Теория возможностей - Дюбау Д., Прад А.

Author: Дюбау Д. Прад А.
Tags: деятельность и организация общая теория связи и управления (кибернетика) автоматика системы автоматического управления и регулирования интеллектуальная техника технология управления оборудование систем управления техническая кибернетика информатика
ISBN: 5-256-00184-1
Year: 1990
Similar
AutoLISP и Visual LISP в среде AutoCAD
AutoLISP. Программирование в AutoCAD 14
Системы искусственного интеллекта
Архитектура ЭВМ и искусственный интеллект
Text
                    - МГОЧ ferapS*'.?
!w&
к представлению
ШаЙи<КШ|ЙЭД
в информатике
И связь»
1
THfzORIE DES
POSSIBILITY
Applications d la representation
des connaissances en informatique
Didier DUBOIS Henri PRADE
Charges de recherche au C.N.R.S.
avec la collaboration de Henri FARRENY,
Roger MARTIN-CLOUAIRE et Claudette TESTEMALE
2» ddition revue et augmentde
MASSON Paris Milan Barcelona Mexico 1988
^gs
Д. Дюбуа, А.Прад
ТЕОРИЯ
ВОЗМОЖНОСТЕЙ
Приложения к представлению
знаний в информатике
Перевод с французского В. Б. ТАРАСОВА
под редакцией С. А. ОРЛОВСКОГО

МОСКВА .РАДИО И СВЯЗЬ" 1990
пнис
I Минудобрения
ТЕХРИБЛИОТЕЕ
инк
УДК 007:681.518,2
Дюбуа Д., Ирад А. Теория возможностей. Приложения к представлению знаний в ин-
форматике: Пер. с фр. - М.: Радио и связь, 1990. - 288 с.: ил. - ISBN 5-256-00184-1.
В книге обсуждается новый подход к анализу неопределенности, основанный на поня-
тиях нечетких множеств, мер возможности и необходимости. Отличаясь от теории ве-
роятностей своей аксиоматикой и способностью количественного описания неопределен-
ности, этот подход обеспечивает учет неточности информации в виде множеств более
или менее возможных значений, что согласуется и с методологией интервального анали-
за. В первых трех главах последовательно раскрываются связи излагаемого подхода с
вероятностными методами, даются основы исчисления нечетких величин с применением
к исследованию операций и, наконец, рассматриваются задачи свертывания и сравнения
нечетких множеств для систем поддержки принятия решений. В следующих трех главах
описываются вопросы применения теории возможностей в столь актуальных областях
информатики и искусственного интеллекта, как экспертные системы и реляционные ба-
зы данных. Отдельная, очень большая по объему глава, полностью переработанная для
второго издания, посвящена методам приближенных рассуждений на основе теории воз-
можностей.
Для научных работников; может быть полезна всем, кто занимается вопросами ана-
лиза и представления неопределенности: от исследователей в области информатики и ис-
кусственного интеллекта до специалистов по математической статистике и теоретиков,
занимающихся философскими аспектами науки.
Табл. 27. Ил. 49. Библиогр. 322 назв.
Редакция переводной литературы
1404000000 071
д----------------
046 (01)-90
30-90
ISBN 5-256-00184-1 (рус).
ISBN 2-225-81273-Х (франц.)
© Masson, Paris, 1985, 1987
© Перевод на русский язык, примечания. Тара-
сов В.Б. Примечания. Орловский С.А., 1990
Предисловие к русскому изданию
Наша книга не названа ’’Теория нечетких множеств”, хотя в различных ее
главах речь неизменно идет об этой теории. Мы хотели выделить здесь осо-
бый случай применения нечетких множеств, продолжив тем самым высказан-
ную Л. А. Заде в 1977 году идею о том, что функцию принадлежности можно
в некоторых случаях интерпретировать как распределение возможностей.
Это означает, что произвольное множество может рассматриваться как огра-
ничение на возможные значения некоторой переменной. Преимущество дан-
ного подхода состоит в гармоничном сочетании теоретико-множественного и
логического способов представления неточности знаний с методами количест-
венного описания неопределенности, вписывающимися в обобщенную тео-
рию меры. Так, распределение возможностей можно одновременно рассмат-
ривать как обобщение понятия множества и как ’’плотность” меры неопреде-
ленности. Эта двойственность, допустимая в теории возможностей и отража-
ющая противоречие между неопределенностью и неточностью, используется
для единообразного представления неточной и неопределенной информации—
идет ли речь о вычислении нечетких величин, об их сравнении, об использова-
нии баз неполных знаний или о рассуждениях на их основе. В этом плане тео-
рия возможностей проводит четкое различие между степенью истинности и
мерой неопределенности. К тому же нечетко-множественный подход предо-
ставляет очень богатые возможности для комбинирования гибких критериев
и для единого описания неточных и неопределенных данных.
Исследования советских ученых в области нечетких множеств имеют бо-
гатую традицию и носят фундаментальный характер. Мы полагаем, что эта
книга может особенно заинтересовать советских исследователей и специалис-
тов в области искусственного интеллекта, разработки баз данных и исследо-
вания операций.
Д. Дюбуа, А. Прад Тулуза, 10 июня 1987 г.
Предисловие ко второму изданию1
Для второго издания текст книги в некоторых местах был переработан,
а порой существенно дополнен. Основные изменения касаются гл. 4, меньше
добавлений и вставок было сделано в гл. 1,3 и 6; гл. 2, 5 остались без изме-
нений (за исключением обновленных ссылок на литературу). Эти изменения
отражают уровень развития наших работ, а также работ других авторов, осо-
бенно в области автоматизированного логического вывода в условиях неоп-
ределенности. Наши дополнения относятся к следующим темам.
Глава 1. Понятие мощности нечеткого множества, возможностные аппрок-
симации неточных статистических данных, связи нечеткости с интервальным
анализом.
Глава 3. Нечеткие кванторы и их использование для свертывания критери-
ев, применение нечетких интервалов к анализу временных окон в задаче пла-
нирования работ.
Глава 4. Моделирование одновременно как неточной, так и неопределен-
ной информации, ’’логический” подход к обусловливанию, обсуждение ва-
риантов комбинирования неточно определенной информации, описание неоп-
ределенности с помощью матричного исчисления и расширенного принципа
резолюции, вывод с нечеткими кванторами, интерпретация нечетких правил,
нечеткая фильтрация. Кроме того, программа, реализующая машину вывода
SPII, предложенная в приложении 2 к гл. 4, написана заново, а сопровождаю-
щее ее приложение 1 было полностью переписано, чтобы лучше была понятна
методика применения обобщенного правила ’’модус поненс” к нечетким
предикатам.
Глава 6. Обработка взвешенных размытых вопросников с помощью нечет-
кой фильтрации и метода, уже использованного в гл. 3, классификация ре-
зультатов, полученных с помощью нечеткой фильтрации.
Д. Дюбуа, А. Прад Тулуза, 2 июня 1987 г.
1 Перевод на русский язык осуществлен со второго, исправленного и дополненного
издания. - Прим. ред.
6
Предисловие к первому изданию
Наступление эры вычислительных машин, породив стремление решать но-
вые практические задачи, исходя из все более и более сложных моделей, ус-
корило потребность в получении и обработке все более сложной и неточной
информации. Значительная часть этой информации недоступна в форме точ-
ных, четко определенных чисел, и чисто символьная обработка данных может
быть недостаточной. По разным причинам — из-за несовершенства измеритель-
ных устройств или вследствие того, что во многих случаях человек (эксперт)
представляет собой единственный источник сведений, — информация являет-
ся неточной, противоречивой, неполной. Поэтому с появлением информатики
разработка теорий, средств и методов представления и анализа неточности и
неопределенности (в том числе субъективной неопределенности) становится
важной целью, отчасти обусловливающей прогресс как самой информатики,
так и использующих ее дисциплин.
При измерениях получить точную информацию практически невозможно,
а если и возможно, то она чаще всего оказывается малополезной и трудно-
интерпретируемой. Это как раз тот случай, когда анализируется функциони-
рование сложной или многомерной системы. Упрощенная модель обеспечива-
ет порой более понятную информацию, чем детальная и более точная модель.
Заде подчеркивает: ”По мере возрастания сложности системы наша способ-
ность формулировать точные, содержащие смысл утверждения о ее поведе-
нии уменьшается вплоть до некоторого порога, за которым точность и смысл
становятся взаимоисключающими” [9]1. Этот принцип несовместимости
связан со способом восприятия и рассуждений человека. В его основе лежат
обобщенные, схематизированные, а следовательно, неточные субъективные
представления о реальности.
Действительно, ’’хорошая модель” должна реализовывать некоторый ком-
промисс без всякого избытка точности (которая может привноситься произ-
вольным образом и вызывать неопределенность) или избытка неточности
(в результате чего модель может стать малоинформативной). Наши преды-
дущие размышления не претендуют на критику традиционного научного под-
хода: со времени открытия Гейзенбергом соотношений неопределенности
принципиально неустранимая неточность стала привычным явлением. Но
учет неточности, даже порождаемой ограниченными возможностями челове-
ческого разума, не отменяет требований к строгости, которая должна быть
в еще большей степени, чем поиск точности, присущей научному подходу.
Теория ошибок, с одной стороны, и теория вероятностей — с другой,
суть два классических подхода к представлению неполноты информации. Но
они оказываются недостаточными при столкновении с новыми потребностя-
См. также работу [ 6д).
7
ми. В самом деле, ограниченность теории ошибок состоит в том, что она не
отражает оттенки и применима лишь к числовым величинам. А теория веро-
ятностей предлагает, по-видимому, чересчур нормативные рамки для учета
субъективных суждений. Последнее обсуждается в гл. 1.
Постановка вопроса о применимости аддитивных вероятностей в моделях
субъективных суждений отнюдь не нова. В своей замечательной статье по ис-
тории наук Шейфер [7] напоминает, что вплоть до конца XVII века понятия
’’шанс”, связанное со случайностью, и '’вероятность”, как атрибут суждения
рассматривались независимо друг от друга. Первоначально теория шансов и
теория вероятностей развивалась порознь, причем последняя — без аксиомы
аддитивности. Шейфер [7] показал, что немалая часть трудов Бернулли по-
священа рассмотрению неаддитивных вероятностей. Успех аддитивных веро-
ятностей связан с быстрым развитием физики, которая отодвинула на вто-
рой план задачи моделирования субъективных суждений. В работах XX в.
доминирует представление об аддитивности степеней доверия, особенно в
теории принятия решений. Однако в 50-е годы английский экономист Шейки
[5] предложил невероятностный подход к принятию решений, в котором
этот процесс анализировался в терминах ’’возможностей”. В 60-е годы иссле-
дователи в области математической статистики, в частности Демпстер [1],
ввели понятие уже неаддитивных верхних и нижних вероятностей для учета
неполноты наблюдений. Взяв за основу модель Демпстера, Шейфер [6] опре-
делил эти верхние и нижние вероятности соответственно через степени прав-
доподобности и степени доверия в теории принятия решений. С прогрессом
информатики и с развитием методов искусственного интеллекта возникла
настоятельная потребность в теории субъективных суждений, выходящей за
рамки теории вероятности, о чем свидетельствуют работы по экспертным си-
стемам, таким как MYCIN (Шортлифф и Бьюкенен [8]), а также возрастаю-
щий интерес специалистов по искусственному интеллекту к работам, подоб-
ным работам Шейфера.
Теория возможностей, сформулированная Заде в 1977 г., предлагает неко-
торую модель количественного описания суждений, которая позволяет также
провести каноническое обобщение теории ошйбок. В этом плане неопреде-
ленность некоторого события описывается одновременно степенью возмож-
ности этого события и степенью возможности противоположного события,
причем эти две степени возможности слабо связаны между собой. Дополне-
ние к единице степени возможности противоположного события может ин-
терпретироваться как степень необходимости (определенности). Этот способ
представления неопределенности в терминах более или менее возможных и
более или менее достоверных событий выглядит естественным и, по-видимо-
му, широко используется человеком. Такая точка зрения вполне отражает
интуитивное представление Шейкла, формализованное в рамках теории воз-
можности. Более того, можно показать (см. гл. 1 и 4), что дихотомия ’’воз-
можность — необходимость” в математическом смысле есть частный случай
дихотомии ’’правдоподобность -- доверие”, предложенной Шейфером.
Теория возможностей основана на идее нечеткого множества, развиваемой
Заде начиная с 60-х годов. Нечеткое множество позволяет учитывать тот
8
факт, что любой объект может более или менее соответствовать некоторой
категории, к которой его хотели бы отнести. Когда степени возможности
принимают лишь значения 0 или 1, теория возможности в точности совпадает
с теорией ошибок, в которой неточная информация представлена в виде мно-
жеств возможных значений (вместо точных значений). В общем случае в тео-
рии возможностей эти множества становятся нечеткими. Данные замечания
подчеркивают наличие взаимосвязей между теорией возможностей и ’’наив-
ной” теорией множеств, а также между понятиями возможности и меры
(в том смысле, как ее понимают в теории меры). К тому же известно, что,
с одной стороны, нечеткие множества связаны с многозначными логиками,
разработанными ’’польской школой” в ЗО-е годы1, а с другой стороны, как
отмечали Кампе де Ферье [4], а также Форте и Камбузиа [3], функции при-
надлежности нечеткого множества можно интерпретировать через функции
правдоподобности Шейфера или характеристические функции случайных
множеств.
Одно из преимуществ теории возможностей заключается в том, что она
позволяет одновременно моделировать неточность (в форме нечетких мно-
жеств) и количественно характеризовать неопределенность ( в форме пары
чисел ’’возможность — необходимость”). Однако в данной теории количест-
венные описания выражаются, пожалуй, наиболее качественным способом,
так как для вычислений в ней используются в основном операторы миниму-
ма и максимума. В определенном смысле теория возможностей опровергает
знаменитую формулу Резерфорда: ’’Качественное есть не что иное, как бед-
ное количественное”. Принцип теории возможностей, наоборот, состоит в
рассмотрении количественного как предельного случая качественного.
Настоящая книга состоит из шести глав. Основные понятия вводятся и
обсуждаются в гл. 1. Особое внимание здесь уделяется связям между мерами
возможности и вероятностными мерами. Математический аппарат изложен в
основном в гл. 1,2с дополнениями в гл. 3, 4. В гл. 2 - 6 с помощью кратких
примеров иллюстрируется применение теории возможностей в различных об-
ластях, таких как исследование операций, искусственный интеллект, постро-
ение баз данных, а в приложениях к этим главам приводятся соответствую-
щие программы для ЭВМ. Главы следуют друг за другом в порядке, удоб-
ном для чтения, однако гл. 4 — 6 относительно независимы друт от друга.
Программы, помещенные в приложениях, показывают реализуемость пред-
ставленных методов на ЭВМ, но отнюдь не оптимальны по их выполнению на
на ЭВМ. Выбор языка программирования Бейсик2 для некоторых из них
объясняется широкой распространенностью этого языка программирования;
характер других примеров обусловил использование языка программирова-
Прежде всего имеются в виду работы Лукасевича [ 7д- 9д] Среди работ советских
авторов по многозначным логиаам в первую очередь отметим труды Л. И. Мальцева
(Зд1 и С. В. Яблонского [ 4д, 5д). F. .1, вопросов применения бесконечнозначной логики
при исследовании сложных систем осуждается в работах I 1д, 2д1. - Прим, перев.
Версия Лльфа-бейсик на ЭВМ AMS.
ния Лисп1. Здесь охвачены не все области применения теории возможностей.
Например, в этой книге не рассматриваются вопросы автоматической класси-
фикации, управления, оптимизации и ряд других, в которых теория возмож-
ностей или нечеткие множества уже нашли успешное применение. Более пол-
ная, хотя и несколько устаревшая, картина исследований по нечетким мно-
жествам и их применению имеется в предыдущей книге авторов [2].
Главы 4—6 были задуманы и написаны совместно с Р. Мартэн-Клуэром,
А. Фаррени и К. Тестмаль соответственно. Они написали имеющиеся в этих
главах программы на языке Лисп. Программы на языке Бейсик созданы
Ф. Шаталиком. Рисунки 3.2 — 3.13 нам любезно предоставил К. Тессье. Пере-
печатку рукописи с большой тщательностью и терпением осуществила мадам
Л. Фресс.
Д. Дюбуа, А. Прад Тулуза, ноябрь 1984 г.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ К ПРЕДИСЛОВИЮ
1.	Dempster А.Р. (1967). Upper and lower probabilities induced by a multivalued mapping.
Ann. Math. Statis., 38, 325 - 339.
2.	Dubois D,. Prade H. (1980). Fuzzy sets and systems: theory and applications. Academic
Press, New York.
3.	l-'ortet R., Kambouzia M. (1976). Ensembles aleatoires et ensembles flous. Publications
Econometriques, vol. IX, fasc 1, 1 - 23.
4.	Kampe de Feriet J. (1980). Une interpretation des measures de plausibilite et de la credibility
au sens de G. Shafer et de la fonction d’appartenance definissant un ensemble flou de
L. Zadeh. Publ. IRMA (Lille), vol. 2, fasc. 6, №2, 11 -01-11 — 22.
5.	Shackle G. L. S. (1961). Decision, order and time in human affairs. Cambridge University
Press, 2nd edition.
6.	Shafer G. (1976). A mathematical theory of evidence. Princeton University Press, Princeton
N.J.
7.	Shafer G. (1978). Non-additive probabilities in the works of Bernoulli and Lambert. Archives
for the History, 309 - 370.
8.	Shortliffe E. H., Buchanan B.G. (1975). A model of inexact reasoning in medicine. Mathe-
matical Biosciences, 23, 351 - 379.
9.	Zadeh L.A. (1973). Outline of a new approach to the analysis of complex systems and
decision processes. IEEE Trans. Systems, Man and Cybernetics, 3, 28 - 44.
Имеется перевод: Заде Л. А. Основы нового подхода к анализу сложных систем и
процессов принятия решений.// Математика сегодня. - М.: Знание, 1974. - С. 5 - 49.
1 В приложении к гл. 4 программа написана на языке LE-LISP в операционной систе-
ме VMS и реализована на ЭВМ VAX-75O, в приложении к гл. 5 используется язык VLISP-8.2
в операционной системе TRSDOS на мини-ЭВМ TRS-80, модель 1, ав приложении к гл. 6 -
язык MACLISP в операционной системе MULTICS на ЭВМ DPS-8.
10
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1д. Дискретная математика и математические вопросы кибернетики/Под ред. С. В. Яб-
лонского и О. Б. Лупанова. - М.: Наука, 1974. - 312 с.
2д. Левин В. И. Структурно-логические методы исследования сложных систем с приме-
нением ЭВМ. - М.: Наука, 1987. - 304 с.
Зд. Мальцев А. И. Итеративные алгебры Поста. - Новосибирск: НГУ, 1976.
4д. Яблонский С. В. Функциональные построения в k-значной логике. - Тр. Матем. ин-та
АН СССР, 1958. - т. 51. - С. 5 - 142.
5д. Яблонский С. В., Гаврилов Г. И., Кудрявцев В. Б. Функции алгебры логики и классы
Поста. - М.: Наука, 1966. - 119 с.
6д. Black М. Vagueness: on exercise in logical analysis. Philos. Sci. 4, p. 427 - 455, 1951.
7Д. Borkowski L. Jan Lukasiewicz’selected works. North-Holland Publ. Comp., Amsterdam
1970.
8д. Lukasiewicz J. О logike trojwartosciowej. Ruch Filozoficzny, 5, 170 - 171, 1920.
9д. Lukasiewicz J. Philosophische bemenkungen zun mehnwertigen systemen des aussagen-
kalkuls. - Comtes Rendus des Seances de la Societe des Sciences et des Lcttres de Varsovie,
23,51 - 77,1930.
ГЛАВА 1. МЕРЫ ВОЗМОЖНОСТИ И НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА
Содержание этой книги основывается на нетрадиционном подходе к моде-
лированию неточности и неопределенности. Базовым понятием этого подхода
является мера возможности. Цель этой главы -- обоснование, определение и
обсуждение меры возможности, а также представление других базовых поня-
тий, необходимых для усвоения последующих глав. Наряду с прочими источ-
никами здесь широко используются результаты, содержащиеся в диссертаци-
онных работах авторов [3,24].
1.1.	НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ И НЕТОЧНОСТЬ
Неопределенность и неточность могут рассматриваться как две противо-
положные точки зрения на одну и ту же реальность — неполноту информации.
Далее будет предполагаться, wo информация выразима в форме логического
высказывания, содержащего предикаты и в случае необходимости — кванти-
фикаторы. Под базой знаний будет пониматься множество сведений, имею-
щихся у субъекта или группы субъектов или содержащихся в информацион-
ной системе и относящихся к одной и той же проблемной области. Тогда пре-
дикаты, появляющиеся при выражении информации, могут интерпретировать-
ся как подмножества одного и того же универсального множества. Любое
высказывание может также рассматриваться как утверждение, относящееся
к появлению некоторого события. В свою очередь, события представимы в
виде подмножеств этого универсального множества, называемого ’’достовер-
ным событием”. Таким образом, имеются три эквивалентных способа анали-
за множества данных в зависимости от того, делается ли акцент на структуре
(логическая точка зрения), содержании (теоретико-множественная точка
зрения) этой информации или на ее отношении к действительным фактам
(событийная точка зрения).
Мы определим информационную единицу1 четверкой (объект, признак,
значение, уверенность). Признаку соответствует функция, задающая значе-
ние (множество значений) объекта или предмета, название которого фигури-
рует в информационной единице. Это значение соответствует некоторому
предикату, 1. е. подмножеству универсального множества, связанного сдан-
ным признаком. Уверенность есть показатель надежности информационной
единицы. Очевидно, что четыре компонента, образующие информационную
единицу, могут быть составными (множество объектов, множество призна-
ков, n-местный предикат, разные степени уверенности). Кроме того, могут
вводится переменные, особенно на уровне объектов, если информация содер-
жит квантификаторы.
1 Подробнее см., например, (2д]. - Прим, перев.
12
В данном контексте можно четко различать понятия неточности и неопре-
деленности: неточность относится к содержанию информации (составляющая
’’значение” в четверке), а неопределенность - к ее истинности, понимаемой в
смысле соответствия действительности (составляющая ’’уверенность”).
Степень неопределенности информации отражают с помощью квалифика-
торов (модальностей) типа ’’вероятно”, ’’возможно”, ’’необходимо”, ’’прав-
доподобно” и др,, которым здесь мы попытаемся придать точный смысл.
Модальность ’’вероятно” исследовалась на протяжении уже двух веков. Веро-
ятность имеет две различные интерпретации. Одна из них — физическая (ста-
тистическая) , связанная с проведением статистических испытаний и опреде-
лением частоты появления события. Другая — эпистемологическая, относя-
щаяся к субъективному суждению. Модальности ’’возможно” и ’’необходи-
мо” изучались еще Аристотелем, который подчеркнул факт их двойственно-
сти (если некоторое событие является необходимым, то противоположное
ему событие невозможно). Любопытно, что в. противоположность понятию
’’вероятно” понятия ’’возможно” и ’’необходимо” часто рассматривались в
рамках двузначной логики как категории типа ’’все” или ’’ничего”. Но по-
нятие ’’возможно”, как и понятие ’’вероятно”, допускает две интерпретации:
физическую (мера трудоемкости выполнения некоторого действия) и эпи-
стемологическую (суждение, которое мало связывает его автора) . Наоборот,
’’необходимо” — гораздо более утвердительное понятие в физическом или
эпистемологическом смысле (субъективная необходимость есть определен-
ность, уверенность). Естественно допустить наличие степеней возможности
и необходимости, как и степеней вероятности (оттенки возможности нахо-
дятся уже в естественном языке, поскольку можно сказать, например,
’’очень возможно”), Правдоподобность и доверие имеют чисто эпистемологи-
ческую интерпретацию и связаны с возможностью и необходимостью соответ-
ственно. Каждое из этих понятий соответствует некоторому способу вывода
из заданной базы знаний: заслуживает доверия все то, что непосредственно
дедуктивно выводится из базы знаний, а правдоподобно все то, что не проти-
воречит ей (индуктивная точка зрения).
Примерами неопределенных высказываний являются высказывания:
’’Вероятно, что рост Жана не менее 1,70 м” (рост, Жан, > 1,70 м, веро-
ятно) .
’’Вероятность того, что завтра выпадет 10 мм осадков, равна 0,5”
(количество, осадки завтра, 10 мм, вероятность = 0,5) .
Будем называть информационную единицу точной, если подмножество, со-
ответствующее ’’значение” в наборе, является одноточечным, т. е. его нельзя
разбить на части. В зависимости от способа анализа множества данных будем
говорить об элементарном высказывании (т. е. не имплицированном ника-
ким другим высказыванием, за исключением всегда ложного высказыва-
ния),. синглетоне (теоретико-множественная точка зрения) или элементар-
ном событии. Точность, конечно, зависит от способа определения базового
множества ( от его ’’зернистости”, например от выбора единицы измерения).
В Других случаях будем говорить о неточной (imprecise) информации.
13
Во французском языке есть и другие квалификаторы для описания неточ-
ности, такие как vague (расплывчатый, неясный, смутный), flou (нечеткий,
размытый), general (обобщенный), ambigu (двусмысленный). Двусмыслен-
ность представляет собой форму неточности, связанную с языком: иногда
она является следствием омонимии языка. Информация двусмысленна в
той мере, в которой она относится к различным контекстам или различным
возможным базам (универсальным множествам). Этот тип неточности не
рассматривается в данной книге: универсальное множество, связанное с ин-
формационной единицей, считается известным. Обобщенность есть ’’добро-
качественная” форма неточности, связанная с процессом абстрагирования:
информация является обобщенной, если указывается множество объектов
с общим свойством. Нечеткий, размытый, расплывчатый характер информа-
ции заключается в отсутствии четких границ у множества значений соответ-
ствующих объектов. Многие квалификаторы естественного языка расплыв-
чаты, и для них характерна обобщенность. В качестве примера можно при-
вести неточное четкое высказывание: ”х =у” с точностью е^. (равенство, (х,
у), с точностью е, 1); неточное нечеткое высказывание: ”х приблизительно
равен у” = (равенство, (х, у), приблизительно, 1). Расплывчатый термин
’’приблизительно” характеризует совокупность значений, более или менее
адекватных е.
Отсюда следует, что информация может быть одновременно нечеткой и
неопределенной, о чем свидетельствует предложение: ’’Вероятно, что завтра
выпадет много осадков” = (количество, осадки завтра, много, вероятно).
Для заданного множества сведений противоречие между неточностью и
неопределенностью выражается в том, что с повышением точности содержа-
ния высказывания возрастает его неопределенность. И наоборот, неопреде-
ленный характер точной информации приводит в общем случае к некоторой
неточности окончательных заключений, выводимых из этой информации.
1.2.	ТРАДИЦИОННЫЕ МОДЕЛИ НЕТОЧНОСТИ И НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
Традиционно используются два средства представления неполноты дан-
ных: теория вероятностей и теория ошибок. Кратко рассмотрим их области
применения.
Сегодня теория вероятностей — вполне разработанная математическая тео-
рия с ясными и общепринятыми аксиомами. Основная из них — аксиома ад-
дитивности вероятностей совместных событий. Споры вокруг теории вероят-
ностей касаются ее интерпретации: какого рода действительность хотят вы-
разить с помощью этой математической модели? Исторически ею пользова-
лись в основном для ’’подсчета шансов” в азартных играх, причем вероят-
ность события определялась отношением числа благоприятных исходов к
числу возможных исходов. Недостаточная строгость этого определения поро-
дила школу частотной интерпретации вероятности, в которой вероятность
рассматривается как предел частот наблюдаемых событий. Третья, так назы-
ваемая субъективистская школа, попыталась избежать трудностей приложе-
ний теории, с которыми сталкиваются ’’частотники” (требований достаточно-
го числа наблюдений, повторяемости экспериментов и т. д.), предложив ин-
14
терпретацию вероятности как меры неуверенности. Значение вероятности
при этом понимается как число, пропорциональное сумме, которую субъект
согласится заплатить в том случае, если высказывание, являющееся по его
утверждению истинным, в действительности окажется ложным. Было показа-
но, что подобным образом определенная мера неуверенности подчиняется
аксиомам теории вероятностей, если только поведение субъекта удовлетво-
ряет условиям ’’рациональности” (Сэвидж [27]). Исходя из этого ’’субъек-
тивисты” стали утверждать, что аксиомы Колмогорова — единственные раци-
ональные условия для оценки чувства неуверенности.
Такую крайнюю позицию можно оспаривать и с философской, и с практи-
ческой точек зрения. Прежде всего трудно согласиться с тем, что всякое не-
определенное суждение подчиняется законам пари. Денежный залог, присут-
ствующий в субъективистской модели, может помешать субъекту раскрыть
истинный уровень своих знаний из-за страха потерять деньги. Так, професси-
ональный игрок распределит ставки поровну, если ему известно, что все со-
перники, на которых он ставит, равны по силе. При отсутствии всякой ин-
формации новичок сделает то же самое, потому что такая стратегия — наибо-
лее осторожная. Субъективные вероятности не позволяют проводить разли-
чия между этими двумя уровнями информированности и представляются
малопригодными в ситуациях, когда информации мало. В вероятностной мо-
дели особенно плохо учитывается предельный случай полного незнания, по-
скольку в ней всегда предполагается заданным множество взаимно независи-
мых событий, которым в силу принципа максимума энтропии1 приписыва-
ются равные вероятности (в конечном случае). Тогда идентификация всех
этих событий исключена и кажется спорным, что значения неопределенности,
связанные с этими событиями, зависят от числа рассматриваемых альтерна-
тив, как в случае вероятностей.
С практической точки зрения очевидно, что числа, назначаемые субъекта-
ми для вероятностного описания уровня их информированности, должны
рассматриваться как приближенные оценки. Теория субъективных вероятно-
стей не затрагивает этот тип неточности и полагает, что ’’рациональный инди-
видуум” должен в результате процедур оценивания задавать точные числа.
В заключение отметим, что теория вероятностей представляется слишком
нормативной для выражения всех аспектов субъективного суждения. Теория
же ошибок, часто используемая в физике, отражает лишь неточность средств
измерения, выраженную в интервальной форме, в величинах, оцениваемых
с помощью этих средств. В математическом плане определяется образ ото-
бражения, аргументы которого суть подмножества. Теория ошибок не при-
емлет оттенков: если неизвестно точное значение параметра, то точно извест-
ны пределы его изменения. Заметим, что когда задана мера неточности М ве-
личины X, то предложения типа: ”Х принадлежит интервалу I будут естест-
венным образом характеризоваться с помощью модальностей ’’возможно” и
’’необходимо”, так как:
1 Принцип максимума энтропии и варианты его применения в задачах управления и
принятия решений достаточно полно изложены в работах [ 6д, 7д]. - Прим, перев.
15
1) если пересечение М А 1 непусто, то ”Х I”, возможно, истинно;
2) если М CJ, то ”Х 6 1” с необходимостью истинно.
Здесь выявляются связи между этими модальностями и теорией множеств:
возможность оценивается с помощью теоретико-множественного пересече-
ния содержаний М и I двух высказываний: ”Х М” и ”Х £= I”, а необходи-
мость вычисляется, исходя из отношения вложенности.
Принцип ’’все или ничего” — характерная черта теории ошибок, тогда как
в теории вероятностей учитываются оттенки, градации неопределенности. Это
вводит определенные различия между ними, которые хотелось бы по воз-
можности стереть. Очевидно, что теория вероятностей не обобщает теорию
ошибок, поскольку распределение вероятностей для функции равномерно
распределенных случайных переменных (вероятностный аналог интервала
ошибки) в общем случае не является равномерным. В данной книге предла-
гается вариант канонического обобщения теории ошибок, позволяющий учи-
тывать оттенки неопределенности.
Часто оказывается, что неточность типа ошибки измерения присутствует в
самой серии испытаний, проводимых для определения случайного явления.
Можно констатировать, что в этом случае без введения дополнительных гипо-
тез вряд ли удастся представить полученную информацию в чисто вероятно-
стной форме. В самом деле, основная гипотеза, обеспечивающая примени-
мость теории вероятностей в математической статистике, состоит в том, что
пространство испытаний можно поставить во взаимно однозначное соответ-
ствие с пространством событий. С каждым событием связывается множество
его реализаций (непустое, если только данное событие не является невоз-
можным) , и для любой пары различных событий существует по крайней ме-
ре одно испытание, в котором одно событие исключает другое. Эта гипотеза
позволяет разбить достоверное событие на элементарные события, каждое из
которых соответствует какой-то реализации. При обработке статистических
данных это приводит к предположению о существовании такого разбиения
множества реализаций, что результат всякого эксперимента можно будет со-
поставить с одним, и только одним элементом этого разбиения, т. е. резуль-
тат есть элементарное событие.
Можно отыскать такие ситуации, в которых гипотеза о разбиении испыта-
ний не справедлива. Например, если измерения дают интервалы ошибок, то
вообще мало шансов соотнести их с непересекающимися классами реализа-
ций. Физик часто оказывается в противоположной ситуации: ему требуется
получить пересекающиеся интервалы, порожденные независимыми измерени-
ями, чтобы иметь возможность с помощью проверки уменьшить ошибку из-
мерения. Отсюда видно, что даже в случае ’’объективных” повторяющихся
явлений не всегда можно напрямую применять теорию вероятностей. Вероят-
ностная модель приспособлена к обработке точной, но распределенной по ре-
ализациям информации. Как только возникает неточность в отдельной реали-
зации, модель становится неприменимой.
Это краткое обсуждение ограничений традиционных моделей неточности и
неопределенности проведено с целью обосновать необходимость в описании
более широкого плана, общего для теории вероятности и теории ошибок,
16
в котором оба этих понятия заняли бы надлежащее место и были бы вскры-
ты их связи и различия. В данной книге очерчиваются лишь контуры этого
общего подхода, который будет включать новое семейство мер неопреде-
ленности, тесно связанное с теорией ошибок, — меры возможности. Эти
функции множества полностью отличны от вероятностных мер. В то время
как вероятности были приспособлены к обработке точных, но противоречи-
вых результатов испытаний, меры возможности станут естественным сред-
ством для построения баз знаний, хотя и неточных, но согласованных.
1.3. МЕРЫ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
Рассмотрим множество событий, связанных с базой неточных и неопреде-
ленных знаний, понимаемых как подмножества универсального множества
S2, называемого достоверным событием. Пустое множество <Й отождествля-
ется с невозможным событием. Предполагается, что каждому событию ACS2
можно поставить в соответствие действительное число g(A), задаваемое
субъектом — ’’хранителем” базы знаний (или получаемое с помощью про-
цедуры переработки информации, хранящейся в памяти информационной
системы). Значение g(A) оценивает степень уверенности, имеющейся у
субъекта по отношению к событию А с учетом текущего уровня информиро-
ванности. По определению величина g(A) растет с увеличением уверенности.
Ьолее того, если А - достоверное событие, то полагают g(A) = 1, а если А —
невозможное событие, то полагают g(A) = 0. Имеем
g(0) =0 и g (Г2) = 1.	(1.1)
Однако g (А) = 1 (соответственно 0) вообще говоря, не означает, что А не-
пременно является достоверным (соответственно, невозможным) событием.
Наиболее слабая аксиома для обеспечения некоторого минимума согласо-
ванности при определении функции множества g, которую можно себе пред-
ставить,— это монотонность по включению
ACB=>g(A)<g(B).	(1.2)
Эта аксиома выражает следующее: если событие А влечет за собой другое со-
бытие В, то всегда имеется по меньшей мере столько же уверенности появле-
нии В,сколько в появлении А.
Такие функции множества были предложены Сугено [29] для оценки не-
определенности под названием нечеткие меры. А. Кофман предложил термин
’’оценка”. Мы принимаем здесь название мера неопределенности1. Следует
1 В оригинале авторы называют произвольную неаддитивную функцию множества,
удовлетворяющую аксиомам ограниченности, монотонности и непрерывности, тер-
мином ’’мера доверия”. Такое название представляется не совсем удачным, гак как
термин ’’мера доверия” или ’’функция уверенности” используется в зарубежной и
отечественной литературе для характеристики более узкого класса супераддитивных
меР> удовлетворяющих помимо указанных аксиом требованию VA С П, СТ (А) =
= В САШ (СМ‘ также формулу (1.26)). Мы решили использовать термин ’’мера не-
определенности”, заранее оговаривая, что поскольку эти меры являются расширением
математических объектов, изучаемых в классической теории меры,до„с большей.гц;о-__1
гостью их следовало бы называть ’’квазимеры” или ’’полумеры”. Дприм. nepgp>W'
напомнить, что эти функции множества не являются обычными мерами, по-
скольку они могут не быть аддитивными, за исключением специально огово-
ренных случаев.
Если S2 — бесконечное множество, то можно ввести условие непрерывно-
сти в виде
lim g (An) = g (lim Ап)	(1.3)
n -> + сто	П —> +
для любой последовательности {Ап}п вложенных множеств вида A0CAjC ...
...С АПС... или Ао D Aj Э ... □ An D... . Будем предполагать, что мера
неопределенности удовлетворяет условию (1.3) по крайней мере для одной
из двух указанных последовательностей вложенных множеств.
1.3,1.	МЕРЫ ВОЗМОЖНОСТИ И НЕОБХОДИМОСТИ
Следующие неравенства непосредственно вытекают из аксиомы монотон-
ности (1.2) и характеризуют объединение AU В или пересечение А П В со-
бытий:
VA,BCS2,g(AU В) >max (g(A),g(B)),	(1.4)
g(A П В) «Smin (g(A),g(B)).	(1.5)
Предельным случаем мер неопределенности оказываются функции множе-
ства П такие, что
VA, В, П (A UB) = max (П (А), П(В)).	(1.6)
Они называются мерами возможности по Заде [37]. В формуле (1.6) читате-
лей может удивить отсутствие предположения о том, что А и В — непересека-
ющиеся множества. Легко проверить, что если условие (1.6) справедливо
для любой пары непересекающихся множеств А П В = 0 , то оно справедливо
и для любой пары множеств (событий) (Дюбуа и Прад [6]) . Использование
термина ’’возможность” для обозначения этих мер неопределенности может
быть оправдано с нескольких точек зрения.
Пусть Е С S2 — достоверное событие. Легко определить функцию П со зна-
чениями из {0,1}, удовлетворяющую условию (1.6) :
п (А)=Р’еспиАПЕ*^’	(1.7)
ь {0 в противном случае.
Ясно, что в данном контексте Пр (А) = 1 означает, что событие А возможно.
Это наводит на мысль о связи мер возможности с теорией ошибок (см. вы-
ше) . В частности, если А и А — два противоположных события (А есть допол-
нение Ав J2), то имеем
max (П(А),П(А)) = 1.	(1.8)
Это интерпретируется как факт, что из двух противоположных событий по
крайней мере одно безусловно возможно. Более того, когда некоторое собы-
тие считается возможным, то не исключается возможность противоположно-
го события. Это согласуется с семантикой суждений о возможности, которые
мало к чему обязывают их авторов. Утверждение, что события А и А одина-
18
ково возможны, соответствует случаю полного незнания, когда событие А
столь же ожидаемо, что и противоположное событие.
Наконец, условие (1.6) согласуется с представлением о возможности на
уровне здравого смысла: для того чтобы реализовать A U В, достаточно реа-
лизовать самый ’’легкий” вариант из этих двух (наименее дорогостоящий).
Когда множество S2 конечно, то всякую меру возможности П можно оп-
ределить по ее значениям на одноточечных подмножествах S2:
П(А) = sup ]w(cj) I to e A},	(1-9)
где tt(w) = П( {to}); я есть отображение из П в [0,1], называемое функцией
распределения возможностей. Оно является нормальным в смысле
Bto, я(со) = 1,	(1.10)
поскольку П (S2) = 1.
Замечание. Формула (1.9) справедлива даже в случае, когда (как и у Заде в [37])
не накладывается условие П (П) = 1. Тогда условие (1.8) и (1.10) выполняются, если
заменить 1 на П (П) .
Когда множество S2 бесконечно, то не гарантировано существование функ-
ции распределения возможностей. Соответствующее распределение становит-
ся распределением возможности лишь тогда, когда аксиома (1.6) расширяет-
ся на случай бесконечных объединений событий [21 ]. В прикладных задачах
можно всегда исходить из функции распределения возможностей и строить
меру возможности П с помощью формулы (1.9). В наиболее общем случае
меры возможности не удовлетворяют аксиоме непрерывности (1.3) для убы-
вающих последовательностей вложенных множеств [25]. Другой граничный
случай мер неопределенности получается при достижении равенства в форму-
ле (1.5). При этом определяется класс функций множества, называемых
мерами необходимости и обозначаемых N, которые удовлетворяют аксиоме,
двойственной аксиоме (1.6):
VA, В, N(A П В) = min (N(A) , N(B)) .	(1.11)
Легко построить функцию N со значениями в {0,1} исходя из информации о
достоверном событии и полагая
N(A) = Л, если Б С А,	(1,12)
v 7	(.0 в противном случае.	'	7
Здесь N(A) = 1 означает, что А — достоверное событие (с необходимостью
истинное). Более того, легко видеть, что функция множества N удовлетво-
ряет аксиоме (1.11) тогда, и только тогда, когда функция П, определяемая
в виде
УА,П(А) = 1 - N(A),	(1.13)
является мерой возможности. Формулы (1.12) и (1.13) поясняют название
’’меры необходимости” для функции N. Формула (1.13) есть численное вы-
ражение отношения двойственности между модальностями ’’возможно” и
’’необходимо” (в модальной логике), постулирующее, что некоторое собы-
тие необходимо, когда противоположное событие невозможно. Это отноше-
ние двойственности означает, что всегда можно построить функцию распре-
19
деления необходимости исходя из функции распределения возможности с
помощью формулы
N(A) = inf {1 ~tt(w)|w^A}.	(1.14)
Меры необходимости удовлетворяют соотношению
min (N(A),N(A)) =0,	(1.15)
которое исключает одновременную необходимость двух противоположных
событий. С помощью (1.13) и (1.15) (или (1.8)) нетрудно проверить, что
VA С Q, П(А) >N(A).	(1.16)
Данное условие отвечает интуитивному представлению о том, что, прежде
чем быть необходимым, событие должно быть возможным. К тому же име-
ются более сильные утверждения, чем аксиома (1.16):
N(A) > 0 =>П(А) = 1;	(1.17)
П (А) < 1 =>N(A) = 0.	(1.18)
1.3.2.	ВОЗМОЖНОСТЬ И ВЕРОЯТНОСТЬ
Когда имеется информация о появлении событий в форме измеренных
частот элементарных событий, полученная мера неопределенности естествен-
ным образом удовлетворяет аксиоме аддитивности
VA, VB, АПВ = ®, P(AUB) = Р(А) +Р(В),	(1.19)
т.е. становится вероятностной мерой, которая, конечно, является монотон-
ной в смысле условия (1.2). Формула (1-19) — вероятностный эквивалент
аксиом (1.6) и (1.11).
Условие, эквивалентное условиям (1.9) и (1.14), для конечного случая
записывается в виде
Р(А) = f,p(w),	(1-20)
А
где р(со) - Р({ш}). Условие нормировки Ш^ПР(“) = 1 является аналогом
условия (1.10). Общая черта вероятностных мер, мер возможности и необ-
ходимости заключается в том, что все они могут характеризоваться некото-
рыми распределениями на элементах универсального множества.
Здесь аналогом соотношений (1.8) и (1.15) является хорошо известное
соотношение
Р(А)+Р(А) = 1,	(1.21)
в то время как из (1.8) и (1.15) следуют лишь неравенства
N(A)+N(A)<1,	(1.22)
П(А)+П(А)>1.	(1.23)
Из этих соотношений видно одно из главных различий между возмож-
ностью и вероятностью. Вероятность некоторого события полностью опреде-
ляет вероятность противоположного события. Возможность (или необходи-
20
месть) некоторого события и возможность (необходимость) противополож-
ного ему события связаны слабее; в частности, для того, чтобы охарактери-
зовать неопределенность по отношению к событию А, требуются два числа
11(A) и N(A), удовлетворяющие условию (1.17) или (1.18).
Когда моделируется субъективное суждение, кажется естественным стрем-
ление не устанавливать жесткой связи между показателями, свидетельствую-
щими в пользу некоторого события (степень необходимости), и показателя-
ми, свидетельствующими против него (степень возможности). В этой ситуа-
ции понятие вероятности оказывается менее гибким, чем понятие меры
возможности.
Даже когда сохраняется требование аддитивности, можно построить ме-
ры возможности и необходимости, если не требовать дополнительно, чтобы
значения вероятностей (распределение р) относились к элементарным собы-
тиям. Точнее, пусть Еь Е2,. .., Ер непустые, попарно различные подмноже-
ства множества £2 (предполагаемого конечным) с соответствующими значе-
ниями вероятности m (Ej) ,. . . , m(Ep), такими, что
i=i,X..;Pm(EiJ=1’	(L24)
и Vi,m(E1) >0.	(1.25)
Величина m(Ej) понимается как значение вероятности совокупности элемен-
тарных событий, составляющих Ej, причем здесь не оговаривается распреде-
ление величины m(Ej) по элементарным событиям. Подмножества Ej назы-
ваются ’’фокальными элементами” и могут отражать неточность наблюде-
ний. В этой ситуации вероятность события А можно охарактеризовать лишь
неточно как величину, содержащуюся в интервале [Р (А), Р*(А)] с гра-
ницами
Р*(А) =EjiAm(Ei) =? m(Ei)”NE.(A),	(1.26)
=Ein Ъфт(Е;) = Fm(Ei)' nEj(A)-	(1.27)
Значение Р*(А) вычисляется по всем фокальным элементам, которые делают
необходимым появление события А (или влекут за собой событие А). Значе-
ние Р*(А) получается при рассмотрении всех фокальных элементов, которые
делают возможным появление события А. Отметим, что имеется отношение
двойственности между Р* и Рф:
VA,P*(A) = 1 - Р»(А).	(1-28)
Доказано (Шейфер [28]), что функция Р* (соответственно Рф) удовлет-
воряет аксиоме (1.6) (соответственно (1.11)), т. е. является мерой возмож-
ности (соответственно необходимости) тогда, и только тогда, когда фокаль-
ные элементы образуют последовательность вложенных множеств. А именно
если Ev с Е2 С .. .С Ер, то функция распределения возможностей тг, связан-
ная с Р* и Рж, определяется в виде [8]
Vw, я (со) = Р*({со})
f,Z m(E:), если co G E;, co i E; .,
J J =1 J	'	1-1	(1-29)
Io, если co G £2 - Ep.
Ясно, что если, наоборот, фокальные элементы являются элементарными
(а значит, несовместными) событиями, то VA, Р*(А) = Р*(А) = Р(А), т. е.
снова возвращаемся к вероятностной мере.
Если схематично представить базу знаний с помощью множества фокаль-
ных элементов (которые являются составляющими ’’значение” в наборе,
описывающем информационную единицу), то легко понять, что вероятност-
ные меры естественным образом синтезируют базу точных и дифференциро-
ванных знаний, тогда как меры возможности суть отражение неточных, но
связных (т. е. подтверждающих друг друга) знаний. Отметим, что функ-
ции возможности в этом смысле более естественны для представления
чувства неуверенности: от субъекта не ждут слишком точной информации,
но желают услышать по возможности наиболее связную речь. Зато точные,
но флуктуирующие данные чаще всего получают из наблюдений физическо-
го явления.
Несомненно, в базе знаний будет содержаться информация, которая в
общем случае не сведется ни к точной, ни к полностью согласованной инфор-
мации. Вероятность, с одной стороны, и пара ’’возможность - необходи-
мость” — с другой соответствуют двум крайним, а значит, идеальным си-
туациям.
Формулы (1.26) и (1.27) позволяют считать, что функция распределения
возможностей определяет класс вероятностных мер (Р, такой, что
<P={P|VA,N(A) <Р(А)«П(А)}.	(1.30)
Это позволяет строго определить понятие математического ожидания в рам-
ках мер возможности. Если f — функция, определенная на S2 и принимаю-
щая значения из множества действительных чисел (R, то верхние и нижние
математические ожидания f, обозначаемые E*(f) и ЕД0 соответственно,
определяются с помощью интегралов Лебега — Стилтьеса (Демпстер [1])
E,(f) = Jrdn({w|f(w) <г}),	(1.31)
E*(f) = /rdN([w|f(w) Cr}).	(1.32)
Названия верхних и нижних математических ожиданий оправдываются
тождествами
E*(f) = sup {E(f)| PG (?}; Е,(0 = inf{E(f) | PG (PJ.	(1.33)
Эти соотношения были получены Демпстером [1] для случая, когда множе-
ство £2 конечно; более общий случай описан в работе [15].
1.4. НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА
Понятие нечеткого множества можно определить без ссылки на какую-
либо меру неопределенности, видоизменяя традиционную характеристи-
ческую функцию множества, а именно вводя градации в обычное отношение
принадлежности. Это — точка зрения логики. При всем том задание меры
22
неопределенности сводится к стремлению локализовать значение перемен-
ной х, выражая дня каждого подмножества А универсального множества X
имеющуюся информацию об отношении xGA. Семейство подмножеств,
подходящих для представления переменной х, будет индуцировать обоб-
щенную характеристическую функцию нечеткого множества, причем эти
два представления строго эквивалентны в случае мер возможности.
Согласно первой точке зрения определение нечеткого множества F экви-
валентно заданию универсального множества £2 и отображения из П в еди-
ничный интервал, т. е. Др: £2 -+ [0, 1] (Заде [31]). Значение Др (сэ) для
w G £2 понимается как степень принадлежности элемента ш нечеткому мно-
жеству F. Это — прямое определение, которое позволяет строить простые
модели расплывчатых категорий естественного языка (например, понятие
’’высокий”), определенных на объективном носителе, например в числовой
шкале (£2 — множество чисел, характеризующих рост человека), или на
множестве объектов, качественно описываемых с помощью таких катего-
рий (П-множество людей). Величина др (со) выражает тогда степень сов-
местимости значения (или объекта) со с понятием F. Если £2 = (R (множество
действительных чисел), то F есть нечеткая величина.
Вполне естественна постановка задачи нахождения обычных теоретико-
множественных представлений для нечеткого множества F. Когда Др (со) ё
G {О, 1}, Vco, то F — обычное подмножество универсального множества £2.
В этом случае F называется ’’областью определенности” в £2. В противном
случае можно выбрать порог a G (0,1] и определить обычное множество
Fa = {со G £2|др (со) >а},	(1.34)
которое называется множеством уровня а или a-срезом нечеткого множе-
ства F. Множество Fa содержит все элементы универсального множества
£2, для которых уровень совместимости с F не меньше а. Семейство C(F) =
= {Fa|a G (0, 1]} всех а-срезов есть монотонная последовательность, удов-
летворяющая условию
0<аСЗ< 1 =»Fa □ F,,.	(1.35)
Она позволяет следующим образом представить нечеткое множество F с
помощью обычных множеств (Заде [33]):
Voj, Др(со) = sup {а|со G Fa } .	(1.36)
Обратно, если задано конечное семейство множеств в виде монотонной по-
следовательности {Fa , . . . , Fa }, удовлетворяющей условию (1.35), то
оно образует множество a-срезов нечеткого множества, определяемого усло-
вием (1.36). В случае бесконечного семейства множеств условия (1.35) не-
достаточно и необходимо, чтобы для любой возрастающей последовательно-
сти (ап)п элементов из (0, 1] выполнялось требование (Ралеску [26])
«п=“^а=п2Дп.	(1-37)
С другой стороны, для представления нечеткого множества F можно взять
его строгие a-срезы (множества строгого уровня а), определяемые в виде
F5 ={we £2 |Mr (w) >й},«е [0,1).	(1.38)
Строгие a-срезы удовлетворяют условиям (1 35), (1.36) так же, как и
a-срезы. Среди обычных множеств, описывающих нечеткое множество F в
виде последовательности {F^, часто упоминаются следующие два множества.
множество уровня 1, называемое ядром нечеткого множества F и
обозначаемое F’
F = {wen|pF(w) = 1},
множество строгого уровня 0, называемое носителем нечеткого мно-
жества F и обозначаемое S(F) :
S(F) = {wG£2|pr (w) > 0 }
Примечание В ряде случаев для представления множества Г желательно вводить нс
a-срезы, а другие последовательности множеств [7 j1 .
Вторая точка зрения на нечеткое множество состоит в рассмотрении ею
как ’’следа” меры возможности на одноточечных множествах в Я В самом
деле, всякому множеству ЕС£2 можно поставить в соответствие меру воз-
можности ПЕ, такую, что ПЕ (А) = 1 тогда, и только тогда, когда ЕП А^О.
и ПЕ(А) = 0 в противном случае. Когда мера возможности П принимает значе-
ния в единичном интервале, функцию распределения возможностей можно
интерпретировать как функцию принадлежности нечеткого множества F,
рассматриваемого как достоверное событие, на котором сосредоточена ме-
ра П Действительно, обозначая через [0, 1]п множество нечетких подмно-
жеств универсума £2, имеем
VE1, 3FG [0, 1]л, VwG£2, П({ш}) =тт(ш) = д! (ш).	(1.39)
Обратно, задание нечеткого множества достаточно для описания функции
распределения возможностей при условии, что это нечеткое множество нор-
мально, т е
3w,pE(w)=l	(140)
Но если не накладывать более ограничения П(£2) = 1, то, основываясь на
формуле (1 9), получаем
VFG [0, 1]л, ЭП, vwe £2, П({ш}) =П(ад) (w).	(1 41)
Величина П(£2) - suppj иногда называется высотой нечеткого множества F
Легко видеть, что если функция распределения возможностей определяется
по весам m фокальных элементов2, то фокальные элементы образуют семей-
ство a-срезов некоторого нечеткого множества F Пусть {Aj С . СА }
суть фокальные элементы. Тогда
Aj = Fqj ’ гДе = j _ ] 2 р m (Aj) ’
1 См также гл 1 киши [4д[ -Прим перев
2 См разд 1 3 2 - Прим ред
г е в отличие от условия (1.36) имеем
VcoGSi, м, (со) ^S^m^)-	(1-42)
Эго - вероятностный способ представления нечеткого множества.
Когда выражение (1 39) применяется к вероятностной мере на конечном
универсальном множестве, это приводит к рассмотрению вероятностей как
значений принадлежности Если заметить, что плотность распределения веро-
ятностей описывает наши представления о точке с неизвестным расположе-
нием, а отнюдь не о множестве (поскольку при Р(А) G {0, 1} функция мно-
жества Р(А) есть мера Дирака, сосредоточенная на одноточечном множе-
стве), то станет понятно, что это смешение вероятностей и значений принад-
лежности не вполне правомерно В то время как распределение возможно-
стей легко интерпретировать как нечеткое множество, распределение веро-
ятностей нельзя рассматривать как ’’нечеткую точку”! Более того, в отличие
от случая мер возможности знание {Р({со}) | сов S2] не определяет с необхо-
димостью вероятностную меру, поскольку (при бесконечном множестве S2)
мы можем иметь Р({со]) =0, Vco.
В заключение обсудим вопрос нормировки нечеткого множества. Здесь
все зависит от природы универсального множества. Если, например, мы хо-
тим описать множество целых чисел, очень близких к 3,5, то естественно от-
казаться от нормировки функции принадлежности, поскольку наиболее
близкие к 3,5 числа лежат вне множества натуральных чисел Я Зато нечет-
кая величина, определенная на б? и{-«=}и будет в общем случае
нормированной, причем ее универсум обладает полнотой Отказ от норми-
ровки меры возможности может также интерпретироваться как отсутствие
полного доверия к данной информации (например, при анализе информации,
поступившей от двух противоречивых источников) или как факт наличия
неопределенности, когда переменная, связанная с данной мерой возможно-
сти, не принимает никакого значения (если, например, S2 — множество реа-
лизаций действия, которое, может быть, останется невыполненным)
1.5. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД НЕЧЕТКИМИ МНОЖЕСТВАМИ,
Понятия включения и равенства легко расширяются на случай нечетких
множеств; их наиболее распространенное определение принадлежит За-
де [31].
Включение. F С G Vco, (со) < pG (со).	(1 43)
Равенство F = G Vco, (co)=pG(co)	(144)
Основные теоретико-множественные операции (дополнение, пересечение
и объединение) были определены Заде для нечетких множеств следующим
образом
Дополнение нечеткое множество F, дополнительное к F в универсальном
множестве 52, определяется в виде
Vw, (со) = 1 - gr (co).	(1 45)
Пересечение пересечение FOG двух нечетких множеств F и G в универсаль-
ном множестве S2 определяется в виде
Vw,PF nG^ = mm(pF (w),pG(w)).	(1-46)
Объединение', объединение FUG двух нечетких множеств F и G в универ-
сальном множестве Q определяется в виде
Vw,gFuG(w) =max(pF(w),pG(w)).	(147)
Все эти определения могут показаться в достаточной степени произволь-
ными, хотя и не противоречат нашим интуитивным представлениям Они
совпадают с классическими теоретико-множественными определениями,
когда рассматриваемые множества являются обычными подмножествами
универсальною множества Однако на самом деле обобщения операций до-
полнения, пересечения и объединения, а также отношений включения и ра-
венства на случай нечетких множеств не единственны. Читатель может обра-
титься к гл. 3*, где представлена сводка операций над нечеткими множе-
ствами, отличных от операций (1.45) - (1.47). Точно также и соотношения
(1.43), (1.44) могут оказаться слишком жесткими для практического срав-
нения нечетких множеств между собой. Ими удобно пользоваться главным
образом по соображениям математического порядка. Показатели сравнения
этих операций будут рассмотрены далее.
Тем не менее определения, приведенные выше, можно оправдать богат-
ством структуры, которую они индуцируют на [0, 1]п
Отношение включения, определяемое формулой (1.43), рефлексивно и
транзитивно.
Дополнение, определяемое по формуле (145), удовлетворяет свойству
инволюции F = F и является единственным, если принять, что для каждой
пары (Wj, w2) £ fi ПРИ переходе от элемента cjj к ш2 степень принадлежно-
сти к нечеткому множеству F изменяется симметричным образом по отно-
шению к изменению степени принадлежности к F, т. е.
V(wi, w2),pF(w1)	(w2) =p-(w2) -^(wj.	(1.48)
Множество [0, 1 ]л нечетких подмножеств над универсумом S2 с операция-
ми (1.45) — (1.47) имеет структуру векторной решетки. Это означает, что
все свойства классических теоретико-множественных операций сохраняют-
ся, кроме законов непротиворечивости F О F = 0 и исключенного третьего
F U F = S2, от которых остается лишь ослабленный вариант-
Vw,/ZFnF	= mm(^F^’ 1	<0,5	(1-49)
Vw,/ZFUF	=max(lzF^’ 1 _/ZF >0’5-	С1-50)
Выражения (1.46) и (1.47), т. е. операции взятия минимума и максимума,—
единственно возможные определения операций пересечения и объединения
нечетких множеств, которые сохраняют такую структуру на нечетких под-
множествах универсума S2. При этом получается некоторая ’’оптимальная”
*См также разд 1.5 книги [4д] - Прим, перев
26
структура, так как на [О, 1]п невозмбжно сохранить структуру булевой ре-
шетки. В частности, законы непротиворечивости F О F = фи исключенного
третьего F U F = S2 становятся несовместимыми с условиями идемпотентно-
сти F П F = F, F UF = F, когда понятие принадлежности градуировано
(Дюбуа и Прад [5]).
Отметим еще совместимость включения, пересечения и объединения с по-
нятием a-среза. Легко проверить, что при Va G (0, 1]
(FAG)a=FanGa, (FUG)a=FaUGa,	(1.51)
FCG-=>FaCGa.	(1.52)
При этом (1.51) — еще одно характеристическое свойство операций миниму-
ма и максимума для пересечения и объединения нечетких множеств. Усло-
вия (1.51) и (1.52) выполняются и для строгих а-срезов
Однако операцию дополнения нельзя напрямую заменить тождественной
операцией на a-срезах1. Для нее имеем
= (1-53)
Де Люка и Термини [2] расширили понятие мощности множества на слу-
чай нечетких множеств для конечного универсального множества Г2 в виде
Используя формулы (1.46) , (1.47), легко проверигь, что:
1)	IFUGI + |FOG| = |F| + |G|;
2)	F CG=> |F| < |G|.
Интерпретируя нечеткие множества pF и pG как функции распределения
возможностей тг и тг, на основе последнего соотношения приходим к трак-
товке мощности нечеткого множества как показателя неточности данных.
В самом деле, мощность минимальна для одноточечных множеств, т. е. наи-
более точных значений, и максимальна для F = £2. Наоборот, под показате-
лем точности понимается функция из [0, 1]пв [0, 1], которая является мо-
нотонно убывающей в смысле вложенности нечетких множеств и макси-
мальна лишь для одноточечных подмножеств базового множества. При-
мером меры точности, называемой также мерой специфичности (mesure
de specificite), служит мера, предложенная Ягером в работе [30], которая
для конечного случая, когда элементы множества £2 предполагают упорядо-
ченными по убыванию значений , имеет вид
SP(F) =Г ~-da= L -h>F(w) -р (w )),
о |Fa| j =i J h J 1 J +1
где a = sup {a | Fa Ф ф}, |£2| = n и по определению pF(con+ t) = 0.
1 См также [5д] -Прим перев.
27
Легко убедиться, что Sp(F) = 1 тогда, и только тогда, когда Зсо J2,
F - {«}, и что если F и F’ - нормальные нечеткие множества, то имеем
FCF' =>Sp(F) > Sp(F')
Кроме того, Хигаши и Клир [14] недавно предложили другой показатель
неточности для нечетких множеств, определяемый выражением
H(F)=4-/ log2 (|F |)d»= S (д (co) - Д (co )-logs 0) , если a = 1
a о	j -= i J	1
в предположении, что все элементы множества П упорядочены таким же об-
разом Легко проверить, что здесь выполняются следующие условия
а)	FCF' =*H(F) <H(F');
б)	величина Н минимальна и равна нулю тогда, и только тогда, когда F —
одноточечное множество;
в)	величина Н максимальна и равна log2n тогда, и только тогда, когда
F =£2
Наконец, мощность нечеткою множества может рассматриваться как не-
четкое множество целых чисел, обозначаемое ||F|| и определяемое Заде
[39] следующим образом.
vne 3C,g||F1| (n) = sup {a, |Fa| >n}.
Это определение напоминает выражение (1.36). Когда F — обычное множе-
ство, данная формула сводится к | |F| | = {0, 1, . . , |F| } Свойства нечет-
кой величины мощности 11F11 и ее связи со скалярной величиной мощности
| F | нечеткого множества рассмотрены в работе Дюбуа и Прада [40]
Замечание Не следует смешивать показатель точности и показатель нечеткости
(Кофман [1б]) Последний позволяет оценить, до какой степени плохо определены
границы множества Пусть f (Г) е [0,+~) Указанные показатели характеризуются на
бором аксиом, весьма отличающихся от аксиом, задающих показатели точности (Хига-
ши и Клир [44]) для конечною множества П
1) f (F) = 0 тогда, и только тоща koi да I обычное, четкое подмножество миожс-
2) показатель нечеткости t (I ) максимален тогда, и только тоща, когда / & (со) -0,5,
множество Если D- расстояние Хэмминга, т е D(f, F) =
Вторая аксиома показывает, что 0,5 - наиболее неопределенное значение принадлежно-
сти а третья аксиома задает отношение порядка "более нечеткий, чем" в смысле этой
неопределенности по принадлежности, поскольку |Др(ш)др(со) | = 2| Др(ш) - 0,51
Следствием этой аксиомы является равенство f(F) = f(I ), т с множество F столь же
нечетко, что и ею дополнение Как отмечали Хигаши и Клир в [44], решением для дан-
ной системы аксиом будут показатели нечеткости t (1 ) — 1 В(Г,Г),1дсП норми-
рованное расстояние между 1 и его дополнением, т е D(I , 1 ) = 1, ко!да I - обычное
S| д( (ш) - Др (со) |,
то получаем показатель нечеткости Кофмана Другой показатель был предложен Де Лю
ка I Термини в работе [2] и, как нам кажется, ошибочно назван энтропией Ягер [42]
оценивал, насколько пусто пересечение F n F (или насколько объединение Г и Г по-
крывает универсальное множество 51), причем он опирался на понятие разделения меж-
ду нечетким множеством F и его дополнением, что необязательно связано с расстояни-
ем Эта идея разделения независимо от Ягера разрабатывалась Дюже [43] (см библио-
графию в работе [44]).
1.6. ПРАКТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ ЛРИНАДЛЕЖНОСТИ
Один из вопросов, возникающих при изучении теории нечетких множеств:
’’Как найти функции принадлежности?” Следует различать случаи, когда не-
четкое множество F отражает представление субъекта о некоторой расплыв-
чатой категории, и случаи, когда множество F строится по статистическим
данным.
1 6.1 РАСПЛЫВЧАТАЯ КАТЕГОРИЯ, ВОСПРИНИМАЕМАЯ СУБЪЕКТОМ
Прежде всего следует различать простые категории, определенные на
объективном линейно-упорядоченном универсальном множестве (например,
’’большой”), и сложные категории, которые требуют одновременного рас-
смотрения нескольких универсумов (’’коренастый”) и в которых даже са-
ми универсальные шкалы определимы с трудом (’’красивый”).
Вначале обратимся к простым категориям. В этом случае оценка функции
принадлежности есть задача теории психологических измерений (см., напри-
мер, руководство Крантца, Льюса, Суппеса, Тверски [19]). Функция при-
надлежности строится с помощью опросника. В основном функция принад-
лежности на Q определяет порядок элементов, и именно этот порядок важен
для нас. Так, соотношение Wt > означает, что ’’иц есть более F, чем ”.
Норвич и Турксен [22] установили связь между классическими психометри-
ческими теориями и оцениванием функции принадлежности- если мы в со-
стоянии задать отношение порядка в широком смысле1, всюду определен-
ное на S22, с наибольшим и наименьшим элементами, то мы можем предста-
вить категорию F нечетким множеством, функция принадлежности которо-
го единственна с точностью до некоторого строго возрастающего преобразо-
вания. Если желательна большая точность, то надо найти более богатую
структуру порядка, а именно порядка в широком смысле, всюду опреде-
ленного на S22. При этом пары (a>i,a>i) и (w2, w2) сравниваются по при-
надлежности к нечеткому множеству F, причем неравенство (wi,^) >
> (oj2, ш2) означает, что ”о>1 есть в большей степени F по отношению к a>'t,
чем ш2 по отношению к w2”. С помощью ряда аксиом согласованности и
полноты (в частности, универсальное множество Q должно быть конти-
нуумом), Норвич и Турксен показывают, что функция принадлежности
единственна с точностью до возрастающего аффинного преобразования, т. е.
единственна на [0, 1] в случае, если известны носитель и ядро нечеткого мно-
жества F. Практические методы определения функций принадлежности,
основанные на психометрических методиках, активно разрабатываются в
1 Порядок в широком смысле означает, что не обязательно выполняются все три
свойства (рефлексивность, транзитивность и антисимметричность), определяющие
обычное отношение нестрогого порядка. - Прим, перев.
настоящее время (см , например, Циммерманн и Цисно [38]). На практи-
ке можно задать приближенное представление формы функции , которое
достаточно для реальных приложений. Если S2 универсальное множество,
специфическое для категории, то легко получить от субъекта описание ядра
F и носителя S(F). Здесь ядро F содержит все прототипы для расплывчатой
категории, а носитель получается при исключении тех объектов, которые
совсем не соответствуют этой категории. Использование графических средств
информатики (световоеоперо и т. п.) может облегчить сбор информации о
значениях дг на S (F) - F, позволяя избежать явного употребления числовых
значений принадлежности. Другой подход заключается в использовании па-
раметризованных представлений функции дг и обращений к опроснику с
целью определения значений параметра Эти два метода наиболее успешно
применяются при сборе нечетких данных (см. гл. 2)
Отметим, что вовсе не обязательно располагать точными значениями сте-
пеней принадлежности. Небольшая ошибка в определении границ ядра или
носителя и вообще в определении степени принадлежности объекта классу
будет менее значимой, чем при представлении данной категории обычным
множеством (интервалом), т. е. когда границы соответствующего множе-
ства суть точки разрыва функции дг. К тому же не всегда ясна интерпрета-
ция этих границ: содержат ли они прототипы категории7 Характеризуют ли
они сколько-нибудь связанные между собой объекты? Или они определяют
промежуточное множество7
Другой аргумент, подкрепляющий мысль о том, что на практике доста-
точно приближенного представления функции дг, заключается в следующем
ошибка не будет возрастать при комбинировании нечетких множеств как с
помощью операций (1.45) — (1.47), определенных выше, так и с помощью
методов теории возможности, поскольку при этом большей частью исполь-
зуются лишь операции нахождения минимума и максимума (например, в
гл. 2 для вычисления нечетких интервалов)
В случае более сложной категории, универсальное множество которой
определяется декартовым произведением линейных шкал, функцию принад-
лежности можно получить за счет свертывания исходной информации Напри-
мер, рассмотрим случай, когда некоторую категорию можно описать в виде
дерева простых категорий и связок естественного языка, таких как И, ИЛИ
и т. д. Это приводит к задаче идентификации каждой простой категории и
(приближенного) определения нечетких теоретико-множественных опера-
ций, которые можно использовать для описания этих связок Однако при
этом следует выбрать более широко понимаемые операции, чем определяе-
мые формулами (1.45) — (1.47), что и обсуждается в гл. 3 (см также ра-
боту [38]).
Наконец, когда мы имеем дело с категорией, для которой трудно опреде-
лить универсальное множество (ввиду отпечатка субъективности нет обще-
го согласия по ее поводу), можно условиться о применении некоторого мно-
жества, состоящего из небольшого числа эталонных значений или состояний,
в случае необходимости упорядоченных, которое и станет универсумом
Каждое лингвистическое значение, относящееся к рассматриваемому поня-
30
тию, будет тогда представлено нечетким подмножеством данного универсу-
ма. В этом случае достаточно ограничиться небольшим числом ’’типовых”
значений принадлежности.
1 6 2 НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА, ПОСТРОЕННЫЕ ПО СТАТИСТИЧЕСКИМ ДАННЫМ
Здесь можно различать две точки зрения. Первая состоит в использовании
множества неточных данных, которые можно моделировать распределением
частот, относящихся к вложенным событиям. Вторая заключается в аппрок-
симации распределения вероятностей, построенного по гистограмме, рас-
пределением возможностей так, чтобы значения вероятностей событий с
двух сторон приближались степенями возможности и необходимости1.
Статистики, относящиеся к неточным результатам опытов. Построение
гистограммы всегда происходит в предположении, что результат случайной
выборки достаточно точен. Эта гипотеза не всегда справедлива: измерения
чаще всего дают интервалы ошибки; экспертные опросы также дают неточ-
ные ответы. Ниже показано, как на базе такой неточной статистической ин-
формации можно построить меру возможности вместо вероятностной меры,
когда имеющиеся данные согласуются между собой.
Предположим, что данные образуют семейство подмножеств {1^1 к =
= 1, . . . , q}. Вообще говоря, в случае неточности данных желательно, чтобы
они были хотя бы минимально согласованными, т. е.
i=k = i? .	С1-54)
Тогда информацию можно обобщенно представить следующим образом’ за-
даются семейством стандартных подмножеств (интервалов ) Ер i = 1,.. ., г,
вложенных друг в друга таким образом, что
IC Е! С Е2 С .. .С Ег =k = 1U qlk.
Интервалы Е. служат эталонами для классификации данных и играют ту же
самую роль, что и дизъюнктивные классы, которые используются для по-
строения гистограммы. Каждый результат эксперимента Ik единственным
образом связывается с самым малым эталоном Е-, который может его со-
держать. Пусть p(Ik) — относительное число результатов, равных Ik. Опреде-
лим частоты:
Vi, m*(Ei) =Z{p(Ik)|Ik связан с ЕД.
Очевидно, что функция т* находит значения вероятностей для вложенных
фокальных элементов и, следовательно, определяет через формулы (1.26) и
(1.27) меры возможности и необходимости, которые дают нижнее и верхнее
приближения тех оценок значений вероятности, которые были бы получены
по точно определенным данным.
1 Классификацию и более полный обзор методов построения функций принадлежно-
сти, в частности и по статистическим данным, можно найти в гл 10 книги [4д], а также
в [Зд]. - Прим, перев.
31
Эта идея, изложенная в работе [10], требует, однако, разработки метода
определения эталонов Е^ В работе [41] показано, что наилучший выбор эта-
лонов Ej - это множество a-срезов нечеткого множества F*, построенного
на основе данных {Jk, k = 1,. . ., q} в виде
Усо,д (w) = S р(1 )д (ш),
* к ~1 ’ ’Я к
где Дг -характеристическая функция Ifc. Отметим, что функция Др* являет-
ся нормированной при выполнении условия (1 54) . В дальнейшем предпола-
гается, что эталоны Е; суть a-срезы F*. Обозначим П* и N* меры возможно-
сти и необходимости, получаемые на основе функции распределения возмож-
ностей др , которая определяется по частоте т*(Е ) с помощью формулы
(1.42), а’П* и N* - меры возможности и необходимости, определяемые на
базе функции дг, Доказываются следующие результаты [41]:
1) F* С F*, т. е. множество F* является более неточным, чем множество
F*. Равенство здесь выполняется тогда, и только тогда, когда I. образуют
последовательность вложенных множеств.
2) Пусть Р* и Р* — нижние и верхние вероятности, определяемые формула-
ми (1 26) и (1 27), где Ifc - фокальные элементы a m(Ik) = p(Ik), Vk,T. е.
Р+(А) = k |iP(Ik) • N^CA) иР*(А) =kl]P(Ik) ‘ П^СА)
Тотда справедливы следующие соотношения-
VA, [N* (А), П* (А) ] С [Р* (А), Р* (А) ] С [N*(A), П*(А)]	(1.55)
Более того, F* и F* являются соответственно самым большим и самым ма-
лым нечеткими множествами по отношению вложенности, такими, что вы-
полняются отношения вложенности (1.55), и такими, что порядки, опреде-
ленные функциями Др , дг, и Р* на элементах множества £2, идентичны.
Кроме того, отметим, что Vco £2, Р*({со}) = др (со). Этот результат пока-
зывает, что множества F* и F* составляют наилучйше нижние и верхние воз-
можностные приближения множества данных Ik> k = 1, . . . ,q, в смысле от-
ношений вложенности вышеуказанных интервалов. Таким образом, видно,
что множество интервалов можно аппроксимировать функциями распреде-
ления возможностей. Результаты, относящиеся к F*, не требуют выполнения
условия (1.54) ; к тому же функция принадлежности др всегда нормирована
Гистограмма и функция распределения возможностей [9]. Koi да задана
мера возможности, представленная в виде вложенных фокальных элементов
и вероятностных весов, ее можно аппроксимировать вероятностной мерой,
введя для каждого фокального элемента условное равномерное распре-
деление вероятностей ₽(• IEJ . Тогда вероятность появления элемента со €' £2
(£2 - конечное множество) определяется в виде
г	ш(Е.)
Vcoe £2.р(со) = L Р(со|Е )-ш(Е 1 = S -тугг—>	'	(1.56)
1 = 1	1	1 ше F Iь I
где | Е I — мощность множества Е].
32
Таким образом, вероятностная мера Р (которую можно считать до некото-
рой степени произвольной) выбирается в классе мер, которые удовлетворя-
ют неравенствам
VA,N(A) «Р(А) СП(А).	(1.57)
Значения вероятностей {p(w ) 11 = 1, . . ., п} вычисляются непосредствен-
но по функции распределения возможностей {^(ш^ 11 = 1, . . , п}
p(w ) = у(тг(шр-тг(о!з+1),	(1.58)
где тг (o>i) = 1 > тг (ш2) > . .>7г(а)п + 1)=0ишп+1- фиктивный элемент
(множество £2 состоит из п элементов)
Легко заметить, что формула (1.58) определяет взаимно однозначное
отображение между функциями распределения р и тг. В работе [9] получе-
но обратное соотношение
71(0^) = S ттп(р(о>1), р(ш )).	(1-59)
Это последнее соотношение позволяет определить нечеткое множество по
гистограмме с учетом условия связности (1.57). К тому же данное преобра-
зование легче обосновать, поскольку здесь вместо сложения степеней неопре-
деленности можно ограничиться их сравнением друг с другом. Такой образ
действий оправдывает себя на практике лишь тогда, когда в рамках постав-
ленной задачи вероятностная модель оказывается трудно реализуемой, а
возможностная модель обеспечивает удовлетворительные результаты.
Легко видеть, что неравенства (1.57) по форме совпадают с правой частью
выражения (1 55), где Р* = Р* = Р. Однако функция распределения возмож-
ностей тг, определяемая формулой (1.59), не является наилучшим верхним
приближением функции распределения вероятностей р, в отличие от функ-
ции Используя процедуру аппроксимации, изложенную в данном разде-
ле применительно к случаю функции распределения вероятностей (множе-
ства Ik являются одноточечными, а дг (со) = р (ш)), получаем
PF,(o>) = X	р(ш’).
ю' р(ы')«; р(и>)
Легко проверить, что функция распределения возможностей тг, определяемая
формулой (1 59), является менее точной, чем функция распределения Др.» в
том смысле, что тг > дЕ,. Множества a-уровня нечеткого множества F* есте-
ственным образом интерпретируются как ’’доверительные множества” (по-
добно доверительным интервалам в статистике)1 2, связанные с функцией
распределения вероятностей р. В частности, можно убедиться, что если а =
" Мр/со), то имеем 1 — а = P(Fi), т е. с вероятностью 1 - а можно быть
уверенным в том, что значение случайной переменной, описываемое функ
цией р, находится среди элементов множества строгого a-уровня нечеткого
1 См , например, [1д] ~ Прим, перев
2 - Й970
33
множества F*. В статистике часто предполагается, что а = 5 %. Использование
функции распределения возможностей др*позволяет избежать такого произ-
вольного назначения порога.
1 6.3 ЗАМЕЧАНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО МНОЖЕСТВА ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ
ПРИНАДЛЕЖНОСТИ
Задача оценки функции принадлежности связана с выбором множества
значений принадлежности; ранее везде предполагалось, что др(со) G [0, 1],
т. е. что элементы множества Г2 всегда можно линейно упорядочить (в широ-
ком смысле) по их отношению к категории F Некоторые авторы опирались
на более слабые предположения. Так, Гоген [11] заменил интервал [0, 1] ре-
шеткой L, Заде [34] предложил для выражения неопределенности на множе-
стве оценок др(со) рассматривать сами значения принадлежности как нечет-
кие множества со значениями в интервале [0, 1 ]. В этом случае получаются
так называемые нечеткие множества типа 2, когда функция принадлежности
др принимает свои значения в решетке вида [0, 1] I0’1J (см. работы [4,20]).
Наоборот, если неточным оказывается аргумент функции принадлежности
др(со), то S2 в действительности является множеством нечетких подмно-
жеств другого универсума - V (S2 = [0, 1 ]V), a F — нечетким множеством
уровня 2 на универсуме (см. [34]). Это понятие позволяет представлять
все более и более абстрактные категории (например, категорию ’’цвет”,
рассматриваемую как нечеткое множество на универсуме черный, серый,
красный, синий. . ); оно систематически исследуется в работах [12, 13].
1.7.	МЕРЫ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ В НЕЧЕТКОМ СОБЫТИИ
Нечеткое (плохо определенное) событие может быть описано нечетким
множеством. Следовательно, можно попытаться расширить меры неопреде-
ленности, введенные выше, для оценки информации о наступлении нечетко-
го события.
Если тройка (Г2,	, Р) описывает вероятностное пространство, где Л -
а-алгебра подмножеств множества элементарных событий Г2, а Р — вероят-
ностная мера, то нечеткое событие F характеризуется функцией принадлеж-
ности др, измеримой по Борелю (Va, F G Л), причем согласно [32] вероят-
ность нечеткого события определяется формулой
P(F) =jMF(x)dP(x).	(1.60)
Это выражение - математическое ожидание функции принадлежности.
Можно проверить, что
P(F)=1-P(F)	(1.61)
и, более того, что
P(FOG) +P(FUG) =P(F) +P(G).	(1.62)
В работах Клемента [17, 18] систематически исследуется понятие нечет-
кой a-алгебры и установлены условия, при которых функции Р, удовлетво-
ряющие равенству (1.62), выражаются формулой (1.60).
34
Наряду с вероятностями нечетких событий можно определить понятия
возможности и необходимости нечеткого события
Если придерживаться семантики понятия возможности, то, как и Заде
в [37], придем к использованию в измерениях возможности нечеткого со-
бытия F показателя частичного перекрытия между нечетким множеством
F и нечетким множеством Fn, которое задает функцию распределения воз-
можностей я:
11(F) = sup min (д., (w) , я (w) ) .	(1.63)
шея
Можно убеждаться в том, что 11(F) = 0 <=> S(F) О S(Fn) = 0, a 11(F) = 1 «=>
<==> Эсо G F П (для конечного случая), что обобщает выражение (1.7).
В работе Прада [23] формула (1.63) обосновывается в терминах a-сре-
зов, поскольку это определение эквивалентно формуле
R(F) =sup{a|Fa О (FJa Фф}.	(1.64)
Утверждается, что аксиома (1.6) для возможностей четких событий остает-
ся справедливой и для нечетких событий:
n(FUG) =тах(П(Р),П(С)).	(1.65)
Из выражение (1.65) немедленно следует, что П остается мерой неопределен-
ности в нечетких событиях
FCG, т е. /ip </iG=>n(F) <П(С).
В силу двойственности необходимость нечеткого события будет определять-
ся в виде N(F) = 1 — П(р), т е.
N(F) = inf тах(д,. (со), 1 — я(ы)).	(166)
шея г
Эту величину можно рассматривать как степень вложенности нечеткого мно-
жества Fn в нечеткое множество F, поскольку
N(F)>0<=* FnCS(F),
N(F)=1~S(F„)CE
Отсюда видно, что понятию необходимости нечеткого события соответству-
ет более сильное определение вложенности, чем определение (1.43). нечет-
кое множество F включает в себя нечеткое множество G, если ядро нечетко-
го множества F содержит носитель нечеткого множества G.
Легко убедиться, что если Fn С F (в смысле определения (1.43)), то
N(F) > 0,5. При этом остается справедливой аксиома (1.11) для мер необ-
ходимости
N(FGiG) = min (N (F), N (G) )	(1.67)
и функция N — мера неопределенности в нечетких событиях. Отметим,что
max(n(F), H(F)) < 1, если F — нечеткое подмножество множества Q. Одна-
ко в силу условий (1.49), (1.50) всегда имеем
тах(П(Р),П(Р)) >0,5; min(N(F),N(F)) <0,5.	(1.68)
35
При этом, если нечеткое множество нормально, всегда выполняется со-
отношение (1.16), т. е	*
VF, П(Е) >N(F),	(1.69)
в то время как выражения (1.17), (1 18) не выполняются, если F - нечет-
кое множество.
1.8.	НЕЧЕТКИЕ ОТНОШЕНИЯ И ДЕКАРТОВО ПРОИЗВЕДЕНИЕ НЕЧЕТКИХ
МНОЖЕСТВ
Нечетким отношением называется нечеткое множество (или функция рас-
пределения возможностей) на декартовом произведении базовых множеств.
Пусть £2] и £22- два базовых множества. Нечеткое отношение R описывается
функцией принадлежности gR = тг с аргументами од £ £2и w2 € £2j.
Проекция нечеткого отношения Rna £2j описывается распределением воз-
можностей JTj вида [35]
Ki (“i) = П({«1] х £22) = sup тт(Ш1, ш2).	(1.70)
Если рассматривать тг как возможностный аналог плотности совместного
распределения вероятностей, то выражение (1 70) напоминает плотность
одномерного распределения.
Если Fj — нечеткое множество в универсуме £2j, то gF можно расширить
на случай £2j х £22 следующим образом:	1
VwI( ш2,дС2(1? ) (Wj.wj) =дГ1(ш1),	(1-71)
Тогда множество C2(Fi) называется цилиндрическим продолжением множе-
ства Fj на £22 [35].
Пусть Fi и F2 — два нечетких множества в универсальных множествах
£2j и £22 соответственно. Понятия декартова произведения и декартова ко-
произведения можно расширить на случай нечетких множеств Ft и F2. В слу-
чае обычных множеств декартово произведение есть множество Aj х А2 =
= {(wi, ш2) |о?] G At, оэ2 £ А2 }, а декартово копроизведение определяется в ви-
де Ai + А2 = {(о?!, ш21 W| £ Aj U {(«1, ш2) |ш2 £ А2}, т. е. в терминах ци-
линдрических продолжений	__________
Ai х А2 =C2(Aj) nCi(A2), Aj +А2 =C2(Ai) UCj (А2) = Aj x A2 .
Очевидно, что декартово произведение нечетких множеств можно определить
как пересечение, а копроизведение — как объединение их цилиндрических
продолжений, т. е.
xF2	=mm(pFj(w1),MFj(w2)),	(1 72)
^Fj +F2(<z>i’W2) =max(/zF (Wi),PFj(w2))-	(1 73)
Здесь существенно следующее замечание. если Pro^ (R) — проекция нечет-
кого отношения R на £2 , то всегда имеем
RC Proji(R) х Proj2(R),	(1 74)
где х обозначается операция взятия минимума, а С — отношение вложенно-
сти в смысле определения (1.43).
36
Обратно, если Ft и F2 — два нормальных нечетких множества в универ-
сумах Qj и £22 соответственно, то наибольшее нечеткое отношение R, такое,
что Fj = Projj (R), равно декартову произведению F] х F2. Нечеткое отноше-
ние R называется сепарабельным, если
R = Proji(R) х Proj2(R).	(1.75)
Показатель неточности Хигаши и Клира, введенный выше, удовлетворяет
замечательному неравенству H(R) < H(Proji (R)) + H(Proj2(R)), которое
согласуется с выражением (1.74); в частности, если нечеткое отношение
R сепарабельно, то здесь выполняется строгое равенство. Зато когда R - се-
парабельное нечеткое отношение, равенство |R| = |Proji (R) | • |Proj2(R)|
несправедливо.
Переменные Xi и Х2, для которых область изменения (Xt, Х2) ограниче-
на нечетким отношением R, называются невзаимодействующими (несвязан-
ными) . Если F( — нечеткое множество возможных значений Xt на £2^ то пе-
ременные X] и Х2 являются невзаимодействующими тогда, когда совмест-
ная функция распределения возможностей для (X!, Х2) имеет вид
’хрХ, =min(/rFi,/rFp.	(1.76)
Тогда и нечеткие множества р! и F2 называются невзаимодействующими.
Это означает, что область изменения переменной Xs не зависит от значений,
принимаемых переменной Х2, и наоборот. Формула (1.76) определяет наи-
большее (в смысле включения) нечеткое отношение или эквивалентным об-
разом функцию распределения возможностей, наименее связанную с проек-
циями F! и F2. Иными словами, если Fi и F2 — единственные нечеткие огра-
ничения на (X], Х2), то выражение (1.76) наиболее естественно определяет
распределение тгх х . Эта формула становится несправедливой, как только
переменные Xi и Х2 связываются каким-либо другим отношением (напри-
мер, если Bf : Х2 = f (X])).
Пусть П]2 — мера возможности, определенная по функции распределения
возможностей тт12 в универсуме £2] х £22. Если функция распределения тг12
сепарабельна и нормальна, то
VAi х А2 C£2j х £22, II12 (Aj х А2) =тш(П1 (Aj),n2(A2))	(1.77)
и
N12(Aj +А2) =max(N! (At), N2 (А2)),	(1.78)
где Ni2, Ni, N2 — меры необходимости, двойственные мерам возможности
Пп, П1, П2 соответственно. Если функция тт12 сепарабельна и нормальна,
то формулы (1.77) и (1.78) распространяются на нечеткие события F] и
F2 в универсумах £2t и £22 соответственно, т. е. [23]
V(FbF2)e [0,1]п>х [О, 1]«»,П12 (Fj xF2) =mm(n1(Fi),n2(F2)),(1.79)
N12(Fj +F2) = max(N1(F1),N2(F2)).	(1 80)
Заметим, что, даже если функция 7ri2 не является сепарабельной, и независи-
мо от того, являются ли F1; F2 нечеткими или обычными множествами,
37
n)2(F1 +F2) =max(Il1(F1),II2(F2)),	(1.81)
N12(Fj xF2) = min(Ni (Fj) , N2(F2)) ,	(1.82)
в то время как при указанных предпосылках выражения (1.79) и (1.80)
превращаются в неравенства (со знаками < и > соответственно).
Отметим определенную аналогию между независимыми случайными со-
бытиями и невзаимодействующими нечеткими переменными, характеризу-
емыми мерами возможности. Если Pi2 — совместная вероятностная мера в
х S22, a Pj и Р2 — вероятностные меры для переменныхX] и Х2 соответ-
ственно, причем Xi и Х2 — две независимые случайные переменные, то
VAi Cfij, VA2 Cfi2, Р12(А! х А2) =Р!(А0 -Р2(А2).	(1.83)
С точки зрения частотной интерпретации вероятности это означает, что собы-
тие Aj появляется с одной и той же частотой как в экспериментах, где возни-
кает событие А2, так и в экспериментах, где А2 не имеет места (и наоборот).
С другой стороны, выражение (1.76) означает, что область изменения пере-
менной X] не зависит от области изменения переменной Х2 (и наоборот). За-
то если для двух событий Ai и А2 выполняется соотношение
P12(Aj х А2) =min(P1(A1),P2(A2)),	(1.84)
то из него следует, что А] влечет за собой А2 (при Pi (А,) < Р2(А2)) или с
частотной точки зрения событие А! происходит лишь в экспериментах, где
реализуется и событие А2. В самом деле, поскольку Pt (Aj) =Pi2(A! х А2) +
+ Pn(Ai х Л2) и Р2(А2) = Р±2 (Ai х А2) + Р12 (Ai х А2), то из формулы
(1.84) следует, что Pi2(At х А2) = 0 или Pi2(Aj х А2) = 0. Таким образом,
равенство (1.84) далеко не означает независимости событий Ai и А2.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1	- DEMPSTER, А.Р. (1967) Upper and lower probabilities induced by a mul-
tivalued mapping. Ann. Math. Statis., 38, 325-339.
2	- DE LUCA, A., TERMINI, S. (1972) A definition of a non-probabilistic
entropy in the setting of fuzzy sets theory. Information and Control,
20, 301-312.
3	- DUBOIS, D. (1983) Modeles Math&matiques de 1'Imprecis et de 1'Incertain
en Vue duplications aux Techniques d'Aide a la Decision. These d'Etat
Universite Scientifique et Medicale de Grenoble.
4	- DUBOIS, D., PRADE, H. (1979) Operations in a fuzzy-valued logic. In-
formation and Control, 43, (2), 224-240.
5	- DUBOIS D., PRADE H. (1980) New results about properties and semantics
of fuzzy-set-theoretic operators. In “Fuzzy Sets : Theory and Appli-
cations to Policy Analysis and Information Systems. (Paul P. Wang,
S.K. Chang, eds.). Plenum Publ. Corp. New-York, 59-75.
38
6	- DUBOIS, D., PRADE, H. (1980) Fuzzy Sets and Systems : Theory and Ap-
plications, Vol. 144 in Mathematics in Sciences and Engineering Series
Academic Press, New-York.
7	- DUBOIS, D., PRADE, H. (1982) Towards fuzzy differential calculus.
Part 2 : integration on fuzzy intervals, Fuzzy Sets and Systems, 8,
105-116.
8	- DUBOIS, D., PRADE, H. (1982) On several representations of an uncer-
tain body of evidence. In "Fuzzy Information and Decision Processes"
(M.M. Gupta, E. Sanchez, eds.), North-Holland, 167-181.
9	- DUBOIS, D., PRADE, H. (1983) Unfair coins and necessity measures :
Towards a possibilistic interpretation of histograms. Fuzzy Sets and
Systems, 10, (1), 15-20.
10	- DUBOIS, D., PRADE, H. (1986) Fuzzy sets and statistical data. Euro-
pean J. Operational Research, 25, 345-356.
11	- GOGUEN, J.A. (1967) L-Fuzzy sets. J. of Math. Anal. & Appl., 18, (1),
145-174.
12	- GOGUEN, J.A. (1974) Concept representation in natural and artificial
languages : Axioms, extensions and applications for fuzzy sets. Int. J.
Man-Machine Studies, 6, 513-561.
13	- GOTTWALD, S. (1979) Set theory for fuzzy sets of higher levels. Fuzzy
Sets and Systems, 2, 125-151.
14	- HIGASHI, M., KLIR, G.J. (1983) Measures of uncertainty and information
based on possibility distributions. Int. J. General Systems, 9, (1),
43-58.
15	- HUBER, P.J. (1973) The use of Choquet capacities in statistics. Bull.
Inter. Statist. Institute, XLV, (4), 181-188.
16	- KAUFMANN, A. (1973) Introduction 3 la Theorie des Sous-Ensembles Flous.
Vol. 1 : Elements ThSoriques de Base. Masson, Paris.
[Имеется перевод: Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств:
Пер. с франц. — М.: Радио и связь, 1982. — 432с.]
17	- KLEMENT, Е.Р. (1980 ) Characterisation of finite fuzzy measures using
Markoff-kernels. J. Math. Anal. & Appl., 75, 330-339.
18	- KLEMENT, E.P. (1982) Construction of fuzzy a-algebras using triangular
norms, J. Math. Anal. & Applications, 85, 543-566.
19	- KRANTZ, D.H., LUCE, R., SUPPES, P. TVERSKI, A. (1971) Foundations of
Measurement. Vol. 1, Academic Press, New-York.
20	- MIZUMOTO, M., TANAKA, K. (1976) Some properties of fuzzy sets of ty-
pe 2. Information and Control, 31, 312-340.
21	- NGUYEN, H.T. (1979) Some mathematical tools for linguistic probabili-
ties. Fuzzy Sets and Systems, 2, 53-65.
39
22	- NORWICH, A.M., TURKSEN, I.B. (1982) The fundamental measurement of
fuzziness. In : "Fuzzy Set and Possibility Theory : Recent Developments".
(R.R. Yager, Ed.), Pergamon Press, 49-60.
[Имеется перевод: Норвич A. M., Турксен И. Б. Фундаментальное изме-
рение нечеткости// Нечеткие множества и теория возможностей. Послед-
ние достижения: Пер. с англ./ Под ред. Р. Р. Ягера - М.: Радио и связь,
1986.-С. 51-64.]
23	- PRADE, Н. (1982) Modal semantics and fuzzy set theory. In : Fuzzy Set
and Possibility Theory : Recent Developments (R.R. Yager Ed.) Perga-
mon Press, 232-246.
[ Имеется перевод: Прад А. Модальная семантика и теория нечетких мно-
жеств// Нечеткие множества и теория возможностей. Последние достиже-
ния: Пер. с англ./ Под ред. Р. Р. Ягера. — М.: Радио и связь, 1986. — С.
161 -177.]
24	- PRADE, Н. (1982) Modules Math&natiques de I'Imprficis et de 1‘Incertain
en Vue d'Applications au Raisonnement Naturel, These d'Etat n° 1048,
Univ. Paul Sabatier - Toulouse.
25	- PURI, M.L., RALESCU, D. (1982) A possibility measure is not a fuzzy
measure. Fuzzy Sets and Systems, 7, 311-314.
26	- RALESCU, D. (1979) A survey of the representation of fuzzy concepts
and its applications. In : Advances in Fuzzy Set Theory and Applica-
tions (M.M. Gupta, R.K. Ragade, R.R. Yager Eds.), North-Holland, 77-91.
27	- SAVAGE, L.J. (1972) The Foundations of Statistics, Dover, New-York.
28	- SHAFER, G. (1976) A Mathematical Theory of Evidence. Princeton Univer-
sity Press, Princeton N.J.
29	- SUGENO, M. (19/4) Theory of Fuzzy Integral and Its Applications. Ph.
D. Thesis, Tokyo Inst, of Technology, Japon.
30	- YAGER, R.R. (1982) Measuring tranquility and anxiety in decision-ma-
king : an application of fuzzy sets. Int. J. Man-Machine Studies, 8,
(3), 139-146.
31	- ZADEH, L.A. (1965) Fuzzy sets. Information & Control., 8, 338-353.
32	- ZADEH, L A. (1968) Probability measures of fuzzy events. J. Math.
Anal. & Appl., 23, 421-427.
33	- ZADEH, L.A. (1971) Similarity relations and fuzzy orderings. Informa-
tion Sciences, 3_, 177-200.
34	- ZADEH, L.A. (1971) Quantitative fuzzy semantics. Information Sciences,
3, 159-176.
35	- ZADEH, L.A. (1975) Calculus of fuzzy restrictions. In : Fuzzy Sets
and Their Applications to Cognitive and Decision Processes (L.A.
Zadeh, K.S. Fu, K. Tanaka, M. Shimura, eds), 1-39, Academic Press.
40
36	- ZADEH, L.A. (1975) The concept of a linguistic variable and its appli-
cations to approximate reasoning. Information Sciences. Part 1, 8,
199-249 ; Part 2, 8, 301-357 ; Part 3, 9, 43-80.
[Имеется перевод: Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его
применение к принятию приближенных решений /Пер. с англ, под редак-
цией Н. Н. Моисеева и С. А. Орловского - М.: Мир, 1976. - 165 с.]
37	- ZADEH, L.A. (1978) Fuzzy sets as a basis for a theory of possibility.
Fuzzy Sets and Systems, !_• 3-28.
38	- ZIMMERMANN, H.J., ZYSNO, P (1983) Decisions and evaluations by hierar-
chical aggregation of information. Fuzzy Sets and Systems, 10, (3),
243-260.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ, ДОБАВЛЕННОЙ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
39	- ZADEH, L.A. (1983) A computational approach to fuzzy quantifiers in
natural languages. Computer & Mathematics with Applications, 2» (1),
149-184.
40	- DUBOIS, D., PRADE, H. (1985) Fuzzy cardinality and the modeling of
imprecise quantification. Fuzzy Sets and Systems, 16, (3), 199-230.
41	- DUBOIS, D., PRADE, H. (1986) A set-theoretic view of belief functions.
Logical operations and approximations by fuzzy sets. Inter. J. of
General Systems, 12 (3), 193-226.
42 - YAGER R. (1979) On the measure of fuzziness and negation. Part 1 :
Membership in the unit interval. Int. Journal, General Systems 5,
221-229.
43 - DUJET, C. (1982) Separation and information in the setting of fuzzy
sets. Proc. IFAC Conference on Theory and Application of Digital Con-
trol , New Delhi, 1982, Pergamon Press, 17-22.
44 - HIGASHI, M , KLIR, G (1982) On measures of fuzziness and fuzzy com-
plements. Int. J. General Systems, 8, 169-180.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1д. Айвазян С. А., Енюков И. С., Мешалкин Л. Д. Основы моделирования и первичная
обработка данных - М. Финансы и статистика, 1983	471 с
2д Канберг Г. Вероятность и индуктивная логика. - М.. Прогресс, 1978. - 378 с
Зд Модели принятия решений на основе лингвистической переменной/ А Н Борисов,
А В. Алексеев, О А. Крумберг и др - Рига Зинатне, 1982 - 256 с
4д Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта/А Н Авер-
кин, И. 3 Батыршин, А Ф Блишун и др - М Наука, 1986 - 312 с
5д Орловский С. А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информа-
ции - М Наука, 1981 - 208 с
6д Теория моделей в процессах упрат. ления/Б Н Петров, Г М Уланов, И И Гольден-
блат, С. В. Ульянов - М. Наука, 1978	216 с
7д Трухаев Р. И. Модели принятия решений в условиях неопределенности М Нау
ка, 1981 - 258 с
41
ГЛАВА 2 ИСЧИСЛЕНИЕ НЕЧЕТКИХ ВЕЛИЧИН
В этой главе обсуждаются методы исчисления выражений с неточными ве-
личинами, представленным в виде распределений возможности на множестве
действительных чисел. Эти методы находятся в полном соответствии с мето-
дами расчета неопределенностей или теорией ошибок и представляют собой
их расширение на случай взвешенных интервалов. Их значение показано на
ряде примеров в конце этой главы. Кроме того, нечеткие величины будут
рассматриваться в гл. 3, 5 и 6. В сущности, в исчислении нечетких величин
предлагается один из вариантов развития теории чувствительности, которая
может приобретать оттенки без заметного увеличения объема необходимых
вычислений. Когда затруднительно применение теории случайных функций
[21], на смену ей также приходит исчисление нечетких величин, хотя, конеч-
но, ценой некоторой потери информации — большей или меньшей в зависи-
мости от характера решаемых проблем. Теоретическая часть материала дан-
ной главы более детально изложена в работе [27].
2.1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОСНОВНОЙ ПРИНЦИП
2 1 1 НЕЧЕТКИЕ ВЕЛИЧИНЫ, НЕЧЕТКИЕ ИНТЕРВАЛЫ И НЕЧЕТКИЕ ЧИСЛА
Нечеткая величина Q — это нечеткое множество, определенное на множе-
стве действительных чисел, т. е. отображение из £? в [0, 1]. Здесь функ-
ция принадлежности jUq будет естественным образом рассматриваться как
функция распределения возможностей на значениях, принимаемых некото-
рой переменной. В соответствии с результатами, обсуждавшимися в разд. 1 4
и относящимися к нормировке нечетких множеств и к ’’возможностной”
природе нечеткой величины Q, будем в общем случае предполагать, что
функция gQ нормирована.	о
Всякое действительное число т, принадлежащее ядру Q (т. е. ^(ш) =1),
называется модальным значением Q.
Можно определить такой тип нечеткой величины, который обобщает по-
нятие интервала- нечеткий интервал — эго выпуклая нечеткая величина,
функция принадлежности которой квазивогнута [23]:
Vu,v,Vw£ [u,v], MQ(w) >min(MQ(u),/rQ(v)).	(2 1)
Нечеткая величина является выпуклой тогда, и только тогда, когда ее
a-срезы выпуклы, т е. являются (ограниченными или неограниченными)
интервалами. Понятие замкнутых интервалов обобщается в виде понятия
нечетких интервалов, у которых функция принадлежности полунепрерывна
сверху, т. е по определению их a-срезы являются замкнутыми интервалами
Понятие компактных подмножеств множества действительных чисел (R
(замкнутых и ограниченных) обобщается с помощью понятия нечетких ве-
личин с полунепрерывными сверху функциями принадлежности, определен-
ными на компактном носителе. Будем называть нечетким числом полуне-
прерывный сверху нечеткий интервал с компактным носителем и единствен-
42
ным модальным значением. Если М — нечеткое число с модальным значени-
ем т, то М является возможным представлением понятия ’’около ш” [6].
В случае же нечеткого интервала множество модальных значений само есть
некоторый интервал. Нечеткая величина Q будет называться полимодалъ-
ной, если существует конечное множество выпуклых нечетких подмножеств
{М |i G 1} с полунепрерывными сверху функциями принадлежности, таких,
что Q есть объединение М. в смысле формулы (1.47).
Нечеткий интервал — это удобная форма представления неточных вели-
чин, более богатая информацией, чем обычный, точный интервал. Действи-
тельно, часто встречаются ситуации, когда требуется оценить точность неко-
торого параметра или обеспечить прогноз значения некоторого признака, а
обычный интервал оказывается неудовлетворительным представлением.
Следует ли в таком случае фиксировать границы этого интервала: давать
пессимистические оценки (тогда интервал окажется широким, а проводи-
мые расчеты будут иметь ничтожную ценность из-за их неточности) или опти-
мистические (тогда будет существовать риск выхода таким образом опре-
деленной величины за пределы назначенной области, что подвергает сомне-
нию получаемые ’’точные” результаты) 9 Нечеткий интервал позволяет иметь
одновременно пессимистическое и оптимистическое представление: носи-
тель нечеткого интервала будет выбираться так, чтобы гарантировать ’’не-
выход” рассматриваемой величины за нужные пределы, а его ядро будет
содержать наиболее правдоподобные значения.
Способы определения функций принадлежности на основе неточных оце-
нок, обусловленных субъективным восприятием человека, или на базе ста-
тистических данных, которые обсуждались в разд. 1.6, особым образом при-
меняются для задания нечетких величин.
В рамках вероятностной интерпретации функций принадлежности (см.
разд. 1.3.2) можно строго определить среднее значение нечеткого интервала,
которое также будет некоторым интервалом (доказательство это утвержде-
ния см. в [11,26]).
Пусть П - мера возможности, связанная с распределением где Q -
нечеткий интервал с функцией принадлежности, полунепрерывный сверху,
и компактным носителем. Отметим, что в этом случае мера возможности
(как, впрочем, и связанная с ней мера необходимости) удовлетворяет условию
непрерывности мер неопределенности (1 3) для монотонно возрастающих или
убывающих последовательностей компактных множеств. Рассмотрим мно-
жество (Р всех вероятностных мер, совместимых с мерой возможности П,
т. е. в соответствии с формулой (1.30):
<Р ={Р|VA, N(A) <Р(А) <П(А)}.
Пусть [qb q2] — ядро Q нечеткого интервала Q.	_
Верхняя граница множества (Р достигается вероятностной мерой Р с функ-
цией распределения F*, такой, что
VuG (R F*(u) =Р((-°°, и]) = П((-°°, и]) = supj^Q (г) |г <и},
43
F*(u) = I *Vu)>ec™u<qi (рис. 2.1).
[ 1, если u > qi.
Точно так же нижняя граница множества <Р достигается вероятностной ме-
рой Р с функцией распределения F*, такой, что
Vu 6 (R, F„(u) =Р((-°°, u]) =N((-o°, и]) = inf {1 -	(г) |r >и},
т. е.
{О, если и < о,,
1	г Д	г
1	— 11тд0(г), если и >q2 (см. рис. 2.1).
Используя определения верхних и нижних математических ожиданий -
формулы (1.31) и (1.32), можно получить соответственно нижнее и верхнее
средние значения нечеткой величины Q:
Е* (Q) =_Ь <1П ((-оо, г]) = Jr dF* (г),	(2.2)
Е* (Q) = J~rdN( (-оо, Г]) = £ rdF* (г)	(2.3)
Тогда среднее значение нечеткого интервала Q будет являться множеством
всех средних значений случайных величин, совместимых с Q (удовлетворя-
ющих условию (1.30)), т. е. интервалом [E#(Q), E*(Q)] Кажется вполне
естественным, что среднее значение нечеткого интервала - обычный интер-
вал. Если Q = [а,Ь], то легко убедиться, что E#(Q) = a, E*(Q) =b.
2	1.2 ПРИНЦИП ОБОБЩЕНИЯ
В этом разделе ставится следующая задача: как по заданным невзаимо-
действующим (см. разд. 1.8) возможностнымпеременнымX,Y,Z, .. ..каж-
дая из которых характеризуется нечеткой величиной, ограничивающей ее
область определения, вычислить нечеткую величину, которая ограничивает
область определения переменной f (X, Y, Z, ...), где f - заданная функция,
принимающая действительные значения.
44
Для ее решения рассмотрим два множества £2 и U, а также отображение
f из £2 в U. Предположим, что в пространстве (£2,Л) задана мера доверия
g {Л — множество обычных подмножеств £2, на котором определена мера
g). Тогда с помощью обратного отображения f!(A) = {со, f(w) GA},
А С U, можно построить функцию множества gf, индуцируемую этим отобра-
жением:
VAG 3, gt(A) = g(f-1(A)),	(2.4)
где /= {A|f-1(A) G А}. Легко проверить, что функция множества gf являет-
ся мерой неопределенности в (U, S) .
Хорошо известен частный случай применения формулы (2.4), когда g —
вероятностная мера1. Если £2 = U = <R, a g — вероятностная мера на борелев-
ской а-алгебре подмножеств множества й, определяющая случайную пере-
менную X, то f называется функцией случайных переменных. Зная функцию
распределения Fx, связанную с вероятностной мерой g(Fx(r) = РгоЬ(Х <
< г)), ищем функцию распределения Fy или Y = f(X) по формуле Fy(r) =
= Prob(X<r) (см., например, [21]).
В настоящей книге рассматривается случай, когда g является мерой воз-
можности Тогда формула (2.4) принимает вид
I1f(A) = П(£-1 (А)) = sup {л(щ) |f (со) G А} , если f'1 (А) #= 0,	(2 5)
где л — функция распределения возможностей, связанная с мерой возможно-
сти П Отметим, что здесь можно выбрать^ = 2П (следовательно, 5 = 2и).
Функция множества nf действительно является мерой возможности, по-
скольку f-1 (A U В) = f-1 (A) U f"1 (В). При этом функция распределения
возможностей Лр связанная с мерой возможности Hf, имеет вид
(2-6)
Выражение (2.6) хорошо известно в теории нечетких множеств под назва-
нием принципа обобщения (Заде [24, 25]).
Формулу (2.4) можно применять и для построения меры необходимости
N, двойственной мере П. Таким образом построенная функция множества
действительно является мерой необходимости Nf, причем эта мера двой-
ственна мере Пр поскольку f'1 (А) = f-1 (А) , когда f — отображение. Следо-
вательно, мера необходимости Nf также выражается через распределение
возможности по формуле (1.14).
Когда имеется декартово произведение £2 = £2] х £22, а функция л сепа-
рабельна, т е выражается в форме л = min(pQ , Mq ) , где Q, и Q2 - нечет-
кие множества, ограничивающие область изменения невзаимодействующих
переменных Xj и Х2 (см. разд 1.8), то принцип обобщения записывается в
виде
1 См , например, гл 2 книги [2д] — Прим, перев
45
[sup {min (цо (W1),MO (w2)|f(wbw2) = u},
wf(u)={	(2.7)
f [О, если f 1 (u) = ф
Здесь функция описывает распределение возможностей, ограничивающее
область определения переменной ЦХ], Х2), т. е. нечеткое множество, обо-
значаемое f(Qi, Q2) с функцией принадлежности q^= Очевидно,
что когда нечеткие множества Qi и Q2 вырождаются в одноточечные множе-
ства {wj} и {w2J , то f(Qb Q2) также является одноточечным множеством
{f(W!, ш2)}.
Нечеткое множество f(Qb Q2) можно построить с помощью а-срезов
(Qi)qM (Qj)a, поскольку в [20] показано, что
Vu, Mf(Qi Q2 }(u) = sup {« G (0, 1] |u G f ((QO (Q2)J } .	(2.8)
Однако в общем случае для любого a G (0, 1] не выполняется равенство
(f (Qi, Q2))a = f((Qi)a, (Q2)a)  Имеем лишь отношение вложенности
f((Qda> (Q2)J С [f(Qi, Q2)]a.	(2.9)
В работе [20] показано, что равенство в формуле (2 9) получается тогда, и
только тогда, когда в выражении (2.7) верхняя грань достигается для любо-
го u G U.
Более того, если рассматриваются строгие a-уровни, то всегда выполня-
ется равенство [19]
f((Q0j, (Q2)s) = [f(Qi,Q2)]s-	(2.Ю)
Принцип обобщения естественным образом расширяется на случай, когда
f является нечетким отношением R, рассматриваемым как многозначная
функция, которая каждому элементу со ставит в соответствие нечеткое мно-
жество f(w) С U возможных образов, определяемое так-
Vu,Mf(tJ) (н) =MR(w,u).	(2.11)
Тогда принцип обобщения записывается в виде
Mq » r<u) = su₽ {min (MQ(W), Ди (w, u)) I w G Q },	(2.12)
известном под названием (sup-min)-композиции и обозначаемом символом
°, причем обозначения Q ° R и f (Q) эквивалентны.
Пусть S — нечеткое отношение, определенное на декартовом произведе-
нии U х V. Тогда свойство ассоциативности нечетких отношений записывает-
ся в виде
(Q ° R) о s = Qo (R° S),
где R ° S — нечеткое отношение на £2 х V, определяемое как
/zRo s(w,v) = sup {mm(gR(w, u)ms(u, v)) |u G U }.
Важный частный случай этого свойства ассоциативности получается, если в
качестве R и S берутся однозначные функции f и g, что записывается в виде
(g°f)(Q)=g(f(Q))-
46
2.2. ИСЧИСЛЕНИЕ НЕЧЕТКИХ ВЕЛИЧИН ПРИ НЕВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ
ПЕРЕМЕННЫХ
В этом разделе формулируются достаточные условия для выражения
a-уровня нечеткой величины f(Qb Q2) в виде функции а-уровней нечетких
величин Qi и Q2. Нечеткая величина f(Qb Q2) получается за счет примене-
ния принципа обобщения к функции действительных переменных f, которая
принимает действительные значения и строится на основе двух невзаимо-
действующих нечетких величин Q! и Q2. Этот результат позволит нам пока-
зать, что исчисление нечетких интервалов является обобщением теории
ошибок, а также теории действительных чисел. Более того, оно лежит в осно-
ве методов выполнения практических вычислений, которые станут предме-
том следующего раздела.
2 2 1 ОСНОВНОЙ РЕЗУЛЬТАТ
Предложение 2.1 [4]. Пусть М и N — два нечетких интервала с функциями
принадлежности, полунепрерывными сверху Предположим, что для любого
а > 0 множества a-уровня Ма и Na не покрывают собой всего множества
действительных чисел й. Пусть f - непрерывная и изотонная функция из й2
в й, т. е.
Vu > u’, Vv > v', f (u, v) > f (u, v').
Тогда множества a-уровня нечеткой величины f(M, N) являются образами
множеств a-уровня нелегких величин М и N при отображении f. Математи-
чески это можно записать так-
Va>0, [f(М, N)]а = f(Ма, NJ	(2.13)
Если Mtt и Na - замкнутые ограниченные интервалы вида [т , fhj и
[n«, na], то Va е (0, 1], f(Ma, NJ = [f(ma, nJ, f(ff^, na)], t.%. f(Ma,
NJ - замкнутый интервал.
Примечание. Соотношение (2 13) доказано в работе [20] для случая нечетких вели-
чин с компактным носителем, когда функция принадлежности полунепрерывна сверху;
этот результат остается справедливым и в том случае, когда все множества а-уровня
рассматриваемых нечетких величин компактны
Соотношение (2 13) справедливо также при выполнении следующих усло-
вий (в дополнение к ограничению по непрерывности функции f).
функция f определена лишь в некоторой области множества й2 (тогда
рассматриваются сужения функций дм и на эту область);
функция f является антитонной: u>u' и v>v'=>f(u, v) < f (u, v')
(тогда f(Ma, NJ = [f(fna, nJ, f(ma, nJ], когда Ma и Na - замкну-
тые и ограниченные интервалы;
функция f является ’’гибридной” u>u'и v<v'=»f(u,v) >f(u',v')
(тогда f(Ma, NJ = [f(ma, nJ, f(ina, nJ], когда Ma nNa - замкну-
тые и ограниченные интервалы);
функция f имеет более двух аргументов и является монотонной по
каждому из них.
47
Таким образом, мы видим, что согласно предложению 2 1, если для любо-
го а интервалы Ма и Na замкнуты и ограничены, то (f (М, N))a тоже замкну-
тый и ограниченный интервал. Следовательно, f(M, N) является функцией
принадлежности, полунепрерывной сверху. Более того, согласно гипотезам,
используемым в предложении 2.1, если М и N - нечеткие интервалы, то
f(M, N) — также нечеткий интервал.
Замечательным следствием из предложения 2.1 является то, что функцию
f(M, N) можно вычислять, взяв по отдельности, с одной стороны, участки
возрастания функций дм и д^, обозначаемые д^ и д* и определенные на ин-
тервалах [—°°, mi ] и [-°°, п 1 ] соответственно, а с другой стороны — участ-
ки убывания функций д^, и дм, обозначаемые д^- и д^~ и определенные на
интервалах [mi, +°°) и fni, +°°) соответственно. Причем, когда функции
f — изотонны или антитонны, интервалы [пц, nil] и [ni,ni] суть множества
максимумов М и N.
В таблице, помещенной ниже, представлены четыре возможных случая
построения функции f с двумя аргументами.
Функция f(x, у)		Полученная функция	
По аргументу х	По аргументу у		
Возрастающая	Возрастающая	/•fo	Mn
Возрастающая	Убывающая	Мм	Mn
Убывающая	Возрастающая	Мм	mn
Убывающая	Убывающая	Мм	Mn
Примечание. Значение	получается заменой в таблице знака + на знак —
наоборот.
Такой способ вычисления функции f(M, N) изображен на рис. 2.2, где
рассматривается изотонная функция.
48
Следовательно, когда функции дм и д1ч[ строго монотонны на участках
^М' ^М' ^N’ ^N’ можно записать следующие соотношения:
Vw < f (mbni), д£(М> N) (w) = sup {min{ д^ (ma), ^(nj},
aS (0, l],f(ma,naj =w},	(2.14)
VwG [f(mbni), f(mi, ni)], Mf(M N)(w) = 1,	(2.15)
Vw^^nibni), ^j{M N)(w) =sup{min{M^(ma),^"(nQ)},
a€ (0,1], f(ma,naj=wj.	(2.16)
Если функция f строго изотонна (т. е. u > u', v > v' =* f(u, v) > f(u', v')),
то при строго возрастающих функциях и д^ (строго убывающих функ-
циях Дм ид^) из соотношений (2.14) и (2.16) следует равенство [7]
ve е {-, + }, (д^м^р-1 = WM)-1, (Д^Г1).	(2.17)
Примечание Формула (2.17) остается справедливой, когда у функций цм и
имеются области постоянства; при расширении понятия обратной функции эти участки
соответствуют разрывам функций (;^)“' или •
Равенство (2.17) четко показывает, что применение принципа обобщения
к важному классу числовых функций приводит к простым и очевидным вы-
числениям. Для отыскания функции f(M, N) достаточно решить следующее
уравнение относительно а:
w = f((^)-1(a),(^)-1(«)), ее {+,-}.	(2.18)
Однако даже если уравнение (2.18) трудноразрешимо, то можно доволь-
ствоваться-
либо определением обратных функций дцм и Др(м, n)> задаваемых
формулой (2.17) в аналитической форме',
либо дискретизацией интервала [0, 1] и вычислением функции f(Ma,
Na) для конечного числа значений а;
тогда получается квантованная функция принадлежности f(M, N).
Два простых результата позволяют свести вычисление функции f (Qi, Q2),
где Qi и Q2 — полцмодальные нечеткие величины1, к вычислениям на нечет-
ких интервалах [7].
Предложение 2.2. Пусть Qi и Q2 — нечеткие множества в (R, такие, что
зиРДр1 <5ирДр • Тогда если Q2 - срез Q2 на уровне зирДр1, т. е. дрг =
= min (sup Др , др ), то выполняется равенство
vf ’ f(Qi,Q2) =f(Qi,Q2) (эффект среза).
Предложение 2.3. Если Qi = U М?, а Q2 = U М?, где М.1 и
1=1,. . ,т,	1 = 1,- . ,т2 ]	1
м; — выпуклые нечеткие множества в пространстве действительных чисел
<R, то
1 То есть нечеткие величины, функции принадлежности которых могут иметь более
одного участка возрастания (убывания) - Прим. ред.
49
f(QbQ2)=_u/ fCMj.Mp.
j=
Нечеткая полрмодальная величина является конечным объединением нечет-
ких интервадов (возможно, и не удовлетворяющих условию нормировки).
Таким образом, эти два результата позволяют получить функцию f(Qi, Q2)
как объединение нечетких интервалов, построенных комбинированием каж-
дого из нечетких интервалов, составляющих нечеткое множество Q1; с не-
четкими интервалами, составляющими нечеткое множество Q2. Это комби-
нирование производится на нечетких интервалах одной и той же высоты за
счет эффекта среза.
2 2 2 СВЯЗЬ С ТЕОРИЕЙ ОШИБОК
Если две величины Qi и Q2 являются неточно определенными в виде
обычных подмножеств множества действительных чисел (R, то величина
f (Qi, Q2) определяется в виде
f (Q1, Q2) = {f (u, V) |U e Q„ V e q2 }	(2.19)
Когда Qi и Q2 — замкнутые интервалы, приходим к теории ошибок, хоро-
шо известной в физике. Недавно с появлением новых высокопроизводитель-
ных ЭВМ возникла новая волна интереса к теории ошибок, связанная с оцен-
кой ошибок округления (аппроксимации). Наиболее общее изложение тео-
рии ошибок в рамках интервального анализа содержится в книгах Мура [16,
17]’. Легко увидеть, что формула (2.19) эквивалентна принципу обобщения
(2.7), когда Qi и Q2 — множества действительных чисел. Формула (2.8) по-
казывает, что принцип обобщения в (sup-min) -форме приводит к определе-
нию величины f (Qi, Q2) в соответствии с теоремой представления (1 36) в
виде семейства вложенных множеств f (Qi~, Q2-), которые в случае интер-
валов получаются с помощью методов теории ошибок В силу соотношения
(2.10) можно столь же успешно использовать семейство множеств f(Qi->
Q2„) Для представления функции f(Qb Q2). В этом случае нечеткий интер-
вал Q рассматривается как семейство У (Q) доверительных интервалов (мно-
жеств строгих a-уровней Q), характеризуемых дополнением степени необхо-
димости к единице, так, чтобы ограничение Q находилось в рассматриваемом
множестве строгого уровня. В самом деле, если S G 7 (Q), то S = Q-, где а
определяется формулой
1—a = N(S) =inf{l-MQ(x)|x<£Sj.	(2.20)
В дальнейшем, опираясь на упомянутую выше книгу Мура [17], мы пока-
жем, что все свойства интервального анализа в случае замкнутых интервалов
выполняются и для нечетких интервалов с функциями принадлежности, по-
лунепрерывными сверху. Например, в общем случае имеем свойство моно-
тонности, отмеченное в работе [17] для интервалов
Qi CQ[,Q2 С Qi =>f(QbQ2) Cf(Q'1,Q').	(2.21)
1 См также книги [1д, 4д, 6д]. - Прим перев
50
Это вновь напоминает о том, что при увеличении неточности исходных дан-
ных неминуемо возрастает неточность получаемых по ним результатов.
Ввиду совпадения с результатами интервального анализа данный вариант
исчисления нечетких величин может рассматриваться как пессимистический,
поскольку f (Qi, Q2) - наибольшее нечеткое множество (в смысле отноше-
ния вложенности (1.43)) при аргументах функции f, ограниченных множе-
ствами Qi и Q2 соответственно. Это легко проверить, замечая, что каждое
множество a-уровня нечеткого множества f(Qi, Q2) в соответствии с форму-
лой (2.19) является наибольшим из всех возможных.
2 2 3 ПРИЛОЖЕНИЕ К ОБЫЧНЫМ ОПЕРАЦИЯМ
Общие результаты, изложенные выше, позволяют выявить интересные
свойства обычных операций, в частности четырех арифметических операций,
а также операций взятия максимума и минимума.
В первую очередь рассмотрим унарные операции.
Функции одной действительной переменной. Если f - функция одного ар-
гумента, a Q — нечеткая величина, то функция принадлежности образа f(Q)
имеет вид
{sup до(и),
w = f(u) ц
О, если f"1 (w) = 0,	(2 22)
Mq(£-1 (w)) >если отображение f — инъекция1.
Тогда на базе нечеткой величины Q можно определить следующие величины:
f(u)	f(Q)	Mf(Q)(lO
~U	-Q (величина, противоположная по знаку)	mq(-u)
\u	\Q (умножение на число)	mq(ii/X), X * 0
1/u	1/Q (обратная величина)	/zq(1/u),u #=0
UP	QP (степень)	Mq(uX/P), p * 0
|U|	IQI (абсолютная величина)	|Q| =(QU-Q)n [(),+»]
eu	е<2	MQ(log(u)), u > 0
Нечеткая величина Q называется положительной, если inf S(Q) > 0, и от-
рицательной, если sup S(Q) < 0, где буквой S обозначен носитель нечеткой
величины. Примем обозначения Q > 0 и Q < 0, причем строгие неравенства
> и < будут использоваться тогда, когда число 0 исключается из носителя
нечеткой величины Q. Легко увидеть, что если М — нечеткий интервал, то об-
ратная величина 1/М будет нечетким интервалом лишь тогда, когда исходный
интервал либо положителен, либо отрицателен. Величины, определенные вы-
ше в таблице, представляют собой обобщения известных определений интер-
вального анализа [17].
1 То есть u, =#u2 =»f(Uj) * f(u2) -Прим ред.
Расширение четырех основных арифметических операций [6,15]. Прежде
всего отметим, что расширение любой коммутативной (ассоциативной) опе-
рации коммутативно (ассоциативно).
Расширенная операция сложения Qt @ Q2 двух нечетких величин опреде-
ляется формулой
AtQ1@Q2(w) =sup{min(MQi(u),pQJw-u))|uG(R}.	(2.23)
Это — вариант задания свертки нечетких величин в (sup-min) -форме. Мно-
жество ЗГ ((Я) всех нечетких интервалов с полунепрерывными сверху функ-
циями принадлежности вместе с операцией © образует полугруппу с нуле-
вым элементом 0. На множестве действительных чисел операция © совпа-
дает с обычным сложением. В общем случае величина — Q не является об-
ратной к величине Q для операции расширенного сложения ©, поскольку
(-Q) ®Q— нечеткое множество, в котором число 0 имеет степень принад-
лежности 1, но не числом 0. Пара (^(R), ©) является подполугруппой по-
лугруппы ([0,1]й, ®).
Верхнее и нижнее средние значения нечеткой величины Q, обозначаемые
E#(Q) и E*(Q) (см. формулы (2.2) и (2 3)), удовлетворяют замечательно-
му свойству аддитивности, доказанному в работах [11, 26] для нечетких ин-
тервалов с функциями принадлежности, полунепрерывными сверху:
E*(Q, ®Q2) =E*(QO + E*(Q2),
E*(Qi ®Q2) =E#(Q2)+ЕД02).	(2.24)
Равенства (2.24) контрастируют с тем фактом, что если две нечеткие величи-
ны Qi и Q2, рассматриваемые как множества вероятностных мер в смысле
определения (1.30), свертываются с помощью обычной операции линейной
комбинации, то свойство аддитивности математических ожиданий ослабляет-
ся за счет появления неравенств для верхнего и нижнего математических
ожиданий [1]
Расширенная операция вычитания Qj Q Q2 двух нечетких величин опреде-
ляется в виде
MQi ©q2(w) =sup{min(pQi(w+u),MQi!(u))|uG(R].	(2.25)
Легко убедиться, что Qi © Q2 = Q2 ® (-Q2) •
Расширенная операция умножения Q2 ® Q2 двух нечетких величин опреде-
ляется в виде
{sup{mm(pQ (u), Mq (w/u)) | и G (R - {О}, если w Ф 0;
max(pQ (0),	(0)), если w = 0.	(2.26)
Множество положительных нечетких интервалов У (<й+) с функциями
принадлежности, полунепрерывными сверху, вместе с расширенной опера-
цией умножения 0 образует полугруппу с единичным элементом 1. На мно-
жестве действительных чисел операция ® совпадает с обычным умножением.
Величина 1/Q не является обратным элементом, обеспечивающим существо-
вание группы, поскольку произведение Q ® 1/Q — нечеткое множество, со-
52
держащее 1 со степенью 1, но не число 1. Число 0 — поглощающий элемент
для операции ®. Наконец, множно проверить, что
Qi ®Q2 = (-Qi) ® (-Q2),
(-Q0 ®Q2 = Qi ® (-Q2) =-(Qi ®Q2).
В общем случае не выполняется свойство дистрибутивности расширенной
операции умножения ® по отношению к расширенному сложению ®. Здесь
имеем ослабленный вариант дистрибутивности [7]:
Qi ® (Q2 ©Оз) С (Qi ®Q2) ® (Qi ® Оз)-	(2-27)
Свойство дистрибутивности выполняется по крайней мере в следующих
случаях
a)	Qi — действительное число;
б)	Qi, 02, Оз - нечеткие интервалы с функциями принадлежности, полу-
непрерывными сверху, причем интервалы Q2 и Q3 — либо оба отрицательны,
либо оба положительны;
в)	Qi, 02, Оз — нечеткие интервалы с функциями принадлежности, полу-
непрерывными сверху, причем Q2 и Q3 - симметричные нечеткие интервалы
(02 =~02>0з =~0з)-
Эти результаты получаются за счет использования формулы (2.13) и явля-
ются обобщением классических результатов интервального анализа [17].
Расширенная операция деления Qj © Q2 двух нечетких величин определя-
ется в виде
MQi q Qa (w) = sup {min	(u • w), (u)) | u G ft }.	(2.28)
Разумеется, здесь имеем Qi ©Q2 = Qt ® 1/Q2. Когда величины Qi и Q2 -
одного и того же знака (обе положительны или обе отрицательны) и Qt и
02 - нечеткие интервалы, частное Qj © Q2 также является нечетким ин-
тервалом.
Расширение операций взятия минимума и максимума [6]. Интересно уз-
нать, имеют ли смысл операции взятия максимума или минимума двух ин-
тервалов, расширенные с помощью принципа обобщения.
Функции gj(s, t) = max(s, t) и g2(s, t) =min(s,t) являются изотопными на
декартовом произведении ft х ft,что легко позволяет их расширить, поскольку
max ([a, a'] [b,b')] = [max (a, b), max (а', Ь')],
mm ([a, a'], [b, b']) = [min (a, b), min (a', b') ],
откуда очевиден способ построе- ,(мм
ния операций max(M, N) и пнп(М, ? ’/
N), где символами max и niih
обозначены расширенные по
принципу обобщения операции
(рис. 2.3), а М и N - нечеткие ин-
тервалы с функциями при-	О
надпежности, полунепрерывными	---max(M,N)
сверху. Заметим, что результат	...mn(M,N)
операции max(M, N) может не	Рис. 2.3
53
совпадать ни с М, ни с N [5д] Операции max и mln — коммутативны и ассо-
циативны, причем - max(M, N) = тт(-М, -N) .
Расширенные операции max и nun взаимно дистрибутивны на множестве
нечетких интервалов У(<й) и удовлетворяют следующим свойствам:
min(M, N) ® max (М, N) = М © N,
М © nun(N, Р) = min(M © N, М © Р),
М © max(N, Р) = max(M © N, М © Р),
тах(М, N) = М тогда, и только тогда, koi да min(M, N) =N,
max(M, М)=М, nun(M,M)=M.
2.2	4. ЗАДАЧА ОБ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЯХ ФУНКЦИИ
Функция действительных переменных математически может быть пред-
ставлена различными способами. Пусть f и g — две функции, такие, что f = g
на множестве действительных чисел (R. Легко видеть, что когда их аргументы
становятся нечеткими величинами, то в общем случае эти функции не равны
между собой (f Ф g) Данный случай встречается при рассмотрении свойства
дистрибутивности произведения нечетких интервалов относительно их сум-
мы; в работе [17] он отмечен в контексте обычного интервального анализа.
Например, пусть f — некоторая функция двух переменных х и у, a g —
функция четырех переменных хь х2, х3, х4, такая, что Vx, у, f (х, у) = g (х, х,
х, у). В общем случае имеем отношение включения
f(Qi,Q2)Cg(Q1,Q1,Q1,Q2),	(2.29)
но не равенство значений этих функций. Непосредственную иллюстрацию
этого положения можно получить, выбрав g (xj, х2, х3, х4) = f(xb х4) — х2 +
+ х3, так как f(Qb Q2) © Q2 ® Qi D f(Qb Q2) в силу того, что Qi © Qi =#0.
Функция g называется несобственным представлением функции f в той мере,
насколько часто одна и та же переменная появляется в выражении для функ-
ции g при том, что эта же переменная входит лишь один раз в выражение для
функции f. Соотношение (2.29) является общим для тех случаев, когда
используются несобственные представления [4].
Выражение g(Qb Qb Qb Q2) содержит неопределенность в том смысле,
что различные переменные Xj, х2, х3, не связанные между собой ограниче-
нием типа равенства, могут иметь одну и ту же нечеткую область возможных
значений Qj. Отметим, наконец, что различные нечеткие области с необходи-
мостью соответствуют различным переменным, но обратное утверждение
неверно.
Заметим, что результат, получаемый при использовании несобственного
представления функции, строго говоря, не является ложным. В самом де-
ле, согласно формуле (2.29) он содержит действительный результат.
В работе [4] показано, что когда рассматриваются функции действитель-
ных переменных, принимающие действительные значения, то для нечетких
интервалов с функциями принадлежности, полунепрерывными сверху, ра-
венство в формуле (2.29) достигается, если g — изотонное несобственное пред-
54
ставление изотопной функции f. Например, функция f(x!,x4) — х2 + х3 не
является изотонной, даже если функция f изотонна. Зато обе функции
f(xb х2, х3) = Xi(x2 + х3) и g(x2, х2, х3, х4) = х2х2 + Х3Х4, определенные на
множестве положительных действительных чисел, изотонны; этим объясня-
ется тот факт, что для положительных нечетких интервалов сохраняется
свойство дистрибутивности расширенного произведения 0 относительно рас-
ширенной суммы ®.
Наконец, отметим, что для нечетких интервалов с полунепрерывными
сверху функциями принадлежности равенство М ® М = 2М всегда справедли-
во, тогда как равенство М О М = М2 выполняется лишь для положительных
или отрицательных значений М. В самом деле, имеем S(M2) С <R+, в то время
как если М = М+ UM_, где S(M_) С (R-, S(M+) С (R+, то М ®М = М2 UM1 U
U(M+®M")=M2 U(M+®M’)hS(M+®M-)C(R-.
Замечание Условие Q ® Q - 2Q в общем случае не выполняется для полимодальных
нечетких величин. Например, 2 {О, 1} = {о, 1\, 1 ю{о, Й ® (О, Й ={0,1,2}.
В заключение отметим, что если в некотором представлении функции f
ее аргументы Xj и х2 появляются однократно, то это представление обеспе-
чит ’’хорошую” функцию принадлежности для f (Q1; Q2). Такое представле-
ние не всегда существует — например, для функции f(x, у, z) = ху + yz + zx,
где каждый из аргументов появляется дважды. Тем не менее для нечетких
интервалов с полунепрерывными сверху функциями принадлежности два
изотонных представления всегда оказываются эквивалентными.
2.3.	ПРАКТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕЧЕТКИХ ИНТЕРВАЛОВ
В этом разделе мы покажем, что во многих случаях вычисление нечетких
интервалов может порой без всякой аппроксимации сводиться к их параме-
трическому представлению и вычислению соответствующих параметров.
2.3.1.	ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НЕЧЕТКОГО ИНТЕРВАЛА
Хорошее параметрическое представление нечеткого интервала М G У(<й)
с полунепрерывной сверху функцией принадлежности получается при исполь-
зовании двух типов функций (R+ -> [0, 1], обозначаемых буквами L или R:
L - убывающая в широком смысле функция, полунепрерывная сверху и
удовлетворяющая условиям:
L(0) = 1, а также Vu>0,L(u) < 1, Vu< l,L(u) >0,
L(l) =0илиЬ(и) >0, Vu>iL(+“) =0.
Функция L (или R), удовлетворяющая этим условиям, называется функцией
представления формы
Рассмотрим нечеткие интервалы М с функциями принадлежности, полу-
непрерывными сверху и выражаемыми с помощью двух функций L, R и че-
тырех параметров (m,m) G (R2 и а, (3 > 0 в виде
55
'T,ni-U
L( —-—) при u < m;
Дм (u) -	1 при m < u < m;
(2.30)
Этот класс нечетких интервалов является очень общим, поскольку он со-
держит все нормальные нечеткие интервалы с компактным (а значит, огра-
ниченным) носителем и, вообще говоря, включает все нечеткие интервалы,
функции принадлежности которых удовлетворяют условиям
hrnjuM (х) G {о, 1} ; hm(х) G {о, 1} ; М =# 0.
На рис. 2.4 изображены нечеткие интервалы трех возможных форм: ко-
локолообразные кривые, неубывающие функции, невозрастающие функции
Здесь интервал [m, in] является ядром нечеткого интервала М, а величины
m и m называются соответственно нижним и верхним модальными значе-
ниями нечеткого интервала М. Интервал [т — а, т + /3] является носителем
нечеткого интервала М (если М обладает ограниченным носителем). Пара-
метры а и |3 называются левым и правым коэффициентами нечеткости соот-
ветственно1 .
Итак, нечеткий интервал можно представить в виде четверки параметров
М = (т, т, а, (3) LR.	(2.31)
При этом говорят, что М является нечетким интервалом (Ь-К)-типа
Примеры.
1.	М — действительное число mGfl Тогда, по определению,
М= (m,m,0,0)LR, VL, VR.
2.	М = [а, Ь), тогда по определению
М = (а, Ь, 0,0) LR, VL, VR.
3.	Нечеткий интервал М имеет трапециевидную форму, тогда в формуле
(2.31) используются функции вида
L(u) = R(u) = max(0,1 - u).
1 В оригинале 1'etalement - дословно ’’рассредоточение”, ’’размывание”. - Прим, перев.
56
4.	Нечеткий интервал М такой, что Vu т, Дм (u) = 1 • Тогда
М = (т, +°°, а, +°°) LR, VR.
5.	М - нечеткое число. Тогда т = т = т и получаем
М= (m,a,(3)LR.
В качестве функций представления формы могут браться
L(u) = max(0, 1 - u)p, L(u) = max(0,1 - up) при p>0,
L(u) - e~u, L(u) - e”"2 и т. д.
2.3.2.	ТОЧНЫЕ ПРАКТИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ ЧЕТЫРЕХ АРИФМЕТИЧЕСКИХ
ОПЕРАЦИЙ [6]
Если М = (rn, m, а, |3), R и N(n, п, 7, a)LR, то задача решения уравнения
(2.18) для получения f(M, N) в случае изотонной функции f принимает вид:
найти значение X G (0, 1], такое, что
(f (т - а • L"1 (X), п - 7 • L-1 (X) ), если w < f(m, n);
f (т + |3 • R“1 (X), n + 5 • R"1 (X), если w > f (fn, n).
Вычисления сводятся к решению двух уравнений относительно L-1 (X) и
R"1 (X) соответственно, причем их сложность зависит только от сложности
одного уравнения относительно и вида
х = f (а + bu, с + du).	(2.32)
В частности имеем:
для f (u, v) = и + v (изотонная функция на R2 ) уравнения первого по-
рядка, если М и N — нечеткие интервалы (L-R)-nina:
М © N = (m + n, in + п, а + 7, (3 + d)LR;	(2.33)
для f (u, v) = и — v (гибридная функция на (R2 ) уравнения первого
порядка, если М и N — нечеткие интервалы противоположного типа
(LRhRL) соответственно:
M©N= (m-n,m-n,a + 5,|3 + 7)LR.	(2.34)
Таким образом, получаем довольно сильную теорему инвариантности для
суммы нечетких чисел: если ^lr^) — множество нечетких интервалов,
построенных по функциям L и R с использованием аффинных преобразова-
ний по формуле (2.30), т. е. представляет собой множество так называемых
нечетких интервалов (L-R)-Tnna, то справедливо следующее.
Предложение 2.4. Если М, N G 7lr(<R), то M©N G*lr((R); если М G?LR(Gl),
N G У rl((R), то М 0 N £ if LR(fi). Это свойство инвариантности гораздо
сильнее свойства инвариантности, полученного для сумм случайных пере-
менных1, где инвариантны лишь некоторые распределения, например нор-
1 См., например, [Зд]. - Прим. пер.
57
мальные (гауссовы). Независимо от нас эту теорему инвариантности для не-
которых особых форм распределений получил Намиас [18].
Легко провести сравнение основных параметров распределений, получен-
ных в вероятностном и нечетком случаях, когда сами распределения нор-
мальны.
Сумма двух нормальных случайных величин, имеющих средние
значения m и п, а стандартные отклонения <тт и ап соответственно, —
нормальная случайная величина со средним значением m + п и стан-
дартным отклонением у/	.
Сумма двух гауссовых нечетких чисел (где L(u) = R(u) = e~u2),
имеющих модальные значения m и п соответственно, и коэффициенты
нечеткости от + оп > \/	+ ап гауссово нечеткое число с модаль-
ным значением т + п и левым и правым коэффициентами нечеткости,
равными а = 0 = ат, у = 8 = ап, причем в общем случае <тт + ап >
Замечание. Сложение нечетких интервалов позволяет в удобной форме представлять
нечеткие отношения близости между действительными числами. В самом деле, пусть Р -
нечеткое отношение, определяемое функцией
11, если |и -
Нечеткое множество чисел, близких к нечеткому интервалу М в смысле отношения
Р, когда М = (m, m, a, 0>lL’ определяется с помощью (8ир-тш)-композиции (см. (2 12))
как М о Р, каким бы ни было отношение Р Когда отношение Р. задается в вышеприве-
денной форме, практически вычислить М» Р очень просто, так как
М" Р=М®Е, где Е = (-е,+е,ц, n)LL;
M»P=(m - e,m + e. а + ц, 0 + г;) LL.
Этот результат легко обобщается на случай, когда L #= R, если соответствующим обра-
зом изменить отношение Р.
Разумеется, предложение 2.4 не ''праведливо для произведения и частного
нечетких интервалов, однако уравнение (2.32) остается простым и дает:
для f(u, v) = u • v (изотопная функция на (R+)2 при М > О, N > О
уравнения второй степени, если М и N - нечеткие интервалы (L-R) -ти-
па; например, для w < m • п получаем
, , т na + my - V (my —na)2 + 4ayw'
% • N<w> = L(-------------2^y----------------> ’	(235)
для f(u, v) = u/v (гибридная функция на (<R+)2) при M > 0, N > О,
когда М — нечеткий интервал (L-R)-iHna, a N — нечеткий интервал
(R-L)-THna, уравнение (2.32) первой степени; например, для w <
< m/n получаем
m - wn
58
Уравнения второй степени получаются также при вычислении сумм вида
п
S а М ON., где М и N — положительные нечеткие интервалы (Ь-И)-типа,
a Oj —действительные числа одного знака.
Зато для точного определения функции принадлежности произведения
Р
П М , где М — положительные нечеткие интервалы, требуется решение
уравнений р-й степени.
2.3.3.	ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕЧЕТКИХ ИНТЕРВАЛОВ
Если функцию f(M, N) нельзя рассчитать аналитически, ее можно вычис-
лить либо поточечно (см. разд. 2.2.1), либо при непрерывных функциях L и
R с помощью приближенных формул, которые дают (L-R) -аппроксимацию
искомого результата.
Если функция f дифференцируема,то, полагая u = L”1 (X) > 0, w < f (m, n)
и пользуясь разложением функции в ряд с точностью до второго порядка в
окрестности X = 1, уравнение (2.32) можно записать в виде
w = f(m, n) — fх(Ш> n)u • a —	(m, n)u (в случае изотонной функции).
Это уравнение первой степени по и, где и fy — частные производные функ-
ции f. Таким образом, если М и N - нечеткие интервалы (L-R) -типа, a f —
изотонная функция, то в окрестности ядра получаем (L-R)-аппроксимацию
функции f (М, N) в виде
fi(M,N) = (f(m,n),f(m,n),f^(m,n)a +
fy (Ш, п)у, fx (m, n)|3 + f'Y(m,n)S)LR.	(2.37)
Формула (2.37) обобщает формулы для вычисления произведения и частно-
го нечетких интервалов, предложенные в [6], а также подчеркивает внутрен-
нюю связь между исчислением нечетких интервалов и теорией ошибок.
Легко видеть, что f(m, п) и f(m, п) - точки касания функций (M.N) и
(М, N).
Точно так же можно построить аппроксимации функции f (М, N) в любой
другой точке, соответствующей Х-уровню нечеткого интервала, записывая
ее разложение в ряд в окрестности L-1(X). В результате имеем функцию
fA(M, N). Особый интерес представляют выражения вида f0(M,N), получае-
мые при разложении функции f(M, N) в окрестности ее носителя (если он
ограничен).
Другой способ аппроксимации заключается в следующем: надо выбрать
нечеткий интервал (Ь-Е)-типа с тем же носителем и тем же ядром, что у
функции нечетких интервалов f(M, N), и положить (если носители М и N
ограничены)
7(М, N) - (f (m, n), f (m, n), f(m, n) - f (m - a, n - 7),
f(m + 0,n +5) -f(m,n))LR.	(2.38)
59
В отличие от формулы (2.37) формула (2.38) применима для f(x, у) =
= nun (х, у) или f (х, у) = max (х, у).
В некоторых случаях jaf (М, N), N) и N) определяют два криво-
линейных треугольника, содержащих	, что позволяет посчитать допу-
щенную ошибку этих аппроксимаций.
2.4.	ДРУГИЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ С НЕЧЕТКИМИ ВЕЛИЧИНАМИ
В разд. 2.2 и 2.3 предполагалось, что все нечеткие величины в вычисляе-
мых выражениях соответствуют невзаимодействующим переменным. Когда
это не справедливо, принцип обобщения требуется видоизменить так, чтобы
учесть взаимодействие переменных. В первой части этого раздела рассматри-
вается случай, когда это взаимодействие линейно. Отсутствие связи между
переменными ведет к накоплению неточности от каждой отдельной нечеткой
переменной, причем возрастание неточности невозможно компенсировать
(речь об этом шла в разд. 2.2.2). В таких случаях расчет нечетких величин
называется пессимистическим. Во второй части этого раздела излагаются
основы оптимистического расчета нечетких величин, когда степень компен-
сации между различными источниками неточности максимальна. Соответ-
ствующие методы возникли в связи с решением уравнений с нечеткими
величинами.
2.4.1.	ПЕССИМИСТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ НЕЧЕТКИХ ВЕЛИЧИН С
ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИМИ ПЕРЕМЕННЫМИ
Ранее при отыскании области изменения функции f (х, у) предполагалось,
что переменные х и у не связаны между собой, т. е область изменения пары
(х, у) — это декартово произведение нечетких интервалов М х N, определен-
ное с помощью оператора mm.
Если это не так, то существует связь между переменными х иу из fl в
форме отношения D, определяющего некоторую область в (Я2. Тогда прин-
цип обобщения принимает вид
Vw’^f(M,N;D)<w) =sup{mm(gM(u),gN(v)):w=f(u,v), (u, v) G D}.	(2.39)
Здесь отношение D может в частном случае сводиться к функциональной
связи типа g (х, у) = 0.
Замечание. Отметим, что вычисление функции f(M, N) на основе несоб-
ственного представления способом, изложенным в разд. 2.2.4, является част-
ным случаем использования формулы (2.39). Например, вычисление М2
можно рассматривать как вычисление расширенного произведения МОМ,
где обе переменные х и у, характеризующие две возможности появления М,
связаны между собой ограничением вида равенства.
Можно также вообразить случай, когда D — нечеткое отношение, опреде-
ляющее более или менее допустимые области значений пары (х, у). Тогда
формулу (2.39) можно записать так:
Vw,’^f(M,N.D)(w) = suP{min<MM(u)’^N(v)’Mu’ v»lf(u’ v) = WJ- (2.40)
60
Изучение свойств и тем более вычисление функции f(M, N, D) в общем
случае может вызывать большие затруднения. Поэтому ниже дается пред-
ставляющий практический интерес пример расчета с взаимодействующими
переменными, когда это взаимодействие линейно и возможны анализ и вы-
числение функции f(M, N, D). Более подробно этот случай исследуется в
работах авторов [9 и 10].
Заданы п переменных Xj, . .. , Хп, каждая из которых ограничена нечет-
ким интервалом Мр i = 1, . . ., п. Требуется найти функцию распределения
возможностей для переменной Z = аД +... + апХп, где - постоянные
действительные коэффициенты, если известно, что переменные связаны
между собой ограничением X] + Х2 + . .. + Xn = 1, определяющим область D.
Пусть N — нечеткое множество возможных значений Z. В работе [10] показа-
но, что
suPMN = MMi фМз
Если это значение меньше 1, то можно в соответствии с предложением
2.2 при вычислении N заменить дм. величиной (дм , suppN). Здесь
условие suppN = 1 означает, что существует такой вектор (иь..., un),
принадлежащий декартову произведению ядер нечетких интервалов
Мд, который удовлетворяет ограничению S = 1.
Если М, —нечеткие интервалы с функциями принадлежности, полу-
непрерывными сверху, и компактным носителем, то N — нечеткий ин-
тервал с функцией принадлежности, полунепрерывной сверху, и NA
вычисляется по М1А, VX G (0, 1]. При этом границы интервала Nx
можно определить в' явном виде как функцию границ интервалов
MiA, 1 = 1,..., п. Например, если
0< aj < а2 < .. .<апиМ1Х = [bp BJ,
то VX < supgN:
mfN = max (’ll Ba +(1 - В - £ b)a+ | ba); (2.41)
Л k=l,...,nj = i JJ J = 1J j=k+l J K J = k+1 J J
k-1	k-1 n	n
supN. = mm ( Z ba + (1 - Sb - Z B,)a. + Z Ba).
Л k-i......n j = i J J	j = i J j = k +1 J K j = k + lJJ
(2.42)
Если все MJ - нечеткие интервалы (Ь-Ь)-типа, то, когда нечеткий ин-
тервал N нормален, он также является нечетким интервалом (L-L)-ти-
па [9]. Если Mj = (nij, ifii, а , £L) LI^, то N = (inf Я sup ft, у, 5), где зна-
чения у и б определяются из условии inf S (N) = inf ft — у и sup S (N) =
= sup N + 8 соответственно. В формулах (2.41) и (2.42) Bj = nij + (3j,
b = m. — ap буквой S обозначен носитель, а символ ° означает ядро.
В случае, когда переменные X связаны между собой каким-то линейным
отношением, простой заменой переменной типа у! = kix1 соответствующее
выражение можно привести к нормальной форме Syx = 1.
61
В работе [10] приводится алгоритм вычисления величины N, когда —
нечеткие интервалы с распределениями рА . Показано, что.
если Mj и Aj — положительные нечеткие интервалы с полунепрерыв-
ными сверху функциями принадлежности и компактным носителем,
то величина N (интерактивная сумма произведений нечетких интерва-
лов) — также положительный нечеткий интервал с полунепрерывной
сверху функцией принадлежности, а множество уровня Na получает-
ся на основе множеств уровня М1а, и А1а;
величина inf Na определяется по формуле (2.41), если положить а =
= mf AJa, а величина sup Na - по формуле (2.42), если положить а3 =
= sup AJa.
Большой интерес к расчету величины N объясняется открывающейся воз-
можностью оценки математических ожиданий в тех случаях, когда значения
вероятностей точно не известны. Тогда эти значения рассматриваются как не-
четкие интервалы с носителем на [0, 1], связанные с переменными Xj, ко-
торые должны удовлетворять условию нормировки вероятностей S = 1.
2.4 2 ОПТИМИСТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ НЕЧЕТКИХ ВЕЛИЧИН С
НЕВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИМИ ПЕРЕМЕННЫМИ
Прежде всего заметим, что равенство А = В двух выражений А и В, содер-
жащих нечеткие величины, понимается как равенство соответствующих
функций принадлежности. Следовательно, величина неточности — одна и та
же для обоих членов равенства Законный, допустимый перенос нечеткой
части выражения А в правую часть выражения В может осуществляться толь-
ко с помощью некоторой операции, которая одновременно снижает неточ-
ность в члене В. Однако операции над нечеткими величинами, введенные вы-
ше в данной главе, не позволяют компенсировать ошибки и, следовательно,
не обеспечивают уменьшения неточности.
Например, уравнение по X
X О М = N,	(2.43)
где М, N и X — нечеткие интервалы с полунепрерывными сверху функциями
принадлежности, не будет иметь своим решением X = М ® N, так как соглас-
но (2.43) интервал X - более точен, чем N. Это связано с отсутствием ’’на-
стоящего” обратного элемента для нечеткой величины (в смысле расширен-
ного сложения).
Тем не менее уравнение (2.43) иногда имеет решения В самом деле, оно
соответствует функциональному уравнению по дх
Vv е (R, sup {mm (дх (w), дм (u)) | w - и = v} = pN(v).
Отметим, что pN(v) А"1 дм (и) есть наибольшее (по вложенности) решение
уравнения тт(дх (w) ,	(u) = pN(v)), когда это решение существует, оно
равно
62
fl, если дм (u) =MN(v);
Mn(v)A-1mm(u) =<
[mn (v), если дм (u) > gN (v).
Должно выполняться условие Vv, (w) < gN (v)A-1(w - v) .
Таким образом, когда существует наибольшее в смысле отношения вло-
женности (1.43) решение уравнения (2.43), оно записывается в виде [12, 22]
Mx(w)= mf^N(v)A-1gM (w - v).	(2.44)
Формулу (2.44) удобно интерпретировать в случае, когда М и N - нечеткие
числа (И-Ь)-типа и (Ь-К)-типа соответственно, имеющие полунепрерывные
сверху функции принадлежности. Воспользовавшись формулой (2.34), лег-
ко видеть, что
X = (т + п, у- {3,6 - a)LR,	(2.45)
где М = (т, а, /3) RL и N = (п, у, 5) LR. В данном случае существование и един-
ственность решения обеспечивается, как только выполняются условия у > |3
и 5 > а. Формула (2.45) определяет операцию сложения нечетких чисел,
когда степень компенсации неточности максимальна, что находит свое выра-
жение в самом факте вычитания, а не сложения коэффициентов нечеткости.
Такого рода оптимистические операции более систематически изучаются в
работах [12, 22] (операция сложения), а также в работе [13], где они рас-
сматриваются в более общем плане (включая операцию умножения) .
В чистом виде уравнения типа (2.43) представляют весьма ограниченный
практический интерес из-за использования в них обычного отношения равен-
ства, которое носит чересчур жесткий характер, если вспомнить, что значения
принадлежности не всегда точно известны. Равенство в формуле (2.43) мож-
но ’’ослабить”, заменив его отношением вложенности нечетких множеств,
которое все-таки остается несколько ’’жестковатым” для уравнений с нечет-
кими величинами, или (что еще лучше) использовав некоторый показатель
включения, например описываемый формулой (1.66) . Последний подход бу-
дет применяться в гл. 3 для проведения сравнения двух нечетких величин.
2.5. ИЛЛЮСТРАТИВНЫЕ ПРИМЕРЫ
2.5 1. ОЦЕНИВАНИЕ ДЕНЕЖНЫХ СРЕДСТВ В БЮДЖЕТЕ
В рамках составления проекта бюджета рассматриваются различные ис-
точники финансирования, причем некоторые из них характеризуются неточ-
ностью оценки денежных сумм на день оценивания, а другие — малой надеж-
ностью. В нашем примере берутся четыре источника финансирования, обозна-
чаемые буквами А, В, С и D.
Источник А: надежен и точен, ожидаемая сумма 100 тыс. франков.
Источник В: финансирование обеспечивается, его сумма может изменять-
ся от 40 тыс. до 100 тыс. в зависимости от конъюнктуры, но с наибольшей
63
вероятностью можно ожидать поступления размером от 50 тыс. до 70 тыс.
франков.
Источник С’ разумно полагать, что финансирование будет предоставлено
и составит сумму 100 — 110 тыс. франков, но решение пока не принято и
нельзя полностью исключить вариант отказа от финансирования.
Источник D. очень ненадежен потому, что новый и неустойчивый. Можно
ожидать поступления размером 20 тыс. франков и выше, но в любом случае
не больше 30 тыс. франков.
Различные источники финансирования можно представить с помощью не-
четких величин с распределениями, изображенными на рис.2.5.
Каждая нечеткая величина рассматривается здесь как объединение трапе-
циевидных и не обязательно нормальных нечетких интервалов. Каждый из
этих нечетких интервалов Mt представлен пятеркой
где и т - соответственно нижнее и верхнее модальные значения нечетко-
го интервала а и р. — левый и правый коэффициенты нечеткости, а —
высота нечеткого интервала (рис. 2 6). В соответствии с этими обозначения-
ми нечеткие величины, связанные с различными источниками финансирова-
ния, представляются в виде
А = (100, 100,0,0,1); В = (50,70,10, 30, 1);
С = Ci U С2 = (0, 0, 0, 0, 0,5) U (100, 110, 0, 0, 1) ;
D = Di UD2 = (0, 0, 0,0, 1) U (20, 20, 0, 10, 0,8)
Использовав результаты, полученные в разд. 2 3, заметим, что нечеткая
величина Mt ®М, где М[( Mj - два трапециевидных нечетких интервала,
подобных изображенным на рис. 2.6, есть также трапециевидный нечеткий
интервал (m,т,а,р,h), где h = тт^, 1г) (эффект среза);
64
Рис 2 7
m = m, + nij - at - Oj + a; m = m] +	+13, - /3
Сумма S = A© B©C®D получается как объединение (см. предложе-
ние 2.3).
В нашем примере получаем
S= (250, 280, 10, 30, 1) U (145,185,5, 15,0,5) U (165, 209, 5, 21,0,5) U
0(268,306,8,34,0,8).
Этот результат показан на рис. 2.7
В соответствии с полученным результатом область наиболее вероятного
финансирования простирается в диапазоне 250 — 280 тыс. франков; превы-
шение суммы в 280 тыс франков возможно, но менее вероятно (уровень
0,8) ; маловероятно и то, что поступления не составят более 150 - 200 тыс
франков (уровень 0,5). В любом случае они не могут опуститься ниже
140 тыс франков или подняться выше 340 тыс. франков. Отметим, что уров-
ни 0,5 и 0,8 при описании источников С и D выглядят несколько произволь-
ными, но указывают, что более вероятно (со степенью 0,8) получить 20 тыс
франков от источника D, чем ничего не получить от источника С (со степенью
0,5) Эти значения не сворачиваются в одно и вновь появляются в конечном
результате Следовательно, вовсе не обязательно знать их точно. Важно как
раз то, что они различны и могут служить своего рода метками, облегчающи-
ми толкование конечного результата
В приложении 1 приведена программа, написанная на Бейсике, позволяю-
щая осуществлять сложение нескольких '’многотрапециевидных” нечетких
величин типа величин, рассмотренных в примере Однако заключительной
операции объединения в ней нет
3 - 6970
65
2.5.2. СЕТЕВОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ (РАСЧЕТ ПО МЕТОДУ PERT) С НЕЧЕТКИМИ
ОЦЕНКАМИ ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТИ РАБОТ
Рассматривается классическая задача организации проекта, разбитого на
отдельные работы. Множество работ образует семейство дуг некоторого ори-
ентированного графа без циклов. Эти дуги отражают ограничения на порядок
следования работ, причем каждой дуге приписывается определенное значение
б,, продолжительности выполнения соответствующей работы. Известны са-
мый ранний срок начала проекта t0 и при необходимости — самый поздний
срок его окончания Таким образом, здесь используется представление
типа ’’потенциал — этапы” [14].
Бывают ситуации, когда сроки выполнения работ априори плохо извест-
ны и оцениваются субъективно. Их можно естественным образом предста-
вить в виде нечетких интервалов. Обозначим через нечеткую продолжи-
тельность выполнения работы, характеризуемой дугой (i, j) в графе (S, А),
где 1 и j — вершины графа.
Для расчета самого раннего срока начала и самого позднего срока окон-
чания работ в общем случае поступают следующим образом:
нумеруют вершины графа по возрастающим рангам (см. алгоритм
нумерации в работе [14]);
получают самый ранний срок начала выполнения группы работ, исхо-
дящих из вершины 1, с помощью следующей формулы
(max {tj + |j G PJ } , если Pj =# 0;
1 [to, если Pj = 0,
где P = {j, (j, i) GA}— множество работ, предшествующих i-й работе.
Упорядочение вершин обеспечивает выполнение условия
VjG^ = 0, j<i.
Самый ранний срок окончания проекта tw = max}^ |i G S
Точно так же получается самый поздний срок начала работ с исходной
вершиной i:
(min	|j G Sj}, если Ф;
1 сТ^если S1 = ф,
где S. = {j I (i,j) G S } — множество работ, следующих за i-й работой. Упоря-
дочение вершин обеспечивает выполнение условия Vj G Sp j > 1. Интервал
[t , T ] определяет для каждой вершины резерв времени начала работ, исхо-
дящих из вершины 1 (конца работ, входящих в вершину i), так, чтобы са-
мый поздний срок окончания работ по проекту не нарушался. Если 1} = tp
то i-я вершина расположена на критическом пути, т. е. на пути, целиком со-
стоящем из критических работ1. Если выбрать значение Tw > tw где tw —
самый ранний срок окончания проекта, то Vi, 1} > t,.
1 Критическими считаются работы, задержка которых приводит к соответствующей
задержке окончания всего проекта. - Прим, перев.
66
Когда продолжительности работ точнб
не известны и представлены нечеткими
интервалами, то этот алгоритм остается
справедливым при замене операций сло-
жения, вычитания, максимизации, мини-
мизации их расширениями на случай не-
четких аргументов (разд. 2 3.2 и 2.3.3, ра-
боты [4,5]).
В программе, помещенной в при-
ложении, можно найти процедуры, реа-
лизующие указанные операции на не-
четких интервалах (L-R)-rana. Для опера-
ции максимизации и минимизации используется вариант аппроксимации с
использованием формулы (2.38). Если М = (m, fn, а, (3)LR, a N = (п, п, у,
6)LR, то max(M, N) = (тах(т, n), max(fn, n), тах(т, п) — тах(т — а, п —
- 7), тах(т + (3, п + 6) - тах(т, n))LR. Эта приближенная^операция еще
сохраняет свойство ассоциативности. Расширенная операция min(M,N) полу-
чается точно так же заменой максимума на минимум в вышеприведенном
выражении. На практике рассматриваются трапециевидные нечеткие интер-
валы. Становится возможным прямое обобщение алгоритма расчета самого
раннего и самого позднего сроков наступления событий благодаря тому, что
в нашем случае его результаты суть монотонные функции данных; следова-
тельно, можно избежать проблем, связанных с несобственными представле-
ниями этих результатов (разд. 2.4).
Рассмотрим пример, изображенный на рис. 2.8, со следующими нечеткими
оценками продолжительности работ:
М	Dy	>,1	Dy	
1,2	(2, 3,0, 1)	3,4	(1,2,0, 0)
1,3	(3,3, 1,3)	3,6	(8, И, 1,4)
1,5	(3,4, 1,1)	4,5	(3,3, 1,2)
2,4	(2,4,0,1)	4,6	(3,4, 0, 2)
2,5	(4,5,2, 3)	5,6	(1,1,0, 1)
Зададимся самым ранним сроком начала проекта t.		5 = (1, 1, 1, 1) и самым
поздним сроком его окончания Tw = щие результаты:	= (20, 21, 1, 0).	Легко получить следую-
Вершина	Самый ранний срок начала работ Самый поздний срок начала работ		
1 (1,1, 1,1)		(6,10,8,2)
2	(3,4, 1,2)		(12, 15,5, 1)
3	(4, 4, 2, 4)		(9,13,5,1)
4	(5,8, 1,3)		(16, 17,4, 1)
5	(8,11,2,5)		(19, 20, 2, 0)
6	(12,15,3,8)		(20, 21, 1, 0)
67
Например, время t4 = max(t2 ® d24, t3 ® d34) = тм(3, 4, 1,2) ® (2, 4, 0, 1),
(4, 4, 2, 4) ® (1,2,0, 0)) = max((5, 8, 1,3), (5,6,2,4) ) = (5,8,5 - max(4,3),
max(l 1, 10) - max(8, 6)) = (5,8, 1,3).
Интервал [tx, TJ становится интервалом, ограниченным нечеткими вели-
чинами; критичность вершины 1 становится в большей или меньшей степени
неопределенной в зависимости от того, насколько накладываются друг на
друга нечеткие числа t1 и Tj Например, такое наложение наблюдается дня
вершины 1. Понятие критического пути обсуждается в гл 3 (а также в гл 7
работы [4]). В приложении дана программа вычисления распределений t ,
Tj в виде трапециевидных нечетких интервалов.
Замечания. 1. Когда данные являются точными, вершины, лежащие на
критическом пути, определяются расчетом самого позднего срока работ из
условия равенства срока окончания проекта Tw самому раннему возможно-
му сроку окончания проекта tw Тогда вершина, расположенная на крити-
ческом пути, находится из условия tj =ТГ При анализе неточных данных та-
кая процедура уже не имеет смысла, так как величина tw отражает неточ-
ность данных о продолжительности работы D,; Поскольку эта неточность
может возрастать, имеется риск ее двукратного учета при вычислении Tj из
условия Tw = tw Следовательно, здесь необходимо определять величину Tw
независимо от величины tw (более детально вопрос об определении самого
раннего и самого позднею сроков окончания работ при сетевом планирова-
нии в нечеткой среде обсуждается в работе [4]).
2 Другой подход к той же задаче сетевого планирования с неточно извест-
ными данными заключается в рассмотрении величин продолжительности ра-
бот Dj. как случайных переменных. Однако в силу возникновения проблем
зависимости между различными путями графа, а следовательно, и между
переменными, связанными с величинами и Т1; известные алгоритмы поис-
ка кратчайшего или, наоборот, длиннейшего пути трудно приспособить к ве-
роятностным исходным данным. Известно, что построение вероятностного
аналога метода PERT - труднорешаемая проблема, в то время как вышеиз-
ложенный подход, основывающийся на нечетких величинах, оказывается бо-
лее простым для практической реализации благодаря тому, что в нем рас-
сматриваются наихудший и наилучший случаи, а также потому, что в силу ре-
зультатов, полученных в разд 2.4, стандартный алгоритм сетевого планиро-
вания в применении к нечетким данным дает точные распределения возмож-
ностей для и Tj (более детально это анализируется в работе [4]).
2 5 3. ЗАДАЧА РЕГУЛИРОВКИ СТАНКА [2, 3]
Операция механической обработки в общем случае определяется прохож-
дением режущего инструмента или сверла по поверхности металлической де-
тали. Основные параметры регулировки — скорость резания и перемещение
режущего инструмента (подача), которые прямо определяют качество про-
дукта операции Основные ограничения на эти параметры относятся к спосо-
бу использования инструмента, динамике станка, состоянию обрабатывае-
мой поверхности и т. д.
68
Для отдельной операции механической обработки задача регулировки мо-
жет рассматриваться как задача оптимизации, где критерием оптимизации
может быть стоимость операции, количество снимаемого металла и т. д. [2].
При этом специалист способен очень быстро определить для заданной опера-
ции области значений скорости и перемещения режущего инструмента, кото-
рые позволят получить заданное качество детали.
Эта задача осложняется, если должны регулироваться параметры группы
одновременно действующих станков, размещенных в виде последовательно-
сти рабочих мест. Тогда имеются еще два дополнительных ограничения- для
обеспечения требований производительности линия механической обработки
должна функционировать в определенном ритме, одном и том же на каждом
рабочем месте К тому же желательно обеспечить равномерный средний из-
нос инструментов, чтобы заранее планировать их замену Специалисту прихо-
дится определять это ощупыванием вплоть до отыскания удовлетворитель-
ных параметров регулировки, удовлетворяющих ограничению по темпу ра-
боты. В общем случае ему трудно определить величину износа. Поэтому в
работе [2] предложен интерактивный метод расчета с целью оказания помо-
щи человеку в регулировке станка. В качестве исходных данных для расчета
берутся диапазоны значений подачи и скорости резания, оцениваемые специ-
алистом (экспертом) в виде нечетких интервалов. Использование нечетких
интервалов позволяет установить для каждой операции по каждому регули-
руемому параметру предпочтительную область для обеспечения требуемого
качества резания и допустимую область, за пределы которой нельзя выхо-
дить Таким образом получаем ядро и носитель нечеткого интервала. Форму
функции принадлежности можно уточнить с помощью проверки возможно-
сти отклонения от предпочтительной области
Рассмотрим рабочее место, на котором выполняется единственная опера-
ция i. Пусть Vj и Aj - нечеткие интервалы, характеризующие скорость реза-
ния V] и подачу aj соответственно. Зависимость времени выполнения опера-
ции tj от этих двух параметров выражается формулой
где К, — постоянная величина, зависящая от геометрических характеристик
заютовки. Значения принадлежности pv(v,) и дА (а^ интерпретируются
как меры качества резания	1
Тогда задачу регулировки параметров механической обработки с учетом
ограничения на темп работы можно сформулировать следующим образом:
максимизировать величину min(pv.(vp, Дд.^)), при ограничении K^v =
= t, где t - задаваемый темп работы на конкретном рабочем месте. Выбор
операции пересечения нечетких интервалов в виде min выражает логическую
конъюнкцию целей (см. гл. 3) . Оптимальное решение (a*, v*) удовлетворяет
равенству	1 1
'‘v.W=>>?.
69
где значение KJ(At ©XQ определяется в рамках исчисления нечетких ин-
тервалов. Отсюда получается оптимальная степень X*, для которой всякое
увеличение скорости резания ведет к ухудшению подачи, и наоборот Значе-
ния у? и а* легко определяются по известным значениям X*. Если X* = 1, то,
обозначая через [a , a- ], [v , V,] предпочтительные области значении подачи
и скорости резания, имеем более одной разрешенной регулировки, например
Ку к,
а* е [а , а, ] П [^-Н—, —~	•
t • Vj t • Vj
В противном случае для Aj = (а , а,, ар (3,)LR имеем
К
ГД - %  L (X* ), если t >--*--- ;
а* = <	Л 1 v-1
1	1 at +0J •К(Х*),если t <_______*_
Если величина X* очень мала, то отсюда следует вывод, что заданный темп не-
совместим с требуемым качеством резания.
Случай рабочего места многоинструментальной механической обработки,
а также задача планирования операций замены инструментов приведены в
работе [2].
В качестве примера рассмотрим операцию расточки цилиндра длиной L =
= 200 мм и диаметром D = 100 мм. Расточка проводится в два прохода:
разметка с большим допуском по условиям резания, например А2 =
= (0,4,0,8,0,2,0,2) мм; V2 = (80,90, 10,30) м/мин;
отделка с более точными характеристиками подачи и более высокой
скоростью резания, например А2 = (0,5, 0,5,0,3, 0,1) ммиУ2 = (НО,
120,20,10) м/мин.
Эти две операции выполняются последовательно на двух рабочих местах
с темпом t = 0,9 мин. Имеем Кд = К2 = LttD (LttD — величина обрабатывае-
мой поверхности).
Используя точную формулу произведения двух нечетких интервалов (L-R)-
К
типа (см. формулу (2.35)) и замечая, что q V)(t) = МА
получаем следующие результаты:	1	1	i i t
при разметке X* = 1 и а* 6 [0, 78, 0,8] мм, a v* G [87, 90] м/мин, ес-
ли только а* • у* ~ К1 /t;
следовательно, таким образом получено уточнение спецификаций;
при отделке X* = 0, 44, aj = 0,55 мм и vj = 125,5 м/мин.
В приложении к гл. 2 приведена соответствующая программа расчета.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1	- DEMPSTER, А.Р. (1967). Upper and lower probabilities induced by a
multivalued mapping. Ann. Math. Statist., 38, 325-339.
70
2	- DUBOIS, D. (1981). Determination des conditions de coupe sur une
chaine automatisee d'usinage. Rapport CERT-DERA n" 027, Toulouse.
3	- DUBOIS, D. (1981). A fuzzy set-based method for the optimization of
machining operations. Proc. Int. Conf. Cybernetics and Society,
Atlanta, GA, 331-334.
4	- DUBOIS, D. (1983). Modeles Mathematiques de 1'Imprecis et de 11 Incer-
tain en Vue d'Applications aux Techniques d'Aide 5 la Decision, These
d'Etat, Univ, de Grenoble.
5	- DUBOIS, D., PRADE, H. (1978). Algorithmes de plus court chemin pour
traiter des donnees floues, RA1R0, Rech. Operat., 12, n° 2, 213-227.
6	- DUBOIS, D., PRADE, H. (1978). Operations on fuzzy numbers, Int. J.
Syst, Sci, 9, 613-626.
7	- DUBOIS, D., PRADE, H. (1979). Fuzzy real algebra : some results. Fuz-
zy Sets & Systems, 2, 327-348.
8	- DUBOIS, D., PRADE, H. (1980). Fuzzy Sets and Systems : Theory and Ap-
plications, Academic Press, New-York.
9	- DUBOIS, D., PRADE, H. (1981). Addition of interactive fuzzy numbers,
IEEE Trans. Automatic Control, 26, 926-936.
10	- DUBOIS, D., PRADE, H. (1982). The use of fuzzy numbers in decision
analysis, in Fuzzy Information and Decision Processes (M.M. Gupta,
E. Sanchez, Eds), North-Holland, 309-321.
11	- DUBOIS, D., PRADE, H. (1982). Upper and lower possibilistic expectations
and applications. 4th Int. Seminar on Fuzzy Set Theory, Linz, Autriche.
12	- DUBOIS, D., PRADE, H. (1983). Inverse operations for fuzzy numbers. Proc.
IFAC Symposium on Fuzzy Information, Knowledge Representation and De-
cision Analysis, Marseille, 391-396.
13	- DUBOIS, D., PRADE, H. (1984). Fuzzy set-theoretic differences and inclu-
sions and their use in the analysis of fuzzy equations. Control & Cy-
bernetics (Varsovie, Pologne), J3, (3), 129-146.
14	- GONDRAN, M., MINOUX, M. (1979). Graphes et Algorithmes. Eyrolles.
Paris.
15	- MIZUMOTO, M., TANAKA, K. (1979). Some properties of fuzzy numbers,
in Advances in Fuzzy Set Theory and Applications (M.M. Gupta, R.K.
Ragade, R.R. Yager, Eds.), North-Holland, 153-164.
16	- MOORE, R. (1966). Interval Analysis, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J.
17	- MOORE, R. (1979). Methods and Applications of Interval Analysis,
SIAM Studies on Applied Mathematics, Vol. 2, Philadelphia.
18	- NAHMIAS, S. (1978). Fuzzy variables, Fuzzy Sets A Systems, I, 97-111.
71
19	- NEGOITA, C.V. (1978). Management Applications of Systems Theory.
Birkhaiiser Verlag, Basel.
[ Имеется перевод: Негойцэ К. Применение теории систем к проблемам
управления/ Пер. с англ, под ред. С. А. Орловского. — М.: Мир, 1981. —
180 с.1
20	- NGUYEN, Н.Т. (1978). A note on the extension principle for fuzzy sets.
J. Math. Anal. Appl.,64, n° 2, 369-380.
21	- PAPOULIS, A. (1965). Probability, Random Variables and Stochastic
Processes. Me Graw-Hill. Chap. 5 et 6.
22	- SANCHEZ, E. (1984). Solution of fuzzy equations with extended ope-
rations. Fuzzy Sets & Systems, 12, 237-248.
23	- ZADEH, L.A. (1965). Fuzzy sets, Information and Control, .8, 338-353.
24	- ZADEH, L.A. (1975). The concept of a linguistic variable and its ap-
plication to approximate reasoning. Information Sciences, Part 1 : 8,
199-249 ; Part 2 : 8, 301-357 ; Part 3 : 9, 43-80.
[ Имеется перевод. Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его
применение к принятию приближенных решений. — М.: Мир, 1976. -
165 с.]
25	- ZADEH, L.A. (1977). Theory of fuzzy sets. In : Encyclopedia of Com-
puter Science and Technology (J. Belzer, A. Holzman, A. Kent, eds.),
Marcel Deckker, New-York.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ, ДОБАВЛЕННОЙ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
26	- DUBOIS, D., PRADE, Н. (1987) The mean value of a fuzzy number. Fuzzy
Sets and Systems, a paraitre.
27	- DUBOIS, D , PRADE, H. (1987) Fuzzy numbers : an overview. In : Analy-
sis of Fuzzy Information, Vol. 1 : Mathematics and Logic (J.C. Bezdek,
ed.), CRC Press, Boca Raton, Fl.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1д Алефельд Г., Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления - М Мир, 1987 -
360 с
2д Бахания Н.Н., Тариеладзе В.И., Чобанян С.А. Вероятностные распределения в бана-
ховых пространствах - М Наука, 1985	368 с.
Зд Золотарев В.М. Современная теория суммирования независимых случайных вели-
чин - М Наука, 1986 - 416 с
4д Калмыков С.А., Шокин Ю.И., Юлдашев З.Х. Методы интервального анализа М
Наука 1986
5д Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта/А Н Авер-
кин И.З Батыршин А Ф. Блишун и др, - М Наука, 1986 - 312 с
6д Шокин Ю.И. Интервальный анализ. - Новосибирск Наука, 1981 -112 с
7д Kaufmann A., Gupta M.M. An introduction to fuzzy arithmetics - Amsterdam Van
Nostrand, 1985
ГЛАВА 3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ ДЛЯ
ОЦЕНИВАНИЯ И КЛАССИФИКАЦИИ ОБЬЕКТОВ
В своей ставшей уже классической статье [4] Беллман и Заде предложили
теорию нечетких множеств в качестве концептуальной основы для решения
задач многокритериального выбора. Основной вклад этой статьи в решение
задач выбора состоит в демонстрации возможности представления целей и
ограничений посредством нечетких множеств, которые объединяют элементы
субъективных предпочтений. При этом задача свертывания критериев может
рассматриваться как задача комбинирования нечетких множеств с помощью
теоретико-множественных операций над ними Ряд работ посвящен аксиома-
тическому или эмпирическому определению таких операций агрегирования;
среди них можно отметить статьи Фанга и Фю [14]. Ягера [31, 33, 34], Цим-
мермана и Цисно [35 - 37], Дюбуа и Прада [7, И] Данный вопрос являет-
ся основным предметом первого раздела этой главы, в котором отражено
содержание нашей работы [38] Также обсуждается случай построения неточ-
ных частных оценок по критериям в виде нечетких величин типа рассмотрен-
ных в гл 2 Эта неточность отражается и в обобщенной оценке объектов
Второй раздел настоящей главы посвящен вопросам классификации неточно
оцениваемых объектов.
3.1. КОЛИЧЕСТВЕННЫЙ ПОДХОД К ЗАДАЧЕ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОГО ВЫБОРА
Пусть Г2 — множество объектов, которые требуется классифицировать с
учетом множества критериев С Число объектов предполагается конечным и
достаточно малым, так что их можно перечислить непосредственно Частные
оценки объектов по каждому критерию принимают свои значения в легко
идентифицируемых множествах Отдельная целевая функция будет рассмат-
риваться как некоторое нечеткое множество, ограничивающее допустимые
значения соответствующего критерия. Следовательно, неявно предполагает-
ся, что каждая целевая функция определяет отношение полного порядка на
множестве Г2. В частности, здесь не рассматривается случай, когда по каждо-
му критерию задано лишь некоторое отношение нечеткого предпочтения на
множестве объектов; этот вопрос затрагивается в рамках теории нечетких
множеств в работах [21, 22, 25]1. Наконец, еще одно принимаемое здесь
предположение касается независимости выбора от состояния среды Пробле-
ма выбора в условиях неопределенности и неточности обсуждается, напри-
мер, в работах [8, 13,20].
В настоящем разделе предлагается обзор возможных операции свертки
целевых функций, а также способы определения в конкретной ситуации, ка-
кая из операций свертки целевых функций наилучшим образом соответству-
ет характеру реальной обобщенной оценки лицом, принимающим решение
(ЛПР), своих потенциальных действий
1 См также работы [1д, 2д, 4д, 7д] - Прим перев
73
3 1.1. ОСНОВА ПОДХОДА
Пусть X, — область, в которой оцениваются объекты по критерию Cj G
G С. Оценки объектов по каждому критерию Cj могут быть представлены
посредством отображений иц из множества S2 в множество Хр
Целевая функция, связываемая с критерием Ct, будет описываться нечет-
ким множеством Gj, определенным на Хр причем для Vx G Xj величина
HG (х) есть степень совместимости между значением оценки х, характеризу-
ющей некоторый объект, и желанием ЛПР. В ряде случаев его желание может
быть описано в лингвистической форме и представлено с помощью функции
принадлежности Дц. Ядро нечеткого множества Gt соответствует оценкам,
полностью совместимым с целью. В свою очередь, оценки, расположенные
вне носителя нечеткого множества GJ; оказываются полностью несовмести-
мыми с целью. При этом оценки, попадающие в ядро нечеткого множества,
совершенно неразличимы между собой, как впрочем и те оценки, которые
находятся за пределами носителя. Например, если 12 — множество автомоби-
лей, а X — шкала цен, то, когда ЛПР предпочитает выбрать ’’средний по цене”
автомобиль, график целевой функции ’’средняя цена” можно представить
в виде, изображенном на рис. 3.1.
Оценка gG не может быть точной. Тем не менее форма кривой позволяет
выразить индивидуальные особенности предпочтений ЛПР. Чтобы выявить
эти индивидуальные особенности, не следует требовать от него выражения
своих предпочтений в интервале [0, 1] (выбор которого весьма произволен).
Удобнее построить дискретную шкалу предпочтений, содержащую 5 — 7 уров-
ней в зависимости от порога восприятия ЛПР. Самый простой способ состоит
в лингвистическом выражении уровней совместимости между оценкой и
целью и отображении этих уровней на [0, 1], как в табл. 3.1 (см. также
рис. 3.1).
Таблица 3 1
Уровень совместимости между последствием и целью	Числовое значение	Лингвистическая оценка
А Полная совместимость		Очень хорошо
В Большая совместимость	0,75	Хорошо
С Средняя совместимость	0,5	Достаточно хорошо
D Малая совместимость	0,25	Посредственно
Е Несовместимость	0	Очень плохо
Рис. 3.1
Лингвистические оценки из
третьего столбца табл. 3.1 ис-
пользуются в разд. 3.1.5.
Известны три метода для
определения величины (см
обсуждение вопроса построе-
ния функций принадлежности в
разд. 1.6.1):
74
дискретизация множества X, построение конечного множества X' и
оценка ЛПР каждого исхода х’ G X' по шкапе {А, В, С, D, Е}, а затем
сглаживание полученного результата;
представление нечеткой цели С в виде нечеткого числа (L-R) -типа (см
гл. 2) : ЛПР непосредственно задает параметры и форму нечеткого чис-
ла, фиксируя границы ядра и носителя цели G, а также выбирая одну
из стандартных функций L и R;
использование графического дисплея со световым пером, что позволя-
ет ЛПР начертить кривую Цц, наглядно представив свою цель.
Зная целевую функцию G3 и критерий С3, можно судить о совместимости
каждого объекта w G £2 с целью G3 с помощью функции принадлежности др
определяемой в виде
Mj(^) =MGi(mi(w)).	(3.1)
Очевидно, что понятие полезности как численного представления предпо-
чтений очень близко к понятию нечеткого множества, описываемого форму-
лой (3.1), а функция принадлежности нечеткого множества играет в этом
случае роль (нормированной) функции полезности Однако функция полез-
ности всегда предполагает денежное выражение, а функция принадлежности
ввиду ее абстрактного характера в этом смысле нейтральна Более того, важ-
ный исходный момент заключается в том, что в теории полезности при опре-
делении аксиом, характеризующих функцию полезности, широко использу-
ются результаты теории вероятностей (см. книгу Фон Неймана и Морген-
штерна [29]). Зато определение функции принадлежности основывается
отнюдь не на существовании вероятностей, а, скорее, на наличии отношения
предпочтения между элементами базового множества (см. разд. 1 6.1) ’.
Предположим, что общая цель выражается в виде иерархии подцелей, на
нижнем уровне которой находятся q частных целей, связываемых с q эле-
ментарными критериями Ср которые позволяют оценивать объекты из мно-
жества S2. Эта цель в ряде случаев может выражаться в виде сложной лингви-
стической категории, базовым множеством для которой будет декартово
произведение Х3 х ... х Xq. Тогда нечеткое множество D объектов, совме-
стимых с общей целью, можно получить путем свертывания нечетких мно-
жеств с функциями принадлежности др определяемыми формулой (3 1). Та-
ким образом, предполагается существование отображения h из [0, l]q в
[О, 1], такого, что
Vwe Q, gD(w) =hQui(w), .. ,,gq(w)).	(3.2)
Следовательно, для оценки объектов необходим поиск некоторой опера-
ции над нечеткими множествами, объединяющей частные цели. Естественно
потребовать, чтобы такая операция удовлетворяла следующим аксиомам:
А1. Граничные условия: h(0, 0,.... 0) = 0; h( 1,1, ..., 1) = 1;
А2 Для любых пар (s3, t3) G [0, I]2, если Vi, s3 > tp to h(si,	., s„) >
>h(t1; ...,tq).
1 См также [5д, 6д]. - Прим перев.
75
Условие Al означает, чго действие, полностью совместимое (несовместимое)
с каждой из альтернатив, будет в целом приемлемым (совершенно неприем-
лемым) решением. Условие А2 показывает, что операция h не должна проти-
воречить определению частичною порядка для векторов (дДсс), ,gq(w))
на множестве Г2. Если Ь= (w|pD(cc) - sup gjj}, т. е. является множеством
наилучших объектов, индуцируемых сверткой h, и если М -- множество мак-
симальных элементов отношения частичного порядка на множестве Г2, то
D О М ¥= 0- Когда функция h является строго возрастающей по каждому ар-
гументу, то fi С М.
В дальнейшем мы обратим особое внимание на симметрические операции
свертки, т е удовлетворяющие условию
АЗ. h симметрическая функция своих аргументов1.
Заметим, что симметричность функции h еще не означает, что полученная
свертка будет симметрической функцией В самом деле, свертываются нечет-
кие множества Gj и можно легко ввести некоторую форму асимметрии меж-
ду критериями с помощью изменения вида функций принадлежности
Аксиома АЗ справедлива, когда все цели имеют одинаковую важность и, сле-
довательно, взаимозаменяемы в процессе свертывания Утверждение, что все
цели равноважны, не означает, что все критерии (т. е 1Т0 имеют один и тот
же вид, и это выражается с помощью нечетких множеств G . Наконец, пред-
полагается, что
А4 h - непрерывная функция
В работе [4] Веллман и Заде используют в качеств h главным образом
операцию взятия минимума, что соответствует пересечению целей На практи-
ке экспериментальные исследования [26] показали, что эта операция не
всегда правильно отражает поведение ЛПР, даже когда лингвистические ка-
тегории свертываются им конъюнктивным образом Это приводит к необхо-
димости поиска других способов свертывания нечетких множеств
3 1 2 ОПЕРАЦИИ НАД НЕЧЕТКИМИ МНОЖЕСТВАМИ
В данном разделе аксиоматически вводятся расширения обычных теорети-
ко-множественных операций на случай нечетких множеств Эти расширения
не единственны, даже когда операции можно классифицировать по сохраня-
емым ими свойствам Более того, имеются такие операции над нечеткими
множествами, которым нельзя поставить в соответствие никакую операцию
над обычными множествами, хотя некоторые из них (например, нахождение
средних значений) нам уже известны
Дополнение. Поточечный оператор дополнения есть функция с [0,
-> [0, 1], такая, что дополнение нечеткого множества F, обозначаемое F,
определяется в виде
(3 3)
Vcc G £2, д_(сс) = с(дг (сс)).
1 Симметрической называется функция, которая не изменяется при любой переста-
новке своих аргументов. - Прим, перев.
76
Чтобы сохранялись интуитивные представления о дополнении, на операцию с
накладываются следующие ограничения
Cl) с(0) - 1; с(1) - 0 (совпадение с классическим случаем) :
С2) с строго убывающая функция (если при переходе от элемента со к
элементу со' увели’швается степень принадлежности к нечеткому множеству
F, то соответственно уменьшается степень принадлежности к его отрица-
нию F);
СЗ) с - инволюция (двойное отрицание жвивалешно утверждению)
Если к тому же с - непрерывная функция, то существует единственное
пороговое значение s С (0, 1), такое, что s = c(s), которое зависит от с и
фиксирует в некотором роде порог принадлежности нечеткому множеству
F при известном с Трильяс [27] получил решение (Ьункпиопальных уравне-
ний, описывающих дополнение с в виде
с(х) =<* (1 -<р(х)),
(3 4)
где р — действительная, непрерывная, строго возрастающая функция, такая,
что <р(0) = 0, <р(1) = 1; легко видеть, что s ~	1 (1/з) Функция р единствен-
на, когда с — фиксированная операция. Для <р(х) = х получаем классическую
операцию дополнения нечеткого множества с(х) = 1 — х, уже введенную в
разд. 1.5.
Объединение и пересечение. Операции объединения и пересечения нечет-
ких множеств можно определить поточечно с помощью отображений из
[О, I]2 в [0, 1], обозначаемых и и т соответственно, таких, что
VwGS2, gFuG(w) =u(gF(w),gG(w));
(3.5)
(3 6)
Будем стремиться по возможности сохранить свойства обычных операций
объединения и пересечения множеств, т. е оставаться в рамках алгебраи-
ческой структуры, как можно более близкой к структуре булевой решетки
2п. В разд. 1.5 говорилось, что булеву решетку невозможно сохранить на
множестве [0, 1] п всех нечетких подмножеств универсального множества
[7] На практике мы имеем выбор из следующих двух вариантов- либо опре-
делить операции i и и так, чтобы сохранить законы исключенного третьего и
непротиворечивости (тогда не выполняются свойства идемпотентности и,
следовательно, взаимной дистрибутивности для операций пересечения О и
объединения U), либо сохранить свойство идемпотентности и отбросить за-
коны исключенного третьего и непротиворечивости. Таким образом, прихо-
дим к следующим аксиомам для определения операций пересечения и объе-
динения нечетких множеств
Совпадение с операциями пересечения и объединения обычных множеств:
UO) u(0, 1) =u(l, 1) =и(1,0) =1; ц(0,0) =0;
10) 1(0,1) =1(0,0) =1(1,0) =0; 1(1,1) =1.
Коммутативность:
Ul) и(х, у) = и(у, х);	'
77
Il)	i(x,y) =1(У,х).
Ассоциативность'
U2) u (x, u (y, z)) = u (u (x, y), z);
12)	i(x,i(y,z)) =i(i(x, y),z).
Выполнение законов де Моргана: существует дополнение с, удовлетво-
ряющее условиям Cl — СЗ, такое, что
U3) с(и(х, у)) = i(c(x),c(y));
13)	c(i(x,y)) = ц(с(х),с(у))
Существование нейтрального элемента.
U4)u(x, 0)=х (F U ф = F);
14)	i(x, 1) =х (F П fi = F).
Монотонность: U5 — 15) и, т — неубывающие функции по каждому ар-
гументу.
Непрерывность U6 — 16) u, i — непрерывные функции.
Условия Ul - U4 и II 14 выполняются для операций в классической
теории множеств, а требования монотонности U5 и 15 являются естественны-
ми, так как если элемент со принадлежит нечетким множествам F и G в мень-
шей степени, чем элемент со1, то со не может принадлежать их объединению
FUG или пересечению F И G в большей степени, чем со' Требование непре-
рывности представляет собой условие технического характера, когда универ-
сальное множество Q бесконечно.
Аксиомы 10 — 15 позволяют определить пару ([0, 1], 1) как полугруппу
с нейтральным элементом 1. В стохастической геометрии операции пересече-
ния 1 носят название треугольных норм ввиду их роли в выражении нера-
венств треугольника [19, 25]. Преобразование де Моргана, выражаемое
аксиомами U3 — 13, позволяет заменять операции i и и между собой Тогда
пара ([0, 1], и) образует полугруппу с нейтральным элементом 0. Благодаря
результатам, полученным в теории функциональных уравнении [1, 18],
основные классы операторов пересечения и объединения могут характеризо-
ваться следующим образом.
Идемпотентные операции. т(х, у) = min(x, у); и(х, у) = тах(х, у). Эти
операции взаимно дистрибутивны. Операции max и min — единственные опе-
раторы объединения и пересечения, удовлетворяющие условиям 10 — 15 и
U0 — U5, которые идемпотентны и взаимно дистрибутивны. Кроме того,
операция взятия минимума — самая большая операция пересечения в том
смысле, что Vx, Vy, i(x, у) < min(x, у). Двойственная ей операция взятия
максимума будет самой малой из операций объединения Vx, Vy, u(x, у) >
> max (х, у).
Строго монотонные архимедовы операции Это операции, которые удов-
летворяют условиям
Vx е (0, 1), i(x, х) < х, и(х, х) > х,
Vy'> у, i(x, у') > i(x, у), u(x, у') >u(x, у).
Их типичным примером служат операция произведения (х • у) для пересече-
78
ния и вероятностная сумма (х + у — х • у) для объединения нечетких мно-
жеств. Эти две операции удовлетворяют законам де Моргана для с(х) = 1 — х.
Они записываются в общем виде как
i(x, у) = Г1 (f(x) + f(y)),	(3.7)
где f — биективное отображение из [0,1] в [0, +°°], представляющее собой
непрерывную убывающую функцию, такую, что f(0) = +°°, f(l) = 0, и как
и (х, у) = <1 (<р (х) + V» (у) ),	(3.8)
где — биективное отображение из [0, 1] в [0, +°°], представляющее собой
непрерывную возрастающую функцию, такую, что </>(0) = 0, ip(l) = +°°.
Эти классы операций называются строгими пересечениями и объединения-
ми по названиям соответствующих треугольных норм и конорм. Все они не-
дистрибутивны и неидемпотентны, а также никогда не удовлетворяют зако-
нам исключенного третьего и непротиворечивости.
Параметризованные семейства строгих операций пересечения и объедине-
ния были предложены в ряде работ. В работе [15] изучалось одно семейство
операций строгого пересечения, которые являются рациональными функция-
ми своих аргументов:
i (х, у) = —----------------г-, у > 0.
У+(1-7)(х + у-ху)
Соответствующее семейство объединений получается по принципу двойствен-
ности на основе дополнения с(х) = 1 - х. При у = 1 из формулы для i(x, у)
получаем произведение. В работе [12] исследовались лишь операции, кото-
рые удовлетворяют условию ц(х, у) + i(x, у) = х + у и определяются выра-
жением
i(х, У) = logs [1 +	s >0.
При s = 0 получаем i (х, у) = min (х, у), а при s = 1 имеем операцию произве-
дения. Наконец, lim i(x, у) = max(0, х + у - 1), причем эта операция не яв-
ляется строгой. s”*°°
Нильпотентные операции. Типичные представители — операции.
пересечения i(x, у) = тах(0, х + у — 1) и
объединения и (х, у) = min (1, х + у) (ограниченная сумма).
Эти операции удовлетворяют законам де Моргана для дополнения с(х) =
= 1 - х. В обобщенном виде они характеризуются выражением
i(x,y)=f*(f(x)+f(y)),
где f- убывающая функция из [0, 1] в [0, f (0) ], такая, что
f(0) = 1, f(l) =0 и f*(x) =	1(x)>e“I»xe [0.1Ь
v	(_0, если x > 1;
u(x,y) =<^*(¥>(x) + <p(y)),
где функция ip — генератор дополнения, а функция
79
-P’1 (х)’еслих€ I0’1!'’
11,еслих>1.
Нильпотентные операции удовлетворяют следующим свойствам,
отсутствие взаимной дистрибутивности и идемпотентности;
всякая операция дополнения с порождает операции пересечения и объе-
динения, которые двойственны в смысле правил де Моргана и удовлет-
воряют законам исключенного третьего и непротиворечивости, причем
для указанного дополнения операции и и с порождаются функцией р, а
операция пересечения i порождается функцией f = <р(1) — <р.
Параметризованные свойства нильпотентных операций были предложены
в ряде работ- класс операций пересечения Тр Швейцера и Скляра в [23], а
также Ягера [33], порожденные соответственно функциями f(x) = 1 — хр
при р>0 и f(x) = (1 ~х)4 при q >0 Для р = q = +1 i(x, у) = max(0, х + у —
- 1), а для р = 0 i(x, у) =х • у. При q = +°° т(х, у) = min(x, у).
Можно ввести и такие операторы пересечения и объединения, которые не
являются ни идемпотентными, ни архимедовыми, ни нильпотентными. К чис-
лу подобных операторов относится семейство операторов пересечения [7]
т(х, у) =-р—-—-, aG (0, 1).
max(x, y,a) v 7
При a = 0 i (x, у) = min (x, у), а при а = 1 i (х, у) = х • у
Операторы, характерные для теории нечетких множеств. В классической
теории множеств имеются только два способа комбинировать множества
симметричным образом, так, чтобы выполнялась аксиома А1, т е
w G A, wGB=>wGA*B,
w Е A, w G В => co G А * В.
Операция * должна быть либо пересечением, либо объединением. В рамках
теории нечетких множеств это не так. Мы видели, что операции пересечения
нечетких множеств не больше операции взятия минимума, а операции их
объединения — не меньше операции взятия максимума Следовательно, рас-
смотренные классы операторов охватывают лишь некоторую часть возмож-
ных операторов свертки В настоящем разделе исследуются операции нахож-
дения среднего (расположенные между операциями max и mm), а также вза-
имодвойственные операции в смысле де Моргана. Эти два типа операций над
нечеткими множествами не имеют аналогов в классической теории множеств,
но тем не менее хорошо известны Вся оригинальность подхода заключается
здесь в том, чтобы поместить их в контекст теории множеств
Операции осреднения Среднее для двух нечетких множеств определяется
с помощью отображения m из [0, 1 ]2 в [0, 1 ], такого, что
Ml) min(x, у) <m(x, у) < max(x, у), Vx, у;
М2) m(x, у) = m(y, х);
М3) m - неубывающая функция каждого из аргументов.
Легко показать,'что выполняются следующие замечательные свойства:
80
функция m идемпотентна (обратно: из свойства идемпотентности и усло-
вия М3 следует справедливость условия Ml);
если m — строго возрастающая функция, то она не может быть ассоци-
ативной [7];
единственными ассоциативными средними являются медианы, опреде-
ляемые для некоторого порога а £ (0, 1) [11], т. е.
(у, если х< у < а;
а, если х<а <у;
х, если а < х < у.
Таким образом, ассоциативность — это свойство, несовместимое с понятием
среднего. Оно заменяется свойством бисимметричности, которое записывает-
ся в виде
М4) Vx,y,z,t, m[m(x, у), m(z, t)] = m[m(x, z), m(y, t)].
Отметим, что выполнение свойства ассоциативности влечет выполнение
свойства бисимметричности. В предположении о непрерывности и строгом
возрастании функции ш функциональные уравнения М1 — М4 уже были ре-
шены в работе [1] Общее решение имеет вид
ш(х, у) = к-1 (	,	(3,9)
где к — непрерывная и строго монотонная функция. Например, функция
k(x) = х“, а £ <й, дает семейство операторов ша, частными случаями кото-
рых являются следующие операторы.
a	т(х, у)	a	ш(х,у)
-О»	ПШ1(Х, у)		
		+ 1	—2^"- (среднее арифметическое)
-1	^—(среднее гармоническое)	+»о	тах(х, у)
0	х/ху (среднее геометрическое)		
причем если ai < a2, то ma < ma . Заметим, что медиана med(x, у, а) би-
симметрична, хотя ее нельзя представить в виде (3.9)
Симметрические суммы. Силверт [24] предложил исследовать один класс
операторов свертки нечетких множеств, очень интересный в семантическом
плане взаимодейственные в смысле де Моргана операторы, т. е. функции
вида a [О, I]2	[0, 1], которые удовлетворяют следующим свойствам
SI)	а(0,0) = 0, a(l, 1) = 1;
S2)	a — коммутативная функция;
S3)	а — неубывающая функция по каждому аргументу;
S4)	a - непрерывная функция;
S5)	1 - а(х, у) = о(1 - х, 1 - у) .
Аксиому S5 можно обобщить для какой угодно операции дополнения
[6, 38].
81
Любая симметрическая в смысле аксиомы S5 сумма, удовлетворяющая
аксиомам 51 - S4, может быть представлена в виде [24]
а(х,у)=-7---------------i---Г’	(З.Ю)
V ' g(x,y) +g(l-x, 1-у)
где g — произвольная неубывающая, неотрицательная и непрерывная функ-
ция, такая, что g (0,0) = 0.
Можно показать (см работу [24]), что:
а)	а(х, 1 — х) = */2 для любого хЕ (0,1);
б)	а(0, 1) не определена, если g(0, х) = 0, Vx, в противном случае
<т(0,1) = */2;
в)	med(x, у, ’/г) есть единственная ассоциативная симметрическая сум-
ма, которая является средним в смысле условия М1
Таким образом, при использовании операторов вида симметрических
сумм необходимо выбирать между свойствами ассоциативности и идемпо-
тентности.
Используя классические результаты из теории функциональных уравне-
нии, Домби [5] и Дюбуа [6] показали, что ассоциативные, строго возраста-
ющие симметрические суммы выражаются в виде
а(х, у) = 0-1 (0(х) + 0(у)),	(3.11)
где 0 — строго монотонная функция, такая, что Vx, 0(1 — х) + 0(х) = 0,
причем значения 0(0) и 0(1) не ограничены. Тогда пара ([0, 1 ], <т) образу-
ет полугруппу с нейтральным элементом */2, причем 0 и 1 — поглощающие
элементы. Более того, при этом имеем для х < */2 < у а(х, х) < х, а(у, у) >
> у, х < а(х, у) < у. Наконец, свойство ассоциативности должно быть огра-
ничено областью (0, 1), поскольку для ассоциативных симметрических сумм
значение о (0, 1) не определено.
Примером ассоциативной симметрической суммы, порожденной генерато-
ром g (х, у) = х • у, является операция
А операция «^(х, у), которая порождается генератором g(x, у) = х + у —
— х • у и имеет вид
не ассоциативна, потому что g (0, х) #= 0, т. е. здесь 0 не будет поглощающим
элементом.
Рассмотрим теперь идемпотентные симметрические суммы. Будучи неубы-
вающими, они представляют собой операторы осреднения в смысле условий
Ml - М3. Если сюда добавить свойство бисимметричности М4 и условие стро-
гого возрастания функции о, то можно проверить, что имеется только одна
идемпотентная симметрическая сумма, которая одновременно бисимметрич-
82
на и строго возрастает — это среднее арифметическое, которое также порож-
дается функцией g (х, у) = х + у	\
Например, в качестве генератора g можно выбрать некоторук) операцию
пересечения или объединения. Когда g = min или g = max, соответственно по-
лучаем
,	, min (х, у)	.	, max (х, у)
°^(х’у) = t-iLyi - °™<^>-тТ|Ь7Г
Обе это операции представляют собой средние, но не являются бисимметрич-
ными. При х + у < 1 имеем следующие неравенства:
ху	min (х, у) х + у max (х, у) х + у — ху
1 - х -У+ 2ху 1 - |х - у |	I + [х— у| СТ+х + у- 2ху ’
а при х + у > 1 знаки этих неравенств меняются на противоположные.
На рис 3.2 — 3.13 изображены некоторые из операций над нечеткими мно-
жествами, введенные в этом разделе
Рис. 3.3
Рис. 3 4
Рис 3.5
83
Рис. 3.11
Рис 310
84
3 1 3 ПРИМЕНЕНИЕ К СВЕРТЫВАНИЮ КРИТЕРИЕВ
Случай двух равнозначных целей. Когда цели определены в соответствии
с двузначной логикой ’’все или ничего”, т е. когда G - обычное подмноже-
ство множества X (выражающее некоторое ограничение), го двумя един-
ственно возможными видами свертки оказываются пересечение целей D =
= G[ Г'| G? или их объединение D = Gi U G? (если они взаимозаменяемы)
В данном случае исключается любой компромисс между двумя критериями
Когда же цели приобретают некоторые градации, связанные со степенью их
достижения, стремление к компромиссу становится одной из естественных
линий поведения ЛПР Тем не менее обе другие стратегии поведения (одно-
временное достижение обеих целей или выполнение одной из них) также
весьма естественны. Таким образом, можно выделить три основные страте-
гии ЛПР при свертывании отдельных критериев.
Для стратегии, выражающей стремление к одновременному удовлетворе-
нию обеих целей, естественным будет выполнение аксиомы
А5. Vs, t, h(s, t) < min(s, t), т e. обобщенная оценка некоторого дей
ствия не может быть лучше наихудшей из частных оценок. Такие операции
будем называть ’’конъюнкциями” Здесь важным подклассом оказывается
множество ассоциативных конъюнкций, которые служат моделями операций
пересечения нечетких множеств
Операция, выражающая избыточность двух целей, удовлетворяет аксиоме,
двойственной аксиоме А5
А6. Vs, t, h(s, t) > max(s, t), т e обобщенная оценка обусловлена наилуч
шей из частных оценок. Будем называть такие операции ’’дизъюнкциями”
Их важный подкласс — ассоциативные дизъюнкции, которые служат моделя-
ми операций объединения нечетких множеств
Операция, выражающая компромисс между отмеченными выше страте-
гиями, удовлетворяет следующей аксиоме, дополняющей условия А5 и А6.
85
A 7 min < h < max, т. e. обобщенная оценка находится на некотором уров-
не, промежуточном между частными оценками. Приходим к использованию
операций осреднения
Помимо этих трех ’’чистых” стратегий можно представить себе и гибрид-
ные стратегии, рассматриваемые в следующем примере Пусть со — некото-
рый объект. Если он плохо определен в смысле соответствия двум критери-
ям, то обобщенная оценка окажется относительно мягкой и снисходительной
(дизъюнкция). Если же объект со четко определен двумя критериями, то
обобщенная оценка будет более строгой и жесткой (конъюнкция). Этот тип
свертки хорошо учитывается оператором симметрической суммы, таким
как медиана med(s, t, 1/г) • Зато все ассоциативные симметрические суммы
(исключая медиану) выражают другой вариант гибридной свертки, а именно
если max(s, t) < ‘/2, h(s, t) < min(s, t);
если min(s, t) > l/2, h(s, t) > max(s, t);
если s < */2 < t, s < h(s, t) < t,
который соответствует стратегии, двойственной стратегии, описанной выше.
Значение функциональных представлений указанных операций состоит в
возможности использования параметризованных семейств, типа рассмотрен-
ных выше, что облегчает нахождение адекватных операций свертывания
критериев. С их помощью можно покрыть все множество стратегий между
конъюнктивной и дизъюнктивной стратегиями, выбрав в качестве исходных
некоторую операцию пересечения i и некоторую операцию объединения и и
задавая новое параметризованное семейство операций в виде
h(s, t) = 1 (s, t)7 • u(s, t)(1 “7>, ye [0, 1],
где показатель у представляет собой степень компенсации целей. Эта идея
была впервые предложена в работе [35]
Несмотря на внешнее богатство и разнообразие перечня операций, изло-
женных в настоящей главе, надо отдавать себе отчет в том, что они позволили
учесть лишь некоторую (хотя и значительную) часть возможных стратегий в
ситуации выбора В этом можно убедиться на примере, помещенном в конце
этой главы. Для построения действительно полной картины стратегий выбора
необходимы дополнительные исследования
Свертывание q критериев с помощью симметричной свертки целевых
функций. Операции, упомянутые выше, можно расширить на случай q > 2
равнозначных целей при условии, что они обладают структурой, которая до-
пускает ’’естественное” увеличение числа их аргументов и сохраняет аксиому
коммутативности АЗ. Определим операцию h(q) с q аргументами рекурсивно:
h<2> =h,
h(q)(sb s2, • •, sq) =h(h(q~ ^(si, s2,. •>sq_1),sq)
Если h - коммутативная и ассоциативная функция, то h^q^ удовлетворяет
аксиоме АЗ и представляет собой естественное расширение h для случая агре-
гирования q критериев. Этот прием может использоваться при расширении
ассоциативных конъюнкций, дизъюнкций и симметрических сумм, а также
параметризованных медиан.
86
При расширении других операций осреднения, не являющихся медиана-
ми, полезно свойство би симметричности. В общем случае имеем
h(si,..., sq) = к-1 (1 ^kCs,)).
Некоторые симметрические суммы (в частности, неассоциативные) также
допускают естественное расширение, которое можно определить благодаря
каноническому представлению, описанному в разд. 3.1.2. Если функция q
ассоциативна, то имеем
г	. = ____________g(q)(SbS2,.. ,sq)___________________
Sb ,Sq g(q)(SbS2, ...,Sq)+g<4)(l-Si, l-s2, ...,1-Sq)
где функция g<4) определяется подобно функции h(q) на основе генератора
g симметрической суммы с двумя аргументами. Этот прием позволяет гене-
рировать многоместные расширения всех симметрических сумм, описанных
в настоящей главе.
Следует отметить, что возможны и другие варианты симметричного агре-
гирования целей с использованием операций нескольких типов Например,
заданию достигнуть двух из трех целей Gi, G2, G3 соответствует свертка вида
H(Gb G2, G3) = (Gi П G2) U (G2 Cl G3) U (Gi П G3).
Неравнозначные по важности критерии. До сих пор понятию важности од-
ного критерия по отношению к другому уделялось очень мало внимания.
В зависимости от ЛПР или от ситуаций принятия решений этому понятию
придается совершенно различный смысл. Не претендуя на полноту освещения
этой чрезвычайно острой проблемы многокритериального выбора, мы попы-
таемся сопоставить несколько возможных интерпретаций понятия важности.
Использование порогов удовлетворения целей. Первая интерпретация важ-
ности критериев может связываться с наличием некоторого минимального
порога х? по каждому критерию Сх; достижение этого порога определяет
приемлемость оценки тДсо) объекта со. Здесь неявно предполагается, что
объект со тем предпочтительнее в смысле критерия Cj, чем больше величина
тДсо). Очевидно, что такой подход есть частный случай принятого здесь
подхода с использованием нечетких целей, поскольку знание порога х° экви-
валентно заданию некоторой целевой функции Gp такой, что pG (х) = 1,
Vx > х° и pG (х) = 0 в противном случае. Отсюда мы видим, что симметрич-
ная свертка нечетких целевых функций позволяет охватить одну из возмож-
ных интерпретаций важности критериев" чем важнее критерий, тем более
заостренную форму имеет соответствующая целевая функция.
Взвешивание критериев. Очень распространенным методом выражения
различий критериев по важности является назначение каждому из них неко-
торого веса с последующим суммированием этих весов в рамках операции
свертки. При этом наиболее распространена формула выпуклой комбинации
критериев
87
q	q
rre(w) =	2 p m (w);	2 p = 1.	(3.12)
"	1=1	1=1
Ее главное обоснование заключается в том, что за счет варьирования весовых
коэффициентов из набора Р и оптимизации критерия m=(w) для каждого
Р можно пробежать все множество элементов из £2, максимальных в смысле
удовлетворения q критериям Однако возможность априорной оценки весов
весьма проблематична, причем она тем проблематичнее, чем в большей степе-
ни значения m относятся к величинам, которые не имеют ничего общего
между собой (например, скорость и стоимость в случае выбора автомобиля).
Когда m (ш) не является числом, формула (3 12) не применима
Если считать вполне естественным введение нечетких целевых функций
G,, 1 = 1, . . . , q, для каждого критерия, то при взвешивании критериев
формула
Pi • MGi(mj(w)) =md(w); 1J1Pi=1	(злз)
оказывается более удовлетворительной, чем формула (3.12), поскольку
здесь свертываются величины одной природы Весовой коэффициент pj ха-
рактеризует значимость частной целевой функции G по отношению к обоб-
щенной целевой функции. Отметим, что описываемые формулы (3 13),
определяют несимметричные операторы осреднения. Рассмотренное понятие
взвешивания хотелось бы расширить и на другие типы сверток. Это возмож-
но в тех случаях, когда существует аддитивное представление данных опера-
.. „	, _, .k(a) + k(b) ч	_
ции. 1ак, каждая операция осреднения вида к ( х  =———) легко обоб-
щается с использованием формулы
h-(S1,.. ,sq) =к-1 ( |1р1к(51),где |1₽1=1	(314)
Когда операция h представима в виде 0-1 (0(a) + 0(b)), будем придержи-
ваться следующей точки зрения. В обычной симметричной свертке q целевых
функций каждый критерий считается один раз. При взвешивании же вес каж-
дого отдельного критерия может быть произвольным при условии, что об-
щий вес равен q (т. е. ’’эквивалентное” число критериев всегда равно q) . То-
гда можно положить, что
h?(s1,...,sq)=0-1(q-i2ipi0(si)), где Др, = 1.	(3.15)
Формула (3 15) может непосредственно применяться к большинству опера-
ций пересечения и объединения, а также ко многим симметрическим суммам.
В последнем случае формула (3 15) применяется с использованием функции
g, которая (будучи ассоциативной) порождает симметрические суммы. Если
операция свертки представляет собой произведение, то приходим к исполь-
зованию эмпирическою метода, предложенного Ягером [32]. Этот метод со-
стоит в неявном взвешивании целевых функций посредством придания функ-
88
ции принадлежности gG веса q • Рр что в конечном счете сводится к такому
же изменению целевых функций G , что и при введении порогов удовлетво-
рения целей Важным случаем, выходящим за рамки проведенных выше рас-
суждений, оказывается вариант использования операций ппп и шах; здесь он
анализируется на основе понятия возможности нечеткого события. Пусть
F^, — нечеткое множество целей, соответствующих объекту ш:
Vw, V1,PF (G1)=mg (щДщ)) = Sp	(3 16)
Пусть it = (tTi, . . . , 7Tq) — распределение возможностей на множестве целе-
вых функций, представляющее собой нечеткое множество значимых крите-
риев. Один из способов взвешивания критериев с помощью операций mm
или max состоит в следующем полагаем
h-»(si,.. , sn) = min max(s , 1 — я ), где max it =1	(3.17)
п	4	1 = l,...,q	1	1	1 = 1, ,.,q 1
при операции mm, и
h-»(si,.. ., sn) = max min(s,, я), где max it =1	(3.18)
п	ч i = l,...,q	11	1= l,...,q 1
при операции max соответственно. Тогда в зависимости от того, берется ли
h = mm или h = max, степень совместимости с обобщенной целью md(w) вы-
ражается необходимостью или возможностью нечеткого события соответ-
ственно (см. разд. 1 7). Когда все цели имеют одинакокую важность (т. е.
Vi, itt = 1), формулы (3.17) и (3 18) сводятся к операциям mm и max соот-
ветственно. Схему свертывания по формуле (3.17) впервые предложил Ягер
[40], но с другим обоснованием. Так, формулу (3 17) можно также пони-
мать и как степень истинности высказывания’ ’’Если цель i важна, то она
достигается, причем это выполняется для любою 1”, где каждое правило ви-
да.” Если. ., то . . ” имеет степень истинности, оцениваемую с помощью мно-
гозначной импликации тах(1 - х, у) Формулы (3 17) и (3 18) представля-
ют собой частные случаи так называемых нечетких интегралов в смысле Су-
гено (см. гл 1, а также работы [6, 29]) и интерпретируются как медианы
[6, 39]. Это интерпретация оказывается особенно удобной, поскольку в по-
рядковой шкале понятие медианы есть аналог понятия среднего, предполага-
ющего выполнение условия аддитивности Это означает, что формулы (3.17),
(3.18) в известном смысле эквивалентны формуле (3 13). Более того, фор-
мула (3.13) легко интерпретируется на языке вероятностей, поскольку ве-
личина gD(w) может рассматриваться как вероятность нечеткого события
Fw (см. разд. 1 7).
Асимметричное задание обобщенной целевой функции. Встречаются ситу-
ации, когда обобщенная целевая функция строится сложным образом из
частных целевых функций. Последние образуют нижний уровень некой иерар-
хии, которую можно неформально описать в терминах искусственного интел-
лекта как ”И-ИЛИ” дерево. Например, если при покупке автомобиля долж-
ны выполняться требования типа. ’’Автомобиль должен быть с мощным дви-
гателем или автомобиль должен быть с маломощным двигателем, но недоро-
гим”, то соответствующий оператор свертки имеет вид
89
D = G, U (G2 CiG3)(
где Gi и G2 определены в одной и той же шкале. Примером такого оператора
свертки служит оператор
h(si,s2,s3) =max(si, s2, s3).
Мы видим, что этот тип асимметрии критериев, во-первых, глубоко отличен
от упомянутых ранее; а во-вторых, существует лишь тогда, когда число эле-
ментарных целевых функций больше двух.
В качестве вывода, принципиального для построения иерархий с помощью
группировки элементарных целевых функций, заметим, что здесь в полной ме-
ре проявляется различие между тремя основными типами свертки, конъюнк-
тивной, компромиссной и дизъюнктивной1. Отметим, что большинство ранее
встречавшихся операций (в большей или меньшей степени) гомоморфны
сложению; операции конъюнкции имеют аналоги, выражающие компромис-
сную стратегию, и т. д. Поэтому есть сомнения относительно целесообразно-
сти использования сверток типа min (а + b, 1) или шах (0, а + b - 1), а не
ц -f*
2—, усугубляющиеся еще и тем, что первая свертка не позволяет выделить
наилучшие, а вторая — наихудшие решения. В действительности важность вы-
бора ’’хорошей” свертки становится более очевидной, когда некоторую обоб-
щенную оценку, составленную из частных, в свою очередь, комбинируют с
другими обобщенными оценками. Обсуждение связей, существующих между
данным количественным подходом к свертыванию критериев и теорией мно-
гомерной полезности (см., например, книгу Кини и Райффа [17]), начато в
работах [6,38].
Использование нечетких квантификаторов в свертке. Теория нечетких
множеств позволяет определить квантификаторы, промежуточные между
кванторами общности V и существования 3 классической логики. Эти кван-
тификаторы представляют собой математические модели лингвистических
термов, таких как ’’большинство”, ’’мало”, включая и чисто числовые кван-
тификаторы типа ”по меньшей мере половина” Один из способов выраже-
ния промежуточной стратегии между конъюнкцией (все цели должны быть
достигнуты) и дизъюнкцией критериев (достижение по крайней мере одной
цели) заключается как раз в использовании промежуточных квантификато-
ров (’’большинство целей должно быть достигнуто”).
Нечеткий квантификатор Q на множестве из q элементов (здесь критери-
ев) есть нечеткое множество целых чисел с носителем в [0, 1,... , q}. Кван-
тификатор Q может быть нечетким кардинальным числом ||F|| нечеткого
множества F с конечным носителем (см. разд. 1.5). В этом случае имеем
Дц F|| (0) = 1 и p||F|| (i) > д (i + 1), Vi > 0. Если, наоборот, Q - число, боль-
шее или равное р, то Pq(i) = 0, Vi < р и /iq(i) = I, Vi > р. Если величина р
известна неточно и определена как нечеткое кардинальное число ||F|| нечет-
кого множества F, то (i) представляет собой степень необходимости то-
го, что 1 > р:
* См. также [Зд.] - Прим, перев
90
(1 + 1).
MQ(i) = ^nf {l-M||F||(j)]=l-
Пусть Fw - нечеткое множество целей, соответствующих объекту со, которое
определяется формулой (3.16). В этом случае степень истинности утвержде-
ния: ”по меньшей мере q критериев удовлетворяются” - задается формулой
hQ(si,...,sq) = gQ(|FJ) =Mq(S1 +s2 + . , + Sq),
гДе I - мощность нечеткого множества Fw. Если Q - нечеткая пропорция
вида ”по меньшей мере х %”, где х — неточно определенная величина, то Q
есть нечеткое число из интервала [0, 1], такое, что
и тогда вычисляем дп (——). Данный подход предложен Заде (см. работу
4 Ч
[39, гл. 1 ]) в духе операторов осреднения, потому что в рамках этого подхо-
да множество частично достигнутых целей эквивалентно одной полностью
достигнутой цели.
Другой подход на основе операторов тл и max предложил Ягер [41].
Он относится к чисто порядковым подходам и не предполагает достижения
компромисса между критериями. Величина h' (si,. . ., sq) определяется как
степень существования нечеткого подмножества С множества {l,...,qj с
мощностью, соответствующей нечеткому числу Q, так чтобы цели, включен-
ные в множество С, достигались одновременно. Для описания конъюнкции
целевых функций можно пользоваться произвольной t-нормой *:
h^(S1....,Sq)=c5tm«	. (.д),
причем в случае, когда * = min, эта формула принимает вид
hQ (sj,..., sq) = j max min (gQ (i), so(1)),
где a — некоторая перестановка £1, 2,. ., qj, такая, что so > sa >
> . . . > sO(q). Замечая, что Vi, g||FJ| (1) = sup £a|| (FJJ| > $= sO(i)(2(cm.
разд 5.1), будем интерпретировать величину hq(si, . . . , sq) как степень
возможности Того, что число удовлетворяемых критериев (||FOJ|) соответ-
ствует Q.
Третий подход к вычислению степени истинности утверждения об удовлет-
ворении критериев был дан авторами в работе [43], а именно было предло-
жено выражение
hQ(si>---,sq) = i=mm ^max(l — g||F|1 (i), sa(1)),
которое интерпретировалось как степень необходимости того, что F^ — не-
четкое множество с мощностью ||F||. Можно показать, что когда * = min, то
hojsi > • • • , sq) = Eq (si,..., Sq), если величины Q и ||F|| связаны между со-
бой вышеприведенным уравнением (см. [43]). Если juq (i) = 1, Vi > 1 и
Mq(0) = 0 (тогда нечеткое число Q означает ”по крайней мере один”), то спра-
91
ведливо равенство hQ = hQ = max. а если (i) = 0, Vi < q и (q) =1 (тогда
нечеткое число Q означает ’’для любого”), то Hq = 11q = min Мы вновь полу-
чаем интерпретацию кванторов 2 и V в терминах дизъюнкции и конъюнкции,
что. вообще говоря, ложно при использовании подхода, основанного на ска-
лярной мощности
Наконец, может потребоваться оценить ’’насколько достигнуто большин-
ство целей” В данном случае известны нечеткий квантификатор Q и распре-
деление весов 1 = 1, ..., q^, определяющее нечеткое множество I важных
целей. Тогда можно вычислить оценку величины pQ(|I П Бш|), если Q - аб-
солютный квантификатор, и величины д0(|Ш FJ/IH, если Q - нечеткая про-
порция Когда стремятся выбрать некомпенсационный показатель, можно
использовать выражение для 11q, в котором вместо Sj подставляется член
TrJSp где черта | означает, что если цель важна, то она удовлетворяется (что
требует выполнения условий 111 = 1 и 110 = 0, или, например,
х|у = min(x, у), тах(1 - х, у) ).
314 ИДЕНТИФИКАЦИЯ ОПЕРАЦИЙ
Имея широкий спектр операций, выражающих различные возможные
стратегии поведения ЛПР, можно рассмотреть варианты идентификации не-
которой операции с помощью вопросника, предъявляемого ЛПР, а также по-
иска наиболее достоверной операции в некотором заданном списке.
Для простоты возьмем случай свертки двух целевых функций равной важ-
ности Gi и G2 При этом метод идентификации операции будет основываться
на задании ограниченного подмножества Т типовых объектов, для которых
известна степень их соответствия каждой частичной цели Эти объекты обла-
дают взаимно противоречивыми характеристиками, т е., например, один из
них несовместим с функцией Gi, но полностью совместим с функцией G2,
а другой со средней степенью совместим с обеими целями.
Можно рассмотреть задачу идентификации, состоящую из двух этапов
1. Задается ограниченный, но все же достаточно представительный список
типовых операций. От ЛПР требуется с помощью лингвистической шкалы
суждений типа предложенной в разд. 3.1.1, сформулировать общее суждение
относительно объектов, содержащихся в множестве Т. Как мы увидим в раз-
бираемом ниже примере, в данной процедуре может оказаться достаточным
очень малое число правильно выбранных объектов.
2. На первом этапе определилась одна или несколько допустимых опера-
ций Теперь, если стремиться к более точному определению нужной операции,
можно выбрать параметризованное семейство операций, семантика которых
соответствует тому типу стратегии поведения ЛПР, который наблюдался на
первом этапе Вновь проводится опрос ЛПР с использованием уже более со-
держательной выборки объектов. Затем можно провести оптимизацию пара-
метра, характеризующего операцию, например, по методу наименьших квад-
ратов
9?
Если суждения ЛПР последовательны и непротиворечивы, то элементы мно-
жества О, можно упорядочить по предпочтению, и эта классификация должна
в полной мере отражать тот порядок, который существует, когда множество
£2 содержит мало объектов.
3 1.5 ПРИМЕР
Рассмотрим задачу выбора автомобиля по каталогу моделей, содержаще-
му точные сведения о цене, расходе топлива, максимальной скорости и прие-
мистости (оцениваемой по времени разгона до 100 км/ч с места)
Предполагается, что при покупке автомобиля его требуемые характери-
стики (обобщенная цель) выражаются в упрощенной лингвистической фор-
ме, например в виде
(обобщенная цель/ = ((цель/ / ((цель)(ор/ (цель/ )),
< цель) = (< элементарная цель/ / (( цель/ (ор/ ( цель/ ) ) ,
где косая черта / означает ИЛИ, а элементарная цель представляет собой не-
четкое множество на одной из четырех рассмотренных шкал (цена, расход
топлива, скорость, приемистость) Символом (ор/ обозначен оператор линг-
вистической свертки. Таким образом, обобщенная цель представима с помо-
щью бинарной древовидной структуры, листьями которой служат элементар-
ные цели, а каждое ветвление соответствует некоторой операции свертки
Примером такой обобщенной цели служит
((довольно быстроходный и приемистый), но не очень дорогой) автомобиль
Идентификация каждой элементарной цели осуществляется через диалог
с заинтересованным лицом, которое определяет область предпочтительных
(и, на его взгляд, эквивалентных) значений, а также множество совершенно
неприемлемых значений, задавая соответственно ядро и носитель нечеткого
множества, описывающего элементарную цель Дополнительный диалог с
покупателем позволит несколько уточнить форму функции принадлежности.
Выбор операции свертки целей может производиться с помощью следую-
щей процедуры. Покупателю предлагаются три типовые модели V), Vj, V3
для выяснения его стратегии комбинирования двух целей G! иС2, связан-
ных между собой искомым оператором. Оценка каждого типового автомо-
биля является элементом множества уровней совместимости А, В, С, D, Е,
описанных в табл. 3.1 (см. разд. 3.1.1). Типовые автомобили выбираются
так, чтобы обеспечить различение операций свертки из фиксированного спис-
ка. Предполагается, что известна совместимость каждого типового автомо-
биля с каждой из целей. В частности, типовые автомобили могут выбираться
так, чтобы выполнялись следующие условия:
автомобиль Vj несовместим (обозначается Е) с целью Gb но полно-
стью совместим (обозначается А) с целью G2;
автомобиль V2 имеет среднюю степень совместимости (обозначается С)
с каждой из целей Gi и G2;
автомобиль V3 имеет среднюю степень совместимости (обозначается С)
с целью G], но полностью совместим (обозначается А) с целью G2
93
Тогда будем выражать оператор свертки h функций принадлежности дс
и p.G с помощью функции из [А, С, е}2 в (А, В, С, D, Е}, удовлетворяю-
щей аксиомам А1 — АЗ, сформулированным в разд. 3.1.1. Таким образом по-
купатель задает три значения: ft(E, А), ft (С, С) и ft(C, А) Каждая тройка
ответов соответствует некоторой стандартной операции свертки, как это ука-
зано в табл. 3.2. В приложении к гл. 3 имеется программа, написанная на язы-
ке Бейсик, которая осуществляет идентификацию операций свертки по дан-
ному принципу, обрабатывает запросы, относящиеся к выбору автомобиля, а
затем предлагает итоговое упорядочение. Эта программа соответствует пер-
вому этапу процедуры идентификации (см. разд. 3.1.4).
Отметим, что существует определенная аналогия между этим подходом
и так называемыми таблицами Карно, используемыми при синтезе логичес-
ких цепей Здесь строится логический фильтр в смысле многозначной, а не
двузначной логики. Предполагается, что функция, реализуемая фильтром,
представляет поведение человека по отношению к различным объектам, опи-
сание которых есть в информационной системе. Класс имеющихся операций
свертки рассматривается как множество стандартных функций, таких же,
как и функции, помещенные в списке логических цепей.
Таблица 3 2
Типовые автомобили	V, v2 v3	Вид обобщенного критерия
Цель G,	Е	С	С	Выбираемые операции
Цель G2	АСА	
	EEC	max(0, u + v - 1)
Примеры	Е	D	С	U -V
	Е	С	С	min(u, v)
		2uv
возможных	Е	С	В	u • v, 	—	
	D	С	С	med(u, v, ’/4),
ответов	С	С	С	...	i/ч min(u,v) med(u,v,72),
		u + v	max(u, v)
		
		2	’	1 + |u-v|
ЛПР	С	С	А	Oo
	В	С	В	med (u, v,3/ 4)
	АСА	max(u, v), 1 - V(1 - u)( 1 - v)
	АВА	u + v -u;v
	А	А	А	min(l, u + v)
Таблица 3.2 далеко не полна и касается лишь некоторой части возможных
ответов ЛПР. Множество возможных ответов содержит 50 троек, которые
могут порождаться при условии соблюдения следующих ограничений: 1)
h(C, А) > max(h(E, A),ft(С, С)); 2) функция ft симметрична; 3) ft (С, А) >
> С (при полном удовлетворении цели G2 обобщенная оценка не может быть
ниже уровня удовлетворения цели Gj). К тому же заметим, что когда исполь-
зуются лишь три типовых автомобиля, функция ft является не полностью
определенной. Для полного задания функции с учетом аксиом Aj - А3 требу-
94
ется знание величины h(E, С) более чем по трем значениям, полученным от
ЛПР. Такая дополнительная информация позволит более точно различать
операции свертки, но при этом число возможных ответов дойдет до 93.
Отметим, что четыре класса операций, указанные в настоящей главе, а
именно классы операций пересечения, объединения, осреднения и симме-
тричного суммирования, покрывают лишь часть из 50 возможных троек.
При этом многие тройки соответствуют минимальным изменениям по отно-
шению к стандартным операциям (например, тройка (D, С, С) очень близка
к тройке (Е, С, С), которая хорошо представляется операцией взятия мини-
мума) . Однако некоторые (к счастью, немногочисленные) тройки, например
(С, Е, С), явно выходят за рамки четырех разобранных выше классов. Пока
еще не развит аксиоматический подход к определению операций, соответ-
ствующих таким тройкам.
Представляется очевидным, что очень точная идентификация некоторой
операции свертки, которая соответствует второму этапу процедуры, описан-
ной в разд. 3.1.4, порой (быть может, часто) невозможна Однако это нив
коей мере не снижает ценность самого подхода и прежде всего по следующим
двум причинам:
очень точная идентификация может быть бесполезной, желательно
иметь представление лишь об определенном характере операции, что
позволяет отразить произвольный характер значений принадлежности
и других численных описаний субъективных суждений;
если несколько операций оказываются возможными моделями, то
можно допустить и неточность результата свертки. Например, когда
нет субъективных различий между операциями hi, . . ., h2, то можно
полагать
V(u,v),h(u,v) G [ _min h^u.v), _max fchj(u,v)].
В результате свертывания можно получить даже нечеткое число. Это произой-
дет в том случае, когда среди выбранных операций одни будут более вероят-
ны (заслуживать большего доверия), чем другие. Тогда получим нечеткое
множество операций, которое при использовании принципа обобщения обес-
печит нечеткие оценки объектов.
Отметим, что выбор целей (т. е. определение функций принадлежности
PG ) и выбор вида свертки зависят друг от друга: так, конъюнктивная сверт-
ка малозначащих целей может быть эквивалентной компромиссной свертке
между двумя очень избирательными целями. Это интуитивно понятное явле-
ние четко прослеживается в данной модели. Например, тройка (дс; , pG , h —
среднее геометрическое) эквивалентна тройке ( у/p.G , Vpq > h ~ произведе-
ние) . Систематический поиск таких эквивалентностей представляет опреде-
ленный интерес. Во всяком случае, они подчеркивают, что способ комбини-
рования целей зависит от способа их предварительного задания.
95
3.2. СРАВНЕНИЕ НЕТОЧНЫХ ОЦЕНОК
В практике редко бывают случаи, когда обобщенная оценка некоторого
объекта, связанная с процессом свертывания отдельных критериев или инте-
грирования неопределенных факторов, описывается точным числом Вообще
говоря, она будет естественным образом представлена в виде нечеткого ин-
тервала, выражающего неточность и/или неопределенность информации, обес-
печивающей процесс оценивания неточность измерений, словесных данных,
не полностью определенный способ свертывания критериев, неопределен-
ность, относящуюся к учитываемым качествам объектов
Процедуры свертывания критериев, обсуждавшиеся в первой части этой
главы, остаются справедливыми и тогда, когда рассматриваемые объекты
характеризуются неточными частными оценками, которые можно естествен-
ным образом представить с помощью нечетких величин, определенных в ба-
зовом множестве X], связанном с частной целью G]. Тогда обобщенная оцен-
ка получается за счет применения принципа обобщения (см гл. 2) к опера-
ции свертывания h(pG (•),	, Mg (’))• Пусть F, . , Fq - нечеткие оцен-
ки объекта w по q критериям. Степень совместимости цели G, с нечеткой
оценкой Ш] (со) = Fj есть величина т, = pG (FJ , определяемая выражением
(3 19)
Эта величина вновь появится в гл 4. Таким образом, обобщенная оценка
объекта со будет иметь вид
gD(co)=h(TI, ,Tq),	(3 20)
где pD(co) — нечеткая величина из интервала [0, 1], получаемая за счет при-
менения результатов исчисления нечетких величин (см. гл. 2) к изотоннои
функции h. Например, если h — операция взятия минимума, то получаем
pD(co) =пип(т1, . . ,Tq).
Когда обобщенные оценки оказываются неточными, упорядочение объек-
тов по этим оценкам становится уже нетривиальной задачей, поскольку мно-
жество нечетких величин не обладает естественной структурой полного по-
рядка. Эта задача составляет предмет второй части настоящей главы Изложе-
ние основано на результатах, представленных в работе [9], где систематизи-
рованы и дополнены известные подходы [2, 28, 30] Сравнительный анализ
результатов, полученных этими методами, дан в работе [42]
3 2 1 СРАВНЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ЧИСЛА И НГЧГТКОГО ИНТЕРВАЛА
Прежде чем заниматься сравнением нечетких интервалов, следует уточ-
нить, как действительное число соотносится с нечетким интервалом Исчис-
ление возможностей позволяет нам определить множества чисел, которые,
возможно (с необходимостью), больше или равны значениям некоторой пе-
ременной, связываемой с нечетким интервалом Р Обозначим их соответ-
ственно через [Р, +°°) и (Р, +°°) и, следуя [9, 10], положим, что
96
Vw, д p>+oo) (w) =np((-°°,w]) =usup^p(u),
Д (P +oo) (w) = Np ( (-«>, w) ) = uinfw 1 - Др (u),
(3 21)
(3 22)
где Пр и NP - меры возможности и необходимости, определяемые по распре-
делению др. Заметим, что множества [Р, +<») и (Р, +°°) выпуклые, а их функ-
ции принадлежности есть верхние и нижние функции распределения Р (см
разд 2 1.1), кроме точек разрыва (см рис. 3 14).
Подобным же образом можно определить интервалы (-°°, Р] и (—°°, Р),
которые будут нечеткими множествами чисел, возможно (с необходимо-
стью) , меньшими, чем Р, причем
Р] = (Р,+°°),
(-«>, Р) = [Р, +°°),
(3 23)
(3 24)
где горизонтальная черта означает операцию дополнения в теории нечет-
ких множеств
Использование такой символики оправдывается гем, что если нечеткий ин-
тервал Р вырождается в действительное число и, то нечеткое множество чисел
[Р, +°°) превращается в полупрямую [u, +°°), а (Р, +°°) — полупрямую (и,
+°°) Можно убедиться, что
(-°°,Р] п [Р,+о°) = Р,
(-ОО.Р) п (Р,+оо) =0,
где операцией пересечения И служит операция nun.
Заметим, что, когда Р — нечеткий интервал, в общем случае имеем усло-
вие Р U (Р, +оо) С [Р, +°°) (строгое включение, кроме тех случаев-, когда, на-
пример, операция объединения U определяется с помощью ограниченной
суммы)
Аналогично можно определить (возможно, пустую) область, ограничен-
ную двумя нечеткими интервалами Р и Q. Если Р рассматривается как ниж-
няя граница области, a Q — как ее верхняя граница, то ’’замыкание” и нечет-
кая ’’внутренность” этой области будут обозначаться [Р, Q] и (Р, Q) и выра-
жаться в виде [10]
[P, Q] = (-°°,Q] n [P,+~),
(P,Q) = (-°°,Q)n (₽,+«),
где пересечение нечетких интервалов определяется с помощью операции min.
3 2 2 СРАВНЕНИЕ ДВУХ НЕЧЕТКИХ ИНТЕРВАЛОВ z
Далеко не всегда имеется возможность найти больший из двух нечетких
интервалов, поскольку они могут в значительной мере перекрываться Пер-
вое естественное побуждение заключается в том, чтобы воспользоваться для
различения нечетких интервалов расширенными операциями max и min (см.
работу Фрилинга [13]) Тем более легко видеть, что, даже когда два не-
четких интервала очень близки между собой, заметным образом накладыва-
ясь друг на друга, они различимы с помощью операций max и min. Например,
max(P, Q) = Q, если Р - нечеткий интервал и Эе > 0, pQ(w) = дР (w - е), Vw.
Как только возрастающие или убывающие части функций принадлежности
пересекаются, операция max уже не позволяет различать нечеткие интервалы,
как бы не были удалены друг от друга ядра Р и Q Здесь необходима коли-
чественная оценка возможных различий, чего нельзя достичь с операциями
max и mih
В рамках теории возможностей, чтобы узнать, что больше Р или Q,можно
сравнивать, с одной стороны, множества Р и [Q, +°°), а с другой стороны,
множества Р и (Q, + <») с помощью некоторого показателя типа ’’возмож-
ность — необходимость нечетких событий” (см. разд. 1.7), т е. вычислять
по функции распределения др возможность и необходимость нечетких собы-
тий [Q, +°°) и (Q, +°°) Тогда получаем четыре основных показателя срав-
нения’
1)	np([Q,+°°)) =supmin(/ip(u), ^sup/1q(v)) = sup min(pp(u),pQ(v)) (3 25)
Если X и Y — переменные, области определения которых ограничены нечет-
кими множествами др и Ду соответственно, величина ПР( [Q, +°°)) интерпре-
тируется как возможность Pos(X > Y) присвоить X значение, по крайней ме-
ре не меньшее, чем Y, т е. наибольшие значения, которые может принимать
переменная X по меньшей мере равны наименьшим значениям, которые мо-
жет принимать переменная /. Если др и До — Две непрерывные функции, го
имеем Pos(X > Y) = Pos(X > Y), где Pos(X > Y) определяется заменой не-
строгого неравенства u > V на строгое неравенство и > v в выражении для
nP([Q, +°°));
2)	np((Q,+°°)) =supтш(др(и),inf(l-д (v)) =sup mf min(gp(u), 1 -дo(v)).
u	Q	(3.26)
Эта величина интерпретируется как возможность того, что наибольшие значе-
ния, которые может принимать переменная X, будут больше наибольших зна-
чений, принимаемых переметной Y (рис 3.15) ; эту возможность можно обо-
значить символом Pos (X > Y);
3)	Np([Q,+°°)) = mfmax(l -др(и), sup pQ(v)) =inf sup max(l - Mp(u),/zQ(v)).
98
Эта величина интерпретируется как необходимость того, что наименьшие зна-
чения, принимаемые переменной X, будут по крайней мере равны наимень-
шим значениям, принимаемым переменной Y (см. рис. 3.15); она будет обо-
значаться Nec(X > Y);
4)	Np((Q, +“)) = mfmax(l - gp(u), mf (1 -gQ(v)) = 1 - sup min(gp(u),gQ(v))
U<V _	(3.28)
Эта величина интерпретируется как необходимость Nec(X > Y) того, что пе-
ременной X могут присваиваться только большие значения по сравнению с
переменной Y, т. е. как необходимость того, что наименьшие значения, прини-
маемые X, будут больше наибольших значений, принимаемых Y Если д^и
Mq - непрерывные функции, то Nec(X > Y) = Nec(X > Y), где Nec(X > Y)
определяется заменой в выражении для Np ((Q, +°°)) нестрогого неравенства
u < v на строгое неравенство u < v.
Фактически возможностный подход позволяет построить шестнадцать ха-
рактеристик, описывающих относительные положения Р и Q Для их получе-
ния достаточно заменить Р на Q или [Р, +°°) на (—°°, Р) и т. п в формулах
(3.25) - (3.28).
Наше исследование этих характеристик [9] показывает, что в общем слу-
чае лишь шесть из них взаимно независимы. Это отражено в табл 3.3, где
Р и Q — симметричны.
Таблица 3 3
np([Q, + «))= i-Npd-», Q)) =1 - Nq((P,+~)) =nQ((-«,P]);
np((Q,+~)) =1 -Np((—,Q]) <1 -nQ((P,+«)) =Nq((-«,P]);
Np([Q,+“)) =l-np((—,Q)) > 1 -Nq([P,+~)) =nQ((-~,P));
Np((Q,+“)) =l-np((_~,Q]) =1 -nQ([P,+~)) =NQ((—,P))
Эти шесть значений являются необходимыми и достаточными для характери-
зации относительного положения двух произвольных четких интервалов. Од-
99
нако можно показать, что в большинстве случаев д.'[я нечетких интервалов
имеем равенства
np((Q,+oo)) =1-nQ((P,+°o))	(3 29)
и
Np( [Q, +°°) ) = 1 - Nq( [Р, +°°)) •	(3 30)
Когда равенство (3.29) нарушается, два входящих в него показателя позво-
ляют различать относительные положения интервалов вида Р = [аь Ь] и Q =
= [а2, Ь] (ПР( (Q, +<»)) = 0 = I1q( (Р, +°°))) и интервалов вида Р = [аь Ь) и
Q=[a2,b] (nQ((P,+°°)) = 1)
Аналогичное замечание справедливо для показателей, входящих в равен-
ство (3.30) Практически для обсуждения относительных положений двух
нечетких интервалов достаточно четырех показателей: Pos(X > Y), Pos(X >
> Y), Nec(X > Y) , Nec(X > Y) Эти показатели удовлетворяют следующим
свойствам
Pos (X > Y) > max (Pos (X > Y), Nec (X > Y));
mm (Pos (X > Y), Nec(X > Y) ) > Nec (X > Y) ;
Pos(X>Y) = 1 — Nec(Y>X);
max(Pos(X>Y),Pos(Y>X)) = 1;
Pos(X>Y) +Pos(Y>X) = 1;
Nec(X>Y) +Nec(Y>X) = 1.
Первые четыре свойства представляют собой не что иное, как переведенные
в контекст задачи сравнения нечетких интервалов характеристические свой-
ства мер возможности и необходимости Два последних свойства по сути яв-
ляются другой формой записи равенств (3 29) и (3.30) и выполняются при
тех же условиях
Аналогично можно ввести и показатели равенства между нечеткими интер-
валами Р и Q Естественным образом вводятся три показателя
1)	Hq(P) = flp(Q), т. е возможность нечеткого события Р, вычисляемая
по функции распределения Ду (соответственно возможность нечеткого собы-
тия Q, вычисляемая по функции распределения дР) Эту величину можно так-
же обозначить Pos(X = Y), считая, что переменные X и Y ограничены нечетки-
ми множествами с функциями принадлежности дР и Ду соответственно, т е.
ее можно рассматривать как возможность присвоения общего значения пе-
ременным X и Y
2)	Nq(P) , т. е. необходимость нечеткого события Р, вычисляемая по функ-
ции распределения Ду. Речь идет о показателе включения интервала Q в ин-
тервал Р, который понимается как оценка достоверности того, что при неко
тором заданном значении переменной Y можно присвоить это же значение
переменной X
3)	Np(Q) — показатель включения интервала Р в интервал Q, который
имеет аналогичную интерпретацию.
100
Несимметричность двух последних показателей приводит к стремлению
построить их симметричную комбинацию конъюнктивного типа
Nec (X = Y) = mm (Np (Q), NQ (P))
Использование min в качестве операции пересечения оправдывается свой-
ством идемпотентности; при Р = Q, т. е. дР =Mq, можно потребовать выпол-
нения равенства Nec(X = Y) = Nq(Q) Величина Nec(X = Y) характеризует
достоверность того, что переменным X и Y можно присвоить одно и то же зна-
чение. совместимое с нечеткими интервалами Р и Q (каким бы оно ни было)
Эти показатели равенства можно легко переформулировать за счет привле-
чения показателей неравенства, введенных выше так, чтобы выполнялись
условия
Pos(X = Y) = min(Pos(X > Y), 1 — Nec(X > Y));
Nq(P) = mm(Nec(Y>X), 1 -Pos(Y>X));
Nec(X — Y) = min(Nec(X>Y), I -Pos(X>Y), 1 - Pos(Y> X), Nec(Y> X)).
Таким образом, четыре вновь рассмотренных показателя неравенства нечет-
ких величин содержат всю информацию, необходимую для обсуждения свой-
ства равенства нечетких интервалов.
Замечание В показатель сравнения двух нечетких величин можно ввести градации,
заменяя четкое отношение нестрогого порядка > в формулах (3 25) - (3 28) некото-
рым нечетким отношением отражающим субъективную оценку того, насколько жела-
тельно, чтобы одна величина была больше некоторой дршой Еще один способ действий
состоит в направленном изменении нечетких интервалов Риф, нечетких множеств чи-
сел [р, +~) и (Р, +~) и т д с помощью нечеткого отношения близости, типа рассмот-
ренного в разд 2 3 2, так, чтобы сделать менее ограничительными функции распределе-
3 2 3 УПОРЯДОЧЕНИЕ л НЕЧЕТКИХ ИНТЕРВАЛОВ
Существуют два возможных подхода к упорядочению множества, состо-
ящего из п нечетких интервалов {Mi, . , Мп} с использованием введенных
выше показателей
определение обобщенных показателей превосходства, которые оценива-
ют, насколько величина Mj доминирует над всеми остальными нечетки-
ми числами;
обработка нечетких отношений, полученных попарным сравнением не-
четких интервалов М,
Здесь обсуждается только первый подход; второй подробно рассмотрен в
работах [6,9]
Можно достаточно естественно определить обобщенный показатель пре-
восходства, интерпретируя доминирование нечеткого интервала М, над дру-
гими нечеткими интервалами как тот факт, что нечеткий интервал М, пре-
восходит ’’самый большой из интервалов Mj”, j Ф i Здесь вполне естествен-
но вводится расширенный оператор max: по формулам (3 25) — (3 28) мож-
но построить четыре показателя превосходства, сравнивая М с max М :
1 । + 1 J
101
PSE(M1) =ПМ1([тахМг+<»))
PS(M ) =пм ((тахМ,+°°))
1 j * 1 J
NSE(M ) =NM ([тахМ ,+«))
1 1 J
NS(M) = NM ((тахМ .+<*>))
1 j * i 3
(возможность превосходства);
(возможность строгого превосходства);
(необходимость превосходства);
(необходимость строгого превосходства)
Тогда множество Mj,. .., Mn можно упорядочить по значениям каждого по-
казателя. Таким образом можно получить четыре отношения линейного по-
рядка, которые при условии их согласованности позволяют определить ре-
зультирующее упорядочение. Однако в силу неточности данных эти четыре
показателя необязательно дадут одно и то же упорядочение (см. пример да-
лее) . Отметим, что выражение для первого показателя можно упростить,
приводя его к виду PSE(Mj) = т1пПм.([Му +°°)). Точно так же можно
определять, насколько все другие нечеткие ^интервалы доминируют над нечет-
ким интервалом Mj с помощью операции min, заменяя в выражениях для по-
казателей^РБЕ(М1), PS(Mj), NSE(Mj), NS(Mj) величину M[ на minM и ве-
личину max Mj на Mj	J * 1
3.2.4 ПРИМЕНЕНИЕ В ИНФОРМАТИКЕ
Задача непосредственного вычисления значений четырех показателей срав-
нения сводится к отысканию координат точек пересечения соответствующих
функций принадлежности Когда имеются нечеткие интервалы (L-R)-THna,
т. е. Р = (р, р, a, |3)LR , a Q = (q, q, 7, S)LR, то должны решаться следующие
Уравнения^	~ и, -р q - Щ
найти значение щ , такое, что R( ) = L(=-^—) = Pos(X > Y) (пере-
сечение Правой части функции принадлежности др и левой части функции
принадлежности gQ);	р _ U2	q _
найти значение u2, такое, что L(—-) = 1 - L(—--) = Nec(X > Y) (пе-
ресечение левых частей,функций принадлежности дР и Pq) ;
найти значение ц3, такое, что 1 - R (—3-д Р) = R(U3 . И) = pos (X > Y) (пе-
р	ь
ресечение правых частей функций принадлежности дР и Pq);
р — U4	Уд___q	__
найти значение ц4, такое, что L(—-) =R(----?—1) =Nec(X>Y) (пере-
u	о
сечение левой части функции принадлежности др и правой части функции
принадлежности Др)
Программа на языке Бейсик, помещенная в приложении к настоящей гла-
ве, позволяет вычислять вышеперечисленные показатели для случая нечетких
трапециевидных интервалов (L(u) = R(u) = max(0, 1 — и)) Легко получить
следующие выражения для показателей сравнения, рассматриваемых как
102
функции от модальных значений и коэффициентов нечеткости двух нечет-
ких интервалов:
Pos(X>Y) = max(0, min(l, 1 + (р -q)/(0 + 7)))
Nec(X> Y) = max(0, min(l, (p - q + 7)/(a + 7)))
Pos(X>Y) = max(0, min(l, (p - q + 0)/(0 + 5)))
Nec(X>Y) =max(0, min(l, (p - q)/(a + 5)))
(PSE);
(NSE);
(PS);
(NS).
Эти формулы не справедливы тогда, когда суммы коэффициентов нечетко-
сти в знаменателях вышеприведенных выражений равны нулю (случай, когда
Р и Q — обычные замкнутые интервалы). Если один из этих знаменателей об-
ращается в нуль, то рассчитываются фиктивные коэффициенты нечеткости,
которые заменяют нулевые коэффициенты нечеткости, чтобы обеспечить су-
ществование искомых точек пересечения. Во избежание искажений результа-
тов требуется, чтобы эти точки пересечения имели ординату, расположенную
вне интервала [0, 1] (теоретически точки пересекаются в бесконечности).
Для этого фиктивные коэффициенты нечеткости должны иметь такое значе-
ние е, 4ToeJ>e0 = ^min(|p - q|, |р —q|, Ip-q|, |p-q|).npHe0 =0:
если p = q, /3 + 7 = 0, то при вычислении величины Pos(X > Y) коэффи-
циенты P и 7 можно заменить любыми положительными числами;
если р = q, a + 5 = 0, то при вычислении величины Nec(X > Y) коэффи-
циенты а и S можно заменить любыми положительными числами;
если р=£,а + 7 = 0,то, как это проверяется по теоретическим форму-
лам, Nec(X>Y) =0;
если p=q,(3 + 5=0, то, как это проверяется по теоретическим форму-
лам, Pos(X> Y) = 0.
3.2 5 ИЛЛЮСТРАТИВНЫЙ ПРИМЕР
Рассмотрим три нечетких интервала, изображенных на рис. 3.16, которые
ограничивают области определения трех переменных х1( х2, х3 соответствен-
но Задача состоит в определении того, насколько каждый нечеткий интервал
больше других. Вычисление четырех вышеназванных показателей дает следу-
ющие результаты.
Рис 3 16
103
Таблица 3 4
Интервалы	PSE	PS	NSE	NS
N,	1	*/з	2h	0
	8/9	2/з	’/2	0
N3	1	3/5	'/2	0
Ввиду наложения этих интервалов друг на друга ни один из них строго не до-
минирует другой необходимым образом (NS =0). Упорядочение по показа-
телю PS четко отражает тот факт, что максимальные значения, которые мож-
но присвоить переменной х3 в общем случае, больше тех, которые можно
присвоить другим переменным Упорядочение по показателю NSE выделяет
в качестве наибольшего интервал Nj, а упорядочение по показателю PSE -
нечеткий интервал N2 В итоге, как это видно из рис 3 16, получаем, что N3
может считаться самым большим из рассматриваемых нечетких интервалов
3 2.6 ПРИМЕНЕНИЕ К ЗАДАЧАМ ПЛАНИРОВАНИЯ РАБОТ С КУМУЛЯТИВНЫМИ
ОГРАНИЧЕНИЯМИ
Рассмотрим вновь пример, приведенный в разд 2 5 2, в котором произво-
дится расчет самого раннего и самого позднего сроков начала работ Эти ра-
боты образуют частично упорядоченное множество, а их выполнение сопря-
жено с задержками Предположим, что при выполнении каждой работы тре-
буется использовать некоторый ресурс заданного типа, например некоторую
машину, имеющуюся в единственном экземпляре. Пусть <Л1 - множество
машин, a mk — конкретная машина, предназначенная для выполнения работы
к. Предполагается, что данная работа выполняется непрерывно и что на од-
ной машине может одновременно выполняться только одна работа Пусть
к и 1 — две такие работы, что mk = rrij и они не могут выполняться одновре-
менно, даже если нет никакого априорного ограничения на порядок их вы-
полнения Пусть tk — самый ранний, a Ik — самый поздний сроки начала к-й
работы, обусловленные возможностью задержек (см. разд. 2 5 2). Пусть
dk — продолжительность выполнения k-й работы Таким образом, работа к
неявно характеризуется интервалом (’’окном”) времени Ik = [tk, Fk], в те-
чение которого она должна быть выполнена, где Fk = Tk + dk По относитель-
ному положению интервалов [tk, Fk] и [t] , FJ, характеризующих работы
к и 1, а также по продолжительности этих работ можно вывести ограничение
на порядок следования к и 1 или установить факт невозможности их выпол-
нения, когда соответствующие ’’окна” слишком узки или чересчур сильно
перекрываются Этот анализ, предложенный в работах [44, 45], проводится
следующим образом
1.	Если dk + d] > max(Fk — tj, Г] — tk), то ’’окно” времени Ik UI] слиш-
ком узко для выполнения двух задач. Налицо полная противоречивость ис-
ходных требовании, и в этом случае следует пересмотреть ограничения по
отсрочке работ
104
2.	Если mm(Fk - t1; F, - tk) < dk + dj < max(Fk - tb Fj - tk), то вво-
дится ограничение на порядок выполнения работ к и 1. При Fk — t] > F] — tk
получаем, что работа 1 должна выполняться перед работой к (рис 3 17)
Этот результат тривиален, если F] < tk, поскольку тогда Ik А I] = Q и интер-
вал времени I] целиком предшествует интервалу Ik
3	Если dk + d| < min(Fk — tp F; — tk), то работы могут выполняться в
любом порядке. Однако при Fk tj > Fj - tk выполнение этих работ в по-
рядке сначала 1, затем к — позволяет сохранить больший резерв времени
Когда установлено, что работа 1 должна предшествовать работе к, можно
уменьшить ширину ’’окон”; тогда интервал 1к принимает вид [max(tk, tj +
+ d0, Fk], а интервал I, - вид [tj, mm (Fj, Fk - dk)]
Эти условия использованы в системе планирования OPAL [46, 47] в ка-
честве основного принципа построения временных ограничений
Их можно обобщить на случай, когда самый ранний срок начала работ tk
и величина Fk - нечеткие интервалы, a dk — нечеткие продолжительности
работ
Приходим к задаче определения положения нечеткого числа S = dk © d]
по отношению к двум нечетким интервалам Lk! = Fk О t; и Lik = Fj © tk,
изображенным на рис 3 18.
Сначала рассмотрим те случаи, когда с определенностью можно заключить,
что, невзирая на неточность данных, рассматриваемая задача сводится к одно-
му из случаев 1, 2 или 3 Пусть s =d; + dk, xkl - Fk - t^, xlk = F[ - tk Требу-
ется оценить величины Ns((max(Lkl, Llk),+=°)), Ns((min(Lkl . L!k),max(Llk,
Lki))) > Ns( [0, min (Lkl, Llk))	~
Для упрощения изложения положим, что max(Lkl, Llk) = Lkl Тогда ищут-
ся значения
М5((Ч1О”)).^((Цк,Ц,)),^(|0Д,к))
В этих трех показателях содержится вся информация о нечетких интервалах
Lkl и Llk Более того, хотя бы один из них не равен нулю, так как три множе-
Рис 3 17
tk
dk	fy
Работа I должна выполняться
леи ед работой к
Рис 3 18
105
ства (Lk], +°°), (Lik, Lk|) и [0, Llk) попарно не пересекаются Следовательно,
либо приходим к одному из случаев 1, 2, 3, либо различение нечетких интер-
валов невозможно.
В последней ситуации можно вычислить показатели наложения S на грани-
цы нечетких интервалов L!k и Lki, т. е.
П5((Ч1.М),П5((Ь1кДк1)),П5([0Д1к))
Неравенство ГЦ( (Lkl, +°°)) > 0 означает, что остается возможность существо-
вания полного противоречия между требованиями, а неравенство ns( [О,
LJk)) > 0 означает, что нельзя с определенностью наложить какое-то ограни-
чение на порядок выполнения работ
В табл. 3.5 анализируются различные крайние случаи
Таблица 3 5 Случай ненулевых показателей
IIs((Lk|, +“)) 1Ц((Цк. Lk[)) 1Ц( [О, Цк))	Описание
Нечеткое число S слишком неточно, для
того чтобы сделать определенное заклю-
чение
Предшествование или противоречие
Невозможная ситуация
Потенциальное противоречие
Противоречия нет
Потенциальное предшествование
Любой порядок
Нечеткое число S вложено в ядро
<Ч.иЧР
Практически можно выражать 1 термином ’’сильный”, а 0 — термином ’’сла-
бый”.
В случае, когда получаем тройку показателей (0, 0, 0), мы должны найти
значения Ils(LkJ) и ГЦ(Е1к). Если ns(Lik) > 0, то существует равновесие
между порядком выполнения работ во времени и его отсутствием Если же
lls(Lk]) > 0, го существует равновесие между порядком выполнения работ и
противоречивостью соответствующих требований, невзирая на степень точно-
сти значений продолжительности работ. Эти случаи резко отличаются от пред-
ставленных в табл 3.5 случаев 1, 2 и 5, где неопределенность решения обу-
словлена плохим знанием величины dk + dj
Представляет особый интерес случай, когда продолжительности работ
точно известны, а отсрочки определены неточно Такой случай часто встре-
чается на практике в задачах планирования работы предприятий, когда за-
держки определяются весьма приближенно с помощью программного обеспе-
чения управления производством. В данном случае истинные ограничения по
времени задержки работы будут выражаться следующим образом.
самый ранний срок начала работ t0’ множество работ нельзя начать
раньше момента времени to, но определенно можно начать после мо-
мента tQ;
106
самый поздний срок окончания работТ№/ множество работ предпочти-
тельнее окончить к моменту времени Tw, но никак не позже T(v.
_Величины t0 и Tw - нечеткие числа вида (t0, t0 - to, 0) LR и (Тда 0, T(v
— Tw)Lr, где для простоты считается, что L и R — линейные функции Учиты-
вая эти величины задержек по методу, описанному в разд. 2.5.2, получаем
для каждой работы к трапециевидное временно'е ’’окно”, ограниченное дву-
мя нечеткими числами (рис. 3.19) tk и Fk, индуцируемыми-Величинами t0 и
^ соответственно. Здесь [tk, Fk] - нечеткий интервал (tk, Fk, tk - tk, Fk -
- Fk), a (tk, Fk) - нечеткии интервал (tk, Fk). Легко вычислить
Llk =	°’ *7 -¥1) ° 4k - t-k’ °) =	- 4’ °’ FT - F!+ 4 - t"k),
Lkl = (Fj.-’tp°> F^ ~ Fk +T1 - )
Это позволяет перейти от рис. 3.18 к рис 3.20.
Когда S = dk + ф - точное число, можно убедиться в том, что три пока-
зателя определенности (необходимости) Ns([0, Llk)), Ns((Llk, Lkl)) и
Ns( Ш1 > +o°)) совпадают с тремя соответствующими показателями возмож-
ности. Они равны соответственно степеням принадлежности
М [О’ V (S) ’Чк’ Lkl) (S) И 41’ +“ ) (S)-
Обозначим
Д1к = М [О, Llk ] (S) ’ мк1 = [0, Lkl](S) •
Очевидно, что три показателя вычисляются по функциям принадлежности
^Ik^kf
{1, если = 1 (кроме случая, когда S = F, - t.):
п 1	1 k (3.31)
0 в противном случае;
Рис. 3.19. ’’Окно”, назначаемое для задачи к
Рис 3 20
107
Лк
t/г
Работа к должна
предшествовать
работе I
Работа к должна
предшествовать
работе I
риск противо-
Работа к предпо-
чтительнее
работы I
Неопределенная
ситуация
Полное
противоречие
Работа I должна
предшествовать рабо-
те к, риск противоречия
Отношение без-
различия между
работой к и
работой I
Работа I предпо
чтительнее ра-
боты к
Работа I долж-
на предшество-
вать работе к
/®Л4
Рис. 3 21
_ f 1 - М)к > если дк] = 1 (кроме случая, когда S = Fk - t [);
М/т т >	~ ]
' IV кг [0 в противном случае;
(3.32)
M(Lkl- +те) (S) =1 ~Pkl
Тогда удобнее рассматривать относительное положение нечетких величин S,
Llk и Lki как функцию лишь д1к и дк). Замечая, что величина д1к есть степень,
с которой S меньше или равно L)k, можно ввести следующие оценки
1)	степень уверенности в том, что исходные требования полностью проти-
воречивы, т. е. S > Lkl и S > L|k; ее выражают с помощью показателя С =
= mm(l-gkl, 1-glk);
2)	степень уверенности в том, что работа 1 должна выполняться перед ра-
ботой к, т. е Lki > S > Llk, соответствующий показатель имеет вид Р(1 <
< к) = шш(дк1, 1 - д)к) или аналогично Р(к < 1) = тш(д1к, 1 - дк)), причем
величина тах(Р(1 < к), Р(к < 1)) характеризует степень уверенности в суще-
ствовании ограничения на порядок следования работ к и 1;
3)	степень уверенности в том, что порядок следования работ к и 1 не име-
ет значения; ее выражают показателем P(l k) = 1 -тах(Р(1<к), Р(к <!))
Спорная ситуация может возникнуть при анализе местонахождения точки
с координатами (gkl, д1к) в единичном квадрате (рис 3.21). Отметим, что в
соответствии с формулами (3 31) — (3.33) три стороны этого квадрата со-
ответствуют трем строкам табл. 3 5, т. е. парам (0, 0) из четвертой строки,
(0, 1) из шестой строки и (1, 1) из седьмой строки, в то время как наличие
пары (1, 0) предполагает, что мы поменяли местами Lk) и Ljk по отношению
к рис 3.18 и 3.20.
Если д1к = д]к = 0,5, то это указывает на то, что нечеткие числа Lkl и L!k
накладываются друг на друга, а величина S находится внутри носителя их пе-
ресечения. Тогда ничего нельзя предсказать ввиду неточности значений вре-
мени задержки. Этот способ анализа наложения друг на друга временных
’’окон” может оказаться полезным для представления реальной информации
о задержках в изготовлении продукции при построении систем программно-
го обеспечения предварительного планирования работ, подобных системе
OPAL [46,47].
108
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1	- ACZEL J. (1966). Lectures on Functional Equations and Their Applica-
tions. Academic Press, New-York.
2	- BAAS S., KWAKERNAAK H. (1977). Rating and ranking of multiple aspect
alternatives using fuzzy sets. Automatica,13, 47-58
3	- BALDWIN J.F., GUILD N.C.F. (1979). Comparison of fuzzy sets on the
same decision space. Fuzzy Sets and Systems,2, n°3, 213-233
4	- BELLMAN R.E., ZADEH L.A. (1970). Decision- making in a fuzzy environ-
ment ; Management Science,17, B141-B164.
[ Имеется перевод: Веллман P., Заде Л. Принятие решений в расплывча-
тых условиях// Вопросы анализа и процедуры принятия решений: Сб.
переводов/ Под ред. И. Ф. Шахнова. — М.: Мир, 1976. — С. 172—215.]
' - DOMBI J. (1982). Basic concepts for a theory of evaluation : the aggre-
gative operator. European J. Operations Research,10, 282-293.
6 - DUBOIS D. 11983). Modeles mathematiques de I'imprecis et de 1'incer-
tain en vue d'applications aux techniques d'aide a la decision. These
d'Etat, Universitfe de Grenoble.
7	- DUBOIS D.,PRADE H. (1980). New results about properties and semantics
of fuzzy set-theoretic operators. In : Fuzzy Sets : Theory and Appli-
cations to Policy Analysis and Information Systems (P.P. WANG, S.K.
CHANG, Eds). Plenum Press, 59-75.
8	- DUBOIS D., PRADE H. (1983) The use of fuzzy numbers in decision analy-
sis, in "Fuzzy Information and Decision Processes" (M.M. GUPTA, E.
SANCHEZ Eds). North-Holland,309-321.
9	- DUBOIS D., PRADE H. (1983). Ranking fuzzy numbers in the setting of
possibility theory, Information Sciences, 30, n° 2, 183-224.
10	- DUBOIS D., PRADE H. (1983). Two-fold fuzzy sets : an approach to the
representation of sets with fuzzy boundaries, based on possibility
and necessity measures. Fuzzy Mathematics (Chine), _3, n°4, 53-76.
11	- DUBOIS D., PRADE H. (1984). Criteria aggregation and ranking of
alternatives in the framework of fuzzy set theory. "Fuzzy Sets and
Decision Analysis",(H.-J. ZIMMERMANN, L.A. ZADEH, B.R. GAINES, Eds).
TIMS Studies in Management Sciences, Vol. 20, North-Holland,209-240
12	- FRANK M.J. (1979). On the simultaneous associativity of F(x, y) and
x + у - F(x, y). Aequationes Math, |9, 194-226
13	- FREELING A.N.S. (1980). Fuzzy sets and decision analysis. IEEE Trans.
Systems Man and Cybernetics,10, 341-354.
109
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
FUNG L.W., FU K.S. (1975). An axiomatic approach to rational decision-
making in a fuzzy environnement. In "Fuzzy Sets and Their Applications
to Cognitive and Decision Processes (L.A. ZADEH et col, Eds). Academic
Press,227-256.
HAMACHER H. (1978). Uber logische Verknupfungen Unscharfer Aussagen
und deren Zugehorige Bewertungs-funktionen. In : Progress in Cyber-
netics and Systems Research Vol. 3 (R. TRAPPL, G.J. KLTR, L. RICCIARDI,
Eds). Hemisphere Publ. Corp., New-York, pp. 276-287.
KANDEL A., BYATT W.J. (1978). Fuzzy sets, fuzzy algebra and fuzzy
statistics. Proceedings of the IEEE, 68, 1619-1639.
KEENEY R.L., RAIFFA H. (1976). Decisions With Hiltiple Objectives;
Preferences and Value Trade-offs. J. Wiley, New York.
[ Имеется перевод: Кини P. Л., Райфа X. Принятие решений при многих
критериях: предпочтения и замещения/ Пер. с англ, под ред. И. Ф. Шахно-
ва. - М.: Радио и связь, 1981. - 560 с.]
LING С.Н. (1965). Representation of associative functions. Publ, Math.
Debrecen, 12, 189-212.
MENGER K. (1942). Statistical metrics, Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 28,
535-537
OKUDA T., TANAKA H., ASAI K. (1978). A formulation of fuzzy decision
problems with fuzzy information, using probability measures of fuzzy
events, Information and Control , 38, n°2, 135-147.
ROY B. (1978). ELECTRE III : Un algorithme de classement fonde sur
une representation floue des preferences en presence de critSres
multiples. Cahiers du CERO, 20, 3-24.
SAATY T.L. (1978). Exploring the interfaces between hierarchies, mul-
tiple objectives, and fuzzy sets, Fuzzy Sets and Syst. _1, 57-68.
[ Имеется перевод: Саати T. Л. Взаимодействия в иерархических систе-
мах/ Изв. АН СССР. Техн, кибернетика. - 1979. - № 1. - С. 68 -84.]
SCHWEIZER В., SKLAR А. (1963). Associative functions and abstract semi-
groups. Publ. Math. Debrecen,10, 69-81.
SILVERT W. (1979). Symmetric summation : a class of operations on
fuzzy sets. IEEE Trans, on Systems, Man, and Cybernetics, 9, 657-659.
SISKOS J., LOCHARD J., LOMBARD J. (1984). A multicriteria decision-
making methodology under fuzziness : application.to evaluation of ra-
diological protection in nuclear power-plants. In : Fuzzy Sets and
Decision Analysis (H.J. ZIMMMERMANN, L.A. ZADEH, B.B. GAINES, Eds)
TIMS Studies in the Management Sciences, 20, North-Holland, 261-283.
26 - THOLE U., ZIMMERMANN H.J., ZYSNO P. (1979). On the suitability of mini-
mum and product operators for the intersection of fuzzy sets. Fuzzy
Sets and Systems, 2, 167-180.
27 - TRILLAS E. (1979). Sobre funci ones de negacion en la teoria de con-
juntos difusos. Stochastica, Vol.III, n°l, 47-59.
28 - TSUKAMOTO Y., NIKIFORUK P.N., GUPTA M.M. (1981). On the comparison
of fuzzy sets using fuzzy chopping. Proc. 8th Triennal World Congress
IFAC, Kyoto,vol. 5, 46-52.
29 - VON NEUMANN J., MORGENSTERN 0. (1944). Theory of Games and Economic
Behavior. Princeton Univ. Press, Princeton N.J.
[ Имеется перевод: Фон Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и эко-
номическое поведение. Пер. с англ. — М.: Наука, 1970. — 708 с.]
30 - WATSON S.R., WEISS J.J., DONNELL M. (1979). Fuzzy decision analysis.
IEEE Trans. Systems Man and Cybernetics,_9, 1-9.
31 - YAGER R.R. ( 1977). Multiple-objectives decision-making using fuzzy
sets. Int. J, Man-Machine Studies, 9, 375-382.
32 - YAGER R.R. (1978) Fuzzy decision-making including unequal objectives
Fuzzy Sets and Systems,1, 85-95.
33 - YAGER R.R. (1980). On a general class of fuzzy connectives, Fuzzy
Sets and Systems,4, 235-242.
34 - YAGER R.R. (1982) Some procedures for selecting fuzzy set-theoretic
operators Int. J. General Systems, 8, n°2, 115-124.
35	- ZIMMERMANN H.J., ZYSNO P. (1980). Latent connectives in human decision
making. Fuzzy Sets and Systems. 4, n° 1, 37-51.
36	- ZIMMERMANN H.J., ZYSNO P. (1983). Decisions and evaluations by hierar-
chical aggregation of information;Fuzzy Sets and Systems, 10, 243-260.
37	- ZYSNO P. (1982). The integration of concepts within judgmental and
evaluative processes, Progress in Cybernetics and Systems Research,
Vol. VIII (R. TRAPPL, G. KLIR, F. PICHLER, Eds), Hemisphere Pub. Corp.
New York, 509-517.
References ajoutees a seconde edition
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ, ДОБАВЛЕННОЙ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
38	- DUBOIS, D., PRADE, Н. (1985) A review of fuzzy set aggregation con-
nectives. Information Sciences, 36, 85-121.
39	- DUBOIS, D., PRADE, H. (1986) Weighted minimum and maximum operations
in fuzzy set theory. An addendum to "A review of fuzzy set aggrega-
tion connectives". Information Sciences, 39, 105-210, 1986.
40	- YAGER, R.R. (1981) A new methodology for ordinal multiple aspect de-
cisions based on fuzzy sets. Decision Sciences, J2., 589-600.
41	- YAGER, R.R. (1984) General multiple objective decision functions and
linguistically quantified statements. Inter. J. Man-Machine Stud.,
21_, 389-400.
42	- BORTOLAN, G., DEGANI, R. (1985) A review of some methods for ranking
fuzzy numbers. Fuzzy Sets and Systems, 15, 1-19.
43	- DUBOIS, D., PRADE, H., TESTEMALE, C. Weighted fuzzy pattern matching.
Actes Journee Nat, sur les Ensembles Flous, la Theorie des Possibili-
tes et leurs Applications, Toulouse, 27 juin 1986, 115-145. Version
rSvisee a paraitre dans Fuzzy Sets and Systems.
44	- ERSCHLER, J. Analyse sous contrainte et aide a la d£cision pour cer-
tains problfemes d'ordonnancement. Thfese d'Etat, Universite Paul Saba-
tier, Toulouse, 1976.
45	- PRADE, H. Ordonnancement et temps гёе1. Thfese Doct. Ing. ENSAE, Tou-
louse, 1977.
46	- BEL, G., BENSANA, E., DUBOIS, 0. Un systfeme d'ordonnancement pr£vi-
sionnei d'atelier utilisant des connaissances thgoriques et pratiques.
Actes des 6emes Journ6es Internationales "Les Systfemes-Experts et leurs
Applications", Avignon, 1986. Publics par 1'ADI, 757-770.
47	- BEL, G., BENSANA, E., OUBOIS, D. Construction d'ordonnancements previ-
sionnels : un compromis entre approches classiques et systemes-experts,
2sme Conference Internationale "Systemes de Production", Paris, Avril
1987. Actes publics par 1'INRIA. A paraTtre dans APII (AFCET).
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1Д
2д
Зд
4д
Борисов А.Н., Крумберг О. А. Задачи оценки и выбора альтернатив с учетом возмож-
ностей отбытий// Методы и модели анализа решений - Рига РПИ, 1981 - С 31-43
Жуковин В.Е. Многокритериальные модели принятия решений с неопределенно-
стью Тбилиси Мецниереба, 1983 - 105 с
Козелецкий Ю. Психологическая теория решений - М.. Прогресс, 1979	504 с
Кузьмин В.Б. Построение групповых решений в пространствах четких и нечетких
бинарных отношений - М Наука, 1982 - 168 с
Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта/А Н Авер-
кин, И 3 Батыршин, А Ф Блишун и др - М Наука, 1986 Гл 9, разд 15-
С. 236 - 258
6д Обработка нечеткой информации в системах принятия решений/АН Борисов,
А.В. Алексеев, Г В Меркурьева и др - М Радио и связь, 1989 - 424 с
7д Орловский С. А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации -
М Наука, 1981 - 208 с
112
ГЛАВА 4. МОДЕЛИ ПРИБЛИЖЕННЫХ РАССУЖДЕНИЙ ДЛЯ
ЭКСПЕРТНЫХ СИСТЕМ
В экспертных системах, разрабатываемых специалистами в области ис-
кусственного интеллекта, факты и/или правила часто могут содержать не-
определенность или неточность.
Долгое время байесовская модель была единственным количественным
подходом к решению задачи логического вывода в условиях неопределенно-
сти. Недавно был предложен ряд математических моделей анализа неопреде-
ленности, которые существенно отличаются от вероятностных моделей, в
частности теория функций доверия Шейфера [39] и теория возможностей.
В то же время исследователи и разработчики в области искусственного ин-
теллекта, испытывая необходимость в альтернативе стандартной байесов-
ской модели, предложили модели более эмпирического характера, в частно-
сти применяемые в экспертных системах MYCIN [40] и PROSPECTOR [19]
(см. также работы [17, 21, 23]) . В этой главе делается попытка дать общий
обзор ряда дедуктивных подходов, которые теоретически обоснованы и не
являются вероятностными в чистом виде. Первая часть данной главы допол-
няет тему гл 1, посвященную различным моделям неточности и неопределен-
ности, обобщающими понятия вероятности и возможности Затем в двух по-
следующих разделах рассматриваются два основных механизма вывода в
экспертных системах, а именно механизмы дедуктивного вывода и комби-
нирования информации, поступающей от различных источников, при наличии
неопределенных или неточных посылок
4.1.	ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ О МОДЕЛИРОВАНИИ НЕТОЧНОСТИ И
НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
В данной главе информация представлена в виде логических высказыва-
ний, обозначаемых р, q или г Теоретико-множественные обозначения исполь-
зуются лишь в том случае, когда стремятся представить содержание выска-
зываний. которое во многих случаях является неточным Таким образом,
будем рассматривать множество высказываний (Р, таких, что-
1)	если р £ <Р, то “I р G (Р (где “1 — логическое отрицание) ;
2)	если р G (Р, q G <Р , то р A q G <Р (где Л — символ конъюнкции).
Будем обозначать всегда ложное высказывание символом 0 = р Л Пр,
а всегда истинное высказывание — символом 1 =~1(рЛ~1р). Очевидно, что
0 G (Р, 1 G <Р. Тогда множество (Р вместе с операциями П, Л, V (где V —
операция дизъюнкции, определяемая в виде pV q = ~|(~lpAnq) образует
булеву решетку классической логики высказываний Импликация обознача-
ется -» и как обычно определяется в виде р q = П р V q. Говорят, что р вле-
чет за собой q, если р -> q = 1. Когда р Л q = 0, то высказывания р и q называ-
ются несовместимыми, поскольку если одно из них истинно, то другое лож-
но; более того, условие pAq = 0 эквивалентно условию p~»Hq = 1, т е.
”р влечет за собой И q”.
113
4.1.1.	ДОВЕРИЕ И ПРАВДОПОДОБНОСТЬ
Здесь предполагается, что <Р — конечное множество.
В вероятностной логике Р(р) — вероятность того, что высказывание р ис-
тинно, и РI р) — вероятность того, что высказывание р ложно, связаны меж-
ду собой условием Р(р) + Р(~)р) = 1. Так, если Р(р) = 0,тоР(~1р) =1; если
априори ничего не известно об истинности или ложности высказывания р, то
естественно принять Р(р) = Р(~1р) = 0,5 Однако, как только мы имеем дело
более чем с двумя альтернативами (попарно несовместимыми), становится
трудно представить ’’полное незнание”, поскольку, какое бы ни было распре-
деление вероятностей, некоторые высказывания (отличные от всегда истин-
ного высказывания 1) будут более вероятными, чем другие (отличные от
всегда ложного высказывания 0) , что выглядит парадоксальным с позиции
полного незнания (см. разд. 1.2).
Ряд исследований 70-х годов привел к построению невероятностных мер
неопределенности (квазимер) , причем все из них обладают следующими ин-
туитивно обоснованными минимальными свойствами. Пусть g — отображе-
ние из (Р в [0,1], удовлетворяющее следующим аксиомам.
l)g(0)=0;	)
2)g(l)=l;	f	(4.1)
3)	если высказывание р влечет высказывание q, то g (р) < g (g) .J
Эти аксиомы определяют класс мер неопределенности, рассмотренных в
разд. 1.3.
Однако аксиомы (4.1) характеризуют слишком широкое семейство мер
неопределенности, вычисления в котором проводить затруднительно.
В работе [39] введен более узкий класс мер доверия (конечно, удовлет-
воряющих аксиомам (4.1)), которые могут выражаться на основе функции
т1 из в [0, 1], такой, что
ш(0) =0,
S m(p) = 1.	(4 2)
ре р
Тогда мера доверия Сг, определяемая на основе функции т, выражается в
виде
Vq6(P, Cr(q) = S т(р).	(4 3)
р впечет q
Значение ш(р) характеризует степень доверия, связанную с высказыванием
р, и только с ним Мера доверия Cr (q) к высказыванию q получается как
сумма степеней доверия к высказываниям, из которых следует q. Здесь ш —
не мера неопределенности (так как она не удовлетворяет аксиомам (4.1)).
а относительный вес. Высказывания р, для которых ш(р) > 0, называются
фокальными высказываниями.
1 В ряде работ (см , например, [39]) эта функция называется опорным вероятност-
ным распределением (basic probability assignment) - Прим перев
114
Тогда по принципу двойственности можно определить меру правдоподоб-
ности Р1 на основе меры Ст:
Vp € IP, Р1(р) = 1 - Сг(~1 р),	(4.4)
которую также можно выразить через функцию т:
Vqe<P,Pl(q)= S т(р)	(4.5)
р не влечет q
В работе [39] показано, что функции Ст и Р1 удовлетворяют соответствен-
но условиям (4.3) и (4 5) для весовой функции т, определяемой аксиома-
ми (4.2), тогда, и только т'огда, когда они являются соответственно супер-
аддитивными и субаддитивными порядка п, где п — целое положительное
число. При п = 2 эти свойства записываются в виде
Cr(p V q) > Cr(p) + Cr(q) - Cr(p Л q) (супераддитивность) ;
Р1(р Л q) < Р1(р) + Pl (q) - Pl (р V q) (субаддитивность) .
Тогда выполняются условия
Vp£ (P,Cr(p)+Cr("lp) < 1;	(4.6)
VpG<P,Pl(p) +Р1(Пр) >1	(4 7)
Таким образом, в случае полного незнания будем иметь значения Сг(р) =
= Сг(Пр) = 0 и Р1(р) = Р1(~1р) = 1; два противоположных высказывания
могут показаться правдоподобными, хотя ни одно из них не внушает дове-
рия. Более того, из формул (4 3) и (4.5) ясно, что
Vp€<P,Cr(p) <Р1(р).	(4.8)
Правдоподобность некоторого высказывания всегда больше, чем доверие
к нему, что, видимо, удовлетворяет нашим интуитивным представлениям,
чему также удовлетворяет и выражение (4.4), которое показывает, что вся-
кое высказывание вызывает тем большее доверие, чем менее правдоподоб-
ным выглядит противоположное высказывание
Следует заметить, что если каждое фокальное высказывание несовмести-
мо с любым не следующим из него высказыванием, то меры доверия и прав-
доподобности, определяемые формулами (4.3) и (4 5), совпадают. Это усло-
вие несовместимости формально записывается в виде
VpG {Plm(p) > 0}, Vq, если p-»q ф 1, то рЛ q = 0.	(4.9)
С учетом свойств субаддитивности мер правдоподобности Р1 и суперадцитив-
ности мер доверия Сг равенство Р1 и Сг означает, что полученная мера неопре-
деленности есть вероятностная мера Р.
Если назвать ’’элементарным высказыванием” высказывание р, которое
не следует ни из какого другого высказывания, кроме самого себя, и всегда
ложного высказывания, то, обозначая логическую эквивалентность *-*, имеем
Vq 0, если q *—>р 1, то q-»р 1.	(4.10)
Условие (4.9) эквивалентно тому, что всякое фокальное высказывание
элементарно. Следовательно, свойство Р1 = Сг = Р эквивалентно тому, что все
фокальные высказывания элементарны (а значит, несовместимы). Этот ре-
115
зультат представляет собой изложение на языке логики свойства специфич-
ности вероятностных мер, обсуждавшегося в разд. 1.3.2.
Помимо вероятностей существует другой важный частный случай мер до-
верия и правдоподобности, меры необходимости и возможности.
Если п фокальных высказываний р согласованы между собой, т. е. их
можно упорядочить таким образом, что рп влечет pn_ ,,..., а р2 влечет р1;
то можно показать, что
Vpe<P,Vqe<P,Cr(pAq) = min(Cr(p),Cr(q));	(4.11)
Vp G Р, Vq G f>, Pl(p V q) = max(Pl(p), Pl(q)).	(4.12)
Здесь мы вновь узнаем уже встречавшиеся в этой книге меры необходи-
мости и возможности как частные случаи мер доверия и правдоподобности
соответственно (см. гл. 1), причем их аксиомы выражены здесь скорее в ло-
гических терминах, чем с позиции частоты появления событий. Напомним
свойство
VpG <Р,П(р) < 1 =>N(p) =0,
N(p) >0=*П(р) = 1,	(4.13)
которое означает, что произвольное высказывание классической логики (т.е.
такое высказывание, для которого справедливы условия рЛПр=0ир\/“|р =
= 1) может быть необходимым (достоверным), лишь когда оно вполне
возможно.
Замечание 1. В вероятностной логике событие, которое происходит с ве-
роятностью, равной 1, считается достоверным. Это отнюдь не так для собы-
тия, возможность появления которого равна 1, поскольку возможность про-
тивоположного события также может быть равной 1. Напротив, если необ-
ходимость некоторого события равна 1, то оно может рассматриваться как
достоверное, причем необходимость противоположного события, а также его
возможность равны 0.
Замечание 2. Предположим, что задана весовая функция m на (Р, определя-
емая аксиомами (4.2) и относящаяся к фокальным высказываниям. Пусть
о — функция, которая ставит в соответствие каждому фокальному высказы-
ванию р некоторое элементарное высказывание а(р), такое, что а(р) ->р = 1,
а Ра — вероятностная мера, порожденная функцией распределения та:
w / з (m(p),ecHHq = a(p),
Vq,m (q) =4
[О в противном случае.
Тогда можно убедиться в том, что Vo, Vp G <Р, Cr(p) < Рц(р) < Pl(р); здесь
обобщается выражение (1.56) (см разд. 1.6). Это согласуется с интуитив-
ным представлением о том, что высказывание, заслуживающее доверия,
должно быть вероятным, а вероятное высказывание — правдоподобным.
4.1.2. РАЗЛОЖИМЫЕ МЕРЫ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
Имеется еще один вид вероятностных мер, мер возможности и необходи-
мости — так называемые разложимые (декомпозируемые) меры неопреде-
116
ленности [8, 10], которые удовлетворяют следующим аксиомам (здесь мно-
жество высказываний & предполагается конечным) :
g(0)=0; g(l)=l;
31, р A q = 0 =>g(p V q) =g(p) lg(q),	(4.14)
где 1 - некоторая внутренняя операция на [0,1]. Аксиомы (4.14) выражают
естественное предположение о том, что степень доверия к высказыванию’
”р или q” - зависит лишь от соответствующих степеней доверия к высказы-
ваниям р и q в отдельности, когда р и q несовместимы. Поскольку множе-
ство высказываний <Р наделено структурой булевой решетки, а функция
множества g монотонна, то это приводит к выбору операции 1 в классе тре-
угольных конорм, уже рассмотренных в гл. 3. В частности, если выбирается
треугольная конорма 1 = max, то g оказывается мерой возможности, а если
1 - ограниченная сумма (u * v = min(l, и + v) и выполняется условие нор-
мировки
S {g (р) I р — элементарное высказывание} = 1,
то g — вероятностная мера. Общим свойством разложимых мер неопреде-
ленности является возможность их исчерпывающего описания на основе не-
которой треугольной конормы 1 и их значений на элементарных высказыва-
ниях, так как любое высказывание может рассматриваться как дизъюнкция
элементарных высказываний, из которых оно следует.
Всякая разложимая мера неопределенности g имеет двойственную ей ме-
ру неопределенности gc, определяемую условием Vp, gc(p) = c(g(H р) ), где
с — операция дополнения (см. разд. 3 1 2) Тогда мера gc строится на основе
треугольной нормы *, такой, что u * v = с (с (и) lc(v)), и выполняется аксио-
ма, двойственная аксиомам (4.14) 
Vp,q,pvq =l=*gc(pAq) = gc(p) *gc(q),	(4,15)
которая напоминает аксиому, определяющую меры необходимости, получа-
емую из аксиомы (4.15) при * = min. Замечая, что из аксиом (4.14) следует
свойство g(p) 1g(Пр) = 1, класс разложимых мер неопределенности можно
разделить на два подкласса.
1. Разложимые меры неопределенности, для которых знание величины
g(p) полностью определяет значение g(Hp). Такие меры неопределенности
являются двойственными самим себе (Зс, gc = g) и одновременно удовлет-
воряют аксиомам (4.14) и (4.15) . Их типичный представитель — вероятност-
ная мера.
2. Разложимые меры неопределенности, для которых g (П р) ие всегда вы-
водимо из g(p) В частности, это меры неопределенности, полученные с по-
мощью операции взятия максимума или строгой конормы u 1 v = и + v —
- и • v (см. разд. 3.1.2); они удовлетворяют требованию max(g(p), g(Hp)) =
= 1, что роднит их с мерами возможности. В общем случае такие меры отли-
чаются от двойственных им мер, которые сродни мерам необходимости.
Более подробное изложение свойств данного класса мер неопределенно-
сти можно найти в работе [8].
117
4.1	3. РАСПЛЫВЧАТЫЕ ВЫСКАЗЫВАНИЯ
Содержание высказывания р вида: ”Х принимает свои значения на множе-
стве А” ипи кратко: ”Х есть А” — задает точное или неточное определение
значения переменной X на множестве рассуждений S с помощью предиката
А, который соответствует некоторому подмножеству множества S. В частно-
сти, каждое элементарное высказывание pG (Р можно представить в виде:
”Х принимает значение s”, где s6 S, и обозначить pt. Такое высказывание
называется точным по отношению к базовому множеству S. Следовательно,
любое неэлементарное высказывание р, отличное от всегда ложного выска-
зывания 0, является неточным по отношению к множеству S Поэтому здесь
рассматривается логическая система (<Р, И, A, v) или в теоретико-множе-
ственных обозначениях (f (S),Cl, U), где <Р (S) - множество всех подмно-
жеств S. В таком случае запись 0 = ”Х есть 0” означает, что ”Х не принимает
свои значения из множества рассуждений S”, что, конечно, всегда ложно, так
как противоречит исходному определению, а 1 соответствует тривиальному
утверждению. ’’Переменная X принимает свое значение на множестве S”
Если задана мера возможности П, оценивающая степень неопределенности
высказываний из Р, то можно записать (см формулу (1.9))
Vp,n(p) =sup{n(ps) lps ->р= 1}.	(4.16)
Функция распределения возможностей {П(р&), sGS}, характеризующая
меру возможности П, может интерпретироваться как расплывчатое выска-
зывание вида: ”Х есть А”, где А — нормальное нечеткое подмножество мно-
жества S, определяемое как
MA(s) =n(Ps) = MS)-
Обозначение ях подчеркивает, что переменная связана с высказываниями.
В частности, если Vp, П(р) G {0, 1}, то мера возможности П эквивалентна
высказыванию классической логики q = V{ps | s € А} с А = {s |ях (s) = 1}.
На практике задание функции распределения возможностей ттх на множестве
рассуждений S соответствует как представлению смысла некоторого рас-
плывчатого предиката (’’большой”, ’’молодой”, ’’тяжелый”), так и указанию
множества взаимно исключающих альтернатив, взвешенных по предпочти-
тельности с помощью их относительных степеней возможности (без опреде-
ления самого предиката в явном виде). Кроме того, мы видели выше, что
задание распределения возможностей ях эквивалентно заданию множества
согласованных между собой альтернатив, которые взвешены по степеням ве-
роятности.
4.1.4.	ОЦЕНКА СТЕПЕНИ ИСТИННОСТИ ПРОИЗВОЛЬНОГО ВЫСКАЗЫВАНИЯ
Степень истинности высказывания можно рассматривать как меру соот-
ветствия содержания этого высказывания содержанию наших знаний о реаль-
ной действительности (которые в некоторых случаях могут быть неполны-
ми) . Содержание высказывания. ”Х есть F”, - которое требуется оценить,
и содержание базового высказывания. ”Х есть А” — представлены соответ-
118
ствующими функциями распределения возможностей Цр и дА, которые вы-
ражают ограничения, наложенные этими высказываниями на значения пере-
менной X. Возможность и необходимость того, что при условии: ”Х есть А”~
высказывание: ”Х есть F” — истинно, можно оценить по формулам
П (F, А) = supsmm(MF(s),MA(s)) =II(A,F),	(4.17)
N(F,A)=inf тах(Др(а), 1 — д. (s)),	(4.18)
seS 1	A
которые характеризуют соответственно возможность и необходимость не-
четкого события F, вычисленные по функции распределения возможностей
ттх = ДА (CM-Pa3«- 1-7).
Отметим, что, когда наши знания являются точными, т. е. полными (а сле-
довательно, множество А — одноточечное подмножество {s0} множества S),
из формул (4.17) и (4.18) следует, что
I1(F, A) =N(F, A) =pF(s0).	(4.19)
В то же время, если F — обычное множество, т. е. ”Х есть F” — четкое, а не
расплывчатое высказывание, то независимо от природы А
П (F, А) = 1 или N (F, А) = О	(4.20)
Когда наше знание соответствует одноточечному подмножеству {s0} мно-
жества S, а оцениваемые высказывания не содержат расплывчатости, мы
вновь получаем четкую оценку степени истинности v в смысле классической
логики. Тогда, если р = ”Х есть А”, то
v(p) =n(F,{s0}) =N(F,{s0J) =Mr(s0) е {0,1}.
Когда множество рассуждений представляет собой декартово произведе-
ние базовых множеств S х Т, а переменные X и Y, принимающие свои значе-
ния на S и Т соответственно, являются невзаимодействующими, базовые зна-
ния можно представить декартовым произведением нечетких множеств (по
формуле (1.72)), а степени возможности и необходимости расплывчатых
высказываний, соответствующие нечетким событиям F х G и F + G (где ь
означает декартово копроизведение — формула (1.73)), будут удовлетво-
рять следующим равенствам, уже указанным в разд. 1.8:
II(FxG,AxB) =min(n(F,A),Il(G,B));	(4.21)
N(FxG, АхВ) = mm(N(F, А), N(G, В));	(4.22)
n(F + G,Ax B) =max(Il(F,A),n(G,B));	(4.23)
N(F + G, Ax B) = max(N(F, A), N(G, B)).	(4.24)
Замечание Для того чтобы меры возможности n(F, А) и необходимости N(F, А)
могли рассматриваться как степени истинности в смысле экстенсиональной логики, бы-
ло бы желательно располагать следующими равенствами, выполняющимися в класси-
ческой логике'
v(F, А) + v(F, А) =1,	(4 25)
v(FnG,4)=rMr,A),v(G, А)),	(4 26)
119
v(F и G, A) =g(V(F, A), v(G, A))	(4 27)
Очевидно, что в общем случае ни мера П (I , А) , ни мера N(F, А) не удовлетворяют фор-
муле (4 25) . Тем не менее, если А - одноточечное множество, то для указанных мер воз-
можности и необходимости экстенсиональность сохраняется при f = min и g =max, ко-
гда эти меры совпадают (см (4 19)). Более того, равенство (4 25) выполняется и в об-
щем случае, если, следуя Гэйнсу [18], положить
(4 28)
множествах S и Т, а истинность v, задаваемая формулой (4 28) удовлетворяет услови-
ям (4 26) и (4 27) , то множество А заменяется декартовым произведением А X В на
Соответствие высказывания ”Х есть F” - по отношению к высказыванию
”Х есть А” — с большей полнотой оценивается величиной совместимости
CP(F, А) [51,52], которая представляет собой нечеткое подмножество интер-
вала [0, 1], определяемое с помощью принципа обобщения (2.6) в виде
(429)
С«Г,Л> (о, если ДрЧу) ж 0
Нечеткое подмножество CP(F, А) интервала [0, 1], уже встречавшееся в
разд. 3.2, есть не что иное, как нечеткое подмножество возможных значений
принадлежности множеству F некоторого элемента, у которого множество
априори возможных значений на множестве рассуждений S ограничено обла-
стью А. Другими словами, если известно, что s - более или менее представи-
тельный элемент множества А, то СР (F, А) есть функция распределения воз-
можностей переменной pF(s) Отметим, что если F - обычное множество, то
СР (F, А) есть нечеткое подмножество множества {0,1}, такое, что
МСР(Г.А)(0) =П(Р.А); Mcp(F А)(1) = П(Р, А)	(4.30)
Если А - одноточечное множество {s}, то CP(F, A) = gF(s) Если А - обыч-
ное подмножество, то СР (F, А) есть подмножество интервала [0, 1], огра-
ниченное сверху величиной П (F, А), а снизу N (F, А)
В данном общем случае можно показать (см., например, [32]), что
П(F, А) = ^sup^min(v,MCp(F A)(v));	(431)
N(F, А)= Jnf ^max(v, 1 - дСр(Г A)(v)).	(4.32)
Таким образом, величина CP(F, А) содержит информацию о величинах
П(F, А) и N(F, А). Когда переменная X, связанная с нечеткими множества-
ми F и А, и переменная Y, связанная с нечеткими множествами С и В, счита-
ются невзаимодействующими, то, воспользовавшись формулами для опера-
120
ций над нечеткими интервалами (см. гл. 2), можно легко выразить CP(F, А)
на основе CP(F, A), a CP(F х G, А х В) или CP(F + G, А х В) в терминах
CP(F, А) или CP(G, В); тогда получаем равенства, аналогичные равенствам
(4.21) - (4.24)
Итак, истинность некоторого высказывания была вычислена в форме сов-
местимости функции распределения возможностей, представляющей это
высказывание, с функцией распределения возможностей, отражающей базо-
вое состояние знаний Теперь рассмотрим обратную задачу, на основе йекото-
рого высказывания р, характеризующегося степенью истинности т, найти та-
кое состояние знаний, степень совместимости которого с высказыванием бу-
дет равна т Другими словами, задано высказывание вида. ”р есть г”, где р -
само высказывание, ат — его (возможно, нечеткая) степень истинности, и
надо представить это высказывание в виде функции распределения возмож-
ностей, которая будет иметь уровень совместимости т с аналогичной функ-
цией распределения, связанной с р
При заданных функции распределения возможности дг , представляющей
высказывание р = ”Х есть F”, и характеристической функции дт нечеткого
подмножества интервала [0, 1], представляющего значение истинности т,
наибольшее решение (в смысле отношения вложенности нечетких множеств)
Мд уравнения т = CP(F, А), где CP(F, А) определяется по формуле (4 29),
находится как [52]
Vs€S, m+(s) =mt(mf(s)).	(4 33)
Здесь величина Дд выражает то заключение о реальной действительности, ко-
торое можно сделать, зная, что высказывание ”Х есть F” т-истинно.
Замечание Меры доверия и недоверия в экспертной системе MYCIN В предполо-
жении, что высказывание h оценивается при наличии свидетельства е, мера доверия
(belief) MB (h, е) и мера недоверия (disbelief) MD(h, е) были эмпирически введены в
экспертную систему MYCIN [40] Они удовлетворяют следующим свойствам
MBOh, е) =MD(h,e),	(4 34)
1 - MD(h,e) < 1 =>MB(h.e) =0;
MB(h,e) >fl»MDft,e) =0,
(4 35)
MD(h, Ah,,e)	=	max(MD(hI, e), MD(h2, e)),	(4	36)
MB(h, A h2, e)	=	min(MB(h,, e), MB(h2, e)),	(4	37)
MD(hx A ha, e)	=	min(MD(h1, e), MD(h2, e)),	(4	38)
MB(hj V h2 , e)	= max(MB(h1, e), MB(h2, e)),	(4	39)
являются точными ’’двойниками” ранее приведенных формул (4 21) - (4 24)
Показатель уверенности (certitude) СГ (h, е) - MB(h, е) - MD(h, е) е [ 1,+1], исполь-
зуемый в экспертной системе MVC1N, может рассматриваться как степень истинности
с	1 + CF(h, е)
с точностью до аффинного преобразования, поскольку величина------------аналогич-
на величине, определяемой формулой (4 28), и, кроме того, имеем CF(h,e)+CF(~lh,e) =
= 0, что аналогично равенству (4 25)
4.1.5.	РАСПЛЫВЧАТЫЕ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ВЫСКАЗЫВАНИЯ
Замечательной чертой теории возможностей является ее способность еди-
нообразного представления неопределенной и расплывчатой информации.
В частности, одновременно расплывчатое и неопределенное высказывание
можно представить с помощью распределения возможностей, соответствую-
щего менее точному, но достоверному высказыванию. Рассмотрим четкое
высказывание вида р = ”Х есть А” (где А соответствует обычному подмно-
жеству), которое содержит неопределенность, т. е. N(p) =а< 1. Это неопре-
деленное высказывание рассматривается как эквивалентное друюму, в об-
щем случае расплывчатому высказыванию р* =”Х есть А*”, где ЦА*~ самая
неточная в смысле вложенности нечетких множеств функция распределения
возможностей (см. разд. 1.5) , такая, что
N(p) = inf 1 -ai.*(s) =а.
s£ А Л
Легко убедиться, что дА* = 1, если s € А, и дА* = 1 — а, если s А Это мож-
но записать в виде
Vse S,ma*(s) =niax(gA(s), 1 - а).
Совершенно неопределенное высказывание (при а = 0) эквивалентно триви-
альному утверждению 1 = ”Х есть S”. Когда а = 1, то получаем р* =р. Если
р — расплывчатое и неопределенное высказывание, то соответствующую
информацию следует представлять в виде расплывчатого высказывания р*,
где А* определяется так, как указано выше (см. также [74]). Это проиллю-
стрировано на рис. 4.1.
122
4.2	. ЛОГИЧЕСКИЙ ВЫВОД С НЕОПРЕДЕЛЕННЫМИ ПОСЫЛКАМИ
В рамках проблемы автоматизации процедур вывода можно рассмотреть
две точки зрения на представление знаний: а) логическую, когда правило вы-
вода типа: ’’если р, то q” — выражается с помощью материальной имплика-
ции p->q4~ipVq,H6) ’’функциональную”, когда правило вывода частично
описывается функцией из {р, Пр} в {q, П q}, связывающей q с р. Последняя
точка зрения ближе к идеологии систем продукционных правил в искус-
ственном интеллекте.
В рамках логического подхода знания — факты и правила — представлены
в виде логических утверждений, а процесс вывода основан на использовании
правил отделения В классической логике двумя наиболее употребительны-
ми правилами отделения являются:
правило ’’модус поненс” (modus ponens) р —>q, которое соответствует
Р___~
первой строке инвертированной таблицы истинности (см. табл. 4.1),
где v(p) — значение истинности высказывания р;
правило ’’модус толленс” (modus tollens) р -> q которое соответству-
_К’
Пр
ет второй строке инвертированной таблицы истинности (см. табл. 4.2).
Таблица 4 1. Правило ’’модус поненс”
v(p -* q) v(p)	v(q)
111	<----Правило ’’модус поненс”
1	0	{0,	1}	«--’’Опровержение q”, хотя его	значение истин-
0	10	ности остается неопределенным
0	0	0	«----Невозможная ситуация
Таблица 4 2 Правило "модус толленс"
v(p q) v(q)	v(p)
1	1	{0,1} i----’’Подтверждение p”, хотя его значение ис-
тинности остается неопределенным
1	0	0	<---Правило ’’модус толленс”
0	10	«---Невозможная ситуация
0	0	1
Замечание. В табл 4 2 показано если известно, что условие р -* q истинно, то истин-
ность высказывания q делает высказывание ”р истинно” заслуживающим большего до-
верия (см [31]) в том смысле, что выражение ”q истинно” - необходимое условие
истинности высказывания р, откуда создается впечатление подтверждения истинности
высказывания р Точно так же, если известно, что условие p-*q истинно, то ложность
высказывания р делает высказывание ”q истинно” - менее правдоподобным, посколь-
123
Наличие невозможных ситуаций в табл. 4.1 и 4 2 показывает, что значения
истинности для р и р -* q нельзя выбирать независимыми друг от друга. В рам-
ках функционального подхода значение истинности правила вывода, ’’если
р, то q” — определено лишь в том случае, когда само высказывание р истин-
но Тогда это правило интерпретируется в терминах условной истинности,
т. е. значение истинности высказывания назначается, когда известно, что выс-
казывание р истинно. Это значение истинности записывается в виде v(q|p);
соответствующая сводка значений приведена в табл. 4.3.
Таблица 4 3 Условная истинность
v(p)	v(q)	v(q|p)
1	1 0	0
0	1	{0, 1}	<	Неопределенность
0	0	{0,1}	«	Неопределенность
Легко видеть, что имеются всего четыре способа заполнения таблицы ис-
тинности v(q | р), т. е. q | р может соответствовать одной из следующих логи-
ческих формул: р A q, р q, q, р -*q Символ | не является обычной логи-
ческой связкой, поскольку он соответствует множеству логических связок;
его нельзя путать со штрихом Шеффера, который обычно имеет похожее обо-
значение. Этот способ интерпретации правила вывода ’’если р, то q” — пред-
ставляется вполне удовлетворительным, так как здесь заранее не выносится
суждение о значении правила вывода, помимо того факта, что когда р истин-
но, то q истинно.
Можно проверить, что табл. 4 3 эквивалентна неявному определению
v(q| р) как множества решений уравнения
v(pAq) =min(v(q|p),v(p)).	(4.40)
В уравнении (4.40) операцию mm можно заменить произвольной операцией
*, такой, что 1*1 = 1, 0 * 0 = 0 * 1 = 1*0=0. Меняя порядок столбцов в
табл. 4.3 так, чтобы проводить рассуждения по правилу ’’модус поненс”, по-
лучаем копию табл. 4.1 в терминах условной истинности, т е табл 4 4.
Таблица 4 4
v(p)	v(q)	v(q|p)
111	<---Аналог правила’’модус поненс”
1	0	{0,	1}
0	1	0
0	0	{0,	1}
124
Заметим, что, поскольку v (q) > v (р Л q) , всегда имеем
v(q)>min(v(q | p),v(p)),	(4.41)
что обобщает правило ’’модус поненс”, но не учитывает всю информацию из
табл 4.4. Интересно отметить, что в табл. 4 3 можно поменять порядок столб-
цов так, чтобы получить обобщение правила ’’модус толленс” (см. табл. 4.5).
Преимущество функционального подхода заключается в исчезновении в
табл 4 4 и 4 5 невозможных случаев, описанных в табл 4.1 и 4 2, что позво-
ляет независимо определить значения истинности v(p) и v(q|p) (ffiinv(q) и
v(p)), тогда как v(p) и v(p -*q) (или v(q) и v(p->q)) связаны неравенствами.
Таблица 4 5
v(q|p) v(q)	v(p)
1	1	{О, 1]
10	0	<---Аналог правила’’модус толленс”
0	1	0
0.0	[0, 1}
В дальнейшем будем обсуждать проблему вывода с нечеткими посылками
вначале в рамках логического подхода, а затем в рамках функционального
подхода, получая в обоих случаях похожие результаты. Потом будет пред-
ложен метод вывода с неточными посылками.
4 2 1 ДЕДУКТИВНЫЙ ВЫВОД С НЕОПРЕДЕЛЕННЫМИ ПОСЫЛКАМИ
В данном разделе предполагается, что мы имеем дело с четкими высказы-
ваниями, но наши базовые знания, позволяющие установить их истинность,
неполны В соответствии с разд 4.1.4 неопределенность, относящаяся к ис-
тинности высказывания р, оценивается с помощью квазимеры, которая бу-
дет выражаться мерой возможности или необходимости Согласно данной
точке зрения неопределенность, относящаяся к посылке ’’если р, то q”, бу-
дет оцениваться через неопределенность, содержащуюся в высказывании
р q = Пр V q или как неопределенность обусловливания высказывания
q высказыванием р
Правила ’’модус поненс” и ’’модус толленс” с неопределенными посылка-
ми. Пусть П - мера возможности на булевой решетке высказываний а
N — двойственная ей мера необходимости. В работах [14, 35] предлагаются
следующие расширения правил ’’модус поненс” и ’’модус толленс”
Правило ’’модус поненс”
Правило ’’модус толленс”
N(p -> q) > а
N(p) > b_____
N(q) > min(a, b) ’
N(p->q) > a
(IV) N(q) < b__________
[1, если a < b
N(P)<<
[b, если a > b
Окончание табл.
Правило ’’модус поненс”
Правило ’’модус толленс”
N(p -> q) > а
П(р) > b
N(p^ q) > а
n(q) > b • v(a+b > 1)
(V)
П(д) < b___________
П(р) < max(l - a, b)
fl, если a + b > 1
[О в противном случае
Правила (I) и (IV) получаются с учетом того, что pAq = pA(~lpVq),H это
приводит к выражению N(q) > N(pAq) = min(N(p -> q), N(p)) Правила
(II) и (V) получаются с учетом того, что -1 р Л “I q = “I q Л I р v q), откуда
N(“lp) > NCIpAHq) - min(N(-lq), N(p->q)), что в итоге дает П(р) <
< max(n(q), 1 — N(p~*q)) Правило (III) легко проверить, поскольку
n(p-*q) = max(l -N(p),n(q)).
Однако если известно только, что П (р -* q) > а, то нельзя сделать никаких
заключений относительно П(р) ни на основе n(q) <b, ни на основе N(q) <b.
Комбинируя вместе схемы ’’модус поненс” вида (I), (II) , (III), получаем
N(p->q) >а, n(p~>q) > A(max(l - а, А) =1)
(VI) N(p) >b, П(р) >В(тах(1 - Ь, В) = 1)
N(q) > mm (a, b), n(q) > max (A • v(A + В), В • v(a + b)),
причем во всех случаях max(n(q), 1 - N(q)) = 1. Для вероятностных мер
уже были известны правила вывода, аналогичные правилам (VI) [43] и
(IV -V)’
P(p-*q)>a	P(p^q)>a
(VII) Р(р) >b______________ (VIII) P(q) <b__________________.
P(q) > max(O, a + b - 1)	P(p) <min(l, 1 - a + b)
Они остаются справедливыми, если вероятности заменить на меры доверия
[69, 62,59].
Точно так же можно было бы сгруппировать схемы вывода (IV) и (V) по
правилу ’’модус толленс”. Другую схему вывода можно построить, сгруппи-
ровав правила (I) , (II), (IV), (V) в виде
N(p-*q) >а
N(q-*p) >а'
N(p) G [b, Ь'], П(р) G [с, с'] и тах(1 - Ь, с') = 1
(IX)------------------------------------------------
N (q) G [min (a, b), 1 ], если а' < b'
N (q) G [min (a, b), b' ], если а' > b'
n(q) G [с • v(a + с > 1), тах(1 а', с')]
126
Согласно последнему правилу рассуждения ведутся на основе взвешива-
ний по эквивалентности между высказываниями р и q Число а показывает,
в какой степени высказывание р является достаточным для того, чтобы из
него следовало q, а число а — в какой степени высказывание р является не-
обходимым для этого. Отметим, что во всех предложенных правилах, если
ограничить коэффициенты a, b, а', b', с, с' значениями 0 или 1, то нижние гра-
ницы оценки высказывания р совпадут с операциями конъюнкции, в то вре-
мя как верхние границы будут операциями импликации. В правиле (IX) ин-
тервалы, содержащие N(q) и П (q), включают и интервалы, ограничивающие
значения N(p) и П(р) соответственно. Эти интервалы не расширяются, если
данная процедура применяется повторно с использованием для величин
N(p) и П(р) интервалов, полученных для N (q) и П (q) соответственно.
Условные меры истинности на неопределенных высказываниях [14]. Пра-
вило ’’если р, то q” — частично определяет функцию из <Р в <Р в виде услов-
ной меры возможности П(- | р), где n(q| р) характеризует возможность
того, что высказывание q можно дедуктивно вывести из высказывания р.
Мера возможности П (• | р) неявно задается следующим тождеством, получа-
емым из уравнения (4 40) •
П(р Лх) = П (х | р) * П(р), х = q, Hq, ’	(4.42)
когда известна мера возможности П на множестве высказываний &, которая
выражает наши знания об истинности высказываний Здесь * — операция
конъюнкции, например операция взятия минимума, которая предполагает-
ся непрерывной и удовлетворяющей условиям:
1)	если г < s, t<u, Tor*t<s*u (монотонность) ;
2)	VsG [0, 1], s * 0 =0* s = 0;
3)	Vs G [0, 1], s * 1 = 1 * s = s.
Операция * есть треугольная норма, примерами которой являются min,
произведение, а также s * t = max(0, s + t — 1). Наименее специфичная услов-
ная мера возможности представляет собой наибольшее решение уравнения
(4.42). Следовательно (всегда существующую), условную меру возможно-
сти П (• | р) можно определить выражением
П(х | р) = sup{r |П(рЛх) = г * П(р)}, х = q, И q.	(4.43)
Поскольку здесь р и q - четкие высказывания, q «-> (р Л q) V (И р Л q) = 1,
то из формулы (4.42) можно вывести
п(ч) =тах(П(Ч | р) * П(р), П(Ч | Пр) * П(Пр));	(4.44)
n(1q) = тах(П(ПЯ | р) *П(р),П(ПЧ | Пр) *П(Пр)).	(4.45)
Формулы (4.44) и (4.45) обобщают правило ’’модус поненс , поскольку из
того, что n(q | р) = 1, П(Пq | р) = 0 и П(р) = 1, П(Пр) =0, следует n(q) =
= 1, n(Hq) = 0. Формула (4.42) индуцирует неравенство n(q) > n(q | р) *
* П(р), откуда получаются следующие правила вывода типа ’’модус поненс”
и ’’модус толленс” соответственно:
127
n(q | р) >а
(X) П<Р) >b
П (q) > a * b
n(q | p) >a
и (XI) П(д) < b_______________ _
П(р) < sup[s e [0, 1], a * s<b}A a*->b
Их можно объединить в одно общее правило, подобное правилу IX:
II(q | р) >а
П (р | q) > а'
(XII)	П(р)€[Ь,Ь']	.
П (q) G [а * b, а' * -> b']
Формулу (4.45) можно переписать в терминах меры необходимости, полагая
N (q | р) = 1 - П(“1 q | р), откуда
N (q) = min (N (q | р) 1 N(~| р), N(q | “I р) 1 N (р) ) ,	(4.46)
где s 11 = 1 - (1 - s) * (1 - t), т е. если * =mm, то 1 =тах. В более общем
случае 1 — операция дизъюнкции, удовлетворяющая свойствам.
1)	если г < s, t < и, iorlt<slu (монотонность) ;
2)	VsG [0,1], s 1 1 =1 ls = l;
3)	VsG [0,1], 01 s = s 1 0 = s.
Из выражения (4.46) получаем неравенство N(q) > min(N(q | p), N(p)),
что дает схемы рассуждений типа ’’модус поненс” и ’’модус толленс” соот-
ветственно:
N(q | р) > a	N(q | р) > а
(XIII)	N(p)>b_________и (XIV) N(g)<b__________________________
N(q) >mm(a,b)	II, если а < Ь,
(Ь, если а > b
Они объединяются в схему рассуждений по эквивалентности
N(q I р) >а
N(p I q) >а'
N(P)e [b,b']____________________
(ХУ) N(q) G [min(a, b), 1], если a' <b'
N(q) G [mm(a, b), b'], если a' > b'
Заметим, что правила вывода (XIII) — (XV) не зависят от вида операции *,
которая определяет условную меру Известны вероятностные схемы вывода,
основанные на понятии условной вероятности и аналогичные правилам
(XIII) - (XIV) [43].
P(q|p)>a	P(q | р) >а
(XVI) P(p)>b_______ и (XVII) P(q)<b_________________________________
P(q) > a • b	. Il, если a = 0,
(p) [гшп(1,Ь/а),если a=#0
Замечание Условные меры необходимости N(q | р) и N (р | q), которые одновремен-
но присутствуют в схеме (XV), можно интерпретировать соответственно как степени
’’достаточности” и ’’необходимости” того, что высказывание q истинно, ко!да высказы-
128
вание р истинно Эта идея введения мер достаточности и необходимости, связанных с
правилом вывода, лежит в основе системы приближенных рассуждений экспертной си-
стемы PROSPECTOR [15]; там она разрабатывалась в рамках вероятностного байесов-
ского подхода
Синтез. Отметим, что в обоих подходах, как в логическом, так и в функ-
циональном, интервалы значений необходимости, возможности или вероятно-
сти всегда имеют вид [а*Ь, а'*~>Ь'], где * — операция конъюнкции, а *-> —
операция импликации, которая определяется на основе операции конъюнк-
ции * в виде [32,47, 61 ]
a*->b =sup{s | a* s<b}	(4.47)
Этот результат пригоден как для схем вывода на основе материальной им-
пликации, так и для схем вывода с условными мерами. Вероятностные схе-
мы вывода обеспечивают большую точность результатов, когда использует-
ся подход с применением условных мер истинности. В случае возможност-
ных схем это не гак, поскольку схемы (IX), (XII) и (XV) дают точно такие
же результаты в терминах значений необходимости, не сравнимые с прежни-
ми результатами в терминах возможностей (за исключением того случая,
когда а * b = шах (0, а + b - 1) в схеме (XII) (что порождает интервал, со-
держащий все другие интервалы) Кроме того, ряд схем не позволяет полу-
чать нетривиальный вывод; эти схемы — не одни и те же в рамках отмечен-
ных двух подходов.
Схемы вывода, основанные на операции импликации, и схемы вывода по
условной мере истинности становятся очень близкими друг к другу, koi да
треугольная норма, характеризующая условную меру возможности, опреде-
ляется операцией взятия минимума (см. работу [71]). В этом случае из фор-
мулы (4.43) следует, что
Г1,еслиП(р) =n(pAq),
П(q I р) = <
П (р A q) в противном случае.
Видно, что условная мера возможности П (q | р) очень близка к мере П(р А
A q) = 1 — N (р ->~1 q), точнее, условная мера необходимости N(q | р) близ-
ка к мере необходимости импликации N (р -> q) , поскольку
ГО.если N(“lp) = N(p->q),
N(q | р)
(N(р q) , если N(“I р) <N(p ->q)
Этот результат поясняет, почему схемы вывода (IX) и (XV) тождественны
(если только нет ограничений на П(р) в схеме (IX)). Тогда при * = min
можно показать, что схема вывода, описываемая формулами (4 44), (4.45)
и основанная на условной мере возможности, согласуется с противополож-
ной схемой, основанной на мерах необходимости и логической импликации,
а именно
N(x) >max(mm(N(p-*x),N(p)),mm(N(~lp-*x),N(~]p))), х = q,'~]q.
Эта схема вывода слабее той, что определяется формулами (4.44), (4 45).
Она включает схемы (I) и (V) и может записываться в матричной форме,
где произведение матриц определяется с помощью операций max и mm (вме-
сто операций сложения и умножения в обычном произведении матриц):
fN(q) "1 > |N(p->q) N (“I p q) ,[n (p) П
LN(’,q)J LN(P4) N(-|p->-lq)J |_N(-lp)J.
О взаимосвязи между N(q| p) и N(p -> q) можно узнать из работы [63].
В частности, вес П (q | р) относится к правилу: ’’если р, то ”lq”, как это вид-
но из вышеизложенных результатов. Более систематически формулы (4.44),
(4.45), представленные в матричной форме, используются применительно к
задаче автоматизации приближенных рассуждений в работе [66] Отметим,
что в рамках вероятностного подхода логическая импликация и вывод по
условной вероятности не столь близки друг к другу (это показано в рабо-
те [63]).
В заключение следует обратить внимание на то, что в целом эти два подхо-
да совпадают, поскольку они приводят к очень похожим расчетам со степе-
нями неопределенности. Все это наводит на мысль о том, что данные расчеты
имеют общее основание, хотя исследования такого типа все еще находятся на
начальной стадии. Кроме того, на практике далеко не всегда можно уточнить
у эксперта сведения о конкретном математическом характере (вероятность,
возможность, необходимость) предлагаемого им распределения, а также уз-
нать, следует ли понимать правило’ ’’если р, то q” — как материальную или
как условную импликацию. Такая неопределенность компенсируется малой
чувствительностью получаемых результагов по отношению к этим двум
факторам.
Замечание Третий подход состоит в непосредственном использовании интерпретаций
импликации p->q в многозначных логиках для представления правила, ’’если р, то q”.
Получаемые при этом результаты подобны изложенным выше (подробнее см работы
[34, 36]). Этот подход лежит в основе схемы рассуждений, используемых в системе ло-
гического вывода PROTIS [42]; данная схема соответствует правилу (XII), где П (q | р)
заменяется степенью истинности импликации p~>q (построенной по правилу имплика-
ции Лукасевича, тес использованием операций а * b = max(0, а + b - 1) и а * ->Ь =
= тт(1,1-а + b ), а П (р) - степенью истинности высказывания р. Однако здесь воз-
никает проблема интерпретации в интервале [О, 1] значений степеней истинности, связы-
ваемых с четкими высказываниями.
4 2 2. СЛОЖНЫЕ ПОСЫЛКИ
Пусть р — некоторое высказывание, представляющее собой конъюнкцию
двух более элементарных высказываний pi и р2. В предположении, что пе-
ременные, фигурирующие в высказываниях pi и р2 соответственно, раз-
личны и не взаимодействуют друг с другом, можно записать, используя
формулу (4.21),
П(р1 Лр2) =тш(П(Р1),П(р2)).
Кроме того, всегда имеем
N(pi Лр2) =min(N(pi),N(p2)).
130
(4.48)
(4 49)
Аналогичные результаты получаются при использовании формул (4.23),
(4.24), если р — дизъюнкция двух высказываний. Заметим, что формулы,
аналогичные формулам (4.48) и (4.49), применяются эмпирически и без
предварительного обоснования в экспертной системе MYCIN. В случае взаи-
модействующих переменных формула (4.48) несправедлива, и необходимо
в явном виде учитывать это взаимодействие в проводимых вычислениях.
4.2 3. КОМБИНИРОВАНИЕ СТЕПЕНЕЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ, ОТНОСЯЩИХСЯ
К ОДНОМУ И ТОМУ ЖЕ ВЫСКАЗЫВАНИЮ
Подход с позиций теории возможностей. Предположим, что степень неопре-
деленности, относящаяся к высказыванию р, выражается в виде степени воз-
можности ПДр) того, что высказывание р истинно, а также в виде соответ-
ствующей степени необходимости Nj(p), задаваемых источником информа-
ции (в качестве которого может, например, служить правило типа, ’’если q1(
то р”) . Когда располагают п различными источниками, то может потребовать-
ся агрегирование пар оценок (П^р), N,(p)) в единый блок информации
(П (р), N(p)). Отметим, что всегда справедливо условие
max (Пх (р), 1 -	(р)) = 1.	(4.50)
Естественная мысль заключается в объединении информации, поступающей
от отдельных источников. Для этого информация, получаемая от источника
i, может рассматриваться как нечеткое множество Fx, определенное на базо-
вом множестве {р, Пр} следующим образом:
MFi(p) =П (р), ^(Пр) =1-N(p) = П(Пр).
В силу условия (4.50) это нечеткое множество всегда нормально. Тогда не-
четкое множество F, соответствующее паре (П (р), N (р) ), можно определить
в виде пересечения F = Ci F , которое выражается с помощью one-
1 = 1,...» п 1
рации взятия минимума. Это позволяет положить П(р) = min П (р), N(p) =
= maxN^p). Однако при этом вовсе не обеспечивается сохранение условия
тах(П(р), 1 - N(p)) = 1. Оно не выполняется, если источники противоре-
чивы, т. е. когда согласно одному из них высказывание р более возможно,
чем высказывание П р, а согласно другому - высказывание р менее возмож-
но, чем П р. В подобном случае можно отказаться от свертывания информа-
ции и исследовать вопрос надежности источников. Если источники надежны,
а поступающая от них информация относится к одной проблеме, приходим к
нормировке нечеткого множества F путем деления его функции принадлеж-
ности на величину max (П (р), 1 - N (р) ). В результате получаем следующие
формулы
min ПДр)
(р) max(min ГЦр),mm(l - NJp))) ’	(451)
131
(4.52)
mm(l - МДрЦ
N =1---------------!_________________
P maxfminlljfp), min(l - N (p)))
Важная задача состоит в том, чтобы определить, может ли информация, по-
лучаемая от различных источников, подкрепляться, что не допускается в
формулах (4.51) и (4.52)). В частности, эта задача встречается, когда стре-
мятся синтезировать два правила типа, ’’если р(, то q” и ’’если р2, то q” в
виде ’’если г, то q”, где г представляет собой некоторую комбинацию р! и
р2 Например, без привлечения дополнигельной гипотезы трудно выразить
Il(q | pi Др2) как функцию Il(q|p1) и Il(q|p1), в ряде случаев можно
иметь либо П(q | р! А р2) > max(Il(q | р2), П(q | р2)), либо П(q | pj А р2) <
< тш(П (q | pt) , П (q | р2)). В частности, надо знать, можно ли сформулиро-
вать правило ’’если pj, то q’’ — независимо от истинности р2 или нет. Эта
проблема, тесно связанная с проблемой выбора невзаимодействующих пере-
менных, входит в число открытых вопросов теории приближенных рассуж-
дений.
Подход с использованием правила Демпстера. Положим теперь, что имею-
щаяся информация выражена в виде мер правдоподобности и доверия, опре-
деленных на множестве высказываний & (см. разд. 4 11) Предполагается,
что каждый источник i доставляет информацию в виде весовой функции т,,
определяемой аксиомами (4 2) Пусть т( и т2 - две такие весовые функ-
ции, соответствующие информации, получаемой от двух независимых источ-
ников. Правило Демпстера [6], которое обобщает формулу Байеса для услов-
ных вероятностей (см также работу Шейфера [39]), позволяет провести
комбинирование весовых функций щ( и т2 и получить новую весовую функ-
цию т12, удовлетворяющую аксиомам (4.2) и определяемую следующим
образом
при любом р G & находим величину
щ(р) =S{m!(q) m2(r)p = qAr},	(4 53)
далее для всех р Ф 0 полагаем
m‘=w =	(4-54)
Правило Демпстера ассоциативно и коммутативно, что позволяет без потери
общности довольствоваться изучением случая с двумя источниками инфор-
мации. Если функция mj задает вероятностную меру на (Р, то функция ш12
также определяет вероятностную меру Более того, если весовая функция
т2 сосредоточена на высказывании р, т. е. m2(p) = 1, то приходим к форму-
ле Байеса
Отметим, что условие (4 54) сводится к нормировке весовой функции
т, получаемой по формуле (4 53). В случае совсем не coiпасованных между
собой источников информации оно может оказаться весьма спорным [54,
10] Величина т(0) как раз и отражает противоречивость информации от
132
двух разных источников. Условие нормировки дает эффект маскировки этой
противоречивости, как и в формулах (4 51), (4 52)
Возьмем в качестве исходного случай, когда & = {0, р, ~1 р, 1 }. Предполо-
жим, что информация от источника i поступает в виде степеней правдоподоб-
ности Plj(p) = ах и доверия Сг,(р) = Ьг где at > bj (см условие (4.8))
Воспользовавшись формулами (4 3) и (4 5), легко видеть, что при этом не-
явно задаваемая весовая функция т, будет принимать следующие значения:
m,(p) =Ь1, тДПр) = 1 - а^ тД1) =а: -Ь(,
где т/1) — вес, приписываемый полному незнанию Мера правдоподобности
Plj превращается в меру возможности, как только = 1 (предпочтение от-
дается высказыванию р) или Ь; = О (предпочтение отдается противополож-
ному высказыванию “I р). При а, = bj получаем вероятностную меру Если
имеются две пары коэффициентов (аф1) и (а2Ь2). то применение правила
Демпстера дает следующие результаты
m(0) =bj(l - а2) + b 2(1 - а0;
т(₽) = aib2 + a2bi — bjb2 ;	(4 55)
т(р) = 1 - bi - b2 + bta2 + b2a! - aja2;
m(l) = (a! -bi)(a2 -b2).
Эти формулы позволяют получить и систематизировать ряд правил комбини-
рования степеней неопределенности, введенных без ссылок на применение
подхода Шейфера — Демпстера.
Весовые функции mi и т2 определяют вероятностные меры. Тогда а! =
= bi = Pi(р) и а2 =Ь2 = Р2(р) и получаем mJ2(l) = 0 (следовательно,
функция Ш12 определяет вероятностную меру) . В итоге
т12(р) =Р)2(р) =-:--—Ту—- =a0(ai,a2).	(4 56)
1 — 31 — <12 т /3132
Таким образом получаем симметрическую функцию Силверта о0 (см
разд. 3.1.2). Эта формула комбинирования информации используется
в работе [23].
Весовые функции mi и т2 определяют согласованные меры возмож-
ности (mi(p) > 0 и т2(р) > 0) Тогда имеем ai = а2 = 1, N,(p) =Ь151 =
= 1,2, .., и находим
mu(p) =bt +b2 — bib2 =Ni2(p); т12(1) = (1 - bi)(l - b2).	(457)
Отметим, что правила (4 57) используются в экспертной системе MYCIN [40]
для комбинирования, с одной стороны, мер доверия MB(h, et) и MB(h, е2),
а с другой стороны, мер недоверия MD(h, et) и MD(h, е2) (см. замечание в
разд. 4.1.4). Очевидно, что полученная мера доверия будет мерой необходи-
мости. Следовательно, результаты,полученные в рамках подхода с использо-
ванием правила Демпстера, легко сравнить с результатами, полученными при
использовании подхода с позиций теории возможностей, согласно которому
Nu(p) =max(bj,b2) = mi2(p) и m]2(l) = min(1 - Ьь 1 - b2) . Иными слова-
ми, применение правила Демпстера влечет за собой подкрепление информа-
ции, получаемой от нескольких источников.
133
Можно проанализировать и другие частные случаи, охватываемые усло-
виями (4.55).
Мера возможности характеризует информацию, поступающую от источ-
ника 1, а вероятностная мера — информацию от источника 2 (а, = 1,
Ь2 = а2) Тогда в результате комбинирования получаем вероятностную
меру.
Имеются две несогласованные, противоречащие друг другу меры воз-
можности (aj = 1, b2 = 0). Тогда получаем такую меру неопределенно-
сти, которая не является ни вероятностной мерой, ни мерой возможно-
сти. Можно убедиться в том, что
рЫР’ = Т---ьП^У
в то время как формулы (4.51), (4 52) дают
п / \ _	а2	„ / max(0, а2 + bi - 1)
12 Р 1 — min(bi, 1 - а2) ’	12 ^Р ~Т- minibj J - а2) '
(4.58)
(4.59)
Отметим наличие очевидного структурного подобия между формулами
(4.58) и (4.59), причем вся разница между ними заключается лишь в харак-
тере используемых треугольных норм
В терминах показателей уверенности правило комбинирования степеней
неопределенности, употребляемое в экспертной системе MYCIN, выражается
следующим образом [56] •
ГСБ1(р) +CF2(p) - CFi(p) • CF2(p), если CFj(p) >0, CF2(p) >0,
CF12(p)
mCacFi(p)C|F|CF2(p)i) ’ec™CF1(p) ’ CF2(p) °’
uCFi(p) +CF2(p) +CF,(p)CF2(p),ecHHCF1(p) <0,CF2(p) <0.
Если заменить показатель уверенности СРДр) разностью ПДр) — ГЦПр),
что предполагается при интерпретации мер доверия МВ и недоверия MD в тер-
минах степеней необходимости и невозможности (см.замечаниев разд.4.1.4),
то легко проверить, что во всех случаях это правило комбинирования инфор-
мации в точности соответствует возможностному правилу комбинирования,
выражаемому формулами (4.51), (4.52), где операция min заменяется умно-
жением. Правило комбинирования степеней неопределенности в экспертной
системе MYCIN ассоциативно, тогда как для выражений (4.51), (4.52), пред-
ставленных в нормальной форме, условие ассоциативности в случае проти-
воречивой информации не выполняется. Когда CFt(p) • CF2(p) > 0, прави-
ло, используемое в экспертной системе MYCIN, эквивалентно правилу (4 57).
Обсуждение. При комбинировании информации в условиях неопределен-
ности могут встретиться трудности нескольких типов. Прежде всего, резуль-
таты, получаемые по правилу Демпстера, очень чувствительны к вариациям
числовых значений операндов, особенно в случае противоречащих друг дру-
гу источников информации В качестве примера рассмотрим случай трех вза-
134
имно исключающих альтернатив а, Ь, с и применим формулы (4.53), (4.54)
для анализа информации, выражаемой следующими значениями двух вероят-
ностных весовых функций:
mi(a)=0;	mi(b)=0,l; mi (с) =0,9;
т2(а) =0,9; т2(Ь)=0,1; т2(с) =0,
которые соответствуют двум очень противоречивым источникам информа-
ции. Тогда получим очень ’’жесткий” результат, не зависящий от положитель-
ных значений весов:
m(a)=0; m(b) = 1; т(с)=0,
что отмечено в работе [54]. Зато если слегка изменить значения mi и m2, на-
пример следующим образом:
m'i(a)=0,01; ml (Ь) =0,1; ml (с) =0,89;
ml(a)=0,89; ml(b)=0,l; т'2(с)=0,01,
то из формул (4.53), (4.54) получимоченьнеопределенныйрезулыат:
т'(а)~О,32; т'(Ь) — 0,36; т'(с)—0,32.
Первоначальный результат вполне можно обосновать, интерпретируя нуле-
вое значение весовой функции как полную уверенность в том, что альтерна-
тивы а и с невозможны, а значит, и невероятны; поэтому единственно воз-
можной остается альтернатива [39]. Это рассуждение несправедливо, если
вместо нуля берется очень малое значение вероятности, и в данном случае
как по первому, так и по второму источнику информации альтернативы а и
с не могут быть окончательно отброшены. Но в таком случае тот факт, что
при очень малом изменении значения вероятности (всего от 0 до 0,01) са-
мой маловероятной альтернативы результат комбинирования информации
от двух источников резко меняется от полной определенности в выборе
альтернативы b до почти полной неопределенности, противоречит здравому
смыслу. Такое не отвечающее простым интуитивным представлениям пове-
дение правила Демпстера может привести к недоразумениям, если слепо при-
менять это правило в экспертных системах, где коэффициенты неопределен-
ности оцениваются субъективно. В работе [62] можно найти ряд других при-
меров, а также более подробное обсуждение этой темы. Когда применяется
возможностное правило комбинирования степеней неопределенности (4.51),
(4.52), то проблема чувствительности становится менее острой, хотя вопрос
интерпретации нулевого значения весовой функции остается.
Вообще говоря, правила комбинирования информации с помощью опера-
ции конъюнкции с последующей нормировкой результата имеют разрывы в
окрестностях тех значений, которые соответствуют полной противоречиво-
сти данных. Это показывает, что при наличии серьезных противоречий между
различными источниками информации необходимо искать другие варианты
ее комбинирования (неконъюнктивного характера — см. работу [62]).
Наконец, жесткое комбинирование исходной информации представляется
нецелесообразным, когда стремятся свертывать результаты, полученные с
использованием правил, обладающих различной степенью общности. Так, при
135
поступлении новой информации может потребоваться, чтобы старый вывод
был забыт. Эта возможность обусловливает необходимость обращения к
так называемым ’’интеллектуальным” методам комбинирования при раз-
работке проблем объединения неопределенных данных (особенно в случае
противоречивой информации). Например, если известно, что Тити — птица, то
отсюда следует вывод. ”С большой достоверностью Тити летает” Но если
вдобавок мы узнаем, что Тити - очень крупная птица, то можно заключить’
’’Вероятно, Тити не летает”. Здесь мы, скорее, отказываемся от первого вы-
вода, чем комбинируем два заключения
4 2 4 ПРИНЦИП Р13ОЛЮЦИИС Ill ОПР1ДЫ11 ИНЫМИ УСЛОВИЯМИ
Еще на очень раннем этапе развития теории нечетких множеств Ли [72]
предложил расширить принцип резолюции Робинсона [77] на случай расплыв-
чатых высказывании, не содержащих переменные Значение истинности конъ-
юнкции (дизъюнкции) двух расплывчатых высказываний р и q определяет-
ся как минимум (максимум) значений истинности р и q, а значение истин-
ности высказывания ~1 р - как дополнение к 1 значения истинности р Это
соответствует случаю рассмотрения расплывчатых высказываний при нали-
чии точных баз знаний (см уравнение (4 19)) В сущности, Ли доказал, что
любое условие (дизъюнкт)1, полученное путем применения принципа резо-
люции из множества условий со значениями истинности, строго большими
0,5, имеет значение истинности, расположенное между минимумом и макси-
мумом значений истинности для условий из исходного множества Однако
отсутствие закона противоречия (исключенного третьего) для нечетких выс-
казываний затрудняет разработку метода рассуждений посредством опро-
вержения
Зато в случае обычных неопределенных высказываний, рассматриваемых
в настоящем разделе, метод опровержения2 как метод автоматического до-
казательства может быть вновь взят на вооружение В самом деле, в работе
[64] принцип резолюции был расширен с позиций теории возможности для
условии, не содержащих переменные, и для формул исчисления предикатов
первого порядка. Так, для случая условий (дизъюнктов), не содержащих
переменные, можно пока тать, что
N (q V г) > min (N (р V Q), N (И р V г) ).
Когда правая часть неравенства равна 1, эта формула вновь дает принцип ре-
золюции. Более того, имеем для Va, N(P(a)) > N(P(x)), Vx, где буквой Р
обозначен предикат С целью обеспечить применимость метода опроверже-
' В оригинале clauses условия; в данном контексте их можно понимать как дизъ-
юнкты, т е дизъюнкции, в которые могут входить как предикаты, так и их отрица-
ния - Прим перев
2 Название ’’метод опровержения” вызвано тем, что здесь вместо поиска вывода не-
которого утверждения ищется доказательство невыводимости его отрицания Эквива
лентность этих задач следует из замкнутости исчисления предикатов первого порядка
и непосредственно связана с законом исключенного третьего Прим перев
136
ния каждому неопределенному условию ставится в соответствие некоторая
строго положительная степень необходимости или строго положительная
нижняя граница этой степени необходимости. Показано, что степень необ-
ходимости пустого условия 0 есть нижняя граница степени необходимости
оцениваемого высказывания; эта нижняя граница получается за счет повтор-
ного применения расширенного принципа резолюции к множеству неопреде-
ленных условии, дополненному отрицанием оцениваемого высказывания
(которому ставится в соответствие степень необходимости, равная 1) Кроме
того, множество неопределенных условий, не содержащих переменные, на-
зывается несогласованным, когда для нижних границ степеней необходимо-
сти этих условий нарушаются аксиомы, определяющие меры необходимости,
например если min(N(p), N(~I р)) >0. Можно показать, что такое понима-
ние несогласованности эквивалентно случаю несогласованности множества
условий с неопределенными степенями необходимости На основе этих ре-
зультатов можно разработать методы автоматического вывода с использова-
нием выбора некоторой стратегии максимизации нижней границы необходи-
мости, связываемой с пустым условием (дизъюнктом).
4 2.5 РАССУЖДЕНИЯ С НЕЧЕТКИМИ КВАНТИФИКАТОРАМИ
Такое неопределенное высказывание, как р= ’’Все птицы летаюг”, которо-
му ставится в соответствие степень необходимости N(p) = а <1, плохо вы-
ражает специфику правила ”в основном птицы летают”; здесь степень не-
обходимости, скорее, указывает, что с уровнем достоверности а все птицы
летают. Как подчеркивается в работе [60], неопределенное высказывание
соответствует, скорее, догадке, предположению, чем общему правилу, т. е
в вышеприведенном примере — высказыванию, которое либо истинно для
всех птиц, либо ложно (поскольку оно не выполняется хотя бы для одной
птицы), но какой конкретно — неизвестно
Зато при рассмотрении общего закона именно квантификаторы больше
не считаются четкими, как обычные кванторы общности или существования,
а интерпретируются как промежуточные Так, в работе [76] описаны специ-
альные логики, выходящие за рамки классической логики, в которых рабо-
тают с подобными общими законами без определения промежуточных кван-
тификаторов в явном виде. В работах Заде [78, 79] предложен подход к
этой проблеме, согласно которому промежуточные квантификаторы рас-
сматриваются как нечетко определенные относительные величины, представ-
ляющие термины естественного языка, такие как ’’большинство”, ’’несколь-
ко” и др1. Рассмотрим силлогизмы, в которых присутствуют высказывания
с нечеткими квантификаторами, моделируемыми нечеткими подынтервала-
1 Впервые задача шкалирования нечетких квантификаторов рассмотрена и решена на
примере квантификаторов частоты в работе [1д] Примеры построения псевдофизичес-
ких логик - пространственной, времесно'й действия и пр , где при рассуждениях исполь-
зуются нечеткие квантификаторы ’ раньше”, ’’позже ’, ’
др , приведены в монографиях Д А Поспелова [4д, 5д]
’вскоре”, ’’близко”
- Прим перев
’далеко” и
137
ми интервала [О, 1 ]. Например, силлогизм типа ’’пересечение — произведе-
ние” имеет вид
QjA есть В
Q2(A П В) есть С
(Qi0Q2)AecTb (В ПС),
где А, В и С — обычные множества; 0 — произведение нечетких величин (см.
гл. 2), a Qi — нечеткое множество возможных значений, характеризующих
относительное число элементов А в В или в более общем случае условную
вероятность Р(В|А). Аналогично определяется и нечеткое множество Q2.
Более того, предполагается, что Qi и Q2 - нечеткие интервалы, удовлетворя-
ющие условию (1) = 1, 1 = 1,2 (см. рис. 4.2), и характеризующие такие
квантификаторы, как ’’большинство”, ”не менее 70 %” и др. Результирую-
щий квантификатор Qi 0 Q2 должен удовлетворять тождеству Р(В П С | А) =
= Р(В|А) • Р(С|АПВ)
Важно отметить, что схемы рассуждений, справедливые с кванторами
общности, становятся некорректными, когда эти кванторы несколько ослаб-
лены. Например, силлогизм
VА есть В
QiB есть С
QA есть С
где V означает ’’все”, выполняется при Q] = Q = V, но как только Qi ¥= V, то
уже нельзя ничего определенного сказать о доле А в С, т. е. эта доля может
принимать какое угодно значение в интервале [0, 1], что можно символи-
чески записать в виде Q = [0,1]. Если еще известно, что
Q2B есть А,
то можно показать, что когда Qi и Q2 — нечеткие интервалы, такие, что
MQi(l) =1,1 = 1,2,..., то [65]
Q=max(0,l© [(1 © Qj) OQ2]),
где max, © и © - расширенные на случай нечетких величин операции взятия
максимума, вычитания и деления (см. гл. 2). Этот результат позволяет рас-
ширить следующее утверждение на случай нечетких величин: если А С В,
Р(А | В) > q2, Р(С | В) > qb то с помощью вероятностных законов можно по-
казать справедливость неравенства Р(С| А) > щах(0,
1~ (1 - qi)lq2).
Из вышеприведенных примеров можно ви-
деть, что трактовка нечетких силлогизмов, пред-
ложенная Заде, - не что иное, как вариант вероят-
ностной логики, выраженной в терминах услов-
ных вероятностей, в предположении, что значения
вероятностей известны лишь в форме нечетких
интервалов, а не точных чисел или обычных ин-
Рис. 4.2	тервалов.
138
Замечание Степень истинности высказывания р вида ”QA есть В” вычисляется сле-
дующим образом [51]
1АПВ1	S ппп(Д (w).^(w))
v(p) = Mq(~iaT) =MQ(W	}
при условии, что известно множество пар (ДА(и>), Дв(и>)) , cjF S2. Ягер предложил дру-
гую трактовку анализа высказываний с нечеткими квантификаторами, не связанную с
условными вероятностями (см. разд. 3.1.3).
Хотя высказывание р, характеризуемое некоторой степенью субъектив-
ной уверенности (вероятности, необходимости, доверия), выражает, скорее,
предположение, чем общий закон с исключениями, мы заметим, что примени-
тельно к частному случаю общий закон порождает некоторое особое предпо-
ложение, справедливое при отсутствии другой информации. Это предположе-
ние может выражаться в виде неопределенного высказывания в смысле,
раскрытом в разд. 4.2.1.
4.3. ВЫВОД С НЕЧЕТКИМИ ПОСЫЛКАМИ
В этом разделе предполагается, что анализируемые высказывания имеют
вид р= ”Х есть А”, где А — нечеткое множество в базовом множестве S.
В этом случае решетка рассматриваемых высказываний уже не является бу-
левой и в явном виде вводится интерпретация высказываний, поскольку два
различных высказывания р и р' могут оказаться гораздо ближе друг к другу,
когда они — нечеткие высказывания, чем когда они представляют собой чет-
кие высказывания классической логики. В частности, будет существовать
расширенная форма правила ’’модус поненс”, согласно которому на основе
правила: ’’если р, то q” и некоторого высказывания, р' ф р — иногда можно
вывести нетривиальное заключение q' ф q,
4.3.1. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПРАВИЛА ’’ЕСЛИ X ЕСТЬ A, TOY ЕСТЬ В”
Предположим, что высказывание р выражает некоторое ограничение на
возможные значения переменной X, а высказывание q — некоторое ограниче-
ние на возможные значения переменной Y. Причинно-следственную связь от X
к Y можно представить условным распределением возможностей тгу|Х (или
условным вероятностным распределением pY|X), котоРое ограничивает
возможные значения Y при заданном значении X. Тогда, зная функцию рас-
пределения возможностей, характеризующую высказывание р, можно вычис-
лить функцию распределения возможностей, выражающую ограничение на Y,
по формуле
VtGT, 7ry(t) = sup$ тгу|Х (t, s)* тгх (s),	(4.60)
где * — треугольная норма. Формула (4.60) из теории возможностей анало-
гична формуле
VtGT,py(t) =s SsPY1X(t,s) -px(s)	(4 61)
из теории вероятностей.
139
Отметим, что n’yiX (*> s) = П (q | р), если q = ”Y = t” и p = ”X = s”, а тгу —
проекция двумерного распределения возможностей тгх у = ЯУ|Х * ЯХ на базо-
вое множество Т переменной Y, определяемая в соответствии с выражени-
ем (4.43).
Тогда правило ’’если X есть А, то Y есть В” — будет выражаться следую-
щим неравенством, индуцируемым условием (4.42):
VtGT, MB(t) > sup^ 7ry|X(t, s) *ma(s),	(4 62)
где дА и дв — функции распределении возможностей для переменных X и Y
соответственно, а функция 7ryiX неизвестна. Неравенство получается вслед-
ствие того, что, когда ”Y есть В”, мы должны иметь ”Y есть В'”, если В' со-
ответствует распределению возможностей, которое содержит аналогичное
распределение, связываемое с В. Для непрерывной треугольной нормы наи-
большее решение уравнения (4.62) имеет вид (см. работы [12, 32])
*rY|X(t,s) =MA(s) * -MB(t) ,	(4.63)
где операция импликации * -> определяется выражением (4 47). В частности,
{1, если а < Ь,
(импликация Геделя [38])
Ь,еслиа>Ь
fl, если а = О,
а*Ь = а • b=>a*-*b=-<
(min(l, b/a) в противном случае;
(импликация Гогена [19])
а * b = тах(0, а + Ь-1)=*а* -»Ь = тт(1, 1 - а + Ь), (Лукасевич [37])
Анализ других возможных операций и соответствующих связей между ними
можно найти в работе [12] В статье [81] аналогично определяется конъюнк-
ция * на основе операции импликации *
4.3.2 ОБОБЩЕННОЕ ПРАВИЛО ’’МОДУС ПОНЕНС”
Теперь мы можем рассмотреть обобщенное правило ’’модус поненс”, пред-
ложенное Заде в работе [51]
(XVIII) если X есть А, то Y есть В
X есть А'
то Y есть В' ,
где Дв. = тгу можно легко вычислить по формулам (4 60) и (4.63), откуда
получаем
VtGT, MB.(t)= sSUPs(ma(s) *">Дв(0) *g;(s),	(4.64)
что записывается в виде
В' = А'о (А*-В).
140
В работах [12,32] показано, что А о (А * -> В) = В и что для любого нормаль-
ного множества А', А' С А => В' = В, VA' В' D В
va; pB,(t) = 1 *=^B(t) >inf{^A(s) !jUa,u) =" 1} = Ai ;
VA' MB,(t) > ыф {Ma,(s) |Ma(s) =0] =Mcp(A>A<)(0) AXo. (4.65)
Неравенство (4.65) означает, что как только значительная часть множества
А' не включается в множество A, io возникает постоянный уровень неопреде-
ленности (что интуитивно ясно). В частности, если 3s G А, дА> (s) = 1 и MA(s) =
= 0, то В' = Т (полная неопределенность). Таким образом, если известно, что
нечеткое множество А ’’близко” к нечеткому множеству А (но все же замет-
но отличается от него) в некоторой метрике, то обобщенное правило ’’модус
поненс”, представленное в виде (XVIII), оказывается недостаточной моде-
лью для дедуктивного вывода из посылок ”Х есть А'” и ’’если X есть А, то Y
есть В” заключения ”Y есть В'”, где В' — ’’близко” к В. Это заключение мож-
но сделать лишь при наличии дополнительной информации о поведении функ-
ции X -> Y, раскрывающей причинную связь между X и Y в окрестности (А, В)
(см. работу [11]), а именно информации о непрерывности и монотонности
этой функции. Например, из правила типа: ’’если помидор красный, то он
спелый” и факта ’’помидор ярко-красный” по обобщенному правилу ’’модус
поненс” нельзя сделать заключение, ’’помидор очень спелый”; это заключе-
ние можно сделать лишь тогда, когда известно, что степень зрелости возра-
стает с увеличением красноты помидора.
С другой стороны, легко убедиться в том, что исходя из нечетких правил
вида: ’’если X есть А, то Y есть В” и ’’если Y есть В', то Z есть С” можно по-
строить нечеткое правило ’’если X есть А, то Z есть С” — при условии, что
В С В' (см. [12]). Обобщение правила ’’модус поненс” приведет к тому же
результату Z, что и последовательное применение двух правил
Схему вывода (XVIII) можно сформулировать в терминах степеней ис-
тинности с помощью понятия совместимости двух нечетких высказываний,
введенного в разд. 4.1.4 в виде [2]
^CP(B,B'/V) =UGS’JPO>1](U*~>V) W(A,A'/U)’’	<4-66>
Мв>(0 ~МСР(В В’)(МВ(О)-	(4.67)
Формулы (4.66) и (4.67) эквивалентны формуле (4.64)
Отметим, что ряд авторов (например, Мамдани [25]) положили, что В =
= А' о (А х В), где А х В - декартово произведение нечетких множеств А и
В Величина А х В получается из неравенства (4.62) для * = mm, но не явля-
ется наибольшим решением, что придает некоторую произвольность резуль-
тату В' Вообще говоря, когда посылка ’’если X есть А, то Y есть В” взве-
шена некоторым значением нечеткой истинности т, представляемой характе-
ристической функцией дт на интервале [0, 1], что можно интерпретировать
как
г = СР(А *->В, X->Y),	(4.68)
где Дд*_в = дА* ~>дв и дх_,у = ^YlX’то в результате получаем
141
7^1x0,s) =MT(MA(s) *->MB(t))	(4.69)
И
VtGT,MB-(t)= sup$ MT(MA(s) *->MB(0) *MA-(S)-	(4-70)
Замечание. Очевидно, что это преобразование не имеет смысла, когда импликация
А »-* В - обычное множество, в то время как значение т не выражает ни истинность,
ни ложность (дт(0) =ДТ(1) = 0) (см- [32]).
Подобным же образом можно рассмотреть и правило ’’модус толленс” с
нечеткими посылками. Обобщенное правило ’’модус толленс” выражается с
помощью уравнения [12]
VsG S,ma,(s) =sup(gA(s) *->MB(t)) *MB.(t),	(4.71)
если импликация *-> удовлетворяет закону контрапозиции, т. е. выполняется
условие х * ->у = (1 — у) * -> (1 — х). Это необходимо для обеспечения экви-
валентности правил: ’’если X есть А, то Y есть В” и ’’если Y есть не В, то X
есть не А” (т. е. А*-» В = В *->А), Таким образом, можно убедиться, что,
например, для х у = max(0, х + у- 1), х * ->у = тт(1, 1 - х + у), А' = А,
как только В' = В, где дА = 1 - дА, = 1 - дв. Зато, когда * = тт, импли-
кация * -> не является контрапозицией, но именно последнюю надо исполь-
зовать при определении правила ’’модус толленс” [13].
4 3 3. ИНТЕРПРЕТАЦИЯ НЕЧЕТКИХ ПРАВИЛ, ОСНОВАННЫХ НА
ИМПЛИКАЦИИ ГЕДЕЛЯ
Если * =min, то выражение (4 63) записывается в виде
{1, если u.(s) <uD(t),
дв(1) в противном случае.
Когда А — обычное множество, правило: ’’если X есть А, то Y есть В” — вы-
ражает, что значение Y ограничено функцией принадлежности дв, если пере-
менная X принимает свои значения из множества А. Нам ничего не известно
об Y (т. е. 7Гу|Х^’ s) = 1’ если s е А). Когда А — нечеткое множество, но А'
вырождается в одноточечное подмножество А' = {s0}, легко проверить, что
по формуле (4.64) имеем
,	(Т, если s0 G S(A) (неопределенность),
В = Л	о о
[ В, если so С А (А — ядро нечеткого множества А)
и В С В ' С S (В) в других случаях
Все это позволяет выразить смысл правила, ’’если X есть А, то Y есть В”
следующей схемой если переменная X принимает свои значения на носителе
S(A) нечеткого множества А, то переменная Y принимает свои значения на
носителе S(B) нечеткого множества В, причем нечеткость множеств А и В
позволяет уточнить, что чем дальше значение переменной А отстоит от ядра
нечеткого множества А, тем возможнее, что и соответствующее значение пе-
142
ременной Y удалено от ядра нечеткого множества В. Вследствие этого если
В — четкое множество, то заключение правила не меняется, когда А' = {s0J
выходит за пределы ядра нечеткого множества А, но остается внутри его но-
сителя. Такое поведение противоречит интуитивным представлениям; во вся-
ком случае, эта модель делает бесполезным учет нечеткости условия. ”Х
есть А”, когда В — четкое множество.
В ряде практических случаев, когда А - нечеткое множество, смысл пра-
вила может выражаться в виде: ’’чем в большей степени X есть А, тем досто-
вернее, что Y есть В”. Это означает, что по мере удаления X от ядра нечетко-
го множества А заключение: ”Y есть В” — становится все более и более нео-
пределенным. Условное распределение возможностей, определенное выше,
не отражает постепенности этого нарушения заключения, так как при выходе
s0 за пределы носителя S(A) происходит резкий переход от заключения
”Y G S (В) ” к полной неопределенности.
Для представления неточных правил вида, ’’чем в большей степени X есть
А, тем больше уверенность, что Y есть В” — можно использовать контра-
позицию импликации Геделя при * = пип, т. е. условное распределение
, ГТ еТ - Г1>еСЛИ^А<0
^yiv Б/ “ S
[1 - MA(s) в противном случае,
что приводит к выражению 7ГУ|Хs) = (1 ~ MbW) *'*(1 - MA(S))’ гДе
* -» задается формулой (4.47) при * = mm. Тогда правило: ’’Если Y не есть
В, то X не есть А” — моделируется с помощью выражения (4.63) и использу-
ется как правило ’’модус толленс”. Легко убедиться, что при А' = {s0J имеем
,	\ Т, если s0 <2= S(A) (неопределенность),
В = <	о
[ В, если s0 G А
и MB«(t) > 1 — MA(s0) > 0 в остальных случаях.
Итак, правило интерпретируется здесь следующим образом: ’’Если перемен-
ная X принимает свое значение в ядре А нечеткого множества А, то перемен-
ная Y принимает свое значение в ядре & нечеткого множества В”, однако дан-
ное заключение становится все более неопределенным по мере удаления s0
от ядра нечеткого множества А вплоть до полной неопределенности при до-
стижении границ носителя нечеткого множества А. Указанный ранее эффект
разрыва, наблюдаемый при использовании непосредственно импликации Ге-
деля, здесь исчезает.
Когда В - четкое множество, интерпретация правила- ’’если X есть А, то Y
есть В” — с помощью условного распределения возможностей тгУ|х более
удовлетворительна, чем с помощью условного распределения тгУ|х, посколь-
ку заключение меняется при удалении А' = {soj за пределы ядра нечеткого
множества А С Другой стороны, его представление непосредственно в виде
(4.63) кажется более подходящим, если множество А — четкое (со сообра-
жениям симметрии). Когда А и В — нечеткие множества, то, если стремить-
ся к сохранению свойства В' = В при А' = А, в качестве правила ’’модус по-
ненс” предпочтительнее использовать непосредственно импликацию Геделя.
143
Нечеткие правила с неопределенными заключениями. Правило вида- ’’если
X есть А, то \ есть В” с весовым коэффициентом а, характеризующим не-
определенность и рассматриваемым как нижняя граница степени необходи-
мости, может пониматься двояко
либо считается, что весовой коэффициент а относится к заключению:
”Y есть В” (когда известно, что условие ”Х есть А” - вполне справед-
ливо); в этом случае неопределенное правило эквивалентно нечетко-
му правилу вида- ’’если X есть А, то Y есть В*”, где дв* = тах(дв, 1 -
— а), в соответствии со способом моделирования неточных и неопреде-
ленных фактов, предложенным в разд. 4.1;
либо считается, что весовой коэффициент а относится ко всему прави-
лу; в этом случае если тгУ|Х - условное распределение, выражающее
правило без учета неопределенности, то условное распределение для
правила, учитывающего неопределенность, имеет вид
7г*|Х =тах(тгу|Х, 1 - а) .
Отметим, что если яУ|Х выражается с помощью формулы (4.63), то
дА(з) *->шах(дв(t), 1 — а) ^max(>A(s) *^MB(t), 1 - а).
Эти два подхода не эквивалентны друг другу, кроме того случая, когда А —
четкое множество. В этом случае всегда можно записать
ТТ* 1Х (t, s) = max(l - gA(s), gB(t), (1 - a)),
что и показывает эквивалентность этих двух подходов.
Если правило ’’если X есть А, то Y есть В” — является неопределенным
правилом, т е когда А и В - обычные множества, и если а и а' — оценки со-
ответственно степени необходимости и степени достаточности того, чтобы из
правила. ”Х есть А” - следовало бы правило. ”Y есть В”, то примем (см.,
например, [73])
। 1,если s G А и t G В,
,	. I 1 - а, если s G А и t £ В,
YIX ' ’ s' |1- а', если s <£ А и t G В,
[^1, если s G А и t G В,
что фактически эквивалентно двум правилам: ’’если X есть А, го Y есть В
достоверно со степенью а”, те ”Y не есть В возможно со степенью 1 — а”,
и ’’если X не есть А, то Y не есть В достоверно со степенью а'” Полагая р =
= ”Х есть А” и q = ”Y есть В” и учитывая, что условное распределение тгУ1Х ха'
рактсризуется четырьмя значениями П(ц | р) = 1, П(“1 q | р) = 1 - а, П(ц | I р) =
= 1 - a', Il(~lq | Пр) = 1, можно убедиться, что формула идя обобщенного
правила ’’модус поненс” (4.64) сводится к формулам (4.44), (4.45), когда
А имеет вид ”Х есть А достоверно со степенью b и возможно со степенью
Ь'” (гдетах(1 -,b,b') = 1), если положить П(р) = Ь', П(~1 р) =1 —Ь.
144
4 3 4. СЛОЖНЫЕ ПОСЫЛКИ	\
Сложные нечеткие высказывания вида: ”Xj есть Aj и Х2 есть А2 ’ - есте-
ственным образом представляются с помощью декартова произведения мно-
жеств (см. разд 4.1.4), когда переменные Xi и Х2 являются невзаимодей-
ствующими. В этом случае получаем высказывание: ”(Xi, Х2) есть А, х А2 ”.
Аналогично сложное нечеткое высказывание вида- ”Xi есть А2 или Х2 есть
А2 ” — с учетом того же предположения о невзаимодействующих переменных
выражается с помощью декартова копроизведения + в виде. ”(ХЬ Х2) есть
Aj + А2”. Наличие взаимодействия (компенсации) между переменными
должно в явном или неявном виде учитываться при свертывании нечетких
множеств в рамках подхода, подобного подходу из гл. 3. Обобщенное прави-
ло ’’модус поненс” тривиальным образом расширяется на случай сложных
посылок, если воспользоваться результатами анализа условных распределе-
ний возможностей вида ^укх х у проведенного в разд. 4.3.2, и т. п.
4.3 5. КОМБИНИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВОЗМОЖНОСТЕЙ
Рассмотрим случай, когда один источник информации утверждает, что
”Х есть А(”, в то время как второй источник информации утверждает, что
”Х есть А2”, где каждое из утверждений представлено функцией распреде-
ления возможностей = дА , i = 1,2.
Первый способ комбинирования этой информации состоит в построении
пересечения функций распределения возможностей с последующей норми-
ровкой полученного результата, т. е.
Vs G S, тг12(s) =-(4.72)
sup 7Ti(s) * TT2(s)
s e S
где операция * есть некоторая операция пересечения нечетких множеств
(см. разд. 3 1.2). Формула (4.72) составлена аналогично формулам (4.51),
(4.52), которые получаются из нее как частный случай при * = min и S =
= {р, Пр] Этот метод предполагает, что оба источника информации надеж-
ны, и информацию можно уточнить посредством сопоставления сведений от
каждого из них, причем надежность источников оправдывает использование
нормировки полученной функции распределения возможностей. Выбор опе-
рации * У4 min означает подкрепление согласующихся между собой данных
в юм смысле, что получаемый результат будет более специфичным (см.
разд. 1.6.2). Например, если Aj = А2 = А, то тг22 ~ дА * дА < дА.
При наличии серьезного противоречия между двумя источниками предпо-
ложение об их обоюдной надежности становится сомнительным, и тогда сле-
дует брать объединение нечетких множеств, соответствующих двум различ-
ным сообщениям:
VsGS,7r12(s) = tt1(s) 1tt2(s),	(4.73)
где 1 - операция объединения нечетких множеств (см. разд. 3.1.2), обычно
операция max. Отметим, что если функция распределения возможностей тг j и
145
я2 нормированы, то и функция распределения яп всегда будет нормирован-
ной. Однако использование формулы (4.73) может привести к ощутимой
потере Точности имеющейся информации.
Заметим, что применение правила Демпстера (см. формулы (4.53), (4.54))
с использованием весовых функций ш, и m2, построенных по функциям пт
и я2 (при обращении формулы (1.29)) для сопоставления информации, по-
ступающей от двух источников, не дает весовую функцию, эквивалентную
функции распределения возможностей (см. работу [10]).
Другая типичная ситуация, в которой приходится комбинировать инфор-
мацию возможностного характера, — это ситуация, когда для описания при-
чинно-следственной связи X с Y имеются п правил вида: ’’если X есть Ар то
Y есть Bj”. Каждое правило i представлено нечетким множеством А! * ->В
(см. формулу (4.63)), а все множество правил можно представить в виде
пересечения НА. * ~>Bj, где символ П означает операцию min. Этот результат
доказан в работе [12]. Тогда в случае нескольких правил обобщенное прави-
ло ’’модус поненс” выражается в виде
Vt, MB.(t)=sup{ mm (д (s) *	(t))* gA>(s)}.	(4.74)
S 1 = 1,	,11	1	1
Можно показать, что если применить обобщенный вариант ’’модус поненс”
к каждому правилу и найти пересечение отдельных полученных результатов,
то построенная таким образом функция распределения возможностей будет
гораздо менее точной, чем полученная по формуле (4.74) .
4.3.6. НЕЧЕТКАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ И ПРОДУКЦИОННЫЕ ПРАВИЛА
Здесь рассматриваются правила вида: ’’если X есть А, то (действие)”,
где А - нечеткое множество. Применение таких нечетких правил требует из-
менения обычной процедуры доступа к продукционным правилам. В клас-
сических экспертных системах некоторое правило начинает работать за счет
фильтрации базы фактов, т. е. установления соответствия между условной
частью правила и фактами, описывающими текущую ситуацию. В общем слу-
чае это соответствие носит символьный характер (даже когда можно вос-
пользоваться понятием синонимии или при наличии несвязанных переменных
в правилах) и дает результаты в рамках двузначной логики ’’все или ничего”
(правило работает или нет). В случае же нечеткого правила это не так. филь-
трация становится семантической, т. е. рассматривается соответствие между
нечеткими множествами, выражающими смысл факта и смысл условной ча-
сти правила. При этом оценка соответствия будет градуированной. С нечет-
ким фактом А' можно сопоставить описываемую правилом стандартную си-
туацию А, не требуя, чтобы А = А', лишь бы А и А' имели совместимые, отно-
сительно близкие значения.
Тогда действенность правила оценивается с помощью двух показателей
соответствия факта А' ситуации А:
меры возможности П (А, А'), оценивающей, насколько совместимы друг
с другом А и А', и определяемой формулой (4.17) ;
146
меры необходимости N (А, А') оценивающей, насколько факт А являет-
ся частным случаем ситуации А, и определяемой формулой (4 18).
Более подробно процедура нечеткой фильтрации обсуждается в нашей
работе [5] и гл.6
Практически экстремальные значения показателей П (А, А') и N (А, А') ин-
терпретируются следующим образом-
N(A, А') = П(А, А') = 1 — ситуация, описываемая фактом. ’’ХестьА'”,—
частный случай ситуации, предусматриваемой условием ”Х есть А”.
Это — частный случай и в прямом смысле, поскольку здесь из дА<(к) > О
следует, что MA(s) = 1 Таким образом, правило определенно работает.
П (А, А') = N(А, А') = 0 — правило не работает, поскольку факт ”Х есть
А'” вовсе не соответствует ситуации, предусмотренной правилом
П(А, А') = 1, N(A, А') = 0 — неизвестно, работает правило или нет, по-
скольку описание, содержащееся в факте ”Х есть А'”, не противоречит
условной части правила, но в то же время и не мешает согласованности
этого факта с прочими ситуациями, предусматриваемыми другими пра-
вилами. В самом деле, описание реальной ситуации (”Х есть А'”) слиш-
ком неточно, чтобы определить, соответствует ли она условию: ”Х
есть А”.
Обработка на ЭВМ систем нечетких правил занимает больше времени,
чем обработка систем обычных правил. Несмотря на это, применение систем
нечетких правил (особенно когда обрабатывается информация с использова-
нием различных шкал числовых значений) дает ряд преимуществ:
можно моделировать неточную, например лингвистическую, информа-
цию за счет представления различных смысловых оттенков и с помо-
щью ограниченного числа правил (описывается лишь малое число стан-
дартных ситуаций);
удается избежать дискретности функционирования обычных систем
продукционных правил, где полученные результаты могут сильно иска-
жаться при переходе от одной стандартной ситуации к другой;
правила могут работать даже тогда, когда реальная ситуация точно не со-
ответствует предусмотренной, что часто бывает во многих практичес-
ких случаях;
нечеткая фильтрация позволяет провести классификацию числовых
(возможно, и неточных) данных, когда соответствующие классы опи-
сываются именами нечетких множеств [70].
4.4. КРАТКИЙ ОБЗОР СУЩЕСТВУЮЩИХ РАБОТ И СИСТЕМ
До недавнего времени имелось мало систем приближенного вывода на
основе теории возможности, причем в большинстве из них использовалась
лишь незначительная часть результатов, изложенных в настоящей главе. Впер-
вые одна из форм обобщенного правила ’’модус поненс”, опирающаяся на
идею Заде [50], применялась при выполнении нечетких правил в работе Мам-
дани [25], который применил ее к задаче управления непрерывными процес-
сами в промышленном производстве. В других формах нечеткие правила
147
использовались в медицинской диагностике [1, 24, 41, 57, 58], а также в си-
стемах поддержки принятия управленческих решений [16, 48]. Различные
формы построения обобщенного правила ’’модус поненс”, применяемые эти-
ми авторами, отличаются по виду эмпирически выбираемой операции импли-
кации * -> в формуле (4.64), причем этот выбор производится независимо от
вида операции *, в качестве которой обычно берется операция * + . Мицумото
и др. [29, 30] провели сравнение многочисленных форм обобщенного прави-
ла ’’модус поненс” при различных операциях импликации * -+ (см. также ра-
боты [3,49]).
Схемы рассуждений с неопределенными правилами нашли применение в
медицинских экспертных системах SPHINX и PROTIS [42] (см. также [68]),
в информационно-поисковой системе [44], а также в общей машине вывода
ARIES. Все эти схемы находятся в рамках многозначной логики. Таким же
образом исследовались правила отделения на основе нечетких значений ис-
тинности [7]. Похожий подход применял Цукамото [46] в задачах управле-
ния технологическими процессами. Этот метод в вычислительном плане эк-
вивалентен обобщенному правилу ’’модус поненс” в виде (4.66), (4.67) (см.
работу [13]) Машина вывода TAIGER [67] основана на матричной обработ-
ке информации, содержащей неопределенность, с помощью степеней возмож-
ности (см. разд. 2.1.6 и работу [66]). она опробована в задачах анализа фи-
нансирования. Работы, где одновременно рассматривались бы нечеткие и не-
определенные правила, все еще очень редки. Так, в работе [22] анализирует-
ся задача обработки нечеткой и неопределенной информации в экспертной
системе с продукционными правилами, используемой в строительстве (си-
стема SPERIL [21]); авторы оценивают неопределенность с помощью функ-
ций доверия в смысле Шейфера, рассматриваемых применительно к нечетким
событиям [20]. В работах [27, 28] предлагается единый подход к анализу
неточности и неопределенности в рамках теории возможностей, ориентиро-
ванный на применение к экспертным системам в геологии; этот подход ил-
люстрируется на небольшом примере оценки кандидатур в следующем разде-
ле Программа, реализующая соответствующий (общий) механизм вывода,
названный SPII [73], приведена в приложении к гл. 4.
Среди общих подходов, которые могут использоваться при разработке
экспертных систем, содержащих нечеткие правила, следует отметить метод
нечеткой фильтрации [5], который позволяет решать задачу выбора продук-
ционных правил с неточной или нечеткой условной частью, а также метод не-
четких запросов при обращении к базе неточных или нечетких данных (см.
гл [6]).
Читатель, интересующийся общим состоянием вопроса применения подхо-
дов, основанных на нечетких множествах, в области разработки систем вы-
вода, отсылается к работе [75].
4.5. ПРИМЕР
Общие методы, описанные в настоящей главе, нашли свое применение при
разработке простой машины вывода (обратная цепочка вывода по высказы-
ваниям). Соответствующая программа на языке LE-LISP, реализованная на
148
ЭВМ VAX-750 (в операционной системе VMS), полностью приведена в при-
ложении. В этом разделе дается простой пример ее применения и представле-
ны основные результаты, касающиеся построения эффективной процедуры
выполнения обобщенного правила ’’модус поненс” (в формулах (4 47) и
(4.64) при * =тш).
Предлагаемая иллюстрация относится к задаче оценки кандидатов при
профессиональном отборе. Эта оценка основывается на.
результатах различных тестов: теста на интеллектуальность IQ, а также
теста на владение иностранным (английским) языком, где возможно
неточное (т е. качественное) описание характеристистик кандидата;
различных критериях, которые оцениваются на основе анализа досье
(например, оценка соответствия профиля образования) и после беседы
с кандидатом (например, приспособленность к переменам по службе,
область интересов, специальные способности.
В программе приняты следующие условия Любой факт — это атом (на-
пример, f3), который характеризуется тройкой (объект, признак, значение),
причем значение в тройке может быть как точной, так и неточной (нечеткой)
величиной Когда эта составляющая неточна, она представляет собой атом
(обозначаемый тильдой), значение которого есть функция распределения
возможностей Эта функция либо непрерывна и имеет вид трапеции на (R
(тогда ее можно представить четверкой чисел), либо дискретна (представле-
на как список пар). Неопределенность, содержащаяся в точном факте, связа-
на в машинной памяти со свойством cert; эта неопределенность выражается
с помощью двух чисел Ь, Ь', таких, что b < Ь' и b = 0 или b' = 1, которые ин-
терпретируются как степени необходимости и возможности того, что рассма-
триваемый факт является истинным в соответствии с условием (4.13). Пра-
вило — это атом (например, г7), значением которого служит некоторый спи-
сок, составленный из двух исходных списков первый из них образован из
троек — посылок, которые предполагаются связанными с помощью конъ-
юнкции, а второй содержит тройки - заключения. В нашем примере каждое
правило содержит только одно заключение. В случае неопределенного прави-
ла, т е правила, дающего точное, но неопределенное заключение, к указан-
ной тройке добавляются два коэффициента а и а', которые понимаются соот-
ветственно как степень ’’достаточности” и степень ’’необходимости” того, что
посылки удовлетворяются и вывод справедлив. Эти два коэффициента пред-
ставляют собой нижние границы величин N(p -* q) и N(q ->р) соответствен-
но, введенных в разд. 4.2.1. Механизм вывода основан на схеме рассуждений,
объединяющих (I) и (V), т. е.
N(p->q) >а
N(q->p) >а'
(XIX) N(p) >Ъ,П(р) <b',max(l -b,b') = 1
N(q) >min(a, b), n(q) < max(l - a', b')
Эту схему также можно обосновать в рамках многозначных логик [35], а
149
вариант ее применения предложен в работах [26. 27]. Заметим, что если
max (1 - b, b') = 1, то всегда имеем
max(l - mm (a, b), max(l - a', b')) = 1, Va, Va'
Замечание При необходимости операции тт(а, b) и тах(1 -а’,Ь')можно ослабить,
заменив их соответственно на операции а • b и 1 - а' + а' • Ь' или на операции max (О,
а + b - 1) и mm(l, 1 - а’ + Ь'). Пригодность тех или иных вариантов можно обосновать
лишь в рамках подхода на базе многозначных логик; тем не менее полученные резуль-
таты ни в коем случае не являются ложными, поскольку они аппроксимируют интервал
[nun(a, b), тах(1 -а',Ь')].
В нашем примере некоторые неопределенные правила имеют нечеткие по-
сылки. Неточными называются такие правила, у которых составляющие
(значения посылок и заключения) представляют собой функции распределе-
ния возможностей. В программе, написанной на языке Лисп и приведенной
в приложении, предполагается, что все функции распределения, задаваемые
правилами, являются непрерывными трапециевидными функциями. Каждая
функция распределения, составляющая ’’значение” заключения из нечеткого
правила, определяется пятеркой действительных чисел, одно из которых от-
ражает степень неопределенности заключения (см. приложение 4.1).
Полученные правила позволяют имитировать ход рассуждений, представ-
ленных ниже в виде дерева, которое описывает множество возможных цепо-
чек правил.
Рассматриваемый пример по своей природе аналогичен примеру из гл. 3,
относящемуся к выбору автомобиля, однако здесь показан совершенно
другой способ представления процесса свертывания частных оценок в обоб-
щенную.
Правила с неточными посылками и заключением описываются с помощью
обобщенного правила ’’модус поненс” (см формулу (4.64), когда * = mm);
вариант практического расчета выводимого результата дан в приложении к
гл. 4. Примером таких правил служит набор т2, г3, г4, г5. Неопределенные
же правила, в которые функции распределения возможностей не входят,
Качество кандидата
г7/
Общие способности
"t
\гп
Специальные способности
Образа-	Число
Вание	баллов
Профессии- Аватпируе-
нальный масть
опыт Q1
Способ-
ность к
труду
\гчо
Артисти-
V
Спортив-
ческие спо- ные спо -
собности собности
\ г г гз С4 ns
Тест на уровень Тест на владение
шпемектиаль- английским языком
поста Qt
Устным Письменным
Рис. 4.3
150
анализируются с помощью схемы (XIX), где b и Ь' получаются в виде b =
= min b и b' = mm b' п — число посылок, а [Ь., Ь' ] — интервал
1 = 1,. п	1=1....п 1	11
достоверности факта, объединенного с i-й посылкой, причем этот факт либо
принадлежит базе исходных фактов, либо получается в результате предвари-
тельного вывода. В случае неопределенных правил, у которых некоторые по-
сылки содержат фукции распределения возможностей, значения Ь и bj вы-
числяются как необходимость и возможность удовлетворения данной посыл-
ки (см. формулы (4.17), (4.18)). Величины b и Ь', рассчитанные по этим
формулам, не всегда таковы, что соблюдается условие max(l - b , b') = 1.
Их последующая нормировка
1 тах(1 - bj,Ь') ’ 1 max(l-bj,b')
в соответствии с формулами (4 51) и (4.52) позволяет перейти к паре (Ь;*
Ь'*), которая удовлетворяет указанному ограничению и, следовательно, лег-
че интерпретируется. Эта нормировка позволяет выявить степень удовлетво-
рения посылки' посылка, скорее, удовлетворяется (случай b'* = 1) или по-
сылка, скорее, неудовлетворяется (случай Ь* = 0).
Наконец, комбинирование результатов нескольких неопределенных пра-
вил осуществляется с помощью формул (4.51) и (4.52)
В приложении 2 к гл. 4 имеется программа на языке Лисп, в которой реа-
лизованы пример и описанные выше процедуры. Она содержит.
машину вывода, которая работает с неопределенными и нечеткими пра-
вилами или с правилами вместе;
базу знаний, которая включает правила п — г14, определение нечетких
термов и восемь фактов, известных для каждого кандидата; отметим,
что система не требует в обязательном порядке явной информации о де-
вяти характеристиках, образующих листья дерева;
пример экспертизы, где оценивается качество кандидата, описываемое
восемью фактами, и где система выдает по требованию промежуточные
оценки.
Наконец, та часть машины вывода, которая названа ’’обработка неопреде-
ленных правил”, описана в виде программы на языке Бейсик, помещенной в
конце приложения 2 к гл 4, вместе с набором правил и базой фактов, отно-
сящихся к другому примеру, который читатель сможет легко восстановить.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1	- ADLASSNIG, К.Р., KOLARZ, G. (1982). CADIAG-2 : Computer-assisted medi-
cal diagnosis using fuzzy subsets. In : Approximate Reasoning in Deci-
sion Analysis (M.M. Gupta, E. Sanchez, eds.), North-Holland, 219-247.
2	- BALDWIN, J.F. (1979). A new approach to approximate reasoning using a
fuzzy logic. Fuzzy Sets and Systems, 309-325.
151
3	- BALDWIN, J.F , PILSWORTH, В.Ы. (1980). Axiomatic approach to implica-
tion for approximate reasoning with fuzzy logic. Fuzzy Sets and Sys-
tems, 3, 193-219.
4	- BELLMAN, R.E., ZADEH, L.A. (1977). Local and fuzzy logics. In : Modern
Uses of Multiple-Valued Logic (J.M. Dunn, G. Epstein, eds.). D. Reidel,
103-166.
5	- CAYROL, M., FARRENY, H., PRADE, H. (1982). Fuzzy pattern matching.
Kybernetes, 11. 103-116.
6	- DEMPSTER, A.P. (1967). Upper and lower probabilities induced by a mul-
tivalued mapping. Annals of Mathematical Statistics, 38, 325-339.
7	- DUBOIS, D., PRADE, H. (1979). Operations in a fuzzy-valued logic. In-
formation and Control, 43, n° 2, 224-240.
8	- DUBOIS, D., PRADE, H. (1982). A class of fuzzy measures based on trian-
gular norms - A general framework for the combination of uncertain
information. Int. J. of General Systems, 8, n° 1, 43-61.
9	- DUBOIS, D., PRADE, H. (1982). Degree of truth and truth-functionality.
Proc. 2nd World Conf, on Maths, at the Service of Man, Las Palmas,
Spain, June 23-July 3, 1982, 262-265.
10	- DUBOIS, D., PRADE, H. (1982). On several representationsof an uncertain
body of evidence. In : Fuzzy Information and Decision Processes, (M.M.
Gupta, E. Sanchez, eds.), North-Holland, 167-181.
11	- DUBOIS, D., PRADE, H. (1983). On distances between fuzzy ooints and
their use for plausible reasoning. Proc. IEEE Int. Conf, on Cybernetics
& Society, Bombay-New Dehli, Dec. 30, 1983 - Jan. 7, 1984, 300-303.
12	- DUBOIS, D., PRADE, H. (1484). Fuzzy logics and the generalized modus
ponens revisited. Cybernetics & Systems, 15, 293-331 .
13	- DUBOIS, D., PRADE, H. (1985). The generalized modus ponens under sup-
min composition. A theoretical study. In : Approximate Reasoning in
Expert Systems, (M.M. Gupta, A. Kandel, W. Bandler, I.B. Kiszka, eds.),
North-Holland, 217-232.
14	- DUBOIS, D., PRADE, H. (1987). The management of uncertainty in fuzzy
expert systems and some applications. In : The Analysis of Fuzzy Infor-
mation, Vol. 2 : Artificial Intelligence and Decision Systems (J.C.
Bezdek, ed.), CRC Press.
15	- DUDA, R., GASCHNIG, J., HART, P. (1981). Model design in the PROSPEC-
TOR consultant system for mineral exploration. Expert Systems in the
Micro-Electronic Age, (D. Michie, ed.). Edinburgh Univ. Press, 153-
167.
152
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
•	ERNST, С. (1982). Le models de raisonnement approchA du systAme MANAGER.
BUSEFAL, n° 9, L.S.I., Univ. P. Sabatier, Toulouse, 93-99.
	FRIEDMAN, L. (1981). Extended plausible inference. Proc. 7th. Int.
Joint. Conf. Artificial Intelligence. Vancouver, Aout 1981, 487-4°5.
	GAINES, B.R. (1976). Foundations of fuzzy reasoning. Int. J. Man-Machi-
ne Studies, 8, 623-668.
	GOGUEN, J.A. (1969). The logic of inexact concepts. Synthese, 19,
325-373.
	ISHIZUKA, M. (1983). Inference methods based on extended Dempster and
Shafer's theory for problems with uncertainty/fuzziness. New Generation
Computing, 1, 159-168.
	ISHIZUKA, M., FU, K.S., YAO, J.T.P. (1981). Inexact inference for rule-
based damaae assessment of existino structures. Proc. 7th Int. Joint
Conf, on Artificial Intelligence. Vancouver, 837-842.
	ISHIZUKA, M., FU, K.S., YAO, J.T.P. (1982). Inference orocedures with
uncertainty for problem reduction method. Information Sciences, 28,
179-206.
KAYSER, D. (1979). Vers une modelisation du raisonnement "aoproximatif".
Proc, of the Colloquium "Representation des Connaissances et Raisonne-
ment dans les Sciences de 1'Homme". (M. Borillo, ed.), Saint-Maximin,
Sept. 1979, Publ. by INRIA, 440-457.
LESMO, L., SAITTA, L., TOP.ASSO, P. (1983). Fuzzy production rules : A
learning methodology. In : Advances in Fuzzy Set Theory and Applications,
(P.P. Wang, ed.). Plenum Press. 181-198.
•	MAMDANI, E.H. (1977). Application of fuzzy logic to aporoximate reaso-
ning using linguistic systems. IEEE Trans, on Computers, C-26, 1182-1191
	MARTIN-CLOUAIRE, R. (1984). A fast generalized modus ponens. BUSEFAL,
n° 18, L.S.I., Univ. P. Sabatier, Toulouse, 75-82.
	MARTIN-CLOUAIRE, R., PRADE, H. (1985). On the problems of representation
and propagation of uncertainty in expert systems. Int. J. Man-Machine
Studies, 22, 251-264.
	MARTIN-CLOUAIRE, R., PRADE, H. (1984). Managing uncertainty and impreci-
sion in petroleum geology. Sciences de la Terre. SArie Informatique,
20, 85-98.
	MIZUMOTO, M., FUKAMI, S., TANAKA, K. (1979). Fuzzy conditional inferen-
ces and fuzzy inferences with fuzzy quantifiers. Proc. 6th Int. Joint
Conf, on Artificial Intelligence, Tokyo, 589-591.
153
30	- MIZUM0T0, M., ZIMMERMANN, H.J. (1982). Comparison of fuzzy reasoning
methods. Fuzzy Sets & Systems, 8, 253-283.
31	- POLYA, G. (1954). Mathematics and Plausible reasoning. Vol. II : Pat-
terns of Plausible Inference. Princeton University Press, 2ёте Edition
1968.
32	- PRADE, H. (1982). Modgles mathgmatiques de I'imorScis et de 1'incertain
en vue d'applications au raisonnement naturel. ThSsed'Etat, Toulouse
III, June 1982, (358 p.).
33	- PRADE, H. (1983). A synthetic view of approximate reasoning techniques.
Proc. 8th Int. Joint Conf. Artificial Intelligence, Karlsruhe, Aug.
1983, 130-136.
34	- PRADE, H. (1983). Data bases with fuzzy information and approximate rea-
soning in expert systems. Proc. IFAC Int. Symp. Artificial Intelligence.
Leningrad, USSR, Oct. 4-6, 1983, 113-120.
35	- PRADE, H. (1984). Modules de raisonnement approche pour les systemes
experts. Proc. 4eme Congrfes AFCET "Reconnaissance des Formes & Intelli-
gence Artificielle, Paris, Jan. 25-27, 1984, 355-373.
36	- PRADE, H. (1985). A computational approach to approximate and plausi-
ble reasoning, with applications to expert systems. IEEE Trans, on Pat-
tern Analysis & Machine Intelligence, 7, 260-283. Corrections in 7, 747-748.
37	- RESCHER, N. (1969). Many-Valued Logic. Me Graw-Hill.
38	- SANCHEZ, E. (1976). Resolution of composite fuzzy relation equations.
Information and Control, 30, 38-48.
39	- SHAFER, G. (1976). A Mathematical Theory of Evidence. Princeton Uni-
versity Press.
40	- SHORTLIFFE, E.H., BUCHANAN, B.G. (1975). A model of inexact reasoning
in medicine. Mathematical Biosciences, 23, 351-379.
41	- SOULA, G., SANCHEZ, E. (1982). Soft deduction rules in medical diag-
nosis processes. In : Approximate Reasoning m Decision Analysis,
(M.M. Gupta, E. Sanchez, eds.), North-Holland, 77-88.
42	- SOULA, G., VIALETTES, B., SAN MARCO, J.L. (1983). PROTIS, a fuzzy deduc-
tion-rule system : Application to the treatment of diabetes. Proc.
MEDINFO 83 (Van Bemmel, Ball, Wigertz, Eds.) IFIP-IMIA, Amsterdam, 533-536.
43	- SUPPES, P. (1966). Probabilistic inference and the concept of total
evidence. In : Aspects of Inductive Logic, (J. Hintikka, P. Suppes,
eds.), North-Holland, 49-65.
154
44	- TONG, R.M., SHAPIRO, D.G., DEAN, J.S., Me CONE, B.P. (19B3). A compa-
rison of uncertainty calculi in an expert system for information re-
trieval. Proc. 8th Int. Joint Conf. Artificial Intelligence, Karlsruhe,
Aug. 83, 194-197.
45	- TRILLAS, E., VALVEROE, L. (1981). On some functionally expressable im-
plications for fuzzy set theory. Proc. 3rd Int. Seminar on Fuzzy Set
Theory, (E.P. Klement, ed.), J. Kepler Univ., Linz, Austria, Sept. 7-
12, 1981, 173-190.
46	- TSUKAMOTO, Y. (1979). An approach to fuzzy reasoning method. In : Ad-
vances in Fuzzy Set Theory and Applications, (M.M. Gupta, R.K. Ragade,
R.R. Yager, eds.), North-Holland, 137-149.
47	- WEBER, S. (1983). A general concept of fuzzy connectives, negations and
implications based on t-norms and t-co-norms. Fuzzy Set & Systems, 11,
115-134.
48	- WHALEN, T., SCHOTT, B. (1983). Issues in fuzzy production systems.
Int. J. Man-Machine Studies, 19, 57-71.
49	- YAGER, R.R. (1980). An approach to inference in approximate reasoning.
Int. J. Man-Machine Studies, 13, 323-338.
50	- ZADEH, L.A. (1973). Outline of a new approach to the analysis of com-
plex systems and decision processes. IEEE Trans, on Systems, Man &
Cybernetics, 2> 28-44.
51	- ZADEH, L.A. (1978). PRUF-A meaning representation language for natural
languages. Int. J. Man-Machine Studies, 10, n° 4, 395-460.
52	- ZADEH, L.A. (1979). A theory of approximate reasoning. Machine Intel -
1igence, 9, (J.E. Hayes, D. Mitchie, L.I. Mikulich, eds.). Elsevier.
149-194.
53	- ZADEH, L.A. (1983). The role of fuzzy logic in the management of uncer-
tainty in expert systems. Fuzzy Sets & Systems, 11_, n° 3, 199-228.
54	- ZADEH, L.A. (1984). Review of “A Mathematical Theory of Evidence, by
G. Shafer. The AI Magazine, Fall 1984, 81-83.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ, ДОБАВЛЕННОЙ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
55	- APPELBAUM, L., RUSPINI, Е.Н. (1985). ARIES : An approximate reasoning
inference engine. In : Approximate Reasoning in Expert systems (M.M.
Gupta, A. Kandel, W. Sandier, J.8. Kiszka, eds.), North-Holland, Ams-
terdam, 745-765.
155
56	- BUCHANAN, B.G., SHORTLIFFE, E.H. (1984). Rule-8ased Expert Systems.
The MYCIN Experiments of the Stanford Heuristic Programming Project.
Addison-Wesley, Reading, Mass.
57	- BUCKLEY, J., SILVER, W., TUCKER, D. (1986). FLOPS : a fuzzy expert
system : applications and perspectives. In : Fuzzy Logic in Knowledge
Egineering (C.V. Negoita, H. Prade, eds.), Verlag TUV Rheinland, Koln,
256-274.
58	- BUISSON, J.C., FARRENY, H., PRADE, H. (1986). Dealing with imprecision
and uncertainty in the expert system DIA8ET0 - III (texte en francais).
Actes 2nd Inter. Conf, on Artificial Intelligence (CIIAM-86), Marsei1 -
le, Dec., 1-5, Hermfes, Paris, 7051721.
59	- CHATALIC, P., DUBOIS, D., PRADE, H. (1986). An approach to approximate
reasoning based on Dempster rule of combination. Proc. 8th IASTED
Inter. Symp. Robotics and Artificial Intelligence, Toulouse, France,
June 18-20, 333-343.
60	- DUBOIS, D., FARRENY, H., PRADE, H. (1985). "Sur divers problfemes inh£-
rents i 1'automat isat ion des raisonnements de sens commun", Actes 5femes
Cong. AFCET. Reconnaissance des Formes et Intelligence Artificielle,
pp. 321-328, Grenoble, 27-29 Nov.
61	- DUBOIS, D., PRADE, H. (1984). A theorem on implication functions defi-
ned from triangular norms. Stochastica, VIII, 267-279.
62	- DUBOIS, D., PRADE, H. (1985). Combination and propagation of uncertain-
ty with belief functions. A reexamination. Proc 9th Inter. Joint Conf
Artificial Intelligence, Los Angeles, 111-113. Version revisee et aug-
mentee "Representation and combination of uncertainty with belief func-
tions and possibility measures", in Tech. Rep. n° 263, L.S.I., Univ.
P. Sabatier, Toulouse.
63	- DUBOIS, D., PRADE, H (1986). Possibi1istic inference under matrix
form. In : Fuzzy Logic in Knowledge Engineering (C.V. Negoita, H.
Prade, eds.), Verlag TUV Rheinland, Koln, 112-126.
64	- DUBOIS, D., PRADE, H. (1987). Necessity measures and the resolution
principle. IEEE Trans, on Systems, Man and Cybernetics, П.-
65	- DUBOIS, D , PRADE, H. (1987). On fuzzy syllogisms. Tech. Rep. ; L.S.I,
Univ. P. Sabatier, Toulouse.
66	- FARRENY, H., PRADE, H. (1986). Default and inexact reasoning with pos-
sibility degrees. IEEE Trans. Systems, Man and Cybernetics, 16, 270-
276.
156
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
FARRENY, H., PRADE, H., WYSS, E. (1986). Approximate reasoning in a
rule-based expert system using possibility theory : A case study.
Proc. 10th IFIP World Computer Cong., Dublin, Ireland, Sept. 1-5. In-
formation Processing 186 (H.J. Kugler, Ed.), North-Holland, 407-413.
FI ESCH I, M. (1984). Intelligence Artificielle en Medecine. Des Syste-
mes Experts. Collection "Methode + Programmes", Masson, Paris.
GARVEY, T.D., LOWRANCE, J.D., FISCHLER, M.A. (1981). An inference
technique for integrating knowledge from disparate sources. Proc. 7th
Inter. Joint Conf. Artificial Intelligence, Vancouver, Aug., 319-325.
GRANGER, C. (1986). Fuzzy reasoning in a knowledge-based system for
object classification. Proc. 7th. European Conf. Artificial Intelli-
gence, Brighton, Vol. 1, 163-170.
HISDAL, E. (1978). Conditional possibilities. Independence and non-
interact ivity. Fuzzy Sets and Systems, 2» 283-297.
LEE, R.C.T. (1972). Fuzzy logic and the resolution principle. J. of
the Association for Computing Machinery, 19 (1), 109-119.
MARTIN-CLOUAIRE, R., PRADE, H. (1986) SPII-1 : a simple inference
egine for accommodating both imprecision and uncertainty. In : Compu-
ter-Assisted Decision Making (G. Mitra, Ed.), North-Holland, Amster-
dam, 117-131. '
PRADE, H. (1985). Reasoning with fuzzy default vaJues. Proc. 15th
IEEE Inter. Symp. Multiple-Valued Logic, Kingston, Ontario, 191-197.
PRADE, H., NEGOITA, C.V. (eds.) (1986) Fuzzy Logic in Knowledge Engi-
neering, Verlag TUV Rheinland, Koln.
REITER, R. (1980). A logic for default reasoning Artificial Intelli-
gence, 13. 81-132.
ROBINSON, J.A. (1965). A machine-oriented logic based on the resolu-
tion principle. J. of the Association for Computing Machinery, 12 (1),
23-41.
ZADEH, L.A. (1984). A theory of commonsense knowledge. In : Aspects
of Vagueness, (H.J. Skala, S. Termini, E. Trillas, eds.), D. Reidel,
Dordrecht, 257-295.
ZADEH, L.A. (1985). Syllogistic reasoning in fuzzy logic and its ap-
plication to usuality and reasoning with dispositions. IEEE Trans on
Systems, Man, and Cybernetics, 15 (6), 754-763.
DUBOIS, D., MARTIN-CLOUAIRE, R., PRADE, H. (1987). Practical compu-
ting in fuzzy logic. In : Fuzzy Computing (M.M. Gupta, T. Yamakawa,
eds.), North-Holland, a paraitre.
81 - TRILLAS, E., VALVERDE, L. (1985). On mode and implication in approxi-
mate reasoning. In "Approximate Reasoning In Expert Systems" (M.M.
Gupta, A. Kandel, W. Sandier, J.B. Kiszka, Eds.), North-Holland,
Amsterdam, 157-166.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1д. Ежкова И. В., Поспелов Д. А. Принятие решений при нечетких основаниях Универ-
сальная шкала//Изв. АН СССР Техническая кибернетика - 1977 - №6 - С 3-11
2д. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта/А Н Авер-
кин, И 3. Батыршин, А Ф Блишун и др - М Наука, 1986 - Гл 6 - С 139-169
Зд Попов Э.В. Экспертные системы Решение неформализованных задач в диалоге с
ЭВМ. - М Наука, 1987 - 288 с.
4д Поспелов Г.С. Искусственный интеллект - основа новой информационной техноло-
гии - М Наука, 1988 - 280 с
5д Поспелов Д.А. Логико-лингвистические модули в системах управления М Энер-
гоиздат, 1981. - 232 с.
6д Поспелов Д.А. Ситуационное управление теория и практика - М Наука, 1986 -
288 с
7д Представление знаний в человеко-машинных и робототехнических системах - ТС
М. ВИНИТИ, 1984. - 380 с
8д Approximate Reasoning m Expert Systems/Ed by M M Gupta ct al - Amsterdam
North-Holland Publ Comp ,1985
9д O’Higgms H.L., Kandel A. Designing Fussy Expert Systems - Koln Verlag TUV Rhein-
land, 1986
10д Zimmermann H.-J. Fussy Sets, Decision-Making and Expert Systems Dordrecht Kluver
Academic Publ, 198 7 - 352 p
ГЛАВА 5. ЭВРИСТИЧЕСКИЙ ПОИСК В НЕТОЧНОЙ СРЕДЕ И НЕЧЕТКОЕ
ПРО ГРАММИРОВ АННЕ
Специалисты в области искусственного интеллекта занимаются проблема-
ми воспроизведения функций человеческого разума посредством машин,
причем далеко не точно известно, каким образом обеспечиваются
эти функции у ьечовска1 Например, это такие функции, как понимание со-
общений, приобретение знаний, порождение планов действий, диагностика
ситуаций, приспособление общей линии поведения к конкретной среде.
Во всех этих видах деятельности человек обладает возможностью учета не-
точной и неопределенной информации Но до настоящего времени этот аспект
человеческого интеллекта сравнительно редко рассматривался в исследова-
ниях по искусственному интеллекту.
1 Поэтому в общем случае в рамках искусственного интеллекта не ставится задача
моделирования психических процессов, и в частности внутренних представлений челове-
ка при разработке прикладных слегем, способных выполнять функции человеческого
интеллекта. - Прим перев
158
В предыдущей главе были изложены механизмы вывода, позволяющие
использовать такую неточную и неопределенную информацию. В первой ча-
сти настоящей главы рассматривается ряд методов, применяемых, когда ре-
шение задачи понимается как поиск последовательности элементарных дей-
ствий с применением оценочных функций.
Наоборот, во второй части главы уже предполагается, что имеется после-
довательность элементарных действий, и речь идет об их выполнении в реаль-
ной ситуации.
В первом случае неточность связывается с операндами оценочной функ-
ции1 , которая направляет поиск. Во втором случае неточность может появ-
ляться как при определении плана действий, так и в восприятии среды по
мере выполнения этого плана.
Однако эта глава не претендует на подробный охват и отражение всех ис-
следований, направленных на применение теории возможностей в искусствен-
ном интеллекте. Так, среди не затрагиваемых здесь тем упомянем проблему
усвоения понятий (см. работу [2]).
5.1. ЭВРИСТИЧЕСКИЙ ПОИСК В НЕТОЧНОЙ СРЕДЕ
Методы поиска на графах, и в частности, на древовидных структурах, ши-
роко используются как в исследовании операций (см. работы [10,2д, 5д]),
так и в искусственном интеллекте [13—15,18]).
В настоящем разделе основное внимание уделяется семейству алгоритмов
А* [14], принцип построения которых мы напомним ниже. В качестве иллю-
страции берется один метод из этого семейства, который применяется для ре-
шения задачи о коммивояжере: сначала с точными оценками стоимости, за-
тем с интервальными оценками и, наконец, с оценками, представленными в
виде нечетких интервалов.
5 1 1 АЛГОРИТМЫ А И А*
Решение произвольной задачи рассматривается как поиск пути на графе
от некоторой фиксированной вершины, называемой начальным состоянием,
к одной из вершин, принадлежащих некоторому заранее выбранному под-
множеству, называемому множеством конечных состояний. Этот граф, ха-
рактеризующий пространство состояний, лишь потенциально известен в том
смысле, что помимо начального и конечных состояний имеется множество
операторов, позволяющих порождать новые состояния из заданного.
Применение произвольного оператора к некоторому выделенному состоя-
нию (’’родительскому” состоянию) представляется в виде дуги, направлен-
ной от этого родительского состояния к вершине — потомку, называемой
’’дочерним” состоянием. Каждой дуге приписывается некоторая стоимость,
Обычно под оценочной функцией понимается выражение вида f(n) = g(n) + h(n), где
g(n) - стоимость уже пройденного пути до текущего состояния n, a h(n) - оценка мини
мальной стоимости еще оставшегося пути от п до некоторого конечного состояния. -
Прим перев
159
характеризуемая положительным числом. Цель поиска заключается в постро-
ении пути между начальным состоянием и одним из конечных состояний,
имеющего минимальную стоимость, причем стоимость пути рассчитывается
как сумма стоимостей составляющих его дуг. Методология поиска состоит
в последовательном спуске по дереву от начального состояния до тех пор,
пока не будет достигнуто некоторое конечное состояние Граф, соответству-
ющий заданному этапу поиска, называется графом поиска Когда не удается
достичь конечного состояния в графе поиска, возникает задача выбора не-
которого состояния, на которое будут действовать операторы с целью порож-
дения новых состояний ("раскрытие” состояния). Этот выбор направляет-
ся оценочной функцией, которая каждому способному к раскрытию состоя-
нию п ставит в соответствие положительное число f(n), определяемое в виде
суммы
f(n) =g(n) +h(n).	(5.1)
Функция g характеризует стоимость кратчайшего пути между начальным со-
стоянием и состоянием п, известную на текущем этапе выполнения алгорит-
ма, а функция h - стоимость, которая зависит только от состояния п; ее
обычно интерпретируют как оценку минимальной стоимости пути между со-
стоянием п и каким-либо из конечных состояний. Состояние для дальнейше-
го раскрытия выбирается из числа тех, у которых оценочная функция мини-
мальна.
В алгоритме производится проверка на принадлежность некоторого со-
стояния к множеству конечных состояний, причем она делается не при воз-
никновении этого состояния на графе поиска, а лишь тогда, когда указанное
состояние берется для раскрытия
Если граф поиска конечный, а эвристический член h(n) в равенстве (5.1)
есть нижняя оценка минимальной стоимости пути между состоянием п и ка-
ким-либо из конечных состояний, то имеем алгоритм поиска типа А* и тогда
обеспечивается выполнение следующих условий а) происходит останов
программы, реализующей данный алгоритм; б) такой останов позволяет ли-
бо найти некоторый путь к конечному состоянию (если такой путь существу-
ет), либо удостовериться, что такого пути не существует; в) когда такой
путь к конечному состоянию найден, он имеет минимальную стоимость.
В более общем случае если не обеспечивается существование такой нижней
оценки h(n), алгоритм имеет всего лишь тип А (а не А*) и выполняются
только свойства а) и б). При использовании ряда дополнительных предполо-
жений эти свойства сохраняются и для бесконечных графов поиска [3]. Да-
лее описывается пример использования алгоритма типа А* в так называемой
задаче о коммивояжере. Затем он адаптируется к случаям, когда стоимости
дуг известны лишь приближенно в виде обычных или нечетких интервалов
5 1.2. КЛАССИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА О КОММИВОЯЖЕРЕ
Пусть G = (S>t#) - некоторый граф. Множество его дуг Л отображает тран-
спортные пути между множеством городов, представляемых вершинами из
множества S. Каждой дуге (8;, Sj) приписывается положительная стоимость
160
С,. Задача состоит в построении такого маршрута, который проходит один, и
только один раз через каждый город и имеет минимальную стоимость (если
подобный маршрут существует)
Эту задачу можно решить с помощью алгоритма А*, описываемого ниже
Начальное состояние задается некоторой вершиной So из множества S Про-
межуточные, не конечные состояния представляют собой последовательности
различных вершин, начинающиеся с вершины So. Конечные состояния явля
ются последовательностями вершин, первая из которых So, а другие образу-
ют перестановку всех вершин множества S, оканчивающуюся вершиной So
161
Пространство состояний, которое не следует смешивать с графом G, образу-
ется следующим способом если в Л существует дуга (Sj, Sk), причем вер-
шина Sk не принадлежит подпоследовательности (S^ .. ., Sj), то имеется ду-
га, направленная из состояния n = (So, St,. .., Sj) в состояние n = (So, S,,...
. . . , Sj, Sk) Слагаемое g(n') при n' = (So, Sj, ..., SJ; Sk) есть сумма стои-
мостей С01 + .	+ С. k. Слагаемое h(n') вычисляется следующим способом
для каждой вершины, не принадлежащей подпоследовательности Slt .,., SJ5
Sk, берется наименьшая стоимость для всех дуг, входящих в эту вершину,
тогда величина h(n') является суммой таких наименьших стоимостей Дан-
ный член h(n'), конечно, является нижней оценкой в смысле определения
алгоритмов А*. В результате такого расчета оценочной функции получаем
маршрут с минимальной стоимостью
Рассмотрим пример, изображенный на рис 5.1,а. На рис. 5.1, б показаны
результаты расчета минимальной стоимости дуг, входящих в каждую верши-
ну, а на рис 5 1,в изображен граф поиска, полученный на момент останова
программы, реализующей вышеупомянутый алгоритм. Определенное таким
образом конечное состояние имеет вид So Sj S2 S4 S3 So, а его стоимость
равна 11. Отметим, что в случае равенства оценок среди всех состояний с наи-
меньшей оценкой выбирается для раскрытия самое глубинное состояние в
графе поиска, т. е. принятое правило работает по принципу ’’больше влево”.
На рис. 5.1, в для каждого состояния п отмечено значение оценочной функ-
ции f(n) = g(n) + h(n)
Кроме того, в рамке отмечен порядковый номер раскрытия различных со-
стояний. Таким образом, раскрытию So Si S2 S3 S4 был присвоен ранг 5 (но в
этом случае нельзя было достичь никакого состояния-потомка) Раскрытие
состояний So S2 S3, So S2 S4 или So S3 могло бы обеспечить другие оптималь-
ные решения. Читатель может убедиться, что в данном примере этого не про-
исходит
5.1 3 ЭВРИСТИЧЕСКИЙ ПОИСК С НЕТОЧНЫМИ ОЦЕНКАМИ
Теперь предположим, что в силу неполного знания данных по решаемой
задаче стоимости, входящие в оценочную функцию f, можно определить
лишь в виде интервалов. Тогда оценки f(n) получаются по правилам интер-
вального анализа (см. гл. 2) Чтобы приспособить алгоритмы типа А или А*
к случаю оценивания состояний, описываемых в виде интервалов, надо отве-
тить на три вопроса.
Какова стратегия выбора состояния для раскрытия?
Каков критерий останова процедуры?
Каков результат, полученный при таком останове’
Выбор раскрываемого состояния сводится к задаче сравнения интервалов
H(nj). f(nj)], j = 1,	, р, гдеп(, .., пр — состояния,пригодные для рас-
крытия в текущий момент времени Ищется состояние, которое имеет наи-
меньшую оценку. При р = 2 приходим к сравнению относительного положе-
ния двух рассматриваемых интервалов. Тогда естественным образом получа-
ем четыре возможных критерия классификации, которые позволяют устано-
вить, будет ли состояние П1 более пригодно для раскрытия, чем состояние п2
162
ClrfOh^fCh);
С2.1(п2)>Х(П1);
C3 f(n2)>f(m);
C4-f(n2)>f(ni).
При выполнении критерия Cl оценка щ, невзирая на неточность, определен-
но лучше оценки п2. Зато если удовлетворяется критерий С4, то остается
возможность того, что состояние rij имеет наименьшую оценку. Когда одно-
временно удовлетворяются критерии С2 и СЗ, можно записать
С23 mm([f (nj.f (n,)], [f (n2), f (n2)]) = [f (щ), f (П1)],
где min — операция взятия минимума, расширенная на случай нечетких ин-
тервалов по принципу обобщения (см. гл 2). Операция mm позволяет опре-
делить интуитивно достаточный и менее сильный, чем С1, критерий выбора
С23. Критерии выбора естественным образом упорядочиваются по их силе:
Cl => GZ3
СЗ =>С4
На практике предлагается выбирать узел для раскрытия, применяя эти крите-
рии в том порядке, который указывают вышеприведенные импликации Од-
ни лишь критерии С2 и СЗ не обеспечивают естественного упорядочивания.
Если считать, что наименьшие значения f(nJ и f(n2) более правдоподобны,
чем их большие значения, то приоритет будет отдан критерию С2 В общем
случае, когда имеется р > 2 состояний, подлежащих раскрытию, приходим к
сравнению оценки каждого состояния с величиной min [f (nk), f (nk) ] =
= [ mm f (n,), min f (n, ) ], т. e. с наименьшей из всех других оценок при ис-
k^j“ к	к
пользовании пяти критериев в вышеуказанном порядке
Когда некоторое состояние признается за конечное в соответствии с алго-
ритмом типа А, может потребоваться продолжить поиск, если критерий, поз-
воливший выбрать это конечное состояние, оценивается как слишком сла-
бый для различения состояний Однако следует заметить, что, когда оценки
становятся неточными, вовсе не обязательно существует конечное состояние,
оптимальное в смысле критериев С1 или С23, даже если ранее такое опти-
мальное состояние было обнаружено при использовании алгоритма А* для
решения указанной задачи с точными оценками.
Следовательно, мы далеко не уверены в возможности прекращения поис-
ка, когда требуется лишь, чтобы полученное конечное состояние удовлетво-
ряло одному из этих двух критериев (за исключением того очевидного слу-
чая, когда полный граф поиска содержит конечное число достижимых со-
стояний) .
Пример. Рассмотрим нашу задачу о коммивояжере при неточных значени-
ях стоимостей, т е. когда, к примеру, неточно известны протяженности мар-
шрутов между городами. Соответствующие данные приведены на рис 5.2, а.
163
Рис 5.2. Представление данных в задаче о коммивояжере
Функция g(n) получается простым сложением соответственно нижних и
верхних границ неточных оценок стоимости [Сц, Cjj] по всему пути из на-
чального состояния в состояние п. Функция h(n) представляет собой сумму
интервалов, предварительно вычисленных для каждой вершины графа горо-
дов (S, J?) Для вершины i имеем
[Ь,,11] = шТп [С , С 1,	(5 2)
1	1 U,jK* IJ iJ
а для n = So, Si, . ., S , SR
h(n)= S h(l),h(n)= , S K,	(5 3)
1«{5Х, -Sp Skp	, S SjJ 1
Интервалы [Jr, hj приведены на рис. 5 2, б На рис. 5 2, в изображена древо-
видная структура, раскрываемая с помощью последовательности из пяти
критериев выбора состояний — Cl, С23, С2, СЗ, С4 В остальном берутся те
же условия, что и на рис 5 1, в Отметим, что за критерий останова выбирает-
ся С23 Алгоритм строит такой же гамильтонов путь, что и ранее (потомок
состояния 9), несмотря на неточность Это конечное состояние, безусловно,
удовлетворяет критерию С23 по стоимости [8, 16], что получается в резуль-
тате выполнения расширенной операции шш над десятью состояниями, при-
годными к раскрытию Отметим, что если для прекращения поиска восполь-
зоваться критерием С2, то будут раскрыты девять вершин В случае анализа
задачи о коммивояжере выбор по критерию С2 (соответственно СЗ), очевид-
но, сводится к выполнению алгоритма с коэффициентами С „ (соответствен-
но C,j), т е. приводится к случаю точных данных В частности, если получен-
ные для каждого из указанных критериев выбора оптимальные решения со-
ответствуют (по меньшей мере) одному и тому же гамильтонову пути, то
этот гамильтонов путь оптимален в смысле критерия С23 и строится с помо-
щью алгоритма А*, расширенного на случай неточных данных, если только
критерий С23 принимается за критерий останова Это и происходит в нашем
примере Отметим, что в данном примере решения, оптимального в смысле
удовлетворения критерия С1, не сушествует (дочерние состояния для вер-
шин 16 и 9 конечные состояния, не сравнимые по критерию С1) .
5 1 4 ЭВРИСТИЧЕСКИЙ ПОИСК С НЕЧУТКИМИ ОЦЕНКАМИ
Рассмотрим, наконец, случай, когда стоимости, составляющие оценочную
функцию f, представлены в виде нечетких интервалов, введенных в гл 2.
Такой вариант расширения методов эвристического поиска был предложен в
работе [6] В текущий момент раскрытия графа поиска имеется р пригодных
вершин nj, . . , Пр, причем каждому состоянию па ставится в соответствие
нечеткий интервал Т(п,), О1раничиваюший возможные значения оценочной
функции f(n,). В статье [6] предлагается при выборе раскрываемого состо-
яния взять такое состояние п,, для которого выполняется условие
f (n,) = min f (n)	(5 4)
J = 1.  p J
165
Понятно, что такое состояние не всегда существует (см разд 2 2 3), и в
этом случае можно выбрать какое угодно состояние Очевидно, условие
(5.4) довольно сильное, поскольку оно сводится к применению критерия
С23 ко всем a-срезам нечетких интервалов f (n.), j = 1,	, р
Другой подход заключается в определении, насколько одна оценка мень-
ше другой 1в соответствии с критериями Cl - С4. Применение расширенной
операции min не дает никакой возможности для успешного проведения тако-
го количественного измерения. Его можно получить естественным образом,
воспользовавшись четырьмя показателями сравнения нечетких интервалов,
введенными в разд 3.2. Эти четыре показателя перекликаются с четырьмя
критериями Cl - С4, употребляемыми для сравнения неточных, но четких
оценок в предыдущем параграфе. В случае обычных интервалов каждый из
этих критериев либо удовлетворяется, либо нет В случае нечетких оценок
эти критерии будут удовлетворяться в большей или меньшей степени Тогда
степень удовлетворения.
С1 будет оцениваться величиной Nec(f (п2) > f (пД) ;
С2 будет оцениваться величиной Nec(f (n2) ^£(ni)) ;
СЗ будет оцениваться величиной Pos(T (n2) > f (пО) ;
С4 будет оцениваться величиной Pos(f (n2) > f (nJ) .
Здесь используются обозначения из разд 3.2 1 В критериях С1 и СЗ берутся
строгие неравенства со знаком > вместо нестрогих со знаком >, чтобы обес-
печить согласованность с результатами этого раздела Отметим, что если
функции принадлежности непрерывны, то эта модификация ничего не меняет.
Когда имеется р состояний, пригодных к раскрытию, для каждого состоя-
ния вычисляют ся^следующие четыре показателя (см разд 3 2.3) NS(f(nj)),
NSE(f (П])), PS(f (nj)), PSE(f (QJ), которые выражают, насколько величи-
на f(nj) меньше всех других оценок в смысле критериев С1, С2, СЗ, С4 соот-
ветственно Затем выбираются те состояния, которые доставляют максимум
показателю NS(f(nj)). Если число таких состояний больше одного, среди
них ищутся те состояния, которые максимизируют показатель NSE(f (п^) и
т. д., где показатели следуют в указанном порядке, так как выполняются
условия (см разд. 3.2.2)
NS(f (П1)) <NSE(f (П1)) <PSE(f (nt));
NS(f (n:)) <PS(f (П])) <PSE(f (П[))
Эта процедура выбора состояния, пригодного к раскрытию, реализована на
языке Бейсик в виде некоторой подпрограммы, помещенной в приложении
к гл. 5 Отметим, что порядок приоритетности между показателями NSE и
PS может становиться обратным. Когда в данной процедуре работают с обыч-
ными интервалами, она приводится к процедуре, описанной в предыдущем
параграфе, если к тому же пренебречь критерием С23. Как и ранее, критерий
останова программы можно выбрать двумя способами
либо останов происходит, как только выбрано конечное состояние;
либо останов происходит лишь тогда, когда выбрано конечное состоя-
ние, удовлетворяющее условию, накладываемому на один из показате-
166
лей Е G {NS, NSE, PS, PSE} в виде E(f (д)) > 0, где 0 - фиксирован-
ный порог
Замечание Другой вариант обобщения методов поиска на древовидных структурах
получается, если видоизменить формулу построения оценочной функции (5 1) Характе-
ристики алгоритмов А и А* опираются наряду с другими положениями на предположе-
ние об аддитивности оценочных функций Однако при этом используются отнюдь не все
свойства операции сложения, а лишь монотонность, ассоциативность и существование
центрального элемента Таким образом, свойства данных алгоритмов можно сохранить
за счет сохранения требуемой алгебраической структуры при построении обобщенной
оценочной функции. Так, например алгебраическая структура сохранится, если заменить
формулу (5 1) на f(n) = min(g(n), h(n)), или в более общем случае, если заменить опера-
цию сложения в формуле (5 1) любой треугольной нормой или конормой (см гл 3)
Такие обобщенные алгоритмы А* исследованы в работе [20] Они приобретают особый
5.2. ПРИМЕР НЕЧЕТКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ: ПРОХОЖДЕНИЕ МАРШРУТОВ,
ЗАДАННЫХ В НЕЧЕТКИХ ТЕРМИНАХ
Данные и процедуры, используемые человеческим разумом, не всегда
можно точно описать. Неточность не есть нечто присущее естественному (на-
пример, французскому) языку, используемому для представления данных и
процедур в общем случае и те, и другие можно точно выразить средствами
естественного языка1 Тем более неточность отнюдь не обусловлена неспо-
собностью разума извлекать наибольшую пользу из возможностей естествен-
ного языка. Нужно искать другие источники неточности Так, иногда в прин-
ципе невозможно получить точные данные. Например время выполнения не-
которой планируемой операции можно оценить лишь приближенно в зависи-
мости от прогнозируемых обстоятельств ее выполнения. В других случаях
большая точность не имеет особого значения; такое положение повсеместно
встречается в научных дисциплинах, связанных с оценкой поведения и черт
характера человека. Например, при описании профиля предлагаемой работы
часто употребляются неточные термины.
Во многих случаях без большего или меньшего произвола невозможно за-
менить точные определения расплывчатыми указаниями: расплывчатый ха-
рактер и неточность присущи некоторым типам информации, перерабатыва-
емой человеком. Поэтому представляется более естественным и эффектив-
ным принять неточные данные как они есть. С полным основанием еще в
1973 г. Заде [22] подчеркивал, что человек в своих рассуждениях часто поль-
Это высказывание кажется весьма спорным Истоки неточности и нечеткости ин-
формации лежат не вовне, а внутри самого взаимодействия субъекта с объектом или
веского отражения, в том числе и на речемыслительном (см , например, [ 4д, 6д]) -
Прим перев
167
зуется нечеткими метками- ’’Таким образом, способность работать с нечет-
кими множествами и вытекающая из нее способность синтезировать инфор-
мацию представляет собой одну из важнейших характеристик человеческого
разума, а также основную черту, отличающую интеллект человека от искус-
ственного интеллекта в той его форме, которая может реализовываться в со-
временных ЭВМ” Неточно определенные процедуры (иногда называемые не-
четкими алгоритмами [21, 22]) ввиду их большей целостности обладают
преимуществом перед традиционными четкими алгоритмами, которое за-
ключается в их лучшей приспособленности к ситуациям, подверженным не-
большим возмущениям. Нечеткие инструкции различного рода рассмотрены
в работе [7].
Инструкция может быть нечеткой потому, что в ней используются нечет-
кие аргументы (например, она определяет некоторую операцию над нечетки-
ми числами), или нечеткие функции (например, функция СЛЕГКА УВЕЛИ-
ЧИТЬ, которая некоторому значению х ставит в соответствие нечеткую вели-
чину х ф М, где М — нечеткое число, возможные значения которого ’’малы”) ,
или, наконец, нечеткие предикаты (т. е предикаты, которые кроме значений
’’истинно” и ’’ложно” мотут принимать и другие, промежуточные значения
истинности, если речь идет об инструкции условного ветвящегося типа. Про-
стым примером программы, содержащей такие инструкции, служит програм-
ма определения общего уровня знаний ученика как среднего арифметическо-
го уровней его подготовки по естественным наукам и по литературе (причем
каждый из этих уровней представлен в виде функции распределения возмож-
ностей на множестве оценок), в случае, когда нужно, например, слегка уве-
личить показатель уровня подготовки по естественным наукам, используе-
мый в среднем арифметическом, если ученик молод. Проблемы, возникаю-
щие при выполнении таких условных инструкций, будут вкратце затронуты
в разд. 5.2 3. Подобная программа выдает конечный результат, здесь — об-
щий уровень знаний ученика, в виде функции распределения возможностей
Инструкция может быть нечеткой и из-за того, что, хотя ее аргументы мо-
гут принимать только точные значения, описаны они расплывчато, тогда как
в рассмотренной ранее программе соответствующие нечеткие величины были
охарактеризованы четко. Рассмотрим теперь два примера
ПЕРЕСЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ (ТЯЖЕЛЫЕ ПРЕДМЕТЫ)
ПРИБАВИТЬ (БОЛЬШОЙ ПО ВЕСУ ЯЩИК) (МАЛЫЙ ПО ВЕСУ ЯШИК)
В первом случае программа организует поиск в базе данных всех извест-
ных более или менее тяжелых предметов. Во втором случае программа осу-
щесгвляет поиск некоторого ЯЩИКА, который с достаточной правдоподоб-
ностью может охарактеризовать как БОЛЬШОЙ, потом - поиск некоторого
ЯЩИКА, который столь же правдоподобно можно охарактеризовать как
МАЛЫЙ, а затем производит сложение их весов (которые, возможно, извест-
ны нечетко) При наличии двусмысленности, проявляющейся в описании
ящиков, программа может ее обнаружить, и произойдет останов программы
с выдачей соответствующего сообщения. Из обоих примеров видна необходи-
168
мость в системе фильтрации, позволяющей оценить совместимость предло-
женной интерпретации с рассматриваемым понятием
В ряде областей, например в робототехнике, нечеткие инструкции могут
выполняться лишь при условии, что они интерпретируются четко, этот пере-
ход от нечеткого описания к четкому обусловлен, например, необходимостью
сопоставления нечетких внутренних моделей с реальным внешним миром
Сюда относятся такие инструкции, как
СДЕЛАТЬ НЕСКОЛЬКО ШАГОВ ВЛЕВО
УВЕЛИЧИТЬ ДАВЛЕНИЕ НА ВЕЛИЧИНУ X
(X - точный идентификатор неточной величины, оцениваемой в другом
месте)
ПОЙТИ ИСКАТЬ БОЛЬШОЙ ЗЕЛЕНОВАТЫЙ ПРЕДМЕТ КУБИЧЕСКОЙ ФОРМЫ
Чтобы перейти от некоторой нечеткой инструкции к выполнимой четкой
инструкции, поступают следующим образом, для каждой функции распреде-
ления возможностей, полученной в результате оценивания нечеткого элемен-
та инструкции, из всех реально существующих случаев будут отобраны лишь
те, которые соответствуют достаточной степени возможности, затем среди
них будет выбрана подходящая интерпретация, причем впоследствии этот
выбор можно пересмотреть.
Хорошим примером последовательностей нечетких инструкций, которые
должны четко выполняться, служат указания по управлению перемещением
человека (или робота) к определенной цели. Так, следующий маршрут яв
ляется весьма типичным отображением плана действий, который передается
и часто используется людьми
’’Пройти расстояние примерно 100 м до перекрестка”.
’’Повернуть направо”.
’’Дойти до азиатского ресторана, расположенного примерно в 50 м”.
’’Повернуть налево”
’’Добраться до почтового ящика, расположенного в 20 или 30 м слева”
Такой план действий имеег некоторую аналогию с программой вычисли-
тельной машины. Однако обычный язык программирования допускает ис-
пользование лишь точных операторов, обеспечивающих обработку точной
информации. К тому же каждая инструкция из некоторой последовательно
сти имеет единственную интерпретацию, а выполнение этой последователь-
ности инструкций непреложно и обязательно Зато при использовании после-
довательности инструкций, задаваемых неточными терминами, те инструк-
ции, которые уже встречались ранее, могут пересматриваться (возврат на-
зад) , если выполнение последующих инструкций оказывается невозможным
Тогда инструкции, подлежащие пересмотру, интерпретируются некоторым
способом, отличным от прежнего но всегда совместимым с заданием
В дальнейшем проблемы, возникающие при выполнении таких ’’нечетких
программ”, будут обсуждаться и иллюстрироваться на конкретном примере
Они стали предметом исследований многих авторов [9, И, 16, 17, 19, 1д,
Зд, 7д].
169
5 2 1. ВЫПОЛНЕНИЕ И ОБЪЕДИНЕНИЕ ИНСТРУКЦИЙ
Любая инструкция, заданная неточными терминами, может давать основа-
ния для ее различных интерпретации В ряде случаев эти интерпретации счи-
таются возможными в большей или меньшей степени; тогда они образуют
нечеткое множество интерпретаций. Например, в инструкции ’’Пройти рас-
стояние до перекрестка примерно 100 м” — указание ’’примерно 100 м” при-
водит к рассмотрению нечеткого множества интерпретаций относительно
заданной среды. Нечеткое множество значений расстояния, совместимых с
указанием ’’примерно 100 м”, индуцирует нечеткое множество ’’допустимых
перекрестков”. В более общем плане будем говорить о нечетком множестве
возможных интерпретации.
Чтобы выполнить некоторую инструкцию, следует выбрать одну из ее ин-
терпретаций. Для простоты здесь мы ограничимся рассмотрением последова-
тельно выполняемых инструкций, т. е. условных или безусловных инструк-
ций, выполняемых без нарушения заданной последовательности. В случае,
когда не существует или не остается никакой интерпретации для некоторой
инструкции с рангом п, надо воспользоваться интерпретацией, выбранной
для выполнения инструкции ранга п — 1. Если новая интерпретация сохраня-
ется для инструкции с рангом п — 1, тогда вновь берется инструкция п.
В противном случае следует взять последнюю интерпретацию, выбранную для
выполнения инструкции с рангом п — 2, и т. д. В этих условиях либо можно
увязать воедино множество инструкций рассматриваемой последовательно-
сти (тогда окажется возможным интерпретировать всю последовательность
полностью), либо будет исчерпанным множество интерпретаций, связанных
с каждой инструкцией. Таким образом, данная последовательность не интер-
претируема в целом.
Определение множества интерпретаций для некоторой инструкции. Каж-
дая инструкция в зависимости от ее типа может содержать неточные операн-
ды различного рода Так, в примере, изложенном выше, находим неточные
операнды, относящиеся к расстояниям и направлениям. Инструкции содер-
жат ссылки на составляющие среды, которые требуется идентифицировать.
Так, инструкция. ’’Дойти до азиатского ресторана, расположенного пример-
но в 50 м” — обязывает провести поиск всех ’’точек”, которые одновремен-
но с достаточной степенью совместимы с расстоянием ’’примерно 50 м” и ха-
рактеристикой ’’азиатский ресторан” Условие ’’одновременно” означает,
что должны свертываться степени совместимости, соответствующие каждой
составляющей задания, причем для этого будет использоваться оператор min.
В данном примере степень соответствия характеризует возможность того,
что рассматриваемая ’’точка” соответствует определению, заданному в ин-
струкции Степень совместимости считается достаточной, если она превыша-
ет некоторый установленный порог.
Для некоторого задания в данной среде существует (возможно, и пустое)
множество интерпретаций, имеющих степень совместимости с этим заданием
выше пороговой. Бывает, что в процессе выполнения инструкции имеющаяся
информация о среде составляет лишь некоторую часть этого множества ин-
терпретации, что мы увидим из примера в разд. 5.2.2.
170
Задача выбора интерпретации для некоторой инструкции. Когда требует-
ся выбрать одну интерпретацию из известного множества возможных интер-
претаций, естественно учитывать степень совместимости, связываемую с каж-
дой из них. Кроме того, конкретному приложению может ставиться в соот-
ветствие своя стоимость выбора интерпретации. Эффективный выбор кон-
кретной интерпретации осуществляется в результате совместного учета сте-
пеней совместимости и стоимостей с помощью некоторой эвристики, подхо-
дящей к данной предметной области.
Проблема временного прерывания выполнения инструкции. Когда извест-
ное множество 1(п) возможных интерпретаций рассматриваемой инструкции
с рангом п либо пусто, либо исчерпано (т е не удалось выполнить инструк-
цию с рангом n + 1 на базе какой-то одной из интерпретаций, содержащихся в
множестве 1(п) , следует пересмотреть сам процесс определения 1(п)
либо таким образом, чтобы, не отказываясь от выполнения предыду-
щих инструкций, получить новые, пока еще неизвестные возможные ин-
терпретации инструкции с рангом п;
либо пересмотреть предыдущие инструкции случай возврата назад.
5 2 2 ИЛЛЮСТРАЦИЯ
На рис. 5 3 представлена среда, в которой робот, первоначально находив-
шийся в точке (0, 0) (и ориентированный по стрелке), должен пройти мар-
шрут, описываемый следующей инструкцией
(ДОСТИЧЬ (ЦЕЛЬ ПЕРЕКРЕСТОК) (РАССТОЯНИЕ ОКОЛО 100 М))
(ПОВЕРНУТЬ НАПРАВО)
(ДОСТИЧЬ (ЦЕЛЬ - АЗИАТСКИЙ РЕСТОРАН) (РАССТОЯНИЕ ОКОЛО 50 М))
(ПОВЕРНУТЬ НЕМНОГО ВЛЕВО)
(ДОСТИЧЬ (ЦЕЛЬ ПОЧТОВЫЙ ЯЩИК СЛЕВА) (РАССТОЯНИЕ ОТ 10 ДО
20 М))
Символом • обозначены перекрестки
В,-китайские рестораны
Ввьетнамские рестораны
в3 -французкие рестораны
А - автошкола
В - почтовые ящики
С - парикмахерские
Рис 5.3 Маршрут робота в неопределенной среде
171
Общие характеристики. Программа, приведенная в приложении 5.2, поря-
док выполнения которой представлен ниже, отражает поведение робота в
следующих условиях
По мере продвижения робот набладает среду и при необходимости
пользуется двумя ’’датчиками” Один из них обеспечивает интерпрета-
ции инструкций типа ’’ДОСТИЧЬ”: характер ориентиров (перекрестки,
рестораны, возможно, относящиеся к тому или иному разряду), а так-
же расстояние от этих ориентиров до робота, а другой обеспечивает ин-
терпретации инструкций типа ’’ПОВЕРНУТЬ”- направление достижи-
мых путей, а также расстояния, отделяющие робот от подходов к этим
путям.
Применение таких датчиков в среде можно имитировать человек-опе-
ратор выдает требуемую информацию (при работе системы в режиме
консультаций, представленном ниже, оператор отвечает на вопросы, за-
даваемые системой).
Каждый из датчиков имеет ограниченный радиус действия, фиксируе-
мый до начала функционирования программы робота. Робот учитывает
эту ограниченность радиуса действия датчиков Робот прибегает к ис-
пользованию первого датчика, лишь имея на то достаточное основание,
т. е когда он достиг области, совместимой с теми расстояниями, кото-
рые указываются в инструкциях типа ’’ПРОЙТИ”, причем учитывается
радиус действия датчика. Более того, исходя из требований задания ро-
бот сам ограничивает полезную зону исследований с учетом радиуса
действия первого датчика (так как за этими пределами мы не полу-
чим никакой в достаточной степени совместимости интерпретации)
Представление неточной информации. На рис 5 4, а, б, в изображены не-
четкие множества, соответствующие определениям расстояний, ориентаций
и типов ресторанов, использованных в ранее приведенном маршруте Значе-
ния расстоянии или ориентаций, полученные с помощью датчиков, полагают-
ся точными Что касается встречаемых ресторанов, то они считаются точно
соответствующими одному из характерных типов ресторанов, а множества
таких характерных типов образует базовое множество, на котором и форму-
лируется задание На рис 5 4, я, б под каждым нечетким множеством, опре-
деленном в непрерывном универсальном множестве, приводится его приня-
тое в программе представление в виде четверок (а, Ь. Да. ДЬ). Аналогичное
представление в виде набора степеней возможности, соответствующих п аль-
тернативам и выраженных в процентах, дается под нечетким множеством,
определенным на рис. 5 4, в в дискретном универсальном множестве харак-
терных типов ресторанов А — арабский, К — китайский, Ф — французский,
И - итальянский, В — вьетнамский
Примеры. В рассматриваемых сообщениях, каждая из пяти инструкций,
образующих заданный маршрут, называется ИНСТРУКЦИЯ 1, ИНСТРУК-
ЦИЯ 2 и т.д.
Первый маршрут для прохождения (приведен ранее)
1	> (СТАРТ) (ПРОМАР)
♦Я ПРИСТУПАЮ К ВЫПОЛНЕНИЮ ИНСТРУКЦИИ 1 *
172
От 10 до 20м (10 20 5 5)	От 100 до 150л> (100 150 ТО 10)
-60	-Ь5	-15	0 граду-
Немного влево (~Ь5 -151515) сы
-150 -120	-60 -30 0 граду-
Налево (-120-50 30 30)
в)
Приближенные представления рассто-
, направления (б), представление по-
нятия ’’азиатский ресторан’ (в)
173
2	Я ПРОДВИГАЮСЬ ВПЕРЕД НА 85 М
3	Я ОСМАТРИВАЮ ОКРЕСТНОСТИ ДО 30 М
4	(ПЕРЕКРЕСТОК)9
5	9 ((ПЕРЕКРЕСТОК (РАССТОЯНИЕ 25 М) ))
6	ОЦЕНКА ((100 (РАССТОЯНИЕ 110))
7	Я ПРОДВИГАЮСЬ ВПЕРЕД НА 25 М (ВОЗМОЖН 100)
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ УСПЕХ ИНСТРУКЦИЯ 1 ТАК КАК
8	(Я ДОСТИГ ПЕРЕКРЕСТКА РАССТОЯНИЕ ПО М)
*Я ПРИСТУПАЮ К ВЫПОЛНЕНИЮ ИНСТРУКЦИИ 2*
9	Я ОСМАТРИВАЮ ОКРЕСТНОСТЬ В РАДИУСЕ ДО 20 М
10	ПУТИ ДЛЯ ПОВОРОТА9
11	9 ((150 (РАССТОЯНИЕ 0)) (130 (РАССТОЯНИЕ 0))
9 (90 (РАССТОЯНИЕ 0)) (-90 (РАССТОЯНИЕ 0))
9 (30 (РАССТОЯНИЕ 10)))
12 ОЦЕНКА ((110 90 (РАССТОЯНИЕ 0)) (75 130 (РАССТОЯНИЕ 0))
(100 30 (РАССТОЯНИЕ 10)))
13	Я ПОВОРАЧИВАЮ НА 90 ГРАД (ВОЗМОЖН 100)
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ УСПЕХ ИНСТРУКЦИЯ 2 ТАК КАК
(Я ПОВЕРНУЛ НА 90 ГРАД)
*Я ПРИСТУПАЮ К ВЫПОЛНЕНИЮ ИНСТРУКЦИИ 3*
14	Я ПРОДВИГАЮСЬ ВПЕРЕД НА 37 М
15	Я ОСМАТРИВАЮ ОКРЕСТНОСТЬ В РАДИУСЕ 26 М
’6	(АЗИАТСКИЙ РЕСТОРАН)9
17	((ФРАНЦУЗСКИЙ РЕСТОРАН (РАССТОЯНИЕ 13)))
18	НУЛЕВАЯ ОЦЕНКА
ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ НЕУДАЧА ИНСТРУКЦИЯ 3
Я ОТСТУПАЮ НАЗАД НА 37 М
*Я ПЕРЕСМАТРИВАЮ ИНСТРУКЦИЮ 2*
19	Я ПОВОРАЧИВАЮ НА 40 ГРАД (ВОЗМОЖН 75)
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ УСПЕХ ИНСТРУКЦИЯ 2 ТАК КАК
(Я ПОВЕРНУЛ НА 130 ГРАД)
*Я ПЕРЕСМАТРИВАЮ ИНСТРУКЦИЮ 3*
Я ПРОДВИГАЮСЬ ВПЕРЕД НА 37 М
Я ОСМАТРИВАЮ ОКРЕСТНОСТЬ В РАДИУСЕ 26 М
(АЗИАТСКИЙ РЕСТОРАН) 9
9 НЕТ
НУЛЕВАЯ ОЦЕНКА
ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ НЕУДАЧА ИНСТРУКЦИЯ 3
Я ОТСТУПАЮ НАЗАД НА 37 М
*Я ПЕРЕСМАТРИВАЮ ИНСТРУКЦИЮ 2*
20 Я ПОВОРАЧИВАЮ НА 130 ГРАД
Я ПРОДВИГАЮСЬ ВПЕРЕД НА 10 М
Я ПОВОРАЧИВАЮ НА 30 ГРАД (ВОЗМОЖН 100)
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ УСПЕХ ИНСТРУКЦИЯ 2 ТАК КАК
(Я ПОВЕРНУЛ НА 30 ГРАД)
174
*Я ПЕРЕСМАТРИВАЮ ИНСТРУКЦИЮ 3*
Я ПРОДВИГАЮСЬ ВПГ.РГД НА 37 м
Я ОСМАТРИВАЮ ОКРЕСТНОСТЬ В РАДИУСЕ 26 М
(АЗИАТСКИЙ РЕСТОРАН) 9
21 9 ( (КИТАЙСКИЙ РЕСТОРАН (РАССТОЯНИЕ 8) )
(ВЬЕТНАМСКИЙ РЕСТОРАН (РАССТОЯНИЕ 18)))
ОЦЕНКА ((100 КИТАЙСКИЙ (РАССТОЯНИЕ 45) ) (100 ВЬЕТНАМСКИЙ
(РАССТОЯНИЕ 55)))
Я ПРОДВИГАЮСЬ ВПЕРЕД НА 8 М (ВОЗМОЖН 100)
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ УСПЕХ ИНСТРУКЦИЯ 3 ТАК КАК
(Я ДОСТИГ КИТАЙСКОГО РЕСТОРАНА РАССТОЯНИЕ 45 М)
Я ПРИСТУПАЮ К ВЫПОЛНЕНИЮ ИНСТРУКЦИИ 4
Я ОСМАТРИВАЮ ОКРЕСТНОСТЬ В РАДИУСЕ 20 М
ПУТИ ДЛЯ ПОВОРОТА9
9	((-90 (РАССТОЯНИЕ 10))
9	( — 45 (РАССТОЯНИЕ 18)))
ОЦЕНКА ((100 - 45 (РАССТОЯНИЕ 18)))
Я	ПРОДВИГАЮСЬ ВПГРЕД НА 18 М
Я ПОВОРАЧИВАЮ НА -45 ГРАД (ВОЗМОЖН 100)
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ УСПЕХ ИНСТРУКЦИЯ 4 ТАК КАК
(Я ПОВЕРНУЛ НА -45 ГРАД)
*Я ПРИСТУПАЮ К ВЫПОЛНЕНИЮ ИНСТРУКЦИИ 5*
Я ПРОДВИГАЮСЬ ВПЕРЕД НА 8 М
Я ОСМАТРИВАЮ ОКРЕСТНОСТЬ В РАДИУСЕ 14 М
22 (ПОЧТОВЫЙ ЯЩИК СЛЕВА) 9
23 9 (ПОЧТОВЫЙ ЯЩИК 90 (РАССТОЯНИЕ 13))
ОЦЕНКА ((100 - 90 (РАССТОЯНИЕ 21)))
Я ПРОДВИГАЮСЬ ВПЕРЕД НА 13 М (ВОЗМОЖН 80)
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ УСПЕХ ИНСТРУКЦИЯ 5 ТАК КАК
(Я ДОСТИГ ПОЧТОВОГО ЯШИКА -90 РАССТОЯНИЕ 21 М)
МАРШРУТ ПОЛНОСТЬЮ ПРОЙДЕН
Второй маршрут для прохождения
24 (ДОСТИЧЬ (ЦЕЛЬ ПЕРЕКРЕСТОК) (РАССТОЯНИЕ ОТ 100 ДО 150 М))
(ПОВЕРНУТЬ НЕМНОГО ВПРАВО)
(ДОСТИЧЬ (ЦЕЛЬ АЗИАТСКИЙ РГСТОРАН) (РАССТОЯНИЕ ОКОЛО 5ОМ))
(ПОВЕРНУТЬ НАЛЕВО)
(ДОСТИЧЬ (ЦЕЛЬ ПОЧТОВЫЙ ЯЩИК СЛЕВА) (РАССТОЯНИЕ ОТ 10
ДО 20 М))
9 (EXITIN)
Я ПРИСТУПАЮ К ВЫПОЛНЕНИЮ ИНСТРУКЦИИ 1
25 Я ПРОДВИГАЮСЬ ВПЕРЕД НА 95 М
26 Я ОСМАТРИВАЮ ОКРЕСТНОСТИ ДО 40 М
(ПЕРЕКРЕСТОК)9
175
27 > ((ПЕРЕКРЕСТОК (РАССТОЯНИЕ 15)) (ПЕРЕКРЕСТОК (РАССТОЯНИЕ 25)))
28 ОЦЕНКА (100 (РАССТОЯНИЕ ПО)) (100 (РАССТОЯНИ1 120))
29 Я ПРОДВИГАЮСЬ ВПЕРЕД НА 15 М (ВОЗМОЖН 100)
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ УСПЕХ ИНСТРУКЦИЯ 1 ТАК КАК
(Я ДОСТИГ ПЕРЕКРЕСТКА РАССТОЯНИЕ 110 М)	'
Я ПРИСТУПАЮ К ВЫПОЛНЕНИЮ ИНСТРУКЦИИ 2
Я ОСМАТРИВАЮ ОКРЕСТНОСТИ ДО 20 М
ПУТИ ДЛЯ ПОВОРОТА9
9 ((150 (РАССТОЯНИЕ 0)) (130 (РАССТОЯНИЕ 0))
9 (90 (РАССТОЯНИЕ 0)) ( 90 (РАССТОЯНИЕ 0))
9 (30 (РАССТОЯНИЕ 10))
30 ОЦЕНКА ((100 30 (РАССТОЯНИЕ 10)))
31 Я ПРОДВИГАЮСЬ ВПЕРЕД НА 10 М
Я ПОВОРАЧИВАЮ НА 30 ГРАД (ВОЗМОЖН 100)
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ УСПЕХ ИНСТРУКЦИЯ 2 ТАК КАК
(Я ПОВЕРНУЛ НА 30 ГРАД)
Я ПРИСТУПАЮ К ВЫПОЛНЕНИЮ ИНСТРУКЦИИ 3
Я ПРОДВИГАЮСЬ ВПЕРЕД НА 37 М
Я ОСМАТРИВАЮ ОКРЕСТНОСТЬ В РАДИУСЕ 26 М
(АЗИАТСКИЙ РЕСТОРАН)9
9	((КИТАЙСКИЙ РЕСТОРАН (РАССТОЯНИЕ 8))
9	(ВЬЕТНАМСКИЙ РЕСТОРАН (РАССТОЯНИЕМ)))
ОЦЕНКА ((100 КИТАЙСКИЙ (РАССТОЯНИГ 45))
(100 ВЬЕТНАМСКИЙ (РАССТОЯНИЕ 55)))
Я ПРОДВИГАЮСЬ ВПЕРЕД НА 8 М (ВОЗМОЖН 100)
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ УСПЕХ ИНСТРУКЦИЯ 3 ТАК КАК
(Я ДОСТИГ КИТАЙСКОГО РЕСТОРАНА РАССТОЯНИЕ 45 М)
Я ПРИСТУПАЮ К ВЫПОЛНЕНИЮ ИНСТРУКЦИИ 4
Я ОСМАТРИВАЮ ОКРЕСТНОСТЬ В РАДИУСЕ 20 М
ПУТИ ДЛЯ ПОВОРОТА9
9(( 90 (РАССТОЯНИЕ 10)) ( 45 (РАССТОЯНИЕ 18)))
ОЦЕНКА ((100 - 90 (РАССТОЯНИЕ 10)) (50 - 45 (РАССТОЯНИЕ 18)))
Я ПРОДВИГАЮСЬ ВПЕРЕД НА 10 М
32 Я ПОВОРАЧИВАЮ НА 90 ГРАД (ВОЗМОЖН 100)
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ УСПЕХ ИНСТРУКЦИЯ 4 ТАК КАК
(Я ПОВЕРНУЛ НА -90 ГРАД)
Я ПРИСТУПАЮ К ВЫПОЛНЕНИЮ ИНСТРУКЦИИ 5
Я ПРОДВИГАЮСЬ ВПЕРЕД НА 8 М
Я ОСМАТРИВАЮ ОКРЕСТНОСТИ ДО 14 М
(ПОЧТОВЫЙ ЯЩИК СЛЕВА) 9
9 НЕТ
НУЛЕВАЯ ОЦЕНКА
ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ НЕУДАЧА ИНСТРУКЦИЯ 5
Я ОТСТУПАЮ НАЗАД НА 8 М
Я ПЕРЕСМАТРИВАЮ ИНСТРУКЦИЮ 4
176
Я ПОВОРАЧИВАЮ НА 90 ГРАД
Я ПРОДВИГАЮСЬ ВПЕРЕД НА 8 М
33 Я ПОВОРАЧИВАЮ НА 45 ГРАД (ВОЗМОЖН 50)
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ УСПЕХ ИНСТРУКЦИЯ 4 ТАК КАК
(Я ПОВЕРНУЛ НА 45 ГРАД)
Я ПЕРЕСМАТРИВАЮ ИНСТРУКЦИЮ 5
Я ПРОДВИГАЮСЬ ВПЕРЕД НА 8 М
Я ОСМАТРИВАЮ ОКРЕСТНОСТЬ В РАДИУСЕ 14 М
(ПОЧТОВЫЙ ЯЩИК СЛЕВА) ’
> ( (ПОЧТОВЫЙ ЯЩИК 90 (РАССТОЯНИЕ 13)))
ОЦЕНКА ((100 -90 (РАССТОЯНИЕ 21)))
Я ПРОДВИГАЮСЬ ВПЕРЕД НА 13 М (ВОЗМОЖН 80)
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ УСПЕХ ИНСТРУКЦИЯ 5 ТАК КАК
(Я ДОСТИГ ПОЧТОВОГО ЯЩИКА 90 РАССТОЯНИЕ 21 М)
МАРШРУТ ПОЛНОСТЬЮ ПРОЙДЕН
Комментарии 1. Запуск программы ПРОхождение МАРшрута (ПРОМАР;
в оригинале EXecut ion d’ITINeraire)
2.	В самом деле до перемещения на 85 м бесполезно ’’смотреть”, имеется
ли ЦЕЛЬ ПЕРЕКРЕСТОК, поскольку в этом случае мы не получим достаточ-
но высокую степень возможности (т. е. степень, превышающую порог ПОРОГ
в программе, фиксированный от 0,4 до 1 или от 40 до 100 в приведенной реа-
лизации) для совместимости между пройденным расстоянием и заданием
РАССТОЯНИЕ ОКОЛО 100 М.
3.	Глубина поля зрения датчика, связанного с инструкциями ДОСТИЧЬ...,
ограничена в данной реализации 40 м (см. ”РСН” в программе). Робот не
смотрит далее чем на 30 м, поскольку сверх этого значения полное пройден-
ное расстояние (свыше 85 + 30) не будет совместимым с РАССТОЯНИЕМ
ОКОЛО 100 М (см. определение ОКОЛО 100 М и значение ПОРОГ) .
4,	5. Для имитации датчика, связанного с инструкциями ДОСТИЧЬ, робот
запрашивает, имеется ли перекресток (на удалении до 30 м согласно преды-
дущему пункту), а оператор отвечает списком (здесь одноэлементным) от-
меченных перекрестков. Каждый элемент имеет вид (ПЕРЕСЕЧЕНИЕ (РАС-
СТОЯНИЕ (значение в м>)).
6.	Робот оценивает отмеченные перекрестки (здесь единственный) в пер-
вую очередь по самым близким расстояниям, а затем по степени совмести-
мости с заданием (здесь ОКОЛО 100 М). Для каждого перекрестка сначала
приводится степень совместимости, потом расстояние.
7.	Робот совершает перемещение к перекрестку с лучшей оценкой (здесь
единственная возможность). После ’’ВОЗМОЖН:” находится результат свер-
тывания (с помощью операции mm) степеней совместимости каждого эле-
мента задания (здесь цель типа ПЕРЕКРЕСТОК и РАССТОЯНИЕ) с соответ-
ствующим элементом выполненного действия.
8.	Робот прошел 85 + 25 = ПО м (см достигнутое положение на схеме)
9	Глубина поля зрения датчика, связанного с инструкциями ПОВЕРНУТЬ,
177
который служит для определения ближайших путей, куда может повернуть
робот, ограничена в данной реализации 20 (см. ПУТИ в программе) .
10,	11. Для имитации датчика, связанного с инструкциями ’’ПОВЕРНУТЬ”
робот запрашивает, имеются ли пути доя поворота (менее чем в 20 м спере-
ди согласно предыдущему пункту) Оператор отвечает, приводя список, в
котором каждый элемент имеет вид (< угол поворота в градусах > (РАССТО-
ЯНИЕ ( значение в м > )). Здесь, например, пути 150°, 130°, 90°, 30° (впра-
во) и -90° (влево); путь с поворотом на 30° связан с продвижением вперед
на 10 м.
12.	Робот оценивает доступные пути (здесь их пять) в первую очередь по
расстоянию, а затем по степени совместимости с инструкцией (сравнение
углов поворота с заданием ВПРАВО; исключение тех путей, значения кото-
рых ниже ПОРОГА, т. е. 40). Для каждого оцениваемого пути приводятся
степень совместимости, угол поворота, а затем расстояние.
13.	Робот поворачивает на путь с наилучшей оценкой. После ВОЗМОЖН:
находится степень совместимости между заданным и выбранным направле-
ниями.
14,	15. Те >fte основания, что и в пп. 2 и 3 соответственно.
16,	17. Подобно пп. 4и 5. Оператор, как и в п. 5, указывает тип цели (здесь
РЕСТОРАН) вместе с одним или несколькими атрибутами (здесь один атри-
бут — ФРАНЦУЗСКИЙ), аналогичными атрибутам, содержащимся в запросе,
а также с информацией о расстоянии.
18.	Подобно п. 6, но единственный найденный РЕСТОРАН не подходит.
19.	Чтобы отправиться по второму пути, описанному в п. 11, достаточно
(после возвращения к перекрестку) повернуть на 40°. После метки ВОЗ-
МОЖН стоит степень 75, указываемая при оценке направлений.
20.	Чтобы отправиться по третьему пути, описанному в п. 11, надо (после
отступления назад) снова попасть на исходный путь (под углом в — 130° от
того пути, по которому робот вернулся) и продвинуться по нему на 10 м.
21.	Подобно п. 17. Здесь два ресторана находятся на удалении менее 26 м.
22,	23. Подобно пп. 16 и 17. Типовая цель: ПОЧТОВЫЙ ЯЩИК; атрибут:
—90 (здесь не рассматриваются другие варианты ответа, кроме —90 или 90:
не учитывается угол зрения, под которым виден ориентир) .
24. Второй маршрут для прохождения (те же отправной пункт и среда).
Отметим, что по отношению к первому маршрут слегка изменены требова-
ния в инструкциях 1, 2 и 4.
25 — 29. Представляют собой варианты 2, 3, 5, 6 и 7 соответственно.
30, 31. На этот раз ввиду задания НЕМНОГО ВПРАВО (вместо НАПРАВО)
пути, ведущие к первому перекрестку, отбрасываются: робот сразу двигает-
ся до второго перекрестка (во избежание возврата назад).
32, 33 На этот раз происходит возвращение назад (см. п. 32), которого
удалось избежать при прохождении первого маршрута, потому что он был
точнее задан. ’’ПОВЕРНУТЬ НЕМНОГО ВЛЕВО” вместо ’’ПОВЕРНУТЬ
НАЛЕВО”.
178
5 2 3 ЗАДАЧИ, ОТНОСЯЩИЕСЯ К НЕЧЕТКОМУ ПРОГРАММИРОВАНИЮ
В разд. 5.2.1 и 5.2.2 были изложены основные принципы составления и вы-
полнения нечетких инструкций, а также приведены соответствующие иллю-
страции. В этом разделе кратко рассмотрены задачи, связанные с использо-
ванием переменных или нечетких порогов, с наличием неточной информации
о среде, с исчислением нечеткозначных аргументов, которые присутствуют
в нечетких инструкциях, требующих четкого выполнения, или, наконец, с
наличием условных нечетких инструкций в нечеткой программе.
Использование ’’изменяемых” или нечетких порогов. В предыдущем ил-
люстративном примере в качестве возможных рассматривались лишь те ин-
терпретации, у которых степень совместимости с заданием была выше неко-
торого предварительно установленного порога, а все другие интерпретации
отбрасывались. Затем различные степени совместимости оставшихся интер-
претаций использовались при проведении выбора единственной интерпрета-
ции. Можно было бы рассмотреть вариант использования ’’изменяемых” по-
рогов. Идея заключается в том, чтобы сначала взять повышенный порог в
интересах сужения множества рассматриваемых интерпретаций, например,
вести поиск ’’перекрестка, расположенного примерно в 100 м”, прежде всего
в зоне малого отличия расстояния от значения 100 м, а затем в случае отказа
от первоначально выбранной интерпретации при необходимости снизить этот
порог с целью расширения множества рассматриваемых интерпретаций.
Недостаток использования порогов состоит в появлении разрывов функ-
ций совместимости для интерпретации нечетких инструкций, в то время как
введение понятия нечеткого множества служит как раз для преодоления та-
ких разрывов. Исправить этот недостаток можно, применяя нечеткие поро-
ги. Нечеткий nogor s' можно определить как нечеткий интервал (Ь-К)-типа
в виде четверки s = (s, 1,е, 0)LR (см. разд. 2.3.1), которая интерпретирует-
ся следующим образом.
Пусть F — нечеткое множество, соответствующее заданию, а со — одна из
интерпретаций этого задания Нечеткий порог сводится к преобразованию
Др в Др>, такому, что Др> = д~ о д[; Легко убедиться в том, что
если gp(co) > s, то Др<(со) = 1 (интерпретации, имеющие уровень сов-
местимости с заданием F, по меньшей мере равный s, считаются эк-
вивалентными) ;
если Др (со) < s - е, то Др’(со) = 0 (интерпретации, имеющие уровень
совместимости с заданием F меньше s — е, отбрасываются) ;
промежуточные уровни совместимости изменяются в большей или мень-
шей степени в зависимости от вида функции L
Пороговый уровень X, понимаемый в обычном смысле, выражается посред-
ством s' = (1, 1, 1 - X, 0) с L(u) = 1 - (1 - X)u, 0 < X < 1, если u > 1, и
L(u) = 0, если u > 1. Эффект разрывности обычных порогов можно свести
на нет, выбирая в качестве L непрерывную функцию, удовлетворяющую
условию lim L(u) =0.
u -> 1
Неточное восприятие среды. В разд. 5.2.1 и 5.2.2 неявно предполагалось,
что человек или робот имеет правильное и точное представление о своей сре-
179
о —•—•—*-
АСЕ
„ Европейский “
„По- Видимому, китайский “
Рис 5.5
де, т е для вышеприведенного примера он способен точно определить значе-
ния расстояний и ориентации в различных направлениях, а встречающиеся
рестораны также считаются принадлежащими к одному из характерных ти-
пов ресторанов. И только лишь указанные в инструкции расстояния, направ-
ления и ориентиры (в данном случае рестораны) полагались неточными.
Теперь предположим, что расстояния и направления могут оцениваться не-
ючно или нечетко, причем эти оценки представляются с помощью функции
распределения возможностей. Точно так же рестораны могут на вид не пол-
ностью соответствовать одному из выделенных характерных типов, а, ско-
рее, с разной степенью удовлетворять нескольким из них. Тогда восприятие
конкретного рассматриваемого ресторана можно представить функцией рас-
пределения возможностей на множестве характерных типов. Например, рес-
торан, который можно отнести к ’’европейскому”, и ресторан, воспринимае-
мый как ”по-видимому, китайский”, соответствуют функциям распределе-
ния возможностей типа изображенных на рис. 5.5
Степень совместимости неточной оценки, представленной функцией рас-
пределения возможностей дЕ, с неточным заданием, представленным функ-
цией распределения возможностей ps (причем дЕ и ps определены в одном и
том же базово/и множестве U), можно оценить с помощью двух скалярных
МеР степени возможности того, что оценка соответствует заданию, опреде-
ляемой в виде
(5 5)
степени необходимости того (или, если угодно, степени уверенности в
том), что оценка соответствует заданию, определяемой в виде
N(S, Е) = mfj тах(д5(и), 1 -дЕ(и)).
(5.6)
Эти две величины выражают оценку соответственно возможности и необ-
ходимости нечеткого события (см разд 1.7) Мера возможности П (S, Е)
оценивает величину общей части функций распределения возможностей
gs и дЕ, а мера необходимости N(S, Е) оценивает степень ’’полного перекры-
тия” распределения дЕ распределением ps . Имеем N(S, Е) < I1(S, Е) Когда
оценка Е является точной, т е. соответствует одноточечному множеству {и0 }
в U, тогда, разумеется, получаем N(S, Е) = П(S, Е) =д§(и0),что сводится к
случаю, рассмотренному в разд. 5.2.1 и 5.2 2
180
Мера возможности П (S, Е) и мера необходимости N(S, Е) играют важнх'ю
роль в ’’фильтрации” базы данных, содержащей неточную или нечеткую ин-
формацию, которая осуществляется посредством некоторого фильтра, пред
ставляющего собой процедуру опроса и в случае необходимости содержаще
го неточность и нечеткость (см. также работу [3] и гл. 6 настоящей книги)
В случае неточного восприятия среды для оценки совместимости рассма
триваемой интерпретации с заданием у нас имеются два числа n(S Е) и
N(S, Е) вместо одного при точном восприятии среды. Различные рассма
триваемые интерпретации можно классифицировать по степени их воз
можности, причем для разделения интерпретаций, имеющих равные степени
возможности, используется показатель уверенности В частности, когда зада-
ние является неточным, но четким (т е когда S — обычное подмножество
базового множества U) , мера необходимости N (S, Е) не равна 0 лишь тогда
когда мера возможности П (S, Е) равна 1 Следует также отметить что сге
пень необходимости оценивает уверенность в том, что рассматриваемая ин
терпретация удовлетворяет заданию, а отнюдь не уверенность в том что эта
интерпретация ’’хороша”, т. е. позволяет успешно выполнить последующие
инструкции В самом деле может существовать несколько различных интер-
претаций, вполне совместимых с одним и тем же заданием
Процедуру выполнения инструкций, изложенную в разд. 5.2.1 и проил-
люстрированную на примере в разд 5 2.2, можно расширить на случай неточ-
ного восприятия среды, воспользовавшись в качестве основного критерия
для упорядочения интерпретаций мерой возможности П (S Е). причем здесь
мера необходимости N(S, Е) берется лишь как второстепенный критерий
для уточнения этого порядка. В данном примере если оценки расстояний не
точны, то это может привести к необходимости рассмотрения большегс чис
ла перекрестков, которые с учетом имеющейся информации можно считать
находящимися на заданном расстоянии. Вообще говоря, неточность оценки
среды может только увеличивать общее числе интерпретаций некоторой
инструкции.
Программа, приведенная в приложении, позволяет вычислять степени воз
можности нечеткого события, определенного на дискретном носителе, напри-
мер в случае неточности восприятия характера ресторана
Неточные задания, полученные расчетным путем. В рассмотренном в
разд 5 2 2 примере неточные задания, представленные с помощью функций
распределения возможностей, в явном виде присутствовали в инструкциях
Вообще говоря, эти задания можно получить и расчетным путем в виде ин-
струкций, включающих нечеткие операнды или функции, а в результате да-
ющих функцию распределения возможностей. В частности, благодаря резуль-
татам, полученным в разделе 2 и позволяющим без труда совершать опера
ции над нечеткими числами, машинное выполнение инструкций, включая рас
четы с неточными заданиями, не представляет особых сложностей, кроме,
быть может, правил условного ветвления Этот вопрос кратко изучим ниже
Например, рассмотрим случай проверки следующего условия если X >
> Y, то принимается подход 1;
в противном случае принимается подход 2, где X и Y - две нечеткие вели
18»
чины. Возможность Pos(X > Y) того, что величина X больше или равна вели-
чине Y, можно вычислить, как, впрочем, и возможность противоположного
события Pos(Y > X) . Имеем
Pos(X>Y) = sup	min(тгх(u) , 7Ty(v)),	(5.7)
U, V U > V
И
Pos(Y>X) = sup mm(7rx(u), tty(v)) ,	(5.8)
u, v u < v
где 7ГХ = Цр и тгу = Mg — функции распределения возможностей, представля-
ющие нечеткие множества F и G, которые характеризуют более или менее
возможные значения переменных X и Y соответственно (см. разд. 3.2.2) . От-
метим, что либо Pos(X > Y) =1, либо Pos(Y > X) =1, поскольку из двух
противоположных альтернатив по крайней мере одна должна быть вполне
возможной. Предположим, что подход 1 состоит в вычислении величины Z,
результирующее значение которой представляется в виде функции распре-
деления возможностей ttz, а подход 2 соответствует другому способу вычис-
ления величины Z, дающему функцию распределения возможностей тг^.
Тогда функция распределения возможностей, ограничивающая множество
более или менее возможных значений величины Z, в случае подхода 1 задает-
ся формулой
ttz (со) = mm (Pos (X > Y), ttz (co) ),	(5.9)
а в случае подхода 2 — формулой
ttz(co) = mm(Pos(Y >X) , 7rz(со)) .	(5.10)
Более того, если в подходах 1 или 2 берутся значения переменных X или Y,
то необходимо, чтобы функции распределения возможностей, используемые
при вычислении ttz и ttz, были согласованными с ограничением X>Y (под-
ход 1) или с ограничением X < Y (подход 2). В случае подхода 1 воспользу-
емся формулой
^.измененная	, -.измененная-,,	/с ц\
"^Fn[G,+»];	-^G n (—», F)’	(511)
а в случае подхода 2 — формулой
измененная	, измененная _,,	/с п)
"х -% П (-~,G)’ Y	MGn(F,+=)’	' 2')
где нечеткие интервалы [G, +°°), (-<», F), (-<», G), (F, +°°) определены в
разд. 3 2 1, а операция пересечения определяется операцией mm. Если в
дальнейшем возникает необходимость в комбинировании результатов, по-
лученных в рамках подходов 1 и 2, следует воспользоваться операцией
объединения нечетких множеств (в смысле max), которыми выражаются
эти результаты.
Более подробное обсуждение вопросов, связанных с применением услов-
ных нечетких инструкций, читатель сможет найти в работах [1,5]. Мы же за-
вершим разд. 5.2.2, посвященный различным вопросам нечеткого програм-
мирования, кратким обсуждением правил нечеткого условного ветвления в
182
программе, которая не только вычисляет функции распределения возможно-
стей, но и осуществляет неточное задание выполняемых действий.
Условная инструкция в неточно заданной процедуре. В примере из разд. 5.2.2
в маршруте, задаваемом как последовательность нечетких инструкций, не
имеется ни одной инструкции типа условного ветвления. В общем случае не-
точно определенная процедура такого типа может содержать проверки вы-
полнения правил вида
если < условие), то < действие 1) ;
в противном случае < действие 2) .
Здесь само условие, а также действия 1 и 2 могут задаваться неточно или не-
четко. В этом случае следует поставить в соответствие действию 1 степень
возможности удовлетворения данного условия, а действию 2 — степень воз-
можности неудовлетворения того же условия. Если это условие имеет вид:
”Х есть S”, где - функция распределения возможностей на множестве U,
а дЕ - текущая оценка значения переменной X, то две указанные степени воз-
можности определяются соответственно как n(S, Е) и 1 - N(S, Е) (см. фор-
мулы (5 5) и (5 6)). В итоге выберем инструкцию, которая соответствует
действию с большей степенью возможности В случае неудачи при выполне-
нии этой или последующих инструкций (после анализа их различных воз-
можных интерпретаций) можно осуществить возврат назад к действию, ко-
торое первоначально было отброшено, несмотря на достаточную степень его
возможности.
5.2 4. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Как мы уже видели, выполнение неточно заданной процедуры осуществля-
ется на основе оценки совместимости восприятия текущей ситуации с зада-
нием. Помимо задачи выполнения программ оценка такой совместимости
играет важную роль при рассмотрении многих других задач искусственного
интеллекта, таких как.
а)	поиск правила или правил, применимых при анализе данной ситуации
в экспертной системе (когда правила могут быть неточно заданными, а ситу-
ации — неточно известными), а также вычисление возможности или необхо-
димости эффективного удовлетворения условий, входящих в правило: ’’ес-
ли , то ” (см. гл. 4);
б)	поиск в базе данных таких объектов, которые с требуемой степенью
возможности или необходимости удовлетворяют условиям, содержащимся
в запросе (см. гл. 6);
в)	идентификация в сценарии неточно описанных объектов (см. работы
[8,24]).
Кроме того, следует отметить, что в искусственном интеллекте различные
задачи связаны с разработкой вопросов составления маршрутов помимо
задачи выполнения последовательности нечетких инструкций в реальной сре-
де можно рассмотреть задачу нахождения неточно заданного маршрута на
карте (здесь вновь встречается проблема оценки совместимости) или задачу
генерирования последовательности инструкций для достижения некоторой
цели при наличии неточной карты (см. работу [12]).
183
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1	- ADAMO, J.M. L.P.L - A fuzzy programming language 1. Syntactic aspects.
Fuzzy Sets and Systems, 2, n° 2, 151-179 ; 2. Semantic aspects, ibidem,
3, n° 3, 261-289, 1980.
2	- AGUILAR-MARTIN, J., LOPEZ de MANTARAS, R. The process of classification
and learnina the meaning of linguistic descriptors of concepts. In :
"Approximate Reasoning in Decision Analysis" (M.M. Gupta, E. Sanchez,
eds.), North-Holland, 165-175, 1982.
3	- FARRENY, H., GHALLAB, M. Elements d'Intel 1igence Artifi-
cielle, Hermes, Paris, 1987.
4	- CAYROL, M., FARRENY, H., PRADE, H. Fuzzy pattern matching. Kybernetes,
1_1,	103-116, 1982.
5	- CHANG, C.L. Interpretation and execution of fuzzy programs. In: Fuzzy
Sets and Their Applications to Cognitive and Decision Processes (L.A.
Zadeh, K.S. Fu, M. Shimura, K. Tanaka, eds.), 191-218, Academic
Press, New York, 1975.
6	- FARRENY, H., PRADE, H. Search methods with imprecise estimates. Proc.
26*^ Int. Symposium on General Systems Methodology (L. Troncale, ed.),
442-446, 1982.
7	- FARRENY, H., PRADE, H. Faciliter la communication homme-machine : la
programmation floue. Le Nouvel Automatisme, 62-67, juin 1982.
8	- FARRENY, H., PRADE, H. On the problem of identifying an object in a
robotics scene from a verbal imprecise description. In : Advanced
Software in Robotics, (A. Danthine, M. Geradin, eds.). North-Holland,
343-351, 1983.
9	- GOGUEN, J.A. On fuzzy robot planning. In : Fuzzy Sets and Their Appli-
cations to Cognitive and Decision Processes. (L.A. Zadeh, K.S. Fu, K.
Tanaka, M. Shimura, eds.), Academic Press, 429-447, 1975.
10	- GONDRAN, M., MINOUX, M. Graphes et Algorithmes, Eyrolles, Paris, 1979.
11	- IMAOKA, H., TERANO, T., SUGENO, M. Recognition of linguistically ins-
tructed path to destination. In : Approximate Reasoning in Decision
Analysis, (M.M. Gupta, E. Sanchez, eds.), North-Holland, 341-350,
1982.
12	- Me DERMOTT, D., DAVIS, E. Planning routes through uncertain territory.
Artificial Intelligence, 22,	107-156, 1984.
13	- NILSSON, N. Problem-Solving Methods in Artificial Intelligence- Me
Graw Hill, New York, 1971
[Имеется перевод: Нильсон H. Искусственный интеллект/ Пер. с англ.
под ред. С. В. Фомина. — М.: Мир, 1973. — 270 с.]
184
14	- NILSSDN, N. Principles of Artificial Intelligence. Tioga Publish. ,Co.
Palo Alto, Ca., 1980.
[Имеется перевод- Нильсон H. Принципы искусственного интеллекта/
Пер. с англ, под ред. В. Л. Стефанюка. - М.: Радио и связь, 1985. -376 с.]
15	- PEARL, J. Heuristics - Intelligent Search Strategies for Computer
Problem Solving. Addison - Wesley, 1984.
16	- TANAKA, K., MIZUMOTO, M. Fuzzy programs and their execution. In*. Fuz-
zy Sets and Their Applications to Cognitive and Decision Processes
(L.A. Zadeh, K.S. Fu, M. Shimura, K. Tanaka, eds.), Academic Press,
41-66, 1975.
17	- URAGAMI, M., MIZUMOTO, M., TANAKA, K. Fuzzy robot controls. J. of Cy-
bernetics, 6,	39-64, 1976.
18	- WINSTON, P.H. Artificial Intelligence. J. Wiley, New York, 1977.
19	- YAGER, R.R. Robot planning with fuzzy sets. Robotica, J_,	41-
50, 1983.
[Имеется перевод: Уинстон П. Искусственный интеллект/ Пер. с англ,
под ред. Д. А. Поспелова. — М.: Мир, 19В0. — 520 с.]
20	- YAGER, R.R. Paths of least resistance in possibilistic production sys-
tems. Fuzzy Sets and Systems, 19, 121-132, 1986.
21	- ZADEH, L.A. Fuzzy algorithms. Information and Control,	12,
94-102, 1968.
22	- ZADEH, L.A. Outline of a new approach to the analysis of complex sys-
tems and decision processes. IEEE Trans, on Systems, Man and Cyberne-
tics, J, 28-44, 1973.
[ Имеется перевод: Заде Л. А. Основы нового подхода к анализу слож-
ных систем и процессов принятия решений. — В кн.: Математика сегод-
ня - М.: Знание, 1974. - С. 5-49.]
23	- ZADEH, L.A. Fuzzy sets as a basis for a theory of possibility. Fuzzy
Sets and Systems, _1, n° 1,	3-28, 1978.
24	- DUBOIS, D., 3AULENT, M.C. Shape understanding via fuzzy models. Proc.
2d IFAC/IFIP/IFORS/IEA Conference on the Analysis, Design and Evalua-
tion of Man-Machine Systems, Varese, Italy, 1985, 302-307.
СПИСОК ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1д Алиев Р. А., Ульянов С. В. Нечеткие алгоритмы и системы управления -М Знание,
1989 - 64 с
2д. Липский В. Комбинаторика для программистов -М Мир, 1988 - 213 с
185
Зд. Мелихов А.Н., Бернштейн Л. С., Коровин С. Я. Расплывчатые ситуационные модели
принятия решений. - Таганрог ТРТИ, 1986. - 93 с
4д. Налимов В. В. Вероятностная модель языка - М. Наука. 1979 - 304 с
5д Рейнгольд Э., Нивергельт Ю., Део Н. Комбинаторные алгоритмы теория и практи-
ка. - М Мир, 1980. - 476 с
6д. Тарасов В. Б., Чернышев А. П. О применении нечеткой математики в инженерной пси-
хологии//Психологический журнал, 1981 -Т 2, №4 - С 110-122
7д Industrial Applications of Fuzzy Control/Ed by M. Sugeno Amsterdam North-Holland
Publ Comp , 1985 - 270 p
ГЛАВА 6. ОБРАБОТКА НЕПОЛНОЙ ИЛИ НЕОПРЕДЕЛЕННОЙ
ИНФОРМАЦИИ И РАССМОТРЕНИЕ РАСПЛЫВЧАТЫХ ВОПРОСОВ
В БАЗЕ ДАННЫХ
Довольно часто данные, подлежащие обработке, характеризуются неточ-
ностью и неопределенностью. В самом деле, значение некоторого признака
(атрибута)1, характеризующего данный объект, может быть полностью неиз-
вестным, не полностью известным (т. е. известно лишь некоторое подмноже-
ство области определения признака) или неопределенным (например, когда
известна функция распределения вероятностей или функция распределения
возможностей, заданная на множестве значений признака) Кроме того, бы-
вает, что выбранный атрибут оказывается неприменимым к некоторым из
рассматриваемых объектов; в ряде случаев мы даже можем и не знать, су-
ществует ли реально данное значение атрибута или оно просто неизвестно.
Для анализа нулевых значений (в частности, случаев ’’полной неизвестно-
сти” и ’’неприменимости” атрибута было предложено несколько подходов
(см. работы [4, 11, 18, 19]). Так, в работе [19] рассмотрен случай не пол-
ностью известных значений, а в работах [22, 23] разработана специальная мо-
дель для исследования проблемы неполноты информации (не полностью из-
вестные или полностью неизвестные значения атрибута) (см. также [36]).
В статье [41] предложен статистический подход к моделированию неопреде-
ленной информации в базе данных В статье [37] развит метод работы с рас-
плывчатыми запросами (представленными с помощью нечетких множеств),
обращенными к точным данным. В последнее время с целью обеспечить
учет неопределенностей невероятностного характера были введены различно-
го рода нечеткие варианты реляционной алгебры [2, 3, 6 - 8, 24, 35, 38, 39].
Ниже мы изложим общую модель (впервые предложенную в наших рабо-
тах [31, 33]), построенную на основе теории возможностей Заде [43 — 45],
которая позволяет анализировать случаи полностью неизвестных значений
атрибута, неполноты информации, неопределенной информации, а также слу-
чаи неприменимых атрибутов Более того, с помощью этой модели можно
рассматривать вопросы, содержащие нечеткие предикаты. Предложенная рас-
1 В реляционных моделях данных под атрибутами понимаются элементарные инфор-
мационные единицы - Прим перев
186
ширенная модель данных развивается в рамках реляционного подхода к ба-
зам данных (подробное изложение основных понятий дано в работах [1,
12]*). Отметим, что большинство из вышеупомянутых подходов к обработ-
ке неполной или неопределенной информации явно вписывается в рамки
реляционной модели Несколько особняком стоит логический подход [5],
развиваемый с целью учета информации, представленной в виде логической
дизъюнкции или логического отрицания
Следующий раздел книги посвящен вопросам представления неполной и
неопределенной информации с помощью распределений возможности, при-
чем показано сходство и отличие предлагаемого подхода от других подходов
с использованием нечетких множеств. Кроме того, вкратце затрагиваются
вопросы определения функциональной зависимости Затем излагаются осно-
вы расширенной реляционной алгебры и связанного с ней языка запроса.
В заключительном параграфе приводится пример, иллюстрирующий различ-
ные особенности нашею подхода, а также обсуждаются некоторые задачи
его практической реализации.
6.1. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НЕПОЛНОЙ ИЛИ НЕОПРЕДЕЛЕННОЙ ИНФОРМАЦИИ
6 1 1 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДАННЫХ С ПОМОЩЬЮ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ВОЗМОЖНОСТИ
Пусть А — некоторый атрибут с областью значений (доменом)1 2 D, т. е
D — множество всех возможных значений, принимаемых атрибутом А. Вся
имеющаяся у нас информация о значении атрибута А объекта х будет пред-
ставляться с помощью функции распределения возможностей яА(Х) на мно-
жестве D U {е}, где е — внешний по отношению к области D элемент, харак-
теризующий случай, когда данный атрибут не применим к объекту х Други-
ми словами,яА(Х) — отображение из D U {е} в [0, 1].
Рассмотрим пример, когда мы должны высказать наше суждение относи-
тельно года выпуска (’’возраста”) автомобиля Поля. Можно выделить сле-
дующие случаи.
Неизвестно, есть ли у Поля автомобиль или нет, а если есть, то мы не
знаем год его выпуска.
Я год выпуска автомобиля (Поль) L VdGDu{e}.
Вполне возможно, что у Поля нет атомобиля, и тем не менее имеется
возможность X > 0 того, что у него есть автомобиль, ’’возраст” которо-
го более пяти лет
JX, если d>5;
Ягод выпуска автомобиля (Поль)^)_Л есяИ(1<5
Ягод выпуска автомобиля (Поль)
(вышеприведенное распределение возможностей наименее ограничи-
1 См также работы [1д - 5 д] - Прим перев
2 В переводной литературе по реляционным моделям данных часто встречается до-
словный перевод ’’домен” - Прим перев
187
тельно из всех распределений, совместимых с имеющейся информа-
цией).
Имеется полная уверенность в том, что у Поля нет автомобиля
71 год выпуска автомобиля (Поль)	И7Г-^
всюду на множестве D; это случай неприменимости атрибута
Вполне возможно, что у Поля есть автомобиль и совсем новый, но име-
ется и ненулевая возможность X, что у него нет автомобиля.
”год выпуска автомобиля (Поль)
”гол выпуска автомобиля (Поль)*^) _^иовый^)> VdGD,
где ДНОВый — функция принадлежности, представляющая нечеткий пре-
дикат ’’новый”
Имеется полная уверенность в том, что у Поля есть автомобиль, но нет
никакой информации о годе его выпуска.
”год выпуска автомобиля (Поль)
^год выпуска автомобиля (Поль)	1
Это соответствует случаю ’’полной неизвестности”
Имеется полная уверенность в том, что у Поля есть автомобиль и име-
ется неполная четкая информация о годе его выпуска — автомобилю
Поя от 2 до 4 лет'
”год выпуска автомобиля (Поль)
(1,если de [2, 4] CD,
’'год выпуска автомобиля (Поль) <d) ~ в противном случае.
Имеется полная уверенность в том, что у Поля есть автомобиль, и име-
ется нечеткая информация о том, что автомобиль Поля — новый
”год выпуска автомобиля (Поль)
"год выпуска автомобиля (Поль) ^новый^’ D.
Имеется полная уверенность в том, что у Поля есть автомобиль, и точно
известно, что ему 2 года:
’’годвыпуска автомобиля (Поль)^е^
”год выпуска автомобиля (Поль)<2>=1 и * равно нулю всюду на других
элементах множества D
Отметим, что во всех случаях функция распределения возможностей нор-
мирована на D U {е} Это естественно, поскольку расширенное множество
DU{e} обеспечивает исчерпывающее описание всех возможных альтернатив
Таким образом, проводится единый подход к представлению точных значе-
ний атрибута, неопределенных значений, неполной или нечеткой информации
о значении атрибута, а также к описанию ситуации, когда существует ненуле-
’88
вая возможность неприменимости рассматриваемого атрибута За исключе-
нием специально оговоренных случаев, в дальнейшем предполагается, что
имеем я (е) =0 или тг (е) = 1, а тг (d) =0
В реляционных базах данных объекты и связи представляются посред-
ством отношений, определяемых на декартовых произведениях областей
значений атрибутов. Вообще говоря, n-арное отношение можно изобразить в
виде таблицы, состоящей из п строк и п столбцов каждая строка соответ-
ствует некоторой информации об объекте, а каждый столбец соответствует
некоторому атрибуту. В обычных базах данных клетки такой таблицы за-
полняются точными значениями, представляющими собой одни лишь эле-
менты соответствующих областей значений атрибутов. В предлагаемом нами
подходе любая функция распределения возможностей, нормальная на множе-
стве D и{е}, может появляться в столбце, связанном с областью значений D.
Таким образом, расширенное отношение — это, скорее, обычное отношение,
определяемое на декартовом произведении множеств, все элементы которых
суть функции распределения возможностей (или, если угодно, нечеткие мно-
жества) , чем нечеткое отношение
Например, объект ЛИЧНОСТЬ может характеризоваться в базе данных
следующей таблицей:
ЛИЧНОСТЬ ИМЯ ВОЗРАСТ, СЕМЕЙНОЕ	ЗАРАБОТНАЯ ПЛАТА,
годы	ПОЛОЖЕНИЕ	франки
1	Поль	30	Неизвестно	Около 5000
2	Жан	[30, 35]	{1/Х, 0,7/р}	Около 5000
3	Мартина	Молодая	3	[1000, 3000]
4	Давид	15	X	’’Неприменимо”
5	Франсуаза	Около 40	{1/В, 1/Р}	[5000, 6000]
где X означает холост; Ж(3) - женат (замужем); Р- разведен (разведена);
В — вдовец (вдова) .
В вышеприведенном примере некоторые значения представлены функция-
ми распределения возможностей, определенными на непрерывных универсу-
мах, а другие — аналогичными функциями, определенными в дискретных
универсальных множествах (так, запись {1/Х, 0,7/Р} означает, что со степенью
возможности 1 Жан холост, а со степенью возможности 0,7 он разведен, тог-
да как возможность других альтернатив равна 0). Значения ’’молодой”,
’’около 40 лет”, ’’около 5000 франков” являются метками соответствующих
нечетких множеств
Если значение а некоторого однозначно выражаемого атрибута А объекта
х точно известно, то можно логически вывести, что атрибут А не может при-
нимать на х никаких других значений, отличных от а Совсем друт ая ситуация
в случае, когда известны только функции распределения возможностей (не
сводимые к одноточечным множествам), которые ограничивают возможные
значения некоторого атрибута для объекта х; тогда нельзя считать, что неко-
торое утверждение относительно значения этого объекта определено истинно
189
или ложно. Вся имеющаяся на этот счет информация выражена функциями
распределения возможностей.
В настоящей главе рассматриваются только однозначные атрибуты; поэ-
тому когда значение атрибута в клетке матрицы отношения представляет со-
бой некоторое (нечеткое или четкое) подмножество его области значений,
характеризуемое распределением возможностей, то элементы этого подмно-
жества являются возможными значениями связанного с ними атрибута, при-
чем они взаимно исключают друг друга. Здесь степень принадлежности эле-
мента множеству характеризует возможность того, что этот элемент есть точ-
ное значение атрибута. В этой главе не рассматриваются взаимосвязанные
значения атрибутов. Например, когда известно, что два лица имеют один и
тот же возраст, что они молоды, но сколько им лет в точности неизвестно, то
недостаточно отразить в базе данных факт молодости каждого из этих лиц в
отдельности, поскольку, если в дальнейшем ищутся пары людей одного и то-
го же возраста, эти два лица будут рассматриваться как возможно, но не обя-
зательно (с необходимостью) имеющие один возраст (см. разд. 6.2). Для
представления такой связи можно использовать какой-либо метод наподобие
метода индексации [36]. Вопросы обработки неточной информации о много-
значных атрибутах в рамках теории возможностей (такие атрибуты могут
одновременно принимать несколько значений, например число языков, на
которых говорит тот или иной человек), а также вопросы представления и
использования нечетких ограничений в базе данных подробно исследовались
в работе [34].
6 1 2 СХОДСТВО И ОТЛИЧИЕ ОТ ДРУГИХ ПОДХОДОВ К ПРЕДСТАВЛЕНИЮ
НЕЧЕТКОЙ ИНФОРМАЦИИ В БАЗЕ ДАННЫХ
Идея использования функций распределения возможностей или родствен-
ных им построений при моделировании неполноты или нечеткости информа-
ции в базах данных уже рассматривалась в работах [6 - 8, 27, 37 - 39]. Так,
в работе [37] Тахани использует нечеткие термы исключительно с целью
формулирования нечетких запросов с точных данных, при этом ответ на во-
прос состоит из нечеткого множества данных. В свою очередь, Баклс и Петри
[6 - 8] ввели нече!кот отношение подобия, связанное с каждой областью
значений атрибута, имея в виду описание степени взаимозаменяемости эле-
ментов этой области. Таким образом, возможные значения атрибута пред-
ставляются с помощью (обычных) множеств элементов, которые считаются
взаимозаменяемыми по отношению подобия и фиксированному порогу, за-
висящему от области значений Умано в работе [38] предлагает модель, в
явном виде основанную на понятии функции распределения возможностей.
В нашем подходе предлагается вариант обобщения этого способа представле-
ния информации за счет введения дополнительного элемента, который поз-
воляет нам учитывать ситуации, когда имеется ненулевая вероятность непри-
менимости данного атрибута. Однако сам метод, разработанный для оценки
вопросов (см. разд 6.2), отличается от метода Умано: он основан на двой-
ственных понятиях мер возможности и необходимости, тогда как подход
190
Умано в работе [38] опирается, скорее, на специальную логику, разработан-
ную для этой цели.
Другой способ представления нечеткой информации состоит в связывании
с каждой гранулой информации о некотором объекте нечеткого значения ис-
тинности (т. е числа, принадлежащего интервалу [0,1]) (см. работы [2,3,
16, 20, 21, 26]). Фрекса [16] использует, скорее, лингвистические значения
истинности, характеризуемые функциями распределения возможностей на
интервале [0, 1] (так же как и Умано в [39]) . В реляционной базе данных
этот способ представления нечеткой информации приводит к использованию
наборов из п значений атрибутов, причем каждый набор характеризуется
функцией распределения возможностей на [0, 1] (в известных случаях сво-
дящейся к числу, заключенному между 0 и 1). Такой способ представления
информации соответствует нечеткому отношению и отличается от подхода,
основанного на функциях распределения возможностей, где каждый набор
из элементов уопрядочен и содержит, возможно, и нечеткие значения атрибу-
та, а значение истинности не рассматривается.
Отметим, что Умано в своей более поздней статье [39] комбинирует оба
этих представления и получает наборы в виде упорядоченных семейств не-
четких множеств, которые к тому же характеризуются и некоторой ’’сте-
пенью истинности” (в случае необходимости определяемой некоторой функ-
цией распределения возможностей на интервале [0, 1]) . Однако при этом не
дается никакого указания относительно интерпретации этих степеней истин-
ности в рамках теории возможностей, следовательно, и определение их зна-
чений, и способ их учета в оценке запросов остаются сугубо эмпирическими.
Заде в работе [44] (см также разд 4 1) предложил свой подход к оценке
высказывания, частично определяющего значение атрибута, с помощью линг-
вистического значения истинности. Этот подход позволяет перейти к просто-
му распределению возможностей, заданному на возможных значениях атри-
бута; как нам кажется, это в корне отличается от подхода, избранного Ума-
но в [39]. Тем не менее интересно заметить, что в том случае, когда все набо-
ры из п элементов характеризуются значением 1, метод оценки запросов,
предложенный Умано в [39], дает в результате нечеткое множество, степени
принадлежности которого, в свою очередь, являются функциями распределе-
ния возможностей на интервале [0, 1] На основе этого нечеткого множества
можно получить такой же результат при ответе на тот же запрос, что и в рам-
ках нашего подхода, однако нам представляется более предпочтительным
прямо и в явном виде работать с функциями распределения возможностей и
необходимости.
Болдуин [2] также использует смешанный подход: представление объек-
тов на основе функций распределения возможностей с нечеткими множества-
ми, ограничивающими возможные значения атрибутов и представление не-
четких взаимосвязей между объектами на основе значений истинности. Одна-
ко он достигает однородности своего описания, придавая каждой строке из п
элементов отношения, определяющего объект, значение истинности, равное
1. С другой стороны, представляется возможным преобразовать нечеткое от-
ношение R, характеризующее некоторую взаимосвязь, в обычное отношение,
191
все строки которого будут наборами нечетких множеств, как это видно из
следующего примера Нечеткое отношение
ЛЮБИТ	ИМЯ 1	ИМЯ 2	
	Жан	Франсуаза	0,8
	Жан	Мари	
	Жак	Фредерик	0,5
	Фредерик	Давид	0,5
	Давид	Мари	0,2
	Мари	Жан	0,8
преобразуется	в отношение		
ЧУВСТВО	ИМЯ 1	ИМЯ 2	ТИП
	Жан	Франсуаза	h
	Жан	Мари	1
	Жак	Фредерик	g
	Фредерик	Давид	g
	Давид	Мари	
	Мари	Жан	h
где область значений атрибута ТИП задается в виде {a, b, с, d, е, f, g, h, ^.при-
чем каждая буква соответствует характерному проявлению взаимных чувств
двух лиц, причем элемент а — соответствует ’’крайней ненависти”, а 1 -
’’большой любви” Здесь сказуемое ’’любит” рассматривается как нечеткое
подмножество области значений атрибута ТИП, функция принадлежности ко-
торого задается на примерах, т. е. для набора х MR(x) = ДЛЮБИТ (ТИП (х))_
Очевидно, что в общем случае любое нечеткое подмножество, определенное
на области значений атрибута ТИП, допускается в качестве значения атрибу-
та в столбце ТИП. Это позволяет отразить неполноту информации относи-
тельно взаимных чувств двух лиц, что довольно-таки сложно сделать в моде-
ли с использованием единственного значения истинности.
Примечание В ряде случаев может оказаться естественным использовать плотности
распределения вероятностей при моделировании неопределенной информации (см
[41]) Как уже упоминалось в разд. 1.6 2, можно определить взаимно однозначное со-
ответствие между распределением вероятностей р = (рр ,рп) и распределением воз
можностей тг = (я,, ,тгп) (см формулы (158) и (159)) Так, помимо обычной ве
роятиостной интерпретации можно дать возможно стную интерпретацию частотных ги
стограмм Другими словами, статистические данные можно также представлять с помо
щыо распределений возможностей
61 3 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ И ВОЗМОЖНОСТНАЯ ИНФОРМАЦИЯ
В базах данных, содержащих точную и определенную информацию, задание
функциональной зависимости А -> В между атрибутами А и В для каждой па
ры строк (х, у) выражается в виде следующей импликации’
192
если А (х) = А (у) , то В (х) = В (у),	(6 1)
где А(х) — значение атрибута А для объекта, характеризуемого строкой х.
Функциональная зависимость соответствует заданию некоторой функции
между областями А и В Представление функциональных зависимостей поз-
воляет моделировать ограничения, накладываемые на реальные данные, ко-
торые следует принимать во внимание во избежание противоречий при изме-
нении данных.
Когда база данных содержит неполную (и неточную) информацию, нельзя
непосредственно расширигь условие (6 1) В самом деле, из равенства функ-
ций распределения возможностей, ограничивающих возможные значения
атрибута А для строк х и у, отнюдь не следует равенства функций распреде-
ления возможностей, ограничивающих возможные значения атрибута В для
х и у, за исключением того случая, когда распределение, связываемое со зна-
чениями А(х) и А (у), вырождается в точку или когда имеется дополнитель-
ная информация о равенстве значений А для строк х и у. Лишь в этих двух
случаях можно сделать заключение о равенстве значений В для строк х и у,
т е о равенстве функций распределения возможностей, связываемых со зна-
чениями В (х) и В (у)
С другой стороны, представляет интерес ’’размывание” самого понятия
зависимости для учета таких ситуаций, как ’’возраст приближенно определя-
ет заработную плату”. Вообще говоря, при этом хотят выразить, что если зна-
чения атрибута А для строк х и у равны, то и значения атрибута В для этих
строк не могуг быть слишком далеки друг от друга Эту идею можно моде-
лировать с использованием нечеткого отношения близости Р (т. е рефлек-
сивного. Vd, Mp(d, d) = 1 и симметричного Vd, Vd', ^P(d, d') =^p(d',d) не-
четкого отношения), определенного на области значений Dg атрибута В То-
гда получаем нечеткий вариант импликации (6 1) в виде
если А(х) = А(у), то др(В(х) , В(у)) >0,	(6 2)
где 0 - предварительно заданный порог
Затем, полагая, что В(х) и В (у) известны лишь в терминах функции рас-
пределения возможностей, получаем
если А(х) = А (у), то П (В (х) -рВ(у)) >0,	(6 3)
где П(В(х) — рВ(у)) — возможность того, что значения атрибута В для
строк х и у будут примерно равны в смысле нечеткого отношения Р. Эта
возможность
П(В(х)РВ(у)) =
тш(др (v, w), 7rB(x)(v),7rB(y)i
(6 4)
где — функция распределения возможностей, ограничивающая воз-
можные значения атрибута В для строки х, а - функция принадлежности
нечеткого отношения близости Р (см работу [34], где проведен системати-
ческий анализ таких ограничений)
193
6.2. РАСШИРЕННАЯ РЕЛЯЦИОННАЯ АЛГЕБРА И СВЯЗЫВАЕМЫЙ С НЕЙ ЯЗЫК
ЗАПРОСА
6 2 1 ОБОБЩЕНИЕ ОПЕРАЦИИ 0-ОТБОРА
Основные характеристики. Операция 0-отбора состоит в нахождении строк
некоторого отношения, составляющие которого удовлетворяют заданному
условию (простому или составному) Следовательно, эта операция играет
большую роль в построении языка запроса. Операция 0-отбора, применяе-
мая к отношению R при условии С, обозначается через a(R, С) Составное
условие С строится на основе простых условий с помощью логических свя-
зок (отрицания, конъюнкции, дизъюнкции). При этом различают два типа
простых условий: условия вида A0B, содержащие два атрибута А и В и отно-
шение сравнения 0, а также условия вида А0а, включающие один атрибут А
и одну константу а, которая может быть четкой или нечеткой. В обычной
реляционной алгебре в качестве отношения сравнения выступают равенство
= и неравенства ф, >, >, <, <. В рамках нашего подхода можно представить
вариант (четкого или нечеткого) сравнения с помощью функции принадлеж-
ности де, определенной на декартовом произведении двух областей и прини-
мающей свои значения в интервале [0, 1]; таким образом можно моделиро-
вать такие отношения сравнения, как ’’примерно равен”, ’’значительно боль-
ше, чем” и т. д.
Использование функций распределения возможностей с целью ограниче-
ния возможных значений каждого атрибута индуцирует меру возможности и
меру необходимости, служащих для оценки удовлетворения заданного усло-
вия некоторой строкой. Напомним, что меры возможности и необходимости,
построенные по некоторой функции распределения возможностей тг, опреде-
ляются для нечеткого отношения соотношениями (см. формулы (1 63) и
(1-66))
11(F) = sup тш(Цр(со),тг(со))	(6 5)
u> е п г
и
N(F) - inf тах(др(а>), 1 - я(ш)).	(6.6)
u> е п р
Таким образом, в результате 0-отбора a(R, С) получаем два нечетких мно-
жества: множество строк отношения R, которые, возможно, удовлетворяют
условию С, и множество строк, которые с необходимостью удовлетворяют
условию С, где степень принадлежности соответствует мере возможности и
мере необходимости. В работах [22, 23, 25] для случая неполной, но четкой
информации также проводились различия между множеством строк, кото-
рые достоверно удовлетворяют некоторому запросу, и множеством строк,
которые, возможно, удовлетворяют этому же запросу.
Мы запишем
o(R, С) = (crfl(R, С), oN(R, С))	(6.7)
с целью выразить, что результат 0-отбора есть пара нечетких множеств. Когда
функция распределения возможностей нормальна, возможность (четкого
194
или нечеткого) события всегда больше или равна его необходимости и для
каждой строки х отношения R получаем
^oH(R, с/Х) ** ^oN(R, С) ’	t6’8)
где через д обозначается функция принадлежности. Формула (6.8) выражает
условие вложенности нечетких множеств aN (R, С) С аП (R, С)
Составные условия. Оценка некоторого составного условия сводится к
оценке простых условий благодаря следующим результатам
a(R,“IС) = (ЙЖС), аП(R,“C)),	(6.9)
a(R, Ci vC2) = (aII(R,C1) U аП(R, C2), aN(R, CJ U aN(R,C2)), (6 10)
a(R, Ci ЛС2) = (aIl(R, Ci) П аП(И, C2), aN(R, Ct) A aN(R,C2)),	(6 11)
где aN(R, С) (соответственно an(R, С)) означает дополнение к oN(R,C) (со-
ответственно к аП (R, С)), причем определяется дополнением степени при-
надлежности к 1, а объединение и пересечение нечетких множеств определя-
ются соответственно операторами max и min. Формула (6.9) непосредствен-
но получается из условия N(F) = 1 - n(F). Формулы (6.10) и (6 11) приме-
нимы лишь тогда, когда атрибуты, входящие в условия Ci и С2, являются
невзаимодействующими (два атрибута называются невзаимодействующими,
если для каждой n-ки значение одного из них не зависит от значения другого
(см. разд. 1.8).
Простые условия, включающие единственный атрибут и константу. Снача-
ла рассмотрим простые условия вида Аба, где А — атрибут, в — отношение
сравнения, представленное с помощью своей функции принадлежности, а —
константа, представленная с помощью своей функции принадлежности да.
Примерами таких условий являются ’’Возраст значительно больше тридца-
ти лет” или ’’Возраст, приравниваемый к молодому”, соответствующее за-
просу ’’найти всех молодых людей”
Возможность того, что значение атрибута А для объекта х принадлежит
множеству элементов, которые находятся в отношении в хотя бы с одним
элементом а, задается в виде1 *
П(ао0|А(х)) =^ир^тш(дао0(а),лА(х) (d)),	(6 12)
причем
Mao0(d) =d,suPDmin(|U0(d, d'),A<a(d')),	(6 13)
где D - область значений атрибута А; - функция принадлежности (четко-
го или нечеткого) отношения, определенного на декартовом произведении
D х D, а яА(Х) - функция распределения возможностей, ограничивающая
возможные значения атрибута А для объекта х при дополнительном условии,
что яА(х) (е) =0 (е - дополнительный элемент, введенный в разд. 1.1).
1 В настоящей главе символ | не означает ’’условный”, а служит просто для разделе-
ния запроса и оцениваемых данных.
195
Необходимость этого же события задается в виде
N(a о 6 | А(х)) ” ^ш£^тах(да о 0 (d), 1 — лД(х) (dj).	(6 14)
В формулах (6.12), (6.14) П(а о в | А(х)) (соответственно N(a о в | А(х)))
определяет степень принадлежности объекта х к множеству наборов, кото-
рые возможно (соответственно с необходимостью) удовлетворяют условию
А0а,т е
W А0а/х) = П(ао0|А(х)),	(6 15)
Ш ASa/x) =N<a 'в । А(Х))’	<616)
Формула (6 13) показывает, что а о в есть нечеткое множество элементов
области D, которые находятся в отношении в хотя бы с одним элементом а.
Формула (6.13) расширяет на случай нечетких множеств следующее выраже-
ние, справедливое дня обычных множеств:
а > е - {de D| aned =/=<£>},	(6 17)
где в(1 - множество элементов области D, находящихся в отношении 6 с d
Отметим, что если отношение в рефлексивно (т е. Vd е Dp0(d, d) - 1), то
да о в > да, т. е а о в Э а. Формулы (6.12) и (6.14) непосредственно следуют
из выражений (6 5) и (6 6). Если а можно представить в виде объединения
двух нечетких отношений b и с, где объединение определяется оператором
max, то имеем
аоб = (bUc)o0= (bo0) U (с об).	(6.18)
Аналотичной формулы для пересечения не существует. Можно убедиться, что
П((Ь U с) О в | А(х)) =шах(П(Ь о 6 | А(х)), П(с о в | А(х))).	(6 19)
С друт ой стороны, имеем лишь
N((bU с)о0| А(х)) >max(N(b о 0 | A(x)),N(c о 0 | А(х)))	(6.20)
Таким образом, при проведении вычислений по формуле (6.14) а нельзя
представить в виде объединения двух подмножеств. К тому же бывают ситу-
ации, когда дизъюнкция двух расплывчатых предикатов нельзя удовлетвори-
тельным образом представить объединением нечетких множеств, а более
адекватное представление дает выпуклая оболочка объединений Выпуклая
оболочка а нечеткого множества, определяемая на вполне упорядоченном
универсальном множестве D, задается выражением
да(4)=^ *sup mm(Aia(d'),/ra(d''))	(6.21)
ч _____ _________________ Отметим, что да > да, т. е a D а, вы-
S. ___пуклая оболочка объединения двух не-
Аь \ Z“c \ С четких множеств b и с представлена на
Y	\ рис. 6 1. Так, выпуклая оболочка не-
/ х,_______четкого множества, выражающего харак-
U теристику ’’средней или большой”, вклю-
РлС б 1	чает все элементы, расположенные между
196
’’средним” и ’’большим” со степенью принадлежности, равной 1.
Замечание Когда (ч) А 0. г е когда имеется ненулевая возможность того, что
атрибут А не применим к объекту х, формулы (6 15) и (6.16) заменяются формулами
^MR.Ada)^ =1 П (а о 0 и {е} | А (х)),	(6 23)
где символ * означает, что формуле (6 12) используется сужение функции на мно-
жество D, а не ттд(х),определенное на множестве D и{е}, как в формуле (6 23) С целью
обоснования формулы (6 23) заметим, что необходимость в том, чтобы объект х удов-
летворял условию А0а соответствует невозможности события ”А не применим к х” или
’Значение А(х) не удовлетворяет условию А0а”. Мера возможности, появляющаяся в
формуле (6 23), вычисляется заменой а о В на а '^6 и (е) и D на D и (е) в формуле
(6 12).
Наконец, рассмотрим случай, когда 9 - равенство, т е а о 0 = а, и форму-
лы (6.12) и (6 14) выражают соответственно возможность и необходимость
тою, что значение А(х) принадлежит а. Вообще говоря, следует заметить, что
если а — одноточечное множество {doi , то условие ”А(х) находится в отно-
шении 9 с а” имеет смысл ”А(х) находится в отношении 9 с d0”, тогда как в
противном случае условие ”А(х) находится в отношении 9 с а” означает в
рамках нашего подхода, что ”3d G а и А(х) находится в отношении 9 с d”
Простые условия, включающие два атрибута. Теперь мы рассмотрим про-
стые условия вида ”А0В”, где А и В — различные атрибуты с одной и той же
областью значений, а 9 — четкое или нечеткое отношение сравнения, выра-
женное с помощью своей функции принадлежности д0. В дальнейшем мы бу-
дем предполагать, что атрибуты всегда применимы. Такие условия содержат
Вся в следующих примерах' ’’Найти всех студентов, у которых уровень подго-
[товки по математике примерно равен уровню подготовки по физике” или
г’Найти всех студентов, у которых уровень подготовки по математике выше,
|чем уровень подготовки по физике”.
I Возможность того, что значение атрибута А для объекта х будет в отноше-
1нии 9 со значением атрибута В для того же объекта х, задается выражением
|П (0| (А(х),В(х))) = dsupo>; ^шш(д0(с1,с1'),Я(А(х) В(Х))1Ф d'))> (6 24)
где В(х)) ~ функция распределения возможностей, ограничивающая
возможные значения пары (А, В) для х. Когда атрибуты А и В являются не-
взаимодействующими, функцию распределения тг (х^ в (х^ можно разло-
жить следующим образом
V(d,d') eDxD,7r(A(x) B(x))(d,d') =min(TrA(x)(d), rrB
(см разд. 1.8) Тогда выражение (6 24) принимает вид
,(d'))
(6 25)
11(0 | (А(х), В(х))) = sup тш(д (Л, d’),?r	(d),w	,(d')). (6.26)
(d,d'jeDxD a	(
Необходимость того, что значение атрибута А для объекта х будет в отноше-
нии 9 со значением атрибута В для объекта х, задается выражением
197
N (6 | (А (х), В (х))) = mf max (п (d, d'), 1 - тг.
’	(d.d'leDX I) °	1
,(d,d')),
(6-27)
которое в случае невзаимодействующих атрибутов принимает вид
N(6| (А(х), В(х))) = inf max(M0(d, d'), 1 - wA(x)(d), 1 - wB(x)(d')).
(d,d)eDxD	(628)
Отметим, что формулы (6.24) и (6.27) непосредственно выводятся из соот-
ношений (6.5) и (6.6)1.
Величина П(0|А(х), В(х)) (соответственно N(0|A(x), В(х)) определяет
степень принадлежности объекта х к множеству таких наборов, которые воз-
можно (соответственно с необходимостью) удовлетворяют условию А6В, т. е.
ДаП (R, Ав B)W = П (0 IА (X), В (X)),	(6 29)
MaN(R’ Ае в) (х) = N (6 | А (X), В (х)).	(6.30)
В случае симметричных отношений сравнения (равенство, приближенное ра-
венство) можно убедиться, что выражения (6.26) и (6.28) симметричны по А
и В. Точнее, в случае равенства А = В формула (6.28) оценивает необходи-
мость того, чтобы значения атрибутов А и В для объекта х были равны, однако
не оценивает, насколько равны функции распределения возможностей тгА^ и
яВ(х) • В самом деле, величина N в формуле (6.28) принимает ненулевое зна-
чение тогда, и только тогда, когда 3d0 G D такое, что яА = (d0) = яв (х) (do) =
= 1 и ЗаVd =£ d0, яА(х^(d) < а, яв (Х) (d) < а, где а < 1; значение необходимо-
сти, полученное по формуле (6.28), равно 1 тогда, и только тогда, когда зна-
чения атрибутов точно известны и равны.
Замечания. Отметим, что вопрос ’’Найти людей, возраст которых примерно равен
возрасту Поля” - рассматривается в рамках подхода, используемого для условий вида
А9В, хотя связанное с ним условие может быть типа А0а, где а - информация о возрасте
Поля Фактически мы должны сравнить возраст х и возраст Поля, а не оценивать, насколь-
ко возраст х принадлежит нечеткому множеству значений, примерно равных возможно-
му возрасту Поля. В более общем случае можно убедиться, что
N(a о в | А(х)) > N(0 | (А(х), а)),
(6 31)
П(а о e | A (x)) = П(0 | (A (x), a)),	(6 32)
где a = A(x0); выражение (6.31) является строгим неравенством, за исключением не-
скольких особых случаев; в частности, равенство выполняется тогда, когда а - одно-
точечное множество.
Толерантность. Содержание этого параграфа охватывает две проблемы:
вначале рассматриваются последствия возможной неточности задания функ-
ций принадлежности, определяющих распределения возможностей, затем изу-
чаются способы учета изменений в ограничении С и их влияние на результат
6-отбора a(R, С).
1 Заметим, что формулы (6.26) и (6.28) обобщают формулы (3 25) и (3.28).
198
Как отмечалось в [32], если е — максимальная амплитуда возможной абсо-
лютной ошибки в каждой точке области определения функции распределения
возможностей, то эта возможная ошибка не может изменить значения мер
возможности и необходимости, вычисляемые по этим функциям распределе-
ния, больше чем на е. Наоборот, в теории вероятностей ошибки при задании
функции распределения могут привести к более серьезным нарушениям.
Условие С при 0-отборе a(R, С) включает одно или несколько отношений
сравнения, в зависимости от того, является ли оно простым или составным.
Это условие можно сделать более или менее ограничительным, изменяя отно-
шения сравнения. Отношение сравнения в можно смягчить (например, заме-
няя строгое равенство на приближенное равенство) за счет его композиции с
некоторым четким или нечетким отношением толерантности Т:
^oT(d’d')= SUP min (ju0(d, d"), juT(d", dr)),	(6 33)
eoi	d„eD	0	1
где дт — функция принадлежности отношения толерантности, которая должна
быть рефлексивной и симметричной (т. е. Vd е D, дт(б, d) = 1, V(d", d') е
G D x D, pT(d", d') = pT(d', d"). Отметим, что при наличии условия Аба вве-
дение отношения толерантности Т приводит также к расширению множества
элементов, находящихся в отношении в хотя бы с одним элементом а, по-
скольку имеем
а о (б о Т) = (а о в) о Т,	(6.34)
где о означает (sup-min)-композицию. Практически вычисление (sup-min)-
композиции по формуле (6.33) сводится к сложению нечетких чисел (см.
замечание в конце разд. 2.3.2)
6 2 2 ДЕКАРТОВО ПРОИЗВЕДЕНИЕ, б-СОЕДИНЕНИЕ И ПРОЕКЦИЯ
Декартово произведение двух расширенных отношений R и S (элементы
которых — упорядоченные наборы функций распределения возможностей)
определяется обычным образом, поскольку R и S — обычные отношения на
декартовом произведении множеств нечетких подмножеств соответствую-
щих областей значений атрибутов.
Рассмотрим два расширенных отношения
Их декартово произведение задается в виде
199
R X S Al	A2	АЗ	АЗ	A4
Uj	u2	u3	x3	x4
Uj	u2	u3	t3	t4
V1	V2	v3	X3	X4
wi	w2	w3	t3	t4
В базах данных, содержащих только точные значения и четкие отношения
сравнения, операция 0-соединения отношений R и S соответствует конкате-
нации и отбору пар строк, таких, что справедливо отношение сравнения в
между некоторыми из их компонентов. Фактически это 0-отбор на декарто-
вом произведении.
Расширенное 0-соединение определяется как расширенный 0-отбор на де-
картовом произведении. В рассмотренном выше примере расширенное экви-
соединение (0-равенство) соответствует конкатенации пар строк возможно
и с необходимостью имеющих одно и то же значение R и S для атрибута А3,
и задается выражением
a(R х S, A(R) = A(3S)) = (аП(R х S, A(R) = A(3S)), oN(R x S, A(R) = A(3S))).
В более явном виде получаем следующие нечеткие отношения для
a!l(Rx S,A(R) =A3S))
Al	A2	АЗ	АЗ	А4	П
u,	u2	u3	х3	х4	П(=|(и3,х3))
Uj	u2	u3	t3	t4	П(= |(u3,t3))
v,	v2	v3	x3	x4	n(=|(v3,x3))
w2	w2	w3	t3	t4	n(=|(w3,t3))
и аналогичным образом для oN (R x S, A3R^ = A3S^). Взяв проекцию отноше-
ния a!l(R x S, A^R) = A3S)), например на атрибут А! и специальный столбец
П, получаем
А)	П	А,	П
ui	п = ( = I (u3, х3))	V,	m=|(v3,x3))
ux	n(=|(u3,t3))	w,	n(=|(w3,t3))
Заметим, что может существовать несколько ненулевых степеней возмож-
ности для одного и того же атрибута А,; в результате взятия проекции сохра-
200
няется лишь максимальная из степеней возможности для каждого атрибута
А] В сущности, мы вычислили проекцию нечеткого отношения aII(R X S,
А^ = A3S) ) (см разд. 1 8).
Предположим, что в вышеописанном примере Аз, А2, А3, А4 характеризу-
ют соответственно ИМЯ, РОСТ, ВОЗРАСТ и ЗАРАБОТНУЮ ПЛАТУ; тогда
получаем фамилии лиц, имеющих ’’хорошую” зарплату, как результат следу-
ющей операции
pROJHM>I(a(R X S, ВОЗРАСТ(R) = BO3PACT(S) А ЗАРАБОТНАЯ ПЛАТА =
- ’’хорошая”)),	(А)
где проекция берется отдельно на отношения аП и aN способом, указанным
выше Цель нижеследующего комментария — точное объяснение смысла вы-
ражения (А)
По строке 1. (n(i), t(i), aR (i)) отношения R и строке j (as(j) , s(j)) от-
ношения S строится строка декартова произведения R х S; эта строка при-
надлежит части аП-отношения, определяемого выражением (А) со степенью
тш(П(= | (aR(i),as(j))),n (’’хорошая” |s(j))),	(В)
и принадлежит части aN указанного отношения со степенью
mm(N( = | (aR(i),as(j))),N (’’хорошая”) | s(j))).	(С)
Как следствие этого, значение атрибута ФАМИЛИЯ п(т) принадлежит проек-
ции части аП выражения (А) со степенью
sup mm (П ( = | (aR(i), as (j))). П (’’хорошая”) I s (j)))	(D)
и принадлежит проекции части aN выражения (А) со степенью
supmm(N( = | (aR(i), ag(j))), N (’’хорошая ’ | s(j)))	(F)
С помощью выражения (С) вычисляется необходимость того, что две пере-
менные — возраст (1) и возраст (j) — равны, причем возможные значения
этих переменных ограничены величинами MaR(j) н j) > эта оценка находит-
ся в полном соответствии с нижеследующей интерпретацией отношения S.
Строка отношения S соответствует неточному описанию с помощью функций
распределения возможностей пары однозначных атрибутов, т е в нашем при-
мере определяем функцию, которая ставит в соответствие единственному
значению возраста, в большей или меньшей степени принадлежащему множе-
ству as(j), некоторое значение заработной платы, ограниченное величиной
s(j) Можно дать и другую интерпретацию произвольной строке отношения S.
Каждому значению возраста, принадлежащему множеству as (j) , ставится
в соответствие величина заработной платы, ограниченная s(j) Отметим, что
эта интерпретация не согласуется с общим подходом, излагаемым в настоя-
щем разделе, поскольку as (j) рассматривается как (в известных случаях не-
четкое) множество значений, но не как нечеткое множество возможных зна-
чении, исключающих друг друга. Тем не менее этой интерпретацией можно
воспользоваться и в рамках нашего подхода, заменяя N( = | (aR(i), as(])))
201
на N(as(j) | aR(i)) в выражениях (С) и (Е). (Напомним, что П( = | (aR(i),
as(j))) = П(as(i) | aR(j))).
Кроме того, отметим, что, раскрывая выражение (D) , получаем sup min X
х (supmin(/xaR(1)(u), supMas(j)xs(])(u, v); M.-x0p0IUM»(v) = П(’’хоро-
шая” | aR(i) о U [as(j) x s(j)]), т.е возможность того, что заработная пла-
та лица с фамилией в строке 1 отношения R будет ’’хорошей”. Вычисление
функции распределения возможностей, ограничивающей возможные значе-
ния этой заработной платы, производится в соответствии с обычной схемой
приближенных рассуждений (см. разд. 4.3) .
6 2.3 ОБЪЕДИНЕНИЕ И ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ИЗБЫТОЧНОСТЬ РАСШИРЕННЫХ
ОТНОШЕНИЙ
Как и в случае обычных отношений, два расширенных отношения называ-
ются согласованными, если существует взаимно однозначное соответствие
между их множествами атрибутов, такое, что эти атрибуты имеют одну и
ту же область значений [11] Объединение двух согласованных расширенных
отношений R и S соответствует обычной операции объединения, определен-
ной для подмножества декартовых произведений множеств. После осуще-
ствления объединения необходимо исключить все те строки, которые рас-
сматриваются как избыточные. В обычной реляционной алгебре две строки
отношения называются избыточными, если они тождественны Это требова-
ние строгого равенства может оказаться слишком сильным для сравнения
функций распределения возможностей, поскольку в общем случае они по-
лучаются посредством приближенной идентификации Аналогичная проблема
возникает и при определении пересечения: некоторая строка принадлежит
множеству R A S, если она характеризуется избыточностью по отношению к
некоторой строке отношения R и некоторой строке отношения S.
Приближенное равенство двух функций распределения возможностей л и
я' можно определить в виде
sup |я(й) -я'(й) | <е ,	(6.35)
de D	и
где eD — некоторый порог, зависящий от конкретной области D. Как и вся-
кое отношение приближенного равенства, отношение (6.35) не транзитивно.
Расширенное отношение неизбыточно, если в ней не найдется ни одной пары
строк, приближенно равных по каждому компоненту в смысле формулы
(6.35); но поскольку выражение (6.35) не определяет отношение эквива-
лентности, то не существует единого способа исключения избыточности в за-
данном отношении. Тем не менее различные неизбыточные отношения, ко-
торые можно отсюда вывести, остаются подобными друг другу и использо-
вание одного из них вместо другого практически не влияет на оценку вопро-
сов (по отношению к eD). Вопрос редукции нечетких баз данных рассмотрен
в работе [49] (см. также [6,7]).
202
6 2.4 ВОПРОСЫ, ИСПОЛЬЗУЮЩИЕ ДРУГИЕ ОПЕРАЦИИ
Вопросы, требующие ответа типа ”да — нет”. К базе данных можно адресо-
вать главным образом два типа запросов: запросы, связанные с поиском
определенного множества объектов, и вопросы, требующие ответа типа
”да — нет”. В предыдущих разделах обсуждались запросы первого типа. Те-
перь вкратце рассмотрим вопросы второго типа при наличии неполной ин-
формации. В этих случаях недостаточно ответов ”да” или ’’нет”, а следует
оценить возможность и необходимость ответа ”да”, причем возможность от-
вета ’’нет” будет дополнением к необходимости ответа ”да”, а необходи-
мость ответа ’’нет” — дополнением к возможности ответа ”да”. Таким обра-
зом, результаты предыдущих параграфов непосредственно применимы к та-
ким вопросам, как- ’’Правда ли, что значение атрибута А для Хо находится в
отношении 0 с а?” или ’’Правда ли, что значение атрибута А для х0 находится
в отношении в со значением атрибута В для х09”, а также к аналогичным во-
просам, содержащим составные условия. Более того, наш подход позволит
анализировать вопросы с некоторыми (четкими или нечеткими) квантифи-
каторами, такие как: ’’Правда ли, что большинство объектов, для которых
значение атрибута А находится в отношении в с а, имеют значение атрибута
В, состоящее в отношении в' cb9” [31].
Вопросы мощности множества. Когда значения атрибута известны лишь в
виде функций распределения возможностей, можно вычислить такую функ-
цию распределения, которая ограничивает возможные значения мощности
множества наборов, в которых значение атрибута А находится в отношении
в с а. Можно показать (см. [31]), что эта функция распределения возмож-
ностей
. ,(П) =min( max min П(ао0| А(х)), min max П(ао0|А(х)),
caia(A0a)	ScTxeS	ScTxeS
где T — множество строк рассмотренного отношения. Это и может быть отве-
том на вопрос относительно мощности множества, представленного в виде
распределения возможностей. Кроме того, результаты, касающиеся определе-
ния отношений нечеткого порядка между нечеткими числами, позволят ана-
лизировать вопросы, связанные со сравнением мощностей множеств в дан-
ном случае (см работу [14] и разд. 3.2).
Взвешенные расплывчатые запросы. Анализ нечеткого запроса, моделиру-
емого с помощью некоторого фильтра, представляющего собой конъюнкцию
элементарных фильтров, проводится сравнением возможных значений атри-
бутов для каждого объекта с соответствующими нечеткими множествами в
элементарных фильтрах. Элементарные меры возможности и необходимости
комбинируются отдельно друг от друга, чтобы получить две общие меры со-
гласованности между полным фильтром и описанием объекта. Свертка эле-
ментарных мер основана на применении оператора min и сохраняет семанти-
ку мер возможности и необходимости. В самом деле, имеем следующие ре-
зультаты (см. формулы (1.79) и (1.82))-
203
n(RjX ...xRJDiX ...xDn) = _min ^(R.D^,	(6.37)
N(Rj x . .. x Rn I Dj x . . xDn)=_mm N(R.Dj),	(6 38)
где символом x обозначается декартово произведение нечетких множеств
R, и Dj, которые относятся к части запроса и данных соответственно и пред-
полагаются заданными на одной и той же области Ц, а атрибуты считаются
логически независимыми Ст е нечеткое множество значений, совместимых
с одним из атрибутов, не зависит от значений, придаваемых другому атрибу-
ту, и наоборот). В случае, когда фильтр соответствует дизъюнкции элемен-
тарных фильтров, вместо операции min в формулах (6 37) и (6 38) берется
операция max. Безусловно, можно рассматривать и фильтры, структуриро-
ванные в виде И/ИЛИ дерева. Следует отметить, что в формулах (6.37) и
(6.38) предполагается, что все части фильтра, выражающего запрос, имеют
одинаковую важность с точки зрения пользователя Таким образом, форму-
лы (6 37) и (6.38) не отражают древовидную структуру
В разд 3.1 3 был предложен канонический метод введения весов в сверт-
ки, основанные на операции mm.
Пусть р(, р2, .	, рп — весовые коэффициенты, выражающие относитель-
ную важность фильтров R ,, R2,	. , Rn . Эти коэффициенты удовлетворяют
следующим допущениям 1) V) Pj G [0, 1]; 2) чем важнее фильтр Rj, тем
больше его вес Pj; 3) max р, = 1 (условие нормировки); запросы (или це-
ли) , которые считаются самыми важными, имеют значения весовых коэффи-
циентов 1.
Пусть st — степень фильтрации некоторою объекта с помощью элементар-
ною фильтра Fj; здесь имеем либо Sj ~ П(Rj, Ц),либо Sj =N(R1,D1) Сте-
пень фильтрации s этого объекта с помощью полного фильтра (Rj х х Rn)
с учетом относительной важности различных целей задается выражением
s= min max(l-p,s),	(6 39)
J = 1, . , n	11
где величина s может рассматриваться как степень необходимости. Здесь она
выражает, насколько мы уверены в том, что нечеткое множество важных за-
просов (где степени важности определяются весами Pj) вложено в нечеткое
множество запросов, возможно (с необходимостью), удовлетворяемых
объектом и определенных в виде st = I1(R1D1) , i = 1, .	, п (соответственно
Sj = N(Rj, Dj), i = 1, . . , n) Отметим, что если все весовые коэффициенты
равны 1 (все запросы равноважны), то получаем s = mm s ; при р = 0
1=1,	, п 1
фильтр Rj не учитывается В итоге в случае неравнозначности различных це-
лей при составном фильтре вместо формулы (6 37) применяется формула
(6.39) с величиной st = П(Rj, Dj), а вместо формулы (6.38) — формула
(6.39) с величиной Sj = n(Ri; D,) (см. также другое обоснование этого типа
свертки в работе [50]). Аналогичным образом взвешивание операции шах
при дизъюнкции задается формулой
s= max min(p , s ).
1=1,. , n 1	1
204
Введение весового коэффициента в свертку, например как в выражении
(Ь 39), приводит к превращению фильтров Rj в филыры R* , такие, что
e*R*(u) ~тах(др (u). 1 - р ),
и комбинированию различных степеней фильтрации (относительно R*) с ис-
пользованием вновь симметрической свертки типа пип Действительно, име-
ем следующие равенства (их доказательство см. в работе [48])
mm max(l - Pj H(R , D^) = min П (R* , D^,
mm max(1 - p , N(R D )) = mm N(R*, D )
i- 1,.. ,n	1	11	11
Следовательно, если аппроксимировать этими равенствами формулы
(6 37) и (6 38), то можно утверждать, что схема свертывания целей по фор-
муле (6 39) дает соответственно степени возможности того, являются ли са-
ми степени степенями возможности или степенями необходимое^ Тогда
становится возможной обработка запросов типа ’’выбрать автомобиль с
очень малым расходом топлива (основное), новый (важно), с умеренной
ценой (желательно) и с высокой максимальной скоростью (неплохо бы)”,
где слова в скобках неявно упорядочивают рассматриваемые элементар-
ные запросы. Именно этот порядок выражается с помощью весовых коэффи-
циентов pj Отметим, что, например, цена можег иметь ограниченную значи-
мость лишь внутри некоторого диапазона приемлемых цен Если цена стано-
вится чересчур высокой, то в конце концов она оказывается непреодо лимым
ограничением, запретом сама по себе. Использование постоянных весовых
коэффициентов не позволяет учесть это обстоятельство Для этого необходи-
мо прибегнуть к переменным весовым коэффициентам, зависящим от зна-
чений рассматриваемого атрибута. (По обсуждаемой проблеме теоретические
подробности можно найти в работе [48], а их практическое применение —
в статье [46].)
6 25 УПОРЯДОЧЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ
Одно из преимуществ учета расплывчатого характера запросов — возмож-
ность упорядочения результатов по их значимости [47] После оценивания
запроса в нашем распоряжении имеется множество обьектов, каждый из ко-
торых характеризуется парой чисел (степеней). Следующие замечания позво-
ляют провести упорядочение множества нескольких объектов по отношению
к одному и тому же запросу:
степень необходимости важнее, чем степень возможности;
если для каждою объекта получаем степень необходимости, равную О,
а степень возможности, равную 1, это значит, что запрос, выражаемый в
виде фильтра, слишком точен по отношению к имеющимся данным;
тогда можно либо изменить фильтр (используя, например, отношение
толерантности), либо взять меру перекрытия для различения двух
объектов, таких, что П = 1, N = 0, причем эта мера может основываться
205
на вероятности нечеткого события (tM разд. 1.7) или на мере неточно-
сти Хигаши и Клира (см. разд. 15);
в общем случае принцип Парето используется для упорядочения пар
оценок следующим образом пара (П15 Nj) больше пары (П2, N2) тог-
да, и только тогда, когда Щ > П2 и Nj > N2 или Щ > П2 и Nj > N2;
однако существуют ситуации, когда П(Й, Dj) > n(R, D2), но N(R, DJ <
< N (R, D2), и по принципу Парето получаем отношение частичного по-
рядка; так можно получить несколько объектов, наилучшим образом
удовлетворяющих запросу, выраженному в фильтре, и тогда, как уже
указывалось, рассмотреть меру перекрытия, если только не условить-
ся, что степень необходимости более показательная для различения
объектов;
когда степень возможности, связанная с объектом, близка к 1, а соот-
ветствующая степень необходимости близка к 0, то можно попытаться
выразить условие того, что объект станет с необходимостью значимым
дня некоторого запроса, т. е. задать диапазоны значений Rj Cl Dj для
атрибутов 1 так, чтобы величина N(R, | Dj) была близка к 0.
6.3. ПРИМЕР
6 3.1 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДАННЫХ
Рассмотрим пример, в котором анализируются уровень подготовки сту-
дентов по различным предметам, возраст и взаимоотношения. База данных
включает следующих два отношения
личность имя	ВОЗРАСТ	Ml	М2	Р1	Р2
Том	молодой	15	Достаточно хороший	Неизвестно	[14, 16]
Дэвид	20	Довольно плохой	Хороший	Достаточно хороший	Неприме- нимо
Боб	22	Плохой, и даже очень	[Ю, 12]	[13,20]	Хороший
Джейн Около 21		Достаточно хороший	Очень хороший	14	[10, 12]
Джилл	Молодой	Около 10	Достаточно хороший	Хороший	Около 12
Джо	Около 24	[14, 16]	хороший	Хороший	15
Джек	[22,25]	Неизвестно	Плохой	Около 13	Достаточно хороший
где Ml — уровень подготовки по математике; Р1 — уровень подготовки по
физике в первом семестре; М2 — уровень подготовки по математике; Р2 —
уровень подготовки по физике во втором семестре, и
206
ЧУВСТВО
ИМЯ 2
тип
Дэвид	Том	Товарищество
Джилл	Джейн	Дружба
Джек	Джо	Большая дружба
Джейн	Боб	Дружба
где для каждой заданной тройки в первом столбце содержится имя лица, от-
ношение которого к лицу, названному во втором столбце, выражено в тре-
тьем столбце
В первом отношении область значений атрибутов Ml, Pl, М2, Р2 есть ин-
тервал [0, 20], а область значений атрибута ВОЗРАСТ - интервал [15, 25]
(оба указанных универсума непрерывны). В данном отношении присутству-
ют несколько типов значений атрибута: точные значения (например, 15), ин-
тервальные значения (например, [14, 16], [13, 20]), нечеткие значения (на-
пример, ’’хороший”, ’’около 10”, ’’плохой, и даже очень”) и неопределенные
значения (’’неизвестно” и ’’неприменимо”). Когда уровень определен (т. е.
студент прошел некоторый курс), неточные значения атрибута соответствуют
либо частичному (неполному или нечеткому) знанию студентом предмета
данного курса, либо огрубленной оценке этого уровня, либо возможностно-
му представлению гистограммы (точных) оценок, полученных студентом по
рассматриваемому предмету в течение семестра (тогда соответствующая
функция распределения возможностей характеризует множество оценок, в
большей или меньшей степени совместимых с уровнем подготовки студента).
Во втором отношении, которое выражает чувства студентов друг к другу,
область значений атрибута ТИП дискретна: Отип = {a, b, с, d, е], где каждое
число соответствует некоторому характерному уровню взаимоотношений
людей, например а соответствует глубокой антипатии, с — безразличию, а е —
глубокой симпатии.
Тот факт, что здесь имеются области двух типов (непрерывные и дискрет-
ные), влечет за собой два способа представления функций распределения
возможностей. Графики функций принадлежности нечетких множеств, ис-
пользуемых в качестве значений уровня в первом отношении, приведены на
рис. 6.2.
В общем случае трапециевидные функции принадлежности вполне доста-
точны для практических приложений; в самом деле, небольшие изменения
формы функции принадлежности, которые к тому же далеко не всегда мож-
но задать с большой точностью (см. разд. 6.2 1), заметно не влияют на оцен-
ку вопросов. В виде четверок можно представить и нечеткие, и точные зна-
чения: первые два элемента в четверке ограничивают множество значений,
характеризующихся степенью возможности 1, а два других элемента опреде-
ляют ’’размывание” распределения по обеим сторонам этого множества зна-
чений. Например, понятие ’’хороший” представляется в виде (14, 16, 1,5, 1);
интервал [10, 12] - в виде (10, 12, 0, 0); число 15 - в виде (15, 15, 0,0).
Точно так же понятия ’’молодой”, ’’около 21” представляются в виде трапе-
циевидных функций распределения и, следовательно, в виде четверок. Напри-
207
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
ОД
ОД
0,2
0,1
плохой
Около 10
Довольно I Достаточно Очень
Плохой плохой | хороший Хороший хороший
О 1 2 J 4 5 6 7 8 3 10 11 12 IJ /4 15 16 17 18 1920
Рис 6.2
мер, понятие ’’молодой” выражается четверкой (18, 23, 2, 2), ’’около 21” —
четверкой (20, 22, 1, 1), а ’’около 24” - четверкой (23, 25, 1, 1). Наконец,
значение ’’неизвестно” описывается особым распределением возможностей
Д1 (d) = 1, Vd G D, а значение ’’неприменимо” — нулевым распределением
д0 (d) = 0, Vd G D.
Кроме того, такая нечеткая метка, как ’’плохой, и даже очень” интерпре-
тируется как выпуклая оболочка объединения (определяемого операцией
max) двух нечетких множеств, характеризующих понятия ’’плохой” и ’’очень
плохой” (см разд. 6.2 1) Отметим, что выпуклая оболочка остается трапе-
циевидной и поэтому выражение ’’плохой, и даже очень” представляется чет-
веркой (0, 6, 0, 1,5). Когда функция распределения возможностей полимо-
дальна (например, [10, 12] U [15, 18]), чего не наблюдается в нашем приме-
ре, она разбивается на унимодальные участки, представляемые в виде четве-
рок (см. разд. 2 5.1)
Напротив, в случае дискретной области, такой как область значения атри-
бута ТИП, для описания функции распределения возможностей поступают
следующим образом. Пусть д — функция распределения возможностей, опре-
деленная на области D = {db . . ., dn], такая, что M(d]) = a,, Vi; д будет хра-
ниться в памяти в виде множества {a^/d^, . , aik/dlk} , где d^ ,. . ., dlk —
элементы области D, на которых функция распределения принимает ненуле-
вые значения Например, представим значение ’’дружба” отношения ЧУВ-
СТВО в виде {0,2/с, 1/d, 1/е} (это означает имеется возможность 0,2, что
проявляется чувство безразличия, возможность 1, что проявляется чувство
симпатии, и возможность 1, что это чувство глубокой симпатии), значение
’’большая дружба” - в виде {0,8/d, 1/е}, и т д.
Отметим, что в данном описании значение ’’неизвестно” будет выражаться
как D = {l/db . . , l/dn], а значение ’’неприменимо” - как 0.
208
6.3.2.	ПРИМЕРЫ ВОПРОСОВ
Теперь рассмотрим следующие вопросы ’’Найти всех тех студентов, у
кого
1)	оценки уровня подготовки по математике в первом семестре между
14 и 16”;
2)	оценки уровня подготовки по математике в первом семестре больше
или равны 12”;
3)	оценки уровня подготовки по математике в первом семестре значи-
тельно больше 10”;
4)	по крайней мере ’’хорошие” оценки уровня подготовки по математи
ке в первом семестре”;
5)	оценки уровня подготовки по математике в первом семестре значи-
тельно лучше, чем ’’хорошие”;
6)	по меньшей мере достаточно хорошие оценки по математике и к тому
же достаточно хорошие оценки по физике в первом семестре”;
7)	хорошие оценки по математике или по физике в первом семестре”;
8)	уровень подготовки по физике во втором семестре значительно луч-
ше, чем в первом”;
или кто
9)	друзья Джейн”;
10)	друзья одного студента возрастом более 22 лет;
11)	имеет хорошие оценки по естественным наукам в первом семестре”
Отметим, что вопросы 1 - 9 обращаются к одпому-единственному отно
шению, тогда как вопрос 10 затрат ивает два отношения ЛИЧНОСТЬ и
ЧУВСТВО Последний вопрос более сложен для ответа на него мы должны
определить связь между общим уровнем подготовки в области естественных
наук и уровнями подготовки по математике и физике
Сначала рассмотрим обработку вопросов, характеризуемых одним отно-
шением. Ответ на каждый из этих вопросов получается посредством проведе
ния операции в отбора над одним из отношении (ЛИЧНОСТЬ или ЧУВСТВО)
с последующим построением проекции. Так, можно выразить
вопрос 1 черезпроекцию о (ЛИЧНОСТЬ; Ml = [14,16]) на атрибут ИМЯ;
вопрос 5 через проекцию о (ЛИЧНОСТЬ; Ml =’’значительновыше,чем”
’’хорошо”) на атрибут ИМЯ;
вопрос 8 через проекцию о (ЛИЧНОСТЬ; Р2 - ’’значительно лучше,
чем” Р1) на атрибут ИМЯ;
вопрос 9 через проекцию о (ЧУВСТВО; ИМЯ 2 = ’’Джейн” А ТИП =
= ’’друг”) на атрибут ИМЯ 1.
Заметим, что вопросы 1 - S содержат простые условия вида А0а, вопросы
6, 7 и 9 содержат составные условия вида Аба. а вопрос 8 содержит простое
условие вида A0B Также используются нечеткие отношения сравнения, та
кие как ’’значительно больше, чем” Это отношение сравнения выражено с
помощью нечеткого отношения
209
Г 0, если v — и < 2,
^’’значительно больше, чем” (u,v)	|	2	есЛИ 2 v U < 4,
I 1, если v — и > 4
и изображено на рис. 6.3.
Множество элементов некоторого отношения ЛИЧНОСТЬ или ЧУВСТВО,
которые возможно (с необходимостью) удовлетворяют условию А0а, было
определено формулой (6.15) соответственно (6.16) (см. разд. 6.2.1), а мно-
жество элементов, которые возможно (с необходимостью) удовлетворяют
условию A0B, было определено формулой (6.29) соответственно (6.30) (см.
разд. 6.2.1). Следовательно, можно вычислить результат операции 0-отбора
в вопросе. Окончательный ответ, получаемый путем построения проекции
каждого из нечетких множеств, представляющих собой результат операции
0-отбора, будет характеризоваться парой нечетких множеств (R — П, R — N),
Например, ответ на первый вопрос обозначается (R1 — П, Rl — N), где R1 —
— П — множество имен тех студентов, кто возможно удовлетворяет вопросу
’’оценка уровня подготовки по математике в первом семестре между 14 и 16”.
Таким образом мы получаем следующие ответы:
вопрос 1 R1 - П = {1/Том, 0,3/Джейн, 1/Джо, 1/Джек},
Rl - N= {1/Том, 1/Джо};
вопрос2'. R2 - П = {1/Том, 1/Джейн, 1/Джо, 1/Джек},
R2 - N= {1/Том, 1/Джо};
вопрос 3: R3 - П = {1/Том, 0,7/Джейн, 1/Джо, 1/Джек},
R3-N = {1/Том, 1/Джо};
вопрос 4'. R4 - П = {1/Том, 0,6/Джейн, 1/Джо, 1/Джек},
R4 — N = {1/Том, 1/Джо};
вопрос 5: R5 - П = {0,1/Том, 0,4/Джо, 1/Джек},
R5 -№{0,1 Том};
вопрос 6: R6 — П = {1/Дэвид, 1/Боб, 1/Джейн, 1/Джилл, 1/Джек, 0,3/Джо},
R6 - N = {0,5/Дэвид, 1/Боб, 0,5/Джейн, 1/Джилл};
вопрос 7: R7 - П = {1/Том, 0,6/Дэвид, 1/Боб, 1/Джейн, 1/Джилл, 1/Джо,
1/Джек},
R7 -№ {1/Том, 1/Джейн, 0,5/Джилл, 1/Джо};
вопрос 8: R8 - П = {1/Том, 0,6/Боб, 0,1/Джо, 0,3/Джек},
R8- № 0;
вопрос 9: R9 - П = {1/Джилл},
R9 — N = {0,8/Джилл }.	Вопрос 10 касается двух отноше-
ний ЛИЧНОСТЬ и ЧУВСТВО, поэ-
1 -----------2---------------- тому ответ на него получаем с помо-
/	щью 0-соединения (см. разд. 6.2 2).
/ ^Ги-г/Л/гзночительн0Б0ЛЬШЕ(ил; Таким o6pa3QMj МЬ1 должны вычис.
/	лить проекцию а (ЛИЧНОСТЬ,
01----1-'—I---------1---1--1--'-----ЧУВСТВО, ИМЯ = ИМЯ 2 л тип =
1	1 3 * 5	6	7	8	0,ieHKU	= ’’друг” Л ВОЗРАСТ > 22) на
Рис. 6 3	атрибут ИМЯ 1.
210
Получаем следующий ответ. R10 - П = {0,2/Дэвид, 1/Джейн, 1/Джилл,
1/Джек} и RIO - N = {0,8/Джейн, 1/Джек}.
Наконец, рассмотрим последний вопрос, который представляется более
сложным, так как в нем вводится составное множество рассуждений - ’’есте-
ственные науки”, причем связь между уровнем подготовки в области есте-
ственных наук и уровнями подготовки по математике и по физике может
определяться с помощью такого отношения, как
М (математика)	Ф (физика)	Е (естественные науки)
Хороший	От достаточно хорошего до хорошего	Хороший
От достаточно хорошего до хорошего	Хороший	Хороший
От достаточно хорошего до хорошего	Около 10	Достаточно хороший
Достаточно хороший	Достаточно хороший	Достаточно хороший
Таким образом, вопрос. ’’Найти всех тех студентов, кто имеет хорошие
оценки по естественным наукам в первом семестре” превращается в вопрос.
’’Найти всех тех студентов, кто имеет хорошие оценки по математике и до-
статочно хорошие или хорошие оценки по физике или достаточно хорошие
или хорошие оценки по математике и хорошие оценки по физике в первом
семестре”. Получаем ответ: R11 - П = {1/Том, 1/Джейн, 1/Джилл, 1/Джек}
и Rll - N = {0,5/Джилл}
Все вышеуказанные вопросы обрабатываются автоматически с помощью
специальных процедур, включенных в язык программирования MACLISP;
соответствующая программа дана в приложении. Эти процедуры основаны
на нечеткой фильтрации, описанной в работах [9, 10] Нечеткая фильтрация
обобщает системы фильтрации, развиваемые в рамках искусственного интел-
лекта [40], например, тем, что при вычислении мер фильтрации между дву-
мя выражениями используются меры возможности и необходимости, прини-
мающие значения на интервале [0, 1]; учитывается семантическое представ-
ление информации (в терминах функций распределения возможностей),
связываемое с каждым атомом Меры возможности и необходимости вычис-
ляются непосредственно по практически определяемым значениям атрибута
(представляемым в виде четверок в случае непрерывной области и в виде
{a^dj , . ., а! , dj } в случае дискретной области) .
6.4.	ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Мы привели описание расширенной реляционной алгебры, которая позво-
ляет проводить обработку неполной, нечеткой или неопределенной информа-
ции и учитывать расплывчатость запросов Теория возможностей оказывает-
211
ся удобным средством дня анализа этой проблемы. Соответствующий язык
запроса реализован в языке программирования MACLISP; первые экспери-
менты дают результаты, согласующиеся с интуитивными представлениями.
Когда имеющаяся информация неполна, представляется вполне естествен-
ным дать ответ на запрос посредством определения элементов, которые,
возможно, ему удовлетворяют и элементов, которые с необходимостью (или,
если угодно, с определенностью, наверняка) ему удовлетворяют. Гот факт,
что модальности ’’возможно” и ”с необходимостью” можно выразить коли-
чественно, придает дополнительную привлекательность этому подходу, ко-
торый, несмотря на внешную сложность, довольно просто реализовать на
практике. К тому же расплывчатые запросы могуг обрабатываться вне за-
висимости от того, является ли информация полной или частичной
Язык запроса можно развивать и дальше, например так, чтобы обеспечи-
вался учет понятия мощности. Другая интересная проблема в связи с нечет-
костью информации - это краткое описание содержания базы данных незави-
симо от ее полноты или неполноты (см., например, работы [17, 42]).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1	- AD1BA М., DELOBEL С. Bases de Donnees et Systemes Relationnels. Dunod
1982.
2	- BALDWIN J.F., A fuzzy relational inference language for expert systems.
Proc. 13th IEEE Int. Symp. on Multiple-Valued Logic, Kyoto, Japan,
1983 ,	416-423.
3	- BALDWIN J.F., Knowledge engineering using a fuzzy relational inferen-
ce language. Proc. IFAC Symposium on Fuzzy Information, Knowledge
Representation and Decision Processes, Marseille, July 19-21, 1983,
15-20.
4	- BISKUP J., A formal approach to null values in database relations.
Workshop : Formal bases for data bases.Dec. 12-14, 1979, CERT-DERI.
Toulouse. Proc, edited by H. Gallaire et J.M. Nicolas. Plenum Pub.
1980.
5	- BOSSU G., SIEGEL P. Saturation,non-monotonic reasoning and the
closed-world assumption, Artificial Intelligence 25, 13-63,
1985.
6	- BUCKLES B.P., PETRY F.E. A fuzzy representation of data for relatio-
nal databases. Fuzzy Sets and Systems, _7,	213-226, 1982.
7	- BUCKLES B.P., PETRY F.E. Fuzzy databases and their applications. In :
Fuzzy Information and Decision Processes, (M.M. GUPTA, E. SANCHEZ, Eds.),
North-Holland, 361-371, 1982.
212
- BUCKLES B.P., PETRY F.E. Extension of the fuzzy database with fuzzy
arithmetic . Proc. IFAC Symposium, Fuzzy Information, Knowledge Re-
presentation & Decision Processes, Marseille, July 19-21, 1983, 409-414.
9	- CAYROL M., FARRENY H., PRADE H. Possibility and necessity in a pat-
tern matching process. Proc. IXth. Int, Cong, on Cybernetics, Namur
Belgium, Sept 8-13, 1980.	53-65.
10	- CAYROL M., FARRENY H., PRADE H., Fuzzy pattern matching. Kybernetes.
11	,	103-116. 1982.
11 - CODD E.F. Extending the database relational model to capture more
meaning. ACM Trans. Database Syst, J., n°4,	397-434. 1979.
12 - DATE D.J. An Introduction to Data Bases Systems. Addison Wesley.
1977.
[ Имеется перевод: Дейт К. Введение в системы баз данных: В 2-х томах.
Т. 1/ Пер. с англ, под ред. В. С. Минаева. - М Наука, 1989. - ООО с.]
13	- DUBOIS D., PRADE Н., Twofold fuzzy sets : An approach to the repre-
sentation of sets with fuzzy boundaries based on possibility and ne-
cessity measures. Fuzy Mathematics (Huazhonq, China) , 3, n°4, 53-76,
1983.
14	- DUBOIS D., PRADE H. Fuzzy cardinality and the modeling of imprecise
quantification. Fuzzy Sets and Systems, 1985, J6, 199-230, 1985.
15	- FARRENY H. Programmer en LISP. Masson, Paris, 1984.
16	- FREKSA C., L-FUZZY - an A.I. language with linguistic modification of
patterns. AISB Conf. Amsterdam, 1980. (Also UC8/ERL M80/10, Univ. of
California, Berkeley).
17	- GELENBE E. Incomplete representations of information in data bases.
Res. Rep. n°9, ISEM, Univ. Paris-Sud, 1983.
18	- GRANT J. Null values in a relational data base. Information Proces-
sing Letters. .6, n°5,	156-157, 1977.
19	- GRANT J. Partial values in a tabular database. Information Processing
Letters. J9> n°2«	97'99« 1979-
20	- HAAR R.L. A fuzzy relational data bases system. University of Mary-
land. Computer Center, TR- 586. Sept. 1977.
21	- LE FAIVRE R. The representation of fuzzy knowledge. J. of Cybernetics
4	, n°2,	57-66, 1974.
22	- LIPSKI W. Jr. On semantic issues connected with incomplete information
data bases. ACM Trans. Database Systems. 4., n°3,	262-296,
1979.
'3
'4
’5
?6
27
28
29
30
31
32
33
34
LIPSKI W. Jr. On databases with incomplete information. J. of Asso-
ciation for Computing Machinery, 28, n°l, 41-70, 1981.
MONTGOMERY C.A., RUSPINI E.H. The active information system : A data
driven system for the analysis of imprecise data. Proc. Vllth. Int.
Conf, on Very Large Databases, Cannes, Sept.1981.
NARIN'YANI A.S. Sub-definite set -New data-type for knowledge repre-
sentation. (in Russian). Memo n° 4-232 Computer Center. Novosibirsk.
URSS. 1980.
[Имеется перевод. Нариньяни А. С. Недоопределенные множества - но-
вый тип данных для представления знаний. — Препринт. Проект "Вос-
ток". - Новосибирск, 1980. -27с. - (ВЦ СО АН СССР, №232-4.) ]
PHILIPS R.J., BEAUMONT M.J., RICHARDSON D. AESOP. An Architectural
relational database. Computer-Aided-Design ,	11, n°4,	217-
226. 1979.
PRADE H. The connection between Lipski's approach to incomplete in-
formation data bases and Zadeh's possibility theory. Proc. Int. Conf.
Systems Methodology, Washington, D.C., Jan. 5-9, 1982,	402-408.
PRADE H. Possibility sets, fuzzy sets and their relation to Lukasie-
wicz logic. Proc. 12th. Symp. on Multiple-Valued Logic, Paris, May
24-27, 1982,	223-227.
PRADE H. Modeies mathematiques de 1‘imprecis et de 1'incertain en
vue d'applications au raisonnement naturel (358 p.). These d'Etat,
Univ. Paul Sabatier, Toulouse, 1982.
PRADE H. Representation d'informations incompletes dans une base de
donnees a 1'aide de la theorie des possibilites. Proc. Convention
Informatique Latine 83, Barcelone, Spain, June 6-9, 1983, 378-392.
PRADE H. Lipski's approach to incomplete information databases res-
tated and generalized in the setting of Zadeh's possibility theory.
Information Systems, 9, n°l, 27-42, 1984.
PRADE H. Do we need a precise definition of membership functions ?
BUSEFAL, n° 14, LSI, Univ. Paul Sabatier, Toulouse, 127, 1983.
PRADE H., TESTEMALE C. Generalizing database relational algebra for
the treatment of incomplete / incertain information and vague queries.
Information Sciences, 34, 1984, 115-143.
PRADE H., TESTEMALE C. Representation of soft constraints and fuzzy
attribute values by means of possibility distributions in databases.
In : The Analysis of Fuzzy Information, (J. Bezdek, Eds.), CRC Press,
1986.
35	- RUSPINI E. Possibilistic data structures for the representation of
uncertainty. In : Approximate Reasoning in Decision Analysis (M.M.
Gupta, E. Sanchez,Eds.), North-Holland, 1982 ,	411-415.
36	- SIKLOSSY L., LAURIERE J.L. Removing restrictions in the relational
database model : an application of problem-solving techniques. Proc.
National Conf, in Artificial Intelligence Pittsburg, P.A., Aug. 1982.
37	- TAHANI V. A conceptual framework for fuzzy query processing - A step
toward very intelligent database systems. Information Proces-
sing & Management, 13, 1977.	289-303.
38	- UMANO M. FREEDOM-O : A fuzzy database system. In : Fuzzy Information
and Decision Processes (M.M. Gupta, E. Sanchez, Eds), North-Holland,
339-349, 1982.
39	- UMANO M. Retrieval from fuzzy database by fuzzy relational algebra.
Proc. IFAC Symposium, Fuzzy Information, Knowledge Representation &
Decision Processes, Marseille, July 19-21, 1983,	1-6.
40	- WINSTON P.H. Artificial Intelligence. Addison Wesley. 1977.
[Имеется перевод: Уинстон П. Искусственный интеллект/ Пер. с англ,
под ред. Д. А. Поспелова. — М.: Мир, 1980. — 520 с.]
41	- WONG Е.А. Statistical approach to incomplete information in database
systems. ACM Trans, on Database Systems, 7, n°3, 470-488, 1982.
42	- YAGER R. A new approach to the summarization of data. Information
Sciences, 28,	69-86, 1982.
43	- ZADEH L.A. Fuzzy sets as a basis for a theory of possibility. Fuzzy
Sets and Systems. _1> n° h 3-28, 1978.
44	- ZADEH L.A. FRUF : A meaning representation langage for natural lan-
guages. Int. J. Man-Machine Studies, 10.	395-460, 1978.
45	- ZADEH L.A. Test-score semantics for natural languages and meaning repre-
sentation via PRUF. SRI International. Tech. Note n° 247, May 1981,
Menlo Park, California. Also in Empirical Semantics. Vol. 1,(Rieger,
B.B. ed.), Bochum Brockmeyer, 281-349, 1981.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ, ДОБАВЛЕННОЙ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
46	- ANDRES, V., DUBOIS, D., PRADE, H., TESTEMALE, С. (1986) Notion d'im-
portance relative dans les requStes a une base de donnges imprgcises :
Experimentation sur micro-ordinateur, Actes Gourdes AFCET Bases de
Donnges "SGBD sur micro-ordinateurs", La Rochelle, 30 Sept.-I Oct.
1986, Eyrolles, Paris, 182-191.
215
47	- BOSC, P., CHAUFFAUT, A., GALIBOURG, M., HAMON, G. (1986) Une extension
de SEQUEL pour permettre 1'interrogation floue. Modules et Bases de
Donndes (AFCET Publ.) n° 4, 17-24.
48	- DUBOIS, D., PRADE, H., TESTEMALE, C. (1986) Weighted fuzzy pattern-
matching. Actes Journde Rationale sur les Ensembles Tlous, la Thdorie
des Possibilitds et leurs Applications, Toulouse, 27 juin 1986, 115-145.
version rdvisde in Fuzzy Sets & Systems, a paraTtre.
49	- PRADE, H., TESTEMALE, C. (1987) Fuzzy relational databases : represen-
tational issues and reduction using similarity measures, J. of Amer.
Soc. for Information Systems, a paraTtre.
50	- SANCHEZ, E. (1987) Soft queries in knowledge bases. Proc. 2nd Inter.
Fuzzy Systems Association Congress, Tokyo, Juillet 1987.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1д Диго С. М. Проектирование баз данных М. Финансы и статистика, 1988 - 216 с
2д Дрибас В. П. Реляционные модели баз данных -Минск БГУ, 1982 - 192 с
Зд Калиниченко Л. А. Методы и средства интеграции неоднородных баз данных М
Наука, 1984	423 с.
4д Тиори Т., Фрай Дж. Проектирование структур баз данных В 2 кн Пер с англ -
М Мир, 1985 - Кн. 1 - 287 с; Кн 2 - 320 с
5д Ханенко В. Н. Информационные системы Л Машиностроение, 1988	127 с
6д Цаленко М. Щ. Моделирование семантики в базах данных. - М Наука, 1989
7д Gaines B.R. Logical Foundations fon Database Systems//Fussy Reasoning and its Appli
cations/Ed by E H Mamdani and В R Gaines London Academic Press, 1981 -P
289 - 306
ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛ. 2
REM 1 БИБЛИОТЕКА ПРОЦЕДУР ОБРАБОТКИ НЕЧЕТКИХ ИНТЕРВАЛОВ
REM
РЕМ
REM	ПОДПРОГРАММА ADD'NBF
REM ПАРАМЕТРЫ: X.Y.Z
REM НАЗНАЧЕНИЕ: Осуществляет сложение нечетких чисел X И Y
РЕМ и присваивает результат числу Z
REM	,-==_=_===.======-====-===="--- ==-==--
ADD'NBF
VMICZ) VMI(X)-VMI(У)
VMS(Z)«VMS(X)+VMS(Y)
ALPHA(Z)=ALPHA(X)+ALPHA(Y)
BETA (Z)-ВЕТА(Х) <-BETA(Y)
PETURN
REM =.==- -	- ->=-=.-	= = = , =	-====-
216
ПОДПРОГРАММА SUB'NBF
REM
REM ПАРАМЕТРЫ- X,Y,Z
REM НАЗНАЧЕНИЕ: Осуществляет вычитание нечетких чисел ХИТ
REM
REM
SUB'NBF:
X1=VMI(Y)	!Промежуточная переменная как
VMI fZ)=VMI (X)-VMS(Y) .'средство против краевых эффектов
VMS(Z)=VMS(X)-X1
Xl.ALPHA(Y)
ALPHA (Z)-ALPHA (X)+ ВЕТА (Y ,1
BETA(Z)=BETA(X)+ALPHA(Y)
RETURN
REM	—	» 
REM	ПОДПРОГРАММА MOINS’NBF
REM ПАРАМЕТРЫ X.Y
REM НАЗНАЧЕНИЕ: Осуществляет вычисление противоположного
REM нечеткого числа для нечеткого числа X и присваивает
REM результат операции числу Y
REM	-	- л ..-v..
MOINS’NBF:
X1=VMI(Y)
VMI (Y)--VMS (X)
VMS(Z)=-X1
Xl--ALFHA(X)
ALPHA(Y)=BETA(X)
BETA(Y)=X1
RETURN
REM	ПОДПРОГРАММА MIN’NBF
REM ПАРАМЕТРЫ: X.Y.Z
REM НАЗНАЧЕНИЕ: Осуществляет вычисление оператора MIN для
REM нечетких чисел X и Y и присваивает результат числу Z
RЕМ =»=•=====«=========--=====»====»==•===»==»==»•=====--=
MIN’NBF-
Xl--VMI(X) MIN VMI(Y)
X2=VMS(X) MIN VMS(Y)
X34VM1(X)-ALPFA(X)) MIN (VMI(Y) ALPHA(Y))
X4=(VMS(X)+BETA(X)) MIN (VMS(Y)+BETA(Y))
VMI(Z)=X1
VMS(Z)-X2
ALPHAfZ)=X1-X3
BETA(Z)=X4-X2
RETURN
REM - = - = = = = = = = = » = - = = >- =	= = * =	= = = - = = =
REM	ПОДПРОГРАММА INIT’NBF
REM ПАРАМЕТР: XLIBR
REM НАЗНАЧЕНИЕ- Присваивает XLIBR индекс свободного вектора
REM и вводит указатель векторов
REM , =	= , = . = = = . = =	=
217
ПОДПРОГРАММА SAISIE'NBF
INIT'NBF:
XLIBR=PLIBR
PLIBR=PLIBR+1
RETURN
REM
REM
REM ПАРАМЕТР: XLIBR
REM НАЗНАЧЕНИЕ: Считывает в блоке данных значения нечеткого
REM интервала XLIBR (использовать после INIT'NBF)
REM = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =.= = =
SAISIE’NBF:
XXO=XLIBR
READ VMI(XXO)
READ VMS(XXO)
READ ALPHA(XXO)
READ ВETA(XXO)
REM =================================================
REM	ПОДПРОГРАММА AFFECT'NBF
REM ПАРАМЕТРЫ: X.Y
REM НАЗНАЧЕНИЕ: Присваивает значение числа X числу Y
REM =================================================
AFFECT'NBF:
VMI(Y)=VMI(X)
VMS(Y)=VMS(X)
ALPHA(Y)=ALPHA(X)
BETA(Y)=BETA(X)
RETURN
REM 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕЧЕТКИХ ПОЛИМОДАЛЬНЫХ ВЕЛИЧИН
REM =============================================
REM
REM КОНСТАНТЫ :
REM--------------
MAXIND=5O
REM ====================-==========================-=-==»==--=-«
REM	ПОДПРОГРАММА PLUS'NBF
REM ПАРАМЕТРЫ: X,Y,Z
REM НАЗНАЧЕНИЕ: Осуществляет сложение нечетких чисел X и Y
REM и присваивает результат числу Z. Эти нечеткие числа
REM могут быть полимодальиыми величинами.
РЕМ ============================================================
218
REM = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = - = = = -- = = = = = = - = = >- = = = = = = = = = = =
REM 3. РАСЧЕТ НАИБОЛЕЕ РАННЕГО ВРЕМЕНИ НАЧАЛА И НАИБОЛЕЕ
REM ПОЗДНЕГО ВРЕМЕНИ ОКОНЧАНИЯ РАБОТ В СЕТИ PERT
REM =.====.=.=========.==========«==================-=========
REM КОНСТАНТЫ :
MAXIND=5O
ВЫЧИСЛЕНИЕ НАИБОЛЕЕ РАННЕГО И НАИБОЛЕЕ ПОЗДНЕГОВРЕМЕНИ
REM Инициализация указателя векторов
REM----------------------------------
REM
PLIBR=1
REM
REM
REM
REM Осуществляется перенумерация вершин графа таким образом,
REM что в каждую вершину заходят дуги только из вершин с мень-
REM шим номером
R ЕМ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = „ = = = = = = = = „ =
DEBUT:
OPEN #1,"GRAPHE.TXT",OUTPUT
REM Обработка данных, представленных в виде графа
REM------------------------------------------
READ NB’SOMMETS
DIM А%(NB’SOMMETS,NB’SOMMETS)
READ NB’ARCS
PRINT #1,"ЧИСЛО ВЕРШИН : ".NB’SOMMETS
PRINT #1,"ЧИСЛО ДУГ : ".NB’ARCS
PRINT #1
PRINT #1."КОРЕНЬ","ЛИСТ","VMI","VMS","ALPHA'
PRINT #1,"-----------------------------------
PRINT #1
FOR 1=1 TO NB’ARCS
ВЕТА"
219
READ SD
READ SA
!Исходная вершина
Конечная вершина
GOSUB INIT’NBF
A*(SD,SA)=XLIBR
PRINTB#itЖIaJZMI(XLIBR),VMS(XLIBR),ALPHACXLIBR);TAB(70);
BETA(XLIBR)
NEXT I
RbM Инициализация вычислений моментов времени
DIM PLUSTOT*(NB'SOMMETS),PLUSTARD*(NB'SOMMETS)
FOR 1=1 TO=NB'SOMMETS
GOSUB INIT’NBF
PLUSTOT*(I)=XLIBR
GOSUB INIT’NBF
PLUSTARD%(I)=XLIBR
NEXT I
REM Определение времени начала
XLIBR=PLUSTOT%(I)
GOSUB SAISIE’NBF
X=XLIBR
FOR 1=2 TO NB'SOMMETS
Y=PLUSTOT%(11	!Самые ранние моменты времени
GOSUB AFFECT*NBF	!вводятся вместе co временем начала
NEXT I	'проекта
REM Определение времени окончания проекта
REM------------------------------------ -----------
XLIBR.PLUSTARD*(NB'SOMMETS)
GOSUB SAISIE’NBF
X=XLIBR
FOR 1=1 TO NB'SOMMETS-1
X-PLUSTARDMI)	'Самые поздние моменты времени
GOSUB AFFECT'NBF	'вводятся вместе со временем
NEXT I	!окончания проекта
GOSUB INIT’NBF
R=XLIBR	!Промежуточная переменная
REM Расчет самых ранних моментов времени
REM------------------- ---------------------------
FOR 1=1 ТО NB'SOMMETS-1
FOR J=I+1 ТО NB'SOMMETS-1
Y=PLUSTOT*(I)
IF At(I,J)=O THEN GOTO SUIVANT1
Y=A%(I,J)
Z=R
GOSUB ADD'NBF
Y=PLUSTOT%(J)
Y=R
Z=X
GOSUB MAX'NBF
SUIVANT1: NEXT J
NEXT I
расчет самых поздних моментов времени
REM .... ...------.---------------------------------------
FOR I.NB'SOMMETS TO 2 STEP -1
FOR J-l-1 TO 1 STEP -1
IF A»(I,J).O THEN GOTO SUIVANT2
X.PLUSTARD%(I)
Y.AVI.J)
Z.R
GOSUB SUB'NBF
Y-PLUSTARDt(J)
Y.R
Z.X
GOSUB MIN’NBF
SUIVANT2: NEXT J
NEXT I
REM = = = -	_ = -....
REM 4 ПРОГРАММА РАСЧЕТА УСПОВИЙ РЕЗАНИЯ НА ОСНОВЕ
REM ПРОИЗВЕДЕНИЯ НЕЧЕТКИХ ЧИСЕЛ
REM Программа использует точные формулы произведения двух
REM нечетких интервалов Рассматриваемый пример применения -
REM оптимальная регулировка параметров резания для расточки
REM цилиндра в зависимости от заданного ритма работ timp
REM L и D - длина и диаметр цилиндра.
REM
DIM VMI(2)
DIM VMS(2)
DIM ALPHA(2)
DIM BETA(2)
(Перемещение резца (подача)
>atisf=O then print "нулевая степень удовлетворения для
такого ритма работы", return
it "степень удовлетворения "
print "оптимальный интервал перемещений резца : ”,VMI(A)
MAX x/VMS(V);”,";VMS(A) MIN x/VMI(V):
print "оптимальный интервал скорости резания : ”;x/VMS(A)
MIN x/VMI(V);";х/(VMI(A) MAX:
x/VMS(V):
if х<РЗ then aopt- VMI(А)-ALPHA(А)*(1-sat
vopt.VMI(V)-ALPHA(V)*(1 satisf)
if x>P4 then aopt. VMS(A)«-BETA(A)*(1 sat:
vopt-VMS(V)+BETA(V)*(l satisf)
print "оптимальное перемещение резца	",
print "оптимальная скорость . ",vopt
221
ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛ. 3
REM >==>============.,
REM СВЕРТЫВАНИЕ ЦЕЛЕЙ
REM =^ = = ^ = г = = г = = = = = .
STRSIZ 80
REM Г1Р0ГРАММА = ИНТЕРГ1РЕТАЦИИ ЗАПРОСА
REM ===>=========-===--====-===.==============»==-=-=-=
PRINT TAB(-l.O)	!Очистка экрана
PRINT TABU, 15)."ПОДДЕРЖКА ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЯ ПРИ ВЫБОРЕ
АВТОМОБИЛЯ "
PRINT ТАВ(2.15):
PRINT TAB(4,1);'
INPUT R$
N0 = 0
Ввод запроса
Инициализация переменной текущего узла
Инициализация предшествующего узла
SOMMET'PILE=O
REM-------------------------- -----------------------------------
REM Стремятся распознать схемы типа (<crit> op <crit>)
REM Следовательно, различаются четыре варианта обработки в
REM зависимости от того, является ли считываемое слово
REM	открывающей скобкой,
REM	закрывающей скобкой,
REM	лингвистическим оператором,
REM	формулировкой простой	цели.
REM--------------------------------------------------------------
PRMOT:
.'Слова разделены пробелами
!MOTLU$ есть самое левое считываемое
PAROUV:
IF MOTLU$<>"(" THEN GOTO PARFER
N=N + 1
PERE%(N)=NO
CRIT$(N)«"("
NO=N
MOTPREC$="("
GOTO PRMOT
GOSUB AGREG
GOSUB EVALRESAGR
NO = PERES(NO)
MOTPREC$="("
!Обращение к подпрограмме свертывания
'.целей. После определения оператора свертки
!вычисляется оценка эффективности каждой
!модели в смысле удовлетворения этой
! составной цели в соответствующих массивах
!Подъем по дереву
ч	.'Порождение предшествующего слова
IF N0O0 THEN GOTO PRMOT ,c--" -----------------
!Если процедура подъема не
'.окончена, то считывается
GOTO CLASSEMENT
!B противном случае
! осуществляется
!окончательная оценка
REM Обработка обычного слова
REM----------------------------
MOTORD•
IF (MOTPREC$,<>"CRITERE" AND MOTPRECSo")") THEN GOTO GRIT
!B противном случае считываемое слово есть оператор сверл
CRIT$(NO)=CRIT$(NO)t" "+MOTEUS+" " 'Порождение цепи
M0TPREC$="0PERATEUR"	!Порождение предыдущего
!слова
GOTO PRMOT	!Считывание последующего
REM Обработка простои цели.
REM-------	--	--------------- ----
GRIT:
’Речь идет о новой простой цели
PERE*(N) NO
REP'МОТ'CLEF:
!предшествующей вершины
’Затем стремятся пометить одно из ключевых слов
IF МОТ1.и$ = "ДОРОГОЙ" THEN GRIT’S(N)-1: CRIT$(N )tCRIT$(N)-
" "+M0TLU$:G0T0 FIN
IF М0Т1.и$ = "ПРИЕМИСТЫЙ" THEN CRIT%(.N) 2 CRIT$(N)=
CRIT$(N)+" ”+MOTLU$:GOTO FIN
IF MOTLUI="CKOPOCTHO&" THEN CRIT%(N) 3 CRIP$(N)=
CRIT$(N)+" "+MOTLUS-.GOTO FIN
IF МОТЬи$="ЭКОНОМИЧНЫй" THEN CRIT4(N)-4.CRIT$(N)-
CRIT$(N)+" ”+MOTLU$:GOTO FIN
’Если считываемое слово не является ключевым, то его
!хранят в цепи и просматривают следующее
CRIT$(N) CRIT$(N)+" "MOTLU$
I1=INSTRfI,R$," ")
MOTLU$ R$[1,I1 1]
GOTO REP’MOT’CLEF
’IN.
CRITS (NO )-CR1T$(NO )+CRIT$(N)
MOTPRECS "CRITFRE"
GOSUB PRECIS
SOMMETPILE SOMME Г'PILE +1
REM Оценка характеристик каждой модели для этой просто'й цели
REM-----------------------------------------------------------
FOR J=1 ТО 15
LET P=PbRF(J,CRIT%(N))
IF (P<-ACCEP(N,3) OR P >=ACCEP(N,4)) THEN PERF-0
IF (P>=ACCEP(N,1) AND P<=ACCEP(N,2)) THEN PERF-1
IF (P>ACCEP(N,3) AND P<ACCEP(N,1)) THEN PERF=(P-ACCEP(N,3))
/(ACCEP(N,1)-ACCEP(N,3))
IF (P>ACCEP(N,2) AND P<ACCEP(N,4)) THEN PERF-(ACCFP(N,4)-P)
/(ACCEP(N.l) ACCEP(N,3))
LET PILE(J,SOMMET'PILE)=PERF
NEXT J
GOTO PRMOT
CLASSEMENT:
PRINT ТАВ(-1.О);"ОЦЕНКА ПО 15 СУЩЕСТВУЮЩИМ АВТОМОБИЛЯМ
PRINT "-------------------------------------------------
FOR 1.1 TO 15
M.-l	Инициализация оценки maxi
IM-0	!Соответствующий индекс
FOR J=1 TO 15
IF PILE(J,1)>M THEN M=PILE(J,1):IM=J
NEXT J
NEXT I
!задавать один и тот же индекс
END
ПОДПРОГРАММА PRECIS
REM
REM	........................
REM Эта подпрограмма позволяет получать уточнения о том, что подразумевает
REM пользователь при форм/лировке простой цели Она обрабатывает четверку
REM значений, определяющих функцию распределения возможностей, связываемую
REM с целью.
REM	<
REM Параметры- I, N
REM Возвращает 4 значения функции АССЕР (N,1 .
REM - --- - -- ------------------------------------
характерезующие трапецию
AGREG:
FILSG=NO+1	!Определяет индекс левой последующей вершины
FILSD.N	Юпределяет индекс правой последующей вершины
TEST'ASCENDANT:
IF PERE%(FILSD)<>N) THEN FILSD-PERE4(FILSD):
GOTO TEST'ASCENDANT:
225
8 - 6970
FOR 1=1 TO 3
PRINT TAB(17,10+20*1);"автомобиль";I;
PRINT TAB(18,10+20*1);"-------------;
NEXT I
PRINT TAB(19,1);"ЦЕЛЬ 1"
PRINT "ЦЕЛЬ 2"
I=1-.F=FILSG: GOSUB EVALPERF
оценка"
!Затем таблица допустимых ответов стирается. Если у нас не
!имеется адекватного оператора, то вновь затребуем оценку.
A: IF OP%(I.1)<R1 THEN 1=1+1: GOTO A
В: IF OP%(I.2)<R2 THEN 1=1+1: GOTO В
C: IF OP%(I.3)<R3 THEN 1=1+1: GOTO C
IF OP%(I,l)oRl OR OP*(I.2)<>R2 OR 0P*(I,3)OR3 THEN
PRINT TAB(23.1);"ОТВЕТ HE ПРЕДСТАВИТЕЛЕН": GOTO REP
CRITMNO) =4+ I
RETURN
EVALPERF
являются лингвистическими
IF 1=1 THEN PRINT TAB(19,30);TAB(-1,9);"ОЧЕНЬ ПЛОХО":
PRINT TAB (19,50); "ДОСТАТОЧНО XOPOIHO":PRINT TAB(19,70);
"ДОСТАТОЧНО ХОРОШО";
ELSE PRINT TAB(20,30);TAB(-1,9);"ОЧЕНЬ ХОРОШО":
PRINT TAB(20,50);"ДОСТАТОЧНО ХОРОШО":
PRINT TAB(20,70); "ОЧЕНЬ ХОРОШО";
RETURN
226
CRITSPLE:
[Речь идет о формулировке простой цели
ALRHA-ACCEP(F,1)-ACCEP(F,3)
BETA=ACCEP(F,4) ACCEP(F,2)
PLSTR.ALPHA MIN BETA	[Определяется наименьшее
1 отклонение
[Затем вычисляются три
[необходимых значения
IF PLSTR=ALPHA THEN V2.ACCEP(F.1)-ALPHA/2:VI=((ACCEP(F,1)-
3*ALPHA MAX ECHELLE(CRIT%(F).1)) MIN ECHELLE
(CRIT%(F). 2))
ELSE V2=ACCEP(F.1)+BETA/2:V1=((ACCEP(F,2)+3‘BETA MAX
ECHELLE(CRIT%(F). 1)) MIN ECHELLE (CRIT*(F).2))
V3-(ACCEP(F,1)+ACCEP(F,2))/2
IF 1-2 THEN GOTO L2
PRINT TAB( 19,30 ): VI ;TAB ( -1,9 )
PRINT TAB(19,50);V2
PRINT TAB(19,70);V2
RETURN
L2: PRINT TAB(20,30);V3;TAB(-1,9)
PRINT TAB( 20,50); V3
PRINT TAB(20,70);V3
FOR J-=l TO 15
X-PILEIJ,SOMMET'PILE)
Y=PILE(J,SOMMET'PILE-1)
IE CRIT%(N0)=5 THEN Y = 0 MAX (YtX-1)
IF CRIT»(N0)-6 THEN Y-Y*X
IE CRITk(N0)-7 THEN Y-Y MIN X
IF CRIT»(N0).8 THEN Y-SQR(Y*X)
IE CRIT%(N0)=9 THEN Y=Y+X+l/4-(Y MIN X MIN 1/4)-(Y MAX X MAX 1/4)
IF CRIT%(N0)-10 THEN Y-Y+X.l/2-(Y MIN X MIN 1/2)-(Y MAX X MAX 1/2)
IF CRm(N0)-ll THEN Y = (Y+X)/2 )
IF CRITVN0).10 THEN Y-Y*X»3/4-(Y MIN X MIN 3/4)-(Y MAX X MAX 3/4)
IF CRIT»(N0)-14 THEN Y.Y MAX X
IF CRIT»(N0)>15 THEN Y=YtX-Y*X
IF CRlTt(N0)=16 THEN Y.l MIN (Y-.X)
NEXT J
SOMMET'PILE»SOMMET'PILE-1
REM Список троек ответов в памяти
DATA 1,1,3,1,2,3,1,3,3,1.3.«.2.3.3.3.3.3.3.3.4,3,3,5,4.3.4,5,
DATA "АВТОМОБИЛЬ А", 21000,20,110.6.2
DATA "АВТОМОБИЛЬ В", 24500,18.130.6
227
REM Чтобы не рассматривать порознь случаи с одним или
REM несколькими нулевыми значениями (случай вертикальных
REM прямых), когда одно из отклонений принимает нулевое
REM значение, ему приписывается произвольное значение EPS,
REM выбираемое так,чтобы не нарушались полученные результаты
EPS=.000001
EPS1=ABS(MI-NI) : IF EPS1-0 THEN EPS1=EPS
EPS2=ABS(MS-NS) : IF EPS2=0 THEN EPS2=EPS
EPS3>ABS(MI-NS) : IF EPS3=0 THEN EPS3=EPS
EPS4=ABS(MS-NI) : IF EPS4=0 THEN EPS4=EPS
EPS-(EPS MIN EPSI MIN EPS2 MIN EPS3 MIN EPS4)/<
IF ALP=0 THEN ALP=EPS
IF BET=0 THEN BET=EPS
IF GAM=0 THEN GAM=EPS
IF DEL=0 THEN DEL=EPS
REM Вычисление четырех коэффициентов
REM ----------------------------------
PSE=1*(MS-NI)/(GAM+BET)
PSE-0 MAX (1 MIN PSE)
PS=(MS-NS,BET)/(BET*DEL)
PS=O MAX (1 MIN PS)
IF MS=NS AND BET=DEL THEN PS=O
NSE-fMI-NI+GAM)/(ALP+GAM)
NSE=O MAX (1 MIN NSE)
IF MI=NI AND ALP=GAM THEN NSE=1
MS=(MI-NS)/(ALP+DEL)
NS=0 MAX (1 MIN NS)
RETURN
228
ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛ. 4
ПРИЛОЖЕНИЕ I
В программе, приведенной в приложении 2, используется эффективный
алгоритм применения обобщенного правила ’’модус поненс” на основе опе-
рации конъюнкции пип. В ней предполагается, что функции распределения
возможностей на непрерывных универсальных множествах имеют форму
трапеции. В настоящем приложении излагаются результаты, которые помо-
гут читателю понять, как проводить математическую обработку этих рас-
пределений
При заданном правиле ’’если X есть А, то Y есть В” — и известном факте:
”Х есть А'” стремятся определить нечеткое множество В, соответствующее
выведенному факту ”Y есть В'”. Функция принадлежности дв> задается фор-
мулой (4.64), где * = mm, т е
Vt,pB,(t) =^upsmin(pA.(s),pA(s) ->pB(t)),
где импликация -*определяется в виде
(1, если а С Ь,
а->Ь=х
(Ь в противном случае
Разобьем процедуру вычисления функции принадлежности дв> на два этапа,
полагая X = pB(t).
1. Вычислить функцию f. [О, 1] -* [0, 1], определяемую в виде
VX, f(X) = sup mm(p..(s), д. (s) ~>Х).
s е S А А
2. Вычислить функцию принадлежности дв> по формуле
Vt,pB»(t) =f(pB(t))
Остановимся на этапе 1. Из определения импликации -> следует
f(X) =max( sup p.-(s), sup min(X, p.,(s)) =тах(П'(А-), mm(X, П'(А-)),
S<£A* seA*	(4.75)
где A- — множество строгого Х-уровня нечеткого множества А (см. разд. 1.4),
а П' — мера возможности, индуцируемая функцией распределения дА>. Отме-
тим, что если П'(А-) > X, то f(X) =П'(А~) > X. Если П'(А-) < X, то П'(А-) =
= 1 и f(X) = X. Следовательно, в общем случае формула (4.75) упрощается и
приводится к виду
f(X) =тах(П'(А-),Х) > X.
Примечание При необходимости этот результат позволяет показать, что
В' D В, VA, как это оговаривалось в разд. 3.2.
Теперь положим, что А и А' — трапециевидные нечеткие интервалы на ин-
тервале S Обозначая А- = (а А, а ф , легко увидеть, что
П'(А-) =max(p[A, +oo)(aJ,p( oo Al](aJ),
229
где [А, +°°) и (—оо, А'] — нечеткие интервалы, определенные в разд. 3.2 Вве-
дем вспомогательные функции f+ и f", определяемые следующим образом:
f+(X) =тах(д[А, +оо) (aj, X),
Г(Х) =тах(м(_оо A(](aJ,X),
и примем f = max(f “, f+) Форма функции f+ зависит от относительного по-
ложения нечетких интервалов [А', +°°) и [А, +°°), т. е. практически от взаим-
ного положения (а, а - а) и (а,а - а'), если (в соответствии с обозначения-
ми разд. 2.3.1) А = (a,"a, a, 0)LL и А' = (a','a', a, j3')LL > где L(x) =max(0,1-
- х) (рис.П.4.1).
Случай 1. S( [А, +°°)) С Ядро ([А, +°°)), т. е. ([А', +°°)) - Тогда легко ви-
деть, что f+ (X) = 1, VX G [0, 1].
Случай 2. S ([А, +°°)) С S (А', + “°)). Ядро ([А, + °°)) с Ядро ([А', + °°)),
т. е. а' - а < а - а < а' С а. Пусть Х+о = д[А- + оо)(а - а), X) = д[А +оо)(а'),
тогда
11, если X > X),
f+(X) =< +	'
(Хо +Х(1 — X0)/Xi в противном случае.
Случай 3. S([A', + °°)) CS([A, +°°)) Ядро ([А, +°°)) С Ядро ([А',+°°)),
т. е a — а <,а' — а; а' < а. Обозначая Х+ степень приближенности, такую, что
MA(s) = MA(s') = Х+ < 1, имеем
{1, если Х> Х|,
Х+ +	— Х+), если Х+ < X < Х|,
(Х( - Х+)
X, если X С Х+
Случай 4. S([A, + °°)) CS([A', + °°)). Ядро ([А', + °°)) С Ядро ([А,+°°)),
т. е. a — а <ia — а; а/ > а.. Тогда
I'v ~ д	—	—
| Х^ + Х(Х+ — Хо)/Х+ в противном случае.
Случай 5. [А', +°°) С [А, +°°). В этом случае а — а' — а
-----Ал---------АСл'.-н»}
Вычисление функции С про-
изводится аналогичным об-
разом с заменой а на а' и "а',
а на /3 и а на Знаки нера-
венства также меняются на про-
тивоположные Величины Хо,
Х7, Х~ являются обратными к
величинам Xq, X*, Х+ (рис П.4.2,
П.4.3). Поскольку функции
и f~ являются кусочно-линей-
230
Рис П.4 2
Рис. П.4 3
ними, функция f также является кусочно-линейной с, возможно, и большим
числом точек разрыва.
Дня упрощения расчетов довольствуются некоторой аппроксимацией f#
функции f, такой, что f # > f, и f # задана в стандартной форме. Прежде все-
го отметим, что величины Хо, X®, Xе всегда определены для Ve G {+, —}, как
это показано ниже в таблице для случая е = +.
Случай
е [0.D
S (0,1)
S (0, 1)
е (0,1)
е (0.1)
S (0, 1)
Пусть Хо =max(Xj,Xo), X] = тах(ХУ, Х7 ). Отметим, что Хо =max{pA'(s) | jaA(s) =
= 0 Xi = mm {ma(s) | MA<(s) = 1}; эти величины введены в разд. 4.3.2. Фор-
мула для f # определяется следующими условиями
1.	Если Хо = 1 или Xi = 0, то f #(Х) = f(X) =1, VX. Это случай 1.
2.	Если 0<Х0<1иО<Х1<1,тоГ* определяется, как и в случае 2 (уби-
рается знак + в Хо и ХУ)	_
3.	Если Хо = 0 и 0 < Xi < 1, то положим X =min(X+, X") и f# определяет-
ся, как и f+ в случае 3 (убирается знак +). Можно положить X = 0, что дает
фигуру, ограниченную штрихпунктирными линиямина рис. П.4.4.
4.	Если Xi = ОиО<Хо<1,то положим X = max(X +, X”) и f# определяет-
ся, как и f+ в случае 4 (убирается знак +). Можно положить X = 1, что дает
фигуру, ограниченную штрихпунктирными линиями на рис. П.4.4.
231
JU. --------flA -----------
Рис. П 4 4
Г
5	Если Xi = 1 и Хо ~ °> то f (\) ~ f # (Л) ~ как и в случае 5.
В итоге аппроксимация f# полностью характеризуется двумя значениями
Хо и X!; это соответствует одному и тому же во всех случаях преобразова-
нию В и В#. Итак, Mg = f#(дв), причем В# имеет трапециевидную форму и
уровень неопределенности 6.
f* можно выразить с помощью пятерки (b *, b *, с *, с в), что изобра-
жено на рис. П.4.5 Имеем В# = [b#, b#] и8(В#) = (с#,с#). Величину В#
легко сравнивать с величиной В' = А' о (А -> В) следующим образом
В# Э В', поскольку f # f; следовательно, имеется логическое обосно-
вание для вывода В#
В# = В', вследствие этого ядро нечеткого множества В' легко вычисля-
ется на основе значений X, таких, что f(X) = 1, причем их нижняя грани-
ца X, = inf{Х| f#(X) = 1}
mf Mg- - mf Mg =X0, поскольку mf {f(X) | XG [0, 1]} = mf {f*(X) | XG
G [0, 1]}. Следовательно, в = Xo есть уровень неопределенности нечет-
кого множества В’.
В^- = В~ (строгий Х-уровень) = S(B) .
Таким образом, аппроксимация В# отличается от аппроксимации В' в ос-
новном по величине В®- - В#, что на практике оказывается неважным. Если
В = (В, Ь, у, S)LL> гДе L(x) =max(0, 1 - х), то аппроксимация В# такова, что
е =Х0; c'=b-7; c'=b + 6; b' = b - 7(1 - Xj); b' =Ь + 8(1 - Хц).
Вывод по обобщенному правилу ’’модус поненс” сводится тогда к очень про-
стым вычислениям.
Случай J
Случай 4	с' b'	b с'
Рис. П.4 5
Рис. П.4.6
232
Предположим, что условная часть правила (А) образована из элементар-
ных невзаимодействующих условий, а именно А = А = Ai х 42 х . х Ап при
S = Si х S2 х . . х Sn. Пусть П’1, . . . , П„ меры возможности, соответствую-
щие нечетким интервалам А'ь ..., А„, такие, что А' = Ai х А2 х х А^.
Легко убедиться, что
П'(А-) = П'(А^х А^х ...х Апр = _шах П' (А,-).
Таким образом, если f, есть модификатор функции принадлежности дв для
правила Aj -* В и факта А', то
VX, f (X) = max f (X)
и аппроксимация f* легко вычисляется по f^, 1 = 1, . , ., п. Пара (Хо, Xj),
определяющая f#, получается из пар (Хо, Хи), определяющих f# , по форму-
лам Хо = max Х01 иХ] = mm X .
1= 1, ,П	1= 1,. ,,п 11
Если факт А^ уже выражен в виде дА' = тах(дА, а), то для правила
А -* В модификатор fw нечеткого множества В определяется как =max(f,
сэ) Следовательно, дв = f* о дв определяется той же пятеркой, что и дв ,
за исключением того, что в = тах(си, Хо), где Хо вычисляется на основе а\
Это замечание позволяет облегчить выполнение цепочки нечетких правил
Когда стремятся параллельно обрабатывать множества нечетких правил
вида {’’если X есть Ар то Y есть В; | i = 1, . . . , п"}, имеется возможность
либо применять каждое из правил к факту А' и комбинировать получа-
емые частичные результаты В*, полагая В* = О В* Этот вариант при-
меняется в машине вывода SPII, описанной в приложении 2 В данном
случае процедура вывода начинает давать неопределенные результаты,
как только множество А’ становится слишком неточно заданным, на-
пример в виде А' = Aj U А ,
либо комбинировать правила по формуле (4 74) Тогда получают более
точные результаты, причем при вычислениях отнюдь не обязательно
комбинировать все правила в явном виде. Метод рассуждений по обоб-
щенному правилу "модус поненс” при обработке дизъюнктивных или
очень неточных фактов описан в статье [80] На практике берутся пра-
вила, у которых условная часть находится во множестве А ; строятся
правила, полученные в pt зультате вывода из начальной базы правил,
причем эти правила характеризуются большей неточностью Тогда впол-
не может использоваться методика приближенных рассуждений, изло-
женная в настоящем приложении
233
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
SPII (Система обработки неточной и неопределенной информации).
Версия, разработанная в ноябре 1986 года на языке
Le Lisp v. 15.1
-А**************
; МАШИНА
(defun action (acts)
(let ((i nil) (certtp nil))
(cond ((null acts) )
((or (equal ’(01) (setq certtp (wfpm (cadddr acts)))))
(equal (setq i (infer)) '(O 1))
(dejadsbf (get (caar acts) ’pbf)))
(action (cdr acts)))
(t (increin) (action (cdr acts))))))
{Для выполнения выраженной с помощью "acts" части "то" правила
(de wpfm (import)
(cond ((null) import)
(list (apply ’minr neottp) (apply 'minr posttp)))
((list (if (null (car import))
(apply 'minr neottp)
(apply ’minr (mapcar ’(lambda (x y)
(maxr x (differ 1 (getsoun y))))
neottp (car import))))
(if (null (cadr import))
(apply ’minr posttp)
(apply ’minr (mapcar '(lambda (x y)
(maxr x (differ 1 (getsoun y))))
posttp (cadr import))))))))
;Нечеткая взвешенная фильтрация (ом. раздел 6.4.2 и [48]).
;Возвращает пару neo-pos (необходимость - возможность), получаемую
;с учетом (если нужно) относительной важности ("import") каждой
;поонлки. Важность посылок для вывода представляется в виде
;списков, следующих за пятеркой, которая обычно характеризует
{заключение, как в примере ниже, где предполагается, что правило
;имеет две посылки р! и р2. Тогда заключение определяется списком
{из 7 элементов, например
{(att о v s n (impor-pl-s impor-p2-s) (impor-p1-n impor-p2-n)).
{Предполагается, что s и п положительны, 6-й (соответственно 7-й)
{елемент содержит степени важности (которые могут задаваться в виде
{функция + аргументы), используемые для выражения того, что
{композиция (att о v) скорее истинне (скорее ложна)
(defun dejadsbf (х)
(let ((о (oadar acts)) (nf (car x)). (f nil) (v nil) (v2 nil)
(cv nil) (vfconc nil) (args nil) (fuzv nil))
(cond
((null x) nil)
((eq (cadr (setq f (eval (car x)))) o)
(if (null (get (oar x) ’exhausted))
(cond ((eq ’~ (atomoar f))) (setq v2
(cond (listp (setq vfonc (caddar acts)))
(setq args mapoar
'(lambda (x) (if (eq '? (atomoar x))
(car (cassq x jeu) x))
(odr vfono)))
(cond ((apply ’or
234
(lambda (x) (eq (atomoar x))) args))
(aetq v (gen ""))
(set v (funcall (get (oar vfonc)
’ffloue) args))
(t (apply (car vfonc) args))))
(odr (cassq vfonc jeu)))
(t vfonc)) )
(setq ov (gen
(set cv (oar (setq fuzv
(oombf (list (list (caddr f)
(differ 1 (oar (get
(list v2 (differ 1 (oar i))))))))
(set (car x) (list (caar aots) о cv))
(putprop (oar x) (list (differ 1
(oadr fuzv)) 1) ’oert)
(sauvejeu (oar x) nrg)
(putprop (car x) (appendl (get (car x) 'provident)
(moons nrg ov i)) ’provident))
((if (not (equal (caddar acts)(oaddr (eval (car x)))))
(sauvejeu (oar x) nrg)
(putprop (oar x) (append! (get (car x) ’provident)
(oons nrg i)) ’provident)
(putprop (oar x) (oomb) ’oert))))
t))
(t (dejadsbf (odr x))))))
(de sauvejjeu (f nrg)
(if jeu (putprop f jeu nrg) nil))
•.Защищает пары переменная-инстанциация (содержащиеся в jeu ),
; которые используются при запуске правила ’’nrg” для продуцирования
;фак1а ”f”
235
(defun infer ()	_	. ..
(slet ((z (car acts)) (s (getsoun (nth 3 z)))
(n (getsoun (nth 4 z))) (i nil))
(cond ((or (minusp n) (minusp в))
(list (difference 1 (cadr (setq i
(calinfer (times -1 s)(times -1 n)))))
(difference 1 (car i))))
(t (calinfer s n))))
;Возвращает пару neo-pos, характеризующую неопределенность
;полученного вывода. Если "s" или "п" - отрицательные числа, это
•.означает, что выводимое заключение есть отрицание тройки (т.е.
;трех первых элементов (саг acts)), определяемое правилом.
;"s" можно получить (с помощью функции "getsoun") из таблицы, если
;правило имеет вид: "Чем больше X есть А, тем более достоверно q"
(defun oalinfer (s n)
(list (apply 'minr (list s (oar certtp)))
(difference 1 (apply 'minr (list n
(difference 1 (cadr certtp)))))))
вычисление пары nec-pos при заданных "s", "n" и пары "certtp",
;характеризующей удовлетворение условной части правила
(defun inorem ()
(let ((x nil)(v nil)(atto (firstn 2 (car acts)))
(vfono nil) (args nil) (vinst nil))
(setq x (gen ’f)) (putprop x i ’cert)
(cond ((listp (setq vfono (oaddar acts)))
(setq args (mapcar
’(lambda (x) (cond
((eq ’? (atomcar x))
(oar (cassq x Jeu)))
(odr vfonc)))
(set x (appendl atto
(oond ((apply ’or
(mapcar ’(lambda (x)
(eq (atomcar x)))
args))
(setq v (gen ’~))
(set v (funoall (get (car vfono)
•fflbue) args))
(t (apply (car vfonc) args))))))
236
((setq vinst (assq vfonc jeu))
(set x (noono atto (odr vinst))))
(t (set x (appendl atto vfonc))))
(if (eq (atomoar (setq v (oaddr (eval x)))))
(putprop x (list (moons nrg v i)) ’provident)
(putprop x (list (oons nrg i)) ’provident))
(newr bf x) (sauvejeu x nrg)
(putprop (caar acts) (append (get (oaar aots) ’pbf)
(list x)) ’pbf)))
;Создание нового факта, который помещается в базу фактов,
функционирует как "dejadsbf".
;"i” есть пара neo-pos. Составляющая "значение" может вычисляться.
;Свойство "pbf" есть указатель, позволяющий сгруппировать факты с
;одним и тем же атрибутом
(de (gen (х)
(oond
((eq x ’f)
(implode
((eq x
(implode
(oons (oasoii x)(explode (setq oomptf
(1+ oomptf))))))
(t (print "erreur ds 'gen' "))))
;Пороадает атом либо типа f12, обозначающий некоторый факт,
;либо типа ™32, характеризующий нечеткое значение
(defun demontr (triple)
(slot ((flag nil) (non nil) (relevant nil) (v nil) (oert nil)
(vt (oaddr triple))(atoarv (atomoar vt))(e-y-n-exhaust nil))
(oond ((null triple))
((eq 'nonexist (car triple))
(let ((triple (oadr triple)))
(if (exist (get (oar triple) ’pbf))
nil
(if (e-y-n-exhaust nil '(1 1 )))))
((eq 'non (car triple))
(setq non (let ((triple (oadr triple)))
(demontr triple)))
(list (differ 1 (oadr non)) (differ 1 (oar non))))
((exist (if (atomp (oar triple)) (get (oar^triple)
237
(if (null e-y-n-exhaust)
(setq relevant (get (oar triple)) 'orosref))
(setq relevant (get (oar triple)) ’orosref))
(do ((y (mapoar '(lambda (x) (oar x))
(get e-y-n-exhaust ’provident))
(odr y)))
((null y) relevant)
(setq relevant (remq (oar y) relevant)))))
’(0 1))
((eq ’? atoarv)
(oond (setq oert (ttrg (rgnonfloue relevant)))
(putprop nf t ’exhausted)
(newr jeu (list vt (setq ov (oaddr (eval nf)))))
oert)
(e-y-n-exhaust (putprop
e-y-n-exhaust t ’exhausted)
(newr jeu (list vt (setq ov (oaddr
(eval e-y-n-exhaust)))))
(get e-y-n-exhaust ’oert))
((setq v (demontrf triple (rgfloue relevant))
ov v)
(putprop nf t ’exhausted)(newr jeu (list vt v))
(if (eq ov '"'indetermine)
'(01)
(get nf ’oert)))
(’(0 1))))
((eq '"' atoarv)
(oond ((or (setq oert (ttrg (rgnonfloue relevant)))
(setq nf e-y-n-exhaust))
(putprop nf t ’exhausted)
(oond ((numberp (setq ov (oaddr (eval nf))))
(setq pos (mu ov (eval vt))
neo pos))
(t (setq neo (neooo (eval vt)(eval ov))
pos (posoo (eval vt)(eval ov)))))
(oond ((not (equal oert '(1 1)))
(normalise
(if (> neo (oar oert))
(oar oert) neo)
(if (> (- 1 pos)(oar oert))
(- 1 (oar oert)) pos)))
((normalise neo pos))))
((setq v (demontrf triple (rgfloue relevant))
ov v)
(putprop nf t ’exhausted)
(if (eq (eval v) '"'indetermine) '(01)
(setq neo (neooo (eval vt) (eval v))
pos (posoo (eval vt) (eval v))
oert (get nf 'oert))
(normalise
(if (> neo (oar oert)) (oar oert) neo)
(if (> (- 1 pos)(oar oert))
(- 1 (oar oert)) pos))))
238
(t ’(О 1))))
((if (and (ttrg (rgnonfloue relevant))
(putprop nf t ’exhausted))
(if (or (if (listp vt) (member (oaddr (eval nf)) vt)
'(0 1))
(equal vt (oaddr (eval nf))))
(get nf ’cert)
•10 1)))
;Возвращает пару neo-pos, выражающую степень удовлетворения тройки
/’triple". В случае, когда удовлетворение получается в результате
Частичного образования пар, при необходимости проводится повторная
;нормировка. Если никакой факт из базы фактов не удовлетворяет цели
/’triple", то стремятся установить его посредством обратной цепочки
;рассувдений, т.е. с использованием правил "релевантности" (правил
;с выводами относительно атрибута тройки "triple"). Правила, несущие
;в явном виде информацию о степени достаточности и необходимости,
;используются в первую очередь. Другие правила, применяемые по
;методике обобщенного правила "модус поненс", используются лишь в
•том случае, когда нельзя определить ни одного правила первого
;vt = составляющая "значение" в тройке "triple”, a "cv" или ”v" -
(составляющая "значение", полученная по некоторому правилу ("v" -
;локальна по отношению к функции, тогда как "cv” используется также
;в функции "ttpremf”. Если аргумент есть отрицание информационной
;единицы (тройки Т), то возвращаемая пара пес-ров является
(отрицанием удовлетворения Т
(de apropos (triple)
(let ((jeu nil) (nf nil) (atcarv (atomcar (oaddr triple)))
(flag nil)(cert nil)(rgnf nil))
(oond ((not (eq atcarv '?)) (print "certitude = "
(demontr triple)) ’fin)
((setq cert (exist (get (car triple) ’pbf)))
(print "certitude = " oert)
(print (oaar jeu) " = " (oadar jeu) ’fin)
((null (setq relevant (get (oar triple) ’orosref)))
(print "Тройку" triple
"нельзя определить по имеющимся правилам")
’fin)
((and (setq rgnf (rgnonfloue relevant))
(setq oert (ttrg rgnf)))
(putprop nf t ’exhausted)
(print "certitude = " cert)
(print (oaddr triple) " = "
(oaddr (eval (findnf (get (car triple)
•pbf))))) ’fin)
((setq v (demontrf triple .(rgfloue relevant)))
(putprop nf t ’exhausted)
(print "certitude = ’’ (get nf ’oert))
(print (oaddr triple) " = " v) ’fin)
((print triple "нельзя определить") ’fin))))
(функция выражения запроса относительно тройки "triple".
;Возвращает значение уверенности и составляющую "значение" в
;тройке, полученную при непосредственном ответе на запрос
(de rgfloue (rel) (mapoan '(lambda (rg)
(if (get (rg ’floue) (list rg) nil)) rel))
(de rgnonfloue (rel) (mapcan '(lambda (rg)
(if (get (rg ’floue) nil (list rg))) rel))
;"rgnonfloue" отбирает правила "rel", в явном виде содержащие
(степени достаточности и необходимости.
/’rgfloue" отбирает другие, чтобы использовать на основе
обобщенного правила ’’модус поненс”
239
(defun exist (faits)
(slet ((x nil) (vt (oaddr triple)) (atoarv (atomoar vt))
(oert nil) (neo nil) (ров nil) (f nil) (vinst nil))
(oond ((listp (oar triple))
(apply (oadar triple)
(mapoar '(lambda (v)
(if (oassq v jeu)
(eval (oar (oassq v jeu)))
(eval v)))
(odr triple))))
((and (not (eq '~ atoarv)) (null faits)) nil)
(eq '~ atoarv)
(oond ((eq (oadr triple)(oadr (setq f
(eval faits)))))
(if (null (get (oar faits) 'exhausted))
(setq e-y-n-exhaust (oar faits) oert nil)
(oond ((numberp (setq ov (oaddr f)))
(setq pos (mu ov (eval vt))
neo pos))
(t (setq neo (neooo (eval vt)
(eval cv))
pos (posoo (eval vt)
(eval ov)))))
(oond ((not(or(null (setq oert
(get (oar faits) ’oert)))
(equal oert '(1 1 ))))
(normalise
(if (> neo (oar oert))
(oar oert) neo)
(if (> (- 1 pos)(oar oert))
(- 1 (oar oert)) pos)))
((normalise neo pos)))))
((odr faits) (exist (odr faits)))))
((eq (oadr (setq f (eval (oar faits)))) (oadr triple))
(if (null (get (oar faits) 'exhausted))
(setq e-y-n-exhaust (oar faits) oert nil)
(oond ((listp vt)
(oond ((memq (setq ov (oaddr f)) vt)
(oond (get (oar faits) 'oert)
((eq atoarv '?)
(oond ((setq vinst (aesq vt jeu))
(if (eq (oadr vinst)
(setq ov (oaddr f)))
(oond ((get (car faits)
'oert))
(t ’ (1 1 )))
nil))
((newr jeu (list vt
(setq ov (oaddr f))))
(cond ((get (oar faits)
(t ' (1 1 ))))))
((eq vt (setq ov (oaddr f)))
(oond ((get (oar faits) ’oert))
(t '(1 1)))))))
(t (exist (odr faits))))))
;Возвращает пару nec-pos, выражающую степень удовлетворения цели
;"triple". Возвращает нуль, если ни один факт (из числа "facts") не
удовлетворяет цели "triple". Если "тройка" неточна (т.е. ее
;составляющая "значение" начинается символом то пара neo-pos
;получается за счет частичного образования пар (и последующей
;нормировки). Если тройка "triple" имеет составляющую "значение",
240
;представленную в виде списка, то составляющая "значение" факта
;должна быть одним из значений в этом списке,
;Неточные факты, первоначально задаваемые пользователем,
;предполагаются достоверными.
;"ov" есть составляющая "значение" факта с тройкой "triple", a "ov'
:используется в "ttpremf"
(defun no .finalise (neo pos)
(let ((d (maxr (difference 1 neo) pos)))
(oond ((equal d pos)
(list (divide (difference (plus d nec) 1) d) 1))
(t (list 0 (divide pos d))))))
;Обеспечивает нормировку пары (neo, pos), где neo и pos-числа из
;]0,1[ и переход к паре вида (0, проз) или (плес, 1), показывающей,
;что поступающая информация либо скорее ложная, либо скорее
;истинная
(defun findnf (1)
(oond ((null 1) (print "findnf ne trouve pas" triple) nil)
((equal (firstn 2 (eval (oar 1)))(firstn 2 triple))
(t (findnf (cdr 1)))))
;Для определения имени факта (например, f34), задаваемого в виде
;тройки
(defun ttrg (relev)
(oond ((null relev)
(if flag (get (setq nf (findnf (get (car triple) ’pbf)))
'oert) nil))
((member (firstn 2 triple) (mapcar '(lambda (x)
(firstn 2 x))
(oadr (eval (car relev)))))
(cond ((essayer (oar relev)) (setq flag t)
(ttrg (cdr relev)))
(t (ttrg (odr relev)))))
(t (ttrg (cdr relev)))))
;Проверяет все правила на релевантность, в которых вывод делается
;по первым двум составляющим в тройке "triple".
;В случаях, когда запускается одно из этих правил, функция
;возвращает пару nec-pos для соответствующего выведенного факта.
;В противном случае возвращает нуль. Как только правило запущено,
;"flag" принимает значение "t"
(defun essayer (nrg)
(let ((x (eval nrg)) (posttp nil) (neottp nil) (jeunil))
(ttprem (car x)) (action (cadr x))))
;3апуск правила "nrg" не означает, что будут получены новые факты
;или изменены степени уверенности (см. "действие").
(defun ttprem (ensprem)
(slet ((ov nil) (i (demontr (car ensprem))))
(cond ((null ensprem) neottp)
((or (null i)
(and (equal i '(0 1))(eq '? (atomcar
(caddar ensprem)))))
(setq neottp nil posttp nil)
(repeat (length (oar x)) (newr neottp 0)
(newr posttp 1 )))
(t (newr neottp (car i)) (newr posttp (cadr i))
(t tprem (odr ensprem))))))
;B стек засылаются степени необходимости (возможности),
;выражающие уровень удовлетворения конъюнкции посылок в neottp
;(posttp). В случае, когда нет информации относительно некоторой
;посылки, функция осуществляет вызов соответствующих правил (в
241
.•противном случае функция непосредственно возвращает желаемую пару
;neo-pos)
(defun demontrf (triple relevant)
(let ((f nil) (Ival nil) (prov nil) (v nil) (z nil) (jeu1 nil))
(oond ((null relevant) nil)
((setq z (oombf (mapcan
'(lambda (x) (if (eq (oar i) ’"'indetermine)
nil (list x)))
(setq Ival (ttrgf relevant)))))
(setq f (gen ’f) nf f v (gen *~)) (set v (oar z)
(set f (list (oar triple)(cadr triple) v))
(newr bf f)
(let ((Jeu jeu1))(mapoar '(lambda (rgx)
(sauvejeu f rgx)) relevant))
(putprop (oar triple) (appendl (get (oar triple)
•pbf) f) ’pbf)
(putprop f (list (differ 1 (oadr z)) 1) ’oert)
(putprop f
((lambda (11 12)
(while 11 (newr prov (moons (oar 11)
(oaar 12)
(list (differ 1 (oadar 12) 1)))
(nextl 11) (nextl 12)) prov)
relevant Ival)
;значение) в паре о составляющей "значение" в тройке "triple".
(defun ttrgf (relev)
(oond ((null relev)
((equal (firstn 2 triple) (firstn 2 (oaadr (eval
(oar relev)))))
(oons (apprgf (oar relev)) (ttrgf (odr relev))))
(t (ttrgf (odr relev)))))
;3апускает все правила "relev", которые делают заключения по
{первым двум составляющим тройки "triple" с использованием
;обобщенного правила "модуо понено". Возвращает опиоок атомов,
{содержащих составляющие "нечеткие значения"; выведенные о помощью
{этих правил.
(defun ttpremf (eneprem)
(let ((ov nil) (v~ nil) (oert nil) (f nil) (triple (oar ensprem)))
(oond ((or (null ensprem) (null zf)) nil)
((if (setq zf (and (listp (oaddr oono))
(memq (oaddr triple)(oaddr oono))))
(newr aux (oaddr triple)))
(oond (zf (demontr triple)
(if (or (null (setq f (findnf (get (oar triple)
•pbf))))
242
(< (oadr oert) 1 )
(and (not

(oons (oond
(equal '(01) (get f 'oert)))
nil
(ttpremf (odr ensprem))))
(t (setq zf (demontr triple))
(if (or (null (setq f (findnf (get (oar triple)
'pbf))))
(equal '(01) (setq oert
(get f ’oert)))
(eq (atomoar
(oaddr triple))))
(equal (oaddr triple) cv))))
((null oert) (list cv 0))
(t (list ov (differ 1
(oar oert)))))
(ttpremf (odr ensprem))))))))))
Применяется при использовании обобщенного правила "модус поненс".
Помещает в "aux" составляющие "значение" в условия рассматриваемая
;правил (помещает только те из них, которые не выступают как
;параметр в заключении). Когда в базе фактов ("bf") нет информации
;о Некоторой посылке, "ttpremf" вызывает функцию "demontr" (которая
;при необходимости вызывает функцию "demontrf").
(Возвращает список пар вида val-imposs (находящийся во взаимно
;однозначном соответствии с "aux"), где val - трапеция, связываемая
;с составляющей "значение" факта, объединенного с посылкой
;соответствующего елемента "aux", a imposs - степень невозможности
;этого факта (т.е. 1-необходимость). Если zf становится нулем, то
(невозможно удовлетворить текущей посылке (тогда с рассматриваемым
;правилом бесполезно двигаться дальше)
(defun apprgf (nrg)
(slet ((x (eval nrg)) (jeu nil) (zf t) (aux nil) (lambdaO nil)
(cone (oaadr x)) (z nil) (v nil)
(aO (ttpremf (carx))) (a aux)
(ce (eval (oaddr cone))))
(setq z (mpg))
(if (eq '"'indeterrnme z)
' (~mdetermine 0)
(setq v (gen '~) jeu1 jeu)
(set v z) (list v lambdaO))))
Получение функции распределения возможностей (т.е. трапеции
;вместе со степенью невозможности (или 1-необходимости)) за счет
;применения "mpg" (обобщенное правило "модус поненс") к правилу
;"nrg". Возвращает список, состоящий из трапеции и степени
;невозможности.
;"а" - список распределений (трапеций), получаемых согласно
;посылкам.
;"а0" - список пар фактов (трапеция, степень невозможности),
(однозначно соответствующих "a", "nrg" - название правила, "х" -
(само правило
(de combf (liste)
(let ((x nil) (~ nil))
(if liste
(cons (eval (oar (setq x (combfl
(sort '(lambda (a b) (<= (oadr a)(oadr b))) liste)))))
(edr x)))))
(defun combfl (liste)
(oond ((null (odr liste)) (car liste))
(t (inter (car liste) (oornbfl (edr liste))))))
(Комбинация пар (трапециевидное распределение, невозможность),
(содержащихся в списке "liste"
243
(defun inter (p1 p2)
(let ((pie nil)(p2e nil)(u1l nil)(u1r nil)(u21 nil)(u2r nil)
(oond
((eq (car p2) ’~indeterniine) p1 )
((setq pie (eval '--------°- '
(setq u1r (plus
(setq u2r (plus
(cadr pie)(oadddr pie)) u21
(differ (oar p2e)(oaddr p2e)))
(cadr p2e)(oadddr p2e)) u11
(differ (oar pie) (oaddr pie)))
(oond ((and (= (cadr p1)(oadr p2))	;Одинаковые степени
' неопределенности
(or (>= (саг p2e)(cadr р1е))
(>= (саг p1e)(cadr р2е))) [Непересекающиеся ядра
(ог (<= u1r u21)
(<= u2r u11)) [Непересекающиеся носители
(and (< u21 u1г)[Пересекающиеся носители, но
[самая большая степень пересечения
[между pie и рйе < неопределенности
(setq xi (divide (plus
(times u21 (oadddr pie))
(times u1r (oaddr p2e)))
(plus (oaddr p2e)(oadddr pie))))
(and (< u1l u2rj ;Пересекающиеся носители, но
;самая большая степень пересечения
;между pie и р2е < неопределенности
(setq xi (divide (plus
(times u1l (oadddr p2e))
(times u2r (oaddr pie)))
(plus (oaddr pie)(oadddr p2e))))
(if (equal pie p2e) p1 ’ (•"'indetermine O)j)
'	((>= (oar p2e)(cadr pie)) [Непересекающиеся ядра
(empty-inter-oores p1 p2))
((>= (car p1e)(cadr p2e)) [Непересекающиеся ядра
(empty-inter-cores p2 p1))
((< (oar p1e)(oadr p2e)) ;Непересекающиеся ядра
(noempty-inter-corea (cons pie (odr p1))
(cons p2e (odr p2 ))))
((noempty-inter-oores (oons p2e (odr p2))
(oons pie (odr p1)))))))))
[Непересекающиеся ядра
[Комбинирует информацию pi и р2. Эта комбинация является
[аппроксимацией нормированного пересечения нечетких множеств.
[Повторная нормировка производится тогда, когда функции
[распределения, содержащиеся в pl и р2, имеют непересеквющиеся
[ядра. Аппроксимация берется, когда реальное пересечение не дает
[информации в виде функция распределения + неопределенность.
[Процедура аппроксимации возвращает пару вида (трапеция
[неопределенность), в которой трапеция очень близка к меньшей
[трапеции, содержащей распределение, которое было бы получено без
[аппроксимации. Таким образом, эта аппроксимация возвращает вполне
[достоверный, но менее специфичный результат по сравнению с точным
[пересечением.
;pi и р2 - пары, состоящие из трапеции и ее степени
[неопределенности (или степени невозможности).
[Возвращает список, составленный из четверки (представляющей
[трапециевидное распределение) и числа (степени невозможности,
[характеризующей данное распределение)
(de empty-inter-oores (p1 p2)
(slet ((pie (eval (carpi))) (p2e (eval (carp2)))
(yi nil)(xi nil) core nil) delta nil)
244
(u1r (plus (oadr p1 e)(oadddr p1e)))
(u21 (differ (oar p2e) (oaddr p2e)))
(u2r (plus (cadr p2e)(oadddr p2e)))
(u1l (differ (oar pie) (oaddr p1e))))
(oond ((and (< u211 u1r)
(setq xi (divide (plus (times u21 (oadddr pie))
(times u1r (oaddr p2e)))
(plus (oaddr p2e)(oadddr pie))))
(> (mu xi p12) (maxr (oadr p1)(oadr p2))))
;Самая большая степень пересечения pie и р2е >
;самой большой степени неопределенности
(oond ((<= (oadr p1)(oadr р2))
(setq yi (mu xi pie) oore (list xi xi))
(noono oore
(list
(if (= (oadr p1 )(oadr p2))
(divide (differ xi (oar (mu-1
(oadr p1) p2e)))
(differ 1 (setq delta (divide
(oadr p1) yi))))
(divide (differ xi (oar (mu-1
(oadr p1) p1e)))
(differ 1 (setq delta (divide
(oadr p1 ) yi)))))
(divide (differ (oadr (mu-1 (oadr p1) pie)) xi)
(differ 1 delta)))))
(list ’ ""delta))
(t (setq yi (mu xi pie) oore (list xi xi))
(setq ""
(noono oore
(list
(divide (differ xi (oar (mu-1
(oadr p2) p2e)))
(differ 1 (setq delta (divide
(oadr p2) yi))))
(divide (differ (oadr (mu-1 (oadr p2) p2e)) xi)
(differ 1 delta)))))
(list '""delta))))
(t (oond ((<= (oadr p1)(oadr p2))
(setq core (mu-1 (oadr p2) pie))
(setq ~
(noono oore
(list
(divide (differ (oar oore) (oar (mu-1
(oadr p1 ) pie)))
(differ 1 (setq delta (divide
(oadr p1)(oadr p2)))))
(divide (differ (oadr (mu-1 (oadr p1 ) pie))
(oadr oore))
(differ 1 delta)))))
(list ’""delta))
(t (setq oore (mu-1 (oadr p1 ) p2e))
(noono oore
(list
(divide (differ (oar core) (oar (mu-1
(oadr p2) p2e)))
(differ 1 (setq delta (divide
(oadr p2)(oadr p1)))))
(divide (differ (oadr (mu-1 (oadr p2) p2e))
(oadr oore))
(differ 1 delta)))))
(list '""delta)))))))
245
(de noempty-inter-оогев (q1 q2)
(let ((p1e (oar
(oond ((< (oadr
(setq

q1)) (p2e (oar q2)))
q1)(cadr ц2));Второй элемент более неопределенный
(list (oar p2e)(minr (oadr p1e)(oadr p2e))
(divide (differ (oar p2e)(oar (mu-1
(oadr q1 ) pie)))
(differ 1 (oadr q1)))
(if (> (oadr p1e)(oadr p2e))
(divide (differ (oadr (mu-1 (oadr q1 )
pie)
(oadr p2e))
(differ 1 (oadr q1 )))
(oadddr q1 ))))
(list (oadr q1 )))
~ (list (oar p2e)(minr (oadr p1e)(oadr p2e))
(oaddr p2e)
(if (> (oadr pie) (oadrp2e))
(oadddr p2e)
(if (= (oadr q1 ) (oadr q2)) (oadddr pie)
(divide (differ (oadr (mu-1 (oadr q2)
p2e)
(oadr pie))
(differ 1 (oadr q2)))))))
(list (oadr q1))))))
(defun mu-1 (у quad)
(oond ((= У 1 ) (Het (oar quad) (oadr Quad)
((aerop y)(list (difference (oar quad)(oaddr quad )
(plus (oadr quad) (oadddr quad))))
((aerop (oaddr quad))
(oond ((aerop (oadddr quad))
(list (oar quad)(oadr quad)))
(t (list (oar quad) (plus (times (oadddr quad)
(difference 1 y)) (oadr quad))))))
((aerop (oadddr quad)) (list (plus (times (oaddr Quad
U	(difference у 1))(oar quad))(oadr quad)))
(t (list (plus (times (oaddr quad) (difference у 1))
(oar quad))
•	(plus (times (oadddr quad)
difference у 1)) (oadr quad))))))
;Для получения величины, обратной степени "у" функции
;принадлежности, определяемой четверкой "quad  с „„пинанных
;Возвращает пару чисел, представляющую собой либо 2 единственных
-.значения со степенью принадлежности "у", либо две границы .
;интервала, все элементы которого имеют значение принадлежности у
;(в этом случае "у" равно 1)
246
(defun oomb ()
(let ((negposit (trinegpoeit (mapoar ’cdr (get nf ’provident))
nil nil)))
(oond ((null (oar negposit)) (list (apply 'maxr
(oadr negposit)) 1))
((null (oadr negposit)) (list 0 (apply 'minr
(oar negposit))))
(t (normalise (apply 'maxr (oadr negposit))
(apply 'minr (oar negposit)))))))
-.Комбинирует пары neo-pos, которые связаны с фактом "nf" через
;свойство "источник".
Первоначально положительные и отрицательные составляющие
рассматриваются отдельно, затем полученные результаты
комбинируются с помощью "нормированной" функции
(defun trinegpoeit (li neg posit)
(oond ((null li) (list neg posit))
((< 0 (oaar li)) (trinegpoeit (odr li)
neg (oons (oaar li) posit)))
(t (trinegpoeit (odr li) (oons (oadar li) neg) posit)))
;Разделяет отрицательные и положительные пес-ров пары
; (вида (О ров) и (пео 1) сответсЛенно
(defprop mult *f ffloue) (defprop plus +f ffloue)
(defprop differ -f ffloue) (synonymq mul times)
(de +f (args)
(oond ((null odr args))
(if (eq (atomoar (oar args))) (eval (oar args))
(list (oar args) (oar args) 0 0)))
(t (+f2arg
(if (eq (atomoar (oar args))) (eval (oar args))
(list (oar args) (oar args) 0 0))
(+f (odr args))))))
;Для сложения четких и нечетких аргументов
(de -f (args)
(oond ((null odr args))
(if (eq (atomoar (oar args))) (eval (oar args))
(list (oar args) (oar args) 00)))
(t (-f2arg
(if (eq (atomoar (oar args))) (eval (oar args))
(list (oar args) (oar args) 0 0))
(-f (odr args))))))
;Для вычитания четких и нечетких аргументов
(de *f (args)
(oond ((null odr args))
(if (eq (atomoar (oar args))) (eval (oar args))
(list (oar args) (oar args) 00)))
(t (»f2arg
(if (eq (atomoar (oar args))) (eval (oar args))
(list (oar args) (oar args) 0 0))
(*f (odr args))))))
;Для умножения четких и нечетких аргументов
(de +f2arg (а1 а2)
(list (plus (oar a1)(oar a2)) (plus (oadr a1) (oadra2))
(plus (oaddr a1)(oaddr a2)) (plus (oadddr a1) (oadddr a2))))
;Сложение двух распределений "al" и "a2", заданных в форме
;трапеций
247
(de -f2arg (а1 a2)
(list (differ (oar a1)(car a2))
(differ (oadr a1 ) (oadr a2))
(plus (oaddr a1)(oaddr a2))
(plus (oadddr a1) (oadddr a2))))
;Вычитание (-al ай), где "al" и "ай" заданы в форме трапеций
(de *f2arg (а1 а2)
(list (tunes (oar a1)(oar a2)) (times (oadr a1 ) (oadr a2))
(plus (times (differ (oar a1)(oaddr a1 )) (oaddr a2))
(times (oar a2) (oaddr a1)))
(plus (times (oadr a2) (oadddr a1 ))
(times (plus (oadr a1 ) (oadddr a1 )) (oadddr a2)))))
Умножение двух распределений "al" и "ай", заданных в форме
;трапеций
(defun mu (х quadr)
'(oond ((and (<= x (oadr quadr)) (<= (oar quadr) x)) 1)
((or (<= (plus (oadddr quadr) (oadr quadr)) x)
(<= x (difference (oar quadr) (oaddr quadr)))) 0)
((< x (oar quadr)) (divide (plus x (oaddr quadr)
(* -1 (oar quadr))) (oaddr quadr)))
(t (divide (plus (* -1 x) (oadr quadr)(oadddr quadr))
(oadddr quadr)))))
;Степень принадлежности "x" нечеткому множеству (или функции
распределения возможностей), определяемой четверкой "quadr"
(defun mpq ()
(let ((lambdal nil))
(oond ((= 1 (setq lambdaO (apply ’maxr (mapoar ’deltal a aO))))
'"'indetermine)
((= 1 (setq lambdal (apply ’minr (mapoar ’looallambdal a
aO)))) oe)
(list (differ (oar oe) (times (oaddr oe)(differ 1 lambdal)))
(plusr (oadr oe) (times (oadddr oe)(differ 1 lambdal)))
(divide (times lambdal (oaddr oe))(differ 1 lambdal))
(divide (times lambdal (oadddr oe))(differ 1 lambdal)))))))
;Обобщенное правило "модус поненс".
;Функция "mpg" вычисляет аппроксимацию результата применения
обобщенного правила "модус поненс" в точной форме. Эта
;аппроксимация описана в приложении 4.1. Возвращает список из
;четырех элементов, характеризующих полученное распределение и
;вычисляет связываемый с ним общий уровень неопределенности
;"lambdaO". "lambdal" есть степень включения ядра распределений
;фактов в распределения, характеризующие посылки (более подробные
;сведения о "lambdaO" и "lambdal", играющих оонвную роль при
вычислениях по обобщенному правилу "модус поненс" см. выше).
;3начение "не определена" относится к функции распределения,
;выражающей полную неопределенность (повсюду равна 1)
(defun deltal (а1 аО1 )
(let ((u1 nil) (u2 nil) (ale nil) (a01e nil))
(oond ((null aO1) (print "err ds deltal"))
((not (eq (atomoar (oar aO1)))) (oadr aO1 ))
((not (eq (atomoar (oar a1))) 1)
((setq u1 (differ (oar (setq ale (eval a1)))(oadar ale))
u2 (plus (oadr ale) (oaddr ale)))
(oond ((or (< (oar (setq a01e (eval (oar aO1)))) u1 )
(< u2 (oadr aO1e))) 1 )
((serop (oadddr a01e))
(oond ((serop (oaddr a01e)) (oadr aO1 ))
(maxr (mu u1 a01e) (oadr aO1 ))))))
248
((zerop (oaddr a01e))(maxr (mu u2 a01e)(cadr aO1 )))
((maxr (mu u1 a01e)(muu2 a01e) (oadr aO1))))))))
;Вычисление общего уровня неопределенности, получаемого в
результате сопоставления функции распределения посылки "а1" с
;"а01" (распределение и его степень невозможности для
;соответствующего факта)
(defun locallambdal (а1 аО1)
(let ((ale nil) (a01e nil))
(oond ((null aO1 ) (print "err ds looallambdal "))
((not (eq (atomoar (oar aO1)))) 1)
((setq a01e (eval (oar aO1))) (setq a1e (eval a1))
(minr (mu (oar a01e) a1e)(mu (oadr aO1 e) ale))))))
;Возвращает степень включения ядра распределения, связываемого с
;некоторым фактом, в распределение, связываемое с соответствующей
;посылкой
(defun ровоо (о1 о2)
(let ((—х (difference (oadr о2) (саг о1 )))
(-у (difference (oadr о1 ) (oar о2))))
(oond ((<= (maxr -х -у)
(plus (difference (oadr о1 ) (oar о1 ))
(difference (oadr o2) (oar o2) ))) 1)
((> -x -У)
(oond ((and (zerop (oaddr o2))(zerop (oadddr o1 ))) 0)
(t (born (divide (difference (oar c2) (oadr 01))
(plus (oadddr o1) (oaddr o2)))))))
((> -y -x)
(oond ((and (zerop (oaddr c1))(zerop (oadddr o2))) 0)
(t (bom (divide (difference (oar o1 ) (oadr o2))
(plus (oadddr o2)(oaddr o1))))))))))
;Вычисление возможности "o1" при известной "o2" ("o1" и "o2" -
(defun bom (x) (maxr 0 (* -1 (1- x))))
(defun neooo (o1 o2)
(oond ((and (zerop (oaddr o1 ))(zerop (oaddr o2))
(zerop (oadddr o1))(zerop (oadddr o2)))
(oond ((< (oar o2) (oar c1 )) 0)
((<= (oadr o2) (oadr o1)) 1 )
(t 0)))
((and (zerop (oadddr o1 ))(zerop (oadddr o2)))
(oond ((< (oadr o1 ) (oadr o2)) 0)
(t (minr 1 (maxr 0 (divide
(plus (oaddr c1) (oar o2)
(* -1 (oar o1)))
(plus (oaddr o2)
(oaddr d ))))))))
((and (zerop (oaddr o1 ))(zerop (oaddr o2)))
(oond ((< (oadr o2) (oadr o1 )) 0)
(t (minr 1 (maxr 0 (divide
(plus (oadddr o1) (oadr o1)
(* -1 (oadr o2)))
(plus (oadddr o2)
(oadddr o1))))))))
(t (minr 1 (minr (maxr 0 (divide
(plus (oaddr c1) (oar c2)
(* -1 (oar o1 )))
(plus (oaddr o2)
(oaddr o1 ))))
(maxr 0 (divide
(plus (oadddr o1 ) (oadr o!)
249
(» -1 (oadr o2)))
(plus (oadddr o2)
(oadddr o1 )))))))))
вычисление необходимости "о1" при известном ”о2", ("о1" и "с2" -
;функции распределения в виде четверок)
(de >supinf (р q)
(oond ((<= (plus (oadr p) (oadddr p))
(differ (oar q) (oaddr q))) '(00))
((>= (oadr p) (oar q)) '(01))
(list 0 (posoo p q)))))
;Пусть X и Y - две переменные, области значений которых ограничены
распределениями "р" и "q".
;функция ">supinf" возвращает пару вида (О %), где 1С - возможность
;присвоения переменной X по меньшей мере столь же большого
;значения, что и переменной Y (т.е. возможность того, что
;наиболыпие значения, принимаемые переменной X, по меньшей мере
равны наименьшим значениям, принимаемым переменной Y)
(de >infsup (р q) (list (differ 1 (oadr Oeupinf q p))) D)
;Пусть X и Y - две переменные, области значений которых ограничены
распределениями "р" и "q".
;Функция ">infвир" возвращает пару вида (N 1), где N - необходимость
;присвоения переменной X лишь тех значений, которые больше
;присваиваемых переменной Y (т.е. необходимость того, что
;наименьшие значения, принимаемые переменной X, больше наибольших
;значений, принимаемых переменной Y)
(de >infinf (р q) (list (oadr Oeupinf (ppvp p) q)) D)
;Пусть X и Y - две переменные, области значений которых ограничены
распределениями "р" и "q".
;Функция ">infinf" возвращает пару вида (N 1), где N - необходимость
;того, что наименьшие значения, принимаемые переменной X,
;по меньшей мере равны наименьшим значениям, принимаемым
;переменной Y
(de ppvp (р)
(list (differ (oar p)(oaddr p)) (differ (oar p)(oaddr p)) 0
(oaddr p)))
;Наименьшие возможные значения "p"
(de >supsup (p q) (list 0 (oadr Oeupinf p (pgvp q))))
;Пусть X и Y - две переменные, области значений которых ограничены
;раопределениями "р" и "q".
;Функция ">вирвир" возвращает пару вида (О тс), где 1С - возможность
;того, что наибольшие значения, принимаемые переменной X, больше
Наибольших значений, принимаемых переменной Y)
(lisT^plue (oadr q) (oadddr q)) (plus (oadr q) (oadddr q))
(oadddr q) 0))
(de =ров (p q)
(list 0 (minr (oadr Oeupinf p q))
(differ 1 (oar Oinfsup p q))))))
;Пусть X и Y - две переменные, области значений которых ограничены
распределениями "р" и "q".
;Функция "=ров" возвращает пару вида (О %), где % - возможность
;присвоения переменным X и Y общего значения
(de =neo (р q)	...
(list (minr (oar Oinfinf p q)) (differ 1 (oadr Osupsup p q)))
250
Idiffer 1 (oadr (^supsup q p)))(oar C>infinf q p)))
;Пусть X и Y - две переменные, области значений которых ограничены
;распределениями "р" и "q".
;Функция "=пео" возвращает пару вида (N 1), где N - необходимость
;присвоения переменным X и Y одного и того же значения,
совместимого с "р" и "q", каким бы ни было это значение
(dmo |Q| () (list 'predicat (read)))
;Макрос "read". Символ О в посылке должен стоять перед любым
;предикатом, используемым для сравнения нечетких чисел (например,
;(Q >supinf ?х ?у))
(defun crosref (regies)
(cond ((null regies) nil)
((crlrg (cadr (eval (oar regies))))(crosref
(cdr regies)))))
;Используется для придания каждому атрибуту списка правил.
;"regies" - множество правил, анализируемых поочередно с помощью
; "crlrg"
(defun crlrg (х)
(let ((u nil) (v nil))
(oond ((null x) t)
(member (oar regies) (get (oaar x) ’orosref))
(crlrg (cdr x)))
(t (putprop (oaar x) (append (get (oaar x) ’crosref)
(list (oar regies))) ’orosref)(or1 rg (cdrx))))))
;Анализ части "следствие" ("x") правила (oar regies)
(defun attrfait (bf)
(cond ((null bf) nil)
(t (putprop (setq x (car (eval (car bf))))
(append (get x ’pbf) (list (oar bf))) ’pbf)
(putprop (car bf) t ’exhausted)
(attrfait (cdr bf))))))
;Для придания каждому атрибуту списка содержащих его фактов.
;Процедура полезна для ускорения фазы "сопоставления с образцом'
(de getsoun (1)
(cond ((numberp 1) 1)
((eq (car 1)) (* -1 (oalsoun (odr 1))))
((oalsoun 1))))
;Возвращает соответствующие значения для "в" и "n". "1" есть
;последняя (для "п") или предпоследняя (для "в") составляющая
;пятерки, определяющей заключение.
;Если эта составляющая есть число, то оно и является искомым. В
•.противном случае, эта составляющая есть список, показывающий, что
;"s" и "п" получаются из таблицы.
;Напомним, что знак минус позволяет выразить отрицательное
заключение (т.е. заключение, являющееся отрицанием информации,
содержащейся в первых трех элементах пятерки)
(de oalsoun (1)
(let ((intd (get nrg (oar 1))) (ret nil))
(apply 'minr (intervok
(mapcar '(lambda (x)
(cond ((numberp (setq у (саг (cassq х
Jeu))))
((null у) nil)
((firstn 2 (eval у))))))
(cdr 1))
intd))))
251
;Восстанавливает степени достаточности и необходимости.
Здесь "intd" - таблица, определяющая, какая степень (для s или п)
связана с тем или иным значением (множеством значений) параметров.
Эти параметры представляют собой переменные, значения которых
должны восстанавливаться в "jeu". Поскольку такие значения не
обязательно являются точными числами, вычисление степени должно
производиться с помощью процедуры "intervok"
(de intervok (pnorf id)
(oond ((null pnorf) (print
"Pour info: "nrg" ne peut etre instanoiee") 1)
((null id) (if ret ret '(0)))
((setq d (oheokint pnorf (oar id))) (newl ret d)
(intervok pnorf (odr id)))
((intervok pnorf (odr id))))))
;3десь "id" - таблица, определяющая, какая степень (для в или п)
;связана с тем или иным значением (множеством значений) параметров.
;Эта таблица (задаваемая экспертом) имеет вид
(((а1 Ы)(а2 Ь2) .4) ((а1 Ы)(о2 d2) .6) ...), где пары
;(ai bi) представляют собой интервалы (здесь в или п зависят от
;двух параметров), "pnorf" есть список интервалов или чисел,
характеризующих ядра значений параметров (составляющие "значение"
;фактов). функция "intervok" возвращает список степеней (для в или
; п),связываемых с теми элементами "id", которые имеют непустое
пересечение с элементами "pnorf". "calsoun" сохраняет наименьшую
;из этих степеней (что соответствует осторожному поведению)
(de oheokint (pnorf ints-d)
(oond ((numberp (oar ints-d)) (oar ints-d))
((nonvide (oar pnorf) (oar ints-d))
(oheokint (odr pnorf) (odr ints-d)))))
;3десь "ints-d" есть элемент "id" (см. функцию "intervok"), т.е.
;список интервалов + степень.
;Функция "oheokint" возвращает эту степень, если каждый из
;интервалов имеет непустое пересечение с соответствующим интервалом
;"pnorf"
(de nonvide (pnor int)
(oond ((numberp pnor) (and (>= pnor (oar int))
(< pnor (oadr int)))
((or (and (>= (oar pnor) (oar int))
(< (oar pnor) (oadr int)))
(and (>= (oadr pnor) (oar int))
(< (oadr pnor) (oadr int)))))))
;Возвращает нуль, если "pnor" имеет пустое пересечение с "int"
(de examine (f)
(let ((dum nil))
(oond ((and (member f bf) (get f ’provident))
(print "Le fait " f " = " (eval f) "provident de ")
(mapoar ’(lambda (x)
(if (= (length x) 4)
(progn
(print " " (oar x)
"qui a donne 1'incertitude"
"(neoeeeite-poBBibilite) "
(lastn 2 x))
(print " et la oomposante valeur "
(oadr x)
"representee par la distribution")
(print " parametree = " (eval (oadr x))))
(print " " (oar x)
252
"qui a donne 1’incertitude"
"(necessite-possibilite) "
(lastn 2 x))
(if (setq dum (get f (car x)))
(progn
(print
" le ou les instanoiations des variables de"
(oar x) "etant") (affiche dum))
(get f ’provident))
(print "Son incertitude est done exprimee par la paire"
(get f ’cert))
(if (= (length (oar (get f ’provident))) 4)
(pro^n
(print "et la oomposante valeur est represntee
par la quadruplet")
(print (eval (oaddr (eval f)))))
t))
((member f bf)
(print f " = " (eval f)
" est un fait initial dont 1’incertitude")
(print "est donnee par la paire necessite-possibilite "
(if (setq dum (get f ’cent)) dum ' (1 1))) (terpri))
(t (setq dum (eval f)) (affiche dum)))
•fin))
;Вывод результатов на печать. Аргумент есть либо имя факта, либо
произвольный атом. В первую очередь, это полезно для фактов,
;поскольку здесь объединяется вся соответствующая информация
(setq ~indetennine "полная неопределенность")
(df affiche (х)
(if (boundp X) (null (pprint (eval x)))
(null (pprint (getdef x)))))
качественная печать
(de atomcar (x) (car (explodeoh x))
(de atomedr (x) (implode (odr (explode x)))))
(dm minr (minr . x)
(list 'oond
(list (null x) (list "print "err minr"))	.
(list (null (odrx)) (carx))
(list (list '< (cons 'minr (odr x) (oarx)))
(list t (oar x))))
вычисляет минимальное значение в списке значений "х” (целые или
действительные числа)
(dm maxr (шахт . х)
(list 'oond
(list (null x) (list "print "err maxr"))
(list (null (odrx)) (carx))
(list (list ’> (cons 'maxr (odrx) (carx)))
(list t (oar x))))
;Вычисляет максимальное значение в списке значений "х" (целые или
действительные числа)
; КОНЕЦ ОПИСАНИЯ МАШИНЫ
j***************************************************************
; Файл, вводимый для вызова машины SPII на базе знаний,
;обозначаемой "знания" и базе фактов, обозначаемой "факты"
253
(de spii() ;Функция вызова машины SPII
(terpri) (terpri)
(print " *** SPII Система обработки неточной ")
(print " и неопределенной информации »**")
(terpri)
(print " Реализована по контракту с фирмой Elf Aquitaine группой")
(print " Искусственного интеллекта и робототехники :")
(print " Коммуникация, решение, рассуждения в лаборатории")
(print "	информационных систем Университета ")
(print "	Поля Сабатье, г.Тулуза")
;Конец загрузки машины SPII
j»»»*»*»»»»»»»»»»»*»*»»»»»»»»»»
БАЗА ИСХОДНЫХ ФАКТОВ
(setq 11 ’(уровень образования у кандидата - хороший))
(defprop f! (.81) cert) ; Необходимость = .8, возможность = 1
(setq f2 ’(коэффициент интеллектуальности у кандидата ~12))
(defprop f2 (1 1) cent)
(setq f3 '(английский устный у кандидата - довольно хорошо))
(defprop f3 (.9 1) cent)
(setq f4 '(английский письменный у кандидата ~5—7))
(defprop f4 (1 1) oert)
(setq f5 '(опыт у кандидата - большой))
(defprop f5 (1 1) cert)
(setq f6 '(адаптируемость у кандидата - хорошая))
(defprop f6 (0 .6) cert) ; f6 есть скорее ложный
(setq f7 '(ертистидеокие способности у кандидата - хорошие))
(defprop f7 (О .2) cert) ; f7 есть скорее ложный
(setq f8
(defprop
'(спортивные способности у кандидата - хорошие))
f8 (1 1 ) cent)
(setq bf ’(f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8)) ; Множество исходных фактов
;функции распределения возможностей, используемые в фактах
;(еще не определенные для правил).
(setq довольно хорошо '(14 13 1 1))
(setq ~5-7 ’(5711))
(setq ~12 ' (12 12 2 1 ))
; КОНЕЦ БАЗЫ ИСХОДНЫХ ФАКТОВ
;**********************4,*4,«**«««v««a»«K*
254
БАЗА ЗНАНИЙ
(print " База знаний, позволяющая оценить профессиональную ")
(print "	пригодность кандидата")
;Эта база знаний иллюстрирует далеко не все возможности SPII
; (см. сс:------------ '---- ------- .. _ .
(terpri)
ссылки на другие более сложные примеры)
-) (terpri)
(setq г1
(setq г2
'(((специальные способности у кандидата - хорошие))
((оценка кандидата хорошая .7 О))));Достаточность = .7,
;Необходимость = О
'(((коэффициент интеллектуальности у кандидата ""10-14)
(английский у кандидата ~6-9))
((баллы,полученные при тестировании кандидата - средние)))
(putprop 'г2 t ’floue) ;Правило г2 должно использоваться
;с обобщенным правилом "модус поненс"
(setq гЗ '(((коэффициент интеллектуальности у кандидата "'14-20)
(английский у кандидата ~6-9))
((баллы,полученные при тестировании кандидата - хорошие)))
(putprop 'гЗ t 'floue) ;Правило гЗ должно использоваться
;с обобщенным правилом "модус поненс"
(setq г4 '(((коэффициент интеллектуальности у кандидата ~1О-14)
(английский у кандидата "'9-20))
((баллы,полученные при тестировании кандидата
-	удовлетворительные)))
(putprop 'г4 t ’floue) ;Правило г4 должно использоваться
;с обобщенным правилом "модус поненс"
(setq г5 ’(((коэффициент интеллектуальности у кандидата "'14-20)
(английский у кандидата "'9-20))
((баллы,полученные при тестировании кандидата
-	превосходные)))
(putprop г5 t ’floue) ;Правило г5 должно использоваться
;с обобщенным правилом "модус поненс"
(((опыт у кандидата - большой)
(адаптируемость у кандидата - хорошая))
((базовые способности у кандидата - хорошие .7 .4))))
(setq тЧ '(((базовые способности у кандидата - хорошие))
((оценка кандидата хорошая 1 1))))
(setq r8
(setq г9
(((способности к физическому труду у кандидата
- хорошие))
((специальные способности у кандидата
-	хорошие .6 О))))
(((спортивные способности у кандидата - хорошие))
((специальные способности у кандидата
-	хорошие .7 .5))))
(setq гЮ '(((артистические способности у кандидата - хорошие))
((специальные способности у кандидата
-	хорошие .8 О))))
(setq П1 '(((уровень образования у кандидата - хороший)
(баллы,полученные при тестировании кандидата
- приемлимые))
((базовые способности у кандидата - хорошие 1 1))))
255
setq г12 '(((английский устный у кандидата ~6-9)
(английский письменный у кандидата
- приемлимо))
((английский по результатам тестирования
- посредственно))))
putprop ’r12 t 'floue);Правило г12 должно использоваться
;с обобщенным правилом "модус поненс"
setq г13 '(((английский устный у кандидата - приемлимо)
(английский письменный у кандидата
-	приемлимо))
((английский по результатам тестирования
-	хорошо))))
putprop 'r13 t 'floue);Правило г1 3 должно использоваться
;с обобщенным правилом "модус поненс"
setq г1 4 '(((английский устный у кандидата - приемлимо)
(английский письменный у кандидата ~6-9))
((английский по результатам тестирования
-	удовлетворительно))))
putprop 'r14 t 'floue);Правило г1 4 должно использоваться
;с обобщенным правилом "модус поненс"
setq regies •(r1
.Множество правил
.Определение функций распределения возможностей в форме
; трапеций
setq приемлимо ’(13 19 4 1))
setq "'9-20 '(9 20 1 О))
setq ~6-9 ’(6 9 2 2))
setq посредственно '(11 12 3 1))
setq хорошо '(15 16 2 1))
setq удовлетворительно '(12.5 14 1.5 1))
setq превосходно '(17 20 2 О))
, КОНЕЦ БАЗЫ ЗНАНИЙ
ПРИМЕР РАБОТЫ И КОММЕНТАРИИ
(apropos '(qualite candidat ok)) Запрос относительно кандидата
jertltude = ( 7.00000E-1 1 ) Пара "необходимость-возможность,
fin	возвращаемая системой
>f	Состояние базы фактов = 5 новых фактов
= (f1 f2 f3 Г4 f5 f6 f7 f8 f101 f102 f103 f 104 f105)
'examine *f101)
)акт f101 = (специальные способности кандидата - хорошие) следует
53 правила г9,дающего уровень неопределенности
7.00000Е-1 1.ООООООЕО).
Следовательно, его уровень неопределенности выражается парой
. 7.ОООООЕ"1 1.ОООООЕО)
- fin
examine >f102)
>акт f102 = (оценка кандидата - хорошая) следует
13 правила гЭ,которое дает уровень неопределенности (7.СЮОООЕ-1 1)
I г7,которое дает уровень неопределенности (3.939394Е-1 1)
Следовательно, его уровень неопределенности выражается парой
- fin
’56
2. ПРОГРАММА ДЕДУКТИВНОГО ВЫВОДА С НЕОПРЕДЕЛЕННЫМИ ФАКТАМИ
И ПРАВИЛАМИ
Константы
oui = 1
non = О
maxfait = 20
maxnoeud = 1ОО
STRSIZ 80
'Считывание правил :
(Да
(Нет
!Максимальное число фактов
!Максимальное число узлов
read nbreglee
dim premiese*(nbregles), ooncl*(nbregles)
dim necessity(nbregles), sufficienoy(nbregles)
for I = 1 to nbregles
read premieset(I),conclt(I).necessity(I).sufficiency(I)
{Считывание базы фактов
dim fait$(maxfait), neofait(maxfait), posfait(maxfait)
read nbfait
for I = 1 to nbfait
read faitt(I).neofait(I).posfait(I)
next I
{Резервирование памяти для дерева доказательства
dim noeud*(maxnoeud)		{Дерево доказательств
dim	ров(maxnoeud)	(Возможность узла
(j ~i hi	nec(maxnoeud)	{Необходимость узла
dim	determine(maxnoeud)	!Да,если pos О 1 и пес О 1, (нет в противном случае
dim	pere(maxnoeud)	{Указатель к предшествующему {узлу
dim	nbfils(maxnoeud)	(Число последующих вершин для {данного узла
dim	premf i1в(maxno eud)	(Индекс первой последующей {вершины
dim	nbfIsexam(maxnoeud)	(Число уже рассмотренных {последующих вершин
dim	nbrfiledetermine(maxnoeud)	{Число уже обоснованных
{последующих вершин
{Управление программой
MENU:	{МЕНЮ
print tab (-1.0)
CONTROLE:	{УПРАВЛЕНИЕ
print tab(1O);"1. Консультация с базой фактов"
print tab(10);"2. Определение достоверности факта"
print tab(1O);"3. Конец"
print
print "Выбор решения : "
REPONSE:	(ОТВЕТ
input R
if Rd or R>3 then goto REPONSE
on R goto CONSULT’FAIT,DEM'FAIT,SORTIE
CONSULT'FAIT:
for 1=1 to nbfaits
print tab(10);"l."
next I
goto CONTROLE
258
{КОНСУЛЬТАЦИЯ С БАЗОЙ ФАКТОВ
DEM'FAIT:	’.ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДОСТОВЕРНОСТИ ФАКТА
INPUT " ОПРЕДЕЛЯЕМЫЙ ФАКТ: ".faitadett
gOBub INIT'DEM
Т=1
TO=1
noeud>(TO) = faitadetl
gosub DETERMINER'FAIT
print determine(TO),nec(TO),pos(TO)
GOTO CONTROLS
SORTIE:
!ВЫХОД
МАШИНА ВЫВОДА
ПОДПРОГРАММА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФАКТА DETERMINER’FAIT
! Эта подпрограмма определяет достоверность факта,
(соответствующего узлу ТО. Она оценивает возможность и
(необходимость истинности данного факта, причем если интервал
(неопределенности отличен от [0,1], то она приписывает ТО значение
("да", в противном случае она приписывает значение "нет".
(Оценка достоверности факта получается либо в результате
(консультации с базой фактов, либо за счет применения одного или
(нескольких правил, определяющих заключение
DETERMINER'FAIT:
!Если TO соответствует известному узлу, то он уже определен
for 1=1 to nbfaitB
if noeudt(TO) = fait«(I) then &
pos(TO)=pos fai t(I):&
ne о(TO)=neofai t(I):&
de t ermine(TO)=oui:&
I=nbfaits
if determine(ТО)=oui then return
!Тогда TO может соответствовать заключению правила
for 1=1 to nbregles
if noeudl(TO) = oonclt(I) then &
T=T+1:&
noeudl(T)=STR(I):&
pere(T)=TO:&
nbfils(T0)=nbfils(T0)+1 :&
if nbfils(TO)=1 then premfils(TO)=T
next I
(Если TO не является заключением никакого правила,
(то факт необоснован
if nbfils(TO) = О then &
nec(TO)=O:&
pos(T0)=0:&
determine(TO)=non:&
return
!B противном случае надо попытаться применить каждое правило
for nbflsexam(T0)=1 to nbfils(TO)
TO=premfils(TO)+nbfIsexam(TO)-1
gosub APPLIQUER’REGLE
next nbflsexam(TO)
259
провести комбинацию результатов
premfils(TO)+nbfils(TO)-1
then &
!правил и тогда следует
р=1
п=0
for I=premfils(TO) to
if determined )=oui
p=p min pos(I):&
n=n max nec (I)
next I
!Нормировка
ров(ТО)=р/((1-n) max p) '
nec (T0)=1 -(1 -n)/( (1-n) max p)
if pos(TO)<>1 or nec(T0)<>0 then determine(TO)=oui
return
ПОДПРОГРАММА ПРИМЕНЕНИЯ ПРАВИЛА APPLIQUER’REGLE
(Эта подпрограмма применяет правило, номер которого соответствует
!узлу (ТО). Вначале подпрограмма пытается установить справедливость
!каждой посылки и если хотя бы одна из них определена, то она
!запускается, приводя к распространению неточно определенной
! информации
APPLIQUER’REGLE:
(Строится лист дерева - определяемая посылка
CH>=premisBe#(VAL(noeudi(TO)))
PREMISSE:	! ПОСЫЛКА
gosub ТЕТЕ'QUEUE
Т=Т+1
noeudt(Т)=TETEt
реге(Т)=ТО
nbfils(TO)=nbfils(T0)+1
if nbfils(TO)=1 then premfils(TO)=T
if QUEUE»O’”' then &
CH»=QUEUEt:&
goto PREMISSE
(Затем надо установить, определена ли каждая посылка
for nbflsexam(T0)=1 to nbfils(TO)
TO=premfils (TO) -t-nb f Isexam (TO )-1
gosub DETERMINER'PAIT
if determine(TO)=oui &
nbrfilsdetermine(pere(TO))=nbrfilsdetermine(pere(TO))+1
TO=pere(TO)
next nbfIsexam(TO)
(Если никакая посылка не обоснована, то правило неприменимо
if nbrfilsdetermine(Т0)=0 then &
ров(Т0)=1:&
пес(ТО)=О:&
de t ermine(ТО)=non:&
TO=pere(ТО):&
return
(В противном случае хотя бы одна посылка определена
(Тогда вычисляется максимальная степень неопределенности
п=1
р=1
for 1=1 to nbfils(ТО)
n=n min neo(premfils(TO)+I-1)
p=p max ров(premfils(TO)+I-1)
next I
260
!Распространение неточно определенной информации
posiTO)=p max И-necessity(VAL(noeudS(TO))))
neciT0)=n mm sufficiency(VAL(noeudS(TO)))
'Возврат на верхний уровень
if neo(TO)<>0 or pos(T0)<>1 then determine(TO)=oui :&
nbrfilsdetermine(pere(TO))=nbrfilsdetermine(pere(TO))+1
T0=pere(T0)
return
ПОДПРОГРАММА ТЕТЕ'QUEUE
! Эта подпрограмма извлекает из списка символов ОН, разделенных
.'точками (например, "a.b.o.d"), первый елемент и помещает его в
!список TETES (например, "а"), а оставшиеся елементы включает в
'список QUEUES (например, "b.o.d")
ТЕТЕ'QUEUE:
I1=INSTR(1,CHS,".“)
if 11=0 then TETES=CHS:QUEUE*='"' &
else TETES=CHS [1,11]: QUEUES=CHS [i1 +1,LEN(CHS)]
ПОДПРОГРАММА INIT'DEM
Эта подпрограмма повторно инициализирует все массивы, служащие
для представления дерева -доказательства
INIT'DEM:
!Подпрограмма, повторно инициализирующая массивы, составляющие
!дерево доказательств
print "Инициализация"
for 1=1 to Т
noeudS(I)=O
реге(1)=0
determine(1)=0
nbfils(I)=0
premfilsd)=0
nbflsexam(I)=0
nbrfilsde termine(I)=0
return
++IHCLUDE SELECT.BSI
rem База знаний :
rem-------------------
data 17
data "Хороший интеллектуальный уровень. Человеческие качества"
data "Хорошая оценка",1,1
data "Хорошая профессиональная подготовка"
data "Хороший интеллектуальный уровень",.2,.9
data "Общая культура", "Хороший интеллектуальный уровень",.9,.8
data "Школа. Ступени", "Хорошая профессиональная подготовка",.2,'
data "Образование","Общая культура",.6,1
data "Открытый характер".Общая культура",.3,.8
data "Ответственность","Человеческие качества",.4,1
data "Эффективный","Человеческие качества",.5,.5
data "Контактный","Человеческие качества",.5,1
data "Решительный","Ответственный",.7,1
data "Уравновешенность.Суждение.Инициатива","Ответственный",.8,1
data "Метод. Интуиция","Эффективный",.3,.9
data "Аналитический ум" -----------‘ *
Эффективный",.4,1
261
data "Аргументация.Настойчивость","Контактность",1,1
data "Тактичность. Юмор","Контактность",.5,1
data "Хорошее выражение","Контактность",.9,.6
data "Живой.Динамичный","Инициатива",.6,1
retn База фактов :
rent------------------
data 10
data "Школа",1,1
data "Образование",.3,1
data "Суждение",.8,1
data "Тактичность", 1,1
data "Юмор",-8,1
data "Стиль” о,.2
data "Метод",1,1
data "Интуиция",.2,1
data "Жйвой",1,1
data "Динамичный",.7,1
ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛ. 5
1. Выбор "наименьшего" из N нечетких чисел
REM =	ПОДПРОГРАММА MTN’N’NBF
REM = Параметр: NBRCOMP, INDCOMP%(), PIRCOMP%(), INDSEL.PTRSEL
REM = Назначение: Осуществляет выбор наименьшего среда NBRCOMP
REM =	нечетких чисел. Эти числа должны быть индексами,
REM =	их индексы размещены в INDCOMP%(), а указатели
REM =	доступа к этим числам размещены в PTRCOMP%().
REM = Возвращает: INSDEL возвращает индекс выбранного числа
REM =	PTRSEL возвращает указатель доступа к выбранному
REM =	числу.
REM ==============================================================
MIN'N’NBF:
PRINT "NBRCOMP= ".NBRCOMP
REM Если имеется одно единственное число, то оно и выбирается
IF NBRC0MP=1 THEN INDSEL=INDC0MP»(1 ) : &
PTRSEL=PTRC0MP«(1) : &
RETURN
R0( Выбор наименьшего числа
262
EPS=0.0001	!Погрешность выбора
FOR IND=1 TO 4	!Для каждого индекса
GOSUB SELECTION	!сделать выбор
IF NB'SELEC=1 THEN IND=4
NEXT IND
FOR 1=1 TO NBRCOMP
! Тогда выбрать первое число среди тех, что остались
IF INDC0MP®(I)<>0 THEN INDSEL=INDCOMP®(I) ; &
PTRSEL=PTRCOMP®(I) : &
I=NBRCOMP
NEXT I
RETURN
REM Подпрограмма выбора наименьшего из чисел с индексом IND
RJM Отбрасываемые числа характеризуются тем,что их индекс
REM обнуляется в массиве INDCOMPJ6
SELECTION:
2. Прохождение неточно определенных маршрутов
Программа,приведенная ниже, соответствует сеансу работы,
представленному в разделе 5.2.2.3. Она была написана на языке ЛИСП
и реализована на ЭВМ TRS-80, модель I, уровень II(LE-LISP,
интерпретатор VLISR 8.2). Для запуска программы после загрузки
проходимого маршрута в атом ITINER надо выполнить команду
(EXITIN), например, для получения того или иного из двух
предложенных ранее вариантов прохождения маршрута осуществить
(SETQ ITINER ITI1) или (SETQ ITINER ITI2)
263
КИТАЙСКИЙ , '(NIL (О 100 000))
ВЬЕТНАМСКИЙ '(NIL (0 0 0 0 1 00))
ПО-ВИДИМОМУ-КИТАЙСКИЙ '(NIL (25 100 О О 75))
ФРАНЦУЗСКИ, ' (NIL (О О 100 О О))
АЗИАТСКИЙ _ '(NIL (70 100 О О 100))
ЕВРОПЕЙСКИЙ ’(NIL (О 0 100 100 О))
0К0Л0-10О-М	*(Т (90 110 10 10))
0Т-10-Д0-20-М ' (Т (10 20 5 5))
0Т-100-Д0-150-М '(Т (100 150 10 10))
ОК0ЛО-5О-М '(Т (45 55 15 15)))
(SETQ BASG О) ;Инициализация ВАЗы Генератора символов
(DE GENSYM () ;ГЕНератор символов. Свой особый символ
;присваивается каждой инструкции проходимого маршрута
(IMPLODE (CONS 'G (EXPLODE (SETQ BASG (1+ BASG))))))
(DE PRINTJ (L) ;PRINT Joli: подсписок в виде строки
(MAPCAR '(LAMBDA (X) (PRINT X)) L) (TERPRI 1))
;Два примера маршрутов соответствуют сеансу работы, представленному
;в разделе 2.2.
;Перед запуском программы прохождения маршрута с помощью команды
;(EXITIN) выполнить процедуру SEPQ над ITINER
(SETQ ITI1 '((ДОСТИЧЬ (ЦЕЛЬ ПЕРЕКРЕСТОК)
(РАССТОЯНИЕ 0К0Л0-100-М))
(ПОВЕРНУТЬ НАПРАВО)
(ДОСТИЧЬ (ЦЕЛЬ АЗИАТСКИЙ РЕСТОРАН)
(РАССТОЯНИЕ 0К0Л0-5О-М))
(ПОВЕРНУТЬ НЕМНОГО ВЛЕВО)
(ДОСТИЧЬ (ЦЕЛЬ ПОЧТОВЫЙ ЯЩИК СЛЕВА)
(РАССТОЯНИЕ 0Т-1О-Д0-20-М))))
(SETQ ITI2 '((ДОСТИЧЬ (ЦЕЛЬ ПЕРЕКРЕСТОК)
(РАССТОЯНИЕ 0T-I00—Д0-150—М))
(ПОВЕРНУТЬ НЕМНОГО ВПРАВО)
(ДОСТИЧЬ (ЦЕЛЬ АЗИАТСКИЙ РЕСТОРАН)
(РАССТОЯНИЕ 0К0Л0-50-М))
(ПОВЕРНУТЬ НАЛЕВО)
(ДОСТИЧЬ (ЦЕЛЬ ПОЧТОВЫЙ ЯЩИК СЛЕВА)
(РАССТОЯНИЕ ОТ—10—Д0-20-М))))
(DE EXITIN (NCHAIN PILETIQ NPILE AUX ОХ)
(SETQ NCHAIN 1 AUX 1)
(WHILE (<= AUX (LENGTH ITINER))
(SETQ PILETIQ (CONS (SETQ OX (GENSYM)) PILETIQ)
(PUT OX 0 ’VIR))
(WHILE (AND (<= NCHAIN (LENGTH ITINER)) AUX)
(TERPRI 1 )
(PRINT
'» 'Я 'ПРИСТУПАЮ 'К 'ВЫПОЛНЕНИЮ 'ИНСТРУКЦИИ NCHAIN ’»)
(COND ((VIR’ NCHAIN) (PERDIR NCHAIN)))
(COND ( (TENTEXCUM NCHAIN)
(SETQ NCHAIN (1+ NCHAIN)))
(T CSETQ AUX NIL))))
(TERPRI 1 )
(COND (AUX (PRINT 'МАРШРУТ 'ПОЛНОСТЬЮ 'ПРОЙДЕН) T)
(Т (PRINT 'НЕ 'МОГУ 'ПРОЙТИ ’МАРШРУТ) NIL)))
264
(DE TENTEXCUM (NCHAIN NPIL)
•.СОВМЕЩЕННОЕ ВЫПОЛНЕНИЕ (EXEcution CUMulee) инструкции о рангом
(NCHAIN. Вызывается из функции EKITIN.
(NPIL - указатель инструкций для прямого и обратного
;прохождения маршрута
(SETQ NPIL NCHAIN)
(WHILE (AND (<= 1 NPIL) (<= NPIL NCHAIN))
(COND ((TENTEKPROP NPIL)
(SUCCINST NPIL)
(SETQ NPIL (1+ NPIL))
(COND ((<= NPIL NCHAIN)
(RECONS NPIL)
(COND ((VIR? NPIL) (PERDIR NPIL)))))1
(T (ECHINST NPIL)
(SETQ NPIL (1- NPIL))
(RECONS NPIL))))
(< NCHAIN NPIL))
(DE SUCCINST (RINST)
;B случае успеха инструкции ранга RINST. Вызывается из функции
,-TENTEXCUM
(PRINT 'ВРЕМЕННЫЙ 'УСПЕХ 'ИНСТРУКЦИИ RINST ’ПОСКОЛЬКУ:)
(MESSINST RINST))
(DE ECHINST (RINST)
;B случае неудачи инструкции ранга RINST.
(Вызывается из функции TENTEXCUM
(PRINT 'ВРЕМЕННАЯ 'НЕУДАЧА 'ИНСТРУКЦИИ RINST)
(RECULEVENT RINST))
(DE NETIQ () (CNTH RINST PILETIQ))
(Возвращает метку RINST (основная переменная), найденную в массиве
(PILETIQ. Вызывается из функций TEPVIR, EPENAV, PERDIR и т.д.
(DE RECONS (RINST) (Вызывается из функции TENTEXCUM
(TERPRI 1)
(PRINT ’* 'Я 'ПЕРЕСМАТРИВАЮ 'ИНСТРУКЦИЮ RINST '*))
(DE TENTEKPROP (RINST)
(Отдельное Выполнение (EXEcution PROPre) инструкции ранга RINST
(независимо от других
(Вызывается из функции TENTEXCUM.
(COND ((VIR? RINST) (TEPVIR RINST))
(T (TEPENAV RINST))))
I
(DE TEPVIR (RINST L M N)
(Пытается выполнить независимо от других инструкцию типа
("ПОВЕРНУТЬ" (VIRages) ранга RINST.
; Вызывается из функции TENTEKPROP.
(Свойство DIRPIL: запоминает выбранные направления (DIRections
(FILtreee) (т.е. направления, совместимые с рассматриваемой
(инструкцией).
(Примечание: Функции EXITIN и TENTEXCUM управляют восприятием
;(PERDIR) перед каждым обращением к функции TEPVIR.
(Свойство ACT (действие): Сохраняет следы поворота (затем
(используется в функции MESSINST).
(Свойство DIST: порождается в зависимости от расстояния (DISTance),
(пройденно-о при выполнении инструкции (инициализируется в
(функции EXITIN)
265
{Примечание: Здесь никогда не бывает отступления назад (когда путь
{изменяется при выполнении одной и той же инструкции).
;поскольку хранимая эвристика диктует использование в первую
{очередь ближайших совместимых путей (при равенстве расстояний их
{различают по степеням совместимости)
(COND ((NOT (= М))
(COND ((NOT (= (SETQ N (VIRDEJA RINST))))
(PRINT 'Я ’ПОВОРАЧИВАЮСЬ ’HA (- О N)
’ГРАДУСОВ )))
(PRINT 'Я 'ПРОДВИГАЮСЬ ’ВПЕРЕД 'НА M ’МЕТРОВ)
(PUT (NETIQ) (CADR (RAC (CAR L))) ’DIST)
(SETQ N (CADAR L)))
(T (SETQ N (- (CADAR L) (VIRDEJA RINST)))))
(PRINT ’Я ’ПОВОРАЧИВАЮСЬ ’HA N 'ГРАДУСОВ
(LIST ’POSSIB:	T"'
(PUT (NETIQ) (CADAI.
(PUT (NETIQ) (LIST (CADAR L)
(PUT (NETIQ) (CDR L) ’DIRFIL)
T)))
------ (CAAR L>))
(CADAR L) *VIR)
(DE VIRDEJA (RINST) (GET (NETIQ) ’VIR))
{Возвращает значение (степень) уже совершенного поворота (VIRaga)
(DE VIR? (RINST) (EQ (CAR (CNTH RINST ITINER)) ’TOURNER))
;Чтобы знать, является ли инструкция ранга RINST поворотом
(DE PERDIR (RINST DIRAC X)
{Восприятие направлений (PERoeption de DIReotions) или путей,
;совместимых с инструкцией ранга RINST. функция OEILD определяет
;(имитация за счет обращения к оператору) достижимые направления
;(DIReotions ACoessibles), а затем функция FPMDIR оставляет лишь
;те из них. которые совместимы с инструкцией (распределяя их в
;первую очередь по расстояниям, а затем по степеням
;совместимости)
;Вызывается из функций TENTEXCUM, EXITIN
(SETQ DIRAC (OEILD))
(CCND ((NOT (NULL DIRAC))
(PUT (NETIQ)
(SETQ X
(FPMDIR (CADR (CNTH RINST ITINER)) DIRAC))
’DIRFIL)))
(PRINT ’ОЦЕНКА X))
(DE OEILD (L)
{’’Глаз для определения направления” (OEIL Directions)
{Вызывается из функции PERDIR
{Имитация (за счет обращения к пользователю) датчика достижимых
{путей (см. форму ответов при выполнении программы, описанной в
•.разделе 5.2.2.)
(PRINT 'Я 'ОСМАТРИВАЮ 'РАССТОЯНИЕ 'ДО VO1S 'МЕТРОВ )
(PRINT ’ПУТИ 'ДЛЯ 'ПОВОРОТА ’?)
(TERPRI 1)
(COND ((NOT (MEMBER (SETQ L (READ))
'(NON N AUCUN AUCUNE)))
(TERPRI 1)
L)))
(DE PEREP (RINST LPCH REPAC X)
{Восприятие ориентиров (PERception de REPeres) для инструкций типа
{"ДОСТИЧЬ". Вызывается из функции TEPENAV.
{Функция OEILR управляет моделированием восприятия. Функция
{TRANSLIST пересчитывает полученные расстояния (которые относятся
{достигнутой точке) о учетом уже пройденного расстояния).
{Функция FPMREP запоминает согласованные ориентиры (по атрибутам
{без учета расстояний) и классифицирует их (в соответствии с
{эвристикой прохождения пути: прежде всего самые близкие, а при
{равных расстояниях по совместимости на предшествующих атрибутах)
266
(SETQ REPAC (TRANSLIST (DISTDEJA RINST)
(OEILR RINST)))
(COND ((NOT (NULL REPAC))
(POT
(NETIQ)
(SETQ X
(FPMREP (CDDR (CADR (CNTH RINST ITINER)))
(MAPCT 'CDR REPAC)))
’REPFIL)))
(PRINT 'ОЦЕНКА X)
(DE TRANSLIST (BASE L)
;Перевод списка: см. функцию PEREP.
(MAPCT '(LAMBDA (X) (TRANSELIM BASE X)) L))
(DE TRANSELEM (BASE N)
Элементарный перевод. Вызывается из функции TRANSLIST.
(COND ((NULL (CDR N))
(LIST (LIST 'DISTANCE (+ BASE (CADAR N)))))
(T (CONS (CARN) (TRANSELIM BASE (CDRN))))))
(DE OEILR (RINST L)
;”Глаз на ориентиры" (OEIL Repers) - для имитации датчика
:ориентиров, необходимого для выполнения инструкции типа
;"ДОСТИЧЬ".
;LREP - глобальная переменная, объявленная в функции PEREP. Это
;предельное расстояние до ориентиров; (см. обращение к функции
;PEREP в функции TEPENAV, а также роль DISTPOS).
(COND ((= LPCH) (PRINT 'ОСМОТР 'БЕСПОЛЕЗЕН ))
(Т (PRINT 'Я 'ОСМАТРИВАЮ 'ДО LPCH 'МЕТРОВ )))
(PRINT (CDADR (CNTH RINST ITINER)) '?)
(TERPRI 1)
(COND ((NOT (MBffiER (SETQ L (READ))
'(NON N AUCUN AUCUNE)))
(TERPRI 1)
L)))
(DE TEPENAV (RINST L M N X Y)
;Пытается выполнить инструкцию типа "ВПЕРЕД" (например, типа
;"достичь"). Вызывается из функций TENTEKPROP и TEPENAV. Когда
;берется инструкция ранга RINST, еще не включено управление
;восприятием (типа PEREP); вторая часть функции TEPENAV определяет
;минимальное перемещение перед запуском функции PEREP (достичь
•.расстояния, превышающего некоторый порог совместимости с
расстоянием, указанным в инструкции). Кроме того, это перемещение
;будет ограничено в предшествующей точке величиной РСН, за
;пределами которой уже не будет совместимости с расстоянием,
;указанным в инструкции. После обращения к функции PEREP функция
;TEPENAV запускается автоматически. Первая часть функции TEPENAV
определяет отклонение от следующего ориентира, управляет
перемещением (всегда вперед: эвристика, отдающая предпочтение
;ближайшим ориентирам) и определяет минимальное значение между
;степенью совместимости, указываемой в начале каждого
;дескриптора ориентира, запоминаемого функцией FPMREP (которая
;работает лишь по совместимости атрибутов, не учитывая
расстояния), и степенью совместимости расстояний (обращение к
;функции COMPCONT)
(COND ((NOT (NULL (SETQ L (GET (NETIQ) ’REPFIL))))
(SETQ И (- (SETQ N (DISTPROCHBOT L))
(DISTDEJA RINST)))
(COND ((NOT (= M))
(PRINT ' ' ' M '
(LIST 'POSSIB:
(MIN (CAAR L)
(COMPCONT
N (CADR
(EVAL
(CADAR
(CDDR
(CNTH
RINST ITINER))))))
267
(POT (NETIQ) (PREPMESS (CDAR L) N) 'ACT)
(POT (NETIQ) (CDR L) ’REPFIL)
T)
(T (SETQ M
(DISTPOS
(SETQ X (CADR (EVAL
(CADAR (CDDR (CNTH RINST ITINER))))))
(GET (NETIQ) ’DIST)
M ’ )
(SETQ Y (+ (GET (NETIQ) ’DIST) M))
’DIST)
(PEREP RINST (DISTPOS X Y 0))
(TEPENAV RINST))))))
(DE DISTDEJA (RINST) (GET (NETIQ) ’DIST))
;Уже пройденное расстояние для инструкции ранга RINST. Вызывается
;из функций TEPENAV и TEPVIR
(DE DISTPROCHBOT (L) (CADR (RAC (CAR L))))
расстояние до следующей цели
(DE PREPMESS (L М)
(REVERSE (CONS 'METRES
(CONS M
(CONS 'DISTANCE
(APPEND (CDR (REVERSE L))
(LIST (CAR
(CDADR (CNTH RINST ITINER))))))))))
(DE DISTPOS (DISTINST DISTDEJA X DELTA)
;Функция "Возможное расстояние" (DISTance Possible). Вызывается из
;функций TEPENAV и PEREP. Сравнивает нечеткое расстояние (четверка
обозначаемая DISINST), получаемое из инструкции типа "ДОСТИЧЬ".
;четким расстоянием (DISTDEJA), которое уже пройдено. При вызове
;переменная X принимает значение либо О, либо РСН: О при
;вызове из функции TEPENAV через функцию PEREP, РСН при
;непосредственном вызове из функции TEPENAV. В последнем случае (в
!предположении, что уже пройденное расстояние совместимо с
;инструкцией) стремятся избежать передвижения менее, чем на
;величину РСН - верхней границы расстояния, совместимого с
;инструкцией
(COND ((<= (COMPCONT DISTDEJA DISTINST) SEUIL)
(SETQ DELTA (- (CAR (DISTINST)(CADDR DISTINST)))
(WHILE (<= (COMPCONT (+ DISTDEJA DELTA) DISTINST)
SEUIL)
(SETQ DELTA (1 + DELTA))))
(T (SETQ DELTA 0)
(WHILE (AND (<= DELTA PCH)
(> (COMPCONT
(+ DISTDEJA (+ X DELTA))
DISTINST)
DELTA)
SEUIL))
(SETQ DELTA (1+ DELTA)))
(COND ((= DELTA 0)
(T (SETQ DELTA (1- DELTA))))))
(DE MESSINST (RINST)
Сообщения для завершенных инструкций
;Вызывается из функции SUCCINST
(PRINT (APPEND '(J AI)
(APPEND (COND ((VIR? RINST) '(ПОВОРОТ HA))
(T '(ДОСТИГНУТА)))
(GET (NETIQ) ’ACT)))))
268
(DE RECULEVENT (RINST L)
.•Возможный отход (RECUI EVENTuel)
вызывается из функции ECHINST
(COND ((NOT (= (SETQ L (GET (NETIQ) ’DIST))))
(PRINT 'Я 'ОТСТУПАЮ 'НАЗАД ’HA L ’МЕТРОВ)
(PUT (NETIQ) О ’DIST))))
(DE FPMDIR (PARINST DIRAC AUX)
;Нечеткое сопоставление с образцом по направлениям (т.е. по
;углам)(Fuzzy Pattern Matching sur DIReotions).
;Вызывается из функции PERDIR. PARINST есть часть пути,
;получаемая в результате выполнения инструкций.
;DIRAC - список достигнутых направлений.
гФункция FPMDIR оценивает выбранные направления: сначала берутся
.ближайшие, а при равенстве расстояний - направления с наибольшей
;степенью совместимости (между углами)
(MAPCT '(LAMBDA (X)
(COND ((> (SETQ AUX
(COMPCONT (CAR X)
(CADR (EVAL PARINST))))
SEUIL)
(CONS AUX X))))
DIRAC)))
(DE CLAS (L X)
;Оценка (классификация) элементов из списка L.
•.Вызывается из функций FPMDIR, FPMCONT.
(COND ((NULL L) NIL)
((NULL (CDR L)) L)
(T (CONS (SETQ X (CHOI L))
(CLAS (RETIR XL))))))
(DE RETIR (X L)
;Извлекает элемент X (при первом появлении элемента X в списке L)
;на верхний уровень
(COND ((NULL L) NIL)
((EQUAL X (CAR L)) (CDR I))
((CONS (CAR L) (RETIR X (CDR L))))))
(DE CHOI (L X)
-.Вызывается из функции CLAS для выбора (CHOIx) из списка L.
(COND ((NULL (CDR L)) (CAR L))
((< (CADR (RAC (CAR L)))
(CADR (RAC (SETQ X (CHOI (CDR L))))))
(CAR L))
269
((= (CADR (RAC (CAR L))) (CADR (RAC X)))
(COND ((>= (CAAR L) (CARX)) (CARL)) (T X)))
(T X)))
(DE RAC (L) (CAR (REVERSE L)))
;Возвращает последний элемент списка L на верхний уровень
(DE FPMREP (PARINST REPAC AUX)
;Нечеткое сопоставление с образцом для ориентиров
;(Fuzzy Pattern Matching pour REPeres). Вызывается из функции
; PEREP. PARINST - часть пути, полученная в результате выполнения
;инструкции. REPAC - список достижимых ориентиров.(для
;восприятия), функция FPMREP сравнивает лишь атрибуты без учета
;расстояний, а затем проводит оценку (классификацию) сначала по
расстояниям, затем по степеням совместимости, полученным для
атрибутов (без учета расстояний)
(CLAS
(MAPCT '(LAMBDA (X)
(COND (О (SETQ AUX
(COMPR (CDR (REVERSE X))
(REVERSE PARINST)))
SEUIL)
(CONS AUX X))))
REPAC)))
(DE COMPR (REP INS X)
;Сравнение ориентиров (COMparaison Reperes). Вызывается из функции
;PPMREP. Параметр REP определяется в процессе восприятия, a INS -
;из инструкции
(COND ((NULL INS) 100)
(Т (MIN (COND ((CAR (SETQ X (EVAL (CAR INS))))
(COMPCONT (CAR REP)(CADR X)))
(T (COMPDIS
(CADR (EVAL (CAR REP)))
(CADR X))))
(COMPR (CDR REP) (CDR INS))))))
ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛ. 6
В этом приложении приводится программа обработки вопросов, состав-
ленная на примере из разд. 6.3. В первой части описывается способ представ-
ления данных в программе, затем излагается способ практического представ-
ления вопросов и даются комментарии к процедурам обработки этих вопро-
сов. Программа написана на языке MACLISP и реализована на ЭВМ DSP-8
(введение в программирование на языке Лисп читатель найдет в работе
[15] из списка литературы к гл. 6).
1	СТРУКТУРИРОВАНИЕ ДАННЫХ
База данных (БД) - это список атомов (Ri, . . . , Rk), где каждый атом
представляет собой расширенное отношение. Любому атому R, (например,
ЛИЧНОСТЬ, ЧУВСТВО) приписываются два свойства: АТ и ДАН Содержа-
ние свойства АТ — это список атрибутов, описывающих атом Rj. Содержание
270
свойства ДАН - это список атомов D., каждый из которых характеризует
некоторую строку отношения Rj. В свою очередь, с каждым атомом Ц свя-
зывается свойство VAL, включающее список значений D. на различных атри-
бутах; этот список имеет вид ((aj, AJ , . . (an, Ап)), где Aj, ..., Ап -
атрибуты, a aj, . . . , ап - простые метки, характеризующие значения атомов
D. на соответствующих атрибутах. Например, значения ’’достаточно хоро-
ший”, [10, 12], ’’около 24” обозначаются соответственно метками ”АВ”,
10 : 12.ENV24A.
Практическое представление функций распределения возможностей, свя-
зываемых с метками, хранится в списке следующим образом. Для значений
атрибутов, имеющих непрерывные области значений, список CODUNTV со-
держит пары (метка, код), причем код — это либо четверка чисел, либо зна-
чение NF, когда метка характеризует точное значение. Для дискретных об-
ластей список CODUNID содержит пары (метка, код), где уже сам код пред-
ставляет собой список пар (элемент области, степень). Отметим, что у поль-
зователя имеется.возможность определения новых меток и задания кода в
момент времени, когда его использует программа. Уточним также, что зна-
чения атрибута ’’неприменимо” (INA) и ’’неизвестно” (INC) обрабатывают-
ся отдельно, так как их код зависит от конкретной области значений.
Используемые отношения сравнения параметризуются следующим обра-
зом. Для некоторого отношения сравнения 0 можно записать, что пд (u, v) =
= (и — v), где тгв — функция распределения возможностей, кодируемая
четверкой (например, понятие ’’значительно больше, чем”, обозначаемое bg,
кодируется четверкой (4 N 2 0), где N - величина, достаточно большая по
отношению к элементам области значений. Код, приписываемый отношению
сравнения, хранится в свойстве CODREL.
Наконец, с каждым атрибутом связываются свойства ПРИРОДА (NAT) и
СОСТОЯНИЕ (ЕТАТ), описывающие соответственно природу области значе-
ний (непрерывная или дискретная) и состояние области значений (простая
или составная). Эти сведения могут в надлежащий момент времени вводить-
ся пользователем в диалоговом режиме или с самого начала содержаться в
файле ДАННЫЕ (DONNEES). Функция INIT наполняет, например, свойство
СОСТОЯНИЕ для каждого атрибута. Ниже приводится фрагмент файла ДАН-
НЫЕ, связанный с внутренним представлением данных.
(setq bd '(personne sentiment))
(putprop 'personne ’(nom ml m2 pl p2 age) ’att)
(putprop ’personne ’(el e2 еЗ e4 e5 e6 e7) ’don)
(putprop ’el ’((tom nom) (15 ml) (AB m2) (INC pl) (INA pl)
(14:16 p2) (jeune age)) ’val)
(putprop >e2 ’((david nom) (AM ml) (B m2) (AB pl) (INA p2)
(20 age)) ’val)
(putprop ’e3 ’((bob nom) (MTM ml) (10:12 m2) (13:20 pl)
(B p2) (22 age)) ’v 1)
(putprop >e4 ’((jane nom) (AB ml) (ТВ m2) (14 pl)
(10:12 p2) (ENV21A age)) ’val)
(putprop ’e5 ’((Jill nom) (ENV10 ml) (AB m2) (B pl)
(ENV12 p2) (jeune age)) 'val)
(putprop *e6 ’((joe nom) (14:16 ml) (ТВ m2) (В pl) (15 p2)
(ENV24A age)) ’val)
(putprop ’e7 ’((jack nom) (INC ml) (M m2) (ENV13 pl)
(AB p2) (22:25 age)) ’val)
271
(setq coduniv '((AB (11 13 1 1.5)) (B (14 16 1.5 1))
.ТВ (17 20 2 0)) AM (7 9 1.5 1)) (M (4 6 1 1.5))
(TM (030 2)) (MIM (160 1.5)) (ENV10 (911 1 1))
(22:25 (22 25 0 0)) (jeune (18 23 2 2)) (ENV21A
(20 22 1 1)) (14:16 (14 16 0 0)) (10:12 (10 12 0 0))
(13:20 (13:20 0 0)) (ENV12 (11 13 1 1))
(ENV13 (12 14 1 1))))
(putprop 'sentiment '(noml nom2 type) 'att)
(putprop 'sentiment '(si s2 s3 s4) 'don)
(putprop 's2 ' ((jill noml) (jane nom2 (ami type)) 'val)
(putprop 's3 '((jack noml) (joe nom2 (grdami type)) ’val)
(putprop 's4 '((jane noml) (bob nom2 (ami type)) ’val)
(get 'sentiment 'att)))
;Инициализация свойства "состояние" для всех атрибутов
(setq N 100) (setq I 2) (setq J 2)
(putprop 'eg '(0000) ’codrel)
(putprop 'pg '(list 0 N 0 0) ’codrel)
(putprop 'pp '(list (minus N) 0 0 0) ’codrel)
(putprop 'bg '(list 4 N 2 0) 'codrel)
(putprop 'bp '(list (minus N) (minus 4) 0 2) 'codrel)
2	ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВОПРОСОВ
В предлагаемом примере любой вопрос выражается с помощью операции
отбора с последующим построением проекции Отбор обеспечивает получе-
ние множества объектов, удовлетворяющих определенному условию С На
практике условие С описывается некоторым дескриптором Р, а операция
отбора производится (нечеткой) фильтрацией некоторого отношения с по-
мощью дескриптора.
Для разборчивости на внешнем уровне имеются упрощенные формы де-
скрипторов; тогда процедура ДЕСКРИПТОР преобразует каждую простую
форму р, в соответствующий дескриптор Рр который будет использоваться
в программе Файл ДАННЫЕ содержит упрощенные дескрипторы рь ., рп,
соответствующие вопросам qi, . . . , фи рассматриваемого примера В даль-
нейшем мы дадим пояснение относительно общего вида используемых дес-
крипторов
Здесь элементарной парой называется список из двух элементов, второй
из которых - атом (имя атрибута) ; стрелка произвольного отношения так-
же имеет свойство VAL — список элементарных пар, где первый элемент
является меткой
Дескриптор Р имеет вид (ET Pj, .	, Pk), или (OU Pj, . . , Pk), или Pk,
где Pj, .	, Pk - простые дескрипторы1. Простой дескриптор - это список
элементарных пар, в которых первый член
- либо выражение- атом (метка), базовая переменная (пример > X)
или вторичная переменная (пример <Х),
либо функция фильтрации вида (ПРИМЕНИТЬ < процедура) ) , где про-
1 ЕТ означает И, a OU - ИЛИ. - Прим перев
272
цедура не содержит базовой переменной; второй член - атом (имя при
необходимости составного атрибута, например ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУ-
КИ) . Формы (ET Pj, . . . , Рк) (OU Pj, . . . , Рк) используются тогда,
когда стремятся подчинить данные некоторой логической комбинации
дескрипторов (пример Р7).
Принцип фильтрации состоит в сравнении каждой элементарной пары дес-
криптора Р с соответствующей (т. е имеющей такой же второй член) парой
элемента D отношения. Это сравнение дает два показателя (возможность и
необходимость) для определения совместимости между соответствующими
компонентами рассматриваемых пар; обобщенные меры (возможность и
необходимость того, что элемент D будет совместим с дескриптором Р) по-
лучаются тогда путем построения свертки промежуточных показателей с по-
мощью оператора mm.
Сравнение пар (>Х А) и (а А) (принадлежащих соответственно PhD)
дает значения показателей, равные 1, и назначает значение а переменной X;
в случае, когда пара (< X А) сравнивается с парой (а А), переменной X при-
писывается предварительно определенное значение b и пара (Ь А) сравнива-
ется с парой (аА).
В случае использования некоторой функции фильтрации перед тем, как
применить процедуру к элементарной паре, соответствующей данным D,
происходит ее инстанциация. Функции фильтрации используются для выра-
жения простых условий вида A0B или А0а, где 9 — отношение сравнения,
отличающееся от равенства Тогда процедуры позволяют уточнить характер
выполняемых операций над значениями так, чтобы получить показатели, со-
ответствующие этим различным условиям (см разд. 2 1 и 2 1)
Упрощенные дескрипторы отличаются от обычных дескрипторов лишь вы-
ражением их возможных функций фильтрации; функция ДЕСКРИПТОР
предназначена для построения процедуры вида (ПРИМЕНИТЬ < процедура) )
исходя из содержания соответствующего простого дескриптора
Ниже приводится фрагмент файла ДАННЫЕ, содержащий дескрипторы
(setq pl '((14:16 ml)))
(setq p2 ' ((12: ml)))
(setq p3 '(((appliquer traiter 'bg '(10 ml)) ml)))
(setq p4 '(((appliquer traiter 'pg ' (B ml)) ml)))
(setq p5 ’(((appliquer traiter 'bg ' (B ml)) ml)))
(setq p6 '(((appliquer traiter 'pp '(AB ml)) ml)
((appliquer traiter 'pg '(AB pl)) pl)))
(setq P7 '(ou ((B ml)) ((B pl))))
(setq p8 '((>%x pl)((appliquer traitsym 'bg '(<%x pl))p2)))
(setq p9 '((jane nom2) (ami type)))
(setq plO '((>x nom) ((appliquer traiter 'pg '(22 age))
age) <x nom2) (ami type)))
(setq pll '((B sciences)))
3	ОПИСАНИЕ ВКЛЮЧЕННЫХ В ПРОГРАММЫ ПРОЦЕДУР
Когда запрос, связанный с отношением R, выражается в виде некоторого
простого дескриптора р, соответствующий отбор производится за счет вызо-
ва функции SELEC Отметим, что если запрос затрагивает два отношения, то
273
следует осуществить их соединение. Далее мы приведем специальную проце-
дуру, обеспечивающую большее быстродействие, чем отбор на декартовом
произведении.
(defun descripteur (р)
(cond (( null р) nil)
(cons 'et (mapcar (function descripteur)(cdr p))))
(cons *ou (mapcar (function descripteur)
(cdr p))))((cple p)
(cond ((eq (caar p) 'appliquer))
(list (traduction (car p)) (cadr p)))
(t (cons (descripteur (car p))
(descripteur (cdr p))
;Функция, преобразующая упрощенную форму "Р" в дескриптор
(defun traduction (1)
(list (car 1)
(list 'lambda '(z)
(list (cadr 1) (cadar 1) 'z (cadddr 1)))))
(defun cple (1)
(and (eq (length 1) 2) (atom (car last 1)))))
;Предикат, определяющий элементарную пару
(defun min2 (11 12)
(list (min (car 11) (car 12))
(min (cadr 11) (cadr 12))))
(defun max2 (11 12)
(list (max (car 11) (car 12))
(max (cadr 11) (cadr 12))))
;"L1" и "L2" - пары степеней из [0,1]
;min2 (max2) образует пару, содержащую min (шах) для
(setq sac nil)
(defun selec (p r) (selecl (descripteur p) (get r ’don)))
;Здесь "P" - дескриптор в упрощенной форме
(defun selecl (pl)
(let ((- Ip nil) (- In nil))
(mapcar (function (lambda (x) (let ((-f (filtre p x)))
(cond ((not (zerop (car -f)))
(setq -Ip (append -Ip
(list (list x (car -f)))))))
(cond ((not (zerop (cadr -f)))
(setq -In (append -In
(list (list x (cadr -f)))))))))) 1)
list -Ip -In)))
;"R" - атом, представляющий отношение
;"L" - список атомов, представляющих данные об
;отношении "R"
;"Р" - дескриптор
ФУНКЦИЯ ОТБОР
вызывает функцию ДЕСКРИПТОР, которая преобразует упрощенный
дескриптор р в дескриптор Р;
последовательно обрабатывает каждый элемент D отношения R с по-
мощью фильтра (FILTRE PD);
возвращает список, составленный из двух списков оцениваемых данных:
(((Dijdii)    (Dikdik)) ((DjjdjJ ... (Dj djp))) представляет aN(R,C)
представляет oN(R, C).
274
ФУНКЦИЯ ФИЛЬТР (FILTRE Р D)
работает с содержанием свойства VAL данных D и дескриптором Р;
производит разложение дескриптора Р на элементарные дескрипторы;
последовательно обрабатывает каждую элементарную пару дескриптора
Р с помощью функции FILTR2 и комбинирует получаемые результаты
посредством операции min.
ФУНКЦИЯ ФИЛЬТР (FILTR2 Р D)
проверяет, является ли атрибут элементарной пары Р составным, и если
да, то вызывает процедуру FILCOMPO;
ищет в D элементарную пару, соответствующую Р, и, если такая суще-
ствует, вызывает процедуру сравнения COMPARE.
(defun compare (р d)
(cond ((and (atom (car p)) (eq (atomcar (car p)) ’>))
((and (atom (car p)) (eq (atomcar (car p)) <))
(egalf (list (cdr (assq (atomcdr (car p)> sac))
(cadr p)) d))
275
Ф УНКЦИЯ СРАВНЕНИЕ (COMPARE Р D)
имеет своими аргументами две элементарные пары с одним и тем же
вторым членом;
возвращает список с двумя степенями в интервале [0,1], характеризу-
ющими возможность и необходимость того, что содержание PhD будет
совместимым;
вызывает процедуры сравнения, адаптированные к виду первого члена
дескриптора Р:
если это вторичная переменная, то сравнение данных D и представ-
ления Р осуществляется с помощью EGALF;
если это атом, то также вызывается EGALF;
если это функция фильтрации, то процедуру, которую она содер-
жит, обрабатывают с помощью функции INSTANC и применяют ее
к D посредством MAPI
Механизм представления основан на использовании A-списка SAC, кото-
рый содержит различные представления переменных.
(defun jointure (р rl r2)
(joint (descripteur р) (get rl 'don) (get r2 'don)))
;Соединение отношений "Rl" н "R2" при условии,
;описываемом с помощью "Р"
(defun joint (р 11 12)
(let ((-Ip nil) (-In nil))
(mapcar (function (lambda (x)
(mapcar (function (lambda (y)
(let ((-f (filtrl p (append (get x 'val) (get у
val))))) (cond ((not (and (zerop (car -f))
(zerop (cadr -f))))
(let ((-p (prod x y)))
(cond ((not (zerop (car -f)))
(setq -Ip (append -Ip (list (list -p (car -f)))))))
(cond ((not (zerop (cadr -f)))
(setq -In (append -In (list (list -p (cadr -f)))))
(defun prod (dl d2)
(prodbls dl d2 (implode (append (explode dl)
276
(explode d2)))))
(defun prodbis (dl did)
(putprop d (append (get dl ’val) (get d2 ’val)) val)
d)
ФУНКЦИЯ СОЕДИНЕНИЕ (JOINTURE p R> R/)
преобразует упрощенный дескриптор p в дескриптор Р;
непосредственно производит соединение на R, и R2 без вычисления их
декартова произведения;
работает с дескриптором Р и списками данных и L2 отношений R]
и R2 с помощью функции (JOINT Р Lj L 2 ).
Алгоритм
пробегается список L, • Vd] € Lj;
пробегается список L2: Vd2 G L2;
вычисляются степени, соответствующие результатам сравнения содер-
жания Р с содержанием di и d2;
формируется произведение с помощью функции PROD (если ни одна из
этих степеней не равна 0);
к результату добавляются эти оцененные данные.
Следующие процедуры используются для построения проекции результа-
тов отбора или соединения на атрибут.
(reduc (projecl (car 11) а))
состоящий из двух списков оцененных
;данных
;Функцня "PROJFC" заменяет в этих списках данные их
(сааг 1) 'val))
;функция "PROJECT1 заменяет в "L" данные,
представленные в виде атомов, их значениями на атрибуте "
имеющей
defun reduc (1)
(cond ((null 1) nil)
(t (redurbis 1
defun reducbis (1 a)
(cond ((null a) (cons
(assq (caar 1) (cdr 1))))))
(car 1) (reduc (cdr 1))))
(list (caar 1)
(max (cadar 1) (cadr a)))
(supp a (cdr 1)))))))
(defun supp (c 1)
(cond ((nul1 1) nil)
((equal (car 1) c) (cdr 1))
(t (cons (car 1) (supp c (cdr 1))))))
;3десь ”L" список пар, "С" есть пара, a "SUPP"
:возвращает список "L". из которого вычеркнули "С
277
ФУНКЦИЯ ПРОЕКЦИЯ (PROJECT LL А)
имеет своими аргументами список, составленный из двух списков оце-
ненных данных, полученных в результате отбора, и имя атрибута;
последовательно обрабатывает каждый из списков, составляющих спи-
сок LL с помощью функций PROJECT 1 и REDUC;
REDUC применяется к списку пар (атом, степень) и группирует две па-
ры, имеющие один и тот же атом, путем нахождения максимума из сте-
пеней.
Следующие процедуры связаны с эффективной обработкой информации
в виде нечетких значений.
(cond ((eq (саг х2) 'INC) '(1 0))
((eq (car х2) ’INA) ’(0 0))
(t (egalfl xl x2))))))
(defun discret (u)
(cond ((eq (atomcar (read)) 'n)
(putprop u 'c ’nat) nil)
(t (putprop u 'd ’nat) t)))))
oui-non"
;"DISCRET" - предикат, дающий "T". если универсум
(cond ((eq -с2 ’nf)
(setq -c2 (list (car
(list (possl -cl -c2) (necl
(code (car x2))))
xl) (car xl) 0 0))))
x2) (car x2) 0 0))))
-cl -c2))))
(defun code (x)
(cond ((null (assq x coduniv))
(print "envoyez code") (prinl x)
(print "nf si atome non flou")
(setq coduniv (cons (list X (read))
coduniv)))) (cadr (assq x coduniv)))
;Ищет код, связываемый с "X" в непрерывном случае
(defun egalf2 (xl х2)
(let ((-cl (codd (сг
(cond ((eq -cl 'nf)
(defun codd (x)
(cond ((null (assq x codunid))
(print "envoyez code") (prinl x)
(print "nf si valeur precise")
(read)))
codunid)))) (cadr (assq x codunid)))
;Ищет код, связываемый с "X" в дискретном случае
278
ФУНКЦИЯ (EGALF XI Х2)
вычисляет меру возможности П (aj /а2) и меру необходимости N (а]/а2),
где — метка переменной XI, а а2 — метка переменной Х2;
вызывает для этого функции EGALF1, если универсальное множество
переменных XI и Х2 непрерывно, и EGALF2 в противном случае.
Вышеуказанные вычисления производятся в кодах, связываемых с метка-
ми с помощью функций POSS1, NEC1 в случае непрерывного универсального
множества и POSS2, NEC2 в случае дискретного универсального множества.
(defun trailer (z xl x2)
(cond ((eq (car xl) 'INC) '(1 0))
((eq (car xl) 'INA) '(0 0))
(t (let ((-cl (code (car xl))) (-c2 (code
(car x2))))
(cond ((eq -cl 'nf) (setq -cl (list (car xl)
(car xl) 0 0))))
(cond ((eq -c2 ’nf) (setq -c2 (list (car x2)
(car x2) 0 0))))
(list (possl (sommef (coder z) -c2) -cl)
(necl (sommef (coder z) -c2) -cl))))))
;"Z" обозначает отношение сравнения
(defun coder (z)
(cond ((null (get z ''codrel))
(print "envoyez code") (print z)
(putprop z (read) ’codrel)))
(get z 'codrel))
;№цет код, связываемый c "Z"
(defun sommef (tl t2)
(mapcar (function plus) tl t2))
;Почленио складывает две четверки
ФУНКЦИЯ (TRAITER Z Xl Х2)
вычисляет условные меры возможности П(а2 o0|ai),HN(a2 ofllaO,
где 6 — отношение сравнения, обозначаемое через Z;
использует коды at, а2, связанные с Z, и функции POSS 1 и NEC 1;
использует SOMMEF для вычисления кода, связанного с а2 о в.
(defun traitsym (z xl x2)
(cond ((or ((eq (car x2) 'INA) (eq (car xl) ’INA))
'(0 0))
((or ((eq (car x2) ’INC) (eq (car xl) 'INC))
'(1 0))
(t (let ((-cl (code (car xl)))
(-c2 (code (car x2))))

(setq -cl (list (car xl) (car xl) 0 0))))
(cond ((eq -c2 'nf)
(setq -c2 (list (car x2) (car x2) 0 0))))
(possl (sommef (coder z) -c2) --cl)
(neces z -cl -c2))))))
;"Z" - атом, характеризующий отношение сравнения
;"TRAITSYM" обрабатывает данные симметричным образом
279
ФУНКЦИЯ (TRAITSYM Z Xl X2)
вычисляет условную меру возможности П(0| (аь а2) = П(а2 о 0|а,)) с
помощью POSS 1;
вычисляет условную меру необходимости N(0|(ab а2)) с использова-
нием NECES.
(defun neces (z cl c2)
(necesbis z cl c2 (compl z)))
(defun necesbis (z cl c2 c)
(minus (subl (max
(possl (sommef (car c) c2) cl)
(cond ((edr c) (possl (sommef (cadr c) c2) cl))
(t 0))))))
список из одного или двух элементов,
;являющихся четверками
(ФУНКЦИЯ "COMPL" связывает четверки! с дополнениями
;к их аргументам
(defun compl (z)
(cond ((eq z 'eg) (list (list 0 N 0 0)
(list (minus K) 0 0 0)))
((eq z 'pg) (list (list (minus N) 0 0 0)))
((eq z ’pp) (list (list 0 N 0 0)
((eq z ’bg) (list (list (minus N) 2 0 2)))
((eq z 'bp) (list (list (minus 2) N 2 0)))))
ФУНКЦИЯ NECES Z Xl X2
вычисляет условную меру необходимости в виде N (01 (ab а2)) = 1 —
-П(а2о0'|а1);
использует функцию^COMPL для вычисления кода, связанного с отно-
шением сравнения 0, определяемым соотношением (u, v) =1 —
-Д5(и,у).
Отметим, что в ряде случаев отношение сравнения 0 не допускает параме-
трического представления в виде четверки, но может быть представлено с по-
мощью объединения двух трапециевидных распределений Таким образом
функция COMPL обращает одну или обе четверки, чтобы получить параме-
трическое представление отношения сравнения 0.
(posslbis cl с2 (difference (cadr с2) (car cl))
(difference (cadr cl) (car c2))
lefun posslbis (cl c2 x y)
(cond ((ge (plus (difference (cadr cl) (car cl))
(difference (cadr c?) (cai c2)))
(defun born (x) (max 0 (minus (subl x))))
280
(defun necl (cl c2)
(cond ((and (zerop (caddr cl)) (zerop (caddr c2))
(zerop (cadddr cl)) (zerop (cadddr c2)))
(cond ((lessp (car c2) (car cl)) 0)
((ge (cadr cl) (cadr c2)) 1)
(t 0)))
((and (zerop (cadddr cl)) (zerop (cadddr c2))
(cond ((lessp (cadr cl) (cadr c2)) 0)
(t (min 1
(max 0 (quotient (float (plus (caddr cl) (car c2)
(minus (car cl))))
(float (plus (caddr c2)
(caddr cl)))))))))
((and (zerop (caddr cl)) (zerop (caddr c2)))
(cond ((lessp (car c2) (car cl)) 0)
(t (min 1
(max 0 (quotient (float (plus (cadddr cl) (cadr cl)
(minus (cadr c2))))
(float (plus (cadddr c2)
(caddr cl)))))))))
(t (min 1 (min
(max 0 (quotient (float (plus (caddr cl) (car c2)
(minus (car c2))))
(float (plus (caddr c2)
(caddr cl)))))
(max 0 (quotient Afloat (plus (cadddr cl) (cadr cl)
(minus (cadr c2 ))))
(float (plus (cadddr c2)
(cadddr cl))))))))))
Функции POSS1 и NEC1 имеют своими аргументами четверки. Пусть Cj =
= (aibiM J и С2 = (a2b2a202)
На рис П 6.1 (POSS1 Cl С2) обращает ординату точки Р
На рис П 6.2 (NEC1 Cl С2) обращает ординату точки N.
(defun poss2 (cl с2)
(cond ((null (cdr c2).)
(mln (cadar c2) (cond ((assq (caar c2) cl)
(card (assq (caar c2) si))
(t 0))))
(t (max (poss2 cl (list (car c2)))
(poss2 cl. (cdr c2 )) ) )))
(defun nec2 (cl c2)
(cond ((null (cdr c2))
281
(max (minus (subl (cadar c2)))
(cond ((assq (caar c2) cl)
(cadr (assq (caar c2) cl)))
(t 0))))
(t (rain (nec2 cl (list (car c2)))
(nec2 cl (cdr c2))))))
;"P0SS2" н "NEC2" имеют своими аргументами списки nap
;элемент области - соответствующая степень
Функции P0SS2 и NEC2 имеют своими аргументами списки пар. Пусть
С^аа^Ь.Да^)),
С2 - (<%1У31) ’ • ’ (ajlVjl)) •
Функция (P0SS2 Cl С2) вычисляет величину sup mm(uk, vk), а функ-
k/vk > 0
ция (NEC2 Cl С2) вычисляет величину inf max(u., 1 — v,).
k/vk >0 k k
Как пример, в конце настоящего приложения приводится вариант подроб-
ного анализа вопроса Qs, который формулируется следующим образом.
’’Найти всех тех студентов, у кого уровень подготовки по математике в пер-
вом семестре значительно лучше, чем ’’хороший”.
Эти условия выражаются с помощью операций расширенной реляционной
алгебры вида: Проекция о(ЛИЧНОСТЬ; Mi ’’значительно лучше, чем” ’’хо-
роший”) на атрибут ИМЯ.
Дескриптор р5 связан с условием отбора С5: С5, имеет вид А0а и для каж-
дой строки х отношения ЛИЦО требуется вычислить: П(”хороший”Ь§|М1(х))
и N (’’хороший” о bg | Mj(x)), где через bg обозначается отношение сравнения
’’значительно лучше, чем”. Значит, для этих расчетов необходимо воспользо-
ваться процедурой TRAITER, откуда следует общий вид дескриптора р5, ко-
торый содержит лишь элементарную пару С5: ((применить процедуру обра-
ботать ”bg Z” (BMi))Mi). Вызов функции ДЕСКРИПТОР преобразует Cs в
другую элементарную пару С5: ((применить (лямбда (Z) (обработать ”bg "Ь"
(вм1)))м1).
Фильтрация данных еь . . . , е7 с помощью дескриптора Р5. Функция
FILTR2 ищет в значении ei элементарную пару, связанную с Р5, т. е. (15Mj)
и вызывает функцию (COMPARE C's (15MJ). Тогда функция фильтрации
Cs применяет процедуру, которую она содержит вместе с параметром Z, рав-
ным (15М1). Обработка данных происходит за счет поиска кодов следую-
щим образом:
15 ->'NF (точное значение), что выражается четверкой (15 15 0 0),
В (14 16 1,5 1),
'bg -+ (4 N 2 0) с N = 100
и вызова POSS1 (14+14 16 + N 1,5 + 2 1+0) (15 150 0),
NEC1 (18 16+ N 3,5 1) (15 15 0 0),
откуда в результате получаем 0,1 0,1.
282
Следующие функции, существующие в ряде версий языка Лисп, здесь бы-
ли переформулированы и хранились в файле, регулярно открываемом при
выполнении программы,
(defun listp (х)
(eq (typep х) ’list))
;Предикат. определяющий список
(setq base 10.)
(setq ibase 10.)
(defun ge (nl n2)
(not (lessp nl n2)))
Определение отношения "БОЛЬШЕ ИЛИ РАВНО"
(defun atomcar (х) (саг (explode х)))
(defun atomcdr (h)
(implode (cdr (explode x))))
(defun init (pte va 1)
(mapcar (function (lambda (a)
(putprop a va pte)))
D)
;Задает свойство "РТЕ" с значениями "УА"для всех
атрибутов списка "t"
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к русскому изданию............................................ 5
Предисловие ко второму изданию............................................ б
Предисловие к первому изданию............................................. 7
Список литературы.......................................................  10
Дополнительный список литературы.........................................11
Глава 1. Меры возможности и нечеткие множества ...................... .	. 12
1.1.	Неопределенность и неточность .	......................... .. 12
1.2.	Традиционные модели неточности и неопределенности.............. 14
1.3.	Меры неопределенности.....	...............................17
1.3.1.	Меры возможности и необходимости	............ . 18
1.3.2.	Возможность и вероятность. ................................20
• 1.4. Нечеткие множества. . .	...............................22
1.5.	Элементарные операции над нечеткими множествами ...	.... 25
1.6.	Практические методы определения функции принадлежности .........29
1.6.1.	Расплывчатая категория, воспринимаемая субъектом ..........29
1.6.2.	Нечеткие множества, построенные по статистическим данным . ... 31
1.6.3.	Замечания относительно множества значений функции принадлежности 34
1.7.	Меры неопределенности в нечетком событии........................34
1.8.	Нечеткие отношения и декартово произведение нечетких множеств ..36
Список литературы...............................................   ....	38
Список литературы, добавленный ко второму изданию.........................41
Дополнительный список литературы.............................. .	. . 41
Глава 2. Исчисление нечетких величин ...................................  42
2.1.	Определения и основной принцип ................... .	.	. . 42
2.1.1.	Нечеткие величины, нечеткие интервалы и нечеткие числа .	.. .42
2.1.2.	Принцип обобщения .	...............................44
2.2.	Исчисление нечетких величин при невзаимодействующих переменных.47
2.2.1.	Основной результат .	. .	. .	........................47
2.2.2.	Связь с теорией ошибок ....................................50
2.2.3.	Приложение к обычным операциям ....	........... 51
2.2.4.	Задача об эквивалентных представлениях функции	.	......54
2.3.	Практическое вычисление нечетких интервалов.....................55
2.3.1.	Параметрическое представление нечеткого интервала..........55
2.3.2.	Точные практические вычисления четырех арифметических операций. 57
2.3.3.	Приближенное вычисление функций нечетких интервалов ...... 59
2.4.	Другие методы вычислений с нечеткими величинами.................60
2.4.1.	Пессимистический расчет нечетких величин с взаимодействующими пе-
ременными .	....	. .	.	............60
2.4.2.	Оптимистический расчет нечетких величин с невзаимодействующими
переменными ............................ .	.	.................. 62
284
2.5.	Иллюстративные примеры........................................63
2.5.1.	Оценивание денежных средств в	бюджете......................63
2.5.2.	Сетевое планирование (расчет по методу PERT) с нечеткими оценками
продолжительности работ . .	.	 66
2.5.3.	Задача регулировки станка..................................68
Список литературы........................................................70
Список литературы, добавленный ко второму изданию........................72
Дополнительный список литературы............... ........................72
Глава 3. Использование нечетких множеств для оценивания и классификации
объектов ...	.	...........................
3.1.	Количественный подход к задаче многокритериального выбора.........
3.1.1.	Основа подхода....... . .	..................
3.1.2.	Операции над нечеткими множествами. ...	...
3.1.3.	Применение к свертыванию критериев
3.1.4.	Идентификация операций	...........................
3.1.5.	Пример .	............................. ...
3.2.	Сравнение неточных оценок ............. ..................
3.2.1.	Сравнение действительного числа и нечеткого интервала.
3.2.2.	Сравнение двух нечетких интервалов.................. ...
3.2.3.	Упорядочение п нечетких интервалов........................
3.2.4.	Применение в информатике	................... ...
3.2.5.	Иллюстративный пример ............. ......................
3.2.6.	Применение к задачам планирования работ с кумулятивными ограни-
чениями .	.	.	..... .	.......................
Список литературы ....	............................ ...
Дополнительный список литературы ....... ...............................
73
73
74
76
85
92
93
96
96
98
101
102
103
104
109
112
Глава 4. Модели приближенных рассуждений для экспертных систем . . .	. ИЗ
4.1.	Дополнительные замечания о моделировании неточности и неопределенности 11 3
4.1.1.	Доверие и правдоподобность. ...	. .	.............И4
4.1.2.	Разложимые меры неопределенности.	.	.............116
4.1.3.	Расплывчатые высказывания .	•	.............118
4.1.4.	Оценка степени истинности произвольного высказывания ...	. 118
4.1.5.	Расплывчатые и неопределенные высказывания .	...	........122
4.2.	Логический вывод с неопределенными посылками .	.	.............123
4.2.1.	Дедуктивный вывод с неопределенными посылками............. 125
4.2.2.	Сложные посылки	.	.	.................. 130
4.2.3. Комбинирование степеней неопределенности, относящихся к одному и
4.2.4. Принцип резолюции с неопределенными условиями ............ 139
4.2.5. Рассуждения с нечеткими квантификаторами.................. 140
4.3. Вывод с нечеткими посылками............................. .	.	142
4.3.1.	Представление правила "если X есть А, то Y есть В”....... 142
4.3.2.	Обобщенное правило’’модус поненс”....................... .143
4.3.3.	Интерпретация нечетких правил, основанных на импликации Геделя . 145
4.3.4.	Сложные посылки . .	...........................148
28‘
4.3.5. Комбинирование функций распределения возможностей ...... 148
4.3.6.	Нечеткая фильтрация и продукционные правила............ 149
4.4. Краткий обзор существующих работ и систем	.	.........150
4.5. Пример................................................... 151
Список литературы........................................................154
Список литературы, добавленный ко второму изданию . .	. .	. . .158
Дополнительный список литературы.........................................161
Глава 5. Эвристический поиск в неточной среде и иечеткое программирование. 161
5.1.	Эвристический поиск в неточной среде .......................... 162
5.1.1.	Алгоритмы А и А*.......................................... 162
5.1.2.	Классическая задача о коммивояжере.........................163
5.1.3.	Эвристический поиск с неточными оценками ................. 165
5.1.4.	Эвристический поиск с нечеткими оценками . .	...	.168
5.2. Пример нечеткого программирования прохождение маршрутов, заданных в
нечетких терминах................................................  170
5.2.1.	Выполнение и объединение инструкций	  173
5.2.2.	Иллюстрация...............................................174
5.2.3.	Задачи, относящиеся к нечеткому программированию .........179
5.2.4.	Заключительные замечания..................................183
Список литературы .	.	.......... ...	.........184
Дополнительный список литературы..................................... 185
Глава 6. Обработка неполной или неопределенной информации и рассмотрение
расплывчатых вопросов в базе данных ......................................186
6.1.	Представление неполной или неопределенной информации............187
6.1.1.	Представление чанных с помощью распределений возможности .	. .187
6.1.2.	Сходство и атличие от других подходов к представлению нечеткой ин-
формации в базах данных ....................................   ...	190
6.1.3.	Функциональные зависимости и возможностная информация......192
6.2.	Расширенная реляционная алгебра и связанный с ней язык запроса ..194
6.2.1.	Обобщение операции 0-отбора . .	.................194
6.2.2.	Декартово произведение, 0-соединение и проекция.............199
6.2.3.	Объединение и пересечение. Избыточность расширенных отношений . .202
6.2.4.	Вопросы, использующие другие операции . .	.................203
6.2.5.	Упорядочение результатов . .	.............................205
6.3.	Пример. . . .	............................................. 206
6.3.1.	Представление данных.	.	.......................206
6.3.2.	Примеры вопросов .	.	.......................209
6.4.	Заключение.....................................................211
286
Список литературы........................................................212
Список литературы, добавленный ко второму изданию........................215
Дополнительный список литературы........................................ 216
Приложение к гл. 2................................................. 216
Приложение к гл. 3..................................................222
Приложение к гл. 4..................................................229
Приложение 1.....................................................229
Приложение 2.....................................................234
Приложение к гл. 5................................................. 262
Приложение к гл. 6..................................................270
Научное издание
ДЮБУА ДИДЬЕ, ПРАД АНРИ
ТЕОРИЯ ВОЗМОЖНОСТЕЙ.
ПРИЛОЖЕНИЕ К ПРЕДСТАВЛЕНИЮ ЗНАНИЙ В ИНФОРМАТИКЕ
Заведующий редакцией Ю Г Ивашов
Редактор М. Г. Коробочкина
Переплет художника В. Б. Забайрова
Художественный редактор А. С. Широков
Технические редакторы О. А. Гришкина, А. Н Золотарева
Корректор Т. С. Власкина
ИБ N" 1872
Подписано в печать с оригинала-макета 31.01.90. Формат 60x88/16. Бумага офс. № 2
Гарнитура "Пресс-роман”. Печать офсетная. Усл. печ. л. 17,64. Усл. кр.-отт. 17,64.
Уч.-изд. л. 19,0. Тираж 10 000 экз. Изд. № 22602. Заказ № 6970. Цена 2р. 40 к.
Издательство ’’Радио и связь”. 101000 Москва, Почтамт, а/я 693
Ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени МПО ’Первая
Образцовая типография” Государственного комитета СССР по печати.
113054 Москва, Валовая, 28
ВНИМАНИЮ ЧИТАТЕЛЕЙ!
В издательстве ’’Радио и связь” в 1990 г. для специалистов в области
управления, информационных систем и вычислительной техники выйдет
справочник ’’ИСКУССТВЕННЫЙ ИНТЕЛЛЕКТ” (в 3-х книгах) .
Кн 1. Системы общения и экспертные системы/А Б Преображенский,
Попов Э В , Киселев А Ф и др ; Под ред Э В Попова - 43 л ил -
2 р 50 к , 25 000 экз
Приводится классификация интеллектуальных систем по их структуре
и решаемым задачам. Описывается специфика лингвистических процессов,
расчетно-логических и экспертных систем и их реализация. Рассматривает-
ся использование средств интеллектуализации при решении задач управле-
ния, планирования и автоматизации научных исследований
Кн 2. Модели и методы/Г С. Поспелов, Д А Поспелов, А М. Волков
и др ; Под ред. Д А Поспелова — 32 л ил — 2 р , 25 000 экз.
Дается общая характеристика данной проблемной области, вводятся
основные понятия и определения, приводится классификация моделей и
методов Рассматриваются отдельные направления теории интеллектуаль-
ных систем представления знаний, логический вывод на знаниях, языки
общежития, понимания текстов, планирование действий и работа со зри-
тельной информацией
Кн 3. Программные и аппаратные средства/В. Ф Хорошевский, В. Н. За-
харов, А Г Красовский и др ; Под ред В.Н Захарова, В Ф Хорошевско-
го. - 37 л., ил - 2 р 20 к., 25 000 экз.
Приводится классификация программных средств для интеллектуаль-
ных систем Описываются конкретные языки для представления знаний и
манипулирования ими, а также базовые языки, используемые в интеллек-
туальных системах Рассматриваются системы поддержки разработки ин-
теллектуальных систем, ЭВМ с высоким уровнем интерпретации языков,
спецпроцессоры баз данных, знаний и логического вывода для ЭВМ пятого
и последующих поколений