замкнутое
подмножество пространства X замкнуто в X. Пусть f, g: X^~I\
определим h\, h%: X-^-I формулами
Тогда
Ar!(O) = r!(O)Uff"l(O) и Аа-^О)- Г1 (О)П«Г!(О).
Отсюда следует, что объединение и пересечение двух (и конеч-
конечного числа) функционально замкнутых множеств — функцио-
функционально замкнутые множества. Счетное пересечение функцио-
функционально замкнутых множеств вновь является функционально
!) Принятые здесь термины «функционально замкнутое множество> и
«функционально открытое множество» кажутся нам более подходящими, чем
обычно употребляемые термины «нуль-множество» и «конуль-множество».

78 ГЛ. 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
оо
замкнутым множеством. В самом деле, f] ffl @) = /~1@) для
оо
функции /: X-+I, определенной формулой / {х) = V —г ft (x).
t=i 2
Дополнение к функционально замкнутому подмножеству в
пространстве X называется функционально открытым. Очевидно,
что всякое функционально открытое подмножество пространства
X открыто в X. Счетное объединение и конечное пересечение
функционально открытых множеств — функционально открытые
множества. Легко показать, что ^-пространство X вполне регу-
регулярно в том и только том случае, если семейство всех функцио-
функционально открытых множеств образует базу в пространстве X. От-
Открыто-замкнутые множества одновременно функционально от-
открыты и функционально замкнуты. Прообраз при непрерывном
отображении функционально замкнутого (открытого) множества
есть функционально замкнутое (открытое) множество. Следствия
1.5.11 и 1.5.12 утверждают, что в нормальных пространствах
функционально замкнутые (открытые) множества совпадают с
замкнутыми О6-множествами (открытыми /^-множествами).
1.5.13. Теорема. Любые два непересекающихся функционально
замкнутых множества А и В в произвольном топологическом
пространстве X вполне отделимы. Более того, существует непре-
непрерывное отображение /: X-v/, такое, что Л = /-*@), Б = /-1A).
Доказательство. Пусть g, h: X^I удовлетворяют соотноше-
соотношениям
A=g-i@) и fl = /H@).
Так как Л П 5 = 0, то формула f(x) = g (х) / (g {х) + h (x)) опре-
определяет непрерывное отображение f: X-+L Легко показать, что
Л=/-1@) BB = f-l{l). 1
Очевидно, что все дискретные пространства D(m) нормальны.
Легко установить, что все пространства А(ш) также нормальны.
Приведенная ниже теорема 1.5.15 показывает, что прямая ли-
линия R и интервал / также нормальны. В примере 1.5.17 будет
показано, что прямая Зоргенфрея нормальна.
1.5.14. Лемма. Пусть X есть Ту-пространство, и пусть для лю-
любого замкнутого множества FczX и любого открытого WczX,
содержащего Ft существует последовательность Wu W%y ... от-
оо
крытых подмножеств пространства X, такая, что F с (J Wt и
Wicz W для i=l, 2, ... . Тогда пространство X нормально.
Доказательство. Пусть А и В — непересекающиеся замкну-
замкнутые подмножества пространства X. Полагая F = A и W X\B

1.5. АКСИОМЫ ОТДЕЛИМОСТИ 79
мы получим последовательность W\, W2, ... открытых подмно-
подмножеств пространства X, такую, что
оо
D) ЛсД^ и BftWt=0, /=1,2,....
Полагая F = B и № = Х\Л, мы получим последовательность
Vi, V2, ... открытых подмножеств пространства X, такую, что
оо
E) Bcz[}Vi и AflVt=0, /=1,2,
Положим
Множества G, и Я, открыты; более того, из D) и E) следует,
что
оо оо
AczU=\JGi и B<zV=\]Ht.
Для завершения доказательства остается показать, что от-
открытые множества U и V не пересекаются. Так как из F) сле-
следует, что Gi П Vf = 0 для / ^ /, то Gi Л Я/ = 0 для / ^ и По-
Подобным же образом Я/ Л ТИ^г = 0 для i ^ / и Gi Л Я/ = 0 для
i^/. Следовательно, Gi(]Hj = 0 для г, /= 1,2, ...» и потому
Легко убедиться, что условия предыдущей леммы не только
достаточны, но и необходимы для нормальности ^-простран-
^-пространства X.
1.5.15. Теорема. Любое регулярное пространство, удовлетворяю-
удовлетворяющее второй аксиоме счетности, нормально.
Доказательство. Каждое регулярное пространство X со счет-
счетной базой 3$ удовлетворяет условиям леммы 1.5.14, так как для
любого х е F существует такое Ux е ^, что х е Ux cz Ox cz W,
семейство всех Ux счетно и f с [I Ux. 1
1.5.16. Теорема. Каждое счетное регулярное пространство нор-
нормально.
Доказательство. Каждое счетное регулярное пространство
удовлетворяет условиям леммы 1.5.14, так как для всякой точ-
точки х е F существует открытое множество Ux, такое, что х е
<= Ux с: Ох cr W. Семейство всех Ux счетно hFc U Ux. |
В связи с теоремой 1.5.16 отметим, что существуют счетные
регулярные пространства, не удовлетворяющие первой и тем бо-

80 ГЛ. 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
лее второй аксиоме счетности (см. примеры 1.6.19, 1.6.20 и
2.3.37).
1.5.17. Пример. Покажем, что прямая Зоргенфрея К является
нормальным пространством (см. пример 3.8.14). Пусть А, В —
непересекающиеся замкнутые подмножества прямой /О
Для каждого а&А возьмем интервал [atx{a))t не пересе-
"кающийся с В, а для каждого Ь&В— интервал [btx(b))f не
пересекающийся с А. Полагая U= (J [а, х (а)) и V— (J [Ь,
х(Ь)), мы получим открытые множества, такие, что Лс[/ и
В а V. Для каждого аеА и fteB имеем [a, x(a))f[[b, x(b)) =
— 0, так как иначе выполнялись бы включения Ь^[а,х{а))
или a^[b,x(b)) (в зависимости от того, какое из неравенств
имеет место: а < b или b < а). Следовательно, U(] V — 0. I
Отметим, что, применяя законы де Моргана, легко показать,
что ^-пространство X нормально в том и только том случае,
если для любой пары открытых множеств U, VczX, таких, что
Х= U[) V, существует пара замкнутых множеств Л, 5с= J, та-
таких, что AczUtBczViiX = A\JB. Для усиления этого резуль-
результата введем несколько простых понятий.
Семейство {Л5}зе_5 подмножеств множества X называется
покрытием множества X, если (J AS = X. Если X — топологи-
S
ческое пространство и все множества As открыты (замкнуты),
то мы называем покрытие {As}s^s открытым {замкнутым). Се-
Семейство {A^g-з подмножеств множества X называется точечно
конечным {точечно счетным), если для каждого xgX множе-
множество {s e S: x^As} конечно (счетно). Очевидно, что всякое
локально конечное покрытие является точечно конечным. С дру-
другой стороны, открытое покрытие интервала /, состоящее из са-
самого / и всех интервалов A/(*'+ 1), 1/0» г = 1, 2, ..., точечно
конечно, но не является локально конечным.
1.5.18. Теорема. Пусть X — нормальное пространство, и пусть
{Us}$gS—его точечно конечное открытое покрытие. Тогда су-
существует открытое покрытие {VS}SGES пространства X, такое, что
Vs с: Us для каждого seS.
Доказательство. Пусть & — семейство всех функций G:S^~C?',
(где О — топология пространства X), удовлетворяющих следую-
следующим условиям;
G) G{s)=Us или CTF)c:[/5,
(8) U

1.5. АКСИОМЫ ОТДЕЛИМОСТИ 81
Упорядочим семейство ^, положив по определению G\ ^ G2,
если G2(s)=Gi(s) для каждого seS, такого, что G\(s)=^ Us.
Мы покажем, что для всякого линейно упорядоченного подсе-
подсемейства &qCZ$ формула G0(s) = П G(s)> s^St определяет
элемент семейства $?. Условие G) выполняется очевидным обра-
образом. Проверим условие (8). Пусть х^Х; так как {Us}sgS то-
точечно конечно, существует конечное множество So={sb $2, •*•
..., sa.}c:S, такое, что x^USi, /=1, 2, ..., k и xqkUs для
s е S\50. Если Go(st) = Us. для некоторого s* e So, то
x^Gq(s()cz U GoE). Следовательно, можно считать, что для
t=l, 2, ..., /г найдется такое G*e^0, что G*(s*) Ф Usr Так
как семейство ^0 линейно упорядочено, существует такое / ^ й,
что Gi^Gj, t = l, 2, ..., й. Применяя (8) к G/, мы видим, что
jce Gf(si)= Gq(si) для некоторого s; e So.
По лемме Куратовского — Цорна в $ существует максималь-
максимальный элемент G. Для завершения доказательства достаточно по-
показать, что G(s)cz Us для каждого seS.
Допустим, что G ($0) П (X \ USo) ф 0. Множество А =
= Z \ U{C(s):5gS\ {s0}} с: G (s0) замкнуто. В силу нормаль-
нормальности пространства^ существует открытое множество V, такое,
что Л с: Ус: Fez G(so). Из G) следует, что G(so) = USQ, поэтому
формула
( V при s = s0,
Uo{S)-\G(s) при зФ so,
определяет такую функцию Go^^, что G ^ Go и G =^= Go. Это
противоречит максимальности элемента G и показывает, что
G E) cz Us для любого s eS. I
Топологическое пространство X называется совершенно нор-
нормальным, если J — нормальное пространство и каждое замкну-
замкнутое в нем множество является 6б-множеством. Очевидно, что
нормальное пространство X совершенно нормально тогда и
только тогда, когда каждое его открытое подмножество есть
/V множество.
Класс совершенно нормальных пространств существенно уже
класса нормальных пространств: для ш> Ко пространство А(ш)
не является совершенно нормальным. В самом деле, любое /V
множество в Л(ш), не содержащее единственную точку накоп-
накопления лго пространства А (т.), счетно. Отсюда следует, что от-
открытое множество Л(ш)\{хо} не является /^-множеством. От-
Отметим, что каждое нормальное пространство X со счетной базой
Ш совершенно нормально. Действительно, для любой точки х
открытого множества U czX существует такое Ux ^ 3$, что
б Зак. 697

82 ГЛ. 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
х е Ux a Ox ci U. Таким образом, t/ = |J Ux, где объединение
x^U
счетно, ибо все множества Ux принадлежат &.
Очевидно, что все дискретные пространства и все счетные
нормальные пространства совершенно нормальны. Прямая Зор-
генфрея тоже совершенно нормальна. В самом деле, если для
каждой точки х открытого множества U а К взять объединение
U(x) всех содержащих ее открытых интервалов, лежащих в Uf
то для х,х' <= Сбудет либо U(x)= U(xf), либо U(x)[\ U(xf) = 0.
Поскольку каждое U(x) содержит рациональное число, множе-
множество различных U(x) счетно, а их объединение Uo является
/^-множеством в К. Легко проверить, что множество U\Uq
счетно, а следовательно, U есть /^-множество в /С.
Так как вещественная прямая R совершенно нормальна, то
функционально замкнутые (открытые) подмножества простран-
пространства X могут быть охарактеризованы как прообразы замкнутых
(открытых) подмножеств прямой R при непрерывных отображе-
отображениях X в R.
Отметим далее, что существуют и такие нормальные про-
пространства, в которых все одноточечные подмножества суть
G^-множества (и даже нормальные пространства с первой ак-
аксиомой счетности), но при этом пространства не являются со-
совершенно нормальными (см. пример 3.1.26).
1.5.19. Теорема Веденисова. Пусть X есть Тгпространство;
тогда следующие утверждения равносильны:
(i) Пространство X совершенно нормально.
(и) Открытые подмножества пространства X функциональ-
функционально открыты.
(iii) Замкнутые подмножества пространства X функциональ-
функционально замкнуты.
(iv) Для каждой пары непересекающихся замкнутых мно-
множеств А, ВсХ существует непрерывная функция
/: Х->/, такая, что /-!@) = Л и f~l(l) = B.
Доказательство. Импликация (i)=^(ii) вытекает из 1.5.12,
импликация (iii)=^(iv) — из 1.5.13. Импликации (ii)=^(iii) и
)^(i) очевидны. 1
Перейдем теперь к обсуждению инвариантности аксиом отде-
отделимости при различных отображениях. Начнем с простого на-
наблюдения: так как каждое пространство является непрерывным
образом некоторого дискретного пространства, то никакая из
аксиом отделимости не инвариантна при непрерывных отображе-
отображениях. Для замкнутых отображений ситуация улучшается.

1.5. АКСИОМЫ ОТДЕЛИМОСТИ 83
1.5.20. Теорема. Классы Тх- и Т'^-пространств и класс совершенно
нормальных пространств инвариантны относительно замкнутых
отображений.
Доказательство. Инвариантность ^-пространств следует из
того, что ^-пространства характеризуются как пространства, в
которых одноточечные подмножества замкнуты.
Пусть теперь /: X-^Y— замкнутое отображение нормаль-
нормального пространства X на некоторое пространство У. Как известно,
У есть ^-пространство. Для каждой пары открытых множеств
U, V czY, таких, что Y[JV=Y, множества f~l(U) и f~l(V) от-
открыты в X и покрывают пространство X. В силу нормальности
Ху существуют замкнутые множества Ло, BqczX, такие, что
Лос:/-'(?/), Boczf-l(V) и А0[}В0 = Х. Множества A = f(A0)
и В = /(В0) замкнуты в У. Более того,
Л с/f-1 (?/)=?/, Bczff~l(V)= V и A[)B = f(X)=Y.
Следовательно, У — нормальное пространство.
Если /: X-*Y — замкнутое отображение совершенно нор-
нормального пространства X на пространство У, то У нормально и
оо
для любого открытого множества U а Умы имеем /~l(C/)= (J Fif
где Fi замкнуты в X. Следовательно,
является ^-множеством в У, т. е. У совершенно нормально. I
Оказывается, аксиомы Гь Г4 и свойство совершенной нор-
нормальности— единственные аксиомы отделимости, инвариантные
при замкнутых отображениях. Чтобы получить замкнутое ото-
отображение Т3±- пространства на пространство, не удовлетворяю-
удовлетворяющее аксиоме Гг, мы должны взять любое не нормальное тихо-
тихоновское пространство Ху выделить в нем пару непересекающих
замкнутых множеств Л, ВаХ, которые не разделяются непе-
непересекающимися открытыми множествами, и отождествить мно-
множество А с некоторой точкой «а», а множество В с некоторой
точкой «&», как описано в примере 1.4.17 (ср. с примером 2.4.12).
Замкнутое отображение Г0-пространства на двухточечное анти-
антидискретное пространство построено ниже.
1.5.21. Пример. Пусть X — множество всех целых чисел с топо-
топологией, состоящей из множеств {х^Х: х^п} для ai = 0, ±1,
±2, .... Очевидно, что X есть Г0-пространство. Пусть У =
= {0,1} с антидискретной топологией, и пусть /(х) = 0, если х
четно, и f(x)= 1, если х нечетно. Легко видеть, что / — открыто-
замкнутое отображение X на У. 1
б*

84 ГЛ. 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Последний пример показывает, что класс Г0-пространств не
инвариантен при открытых отображениях. Оказывается, что ни-
никакая из аксиом отделимости не инвариантна при открытых
отображениях.
1.5.22. Пример. Отобразим вещественную прямую R = X на
двухточечное антидискретное пространство У = {0,1}» поставив
в соответствие 0 всем рациональным числам и 1 всем иррацио-
иррациональным числам. Легко показать, что это открытое отображение
(ср. с замечанием к упр. 4.2.D(b)). 1
ИСТОРИЧЕСКИЕ И БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
^-пространства введены Колмогоровым (как указано у Алек-
Александрова и Хопфа [1935]), Ti-пространства — Риссом [1907], а
Т^-пространства — Хаусдорфом [1914]. Регулярные простран-
пространства определены Вьеторисом [1921]; свойство Гзу2 сформули-
сформулировано Урысоном [1925], а класс Г3у2 -пространств изучен Ти-
хоновым [1930]. Класс нормальных пространств определен Тит-
це [1923] и Александровым и Урысоном [1924]; свойство нор-
нормальности появилось ранее у Вьеториса [1921]. Свойство совер-
совершенной нормальности появилось в работе Урысона [1925] и
было изучено Александровым и Урысоном [1929] в классе ком-
компактных пространств; совершенно нормальные пространства оп-
определены Чехом [1932].
Определение Гзу2 -пространств существенно отличается от
определений других классов пространств, изученных в этом па-
параграфе. Это внешнее определение, в котором мы предполагаем
существование некоторых внешних объектов относительно рас-
сматриваемого пространства (здесь мы имеем в виду существо-
существование интервала /), в противоположность внутренним опреде-
определениям, в которых используются только внутренние объекты
относительно рассматриваемых пространств. В дальнейшем не-
несколько классов пространств будут введены посредством внеш-
внешних определений, так как иногда такие определения проще и
естественнее. Однако мы дадим, следуя установившейся в топо-
топологии традиции, и внутреннюю характеристику этих классов
(которые с очевидностью также могут служить определениями).
Так, внутренняя характеристика Гзу2 -пространств дается в
упр. 1.5.G; читатель заметит, насколько такое определение слож-
сложнее и менее естественно, чем внешнее.
Доказательство ненормальности плоскости Немыцкого, дан-
данное в 1.5.9, взято у Джоунса [1937]; доказано больше: никакое
сепарабельное пространство, содержащее множество мощности с
с пустым производным множеством, не является нормальным

1.5. АКСИОМЫ ОТДЕЛИМОСТИ 85
(другое доказательство этого факта дается в 2.1.10). Последнее
замечание широко используется при доказательствах ненормаль-
ненормальности (см. пример 2.3.12, упр. 3.1.Н(а) и задачу 2.7.20(f)).
Лемма Урысона установлена Урысоном [1925]; модификации
его рассуждений иногда используются для построения непрерыв-
непрерывных вещественных функций (см. упр. 1.5.G и задачу 2.7.2(с)).
Работа Урысона содержит также теорему 1.5.16. Теорема 1.5.15
была доказана Тихоновым [1925]; доказательство леммы 1.5.14
есть также одно из стандартных топологических рассуждений
(ср. с доказательством леммы 7.2.5). Теорема 1.5.18 принадле-
принадлежит Лефшецу [1942]. Условия совершенной нормальности в тео-
теореме 1.5.19 даны Веденисовым [1936] и [1940]. Хаусдорф [1935]
первым заметил, что нормальность есть инвариант замкнутых
отображений.
УПРАЖНЕНИЯ
1.5.А. Докажите, что X есть То-пространство в том и только
том случае, если {х}ф{у} для любой пары несовпадающих
точек х, у е X.
1.5.В. Заметим, что конечное ^-пространство дискретно. По-
Покажите, что в ^-пространствах производное множество обла-
обладает следующими свойствами:
(Лd)d сУ, (а*) = Ad = (Д)й; Ad = 0, если А конечно.
Приведите примеры, показывающие, что для Г0-простраиств эти
утверждения не имеют места.
1.5.С. Непрерывное отображение f; X-+X называется ретрак-
ретракцией пространства X, если /f = f; множество всех значений
ретракции пространства X называется ретрактом простран-
пространства X.
Покажите, что всякий ретракт хаусдорфова пространства
замкнут.
1.5.D.(a) Заметим, что в определениях регулярного и вполне
регулярного пространств мы могли бы предположить, что ис-
исходные пространства суть Го-пространства, а не ^-пространства.
Покажите, что в определении нормальных пространств такое из-
изменение невозможно.
(Ь) Покажите, что в 1.5.1 предположение, что X есть Го-про-
Го-пространство, нельзя опустить, а в 1.5.3 предположение, что X —
хаусдорфово пространство, нельзя заменить предположением,
что X есть Г!-пространство.

ГЛ. 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
(с) Докажите, что в 1.5.6 предположение о регулярности X
нельзя заменить предположением, что X — хаусдорфово про-
пространство.
Указание. Пусть U(ztr) — множество всех точек плоскости
внутри круга радиуса г с центром в точке z. Введите топологию
на плоскости, взяв в качестве базы семейство, состоящее из всех
множеств вида ?/(г, г)\Л, где А — множество, пересекающее
каждую прямую, параллельную оси х, в конечном числе точек.
Можно также воспользоваться тем фактом, что существуют
сепарабельные хаусдорфовы пространства мощности 2е (ср.
с теоремой 2.3Л5 или следствием 3.6.11), и применить указание
к упр. 3.1.F(d).
1.5.Е.(а) Покажите, что топология ^-пространства X порож-
порождается семейством отображений в вещественную прямую тогда и
только тогда, когда X — вполне регулярное пространство.
(Ь) Докажите, что если на множестве X определены две то-
топологии Си С?2 и оба пространства (X, 0Х) и (X, О2) суть 7V/, -
пространства, то <?i=??2 в том и только том случае, когда се-
семейство всех вещественных функций на X, непрерывных отно-
относительно Ои совпадает с семейством всех вещественных функ-
функций на X, непрерывных в топологии 0%.
I.5.F. Покажите, что для любого конечного семейства {?$ых
попарно непересекающихся замкнутых множеств нормального
пространства X существует семейство {?/,}i=1 открытых подмно-
подмножеств пространства X, таких, что Fic^Ui для i=l, 2, ..., k и
Ui[\ Uj = 0 при 1ф\ (ср. с теоремой 2.1.14 и упр. 2.1.G). Уста-
Установите, что если все F, конечны, то достаточно предположить,
что X — хаусдорфово пространство.
1.5.G (Фринк О. [1964],Зайцев [1967]). Докажите,что 7\-про-
странство X вполне регулярно тогда и только тогда, когда в нем
существует база Ш, удовлетворяющая следующим условиям:
A) Для любого х е X и любого U ^<$, содержащего х, су-
существует такое 7g^, что хфУ и U\}V = X.
B) Для любой пары f/, V^38, удовлетворяющей условию
V = X, существуют такие ?/', V' еЛ, что Х\Vcz ?/', X\U a
czV и ?/'Л V" = 0.
Указание. Модифицируйте доказательство леммы Урысона.
1.5.Н.(а) Докажите, что любое замкнутое подмножество пло-
плоскости Немыцкого является Об-множеством (пространства, об-
обладающие этим свойством, называются совершенными простран-
пространствами) .
(Ь) (Смирнов [1948]). Покажите, что ^-пространство X
нормально в том и только том случае, если выполнены следую-
следующие условия:

1.5. АКСИОМЫ ОТДЕЛИМОСТИ 87
A) Любое замкнутое Оь-множество в X функционально
замкнуто.
B) Для любого замкнутого FczX и любого открытого
G cz X, содержащего F, в X существует замкнутое Оь-множество
Му такое, что FczMcz G.
(с) Установите, что никакое из условий (Ь) по отдельности
не обеспечивает нормальности пространства X.
1.5.1. Установите, что если (X, О{) есть ^-пространство
с|<2и О2 — топология в X, более тонкая, чем Ои то {Х1<У2)
также является ^-пространством. Покажите, что при / ^ 3 это
неверно.
1.5J.(а) Установите, что счетные объединения функциональ-
функционально замкнутых множеств, вообще говоря, не являются функцио-
функционально замкнутыми.
(b) Покажите, что объединения локально конечных семейств
функционально замкнутых множеств, вообще говоря, не являют-
являются функционально замкнутыми. Заметим, что в совершенно нор-
нормальных пространствах объединение любого локально конеч-
конечного семейства функционально замкнутых множеств является
функционально замкнутым.
(c) Установите, что объединение семейства функционально
открытых множеств, вообще говоря, не является функционально
открытым.
(d) Заметьте, что объединение локально конечного семейства
функционально открытых множеств функционально открыто.
1.5.К- Покажите, что ^-пространство X совершенно нор-
нормально в том и только том случае, если для каждого открытого
множества W сг X существует последовательность Wu W2, ••-
00 •
открытых подмножеств пространства X, такая, что W = [J Wt
и Wicz W для t = l, 2, ... .
1.5.L.(a) (Пономарёв [1959], Фролик [1961]). Докажите, что
если /: X-+Y — открыто-замкнутое отображение пространства
X на У, то для любого g: X^~R, ограниченного на всех прооб-
прообразах точек при /, формулы g*(у) = sup{g(x): x^f~l(y)} к
?*(#)= тНё(х): x^f~l(y)} определяют непрерывные функций
g*, g*: Y-*R (ср. с задачей 1.7.16).
(Ь) (Хабер [1972]). Покажите, что регулярность и полная:
регулярность инвариантны относительно открыто-замкнутых
отображений.
Указание. В случае вполне регулярных пространств приме-
примените (а).
Замечание. Класс хаусдорфовых пространств не инвариан-
инвариантен при открыто-замкнутых отображениях (ср. с примером Аль-
стера, который приводится у Хабера [1972], где на с. 204 в стро-

68 ГЛ. 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
ке 7 снизу, а также на с. 205 в строках 3 и 5 сверху следует
читать R вместо Q).
1.5.М. Приведите пример открытого отображения нормаль-
нормального пространства на ^-пространство, не являющееся 7Vnpo-
странством.
1.6. СХОДИМОСТЬ
В ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ:
НАПРАВЛЕННОСТИ И ФИЛЬТРЫ.
СЕКВЕНЦИАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
И ПРОСТРАНСТВА ФРЕШЕ
Под направленностью в топологическом пространстве X мы
понимаем произвольную функцию, заданную на непустом на-
направленном множестве, со значениями в пространстве X. На-
Направленности обозначаются символом 5 = {ха, о е 2}, где ха—
точка в X, соответствующая элементу аеЕ. Отношение, на-
направляющее 2, обозначается через ^, и для <ть а2бЕ мы часто
пишем 01 ^ а2 вместо в2^О\.
Точка х называется пределом направленности S ={xff, ие2},
если для каждой окрестности U точки л; существует такое аое2,
что ха ^ U для любого о ^ во. В этом случае говорят, что на-
направленность S сходится к х. Направленность может сходиться,
вообще говоря, ко многим точкам. Множество всех пределов на-
направленности 5 ={ха, аеИ} обозначается Hm S или Игл х0. Когда
направленность S ={ха, сге2} имеет ровно один предел х, пи-
пишут х = lim 5 = lim xa.
Точка х называется предельной точкой направленности S =
= {x0, cr^S}, если для каждой окрестности U точки х и каж-
каждого сто е 2 существует такое о ^ а0, что ха е (/.
Говорят, что направленность S' = {хо>, о' е 2'} тоньше, чем
направленность S =={ха, сг е S}, если существует отображение
<р: 5/—>-Sf обладающее следующими свойствами:
(FN 1) Для любого ao?S найдется такое о' е 2', ^то ф(а') ^ сг
«ри (/ ^ а0.
(FN 2) хф (а') = Хо' ^ля а' <= 2".
Легко показать, что каждая неубывающая функция ф из 2'
ь 2, такая, что фB') конфинальна в 2, обладает свойством
<FN1)
1.6.1. Предложение. Если х — предельная точка направленности
«S', более тонкой, чем 5, то х — предельная точка направлен-
направленности S. Если х — предел направленности 5, то х — также пре-
предел любой направленности S', более тонкой, чем S. Если х —

1.6. СХОДИМОСТЬ В ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ 89
предельная точка направленности S, то х — предел некоторой
направленности S', более тонкой, чем S.
Доказательство. Пусть х— предельная точка направленности
S/ = {;co', а'ЕИ'}, более тонкой, чем 5 — {a;<j, a e 2}, и пусть
Ф — функция из 2' в 2, обладающая свойствами (FN1) и
(FN2). Пусть, далее, U — произвольная окрестность точки х и
(То е 2. По условию найдется такое а$е 2, что ф(а')^ а0 при
of^afo. По определению предельной точки существует такое
а"^o'Qt что ха„^ ?/. Таким образом, лгф(а,0 = ^е?/иф(а'О^схо,
т. е. х — предельная точка направленности 5.
Предположим теперь, что х — предел направленности S =
= {^,aG2}. Пусть направленность S' = {x<j', а'^2'} тоньше,
чем 5, и пусть функция ф из 2' в 2 обладает свойствами (FN1)
и (FN2). Пусть, далее, U — произвольная окрестность точки х.
Существуют такое сго^2, что х0 ^ U для каждого а ^ а0, и
такое а?е2/, что ф(а')^а0 при а'^^. Очевидно, что при
а'^а^ МЬ1 имеем xa, ^ (/, т. е. х является пределом направлен-
направленности S'.
Пусть х — предельная точка направленности S ={x0, a ^2}.
Рассмотрим множество 2', состоящее из всех упорядоченных пар
(а, ?/),где ае2,(/ — окрестность точки jch^g f/. Положим по
определению (аи ?Л)^(<*2, ^2), если О\ ^ а2 и f/2 c= IA. Легко
показать, что 2Л направлено отношением ^. Направленность
xS' = {а', ст' е 2'}, где ха> = л:а для а' = (а, ?/), тоньше, чем 2,
так как функция ф, определенная равенстйом ф((а, U))=o, яв-
является неубывающим отображением 2' в 2. Для каждой окре-
окрестности U точки х существует такое ogJ, что ха^ U. Так как
для a' ^ (a, C/)e S7 мы имеем лга'^ С/, то х— предел направлен-
направленности S'. 1
1.6.2. Пример. Пусть 2 — множество всех отрицательных рацио-
рациональных чисел, направленное отношением ^, и пусть хг = г для
любого rG2. Очевидно, что S ={xr, r e 2}—направленность
на вещественной прямой R, сходящаяся к 0. Заметим, что 0—*
единственный предел направленности S и что множество, состоя-
состоящее из всех элементов 2 и предела направленности S, не замк-
замкнуто в R. Пусть 2' — множество всех положительных целых
чисел, направленное отношением ^, и пусть ф(/г) = —1/neS
для п е 2'. Функция ф не убывает, а множество фB') конфи-
нально в 2. Направленность S' ={хп, п е 2'}, где хп = —1/л,
тоньше, чем направленность S. В силу 1.6.1, направленность S'
сходится к 0. 1
1.6.3. Предложение. Точка х принадлежит А тогда и только тогда,
когда существует направленность, состоящая из элементов А и
сходящаяся к х.

90 ГЛ. 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Доказательство. Из существования такой _ направленности
очевидным образом следует включение xel Пусть теперь
х еЛ, Обозначим через Щ множество всех окрестностей точки
jc, направленное по включению г>, т. е. U\ ^ U^ если U\ =э U%.
Легко показать, что х е lim хи, где хи — произвольная точка
множества A f] U. 1
1.6.4. Следствие. Множество А замкнуто тогда и только тогда,
когда вместе со всякой направленностью оно содержит все ее
пределы. I
1.6.5. Следствие. Точка х принадлежит множеству Ad в том и
только том случае, если существует направленность S = {х0, <те
е 2}, сходящаяся к х и такая, что ха^А и хафх для каждого
<JEli
Направленности обладают многими свойствами, аналогич-
аналогичными свойствам последовательностей. Именно по этой причине
направленности часто оказываются удобным средством для изу-
изучения общих топологических пространств. Читатель наверняка
заметил, что мы уже установили для направленностей аналоги
основных свойств последовательностей. В них роль подпоследо-
подпоследовательностей играют более тонкие направленности. Многие то-
топологические понятия можно охарактеризовать в терминах на-
направленностей. Кроме того, можно вводить топологию на мно-
множестве, задавая класс сходящихся направленностей (см. задачу
1.7.21). Покажем теперь, как при помощи направленностей оха-
охарактеризовать непрерывные отображения и хаусдорфовы про-
пространства.
1.6.6. Предложение. Отображение f топологического простран-
пространства X в топологическое пространство Y непрерывно в том и
только том случае, когда
/(lim xo)cz\\m f{xa)
для любой направленности {ха, ogS} б пространстве X.
Доказательство. Пусть /: Х->У и Jte lim xa. Выберем про-
извольную окрестность V точки f(x). В силу 1.4.1, суще*
ствует такая окрестность U точки х, что f((/)cl/. Так как
х е Hm xa, то найдется такое аое2, что xa^U для любых
О е 2
а ^ <то. Отсюда следует, что /(лса)е V при a ^ a0. Таким обра-
образом, f(x)^ lim /(xa), откуда вытекает включение

1.6. СХОДИМОСТЬ В ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ 91
Обратно, пусть отображение / удовлетворяет условиям на-
нашего предложения. Чтобы доказать, что / непрерывно, доста-
достаточно (опять в силу 1.4.1) показать, что f(A)czf(A) для лю-
любого AczX. Но это вытекает из предложения 1.6.3. 1
1.6.7. Предложение. Топологическое пространство X хаусдорфово
в том и только том случае, если любая направленность в X
имеет не более одного предела.
Доказательство. Пусть X — хаусдорфово пространство. Пусть,
далее, S={jco,a6S}—направленность в X и хи х2еНтха.
Выберем произвольные окрестности U\, U2 соответственно точек
хи х2. Для 1=1, 2 существуют такие Gt <= 2, что ха^ Ui для
любого а ^ а/. Так как 2 направлено, то U\ [\и2ф0. Отсюда
следует, что х\ = х2, т. е. 5 имеет не более одного предела.
Обратно, пусть X не является хаусдорфовым пространством.
Это означает, что найдутся две такие точки Х\, х2, х\ фх2, что
любая окрестность U\ точки х\ пересекается с любой окрест-
окрестностью U2 точки х2: U\[) U2?=0. Множество 2, состоящее из
всех пересечений U\ (] 02, направлено по включению гэ. Легко
показать, что хх, л:2еПтд;0, где х0 — произвольная точка эле-
мента а = U\ П t/д. 1
Сходимость в общих топологических пространствах может
быть описана также при помощи фильтров. При изложении тео-
теории фильтров мы ограничимся формулировкой основных опреде-
определений и аналогов предложений, приведенных выше для направ-
ленностей. Кроме того, мы кратко покажем, как установить эк-
эквивалентность двух этих способов описания сходимости в топо-
топологических пространствах.
Пусть $, — семейство множеств, которое вместе с любыми
множествами А и В содержит их пересечение A fl 5. Под фильт-
фильтром в 31 мы понимаем непустое подсемейство ^"с:^?, удовлет-
удовлетворяющее следующим условиям:
(F2)
(F3) Если Ае=&~ и А сАх <=&, то А{ ge#~.
Фильтр & в 31 есть максимальный фильтр, или ультрафильтр,
в 31, если для любого фильтра SFf в 31, содержащего $Г, мы
имеем #•' = 9Г.
База фильтра в 31 есть непустое семейство ^ а 31, такое, что
0ф<& и
(FB) если А\, А2^$, то существует такое А$^9, что Л3сг
АА

92 ГЛ. 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Легко видеть, что для любой базы фильтра ^ в 01 семейство
^ = {ДеЙ: существует такое В<^$, что BczA)
есть фильтр в 31.
Под фильтром (базой фильтра) в топологическом простран-
пространстве X мы понимаем фильтр (базу фильтра) в семействе всех
подмножеств пространства X. В этом параграфе мы будем рас-
рассматривать только фильтры и базы фильтров в топологических
пространствах; мы будем называть их просто фильтрами и ба-
базами фильтров.
Точка х называется пределом фильтра &~, если каждая ее
окрестность есть элемент #". В этом случае говорят, что фильтр
ОТ сходится к точке х, и пишут х^ lim^. Точка х называется
пределом базы фильтра *§, если x^lim^V В этом случае го-
говорят, что база фильтра 9 сходится кх,и пишут х е lim ^. Оче-
Очевидно, что xelim^ в том и только том случае, если любая
окрестность точки х содержит элемент 9.
Точка х называется предельной точкой фильтра $F {базы
фильтра W)t если она принадлежит замыканию каждого эле-
элемента из &* (из $). Очевидно, что х — предельная точка фильтра
$Г (базы фильтра *%) в том и только том случае, если любая ее
окрестность пересекает все элементы из &° (из *§). Отсюда, в
частности, следует, что каждая предельная точка некоторого
ультрафильтра есть предел этого ультрафильтра.
Говорят, что фильтр SFf тоньше, чем фильтр SF, если
1.6.8. Предложение. Пусть фильтр 9rf тоньше, чем фильтр <Г.
Тогда каждая предельная точка фильтра 2Г* является предель-
предельной точкой фильтра &~, а каждый предел фильтра SF является
пределом фильтра ^"/. Если х — предельная точка фильтра ,У\
то х есть предел некоторого фильтра ЗГ\ более тонкого, чем &~. 1
1.6.9. Предложение. Точка х принадлежит А в том и только том
случае, если существует база фильтра, состоящая из подмно-
подмножеств А и сходящаяся к точке х. 1
1.6.10. Предложение. Отображение f топологического простран-
пространства X в топологическое пространство Y непрерывно в том и
только том случае, если для каждой базы фильтра $ в про-
пространстве X и базы фильтра f(S) = {f(A): А^Щ в простран-
пространстве Умы имеем f(\im9)
1.6.11. Предложение. Топологическое пространство X хаусдор-
фово в том и только том случае, когда любой фильтр в X имеет
не более одного предела. В
Установим теперь взаимно однозначное соответствие между
направленностями и фильтрами в топологическом пространстве.

1.6. СХОДИМОСТЬ В ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ 93
1,6.12. Теорема. Пусть S ={ха, ае2}—направленность в топо-
топологическом пространстве X. Семейство #~(S), состоящее из всех
множеств A d Xy удовлетворяющих условию: существует такое
аое2, что хоеЛ при о ^ а0, является фильтром в простран-
пространстве X. При этом
Если направленность S' тоньше, чем S, то фильтр ^"E') тоньше,
4eM&~(S). I
1.6.13. Теорема. Пусть ^ — фильтр в топологическом простран-
пространстве X. Обозначим через 2 множество всех пар (х, А)у где
jCGi4eJ, и положим (xuAl)^.(x2jA2)t если А2аА\. Множе-
Множество 2 направлено отношением ^, и для направленности
S(&) { a e 2}, где ха = х для а=(х,Л)еЕ, мы имеем
#~)) и
Выше мы уже отмечали, что понятие направленности — это
модификация понятия последовательности, приспособленная для
изучения проблем сходимости в общих топологических простран-
пространствах. Необходимость модифицировать понятие последователь-
последовательности возникла потому, что существуют топологические про-
пространства, топология которых не может быть полностью описана
б терминах последовательностей, в противоположность, напри-
например, вещественной прямой, где замкнутые множества можно
охарактеризовать как множества, которые вместе со всякой схо-
сходящейся последовательностью содержат ее предел. Возникает
вопрос, в каких топологических пространствах для описания то-
топологии достаточно последовательностей. Вопрос поставлен не
совсем точно, и мы увидим, что на него можно ответить двумя
различными способами — мы определим два класса пространств,
естественных в этом контексте. Оба этих класса более широкие,
чем пространства с первой аксиомой счетности.
Для начала сделаем несколько простых наблюдений. После-
Последовательность {xi} в топологическом пространстве X очевидным
образом является направленностью, определенной на множестве
JV положительных целых чисел, направленном отношением ^.
Таким образом, для последовательностей определены понятия
предела и предельной точки, и мы знаем, когда последователь-
последовательность сходится к точке. Множество всех пределов последова-
последовательности {xi} обозначается limx*, и, когда последовательность
имеет ровно один предел х> мы пишем х = lim Xu Каждая под-
подпоследовательность {*?.} последовательности {xi} есть направ-
направленность, более тонкая, чем {xi}. Действительно, функция <р,
определенная равенством ф@ = &» не убывает, а множество

94 ГЛ. 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
y) конфинально множеству N. Из предложения 1.6.1 следует,
что для каждой подпоследовательности {xAJ последовательности
{xi} если хе limxi, tojcg \\mxki, и что любая предельная точ-
точка для {xk^ является предельной точкой для {xi}.
Теперь определим два класса пространств, о которых мы
упомянули выше. Топологическое пространство X называется
секвенциальным пространством, если множество А а X замкнуто
тогда и только тогда, когда вместе со всякой последователь-
последовательностью оно содержит все ее пределы. Топологическое простран-
пространство X называется пространством Фреше — Урысона, если для
любого A czX я любого х^Л существует последовательность
*i, X2, ... точек множества А, сходящаяся к х.
1.6.14. Теорема. Каждое пространство с первой аксиомой счет-
ности есть пространство Фреше — Урысона, а каждое простран-
пространство Фреше — Урысона есть секвенциальное пространство.
Доказательство. Пусть пространство X имеет счетную базу
{UiO=i в точке х* и пусть х^А. Выберем для каждого /=1,
2, ... точку Xi е А П U\ П 1^2 П • • • П Ui< Мы получим последова-
последовательность {xi} точек множества Л, сходящуюся к х. Следова-
Следовательно, каждое пространство с первой аксиомой счетности яв-
является пространством Фреше — Урысона. Вторая часть теоремы
очевидна.
1.6.15. Предложение. Отображение f секвенциального простран-
пространства X в топологическое пространство Y непрерывно тогда и
только тогда, когда /(Птл:,-)с= lim f(xi) для любой последова-
последовательности {xi} в пространстве X.
Доказательство. Необходимость условия следует из предло-
предложения 1.6.6.
Мы покажем, что если / удовлетворяет условию теоремы, то
/ непрерывно. Пусть В — произвольное замкнутое подмножество
в У. Выберем некоторую последовательность х-ь точек множества
f~x(B) и точку x^limxi. Имеем f (x)e lim f(xi)czB. Следова-
Следовательно, хе /-1 (В) nf^iB) замкнуто. 1
1.6.16. Предложение. Если любая последовательность в тополо-
топологическом пространстве X имеет не более одного предела, то X
есть Т^пространство. Если, кроме того, для X выполнена пер-
первая аксиома счетности, то X — хаусдорфово пространство.
Доказательство. Если je {x}, то любая окрестность точки у
содержит точку j^hj/g lim xit где xi = х для * = 1,2, ... . Так
как и х е lim xu а каждая последовательность имеет не более
одного предела, то у = х, и потому {х} — замкнутое множество.
Доказательство второй части предложения аналогично доказа-
доказательству второй части 1.6.7. I

1.6. СХОДИМОСТЬ В ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ 95
Из 1.6.16 и 1.6.7 получаем следующее утверждение.
1.6.17. Предложение. Пространство X с первой аксиомой счет-
ности хаусдорфово тогда и только тогда, когда любая последо-
последовательность в нем имеет не более одного предела. 1
1.6.18. Пример. Пространство У, определенное в примере 1.4.17,
представляет собой пространство Фреше — Урысона, не удов-
удовлетворяющее первой аксиоме счетности. В самом деле, если
у^А для некоторого AczY я уфу0 или у = у0 и у0 е Л, то су-
существует последовательность у\, у2, ... точек множества Л,схо-
Л,сходящаяся к у. Допустим, что у е А\А и у = у$. Отметим, что
существует целое положительное k, такое, что А содержит по-
последовательность {yi}9 сходящуюся к k в R. Противное означало
бы, что любое положительное целое i имеет окрестность Ui cz R,
не пересекающуюся с Л. Отсюда следовало бы, что I \j U11 \
\ N I U {#о} — окрестность точки yQ в У, которая не пересекается
с Л, что противоречит предположению уо^А. Из определения
топологии в У вытекает, что последовательность {yi}, сходя-
сходящаяся к k e N в /?, сходится к у0 в У. В
1.6.19. Пример. Определим теперь секвенциальное простран-
пространство, не являющееся пространством Фреше — Урысона. Пусть
Х={0}[} \Jxi9 где Xi = {l/i}{} U {т + у}' Легко показать»
что Xt[\Xk=0 при [фк. Топология на X порождается сле-
следующей системой окрестностей. Все точки 1/i+l// — изолиро-
изолированные точки пространства X, т. е. <$(я) = {{х}} для любой точ-
точки х такого вида. Для точек х вида \Ц возьмем в качестве
k
семейство всех множеств Х%\ |J { — + — } для
= i2,
/2+ 1, ... . Наконец, в качестве элементов семейства ?§@) возь-
возьмем все множества, получаемые из X выбрасыванием конечного
числа членов Xi и конечного числа точек вида {1Д*+ 1//} во всех
оставшихся Xi. Легко показать, что совокупность Ф{х)}х^х
обладает свойствами (ВР1) — (ВР4), и, значит, X — хаусдорфово
пространство. Так как все элементы (J 3§(х) являются от-
*<= х
крыто-замкнутыми множествами пространства X, то X регуляр-
регулярно, а из 1.5.16 вытекает, что X совершенно нормально.
Легко заметить, что точка 0 принадлежит замыканию множе-
множества А\{0,1, 1/2, ...}, но в этом множестве нет последователь-

96 ГЛ. 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
ности, сходящейся к нулю; таким образом, X не является про-
пространством Фреше — Урысона. Заметим еще, что X — счетное
пространство, не удовлетворяющее первой аксиоме счетности.
Покажем теперь, что X — секвенциальное пространство, т.е.
что каждое множество A czX, которое вместе со всякой сходя-
сходящейся последовательностью содержит ее предел, замкнуто в X.
Пусть х^А. Если хфО, то 3§(х) — счетная база в х и А содер-
содержит последовательность, сходящуюся к х (ср. с доказательством
1.6.14). Теперь рассмотрим случай jt = O. Пусть ОеЛ\Л. Суще-
Существует подпоследовательность х\, #2,... последовательности
1, 1/2, 1/3, ..., такая, что каждая окрестность любой точки Xi
пересекает А, так как в противном случае можно было бы дока-
доказать, что существует окрестность нуля, не пересекающаяся с Л.
Отсюда следует, что А содержит все элементы последователь-
последовательности х\, Х2, . -., и так как эта последовательность сходится к
нулю, тоОеЛ вопреки предположению. 1
1.6.20. Пример. Модифицируя пространство X предыдущего при-
примера, определим счетное совершенно нормальное пространство,
не являющееся секвенциальным. Достаточно рассмотреть У =
= Х\{1,1/2, 1/3, ...} и взять в качестве открытых множеств
все пересечения Y (] Uy где U открыто в X. Легко показать, что
сходящиеся последовательности в У суть «почти константы». Та-
Таким образом, множество У\{0} вместе с любой сходящейся по-
последовательностью содержит и ее предел. Так как У\{0} не
замкнуто, то У не является секвенциальным пространством.
Чтобы убедиться, что У совершенно нормально, можно рассуж-
рассуждать так же, как в 1.6.19. I
ИСТОРИЧЕСКИЕ И БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Направленности введены Мором и Смитом [1922]. Сходи-
Сходимость в общих топологических пространствах была описана в
терминах направленностей Биркгофом [1937], однако его теория
была сложной и недостаточно общей, так как он пользовался
неподходящим аналогом понятия подпоследовательности. Поня-
Понятие более тонкой направленности определено в книге Мора
[1939]. Описание сходимости в общих топологических простран-
пространствах в терминах направленностей дано Келли [1950]. Исполь-
Использование фильтров при описании сходимости встречается у Кар-
тана [1937] и [1937а]; дальнейшее развитие оно получило в ра-
работах Бурбаки [1940] (сами фильтры впервые появились у Рис-
са [1908]). На эквивалентность двух этих теорий указали Бартл
[1955], а также Брунс и Шмидт [1955]. Секвенциальные про-
пространства и пространства Фреше — Урысона были широко из-
известны почти со времени зарождения общей топологии, но впер-

1.6. СХОДИМОСТЬ В ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ 97
вые подверглись серьезному исследованию в работах Франклина
[1965] и [1967]. Пример 6.1.19 заимствован у Франклина [1965].
Пример 6.1.20 построен Аренсом [1950]. Первый пример нор-
нормального счетного пространства, не имеющего счетной базы
в одной из своих точек, дан Урысоном [1925]. Нормальное счет-
счетное пространство, не имеющее счетной базы ни в одной из своих
точек, построено Новаком [1937] (пример такого пространства
см. в 2.3.37 или упр. 2.3.Е).
УПРАЖНЕНИЯ
1.6.А. Покажите, что точка х есть предельная точка направлен-
направленности 5 ={хо, aES} в том и только том случае, если х е
П
1.6.В. Пусть S — направленное множество,?е Е,Х — тополо-
топологическое пространство и Sj = {х(%\ а е 2|} — направленность в
пространстве X, и пусть Jc^elimS^. Далее, пусть /0> fi:^->
U 2$. Покажите, что, полагая по определению (|о,/о)=^
fi) тогда и только тогда, когда g0 ^ Ei и fo(EX Mi) Для
любого |е В, мы превратим произведение Е = 2 X П %t в на-
правленное множество, и если х е lim JC|, то х е lim jco, где ха ==
-xpfc для а = F, /)еЕ.
1.6.С. Установите, что для любой направленности S =
— {х0, 0е21}, где 121 ^ **о. существует последовательность
{xt)t более тонкая, чем S.
1.6.D, Докажите, что в пространстве Фреше — Урысона X для
любой предельной точки х последовательности {я,*} в {xt} най-
найдется подпоследовательность, сходящаяся к х. Покажите, что тре-
требование, чтобы X было пространством Фреше — Урысона, нельзя
заменить предположением секвенциальности пространства X.
1.6.Е. Приведите пример нехаусдорфова пространства Фре-
Фреше— Урысона, в котором каждая последовательность имеет не
более одного предела.
Указание. Добавьте точку к пространству, описанному в
1.6.18.
I.6.F. Покажите, что секвенциальное пространство X есть
пространство Фреше — Урысона в том и только том случае, если
оператор секвенциального замыкания, который каждому мно-
множеству AczX ставит в соответствие множество всех пределов
содержащихся в нем последовательностей, обладает свойствами
(СО1) — (СО4). Покажите, что предположение о секвенциаль-
секвенциальности пространства X нельзя опустить.
7 Зак. 697

98 ГЛ. 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
1.7. ЗАДАЧИ
Замыкание и дополнение дают только 14 различных
множеств
1.7.1 (Куратовский [1922а]). Докажите, что, чередуя опера-
операторы замыкания и взятия дополнения к множеству А в тополо-
топологическом пространстве Ху можно получить не более 14 различ-
различных множеств.
Указание. Докажите сначала, что Л-'-'-'- = Д-'-, где А~ = л
и Аг -
Левая и правая топологии на упорядоченном множестве
1.7.2. Пусть X — множество, упорядоченное отношением ^;
положим L(x) = {jeI: у ^ х) для любого элемента xg!
Левая топология, индуцированная на X упорядочением ^, есть
топология на X, порожденная системой окрестностей {{L(x)}}x^x.
(a) Покажите, что пересечение любого семейства открытых
множеств в X в этой топологии есть открытое множество.
(b) Установите, что X есть Го-пространство.
(c) Охарактеризуйте точки xeI, для которых множество
{х} замкнуто, открыто и открыто-замкнуто.
(d) Опишите замыкание {*}.
(e) Определите аналогичным образом правую топологию на
Ху индуцированную упорядочением =^.
1.7.3. Пусть X — такое Г0-пространство, что пересечение лю-
любого семейства открытых в X множеств есть открытое множе-
множество. Докажите, что в X существует такое упорядочение ^, что
исходная топология на X совпадает с левой топологией, индуци-
индуцированной отношением ^.
Линейно упорядоченные пространства I (см. задачи 2.7.5,
3.12.3, 3.12.4, 3.12.12(f), 5.5.22, 6.3.2 и 8.5.13(j))
1.7.4. Пусть X — множество, линейно упорядоченное отноше-
отношением < и содержащее хотя бы два элемента. Для a, Jel,
удовлетворяющих отношению а < 6, положим
(а, b)={x<=X: a<x<b}t
(+-,а) = {х<=Х: х< а}, (а,-ь) = {*€=*: а<х};
такие множества будем называть интервалами в X.
(а) Установите, что семейство 91 всех интервалов в ли-
линейно упорядоченном множестве X обладает свойствами (В1) —
(В2). Топология, индуцированная на X линейным упорядоче-
упорядочением <, есть топология, порожденная на X базой $. Линейно

1.7. ЗАДАЧИ 99
упорядоченное пространство — это пространство, топология ко-
которого индуцирована некоторым линейным упорядочением. По-
Покажите, что всякое линейно упорядоченное пространство есть
^-пространство.
(b) Покажите, что для всякого дискретного семейства
{{jc5}}56eS одноточечных подмножеств линейно упорядоченного
пространства X существует семейство {Us}s^s попарно непере-
непересекающихся открытых подмножеств пространства X, такое, что
xs e[/S)se S.
(c) (Мансфилд [1957а]). Докажите, что для каждого ди-
дискретного семейства {Fs}5eS замкнутых подмножеств линейно
упорядоченного пространства X существует семейство {Us}st_s
попарно непересекающихся открытых подмножеств пространства
X, такое, что Fs cz Us для s e S.
Указание (Стин [1970]). Покажите, что открытые множества
,y):x, y<=F8 и (х,у)[\ [] Fs>=0)
образуют дискретное семейство и что Fs(] U Ws*=0. Пока-
жите, что семейство всех одноточечных подмножеств объедине-
объединения U (F8\ Ws) дискретно, и примените (Ь).
(d) (Биркгоф [1940]). Докажите, что каждое линейно упо-
упорядоченное пространство нормально.
Указание, Примените (с).
(e) (Мейер [1969]). Покажите, что каждое линейно упоря-
упорядоченное секвенциальное пространство удовлетворяет первой ак-
аксиоме счетности.
Борелевские множества I (см. задачи 4.5.7, 4.5.8 и 7.4.22)
1.7.5. (а) Установите, что в совершенном пространстве X (ср.
с упр. 1.5. Н(а)) семейство борелевских множеств может быть
определено как наименьшее семейство У подмножеств простран-
пространства X, удовлетворяющее условиям (BS1), (BS3) и (BS3') или
условиям (BS1')> (BS3) и (BS3'). Выведите из этого факта,
что семейство борелевских множеств в совершенном простран-
пространстве X может быть представлено как объединение U
<
a<cui
(обьединение (J $Л где семейство fFo (семейство ^0) состоит
V а<ан / '
из всех замкнутых (открытых) множеств, семейство 9~а (семей-
(семейство $а) состоит из всех счетных объединений (пересечений)
множеств из (J &*\ (из [} ^Л для нечетных ординалов а и из
|<а V ^<а )
7*

100 ГЛ. I. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
всех счетных пересечений (объединений) множеств из |J SF\
(из U $А для четных ординалов а. Установите, что семейства
&~а и Ъа замкнуты относительно конечных объединений и пересе-
пересечений, что #~эи^э<=#~аП^а при р < а и что А ^&~а тогда и
только тогда, когда Х\А ^ ^а. Докажите, что семейство &~а (се-
(семейство &а) замкнуто относительно счетных объединений, если а
нечетно (четно) (элементы этого семейства называются множе-
множествами аддитивного класса а в X), и замкнуто относительно
счетных пересечений, если а четно (нечетно) (элементы этого
семейства называются множествами мультипликативного класса
а в X). Элементы семейства $Г\ (семейства $\) суть /^-множе-
/^-множества (<2б-множества). Элементы семейств ЗГ2у Ф*Ъу ... называют-
называются F^-множествами, F ^-множествами и т. д., а элементы се-
семейств ^2, ^з, ... называются G ^-множествами, G^^-множе-
ствами и т. д. Покажите, что если /: X-+Y — непрерывное ото-
отображение совершенного пространства X в совершенное простран-
пространство У, то прообраз любого множества аддитивного или муль-
мультипликативного класса а в У есть множество того же класса
в X.
(Ь) (Лебег [1905]). Отображение f совершенного простран-
пространства X в совершенное пространство У называется измеримым
класса а, если прообраз любого замкнутого подмножества в У
есть множество мультипликативного класса а в X.
Покажите, что отображение / измеримо класса а тогда и
только тогда, когда прообраз любого открытого множества в У
есть множество аддитивного класса а в Xt a если У удовлетво-
удовлетворяет второй аксиоме счетности, то тогда и только тогда, когда
прообразы элементов фиксированной счетной базы пространства
У суть множества аддитивного класса а в пространстве X. Уста-
Установите, что если X, У и Z — совершенные пространства, / — из-
измеримое отображение класса а из X в У и g: Y^-Z — непре-
непрерывное отображение, то композиция gf измерима класса а.
Нормально расположенные множества I (см. задачи 2.7.3
и 3.12.24)
1.7.6 (Смирнов [1951с]). Мы говорим, что множество А нор-
нормально расположено в пространстве X, если для любого откры-
открытого U d Ху содержащего Л, в X существует некоторое ^-мно-
^-множество Я, такое, что AczHczU.
(a) Покажите, что если X — нормальное пространство, то
в определении нормально расположенного множества можно
считать, что Н — открытое Ра-множество.
(b) Установите, что пространство X совершенно тогда и
только тогда, когда все его подмножества нормально располо-
расположены в нем.

1.7. ЗАДАЧИ 101
Пространства Урысона и семирегулярные пространства I (см.
задачи 2.7.6 и 6.3.17)
1.7.7 (Урысон [1925]). Топологическое пространство X назы-
называется пространством Урысона, если для любой пары точек Хи
Х2&Х, х\Фх2> существуют открытые множества Uu [/2, такие,
что х\ е Uи Х2 s ^2 и О\ П О2 = 0.
Установите, что каждое регулярное пространство есть про-
пространство Урысона и что каждое пространство Урысона есть
хаусдорфово пространство. Приведите пример хаусдорфова про-
пространства, не являющегося пространством Урысона, и пример
пространства Урысона, не являющегося регулярным.
1.7.8. (а) (Стоун М. [1937]). Топологическое пространство X
называется семирегулярным пространством, если X есть 7Vnpo-
странство, а семейство всех канонических открытых множеств
есть база пространства X.
Покажите, что каждое регулярное пространство семирегуляр-
но. Приведите пример хаусдорфова пространства, не являюще-
являющегося семирегулярным, и пример семирегулярного пространства
Урысона, не являющегося регулярным. Заметим, что существуют
Ti-пространства, в которых канонические открытые множества
образуют базу, но которые не являются ^-пространствами.
(b) (Стоун М. [1937], Катетов [1947]). Пусть (Х,0) — хаус-
хаусдорфово пространство. Постройте на X топологию 0' а 0У по-
порожденную базой, состоящей из всех канонических множеств
пространства (X, 0), и покажите, что пространство (X, 0') се-
мирегулярно и имеет те же канонические открытые множества,
что и пространство (Х,0).
(c) (Урысон [1925]). Приведите пример пространства Уры-
Урысона, не являющегося семирегулярным, и пример семирегуляр-
семирегулярного пространства, не являющегося пространством Урысона.
(d) Приведите пример счетного пространства Урысона X, та-
такого, что ни в какой его точке хе! не существует базы, со-
состоящей из канонических открытых множеств (ср. с задачей
6.3.17).
Указание. Постройте соответствующую топологию на под-
подмножестве плоскости, состоящем из всех точек, обе координаты
которых рациональны.
(e) Приведите пример счетного семирегулярного простран-
пространства Урысона X, такого, что любая его точка х е X имеет окре-
окрестность, которая не содержит замыкания никакой окрестности
точки х.
Указание. Примените указание к части (d).
1.7.9. (а) Покажите, что ни свойство быть пространством Уры-

102 ГЛ. 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
сона, ни семирегулярность не инвариантны при замкнутых ото-
отображениях с конечными прообразами точек.
(Ь) Покажите, что семирегулярность не инвариантна при от-
открыто-замкнутых отображениях.
Замечание. Как показывает пример, упомянутый в замечании
к упр. 1.5.L (Ь), свойство быть пространством Урысона не инва-
инвариантно при открыто-замкнутых отображениях.
Теорема Кантора — Бендиксона
1.7.10. Покажите, что если каждый элемент семейства зФ под-
подмножеств пространства X плотен в себе, то и объединение [)*$Ф
плотно в себе. Покажите, что если АаХ плотно в себе, то и
замыкание А плотно в себе. Выведите отсюда, что любое топо-
топологическое пространство может быть представлено как объеди-
объединение двух непересекающихся множеств, одно из которых плот-
плотно в себе и замкнуто (такие множества называются совершен-
совершенными множествами), а второе не содержит непустого плотного
в себе подмножества (такие множества называются разрежен-
разреженными множествами).
Замечание. Не следует путать это понятие совершенного
множества с понятием совершенного пространства, определен-
определенным в упр. 1.5 Н (а).
1.7.11 (Хаусдорф [1914]; для подпространств евклидовых про-
пространств— Линделёф [1903]). Точка х топологического про-
пространства X называется точкой конденсации множества АаХу
если любая ее окрестность содержит несчетное множество то-
точек множества Л. Множество всех точек конденсации множе-
множества А обозначается Л°.
Установите, что
Л°с=Л<*, А°=1$д и (ЛиЯ)°=ЛэиЯ°.
Покажите, что если Л — подмножество некоторого пространства
со второй аксиомой счетности, то Л\Л° счетно и (Л°)°=Л0.
Выведите из предыдущего, что любое пространство со второй
аксиомой счетности может быть представлено как объединение
двух непересекающихся множеств, одно из которых совершенно,
а второе счетно (это и есть теорема Кантора — Бендиксона).
Замечание. Кантор и Бендиксон доказали этот факт незави-
независимо в 1883 г. для подмножеств вещественной прямой.
Кардинальные функции I (см. задачи 2.7.9—2.7.11, 3.12.4,
3.12.7—3.12.11, 3.12.12(j) и 8.5.17)
1.7.12. Кардинальная функция — это функция /, приписываю-
приписывающая каждому топологическому пространству X некоторое кар-
кардинальное число f(X) таким образом, что для любой пары го-
меоморфных пространств X и У имеет место равенство {(Х) =

1.7. ЗАДАЧИ
103
= /(У). Наименьшее кардинальное число m ^ Ко, такое, что
любое семейство попарно непересекающихся непустых открытых
подмножеств пространства X имеет мощность ^т, называется
числом Суслина или клеточностью пространства X и обозначает-
ся с(Х), Если с(Х)=Ко, то говорят, что пространство X обла-
обладает свойством Суслина.
Наименьшее кардинальное число m ^ Ко, такое, что каждое
подмножество пространства X, состоящее только из изолирован-
изолированных точек, имеет мощность ^ш, обозначается hc(X). Объясне-
Объяснение символа hc(X) и название этой кардинальной функции см.
в задаче 2.7.9 (Ь) (некоторые авторы пользуются символом s(X)
и называют это спредом (spread) пространства X).
Наименьшее кардинальное число m ^ Ко, такое, что каждое
замкнутое подмножество пространства X, состоящее только из
изолированных точек, имеет мощность ^т, называется экстентом
(extent) пространства X и обозначается е(Х).
В целях упрощения во всех задачах о кардинальных функ-
функциях определенные в основном тексте книги кардинальные функ-
функции (до сих пор встречались вес, характер и плотность) будут
переопределены в предположении только бесконечных значе-
значений: новое значение f(X) мы полагаем равным Ко, если старое
значение было конечным, и равным старому значению, если это
было некоторое бесконечное кардинальное число. (Иногда топо-
топологи говорят, что «в общей топологии нет конечных кардиналь-
кардинальных чисел».)
(а) Докажите, что следующая диаграмма содержит все не-
неравенства, которые имеют место между входящими в нее кар-
кардинальными функциями; стрелка из f в g означает, что g (X) ^
^ f(X) для всякого топологического пространства X:

104 ГЛ. 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Докажите, что если У — непрерывный образ пространства Х>
то c(Y)^ с(Х) и hc(Y)^ hc(X); если, кроме того, X есть ^-про-
^-пространство, то и е(У)^ е(Х).
Замечание. Кардинальным функциям посвящены книги Юха-
са [1971] и [1980].
1.7.13 (Архангельский и Пономарёв [1968], Архангельский
[1970]). Теснота точки х в топологическом пространстве X есть
наименьшее кардинальное число m ^ 4*0 со следующим свой-
свойством: если хеС, то существует такое Сос=С, что |С0|^ш и
л;еС0, Это кардинальное число обозначается t(x, X). Теснота
топологического пространства X есть точная верхняя грань всех
чисел t(x,X) для х^Х. Это кардинальное число обозначается
ИХ).
(a) Покажите, что для любого топологического пространства
X и любой точки х^Х имеют место неравенства t(x> X)^
^%(х,Х) и t(X)^.%(X). Приведите пример совершенно нор-
нормального пространства Ху для которого t(X)<%(X).
(b) Докажите, что для любого топологического простран-
пространства X теснота t(X) равна наименьшему кардинальному числу
ш^ Ко, такому, что для любого CczX, не явлющегося замкну-
замкнутым, существует такое Сос=С, что |С0|=^т и Со\Сф0.
Указание. Покажите, что t (X) ^ m в том и только том слу-
случае, если для каждого CczX иы имеем С = [G]m, где [С]ш =
==и{М:Л1 с=С и |Af|<m}.
(c) Покажите, что для каждого секвенциального простран-
пространства X мы имеем t(X)= Ko.
Замечание. Пространства счетной тесноты были введены
Р. К. Мором и Мрувкой [1964]; они появились также у Корсона
[1961].
Полунепрерывные функции I (см. задачи 2.7.4, 3.12.22 (g)
и 5.5.20)
1.7.14. Вещественная функция /, определенная на топологи-
топологическом пространстве ХЛ полунепрерывна снизу (сверху), если
для любого хеХи любого вещественного числа г, удовлетво-
удовлетворяющего неравенству f(x)> г (неравенству /(л;)<г), суще-
существует такая окрестность U с X точки д;,что f(x)> r (f(V) < г)
для любого х/ ^ U.
(а) Докажите, что функция f полунепрерывна снизу (сверху)
в том и только том случае, если для любого вещественного
числа г множество {х: f(x)^r} (множество {*: f(x)^r})
замкнуто. Покажите, что функция одновременно полунепре-
полунепрерывна снизу и сверху в том и только том случае, если она не-
непрерывна. Покажите, что если fug полунепрерывны снизу

1.7. ЗАДАЧИ 105
(сверху), то min(ft g)у max(ft g) и f + g полунепрерывны снизу
(сверху), а также /•#, при условии что /(лс)^О и g(x)^0 для
^е! Покажите, что функция — f полунепрерывна снизу (свер-
(сверху) в том и только том случае, если f полунепрерывна сверху
(снизу). Докажите, что для любого семейства {fs}5€55 полуне-
полунепрерывных снизу (сверху) функций, обладающего тем свой-
свойством, что (М*): sgS} ограничено сверху (снизу) для лю-
любой точки xgX, функция sup fs (функция inf fs\9 определен-
ная формулой [ sup fs] (x) = sup fs (x) (формулой [ inf fs] (x) ==
= inf fs(x))> полунепрерывна снизу (сверху). Приведите при-
мер последовательности {/,} непрерывных функций из / в себя,
такой, что inf ft не полунепрерывна снизу, a sup f,- не полунепре-
полунепрерывна сверху,
(Ь) (Форт [1955]). Докажите, что для каждой полунепре-
полунепрерывной снизу или сверху функции /, определенной на топологи-
топологическом пространстве X, существует множество G czXy которое
может быть представлено как пересечение счетного множества
всюду плотных открытых подмножеств пространства X, такое,
что / непрерывна в каждой точке G.
Указание. В случае полунепрерывной _снизу функции / поло-
положите Аг ={лг: f(x) > г} и Gr=Ar\]{X\Ar} для любого рацио-
рационального числа г. Пусть G — пересечение всех Gr.
Замечание. Для функций, определенных на вещественной
прямой, понятие полунепрерывности ввел Бэр в 1899 г., и он
же установил (а) и (Ь) в этом частном случае.
1.7.15.(а) (Бурбаки [1948]). Докажите, что Ггпространство
X вполне регулярно в том и только том случае, если для каж-
каждой полунепрерывной снизу (сверху) функции f на X, такой,
что f(x) ^ g(x) (f(x) ^ g(x)) для некоторой непрерывной функ-
функции g: X^*R и любого лсеХ, существует семейство непрерыв-
непрерывных функций {fs}s = s, такое, что / = supfs(/=: inf f3).
(b) (Тонг [1952] (заявлено в [1948]), Катетов [1951а] (ис-
(исправлено в [1953]); для паракомпактных пространств Дьёдонне
[1944]; для метрических пространств Хан [1917]). Докажите,
что ^-пространство X нормально в том и только том случае,
когда для любой пары f, g вещественных функций на Xt такой,
что / полунепрерывна сверху, g полунепрерывна снизу и f{x)^
*^g(x) для любого х^Х, существует непрерывная функция
А: Х^-R, такая, что f(x)^h{x)^g(x) для любого хе!
Указание (Тонг [1952]; ср. с задачей 2.7.2 (с)). Для начала
покажите, что если fi, gr. X-+I непрерывны для t= 1, 2, ... и
fo=inffi> go = sup?* удовлетворяют неравенству fo(x)^go(x)

106 ГЛ. 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
при каждом х е Ху то существует непрерывная функция h:X^~I,
удовлетворяющая неравенству fo(x)^ h(x)^ go(x) для любого
хеХС этой целью предположите (без ограничения общности),
что fi+i(x)^fi(x) и gi+\(x)^ gi(x) для любого х^Ху поло-
положите ki = max [min(f/, g>)], /f = max(?t_b /,) и покажите, что
sup fo = inf U.
Возвращаясь к общему случаю, покажите, что достаточно
рассмотреть функции /, g со значениями в @, 1). Затем для каж-
каждой пары положительных целых чисел /, i9 j < / положите
Alt t = {х: g (x) < ///} и BUi = {x: f (x) > j/i + 1/2/},
выберите непрерывные функции //,,-, равные ///+ l/2j на Л/, ;, 1
на Bj, t и такие, что /7, t(x)^ j/i + l/2i для каждого jc ^ X. Уста-
Установите, что для функции fi= minbf ихеХ имеет место либо
неравенство fi(x)< g(x)y либо |//(л)— g(*)| < 3/2i и ft(x)^
^f(x). Покажите, что функция /0 ===== inf ff- удовлетворяет усло-
условиям f(x)^ fo(x)^g(x) для любого х^Х. Применяя этот ре-
результат к функциям —g и —fo, найдите go = sup gn, удовлет-
удовлетворяющую условиям fo(x) ^ go(x) ^ g(x) для любого х^Х,
и примените первую часть указания.
(с) (Тонг [1952]; для метрических пространств Хан [1917];
для вещественной прямой Бэр [1904]). Докажите, что Грпро-
странство X совершенно нормально в том и только том случае,
если для каждой полунепрерывной снизу (сверху) функции f,
определенной на X, существует последовательность {fi} непре-
непрерывных вещественных функций на Ху такая, что fi(x)^ fi^i(x)
(fi(x)> fi+\{x)) для t = l, 2, ..., x&X, и что /(*)=lim/,-(*)
при каждом х ^ X.
Указание (Тонг [1952]). Докажите, что пространство X, об-
обладающее указанными выше свойствами, удовлетворяет усло-
условию (ш) из 1.5.19. При построении последовательности {ft} для
полунепрерывной снизу функции f рассмотрите сначала случай,
когда / принимает только конечное число значений. Затем, пред-
предполагая, что 0</(х)<1, для любой пары целых чисел /, /,
0 ^ / < I, постройте
и для каждого i = l, 2, ... возьмите полунепрерывную снизу
функцию gif равную /// на С/,,-. Покажите, что gi(x)^ fix) для
xgI Выберите для любого i последовательность (glk\ непре-
непрерывных функций, такую, что g*k{x)<4+i (x), limgi(x) = gi(x)H
gik{x)'^0 для любого xg! Занумеруйте все функции g*k
в последовательность hu Л2, .-•, положите ^? = max А/ и Hx) =

1.7. ЗАДАЧИ 107
= V —r kt (л:). Покажите, что k {x) > О при ^еХи что функции
fj = max(&, kt) обладают требуемыми свойствами и принимают
только положительные значения.
1.7.16 (Исивата [1967]; ср. с упр. 1.5.L (а)). Докажите, что
если f: X-+-Y— открытое (замкнутое) отображение X на У, то
для каждого g: X-+R, ограниченного на всех прообразах точек
при отображении f, формулы g*(y)= snp{g(x): x^f~l(y)} и
g"*(у) = т^{ё(х): х^ f~l (у)} определяют соответственно полу-
полунепрерывную снизу и сверху (сверху и снизу) функцию на У.
Многозначные отображения I (см. задачи 2.7.21 и 3.12.27)
1.7.17 (Куратовский [1932] и [1963]). Отображение F, со-
сопоставляющее каждой точке у топологического пространства У
замкнутое подмножество F(y) топологического пространства Xt
полунепрерывно снизу (сверху), если для любого открытого мно-
множества U<z:X множество {у: F(y){]U ф 0} (множество {у:
F(y)a U}) открыто в У.
(a) Заметим, что F полунепрерывно снизу (сверху) в том
и только том случае, если для каждого замкнутого множества
KciX множество {у: F(y)<=K} (множество {у. Р{у)[\КФ0})
замкнуто в У. Установите, что отображение f топологического
пространства У в ^-пространство X непрерывно в том и только
том случае, если многозначное отображение F{y) = {f(y)} полу-
полунепрерывно снизу или, что эквивалентно, сверху. Докажите, что
отображение f: X-+-Y на ^-пространство У замкнуто (открыто)
в том и только том случае, когда многозначное отображение
F(y) — f-l{y) полунепрерывно сверху (снизу). Установите, что
вещественная функция f9 определенная на топологическом про-
пространстве У, полунепрерывна снизу (сверху) (см. 1.7.14) в том
и только том случае, если многозначное отображение F, при-
приписывающее точке j/eF замкнутое множество F(y) — {r^R:
г ^ f(y)}cRt полунепрерывно снизу (сверху).
(b) Покажите, что для любого семейства {Fs}ses полунепре-
полунепрерывных снизу многозначных отображений многозначное отобра-
отображение F= U Fs9 определенное формулой F(у) = [} Fs(y), по-
seS sgS
лунепрерывно снизу. Установите, что если Fu F2 — два полуне-
полунепрерывных сверху многозначных отображения, то их объедине-
объединение F = Fi U F2y определенное формулой F(у) = F\(y)[} F2(у),
полунепрерывно сверху. Покажите, что для полунепрерывных
снизу отображений аналогичное утверждение, вообще говоря, не
имеет места.

108 ГЛ. 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
(с) Докажите, что если F\, F2— два полунепрерывных сверху
многозначных отображения пространства У в семейство замкну-
замкнутых подмножеств нормального пространства X, то их пересече-
пересечение F = Fi{\F2, определенное формулой F{y) = Fi(y)[} F2(y),
полунепрерывно сверху. Покажите, что аналогичное утвержде-
утверждение для счетных пересечений, вообще говоря, не имеет места,
так же как и соответствующее утверждение для полунепрерыв-
полунепрерывных снизу отображений.
Указание, Заметим, что {у: F(y)a U}= [)[{У- i7!(г/)cz ?/г}П
0{У- F2(y)cz U2}], где объединение берется по всем парам U\9 U2
открытых подмножеств пространства Х> таким, что U\ П U2 = t/.
Топологии, описываемые последовательностями
1.7.18 (Фреше [1906] и [1918], Урысон [1926а]). g*-noo-
странство — это пара (лД), где X — некоторое множество, а
X — некоторая функция (называемая оператором предела) при-
приписывающая некоторым последовательностям точек простран-
пространства X элемент пространства X (называемый пределом последо-
последовательности) таким образом, что выполнены следующие условия
(мы пишем kxt вместо Я ({я*}) и говорим, что xi сходится к xf
если %xt = х):
(L1) Если xi = x для /=1,2, ..., то %xt = х.
(L2) Если Kxt = х, то %Xkt = x для любой подпоследователь-
подпоследовательности {xkt} последовательности {xi}.
(L3) Если последовательность {xi} не сходится к х, то она со-
содержит подпоследовательность {хь^, никакая подпоследо-
подпоследовательность которой не сходится к х.
(a) В ^-пространстве определяют оператор замыкания, по-
полагая jcgAb том и только том случае, если А содержит после-
последовательность, сходящуюся к х. Установите, что такой оператор
замыкания обладает свойствами (СО1) — (СОЗ), но, вообще го-
говоря, не обладает свойством (СО4).
(b) Покажите, что оператор замыкания, определенный в (а),
обладает свойством (СО4) тогда и только тогда, когда выпол-
выполнено следующее условие:
(L4) Если %xi=x и Xx{p = xt для i= 1, 2, ..., то существуют
такие последовательности положительных целых чисел
]*
iu *2» - •. и /ь Ы • • •» что to]1** = х.
^-пространство X, удовлетворяющее условию (L4), назы-
называется Ф*-пространством. Топология, порожденная на X опера-
оператором замыкания, определенным в (а), называется топологией
Фреше, индуцированной оператором предела. Установите, что
любое ^-пространство с топологией Фреше является ^-про-
^-пространством.

1.7. ЗАДАЧИ 109
(с) Докажите, что для последовательности хи *2, ... точек
^-пространства с топологией Фреше х = lim х% тогда и только
тогда, когда Xxt = х, т. е. что сходимость апостериори эквива-
эквивалентна сходимости априори.
1.7.19 (Кисынский [I960]). Покажите, что в любом ^-про-
^-пространстве можно ввести топологию, взяв в качестве семейства
замкнутых множеств все множества, содержащие вместе со вся-
всякой сходящейся последовательностью ее предел. Эта топология
называется секвенциальной топологией, индуцированной опера-
оператором предела X. Установите, что любое ^-пространство с сек-
секвенциальной топологией является ^-пространством. Покажите,
что в любом ^-пространстве секвенциальная топология и топо-
топология Фреше совпадают. Докажите, что для последовательности
jci, x2, ... точек некоторого ^-пространства с секвенциальной
топологией x=limxi тогда и только тогда, когда %xi = x% т. е.
что сходимость апостериори эквивалентна сходимости априори.
1.7.20. Докажите, что в топологическом пространстве X опе-
оператор предела %, — такой, что (Х,Х) есть ^-пространство
(^-пространство) и топология Фреше (секвенциальная тополо-
топология), индуцированная Я, совпадает с исходной топологией про-
пространства X, — может быть определен тогда и только тогда, когда
X — пространство Фреше — Урысона (секвенциальное простран-
пространство), в котором любая последовательность имеет не более од-
одного предела.
1.7.21 (Келли [1950]). Сформулируйте и докажите для на-
правленностей аналоги условий (LI)—(L3) в 1.7.18. Опреде-
Определите оператор замыкания в множестве X, где классы сходя-
сходящихся направленностей и их пределы выделены таким образом,
что выполняются аналоги указанных условий, а также условие
повторных пределов из упр. 1.6.В. Докажите, что всякая тополо-
топология порождается некоторым классом сходящихся направленно-
стей, т. е. может быть получена описанным выше способом.

Глава 2
ОПЕРАЦИИ НА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ
ПРОСТРАНСТВАХ
В этой главе изучаются операции на топологических про-
пространствах, т. е. методы построения новых топологических про-
пространств из заданных. Шесть параграфов главы соответствуют
шести исследуемым операциям. Из теорем об универсальности
тихоновского куба для всех 7V/a -пространств и александров-
александровского куба для всех Г0-пространств, которые будут доказаны
в § 2.3, видно, что все пространства названных классов могут
быть получены из очень простых пространств применением толь-
только двух операций. Данная глава является в некотором смысле
сердцевиной всей книги: в последующих главах, определяя раз-
различные классы пространств, мы всегда будем испытывать их по-
поведение под действием описанных здесь операций.
Параграф 2.1 посвящен подпространствам. Определив поня-
понятие подпространства, мы изучаем сужения и продолжения непре-
непрерывных отображений и функций; самым важным результатом в
этом направлении является теорема Титце — Урысона. Далее
обсуждается понятие наследственного топологического свой-
свойства. В заключение приводятся некоторые замечания о комби-
комбинациях отображений.
В § 2.2 рассмотрена операция суммы топологических про-
пространств и аддитивность топологических свойств.
Самый длинный в этой главе § 2.3 посвящен произведениям
топологических пространств. Определив на произведениях тихо-
тихоновскую топологию и доказав несколько элементарных утвер-
утверждений, мы обсуждаем мультипликативность топологических
свойств. Затем мы переходим к изучению вложений пространств
в произведения и доказываем две теоремы об упомянутых выше
универсальных пространствах. Заключительная часть параграфа
посвящена произведениям и диагональным произведениям ото-
отображений.
Факторпространства и факторные отображения обсуждаются
в § 2.4.
В § 2.5 изучаются обратные спектры пространств, их пре-
предельные пространства и отображения.

2.1. ПОДПРОСТРАНСТВА Ш
Последний параграф посвящен пространствам отображений.
Вводятся топология равномерной сходимости на множестве не-
непрерывных вещественных функций и топология поточечной схо-
сходимости на множестве непрерывных отображений. Параграф за-
завершается обсуждением приемлемых топологий на простран-
пространствах отображений. Та же тема рассматривается далее в § 3.4,
где определяется другая топология на пространствах отображе-
отображений и доказываются более глубокие результаты.
2.1. ПОДПРОСТРАНСТВА
Предположим, что заданы некоторое топологическое про-
пространство X и множество MczX. Легко видеть, что семейство О
всех множеств вида М П ?/, где U открыто в X, удовлетворяет
условиям @1) — @3). Действительно, условие (О1) выполнено,
так как 0 = М[\0иМ = М()Х,анз равенств
(Af П С/i) П (Af П С/2) == ЛГ П (C/i П С/2)»
U (М[\и8)=м[\ U и,
seS se5
следует, что выполнены также и условия @2), @3).
Взяв семейство {М[\U\ U открыто в X} в качестве семей-
семейства открытых множеств в М, мы определяем на М топологию.
Множество М с этой топологией называется подпространством
пространства X, а сама топология называется индуцированной
топологией или топологией подпространства.
2.1.1. Предложение. Пусть X—топологическое пространство
и М — его подпространство. Множество А с: М замкнуто в М
тогда и только тогда, когда A = M(]Fy где F замкнуто в X. За-_
мыкание А множества А а М в пространстве М и замыкание А
множества А в пространстве X связаны равенством А = А{]М.
Доказательство. Если А = М П F, где F = F аХу то М\А =
t=Mf\(X\F) и А замкнуто в М как дополнение к открытому
множеству. Обратно, если А — замкнутое подмножество М9 то
М\А = М П U, где U открыто в X. Значит,
и А = М П F, где F — X\U замкнуто в X.
По определению оператора замыкания А равно пересечению
всех замкнутых подмножеств пространства М, содержащих Л,
т. е. всех множеств вида Mj\F, где F — F и А с: 7\ Отсюда по-
поручаем равенство Л = !
2.1.2. Предложение. Пусть М — подпространство пространства X
и LczM\ две определенные на L топологии — топология подпро-

112 ГЛ 2. ОПЕРАЦИИ НА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ
странства пространства М и топология подпространства про-
странства X — совпадают. I
Подпространство М пространства X называется его замкну-
замкнутым подпространством, если множество М замкнуто в X. Если
М — замкнутое подпространство пространства X, то множество
А <=М замкнуто в М тогда_и только тогда, когда оно замкнуто
в X, и, следовательно, Я = А для каждого A <= M. Открытые под-
подпространства и всюду плотные подпространства определяются
аналогично. Ясно, что если М — открытое (всюду плотное) под-
подпространство пространства X, то множество АаМ открыто
(всюду плотно) в М тогда и только тогда, когда оно открыто
(всюду плотно) в X. В дальнейшем слова «подпространство» и
«подмножество» употребляются взаимозаменяемым образом. На-
Например, мы будем писать «сепарабельное подмножество», «ком-
«компактное подмножество» и т. д., понимая под этим подмноже-
подмножество, которое наделено топологией подпространства и является
в этой топологии сепарабельным, компактным и т. д.
Для каждого топологического пространства X и каждого его
подпространства М формула 1м(х) = х определяет отображение
М в X. Так как i^l(U) = M(]U, это отображение непрерывно.
Отображение /«: М^Х называется вложением подпространства
М в пространство X. Легко проверить, что топология подпро-
подпространства совпадает с топологией, порожденной отображением
iM множества М в топологическое пространство X. Вложение ш
замкнуто (открыто) в том и только том случае, если подпро-
подпространство М замкнуто (открыто).
Для каждого отображения /: X-+-Y и каждого подпростран-
подпространства М пространства X композиция fiM является непрерывным
отображением пространства М в пространство У. Это отображе-
отображение называется сужением отображения f на М а X и обозна-
обозначается f\M. Так как комлозиция замкнутых (открытых) отобра-
отображений является замкнутым (открытым) отображением, то су-
сужение замкнутого (открытого) отображения на замкнутое (от-
(открытое) множество МсX замкнуто (открыто).
2.1.3. Предложение. Если композиция gf непрерывных отобра-
отображений f: X^-Y и g: Y-+Z является замкнутым (открытым)
отображением, то сужение g\f(X): f(X)-+Z замкнуто (открыто).
Доказательство. Любое замкнутое (открытое) подмножество
пространства f(X) имеет вид А П f(X), где А замкнуто (открыто)
в У. Так как прообраз f~l(A) замкнут (открыт) в X и gf —
замкнутое (открытое) отображение, то множество
замкнуто (открыто) в Z. I

2.1. ПОДПРОСТРАНСТВА ЦЗ
Легко показать, что gf может быть замкнутым (открытым)
отображением и тогда, когда ни gt ни f не замкнуто (не от-
открыто) .
Сужение отображения f: X-+Y на Мс=Х и f(M)cz У опре-
определяется как отображение подпространства М в множество
f(M), которое произвольной точке х^М ставит в соответствие
точку f(x) подпространства f(M)cz У. Это сужение обозначается
через(\М; очевидно, f \M непрерывно. Отображения f\M и f\M
различаются областями значений: f\M: М-+ У и f\M: М —>-/(М);
в частности, f\X: А"->/(Х). Легко видеть, что если / и М
замкнуты (открыты), то f \ M также замкнуто (открыто).
Третьей разновидностью сужения является сужение отобра-
отображения f: X-+Y на LczY, определяемое как отображение под-
подпространства f~~l(L)czX в пространство L а У, сопоставляющее
точку f(x)^L точке x^f~l(L). Это сужение обозначается fL\
очевидно, что fL непрерывно, /i: f~l(L)-+L.
Читатель легко проверит следующие простые формулы, отно-
относящиеся к образам и прообразам при сужениях:
(f\M)(A) = f(A), AczM; (/|М)(В) = МAГ1E), BczY;
2.1.4. Предложение. Если f: X~+Y — замкнутое (открытое) ото-
отображение, то для каждого подпространства L a Y сужение
fc f-{{L)^>~L замкнуто (открыто).
Доказательство. Для А а X имеем
и наше утверждение вытекает из определения топологий на под-
подпространствах /-1 (L) и L. I
Отображение /: Х-> Y называется гомеоморфным вложе-
вложением, если оно является композицией гомеоморфизма и вложе-
вложения, т. е. если существуют подпространство L пространства Y
и гомеоморфизм f: X^>~L, такие, что f — iLff. Ясно, что тогда
L = f(X) и f' = f\ X. Если для пространства X существует го-
меоморфное вложение f: X-+Y в пространство У, то мы гово-
говорим, что X вложимо в У.
Из предложения 2.1.2 следует, что композиция гомеоморф-
яых вложений и сужения гомеоморфных вложений являются го-
меоморфными вложениями. Легко видеть, что гомеоморфное
вложение f: X^-Y замкнуто (открыто) в том и только том слу-
случае, если f(X) замкнуто (открыто) в У.
8 Зак. 697

114 ГЛ. 2. ОПЕРАЦИИ НА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ
2.1.5. Примеры. Интервал /, наделенный естественной тополо-
топологией, является замкнутым подпространством вещественной пря-
прямой R, взятой с естественной топологией. Естественная тополо-
топология любого интервала прямой R является индуцированной топо-
топологией. В дальнейшем под вещественной прямой или интерва-
интервалом мы всегда будем понимать эти множества, наделенные есте-
естественной топологией. Легко проверить, что любые два замкну-
замкнутых интервала, содержащих более одной точки, гомеоморфны.
То же самое имеет место для любых двух открытых и для лю-
любых двух полуоткрытых интервалов.
Дискретное пространство мощности с вложимо в плоскость
Немыцкого L: оно гомеоморфно замкнутому подпространству L\
пространства L. Дискретное пространство мощности Ко вложимо
(тоже в качестве замкнутого подпространства) в вещественную
прямую: оно гомеоморфно множеству N всех натуральных чи-
чисел с индуцированной топологией. В дальнейшем мы будем ча-
часто предполагать, что D(&0)=N. Вещественная прямая вло-
жима в отрезок /—[—1, 1]: она гомеоморфна интервалу (—1,1),
причем гомеоморфное вложение г. /?->-/ может быть определено
формулой i(x) = x/(l +\х\). I
Мы называем топологическое свойство 9* наследственным
(наследственным по отношению к замкнутым подмножествам,
открытым подмножествам и т. д.), если 9* присуще каждому
подпространству (каждому замкнутому подпространству, каж-
каждому открытому подпространству и т. д.) любого пространства
X, обладающего свойством !?. Примерами наследственных
свойств являются «вес ^щ» или «характер г^т» и, в частности,
выполнение второй или первой аксиомы счетности. Как пока-
показано в 2.1.5, сепарабельность не является наследственным свой-
свойством; однако легко проверить, что сепарабельность наследуется
открытыми подмножествами. Если само свойство 0* не является
наследственным, но каждое подпространство некоторого про-
пространства X обладает свойством д*ь то мы говорим, что X на-
наследственно обладает свойством @. В этом смысле будут упот-
употребляться в дальнейшем такие термины, как «наследственно се-
парабельное пространство» и «наследственно нормальное про-
пространство».
2.1.6. Теорема. Любое подпространство Т[-пространства яв-
является Т{-пространством, г^З—. Нормальность наследуется
замкнутыми подмножествами. Совершенная нормальность яв-
является наследственным свойством.
Доказательство. В случае Ггпространств наша теорема сле-
следует непосредственно из 2.1.1. Тот факт, что совершенная нор-
нормальность является наследственным свойством, вытекает из

2.1. ПОДПРОСТРАНСТВА Ц5
2.1.1 и равносильности условий (i) и (ш) в 1.5.19. Доказатель-
Доказательства остальных пяти случаев подобны друг другу. В качестве
примера мы докажем, что подпространство М регулярного про-
пространства X является регулярным.
Как известно, М является ^-пространством. Выберем не-
некоторую точку х s M и замкнутое множество A cz M, такое, что
хфА. В силу 2.1.1, А=М[)А, так что х^А. Тогда суще-
существуют открытые в X множества U\, V\, такие, что х^ Ь\9
AczVi и Ux{] Vi = 0. Полагая U = UX П М и V = VX [\М9 полу-
получаем открытые подмножества подпространства М, такие, что
xg[/, А<^ V я U (\V = 0. Следовательно, пространство М ре-
регулярно. 1
Как показывает приведенный ниже пример 2.3.36, нормаль-
нормальность не является наследственным свойством (ср. с упр.2.1.Е(Ь)).
Из предыдущей теоремы следует, что каждое совершенно
нормальное пространство наследственно нормально. Обратное
утверждение не имеет места: пространство Л(т) не является
совершенно нормальным для m > Мо, однако оно наследствен-
наследственно нормально, ибо все его подпространства имеют вид А (п) или
D(n) сп<ш. Заметим также, что из 2.1.4 и 1.5.20 следует, что
класс наследственно нормальных пространств инвариантен при
замкнутых отображениях.
Приведем теперь две характеристики наследственно нормаль-
нормальных пространств. Сначала введем понятие отделенных мно-
множеств. Два множества А и В топологического пространства X
отделены, если А{\В = 0 и ЛП5 = 0. Два непересекающихся
множества отделены в том и только том случае, если ни одно
из них не содержит точек накопления другого. В частности, лю-
любые два непересекающихся замкнутых множества отделены.
Всякие два непересекающихся открытых множества также отде-
отделены. Если Л, ВаХ отделены и А\ с=Л, Si czB, то множества
Ль В\ также отделены.
2.1.7. Теорема. Для любого ТгПространства X следующие усло-
условия равносильны:
(i) Пространство X наследственно нормально.
(и) Каждое открытое подпространство пространства X нор-
нормально.
(Hi) Для каждой пары отделенных множеств Л, В<^:Х су-
существуют открытые множества U, V cz Xy такие, что AczU%
BczV uU()V = 0.
Доказательство. Импликация (i)=^(ii) очевидна. Покажем
теперь, что (ii)=4-(iii)^ Пусть множества Л, Вс! отделены.По-
отделены.Положим М — Х\(Л П B)czX. Очевидно, что Л, BczM. Замыка-
Замыкания множеств Л и В в М не пересекаются. Следовательно, в
силу нормальности Af, существуют открытые в М множества ?/,
8*

116 ГЛ. 2. ОПЕРАЦИИ НА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ
V такие, что AczU, бсУи U f]V = 0. Так как М — открытое
подпространство пространства X, то множества U и V открыты
в X.
Для завершения доказательства осталось показать, что
(iii)=>(i). Пусть М — произвольное подпространство простран-
пространства X и A, BczM— пара непересекающихся замкнутых под-
подмножеств в М. Очевидно, что А и В отделены в Х\ следователь-
следовательно, существуют открытые множества U, V аХ, такие, что
A a U, BczV и U()V=0. Пересечения M(\U и Mf]V открыты
в М, не пересекаются и содержат соответственно А и В. |
Условие (iii) предыдущей теоремы показывает, что наслед-
наследственная нормальность может быть поставлена в ряд аксиом
отделимости; наследственно нормальные пространства иногда
называют Тъ-пространствамиу а элементы более узкого класса
совершенно нормальных пространств называют Те-прост ран-
ствами.
Пусть для отображения f: М-»-У, определенного на подпро-
подпространстве М пространства X, существует отображение F: X~+Yy
такое, что F\M = f. Тогда говорят, что f непрерывно продол-
продолжается, или, короче, продолжается на пространство X; отобра-
отображение F называется продолжением отображения / на X. Не вся-
всякое непрерывное отображение, определенное на некотором под-
подпространстве, имеет непрерывное продолжение на все простран-
пространство. Существование непрерывного продолжения скорее исклю-
исключение, чем правило. Теоремы, дающие достаточные условия про-
продолжимости непрерывных отображений или непрерывных веще-
вещественных функций, принадлежат к наиболее важным теоремам
топологии и обычно достаточно трудны. Заметим, что лемма
Урысона может быть переформулирована как теорема такого
типа. В самом деле, лемма Урысона утверждает, что если ка-
какое-либо подпространство М нормального пространства X мо-
может быть представлено как объединение двух непересекаю-
непересекающихся подмножеств Л, В, замкнутых в X, то функция /: ЛГ-^Д
определенная формулой
f ._ f 0 при xei,
rW"~tl при JceB,
непрерывно продолжается на X.
Оказывается, имеет место значительно более общее утвер-
утверждение:
2.1.8. Теорема Титце — Урысона. Каждая непрерывнаяфункция,
заданная на замкнутом подпространстве некоторого нормаль-
нормального пространства Ху со значениями в I или R непрерывно про-
продолжается на X.

2.1. ПОДПРОСТРАНСТВА Ц7
Доказательство. Прежде всего докажем нашу теорему для
функций из X в /. Для упрощения обозначений рассмотрим
случай /: M->Jt где / — интервал [—1, 1], гомеоморфный /.
Начнем с замечания, что для любого /0: Л1->-/?, удовлетво-
удовлетворяющего условию \fo{x)\^c при всех х^М, существует та-
такое g: X-+R, что
A) \g(x)\^c/3 при xs=X,
B) ! /0 (х) - g (х) | <2с/3 при х е= М.
В самом деле, множества Л=/г~1([—с, —с/3]) и В =
^f^1 ([^/3, с]) не пересекаются и замкнуты в Af; значит, они зам-
замкнуты в X, и, в силу леммы Урысона, существует такая функ-
функция k: X-+I, что k(A)cz{0} и k(B)cz{l}. Легко проверить,
9 / 1 \
что, полагая g(x) =-^clk{x)—^"J, мы получим g: X^~Ry
удовлетворяющее A) и B).
Определим теперь по индукции последовательность g\> g2,
непрерывных отображений X в /?, такую, что
C) lftWI<}(j)H при хеХ,
D)
Чтобы получить ?ь мы применим сделанное выше замечание
к функции fo = ijf и с —1, где fr — вложение / в R. Допустим,
чт0 8и ёь • • •> ^ Уже построены. Применяя то же самое заме-
чание к fо ='V/— I 2-i ?/1 ^и ?^B/3)'*, мы получим функцию
^ч-i» удовлетворяющую C) и D) с i+l вместо /.
со
Из C) и 1.4.7 следует, что формула F (х) = ]? g^M опреде-
I S5S 1
ляет непрерывную функцию F: X-+-J, и, согласно D), F (х) ~
^f(x) для всех jteAf. Таким образом, Т7 есть продолжение
/наХ
Теперь рассмотрим функцию /: X->-/?. В силу уже доказан-
доказанной части теоремы, функция ф M-+J, где /: /?-»-/ — гомео-
морфное вложение, определенное в 2.1.5, продолжается на X до
функции F\: X-**J. Очевидно, что множество L = F~X ({—1, 1})
есть замкнутое подмножество в X, не пересекающееся с множе-
множеством М. Следовательно, существует непрерывное отображение
k: X^I, такое, что k(L)a {0} и k(M)cz {1}. Легко видеть, что
отображение fV X-*Jf определенное формулой F2(x)—Fi(x)<
'k(x), также является продолжением отображения if на X и что

118 ГЛ. 2. ОПЕРАЦИИ НА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ
F2(X)cz i(R). Функция F: X-+-R, определенная соотношением
F(x)= i~lF2(x), является искомым продолжением f на X. I
Отметим, что свойство продолжимости, установленное теоре-
теоремой Титце — Урысона, характеризует нормальные пространства
в классе 7\-пространств. В самом деле, если некоторое ^-про-
^-пространство X не является нормальным, то оно содержит два не-
непересекающихся замкнутых подмножества Л, 5, которые не мо-
могут быть отделены открытыми множествами, и потому функцию
/: А[)В-+1, определенную соотношениями f(x) = O при х^А
и /(х)=1 при х^В, нельзя непрерывно продолжить на X.
Докажем еще одну теорему о продолжении отображений.
2.1.9. Теорема. Если непрерывное отображение f всюду плот-
плотного подмножества А некоторого топологического пространства
X в хаусдорфово пространство Y непрерывно продолжается на
X, то продолжение однозначно определено отображением f.
Доказательство. Пусть Fx: X~*Y и F%: X-*-Y — различные
продолжения отображения f. В силу 1.5.4, множество
замкнуто. Так как ЛсВ, то X = А си В, и потому В = X. 1
2.1.10. Пример. Применим теперь две последние теоремы, чтобы
получить простое доказательство того, что плоскость Немыц-
кого не является нормальной (ср. с примером 1.5.9). Как мы
уже знаем, плоскость Немыцкого L содержит замкнутое под-
подпространство Li, гомеоморфное D(c)9 и счетное всюду плотное
подмножество С. Из 2.1.9 вытекает, что каждая непрерывная
функция из L в R определяется своим сужением на множество
С. Таким образом, на L существует только ск° = с непрерывных
вещественных функций. Если же пространство L было бы нор-
нормальным, то каждая из 2е непрерывных вещественных функ-
функций, определенных на L\, могла бы быть продолжена на L, что
невозможно, ибо 2е > с. Следовательно, пространство L не яв-
является нормальным.
Приведенное только что доказательство, так же как и пред-
представленное в примере 1.5.9, показывает, что никакое простран-
пространство Ху удовлетворяющее условию d(X)=&0 и содержащее
D(t) в качестве замкнутого подмножества, не является нормаль-
нормальным. §
Иногда для определения отображения /: X-+-Y удобно стя-
стянуть пространство X в некоторое подпространство, а затем раз-
раздельно определить f (например, различными формулами) на
каждом из этих подпространств (ср. с примерами 1.4.4 и 1.4.5).
Мы приведем теперь два предложения, дающие условия непре-
непрерывности отображения, определенного таким образом.

2.1. ПОДПРОСТРАНСТВА Ц9
Пусть X — топологическое пространство, {Л5}5е$ — некото-
некоторое его покрытие и {fs}s<=s — семейство отображений fs: As —^ У.
Будем говорить, что отображения fs согласованы, если для лю-
любых 5Ь 52 S 5
1st \aSi П Л52 = fs2 \aSi П Л^2.
Полагая
f{x) = fs(x) для х<=Л5,
мы определим отображение f: X-+Y, которое назовем комбина-
комбинацией отображений {fs}s^s и обозначим символом V fs или
/iVf2V ... V/,, если 5 ={1,2, ...,?}.
2.1.11. Предложение. Если {Us}Sgs—открытое покрытие топо-
топологического пространства X и {/5}5SS, где fs: Us^- У, есть семей-
семейство согласованных непрерывных отображений, то комбинация
/= sj fs есть непрерывное отображение X в Y.
se=S
Доказательство. Для каждого открытого подмножества
U cz У имеем
Г'(?/)= U fs'iU).
Множество fsl(U) открыто в Us и, следовательно, в X. Отсюда
вытекает, что прообраз f~l(U) открыт в X. I
2.1.12. Следствие. Отображение f топологического пространства
X в топологическое пространство У непрерывно тогда и только
тогда, когда каждая точка xgX обладает такой окрестностью
Ux, что /| Ux непрерывно. 1
2.1.13. Предложение. Пусть {fe}isS- локально конечное зам-
замкнутое покрытие пространства X и {/s}seS, где fs: FS^Y, есть
семейство согласованных непрерывных отображений. Тогда ком-
комбинация f = V fs есть непрерывное отображение X в У.
se=S
Доказательство. Для каждого замкнутого подмножества
Fez У имеем
Г1(п= U
S
Множество fsl{F) замкнуто в Fs и, следовательно, в X. Так
как семейство {fsl(F)}Sf=s локально конечно, то, в силу 1.1.12,
/-1 (F) замкнуто в! I
2.1.14. Теорема. Пусть {F t}T=\ — счетное дискретное семейство
замкнутых подмножеств нормального пространства X. Тогда су-
существует семейство {Ui}fL{ открытых подмножеств пространства

120 ГЛ. 2. ОПЕРАЦИИ НА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ
X, такое, что Fi c= Ui для i = 1, 2, ... и Vt f| Uj = 0 для ? ^ /.
oo
Доказательство. Объединение М = И Ft есть замкнутое под-
пространство в X. Для каждого i положим fi(x)=i при любом
x^Fr, получим семейство {fi}T=*\ согласованных отображений
/*•: Fi->R. Таким образом, их комбинация / есть непрерывное
отображение. По теореме Титце — Урысона f продолжается до
отображения F:X-+R. Легко установить, что множества Ut =
= F-l((i—1/3, i+1/З)) обладают требуемыми свойствами. I
Мы завершим этот параграф предложением, в котором дают-
даются условия, при которых комбинация отображений замкнута или
открыта.
2.1.15. Предложение. Пусть X — топологическое пространство,
{AS}S€-S — его покрытие и {fs}s^s —семейство согласованных
отображений fs: As-+- У, такое, что комбинация f = V fs: X->7
непрерывна. Если все отображения fs открыты (замкнуты и се-
мейство {fs (A8}}s&s локально конечно), то комбинация f от-
открыта (замкнута).
Доказательство. Достаточно применить равенство
[)АЛ=[}Ш(]Аа).
5^S ) SES
ИСТОРИЧЕСКИЕ И БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Систематическое изучение подпространств было начато
в книге Хаусдорфа [1914]. Теорема 2.1.7, замечание о том, что
совершенно нормальные пространства наследственно нор-
нормальны, и теорема Титце—Урысона появились в работе Уры-
Урысона [1925]. Частные случаи указанной теоремы получены Ле-
Лебегом [1907] (для плоскости) и Титце [1915] (для метрических
пространств). Рассуждения, приведенные в 2.1.10, заимствованы
у Катетова [1950]. Теорема 2.1.14 есть частный случай одного
результата Куратовского [1935].
УПРАЖНЕНИЯ
2.1.А. Проверьте, что внутренность и граница произвольного
множества А в подпространстве М топологического простран-
пространства X равны соответственно
где черта сверху обозначает оператор замыкания в X. На ос-
основе этих соотношений выведите, что для любого множества
В a X граница в М пересечения М[)В содержится в пересече-

2.1. ПОДПРОСТРАНСТВА 121
нии М с границей В в Х\ отметим, что для внутренностей это не
имеет места.
2.1.В. (а) Проверьте, что если подпространство МаХ яв-
является /^-множеством (бб-множеством) в X, то множество
AczM есть /^-множество (<Зб-множество) в М тогда и только
тогда, когда оно является ^-множеством (бй-множеством)
в X.
(b) Докажите, что если подпространство MczX есть кано-
каноническое открытое (замкнутое) множество, то множество AczM
есть каноническое открытое (замкнутое) множество в М тогда
и только тогда, когда оно является каноническим открытым
(замкнутым) множеством в X.
(c) Докажите, что если подпространство М с= X является
функционально открытым подмножеством пространства X, то
множество А cz М функционально открыто в М тогда и только
тогда, когда оно функционально открыто в X. Приведите пример
функционально замкнутого множества М в тихоновском про-
пространстве Ху такого, что существует функционально замкнутое
множество в подпространстве М9 не являющееся функционально
замкнутым в J.
2.1.С.(а) Докажите, что если М — всюду плотное подпро-
подпространство регулярного пространства X, то %(х, Х) = %(х, М) для
любого х^М. Покажите, что предположение регулярности не
может быть ослаблено до предположения, что X — хаусдорфово
пространство.
(b) Семейство $(А) открытых подмножеств пространства X
называется базой множества АаХ в пространстве X, если все
элементы семейства ЗИ(А) содержат А и для любого открытого
множества V, содержащего А, существует множество U gJ(^),
такое, что Аа UczV. Характером множества А в топологиче-
топологическом пространстве X называется наименьшее кардинальное
число вида |^?(Л)|, где 3S(A) — база множества А ъ Х\ это
кардинальное число обозначается %(А, X).
Докажите, что если М — всюду плотное подпространство про-
пространства X и AczM обладает тем свойством, что для всякого
замкнутого множества BczX, не пересекающегося с Л, суще-
существуют открытые множества U, V с X, такие, что A cz U, В а V
и Uf]V = 0, то %(А,Х) = х(А,М) (ср. с теоремой 3.1.6).
Выведите из предыдущего, что если М — всюду плотное под-
подпространство нормального пространства X, то %{F,X) — %{F7M)
для всякого замкнутого подмножества F пространства X, содер-
содержащегося в М.
(c) Покажите, что если М — замкнутое подпространство про-
пространства X, то %(А Г) М, М)^ %(А, X) для любого ЛсХ Про-
Проверьте, что предположение о замкнутости М не может быть опу-
опушено.

122 ГЛ. 2. ОПЕРАЦИИ НА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ
(d) Покажите, что если /: Х->- У-^замкнутое отображение,
то %(f-l(B),X)^%(By У) для каждого В cz У; если f: Х-^У —
замкнутое отображение X на У, то %(f~l{B), Х) = %(ВУ У) для
каждого ВсУ, и если /: Х->У — открытое отображение, то
%(f(A), У) ^ %(А, X) для каждого Л сг X.
2.1.D. Проверьте, что подпространством топологического про-
пространства X является ретрактом пространства X в том и только
том случае, когда каждое непрерывное отображение, определен-
определенное на М, продолжается на все X, или, эквивалентным образом,
в том и только том случае, когда существует отображение
г: Х-+М, такое, что г\М = гдм-
2.1.Е.(а) (Урысон [1925]). Докажите, что нормальность яв-
является наследственным свойством по отношению к /^-множе-
/^-множествам.
Указание. Примените лемму 1.5.14.
(Ь) Докажите, что присоединением к плоскости Немыцкого
К одной точки можно получить нормальное пространство, для
которого К является подпространством.
2,1.F. Установите, что если х\, Х2, ••• — последовательность
точек в 72-пространстве X и Xq— предел этой последователь-
последовательности, то подпространство М ={xq, х\, *2, .. .}с: X либо дискретно
и конечно, либо гомеоморфно пространству Л (Ко)- Покажите,
что предположение о том, что X есть Г2-пространство, нельзя
заменить предположением о том, что X есть ^-пространство.
2.1.G. Покажите, что для любого счетного дискретного се-
семейства {Fi}f^x конечных подмножеств регулярного простран-
пространства X существует такое семейство {?/*}?j открытых подмно-
подмножеств пространства X, что Ft cz Ui для i = 1, 2, ... и Oi{\Uj = 0
для i Ф j.
2,1,Н. (а) Установите, что произвольное подпространство сек-
секвенциального пространства не обязано быть секвенциальным
пространством (ср. с примерами 1.6.19 и 1.6.20), однако замкну-
замкнутое подпространство или открытое подпространство являются
секвенциальными пространствами (ср. с упр. 2.4.G (Ь)).
(Ь) Проверьте, что любое подпространство пространства
Фреше — Урысона является пространством Фреше — Урысона,
2.1.1, Докажите, что прямая Зоргенфрея наследственно се-
парабельна.
2.I.J. Покажите, что предложение 2.1.13 и стоящая в скоб-
скобках часть предложения 2.1.15 не имеют места без предположе-
предположения о том, что рассматриваемые семейства множеств локально
конечны.

2.2, СУММЫ 123
2.2. СУММЫ
Пусть задано семейство {Xs}aeS попарно непересекающихся
топологических пространств, т. е. Xs П Х& = 0 Для 5 ф s'. Рас-
Рассмотрим множество Х= [} Xs и семейство О всех множеств
U сиХ, таких, что U (]XS открыто в Xs для каждого 5 <= S.
Легко видеть, что семейство С? удовлетворяет условиям @1) —
@3) и потому определяет некоторую топологию на множестве
X. Множество X с этой топологией называется суммой про-
странств{Х8}3^3 и обозначается ф Xs или Х\ © Хг © -. * © ^*,
если 5 = {1, 2, ..., k).
2.2.1. Предложение. Множество A с ф ЛГ5 замкнуто в том и
s e=S
только том случае, если пересечение A(]XS замкнуто в Xs для
каждого s e S.
Доказательство. Множество Л замкнуто в том и только том
случае, если его дополнение ф АУ\Л открыто. Следовательно,
наше утверждение вытекает из равенства
nXs, = Xs\(A
2.2.2. Следствие. Каждое множество Xs открыто-замкнуто в
Очевидно, что каждое Xs является подпространством суммы
ф Х5; вложение JTS в ф Is обозначается t5.
2.2.3. Предложение. ?сл« {^У5е55~ семейство попарно непере-
непересекающихся топологических пространств и As — подпростран-
подпространство Xs для каждого s e S, то две топологии, определенные на
множестве [} As> а именно топология суммы подпространств
{As}s^s и топология подпространства суммы ф Xs, совпадают.
s s5
2.2.4. Предложение. Если топологическое пространство X может
быть представлено как объединение семейства {Xs}s^s попарно
непересекающихся открытых подмножеству тоХ— ф Xs.
se=S
Доказательство. Множества X и ф Xs совпадают, поэтому
S
достаточно показать, что совпадают также их семейства откры-
открытых множеств. Если U открыто в X, то пересечение Uf\Xs от-
открыто в Xs для каждого sgS, следовательно, U открыто в

|24 ГЛ. 2. ОПЕРАЦИИ НА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ
ф Xs. Обратно, если U открыто в ф Xs> то для каждого
s&S s<= S
s^S пересечение Uf[Xs открыто в Xs, а потому и в X. Следо-
Следовательно, U = U (U П Xs) открыто в X. |
2.2.5. Следствие. Пусть {Xs}s^s — семейство попарно непересе-
непересекающихся топологических пространств. Если S = U $и г^е & Л
f\Str=0 для 1Ф1\ то фХ* = ф ( ф Xs\ г. в. q/лша про-
странств ассоциативна. I
2.2.6. Предложение. Отображение f суммы 0IS5 топологиче-
пространство Y непрерывно тогда и только тогда, когда
композиция fis непрерывна для каждого seS.
Доказательство. Если /: ф XS-^Y, то каждое fis непре-
S€ES
рывно как композиция двух непрерывных отображений. Об-
Обратно, если для отображения f суммы ф Xs в пространство Y
каждое fis непрерывно, то /= V fi8 непрерывно в силупред-
ложения 2.1.11. I
Сумму ф Xs можно также определить для семейства топо-
ssS
логических пространств {Is}se5, не являющихся попарно непе-
непересекающимися. Для этого возьмем семейство {1^е5 попарно
непересекающихся пространств, такое, что Х'5 гомеоморфно Х3
для всех seS, и положим ф Xs = ф х'8- Например, можно
s<~5 s&S
взять ^ = Х5Х{5} с топологией, порожденной отображением
ps: X^->ZS, где ps(x, s) = x. Читатель легко установит, что полу-
полученные таким путем пространства ф X* все гомеоморфны ме-
жду собой. В дальнейшем мы будем предполагать, что любое
семейство пространств имеет сумму (определенную с точностью
до гомеоморфизма), но в доказательствах будем молчаливо счи-
считать, что обсуждаемое семейство состоит из попарно непересе-
непересекающихся пространств.
Будем говорить, что топологическое свойство 9* аддитивно
(ш-аддитивно, конечно аддитивно), если для любого семейства
{J?s}seS (такого, что |5|^ш, |5|<К0) пространств, обладаю-
обладающих свойством ^, сумма ф Xs также обладает свойством ^\
2.2.7. Теорема. Любая сумма Тг-пространств есть Т(-пространство
для i < 6.

2.2. СУММЫ 125
Доказательство. В случае 7\-пространств наша теорема сле-
следует непосредственно из 2.2.1. Доказательства всех остальных
случаев подобны друг другу. В качестве примера покажем, что
нормальность аддитивна. Пусть {X8}s 8—семейство нормаль-
нормальных пространств и Л, В — два непересекающихся замкнутых
подмножества суммы ф Xs. В силу предложения 2.2.1, пересе-
чения А(]Х8 и В(]Х8 замкнуты в Xs для каждого s e S.
Из нормальности Х8 следует, что существуют такие множества
U8, VSy открытые в Х8, что
А П Х3си Us, В П Xscz Vs и С/, П Fs= 0.
Очевидно, что
^c=C/=U^ BczV=\JVs и t/n^=0;
так как U я V открыты в ф Я5, то сумма ф Z5, будучи
Ггпространством, является нормальным пространством. I
Легко видеть, что свойства «вес ^ш» и «плотность
оба т-аддитивны при ш^ Ко, однако не являются аддитивными
свойствами. Свойство «характер ^ш» аддитивно.
2.2.8. Примеры. Дискретное пространство D(m) есть сумма
одноточечных пространств.
Для любой точки х прямой Зоргенфрея К и любой окрестно-
окрестности U точки х прямая Зоргенфрея может быть представлена как
сумма Х\ ф Х2, где х е Х\ с= f/. В самом деле, в качестве Xi
можно выбрать интервал [х, г), содержащийся в [/, а в каче-
качестве Х% — его дополнение К\Х\. Так как Х\ открыто-замкнуто
в /С, то равенство /С — Х\@ Х% следует из предложения 2.2.4.
Вещественную прямую R нельзя представить как сумму
Xt @ X2 непустых множеств Х\, Хгс=/?. Допустим противное,
т. е. что R=X\ ф Х2 и Х\ф0фХ2. Выберем точки ^elj и
Jt2G Хг; не умаляя общности, можно считать, что Х\<Х2. Мно-
Множество Jfi Л1*ь*2] ограничено; пусть х0 — его наименьшая верх-
верхняя грань. Так как Х\ замкнуто, то хо^Х\, откуда xQ < x2. Так
как Х\ открыто, то существует такое г > 0, что (х0 — е, хо +
+ 8)cXi, и мы имеем Х\ fl(xo, х%)Ф 0 вопреки определению
наименьшей верхней грани. 1
ИСТОРИЧЕСКИЕ И БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Суммы топологических пространств впервые появились в ра-
работе Титце [1923]. Теоремы относительно этой операции обычно
весьма просты и принадлежат топологическому фольклору. Тем
не менее применение операции суммы иногда упрощает доказа-
доказательства и описание примеров.

126 ГЛ. 2. ОПЕРАЦИИ НА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ
УПРАЖНЕНИЯ
2.2.А. Покажите, что никакой непрерывный образ веществен-
вещественной прямой не может быть представлен как сумма Х\ © Х2
с Х\ Ф 0 ф Х2. Как усилить это утверждение?
2.2.В. Покажите, что свойство быть дискретным простран-
пространством есть аддитивное свойство.
2-2.С. Для X-0Xs выразите w(X)9 d(X)9 %{X) и %(х,Х)
S
S
через w (X,), d (Xs), х (Х8), % (х, Xs) и | S |.
2.2.D. (Куратовский [1921]). Пусть Хо, Х\9 ... — подпро-
подпространства прямой Ry определенные следующим образом:
и Xi =
Докажите, что пространства Yx = ( 0Х* J ©D (Ко) и У2 =
= Хо © ^i не гомеоморфны, однако каждое из них можно ото-
отобразить на другое непрерывно и взаимно однозначно.
Указание. При доказательстве того, что Y\ и Уг не гомео-
гомеоморфны, воспользуйтесь упр. 2.2.А.
2.2.Е. (а) Пусть заданы два семейства {X5}ssS и {ys}ees п0~
парно непересекающихся топологических пространств и семей-
семейство отображений {/x}seS, где fs: XS-*YS. Полагая f(x)=fs(x)
для х е Xs, определим отображение f суммы ф15 в сумму
ф Ys9 которое назовем суммой отображений {fs}8SS и обозначим
0f, или fie/я© ... ©/*, если 5 ={1,2, .... k).
Проверьте, что / непрерывно и что / замкнуто (открыто, яв-
является гомеоморфным вложением) в том и только том случае,
если все отображения fs замкнуты (открыты, являются гомео-
морфными вложениями).
(Ь) Пусть заданы семейство {^s}ses попаРно непересекаю-
непересекающихся топологических пространств и семейство отображений
ifs)s&s> где fs: Xs-*~Y. Сформулируйте условия, при которых
комбинация V fs: Ш L-^У является замкнутым или откры-
тым отображением (ср. с предложением 2.1.15).
2.2.F. Покажите, что пространство X гомеоморфно сумме
®JS в том и только том случае, если существует семейство
отображений {i'5}ssS, где is: X$-+X, удовлетворяющее следую-
следующим условиям:
A) для всякого пространства У и пары f, g непрерывных
отображений X в У если fis = gis при любом s е 5, то f = g;

2.3. ПРОИЗВЕДЕНИЯ 127
B) для всякого пространства Y и семейства отображений
{fs}SGSy где fs: XS^>Y, существует такое отображение /: X-+Y,
что fis = fs при любом sgS.
2.3. ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Пусть {Zs}5eS — семейство топологических пространств. Рас-
Рассмотрим (декартово) произведение X = Ylxs множеств {^sLeo
и семейство отображений {p8}seS9 где ps соотносит точке
х = {х$} ^ YJ_XS ее 5-ю координату xs e Xs. Множество
-^= U.XS с топологией, порожденной семейством отображений
{Ps}seS> называется (декартовым) произведением пространств
{Is}sgS, а сама топология называется тихоновской топологией
на II^V» отображения ps: TJiX8->Xa называются проекциями,
s^ S s^S
Для любого семейства {^s}seS топологических пространств
символом XI Х8 мы будем далее обозначать не множество —
s&S
декартово произведение множеств {XJseS, а топологическое
пространство, снабженное тихоновской топологией. Произведе-
Произведение конечного семейства пространств №}f=1 обозначается также
через Х\ X Х2 X ... X Xk. Если Xs = X для любого s e S, то
произведение Ц Х5 обозначают также через Хш, где m=|S|.
Легко проверить, что пространство Хт не зависит (с точностью
до гомеоморфизма) от множества 5, а зависит только от его
мощности ш. Произведение Хт называется ш-й степенью про-
пространства Х\ произведение XX X называют также квадратом
пространства X.
2.3.1. Предложение. Семейство всех множеств XI И^
открытое подмножество пространства Xs и WS?*XS только для
конечного множества s e S, образует базу произведения Ц Xs.
Более того, если для каждого s e S фиксирована некоторая
база Ms пространства Xs, то подсемейство, состоящее из тех
XX В^я, в которых Ws e ^ яри Ws ?= ^s, также образует базу.
*5
5
Доказательство. В силу 1.4.8, семейство всех множеств вида
П Ps",1 fB^i)i гДе 5i, 52, ..., sk^S и W; открыто в Х8„ является

128 ГЛ. 2, ОПЕРАЦИИ НА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ
базой пространства Ц Xs. Следовательно, для доказательства
первой части предложения достаточно заметить, что
= П W.. где WS = XS при
S G: о
и что
Вторая часть есть непосредственное следствие первой части и
определения базы. 1
База пространства Ц Xs, описанная в первой части приве-
приведенного выше предложения, называется канонической базой
произведения.
Очевидно, что семейство всех множеств Ц Ws, где Ws —
открытое подмножество пространства Xs и WS=^XS только для
одного 5 е S, является предбазой произведения Ц Х$*
2.3.2. Предложение. Если {Xa}seS — семейство топологических
пространств и As — подпространство пространства XSy seS, to
две топологии, определенные на множестве А = П А$, а имен-
но топология произведения подпространств {As}Sf-s и топология
подпространства произведения XI Xs, совпадают.
Доказательство. Можно считать, что А5ф0 для каждого
sgS. Так как сужения ps\ A: A->AS проекций ps непрерывны,
то топология подпространства на А тоньше, чем топология про-
произведения (в силу определения последнего). Любое открытое
множество подпространства А есть пересечение А с объедине-
объединением семейства элементов канонической базы пространства
Ц Xs, т е. объединение пересечений А с элементами этого се-
se S
мейства. Так как каждое такое пересечение есть элемент кано-
канонической базы для Ц As> то топология произведения на А
тоньше, чем топология подпространства. I
2.3.3. Предложение. Для каждого семейства множеств {As}ssS>
где Ascz Xs, в произведении XX Xs имеет место соотношение
s<=S
vU 11 лв~
Доказательство. Из 1.1.1 следует, что jce ЦЛ5 в том в

2.3. ПРОИЗВЕДЕНИЯ 129
только том случае» если для каждого элемента Ц Ws канони-
ческой базы пространства Ц Xs, содержащего х, мы имеем
П Wa(\
seS seS seS
т. е. если для каждого s e S и любой окрестности Ws s-й коорди-
координаты точки х мы имеем W$ fl As Ф0. Последнее условие выпол-
выполняется тогда и только тогда, когда х € JJ
2.3.4. Следствие. Множество Ц Л„ где 0=5^i4scXs, замкнуто
ss=S
в произведении И Х3 тогда и только тогда, когда As замкнуто
s&S
в Xs для каждого s e 5.
Доказательство. Из предложения следует, что если все As
замкнуты, то П As также замкнуто. Обратно, если Ц As за-
s e S seS
мкнуто, то П Л5= XI As= T\_AS, и так как множества Л5 не
пусты, то As =AS для каждого se S. I
2.3.5. Следствие. Множество Ц Л5, где Л5 с: ^s =#= 0, всюду
плотно в произведении TL Xa в том и только том случае, если
S
S
As всюду плотно в Xs для каждого s gS. I
Отметим, что так как не каждое подмножество простран-
пространства Ц Xs допускает представление в виде Ц А$> то тихонов-
екая топология на произведении Ц Xs не может быть задана
оператором замыкания, определенным формулой A).
Из предложения 1.4.9 непосредственно вытекает
2.3.6. Предложение. Отображение f топологического про-
пространства X в произведение Ц Ys непрерывно тогда и только
тогда, когда композиция psf непрерывна для каждого seS, ¦
2.3.7. Предложение. Пусть {X3}S€BS — семейство топологических
пространств. Если S= [} Sit где S*f]S*' = 0 для гфУ, то
t €=Г
пространства Ц Х3 и П ( П Х8Л гомеоморфны, т. е. декар*
S€=S ti~T\$€SSt )
тово произведение ассоциативно.
^Доказательство. Поставим в соответствие точке x = {xs}&
точку f <*)«{*,}€= П f П Xs)f где xt = {xs}&
9 Зак. 697

130 ГЛ. 2. ОПЕРАЦИИ НА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ
^ II Xs. Определенное таким способом отображение f взаим-
но однозначно отображает пространство Ц Х5 на Ц ( Ц ХЛ .
Применяя 2.3.6, легко убедиться, что отображения f и /-1 не-
непрерывны. ¦
Отметим, что из последнего предложения следует, что про-
пространства (Хт) и Хт гомеоморфны для любого пространства
X и любого кардинального числа щ ^ No.
2.3.8. Предложение. Пусть {XS}SGS— семейство топологических
пространств и ф — взаимно однозначное отображение S на себя.
Тогда пространства Ц Xs и П Xq>{s) гомеоморфны, г. е. де-
s eS seS
картово произведение коммутативно. 1
2.3.9. Примеры. Пусть п — положительное целое число; про-
пространство Rn— произведение п экземпляров вещественной пря-
прямой— называется евклидовым п-мерным пространством. Про-
Пространство 1п — произведение п экземпляров замкнутого единич-
единичного отрезка — называется единичным п-мерным кубом. Если
m > л, то подпространство пространства Rm, состоящее из всех
точек, у которых последние m — п координат равны нулю, го-
меоморфно пространству Rn, т. е. Rn вложимо в Rm при m > п.
Подпространство пространства Rn+l, состоящее из всех точек
(хи Х2, ..., **и). таких, что х\ + х\ + ... + х%+1 = 1, называет-
называется единичной п-мерной сферой и обозначается Srt. Заменяя знак
равенства на ^ в определении (п—1)-мерной сферы, мы по-
получим подмножество пространства Rn, которое называется еди-
единичным п-мерным шаром и обозначается Вп. Одномерная сфера
S1 — это окружность, а произведение S1 X 51 — тор. 1
Для каждого непустого множества П^с П X* имеем
S 5
( ) = WSu, так что проекции ps: П Xs-+Xs — откры-
тые отображения. Приводимый ниже пример показывает, что,
вообще говоря, проекции не являются замкнутыми отображе-
отображениями (ср. с теоремой 3.1.16).
2.3.10. Пример. Проекция р: R2^~R плоскости R2 на ось х не
замкнута. В самом деле, множество F = {(x,y)^ R2: л#=1}
замкнуто в /?2, а его образ p(F) = R\{0} не замкнут в R. 1
Пусть заданы два семейства {Xs}seS и {Y8}se$ топологиче-
топологических пространств и семейство отображений {fe},eSt где fs:
Xs ->- У5. В силу предложения 2.3.6, отображение, переводящее
точку x = {xs}^ II Xs в точку {fs{xs)}€B П Ys, непрерывно.

2.3. ПРОИЗВЕДЕНИЯ 131
Оно называется декартовым произведением отображений
{f«h6? и обозначается П fs или /1Х/2Х ... Xfk, если
ssS
5 ={1,2, ..., k}. Отметим, что для декартова произведения
f = П fs имеют место соотношения
/ШлО-П/.М.) и г1(ПвЛ=Т[^(в3),
где fs: Xs -»¦ У5> Л8с15иВ5с У$.
Пусть заданы топологическое пространство X, семейство
{Ув}ве5 топологических пространств и семейство отображений
{fs}8&s* где fs: x^*Ys. В силу предложения 2.3.6, отображение,
переводящее точку хеХв точку {fs(x)}^ Ц У5, непрерывно.
Это отображение называется диагональю отображений {fs}SGS
(или диагональным отображением) и обозначается Д /5 или
fi A f2 А ... A /fe, если S ={1,2, ..., ?}. Отметим, что для диа-
диагонали f = A fs имеют место соотношения
/И)с=П/.(Л) и г' Г П А) = П П1 (Bs),
где fa: X^- Ys,AciXhBscz Ys.
Отметим также, что диагональ Д fs есть композиция диа-
гонали /= A idx : Х-+ TIXS, где XS = X для seS,H произ-
ведения Д /,: П^.-* П К.. Образ А = /A)сХ"=П ^,.
где nt = |S|, называется диагональю произведения Xm. Из 1.5.4
следует, что если X — хаусдорфово пространство, то диагональ
А= П {#<= Д xs: pS' (x) = ps// (jc)\ замкнута в Jfm.
s'» s^eS I seS i
Мы говорим, что некоторое топологическое свойство 0* муль-
мультипликативно {^-мультипликативно, конечно мультипликатив-
мультипликативно), если для любого семейства {^}5е5 (такого, что |5|<ш,
|5|< Ко) пространств со свойством 0* их произведение Ц Xs
также обладает свойством ^.
2.3.11. Теорема. Произведение Т(-пространств всегда есть Т{-про-
Т{-пространство при f^3—. Если произведение Ц Xs есть непустое
SGZS
Ti-пространство, то все Xs также являются 1(-пространствами
при i ^ 6.
9*

132 ГЛ. 2. ОПЕРАЦИИ НА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ
Доказательство, Для Грпространств теорема непосредствен-
непосредственно следует из 2.3.4. Доказательства мультипликативности Г«-про-
странств в случае i = 0, 2, 3 и 3-^- подобны друг другу, В ка-
качестве примера докажем, что произведение тихоновских про-
пространств {Xs}Sf-s есть тихоновское пространство. В силу пред-
предложения 1.5.8, достаточно показать, что для каждой точки
х= {xs} е П Xs и каждой ее окрестности V вида p~l (WSu), где
S G S
W^ — некоторое открытое подмножество пространства XSo,
существует непрерывная функция /: Ц Jfs->/, такая, что f(x) —
S
=0 и f(y)=l для у е И X8\V. Легко установить, что компо-
5
5
зиция fopSo, где f0: XS<>->I удовлетворяет условиям/о(#а) —0 и
fo (JTeto\Wrtfe) <= {1}, обладает требуемыми свойствами.
Рассмотрим теперь произведение XI Xs непустых пространств
S
Se=s* Выберем по точке x*s<^Xs для каждого sgSh поло-
положим по определению X*So= Ц A8t где -4s = {a:*} при s=?^s0 и
Л5о = Х5о. Очевидно, что сужение iSu = PsAX^->Xst есть гомео-
гомеоморфизм, и поэтому XSo вложимо в произведение Ц Xs. Более
ssS
того, если произведение Ц Xs есть ^-пространство, /^1, то
Xlu — его замкнутое подпространство и JC5o вложимо в Ц Xs
s sS
как замкнутое подпространство. В силу теоремы 2.1.6, отсюда
следует, что если П Xs — непустое ^-пространство, то все Xs
s<=S
являются ^-пространствами. I
Теперь мы приведем примеры, показывающие, что нормаль-
нормальность, наследственная нормальность и совершенная нормаль-
нормальность не являются конечно мультипликативными.
2.3.12. Пример. В примере 1.5.17 мы доказали, что прямая Зор-
генфрея К является нормальным пространством. Затем мы об-
обнаружили, что К совершенно нормально, а значит, и наслед-
наследственно нормально. Оказывается, декартов квадрат КУ^К не
является нормальным пространством. В самом деле, К^КК со-
содержит замкнутое подмножество, гомеоморфное пространству
Z)(c), а именно множество {(#,у): у = —х}, и счетное всюду
плотное подмножество — множество, состоящее из всех точек
КУ^К, обе координаты которых — рациональные числа. Рассуж-
Рассуждая так же, как в примере 1.5.9 или 2.1.10, мы заключаем, что
/СХ К не является нормальным.

2.3. ПРОИЗВЕДЕНИЯ 133
Заметим, что существуют совершенно нормальные простран-
пространства, квадрат которых — нормальное, но не наследственно нор-
нормальное пространство (см. упр. ЗЛО.С(с)). В примере 2.3.36, ко-
который мы приведем ниже, определяются два наследственно нор-
нормальных пространства с нормальным, но не наследственно нор-
нормальным произведением. Дальнейшая информация о нормаль-
нормальности произведений содержится в задачах 2.7.15 и 2.7.16. Спе-
Специального упоминания заслуживает тот факт, что iV*1 не яв-
является нормальным (см. упр. 3.1.Н(а)). I
2.3.13. Теорема. Если w(Xs)^m^ Ко для каждого smS и
|S|<m, то т(Цхж)^т.
Подобным же образом, если х№Хш^К0 для каждого
s&Su |S|<m, то П
Доказательство. Первая часть следует из предложения 2.3.1,
где в качестве $s можно взять любую базу пространства Xs, та-
такую, что |^|^т.
Доказательство второй части предоставляется читателю. 1
2.3.14. Следствие. Первая и вторая аксиомы счетности являются
^-мультипликативными свойствами. 1
2.3.15. Теорема Хьюитта — Марчевского — Пондицери. Если
^m S* Ко для каждого s^S и |5|<2т, то d П
Доказательство. Предположим, что пространства Xs непусты
и что |5| = 2т. Пусть А$ — всюду плотное подпространство про-
пространства XSy такое, что |Л5|^ш. В силу 2.3.5, достаточно дока-
доказать, что произведение Ц As содержит всюду плотное подмно-
жество мощности ^т. Так как декартово произведение f= Ц f$7
S
s<S
где fs — произвольное отображение дискретного пространства
D(m) на As> является непрерывным отображением пространства
D (ш)]21П на Ц А?> т0> в СИЛУ теоремы 1.4.10, доказательство
сводится к проверке того, что d([D (m)]2m) ^ tn.
Обозначим через Т m-ю степень двухточечного дискретного
пространства; тогда |Г|=2т и w(T)^m. Пусть $ — база про-
пространства Г, такая, что l^j^m, и пусть &~ — совокупность всех
конечных семейств {f/i, G2, ..., Uk} попарно непересекающихся
элементов базы ^. Очевидно, что |^"| ^ т.
В произведении [D (т)]2™ = Ц Yt, где Yt = D (m) для лю-
бого /еГ, выберем множество Л, состоящее из всех функций

134 ГЛ. 2. ОПЕРАЦИИ НА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ
f из Т в D(m), таких, что существует семейство {Uu &2> • -
..., Uk}^&~ со свойством: f постоянна на каждом множестве
Ui и на множестве T\(Ui[}U2\] ... lit/*). Так как |#"|<т,
то и |Л|^т.
Мы покажем, что множество А всюду плотно в [D(m)]2
т. е. для каждого непустого открытого множества V
пересечение A f| V непусто. Выберем точки tu t2, ...,
и ?U О()
m)]2 >
Г
иФ1} при i?*U и точки уи У2у .... ^еО(ш), такие, что
К
Л
Л Р*~1 {&*) с ^" ^ак как ^ — хаусдорфово пространство, то суще-
существует такое семейство {U\9 (/2, ...» Uk}^&~, что ti^Ut для
i = 1, 2, ..., &. Функция / из Т в Z)(m), определенная формулой
^ при *<=?/*, /= 1, 2, ... , k,
ух при <e7\(t/iU?/2U •-. Ut/*),
принадлежит обоим множествам Л и У, т. е. Л (] V Ф0. 1
2.3.16. Следствие. Сепарабельность является с-мультипликатив-
ним свойством. I
2.3.17. Теорема. Если d(Xs) ^ m ^ Ко для каждого s^S, то лю-
любое семейство попарно непересекающихся непустых открытых
подмножеств произведения Ц Xs имеет мощность =^т.
seS
Доказательство. Пусть {Ut}t(=T— семейство попарно непере-
непересекающихся непустых открытых подмножеств пространства
Ц Xs. Без ограничения общности можно считать, что {Ut}tf_T
состоит из элементов канонической базы пространства JI Xs,
smS
т. е. для каждого ieT существуют конечное множество StczS
и семейство {wt}SG.s, где Wl— открытое подмножество про-
пространства XSt причем Wfs= Xs при s ф St, такие, что Ut= Ц Wfs.
Выберем теперь произвольное подмножество Го cz T> удовлет-
удовлетворяющее соотношению |Г0К2т. Множество So= U $t так"
же имеет мощность ^2т. Поэтому, в силу теоремы Хьюитта —
Марчевского — Пондицери, произведение Ц Xs содержит всюду
плотное подмножество А мощности ^щ. Далее, семейство
| П Wl\ состоит из непустых открытых подмножеств про-
странства П Xs. Так как Ut= П ^tX П ^для каждого
S 5 5\S

2.3. ПРОИЗВЕДЕНИЯ 135
t е Го, то элементы семейства ( П Ws\ попарно не пере-
Ws\
5о )<
секаются, а так как каждый элемент этого семейства содержит
некоторый элемент множества Л, то |Г0|^|Л|^т. Таким об-
образом, мы доказали, что каждое множество Г0<=Г, такое, что
|Г0|:<2т, удовлетворяет соотношению |Г0|=^т. Отсюда в свою
очередь следует, что | Т | ^ ш. 1
2.3.18. Следствие. В произведении сепарабельных пространств
любое семейство попарно непересекающихся непустых откры-
открытых множеств счетно, I
Заметим, что (в противоположность условиям теоремы 2.3.17)
ограничение числа сомножителей в теореме Хьюитта —Марчев-
ского — Пондицери существенно (см. первую часть теоремы
1.5.3 и упр. 2.3.G).
Рассмотрим теперь вложения топологических пространств в
декартовы произведения. Начнем с двух определений и важной
технической теоремы, называемой теоремой о диагональном
отображении. Пусть X — топологическое пространство, {^J5ss —
семейство топологических пространств и #" = {fs}5eS — семей-
семейство отображений fs: X-+Ys. Говорят, что семейство (Г разде-
разделяет точки, если для каждой пары различных точек xr j/el
существует такое отображение /5е^", что fs(x)^fs(y). Если
для каждой точки х^Х и каждого замкнутого множества
F а X, не содержащего х> существует такое отображение fs ^ 9Г%
что fs (x) ф fs (F) у то говорят, что семейство ff* разделяет точки и
замкнутые множества. Заметим, что если X есть Го-простран-
Го-пространство, то каждое семейство &~, разделяющее точки и замкнутые
множества, разделяет и точки. В самом деле, если хФу, то су-
существует открытое множество U, содержащее ровно одну из этих
точек. Обозначим через z ту из двух точек ху у, которая не
принадлежит замкнутому множеству F=X\U. Тогда fs{z)$i
fs (F) для некоторого fs^!F, а это и означает, что fs (х) Ф
2.3.19. Лемма. Если отображение f: X-^Y взаимно однозначно
и одноэлементное семейство {/} разделяет точки и замкнутые
множества, то f — гомеоморфное вложение.
Доказательство. Достаточно показать, что для каждого зам-
замкнутого множества FaX имеет место соотношение
Если y = f(x)<=f(X)\f(F)t то x<?F и y = f(x)&f(F). Следо-
Следовательно, правая часть соотношения B) содержится в его левой
части. Обратное включение очевидно. 1

136 ГЛ. 2. ОПЕРАЦИИ НА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ
2.3.20. Теорема о диагональном отображении. Если семейство
#" = {/5}s€=s»/s: X-+Ys, разделяет точки, то диагональ /= Л fs:
S €5 5
Jf-> JX Ys есть инъективное отображение. Если, сверх того,
семейство 2F разделяет точки и замкнутые множества, то f —
гомеоморфное вложение,
В частности, если существует такое s&S, что fs — гомео-
морфное вложение, то f — гомеоморфное вложение.
Доказательство. Если семейство &* разделяет точки, то для
каждой пары различных точек xf у е X существует такое fs е ЯГ,
что fs(x)^=fs(y)> Таким образом, f(x)^f{y), a это и означает,
что f — инъективное отображение.
Если семейство $Г разделяет точки и замкнутые множества,
то семейство {f} также обладает этим свойством, ибо если
f(x)^fjF) для некоторого F = Fc:X, то fs(x) = psf{x)&
еps(f{F))с psf{F) = fs(F) для каждого seS. Для завершения
доказательства остается применить лемму 2.3.19. 1
2.3.21. Следствие. Если Xs — X для каждого s^S, то диагональ
i = Л id* : X -> П Xs есть гомеоморфное вложение.
s ^ S S s<=S
Следовательно, диагональ А произведения Хт гомеоморфна про-
пространству X. 1
Под графиком отображения f пространства X в У понимают
подмножество произведения X X Y, определенное формулой
2.3.22. Следствие. Для каждого непрерывного отображения
f: X-+Y график G(f) есть образ пространства X при гомеоморф-
ном вложении idxAf: X-+Xy(Y. Сужение p\G(f) проекции
р: Xy^Y^-X есть гомеоморфизм. Если Y — хаусдорфово про-
пространство, то G (/) — замкнутое подмножество пространства
XXY.
Доказательство. Первая часть следствия очевидна. Вторая
часть вытекает из того, что сужение p\G(f) есть обратное ото-
отображение к гомеоморфизму (id* A f)|A. Третья часть вытекает
из равенства G (f) = (/ X idr) —х (А), где А — диагональ простран-
пространства УХ^} и замкнутости А в пространстве УX Y. 1
Мы говорим, что пространство X является универсальным
для всех пространств, обладающих данным топологическим свой-
свойством 0>, если X обладает свойством 9> и каждое пространство,
обладающее этим свойством, вложимо в X.
Подчеркнем тот факт, что теоремы существования универ-
универсальных пространств весьма интересны и полезны. В самом
деле, они позволяют свести изучение класса пространств со свой-

2.3. ПРОИЗВЕДЕНИЯ 137
ством 3* к изучению подпространств некоторого фиксированного
топологического пространства (ср., однако, с упр. 2,3.1). Это есть
следствие того, что (как объяснялось в конце § 1.4) мы не раз-
различаем гомеоморфные между собой пространства.
Тихоновский куб веса ш ^ Ко есть пространство /т, т. е. про-
произведение Ц /s, где IS = I для каждого seS и |S| = m. Ти-
хоновский куб /к° называется гильбертовым кубом. Отметим,
что если n^m, то куб /п вложим в /т.
2.3.23. Теорема. Тихоновский куб 1Ш является универсальным для
всех тихоновских пространств веса ш ^ fc*0.
Доказательство. В § 1.5 мы установили, что замкнутый еди-
единичный интервал / является тихоновским пространством; следо-
следовательно, в силу теоремы 2.3*11, куб /т также является тихонов-
тихоновским пространством. Из теоремы 2.3.13 следует, что ад(/т)^т.
Теперь покажем, что каждое тихоновское пространство X
веса щ вложимо в /т. Так как дискретное пространство D(m) яв-
является тихоновским пространством веса т, то из этого следует,
в частности, что w(lm)^m, и это завершает доказательство
равенства w(lm) = nt.
Так как X — тихоновское пространство, то семейство всех
функционально открытых множеств является базой пространства
л. Из теоремы 1.1.15 вытекает, что существует такая база
{(/s}seS пространства X, состоящая из функционально открытых
множеств, что |S| = m. Для каждого seS рассмотрим непре-
непрерывное отображение /; X-+I, такое, что Us = f7l((O, 1]). Семей-
Семейство F = {/s}S6=5 разделяет точки и замкнутые множества. Так
как X есть Го-пространство, то из теоремы о диагональном ото-
отображении вытекает, что диагональ Л fs есть гомеоморфное вло-
жение пространства X в /т»
Начиная с этого места мы будем обозначать двухточечное
дискретное пространство DB) просто через D и будем отождеств-
отождествлять его с подпространством {0,1} вещественной прямой.
Канторов куб веса ш^ Ко — это пространство Z)ra, т. е. про-
произведение И Ds, где Ds = D для каждого seSn | S | = ш. Кан-
торов куб /)**° называется канторовьш множеством. Из приведен-
приведенной ниже теоремы 2.3.24 следует, что вес пространства ?>т ра-
равен т. В § 6,2 мы покажем, что канторов куб Dm также является
универсальным пространством для всех нульмерных пространств
веса m ^ Ко (см. теорему 6.2.16).

138 ГЛ. 2. ОПЕРАЦИИ НА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ
2.3.24. Теорема. Для каждого m ^ «0 « каждого х^Ощ имеет
место равенство %(х, Dm) = m.
Доказательство. Допустим, что%(лг, Dm)<n< m. Обозначим
через 3§{х) базу пространства Dm в точке xt такую, что
\3&(х)\^ъ. Так как Dm плотно в себе, то п^ *<0. Для каждого
U^38(x) будем рассматривать содержащуюся в нем окрест-
окрестность (точки х) вида Ц Wst где Ws ф Ds лишь для s, принад-
принадлежащих некоторому конечному подмножеству S(U)c:S. Полу-
Полученное таким путем семейство 3Sq{x) также является базой в
точке х и имеет мощность ^п. Множество 50= U S(U)
имеет мощность ^ п • Ко = ti < m, поэтому существует некото-
некоторое so^S\So. Очевидно, что окрестность р~1р^(х) точки х не
содержит элементов семейства $o(x)t а это означает, что $о(х)
не является базой в точке х. Ш
2.3.25. Следствие. Для каждого m^ fc*o и каждогоjcgT имеет
место равенство % (jc, /m) = т. |
Оказывается, существует универсальное пространство и для
всех Го-пространств веса m^ fc*0. Пусть F — топологическое про-
пространство, определенное в примере 1.2.8, где Х = {0, 1} и xq = 1,
т. е. /7 = {0,1} с топологией, состоящей из пустого множества,
множества {0} и всего пространства. Очевидно, что F является
Го-пространством.
Александровский куб веса т^^о — это пространство Fm»
т. е. произведение Ц Fs, где Fs = F для каждого $ е S и
Пусть U — произвольное открытое подмножество Го-простран-
Го-пространства Х\ определим непрерывное отображение /: X-+F, положив
, м _ ( 0 при х е Uу
Т(Х) \1 при xi=X\U.
Применяя теорему о диагональном отображении, легко доказать
следующую теорему.
2.3.26. Теорема. Александровский куб Fm универсален для всех
То-пространств веса ш ^ &0. Ш
Следующие четыре предложения описывают взаимосвязи
между замкнутостью и открытостью отображений {fs}S€BS> их
произведений Ц fs и их диагонали Д

2.3, ПРОИЗВЕДЕНИЯ 139
2.3.27. Предложение. Пусть произведение f = Ц fS9 где fs:
se=S
Xs-+Ys и Х5Ф0, s^S, замкнуто. Тогда все отображения fs
замкнуты.
Доказательство. Возьмем s0 e S и непустое замкнутое мно-
множество F с: XSo. Множество р~! (F) замкнуто в П Xs, поэтому
замкнут и его образ при отображении f в П Ys. Так как
f (Р;>ЧП)= П А,, где Л„ = /„(Л и As = fs(Xs)nw s^sQ, то
из 2.3.4 следует, что fsAF) замкнуто в У5о. |
2.3.28. Пример. Пусть f\ = idR — тождественное отображение
вещественной прямой на себя и /г — отображение той же пря-
прямой в одноточечное дискретное пространство {0}. Оба отобра-
отображения замкнуты, однако их декартово произведение f\ X h: R2^-
->i?X{0} не является замкнутым (ср. с примером 2.3.10). 1
2.3.29. Предложение. Декартово произведение f = П fs> г$е
/s: Xs~^ Ys и Xs ф 0 для s e 5, открыто в том и только том слу-
случае, если все отображения fs открыты и существует конечное
множество 5ос=5, такое, что /s(^s)== Ys для seS\So-
Доказательство. Из 1.4.14 и равенства / ( Ц Ws\ = XI fs{Ws)
VseS / sgS
следует, что если отображения fs удовлетворяют указанным в
предложении условиям, то отображение / открыто.
Обратно, пусть f — открытое отображение. Возьмем soeS и
непустое открытое множество U с= X . Множество U X П Xs
se5\{so}
непусто и открыто в Ц Xs- поэтому множество pSQf (U X
X П Xs] = fso {U) открыто в У5а, ибо проекция ps, — открытое
S\{} /
отображение. Отсюда следует, что отображение fS9 открыто. Так
как П Х,Ф0, то f ( П ХЛ = П fS {X8) — непустое открытое
подмножество пространства Ц Ys. Поэтому оно содержит
seS
множество вида Ц Wsi где Ws Ф Ys только для s, принадле-
жащих конечному множеству So c= 5. Тогда для 5 е 5\So мы
имеем fs{Xs)= Ys. I
2.3.30. Предложение. Пусть отображения fu f2, ..., fk> где
fr. X-+Yi, замкнуты, и пусть Y\ есть Т^пространство, а У2, Уз»
•.., Yk суть Tz-пространства; тогда диагональ f = f\ A /2 Л ...
•.. A fk замкнута.

140 ГЛ. 2. ОПЕРАЦИИ НА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ
Доказательство. Достаточно показать, что если ft: X-+Yi
замкнуто для 1=1, 2, где Y\ есть ^-пространство, а У2 есть
7Упространство, то f = /i Л f2 замкнуто. Возьмем замкнутое
множество АаХ и точку (yu y2) e Y\ X Y*\f(A). Так как Л П
1Ы1Ы0, то
В силу 1.4.13 и регулярности У2, существует окрестность
точки г/2, удовлетворяющая включению
Поэтому
f
откуда, опять в силу 1.4.13, следует существование такой окре-
окрестности V\ с: Y\ точки уи что
К1 (Vx) <= Х\А П /г G2), т. е. А Л /Г1 (Vi) П /г (F2) = 0.
Последнее равенство показывает, что окрестность V\ X V2 точки
(У\,У2) не пересекается с /(Л), откуда и следует замкнутость
отображения /. 1
2.3.31. Примеры. Для i = 1, 2 пусть /,- — проекция плоскости R2
на i-ю ось. Ни fi, ни f2 н^ являются замкнутыми отображениями
(см. пример 2.3.10), однако диагональ f\Af2 есть тождествен-
тождественное отображение плоскости R2 на себя и потому замкнута. Та-
Таким образом, замкнутость диагонали f\ A f2 не означает замкну-
замкнутости /i и f2.
Покажем теперь, что предложение 2.3.30 нельзя обобщить на
бесконечное множество отображений. Пусть Х = ЛГ и Yi = D =
= {0,1}, 1= 1, 2, ... . Отображения Д: 1->Уг определим, поло-
положив
/ ! при
при />f.
00
Эти отображения замкнуты, однако диагональ/= Д ft: N-
не замкнута. В самом деле, множество f(N) содержит все точки
вида @,0, ..., 0,1,1, ...), но не содержит точку @,0, ...), сле-
следовательно, f{N) не является замкнутым множеством простран-
пространства ?>*Ч Другие примеры, связанные с предложением 2.3.30,
приведены в упр. 2.3.J. I
2.3.32. Предложение. Если диагональ /= Д fs, fs: X->Ysf от-
крыта, то и все отображения fs открыты.
Доказательство. Утверждение следует из равенства fs = psf
и открытости проекций р5. ¦

2.3. ПРОИЗВЕДЕНИЯ 141
2.3.33. Пример. Пусть fx = f2 — id*: R-+R. Образ R при диаго-
диагональном отображении / = f\ A f% не открыт в R2. Таким образом,
диагональ двух открытых отображений, вообще говоря, не яв-
является открытым отображением. В этом примере сужение
f\\R: R-^f(R) есть гомеоморфизм и тем самым открытое ото-
отображение. Читателю предоставляется найти два открытых ото-
отображения f\ и f2 интервала / в себя, таких, что сужение /|/ диа-
диагонали f = /i Л /2 не является открытым. I
Из предложения 2.3.2 вытекает, что декартово произведение
гомеоморфных вложений есть гомеоморфное вложение. Легко
проверить, что если декартово произведение Ц f5, где f5:
Xs-+- Ys и Xs ф 0 для каждого s e 5, есть гомеоморфное вложе-
вложение, то все fs — гомеоморфные вложения. Теорема 2.3.20 дает до-
достаточное условие для того, чтобы диагональ была гомеоморф-
ным вложением. Несколько более изощренное необходимое и до-
достаточное условие содержится в упр. 2.3.D.
2.3.34. Предложение. Направленность Г={^,аЕ2} в произве-
произведении JI Xs сходится к точке х е Ц Xs в том и только том
s<=S s eS
случае, если направленность Г5={р5(ха), сгеЕ} сходится к
ps(x) для каждого s e S.
Доказательство. Если х е lim Г, то, в силу предложения
1.6.6, ps(x)G lim Ts для каждого s ^ S.
Обратно, предположим, что для х е Ц Х3 мы имеем
ps(x)^limTs при каждом s & S. Для каждой окрестности U
точки х существуют такие элементы s\, 52, ..., $k s S и откры-
открытые множества Ui ^XSii /= 1, 2, ... , k, что
* e P? (ид П P7tl (f,) П • • • П p-> (?/4) с t/.
По предположению существуют такие <п, ^2, ..., oa-^S, что
pSi{x0)czUi для любого а ^ <Ti и (=з 1, 2, ..., ft. Так как мно-
множество S направлено, то существует такое (Хо^ 2, что а(* ^ oq,
i == 1, 2, ..., А; для каждого а ^ а0 имеем
^ е р,-1 (с/,) п р-1 та п • • ¦ п рг; та с ^>
и, таким образом, х е lim Г. ¦
Следующее предложение является переложением предыду-
предыдущего на язык фильтров.
2.3.35. Предложение. Если g~ — фильтр в произведении Ц Xs$
s*bS
то для каждого seS семейство 3TS = {ps(F): Fg&~} есть
фильтр в Xs. Фильтр &* сходится к точке x^Y[Xs в том и
S

142 ГЛ. 2. ОПЕРАЦИИ НА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ
только том случае, если фильтр &~s сходится к ps(x) для каж-
каждого s gS, 1
Мы завершим этот параграф двумя важными примерами,
в построении которых решающую роль играют декартовы произ-
произведения.
2.3.36. Пример. Покажем, что нормальность не является наслед-
наследственным свойством (ср. с упр. 2.1 .Е(Ь)). Пусть Х = А(ш) и
Y = A(n)y где No<m<n (см. пример 1.4.20). Пусть, далее, х0
и{/0 — точки накопления соответственно пространств X и У. Про-
Произведение XX У есть нормальное пространство. Это вытекает из
того, что для любой пары непересекающихся замкнутых под-
подмножеств пространства XX У существует открыто-замкнутое
множество V X W d X X У, содержащее точку (xQi у0) и не пе-
пересекающееся по крайней мере с одним из замкнутых множеств,
и из нормальности подпространства ХХУХ^Х^7), которая
в свою очередь вытекает из 2.2.4 и 2.2.7. Заметим, что нормаль-
нормальность пространства XX У следует также из теорем 3.1.9 и 3.2.4,
приведенных ниже (ср. с примером 3.2.7).
Пусть Z = XX У\{(*о, Уо)}. Покажем, что для каждого не-
непрерывного отображения /*. Z-*R существуют такое веществен-
вещественное число r<=R и такие множества Хос=Х\{л;о}> Уо с: У\{{/о}>
что |Х0|^К0 |У[
D) /(*,*/) = г для (x,y)f=Z\Z0,
Для ^еДЦ положим по определению
E) YQ(x) = {y:f(x,y)^f(x,y0)}nY0 = Ц Y0(x)czY\{y0}.
Из свойства подмножества {х}Х У, установленного в примере
1.4.6, следует, что \Уо(х) |^ Ко, и, таким образом, |У0|^т.
Выберем теперь произвольное #е У\{Уо11{уо}} и определим
F) Хо = {х: f {ху у)Ф f (xo, 9)}czX\{x0}.
Снова в силу 1.4.6 получаем |X0|^S0. Пусть теперь
r = f(xo,y). Для любой точки (х, у) е Z\Z0, такой, что хфх0,
имеем, в силу E) и F),
f (х> У) = f (х, Уо) = f(xty)=f (хо, у) = г.
Из того, что множество (Z\Zo)\[{xo}X(y\{#o})] ВСК)ДУ плотно
в пространстве Z\Z0, следует, что если (jco,j/)g2\Zo, to
f(*o, y)=r. Таким образом, доказательство соотношения D) за-
закончено.
Фактически мы доказали, что подпространство ZcIX У не
является нормальным. В самом деле, множества А =(Х\{л:о})Х
Х{#о} и В ={хо}Х(У\{Уо}) не пересекаются и замкнуты в Z.
Так как для каждого множества Zo, определенного в D), мы

2.3. ПРОИЗВЕДЕНИЯ 143
имеем A\Zo Ф 0 ф B\Z0, то из D) же следует, что не су-
существует непрерывной вещественной функции на Z, равной нулю
на Л и единице на В. Ш
Этот пример является шагом на пути построения регуляр-
регулярного пространства, не являющегося вполне регулярным (см. при-
пример 2.4.21). Тот факт, что Z не является нормальным, можно-
установить непосредственно, показав, что множества А и В
нельзя отделить непересекающимися открытыми множествами.
Это же рассуждение можно провести при более общем предполо-
предположении &о ^ ш < и; читателю рекомендуется восполнить детали.
2.3.37. Пример. В § 1.6 мы описали два счетных пространства, не
удовлетворяющих первой аксиоме счетности. Каждое из них
имело характер =^fc*o во всех точках, кроме одной (ср.
с упр. 2.3.Е).
Из 2.3.16 следует, что канторов куб Dc = Ц Ds, где Ds = D
S€=S
для любого sgS и |S| = c, содержит всюду плотное счетное
подпространство X. Мы докажем, что %(xtX)> Ko для каждого
л;е! (отметим, что из теоремы 2.3.34 и упр. 2.1.С (а) полу-
получается даже больше, а именно что %(х,Х) = с). Для этого до-
достаточно показать, что для каждой последовательности U\9 U2, .. ¦
окрестностей точки хеХ существует такая окрестность U czX
точки х, что
G) и!\иФ0 для i = l, 2, ....
Для каждого i=l, 2, ... существуют конечное множество
StczS и семейство {tFl}S€=s непустых подмножеств пространства
Д такие, что Ws^D для s e S\S* и
(8) X П ТТ Wi cz ?/,.
seS
оо
Выберем некоторое soeS\ (J St и рассмотрим окрестность
U = Xflp;*pSt(x) точки л:. Множество (Dc\p~lpSt(x))n ~[[wi не-
пусто и открыто в Dc для 1=1, 2, ... , поэтому, в силу всюду
плотности X в ?>с, имеем (Х\?/)П ПС^Э. что вместе с (8)
дает соотношение G).
ИСТОРИЧЕСКИЕ И БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
По сравнению с другими операциями на топологических про-
пространствах операция произведения приводит к наиболее интерес-
интересным теоремам, примерам и задачам. Декартово произведение

144 ГЛ. 2. ОПЕРАЦИИ НА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ
(конечного числа многообразий) появилось впервые в работе
Штейница [1908]. Фреше [1910] первым рассматривал (конеч-
(конечное) декартово произведение абстрактных пространств. Конеч-
Конечные и счетные произведения метрических пространств принад-
принадлежат к топологическому фольклору 20-х годов. Произведение
произвольного множества топологических пространств было оп-
определено Тихоновым [1930]. Теорему 2.3.15 доказали Пондицери
[1944], Хьюитт [1946], а также (для щ= No) Марчевский [1947].
Следствие 2.3.18 было установлено Марчевским [1947] (при бо-
более сильных предположениях: для пространств со второй аксио-
аксиомой счетности [1941]). Теорема 2.3.17 есть следствие более силь-
сильного результата Шанина, сформулированного здесь в задаче
2.7.11 (Ь). Теорема 2.3.23 была доказана Тихоновым [1930], а
теорема 2.3.26 — Александровым [1936]; связанные с ними ре-
результаты имеются в упр. 2.3.1 и задачах 2.7.7, 2.7.8 и 2.7.18 (Ь).
Пример 2.3.12 был построен Зоргенфреем [1947].
УПРАЖНЕНИЯ
2.З.А. Покажите, что для любых двух семейств{^5}sesH^*Ь<=г
топологических пространств пространства ( ф ХЛ X ( (В YA
и © (ISX Yt) гомеоморфны. Обобщите этот результат на
se5, t<=T
произвольную совокупность семейств топологических про-
пространств.
2.З.В. (а) Проверьте, что для любых ЛсХ и 5сУ в про-
произведении XX Y справедливы соотношения
Int(AXB)=lniAXlntB, Ft(AXB) = (AX1FtB)\j(FvAXB).
(b) Докажите, что если As есть ^-множество (бб-множе-
ство) в Xs для любоп sgSh |5|< «о A51 < Ко), то Ц As
есть Ро-множество (бб-множество) в произведении Ц Xs- За-
метим, что в обоих случаях предположение о мощности S су-
существенно.
(с) Докажите, что если At — каноническое открытое (замкну-
(замкнутое) множество в Xit /=1, 2, ..., k, то А\ХА2Х ... X^k —
каноническое открытое (замкнутое) множество в произведении
Х\ХХ2Х ..• X^ft. Заметим, что предположение о конечности
произведения существенно.
2.З.С. (а) Покажите, что X — хаусдорфово пространство в
том и только том случае, если диагональ А произведения XX X
замкнута в X X X (ср. с упр. 2.4.С (с)).
Проверьте, что диагональ А произведения XX% открыта в

2.3. ПРОИЗВЕДЕНИЯ 145
тогда и только тогда, когда пространство X дискретно
(ср. с упр. 2.4.С (Ь)).
(Ь) Приведите пример разрывной функции f прямой R в себя,
такой, что график G(f)— замкнутое подпространство плоскости
R2 (ср. со следствием 2.3.22 и упр. 3.1.D).
2.3.D. Докажите, что диагональ /= A fs, где fs: X-*YS>
S
является гомеоморфным вложением в том и только том случае,
если семейство {fs}S€=s РазДеляет точки, а семейство {/г)ге^>
где !Г — семейство всех конечных подмножеств множества 5 и
/г= Д fs> разделяет точки и замкнутые множества.
2.З.Е. Пусть X — счетное пространство, не имеющее счетной
базы в точке лс0. Покажите, что подпространство пространства
Х*°> состоящее из всех точек {х$, таких, что Xt = xo для каж-
каждого i, большего некоторого целого /, является счетным и не
имеет счетной базы ни в одной из своих точек.
2.3.F. (а) Докажите, что вес бесконечного произведения
Х= Ц Xs, где w(Xs)> 1, равен большему из двух кардиналь-
ных чисел |5| и sup{ay(Zs)}.
(b) Докажите, что для точки x={xs} бесконечного произ-
произведения Х= IXXs, где Xs есть ^-пространство и |Jfs|> 1, ха-
S
рактер %(xtX) равен большему из двух кардинальных чисел \S\
и sup{x(*s, Xs)}.
S
2.3-G. (Пондицери [1944], Марчевский [1947]). Докажите,
что произведение Х= П^> где Xs является Г2-пространством
S
S
и \Х$\ > 1, не сепарабельно, если \S\ > с.
2.3. Н. Покажите, что пространство X гомеоморфно произве-
произведению П Х$ в том и только том случае, если существует семей-
S
ство отображений {/?5}ssS, где ps: X-*~XS, удовлетворяющее сле-
следующим условиям:
A) Для любого пространства Y и пары ft g: Y-+X непре-
непрерывных отображений если psf == psg для каждого s e S, то
B) Для любого пространства У и любого семейства отобра-
отображений {fs}s&$9 где fs: Y-^XSt существует такое отображение
f: Y -> X, что psf = fs для каждого s e 5.
2.3.1. Пусть ? — топологическое пространство, определенное
в примере 1.2.10, где Х = {0, 1,2} и Хо=={0}, т. е. пусть ? =
= {0,1,2} с топологией, состоящей из пустого множества, мно-
Ю Зак. 697

146 ГЛ. 2. ОПЕРАЦИИ НА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ
жества 0 и всего пространства. Покажите, что пространство Еш
универсально для всех топологических пространств веса щ ^ So*
2.3J. (а) Пусть X — тихоновское пространство, не являю-
являющееся нормальным, и пусть Л, В — два непересекающихся
замкнутых подмножества пространства Ху которые нельзя отде-
отделить непересекающимися открытыми множествами. Обозначим
через Х\ и Х2 пространства, полученные из X отождествлением
соответственно Л и В в точку (см. примеры 1.4.17 и 2.4.12). Пусть
ft — естественное отображение X на Xlt i = 1, 2. Установите, что
Х\ и Х% суть Г2-пространства и что f\ и /2— замкнутые отобра-
отображения, но диагональ f\ A f2 не является замкнутой. Убедитесь,
что даже для k = 2 предположение о регулярности в предложе-
предложении 2.3.30 нельзя ослабить до предположения о том, что У2, Уз, ...
..., Yk — хаусдорфовы пространства.
(b) Пусть y1=F={0,1} с топологией, состоящей из пу-
пустого множества, множества {0} и всего пространства, и пусть
У2 = Л(К0) с единственной точкой накопления */0- Положим
Х = У!ХУ2\{@, уо)} и fi = pc\X: X-+Yh где р,— проекция
пространства Y\ X У2 на У*, i = 1, 2. Проверьте, что оба отобра-
отображения f\ и f2 замкнуты, однако диагональ fi А /2 не замкнута.
Установите, что условие в предложении 2.3.30 о том, что Y\
есть ^-пространство, нельзя ослабить до условия, что Y\ есть
Го-пространство.
(c) Видоизменяя пример из (а), определите замкнутые ото-
отображения f\ и f2 тихоновского пространства X соответственно
в хаусдорфовы пространства У! и У2 таким образом, чтобы су-
сужение f\X: X-*f(X) диагонали / = /iAf2 не было замкнутым.
Аналогично видоизмените (Ь) и вторую часть 2.3.31.
2.3.К (Франклин [1965] и [1967]). (а) Установите, что про-
произведение ХУ^Х, где X есть пространство Фреше — Урысона из
упр. 1.6.Е, не является секвенциальным пространством (ср.
с упр. 2.4.G (с) и 3.10.1 (Ь)).
Указание. Примените упражнение 2.3.С (а).
(Ь) Проверьте, что произведение X X У, где 1=/и У есть
пространство Фреше — Урысона из примера 1.6.18, не является
пространством Фреше — Урысона (из упр. 3.10.1 (Ь) следует,
что это произведение является секвенциальным пространством).
2.3.L. (а) Покажите, что если некоторое топологическое свой-
свойство & наследственно по отношению к открытым и замкнутым
множествам и счетно мультипликативно, то в классе хаусдор-
фовых пространств свойство 9* наследуется Gg-множествами.
(Ь) (Ван дер Слот [1966]). Покажите, что если некоторое
топологическое свойство 9* наследственно по отношению к замк-
замкнутым и открытым множествам и мультипликативно, то, когда
замкнутый интервал / обладает свойством #*, им обладают и все
тихоновские пространства.

2.4. ФАКТОРПРОСТРАНСТВА И ФАКТОРНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 147
2.4. ФАКТОРПРОСТРАНСТВА
И ФАКТОРНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Пусть X — топологическое пространство и Е — некоторое от-
отношение эквивалентности на множестве X. Обозначим через
Х/Е множество всех классов эквивалентности отношения Е, а
через q— отображение множества X на Х/Еу ставящее в соот-
соответствие каждой точке х^Х ее класс эквивалентности [х]е
g!/?. В поисках хорошей топологии на Х/Е резонно потре-
потребовать, чтобы отображение q было непрерывным. В классе всех
топологий на Х/Е, относительно которых q непрерывно, суще-
существует самая тонкая: это семейство всех множеств U, таких, что
q~l(U) открыто в X. Эта топология называется фактортополо-
гией, множество Х/Е, снабженное этой топологией, называется
факторпространством, a q: X-+X/E — естественным факторным
отображением или, коротко, естественным отображением.
2.4.1. Предложение. Множество F в факторпространстве Х/Е
замкнуто тогда и только тогда, когда q~l (F) — замкнутое под-
подмножество пространства X.
Доказательство. Предложение следует из равенства
2.4.2. Предложение. Отображение f факторпространства Х/Е в
топологическое пространство Y непрерывно тогда и только тогда,
когда непрерывна композиция fq.
Доказательство. Пусть f непрерывно; тогда fq также непре-
непрерывно. Обратно, пусть fq непрерывно; тогда для каждого от-
открытого множества U с= У множество (fq)-l(U) — q~lf~l{U) от-
открыто в X, а это означает, что f-l(U) открыто в Х/Е. I
Пусть X и Y — топологические пространства и f — непрерыв-
непрерывное отображение X на Y. Рассмотрим отношение эквивалентности
E(f) на множестве Ху определенное разложением {f~x(y)}y&Y
пространства X на прообразы одноточечных подмножеств У при
отображении f. Отображение /: Х->-У можно представить как
композицию fq, где q: X-+X/E(f) — естественное отображение,
a f — отображение факторпространства X/E(f) на У, заданное
формулой f(f~l(y)) = у. Отображение f непрерывно в силу
2.4.2. Следующая диаграмма наглядно иллюстрирует сказанное:
X 1 **y
X/E(f)
10*

148 ГЛ. 2. ОПЕРАЦИИ НА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ
Очевидно, что f — взаимно однозначное непрерывное отображе-
отображение пространства X/EQ) на У, но, вообще говоря, не гомеомор-
гомеоморфизм. В самом деле, если / — взаимно однозначное отображение
дискретного пространства Х = ?>(с) на интервал У = /, то фак-
торпространство X/E(f) также дискретно, поэтому f не является
гомеоморфизмом. Теперь попытаемся изучить класс всех таких
отображений /, что ] — гомеоморфизм. Оказывается, эти отобра-
отображения порождают совместное обобщение замкнутых и открытых
отображений (среди отображений «на»).
Непрерывное отображение f: Х-> У пространства X на У на-
называется факторным отображением (или факторотображением),
если оно есть композиция естественного отображения и некото-
некоторого гомеоморфизма, т. е. если существуют такое отношение
эквивалентности Е на множестве X и такой гомеоморфизм
/': X/E-+Y, что f — f'q, где q: X-+X/E — естественное отобра-
отображение.
2.4.3. Предложение. Для отображения f топологического про-
пространства X на топологическое пространство У следующие усло-
условия равносильны:
(i) Отображение f есть факторотображение.
(и) Множество f~l{U) открыто в X тогда и только тогда,
когда U открыто в У.
(iii) Множество f~l(F) замкнуто в X тогда и только тогда,
когда F замкнуто в У.
(iv) Отображение f: X/E(f)-> У есть гомеоморфизм.
Доказательство. Пусть f — факторотображение, т. е. f = f'q,
где /': X/E-+Y— гомеоморфизм, a q: X-+X/E — естественное
отображение. По определению фактортопологии множество
/-1 ([)) = <pi(f')~l(U) открыто в X тогда и только тогда, когда
(^)-!({/) открыто в Х/Е\ так как f — гомеоморфизм, то послед-
последнее утверждение имеет место тогда и только тогда, когда U от-
открыто в У. Итак, мы доказали, что (i) =>* (ii).
Импликация (ii)=^(iii) следует непосредственно из равенства
fi(F) X\f*(Y\F)
f() f()
Пусть теперь f удовлетворяет условию (iii). Так как отобра-
отображение f: X/E(f)-+ У взаимно однозначно, то для доказательства
(iv) достаточно показать (см. предложение 1.4.18), что для
каждого замкнутого FczX/E(f) множество f(F) замкнуто в У.
Но f-l](F)=q~lf-lf{F)=q-l(F) замкнуто в X, поэтому множе-
множество f (F) замкнуто в У в силу (iii).
Импликация (iv)=^(i) очевидна. I
2.4.4. Следствие. Композиция двух факторотображений есть фак-
факторотображение. 1
2.4.5. Следствие. Пусть композиция gf непрерывных отображений

2.4. ФАКТОРПРОСТРАНСТВА И ФАКТОРНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 149
/: X-+Y и g: Y-+Z есть факторотображение; тогда g: Y-+-Z
есть факторотображение.
Доказательство. Очевидно, что g(Y) = Z, ибо (gf) (Х) = Z.
Если прообраз g~l(U) множества V с= Z открыт в У, то
f~l(g-l(U)) — (gf)-l(U) открыто в X, и тогда U открыто в Z,
так как gf — факторотображение. 1
Легко проверить, что если композиция gf есть факторное
отображение, то отображение / (даже если оно есть отображе-
отображение «на») не обязательно является факторным.
2.4.6. Следствие. Если для непрерывного отображения /: X-+Y
существует такое множество AczX, что f(A)=Y и сужение
f\A есть факторотображение, то и f — факторотображение.
Доказательство. Это вытекает из 2.4.5 и равенства f\A =
/4 1
2.4.7. Следствие. Любое взаимно однозначное факторотображе-
факторотображение есть гомеоморфизм. Ш
2.4.8. Следствие. Замкнутые отображения «яа» и открытые ото-
отображения «наъ суть факторотображения.
Доказательство. Если /: Х->У— отображение «на», то
//-I (В) = В для любого В cz У. 1
В связи с последним следствием встает вопрос, каким обра-
образом охарактеризовать те отношения эквивалентности, для кото-
которых естественное факторотображение замкнуто или открыто. На
этот вопрос отвечает следующее предложение.
2.4.9. Предложение. Пусть Е — некоторое отношение эквивалент-
эквивалентности на топологическом пространстве X; тогда следующие усло-
условия равносильны:
(i) Естественное отображение q: X-+X/E замкнуто (от-
(открыто) .
(ii) Для любого замкнутого (открытого) множества AczX
объединение всех пересекающихся с ним классов экви-
эквивалентности замкнуто (открыто) в X.
(Ш) Для любого открытого (замкнутого) множества AczX
объединение всех содержащихся в нем классов эквива-
эквивалентности открыто (замкнуто) в X.
Доказательство. Равносильность (i) и (ii) следует из пред-
ложения 2.4.1 и определения фактортопологии. Равносильность
(ii) и (ш) есть непосредственное следствие законов де Мор-
Моргана. Ш
2.4.10. Следствие. Факторотображение f: X-+Y замкнуто (от-
(открыто) в том и только том случае, если множество f-lf(A)czX
замкнуто (открыто) для любого замкнутого (открытого) АаХ.Ш

150 ГЛ. 2. ОПЕРАЦИИ НА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ
Отношение эквивалентности Е на пространстве X называется
замкнутым (открытым), если замкнуто (открыто) естественное
отображение q: Х-*Х/Е. Условия (и) и (ш) предложения
2.4.9 дают внутреннюю характеристику замкнутых и открытых
отношений эквивалентности. Из условия (И) следует, что клас-
классы эквивалентности замкнутого отношения эквивалентности на
^-пространстве суть замкнутые множества.
Как известно, существует взаимно однозначное соответствие
между отношениями эквивалентности на некотором множестве
и разбиениями этого множества на непересекающиеся подмно-
подмножества. Иногда удобнее сразу пользоваться разбиениями, а не
отношениями эквивалентности. Разбиения, соответствующие
замкнутым (открытым) отношениям эквивалентности, называют-
называются полунепрерывными сверху (снизу) (о происхождении этой
терминологии см. задачу 1.7.17 (а)). В этом контексте также
часто используется слово «отождествление» (главным образом
в связи с полунепрерывными сверху разбиениями): говорят, что
факторпространство Х/Еу где Е — отношение эквивалентности,
соответствующее разбиению <?f, получается отождествлением
каждого элемента & в некоторую точку.
2.4.11. Пример. Пусть отображение /: R^S1 определено равен-
равенством / (х) = (cos 2nx9 sin2n.x;). Очевидно, что для х, у е R мы
имеем xE(f)y в том и только том случае, когда разность
х — у есть целое число. При отображении f вещественная
прямая наматывается на единичную окружность таким обра-
образом, что каждый интервал (л:, у] длины 1 обходит всю окруж-
окружность ровно один раз (т. е. на этом интервале отображение
взаимно однозначно). Очевидно, что f переводит открытые ин-
интервалы (xt у), у — х < 1, на открытые дуги окружности S1, и,
следовательно, f есть открытое и тем более факторное отобра-
отображение. Отсюда следует, что факторпространство R/E(f) гомео-
гомеоморфно S1. Читателю предоставляется убедиться, что / не
замкнуто.
Сужение g = f\I: I-*Slt как легко проверить, есть замкну-
замкнутое (но не открытое) отображение. В частности, g— фактор-
отображение и факторпространство I/E(g) гомеоморфно S1.Раз-
S1.Разбиение замкнутого интервала /, соответствующее E(g)t состоит
из всех одноточечных множеств х, 0 < х < 1, и множества {0,1}.
Таким образом, факторпространство 51 получается отождествле-
отождествлением обоих концов / в точку. Читатель может легко проверить,
что декартово произведение gXg: I2-*SlXSl также является
факторотображением, и определить, какие отождествления в
квадрате необходимо сделать, чтобы получить тор. 1
Используя язык факторпространств, мы дадим теперь точное
описание операции отождествления замкнутых множеств в точ-

2.4. ФАКТОРПРОСТРАНСТВА И ФАКТОРНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 151
ки, которая была применена выше при построении нескольких
примеров (см. пример 1.4.17, замечание, предшествующее при-
примеру 1.5.21, и упр. 2.3.J (а)).
2.4.12. Пример. Пусть X — некоторое топологическое простран-
пространство, и пусть Аи А2, ..., Ак — последовательность попарно не-
непересекающихся замкнутых подмножеств пространства X. Обо-
Обозначим через Е отношение эквивалентности на Х9 соответствую-
соответствующее разбиению X на множества Ль А2у ..., Ak и одноточечные
множества {х}, где х е Я\ (А г [} А2 [} ... (J Ak). Для каждого
замкнутого множества АсХ объединение всех классов эквива-
эквивалентности, пересекающихся с Л, равно объединению А и тех из
Л,, для которых А{[\АФ0. Это объединение есть замкнутое
множество, и естественное отображение q: X-+X/E замкнуто
в силу 2.4.9. Факторпространство Х/Е получается из X отож-
отождествлением каждого из множеств Л,- в точку q(A{). Легко пока-
показать, что множества Jf\(Лi U ... \}Ak) и X/E\{q(Ai),
q(A2), ..., q{Ak)} гомеоморфны (см. предложение 2.1.4). Про-
Пространство, полученное отождествлением в точку только одного
замкнутого подмножества АаХ, обозначается Х/А. U
Рассмотрим теперь важный частный случай построения фак-
торпространства — так называемое присоединенное простран-
пространство. Пусть X и У— два непересекающихся топологических про-
пространства и /: M-+Y — непрерывное отображение, определен-
определенное на замкнутом подмножестве М пространства X. Обозначим
через Е отношение эквивалентности на сумме X@Y, соответ-
соответствующее разбиению пространства X Ф У на одноточечные мно-
множества {х}, х^Х\М, и множества вида {у)\})~х(у), где j/e У
(если //g Y\f(M), то последнее множество есть одноточечное
множество {у}). Факторпространство (X® Y)/E называется при-
присоединенным пространством, определенным пространствами X,
У и отображением /, и обозначается X[)f У. Легко видеть, что
если У — одноточечное пространство, то X[)fY гомеоморфно
пространству Х/М.
Пусть ix: X-+X&Y и iY: У->ХФ У— вложения X и У в
пространство X © У, и пусть q: X®Y-+X[]fY — естественное
отображение. Композиции
j = qix: X-+X[)fY и k = qiY: У-
непрерывны и множество С с= X Uf У открыто (замкнуто) в том
и только том случае, если г1 (С) и k~l(C) открыты (замкнуты)
соответственно в X и У. Легко проверить, что
A) /-1^E) = ^1E) и к-щВ) = в для BczY,
B) rlj(A) = A[)f^f(A(]M) и кгЩА)=*ПА()М) для

152 rj*. 2. ОПЕРАЦИИ НА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ
Из формул A) следует, что k\ У-^XUf У есть замкнутое отобра-
отображение. Так как k инъективно, оно является гомеоморфным вло-
вложением. Образ k(Y) замкнут в X[jf У. Аналогично, из формул
B) вытекает, что /JX\A1— открытое отображение. Так как
/|Х\М инъективно, оно является гомеоморфным вложением, а
образ j(X\M) есть открытое множество в X\jf Y и является до-
дополнением множества k(У). Из формул B) также следует, что
I — замкнутое отображение в том и только том случае, если
замкнуто отображение /. Поэтому факторотображение q:
X® Y -*• X[)fY замкнуто тогда и только тогда, когда замкнуто
отображение /.
Если, кроме того, /(Л1)=У, то j(X) = X\]fY, а так как
замкнутость / влечет за собой замкнутость /, то имеет место сле-
следующая теорема.
2.4.13. Теорема. Пусть М — замкнутое подпространство про-
пространства X и JS — полунепрерывное сверху разбиение множе-
множества М\ тогда разбиение пространства X на элементы с? и од-
одноточечные множества {х}, хеАМ, полунепрерывно сверху. I
Операция образования факторпространства сохраняет мало
топологических свойств по сравнению с операциями, изученными
в § 2.1—2.3. Очевидно, что сохраняются в точности те топологи-
топологические свойства, которые инвариантны при факторотображе-
ниях. Так как и замкнутые, и открытые отображения «на» фак-
факторные, то инварианты факторотображений являются инвариан-
инвариантами замкнутых и открытых отображений. Следовательно, среди
топологических свойств, инвариантность которых обсуждалась
в § 1.4 и 1.5, только свойство «плотность =^т» могло бы со-
сохраняться факторными отображениями. Как мы знаем (теорема
1.4.10), это свойство сохраняется даже всеми непрерывными
отображениями. Чтобы получить факторпространство Х/Е с хо-
хорошими топологическими свойствами, обычно налагают дополни-
дополнительные условия на классы эквивалентности отношения Е или
на их взаимосвязи. Такие условия могут быть выражены в виде
дополнительных свойств естественного отображения, соответ-
соответствующего ?. Например, как легко видеть, факторпространство
Х/Е является ^-пространством в том н только том случае, когда
классы эквивалентности замкнуты в X, а из теоремы 1.5.20 сле-
следует, что если X нормально и отношение эквивалентности Е на
X замкнуто, то и факторпространство Х/Е нормально.
2.4Л4. Предложение. Факторпространство некоторого фактор-
пространства пространства X является факторпространством
пространства X.
Точнее, если Е — отношение эквивалентности на простран-
пространстве Х9 а Ег — отношение эквивалентности на факторпростран-

2.4. ФАКТОРПРОСТРАНСТВА И ФАКТОРНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 153
стае Х/Еу то отображение q'q\ X/E(q'q)->(X/E)/E', где
q: Х-+Х/Е и qr\ Х/Е-+(Х/Е)/Е'— естественные факторотобра-
женил, является гомеоморфизмом.
Доказательство. В силу 2.4.4, композиция qfq есть фактор-
отображение. Следовательно, q'q— гомеоморфизм в силу равно-
равносильности условий (i) и (iv) в предложении 2.4.3. Ш
Пусть X — некоторое топологическое пространство и Е — от-
отношение эквивалентности на X. Тогда на любом подпростран-
подпространстве Л пространства X определено отношение эквивалентности
Е\А=(АУ,А){\Е — сужение Е на Л, причем E\A=E(q\A),
где q: X-+X/E — естественное отображение. Возникает вопрос,
будет ли отображение q\A: A{(E\A)-+q(A)c:XlE гомеоморфиз-
гомеоморфизмом. Очевидно, что этот вопрос равносилен такому: будет ли
сужение/| Л: Л->/(Л) факторного отображения / факторным
отображением. Как показано в примерах 2.4.16 и 2.4.17 ниже,
ответ, вообще говоря, отрицателен. Заметим, однако, что из
предложения 2.4.3 немедленно получается следующий положи-
положительный результат (ср. с упр. 2.4.F).
2.4.15. Предложение. Если f: X-*Y — факторотображение, то
для любого открытого или замкнутого множества В с= У сужение
[я: f-l(B)-> В есть факторотображение.
Другими словами, если Е — некоторое отношение эквивалент-
эквивалентности на пространстве X, то для любого открытого или замкну-
замкнутого множества ЛсХ, удовлетворяющего условию qrxq(A) = A,
где q\ X^-X/E — естественное отображение, отображение q\A:
А/(?|Л)-ьq(A)с= Х/Е есть гомеоморфизм. I
2.4.16. Пример. Пусть g: I-+S1— факторотображение, опреде-
определенное в 2.4.11. Сужение g\A: A-+g(A) = Sl на открытое под-
подмножество Л=@, 1]с:/ взаимно однозначно, но не является
гомеоморфизмом, следовательно, g\A не является факторото-
бражением. Более того, комбинацияh = \&s*4{g\A): Sl®A-*Sl
есть факторотображение в силу следствия 2.4.6, ибо A|5I = ids«,
однако сужение h\A = g\A на открыто-замкнутое подмноже-
подмножество Аа S1 (В А факторотображением не является. I
2.4.17. Пример. Пусть Х=(о, у] U { Ь 1 + », 1 +у, ••¦}
с топологией, индуцированной из R, и пусть Е — отношение
эквивалентности на X, определенное следующим образом: хЕу
в том и только том случае, когда \х — z/j= 1 или х = у. Легко
заметить, что множество Л = {1} u[(o, у] xly, j, ...jlc^f
имеет вид qrl(B) для B = q(A)czX/E, a сужение qB: A-*q(A)
взаимно однозначно. Так как 1 — изолированная точка в Л, а

154 ГЛ. 2. ОПЕРАЦИИ НА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ
?вA) не изолирована в q(A), то сужение qB не является гомео-
гомеоморфизмом, а потому не является и факторотображением.
Читатель легко установит, что если ограничиться соответ-
соответствующим счетным подпространством пространства X, то можно
получить в качестве факторпространства пространство примера
1.6.19 (ср. с упр. 2.4.G(a)). 1
2.4Л8. Предложение. Пусть X— топологическое пространство,
{А3}3€в3— некоторое его покрытие и {f^s^s —семейство со-
согласованных отображений fs: AS^>~Y, такое, что комбинация
f= у fs:X^>~Y непрерывна. Если существует такое множество
So с: S, что сужения fs\As: As->fs(As) суть факторотображения
для s^So и {fs(As)}SGSa является либо открытым покрытием
пространства У, либо его локально конечным замкнутым по-
покрытием, то комбинация f есть факторотображение.
Доказательство* Пусть {fs(As)}Sf=Sa — открытое покрытие про-
пространства У, и пусть прообраз fl (U) множества U czY от-
открыт в X. Так как множество As[\f~x(U) = {fs\As)~x(U[\fs(As))
открыто в ASi то для каждого 5eS0 множество U{]fs(As)
открыто в fs(As), а потому и в У. Следовательно, объединение
[} U(]fs (As) = U П U /, (As) = U(]Y = U открыто в У. Подоб-
seSo seSfl
ным же образом доказывается, что если {/5(Л5)}5е5о—локаль-
{/5(Л5)}5е5о—локально конечное замкнутое покрытие пространства У, то из замкну-
замкнутости f~l(F) в X следует замкнутость F в У. В обоих случаях
утверждение о том, что / — факторотображение, следует из пред-
предложения 2.4.3. I
Пусть теперь {Xs}5eS — семейство топологических про-
пространств и Es — отношение эквивалентности на Xs для каждого
s e S. Определим отношение эквивалентности Е на произведе-
произведении Ц Xs, полагая {xs}E{ys} в том и только том случае, когда
s<=S
xsEsys для каждого sgS. Отношение Е называется (декарто-
(декартовым) произведением отношений {ES}S€.S и обозначается XI Es
S €= S
или Z^X^X ... X?fc, если S={1,2, ..., k}. Легко видеть,
что XI ?$ = ?A1 <7sV гДе <7*: Xs^>~Xs/Es — естественное ото-
s e S \ssS /
бражение. Возникает вопрос, является ли отображение Ц qs:
ss=S
П Xs/Yi Es-+ П (Xs/Es) гомеоморфизмом. Очевидно, что
этот вопрос равносилен такому: является ли декартово произве-
произведение факторотображений факторотображением. Как показано
в примере 2.4.20 ниже, ответ, вообще говоря, отрицателен даже

2.4. ФАКТОРПРОСТРАНСТВА И ФАКТОРНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 155
в случае двух факторотображений, одно из которых тожде-
тождественно, а другое замкнуто (ср. с теоремой 3.3.17 и задачей
3.12.14 (Ь)). Отметим, что для открытых отношений эквивалент-
эквивалентности имеет место следующий положительный результат, выте-
вытекающий из предложения 2.3.29.
2.4.19. Предложение. Для каждого s^S пусть Es— открытое
отношение эквивалентности на пространстве XSt a qs: Xs ->¦ Xs/E9—
естественное отображение; тогда отображение Ц qs:
П Xs/TlEs-> П (Xs/Es)ecTb гомеоморфизм. ¦
seS sgeS sgS
2.4.20. Пример. Пусть Хх = YX = R \ {у, у, ...} наделены
топологией как подпространства R, и пусть /i = id*,: Xx-*- Y\.
Пусть Y2— факторпространство, полученное из X2=1R отож-
отождествлением множества положительных целых чисел в точку
(ср. с примерами 1.4.17 и 2.4.12), и пусть f2: Х2-+ Y2— етествен-
ное отображение; как известно, отображение/г замкнуто. Мы по-
покажем, что декартово произведение f = f\ X fz- Xi X X2-* У1ХУ2
не является факторотображением.
Множество F^jxel!: || - ^|<у} Х {' ™ 7 } ^^Х^
замкнуто для /, ]' = 2, 3, ... и семейство {/r^}^/es2 локально ко-
нечно. Поэтому объединение F= [} F^ замкнуто в
ut=%
Так как @, f2(l))<zif{F)\f(F), то множество f(F) не замкнуто
в У1ХУ2. Из очевидного равенства F = f-lf(F) следует, что /
не является факторотображением. 1
Опишем теперь регулярное пространство, не являющееся
вполне регулярным, используя операцию образования фактор-
пространств.
2.4.21. Пример. Пусть Z — пространство, определенное в примере
2.3.36; положим Z,*=ZX{i} Для каждого положительного це-
лого i, и пусть Z* = @Zt. Выберем некоторую точку гфЪ* и
введем топологию на множестве Г* = Z* (J {z} при помощи си-
системы окрестностей {^(^)}леГ*, где $(х) для любого jcgZ*
есть семейство всех открытых подмножеств множества Z*, со-
содержащих х, и 3$(z) = {Ul(z)}^l, где ?/,(г) = Г\ [}Zf. Чита-
Читатель легко проверит, что Г* — вполне регулярное пространство,
a Z* — его подпространство.

156 ГЛ. 2. ОПЕРАЦИИ НА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ
Определим отношение эквивалентности Е на Г*, полагая t\Et2
в том и только том случае, когда t\ = t2 или выполнено одно из
следующих условий:
C) {tu t2} = {(*, уо> i)9 (х, у0, i + 1)} Для xs=X\ {х0}
и нечетного if
4) {tu 4} = {(xq> У> '). (*о. У> i + 0} Для у €= Г \
и четного /.
Следовательно, факторпространство Т=Т*/Е получается
отождествлением соответствующих точек в А X{*} и Л Х{^ + 1}
для каждого нечетного t и отождествлением соответствующих
точек в ВХ{0 и BX{i+O Для каждого четного г. Заметим,
что полные прообразы точек при естественном отображении
q: Г*->Г суть одноточечные и двухточечные множества.
Пространство Т и служит искомым примером. Так как клас-
классы эквивалентности отношения Е замкнуты, Т есть Ггпростран-
ство. Проверка регулярности Т предоставляется читателю (до-
(достаточно заметить, что q замкнуто, и применить теорему 3.7.20).
Мы докажем, что Т не является вполне регулярным простран-
пространством. Для этого достаточно показать, что для точки t = q(z)9
не содержащего ее замкнутого множества F —#(ЛХ{1}) и
каждого непрерывного отображения f: 7->/, такого, 4Tof(F)={l},
мы имеем f(t)=l. Рассмотрим функцию fi = f(q\Zi): Zi-+I,
i = 1, 2, .... В силу свойства Z, установленного в 2.3.36, суще-
существуют такое вещественное число п и такие множества Xq t a
Х\{} У0|i с= Y\{y0}, что \Х0> t\ < «0, | Ум| < m и
ft (х. У, 0 = П для (л, ^) <= Z\Z0> /,
Полагая Го = Д ^ г Го = Д ^ f и ZJ- (^ XУ) U (XXTQ,
получаем
E) ^\z;^0^5\z;
F) ft(xf у, i) = rt для (х, y)<==Z\Z*0 и /= 1, 2, ....
В результате выполненных отождествлений имеем
ft (*> Уо> i) = /i+i (*» %»*+ 1) Для #е=Х \ {х0} и любого нечетного i9
fi(*о> У> 0 = fi+i (xo> bU i + 1) Для y^Y\ {y0} и любого четного i%
а это вместе с соотношениями E) и F) означает, что r,-+i ^=Гг
для i = l, 2, ... . Так какД(Л X{l})==f(^) = {!}» ™ ^ = 1 для

2.4. ФАКТОРПРОСТРАНСТВА И ФАКТОРНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 157
/ = 1, 2, ... . Замыкание множества M={q(x,y,i): (x, у)&
е Z \ Z*o> i = 1, 2, ...} содержит точку t, и так как f(M)= {1},
то /@=1. ¦
ИСТОРИЧЕСКИЕ И БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Факторпространства впервые появились в работе Р. Л. Мора
[1925] и Александрова [1927] (объявлено в [1925]). Оба автора
изучали частный случай, когда факторпространство порождает-
порождается полунепрерывным сверху разбиением (Мор изучал только
разбиения плоскости на континуумы). Понятие факторпростран-
факторпространства в полной общности, так же как и понятие факторотобра-
жения введены Бэром и Леви [1932] и впервые систематически
изучены в книгах Бурбаки [1940] и [1951]. Присоединенное про-
пространство введено Борсуком [1935] (для компактных метриче-
метрических пространств). Пример 2.4.21 (и вспомогательный пример
2.3.36) получен как комбинация примеров Тихонова [1930] иНо-
вака [1948]. Простой пример регулярного пространства, не яв-
являющегося вполне регулярным, построен недавно Мысьором
[1981а].
УПРАЖНЕНИЯ
2.4.А. (М. Стоун [1936]). Пусть X — произвольное топологи-
ческоемяространство; положим хЕоу в том и только том случае,
если {*}=={#}. Покажите, что Ео — отношение эквивалентности
на X и что Х/Ео есть Г0-пространство. Покажите, кроме того,
что если для некоторого отношения эквивалентности Е на X
факторпространство Х/Е есть 70-пространство, то Ео cz Я.
Указание. Множество {х} есть объединение классов эквива-
эквивалентности отношения ?0.
2.4.В. Пусть Е — отношение эквивалентности на пространстве
Х> Ег — отношение эквивалентности на пространстве Y и отобра-
отображение /: X-+-Y таково, что хЕу влечет за собой f(x)E'f(y). Оп-
Определим отображение /*: X/E^-Y/E' равенством f*q = q'f, где
q: X-+-X/E и qf\ Y^>~Y/Ef — естественные отображения. Дока-
Докажите, что если f — факторотображение, то f* тоже фактор-
отображение, а если оба отображения / и q' замкнуты (откры-
(открыты), то /* тоже замкнуто (открыто).
Заметим, что если заданы замкнутые подмножества А с X и
ВсУи такое отображение /: Х-> У, что f(A)c В, то /*: Х/Л->
-*• Y/B замкнуто, когда / замкнуто.
2.4.С. (а) Приведите пример замкнутого (открытого) отно-
отношения эквивалентности Е на каком-либо пространстве X, та-
такого, что множество Е не является замкнутым (открытым) в

158 ГЛ. 2. ОПЕРАЦИИ НА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ
произведении Х^Х. Приведите пример отношения эквивалент-
эквивалентности Е на пространстве Х> такого, что Е не является замкну-
замкнутым отношением эквивалентности, однако множество Е замкнуто
в произведении X X X.
(b) Покажите, что если Е — некоторое отношение эквива-
эквивалентности на пространстве X и множество Е открыто в произ-
произведении ^Х^> то факторпространство Х/Е дискретно и ? —
открытое отношение.
(c) Пусть Е — отношение эквивалентности на топологическом
пространстве X. Покажите, что если факторпространство Х/Е
хаусдорфово, то Е — замкнутое подмножество произведения
ХУ^Х. Пусть Е — замкнутое подмножество произведения X X Х>
а отношение Е открыто; проверьте, что тогда Х/Е — хаусдор-
хаусдорфово пространство.
2.4.D. (а) Пусть {XJseS и {У«}ве5~ Два семейства тополо-
топологических пространств, таких, что Xs {] Ys — 0 для sgS,h пусть
{/s}seS— семейство отображений fs\ Ms-*YSy где Ms — некото-
некоторое замкнутое подпространство пространства Xs. Установите, что
присоединенное пространство ( ф ХЛ U/ ф f \ f ф Y$\ гомео-
морфно сумме ф 0X*sUf-!%)•
(b) Для /~1 и 2 определите такие непересекающиеся топо-
топологические пространства X/, Yi и такое отображение ff. Afj-> Yu
где Mi — замкнутое подпространство пространства Хи что при-
присоединенное пространство {Хх X Х2) [}{fl х fa) (Yx X ^2) не гомео-
морфно произведению (Х\ Ufl ^1) X (-^2 Uf,^)-
Указание. См. пример 2.4.20.
2.4.Е. (а) Установите, что сумма ф fs является фактор-
S
отображением в том и только том случае, когда отображения
fs факторные.
(b) Приведите пример двух открытых отображений f\\X-+Yi
й fa Х-^-Уа» таких, что сужение f\X: X-+f(X) диагонали f =
= f 1 Л f2 не является факторным.
Указание. Возьмите X = [0,1).
(c) Покажите, что для каждой ретракции /: Х-^Х сужение
f \X: X-*-f(X) есть факторотображение.
2.4.F (Макдугл [1958] и [1959], Архангельский [1963], Динь
Ньё Тонг [1963], Филиппов [1969а]). Непрерывное отображение
f: X-**Y называется наследственно факторным, если для каж-
каждого бег У сужение /V. f-l{B)^>~B есть факторотображение.
(а) Докажите, что отображение f: X-+Y наследственно фак-
факторное в том и только том случае, если множество f(f~l(B))cz У
замкнуто для каждого В czY> или, что равносильно, в том и

2.4. ФАКТОРПРОСТРАНСТВА И ФАКТОРНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 159
только том случае, если для каждого j/еУи каждого открытого
UczXy содержащего f~l(y), мы имеем y^Intf(U).
(b) Проверьте, что композиция двух наследственно фактор-
факторных отображений является наследственно факторным отображе-
отображением, что сумма наследственно факторных отображений есть на-
наследственно факторное отображение и что предложение 2.4.18
имеет место также для наследственно факторных отображений.
(c) Покажите, что любое факторотображение /: X-+-Y на
пространство Фреше — Урысона, в котором каждая последова-
последовательность имеет не более одного предела (в частности, на Г2-
пространство Фреше — Урысона), является наследственно фак-
факторным.
(d) Применяя (с) к соответствующим примерам фактор-
отображений, покажите, что сужения наследственно факторных
отображений на открыто-замкнутые подмножества области опре-
определения, декартовы произведения двух наследственно фактор-
факторных отображений и сужения диагоналей (см. упр. 2.4.Е (Ь))
двух наследственно факторных отображений, вообще говоря, не
являются факторотображениями.
2.4.G (Архангельский [1963а],Франклин [1965] и [1967]). (а)
Покажите, что образ секвенциального пространства при фактор-
отображении есть секвенциальное пространство и что образ про-
пространства Фреше — Урысона при наследственно факторном
отображении есть пространство Фреше — Урысона.
Покажите, что образ секвенциального пространства при не-
непрерывном отображении не обязан быть секвенциальным про-
пространством, а образ пространства Фреше — Урысона при фак-
торотображении, вообще говоря, не является пространством
Фреше — Урысона.
(Ь) Пусть X — секвенциальное пространство и % — семей-
семейство всех таких последовательностей х0, хи хь ... точек про-
пространства X, что Хо^ liraxi. Для каждого c = {xt}^<S' положим
#с={с}Х@, 1, 1/2, 1/3, ...}, где {с}—одноточечное дискретное
пространство и {0,1, 1/2, 1/3, ...} наделено топологией подпро-
подпространства из /?. Определим fc: XC-*X формулами
fc((c,O)) = xo и М(
Покажите, что комбинация fx— V fe: © ХС->Х есть фак-
факсе^ се?
торотображение и что секвенциальные пространства можно оха-
охарактеризовать как образы пространств, удовлетворяющих пер-
первой аксиоме счетности, при факторотображениях (ср. с упр.
4.2.D (с)). Установите, что подпространство М секвенциального
пространства X является секвенциальным в том и только том
случае, если сужение (!х)м: f^{ Ш)-> М есть факторотображе-
факторотображение. Выведите отсюда, что пространство X наследственно сек-

160 ГЛ. 2. ОПЕРАЦИИ НА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ
вендиально тогда и только тогда, когда оно является простран-
пространством Фреше — Урысона (ср. с задачей 3.12.15). Покажите, что
пространства Фреше — Урысона можно охарактеризовать как
образы пространств, удовлетворяющих первой аксиоме счет-
ности, при наследственно факторных отображениях (ср.
с упр. 4.2.D (с)).
(с) Покажите, используя пример 2.4.20, что произведение
нормального пространства со второй аксиомой счетности и нор-
нормального пространства Фреше — Урысона не обязано быть сек-
секвенциальным пространством (ср. с упр. 2.3.К (а) и примером
3.3.29).
2.5. ПРЕДЕЛЫ ОБРАТНЫХ СПЕКТРОВ
Пусть 2 — направленное множество, и пусть каждому deS
поставлено в соответствие топологическое пространство Хо*
Пусть, далее, для любых а, реЕ, таких, что р ^ а, определено
непрерывное отображение л?: Ха^Х9. Пусть, кроме того,
Jignjj = n;* для любых а, р, teS, таких, что т ^ р ^ а, и
n%=idx для каждого а ^2. В этом случае говорят, что се-
семейство S = |Х0, п^ 2} есть обратный спектр пространств Ха\
отображения п°0 называются связующими отображениями об-
обратного спектра S.
Обратный спектр Я = {Х^ я*, Щу где N — множество всех
положительных целых чисел с естественным порядком, назы-
называется обратной последовательностью и обозначается через
{Xt, я)}.
Пусть S = {Хау л;?, 2} •— обратный спектр; элемент {ха} про-
произведения И Ха называется нитью обратного спектра S, если
^р {ха) = хр для Л1°6ых а, р е 2, удовлетворяющих неравенсгву
р ^ а. Подпространство пространства XI Ха, состоящее из всех
нитей спектра S, называется пределом обратного спектра
S = {Ха, я?, Щ и обозначается через lim S или Нт |Ха> я?, 2}.
2.5.1. Предложение. Предел обратного спектра S —{Ха, jt?, 2}
хаусдорфовых пространств Х0 есть замкнутое подпространство
произведения XI Ха.
Доказательство. Для любых р, те 2, таких, что х ^ р, по-
положим
Так как, в силу теоремы 1.5.4, множества Мрх замкнуты в про-

2.5. ПРЕДЕЛЫ ОБРАТНЫХ СПЕКТРОВ 161
изведении Ц Хо, то множество lim S = [") ^рт также зам-
замкнуто в произведении Д Jf0. |
Из теорем 2.1.6 и 2.3.11 следует
2.5.2. Теорема. Предел обратного спектра Т^пространств есть
Тг пространство, если I ^ 3 -г-. |
Из примера 2.5.3 и упр. 3.1.Н(а) (или задачи 2.7.16(а)) выте-
вытекает, что предел обратного спектра совершенно нормальных
пространств не обязан быть нормальным. Однако предел обрат-
обратной последовательности совершенно нормальных пространств
является совершенно нормальным (см. задачу 2.7.15 (Ь)). Это
последнее заключение неверно для нормальных или наслед-
наследственно нормальных пространств (см. замечание к задаче 2.7.15).
2.5.3. Пример. Пусть {Xs}s e s —- семейство топологических про-
пространств, причем |S|^=No. Заметим, что семейство 2 всех ко-
конечных подмножеств множества S направлено по включению,
т. е. направлено отношением ^, определенным так: р^ав том
и только том случае, когда рсо. Пусть Ха= П Xs для каж-
каждого 0gS. Для любы* <г, ре2, таких, что р ^ а, определено
непрерывное отображение яа: Х0-^Х —сужение элементов
пространства Ха на подмножество рса. Легко установить, что
S = pf0, я?, Щ — обратный спектр топологических пространств.
Для любого seS положим <rs={s}e2. Легко проверить,
что, поставив в соответствие каждой точке {ха} е lim S точку
{xOs} e П X8f мы определим гомеоморфизм пространства limS
на произведение Ц Xs. Следовательно, применяя операцию пре-
предела обратного спектра, можно выразить бесконечные произве-
произведения в терминах конечных произведений. 1
2.5.4. Пример. Пусть 2 — семейство подпространств топологи-
топологического пространства X, направленное по включению =э, т. е.
обладает тем свойством, что для любых Lu ?2 ^2 существует
такое М е 2, что М a L\ П L2. Для любых М, L е 2, таких, что
MaLt пусть ot^: M-*L — вложение М в L. Легко установить,
что S — {M, n?, 2}— обратный спектр (где пространство, соот-
соответствующее MgS, есть само М) и что limS гомеоморфен
подпространству f]2 пространства X. В частности, каждое под-
подпространство А ^-пространства X можно представить как пре-
предел обратного спектра открытых подпространств пространства X.
В самом деле, А = П2, где 2 —направленное семейство всех от-
П Зак. 697

162 ГЛ. 2. ОПЕРАЦИИ НА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ
крытых подмножеств пространства X, которые содержат множе-
множество А и имеют дополнение, состоящее из конечного числа то
чек. 1
Пусть S = {XG, я?, 2} — обратный спектр топологических
пространств, и пусть X = limS. Для каждого а^2 определим
отображение яа = ра|Х: Х-+ХСу где ро: Г1 Хо->Ха— проек-
ция. Отображение яа называется проекцией предела обратного
спектра S на Хо. Очевидно, что для любых а, ре2, таких, что
р ^ а, проекции я0 и яр удовлетворяют равенству яр = я?яа.
2.5.5. Предложение. Семейство всех множеств я'1 Шо\ где UG —
открытое подмножество пространства Хо и а пробегает подмно-
подмножество 2', конфинальное множеству 2, есть база предела об-
обратного спектра S = 1Ха, яа, Е}.
Более того, если для каждого а е 2 база SSa пространства
Ха фиксирована, то подсемейство, состоящее из тех я™1 (U а)
для которых Uо е 3$а> также образует базу.
Доказательство. Обозначим через М семейство, описанное
в первой части предложения, и пусть Z = HmS.TaK как проек-
проекции я0 непрерывны, то все элементы семейства 3§ открыты в про-
пространстве X. Поэтому остается показать, что каждое непустое
открытое множество U а X может быть представлено как объ-
объединение подсемейства семейства $. Очевидно, достаточно по-
показать, что для каждого х —{ха}е U существуют такое ogS;
и такое открытое подмножество UG cz XGy что х е я^1 ШЛ cz [/.
По определению индуцированной топологии, существует от-
открытое множество VczYl Ха, такое, что f/ = Xfl V, и, в силу
предложения 2.3.1, найдутся сть а2, ..., ak e 2 и открытые в
Ха^у %о2> •••> Xak соответственно множества U\, ^2> ..-, Uk,
для которых
A) хер-' (U,)ПР-1 (f/2)П • • • ПРо-; (f/ft) c= F.
Так как множество 2 направлено, а 2' конфинально 2, то
существует такое абЕ', что Oi ^. а для i= 1, 2, ..., /г. Все
k
множества (п° \~l (U.) и их пересечение f/a= П (na)~l(Ui) от"
крыты в Za- Далее, так как я? (ха) = х0 , то
B) х[е(/,
Очевидно, что имеет место соотношение
C) я. 1

2.5. ПРЕДЕЛЫ ОБРАТНЫХ СПЕКТРОВ 153
используя B), C) и A), мы получаем включение
«*.-CJ - «.-(Д(»«" СО)-Д %-№)"
которое завершает доказательство того факта, что $ — база про-
пространства X.
Вторая часть данного предложения есть непосредственное
следствие первой части и определения базы. 1
2.5.6. Предложение. Для каждого подпространства А предела X
обратного спектра S = {Хо, я?, Щ семейство SA={A0, я?, Щ, где
Ла —яа(Л) и п°(х) = я?(х) для xg1o, является обратным спек
тром и Пт5л = Л czX.
Доказательство. Так как яр (х) = я?яа(х)для х^А и р^о,
имеют место соотношения
которые доказывают, что SA есть обратный спектр.
Очевидно, что HmSAc=JC. Из предложений 2.3.2 и 2.1.2
следует, что lim SA есть подпространство пространства Х\ более
того, оно является замкнутым подпространством пространства X.
В самом деле, для каждого х = {х0} е X \ lim SA существует
такое а(л)е1, что л;0(х)^^а(х) \ Ла(х). Таким образом,
n~fx)(Xoix)\AG{x)) является окрестностью точки